Прикладная механика твердого деформируемого тела: сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики. Том 1 - Филин А.П.

Автор: Филин А.П.

Теги: испытания материалов товароведение силовые станции общая энергетика физика механика сопротивление материалов прикладная механика механика деформируемых тел деформация

Год: 1975

Похожие

Прикладная механика твердого деформированного тела

Механика деформируемого твердого тела

Прикладная механика. Часть 2. Основы механики деформируемого твердого тела

История механики твердого тела

Текст

А. П. Фалин
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ СПЛОШНЫХ СРЕД
И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Том I
ИЗДАТЕЛЬСТВО сНАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1975

ФбЗ
"УДК 620.10
Прикладная механика твердого деформируемого тела, т. I,
Филин А. П., Главная редакция физико-математической литера-
Туры изд-ва «Наука», 1976, стр. 832.
В I томе содержится информация, составляющая фундамент
механики твердого деформируемого тела. Подробно обсуждены
свойства конструкционных материалов, анализ напряженно-дефор-
напряженно-деформированного состояиия в точке сплошной среды н физические
уравнения в реологическом аспекте. Уделено значительное внима-
внимание проблеме предельного состояния материала в локальной Обла-
Области и связанным с нею вопросом, далеко выходящим за рамки
традиционных теорий предельного состояния. Завершается кинга
изложением основ теории упругости и теорий пластичности и пол-
ползучести, используемых в основной части курса. "
Книга предназначена для студентов втузов, изучающих соп-
сопротивление, материалов, теории упругости и пластичности, а также
для аспирантов, научных работников н инженеров, занимающихся
проблемой прочности в различных областях техники (строитель-
(строительство, машиностроение, судостроение, самолетостроение и др.).
Анатолий Петрович Филин
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРОВАННОГО ТЕЛА.
том I
М., 1975 г., 832 стр. с ил л.
Редактор В. С Калинин
Техн. редактор К. Н. Жмуркина
Корректор И. Д. Дорохова
Сдано в набор 12/VIH 1974 г Подписано к печати 26/V 1975 г Бумага бОХЭО'/и." тип. /* 1.
Фнз. печ. л. Б2. Усл. печ. л. 62. Уч.-нзд. л. 56,14. Тираж 14 000 экз. Т-09427 - Цеиа кни-
книги 2 р. 17 к, Заказ № 1568
Издательство «Наука». Главлая редакция физико-математической литературы.
117071, Москва, B-7.I, Ленинский проспект, 15.
Отпечатано с иатрвц,ИЗГОтовленЯЫХ Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
Ленинградским пронзводственио-техняческям объединением «Печатный двор» имени А. М. Горького
Союзполнграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делан
ввдательств. полиграфия в книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул.,
S6, в 4-ой типографии и»дательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, Ж.
Заказ 667.
30106—087 (?Г) Главная редакция
ф» 148.74 ¦¦ *^ фнзико-мвтематичеасой лвтературм
063@2O5 издательства «Наука», 1976 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
К читателю 9
Предисловие 11
•Отдел первый
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Глава I. Введение . 17
§ 1.1. Задачи, цель и предмет курса 17
§ 1.2. Реальные твердые тела и идеализированное тело сопротивления
материалов. Деформируемость, изотропность, однородность,
сплошность 20
§ 1.3. Внешние силы. Классификации 22
§ 1.4. Реальная конструкция н ее расчетная схема 26
§ 1.5. Виды деформации прямолинейного стержня . . 34
§ 1.6. Различие взглядов на внешние силы в теоретической механике и
в сопротивлении материалов 36
§ 1.7. О зависимости внешних сил, приложенных к телу, от его дефор-
деформации 38
§ 1.8. Принцип отвердения ' 39
§ 1.9. Метод сечений. Понятие о напряжении 39
§ 1.10. Компоненты напряжения. Правила знаков 41
§ 1.11. Приведение внутренних сил в стержнях к эквивалентной им сис-
системе стандартных усилий. Правила знаков 43
§ 1.12, Приведение внешних сил, действующих иа стержень, к стандарт-
стандартному виду 47
§ 1.13. Определение внутренних усилий через внешние силы. Эпюры
внутренних усилий 52
§ 1.14. Дифференциальные зависимости между интеисивиостямн распре-
распределенных силовых и моментных нагрузок и внутренними усили-
усилиями (дифференциальные уравнения равновесия элемента стержня) 57
§ 1.15. Примеры построении эпюр внутренних усилий в стержних. . . . 59
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 1.16. Понятие о самоуравновешенвых внутренних силах в поперечном
сечении бруса 76
§ 1.17. Понятие о перемещении точки тела. Составляющие перемещении.
Правило знаков 81
§ 1.18. Понятие о деформации тела в точке 82
§ 1.19. Понятие о повороте элемента в окрестности точки тела 83
§ 1.20. Расчеты по деформированной и недеформированной схемам ... 84
$ 1.21. Статически определимые и статически неопределимые системы 87
$ 1.22. Принцип независимости действия сил 89
Глава 11. Осевая деформации прямолинейного стержня 91
§ 2.1. Предварительные замечания 91
§ 22. Характер деформации при растяжении или сжатии призмы ... 91
§ 2.3. Статическая неопределимость закона распределения напряжений 93
§ 2.4. Гипотеза плоских сечений . 97
§ 2.5. Формула для нормального напряжения в поперечном сечении рас-
растянутого (сжатого) стержня 98
§ 2.6. Концентрация напряжений 99
§ 2.7. Принцип Сен-Венана 102
§ 2.8. Область применимости формулы для нормального напряже-
напряжения 103
§ 2.9. Анализ напряженного состояния призматического стержня, под-
подвергнутого чистому растяжению (сжатию) 104
§ 2.10. Относительная линейная деформация стержня (продольная и по-
поперечная). Относительное сужение 106
§ 2.11. Диаграммы растяжения и напряжений 107
§ 2.12. Истинная деформация. Разновидности диаграмм напряжений. . . 114
§ 2.13. Диаграммы напряжений при сжатии 117
§ 2.14. Удельная прочность материала 120
§~.2.15. Условие прочности при осевом действии сил иа стержень 120
§ 2.16. Закон Гука. Модуль продольной упругости Касательный модуль
(модуль упрочнения). Диаграмма идеального упруго-пластического
материала 130
§ 2.17. Коэффициент Пуассона 132
§ 2.18. Характеристики пластичности материала 132
§ 2.19. Абсолютное удлинение (укорочение) прямолинейного стержня при
осевой деформации 133
§ 2.20. Перемещения при осевом действии сил на прямолинейный стер-
стержень 137
§ 2.21. Работа силы. Понятие об обобщенном перемещении и обобщенной
силе 144
§ 2.22. Работа внешних сил при растяжении (сжатии) образца. Вязкость ма-
материала при статическом иагружеиии 149
§ 2.23. Упругое последействие. Упругий гистерезис 152
§ 2.24. Гибкие нити 155

ОГЛАВЛЕНИЕ »
Глава 1П. Особенности статически неопределимых систем. Оценка надеж-
надежности по допускаемым нагрузкам и по предельным состояниям 168
§ 3.1. Предварительные соображения 168
§ 3.2. Понятие о фермах и шарнирио-дисковых системах 169
§ 3.3. Статически неопределимые системы. Степень статической неопре-
неопределимости . . 171
§ 3.4. Раскрытие статической неопределимости при помощи уравнений
совместности деформаций. Зависимость усилий от отношения
жесткостей' 17$
§ 3.5. Монтажные усилия 175
§ 3.6. Температурные усилия 17?
§ 3.7. Усилия от независимого смещения опор 183
§ 3.8. Подбор сечений элементов в статически неопределимых системах
по допускаемым напряжениям 184
§ 3.9. Регулирование усилий 187
§ 3.10. Подбор сечений элементов в статически неопределимых системах
по допускаемой нагрузке 188
§ 3.11. Картина перемещений в статически неопределимых системах 196
§ 3.12. Остаточные усилия ' 199*
§ 3.13. Эффект снижения сопротивляемости пластическим деформациям
после предшествовавшей пластическрй деформации противополож-
противоположного знака 202
§ 3.14. Приятие о расчете конструкций по предельным состояниям .... 209"
§ 3.15. Очень пологие гибкие нити 215
§ 3.16. Примеры расчета статически неопределимых систем 217
Глава IV. Механические свойства материалов 223>
§ 4.1. Вводные замечания • • • • 223
§ 4.2. Структура металлов 224
§ 4.3. Упругая и пластическая деформация и разрушение монокристалла
металла . . "... 238
§ 4.4. Упругая и пластическая деформация и разрушение поликристал-
поликристаллического металла 254-
§ 4.5: Начальные напряжения 269
§ 4.6. Эффект Баушингера • 261'
§ 4.7. -Сплавы и диаграммы состояния 262
§ 4.8. Влияние различных факторов на механические свойства материа-
материалов 266
§ 4.9. Методы получения прочных металлов и сплавов 295>
§ 4.10. Различные виды испытания материалов 298
§ 4.11. Индивидуальные особенности механических свойств некоторых
металлов и сплавов 318
§ 4.12. Механические свойства некоторых материалов на основе синте-
синтетических полимеров 333
§ 4.13. Свойства некоторых силикатных материалов 354

в ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4.14. Механические свойства бетонов 357
§ 4.15. Свойства порошковых материалов . . . 369
§ 4.16. Механические свойства древесины 370
§ 4.17. Общие соображения о требованиях, предъявляемых к материалам,
используемым в конструкциях 378
Отдел второй
СОСТОЯНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА
Глава V. Теория напряжений 381
§ 5.1. Предварительные замечания 381
§ 5.2. Закон парности касательных напряжений 382
§ 5.3. Уравнении равновесия элементарного тетраэдра 384
§ 5.4. Формула для Ov З85
§ 5.5. Теорема о существовании главных площадок 386
§ 5;6. Теорема об экстремальности главных напряжений 387
§ 5.7. Понятие о плоском напряженном состоянии в точке 389
§5.8. Уравнения равновесия элементарной треугольной призмы .... 393
§ 5.9. Формулы преобразования компонентов напряжения ........ 393
§ 5.10. Определение главных напряжений н направляющих косинусов нор-
нормалей к главным площадкам . . . 395
§ 5.11. Инварианты напряженного состояния в точке тела ¦. . 399
§ 5.12. Определение максимальных касательных напряжений и направ-
направляющих косинусов нормалей к площадкам их действия ...... 400
§ 5.13. Графический анализ плоского напряженного состояния в точке 403
§ 5.14. Линейное напряженное состояние 408
§ 5.15. Дифференциальные уравнения равновесия и статические гра-
граничные условия ¦ 410
§ 5.16. Анализ пространственного напряженного состояния в точке ... 411
§ 5.17. Изостатические поверхности в напряженном теле . . . 446
§ 5.18. Примеры . . . 447
Глава VI. Теория деформаций . 453
§ 6.1. Предварительные замечания 453
§ 6.2. Зависимости между компонентами деформации и составляющими
перемещения точки тела 454
§ 6.3. Уравнения Коши ' . . . . 457
§ 6.4. Формулы .преобразования компонентов деформации при повороте
прямоугольной системы координатных осей . 458
§ 6.5. Аналогия между теорией деформации и теорией напряжения . . 460
§ 6.6. Условия совместности деформаций 471
§ 6.7. Жесткий поворот и чистая деформация 473
§6.8. Условие одиозиачиости перемещений для миогосвязных областей 478
§ 6.9. Элементы нелинейной теории деформации 479

ОГЛАВЛЕНИЕ »¦
Глава VII. Физические уравнения механики .твердого деформируемого
тела 493
§ 7.1. Предварительные замечания . . -. 493
§ 7.2. Уравнения обобщенного закона Гука для трехосного растяжения
(сжатия) изотропного тела . . . .¦ 496
§ 7,3.. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге. Три последние уравнения
¦обобщенного закона Гука 499
§ 7.4. Две формы записи уравнений закона Гука для изотропного тела 502
§ 7.5. Матричная форма закона Гука 503
§ 7.6. Графическая интерпретация коаксиальности тензоров напряже-
напряжений и деформаций 506
§ 7.7. Удельная потенциальная энергия деформации изотропного тела 507
§ 7.8. Некоторые основные понятия реологии 511
Глава VIII. Предельное состояние материала в локальной области .... 520
§ 8.1. Предварительные замечания 526
§ 8.2. Классические критерии прочности 524
§ 8.3. Классические условия пластичности (текучести) 529
§ 8.4. Некоторые соображения о классических теориях 536
§ 8.5. Теория прочности Мора 540
§ 8.6. Опыты с образцами, находящимися в сложном напряженном состо- '
янии. Оценка теорий 546
§ 8.7. Теория Я. Б. Фридмана и ей аналогичные ' 549
§ 8.8. Некоторые уточнения классических теорий . 562
§ 8.9. Понятие о теории макротрещин . 574
§ 8.10. Понятие о теориях процессов накопления рассеянных микродефек»
тов •:...• 579
§ 8.11. Идеи В. В. Новожилова о перспективах построения критерия
прочности при сложном нагружении • • • • 599
§ 8.12. Место, занимаемое результатами настоящей главы в общей проб-
проблеме оценки надежности конструкции 603
§ 8.13. Примеры . . . 604
Отдел третий
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СРЕД
Глава IX. Элементы теории упругости 609
§ 9.1. Предмет и задачи теории упругости 609
§ 9.2. Сводка основных уравнений и их обзор. Прямая и обратная задачи
теории упругости. Граничные условия. Два пути решения проб-
проблемы теории упругости 611
§ 9.3. Разрешающие уравнения в напряжениях 618
§ 9.4. Разрешающие уравнения в перемещениях , . 623
§ 9.5. Теорема о единственности решения задачи линейной теории упру-
упругости 624

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 9.6. Интегрирование уравнений Коши 626
§ 9.7. Решение прямой задачи полуобратным методом . , 634
§ 9.8. Растяжение призмы (цилиндра) под влиянием собственного веса 637
§ 9.9. Еще о принципе Сеи-Венана 647
§ 9.10. Плоская задача теории упругости 653
§ 9.11. Задача о клине 678
§ 9.12. Осесиммётричное напряжеино-деформированиое состояние в про-
пространственной задаче 687
§ 9.13. Напряженное состояние круглой пластины 693
§ 9.14. Решения некоторых задач об осесимметричном напряженном со-
состоянии . 703
§ 9.15. Концентрация напряжений 707
§ 9.16. Контактные напряжения 714
.Глава X. Элементы теории пластичности и лииейиой вязкоупругостн 725
§ 10.1. Холодная пластичность 725
§ 10.2. Простейшие модели упруго-пластнческого материала при одно-
одноосном напряженном состоянии •• . 726
§ 10.3. Обобщение на случай сложного напряженного состояния .... 729
§ 10.4. Кривая текучести .¦ 732
§ 10.5. Теория пластического течения. Ассоциированный закон течения 734
§ 10.6. Деформационная теория пластичности 739
§ 10.7. Растяжение и кручение тонкостенной трубы 741
§ 10.8. Теория пластичности и предельное состояние 745
§ 10.9. Ползучесть 751
§ 10.10. Линейные вязкоупругив модели . , 754
§ 10.11. Принцип суперпозиции Больцмана — Вольтерра. Наследственно-
упругое тело 762
Дополнение. Краткие сведения об аффинных ортогональных тензорах . . 768
Приложение I. Некоторые сведения о материалах 777
Приложение II. Концентраторы напряжений и коэффициенты концент-
концентрации 807
Именной указатель 817
Предметный указатель 821

К ЧИТАТЕЛЮ
Прикладная механика твердого деформируемого тела — хорошо
и давно сформировавшаяся наука.
Литература, посвященная ей, велика и многообразна; в частно-
частности, богата и учебная литература. Однако быстрое развитие техники
и науки все же привело к некоторому отставанию учебников и посо-
пособий от требований жизни. Так, все еще недостаточно обсуждаются
новые классы материалов, новые, часто очень тяжелые, условия,
в которых приходится работать материалам, новые технологические
процессы, влияющие на работу материала и конструкции в целом,
использование вычислительной техники и т. п.
Редко встречаются и книги, в которых с единых позиций и в одном
стиле рассматривались бы все основные ветви прикладной механики
твердого деформируемого тела в их взаимной связи и влиянии,
рассматривались бы с целью ознакомления читателя с различными
аспектами этой науки, такими, например, как учет различных
видов нелинейности, использование эксперимента и натурных наб-
наблюдений. Как правило, отдельные из указанных вопросов — это
предмет научных монографий.
Вместе с тем начинающему изучать механику твердого дефор-
деформируемого тела важно как. можно скорее и полнее уяснить все эти
основные вопросы, для чего необходимо иметь соответствующую
учебную литературу.
Не менее важным является уяснение фундаментальных принци-
принципов и законов механики твердого деформируемого тела и характера
органической связи этой науки со смежными науками — матема-
математикой, физикой, химией. К сожалению, и этой стороне дела не всегда
уделяется в литературе должное внимание.
В представляемой читателю настоящей книге, являющейся пер-
первым томом курса прикладной механики твердого деформируемого
тела, автор делает попытку в определеннрй мере восполнить от-
отмеченные выше пробелы в учебной литературе.
Цель автора — научить будущего инженера рассчитывать на
прочность сложные сооружения, начиная с выбора расчетной схемы
и кончая правильной оценкой результатов расчета. Последняя

Ю К ЧИТАТЕЛЮ
связана с выбором критерия и запаса прочности. Эти проблемы до
сих пор остаются труднейшими, хотя и наименее «аппаратными» из
всего комплекса рассматриваемых вопросов.
В первом томе обращено большое внимание на свойства материа-
материалов, используемых во всевозможных конструкциях, на условия их
работоспособности и на фундамент прикладной механики твердого
деформируемого тела — механику сплошных сред.
Естественно, что в книге имеется много традиционного для кур-
курсов строительной механики материала, но его изложение, как пра-
правило, своеобразно — имеет присущий автору почерк, характеризую-
характеризующийся стремлением сочетать полноту охвата предмета с почти
конспективной краткостью, простоту изложения с учетом новейших
результатов. Из вопросов, оставшихся вне книги, отмечу задачи
расчета на прочность под действием случайных нагрузок. Однако
включение их потребовало бы значительного увеличения и без того
достаточно большого объема книги.
Полагаю, что книга будет полезна не только для студентов
и начинающих инженеров, но и для специалистов с практическим
опытом.
Академик В. В. Новожилов

ПР ЕДИСЛOB И Е
Настоящая книга представляет собой первый том курса при-
прикладной механики твердого деформируемого тела. Такое название
принято как более удачное, по мнению автора, чемлрадиционное —
сопротивление материалов. По-видимому, это оправдано и тем, что
в курсе существенно ^расширен круг рассмотренных вопросов даже
по сравнению с дисциплиной, называемой иногда в официальных
программах сопротивлением материалов с элементами теории
сплошных сред и строительной механики. Тем не менее это по-
последнее название сохранено в подзаголовке книги как дань
традиции.
Что побудило автора взяться за написание курса, несмотря на
наличие большого их числа? Какие при этом ставились цели? Име-
Имелось два основных побуждающих мотива. Во-первых, наличие нового
материала, который, несмотря на свое большое значение, все еще
не нашел или нашел слабое отражение в литературе, предназначен-
предназначенной для первого ознакомления читателя с предметом. Во-вторых,
тот факт, что большинство книг по сопротивлению материалов пред-
представляют собой учебники, соответствующие той или иной институт-
институтской программе, как правило сильно ограниченной количеством
времени, отводимого для изучения дисциплины. Вместе с тем не
только новая, но и уже ставшая традиционной информация в ряде
случаев нуждается в более подробном обсуждении.
Автор стремился создать у читателя правильное представление
об условности деления механики твердого деформируемого тела,
как и любой другой науки, на отдельные дисциплины, обратив вни-
внимание изучающего предмет на глубокую их взаимную связь и взаим-
взаимное проникновение.
Автор стремился помочь читателю составить в каком-то смысле
полную систему основных понятий современных проблем механики
твердого деформируемого тела и подготовить его к чтению моногра-
монографической, а также журнальной литературы, посвященной этой
науке; стремился помочь изучающему курс создать фундамент, необ-
необходимый для включения в самостоятельную практическую и науч-
научную работу.

12 ПРЕДИСЛОВИЕ
Написание настоящего курса таило в себе большие сложности,
так как трудно было добиться достаточной полноты охвата матери-
материала и оставаться при этом в рамках приемлемого объема. Пожалуй,
наибольшая трудность состояла именно в отборе вопросов, подлежа-
подлежащих обсуждению, в установлении последовательности их рассмотре-
рассмотрения и в выборе уровня и степени подробности изложения.
Круг рассмотренных в курсе вопросов определялся основной
целью, которая ставилась перед ним и была пояснена выше. Пред-
Предполагалось, чтобы все линии повествования завершались информа-
информацией, имеющей практическую ценность. Вместе с тем наибольшая
компактность достигалась за счет создания некоторой системы
общего теоретического, основополагающего характера, на основе
которой строились все отмеченные линии повествования.
Последовательность расположения материала принята такой, при
которой максимально используется принцип постепенного введе-
введения новых понятий, опирающихся, на уже известные, ранее введен-
введенные. Однако этого не всегда удавалось достичь.
Степень подробности изложения в основном определялась в соот-
соответствии с двумя принципами — уменьшением подробности при про-
продвижении от начала курса к его концу и большей подробностью
изложения наиболее существенных фактов. Однако в некоторых
редких случаях, желая подчеркнуть внутреннюю эстетику предмета,
достаточно полно обсуждались и вопросы, казалось бы, не имеющие
большого практического значения. Надо думать, что достигаемая
при этом цель — укрепление интереса к предмету (ибо красота
всегда благотворно действует на человека) — окупит затраченные
средства.
Из принципиальных положений, проходящих красной нитью
через весь курс, отметим три.
Первое из них состоит в усилении органической связи вопросов
теории сплошных сред с традиционными вопросами собственно
курса сопротивления материалов. С этой целью во втором отделе
излагаются: теория напряжений (глава V), теория деформаций (гла-
(глава VI), закон Гука и элементы реологии (глава VII) и условия
пластичности (глава VIII — предельное состояние материала в ло-
локальной области) в объеме, достаточном для дальнейшего изложения
механики сплошных твердых деформируемых тел. К тому, что обыч-
обычно дается по этим вопросам в курсе сопротивления материалов,
пришлось добавить очень немного для того, чтобы иметь возможность
в дальнейшем к ним уже не возвращаться.
После этого в главе IX, посвященной теории упругости, оста-
осталось дать лишь разрешающие уравнения в двух вариантах — в пере-
перемещениях и напряжениях. В этой же главе приводится минимальный
материал, имеющий общее значение: типы граничных условий, типы
задач, полуобратный метод Сен-Венана, интегрирование уравнений
Каши, понятие о простейших задачах. Из отдельных задач теории

ПРЕДИСЛОВИЕ 13
упругости рассматриваются лишь нерешаемые посредством элемен-
элементарной теории, но вместе с тем имеющие большое практическое
значение. К числу частных теорий, обсужденных в книге, относятся
плоская и осесимметричная задачи, а к числу частных клас-
классов задач — концентрация напряжений и контактные напря-
напряжения.
В главе X кратко излагаются некоторые элементы теории пла-
пластичности и ползучести.
В последующих же главах во втором томе, в частности в гла-
главах XI, XII, XIII, посвященных деформации стержней, аппарат
теории сплошных сред (главным образом теория упругости) играет
уже чисто служебную роль, как рабочий инструмент, с одной сто-
стороны, для оценки гипотез, используемых в элементарной теории,
и границ применимости последней, а с другой стороны, для решения
тех задач, которые не могут быть решены средствами элементарной
теории. К числу последних относятся: кручение призматических
стержней некруглого поперечного сечения, свободное кручение
валов переменного вдоль оси диаметра, определение полного каса-
касательного напряжения при поперечном изгибе балки, определение
положения центра изгиба в поперечном сечении массивных стержней
и др.
Второе принципиальное положение, на которое обращено внима-
внимание в курсе, состоит в усилении информации (главы IV, VIII, XIX)
о самом материале конструкции. Там, где это было мыслимо, приме-
применяются понятия физики твердого тела, однако в основном исполь-
используется феноменологический подход. Эта часть курса в определенном
смысле пересекается с предметом физики твердого тела, кристалло-
кристаллографии, материаловедения, включая сюда вопросы технологической
прочности. Попали в поле зрения и новые, нетрадиционные мате-
материалы, и новые условия работы материалов (радиационные эффекты
при высоких уровнях облучения, очень высокие и очень низкие
температуры, высокие скорости нагружения, высокие давления
и т. п.).
Принципиальные особенности свойств материалов оказываются
достаточно общими, характерными для целых классов материалов.
Приводимые в курсе данные о свойствах материалов в зависимости
от различных факторов следует рассматривать, разумеется, лишь
как иллюстрации к упомянутым общим качественным особенностям.
В тех же случаях, когда речь идет о чистых металлах и некоторых
других материалах, свойства которых достаточно стабильны, напри-
например о сплавах определенного состава и способа обработки, приводи-
приводимая информация имеет не только иллюстративный характер, но
служит также и для количественных оценок.
Наконец, третье важное положение, отраженное в курсе, состоит
в освещении исключительной сложности оценки надежности проек-
проектируемой или проверяемой уже изготовленной конструкции.

14 ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий курс преследует в конечном итоге цель научить
будущего инженера, во-первых, правильно выбирать предпо-
предпосылки для расчета — расчетную схему конструкции, режимы ее
работы, характер и метод расчета, во-вторых, практически выпол-
выполнять расчет и, наконец, правильно оценивать его результаты
в смысле правильного понимания удельного веса всего выполнен-
выполненного расчета при решении вопроса о надежности и экономичности
конструкции. С самого начала, по-видимому, нужно учиться и
выполнять расчет и вместе с тем понимать, что далеко не всегда
он дает все необходимое для оценки глобальный надежности кон-
конструкции." Необходимо правильно понимать характер и значимость
остающихся неясностей, заставляющих порой прибегать не к чисто
расчетным методам проектирования. Всюду, где это было уместно,
подчеркивается сложность проблемы оценки степени надежности и
экономичности конструкции.'
Делается попытка воспитать в читателе правильное представле-
представление о роли расчета и в том смысле, что умение достаточно точно
рассчитывать конструкции не только позволяет гарантировать в той
или иной мере их надежность в каждом частном случае, но и позво-
позволяет инженеру создать правильное представление о характере ра-
работы конструкций и о путях их улучшения. То есть подчеркивается
идея, что умение рассчитывать и опыт расчетов питают творческую
фантазию инженера в поисках принципиально новых эффективных
решений, так как опыт расчета позволяет инженеру почувствовать,
как иногда говорят, «игру сил» в конструкции, т. е. картину измене-
изменения внутренних усилий в ней при изменении режима работы или
частичном изменении самой конструкции.
При написании курса учитывался известный факт, состоящий
в том, что умение рассчитывать конструкции, включая сюда и рас-
расчетную оценку надежности, — это условие необходимое, но далеко
не достаточное для успеха проектирования в целом. Уточнение
расчета, а иногда расчетная оптимизация конструкций часто не
могут привести к такому же существенному экономическому и техни-
техническому эффекту, как и получаемый вследствие предварительного,
до расчета, умелого, правильного выбора материалов, принципиаль-
принципиальных конструктивных решений и эффективных технологических
методов. Обоснованно решить все эти вопросы может специалист,
хорошо знающий материалы, конструкции, технологию и теорию их
расчета.
Последние два десятилетия ознаменовались возникновением и
развитием ряда новых важных направлений или аспектов науки, все
еще недостаточно отраженных в учебной литературе. Предпринята
попытка включить в курс некоторые из таких вопросов.
В настоящее время интенсивно развивается механика разруше-
разрушения. Существенной критике подвергаются основные концепции клас-
классических механических теории предельного состояния материала

ПРЕДИСЛОВИЕ 15
в локальной области и предлагаются иные подходы. Однако новых
теорий, обладающих такой же простотой, как классические теории,
и вместе с тем дающих, как последние, результаты, находящиеся
пусть не в функциональной, но хотя бы в корреляционной связи с по-
поведением конструкций в натуре, прослеживаемой на большом отрезке
времени, еще не имеется. Поэтому сочтено целесообразным подробно
изложить классические теории, но вместе с тем кратко пояснить
идеи новых направлений и вытекающую из них критику классиче-
классических теорий. По этому вопросу в курсе помещено и то, что одним
кажется историей, и то, что другим представляется делом будущего.
Обсуждаются особенности в развитии механики твердых дефор-
деформируемых тел, связанные с применением электронной вычислитель-
вычислительной техники.
Уделено внимание проектированию оптимальных систем, полу-
получившему развитие в особенности в последнее время, и расчету сис-
систем по предельным состояниям, расчету физически нелинейных сис-
систем, теории и практике моделирования.
Шире, чем обычно в общих курсах, освещены общие законы ме-
механики — вариационные принципы, энергетические теоремы и идеи
общих методов (глава XV), теория тонкостенных систем, динамика
(глава XVII) и теория устойчивости систем (глава XVIII), усталость
металлов (глава XIX). Дана по возможности современная трактовка
метод©в строительной механики стержневых систем и общая нели-
нелинейная теория тонких стержней.
В дополнении, а иногда и в соответствующих местах курса
в очень краткой форме дается некоторая информация, относящаяся
к используемому математическому аппарату. По-видимому, это об-
облегчит усвоение материала курса.
Для студентов, изучающих весь курс в объеме 70 часов лекций,
после предисловия приведена таблица, позволяющая им сделать вы-
выборку из I тома курса при желании ограничиться изучением лишь
обязательного материала. Этой же цели служит выделение в тексте
некоторых необязательных разделов курса петитом. Упомянутая
таблица составлена на основе многолетнего опыта, накопленного
автором при чтении соответствующего курса в Ленинградском ор-
ордена Ленина институте инженеров железнодорожного транспорта
им. акад. В. Н. Образцова.
В тех случаях, когда в учебном плане кроме сопротивления
материалов имеется в качестве отдельной дисциплины и теория упру-
упругости, на наш взгляд, целесообразно обе дисциплины (в течение
трех семестров) объединить в один курс и строить его [согласно
упомянутой таблице, в которую после главы VIII следует включить
главу IX.
Автор весьма признателен В. В. Новожилову за внимательное
отношение к данной работе. Неоднократные с ним беседы по многим
вопросам механики способствовали формированию курса.

16
ПРЕДИСЛОВИЕ
Глубокую благодарность автор приносит А. И. Лурье за
поддержку на разных этапах работы над курсом, а также рецен-
рецензенту книги Л. М. Качанову и научному редактору В. С. Калинину
за ряд ценных замечаний и советов, большую часть из которых
удалось учесть при подготовке окончательного текста книги.
Автор выражает признательность Ю. Б. Шулькину за написание
главы X настоящей книги.
Все замечания и пожелания по книге будут приняты с благо-
благодарностью.
Автор
Материал I тома, рекомендуемый в качестве обязательного
при 70 часах лекций, отводимых на весь курс
Главы
I
II
III
V
VI
VII
VIII г
1 1
2.1-
3.1
Примечание. Из
проработку
Параграфа
-1-1.6; 1.8 Ч^ 1.22
Ь2.12; 2.14-5-2.21;
2.23; 2.24
-5-3.12; 3.14; 3.16
5.1; 5.3-f-5.15;
5.16;
5.18
6.1-Ь 6.8
7.1 -f- 7.7
8.1-Ь 8.4; 8.12
Разделы (указаны лишь для тех
параграфов, в которых исполь-
используются не все разделы)
1 -Ь 7, 9
отмеченного в таблице материала иа самостоятельную
рекомендуется выносить §§ 2.12, 2.14, 2.15, 2:19.

Отдел первый
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Глава I
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.1. Задачи, цель и предмет курса
Все современные сооружения, конструкции, машины, приборы
строят или изготовляют по заранее составленным проектам. В про-
проекте указывают материалы элементов конструкций и деталей машин,
все их размеры, необходимые для изготовления, а также приводится
описание технологии. Таким образом, еще в процессе проектирова-
проектирования нужно уметь определять размеры элементов и деталей, вхо-
входящих в состав сооружений или машин. Разумеется, указанные раз-
размеры зависят от ряда условий и обстоятельств, в том числе от
свойств материала изделия и от предполагаемых на него воз-
воздействий.
Задачей науки о прочности и является создание теоретических
и экспериментальных основ для установления требуемых размеров
элементов и деталей, входящих в состав сооружений, конструкций
или машин. При этом должна быть обеспечена надежность эксплуа-
эксплуатации соответствующего объекта и экономичность конструкций,
в значительной мере определяемая расходом материала.
Надежность конструкции обеспечивается, если последняя сохра-
сохраняет прочность, жесткость и устойчивость при гарантированной
долговечности. Приведем предварительное определение этих слож-
сложных понятий. Позднее эти определения будут уточнены и даны
в более общей формулировке.
Конструкцию считают прочной, если в ней под влиянием внеш-
внешних сил не возникает разрушения, не происходит разделения еди-
единого целого на части. Если изменения формы и размеров конструк-
конструкции при действии на нее внешних сил невелики и не мешают ее
эксплуатации, то считается, что такая конструкция обладает необ-
необходимой жесткостью. Нагруженная конструкция пребывает в устой-
устойчивом состоянии, если, будучи отклоненной из этого состояния ка-
какими-либо причинами, не учитываемыми в расчете, она возвращается
в первоначальное состояние по устранят»» указанных птшин, ?

(8
ВВЕДЕНИЕ
Г ГЛ. I
противном случае состояние загруженной конструкции неустой-
неустойчивое.
Долговечность конструкции состоит в ее способнвсти сохранять
необходимые для эксплуатации свойства в течение заранее преду-
предусмотренного отрезка времени. Долговечностью называют и продол-
продолжительность надежной работы конструкции. Разумеется, обеспе-
обеспечить долговечность можно, лишь зная процессы, происходящие
в конструкции (в том числе в ее материале) во времени и в условиях,
в которых она работает.
79?Я
»»*»^^- у -^^ «У/'
о)
6)
Рис. 1.1. Различные формы проявления ненадежности конструкции;
а) исчерпание прочности; б) недостаточная жесткость; в) потеря ус-
устойчивости первоначальной формы равновесия.
На рис. 1.1 показаны примеры проявления различных форм
ненадежности конструкции. Требования надежности и экономично-
экономичности связаны с противоположными тенденциями. Желая сделать
. конструкцию более надежной, приходится назначать большие раз-
размеры поперечных сечений ее элементов. Стремление же сделать кон-
конструкцию как можно более экономичной заставляет уменьшать
размеры поперечных сечений. Наука о прочности позволяет уста-
установить степень удовлетворения требованиям как надежности, так
и экономичности.
Таким образом, основная задача науки о проч-
прочности состоит в разработке методов конст-
конструирования и расчета элементов всевоз-
всевозможных конструкций или деталей машин
на прочность, жесткость и устойчивость
при условии долговечности, одновременно
обеспечивающих их экономичность. Наука о
прочности имеет экспериментально-теоретический инженерный

$ 1.1] ЗАДАЧИ, ЦЕЛЬ И ПРЕДМЕТ КУРСА 19
характер. Она тесно связана с физикой твердого тела, раскрыва-
раскрывающей природу деформации и разрушения твердых тел; с матери-
материаловедением, исследующим технические свойства материалов, и
с испытаниями материалов, позволяющими экспериментально
изучать и оценивать количественно (теми или иными механиче-
механическими характеристиками) их свойства. Наряду с ч указанными
дисциплинами наука о прочности имеет органические связи и
с другими разделами физики и многими отраслями техники;
в ней широко используются результаты механики, большой и разно-
разнообразный математический аппарат. В науке о прочности рас-
рассматриваются материалы, применяемые в сооружениях, конст-
конструкциях, машинах, приборах, например: металлы, древесина,
бетоны, керметы, керамика, стекло, ситаллы, высокомолекулярные
соединения,.в том числе пластмассы, и т. п. Важнейшим свойством
этих материалов является их способность противостоять внешним
силам, сохраняя целостность и не испытывая больших измене-
изменений в размерах и форме, если конструкция спроектирована пра-
правильно.
Система понятий, принципов и методов, позволяющих теорети-
теоретическим путем решать указанную выше основную задачу науки о проч-
прочности, строится на базе общих законов механики.
Для решения основной сформулированной выше задачи одних
положений теоретической механики, рассматривающей абсолютно
твердые тела, недостаточно — приходится вводить новые понятия^
связанные со способностью реальных твердых тел под воздействием
внешних сил, пусть незначительно, но все же изменять свои размеры
и форму. Такими понятиями являются деформации и напряжения.
Определение их будет дано ниже.
Напряженно-деформированное состояние и надежность всевоз-
всевозможных изделий, форма которых удовлетворяет некоторым требова-
требованиям, составляет предмет сопротивления материалов как учеб-
учебной дисциплины..
Наука о прочности, или прикладная механика твердого дефор- '
мируемого тела, сложна и обширна. Поэтому изучение ее начина-
начинается с первого концентра, называемого сопротивлением материалов.
Результаты, получаемые в сопротивлении материалов, широко
используются во всех областях техники и прикладных дисциплинах,
в которых существенными являются надежность и экономичность
элементов конструкций.
Вместе с тем с самого начала следует иметь в виду, что резуль-
результаты, получаемые на основе прикладных технических теорий, рас-
рассматриваемых в сопротивлении материалов, являются приближен-
приближенными. Более точные решения могут быть найдены при помощи аппа- .
рата механики сплошных сред, например при помощи теории упру-
упругости. Некоторые же задачи вовсе не могут быть решены, и тогда
опять приходится использовать механику сплошных сред.

20 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
§ 1.2. Реальные твердые тела
и идеализированное тело сопротивления материалов 1).
Деформируемость, однородность, сплошность, изотропность
Твердые тела, встречающиеся в природе, обладают огромным
количеством свойств. На ранней ступени развития науки было
известно лишь небольшое их число. Наблюдение за тверды-
твердыми телами в новых условиях, при помощи современной совер-
совершенной аппаратуры, позволяет открывать все новые и новые
свойства.
В зависимости от поставленных перед данной наукой задач
представляются важными лишь некоторые свойства твердого
тела, остальные же оказываются несущественными. Например, при
исследовании прочности стекла его диэлектрические свойства не
имеют практически никакого значения.
Для простоты изучения реальное тело заменяют идеальным,
наделяя его лишь важнейшими в рассматриваемом случаесвоиствами.
Такой процесс называется абстрагированием; к нему вынуждены при-
прибегать при развитии многих наук. После введения идеализирован-
идеализированного тела, наделенного лишь важнейшими для рассматриваемого
круга проблем свойствами, производится построение теории. Досто-
Достоверность последней зависит, в частности, от того, насколько удачно
идеализация сохраняет основные, существенные в данном слу-
случае свойства реального объекта. Судить об этом можно, со-
сопоставляя результаты, полученные теоретически на основе идеа-
идеализированной модели, с результатами соответствующего экспери-
эксперимента.
В теоретической механике идеализированной схемой реального
твердого тела является абсолютно твердое тело, т. е. такое, в ко-
котором при любых обстоятельствах расстояния между любыми точ-
точками не меняются — не изменяются ни размеры, ни форма тела.
Используется определенное идеализированное тело и в сопротивле-
сопротивлении материалов. В настоящем параграфе отмечаются лишь некото-
некоторые свойства этой модели. К числу их относятся: деформируемость,
однородность, сплошность, изотропность.
Свойство деформируемости присуще всем реальным телам. Это
свойство принципиально важно при решении проблем сопротивления
материалов; отмеченное станет ясно из дальнейшего изложения
(см. в частности, §§ 1.6, 1.7, 1.20, 1.21). Об этом свидетельствует
и необходимость удовлетворения конструкциями условию доста-
достаточной жесткости.
Материалы, используемые в сооружениях и машинах, обладают
значительной жесткостью (малой деформируемостью). Малая де-
деформируемость материала конструкции еще не свидетельствует о
х) Здесь, говоря о теле, мы имеем в виду его вещество.

f 1.2] ИДЕАЛИЗИРОВАННОЕ ТЕЛО СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 21
большой жесткости всей конструкции в целом. Об этом говорится
в § 1.20.
Если в окрестности любой точки тела, при изучении любого по
величине элемента свойства тела оказываются одинаковыми, то
оно считается однородным.
Все реальные тела неоднородны. В одних случаях это оче-
очевидно, например, в бетоне отчетливо различимы включения крупно-
крупного заполнителя и цементный камень, связывающий его куски; в не-
некоторых видах горных пород легко обнаруживаются отдельные
компоненты — минералы, образующие породу, например, в граните:
полевой шпат, кварцу слюда. В других случаях для выявления не-
неоднородности приходится прибегать к микроскопу, при помощи
которого видна, например, неоднородная кристаллоидная (зерни-
(зернистая) структура стали или других сплавов. Экспериментально до-
доказано неоднородное, дискретное строение материи. Все реальные,
в том числе твердые, тела образованы из отдельных частиц —
молекул, состоящих из атомов, которые имеют сложную структуру.
Атом состоит из ядра и электронной оболочки. В свою очередь
структура ядра атома также сложна, и нет предела для дальней-
дальнейшего познания неоднородности материи.' Вместе с тем все перечис-
перечисленные тела, начиная от стали и кончая бетоном, в некотором
смысле и при некоторых условиях, ограничивающих общность,
можно рассматривать как однородные. Речь идет об однородности
в среднем, обнаруживаемой в том случае, когда объем рассматривае-
рассматриваемого элемента тела намного превосходит объем структурных еди-
единиц, его составляющих.
Так, например, бетонный куб с ребрами, равными 20 см, можно
считать обладающим осредненными свойствами составляющих его
частей. При этом такие кубы, выделенные в различных местах
конструкции, обладают практически одинаковыми свойствами. Если
же выделить из бетона кубики с ребрами в один сантиметр в раз-
различных местах тела, то может случиться, что один из них придется
на камень крупного заполнителя, а другой — на цементный камень,
и, таким образом, свойства этих кубиков окажутся резко различ-
различными. В стали размер элемента, в пределах которого осредняются
свойства зерен, может быть очень мал A мм3 и даже меньше).
Под сплошностью тела понимают заполненность материалом
всего объема, ограниченного его поверхностью.
Однородность и сплошность тела позволяют применять методы
анализа бесконечно малых, а это весьма упрощает построение теории
сопротивления материалов. Однако нужно отчетливо представлять,
что результаты, получаемые в сопротивлении материалов, основан-
основанном на модели однородного сплошного тела, применимы лишь
к элементам конструкций или их частям, имеющим размеры, в пре-
пределах которых материал можно считать в среднем однородным
(квазиоднородным).

22 ВВЕДЕНИЕ ГГЛ. I
Одинаковость свойств материала во всех направлениях, про-
проходящих через точку тела, называется изотропностью. Реальные
тела изотропны в среднем, (квазиизотропны). Некоторые тела не
обладают изотропностью вовсе и являются анизотропными (дре-
(древесина).
§ 1.3. Внешние силы. Классификация
Все внешние силы, действующие на изучаемое тело (изделие)
следует рассматривать как проявление взаимодействия его с окру-
окружающими телами. Внешние силы могут быть классифицированы по
нескольким признакам. Одним из наиболее существенных признаков
является место расположения точек приложе-
приложения сил к телу. По этому признаку все силы разделяют на
объемные и поверхностные.
Объемные силы непрерывно распределены по всему объему, за-
занятому телом. К числу таких относятся силы веса, инерции, магнит-
магнитные; все они являются результатом взаимодействия тел, не обяза-
обязательно соприкасающихся друг с другом. Интенсивность объемной
силы имеет размерность (PL).
Поверхностные силы приложены к поверхности тела; они могут
быть следствием воздействия на последнее другого соприкасающе-
соприкасающегося с ним тела, твердого, жидкого или газообразного (рис. 1.2).
Интенсивность поверхностной силы имеет размерность (PL~2).
Соприкасание тел всегда происходит не в точке, а по некоторой
площядке, хотя бы очень малой величины, вследствие того, что
тела деформируются и особенно сильно вблизи первоначальной
точки контакта. Поэтому сосредоточенных сил в природе не суще-
существует и все поверхностные нагрузки являются распределенными.
Однако в тех случаях, когда площадка, на которой действует на-
„rpysi<a, очень мала по сравнению с размерами тела, будем гово-
говорить о сосредоточенной силе, как о равнодействующей сил, рас-
распределенных по указанной площадке. В теоретической же механике,
если учесть принятую в'ней абсолютную жесткость тела, понятие
сосредоточенной силы является строгим. Иногда два тела сопри-
соприкасаются друг с другом по очень узкой площадке. Так, например,
соприкасаются два тела: цилиндрическое и, нмеюЩее плоскую грань
или два цилиндрических тела при параллельном расположении осей
цилиндров. В этом случае допустимо считать, что поверхностная
нагрузка действует по линии или, как говорят, распределена вдоль
линии.
Интенсивность силы, распределенной по линии, имеет размер-
размерность (PL).
Пусть имеем некоторое тело (рис. 1.3, с); рассмотрим элементар-
элементарную площадку AF его поверхности; внешнюю нормаль к поверх-
поверхности в центре выделенной площадки обозначим символом v, а по-

1.3]
ВНЕШНИЕ СИЛЫ. КЛАССИФИКАЦИЯ
?3
У//////////////////,
а) -
Рис. 1.2. Примеры поверхностных- сил! а) поверхностные силы в опорной части мосто-
мостового пролетного строения; / — пролетное строение, 2 — верхний баланснр, 3 — вкла-
вкладыш цилиндрического шарнира, 4 — нижний балаисир, б — катки, в — опора (бык,
устой); б) поверхностные силы, действующие на устой моста; е) поверхностные силы,
действующие на внутреннюю поверхность автоклава.

24
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
верхностную нагрузку, действующую на эту площадку, — символом
APV. Направление этой силы составляет в общем случае какой-то
угол с нормалью v. Средняя интенсивность поверхностной силы
выражается формулой
_ apv
Pv.cp — "дуг-
Если устремить размер площадки AF к нулю, то в пределе получим
действительную интенсивность распределенной нагрузки в точке
поверхности с нормалью v:
pv= lim 4^- A.1)
Свяжем с телом прямоугольную систему координатных осей
хуг. Интенсивность поверхностной нагрузки pv можно разложить
А
'—<
/
л/
Рис. 1.3. Интенсивность поверхностной распределенной нагрузки; а) к определению
средней интенсивности; б) составляющие действительной интенсивности поверхностной
распределенной нагрузки.
на составляющие pvx, pvy, pvz по осям х, у, г. Будем считать эти ве-
величины Положительными, если они направлены в сторону положи-
положительных значений на соответствующих (параллельных им) осях.
Выделим из тела объемный элемент AV. На него действует не-
некоторая- элементарная объемная сила АР. Среднюю интенсивность
объемной силы находим по формуле
АР
Р
При устремлении величины объема AV к нулю получаем действи-
действительную интенсивность объемной силы в точке тела:
p= lim
ДУ -И
ДР
Интенсивность р можно разложить по осям х, у, г на составляющие:
X, Y, Z. Будем считать их положительными, если они направлены
в сторону положительных значений на параллельных им осях.

$ 1.3} ВНЕШНИЕ СИЛЫ. КЛАССИФИКАЦИЯ 25
Сосредоточенную силу, приложенную к точке тела, обозначим
символом Р. Ее составляющие в системе осей хуг суть Рх, Ру, Pz;
считаем их положительными, если они направлены в сторону поло-
положительных значений на параллельных им осях.
Внешние силы могут быть классифицированы и по другому при-
признаку— по характеру изменения силы в процессе ее
приложения. Если сила изменяется очень медленно и
возникающие в процессе приложения силы ускорения точек тела
очень малы, а следовательно, малы и соответствующие им силы
инерции (намного меньше других сил), то ими можно пренебречь и
считать, что нагрузка прикладывается статически. Примером яв-
является приложение снеговой нагрузки к крыше здания. Другим
примером может служить приложение веса кирпичной стены к фун-
фундаменту в процессе постепенного ее возведения. Если же ускорения
точек тела таковы, что соответствующие им силы инерции не малы
по сравнению с остальными, то такое действие называется дина-
динамическим. Если ускорения, возникающие в процессе приложения
внешней силы, могут быть определены, то можно считать известными
и соответствующие им силы инерции. Примером такого случая
является подъем кабины лифта. В тех случаях, когда конечное
изменение внешней силы и конечное изменение скорости тела,
передающего силу, происходит в очень короткий промежуток вре-
времени, динамическая нагрузка- называется ударной. Обычно про-
продолжительность удара неизвестна, неизвестными оказываются и
ускорения. Силы инерции в этом случае можно определить косвенно
из энергетических соображений, не выражая их явно через ускоре-
ускорения. Примером ударной является нагрузка, передаваемая молотом
на сваю в процессе ее забивки.
Встречаются динамические нагрузки, характеризующиеся пе-
периодическим изменением величины силы во времени, в частности —
по гармоническому закону. Под влиянием переменной силы могут
возникнуть колебания (вибрация) тела.
Внешние силы классифицируют и по признаку продолжи-
продолжительности их воздействия на конструкцию.
Нагрузка, действующая на конструкцию непрерывно, называется
постоянной (например, собственный вес конструкции); если нагрузка
действует лишь в некоторые отрезки времени (например, поезд на
мостовое пролетное строение), то такая нагрузка называется вре-
временной. Для воспринятия временной нагрузки и создается мост,
поэтому такую нагрузку иначе называют полезной. Наконец, наряду
с регулярными видами (постоянная, временная), нагрузка может
быть и случайной (например, сейсмические силы, действующие на
конструкцию во время землетрясения).
При рассмотрении реальных внешних сил, как и при рассмотре-
рассмотрении реального тела, приходится прибегать к некоторой схематизации.
Нагрузку, приложенную к очень маленькой площадке «ли к очень

26 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
малому объему (соответственно намного меньше поверхности и
объема тела), заменяют сосредоточенной силей. Нагрузку* изме-
изменяющуюся настолько медленно, что в процессе ее приложения воз-
возникают небольшие силы инерции (намного меньше остальных сил),
рассматривают как статическую, при которой якобы вовсе не возни-
возникает сил инерции. Можно указать и на другие примеры схематиза-
схематизации внешних сил, действующих на тело (см. например, §§ 1.7, 1.12).
§ 1.4. Реальная конструкция и ее расчетная схема
• Реальные сооружения, конструкции и машины характеризуются,
как правило, большой сложностью конструктивных форм (рис. 1.4).
Производить расчет конструкций с учетом всех их конструктив-
конструктивных особенностей было бы весьма сложно, а в некоторых случаях,
исходя из современного уровня развития науки, даже невозможно.
Вместе с тем нет никакой необходимости учитывать все особенности
конструкции, так как они часто оказывают несущественное влияние
на работу сооружения. Поэтому при расчете реальной конструкции
ее всегда заменяют идеализированной упрощенной системой—- так
называемой расчетной схемой, выбор которой является первым
и исключительно ответственным этапом расчета.
От этого выбора зависят иточность и трудоемк ос т ь
его. Иногда излишнее даже небольшое уточнение расчетной схемы
влечет за собой существенное усложнение расчета. Напротив, из-за
недостаточно обоснованного упрощения расчетной схемы в расчете
может быть допущена существенная непозволительная ошибка.
Расчетная схема должна удачно отражать
основной характер работы реальной кон-
конструкции, устраняя несущественные, втрро-
степенныефакторы.
Коснемся лишь трех элементов расчетной схемы. К числу их
относятся: элементы конструкции, способы соединения этих эле-
элементов и опорные части, при помощи которых конструкция при-
прикрепляется неподвижно к опорам или к другой конструкции.
Рассматривая мостовое пролетное строение (рис. 1.4, с) легко
увидеть, что конструкция каждого из элементов сложна: в них
имеются ветви, планки, соединительные решетки, диафрагмы, сты-
стыковые накладки, прокладки и т. п. детали. Естественное упрощение
состоит в представлении каждого элемента фермы в виде призмати-
призматического бруса — стержня, без учета всех местных особенностей
реальной конструкции.
Аналогично ряд стержней с прямолинейной или криволинейной
осями можно выделить в качестве расчетной схемы элементов и дру-
других конструкций. Например, в случае фюзеляжа (рис. 1.4, б) и крыла
самолета или корпуса корабля (рнс. 1.4, г) такой расчетной схе-
схемой могут выть представлены все элементы набора — шпангоуты.

§ 1.4] РЕАЛЬНАЯ КОНСТРУКЦИЯ И ЕЕ РАСЧЕТНАЯ СХЕМА 27
12
13
д)
Рис. 1.4. Примеры стержневых конструкций." а) мостовое пролетное строение со сквоэ
ными фермами; / — распорка продольных связей, 2 — диагональ продольных связей
» — промежуточные поперечные связи, 4 — верхний пояс фермы, 5 — опорный раскос,
6 — стойка, 7 — продольные связи продольных балок, 8 — подвеска, 9 — поперечная
балка, 10 — раскос. // — продольная балка, 12 — нижний пояс фермы, 13— иижиие
связи; 6) отсек фюзеляжа самолета; в) рамиый купол; г) отсек корпуса корабля; д) арочное
мостовое пролетное строение; е) пролетное строение моста комбинированной системы
(системы К- Г. Протасова (ЛИИЖТ), ферма с очень жестким нижним поясом).

23 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
стрингеры, бимсы, лонжероны и др. х). Стержень является эле-
элементом расчетных схем и таких конструкций, как рамные купола
(рис. 1.4, в), пролетные строения мостов разных систем — балоч-
балочной со сквозными фермами (рис. 1.4, а), арочной (рис. 1.4, д) и т. д.
Стержень можно трактовать как тело, образованное движением
плоской фигуры, центр тяжести которой скользит по кривой,
в общем случае пространственной. При этом, во-первых, плоскость
фигуры все время остается нормальной к указанной кривой, а во-
вторых, габаритные размеры фигуры намного меньше пути, совер-
совершаемого центром ее тяжести. В таком случае упомянутая кривая
называется осью стержня, фигура, образовавшая его, — попереч-
поперечным сечением, а само образованное движением фигуры тело — стерж-
стержнем постоянного сечения. В частности, такой стержень может быть
призматическим (рис. 1.5, а), если линия, по которой скользит
центр тяжести фигуры, — прямая, а сама фигура в процессе движе-
движения не поворачивается. Если линия прямая, но фигура, скользя
по ней своим центром тяжести, поворачивается, то получается стер-
стержень с так называемой естественной круткой (слово естествен-
естественная подчеркивает, что обсуждаемая форма тела имеет место до
деформации) (рис. 1.5, б). На рис. 1.5, в, г изображены стержни
с криволинейными осями —* плоской и пространственной соответ-
соответственно.
Можно представить себе и такую картину образования стержня,
при которой в процессе отмеченного выше движения плоской фи-
фигуры форма и размеры ее изменяются, но так, что центр тяжести
остается все время на кривой, по которой скользит. В таком случае
имеем стержень переменного сечения.
Итак, существенной особенностью стержня является малость
двух характерных размеров его по сравнению с третьим — малость
поперечных размеров по сравнению с длиной; осью стержня назы-
называют геометрическое место центров тяжести поперечных сечений.
Широко распространены и такие элементы конструкций, размеры
которых в двух направлениях намного больше размера в третьем
направлении. Геометрическое место точек, равноудаленных от на-
наружных поверхностей таких элементов, называется срединной по-
поверхностью. Если срединная поверхность плоская, элемент назы-
называют пластиной (рис. 1.5, д); если же криволинейная, то оболочкой
(рис. 1.5, ё). Наименьший из трех характерных размеров распола-
располагается в направлении нормали к срединной поверхности.
Так, например, опуская местные конструктивные особенности —
вырезы, накладки и т. п., тонкостенную часть конструкции фюзе-
фюзеляжа самолета или корпуса корабля можно представить расчет-
расчетной схемой в виде пластин (см. рис. 1.6, а, б).
') В расчетную схему фюзеляжа, кроме элементов в виде стержней, входят
и элементы типа пластин.

$ 1-4]
РЕАЛЬНАЯ КОНСТРУКЦИЯ И ЕЕ РАСЧЕТНАЯ СХЕМА
29
Значительное превалирование одного характерного размера над
двумя другими — в брусьях (стержнях) — или малость одного раз-
размера ро сравнению с двумя другими — в пластинах и оболочках —
*)
Рис. 1.Б. Элементы конструкций: а) призматические стержни; б) непрнзматнческие
стержни с прямолинейной осью (правый стержень естественно закрученный — типа
лопатки турбины); в) криволинейные стержни о плоской криволинейной осью (крюк,
звено цепи, рым); г) криволииейиый стержень с пространственной осью (пружина); а) пла-
стниы; е) оболочки.
позволяет существенно упростить анализ состояния таких элемен-
элементов. Это упрощение получается в большей мере при рассмотрении
стержней, чем пластин или оболочек.
Второй стороной расчетной схемы является упрощенное пред-
представление характера соединения элементов между собой.
Обычно в конструктивном смысле стержни соединяются между
собой упруго-податливо (рис. 1.7, а, б); однако в различных

30
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Рис. 1.6. Расчетные схемы конструкций: а) расчетная схема отсека фюзеляжа самолета;
' б) расчетная ехеиа отсека корпуса корабля.
7,
I/
s)
vm.
Рис. 1.7. К выбору расчетных схем; а) П-обраэная двухшариириая железобетонная рама;
б) плоская ферма; в) работа рамы на горизонтальную снлу; г) работа фермы на горизон-
горизонтальную силу; 9) расчетная схема рамы; е) расчетная схема фермы.

§ 1.4] РЕАЛЬНАЯ КОНСТРУКЦИЯ И ЕЕ РАСЧЕТНАЯ СХЕМА 3f
случаях это соединение в расчетной схеме трактуется по-разному.
С целью пояснения идеи подхода к схематизации покажем характер
деформаций систем, изображенных на рис. 1.7, а, б, при воздей-
воздействии на них горизонтальной силы (рис. 1.7, в, г). Легко понять,
что сопротивляемость системы горизонтальному смещению узлов
в случае, изображенном на рис. 1.7, в, обусловлена сопротивляе-
сопротивляемостью элементов — стоек и ригеля — изгибу, которая мыс-
мыслима лишь при окестком соединении стоек с горизонтальным эле-
элементом — ригелем. Именно такое соединение и принимается в рас-
расчетной схеме, показанной на рис. 1.7, д-. В случае же, изображенном
на рис. 1.7, г, сопротивляемость системы горизонтальному смещению
узлов обусловлена и сопротивляемостью стоек изгибу и сопротив-
сопротивляемостью наклонного элемента — раскоса — растяжению. При этом
именно наличие в конструкции раскоса в основном определяет собой
жесткость ее в отношении горизонтального смещения верхних
углов; влияние же жесткости соединения стержней в узле оказы-
оказывается гораздо менее ощутимым. В связи с этим и изгиб стоек полу-
получается несопоставимо меньшим, чем в случае, показанном на рис. 1.7, в.
Если в соединении стержней такой конструкции поместить кон-
конструктивные шарниры, то характер работы ее почти не изменится.
Поэтому система, изображенная на рис. 1.7, б, может быть представ-
представлена расчетной схемой, в которой пренебрегается работой стержней
на изгиб и учитывается лишь осевая деформация стержней. В такой,
расчетной схеме все стержни по концам соединены шарнирами
(рис. 1.7, д). Так как рассматриваемая система плоская1), эти шар-
шарниры цилиндрические. В пространственных системах в аналогичных
случаях шарниры шаровые. Рис. 1.7,5 и 1.7, е показывает типич-
типичные случаи соединения стержней в расчетных схемах. В первом
случае система называется рамой, а во втором — фермой.
Остается рассмотреть еще один вопрос — представление в рас-
расчетной схеме опорных устройств. В табл. 1.1 показаны некоторые
типичные опорные устройства, называемые опорными частями;
отмечено, какие степени свободы устранены ими, в предпо-
предположении как пространственной, так и плоской работы конструкции;
какие степени свободы сохранены и, наконец, показана расчетная
схема соответствующей опорной части, составленная в предполо-
предположениях пространственной и плоской работы конструкции. Ликвида-
Ликвидация некоторых степеней свободы, осуществляемая опорными уст-
устройствами, в расчетной схеме представляется наложением соответ-
соответствующего числа кинематических связей. Каждая связь в идеали-
идеализированном виде представлена при помощи стержня с шарнирами
х) Плоской называют систему, оси всех стержней которой находятся в одной
плоскости, являющейся плоскостью симметрии системы; при этом имеется в виду,
что в ней же располагаются все внешние силы, действующие на систему. В такой
случае н после деформации система остается плоской (возможность потери устой-
устойчивости плоской формы здесь не принимается во внимание).

32
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Вид и название опорной части
Степени свободы, ликвидированные опорной частью
при пространствеиной
работе конструкции
при плоской работе
конструкции
Сферический каток
Ук
Перемещение вдоль у
Сферический
(шаровой) шарнир
Перемещение вдоль х,
» У.
. > z
Цилиндрическая шарнирная
подвижная опора
Перемещение вдоль дг,
> » У.
поворот относительно г,
» » X
Перемещение вдоль х

$ 1.4] РЕАЛЬНАЯ КОНСТРУКЦИЯ И ЕЕ РАСЧЕТНАЯ СХЕМА 33
Таблица 1Л
Сохранившиеся степени свободы
Расчетная схема опорной части
при пространствен-
пространственной работе
коиструкнии
при плоской
работе
конструкции
при пространственно]!
работе конструкции
при плоской работе
конструкции
Перемещение
вдоль х,
перемещение
вдоль г,_
поворот относи-
относительно дс,
поворот относи-
относительно у,
поворот относи-
относительно г
Поворот относи-
относительно х,
поворот относи-
относительно у,
поворот, относи-
относительно г
Перемещение
вдоль г,
поворот относи-
относительно у
Перемещение
вдоль г,
поворот отно-
относительно у
А. П. Филин

34
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ.'I
Вид и название опорной части
Степени свободы, ликвидированные опорной частью
при пространственной
. работе конструкции
при плоской работе
конструкции
Цилиндрическая шарнирная
неподвижная опора
Перемещение вдоль х,
» > У,
> >" г,
поворот относительно у,
» > г
Перемещение вдоль у,
Жесткая заделка
Перемещение вдоль х,
» > У,
» » г,
поворот относительно х,
> > У.
> > . г
Перемещение вдоль г,
» ' » У.
поворот относительно
х
на обоих концах. Одним концом связь прикрепляется к телу (кон-
(конструкции), другим — к опоре (земля или другая конструкция). При
этом шарнир на конце стержня шаровой, если конструкция работает
пространственно, и цилиндрический,' если — как плоская система
(ось цилиндра перпендикулярна плоскости конструкции).
§ 1.5. Виды деформации прямолинейного стержня
В зависимости от характера нагрузки, приложенной к стержню,
имеются в виду как активные, так и реактивные силы, стержень под-
подвергается той или иной деформации. Любую деформацию стержня,
ггри определенных ограничениях (§ 1.22), можно представить в виде
сочетания некоторых элементарных видов деформации; к числу таких

$ 1.5] ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ 35
Таблица 1.1 (Окончание)
Сохранявшиеся степени свободы
Расчетная схема опорной части
при пространствен-
пространственной работе
конструкции
при плоской
работе
конструкции
прн пространственной
работе конструкции
при плоской работе
конструкции
Поворот относи-
относительно X
Поворот
относительно х
ЯжЯ
л.
относятся: осевая деформация {растяжение или сжатие), кручение,
изгиб (рис. 1.8).
1. Растяжение (рис. 1.8, а) или сжатие (рис. 1.8, в) стержня
возникает в случае приложения сил, направленных вдоль его оси.
Одним из многочисленных примеров растягиваемого стержня может
быть подвеска в висячем мостовом пролетном строении (рис. 1.8, б).
Примером сжатого стержня может служить колонна здания (рис. 1.8, г).
Говоря здесь о сжатии стержня, будем иметь а виду, что отношение
длины к поперечному размеру в нем не больше такого, при котором,
подвергаясь сжатию, стержень не способен сохранять устойчивость
своей прямолинейной формы.
2. Кручение стержня возникает в случае, если к нему прило-
приложены моменты, плоскость действия которых перпендикулярна оси

36
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ Г
{рис. 1.8, д). Примером скручиваемого стержня может служить вал
в той или иной машине (рис. 1.8, е).
3. Изгиб стержня (поперечный) возникает при действии на него
сил (сосредоточенных и (или) распределенных), перпендикулярных
к
т
ж)
*)
(Г- -Т)
Сне. 1.8. Виды деформации и примеры из практики: а) растяжение стержня; б) растяну-
растянутая подвеска мостового пролетного строения висячей системы; в) сжатие стержня;
г) сжатая колонна; д) кручение стержня круглого поперечного сечення; е) скручиваемый
вал, / — ведущее зубчатое колесо, 2 — ведомое зубчатое колесо; ж) поперечный изгиб
балки; з) чистый изгиб бзлки; и) чистый сдвиг прямоугольного параллелепипеда.
оси*), и (или) моментов, плоскость действия которых проходит
через ось или параллельна ей. Изгибаемый стержень часто называют
балкой (рис. 1.8, ж).
В сопротивлении материалов изучается и деформация общего
вида, являющаяся комбинацией указанных элементарных видов
деформации.
§ 1.6. Различие взглядов на внешние силы
в теоретической механике и в сопротивлении материалов
Из теоретической механики известно, что любую систему сил,
приложенных к абсолютно твердому телу, можно заменить другой
системой, статически эквивалентной первой, без изменения харак-
характера движения (в частности, равновесия) тела. Отсюда следует, что
1) В главе XII, посвященной изгибу, будут более точно указаны условия его
возникновения. Приведенные здесь условия возникновения изгиба без одновре-
одновременного кручения справедливы для балки, поперечное сечеиие которой имеет две
оси симметрии. Изгиб обычно сопровождается н сдвигом, различным у разных
элементов балки. Исключение составляет изгиб стержня моментами, приложен-
приложенными к его концам. В этом случае сдвига нет, а изгиб называется чистым (рис. 1.8, з).
Чистым сдвигом называется деформация, которую испытывает прямоугольный
параллелепипед, по четырем граням которого, перпендикулярным одной и той же
плоскости, действуют касательные силы, равномерно распределенные по граням,
имеющие одинаковую интенсивность и направленные так, как это показано на
рис. 1.8, и.

1.0]
РАЗЛИЧИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ВНЕШНИЕ СИЛЫ
37
для абсолютно твердого тела точка приложения силы не является
характерным ее элементом — силу можно переносить вдоль линии
ее действия.
В сопротивлении материалов, рассматривающем деформируемые
тела, заменять одну систему сил другой, статически ей эквива-
эквивалентной, как правило, нельзя1). Для наглядности приведем примеры
r \р
Рис. 1.9« Пример иедопустимой^замены
содействующих на деформируемые стерж-
нщ а) н о) — два неэквивалентных случая
изгиба балки при статически эквивалент-
ных внешних силах.
Рис. 1.10. Примеры недопустимого перено-
са снл и моментов: а) три неэквивалентны*
случая воздействия сил, растягивающих
стержень; б) два неэквивалентных случая
воздействия моментов, изгибающих балку
Балка, подвергнутая воздействию трех сил, и та же балка, за-
загруженная одной силой, представляющей собой равнодействующую
указанных выше трех сил, изгибаются по-разному (рис. 1.9). Стер-
Стержень, подвергнутый воздействию двух равных и противоположно
направленных сил, в зависимости от того, где расположены точки
их приложения, может быть весь растянут, растянутой может быть
какая-либо его часть, и, наконец, может быть полное отсутствие
растяжения. С точки зрения теоретической механики все три слу-
случая, изображенные на рис. 1.10, а, совершенно идентичны. При
учете же деформируемости тела, осуществляемом в сопротивле-
сопротивлении материалов, разница между тремя указанными случаями
х) Те немногочисленные случаи, в которых и в сопротивлении материалов,
т. е. и применительно к деформируемому телу, допускается замена одной системы
сил другой, статически ей эквивалентной, будут отмечены специально (§§ 1.11,
1.12). С одним из таких случаев мы уже столкнулись выше, когда говорили о воз-
возможности замены распределенной нагрузки, действующей на очень небольшой
участок поверхности тела, сосредоточенной силой, представляющей собой равно-
равнодействующую этой нагрузки.

38
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
I
itmiimtmmttftmtmi
принципиальная. При рассмотрении абсолютно твердого тела
в теоретической механике пару сил можно переносить в ее пло-
плоскости или в плоскость, параллельную последней, не нарушая со-
состояния тела. Применительно к деформируемым телам такое пере-
перенесение недопустимо.
В теоретической механике силу, распределенную по объему,
можно заменить сосредоточенной равнодействующей силой, в част-
частности, так можно представлять вес тела. В сопротивлении материа-
материалов, где учитывается деформируемость тела, этого делать нельзя.
§ 1.7. О зависимости внешних сил, приложенных к телу,
от его деформации
В ряде случаев внешние силы, действующие на тело и вызываю-
вызывающие его деформацию, в свою очередь зависят от этой деформации.
То есть имеет место обратная связь. Покажем это на примере.
. Рассмотрим достаточно гибкий поддерживаемый жидкостью
брус, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Распре-
деление сил собственного веса
вдольоси бруса равномерное. Пусть
по концам бруса к нему приложе-
приложены две вертикальные силы, одина-
одинаковые по величине и равномерно
распределенные на некоторых уча-
участках вдоль оси (рис. 1.11, а). Если
бы брус был недеформируемым,
то силы поддержания, действую-
действующие на него со стороны жидкости,
были бы распределены равномер-
равномерно. На рис. 11.1, а показан брус
и все действующие на него силы при
условии его недеформируемости.
На рис. 1.11,6 изображена ре-
результирующая эпюра поперечных
нагрузок, отнесенных к оси бру-
бруса. Если же учесть деформацию
бруса (рис. 1.11, в), то силы под-
поддержания не будут равномерно рас-
распределенными; их интенсивность окажется наибольшей у концов
и наименьшей посредине длины бруса (рис. 1.11, в). Итак, обнару-
обнаружено, что внешние силы (силы поддержания) зависят от деформации
бруса. Описанное явление оказывается ощутимым при рассмотре-
рассмотрении работы достаточно гибких корпусов речных Судов. Аналогичная
картина наблюдается и в самолетных конструкциях: аэродинами-
аэродинамические силы, действующие на крыло самолета, зависят от деформации
крыла — подъемная сила и сила сопротивления, действующие на
Р
Рис. 1.11. Влияние деформации тела на
внешние силы, деформирующие его:
а) плавающий брус н силы, действую-
действующие на него в случае, если брус беско-
бесконечно (или очень) жесток; б) результи-
результирующая эпюра вертикальных внешних
поперечных сил, соответствующих слу-
случаю а); в) деформация плавающего бру-
бруса и ее влияние на распределение сил
поддержания.

§ 1.9] МЕТОД СЕЧЕНИЙ. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИИ 39
крыло, зависят от угла атаки, который в связи с кручением крыла
в свою .очередь, зависит от указанных сил.
Влияние деформации тела на величину и распределение внешних
сил, действующих на него, в подавляющем большинстве случаев
количественно невелико и им можно пренебречь.
. В дальнейшем, как правило, будем считать, что внешние силы
не зависят от деформации конструкций. В тех редких случаях, в ко-
которых внешние силы зависят от деформации тела, будет сделана
специальная оговорка.
§ 1.8. Принцип отвердения
Деформируемое тело можно рассматривать как некоторую изме-
изменяемую^ систему материальных точек. Из теоретической механики
известен так называемый принцип отвердения, состоящий в том,
что р а в н о~в есие изменяемой системы не нару-
нарушается, если пред по лож ить, что система
стала абсолютно твердым телом. Такая замена
эквивалентна наложению дополнительных связей, которое, есте-
естественно, не может нарушить равновесия тела.
Если говорить строго, то, составляя уравнения статики для
деформируемых систем, необходимо использовать принцип отвер-
отвердения применительно к системе, уже испытавшей деформацию. Од-
. нако очень часто учет деформации системы при составлении уравне-
уравнений равновесия не приводит к ощутимому уточнению. Поэтому
в подавляющем большинстве случаев уравнения статики для дефор-
деформируемой системы составляются так, как если бы система вовсе не
испытывала,деформаций. Это называется расчетом по недеформи-
рованной схеме.'
В тех случаях, в которых при составлении уравнений равно-
равновесия принцип отвердения приходится применять к системе, уже
испытавшей деформацию, будет сделана специальная оговорка.
Такой расчет называется расчетом по деформированной схеме
(см. §1.20).
§ 1.9. Метод сечений. Понятие о напряжении
Из теоретической механики известна так называемая аксиома
связей, состоящая в том, что вместо связей, закрепляющих тело
в пространстве, можно рассматривать реактивные силы, равные
усилиям в этих связях. От такой замены равновесие тела не нару-
нарушается (рис. 1.12). Для деформируемого тела, рассматриваемого
в сопротивлении материалов, можно ввести понятие внутренних
связей, т. е- связей, которые соединяют части тела, обеспечивая его
целостность. Применяя указанную аксиому, можно внутренние
связи, лежащие на мысленной границе между двумя частями тела,

40
ВВЕДЕНИЕ
ГП. I
заменить соответствующими им усилиями, или, иначе, внутренними
силами. Внутренние силы, возникающие в процессе приложения
к телу нагрузки, следует рассматривать как дополнительные силы
взаимодействия между частицами тела, появляющиеся вследствие
изменения расстояний между ними, т. е. вследствие деформации
тела. Приняв гипотезы об однородности и сплошности тела, мы тем
самым отказываемся от индивидуального рассмотрения изменения
сил взаимодействия каждой частицы тела со всеми ее окружающими.
Достаточно рассматривать среднюю величину изменений в силах
взаимодействия частиц, находящихся по разные стороны от элемен-
элементарной площадки в плоскости границы между двумя областями тела.
«) ¦
6)
Рис. 1.12. Эквивалентность
воздействия на тело связей и
сил, нх заменяющих: а) бал-
балка' иа двух опорах; б) балка,
в которой опоры заменены
их реакциями.
Рис. 1.13. Метод сечений; а) загруженное тело,
мысленно рассеченное на две части; б) одна из ча-
частей тела, действие иа которую другой части замене»
но внутренними силами.
Проводя через тело, подвергнутое воздействию сил и находящееся
в состоянии равновесия, воображаемое сечение, которое разделяет
его на две части (рис. 1.13, а), мы тем самым мысленно отбрасываем
все внутренние связи, соединяющие указанные части тела в единое
целое. Пользуясь аксиомой связей, можем отделить мысленно одну
часть тела от другой и взамен исключенных при этом связей к каж-
каждой из частей тела приложить на всей плоскости мысленного сече-
сечения силы, равные усилиям в исключенных связях. При этом равно-
равновесие тела не нарушается. Эти силы, распределенные по какому-то
закону непрерывно по всему проведенному сечению (рис. 1.13, б),
можно назвать внутренними силами.
Рассмотрим в плоскости сечения, разделяющего тело на две
части, вблизи некоторой точки А площадку AF, на которую дей-
действует сила APV. Направление силы APV вообще говоря не совпа-
совпадает с нормалью v к площадке (рис. 1.14, а). Отношение
о —^
представляет собой среднюю интенсивность внутренних усилий на
площадке AF вблизи точки А, или среднее напряжение на указанной

i 1.101 '
КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЯ ПРАВИЛА ЗНАКОВ
41
площадке. Если устремить размеры площадки AF к нулю, то в пре-
пределе среднее напряжение перейдет в истинное напряжение в точке А,
действующее на площадке, нормаль у которой v:
Р. = итД. A.2)
На разных площадках, проходящих через одну и ту же точку,
действуют, вообще говоря, различные напряжения. Напряжение
pv представляет собой вектор и может быть разложено на составляю-
составляющие: нормальную av, вдоль нормали, и касательную tv, в плоскости
б)
Рис. 1.14. Напряжение в окрестности точки А в сечении тела: а) к определению среднего
напряжения; б) истинное напряжение и его составляющие.
площадки, на которой действует pv (рис. 1.14, б). Составляющая
av положительна, если она растягивающая.
Формально между напряжением, действующим на некоторой
площадке внутри тела в окрестности точки А, и интенсивностью
внешних поверхностных сил никакой разницы нет (ср. формулы
A.1) и A.2)). Однако по существу разница принципиальная. В фор-
формуле A.1) под APV понимается результат взаимодействия рассмат-
рассматриваемого тела с примыкающим к нему по площадке AF другим те-
телом. В формуле же A.2) под APV понимают изменение сил взаимот
действия между частями одного тела, расположенными по разные
стороны от площадки AF, возникающее вследствие приложения
к телу внешних сил и изменения расстояний между частицами тела,
т. е. вследствие деформации тела. .
§ 1.10. Компоненты напряжения. Правила знаков
Свя5кем с телом систему координатных осей хуг. Рассмотрим
произвольную точку А, лежащую внутри тела (рис. 1.15, а). Рас-
Рассечем его на две части плоскостью, перпендикулярной оси х и про-
проходящей через точку А (рис. 1.15, б).
В точке А на площадке, совпадающей с плоскостью сечения,
действует напряжение рх, составляющие которого в системе осей хуг
суть ах, 1ху, ххг. При этом ах — нормальная, а ixv и ххг — каса-
касательные составляющие (первый индекс указывает на ось, которой

42
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
параллельна нормаль к площадке, а второй — на ось, которой
параллельна сама касательная составляющая напряжения)! '
Аналогично рассечем это же тело еще два раза плоскостями,
проходящими через точку А и перпендикулярными в первом случае
оси у (рис. 1.15, в), а во втором — оси г (рис. 1.15, г), и разложим
соответственно напряжение ру на составляющие ау, тух, хуг и напря-
напряжение, рг — на составляющие аг, %гх, хгу. Девять составляющих
(в системе хуг) полных напряжений, которые действуют иа Трех
%*&
Рис. 1.15. Компоненты напряжения: а) тело и связанная с ним система координатн
осей хуг; б) составляющие напряжения рх; в) составляющие напряжения р^; ё) доставля
щие напряжения р2 ¦'¦¦:;
ных
ю-
юортогональных площадках, проходящих через точку А и: парал-
параллельных координатным плоскостям, называются компонентами
напряэюения в точке А в системе осей хуг. Ниже будет показано, что
напряжения, действующие на всех площадках, проходящих через
точку напряженного тела, можно рассматривать как некоторый еди-
единый объект — тензор напряжения. Именно поэтому в термине «ком-
«компоненты напряжения» последнее слово применено в единственном
числе. Каждый из компонентов в различных точках тела, во-
вообще говоря, различен, т. е. является функцией координат то-
точек тела:
^«х(х, у;г),
= %Ху (х, у, г), ..., ог = аг(х, у, г): A.3)
Если известны эти функций, то можно определить компоненты на-

5 1.11 ] СТАНДАРТНАЯ СИСТЕМА ВНЕШНИХ СИЛ 43
пряжения в любой точке тела. Зная эти компоненты, можно найти
напряжения, действующие на любой площадке, проходящей через
точку А. Это будет показано в главе V. Таким образом, если из-
известны функции A.3), то напряженное состояние тела описано ис-
исчерпывающе. Правило знаков для нормальных компонентов напря-
напряжения такое же, как и для av, — положительным считается растяги-
растягивающее напряжение.
Положительный касательный компонент напряжения, действую-
действующий на площадке, внешняя нормаЛь к которой направлена в сторону
положительных (отрицательных) значений на параллельной ей оси,
тоже направлен в сторону положительных (отрицательных) значе-
значений на параллельной этому компоненту оси. Разумеется, отрица-
отрицательный касательный компонент напряжения имеет противополож-
противоположное направление.
§1.11.. Приведение внутренних сил в стержнях
к эквивалентной им системе стандартных усилий.
Правила знаков
Рассмотрим призматический стержень. Свяжем с ним систему
декартовых осей. Начало координат расположим в какой-либо точке
оси стержня. Ось г направим вдоль оси стержня. Оси х и у распо-
располагаем произвольно х) в плоскости поперечного сечения. Мысленно
рассечем стержень плоскостью, перпендикулярной оси г, на две
части (/ и //). Исследуя равновесие одной части, прикладываем
к ней, кроме тех внешних сил, которые на нее действуют, внутрен-
внутренние усилия вместо отброшенных внутренних связей, соединяющих
две части стержня (рис. 1.16).
Внутренние силы, распределенные по поперечному сечению,
могут быть приведены к центру тяжести сечения и, таким образом,
заменены главным вектором и главным моментом, которые можно раз-
разложить на составляющие2) по осям (рис. 1.16, г): Qx, Qy, N, Мх,
My и Mz, называемые внутренними усилиями и моментами или
просто внутренними усилиями (в обобщенном смысле). Каждое
из усилий и моментов имеет свое название. N — продольная сила,
Qx и Qy — поперечные силы, Мх и Му — изгибающие моменты,
Мг — крутящий момент, Qx, Qy, N, Мх, Му и Мг являются стати-
статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по попереч-
поперечному сечению, проведенному на границе частей бруса / и //. При
этом существенно то, что, по какому бы закону ни были распределены
в поперечном сечении внутренние силы, они всегда приводятся
к стандартной системе усилий Qx, Qy, N, Мх, Му, Мг, алгебраические
1) Позднее будет обнаружено, что осям х и у" удобно давать некоторые опре-
определенные направления в поперечном сечении, связанные с его геометрией.
а) Составляющие момента изображены дуговыми стрелками.

44
ВВЕДЕНИЕ
[fjf. I
I)
с. 1.16. Приведение внутренних сил в поперечном сечении стержня к ст»нд»ртному
ду — к внутренний усилиям Q^ <?„, N. М^ М и Mj а) брус, загруженный силами;
Рис.
ВИДУ -~ П anyipcnnflM jrwiwmam Хм* *<М* "» "'X* '" V '
б) брус, рассеченный на дре части (действие одной "Части на другую предстввлено распре-
распределенными по поперечному сечению внутренними силами); в) интенсивность внутренних
сил в одной точке поперечного сечення; г) статический эквивалент внутренних сил. рас-
распределенных по поперечному сечению бруса, н виде стандартной системы внутренних
усилий; д) то же в векторном изображении моментов.

$ 1.111 СТАНДАРТНАЯ СИСТЕМА ВНЕШНИХ СИЛ 45
величины которых зависят от места расположения поперечного
сечения бруса, т. е. от координаты г. Иными словами, внутренние
усилия Qx, ... , Мг являются функциями г. Это очень удобно для
построения общей прикладной теории стержней. Напряжение, дей-
действующее в точке поперечного сечения стержня (рис. 1.16, в), имеет
составляющие J) az, хгх и хгг
Сопоставляя рис. 1.16, в и 1.16, г и считая, что все изображен-
изображенные на них величины положительны, легко получаем условия экви-
эквивалентности:
\ A-4)
Мх = \ о2у dF, Му = \ агх dF, Мг = \ (хгху — xzyx) dF. i
F F F )
Величины Qx, Qy, N, Mx, My, Mz описывают внутренние силы.
в интегральной форме.
Установим правила знаков для усилий, справедливые для лю-
любого направления осей, в рамках принятых выше для них условий.
Любое поперечное сечение разделяет стержень на две части.
Точки, расположенные на оси одной из них, имеют координату г,
меньшую в алгебраическом смысле, чем координата г точек оси дру-
другой части. Назовем часть стержня с меньшими в алгебраическом,
смысле координатами точек оси первой частью, а другую —
второй частью стержня (рис. 1.17).
Продольная сила N положительна, если она растягивающая
(рис. 1.18, а).
Поперечная сила Qx (Qy) положительна, если, действуя на первую
часть стержня, она направлена в сторону положительных значений
на оси х (у) (рис. 1.18, б). На рис. 1.18, б дано пояснение для силы
Qy; аналогично выглядит рисунок, поясняющий правило знаков,
для Qx.
Изгибающий момент Мх (Му) положителен, если ему соответ-
соответствует изогнутая ось с отрицательной кривизной2) (рис. 1.18, в).
Крутящий момент М.г положителен, если при взгляде на попе-
поперечное сечение со стороны внешней нормали к нему (безразлично,
для какой части бруса — / или //) этот момент представляется
действующим против часовой стрелки (рис. 1.18, г).
х) На левой и правой частях рис. 1.16, в изображена одна и та же площадка
и одно и то же напряжение, действующее на ней. На левом рисунке напряжение —
это действие // части на /, а на правом рисунке — это действие / части тела на /У.
Согласно третьему закону Ньютона действие равно противодействию и противо-
противоположно ему направлено. Аналогичный кбмментарий можно сделать и примени-
применительно к внутренним усилиям, изображенным на левой и правой частях рис. 1.16, г
и относящимся к одному и тому же поперечному сечению.
*) Напомним, что кривая у = / (а) имеет отрицательную кривизну к = 1/р,
если выпуклость обращена в сторону положительных значений на оси у.

46
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
I . m
Г? z
_._"I
-'О
т
Рис. 1,17. Разбивка сечением стержня на две части — первую и вторую.
а) ==.
2
E
Рис. 1.18. Правила знаков для внутренних усилий (показаны положительные над
леиня усилий): a) N; 6) Qu; в) М^ г) М г.

$ 1.12]
СТАНДАРТНАЯ СИСТЕМА ВНУТРЕННИХ УСИЛИЯ
47
М
Если стержень имеет ось в виде плоской кривой, в плоскости
которой располагаются и все внешние (активные и реактивные) силы
и моменты, то правила знаков для усилий принимаем-следующими.
Продольная сила положительна растягива-
ющая, положительный изгибающий момент
уменьшает кривизну оси стержня; направ-
направление положительной поперечной силы по-
получается из направления положительной про-
продольной силы путем поворота: последнего
направления на я/2 против часовой стрел-
стрелки. Положительные усилия показаны на
рис. i .19.
Разумеется, можно было бы принять и
другие правила знаков для внутренних уси-
усилий. Во втором томе имеется специальный раз-
раздел, в котором обсуждается вся система пра-
правил знаков в двух наиболее распространенных вариантах,.одним-,
из которых является вариант, принятый в настоящем курсе*
§1.12. Приведение внешних сил, действующих на стержень,-
к стандартному виду
Рассмотрим призматический брус. На него, как и на любое-
другое тело, могут действовать поверхностные и объемные .силы.
Их легко подвергнуть преобразованию, в результате которого лю-
любая система внешних сил представляется в стандартном ¦ Риде*.
6)
Рис 1.19. Правила зна-
знаков для усилий., в попе-
поперечном сеченин стержня
с криволинейной осью;
изображены положи-
положительные усилия.
dF
Рис. 1.20. Внешние силы, действующие .на элемент стержня.
Свяжем с брусом систему координатных осей хуг такую же, как и
в § 1.11. Выделим из стержня двумя бесконечно близко друг от
друга отстоящими сечениями элемент с размером вдоль оси, равным
dz = 1. На боковой поверхности этого элемента рассмотрим > эле-
элементарную площадку (рис. 1.20; а), площадь ¦- которой 'равна

48 ВВЕДЕНИЕ ГГЛ. I
dF = dsA=ds; здесь ds — длина дуги контура поперечного сечения
в пределах рассматриваемой площадки на боковой поверхности
элемента стержня. На указанную площадку действует поверхност-
поверхностная нагрузка, составляющие интенсивности которой в системе
осей хуг суть pvx, pvy, pvz.
В плоскости поперечного сечения элемента бруса выделим пло-
площадку dF (рис. 1.20, б); ее можно рассматривать как основание
элементарной призмы, высота которой dz ~ 1. На такую призму
действует объемная сила, составляющие интенсивности которой
в системе осей хуг суть X, Y, Z.
Приведем поверхностные силы, действующие на боковую поверх-
поверхность выделенного элемента бруса, и объемные силы, действующие
на этот элемент, к середине длины отрезка его оси. В результате
такого приведения получим главный вектор и главный момент всех
распределенных поверхностных и объемных сил, действующих иа
элемент бруса. Обозначим составляющие указанного главного
вектора в системе осей хуг символами qx, qy и qz\ они представляют
собой интенсивности распределенной силовой нагрузки, действую-
действующей на стержень. Составляющие главного момента обозначим сим-
символами тх, tiiy и тг; они являются интенсивностями распределенной
момеитной нагрузки, действующей на стержень.
Величины qx, qv, qz, tnx, mv и mz являются стандартной системой
распределенных вдоль оси нагрузок, эквивалентных произвольной
системе распределенных поверхностных и объемных сил, прило-
приложенных к стержню.
Кроме распределенных внешних сил (поверхностных и объем-
объемных) на брус могут действовать и сосредоточенные силы и моменты.
Пусть в пределах сечения i (г — г,) имеется гг точек приложения
сосредоточенных сил и га сосредоточенных моментов. Тогда все
они могут быть приведены к центру сечения. Главный вектор и
главный момент в сечении i, эквивалентные всем действующим в этом
сеченин внешним сосредоточенным силам и моментам, могут быть
представлены при помощи составляющих в системе осей хуг, т. е.
при помощи стандартной системы внешних сосредоточенных сил
Pix, Piyi Pu> приложенных к центру сечения (к оси стержня в рас-
рассматриваемом сечении), и стандартной системы внешних сосредо-
сосредоточенных моментов Ш1х, Э0{,-,„ 301,г, действующих относительно осей,
проходящих через центр тяжести поперечного сечения#(одна из
таких осей совпадает с осью г и две другие параллельны осям
хну).
Таким образом, любая система внешних сил, поверхностных и
объемных (сосредоточенных и распределенных), сводится к стандарт-
стандартной системе трех внешних распределенных вдоль оси силовых на-
нагрузок с интенсивностями qx, qy и qzt трех внешних распределенных
вдоль оси моментных нагрузок с иитенсивностями тх, ту и mg,
трех внешних сосредоточенных сил Pix, Piy, Pu, приложенных

S 1.12) СТАНДАРТНАЯ СИСТЕМА ВНУТРЕННИХ УСИЛИЯ 49
к оси в сечении i (таких сечений вдоль оси может быть некоторое
конечное множество), трех сосредоточенных моментов Шш Ш1у,
Ш^, действующих относительно осей, параллельных осям х и у и
проходящих через центр сечения, и относительно оси г (таких се-
сечений вдоль оси может быть некоторое конечное множество).
Приведение внешней нагрузки к стандартной форме оказалось
возможным вследствие того, что мы допустили замену одной системы
сил и моментов, действующей на элемент стержня, другой, стати-
статически ей эквивалентной системой сил и моментов в области, размеры
которой соизмеримы с размерами поперечного сечения.
Введя такую стандартную систему сил, мы, рассматривая внеш-
внешние силы, можем не интересоваться поперечными размерами стержня
и иметь в виду вместо самого стержня его ось 1).
Рассмотрим примеры приведения внешних сил к стандартной
системе.
Ввиду простоты примеры даны без пояснений. На рисунке
указана система внешних сил, действующих на стержень, и стати-
статический ее эквивалент, отнесенный к оси стержня.
Пример 1.1 (рис. 1.21).
Пример 1.2 (рис. 1.22).
Пример 1.3 (рис. 1.23).
Пример 1.4 (рис. 1.24).
На рис. 1.21—1.24 изображены действительные направления внешних сил
стандартной системы, поэтому знаки не указаны.
Установим правила знаков для всех отнесенных к точкам оси
стержня внешних сил и моментов, распределенных и сосредото-
сосредоточенных.
Для qx, qv, qz, Px, Py и Рг это правило знаков, одинаковое как
для левой так и для правой систем координатных осей, изображено
на рис. 1.25, где показаны положительные направления отмечен-
отмеченных выше величин. Формулировка правила такова. Составляю-
Составляющие интенсивности распределенной нагрузки и сосредоточенной
силы положительны, если направлены в сторону положительных
значений на параллельных им осях.
Для тх, ту, тг, Шх, Щу и Шг применим правило знаков, зави-
зависящее от вида системы координатных осей (левая или правая), стаким
расчетом, чтобы общий вид уравнений равновесия для одной и той
же части стержня, первой или второй, как в левой, так и в правой
системах координатных осей получался одинаковым и при этом
все члены в них, содержащие нагрузку, были бы одинакового знака.
г) В некоторых случаях может представить интерес так называемая местная
(локальная) прочность бруса (прочность материала в окрестности именно той точки
чела, в которой приложена сила; прочность, зависящая от деформации попереч-
поперечного сечеиия стержня в случае его тонкостенное™). В таких случаях на более
поздней стадии расчета приходится возвращаться к рассмотрению действительной
картины приложения сил к стержню.

50
ВВЕДЕНИЕ
ГЛ. I,
Рис, 1.21. Приведение внешних сил к стандартному виду! а) внешние силы; прило-
приложенные и стержню; 6) внешние силы, приведенные к стандартному виду.
а)
Р
Рнс. 1,22. Приведение внешних сил к стандартному виду: а) внешние силы, приложен-
приложенные к стержню; 6) внешние силы, приведенные к стандартному виду.
i}bh
\\\\\\\т\\\\\я>шт.1.
Рис. 1.23. Приведение внешних сил к'стандартному виду; а) внешние силы, приложен-
приложенные к стержню; б) внешние силы, приведенные к стандартному виду. :

$ 1.12] СТАНДАРТНАЯ СИСТЕМА ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
6.1
ЩгГ
Ряс' 1.24. Приведение влешних сил к стандартному виду! а) внешние силы, приложен-
приложенные к стержню; б) внешние силы, приведенные к стандартному виду.
1*0,)
(pt)
Рис, 1.25. Положительные направления составляющих интенсивности распределенной
нагрузки и сосредоточенной силы в левой н правой системах координа ных осей.
тг(тг)
М>0
Ряс. 1.2в. Положительные направления составляющих интенсивности распределенной
иоментной нагрузки и сосредоточенного момента: а, б) в левой системе координатиы*
осей; г, д) в правой системе координатных осей; в, е) изображение момента вектором соот-
соответственно в левой и правой системах координатных осей.

52 ¦ введение ггл i
Соответствующее правило знаков для тх, ту, тг, Шх, Шу и Ш„ изо-
изображено на рис. 1.26. Подчеркнем еще раз, что принятое правило
знаков для внутренних усилий не зависит от того, является ли
система координатных осей левой или правой.
На рис. 1.26 изображение моментов дано двоякое — дуговыми
стрелками (рис. 1.26, а, г) и векторами с двумя стрелками рис. 1.26,6,
д); при этом правило изображения момента вектором в левой и пра-
правой системах координатных осей представлено соответственно на
рис. 1.26, в, е.
Разумеется, изображать при помощи векторов можно и состав-
составляющие момента внутренних сил. На рис. 1.16, д показано такое
изображение.
Наконец, заметим, что принятые правила знаков для qx, qy,
qz, тх, ту, tnz, Px, Py, Pz, Шх, Ш, и Шг используются лишь при
записи уравнений равновесия в общем виде (когда, как обычно,
все величины, входящие в уравнения, принимаются положитель-
положительными, для чего в этом случае и требуются правила знаков), например,
как это сделано в следующем параграфе. В случае же конкретного
вида нагрузки в той или иной частной задаче уравнения равновесия
записываются без применения правил знаков для внешней нагрузки,
а в соответствии с действительным ее направлением.
§ 1.13. Определение внутренних усилий через внешние силы.
Эпюры внутренних усилий
Формулы A.4) показывают природу усилий Qx, Qy, N, Mx, My,
Мг, величины же этих усилий могут быть легко найдены из уравне-
уравнений равновесия любой из двух частей стержня I или II (если.считать,
что все внешние силы, в том числе усилия в связях, известны).
Из этих уравнений внутренние усилия выражаются через внешние
силы.
Рассмотрим стержень, загруженный нагрузкой самого общего
вида, т. е. в составе внешней нагрузки имеются распределенные
силовые нагрузки с интенсивиостями qx, qy и qz, распределенные
моментные нагрузки с интенсивностями тх, ту и mz, конечное число
сосредоточенных сил Plx, P!y, Piz (i = 1, ... , т), каждая из которых
имеет точкой приложения центр сечения с координатой г,-, и конечное
число сосредоточенных моментов ff)ljx, SOi/y, 3)?7-г (/ — 1, ... , и),
каждый из которых действует относительно оси, проходящей через
центр сечения с координатой Zj. Будем считать, что реакции закреп-
закрепления (усилия в опорных стержнях) найдены и действие опорных
стержней заменено силами, равными усилиям, возникающим в по-
последних. При этом положим, что обозначение реактивных сил не
отличается от обозначения сил активных. Пусть необходимо найти
усилия Qx, Qy, N, Mx, My, Мг в сечении, координата" центра кото-
которого г.

i 1.13]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ. ЭПЮРЫ
53
Рассматривая равновесие первой части стержня, получим урав-
уравнения
2 пр. х = 0,
пр. 2 = 0,
=• о;
?min
zmin
nt
/=1
mom. 2 = 0,
Сси х' и у' проходят через центр тяжести сечения, делящего стер-
стержень на две части, при этом х' ||.дг, у' || у. Из A.5) легко найти иско-
искомые усилия:
т, \
A.6)
-% Р'»' \
гш1п
2
»U
~ > Pi»
Jmin

54 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
2min zmin '=1 . /=1
г z mt nt
My = — J qx(z-Qd?- J mudz-^Plx{z-zt)- j 30t/y, I A.6)
гт1п zmin
г nt
Мг = — \ mzdz ¦
2min
Аналогично можно было^бы найти усилия в рассматриваемом сече-
сечении из уравнений равновесия второй части стержня, которые имеют
следующий вид:
2max m
2пр.дг = О, —Qx+ § qxdz+ ^ pix = 0,
zmax
— Мх + \ qy (z — ?) dt, + \ /n.vr dz -f
2
m n
2 p^z~
n
гтах л
A.7)

$ 1.131 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ. ЭПЮРЫ
Из A.7) получаем
55
г
zmax
гтах
Mx=
гтах
A.8)
В A.5) — A.8) подразумевается, что сосредоточенные силы
(моменты), приложенные к первой части стержня, имеют индексы
i = 1, 2, ... , тх (I = 1, 2, ... , «!), а ко второй части — индексы
i = тх + 1, tf*i + 2, ... , /и (/ = пх + 1, лх + 2, ... , л). Пределы
интегрирввания zm\n и гтах представляют собой координаты центров
концевых сечений стержня.
В том, что величины усилий, найденные из равновесия первой
части стержня по формулам A.6), равны величинам усилий,
полученным из равновесия второй части стержня по формулам A.8),
легко убедиться. Для' этого достаточно приравнять соответствую-
соответствующие выражения для усилий по A.6) и A.8); в результате полу-
получаются уравнения равновесия всего стержня, что свидетельствует
о правомочности лрнравнивания соответствующих выражений уси-
усилий из f!.6) и A.8).

56
ВВЕДЕНИЕ
ГГЛ. I
Уравнения A.5) и A.7) получены в предположении, что все
величины, входящие в них, положительны. Поэтому знак усилий
получается по этим формулам автоматически. Практически целе-
целесообразно пользоваться той системой уравнений (A.5) или A.7)),
которая позволяет получить более простые выражения для усилий.
Иногда в одну из этих систем не входят реакции связей; в таком
случае удобно пользоваться именно этой системой формул и предва-
предварительно не находить реакции. Выражения для усилий Qx, ... , Мг
представляют собой функции координаты z центра того сечения,
для которого они найдены. Это сечение мы вправе рассматривать
как текущее. Тогда для каждой из функций Qx Мг можно
построить график, называемый эпюрой соответствующего усилия.
Эпюры усилий широко используются в проектной практике, они
позволяют легко составить представление о характере работы кон-
конструкции.
Ординаты эпюр изгибающих моментов будем откладывать с вы-
выпуклой стороны изогнутой оси стержня в плоскости действия мо-
моментов. Аналитический вид функций Qx, ... , Мг может быть раз-
различным в разных частях прямолинейного стержня. Часть стержня,
в пределах которой аналитический вид функций остается неизмен-
неизменным, назовем участком. Границами участков могут быть сечения,
в которых изменяется аналитический вид функций qx, qy, qz, tnx, my,
тг, либо сечения, в которых на стержень действуют сосредоточен-
сосредоточенные силы и (или) моменты. При этом для каждой из функций Qx, Qy,
N, Mx, My, Mz причина наличия границы участка может быть своя
собственная.
В табл. 1.2 показано, ч т о и для какого из усилий может
явиться причиной изменения вида функции.
Таблица 1.2
Функции
мх
Qx
Mz
N
Причины изменения вида функции
изменение в сечении вида функции
">х
"у
+
ту
1Х
г
mz
+
«Z
наличие в сечении
сосредоточенной нагрузки
ру
ту
Рх
i
+
р
Для того чтобы построить эпюру какого-либо из усилий, необ-
необходимо иметь аналитическое выражение этого усилия для каждого
из участков.

i 1.14) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЯ 57
Если стержень имеет ось в виде ломаной, состоящей из прямо-
прямолинейных участков, то для каждого из прямолинейных участксв
принимается своя система координат, и поэтому каждый излом также
является границей участков с различными аналитическими выра-
выражениями усилий.
§ 1.14. Дифференциальные зависимости между интенсивностями
распределенных силовых и моментных нагрузок
и внутренними усилиями
(дифференциальные уравнения равновесия элемента стержня)
Пусть имеем прямолинейный стержень, на который действует
распределенная силовая нагрузка с составляющими в системе осей
xyz qx, qy и q2 и распределенная мсментная нагрузка с состав-
составляющими в той же системе осей тх, ту и тг.
Вырежем из стержня двумя поперечными сечениями, бесконечно
близко расположенными одно к другому, элемент с размером вдоль
оси г, равным dz, и заменим действие примыкающих к нему частей
стержня соответствующими усилиями (рис.-1.27). На рис. 1.27 для
простоты изображения показаны не эпюры нагрузок, а лишь состав-
составляющие интенсивностей в средней точке оси элемента. К стержню
могут быть приложены, кроме распределенных, и сосредоточенные
силы и моменты (активные и реактивные). Однако будем иметь
в виду, что в пределах выделенного элемента эти сосредоточенные
силы и моменты не действуют. Составим уравнения равновесия
выделенного элемента стержня:
+ Mz-mzdz—(Mz
8ти уравнения, после взаимного уничтожения членов, пренебреже-
пренебрежения членами высшего порядка малости и простейших преобразова-
преобразований, приобретают вид
dQx dQy dN
~dT' q»="~~dT> q*w=~~Iz
dMx dM
у '•'"- * '

58
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Полученные соотношения носят название дифференциальных уравне-
уравнений равновесия элемента стержня с прямолинейной осью; их можно
использовать, в частности, для проверки правильности построения
эпюр.
Обращает на себя внимание наличие дифференциальных, связей
между усилиями Qx и Му9 а также между усилиями Qy и Мх. Ника-
Никаких других связей между усилиями нет. Это обусловливает неза-
независимость таких деформаций стержня с прямолинейной осью, как
изгиб в плоскости Oyz, изгиб в плоскости Oxzy растяжение (сжатие)
вдоль оси z и кручение относительно оси г. Наличие Дифференциаль-
Дифференциальной связи между Qx и Му (Qy и Мх) указывает на то, что при изгибе
Рис. 1.27. Элемент стержня и действующие на него внешние силы и усилия в сечениях
торцов.
в плоскости Oxz (Oyz) возникают два усилия: Qx и Му (Qy и Мх).
В случае, если Qx = 0 (Qy ^ 0), имеет место так называемый чис-
чистый изгиб в плоскости Oxz (Oyz). К вопросу об указанной выше неза-
независимости деформаций и о взаимной зависимости усилий Qx и Му
(Qy и Мх) нам придется возвратиться позже.
Сущность проверки эпюр усилий при помощи приведенных выше
дифференциальных зависимостей состоит в использовании свойств
функции и ее производной:
1) производная равна нулю при том значении аргумента, при
котором функция стационарна, в частности, имеет экстремум;
2) наличие скачка в производной при некотором значении
аргумента мыслимо, если график функции имеет при этом же аргу-
аргументе излом.
Действительно, если тх = 0, то, сопоставляя эпюры Мх и Qyt
обнаруживаем, что в том сечении, где Мх достигает максимума или
минимума, Qy равняется нулю. Аналогично в сечении с максималь-
максимальным Qy равняется нулю qx. Сказанное проиллюстрировано приме-
примерами в § 1.15.

§ 1.15]
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
§ 1.15. Примеры построения эпюр
внутренних усилий в стержнях
Пример 1.5. Имеется конструкция, состоящая из жестко соединенных между
собой под прямыми углами четырех стержней (рис. 1.28, а). Все стержни имеют
одинаковую длину, а— Ь = с — d = 1л; с каждым из стержней связана система
декартовых координатных осей. Конструкция загружена силой Pv Требуется
Рис. 1.28. К построению эпюр усилий в стержне с осью в виде пространственной лома-
ломаной: а) стержень и нагрузка; о) внутренние усилия в сечении стержня на первом участке;
е) то же на втором участке; г) то же на третьем участке.; д) то же на четвертом участке.
построить эпюры усилий (Qxt Qy, N, Mx, Myt Mz). Прежде всего отметим, что
в пределах всей конструкции имеется четыре участка, границами между которыми
являются места соединения между собой стержней. Получим выражения для
каждого'из усилий в одном из сечений в пределах длины каждого из стержней
с координатой центра сечения соответственно гх, г2, г3 и г4.
Определим усилия в поперечном сечении 1. Применим метод сечений.

60 - ВВЕДЕНИЕ . [ГЛ. 1.
Рассечем конструкцию плоскостью, перпендикулярной оси гА и проходящей
через центр сечения / (рис. 1.28, б). Отбросим одну из частей конструкции, за-
заменим действие одной части на другую соответствующими внутренними усилиями
(Qx> Qy> N, Мх, Mv, Мг), полагая все их положительными, и составим уравнения
равновесия оставленной части конструкции. Из этих уравнений определим не-
неизвестные внутренние усилия. Целесообразно записать уравнения равновесия
для первой части конструкции, так как при этом отпадает необходимость предва-
предварительного определения реакций в заделке конструкции.
Уравнения равновесия первой части конструкции имеют вид:
? пр. ^ = 0, QX1 = O;
Е пр. у, = 0, Qyi - Р, = О, отсюда Qyi = Pt-
Епр. 2j==0, А^ = 0;
Емом. *; = 0, — M.vl + /Vt=0, отсюда МХ1 = Р1г1;
Емом. y't=0, Му1 = 0;
Емом. 21=0, М^1==0.
Аналогично определяем усилия в сечении 2 (рис. 1.28, в):
Епр. х2 = 0, Q^2 = 0;
Е пр. у2 = 0, Qy2 — Рх = 0, отсюда Q^2 = Рх\
Епр. г2 = 0, Л/2 = 0;
Емом. ^ = 0, /^гг — Мд^О, отсюда МХ2 = Р,гг)
Емом. г2 = 0, УИг2 + Р1а = 0, отсюда А/г2 =—
Усилия в сечении 3 (рис. 1.28, г):
Е пр. z3~0, Ях + N3 = 0, отсюда Л/3 = — Рг;
Емом.*з = 0, Я^ — Afjc3 = 0, отсюда ^4^ = ^^;
Емом. [/з = 0, ^^ + ^^ = 0, отсюда МУз— —Рха\
Емом. z3 = 0, MZ3 = O.
И, наконец, усилия в сечении 4 (рис. 1.28, д):
Епр. х4 = 0, />i + <2.*r4 = 0, отсюда Q^4=— Pt;
Епр. f/4 = 0, Q(/4 = 0;
Епр. г4 = 0, Л/4 = 0;
Емом. х[ = 0, ^^ = 0;
Е мом «/J = 0, Р1 (а + г4) + МУ4 = 0, отсюда М^4 = — РА (а + г4);
Емом. г4 = 0, MZi — P1b = 0t отсюда MZ4 = Plb.
На рис. 1.29 показаны эпюры всех шести усилий.
Рекомендуется найти аналитические выражения и построить эпюры усилий
для конструкции, рассмотренной в примере 1.5, при иных внешних воз действ и яхв
показанные на рис. 1.30,

§ 1.15]
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
61
Часто приводится определять усилия и строить эпюры в более простых
конструкциях, чем в примере 1.5 в частности в прямолинейном стержне, имеющем
плоскость симметрии, проходящую через его ось, и загруженном силами и мо-
моментами, лежащими в этой плоскости. При таком условии деформированная ось
стержня остается плоской кривой, расположенной в плоскости действия сил.
о)
Ч
I)
Рис. 1.29. Эпюры усилий в стержне с осью в виде пространственной ломаной: а) эпюра
/V; б) эпюра Qx; в) эпюра Q^\ г) эпюра Мх; д) эпюра М ; е) эпюра М г.
Рассмотрим примеры построения эпюр усилий для стержня, работающего
в условиях деформирования в плоскости.
Рис. 1.30. Различные случаи загружения стержня с осью в виде пространственной ло-
ломаной. ^
Пример 1.6 (рис. 1.31, а). Построить эпюры усилий в стержне. В данном
случае все усилия, кроме продольной силы, равны нулю. Стержень содержит
один участок @^2^/)- Проводим сечение на расстоянии г от начала координат
и рассматриваем равновесие первой части сгержня (рис. 1.31, б),
Цпр. 2=*0, N — ti
при г = 0 N =
при z = / iV =

62
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. 1
(так как условие равновесия всего стержня имеет вид
— Р\ + Яг1 + ?2 = 0» откуда Р2 == Л — ЯгЬ*
Остальные пять уравнений равновесия имеют вид
?пр. *=0, Qx==0; ? мом. *' = 0, ^^ = 0;
2 мом. z = 0, Mz = 0.
В таких случаях, как в рассматриваемом примере, равенство нулю всех усилий,
кроме N, очевидно и никаких уравнений, кроме 2пр. z = 0, не рассматривают.
На рис. 1.31, в показана эпюра N.
°)
л»
z
7-±
Рис. 1.31. Построение эпюры Ni а) стержень и действующая на него нагрузка; б) одна
из частей стержня (первая) и действующие на нее внешние и внутренние силы;
Пример 1.7. Построить эпюры усилий в балке, изображенной вместе с на-
нагрузкой на рис. 1.32, а; плоскость Qyz является плоскостью симметрии балки.
В таком случае балка испытывает плоскую деформацию. В отличие от примера 1.5,
перед построением эпюр усилий необходимо определить реакцию опор.
Из уравнений равновесия
Е мом. 5 = 0, RAt-~Pb = O;
?мом. Л=0, RBl — Pa = 0
находим
РЬ
Вся балка состоит из двух участков, первый из них левее силы Р, второй —
правее нее.
Выражения для усилий составляем для каждого из участков.
Первый участок (рис. 1.32, б) @<^2< а).
Рассматриваем равновесие первой часги балки (рис. 1.32, в), к которой при-
прикладываем приходящуюся на нее внешнюю нагрузку (реакция опоры А) и вну-

1.15]
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
У
63
Мх экстр.
Рис. 1.32. Построение эпюр усилий Q и Мх в балке: а) балка и действующая на нее
нагрузка; б) сечение на первом участке балки; в) первая часть балки и действующие на
нее внешние и внутренние силы при расположении сечения на первом участке; в) сеченяе
на втором участке балки; д) вторая часть балки и действующие на нее внешние и внут-
внутренние силы при расположении сечения на втором участке; е) эпюры Q и М w скачок
РЬ Р Р Р1 ' У
РЬ
в эпюре Q равен —-
У I
е
РЬ Ро.
Р1
ры Q и М w
У
ою) вид эпюр Q и М „ при условии
ух
распределения сил, действующих на стержень, в пределах некоторых участков оси; / —
первый участок, 2 — второй участок, 3 — первая часть балки, 4 — вторая часть балки

64 ВВЕДЕН IE [ГЛ. I
тренние усилия Qy, /V, MXt полагая их положительными. Усилия Му ~0, М2~0
и Qx = 0, так как задача плоская. Уравнения равновесия имеют вид
Цпр. */ = 0, ~+Qy = 0, (?,,= _—; (a)
Епр. * = 0, iV =0. (b)
(В дальнейшем, рассматривая поперечный изгиб прямолинейной балки, уравне-
уравнения равновесия 2np.z=0 составлять не будем, так как при этом всегда
W= 0.)
Pb п Pb
Емом. *' = 0, -у-2 + ^ = 0, М^=— -j-z.
Так как функция Мх — линейная относительно 2, для построения графика,
ей соответствующего, достаточно иметь значения функции при двух значениях
аргумента z:
при г = 0 M^—O,
Pab \ (с)
при г = а Мх= j-
Переходим ко второму участку (а < z ^ /) (рис. 1.32, г). Рассматриваем
равновесие второй части балки (рис. 1.32, д):
Ра п Ра
(С)
Пользуясь (а) и (а'), (с) и (с7), атроим эпюры усилий Qy и Мх (рис. 1.32, е). В том
сечении, к которому приложена сосредоточенная сила Р, в эпюре Qy имеет место
скачок на величину, равную силе Р. Если силу Р и реакции RA и RB считать
распределенными на некоторых небольших участках, то эпюры Qv и Мх будут
выглядеть так, как это показано на рис. 1.32, ж.
Пример 1.8 (рис. 1.33, а). Построить эпюры усилий в балке. В рассматри-
рассматриваемом случае отличными от функции, тождественно равной нулю, являются
усилия Qv и Мх. Реакции опор: RA = 2Н//, RB = — Ш/l. Балка содержит два
участка. Рассмотрим первый участок @ ^ г < а) (рис. 1.33, б). Составим уравне-
уравнения равновесия первой части балки (рис. 1.33, в):
Цпр. (/ = 0, -r+Qy = 0, Q. = T;
Е мом. ^' = 0, -7-2 + Aiv = 0, Mx= —т z\
при 2 = 0 Мх — 0\
при z = a Мх= т-.
Е мом.
при Z--
ПрИ 2 =
*'=0,
= /
м
М
Мх-
х —
-f-y (/ —z)=0
Pa (I — a)
I
Pab
I

§ 1.15]
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
Рассмотрим второй участок (а< г*^ Г) (рис. 1.33, г). Составим уравнение
равновесия второй части балки (рис. 1.33, д):
?пр. t/=0,
? мом.
при г = а
при г--
-Л
-т-О,
М,=О.
= -т; 4
А
V,
*А
,<
< ' ¦
>
На рис. 1.33, е показаны эпюры
Qy и Мх. В том сечении балки, к кото-
которому приложен сосредоточенный мо-
момент 3ft, в эпюре Мх имеет место ска-
скачок на величину Щ.
Пример 1.9 (рис. 1.34, а). По-
Построить эпюры Qy и Мх в балке. Для
того чтобы подчеркнуть возможность
использования любого расположения
осей%примем его иным, нежели в двух
предыдущих примерах. В балке име-
имеется всего один участок @ «^ 2 «^ /).
Проводим сечение на расстоянии г от
начала координат. Рассмотрим равно-
равновесие первой части балки (рис. 1.34 б,),
учитывая, что реакции опор R^ =
= RB = ql/2:
4>«
4{\
г?
rSt
¦ГН
^У
Ж
/
«5
,ы \
ч
. y=0.
при z = 0
Q,-t
при z = / Qy= ~у;
Ц мом. ^' = 0,
ql г _. q д. ^2 .
при z = 0 Мд—О,
при г = 1 Мх = 0.
Сечение с максимальным Мх найдем,
исследовав эту функцию на экстремум:
отсюда находим координату сечения
с экстремальным Мх:
1_
*~~ 2 »
а само экстремальное значение Мх равно Мх |г==//2 =
3 А. П, Филин — 1568
Рис. 1.33. Построение эпюр Q и Мх в бал-
ке: а) балка и действующая на нее нагрузка;,
б) сечение на первом участке балки; в) пер-
первая часть балки и действующие на нее внеш-
внешние и внутренниесилы при расположении се-
сечения на первом участке; г) сечение на втором*
участке балки; о) вторая часть балки и дей-
действующие на нее внешние и внутренние силы,
при расположении сечения на втором участ-
участке; е) эпюры усилий Q и Мх\ в эпюре М х ска-
ql

66
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
По* знаку второй производной,
' — <? < О,
убеждаемся, что в сечении г = 1/2 имеем максимальное значение Мх. Легко про-
проверить, что в этом сечении Qylz_.^2 = ®> это соответствует условию dMx/dz = Qy.
На рис. 34, б пунктиром показана сила qz, являющаяся равнодействующей рас-
распределенной нагрузки, приложенной к первой части балки; плечо, этой силы
'
Рис. 1.34. Построение эпюр Q и М в
«балке.* а) балка и действующие на нее
внешние и внутренние силы; б) первая
часть балки и действующие на нее внешние
и внутренние силы; в) эпюры Q и М .
Рис. 1.35. Построение эпюр Q и М в
балке? а) балка и действующая на нее наг-
нагрузка; б) первая часть балки и действую-
действующие на нее внешние и внутренние силы;
в) эпюры Q и М .
относительно центра рассматриваемого сечения равно г/2. Эпюры усилий Qv и Мя
показаны на рис. 1.34, в.
Пример 1.10 (рис. 1.35, а). Построить эпюры Qy и Мх в балке. Определяем
реакции опор; для этого рассматриваем равновесие всей балки:
мом. А =0,
Ял1 l
2 3
Ял1 2

S 1.15] ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ 6?
Функция q имеет вид
Я—Л-г.
Балка содержит один участок @ ^ 2 ^ /). Рассмотрим равновесие первой част»
балки (рис. 1.35, б):
при 2 = 0 _Qy = qAlfa при г = / Qy
Экстремальное значение функции Qv имеет место при dQy/dz = 0 или
т. е. при 2=0. Знак второй производной,
показывает, что при г = 0 функция Q^ имеет максимум. Нулю значение функ-
функции Qv равно при г, определяемом из уравнения
qA(l
1]0> откуда г==
отрицательный корень нас не интересует, так как в пределах балки всюду г ^ О.
при 2 = 0 Mx — 0t
при 2 = / Мх = ЯЛр-.Ц.1 = ъя
Экстремальное значение Мх имеет место при координате 2, удовлетворяющей
условик>
ИЛИ
отсюда
, 1% IV*
(итрицательный корень не удовлетворяет условию задачи — сечение выходит
за пределы балки.) Как и должно быть, экстремальное значение Мх имеет места
в том сечении, в котором Qy = 0. Знак второй производной,
d*Mx _ дАг
dz* " 2/ ^
3*

68
ВВЕДЕНИЕ
ГГЛ. I
(так как г^О), свидетельствует о том, что при г — /^3/3 функция Мх имеет
максимум:
qA /33 КЗ qAl I 1^3 ?д/2 К?"
Эпюры Qy и УИ^ показаны на рис. 1.35, в.
1.36. Построение эпюр Q и М^ в балке: а) балка и действующая на нее нагрузка
б) эпюры Q и Мх.
Пример 1.11 (рис. 1.36, а). Построить эпюры Qy и Мх в случае загружения
<5алки нагрузкой, распределенной в соответствии с функцией
В данном случае, имея в виду решения примеров 1.9 и 1.10 и пользуясь
принципом независимости действия сил (см. § 1.22)f можем сразу написать функ-
функции Qy и Мх:
<ИКт-И(т-?)-
Здесь учтено, что, вместо q в примере 1.9, необходимо иметь в виду qJ2\ вместо qA
в примере 1.10 — принимать qo/2. Ординаты эпюр по концам балки так же легко
.найти, складывая решения примеров 1.9 и 1.10. Исследование же на экстремум

§ 1.15]
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
69
следует выполнить специально для рассматриваемого случая:
2 5Г+12" """¦"'
Z_ /2 И*
3 -и,
у) =0,527/;
второй корень нас не интересует, так как z выходит за пределы балки;
Максимум эпюры Мх и нуль эпюры Qv располагаются в промежутке между
аналогичными точками в примерах 1.9 и 1.10:
0,5/ < 0,527/ < 0,577/.
Исследование на экстремум функции Qv (dQy/dz =0, — qJ2 — q0z/2l = 0, z = —I)
показывает, что функция
имеет экстремум при z = — / (т. е. за пределами балки).
Эпюры усилий показаны на рис. 1.36, б.
Пример 1.12. Построить эпюры продольной и поперечной силы и изгибающего
момента, возникающих в поперечных сечениях стержня с криволинейной осью
/?(f-cosp)
Рис. 1.37. К построению эпюр усилий в плоском криволинейном стержне; а) стержень
• и действующая на него нагрузка; б) первая чавть стержня и действующие на него внеш-
внешние и внутренние силы.
дуга окружности), показанного вместе с приложенной к нему нагрузкой на
рис. 1.37, а.
Рассмотрим текущее сечение стержня, составляющее угол ф с осью т
Ц пр. # = 0, Qy — Рщ cos cp+Pi/ sin ф = 0, Qy = Pln cos ф—Pu sin ф;
E пр. 2 = 0, N — Pln sin ф — Р^со9ф = 0, N = Pfn sin ф + Р^созф;
Емом. ^' = 0, Mx + PuR(l— созф) — PinR 81пф — 3^=0
(xr — ось, проходящая через центр текущего сечения 0 и направленная перпен-
перпендикулярно плоскости чертежа),
Мх = PlnR sin ф — PUR A — cos ф)

70
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
На рис. 1.38 показаны эпюры усилий Qy, N и Мх, возникающих от каждой
из внешних сил, при условии (Рц = Р^ = 1, Р1п = Р1п = 1, Щг = Шг = 1),
действующих самостоятельно (подсчет ординат дан в табл. 1.3).
Рис. 1.38. Эпюры усилий в плоском криволинейном стержне.
Пример 1.13 (рис. 1.39, а). Построить эпюры внутренних усилий. В данном
примере из всех усилий отличным от функции, тождественно равной нулю, ока-
оказывается лишь крутящий момент.
Первый участок @ ^ г < 1/5). Рассматриваем равновесие первой части вала
(рис. 1.39, б):
Второй участок (//5
вала (рис. 1.39, в):
2 мом. 2 = 0,
< 2//5). Рассматриваем равновесие первой части
0, М2= —

1.151 ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ 71
Таблица 1.3
ф
0
я
я
т
я

я
У
2
з л
5
я
7
СОЬ ф
1
~2~
1
2
0
1
2
2"
КЗ"
2
j
Кз"
2"
sin ф
0
1
2
"~2~
КЗ
2
1
1
2
0
1
2
/>1л
Кз 1
2 1л 2 *'
~~2~ 1л~
/^ р.
2 ^
-Л,
1 р
2 1л
-Ц-Ри
^ Р ^
2 ^"
о * 1Л ~~
—i-P
i V^2 D
to
Yl.plii+Lpu
Рщ
72" Ля —
V% n
2 ^«
' p
2
2~Pl'
* p
2 ^1Л
2 Pl/
r[y_Pi"-
_ P I 1 ЯТ)
J /
A\ 2 ln
P I 1 4TJ
О 111 ~l «*'»1
^ /
„/Кз"
^V~2"Plrt""
3 \
2+K2 p\
2 '"У!**!
-здр^+а»,
2 + ^*3 _ \
2 / 1

72
ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Таблица 1.3 (Окончание)
ф
5
4
3
COS ф
г
1
У
0
sin ф
2~
2
— 1
TPln +
1 2 u
2 ^1Я
^2 р
2 1/
1л
2 + К2 р , ) | я»
2 * / ]
/ Кз^
\ 2~ 1л~
Третий участок B//5 < г < 3//5). Рассматриваем равновесие первой части
вала (рис. 1.39, г):
Цмом. z = 0, 2^ — aW2 —
Четвертый участок C//5 < 2 < 4//5). Рассматриваем равновесие второй
части вала (рис. 1.39, д):
Пятый участок D//5 < 2 ^ /). Рассматриваем равновесие второй части вала
(рис. 1.39, е):
? мом. 2 = 0, —Мг — 2tte = 0, Мг=—Шв.
Эпюра М2 показана на рис. 1.39, ж.
Равенство
вытекает из уравнения равновесия всего вала
swj—дла—aw,—а
Аналогично могут быть записаны равенства
Пример 1.14 (рис. 1.40, а). Построить эпюры усилий в стержне.
В данном случае Mz = 0, My ^0, Q^ ^ 0, Q^, s 0. Стержень содержит
один участок @^2^/). Проведем текущее сечение. Рассмотрим равновесие
первой части стержня (рис. 1.40, б):
Цпр. z = 0, -P
Ц мом. ^ = 0, ^+^^=0, Мх=— Шг.
На рис. 1.40, в показаны эпюры усилий iV и Мх.

$ 1.15] ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЯ
73
*ь *mi У Лт> 3
в)
У
щ
J
У
ж)
тгт2
/
А
/
п^тн^мЛ^0713®61^6 ЭПЮрЫ кРУтяи*их моментов в валу! а) вал и действующие на него
внешние моменты; б) первая часть вала и действующие на нее внешние и внутренние
моменты (сечение на первом участке); в) то же, сечение на втором учаотке; г) то же, сечение
на третьем участке; д) вторая часть вала и дейвтвующие на нее внешние и внутренние
моменты (сечение на четвертом участке); е) то же, сечение на пятом участке; ж) эпюра М
lz r2z
2пюраМх I I I I I I 101 I I I I I [ ЩЩ
'4(б\ п2пТРаеНиИе ЭПЮр уСИЛИЙ в "еРжне5 а> стержень и действующая на него на-
на, 6) первая часть стержня и действующие на нее внешние и внутренние силы;
в) эпюры N п Мх.

74
ВВЕДЕНИЕ
ГГЛ Г
Пример 1.15 (рис. 1.41, а). Построить эпюры усилий в стержне.
В данном случае Мг = О, Qx = 0, Qy = 0. Стержень содержит один участок
'). Рассмотрим равновесие первой части стержня (рис. 1.41, б):
* = 0, -Я
2JMOM. *'=U, UK
S мом. у' = 0, SW^ — /
Эпюры усилий показаны на рис. 1.41, в.
'Чу
а) • У>
.— /
^ и
^ х
в)
эпюрамх
| е
\Р,2
\т1т
Злюра Мц/ //////<&/////// Шу
Рис. 1.41.- Построение эпюр усилий в стержне: а) етержень и действующая на него на-
нагрузка; б) первая часть стержня и действующие на нее внешние и внутренние вилы:
в) эпюры N, Мх и Mv
Пример 1.16 (рис. 1.42, а). Построить эпюры усилий в стержне.
В данном примере Л^ ^= 0. Имеется в виду, что стержень находится в равно-
равновесии, т. е.
^ Р Р ^ p
Первый участок @ =
(рис. 1.42, б):
пр. у =
а). Рассматриваем равновесие первой части стержня
при 2 = 0 ^ = 0,
^ мом. (/' = 0,
при 2 = 0 УИм = 0,
-Р^-Л^-0,
при г —а
при
,—о,
Мх=-1
УИ^=—i
му

1.15] ПРИМЕРЫ ПООТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЯ 75
*»/л
т* /I
л z
Рис. 1.42. Построение эпюр усилий в сгержне! а) стержень и действующая на него на-
нагрузка; б) первая часть стержня и действующие на нее внешние и внутренние силы
(сечение на первом участке); в) вторая часть стержня и действующие на нее внешние и
внутренние силы (сечение на втором участке); г) вторая часть стержня и действующие на
нее внешние и внутренние силы (сечение на третьем участке); д) эпюры усилий Nt QXt
V м* муи м*-

76 ВВЕДЕНИЕ |ТЛ. I
Второй участок (а < г < 2а). Рассматриваем равновесие второй части
стержня (рис. 1.42, с): ,
Епр.*=0, _<k_p4jre0, Qx~—Ptxi
Епр.*/ = 0, -Q^ + Яз^^О, Qy-Pzy\
Емом. *' = 0, ЖА. + Р8уBа —z) = 0, M.* = — Р3у Bа—z),
при г = а M*=—Яд^а; ПРИ 2 = 2а ^ = 0;
Цмом. */' = 0, -Л1,, + Р4л.(/-г)=0, Л^ = Р4АГ(/-г),
при г = -г уМ^ = Р4^(/—а); при г = 2а My=>PAX(l — 2a) = Pixb\
Ц мом. г=0, — Мг — 3WM-=0, Мг«—gwte.
Третий участок Bа < 2 €^ /). Рассматриваем равновесие второй части стержня
(рис. 1.42, г):
Ц пр. г/=0, Qy-
Емом. а:' = 0, Mj,
Цмом. ^/' = 0, — M^ ^
при 2=2а Му = Р4ХA—2а) = РАХЬ; при г = / М^=0;
Емом. 2 = 0, МГ = 0.
На рис. 1.42, д показаны эпюры усилий.
§ 1.16. Понятие о самоуравновешенных внутренних силах
в поперечном сечении бруса
В общем случае распределения внутренних сил по поперечному
сечению стержня их можно разбить на две части, первая из них
можеть быть определена средствами сопротивления материалов,
вторая же представляет собой остаток, не улавливаемый аппаратом
этой науки. В свою очередь первая часть напряжений может быть
разбита на шесть долей с таким расчетом, чтобы каждая из них
участвовала в образовании только одного из шести внутренних
усилий N, MXf Myi QXf Qyf Mg. Очевидно, что второму слагаемому
напряжений, не улавливаемому аппаратом сопротивления мате-
материалов, соответствуют нулевые внутренние усилия. Поясним ска-
сказанное на примере.
Рассмотрим сначала нормальную составляющую внутренних сил
в поперечном сечении бруса. Пусть интенсивность аг этой состав-
составляющей внутренних сил в пределах поперечного сечения выражается
следующей функцией:
2Ъ 2с . 4d ,, lm
xy]xy. A.10)
Функции A.10) соответствует распределение напряжений, пока-
показанное на рис. 1.43, а.

§ 1.16]
САМОУРАВНОВЕШЕННЫЕ СИЛЫ В СЕЧЕНИИ БРУСА
77
Разобьем эпюру на четыре изображенных на рис. 1.43, б, в, г, д
слагаемых:
A) i ~B) i ~C) | _(ост) /1 ii\
О г = (Jz -f- Gz -\- Gz -f- Gz . A.11)
У последнего из них верхний индекс (ост) указывает на то, что
это есть отмечавшийся выше остаток.
Для этих слагаемых характерно следующее:
J ozdF=N,
M(t> = ^o'zl>x
oz3)
N ^0CT) = $ a<0CT) dF = О,
ozx dF
т) = ^
0,
A.12)
Первое слагаемое ozv создает только продольную силу, — такую
же по величине, как и продольная сила, создаваемая суммарной
эпюрой ог.
Второе слагаемое of создает только изгибающий момент отно-
относительно оси х, — такой же по величине, как и изгибающий момент
относительно оси х, создаваемый суммарной эпюрой о2.
Третье слагаемое создает только изгибающий момент относительно
оси у, — такой же по величине, как и изгибающий момент относи-
относительно оси у, создаваемый суммарной эпюрой ог.
Наконец, остатку, называемому самоуравновешенной системой
внутренних сил в поперечном сечении бруса, соответствует статичес-
статический эквивалент, равный нулю:
Первые три слагаемых изображены эпюрами, представляющими
собой плоскости, поэтому и их сумма также изображается эпюрой в
виде плоскости (пунктирная линия на рис. 1.43, а).
Таким образом, какою бы ни была суммарная эпюра о2, всегда
можно провести такую плоскость, которая отсечет (в алгебраичес-

78
ВВЕДЕНИЕ
ГГЛ. I
ком смысле) от нее статически эквивалентную ей часть. Разность
суммарной эпюры и эпюры, соответствующей этой плоскости, пред-
представляет собой эпюру самоуравновешенных внутренних сил. Если
Рис. 1.43. Распределение нормальных напряжений по поперечному сечению бруса)
а) суммарная эпюра; б) первое слагаемое напряжений, соответствующее N; в) второе вла-
влагаемое, соответствующее Мх; г) третье слагаемое, соответвтвующее М : д) остаток — само-
самоуравновешенная сиотема внутренних сил.
действительная эпюра изображается плоскостью, то самоуравнове-
самоуравновешенный остаток равен нулю.
Разумеется, поперечные силы и крутящий момент, образующиеся
лишь из сил, лежащих в плоскости поперечного сечения, ни одним
из слагаемых A.11) не создаются.
Кроме только что обсужденной нормальной соетавляющей внут-
внутренних сил имеется еще и касательная составляющая, которую, ана-

$ 1.161
САМОУРАВНОВЕШЕННЫЕ СИЛЫ В СЕЧЕНИИ БРУСА
логично рассмотренному выше, тоже можно представить в виде
четырех слагаемых:
т = т<4) 4- т'5) 4- тF) 4- т<ост>
VY VY ' 7.Х ' 7Х ' УУ
A.13)
т = тD> 4- тE) 4- т<6> 4- т(ост)
*гу *zy • *гу ~ гу ~ гу • )
Слагаемое с индексом D) создает Qx, с индексом E) — Qy, с индек-
индексом F) — М2, а последнее — остаток — является самоуравнове-
самоуравновешенным:
? = [(Tz°xy—
g(ост) = f
= 0) Q(ост) = f т(ост) dF=
т) = f т(
Mz° CT>
=0.
A.14)
При этом имеется в виду, что
A.-15)
На рис. 1.44 изображен пример, в котором показаны эпюры
касательных напряжений лишь по двум перпендикулярным линиям
поперечного сечения.
Самоуравновешенные остатки, соответствующие нормальной
(а<,ост>) и касательной (т<г°ст>, т<^ст>) составляющим, можно объединить.
Выше были показаны шесть долей несамоуравновешенных напря-
напряжений, из которых три (A), B), C)) содержат лишь доли нормальной
составляющей и образуют соответственно N, Мх и Му, три (D),
E), F)) — лишь доли касательных составляющих и образуют соот-
соответственно Qx, Qy и Mz.
Сказанное относится к самому общему случаю напряженного
состояния бруса. В частных же случаях отдельные из шести долей
иесамоуравновешениых напряжений и остаток (самоуравновешен-
(самоуравновешенные напряжения) могут вовсе отсутствовать.

80
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Существенно то, что средствами сопротивления
материалов представляется возможным ана-
анализировать лишь шесть первых долей неса-
моуравновешенных напряжений, остаток
же—самоуравновешенные напряжения —
выходит за рамки возможностей элементар-
элементарной теории сопротивления материалов. В тех
случаях, когда имеются основания считать, что (как это станет
iflfffi»
¦¦"
¦*»
•*•
¦*-
I
^Ч
1
МттМттМ
Г"
1
:
•
Рис. 1.44. Распределение касательных напряжений по поперечному сечению бруса!
а) суммарная эпюра; б) первое слагаемое, соответствующее Qx; в) второе слагаемое,
соответствующее Q ; г) третье слагаемое, соответствующее М? д) остаток — еамрурав-
новешенная система сил
новешенная система сил.
ясно из материала последующих глав) остаток является существен-
существенным, приходится прибегать к средствам теории упругости.
Подчеркнем, что если для анализа напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния стержня (бруса) используется аппарат теории упру-
го,сти, то обычно находится не отдельно отмеченный остаток,
а сразу полные величины напряжений сгг, xzx и хгу, при этом под-
подход к определению напряжений в принципе отличается от при-
применяемого в сопротивлении материалов: вовсе не вводятся и, сле-
следовательно, не используются понятия интегральных внутренних
усилий Ч (Qx, ... , Mz).
В качестве исключения можно указать на тонкостенные стержни,
для которых некоторую долю самоуравновешенных нормальных
напряжений удается определить не средствами теории упругости,
а элементарной теории, путем принятия некоторых новых, по сравне-
сравнению с обычными для теории стержней, гипотез.
. 1) Заметим, что стандартная система внутренних усилий в виде интегральных
факторов, аналогичных рассмотренным выше для стержней, вводится и в теории
пластин н оболочек.

i 1.17)
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТОЧКИ ТЕЛА
81
Завершим обсуждение вопроса о самоуравновешенных внутрен-
внутренних силах следующим замечанием. В изображенном выше .примере
каждое из слагаемых o<f> соответствовало отдельным членам функ-
функции A.10) для az. Это явилось следствием лишь того, что функция
az специально была представлена в виде суммы членов, каждый
Рис. 1.45. Распределение нормальных напряжений по поперечному сечению бруса»
а) суммарная эпюра; б) первое слагаемое, соответствующее /V; в) самоуравновешенный
пстятпк
остаток.
из которых точно соответствовал одному из слагаемых а?>. Однако
легко привести примеры, в которых одному члену функции сг
соответствует не один, а большее число слагаемых о<0." Пусть,
например,
Этому одночлену соответствуют два слагаемых:
Эпюры сгг, о» и сг(°ст> показаны на рис. 1.45. Легко удостовериться
что
0,
§ 1.17. Понятие о перемещении точки тела.
Составляющие перемещения. Правило знаков
Тело под воздействием прикладываемых к нему сил меняет
свои размеры и форму, или, как говорят, деформируется. В нем
изменяется относительное расположение отдельных его частиц
вследствие их перемещения в пространстве.
Можно представить и такое перемещение точек тела, при кото-
котором относительное их расположение не изменяется. В этом случае
имеем перемещение, но нет деформации тела — тело перемещается

82 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
как жесткое целое. Итак, перемещение не всегда сопровождается
деформацией. Однако деформация тела немыслима
без перемещения его точек.
Пусть имеем некоторое тело, закрепленное от перемещения
как жесткого целого. Отметим в нем, до приложения к нему сил,
т. е. до деформации тела, некоторую
точку А. В результате воздействия на
тело внешних сил тело деформируется.
Пусть при этом точка А тела перемес-
переместилась в положение At в пространстве.
Вектор ААХ называется перемещением,
у *— чг^^г.- точки А (рис. 1.46). Пусть с телом связана
/ декартова система координатных осей
У хуг, в этой системе перемещение точ-
тела н-е?о сос^авл^щие (Гоб" КИ А (Т- е- ВеКТ0Р TAl) М0ЖН0 РЗЗЛОЖИТЬ
ражены положительными). на СОСТЭВЛЯЮЩИе U, V И W, ПОЛОЖИТеЛЬ-
ные, если они направлены в сторону
положительных значений на параллельных им осях. Составляющие
и, v и w являются функциями координат точек тела:
и = и{х, у, z), v = v(x, у, z), w = w(x, у, г).
§ 1.18. Понятие о деформации тела в точке
Вблизи каждой точки тела картина деформации может быть,
вообще говоря, отличной от деформации в окрестности других точек.
Отметим два понятия, характеризующих деформацию тела вблизи
любой его точки С. Рассмотрим до деформации тела вблизи
точки С линейный элемент CD, располагающийся вдоль некоторого
направления г (рис. 1.47, а). Под внешним воздействием точки тела
перемещаются, тело деформируется. В частности, перемещаются и
точки С и D, занимая новое положение в пространстве (Сх и DJ.
Расстояние между точками в общем случае изменяется. Величину
е
г
CD
называют относительной линейной деформацией в точке С вдоль
направления г.
В различных направлениях, проходящих через точку С, величина
ег в общем случае различна.
Рассмотрим два бесконечно малых линейных элемента тела
&rx = CD и dr2 = СВ, расположенных до деформации тела вдоль
двух взаимно перпендикулярных направлений rt и гг (рис. 1.47, б).
Под внешним воздействием точки C,BwD перемещаются и занимают
новое положение в пространстве (Сг, Вг и D,). Угол между СлВх и
Cfii отличен, вообще говоря, от прямого и равен я/2 — уГ{Г,. Вели-

1.191
ДЕФОРМАЦИЯ И ПОВОРОТ В ТОЧКЕ ТЕЛА
83
чина Y/-,/-, — изменение угла между двумя первоначально перпен-
перпендикулярными элементами drx и drz, ориентированными вдоль направ-
направлений rt и тг и проходящими через точку С тела, — называется
о)
Рис. 1.47. Деформации в окрестности точки тела; а) линейная деформация: б) угловая
деформация.
угловой деформацией между направлениями тх и г2 или, иначе,
сдвигом между указанными направлениями в точке С. Угол ynri
можно представить как сумму двух углов (рис. 1.47):
Если рассматривать различные пары взаимно перпендикулярных
до деформации направлений, проходящих через точку С, то сдвиги
между ними в общем случае оказываются различными.
§ 1.19. Понятие о повороте элемента в окрестности точки тела
Величина 1/г (at — a2) (at и a2 см. на рис. 1.48) характеризует
поворот элемента относительно оси, перпендикулярной плоскости
/у2 (рис. 1.48).
Рис. 1.48. Поворот элемента в окрестности гочкн тела;
/ — биссектриса прямого угла, 2 — биссектриса угла
BtdDt, угол Vi (<Xi — a») — угол поворота биссектрисы
(на рисунке этот угол отрицательный).
л/г-
Рис. 1.49. Поворот элемента
без сдвига.
Углы ах и сс2, изображенные на рис. 1.48, положительны. Если
< 0, о^ > 0 и а, = | а21, то будем иметь картину, показанную

84
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
на рис. 1.49 и характерную тем, что поворот элемента произо-
произошел без сдвига. Так, например, поворачиваются любые элементы
балки при чистом изгибе (рис. 1.50).
Рис. 1.50. [Пример деформации стержня, при которой имеют
место повороты элементов без сдвигов.
§ 1.20. Расчеты по деформированной и недеформированной
схемам
Рассмотрим задачу об определении усилий в стержнях про-
простейшей консольной фермы (рис. 1.51, а).
Получим решение этой задачи с учетом деформируемости стерж-
стержней и выясним, является ли этот учет в данном случае существенным.
Удлинение
стержня!
а)
Укорочение
стержняё
Рис. 1.51. К определению усилий в стержнях: а) по недеформированнвй вхеме б) по де-
деформированной схеме.
Стержень / под влиянием силы Р растягивается, т. е. удлиняется,
стержень 2 сжимается, т. е. укорачивается, вследствие этого узел
А перемещается (рис. 1.51, б).
Рассмотрим равновесие узла в деформированной системе:
? пр. хх = 0, - Щ cos (а' - Р) - N*> + Р sin р" = 0;
N1 = — Щ cos (а' - р) + Р sin p, N%= —P cos pctg (а' - р) -f Я sin p.

§ 1.20] РАСЧЕТЫ ПО ДЕФОРМИРОВАННОЙ СХЕМЕ 85
Если деформации малы, а с такой ситуацией и приходится
в подавляющем большинстве случаев иметь дело на практике, то
Р » 0 и а' « а, при этом
sinP«aO, cosP«a], ctg (а'— Р) «^ ctg а, sin (а' — P)«asina.
При таком условии
N1*N ^^N
Определение усилий N* и WJ значительно сложнее определения
усилий Nt и N2, так как углы а' и Р, входящие в выражения для
N* и Wf, не являются заданными, они зависят от того, насколько де-
деформировались стержни, а деформация стержней зависит от неиз-
неизвестных еще усилий N* и N%; таким образом, углы а' и р приходится
выражать через определяемые усилия. Уравнения относительно
N* и Щ получаются очень сложными. Условия р » 0 и а' « а
эквивалентны тому, что расчетная схема для определения усилий
рассматривается в недеформированном состоянии.
Усилия N* и Щ определены с учетом деформируемости стержней,
т. е. по деформированной схеме, а Nx и N% найдены без учета деформи-
деформируемости стержней, т. е. по недеформированной схеме. В случае
малости р и малого отличия а' от а величина Wjf практически не
отличается от Nx, аЩ — от N2. Как видно, под малой в данном слу-
случае понимается такая деформация, при которой изменение углов
наклона стержней практически не приводит к изменению тригоно-
тригонометрических функций этих углов; такое малое изменение углов
связано с малостью перемещения узла А, а последнее, в свою оче-
очередь, — с малостью удлинения стержня 1 и укорочения стержня 2.
В дальнейшем будем отличать малость деформации материала
в конструкции от малости деформации конструкции в целом. Пер-
Первая состоит в том, что относительные линейные деформации ег
в любом из направлений, а также относительные угловые деформа-
деформации Yr,r2 между любыми ортогональными направлениями в каждой
точке тела малы по сравнению с единицей.
Под малостью же деформации конструкции в целом будем пони-
понимать малость перемещений ее точек по сравнению с габаритными
размерами конструкции.
Можно указать примеры, когда деформации материала ег и упГ2
малы по сравнению с единицей, а в элементе в целом, выполненном
из этого материала, перемещения точек не малы по сравнению с габа-
габаритными размерами. Одним из таких примеров может служить тон-
тонкий, первоначально прямолинейный стальной стержень, сгибае-
сгибаемый в кольцо (табл. 1.4, строка 3). Действительно, в изгибаемом
стержне осевые волокна не испытывают ни удлинения, ни сжатия.
С другой стороны, в силу малости толщины полосы наружные и
внутренние волокна мало отличаются по длине от осевого волокна;

86
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
следовательно, относительные линейные деформации волокон малы,
повороты же элементов велики (элемент, расположенный у торца
полосы, повернулся на 180°). Иными словами,из малости деформаций
материала (малости ег и уг,г,) еще не следует малость перемещений
точек конструкции. Малость же перемещений точек конструкции
мыслима лишь при малости деформаций материала.
Можно отметить четыре комбинации в величинах деформа-
деформаций материала и поворотов; каждой из них соответствует либо ма-
малая, либо большая величина перемещений точек конструкции (см.
табл. 1.4).
Таблица 1.4
1
2
3
4
Линейная отно-
относительная де-
деформация по
сравнению
с единицей
Мала
Не мала
Мала
Не мала
Повороты
в радианах
по сравнению
с единицей
Малы
Малы
Не малы
Не малы
Перемещения
точек тела
по сравнению
с габаритными
размерами тела
Малы
Не малы
Не малы
Не малы
Примеры
( |-_
>
[ )
О
\ .)
D_ ..J
)
Первому случаю соответствует малый изгиб балки. Второму —
большое растяжение стержня. Третий случай пояснен выше. На-
Наконец, четвертый случай может быть проиллюстрирован значитель-
значительным изгибом негибкой балки. -м-
Итак, в случае больших перемещений расчет следует вести по
деформированной схеме — в частности, записывать уравнения рав-
равновесия с учетом деформации системы *). В такой постановке все
г) Заметим, что в расчетах на устойчивость и при малых перемещениях
расчет ведется по деформированной схеме (см. гл. XVIII).

• 1.21] СТАТИЧЕСКАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ СИСТЕМЫ 87
проблемы механики деформируемых тел являются статически не-
неопределимыми — для их разрешения одних уравнений равновесия
статики недостаточно. Сами искомые внутренние усилия зависят
от деформации отдельных частей системы, и при этом согласованной
деформации, а деформации в свою очередь зависят от искомых уси-
усилий. Таким образом, уравнения получаются нелинейными, труд-
трудность возникает как при составлении, так и при решении их.
§ 1.21. Статически определимые и статически неопределимые
системы
В случае малости перемещений уравнения равновесия относи-
относительно внутренних усилий (Qx, ... , Мг), в том числе в связях,
могут быть составлены по недеформированной схеме, при этом они
получаются линейными, и все системы могут быть разбиты на два
класса: статически определимые и статически неопределимые.
В первом из них уравнений равновесия статики достаточно для
определения всех неизвестных усилий. Во втором — этих уравне-
уравнений меньше, чем неизвестных усилий. В качестве иллюстрации рас-
рассмотрим следующий пример.
б)
Рис 1.52. Пример статически неопределимой системы:
а) общий вид; б) усилия в подвесках.
Представим себе, что некоторое тело весом Р, которое можем
считать абсолютно жестким, подвешено на трех нерастяжимых
нитях (рис. 1.52; а). Усилия в нитях неизвестны. Учитывая парал-
параллельность всех сил и то, что все они лежат в одной плоскости,
получаем два уравнения равновесия тела (рис. 1.52, б):
Задача не может быть решена при помощи одних уравнений
статики, такая система статически неопределима — число неиз-
неизвестных превышает число уравнений статики. Решить эту за-
задачу средствами теоретической механики невозможно. Можно пока-
показать, что если не рассматривать деформации нитей, т. е. считать
их нерастяжимыми, то найти усилия в нитях невозможно. Действи-
Действительно, если крайние нити короче средней на сколь угодно малую

88
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
величину Д, то средняя нить не натянута и весь груз передается
на крайние нити, тогда Nx ¦= N3 = P/2, N2 = 0. Будем называть
этот случай первым. Если средняя нить короче крайних на сколь
угодно малую величину А, то крайние нити не натянуты и весь
груз передается на среднюю нить, при этом Nt = N3 = 0, N2 = P.
Этот случай будем называть вторым. Чтобы перейти от первого
случая ко второму, нужно удлинить сред-
среднюю нить на бесконечно малую величи-
величину, т. е. бесконечно малое изменение
длины влечет за собой конечное измене-
изменение в распределении усилий, что является
абсурдным. Так как длина нитей абсолютно
одинаковой быть не может, то всегда имеет
место либо первый, либо второй случай *).
В идеальном случае абсолютного равенства
длин нитей задача неразрешима. Такой
ответ дает теоретическая механика. Если
же учесть деформируемость нитей, как
это делается в сопротивлении материа-
материалов, то задача становится разрешимой.
Пусть нити изготовлены одинакового сече-
сечения. Так как подвешенное тело бесконечно
жестко и система симметрична, все три нити
удлиняются одинаково. При одинаковых
удлинениях в одинаковых нитях и сопро-
сопротивления указанным удлинениям во всех
нитях оказываются одинаковыми, т. е. в ни-
нитях возникнут и одинаковые усилия
Nt = N2 = N3; отсюда, используя, кроме
того, и приведенные выше уравнения
статики, получим Nt = N2 = N3 — Р1Ъ.
При учете деформируемости нитей малая разница в их длинах
приведет-к малому различию и в усилиях в них.
В дальнейшем статически неопределимые системы будут рас-
рассмотрены подробно и будет дан общий метод их расчета. Сейчас
же мы познакомились с задачей такого типа, чтобы уяснить специ-
специфику подхода к решению задач методом сопротивления материалов,
отличающую эту науку от теоретической механики и состоящую
в рассмотрении условий деформации. Вместе с тем показано, что
при решении задачи методом сопротивления материалов, используют-
используются уравнения равновесия теоретической механики, исходя из прин-
принципа отвердения.
Относительно Qx Мг задача всегда статически определима
в малом, т. е. при рассмотрении бесконечно малого элемента стержня.
J) Giyiaft, когда все три нити разной длины, можно рассматривать либо как
случай I, либо как случай II (рис. 1.53).
Рис. 1.53. Работа статически
неопределимой системы в
случае недеформируемостн
ее элементов н неточности
изготовления их: / — конец
вытянутой ннти, 2 — очень
малый угол (идея анализа
примера принадлежит
Ю. Н. Работиову).

$ 1.22] ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ 89
В большом же, т. е. при рассмотрении всей системы, задача отыска-
отыскания Qx, ... , Mz в одних случаях статически определима, а в других—
статически неопределима, в зависимости от характера закрепления
стержня, в котором ищутся усилия. Если граничные условия
(условия в опорных закреплениях) выражены через силы, то задача
статически определима; если же через перемещения, то статически
неопределима. Если же ищутся напряжения в отдельных точках
стержня, действующие на той или иной площадке, то такая проблема
всегда статически неопределима (см. § 2.3).
§ 1.22. Принцип независимости действия сил
Малость деформаций элементов и систем позволяет сделать еще
одно существенное упрощение. Представим себе, что к консольной
ферме (рис. 1.54) приложена сила Рь после чего прикладывается
сила Рг. Возникает вопрос: чему будут равны усилия в стержнях
фермы в результате приложения обеих сил? При определении уси-
усилий от силы Рг в связи с тем, что деформация мала, можно не учи-
учитывать изменения рисунка, образуемого стержнями фермы, т. е.
не учитывать ее деформацию. Так как в ре-
результате приложения силы Рх деформация
мала, то и при определении усилий от силы Р2
подход остается таким же. Следовательно,
ввиду малости деформации можно считать,
что усилие в некотором стержне при дейст-
действии обеих сил Pi и Р2 равно сумме усилий
в этом стержне, возникающих в двух случаях:
ПРИ ДеЙСТВИИ ТОЛЬКО СИЛЫ Р, И ТОЛЬКО СИЛЫ Рис- '-54- Система, за-
_. «-- u . Гру Ж6ННЗ.Я Двумя СИ'
Р2. В этом состоит так называемый принцип лами.
независимости действия сил. Этот принцип
справедлив лишь при малых деформациях системы, т. е. при ма-
малых перемещениях ее точек. Можно привести, однако, примеры,
когда этот принцип несправедлив и при малых перемещениях.
Рассмотрим гибкий стержень, подверженный одновременному
действию двух нагрузок: поперечной и значительной по величине
продольной (рис. 1.55). При действии на такой стержень лишь силы
Ри он испытывает только растяжение. Если же на стержень дейст-
действует одна лишь сила Р1у, то стержень изгибается, имея прогиб на
конце консоли v (/)• При одновременном действии сил Ри и Р1у изгиб
стержня происходит с меньшими прогибами: на конце стержня
вместо v (/) будет v* (/); v* (I) < v ([), так как сила Ри создает
изгибающий момент, равный Ри [v* (/) — v* (г)], имеющий знак,
противоположный знаку изгибающего момента, создаваемого силой
Р1у: Р1у (I - г).
В главе XIII случай одновременного действия на гибкий стержень
и продольлых и поперечных внешних сил рассматривается подробно,

90
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
там же обсуждается и причина неприменимости в этом случае прин-
принципа независимости действия сил.
Выше была обсуждена применимость или неприменимость прин-
принципа независимости действия сил для статически определимых сис-
систем. Если же система статически неопределима, то для применимости
б)
У
'////////
Рис. 1.55. Пример системы, для которой принцип независимости действия сил может
дать большую погрешность: а) стержень, загруженный силами Р г и Р^у (вид до дефор-
деформации); б) деформация стержня при действии на него одной силы P]Z; в) деформация
стержня при действии на него одной силы Pju; s) деформация стержня при одновре-
одновременном действии на него сил Р1г и Рщ,
этого принципа одной малости деформации системы (малости пере-
перемещений ее точек по сравнению с габаритными размерами) недо-
недостаточно. Необходимо, кроме того, соблюдение линейности зави-
зависимости а = а (е).
В дальнейшем, как правило, будут рассматриваться системы,
к которым принцип независимости действия сил применим; в тех
случаях, когда этот принцип не может быть использован, будет
делаться особая оговорка.

Глава II
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
§ 2.1. Предварительные замечания
В настоящей главе рассматривается осевая деформация, т. е.
растяжение или сжатие, прямолинейного стержня. Такая деформа-
деформация возникает, если все внешние нагрузки, приложенные к стержню,
приводятся только к силам, точки приложения которых лежат на
оси стержня, а линии их действия совпадают с последней. При
этом возникает лишь продольная сила N = N (г); все остальные
внутренние усилия Qx, Qy, Мх, Му, Мг в любом из сечений равны
нулю.
На примере осевой деформации стержня, учитывая, что она изу-
изучается первой, пояснены многие положения, справедливые для
всех видов элементарной деформации.
Приводятся в минимальном объеме некоторые сведения об экс-
экспериментах с образцами из различных материалов, необходимые
для введения основных понятий, в частности условия прочности,
закона Гука и др.
Более подробное описание результатов экспериментов дается
в главе IV, специально посвященной механическим свойствам ма-
материалов.
§ 2.2. Характер деформации при растяжении
или сжатии призмы
Проследим за наблюдаемой в опыте деформацией растяжения
резиновой прямоугольной призмы. Призма взята резиновой с целью
получения достаточно наглядной картины деформации. На боковой
поверхности краской нанесена.сетка тонких линий; одна система
их параллельна продольным ребрам призмы, другая — им перпен-
перпендикулярна. Растягивающие силы равномерно распределены по
торцам (рис. 2.1). Равнодействующая нагрузки, приложенной к

92
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
торцу, равна Р. Деформация призмы состоит в увеличении длины и
уменьшении поперечных размеров. Прямые линии, образующие
сетку на боковой поверхности призмы, остаются прямыми. Расстоя-
Расстояние между любыми двумя соседними продольными линиями равно-
равномерно по ширине призмы уменьшается, а между поперечными —
равномерно по длине увеличивается. Торцы остаются плоскими.
Характер деформации при сжатии аналогичен, но происходит уко-
укорочение и поперечное расширение призмы.
/t
1
1
I
L
о)
Ряс. 2.1. Деформация призмы, растяги-
растягиваемой силами, распределенными равно-
равномерно по торцам: а) призма до деформа-
деформации; б) после деформации; F — площадь
основания призмы.
Рис. 2.2. Деформация призмы, растяги-
растягиваемой силами, приложенными к торцам]
а) одна сосредоточенная сила Р в центре
торца; б) четыре силы по Р/4 в четырех
углах торца.
Все продольные волокна растягиваются (сжимаются) одинаково
и при этом равномерно по длине, вследствие чего поперечные се-
сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и в ре-
результате ее. Такая картина в случае равномерного распределения
сил Р по торцам наблюдается и при любой другой произвольной
форме поперечного сечения призмы и любом отношении длины
призмы к размеру поперечного сечения х).
Иной получается картина деформации, если растягивать (сжи-
(сжимать) прямоугольную призму силами Р, распределенными по тор-
торцам неравномерно. Если силы приложены к центрам торцов сосре-
х) В случае сжатия имеется в виду такое отношение длины стержня к попереч-
поперечным размерам, при котором еще ие происходит выпучивания стержня. Это условие
принято во всей главе II.

J 2.3] СТАТИЧЕСКАЯ НЕОПРЕДЕЛИМОСТЬ НАПРЯЖЕНИЯ 93
доточенно, то картина деформации выглядит так, как это показано
на рис. 2.2, а. В случае растяжения призмы четырьмя силами,
приложенными по углам торца, каждая из которых равна /V4,
картина деформации имеет вид, показанный на рис. 2.2, б. Каж-
Каждому закону распределения растягивающей нагрузки по торцу
соответствует своя собственная картина деформации. Во всех слу-
случаях, когда силы распределены по торцам неравномерно, попереч-
поперечные сечения в результате деформации призмы перестают быть плос-
плоскими.
Обнаруживается следующий факт: в сравнительно небольшом
удалении от торцов, каков бы ни был закон распределения нагрузки,
растягивающей (сжимающей) призму, характер деформации практи-
практически оказывается неизменным: сечения практически ос-
остаются плоскими, и расстояния между ними получаются одинако-
одинаковыми, если и до деформации в сопоставляемых призмах они были
равны друг другу. При этом должно быть соблюдено лишь условие,
что равнодействующая сил, приложенных к торцу, проходит через
центр тяжести его и величина этой равнодействующей во всех срав-
сравниваемых случаях одинакова.
§ 2.3. Статическая неопределимость закона
распределения напряжений
Одному и тому же значению N формально, если исходить лишь
из равновесия, может соответствовать бесчисленное множество
различных по виду эпюр распределения по поперечному сечению
внутренних сил. Во всех трех случаях, показанных на рис. 2.3,
продольная сила, соответствующая эпюре сгг, одинакова: N ** Р.
Таким образом, для того чтобы иметь возможность находить рас-
распределение внутренних сил, или, иначе, эпюру напряжений, по
поперечному сечению бруса, нужно знать не только величину уси-
усилия N. Для отыскания закона распределения внутренних сил по
поперечному сечению бруса одних уравнений статики недостаточно.
Система относительно этого закона статически неопределима, в то
время как относительно величины N, в зависимости от характера
закрепления стержня, в одних случаях она может быть статически
определимой, а в других — статически неопределимой. Все три
эпюры, изображенные на рис. 2.3, а, б, в статически возможны —
они удовлетворяют условиям равновесия. Количество таких стати-
статически возможных эпюр бесконечно. Но лишь одна из них является ¦
действительной.
Мысленно рассечем брус на части и приложим к каждой из них
распределенные внутренние силы взаимодействия (рис. 2.4 и 2.5)*),
*) На рис. 2.4, г, 2.5, б, 2.6, д, 2.6, е изображены лишь нормальные напряже-
напряжения. Кроме них в поперечных сечениях возникают и самоуравновешенные, в пре-
пределах этих сечений, касательные напряжения.

94
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
т. е. переведем внутренние силы в категорию внешних по отношению
к частям бруса. Из бесчисленного количества для каждого сечения
статически возможных эпюр аг действительными являются лишь
эпюры (по одной в каждом сечении), которым соответствует согла-
согласованная деформация отдельных частей бруса. Подразумевается,
что при согласованной деформации из отдельных, уже подвергну-
подвергнутых деформации, частей можно составить сплошной стержень
(рис. 2.4 и 2.5). Согласованность деформации иначе можно назвать
совместностью деформаций. Условия совместности деформаций
являются теми дополнительными, которые
вместе с условиями равновесия бесконечно
малого элемента тела с размерами dx, dy udz
(см. гл. V) позволяют найти величину и закон
распределения усилий в теле. Пояснение
этого положения дано на,рис. 2.6. Разу-
Разумеется, при этом надо знать закон, связы-
связывающий напряжения с деформациями.
К заметному нарушению совместности де-
деформаций приводит предположение о равно-
равномерном законе распределения напряжений по
поперечным сечениям и вблизи резкого пере-
перехода от одного сечения бруса к другому
(рис. 2.7, а) или в районе ослабления бру-
бруса отверстиями (рис. 2.7, б), выточками
(рис. 2.7, в). На рис. 2.8 даны действительные
эпюры распределения напряжений по попе-
поперечным сечениям брусьев, изображенных на
рис. 2.7.
Из рассмотрения рис. 2.7, где показан
характер несогласованности деформаций от-
отдельных элементов брусьев, легко уяснить,
какие изменения должны быть внесены в эпюры равномерно распре-
распределенных напряжений, принятые на рис. 2.7, для того, чтобы до-
добиться совместности деформаций. Так, например, ясно, что для
ликвидации показанной на рис. 2.7, б щели между элементами, под-
подвергнутыми деформации, необходимо приложить усилия вблизи
круглого отверстия; при этом элементы будут упираться друг в друга
в крайних точках /. Вблизи точек / вследствие этого возникает
сжатие. Если теперь на эпюру равномерно распределенных напря-
напряжений по ослабленному сечению, принятую первоначально, нало-
наложить растягивающие напряжения вблизи отверстия и сжимающие
вблизи краев, то мы и получим окончательную эпюру, показанную
на рис. 2.8, б.
Элементы, на которые можно разбить брус поперечными сече-
сечениями, будучи подвергнуты воздействию распределенных сил,
взятых по эпюрам, указанным на рис. 2.8, испытывают деформацию,
Рис. 2.3. Различные (из
бесчисленного множества)
законы распределения на'
пряжений по сечению,
удовлетворяющие усло-
условию эквивалентности
N — Jo dF.

$ 2.3]
СТАТИЧЕСКАЯ НЕОПРЕДЕЛИМОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙ
96
а)
\- -
i |
H H
r
I 1
- -I
I I
t- 1
uzz:
4^
V
" Рис 2.4. Распределение напряжений в поперечных сече-
сечениях растягиваемого бруса: а) бруо, растягиваемый рас-
распределенными по торцам силами; б) бруо, растягиваемый
сосредоточенными силами; в, г) испытавшие деформацию
элементы бруса в случаях а, б) соответственно и распре-
распределение напряжений в поперечных сечеинях.
в) Р
I
___. ,
I
p
МММ
МММ
IfUM
г
г
Рас 2.5. Картина деформа-
деформации элементов и распределе-
распределение напряжений в попереч*
ных сечениях сжимаемого
бруса: а) при равномерном
распределении сил по тор-
торцам; б) при действии сосре-
сосредоточенных сил.
в)
Рас. 2.6. К вопросу о распределении напряжений и совместности деформаций в брусе)
а) брус, растягиваемый сосредоточенными силами; б) ошибочно предполагаемая картина
распределения напряжений; в) деформация »лементов, соответствующая ошибочному
предположению о распределении напряжений; г) несогласованность деформации элемен-
элементов 11—23 и 22—33 (отсутствие совместиостм деформаций) прн ошибочно предполагаемом
распределении напряжений; д) действительное распределение напряжений; е) деформация
мемеитов, соответствующая действительному распределению напряжений; ж) согласо-
согласованность деформации элементов //—22 н 22—33 (соблюдение совместности деформаций)
прн действительном законе распределевня напряжений.

96
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
i
-От
Рис. 8.7. Картина деформации элементов плоских брусьев, соответствующая предполо-
предположению о равномерном распределении напряжений по поперечным сечеиням (нарушение
««местности деформаций): а) брус ступенчато-переменного сечения; б) брус с круглым
отверстием; в) брус с выточками, имеющими полукруглое основание.
—I
Ь-JU-рг
( —-4
|
ш
Рас. 1,8. Действительные эпюры напряжений в поперечных сечениях брусьев: а) бруо
ступенчато-переменного сечения; б) брус с круглым отверстием; в) брус с выточками.

§ 2.4] ГИПОТЕЗА ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 97
согласованную с деформацией соседних элементов. Из таких элемен-
элементов можно сложить сплошной деформированный брус без щелей.
Условия совместности деформаций формулируются не для элемента
стержня, ограниченного двумя поперечными сечениями, а для эле-
элемента с размерами dx, dy, dz и в аналитической форме выражаются
дифференциальными уравнениями. Вывод их дан в главе VI. Однако
в сопротивлении материалов ими не пользуются и задача решается
элементарными средствами. Вместо строгого соблюдения условий
совместности деформаций принимают определенные гипотезы о
характере деформации, упрощающие действительную ее картину.
§ 2.4. Гипотеза плоских сечений
Выше отмечалось, что в случае неравномерного распределения
по торцам нормальных сил сечения перестают быть плоскими
(депланируют). Однако на большей части длины стержня, за исклю-
исключением частей, примыкающих к торцам^, сечения практически сх>
таются плоскими. Если к промежуточному поперечному сечению
стержня приложена неравномерно распределенная нагрузка, сво-
сводящаяся к силе, действующей вдоль его оси, то заметные от-
отклонения от плоской формы сечений наблюдаются и вблизи этого
промежуточного сечения. Возмущения имеются в районах измене-
изменения сечений, в том числе — ослаблений. Однако при сравнительно
небольшом удалении от всех этих мест возмущений поперечные
сечения стержня при деформации практически остаются плоскими.
Поэтому можно принять упрощающую расчет гипотезу о том, что
при растяжении или сжатии стержней по-
поперечные сечения, плоские до деформации,
остаются плоскими и параллельными друг
другу и после деформации. Эта гипотеза носит на-
название гипотезы плоских сечений (гипотеза Мариотта — Бернулли) г).
Применительно к телам, имеющим форму брусьев, в сопротивлении
материалов она заменяет собой условия совместности деформаций,
используемые при решении задачи о распределении напряжений
в более точной науке — в теории упругости. Такая замена, есте-
естественно, приводит к искажению истинной картины распределения
напряжений, ощутимому лишь в указанных выше областях.
В том случае, когда внешние силы приложены лишь к торцам
призматического стержня и при этом равномерно распределены по
их площади, гипотеза плоских сечений выполняется строго, т. е. яв-
является законом плоских сечений, справедливым при любом 2) отно-
отношении длины стержня к размеру поперечного сечения.
1) Ф. Мариотт (F. Mariotte, 1620—1684)—французский физик.
Яков Бернулли-старший (Jacov Bernoulli, 1654—1705)—швейцарский
ученый-математик, принадлежащий талантливой семье, давшей иауке несколько
выдающихся ученых, среди которых он был старшим.
2) См. примечание на стр. 92.
4 А. П. Филин

98 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
§ 2.5. Формула для нормального напряжения
в поперечном сечении растянутого (сжатого) стержня
В соответствии с гипотезой плоских сечений длииа всех продоль-
продольных волокон, расположенных между любыми двумя поперечными
сечениями, в процессе растяжения (сжатия) изменяется одинаково.
Следовательно, одинаковой у всех волокон оказывается и величина
относительной линейной деформации:
е = const.
Это свидетельствует и об одинаковой напряженности этих во-
волокон, т. е. о равномерном распределении нормальных напряже-
напряжений по поперечному сечению при осевой деформации стержня:
а = const.
Следовательно,
Отсюда
«-?. <2Л)
Имея эпюру продольных сил N, по формуле B.1) определяем нор-
нормальное напряжение в любом из поперечных сечений стержня.
Если в поперечном сечении имеется ослабление (отверстие,
выточка и т. п.), то в нем можно найти некоторые условные напря-
напряжения, значительно отличающиеся от действительных. Эти услов-
условные напряжения будем называть номинальными и определять по
формуле
А/
B.2)
Под ^нетто подразумевается фактическая площадь поперечного
сечения, т. е. разность между площадью поперечного сечения стержня
без учета ослабления, называемой /""брутто. и площадью ослабления
¦«нетто =='<брутто * осл.
Иными словами, номинальными называются на-
напряжения, определенные по формулам соп-
сопротивления материалов, в которых ослабле-
ослабление учтено лишь соответствующим измене-
изменением величины геометрического фактора,
характеризующего поперечное сечение
стержня. Никакого другого учета ослабления, связанного с на-

§ 2.6] КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 99
рушением регулярности распределения напряжений вблизи отвер-
отверстий, при этом не делается. В случае осевой деформации, как легко
видеть из формулы B.2), номинальное напряжение является сред-
средним по площади сечения нетто (аном = ас„).
§ 2.6. Концентрация напряжений
Обсуждение статической неопределимости закона распределе-
распределения напряжений по поперечному сечению стержня показало, что
при наличии в стержне отверстий, выточек и тому подобных нере-
гулярностей формы возникает резкая неравномерность распределе-
распределения напряжении со значительными пиками вблизи указанных нере-
гуляриостей. Это явление носит название концентрации напряжений.
Оно обнаруживается не только при осевой, но и при всех других
видах деформации стержня, а также при деформации элементов лю-
любой формы (не только стержневых). С этим явлением приходится
считаться как при конструировании элементов конструкций и де-
деталей машин, так и при расчете их. Выявить распределение напря-
напряжений с учетом их концентрации можно двумя путями: теорети-
теоретическим и экспериментальным. Теоретический путь основан на при-
применении теории сплошных сред (теории упругости, теории пластич-
пластичности, теории ползучести — в зависимости от свойств материала),
в которой вместо гипотез геометрического характера используются
дифференциальные уравнения совместности деформаций, а равно-
равновесие соблюдается для любого бесконечного малого элемента тела,
а не в интегральном (по поперечному сечению) смысле, как это
делается в сопротивлении материалов.
Экспериментальный путь основан на непосредственных измере-
измерениях, выполняемых при помощи той или иной аппаратуры на реаль-
реальных элементах или деталях или на моделях, изготовленных из ма-
материала натуры или другого материала.
При изучении концентрации напряжений одним из основных
понятий является так называемый коэффициент концентрации,
представляющий собой отношение максимального напряжения
в районе концентрации к номинальному:
«теор —7? '
"ном
Коэффициент концентрации может определяться и для касательных
напряжений. Вблизи максимального напряжения зоны концентра-
концентрации всегда наблюдается затухание напряжений. Это явление назы-
называется законом затухания. Чем выше пик напряжений
в месте их концентрации, тем заметнее за-
затухание напряжений в небольшом удале-
удалении от указанного пика.

roo
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
[ГЛ. II
Величина коэффициента концентрации зависит от ряда факто-
факторов — формы детали и формы и относительных размеров той нере-
нерегулярности, которая вызывает концентрацию. Эту нерегулярность
называют концентратором напряжений. На рис. 2.9 показаны раз-
различные формы концентраторов.
Можно отметить те параметры концентраторов, которые ока-
оказывают на коэффициент концентрации существенное влияние. В слу-
случае мелкой выточки (t/b — малая величина, рис. 2.10) такими пара-
параметрами являются глубина t и радиус кривизны р. Искажение поля
напряжений при этом локализуется областью, примыкающей к ос-
основанию выточки. Если же выточка достаточно глубока (t/b не малая
величина), то поле напряжений искажается по всему ослабленному
}
\
1 )
из
/////f/JZ//////
V
'/////A
V/////,
Рис 2.9. Различные виды концентраторов напряжений.
поперечному сечению. В этом случае глубина выточки не является
фактором, существенно влияющим на коэффициент концентрации;
таким фактором становится отношение ф — t)/p = а/р. При прочих
одинаковых условиях, чем меньше р, тем выше коэффициент кон-
концентрации. Особенно сильной концентрация напряжений оказывает-
оказывается у дна тонких трещин, где величина р исчезающе мала.
В случае мелкой выточки (t <[ b) коэффициент концентрации
обозначается символом afk; на его величину оказывают заметное
влияние параметры t (глубина выточки) и р (радиус кривизны),
или их отношение tip. При этом поле напряжений в ослабленном
поперечном сечении заметно искажается (существенно отличается от
однородного) лишь вблизи выточки.
В случае глубокой выточки коэффициент концентрации.обозна-
концентрации.обозначается символом atk\ на его величину оказывают заметное влияние
параметры а = b — t и р, или их отношение а/р. При этом поле
напряжений заметно искажается (существенно отличается от одно-
однородного) во всем ослабленном поперечном сечении.
Коэффициент концентрации для общего случая выточки (глубо-
(глубокой и мелкой) обозначается символом ал.

« 2.6]
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
101
Величина ак в пределе при //р->-0 (а/ р-> Ы р) совпадает
с <xfk. Вместе с тем при tl p -*• 0 afk -*¦ 1, поскольку при t = О вы-
выточка отсутствует.
Величина ah в пределе при а/ р -*• 0 (tl р-> Ы р) совпадает
с а,А. Вместе с тем при а/р ->¦ 0 а« ->¦ 1, поскольку наиболее узкое
(ослабленное) сечеиие настолько малб,
что при данном р шейка может рас-
рассматриваться как призма.
Коэффициент концентрации ак,
удовлетворяющий обоим требованиям
Рис. 2.10. Растянутый стержень с
двухсторонней симметричной выточ-
выточкой [Нейбер Г., Концентрация на-
напряжений. Гостехиздат, 1947].
Рис. 2.11. Концентрация напряжений при объем-
объемном напряженном состоянии: а) эпюра нормаль-
нормальных напряжений в поперечном сеченин; б) эпю-
эпюра нормальных напряжений на площадках, пер-
перпендикулярных радиусу.
(при t/p-+O и а/р-»-О), может быть представлен формулой
В приложении II показаны некоторые концентраторы напряже-
напряжений и соответствующие коэффициенты концентрации.
Искажение поля напряжений вблизи концентратора проявляется
и в площадках, перпендикулярных поперечному сечению. В таких
площадках в растянутой призме, не содержащей концентраторов,
напряжения равны нулю, а при наличии концентратора они отличны
от нуля (рис. 2.11, б). Таким образом, даже в случае осевой дефор-
деформации, например, цилиндра с концентратором, вблизи последнего
возникает сложное напряженное состояние (рис. 2.11) — действуют
напряжения, отличные от нуля, на всех гранях бесконечно малого
элемента, мысленно выделенного из тела. Такое изменение

102 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
напряженного состояния материала в ок-
окрестности концентратора в ряде случаев
влечет за собой изменение характера сопро-
сопротивляемости материала деформациям.
§ 2.7. Принцип Сен-Венана х)
На рис. 2.12 показаны два одинаковых стержня, растянутых
одинаковой по суммарной величине, но различным образом распре-
распределенной нагрузкой, и изображены эпюры нормальных напряжений
по сечениям.
Сопоставление соответствующих эпюр в двух стержнях пока-
показывает, что в части, удаленной от. места приложения нагрузки
на сравнительно небольшую величину, напряженное состояние при
любом законе распределения силы по торцу оказывается практически
одинаковым. Лишь в частях, примыкающих к нагруженным торцам,
распределение напряжений получается. существенно различным.
В этом состоит так называемый принцип Сен-Венана, который
может быть сформулирован следующим образом: если тело
подвергается воздействия) нагрузки, при-
приложенной к небольшой области (например,
небольшая, часть- поверхности), то напря-
напряжения в теле существенно зависят и от величин
составляющих силы и момента, статически экви-
эквивалентных нагрузке, и от закона распределения п о-
следней лишь в небольшой части тела, примы-
примыкающей, к-месту приложения нагрузки. Вне
этой части тела напряжения практически
зависят лишь от величин составляющих
силы и момента, статически эквивалентных
нагрузке, и не зависят от закона.распреде-
закона.распределения последней.
Из принципа Сен-Венана следует, что если не интересоваться
частями тела, примыкающими к месту приложения нагрузки, то
одну нагрузку можно заменять другой, статически ей эквивалент-
эквивалентной, не опасаясь того, что картина напряжений при такой замене
изменится ощутимо.
Принцип Сен-Венана справедлив лишь в случае достаточной
малости площадки, в пределах которой производится замена одного
закона распределения нагрузки другим. В случае массивного (не
тонкостенного) стержня площадка может считаться малой, если ее
размеры не превосходят характерных размеров поперечного сече-
сечения. Иными словами, такой площадкой может считаться весь торец.
В случае тонкостенного стержня площадка может считаться малой,
') Барре де Сен-Венан (Ваггё de Saint-Venan, 1797—1886) — французский
ученый-механик, инженер.

S 2.8]
ФОРМУЛА ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
103
если ее размеры того же порядка, что и толщина пластин, образую-
образующих стержень (рис. 2.13). Во всех тех случаях, в которых размер
площадки не удовлетворяет этому условию, заменять одну систему
сил другой, статически ей эквивалентной, нельзя, о чем уже гово-
говорилось во введении.
Принцип Сен-Венана является важнейшим принципом механики
деформируемых тел. Он позволяет во многих случаях упрощать
i—d~
IIIIINIIIIII
шшшш
ш
1.
¦
d
ггтптППТПтт
шшшшш
шшшм
Рис. 2.12. К принципу Сен-Венаиа — неза-
независимость отзакона^распределения внешней
нагрузки (действующей в локальной обла-
области) распределения напряжений в частях
бруса, удаленных от места приложения
нагрузки.
Рис. 2.13. Размеры загружаемой внешни-
внешними силами площадки (заштрихована), ко-
которую можно считать «локальной» в фор-
формулировке принципа Сеи-Венана: а) мас-
массивный брус; б) тонкостенный брус.
решение задачи путем переноса известных результатов, относящихся
к простым условиям, иа другие, более сложные случаи.
Принцип Сен-Венана применим не только в случае растяже-
растяжения или сжатия стержня и не только к телам, имеющим ферму
стержня. Он сохраняет силу и в других случаях, но до сих пор не
получил строгого обоснования; однако он подтверждается мно-
многочисленными примерами исследований напряженного состояния,
выполненными методами теории упругости, и измерением дефор-
деформации при опытах.
§ 2.8. Область применимости
формулы для нормального напряжения
Из сказанного в предыдущих параграфах ясно, что формулой
B.1) можно пользоваться не всегда. Она применима в следующих
случаях.
1. Если призматический стержень загружен лишь по тор-
торцам нормальной равномерно распределенной нагрузкой. При этом

104 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
отношение длины стержня к поперечным размерам может быть
любым *).
2. Если призматический стержень загружен по торцам любой
нормальной (не равномерно распределенной) нагрузкой, равно-
равнодействующая которой проходит через центры тяжести торцов, и
рассматриваются сечения, отстоящие от торцов на величину, до-
доходящую до порядка поперечного размера стержня. Чем ближе
распределение нагрузки к равномерному, тем эта величина меньше.
Для частей стержня, примыкающих к торцам, в этом случае
пользоваться формулой B.1) нельзя. Таким образом, для возмож-
возможности использования формулы B.1) необходимо .чтобы длина стержня
не менее чем в 5 раз превосходила размер поперечного сечения.
В случае более короткого стержня почти весь, стержень попадает
в область больших отклонений от гипотезы плоских сечений и, сле-
следовательно, больших отклонений от равномерного распределения
напряжений по поперечным сечениям.
3. Если стержень не слишком отличается от призматического.
В противном случае получаются значительные погрешности. Так,
например, в ступенчатом стержне в районе каждой ступени формула
B.1) дает ощутимую погрешность, так как здесь характер деформа-
деформации не соответствует гипотезе плоских сечений (рис. 2.7, а и 2.8, а).
Большую погрешность формула B.1) дает и в случае наличия
в стержне других концентраторов напряжений, при этом погреш-
погрешность получается особенно большой вблизи концентратора (рис. 2.7,6
я 2.8, б).
Нарушение гипотезы плоских сечений имеет место и в случае
непостоянства продольной силы вдоль призмы, т. е. если имеются
промежуточные внешние сосредоточенные силы или неравномерно
распределенные по поперечным сечениям нагрузки.
Несмотря на явно неравномерный характер распределения
напряжений по поперечному сечению стержня, наблюдаемый в от-
отмеченных выше случаях, формулой B.1) все же пользуются зача-
зачастую даже и в таких случаях, получая при этом средние по попереч-
поперечному сечению напряжения. Наличие же местных напряжений,
превышающих средние, учитывается в условии прочности, о чем
будет сказано в § 2.15.
§ 2.9. Анализ напряженного состояния призматического
стержня, подвергнутого чистому растяжению (сжатию)
Пусть призматический брус с площадью поперечного сечения F
растягивается (сжимается *)) двумя силами Р, нормальными к
торцам и равномерно распределенными по ним (рис. 2.14, а).
Такая деформация призматического бруса называется чистым
1) См. примечание на стр. 92.

$ 2.9]
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ РАСТЯНУТОЙ ПРИЗМЫ
105
растяэнхнием (сжатием). Интенсивность распределенных по торцам
сил равна PIF. Этой же величине равно нормальное (оно же полное)
напряжение а в любом из поперечных сечений бруса.
Установим, чему равны напряжения, возникающие не в попе-
поперечном, а в любом плоском сечении, нормаль к плоскости которого
составляет с осью бруса угол а. С этой целью рассечем брус на две
части указанной плоскостью и рассмотрим одну из этих частей, за-
заменив действие на нее другой части внутренними силами. Все про-
продольные волокна удлиняются
одинаково и при этом равно- р
мерно по всей длине каждого
волокна. Поэтому по проведен-
проведенному сечению распределение
полных напряжений, направ-
направленных вдоль волокон, равномер-
равномерное (рис. 2.14, б). Тот факт, что
полные напряжения в обсуждае-
обсуждаемом сечении направлены вдоль
волокон, очевиден, так как иначе
отсеченная часть стержня не на-
находилась бы в равновесии.
Уравнение равновесия части
бруса имеет вид
Fa = FV/7V;
^ Р3
S)
L'
А»
rs
Illll'l
Рис. 2.14. Напряженное состояние бруса
при чистом одноосном растяжении.
здесь ру — полное напряжение в сечении с нормалью v, Fv — пло-
площадь наклонного сечения (Fv = F/cos а). Отсюда
pv = -? = a cos a.
Полное напряжение разложим на нормальную и касательную сос-
составляющие av и tv (рис. 2.14, в):
av = pv cos a,
или
= acos2a,
= a sin a cos a = -^ sin 2a.
B.3)
Из формулы B.3)! ясно, что av достигает максимума av, гаах = а
при cos а = 1 или при а = 0, т. е. в поперечном сечении стержня,
и минимума av, min = 0 при cos a = 0 или при а = я/2, т. е. в
продольном сечении стержня. Касательное напряжение равно нулю
как при a = 0, так и при a = я/2. Максимального значения ка-
касательное напряжение достигает при sin 2a = 1 или при a = я/4,
т. е. в сечении, нормаль к которому составляет с осью стержня угол
я/4; при этом tv, max = сг/2.

106
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. И
§ 2.10. Относительная линейная деформация стержня
(продольная и поперечная). Относительное сужение
Абсолютное удлинение стержня при растяжении без указания
длины стержня не может служить мерой степени деформации мате-
материала. Опыт показывает, что при различной длине стержня и при
прочих равных условиях одна и та же сила
способна вызвать различное его удлинение: чем
длиннее стержень, тем больше его удлинение.
В связи с этим удобно ввести понятие, харак-
характеризующее деформацию независимо от длины
стержня, на которой она обнаружена. Такой
характеристикой является относительная ли-
линейная деформация е, которая в рассматривае-
рассматриваемом случае однородна (постоянна во всем объеме
стержня) и находится по формуле
е =
м
B.4)
Рис 2.15. Изменение
размеров призмы при
растяжении.
где А/ — / — /0 — абсолютное удлинение стерж-
стержня, /0 и / — первоначальная его длина и длина
после деформации.
При растяжении бруса происходит умень-
уменьшение его поперечных размеров. Величина, на
которую уменьшается первоначальный попереч-
поперечный размер бруса Ab = b — b0, называется
абсолютной линейной поперечной деформацией
(рис. 2.15) (Ьо — первоначальный лииейиый по-
поперечный размер, b — линейный поперечный размер деформиро-
деформированного бруса).
Величина
называется относительной линейной поперечной деформацией.
Если обозначить символом Fo первоначальную площадь попе-
поперечного сечения стержня, а через F — площадь поперечнего сече-
сечения в момент определения деформации, сохраняющей рав-
равномерность по длине, то отношение
B.5)
можно назвать относительным равномерным сужением.

$ 2.11] ДИАГРАММЫ РАСТЯЖЕНИЯ И НАПРЯЖЕНИЙ Ю7
§ 2.11. Диаграммы растяжения и напряжений
Зависимость между напряжениями и деформациями, возникаю-
возникающими в материале, можно изучить при помощи опыта. Эта зависи-
зависимость необходима для теоретического определения напряжений
в теле, в частности в стержне, при условии того или иного на него
воздействия. Знать поведение материала под нагрузкой вплоть до
разрушения необходимо и для установления таких характеристик
материала, которые позволяют решать одну из основных задач
сопротивления материалов — подбор сечений элементов, подверг-
подвергнутых действию внешних сил. Экспериментальное изучение свойств
материалов необходимо и для того, чтобы иметь возможность тео-
теоретически оценивать жесткость конструкции, т. е. оценивать ее
деформацию.
Изучение свойств материала производится на изготовленных
из него образцах стандартной формы. Нагружение (деформация)
образца осуществляется при помощи специальных испытательных
машин.
Материалы в процессе деформирования под нагрузкой вплоть
до разрушения ведут себя по-разному. Одни (пластичное пове-
поведение) к моменту разрушения образца (изделия) претерпевают зна-
значительные деформации, не исчезающие при снятии нагрузки, в связи
с разрушением. Другие (хрупкое поведение) к моменту разрушения
претерпевают весьма малые деформации, т. е. разрушение насту-
наступает без видимых изменений в образце (изделии).
Имеются такие материалы, поведение которых, при любых
изучавшихся до настоящего времени условиях протекания дефор-
деформации до разрушения, оказывается пластичным. К числу таких
относятся: алюминий, медь, свинец. Такие материалы естественно
называть пластичными.
Некоторые другие материалы, при любых изучавшихся до насто-
настоящего времени условиях протекания деформации, заканчивающейся
разрушением, ведут себя как хрупкие. К числу таких материалов
можно отнести различные неорганические стекла, некоторые раз-
разновидности чугуна. Такие материалы естественно называть хруп-
хрупкими. Многие же материалы в различных условиях деформирования,
завершающегося разрушением, ведут себя по-разному: в одних —
как пластичные, в других" — как хрупкие. Такие материалы, строго
говоря, нельзя называть ни пластичными, ни хрупкими. Правильнее
утверждать, что в рассматриваемых условиях протекания деформа-
деформации, завершающейся разрушением, материал находится в пластич-
пластичном состоянии, в других условиях тот же материал может находиться
в хрупком состоянии.
К числу факторов, влияющих на существование пластичного
или хрупкого состояния, относятся: скорость деформирования,
температура образца или изделия, степень неоднородности поля

108 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
напряжений в теле г). Чем выше скорость деформирования, чем
ниже температура образца (изделия), чем выше по величине коэф-
коэффициенты концентрации напряжений, тем больше вероятнэсть хруп-
хрупкого поведения материала.
Несмотря .на то, что ряд материалов в одних усл«виях имеет
хрупкое поведение, а в других — пластичное, все же и такие ма-
материалы обычно называют либо пластичными, либо хрупкими в за-
зависимости от того, каково их поведение при статическом деформиро-
деформировании, в условиях комнатной температуры и при отсутствии кон-
концентраторов напряжений. Разумеется, применительно к таким ма-
материалам определения «пластичный» или «хрупкий» используются
условно.
Рис. 2.16. Форма и размеры круглого большого стандартного образца.
Для простоты изложения в дальнейшем применяются термины
«пластичный» и «хрупкий» материалы. Понимать их следует с уче-
учетом сказанного выше.
Рассмотрим процесс деформации при растяжении образца из
пластичного материала (малоуглеродистая сталь). Свойства мате-
материала, обнаруживаемые при испытании, до некоторой степени
зависят от формы и размеров образца. Для того чтобы результаты
испытания одного и того же материала были сравнимы, образцы
изготовляют определенных стандартных размеров и формы. Само
испытание осуществляется по определенной стандартной методике.
Одна из стандартных форм образца, применяемая при испыта-
испытании пластичных сталей, показана 2) на рис. 2.16. Выступы по кон-
концам нужны для того, чтобы при их помощи передавать нагрузку на
образец. Деформация средней части образца между точками А и В
на основании принципа Сен-Венана не зависит от того, каков закон
распределения нагрузки, растягивающей образец, на ег© уступах.
На отрезке АВ, называемом рабочей частью образца, или на более
х) Однородным полем напряжений в теле называется такое, при котором
во всех точках тела на одинаково ориентированных площадках действуют одина-
одинаковые по величине и направлению напряжения. Особенно неоднородным поле
напряжений оказывается в условиях, способствующих концентрации напряжений
(при наличии концентраторов напряжений). Призматический брус, растянутый
силами, равномерно распределенными по торцам, — пример тела, находящегося
в однородном напряженном состоянии, т. е. тела, в котором поле напряжений
однородно.
2) Круглые образцы применяются для испытания и других металлов: меди,
алюминия, никеля.

§ 2-11)
ДИАГРАММЫ РАСТЯЖЕНИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ
109
коротком А'В', как на базе, устанавливается специальный прибор,
позволяющий с большой точностью измерять удлинение соответ-
соответствующего участка образца. Загружение производится ступенями,
и замер деформаций осуществляется после каждой ступени нагруже-
ния. Данные такого эксперимента могут быть изображены графи-
графически в системе осей Р — А/ (нагрузка — удлинение образца).
Испытательная машина позволяет и автоматически записывать гра-
график в этой системе осей при непрерывном процессе нагружения.
Такой график, построенный по точкам или записанный автомати-
автоматически, носит название диаграммы растяжения. Для малоуглеро-
малоуглеродистой стали она имеет вид-, показанный на рис. 2.17.
6 1 AL
Рис. 2.17. Диаграмма растяжения пластичного материала (стали).
Можно отметить пять характерных точек па диаграмме. Точка
1 лежит в конце прямолинейного участка. При нагрузках, меньших
Рт, измеряемой отрезком О — /', зависимость между силой и удли-
удлинением линейная. Точка 3 характерна тем, что при достижении на-
нагрузкой величины РТ, измеряемой отрезком О — 3', дальнейшее
удлинение образца в некоторых пределах может происходить без
увеличения нагрузки. Это явление носит название текучести, и
горизонтальный отрезок диаграммы, расположенный непосредст-
непосредственно правее точки 3, называется площадкой текучести. После пло-
площадки текучести для дальнейшего увеличения деформации требуется
и дальнейшее увеличение растягивающей силы. Материал приобре-
приобретает снова способность сопротивляться деформации, поэтому учас-
участок за площадкой текучести до точки 4 называется участком упроч-
упрочнения. Точка 4 соответствует максимальной силе, которую способен
воспринять образец. После нагрузки Рпч (или иначе Рв), измеренной
отрезком О — 4', рост деформации происходит без увеличения и
даже при уменьшении силы. В образце, по достижении нагрузкой
величины О — 4', вблизи какого-то промежуточного сечения, об-
образуется резкое сужение (рис. 2.18), называемое шейкой, развитие

по
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
которой заканчивается разрывом, т. е. .разрушением, образца.
Разрушению соответствует точка 5.
Если загружение образца произвести до силы Р > Рт (точка С
на диаграмме), а далее осуществить разгрузку, то ей будет соответ-
соответствовать отрезок CD, параллельный отрезку О — /. Повторное
загружение характеризуется тем, что до нагрузки О — С диаграмма
совпадает с прямой CD разгрузки. При дальнейшем увеличении
нагрузки точки попадают на кривую С — 4 — 5, которая имела
п -*•-
??<' -'лш?. .-ЯК ¦piwPMP^'I
-Л"*1.
Рис. 2.18. Деформация большого цилиндрического образца из пластичной сталив раз-
разных стадиях испытания.
"бы место в случае, если бы образец и не подвергался разгрузке*
Это всегда можно проверить при испытании такого же образца,
осуществляемом без разгрузки. Отрезок ОС" характеризует вели-
величину удлинения базы образца, которое соответствует силе ОС.
Эту величину удлинения называют полньш удлинением (Д^о'лн)- При
полной разгрузке образца некоторая часть полного удлинения
исчезает, а другая часть остается. Имея в виду, что свойство
деформируемых тел после удаления причин,
вызвавших деформацию, принимать перво-
первоначальные форму и размеры .называется
упругостью, обозначим упругую часть удлинения, т. е. исчезающую
при разгрувке, символом АЛ?). Остальная, неисчезающая часть
удлинения называется остаточной и обозначается символом A/*^j,.
Индекс (С) у приведенных выше обозначений деформации указывает,
что разгрузка начинается от точки С диаграммы.

5 2.11] ДИАГРАММЫ РАСТЯЖЕНИЯ И НАПРЯЖЕНИЙ 111
Описанная картина разгрузки и повторного нагружения пока-
показывает упругое поведение материала.
Остаточная деформация, наблюдаемая после разгрузки образца,
обнаруживается не всегда. Все зависит от того, какова была вели-
величина нагрузки перед разгрузкой. Нагрузка, являющаяся верхней
границей проявления чисто упругих деформаций, соответствует
точке 2 диаграммы, обозначается Яупр и равна отрезку О — 2'
в масштабе оси Р.
Положение точек 1 и 2 на диаграмме является условным, так как
оно зависит от точности применяемых измерительных инструментов.
• Отрезок О — /в масштабе оси Л/ представляет собой удлинение
образца (в пределах базы) непосредственно пе-
перед разрушением; отрезок 0G — удлинение (в пре-
пределах базы) образца, составленного из двух частей,
образовавшихся после разрушения, с учетом исчез-
исчезновения упругой деформации А/упр (отрезок IG).
В процессе деформации образца, по мере его
удлинения, еще до образования в нем шейки, про-
происходит уменьшение диаметра образца, т. ё. про-
происходит его поперечное сужение.
Типичная диаграмма растяжения хрупкого ма-
материала показана на рис. 2.19. Площадки текуче- ^
сти, а следовательно, и точки 3 на такой диаграмме *1
нет вовсе. Шейка в образце перед разрушением ?"<•• о2-'?- Диаг-
_, _ *¦ i i i •/ рамма растяжения
не образуется. Вся диаграмма практически прямо- хрупкого мате-
линейна, и характерные точки /, 2 и точка, соот- риала
ветствующая разрушению, расположены весьма близко одна от
другой.
Если диаграмму растяжения (рис. 2.17) подвергнуть некоторому
преобразованию, то из нее можно получить так называемую диа-
диаграмму напряжений при растяжении. Это преобразование состоит
в том, что по каждому значению нагрузки находится соответствую-
соответствующее значение напряжения
N Р
где FQ — первоначальная площадь поперечного сечения образца.
Аналогично, зная первоначальную длину образца / и пользуясь
формулой B.4), осуществляем переход от абсолютных удлинений А/
к относительной линейной деформации е.
Из диаграммы в системе осей Р — А/ получается диаграмма
в системе осей а — е (путем аффинного преобразования — «сжатия>
вдоль осей ординат — в Fo раз ив/ раз —вдоль оси абсцисс).
Полученная таким образом диаграмма (сплошная линия
на рис. 2.20) называется диаграммой условных напряжений. Услов-
Условность состоит в том, что при ее построении все силы относятся к F9—

112
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
[ГЛ. II
первоначальной площади поперечного сечения образца, тогда как
на самом деле с увеличением силы площадь поперечного сече-
сечения растягиваемого образца уменьшается. Если при переходе
от Р к а учитывать это фактическое уменьшение F, то получим
Рис. 2.20. Диаграммы напряжений при растяже-
растяжении образца нз пластичного материала: кривая
/ — диаграмма условных напряжений, кривая
2 — диаграмма истинных напряжений.
Рис. 2.21. Диаграммы напряжений
(при растяжении) с зубом теку-
текучести .
5000
б)
6000
то
гооо
Г/см
1
г
2
/
у'
/
-ут
X6
а)
***
\
А
и
\\\
i
i
//
It/
//
f/
i
у
^-—
—' —
г
д
ом о,зг
олю
Рис. 2.22. Диаграммы напряжений ряда металлов и сплавов: а) общий вид диаграмм;
б) детали диаграмм в области малых деформаций; / — конструкционная кремниевая
сталь, 2 — медь, 3 — монель, 4 — мягкая сталь, 5 — латунь, 6 — магний, 7 — алюминий
высокой чистоты, отожженный [Templin R. L., Sturm R. G., Journ. Aero. Sci. 7 G), 189—
198 (July 1940)].
так называемую диаграмму истинных напряжений (пунктир на
рис. 2.20).
Напряжения, соответствующие точкам /, 2л 3, 4, т. е. силам
Рт, ЯуПр, РТ, РПЧ, обозначаются символами апц, оупр, ат, апч и имеют
специальные названия: апц — предел пропорциональности, аупр —

S 2.11]
ДИАГРАММЫ РАСТЯЖЕНИЯ И НАПРЯЖЕНИИ
113
предел упругости, ат — предел текучести 1), апч — предел прочно-
прочности или временное сопротивление материала. Все эти величины на-
называются механическими характеристиками материала. Обычно
стпц и ступР близки одно к другому по величине.
В диаграмме напряжений пластичных материалов в районе пло-
площадки текучести обнаруживается особенность, изображенная на
рис. 2.21 и называемая «зубом текучести»; вследствие сказанного
вводятся понятия верхнего и нижнего предела текучести (сх= и а?).
Конечная максимальная ордината в диаграмме истинных на-
напряжений при растяжении называется сопротивлением разрушению
и обозначается символом ак.
Напряжение, до которого в процессе повторного нагружения
зависимость а = а (е) остается линейной, называется местным пре-
пределом текучести (в отличие от аг — начального предела текучести)
и обозначается символом аТс; имеется в виду, что разгрузка была
начата от напряжения атс > ат.
Была рассмотрена диаграмма напряжений при растяжении пла-
пластичной стали, как достаточно характерная вообще для пластичных
материалов. Вообще же у каждого из материалов в очертании диа-
диаграммы напряжений имеется некоторая специфика. На рис. 2.22
приведены диаграммы напряжений при растяжении ряда пластич-
пластичных материалов.
Если в диаграмме напряжений не имеется
явно выраженной площадки текучести, то вво-
вводится понятие условного предела текучести;
под ним понимается напряжение, при котором
обнаруживается определенная по величине оста-
остаточная относительная линейная деформация, на-
например, еост = 0,2%. Символическое изображение
условного предела текучести имеет вид ат @i2) или
просто a(Oi2>. Относительная деформация в упругой
области не превышает десятых долей процента.
Область пластической работы конструкционной
стали превосходит область упругой работы ее раз
в 200. В связи с этим работа материала в пла-
пластической области является огромным резервом
прочности конструкций, вследствие которого кон-
конструкция, как правило, не разрушается (в смысле
разделения целого на части), а теряет несущую способность из-за
больших остаточных деформаций. Практически разрушение сталь-
стальных конструкций происходит лишь в случае перехода материала
из пластичного в хрупкое состояние.
О
Рис. 2.23. Диаг-
Диаграмма напряже-
напряжений при растяже-
растяжении хрупкого ма-
материала.
*) Конец площадки текучести у строительных сталей соответствует примерно
3% удлинения.

114 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
Диаграмма напряжений при растяжении хрупких материалов
имеет вид,.изображенный на рис. 2.23. Так как при этом к моменту
разрушения наблюдаются малые деформации и, в частности, вовсе
не возникает шейки, диаграмма истинных напряжений очень не-
незначительно отклоняется от условной.
§ 2.12. Истинная деформация.
Разновидности диаграмм напряжений
1. При больших деформациях г) вместо характеристики в уместно
использовать другую характеристику, называемую истинной де-
деформацией. Смысл ее можно пояснить так. Пусть длина стержня
до деформации /0, а окончательная длина lv Рассмотрим два бес-
бесконечно близких друг к другу состояния стержня в процессе дефор-
деформации — в первом из них длина его /, а во втором / + dl; относи-
относительная деформация между этими состояниями
^8
Если мысленно разбить весь процесс деформации на такие элемен-
элементарные части, в каждой из которых удлинение относить не к пер-
первоначальной длине стержня, а к действительной в данном состоя-
состоянии стержня, и затем просуммировать (проинтегрировать) все эле-
элементарные относительные деформации, то в результате получим
истинную деформацию 2)
h
Отношение ljlo можно найти из B.4):
: Из формулы B.5) находим
Если полагать, что в процессе деформации объем стержня (об-
(образца) не изменяется, а все сечения сужаются одинаково (т. е. без
образования шейки), то условие постоянства объема стержня в про-
процессе деформации выразится так:
*) Природа этих деформаций может быть различной — как упругой, например,
у резины, так и пластичной, например, у металла.
*) Для еист применяют и другой термин — логарифмическая деформация.

$ 2.12]
Отсюда
РАЗНОВИДНОСТИ ДИАГРАММ НАПРЯЖЕНИЙ
(рани
115
B.7)
Имея в виду B.6) и B.7), представим вист в следующих формах:
Таблица 2.1
еист=1п^ = 1п^ = 1пт
Истинная деформация зависит от отношения площадей попереч-
поперечных сечений или длин образца в начальный и конечный моменты
деформации. Напомним, что, в отличие от этого, истинное на-
напряжение (см. § 2.11) зависит
в каждый момент деформации
лишь от растягивающей образец
силы и от площади поперечного
сечения образца, относящихся
именно к данному моменту де-
деформации.
В табл. 2. Г дано сопоставле-
сопоставление величии е и еист.
Можно установить связь между грравн и е. Сопоставляя B.6) и
B.7), имеем
'i = l,05Z0
/i = 2/0
0,050
1,000
Еист
- 0,049
0,690
% расхож-
расхождения
2
31
Отсюда
Кравн
¦1-4,.
рави
' Фрави
¦фрави =
1+е-
2. Кроме диаграмм напряжений в системах осей а, е и аист,
е строят диаграммы напряжений и в системе других осей 2): аист,
V>; «ист. еи„.
Относительно всех отмеченных выше диаграмм можно сказать
следующее.
В ряде случаев исходной для получения остальных является
диаграмма в системе осей Р, А/; она зависит от размеров образца и
не выражает свойств материала непосредственно. Диаграмма в си-
системе осей а, е сохраняет физический смысл лишь при малых дефор-
деформациях. При больших деформациях ярко проявляется ее условность,
так, например, она имеет максимум, в то время как на самом деле
истинные напряжения монотонно возрастают вплоть до разрушения.
Такую диаграмму можно рекомендовать к использованию лишь для
Заметим, что с„ст = P/F; из B.5) находим F= Fo (I —т
(P/F) A/A ) ф B7) B6) 1/(
тогда
) , „ст /; () д o ( авн);
„= (P/Fo) A/A — 1|>рави)); согласно формулам B.7) и B.6) 1/A — 1ррав„)
1 + s; введем обозначение с0 = P/Fo. Отсюда сист = с0 A + е).
2) Относительно ty см. § 2.18.

116
ОСЕВАЯ ДПФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
|ТЛ II
материалов, пластичность которых в условиях испытания невелика
(чугун, литье, алюминиевые сплавы). Применение диаграммы в си-
системе осей а, е оправдывается и в тех случаях, когда она строится
43
to
зг
2t
-16
в
10
го so
50 ВО >
Рис. 2.24. Диаграмма напряжений в осях *|), <тист [Механиче-
[Механическая лаборатория ЛИИЖТ).
для суждения о работе материала, предназначаемого к использова-
использованию в элементах, подвергаемых именно растяжению.
Наибольшее распространение, при исследовании материалов
в области больших пластических деформаций, имеет диаграмма
в системе осей аисг, ¦§ (рис. 2.24). Эта диаграмма показывает, что
Рис. 2.25. Диаграмма напряжений в осях аист, еист; аист, з;
т, е [Механическая лаборатория ЛИИЖТ]
точка 4 (рис. 2.17 и 2.20) имеет физический смысл лишь в диаграмме
Р, А/ (максимальная нагрузка, выдерживаемая образцом), анали-
аналитического же максимума в величине истинного напряжения нет.
Более точной, чем диаграмма аист, ij), является диаграмма в си-
системе осей аист, еист (рис. 2.25), однако эта диаграмма применяется
реже ввиду большей сложности построения х).
*) На рис. 2.25 переход от кривой сист = с„ст (г) к аист = аист(еист) осущест-
осуществлен в соответствии с зависимостью 8ИСТ = 1п A + в). Например, в кривой 0НСТ=
= оист (е) max е = 0,41 D1%); In A+ max e) = In A + 0,41) = 0,34 = max еист
C4%).

i 2.131
ДИАГРАММЫ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ СЖАТИИ
117
§ 2.13. Диаграммы напряжений при сжатии
Изучение свойств материалов при сжатии производится путем
испытания образцов, изготовленных в форме кубов, призм или
цилиндров с высотой, немногим превышающей диаметр, так как
при больших отношениях длины образца к его поперечному размеру
в процессе сжатия образец теряет свою
прямолинейную форму — искривляется.
При испытании образца из мягкой пла-
пластичной стали характер диаграммы напря-
напряжений, примерно до возникновения теку-
текучести, такой же, как и при растяжении.
При более высоких напряжениях диаграммы
сжатия и растяжения оказываются различ-
различными (рис. 2.26). В процессе деформации
образец укорачивается и испытывает уве-
увеличение поперечных размеров. Между опор-
опорными плитами пресса и торцами образца
возникают силы трения, в связи с чем
поперечная деформация образца вблизи поверхности плит стеснена
и первоначально цилиндрический образец приобретает бочкообраз-
бочкообразную форму (рис. 2.27). Чем меньше отношение размера образца
вдоль сжатия к поперечному размеру, тем существеннее прояв-
проявляется трение. На рис. 2.28 показана серия диаграмм напряжений
при сжатии пластичного материала в цилиндрических образцах
Рис. 2.26. Сопоставление
диаграмм напряжений при
растяжении и сжатии пла-
пластичного материала.
Рис. 2.27. Деформация образца из пластичного материала яри «катни; а) образец до
деформации; б) и в) рззйые степени сжатия образца.
с различным отношением dlh. Более крутые диаграммы относятся
к образцам с меньшим dlh. В таких образцах трение особенно
ощутимо.
Трение между образцом и опорными поверхностями пресса
можно значительно уменьшить, смазывая эти поверхности парафи-
парафином или другим аналогичным веществом. В ряде случаев при сжа-
сжатии пластичного материала напряжение, аналогичное пределу

118
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
40
прочности при растяжении, наблюдать не удается — образец сплю-
сплющивается.
Хрупкие материалы деформируются при сжатии иначе. Камень,
бетон и другие камневидные материалы испытываются на сжатие
в образцах, имеющих форму куба. Обычно размер ребра куба ка-
каменных образцов — 5 см, бетонных — 20 см, цементного раствора —
7 см. Характерный вид разрушения образца из естественного или
искусственного камня, при наличии трения между подушками
пресса и образцом, показан на рис. 2.29, д. При уменьшении этого
трения путем смазывания опорных граней образца парафином
характерным оказывается разрушение, показанное на рис. 2.29, г.
В образце появляются трещи-
трещины, в основном параллель-
параллельные направлению сжатия. В
направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном плоскостям таких тре-
трещин, никаких нормальных
растягивающих напряжений
(как и вообще никаких нап-
напряжений) нет (см. § 2.10).
В главе VIII дается пояснение
причины такого разрушения.
Разрушение образца при сма-
смазывании его опорных граней
происходит при меньшей на-
нагрузке, нежели при отсут-
отсутствии смазки.
Если в отсутствие смазки
опорных граней испытывать
призму с высотой, превышаю-
превышающей размеры основания, и куб, имеющие одинаковые размеры и
форму поперечных сечений, то призматический образец разру-
разрушится при меньшей нагрузке, чем образец в виде куба.
Напряжения, при которых происходит разрушение камневид-
ного или каменного материала, иногда называют прочностью.
Прочность камня или камневидного материала, обнаруженная на
образце призматической формы с определенным соотношением раз-
размеров, носит название приименной прочности в отличие от кубико-
вой, обнаруживаемой при испытании кубика.
Один и тот же каменный или камневидный материал при испы-
испытании его в образцах кубической формы имеет различную проч-
прочность в зависимости от размеров куба. Так, например, кубиковая
прочность бетона при длине ребра, равной 15 см, примерно на 10%
больше прочности образца в виде куба с ребрами, равными 20 см.
Зависимость некоторых механических характеристик от размеров
образца обнаруживается в ряде случаев, вследствие чего масштаб-
A
/7
/
/
1 j
/
у
//
{
го
80
Рис. 2.28. Диаграммы напряжений прн сжа-
сжатии медных цилнидров с различными отноше-
отношениями d/h [Bach С, Elastizitat u. Festigkeit,
5. Verl., Berlin, 1905, s. 67].

§ 2.131
ДИАГРАММЫ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ СЖАТИИ
119
ный фактор всегда надо иметь в виду. Прочность образца не явля-
является характеристикой, которая позволяет непосредственно оценить
Рис. 5.29. Вид образцов из хрупкого материала, разрушенных при сжатии: а) чугунный
цилин;ричеокнй образец до деформации; б) разрушенный чугунный цилиндрический
образец; в) образец кубической формы из цементного раствора; г) вид разрушенного об-
образца кубической формы из цементного раствора при смазанных опорных гранях; д) то
же при несмазанных опорных гранях.
прочность такого же, как и в образце, материала, но работающего
в конструкции. Испытание образцов позволяет получать лишь
эталонные данные для со-
сопоставления свойств материа-
материалов. Для этой цели и при-
приходится изготовлять образцы
стандартных размеров.
Чугунный цилиндр при ежа-'
тии приобретает форму, показан-
показанную на рис. 2.29, в. На ри-
рисунке видны линии разрушения
(трещины), направленные при-
примерно под углом 45° к оси об-
образца.
Хрупкие материалы значи-
значительно лучше сопротивляются
сжатию, чем растяжению.
На рис. 2.30 показаны диаг-
диаграммы напряжений при сжатии
Диаграмма аист = аист (е) при
чиная от площадки текучести),
Рис. 2«30.
сжатий1: а)
Диаграммы напряжений при
чугуи; б) цементный раствор.
тии же. Диаграмма сгнст = сгист
рамме такого же типа при
чу1*уна и цементного раствора,
сжатии' располагается ниже (на-
чем ди'арраша о — а (е) при сжа-
(еист) при сжатии близка к диаг-
растяжении.

120
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
[ГЛ. II
§ 2.14. Удельная прочность материала
В ряде случаев к конструкциям предъявляется требование
малости веса. К числу таких относятся в первую очередь летатель-
летательные аппараты — ракеты, самолеты. Вес конструкции зависит от
двух факторов — от прочности и от удельного веса примененного
в ней материала. Если материал А прочнее материала В в два
раза, но при этом А имеет удельный вес в четыре раза выше, чем
у В, то из материала А не получится конструкции легче, чем из
материала В. Для того чтобы при выборе материала учитывать оба
упомянутых выше фактора, введена характеристика, называемая
удельной прочностью; она представляет собой отношение предела
прочности <хпч к удельному весу'у-: оач1у. В табл. 2.2 показана удель-
удельная прочность при растяжении для некоторых конструкционных
материалов.
Таблица 2.2
Материал
Сталь хромоникелевольфрамо-
вая
Дюралюминий повышенной
прочности
Магниевый сплав МА 3
Титановый сплав ВТ 10
Сосна
от, кГ/ммг
100
40
28
ПО
8
(растяжение
вдоль волокон)
f, Г/см'
8
3
1,9
4,5
0,6
Удельная проч-
прочность, см
1 250 000
1 333 000
1 470 000
2 440000
133 000
§ 2.15. Условие прочности
при осевом действии сил на стержень
В любом поперечном сечении стержня, подвергнутого воздейст-
воздействию осевых сил, можно теоретически найти напряжения; для
этого используются формулы B.1) и B.2) (сгном = сгср).
С другой стороны, из испытания образцов материала на дейст-
действие осевых сил известно, при каких напряжениях возникает опас-
опасное состояние. Для материалов, находящихся в хрупком состоянии,
опасным напряжением является предел прочности аоп = опч, при
котором наступает разрушение.
Для материалов, находящихся в пластичном состоянии, опас-
опасным напряжением в конструкциях, в которых недопустимы пласти-
пластические деформации под нагрузкой, можно считать предел текуче-
текучести ооп = сгт, сопровождающийся значительными деформациями.
Опасность больших деформаций состоит в том, что стержень
значительно меняет свои размеры и перестает удовлетворять требо-

§ 2.15] УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ПРИ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ 121
ваниям, предъявляемым к нему как к элементу конструкции. К тому
же эти деформации в основном оказываются остаточными.
Напряжения, возникающие в стержне, должны быть меньше
опасной величины:
о<ооп.
Для достаточной гарантии против возникновение опасного со-
стояния необходимо, чтобы а значительно отличалось от о011. Дей-
Действительно, достоверность значений как а, так и аоп не может быть
абсолютной, и поэтому требуется некоторый запас, гарантирующий
прочность. Для обеспечения этого запаса ставят условие, согласно
которому а, определяемое расчетом, должно оставаться меньше не
величины опасного напряжения аоп, а лишь некоторой доли от него,
т. е. должно выполняться следующее условие:
Это и есть условие прочности материала'при осевом действии сил
на стержень. Величина k называется коэффициентом ' запаса
(k > 1). Частное от деления опасного напряжения на коэффициент
запаса называется допускаемым напряжением [а]:
qon
k
Окончательно условие прочности материала при осевом действии
сил на стержень представляем в виде
или
y<M = <5f. ' B.8)
Перечислим основные причины, в связи с которыми необходим
коэффициент запаса:
1) неполная достоверность сведений о величине и характере
предполагаемых нагрузок;
2) наличие разброса в величине опасного напряжения, опре-
определяемого из опыта;
3) неточность принятого метода расчета, не позволяющая гаран-
гарантировать абсолютную достоверность получаемых на его основе
результатов. Ярким примером,являются местные напряжения в ме-
местах концентрации напряжений, не учитываемые элементарным рас-
расчетом, определяющим лишь величину среднего напряжения аср
по ослабленному сечению.
Коэффициентом запаса учитывают и ряд обстоятельств, связан-
связанных с условиями работы сооружения или машины:
1) предполагаемая длительность срока работы проектируемого
объекта; естественно, что к временному сооружению предъявляют

122 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
меньшие требования, чем к постоянному капитальному сооруже-
сооружению, и при его проектировании коэффициент запаса можно не-
несколько уменьшить;
2) наличие или отсутствие агрессивной среды, ускоряющей
разрушение материала сооружения, и т. п.
Существуют и другие причины введения в условие прочности
коэффициента запаса.
Выбор величины коэффициента запаса является очень ответ-
ответственной задачей. При недостаточной его величине может насту-
наступить опасное состояние материала стержня; при чрезмерно боль-
большой величине k конструкция оказывается неоправданно тяжелой
и излишне дорогой.
; Опыт проектирования, возведения и эксплуатации конструкций
и сооружений позволяет путем накопления практических данных
постепенно уменьшать коэффициент запаса и, таким образом, по-
повышать величину допускаемых напряжений. Известно, что для стали
марки Ст. 3 в 1912 г. допускаемое напряжение принималось
10 кГ/мм2. Для этого же материала, при учете огромного опыта
эксплуатации сооружений, выполненных из него, и усовершенство-
усовершенствовании методов расчета, допускаемые напряжения в настоящее
время повышены до 16 кГ/млг. Иными словами, учитывая, что для
Ст. 3 -сгоп = сгт = 24 кГ1ммг, величина коэффициента запаса умень-
уменьшена от 2,4 до 1,5.
Остановимся на вопросе о величине коэффициента запаса в связи
с концентрацией напряжений. Концентрация напряжений способ-
способствует переходу материала от пластичного поведения к хрупкому.
Однако совокупность всех условий (скорость деформирования, уро-
уровень температуры, характер концентратора) в одних случаях при-
приводит к хрупкому, а в других — к пластичному поведению мате-
материала.
Рассмотрим два одинаковых по форме и размерам образца
(полоса с круглым отверстием), выполненные из двух разных
материалов. Пусть картина разрушения одного из этих образцов
характерна для пластичного состояния материала, а другого —
для хрупкого.
Проследим сначала за картиной деформации первого из них.
Вследствие наличия концентрации эпюра напряжений в ослаблен-
ослабленном сечении имеет вид, показанный на рис. 2.31, а. При увеличе-
увеличении нагрузки пропорционально ей возрастают и все ординаты эпюр
напряжений. Постепенно увеличивая внешнюю растягивающую
нагрузку, дойдем до такого ее значения, при котором максималь-
максимальные напряжения достигают предела текучести (ат) (рис. 2.31, б).
При дальнейшем увеличении нагрузки равнодействующая всех
внутренних сил в ослабленном сечении, т. е. продольная сила,
остается равной возрастающей внешней растягивающей силе; что
касается вида эпюры напряжений в ослабленном сечении, то он

§ 2.15]
УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ПРИ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ
123
меняется — нарушается пропорциональность роста ординат росту
внешней нагрузки. Действительно, напряжения вблизи отверстия
не могут возрастать до тех пор, пока не пройдена площадка теку-
текучести, вместе с тем продольные волокна в стержне вблизи отверстия
не могут удлиняться так, как если бы они, будучи доведенными до
состояния текучести, работали самостоятельно. Удлинению во-
волокна, напряжение в котором доведено до предела текучести,
6)
в).
г)
P-6T(a-d)
т а
Р*бтЫ)
Рис. 2.31.,Характер изменения эпюры напряжений в. ослабленном сечении образца
из пластичного материала в процессе увеличения растягивающей нагрузки. Толщина
образца равна. 1.
препятствуют все остальные волокна с напряжениями ниже пре-
предела текучести. Таким образом, напряжение в волокне, примыкаю-
примыкающем к отверстию, доведено до предела текучести, но площадка теку-
текучести пройдена быть не может в силу стеснения деформации. С даль-
дальнейшим возрастанием внешней нагрузки должна возрастать и
продольная сила в ослабленном сечении, поэтому происходит рост
напряжений в тех волокнах, в которых они еще не дошли до предела
текучести, а область волокон, в которых напряжения дошли до пре-
предела текучести, постепенно расширяется (рис. 2.31, в, г). Такая
картина имеет место вплоть до того момента, когда все ослабленное
сечение станет работать при напряжениях ат (рис. 2.31, д). При
этом не останется зоны, стесняющей деформацию, соответствующую
площадке текучести, и эта деформация произойдет, т. е. материал,
во всем ослабленном поперечном сечении стержня потечет.
К такому же виду окончательной эпюры мы пришли бы, если бы,
не считаясь с наличием концентрации напряжений, предполагали,
что во все время нарастания нагрузки распределение напряжении
по ослабленному поперечному сечению остается равномерным.

124
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
Сказанное справедливо при условии, что наличия концентрации на-
напряжений при статическом действии нагрузки оказалось недоста-
недостаточно для того, чтобы материал разрушался хрупко, в условиях
jjp пластического характера разрушения концентрация напряже-
напряжений сама по-себе не опасна.
Теперь проследим за поведением второго образца, характер
разрушения которого хрупкий (рис. 2.32). Как только вблизи
отверстия максимальное напряжение достигает предела прочности
а).
6)
шш топ \ж \ж им
¦о
Рис. 2.32. Характер изменения эпюры напряжений в ослабленной сечении образца us
хрупкого материала в процессе увеличения растягивающей нагрузки.
апч (рис. 2.32, б), в материале в этом месте образуется трещина —
площадь поперечного сечения уменьшается (рис. 2.32, в) и без даль-
дальнейшего увеличения нагрузки напряжения в сопротивляющейся
еще части поперечного сечения возрастают. Вблизи дна трещины
напряжения становятся равными <хпч, трещина продолжает разви-
развиваться (рис. 2.32, г) до тех пор, пока не разрушается стержень по
всему ослабленному сечению (рис. 2.32, д). Процесс этот происхо-
происходит в очень короткий промежуток времени — почти мгновенно.
Состояние, изображенное на рис. 2.32, б, является опасным для
стержня, ему соответствуют средние напряжения в ослабленндм
сечении, значительно меньше, чем аоп = апч. 7
Концентрация напряжений для материала в хрупком состоянии
является опасной 1). Как только максимальное местное напряжение
достигает предела прочности-материала, происходит разрушение
стержня. Вместе с тем из расчета получаем не максимальное мест-
местное напряжение, которое следовало бы сопоставлять с допускаемым,
г) Следует иметь в виду, что сам хрупкий характер разрушения мог воз-
возникнуть вследствие концентрации напряжений, но не исключено и то, что материал
образца имеет такую природу, что разрушается хрупко и без концентрации на-
напряжений.

$ 2.151 УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ПРИ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ
а среднее, т. е. вместо условия прочности
'"'max *"¦—- и
пользуемся условием
125
B.9)
B.10)
Здесь <хср и атах — среднее и максимальное напряжения в эпюре
(рис. 2.33)Т К — коэффициент запаса в случае, если оценка проч-
прочности ведется по максимальному местному напряжению; k2 — коэф-
коэффициент запаса в случае, если оценка прочности ведется по сред-
среднему напряжению.
Для того чтобы можно было бы заменить условие прочности
B.9) услевием B.10), считая их эквивалентными, в B.9) и B.10)
правые части должны находиться в том же
отношении, как и левые, т. е.
Отсюда
qmax = Кч\ . /Чч\
Сер \ *i / \ *а / "
Рис. 2.33. К определению
среднего напряжения в сече-
нни с концентрацией напря-
напряжений.
т. е. если оценка прочности ведется по
средним напряжениям, а так она обычно и
ведется, то коэффициент запаса (k2) должен
быть больше того его значения, которое соответствует оценке проч-
прочности по максимальному местному напряжению. Поэтому, произ-
производя расчет стержня, изготовленного из хрупкого материала,
в условиях концентрации напряжений, необходимо выбирать коэф-
коэффициент запаса более высокий, чем в случае пластичного материала.
Это повышение зависит от коэффициента концентрации.
В силу ряда особенностей, на которых здесь не останавли-
останавливаемся и которые рассмотрим ниже, в § 4.8, раздел 7, § 4.10, раздел 5
и в главах XVII и XIX, коэффициент запаса при динамическом
характере нагрузки должен выбираться большим по величине,
чем при статическом действии сил. Коэффициент запаса при стати-
статическом действии сил для таких пластичных материалов, как сталь,
принимается равным 1,5 -5- 2,0, для хрупких материалов 3 -*- 5.
Условие прочности B.8) позволяет решить следующие харак-
характерные задачи.
1. Проверка прочности. Даны: усилие N, площадь поперечного
сечения F, допускаемое напряжение [а]. Требуется установить,
соблюдается ли условие прочности

126
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ ' [ГЛ. II
2. Подбор сечения. Даны: усилие N, допускаемое напряже-
напряжение [о]. Требуется найти площадь поперечного сечения стержня F,
при которой напряжения достигают величины допускаемых:
3. Установление коэффициента запаса. Даны: усилие N, пло-
площадь поперечного сечения стержня F, опасное напряжение для
материала стержня аоп. Требуется найти имеющийся коэффициент
запаса
R~ N/F'
Ориентировочные значения допускаемых напряжений для не-
некоторых распространенных материалов приведены в табл. 2.3.
Таблица 2.3
Материал
Чугун серый в отливках
Сталь Ст.З
Сталь углеродистая конструкци-
конструкционная в машиностроении
Сталь легированная конструкци-
конструкционная в машиностроении
Медь
Дюралюминий
Сосна, вдоль волокон
поперек волокон
Дуб, вдоль волокон
поперек волокон
Допускаемое напряжение,
кГ/см*
на растя-
растяжение
300—800
на сжатие
1200—1500
1600
600—2500
1000—4000 и выше
300—1200
800—1500 .
70—100
—
90—130
¦——
100—120
15—20
J 30—150
20—35
Подробные таблицы допускаемых напряжений для различных
материалов даются в справочниках, нормах, технических условиях
на проектирование конструкций, сооружений и в других аналогич-
аналогичных источниках.
Пример 2.1. Требуется иайти площадь поперечного сечения призматического
вертикально расположенного стержня, опирающегося нижним основанием, при
учете воздействия собственного веса стержня и внешней сжимающей силы Р,
приложенной к верхнему основанию (рис. 2.34).
В нижнем сечении на стержень со стороны опорной плоскости действует
реактивная сила, уравновешивающая как силу Р, так и собственный вес его.

S 2.15]
УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ПРИ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ
127
Эпюра продольной силы N показана на рис. 2.34, б. Площадь поперечного
сечения стержня необходимо подобрать по максимальному усилию. Исходя из
условия прочности .
ffmax=—7Г-=М.
находим необходимую площадь поперечного сече-
сечения стержня:
N.
P+yFl
F
Полиостью материал стержня использован лишь
в нижнем его сечении. Во всей остальной части
стержня напряжения получаются меньше допу-
допускаемых:
N Р+уРг . . . .
1
Z
i
P+yFl
ЭпюраЦ
Рис. 2.34.К примеру 2.1:
а) стержень, сжатый силой;
6) эпюра N.
и прочностные возможности материала недоисполь-
недоиспользованы, при этом в тем большей мере, чем выше
расположено рассматриваемое поперечное сечеиие
стержня.
Примечание. Анализируя результат решения примера 2.1, естественно
задать вопрос: нельзя ли подобрать такую форму бруса, при которой в любом
из его сечений напряжения окажутся равными допускаемым и, таким образом,
прочностные возможности материала всюду будут использованы в полной мере?
Такой брус можно запроектировать, и ему естественно дать название бруса рав-
равного сопротивления сжатию. Чем ниже рас-
расположено сечение бруса, тем большая про-
продольная сила в нем возникает, так как боль-
большая часть собственного веса ею уравновеши-
уравновешивается. Для обеспечения равенства напря-
напряжений во всех сечениях необходимо увеличи-
увеличивать их площадь по мере увеличения г. Для
того чтобы установить, по какому закону
должно осуществляться это увеличение, ре-
решим пример 2.2.
Пример 2.2. Требуется запроектировать
вертикально расположенный брус равного
сопротивления (рис. 2.35, а), опирающийся
нижним основанием и подверженный воздей-
воздействию собственного веса и сжимающей силы,
приложенной к верхнему торцу.
Выделим элемент (рис. 2.35, б) двумя,
бесконечно близко друг к другу располо-
расположенными сечениями (с координатами z и
г + dz). Площадь верхнего сечения элемента F, а нижнего F + dF. Продольная
сила в верхнем сечении N, а в нижнем N + dN. По условию задачи в каждом из
сечений напряжения должны быть равны допускаемым, т. е. в верхнем сечении
f
г
7
'
ч
1 ,
i
1 вг
|\(
z
Рис. 2.35. Брус равного сопротив-
сопротивления при сжатии; а) общий вид
бруса; 6) элемент бруса.
и в нижнем
N + dN
¦М-
B.11)
"~ F + dF
В равенстве B.11) разделим и числитель и знаменатель на F и учтем, что dN
равняется весу элемента, т. е.
B.12)

128 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ |ТЛ. II
где y — объемный вес материала бруса. После подстановки B.12) в B.11) получаем
N yF dz
или
Щ+ydz- — • —dF
Отсюда
у J dP
[a] F
Интегрируя полученное дифференциальное уравнение с разделенными
переменными, получаем
Постоянную С найдем из условия: при г — О F = Fo, откуда
или
Таким образом,
M = \nF-\nFa,
или
Отсюда, потенцируя, находим
Наконец, получаем искомую функцию
B.13)
описывающую закон изменения площади поперечиых сечеиий вдоль оси бруса 1).
Примечание. Изготавливать брус, имеющий такую сложную форму, которая
определяется функцией B.13), затруднительно. В связи с этим криволинейную
форму боковой поверхности бруса обычно упрощают. Брус делают ступенчато-
призматическим так, чтобы в пределах каждого участка нижнее сечение работало
при напряжениях, равных допускаемому. Общий вид такого бруса показан на
рис.2.36,а, а эпюра продольной силы в нем — на рис. 2.36, б. Легко проверить, что
р Р F Р М
предлагаем это сделать читателю.
') Напряженное состояние бруса полученной здесь формы при более строгой
постановке задачи, осуществляемой в теории упругости, отличается от рассмат-
рассматриваемого в настоящем примере, при котором во всех поперечных сечениях
нормальные напряжения распределены равномерно, по площадкам, параллельным
оси бруса, отсутствуют нормальные напряжения и всюду отсутствуют касательные
напряжении.

§ 2.1Б]
УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ПРИ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ
129
Особенно ощутимой выгода от применения бруса равного сопро-
сопротивления оказывается при большой его высоте, когда влияние
собственного веса получается значительным. К брусу равного со-
сопротивления приближаются по форме промежуточные мостовые
Р
WrWrk
Рис. 2.36. Брус со ступенчатым изменением се-
сечений, в котором нижние сечения ступеней рабо-
работают при допускаемых напряжениях: а) брус;
б) эпюра N.
Рис. 2.37. Промежуточная опора
моста (бык), по форме приближаю-
приближающаяся к брусу равного сопротив-
сопротивления .
опоры — быки, которые делают либо ступенчатой формы, либо
чаще, с наклонными гранями при ступенчатом фундаменте
(рис. 2.37).
Пример 2.3. Запроектировать вертикальную подвеску круглого сечения
длиной L, закрепленную в верхнем концевом сечении и нагруженную в нижнем
сечении силой Р. Применить один из двух различных материалов А и В, имею-
имеющих соответственно объемные веса уА и ув, допускаемые напряжения [о]А и [о]в,
стоимости единицы веса сА и св. Требуется установить отношение стоимостей
подвесок в случае использования каждого из двух материалов А и В,
Условие прочности имеет вид
N
Лтах
N
Вшах
При этом
N
Лтах"
Л/
" Втах —
nD%
тогда, принимая во внимание знак равенства в условии прочности, получим
nDB
-[с]
У В
А>
nDl
откуда
или
-Р,
V>h
5 А. П, Филии

130 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. IT
Веса стержней йл и Gg находим по формулам
„ nD-. nD%
= GACA, CB=*GBCB,
°АСА
а отношение их выражается так:
ол.
°в
Зная стоимости стержней
легко находим их отношение:
С в
§ 2.16. Закон Гука. Модуль продольной упругости.
Касательный модуль (модуль упрочнения).
Диаграмма идеального упруго-пластического материала
Линейная зависимость между напряжениями и относительными
линейными деформациями в начальный период нагружения образца
(стержня), обнаруживаемая у многих материалов, известна под
названием закона Гука *):
а = ?е. B.14)
Здесь Е — коэффициент пропорциональности, носящий название
модуля продольной упругости или модуля Юнга *), — характери-
характеризует жесткость материала: чем больше Е, тем жестче материал,
т. е. меньше относительные линейные продольные деформации
е = -| B.15)
при одних и тех же напряжениях а.
Закон Гука является важнейшим законом сопротивления мате-
материалов. Модуль упругости имеет размерность напряжения, т. е.
(PL). Это видно из формулы B.14)., если учесть, что е — безразмер-
безразмерная величина. Для того чтобы иметь представление о порядке
величин, укажем, что у стали модуль упругости Е = 2 • 10е кГ1смг,
у холодного бетона, в зависимости от марки 3), Е = 180 000, ¦*-
1) Роберт Гук (Robert Hook, 1635—1703) — английский ученый, физик и
механик.
2) Томас Юнг (Thomas Young, 1773—1829) — английский ученый, физик
и механик.
*) Е = 180 000 кГ/см2 у бетона марки 140 (т. е. у бетона, кубиковая проч-
прочность которого в возрасте 28 дней равна 140 кГ/см2), Е = 430 000 кПсм* у бетона
марки 600.

$ 2.16]
ЗАКОН ГУКА. ДИАГРАММА ПРАНДТЛЯ
131
+ 430 000 кГ/см2. Модули упругости некоторых других материалов
показаны в ряде таблиц главы IV. Модуль упругости можно рассмат-
рассматривать и как угловой коэффициент прямой в начальной части диа-
диаграммы напряжений или, иначе, как тангенс угла наклона этой
прямой по отношению к оси е.
Близость предела пропорциональности и предела упругости,
отмеченная в § 2.11, наблюдается в подавляющем большинстве слу-
случаев, но не всегда. Примером материала, у которого предел упругости
намного выше предела пропорциональности, может служить резина,
диаграмма напряжений которой имеет вид, показанный иа рис. 2.38.
Нелинейность зависимости а = о (е) еще в упругой области объяс-
объясняется тем, что деформация резины, оставаясь упругой, достигает
L
-э»-
Рис. 2.38. Диаграмма напряжений
при растяжении резины
Рис. 2.39. Диаграмма Прандтля (диаграмма иде-
льного упруго-пластического материала).
большой величины. Величина тангенса угла наклона касательной
к кривой а — а (е) в силу нелинейности зависимости а — о (е),
естественно, не остается постоянной.
Величину daldz за пределом пропорциональности называют ка-
касательным модулем. При разных а >апц величина его различна (в
пределах площадки текучести практически равна нулю), но повсюду
значительно меньше модуля упругости. Средняя величина касатель-
- ного модуля на всем протяжении диаграммы, от предела упругости
и до разрушения образца, очень мала по сравнению с модулем
упругости, и в ряде случаев ее можно считать равной нулю. Это
предположение равносильно принятию диаграммы напряжений
в виде, изображенном на рис. 2.39. Такая диаграмма называется
диаграммой идеального упруго-пластичного материала или диаграм-
диаграммой Прандтля *) — по имени ученого, предложившего ее. Иногда
предполагают, что диаграмма Праидтля аппроксимирует не всю
действительную диаграмму напряжений пластичного материала,
а лишь два участка ее — линейно-упругий и площадку текучести.
1) Людвиг Прандтль (L. Prandtl, 1875—1953) — немецкий механик,
б*

132 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ТЛ. II
§ 2.17. Коэффициент Пуассона
Опыт показывает, что отношение поперечной и продольной
относительных деформаций в пределах соблюдения закона Гука
представляет собой для каждого из материалов свою собственную
постоянную величину ц, носящую название коэффициента попе-
поперечной деформации или иначе коэффициента Пуассона г):
деформации е' и е имеют различные знаки. Если е > 0, т. е. если
имеем продольное удлинение элемента тела, то е' < 0, т. е, в попе-
поперечном направлении элемент тела сужается. Для того чтобы полу-
получить (х > 0 в формуле B.16), перед отношением е'/е поставлен знак
минус.
У такого материала, как сталь, ц = 0,25 -*- 0,33, у бетона
ц = 0,16 -г- 0,18. Коэффициент Пуассона определяют и за пределом
пропорциональности. Чем при большем значении напряжений,
превышающих этот предел, определяется коэффициент Пуас-
Пуассона, тем больше его величина. При пределе текучести, т. е. при
полном развитии пластических деформаций, коэффициент Пуассона
\i = 0,5. Коэффициент Пуассона для различных изотропных мате-
материалов колеблется в пределах от 0 до 0,5.
Величины Е и ц являются так называемыми упругими характе-
характеристиками материала.
§ 2.18. Характеристики пластичности материала
Для оценки пластических свойств материала имеются две меха-
механические характеристики, определяемые экспериментальным путем.
Одна из них называется остаточным относительным удлинением,
а другая — остаточным относительным сужением. В результате
испытания образца на разрыв длина его при составлении из двух
образовавшихся после разрыва частей оказывается отличающейся
от первоначальной. Отношение абсолютного удлинения такого
образца Д/max к первоначальной его длине I (имеется в виду расчет-
расчетная длина АВ), выраженное в процентах, и представляет собой
остаточное относительное удлинение:
У мягких пластичных сталей (Ст. 2) величина б доходит до 30%.
Разрыв образца происходит в шейке, образующейся на последнем
этапе испытания. Отношение разности первоначальной (до испыта-
х) Симеон Дени Пуассон (Simeon Deni Poisson, 1781—1840) — французский
математик и механик.

§ 2.19] АБСОЛЮТНОЕ УДЛИНЕНИЕ РАСТЯНУТОГО СТЕРЖНЯ 133
ния) и окончательной (в шейке после разрыва) площадей поперечного
сечения образца к первоначальной площади его поперечного сечения,
выраженное в процентах, называется остаточным относительным
сужением:
Здесь Fo — площадь поперечного сечения образца до испытания.
Fx —площадь поперечного сечения разорванного образца в шейке.
У мягких сталей величина »|) доходит до 60—70%. Следует отметить,
что if лучше характеризует пластические свойства материала, чем б.
§ 2.19. Абсолютное удлинение (укорочение)
прямолинейного стержня при осевой деформации
Найдем формулу для абсолютного удлинения стержня при осевой
деформации, имея закон Гука B.14), зная, как связаны между собой
величины е и А/ (формула B.4)), и учитывая зависимость B.1).
Из B.4) имеем
А/ = /е. B.17)
Подставляя B.15) в B.17), получим
Д/ = ^. B.17')
В том случае, когда продольная сила вдоль всего стержня посто-
постоянная, N — Р (Р — внешняя сила), напряжения изображаются
формулой
Подставляя это выражение для о в B.17'), находим
А/ = ^. ' B.18)
Произведение EF называют жесткостью стержня при осевой
деформации *). Эта величина имеет физико-геометрический харак-
характер, она зависит от физических свойств — жесткости материала,
из которого выполнен стержень, определяемой модулем упругости
Е, и от геометрического фактора —¦ площади поперечного сечения
стержня F. Чем выше значение Е и больше величина F, тем меньше
А/, тем жестче стержень. Иногда бывает удобно пользоваться
понятием относительной, или погонной, жесткости при осевом
действии сил, представляющим собой выражение EFIL Рассмотрим
х) См. примечание на стр. 92.

134
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
стержень переменного по длине сечения (рис. 2.40, а), загруженный
так, что продольная сила N в нем также переменна по длине. В част-
частности, стержень может быть загружен внешней распределенной
осевой нагрузкой q, переменной по длине интенсивности (рис. 2.40, б).
На рис. 2.40, в изображена эпюра N. Выделим из стбржня на некото-
, . ром расстоянии г от
в' одного из торцов эле-
мент длиной dz и за-
заменим действие при-
примыкающих к нему
отброшенных частей
стержня соответст-
соответствующими силами
B.40, г). На чертеже
Рис. 2.40. К определению удлинения бруса переменного
сечения при распределенной вдоль оси осевой нагрузке:
а) брус; о) нагрузка (эпюра внешних распределенных
продольных сил); в) эпюра N; е) элемент стержня и дей-
действующие на иего силы; о) упрощенная схема элемента и
действующих на него сил
Рис. 2.41. К определению
удлинения стержня: а) стер-
стержень, растягиваемый сила-
силами; б) эпюра N
они условно показаны в виде сосредоточенных. При определении аб-
абсолютного удлинения элемента будем исходить из того, что он
имеет призматическую форму и подвергнут растяжению силами, N,
приложенными к его торцам (рис. 2.40, д). Абсолютное удлинение
элемента A dz, пользуясь формулой B.18), представляем так:
Тогда полное удлинение всего стержня найдем по формуле
' т?. B-19)

4 2.19] АБСОЛЮТНОЕ УДЛИНЕНИЕ РАСТЯНУТОГО СТЕРЖНЯ 135
Здесь N и F — функции от г. В случае постоянства какой-либо
из этих величин ее можно вынести за знак интеграла. Если стержень
выполнен из одного материала по всей его длине, за интеграл можно
вынести и 1/?. Если стержень постоянного сечения и выполнен из
одного материала, то за интеграл можно вынести MEF и формула
приобретет вид
Ыг. B.20)
Интеграл в B.20) представляет собой площадь эпюры N. В слу-
случае, изображенном на рис. 2.41,
и формула для А1 приобретает вид
здесь о — площадь эпюры N.
Пример 2.4. Найти абсолютное укорочение бруса равного сопротивления
сжатию.
Воспользуемся формулой B.19). В нашем случае /V может быть найдено из
уравнения B.12) с учетом B.13):
dN = yf dz = yF^^ d2j N = [a] /=>^a] + c.
При г = 0, N = P; отсюда имея в виду, что [a] Fo = Ро, получим
С = 0;
следовательно,
yV = [a]FoeY2/t<Jl. B.21)
Подставляя полученные значения N по формуле B.21) и F по формуле B.13)
в формулу для Д/, получим
Этот же результат можно получить, исходя из следующих соображений.
В силу того, что напряжения во всех сечениях бруса одинаковы и равны [а],
относительные удлинения тоже одинаковы и равны в окрестности любого сечения
величине г)
e___[ZJL
*~- Е '
поэтому
1) На стр. 104 и 128 уже отмечалась приближенность перенесения напря-
женио-деформированного состояния, имеющего место в призматическом брусе,
на брус переменного вдоль оси сечения.

136 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ II
Полезно проверить, что абсолютное укорочение ступенчатого бруса выра-
выражается формулой
д/=~2ef7 l2P+F tY/l ]
[2 (Р+F iY/i
Пример 2.5. Установить отношение стоимостей подвесок, рассмотренных
в примере 2.3, по условию одинаковости их жесткости.
Условие жесткости имеет вид
Используя знак равенства в этом условии, получим
4 \ I nD*A
После интегрирования будем иметь
4 / V,nDK Z.2
Отсюда
Аналогично
Тогда "
зх?в
Отношение весов выражается формулой
а отношение стоимостей находится так:
_
св GifB

$ 2.201
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЯ
137
Пользуясь формулами в примерах 2.3 и 2.5 при условии Р = 25 Т, L — 10 м
и [AL] = 1/200, подсчитаем стоимости подвесок для четырех материалвв (сталь,
медь, алюминий и капрон). Результаты приведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
п/п
1
2
3
4
Материал
Сталь Ст.З
Медь
Алюминий
Капрон
кГ/см2
1600
1000
800
800
В,
кГ/см"
2,1 • 10е
1,1 • 10»
0,7 • 10»
1,5-10*
V.
Г/см*
7,85
8,9
2,7
1,15
с, рубль
за I кГ
0,080
0,800
0,580
1,365
С, рубли
из усло-
условия проч-
прочности
9,8
179
49
51
из усло-
условия рав-
равной
жесткости
1,5
32,4
11,2
525
§ 2.20. Перемещения при осевом действии сил
на прямолинейный стержень
1. Дифференциальное уравнение. Перемещение любой точки
бруса в направлении, параллельном оси г, как и в теле произволь-
произвольной формы, выражается функцией w = w (x, у, г). Однако, вслед-
вследствие использования гипотезы плоских сечений при осевой дефор-
деформации бруса, легко заключить, что
w(x, у, z) = w@, 0, г),
т. е. перемещение, параллельное оси г, у любой точки поперечного
сечения стержня, подверженного осевой деформации, такое же,
как и у точки этого же сечения, лежащей на оси стержня. Последнее
(обозначим его w%) является функцией лишь г:
w@, 0, г) = до#(г).
Таким образом, в рассматриваемом случае для отыскания w (x, у, г)
достаточно знать ш* (г). Ниже индекс,. у w опущен.
Для определения перемещения w нам понадобится дифференци-
дифференциальное уравнение, связывающее это перемещение с деформацией ег.
Выведем указанное уравнение.
Рассмотрим стержень с прямолинейной осью. Пусть при этом
главные оси инерции площади поперечных сечений лежат в двух
плоскостях, разумеется, ортогональных и проходящих через ось
стержня. Пусть этот стержень подвергнут такому воздействию,
при котором в нем возникает лишь осевая деформация. Выделим
элемент стержня двумя поперечными сечениями, находящимися

138 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ ГГЛ. II
одно, от другого на бесконечно малом расстоянии dz (рис. 2.42).
Первоначальная длина элемента (dz) в результате деформации
изменяется на величину Adz = ъ„йг. С другой стороны, изменение
длины элемента, согласно рис. 2.42, может быть найдено как раз-
разность перемещений его торцов, равная 1)
Adz — (dwldz) dz. Таким образом, сопо-
J ставляя два разных выражения для од-
/ ной и той же величины Adz, получаем
равенство
, dw ,
или *)
Рис. 2.42. Элемент стержня и дт
картина перемещения его тор- о -— /О 92^
цов
dw
ИГ
1).
dw
Ж
_ °z
E '
N
~ EF '
Преобразуем уравнение B.22), воспользовавшись уравнением
B.15); в результате получим
или, учитывая формулу B.1),
Можно считать, что в B.23) неизвестными функциями являются
w и N. Присоединим к B.23) уравнение A.9K:
ч. — ?; B-24)
B.23) и B.24) можно рассматривать как систему уравнений относи-
относительно N nw. Если в частном случае стержень имеет призматическую
форму, систему B.23), B.24) можно упростить, сведя ее к одному
уравнению. Исключим функцию N из B.23) и B.24), для чего продиф-
продифференцируем B.23) по 2, решим полученное таким образом уравнение
1) Величина -т- dz представляет собой, с точностью до малых второго порядка,
приращение функции w, имеющее место при переходе из центра верхнего сечения
в центр нижнего сечения элемента (рис. 2.42).
*) В главе VI выводится система так называемых уравнений Коши,
связывающих компоненты деформации в составляющими перемещения в ок-
окрестности любой точки деформируемого тела произвольной формы, у кото-
которого w = w (х, у, г). Одно из шести отмеченных уравнений имеет вид ъг = dwldz.
Если иметь в виду, что в настоящем параграфе рассматривается частный случай
формы тела, а именно стержень, и при этом нас интересуют перемещения лишь
точек, лежащих на его оси, убеждаемся в том, что w оказывается функцией лишь
аргумента г, откуда следует, что B.22) является частным случаем приведенного
в настоящем примечании уравнения Коши.

f 1.20] ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЯ 139
относительно dNIdz и подставим эту производную в B.24). Тогда,
получим
E NJJdN
dz2 dz \EF) EF dz '
Из B.25) найдем
.*»=EF^r. B.26)
dz dz
Подставим B.26) в B.24), в результате получим
¦S—-*• . <2-27>
2. Интеграл дифференциального уравнения в случае одного
участка. Рассмотрим сначала случай, в котором на всей длине
стержня функции N и qe, а следовательно и w сохраняют свой вид;
т. е. стержень содержит один участок.
Проинтегрируем B.27) дважды. В результате первого интегри-
интегрирования найдем
г
J^-^-^L^ -Л-^д^г + Сг B.28)
о
и в результате второго
г г
О О
Постоянным интегрирования С± и С2 можно дать механическую
трактовку. С этой целью положим в B.28) и B.29) 2 = 0, тогда
о = "Йг = Съ a»U-o = B'o = Ci. B.30)
Здесь о>0и No — перемещение вдоль оси и продольная сила в попе-
поперечном сечении, проходящем через начало координат. Величины
wu и Af0 можно назвать начальными параметрами.
Учитывая B.30), получим выражения для N hw:
. B.31)
3. Интеграл дифференциального уравнения в случае двух и
нескольких участков. Рассмотрим теперь случай, в котором в пре-
пределах длины стержня содержится два участка и на каждом из них
имеется своя собственная функция интенсивности распределенной
продольной нагрузки: qgil и qZi2. Пусть координата границы между

НО ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
участками г = гг. Для каждого из участков запишем дифференци-
дифференциальное уравнение B.27):
d2a)i _ Яг.г
Вычтем первое уравнение системы B.32) из второго, в результате
получим
d*w2 &w} _ дг, % I дг, t
dz* dz^ — EF \ EF
ИЛИ
Ш
Представим функции w и qz на втором участке, т. е. при г Э= 2Х,
в следующем виде:
^2 = 0*1 + О'доп, 2, <7*. 2 = <7*. 1 + ?г. доп, 2- B.34)
Сопоставляя B.33) с B.34), убеждаемся в том, что B.33) можно
изобразить так:
Лдоп,2 <7г,доп,2
Щ
Уравнение B.35) по своей структуре такое же, как и уравнение
B.27); следовательно, аналогично формуле B.31J может быть
представлен и интеграл уравнения B.35):
= w9, доп, 2
п, 2 dz dz. B.36)
Вместо г во втором члене правой части формулы B.31 J во втором
члене B.36) имеем (г — гг), поскольку интегрирование начинается
от границы между участками. Этим же объясняется и изменение
нижних пределов у интегралов в B.36) по сравнению с B.31J. Вели-
Величины wOi Д0П) 2 и NOi доп, 2 представляют собой скачки соответственно
в функциях w и N, имеющиеся на границе участков стержня. Если
не иметь в виду специального приспособления, включенного в стер-
стержень на границе участков, то w0iROTli2 = 0.
Подставляя B.36) в B.34) и имея в виду, что w1 записывается
в форме B.31J, получаем
»о, доп, а + "^Т" * B -1 2i) - -fir I I 4*. доп, 2 dz dz. B.37)

S 2.20] ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЯ HI
Символ ||z, обозначает, что все члены, расположенные правее него,
учитываются, начиная с г = zx (при z^s zlt w = до2). Этот символ
введен в строительную механику И. Г. Бубновым 1). Будем называть
его символом Бубнова. Для изображения того же содержания сущест-
существует и ряд других символов и особых функций, на которых здесь
не останавливаемся.
Аналогично получаем формулу для N:
N = N0-lq,d2 + |г< AT* доп,, - I qt, доп,, dz. B.38)
О г,
Структура решения при наличии не двух, а большего количества
участков аналогична показанной в B.37), B.38). Подробнее это
пояснено в приводимых ниже примерах.
Изложенный здесь метод получения интеграла обыкновенного неоднород-
неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
называется методом начальных параметров. Подробнее об этом методе гово-
говорится в главе XII, где поясняется, что указанный метод есть не что иное, как
метод Коши интегрирования дифференциальных уравнений, в которых правая
часть (у нас нагрузка) на разных участках рассматриваемого промежутка имеет
различные аналитические выражения.
4. Примеры
Пример 2.6. Найтн функции N и w для стержня, изображенного вместе
с приложенной к нему нагруз-кой на рис. 2.43,а.
Решение. Функции N и w находим по формулам B.31), при этом w0 — 0.
Величину Ыо найдем из условия ¦
отсюда
S
о
Учитывая выражения для wn и /Vo, получаем
I!
о о
Пример 2.7. Найти функции N и w для стержня, изображенного вместе
С приложенной к нему нагрузкой на рис. 2.43, б.
') Бубнов Иван Григорьевич A872—1919) — русский инженер-корабле-
инженер-кораблестроитель и ученый в области строительной механики, автор первого в мире курса
строительной механики корабля.

ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
[ГЛ. II
Решение. Обращаем внимание на то, что рассматриваемая система статически
неопределима; однако при использовании метода начальных параметров этот
факт не вносит изменения в общую схему решения задачи. Функции N и w находим
Рве. 2.48. К примерам: в) 2.6: б) 2.Т; в) 2.8; г) к проверке решения примера 2.8.
по формулам B.31), при этом w0 = 0. Величину No найдем из условия mz^t — О,
Отсюда
Учитывая выражения для w0 и Мо, получаем
Пример 2.8. Найти функции N и w для стержня, изображенного вместе
• приложенной к нему нагрузкой на рис. 2.43, в.

i 2.20] ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЯ ИЗ
Решение. Функции N иге находим по формулам гипа B.38) и B.37) с учетом
того, что имеется не два, а три участка в пределах длины стержня, при этом
= ~~ У Я* +2<?* Т • шо,доп.э=0,
Параметр No найдем из условия w \г _i = 0.
Итак, имеем
Уравнение для отыскания Ыо приобретает вид
ЛУ 1_ ,/Р 2 fax I 2q* т 3 Р ft 3 I3 \ PI
EF EF q \2 I 6) + EF 3 Д 2 / "б" 18+ / 162/ 3?F '
л, <?*' , 2 *> , я 3I », , р
^^ 6 +8Т(?/ + Т = 162(?' + Т-
Теперь, подставляя iV0 в формулы для N и w, получаем
5
//3
При г— I продольная сила приобретает следующее значение:
{-•• К
Легко проверить, что условие равновесия удовлетворено (рис. 2.43, <?, г):
?пр. г = 0; •
б. Заключительное замечание. Если стержень, испытывающий
определенное внешнее воздействие (имеются в виду все силы, как

144
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
активные, так и реактивные), закрепить в пространстве против
перемещения как жесткого целого, но таким образом, чтобы это
закрепление никак не стесняло деформации, то каждому виду
закрепления будет соответствовать свой собственный вид функции w.
-у.
p t\ ¦ + -rA-P Z
7=ЩР
P г
Рис: 2.44. К вопросу о зависимости вида функции перемещений от вида закрепления
тела в пространстве как жесткого целого: о) стержень, растягиваемый силами; о) первый
вариант закрепления стержня, w = Pz/EF; в) второй вариант закрепления стержня,
w = Р (г — D/EF; г) третий вариант закрепления стержня, о>= Р Гг — —yEFi 1 —
неподвижная очка.
Форма же и размеры стержня, получающиеся в результате дефор-
деформации, во всех случаях закрепления окажутся одинаковыми.
Сказанное проиллюстрировано рис. 2.44, на котором показан
стержень, растягиваемый двумя силами Р, приложенными к его
торцам. Изображено три разных способа закрепления стержня и
для каждого из них приведена функция, характеризующая пере-
перемещения w точек оси стержня, а также форма и размеры стержня,
получающиеся в результате деформации. Сказанное в настоящем
разделе справедливо не только при осевом действии сил на стержень
и не только для стержней, но и для тел произвольной формы.
§ 2.21. Работа силы. Понятие об обобщенном
перемещении и обобщенной силе
1. Из механики известно, что работа А постоянной по величине
силы Р, совершаемая ею на перемещении А точки ее приложения
(рис. 2.45), равна скалярному произведению векторов силы Р и
перемещения Д:
= (Р, А) = ЯД cos (P, A) =
B.39)

S 2.21]
РАБОТА СИЛЫ. ОБОБЩЕННЫЕ СИЛА И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
145
Или, иначе, работа равна произведению величины силы Р на Ар —
проекцию перемещения точки ее приложения на направление
действия силы. Если направление перемещения А совпадает с на-
направлением силы, то в выражении B.39).cos (P, А) обращается
в единицу и
А = РА. B.40)
Ар в формуле B.39) или А в B.40) называют перемещением, соответ-
соответствующим сим Р, т. е. таким перемещением, на котором сила Р
производит работу.
Если величина силы Р изменяется
вместе с изменением АР и между ними
существует определенная зависимость .
@). B-41)
Рис 2.45. К определению рабо-
работы силы.
то работа, совершаемая этой силой, мо-
может быть найдена следующим образом.
Рассматриваем два близких момента
времени. В первый из них имеем величины Р (f) и Ар (t), а во
второй Р (t) + dP (t) и АР (t) + dAp (t). Работа, совершаемая си-
силой за отрезок времени между этими моментами, равна
dA = P(t)dAP(t).
Работа, совершаемая силой dP (t) на перемещении dAP (t),
является малой более высокого (второго) порядка малости. Отсюда
Ар ¦ Ар
А= J P(f)dAP(t)= J f(AP(t))dAP(t).
о о
Если функцию B.41) изобразить графически (рис. 2.46, а), то
работа может быть оценена площадью, заштрихованной на рисунке.
P(t)
а) . . б) р в) ~р
Рис, 2.46. Графики зависимостей Р (t) = f (Др (/)): о) нелинейная зависимость; б\ ли-
линейная зависимость; е) случай постоянной силы.
Если зависимость между силой и перемещением линейная
(рис. 2.46, б), т. е.
в частности, в конце роста силы
Р = аДр,

146 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
то работа А представится в виде
А = § аДР @ dAp @ = «
РАР
о
Случаю постоянства силы Р в процессе изменения АР соответ-
соответствует работа, представленная в виде площади, заштрихованной
на рис. 2.46, в.
2. В механике и, в частности в механике твердых деформи-
деформируемых тел весьма важную роль играют понятия обобщенная коор-
координата и обобщенная сила. Эти понятия подробно обсуждаются
в главах XV и XVII, посвященных механическим системам со
многими степенями свободы. В настоящей главе лишь коснемся
этих понятий.
Из курса теоретической механики известно, что обобщенными
координатами qlf ... , qN называют систему независимых парамет-
параметров, однозначно определяющих положение точек материальной
системы. N — число обобщенных координат, оно в голономной
системе равно числу степеней свободы материальной системы *).
Величины qlt ... , qN по определению позволяют найти Зп декар-
декартовых координат п точек материальной системы *) (Эп ^ N).
Радиусы-векторы этих точек, отсчитываемые от произвольной
точки 0, могут быть выражены так:
ri = ri{qx qN) (i = 1, ...., it),
откуда
Пусть на систему действуют активные силы Рг (I -• 1 я).
Элементарная работа этих сил, произведенная на возможных беско-
бесконечно малых перемещениях3) точек системы, выражается такой
х) Голономной называется система, все связи которой голономны. Голоном-
ными (позиционными) называются связи, осуществляющие зависимости между
координатами точек системы.
Иногда число обобщенных координат принимают большим, нежели число
степеней свободы материальной системы. В этом случае между qu ..., qN должно
быть столько связей, каково число избыточных координат.
2) При Зп > N на материальную систему наложено Зя — N геометрических
связей. Будем полагать, что эти связи голономны (или позиционны, т. е. осуще-
осуществляют зависимости между координатами точек системы) и стационарны (послед-
(последнее означает независимость их от времени).
3) Возможными называются перемещения, не противоречащие связям, нало-
наложенным на материальную систему.

i ?.211 РАБОТА (ЗИЛЫ ОБОБЩЕННЫЕ СИЛА И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ 147
/
формулой 1):
Желая сохранить структуру формулы для работы, выраженной
через Pi и brh введем обозначение
2'fe (y=1 N))
тогда
ЬА =
Величину Qy называют обобщгШюй силой, соответствующей обоб-
обобщенному 'перемещению q}. Иными словами, обобщенная сила Qy —
это величина, характерная тем, что произведение ее на bqj — изме-
изменение соответствующей обобщенной координаты — равно работе,
производимой активными силами Pt, приложенными к точкам
системы, на их перемещениях Ьг{, определяемых 6^ — изменением
/-Й обобщенной координаты.
Пример 2.9. Пусть имеем систему, изображенную иа рис 2.47. Требуется
найти обобщенную силу если в качестве обобщенной координаты принята дли-
длина стержня. Стержень закреплен в точке оси, находящейся на расстоянии а от
одного из концов.
Тот
Рис. 2.47. Обобщенная сила в аиде двух равных и шро-
тивоположно направленных сил.
Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы, так как, учи-
учитывая равномерность растяжения стержня, достаточно знать перемещение любой
его точки, чтобы тем самым определить перемещение и любой другой точки,
а следовательно, и картину деформации всей системы.
1) Изменение порядка суммирования допустимо в связи, а независимостью
суммирования по i в /.

•48 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
Итак,
<h = /, 6ft =A/;
— = / — = л — ^1 = iL Р =Р-
Ь^ ^ дг% _ b_ p _р
[ГЛ. Ц
гх = 8а =
Обобщенная сила равна
2*'
Начало векторов л,- совмещаем с точкой закрепления.
Пример 2.10. На рис. 2.48 изображена система с одной степенью свободы —
стержень и действующая на него нагрузка, описываемая одним параметром Р,
Требуется найти обобщенную силу, если в качестве обобщенной координаты
принята длина стержня.
Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы, так как
наличие у нагрузки одного лишь параметра Р обеспечивает то, что, зная переме-
перемещение одной точки, можно найти перемещения и всех остальных точек системы.
Учитывая замечание, сделанное в конце предыдущего параграфа, о независи-
независимости формы и размеров тела, нспытавшего деформацию, от характера закреп-
закрепления, не стесняющего последнюю, представим себе, что закреплена точка прило-
приложения силы 2Р. В точке закрепления поместим О — начало
jjp векторов.
Итак,
--ЗР,
а
Т
Ь
ЗРа
dqi
Pb
I
b_
Рис. 2.48. К
примеру 1 10
ЬА-
i=\
Обобщенная сила равна
У PidJ1-
¦ш dqt

S 2.22]
РАБОТА СИЛ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ. ВЯЗКОСТЬ
149
§ 2.22. Работа внешних сил при растяжении (сжатии) образца.
Вязкость материала при статическом нагружении
1. Силы Р, растягивающие образец, могут быть приняты за
обобщенную силу. Тогда обобщенным перемещением, соответствую-
соответствующим этой силе, оказывается изменение расстояния между точками
приложения сил. Пусть сила прикладывается статически, посте-
постепенно возрастая от нуля до конечного своего значения.
Рис. 2.49. Графическое изображение работы силы, деформирующей образец: о) полная
работа: б) удельная работа
Рассмотрим два бесконечно близких друг к другу момента
времени в процессе испытания. В первый момент сила равна Р,
а во второй момент Р + dP. За промежуток времени между этими
двумя моментами расстояние между точками приложения растя-
растягивающих сил изменяется на величину dAl. Работа, производимая
силой за этот отрезок времени, изображается следующим образом:
dA=PdAl.
B.42)
Работу, производимую приращением силы на приращении пере-
перемещения, не учитываем, как величину бесконечно малую второго
порядка малости. Интегрируя B.42), получим
Р dtt.
B.43)
Выражение B.43) показывает, что работа А численно равна
площади, ограниченной сверху кривой растяжения. На рис. 2.49, а
эта площадь отмечена вертикальной штриховкой. Площадь, выде-
выделенная, кроме того, диагональной штриховкой, равна dA. В пре-
пределах соблюдения закона 1'ука

150
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИ НЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
[ГЛ. II
Работа А затрачивается на деформацию образца. Если разде-
разделить А на объем образца IFO, получим а — удельную работу, т. е.
работу, приходящуюся на единицу объема деформируемого тела:
Удельная работа а численно равна площади диаграммы напря-
напряжений, т. е. площади, ограниченной кривой в диаграмме напря-
напряжений, осью абсцисс и перпендикуляром, опущенным из конечной
точки диаграммы на ось абсцисс. Так как переход от диаграммы
растяжения к диаграмме напряжений (рис. 2.49, б) осуществляется
путем деления величин, откладываемых по оси ординат, на Fo,
а) й б) . В)
??
Рис. 2.50. К энергетическому определению упругости: а) упругость в пределах закона
Гуна; б) упругость за пределами закона Гука; в) упруго-пластические деформации; / —
нагружение, 1 — разгрузка.
а величин, откладываемых по оси абсцисс, на I, в результате пло-
площадь диаграммы напряжений в Wo раз отличается от площади диа-
диаграммы растяжения. В таком же соотношении находятся величины
а и А,
Удельная работа деформации к моменту, когда в процессе
нагружения образца напряжение достигает значения, соответству-
соответствующего точке С в диаграмме напряжений, изображается площадью,
заштрихованной вертикально на рис. 2.49, б. Если после этого про-
производить разгрузку образца, то часть затраченной на деформацию
работы, соответствующая упругим деформациям, возвращается.
Указанная работа изображается площадью, заштрихованной гори-
горизонтально. Если разгрузка производится после того, как напря-
напряжение достигло величины меньшей, чем предел упругости, то,
так как пути нагружения и разгрузки в этом случае совпадают, в
процессе разгрузки (рис. 2.50, а) возвращается вся работа, затра-
затраченная на деформацию образца.
Мы будем понимать под упругостью не только полное отсут-
отсутствие остаточных деформаций, но и полную обратимость работы
деформации, независимо от того, линейна зависимость а — а {&)
или, как у резины, нелинейна (рис. 2.38), и считать, что в случае

I 2.22] РАБОТА СИЛ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ. ВЯЗКОСТЬ 151
абсолютно упругого материала, кривые нагружения и разгрузки
в диаграмме напряжений совпадают (рис. 2.50, б) — каждому
значению напряжения, независимо от того, рассматривается ли
процесс нагружения или разгрузки, соответствует одна и та же
по величине деформация. В отличие от нелинейно-упругого тела,
в упруго-пластическом кривые нагружения и разгрузки не совпа-
совпадают — одному и тому же значению напряжения соответствуют
различные деформации в зависимости от того, рассматривается ли
нагружение или разгрузка, а если последняя, то в зависимости от
того, от какого напряжения она производится (рис. 2.50, в).
Деформация, происходящая при монотонном возрастании на-
нагрузки (напряжений), называется активной, при разгрузке —
пассивной. Затрачиваемая на деформацию образца механическая
энергия (ее эквивалент — работа внешних сил) в процессе дефор-
деформации переходит в другие виды энергии. Пока напряжение не
превосходит предела упругости, вся энергия, затраченная на
деформацию, накапливается в теле в виде потенциальной энергии
деформации, которая при разгрузке тела полностью переходит в
механическую. То есть в пределах упругости всякое деформируе-
деформируемое тело можно уподобить идеальной пружине, накапливающей в
себе энергию в случае ее загружения и возвращающей эту энергию
при разгрузке.
Если напряжения превысили предел упругости, то не вся энер-
энергия, затраченная на деформацию, возвращается при разгрузке.
Возвращается лишь часть, затраченная на упругую деформацию;
соответствующая площадь на диаграмме рис. 2.49 заштрихована
горизонтально. Остальная часть энергии идет на изменение формы,
в том числе искажение внутренней структуры материала, и при раз-
разгрузке не возвращается. Более подробно о механизме деформаций
металлов говорится в главе IV. Некоторая доля энергии, затрачен-
затраченной на деформацию тела, переходит в тепловую. Часть энергии,
не возвращаемая при разгрузке в виде механической работы,
численно равна разности площадей, заштрихованных на рис. 2.49, б
вертикально и горизонтально.
2. В технике используется условный термин — вязкость мате-
материала *), под которой понимается способность его поглощать меха-
механическую энергию (работу) при деформировании образца, изго-
изготовленного из этого материала, вплоть до разрушения.
Работа, затрачиваемая на деформацию образца вплоть до егс
разрушения, приходящаяся на единицу объема образца, измеряется
площадью диаграммы напряжений; таким образом, мерой вязкости
') Обращаем внимание на то, что обсуждаемый в настоящем параграфе термин
вязкость материала не имеет ничего общего с термином «вязкость», используе-
используемым применительно к телам, находящимся в жидком и газообразном состоянии.
В этом принципиально ином физическом понимании вязкость рассматривается
в главе VII.

'52 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ |ТЛ. II
может служить удельная работа. Площадь диаграммы напряжений
зависит от двух генеральных ее размеров — вдоль оси о (этот
размер определяется ординатой 0ПЧ, т. е. мерой прочности мате-
материала) и вдоль оси е (этот размер определяется абсциссой б, т. е.
мерой пластичности материала). Таким образом, вязкость мате-
материала тем выше, чем прочнее и пластичнее материал. С другой
стороны, б — мера пластичности материала, — как это было отме-
отмечено в § 2.11, зависит от тех условий, в которых протекает дефор-
деформирование вплоть до разрушения; зависит от скорости деформи-
деформирования, температуры образца, формы образца. Поэтому даже для
образца стандартной формы вязкость, определенная на нем, не
является какой-то физической константой и изменяется в зависи-
зависимости от условий проведения эксперимента. Вязкость, определяе-
определяемая величиной а, найденной при статическом испытании гладкого
образца, называется статической вязкостью.
Совершенно очевидно, что чем выше вязкость, тем лучше ма-
материал при использовании в конструкции, так как тем большую
работу необходимо затратить для разрушения его. Заметим, что
обрабатываемость (резанием) материала тем более затруднена,
чем выше вязкость материала.
В § 2.11 было пояснено, что пластичность и хрупкость являются
альтернирующими свойствами материала. Поскольку чем выше
пластичность, тем выше и вязкость, последнюю иногда также про-
противопоставляют хрупкости.
§ 2.23. Упругое последействие. Упругий гистерезис
1. Упругое последействие. Описывая деформирование образца
в § 2.11, мы отвлеклись от того, как протекает оно во времени.
Рассмотрим деформирование образца в пределах соблюдения закона
Гука с учетом фактора времени. Наблюдения показывают наличие
некоторого отставания деформаций от напряжений — деформация
происходит как в процессе возрастания силы, так и в течение неко-
некоторого отрезка времени после прекращения роста напряжения.
Такое явление носит название упругого последействия при погру-
погружении. Отстают деформации от напряжений и в процессе разгрузки:
нагрузка уже снята с образца — напряжения равны нулю, а упругая
деформация к этому моменту еще не полностью исчезла и остаток ее
продолжает уменьшаться, доходя до нуля, еще некоторый отрезок
времени. Это явление называется упругим последействием при
разгрузке. На рис. 2.51 графически изображена зависимость
в-/(о, Q.
2. Упругий гистерезис. Вследствие наличия упругого после-
последействия при периодическом изменении напряжений по закону,

§ 2.231
УПРУГОЕ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕ. УПРУГИЙ ГИСТЕРЕЗИС
153
показанному на рис. 2.52, г, одному циклу х) изменения напряжений
соответствует цикл изменения деформаций, изображаемый в системе
осей 0, е некоторой петлей — замкнутым четырехугольником —
параллелограммом (рис. 2.52, б). Указанная линия называется
петмй упругого гистерезиса.
Если периодическое изменение напряжений происходит по иному
закону, нежели изображенный на рис. 2.52, г, например по гармо-
гармоническому закону B.53, а), то вследствие не мгновенного-нагружения
и разгрузки отставание деформаций от напряжений оказывается
меньшим, чем при законе по рис. 2.52, г. Поэтому петля гистерезиса
*
б
f .
•г
,/
г'
в)
»)
t.
Рис. 2.51. Упругое последействие: о) кривая в сиотеме осей о, е, /; б) в снотеме осей
dj е; в) в сиотеме осей е, t; г) в сиотеме осей о, i; 1 — прн отсутствии упругого последей-
последействия (отставания деформаций от напряжений), 1 — при наличии упругого последействия.
получается криволинейной (рис. 2.53, б) и лежит внутри указан-
указанного ранее параллелограмма.
Площадь, заключенная на диаграмме о = о (е) внутри петли
гистерезиса, численно равна необратимой удельной энергии (работе),
превращающейся при выполнении каждого цикла деформации
в тепловую энергию. Отставание деформаций от напряжений и
порождаемая им петля упругого гистерезиса связаны с так назы-
называемым внутренним трением материала. В главе XVII при рас-
рассмотрении упругих колебаний систем показано, что наличие петли
гистерезиса, порожденной внутренним трением, является причиной
затухания свободных колебаний и стабилизации величин амплитуд
вынужденных колебаний в районе резонанса. При каждом цикле
колебания происходит поглощение удельной работы, равной пло-
площади, заключенной внутри петли гистерезиса. С этой точки зрения,
1) Следует рассматривать цикл в установившемся процессе, т. е. начинать
его не раньше, чем по прошествии отрезка времени, равного половине периода
изменения напряжений.

154
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО вТЕРЖНЯ [РЛ. II
Phc. 2.52. Упругий гистерезис как следствие упругого последействия: а)картина упругог
последейотвия при циклическом (ступеичатом) изменения напряжений; б) петля упругог'
гнстерезиса (проекция простраиствеиной кривой упругого последействия на плоскость
ое); «) проекция на плоскость et; г) проекция на плоскость at
*)
\
\
6 <f
-'Л
1
/ /
/ г .
е О
Рис. 2.53. Упругий ги терезис при гармоническом законе изменения напряжений во
времени! а) пространственная кривая упругого последействии; б) петля гистерезиса;
в) однократное нагруженне от нулевог» напряжения и полная разгрузка; г) разгрузка
от напряжении, превышающего предел текучести, и повторное иагруженне я» неходкого
наппяжения.

$ 2.24] ГИБКИЕ НИТИ 165
желая уменьшить эффект колебаний, целесообразно применять
в колеблющейся системе материал с большим внутренним трением,
обладающий широкой петлей упругого гистерезиса. Таким мате-
материалом является, например, хромистая сталь. Упругий гистерезис
наблюдается лишь в поликристаллических телах и отсутствует
в монокристаллах.
Если напряжение, изменяясь периодически, все время остается
одного знака, но в течение цикла уменьшается до нуля, то петля
упругого гистерезиса имеет вид, показанный на рис. 2.53, в. Наконец,
если периодически изменяющиеся напряжения имеют максимальное
значение, превышающее предел текучести, но остаются одного
знака, доходя до нуля, то петля гистерезиса получается такой,
как это изображено на рис. 2.53, г.
§ 2.24. Гибкие нити
1. Общие положения. Наряду с прямолинейным стержнем,
подверженным воздействию осевой нагрузки, осевую деформацию
испытывают и так называемые гибкие нити, в связи с чем их уместно
рассмотреть также в настоящей главе.
Гибкой нитью называется линейный элемент, способный сопро-
сопротивляться лишь растяжению и не сопротивляющийся никаким,
другим видам деформации. Примерами элементов, приближающихся
по свойствам к гибкой нити, могут служить: гибкий канат висячего
моста, провод электропередачи, трос кабель-крана. Во всех этих
примерах элемент незначительно, но все же сопротивляется изгибу,
сжатию (на небольшом участке длины), однако эти сопротивления
столь невелики, что ими можно пренебречь.
Элемент может работать как гибкая нить, если концы его за-
закреплены в так называемых точках подвеса. В общем случае эти
точки располагаются на разных уровнях^ в частном случае они
могут быть на одном уровне.
Будем считать, что нить подвергается воздействию лишь вер-
вертикальных сил — собственного веса и нагрузки, последнюю пола-
полагаем распределенной равномерно вдоль горизонтальной проекции
нити. Под влиянием собственного веса и нагрузки нить, если пер-
первоначальная длина ее превосходит расстояние между точками
подвеса, провисает по некоторой кривой. Если однородную гибкую
иить постоянного поперечного сечения считать иерастяжи-
м о й и подвергнуть воздействию лишь собственного веса, то она
провиснет по цепной линии. При учете растяжения кривая прови-
провисания оказывается иной.
Чем на большую величину превосходит длина нити кратчайшее
расстояние между точками ее подвеса, тем большим оказывается
ее провисание. Если нить имеет первоначальную длину несколько
меньшую, нежели расстояние между точками подвеса, то для того,

156
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II
чтобы подвесить нить, ее необходимо предварительно растянуть
до того размера, который позволяет закрепить концы нити. Даже
и в этом случае под влиянием собственного веса нить, удлинившись,
провиснет по некоторой кривой.
Расстояние между проекциями точек подвеса нити на горизон-
горизонтальную прямую, лежащую в плоскости провисания, называется
пролетом и обозначается символом / (рис. 2.54). При расположении
точек подвеса на разных уровнях наинизшая точка провисшей
нити располагается не посередине пролета; в нити с точками под-
подвеса, лежащими на одном уровне, эта точка делит пролет пополам *).
Рнс. 2.S4. Гибкие нити а) иить с точками под-
подвеса, расположенными иа разных уровнях;
б) инть с точками подвеса на одном уровне
Рис. 2.55. Действительное распределе-
распределение нагрузки собственного веса нитн,
Будем называть стрелой провисания и обозначать символом / рас-
расстояние, измеренное по вертикали между прямой, проходящей через
точки подвеса и параллельно ей проведенной касательной к кривой
провисания нити. Проекции наинизшей точки на вертикали, про-
проходящие через точки подвеса, отсекают вместе с последними на
этих вертикалях отрезки hx и h2. При расположении точек подвеса
на одном уровне ht = /i2 = /. Погонный вес гибкой нити, имеющей
постоянное поперечное сечение и выполненной из однородного
материала, является постоянным вдоль оси нити. Однако интен-
интенсивность нагрузки от собственного веса нити по горизонтальной ее
проекции оказывается переменной. Обозначим интенсивность веса
нити вдоль ее оси <70; тогда, рассматривая элемент нити длиной ds
(рис. 2.55), находим его вес qods. Если отнести этот вес к длине
горизонтальной проекции элемента, т. е. к dx, то получим интен-
интенсивность веса нити по горизонтальной ее проекции:
B.44)
1) Имеется в виду иить постоянного поперечного сечеиия, выполненная из
однородного материала.

i 2.241 ГИБКИЕ НИТИ 157
Чем круче располагается касательная к оси нити в рассматри
ваемой точке, тем больше эта интенсивность. В наинизшей точке
нити (рис. 2.55), где касательная к кривой провисания нити гори-
горизонтальна, т. е. где у' = 0, имеет место равенство
Чем положе кривая провисания нити, тем меньше величина
у' отличается от нуля. Для пологих нитей, у которых отношение
/// =s? 1/6, величиной (у'J по сравнению с единицей можно пре-
пренебречь, допуская при этом погрешность не более 10%, и считать,
таким образом, что всюду
Я « Я»-
В связи с этим обстоятельством существенно упрощается расчет
пологих нитей по сравнению с расчетом нитей с большим отноше-
отношением /7/.
Будем рассматривать именно пологие нити, находящиеся под
воздействием нагрузки, равномерной по горизонтальной проекции
нити. При этом в указанную нагрузку, кроме собственного веса
нити, может входить и какая-либо иная нагрузка, например вес
льда, образующегося на проводе или канате в зимнее время.
Итак, гибкие нити в зависимости от отношения /7/ можно разбить
на три вида:
а) очень пологие нити {fll <; 1/2о); в таких нитях, ввиду малости
по сравнению с единицей величины (y'f, интенсивность собствен-
собственного веса вдоль горизонтальной проекции нити можно принимать
не по B.44), а по B.45). Это вносит упрощение; однако при расчете
очень пологой гибкой нити необходимо учитывать ее удлинение,
вызванное растяжением (усилие в нити статически неопределимо);
б) пологие нити (*lw «S fll <= V6); расчет таких нитей особенно
прост, так как в нем можно не учитывать удлинение нити и поль-
пользоваться формулой B.45) вместо B.44);
в) крутые нити (fll i> 1/6); при расчете таких нитей удлинение
нити не учитывается, это упрощает расчет; однако приходится
пользоваться зависимостью B.44), так как применение зависи-
зависимости B.45) приводит к большим погрешностям. Использование
B.44) значительно усложняет расчет нити.
2. Пологие нити с точками подвеса, расположенными на одном
уровне. Отнесем кривую провисания нити к системе координатных
осей х, у. Начало координат расположим в левой точке подвеса
нити. Ось х направим горизонтально слева направо и ось у — вер-
вертикально вниз (рис. 2.56).
Если рассечь нить в сечении с абсциссой х, то, вследствие опре-
определения гибкой нити, действие одной ее части на другую можно
заменить растягивающей силой, направленной по касательной к кри-
кривой провисания в рассматриваемом сечении, т. е. продольной силой

158
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО вТЕРЖНЯ
/ГЛ. II
• ЙШШШШШБ*
\о о.
N (х). Продольную силу N (х) можно разложить на горизонтальную
и вертикальную составляющие, которые обозначим Н (х) и V (х)
соответственно (рис. 2.57). В частности, в точке подвеса О продоль-
продольная сила и составляющие ее суть N @), Н @) и V @). Из условия
равновесия всей нити (равенство нулю суммы проекций всех сил
на вертикальную ось), учитывая сим-
симметрию, имеем V @) = ql/2. Если из
нити вырезать некоторую часть, про-
проведя два сечения с абсциссами хх и
х2, и заменить действие отброшенных
частей соответствующими усилиями
(рис. 2.58), то, рассматривая равно-
равновесие указанной части нити (равен-
(равенство нулю суммы проекций всех сил
на горизонтальную ось), получим
Н (xt) = Н (х2). Иными словами, го-
горизонтальная составляющая продоль-
продольной силы оказывается одинаковой во
всех сечениях. Поэтому эту состав-
составляющую обозначаем символом Н без
указания аргумента.
. Рассечем нить в наинизшей точке
провисания. В силу симметрии кри-
кривая провисания имеет такую точку при х = 1/2. Отбросим одну
из частей нити и рассмотрим другую. Вместо влияния отброшенной
части нити на оставленную к последней прикладываем растягива-
растягивающую силу (рис. 2.59). Так к?к касательная к кривой провисания
в наинизшей ее точке горизонтальна, заключаем, что сила N A/2)
М)
Рис. 2.56. Упрощенный закон рас-
распределения нагрузки собственного
веса в пологих ннтях.
1 tl
ir
Ж
'<[ \9(x) „, .. s--'' 8f
Vfc) «W
Рис. 2.57. Составляющие реакции г> закреплении и усилия в текущем сечении.
располагается горизонтально и, таким образом, совпадает с гори-
горизонтальной своей составляющей: N A12) = Н. Вертикальная сос-
составляющая равна нулю (V A12) = 0). Условие равновесия (равен*
ство нулю суммы моментов всех сил, приложенных к нити, отно-
относительно точки О) запишется в следующем виде:

I 2.24]
откуда
ГИБКИЕ НИТИ
159
B.46)
Найдем уравнение кривой провисания нити. Для этого проведем
сечение с абсциссой х и рассмотрим равновесие отсеченной части
(рис. 2.57), учитывая при этом, как это было показано выше, что
Рис. 2.5". К равенству горизонтальных составляющих усилия в различиях сечениях
(при наличии только вертикальной нагрузки).
Н @) = Н и V @) = ql/2. Уравнение равновесия (равенство нулю
суммы моментов всех сил, приложенных к рассматриваемой части
нити, относительно точки k) представится в виде
8/
отсюда
Таким образом, кривая провисания нити в рассматриваемом случае
(постоянство интенсивности нагрузки по пролету при условии
я(ог*-
Рис. 2.59. К определению Н
неучета растяжимости нити) представляет собой квадратную пара-
параболу.
Теперь можно* найти усилие в любом из сечений нити. Действи-
Действительно, в сечении с абсциссой х согласно рис. 2.57 имеем
н
Н(х)
" cos ф (х) cos ф (*) *

160 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. 1Г
Учитывая тригонометрическую зависимость
COS ф (х) = -7=======,
а также то, что
tg4>{x) = y' = %{l-2x), B.47)
получим
Наибольшего значения продольная сила достигает в сечений
подвеса нити:
ЛГтах = ЛГ (л:) U_o = Я ]/ 1 -Ь ^• B.48)
Наименьшего значения продольная сила достигает в наинизшей
точке кривой провисания нити, т. е. при х = 1/2:
Nmin = N(x)\x=l/2 = H. B.49)
Чем положе кривая провисания нити, тем в меньшей мере ощу-
ощущается разница в величине продольной силы при сопоставлении
ее значений в различных сечениях.
Сравним результаты, полученные
по формулам B.48) и B.49) при
f/'t = 1/Б, т. е. для наиболее крутой
нити из числа тех, к которым еще
применима изложенная выше теория:
Рис. 2.60. К определению длины
нити при заданных /и/.
Разница составляет 28% от минимального значения N. Если рас-
рассмотреть нить с fit = 1/10, то
Nmax = НУ\ + 16- ViM= 1.08/f, Nmin = H.
Здесь разница составляет всего 8%. В связи с этим в нитях с fll «g; 1/10
продольную силу N можно считать практически постоянной вдоль
оси нити и принимать ее равной Н.
Имея уравнение кривой провисания нити, установим связь
между длиной нити s, ее пролетом / и стрелой провисания /.
Рассматривая рис. 2.60, получаем
ds = V(dxf + {dyf = dx
отсюда

$ 2.24] ' ГИБКИЕ НИТИ 161
Учитывая зависимость B.47), получим
о
Применяя к подынтегральной функции разложение по формуле
бинома Ньютона и отбрасывая в этом разложении все члены, на-
начиная с третьего, в силу их малости по сравнению с единицей,
будем иметь
или
Окончательно имеем
().. ¦ B-50>
В приведенных выше формулах, если считать нить нерастяжи-
нерастяжимой, под s подразумевается первоначальная длина нити. В растя-
растяжимых нитях под s следует иметь в виду окончательную длину
нити. Имея в распоряжении приведенные выше зависимости, в слу-
случае неучета растяжимости нити можно решать задачи в следующих
постановках.
Пример 2.11. Заданы: пролет нити /, длина нити s, интенсивность нагрузки q,
включая собственный вес нити, допускаемое напряжение материала нити [а],
объемный вес материала нити у. Требуется подобрать сечение нити и выяснить,
какую нагрузку, кроме собственного веса, нить способна выдержать.
Последовательность решения примера следующая.
а) Из зависимости B.50) находим стрелу провисания нити:
б) По формуле B.48) находим
р щу \ j У (/i)(/
B.52)
Формула B.52) получена путем подстановки в формулу B.48) выражений Н
и / иа основании формул B.46) и B.51) соответственно,
в) Из условия прочности
находим необходимую площадь поперечного сечеиия нити]
ч1
4 [
/:
4 [а] У (»/а)(«//-1)
Q А. П. Фнлии '

162 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. 1Г
г) Находим интенсивность нагрузки q *, которую способна выдержать нить
сверх собственного веса (погонная интенсивность собственного веса нити <7„= Fy):
Пример 2.12. Заданы: интенсивность равномерно распределенной нагрузяи о*,
которую нить может испытывать (кроме собствеииого веса) при напряжениях,
равных допускаемым [а], объемный вес материала нити Y. пролет /, длина инти t.
Необходимо подобрать площадь поперечного сечения нити F.
Последовательность решения задачи следующая.
а) Находим / по B.51).
б) Максимальная продольная сила Nшах, если учесть B.52) и то, что q =* q*-{-
+ yF, изобразится так:
_ (q*+yF)l -./-1 + 6E^-1)
шах 4 У (»/3)(«Д-1) '
в) Из условия прочности, учитывая полученную формулу для Nmix, находим
уравнение для отыскания F:
4 [а] У (%)(*//-1)
Отсюда
F=
[-t-Y-
1+6E//—!)
'
Пример 2.13. Заданы: интенсивность нагрузки q (включая сюда собственный
вес), допускаемое напряжение материала иити [о], площадь поперечного сечения F,
пролет /. Требуется иайти необходимую длину нити, при которой она работает
при напряжениях, равных допускаемым.
Последовательность расчета следующая.
а),Из условия прочности
записанного в форме
находим необходимую стрелу провисания нити /;
f
8 V [o}2F* — q
б) Из формулы B.50) находим необходимую длину нити)
Пример 2.14. Заданы: допускаемое напряжение и объемный вео материала
нити [а] и v, пролет, длина и площадь поперечного сечения нити I, s и F.
Требуется установить, какую нагрузку, кроме собственного веса, способна
выдержать нить.

$ 2.24]
ГИБКИЕ НИТИ
163
Последовательность расчета следующая.
а) Условие прочности, учитывая формулу B.52) и равенство q = q * + yF,
записываем в виде
б) Из этого условия, используя знак равенства, находим q*i
Приведенные примеры наглядно иллюстрируют многообразие возможных
постановок задач, связанных с условием прочности.
3. Пологие нити с точками подвеса, расположенными на разных
уровнях. В тех случаях, когда точки подвеса располагаются на
разных уровнях, задача имеет некоторую специфику, состоящую
Рис. 2,61. К определению Н в нити с точ- Рис. 2.62. Три различных случая провн-
ками [подвеса, расположенными на разных сання ннти прн расположении точек под-
подуровнях, веса на разных уровнях.
в том, что абсцисса наинизшей точки кривой провисания не является
заранее известной.
На рис. 2.61 показана такая нить. По причине, отмеченной
выше, и в случае несимметричной подвески нити горизонтальная
составляющая продольной силы во всех сечениях нити оказыва-
оказывается одинаковой. Рассечем нить в точке ее оси с абсциссой а. Ус-
Условие равенства нулю суммы моментов всех сил, приложенных к
6*

164 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. И
оставленной левой части нити, запишется в виде
Отсюда
*-?. ¦ B.53)
Из условия равновесия правой части нити получаем по аналогии
И = Щ- <2-54>
Приравнивая правые части равенств B.53) и B.54):
получим после сокращения
& _ ?_ /о сеч
Учитывая, кроме того, равенство
1, . B.56)
получаем возможность определить а и Ь из B.55) и B.56):
Отсюда
% B-57)
На рис. 2.62, а показана кривая, соответствующая случаю,
когда в приведенных формулах сохранен знак минус (вершина С
параболы вошла в область отрицательных значений х). При hx =0
получаем совпадение вершины С параболы с точкой О, в этом случае
а ~ 0, Ь — I (рис. 2.62, б). Наконец, когда в формулах сохранен
знак плюс, имеем случай, в котором вершина параболы находится
в области положительных значений х (рис. 2.62, в). Величину Н
найдем из формулы B.54), подставив в нее значение b согласно
.B.57). Формула для Н приобретает вид
н
п ~ чк 0 ±
Вертикальные составляющие опорных реакций могут быть опре-
определены из уравнений равновесия всей нити:

i 2.24] ГИБКИЕ НИТИ 165
Отсюда, учитывая формулу для Н, получаем
здесь h — задаваемая разность уровней точек подвеса нити. Урав-
Уравнение кривой провисания находим из уравнения равновесия неко-
тврой части нити, лежащей по одну сторону от сечения с абсциссой *:
Подставляя сюда Н и Уо согласно,формулам B.58) и B.59), получим
U=UX\\ _ h—__]_
I I (V >к ± V hj2} '
Тангенс угла наклона касательной к кривой провисания нити
равен
Продольная сила выражается формулой
B.60)
Отсюда можно найти значения N (х), соответствующие сече-
сечениям подвеса (для этого полагаем в формуле B.60) х = 0 или х = I).
Наконец, формула для длины нити, выводимая аналогично
такой формуле в случае симметричного подвеса нити, приобрета-
приобретает вид
20 iv-lv
Учитывая, что ht и h2 связаны друг с другом зависимостью
Л2 — /ix = h, замечаем, что, пользуясь формулами, выведенными
для несимметричного подвеса нити, можно решить все те типы
задач, которые решены выше для симметричной нити.
4. Непологие нити (/// > г1ь). Так как в крутых нитях эффект
растяжимости нити слабо сказывается на величинах усилий, им
можно пренебречь с еще большим основанием, чем при расчете
пологих нитей. Вследствие этого усилия в крутой нити оказываются
статически определимыми — их можно найти из одних уравнений
р авновесия.

166
ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
[ГЛ. 1Г
Выведем интегро-дифференциальное уравнение равновесия кру-
крутой нити в случае расположения точек подвеса на одном уровне.
Элемент нити ds (рис. 2.63) находится в равновесии под действием
горизонтального распора Я, вертикальных составляющих V н
V + dV и результирующей нагрузки qods, равномерно распреде-
распределенной по длине нити. Из условия равенства нулю суммы проекций
всех этих сил на ось х следует, что распор — величина постоянная
в любом из сечений нити. Из второго уравнения равновесия —
У
x'+dx 1/2
Рис. 2.63. К равновесию элемента непологой нити.
равенства нулю, суммы проекций всех сил, действующих на элемент
нити,.на ось у — имеем
dV = q
учитывая, что
можно это условие-записать так:
'. B.61)
Третье уравнение равновесия — равенство нулю суммы моментов
всех сил, действующих на выделенный из нити элемент, — позво-
позволяет установить зависимость между величинами проекций Н и V:
или
Я dy=Vdx,
Ну' = V. B.62)
Рассматривая равновесие половины нити, определим величину
распора Я в сечении х = 0, используя тот факт, что вертикальная
Составляющая V в этой точке равна нулю. Составив уравнение
Моментов относительно точки А сил, действующих на половину
йити, получим
B.63)

9 2.24] ГИБКИЕ НИТИ 167
Исключая из уравнений B.61), B.62) и B.63) составляющие Н
и V, приходим к интегро-дифференциальному уравнению относи-
относительно функции у (х), определяющей форму нити:
г/2 .
С W-j- - х) У 1 + (y'f dx - V^ + (y'f = 0. B.64)
Решением уравнения B.64) является функция
11 lv\ JL Ich rv 1 \ Iе) PK\
У \X) —r~ ~ ICI1 6Л — II, (Z.DJI
* \ / Q \ 1 \ 1.
график которой называется цепной линией.
Функция B.65) удовлетворяет краевым условиям задачи, т. е.
кривая, ей соответствующая, проходит через точки с координатами
@, 0) и A/2, /), если параметр с является корнем трансцендентного
уравнения

Г л а в а III
ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ.
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАГРУЗКАМ
И ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ
§ 3.1. Предварительные соображения
В настоящей главе рассматриваются основные особенности
статически неопределимых систем. Эти свойства необходимо
учитывать с самого начала изучения сопротивления материалов.
Уже при первом знакомстве с рядом особенностей поведения
материалов под нагрузкой (например, осмысливание двух типов
разрушения, вязкого и хрупкого) приходится иметь в виду началь-
начальные напряжения в материале; при оценке комплекса свойств мате-
материала, предназначаемого для конструкций, работающих при высо-
высоких и резко изменяющихся температурах, важно понимать природу
температурных (термических) напряжений. Как начальные напря-
напряжения, так и температурные (термические) напряжения могут быть
уяснены лишь после ознакомления со свойствами статически неопре-
неопределимых систем. Излагая идеи методов оценки надежности (в смысле
прочности) конструкции и оставаясь при этом в рамках осевой
деформации элементов последней, для того чтобы подчеркнуть раз-
различие методов, приходится анализировать поведение именно ста-
статически неопределимой системы.
Наконец, уже в самом начале курса важно понять, что заме-
заменяют собой геометрические гипотезы, принимаемые при выводе
формул для напряжений. Сделать это можно, лишь уясиив природу
уравнений совместности деформаций. Лучшей иллюстрацией могут
явиться такие уравнения, составленные для простейшей статически
неопределимой стержневой системы. После этого в главе VI читатель
легко освоится с геометрическим смыслом уравнений совместности
деформаций для сплошной среды,

I 8.2] ПОНЯТИЕ О ФЕРМАХ И ШАРНИРНО-ДИСКОВЫХ СИСТЕМАХ
169
§ 3.2. Понятие о фермах и шарнирно-дисковых системах
Фермами называют геометрически неизменяемые системы, состоя-
состоящие из стержней, соединенных между собой по концам в так назы-
называемых узлах при помощи шарниров (рис. 3.1). Узлы в ферме
при любой нагрузке могут перемещаться относительно друг друга
лишь за счет деформации стержней; в этом именно и состоит
геометрическая неизменяемость фермы. Внешняя нагрузка в виде
сосредоточенных сил прикладывается лишь в узлах фермы. Если
существует плоскость симметрии, общая для всех стержней фермы,
то последняя называется плоской. Предполагается, что такая ферма
загружается лишь силами, лежащими в ее
плоскости, а шарниры в узлах ее — ци-
цилиндрические, в каждом из них ось пово-
поворота перпендикулярна плоскости фермы.
В пространственных фермах шарниры в уз-
узлах — шаровые.
Все стержни фермы изготавливаются
прямолинейными, при этом они испыты-
испытывают лишь осевую деформацию (чистое
растяжение или чистое сжатие *)) (рис. 3.2).
Если бы стержни в ферме были криволи-
криволинейными, то они подвергались бы не толь-
только осевой деформации, но и изгибу
(рис. 3.2, б). Элементарный способ образо-
образования геометрически неизменяемой шар-
нирно-стержневой системы состоит в сле-
следующем: в случае плоской (пространст-
(пространственной) системы к шарнирно-стержневому
треугольнику (тетраэдру) последовательно
присоединяются узлы — каждый при по-
помощи двух (трех) неколлинеарно (некрмпланарно) расположен-
расположенных стержней (рис. 3.3). Получающиеся при этом фермы назы-
называются простыми в отличие от сложных, принципы образования
которых иные. На принципах образования сложных ферм оста-
останавливаться не будем.
Шарнирно-дисковыми называются геометрически неизменяемые
системы, которые образованы из дисков, соединенных при помощи
шарниров. В частности, диском может быть и стержень; но шарниры,
при помощи которых он присоединяется к другим дискам, могут
располагаться не обязательно по концам стержня, вследствие чего
последний испытывает не только осевую -деформацию.
Если в такой системе, наряду с другими элементами, имеются
прямолинейные стержни, прикрепляемые только шарнирами, '
1) Предполагается, что поперечные размеры сжатых стержней таковы, что
не происходи! выпучивания их. Это условие принято во всей настоящей главе.
Рис 3.1. Фермы! а) плоские!
б) пространственные.

170
ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИОТЕМ [ГЛ. III
расположенными по концам их, то эти стержни испытывают лишь
осевую деформацию. Если жесткость всех остальных элементов
Рис. 3.2. К вопросу об осевой деформации: а) характер работы прямолинейного элементе
фермы; б) картина работы элемента фермы в случае его криволииейностн; Д, — равно»
действующая всех сил, приложенных к узлу /,- н усилий во всех стержнях, соединяемых
в узле /. кроме стержня /—2; R2 — сила, аналогичная Rt, ио приложенная к узлу 2:
велика по сравнению с жесткостью стержней, подвергнутых осевой
деформации, то указанные элементы можно считать жесткими1),1
ДД
AZVV
Рис. 3.3. Образование простых ферм! а) плоской; б) пространственной.
не испытывающими никакой деформации. В таком случае в шар-
нирно-дисковой системе все деформируемые элементы подвержены
лишь растяжению или сжатию.
1) Такое предположение является естественным, если жесткость указанных
элементов намного больше жесткости стержней, испытывающих осевую дефор-
деформацию,

$ 3.3)
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИОТЕМЫ
171
§ 3.3. Статически неопределимые системы.
Степень статической' неопределимости
Стержневая система называется статически определимой, если
в ней при любом загружении усилия во всех элементах могут быть
определены из одних уравнений статики. Системы, в которых
все или часть усилий не могут быть найдены из одних уравнений
статики, называются статически неопределимыми. На рис. 3.4
изображено несколько статически неопределимых ферм и шарнирно-
дисковых систем. Будем полагать в этих системах все диски, кроме
Рис. 3.4. Примеры статически неопределимых систем.
стержней, испытывающих осевую деформацию, бесконечно жест-
жесткими.
Покажем на простейших примерах статически неопределимых
ферм идею расчета и свойства, присущие всем статически неопре-
неопределимым системам. Общие методы расчета таких систем излагаются
в главе XVI.
Любую статически неопределимую ферму можно превратить
в статически определимую геометрически неизменяемую путем
удаления (исключения) некоторых связей. Рассечение стержня
фермы эквивалентно удалению одной связи. Так как взаимодействие
частей рассеченного стержня осуществляется посредством одного
усилия N, или, иначе, стержень с шарнирами по концам представ-
представляет собой одну связь, он предотвращает возможность осуществле-
осуществления лишь одного перемещения — сближения его концов или уве-
увеличения расстояния между ними.
Так, например, из статически неопределимой системы, пока-
показанной на рис. 3.4, а, можно получить геометрически неизменяе-
неизменяемую статически определимую (рис. 3.5), исключая ту или иную
связь (стержень). Такие связи называют лишними.

172
ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
На рис. 3.5, а в качестве лишней связи принят стержень 3,
на рис. 3.5, б — стержень 2, и, наконец, на рис. 3.5, в за лишнюю
связь принят стержень /. Указанные связи называются лишними
Рис. 3.5. Варианты исключения связей, превращающего статически неопределимую
систему в статически определимую
не потому, что .они не нужны в конструкции. Если, например,
в системе, изображенной на рис. 3.5, площади сечений стержней
подобраны так, чтобы выдержать силу с определенным запасом, то,
удалив один из стержней, мы
уже не сумеем обеспечить тот же
коэффициент запаса, а может
быть, и вообще безопасность кон-
конструкции. Таким образом, с точ-
точки зрения надежности работы
ни один из стержней не является
лишним. Лишним каждый из
стержней /, или 2, или . 3
I 7,
А А YA
%4& %&. 2й&
А
б)
Т 1
1
г /,,
X,
Ш.
')
Рис. 3.6. Недопустимое исключение свя
зей превращающее геометрически неизме-
неизменяемую систему в механизм.
Рис. 3.7. Варианты превращения статически
неопределимой системы в статически опре-
определимую путем удаления лишних связей.
порознь может рассматриваться условно, лишь с той точки
зрения, что при удалении какого-либо одного из них система
сохраняет свою геометрическую неизменяемость. Из системы, пока-

§ 3.4] УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ 173
занной на рис. 3.4, а, можно удалить всего лишь одну связь, не
нарушая геометрической неизменяемости системы; если же удалить
две связи, то система превратится в механизм (рис. 3.6). Итак,
относительно рассматриваемой системы можно сказать, что в ней
всего лишь одна лишняя связь.
Встречаются системы, в которых имеется две или большее
число лишних связей. Так, например, удаляя из системы, показан-
показанной на рис. 3.4, д, одновременно две связи, мы еще сохраним ее
геометрическую неизменяемость. На рис. 3.7 показаны различные
варианты такого исключения. В варианте г (рис. 3.7, г) удалено
в правом конце абсолютно жесткого стержня закрепление, пред-
представляющее собой две связи, ибо этим закреплением воспрепят-
ствованы как горизонтальная, так и вертикальная составляющие
перемещения правого концевого сечения. Число лишних связей
в системе характеризует степень ее статической неопределимости,
т. в. показывает, насколько число неизвестных усилий превышает
число уравнений статики.
Расчет статически неопределимой системы начинают с установ-
установления степени ее статической неопределимости.
§ 3.4. Раскрытие статической неопределимости
при помощи уравнений совместности деформаций.
Зависимость усилий от отношения жесткостей
Рассмотрим простейшую статически неопределимую систему
(рис. 3.8, а). Пусть симметрично расположенные стержни 1 к 2
изготовлены из стали (модуль упругости ?х), а средний стержень —
из меди (модуль упругости Е3). Площади поперечных сечений край-
крайних стержней примем одинаковыми, равными Flf а у среднего
стержня Ft. Рассматривая равновесие узла (рис. 3.8, б), составим
следующие уравнения равновесия:
— ^sinр + Л^аsinР = 0, Ntcosfi + Na + Nscosfi-P = 0. C.1)
Найти три неизвестных из двух уравнений статики не пред-
представляется возможным — система является статически неопредели-
неопределимой. Из первого уравнения равновесия находим
Тогда второе уравнение равновесия примет вид
или
Недостающее уравнение для отыскания неизвестных усилий
составим, рассматривая деформацию системы. Под влиянием силы Р

174
ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ CHGTEM [ГЛ. III
во всех трех стержнях возникает растяжение. Растягивающие
продольные усилия в стержнях должны быть такими, чтобы удли-
удлинения крайних стержней были согласованы с удлинениями среднего.'
Согласование удлинений состоит в том, что после деформации,
как и до нее, нижние концы всех трех стержней должны быть
в одной точке. В этом случае можно сказать,
что имеет место совместность деформаций всех
трех стержней.
Учитывая, что деформация стержней мала,
можно считать, что углы, составляемые край-
крайними стержнями со средним, после деформа-
деформации практически такие же, как и до дефор-
деформации.
Между удлинениями среднего и любого
крайнего стержня должна быть следующая
зависимость (рис. 3.8, в):
. C.3)
9)
Л1,
Рис. 3.8. К расчету ста-
статически неопределимой
системы) а) статически
неопределимая ферма;
б) узел, и действующие
на него силы (внешняя
нагрузка и усилия в
стержнях, соединяемых
s узле); в) картина де-
деформации системы под
наррузквй.
При несоблюдении этой зависимости удли-
удлинения стержней были бы несогласованными,
нижние концы их не могли бы оказаться
в одной точке, и была бы нарушена целост-
целостность конструкции. Итак, уравнение C.3) сле-
следует рассматривать как уравнение совместно-
совместности деформаций, составленное применительно
к рассматриваемой задаче. Если учесть выра-
выражения для удлинений стержней при их ра-
растяжении постоянной вдоль оси продольной
силой, то уравнение C.3) получим в следую-
следующей форме:
C.4)
Учтем, что ls — lx cos P; отсюда
Из уравнений C.2) и C.4) найдем интересующие нас усилия;
подставляя C.4) в C.2), получим
Отсюда
C.5)

|в.5]
МОНТАЖНЫЕ УСИЛИЯ
175
Одной из особенностей статически неопределимых систем яв-
является то, что усилия в них зависят от отношения
жесткостей отдельных элементов. Действи-
Действительно, как #з, так и /Vx зависят от отношения EiFJEsF^.
Проследим, как изменяется величина усилий Nx и N3 в зависи-
зависимости от изменения указанного отношения. Учитывая, что вели-
величины Ei и Е3 являются определенными, будем варьировать лишь
Fj/fg. Пусть подвергается увеличению Fs при неизменной Fv При
этом отношение FJF3 уменьшается, вследствие чего величина N3
возрастает, так как второй член в знаменателе уменьшается. В пре-
пределе, при Fi/Fa -> О, Na-+ P.
При уменьшении отношения FilF?. проис-
происходит уменьшение усилия Nlt и при
Таким образом, чем относительно мощнее
средний стержень (по сравнению с крайни-
крайними), тем большую долю "внешней нагрузки
он воспринимает на себя. В пределе, когда
Fi/F3 -*¦ 0, вся нагрузка передается на сред-
средний стержень. Если, наоборот, уменьшать
площадь поперечного сечения среднего стерж-
стержня, то отношение FJF3 возрастает и усилие
#з уменьшается; в пределе, когда FJFa -> оо,
N% -> 0; усилие же Nx или равное ему усилие N2 по мере роста отно-
отношения FJFa увеличивается. Это легко уяснить, если формулу для
усилия Nt представить в следующем виде:
7>
Рис. 3.9. ГГростейшая
статически определимая
симметричная ферма.
при
рл.
-оо
т. е. усилия Nt и Л^2 приобретают значения, которые они имели бы
при отсутствии среднего стержня в статически определимой системе
(рис. 3.9).
Чем относительно жестче элемент стати-
статически неопределимой системы, тем ббльшую
долю внешней нагрузки, передаваемой на
группу элементов, ои принимает на себя.
§ 3.5. Монтажные усилия
Представим себе проектный чертеж статически определимой
системы (рис. 3.10). Пусть при изготовлении один из стержней
сделан немного короче, чем по проекту. Вследствие этого стержни

176
ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
займут положение, отличающееся от проектного (рис. ЗЛО, б).
Однако никаких усилий в них не возникнет, так как им ничто не
мешает занять положение, соответствующее фактическим длинам
стержней.
Иная картина наблюдается при неточности изготовления эле-
элементов статически неопределимых систем. Представим себе, что
один из стержней такой системы (проектный вид ее показан на
рис. 3.11, а), например средний,
изготовлен на величину б короче
проектной длины (рис. 3.11,6).
Для того чтобы соединить кон-
концы всех трех стержней в узле О,
как это предусмотрено проектом,
можно представить такую схему
Рис 3.10. К вопросу о сборке статичесни
определимой системы из неточно изготов-
изготовленных элементов: а) проектный вид сис-
системы; б) фактический вид системы (пунк-
ТВр) после сборки при условии неточного
изготовления первого стержня (длина
меньше проектной на б).
Рис. 8.11. К вопросу о сборке статически
неопределимой системы из неточно изго-
изготовленных элементов: а) проектный вид
системы; б) монтируемая система до сое-
соединения элементов в нижнем узле; в) кар-
картина деформации элементов системы после
соединения нх в нижнем узле; г) картина
самоуравновешенных усилий, возникаю-
возникающих в элементах фермы в процессе мон-
монтажа.
монтажа: средний стержень путем приложения к нему растягиваю-
растягивающей силы удлиняется на величину о, вследствие чего оказывается
возможным соединение нижних концов крайних и среднего стерж-
стержней шарниром. После этого силу, растягивающую средний стержень,
снимаем. Средний стержень будет иметь тенденцию приобрести
свою первоначальную длину, однако этому воспрепятствуют край-
крайние стержни, теперь уже работающие вместе со средним. В резуль^
тате крайние стержни под влиянием среднего несколько укоротятся,
но сами принудят средний стержень сохранить некоторую долю

i 3.6J ТЕМПЕРАТУРНЫЕ УСИЛИЯ 177
растяжения, потребовавшегося для соединения концов стержней
в узле О.
Таким образом, в статически неопределимой системе даже без
внешней нагрузки, в силу одной лишь неточности изготовления
отдельных элементов, в результате монтажа возникают усилия.
Для определения величин этих усилий используем, наряду
с уравнениями статики, уравнение совместности деформаций,
которое в рассматриваемом случае запишется в следующем виде
(рис. 3.11):
или, если принять указанные выше предположения о площадях
поперечных сечений и о материалах, из которых изготовлены стерж-
стержни, то
; 6=1Й+га C-6>
Из условий равновесия узла C.1), учитывая, что Р = 0, находим
#!-#„ 2WlCosp = #3. C.7)
Подставляя N3 из C.7) в C.6), получим
s 2JVt cos ft ¦ у 'Ntls
°~ EBFa ^"fi
Отсюда
N
2tlL±j{ i
а если учесть C.7), то
26 C.9)
§ 3.6. Температурные усилия
Пусть имеем статически определимую систему (рис. 3.12). Если
изменить температуру одного из ее стержней, например, повысить
температуру стержня 2 на At градусов, то произойдет ничем не стес-
стесняемое изменение длины стержня 2 на величину
где а — коэффициент линейного температурного расширения мате-
материала стержня 2.
Система изменит конфигурацию по сравнению с первоначальной,
но в стержнях ее при этом никаких усилий не возникнет.

178
ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Статически неопределимая система (рис. 3.13, а) в аналогичных
условиях ведет себя иначе.
Повысим температуру среднего стержня на Д/8 градусов и край-
крайних — на Д^ = Д/2 градусов. Если бы стержни не были связаны
друг с другом шарниром, то при указанном
изменении температур средний стержень удли-
удлинился бы на величину Д4 = l& At8, а край-
крайние — на Al[ — Д/j = IjOl Д^. При этом ниж-
нижние концы среднего и крайних стержней,
если их расположить на оси симметрии си-
системы, оказались бы в точках А3 и Alt рас-
расстояние между которыми, что ясно из рис.
3.13, б, равно величине
Рис S.12. Картин? де-
деформации статически оп-
определимой системы при
нагреве Стержня i; оси
стержней до нагрева —
стержне? Билене™"' На РИС* 3'13> б Изображен Случай раСПО-
ва - пунктир. ложения точек Лх и А 8, соответствующий
некоторому определенному отношению Ltxltitb.
При другой величине этого отношения точка Аг могла бы оказаться
ниже Л8.
На самом деле нижние концы среднего и крайних стержней,
будучи соединены шарниром, должны располагаться в одной
точке А', находящейся между Лх и Л8. При этом крайние стержни
Рис. 3.13. К вопросу о температурных усилиях в статически неопределимых системах!
а) статически неопределимая ферма; б) картина деформации при нагреве среднего стержня
на At,, а крайних на &tt; в) картина температурных усилий.
оказываются принудительно растянутыми на величину Д/х =-
= N1l1IE1Flt а средний — сжатым на величину Д/8¦= Nsl8/EaF3;
знаки усилий указаны согласно расположению точек Аг и А3,
изображенному на рис. 3.13, б. Если бы точка Ах располагалась
ниже, чем А3, то А' по-прежнему находилась бы между ними, но

8 3.6]. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ УСИЛИЯ 179
при этом средний стержень был бы растянут, а крайние сжаты.
На рис. 3.13, в показаны направления продольных сил в стержнях,
соответствующие изображенной на рИс. 3.13, б картине взаимного
расположения точек Аг и As. ¦
В уравнениях равновесия C.1) ввиду отсутствия нагрузки
нужно положить Р = 0. Условие совместности деформаций, со-
согласно рис. 3.13, б, представляется так:
'eA' NJ N»1* /a 101
cos p ?j.Fj cos P ~ E3F3'
Решая совместно (ЗЛО) и уравнения равновесия, находим
_ 2E3F3a cos
ЛГ3 =
Таким образом, в статически неопределимых
системах при изменении температурного поля воз-
возникают усилия (напряжения), называемые
температурными (термическими).
Проанализируем формулы C.11). Установим, какие свойства
материала и поля приращений температур влияют на величины тем-
температурных усилий. Для большей простоты анализа будем считать,
что все стержни выполнены из одного материала, т. е. что Ег =
= Ег = Е. Тогда
вд
Из C.12) следует, что величина температурных усилий тем больше,
чем выше продольный модуль упругости и коэффициент линейных
^температурных деформаций материала.
Для того чтобы оценить влияние неоднородности поля прира-
приращений температур на величину температурных усилий, проанализи-
проанализируем, как изменяется выражение, находящееся в скобках в форму-
формулах C.12), в зависимости от
A2t = Ats — Д^ C.13)
— степени неоднородности поля приращений температур.
Обозначим выражение, стоящее в скобках, буквой А:
А = cos2 p -Af, — Д/j. C.14)

180
ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Тогда, определяя
в C.14), получим
^ из C.13) и подставляя найденное значение
А = — A — cos2 Р) Д*8 + АН.
C.15)
Зависимость C.15) на рис. 3.14, а представлена графически. График
показывает, что существует такое значение Д2*, при котором А = О
.Ml
л/4
Рис. 3.14. Графики завнсимооти \А\\ а) от Д«<; б) от | А** |.
и, следовательно, температурные уЬилия равны нулю. Это значение
Д2* = Д*3 A — cos2 P). C.16)
Из C.14) видно, что
. А > 0 при Д*8 > Д^/cos2 Р; А = 0 при Д^3 = Д/x/cos2 Р;
Л<0 при A/8<AVcos2P.
На рис. 3.14, б показан график изменения I A \ в зависимости
от | Д2/ I. График позволяет утверждать, что при увеличе-
увеличении абсолютного значения степени нерав-
неравномерности приращений температур про-
происходит увеличение абсолютных значений
температурных усилий, за исключением некоторой
ограниченной области (исключение составляет лишь ограниченный
участок положительных значений A2t в диапазоне 0 «S Д2* «S
^ Д/8 A - cos2 p)).
Рассмотрим теперь влияние уровня температурных прира-
приращений на температурные'усилия. Для большей простоты анализа
будем считать* что Д*х = 0 (тогда Д2/ = Д*3 = At). Формулы C.12)
приобретут при этом вид
-EaAt, Na-.
^EaAt.
Величину Д/ в данном случае можно рассматривать не только как
степень неравномерности приращений температур в системе, но и
как уровень приращения температуры в какой-то области системы.
При повышении уровня приращений тем-

§ 3.6] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ УСИЛИЯ 18'
ператур в системе происходит увеличение
температурных, усилий.
Формулы C.11) показывают, что температурные усилия, как
и вообще усилия в статически неопределимых системах, зависят от
отношения жесткостей Е^а/Е^.
Остановимся еще на одном аспекте влияния температурного
фактора на статически неопределимые системы. При воздействии
высокого нагрева в системе, наряду с возникновением в ней темпе-
температурных усилий, происходят изменения в свойствах материала —
могут изменяться величины ? и а; изменяются (понижаются) и
прочностные характеристики, и при этом тем значительнее, чем
продолжительнее воздействие высоких температур. Поэтому в
тех случаях, когда произошел высокий нагрев какой-то части кон-
конструкции, необходимо как можно скорее отвести тепло в окружаю-
окружающую среду или в другие части конструкции. При этом, с одной сто-
стороны, понижается уровень нагрева в наиболее нагретой части,
а с другой стороны, понижается степень неоднородности поля при-
приращений температур. Как то, так и другое понижение влечет за
собой уменьшение температурных усилий. Вместе с тем выравни-
выравнивание температур зависит от трех факторов: плотности, теплопро-
теплопроводности и теплоемкости материала — и характеризуется коэффи-
коэффициентом температуропроводности а, равным
где k — коэффициент теплопроводности, с — коэффициент тепло-
теплоемкости, р — плотность. Чем выше коэффициент температуропро-
температуропроводности, тем быстрее происходит выравнивание температур.
В целом в рассматриваемом случае для снижения температурных
усилий необходимо выбирать материал, у которого величина
?<х Еа /о , ~
Ф C175
как можно меньше, разумеется, при наличии достаточной проч-
прочности и малой зависимости ее от высоких температур.
Пример 3.1. Определить температурные напряжения, возникающие вслед-
вследствие нагрева в прямолинейном стержне длиною /, одним концом жестко заделан-
заделанном в несмещаемую стену 1 и отделенном на втором конце от другой несмещаемой
стены 2 зазором б (рис. 3.15, а). Распределение приращений температуры по длине
стержня по сравнению с тем моментом, когда зазор равен б, показано на рис. 3.15,6.
Функция, характеризующая распределение приращений температур по длине
етержня, имеет вид

182
ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Если бы не было стены 2, стержень при нагреве удлинился бы на величииу
ил и
i i
,= \а А( dz=a ^
о
= <xQ/.
Здесь ?2/ =
г—площадь эпюры прлращения температуры. Полученная
формула для Alt применима при любом законе изменения вдоль оси прямоли-
прямолинейного стержня приращений температуры.
В нашем случае Q/ = Д/о 1/2 и Alt = al Atji,
Будем считать, что повышение температуры
стержня вызовет изменение его длины по
величине большее, нежели зазор §(Д/<>6),
вследствие этого произойдет стеснение части
температурного удлинения Alt — &> влеку-
влекущее за собой возникновение сжимающих
реакций RA и RB, действующих со стороны
стен на стержень (рис. 3.15, в). Единственное
уравнение равновесия имеет вид
и, так как оно содержит две неизвестные
реакции, — задача статически неопределима.
Уравнение совместности деформаций, необ-
необходимое для раскрытия статической неопре-
неопределимости, имеет вид
д/,_6=ДЛ C.19)
Здесь Д/ = RBl/EF — укорочение стержня
(против его естественной, т. е. нестесненной,
длины, которая имела бы место после нагрева
при отсутствии стены 2), вызываемое реакциями стен. Уравнения C.18) и C.19)
с учетом выражений Д// и Д/ приобретают вид
"а "п — и>
Ь А
Рис. 3.15 . К примеру 3.1! а) систе-
система до нагрева; б) эпюра изменений
температурного поля; в) картина
деформации системы при нагреве.
Совместное решение этой системы дает
EF («/ Д/о—26)
2/
C.20)
При этом используются лишь неотрицательные значения, получаемые по фор»
муле C.20).
Температурные напряжения находятся по формуле
_N__R__ E(alAto—26)
F~ F~~ 21
Интересно отметить, что температурные напряжения в рассматриваемом случав
не зависят от площади поперечного сечения. Это вполне естественно, так кан
поведение всех продольных волокон стержня с площадью поперечного сечеиия,
равной единице, одинаковое. Если бы приращения температуры по длине стержня

S 3.7] УСИЛИЯ ОТ НЕЗАВИСИМОГО СМЕЩЕНИЯ ОПОР 183
оставались постоянными и зазора между правым торцом стержня и стеною 2 не
было, температурное напряжение выражалось бы формулой
1 а = Еа ДЛ
В етом случае напряжения не зависят и от длины стержня. По такой, формуле
можно определять температурные напряжения в цельносварном рельсе. При этом
Д< определяется как разность между температурой рельса, при которой ищутся
напряжения в ием, и температурой рельса в момент образования путем сварки
из отдельных звеньев рельсовой нити (плети).
Температурные усилия (напряжения) в статически неопредели-
неопределимых системах часто являются настолько серьезным фактором, что
приходится принимать специальные меры конструктивного и техно-
технологического характера для уменьшения эффекта проявления темпе-
температурного воздействия.
Температурные усилия возникают вследствие стеснения изме-
изменений в размерах, имеющих место при изменении температурного
поля. Аналогичная ситуация может возникать и под влиянием
других факторов. Так, например, бетон в процессе твердения испы-
испытывает усадку (некоторые бетоны — набухание). Г1о внешнему про-
проявлению (имеется в виду уменьшение размеров элементов) усадка
может быть уподоблена эффекту понижения температуры на опре-
определенное число градусов (обычно 15—20 °С). Из-за усадки в стати-
статически неопределимых бетонных и железобетонных системах возни-
возникают так называемые усадочные напряжения и соответствующие им
усилия. Расчет на усадку производится аналогично расчету на
изменение температурного режима (понижение на 15—20 °С). Для
устранения или уменьшения усадочных напряжений обычно при-
принимаются специальные меры — обеспечение возможности протека-
протекания усадки до превращения системы в статически неопределимую.
§ 3.7. Усилия от независимого смещения опор
Представим себе статически неопределимую систему (рис. 3.16).
Для простоты анализа будем считать} что все стержни имеют оди-
одинаковые площади поперечных сечений' и выполнены из одного мате-
материала. Пусть одна из. опор, например закрепляющая средний
стержень, сместилась по отношению к другим так, как это показано
на рис. 3.16, а в связи с какой-то внешней причиной, например
вследствие размыва грунта вокруг фундамента и под ним. Если бы
верхний конец среднего стержня не был связан с крайними, то
вследствие смещения нижнего конца на величину Д и верхний
конец этого стержня переместился бы на такую же величину, т. е.
весь средний стержень переместился бы как жесткое целое. Наличие
же крайних стержней, присоединенных к среднему в узле О, меняет
картину. Крайние стержни в определенной мере препятствуют
верхнему концу среднего перемещаться. Перемещение верхнего
конца стержня оказывается меньшим, чем нижнего. Следовательно,

184
ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
i
средний стержень испытывает растяжение. Если обозначить вели-
величину абсолютного удлинения среднего стержня через А/8, то сме-
смещение верхнего конца его окажется таким: А — Д/8.
Смещаясь, верхний конец среднего стержня увлекает за собой
верхние концы крайних стержней и, таким образом, вызывает
в них сжатие. Уравнений равновесия узла
(уравнений C.1) при Р = 0, из которых
следует C.7)) недостаточно для отыскания
усилий в стержнях, к ним приходится до-
добавить уравнение совместности деформаций
C.21)
Подставляя в C.21) вместо N3 его вы-
выражение на основании формулы C.7) и
учитывая, что /8 = /х cos р, получим
или, в развернутой форме,
"А
и,/ \ Ч
-±± = A cos
_2Л^со?Р
' EF
отсюда
A+2 cos» p)'
Рис. 3.16. К возникновению
усилий в статически неопре-
неопределимой системе при неза-
независимом смещении опоры;
а) вид системы и деформа-
деформации ее при смещении опоры;
б) картина усилий, возни-
возникающих при независимом
смещении опоры.
h A+2 cos» P)"
В статически неопредели-
неопределимых системах вследствие
смещения опоры или опор,
приводящего к изменению
относительного расположения узлов, воз-
возникают усилия. Этим объясняется то, что такие системы
с большей осторожностью применяют в сооружениях при слабых
грунтах.
§ 3.8. Подбор сечений элементов в статически
неопределимых системах по допускаемым напряжениям
Прежде чем коснуться подбора сечений элементов в статически
неопределимых системах, покажем, как выполняется эта операция
в системах статически определимых, на примере фермы. В стати-
статически определимой системе все усилия находятся из одних урав-
уравнений статики и не зависят от соотношения жесткостей элементов.
Поэтому после отыскания усилий сечение каждого из элементов
можно подобрать так, чтобы наибольшее напряжение в нем было

S 3.8) РАСЧЕТ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ 185
равно допускаемому. Для этого в случае фермы достаточно пло-
1цади поперечных сечений всех элементов определить по формуле
Р'~Щ (I=1 »)•
Здесь п — число элементов.
Таким образом, статически определимая ферма может быть
запроектирована рсшнонапряженной, т. е. с одинаковыми'по вели-
величине напряжениями во всех элементах, в частности, равными допу-
допускаемым.
В случае статически неопределимых систем добиться равно-
напряженности можно лишь в исключительных случаях. Покажем
это на примере.
В § 3.4 была рассмотрена статически неопределимая система
и найдены усилия, возникающие в ее элементах. Эти усилия (Nt =
= W2 и N8) зависят от отношения жесткостей элементов / и 3 (жест-
(жесткости элементов 1 к 2 приняты одинаковыми).
Для большей простоты обнаружения интересующей нас особен-
особенности статически неопределимых систем будем считать, что все
три стержня изготовлены из одного материала и имеют одинаковые
площади поперечных сечений. Таким образом, отношение жесткостей
элементов равно единице. Усилия N± = Nz я N3 при этом изобра-
изобразятся формулами
^з-1+2со5зр, C.22)
Nt = Af2 < N3, так как cos2 |3 < 1.
Подбираем по допускаемому напряжению сечение в элементе 3
с большим усилием:
F —Kl—F — F ¦
—W\~~ —
напряжение же в элементах / и 2 оказывается меньше допускаемого:
_ Ni N* N-i г -ш
Выясним, не существует ли такого отношения площадей попе-
поперечных сечений элементов (материал всех стержней по-прежнему
предполагаем одинаковым), при котором они могли бы быть равно-
напряженными. Для того чтобы это было возможным, усилия
должны находиться в таком же отношении, как и площади попереч-
поперечных сечений соответствующих элементов.
Рассмотрим отношение усилий N± и Af3, исходя из формул C.5)»
положив в этих формулах Е1 *= Е8 «¦ Б; будем иметь
, или ?:?-«*• р.

186 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. Ш
Если исходить из равнонапряженности элементов / и 3 (напри-
(например, считать, что в обоих элементах напряжения равны допускае-
допускаемым), то предыдущее равенство приобретает вид
gL-1-cos'P.
что противоречит виду системы, так как равенство cos2 р = 1 может
выполняться лишь при р = 0, т. е. в случае, если все три стержня
направлены параллельно друг другу.
Если считать, что стержни выполнены из различных материа-
материалов, то
кт^¦№%
Так как стержни 1 и 3 выполнены из различных материалов,
допускаемые напряжения для них различны и наиболее целесооб-
целесообразное использование материалов имеет место при соблюдении
равенства напряжения в каждом из стержней допускаемому для
материала соответствующего стержня.
Учитывая это, пвставим требование, чтобы
тогда получим
Учитывая, что [сх^ = 1600 кГ1см3, [а]3 = 600 кГ/см2, Ех
= 2-10* кГ/см2, Е3= 1,1 -10» кПсм\ находим
600 2-10« v ?•¦
Последнее равенство невозможно, так как cos2 p не может быть
больше единицы.
Если для стержней / и 3 приняты материалы, у которых допу-
допускаемые напряжения имеют, например, следующие значения:
Mi = 1000 кГ/см2, [а]8 = 600 кГ/см*. то получим
100" ' 2-108 =cos Pi 0,91 F) = COS2 P,
или cos P = 0,957 и р = 16°50'. Итак, при принятых условиях
равенство напряжений в каждом из стержней допускаемому для
соответствующего материала возможно, но лишь в случае строго
определенного значения угла р. Полного использова-
использования материала в статически неопределимой
системе, если вести расчет по допускаемым
напряжениям, можно добиться лишь в исклю-
исключительных случаях.

g S.9] РЕГУЛИРОВАНИЕ УСИЛИЙ . 187
§ 3.9. Регулирование усилий
Статически неопределимую систему всегда можно подвергнуть
так называемому предварительному напряжению, позволяющему
и в случае применения расчета по допускаемым напряжениям
добиться полного использования материала во всех элементах
системы. Такое предварительное напряжение служит цели искус-
искусственного регулирования усилий (напряжений).
Вернемся к статически неопределимой ферме (рис. 3.8). Будем
считать, что площади поперечных сечений и материал всех стержней
одинаковы. При таких условиях наиболее полное использование
материала мыслимо, если во всех элементах системы напряжения
равны допускаемым.
Как было показано, добиться равнонапряженности элементов
не представляется возможным, так как при равных площадях попе-
поперечных сечений стержней усилия в них оказываются различными:
Верхний индекс (Р) подчеркивает, что эти усилия вызваны
нагрузкой. Наложим на усилия от нагрузки усилия, создаваемые
искусственно, путем регулирования, которое осуществим пред-
предварительным напряжением стержней. От предварительного напря-
напряжения стержней получится картина наподобие наблюдаемой при-
монтаже в случае неточного изготовления элементов. Найдем вели-
величину б (отклонение длины среднего стержня от того размера, п ри
котором в результате монтажа не возникает усил'ий), обеспечива ю-
щую, в сумме с влиянием нагрузки, равенство усилий в крайнем
и среднем стержнях. Для этого сложим усилия от нагрузки и от
предварительною напряжения системы:
дне) _ _ 6?fcosaP днв) = 26?Fcos»p
"• Ml+2 cos» р)' /v» /,(l+2cos»P)-
При выводе формулы C.8) знак плюс подтверждает то, что усилие,
показанное на рис. 3.11, действительно сжимающее; поэтому введем
знак минус в формулу для N^ для того, чтобы все знаки соответ-
соответствовали условию: плюс — растяжение, минус — сжатие. Формулы
C.24) получены из C.8) и C.9), если в них положить E1FlIEbFb =¦ 1.
Приравняем суммарные усилия в крайнем и среднем стержнях.
Учитывая формулы C.8) и C.4), будем иметь
д. _ Pcosap bEF cos2 ft P , 26EF cos? 0 _ д,
~1+2сс»зр /3 A+2 cos" P) ~l+2cossP~t~f3(l+2cos3p) ~ s<
C.25)
Отсюда находим искомое:
a _ Pis ' -cos* p ,0 2R\

188 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Знак минус в формуле для 5 указывает на то, что длина среднего
стержня должна быть не меньше (как это было рассмотрено в § 3.5),
а больше той, при которой не возникает предварительного напря-
напряжения.
При этом суммарные усилия от нагрузки и от предварительного
напряжения системы получаем, подставляя C.26) в C.25):
Итак, N3 < NiP), Nt > W(,P). Действительно, так как cos
> cos3 p\ 1 : cos2 p* > 1, имеем
Р Р
N <
Так как при действии нагрузки Р без регулирования подбор
сечений (при условии Ft — F3) производился по большему усилию,
т.-е. по Nt, a N3 < Л^, становится очевидным, что, при исполь-
использовании регулирования, площади поперечных сечений всех стерж-
стержней могут быть приняты меньшими, чем в случае, когда регулиро-
регулирование не применяется, т. е. искусственное регулирование напряже-
напряжений может привести к экономическому эффекту:
F —F —F - Р ^- Р
1 2 3 ~ A +2 cos p) [oj "^ A+2 сое» р) [а]#
Приведенный пример показывает целесообразность использова-
использования искусственного регулирования напряжений в статически
неопределимых системах.
§ 3.10. Подбор сечений элементов
в статически неопределимых системах по допускаемой нагрузке
1. До сих пор, говоря об оценке надежности (в смысле проч-
прочности) элемента, подвергнутого осевому действию сил, мы исходили
из условия
Такой подход к оценке прочности элемента составляет сущность
так называемого расчета по допускаемым напряжениям. В этом
расчете исходят из того, что вычисленное максимальное напряжение
не должно превосходить допускаемого.
Другим методом оценки прочности или подбора сечений эле-
элементов из условия прочности является так называемый метод

s з.ю]
РАСЧЕТ ПО ДОПУСКАЕМОЙ НАГРУЗКЕ
189
расчета по допускаемым нагрузкам. Сущность его рассмотрим на
примере системы, изображенной на рис. 3.8, а. Для упрощения
анализа будем считать, что ?х = ?3 = Е и Ft = F3 = F.
Проследим за характером работы системы в процессе постепен-
постепенного возрастания силы Р. Пусть зависимость между напряжениями
и деформациями описывается диаграммой Прандтля (рис. 2.39).
Напомним, что усилие в среднем стержне больше, чем в крайних,
а следовательно, в нем большими оказываются и напряжения.
До тех пор, пока напряжения в среднем стержне не достигли пре-
предела текучести, усилия во всех стержнях изменяются пропорцио-
пропорционально силе Р и определяются формулами C.22). Как только в сред-
среднем стержне напряжения достигнут предела текучести, дальней-
дальнейший рост силы Р не будет сопровождаться
увеличением напряжений в среднем стержне;
расти будут лишь напряжения в крайних
стержнях, не достигшие еще предела теку-
текучести.
Возникновение напряжений в среднем
стержне, равных пределу текучести, не озна-
означает, что узел О может перемещаться без воз-
возрастания силы Р, так как опусканию узла О
препятствуют крайние стержни, в которых
напряжения еще не достигли предела теку-
текучести. Таким образом, пластическая деформа-
деформация среднего элемента задерживается край-
крайними. Здесь картина совершенно аналогична
наблюдавшейся при рассмотрении концентрации напряжений вблизи
отверстия в растянутой пластичной полосе. Таким образом, возник-
возникновение в среднем стержне напряжений, равных пределу теку-
текучести, еще не является опасным для системы. Система еще способна
продолжать сопротивляться возрастающей нагрузке.
Начиная с того момента, когда в среднем стержне возникают
напряжения ат, система перестает быть статически неопределимой,
так как усилие в среднем стержне приобретает определенное зна-
значение oTF и не меняется при дальнейшем увеличении силы Р.
Усилия в крайних стержнях при этом определяются из уравнений
равновесия (рис. 3.17)
— Nx sin р + N2 sin р = О, Nx cos p + N2 cos p + orF — P = 0,
откуда
-tfi = tf.=^5JP C.27)
Нагрузка, при которой возникают напряжения ат в среднем
стержне, может быть обозначена Рт; ее находим из условия
Рис. 3.17. Узел фермы и
усилия в стержнях, сое-
соединяемых с нем; в сред-
среднем стержне напряжения
равны от

190 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Дальнейший рост нагрузки приводит к тому, что и в крайних
стержнях напряжения достигают предела текучести. При соот-
соответствующем значении нагрузки, которое обозначим Роп» про-
происходит опускание узла О без дальнейшего увеличения ее. То есть
система (все ее элементы) будет испытывать возрастающие пласти-
пластические деформации при постоянной нагрузке. Такое состояние
является опасным для системы. Сила Роп, которой
соответствует возникновение опасного состояния системы, может
быть найдена из равенства C.27), если в нем положить Nt = oTF,
т. е. для определения Роп имеем уравнение
Отсюда
В расчете по допускаемым напряжениям исходят из того, что
опасным является такое состояние сооружения, при котором хотя
бы в одной точке его напряжения достигают
величины опасного напряжения. На самом деле,
если материал сооружения находится в пластичном состоянии, то,
если напряженное состояние не является однородным, возникно-
возникновение напряжений в какой-то точке сооружения, равных пределу
текучести, еще не вызывает опасного состояния сооружения.
Последнее возникает при нагрузке, превосходящей ту, которая
впервые вызывает напряжения от в какой-либо точке сооружения.
Сказанное наглядно проиллюстрировано приведенным выше
анализом работы системы.
Нагрузка Рт, при которой впервые в системе возникают напря-
напряжения (в среднем стержне), равные ат, меньше нагрузки Роп, соот-
соответствующей возникновению опасного состояния системы:
Расчет по допускаемому напряжению сводится к удовлетворе-
удовлетворению следующему условию прочности:
откуда
= C28>
При расчете по допускаемой нагрузке ставим условие, чтобы
фактическая нагрузка Р была не больше так называемой допускае-
допускаемой:
Р <, [Р\.

) 8.10] РАСЧЕТ ПО ДОПУСКАЕМОЙ НАГРУЗКЕ 191
Величину допускаемой нагрузки находим как частное от деления
нагрузки, опасной для системы в целом, на коэффициент запаса:
[Р]=%. C.29)
В рассмотренном примере, если принять k в C.29) таким же,
как и при определении [о], получим *)
Условие прочности по допускаемой нагрузке в данном случае
имеет вид
P<[a]F(l +2cosP).
Подбирая площадь поперечного сечения стержней по допускае-
допускаемой нагрузке, получим
<33°)
Сопоставляя формулы C.28) и C.30), легко обнаруживаем
большую экономичность расчета по допускаемым нагрузкам при
Сравнении его с расчетом по допускаемым напряжениям. Это и
Вполне естественно, так как в расчете по допускаемым нагрузкам
опасное состояние относится к большей по величине нагрузке.
Действительно, если положить, например, что р = 30° (cos р —
¦= 1/3/2), то, подбирая площадь поперечного сечения по допускае-
допускаемому напряжению, будем иметь
F = 0,435 Р1Ы.
Производя аналогичную операцию по допускаемой нагрузке,
получим
F - 0,366 Р/[а].
Перерасход материала при расчете по допускаемому напряжению
составил 19% по сравнению с расчетом по допускаемой нагрузке.
Одной из основных проблем сопротивле-
сопротивления материалов следует считать учет воз-
возникающих в системе пластических дефор-
деформаций. Общая пластическая деформация системы, например
пластическая деформация всех трех стержней, недопустима, так
как с нею связано возрастание перемещений без увеличения на-
нагрузки, лишающее конструкцию возможности исполнять ее функ-
функции. Развитие же локальных пластических деформаций (пласти-
а) На самом деле переход от одного метода оценки прочности к другому сопря-
сопряжен g изменением величины коэффициента запаса.

192 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
ческих деформаций в некоторых из элементов), стесняемых малостью
величины упругих деформаций других элементов, в целом для си-
системы не опасно. Это позволяет повышать нагрузку, которую может
воспринять система, оставаясь надежной, по сравнению с той, при
которой пластические деформации возникают лишь в локальной
области. К системе, в которой в процессе нагружения возникает
хотя бы в одном из элементов пластическая деформация, применять
принцип независимости действия сил нельзя.
2. Возникает вопрос: почему же не переходят полностью на
расчет по допускаемой нагрузке, если он приводит к более эконо-
экономичному решению?
.Ответить на это можно следующим образом.
Сейчас происходит переход от расчета по допускаемым напря-
напряжениям к расчету по допускаемой нагрузке, точнее сказать, к рас-
расчету по методу, родственному последнему, но несколько от него
отличающемуся и носящему название расчета по предельным состоя-
состояниям. Некоторые основные идеи этого метода излагаются в § 3.14.
Однако этот переход не всегда является простым.
Во-первых, не всегда достаточно просто найти опасную нагрузку.
В ряде случаев эта задача весьма сложна, и далеко еще не для
всех случаев она разрешена. Особенно сложны вопросы, связан-
связанные с расчетом на подвижную нагрузку и на несколько разных
комбинаций нагрузок.
Во-вторых, переход к новому методу связан с необходимостью
введения в расчет новых коэффициентов запаса, которые нуждаются
в проверке по поведению сооружений, запроектированных соответ-
соответствующим методом.
В ряде случаев,- когда имеем дело с хрупким материалом, расчет
по Допускаемым напряжениям оказывается достаточно совершен-
совершенным, ибо предельное (опасное) состояние для материала в малой
области часто опасно для системы в целом.
Несмотря на широкое внедрение расчета, основанного на методе
предельных состояний, расчет по допускаемым напряжениям
сохраняет значение и еще долгое время будет оставаться исключи-
исключительно важным, а в ряде случаев нет основания и думать о полном
отказе тэт расчета по допускаемым напряжениям.
Выше уже говорилось о том, что существуют исключительные
случаи, характеризуемые одновременным возникновением напря-
напряжений, равных пределу текучести, во всем объеме материала си-
системы; естественно, что они опасны для системы в целом. Для таких
систем разница в расчете по допускаемому напряжению и по допу-
допускаемой нагрузке исчезает. К числу обсуждаемых случаев отно-
относятся: осевое действие сил на призматический стержень при постоян-
постоянной вдоль его оси продольной силе; работа статически определимой
фермы при равнонапряженности всех стержней, в условиях дей-
действия заданной узловой нагрузки. Если элементы, статически

§ 3.10] РАСЧЕТ ПО ДОПУСКАЕМОЙ НАГРУЗКЕ- 193
неопределимой фермы при действии заданной узловой нагрузки
могут быть и являются равнонапряженными, то достижение напря-
напряжениями величины от произойдет одновременно во всех стержнях
по всей площади поперечного сечения каждого из них и, таким
образом, система в целом окажется в опасном состоянии *).
Отметим один важный момент. В § 3.8 рассматривалась стати-
статически неопределимая система (рис. 3.8), элементы которой не могут
быть равнонапряженными. Для такой системы, как это показано
в настоящем параграфе, расчет по допускаемому напряжению и по
допускаемой нагрузке приводит к различным результатам; в § 3.9
отмечалось, что путем искусственного регулирования напряжений
можно добиться равнонапряженности элементов статически неопре-
неопределимой системы (однородность напряженного состояния). В таком
случае, различие в результатах расчета по допускаемому напря-
напряжению и по допускаемой нагрузке исчезает. В частности, примени-
применительно к статически неопределимым фермам искусственным регули-
регулированием напряжений можно достигнуть того же экономического
эффекта, оставаясь на позициях метода допускаемого напряжения,
какой. получается в случае применения расчета по методу допу-
допускаемой нагрузки. Это подтверждается и приведенным примером.
Действительно, с учетом регулирования напряжений в статически
неопределимой системе, производимого с целью достижения в ней
равнонапряженности элементов, при подборе площади поперечных
сечений стержней по допускаемому напряжению была получена
формула
г -"A+2 cos ft) [а] '
Эта формула совпадает с формулой для F, выведенной при расчете
по допускаемой нагрузке статически неопределимой системы.
Если не рассматривать тех исключительных случаев, когда
мыслима равнонапряженная статически неопределимая ферма, то
можно утверждать, что применительно к статически небпределимым
системам (не только к фермам), выполненным из пластичных мате-
материалов, разница в расчете по допускаемому напряжению и по допу-
допускаемой нагрузке имеется всегда (подразумевается, что искусствен-
искусственное регулирование напряжений не применено).
В случае статически определимых систем разницы в расчете
по допускаемому напряжению и допускаемой нагрузке нет лишь
в отмеченных выше случаях (однородное напряженное состояние
бо всей системе).
Расчет по допускаемой нагрузке в литературе иногда называют
расчетом по разрушающей нагрузке.
') Приведенные примеры являются частными случаями так называемого
однородного напряженного состояния, при котором во всех точках тела напряжен-
напряженное состояние одинаковое.
7 А. П. Филин ¦

194 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Несмотря на большую очевидность, все же покажем на примере,
что в случае статически определимой равнонапряженной фермы нет
разницы между расчетами по допускаемому напряжению и по
допускаемой нагрузке.
Рассмотрим статически определимую систему (рис. 3.9). В силу
симметрии системы и нагрузки, элементы системы являются рав-
нонапряженными.
Условие прочности по допускаемому напряжению имеет вид
<т= — <Г(т1
Отсюда
N Р
38 Щ = 2 cos p [а] *
Условие прочности по допускаемой нагрузке имеет вид
При этом
Опасным состоянием является такое, при котором начинает
течь материал обоих стержней, т. е. нагрузка, соответствующая
оп сному состоянию, равна следующему выражению:
Роп = 2WT cos p = 2oTF cos р\
Tai им образом,
Окончательное условие прочности представится в виде
Отсюда
2 cos P [a] *
Следовательно, результаты расчета по допускаемому напряжению
и по допускаемой нагрузке в данном случае одинаковы.
3« Рассмотрим расчет железобетонной колонны по допускаемым
нагрузкам (рис. 3.18). При сжатии таких колонн, как показывают
многочисленные опыты, к моменту разрушения относительные
линейные продольные деформации достигают величины е «w 0,0015.
При такой деформации, если считать, что она одинакова и в бетоне
и в арматуре в силу их сцепления, в арматуре возникают напря-
напряжения не ниже предела текучести. Действительно, имея в виду, что

$ 3.10]
РАСЧЕТ ПО ДОПУСКАЕМОЙ НАГРУЗКЕ
195
модуль упругости стали Е = 2 100 000 кГ/см2, а предел текучести
у стали Ст. 3 равен от = 2500 кГ/см2 (у стали Ст. 5 <тт = 3000 кГ/см*),
и учитывая, что вплоть до предела текучести между напряжением
и относительной линейной деформацией сохраняется линейная
зависимость, т. е. справедлив закон Гука, полу-
получим относительную линейную деформацию, соот-
соответствующую указанным значениям Е и от:
ат 2500
Аналогичную картину имеем и для стали
Ст. 5:
8=г=2-жш=0-00143<°.0015-
Следовательно, можно считать, что в момент
разрушения колонны бетон разрушается от сжа-
сжатия, а стальная арматура течет. Обозначим
площадь бетона в поперечном сечении колонны
через F6n, площадь арматуры в том же сече-
сечении Ft, призмённую прочность бетона *) Rnp,
предел текучести арматурной стали ат. Опасная
(разрушающая) нагрузка может быть подсчи-
подсчитана следующим образом (в данном случае мож-
можно говорить о равном ей опасном разрушающем
усилии — продольной силе):
Рис. 3.18. ЖелезоСе»
тонная колонйа.
Допускаемая нагрузка (допускаемая продольная сила) равна
Условие прочности по допускаемой нагрузке (по допускаемому
усилию) запишется в виде
N «=? [W] = Vto+O'f'-. C.31)
Подбор сечения колонны можно осуществить, задавшись так
называемым процентом армирования ца = FJF^. Тогда
Отсюда
k
Nk
6ет =
') При испытании образцов в виде кубика из того же бетона предел прочности
(кубиковая прочность /?). получается несколько большим, чем при испытании
призмы:
1300 + /? п
Кг'Р~~1450+ЗЛ*'

196 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
После этого Fa находим по формуле
Если площадь бетона в поперечном сечении колонны известна
и требуется найти площадь арматуры, то, решая уравнение C.31),
получим
kN RF
§ 3.11. Картина перемещений
в статически неопределимых системах
1. Рассмотрим зависимость между нагрузкой Р и перемещением
узла А в ранее обсуждавшейся статически неопределимой системе
(рис. 3.8) (при условии одинаковости площадей поперечных сече-
сечений и материала всех стержней) на всех трех характерных этапах
работы системы:
2) Рт^Р<Роп, 3) Р = Роп.
На первом этапе усилия в стержнях находятся по формулам C.22):
/ <3-32>
Перемещение узла б определяется по следующей формуле:
Из формулы видно, что зависимость между Р и А линейная,
и при этом прямая, изображающая эту зависимость, проходит через
начало координат (рис. 3.19, а). Заметим, что перемещение А,
соответствующее значению Р — Рт, легко получить из формулы
C.33), положив в ней Р = Рт =.otF A+2 cos3 Р).
Итак,
. __oTf7,(l+2cosl>p) _qT
Птг~ EF A +2 соэзр) Е *•
На втором этапе усилия в стержнях выражаются следующими
формулами:
^? C.34)
Перемещение узла О определяется удлинением крайних стерж-
стержней, так как удлинение среднего стержня, напряжения в котором
достигли атг происходит в соответствии с удлинением крайних, без
увеличения усилия в нем.

p,
a)
t
1
i!
0
— 4-H
/
—V
—^
i:
г) и,
Hi
-5* ft,
j ¦
1 о
~Z/
¦ E Ш
t
1
I
в
Hi
/
'/A
f
1
/
+*& 1 *
A
44.
STl,
E с
.Ьк
?
1
s--
-ли
il,
ж)
Рис. 3.19. К картине перемещений в статически неопределимой системе Зависимости:
о) Р - Д; б) Nu N, - Р: в) Л/ь Л/3 - Д; е) Д*,, Дг3 - Д; 0) N, — AU; Л/, - Ы,; г) о<4 -
6D; стC1 — еО; sw) P — Д (с разгрузкой от Pq).

198 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Итак,
л-л I (р
r~r2EFco!?p~ Е
Зависимость между Р и А и на этом этапе линейная. Прямая,
соответствующая этой зависимости, не проходит через начало
координат. Для построения этой прямой найдем абсциссы, соответ-
соответствующие двум крайним возможным для этого этапа значениям
Р (Р = Рт и Р = Роп).
При Р = Рт
\—Sib. —A
При Р = Роп
Л-Л _°т<8 ¦ [aTF(l+2cosP)-gTf (l+2cos3p)]?g oT/j 1
а~ оп~ Е "*" 2?Fcos»p 2Tcos»
На третьем этапе, начиная от значения Р = Роп, происходит
увеличение Д без увеличения Р, т. е. наступает развитие текучести
в системе. На диаграмме рис. 3.19, а этому соответствует участок
в виде горизонтального отрезка прямой. Графики на рис. 3.19
соответствуют значению Р = л/6.
< 2. Построим графики зависимостей
Д/^Д/хСД), Д/3 = Д/3(Д); Л^1 = Л
OU)==OU)(8U))( OU) = O(S) (8(s))
на всех этапах изменения силы Р. Графики первых двух зависи-
зависимостей (рис. 3.19, б) на первом этапе получаем, исходя из C.32),
а на втором — из C.34).
Зависимости C.32) при Р = Pr = orF A+2 cos3 P) дают
Зависимости C.34) при Р = Рт = aTF A+2 cos3 P) дают
JV1=aIFcoslp, Ns = oS,
а при Р = Роп = oTF A +.2 cos P)
Сопоставляя графики рис. 3.19, а и 3.19, б, легко получаем гра-
графики зависимостей jVx = Л\ (Д) и N3 — N3 (Д) (рис. 3.19, в).
Построим графики (рис. 3.19, г) Д/х = Д/х (Д) и Д/3 = Д/3 (Д),
исходя из зависимостей
Сопоставляя графики 3.19, в и 3.19, г, получаем графики зави-
зависимостей Nx = Nx (Д/х) и N3 = N3 (Д/3) (рис. 3.19, д).

§ 3.12] ОСТАТОЧНЫЕ УСИЛИЯ . '99
Наконец, легко построить графики ои) = о11' (еA)) и оC) =
= orW (е*3>) (рис. 3.19, е).
На диаграммах рис. 3.19, д, е символом / (//) обозначена точка,
соответствующая силе Рт (Роп). Нижний индекс указывает, к какому
иэ стержней системы A или 3) относится точка. Силе Р = Рс
(рис. 3.19, а) соответствуют усилия в стержнях, перемещение
уела, удлинения стержней, напряжения и относительные линейные
деформации в стержнях, показанные на рис. 3.19, б, в, г, д, е.
Все упомянутые величины обозначены символами, содержащими
нижний индекс С:
N1C, ЛГЗС; Дс; Д/1С, Д/зС; ой', оУ; ей1, еЬ8'.
Отмеченные величины принимают нижеприводимые значения.
aTls Pc-oIF(l+2cossp) oT/,/ 1 ^
? от/г A+2 cos р) — (Ут/7A+2 cos3 р) ? \cos8 p
или, после преобразований,
Из формул C.34) имеем
§ 3.12. Остаточные усилия
Проследим за работой системы (рис. 3.8, а) в том предполо-
предположении, что сила Р (направленная вниз), достигнув в процессе
роста некоторого значения Рс (Рт «S Рс^ Роп)> начинает умень-
уменьшаться вплоть до нулевой величины.
При разгрузке зависимость между напряжениями и относитель-
относительными линейными деформациями изобразится на диаграмме 3.19, е
следующими линиями: для первого стержня линией Сг0 и для
третьего — параллельной ей линией, начинающейся в точке С3.
Напряжения при разгрузке оУ,'Разгр, о'^.'разгр выразятся при
этом следующим образом:
ОЙ.' разгр = ?вЧ <#,' разгр = О + ?в<«,
где

'200 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Переходя к зависимостям
Л/1С, разгр = N\c, разгр (A/i) И N3C, разгр = N3C, разгр (А/3),
получим
FI, = - 2^р [Рс - oTF A + 2 cos» P)] F/3+?e<3» Ft,.
Переходя от A/x и A/3 к Ас>разгр, будем иметь
jV 1С, разгр W = EFАс, разгр COS р\ |
Л^ / ^ [Рс - orF A + 2 cos3 Р)] + EF Ас, разгр. ] C5)
В процессе разгрузки условие равновесия имеет тот же вид,
как и в процессе нагружения:
2Nic, разгр COS Р + Л/зс, разгр - Р = 0. C.36)
Если подставить N1C, разгР и Л^зс, разгр. найденные из C.35), в C.36),
то получится уравнение следующего вида:
позволяющее установить зависимость между перемещением и силой:
Совершенно очевидно, что при Р = 0 перемещение узла Ас, разгр
т^О н его естественно назвать остаточным Дсст:
АС, разгр \Р = 0 = AgCT =
^ A+2 cos»
«я
2EF cos3 р A +2 cos3 0) 2? cosa
Нетрудно показать, что
C.38)
при условии, что разгрузка на диаграмме Р — А, начиная от
точки С, происходит параллельно линии нагружения на первом
его этапе (рис. 3.19, ж). Действительно, при таком условии Дс"р
найдется из пропорции
дупр . _Lf _ _5

S 3.121 ОСТАТОЧНЫЕ УСИЛИЯ 201
и выразится формулой
Дупр— а
с — е
рс
ур t
с — е oTF A+2 cos» $)ш
Рассмотрев разность
^ ^_
Е F A +2 cos» f5) ~~ 2?F cos3 р A +2 cos3 Р) " IE cos3{J'
убеждаемся в выполнении C.38). Наличие Ас" свидетельствует
о наличии остаточных удлинений Д/°ст и Д/?с\ а следовательно,
и остаточных усилий.
Выясним, чему равны усилия в стержнях, если внешняя сила Р,
уменьшаясь, дойдет до нулевого значения. Если усилия в элемен-
элементах при полной разгрузке системы отличны от нуля, то их называют
остаточными. Введем обозначения:
М1С,разгр Р = 0 = Л^1С. Л^ЗС, разгр ]р=0 = NС
Для отыскания N°" и N%cT воспользуемся уравнением C.36)
при Р = 0 и уравнением совместности деформаций, которое полу-
получится из C.35)li2) если учесть, что Дс, разгр, входящее в каждое из
них, одно и то же.
Итак, имеем
2 cos р Л^ + №? = 0,
дгОСТ» дгОСТу i
Решая эту систему, получим
Р
Д/ост Л? ост — С т" М°" (Т F
'? \г. " 9Г о one. й / г I о лл,з й\ о ^,, й > "яг; V
2 cos р A+2 cos3 P) 2cosP' "зс" "т' l+2cos3P'
При Рс = P7 = a^F(\ +2 cos3 P)
jV°« = O
При Рс = Ро = &,/=• A+2 cos P)
>и, /v3C—dTr 1+2cos3p
Такие же знаки у Af?" и УУзст имеют место и при всех других зна-
значениях Рс в промежутке Рт <.Рс < Л>«
Остаточные усилия являются самоуравнове-
самоуравновешенными (узел, мысленно вырезанный из системы, под действием
остаточных усилий находится в равновесии).

202 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ГГЛ III
В статически неопределимых системах
при приложении к ним нагрузки, превы-
превышающей то значение, которое вызывает в ча-
части элементов пластические деформации, после
разгрузки сохраняются некоторые остаточные
напряжения (усилия).
§ 3.13. Эффект снижения сопротивляемости
пластическим деформациям
после предшествовавшей пластической деформации
противоположного знака
Продолжим рассмотрение вопроса, обсуждавшегося в § 3.12.
Пусть внешняя сила Р, дойдя до нулевого значения, изменяет
свое направление и начинает увеличиваться. Линия зависимости
Р — Д при изменении знака силы Р явится продолжением линий
разгрузки, начатой от точки С. Тогда уравнения равновесия C.36)
и совместности деформаций (из формул C.35)) приобретут' вид
Звездочка в обозначениях усилий указывает на то, что они вызваны
внешней нагрузкой, изменившей свой знак (свое направление).
В уравнении равновесия изменен знак перед обозначением силы по
сравнению с уравнением C.36). Решая эти уравнения относительно
усилий, получаем
-2P«cos3p+[pc-oTF(l+2cos8p)]
При /5c = oi/
qTF(l-cos"p)
P* . 2aTfcos В (cos2 P —1)
+ ""
"«- l+2cos3P ' l+2cos3p
Легко видеть, что
Таким образом, при возрастании величины внешней силы (направ-
(направленной вверх) в среднем стержне раньше, чем в крайних, возник-
возникнут напряжения, равные пределу текучести; величина внешней

S 3.13]
СНИЖЕНИЕ СОПРОТИВЛЯЕМОСТИ ДЕФОРМАЦИЯМ
203
силы Рт, при которой это произойдет, найдется из следующего
уравнения:
Р* 2qTFcosp(cos*p-l) _
Р*
откуда
p* = (iTf (l+2cos8P) —2aTFcosP A — cos2P)<PT=
= 0^A+2 cos» P).
График Р* —А легко построить по зависимости C.37) с учетом
замены Р. на —Р*:
P*l3 l3 [Pc—oTF A +2 cos3 P)]
Д*= --
2EF cos3 p A+2 cos3
Перемещение Дс" узла при Р* = 0 выше уже было найдено.
При Р* = Р? перемещение узла Д? найдем по формуле (Рс при-
принято равным Ро = a^F A+2 cos P))
л* —
~°tFA+2cos3P—
"г" 2?f cos3 p A+2 cos3 P) ? cos2 C
При дальнейшем росте силы (направленной вверх) система стано-
а)
Рис S.20. Сяяжение предела текучести после предварительной пластическое деформация
противоположного знака: а) к равновесию узла; б) график Р — Д
вится статически определимой. Уравнение равновесия приобретает
вид (рис. 3.20, а) Р* — о,/7 — 2ЩС cos p = 0, откуда
P*—otF
2cosP
Перемещение узла может быть определено по следующей формуле:
л, л* (p*-p*r)h
а — ат 2?fcos3P

204 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ГГЛ. III
или, в развернутом виде (при Pq — Ро),
д*._<МзО— 2cosag) [Р* —gTf A +2 cos3ft—2 cos ft+ 2 cos3ft)j/3
При Р* = P? имеем
Д*=Д?.
При некоторой нагрузке Р% напряжения и в крайних стержня-х
становятся равными от и узел системы начинает перемещаться
вверх без увеличения силы. Силу PJ находим из уравнения
откуда
Теперь определим перемещение узла А* к моменту достижения
силой Р* значения PJ:
—aTf (l+2cos3f3—
f cos3 p "~
_ crT/3
? cos2?
Полный график Р — А показан на рис. 3.19, ж. Перемещения
и усилия при разгрузке, которая была начата уже после возникно-
возникновения в одном из элементов пластических деформаций, и при после-
последовавшем за этой разгрузкой нагружении силой, изменившей свое
направление на противоположное, зависят от того, от какой точки
на диаграмме (т. е. от какого значения силы и соответствующего ей
перемещения) начата разгрузка. Таким образом, если хотя
бы в одном элементе статически неопреде-
неопределимой системы возникла пластическая де-
деформация, то дальнейшая картина напря-
напряженно-деформированного состояния зави-
зависит от всей предыдущей истории (картины
изменения усилий и перемещений) системы.
Сказанное является общим свойством статически неопределимых
систем.
В частности, эта зависимость от предыдущей истории проявляется
так. Если материал одинаково сопротив-
сопротивляется деформациям при растяжении и сжа-
сжатии, то сопротивление возникновению пла-
пластических деформаций в системе понижается

3.13] СНИЖЕНИЕ СОПРОТИВЛЯЕМОСТИ ДЕФОРМАЦИЯМ 206
при предварительной пластической дефор-
деформации другого знака.
Действительно, если бы мы подвергли систему (рис. 3.8) воздей-
воздействию силы Р*, направленной вверх, без предварительного воздей-
воздействия на нее силы Р, направленной вниз, то, ввиду одинаковости
сопротивления материала растяжению и сжатию, а также сделан-
сделанного предположения о невыпучивании сжатых стержней, график
р* — д* получился бы совершенно аналогичным графику Р — А
при действии силы вниз (координаты сходственных точек обоих
графиков по абсолютному значению одинаковы (рис. 3.20, б)).
Если же действие силы Р*, направленной вверх, возникает после
того, как сила, действуя вниз, вызвала в элементе системы пласти-
пластическую деформацию, то график получается иной — абсолютное
значение ординаты точки Ах, соответствующей возникновению
в системе пластических деформаций противоположного (по отно-
отношению к первоначально возникшей пластической деформации)
знака, меньше абсолютного значения ординаты точки А, которая
соответствует возникновению пластической деформации в элементе
системы, при условии, что до этого в ней пластических деформаций
противоположного знака не было.
Это также является общим свойством всех
статически неопределимых систем.
Если, доведя нагрузку до величины Р ==s Р„ далее производить
разгрузку, то после полного снятия силы Р в системе не будет ни
остаточного перемещения узла, ни остаточных усилий — система
после замкнутого цикла придет в исходное положение.
Если же довести нагрузку до величины Рс, а далее изменять
ее циклически в пределах Рс ^ Р sg: — Рс, то все параметры
системы также будут изменяться циклически. Сказанное пояснено
рис. 3.21—3.26 и табл. 3.1 и 3.2, соответствующими случаю р = 60°.
Крайний стержень обозначен номером 1, а средний — номером 2.
В табл. 3.1 представлены характерные функциональные зави-
зависимости, описывающие состояние системы во всех стадиях работы
ее. Для краткости в таблице представлены лишь правые части
формул для величин, указанных в заголовках граф. Обозначение
одной и той же величины во всех стадиях работы системы (на всех
участках диаграммы) остается неизменным.
В табл. 3.2 представлены значения наиболее характерных вели-
величин, описывающих состояние системы в моменты перехода от одно?
стадии работы системы к другой (точки диаграмм).
В табл. 3.1 и 3.2 приняты следующие обозначения:
a2=l+2cosp\ h = —j— cos3 p.
*2

206 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Таблица 3.1
*t
1
2
3
4
Виды функциональных зависимостей
Nt - Nt (Р)
ЛГй - УУ, (Р)
Р COS8 P/Oi
Р/ах
(Р—aTf)/2cosp
oTF
(Р+/Дд )cos2p/o1
[Р—(рс~ p?)]lai
(Р + От/0/2С08Р
Р - Р (Д)
Д = Д (Р)
(Р ~o-iF)ltt
(P+oTF)/h
лг, = лг, (Д)
лг, = лг, (Д)
/Acos^p
/Д cosa P
oTF
/Д cos2 p
/Д cos2 p
yv, = yv, Шд
Nt = УУ, (ДМ
/ Д/х cos P
/ Мг cos p
aTF
f Mi cos p
/ Мг cos p
-o,F
Её1'
?e'2'
Ее'11
aT
eX-
Часть из условных обозначений показана в самих таблицах.
Данные табл. 3.2 (столбцы Р и Д) — координаты точек, отмечен-
отмеченных на рис. 3.21, и ординаты точек на рис. 3.22 и 3.23. Коорди-
Координаты точек по осям Д/ь Д/2, оA), aB), eu), еB) в табл. 3.2 не при-
приведены, так как они легко находятся по следующим формулам:
A/2 = A;
!p> et2' = —= —;
(точки О, Л),
(точки. В, С),
(точки Du D2, D3),
(точки С, Л').
_ От
Основной диаграммой является диаграмма рис. 3.21, остальные
оказываются вспомогательными и приведены для более детального
пояснения. В частности, параллельность линии разгрузки в диа-
диаграмме Р — А линии начального нагружения вытекает из парал-
параллельности аналогичных линий в диаграмме а — г.
На рис. 3.22—3.26 для обозначения точек диаграмм использо-
использованы те же буквы, что для соответствующих точек диаграммы
рис. 3.21. Индексы при буквах показывают, к какому из стержней
относится точка.

I 3.13]
СНИЖЕНИЕ СОПРОТИВЛЯЕМОСТИ ДЕФОРМАЦИЯМ
В
207
j Г
/ I.
1С
Рис. 3.21. Зависимость Р — Д при циклическом изменении силы
РВ' < Р <р В).
jtezzfag--.
Рис. 8.22. Зависимости Nt — Р и Na — Р пря циклическом изменении силы (Рд'
< Р <РС или РВг < " " ~
1
-Jr
Рис. 8.23. Зависимости /V, — Д и Л/2 — Д при циклическом изменении силы (Рд/ <Р<
< Р с или РВ, < Р ^ РВ),

208 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
At, ih
/%>
(П
в<0
Рис. 3.24. Зависимости-Д/, — Д и Д?г — Д при циклическом изменении силы(Рд<
Р с или РВг <
N.
I
; I
I
I
I
О Г
в№
. А'г) с[г)
41,
41,
i
ВB)
Рис. 3.25. Зависимости Nt — Д/, и Ыг — Д/г при циклическом нзмеЕЮнии силы (РД'
< Р < Р С илн РВ' < Р < Р В).
I
I я' i
^ BJi>L r
в/(г) А(г> с'г)
Рис. 3,86. Зависимости а'1' — е'1' и а'!) — е<*| при циклическом изменении силы (Рд' '-=
< Р < РС ИЛИ />?/< Р < РВ).

3.14] РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ 209
Таблица 3.2
Точки
0
А
В
С
D,
D,
С
А'
Величины
Я
0
атЛ7., = Ро
РТ + (ДС— Д,)<2= Рс
РС-Рх
0
-/До,
Рс-2Рх
-Рт
Л
0
AT/cos2 P
(Яс-^)/^Ас
Д/>Л
0
Ас-2Дт
-Ат
Л'ь N3
0
0
crTf cos2 Р
oTF
0
0
A/l0i-a/cos»P
-°/атгр
§ 3.14. Понятие о расчете конструкций
по предельным состояниям
За последние годы в СССР большое развитие получил новый
подход к оценке надежности конструкций путем расчета *). Он уже
упоминался в предыдущем параграфе, где назывался методом рас-
расчета по предельным состояниям. Этот метод во многом близок
к методу расчета по допускаемым нагрузкам, но отличается от
последнего в части, относящейся к коэффициенту запаса. Метод
расчета по предельным состояниям узаконен нормами и официально
принят в СССР как основной метод расчета строительных кон-
конструкций, мостов и других сооружений. Понятие расчета по пре-
предельным состояниям включает в себя большее содержание, нежели
расчет на прочность. В этом методе рассматриваются три предель-
предельных состояния: по несущей способности, по жесткости и по тре-
щинообразеванию. Коснемся лишь первого.
Охарактеризуем некоторые основные идеи метода. Оценка на-
надежности элемента сооружения производится путем сопоставления
') Здесь не имеегся в виду теория надежности.

2Ю ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ III
того максимального усилия, которое может возникнуть в попереч-
поперечном сечении элемента при наиневыгоднейшем сочетании всех пред-
предполагаемых на него воздействий, с той минимальной несущей спо-
способностью, которая присуща поперечному сечению элемента.
Проиллюстрируем такое сопоставление, т. е. покажем основное
условие надежности по несущей способности на примере железобе-
железобетонной колонны. Максимальное продольное усилие, могущее воз-
возникнуть в сечении колонны, складывается из усилий, вызываемых
различными видами нагрузки. Если эта колонна представляет собой
стойку железобетонного арочного пролетного строения, то такими
видами нагрузки являются собственный вес конструкции, поддер-
поддерживаемой стойкой, т. е. постоянная нагрузка; вес поезда, т. е.
временная нагрузка. Усилия от каждого из этих видов нагрузок
определяются исходя из определенных нормативных данных, харак-
характеризующих нагрузку. Так, для постоянной нагрузки норматив-
нормативными данными являются объемные веса материалов, для времен-
временной — схема и величина нагрузки, изображающей силовое воздей-
воздействие на конструкцию подвижного состава.
Обозначим продольную силу в поперечном сечении колонны,
вызванную постоянной нагрузкой, символом А/". Верхний индекс
указывает на то, что это усилие определено на основании нор-
нормативных данных о нагрузке. Продольную силу в том же
сечении от временной нагрузки обозначим N". Возникает вопрос:
не могут ли фактические постоянная и временная нагрузки,
т. е. те,, которые будут иметь место в действительности, отличаться
от нормативных? Несомненно, такое отличие может быть.
В постоянной нагрузке это отличие обусловлено тем, что фактические
объемные веса материалов могут отличаться от нормативных, так как
объемные веса не являются строго стабильными. Правда, это отли-
отличие не может быть очень большим и характеризуется для такого
материала, как железобетон, величиной порядка 10%. Действи-
Действительная временная нагрузка может отличаться от нормативной
в большей мере, чем постоянная: по мосту могут ходить разнообраз-
разнообразные составы, в том числе и те, которые появятся через некоторое
время, имеющие иные веса, нежели указанные в нормах.
Так как усилия в сечении элемента зависят от нагрузки линейно,
то в той мере, в какой возможны отклонения действительной на-
нагрузки от нормативной, отклоняются и соответствующие усилия.
С целью учета возможного отклонения действительных усилий от
нормативных в расчет вводят не нормативные усилия, а произведе-
произведения их на так называемые коэффициенты возможной. перегрузки,
обозначаемые буквой п.
Итак, в расчет вводим усилия N"nx и Л/?п2. Коэффициенты возмож-
возможной перегрузки для каждого вида нагрузки, вообще говоря, раз-
различны. Величины коэффициентов пи пг, ... больше единицы вслед-

S 3.14] РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЯ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ 211
ствие того, что нас интересует отыскание максимального
возможного усилия в сечении, а оно получается в случае, если
в действительности отклонение нагрузок от нормативных происхо-
происходит в сторону больших значений. Максимальное усилие, могу-
могущее возникнуть в поперечном сечении стойки, находим как сумму
следующего вида:
j] Nib.
В других случаях при большем числе различных видов нагрузки
число слагаемых в аналогичной сумме оказывается соответственно
большим. Найденное таким образом максимальное усилие, возни-
возникающее в сечении стойки, не должно превосходить того минималь-
минимального усилия, которое способно выдержать данное сечение стойки.
Это минимальное усилие называют минимальной несущей способ'
ностью поперечного сечения.
Покажем, как находится минимальная несущая способность
сечения. Усилие, которое может быть воспринято сечением, скла-
складывается из двух частей: усилия, воспринимаемого бетоном, и-
усилия, воспринимаемого арматурой. Первое из них равно произ-
произведению площади бетона в поперечном сечении стойки на предел
призменной прочности бетона, а второе — произведению площади
арматуры в поперечном сечении стойки на предел текучести арма-
арматурной стали. Величины предела призменной прочности бетона
и предела текучести стали для каждой марки бетона и стали при-
приводятся в нормах, поэтому соответствующие величины можно на-
назвать нормативными и обозначить Rnp и а?. Однако в силу
нестабильности свойств строительных материалов фактиче-
фактические механические свойства как бетона, так и стали в конструкции
могут отличаться отнормативных. У такого материала, как
сталь, изготавливаемого в заводских условиях при довольно точном
соблюдении химического состава и технологии, отклонение свойств
материала от нормативных оказывается меньшим, нежели у бетона.
Поэтому при определении минимальной несущей способности сече-
сечения в расчет вводят не нормативные значения призменного предела
прочности бетона и предела текучести стали, а некоторые иные
величины, полученные путем умножения нормативных значений
#"р и а? на коэффициенты возможной неоднородности k, различные
для различных материалов. Величины коэффициентов klt kit ...
меньше единицы вследствие того, что нас интересует отыскание
минимальной несущей способности сечения, а она полу-
получается в том случае, если в действительности отклонение механи-
механических свойств материалов от нормативных их значений происходит
в сторону меньших значений.

212 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ (ГЛ. III
Итак, минимальная несущая способность поперечного сечения
стойки определяется по формуле
Здесь /г6ет и /га — коэффициенты возможной неоднородности свойств
бетона и арматуры соответственно.
Встречаются случаи, в которых рассчитываемый элемент пред-
предназначается для работы в условиях, так или иначе отличающихся
от обычных (например, элемент предназначается для работы в агрес-
агрессивной среде или для работы во временном сооружении). Это обстоя-
обстоятельство находит отражение при определении минимальной несущей
способности — вводится специальный, так называемый коэффи-
коэффициент условий работы т. Окончательно выражение для мини-
минимальной несущей способности приобретает вид
(в случае, если элемент предназначается для работы в условиях
агрессивной среды, т <; 1; в случае, если элемент предназначается
для работы во временном сооружении, т > 1).
Условие надежности элемента записывается так:
2
2 NUi^m(№pk6eTF6ei + o?khFb). C.39)
< = i
Проанализируем полученное условие. Сопоставим ere с усло-
условием оценки надежности при расчете по допускаемой нагрузке
C.31), которое можно записать в следующем виде:
Лгё^Япр/Ъет+О^., C.40)
или, учитывая, что величины N, Rnp и ат взяты из нормативных
данных, формулу C.40) в принятых нами обозначениях для норма-
нормативных величин запишем следующим образом (k — коэффициент
запаса):
HTF&. C.41)
Сопоставляя неравенства C.39) и C.41), обнаруживаем, что они
оказываются одинаковыми лишь при условии, что в неравенстве
C.39)
п1 = п2 = /г, &а = &6ег = й*. C.42)
В этом случае формула C.39) может быть преобразована к виду
п 2 Nf^mk*(R"npF^ + oarFs),
< = i
2
или если учесть, что сумма ? N'i представляет собой нормативное

§ 3.141 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ 213
усилие от всех видов нагрузки Na, и разделить обе части неравен-
неравенства на mk*, то получим
JL. мн ^ /?п,/бет + o*F,. C.43)
Сопоставляя условия C.43) и C.41), убеждаемся в их полной
идентичности, если общий коэффициент запаса в условии C.41)
считать равным следующему выражению:
Ь — п
k~~mk*-
Подчеркнем, что эта идентичность достигнута ценой предполо-
предположений C.42), явно противоречащих действительному положению
вещей.
Итак, проведенным анализом показано, в каком соотношении
находятся методы расчета по предельному состоянию и по допу-
допускаемой нагрузке.
Метод расчета по предельным состояниям совершеннее метода
расчета по допускаемой нагрузке, ибо он позволяет правильнее
учесть многие обстоятельства, такие, как неодинаковость ожидае-
ожидаемой вариации различных видов нагрузки, неодинаковость ожидае-
ожидаемой вариации свойств различных материалов. Эта большая совер-
совершенность метода выражается не только в возможности более обосно-
обоснованного выбора численных значений отдельных коэффициентов,
нежели выбор общего коэффициента запаса в расчете по допускае-
допускаемой нагрузке, но ив более правильной в принципиальном
смысле структуре условия надежности. Коэффи-
Коэффициенты в условии C.39) расположены так, что при невыполнении
C.42) невозможно получить из C.39) неравенство, аналогичное по
структуре условию C.41). Позднее будет показано, что в ряде слу-
случаев наиневыгоднейшей является такая комбинация нагрузок, при
которой некоторые нагрузки не достигают своего максимума. Это
обстоятельство также поддается учету при расчете конструкции по
предельным состояниям. При указанном расчленении общего коэф-
коэффициента запаса мыслим научный подход к установлению величины
отдельных коэффициентов, в то время как величина общего коэф-
коэффициента запаса в расчете по допускаемым нагрузкам или по допу-
допускаемым напряжениям назначается ощупью, лишь с учетом опыта
эксплуатации.
Структура условия надежности, принятая в расчете по предель-
предельному состоянию, позволяет осуществить учет таких обстоятельств,
как улучшение технологии материала, например бетона (такое
улучшение позволяет повышать коэффициент ?бет, приближая его
к единице), и т. п. Назначение величины коэффициентов произво-
производится путем применения методов математической статистики.

214 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Чем более полога кривая плотности вероятности (рис. 3.27),
тем вероятнее отклонение фактической механической характери-
характеристики от нормативной, тем меньшую величину приобретает коэффи-
коэффициент неоднородности k. Достаточно поднять культуру произ-
производства, степень контроля за качеством продукции, увеличить
степень индустриальности и автоматизированности производства,
как изменяется вид кривой плотности вероятности (она становится
менее распластанной) и возникает возможность сразу же уве-
увеличить коэффициент k, что имеет очевидный экономический
аффект.
Несмотря на большую строгость определения коэффициентов
в расчетных формулах метода расчета по предельным состояниям,
нежели общего коэффициента запаса в других методах, все же и
в случае применения этого метода необходима проверка величин
коэффициентов путем наблюдения
над запроектированными соответ-
соответствующим методом сооружениями
в процессе их эксплуатации.
Приведенное выше условие
C.39) дано применительно к усилию
в сечении, т. е. это есть условие
предельного состояния попе-
речного сечения. В слу-
Рис. 3.27. Кривые плотности вероят- ЧЭе СТОЙКИ С ПОСТОЯННОЙ ВДОЛЬ ее
ностн (кривые распределения). осИ прОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ ЭТО уСЛОВИе
является одновременно условием
предельного состояния всей стойки. В случае сложных, главным
образом статически неопределимых, систем установление условия
предельного состояния для системы в целом представляет значи-
значительные затруднения, и в ряде случаев до сих пор еще нет разра-
разработанных соответствующих методов построения этих условий.
Метод расчета по предельным состояниям развивается и уточняете я,
и в настоящее время еще неизбежны некоторые компромиссные
решения.
Одним из таких компромиссов является то, что в ряде случаев
усилия в элементах статически неопределимой системы находятся
из условия работы этой системы в упругой стадии, а подбор сечений
элементов, исходя из найденных таким образом усилий, произво-
производят по предельному состоянию работы сечений элемента, т. е. за
пределом упругости, тогда как возникновение предельного состоя-
состояния в одном из элементов приводит к перераспределению усилий
между элементами при дальнейшем росте нагрузок. Кроме того,
предельные состояния отдельного элемента еще не означают пре-
предельного состояния всей системы. В дальнейшем число по-
подобных компромиссов по мере развития теории будет умень-
уменьшаться.

i 3.16) ОЧЕНЬ ПОЛОГИЕ ГИБКИЕ НИТИ 215
§ 3.15. Очень пологие гибкие нити
Ранее были рассмотрены статически определимые гибкие нити.
Остановимся на том, как производить учет растяжимости нити при
ее расчете, т. е. как раскрывать статическую неопределимость
усилий в гибких нитях.
Выше было показано, что если не учитывать растяжимости нити,
то определение усилий в ней может быть осуществлено при помощи
одних лишь уравнений статики, т. е. такая система является ста-
статически определимой.
Если при расчете системы, статически определимой при неучете
деформации элементов, возникает необходимость учитывать влия-
влияние деформации на усилия, обойтись одними уравнениями статики
не удается, приходится привлекать уравнения деформаций, и
расчет приобретает особенности, характерные для статически неопре-
неопределимых систем. Такой расчет называется деформационным. В ка-
качестве примера укажем на то, что во введении была рассмотрена
статически определимая ферма, усилия в которой определялись
в двух вариантах: без учета и с учетом деформаций. Первый расчет
называют расчетом по недеформированной схеме, а второй — по
деформированной схеме. Приведенный выше расчет гибкой нити
можно назвать также расчетом по недеформированной схеме, при
учете же растяжимости нити —расчетом по деформированной
схеме.
Пусть первоначальная длина нити s0, пролет нити /, окончатель-
окончательная длина нити (длина кривой провисания) s. Величина s не может
быть найдена из одних уравнений статики; привлекаем дополни-
дополнительное уравнение совместности деформаций
а~*о = Ж- <3-44>
Имеется в виду, что в силу малости отношения /У/ продольная
сила N в любом из сечений равна натяжению Н. Учитывая, как это
было показано в главе II (§ 2.24), что s, / и / связаны зависимостью
s = / A + 8/V3/2), а величина Н определяется по формуле Н —
=¦ qP/8f, уравнение C.44) представим в виде
"° 8fEF
или
0. C.45)
Полученное уравнение позволяет найти стрелу провисания /.
При учете растяжимости нити возможны такие же постановки
задач, как и в случае, когда нить считается нерастяжимой (примеры
2.11—2.14).

216 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ГЛ III
Приведем два примера, соответственно аналогичные примерам
2.11 и 2.12, в связи с чем условия примеров не повторяем. Учтем
растяжимость нити.
Пример 3.2. Последовательность решения задачи следующая.
а) Из уравнения C.45) находим /. При этом имеем в виду, что
" fa] "" 8f fa) '
тогда уравнение C.45) приобретает вид
3 3qi'% 8/ [a]
'('-*>/--§! ^==0
или
Отсюда
qft
б) Находим # = -—.
о/
at*
в) Определяем F = ? .
о/ laJ
/ /2V
г) Вычисляем q* = q — /77 = <7М—fif
Пример 3.3. Последовательность решения задачи следующая,
а) Находим / из уравнения C.45). При этом учитываем, что
F = -,
[о] 8f[a] 8/fa] 8/[a]
Отсюда
г
1 —
*f И J 8/ [a]'
C48)
ж:
8/ [а]
Тогда уравнение C.45) приобретает вид C.46), и поэтому f определяем по фор-
формуле C.47).
б) Вычисляем F по формуле C.48).
В очень пологой нити изменение температуры по сравнению с той, при которой
была подвешена нить, вызывает возникновение в ней заметных температурных
напряжений.
Уравнение совместности деформаций при этом приобретает следующий вид:
или, с учетом приведенных выше формул для s и Я, получаем
отсюда
Определив из выведенного уравнения /, можно получить величину натяжения
П с учетом изменения температурного режима.

§ 3.16] ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ 217
в)
§ 3.16. Примеры расчета статически неопределимых систем
Пример 3.4. Найти усилия в статически неопределимой системе, изобра
женной на рис. 3.28, а, и подобрать площадь поперечного сечения стержней
(Fx = F2= Fs = F) по допускаемому напряжению. При этом а = 2 м, Ь — 1 м,
с = 0,5 м, 1г = /а = 1 м% /3 = 2 м, Р =
= 20 7\ [а] = 1000 кГ/см2.
Так как имеется три неизвестных уси-
усилия Nlt N2 иЛ[3 в вертикальных стерж-
стержнях, а для системы параллельно направ-
направленных сил в плоскости можно составить
два независимых уравнения равновесия,
конструкция один раз статически неопре-
неопределима. Следовательно, к уравнениям
равновесия необходимо присоединить одно
уравнение совместности деформаций.
Составляем уравнения равновесия
сил, действующих на брус, с этой целью
предварительно мысленно проведем гори-
горизонтальное сечение, пересекающее все
три вертикальные подвески (рис. 3.28, б):
C.49)
?мом. А =0,
a + b) — P (а —
) = 0. C.50)
Составляем уравнение совместности дефор-
деформаций, для чего представляем характер
деформации системы (рис. 3.28, в), учиты-
учитывая, что горизонтальный брус бесконечно
жесток и, следовательно, не изгибается.
Существенным в рис. 3.28, в является
тот факт, что удлинения всех стержней не
могут быть какими угодно, они согласо-
согласованы между собой — через концы трех
отрезков, изображающих их, можно про-
провести две прямые линии. При этом для сос-
составления уравнения совместности дефор-
деформаций несущественно, в какую сторону
наклонится брус, да мы заранее этого
и не знаем. Уравнение совместности де-
деформаций имеет вид
а+Ь
"
Рис. 3.28. К примеру 3.4: а) вид ста-
статически неопределимой системы; б) си-
система с рассеченными вертикальными
стержнями (к составлению уравнений
равновесия); в) вид деформации систе-
системы (к составлению уравнения совмест-
совместности деформации).
что равносильно пропорции, вытекающей из подобия треугольников ADG и ABC.
Выразим уравнение C.51) через неизвестные усилия:
1
/,/о
a \EF2
a + b \EF3 EFxj и \сг2
или, учитывая равенство площадей поперечных сечений стержней, получаем
C.52)

218 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Уравнения C.49), C.50) и C.52) составляют систему, из которой найдем Nlf N2
Из C.50)
Йзту*- C-53)
Подставляя C.53) в C.49) и C.52), получаем
Переходя к числам, получим уравнения в следующем виде:
1,5Р, Шг — 17//2 = — 6/\
Отсюда
Проверка показывает удовлетворение условию равновесия:
Наибольшее усилие возникает во втором стержне, по этому усилию и подбираем
площадь поперечного сечения стержней:
_А/2 _ 5-20000 _25 2
[о]~ 12-1000 "" 3 СМ"
©пределив удлинения стержней:
А/ Ых1г 13-20 000.100.3 260 000
А/2
EF 36? • 25 ЗЕ
N2l2 _ 5 . 20 000 ¦ 100 ¦ S _ 100 000
= EF ~~ 12?-25 " Е '
N*h 2 • 20 000 .200-3 320 000
легко проверить выполнение условия совместности деформаций
320 000 260 000
3? ЗЕ Ж C.54)
300 ~ ЗЕ '
100 000 260 000
Е 3? _200
200 ~Ё'
C.55)
Убеждаемся в равенстве величин C.54) и C.55). Тот факт, что величины C.54) и
C.55) положительны, свидетельствует о том, что наклон бруса происходит дейст-
действительно так, как это показано на рис. 3.28. Если бы выражения C.54) и C.55)
были отрицательными, это свидетельствовало бы о том, что наклон бруса должен
быть в сторону, противоположную показанному на рис. 3.28.
Пример 3.5. Определить монтажные усилия в элементах системы, изображен-
изображенной на рио. 3.29, а, возникающие при монтаже вследствие неточности изготовления

3.16] ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ 219
средней подвески. При этом имеется в виду, что Д = 0,4 мм, а— 1 м, Л = 1 см2,
F2 = 1,5 см2, F3 = 2 см2, Ег = Е2 = Es = ? = 2-10« кГ/сл*2.
На рис. 3.29, б изображена система, получившаяся в результате монтажа,
который мыслим лишь после того, как нижний конец стержня 3 для обеспечения,
возможности присоединения к горизонталь-
горизонтальному жесткому брусу принудительно опущен
на величину Л за счет растяжения этого
стержня 3 и стержней 2. После присоедине-
присоединения нижнего конца стержня 3 к горизон-
горизонтальному брусу и. предоставления системы
самой себе произойдет некоторое смещение
горизонтального бруса вверх за счет стрем-
стремления стержней 3 и 2 принять свои естест-
естественные длины, чему сопротивляются стерж-
стержни L В результате в стержнях 2 и 3 останется
некоторая доля того растяжения, которое
было необходимо для присоединения ниж-
нижнего конца стержня 3 к горизонтальному
брусу; в стержнях же / возникнет некоторое
сжатие.
Мысленно рассечем все три вертикальных
стержня и составим уравнения равновесия
части системы, расположенной ниже прове-
проведенного сечения (рис. 3.29, в). Запишем урав-
уравнение равновесия:
Л^—ЛГд + Л^О. C.56)
Равенство усилий в стержнях / вытекает из
упругой симметрии системы. Только при этом
равенстве выполняется условие равновесия —
одинаковыми и противоположно направлен-
направленными оказываются моменты усилий в край-
крайних стержнях относительно точки приложе-
приложения усилия #3.
Уравнение равновесия узла (рис. 3.29, г)
имеет вид
Л/2 cos 45е—
соз 45Ф = 0,
откуда
2 cos 45*
C.57)
• а —w
Равенство усилий в стержнях 2 вытекает из
симметрии системы — только при этом ра-
равенстве сумма проекций всех сил, действую-
действующих на узел, на горизонтальную ось равна
нулю, что необходимо как условие равно-
равновесия.
Теперь составим уравнение совместности
деформаций.
На рис. 3.29, б сплошной линией показа-
показано окончательное положение стержней после
монтажа. Точка А — положение узла до мон-
монтажа, а В — после монтажа. Опускание узла
на величину А В произошло вследствие удли-
удлинения стержней на Д/2; само же опускание
узла равно A/2/cos 45°. Опускание нижнего
Рис. 8.29. К примеру 3.6J а) вид
системы до монтажа (стержень 3 из-
изготовлен короче проектного размера
на величину Л); б) картина деформа-
деформации системы в результате монтажа;
в) к равновесию бруса; е) к равно-
равновесию узла.

220 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
конца стержня 3 произошло и за счет растяжения стержней 2 и за счет растяже-
растяжения стержня 3. Если бы стержень 3 не растягивался, то при опускании узла
из первоначального положения А в окончательное В нижний конец стержня 3 из
точки С перешел бы в точку D. Итак, отрезок DG представляет собой удлинение
стержня 3. Таким образом, условие совместности деформаций имеет вид
C.58)
или, если выразить его через усилия,
NA N3l3 АЦ, 1
+ +
ElFl + EsFa + E,Ft cos 45»
Пвдставляя C.57) в C.59), получим
учитывая условия задачи, получим C.60) в виде
откуда
200/Vi + А/3 • 100 ( i- + 2-Х^-) = 0,04 • 2 • 106,
C.61)
Решая C.56) и C.61) совместно, получим
/V1=164 кГ, /у3 = 328 /сГ.
Теперь из C.57) найдем
Условие равновесия удовлетворяется:
' 2A'1-yV3 = 2. 164— 328 = 0.
Проверяем условие совместности деформации:
Складывая A/t, A/3 и A/2/cos 45Э, получаем
0,0164 -f-0,0154 -f-0,0082 == 0,04 ои = Д,
как и должно быть согласно уравнению C.58).
Пример 3.&. Определить напряжения в поперечных сечениях каждого участка
стержня, изображенного на рис. 3.30, а. При этом Р = 16 Г, а = 50 см, Ь =
= 70 см, с = 80 аи, А = 0,18 лии, Т7, = 40 см\ F2 = 35 см2, /%, == 20 см2; Е =
= 2- 10« /сГ/сж2.
Установим, насколько удлинился бы стержень, если бы внизу не было никакой
преграды. Если это удлинение меньше зазора А, то система является статически

§.3.16] ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ 221
определимой; если же удлинение свободного стержня больше зазора Д, то с момента
прикасания нижнего торца стержня к преграде система становится статически
неопределимой. Для отыскания свободного удлинения стержня воспользуемся
формулой B.19), которая в нашем случае, если учесть вид эпюры N (рис. 3.30),
представится так:
Д/ = Ра РЬ = 16QQQ
св~ EFX "*" EF2 2-106
Д/св = О,2б мм > 0,18 лш = Д.
Вследствие этого система работает как статически неопределимая.
R
ЗпюраМ
'Ifig ЗпюраН
Рис. 3.30. К примеру 3.6: а) вид системы до приложения силы Р (Л — величина, на
которую длина стержня отличается от расстояния между верхней и нижней опорными
плоскостями) и эпюра N в случае, если нижний торец стержня не встретил бы преграды;
б) картина деформированного стержня и эпюра ЛЛ
Рассмотрим равновесие системы, учитывая, что нижний торец стержня упи-
упирается в пол. Тогда, имея в виду наличие реакций, действующих на стержень
как со стороны потолка, так и пола (рис. 3.30, б) получим
RA-
= 0.
C.62)
При наличии двух неизвестных и одного уравнения статики устанавливаем, что
система один раз статически неопределима. Условие совместности деформаций
имеет вид
^ Д/св — Д = Д/.
Здесь Д/св — свободное удлинение стержня, которое было бы при отсутствии пола,
Д — зазор между нижним торцом стержня и полом до приложения нагрузки
к стержню, Д/ — укорочение стержня по сравнению с его естественной
длиной. Выражая деформацию Д/ через искомые реакции и учитывая при этом
эпюру усилий W, получим
»~л—тгЛ'
"Г '
C.63)
Переходя в C.62) и C.63) к численным значениям, получим
RA+RB= 16 000 кГ, RA (Л + g) - RB ~ = @,026 — 0,018) 2 .
10°.

222 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
Отсюда
/?л=11 030 кГ, /?в = 4970 кГ.
Условие равновесия RA + RB = 11 030 кГ + 4970 /сГ = 1 б 000 кГ = Р удовле-
удовлетворяется.
Проверим условие совместности деформаций; для этого определим удлинение
первого и второго участков стержня в совокупности:
Укорочение третьего участка:
Суммарная осевая деформация всего стержня:
М = 0,1792-0,00994 = 0,00798^ 0,008 см.
Именно этой величине равна разность между свободной, нестесненной деформа-
деформацией стержня и зазором:
Д/св — Д = 0,026 — 0,018 = 0,008 см.
Таким образом, и условие совместности деформаций выполнено.
Определим теперь напряжения в поперечных сечениях каждого из трех
участков:
275 «ГА*». а=^ = !^ = 3!5 «Г/с*.
RR 4970
= -~ = - ^г = - 248,5
г8 20

Глава IV
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
§ 4.1. Вводные замечания
Опыты с образцами, проводимые в различных условиях, позво-
позволяют изучить ряд свойств материалов. Получаемая в этих экспе-
экспериментах информация, ' во-первых, характеризует ^прочностные
возможности материалов, оцениваемые при помощи некоторых
величин, которые используются в условиях надежности. Во-вто-
Во-вторых, на основе результатов указанных опытов удается определить
области наиболее эффективного использования материалов.
В-третьнх, данные экспериментов позволяют строить феноменоло-
феноменологические г) теории связей напряженно-деформированного состоя-
состояния и теории предельного состояния материала. Наконец, опыт
с образцами позволяет оценивать физические теории деформирова-
деформирования и разрушения материалов, в которых используется представ-
представление о дискретном строении материи. На такой основе оказывается
возможным целенаправленный поиск новых материалов с необхо-
необходимыми свойствами.
Настоящая глава посвящена механическим свойствам материа-
материалов, определяемым в э^перименте. Кроме того, обсуждаются
некоторые явления, происходящие в материалах в связи с деформи-
деформированием их и появлением в них напряжений. Для одной из основ-
основных групп материалов — металлов — даны в минимальном объеме
сведения о физической природе деформаций и механизма разруше-
разрушения, отражающие дискретность строения материи. Значительное
внимание уделено влиянию различных факторов на механические
свойства материалов и различным видам испытаний материалов.
Описаны некоторые особенности групп и отдельных материалов.
г) То есть такие теории, в которых описывается поведение материала под
внешним воздействием, обнаруживаемое в макроскопическом опыте, без объяс-
объяснения этого поведения физическими законами.

224 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ I ГЛ. IV
§ 4.2. Структура металлов
1. Предварительные соображения. Металлы и сплавы состав-
составляют один из важнейших классов материалов, используемых во
всевозможных конструкциях и изделиях. Они имеют ряд общих
характерных свойств. Только построение общей теории металла
позволяет из разрозненных свойств, фактов и явлений получить
некоторую систему, служащую руководством для правильного
решения многих проблем, в частности проблем сопротивления мате-
материалов. Ниже приводятся элементарные сведения из физики ме-
металлов, относящиеся к вопросам их строения, деформируемости и
прочности.
Материал настоящего параграфа излагается весьма кратко 1).
2. Поликристаллическое строение металла. Как известно, метал-
металлы и сплавы их представляют собой поликристаллические тела,
состоящие из хаотически расположенных неполных (имеющих
неправильные границы) кристаллов, называемых кристаллитами
или зернами; размеры их очень малы: в 1 см3 — порядка миллиона
г
Ознакомиться с физикой металлов можно по нижеприводимым источникам,
р е н к е л ь Я. И., Введение в теорию металлов, изд. 3-е, М-Л., 1958.
Мортон Е. Смит, Основы физики металлов, пер. с англ. под ред.
Б. Я- Любова, Металлургиздат, 1959.
Успехи физики металлов. Под ред. Челмерса (оригинал издан в 1949—1954 гг.),
пер. сангл. под ред. Я-С. УманскогоиБ. Н. Финкельштейна, тт. I—V, 195S—1963.
К и т т е л ь Ч., Введение в физику твердого тела, Физматгиз, 1962.
К и т т е л ь Ч., Элементарная физика твердого тела, пер. с англ., «Нау-
«Наука», 1965.
ШульцеГ..Металлофизика, пер. с нем. А. К. Натансона под ред Я. С. Уман-
ского, «Мир», 1971.
Жданов Г. С, Физика твердого тела, Изд-во МГУ, 1961.
Давиденков Н. Н., Физика твердого тела, т. I, 1959.
Кузнецов В. Д., Физика твердого тела, т. IV, Томск, 1947.
Некоторые проблемы прочности твердого тела. Сборник статей, пвсвященных
восьмидесятилетию академика АН УСССР Н. Н. Давиденкова, Изд-во АН СССР,
М.-Л., 1959.
Дамаск А. и Дине Дж., Точечные дефекты в металлах, пер. с англ.
Д. Е. Темкина и Ж. Эстрина под ред. Б. Я- Любова, «Мир», 1966.
The Structure and Properties of Materials (vol. I — Structure; vol.II — Termo-
dinamics of structure; vol. Ill —Mechanical Behavior; vol. IV—Electronic Pro-
Properties), John Wiley and Sons, New York — London — Sydney, 1965.
Прочность металлов. Сборник статей, посвященный шестидесятилетию
чл.-корр. АН СССР И. А. Одинга, Изд-во АН СССР, 1956.
Б а р р е т Ч. С, Структура металлов. Кристаллографические методы,
принципы и данные, пер. с англ. под ред. Я. С. Уманского, Металлургиздат,
1948.
Большой материал содержится в журнале «Физика металлов и металловеде-
металловедение» (издается с 1955 г.) и в систематически выпускаемых сборниках:
Проблемы металловедения и физики металлов (Труды ЦНИИЧМ
им. Н. П. Бардина).
Вопросы физики металлов и металловедения (Труды Института физики
металлов АН УССР).

5 4.21 СТРУКТУРА МЕТАЛЛОВ 225
зерен. Зерна могут отличаться одно от другого как химическим
составом, так и физическими свойствами.
Прочность металлов (сплавив) определяется прочностью зерен
и соединения их между собой. У металла (сплава), подвергавшегося
механической (прокатка, ковка, прессование) и термической обра-
обработке, связь между зернами обеспечивается главным образом силами
межатомного взаимодействия и лишь на некоторых участках границ
главным является механическое сцепление. В отличие от этого
в литом или плохо обработанном металле между зернами могут
быть местами даже пустоты или скопления примесей.
При определенных условиях, пока все же трудно осуществимых,
удается получать монокристаллы металлов.
3. Кристаллы металла. Связь между атомами в кристалле ме-
металла (в кристаллическом зерне или в монокристалле) имеет осо-
особенности, отличающие ее от связи между атомами во всех других
кристаллических твердых телах, вследствие чего она носит название
связи металлического типа*). В металлах внешние электроны
атомов ввиду слабой их связи с ядрами отрываются от последних
и образуют так называемый электронный газ (коллективизированные
электроны), омывающий положительные ионы, которыми являются
атомы, лишенные внешних электронов. Между положитель-
положительными ионами, с одной стороны, и отрицательно заряженным
электронным газом, с другой, имеются большие электростатические
силы притяжения. Именно электронный газ объединяет положи-
положительные ионы в единое целое — металлическое тело. Положитель-
Положительные ионы металла, кроме сил воздействия со стороны электронного
х) Существует эмпирическая классификация типов связей в кристаллах.
Кроме кристаллов с металлическим типом связей различают: кристаллы с ионной
связью (электроны переходят от атомов одного типа к атомам другого; взаимодей-
взаимодействие образовавшихся ионов разных знаков заряда и обеспечивает связь в кристал-
кристаллах; такая связь имеет место во многих типично керамических материалах);
кристаллы с ковалентной связью (связь осуществляется валентными электронами,
являющимися общими для двух атомов; примером кристаллов с ковалентной
связью может служить алмаз). Существуют и другие типы связей (молекулярная,
водородная).
При металлическом типе связей характерными являются относительно высо-
высокая пластичность и большие силы сцепления, т. е. большая прочность кристалла
(наряду с этим — высокие электропроводность и теплопроводность). Говоря о зна-
значительной пластичности металлов, имеем в виду так называемую атермическую
пластичность, т. е. пластичность, обусловленную не высокими температурами
(близкими к температуре плавления металла). Термическая пластичность,
Связанная с высокими температурами, имеет диффузионную природу; она обнару-
обнаруживается не только у металлов; такая пластичность не сопровождается большой
прочностью. Материалы с ионными связями обладают очень большой прочностью
при сжатии, низким сопротивлением разрыву и практически характеризуются
отсутствием пластичности; эти материалы имеют очень низкие электропроводность
и теплопроводность. Для Хруйкогб мгновенного разрушения таких материалов
достаточно мельчайших трещин иа поверхности. Однако имеются керамики,
у которых прочность при растяжении доходит до 14 кГ/мм2, а прочиость при сжа-
сжатии — до 280 кГ/мм2.
8 А. П. Филин-

226 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
газа, испытывают еще и силы взаимодействия, ввиду одинаковости
знака зарядов у ионов, — силы взаимного отталкивания.
Располагаются положительные ионы в тех позициях, на строго
определенных расстояниях друг от друга, в которых силы, дей-
действующие на них как со стороны других ионов, так и электронного
раза, уравновешиваются. Именно поэтому получается регулярное
расположение ионов в пространстве и образование так называемой
кристаллической решетки — системы мысленных регулярно рас-
расположенных в пространстве линий, пересекающихся в точках,
именуемых узлами. Кристаллическая решетка является математи-
математической абстракцией. Вследствие того, что электронный газ дискретен
по природе — состоит из электронов, число которых колоссально, —
а движение, при отсутствии разности электрических потенциалов,
хаотично, силы, действующие с его стороны на ионы, имеют стати-
статистический характер — они не постоянны, а характеризуются
наиболее вероятной величиной. Поэтому положительные ионы не
неподвижны, а находятся в непрерывном высокочастотном колеба-
колебательном движении (частота порядка 1013 колебаний в секунду)
около точек, которые собственно и принимаются в качестве узлов
кристаллической решетки. Таким образом, узел кристаллической
решетки металла — это наиболее вероятное расположение поло-
положительного иона в пространстве. Положительные ионы в кристал-
кристаллической решетке находятся вдинамическом, встати-
етическом смысле слова, равновесии *).
Всякий выход атома из узла увеличивает потенциальную энер-
энергию системы атомов в решетке и делает такое -ее состояние неустой-
неустойчивым. В природе устойчивое состояние системы всегда характе-
характеризуется минимальностью потенциальной энергии в'ней (например,
шарик, будучи в устойчивом состоянии на дне чаши в наинизшей
точке, обладает минимальной потенциальной энергией по сравне-
сравнению с энергией во всех соседних позициях).
Металлы имеют различные типы кристаллической решетки, ха-
характеризуемые как рисунком расположения в ней линий, так
и параметрами — расстояниями между узлами в элементарной
ячейке решетки, т. е. в том минимальном по количеству атомов эле-
элементе, при помощи многократного повторения которого мыслится
образование всей решетки.
В табл. 4.1 показаны типы кристаллических решеток важней-
важнейших металлов, используемых в технике в качестве материалов или
их составных частей. "На рис. 4.1 показаны все три элементарные
ячейки, представленные в табл. 4.1. На рис. 4.2 изображены слои
атомной решетки, из которых состоят указанные три типа решеток,
при этом надо иметь в виду, что в двух соседних слоях позиции
*) Б о р н М., Хуань Кунь, Динамическая теория кристаллических
Вешеток, ИЛ, 1958.

*4.2]
СТРУКТУРА МЕТАЛЛОВ
227
Таблица 4.1
Кубическая объемио-
центрированная решетка
Кубическая гранецентри-
роваиная решетка
Гексагональная плотио-
упаковапная решетка
Плотность упаковки — количество атомов, приходящихся на одну
элементарную кристаллическую ячейку
Число атомов в верши-
вершинах куба
число ячеек, в которые
входит атом, располо-
расположенный в вершине куба
3 + 2--1+12.1 = 6
Координационное число—число атомов, находящихся на равном
н наиболее близком расстоянии от избранного
8
12
12
V W Мо
[3,03] [3,16] [3,14]
Та Сг
[3,30] [2,88] [а, А]
AI Си №
[4,04] [3,61] [3,52]
РЬ
[4,94]
Be Mg Zn
A,58) A,62) A,86) (с/а)
[2,27; [3,20; [2,66; [а, А;
3,59] 5,20] 4,94] с, А]
Fe при Г<910°С
[2,86]
Fe при Т> 910 °С
(FeY)
Ti при Т>882°С
'Tio)
Ti при Г<882°С
A,60)
[2,95; 4,73]
(Tip)

228
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
Таблица 4.1 (Окончание)
Кубическая объемно-
цеитрнроваииая решетка
Кубическая гранецентрн-
рованиая решетка
Гексагональная плотно-
упакованная решетка
Zr при Г>863°С
Zr при Г<863°С
A,59)
Со прн Г>ч400°С
Со при Г<400°С
A,62) [2,51; 4,07]
атомов смещены на половину горизонтального шага в горизонталь-
горизонтальном направлении и на половину вертикального шага — в верти-
вертикальном. Расстояния между соседними плоскостями кристалли-
кристаллической решетки в трех рассмотренных случаях соответственно
Рис. 4.1. Элементарные ячейки кристаллических решеток: а) кубическая объемиоцент-
рированная решетка; б) кубическая граиецентрнрованная решетка; в) гексагональная
плотноупакованная решетка.
равны У~Ъ d/3, ]/^2 rf/2 и с/2. Из рис. 4.2, в ясен термин плотноупа*
кованная гексагональная решетка. В металлах Be, Mg, Mn, Co, Ti,
Zr гексагональная решетка не строго плотноупакованная, так как
отнршение с/а в этих металлах отличается от 1,633.
При повороте кристалла относительно некоторой оси на 2я/л
,мояшо получить полное повторение картины. Такая ось называется
осью симметрии п-го порядка. Так, например, ось, изображенная
на рис. 4.3, а является осью 4-го порядка, потому что достаточно
повернуть тело на 2л/4 = я/2, чтобы произошло повторение кар-

I 4.J]
СТРУКТУРА МЕТАЛЛОВ
229
тины. Осей симметрии «-го порядка *) в кристалле может быть
несколько (рис. 4.3, г).
QQQQQQQ
ООВЭ
OQOQQQ
6)
Рис. 4.2. Слои атомной решетки: а) кубическая объемноцентрироваиная решетка; б) ку
бическая гранецентрироваиная решетка; в) гексагональная плотноупакованная решетка
Наряду с осями могут иметься плоскости симметрии
(рис. 4.3, д, е). В кристаллах отмечаются кристаллографически
*) В кристаллах п может принимать значения 2, 3, 4, 6.

230
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
эквивалентные позиции атомов, направления и плоскости. Так,
все три оси четвертого порядка (все четыре оси третьего порядка)
являются кристаллографически эквивалентными (рис. 4.3, г),
Кристаллографически эквивалентными являются и плоскости сим-
симметрии, изображенные на рис. 4.3, й, е.
~ 1 | 4. Анизотропность кристаллов.
/ZI7| S \ У\\ Вследствие кристаллического стро-
I \>^А \уу енИя металлы в пределах зерна или
I/ \? / \?У в СЛуЧае монокристалла в пределах
всего тела обладают свойством ани-
анизотропности, состоящим в том, что
важнейшие механические и физичес-
физические характеристики являются в каж-
каждой точке тела функциями пара-
параметров направления. Материал в от-
отношении всех своих механических и
физических свойств обладает сим-
симметрией, зависящей от симметрии
кристаллографической формы. На
рис. 4.4 показаны векторные диаг-
диаграммы (поверхности) коэффициентов
растяжения двух разных кристаллов.
В чистом железе модуль упругости
в направлении пространственной диа-
диагонали куба равен 29 000 кГ/ммг,
в направлении диагонали грани —
3)
Рис. 4.3. Оси симметрии куба:
а) одна нз осей четвертого поряд-
порядка; б) одна из осей третьего по-
порядка; в) одна из осей второго
порядка; г) тринадцать осей
стИиМмесТиР„имИетКРУии!: ДпаТРРаНллПеЛл°ьСнКыОе 21 000 кГ1мм\ а в направлении ребра
граням куба; е) шесть диаго- " " ""'
нальиых плоскостей симметрии
куба [Phillips F. С, An Intro-
Introduction to Crystallography, Lon-
London, 1946].
куба — 13 500 кГ/мм2, для тех же на-
направлений опч изменяется от 16 до
22 кГ/мм*, а б — от 31 до 84%.
Модуль упругости в зависимости
от параметра решетки находится по формуле
е=?г; D-1)
здесь k и т — некоторые постоянные.
Упругие свойства изотропного тела характеризуются двумя
постоянными (Е и ц). Упругие же свойства анизотропных тел (моно-
(монокристаллов) характеризуются большим числом постоянных — от 3
в простейшем случае до 21 в случае самого общего вида анизотропии.
В поликристаллическом металле (сплаве) в силу хаотичности
расположения зерен, а следовательно, и хаотичности ориентации
в пространстве кристаллической решетки в любом направлении
получаются усредненные — одинаковые свойства. Это называется
квазиизотропностью материала, в отличие от идеальной изотроп-
изотропности, при которой одинаковость свойств во всех направлениях не

$ 4.2]
СТРУКТУРА МЕТАЛЛОВ
231
является следствием их усреднения за счет хаотической ориентации
структурных компонентов.
Упругие характеристики поликристаллических тел могут быть
подсчитаны с высокой степенью точности теоретически (методами
«/ в)
Рнс. 4.4. Векторные диаграммы (поверхности) коэффициентов растяжения: а) кристалла
кубической сингонии; б) кристалла ромбической сннгонии [Лехиицкнй С. Г., Теория
упругости анизотропного тела, Фнзматгиз, 1950]
математической статистики и теории вероятностей) на основе соот-
соответствующих характеристик монокристалла. Это объясняется сла-
слабостью влияния-на упругие характеристики границ зерен *).
Таблица 4.2
Тип решетки
Кубическая гранецент-
рированная
Кубическая объемно-
центрированная
Гексагональная
Металл
А1
Си
Fe
Mg
Е
монокристалл
(эксперимент)
max
7 700
19 400
29 000
6 140
min
6 400
6 800
13 500
4 370
, кГ/мм2
поликристалл
теоретически
подсчитаниаи
величина
7 170
11950
20 700
4 510
экспе-
эксперимент
7 200
12 100
21400
4 500
[По книге Фридмана Я. Б., Механические свойства металлов, Обо-
ронгиз, 1952.]
В табл. 4.2 приведены некоторые данные, относящиеся к сопо-
сопоставлению величин Е, наблюденных в опыте и подсчитанных теоре-
теоретически. Из этой же таблицы видно, что анизотропность упругих
свойств монокристалла зависит не только от типа кристаллической
решетки, но и от природы металла. Так, например, у А1 и Си тип
решетки одинаков, но Emax/Emin различно (соответственно 1,2 и
2,86).
1) Другие характеристики, на которые границы между зернами оказывают
существенное влияние, не удается подсчитать достаточно точно для поликристал-
поликристаллического тела на основе данных, относящихся к монокрнсталлуг

232
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
В ряде случаев свойства и в поликристаллическом металле
зависят от направления, несмотря на осреднение свойств зерен.
Например, прокатанный элемент вдоль и поперек прокатки имеет
различные модули упругости и прочности. Такая анизотропия
иногда называется технологической, она связана с наличием пре-
преимущественной ориентации зерен в направлении обработки (тек-
(текстура). Например, после горячей прокатки хромомолибденовой
X
Рис. 4.5. Кристаллографические плоскости кубической решетки.
стали, вызывающей в ней текстуру, Етах == 25 160 кГ/мм2, Emin —
= 20 360 кГ/мм2.
5. Индексы Миллера. Для того чтобы было легко выделять те
или иные кристаллографические плоскости или направления, введена
стандартная система их обозначения — индексы Миллера. В слу-
случае кубических решеток с кубом связываются декартовы оси
координат х, у, г, направленные вдоль ребер, при расположении
начала координат в вершине. Обозначе-
Обозначение плоскости осуществляется тремя ин-
индексами — числами, заключенными в
круглые скобки. Каждый из ин-
индексов представляет собой отношение
длины ребра куба к отрезку, отсечен-
отсеченному на оси индексируемой плоскостью
(если индекс отрицателен, то минус ста-
ставится над индексом); Первый индекс от-
относится к оси х, второй — к у и тре-
Й В й
{Jim)
щих одинаковые, с точностью до знака
и позиции, индексы, обозначается при
помощи абсолютных значений индексов, заключенных в ф и г у р -
н ы е скобки. Такие плоскости в кристаллической решетке одно-
однотипны, но по-разному ориентированы в пространстве. На рис. 4.5
показана индексация плоскостей в кубической решетке. В гекса-
гексагональной решетке индексация плоскостей строится по аналогич-
аналогичному принципу, с тою лишь разницей, что используются четыре
оси: х, у, г ч и (рис. 4.6).

$ 4.2] СТРУКТУРА МЕТАЛЛОВ 233
Кристаллографическая прямая обозначается тремя индексами,
заключенными в квадратные скобки. Индексами являются
наименьшие числа, пропорциональные координатам в системе хуг
любой точки прямой. Весь класс качественно подобных направ-
направлений, имеющих, с точностью до знаков, соответственно одинаковые
индексы, обозначается абсолютными значениями индексов, заклю-
заключенных в угловые скобки ( ). Заметим, что в гранецентрирован-
ной кубической решетке в плоскости A11), а в гексагональной
плотноупакованной — в плоскости базиса имеет место плотная
упаковка атомов (см. рис. 4.1).
6. Несовершенства (дефекты) строения реальных кристаллов
металла. Описанная в предыдущем разделе кристаллическая ре-
решетка является идеальной. На основе физики твердого тела теорети-
теоретически найдены механические характеристики, которые должны быть
у кристаллов строго идеальной структуры. Сопоставление этих
характеристик с обнаруживаемыми в опыте показывает значитель-
значительное (в десятки и даже в сотни раз) превышение теоретическими
значениями опытных. Последнее расхождение объясняется тем, что
в реальных кристаллах всегда имеются отклонения от идеального
характера атомной решетки, называемые несовершенствами или
дефектами строения кристаллов *). Известны различные типы
дефектов; классификация их дана в табл. 4.3.
Дефекты кристаллической решетки вследствие подвижности
атомов перемещаются. Атомы, кроме упоминавшегося выше колеба-
колебательного движения около теоретического узла решетки, совершают
и другие движения вследствие постоянного обмена энергией между
собой, неминуемо сопровождающегося пиковым скоплением кине-
кинетической энергии в каком-то из них. Может оказаться, что этой
энергии достаточно для преодоления сил, удерживающих атом
в его регулярном положении в решетке. Так, атом может попасть
в промежуток между узлами (дислоцированный атом), не исключен
и обмен местами двух атомов. Вакансия может быть занята соседним
атомом. Таким образом, она перемещается; при комнатной темпе-
температуре вакансия может сохранять свое положение до суток, а при
повышенной температуре — десятитысячные доли секунды. Боль-
Большой подвижностью отличаются и дислокации. На рис. 4.7 изобра-
изображены стадии перемещения дислокаций. Из рис. 4.8 видно, что для
перемещения линейной дислокации атомам достаточно совершить
перемещения намного меньшие, чем расстояния между узлами.
Эт небольшие перемещения могут быть совершены под влиянием
малых внешних сил. Небольшие внешние силы в связи с постепен-
постепенностью процесса могут вызвать перемещение и винтовой дислока-
дислокации (рис. 4.7, б).
i) В~а н-Б ю р е н Г., Дефекты в кристаллах, ИЛ, 1962.
Рабинович М. X., Прочность и сверхпрочность металлов, Изд-во
АН СССР, 1963.

Таблица 4.3
N9
Тип дефекта
Название дефекта
Сущность дефекта
Поясняющий расунек
Дислоцирован-
Дислоцированный атом
Атом, вышедший из равновесного положе-
положения, внедрился в решетку вдали от того
места, где ои располагался
•
\
Точечные дефекты (ис-
(искажают решетку при-
примерно в области пяти-
шести узлов в каждой
кз трех измерений)
Вакансия
Отсутствие атома в одном из узлов ре-
шетки
Дефект Френкеля
Атом, вышедший из равновесного положе-
положения, образовал вакансию, а сам внедрился
в решетку вблизи вакансии
Линейная дисло-
дислокация
Наличие избыточной плоскости (экстра-
(экстраплоскости) решетки в некоторой части объема
Лилейные дефекты -
Винтовая дисло-
дислокация
Смещение (с изгибом) некоторой части пло-
плоскости решетки из регулярного положения

Двумерные дефекты,
имеющие место по тем
или иным поверхностям
раздела
Мозаичная струк-
структура кристалла
Границы между
зернами
Дефект взаимно-
взаимного расположения
соседних Слоев
Наличие границ между слегка наклонен-
наклоненными друг к другу частями (блоками) одного
кристалла
Нарушение правильного кристаллического
строения зерна вблизи его границы (в поли-
крисгаллическом теле)
Два соседних слоя в процессе роста кри-
кристалла оказались с несогласованным распо-
расположением атомов
>••«••«
о
н
¦о
S
га
н
о
09
Трехмерные дефекты
Дырка
Образуется из ряда линейных дислокаций

236
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
Рве 4.8. Перемещенне лииейпой дислокации!
1 — плоскость скольжения, 2 — строки решетки,
в которых перемещенне атомов второго и третьего
столбцов, изображенных сплошной линией, проис-
происходит справа налево, з — строки, в которых nt-
ремещение атомов второго столбца происходит
слева направо.
a)
ч/
&
у-'
у (
'•I
/•
1
•
ф
t
Рис. 4.7. Перемещение дислокаций;
а) стадии перемещении линейной
дислокации; о) стадии перемещения
винтовой дислокации (заштрихована
область плоскости скольжения, в
которой смещение атомов происхо-
происходит на данном этапе).
Рис 4.9. Расположение атомов в растворах!
а) раствер замещения; б) раствор внедрения [Ре-
бинови* М. X., Прочнвсть и сверхпрочиость м«-
таллаи, Изд-во АН CCGP, 1963].

S 4.2] СТРУКТУРА МЕТАЛЛОВ ' 237
При повышении температуры не только увеличивается скорость
перемещения дефектов, но и создаются условия для их возникно-
возникновения. Так, в 1 см3 алюминия при температуре 300 СС содержится
6'Ю13 вакансий. В частности, вакансии могут возникать за счет
испарения атомов с поверхности. При температуре, близкой к тем-
температуре плавления, вакансии составляют ~1% от числа узлов.
Вследствие неизбежного присутствия в металле примесей про-
происходит растворение их в основном металле — диффузия. Атомы
примеси либо занимают вакантные места в решетке, либо заме-
замещают атомы основного металла в узле (растворы замещения;
рис. 4.9, а), либо, наконец, внедряются в промежутки между
узлами (растворы внедрения; рис. 4.9, б). Даже маленький процент
примеси приводит к огромному количеству мест возмущения в ре-
решетке. Так, например, при содержании 0,3% Si в А1 количество
атомов кремния (а следовательно, и количество мест нарушения
решетки) в I см3 алюминия составляет 2-101'.
Мозаичная структура кристалла возникает в процессе его
роста. Вследствие того, что рост кристалла происходит одновре-
одновременно во многих местах, неизбежна несогласованность (пово-
(поворот относительно друг друга на 10—15') смыкающихся частей
(блоков) кристалла, возникающая из-за накопления погрешностей
решетки внутри каждого блока. Линейный размер блока порядка
10 см; в 1 см3 находится порядка 1012 блоков.
Дефекты в кристаллической решетке могут быть связаны и с ден-
дендритной (ветвящейся) формой роста кристаллов, в результате кото-
которой смыкание и пересечение ветвей могут происходить таким обра-
образом, что стройность решетки оказывается нарушенной. К тому же
к концу затвердения металла по весьма развитой поверхности
дендрита могут расположиться примеси или микроскопические пу-
пустоты вследствие нехватки жидкого металла для плотного заполне-
заполнения зерна вблизи границы.
Атомы вблизи поверхностей раздела находятся в иных условиях,
чем внутри кристалла, вследствие этого нарушается регулярность
строения кристалла в окрестности поверхности раздела. У гра-
границ блоков это нарушение углубляется внутрь на 5—6 атомных раз-
размеров, у границ зерен, где мыслимо скопление примесей, толщина
слоя нарушения структуры доходит до нескольких тысяч атомных
размеров.
Количество всевозможных дефектов в кристаллическом строении
металла огромно. Так, в 1 см3 алюминия при 300 °С с содержанием
0,3% Si имеется 6-Ю13 вакансий, 2-1О17 атомов примеси, поверх-
поверхности раздела по границам 1012 блоков и 103 зерен и ряд других
дефектов (дислокации, дефекты, связанные с дендритной структу-
структурой). Таким значительным отличием теоретического строения ме-
металла от реального и объясняется большое отличие ожидаемых на
основании теории свойств металла от обнаруживаемых в опыте.

238 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
§ 4.3. Упругая и пластическая деформация
и разрушение монокристалла металла
f. Упругая деформация. Общая схема работы материала. Идеаль-
Идеальный монокристалл металла имеет строго регулярную структуру,
определяемую типом его кристаллической решетки. Под влиянием
внешних сил, прикладываемых к монокристаллу, изменяются рас-
расстояния между атомами. Такому смещению атомов противодейст-
противодействуют силы межатомного взаимодействия. Если смещения атомов
настолько невелики, что не преодолены эти силы, то по устранении
внешних воздействий атомы возвращаются в свои первоначальные
позиции устойчивого равновесия. Так протекает упругая деформа-
деформация тела; величина этой деформации очень мала (измеряется деся-
десятыми долями процента).
Упругая деформация представляет собой первый этап работы
материала под нагрузкой. Если нагрузка не снимается и продол-
продолжается ее рост, то последовательно возникают еще два этапа работы
материала — пластическая деформация и разрушение.
В общем процессе работы материала под нагрузкой в случае
доведения его до разрушения, как правило, имеют место все три
этапа: упругая деформация, пластическая деформация и разруше-
разрушение. Однако относительный удельный вес отдельных этапов в раз-
разных случаях может быть различным. Иногда пластической деформа-
деформации предшествуют очень небольшая, труднообнаруживаемая упру-
упругая деформация; в ряде случаев разрушение наступает после еле
заметной пластической деформации. Сам процесс разрушения в од-
одних случаях носит почти внезапный характер, в других — еще
в области остаточных деформаций зарождается разрушение. До
зарождения последнего остаточные деформации являются чисто
пластическими; после возникновения первых зародышей разруше-
разрушения в виде микротрещин остаточная деформация складывается из
пластической и из элементов разрушения структуры.
Пластическая деформация металла происходит по одному из
двух вариантов — либо скольжением одного слоя атомов по дру-
другому, либо двойникованием. При этом, в отличие от упругой дефор-
деформации, атомы под влиянием внешних сил переходят из одной пози-
позиции устойчивого равновесия в другую.
Разрушение в свою очередь также может происходить по одно-
одному из иижепоясняемых путей — либо посредством среза, либо —
отрыва.
2. Пластическая деформация.
2.1. Плоскости скольжения. Под влиянием внешних
сил в кристаллографических плоскостях монокристалла возникают
напряжения. Когда касательная составляющая напряжения в ка-
какой-то из плоскостей достигает некоторой предельной величины,
происходит взаимное скольжение по этой плоскости частей кристал-

$ 4.31 ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ 239
лов, расположенных по разные от нее стороны. Такая плоскость
называется плоскостью скольжения. Скольжение имеет место в ка-
каком-то направлении, располагающемся в указанной плоскости,
которое называется направлением скольжения. Плоскостью сколь-
скольжения оказывается плоскость, разделяющая два слоя атомной ре-
решетки с наиболее плотно упакованными в них атомами. В слое
атомов, параллельном плоскости скольжения, можно найти наиболее
плотно упакованные ряды. Проекция линии, расположенной между
этими рядами, на плоскость скольжения и является направлением
скольжения.
При повышении температуры плоскостями и направлениями
скольжения могут стать и некоторые другие плоскости и направле-
направления. Наиболее вероятные плоскости скольжения и направления
скольжения в чистых металлах приведены в табл. 4.4. Металлы
с кубической гранецентрированной решеткой более пластичны, чем
с объемноцентрированной. Для каждого металла и каждой его
плоскости и.направления характерно так называемое предельное
касательное напряжение, при котором возникает скольжение.
С другой стороны, в каждой из плоскостей и каждом из направле-
направлений в ней под влиянием нагрузки возникает некоторая определенная
по величине касательная составляющая полного напряжения. Сколь-
Скольжение в монокристалле возникает в той из плоскостей и в том
направлении, в которых касательное напряжение, вызываемое на-
нагрузкой, прежде всего достигает предельной величины.
Скольжение может происходить и сразу по нескольким системам
плоскостей и направлений, одинаково предрасположенным к его
возникновению.
В монокристаллах с гранецентрированной кубической решет-
решеткой, в силу наличия большого числа однотипных потенциальных
систем плоскостей и направлений скольжения, добиться такой пла-
пластической деформации, в которой скольжение происходит лишь
в одной системе кристаллографических плоскостей, затруднительно.
Гораздо легче этого добиться в монокристаллах с гексагональной
решеткой.
Условие возникновения скольжения в некотором сечении приз-
призматического монокристалла, подверженного растяжению, может
быть представлено так:
Здесь т — напряжение, возникающее в сечении монокристалла;
оно может быть найдено по формуле
в которой Р — величина сил, растягивающих монокристаллический
образец; F — площадь поперечного сечения образца; \j> — угол,

240
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
составляемый нормалью к сечению с осью образца; К — угол, со-
составляемый направлением скольжения с осью образца; Р cos Я, —
составляющая силы в плоскости скольжения по направлению сколь-
скольжения; F/cos if — площадь сечения образца в плоскости сколь-
скольжения; тс — предельное значение касательного напряжения, при
котором происходит скольжение. Иногда формулу D.2) называют
законом Шмида.
Таблица 4.4
Тип решетки
кубическая объемно-
цеитрнроваиная
кубическая
гранецеитриро-
ванная
гексагональная
плотноупаковаиная
Плоскость сколь-
скольжения
Количество непа-
непараллельных плоско-
плоскостей сдвига
Направление сколь-
скольжения
Количество на-
направлений скольже-
скольжения
Общее количество
элементов сдвига
Поясняющий рису-
иок
{112}, {110}, {123}
в
{111}
4
(ПО)
3
4x3=12
{0001}
1
<2И0>
3
1X3 = 8
2.2. Теоретическая оценка предельного
значения касательного напряжения. Совет-
Советский физик Я- И. Френкель *) в 1926 г. дал теоретическую оценку
тех напряжений, при которых может произойти сдвиг одной части
монокристалла по отношению к другой по плоскости и в направле-
направлении скольжения.
На рис. 4.10, а изображено исходное (до сдвига) положение
атомов.
*) F г е n k е 1 J., Zur Theorie der Elastizitatsgrenze und der Festigkeit krls-
tallischer Korper, Z. Phys. 37, 572—609 A926).
Френкель Яков Ильич A894—1952) — физик-теоретик, работавший, в част-
частности, в области механики твердых деформируемых тел.

S 43]
ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ
241
Можно считать, что напряжение т при малых смещениях атома
связано с этим смещением линейной зависимостью и обратно про-
пропорционально расстоянию между сдвигаемыми слоями атомов:
t=G-J. D.3)
При неограничиваемых перемещениях х зависимость т от х
имеет вид, показанный на рис. 4.10, б графиком. Наибольшее со-
сопротивление сдвигу оказывается при расположении атома А по-
посередине отрезка, представляющего собой проекцию первоначаль-
первоначального расстояния между атомами
Л и В на плоскость скольжения.
Прн расположении атома Л над
атомом В сопротивление сдвигу
равно нулю, но, при дальней-
дальнейшем перемещении атома Л впра-
вправо по отношению к атому В,
вновь возникает сопротивление
сдвигу. Однако если на первом
участке смещения @ -ь а/2) воз-
возникало сопротивление сближе-
сближению атомов Л и В, то на вто-
втором (а/2 ¦*• а) ¦— возникает соп-
сопротивление увеличению расстоя-
расстояния между ними. Именно этим
объясняется то, что правее по-
позиции В ординаты на графике
т отложены вниз. Направлено же т, действующее на атом Л,
все время в сторону, противоположную движению атома. График
зависимости т от х по виду напоминает синусоиду с периодом а;
представим эту зависимость в форме
! ?l
Смещение <г
Рнс. 4.10. К теоретическому определению
сопротивления сдвигу по Я- И. Френкелю;
а) сдвиг одной атомной плоскости относи-
относительно другой; б) напряжение сдвига как
функция относительного смещения плос-
плоскостей из их равновесных положений
[Киттель Ч., Элементарная физика твер-
твердого^ тела, Физматгиз, 1965].
и
= д sin
2пх
Предъявим к k требование
dj
dx
а_
d
D.4)
D.5)
при выполнении которого, при малых смещениях х, зависимость D.3)
вытекает из D.4). Из D.5) находим
Итак,
Оа
2nd'
Ga
2пх

242 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
Максимальное сопротивление сдвигу равно
Тс ~ 2nd •
при а » d
9<L
Величина G, называемая модулем упругости при сдвиге, находится
экспериментально.
В дальнейших исследованиях других ученых, уточнивших за-
закон, который описывает силы межатомного взаимодействия, учтена
возможность возникновения при сдвиге других механически устой-
устойчивых конфигураций атомных плоскостей в решетке; это позволило
снизить теоретическую величину т,, до значения
tc = G/30. D.6)
Как показывает опыт, фактическая величина сопротивления намного
(в 100, а то и в 1000 раз) ниже, чем отыскиваемая по формуле D.6).
Так, например, для железа теоретическая величина сопротивления
сдвигу в зависимости от примененной теории колеблется между
значениями 230 кГ/мм2 и 1100 кГ!мм%, наблюдаемая же в опыте
величина равна 2,9 кГ1мм%. У алюминия указанные величины суть
90—430 кГ/'мм* и 0,12—0,24 кГ/мм*, а у меди 154—735 кГ/мм*
и 0,1 кГ/мм2. Такое расхождение результатов теории и опыта объяс-
объясняется тем, что принимаемая в теории идеальная, бездефектная
структура атомной решетки монокристалла на самом деле не имеет
места. В регулярность решетки монокристалла, как отмечено выше,
вносятся те или иные искажения огромным количеством дефектов,
ослабляющих монокристалл 1).
2.3. Внешняя картина скольжения в моно-
монокристалле, В монокристаллическом, например, растягиваемом
призматическом, образце скольжение происходит не сразу по всем
параллельно расположенным плоскостям, находящимся, если не
учитывать наличия дефектов, в совершенно одинаковых условиях.
На самом деле из всех них плоскостями скольжения оказываются
лишь те, в которых ослабление, в силу наличия дефектов, наиболь-
наибольшее. Между плоскостями скольжения располагаются недеформиро-
ванные части кристалла, называемые пачками скольжения. Описан-
Описанная картина деформации характерна для металлов. Именно в них
сочетается высокая прочность с большой пластичностью вследствие
описанного выше металлического типа связи между атомами, при
котором коллективизированные электроны как бы играют роль
смазки, облегчающей скольжение. В ряде случаев картина сколь-
скольжения несколько более сложна.
*) Те ситуации, в которых некоторые дефекты могут упрочнять кристалл,
ниже обсуждаются особо.

$4.3]
ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ
243
Между элементами, проскальзывающими один относительно
другого и изображенными на рис. 4.11, находится не одна плоскость
скольжения, а тонкий слой, содержащий группу плоскостей сколь-
скольжения, минимальные расстояния между которыми оказываются
порядка тысяч атомных размеров. Между отдельными „пачками
скольжения смещения достигают величины порядка 1000 А. Число
плоскостей скольжения в группе скольжения (порядка единиц или
небольшого числа десятков) и расстояния
между группами зависят от природы материа-
материала, степени деформации и от температуры.
Рис. 4.11. Схема сколь-
жеиня при растяжении.
Следы плоскостей сколь-
скольжения иа поверхности об-
образца — лвияи Черно-
Чернова — Людерса
Рис 4.12. Уступы, образую-
образующиеся при скольжении пачек
в процессе растяжения в слу-
случае, когда направление
скольжения ие параллельно
грани [по мотивам книги:
Aziroff L. V. Introduction to_
Solids, I960].
Рис 4. IS. Отсутствие усту-
уступов и», боковой грани прнз-
мы, свидетельствующее о том,
что направление скольжения
параллельно этой грани [по
мотивам книги: Azaroff L.V.,
Introduction to Solids, 1960].
С увеличением степени деформации и повышением нагрузки число
групп уменьшается, а число плоскостей в группе увеличивается.
Смещение по плоскостям скольжения является не единственным
видом изменения формы кристалла, находящегося под нагрузкой.
Другой вид связан со смещениями по другим плоскостям, называе-
называемым плоскостями двойникования, о которых говорится ниже.
Уступы, образующиеся вследствие проскальзывания пачек сколь-
скольжения (рис. 4.12), малы и воспринимаются не как уступы, а как
следы плоскостей скольжения на боковой поверхности монокри-
монокристалла. Следы скольжения позволяют определить ориентацию пло-
плоскостей скольжения, но не направлений скольжения, и лишь в од-
одном случае,, когда грань поверхности монокристалла расположена
параллельно направлению скольжения, на ней нет следов (так как
нет уступов) и возникает возможность определения направления
скольжения (рис. 4.13).

244
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ГГЛ IV
2.4. Механизм скольжения. В чем же состоит
влияние дефектов на уменьшение величины предельного касатель-
касательного напряжения скольжения и какой из дефектов играет наиболее
существенную роль в этом уменьшении?
Наиболее существенно облегчают пластическую деформацию
дислокации. Уже при сравнительно небольших сдвигающих силах,
под влиянием которых ни в коем случае не могло бы произойти
смещения одной части монокристалла относительно другой п о
Рис. 4.14. Дислокация общего
вида.
Рис. 4.IS. Скольжение вследствие перемещения
дислокаций, происходящее! а) по двум; б) по трем
плоскостям, параллельным некоторой прямой.
всему его сечению, лежащему в плоскости скольжения,
вполне могут произойти смещения кусков монокристалла лишь
в какой-то части указанного сечения. При
этом происходит искажение решетки. Фактически сдвиг осуществ-
осуществляется вследствие движения образовавшейся дислокаций (рис. 4.7).
На самом же деле скольжение происходит там, где уже имеются
дислокации. Механизм скольжения есть механизм перемещения
дислокации. В относительное смещение поочередно вовлекаются
различные атомы сдвигающихся слоев. Для такого поочеред-
поочередного вовлечения в смещение требуется сила намного меньшая,
чем та, которая нужна для одновременного смещения
всех атомов слоя.
Ч. Киттель образно выразил эту мысль так: «Складка переме-
перемещается легче, чем весь ковер одновременно, но при перемещении
складки имеет место и некоторый сдвиг ковра в целом».
На рис. 4.7 изображена картина постепенного перемещения
дислокации, в результате которого происходит сдвиг пачек кри-
кристалла на одно межатомное расстояние.
Линейная и винтовая дислокации являются лишь частными
случаями дислокации общего вида, которую можно рассматривать
как некоторую кривую, отделяющую в плоскости скольжения сдви-
сдвинувшуюся часть атомов слоя от еще не сдвинувшейся. На рис. 4.14
Показана дислокация общего вида на одном из этапов ее движения.
Интересно отметить, что вблизи точки А дислокация имеет харак-
характер линейной дислокации (линия дислокации перпендикулярна

4.3]
ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ
245
направлению скольжения), а вблизи точки В — винтовой дислока-
дислокации (линия дислокации параллельна линии скольжения). Сколь-
Скольжение может происходить не обязательно по одной плоскости, но
и по двум и большему числу плоскостей г) (рис. 4.15).
2.5. Источники возникновения дислока-
дислокаций. Если в монокристалле в процессе приложения к нему внеш-
внешних сил не возникали бы новые дислокации, то постепенно все имев-
имевшиеся в нем дислокации вышли бы на поверхность,, после чего
скольжение стало бы резко затруднено и металл упрочнился бы.
Упрочнение наблюдается в опыте, однако пластичность все же
продолжает проявляться все время
вплоть до начала разрушения. Следова-
Следовательно, в самом монокристалле в про-
процессе его нагружения возникают новые
дислокации.
Остановимся на источниках возник-
новения дислокаций, связанных с наг-
ружёнием монокристалла.
В 1950 г. двое ученых, Франк и Рид,
независимо один от другого, предложи-
предложили схему возникновения дислокаций в
условиях воздействия нагрузки, стремя-
стремящейся сдвинуть атомные слои относи-
относительно друг друга, и наличия двух точек, в которых дислокация
закреплена. Схема образования дислокации по Франку и Риду
такова. Пусть имеем монокристалл, на который действуют сдвигаю-
сдвигающие силы, приложенные вблизи плоскости скольжения (рис. 4.16).
Пусть, кроме того, имеются две точки N± и N2, препятствующие
смещению дислокации (рис. 4.16 и 4.17, а). Вследствие близости
этих точек требуются очень небольшие сдвигающие силы, чтобы
произошел сдвиг по площадке в плоскости скольжения, располо-
расположенной между ними и отмеченной штриховкой. На рис. 4.17 пока-
показаны этапы распространения скольжения; на рис. 4.17,6—пер-
4.17,6—первый этап. На каждом следующем этапе (рис. 4.17, в, г, д) одни и
те же силы способны будут вызвать распространение скольжения
в пределах еще некоторой площади (отмеченной штриховкой) в пло-
Рис. 4.16. Условия возникно-
возникновения дислокации (источник
Франка — Рида).
') Укажем некоторые источники, посвященные теории дислокаций.
. Коттрелл А. X., Дислокации и пластическое течение в кристалле,
Металлургиздат, 1958.
О д и н г И. А., Теория дислокаций в металлах и ее применение, Изд-во
АН СССР, 1959.
Павлов В. А., Физические осиовы пластической деформации металлов,
Изд-во АН СССР, 1962.
Р и д В. Т., Дислокации в кристаллах, Металлургиздат, 1957.
Ф о р т и А. Д., Непосредственное наблюдение дислокаций в кристаллах,
Металлургиздат, 1956.
Дислокации и механические свойства металлов. Сб. статей, ИЛ, 1961.

246
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
скости скольжения (двойной штриховкой отмечена область смеще-
смещений, произошедших на предыдущих этапах), пока сдвиг не захватит
поочерёдно все атомы в слоях, примыкающих к плоскости скольже-
скольжения. В конце расширения области, ограниченной замкнутой ли-
линией дислокации, произойдет смещение атомных слоев, лежащих
по разные стороны от плоскости скольжения, на одно межатомное
расстояние, и, так как сдвигающие силы продолжают действовать,
а в точках iVx и N2 дислокации продолжают быть закрепленными,
описанный выше процесс повторяется — всякий раз происходит
смещение на одно межатомное расстояние. На рис. 4.14 показана
картина искаженной сетки дислокации общего вида. Аналогичная
картина имеет место и на линии дислокации, развивающейся из
источника Франка — Рида.
о)
Плоскость
сшьжишя-
«4ч
-ь-
Cue. 4.I7. Схема распространения скольжения вследствие движения дислокации, воз-
возникшей из источника Франка — Рида.
Дислокации могут возникнуть и от других причин. Например,
вследствие подвижности вакансий может образоваться некоторый
вакантный участок слоя; тогда остальная часть этого слоя может
играть роль экстраплоскости (избыточной плоскости) дислокации
при условии, что все вакансии будут заняты атомами соседних слоев
и вакантная часть слоя последовательно сможет передвигаться
к поверхности. Дислокации могут возникать и вблизи трещин,
а следовательно, и концентраций напряжений при сочетании с флук-
флуктуацией тепловой энергии атомов.
2.6. Упрочнение. Взаимодействие дисло-
дислокаций между собой и с другими дефектами.
Если скольжение одной части кристалла по другой поддержи-
поддерживается вновь возникающими дислокациями и ничем ие затормажи-
затормаживается, то без дальнейшего увеличения нагрузки, вызвавшей начало
скольжения, после значительных пластических деформаций (сдвиги
пачек относительно друг друга, приводящие к значительному
общему остаточному удлинению монокристаллического образца)
произошло бы разрушение. Однако полного соскальзывания одной
части монокристалла по другой может и не произойти — возникает
упрочнение вследствие наличия дефектов, тормозящих или предот-
предотвращающих перемещение дислокации. Другой причиной, заторма-

$ 4.3] ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ 247
живающей скольжение по тем плоскостям, по которым оно происхо-
происходило в начале пластической деформации, является изменение ори-
ориентации плоскостей и направлений скольжения вследствие их
поворота (угол, составляемый ими с осью монокристаллического
образца при растяжении его " уменьшается). Следует, конечно,
иметь в виду, что вследствие дефектов, с одной стороны, и поворота
пачек, с другой, создаются условия, для возрастания касательных
составляющих напряжений по всем плоскостям, где они имеются,
в результате чего скольжение может возникнуть по другим, новым
кристаллографическим плоскостям и направлениям.
Скольжение в случае линейных (винтовых) дислокаций должно
происходить в направлении, перпендикулярном (параллельном)
линии (оси) дислокации. Поэтому одной из причин, препятствую-
препятствующих перемещению трех линейных (винтовых) дислокаций, является
пересечение в одной точке соответствующих им линий (осей) дисло-
дислокации, если они не компланарны, так как не существует направле-
направления, одновременно перпендикулярного (параллельного) всем трем
некомпланарным прямым линиям (осям) дислокаций.
Все процессы, приводящие к уменьшению потенциальной энер-
энергии решетки, а это равносильно уменьшению ее искаженное™,
делают состояние решетки более устойчивым и происходят само-
самопроизвольно. В противоположность этому процессы, влекущие за
собой увеличение искаженное™ решетки, повышают ее потенциаль-
потенциальную энергию.
Исходя из этого общего принципа, легко установить следующее.
Линейные дислокации, с параллельными линиями и одной общей
плоскостью скольжения, разного знака *) притягиваются друг
к другу, а одного знака — отталкиваются друг от друга. Из рис. 4.18
ясно, что сближение линейных дислокаций разного (одного) знака
уменьшает (увеличивает) искаженность решетки. Аналогично дело
обстоит и с винтовыми дислокациями разного (одного) знака
(рис. 4.19). Если линейные дислокации одного знака с параллель-
параллельными линиями дислокации, относящимися к общей плоскости
скольжения, находятся на таком расстоянии, что зоны вызываемых
ими возмущений не перекрываются, то они практически не испыты-
испытывают взаимного отталкивания.
На рис. 4.20 показана картина искажения решетки до и после
сближения разнозначных линейных дислокаций, расположенных на
смежных параллельных плоскостях; в одном случае — с перекры-
перекрытием, в другом — с разрывом.
Менее очевидно установление характера взаимодействия между
линейными дислокациями одного знака, но относящимися к различ-
различным плоскостям скольжения, хотя принцип остается тот же самый.
!) Знаки у двух линейных дислокаций разные (одинаковые), если экстра-
экстраплоскости расположены по разные (одну) сторону от плоскости скольжения.

248
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
а) 6)
л ....
1
в)
¦ . 1)
1
I!
Рис. 4.18. К взаимодействию линейных дислокаций: а) картина искажения решетки
в случае двух линейных днслокацнй разного знака; б) устранение искаженности решетки
после слияния экстраплоскостей линейных дислокаций разного знака; в) картина искаже-
искажения решетки в случае двух линейных дислокаций одного знака; е) увеличение (по срав-
сравнению с изображенной иа в)) искажениости решетки в том случае, если бы две линейные
дислокации одного знака сблизились (на самом деле сближения не происходит).
Рис. 4.19. К взаимодействию винтовых дислокаций: а) картина искажения решетки при
наличии двух винтовых дислокаций одного знака; б) увеличение (по сравнению с изобра-
изображенной иа а)) искажениости решетки при сближении винтовых дислокаций одного знака
(иа самом деле такого сближения не происходит); в) картина искажения решетки при
наличии двух винтовых дислокаций разного знака;.г) устранение искаженностн решетки
после слияния осей винтовых дислокаций разного знака; / — / и 2—2 — оси винтовых
дислскаций.
а)
б)
ш
в)
-4-
4===:=:
.±
т
/
Рис. 4.20. К взаимодействию линейных дислокаций разного знака: а) линейные дисло-
дислокации разного знака с перекрытием иа один узел; б) картина после слияния дислокаций
<изображеииых иа а)), / — ряд дислоцированных атомов; в) линейные дислокации раз-
разного знака, не доходящие одна до другой на одни узел; г) картина после слияния дислог
Kaujifi (изображенных на в)), 2 — ряд вакансий [Рабинович М. X., Прочность и сверхпроч-
сверхпрочность металлов, Изд-во АН СССР, 1963J.

4.3]
ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ
249
Характер взаимодействия таких дислокаций определяется отноше-
отношением alb (рис. 4.21). /
В случае наличия линейных дислокаций одного знака на парал-
параллельных плоскостях скольжения искаженность получается мень-
меньшая при совмещении всех дислокаций в одной плоскости, перпен-
перпендикулярной плоскостям скольжения (рис. 4.22); такая плоскость
называется вертикальной стенкой.
В результате взаимодействия различным образом ориенти-
ориентированных дислокаций какая-то значительная их часть закреп-
закрепляется, т. е. становится неподвижной. В монокристалле при этом
образуется пространственная сетка дислокаций. Наличие очень
II
a
-—
\
Ь
¦
0 -
HI
6)
1
\v//i
Рис. 4.21. К взаимодействию
двух линейных дислокаций
одного знака и с разными
плоскостями скольжения.
Рис. 4.22. К взаимодействию лииейиых дислокации-
одного знака на параллельных плоскостях Скольже-
Скольжения: а) картина дислокаций; б) картина совмещения
всех линейных дислокаций в одной плоскости.
большого числа дислокаций приводит не к облегчению пластиче-
пластических деформаций скольжения, а к воспрепятствованию их. Движе-
Движение дислокации тормозится не только взаимным влиянием, но и
наличием других несовершенств монокристалла, например нали-
наличием примесей в виде атомов] внедрения или замещения, искажаю-
искажающих решетку. Дислокация при своем движении, как бы «перепол-
«переползая» через такие препятствия, все же «затормаживается» ими.
Упрочнение обнаруживается в монокристалле металла при плот-
плотности порядка 108 дислокаций /см2.
2.7. Пластическая деформация в форме
двойникования. Представим себе кристалл, подвергнутый
воздействию сил, показанных на рис. 4.23, а. При таком воздей-
воздействии может произойти скольжение всех слоев относительно друг
друга, но может случиться, что в какой-то из плоскостей между
слоями возникнут препятствия для перемещений. Тогда слои в части
кристалла, расположенной по одну сторону от этой плоскости,
переместятся каждый относительно соседнего, а ниже этой пло-
плоскости никаких перемещений не будет (рис. 4.23, б). Такая пласти-
пластическая деформация кристалла называется двойниктанием. Для воз-
возникновения двойникования, кроме отмеченного выше условия,
необходимо, чтобы переход слоев из одного положения в соседнее
осуществлялся путем преодоления незначительного энергетического.

250
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ-
[ГЛ. IV
барьера, меньшего, чем барьер, отделяющий рассматриваемое со-
состояние кристалла от разрушения. Двойникование может проис-
происходить лишь параллельно плоскостям, энергетически к нему пред-
предрасположенным, и при этом ступенчато, что обнаруживается при
рассмотрении кристалла в плоскости, перпендикулярной плоскости
двойникования.
Когда к кристаллу прикладывается растягивающая его нагрузка,
вызывающая в какой-то атомной плоскости некоторый касательный
компонент, то такой же компонент возникает во всех плоскостях,
параллельных указанной. В не-
некоторых из этих плоскостей в
силу наличия дефектов сопротив-
сопротивление двойникованию оказывает-
оказывается меньшим, чем в остальных.
Именно между этими наиболее
ослабленными сечениями и воз-
возникает двойник. Каждый двой-
двойниковый слой продолжает под
нагрузкой утолщаться до тех
пор, пока на его пути не встре-
встретится помеха, препятствующая
дальнейшему перемещению ато-
атомов. Случается часто, что энер-
энергия, требуемая для преодоления
этого препятствия, больше необ-
необходимой для двойникования,
вследствие этого в другой части
кристалла возникает двойнико-
двойникование — появляется новый слой
двойника, вместо продолжения
роста предыдущего слоя.
Деформированный кристалл
содержит несколько параллель-
параллельных двойниковых слоев. Иногда образование двойников механиче-
механической деформацией сопровождается резкими шумами, указывающими
на иммульсивность процесса.
Деформация двойникования кристалла металла аналогична
процессу скольжения. Плоскости двойникования в кристаллах раз-
различного типа показаны в табл. 4.5.
Атомы перемещаются один за другим в параллельных слоях,
при этом величина перемещений возрастает с увеличением расстоя-
расстояния от плоскости двойникования (рис. 4.23, б).
На рис. 4.24 показано перемещение в плоскости A11) гране-
центрированной кубической решетки; изображены два соседних
слоя A11) (атомы, принадлежащие одному из них, показаны при
помощи черных кружков). Картина деформации показана на
6)
обо о
оооо
оооо
оооо
оооо
оооо
оооо
оооо/
оооо
оооо
Ри9, 4.23. Пластическая деформация, про-
происходящая посредством двойниковання;
а) характер деформации образца; б) двс-
кретиая картина, 1 — плоскость двойни-
двойникования.

S 4.3)
ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ
25 f
рис. 4.24, а (стрелками изображены перемещения); двойникованная
структура представлена на рис. 4.24, б.
Проекция кубической объемноцентрированной решетки на пло-
плоскость сдвига х) показана на рис. 4.25. Перемещения атомов парал-
параллельно [III] по одну сторону от плоскости двоиникования показаны
стрелками (имеют разные длины).
Таблица 4.5
Плоскость двоиникова-
двоиникования
Направление двойни-
копания
Тип решетки
кубическая
объемноцент-
рированная
{112}
A11)
кубическая
гранецентри-
рованная
{111}
гексагональ-
гексагональная ПЛОТНО-
упакованиая
{1012}
В металлах с гранецентрированной кубической решеткой двой-
никование происходит в плоскостях, параллельных плотно упако-
упакованным слоям {Ш}- Так как два эквивалентных соседних взаим-
взаимных положения плотно упакованных слоев отделены, друг от друга
минимальным расстоянием, энергетический барьер между ними
aj
о о о о
о о о
о о о о
о о о
б)
о.°.ош°
о о о
Рис. 4.24. Перемещение соседних слоев атомной ре-
шеткн при двоиникованни кристалла с кубической
граиецевтрированной решеткой; а) до перемещения,
б) после перемещения [AzSroff L. V., Introduction
to Solids, i960].
Рис. 4.25. Проекция кубической
объемвоцентрированной решет-
решетки на плоскость сдвига Azaroff
L. V., Introduction to Solids,
i960].
очень мал. Силы, позволяющие продолжать двойникование, также
калы, вследствие чего двойник не может получиться очень толстым
при продолжении деформирования. Наоборот, более вероятно, что
многие двойники содержат всего лишь несколько атомных слоев.
Вследствие этого в промежутках между двойниками возникают
пачки смещения, этим объясняется и то, что деформация двойнико-
') Плоскостью сдвига называем плоскость, нормальную к плоскостям переме-
перемещений и содержащую направление перемещений.

262 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
вания не встречается заметной толщины в металлах с гранецентри-
рованной кубической решеткой х).
Двойники легче образуются при низких температурах, так как
сопротивление скольжению при понижении температур увеличи-
увеличивается и вероятность возникновения скольжения уменьшается.
Так же как и в случае скольжения, если ничто не затормаживает
двоиникования, последнее заканчивается разрушением, имеющим
пластический характер.
2.8. Пластическаядеформацияползучести.
В некоторых случаях пластическая деформация происходит даже
при напряжениях, вызванных внешней нагрузкой, меньших по
величине, чем предельные напряжения скольжения. Такой тип де-
деформации называется ползучестью. Объяснение ему можно дать
такое. Энергия, необходимая для перемещения дислокации, сверх
той, которая обеспечивается внешними силами, связана с упругими
тепловыми колебаниями атомов. Она поступает в виде квантов
энергии упругих колебаний, называемых фононами. Постольку,
поскольку суммарное число взаимодействий, необходимых для сооб-
сообщения подвижности дислокаций, велико, при обыкновенной тем-
температуре ползучесть происходит медленно.
3; Разрушение.
3.1. Разрушение от среза. В тех случаях, когда после
возникновения пластических деформаций, происходящих либо
посредством скольжения, либо двойникованием, нагрузка продол-
продолжает расти и преодолевает возрастающее сопротивление пластиче-
пластическим деформациям, процесс завершается разрушением, происходя-
происходящим в форме соскальзывания одной части монокристалла по другой.
Такое разрушение называют разрушением от среза; оно, как и пла-
пластическая деформация, вызывается касательными напряжениями.
Получить разрушение от среза без предшествовавших ему пла-
пластических деформаций не удается; однако можно указать случай,
относящийся к поликристаллическому металлу — прессованный
магний и сплавы на егб основе, — в котором разрушение от среза
происходит после очень малой пластической деформации.
3.2. Разрушение от отрыва. Может случиться, что,
до того как возникнут условия для скольжения или двоиникования,
нормальная составляющая напряжения в некоторой плоскости,
называемой плоскостью отрыва, достигнет предельного значения,
при котором преодолеваются силы взаимодействия между атомами,
лежащими по разные стороны от указанной плоскости, и направлен-
направленные нормально к последней. В таком случае монокристалл разру-
разрушается вследствие отрыва одной его части от другой. Отрыву пред-
предшествуют весьма небольшие чисто упругие деформации, обуслов-
г) Двойникование кристаллов обсуждается в книге: Классен-Неклю"
д о в М. В., Механическое двойникование кристаллов, Изд-во АН СССР, 1960.

f 4.S] ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ 253
ленные увеличением расстояний между атомами в направлении,
перпендикулярном плоскости отрыва. Характер такого разрушения
хрупкий. Во всех плоскостях, параллельных плоскости отрыва,
в идеальном случае картина должна была бы наблюдаться одина-
одинаковая и монокристалл должен был бы распасться на отдельные
атомные слои. На самом деле этого не происходит и разрыв осуще-
осуществляется по одной плоскости отрыва — именно той, в которой
вследствие наличия дефектов преодоление сил межатомного взаи-
взаимодействия происходит до того, как это могло бы произойти в осталь-
остальных, параллельных ей плоскостях. Плоскости отрыва обычно рас-
располагаются в решетке между атомными слоями, наиболее удален-
удаленными друг от друга.
Определение сопротивления отрыву может быть произведено
теоретически, но при этом указанная величина получается в сотни
раз выше наблюдаемой в опыте, вследствие наличия дефектов, теп-
теплового движения, поверхностных явлений и т. п. не учитываемых
в теории факторов.
Некоторые авторы склонны считать, что и разрушению от от-
отрыва предшествует некоторая, очень незначительная пластическая
деформация. Для некоторых металлов (Pb, Al, Cu, Ni, FeY) получить
разрушение путем отрыва не удалось.
3.3. Некоторые общие замечания о разру-
разрушении. Разрушение не является мгновенным актом, оно начи-
начинает возникать еще до появления видимых трещин; последним
предшествует образование микротрещин или некоторое «разрыхле-
«разрыхление» структуры. Именно этим объясняется то, что термины «оста-
«остаточная деформация после разрушения» и
«пластическая деформация» не являются
синонимами. В состав остаточной деформации после разру-
разрушения кроме пластической деформации входят удлинения за счет
образования микротрещин и разрыхления структуры.^ В тех слу-
случаях, когда образец разгружен до возникновения в "нем первых
изменений, относящихся к разрушению, остаточная деформация
совпадает с пластической (имеется в виду, что упругое последейст-
последействие при разгрузке исчерпано; в противном случае в первый момент
после разгрузки природа «остаточной» деформации может быть
упруго-пластической).
Указанная выше классификация типов разрушения не является
совершенно строгой. Так как в процессе разрушения изменяется
напряженное состояние, т. е. изменяются условия, определяющие
тип разрушения, картина осложняется. Поэтому правильнее гово-
говорить о типе начальной картины разрушения.
4. Резюме о характере деформации и разрушения монокристалла.
Когда монокристалл напряжен выше предела упругости, мыслима
пластическая деформация, которая происходит либо скольжением,
либо двойникованием в зависимости от того, к какому из этих двух

254 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
видов имеется большее предрасположение. Последнее зависит от
взаимного расположения плоскостей и направлений скольжения
(двойникования) и направления действия внешних сил.
Переход от упругой деформации к пластической в монокристалле
происходит резко. Предел текучести имеет физический (не
просто феноменологический) смысл. При этом нарастание сопротив-
сопротивления начальным пластическим деформациям очень невелико, прак-
практически равно нулю; именно поэтому в ряде случаев имеется
площадка текучести. С увеличением пластических деформаций проис-
происходит затормаживание их роста вследствие наличия дефектов, пре-
препятствующих перемещению дислокаций (упрочнение). Сопротивле-
Сопротивление пластическим деформациям с возрастанием нагрузки всегда по-
повышается; что же касается модуля упрочнения, т. е. daHCI/deHCT, то за
пределами площадки текучести с увеличением напряжений величи-
величина его уменьшается. При возрастании внешних сил пластическая
деформация может перейти в процесс разрушения. Разрушение может
наступить после значительных пластических деформаций и при
достаточно высоких напряжениях. В этом случае говорят, что мате-
материал обладает большой пластичностью,и высокой прочностью.
Кроме отмеченных двух путей протекания пластической дефор-
деформации, переходящей при возрастании нагрузки в пластическое раз-
разрушение (от среза), мыслим и иной характер работы материала,
при котором после упругих деформаций до возникновения или
после ничтожно малых пластических деформаций возникает разру-
разрушение от-отрыва. То, что пластическое или хрупкое поведение ма-
материала зависит от взаимного расположения в пространстве напра-
направления действия сил и.плоскостей отрыва, скольжения и двойнико-
двойникования, а также направлений скольжения и двойникования и вели-
величин предельных напряжений скольжения, двойникования и отрыва,
можно проиллюстрировать таким примером. Монокристаллический
цинковый стержень в случае, если ось его составляет 45° с плоско-
плоскостями скольжения, обнаруживает очень большую пластичность —
к моменту разрыва его можно растянуть в 10 и более раз. Если же
в монокристаллическом цинковом стержне ось его составляет с-ука-
с-указанными выше плоскостями 90°, то разрушение происходит, как
у чисто хрупкого материала.
§ 4.4. Упругая и пластическая деформация
и разрушение поликристаллического металла
1. Физический и феноменологический подход к теории поли-
поликристаллического металла. Сказанное в предыдущем параграфе
относительно монокристалла может быть применено к отдельному
зерну поликристаллического металла, но с теми ограничениями и
модификациями, которые вытекают из отличия условий, в койх
находится зерно поликристаллического металла и монокристалл.

I 4.4] ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ 255
В описании же поведения всего поликристалла, намного более слож-
сложного, чем монокристалл, и в построении теории поликристалличе-
поликристаллического тела в какой-то мере используется вся теория монокристалла.
При этом приходится привлекать аппарат теории вероятностей и
математической статистики.
Вполне сложившейся, хорошо объясняющей все важнейшие
факты, теории поликристаллического металла до сих пор не сущест-
существует. В связи с этим пока, ввиду сложности, приходится отказы-
отказываться от теории, учитывающей дискретную природу материи, и
довольствоваться чисто внешними проявлениями свойств и зависи-
зависимостей между напряжениями, деформациями и другими величинами,
обнаруживаемыми в макроскопическом опыте. Такой подход, как
уже отмечалось, называется феноменологическим. Несмотря на его
несовершенство, именно ему мы обязаны имеющимися на сегодня
достижениями в механике твердого деформируемого тела. Во мно-
многих случаях и в будущем не потребуются изменения в подходе,
однако &ряде областей учет дискретности строения материи, исполь-
использование достижений физики твердого тела, квантовой механики и
статистической механики позволят получить исключительно важ-
важные для практики результаты теории. Континуальные теории, не
рассматривающие структурные, единицы материи, не обязательно
основываются на феноменологии. Можно отметить такое направле-
направление континуальной теории, в основе которого лежат объекты дис-
дискретной природы. К этому направлению принадлежит, например,
континуальная теория дислокаций. Ниже приводятся некоторые
соображения и сведения о поликристаллическом металле *).
2. Упругая деформация поликристалла. В упругой области
основное отличие, деформации монокристалла и поликристалличе-
поликристаллического металла состоит в том, что монокристалл анизотропен, а поли-
поликристалл квазиизотропен.
В целом внешнее различие между поведением монокристалла
и поликристаллического металла в области упругих деформаций
меньше, чем в области пластических.
3. Механизм пластической деформации в поликристаллическом
металле. Свойства поликристаллического металла, как уже отме-
отмечалось, зависят от свойств зерен и соединения их между собой.
Пластическая деформация поликристаллического металла про-
происходит за счет пластической деформации зерен. Перемещения по
границам зерен имеют второстепенное значение. Эти перемещения
*) К р е н е р Э., Общая континуальная теория дислокаций и собственных
напряжений, пер. с нем. А. А. Вакуленко иод ред. Г. И. Баренблатта, tMnp»,
1965 (библ. 75 названий).
Эшелби Дж., Континуальная теория дислокаций, пер, с англ.
А. Л. Ройтбурда под ред. Б. Я- Любова, ИЛ, 1963 (библ. 195 названий),
М и р к и н Л. И., Физические основы прочности и пластичности (Введение
в теорию дислокаций), Изд-во МГУ, 1968 (библ. 289 названий).

256 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
происходят лишь в силу изменения взаимного расположения зерен
в процессе взаимного перемещения их частей. Преодоление связей
на границах зерен влечет за собой хрупкое разрушение. Постольку,
поскольку ориентация плоскостей, в которых зерно предрасполо-
предрасположено иметь скольжение.или двойникование, по отношению к на-
направлению внешней нагрузки в разных зернах различна, не все
они сразу вступают в пластическую деформацию. В первую очередь
подвергаются ей те зерна, в которых расположение вероятных
плоскостей скольжения (двойникования) относительно направления
внешних сил наиболее благоприятствует возникновению пластиче-
пластической деформации. Предел текучести поликристалла может быть под-
подсчитан методами математической статистики достаточно удовлетво-
удовлетворительно. Наибольшее число зерен, одновременно включающихся
в пластическую деформацию посредством скольжения, наблюдается
в поликристаллическом металле, зерна которого имеют кубическую
гранецентрированную решетку, ввиду того, что число плоскостей
и направлений скольжения в кристаллах с такой решеткой велико.
Этим объясняется и то, что характер протекания пластической
деформации в монокристалле ближе к такому характеру в поликри-
поликристаллическом металле с указанной кристаллической решеткой, чем
в случае иных решеток. Постепенно, по мере увеличения напряже-
напряжений, в. пластическую деформацию вступают и другие зерна с менее
благоприятной для нее ориентацией.
Пластическая деформация поликристалла в целом возможна
лишь в случае перехода скольжения (двойникования) из одного
зерна в другое, соседнее с ним, так как в противном случае сту-
ступеньки, без которых не мыслимо ни скольжение, ни двойникование,
не могли бы выйти на границу зерна. Выход ступенек в зерне к его
границе в ряде случаев происходит вследствие того, что дислока-
дислокация, дойдя до границы зерна, может вызвать возникновение дисло-
дислокации в соседнем зерне.
Такое возникновение дислокаций в зернах имеет место в связи
с нажатием пачек скольжения соседнего зерна и образованием на
границе некоторого дефекта, например микротрещины, приводящей
к концентрации напряжений, которая в комбинации с флуктуак-
цией тепловых колебаний способна зародить новую дислокацию
в соседнем зерне. Чем значительнее разориентация кристаллитов,
тем затруднительнее переход дислокации из одного из них в другой.
При малых пластических деформациях упрочнение, происходя-
происходящее в поликристалле за счет границ между зернами и разориенти-
ровки, значительно выше, чем у монокристалла. При больших же
пластических деформациях эта разница в упрочнениях моно и поли-
поликристалла уменьшается.
4. Упрочняющая роль дефектов. Таким образом происходит
переход пластической деформации из одного зерна в другое, и ею
захватывается целая область поликристаллического металла. Вместе

ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ
257
с тем очевидно, что поверхности раздела (границы между блоками
мозаичной структуры, границы между зернами) упрочняют металлы,
препятствуя продвижению дислокаций. Этим объясняется большая
прочность мелкозернистого поликристаллического металла, чем
крупнозернистого. Дислокации, относящиеся к общей для них
плоскости скольжения, задерживаясь поверхностью раздела, скапли-
скапливаются у последней, однако, будучи
одного знака, они не могут' подойти
друг к другу сколь угодно близко и
располагаются в плоскости скольже-
скольжения у границы зерна на некоторых
расстояниях друг от друга, увеличи-
увеличивающихся при удалении от границы
зерна. Такое скопление называется
горизонтальной группировкой дисло-
дислокаций. Это явление обнаруживается на
микрошлифах (рис. 4.26), на которых
в местах выхода дислокаций на следы
плоскостей скольжения имеются пят-
пятна травления.
Атомы примесей, находящихся
как в растворенном состоянии в ос-
основном металле (раствор внедрения
или замещения), так и в виде включе-
включений с границей раздела, тормозят пе-
перемещение дислокаций. Степень этого
торможения зависит от размеров вклю-
включения и их числа. Дислокация, пере-
перемещаясь, как бы захватывает с собой
атомы примесей, образуя вокруг себя
«облака» примесей, которые, тор-
тормозя движение дислокации, приво-
приводят к упрочнению материала; если
при этом дислокация «вырывается» из таких облаков, то происходит
резкое понижение сопротивления пластической деформации, обна-
обнаруживаемое на диаграмме напряжений в виде «зуба» в районе пло-
площадки текучести («зуб текучести»).
5. Два типа разрушения поликристаллического металла. Поли-
Поликристаллический металл в растягиваемом образце, как и монокри-
монокристалл, разрушается либо от отрыва (хрупкое разрушение), либо
от среза, завершающего пластическую деформацию1), в зависимо-
1) Имеются и исключения. Например, в бронзах и некоторых алюминиевых
сплавах отрыв происходит после больших пластических деформаций. Объяснить
это можно так: первоначально возникают пластические деформации, заторма-
затормаживаемые и прекращаемые дефектами и поворотами пачек скольжения и (или)
двойникования в зернах; вследствие упрочнения при возрастании нагрузки уве-
9 А, П. Филин
— —
А
/
1
Рис. 4.26. Микроструктура сплава
F5% Си И 35% Zn). Образец рас-
растянут при напряжении 0,1 кГ/мм'.
Видны пятиа травления в местах
выхода дислокаций на линии сколь-
скольжения. [Рабинович М. X., Проч-
Прочность и сверхпрочность металлов,
Изд-во АН СССР, 1963].

258 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
сти от того, какая ориентация решетки в зернах по отношению
к внешней силе преобладает — та, которая способствует возник-
возникновению отрыва, либо та, которая характерна для возникновения
пластической деформации х). Из двух возможных реализуется одна
схема разрушения в зависимости от того, какое из сопротивлений
меньше — отрыву или срезу. В обоих случаях разрушение предста-
представляет собой усредненное проявление процесса разрушения зерен.
В частности, разрушение от среза поликристаллического ме-
металла складывается из срезов отдельных зерен подобно тому, как
пластическая деформация поликристаллического металла является
следствием пластической деформации зерен, включая сюда измене-
изменение формы их границ. В общем срезе разрушение по границам не
^^^ принимает участия. Напротив, в раз-
а) ^МЙЯЙШуШ рушении от отрыва удельный вес раз-
разрушения по границам зерен может
быть велик.
,\ 1?\у%-""'^7Щ ¦ } Иногда для того, чтобы получить
' "™i«w /ЛЯ7Л77. разрушение от отрыва, приходится
Рнс 4.27. Увеличенные продольные СОЗДаВЭТЬ СПвЦИаЛЬНЫе уСЛОВИЯ: НИЗ-
^е„днкуЛГр„€оТо^оби кие температуры, надрезы, динамиче-
раз'ца. ские воздействия. Уже говоря о раз-
разрушении монокристалла, мы отмечали
условность разграничения разрушения на два типа; это же можно
в еще большей мере сказать о разрушении поликристаллического
металла. В особенности затруднительно провести границу при
сложном напряженном состоянии, возникающем, в частности, в об-
образцах с надрезами, да и в гладких образцах после образования
шейки.
Разрыв образца может рассматриваться происходящим по пло-
плоскости, перпендикулярной его оси, однако при большом увеличении
обнаруживается характер разрушения, показанный на рис. 4.27, а.
Вблизи надреза в образце или шейки, образующейся при растяже-
растяжении образца, касательные напряжения, в силу концентрации,
намного превосходят величины их в других областях образца;
вследствие этого срезы происходят не повсеместно, а именно в осла-
ослабленном сечении. Если же испытывать образец при очень низкой
температуре, плоскость при большом увеличении имеет вид, пока-
показанный на рис. 4.27, б.
Существует ряд теорий, в которых ставится цель описать каче-
качественно и количественно наступление предельного состояния (раз-
личиваются напряжения, в частности нормальные составляющие по потенциаль-
потенциальным плоскостям отрыва, вплоть до разрушения от отрыва. Надо иметь в виду,
что при этом иаклеп, предшествующий отрыву, увеличивает сопротивление ему.
!) Механизм хрупкого разрушения подробно обсуждается в книге: Касат-
Касаткин Б. С, Структура и микромеханизм хрупкого разрушения стали, «Тех-
«Техника», Киев, 1964.

$ 4.5] НАЧАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 259
рушение или развитие пластической деформации) в поликристалли-
поликристаллическом агрегате. Эти теории, как правило, основываются на кон-
континуальных феноменологических понятиях, они не отражают слож-
сложной структуры поликристаллических агрегатов и сложных
процессов, происходящих в них. Такие теории можно называть
механическими теориями предельного состояния .(в литературе их
называют теориями прочности). Изложению этих теорий посвя-
посвящена глава VIII.
6. Два вида предельных состояний. При определении одним
общим термином двух понятий (возникновения пластической дефор-
деформации и разрушения) представляется удобным использовать термин
предельное состояние.
Для каждого конкретного случая интерес представляет лишь
одно из двух указанных предельных состояний-. Если в материале
до разрушения возникают заметные пластические деформации, то
именно это возникновение будем считать предельным состоянием
материала, тем более чтоготделить вязкое разрушение от течения
часто вполне допустимо. Если же разрушение наступает без пред-
предшествующих заметных пластических деформаций, то в качестве
предельного состояния материала будем считать разрушение.
Изучение законов пластической- деформации намного сложнее,
чем упругой. В особенности эта сложность возникает при рассмотре-
рассмотрении больших пластических деформаций. В этом случае все зависи-
зависимости, описывающие их, нелинейны и часто даже трудносоставимы.
Явление усложняется следующими обстоятельствами: возникнове-
возникновением при больших пластических деформациях анизотропии; физико-
химическими превращениями, в особенности в неравновесных спла-
сплавах; невозможностью рассматривать процесс приложения нагрузки
как простое нагружение, при котором все силы изменяются про-
пропорционально одному монотонно возрастающему параметру.
§ 4.5. Начальные напряжения
В материале кроме тех внутренних сил (напряжений), которые
вызваны внешней нагрузкой и уравновешивают ее в любом беско-
бесконечно малом элементе тела, могут быть и другие — самоуравнове-
самоуравновешенные внутренние силы (напряжения), существующие и в ненагру-
женном теле. Такие напряжения называют начальными. Начальные
напряжения в связи с природой их возникновения иногда в литера-
литературе носят название остаточных, собственных или внутренних. Два
последних термина подчеркивают самоуравновешенность этих на-
напряжений внутри тела. Начальные напряжения играют исключи-
исключительно большую роль во многих явлениях, происходящих в поли-
поликристаллических телах в процессе их деформирования. Начальные
напряжения появляются либо в процессе самого изготовления эле-
элемента или конструкции (например, в процессе остывания отливки,
Q*

260
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
в процессе проката изделия и остывания его после проката, в про-
процессе соединения частей конструкции посредством сварки и т. п.),
либо во время эксплуатации конструкции (например, в результате
изгиба балки с доведением напряжений до величины, превышающей
предел текучести, и последующей разгрузки).
Можно пояснить возникновение остаточных напряжений, урав-
уравновешивающихся и в небольших объемах.
Кристаллиты расположены в металле хаотически. У некоторых
из них ориентация такова, что при действии растягивающей на-
нагрузки на образец в них, при данном направлении внешних сил,
пластические деформации происходят
в первую очередь (в таких кристалли-
кристаллитах не успевают развиться большие нап-
напряжения). В других кристаллитах эти
деформации происходят в последнюю
очередь, в них возникают большие нап-
напряжения. Диаграмма напряжений, за-
записываемая при испытании образца,
является осредненной для всего множе-
множества кристаллитов. Если же на нее нало-
наложить диаграммы для отдельных кристал-
кристаллитов, то они не совпадут с нею. На
рис. 4.28 линия ОАВС — диаграмма нап-
напряжений для образца, линия ОафтРх
(Oa2b2c2) — диаграмма напряжений для
кристаллита, в котором пластические
деформации начались рано (поздно). По-
Поскольку кристаллиты между собой свя-
связаны и не могут деформироваться неза-
независимо, образуя статически неопределимые системы, при разгрузке
в них возникают остаточные напряжения а ост и о%. Причиной
начальных напряжений могут служить не только такие дефекты, как
поверхности раздела и разориентировка, но и ряд других.
Н. Н. Давиденков *) предложил классифицировать начальные
напряжения по признаку размера объема, в пределах которого
они самоуравновешиваются. Различают начальные напряжения I,
II и III родов.
Напряжения 1 рода самоуравновешиваются в пределах всего
тела (см., например, § 3.12). Напряжения I рода в случае удаления
части изделия (просверливание отверстия) или разреза, напри-
например кольца, влекут за собой изменение формы всего изделия -—
отверстие может перестать быть круглым, разрезанное кольцо может
перестать быть плоским и замкнутым. Эти же напряжения вызывают
Рнс 4.28. К возникновению ос-
остаточных напряжений при на-
гружений и разгрузке полй-
кристаллического агломерата
[Стрелецкий Н. С, Гениев
А. Н.. Балдни В. А., Белей я
Е. И., Лессииг Е. Н.. Сталь-
Стальные конструкции, Стройяздат,
1952].
*) Давиденков Николай Иванович A879—1960) — советский ученый, работав-
работавший в области механики твердого деформируемого тела.

S 4.6]
ЭФФЕКТ БАУШИНГЕРА
261
коробление и растрескивание изделий,, например изделий из дре-
древесины, испытывающей усушку.
Напряжения II рода уравновешиваются в пределах отдельных
зерен металла или их частей (блоки мозаичной структуры, пачки
скольжения) и возникают, в частности, в процессе образования
соответствующих структурных единиц и стеснения их деформаций.
Напряжения III рода уравновешиваются в еще меньших объемах
(группа атомов) и связаны с дефектами атомной решетки в окрест-
окрестности дислокаций, как линейных, так и винтовых, и другими дефек-
дефектами. Напряжения I, II и III родов исследуются рентгеновским ме-
методом х).
Влияние начальных напряжений II и III родов на суммарное
поле напряжений (начальные напряжения II и III родов плюс на-
напряжения от нагрузки) невелико, деформации изделия в связи с ними
не происходит. Но эти напряжения весьма существенно влияют на
ряд механических и физических свойств материала, в частности,
именно эти напряжения, возникая, при пластической деформации,
вызывают упрочнение металла. С остаточными напряжениями свя-
связан и так называемый эффект Баушингера.
§ 4.6. Эффект Баушингера 2)
После того как материал испытал воздействие осевого усилия
одного зндка (например, растяжения) в области пластических де-
деформаций сопротивляемость этого материа-
материала пластической деформации при воздейст-
воздействии сил другого знака (в рассматриваемом
случае — сжатия) понижается. Это явле-
явление, сформулированное в терминах напря-
напряжений, носит название эффекта Баушин-
Баушингера.
На рис. 4.29 показана упрощенная диа-
диаграмма, иллюстрирующая эффект Баушин-
Баушингера. Диаграмма относится к материалу
с неярко выраженной площадкой текуче-
текучести. Упрощение состоит в аппроксимации
криволинейного участка диаграммы выше
предела пропорциональности прямой ТС (участок ТС носит назва-
название линейного упрочнения). Эффект Баушингера состоит в том,
что абсолютное значение напряжения, соответствующего точке
Рис. 4.29. Эффект Баушин-
Баушингера.
х) Исследование напряжений I, II, III рода рентгеновским методом обсуж-
обсуждается в книге: Уманский Я- С., Трапезников А. К-. Китай-
Китайгородский А. И., Рентгенография, 1951, гл. VIII.
2) Иоганн Баушингер (Johan Bauschinger, 1833—1893) — немецкий механик,
исследовавший экспериментально деформативные и прочностные свойства ма-
материалов.

262 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ IV
Тъ оказывается меньше, чем. напряжения, соответствующего
Г(!оГ1|<аг).
Рассмотрение рис. 4.29 показывает полную аналогию его с
рис. 3.20. З^го объясняется аналогией и механической природы тех
явлений, к которым относятся рисунки.
В системе связанных между собой кристаллитов (см. § 4.5)
после нагружения тела, до возникновения в некоторых кристалли-
кристаллитах пластических деформаций (стесняемых соседними кристалли-
кристаллитами) и разгрузки, возникают остаточные напряжения, подобно
тому как имеют место остаточные усилия в статически неопредели-
неопределимой системе (§ 3.12).
При приложении к телу нагрузки противоположного, по срав-
сравнению с ранее имевшей место, знака возникшие уже в теле началь-
начальные напряжения снижают сопротивление пластическим деформа-
деформациям, аналогично тому как это происходит в статически неопреде-
неопределимой системе (§ 3.13).
§ 4.7. Сплавы и диаграммы состояния
В сплавах, полученных на основе различных металлов, проис-
происходят разнообразные процессы в связи с теми или иными внеш-
внешними воздействиями: изменением температурного режима, изме-
изменением химического состава у поверхности в присутствии химиче-
химических агентов и т. п. Почти все эти процессы существенно влияют
на механические свойства сплавов. Вместе с тем природа указан-
указанных процессов не может быть уяснена без рассмотрения так назы-
называемых диаграмм состояния сплавов. В связи с этим в настоящем
параграфе приводятся весьма краткие о них сведения.
Как известно, сплавы — это сложные материалы, получаемые
из более простых — компонентов. Существуют сплавы однородные,
состоящие из одной фазы (фаза — физически однородное тело —
твердый взаимный раствор или химическое соединение компонен-
компонентов), и неоднородные, представляющие собой смеси, которые состоят
из двух или большего количества твердых фаз. Характер взаимо-
взаимодействия компонентов определяется составом и границами сущест-
существования фаз в интересующей области температур. Наибольшая
наглядность обеспечивается диаграммами состояний, если число
компонентов равно двум (бинарная система) или, в крайнем слу-
случае, трем; последнего случая касаться не будем.
Диаграмма состояния илифазовая диаграмма бинарной системы—
геометрическое место точек (точки Чернова *)), соответствующих
*) Точки Чернова — точки остановки приращения температуры при непрекра-
непрекращающейся подаче тепла к сплаву; им соответствуют: перекристаллизация в связи
с аллотропическим изменением; начало и конец перехода из твердой фазы в жид-
жидкую; изменение магнитных свойств и т. п.

§ 4.7] СПЛАВЫ И ДИАГРАММЫ СОСТОЯНИЯ 263
равновесию двух фаз (равновесие трех фаз возможно лишь в от-
отдельных точках) в системе осей процентное содержание одного из
компонентов в сплаве — температура сплава. По каждую сторону
от точки Чернова (при температурах, больших или меньших тем-
температуры точки Чернова) имеет место устойчивость одной'из двух
разных фаз.
На вид диаграммы состояния оказывает влияние ряд факторов,
из них основные:
1. Полная (неполная) растворимость или нерастворимость ком-
компонентов как в твердом, так и в жидком состояниях.
2. Наличие (отсутствие) полиморфных модификаций у компо-
компонентов.
3. Наличие (отсутствие) химических соединений у компонентов.
4. Характер плавления химического соединения: конгруэнт-
конгруэнтный — без изменения химического состава при плавлении и инкон-
груэнтный — с распадом при плавлении на жидкость и твердую
фазу, отличающиеся по составу от исходного твердого вещества.
Каждой точке диаграммы соответствует температурная кри-
критическая' точка на кривой охлаждения или нагревания сплава,
с соответствующим содержанием компонентов А а В.
В табл. 4.6 показаны типы диаграмм состояния в зависимости
от характера взаимной растворимости компонентов в твердом и
в жидком состояниях; имеются в виду случаи отсутствия у ком-
компонентов как полиморфных модификаций, так и химических соеди-
соединений. Под диаграммами состояния 1 а 6 изображены типичные
изотермы физических свойств сплавов. Линейный харак-
характер изотермы физических свойств сплавов имеют в сплавах-смесях,
криволинейный — в сплавах-растворах.
Диаграммы состояний усложняются при наличии у компонентов
полиморфных модификаций или химических соединений в твердом
состоянии.
На рис. 4.30 показаны некоторые типичные диаграммы состоя-
состояния в случае, если компоненты А а В образуют одно химическое
соединение АтВп. При этом на рис. 4.30, а, б представлены случаи,
в которых химическое соединение АтВп плавится конгруэнтно;
в случае, показанном на рис. 4.30, в, — инконгруэнтно. При кон-
конгруэнтном плавлении сплава диаграмма состояния АВ как бы
распадается на две примыкающие друг к другу диаграммы с компо-
компонентами А и АтВп (АтВп и В), которые имеют тот или иной вид,
согласно табл. 4.6, в зависимости от наличия растворимости (полная
или частичная) или отсутствия таковой у компонентов А и АтВп
(АтВп и В) в жидком и твердом состояниях.
Из сказанного становятся ясными некоторые характерные осо-
особенности вида диаграмм состояния, соответствующих различным
комбинациям факторов (растворимость, полиморфизм, наличие хи-
химических соединений и характер их поведения при плавлении).

264
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
Таблица 4.6
Взаимодействие компонентов в твердом состоянии
нерастворимость
растворимость
частичная
га
s
s
X
«к
о
X
о
с
1
о
s
S
S
s
S
A 100%
! 0%
сдойстд
А* В
®
A*S
®
Примечания: Тл и Тв — темпера-
температуры плавления компонентов; а—твердые
растворы с преобладанием компонента Л;
Р — твердый раствор с преобтаданием'ком-
преобтаданием'компонента В; L — жидкая фаза (ликвидус);
5 —твердая фаза (солидус). В точке ? —
образование эвтектики. Р—перетектиче-
ская точка. LA и LB — жидкая фаза ком-
компонента А и В соответственно. Lx и L2 —
жидкие фазы, отвечающие точкам М и N
диаграммы соответственно. Диаграмма
типа / имеется, например, в сплавах РЬ
и Sb, типа 2—в сплавах РЬ и Си, типа 3 —
в сплавах Л! и РЬ, типа 4— в сплавах
Sn и РЬ, типа 5 — в сплавах Sn и Sb (до
41 % Sb, при этом без учета отличия при
Г>319°С), типа б —в сплавах Bi и Sb,
типа 7 — в сплавах Fe и Сг

4.7]
СПЛАВЫ И ДИАГРАММЫ СОСТОЯНИЯ
265
На рис. 4.31, 4.32 и 4.33 показаны некоторые типичные диа-
диаграммы состояний широко распространенных сплавов. Большое
а)
^
Изотерма сдайстд
Изотерма свойств
Изотермы cOoiitf.vB
Рис. 4.30. Типы диаграмм состояния при наличии полиморфных модификаций у ком-
компонентов и (или) химических соединений компонентов: а) {АтВп)ч А и В в твердом со-
состоянии взаимно не растворяются; б) А а АтВп (АтВп и В) взаимно неограннчеиио рас.
творяются; s) А н AmBn (АтВn и В) имеют взаимную ограниченную растворимость
разнообразие видов диаграмм объясняется фазовыми превращениями
в твердом состоянии. Значительно сложнее диаграммы состояний
Рис. 4.31. Диаграммы состояния
сплавов: Fe—Fe3C; Zr — один нз
элементов: Ag, Be, Co, Cr, Fe,
Си, Mn, Mo, Ni, V, W.
Рис. 4.32. Диаграммы Рис. 4.33. Диаграммы
состояния сплавов: Zr — состояния сплавов: Zr —
один из элементов: Nb, одни нз элементов: А1,
Та, Th, U. О, Sn, N.
и изотермы физических свойств в тройных сплавах 1). Для более
сложных сплавов (четыре компонента и выше) практически не
удается создавать столь наглядные формы, как диаграммы состояний.
х) Фазовые превращения в металлах и соответствующие диаграммы состояния
рассматриваются в ряде книг, например в книгах:
Б о ч в а р А. А., Металловедение, Металлургиздат, 1956.
БлантерМ. Е., Металловедение и термическая обработка, Машгиз, 1963.
Уманский Я. С, Финкельштейн Б. Н., Блантер М Е.,
Кишки н С. Т., Фа сто в Н. А., Г о р е л и к С. С., Физическое метал-
металловедение, Металлургиздат, 1955 (библ. 618 названий).
К а ш е н к о Г. А., Основы металловедения, изд. 3-е, Машгиз, 1959.

266 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
§ 4.8. Влияние различных факторов
на механические свойства материалов
1. Предварительные замечания. Количество различных классов
материалов очень велико, а число их разновидностей практически
неисчерпаемо. Столь же многообразны и свойства материалов,
а также виды зависимостей физических характеристик материалов
от тех или иных внешних условий. Вместе с тем можно указать на
изменения важнейших характеристик основных классов материалов
в типичных условиях, характерных либо для эксплуатации кон-
конструкций, выполненных из соответствующих материалов, либо для
технологии получения и обработки материала. Ниже приводятся
некоторые такие данные:
2. Влияние химического состава на механические характеристики.
Говорить о влиянии химического состава материалов на их свой-
свойства, не вводя'никаких ограничений, невозможно. Не лишена
смысла лишь, такая постановка вопроса, в которой изучается влия-
влияние тех или иных добавок (или их комбинаций) к основному мате-
материалу на свойства последнего. В настоящем разделе коснемся
лишь принципа изучения влияния легирующих добавок на свойства
металлических сплавов.
На приведенных выше диаграммах состояния показаны различ-
различные возможные случаиобразования сплавов. Если сплав представ-
представляет собой твердый раствор, то упрочнение происходит за счет
искажения решетки вблизи мест расположения атомов растворимого
вещества (легирующей добавки); это относится как к растворам
внедрения, так и замещения, если размеры атома легирующего
элемента достаточно сильно отличаются от размеров атомов основ-
основного металла. Если сплав представляет собой механическую смесь
различных фаз, то включения легирующего элемента с поверхно-
поверхностью раздела также повышают прочность, являясь препятствиями
для движущейся дислокации. Комбинация обеих форм упроч-
упрочнения имеет место в сплавах, представляющих собой меха-
механическую смесь фаз в виде растворов с ограниченным растворе-
растворением. Повышение прочности посредством од-
одного лишь легирования достигает порядка
10—30%.
В случае сплавов в виде механических смесей свойства их
являются линейными функциями, приобретающими, при процент-
процентном содержании в смеси одной из фаз, равном нулю или 100%, зна-
значения характеристики свойства, соответствующие чистым фазам
(см. табл. 4.6).
В случае сплавов в виде растворов изменение свойств в
зависимости от процентного содержания растворимого элемента
характеризуется нелинейной функцией.

$ 4.8]
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
267
На рис. 4.34 показаны диаграммы растяжения Р — А/ для
образцов, изготовленных из сталей с различным процентным содер-
содержанием углерода. Существенные изменения в очертании и величи-
величинах ординат диаграмм напряжений (растяжения) обнаруживаются
при изучении образцов из сплавов, в которых имеют место другие
комбинации основного металла и примеси или добавки, и при дру-
других основном металле и примеси или добавке.
3. Влияние термической обработки на механические свойства
материалов. Термическая обработка является одним из весьма су-
существенных классов операций в технологии получения материалов,
необходимых качеств. Это относится в первую
очередь к металлам, но в большой мере спра-
справедливо и для материалов, в основе которых
лежат полимеры, а также для ряда силикатов
(неорганическое стекло, ситаллы).
В настоящем разделе коснемся лишь тер-
термической обработки металлов.
Можно отметить две особенности компо-
компонентов, образующих сплавы, наличие кото-
которых создает условия для применения терми-
термической обработки с целью изменения (улуч-
(улучшения) свойств сплава. Одной из них является
растворимость одного компонента в другом,
изменяющаяся с изменением температуры.
Вторая состоит в наличии хЧэтя бы у одного из
компонентов аллотропической модификации.
При наличии хотя бы одной из этих особен-
особенностей возникает возможность закалки, со-
состоящей в том, что путем нагрева сплава и
последующего за ним быстрого охлаждения фиксируется то состоя-
состояние сплава, которое он имел при высокой температуре, или одно из
состояний, соответствующих какой-то промежуточной температуре.
В качестве примера сохранения после закалки состояния сплава
при наивысшей температуре, до которой он был нагрет, можно ука-
указать на закаленный сплав в виде пересыщенного раствора. Такой
закалке подвергаются цветные металлы.
Сплав, получающийся в результате закалки, имеет неустойчи-
неустойчивое состояние. Для придания ему большей устойчивости выпол-
выполняется еще и другая термическая обработка — отпуск, состоящая
в нагреве до температуры, значительно меньшей, чем температура
закалки, и медленном охлаждении. В процессе отпуска часть леги-
легирующей добавки выделяется из пересыщенного раствора в виде вклю-
включений с поверхностью раздела, и такая комбинация повышает про-
прочность в большей мере, чем одна пересыщенность раствора.
•Второй тип закалки, при которой фиксируется состояние,
соответствующее промежуточной температуре — между темпера*
Рис. 4.34. Зависимость
вида диаграммы Р — А?
от содержания углерода
в стали [Тимошенко
С. П., Сопротивление ма-
материалов, т. II, Гостех-
издат, 1946].

268 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. TV
турой закалки и комнатной температурой, - может быть проиллю-
проиллюстрирован закалкой стали. Диаграмма состояния Fe—Fe,C пока-
показана на рис. 4.31. Железо имеет аллотропическое превращение
при 910 °С; в процессе нагревания Fea, имеющее кубическую объем-
ноцентрированную решетку, переходит в FeY с кубической гране-
центрированной решеткой. При этом происходит уменьшение плот-
плотности на 3% и увеличивается в десятки раз растворимость угле-
углерода. Резкая закалка эвтектоидной стали, содержащей углерод
в количестве 0,8%, позволяет зафиксировать FeY и растворенный
в нем углерод в очень неустойчивой при комнатной температуре
структуре, носящей название аустенит. Эта структура практи-
практически всегда переходит в другую, несколько более равновесную, —
мартенсит. При менее резкой.закалке получается одна из следую-
следующих структур: тростит; сорбит, перлит; перлит получается и
при медленном охлаждении. Все эти структуры отличаются лишь
степенью дисперсности механической смеси; самой тонкой из трех
последних обладает тростит. Мартенсит обладает очень высокими
прочностью и твердостью (Нв = 600 -f- 700 кГ/мм2; см. § 4.10,
раздел 7)'и низкими пластичностью (б =2%) и ударной вязкостью
A кГм/см2; см. § 4.10, раздел 5) и имеет строение Fea, но сильно ис-
искаженное атомами углерода, внедренными в решетку. В мартенсите
закалкой зафиксирован пересыщенный раствор углерода в железе,
которое все же успело перейти из FeY в Fea. Закалка стали снижает
модуль упругости на <-- 10%.
В процессе закалки на мартенсит происходит резкое нарушение
регулярности атомной решетки, в пределах одного зерна образуется
ряд тонких пластин (мартенситная структура), каждая из которых
имеет мозаичное строение. Этим резко увеличивается суммарная
удельная поверхность раздела, что влечет за собой резкое увели-
увеличение прочности. Наряду с этим упрочняющее, в пределах каждого
блока, влияние оказывают внедренные атомы углерода в пересыщен-
пересыщенном растворе. Хрупкий после закалки мартенсит используют лишь
после отпуска, уменьшающего неравновесность структуры. При
этом уменьшается прочность, но повышается пластичность и удар-
ударная вязкость.
На рис. 4.35 показана зависимость свойств сталей от терми-
термической обработки х).
г) Большой материал о сталях можно найти в книге: Справочник марок сталей.
Пер. с нем. Н. Д. Чукмасовой под ред. А. С. Чукмасова, Металлургиздат, 1963
(N«chschlagwerk, «Stahlschlussel», Verlag «Stahlschliissel», Merbach a/N, Bundes-
republik Deutschland, V. Auflage, 1960).
В справочнике приведены: химический состав, механические и физические
свойства, режимы термической обработки и названия большинства углеродистых,
легированных и высоколегированных сталей, применяемых в настоящее время
в мировой практике. Содержатся основные данные о конструкционных, инстру-
инструментальных, нержавеющих, кислотоупорных, теплостойких и жаропрочных
талях двенадцати стран Европы, Америки и Азии (ФРГ, США, Бельгия, Англ-ия,

5 4.81
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
269
Термическая обработка отжиг, состоящая в нагреве до темпе-
температуры закалки и медленном охлаждении, позволяет полностью
снять закалку.
а)
МО
120
го
s
\i
\6r
70
50
X.
58
54
50
46
w
10
о
350 450 550 650 750V
500
X
^550
4
fiflfl
650
700
V)
,
it
•'
t
f
1
i
1
1
1
i
7
34
30
100
80
\t40
го
. Масло
\
\
100
г)
•ч.
"S
?Ч
4
Ф
К
/
\
>
i
\ |
(
л
л
у
\
ч
too
90
170 210
°С
Ш 400 Ш ЗОО'С
Рис. 4.35. Зависимость свойств сталей от термической обработки: а) сталь NC 35 (ФРГ,
^нрма «Ugine»), закалка при 830 °С в масле, по оси абсцисс — температура отпуска;
) сталь АК (ФРГ, фирма «Westa»), закалка при 1020 °С, сплошная линия — в масле,
пунктир — на воздухе, по оси абсцисс — температура отпуска; в) сталь W 77 (ФРГ,
фирма «Witten»), / — закалка при 980—1050 °С в масле, 2 — на воздухе, по оси абс-
абсцисс — температура отпуска; г) сталь К 20 (ФРГ, фирма «Zapp»), по осн абсцисс — тем-
температура отпуска [Справочник марок сталей, пер. с ием., Металлургнздат, 1963].
4. Влияние деформации в холодном состоянии на механические
свойства металлов (наклеп). Отдых (возврат) металлов. Рекристал-
Рекристаллизация. Если металл в холодном состоянии подвергнуть предва-
Франция, Япония, Норвегия, ГДР, СССР, Швеция, Чехословакия, Венгрия).
Даны рекомендации по обработке и применению сталей.

270
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
рительной деформации — нагартовке, накатке роликами, волоче-
волочению, обработке дробью и т. п., — структура его изменяется; уве-
увеличивается число дефектов — происходит скопление дислокаций
вблизи таких препятствий, как поверхности раздела. Это сильно
искажает решетку и приводит к прекращению действия источников
дислокаций Франка — Рида, что повышает предел текучести и
снижает пластичность. Описанный выше процесс механи-
механической холодной деформации называется наклепом. Наклепом же
называют исостояние металла после холодной механической
обработки его. Диаграммы напряжений различных образцов, из-
изготовленных из одного и того же металла, подвергнутых до ис-
испытания предварительному наклепу, пока-
показаны на рис. 4.36. Чем больше степень на-
наклепа, тем выше располагается кривая.
Возникновение новых дислокаций имеет
место лишь при превышении напряжениями
прежнего уровня.
В процессе механической обработки в хо-
холодном состоянии происходит дробление и
вытягивание зерен, образуются так назы-
называемые «фрагменты», увеличивается общая
поверхность границ, уменьшаются блоки
внутри фрагментов, что аналогично образо-
образованию границ между пластинками и внутри
зерна при мартенситной структуре. Под дей-
действием деформации распадаются и твердые
Рис. 4.36. Влияние пред-
предварительного наклепа на
вид диаграммы оист — i|>:
/ — диаграмма, соответ-
соответствующая иенаклепан-
ному металлу, 2 — дна-
грамма,
соответствую-
I ладила, vuviiivivivjw —_
щая образцу с нанболь- рЭСТВОрЫ В СЛОЖНЫХ СПЛаВаХ. ПрОДуКТЫ ЭТО-
шнм (в рассматриваемой
серии) наклепом.
го распада также приводят к упрочнению.
Сильное воспрепятствование скольжений
всевозможными дефектами приводит к уменьшению пластичности
поликристаллического тела. Наряду с. этим происходит посте-
постепенное накопление таких дефектов, которые приводят к разру-
разрушению.
Ввиду различной ориентации зерен, при общей деформации
(удлинении) образца, выражаемой каким-то определенным процен-
процентом, процент деформации (удлинения материала) внутри различных
зерен оказывается весьма различным. Еще при упругой деформации
всего образца в целом в отдельных зернах могут возникнуть раз-
разрушения. Вакансии, сливаясь, могут образовывать микроскопиче-
микроскопические трещины; при смещении зерен могут образовываться трещины
между зернами. В целом в процессе пластической деформации при
растяжении происходит «разрыхление» металла, заканчивающееся
разрушением. При трехосном же сжатии, наоборот, происходит
улучшение связей между зернами, смыкаются микротрещины. Устра-
Устранение множества дефектов может повысить пластичность материала
и перевести материал из хрупкого состояния в пластичное. Мра-

f 4.81 ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ 271
мор, являясь в обычных условиях хрупким, при всестороннем сжа-
сжатии приобретает пластические свойства.
При холодной деформации металла происходит преимуществен-
преимущественная ориентировка кристаллитов в каком-то из направлений (тексту-
(текстура). В материале при этом появляется технологическая анизотро-
анизотропия. Текстуры могут быть исследованы методами рентгеноструктур-
ного анализа.
Все отмеченные выше изменения в металле при наклепе связаны
с накоплением внутри металла части энергии, затраченной при
механическом воздействии на металл. Другая часть этой энергии —
тепловая энергия — рассеивается в окружающую среду. Наклеп
используется в технике с целью повышения прочности изделий.
При использовании для наклепа дробеструйной или дробеметной
обработки или обкатки роликами происходит повышение предела
выносливости металла (см. J 4.10, раздел 6).
Наклепанное состояние металла неустойчиво — в нем самопро-
самопроизвольно происходит снятие искажений структуры, вызванных на-
наклепом. Этот обратный процесс называется отдыхом или возвратом
металла. При комнатной температуре отдых происходит очень мед-
медленно; он значительно ускоряется при нагреве (для углеродистой
стали до 200 — 400°С). Вследствие этого часто отдыхом называют
снятие искажений в наклепанном металле именно при нагреве до
определенной для каждого металла температуры и выдержке при
ней. В таком случае отдых можно рассматривать как раз-
разновидность термической обработки. В метал-
металлах с низкой температурой плавления (свинец, олово) отдых про-
происходит при комнатной температуре. При отдыхе не происходит
заметного изменения структуры металла, но свойства металла,
изменяясь, приближаются к тем, которые были до деформации, —
уменьшается прочность и твердость и повышается пластичность.
Снятие искажений в металле при отдыхе происходит за счет пла-
пластических сдвигов внутри кристаллитов и отчасти за счет диффузии
и сопровождается небольшим выделением тепла, в которое переходит
энергия, освобождаемая при снятии искажений. С течением вре-
времени интенсивность протекания отдыха, при неизменной TeMnefa-
туре, падает. Эта интенсивность тем больше, чем выше температура
отдыха. Полного устранения искажений в структуре, внесенных
в металл наклепом, при отдыхе не происходит.
Для полного снятия наклепа необходим нагрев до более высо-
высокой, чем при отдыхе, температуры. В таком случае в металле про-
происходит процесс рекристаллизации 1), состоящий в восстановлении
исходных свойств наклепанного металла. При рекристаллизации
х) Не следует смешивать рекристаллизацию с перекристаллизацией. Послед-
Последняя происходит при аллотропном превращении, в то время как рекристаллиза-
рекристаллизация состоит в изменении размеров и формы зерен.

МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ, IV
Рис. 4.87. Микроструктура <х100) технического железа (С — 0,05%): а) в состоянии
наклепа; б) после рекристаллизации.
бпч,кГ/ммг о)
120
о
40
30
го
ш
о
С1
У
1
-г
^=-—¦
—¦' ¦—
—.
0,10
цзо а
1
1
J
S
0,1
0,3
Ofi
O,Ss
Рис. 4.38. Влияние технологии металла на прочность: а) среднеуглеродистая сталь
образец 8 ; б) медь; / — холодная протяжка, 2 — холодный прокат, 3 — горячий прокат'
4 — протяжка н отжнг, 5 — литье [Murphy G., Properties of Engineering Materials In-
International Textbook Co., Scraton Pa, 1957].

§ 4.8] ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ 273
зерна металла перестраиваются: укрупняются, становятся равно-
равновесными, т.е. размеры зерен во всех трех измерениях оказываются
одного порядка (рис. 4.37), происходит уменьшение суммарной
поверхности границ между зернами, и металл становится менее
прочным и твердым, но более пластичным.
Влияние технологии материала на прочность среднеуглероди-
стой стали и меди показано на рис. 4.38.
5. Физико-химическое взаимодействие с окружающей средой.
5.1. Коррозия и механические свойства. Ра-
Растяжение за пределом упругих деформаций увеличивает скорость
коррозии. Если напряжения в металле ниже определенного уровня,
разрушения не наступает даже при значительной продолжитель-
продолжительности испытаний в коррозионной среде. Здесь предполагается,
что уменьшение поперечных размеров элемента вследствие корро-
коррозии невелико и его можно не принимать во внимание. При превы-
превышении же указанного уровня напряжений отрезок времени от
нагружения до разрушения уменьшается с увеличением уровня
напряжений. Этого в отсутствие коррозии не наблюдается.
Имеет место явление так называемого внутрикристаллического
и межкристаллического коррозионного растрескивания. В условиях
определенных напряженных состояний (возникающих, например,
при растяжении с кручением) и наличия коррозионно активной
среды происходит охрупчивание материала.
В ряде случаев в металле, испытывающем механические напря-
напряжения, наблюдается наиболее опасная — межкристаллическая кор-
коррозия. Ею объясняется часто обнаруживаемое межкристаллическое
разрушение металла в котлах. Наклеп металла приводит к интен-
интенсификации коррозии подобно тому, как интенсифицируется окисля-
емость при высоких температурах. В напряженном наклепанном
металле часто возникает межкристаллическая коррозия.
Наиболее опасно сочетание периодической переменности на-
нагрузок и условий, способствующих коррозии. При таком сочетании
разрушение превышает сумму разрушений, возникающих при само-
самостоятельном действии каждого из двух указанных факторов.
Наиболее чувствительны к коррозии такие механические свой-
свойства, как сопротивление разрушению ak и относительное попереч-
поперечное сужение if. Так, например, у отожженной стали с 0,13% С после
травления в течение 10 часов в 2,5% растворе H2SO4 величина ok
уменьшается с 93 кГ/мм2 до 52 кГ/мм2, а ^ — с 73% до 28%.
В ряде случаев переход от работы материала в неагрессивной
среде к работе в среде, вызывающей коррозию, сопровождается
переходом от пластичного состояния материала к хрупкому *),
х) Механические свойства в условиях агрессивной среды обсуждаются в книге:
Коррозионное растрескивание н хрупкость. Сб. статей, пер. с англ. С. Б. Фель-
гиной, Машгиз, 1961.

274 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
Сопротивление металлов и сплавов атмосферному воздействию
и воздействию воды речной и морской часто обеспечивается образо-
образованием поверхностной защитной пленки. Например, в так назы-
называемой нержавеющей стали такая пленка образуется при наличии
в стали легирующих добавок Cr, Al, Ni, Si в количестве, соответ-
соответствующем образованию одной фазы. Для того чтобы пленка могла
выполнять защитные функции, она должна удовлетворять ряду
требований: быть достаточно толстой и плотной и препятствовать
диффузии, обладать достаточными пластичностью и прочностью,
чтобы сопротивляться внешним воздействиям, и хорошим сцепле-
сцеплением с основным металлом. Кроме того, требования предъявля-
предъявляются и к самому металлу: в нем не должно быть фазовых превраще-
превращений, могущих вследствие изменения объема разрушить защитную
пленку; металл должен обладать однородностью строения, чтобы
не возникло вызывающих коррозию начальных потенциалов между
различными структурными составляющими.
5.2. Эффект П. А. Ребиндера. Эффект Ребиндера1J
состоит в облегчении деформации и разрушения твердых тел при
протекании их в среде, содержащей вещества, обладающие
физико-химическим сродством к данному телу2).
Было обнаружено, что, вследствие обратимой адсорбции ма-
материалом поверхностно-активных веществ из окружающей среды,
облегчается упругая и в особенности пластическая деформация
и разрушение материала. Объясняется это явление так. При рас-
растяжении монокристалла металла образуются микрощели с радиусом
кривизны в вершине порядка нескольких А; если при этом де-
деформируемый образец помещен в жидкость с поверхностно-актив-
поверхностно-активными веществами, происходит проникновение адсорбционных слоев
молекул из жидкости в указанные микрощели. В упругой области
микрощелн при разгрузке смыкаются. Такое поведение материала
проиллюстрировано на рис. 4.39, на котором изображены диаграммы
напряжений для монокристалла олова. Малая добавка олеиновой
кислоты к вазелиновому маслу снижает все механические харак-
характеристики: в чистом вазелине свойства олова такие же, как и в воз-
воздушной среде. Существует оптимальный процент содержания по-
J) Ребиндер Петр Александрович A898—1972) — советский физик, химик,
механик; академик. Создатель физико-химической механики.
J) Первая работа П. А. Ребиндера, в которой был поднят вопрос об адсорб-
адсорбционном понижении прочности, относится к 1928 г.:
Ребиндер П. А., Доклады на VI съезде физиков, М., 1928.
Л н х т м а н В. И., Щ у к и н Е. Д., Ребиндер П. А., Физико-хнми-
ческая механика металлов. Адсорбционные явления в процессах деформа-
деформации и разрушения металла, Изд-во АН СССР, М., 1962 (библ. около 300 наз-
названий).
Чувствительность механических свойств к действию среды. Избранные
доклады иа Международном симпозиуме. Пер. с англ. под ред. Е. Д. Щукина,
.«Мир», 1969 (библ. более 720 названий).

s
4.8]
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
275
верхностно-активной добавки, приводящей к наибольшему эффекту
влияния на механические свойства материала.
Эффект Ребиндера существенно зависит от продолжительности
контакта материала с внешней адсорбционно активной средой, так
как вещество окружающей среды проникает в микрощели посте-
постепенно. Спустя некоторый отрезок времени происходит полное про-
проникновение поверхностно-активного вещества внутрь образца —
образец как бы набухает. Вследствие разъединения частей метал-
металла заполненными микротрещина-
микротрещинами резко падает его электропро-
электропроводность, восстанавливаемая
спустя некоторое время по сня-
снятии нагрузки, так как вследствие
постепенного смыкания микро-
микрощелей поверхностно-активное
вещество выдавливается из об-
образца. Эта постепенность смыка-
смыкания щелей позволяет относить
явление к классу упругого после-
последействия.
Адсорбция поверхностно-ак-
поверхностно-активных молекул расширяет, рас-
расклинивает слабые места в ок-
окрестности дефектов на поверхно-
поверхности материала и способствует
развитию мнкрощелей. Таким
образом, механика твердого де-
деформируемого тела связана и
с физико-химико-механическими
процессами, или так называемой
физико-химической механикой.
6. Старение материала. В ряде материалов при неизменных
внешних условиях происходит с течением времени как бы самопро-
самопроизвольное изменение упругих и механических свойств. Такие
явления, имеющие различную в разных случаях физико-хими-
физико-химическую природу, объединяются общим названием — старение ма-
материала.
В металлах старение связано со структурными преобразова-
преобразованиями, которые происходят вследствие преодоления первоначальной
неустойчивости структуры, возникшей, как правило, вследствие
термической обработки.
В стали старение возникает вследствие того, что растворен-
растворенные в кристаллитах феррита в небольших количествах углерод,
азот и другие примеси выделяются с течением времени из твер-
твердого раствора и образуют структурно свободный цементит и нит-
нитриды, которые располагаются по границам зерен феррита.
oq5t!,52 го 60 зв /го /so /so
Рис. 4.39. Влияние различных концентра-
концентраций олеиновой кислоты в вазелиновом
масле на диаграмму напряжений моно-
монокристаллов олова, деформируемых в ука-
указанных жидкостях: / — вазелиновое мас-
масло, 2 — 0.1 % олеиновой кислоты, 3 — 1 %
олеиновой кислоты, 4 — 0,2% олеиновой
кислоты [Лихтмаи В. И., Успехи физиче-
физических наук, т. XXXIX, вып. 3 A949)).

276 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
При старении стали' уменьшается остаточное относительное
удлинение, повышается предел текучести, уменьшается ударная
вязкость, т. е. сталь становится более хрупкой. Длительность
процесса старения стали в разных случаях различна — от многих
десятков лет до нескольких дней. Путем нагрева стали после пла-
пластических деформаций создаются условия для искусственного ста-
старения стали, которое может произойти в несколько часов. Чем
крупнее зерно в стали и чем больше в ней примесей, тем больше
склонна она к старению.' Поэтому кипящие конверторные стали,
для которых характерны эти свойства, стареют в большей мере,
чем успокоенные. В меньшей мере, но все же подвержены старению
и. кипящие мартеновские стали.
В некоторых случаях старение влияет даже на такую слабо
изменяющуюся характеристику, как модуль упругости. Например,
при старении бериллиевой бронзы Е повышается примерно на 20%.
В бетонах длительное время происходит химический процесс
гидратации цемента при постепенном проникновении воды внутрь
цементной частицы. Вследствие этого происходит постепенное повы-
повышение, прочности бетона. Таким образом, для бетонов этот эффект
является положительным.
В пластмассах, каучуках происходят внутренние окислитель-
окислительные процессы, сильно снижающие их механические свойства.
7. Влияние скорости нагружения и скорости деформирования.
7.1. Скорость нагружения и деформирова-
деформирования. Скоростью нагружения vH называют величину
Скоростью относительной деформации vA является величина
Обычно испытательные машины имеют такое устройство, что
в них поддерживается неизменной в процессе испытания образца
либо величина vu, либо ия, последняя — чаще. В области линей-
линейной зависимости а — а (е), практически совпадающей с областью
упругих деформаций, неизменность одной из величин vB или vx
влечет за собой неизменность и другой. В области же нелинейной
зависимости, как правило, совпадающей с областью пластических
деформаций, условия эксперимента с образцом существенно зави-
зависят от того, какую из двух величин унили Од сохраняют неизменной.
Учитывая, что йеИСТ = dill, получаем
— LU.
V*~~T df
Таким образом, скорость относительной деформации зависит не

4.81
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
277
только от скорости абсолютной деформации (dlldt), присущей
испытательной машине, но и от длины образца.
7.2. Влияние на упругие характеристики.
Упругие характеристики металлов (Е, \х) практически не
зависят от скорости деформирования, так как сама упругая де-
деформация распространяется в теле со скоростью звука, намного
превышающей скорость приложения нагрузки. Как известно,
упругие свойства тела и скорость звука связаны между собой.
Звук представляет собой механические колебания, распростра-
распространяющиеся в упругой среде *).
Вследствие малой зависимости Е от скорости возрастания
нагрузки, величину Е можно определять и при динамическом
приложении нагрузки, т. е. динамическим способом. При этом
принимаются нагрузки, вызывающие малые деформации. Соблю-
Соблюдение малости деформаций важно в тех случаях, когда чисто упру-
упругая область весьма ограничена, например, если материал мягок
и (или) температура его высока.
Заметим, что упругие характеристики мало зависят не только
от скорости деформирования, но и от других факторов.
Материал
Каучук вулканизиро-
вулканизированный
Пробка
Свинец
Медь
Никель
с.
м/сек
43
500
1320
3666
4970
Т а б л и
Материал
Сталь
Железо
Гранит
Алюминий
Стекло
[Фридман Я. Б., Механические свойства металлов.
ронгиз, 1952.]
ца 4.7
V,
м/сек
4982
5000
5100
5104
5500
Обо-
7.3. Влияние на пластические деформа-
деформации. Вторая стадия работы материала — сопротивление пласти-
пластическим деформациям — существенно зависит от скорости нагруже-
ния и деформирования. Можно отметить следующие факты. Наблю-
Наблюдать картину сопротивления пластическим деформациям при высо-
высоких скоростях деформирования очень затруднительно. Только
*) Скорость v распространения в стержне звука, модуль продольной упруго-
? и
сти Ё и плотность тела р связаны следующей зависимостью:
В табл. 4.7 показана скорость распространения звука в стержнях, выполненных
из некоторых материалов, в том числе неметаллических.

278
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
сравнительно недавно создана методика и аппаратура, позволя-
позволяющие наблюдать указанную выше картину при скоростях до 108 Мсек.
Сопротивление пластической деформации у монокристаллов с уве-
увеличением скорости деформирования растет, но не очень существенно.
40
so
го
to
¦
_
to
30
Рис. 4.40. Зависимость вида диаграммы оист — е от скорости деформирования; / —
очень малая скорость [Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. II. Гостехиздат,
Кривая 0ИСТ — е располагается тем выше, чем больше скорость
деформирования (рис. 4.40).
Если при переходе от одного образца серии к другому уве-
увеличивать скорость деформирования, то обнаруживается, что со-
сопротивление пластическим деформациям растет медленнее, чем
указанная скорость.
Рис. 4.41. Влияние скорости деформирования на вид диаграммы а — е: а) случай охру-
пчнваиия материала прн увеличении скорости загружения; б) случай увеличения пла-
пластических свойств при возрастании скорости загружения: / — при ударе, 2 — при
статическом загружении [Фридман Я. Б., Механические свойства металлов,
Обороигиз, 1952].
Наблюдается некоторая аналогия между зависимостью сопро-
сопротивления скольжению от скорости деформирования, с одной сто-
стороны, и от степени наклепа, с другой.
7.4. Влияние на прочность. Зависимость третьей
стадии работы материала — сопротивления разрушению — от ско-

4.8]
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
279
рости деформирования изучена слабо. Однако можно указать на
наличие двух характерных картин (рис. 4.41). В одной из них
увеличение скорости деформирования приводит к тому, что ма-
материал, пластичный при статическом испытании, в случае высоких
скоростей становится хрупким (рис. 4.41, а). В другой — при по-
повышении скорости деформирования материал становится пластич-
пластичнее и приобретает большую вязкость (рис. 4.41, б).
о юг ю*' ю*
в) <*«¦'
Рис 4.42. Влияние скорости деформирования на прочность (по оси абсцисо — скорость
деформирования): а) сталь (/—С 0,5%, 2 —С 0.2%) при комнатной температуре:
б) медь при растяжении; в) алюминий [Hollomon J. H., The Problem of Fracture, American
Welding Society, New York, 1945].
На рис. 4.42Г показано влияние скорости деформирования на
прочность стали, меди и алюминия.
Если при определенной скорости деформации предел теку-
текучести, повышаясь, достигает значения предела прочности, то про-
происходит переход к хрупкому разрушению материала. Таким обра-
образом, увеличение скорости деформирования способствует появле-
появлению хрупкости.
Изучение влияния скорости деформирования на сопротивление
разрушению осложняется рядом обстоятельств. Например, чем
выше скорость нагружения, тем меньше количество тепла, возни-
возникающего в материале, успевает переходить в окружающую среду
и тем ближе процесс к адиабатическому. При этом повышается

280 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
температура материала, что само по себе влияет на свойства матери-
материала. Отделить это влияние от непосредственного влияния скорости
деформирования не удается. Можно указать и на другие аналогич-
аналогичные затруднения.
8. Влияние температурного фактора на упругие и механические
свойства материалов.
8.1. Существенность температурного фак-
фактора. Температурный фактор является весьма существенным
в ряду причин, влияющих на механические свойства многих мате-
ризлов. Наименьшее влияние он оказывает на каменные материалы—
естественные и искусственные. Весьма заметно влияние темпера-
температуры на механические свойства металлов и их сплавов, а также
полимерных материалов.
8.2. Примеры изделий, работающих в ус-
условиях высоких или низких температур.
Известно, что в условиях высоких температур приходится рабо-
работать материалу паровых турбин, котлов, высокоскоростных лета-
летательных аппаратов, некоторым элементам металлургических и
химических агрегатов и др. В конструкциях современных самоле-
самолетов при сверхзвуковых скоростях возникают высокие температуры.
Так, например, в обтекателе (носовая часть) и в крыле при ско-
скорости х) 7 М и полете на высоте 30 км развивается температура
1540° С.
В тяжелых условиях, при температуре <~ 1400 °С, приходится
работать некоторым деталям прямоточных воздушно-реактивных
и реактивных двигателей, а также некоторым элементам конструк-
конструкций реактивных турбин. В наиболее тяжелых условиях работают
детали газовых турбин — для них важны не только сопротивление
окислению и газовой эрозии, но и высокая длительная прочность
и сопротивление удару.'Применение ниобиевых сплавов позволяет
повысить температуру газа при выходе из турбины с 925 до 1370 °С,
а это снижает отношение веса двигателя к его мощности с 0,150
до 0,060 кГ/квт, а расход топлива — с 0,44 до 0,315 кГ/квт в час.
Скорость ракет может быть повышена в 3 раза при переходе
от ракет с химическим топливом к ракетам с атомным двигателем,
но при этом температура газа достигнет 1930 °С. В ракетах с плаз-
плазменными двигателями рабочие температуры достигнут 3300—6200 °С
и даже тугоплавкие металлы и сплавы должны будут работать
с охлаждением.
В условиях низких температур работают многие наружные
конструкции в районах сурового климата: пролетные строения
мостов, резервуары, рельсы железнодорожных путей, подвижной
*) М — число Маха — отношение скорости течения в точке газа или жидкости
(скорости обтекания потоком самолета) к скорости звука в газе (жидкости) в той же

§ 4.8
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
281
состав транспорта и элементы конструкций в производствах с низ-
низкими температурами, таких, как предприятия холодильной про-
промышленности, лаборатории глубокого холода и т. п.
8.3. Сходственные температуры. Удается наб-
наблюдать закономерности, до некоторой степени общие для ряда
металлов, если ввести в качестве параметра не температуру в гра-
градусах той или иной шкалы, а так называемую сходственную (го-
(гомологическую) температуру. Сходственной температурой назы-
называется доля в процентах, составляемая рассматриваемой темпера-
температурой, от температуры плавления данного металла в шкале абсо-
абсолютных температур. На рис. 4.43 для двух металлов показаны
графики, позволяющие переводить сходственные температуры в %
в температуру по Цельсию.
ют
we
Ш 45
Рис. 4.43. Диаграммы взаимосвязи сходственной температуры (по оси ординат — сход-
сходственная температура в % или относительных единицах) с градусами по Цельсию: / —
свинец, 2 — железо; нижняя горизонтальная шкала — шкала абсолютных температур.
Так, сходственная температура в 50% для свинца представляет
20 °С, а для железа 630 °С. Аналогия в изменении свойств различ-
различных металлов наблюдается при отнесении этих свойств к одина-
одинаковой, для сопоставляемых металлов, сходственной температуре.
Когда же речь идет о самостоятельном рассмотрении свойств
отдельного металла, целесообразно применять обычную темпера-
температурную шкалу.
8.4. Непосредственное влияние темпера-
температурного фактора на свойства материала и
влияние, связанное с физик о-х имическими
процессами. Наряду с непосредственным влиянием измене-
изменения температуры на величины упругих и механических характери-
характеристик материала в последнем могут происходить изменения и в связи
с физико-химическими процессами, возникающими и протекающими
из-за изменения температуры. Иногда эти влияния трудно отде-
отделить одно от другого.
8.5. Влияние температурного фактора на
ход упругой деформации металлов. Влияние
температурного фактора на свойства материала в упругой стадии
сводится фактически к влиянию этого фактора иа величину упру-

182
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
гих постоянных, в частности на величину Е. Я. Б. Фридман 1)
исследовал A937) изменение модуля упругости в зависимости от
температуры (имея в виду, что параметр решетки а зависит от тем-
температуры), если последняя меняется не
-и
1,0
0Л\
ш
Ш'С
Рис 4.44. Изменение модуля
упругости в зависимости от тем-
¦мратуры для типичных спла-
сплавов, применяемых 'в авиацион-
авиационных конструкциях: ; — нержа-
нержавеющая сталь. 2 — алюминие-
алюминиевые сплавы, 3 — углеродистые
^али, 4 — титановые сплавы
«ck«on L. R., BatcIIe Memo-
Memorial Inst. Rep. 38 (March 1956I.
в очень широких пределах, например
от— 100 °С до -ЫО0°С.
Из D.1) получаем
дифференцируя по Т, имеем
;^- = 0; D.7)
^г дуг — температурный
после деления D.7) на Еат находим
D.8)
где ц = ^г ^ — температурный коэф-
коэффициент упругости или относительная,
т. е. отнесенная к Е, скорость по температуре изменения модуля
упругости; а = — ~ — коэффициент линейного температурного
расширения.
Из D.8) следует, что отношение а/т) должно оставаться одинако-
одинаковым для всех металлов. Например, у Fea а «= 1,1 -Ю"8, tj=2,7 • ЮЛ
а/т, = 4,01 -Ю-4; у Wo- 0,4 .lO"8, tj = 5,83 -КГ*, а/т| - 4,11 -Ю.
При изменении температуры у стали от 25 °С до 450 °С величина
Е уменьшается на 20%.
Приведем в качестве примеров некоторые данные, иллюстри-
иллюстрирующие влияние температурного фактора на упругую работу ме-
металлов.
На рис. 4.44 показана зависимость модуля упругости важней-
важнейших материалов, используемых в авиационных конструкциях, от
температуры.
8.6. Влияние температурного фактора на
пластическую деформацию.
8.6.1. Сопротивление начальным пластическим деформациям
в зависимости от температуры. Повышение температуры до вели-
величины, сравнительно мало отличающейся от температуры плавле-
плавления, характеризуется снижением предела текучести.
Понижение температуры по сравнению с комнатной повышает
предел текучести. У монокристалла алюминия при понижении тем-
температуры от 600 °С до —185 °С от повышается в 8 раз.
') Ф р и д м а и Я. Б., Качественная сталь № 1, A937).
Фридман Яков Борисович A911—1968) — советский ученый в области испы-
испытания материалов и физики прочности.

$ 4.8)
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
283
На рис. 4.45 изображены кривые зависимости предела теку-
текучести от температуры для различных сплавов.
Из рассмотрения рис. 4.45 можно заключить, что, во-первых,
ряд сплавов, имеющих более высокий предел текучести при ком-
комнатной или сравнительно невысоких сходственных температурах,
0т,хГ/т* а)
6)
о
—^
М237^
-WF-
7075
\
¦-V
V
-——,
30
го
10
Al-Zn
-л
ч
ч
JVZr
ч
/ 2 3 WOOr 0/23 WWV
ет,хГ/»»г в) 6т,нГ[мяг г) -
80
60
20
\
S
6А1
s
-4V
ч
S]
8?
N
12 3 4 5 6'100'С
бт,кГ[ммг
60
•mm.
*—-
S
к
\
/ г з 4 5 бчаге
12
бЧШ'С
Рис. 4.45. Изменение предела текучести различных сплавов в зависимости от темпера-
температуры: а) алюминиевые сплавы [Dlx E. H., Aluminium Alloys for High Temperature Service.
Symposium Structures for Thermal Flight, Los Angeies, March 1956, ASME, Paper
56-AV-8]; б) магниевые сплавы; в) сплавы титана [Mote M. W., Frost P. D.. Batelle Me-
Memorial Inst. Rep. 15 (Sept. 1955)]; г) нержавеющие стали, принимающие термообработку
Roach D. В., Hail A. M., Batelie Memorial Inst. Rep. 48 (July 1956I; д) суперсплавы,
применяемые в газовых турбинах.
в дальнейшем, при повышении температуры, резче теряют в вели-
величине от и последняя становится меньше, чем у сплавов с относи-
относительно невысоким пределом текучести при комнатной и небольшой
сходственной температуре. Во-вторых, что ряд алюминиевых спла-
сплавов теряют 50% в величине предела текучести по сравнению с та-
таковой при комнатной температуре уже при 150—250 °С, ряд спла-
сплавов титана — при 400—500 °С, некоторые нержавеющие стали,

284 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
принимающие термообработку, — примерно при 500 °Си, наконец,
некоторые суперсплавы х) — при 700 °С.
8.6.2. Зависимость коэффициента упрочнения от температуры.
Влияние температурного фактора на коэффициент упрочнения
гораздо ощутимее, чем на предел текучести, например, у кадмия
при изменении температуры с 200 °С до — 250 °С коэффициент
упрочнения увеличивается в 400 раз.
В области средних (~50%) сходственных температур умень-
уменьшение коэффициента упрочнения по сравнению с таковым при ком-
комнатной температуре очень заметно; здесь особенно сильно прояв-
проявляются отдых и рекристаллизация. Если скорость деформирования
высокая и влияние температуры не длительное, то ни отдых, ни
рекристаллизация не успевают заметно произойти, в связи с чем
влияние скорости деформирования оказывается особенно ощутимым.
Повышение скорости деформирования и понижение температуры
влияют на коэффициент упрочнения аналогично.
В металле, претерпевающем пластическую деформацию в об-
области упрочнения, в условиях определенного температурного ре-
режима происходят два противоположных процесса — упрочнение
(наклеп) и разупрочнение (отдых и рекристаллизация). При этом
при низких температурах превалирует первый, а при высоких —
второй. Оба эти процесса весьма существенно влияют на протека-
протекание ползучести.
8.7. Влияние температурного фактора на
прочность.
8.7.1. Длительная прочность. Предел длительной прочно-
прочности. Сопротивляемость материала пластическим деформациям и
разрушению при высоких температурах зависит от продол-
продолжительности воздействия нагрузки на изделие. В ряде случаев
при непродолжительном воздействии нагрузки в условиях высоких
температур материал обладает хорошей сопротивляемостью и пла-
пластическим деформациям и разрушению, а при продолжительном
воздействии оказывается недостаточно стойким. В связи с этим
вводятся специальные характеристики: предел длительной проч-
прочности и предел ползучести (последний пояснен в § 4.10, раз-
раздел 4).
Пределом длительной прочности называют максимальное на-
напряжение, которое может выдержать материал, не разрушаясь
в течение определенного времени. Символически" эту характери-
характеристику обозначают так: а100, ош, а10000; нижний индекс указывает
продолжительность работы материала в часах.
*) Суперсплавы (например, разработанные для лопаток газовых турбин) —
это сплавы, в основе которых лежит не один металл, как железо в обычных сталях,
а два или большее число металлов (Cr, Ni и др.), и, таким образом, эти сплавы
содержат железа намного меньше, чем жаростойкие стали, принимающие закалку.

* 4.8]
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
285
Предел длительной прочности и предел ползучести прибли-
приближенно выражаются линейной функцией логарифма продолжитель-
продолжительности работы при постоянной темпе-
температуре.
8.7.2. Влияние температурного факто-
фактора на сопротивление срезу и отрыву. Схема
А. Ф. Иоффе. Сопротивление срезу умень-
уменьшается, а сопротивление отрыву почти не
изменяется при увеличении температуры.
Именно указанной динамикой изменения
сопротивлению срезу и отрыву объясняется
переход материала из хрупкого состояния
в пластичное при повышении темпера-
температуры.
Ня пио 4 4fi ппк-ячяня гурмя Д <Ь Wnrh Рис- 4'4в- Зависимости соп-
nd рИС. Ч.ЧО Показана Схема А. Ц>. К1Оф- ротивления срезу и отрыву
фе х) ЗаВИСИМОСТИ СОПрОТИВЛеНИЯ ПЛЭСТИЧе- от температуры и скорости
скому и хрупкому разрушению от темпе-
температуры и скорости нагружения
. Температура, °С
У металлических, в частности конструк-
нагружения (схема А. Ф.
Иоффе): / — сопротивление
срезу, 2 — сопротивление
отрыву, 3 — область пласти-
пластического разрушения, 4 —
область хрупкого разруше-
разрушения.
ционных, сплавов температура перехода
в хрупкое состояние, так называемая кри-
критическая температура, очень низка, например —253 °С у норма-
нормализованной среднеуглеродистой стали, испытанной статически
(рис. 4.47). Некоторые металлические сплавы, например аустенит-
6,кГ/ммг
100
75
50
25
а)
-196
6,кГ/ммг
гт
150
то
50
6)
-253°
^—'
п
-
„—
-№„
"
«л
10 W 50 40 50
70 и /О 20 30 40 50 60 70
?,% p.%
Рис. 4.47. Зависимость вида диаграммы а — ф при растяжении от температуры: а)армко-
железо; б) нормализованная сталь 45 [Ужик Г. В., Прочность и пластичность металлов
при низких температурах, Изд-во АН СССР, 19571.
ные стали, сплавы никеля, алюминия, при испытании образцов,
подвергнутых осевой деформации, не переходят вовсе в хрупкое
состояние. На рис. 4.48 показана зависимость прочности некоторых
х) Схема Иоффе впервые изложена в статье: Иоффе А. Ф., Журн. Русск.
физ-хим. о-ва 56, 491 A924).
Иоффе Абрам Федорович A880—1960) — советский физик, академик, глава
большой школы советских физиков, организатор многих научно-исследовательских
учреждений в СССР.

286
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
10
о кол бек, Макеильварц Маннине
х Гол омон, Зенвр
Д Ми/глет
перлитных сталей от температуры, в том числе в области низких
температур. Естественно, что вследствие снижения пластичности
при низких температурах становятся существенными и факторы
концентрации напряжений и динамичности воздействия, воспри-
воспринимаемого материалом.
8.7.3. Влияние температурного фактора на возможность меж-
межкристаллического излома. Температурный фактор может повлиять
на состояние фазы, расположенной между зернами в поликристалли-
поликристаллическом металле. Если эта фаза
легкоплавка, то при повышении
температуры может наступить
разрушение. Таким обстоятель-
обстоятельством, например, объясняется
красноломкость стали при на-
наличии FeS на границах между
зернами. В некоторых сплавах,
например в сплавах вольфрама,
магния, к межкристаллическому
разрушению приводит пониже-
понижение температуры.
8^7.4. Тепловая хрупкость.
Некоторые материалы вследствие
длительного воздействия на них
высоких температур (иногда сов-
совместно с нагрузкой) переходят
в хрупкое состояние при дина-
динамическом воздействии. Такое
явление называется тепловой
хрупкостью; природа его не вы-
выяснена до конца. В теплоустой-
теплоустойчивых сталях обычных марок
она наступает скорее всего в интервале 450—650°. В указан-
указанном интервале температур тепловая хрупкость наступает через
100 часов в сталях, наиболее подверженных обсуждаемому явле-
явлению, и через 4000—5000 часов в наиболее стойких сталях, содержа-
содержащих следующие легирующие добавки: Сг и Мо; Сг, Мо и Ti; Cr, Мо
и V; Cr, Mo, W и V.
Сильнее других сталей подвержены возникновению тепловой
хрупкости хромоникелевые, марганцевые и медистые стали.
Тепловая хрупкость отсутствует у достаточно чистых однофаз-
однофазных металлов и сплавов. Некоторые исследователи склонны счи-
считать тепловую хрупкость следствием физико-химических процессов,
происходящих на границе между зернами.
8.7.5. Зависимость прочность — температура. Сопоставление
зависимостей прочность — температура у различных металлов дано
на рис. 4.49.
I В
в W
Рис. 4.48. Предел прочности при растя-
растяжении некоторых перлитных сталей в диа-
диапазоне температур + 315н—195 °С; ниж-
нижняя горизонтальная шкала — величина,
обратная абсолютной температуре; верх-
верхняя горизонтальная шкала — температура
в градусах Цельсия [Hollomon J. Н.,
The Problem of Fracture. American Welding
Society, New York, 1946].

4-8]
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
287
8.8. Требования, предъявляемые к материа-
материалам, работающим в условиях высоких или
низких температур. Основными свойствами, которым
должны удовлетворять материалы, предназначаемые для работы
в условиях высоких температур, яв-
являются жаропрочность и жаростой-
жаростойкость.
Жаропрочностью материала на-
называется способность его противо-
противостоять пластической деформации и
разрушению при приложении нагруз-
нагрузки в условиях высоких температур.
Жаростойкостью называют способ-
способность материала хорошо противо-
противостоять химическому воздействию
(в частности, газовой среде) при вы-,
соких температурах.
Свойство материала не размяг-
размягчаться или слабо размягчаться при
достаточно длительном воздействии
такой высокой температуры, как тем-
температура каления, называется красно-
красностойкостью. Для стали, например,
эта температура равна 600—650 °С.
Работа машины или аппарата в ус-
условиях высокой температуры предъяв-
предъявляет к материалам значительное число
и других требований. Кроме прочно-
прочности и пластичности существенными
оказываются такие свойства и характе-
характеристики, как сопротивляемость старе-
старению — сохранение достаточно высоко-
высокого значения модуля упругости, так как
от него зависит величина перемещений
и, следовательно, жесткость конструкции; отсутствие склонности
к ползучести (см. § 4.10, раздел 4); прочность по отношению к удар-
ударным нагрузкам; существенными являются такие характеристики,
как коэффициент теплопроводности, коэффициент 'теплового рас-
расширения, коэффициент теплоемкости. Последние три характери-
характеристики наряду с модулем упругости определяют собой величину
термических напряжений, могущих возникнуть при вы-
высоких температурах (см. формулу C.17)). В частности, от ве-
величины коэффициента теплового расширения зависит сопро-
сопротивляемость материала внезапному увеличению температуры —
так называемому тепловому удару. В связи со сказанным выбор
или создание материала для конструкции, предназначаемой
60
50
30
го
10
\
\
IIWI/
V
л
X
\
S
/
х/Ш'С
Рис 4.49. Предел прочности при
растяжении в функции от темпера-
температуры: / — Re, 2 — W. 3 — Mo,
4 — аустенитиая сталь, 5 — фер-
ритиая сталь, 6 — малоуглеродис-
малоуглеродистая сталь, 7 — графит, 8 — Та
[Faupel Joseph H., Engineering De-
Design. A Syntesls of Stress Analysis
and Materials Engineering. John
Wiley and Sons, New York — Lon-
London — Sydney, 1964].

288 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
для работы в условиях высоких температур, оказывается
сложным.
К числу жаростойких материалов относятся тугоплавкие ме-
металлы: вольфрам, молибден, ниобий и некоторые другие. Все они
очень сильно окисляются, что затрудняет их применение; без
специальной защиты, которую трудно создавать, они практически
не могут быть использованы. Температура плавления многих из
неметаллических тугоплавких материалов превосходит, и иногда
значительно, 3000 6С.
Основным требованием к материалам, предназначенным для
работы при низких температурах, является сохранение пластиче-
пластических свойств и отсутствие хладноломкости. К числу материалов,
плохо реагирующих на понижение температуры (возникает хлад-
хладноломкость), относятся фосфористые сплавы железа.
8.9. Сравнение влияний температурного
фактора и скорости деформирования. Анало-
Аналогия влияний двух факторов — температурного и скорости дефор-
деформирования — отмечалась выше. Сопоставлять два указанных влия-
влияния удается достаточно надежно при изотермическом процессе,
так как в случае адиабатического процесса не представляется
возможным наблюдение чистого эффекта влияния скорости деформи-
деформирования: при увеличении скорости происходит повышение темпе-
температуры, вызывающее эффект, противоположный достигаемому от
увеличения скорости.
Укажем на имеющиеся различия во влиянии двух отмеченных
факторов.
В упругой стадии это различие состоит в том, что Е и \х не за-
зависят от скорости деформирования, но зависят от изменения темпе-
температуры.
Повышение температуры вызывает не только непосредственно
чисто механический эффект, но и физико-химические процессы,
в свою очередь влияющие на механические свойства металла.
Возникновение хрупкости' материала в значительно большей
мере вызывается понижением температуры, чем повышением ско-
скорости деформирования.
9. Влияние неоднородности напряженного состояния на характер
разрушения. На переход материала из пластичного состояния в
хрупкое большое влияние оказывает характер напряженного состоя-
состояния в деформированном теле. Чем неоднороднее напряженное
состояние, тем легче совершается переход материала в хрупкое
состояние.
Одним из ярких проявлений неоднородности напряженного
состояния является концентрация напряжений.
Концентрация напряжений препятствует развитию пластиче-
пластических деформаций по всему объему — происходит локализация пла-
пластических деформаций в небольшой области. Поэтому при наличии

S 4.8]
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
289
концентрации напряжений материал имеет склонность находиться
в хрупком состоянии. На рис. 4.50 показано, как влияет на пере-
переход ИЗ; пластичного состояния материала в хрупкое концентра-
концентрация напряжений. На этом рисунке изображены диаграммы напряже-
напряжений образцов, изготовленных из одной и той же стали, но имеющих
в,кГ/миг
60
Рис. 4.50. Зависимость вида диаграммы напряжений а — е от формы образцов [Стрелец-
[Стрелецкий Н. С, Геинев А. Н., Балдин В. А., Беленя Е. И., Лессинг Е. Н., Стальные конструк-
конструкции, Стройиздат, 1952]
различную форму: один образец гладкий, а остальные имеют раз-
различные выточки, являющиеся различными по интенсивности вли-
влияния концентраторами; чем острее выточка, т. е. чем меньше цент-
центральный угол, тем выше коэффициент концентрации и тем в более
хрупком состоянии оказывается материал образца.
Неравномерность распределения напряжений, влекущая за со-
собой переход из пластичного состояния материала в хрупкое, воз-
возникает не только в связи с тем или иным,нарушением плавности
формы элемента конструкции, но и вследствие других причин, на-
например вследствие наличия начальных напряжений. Плвское или
объемное поле начальных напряжений первого рода может иметь
настолько заметный вес в поле суммарных напряжений, что обус-
обусловленная им неравномерность распределения напряжений в со-
состоянии вызвать переход из пластичного состояния материала
в хрупкое.
Так как в обычных расчетах концентрация напряжений или
начальные напряжения не учитываются, необходимо иметь гарантию
против хрупкого разрушения материала. Как эта гарантия дости-
достигается при осевой деформации образца с концентратором напряже-
напряжений, показано в § 2.15.
10 А. П. Филин

290
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
Г ГЛ. IV
Таблица 4.8
Диаметр, мкм
100
200
Длииа, см
5
40
20
10
30
15
Гарантию может дать испытание материала в условиях, при
которых мыслим переход из пластичного состояния в хрупкое.
Таким является испытание образцов с надрезами (см. § 4.10, раз-
разделы 3 и 5). Если обнаружится, что исследуемый материал при
таких испытаниях не обладает склонностью к хрупкому разруше-
разрушению, то его можно применять в конструкции, работающей в усло-
условиях, вызывающих опасение за появление хрупкого разрушения.
10. Масштабный фактор. Сопротивление образца или изделия
разрушению зависит от его размеров. Такое влияние размеров
называют масштабным фактором прочности. Изучен он в условиях
пластичного характера разрушения гораздо слабее, чем в условиях
хрупкого. Коснемся поэтому только последнего. Обнаружено, что
сопротивление отрыву с увеличением размеров поперечного се-
сечения стержня значительно уменьшается. Прочность тонких ннтей
значительно выше, чем нитей
большего поперечного сечения,
изготовленных из того же мате-
материала. Это явление имеет статис-
статистическую природу — вероятность
наличия дефекта, ослабляющего
тело, с увеличением размеров
последнего возрастает.
Сказанное справедливо, разу-
разумеется, не только для размеров
поперечного сечения, но и для других размеров, например для
длины образца. Прочность стеклянной нити с увеличением ее длины
(при неизменном поперечном сечении) уменьшается. В табл. 4.8
показана прочность такой нити. На рис. 4.51 показаны кривые,
характеризующие зависимость б от длины образца, для различных
металлов.
В статистической теории прочности предполагается, что разру-
разрушение наступает при совмещении по месту расположения максималь-
максимального напряжения и наиболее ослабленного сечения.
Обнаружено, что при достижении размером образца некоторой
величины падение прочности с дальнейшим увеличением размеров
прекращается. Зависимость прочности от размера сечения образца
имеет асимптотический характер (рис. 4.52). Это объясняется, по-
видимому, тем, что при размере, начиная с которого уже не наблю-
наблюдается дальнейшее понижение прочности, в образце образуется та
стандартная ситуация дефектов, характерная для данного матери-
материала, которая в изделиях большего размера просто повторяется
в любом из объемов, равных объему обсуждаемого образца. Оче-
Очевидно, что образцы желательно иметь большого размера, чтобы свой-
свойства, обнаруживаемые при их испытании, приближались к свойствам
материала в изделии. Правда, и при этом различие в поведении
образца и изделия будет обнаруживаться в связи с различием харак-

4.8]
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
291
тера напряженного состояния. В самих изделиях, как правило, ма-
материал менее однороден; имеется в виду технологическая неодно-
неоднородность, возникающая в процессе изготовления изделий — литья,
механической обработки. Вырезая образцы из разных частей
изделия, обнаруживаем различные до некоторой степени, свойства.
Повышение прочности с уменьшением размеров сечения, по-
видимому, нельзя связывать только со статистической природой яв-
явления. Здесь могут проявляться и другие факторы: различное
»Л
во
60 -
о
\
0
\
1
\
\
\
s
Ч
ч
/
\
в
г
а
4 .? /г is го
Рис. 4.51. Зависимость 6 от длины образца; по
оси абсцисс отложена длина образца в см>
1 — AI высокой чистоты, отожженный, 2 — ла-
латунь, 3 — монель, 4 — мягкая сталь, 5 —
кремнистые конструкционные стали, 6 — Mg,
7 — Cu[TempIin R. L. and Sturm R. G., Journ.
Aero. Sci. 7 G), 189—198 (July 1940)].
WCM
Рис. 4.52. Зависимость прочности от
размера сечения образца из стали 1045,
закаленной в воде и подвергнутой от-
отпуску при 430 *С; по оси абсцисс отло-'
жен диаметр образца в см; б определе-
определено на базе 5 см
удельное влияние зоны у поверхности на работу всего образца
(зона у поверхности может иметь, в зависимости от технологии
получения образца, иные свойства, чем остальная его часть), раз-
различие в структуре всего образца при сопоставлении образцов
разных размеров.
11. Радиационные эффекты в твердых телах. Твердые тела,
подвергающиеся облучению частицами, обладающими большой энер-
энергией, претерпевают значительные изменения, вследствие чего,
в частности, существенно изменяются их механические, в тем числе
упругие, свойства. Указанное явление наблюдается, например,
в материале конструкций атомных реакторов. Возникло три направ-
направления исследований:
1. Изучение влияния облучения на свойства твердых тел и
объяснение его физической природы.
2. Создание материалов, стойких к радиационным эффектам
в тех случаях, когда они нежелательны.
10*

292 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
3. Использование радиационных эффектов с целью изменения
свойств материалов в нужном направлении, наподобие того как
используется термическая или механическая обработка (наклеп)
металлов.
Причина изменения механических свойств материалов при об-
облучении частицами высокой энергии состоит в образовании дефек-
дефектов в кристаллической решетке.
Можно отметить следующие дефекты, развивающиеся при бом-
бомбардировке твердого тела тяжелыми частицами.
1. Вакансии, образуемые вследствие того, что частица высокой
энергии при столкновении с атцмом решетки выбивает последний
из узла, а он в свою очередь оказывается носителем энергии, до-
достаточной для образования еще ряда вакансий в решетке.
2. Внедренные атомы, т. е. атомы, выбитые из своего равно-
равновесного положения в решетке и заторможенные в таких промежу-
промежуточных положениях, из которых не происходит рекомбинации
атома с ближайшей вакансией (дефект Френкеля).
3. Атомы примесей, образующиеся в результате ядерных пре-
превращений, происходящих при бомбардировке нейтронами. Кроме
того, в твердое тело могут вводиться осколки, образующиеся в про-
процессе деления частиц.
4. Столкновения, сопровождающиеся замещением атомов. Оно
возникает в тех случаях, когда движущийся атом обладает энер-
энергией, достаточной для того, чтобы выбить атом из решетки, но
недостаточной для того, чтобы удалиться от образовавшейся ва-
вакансии, вследствие чего движущийся атом заполняет вакансию.
Получается обмен движущихся атомов с атомами решетки.
5. Тепловые клинья и клинья смешения, состоящие в том, что
вследствие воздействия на атомы решетки частицы, движущейся
в ней, происходит значительное возбуждение атомов, если эта
частица способна сместить атомы из их узлов. Возбуждение ато-
атомов проявляется в увеличении амплитуды колебаний относительно
узла решетки, и, таким образом, вещество вдоль пути движения
частицы, возбуждающей атомы, нагревается до высокой темпера-
температуры (~ 1000° К) в области, содержащей несколько тысяч атомов.
Высокая, температура держится от 10~10 до 10~п сек и, вследствие
расширения области возбуждения, падает: при этом происходит
закалка небольшого объема вещества. Такой процесс называется
тепловым клином.
6. Ионизационные эффекты возникают вследствие прохожде-
прохождения заряженных частиц или у-квантов сквозь твердое тело и со-
состоят в ионизации и в. электронном возбуждении, сопровождаемых
разрывами связей и другими проявлениями.
В целом облучение тела потоком частиц, например нейтронов,
приводит к структурным изменениям, вызываемым смещениями
атомов из первоначальных положений. Можно, например, при по-

§ 4.8]
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
293
Е г*
О
/
/
у
1'
Г*
цг
по
мощи нейтронной бомбардировки аморфизировать кристалл (кри-
(кристаллический кварц превращается в кварцевое стекло). В других
случаях облучение аморфных веществ может инициировать их
кристаллизацию.
Радиационные эффекты устраняются путем отжига.
Изменение упругих свойств твердого тела в результате об-
облучения состоит в заметном повышении модуля упругости. Напри-
Например, облучение графита в реакторе дозой 102° нейтрон/см* при-
приводит к повышению модуля упругости в 3 раза. Теоретически это
явление связывают с внедренны-
внедренными атомами. Один процент внед-
внедренных атомов повышает модуль
упругости меди на 7%. Удалось
повысить модуль упругости меди
на 15—20% при дозе облучения
4- Ю12 нейтрон/см2 *). Увеличение
модуля упругости с повышением
уровня интенсивности облуче-
облучения, начиная от некоторой дозы,
перестает быть пропорциональ-
пропорциональным дозе облучения. Медь «на-
«насыщается» облучением, т. е. при
увеличении дозы облучения
сверх некоторого значения даль-
дальнейшего роста модуля упругости
не происходит. При облучении
тела обнаруживается изменение
внутреннего трения. В меди
удалось достигнуть уменьшения
логарифмического декремента (см. гл. XVII), характеризующего
внутреннее трение, на порядок величины. Это явление объяс-
- няется закреплением дислокаций образуемыми дефектами.
Опыты проводились и с рядом других веществ. Облучение
металлов приводит к изменению вида диаграммы напряжений.
Диаграммы напряжений, полученные для облученного (доза бы-
быстрых нейтронов 2-Ю18 нейтрон 1см2) и необлученного монокри-
монокристалла меди, показаны х) на рис. 4.53. Эффект облучения до неко-
некоторой степени аналогичен эффекту закалки твердого раствора.
На рис. 4.54 показаны кривые истинных напряжений для ни-
никеля, облученного (~1020 нейтрон/см2 при энергии нейтронов
выше 1 Мэв, Т « 80° С) и необлученного.
Облучение приводит к изменению положения температурной
границы между хрупким и пластичным состояниями металлов. На
') Д и и с Дж., Виннард Дж., Радиационные эффекты в твердых
телах, пер. с англ. А. Х.Брегерапод ред. Г. С. Жданова, ИЛ, I960 (библ. 395
вазваний).
Рис. 4.53. Влияние иа свойства материалов
радиационного эффекта; кривые зависимо-
зависимости касательного напряжения от деформа-
деформации сдвига для кристаллов меди: / — не-
облученный образец, 2 — облученный об-
образец [Blewitt Т. Н., Coltman R R., The
Effect of Pile Irradiation on the Stress-
Strain Curve of Copper, Phys. Rev 82 769
A951) (A).l

294
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
кГм
20
2
_--^>—
/
/
ю
20
30 40
Рис. 4.54. Влияние облучения в реак-
реакторе на кривую зависимости истинного
напряжения от истинной деформации
для никеля: / — иеоблученный обра-
образец, 2 — облученный образец (~1020
нейтронам" при энергии нейтронов
выше 1 Мэв, Т ~ 80 °С) [Faris F. Е.,
The Effects of Irradiations on Structu-
Structural Materials. Proceedings of the Inter-
International Conference on the Peaceful
Use of Atomic Energy, United Natlens,
vol. 7, 1956, p. 484, paper № 747].
1,11
0,82
0,55
-20
t\
1
1
1
wA —
— —
2/
J
i
0
20
40
вО "С
Рис. 4.8В. Кривые перехода от хрупкого к
ковкому состояиню для облученного н необлу-
ченного образцов, испытываемых на удар:
¦ / — необлучеиная сталь, 2 —облученная сталь
F,7 -1017 частиц/см*; по оси абсцисс отложе-
отложена температура разрушения образца в °С,
по оси ординат — поглощаемая образцом к
моменту разрушения энергия) [Meyer R. А.,
Influence of Deuteron Bombardment and Strain
Hardening on Notch Sensitivity of Mild Steel,
Journ. Appl. Phys. 25, 1369 A954I.
««-•4
^
*
/<7
12 ft 16 IB
'103яГ/с»г
¦ Рис. 4.56. Влияние гидростатического давлеиия на пла-
пластичность металлов: / — Си, 2 — А1, 3 — армко-желе-
зо, 4 — сталь (С = 0,2), 5 — сталь (С = 0,5), 6 — Mg,
7 — Сг, 8 — чугун.
Рис. 4.57. Влияние гидроста-
гидростатического давления иа вид
диаграммы аист — енст при
растяжении отожженной бес-
бескислородной медн высокой
электропроводности: /—дав-
/—давление 3,13-10" кГ/см*, 2 —
— 1,57-103 кГ/см', 3 —
—0,78-10» кГ1см',4—\кГ1смх.

§ 4.9] МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ПРОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 295
рис. 4.55 изображено повышение этой |границы при облучении
стали.
Воздействие оказывает радиация и на полимеры, а также на
материалы, имеющие их в основе. В молекулах некоторых из
них образуются поперечные связи (т.е. структура становится
сетчатой) и, следовательно, увеличивается твердость; в других —
уменьшается средний молекулярный- вес. Можно привести такие
примеры: при кратковременном радиоактивном облучении полиэти-
полиэтилена- 1 в нем образуется сетчатая структура, влекущая за собой
повышение теплостойкости. Фторопласт-4 под влиянием радиоак-
радиоактивного облучения утрачивает упругость, становясь все более'
жестким, а затем и хрупким материалом.
12. Влияние высокого гидростатического давления. Высокое
гидростатическое давление *), накладываемое на поле напряжений,
соответствующее тому или иному воздействию на образец (растя-
(растяжение, кручение и т. п.), оказывает существенное влияние на свой-
свойства материала, обнаруживаемые в опытах на указанные воздей-
воздействия. Ниже отмечаются некоторые характерные факты.
Самое существенное влияние высокое гидростатическое дав-
давление оказывает на пластические свойства материалов. Такое
влияние проиллюстрировано на рис. 4.56. Рис. 4.57 иллюстрирует
влияние высокого гидростатического давления на вид кривой
§ 4.9. Методы получения прочных металлов и сплавов
Выше было показано, что наличие в металле таких дефектов,
как дислокации, способствует протеканию пластических деформа-
деформаций, которые при возрастании нагрузки завершаются разрушением
срезом. К этому же эффекту приводят и другие дефекты, способные
вызвать возникновение дислокаций. Отсюда можно сделать вывод,
что упрочнения металла можно достигнуть, устранив из него все
дефекты и добившись идеальной монокристаллической структуры.
С другой стороны, отмечено, что при наличии большого числа раз-
различных дефектов материал становится прочнее. Таким образом,
дефекты оказывают влияние как упрочняющее, так и разупрочняю-
щее. Это противоречие кажущееся. Все дело в количестве дефек-
дефектов. Зависимость между удельным числом дефектов и прочностью
характеризуется графиком, изображенным на рис. 4.58. Из него
видно, что при очень малом удельном количестве дефектов проч-
прочность металла должна быть очень высокой. Такой металл еще не
получен, если не считать нитевидных кристаллов металлов («усов»),1
х) Механические свойства материалов под высоким давлением. Под ред.
X. Л. Пью, пер. с англ. Общее ред. акад. Л. Ф. Верещагина. Вып. I. Общие вопросы
воздействия высоких давлений на механические свойства материалов. Вып. II.
Приложение высоких давлений в технологических процессах, «Мир», 1973.

296
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
которые, будучи практически бездефектными, обладают исключи-
исключительно высокой прочностью, приближающейся к теоретической,
и подтверждают справедливость положения о высокой ожидае-
ожидаемой прочности совершенных по структуре металлов.
При некотором удельном количестве дефектов прочность ме-
металла минимальная, это число можно назвать наиневыгод-
и е й ш и м, дальнейшее же увеличение удельного числа дефектов
приводит к нарастанию прочности, правда, не столь интенсивному,
как при уменьшении числа дефектов по срав-
сравнению с наиневыгоднейшим. Удельное коли-
количество дефектов во всех существующих техни-
технических металлах и сплавах соответствует
точкам на правой ветви кривой рис. 4.58.
За исключением упоминавшихся выше
нитевидных металлических кристаллов со
структурой высокого совершенства, еще не
удалось попасть в область левой ветви кри-
кривой (рис. 4.58). Применяемые в технике методы
упрочнения поликристаллических металлов ос-
основаны на искусственном увеличении удель-
удельного числа дефектов, достигаемом различными
методами. К числу наиболее распространен-
распространенных и пока наиболее эффективных средств
повышения прочности металлов относятся ле-
легирование металлов при помощи тех или
иных добавок, т. е. получение металлических
сплавов, и термическая обработка их. Оба
этих направления тесно связаны с изучением
свойств сплавов при помощи диаграмм со-
состояния.
Необходимость получения значительно бо-
более прочных материалов, чем ныне извест-
известные (сейчас уже имеются стали, правда,
300400 /*
Рис. 4.58. Зависимость
предела прочности
от количества дефек-
дефектов кристаллического
строения: N — количест-
количество дефектов кристалли-
кристаллического строения, / —
диапазон количества де-
дефектов в современных
металлах и сплавах, 2—
пр jxTHteoKH достигаемая
на сегодня прочность;
пунктирная часть кри-
кривой —теоретическая:т—
количество дефектов, ко-
которому отвечает мини-
минимальная прочность [Ра-
[Рабинович М. X., Проч-
Прочность и сверхпрочность
металлов, Изд-во
СССР, 1963].
АН
( у
получаемые пока в лабораториях, с прочностью до 300—400 )
заставила искать новые пути повышения прочности. К числу их
относятся: термомеханическая обработка, представляющая собой
последовательное сочетание термической обработки с холодной
деформацией металла; фазовый наклеп, в котором используется
свойство увеличения объема, занимаемого металлом, при некоторых
фазовых превращениях (например, в железе), для деформации
внешних слоев под влиянием увеличивающейся в объеме сердцевины;
магнитная обработка (комбинируется с термомеханической), со-
состоящая в использовании эффекта (правда, весьма незначительного)
изменения объема при намагничивании Fea; облучение ядерными
частицами. Технология термомеханической обработки сложна, но
она позволяет получать мартенситную структуру не в пределах

§ 4.9| МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ПРОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 297
первоначальных зерен, а в новых, более мелких, что увеличивает
степень дисперсности и повышает прочность на величину порядка
100 кГ/мм2.
Фазовый наклеп имеет то достоинство, что он может быть при-
применен к полностью изготовленной детали и исключает, таким
образом, необходимость механической обработки после приобре-
приобретения металлом большой прочности. Использование фазового на-
наклепа позволяет повысить предел прочности углеродистых сталей
(Ст. 1, Ст. 2, Ст.3) от величины порядка 30—50 кПмм2до80—90кГ/мм*.
Облучение ядерными частицами (нейтронами) повышает пре-
предел текучести при почти неизменном пределе прочности и приме-
применяется к отожженному металлу. Искажения решетки, вызываемые
облучением, рассмотрены в предыдущем параграфе. Неудобство
использования этого метода изменения механических свойств со-
состоит в приобретении металлом после бомбардировки ядерными
частицами радиоактивности.
Отличительной особенностью всех методов, упрочняющих ме-
металл путем увеличения числа дефектов, является то, что, после
их использования, при повышении температуры восстанавливается
регулярность строения металла внутри зерен и прочность падает.
Для предотвращения этого падения прочности в самолетных и
ракетных конструкциях, а также в газовых турбинах, где темпера-
температура доходит до 1200—1500° С, ведется большой научно-техниче-
научно-технический поиск в направлении получения весьма высокой прочности
металла за счет устранения из него дефектов. Высокая прочность
идеальных по структуре (бездефектных) монокристаллов позволяет
использовать весьма высокопрочные так называемые усы в компо-
композитных материалах. Устранение одной из категорий дефектов до-
достигается за счет получения чистого (без примесей) металла путем
применения вакуумной дистилляции, зонной плавки и разложения
летучих соединений металлов. Устранение других дефектов, та-
таких, как дислокации и их источники, не связанных с наличием
примесей, достигается воздействием на металл высоких давлений,
измеряемых тысячами и десятками тысяч атмосфер. По-видимому,
устранение дефектов позволит получить металлы, прочность которых
подойдет вплотную к теоретической.
Одним из новых и исключительно перспективных направлений
в получении металлов с важными для практики сочетаниями свойств,
в частности сочетанием высоких прочности и пластичности, яв-
является разработка технологии металлов высокой степени чистоты.
Обнаружено, что на механические свойства ряда металлов решаю-
решающее влияние оказывают ничтожные в количественном отношении
примеси. Избавление от этих примесей позволяет принципиально
улучшить свойства металла. Ярким примером могут служить туго-
тугоплавкие металлы и в первую очередь W, Мо, Сг, Та, Nb, считав-
считавшиеся до недавнего времени хрупкими (хладноломкими), а также

298 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
Be и Re, также считавшиеся хрупкими. Все эти металлы при вы-
высокой степени чистоты, достигаемой особой технологией, а именно
зонной плавкой с электронно-лучевым или индукционным нагре-
нагревом, обладают очень большой пластичностью при комнатной тем-
температуре образца; в частности, образец можно медленно загнуть
на 180°. Одновременно с устранением примесей стремятся создать
условия для сравнительно легкого выращивания монокристаллов
большого размера. В монокристалле металл обладает еще большей
пластичностью. Для того чтобы знать, какую долю увеличения
пластичности можно отнести за счет химической чистоты, а какую
за счет монокристалличности, производили опыт с образцами из
металла высокой чистоты, один из них был монокристаллическим,
а другой путем механического воздействия был переведен из моно-
монокристаллического состояния в поликристаллическое. При этом
пластичность второго образца, оставаясь все еще высокой, оказа-
оказалась все же ниже, чем у первого.
Таким образом, регулярность строения во всем объеме образца
приводит к повышению его пластических свойств.
Резкое снижение пластических свойств тугоплавких метал-
металлов в присутствии очень незначительного количества таких при-
примесей, как углерод, кислород, азот, объясняется тем, что они
являются примесями внедрения.
§ 4.10. Различные виды испытания материалов
1. Предварительные замечания. В §§ 2.11 и 2.13 были описаны
статические кратковременные испытания гладких образцов из раз-
различных материалов на растяжение и сжатие при комнатной тем-
температуре. Предыдущие параграфы настоящей главы содержат опи-
описание различных упругих и механических свойств материалов и
оценку влияния различных факторов на эти свойства. Уже при
этом обсуждении приходилось обращаться к результатам динами-
динамических испытаний (при определении сопротивляемости ударному
воздействию и при оценке влияния скорости деформирования на
различные свойства), кратковременных и длительных испытаний
при высоких температурах (при определении предела длительной
прочности и предела ползучести, а также при оценке влияния темпе-
температурного фактора на различные свойства), длительных испытаний
при переменных по величине и знаку нагрузках, длительных
испытаний при комнатной температуре и постоянной нагрузке и при
монотонно убывающей нагрузке. Приходилось, наряду с рассмо-
рассмотрением результатов испытания гладких образцов, обращаться и
к анализу материалов испытаний образцов с надрезом; указывалось,
что, кроме непосредственного определения интересующих инже-
инженера свойств материала, существуют косвенные пути оценки этих
свойств (при помощи определения твердости); отмечалось, что,

§ 4.10] РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ 299
наряду е изучением свойств на образцах достаточно больших раз-
размеров, производится изучение свойств в малых объемах материала.
Все .это свидетельствует об огромном многообразии разно-
разновидностей форм, условий и методов исследования свойств мате-
материалов. Такие исследования — выбор устойчивых характеристик,
разработка методик, установление зависимостей свойств от раз-
различных факторов и объяснение их природы — составляют предмет
дисциплины, носящей название испытание материалов. Эта дис-
дисциплина теснейшим образом связана с физикой твердого тела,
в частности с физикой металлов, с химией, с технологией мате-
материалов, металлографией, кристаллографией, рентгенографией, с
экспериментальной техникой (испытательные машины и приборы),
с эксплуатацией изделий, материал в которых работает в самых
разнообразных условиях, и с механикой твердого деформируемого
тела.
Наряду с испытаниями, проводимыми для получения механи-
механических характеристик материалов, изучаемых в сопротивлении
материалов, проводятся и так называемые технологические пробы,
например, загиб полосового образца, продавливание круглой мат-
матрицей диска из листа и т. п. Такие пробы осуществляются для
проверки поведения материала при соответствующих технологи-
технологических процессах — при гнутье, штамповке и т. п. Настоящий па-
параграф преследует весьма скромную цель — показать классифика-
классификацию существующих типов испытаний свойств материалов г).
2. Кратковременные статические испытания гладких образцов
при комнатной температуре. Статическое испытание материала
в гладких образцах в условиях комнатной температуры произ-
производится не только при растяжении и сжатии; применяются еще и
следующие испытания.
Изгиб однопролетных балок прямоугольного поперечного се-
сечения при загружении сосредоточенными силами; наиболее су-
существенная область применения — испытание малопластичных и
хрупких материалов, с которыми затруднительно ставить экспе-
эксперимент в условиях растяжения ввиду большой чувствительности
результатов испытаний к перекосу образца и необходимости при-
применения сложных аксиаторов для его устранения.
х) Испытаниям материалов посвящена большая литература, например:
Новые методы испытаний металлов (спорадически выходящие Сборники
трудов ЦНИИЧМ им. Н. П. Бардина), Государственный Комитет по черным и
цветным металлам при Госплане СССР, МеталлургНИИпроект.
Авдеев Б. А., Техника определения механических свойств материалов,
изд. 4-е, «Машиностроение», 1965.
Авдеев Б. А., Испытательные машины и приборы, Машгиз, 1957.
Шапошников Н. А., Механические испытания металлов, Маш-
Машгиз, 1951.
Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, изд. 3-е, части Г,
2, «Машиностроение», 1974.

300
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
Кручение круглых цилиндрических образцов; одним из приме-
применений является исследование высокопластичных материалов с целью
устранения осложнений, вносимых в картину явления и в рас-
расшифровку результатов испытаний на растяжение, связанных с об-
образованием шейки, ввиду большой чувствительности материала
к дефектам на поверхности и к внутренним микротрещинам.
Наряду с указанными выше основными методами испытания
материалов, с целью упрощения методики используются следующие.
Растяжение кольцевых образцов (рис. 4.59); применяется для
испытания материала стенок эксплуатировавшихся уже котлов
без полного вывода из строя агрегата — после вырезки образца
Рис. 4.59. Схема испытания
кольцевого образца на рас-
тяжеине.
Рис. 4.60. Схема испытания иа Иагнб
дисков, опертых по контуру [Фрид-
[Фридман Я. Б., Механические свойства ме-
металлов, Обороигиз, 1952].
образовавшееся отверстие легко заделывается. Недостатком яв-
является наличие в образце кроме .растяжения и изгиба, на который
сильно реагируют малопластичные металлы.
Изгиб дисков, опертых по контуру (рис. 4.60); этот вид испытания
создает напряженное состояние, более близкое к тому (двухосное
растяжение), которое имеется в баллонах, сосудах, трубах, чем
напряженное состояние при одноосном растяжении; поэтому резуль-
результаты такого испытания являются более надежными для суждения
о поведении материала в указанных выше изделиях. Разрушение
может быть либо пластичным — продавливание диска, либо хруп-
хрупким — образование радиальных трещин.
Испытание гладких микрообразцов г) при растяжении; исполь-
используется для следующих целей: выявления неоднородности и анизо-
анизотропности материала в пределах изделия; изучения структур, воз-
возникающих лишь в тонких изделиях, например, при волочении,
прокатке их или в цельноцементированных или цельноазотирован-
ных изделиях; изучения свойств материала изделия при минималь-
минимальной ватрате материала с целью сохранения изделия; изучения
х) Размеры образцов колеблются в следующих пределах: общая длина
,6 + 10,4 мм, диаметр 1,2 -5- 0,8 мм, длина между площадками для передачи
1грузки 6,6 + 4,4 мм.

$ 4.101 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ 301
свойств материала сварных швов; изучения масштабного фактора
при уменьшении образца. Для изготовления и испытания микрооб-
разцов используются специальные инструменты, приспособления,
приборы и применяется особая технология. . ,
3. Испытание образцов с надрезами при однократном нагружении.
Ввиду наличия в различных деталях машин и других изделиях
всевозможных канавок, выточек, отверстий, нарезок, галтелей,
необходимых для конструктивных и эксплуатационных целей, воз-
возникла необходимость выяснить чувствительность материала к над-
надрезам, для чего производится сопоставление результатов испытания
материала в гладких образцах и образцах с надрезом. Наряду
с этим определяют и абсолютные значения характеристик мате-
материала при наличии надреза в образце. В большинстве случаев
надрез снижает пластичность и вязкость материала и мало влияет
на прочность. Испытания производят при различных видах дефор-
деформации образца (растяжение, сжатие, кручение, изгиб), различных
геометрических параметрах надрезов, различных абсолютных раз-
размерах образцов; все эти факторы оказывают существенное влияние
на чувствительность к надрезу. Рассматривают чувствительность
материала к надрезу по признаку прочности, деформации, вязкости.
Наибольшее значение имеют исследования, в которых образцы
доводятся до разрушения. В надрезанных образцах, в силу кон-
концентрации напряжений, пластические деформации локализуются
областью надреза и характер разрушения образца, хрупкий при не-
неинструментальном осмотре, оказывается на самом деле пластич-
пластичным, что обнаруживается при микроскопическом изучении.
Особенно важным исследование свойств в образцах с надрезами
является для материалов высокой прочности.
Наряду с основной отмеченной выше целью, испытание надре-
надрезанных образцов выявляет распределение. местных деформаций,
давая необходимые данные для построения соответствующей теории,
и позволяет искать пути уменьшения чувствительности к надрезу,
в частности, при помощи разгружающих или перегружающих
надрезов. Об этом подробно говорится в главе XIX.
Влияние химического состава, структуры и вида обработки
материала на механические свойства при наличии надреза (чув-
(чувствительность к надрезу) значительно выше, чем влияние тех же
факторов на механические свойства в гладких образцах.
4. Длительные испытания при статических нагрузках.
4.1. Общее замечание. Длительное воздействие на-
нагрузки в условиях высоких сходственных температур на материал
в паровых и газовых турбинах, котлах и других агрегатах вызывает
ряд процессов, в частности ползучесть и релаксацию. Остановимся
на этих явлениях.
4.2. Ползучесть. Ряд материалов в различных условиях
испытывает так называемую ползучесть, состоящую в том, что

302
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
с течением времени в материале без увеличения напряжений
(нагрузки) и без изменения температуры происходит рост пласти-
пластических деформаций х). Различается две разновидности ползучести:
ползучесть с участком установившегося процесса и неустановив-
неустановившаяся ползучесть. Первая из них в си-
системе осей ozt (t — время) изобража-
изображается диаграммой, показанной на рис.
4.61. Из диаграммы видно, что некото-
некоторая деформация емгн, называемая мгно-
мгновенной, происходит в тот относитель-
относительно короткий промежуток времени, в
течение которого прикладывалась на-
нагрузка. Далее без увеличения нагрузки
(напряжений) происходит рост дефор-
деформаций. В течение отрезка времени 0tx
деформации происходят при переменной
скорости. Скорость деформаций умень-
уменьшается до определенной величины, и диаграмма имеет криволи-
криволинейную форму. Начиная с момента tx и до момента t% деформации
растут с постоянной скоростью, при этом ползучесть называется
установившейся и может происходить очень длительное время,
б, Г» const
Рис 4.61. Кривая ползучести
металла в системе осей aei.
Рис. 4.62. Проекция кривой ползучести металла на плоскость et; E' — мгновенная
деформация (упругая или упруго-пластическая), 8" — деформация ползучести; / — учас-
' ток неустановившейся ползучести (с течением времени скорость убывает); // — участок
установившейся ползучести (скорость ползучести сохраняется постоянной); ///—учас-
///—участок, предшествующий разрушению (скорость резко возрастает); Т — температура.
иногда измеряемое годами. Наконец, наступает период, в который
наблюдается повышение скорости деформации, завершающееся
разрушением образца или детали. Такой тип ползучести на-
наблюдается в металлах при высоких температурах.
Чем выше напряжения, тем интенсивнее происходит ползучесть
при прочих равных условиях, в том числе при одинаковой темпе-
температуре среды, в сопоставляемых случаях. На рис. 4.62 показана
проекция кривой ползучести на плоскость &t. Чем выше темпера-
*) С а л л и А., Ползучесть металлов и жаропрочные сплавы, пер. с англ.,
Оборонгиз, 1953.
Бордзыка А. М., Методы горячих механических испытаний металлов,
изд. 2-е, Металлургиздат, 1962.

S 4.101
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ
303
тура Т, при которой наблюдается явление, тем круче распола-
располагается кривая ползучести (рис. 4.63). Если испытывать образцы
при одинаковой температуре, но при разных уровнях напряжений,
то вид семейства кривых ползучести
получается такой, как показано на
рис. 4.64. Для деталей, выполненных
из материалов, для которых харак-
характерны кривые ползучести типа, по-
показанного на рис. 4.61, 4.62, уста-
устанавливается определенная продолжи-
продолжительность их работы. В этом случае
важной является характеристика, на-
называемая пределом ползучести. Под
пределом ползучести понимается на-
напряжение, при котором через опреде-
определенный промежуток времени деформация ползучести при данной
температуре получит заранее заданную величину, например: 1%
за 100 000 часов при 500 °С. Символически предел ползучести
обозначают так: ао,2/юо , Оо,2/боо, tfi/ioooo >••• Числитель индекса
i 7"=cnnst
Рис. 4.63. Кривые ползучести ме-
металла при разных уровнях темпе-
температуры и одинаковом уровне нап-
напряжений.
Рис. 4.64. Кривые ползучести металла прн разных уровнях напряжений и одинаковом
уровне температуры; при высоком напряжении (о(а) участок // установившейся ползу-
ползучести может отсутствовать (S-образная кривая ползучести); при малых напряжениях
(о* ° ) и низкой температуре может отсутствовать участок /// (при возрастании t деформа-
деформация ограничена и стремится к значению е (со)).
показывает величину остаточной деформации в процентах, зна-
знаменатель индекса — длительность испытания в часах. Чтобы
уяснить порядок величины продолжительности работы материа-
материала в¦условиях проявления ползучести при высоких температу-
температурах, укажем, что материал деталей газовых турбин работает в те-
течение сотен часов, а паровых турбин — до 100 000 часов.
Отношение предела ползучести к удельному весу материала
иногда называют удельной жаропрочностью (удельным пределом
ползучести). В табл. 4.9 приведены значения предела ползучести
(при 1000 °С за 24 часа на 1%) и удельной жаропрочности для ряда
чистых металлов; эти характеристики очень важны для оценки
материалов, используемых в ракетах и сверхзвуковых самолетах.

304
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
Таблица 4.9
Металл
Титан
Никель
Железо
Кобальт •
Хром
Ниобий
Тантал
Молибден
Вольфрам
а1/24> кГ1ммг
0,16
0,4
0,75
1,0
3,2—4,8
4,5
4,8-6,4
4,8-6,4
9,6
.[Блаитер М. Е., Металловедение i
гия, 1963.]
Удельный вес,
Г/см*
4,5
8,9
7,87
• 8,9
7,1
8,4
16,6
10,2
19,3
i термическая
Удельная
жаропрочность
«1/24/Y
3 500
4500
9500
11200
45 000—68 000
54 000
29000-39000
47 000—63 000
50 000
обработка, Маш-
Ползучесть с участком установившегося процесса обнаружи-
обнаруживается и в древесине при обыкновенной температуре, и в тем боль-
большей мере, чем влажнее древесина.
Ползучесть наблюдается и в бетонах при обычной температуре.
В отличие от металлов и древесины, в бетоне ползучесть затухаю-
затухающая, без периода установившегося процесса (рис. 4.65 и 4.66):
скорость ползучести с течением времени уменьшается и асимпто-
асимптотически приближается к нулю. В зависимости от марки бетона,
¦о
Рис. 4.65. Кривая неустановившейся ползу-
ползучести бетона в системе осей oet
Рис. 4.вв. Кривая затухзющей ползу-
, честн бетона.
минералогического состава цемента, температурно-влажностного
режима, а также величины напряжений период заметной ползу-
ползучести бетона оценивается промежутком времени от одного года до
нескольких лет. Весьма интенсивно происходит ползучесть в
пластиках (полиэтилен, прлихлортрифторэтилен, поливинилхло-
рид, полистирол и др.). При этом на протекание ползучести ока-
оказывает влияние не только уровень нагрузки и температуры, как
и в металлах, но и влажность.
Характер поведения материала, испытавшего ползучесть после
снятия нагрузки, зависит от его природы. Деформация ползучести

$ 4-10]
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ
805
металлов в основном необратима (имеет пластическую природу),
у полимеров же в основном деформация ползучести упруга.
4.3. Релаксация. Коль скоро при неизменных напряже-
напряжениях с течением времени происходит рост деформаций, то для
того, чтобы деформация оставалась неизменной, необходимо сни-
снижать напряжения (нагрузку). В испытательных машинах это сни-
снижение происходит автоматически при помощи специального
электронного прибора, осуществляющего постепенную разгрузку
для обеспечения неизменной деформации. В качестве груза в этих
случаях принимается дробь или вода, и, таким образом, имеется
возможность производить уменьшение его величины небольшими
6
е
о
const
Рис. 4.67. Кривая релакса-
релаксации в системе осей cet.
Рис. 4.68. Проекция кривой релаксации иа плоскость
at; о(оо) —' предел, к которому стремится напряжение
при возрастании t.
порциями. Уменьшение груза, естественно, влечет за собой сниже-
снижение напряжений.
Явление снижения напряжений при постоянстве величины дефор-
деформации и постоянстве температуры называется релаксацией напря-
напряжений. В системе осей azt релаксация может быть охарактеризо-
охарактеризована диаграммой, изображенной на рис. 4.67.
На рис. 4.68 изображена проекция кривой релаксации на пло-
плоскость at.
Ползучесть и релаксация — проявление свойства тела изменять
свое напряженно-деформированное состояние во времени. Но эти
проявления обнаруживаются в определенных частных случаях
режима: ползучесть — в случае постоянства напряжений и релак-
релаксация — в случае постоянства деформаций. Возможны и более
сложные режимы, при которых изменению подвергаются как напря-
напряжение, так и деформация, а в ряде случаев и температура. Харак-
Характер явления в этих случаях еще более сложен. Иногда процессы,
происходящие в материале и в условиях этих сложных режимов,
также называют ползучестью (в обобщенном смысле).
Для изучения материала в аналогичных указанным выше усло-
условиях и для определения предела ползучести, предела длительной
прочности, а также изучения релаксации производятся длительные
испытания материала при высоких сходственных температурах.
Изучению подвергают сопротивление пластическим деформациям

306
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ГГЛ IV
и сопротивление разрушению. Для таких испытаний существуют спе-
специальные машииы, образцы в которых располагаются в особых печах.
5. Испытания при ударных нагрузках 1). Материал в условиях
ударных нагрузок работает во миогих машинах и других объектах.
I a
V, По а-а
- ^
Рис. 4.69. Образец Менаже для испытания на ударную вязкость и характер воздействия
на него.
например в копрах, молотах, в сооружениях оборонной и военной
техники и т. п. Поведение материала при ударной нагрузке в ряде
случаев резко отличается от поведения в условиях статического
кГсм/см2
/6
N
s
\
\
А
N
N.
V
N
\
ч
\
\
N
\
\
S
ч
\
\
s
приложения сил. Желая оценить способ-
способность материала сопротивляться удар-
ударному воздействию и склонность его к
хрупкому разрушению, производят так
называемые испытания на ударную вяз-
вязкость.
Образец, имеющий форму, показан-
показанную на рис. 4.69, подвергается удару
на специальном копре. Надрез в образ-
образце преследует цель создать концентра-
концентрацию напряжений, в условиях которой,
так же как и в условиях динамической
нагрузки, материал имеет склонность
переходить из пластического состояния
в хрупкое. Мерой сопротивляемости об-
образца уда'ру является энергоемкость
его — отношение работы, затрачиваемой
на разрушение образца, к площади по-
поперечного сечения в ослабленном месте.
Эта характеристика называется ударной
вязкостью и измеряется в кГсм/см2.
Ударная вязкость стали и ряда дру-
других материалов существенно падает в некотором диапазоне тем-
температур. На рис. 4.70 показана зависимость ударной вязкости
ряда сталей от температуры.
ю о -го -40 -i
Рис 4.70. Зависимость ударной
вязкости от температуры для
некоторых сталей; по оси орди-
ординат отложена ударная вязкость:
/ — Ст. 3 «спокойная», ось об-
образца вдоль проката, 2 — Ст. 3
«кипящая», ось образца вдоль
й^оката, 3 — Ст. 3 «спокойная»,
ОСЬ образца поперек проката,
4 — Ст. 3- «кипящая», ось образ-
Ц* поперек проката [Стрелец-
Кий Н. С. и др., Стальные кон-
конструкции, Стройиздат, 1952].
^ДавиденковН. Н., Динамические испытания металлов, ОНТИ, 1936.
Давиденков Н. Н., Проблемы удара в металловедении, Изд-во
АН СССР, 1938.
Погодин-Алексеев Г. И., Свойства металлов при ударном нагру-
жении, Металлургиздат, 1953.
. Ратиер СИ., Пластичность н прочность металлов, Оборонгиз, 1949.

I
$ 4.10] РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ 807
Ударная вязкость многих металлов резко падает при снижении
температуры, т. е. металл становится хрупким при низких темпе-
температурах; это явление называется хладноломкостью.
Если при статическом испытании материал разрушается пласти-
пластически, а при ударной нагрузке — хрупко, то материал обладает
так называемой ударной хрупкостью. Кроме ударной вязкости при
изгибе, изучается сопротивление материала ударному растяжению,
ударному сжатию и ударному кручению, а также повторному удар-
ударному воздействию, большей частью при изгибе.
6. Испытания при повторно-переменных нагрузках. Испытание
материала при повторно-переменных нагрузках (см. гл. XIX)
производится с целью определения предела выносливости (предела
усталости) х).
6.1. Понятие о выносливости материала.
Для многих материалов (стали, сплавы меди, титана и других
металлов, бетоны) характерно явление,
известное под названием усталостного
разрушения. Сущность его состоит в сле-
следующем. Материал изделия в случае
возникновения в нем переменных во-
времени напряжений 2) после некоторо-
некоторого .числа циклов изменения напряжений о1 *%
хрупко разрушается при уеловии*пре- ' Рис 4 7| Крнвая вспытаннй
ВЫШенИЯ маКСИМаЛЬНЫМИ Напряжения- на выносливость (кривая Вёл-
ми, например наибольшим напряжением лера): ' " прс^нел вынослиа°-
в области концентрации, некоторой ве-
величины, называемой пределом, выносливости (рис. 4.71). Предел вы-
выносливости может быть намного ниже предела прочности и даже
предела текучести материала.
Изображенная на рис. 4.71 диаграмма получается путем испыта-
испытания ряда одинаковых образцов, но при различном уровне напря-
напряжений. Чем выше напряжение а, тем после меньшего числа циклов N
происходит разрушение, если напряжение превосходит предел
выносливости. Испытание одного образца позволяет получить
одну точку в системе осей oN; ордината точки — максимальное
напряжение, при котором работал образец, абсцисса — число
циклов изменения напряжении к моменту разрушения. По несколь-
нескольким точкам проводится кривая. У ряда материалов, таких, как
стали, титан, титановые сплавы, цирконий, эта кривая асимптоти-
асимптотически односторонне приближается к некоторой прямой, параллель-
параллельной оси N (иа рис. 4.71 — пунктир). Ордината точки этой прямой
и представляет собой предел выносливости. На рис. 4.72 показаны
1)Вейбулл В., Усталостные испытания и анализ их результатов, пер.
с англ. под ред. С. В. Серенсеиа, «Машиностроение», 1964.
2) В частности, периодически (циклически) изменяющихся, в особенности
знакопеременных.

308
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
диаграммы выносливости титана в полулогарифмической шкале.
У других материалов, например у сплавов меди, асимптота имеет,
по-видимому,' нулевую ординату (рис. 4.73), т. е. предел выносли-
выносливости в принятом нами смысле равен нулю. Для таких материалов
вводится понятие условного предела выносливости; под последним
понимается¦ величина напряжений, вызывающих разрушение при
числе циклов, равном заданному N. Таким образом, изделие из
такого материала, работающее при переменных напряжениях,
должно иметь ограниченный срок службы, в течение которого
6,кГ/т'
30
го
ю
•
ft
"Ч
,2
s
ч
.,
i
--!
_.. ,
-¦¦¦¦
10* 10s ID6
Рис 4.72. Кривые Вёллера для титана.
/ — гладкие образцы, 2 — круглый иад-
рез. 3 — острый надрез.
число циклов изменения напря-
напряжений не превзойдет с некото-
некоторым запасом расчетного.
Предел выносливости пред-
представляет собой то наибольшее
напряжение, при котором, как
бы ни было велико число циклов
Рис. 4.73. Кривая Веллера
для меди.
изменения напряжений, разрушения не наступает. При разных
отношениях максимального напряжения к минимальному предел
выносливости различен.
Наименьшее значение предел выносливости имеет в случае,
когда по абсолютному значению максимальные напряжения равиы
минимальным, но различны по знаку. Кроме того, предел выносли-
выносливости зависит от вида деформации (осевая деформация, изгиб, кру-
кручение), от прочности материала, абсолютных размеров элемента, от
наличия агрессивной среды, в частности, вызывающей коррозию
и т. п. Одним из характерных случаев переменной нагрузки (на-
(напряжений) является нагрузка, действующая на элемент в процессе
его колебаний (вибрации). В связи с этим способность материала
противостоять переменной нагрузке, т. е. работать без наступления
усталостного разрушения, называется вибрационной прочностью.
На самом деле периодическая циклическая нагрузка (напряжение)
мыслима не только как вибрационная; например, существуют
нагрузки (напряжения), действующие на детали машин, совершаю-
совершающие вращательные или иные периодические движения.
Термин усталость сохранился еще с первой половины XIX века,
когда ошибочно считали, что материал после длительного срока

S 4.10] РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ 309
работы перерождается-, превращается из волокнистого в зернистый,
как бы «устает». На самом деле в условиях переменности напряже-
напряжений в материале изделия образуются поперечные, невидимые на
глаз зародышевые трещины, постепенно разрастающиеся и объеди-
объединяющиеся в макротрещину, проникающую в глубь изделия. Берега
трещины, надавливая друг на друга, в процессе переменности
напряжений оказываются притертыми — гладкими. Поперечное
сечение элемента постепенно уменьшается и доходит до таких раз-
размеров, при которых напряжения в материале достигают предела
прочности, вследствие чего происходит разрушение. У дна трещины,
являющейся по форме как бы очень острым надрезом, возникает
резкая концентрация напряжений, влекущая за собой локализа-
локализацию разрушения и стеснение развития пластических деформа-
деформаций х). Этим объясняется хрупкий характер окончательного раз-
разрушения даже в материалах, обладающих в иных условиях высокой
пластичностью. Избирательный характер деформаций и разруше-
разрушения от усталости — сосредоточение их в очень локальной области
вблизи максимальной концентрации напряжений — отличает дефор-
деформацию и разрушение в условиях усталости от таковых при одно-
однократном нагружении. В изломе детали, разрушившейся от уста-
усталости, имеются две ярко выраженные зоны: наружная — область
трещины, — гладкая, блестящая, с притертыми поверхностями
берегов трещины; внутренняя — область окончательного хрупкого
разрушения, с характерным для хрупкого разрушения зернистым
изломом. Усталость материала является грозным явлением, могу-
могущим привести к весьма опасным катастрофам, если не принять меры,
обеспечивающие невозникновение ее. Эти меры обеспечивают непре-
непревышение (с некоторым коэффициентом запаса) максимальными
местными напряжениями предела выносливости. Таким образом,
необходимо, с одной стороны, снижать максимальные местные
напряжения, а с другой — повышать предел выносливости мате-
материала. Снижение максимальных местных напряжений обеспечи-
обеспечивается приданием элементу формы, не вызывающей больших кон- .
центраций напряжений, приданием поверхности изделия гладкости.
Даже след от резца, обрабатывающего изделие, у дна которого
образуется концентрация напряжений, может явиться началом
образования трещины усталости. Повышение предела выносливости
достигается применением высокопрочных материалов и (или)
средств, упрочняющих поверхность изделия: химико-термической
обработкой поверхности, поверхностной закалкой, механической
обработкой поверхности дробеструйным способом, накатки роли-
роликами и т. п.
При многократном повторении ударного воздействия иа мате-
материал изделия в нем может возникнуть так называемая ударная
1) Понятие предела прочности у дна трещины поясняется в главе VIII.

310 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
усталость. Существует понятие циклическая вязкость материала,
представляющее собой удельную работу деформации (кГсм/см*),
поглощаемую при одном цикле нагружения; эта работа оценивается
площадью, ограниченной петлей упругого гистерезиса.
6.2. Прочность материала, работающего
при высоких температурах в условиях пе-
переменного режима. Специфической является работа мате-
материала в условиях одновременного наличия высоких температур и
переменных силовых воздействий. Материал, работающий в таких
условиях, должен обладать свойствами выносливости (высокий
предел усталости) и (или) термической стойкости (высокий предел
термической усталости).
Первое свойство — это способность выдерживать не разрушаясь
переменные нагрузки при высоких температурах; характеристикой
его является условный предел выносливости, определяемый при
заданной температуре и символически обозначаемый так: awl00,
0да5оо- Индекс w указывает на то, что данное напряжение является
условным пределом выносливости, второй числовой индекс указы-
указывает продолжительность испытания в часах. Можно поставить
цель — исключить возможность разрушения от усталости. Тогда
достаточно добиться того, чтобы условные пределы выносливости
(awwo> ау>ьоо> •••) превышали соответствующие по продолжительности
испытания пределы длительной прочности ((Т100, оъ00, ...).
Второе свойство — термическая стойкость — состоит в способ-
способности выдерживать без разрушения переменную температуру и
термические напряжения.
.Фактором, способствующим хорошей сопротивляемости жаро-
жаропрочных материалов переменным воздействиям при высоких тем-
температурах, является перераспределение напряжений в местах
концентрации, происходящее в силу того, что протекание пласти-
пластической деформации облегчено в условиях высоких температур; вместе
с тем пластическая деформация снижает действительный коэффици-
коэффициент концентрации напряжений до величины, близкой к единице.
7. Косвенные методы определения механических свойств метал-
металлов (испытания без разрушения).
7.1. Идея испытания без разрушения. Испы-
Испытания образцов металла с целью определения его свойств, обсуж-
обсужденные выше, требуют в каждом случае изготовления образца и
наличия довольно сложной испытательной машины. Иногда, изго-
изготавливая образец, приходится портить изделие. Стремление к упро-
упрощению методики определения свойств материалов, в частности
к тому, чтобы не приходилось приводить в негодность изделие,
явилось причиной создания таких методов, в которых величины,
характеризующие свойства материала, определяются без разруше-
разрушения образцов, а часто и без изготовления их — непосредственно на
самом изделии, минуя причинение ему ущерба.

$ 4.101 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ 311
Характеристика материала, определяемая без разрушения об-
образца и даже без его изготовления, должна находиться в достаточно
устойчивом соответствии с важнейшими механическими характе-
характеристиками.
7.2. Испытание воздействием на поверх-
поверхность материала.
7.2.1. Определение понятия «твердость». Существует большая
группа методов оценки материала, основанных на том или ином
контактном воздействии на поверхность материала. Сопротивляе-
Сопротивляемость материала внедрению в него характеризуется некоторым
числом, которое имеет в разных случаях разную природу. Все
эти методы объединяются общим названием: методы определения
твердости. При этом, следуя Н. А. Шапошникову, будем считать,
что «под твердостью подразумеваются разнообразные характери-
характеристики сопротивляемости металла местной, сосредоточенной в не-
небольшом объеме, деформации на его поверхности».
Числа, количественно определяющие эффект воздействия на
поверхность металла, называют числами твердости. Этот эффект
в одних случаях связан лишь с упругой деформацией поверхности
материала, в других — с пластической или упруго-пластической
деформацией; наконец, существуют и такие методики, эффект воз-
воздействия в которых связан с разрушением поверхностного слоя
в небольшой области. Имеется ряд определений понятия «твердость»,
но общим их недостатком является то, что они, хорошо отражая
сущность одних методик, совершенно противоречат идеям других.
Зтот недостаток почти не присущ вышеприведенному определению.
Вопрос о термине «твердость» являлся предметом многих дискуссий.
Определяя твердость металла не в образце, а в изделии, удается
установить косвенным путем предел прочности, не изготавливая
образца и не доводя материал до разрушения в изделии. Соответ-
Соответствующим методам (неразрушающим) определения механических
характеристик в последнее время уделяют большое внимание.
7.2.2. Числа твердости. Итак, существует ряд методов отыскания
некоторых характеристик, называемых числами твердости, которые
количественно определяют твердость материала. В каждом методе
число твердости определяется по-особому. Поэтому оно сопро-
сопровождается указанием автора метода. Принципы, положенные
в основу этих методов, различны.
Имеется группа методов (Бринелля, Виккерса и ряд других),
числом твердости в которых является частное от деления нагрузки,
вдавливающей в образец так называемый индентор (стальной шарик
или алмазную пирамиду), на площадь возникающего на образце
отпечатка. В методе Роквелла числом твердости является глубина
проникновения индентора (стальной шарик или алмазный конус)
в образец. В методе Шора число твердости — это высота отскока
бойка с алмазным наконечником (вес 36,8 Г, высота падения 18 мм)

312
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
Таблица 4.10
от поверхности образца; в другом методе того же автора число
твердости представляет собой нагрузку, необходимую для вдавли-
вдавливания алмазного шарика в образец на глубину 45 мкм. В методе
Герберта числом твердости служит продолжительность качания
или величина углового отклонения маятника, опора которого уста-
устанавливается на поверхность образца.Существуети ряддругихметодов.
С числом твердости находятся в определенном соответствии
некоторые важные механические характеристики. Это соответствие
устанавливается посредством проведения опытов на большой серии
образцов, выполненных из рассматриваемого материала.
Наибольшее распространение имеет метод Бринелля. Этим
объясняется то, что числа твердости, определяемые по другим
методам, обычно сопоставляются
с числом твердости по Бринеллю.
Наиболее же совершенным мето-
методом является метод Виккерса.
Числа твердости имеют стан-
стандартные, но не международные
обозначения. Эти обозначения
в отечественной литературе по-
показаны в табл. 4.10.
Ниже приводятся краткие
сведения о некоторых из упомя-
упомянутых выше методов.
7.2..3. Описание методов определения чисел твердости. Метод
Бринелля. Индентором служат стальные шарики с D = 10,5 мм
и 2,5 мм. Число твердости определяется по формуле
Я* = =п- Р ; D'9)
Метод испытания
Бринелль
Роквелл, шкала В, С
Виккерс (твердость
по пирамиде)
Обозначение
чисел
твердости
"в
HRb' HRc
Hv, HD
здесь D — диаметр шарика, d — диаметр отпечатка; выражение
в знаменателе формулы D.9) — площадь поверхности лунки —¦
отпечатка (шаровой сегмент). Метод дает надежные результаты до
Нв = 450 кГ/мм2. Между диаметром шарика и нагрузкой соблю-
соблюдается определенное соотношение, для того чтобы при испытании
шариками разных диаметров получались одинаковые значения
чисел твердости (для черных металлов Р = 30D2, для цветных
Р = 10D2; здесь D — в мм, а Р — в кГ). Для вдавливания шарика
в образец используется специальный пресс (пресс Бринелля), но
может применяться и любой другой пресс соответствующей силы
с точностью силоизмерения ±1 %.
Метод Виккерса (метод пирамиды). Индентором является
алмазная квадратная пирамида с углом между гранями при вер-
вершине 136°. Нагрузка, создаваемая специальным прессом Виккерса,
принимается от 5 до 120 кГ, чаще всего 10 кГ. Размер отпечатка

§ 4.10] РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ 313
в силу его малости и для получения большой точности измеряется
при помощи вмонтированного в прибор (в пресс) микроскопа^
Достоинством метода Виккерса является сохранение чисел твер-
твердости для одинаковых.материалов при очень значительных изме-
изменениях нагрузки, так как в формуле для определения числа твер-
твердости числитель (нагрузка) и знаменатель (площадь отпечатка)
изменяются пропорционально вследствие геометрического подобия
отпечатков любого размера, создаваемых пирамидой; шарик этого
не обеспечивает. Методом Виккерса можно определять твердость
практически всех материалов — от самых мягких до алмаза вклю-
включительно. Однако этот метод в производственных условиях менее
удобен, чем метод Бринелля и особенно Роквелла.
Метод Роквелла. Индентор в форме конуса с углом при вер-
вершине 120° (алмазный или из твердого сплава) или твердого зака-
закаленного шарика (D = 1,59 мм). Число твердости по Роквеллу,
связанное с глубиной проникновения индентора в образец, пока-
показывается автоматически на приборе Роквелла (твердомере) при
помощи стрелки на шкале. Такая простота измерений существенно
увеличивает производительность метода и позволяет применять
метод Роквелла для массового контроля изделий. В опыте исполь-
используется одна из трех нагрузок: 60 кГ, 100 кГ, 150 кГ; числа твер-
твердости, соответствующие каждой из них, составляют так называе-
называемые шкалы Роквелла А, В ц С. При 60 кГ в качестве индентора
используется конус; такая нагрузка применяется к очень твердым
материалам, и числа твердости (шкала А) оказываются превышаю-
превышающими 70 х). Нагрузка 100 кГ применяется для испытания материа-
материалов мягких и средней твердости; индентором служит шарик, и числа
твердости (шкала В) получаются до 100. Наконец, нагрузка 150 кГ
используется для испытания материалов средней твердости и твер-
твердых; в качестве индентора применяется конус, и числа твердости
(шкала С) находятся в пределах 20—70. Кроме трех указанных
широко распространенных шкал имеется еще 12 других редко
употребляемых шкал Роквелла. Для уточнения измерений исполь-
используется предварительная нагрузка в 10 кГ с тем,, чтобы глубину
отпечатков от испытательной нагрузки измерять от дна отпечатка,
соответствующего предварительной нагрузке (измерения произво-
производятся прц, помощи индикатора с циферблатом).
Метод-Шора пояснен в основном выше; здесь к уже сказанному
добавим лишь то, что число твердости выражается в условных
делениях шкалы прибора, указываемых стрелкой. За 100 делений
принята средняя высота отскока бойка от закаленной высокоугле-
родистой стали. Метод Шора легко применяется для испытания
металла непосредственно в изделии в условиях эксплуатации.
*) Чем тверже материал, тем меньше глубина отпечатка и тем выше число
твердости.

314
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
k
60
50
40
JO
20
10
/7
i
W
M
и
ft
I
li
A
у
&
w
/
V
4
л
V
A
У
50
40
20
^ 100 WO 300 400
JfBJO/3000/30
Рис. 4.74. Зависимости между числами твердости: а) Шора и Бринелля; б) Роквелла
(шкала С) и Бринелля; в )Виккерса и Бринелля; г) Роквелла (шкала В) и Бринелля
[Справочник марок сталей, пер. с нем. И. Д. Чукмасовой, под ред. A. G. Чукмасова,
Металлургиздат, 1963].
1
1
I
1
I
Ш
f/
w
w
/
Л
f\
П
/
f
no
4
w
M
Ml
и
I
111
¦ft
s
¦100 300 500
4
1/0-1
100-
tooo
500
200
100
50
го
10
Рис. 4.75. Сопоставление шкал
твердости Бринелля, Роквелла
(шкалы В, С, М, R) и Мооса;
М — шкала Мооса (/ — тальк,
2 — гипс, 3 — кальцит, 4 —
флюорит, 5 — апатит, 6 — орто-
ортоклаз, 7 — кварц, 8 — топаз,
9 — сапфир, 10 — алмаз) [Kin-
ney G, F., Engineering Proper-
Properties and Applications of Plas-
Plastics, John Wiley and Sons, New
York, 1950].
ю
9
в
7
6
с
о
4
з
2,0-
2,!-
2,2-
2?-
2,4-
2,5-
2,6 \
%-
щ
3,4 i
3,61
4,0-:
5,0%
5,5 Л
d
Шкала Шора (склероскоп)
Рис, 4.76. Сопоставление различных шкал твердости
с прочностью стали: d — диаметр отпечатка стан-
стандартного шарика Бринелля; / — Нq, 3000 кГ, ша-
шарик 10 мм; 2 — Ну; 3 — Ип , 150 кГ, алмазный
конус 120°; 4 — Hrb, 100 кГ, шарик 1/16"; 5 —
— #/}? ЮО кГ, шарик 1/8" [см. источник в подпи-
подписи к рис. 4.49].

§ 4.10i
РАЗЛИЧНЫЕ ВИЛЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ
315
Метод определения микротвердости1). В некоторых случаях
представляет интерес определение твердости небольших участков
микрошлифа. Используемый для такого определения прибор вклю-
включает микроскоп. При помощи прибора последовательно произво-
производятся следующие операции: наводка при помощи микроскопа на
участок, подлежащий обследованию; получение отпечатка (при этом
вместо объектива в прибор вставляется индентор в виде алмаза
пирамидальной формы, давление исчис-
исчисляется граммами — от 0,02 до 0,200 Г
в приборе М. М. Хрущева, Е. С. Берко-
вича и А. Н. Брулова); осмотр отпечат-
отпечатка. Число твердости имеет такую же
природу, как и в методах Бринелля и
Виккерса.
7.2.4. Отыскание механических ха-
характеристик по числам твердости и
сопоставление чисел твердости, получен-
полученных разными методами. Обнаружено,
что для ряда материалов сохраняется
неизменным отношение той или иной
механической характеристики к Нв. Это
позволяет для различных материалов
раз навсегда произвести сопоставитель-
сопоставительные испытания на разрыв и на опреде-
определение твердости и, по найденному в опы-
опыте числу Бринелля, получать предел
прочности или иную механическую
характеристику без производства соответствующего
Так, например, для стали опч = @,30 -f- 0,36) ##.
На рис. 4.74 показаны связи чисел твердости по Роквеллу
(шкалы С и В), Виккерсу и Шору, с одной стороны, и по Бри-
неллю — с другой.
На рис. 4.75 показана связь между числами твердости по Бри-
неллю и Роквеллу (четыре шкалы: В, С, М, R).
На рис. 4.76 дана номограмма,* при помощи которой сопостав-
сопоставляются числа твердости по Бринеллю, Виккерсу, Роквеллу (шкалы
В, С, Е) и Шору, с одной стороны, и предел прочности сталей.
Рис. 4.77 показывает, что с числом твердости сопоставим не толь-
только предел прочности, но и предел текучести и характеристики
пластичности 6 и г|э.
7.3. Неразрушающие методы испытания мате-
материалов. Два последних десятилетия отмечены широким развитием
всевозможных неразрушающих методов испытания материалов, в
Рис. 4.77. Свойства отпущенно-
отпущенного мартенсита [Joseph H. Fau-
pel, Engineering Design. A Syn-
tesis of Stress Analysis and Ma-
Materials Engineering, John Wiley
and Sons, New York — Lon-
London — Sydney, 19641.
испытания.
!) См., например, книгу; Новое в области испытаний на микротвердость,
«Наука», 1974.

31б МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
основе которых лежат разнообразные физические явления, эффек-
эффекты и процессы 1). Одновременно эти методы являются и методами
дефектоскопии. К числу таких методов относятся: рентгеновский,
всевозможные радиологические, ультразвуковые, магнитные и др.
Отмеченным методам посвящена огромная литература. Здесь мы
вкратце коснемся лишь определения модуля упругости путем
использования ультразвуковых колебаний.
0
Wfo*—'
Рис. 4.78. Схема установки для определения модуля продольной упругости материала
при помощи ультразвукового метода
С испытываемым изделием (рис. 4.78) 1 приводятся в состояние
контакта излучатель зондирующих импульсов 2 и приемник коле-
колебаний 3.
В момент подачи импульса на изделие синхронно включается
микросекундомер 4, а в момент прихода фронта продольной волны
зондирующего импульса к приемнику синхронно останавливается
микросекундомер. Синхронный пуск и останов микросекундомера
осуществляются при помощи электрических сигналов, скорость
распространения которых примерно в миллион раз превышает ско-
скорость распространения продольных волн в испытуемом теле. Таким
образом, микросекундомер фиксирует продолжительность прохо-
прохождения фронта волны через изделие. Зная расстояние между излу-
излучателем импульсов и приемником, т. е. зная размер изделия, и,
определяя экспериментально продолжительность прохождения этого
расстояния волной, легко найти скорость ее распространения.
х) Вопросам неразрушающих методов посвящены книги:
Джонс Р., Испытание бетона без разрушения, Стройиздат, 1964.
Третьяков А. К-, Ф и л о н и д о в А. М., Контроль бетона ультра-
ультразвуком в гидротехническом строительстве, «Энергия», 1964.
Крылов Н. А., Электронно-акустические и радиометрические методы
испытания материалов и конструкций, Стройиздат, 1963.
Крылов Н. А..Калашников В. А., Пол ещу к А. М., Радио-
Радиотехнические методы контроля качества железобетона, Стройиздат, Л. — М., 1966.
Особо следует отметить книгу: Harmer E. D a v i s, George Earl T г о x e 1 1,
Clement T. W i s k о с 1 1, The Testing and Inspection of Engineering Materials,
2d ed., McGraw-Hill Book Company, Inc., New York — Toronto — London, 1955.
В этой книге имеется огромная библиография E06 литературных названий)
по общим вопросам и истории испытаний, по механическим свойствам материа-
материалов, по измерениям и измерительной технике, по испытаниям на статическое
растяжение и сжатие, сдвиг и изгиб, на твердость, по испытаниям на удар и
усталость и, наконец, по неразрушающим методам испытаний и свойствам отдель-
отдельных классов материалов (металлы, древесина, бетон, кирпич, пластмассы).

$ 4.10] РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ 317
Вместе с тем эта скорость распространения продольных волн свя-
связана функционально с модулем упругости материала и его плот-
плотностью х): __
^.стержень -ш / Е ^пласт т / Е
Ьпрод — у --, Ьпрод — у pA_fl2) >
,_,/• ?A-ц) ^
х) Приведем краткую информацию о волнах в упругих средах (подробно
о них говорится в главе XVII).
Механической волной можно назвать такое явление, при котором перемеще-
перемещение точек среды является функцией времени пространственных координат
точки. Если в точке пространства, занятого средой, через которую распрост-
распространяется волна, перемещение изменяется в зависимости от времени по синусо-
синусоидальному закону
Д = A sin (со^ — kx), (a)
то волна называется гармонической. Функция (а) называется волновой. А — ампли-
туда волны, (со/ — kx) — фаза волны, со = 2я/ — угловая частота, f — частота,
k = со/у = 2лД, v — скорость распространения волны, X — длина волны.
Поверхность, во всех точках которой в данный момент времени фаза одина-
одинакова, называется фронтом волны. Фронт волны может быть плоским, сфериче-
сферическим и т. п. Распространение волны можно трактовать как движение фронта
волны в среде.
Через упругую изотропную бесконечную среду могут распространяться два
типа волн. В одном из них перемещения частиц параллельны распространению
волны (продольные волны), а в другом — перпендикулярны (поперечные волны).
Продольные волны перемещаются со скоростью
у;
Поперечная волна распространяется со скоростью |/G/p при* отсутствии изме-
изменения объема любого находящегося в волновом процессе элемента среды.
Упругие волны, распространяющиеся вблизи свободной поверхности упру-
упругого тела и перемещающиеся вдоль нее, называются поверхностными волнами
Релея. Эффект этих волн быстро уменьшается при углублении в тело. Скорость
их распространения равна a Ув/ р (а — численный коэффициент, величина кото-
которого немного меньше единицы и зависит от значения коэффициента Пуассона;
при \х = 0,25 а = 0,9194, при |л = 0,5 а= 0,9554) и оказывается меньше, чем,
скорость продольных и поперечных волн. Движение частиц в йЪверхностных
волнах Релея происходит в плоскостях, перпендикулярных поверхности и парал-
параллельных направлению распространения. Например, при простых гармонических
поверхностных волнах Релея траектория частицы представляет собой эллипс.
В телах конечных размеров могут распространяться упругие волны различ-
различного типа, и, вообще говоря, скорость их распространения зависит от длины
волны.
В тонких пластинах, т. е. пластинах, толщина которых мала по сравнению
с длиной волны X, продольные упругие волны распространяются со скоростью
VB/p A — |л2). Если толщина пластины и длина волны сопоставимы, фаза ско-
скорости уменьшается и волна с очень малой длиной перемещается со скоростью
поверхностных волн Релея.
В стержнях может быть три типа упругих волн, распространяющихся вдоль
оси: продольные (волны растяжения — сжатия), крутильные и изгибные. Если
длина волны велика по сравнению с поперечными размерами стержня, продоль-

318
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
Далее, зная эти зависимости и имея р, \i и Спрод, легко найти Е.
Использование этих формул и для тел иных форм и конечных раз-
размеров влечет за собой некоторую погрешность.
§ 4.11. Индивидуальные особенности
механических свойств некоторых металлов и сплавов 1)
!. Предварительные замечания. В предыдущих параграфах главы обсуж-
обсуждены многие общие особенности структуры и свойств металлов и сплавов.
У отдельных металлов или сплавов имеется ряд специфических свойств, знать
которые необходимо инженеру, занимающемуся проблемой надежности, при
проектировании гех или иных конструкций. В настоящем параграфе остановимся
на некоторых особенностях наиболее важных для техники металлов и сплавов.
К их числу относятся: железоуглеродистые сплавы (стали, чугуны), алюминиевые,
магниевые, сверхлегкие, медные, никелевые сплавы, титан и его сплавы, цирко-
цирконий и его сплавы, бериллий, тугоплавкие металлы и их жаропрочные сплавы.
Некоторые механические и упругие характеристики семи чистых металлов
приведены в табл. 4.11.
Таблица 4.11
Ме-
Металл
Fe
Al
Mg
Cu
Ni
Ti
Zr
E, кГ/см2
A,93—2,11)- 10е
0,71 • 10е
2,20- 10*
1,125- 10е
0,963 - 106
0,33
0,34
0,348
0,31
кГ/см2
420 -f- 560
1540
550
кГ/см2
1770-^2110
600
2000
2200
5000
2500
1750
б,
40
40
10
50
45
50
50
*
90
95
15
70
70
78
кГ/мм2
50
20
25
35
65-ь 70
132
#^=70
Примечания
Примесей
<0,01 %, втом
числе
углерода
< 0.001 %
Чистый
(«йодидный»)
цирконий
2.*Сплавы железа. Химически чистое железо трудно получить, и практи-
практически оно не используется. Наибольшее значение и распространение в технике
ные волны распространяются со скоростью |/?/р, крутильные волны — со
скоростью VG/q (при любых соотношениях длины волны и поперечного размера
стержня), а изгибные волны — со скоростью Bns/X) У~Е/ р, где s — радиус
вращения поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси. Когда
длина волны получается сопоставимой с поперечными размерами стержня, ско-
скорости продольных и изгибных волн значительно сближаются и обе становятся
такими, как у поверхностных волн Релея.
*) Отдельные виды материалов, обсуждаемые в §§ 4.11—4.13, 4.15, осве-
освещаются в книге «Новые материалы в технике» (под ред. Е. Б. Тростянской,
Б. А. Колачева, С. И. Сильвестровича, «Химия», 1964) и в других источниках,
упоминаемых ниже в подстрочных примечаниях. Все эти книги были использо-
использованы при написании настоящего курса.

4.11J ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
319
бупр
-20
Z50
имеют железоуглеродистые сплавы; к их числу относятся стали (С ^ 2%) и
чугуны F,7 >С > 2%). Диаграмма состояния Fe—Fe3C (карбид железа) имеет
вид, показанный на рис. 4.31. На рис. 4.79 показана зависимость свойств угле-
углеродистой стали от процентного содержания углерода.
В железоуглеродистые сплавы входят следующие фазы: феррит (Нв =
= 70 -*- 80 кГ/мм2, пластичен), цементит (Нв = 800-i-850 кГ/мм2, относительно
хрупок), аустенит (Нв— 170-J-220 кГ/мм2, более пластичен, чем феррит) и гра-
графит (мягок и непрочен, входит в состав чугунов).
В связи с тем, что как в состав сталей, так и в состав чугуна, кроме железа
и углерода (и неизбежных примесей — Si, S, Р), могут входить и другие, спе-
специально добавленные, легирующие элементы, число всевозможных сгалей и
чугунов с различным химическим составом
и различными свойствами огромно. Стали
с содержанием легирующих элементов в ко-
количестве 3—5%, 5—10% и > 10% назы-
называются соответственно низко-, средне- и вы-
высоколегированными. Влияние важнейших
легирующих элементов таково: Ni повышает
пластичность и вязкость, уменьшает склон-
склонность к росту зерна и к отпускной хрупкости
(хрупкость после отпуска), при большом
процентном содержании создает свойство
немагнитности; Мп увеличивает прокали-
ваемость, т. е. снижает критическую ско-
скорость закалки, что позволяет применять мяг-
мягкие режимы закалки, в меньшей степени
вызывающие начальные напряжения; уве-
увеличивает износостойкость; Сг упрочняет
сталь, после цементации позволяет получать
высокую твердость; как недостаток отметим
повышение отпускной хрупкости; W увели-
увеличивает твердость, уменьшает склонность к ро-
росту зерна; Мо повышает прочность, пластич-
пластичность, а следовательно и вязкость, создает
высокое сопротивление ползучести, умень-
. шает склонность к отпускной хрупкости;
V улучшает свариваемость, резко умень-
уменьшает склонность к росту зерна при нагреве, увеличивает устойчивость против
снижения твердости при отпуске.
Легирующие добавки изменяют диаграмму Fe—Fe3C. По микроструктуре
легированные стали принадлежат к одному из следующих классов: перлитному,
мартенситному, аустенитному, ферритному или карбидному. Одни легирую-
легирующие элементы снижают температуру аллотропного изменения FeY ->¦ Fea, доводя
ее до отрицательной величины (аустенитный класс), другие, наоборот, локали-
локализуют область FeY (ферритный класс).
Большое значение имеют в технике легированные чугуны.
3. Алюминиевые сплавы. Кроме основного металла (алюминия) в алюминие-
алюминиевые сплавы входят следующие элементы (все или некоторые): Си, Mg, Si, Zn,
Mn, Fe. Содержание легирующих добавок колеблется от 1,5 до 20%. Алюминие-
Алюминиевые сплавы характеризуются высокой удельной прочностью. Удельный вес их
колеблется от 2,65 до 3,00 Г/см3.
Имеется две группы алюминиевых сплавов — литейные и обрабатываемые
давлением. Первые менее пластичны, чем вторые, вторые сильнее упрочняются
под влиянием термической обработки. Вообще термическая обработка оказывает
большое влияние на механические свойства алюминиевых сплавов. На основе
алюминия создяны как высокопрочные, так и жаропрочные сплавы. О последних
говорится в разделе 13 настоящего параграфа. Дюралюминий прекрасно работает
7,9
18
V
60
40
го
0
90
70
50
30
W
:
_ ®пч>^
О
0;5 1,0 1,5
Углерод, dec. %
/50
too
50
Рис. 4.79. Зависимость свойств уг-
углеродистой стали от процентного
содержания углерода; шкала р —
Г/см*
шкалы ап
кГ/мм2'
аупр —

320
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
при низких температурах. Представление о высокопрочных алюминиевых спла-
сплавах, как отечественных, так и зарубежных, можно составить по табл. 4.12.
Таблица 4.12
Высокопрочные сплавы алюминия
Марка сплава
Страна
°ПЧ'
кГ/мм2
кГ/мм*
б, %
Х149
В2243
ВАЛЮ
США
СССР
СССР
42—48
45—51
50-53
40
37—43
39—46
6
4-7
4—8
[Сплавы цветных металлов. К 70-летию со дня рождения акад.
А. А. Бочвара, «Наука», 1972. Статья: Колобнев И. Ф., Пути повыше-
повышения прочностных характеристик жаропрочных и высокопрочных литейных
алюминиевых сплавов. 1
4. Магниевые сплавы. Основными элементами, входящими в магниевые
сплавы, кроме самого магния, являются Al, Zn, Mn. Первые два увеличивают
прочность, а последний снижает склонность к коррозии. Вредными примесями
являются Fe, Cu, Si, Ni. Магниевые сплавы обладают весьма высокой удельной
прочностью (удельный вес магния 1,74 Г/см3, а его сплавов — ниже 2,0 Г/см3).
Вследствие легкости сплавов магния их называют электронами. Применение
магниевых сплавов позволяет уменьшать вес деталей, по сравнению с деталями
из алюминиевых сплавов примерно на 20—30% и по сравнению с железоуглеро-
железоуглеродистыми — на 50—75%. Так же как и алюминиевые, магниевые сплавы делятся
на литейные и обрабатываемые давлением. У последних высокая ударная и
циклическая вязкость. Обработка давлением существенно повышает прочность
магниевых сплавов. Механические свойства Mg литого и деформированн®го при-
приведены в табл. 4.13. На основе магния созданы жаропрочные сплавы (см. раздел 13
настоящего параграфа).
Таблица 4.13
Механические свойства Mg
Вид
Литой '
Деформированный
Т0,2
кГ/мм2
2,5
9,0
апч.
кГ/мм2
11,5
20,0
"в.
кГ/мм2
8
11,5
б, %
9
12,5
Ф. %
30
36
0,33
0,33
5. Сверхлегкие конструкционные сплавы. Сверхлегкие конструкционные
сплавы созданы на основе магния или алюминия посредством легирования их
самым легким металлом —литием (Li; удельный вес 0,53 Г/см3, Тсолидус= 186 °С).
Такое легирование не только снижает удельный вес сплава, но и, что самое важ-
важное, улучшает пластические свойства (снижается температура, допускающая
обработку давлением) и повышает модуль упругости, обеспечивая тем самым
большую жесткость конструкций, изготавливаемых из магниеволитиевых спла-
сплавов (МЛС), по сравнению с жесткостью конструкции того же веса из других
металлических материалов, включая сталь и титан. Удельный вес заключен
в пределах 1,3—1,65 Г/см3; это ниже удельного веса промышленных магниевых

4 111 ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ОСОПЕННОСТИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
321
сплавов на 10—15%, бериллиевых сплавов на 25—30% и алюминиевых сплавов
в два раза. Низкий удельный вес МЛС позволяет получать и высокую удельную
прочность материала. Эга характеристика оказывается выше, чем у стандартных
магниевых сплавов. МЛС не только обладают пластичностью при обычной тем-
температуре, но и не склонны к охрупчиванию при низких температурах. Одним из
достоинств МЛС является повышенное их сопротивление внедрению в них высоко-
высокоскоростных чястиц, что делает их перспективными для использования в авиации
и ракетной технике. Существенным фактором является и достаточная распро-
распространенность Mg и Li в природе (Mg составляет 2,4% от веса земной коры, в то
время как Ti — 0,6%, Си - 0,01%, Zn — 0,005%, Ni — 0,008%, Pb — 0,001%;
распространенность Li в природе большая, чем Zn, Sn, Pb). Выпуск лития воз-
возрос за 20 лет в 100 раз. Легирующее влияние Li на свойства Mg в сплавах
с ним показано в табл. 4.14. В табл. 4.1,5 приведена информация о МЛС.
Таблица 4.14
% Li
сплаве
0
0,1
0,5
U0
апч'
кГ/мма
9,2
1U
14,0
13,3
б,
%
7,3
4,9
7,2
8,4
"в*
кГ/мм*
36
44
42
42
[Дриц М. Е., Сви^ерская 3. А.,
% Li
в
сплаве
15
3,0
6,5
12
Елкин
легкие конструкционные сплавы, «Наука», ]
а..ч'
к Г/мм2
19,8
ИЛ
13.4
9,5
Ф. М.,
972.]
б,
%
8,4
3,4
3,0
6,0
"в*
кГ/мм2
42
38
38
35
Трохова В
кГ/мм*
6,3
6,3
Ф,
%
31
80
Р., Сверх-
Таблица 4.15
Физико-механические свойства МЛС
Сплавы и их характеристики
(химический состав, термическая
и механическая обработка)
Сплав на основе а-фазы; 5% Li,
5% Zn, 2% А!; прокатка + за-
закалка с 370 °С + холодная про-
прокатка 10% -f- отжиг 82 °С в тече-
течение 48 часов
Сплавы на основе
а -|- Р-фаз
9% Li, 8% Al, 12% Zn;
сплав термически обра-
обработан, степень обжатия
при холодной прокат-
прокатке 8%
ИМВ2-1
Сплав на основе В-фазы; 14% Li,
1,5% А1, 5% Zn, 0,2% Sn.
i
>-
—
1,4
К:
о *
34,3
44,1
26,0
31,6
(N5!
О «
29,4
37,1
21,0
29,6
а?
¦
84,0
88,4
—
0,8
«о*
11,0
0,5
12,0
11,6
16,4
22,5
= :^
е> «
"-—
5,5
—
11 А. П, Филин

322
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
W
ж
4ш
У
л
1
1
\
\
\
10 20 JO 40
При содержании LI в сплаве с Mg в количестве 10,5% и выше гексагональная
решетка Mg переходит в объемноцентрированную кубическую решетку (ОЦК),
что влечет за собой увеличение пластичности. В самом Li происходит переход
из ОЦК решетки в гексагональную при ох-
охлаждении в области температур 190—200 °С.
6. Медные сплавы. Медные сплавы отли-
отличаются большим разнообразием. К числу
элементов, которые входят (по одному или по
несколько) в состав сплавов с медью, отно-
относятся х): Zn, Alp Mn, Si, Sn, Be, Cd, Pb, Ni.
На рис. 4.80 в качестве примера пока-
показано изменение механических свойств оловя-
нистой бронзы в зависимости от содержания
олова и литой латуни в зависимости от со-
содержания цинка. Прочность сплавов меди
с любым из следующих элементов: Zn, A1,
Si, Sn, Be — при увеличении процентного
содержания легирующей добавки сначала
растет, а затем понижается. Пластичность
сплавов меди с Zn или А1 при увеличении
содержания легирующей добавки сначала
растет, а затем понижается, а с Mn, Pb,
Ti — уменьшается с увеличением процента
содержания добавки. Наряду с двойными ши-
широко известны тройные и многокомпонентные
бронзы (кремнемарганцевая, свинцовонике-
левая и др.).
Бронзы поддаются термической обработке
(отжиг, закалка и отпуск). Бронзы относятся
к литейным материалам, однако они допус-
допускают и обработку давлением.
Если в сплаве содержание элемента,
добавляемого к меди, не превышает опреде-
определенного процента, бронзы однофазны, сплав
является раствором внедрения или замеще-
замещения — кристаллическая решетка такого спла-
сплава — кубическая гранецентрированная. При
превышении предела растворимости обра-
образуются еще фазы, увеличивающие твер-
твердость и снижающие пластичность (при
холодной обработке) сплава.
Латуни до 39% содержания цинка однофазны (полное растворение), при
большем содержании цинка — двухфазны. Мельхиор высокопластичен и стоек
против коррозии (однофазен при всех температурах), обладает хорошими меха-
механическими свойствами: отожженный мягкий мельхиор марки МНЖМц-30-0,8-1
при растяжении имеет апч не менее 38 кГ/мм2 (обычно 45—48 кГ/мм2), б =» 38%;
полутвердый мельхиор имеет апч не менее 50 кГ/мм* (обычно 70 кГ/мм2),
б «8—20%.
6)
I-
/
г
s
/
ч
\
;
'л
\
\
\
к
20
60
Рис* 4.80. Влияние содержания Sn
и Zn на сплавы меди: а) влияние
содержания Sn на свойства оловя-
нистой литой бронзы; б) влияние
процентного содержания цинка на
свойства литой латуни [Туркин
Ф. Д. и Румянцев М. В.,Структура и
свойства цветных металлов, Метал-
лургиздат, 1947].
х) Сплавы Си и Zn называют латунями (при содержании Zn не более 10%
сплав называется томпаком; если, кроме цинка, имеются и другие элементы,
то сплав называется бронзой). Мельхиор, константан, никелин представляют
собой различные сплавы Си и Ni. Сплавы Си с каждым из остальных упомянутых
в тексте элементов называются бронзами (алюминиевая бронза, марганцевая
бронза и т. п.). При большом количестве марганца в сплаве с медью сплав на*
зывается манганином.

§ 4.11] 'ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
323
7. Никель и его сплавы. Никель входит в состав многих сталей, придавая
им ряд ценных качеств: хорошие механические свойства (высокие прочность и
пластичность), стойкость против коррозии, жароупорность. Наряду е этим
имеется ряд сплавов, в которых основой является никель. Из числа конструк-
конструкционных сплавов никеля отметим монель-металл F8% Ni, 28% Си, 1,5% Мп,
2,5% Fe; иногда вместо железа и части марганца вводятся Be, Si и Со). В каче-
качестве основы Ni входит в ряд сложных жаропрочных сплавов, о которых гово-
говорится в разделе 13 настоящего параграфа.
8. Титан и его сплавы. Титан и его сплавы широко применяются во мно«
гих областях техники, в частности в химической аппаратуре, судостроении,
авиации и ракетостроении, вследствие весьма удачного сочетания свойств:
высокой удельной прочности, исключительно высокой коррозионной стойкости,
значительной прочности при высоких температурах. Чистый титан весьма пла-
пластичен. К числу свойств, создающих некоторые затруднения в применении титана
в качестве конструкционного материала, относится низкая теплопроводность
(в 13 раз меньше, чем у А1, и в 4 раза меньше, чем у Fe), нежелательная в усло-
условиях больших термических градиентов, в особенности при тепловом ударе, вслед-
вследствие опасности возникновения высоких термических напряжений, и в условиях
высокочастотных периодических термических колебаний; этот недостаток отчасти
компенсируется малостью коэффициента термического расширения. Титан имеет
низкий, по сравнению со сталью, модуль продольной упругости, затрудняющий
получение жестких и вместе с тем легких конструкций, несмотря на высокую
удельную прочность.
Большим стимулом в применении титана и его сплавов явилась потребность
заменить алюминиевые сплавы в летательных аппаратах при больших скоростях,
вследствие развития при полете больших температур, не выдерживаемых алю-
алюминиевыми сплавами.
Таблица 4.16
Свойства
название
Модуль продольной
упругости
Коэффициент линей-
линейного термического
расширения
Удельная теплоем-
теплоемкость (при 20 °С)
Плотность (при 20 ®С)
Удельная теплопро-
теплопроводность (при 20е С)
Коэффициент склонно-
склонности к возникновению
температурных уси-
усилий в статически
неопределимых си-
системах
Температура плавле-
плавления
обозначе-
обозначение
Е
а
0
Р
к
Еаср
к
единица
измерения
КГ/СМ2
1/-С
кал/г • *С
г/см3
кал/см -секх
х°с
кГ • см2 • сек
•с
Металлы
AI
0,71 . 10е
24,3 . 10-е
0,215
2,71
0,538
18,7
A5,8%)
660,2
Ti
1,125 • 10е
8,15 -10-е
0,129
4,505
0,0450
118
A00%)
1665
Fe
2,1 • 10»
13,3-10-6
0,105
7,86
0,2000
115
(97,4%)
1536
11*

324 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
Некоторые физические свойства титана приведены в табл. 4.16, где для
сопоставления показаны данные и для алюминия и железа.
Предел текучести титана и его сплавов почти равен пределу прочности, это
требует больших усилий при обработке давлением. Однако обработка давлением
мыслима даже при комнатной температуре в силу достаточно высоких пластиче-
пластических свойств технического титана, получаемого современными методами.
Из-за большой химической активности титана при высоких температурах
соединение элементов из него посредством сварки встречает трудности. Резание
титана осуществляется лишь при небольших скоростях подачи и большой глубине
острым инструментом из быстрорежущих сталей или твердых сплавов.
Титан — химически активный элемент, но вследствие образования на его
поверхности защитной весьма плотной и однородной пленки, химический состав
которой зависит от окружающей среды и условий образования (чаще всего пленка
рутиловая — TiO2), он становится пассивным. Защитная пленка делает титан
более стойким, чем нержавеющая сталь, во многих агрессивных средах, в том
числе в разбавленной серной кислоте, царской водке, разбавленной и концентри-
концентрированной, но не дымящей азотной кислоте. Технически чистый титан особенно
стоек по отношению к действию морской воды. Опыт (с пересчетом) показал, что
за 4000 лет лист титана разрушится на толщину бумажного листа. Легирование
титана молибденом, цирконием, ниобием приводит к образованию еще более
стойких защитных пленок.
Практически не взаимодействуя с газами при низких температурах, титан
активно взаимодействует с ними при высоких температурах (с кислородом —
уже при 250—300 °С и особенно интенсивно при 700 °С, с азотом — при 850 °С,
максимум взаимодействия технического титана с водородом — при 700—900 СС,
а у чистейшего йодидного титана — при 300 °С).
Более высокие пластические свойства титана, чем у других металлов с гекса-
гексагональной плотноупакованной решеткой, таких, как магний, цинк, кадмий,
объясняются тем, что у него отношение осей с/а меньше, чем у идеальной плотно-
упакованной решетки (с/а= 1,587 < 1,633), и, таким образом, скольжение
может происходить не только по плоскости базиса, но и по пирамидальным и
призматическим плоскостям.
Титан имеет склонность к ползучести уже при комнатной температуре.
Заметной становится ползучесть при напряжениях, составляющих 60% от от.
В интервале температур 150—350 °С, находясь под нагрузкой, титан перестает
ползти. При 350 °С ползучесть возникает снова и протекает тем интенсивнее,
чем выше температура. Особый характер поведения титана в диапазоне темпе-
температур 150—350 °С объясняется старением, происходящим под нагрузкой.
Технический титан упрочняется при холодной деформации (при степени дефор-
деформации до 40%). При этом существенной является не только величина деформации,
но и характер ее (протяжка, другие виды нагартовки, просто растяжение). Холод-
Холодная деформация, предшествующая нагреву титана, влияет на температуру ре-
рекристаллизации. Чем больше предварительная деформация, тем ниже темпе-
температура рекристаллизации (но не ниже 500 °С). Упрочнение снимается отжигом
(частично даже при 300—500 °С).
Чистый титан в ряде случаев является незаменимым материалом в химиче-
химической промышленности и судостроении. Более высокая стоимость титана окупается
удлинением (до 40—50 раз) срока службы изделий. Легирующими добавками
в сплавах титана являются многие металлы. Соответственно существует много
различных по химическому составу и структуре титановых сплавов. В некоторых
из них, называемых а-титановыми сплавами, стабилизируется а-фаза (легирую-
(легирующая добавка — алюминий), в других, называемых р-титановыми сплавами, ста-
стабилизируется р-фаза, претерпевающая эвтектоидный распад при достаточно
низкой температуре (легирующие добавки: Сг, Mn, Fe, Cd, Ni, Be, W, Co) или
сохраняющаяся до комнатной температуры (легирующие добавки: V, Mo, Nb, Та).
Существуют легирующие добавки, мало влияющие на устойчивость а- и Р-фаз
(Sn, Zr, Ge, Hf, Th). Алюминий присутствует во всех титановых сплавах, и система

4.Щ ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
325
60
40
во
о
-20
-
If
Ш
Щ
ё
V
vosxxy
1
3
t
о
Е50
750 V
титан —-алюминий имеет такое же значение, как и система железо — цементит
для сталей. Титановые сплавы подвергаются всем основным видам термической
обработки.
Очень хорошее влияние (повышение прочности без снижения пластичности)
оказывают на а-титановый сплав Sn и 2п. Так, в сплаве с 4—5% А1 и 2—3% Sn
°пч = 80-7-90 кГ/мм2, от = 70ч-80 кГ/мм2 и ft = 10%. Прочность сплавов сохра-
сохраняется до 500 СС.
Большинство а-сплавов применяют отожженными. Р-титановые сплавы не
получили такого широкого промышленного применения, кака-титановые сплавы,
в силу того, что в них тяжелые легирую-
легирующие добавки должны быть столь значи-
значительными, что теряется основное преиму- •
щество титановых сплавов — большая
удельная прочность.
Наиболее благоприятной комбина-
комбинацией свойств обладают а + р-титановые
сплавы. Прочность их может быть повыше-
повышена термической обработкой на 50—100%
по сравнению с исходным состоянием.
Такие сплавы (ВТЗ, ВТЗ-1, ВТ6, ВТ8,
ВТ 14), содержащие легирующие добавки:
А1 D—7%) и один или два элемента из
числа Сг, Мо, V, Мп в количестве около
1—5,8%, характеризуются следующими
механическими свойствами: опч — 95ч-140
кГ/млР, Ь= 10ч-18%, аи=3 кГм/см*,
Нв= 2504-360 кГ/млА
В последнее время все более широкое
распространение получают сплавы на ос-
основе a-Ti, содержащие небольшое коли-
количество Р-фазы, улучшающей технологи-
технологические и механические свойства сплавов.
Число опытных титановых сплавов'
очень велико и продолжает расти. Основ-
Основное внимание обращено на повышение
их прочности, длительной прочности и
сопротивляемости ползучести. Однако по-
подавляющее число изделий из сплавов ти-
титана изготовляют из 5—7 сплавов, на
долю же остальных приходится не бо-
более 10—15%. Одновременно ведутся изы-
изыскания жаропрочных сплавов на тита-
титановой основе, 'о чем говорится в раз-
разделе 13 настоящего параграфа. Наличие водорода в титановых сплавах, как
и в' титане, приводит к так называемой водородной хрупкости; в настоящее вре-
время трудности, связанные с нею, в основном преодолены.
Титановые сплавы используются главным образом в авиационной и ракетной
технике. На рис. 4.81 показано изменение веса авиационных конструкций в зави-
зависимости от используемых материалов и температуры, при которой работает
конструкция.
Применяют Ti и в других отраслях техники, где существенными являются
сочетания высоких удельной прочности, коррозионной стойкости и жаропроч-
жаропрочности или отдельно указанные свойства. К числу таких областей техники отно-
относятся: цветная металлургия (получение Ni, Co, Cu, Zn, Pb, Ti), электрохимиче-
электрохимические и гальванотехнические процессы в металлургии; паротурбостроение, цел-
целлюлозно-бумажная промышленность, пищевая и фармацевтическая промышлен.
ность; бурильная техника (трубы при бурении на глубину до 10—15 километров)
Рис. 4.81. Изменение веса авиационных
конструкций из различных материалов
в зависимости от температуры эксплуа-
эксплуатации; по оси ординат отложен про-
процент выигрыша (в алгебраическом
смысле) в весе оптимально запроекти-
запроектированной авиационной конструкции по
сравнению с весом конструкции из
алюминиевого сплава типа В-95 (пред-
(предназначенной для работы при комнат-
комнатной температуре) принятым за 100%;
/ — высоколегированные стали (о"пч =
123 кГ/мм2), 2 — нержавеющие стали
(°пч = 155 кГ^мм2), 3 — сплав И700
(опч =-161 кГ/мм2), 4 — стали для
горячих штампов (О"пч = 197 кГ/мм2),
5 — сплавы на основе титана (кроме
|3-сплавов) [Новые материалы в тех-
технике. Под ред. Е. Б. Тростянской,
Б. А. Колачева, С. И. Сильвестрови-
ча, «Химия», 1964].

326 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
и др. Уровень использования Ti в промышленности в определенном смысле
является мерой прогресса в ней.
9. Цирконий и его сплавы. Основное применение как конструкционный
материал цирконий находит в ядерной технике — в атомных реакторах — вслед-
вследствие особого свойства — слабо поглощать тепловые нейтроны. О материале,
обладающем таким свойством, говорят, что он имеет малое поперечное сеченые
поглощения тепловых нейтронов. У циркония сечение поглощения тепловых
нейтронов равно 0,18-104 см2, у алюминия 0,21 • 10~24 см2, однако он уступает
цирконию в коррозионной стойкости, чем и объясняется использование цирко-
циркония. Меньшее сечение поглощения тепловых нейтронов, чем у циркония, имеют
магний @,059-10~24 см2) и бериллий @,009-104 см2).
У циркония — низкие теплопроводность и удельная теплоемкость и малый
коэффициент термического линейного расширения.
Цирконий исключительно стоек против коррозии в щелочах, кислотах,
в водяном 'паре, в обычной и морской воде, но не при высокой (до 360 °С) тем-
температуре.
Уже при наличии небольших примесей азота и (или) углерода коррозионная
стойкость циркония резко понижается, но ее можно значительно повысить леги-
легированием (например, ниобием). На поверхности циркония образуется окисная
пленка, защищающая его до 800 °С.
Легче всего взаимодействует цирконий с водородом (явление абсорбции),
С повышением температуры количество абсорбированного водорода уменьшается.
¦ Чистый (йодидный) цирконий очень пластичен — куется при температуре
жидкого азота. Такие примеси, как азот и кислород, упрочняют цирконий.
Магниетермический цирконий (менее чистый, чем йодидный) имеет такие
механические характеристики: апч = 40-^60 кГ/мм2, ат = 25-^26 кГ/мм2>
б = 21-^-30% и твердость по Виккерсу 150—180 кГ/мм2. Уже при содержании
всего- 0,001% водорода сильно снижается ударная вязкость при низких темпера-
температурах (водородная хрупкость); остальные, характеристики изменяются мало.
Закалкой, при содержании водорода не > 0,01%, можно зафиксировать пере-
пересыщенный раствор водорода в ос-фазе и предотвратить падение ударной вязкости
при комнатной температуре.
С увеличением температуры апч и ат у- циркония резко понижаются и ста-
становятся очень малыми при 500 °С. Начиная с 400 °С в цирконии интенсивно
развивается ползучесть. Цирконий лучше, чем железо и стали, а также алюминий
и его сплавы, работает на вибрационную нагрузку.
Механические свойства циркония существенно повышаются нагартовкой;
это повышение исчезает при отжиге до 100—400 °С. Температура рекристалли-
рекристаллизации при нагартовке циркония понижается (с 590 °С при деформации 10% до
450 °С при 80-95%).
На основе циркония получают сплавы, работающие в агрессивных средах,
в частности в атомных реакторах; легирующие добавки используются для повы-
повышения прочности и долговременной прочности циркония, а также для нейтрали-
нейтрализации примесей, отрицательно влияющих на коррозионную стойкость.
Наиболее важные легирующие добавки: Sn, Al, Mo, Nb; все они повышают
прочность циркония при комнатной температуре D% атомн. Sn или А1 повышают
прочность с 25,2 кГ/мм2 до 52 и 62,5 кГ/мм2 соответственно, а 4% атомн. Мо и
Nt>— до 72,4 кГ/мм2, при этом А1 и Sn повышают сопротивление ползучести и
долговременную прочность). При 500 °С долговременная прочность при каждой
из четырех указанных добавок примерно одинакова. Выше 500°С А1 и Sn оказы-
оказывают большее упрочняющее влияние.
Промышленные сплавы циркония циркалой-2 и 3 в отожженном виде имеют
следующие механические свойства: апч = 50 кГ/мм2, ат =» 31,5/с/7лш2,
6=30%, ур — 48ч-42%; те же сплавы после нагартовки имеют: апч =
«= 67-^-69 кГ/мм2, аТ(ь2 = 59ч-62 кГ/мм2, б = 8%, t|? = 30ч-34%.
Циркалой-2 по поглощению тепловых нейтронов мало отличается от цирко-
циркония, Недостатки этих сплавов — водородная хрупкость в интервале температур

§ 4.11] ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 327
150—350 °С и падение прочностных характеристик при температуре > 425 °С,
Характеристика Ea/k (см. §3.6, формула C.17)), определяющая величину тер-
термических напряжений у циркониевых сплавов, мала, что очень важно, так кан
конструкционным материалам в атомных реакторах приходится выполнять ряд
функцийг) (создавать поверхности теплообмена, обеспечивать необходимую
несущую способность, предохранять топливо от коррозии, предотвращать кон«
такт топлива и теплоносителя), вызывающих термические напряжения.
10. Бериллий. Бериллий, используемый ныне как легирующая добавка
<в сплавах меди, никеля, алюминия), обладая наименьшим из всех металлов сече-
сечением захвата тепловых нейтронов и достаточно высокими коррозионной стой-
стойкостью и жаропрочностью, имеет перспективу конструкционного материала
в ядерной энергетике. Обладая очень высокой удельной прочностью (выше, чем
у титана) вплоть до 500 °С, бериллий найдет применение как конструкционный
материал и в технике летательных аппаратов (в особенности ракет). Непреодоли-
Непреодолимым пока препятствием к использованию бериллия в качестве конструкцион-
конструкционного материала является малая пластичность. Весьма характерной особенностью
бериллия является анизотропность, возникающая как при литье и остывании,
так и в результате механических деформаций. Интересно заметить, что при ком-
комнатной температуре и при 700 °С материал в отношении каждой из характери-
характеристик, б и t|?, практически изотропен. При промежуточных же температурах
различие в величинах каждой из упомянутых характеристик для двух разных
направлений, проходящих через точку тела, максимально и достигает 400 и 200%
соответственно, т. е. материал существенно анизотропен. Механические харак-*
теристики бериллия в значительной мере зависят от способа получения полу-
полуфабрикатов его. Так, например, апч (в продольном направлении) колеблется
между 65 и 28 кГ/мм2; первое число относится к полуфабрикатам, получаемым
тепловым выдавливанием при 400—500 °С, второе — к выдавленному слитку.
Подробные сведения о механических свойствах бериллия можно найти в ряде
источников 2).
Отметим еще две характерные особенности бериллия: малость коэффициента
Пуассона (\i = 0,01-f-0,05, разброс объясняется анизотропностью) и существен-
существенную зависимость свойств от облучения. В результате облучения происходит
сильное охрупчивание и повышение предела текучести бериллия. При облучении
х) Копельман Б., Материалы для ядерных реакторов, Атомиздат, 1962.
Миллер Г. Л., Цирконий, ИЛ, 1955.
Конструкционные материалы реакторов. Сб. трудов. Научн. ред. И. Д. Соко*
лов, М., 1972.
Реакторное материаловедение, под ред. Д. М. Скорова, Атомиздат, 1968.
Л о с е в Н. П., Самсонов Б. В., Финько А. Г. и др., Методы ме-
механических испытаний материалов в процессе облучения, ч. 1 (испытания
на длительную прочность), НИИ атомных реакторов им. В. И. Ленина, Димит-
ровград, 1973.
Прочность конструкционных материалов, применяемых в реакторострое-
нии. Сб. статей, М., 1973 (Центральный научно-исследовательский институт
информации и технико-экономических исследований по атомной науке и тех-
технике, Вопросы атомной науки и техники, Серия реакторостроения, вып. 3E)).
2) Бериллий. Под ред. Д. Уайта и Д. Берна, пер. с англ. под ред. М. Б. Рейф-
мана, ИЛ, 1960.
Уайт Д. и Б а р и с Д. Э., Металлический бериллий, пер. с англ., ИЛ,
1961.
Дарвин Дж. и Баддери Дж., Бериллий, пер. с англ. под ред. •
М. Б. Рейфмана, ИЛ, 1962.
Папиров И. И., Тихинский Г. Ф., Физическое металловедение
бериллия, Атомиздат, М., 1968.
Папиров И. И., Т и х и н с к и й Г. Ф., Пластическая деформация
бериллия, под ред. действ, чл. АН УССР В, Е. Иванова, Атомиздат, 1973.

328
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. TV
•С
то
№
интегральным потоком 9-Ю20 нейтрон/смг (при Т= 650 °С) аг увеличивается
от 2,5—3,4 до 5,0—5,6 кГ/лш\ а б падает от 18—24 до 3,1—5,4% и г|? от 14—18
до 0,9—5,2% •
11. Тугоплавкие металлы и их сплавы. К числу тугоплавких условно отно-
относятся Сг и металлы: V, Rh, Hf, Ru, Ir, Mo, Та, Nb, Os, Re и W, температура
плавления которых выше 1875 °С — температуры плавления хрома. Все они
имеют объемноцентрированную кубическую решетку. Проблема получения тех-
технических тугоплавких металлов и создания тугоплавких сплавов вызвана требо-
требованиями сверхзвуковой авиации и ракетной техники и турбостроения, т. е.
требованиями сохранять достаточную прочность при 1100 °С и даже при более
высокой температуре, вместо 650—870 °С, до которой способны работать жаро-
жаропрочные стали и сплавы на основе Ni и Со.
V и Nb используются и в ядерной
энергетике (у них малое поперечное сече-
сечение захвата тепловых нейтронов). Проб-
Проблемы, связанные с тугоплавкими метал-
металлами, являются сейчас весьма актуаль-
актуальными х).
Учитывая распространенность в при-
природе, наибольший интерес представляют
\V, Mo, Nb и Та. Элементы Re, Os, Ir и Ru
являются рассеянными и поэтому не могут
иметь такого промышленного значения»
как отмеченные выше. В табл. 1.23 (см,
приложение I) приведены некоторые фи-
физические и упругие характеристики ше-
шести тугоплавких металлов.
Из тугоплавких металлов наиболь-
наибольшей коррозионной стойкостью обладают
Та и Nb, а отсутствием склонности к окис-
окислению — лишь Сг. Все остальные туго-
тугоплавкие металлы при температуре 500—
600 °С интенсивно окисляются.
При испытании гладких образцов температурная граница между хрупким
и пластичным состояниями у тугоплавких металлов такая: < —196 °С у Та,
—200 °С у Nb, 0 °С у Мо, 300 °С у VV и 850 °С у Сг. Наинизшее расположение
указанной границы наблюдается при кручении, наивысшее — при изгибе надре-
надрезанных образцов.
У VV и Мо граница может быть понижена на 100—200 UC путем деформации
металла в направлении будущего нагружения изделия при температуре немного
ниже температуры рекристаллизации. При загружении же этого изделия поперек
направления предварительной деформации температурная граница между хруп-
ким^и пластичным состояниями повышается.
Так как у Сг и VV граница выше комнатной температуры, их можно исполь-
использовать лишь при температуре, превышающей указанную границу. В табл. 1.24
(см. приложение I) приведены механические характеристики тугоплавких метал-
металлов, в том числе длительная прочность, весьма существенная для работы при
высоких температурах. Все характеристики сильно зависят от примесей и по-
поэтому очень изменчивы.
\
ч
Та
>--
Сг
-
"— —
—¦' —
-—¦г
20
80 100%
Рис. 4.82. Зависимость температуры
начала рекристаллизации от степени
(в %) предварительной холодной де-
деформации
*) Некоторые проблемы тугоплавких металлов и сплавов. Сб. переводов,
ИЛ, 1963.
Писаренко Г. С, Борисенко В. А., Городецкий С. С. и др.,
Прочность тугоплавких металлов, «Металлургия», 1970.
Пластическая деформация тугоплавких металлов и специальных сплавов.
Сб. статей. Ответств. ред. Н. М, Павлов, «Наука», 1970.

§ 4.111 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
329
Так как температура рекристаллизации определяет границу, выше которой
значительно падает прочность металла, важно знать, как влияют на эту границу
предшествовавшая холодная деформация и легирующие добавки (рис. 4.82).
60
Та
/Мо
500 1000 /500 WOO ?,500'C
Z5
%*°
2,5
0
Nb
V
Та
Мо
550
1650 2ЖЛС
Рис. 4.83. Зависимость прочности тугоплавких металлов от температуры: а) опц нага-
ртованных металлов в зависимости от температуры при испытании в вакууме; б) удель-
удельная прочность опц/у в зависимости от температуры. [Новые материалы в технике, под
ред. Е. Б. Тростяпской, Б. А. Калачера, С. И. Сильвестровича, «Химия», 1964].
На рис. 4.83 показана зависимость апч и опч/у четырех тугоплавких метал-
металлов от температуры испытания.
250
1500 1750°С
Рис. 4.84. Зависимость механических свойств сплавов на основе тугоплавких металлов
от температуры: / — опч, 2 — б, 3 — ij\ 4 — длительная прочность за 100 часов; нижний
индекс при цифрах 1, 2, 3, 4 обозначает номер сплава (всего шесть сплавов; сплав У —
60% V -j- 40% Nb (дуговая плавка; наклепан и отожжен при 1100 °С), сплав 2 — Nb 4-
Н- 15% W -{- 5% Мо 4- 1% Zr (дуговая плавка, наклепан), сплав 3 — Мо -f 1,27%
Ti -f- 0,29% Zr -f 0,3% С (дуговая плавка, наклепан, отпуск для снятия напряжения),
сплав 4 — Мо -f 20% Re (дуговая плавка, рекристаллизован), сплав 5 — Та -f- 10% W
(дуговая плавка, наклепан), сплав 6 — W -f 30% Re (дуговая плавка, рекристаллизован)
Шоиые материалы в технике, под. ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Калачева, С. И. Силь-
Сильвестровича, «Химия», 19641.
Сплавы на основе тугоплавких металлов имеют лучшие свойства для работы
в качестве жаропрочных материалов (имеют более высокую длительную проч-
прочность, лучше сопротивляются ползучести), чем основные металлы. На рис. 4.84
даны некоторые механические характеристики жаропрочных сплавов.

330
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
12. О монокристаллах тугоплавких и редких металлов и сплавов. При обсуж-
обсуждении схемы, изображенной на рис. 4.58, отмечалась актуальность получения
металлов без дефектов как путь, обеспечивающий их высокую прочность. Почти
бездефектны так называемые «усы» — нитевидные монокристаллы. Однако могут
быть получены весьма совершенной структуры и монокристаллы больших раз-
размеров. Свойства таких монокристаллов уникальны во многих отношениях.
Совершенные монокристаллы легкоплавких металлов и металлов средней
тугоплавкости (Sn, Zn, A1, Си) были получены еще в первой половине XX века.
Получение осуществлялось на воздухе* путем
вытягивания из расплава или методом рекри-
рекристаллизации предварительно деформирован-
деформированных чистых образцов.
Уже во второй половине XX века были
получены и монокристаллы тугоплавких и
редких металлов Mo, Nb, Та, W, Re, V.
Получение монокристаллов этих металлов
затрудняется их высокой температурой
б, кГ/мм<
60
Рис. 4.85. Характер кривых напря-
напряжений: а) металлов с кристалличес-
кристаллической решеткой типа гранецентриро-
ванного куба (ГЦК) (Th); б) метал-
металлов с кристаллической решеткой
типа объемноцентрированного куба
(ОЦК) (V, W, Мо, Та, Nb); / —
монокристаллическое состояние, 2 —
поликристаллическое состояние.
Рис. 4.86. Анизотропия механических свойств
при растяжении монокристаллов молибдена;
ориентировка оси растяжения; У — [lOOl (стпч =
«= 47 кГ/мм2, <тт = 16 кГ/мм2, б = 17%, я|; =
= 70%), 2 -[110] (Gnq
= 18 кГ/мм2, 6 = 22%,
32 кГ/мм2,
100%), 3 — [] 111
Г 1мм2. fi = 20%.
32 кГ/мм2, От = 20 кГ/мм2, 6 = 20%,
¦ф = 100%); микрообразцы ф 1,5 л/ж, / = 15 мм.
плавления и большой химической активностью. Ниже обсуждаются лишь моно-
монокристаллы тугоплавких металлов х).
Выращивание монокристаллов тугоплавких металлов осуществляется из
каждой из трех фаз металла: из газовой фазы, из расплава (жидкая фаза) (метод
электронной лучевой зонной плавки, плазменные методы) и из твердой фазы,
(рекристаллизационные методы).
Производство монокристаллов дошло до промышленных масштабов, и выра-
выращиваемые монокристаллы имеют размеры в поперечном сечении, доходящие
до 50 мм и более. Монокристаллы выращиваются различного профиля» в том
числе прямоугольного (пластина), кольцевого (труба) и др.
1) Монокристаллы тугоплавких и редких металлов. Материалы III Все-
Всесоюзного совещания «Получение, структура, физические свойства и применение
монокристаллов тугоплавких и редких металлов» B—4/ХП 1968 г.), «Нау-
«Наука», 1971.
Савицкий Е. М., Бурханов Г. С, Монокристаллы тугоплавких
и редких металлов и сплавов, «Наука», 1972.

§ 4.11} ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 331
Обнаружен ряд уникальных свойств, присущих только монокристаллам
тугоплавких металлов (феноменальная пластичность; высокая стойкость против
рекристаллизации, ползучести, действия плазмы, облучения, термомеханических
воздействий; редкая анизотропия ме-
механических свойств). По-видимому,
еще многие другие, неизвестные до
сих пор ^свойства будут открыты при
дальнейших исследованиях.
Учитывая, что монокристаллы
можно получать с заданной кристалло-
кристаллографической ориентацией, а от послед-
последней вследствие анизотропности зави-
зависят свойства, можно говорить, с опре-
определенным ограничением, что монокри-
монокристаллы — это материалы с наперед
проектируемыми свойствами. Отмечен-
Отмеченное ограничение состоит в том, что
выбор осуществляется из заранее из-
известного дискретного множества.
Монокристаллы получают не толь-
только с исследовательскими целями (обна-
(обнаружение новых химических и физиче-
физических свойств и новых явлений, увязка
Рис. 4.87. Изменение механически* свойств
при растяжении вольфрама в температур-
температурном интервале 20 — 2000 °С: а) аТ;0>2; б) 6;
в) ty> h — монокристалл (ориентация оси
растяжения [ill]), h — монокристалл
<[110]), /3 — монокристалл (LlOOj), 2 — по-
поликристаллический вольфрам вакуумной
дуговой плавки, 3 — металлокерамиче-
ский вольфрам.
Рис. 4.88. Сопротивление ползучести при
растяжении вольфрама (Т = 1500 °СK
/, — монокристалл (ориентировка оси рас-
растяжения Ll I ll), /2 — монокристалл ([110])й
2 — поликристаллическое состояние.
макроскопических (феноменологических) свойств с дискретным строением мате-
материи), но и для использования при изготовлении ряда ответственных деталей
разнообразных приборов (электровакуумных, газоразрядных), аппаратов (для
превращения тепловой энергии в электрическую), машин и механизмов (газовых
турбин, гироскопов).

332
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
Ниже приводится информация о механических свойствах тугоплавких метал-
металлов в монокристаллическом и для сравнения в поликристаллическом состоя-
состояниях.
На рис. 4.85 показаны характерные кривые напряжений при растяжении
для металлов с различным типом кристаллической решетки.
На рис. 4.86 изображены кривые напряжений при растяжении монокристалла
молибдена при различной ориентировке оси растяжения. Особенно сильно выра-
выражена анизотропия механических свойств у монокристалла вольфрама. При
ориентировке оси растяжения A00) а11Ч = 110 кГ/мм2, 6=2%, t|?=0%,
а при (НО) апч = 98 кГ1мм\ 6 = 15%, \|> - 100%.
В табл. 4.17 представлены механические свойства моно- и поликристаллов
пяти тугоплавких металлов с объемноцентрированпой кубической решеткой при
растяжении и изгибе.
Таблица 4.17
w
V
Mo
Nb
Та
n —
a , кГ/мм2
ПЧ' '
n
80—120
20— 25
50—100
30— 35
35— 40
м
100
10
30—35
15
20-25
6, %
п
0
5
20—30
50
70
м
10—15
20—25
20—25
12
—
¦и
п
0
25—50
< 1
64—90
95
м
100
100
100
100
100
Угол изгиба
в градусах при
- 196 °С
180
180
180
180
180
поликристаллическое состояние, м — монокристаллическое состояние.
Сопоставление свойств вольфрама в моно- и поликристаллическом состояниях
представлено и на рис. 4.87 и 4.88. Из рассмотрения этих рисунков видно, что
пластические свойства у монокристаллов значительно ярче выражены, чем у того
»;е металла в поликристаллическом состоянии, а скорость ползучести сущест-
существенно меньше.
Получение монокристаллов тугоплавких металлов без дефектов и примесей
(в таком состоянии они имеют очень стабильные свойства), что очень важно для
новой техники, в настоящее время все еще очень затруднено.
Примеси и дефекты, а также масштабный фактор существенно влияют на
свойства монокристаллов.
13. Жаропрочные сплавы 1). В зависимости от диапазона высоких темпера-
температур, в которых должна работать конструкция, и от продолжительности этой
1) Жаропрочным сплавам посвящена огромная литература. Отметим лишь
некоторые из книг:
Розенберг В. М., Основы жаропрочности металлических материалов,
«Металлургия», 1973.
В этой книге обсуждены физические явления, лежащие в основе ползучести,
длительного разрушения и других явлений, являющихся существенными для
жаропрочности.
< Жаропрочные материалы. Пер. с англ. А. С. Соболева и Ф. С. Новика,
«Металлургия», 1969. " ,
\ Легирование и свойства жаропрочных сплавов, «Наука», 1971. '
Ланская К. А., Жаропрочные сплавы, «Металлургия», 1969.
Захаров М. В., Захаров А. М., Жаропрочные сплавы, «Металлург
Тия», 1973.

§ 4.11] ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 333
работы используется тот или иной жаропрочный сплав 1). Рабочая температура
современных жаропрочных сплавов составляет2) 0,5—0,8 Тпл, а иногда
0,8—0,9 ТПл. Можно отметить три группы жаропрочных сплавов:
сплавы на основе легких металлов 3): Mg C00—350 °С), А1 C50—400 еС),
Ti D50—500 °С);
сплавы на основе: Си D50—500 °С), Fe (жаропро.чные стали, 500—600 °С
на основе Fea и 600—750 °С на основе FeY), Ni (до 1030 °С), Со (до 98а°С);
сплавы на основе тугоплавких металлов: V (до 1300 °С), Сг (до 1300 °С, а при
кратковременном воздействии до 1500 °С); Nb (до 1300 °С), Мо (до 1200—1350 °С
при длительной работе и до 1500—1600 °С при кратковременной работе),
Та (до 1300—1650 °С, но при невысоких напряжениях), W (до 1650—2200 °С
и даже до 2500 °С).
Укажем (в скобках) ориентировочные сроки службы (в часах) жаропрочных
сплавов в следующих конструкциях различного назначения:
ракеты A); самолеты военные A00 и больше); гражданские A000 и больше);
турбины газовые для локомотивов и судов A0 000); стационарные C0 000); тур-
турбины паровые стационарные A00 000 я? 12 лет).
Уровень температуры и продолжительность работы определенным образом
связаны. Так, при Т = 800 °С и выше элемент конструкции из жаропрочного
сплава может работать сотни чясов, при Т — 550—650 °С — тысячи и десятки
тысяч часов. Разумеется, на продолжительность работы влияет и уровень напря-
напряжений, который может колебаться в широком диапазоне — от единиц до многих
десятков кПмм2. С повышением напряжения при данной температуре умень-
уменьшается продолжительность работы данного жаропрочного сплава (ЖС).
Отметим некоторые диапазоны наиболее высоких температур, возникающих
в эксплуатационных условиях в различных областях техники:
авиация (не сверхзвуковые самолеты, о которых говорилось выше) —
до 400—500 °С; нефтеперерабатывающая промышленность — 700—800 °С (при
длительности службы, измеряемой месяцами, а иногда и годами); химическая
промышленность — 1000—1100-°С, а иногда и 1500 °С (при высоких давлениях);
газовые турбины (лопатки; авиационные газовые турбины имеют рабочие тем-
температуры намного выше, чем стационарные; повышение Т с 800—815 °С до
1020—1030 °С позволило повысить КПД и тягу современных реактивлых дви-
двигателей современных военных сверхзвуковых самолетов на 30—45%), ракет*
ная техника — 2500 °С и выше.
Для создания высокопрочных жаропрочных материалов поиск совершается
как в направлении получения бездислокационных монокристаллов больших
размеров, так и «усов» (нитевидных бездислокационных кристаллов), исполь-
используемых в различных композитных материалах (см. § 4.15), а также в направ-
направлении получения металлов и сплавов с большим количеством дефектов
(см. рис. 4.58). *-
Особые условия работы жаропрочных сплавов вызывают необходимость
оценивать их свойства специфическими характеристиками, о которых уже гово-
говорилось выше в настоящей главе. К их числу относятся: предел ползучести,
предел длительной прочности, предел температурной выносливости. Наряду
с этим используются и такие характеристики, как апч, ат, 6, t|?.
Разумеется, жаропрочные сплавы должны обладать и обсуждавшейся выше
в настоящей главе жаростойкостью. Одной из причин, затрудняющих создание
жаропрочных сплавов, является необходимость длительных испытаний (про-
(продолжительность испытаний должна превышать предполагаемую длительность
*) Кроме жаропрочных металлических сплавов к жаропрочным относятся
и тугоплавкие керамические материалы — бориды, карбиды, нитриды, окислы,
а также жаропрочные композитные материалы.
2) Имеется в виду температура начала плавления солидуса.
3) В скобках после химических символов элементов указан диапазон верх-
верхней границы рабочих температур сплава на основе данного металла.

334
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ, IV
службы конструкции, а последняя доходит, как было уже указано, порой до
100000 часов и более). В табл. 1.25 и 1.26 (см. приложение I) приведена инфор-
информация о шести механических характеристиках по двадцати восьми сплавам при
двадцати семи температурах. Дадим некоторую дополнительную к этим табли-
таблицам информацию.
Магниевые сплавы по удельной прочности и жаропрочности превосходят
наилучшие жаропрочные алюминиевые сплавы.
Титановые сплавы при Т > 500 °С сильно окисляются, однако в случае
кратковременной работы эти сплавы могут применяться и при Т = 600 -*- 650 °С
и даже при более высокой температуре. В диапазоне температур 300—-350 °С по
предельной длительной прочности титановые сплавы превосходят лучшие сплавы
алюминия в 8.-^ 10 раз.
Никелевые сплавы за последние 15 — 20 лет подверглись существенному
улучшению — рабочая температура их повысилась с 750 °С до 1000—1030 °С
Рис. 4.89. Зависимость прочности границ и тела зерен в металлических жаропрочных
сплавах от температуры? а) по Джеффрису; б) по М. Г. Лозинскому; / — прочность тела
зерна; 2 — прочность границ зерен; / — область транскристаллического разрушения;
// — область межкристаллического разрушения. Тэкв — температура, при которой
прочность зерен равна (эквивалентна) прочности границ.
за счет устранения легкоплавких вредных примесей (Pb, Bi, Sn, Sb, S), легиро-
легирования (W, Co, Mo, Nb) и использования более совершенной технологии (плавка
в вакууме). Жаропрочные сплавы никеля лучше жаропрочных сталей.
Из жаропрочных сплавов на основе тугоплавких металлов наименее изу-
изученной группой конструкционных материалов являются сплавы ванадия, хотя
V— самый распространенный из редких рассеянных элементов. Сплавы ванадия
имеют высокую удельную жаропрочность. Эти сплавы могут конкурировать
с ниобиевыми и молибденовыми сплавами до 1250 °С.
Молибденовые сплавы являются перспективными конструкционными мате-
материалами для длительной работы при 1200—1350 °С, а при кратковременной
до 1500—1600 °С, однако эти сплавы нуждаются в защитных покрытиях вследст-
вследствие нежаростойкости.
Сплавы тантала меньше распространены, чем сплавы других тугоплавких
металлов, из-за дефицитности и трудности легирования. Эти сплавы могут рабо-
работать в условиях высоких температур (до 1300—1650 °С), но при невысоких напря-
напряжениях.
Сплавы вольфрама содержат небольшое количество легирующих добавок-
вследствие малой их эффективности до 2500 °С. Недостатком этих сплавов яв-
является окисляемость при Т > 500 °С.
Влияние температуры на прочность границ и зерен в поликристаллическом
материале может быть охарактеризовано диаграммами, изображенными на
рис. 4.89.
14. Жаропрочные композитные материалы. Весьма перспективным методом
получения материалов с высокими механическими свойствами и при этом в задан-

§ 4.12] МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ
835
ной их комбинации является метод создания разнообразных композитных мате-
материалов. Здесь кратко обсуждаются лишь жаропрочные металлические компо-
композитные материалы, упрочненные волокнами тугоплавких металлов или металли-
металлическими или керамическими усами. К отмеченной группе материалов относятся
материалы, полученные на основе металлической мат- v
рицы (из суперсплава, содержащего Ni, Fe, Со), арми- ' W
рованной включениями из тугоплавких металлов. Во-
Волокна последних в матрице получаются путем вытя-
вытягивания матрицы, первоначально имеющей сфериче-
сферические включения из тугоплавких металлов. Сущест-
Существует и другой метод — метод выдавливания основного
и армирующего металлов.
На рис. 4.90 сопоставлены диаграммы напряже-
напряжений при растяжении композитного материала и мате-
материала матрицы, использованной в нем. Упрочняющая
роль армирования очевидна.
Наряду с ориентированным армированием для
изменения свойств металла матрицы применяют и хао-
хаотически расположенные в пластичной матрице без-
бездислокационные нитевидные кристаллы («усы») в объе-
объеме от 5—10% до 30—50% по отношению к объему
композита.
В табл. 4.18 приведены свойства нитевидных кри-
кристаллов. Наиболее перспективными из них являются
керамические «усы». Лучшие прочностные показатели
3 4 5
*,*
Рис. 4.90. Кривые напря-
напряжений при растяжении
(Т » 1093 °С): / — ком-
композитный материал, ар-
армированный вольфрамо-
вольфрамовым волокном A6%
объема), 2 — нержавею-
нержавеющая сталь (матрица).
относятся к «усам» с диаметром, не превышающим 1—3 микронов. Используется
и комбинация матрицы из тугоплавких металлов и волокна с высокой темпера-
температурой плавления.
Нитевидные кристаллы используются в порошковой металлургии, мате-
материалам которой посвящен § 4.15.
Таблица 4.18
Кристаллы
:кие
0)
К
s
Cu
Ni
Fe
Cr
I
we
a
о
300
400
1300
900
12 600
21600
20 000
25 000
о <\>
8,3
8,9
7,8
7,2
-e?
six
33
45
167
125
кие
a
CD
?T
a.
Кристаллы
A12O3
BeO
BeG
SiC
графит
1
>
2000
1400
700
1100
2100
ft?
52 000
70 000
50 000
87 000
100 000
ЛОТНОС
4,0
2,8
2,5
3,2
500
500
280
340
1230
§ 4.12 Механические свойства некоторых материалов на основе
синтетических полимеров
1. Вводные замечания. Успехи органической химии, которыми отмечены
несколько последних десятилетий, позволили создать огромное количество мате-
материалов на основе так называемых синтетических полимеров. Свойства их разно-
разнообразны и существенно отличаются от свойств многих других материалов. Вместе
с тем для больших классов этих материалов и состояний, в которых они пред-
предстают, обнаружен ряд общих закономерностей, находящихся в тесной связи о
кимико-физической их природой, а в ряде случаев и с технологией. Без уяснения

336 . МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
некоторых из этих основных понятий, в отрыве от них, немыслимо адекватно
и компактно описать механические свойства, а следовательно, и не возможно
ни создание соответствующих феноменологических теорий в рамках механики
твердого деформируемого тела, ни практическое применение материалов в технике.
Ниже приводится соответствующая информация х).
х) Механическим свойствам полимеров посвящена большая литература.
Отметим некоторые из источников, часть из них была использована при напи-
написании настоящего параграфа.
Конструкционные материалы, т. 3, Изд-во «Советская энциклопедия», 1965.
Статьи: Полимеры (Федоренко Н. П. и Рахлин И. В.); Прочность полимеров;
Термомеханическая кривая (Г. М. Бартенев).
Молчанов Ю. М., Справочник. Физические и механические свойства
полиэтилена, полипропилена и полиизобутилена, «Зинатне», Рига, 1966.
А с к а д с к и й А. А., Деформация полимеров, «Химия», 1973.
Гуль В. Б., Кулезнев В. Н., Структура и механические свойства
полимеров, изд. 2-е, перераб. и дополн., «Высшая школа», 1972.
Огибалов П. М., М а л и н и н Н. И., Н е т р е б к о В. П., К и ш -
к и н Б. П., Конструкционные полимеры. Методы экспериментального иссле-
исследования, книги первая и вторая, под общей ред. П. М. Огибалова, Изд-во МГУ, 1972.
Малмейстер А. К., Т а м у ж В. П., Тетере Г. А., Сопротивле-
Сопротивление жестких полимерных материалов, «Зинатне», Рига, 1972.
К о р ш а к В. В., Термостойкие полимеры, «Наука», 1969.
Коршак В. В., Химическое строение и температурные характеристики
полимеров, «Наука», 1970.
Армированные полимерные материалы. Сборник переводов и обзоров ино-
иностранной периодической литературы, под ред. 3. А. Роговина, П. М. Валецкого,
М. Л. Кербера, «Мир», 1968.
Александров А. Я., Бородин М. Я., Павлов В. В., Кон-
Конструкции с заполнителями из пенопластов, изд. 2-е, перераб. и дополн., под
общей ред. А. Я. Александрова, «Машиностроение», 1972.
Разрушение твердых полимеров. Под ред. Бернарда Роузена, пер. с англ.
B. Е. Гуля, «Химия», 1971.
Зуев К. С, Разрушение полимеров под действием агрессивных сред, изд.
2-е, перераб. и дополн., «Химия», 1972.
Немец Я-, С е р е н с е н С. В., С т р а м е е в В. С, Прочность пласт-
пластмасс, под ред. С. В. Серенсена, «Машиностроение», 1970.
Методы статических испытаний армированных пластиков. Справочное посо-
пособие. Составители: Т. Я. Кинцис, А. В. Розе, И. Г. Жигун. Под ред. Ю. М. Тарно-
польского, «Зинатне», Рига, 1972.
Новые материалы в технике. Под ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Колачева,
C. И. Сильвестровича, «Химия», 1964.
Ферри Д. Д., Упруго-вязкие свойства высокополимеров, ИЛ, 1964.
Алфрей Т., Механические свойства высокополимеров, МЛ, 1952.
Андреевская Г. Д., Высокопрочные ориентированные стеклопла-
стеклопластики, «Наука», 1966.
Каргин В. А., Слонимский Г. Л., Краткие очерки по физико-
химии полимеров, «Химия», 1967.
Трелоар Л., Физика упругости каучука, ИЛ, 1953.
Т р и л о р Л., Введение в науку о полимерах, «Мир», 1973.
Релаксационные явления в полимерах. Под ред. Г. М. Бартенева и Ю. В. Зеле-
нева, «Химия», 1972.
Переходы и релаксационные явления в полимерах. Под ред. Р. Бойера,
«Мир», 1968.
Вязко-упругая релаксация в полимерах. Составитель М. Шеи, перев. с англ.
под ред. А. Я. Малкина, «Мир», 1974.
Бартенев Г. М. иЗуев К. С, Прочность и разрушение высокоэла-
высокоэластических материалов, «Химия», 1964.

§ 4.12] МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ
337
2. Общие сведения о полимерах. Многочисленные материалы, получаемые
путем синтеза органических веществ, называют синтетическими. В основе их
лежат полимерные соединения (полимеры), определяющие их свойства. Синте-
Синтетические материалы представляют собой яркий пример материалов, для которых
совершенно необходимо совместное рассмотрение всех их свойств (химических,
физических, механических), а также их технологии получения.
Полимеры — это высокомолекулярные соединения, образованные в процессе
полимеризации, поликонденсации и т.-д. из большого числа молекул мономеров.
Степенью полимеризации п называют число таких звеньев (мономеров) в цепи,
т. е. во всей молекуле полимера. Если обозначить символом х молекулярный
вес одного звена, то молекулярный вес полимера М определится по формуле
А/ == пх.
Молекулы полимера имеют гигантские размеры (макромолекулы) и огромный
молекулярный вес: от 6—10 тысяч до величины, определяемой размером данного
куска полимера, состоящего из Одной молекулы. Полимер с М = 104 -*- 106 —
еысокополимер.
Молекулы полимеров могут быть линейными или сетчатыми, в обоих случаях
они состоят из звеньев одинакового или различного химического состава. При
закономерном расположении звеньев, среди которых преобладают звенья одной
структуры, полимер называется гомополимером. При случайном взаимном рас-
расположении звеньев двух или трех типов имеем так называемый сополимер. Пока-
Показатели свойств сополимера располагаются между показателями свойств гомопо-
лимеров с такими же звеньями, которые входят в сополимер. Между звеньями
молекулы имеются химические связи, между молекулами — межмолекулярные.
Чем значительнее химическая связь превышает молекулярную, тем ярче прояв-
проявляются специфические свойства полимеров.
Чем значительнее и чаще межмолекулярные связи, которые в пределе могут
быть также химическими, тем ближе полимер по свойствам к обычному твердому
телу. Полимеры, макромолекулы в которых соединены между собой поперечными
химическими связями, называются сетчатыми. Сетка может быть двумерной
или пространственной, густой или редкой.
Из трех различаемых в физике агрегатных состояний вещества: твердого,
жидкого и газообразного — полимеры могут находиться лишь в твердом и жид-
жидком состояниях. Из различаемых в термодинамике трех типов фазовых состоя-
состояний 1) вещества: твердого, жидкого и газообразного — полимеры могут нахо-
находиться в состоянии твердой и жидкой фазы. Вместе с тем в теории полимеров
различают следующие основные группы полимерных материалов:
1) аморфные (большинство пластмасс и каучуков);
2) аморфные ориентированные (волокна и пленочные материалы);
3) кристаллизующиеся (кристаллизующиеся от воздействия нагрузки);
4) кристаллические изотропные;
5) кристаллические ориентированные.
В таблице приведены возможные сочетания (в терминах, принятых в лите-
литературе по полимерам) агрегатных и фазовых состояний, в которых могут нахо-
находиться полимеры.
Фазовые состо-
состояния
твердое
жидкое
Агрегатные состояния
твердое
кристаллическое
стеклообразное (аморфное)
жидкое
расплав
Фаза — однородная система, находящаяся в равновесии.

338 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
Из этой таблицы видно, что к твердому агрегатному состоянию относятся
и кристаллическое и аморфное состояния. С точки же зрения термодинамики
к твердому фазовому состоянию относится лишь кристаллическое состояние
полимера, а аморфное (стеклообразное) состояние полимера рассматривается
как жидкая фаза, другой разновидностью которой является расплав.
Полимеры с линейными молекулами растворяются, а с повышением темпе-
температуры приобретают вязко-текучее состояние. Полимеры с сетчатым строением
при малом количестве поперечных связей между молекулами набухают в раст-
растворителе, а при густосетчатом строении не набухают и являются слабодеформи-
руемыми; чем гуще сетка, тем меньше эластичность и пластичность полимера
и тем более он хрупок.
Обычно полимеров со строго линейными молекулами не бывает — в послед-
последних имеются боковые ответвления; при большом их числе структура поли-
полимера рыхлая и прочность невысокая. В особых условиях синтеза удается со-
создавать высокопрочные полимеры с макромолекулами идеальной линейной
структуры.
Реальные сетчатые полимеры имеют структуру, отличающуюся от идеальной.
О количестве поперечных связей и расстояниях между ними пока приходится
судить по феноменологическим признакам: по величине упругих деформаций,
твердости, хрупкости, набуханию. Чем больше дефектов (мест разрыхления),
тем пластичнее полимер под нагрузкой и при повышенной температуре, тем
больше его набухание.
Одним из видов сополимеров является такой, в котором макромолекула
состоит из отрезков цепей различных гомополимеров. Такой сополимер назы-
называется блоксополимером. В последнем суммируются свойства составляющих его
гомополимеров. Так получаются материалы с редко сочетаемыми свойствами,
например — твердые и эластичные.
Свойства полимера определяются структурой макромолекул, строением
элементарного звена в гомополимерах и положением элементарных звеньев
(в сополимерах).
Полимеры строго регулярной линейной структуры обладают большой склон-
склонностью к кристаллизации. Кристаллизация улучшает механические свойства
полимеров — приводит к повышению твердости, модуля упругости, прочности.
Мыслима и частичная кристаллизация. Высокой степенью кристалличности
обладают многие полимеры, в частности полиолефины, это сделало их наиболее
широко распространенным классом полимеров. Содержание кристаллической
части в полностью линейном полиэтилене — 95%, в полиэтилене высокой плот-
плотности достигает 70—75%, в сильно разветвленном полиэтилене — 40%, в тех-
техническом полиэтилене содержание кристаллической части — 50%. У нейлона-66
содержание кристаллической части — 50—60% .
Каучуки не кристалличны, но наиболее прочны среди них те, которые спо-
способны кристаллизоваться.
Степень дефектности в полимерных кристаллах очень велика: доля неупо-
неупорядоченной части полимера может составлять многие проценты или даже десятки
процентов от веса полимера.
.В силу большого нарушения регулярности кристаллов полимеров ме-
механическое поведение их удается пока описывать лишь на качественном
уровне.
В области дефектов в кристаллах полимеров имеются концентрации напря-
напряжений. В аморфных полимерах неоднородностью напряжений, вызванной струк-
структурой, можно пренебречь.
Процесс, обратный кристаллизации, — аморфизация начинается в случае,
если в кристаллическом полимерном теле, построенном из регулярно располо-
расположенных линейных макромолекул, происходит так называемое структурирова-
структурирование — разветвление и поперечное сшивание линейных цепей за счет элементов
основной цепи (например, в фенольных смолах молекулы сшиваются метилоль-
ными звеньями основной цепи). Сшивка может происходить и вследствие введения

§ 4.12] МАТЕРИАЛЫ НА OGHOBE СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ 339
специальных сшивающих веществ (например, для полиэфирных смол таким
сшивающим веществом является стирол).
Встречаются и такие случаи, в которых разветвления цепей и сшивающие
цепочки сами легко кристаллизуются, при этом аморфизации полимерного тела
не наступает.
Вследствие особенности строения полимеры имеют специфические свойства.
Отметим основные из них:
1. Сильно выраженные временные свойства. К числу их относятся: а) зави-
зависимость модуля упругости от скорости деформирования или частоты воздейст-
воздействий; б) релаксация напряжений при постоянной деформации; в) ползучесть
(рост деформаций во времени при постоянных напряжениях).
В некоторых полимерах последействие длится многие годы и кажущиеся
состояния равновесия принимаются за истинное. Если нагрузка носит знакопе-
знакопеременный характер, то установление равновесного состояния может не поспевать
за изменением нагрузки вследствие последействия, и поэтому деформация в каж-
каждом цикле совершается иначе, чем в предыдущих. В литературе такое явление
носит название гистерезиса. Точнее было бы называть его неустановившимся
гистерезисом в отличие от гистерезиса установившегося (§ 2.23), с петлей, пол-
полностью повторяющейся при каждом последующем цикле, вследствие того что
упругое последействие успевает полностью исчерпываться. Чем сильнее в поли-
полимере последействие, тем значительнее и гистерезис.
Весьма существенное влияние на свойства полимеров оказывает температура.
Об этом влиянии ниже говорится подробно.
2. Сложная природа упругости, состоящая в наличии двух разновидностей
полностью обратимой деформации: а) небольшой, происходящей практически
мгновенно в процессе нагружения (мгновенно-упругая деформация, называемая
в литературе по полимерам просто упругой деформацией), и б) значительной
по величине (иногда несколько сот процентов) и происходящей не мгновенно
(высокоэластическая деформация).
3. Наличие двух видов необратимых процессов; такими являются: а) тече-
течение, обусловленное молекулярным механизмом, аналогичное течению вязких
жидкостей и происходящее при низких уровнях напряжения; б) так называемое
«.химическое^ течение, имеющее место при высоких уровнях напряжения и тем-
температуры.
4. Влияние механических явлений (механической напряженности) на хими-
химические процессы.
5. Способность приобретать так называемое ориентированное состояние
(возникает при силовом воздействии), в котором молекулярные цепи ориенти-
ориентированы в определенном направлении, что приводит к повышению проч-
прочности.
В полимерах наблюдается так называемое набухание, состоящее в проник-
проникновении в них газа или жидкости, находящихся в контакте с ними. В набухшем
полимере возрастает объем, понижается прочность, но эластические и пласти-
пластические деформации возрастают. При увеличении степени набухания происходит
ослабление межмолекулярных связей и начинается растворение полимера в раст-
растворителе, ничем не ограниченное в случае, если полимер имеет аморфную струк-
структуру. Полимеры с высокой степенью кристалличности растворимостью обладают
лишь при температуре, близкой к температуре плавления кристаллов.
В сетчатых полимерах с увеличением густоты сетки набухание уменьшается
и исчезает вовсе в случае пространственной сетки.
Расположение макромолекул линейного полимера вдоль линии волокна
или сетчатого полимера в поверхности пленки обеспечивает высокую прочность
волокна или пленки.
Полимеры можно разбить на три группы.
Полимеры, образующие первую из них называются термопластами. Сами
они и материалы, получающиеся на их основе, характеризуются особенностью
сохранять неизменными исходные свойства, если полимер, нагревая, расплавить,
а затем, охлаждая, вновь перевести в исходное состояние.

340
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[VJI IV
Отмеченное остается справедливым и при неоднократном расплавлении —
отвердении. Термопласты имеют линейную или разветвленную структуру. Свой-
Свойства их определяются химическим составом и физическим строением. Термо-
Термопласты могут быть как аморфными, так и кристаллическими. К первым, например,
относятся: полистирол, полиакрилат, поливинилхлорид; ко вторым: полиэтилен,
полиамиды, фторопласты.
v Вторая группа полимеров получается из линейных полимеров в результате
химического процесса, превращающего их в сетчатые, такой процесс (в случае
пластмасс) называется отвердением. Низкомолекулярное вещество, превращаю-
превращающее линейный полимер в сетчатый, называется отвердшпелем или вулканизатором.
После отвердения, или вулканизации, в полимере повышается твердость, проч-
прочность, теплостойкость, формоустойчивость, но утрачивается термопластнчность,
растворимость. Формовку изделий производят до вулканизации.
Наконец, третья группа полимеров — это сравнительно низкомолекулярные
вещества, называемые смолами, которые, минуя стадию высокомолекулярного
Tg Tf T
Рис. 4.91. Термомеханическая кривая:
/ — стеклообразное состояние, 2 — высоко-
высокоэластическое состояние, 3 — вязко-текучее
состояние; Tg — температура (точнее, в ок-
окрестности этой температуры — температур-
температурный диапазон) стеклования, Та — темпера-
температура (точнее, в окрестности этой температу-
температуры — температурный диапазон) текучести.
(Пт(г)
Г
Рис. 4.92. Термомеханические кривые для
полимеров одинакового химического строе-
строения, но различного молекулярного веса;
возрастание номера кривой соответствует
возрастанию степени полимеризации (Мх <
< М2 < Л43 < М4 < Мь < М< < М7).
линейного полимера, образуют полимер пространственной структуры, не пере-
переходящий в пластическое состояние и не поддающийся обработке резанием вслед-
вследствие большой хрупкости. Поэтому изделия изготавливают в той стадии, когда
смола еще низкомолекулярна и обладает вязкой текучестью. С повышением
температуры увеличивается молекулярный вес полимера (термореактивная
смола) и он приобретает пространственную структуру. Для ускорения процесса
к смоле прибавляется ускоритель отвердения. Для предотвращения самопроиз-
самопроизвольного отвердения, например, при хранении к термореактивной смоле добав-
добавляют ингибитор {замедлитель).
Отвердение термореактивных смол сопровождается большой усадкой, до
10—16%. В отличие от термореактивных смол, термопласты имеют меньшую
усадку @,8—2%).
3. Деформация аморфных полимеров.
3.1. Общая картина деформации во всех темпера-
температурных областях. На рис. 4.91 изображена термомеханическая кривая 1)
аморфного полимера. При Т < TR полимер — в стеклообразном состоянии,
при Т^ <с Т < Tf — в высокоэластическом, при Т >> Tf — в вязко-текучем.
При Т < Tg деформации малы и обратимы. При Tg < Т < Tf деформации
х) Термомеханической кривая названа потому, что она отнесена к системе
осей, по одной из которых откладывается температура, а по другой — деформа-
деформация (механическая величина), достигнутая за некоторый промежуток времени.
Такая кривая — одна из характеристик твердого тела в широком диапазоне
температур. Обычно термомеханические кривые строятся для полимеров.

4.121
МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ
341
велики, но тоже обратимы. При Т > Tf деформации необратимы. Обычно при
построении термомеханических кривых сохраняют неизменными скорость нагрева
(dT/dt = const) и нагрузку. При другой методике не изменяют напряжения,
а температуру изменяют ступеньками, выдерживая ее на каждой из них в тече-
течение времени ДЛ Положение термомеханической кривой зависит от dT/dt = const
или от Д/. С уменьшением At или увеличением dT/dt кривая смещается в область
больших температур. Использование термомеханических кривых облегчает
исследование механизма влияния молекулярного веса, пластификаторов, напол-
наполнителей, облучения среды и других факторов на механические свойства полиме-
полимеров, облегчает контроль стабильности свойств в разных партиях материала
и выявление температурных областей его применения.
\ Необратимые
^\^ деформации
Т„
Tf
Рис. 4.93. Диаграмма деформационно-прочностных состоянии аморфных полимеров:
7хр — граница между температурными областями хрупкости и разрушения в ориентиро-
ориентированном состоянии, Tg — температура стеклования, Тц — граница между температур-
температурными областями высокой эластичности и пластичности; охр — хрупкая прочность; овэ —
предел вынужденной эластичности: оэл — прочность высокоэластического материала
(истинное напряжение); оп — предел текучести; 7кр и окр пояснены в тексте при обсу-
обсуждении рис. 4.94.
Вид термомеханической кривой полимеров одинакового химического строе-
строения, но различного молекулярного веса зависит от степени полимеризации,
т. е. от молекулярного веса (рис. 4.92). Точка Л на этом рисунке принадлежит
кривой, соответствующей молекулярному весу, который определяет границу
между низкомолекулярными и высокомолекулярными соединениями.
Развитие остаточной деформации происходит при переходе через ап. Этот
процесс продолжается вплоть до наступления потери устойчивости течения с обра-
образованием сужения, завершающегося разрывом.
Существенную роль в описании свойств аморфных полимеров играет диа-
диаграмма деформационно-прочностных состояний (рис. 4.93). Как уже отмечалось,
в зависимости от температуры аморфный материал находится в одном из трех
физических состояний: стеклообразном (на рис. 4.93—область упругих дефор-
деформаций), высокоэластическом (на рис. 4.93 — область высокоэластических дефор-
деформаций) и вязко-текучем (на рис. 4.93 — область необратимых деформаций).
На рис. 4.93 изображены предельные напряжения, т. е. напряжения, при кото-
которых материал разрушается — по-разному в разных температурных областях.
Все температурные границы смещаются к высоким температурам с увеличением
скорости деформации (в особенности при ударе) и уменьшением продолжитель-
продолжительности действия нагрузки. Проследим за поведением материала в каждой из
температурных областей, рассматривая соответствующие диаграммы напряжений

342
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
при растяжении. Начнем со стеклообразной области, внутри которой, будем
различать две подобласти. В первой из них при О < Т < 7\р разрушение про-
происходит по схеме хрупкого исчерпания прочности (рис. 4.94, а).
Температуре Гхр соответствует равенство ординат ахр = авэ (рис. 4.93
и 4.94, б).
Рис. 4.94. Диаграммы напряжений при растяжении: а) температурная область Т < Тхх
^ < ' „ (Т — Ти Т2, Т3, Т^ — AT; Tt < Г2 < Г3 < Г — Д2
б)Т = Гхр; б) Гхр
Ткр (Т
Гкр)'
1 кр
Во второй подобласти (Гхр < 71 < 7^) стеклообразной области диаграмма
приобретает вид, показанный на рис. 4.94, в, где изображены три кривые (сплош-
(сплошные линии) при разных температурах; чем выше температура, тем ниже распола-
располагается кривая — тем легче деформируется материал. Напряжение авэ, соответ-
соответствующее максимуму на кривой, называется пределом вынужденной эластич-
эластичности. Чем выше Т (остается ниже, чем Tg), тем меньше авэ (см. рис. 4.93, где
кривая авэ изображена пунктиром). Напряжения, соответствующие всем трем

§ 4.12] МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ 343
кривым, изображенным сплошными линиями, отнесены к первоначальной пло*
щади поперечного сечения образца. Сначала дадим пояснения, рассматривая
самую верхнюю кривую. Первый участок диаграммы (соответствующий диапазон
деформаций отмечен буквой а) является линейным или почти линейным; при
приближении Т к Tg происходит некоторое его искривление. На втором участке
(диапазон деформаций, отмеченный буквой б) имеется максимум. Максимуму
соответствует начало образования шейки. Начиная с этой точки, диаграмма
напряжений, изображенная сплошной линией, значительно отличается от диа-
диаграммы истинных напряжений (см. пунктирную кривую).
На третьем участке (в) происходит уменьшение поперечных размеров шейки.
Достигнув определенных поперечных размеров, шейка перестает суживаться;
с этого момента начинается четвертый участок диаграммы напряжений (отмечен
на рис. 4.94, в буквой г). Однако шейка захватывает все больший участок по
длине образца. На образце создаются области, в которых резко отличаются попе-
поперечные размеры шейки и крайних участков. К тому моменту, когда шейка распро-
распространится на всю длину образца (конец участка г), деформации достигают сотен
процентов. В процессе развития шейки материал ориентируется — молекулярные
цепи расправляются и располагаются вдоль образца (вдоль направления растя-
растяжения). Материал приобретает свойство анизотропности — большую прочность
вдоль направления растяжения. Этим (ориентационным) упрочнением и объяс-
объясняется тот факт, что, пока шейка не охватила по длине весь образец, утонения
(сужения) ее не происходит — шейка легче распространиться на еще не охва-
охваченные ею участки, чем сужаться. Так обстоит дело до полного распространения
шейки на весь образец. Скорость стабилизации поперечного сечения шейки
зависит от ориентационного упрочнения материала. Если для приобретения
ориентационного упрочнения, препятствующего сужению шейки, не требуется
большой вытяжки, то четвертый участок диаграммы (отмечен буквой г на
рис. 4.94, в) сокращается и может совсем отсутствовать, т. е. диаграмма растя-
растяжения получается без максимума (например, у целлулоида). Вообще картина
растяжения различных полимеров зависит от их склонности к ориентационному
упрочнению. Явление значительного удлинения образца на участке г диаграммы
(рис. 4.94, в) носит название вынужденной эластичности, происхождение тер-
термина будет пояснено ниже. При разгрузках и повторных нагружениях, в част-
частности при колебаниях в процессе распространения шейки на всю длину образца,
вследствие наличия последействия возникают петли гистерезиса (рис. 4.94, в,
кривая, соответствующая температуре Т2). Наиболее широкие петли наблюдаются
в области Tg. Вынужденно-эластическая деформация термодинамически необра-
необратима, при больших деформациях большая часть работы деформации переходит
в тепло. Однако от пластической деформации она отличается тем, что после
разгрузки и нагрева до температуры Tg эта деформация исчезает. Отсюда
название эластическая. Однако для возникновения обсуждаемой деформации
необходимо довести напряжения до авэ — предела вынужденной эластичности.
Этим отличается вынужденно-эластическая деформация от высокоэластической,
которая возникает при Т > Tg, т. е. в другом диапазоне температур, в процессе
нагружения от нулевых напряжений. Отсюда становится понятным и слово вынуж-
вынужденная в названии деформации. Другим отличием вынужденно-эластической
деформации от высокоэластической является то, что высокоэластическая дефор-
деформация по устранении нагрузки исчезает без нагрева.
Следует заметить, что спад напряжений на диаграмме о — е (рис. 4.94, в)
не может быть объяснен образованием шейки. Во-первых, такой спад наблюдается
и на кривой истинных напряжений (пунктир на рис. 4.94, в). Во-вторых, харак-
характер кривой а — 8 сохраняется и при сжатии, когда шейка, естественно, не обра-
образуется. Механизм вынужденной эластичности до настоящего времени не выяснен
окончательно. Среди существующих версий отметим одну, согласно которой
вынужденная эластичность связана с разрушением некоторой (возможно, над-
надмолекулярной) структуры. В пользу такой гипотезы говорят опыты по повторному
нагружению образцов, А именно, если при первом нагружении на кривой а — в

344
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
в
наблюдался «зуб», то при втором и следующих нагружениях (после разгрузок)
кривая о — 8 будет монотонной (рис. 4.94, в).
Диаграмма, изображенная на рис. 4.93, в той части, где показаны линии
ахр и авэ1 по сути дела, аналогична диаграмме схемы Л. Ф. Иоффе.
На пятом участке диаграммы (на рис. 4.94 отмечен буквой д) поперечное
сечение образца уменьшается по сравнению с тем, какое было у шейки на четвер-
четвертом участке диаграммы. Имеет место как бы
"упрочнение.
Чем меньше молекулярный вес полиме-
полимера, том ближе Гхр к Tg.
Вынужденно-эластические деформации
являются важнейшей характерной особенно-
особенностью аморфных (стеклообразных) полимеров.
Продолжим обзор диаграмм напряжений
при растяжении образцов в не рассмотрен-
рассмотренных еще температурных областях.
Следующая температурная область при-
примыкает к Tg со стороны больших темпера-
температур. Выше*" уже было показано, что при
приближении к Tg со стороны меньших тем-
температур понижается авэ и сглаживается со-
соответствующий ему максимум на диаграмме
напряжений. При Т = Tg — AT максимума
нет вовсе и диаграмма а — е состоит из со-
сопрягаемых криволинейным участком прямо-
прямолинейных участков — первого — крутого со
вторым — пологим (рис. 4.94, в, диаграмма
Tg — AT). Точке пересечения этих двух
прямолинейных участков соответствует так
называемое критическое напряжение о
В диапазоне температур Tg^. Т ^ Ткр
грамма имеет вид, изображенный на рис.
4.94, г; по мере роста Т в указанном диапа-
диапазоне диаграмма располагается все ниже и
ниже, вместе с этим уменьшается и акр. На-
Наконец, акр обращается в нуль. Та темпера-
температура, при которой это происходит, назы-
называется критической (Ткр). Начиная с Т= Гкр
и при более высоких температурах (в диа-
диапазоне Гкр <с Т < Тп) вид диаграмм растя-
растяжения становится таким, какой показан на
рис. 4.94,(9. Напомним, что вся деформация
в этом диапазоне температур (небольшая
упругая и огромная высокоэластическая)
Появляющиеся в температурной области
кр.
диа-
диаРис. 4.95. Изменение во времени
скорости деформации сдвига в про-
процессе течения полимера: / — при
больших напряжениях, 2 — при ма-
малых напряжениях; большая вели-
величина у в начальный момент объяс-
объясняется наличием в составе деформа-
деформации как высокоэластической доли,
так и течения; точка Б соответст-
соответствует исчерпанию высокоэластиче-
высокоэластической деформации (ее скорость обра-
обращается в нуль); участок Б В гра-
графика — необратимое течение На
этом участке скорость сначала
растет вследствие разрушения над-
надмолекулярных структур (при ма-
малых напряжениях и скоростях это-
этого не происходит), а затем стано-
становится постоянной (установившийся
режим течения); уменьшение ско-
скорости течения при малых напряже-
напряжениях происходит за счет увеличе-
увеличения внутреннего трения при вы-
выпрямлении макромолекулы вдоль
действия сил [ФедоренкоН. П., Рах-
лин И. В.) (Здесь и далее в квад-
квадратных скобках в подрисуночной
подписи приводятся фамилии авто-
роп из библиографического списка,
приведенного в подстрочном приме-
примечании на стр 336 (начало § 4.J2).)
при снятии нагрузки исчезает.
Tg *с Т < ТП высокоэластические деформации происходят с ' образованием
шейки и ориентированием всего образца. Однако вся картина в общем-то
аналогична той, которая была рассмотрена в области Ткр < Т < 7^, но все же
отличается тем, что начало образования шейки соответствует весьма малому
напряжению, тогда как при Т < Tg ориентационное упрочнение происходит
быстрее, чем в высокоэластическом состоянии. В следующем диапазоне темпера-
температур (Тп ^ Т < Tf) деформация е содержит два слагаемых: высокоэластическую
деформацию еэл и остаточную деформацию еост. Измеряя деформацию в конце
каждого шага нагружения и производя разгрузку, можно отделить одно слагае-
слагаемое от другого. По мере роста Т в указанной выше области доля остаточной дефор-
деформации растет. Наконец, при Т = Tf деформация становится полностью необра-
необратимой и образец течет при очень малом напряжении,

§ 4.12] МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ 345
Отметим, что течение линейных полимеров имеет механическую природу.
Пространственно-структурированные полимеры, не текущие вплоть до темпе-
температуры химического распада, при этой температуре начинают течь. Такое течение
называется химическим течением.
Коэффициент вязкости при течении полимеров, как правило, большой
вследствие большого молекулярного веса. На рис. 4.95 показано изменение ско-
скорости деформации сдвига во времени как при-больших, так и при малых напря-
напряжениях.
3.2. Некоторые дополнительные сведения о дефор-
деформации полимеров в стеклообразном состоянии при
напряжениях, способных вызвать вынужденную эла-
эластичность. Обсудим детальнее деформацию образца в каждой из темпера-
температурных областей.
Модуль упругости у полимера в стеклообразном состоянии (рис. 4.94, а, б, в)
имеет величину порядка 104 кГ/См2, что меньше, чем у конструкционных метал-
металлов примерно в 100—200 раз, однако больше, чем у этого же полимера, но в высо-
высокоэластическом состоянии, примерно на три десятичных порядка. Модуль высокой
эластичности в процессе воздействия нагрузки уменьшается, стремясь к равно-
равновесному Е^. Динамический модуль упругости высокоэластичных полимеров
зависит от скорости деформаций и частоты колебаний и складывается из двух
частей:
Второе слагаемое — неравновесная часть модуля, соответствующая вкладу
высокоэластических сил и сил трения в сопротивляемость деформации.
В связи с наличием упругого последействия получение модуля упругости
по кривой а — е ведет к погрешности. Модуль упругости больше получаемого
по наклону начального участка кривой.
Незадолго до достижения максимума на кривой напряжения (рис. 4.94, в)
в образце образуются большие сдвиги (линии на поверхности под углом 45°
к оси растягиваемого образца) и происходит развитие вынужденно-эластических
деформаций.
Предел вынужденной эластичности зависит от ряда факторов. Отметим
из них следующие: скорость нагружения, температура, масштабный фактор,
молекулярный вес, предварительная ориентация и наложение гидравлического
давления. Без подробных комментариев охарактеризуем каждое из этих влияний.
На рис. 4.96 в качестве иллюстрации показано влияние скорости деформи-
деформирования (v) на авэ в одном из полимеров. Существует эмпирическая формула
При этом В и С зависят от температуры (С тем больше, чем меньше Т). Инте-
Интересно заметить, что если величина сгвэ уменьшается при увеличении v, то шейка
в ряде случаев (например, в макролоне) оказывается одинаковой как при низких
скоростях растяжения, так и при скорости -~ 1 км/сек.
Понижение предела вынужденной эластичности при повышении температуры
было качественно уже проиллюстрировано на рис. 4.94, в. На рис. 4.97 пока-
показана количественная зависимость авэ от 7\ а также и от v.
Наложение гидростатического давления на деформацию сжатия повышает ав9,
поскольку замедляет разрыхление.
Влияние предварительной ориентации на величину авэ (и одновременно
на охр) в определенном температурном диапазоне проиллюстрировано примером,
представленным на рис. 4.98.
Остановимся теперь на установлении границы между областями хрупкого
и вязкого разрушения, применяя схему А. Ф. Иоффе.
На рис. 4.99 изображены зависимости авэ и ахр от температуры (аналог
схемы А. Ф. Иоффе), на основании которых можно найти температуру хрупкости.

346
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
Однако, поскольку ахр зависит от молекулярного веса М, что существенно,
так как один и тот же полимер может иметь различную степень полимеризации
б,кГ!мм* а)
4
изображено несколько кривых для ахр.
Зависимость ахр от М и малое влияние
М на авэ объясняется так. авэ опреде-
определяется подвижность отдельных участ-
участков макромолекул, и поэтому при до-
достаточно большой длине молекулы,
т. е. при достаточно большом М, овэ
перестает зависеть от М. Величина же,
бдд,кГ[мм2
12
-2,6 4,0 4,0
\х\и,секч
Рис. 4.96. Влияние скорости деформации
на величину авэ полиметилкрилата при
18 ®С: а) кривые растяжения; рядом с каж-
каждой кривой написана величина скорости
растяжения в мм/мин; б) зависимость авэ
(кГ/мм2) от In v (сек*1) [Аскадский A. AJ.
ахр определяется прочностью химических связей внутри молекулы, которая, как
уже указывалось, значительно превышает прочность межмолекулярных связей,
и лишь при очень больших молекулах прочность этих связей может превзойти
Рис. 4.97. Зависимость авэ от температу-
температуры поливинилхлорида. Точка пересечения
кривой с осью абсцисс, соответствующая
а вэ = 0, показывает температуру стекло-
стеклования (зависит от v).
440 400 -i
Рис. 4.98. Влияние предварительной ориентации
на авэ (сплошные линии) и ахр (пунктир) в за-
зависимости от температуры образцов полиметил-
метакрилата: / — образцы в исходном состоянии,
2 — предварительно вытянутые образцы (епр «•
- 100%).
-V
Рис. 4.99. Зависимости овэ (сплош*
ная линия) и ахр (пунктирные ли-
линии) от Т при различных молеку-
молекулярных весах полимеров.
прочность химической связи и произойдет хрупкое разрушение при малых де-
деформациях. Вот почему ахр зависит от М. Аналогично, от М зависят и другие
характерные для полимеров температурные интервалы. На рис. 4,100 показана

§ 4.12]
МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ
347
схема, предложенная Ю. С. Лазуркиным (докторская диссертация, М., 1954),
показывающая зависимости Tf, Tg и Гхр от М при одном виде напряженного
состояния.
В заключение раздела заметим следующее. Выше была показана диаграмма
деформационно-прочностных состояний аморфных полимеров при растяжении.
Рис. 4.100. Зависимость температур Tt Tp и
Тхр от молекулярного веса полимера: / — область
хрупкого стеклообразного состояния, 2 — об-
область вынужденно эластического стеклообразного
состояния, 3 — область высокоэластического со-
стояния,' 4 — область вязко-текучего состояния
[по Лазуркину Ю. С.].
Рис. 4.101. Зависимость вида диа-
диаграммы деформационно-прочност-
деформационно-прочностных состояний от вида деформации:
1 — растяжение, 2 — сжатие; пунк-
пунктир — линии предела вынужден-
вынужденной эластичности.
В принципе она остается такою же в области Т < Tg и при сжатии, но проис-
происходит повышение ахр и соответственно авэ (рис. 4.Ю1).
3.3. Деформация полимеров в стеклообразном со-
состоянии при напряжениях меньше тех, которые вызы-
вызывают вынужденную эластичность. Выше обсуждалась дефор-
деформация аморфных полимеров в стеклообразном состоянии при больших напряже-
напряжениях, способных вызвать вынужденную эластичность. Рассмотрим теперь бегло
60 75 100
t,MUti
Рис. 4.102. Релаксация напряже-
напряжений в полиметилметакрилате при
различных начальных напряже-
напряжениях {Т = 25 °С).
t
Рис. 4.103. Кривая ползучести полимера: / — уча-
участок упругой деформации и деформации упруго-
упругого последействия, 2 — участок деформации вы-
вынужденно-эластического характера (снимается
после нагрева выше Т ), 3 — участок, предшест-
предшествующий разрушению.
картину поведения этих же полимеров, но при напряжениях ниже предела
вынужденной эластичности. В этом случае существенными оказываются времен-
временные свойства (последействие). На рис. 4.102 показаны кривые релаксации напря-
напряжений. При малых напряжениях наблюдается аффинность кривых релаксации,

348 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
отсюда ясно, что текущее напряжение является функцией лишь времени:
о/он=/@. или а = °н/@-
Здесь о — текущее напряжение, afl — начальное напряжение. Нетрудно пока-
показать, что в таком случае и скорость релаксации напряжений также есть функ-
функция только времени; действительно,
Подчеркнем, что так обстоит дело лишь при небольших напряжениях. На
рис. 4.103 изображена кривая ползучести полимера. Интересно, что несмотря
на то, что a < о*вэ, в образце вследствие длительности воздействия наблюдаются
A t
Рис. 4.104. Кривые, соответствующие опы- Рис. 4.105. Возникновение напряжений
ту, обнаруживающему уменьшение скопо- после полной мгновенной разгрузки ре-
сти релаксации напряжений после разгру- лаксирующего образца в условиях сохра-
зок [по Лазуркину — Аекадскому]. нения его длины
деформации ползучести, имеющие природу вынужденно-эластических деформаций
(участок 2 на кривой).
Интересные опыты были проведены с полимерами Ю. С. Лазуркиным. Если
образец, находящийся в условиях, позволяющих произойти релаксации напря-
напряжений (фиксирована величина деформации), по истечении какого-то промежутка
времени, после того как уже произошел спад напряжений, вновь догрузить
до исходного напряжения и повторять такую процедуру через одинаковые проме-
промежутки времени, то точки на кривых релаксации, соответствующие моментам
догрузки, располагаются на некоторой кривой, асимптотически приближаю-
приближающейся к прямой, параллельной оси времени, но расположенной на уровне более
низком; чем уровень первоначального напряжения (рис. 4.104), т. е. после догру-
догрузок происходит уменьшение скорости релаксации, но не беспредельно.
Можно поставить опыт (Лазуркин — Аскадский), обнаруживающий инте-
интересный эффект. Если образец, в котором происходит релаксация напряжений,
разгрузить, сохраняя длину фиксированной, то, так как после разгрузки
исключена деформация упругого последействия, вновь возникнут напряжения
(рис. 4.105).
Наконец, отметим явление, в каком-то смысле аналогичное эффекту Баушин-
гера (изменение свойств материала после предварительной деформации противо-
противоположного знака) и состоящее в том, что, если образец, в котором происходит
релаксация, подвергается мгновенной разгрузке и нагружению таким же по
абсолютному значения напряжением, как и первоначальное напряжение, но
противоположного знака, то после такой операции скорость релаксации повышает-
повышается (рис. 4.106).
3.4. Некоторая дополнительная информация о по-
полимерах в высокоэластическом состоянии. А. П. Алек-
Александровым и Ю. С. Лазуркиным в 1939 г, был сформулирован принцип тем-

§ 4.121
МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ
349
пер ату рно-време иной суперпозиции, согласно которому влияние температуры и
времени на величину деформации эквивалентно. Основываясь на этом принципе,
можно наложить кривые ползучести или релаксации напряжений, соответствую-
соответствующие разным температурам, на один общий график после соответствующего сме-
смещения вдоль оси L
В высокоэластическом состоянии полимер каучукоподобен. Релаксация
у таких полимеров имеет вид, изображенный на рис. 4.107.
6
Рис. 4.106. Увеличение скорости
релаксации после изменения зна-
знака рел актирующего напряжения.
Рис. 4.107. Кривая релаксации напряжения кау-
чукоподобного полимера (полимера в высокоэла-
стическом состоянии): / — почти мгновенная часть
релаксации, 2 — переходная часть релакса-
релаксации, 2' — выделенная переходная часть релак-
релаксации, 3 — кривая установившейся релаксации.
В процессе растяжения в области высокоэластических деформаций полимер,
находящийся в аморфном состоянии, может перейти в кристаллическое состоя-
состояние. Такой переход во времени происходит почти скачком. Во время этого скачка
в образце происходит огромная деформация, в результате которой он превра-
превращается в струну. Изменение деформации во времени, относящееся к описанному
случаю, изображено на рис. 4.108.
3200 г
600
SO 100
t,vac
Рис. 4.108. Деформация полиэтилена в условиях
длительного действия постоянной силы при по-
постоянной температуре: / — область аморфного со-
состояния, 2 — область вытягивания в струну,
3 — область кристаллического состояния.
5 6
t, сутки
Рис. 4.109. Кривые деформации об-
образцов после отдыха (пунктирные
линии) и неотдыхавшего образца
(сплошная линия).
Интересное явление было обнаружено при создании перерывов в действии
нагрузки "на образец (отдыха), во время которых, вследствие обратимости высоко-
высокоэластической деформации, последняя полностью снималась. Однако всякий
раз после повторного загружения деформация «догоняла» тот уровень, которого
она достигла бы к этому моменту, если бы образец не подвергался отдыху (время
отдыха при этом из рассмотрения исключается, т. е. учитывается то чистое время,
в течение которого образец нагружен). Описанная картина изображена на
рис.4.109. Интересно заметить, что чем больше отношение отрезков времени отдыха

350 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
и нагруженного состояния, тем быстрее образец «догоняет» деформацию в неот-
неотдыхающем контрольном образце. По-видимому, в процессе первого деформиро-
деформирования в образце появилась новая структура, которой соответствуют новые
свойства.
С изменением температурного режима в аморфных полимерах свойство
вынуждаемой эластической деформации проявляется как способность «замора-
«замораживания» упругих деформаций; последнее состоит в следующем. Если нагреть
лист линейного полимера до возникновения в нем каучукоподобного состояния
и придать ему путем прессования некоторую форму и охладить полученное таким
образом изделие с сохранением его формы (т. е. не снимая пуансона, при помощи
которого производилось прессование), то при комнатной температуре эта форма
оказывается устойчивой. Однако если описываемое изделие нагреть выше опре-
определенной температуры, то оно приобретает вновь форму листа. Следовательно,
во-первых, деформации, имевшие место при прессовании, были упругими, во-вто-
во-вторых, охлаждение изделия после прессования, с сохранением его формы, приво-
приводило к так называемому «замораживанию» указанных упругих деформаций.
Это свойство при наличии у материала, кроме
м\ ост ~~*~f того» еще и CB0HCTBa оптической активности
* •** QQcm позволяет исследовать пространственное напря-
еэд женное состояние на моделях, изготовленных
/ из указанного материала.
У г 3.5. О деформации аморфного
полимера в диапазоне Tf <T<Tn.
п у~—*""" В условиях длительного действия силы в диа-
J6[t)dt пазоне температур Tf < Т < Тп в образце од-
0 новременно имеют место и высокоэластические
Рис 4.1Ю. Высокоэластическая деформации и течение, с которым связаны оста-
И остаточная ДОЛИ ПОЛНОЙ дефор- тпЦнНл пРгЪппмяттиы Ппггтрттыыа ппи иаиипы ия
мации полиизобутилена в зави- точные деформации, последние при данной на-
симости от интегрального фак- грузке возрастают со временем. Эти доли де-
тора напряженности образца во формации могут быть отделены одна от другой
времени. путем разгрузки и длительной после нее выдерж-
выдержки. В результате такой операции 'сохраняются
лишь необратимые остаточные деформации. На рис. 4.110 изображены резуль-
результаты разделения полной деформации на высокоэластическую и остаточную.
После разделения деформаций может быть найден модуль высокоэласти-
высокоэластической упругости как тангенс угла наклона касательной к первоначально прямо-
прямолинейному графику.
Интересно, что высокоэластические деформации практически не зависят
ни от молекулярного веса полимера данного вида, ни от температуры.
4. Деформация полимеров, находящихся в кристаллическом состоянии.
Кристаллические полимеры при малых деформациях ведут себя, как обычные
твердые тела, при больших же деформациях претерпевают фазовый переход от
изотропной фазы к ориентированной.
На рис. 4.111 изображена характерная диаграмма растяжения образца
из полимера, находящегося в кристаллическом состоянии. Вид этой диаграммы
внешне сходен с видом диаграммы растяжения аморфного полимера, находя-
находящегося в стеклообразном состоянии. На деформацию такого образца влияют
очень многие факторы: предыстория образца, форма, режим нагружения. Вслед-
Вследствие этого ценность результатов экспериментов существенно повышается, если
указываются все условия его проведения.
Если из той части образца, которая уже подвергнута ориентации, вырезать
образец так, чтобы его ось была перпендикулярна оси основного образца, то
он будет вести себя, как исходный изотропный материал.
На рис. 4.112 изображены диаграммы а —- е, полученные при испыта-
испытании полимерных кристаллических образцов при различных температурах
(рис. 4.112, а), при различных скоростях деформирования (рис. 4.112, б) и при
¦ различных молекулярных весах одного и того же. вещества (рис. 4.112, в).

§ 4.12] МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ
351
Термомеханическая кривая кристаллического материала имеет вид, изобра-
изображенный на рис. 4.113.
Покажем теперь характер зависимости предела прочности кристаллического
полимера от температуры. Соответствующий график изображен на рис. 4.114.
Очевидно, что хрупкая прочность полиме-
полимера существенно зависит от того, ориенти-
ориентирован он или нет.
б. Краткие сведения о пластмассах.
5.1. Термопласты. Большая
часть пластмасс — это сложные меха-
механические смеси, в которых основной сос-
составной частью является полимер. Иногда
пластмасса состоит из чистого полиме-
полимера. В термопласты для увеличения пла-
Рис. 4.111. Диаграмма растяжения (схема) об-
образца из полимера, находящегося в кристал-
кристаллическом состоянии; участок 0 — / на диаграм-
диаграмме почти линейный (Е найти как tg а все же
затруднительно), деформации упруги (релак-
(релаксационные процессы мало заметны, в особен-
особенности при больших скоростях растяжения);
длина участка 2—4 на диаграмме иногда до-
достигает нескольких первоначальных длин об-
образца; точка 2 на кривой соответствует концу
образования шейки установившегося попереч-
поперечного сечения; от точки 2 до точки 4 попереч-
поперечные размеры шейки сохраняются неизменны-
неизменными; в точке 4 шейка охватывает весь образец;
первоначальный образец не ориентирован; уча-
участок образца, представляющий собой шейку/
ориентирован. 5 — точка диаграммы растяже-
растяжения образца, соответствующая растяжению об-
образца после того как шейка охватила всю его
длину; после точки 4 происходит равномерное
по длине уменьшение поперечного сечения об-
образца.
Рис. 4.112. Влияние различных фак-
факторов на вид диаграммы напряжений
при растяжении полимерного кристал-
кристаллического образца: а) влияние темпе-
температуры; ббльшим номерам кривых со-
соответствуют более высокие температур
ры; б) влияние скорости нагружения
на два первых участка диаграммы}
ббльшим номерам кривых соответст*
вуют более высокие скорости; в) влия-
влияние молекулярного веса на протяжен-
протяженность диаграммы; ббльшим номерам
точек, соответствующих разрушению,,
отвечают ббльшие молекулярные веса
одного и того же вещества (более вы-
высокая степень полимеризации).
стичности или снижения температуры текучести добавляют пластификаторы —*
высоковязкие жидкости или низкоплавкие воскоподобные синтетические вещества,
вызывающие набухание полимера и уменьшающие межмолекулярное взаимо-
взаимодействие. Пластификатор снижает твердость и сопротивляемость статическим
нагрузкам, но увеличивает упругие и эластические деформации. Выветривание
пластификатора приводит к изменению свойств пластмассы (старению) и короб-

МЕХАНИЧЕСКИЕ СБОПСТВА МЛТГРИЛ.ЛОВ
[ ГЛ IV
лению изделия из нее. Применение воскоподобных пластификаторов позволяет
существенно отдалить момент наступления старения.
Кроме пластификаторов и наполнителей для образования пластмассы к поли-
полимеру в отдельных случаях добавляют стабилизатор (для связывания им продук-
продуктов частичной термической деструкции полимера, имеющей иногда место в про-
процессе формования), протиаоокислители или противостарители (связывающие
кислород, проникший внутрь изделия), отвердитель, замедлитель отвердения,
ускоритель отвердения.
Пластмассы выгодно отличаются от других материалов рядом особенностей:
широкой гаммой прочностных и деформативных свойств; простотой изготовлении
из них изделий литьем, штамповкой, прессованием, без какой-либо дальнейшей
обработки; устойчивостью к атмосферному воздействию и влиянию агрессивных
ч
А
—— Г
— _
6
Г
д
1
1
1
в
¦
I
i
i
'ОП
Рис. 4.113. Термомеханиче-
Термомеханическая кривая (схема) крис-
кристаллического полимера:
Гпл — температура плавле-
плавления, при переходе в жидкое
состояние деформация почти
полностью вязкая, / — уча-
участок, на котором при кратко-
кратковременных испытаниях де-
деформации обратимы.
Рис. 4.114. Зависимость предела прочности кристалличе-
кристаллического полимера от температуры: 7ор — температура ори-
ориентации (температура, при которой начинает образовы-
образовываться шейка), ГХр — температура перехода из хрупко-
хрупкого состояния (при нагреве), Тпл — температура плавле-
плавления; А Б — участок хрупкого разрушения; Б В —участок,
показывающий прочность при разрушении образца вне
шейки; ГЦ — участок, показывающий ^прочность при
разрушении образца в пределах шейки; если образец,
предварительно был ориентирован, то прочность его при
любой температуре определяется прямой 0/7; темпера-
температурная область вытяжки для предварительной ориента-
ориентации лежит между 7хр и Тпл (Конструкционные мате-
материалы, т. 3, изд-во «Советская энциклопедия», 1963J.
сред; низким удельным весом A,0 — 1,3 77л*3, редко 1,8 77л/3); хорошими
диэлектрическими и теплоизоляционными качествами; свето- и радиопрозрач-
радиопрозрачностью; высокой виброустойчивостью.
В табл. 1.27 (см. приложение I) помещены данные о некоторых термопла-
термопластичных пластмассах.
Число особых и при этом сложных закономерностей, обнаруживаемых
в процессе деформации ряда пластмасс, очень велико. Отметим некоторые из
них. Фторопласты имеют ряд весьма ценных свойств, к их числу относятся:
широкий (наибольший из известных) температурный диапазон применения
(от —269 до 260 °С); высокая стойкость к атмосферным воздействиям и к действию
любых агрессивных сред, даже таких, как концентрированная азотная кислота
при повышенной температуре, пары ртути, озон; нерастворимость; наиболее
высокие антифрикционные качества. Однако не все эти свойства удается в полной
мере использовать из-за других особенностей, таких, как возникновение хладо-
текучести под воздействием нагрузки.
Пластмассы такой группы, как полиамиды, например полиамид-68, поли-
амид-66, капрон, обладающие исключительно высокой стойкостью к истирающим
нагрузкам (выше, чем у бронз) и широко используемые в машиностроении для
изготовления шестерен и подшипников, а также различных деталей машин, для
защиты трущихся поверхностей, для изготовления нитей, идущих на сети, имеют
свойство ориентации кристаллитов при растяжении, сопровождаемой сущест-
существенным увеличением прочности (в 4—5 раз) при вытяжке в 3,5—5 раз по срав-

$ 4.12] МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ 353
нению с первоначальной длиной. Некоторые свойства полиамидов даны
в табл. 1.27 (см. приложение I).
Для пластмассы полиформальдегид характерно редкое сочетание свойств —
она обладает высокими жесткостью, твердостью и ударопрочностью, что позво-
позволяет изготавливать из нее зубчатые колеса, подшипники, клапаны, втулки и т. п.
детали машин. В области до +100 °С свойства полиформальдегида практически
не изменяются.
К числу термопластов, удовлетворяющих требованиям, предъявляемым
к материалам для силовых конструкций, относится поликарбонат. В этой же
таблице показаны характеристики еще двух термопластов — винипласта и пено-
пенопласта, используемых для изготовления химически стойких труб, клапанов,
вентилей, подшипников и даже деталей часовых механизмов.
5.2. Отверждающиеся пластмассы. В отличие от термопла-
термопластов, в отверждающихся пластмассах практически полностью отсутствует хладо-
текучесть под нагрузкой в области ниже температуры теплостойкости (последняя
же выш% чем у дермопластов), они нерастворимы, в них наблюдается малая
набухаемость и стабильность свойств в эксплуатационной области значений
параметров. Однако отверждающиеся пластмассы с порошковым наполнителем
хрупки.
В каждой из трех групп отверждающихся пластмасс: пресс-порошках, волок-
волокнистых и слоистых пластмассах — имеются специфические свойства. Первые
две группы материалов (пресс-порошки и волокнистые) возникают одновременно
с изделием из него, в отличие от термопластов, в которых из заранее полученного
материала путем литья, штамповки или прессования получается изделие. Таким
образом, получение отверждающихся пластмасс нельзя отделять, от изготовления
изделия.
В порошковых пластмассах имеется связующая смола, наполнитель и могут
быть добавлены к основной дополнительные связующие смолы или даже — для
улучшения свойств пластмассы (уменьшение хрупкости) — термопласты. Кроме
того, в ряде случаев используются отверждающие или ускоряющие отвердение
добавки. Механические, упругие и другие физические свойства получаются
в зависимости от состава.
Волокниты классифицируют по виду наполнителя — волокон (хлопчато-
(хлопчатобумажные, асбестовые, стеклянные), каждое из которых может использоваться
в комбинации с различными связующими смолами. Иногда наряду с наполните-
наполнителем-волокном применяется и наполнитель-порошок. Показателем термической
стойкости пластмассы считают потерю в весе в процентах.
В стекловолокнитах ярче, чем в других, проявляется влияние технологии
на прочностные характеристики. Существуют разновидности стекловолокнитов:
ориентированные и неориентированные, рубленого и непрерывного волокна.
Наибольшей прочностью обладают изделия из ориентированного стеклопластика
непрерывного волокна. Примером такого материала может служить СВАМ
(стекловолокнистый анизотропный материал), из которого изготавливаются
плиты, листы, трубы и другие изделия, имеющие форму тел вращения или близ-
близкую к ним. СВАМ, что видно из самого названия материала, анизотропен —•
вдоль стекловолокон прочностные свойства его намного выше, чем поперек.
Изготовление изделий из СВАМа методом намотки на вращающуюся оправку
мыслимо лишь при использовании термореактивных связующих, находящихся
в вязком состоянии.
Специальные термо- и огнестойкие материалы создаются с использованием
кварцевого и (или) каолинового волокна.
Физико-механические свойства различных волокнитов приведены в табл. 1.28
(см. приложение I).
Последняя группа отверждающихся пластмасс—слоистые пластмассы—имеет
наполнители в виде листов бумаги 1) (гетинакс), хлопчатобумажной ткани (тек-
1) В скобках даны названия пластмасс при соответствующем материале
листа наполнителя.
12 А. П. Филин

354 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
столит), асбестовой ткани (асботекстолит), древесного шпона (древесно-слоистые
пластики — ДСП), стеклянной ткани (стеклотекстолиты). Стеклотекстолиты
обладают наилучшими из всех слоистых пластиков качествами: наиболее высокой
теплостойкостью, самой низкой влагоемкостью, наибольшей механической проч-
прочностью, хорошими диэлектрическими свойствами.
В качестве связующего материала для изделий технического назначения
обычно используются: фенолоформальдегидная смола (сочетается с бумагой,
хлопчатобумажной тканью, древесным шпоном, асбестовой тканью). В случае
наполнителя в виде стеклоткани связующим является фенолоформальдегидная
смола в сочетании с поливинилацетатами (КАСТ), с полисилоксаном и полиаце-
талем (ВФГ), с эпоксидной смолой (ЭФ, 32-301).
Одинаковость, в практическом смысле слова, относительной линейной дефор-
деформации стекловолокна и связующего вплоть до разрыва обеспечивает монолит-
монолитность материала во всех стадиях его работы.
Слоистые пластики выполняются либо в виде листового материала, предназ-
предназначаемого для изготовления изделий путем механической обработки и скрепления
частей механическими соединениями или клеями, и в виде заготовок изделий.
Физико-механические свойства изделий из слоистых пластиков находятся
в зависимости от температуры и длительности воздействия на них. При одной
и той же длительности воздействия модуль упругости и предел прочности с уве-
увеличением температуры уменьшаются, хотя в достаточно большом диапазоне
температур это уменьшение незначительное.
§ 4.13. Свойства некоторых силикатных материалов
1. Стекло х). Неорганическое стекло представляет собой истинный затвер-
затвердевший раствор — сложный расплав высокой вязкости, неопределенное хими-
химическое соединение кислотных и основных окислов (оксидные стекла). Название
стекла дается по кислотным окислам (силикатное стекло, алюмосиликатное,
боросиликатное и т. п.).
Наряду с оксидными имеются так называемые халькогенидные (в основе
их лежат соединения типа As2S3, As2Se3, SbSe3) и галогенидные (с основой типа
BeF2) стекла.
Стеклообразное состояние является основной разновидностью аморфного
состояния вещества.
Структура стекла располагается между двумя крайними формами — между
«идеальным беспорядком» и идеальной упорядоченностью (кристаллическим
состоянием).
Известна гипотеза, согласно которой одна из зон ближе к структуре кри-
кристалла, а другая — к беспорядочной аморфной структуре. Существует гипотеза
о полимерном (неорганический полимер) строении каркаса неорганического
стекла.
х) Механические свойства стекла и связанные с ними вопросы строения и
теории прочности освещены в многочисленных книгах. Укажем некоторые из них.
Стекло. Справочник под ред. Н. М. Павлушина, Стройиздат, 1973.
Пух В. П., Прочность и разрушение стекла, «Наука», 1973.
Богуславский И. А., Высокопрочные закаленные стекла, Стройиздат,
1969.
Б о к и н П. Я., Механические свойства силикатных стекол, «Наука», 1970.
Прочность стекла. Сб. статей, пер. с англ. под ред. В. А. Степанова, «Мир»,
1969..
Бартенев Г. М., Механические свойства и тепловая обработка стекла,
Госстройиздат, 1960 (имеется большая библиография).
Бартенев Г. М., Строение и механические свойства неорганических
стекол,'Стройиздат, 1966.

§ 4.13] СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИЛИКАТНЫХ МАТЕРИАЛОВ 355
У стекла не существует точки плавления; в нем происходите некотором тем"
пературном интервале (температурный интервал стеклования — размягчения),
зависящем от состава стекла, размягчение, вслед за которым (при температуре
1000 °С) возникает капельно-жидкое состояние. От кристаллов стекло отличается
большой хрупкостью. Будучи неоднородного и неупорядоченного внутреннего
строения, стекло в макроскопическом смысле однородно и изотропно.
Стекло обладает упругим и термическим последействием. Последнее пред-
представляет собой отставание термических деформаций от действия тепла. Тепло-
Теплопроводность стекла очень низка по сравнению с другими материалами.
Стекло значительно лучше выдерживает резкое нагревание, чем резкое
охлаждение. Это объясняется тем, что внутренние слои деформируются позже
наружных, вследствие чего внутренние слои, стесняя термическую деформацию
в случае резкого нагрева, вызывают сжатие, наружных слоев, а в случае резкого
охлаждения — растяжение, которому стекло сопротивляется значительно
хуже.
Стекло приобретает большое значение как конструкционный и технический
материал. Дальнейшее широкое применение его полностью зависит от изыскания
путей повышения прочности при ударных и растягивающих (изгибных) нагруз-
нагрузках и от повышения его термостойкости.
Хрупкое разрушение (относительная деформация к моменту разрушения
от растяжения чрезвычайно мала) под действием нагрузки происходит вследст-
вследствие внутренних неоднородностей и поверхностных дефектов, служащих причиной
возникновения ослабленных участков и мест перенапряжения. В массе стекла
и на его поверхности очаги хрупкого разрушения существуют до нагружения.
Прочность сгекла существенно зависит от состояния его поверхности, кото-
которое в свою очередь является следствием способа обработки. Отношение прочности
внутренних слоев стекла к прочности поверхностных слоев равно 2,6—4. Коль
скоро прочность стекла зависит главным образом ст состояния его поверхности,
одним из способов получения высокопрочного стекла является соответствующая
обработка поверхности.
Известно несколько методов обработки поверхности стекла, приводящих
к его упрочнению. Отметим два из них: термический и химический. В первом
стекло (изделие) подвергается закалке путем нагрева выше температурного
интервала стеклования и быстрого и равномерного охлаждения в потоке воздуха
или в жидкости (масло). В результате такой операции в стекле возникают само-
самоуравновешенные по толщине начальные напряжения — наружные слои оказы-
оказываются сжатыми, а внутренний слой — растянутым. Таким образом, наружные
слои подвергаются предварительному (до приложения нагрузки) сжатию. Если
предварительное сжатие превышает растяжение от нагрузки, то в суммарной
эпюре наружные слои остаются сжатыми (растяжение внутренней зоны пред-
представляет меньшую опасность) и опасности разрушения от дефектов поверхности,
проявляющихся при растяжении поверхностного слоя, не возникает.
Чем ниже теплопроводность стекла, выше коэффициент его термического
расширения и больше температурный перепад при закалке, тем более высокой
степени закалки можно достичь; в принципе при этом возможно разрушение
от растяжения внутренней зоны. Закаленное листовое стекло, при сопоставлении
его с отожженным, обладает прочностью при статической нагрузке, большей
в 4—6 раз, при ударе — в 5—7 раз и большей термической стойкостью в 2—3 раза.
Химический метод упрочняющей обработки поверхности состоит в удале-
удалении поверхностного слоя E0—150 мкм) и «залечивании» поверхностных
дефектов путем обработки поверхности стекла различными химическими реа-
реагентами.
При травлении кремнийорганическими соединениями на поверхности стекла
образуются тончайшие прозрачные полимерные пленки, значительно снижаю-
снижающие расклинивающий эффект влаги в микротрещинах и защищающие поверх-
поверхность стекла от механических повреждений и от воздействия атмосферы. Такие
пленки значительно повышают прочность стекла,
12*

356 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
Другой в принципе способ улучшения прочностных свойств стекла состоит
в изменении химической природы его, а именно в переходе к химическим связям,
свойственным сймому прочному — кварцевому С1еклу (при сжатии апч =
«* 35 -*- 65 кГ/мм2, при изгибе апч = 22 кГ/мм2).
Механическая прочность кварцевого стекла в процессе нагревания до 1200 °С
плавно возрастает и становится на 50—60% выше прочности при комнатной
температуре. Имея коэффициент термического расширения в 10—20 раз меньший,
чем у обычного промышленного стекла, кварцевое стекло отличается исключи-
исключительно высокой термостойкостью (выдерживает резкое охлаждение в воде после
нагрева до 1000 °С). Кварцевое стекло — незаменимый материал для изготов-
изготовления химически стойкой аппаратуры, трубопроводов. Стекловолокно, исполь-
используемое в различных стеклотканях и в пластмассах—стекловолокнитах, отли-
отличается исключительно большой прочностью, зависящей от химической природы
стекла, от диаметра нити и способа ее получения. При диаметре волокна 3—4 мкм
прочность стекловолокна при растяжении доходит до 3700 кГ/мм2 (при 6,8 кГ/мм*
в объемных образцах). Прочность силикатных стекол при том же диаметре волокна
раз в 10 меньше. Промышленностью изготавливается пленочное или чешуйчатое
стекло, используемое, в частности, в стеклотекстолитах. На его основе тексго-
литы (при 90% содержании по весу стекла) получаются исключительно прочными
(опЧ до 25 кГ/мм2) и светопрозрачными.
2. Ситаллы 1). Полная или частичная кристаллизация стекла приводит
к образованию стеклокристаллических материалов — ситаллов (в США ситалл
известен под названием пирокерам и фотокерам), витрокерамов, стеклокерами-
ков и фарфоров из стекла. Эти материалы занимают промежуточное положение
между стеклом и керамикой. В отличие от стекла они имеют кристаллическую
структуру, в отличие от керамики получаются путем полного плавления с после-
последующим формованием изделий из пластичной или жидкой стекломассы и кристал-
кристаллизацией последней при охлаждении.
Дешевые и легко изготовляемые ситаллы находят широкое применение
в технике. Размеры кристаллов в ситаллах намного меньше, чем у обычных
кристаллических материалов. Ситаллы с наименьшими по размеру кристаллами
прозрачны. Кристаллы в ситаллах ориентированы и образуют каркас. Свойства
ситаллов характеризуются следующими данными: Е == 9000 -*- 14 000 кГ/мм2,
\i *= 0,25, при изгибе апч = 16 -ь 25 кГ/мм2.
Из ситаллов изготавливают трубы, химическую аппаратуру, подшипники
(работающие при температуре порядка 500 °С без смазки), поршни и цилиндры
в дизелях и других двигателях внутреннего сгорания. Ситаллы являются пре-
прекрасным конструкционным материалом в машиностроении, приборостроении,
гражданском и промышленном строительстве.
3. Техническая керамика 2). Керамика (материал и изделие) получается из
исходных порошкообразных материалов, закрепленных, для придания изделию
требуемой формы, посредством спекания в процессе обжига. Изделие получается
1) П и н е г и н С. В., О р л о в А. В., Г у д ч е н к о В. М., Контактная
прочность ситаллов, «Наука», 1970.
Бережной А. И., Ситаллы и фотоситаллы, под ред. чл.-корр. АН СССР,
проф. Н. А. Торопова, «Машиностроение», 1966.
а) Можно указать фундаментальную монографию, в которой, наряду с дру-
другими вопросами, подробно освещены механические свойства керамики: К и н -
г е р и У. Д., Введение в керамику, пер. с англ. под ред. П. П. Будникова,
изд. 2-е, Стройиздат, М., 1967.
Наряду с этим укажем книги:
Lynch J. F., Engineering Properties of Selected Ceramic Materials, Сотр.
and ed. by J. F. Lynch, C. G. Ruderer and W. H. Duckworth, Columbus (O), Amer.
Ceramic Society, 1966.
Mechanical and Thermal Properties of Ceramics, Proceedings of a Symposium
Held at Gainthersburg Maryland, Apr. 1—2, 1968. Ed, by J. B. Weahtman,

'§ 4.14]
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНОВ
357
.камневидным. Лишь в случае применения в качестве исходных материалов глины»
в частности каолина, используются пластические свойства их в стадии подготовки
{производство строительного кирпича, черепицы, труб).
В некоторых других случаях применяется полусухое прессование.
Новая керамика изготавливается из чистых окислив (А12О3, BeO, ZrO2t
MgO, CaO, ThO2, VO2, CeO2, I2Og, LaA,
HfO2, SrO2l Сг2О3) или из нитридов, карби-
карбидов (HfC, NbC, TaaC, TaC, ZrC), боридов
(HfBa, LaBe, NbBa, TaB2, TiB2, VBa, W2B,
ZrB2), силицидов, сульфидов. Технология по-
получения такой керамики состоит в спекании
порошкообразного сырья. Новая керамика
возникла в связи с требованиями реактивной
авиации и ракетостроения, для которых не-
необходимы высокопрочные термоустойчивые
конструкционные и теплоизоляционные мате-
материалы, и с требованиями атомной промыш-
промышленности, где необходимы особые ядерные
ссойсгва (захват, рассеяние или поглощение
нейтронов, противостояние радиоактивному
облучению), высокая огнеупорность, термо-
термостойкость и коррозионная стойкость.
Приведем некоторые свойства керамики
чистых окислов: температура плавления от
2100 (LaB6) до 4000 °С (ТаС), удельный вес
ют 3,0 до 10,75; твердость по Моосу от 3,5
до 9,0; модуль упругости 14 000—
-38 000 кГ/мм2; при сжатии апч = (80 -т-
-~ 300) кГ/мм2, при растяжении апч ==
= A0 ч- 25) кГ/мм*; а=G-г 14) 10~e> В
интервале температур 20—1000 °С коэффи-
коэффициент теплопроводности существенно зави-
зависит от вида керамики; значения этого коэф-
коэффициента существенно понижаются при по-
повышении температуры, при этом происходит
сближение яначений для разных видов керамики. Изменение прочности керамики
в зависимости от изменения температуры показано на рис. 4.115. Родственными
керамике являются обсуждаемые ниже, в § 4.15, керметы (керамико-металли-
*ческие изделия).
280
240
200
150
. у*.
4 40
4
3
2
1
О
\
\
\
ч
л
V
¦ И
——
\
?
/
\
>
\
\
N \
X
\
4 ^
800 1200 1600 °О
Рис. 4,115. Изменение величины
сопротивления сжатию при высоких
температурах различных видов ке-
керамики: / — шамот, 2 — динас,
3 — окись бериллия, 4 — окись
алюминия, 5 — двуокись циркония
[Новые материалы в технике, под
ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Ка-
лаыева, С. И. Сильвестровича,
«Химия», 1964].
§ 4.14. Механические свойства бетонов
1. Предварительные замечания. Бетон состоит из частиц крупного (щебень,
талька, гравий) и мелкого (песок) заполнителя, соединенных между собой
цементным камнем, образуемым путем взаимодействия цемента и воды в резуль-
результате химической реакции гидратации. Химические процессы продолжаются
в цементном камне практически всю жизнь бетона. Важным фактором в бетоне
является вода, содержание которой, в зависимости от влажности окружающей
ч:реды, изменяется.
Бетон представляет собой сложное тело (материал), напряженно-деформи-
напряженно-деформированное состояние которого определяется всей предыдущей его историей (усло-
Sponsered by the American Ceramic Society; the American Society for Testing
Materials and National Bureau of Standards Washington Gov. print off, 1969.
Макмиллан П. У., Стеклокерамика, пер, с англ. А. Т. Аладьева и
Н. С. Костюкова, М., «Мир», 1961.

358 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
вия твердения, условия нагружения, состояние внешней среды). Исчерпывающей
строго обоснованной теории бетона до сих пор не создано, хотя имеется ряд
исследований, посвященных этому вопросу 1). Построение не феноменологиче-
феноменологической теории для бетона значительно сложнее, чем для поликристаллического
металла.
2. Краткие сведения о цементах. Цемент получается путем обжига сырьевой
шихты, в результате чего возникает цементный клинкер. Далее цементный клин-
клинкер измельчается (помол). Химический состав клинкера наиболее распростра-
распространенного портландцемента следующий: SiO2 20—40%, А12О3 4—8%, Fe2O3 2—6%,
СаО 62—67%, MgO 0,5—4,5%, SO3 < 1%, имеются в небольших количествах.
TiO2, S, Р2Об и др.
% Клинкер портландцемента состоит из следующих фаз: алит (C3S — трех-
кальциевый силикат), белит (QS — двухкальциевый силикат). Между кристал-
кристаллами алита и белита имеется промежуточное вещество (алюмоферрит и обога-
обогащенное железом стекло). Имеется и ряд других фаз, в процентном отношении
составляющих незначительную часть объема (алюмоферриты кальция и др.).
Имеются следующие марки портландцемента (прочность (в кГ/см2) при
сжатии нормального образца в возрасте 28 дней): 300, 400, 500, 600 (им отвечает
прочность при изгибе соответственно 45, 55, 60, 65 кГ/см2).
При твердении цемента происходит химическая реакция гидратации (каж-
(каждая фаза гидратируется со своей скоростью) — цемент соединяется с водой,
в результате чего возникают гидратные новообразования (главным образом гид-
гидросиликаты кальция, различающиеся по основности (СаО, SiO2), содержанию-
воды и характеру кристаллизации). Гидросиликаты имеют волокнистую струк-
структуру (в поперечном направлении волокна содержат всего несколько молекуляр-
молекулярных слоев). Удельная поверхность этих волокон очень большая B50—350 м2/г),
в тысячу раз превышающая удельную поверхность исходного цемента. Гидраты.
г) Литература по цементам и бетонам огромна. Отметим лишь некоторые
работы, оказавшие заметное влияние на развитие теории бетона.
Freyssinet E., Une revolution dans les technique du beton, Paris, 1936
(имеется издание на русском языке: Фрейссине Е., Переворот в технике
бетона, пер. с франц. М. Л. 'Хераскова, под ред. Н. М. Беляева, Стройиздат,.
1937).
Гвоздев А. А., Опыт теории ползучести бетона, Изв. АН СССР, ОТН,
№ 9-10 A943).
L'H е г m i t e Robert, Idees actuelles sur la teehnologie du beton, Paris,.
1955 (имеется издание на русском языке: Л е р м и т Р., Проблемы технологии-
бетона, Стройиздат, 1959).
Гвоздев А. А., Некоторые механические свойства бе юна, существенна
важные для строительной механики железобетонных конструкций, сб. «Ис-
«Исследования свойств бетона и железобетонных конструкций», Госстройиздат^.
1959.
Шейкин А. Е., К вопросу прочности, упругости и пластичности бетона,.
Труды МИИТ, вып. 69, Трансжелдориздат, 1946.
Мурашов В. И., Трещиноустойчивость, жесткость и прочность железо-
железобетона, Машстройиздат, 1950.
Скрамтаев Б. Г., Исследование прочности бетона и пластичности
бетонной смеси, изд. ЦНИИПС НКТП и ВИА РККА, 1936.
Михайлов В. В., Элементы теории структуры бетона, Стройиздат, 1941.
Фрайфельд С. Я., Общие уравнения теории деформации материалов,
Труды Харьковского инженерно-строительного института, вып. 5, изд. Харь-
Харьковского университета, Харьков, 1957.
Улицкий И. И., Ползучесть бетона, Киев, 1948.
Берг О. Я., Физические основы теории прочности бетона и железобетона,,
Стройиздат, 1961.
Р о я к С. М. и Р о я к Г. С, Специальные цементы, Стройиздат, 1969*

<§ 4.14] МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНОВ 359
новообразования составляют сложную систему, содержащую элементы различной
дисперсности, структуры, состава.
Гидросиликаты кальция образуют гелесоставляющую затвердевшего цемента.
Затвердевший цементный камень представляет собой конгломерат, в состав
которого, кроме уже отмеченного геля, входят более крупные, чем частицы
геля, кристаллические новообразования и химически не прореагировавшие
клинкерные зерна. Цементный гель увеличивается в объеме по сравнению с исход-
исходным цементом в 2,2 раза, заполняя пространство, занимавшееся водой. Увели-
Увеличение объема в процессе гидратации может явиться причиной возникновения
значительных напряжений в цементном камне, могущих вызвать нарушение
структуры в нем. В теле цементного камня имеется весьма развитая система
гелевых пор B,5* 10~8 см), капилляров A -5- 10) • 10" см и больших пустот
<1 -S- 20- \О~2 см), в частности образованных воздухововлекающими добавками.
Общая пористость зависит от водоцементного отношения (В/Ц). При В/Ц =
= 0,35 -т- 0,7 пористость составляет 25—50% общего объема затвердевшего
цемента. Во всех этих полостях может присутствовать вода. Различают четыре
вида воды: химически связанную в гидратных новообразованиях (в составе
твердой фазы), абсорбированную частицами цементного геля (псевдотвердая),
капиллярную, наконец, свободную, находящуюся в крупных порах. Непрерыв-
Непрерывный процесс гидратации цемента, продолжающийся очень длительный период
времени, происходит за счет капиллярной воды.
Механизм твердения цемента, несмотря на наличие ряда попыток, иногда
достаточно успешных, до сих пор не пояснен соответствующей теорией исчерпы-
исчерпывающим образом. Не вызывает сомнения, что обоснованная теория может воз-
возникнуть лишь на базе по крайней мере трех наук: химии, физики и механики.
Здесь уместно отметить созданную П. А. Ребиндером физико-химическую
механику.
Интересно отметить, что бетон и теория бетона привлекали к себе внимание
многих механиков, среди которых ряд известных ученых: Н. М. Беляев,
А. А. Гвоздев, К- С. Завриев, Р. Лермит, П. А. Ребиндер.
В зависимости от влажности окружающей среды может происходить умень-
уменьшение или увеличение количества воды в цементном камне. Это проявляется
соответственно в процессах усадки и набухания, имеющих место в цементном
камне, а следовательно, и в бетоне и представляющих весьма важные факторы
работы бетона в механическом аспекте.
Существенным фактором процесса образования цементного камня является
экзотермичность реакции гидратации. Особенно быстро и при значительной
экзотермии протекает реакция воды с алитом (С3А + Н2О -> гидратные ново-
новообразования). Экзотермия имеет своим следствием, с одной стороны, возникно-
возникновение в бетонной конструкции температурных напряжений, а с другой стороны,
«зменение химических соединений и их структуры.
По И. Д. Запорожцу, тепловыделение за 7 суток в кал/г выражается форму-
формулой qpl=^ 1,2 ац 2/3, где ац — семисуточная прочность в кГ/см2.
Наконец, ряд физико-химических и механических процессов происходит
в цементном камне и бетоне в связи с переходом воды при понижении темпера-
температуры из жидкой фазы в твердую (лед). В связи с этими процессами интересна
способность бетона сопротивляться многократному замораживанию и оттаива-
оттаиванию (морозостойкость).
Имеется большое число различных видов цементов.
Значительную группу составляют разнообразные портландцементы (обыч-
(обычный, быстротвердеющий высокопрочный, с поверхностно-активными добавками
<гидрофильными, пластифицирующими цемент, и гидрофобными, понижающими
впитывание влаги при хранении цемента с целью предотвращения падения его
активности), сульфатостойкие и с умеренной экзотермией, разнообразные пуццо-
лановые и шлаковые; цементы, твердеющие при пропаривании или при авто-
автоклавной обработке, разнообразные специальные портландцементы, в том числе
жаростойкие).

360
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
Кроме портландцементов имеется и ряд других цементов: глиноземистые
(содержат моноалюминат кальция: СаО'А12О3 и др.), отличающиеся исключи-
исключительно большой скоростью твердения, но и значительной интенсивностью тепло-
тепловыделений в первый период твердения (рис. 4.116), расширяющиеся (расширение
при воздушном хранении в возрасте одних суток не менее 0,05%, в возрасте
28 суток — не менее 0,02%; при хранении в воде в возрасте одних суток — не
менее 0,2% и не более 1%; используются для плотного заполнения полостей,
для включения конструкций в работу; прочность набирается очень быстро —*¦
цемент марки 500 через 6 часов после затворения имеет прочность 75 кГ/см2,
а через 3 суток — 300 кГ/см2), кислотоупорные, жаростойкие и др.
Прочность цементов зависит от удельной поверхности, т. е. от крупности-
помола. Чем мельче помол, тем выше активность цемента. Активностью цемента
Ю
t, сутки
t,vac
Рис. 4.116. Сопоставление екорости набора прочности и тепловыделений в трех цементах?:
а) набор прочности; б) тепловыделения; / — обыкновенный портландцемент, 2 — быстро*
твердеющий портландцемент, д — глиноземистый цемент.
Ru называют предельную прочность образца при испытании его на сжатие в двад*
цативосьмидневном возрасте (образец, куб с ребром 7 сму изготовляют из рас-
раствора 1 : 3 на нормальном песке).
3. Усадка бетона. Цементный камень, а вследствие этого и бетон обладают
специфическим свойством испытывать деформацию (уменьшение размеров), не
связанную с нагружением, называемую усадкой. Если* свободное протекание
усадки стеснено связями, наложенными на рассматриваемый элемент, то в нем
возникают самоуравновешенные напряжения.
Так же как и твердению, усадке цементного камня посвящено много иссле-
исследований. По-видимому, одним из первых исследователей, указавших на то, что
главной причиной усадки является объемное изменение геля цементного камня
при высыхании, и на то, что в период схватывания усадка пропорциональна
потере свободной воды, был А. Е. Шейкин. Им было отмечено и то, что величина
усадки зависит от соотношения объемов кристаллических и гелевых новообра-
новообразований в цементном камне и от отсоса свободной воды в зону гидратации. Про-
Продолжение усадки длительное время А. Е. Шейкин. связывает с потерей пленочной
воды.
Р. Лермит, анализируя механизм усадки бетона, также связывает ее с испа*
рением содержавшейся в нем воды. Кратко поясним сущность его теории.
На рис. 4.117, а показаны кривые изменения веса бетонных призм в различи
ных условиях хранения (влажности), а на рис. 4.117, б — изменение линейных,
размеров бетонных призм в различных условиях влажности (увеличение размера
называется набуханием, а уменьшение и есть усадка; усадка в несколько ра&
превышает набухание).

4.14]
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНОВ
361
По графикам рис. 4.117, а, б легко построить графики в системе осей
«ус (Qb) и Ф (Рис- 4.117, в), относящиеся к одному и тому же определенному зна-
значению /.
Графики на рис. 4.117, б свидетельствуют о том, что усадка, отсчитываемая
от размеров, соответствующих хранению образцов в воде (отрезки 6,- на рис. 4.117,6),
пропорциональна количеству воды, не-
недостающей до количества, необходи-
необходимого для максимально мыслимого ув-
увлажнения образца, находящегося в воде
{отрезки щ на рис. 4.117, а). Подчерк-
Подчеркнем, что и еус и QB относятся к одному
и тому же /. Чем больше ty тем круче
располагаются прямые QB = QB (ft) и
еус = еус (ft) и тем левее находится
точка их пересечения на оси абсцисс
(но не левее точки /).
Отношение eyc/QB = v (коэффи-
(коэффициент усадки) в данный момент вре-
времени t не зависит от ft, но так как и
еус и Qb являются функциями времени,
то и v есть функция времени, которую
Лермит на основе опытов принимает
той же структуры, как и формула
для QB.
С другой стороны, коэффициент
усадки пропорционален количеству
гидратированного цемента си. Итак,
Если воды не хватает для про-
продолжения процесса гидратации (на-
(например, вследствие большой потери
влаги), то твердение бе гона приоста-
приостанавливается. Усадка в объемном вы-
выражении составляет примерно 1/30 объ-
объема испарившейся воды.
Если в процессе наблюдения за
образцом менять условия его хране-
хранения (менять влажность окружающей
среды), то кривые QB = QB (t) и
еус = eyc (f) приобретают вид, отлич-
отличный от показанного на рис. 4.117
На рис. 4 118, а изображены кри-
кривые, соответствующие наблюдениям за
семью образцами* четыре из них хра-
хранились при постоянном режиме: обра-
образец 1 — в воде, 2 — в воздухе с ft =
= 0,99, 3 — в воздухе с ft = 0,75,
4 — в воздухе с ft = 0,50. Образец 5 в отрезок времени от 0 до tx хранился в воз-
воздухе с ft = 0,25, начиная от tx до t2 — в воде и начиная от t2 — в воздухе
с ft = 0,99. Образец 6 в,отрезок времени от 0 до tx — в воздухе с ft = 0,25,
а затем в воздухе с ft = 0,75, и, наконец, образец 7 от 0 до tx— в воздухе
е ft = 0,25, а далее в воздухе с ft = 0,50
На рис. 4.118, а видно асимптотическое приближение кривой QB = С?в @
для образца А с переменным режимом хранения к кривой QB = QB (/)*для образ-
образца Ву хранящегося все время при том режиме, в котором образец А находился
да последнем этапе наблюдения за ним. Роль образцов А и В играют: 5 и / и 5
0 0,5 1,0 А
Рис. 4.117. Зависимость между
QBi
и t в бетоне: а) кривые изменения веса бе-
бетонных призм в различных условиях влаж-
влажности; б) кривые набухания и усадки бе-
бетонных лризм в различных условиях
влажности; в) зависимости QB a QB (ф) и
evo e evc (¦&) Lno Лермиту Р.].

3G2
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
и 2, 6 и 5, 7 и 4. Итак, по Лермиту, существует обратимость влагонасыщени»
бетона. У кривых QB = QB (t) по сравнению с кривыми еус = еус (t) имеется
отличие — отсутствие полной обратимости, что видно из рис. 4.118, б. Вопрос
о том, является ли остаточная деформация усадки пластической и влияет ли она»
на прочность бетона, не получил еще окончательного строгого разрешения.
Остаточная усадка может составлять значительный процент от полной C0—60%).
№,25
Рис. 4.118. Зависимости QB = QB (/) и еус = еус (/) при переменном режиме хранение
бетонных образцов [по Р Лермиту]
3. Н. Цилосани A963) *) также связывает усадку со степенью насыщенности
влагой, однако кривая соответствующей зависимости (рис. 4.119) по 3. Н. Цило-
Цилосани (построена для образцов, изготовленных как из цементного теста, так и из
раствора) отличается от полученной Лермитом (для бетонов). При этом, конечно,
следует иметь в виду, что кривая еус = еус (Ф) Лермита получена как следствие
принятых им однотипных (экспоненциальных) аппроксимаций для зависимостей
QB = QB (/) и 8ус = еус (/), а 3. Н. Цилосани получил кривую еус = 8ус (О)
непосредственно из эксперимента и характер каждого ее участка объяснил физико-
химическими соображениями. Любопытно заметить, что в целом-то сходную
с кривой 3. Н. Цилосани, но не столь детализированную, как у последнего,
получил и С. В. Александровский A966) (рис. 4.120). Для условного сопостав-
сопоставления на рис. 4.121 приведены кривые Лермита, Цилосани и Александровского.
Н. А. Мощанский связывает усадку с контр секционным явлением (уменьше-
(уменьшение абсолютного объема системы цемент + вода по сравнению с объемами исход-
исходных реагирующих веществ, хотя при этом макрообъем цементного теста не только-
не уменьшается, но может и увеличиваться) и расклинивающим и стабилизирую-
1) Цилосани-3. Н., Усадка и ползучесть бетона, Изд-во АН Груз,
Тбилиси, 1963.
ССР*

4.141
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНОВ
363
щим действием тонких пленок воды в межзерновом пространстве. Наконец,
заметим, чго усадка возникает и при взаимодействии гидрата окиси кальция
в цементном камне с углекислотой воздуха
О 3 5 10 Ё
22 26
•{в особенности в некотором диапазоне от-
относительной влажности воздуха).
Выше отмечалось, что усадка бетона,
как и изменение температурного режима,
влечет за собой возникновение усилий
в статически неопределимых системах,
элементы которых выполнены из бетона.
Если усадке дать возможность произойти
в основном еще до монтажа конструкции,
то усадочные напряжения в ней, обус-
обусловленные статической неопределимостью
системы, значительно снижаются.
Если образец теряет влагу, то этот
процесс начинается с поверхностных его
слоев, из-за чего усадка ядра образца
отстает от усадки поверхностных слоев.
Вследствие неодновременности нача-
начала усадки в слоях, расположенных на
различной глубине бетонного массива
(или призмы), и неодинаковой скорости
протекания усадки в различных слоях в
каждый данный момент времени, в бетон-
бетонном массиве (призме) возникают началь-
начальные напряжения. Действительно, внешние
<:лои бетона, в которых усадка начинает-
начинается раньше, чем в ядре, стремятся умень-
уменьшить свои размеры, но этому противо-
противодействует ядро образца. Таким образом,
«внешние слои оказываются растянутыми, а ядро — сжатым. Изменение влаж-
ностного режима влечет за собой изменение усадки, а следовательно, и величины
и закона распределения начальных напряжений, вызванных ею.
Рис. 4.119. Изменение усадочной де-
деформации в бетоне в зависимости от
влажности по 3. Н. Цилосани: А —уча-
—участок практического отсутствия дефор-
деформации усадки (Ф > 22—26%); Б — уча-
участок увеличения скорости нарастания
деформации усадки с уменьшением
влажности B2—26% ^ Ъ > 1 — 12%);
В — участок замедления нарастания
деформации усадки при дальнейшем
уменьшении влажности A0—12% ^
^Ф > 3 — 5%), в конце этого участка
иногда происходит переход к участку
Г, где наблюдается полное прекраще-
прекращение нарастания деформации усадки;
Д — участок практически линейного
нарастания деформации усадки с умень-
уменьшением влажности от 3—5% до нуля.
0 / 3 б 7
Уменьшение беса, %
1>ис. 4.120. Зваисимость усадки от потери влаги
в цементном камне по С. В Александровскому!
/ — участок потерь влаги без усадки, 2 — учас-
участок, на котором потеря влаги сопровождается
усадкой, 3 — участок, на котором усадка проис-
происходит без потери влаги.
Рис. 4.121. Зависимость усадки от
потери влаги: ) — по Р. Лермиту,
2 — по 3. Н. Цилосани, 3 — по
Q. В. Александровскому.
Заполнитель в бетоне уменьшает усадку в несколько раз F—7 раз) по срав-»
нению с той, которая была бы, если все тело образца представляло бы собой
цементный камень. Наличие усадки у цементного камня и отсутствие у запол*

364
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
нителя также является причиной возникновения начальных напряжений: в за»
полнителе, препятствующем усадке цементного камня, возникает сжатие, а в це-
цементном камне — растяжение.
Наличие начальных напряжений вызывает возникновение в цементном камне-
микротрещин, снижающих прочность (главным образом при растяжении).
Существует методика испытания (метод кольца), позволяющая определить
склонность цементного камня к усадке и образованию усадочных трещин; сущ-
сущность ее ясна из рис. 4.122. Характеристикой является отрезок времени от момента
помещения образца (после пребывания его в течение 24 часов во влажном воз-
воздухе) в сухой воздух (д = 0,50) до появления первых радиальных трещин. Как
и всегда при испытании образцов, получаемые результаты являются лишь сопо-
сопоставительными и не дают количественных оценок соответствующих параметров
в реальном сооружении. Величина усадки существенно зависит от вида цемента,
а также от принятого метода композиции бетона. В случае создания жесткого»
скелета из заполнителя усадка опаснее.
в *)
0
Рис. 4.122. Испытание методом кольца
склонности цементного камня к усадке и
образованию усадочных трещин; / — сталь-
стальной сердечник. 2 — трещина, 3 — цемент-
цементный камень.
Рис. 4.123. Зависимость а — 8 при сжатии-
бетона: а) случай наличия точки перегиба
в кривой а — е; б) вид кривой а — е при
многократном изменении а в пределах
между двумя значениями одного знака.
Известны различные методы борьбы с трещинообразованием при усадке,,
уменьшающие скорость протекания последней (защита поверхности от испарения
воды и др.). На окончательную величину усадки эти методы не влияют.
Очень многие вопросы, связанные с усадкой бетона, изучены еще недоста-
недостаточно (влияние температурного фактора, влияние чередований усадки и набу-
набухания, зависимость от химического и гранулометрического состава и г. п.).
4 Упругая деформация. Особенности поведения бетона в области упругих,
деформаций состоят в следующем.
Вид диаграммы о — 8 при сжатии существенно зависит от размеров и формы
образца вследствие того, что от этих факторов зависят силы трения между образ-
образцом и подушками, влияющие на диаграмму о — 8. Желательны образцы, в кото-
которых сама форма исключает возможность влияния трения по опорным площадкам
на вид диаграммы. Наиболее удачным оказываются удлиненные призматические
образцы. У бетона почти с самого начала нагружения зависимость о — о (е)
нелинейна, при этом даже в той области напряжений, в которой нет остаточных
деформаций, кривые нагружения и разгрузки не совпадают. Таким образом,
строго говоря, бетон с самого начала не упруг. Изменения модуля упругости
с изменением напряжений незначительные:
при а = 0,2опч ? =
при а = 0,Запч Е —
при а = 0,4апч Я = 0,83?0.
В некоторых случаях в начальной стадии нагружения зависимость а — г
имеет точку перегиба (рис. 4.123), по-видимому, вследствие наличия микротре-
микротрещин, вызванных усадкой. Вид диаграммы а — е при нагружении и последующей.

$ 4.14]
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНОВ
363
многократной незначительной разгрузке с повторным нагружением до прежнего
уровня показан на рис. 4.123, б. Бетон характеризуется наличием упругого после-
последействия.
5. Пластическая деформация. Пластическая деформация бетона складывается
из двух частей. Одна из долей — мгновенная пластическая деформация — про-
происходит непосредственно в момент нагружения и обнаруживается после раз-
разгрузки, осуществленной сразу же вслед за нагружением. Вторая доля имеет
характер затухающей ползучести и обнаруживается при длительном воздействии
нагрузки.
Характер деформации сжатого образца во времени показан на рис. 4.124
сплошной линией. На этом же рисунке пунктиром показана деформация усадки
t
3
Л2
у
Г
/
i.
5 ;
8
7
-—т в
щ ¦_
о ¦ t
Рис. 4.124. Зависимость 8 — /,- обнаруживаемая при испытании бетонных образцов
[по Р. Лермиту]: / — относительная деформация усадки в момент нагружения, 2 — мгно-
мгновенная относительная деформация вследствие нагружения (80Н), содержащая и упру-
упругую и пластическую доли, 3 — относительная деформация, проявившаяся при длитель-
длительном нагружении (едн), содержащая как упругую (упругое последействие при нагруже-
нии), так и пластическую (ползучесть) доли, 4 — упругая мгновенная (мгновенно ис-
исчезающая) относительная деформация при разгрузке, 5 — относительная деформация
упругого последействия при разгрузке, 6 — суммарная упругая (исчезающая) относи-
относительная деформация при разгрузке, 7 — обратимая (исчезающая) часть относительной
деформации усадки при помещении полностью разгруженного образца в воду, 8 — ос-
остаточная относительная деформация усадки в полностью разгруженном образце, поме-
помещенном в воду, 9 — установившаяся относительная деформация усадки ненагружен-
ного образца в воздухе, 10 — установившаяся относительная деформация усадки не-
нагруженного образца в воде.
контрольного ненагруженного образца. Приложение нагрузки происходит в мо-
момент времени t0, полная разгрузка — в момент tx и помещение в воду как ранее
нагружавшегося, так и контрольного образца — в момент t2.
Пластическую деформацию ползучести в сумме с упругим последействием,
которое не представляется возможным отделить от ползучести, не производя
разгрузки, при условии воздействия постоянной по величине нагрузки можно
изобразить г) при помощи следующей линейной зависимости, подтвержденной
многочисленными опытами:
Функцию бдн (/, т) называют мерой ползучести. Здесь t — момент времени, в ко-
который нас интересует величина относительной деформации ползучести, характе-
характеризуемый отрезком, отсчитываемым от некоторого начального момента to\ т —
момент времени в конце отрезка, отсчитываемого от момента приложения
нагрузки t0.
1) А р у т ю н я н Н. X., Некоторые вопросы теории ползучести, Гостех-
издат, М. — Л., 1952. (Нами введены обозначения иные, нежели использованные
Арутюняном.)

366 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
Мера ползучести, если ее изобразить так:
[ГЛ. IV
позволяет получить результаты, близкие к опытным кривым ползучести как
в старом, так и в молодом возрасте бетона.
Рис. 4.125. Кривая о St.
Рис. 4.126. Кривые 6Н = бн (/).
Мгновенная деформация еон, с учетом изменения модуля упругости во вре-
времени, может быть представлена так:
а
Сумма деформаций еон и едн (t, т) приобретают вид (рис. 4.125)
или
еч ==
где бн — выражение, заключенное в фигурные скобки, Лх, Со и у — параметры,
определяемые из эксперимента. Полная деформация с учетом усадки изобра-
изображается формулой
е == еус ~г ен»
На рис. 4.126 показана серия кривых бн, соответствующих различным т.
Отрезки кривых, расположенные ниже пунктирной линии, представляют собой
ME (t).
Обнаружено, что ползучесть усиливается при уменьшении влажности окру-
окружающего воздуха. По-особому в бетонах выглядит картина изменения коэффи-
коэффициента Пуассона с увеличением нагрузки и, следовательно, с увеличением доли
пластических деформаций. Чем больше пластическая деформация, тем меньше
коэффициент Пуассона, и в пределе он стремится к нулю. Напомним, что в стали
и других металлах при полном развитии пластических деформаций коэффициент
Пуассона приобретает значение 0,5.
6. Разрушение. Коснемся картины разрушения бетона лишь при сжатии
и растяжении. Разрушение в условиях сложного напряженного состояния рас-
рассматривается в главе VIII.
6.1. Разрушение при сжатии. Первые признаки разрушения
при сжатии появляются при нагрузке порядка 50—75% от разрушающей. Ско-

§ 4.14]
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНОВ
367
рость загружения мало влияет на величину предела прочности. Так, увеличение
этой скорости от 1 кГсм~21сек до 100 кГсм~2/сек приводит к повышению наблюдае-
наблюдаемого предела прочности всего на 10%. Отмечается, что при длительном воздей-
воздействии нагрузки разрушение может произойти при напряжениях намного мень-
меньших, чем предел прочности, обнаруженный при кратковременном испытании.
Результаты испытания бетона на сжатие с доведением его до разрушения
существенно зависят от формы и размеров образца, от подготовки поверхностей
его, соприкасающихся с опорными подушками пресса, от центрирования *), от
жесткости машины и типа силовозбуждения. С анализом влияния этих факторов
можно познакомиться по книге Р. Лермита, упоминавшейся в сноске в начале
настоящего параграфа.
Предельная прочность бетона2) R в R
двадцативосьмидневном возрасте при ежа- ^-^—•
тии можно найти по эмпирическойформуле
В
здесь Rn — активность цемента (т. е. пре-
предельная прочность образца из раствора
1:3с нормальным песком в возрасте
28 дней); А — коэффициент, зависящий от
качества заполнителя; Б. Г. Скрамтаев и
10. М. Баженов предложили билинейную
зависимость (на первом участке R =
Ц
г
а на втором
Vr
\*
\
*75кГ/см*
-гго
-300
v
Ч
~ — Б); Аг = 0,43 ч- 0,37, А =
0,65 -*- 0,55, Б = 0,5).
Известна формула ВНИИЖБ
R = @,23Яц + 100) -Ц- — 80.
Л/А '
Рис. 4.127. Зависимость прочности бе-
бетона при сжатии от отношения разме-
разменов призматического образца [Лермит
"* Проблемы технологии бетона, Гос-
стройиздат, 1959].
Р
Уже неоднократно отмечалось, что испытания образцов часто являются
чисто эталонными и не позволяют судить о действительной прочности материала
в конструкции; это в большой мере относится к испытанию бетонных кубиков.
Прочность материала, предназначаемого для работы в конструкции типа колонны,
правильнее испытывать на призматическом образце. На рис. 4.127 показаны гра-
графики, соответствующие испытаниям призм с различным отношением ЫЬУ изго-
изготовленных из разных бетонов. Как видно, результаты для разных бетонов полу-
получаются неодинаковыми. Существует ряд эмпирических формул, устанавливающих
связь между призменной и кубиковой прочностью бетона при сжатии. В част-
частности, можно указать формулу Графа
Япр = @,85--Я/1720) Я = @,85 —0,000581#)Я,
долгое время служившую основой для рекомендаций в отечественных ТУиН
A939 г.); формулу Эмпергера
Япр = @,8 - 0,00023/?) /?,
х) В силу неоднородности бетона имеется в виду не геометрическое, а физи-
физическое центрирование, при котором равнодействующая сжимающей нагрузки
может и не совпадать с геометрической осью образца, но деформации всех волокон,
расположенных на поверхности его параллельно направлению сжатия, оказы-
оказывается одинаковыми.
2) В литературе по бетону предел прочности (прочность) обозначается сим-,
волом R,

868
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
дающую несколько большие величины для #пр, чем формула Графа; формулу
Лермита
Дпрг=Я [0,76 + 0,20 lg (Я/200)])
1300 + /?
формулу А. А. Гвоздева
формулу Б. Г. Скрамтаева для высоких марок бетона
Прочность и модуль упругости бетона с возрастом его нарастают.
Эмпирическая формула (Б. Г. Скрамтаева), связывающая прочность кубика
в возрасте п суток (Rn) с кубиковой прочностью R в возрасте 28 дней, называемой
маркой бетона, имеет вид ^
6.2. Разрушение при растяжении. Еще большую сложность
представляет испытание бетона на растяжение. Ведет себя бетон при таких испы-
испытаниях, как хрупкий материал. Опыт показывает, что для ряда бетонов удовле-
удовлетворительные результаты дает эмпирическая формула Ферэ, позволяющая нахо-
находить предел прочности при растяжении по кубиковой прочности:
6.3. Марки бетона. Разновидности. Ар модемен т. В на-
настоящее время марки бетона достигли очень высокого значения: известны при-
примеры-получения бетона марки 1000 и даже 1200. Марки 600—800 используются
достаточно часто. Распространены марки 300—500, однако находят широкое
применение бетоны и более низких марок, в особенности бетоны на легком запол-
заполнителе (так называемые легкие или теплые бетоны).
Увеличение модуля упругости и прочности бетона продолжается длительное
время (см. табл. 4.19).
Таблица 4.19
Воз-
Возраст
бетона
в
сутках
Е, кГ/см*
(при напряжении)
50
кГ/см*
100
кГ/см*
апч' кГ/см*>
при
сжатии
(кубик
20 см)
изгибе
Воз-
Возраст
бетона
в
сутках
Е, кГ/см2
(при напряжении)
50
кГ/см*
100
кГ/см*
при
сжатии
(кубик
20 см)
изгибе
7
28
67
416 000
372 000
352
605
612
53
63
92
210
435
422 000
449 000
383 000
408 000
626
675
717
62,5
65
88
[Маньель Г., Предварительно напряженный железобетон, пер. с англ.
Г. А. Игнатюка под общ. ред. Г. К. Хайдукова, Госстройиздат, 1958.]
В зависимости от используемых в бетоне цемента и инертных он обладает
рядом специфических свойств. Например, существуют быстротвердеющие бетоны
(на глиноземистом цементе), бетоны на безусадочном цементе, на расширяющемся
цементе, жароупорные, кислотоупорные бетоны и ряд других.

§ 4.15] СВОЙСТВА ПОРОШКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ 369
В качестве квазиоднородного может рассматриваться такой материал, как
ярмоцемент, в котором цементный камень облекает сетки D—б шт. при толщине
элемента 10—12 мм) из арматурной проволоки малого диаметра @,8—1,0 мм)
при малых размерах ячейки (8—12 мм). Этот материал хорошо сопротивляется
растяжению.
§ 4.15. Свойства порошковых материалов
1. Предварительные замечания. Формование тонких порошков и спекание
их позволяет получать так называемые изделия из порошковых материалов *).
Выше уже говорилось о пресс-порошковых пластмассах, о керамике. В данном
параграфе обсуждаются материалы, -получаемые из металлических порошков
(порошковая металлургия) и из смесей металлических порошков с порошками
окислов (металлокерамические и керамико-металлические материалы). В разделе
14 § 4.11 такие материалы уже упоминались. При помощи порошковой технология
можно получить такие материалы, которые либо вообще иначе получить невоз-
невозможно (высокопрочные или жаропрочные композиты), либо получить их очень
затруднительно (тугоплавкие сплавы). Вследствие применения порошковой тех-
технологии происходит удешевление производства таких материалов.
2. Металлические порошковые материалы. Известны следующие разновид-
разновидности материалов порошковой металлургии: конструкционные, инструменталь-
инструментальные, жаропрочные (различные детали летательных аппаратов, работающих
при высоких температурах), фрикционные (тормозные узлы самолетов, тракторов
и других машин), пористые (объем пор 10—30%) и высокопористые (объем пор
больше 30%), в том числе антифрикционные (пористые подшипники в узлах
трения, в том числе самосмазывающиеся, обладающие высокой сопротивляе-
сопротивляемостью износу, хорошей прирабатываемостью и низким коэффициентом трения).
Из пористых материалов изготавливаются фильтры с легко восстанавливаемой
фильтрующей способностью; потеющие детали, которые в одних случаях эффек^
тивно охлаждаются испаряющейся жидкостью, проходящей через них в дру-
других случаях согреваются фильтрующейся жидкостью, что необходимо, на-
например, при борьбе с обледенением самолетов. В табл. 1.29 (см. приложение I)
произведено сопоставление свойств различных пористых и компактных мате-
материалов.
Порошковая металлургия позволяет полностью избавиться от литниковой
системы, неизбежной при литье. Значительно упрощает или вовсе исключает
последующую механическую обработку деталей. Вместе с тем порошковая метал-
металлургия позв'оляет получить изделия почти со 100% плотностью и высокой одно-
однородностью структуры. В порошковой металлургии для получения элементов
конструкций используются разнообразные технологические процессы: прессова-
прессование в пресс-формах с последующим спеканием; равномерное приложение давления
г) Порошковым материалам посвящена большая литература;
Раковский В. С, Сакли некий В. В., Порошковая металлургия
в машиностроении, «Машиностроение», 1973 (в этой книге имеется библио-
библиография).
Роман О. В., Богданов А. П., Порошковая металлургия США,
Белорус. Научно-исслед. ин-т научн.-техн. информации и техн.-эконом, иссле-
исследований Госплана БССР, Экспресс-информация, серия Машиностроение, Минск,
1972.
«Новые материалы в технике» под ред. Тростянской Е. Б., «Химия», 1964.
Свойства и обработка металлокерамических материалов (литературный
обзор), Институт научно-технической информации и пропаганды ЭССР, Таллин,
1969.
Прочность металлокерамических материалов и сплавов, Изд-во АН УССР,
1962.

370 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ IV
по объему прессуемого порошка (гидростатическое давление); прокатка порошка;
экструзия; искровое спекание — одновременное пропускание через порошок
электрического тока и создание давления; ковка.
3. Керамико-металлические материалы. Керамико-металлические мате-
материалы используются в элементах конструкций, работающих при высоких темпе-
температурах (жаропрочные и жаростойкие материалы), и в разнообразных инстру-
инструментах (твердые материалы), для которых нужна очень высокая твердость и крас-
красностойкость. В таких условиях керметы справляются с работой лучше, чем металлы
или керамики, недостатком которых является хрупкость и разрушимость при
резких изменениях температуры. В керметах сохраняется высокая твердость,
тугоплавкость, жаропрочность и окалиностойкость керамики, в то же время по
сравнению с керамикой, благодаря наличию металлической составляющей, повы-
повышается теплопроводность и пластичность, улучшается термостойкость и сни-
снижается хрупкость.
Керамической основой в кермете служат окислы и металлоподобные соеди-
соединения: карбиды, бориды, силициды и нитриды — таких переходных металлов,
как Si, Ti, Zr, Mo и др. Металлической составляющей служат сплавы группы
железа, хром, алюминий. Из керметов на базе карбида титана изготовляют,
например, диски и лопатки газовых турбин. Прекрасными материалами с высо-
высокими жаропрочностью и жаростойкостью являются керметы на основе боридов
переходных металлов и керметы на оксидной основе.
Из твердых керметов отметим: ВК — на основе карбида вольфрама с кобаль-
кобальтовой металлической фазой и ТК — на основе карбидов вольфрама и титана с той
же связкой.
§ 4.16. Механические свойства древесины
1. Предварительные замечания. Древесина как конструкционный материал,
пожалуй, в большей мере, чем какой-либо другой, имеет свойству, присущие
только ему. Первым долгом отметим огромное разнообразие пород дерева, поро-
порождающее исключительную по широте гамму физических и механических свойств
древесины. Свойства древесины каждой породы при прочих равных условиях
существенно зависят от влажности ее. Говоря о механических свойствах древе-
древесины, нельзя не принимать во внимание большое количество всевозможных
дефектов и отклонений от нормальных условий роста дерева, снижающих проч-
прочность древесины. К числу таких относятся: сучки, неправильное расположение
волокон, крень (эксцентричное расположение сердцевины), тяговость (связан-
(связанность волокон в определенной области лишь между собой), смятия (от чрезмер-
чрезмерного искривления растущего дерева), плесг-нь и деревоокрашивающие грибы»
гниль, повреждение насекомыми, смоляные кармашки, минеральные пятна
(образуются после продалбливания древесины птицами, вследствие окисления и
других химических процессов). Причиной дефектов может явиться и неправильно
выполняемая сушка древесины. Наконец, весьма большое значение для свойств
древесины имеет направление прикладываемой силы (по отношению к волокнам
и годичным кольцам) при определении этих свойств — древесина существенно
анизотропна. Вот почему изменчивость физико-механических свойств древесины
очень велика — показатели свойств имеют разброс гораздо больший, чем у любых
других материалов.
Большое влияние на показатели свойств древесины оказывают размеры
образца или изделия, температура и продолжительность воздействия сил.
2. Анизотропность упругих свойств древесины. Древесина обладает свой-
свойством криволинейной анизотропности. Криволинейной анизотропность назы-
называется в том случае, если в теле мысленно можно представить систему криволи-
гейных поверхностей (через каждую точку тела проходит одна из них), обладаю-
обладающих определенным свойством. Это свойство состоит в следующем. В каждой точке
поверхности можно отметить три характерных направления (например, нормаль R

4.16]
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДРЕВЕСИНЫ
371
и касательные L, Т к поверхности, лежащие в плоскостях главных кривизн)
таким образом, что вдоль одноименных направлений во всех точках тела пока-
показатель каждого из его свойств сохраняет свою величину, а вдоль неодноименных
направлений показатель свойства имеет различное значение.
В древесине такими криволинейными поверхностями являются концентри-
концентрически расположенные цилиндрические (точнее, конические с малым углом при
вершине конуса) 1) поверхности с осями, совпадающими с осью ствола, а харак-
характерными направлениями являются: R — нормаль к поверхности (или направле-
направление, совпадающее с радиусом цилиндра), L — касательная к поверхности, сов-
совпадающая с ее образующей, и Г — касательная к поверхности, лежащая в пло-
плоскости поперечного сечения цилиндра. Вдоль каждого из этих направлений модуль
продольной упругости имеет свое собственное значение, обозначаемое соответ-
соответственно Е^, ELi ET.
Различных коэффициентов Пуассона оказывается шесть: М^#» \1lt* ^rt*
\iTd* \*>rl* \vtv ^Ри инДексации имеется в виду, что \iL^ — взятое с обратным
знаком отношение поперечной деформации вдоль R при действии сил вдоль L
к продольной деформации
Можно отметить три характерные плоскости сдвига: LR, RT, TL.
Модуль упругости при сдвиге между направлениями LnRtRnTtTnL
(см. гл. VII) имеет свое собственное значение, обозначаемое соответственно GL^,
GRT и GTL.
Таблица 4.20
Отноше-
Отношение моду-
модулей про-
продольной
упругости
ос
Отношение моду-
модулей сдвига
к модулю Е]^
Коэффициенты Пуассона
Орех
0,592
11,0 0,056 0,106 0,085 0,062
0,0209
0,495 0,632
0,718 0,367
0,0520
0,0360
[Справочник по древесиноведению, лесоматериалам и деревянным кон-
конструкциям. Книга первая, пер. с англ., Гослесбумиздат, М.—Л., 1959.
Lavers Gwendoline M., The Strength Properties of Timber, 2-d ed., London,
H. M. Stat off, 1969.] Из этого же источника заимствованы табл. 4.21—23.
В табл. 4.20 в качестве примера приведены все упоминавшиеся выше харак-
характеристики упругости древесины. Анизотропность древесины проявляется не
только в упругих, но и во всех остальных свойствах, связанных с направлением.
На рис. 4.128 показаны пространственные графики изменения апч и Е\ на
рис. 4.129 — полярные диаграммы изменения характеристик апч и Е.
На рис. 4.130 показаны грубо ориентировочные соотношения между апч и Б
для разных углов между направлением действия силы и годичными слоями дре-
древесины хвойных и лиственных пород. Предел прочности аПч,Ф ПРИ действии сжи-
сжимающей силы под углом д к волокнам в плоскости, перпендикулярной годичным
То есть поверхности, совпадающие с годичными слоями.

372
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ IV
¦#
Рис. 4.128. Пространственные графики изменения характеристик: а) предела прочности
(по Р. Бауману)- б) модуля продольной упругости (по А Н Митинскому) древесины;
а _ угол в плоскости поперечного сечения ствола дерева между нормалью к годичному
кольцу (слою) и направлением сжатия, 0 — угол в плоскости, параллельной оси ствола,
между направлением сжатия и направлением волокна [Ашкенази Е. К., Боксберг И. П.,
Рубинштейн Г. М., К. К Туроверов, Анизотропия механических свойств древесины и
фанеры, Гослесбумиздат, 1958].
/345
Рис. 4.129. Полярные диаграммы: а) пре-
предела прочности (апч); б) модуля упругости
(?) для трехслойной березовой фанеры (по
данным Г. А. Сафронова); в двух крайних
слоях волокна параллельны, в среднем —
перпендикулярны им. Угол отсчитывается
от направления волокон в двух крайних сло-
слоях; ?иопч — в кГ/мм* [Ашкенази Е. К.*
Боксберг И. П., Рубинштейн Г. М., Туро-
Туроверов К. К., Анизотропия механических
свойств древесины и фанеры» Гослесбум-
Гослесбумиздат, 1958].
V-CS
Рис. 4.130. Соотношения между величи-
величинами апч и Е при разной ориентации
силы по отношению к годичным слоям
древесины} / — хвойные породы» 2 —лист*
венные породы.

§ 4.16]
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДРЕВЕСИНЫ
373
слоям, связан с пределами прочности anq Oo при сжатии вдоль волокон и
перпендикулярно годичным слоям формулой
°пч, Оо0пч, 90°
Значительно отличается одно от другого сопротивление скалыванию в пло-
плоскостях LTt LR и RT (в последнем случае скалывания не происходит).
3 Влияние влажности. Влажностью w называют долю (в процентах), состав-
составляемую весом влаги в древесине от веса абсолютно сухой древесины. У многих
пород по влажности древесина является неоднородным телом — ядро менее
влажно, чем заболонь. При понижении влажности происходит повышение проч-
прочности древесины, начиная с влажности ^30%, которой соответствует насыщение
волокон водой. В табл. 4.21 приведены данные о влиянии влажности на прочность.
Таблица 4.21
^Характеристики
Статический изгиб:
предел пропорциональности
предел прочности
модуль упругости
работа до предела пропорциональ-
пропорциональности
работа до разрушающей нагрузки
Ударный изгиб — высота падения мо-
молота, при которой происходит полное
разрушение
Сжатие вдоль волокон:
предел пропорциональности
предел прочности
Сжатие поперек волокон:
предел пропорциональности
Скалывание вдоль волокон:
предел прочности
Растяжение поперек волокон:
предел пропорциональности
Твердость поверхности:
торцевой
боковой
Среднее повышение
(снижение) характери-
характеристик в процентах на
1% снижения (повыше-
(повышения) влажности
5
4
2
8
0,5
0,5
. 5
6
5,5
3
1,5
4
2,5
В лаборатории лесных продуктов в Медиссоне (США) предложена формула
для определения показателя прочности s3, соответствующего влажности w3i по
двум парам соответствующих показателей (sj и wlt s3 и w2), найденным из опыта:
Wl—w2
В образцах сухая древесина прочнее влажной, однако материал в изделиях
крупных размеров после сушки может оказаться менее прочным, чем до сушки,
вследствие образования грещин вокруг и внутри сучков,

374
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ IV
К вопросу влияния влажности придется вернуться при обсуждении темпера-
температурного фактора. На рис. 4.131 изображены типичные диаграммы а —е, пока-
показывающие как влияние влажности, так и проявление анизотропности в древесине.
4. Связь между объемным весом и прочностью. В разных породах объемный
вес древесины различен, однако относительный удельный вес вещества древесины
во Dcex породах одинаков и равен 1,5. Неодинако-
б,кГ/мм*
20
15
5
О
г
I,
1
1
\г
! ^
1 /
|/
I/
1/
j
V i
1 I
1 /
у /
/
j
/
s
1
/
У
0,2
вость объемного веса объясняется различной по-
пористостью разных пород.
Чем больше вещества древесины заключено
в единице объема, чем выше объемный ее вес *),
тем больше прочность. На основании многочислен-
многочисленных экспериментов (испытана древесина более 160
пород) удалось установить 2) взаимосвязь между
прочностными характеристиками древесины и объ-
объемным ее весом (независимо от породы) в преде-
пределах одной породы. Эти результаты приведены
в табл. 4.22.
5. Влияние' температурного фактора. Повыше-
Повышение температуры влечет за собой снижение проч-
прочности. Степень снижения зависит от влажности и
продолжительности воздействия высокой темпера-
температуры. На рис. 4.132 показаны пространственные
эпюры прочностных характеристик в зависимости
от температуры и влажности при непродолжитель-
непродолжительном воздействии высокой температуры.
Изменения прочностных характеристик при
повышении температуры в зависимости от уровня
температуры и продолжительности ее воздействия
в одних случаях носят обратимый, а в других —
необратимый характер. Даже поддержание темпе-
температуры 66 °С в течение года не приводит к необ-
необратимому снижению прочности. В диапазоне от —
18 до +66 °С увеличение температуры на 1 °С при-
приводит к уменьшению прочности, обнаруженному
при 20 °С, на 0,6—0,9%. При температуре —184 °С
прочностные характеристики значительно повы-
повышаются.
На рис. 4.133 показано необратимое влияние
нагрева (при Г>»66 °С) на прочностные и упругую
характеристики древесины. Меньше всего температурный фактор отражается
на величине модуля упругости; наибольшее влияние этот фактор оказывает
на характеристики прочности при ударней нагрузке.
На степень необратимых потерь оказывает влияние не только температура,
но и вид среды. Среды, в последовательности увеличения их влияния на свойства
древесины, располагаются так: сухой воздух, вода, пар.
6. Влияние продолжительности воздействия нагрузки. Продолжительность
воздействия нагрузки оказывает влияние на прочностные характеристики не
только в условиях высоких температур и влажности, но и при комнатной темпе-
температуре и невысокой влажности. Длительная прочность древесины ниже мгновен-
мгновенной. Деревянный элемент, несущий нагрузку в течение десяти лет, способен
выдержать лишь 60% от кратковременной разрушающей нагрузки. Увеличение
(уменьшение) продолжительности действия нагрузки в 10 раз влечет за собой
уменьшение (увеличение) прочности на 7—8%. В древесине происходит измепе-
Рис. 4.131. Типичные диа-
диаграммы о — 8 для древе-
древесины сосны: / — растяжение
вдоль волокон, 2 — сжатие
вдоль волокон в сухом со-
состоянии, 3 — сжатие в ра-
радиальном направлении в су-
сухом состоянии, 4 — то же
во влажном состоянии [Хух-
рянский П. Н., Прочность
древесины, Гослесбумиздат,
1955J.
*¦) Если не принимать во внимание веса смолы и камеди.
2) Эксперимент и обобщения его проведены в уже упоминавшейся Медиссон-
ской лаборатории.

4.16]
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДРЕВЕСИНЫ
37S
ние напряженно-деформированного состояния во времени — обнаруживаются
явления ползучести и упругого последействия и релаксации. На рис. 4.134
изображены кривые упругого последействия и релаксации.
7. Изменчивость физико-механических свойств древесины. Показатели свойств
даже чистой древесины, испытываемой при определенных режимах, имеют раз-*
брос, превышающий таковой как у бетона, так, тем более, у металлов.
70 55 25
Рис. 4.132. Эпюры прочностных характеристик древесины в зависимости от влажноет»
и температуры: а) эпюра апч для древесины дуба при растяжении вдоль волокон; б) то-
тоже в тангенциальном направлении; в) тпч при скалывании в радиальном направлений
(в плоскости LR); г) эпюра сопротивления ударному изгибу [Хухрянский П. Н.# Проч-
Прочность- древесины, Гослесбумиздат, 1950].
В табл. 4.23 приведены коэффициенты изменчивости в процентах. Если на
гистограмме, соответствующей пятистам испытанным образцам (Медиссонская
лаборатория), по обе стороны от среднего значения показателя отложить среднее
квадратичное отклонение (удвоенное среднее квадратичное отклонение), то внутри
получившихся границ оказывается 67% (95%) всех образцов.
8. Заключительные замечания. В дополнение к сказанному выше отметим
еще несколько фактов.
У древесины отношение предела выносливости к пределу прочности,
вследствие волокнистой структуры, выше, чем у металлов. Образец и*

376
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV
Таблица 4.22
Физико-механические свойства
Статический изгиб:
предел пропорциональности, кГ/см*
предел прочности, кГ/см2
работа до разрушающей нагрузки, кГ/см3
полная работа, кГсм/см3
Модуль упругости в 1000 к Г/см2
Ударный изгиб-—высота падения молота, при ко-
которой происходит полное разрушение, см
Сжатие вдоль волокон;
предел пропорциональности, кГ/см*
предел прочности, к Г/см2
Модуль упругости в 1000 кГ/см2
Сжатие поперек волокои:
предел пропорциональности, кГ,см*
Твердость поверхности х);
торцевой, кГ
боковой, кГ
Соотношения между объ-
объемным весом и прочностны-
прочностными показателями древесины
сырой
701gU5
1210gb25
2,45?1J5
6,90#2
[62g
28V'75
360g
462g
200g
206?2'25
1670g2*25
1520/'25
при влажно-
влажности 12%
1150?1'25
1770?Ь25
2,39g1'76
5,0l?2
\92g
236gUb
60\g
839g
239^
298^2'75
2140^2'25
1680g2J5
х) Груз, требуемый для того, чтобы вдавить шарик <i= 11,28 мм на по-
половину его диаметра.
Таблица 4.23
Показатель
Объемный вес
Усушка:
радиальная
тангенциальная
объемная
Статический изгиб:
предел пропорциональ-
пропорциональности
предел прочности
модуль упругости
работа до предела про-
пропорциональности
pa6oia до разрушающей
нагрузки
Ударный изгиб — высота
падения молота, при
которой происходит
полное разрушение
Коэффици-
Коэффициент измен-
изменчивости
10
15
14
16
22
16
22
38
34
25
Показатель
Сжатие вдоль волокон:
предел пропорциональ-
пропорциональности
предел прочности
модуль упругости
Сжатие поперек волокон:
предел пропорциональ-
пропорциональности
Скалывание вдоль воло-
волокон:
предел прочности
Растяжение поперек во-
волокон: \
предел прочности
Твердость поверхности:
торцевой
боковой
Вязкость
Коэффици-
Коэффициент измен-
изменчивости
24
18
29
28
14
25
17
20
34

I 4.16]
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДРЕВЕСИНЫ
6т,Е,% а) 6ПЧЛ б)
377
\
\
———
IE
А*(г)
(f)
-
— —
¦¦ —
- .
— .
«ваша»
60
М
о - ш гоо ш ш
Сутки
Рис. 4.133. Влияние температуры на физико-меха-
физико-механические свойства при изгибе древесины (испы-
(испытания после нагрева производились при нормаль-
нормальной температуре и влажности 12%). По оси ор-
ординат отложены показатели физико-механических
свойств в % от показателей ненагревавшейся
древесины: а) результаты испытаний древесины,
нагревавшейся в.течение различных отрезков вре-
времени в воде при температуре 93 °С то оси абс-
абсцисс отложена продолжительность нагрева); б) ре-
результаты испытаний древесины, нагревавшейся
в течение различных отрезков времени в паре при
различных температурах; / — продолжительность
нагрева в часах; по оси абсцисс отложена темпе-
температура пара; сплошные линии — хвойные породы,
пунктир — лиственные [Справочник по древесино-
древесиноведению, лесоматериалам и деревянным конст-
конструкциям, Кн. первая, пер. с англ.е Гослесбумиз-
дат, М -Л.,- 1959].
0,6
не
о
10
,'20
30
40
50
60
1
\
\
\
/
/
——
г
\
*»^
\
я——¦
,аа»а
¦и—"
¦вавш
4
*- —
"* «а
V
—«»¦
«-—-
«а—"
ашшш>
——-
¦шаа-
6
ажшаа
=
——
ЯМа.
——
¦ ¦
—--¦
п
ПС >
0,79бТ—
0,61бт
*-!-*
8 1 10t
ШШШШ
—¦в
-0,6
Чбт
Щ
—'
\J956r
-
Рис. 4.134. Типичные диаграммы при
продольном сжатии естественной дре-
древесины сосны (нагрузка одноступенча-
одноступенчатая): а) кривые релаксации; б) кривые
упругого последействия. о*т — предел
текучести, числовой коэффициент при
от — y = ого/сгт, а0 — начальное напря-
напряжение при релаксации или уровень на-
напряжения при упругом последействии*
(при нагружении).

78
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. VI
воздушно-сухой древесины при напряжении, составляющем 40% от предела
прочности выдерживает при растяжении 30 млн. циклов не разрушаясь.
Рис. 4.135. Сжатие древесины поперек волокон.
Прочность при сжатии поперек волокон зависит от отношения а/Ь (рис. 4.135).
*Чем больше это отношение, тем выше прочность, тем сильнее проявляется поддер-
поддерживающая роль соседних волокон. При значительном увеличении alb повышение
прочности затухает. В приложении I, табл. I. 32 приведены механические свойства
древесины нескольких пород.
§ 4.17. Общие соображения о требованиях,
предъявляемых к материалам, используемым в конструкциях
Обеспечение надежности проектируемого инженером изделия требует того,
чтобы оно обладало хорошими конструктивными свойствами
^например, чтобы не возникали резкие концентрации напряжений или ситуации,
способствующие коррозии, и т. п.), хорошей технологичностью
{например, чтобы не возникали или были бы малыми всевозможные остаточные
напряжения, в частности сварочные напряжения, напряжения от усадки бетона
и т. п.), хорошими эксплуатационными свойствами (на-
(например, условия эксплуатации должны предусматривать защиту конструкции от
действия агрессивной среды) и, наконец, чтобы хорошим (надежным) был сам
материал конструкции.
Можно сформулировать некоторые общие требования к материалу, удовле-
удовлетворение которым может позволить считать его надежным. К числу таких требо-
требований относятся: однородность (имеется в виду квазиоднородность),
-свойств во всем занимаемом материалом объеме, стабильность
свойств во времени, стабильность свойств материала в разных поставках,
малая чувствительность к перегрузкам (например, таким
свойством в большей мере обладают материалы, находящиеся в пластическом
состоянии, чем в хрупком), способность быть нечувствительным к
концентрации напряжений (и в этом случае у материалов, находя-
находящихся в пластическом состоянии, имеется преимущество перед материалами,
пребывающими в хрупком состоянии), малая чувствительность
* надрезу (например, большое значение удельной ударной вязкости),
хорошие технологические свойства (легкость получения
•изделия из материала посредством обычных технологических процессов).
Таким образом, при выборе материала приходится иметь в виду ряд свойств
и анализировать всю совокупность свойств, существенных в рассматриваемом
случае и присущих различным материалам. Наглядны предлагаемые нами по-
полярные диаграммы свойств (рис. 4.136). На этом рисунке представлены свойства
Fe, Ni и Ti, Очевидно, что, накладывая на одну систему осей «фозы» разных

4-17] ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О ВЫБОРЕ МАТЕРИАЛОВ
Е,Ю6кГ/см*
379
Рис. 4.136. Полярные диаграммы свойств материалов.
Олодянистая бронза
Л
.7000 •
JMOf
0,01
0,1
Резина
Рис. 4.137. Сопоставление свойств материалов; Е, <тпч, <хупр в кГ/см2 [Литературный^
источник см. в подписи к рис. 4.138].

380
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
[ГЛ. IV
материалов, легче осуществить выбор необходимого материала, чем это выполнять
без такого наглядного изображения. Разумеется, число лучей, т. е. число сопо-
сопоставляемых свойств, может отличаться от изображенного на рис. 4.136. На рис.
4.137 представлено сопоставление материалов по четырем их свойствам. На рис.
4.138 сопоставление материалов дано по другой схеме.
Наконец, подчеркнем еще раз (на протяжении предыдущего изложения на
это не раз обращалось внимание), что прочность одного и того же материала
в образце и реализуемая в составе конструкции не одинакова. Последняя может
быть названа конструкционной прочностью. Отличие ее от прочности образца
•обусловлено рядом причин. К числу их относятся: масилабный эффект, сложность
че)
1(изгиб)
-Пластики
Сплоды Ti
Сплавы Си —
-Сплавы k\
Авмир. пластики и сплавы N1
-Пластики
-бетоны
.. пластики
¦плавь/ А\ о _,
—— Сплавы Т1
Сплавы Си
10
бпч>нГ/смг
-Сплавы Ni
— Стали
0,4 0,8
г,о
Е,Ю6кПсмг
— бетоны
— Стали
Сплады Си
Сплавы Ж
-Ар,
пластики
- Пластики
*)
40
тные пластики
Сплавы Щ .
80
«(! •ю~в)
Сплавь/ Ti
Сплавы Ж
Сплавы Си
Стали
—бетоны
до МО
О 200 400 600 600 Г
Рис. 4.138. Сопоставление свойств материалов: а) опч (растяжение); б) Е; в) коэффици-
коэффициент линейного температурного расширения; г) температурная область работы [Faupel
Joseph H., Engineering Design, a Synthesis of Stress Analysis and Materials Engineering,
Jh Wil d S Nw York London Syclney 196^]
Engineering Design, a Syth y
John Wiley and Sons, New York — London — Syclney,
als
форм конструкции и связанные с нею, в частности, неоднородность напряженного
состояния и концентрация напряжений, возникновение в конструкции техноло-
технологических напряжений, подверженность конструкции в процессе эксплуатации
повреждениям, агрессивное влияние окружающей среды, изменение свойств
материала во времени и т. п,

Отдел второй
СОСТОЯНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА
Глава V
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 5.1. Предварительные замечания
Содержание настоящей главы справедливо для любого сплошного
тела.
Понятие о напряжении, действующем на некоторой площадке,
проходящей через точку тела, было дано во II главе. Там было отме-
отмечено, что напряжение зависит как от координат точки, через кото-
которую проходит площадка, так и от ориентации площадки. Было
введено понятие о компонентах напряжения и дано правило знаков
для них.
Во II главе отмечалось, что, зная компоненты напряжения в точке
тела в любой системе прямолинейных прямоугольных координат xyz,
можно найти напряжение, действующее на любой площадке, про-
проходящей через эту же точку тела. В настоящей главе показывается,
как это делается. Здесь же изучаются закономерности изменения
величин нормальной и касательной составляющих полного напря-
напряжения и величины самого полного напряжения, действующего на
произвольной площадке, в зависимости от изменения ориентации
этой площадки.
Анализ напряженного состояния в точке начинается с рассмотре-
рассмотрения некоторых общих положений применительно к трехмерной
задаче. Затем, когда становится возможным говорить о частных
случаях — плоском и линейном напряженных состояниях, произ-
производится анализ этих состояний по той же схеме, по какой выпол-
выполняется анализ пространственного напряженного состояния, с тем,
чтобы читатель, не желающий ограничиваться анализом плоского
напряженного состояния, имел бы возможность по аналогии про-
проследить и за анализом пространственного напряженного состояния
без выполнения всех выкладок. Использование частных приемов
анализа плоского напряженного состояния, непригодных для

382
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
анализа пространственного, исключило бы такую возможность.
Вместе с тем некоторое усложнение анализа плоского напряженного
состояния по сравнению с тем, каким он был бы при использовании
упомянутых частных приемов, невелико.
§ 5.2. Закон парности касательных напряжений
Вырежем из тела в окрестности точки С (рис. 5.1, а) бесконечно
малый элемент в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами,
параллельными осям х, у, г. Действие на параллелепипед окру.
жающего его тела заменяем соответствующими внутренними силами^
В)
dz
Рис. 5.1. К равновесию тела: о) элементарный параллелепипед в составе тела в окрест-
окрестности точки С; б) силы (показаны интенсивности сил), действующие на параллелепи-
параллелепипед; в) силы (интенсивности), создающие Момент относительно оси л,.
которые по отношению к выделенному элементу являются внешними
поверхностными. Интенсивности указанных сил представляют собой
напряжения, а составляющие последних в осях х, у, г — компо-

S 5.2] ЗАКОН ПАРНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 383
ненты напряжения. На рис. 5.1, б показан элемент и действующие
на его гранях компоненты напряжения.
Учитывая, что параллелепипед бесконечно мал, следует считать
все компоненты напряжения относящимися к точке С, а не к трем
разным точкам — центрам трех граней параллелепипеда, проходя-
проходящих через С. Так как компоненты напряжения являются функциями
координат точек тела, при переходе от одной грани параллелепипеда
к другой, ей параллельной, компоненты напряжения получают
приращения, главная линейная часть которых представляет собой
дифференциал. Известно, что дифференциал функции f = f {х, у, г)
выражается формулой
Так как при переходе от центра одной грани параллелепипеда
к центру другой, ей параллельной, происходит изменение всего
одной из трех координат, дифференциалы компонентов напряжения
содержат одно слагаемое.
Кроме поверхностных сил на элементарный параллелепипед
действуют объемные силы. Пусть интенсивности составляющих
этих сил по осям х, у, г суть X, Y и Z (рис. 5.1, б).
Из общего числа шести уравнений равновесия этого элемента
рассмотрим пока три, каждое из которых представляет собой равен-
равенство нулю суммы моментов всех сил относительно трех некомпла-
некомпланарных осей. Так, в частности, для моментов относительно оси хи
параллельной оси х, согласно рис. 5.1, б имеем1)
— а у dx dz ^ + (<*</ + -щ dyj dx dz Ц- — xyz dx dz dy -f-
- xxydz dy f + (xxy + ^ dx) dz dy d~ + xxedz dy^-
+ ^fdx^jdzdyf + Ydxdydz^-Zdxdydz-^O.
После взаимного уничтожения ряда членов и сокращения остав-
оставшихся на dx dy dz некоторые члены оказываются конечными,
а остальные — бесконечно малыми; отбрасывая последние в силу
их малости по сравнению с конечными, будем иметь
- Туг + Xzy = О,
ИЛИ
1) На рис. 5.1, в изображены лишь те компоненты напряжений, которым
соответствуют силы, создающие момент относительно оси хх.

884
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил, действую-
действующих на элемент, относительно осей ух и гх, соответственно получим
*ZX ~~ *.Vr?> *XU ~~~~ * ЦХ* \ • /2 S
Три уравнения равновесия E.1) выражают так называемый закон
парности касательных напряжений: на двух взаимно
перпендикулярных площадках, пр ах о д я-
щих через точку тела, действуют равные
по величине касательные составляющие на-
напряжений, перпендикулярные ребру, обра-
образуемому пересечением указанных площа-
площадок. На основе этого закона из девяти компонентов напряжения
различными по величине в общем случае оказываются шесть ком-
компонентов.
§ 5.3. Уравнения равновесия элементарного тетраэдра
В окрестности точки С напряженного тела, связанного с системой
осей хуг, вырежем бесконечно малый тетраэдр (рис. 5.2), у которого
три грани параллельны координатным плоскостям, а четвертая
имеет ориентацию, характеризуемую нормалью v, направляю-
направляющие косинусы которой в системе осей хуг суть /, т, п. Так как
с
Рис. 5.2. Элементарный тетраэдр и действующие иа него
силы (интенсивности).
тетраэдр бесконечно мал, в пределе все четыре его грани можно
считать проходящими через одну точку тела. Действие на тетраэдр
окружающего его тела заменим внутренними силами, которые по
отношению к тетраэдру являются внешними поверхностными.

$ 5.4]
формула для av 385
Интенсивности этих сил суть напряжения. При этом на каждой
из граней, параллельных координатным плоскостям, напряжение
представлено тремя составляющими в осях х, у, г (компоненты напря-
напряжения), а на грани с нормалью v напряжение pv в тех же осях х, у, г
имеет составляющие pvx, pVy, pvz.
Пусть площади граней Cbc, Cca, Cab и abc обозначены соответ-
соответственно Fx, Fy, Ft, Fv; в этом обозначении индекс указывает назва-
название нормали к плоскости грани. Каждая из граней Cab, Cbc, Cca
является проекцией грани abc на соответствующую координатную
плоскость; поэтому
Fx = F,l, Fy = Fv,n, Fz = Fxti. E.2)
Составим уравнения равновесия элементарного тетраэдра. Ра-
Равенство нулю суммы проекций на ось х всех сил, действующих на
тетраэдр, имеет вид
F vPvx — a>xFx — XyXFy — TzxFg = 0; E.3)
подставляя E.2) в E.3), сокращая после этого все члены на Fv a
перенося все члены, кроме первого, в правую ,,часть равенства,
получим
l E4)
Объемная сила в уравнении равновесия E.3) опущена, так как она
представляет собой величину третьего порядка малости, тогда как
порядок малости остальных членов уравнения — второй.
Два других уравнения равновесия получаем аналогично:
Pvy = Ъху1 + Gutn + ХгуП, \
Формулы E.4) позволяют найти составляющие напряжения pv,
действующего на любой площадке, проходящей через точку тела,
если известны компоненты напряжений в той же точке в системе
осей хуг и направляющие косинусы нормали v к обследуемой пло-
площадке в той же системе осей.
Формулы E.4) используются и с другими целями. Об этом гово-
говорится в § 5.15.
§ 5.4. Формула для <rv
Выведем формулу для ov — нормальной составляющей напря-
напряжения pv, действующего на площадке с нормалью v (рис. 5.2).
Найдем av как сумму проекций на v составляющих pvx, pvy и рчя
напряжения pv:
Подставляя E.4) в E.5) и приводя подобные члены, получим
av = aj2 + аутг + ozn? + 2xxylm + 2xytmn + 2xzxtil. E.6)
13 Л. П. Филин

386
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ V
§ 5.5. Теорема о существовании главных площадок
Пусть через точку С напряженного тела, связанного с системой
осей хуг, проходит площадка с нормальюг) v (/, т, п). Отложим вдоль
нормали вектор \/У±ах (рис. 5.3). Под радикалом используется
'знак плюс, если ах > 0, и знак минус, если av ¦< 0; тогда подкорен-
подкоренное выражение всегда положительно и, таким образом, длина
вектора представляет собой действитель-
действительное число. Координаты конца вектора
обозначим I, т) и ?, тогда
t _
Отсюда
Рис. 5.3, Вектор l/j/"+ov, конец
m
V±ov'
m = \
т n
"¦ V±o,
/±avr),
E.7)
которого описывает поверхность
Кош и
Конец вектора- l/^drav при всевоз-
всевозможных поворотах площадки, проходя-
проходящей через точку С, описывает неко-
некоторую поверхность, уравнение которой найдем, подставляя E.7)
в E.6) и сокращая все члены на av: ¦
°А* + ° «г? + оЛ2 + 2хх,Лц + 2хУМ + 2т„СБ = ± 1 • E.8)
E.8) — уравнение центральной поверхности второго порядкаг).
Известно, что существуют три такие взаимно перпендикулярные оси
xi> Уи гъ называемые главными, в которых эта поверхность выра-
выражается уравнением
не содержащим членов с произведениями двух разных координат.
Вместе с тем исчезновение таких членов из E.8) мыслимо, лишь
если в соответствующих осях xlt ylt zl касательные компоненты
напряжения обращаются в нуль, т. е.
тад. = xvizt = TZtx, = 0.
Таким образом, очевидно, что через каждую точку
напряженного тела всегда можно провести
три таких взаимно ортогональных направ-
направления, что на площадках, перпендикуляр-
х) В скобках указаны направляющие косинусы нормали в системе осей хуг.
2) Напоминаем, что такими поверхностями являются: эллипсоид, однопо-
лостный гиперболоид, двухполостный гиперболоид, конус, эллиптический ци-
цилиндр, гиперболический цилиндр, две пересекающиеся плоскости, две парал-
параллельные плоскости.

§ 5.6) ТЕОРЕМА ОВ ЭКСТРЕМАЛЬНОСТИ ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДОК 387
ных к ним, касательные компоненты напря-
напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными,
а напряжения, действующие на них,—главными напряжениями.
Очевидно, что главные напряжения нормальны к главным площад-
площадкам. Главные напряжения обозначим символами Оц а2 и а3, имея
в виду при этом, что
Приведенное утверждение является формулировкой так называе-
называемой теоремы о существовании главных площадок (главных напряже-
напряжений). Таким образом, напряженное состояние в окрестности любой
точки тела можно представить как растяжение (в алгебраическом
смысле) в трех взаимно перпендикулярных направлениях, совпа-
совпадающих с направлениями нормалей к главным площадкам, или,
что то же самое, с направлениями главных напряжений. Поверх-
Поверхность E.8) называется квадрикой Коши *). Подробнее о ней гово-
говорится в разделе 2 §-6.16.
§ 5.6. Теорема об экстремальности главных напряжений
Рассмотрим точку С напряженного тела и проведем через нее
три ортогональные оси х, у, г, совпадающие с нормалями к главным
площадкам, проходящим через эту же точку тела. В этой системе
осей 2)
т„ = т„-т„ = 0, |
Проведем теперь через точку С тела площадку .с нормалью v, про-
произвольно наклоненную по отношению к осям х, у, г. Полное напря-
напряжение pv, действующее на этой площадке, имеет составляющие
в осях х, у, г: рчх, pvy, pvz. Введем еще одно обозначение для коор-
координат вектора pv, а именно:
Имея в виду E.9), заключаем, что E.4) приобретают вид
Отсюда
') Огюстен Луи Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789—1857) —французский
математик и механик, один из создателей теории упругости.
2) Оси можно обозначить так, чтобы х была нормальна к площадке с o"i,
у — к площадке с аа и г — к площадке с а3.
13*

388
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
С другой стороны, из аналитической геометрии известно, что
/2 + ma + n2=l. E.11)
Подставляя E.10) в E.11), получаем уравнение поверхности,
4-4-4
Рис. 5.4. Эллипсоид Ламе: а) общий случаи пространственного напряженного состоя-
состояния (эллипсоид напряжений с разными полуосями); б) частный случай пространствен-
пространственного напряжеииого состояния (цилиндрическое напряженное состояние; одно из глав-
главных сечений эллипсоида — круг); в) частнып случай пространственного напряженного
состояния (сферическое напряженное состояние; эллипсоид напряжении — сфериче-
сферическая поверхность); г) общий случай плоского напряженного состояния (эллипс напряже-
напряжений с разными полуосями); д) частный случай плоского напряженного состояния (кру-
(круговое напряженное состояние; эллипс напряжений — окружность); е) линейное напря-
напряженное состояние; эллипс напряжений — отрезок прямой (длина одной из осей равна
нулю).
описываемой концом вектора полного напряжения:
Этой поверхностью является эллипсоид с полуосями, равными alt
а2, а3. Очевидно, что любой радиус-вектор pv точки элл1*псоида
имеет величину, заключенную между ах и о3. При этом существенно

§ 5.7] ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ. В ТОЧКЕ 389
то, что pv расположены не перпендикулярно к площадкам их дей-
действия. Исключение составляют три полных напряжения — главные
напряжения: аи а2 и а3, направленные по нормали к соответствую-
соответствующим главным площадкам, а2 является наименьшим из напряжений,
действующих на площадках, которые проходят через направление а3,
и наибольшим из действующих на площадках, проходящих через
направление стх. Таким образом, а2— минимакс. Эллипсоид E.12)
ввел в теорию напряженного состояния в точке тела французский
ученый Ламе *).
Полезно иметь в виду частные случаи эллипсоида полных напря-
напряжений.
Если. стх > ст2 = а3 (или ах = а2 > аз)> то эллипсоид напря-
напряжений в одной из главных плоскостей, перпендикулярной направ-
направлению <Tj (или а3), сечение имеет в виде круга. Если вблизи такой
точки тела с таким напряженным состоянием вырезать элемент
в форме круглого цилиндра с основанием, нормальным направле-
направлению Oj (или а3), то на любой площадке, касательной к боковой
поверхности цилиндра, будет действовать напряжение, нормальное
к площадке и равное а2 = ст3 (или а1 = а2). При этом все такие
площадки являются главными, а само напряженное состояние
называется цилиндрическим.
Если стх = а2 = о3, эллипсоид напряжений превращается в
сферу, а само напряженное состояние называется сферическим.
Так как в сфере любые три ортогональных направления могут быть
приняты за главные, все площадки, проходящие через точку напря-
напряженного тела, являются главными. Ниже будет доказано, что,
действительно, на любой из этих площадок касательная составляю-
составляющая напряжения равна нулю. На рис. 5.4 показаны общий и частные
случаи эллипсоида Ламе. При этом рис. 5.4, г, д относятся к случаям,
поясненным в § 5.7, а рис. 5.4, е — к случаю, поясненному в § 5.14.
§ 5.7. Понятие о плоском напряженном состоянии
в точке
Изменение величин и направлений главных напряжений при
переходе из одной течки тела в другую происходит непрерывно. .
Может случиться, что в некоторой точке С напряженного тела одно
главное напряжение равно нулю; в таком случае напряженное
состояние в этой течке называется плоским. Уже в соседних точках
тела напряженное состояние может быть пространственным, при
котором ни одно из главных напряжений не равняется нулю.
1) Габриэль Ламе (Gabriel Lame, 1795—1870)—французский иижеиер и
ученый (механик, математик). На протяжении 11 лет был профессором в Инсти-
Институте инженеров путей сообщения в Петербурге; автор первого в мире курса
яо теории упругости.

390 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ V
Наряду с этим встречаются и такие случаи, которые характери-
характеризуются тем, что во всех точках тела напряженное состояние плоское
и при этом главные площадки с нулевым главным напряжением
во всех точках тела параллельны друг другу. В таком случае можно
сказать, что все тело в целом испытывает плоское напряженное
состояние.
Если тонкая пластина подвержена воздействию поверхностной
и (или) объемной нагрузки, распределенной равномерно по толщине
(рис. 5.5, а), и нагрузка не имеет составляющей, направленной
вдоль оси г, то приближенно можно считать, что во всех точках тела
площадки, проходящие через них и, параллельные наружным пло-
плоскостям пластины, являются главными с нулевыми напряжениями.
Два других главных напряжения отличны от нуля и, вообще говоря,
в различных точках различны и по величине и по направлению.
Изменение как величины, так и направления этих напряжений при
переходе из одной точки тела в другую происходит непрерывно.
Третьим примером является такой частный случай однородного
напряженного состояния*), при котором во всех точках тела имеет
место одинаковое плоское напряженное состояние (рис. 5.5, б).
Ниже, в §§ 5.8—5.13, выполняется анализ плоского напряжен-
напряженного состояния в точке, совершенно одинаковый, будь эта точка
в составе пространственно напряженного тела или в составе тела,
все точки которого испытывают плоское напряженное состояние.
Мыслимы такие разновидности плоского напряженного состояния:
E.13)
С целью анализа плоского напряженного состояния будем выде-
выделять элемент в виде прямоугольного параллелепипеда всегда так,
чтобы фасадная и задняя грани 2) совпадали с главной площадкой,
главное напряжение на которой равно нулю. С нормалью к этой
главной площадке будем совмещать ось г. Такой элемент и компо-
компоненты напряжения, действующие на его гранях, изображены на
рис. 5.7, а. При этом учтено, что вследствие закона парности каса-
касательных напряжений
Ixz = 0> Туг = 0.
Так как все компоненты напряжений, отличные от нуля, рас-
располагаются в одной плоскости Охи, вместо аксонометрического
х) Общий случай однородного напряженного состояния заключается в том,
что во всех точках одноимеииые компоненты напряжений одинаковы и при этом
все они отличны от нуля. Этот общий случай изображен на рис. 5.6. Для удоб-
удобства изображения касательные составляющие поверхностном нагрузки показаны
отдельно от нормальной и при этом каждое слагаемое самостоятельно (рис. 5.6, б).
2) Фактически любые две параллельные грани параллелепипеда при устрем-
устремлении его размеров к нулю можно рассматривать как одну площадку, прохо-
проходящую через 1ич«у тела.

5.7]
[ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
391
Рис. 5.5. Условия возникновения плоского напряженного состояния в точке! а) пло-
плоское напряженное состояние пластины (во всех точках на плоскости ху напряженное
состояние плоское, но различное в разных точках; во всех точках, лежащих на нормали
к плоскости ху, напряженное состояние одинаковое (плоское напряженное состояние
однородно по координате г и неоднородно по координатам х и у); 1 — наружные плоскости
пластины, 2,— площадки с нулевым главным напряжением); б) однородное плоское
напряженное состояние тела (во всех точках плоское напряженное состояние одинако-
одинаковое — напряженное состояние однородно во всем объеме тела); 3 — эпюры касательных
напряжений.
Рис. 5.6. Поверхностная нагрузка, вызывающая однородное напряженное состояние
тела: а) нормальные составляющие поверхностной нагрузки; 6) касательные составляю»
щие поверхностной нагрузки (а, в и о — величины касательных напряжении).

392
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. V
изображения будем использовать ортогональную проекцию на
плоскость Оху (рис. 5.7, б).
Исследованию будут подвергаться напряжения, действующие
лишь на площадках, перпендикулярных к главной площадке с ну-
нулевым главным напряжением.
1
\
N
С
ч
\
*
Рис. 5.7. Плоское напряженное состояние в точке:, а) бесконечно малый параллелепи-
параллелепипед, в котором две противоположные грани свободны от напряжений; б) ортогональ-
ортогональная проекция того же параллелепипеда; е) аксонометрическое изображение элементар-
элементарной треугольной призмы, в которой две противоположные грани свободны от напряже-
напряжений; г) ортогональная проекция той же призмы; О) следы площадок, проходящих череа
точку в тела, в которые в пределе, при бесконечном уменьшении размеров прнзмы, пе-
переходят грани последней.
, В некоторых случаях нам понадобится рассматривать треуголь-
треугольный призматический элемент с основанием в виде прямоугольного
треугольника. Такую призму будем отрезать от описанного выше
прямоугольного параллелепипеда сечением, перпендикулярным пло-
плоскости Оху (рис. 5.7, в, г). Составляющая т„ располагается в пло-
плоскости Оху вследствие закона парности касательных напряжений.
Действительно, фасадная грань — главная площадка, в ней отсут-
отсутствует касательная составляющая напряжения, в том числе и пер-

§ 5 9] ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПОНЕНТОВ НАПРЯЖЕНИЯ 393
пендикулярная ребру ab\ следовательно, и на площадке abed
составляющая касательного напряжения, перпендикулярная ребру
пЬ, равна нулю. В пределе площадку abed можно рассматривать
проходящей через точку С (рис. 5.7, д).
§ 5.8. Уравнения равновесия элементарной треугольной призмы
Выделим из напряженного тела в окрестности точки, испытываю-
испытывающей плоское напряженное состояние, элементарную призму
(рис. 5.7, г). Нормаль v к площадке ab составляет с осью х угол а.
Уравнения равновесия этой призмы легко получаются из уравне-
уравнений равновесия тетраэдра E.4); если учесть, что в рассматриваемом
случае
/ = cosa, ш = cos (я/2 —а) = sin a, n = cos (я/2) = О,
Pv* = 0, xxx = xzx = 0, туг = хгу = 0, аг = 0,
получаем
= oj + хухт = ах cos a + xyx sin а, \
pvy = xXyl-\-oym = xxy cos а -f- о^sina. J
Последнее уравнение из E.4) превращается в тождество: 0 = 0.
§ 5.9. Формулы преобразования компонентов напряжения
Пусть нам известны компоненты напряжения в системе осей ху:
«*» (V хху = хух- Необходимо найти компоненты напряжения
в системе осей х^: aXl, aVl, тХ1У1 = xyiXl, если оси х1 и ух составляют
с осями хну углы, косинусы которых образуют матрицу х)
х У
Уг IIU пи}'
С этой целью рассмотрим треугольную призму (рис. 5.8, а).
Нормаль v параллельна оси хх. Для того чтобы получить aXl и x.Vl>,,,
спроектируем полное напряжение на площадке с нормалью хх на
направления хх и ух. Вместо того, чтобы проектировать рХ1, можно
взять сумму проекций его составляющих pXtX и pXty:
Ojc, = pxtxk "T* РххуШ\, 1xiyx — pxtxl% ~\- РххуШ^. E.15)
Учтем, что
/1 = cosa, Ш1 = соз(я/2 — a) = sin a, \
/2 = cos (я/2 + а) =—sina, m2 = cosa. j ^
l) Каждый элемент этой матрицы представляет собой косинус угла, обра-
образуемого осями, указанными против строки и столбца, на пересечении которых
находится элемент.

394
ТЕОРИЯ НАПВЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
Так как роль v в нашем случае играет хи формулы E.4) при-
приобретают вид
Px,x = &xh 4- vyxnii = ox cos a-)-Xj
Pjc,i/ = TjcjA + <tyWi = txy cos a + (
„* sin a, 1
jySina. J
E.17)
x
У
X
\
\
5—
1
-ye
У\ '
w
<Lrrr}?X«
Рис. Б.8. К выводу формул преобразования компонентов напряжений при повороте
осей (плоское напряженное состояние): а) к определению aXj и ^Xlyt; 6) к определений
°у> н т-ул-
Подставив E.16) и E.17) в E.15) и учтя, что %ху = %ух, получим
E.18)
oXl = oJl + аут\
= ох cos2 a 4-ау sin2 a -J- 2xxlJ sin a cos a,
j/Пз + xxy (lxm2 + Z2mi) =
(ау — сгж) sin a cos a + xxy (cos2 a — sin2 a).
Если бы мы выделили элементарную треугольную призму с
нормалью v, параллельной оси г/, (рис. 5.8, б), то аналогично

5 5.101 ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ Ч 395
получили бы формулы для ayt и xyiXl:
аУх = Pytx
PUix = ох1г -f хухт2, pUiU = xxyl2 -f аут2,
, = о Х1\ + оут\ + 2 т^/2т2 =
2/П1 -f xxy (i2mi -f '1^2) =
= (dy — ax) sin a cos a -f- тлу (cos2 a —' sin2 a).
Нетрудно видеть, что, во-первых, формулы для aXl и аУ1 могли
бы быть получены из формулы E.6) для av, если учесть, что о, ==
= хуг = хгх = 0; во-вторых, имеет место равенство
которое подтверждает доказанный выше закон парности касатель
ных напряжений.
Формулы E.18) и E.19) можно преобразовать применительно
к такому случаю, когда оси х и у совпадают с нормалями к главным
площадкам и, таким образом, напряжения ах и ау — главные,
а xxv = 0. Введем такую замену в обозначениях. Вместо х и у при-
примем соответственно I и II, а вместо хх и ух примем х и у. Индексы
lull применены вследствие того, что не конкретизируется случай
из числа трех в E.13). Тогда формулы E.18).и E.19) приобрета-
приобретают вид
ох = (Т) cos2 a -f- an sin2 a,
ay = o\ sin2 a-(-(Гц cos2 a,
xXy = Xyx =
sinza.
E.20)
§ 5.10. Определение главных напряжений
и направляющих косинусов нормалей к главным площадкам
Пусть для некоторой точки С напряженного тела известны
компоненты напряжений в системе осей ху. Требуется определить
главные напряжения и ориентацию главных площадок в системе
осей ху. Начало координат системы осей хуг помещено в точку С.
Главная площадка с ненулевым главным напряжением а имеет
нормаль v (рис. 5.9), направляющие косинусы которой в системе
осей хуг суть /, т и п=0. В таком случае полное напряжение
pv=a и по направлению совпадает с нормалью v (так как касатель-
касательная составляющая напряжения на главной площадке обращается
в нуль), вследствие чего
Pvx = Pvl = Ol, pvy = pvnt = Otn. F.21)

396
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
С другой стороны, для pvx и pvv имеем формулы E.14), в которых
эти величины выражаются через компоненты напряжений:
Сопоставляя E.22) и E.21), получаем
или
E.23)
Итак, мы пришли к системе линейных алгебраических однородных
уравнений относительно / и т — направляющих косинусов нор-
нормали к главной площадке, определяющих положение последней.
Нас интересует ненулевое решение системы E.23), так как в силу
известного равенства
Р + т% + п2 = 1
все три направляющих косинуса лю-
любого направления не могут одновре-
одновременно обращаться в нуль; вместе
с тем известно, что
Рис. 5.9. Главная площадка.
п = cos (v, z) = cos (я/2) = 0;
отсюда ясно, что не могут быть одновременно равны нулю / и тг
так- как при п = 0 Р + ш2 = 1. Система линейных
однородных алгебраических уравнений
имеет решение, отличное от нуля, тогда и
только тогда, когда основной определитель
системы равен нулю (теорема Рушё).
Таким образом, равенство
ау—о
1 ху
-ух
= 0
E.24)
является условием существования ненулевого решения системы
E.23). Иными словами, ненулевое относительно / и т решение
системы E.23) имеет место лишь при удовлетворении величиной а
уравнению E.24), которое в развернутом виде записывается так:
а2 —
ly = 0.
E.25)
Решая квадратное уравнение E.25), находим два таких значения а,
при которых / и т, отыскиваемые их E.23), получаются нену-
ненулевыми.

§ 5.10] ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ 397
Решение E.25) имеет вид
01. II =-
или
E.26)
Учитывая условие аи S= сг2 ;з= а3, заключаем, что
если(Т1>0, огц>0, то а^ = а\, о2 = оц, о3 = 0;
если(Т1>0, ац<0, то tTj = cti, a2 = 0, a3 = an; \ E.27)
если cti < 0, ап<0, то сг1 = О, а^сг,, trd = сги
Теперь, получив два корня для сг (напомним, что третье главное
напряжение равно нулю), можно найти направляющие косинусы
4 и ти (k = I, II) нормали к каждой из двух главных площадок.
Ищем 1\, т,\; /ц и ти из системы уравнений E.23),.которая при-
приобретает вид двух следующих систем:
v '
В зависимости от знаков о\ и сгц индексы I и II приобретают зна-
значения из множества 1, 2, 3 согласно E.27).
Введем обозначение:
ak = lk:mk (k=l, II); E.29)
тогда системы E.28), после деления всех членов в каждом из урав«
нений на ти, можно представить так:
, / \ л (*=1, И). E.30)
Решаем любое из этих уравнений относительно ак (k = I, II),
затем согласно E.29) находим
lk = akmk, E.31)
после чего из условия 1% + т% = 1 получаем
т
E-32)
Обозначим угол, составляемый нормалью к главной площадке, где
действует напряжение cri, с осью х, символом оц; тогда k = cosai,
а mi = cos (л/2 — ai) = sin ai.

S 398 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. V
Рассмотрим
, ~ sin 2ai 2 sin ai cos ai 1l\tn\
= ' cos 2aj == cosa ot[ — sinaai == 1 — m! '
или, учитывая E.31),
tg2ai = -^r. E.33)
Найдбм fli из первого уравнения E.30):
ai = !»f_. E.34)
_ Подставляя E.34) в E.33), получим
2-———- о_ /п л_\
,
Подставляя Выражение для ai согласно E.26) в E.35), получим
Этот же ответ получился бы, если бы а\ находили из второго урав-
уравнения E.30), когда
оу-о1
а
тху
Если обозначить символом au угол, составляемый нормалью
к главной площадке, где действует напряжение ац( с осью х, то
/и = cos аи, /пи = cos (я/2 —ац) = sin ац
и тогда, аналогично предыдущему случаю, получаем формулу
Величину flu найдем из любого из уравнений E.30), например из
первого:
Подставляя E.37) в E.36), получим
Подставляя в E.38) формулу для an согласно E.26), после преобра-
преобразований, совершенно аналогичных выполненным при выводе

$ 5.111 ИНВАРИАНТЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА ЗЭЭ
формулы для tg 2a!, получим
Равенство tg 2c&i = tg 2ац свидетельствует об отличии угла 2ац
от угла 2ai на п, или, что то же самое, об отличии угла ац от угла ах
на величину я/2. Иными словами, главные площадки с напряже-
напряжениями cti и сгц взаимно перпендикулярны, вместе с тем они перпен-
перпендикулярны и к третьей главной площадке с нулевым главным
напряжением.
§ 5.11. Инварианты напряженного состояния
в точке тела
В § 5.10 было получено квадратное уравнение F.25), корнями
которого являются главные напряжения о\, и ац. Известно, что
такое уравнение может быть записано и в следующей форме:
((T-ai)((T — ац) = 0,
или, в развернутом виде,
0. E.39)
Коль скоро E.25) и E.39) являются различными формами записи
одного и того же квадратного уравнения с корнями oi и ац, коэф-
коэффициенты в E.25) и E.39) при одной и той же степени а одинаковы.
Отсюда получаем два равенства:
= ГГт -4- fTir. I
E.40)
-оу = О[ + аи, 1
', — t?j, = a,an. J
Для данной точки тела величины, стоящие в правой части равенств
E.40), являются строго определенными. Следовательно, строго
определенными получаются и величины, стоящие в левых частях
равенств, несмотря на то, что в каждой системе осей ху величины
ах, av и хху свои собственные. Выражения, сохраняющие свои зна-
значения при изменении входящих в йих элементов, происходящем
с изменением некоторого фактора, например при изменении системы
координатных осей, называются инвариантами; этот термин под-
подчеркивает неизменность (инвариантность) величины по отношению
к соответствующему фактору (в нашем случае по отношению к си-
системе координатных осей). Левые части равенств E.40) являются
соответственно первым и вторым инвариантами плоского напряжен-
напряженного состояния в точке; правые части показывают, чему равны эти
инварианты,

400 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЯ [ГЛ. V
§ 5.12. Определение максимальных касательных напряжений
и направляющих косинусов нормалей
к площадкам их действия
Пусть йам известны главные площадки в точке С напряженного
тела. Свяжем с телом систему координат хуг, расположив начало
в точке С и направив оси перпендикулярно главным площадкам
(ось г — перпендикулярно площадке с нулевым главным напряже-
напряжением). Теперь проведем через эту же точку тела произвольно пло-
площадку с нормалью v, направляющие косинусы которой в системе
осей хуг суть /, т, п (и = 0 — площадка нормальна главной с ну-
нулевым напряжением). Полное напряжение на этой площадке рх,
а нормальная и касательная его составляющие суть av и tv. Найдем
такую ориентацию этой площадки (т. е. найдем такие / и т), при
которой rv достигает своего максимума. С этой целью составим выра-
выражение для tv в функции от / и т. Так как вектор полного напря-
напряжения рч равен геометрической сумме составляющих crv и xv, для
<rv имеем формулу на основании теоремы Пифагора:
т? = /??-< E.41)
Для pi и о$ имеем формулы
pl-pix + pl», <yl = (°J2 + °ym*)\ E.42)
Первая из формул E.42) вытекает из того факта, что вектор рч
. есть геометрическая сумма векторов pvx и pvu, а вторая получена на
основании E.6) с учетом того, что
О* = Туг = Xzx == 0
(площадка, перпендикулярная оси г, — главная с нулевым напря-
напряжением) и, кроме того,
тху = тух = 0
(так как площадки, перпендикулярные осям хну, — главные).
Составляющие полного напряжения pvx и pVy выражаются форму-
формулами E.14), которые в нашем случае (хху = хух = 0) приобретают
вид
E.43)
Подставляя E.43) в первую из формул E.42), а затем E.42)
в E.41), получим
т$ = oil* + aim2 - (oj* + Oytny. E.44)
Будем считать, что ось х направлена перпендикулярно главной
площадке с напряжением а\, а ось у — с напряжением сгц; тогда
ox = Oi и Оу = ои. E.45)
Так как в главе II было отмечено, что всегда полагаем tv 3= 0,
можно вместо отыскания экстремума функции xv искать экстремум

§5.12] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 401
функции Tv", оба имеют место при одних и тех же / и т. Учтем, что
I w m удовлетворяют условию
Р + п? = 1.
Вследствие этого исключим из E.44) один из направляющих коси-
косинусов, например т, выразив его через /:
т2 = 1 — /2. E.46)
Подставляя E.46) в E.44) и учитывая E.45), получим
Tj = (*1-ah)/* + (*!,-[(а,-а,,)/*+ ап]». E.47)
Далее следуем классической схеме отыскания экстремума функции:
(it2
-5Р = 0, 2/{((т?-а!,)-2((т1-ап)[(ст1-(Тн)/2 + (т„]} = 0. E.48)
Из двух уравнений
1 = 0, 1
a!-af,-2(a,-an)[(tr,-a,,)P + a,,] = 0f j E>49)
порождаемых уравнениями E.48), воспользуемся вторым, так как
первому соответствует площадка, перпендикулярная оси х, которая,
являясь главной, содержит не максимальное, а минимальное, рав-
равное нулю, касательное напряжение.
Из второго уравнения E.49) имеем
(а, - аи) {(о, +(т„) - 2 [(а, - аи) /2 + о„]} = 0. E.50)
Будем считать, что рассматривается общий случай, при котором
<Ji?=ou E.51)
(случай ел = сгп рассмотрим самостоятельно). В силу E.51) можно
сократить E.50) на (сп — сгп); тогда получаем
(a,
или, учитывая E.51),
откуда,
или
Четырем
имея в виду E.
Р =
комбинациям:
Y2
? = yrr m =
V2 '
\—2Р =
,46),
1 ,
о,
¦ _ 1 1
2 ' 1
1
|/2* т
= -~к' т = ~
I
/2
1
V2
E.52)

402
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
соответствуют четыре нормали, но по две из них относится к одной
и той же площадке (рис. 5.10). Поэтому всего площадок с макси-
максимальным касательным напряже-
напряжением две (площадка, изображен-
изображенная на рис. 5.10, а и 5.10, в,
одна и та же; площадка, изобра-
изображенная на рис. 5.10, б и 5.10, г,
также одна и та же).
Теперь нетрудно найти сам
максимум функции х'(,, а следо-
следовательно, и функции tv, вос-
воспользовавшись формулами E.47)
и E.52):
Направл. б.
Г ' "?
— (О| —0ц)у+ 011 =
/°,-°„\»
ИЛИ
Итак, в случае плоского нап-
напряженного состояния из числа
площадок, перпендикулярных
главной площадке с нулевым
напряжением, в двух — каса-
касательная составляющая полного
напряжения достигает макси--
мальной величины, равной по-
половине разности главных нап-
напряжений О\ И (Гц. ЭТИ ПЛОЩАД-
ПЛОЩАДКИ делят двугранные углы меж-
между главными площадками с нап-
напряжениями (Ti и аи пополам.
Случаю равенства ai и ац со-
соответствуют нулевые касатель-
касательные напряжения на всех площадках. Эллипс полных напряже-
напряжений превращается в круг, и все площадки являются главными.
Направл. 6f
Рис. 5.10. Следы площадок с максималь-
максимальным касательным напряжением.

§ 513)
ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
403
§ 5.13. Графический анализ
плоского напряженного состояния в точке
Анализ напряженного состояния в точке в
напряженного состояния можно выполнить и
помощи так называемой окружности напряже-
напряжений (круг Мора *)). Для этого графического
построения и только для него введем
особое правило знаков для касательной состав-
составляющей напряжения, показанное на рис. 5.11.
Согласно этому правилу касательное напряже-
напряжение положительно, если для совмещения с его
направлением внешнюю нормаль необходимо
повернуть на 90° по ходу часовой стрелки, и
отрицательно, если — против хода часовой
стрелки. Закон парности касательных напря-
напряжений при таком правиле приобретает вид
случае плоского
графически при
tf>0
v\\\\\\\\\N\VJ
XXy Xy
Рис. 5.11. Правило
знаков для касатель-
касательной составляющей
напряжения, приня-
принятое при построении и
использовании ок-
окружности напряже-
напряжений; 1 — внешняя
нормаль к площадке.
Будем исходить из зависимостей E.20).
Согласно отмеченному выше правилу знаков,
касательное напряжение, изображенное на
наклонной площадке на рис. 5.8, а, отрица-
отрицательно, вследствие чего последнее уравнение в E.20) записы-
записывается 8) с учетом этого знака:
ах = а, cos2 а-f 0ц sin2а,
Gy — 0| sin2a-f 0ц cos2а,
а, | —о
: Х,.г = •
¦sin2a.
E.53)
Учтем тригонометрические формулы
2 sin а cos а = sin 2а, cos2 а= ' +c™2at^ sin2a = *~с™2а . E.54)
тогда формулы E.53) приобретают вид
о,+оп
а,—а,
• cos 2a,
- cos 2a,
sin 2a.
E.55)
') Otto Mop (Otto Mohr, 1835—1918) — немецкий инженер, ученый-меха-
ученый-механик и педагог.
2) Напомним, что зависимости E.20) получены из зависимостей E.18) и E.19)
при учете замены в обозначениях: х -»• I, у -»¦ II; х, -*¦ х, ух -»- у. Вот почему
, изображенное на рис. 5.8, а, на основе которого выводились зависимости
х
E.18) и E.19), в формуле E.20) обозначено

404
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
Нетрудно видеть, что если величины нормальной и касательной
составляющих напряжения, действующего на некоторой площадке,
проходящей через точку С напряженного тела, принять в качестве
координат точки на плоскости в системе осей от, то зависимостям
E.53) будет соответствовать ок-
окружность (рис. 5.12). На рис. 5.12
изображен случай а\ — о,, ац = а,
и ащ = 0. На рис. 5.13, а и
5.13, б показана окружность
напряжений в двух других слу-
случаях: 0i = а1г аш = 0, а,, ='а3;
ojn = 0, Oi = а2 и ап = а3.
Окружность, показанная на
рис. 5.12, является геометриче-
геометрическим местом точек, координаты
которых численно равны нор-
нормальной и касательной состав-
составляющим напряжений, действую-
действующих на площадках, проходящих
через точку С напряженного
тела, перпендикулярно площад-
Рис. 5.12. Окружность напряжений. ке с нулевым ГЛЭВНЫМ
жением. Так, точка N
ветствует площадке с нормалью х, точка Ny — площадке с нор-
нормалью у, N1 — главной площадке с о1; a JV2 — главной площадке
в о2. Рис. 5.12 показывает, как строить окружность напряжений по
б)
Nx соот-
соотРис. 5.13. Окружность напряжений: а) случай <Tj = <Ti, <T[][ = а2 — 0. (Гц = аа; б) слу
чай О| = о2, оц = Ста. 5|]| = ot = 0.
известным главным напряжениям и как, пользуясь ею, находить
составляющие напряжения, действующего на произвольной пло-
площадке.
Остановимся теперь на построении окружности напряжений в том
случае, когда заданы компоненты напряжений ах, ау, хху
в некоторой произвольной (не главной) системе осей ху.

§ 5.13)
ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
405
Точки на окружности, как это видно из приведенного выше по-
построения, лежат по концам дуги с центральным углом, равным
удвоенному углу между нормалями к соответствующим площадкам
(рис. 5.14). Поэтому, если нормали к площадкам, или, то же самое,
сами площадки взаимно перпендикулярны, то им соответствуют
Рис. 5.14. К установлению связи между взаимным наклоном площадок и расположе-
расположением соответствующих нм точек на окружности напряжении.
точки на окружности, дуга между которыми опирается на централь-
центральный угол, равный п. Иными словами, такие точки лежат на концах
диаметра окружности. Так, в частности, обстоит дело с площад-
площадками, нормалями к которым являются оси х и у (рис. 5.15). Поль-
Пользуясь отмеченным фактом, находим точки Nх и Ny по координатам
Рис. 5.15. К построению окружности напряжений по компонентам напряжении в про-
произвольной системе ocefi: а) элемент тела и компоненты напряжения; 6) окружность на-
напряжений
На отрезке между Nx
и Ny, как на
соответственно ох, хху и оу, т,/д
диаметре, строим окружность.
Теперь поясним, как можно найти напряжение на любой пло-
площадке, нормаль к которой составляет угол а с осью х (х не является
нормалью к главной площадке). Для решения поставленной задачи
строим на окружности некоторую полюсную точку КХу с координа-

406
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
тами ау и хху (рис. 5.16). Эта точка обладает особым свойством.
Если провести через Кху луч v под углом а к оси а, то он пересечет
окружность в точке Nv. Координаты этой точки равны по величине
нормальной и касательной составляющим напряжения, действую-
действующего на площадке, перпендикулярной лучу. Докажем справедли-
справедливость сделанного утверждения.
Формулы E.18), если учесть, во-первых, E.54), во-вторых, то,
что v совмещено с хъ и, в-третьих, принятое правило знаков для
с
*л—*
I
"i
•4
So,j>
\
h;
/
\ f
• i *
Рис. 5.16. Определение составляющих напряжений по окружности Мора путем исполь-
использования полюса.
касательного напряжения (по этому правилу на рис. 5.8, a tv ==
= xXlyt < 0), можно представить так:
2
а и — с
+ °% °У cos 2а - хху sin 2а, \
- sin 2а — т,-,, cos 2а.
E.56)
С другой стороны (рис. 5.16),
—-j-/?cosBa + B)= -
+ R cos 2a cos p - R sin 2a sin p,
ON'V =
-^ cos 2a - T*ysin 2a>
E.57)
NVN'V = /? sin Ba + P) = R sin 2a cos В + R cos 2a sin p,
NvNv = ^-y-- sin 2a-fx^ cos 2a. E.58)

5.13]
ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
407
1
1
0
-^
к
"г
I
I
(i
V
о
\
/ (VT
1 I'/
г) ы-
Рис. 6.17. Примеры анализа напряженного состояния при помощи окружности Мора»
а) отыскание угла °4maj(. составляемого осью х с нормалью к площадке с максималь-
максимальной касательной составляющей напряжения; б) отыскание угла а,, составляемого осью х
с нормалью к главной площадке, на которой действует напряженке ст,; в) отыскание
угла а,, состапляемого осью X в нормалью к главной площадке, на которой действует
напряжение ot; e) построение векторных диаграмм для нормальной и касательной состав-
составляющих полного напряжения (величина составляющей напряжения в виде вектора от-
откладывается вдоль нормали к площадке).

408 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. V
Сопоставление E.57) с первой из формул E.56) и E.58) со второй
из формул E.56) показывает, что
Пользуясь свойством полюса Кху, легко разрешить ряд задач х).
На рис. 5.17 показано такое решение.
§ 5.14. Линейное напряженное состояние
Линейное напряженное состояние в точке возникает в двух слу-
случаях: либо в отдельных точках пространственно или плоско напря-
напряженного тела при условии, что в этих точках два из трех главных
напряжений равны нулю (ох Ф 0, а2 = а3 = 0 или 0Х = а2 = 0,
а3ф0), либо во всех точках тела в случае однородного напря-
напряженного его состояния, которое можно представить как равномер-
равномерное, одинаковое по величине во всех точках растяжение или сжатие
в параллельных для всех точек направлениях.
Компоненты напряжений при линейном напряженном состоя-
состоянии в произвольной системе осей могут быть выражены через глав-
главные напряжения формулами, полученными из E.20) как частный
случай (рис. 5.18). Мыслимы такие варианты: oi = ох Ф 0, оц =
= 0а = 0, аш = а3 = 0 и 0i = 0л = 0, ош = а2 = 0, 0ц =
= о3 Ф 0. Во всех нижеприводимых формулах имеется в виду пер-
первый вариант. Перейти от него ко второму варианту не представляет
никакого труда. Итак, из E.20) в рассматриваемом частном случае
имеем
ох = at cos2 <х, ay = a1 sin2 а, хху ——у- sin 2а.
На рис. 5.18 эти компоненты показаны положительными. Знак ми-
минус в формуле для хху указывает на то, что этот компонент на самом
деле имеет направление, противоположное изображенному на
рис. 5.18, а. Компоненты напряжения на любой наклонной пло-
площадке, нормаль к которой v составляет с осью х угол ах (рис. 5.18, б),
выражаются такими же формулами, как E.18), только вместо ин-
индекса Xi надо иметь в виду v и вместо а — угол ах.
1) Условия задачи, решенной на рио. 6.17, а: зная ахи хху, найти yronctXmax
составляемый с осью х нормалью к площадке с максимальным касательным напря-
напряжением.
Условие задачи, решенной на рис. 5.17, б: зная ах и хху, найти угол о^, состав-
составляемый с осью х нормалью к главной площадке с главным напряжением ох.
Условие задачи, решенной на рис. 5.17, в! зная ах и тху, иайти угол obj, состав-
составляемый с осью х нормалью к главной площадке с главным напряжением а2.
Условие задачи, решенной на рис. 5.17, г: зная ах и хху, построить кривые,
являющиеся геометрическим местом точек концов отрезков, откладываемых
вдоль нормалей к площадкам и равных подлине нормальной и касательной состав»
ляющим полного напряжения.

§ 5.14]
ЛИНЕЙНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
409
Преобразование компонентов напряжений при повороте системы
координатных осей на угол ах (рис. 5.18, в) осуществляется по
6) V*
3)
е) V
-g,-
Рис. 5.18. Линейное напряженное состояние: а) к определению компонентов напряже-
напряжений в произвольной системе осей по главным напряжениям; б) к определению состав-
составляющих напряжения на произвольной площадке по компонентам напряжений; в) к за-
зависимости между компонентами напряжений в двух системах осей, повернутых одна
относительно другой; г) площадка с максимальным касательным напряженном; д) ок-
окружность напряжений при одноосном растяжении; е) окружность напряжений при од-
одноосном сжатии
формулам E.18) и E.19), как и при плоском напряженном состоя-
состоянии (вместо а, надо иметь в виду ctj).
Максимальные касательные напряжения возникают на площад-
площадках, нормаль к которым составляет ±:45° с направлением ot

410 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ V
(рис. 5.18, г). На рис. 5.18, г показано действительное направление
касательного напряжения. Окружность напряжений в случае ли-
линейного напряженного состояния имеет в,ид, показанный на
рис. 5.18, а и 5.18, е.
§ 5.15. Дифференциальные уравнения равновесия
и статические граничные условия
В § 5.2 из условий равновесия элементарного параллелепипеда,
вырезанного из напряженного тела в окрестности произвольной
точки С (рис. 5.1, а), были составлены три из шести уравнений,
а именно равенства нулю сумм моментов всех сил, действующих на
параллелепипед, относительно трех некомпланарных осей. В ре-
результате было получено три зависимости E.1), выражающие анали-
аналитически закон парности касательных напряжений. Составим осталь-
остальные три уравнения равновесия элементарного параллелепипеда —
равенства нулю сумм проекций всех сил, действующих на параллеле-
параллелепипед, на три некомпланарные оси.
Составим первое уравнение равновесия (равенство нулю суммы
проекций на ось х всех сил, действующих на параллелепипед):
— axdydz-\-\ox +-з-^ dxjdydz — xyxdzdx-\-
Чух + -^-dyj dz dx- %2Xdxdy +\x2X + ~^-dzj dx dy +
+ Xdxdydz = 0.
Производя взаимное уничтожение ряда членов и деля оставшиеся
после этого члены на dxdydz, получим
Аналогично составляются еще два уравнения равновесия (равен-
(равенство нулю сумм проекций всех сил, приложенных к элементарному
параллелепипеду, на оси у и г):
дъvii ^ до.. дт,„
flfL ^?L ^ O. E.59)з
дх ' $у ' дг
Уравнения системы E.59) могут быть получены одно из другого пу-
путем циклической перестановки букв:
х X
г—у Z—Y

$ 5.161 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 411
Такая циклическая перестановка букв в дальнейшем будет обозна-
обозначаться символом (xyz), (XYZ). Дифференциальные уравнения рав-
равновесия справедливы для каждого параллелепипеда, на которые
разбито тело, следовательно, они выражают условия равновесия
всего тела. Учитывая E.1), приходим к выводу, что в трех диффе-
дифференциальных уравнениях равновесия E.59) содержится не девять,
а шесть неизвестных функций.
Из трех дифференциальных уравнений равновесия (уравнений
статики) найти шесть неизвестных функций не представляется воз-
возможным. Имея в виду, что системы, в которых усилия или напряже-
напряжения не могут быть найдены из одних уравнений статики, называют-.
ся статически неопределимыми, приходим к выводу, что напряжения
в сплошной среде (за исключением так называемых простейших
задач, о которых говорится в главе IX) статически неопредели-
неопределимы. Для выяснения картины распределения напряжений в теле
приходится кроме уравнений статики использовать и так называе-
называемые уравнения совместности деформаций (см. гл. VI). Граничными
условиями для функций, входящих в уравнения E.59), являются
E.4), если при этом иметь в виду, что наклоненная грань тетраэдра
— элемент поверхности тела и, таким образом, ру представляет
собой интенсивность поверхностной нагрузки, a pvx, pvy и pvz —¦
еесоставляющиевосяхя.г/.г. Такие граничные условия, при которых
на поверхности тела заданы силы, называются статическими.
Могут быть и другие формы задания граничных условий, на которых
здесь не останавливаемся. Таким образом, функции ах, ау, аг, ixy>
Туг, "*гх должны удовлетворять уравнениям E.59) во всей области,
занятой телом* и, кроме того, удовлетворять условиям E.4) на по-
поверхности тела (на границе области).
§ 5.16. Анализ пространственного напряженного состояния
в точке
1. Вводные замечания. Анализ пространственного напряжен-
напряженного состояния в точке (все три главных напряжения отличны от
нуля) выполняется совершенно аналогично анализу плоского на-
напряженного состояния. Поэтому можно, не приводя всех выкладок,
дать лишь окончательные результаты. Изучающему курс рекомен-
рекомендуется выполнить все необходимые выкладки (аналогичные приве-
приведенным для плоского напряженного состояния) самостоятель-
самостоятельно. Здесь же приведем и некоторые иллюстрации, относящиеся
к изложенному выше материалу и не вошедшие в предыдущее
изложение.
2. Частные случаи квадрики Коши. На рис. 5.19 пока-
показаны характерные случаи пространственного, плоского и линей-
линейного напряженных состояний и соответствующие им квадрики
Коши.

412
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
Рис. 5.19. Поверхности Коши! о) трехосное сжатие (растяжение); б) растяжение (сжа-
(сжатие) в двух направлениях н сжатие (растяжение) в третьем; в) двухосное растяжение
(сжатие); г) двухосное напряженное состояние — растяжение (сжатие) вдоль одного
направления и сжатие (растяжение) вдоль другого; д) одноосное растяжение (сжатие).
3. Формулы преобразования компонентов напряжений при пово-
повороте системы координатных осей. Даны матрицы:
|о* Чуя чгЛ II/i тг пЛ
хху Qy "*zy , h "h ni .
1хг Ъуг °г II IK» m» "all
В первой из этих матриц приведены компоненты напряжений в си-
системе осей хуг, а. во второй — направляющие косинусы осей xlt yu

5.151 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
413
zt в системе осей хуг. Требуется найти компоненты напряжений в си-
система осей Хху^:
0-
Искомые формулы выводятся аналогично формулам E.18) и имеют
вид 1)
E.18*)
формулы E.18*) преобразования компонентов при изменении си-
системы координатных осей являются определяющими понятие сим-
симметричного тензора второго ранга (см. Дополнение).
4. Определение главных напряжений и ориентации главных
площадок. Даны матрицы:
oXl = oj\ + аут\ + огп] -f 2xxyl1m1 + 2хугтхп1 + 2xzxti1l1,
tXly, = Oxllk + ОуГПхГП» + CT./ljtta -\- Xxy (liPl-i + hniy) -f
ax lyx ^zx
*xy ^y ^zy
Txz T,,z Ог
h
к
k
m3
nl
пг
n3
В первой из этих матриц приведены компоненты напряжений в си-
системе осей хуг, а во второй — направляющие косинусы нормалей
к главным площадкам в системе осей хуг. Требуется найти главные
напряжения СТ], <х2 и ст3- Искомые главные напряжения находятся
как корни кубического уравнения
~ — а
= 0,
E.24*)
которое в развернутой форме записывается так:
ст3 - (o-.v -г о у + ог) а2 + (ахаи + ауаг + агах — х"ху — х\г — х\х) а —
- {Wye,, + 2ххухугх,х - ахх\г - Oyxlx — azxiu) = 0. E.25*)
Корни уравнения E.25*) суть а1г а2, а3 (а1 ^ ст2 7s? a3). Направляю-
Направляющие косинусы нормали к площадке с главным напряжением ak
находятся по формулам
/„ =
=; E.32*)
1) Номера формул со звездочками относятся к пространственному напряжен-
напряженному состоянию; эти формулы аналогичны соответствующим-формулам, обозна-
обозначенным теми же номерами, но без звездочек и справедливым для плоского напря-
напряженного состояния.

414
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
величины ак = 1к1пк и bk = т^/п/, находятся из системы уравнений
(о* — о„) ак + xyxbk + хгх = О,
ixyak + (о и — ок) Ьк + ъгу = О,
гЬк + (аг - ак) = 0.
E.30*)
5. Инварианты напряженного состояния в точке. Сопоставляя
E.25*) с другой формой записи того же кубического уравнения
(имеющего те же корни alt ст2 и а3):
(о — сгх) (о — <т2) (а - а3) = 0
или
а — 0,000, = О,
убеждаемся в инвариантности коэффициентов в E.25*) по отноше-
отношению к системе координатных осей, т. е.
ст3 =
О\О.г+ о2а3
= /2 (Т„),
= /3 (Т„).
E.40*)
Заметим, что инварианты E.40*) являются простейшими сим-
симметрическими функциями аргументов alt o2 и ст3 (симметрическими
потому, что вид их не изменяется при замене одного аргумента на
другой; простейшими потому, что каждый аргумент (из числа а1(
ст2, о) входит в них лишь в первой степени).
Наиболее общими симметрическими формами первой, второй и
третьей степени являются
где
Тзг = a'la2
CTjCTj -f
^ -f- a3a\.
В Ttj первый индекс показывает степень членов, входящих в Т^,
а второй — число разных аргументов в каждом из членов. Между 0ц
в2 и 63, с одной стороны, и аи о2 и о3, с другой, при некоторых
условиях, накладываемых на а, |3 и у, существует взаимно одно»
значное соответствие. Вследствие этого оказывается, что 01( в2 и в3
являются наиболее общими инвариантами тензора напря-
напряжений. Существование отмеченного выше взаимно однозначного

¦§ 5.16] ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 415
соответствия нетрудно доказать. Можно показать, что
1 = 3ао, 02 = -~Д2> 03 = А3,
" где
Д* = Y~i t@1 - °оJ + {а* - °пJ + (°3 - СтоJ]'
Таким образом, напряженное состояние в точке можно полностью
описать, имея среднее (гидростатическое) напряжение и средние
квадратичное и кубическое уклонения тензора напряжения от
среднего (гидростатического) напряжения, т. е. имея соответст-
соответственно ст0, А2 и А3, поскольку, как уже отмечалось, имея 01? 0а и
03, можно найти ст„ ст2 и ст3. ^
6. Максимальные касательные напряжения и площадки их
действия. Как и в § 5.12, находим выражение для %Ь на произвольной
площадке с нормалью v:
х% = (ст; - ст;) /2 + (о\ - ст•) т2 + ст- -
- [(ог - о„) /2 + (о2 - ст3) т% + ст3]2. E.47*)
Предполагается, что /, тип — косинусы углов,- составляемых v
с направлениями ст1( ст.> и ста соответственно; косинус п при помощи
зависимости Р -г- пхг -f пг = 1 из формулы для Tv исключается,
в результате чего и получена формула E.47*). Условия экстремаль-
= 0
dl ' dm
в развернутой форме имеют вид
2/{(ст;-ст^)-2(ст1-ст3)[(ст1-ст3)/2 + (ст2-ст3)«72 + 03]}==О,1
i (u.4o )
что эквивалентно четырем следующим комбинациям равенств:
1) / = 0 и m = 0;
этому случаю соответствует главная площадка с напряжением о3,
на которой действует не максимальное, а минимальное касательное
напряжение, равное нулю;
2) {(ст? - ст;) - 2 (ст, - ст3) [(Ст! - ст,) Р + (ст2 - ст3) щ* + ст3]} = 0
и
{(&i — о|) — 2 (ог — о8) [(ах — os) /2 -f (о» — as) ю2 + <^з]1 = 0;

416
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ V
этой комбинации равенств соответствует частный случай а, = а2,
его проанализируем ниже самостоятельно;
3) I = 0 и {(о? - а\) - 2 (о2 - ст8) [(стх - ст3) /2 + (ов - <г8) ™2 +
+ ст311 = 0; E.49*),
- 4) от = 0 и {(ctj - cri) — 2 (CTj — ст3) [(o-i - ст3) I2 + (ст2 - ст3) от2 +
+ ст3]} = 0. E.49*),
Если бы из формулы для Tv был исключен не п, как это сделано
при получении формулы E.47*), а другой направляющий косинус,
например от, то, аналогично комбинациям равенств 3) и 4) (фор-
(формулы E.49*)! и E.49*J), получили бы еще две комбинации равенств:
5) / = 0 и {(о»-00-2@,-о,)^-о,)/» + (&,-ст.) л2гЬ
+ сх2]}=0;
6) ft = 0 и {(ol - ol) - 2 (о8 - ст2) [(стх - ст2) /2 + (о8 - ств) п? +
Из комбинаций равенств 3),. 4) и 6) соответственно находим
направляющие косинусы нормалей к трем парам площадок, по
которым действуют максимальные напряжения. Комбинация ра-
равенств 5) не дает новых значений для I, m и п, отличных от уже
найденных. Аналогично не дают новых значений для /, т и п и такие
s
НИИ
(J
s
Э
о
4
с
и
1
Пло
Я
s
?
"Я
=5
ire
я
?!
я
ьиым
ч
в
к
О.
п
СО
а
S
S
т
J9
К
О.
С
а
s
а
s
S
S
S
S
S
.ения
*
Направляющие косинусы
мали к
нор-
площадке с экстремаль-
ным значением касательного
напряжения в системе
1
± 1
0
0
0
±у
главиых осей
1
2
1
2
т
0
+1
0
/Т
V 2
0
-%Г 1
^ '2
п
0
0
± 1
+ -л
/"Г
У 2
1/
к 2
0
Таблица
Величина составляющей
напряжения, действующего
нч площадке
касательной
0
нормальной

0
тг ¦ 2
41
2
Ol — Oj
Tiii— 2
°з
2
O3 + Oi
2
Oi+Oj
2
b.l
j
1

§ 5.16] ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 417
комбинации равенств, которые соответствуют случаю, когда из
выражения для tv исключен направляющий косинус /. Сами вели-
величины максимальных касательных напряжений получаются путем
подстановки в формулу для tv соответствующих значений I, m и п
6)
Рис. 6.20. Площадки с максимальными касательными напряжениями: а) две площадки,
проходящие через первую главную ось; б) две площадки, проходящие через вторую глаи-
ную ось; в) две площадки, проходящие через третью главную ось; г) площадка внутри
гела; д) два варианта отбрасывания части тела, расположенной по одну сторону от пло-
площадки. В приводимых ниже выражениях направляющие косинусы нормалей показаны
в круглых скобках: [v, (/ = 0, т -= /172, п = /1/2), vj (/ = 0, т — — /172, я = — /175);
v2 (/ = 0. т = /172, п = — YT/2), v'*(l = 0. т = — /172. n= YT/2) v, (/ = /172, т = О,
п = /Г/2), _v.i ('= —/172, т_= 0, п = — /Т/2); vAl^YJn, m = 0, n = —/1/2).
vj(' = —/1/2, т = 0, п = /j/2); v, (/_=/l/2, m = /l/2, л =_о), vs(^=— /i/2,
ш = — /1/2, п = 0); v, (/ = /1/2, т = — /1/2, п = 0), Ve (/ = —/l/2,m = /l/2, n = 0)]-
и последующего извлечения корня квадратного. В табл. 5.1 при-
приведены направляющие косинусы нормалей ко всем трем парам
площадок, величины максимальных касательных напряжений и
нормальных составляющих напряжений, действующих на этих пло-
площадках. Последние определяются по формуле E.6). В этой же таб-
таблице показаны и площадки с минимальными — нулевыми касатель-
касательными напряжениями, т. е. главные площадки. На рис. 5.20 изобра-
изображены площадки с максимальными касательными напряжениями.
14 А. П. Филии

418
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. V
Теперь рассмотрим случай ох = а2 > а3 (цилиндрическое на-
напряженное состояние); при этом оба равенства в комбинации 2)
получаются одинаковыми:
Ц°1 - °S) - 2 (oi - <*з) ((°i - о») 1г + (ах - а3) от2 + а3]} = 0.
Отсюда, после двухкратного сокращения на ох — о3, получаем
а следовательно, и
n« = Viv E.61)
Условиям E.60) соответствуют нормали ко всем площадкам, касаю-
касающимся конуса, изображенного на рис. 5.21, а. Величина касатель-
касательного напряжения на всех указанных площадках оказывается равной
6)
Рис. S.21. Коиусы, касательно к которым рас-
располагаются площадки с максимальным касатель-
касательным напряжением в случае, если два из трех
главных напряжений одинаковы: а) случай
Oi *" Ош > О>', б) случай <jj > о", = at.
(Va) (ot — о3), что легко установить, подставив E.60) и E.61) в
формулу для J
J il2 + j» + ст^«2 - [Oi/2 + ojffi» + ff3«2]a, E.44*)
tJ = oil2
и учтя, что аг = о2.
Аналогично, при а1 > ст2 = оэ имеется бесконечное число пло-
площадок с касательными напряжениями (х/2) (ах — ст3). Все эти пло-
площадки касаются конуса, показанного на рис. 5.21, б.
В случае ау = о4 = (Тз (сферическое напряженное состояние)
касательные напряжения на любой из площадок, проходящих
через рассматриваемую точку напряженного тела, равАл нулю,
так как комбинация равенств 2) удовлетворяется при любых /,
/пили E.44*) приобретает вид
т* ~ а\ (Р + т2 + пг) - [О! (/2 + /и2 + п2)]3 = а\ - а\ = 0.

$ 5.16) ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 419
7. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор.
Тензор напряжений TG можно представить в виде двух слагаемых:
1
|
+
где I — единичный тензор третьего порядка:
11 О ОН
; .1=010,
1° °
о0 — среднее гидростатическое давление в точке,
а. E.62)
Первое слагаемое, Та, называется шаровым тензором напряже-
напряжений (поверхность Коши для него — сферическая); второе слагае-
слагаемое, Da, называется девиатором напряжений. Пример разложения
тензора напряжений на шаровой и девиатор показан на рис. 5.22.
Рис. 5.22. Пример разложения генэора напряжений на шаровой тензор и девиатор!
все напряжения указаны в кПсм*.
Нетрудно показать, что поверхность Коши для девиатора представ-
представляет собой совокупность конуса и однополостного и двухполост-
ного гиперболоидов. Эта совокупность называется гиперболоидом
напряжений.
Особенностью девиатора является равенство нулю первого его
инварианта (суммы диагональных элементов). Вследствие этого
кубическое уравнение для отыскания главных значений диагональ-
диагональных компонентов девиатора (slt s2, s3) изображается так:
s3-/2(Da)s-/3(Do)=0.
Формулы для /2 (Do) и /s (Da) имеют вид
h (Do) = — (S*Sy + SySz + S2SX — Xly - %1г — X\x) = — (s,Sa + S2S,,
¦3 ("oy = Sxsy&z T ^ху^уг^гх sx^yi $ц1Ья — $г^ху
.14»

420
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
они получены путем формального перехода по аналогии от фор-
формул (б.40*J,8; только в первом случае знак изменен на противопо-^
ложный. Можно показать, что главные направления девиатора и"
тензора напряжений совпадают, при этом
(?=1, 2, 3).
E.63)
Докажем, что /2 (Da) > 0. Действительно, подставляя в /2 (Do)
вместо s1( s2 и S3 их выражения через а1( ст2, а3 и а0 = -^ (стх -{- стг -|- ct3)i
получим
+ (о3 ~ -
после выполнения простых очевидных преобразований находим
формулу
/2 (Da) ~ -g- [(<*! - СТ2J + (ffa - СТзJ + (сТз - СТО2],
из которой с очевидностью следует, что /2 (Da) > 0.
Приведенное выше кубическое уравнение относительно s может
быть решено в общем виде:
cos
= у~ Vh (Do) cos (coa + ?),
при этом
= — y~ Vh
— cos3co0
) cos coa;
/з (Da)
E.64)
Касательные напряжения на любых площадках, в том числе и пло-
площадках, где они достигают экстремума, полностью определяются
компонентами девиатора и не зависят от компонентов шарового
тензора; так, например,
fmax!
= _ |/72 (Do) Sin La - Д),
(De) Sin
Till = j/72 (Da) Sin <0o,
E.64a)

§ 5.IGJ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 421
8. Интенсивность касательных напряжений. Интенсивность на-
напряжений. Трактовка, данная В. В. Новожиловым величинам т, и ш0.
Октаэдрические площадки и напряжения. Направляющий тензор
напряжений. Девиаторная плоскость. ГидрЛтатическая ось. Вели-
Величина У72 (Da), выше уже встречавшаяся, называется интенсив'
ностыо касательных напряжений и обозначается символом i,:
Наряду с т,- вводят в рассмотрение величину ст; = У~Ъ }/72 (Da)
и называют ее интенсивностью напряжений. И xt и ст,- в некотором
смысле характеризуют напряженное состояние в точке тела.
{?? 4-4
Рис. 5.23. К определению интенсивности касательного напряжения: а) напряжения при
чистом сдвнге; 6) напряжения при одноосном растяжении.
Если стх = х, о.г = 0, ст3 = —т (это напряженное состояние назы-
называется чистым сдвигом; рис. 5.23, а), то тг- = т, о-,- = ]/Зг. Если
ffj^O, ст2 = ст3 = 0 (рис. 5.23, б), то
oil
т,=
Уз'
Из формул для %i и ттах получаем
О,- = CTj.
Имея в виду пределы изменения coa, находим
E.65)
E.65a)
E.656)
с погрешностью, ие превышающей « 7%.
В. В. Новожилов дал величинам xt и со0 следующую трактовку.
Он показал, что xt пропорциональна среднему значению касатель-
Можно полагать

422
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
ных напряжений, действующих на поверхности малой сферы,
окружающей рассматриваемую точку тела:
т,- = k( -Q- \ тг dQ) * при Q->0.
Здесь Q — площадь сферической поверхности, ограничивающей
элемент, k = Уь\. Заметим, что В. В. Новожилов полагал k = 1
и тогда получал выражение, отличающееся от У /2 (DCT) постоянным
множителем, но именно эту отличающуюся от j/72 (Da) величину
называл интенсивностью касательных напряжений. '
Величину со„ В. В. Новожилов связал с отношением ттах/тг,
показав, что cos «„ пропорционален этому отношению.
Наряду с заданием напряженного состояния в точке главными
направлениями и главными напряжениями а„ аг, а3, можно задать
главные Направления и величины
а0, т/ и со0. Действительно, из
формул E.63) и E.64) ясно, что
о1, ст2 и аз выражаются через о0,
Т/ И 0)„.
Величинам а0 и т,- может быть
дана и такая трактовка. Если через
точку напряженного тела провести
площадки, равнонаклоненные к
главным осям (таких площадок че-
четыре), то нормальной и касательной
составляющими напряжения, дей-
действующего на такой площадке, яв-
явРис. 5.24. Элементарный октаэдр: /, 2,
3 — направления нормалей к главным
площадкам.
ляются аокт = а0 токт =]
мянутые площадки называются ок-
октаэдр шескими, так как они полу-
получаются из противоположных граней правильного октаэдра, по-
построенного на главных осях (рис. 5.24), когда размеры октаэдра
устремляются к нулю и противоположные грани сливаются.
Напряжение (и его составляющие), действующее на октаэдри-
октаэдрическои площадке, называют октаэдрическим; вот почему а и т
имеют индекс «окт». В сказанном легко убедиться, если учесть,
что нормаль к октаэдрическои площадке в главных осях имеет сле-
следующие направляющие косинусы (см. табл. 5.2):
._ 1
и воспользоваться формулами E.6) и E.44*). Предлагаем читателю
выполнить указанные выкладки.
Можно показать, что угол со, составляемый токт с продолже-
продолжением в сторону отрицательных значений оси ///, являющейся про-
проекцией на октаэдрическую площадку третьей главной оси, равен

5.16] ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
423
углу со„ в вышеприведенных формулах для st, s^ и s3. Для доказа-
доказательства достаточно разложить полное октаэдрическое напряже-
напряжение рокт на составляющие по главным осям и спроектировать эти
составляющие на продолжение оси /// в сторону отрицательных
значений (рис. 5.25), предварительно определив направляющие
III
Рис. 5.25. К определению октаэдрических напряжений: а) грань октаэдра в первом
октанте; б) проекция главных oceii на плоскость грани октаэдра.
косинусы этого направления в главных осях. Далее остается при-
приравнять полученную проекцию выражению токт cos со, найти из
этого равенства cos со и, сравнив его с cos «о из формулы E.64)
для s3, убедиться в равенстве со и сост. Предлагается читателю вы-
выполнить обсуждаемое доказательство. Трактовка ст0, т; и со0 как
параметров октаэдрического напряжения имеет лишь историческую
ценность. Однако эта трактовка все же иногда упоминается в лите-
литературе, в связи с чем здесь она и пояснена.
Таблица 5.2
m
n
"з"
. i
1
+ T
l
3
1
l
' "з"
1
3
1
+ Т
1
"з"
1
1
3
1
3
1
~~з
, 1
со]
' 3
1
3
1
3
1
3
1
+ 3
1
3
1
3
1
3
1
3
Частное от деления девиатора напряжений на интенсивность
касательных напряжений называют направляющим тензором на-
напряжений:
Do = ^ E.66)
Формула E.62) с учетом E.66) приобретает вид
E.67)

424 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. V
Направляющим тензор Do назван потому, что он определяет собой
направления главных осей. Поверхность Коши, соответствующая
ему, называется направляющим гиперболоидом напряжений.
Еще одна геометрическая трактовка величин а0, %i и со„ воз-
возникает, если ввести пространство главных напряжений аь а2, оя.
В этом пространстве можно рассмотреть так называемую девиатор-
ную (название ниже поясняется) плоскость:
проходящую через начало координат и равнонаклоненную к а,,
а2, а3, вследствие чего направляющие косинусы нормали к этой
плоскости суть
1 = т = п = -гт?-.
V3
Очевидно, что орт нормали к девиаторной плоскости равен
где ?х, i2 и i3 — орты осей аи а2 и а3 соответственно.
Тензору напряжений в пространстве аи о2, о3 можно поставить
в соответствие вектор
Проекция этого вектора на нормаль к девиаторной площадке равна
Вектор
который в пространстве а1( а2, а3 ставится в соответствие девиа-
тору, лежит в девиаторной плоскости (этим определяется название
плоскости), в чем "Нетрудно убедиться, спроектировав S на нормаль
к этой плоскости, так как эта проекция равна нулю:
Легко показать, что вектор S представляет собой проекцию век-
века Р на девиаторную плоскость. Длина вектора S пропорцио-
пропорциоьна т;:
тора
нальна т;:
Наконец ©„ можно трактовать как угол, составляемый векто-
вектором S с отрицательной осью З1 (ось З1 — проекция на девиаторную
плоскость направления i3). Прямая
<*i = о2 = о3,

f 5.16) ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 425
направленная вдоль нормали к девиаторной плоскости, называется
гидростатической осью. На этой оси лежат концы векторов, которые
поставлены в соответствие всевозможным шаровым тензорам.
Заметим, что если пространство, где располагается октаэдриче-
ская площадка, — это реальное пространство, в котором находится
само напряженное тело, то пространство оуо2о3 представляет собой
абстрактное пространство.
9. Круги напряжений (круги О. Мора). Через точку напря-
напряженного тела проведем площадку с нормалью v, составляющей
с главными осями углы, косинусы которых суть I, та п. Составляю-
Составляющие полного напряжения pv на этой площадке суть av и ту. Тогда
относительно /, т и п можно составить следующую систему урав-
уравнений:
ac + T; = aI/2 + a.im2 + a|n2, |
' E.68)
Левая часть первого уравнения есть р%, а члены правой — соот-
соответственно равны р$х, ply, p%z, т. е. в сумме, разумеется, тоже со-
составляют р\. Вместе с тем в силу того, что оси х, у и г главные,
в формулах E.4) для pvx, pV!/ и pvz сохранены лишь члены с нормаль-
нормальными компонентами напряжений (касательные обращаются в нуль),
являющимися главными. Наименование осей выбрано так, чтобы
ох = olf оу = а2 и аг = Ь3.
Легко показать, что, решая E.68) относительно /2, т.2 и я2,
получим
(Ол — Оа) (^*—^l)
E.69)
Для того чтобы получить согласно E.69) вещественные значения
для /, т и п, а такими они только и могут быть, необходимо, чтобы
каждая из величин Р, тг и п2 была положительной. Для обеспече-
обеспечения этого в каждой из формул E.69) числитель и знаменатель должны
быть одинакового знака. Вместе с тем, так как о1 ^ о2^ о3, знаки
знаменателей известны: первый и третий положительны, второй
отрицателен. Следовательно, такие же знаки должны быть и у соот-
соответствующих числителей:
ti + (ay — a2) (av — a3) 2= 0, %i + (av — a3) (av — ot) «S 0,
xl + (ov - Ol) (ov - oj) ^ 0. E.70)

426
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
CTV = (Т3> <Ь =
В системе осей avxv (при условии использования в E.70) знаков
равенств) уравнениям E.70) соответствуют окружности, центры
которых лежат на оси абсцисс. При этом окружности проходят
через точки с абсциссами:
(первая окружность);
(вторая окружность);
°Г\' = ОГ1> av = a2 (третья окружность).
Учитывая E.70), убеждаемся, что точки (av, tv) лежат вне пер-
первой и третьей окружностей или
н а них и внутри второй
окружности или н а ней.
Одновременное удовлетво-
удовлетворение всем трем условиям
E.70) мыслимо при расположе-
расположении точки (av, tv) в заштрихо-
заштрихованной области (рис. 5.26) или
на ее границах — первой, вто-
второй и третьей окружностях.
Поскольку, как отмечалось
выше, составляющая tv опре-
определена лишь по модулю, ниже
изображены не полные окруж-
окружности, а лишь их половины
(выше оси ov).
На одну из окружностей
точка попадает в случае, если
площадка проходит через одну из главных осей. При этом точка с ко-
координатами av, tv лежит на окружности с тем же номером (рис. 5.26),
какой имеется и у главной оси, через которую проходит площадка.
Если площадка проходит через две главные оси, то она совпа-
совпадает с третьей главной площадкой, и, таким образом, tv = 0,
а av является главным напряжением, действующим на этой третьей
площадке. Точками, соответствующими главным площадкам на
диаграмме Мора, являются А, В, С.
Круги, изображенные на рис. 5.26, позволяют получить величины
максимальных касательных напряжений и нормальных напряжений,
действующих на площадках с максимальными касательными напря-
напряжениями; эти величины, разумеется, совпадают с приведенными
в табл. 5.1.
.Используя круги Мора и зная ориентацию площадки по отноше-
отношению к главным осям, можно найти составляющие av и tv полного
напряжения, действующего на этой площадке.
Из E.69) находим
(av — <Tjj) (av — a3) + Tv = (<*i — cx3) (at — a3) I3. E.71)
Рис. 5.26. Круги Мора в случае простран-
пространственного напряженного состояния.

§ 5.1G] ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 427
Равенство E.71) можно представить в виде
(av - a-2±^J + тЗ = (°-4^J - a2a3 + (а, - а,) (а, - а3) Р.
(
или
( apJ (*%)' ad (ox - a,)/». E.72)
(о, -
При условии переменности av и tv и постоянства / равенство E.72)
представляет собой уравнение окружности, радиус которой
.. ... -0.«\2
' т —
а центр находится в точке Ох с координатами av = V2 (#2 4" Оз)>
tv = 0. Аналогично находятся радиусы еще двух окружностей
r*=
r3 = Y^Y^f +(Gs - 0l) (Gs -
с центрами соответственно в точках О2 (av = V2 (crs + Oi), tv = 0)
и Os (av = x/2 (ох + o2), tv = 0).
Координаты точек окружности радиуса гх с центром в Ох равны
значениям av и т„, действующих на площадках, проходящих через
рассматриваемую точку напряженного тела, при условии, что нор-
нормали к этим площадкам составляют с осью х одинаковые углы
« = arccos /. Представим конус, ось которого совпадает с х, а угол
при вершине, лежащей в рассматриваемой точке тела, равен я — 2а.
На площадках, касательных к этому конусу, действуют напряжения
с составляющими av и iv, равными координатам точек, лежащих
на окружности с радиусом гх и центром в точке О]. Аналогично, коор-
координаты точек окружности с радиусом г2 (г3) показывают значения av
и xv, действующих на площадках, проходящих через рассматривае-
рассматриваемую точку напряженного тела, при условии, что нормали к этим
площадкам составляют с осью у (г) одинаковые углы |3 = arccos m
{у == arccos n). Представим конус, ось которого совпадает с осью
у (г), а угол при вершине, лежащей в рассматриваемой точке напря-
напряженного тела, равен я — 2|3 (я — 2у). На площадках, касательных
к этому конусу, действуют напряжения, составляющие которых ач
и xv равны координатам точек, лежащих на окружности с радиусом
г2 (г3) и центром в точке О2 (О3).
Задать ориентацию площадки в любой системе ортогональных
осей — это значит задать значения двух направляющих косинусов
нормали к этой площадке; величина третьего направляющего коси-
косинуса находится из равенства Р + тг + п* =» 1. Если заданы аи
о2 и а3, а также /* и т* для нормали v к площадке с av и rv, то

428
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
отыскание последних осуществляется путем построения пересече-
пересечения окружностей с радиусами гх и гг и центрами 0v и 02; в формуле
для гх надо положить / = /*, а в формуле для г2 — положить т — т*.
Действительно, в пересечении окружностей лежит точка с / = /*
и т = т*. Из трех радиусов ги г2 и г3 для отыскания точки (av, tv)
приходится использовать два, и именно те, которые соответствуют
двум заданным направляющим косинусам из числа трех /, т и п.
А о,
с е,
Рис. S.27. Отыскание составляющих полного напряжения на произвольной площадке
при помощи кругов Мора в случае пространственного напряженного состояния: а) оты-
отыскание точки с координатами ov, iy по известным радиусам ги гг\ б) графический способ
построения Гх и гд н отыскания точки (o"v, т )
Длины радиусов могут не вычисляться, а находиться графически.
Если заданы ои о, и а, и I = cos а и п = cos у, то построение осу-
осуществляется так, как показано на рис. 5.27, б. Для доказательства
правомочности построения нужно убедиться в том, что 0xD = rlt
03Е = rs. Предлагаем читателю выполнить это доказательство.
Имея формулы для г,, г2 и г3, можно установить ранее доказан-
доказанное положение о том, что точки (av, tv) занимают заштрихованную
на рис. 5.26 область, включая границы. Действительно,
Cl)min ;/=0 ="
(г,)
min |л=0 — '
Jmax ¦m=0 —
О, —О,
На рис. 5.28 изображены круги Мора в различных случаях прост-
пространственного, плоского и линейного напряженных состояний.
Заметим, что в § 5.13 при графическом анализе плоского напря-
напряженного состояния была использована лишь одна окружность
Мора — именно та, которой соответствуют площадки, перпендику-
перпендикулярные площадке с нулевым главным напряжением. На рис. 5.28, б
для плоского же напряженного состояния изображены все три ок-
окружности, вследствие чего имеется возможность рассматривать
любые площадки, в том числе и не перпендикулярные к площадке
с нулевым главным напряжением.

Рис. 5.28. Характерные случаи расположения кругов Мора: а) при пространственном напряженном состоянии; б) прн плоском напря-
напряженном состоянии; в) при линейном напряженном состояние.

430
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ V
10. Определение направления tv при помощи кругов напряжений.
Псевдоглавные напряжения. Приведенное выше построение поз-
позволяет найти величину tv, но не дает возможности установить на-
направление этой составляющей на площадке. Ниже показывается
построение, разрешающее эту задачу х).
Вырежем из напряженного тела треугольную призму (рис. 5.29).
Системы осей Охуг и О'х'у'г' параллельны. Система O'x'xt
/С 4 №
Рис. 5.29. Элементарная треугольная призма при пространственном напряженном
состоянии.
получается из О'х'у'г' путем поворота последней на угол й относи-
относительно оси х' до совмещения у' с v.
Уравнения равновесия этого элемента имеют вид
Tv* = tyx cos ¦& + тгх sin ф,
crvcos ¦& — Tv/sind = ai,cosid + T^sin Q, E.73)
avsin0 + Tv/cosu = azsin 0 + Tj,zcos0. E.74)
Уравнения E.73) и E.74) повторяют уравнения E.17) с точностью
до обозначений. Поэтому вращение площадки с нормалью v относи-
относительно оси х' характеризуется тем, что av и ту( изменяются так же,
как и в случае двумерного напряженного состояния, даже если х
не совпадает с направлением главного напряжения. Таким обра-
образом, для охарактеризования av и tv/ может быть применен обычный
круг Мора. Экстремальные нормальные напряжения ам и aSx из
множества нормальных напряжений, действующих на площадках,
параллельных оси х, могут быть названы псевдоглавными напряже-
напряжениями, а экстремальная касательная вдоль оси t составляющая
напряжений
т
~1х
i)Zi«icas О. A., Representation of Three Dimensional Stress Distri-
Distribution by Mohr Circles, Journ. Appl. Mech. 22, № 2 (June 1955).

$ 5.16] ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 431
из множества напряжений, действующих на тех же площадках, —
псевдомаксимальным касательным напряжением..
Путем комбинации таких вращений может быть проанализиро-
проанализировано любое трехмерное напряженное состояние.
Пусть оси х, у, г совмещены с направлениями главных напря-
напряжений а1( а3 и а3 (рис. 5.30, а). Перейти от главной площадки
к произвольно ориентированной (с нормалью v) можно при помощи
двух определенным образом произведенных поворотов. Первый
поворот — относительно оси z на угол ср, второй поворот — на угол Ф
в плоскости напряжений аа и а3. В процессе первого поворота изме-
изменение аа и хаЬ происходит, как в двумерном напряженном состоянии,
и характеризуется кругом Мора, построенным на главных напря-
напряжениях ах и а3 (рис. 5.30, б). В процессе второго поворота компо-
компоненты <rv и xvt могут быть найдены из круга Мора, построенного,
как для двумерного напряженного состояния, на напряжениях оя
и аа как на главных (рис. 5.30, б). После отыскания tv/ и tv (послед-
(последнее находится, как это показано в разделе 9 настоящего параграфа)
не составляет труда найти xvb и угол cov/. Построение показано на
рис. 5.30, б. Заметим, что понятие псевдоглавных напряжений ис-
используется при анализе пространственного напряженного состояния
тела оптическим методом.
11. Коэффициент Лоде. Если на некоторое напряженное сос-
состояние наложить дополнительно всестороннее равномерное растя-
растяжение (сжатие), то размеры всех кругов напряжений не изменяются,
но вся фигура смещается вдоль оси а вправо (влево). Для девиатора
напряжения диаграмма Мора характеризуется определенным отно-
относительным расположением центров окружности и начала координат
системы ах, которая, поскольку в девиаторе нормальные компоненты
напряжений обозначаются символом s, переходит в систему sx
(рис. 5.31, а); сумма расстояний от центров-большого и среднего
кругов до начала координат равна по абсолютному значению рас-
расстоянию от центра малого круга до' начала координат.
Тип. напряженного состояния с точностью до сложения с гидро-
гидростатическим давлением может быть определен так называемым
коэффициентом Лоде
о
Дробь в числителе — это координата центра наибольшей из
трех окружностей Мора, дробь в знаменателе — это радиус ука-
указанной окружности. Таким образом, по-другому можно сказать,
что ц„ характеризует относительное расположение точки В на диа-
диаметре большой окружности (рис. 5.31, б). Можно рассмотреть три
основных типа напряженного состояния.

га
О
•о
S
3
•о
S3
га
X
S
3)
б)
Рис. 5 30. К определению направления составляющей т^ (пространственное напряженное состояние) при помощи кругов
Мора; в) элементарная сфера; площадки, касающиеся ее, и составляющие напряжений на этих площадках; б) построение
угла wv/ при помощи кругов Мора.

§ 5.161 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
433
1. а, = а2. Точки А и В сливаются, правый внутренний круг
обращается в точку, левый- внутренний круг сливается с главным.
Если при этом перенесем ось г параллельно самой себе в положе-
положение т.', что равносильно наложению гидростатического давления
интенсивностью alt то
а, = а2 = 0, а3 < 0 »
и круги Мора превращаются в один большой круг простого
сжатия. Такой тип напряженного состояния называют типом
сжатия, для него (х„ = 1. При этом (о„ = 0.
Рис. 5.31. К понятию коэффициента Лоде: а) круги Мора девнатора; б) три типа на-
напряженного состояния.
2. а2 = а3. Точки В и С сливаются, левый внутренний круг
обращается в точку, правый внутренний круг сливается с главным.
Если при этом перенести ось г параллельно самой себе в положе-
положение т", что равносильно наложению гидростатического давления
интенсивностью а3, то
а2 = а3 = 0, а, > 0
н круги Мора превращаются в один большой круг простого
растяжения. Такой тип напряженного состояния называют
типом растяжения, для него ца = —1. При этом (о„ = я/3.
3. аа= g s. Точка В совпадает с центром главного круга,
внутренние круги оказываются одинакового диаметра. Если при
этом перенесем ось г параллельно самой себе в положение %"', что
равносильно наложению гидростатического давления интенсивно-
интенсивностью а2, то
0, а2 = 0

434 ¦ ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЯ [ГЛ. V
и круги Мора приобретают вид, соответствующий чистому
сдвигу. Такой тип напряженного состояния называют типом
чистого сдвига, для него (х0 = 0. При этом со„ = л/6. Вообще, каким
бы ни было напряженное состояние,
— 1 *^Ц0*^ 1;
ца не имеет смысла лишь при всестороннем равномерном давлении
в окрестности рассматриваемой точки напряженного тела. Имея
в виду формулы E.75) и E.65), получаем
_ 1/Зтг
Imax —
12. Семейство кругов Мора, соответствующих фиксированным
значениям а0Кт и т0Кт. Рассмотрим октаэдрическую площадку в точке
напряженного тела. Нормальная и квадрат касательной состав-
составляющей напряжения, действующего на этой площадке, суть
аокт = -3 (°i + °2+ о3)> toKT = -9 [(«1 - СтаJ + (о, - ст3J + (о3 - охJ].
Проанализируем, как зависят эти составляющие от трех пара-
параметров: | — абсциссы центра наибольшей окружности Мора
(I = Va (°i + °з))» Ч — радиуса наибольшей окружности Мора
(П = 1/а(ст1 — о3)) и ^„ — коэффициента Лоде (^а = (а2 — Q/ц), опре-
определяющего относительное взаимное расположение точек пересе-
пересечения окружностей Мора с осью а. Зависимости аокт и токт от ?,
1] и |х„ в дальнейшем окажутся необходимыми (см. гл. VIII).
Преобразуем формулы для аокт и ТоКТ, используя выражения для
I, Ц и (хо:
Г -3" = "з" + "з"^а"гУ
т^кт = | [(<Уг - а2J + (а. - а3J + (ах - а3J
^ E.76),
Две зависимости E.76) связывают пять величин: аокт, т0КТ) I, ч\
и ц„. Значения двух из них, а именно аокт и токт, зафиксируем,
тогда зависимости E.76) свяжут три остальных величины (|, т)
и ца). Фиксация величин аокт, токт равносильна фиксации вектора
октаэдрического напряжения. Этот вектор можно относить к раз-

$ 5.16] ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
435
личным напряженным состояниям, соответствующим | и ц, найден-
найденным из E.76):
в "okt q "okt ./-; .
Зто
E.77)
В свою очередь комбинации значений g и tj определяются коэф-
коэффициентом Лоде ца, как параметром, через который они выра-
выражаются. Так как (х„ может непрерывно изменяться от —1 до +1,
существует бесконечное количество таких комбинаций | и т|, кото-
которым соответствуют фиксированные аокт и токт. Каждая комбинация
| и т] определяет наивысшую точку (вершину) наибольшей из
окружностей Мора и, следовательно, полностью определяет собой
наибольшую окружность Мора, а ц„, которому соответствует дан-
данная комбинация | и т|, определяет положение точки касания двух
внутренних окружностей Мора.
Исключим из E.77) (х„. После ряда преобразований получим
ИЛИ
(t _ a0KTJ = °KT --. E.78)
TOKT
Деля все члены на —5—, получим
Итак, геометрическим местом вершин главных кругов Мора при
фиксированных значениях аокт и токт является эллипс (рис. 5.32, а)
с полуосями
токт , /3
Проследим за тем, в каком соответствии находятся располо-
расположение точки (т|, |) на этом эллипсе и эначение ц0, от которого
зависят 5 и т|. Согласно E.77) при (х„ = —1
t_t „ff I ТОКТ t п ТОКТ at
S — Sinax — °окт + 2 /2 ' Т "~ 2 /2 2 "
При ц„= I
? " 6 — п Т'ОКТ ? — __ ^ОКТ
t — 6m|a — ^окт ~ 2V2 ' ° "" Т ~~ 21/2*

436
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
Таким образом, всему диапазону изменения численных значений
коэффициента Лоде на эллипсе вершин главных кругов Мора
соответствует участок ABC (точка А отвечает значению [ia = 1,
точка С —значению \ia = — 1). Можно проследить и за измене-
изменением т] в зависимости от ца.
При ца = ± 1 т) = Tjmin = -77=- = 1,061 токт.
3
При fia = 0 ц — цтах = —т- токт = 1,225тоКТ,
= ого
Иными словами, радиусы всех мыслимых главных кругов Мора,
соответствующих фиксированной комбинации значений аокт и токт,
')
п
¦ А
?
1
til
I 1
11111 *
к,
«I
Рис. 5.32. К построению огибающей кругов Мора (М. М. Филоненко-Бородин), соот-
соответствующих фиксированным значениям аокт, токт: а) эллипс — геометрическое место
вершин главных окружностей Мора; б) огибающий для кругов Мора эллипс; в) четыра
характерных круга Мора; г) область, занятая кругами Мора (заштрихована), соответ-
соответствующими фиксированным значениям Оокт, токт и всем мыслимым значениям ц0.
отличаются один от другого незначительно, максимальная разность
между ними
"Птах Лтш r= U>1 tLT0KT
составляет от минимального радиуса @,164токт: 1,061токт)- 100 «»¦
= 15,5%. На рис. 5.32, а пунктиром показано графическое по-
построение отрезка ?>Я = токт по отрезку ?>/г1 = токт/уг2.
Теперь рассмотрим, какую область занимают окружности Мора
с вершинами, расположенными на линии ABC, т. е. все окруж-
окружности Мора, соответствующие фиксированным аокт и токт и всему
диапазону изменения значений ца. Уравнение окружности из рас-
рассматриваемого семейства (с абсциссой центра, равной |, и радиу-
радиусом, равным т]) имеет вид
(ст-«)г + гг = 1]а. E.79)

$ 5.161 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 437
Координатами точек этой окружности являются а и т — нормаль-
нормальная и касательная составляющие напряжения, действующего на
любой площадке; на октаэдрической же площадке действуют фик-
фиксированные значения
Напомним, что между | и т] существует зависимость E.78),
так как и ? и т] соответствуют всякий раз одному и тому же
значению ца. Пользуясь E.78), исключим из E.79) величину ц,
в результате получим уравнение семейства окружностей
(a-gJ+x2 = |-T2oKT-3(g-aOKT)v E.80)
Поставим цель: найти уравнение огибающей всего рассматривае-
рассматриваемого семейства окружностей. С этой целью продифференцируем
E.80) по |, найдем из полученного равенства | и исключим его
из E.80). В результате получим (в случае наличия таковой)
' уравнение огибающей. Производная от E.80) имеет вид
отсюда
Исключая | из E.80) при помощи E.81), после ряда преобразо-
преобразований получим уравнение огибающей обсуждаемого семейства
окружностей Мора:
(g — OqktJ | !! I
Таким образом, выяснили, что огибающей семейства окружностей
Мора, соответствующих фиксированным значениям оокт я токт
и всем мыслимым значениям ц„, является эллипс с полуосью
вдоль оси а, равной V~2tokt, и полуосью, параллельной оси т,
равной у=тОкТ. Этот огибающий эллипс изображен на рис. 5.32, б.
Пунктиром показано построение его большой полуоси по извест-
известному токт. На этом же рисунке показан и вспомогательный эллипс,
являющийся геометрическим местом вершин главных окружностей
Мора.
На рис. 5.32, в изображены оба эллипса и четыре окружности
Мора из бесконечного множества окружностей семейства, соот-
соответствующего выбранной комбинации оокт и токт. Окружность / —
крайняя левая; радиус ее является радиусом кривизны огибаю-
огибающего эллипса в точке К\, а вершина располагается в крайней
левой точке (точка А) участка ABC вспомогательного эллипса.

438 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. V
Окружность 2 — крайняя правая; радиус ее является радиусом
кривизны огибающего эллипса в точке /С2, а вершина распола-
располагается в крайней правой точке (точка С) участка ABC вспомога-
вспомогательного эллипса. Окружность 3 — средняя окружность, она имеет
наибольший радиус и касается огибающего эллипса в наивысшей
его точке —точке В, а вершина этой окружности располагается
в наивысшей точке (точка В) участка ABC вспомогательного
эллипса. Наконец, окружность 4-— это окружность общего поло-
положения (текущая окружность рассматриваемого семейства), она
касается огибающего эллипса в точке /VI и имеет вершину
в точке N, лежащей на участке ABC вспомогательного эллипса.
Окружности общего расположения всплошную заполняют заштри-
заштрихованную на рис. 5.32, г область. Каждой точке участка ABC
вспомогательного эллипса соответствует определенное" значение
коэффициента (х„, а следовательно, и определенный тип напря-
напряженного состояния. При |а=1 имеем тип сжатия, при fi=0—..
тип чистого сдвига и при \i = —1—тип растяжения; этим типам
принадлежат соответственно окружности /, 3 и 2. Точки Ft и
F2 — точки пересечения вспомогательного эллипса с осью абсцисс —
являются фокусами огибающего эллипса.
Рассмотренный в настоящем разделе вопрос разработан
М. М. Филоненко-Бородичем ').
13. Отыскание площадки действия полного напряжения, изобра-
изображенного радиусом эллипсоида Ламе. Эллипсоид Ламе не позво-
позволяет установить, на какой площадке действует полное напряжение,
изображаемое данным радиусом.
В случае плоского напряженного состояния, когда эллипсоид
Ламе становится эллипсом, для отыскания направления площадки,
на которой действует напряжение, изображаемое радиусом эллипса,
можно применить построение, предложенное Л. Жалюсо2). Сущ-
Сущность этого построения ясна из рис. 5,33. На рис. 5.33, а рас-
рассмотрен случай а1>0, а2>0. На рис. 5.33, б, б —случаи: а(>0,
а3 < 0 и а2<с0, а;,<;0. Легко видеть, что, вращая вектор полного
напряжения (рассматривая различные площадки), получаем враще- .
ние круга Мора вокруг окружностей с радиусами, равными мак-
максимальной и минимальной полуосям эллипса Ламе.
Существует еще один способ решения той же задачи, осно-
основанный на использовании так называемой направляющей кривой
полных напряжений
*) «Об условиях прочности материалов, обладающих различным сопротив-
сопротивлением растяжению и сжатию», Инженерный сборник 29, Изд-во АН СССР,
1954.
•) Louis Gellusseau, Le cercle de Mohr satellite de 1'ellipse de Lame,
Le Genie Civil, t. CXXXII, Ns 12, 15 (Juin 1955).

i S.16) ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 439
лежащей в плоскости эллипса Ламе
? + ц» = 1#
Построение ясно из рис. 5.34. Доказательство правомочности
построения приводим ниже для случая плоского напряженного
состояния.
а)
ч
в)
J
/
1
1
1
I
/
/
{%
--»%
о/
%
s
У
\
1
1
У
>
S
\
\
\
1 ..
/ х
Рис
ния
ис. 8.33. Графический способ отыскания направления площадки действия напряже-
напряжеия, определяемого радиусом-вектором эллипса Ламе (построение Жалюсо): а) случай
i >0 «О; > 0; 6) случай at > 0 и о, < 0; в) случай о2 < 0, оя < 0, / — эллипс Ламе,
2 — окружность Мора.
Если а!>0, а2>0, а3 = 0, то направляющая кривая полных
напряжений представляет собой эллипс с полуосями V®\ и V°a
(рис. 5.34, а).
В случае Oj = 0, а2<0 и а3<;0 E.82) соответствует так
называемому мнимому эллипсу. В этом случае можно вместо
отрицательных значений о2 и а8 иметь в виду равные им по абсо-
абсолютному значению положительные величины н вновь получить
эллипс, на этот раз с полуосями У~а2 и Уа3, но при этом под
v подразумевать не внешнюю, а внутреннюю нормаль (рис. 5.34, б).

440
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. V
Рис. 5.34. Направляющая кривая напряжений! а) двухосное растяжение (о( = 4а,):
6) двухосное сжатие (<т3 = 40,); о) плоское напряженное состояние при различных зна-
знаках ненулевых главных напряжений; / — эллипо напряжений, 2 — направляющая
кривая напряжений. 3 — площадка, на которой действует напряжение pv •= г, 4 — на-
направляющая кривая напряжений, соответствующая случаю, когда V рассматривается
как внешняя нормаль, 5 — направляющая напряжений, соответствующая случаю,
когда v рассматривается как внутренняя нормаль, 6 — направления, имеющие то евоя-
ство что полные напряжения, направленные вдоль них, являются касательными к пло-
¦цадке их действия (нормальная составляющая на этой площадке равна нулю).

S 5.16] ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 441 __
Наконец, если ог^>0, ст2 = 0, а3<0, то направляющей кривой
полных напряжений оказывается гипербола (две ветви)
^ _ il _ 1
Еще две ветви строим соответственно уравнению
_ *! -L II = 1
Для точек, попадающих на эти две ветви, за v принимается
внутренняя нормаль к площадке. На рис. 5.34, в показана
направляющая кривая напряжений при чистом сдвиге.
',-
л
Рис. 5.35. Направляющие поверхности напряжений.
В случае пространственного напряженного состояния имеем
направляющую поверхность полных напряжений (рис. 5.35).
Располагая эллипсоид Ламе и эту поверхность концентрично
и совмещая главные оси поверхностей, продолжаем радиус-вектор
эллипсоида Ламе до пересечения с направляющей поверхностью
полных напряжений в точке k(x0, у0, г0).
В точке k проводим плоскость
хх0 , ууп . ггй _ j
E.83)
касательную к этой поверхности. Уравнение этой же касатель-
касательной плоскости можно записать и так:
lx + my + пг = h.
E.84)
где /г —длина перпендикуляра, опущенного из начала координат
на касательную плоскость; /, т, л —направляющие косинусы,
определяющие направление этого перпендикуляра. ч

442
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. V
Сопоставление E.83) с E.84) показывает, что
1ч
т
Т1
п
Т
или
— xoh, o2m = yoft, o3n = ?oh.
E.85)
С другой стороны, левые части равенств E.85) представляют собой
Pvx, Pvy и рУг соответственно.
Иными словами, составляющие полного напряжения, дейст-
действующего на площадке, проходящей через точку тела (начало
координат) параллельно указанной выше касательной плоскости,
пропорциональны координатам точки касания. С другой стороны,
составляющие в главных осях полного напряжения, определяемого
радиусом-вектором эллипсоида Ламе,
тоже пропорциональны координатам
точки касания — по условию построе-
построения касательной плоскости (точка ка-
касания лежит на направляющей поверх-
поверхности в месте пересечения с нею
продолжения г). Следовательно, пло-
площадка, проходящая через точку тела
параллельно указанной касательной
плоскости, и является действительно
той площадкой, на которой действует
полное напряжение, определяемое ра-
радиусом-вектором г эллипсоида Ламе.
14. Поверхности нормальной if ка-
касательной составляющих напряжения.
Если по нормали к площадке, проходящей через точку напря-
напряженного тела, отложить в виде вектора нормальную составляющую
напряжения, которая в главных осях выражается формулой
E.86)
Рис. 5.36. Сферические координаты
точки.
то при всевозможных поворотах площадки конец вектора crv опи-
опишет некоторую поверхность, уравнение которой в сферических
координатах получается из E.86) путем подстановки /, т и п
согласно формулам (рис. 5.36)
. _^ Оа _ Ob cos ф Ос sin ft cos ф __
Ос ~ Ос ~ Ос "
ab Ob sin ф Ос sin ft sin ф
т=Ос-
п = cos1
Ос
E.87)
в результате получаем
orv = ax sin* Ф cos* ф + or8 sin2 ^ sin* ro -f- aa cos* ^.

$ 5.16) ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
443
На рис. 5.37, 5.38 и 5.39 изображены поверхности нормальных
составляющих напряжений ') соответственно для случаев: линейного
• напряженного состояния (ст1>0, а2 = сг3 = 0), плоского напряжен-
напряженного состояния (с^^О, ст2=т^0, сг3 = О — рис. 5.38, а и ctit^O,
а2 = 0, ог3=т^О —рис. 5.38,6) и пространственного напряженного
состояния ((?! э= о2 5з ст3 5s 0 или о3 <; ст3 «g стх ^ 0 — рис. 5.39, а
и ст15зст2>0, ог3<О или ст1>0, ст3 «S ст2 < 0 — рис. 5.39,6).
Рис. 5.37. Поверхность нормальных напряжения при одноосном растяжении.
Аналогично можно построить поверхность касательных напря-
напряжений, впервые рассмотренную Г. В. Колосовым, пользуясь
формулой E.44*):
%1 = о\1* + о:гт2 + а=я2 - (а^2 + ст2т2 + ст3я2J = о\Р (/2 + т2 + л2) +
+ а\т2 (I2 + т2 + пг) + о^п2 (I2 + т2 +п2) - а\1* - о\т* - aln* -
- 2oio2l2m2 - 2о2о3тгп? — 2в9о1пЧ2 =
= (d - о2J AтJ + (ст, - а3J (mnf + (аг - <г,)« (л/J.
В первые три члена после второго знака равенства введены мно-
множители, равные единице (/2-j-m2 + «2)- Используя E.87), получаем
уравнение
sin 2cp sir
? sin2 ф sin2
Конец вектора xv, откладываемого по нормали к площадке, на
которой действует tv, при всевозможных поворотах площадки
описывает поверхность, носящую имя Г. В. Колосова.
На рис. 5.40, а показана2) поверхность Г. В. Колосова при о^ Ф о2 Ф
Фо3 и на рис. 5.40, б при <т1 = а2=^Оз- В случае <т1 = а2 = ст8
поверхность Г. В. Колосова вырождается в точку.
х) Построены Б. Н. Васильевым. В случае плоского напряженного состоя-
состояния исследование было выполнено Кинсманом (Kinsman F. W., Charts for
Stress Visualation, Mechanical Engineer Ball Telephone Lab. Murray Hill, N. J.,
Median. Desighn. 26, № 2. (February 1954.)
») Построена Б. Н. Васильевым.

444
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
«I 6,
Рис. 5.38. Поверхности нормальных напряжений при плоском напряженном состоя-
состоянии; а) случай одинаковых знаков у главных напряжений (сг2 = 0,5 Oi); 6) случай раз
иых знаков у главных напряжений (аа = — 0,5 Oi). "
в, 6,
Рис. Б.39._ Поверхность нормальных напряжения при пространственном напряжен-
напряженном состоянии: а) случай одинаковых знаков у всех главных напряжений (о, : аг = 1,5;
ffi ; Ог = 3); 6) случай разных знаков у главных напряжений (сг2 = 0,5jJi; CTj = — 0,5aL).
Рнс. 5.40. Поверхность касательных напряжений: а) случай Oi -тЬ а« ^ о>; б) случай
равенства двух из трех главных напряжений.

§ 5.16] ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 445
На рис. 5.41 показаны кривые нормальной и касательной
составляющих напряжения для плоского напряженного состояния
е.-о
Нн
f
Рис. 5.41. Кривые нормальных н касательных напряжений при плоском напряженном
состоянии (штриховой пунктир — растягивающие напряжения; короткий штриховой
пунктир — сжимающие напряжения; сплошная линия — касательные напряжения).
(десять частных случаевI). Уравнения кривых, показанных на
рис. 5.41, имеют вид E.55), если принять вместо О\ и стц две
1) Рис. 5.41 заимствован из статьи Ф. Кинсмана, упоминавшейся на
стр. 443 в подстрочном примечании.

ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ . V
V
величины из числа ах, a2 и ст3 сообразно рис. 5.41. Кривые т
впервые были изображены А. М. Драгомировым еще до введения
Г. В. Колосовым поверхностей касательных напряжений и в лите-
литературе называются иногда 'розами Драгомирова.
§ 5.17. Изостатические поверхности
в напряженном теле
В разных точках напряженного тела в общем случае как
ориентация главных площадок, так и величина действующих на
них главных напряжений различны. В точках, бесконечно близко
расположенных друг к другу, углы, образованные соответствую-
соответствующими главными площадками, бесконечно малы, и различия в вели-
величинах главных напряжений на соответствующих площадках также
бесконечно малы.
Поверхность, мысленно проведенная в напряженном теле,
во всех своих точках касающаяся главных площадок с одноимен-
одноименными главными напряжениями (сть или ст2, или аа), называется
изостатической. Через каждую точку напряженного тела проходят
три ортогональные (в силу ортогональности главных напряжений)
изостатические поверхности. Тремя системами изостатических
поверхностей все тело разбивается на бесконечно малые криво-
криволинейные шестигранники, касательные плоскости к граням кото-
которых совпадают с главными площадками. При изменении нагрузки
изостатические поверхности изменяются. В случае, когда напря-
напряжения зависят лишь от двух координат точек тела, например
от х и у, и не зависят от г, одна из систем изостатических по-
поверхностей превращается в плоскости, перпендикулярные оси г,
а две другие представляют собой цилиндрические поверхности,
ортогональные указанным плоскостям и ортогональные между
собой. Следы, оставляемые этими поверхностями на плоскостях,
перпендикулярных г, называются изостатами или иначе траек-
траекториями главных напряжений.
Если ф —угол наклона касательной к изостате по отношению
к оси х произвольной системы осей ху, то
здесь у — у(х) —функция, графиком которой в системе осей ху
является изостата. Тогда согласно формуле для tg2cti или tg2an
из § 5.10 (имеется в виду, что си или аи равен q>}
2т
1 — tg2 ф о,
ИЛИ
2т _ 2у'
о* — о у ~ 1 — (У'?

5 5.18] ПРИМЕРЫ 447
откуда
^l = 0. E.88)
Из дифференциального уравнения E.88) можно найти функции,
которые определяют собой оба семейства изостат.
§ 5.18. Примеры :
Пример 5.1. Разложить тензор напряжения
I°x xyx хгх\ [1.300 100 1501
хху а у %гу = 100 —500 —200
txz *yi °z I I 150 —200 —6001
(все компоненты заданы в кГ/см'2) на шаровой и девиатор.
Определяем среднее гидростатическое напряжение в точке:
°x+°u+Oz 300—500 — 600 800
о0 = ^— = з " ~ "з" = -266-F) кПсм*,
вх='ах — ао = 300 — (—266,7) = 566,7 кГ/см\
sy=.ey — oa = — 500 — (—266,7) = — 233,3 кГ/см*.
sz = az — a0 = —600 — (—266,7) = —333,3 кГ/смК
Тогда искомое разложение представится в виде
1300 100 1501 [1—266,7 0 0 |
100 —500 —200 = 0 —266,7 0 +
150 —200 -600 J | 0 0 —266,7 |
i 566,7 100 150 j
100 —233,3 —200 I =- T» + Da.
'150 -200 —333,31
Пример 5.2. Определить нормальную и касательную составляющие напря-
напряжения, действующего на площадке, заданной направляющими косинусами ее
нормали:
,2 1 2
1=ЖТ> т=Т' П=У-
Тензор напряжений взять из условия предыдущей задачи. По формуле E.6)
4 1
av = oj* + оут*+в2п? -j-2xxylm + 2\lJzmn -\- 2x,xnl = 300 • -„- — 500 • -^ —
— 600.^+2-100-1 - L_2-200.^. | + 2.150.|-. |- = 100 кГ/см\

448 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИИ [ГЛ. V
Квадрат полного напряжения находим по формуле
где
хухт+хгхп = 300 ¦ у + 100-у + 150-у = 333,C) кГ/см*,
+ xzyn^l00 - у - 500 • у - 200 • у =—233,C) кГ/см*,
2 1 2
= W + хдгт+огп = '50 • у — 200 • у — 600 • у = —366,F) кГ/см*,
Квадрат касательного напряжения выражается следующей формулой:
тз = р г—а = = 300 000 — 10 000 = 290 000 (кГ/см*?; xv = 538 кГ/см*.
Пример 5.3. Определить главные напряжения и направляющие косинусы
нормалей к главным площадкам в точке напряженного тела, в которой ком-
компоненты напряжений такие, как в данных примера 5.1.
Главные напряжения находим из уравнения
ах—а
tyz
= 0,
ИЛИ
или в общем виде
Решаем кубическое уравнение в тригонометрической форме. Для этого
воспользуемся подстановкой х) а = г—а/3, тогда получаем
а»+800<j2 —102 500а—89 250 000 = 0,
После простых преобразований получаем
или
где
!) Здесь приводятся формулы в общем виде, из которых становится ясным
и происхождение формул E.64). Можно было воспользоваться и формулами
E.64). После определения по ним slt s, и s3 легко найти alt o2 и as по фор-
формуле aA = sft+<J0 (ft=l, 2, 3) (ao = (.l/3)(aJt+ai,+a/)).

5 5.18] ПРИМЕРЫ 449
В нашем случае а = 800, й =—102 500, с=—89250000,
p:=_E0°L_ 102500 = — 315800,
«-2(«»)'+ «OO-f500 -89250000^-23990000,
з —315 800г —23 990 000 = 0,
\ + -? =
р < 0, использ-у ем формулы
/p\3/q\t I 315 800 у . / 23 990 000\2 ]лоо 1Л, .
как \Цг\ + -? = г— + 5 = — 1023 • 10* < 0 и
^ = -21^/3 cos f^^),
q 23 990 000 nQR11c
cosa= , = — = 0,35116,
2 V- (P/3K 2 -i A/315 800\3
ct = 69°26'30", ct= 1,212 pad:
Ol/15 800 1,212 ,
rx = 2 |/ —jj—cos~^—=596,7 кГ/см*,
.-.А315800 /1,212 , 2я\ _1о _ _, ,
г2 = — 2 I/ —д^—cos("~3 Ь-3-) = —518,5 кГ/сж2,
n-t A315 800 /1,212 2я\ „ „, г, ,
г3 = — 2 I/ —5— cos "^5 = —77,31 кГ/см*,
<!! = /•!—у = 330,02
аз = /-2—у = —785,93 к
о2 = г3 —4 = —344,10 к
о
Произведем проверку по инвариантам:
•¦ олг+о// + аг = а1+о2 + а3 = /1(Т(,),
Ох + о у + аг = 300 — 500 — 600 = —800 кГ/см2,
а1 + а2 + а3 = 330,02 — 344,10 — 785,93 = — 800,01 кГ/см2.
Погрешность ^0%.
а*°1, + аЛ + °z°x ~ xly ~ xlz ~ *\х = 300 ' (-500) + (~50°) • <-60°) +
+ (—600) • 300 — 1002 — (_200)з — 1502 =—102 500 (кГ/см*)*,
°i°2 + <?2а3 + а3а! = 330,02 • (—344,10) + (—344,10) • (—785,93) +
+ (—785,93) -330,02 = —1 113 560+270 430 —259 370 =—102 500 (кГ/см*)К
Погрешность 0%.
3- °^V^ + 2t^Vt«-0^-V«~VJi/ = ai02a3 = /3 (Ta)-
.T«-ff-TJ«-v«-°«Tw=30° ¦ (-500) ¦ (~600)+
+2 ¦ 100 • (—200) • 150 —300 ¦ (—200J — (—500). ] 502 — (—600) ¦ 1002 =
= —89 250 000 {кГ/
о&Оз — 330,02 • (—344,10) • (—785,93) = —89 250 000 (кГ/см2K.
Погрешность 0%.
15 А. П, Филии

420 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЯ [ГЛ. V
Переходим к отысканию направляющих косинусов нормалей к главным
площадкам.
Для отыскания направляющих косинусов нормали к первой главной пло-
площадке имеем систему уравнений
C00 — 330,02)/j + 1 OOrnx+ :
100/i4-(—500—330,02) m1 — 200n1 = 0, i
150/t — 200/% + (—600—330,02) nt «= 0. i
Делим все уравнения иа nt и вводим обозначения
Q.-1 -~"* у* —-** t
тогда система уравнений приобретает вид
—30,02а,+ 1006, =—150, ¦>
100а, —830,02^=200, i
150а!—200^ = 930,02; /
отсюда, используя любые два уравнения, находим
а1 = 7,004, b,= 0,6028,
nj = ' = —=0,1408,
/!+аз + &,> 7,1006
^ = ajn, = 7,004 ¦ 0,1408 = 0,9862,
mt = Ьхпл = 0,6028 • 0,1408 = 0,08487.
" Проверка: /' + m\ + ii\ — 0,9862* + 0.084872 + 0,1408* = 0,9726 + 0,0072 +
-1-0,0198=1,000.
Аналогично находим направляющие косинусы нормали ко второй и
третьей площадкам:
(ох — 0%) /2 ~Ь т-мх^ъ ~f~ ^гх^ъ == 0,
= 0, Л
=о, [
л. !
(оу — <?2) Щ+
Тлтг'г + tyz"h + (О, — ОJ «г = 0;
[300 — (—344,10)] /а + 100/«я + 150яа = 0.
100/а + [—500 —(—344,10)] та —200п2 = 0,
150/г — 200т2 -(- [—600 — (—344,10)] гц — 0;
644,10а2+100&2«=— 150, \
100а2—155,9063=200, 1
150аг—20062 = 255,90; j
аг = —0,030661, Ьг = 1,3025,
«;= , ' = ! = 0,60886,
Vl+al + bi 1,6424
/а = а2П2 = —0,018668, тг = &апа = —0,79304. .

§ 5.18] ПРИМЕРЫ 451
Проверка:
1. /i+mH-nl=0,00035+0,62891+0,37069= 1,0000.
2. /i/2+m1m2 + п&г,=— 0,0184—0,0673 + 0,0857=0,0000.
тухЩ + Тгх"з — 0. I
y ay — °з) "h + ГгуПз = 0. [
Ixzh +1угЩ + (Ог — Оя) П» = 0; )
[300 —(—785,93)] /3+100m3 + 150n3 = 0, л
100/3 + [—500-(J«-785,93)] щ — 200% = 0, 1
150/3-200тэ + [—600 —(—785,93)] n3 = 0; J
а3 — 13/п3, Ь3 = щ/Пз;
=—150, \
100а,+285,9363 = 200, I Os=— 0,20928, 63=
150а3—20063=—185.93; J
1 ' - = 0,78070, ;3 = а8п3 = — 0,16338,
1,2809
тз = Ь3п3 = 0,60332.
Проверка:
1 ¦ Ч + "Ч + п\ = 0,02669 + 0,36387 + 0,60949 = 1,0000.
2. 1113 + т1т3 + п1п3 = — 0,16112 + 0,05119 + 0,10992 = 0,0000.
3. Уз + '"атз + «2«з = 0,00305 — 0,47838 + 0,47534 = 0,0000.
Пример 5.4. Определить максимальные касательные и октаэдрические
напряжения, если тензор напряжений задан компонентами, указанными
в условии примера 5.1.
При решении примера 5.3 для тензора напряжений, представленного
в примере 5.1, найдены главные напряжения:
а, = 330 кГ/см*, а2=—344 кГ/см\ а3=— 786 кГ/см*.
Зная величины главных напряжений, максимальные касательные напряжения
находим по следующим формулам:
__о2—о3 __ —344—(—786)
2 2
—786—330
1ц =
2
2
= 558 кГ/см\
gl-o2 _ 330-(-344) _
т,,,=—g"— = 2 — об/ к1/см'.
Нормальная и касательная составляющие октаэдрического напряжения нахо-
находятся по формулам
-260,7 кГ
» = 688 кГ/см\
Направляющие косинусы нормалей к площадкам с максимальными касатель-
касательными напряжениями в системе осей хуг можно найти по следующей формуле:
Л = ЛЛ. 15.89J
15*

452
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. V
Здесь А — искомая матрица направляющих косинусов нормалей к площадкам
с максимальными касательными напряжениями в системе осей хуг, Л —мат-
—матрица направляющих косинусов нормалей к площадкам с максимальными
касательными напряжениями в главных осях, Л — матрица направляющих
косинусов главных осей (нормалей к главным площадкам) в системе осей хуг.
Матряцы Л и Л имеют следующий вид:
0
0
Кг/2
Кг/2
Кг/2
Кг/2
К2/2
Кг/2
0
0
Кг/2
-Кг/2
У2/2
-К2/2
Кг/2
-Кг/2
0
0
| 0,9862
—0,018668
—0,16338
0,08487
—0,79304
0,60322
0,1408 |
0,60886
0,78070!
Формулу E.89) можно использовать и для отыскания направляющих косину-
косинусов нормалей к октаэдрическим площадкам в системе хуг, подразумевая под Л
матрицу этих косинусов, а под Л матрицу направляющих косинусов норма-
нормалей к октаэдрическим площадкам в системе главных осей. Последняя матрица
в этом случае имеет вид
1/3
1/3
-1/3
-1/3
1/3
1/3
-1/3
-1/3
1/3
-1/3
1/3
-1/3

Глава VI
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
§ 6.1. Предварительные замечания
Понятия о перемещении точки тела, о компонентах деформа-
деформации н о повороте элемента в окрестности точки даны в §§ 1.19 —
1.21. Напомним, что как составляющие перемещения и, v и w,
так и компоненты деформации тела в окрестности его точки &х,
еу> бг, уху, ууг и угх являются функциями координат точек тела.
Задание функций и, v и до исчерпывающим образом характери-
характеризует деформацию тела в целом. Функции е*, еу,..., угх полностью
характеризуют деформацию в окрестности каждой точки, т. е.
позволяют найти в ней относительную линейную деформацию
вдоль любой оси, проходящей через рассматриваемую точку тела,
и изменение угла между любыми двумя первоначально ортого-
ортогональными осями, проходящими через эту точку.
Естественно, что между функциями и, v и w, с одной сто-
стороны, и ех, ..., угх, с другой, существуют зависимости, так как
обе группы функций описывают одну и ту же картину деформа-
деформации тела, но различными средствами. Эти зависимости выводятся
в настоящей главе, их получение является одной из основных
целей анализа деформированного состояния тела. Из них полу-
получаются зависимости и между компонентами деформации (уравне-
(уравнения совместности деформаций).
Подобно тому, как в предыдущей главе изучались напряже-
напряжения тела независимо от деформаций, т. е. производилось чисто
статическое обследование тела, в настоящей главе выполняется
чисто геометрическое (или кинематическое) изучение сплошной
однородной среды, без упоминания о напряжениях и о физических
свойствах материала тела.
Будем считать тело обладающим большой жесткостью, это
явится основанием для линейности зависимостей между пере-
перемещениями и деформациями. В § 6.9 показывается, к каким

454
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[ГЛ. VI
осложнениям приводит отказ от предположения о большой жесткости
тела. Под большой жесткостью тела будем понимать пренебре-
жимую малость перемещений в нем по сравнению с размерами
тела.
Деформация в точке, так же как и напряжение в ней, явля-
является симметричным тензором второго ранга. Это обстоятельство
определяет собой наличие в ряде вопросов аналогии между тео-
теориями напряжений и деформаций.
§ 6.2. Зависимости между компонентами деформации
и составляющими перемещения точки тела
Рассмотрим тело до деформации. Проведем через точку А
ось г (рис. 6.1) и на ней на расстоянии dr от А отметим точку В.
В системе осей хуг отрезок имеет составляющие dx, dy и dz.
В результате деформации тела точки А и В перемещаются
в точки Ai и Bi пространства. Составляющие перемещения точки А
r9
Рис 6.1. К определению относительной линейной деформации вдоль направления г
в точке А;, координаты точек: А (х, у, г), В (х + dx, у + dy, г + dz). А, (х + и,
ди ' ~ ¦
суть и, v и до, составляющие перемещения точки В отличаются
от них на величину приращений, обусловленных отличием коор-
координаты л точки В от той же координаты точки А на dr. Состав-
Составляющие перемещения точки В суть
Найдем относительную линейную деформацию в точке А по
направлению г:
Зная координаты точек Ai и Вх (рис. 6.1), легко найти расстояние

<6 2) - КОМПОНЕНТЫ ДЕФОРМ. И СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 455
между ними:
А А ~ /(* + ? »)' + («,+ ? *)' + (*+?*)* -
?
= dr У (d7 + «fJ + (IF + дТ) + (dT + ^rj •
Направляющие косииусы г в системе осей хуг суть
d* I do dz
dT = /- "d7 = m" 4F-n-
Тогда
Имея в виду, что /а + т2 + иа=1, и считая деформацию малой1),
можем пренебречь квадратами величии ди/дг, dv/dr и dw/dr по
сравнению с единицей, при этом получим
Применяя разложение по формуле бинома Ньютона и пре-
пренебрегая по сравнению с единицей степенями величин ди/дг,
dv/dr и dw/dr выше первой, будем иметь
Подставляя F.2) в F.1) и учитывая, что AB = dr, получим
.du.dv.dw
* l+m + n
F.3)
Рассмотрим величину р, определяемую выражением
w; F.4)
формулу F.3) можно представить так:
*-?. . F-5)
р —проекция перемещения точки А (т. е. проекция отрезка $
на направление г. Формула F.5) связывает относительную линей-
линейную деформацию в точке деформированного тела по некоторому
1) Подробное обсуждение вопроса о том, что понимается под малостью
деформаций, проведено в § 6.9.

456
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[гл. vr
направлению с проекцией перемещения этой точки на указанное
направление. В случае растяжения в направлении г, учитывая
формулу F.1), получаем е,.>0 и в случае сжатия в том же
направлении ег<;0.
Рассмотрим теперь в недеформированном еще теле точку А и
две взаимно перпендикулярные оси rt и г2) проходящие через
эту точку. На указанных направлениях вблизи А соответственно
на расстояниях йг\ и dr2 от нее отметим точки В и С. В резуль-
результате деформации точки А, В и С перемещаются в точки <4lf B^
Ос,
/да
Рис. 6.2. К определению относительной угловой деформации (сдвига) между сртого-
нальными направлениями г, и гг ь точке А.
и Сх пространства (рис. 6.2). На рис. 6.2 все точки как до, так
и после перемещения показаны в виде проекций на плоскость
осей Гх и г2. На самом деле точки Alt Bi и d выходят из пло-
плоскости, но это на величину углов щ и а2 практически не влияет
в силу сделанного предположения о малости деформации; поэ-
поэтому-то и можно вместо самих точек Alt Bj и Ct рассматривать
их проекции на плоскость Агггг. Установим зависимость вели-
величины упг, угла сдвига между направлениями гх и г2 от переме-
перемещения точки А, характеризуемого проекциями рх и р2 на осТ) rt
и г2. Из рис. 6.2 видно, что
у,1Г! = а] + а2. F.6)
В силу малости углов сами углы заменяем их тангенсами!
F.7)
Определим длины отрезков ВгЬ, АХЬ, С^с и AiC входящих в фор-
формулы F.7). На рис. 6.2 показаны проекции перемещений точек В
и С на оси гх и г2. Эти проекции равны соответствующим вели-

« 6.3) УРАВНЕНИЯ КОШИ 457
чинам для точки А плюс приращения, обусловленные различием
координат точек А и В, А и С соответственно, т. е.
Подставляя найденные значения в F.7), получим
Учитывая малость производных dpjdrx и др2/дг2 по сравнению
с единицей в силу малости деформаций, получим
?. «.~?. F-8)
Подставляя F.8) в F.6), находим искомую зависимость:
Здес*
F.10)
I], ni], «i Aц, ni\], Пи) — направляющие косинусы направления
ri ir2>- Учитывая F.6), получаем уГхгг > 0, если первоначально
прямой угол между направлениями гх и г2 уменьшается.
§ 6.3. Уравнения Коши
Формулы F.5) и F.9) позволяют установить связь между
функциями гх, By, &г, уху, ууг, угх, с одной стороны, и функ-
функциями и, v и до, с другой.
Предположим, что в формуле F.5) г\\х. Тогда /=1, т = 0,
п = 0 и, согласно F.4), р = ы. Формула F.5) приобретает следую-
следующий вид: '
Аналогично, предполагая поочередно, что г\\у а г\\г, получим
dv dw
ду ' z дг
Имея в виду формулу F$), предположим, что rt\\x (т. е. 1\ = \,
пц = 0, m = 0), а гг\\у (т. е. /ц = 0, mii=*l, пц = 0); тогда,

4Й8
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[ГЛ. VI
учитывая F.10), найдем
до
~дх~
ди
ду'
Аналогично, полагая rt\y и гг\г (Г|.||г и г2\х), будем иметь
dw , до ди , dw
Все шесть полученных выше зависимостей составляют систему
уравнений, впервые введенную Коши:
ди_
_dv
"дх
dv
ди
'ду'-
ду
dw
до
ди , dw
F.11)
Эти уравнения относятся к числу основных уравнений теории
сплошной деформируемой среды.
В главе IX показано, как интегрируются эти уравнения.
Интегрирование, при соблюдении определенных условий (см. § 9.6),,
может всегда быть выполнено в квадратурах.
§ 6.4. Формулы преобразования компонентов деформации
при повороте прямоугольной системы координатных осей
Пусть имеем деформированное тело, с которым связана система
ортогональных координатных осей хуг. В некоторой точке А этого»
тела в указанной системе осей известны компоненты деформации
ех, еу, вг, уху, ууг, yzx. Требуется установить, чему равны компо-
компоненты деформации е,„ еУ1, ег,, yXlUo yUlZi, yZlXt в той же точке тела,
но в другой системе ортогональных координатных осей х^ухгг^
если направляющие косинусы осей хи ух\ гг в системе осей хуг
образуют следующую таблицу:
Ух
X
к
h
к
У
щ
щ
Щ
г
Ч
IU
На основании F.5)
F.12)

§ 6.4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТОВ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ 459
Здесь «ifai, дог),есть проекция перемещения точки А на направ-
направление xx(yly zx). Вместо того, чтобы проектировать само переме-
перемещение точки А, рассмотрим сумму проекций на ось xt каждой
из составляющих (и, v и ш) этого перемещения в системе осей хуг.
Учитывая таблицу направляющих косинусов, будем иметь
|. Ul = til,,+ 0/1%! +wni («ViWi)(l, 2, 3). F.13)
Представляя F.12) при помощи формулы дифференцирования
сложных функций в виде
дил ди, дх , диг ди , дщ дг
и имея в виду F.13), получим
, , ди , ди \ . /до , ,
к+т+) + т[1+
, fdw , , dw , dw Л
ди „ , до , , dw » , (dv , ди \ , 7 /Зг» . dv
Учитывая формулы F.11), будем иметь
«х, = e.J\ + гут\ + ггп\ + yxyl1m1 + уугтхпх + ^txnxlx (xxy1z1)(\ 2 3).
F.15)
На основании F.9)
*«-? + &• <6-16»
Учитывая F.13) и применяя к каждой из производных в фор-
формуле F.16) правило дифференцирования сложной функции, получим
, /ди , , ди . ди \ , /dv , . dv , да
*, = h [д~х к + щ тх + Ъг Л1 j + m2 (^ lx + Ту т, + й
, , dw , dw \ , , Idu , , ди ' ди
dv , . dv , dv \ , fdw . , dw , dw
и + т+п) + Пи+т+
= 2 g IA + 21 mlfn3 + 2 % nxn2 + (| + |)
+ [Ту + I) («Л + ^ni) + {% + If) (n^ + nA) (х1У1 гг) A 2 3).
Используя уравнения F.11), окончательно получим
+ уху Aгпгг + /2тх) +
(xL y1zl)(l2 3). F.17)

460
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. VB
§ 6.5. Аналогия между теорией деформации
и теорией напряжения
1. Деформация в точке — симметричный тензор второго ранга.
Формулы F.15) и F.17) показывают, что деформация в точке
является симметричным тензором второго ранга (см. Дополнение).
Особенно отчетливо это обнаруживается, если формулы F.15)
и F.17) записать в следующем виде:
е*. = ej\ + eynj + e*"i + 2 (у У
(у ?ад.) =
Hi
Тензор деформации можно записать так:
Уху Ухг
(у
Уху
2
Ууг
Т
Ууг
2
Ниже на основе свойств тензора, обнаруженных на примере тен-
тензора напряжений, приводятся уже без доказательства и выводов
основные положения теории деформации тела.
2. Теорема о существовании главных направлений деформаций
и об экстремальности главных деформаций. Через любую точку
деформируемого тела всегда можно провести три таких взаимно
ортогональных направления, сдвиги между которыми в процессе
деформации оказываются равными нулю. Такие направления назы-
называются главными, а относительные линейные деформации, проис-
происходящие вдоль этих направлений, называются главными деформа-
деформациями и обозначаются еь е2 и е3. Доказательство этой теоремы
производится путем рассмотрения квадрики деформаций, совершен-
совершенно аналогичной квадрике напряжений. Вдоль оси г, проходящей
через рассматриваемую точку тела, откладывается вектор длиной
Формула для ег получается из F.17), если гA,т,п) совместить
с любым из направлений хи ух или гг:
ху1т + уугтп + угхп1.
ег ==

§ 6.51 АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ 461
Главные деформации elt e2 и е3 экстремальны, так как они обратно
пропорциональны квадратам полуосей поверхности деформаций,
а последние в центральных поверхностях второго порядка обла-
обладают экстремальными свойствами. Возможные случаи поверхности
деформаций аналогичны таковым в теории напряжений.. Таким
образом, деформацию в окрестности любой точки можно предста-
представить как растяжение (сжатие) в трех взаимно ортогональных
(главных) направлениях.
3. Главные деформации. Инварианты деформации в точке тела.
Отыскание главных деформаций производится из уравнения, имею-
имеющего такую же структуру, как и уравнение для отыскания глав-
главных напряжений:
(8л—е) тг1
у Уху (Чу ¦
1 1
у Ухг у '
Ifil — 8)
= 0.
F.18)
Алгоритм отыскания направляющих косинусов главных направ-
направлений деформации ничем не отличается от алгоритма определения
направляющих косинусов нормалей к главным площадкам. При этом
во всех формулах вместо элементов тензора
То = \1ху О у
F.19)
имеют место соответствующие элементы тензора.
1 1
~2 Уху ~2 Ухг
Уху
еУ У Уу
1 1
2 Ухг g
F.20)
Всегда вещественные корни е1( еа и е3 уравнения F.18) и пред-
представляют собой главные деформации.
Если одна из главных деформаций равна нулю, деформиро-
деформированное состояние в точке называется плоским.
Три инварианта тензора деформации находятся аналогично
инвариантам тензора напряжений и выражаются формулами, кото-
которые получаются из E.40*) путем замены компонентов в- соответст-
соответствии с аналогией То и Т8 [F.19) и F.20)].

^02 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ [ГЛ VT
> Поясним физический смысл первого инварианта тензора дефор-
деформации
В окрестности рассматриваемой точки выделим элементарный куб
с ребрами, длина которых равна единице, а направления совпа-
совпадают с главными направлениями деформации. Объем такого куба
до деформации, равный единице, обозначим Vo. В результате
деформации куб превратится в .прямоугольный параллелепипед
(так как сдвиги между главными направлениями деформации
равны нулю). Длины ребер этого параллелепипеда суть A ^
A +ег), A+е3), а объем
Относительное приращение объема элемента, выделенного в окрест-
окрестности точки, представляют собой величину
__-У-У0 _ A+е1)A+еа)A+ез)-1 _
= ei + е2 + е3 + eieg + в2е3 -f e3et + е,е2е3.
В силу малости величин еъ е2 и е3 пренебрегаем по сравнению
с ними их произведениями. Тогда получим
+ s3 = I1 (Te).
Таким образом, первый инвариант тензора деформации пред-
представляет собой относительное изменение объема. Такая интерпре-
интерпретация величины ¦& позволяет утверждать, что, выделяя в окрест-
окрестности рассматриваемой точки всевозможным образом ориентиро-
ориентированные бесконечно малые кубики или тела иной формы с центром
в этой точке, получим одинаковое относительное изменение объема
вследствие деформации каждого из них.
4. Максимальные сдвиги. Пользуясь аналогией между теорией
деформаций и теорией напряжений, укажем, что максимальные
сдвиги возникают между тремя парами направлений. Каждая
такая пара направлений лежит в одной плоскости с двумя глав-
ьыми направлениями деформации. Каждое из взаимно перпенди-
перпендикулярных направлений, между которыми происходит максимальный
сдвиг, делит угол между главными направлениями пополам
(рис. 6.3). Максимальные сдвиги находятся по формулам, анало-
аналогичным формулам для максимальных касательных напряжений, т. е.
' ,,, В2р3 1 _
ИЛИ
= e2 —e3, Vn ==е3 — elt Ym = Б! — еа;

6.5] АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Yr — сдвиг между направлениями, являющимися биссектрисами
углов между направлениями деформаций е2 и е3; аналогичная
картина и в двух других случаях.
Сдвиги yi» Yn и Yni называются главными.
Рис. 6.3. Направления, между которыми имеют место максимальные сдвиги: / — на-
правления, между которыми сдвиг равен У\ = ех — гг; 2 — направления, межДу кото-
которыми сдвиг равен yh = &а — ?ь-3 — направления, между которыми сдвиг равен Yin ~
=¦ 8t — е2; (/), B) и C) — направления главных деформаций, соответственно е», е2 и е,.
Относительные линейные деформации вдоль направлений, между
которыми происходят максимальные сдвиги, равны следующим
величинам:
8ц =
5. Разложение тензора деформации на шаровой тензор дефор-
деформации и девиатор деформации. Деформацию в точке, описывае-
описываемую тензором деформации F.20), можно представить как сумму
двух слагаемых:
Te = T2 + De. F.21)
Первое слагаемое — шаровой тензор деформации
II 8„ О О II II1 0 О
т»= о
о
II0 0 ео||
во 0 1 0
О О I
= ео1
— соответствует равномерному всестороннему растяжению (или

464 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ [ГЛ. Vf
сжатию) при одинаковых вдоль любого из направлений относи-
относительных линейных деформациях ео:
Т*
Имея в виду физический смысл первого инварианта тензора
деформации, легко уяснить, что в первом слагаемом F.21) заклю-
заключена полная деформация изменения объема. На долю же второго
, слагаемого
I
W2 еу — ео W2
УхгР Ууг/2 »2 — ео||
называемого девиатором тензора деформации (или просто девиа-
тором деформации), остается лишь деформация изменения формы.
Деформация, соответствующая шаровому тензору Tjj, не сопро-
сопровождается изменением формы (кубик остается кубиком).
Инварианты девиатора деформации легко могут быть получены
по общему правилу, показанному на примере тензора напряже-
напряжений (формулы E.40*)), если ввести обозначения
?х 6о = Эх, By Eg = Эу, Вг — Во = Эг\
— /2 (De) = &х9у ~г эУ&г ~т~ ЗгЭх -^ Уху ^* Чуг J" У'гх ==
- в,? + (е, - вх? + -| (VJ, + y\z+ylx)]
= - -i- [(вг - е2)а + F2 - езJ + (е3 - ElJ] = -1 (у\ + yh + Yhi),
/з (De) = ЭхЭуЭг + т УхуУугУгх ~ Эv f У'уг ~ Эу -j fix - Эг -j У'х„ = ЭгЭф3.
Равенство нулю первого инварианта девиатора деформации свиде-
свидетельствует о том, что ему соответствует деформация изменения
объема, равная нулю. Главные значения эъ эа и э3 находятся
»з кубического уравнения
33-/2(DeK-/3(De) = 0, F.22)
все корни которого вещественные.
Главные значения эи э2 и э3 соответственно отличаются от глав-
главных значений еь е2 и е8 на величину е0. Главные направления
девиатора деформации De и тензора деформации Те совпадают.
Поверхность Коши, соответствующая Те, представляет собой
сферу. Для девиатора же деформации — комбинацию однополост-
ного гиперболоида, конуса и двухполостного гиперболоида, назы-
называемую гиперболоидом деформаций.

6.51 АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ 465
Главные сдвиги не зависят от е0 и полностью определяются
компонентами девиатора.
Аналогично, лишь компонентами девиатора деформации опреде-
определяются и сдвиги между любыми двумя ортогональными -направ-
-направлениями, проходящими через рассматриваемую точку деформиро-
деформированного тела.
Используя для корней кубического уравнения F.22) тригоно-
тригонометрическую форму, находим эк, Yy Ф=\, 2, 3; /=1, II, III)
по формулам, аналогичным E.64), E.64а), с заменой в них1)
Vh (Da) на 2l/72(De) и a>a на. ае. Для наглядности покажем
на рис. 6.4 характер деформации элементарного кубика с реб-
ребрами, равными единице, соответствующей отдельным элементам
следующего тензора:
У
1
2
= Зв
Уху
Vzx
1
1
2
Ух,
= 4g
Y*.
1
2
1
2
На рис. 6.4, а показан элементарный кубик до деформации.
На рис. 6.4, б —доля полной деформации, связанная лишь с изме-
изменением длин ребер кубика. На рис. 6.4, в, г и д изображены доли
деформаций, связанные (при неизменных длинах ребер) лишь с изме-
изменением углов между гранями. На рис. 6.4, е представлена полная
деформация, которая далее разложена на две составляющие части,
из которых одна представляет собой шаровой тензор деформации,
а другая—девиатор деформации, изображенные соответственно
на рис. 6.4, ж и 6.4, з.
6. Интенсивность деформации сдвигов. Интенсивность дефор-
деформации. Октаэдрические деформации. Выше нам встречалась вели-
величина 2l/72(DE). Она носит название интенсивности деформации
сдвига. Эта величина в некотором смысле характеризует деформи-
деформированное состояние в окрестности точки тела и определяется сле-
следующей формулой:
у, = + 2
= У\ Vl\ + Yii
?n
(e, -
!) Аналогично второму инварианту девиатора тензора напряжений и
h (De) > 0.

466
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[ГЛ. VI
Ute ¦
Рис. 6.4. Деформация
а) элемент до деформации; б) деформа-
деформация, соответствующая тензору
|Зе О О Ц
О 4е 0 |;
О 0 5е II
в) деформация, соответствующая тензору
II 0 0 0 1
г) деформация, соответствующая тензору
|| О О 0 ||
д) деформация, соответствующая тензору
10 0 _1_ || "
0 0 2 V.
1 О
~2~ ^z.k О
е) деформация, представляющая собой
сумму деформаций, изображенных на
рис. 6, в, t и д (показано постепенное на"
элементарного кубика:
коплеиие суммы деформаций),т. е. соответ-
соответствующая тензору
1
2 "zx
1
Se
;
ж) деформация, соответствующая шарово-
шаровому тензору
|| «. О О
НО е. О
Во
1 0 0 е„
в) деформация, соответствующая тензору
— Е
лхг
1
1
8
(сумма слагаемых деформаций, изобра-
изображенных на рис. в, г, а и деформации,
соответствующей тензору
!'— е 0 0
0 0 0
0 0 е

3 6.5] АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ 467
В случае чистого сдвига, определяемого тензором
О
0 Т
|т о о
0 0 0
имеем
Можно ввести понятие интенсивности деформации, связанной
¦с интенсивностью касательных деформаций зависимостью
- е3J + (в, - в,)».
Величинам г0, у,-, и юе может быть дана механическая интер-
интерпретация, аналогичная приведенной в теории напряжений для
¦а,,, т, и соа. Величина е0 представляет собой относительную
линейную деформацию вдоль нормали к октаэдр ической площадке,
т. е. вдоль оси, равнонаклоненной к главным направлениям
деформации; V/ с точностью до постоянного множителя равняется
углу сдвига между двумя ортогональными направлениями, лежа-
лежащими в октаэдр ической площадке:
Токг=|/ -g-
<оЕ — угол, определяющий положение ортогональных направлений
в октаэдрической площадке, между которыми происходит сдвиг,
равный уокт. Этот угол характеризует определенным образом отно-
отношение интенсивности деформации сдвига к абсолютной величине
максимального сдвига:
V/ _ ' L
sm
Аналогично E.65а) получаем
1
Vi
1,08|
с погрешностью, не превышающей 7%. Величинам уг и «>е можно
дать интерпретацию, аналогичную данной В. В. Новожиловым
для %i н а>„.

468 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ [ГЛ. VI
Так как любая деформация в окрестности точки представля-
представляется как растяжение1) в трех взаимно ортогональных главных
направлениях, деформацию в точке можно задать тремя главными
направлениями деформации и величинами трех главных относи-
относительных линейных деформаций- е^ е2 и е3.
По-другому деформацию в окрестности точки можно задать
тремя главными направлениями деформации и величинами ео,
.?/ и сое.
Подобно направляющему тензору напряжения, вводится поня-
понятие направляющего тензора деформации
Тогда тензор деформации определяется следующей формулой:
Первое слагаемое характеризуется поверхностью Коши в виде
сферы, а второе слагаемое — в виде направляющего гиперболоида
деформаций.
7. Круги Мора. Тензор деформации в точке, так же как
и тензор напряжения в точке, может быть геометрически охарак-
охарактеризован кругами Мора. Справедливым остается все построение
и все формулы, только вместо alt ст2 и а3 фигурируют еь е2 и е3,
а вместо ov и tv — величины гг и у у. (Здесь у —абсолютная вели-
величина сдвига в плоскости, перпендикулярной направлению г, опре-
определяемому направляющими косинусами /, т и п.)
Аналогично вводится и коэффициент Лоде, характеризующий
вид диаграммы Мора:
Пример 6.1. х и у—главные направления деформации, х и у— два орто-
ортогональных направления, лежащих в плоскости ху (ось х составляет с х
угол а). Вдоль осей х и g имеют место главные деформации et и g,. Требу-
Требуется найти ех, By и уху.
Решение при двух значениях угла а (а в первой четверти и во второй
четверти) показано на рис. 6.5, а, б. Так как х и у лежат в плоскости двух
главных деформаций, пользуемся одним кругом Мора.
Пример 6.2. По компонентам плоской деформации ех, гу и v.v# = V найти
отличные от нуля главные деформации и направления их.
Решение показано на рис. 6.6.
Пример 6.3. По заданным гх, гу, Y*</=Y иайти при помощи полюса круга
деформаций ем, e.N и yMN, а также найти ex, ea и их направления.
Решение показано на рис. 6.7.
Растяжение следует понимать в алгебраическом смысле.

$ 6.5] АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
S
Рис. 6.5. К примеру 6.1. Определение компонентов деформаций в осях х, д (плоская
задача) по заданным главным деформациям при помощи круга Мора: а) случай, когда
угол <%, составляемый осями х и х, — в первой четверти; б) случай,- когда угол Об, состав-
составляемый осями х и х, — во второй четверти.
ff>
Рис. 6.6. К примеру 6.2. Определение главных деформаций и их направлении по компо-
компонентам деформации при помощи круга Мора.

470
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[ГЛ. VI
Пример1) 6.4. По показаниям трех датчиков розетки, пользуясь кругом
Мора, найти величины и направления главных деформаций. Особенностью
постановки этой задачи является то, что среди заданных величин нет сдвига,
линейных же деформаций задано три.
Рис. 6.7. К примеру 6.3. Определение прн помощи полюса круга деформаций компо-
компонентов деформации в системе осей MN и определение главных деформаций и их направ-
направлений по компонентам в системе осей х и у.
Изобразим точку Р (полюс) (рис. 6.8, а) и будем считать ее точкой распо-
расположения трехкомпоиентной розетки общего вида. Изобразим три измеренные
¦относительные линейные деформации е*,
.при помощи векторов. Проведем линии
е"
е и
2-2
е'" в окрестности точки тела
и 3—3, перпендикулярные к"
i
л
6)
JV L
[
\^
U—— e'
г
ж
/
—в—
м
Л
р
;
У
К '
/ V
Рис. 6.8., К примеру 6.4. Определение глапных деформаций и их направлений по пока-
показаниям теиаонетрическнх датчиков трехкомпонентной розетки: а) случай розетки об-
общего вида; б) частный случай розетки.
и е"\ Отложим отрезок PD = e' горизонтально в направлении, противополож-
противоположном направлению е'; точка D определяет собой положение оси -у/2- Отложим
DE = e" и проведем ЕН вертикально до пересечения с 2 — 2 B — 2 ± в").
Тогда Н явится точкой, лежащей на окружности и имеющей координату,
равную компоненту деформации вдоль направления 2 — 2. Отложим DJ = tz'"
и проведем JK вертикально до пересечения с направлением 3—3 в точке К-
Тогда точка К представит собой точку на окружности, координата которой
дает компонент деформации направления 3—3. Так как Р, Н и К должны
1) См. Murray W. M., Discussion by J. H. Meier and H. M. Hansen.
An Adjunct to Strain Rosette, Experimental Stress Analysis, vol. I, № 1 A943).

$ 6.61 УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ 47*
лежать на окружности, легко'находим цеигр С этой окружности как пересече-
пересечение прямых, перпендикулярных к HP и КН и делящих эти отрезки по полам.
Точка С определяет собой положение оси е. Окружность имеет радиус СР
и легко строится. Главные деформации ОА и ОВ и направления их РА и РВ
могут быть легко найдены.
Для частного случая прямоугольной розетки, когда в" составляет как с в',
так и с г"' углы по 45°, построение может быть упрощено, а именно: центр С
находится как точка пересечения прямой ЕС\\г" и прямой LC ± JP и деля-
делящей JP пополам (рис. 6.8, б).
§ 6.6. Условия совместности деформаций
Возникает вопрос: любыми ли могут быть функции гх, гу,
ег, .... угх, входящие в уравнения F.11), или они должны удов-
удовлетворять каким-то определенным требованиям? Функции и, v
и w должны быть непрерывными из-за того, что сохраняется
сплошность тела в процессе деформации. Следовательно, функции
в*, ..-» Угх должны быть такими, пр.и которых обеспечивается
эта.непрерывность. Такие функции е*, . ., yzx при совместном
их рассмотрении могут описать действительную картину дефор-
деформации тела. Следовательно, условия сохранения сплошности тела
в процессе его деформации иначе можно трактовать как условия
совместности деформаций.
Если мысленно разбить тело до деформации на элементарные
параллелепипеды и затем продеформировать каждый из них со-
согласно функциям ех, ..., угх, то совместность деформаций будет
означать, что из элементов, претерпевших деформацию, можно
составить тело без каких-либо просветов. В противном случае,
при невозможности образования сплошного тела (без щелей)
из элементов, претерпевших деформацию, деформации несовместны.
Выясним, каким же требованиям должны удовлетворять функ-
функции ех, ..., улХ, чтобы обеспечить совместность деформаций. Для
этого достаточно исключить из уравнений F.11) функции u,v nw.
С этой целью поступим так. Сопоставим первое, второе и четвер-
четвертое уравнения системы F.11); убеждаемся в том, что если первое
уравнение продифференцировать дважды по х, второе дважды
по у и результаты сложить, то правая часть суммы окажется рав-
равной правой части результата двухкратного дифференцирования
четвертого уравнения — один раз по х и один раз по у:
дЧх
дх*ду '
дх ду дх'1 ду ~ дх ду*'

472 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. VT
Равенство правых частей уравнений свидетельствует о равен-
равенстве и их левых частей:
Итак, первое уравнение совместности деформаций имеет вид
Два других уравнения выводятся аналогично и могут быть полу-
получены из вышеприведенного циклической перестановкой букв.
На этом не ограничиваются условия совместности деформаций,
связывающие функции гх, ..., угх. Имеется еще три условия.
Рассматривая последние три уравнения из системы F.11), убежда-
убеждаемся в том, что если произвести дефференцирование четвертого
уравнения по г, пятого по х, а шестого по у и из суммы резуль-
результатов дифференцирования четвертого и пятого уравнений вычесть
результат дифференцирования шестого уравнения, то в правой
части порученного таким образом, уравнения останется всего одна
функция v из числа трех функций и, v и w:
¦ -г •
дг ^ дх ду дхдг '
Если теперь продифференцировать обе части полученного равен-
равенства по у, то, учитывая, что dvldy.= zy, получим еще одно условие
совместности деформаций:
4yZ . ду2Х дух
'ду\~дх ду~~г~д
Два последних условия могут быть написаны, если воспользо-
воспользоваться циклической перестановкой букв. Всего составлено шесть
условий совместности деформаций. Впервые их получил в 1860 г.
Б. Сен-Венан. Поэтому они носят название уравнений Сен-Венана.
Условия F.23) являются, как это показано в главе IX, усло-
условиями интегрируемости уравнений F.11) для тел как односвяз-
ных, так и многосвязных, т. е. условиями совместности шести
уравнений Коши относительно трех функций и, v и w. Одновре-
Одновременно F.23) являются необходимыми и достаточными условиями
однозначности перемещений, но лишь для односвязных тел.
Случай неодносвязных тел рассмотрен в § 6.8.
В заключение параграфа отметим, что условия F.23) в неко»
торых случаях выступают как уравнения, а в остальных случаях
кпк тождества. Если известны непрерывные функции и, v, w, то

*. 6.7)
ЖЕС-ТКИЙ ПОВОРОТ И ЧИЙТАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
473
компоненты деформации ех, ..., угх могут быть получены согласно
F.11) путем дифференцирования и, v и w. Найденными таким
образом функциями ех, ..., угх условия F.23) удовлетворяются
тождественно. В этом случае условия F.23) используются лишь
для контроля.
Если же функции и, v, w не известны и ищутся компоненты
напряжения и деформации, то условия F.23) выступают как
уравнения и именно как те дополнительные уравнения, которые
совместно с уравнениями равновесия E.59) (при учете E.1))
позволяют раскрыть статическую неопределимость задачи механики
сплошной среды. Разумеется, что для совместного использования
уравнений E.59) и F.23) необходимо иметь зависимости, связы-
связывающие компоненты напряжений с компонентами деформаций,
чтобы во всех уравнениях содержались одни и те же неизвестные
величины. Такие зависимости отражают физическую природу
материала и рассматриваются в главе VII.
§ 6.7, Жесткий поворот и чистая деформация
1. Основные понятия. Рассмотрим деформацию в окрестности
точки А деформированного тела. Деформация тела сопровожда-
сопровождается перемещением точки А, изменением длин линейных элемен-
элементов, проходящих через нее, и изменением направлений этих эле-
элементов. Будем интересоваться сейчас
лишь поворотами этих элементов. Иск-
Исключим из рассмотрения перемещение
точки А и изменения длин линейных
элементов, так как они не являются
существенными при изучении их по-
поворотов.
Характеристиками поворота ок-
окрестности точки деформируемого тела
являются величины
n dw dv q ди dw
ду дг у дг дх '
^~t- F-24)
dv
дх
Рис. в. 9. Поворот в окрестности
точки А в плоскости rtr,: I — бис-
биссектриса угла rtAra, 1 — биссектри-
. са Угла r[Ari-
Если предположить, что сущест-
вует линейная зависимость углов по-
поворота элементов от их угловой координаты относительно неподвиж-
неподвижного элемента, то 2<лх, 2ау и 2щ могут быть истолкованы как удвоен-
удвоенные углы поворота биссектрис углов, образованных элементами, про-
проходящими через точку А и параллельными осям координат х, у, г.
Пусть имеется два ортогональных линейных элемента в окрест-
окрестности точки А, направленных вдоль осей гх и г2 (гх[1дс, rt\tj)
(рис. 6.9).

474
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[ГЛ Vf
В результате деформации тела направления элементов гх и гг
повернутся и займут положения г[ и r'q.
В § 6.2 было показано, что
а,
ди
"дх
Угол сдвига уху равен
dv
ди
ду"'
2сог — удвоенный угол поворота биссектрисы — равен
9„ „ „ dv ди
В справедливости формулы легко убедиться. Положительные углы
Яис. 6.10. К '«пределен ию поворота а>7: а) поворот без сдвига, б) сдвиг без поворота;
/ — биссектриса угла г Аг (до поворота линейных элементов), 2 — биссектриса угла
•rj/rj (после поворота линейных элементов), 3 — биссектриса углов г^Ап и г'Аг'^ (и до
и после поворота линейных элементов).
cct и а.2 и угол юг изображены на рис. 6.9. При повороте эле-
элемента гх на угол ах и неподвижности г2 биссектриса поворачива-
а, 1 dv
ется на угол -?- = -я-"л"» а ПРИ повороте элемента г2 на угол а2
и неподвижности rt биссектриса поворачивается на угол — — =
= ~~о~я~- Таким образом, угол поворота биссектрисы при пово-
повороте элементов гх и г2 на углы о^ и а2 оказывается равным
\_dv_
2 дх
1 ди-
2 ду'
Отсюда приходим к формуле F.24K.
Аналогично, удвоенные углы поворота биссектрисы угла между
направлениями линейных элементов, параллельных осям у и г
и осям 2 и х. соответственно равны 2<ах и 2ч>у.

§ 6.71
ЖЕСТКИЙ ПОВОРОТ И ЧИСТАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
475
Можно рассмотреть два крайних случая. В первом из них
(рис. 6.10, а) а2 =— аь т. е. ди/ду — — ди/дх, при этом
dv , / dv \ п п ди / dv \ п dv
Уху ~~ дх < \~ ~дх) ~ ' г ~~ дх \ дх I дх
вследствие того, что и гх и г2 повернулись в одну и ту же сто-
сторону и на одинаковый угол. Вместе с тем поворот в плоскости ху
в окрестности точки А произошел на ди/дх = а1.
"Рис. в. 11. Разложение деформации иа чистую деформацию и поворот: а) картина
поворота направлений г, и г,; 6) сдвиг без поворота (чистая деформация),
VvU = -Г-
в) .поворот без сдвига (жесткий поворот).
V =0, в>г = ai — a, = dv/дх — ди/ду.
Во втором крайнем случае 0^ = 0^, т. е. ди/ду —dv/дх, при-
dv
дх
до
дх
до
дх
т. е. произошел сдвиг (рис. 6.10,6), биссектриса же угла между
гх и гг не повернулась. Таким образом, имеет место только
деформация (чистая деформация), без жесткого поворота. В общем
случае картину поворота элементов гг и г2 соответственно на углы
o&i и а2 всегда можно представить как сумму двух слагаемых
(рис. 6.11), из коих одно характеризует чистую деформацию, а дру-
другое—жесткий поворот. В первом иЗ этих слагаемых
2
dv . ди
а во втором
!~ 2
а, — а2
1 —а2

476 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ [ГЛ. VI
2. Однородная деформация. Представление относительных
смещений через поворот и чистую деформацию. Рассмотрим две
точки А(х,у,г) и B(x + dx, y + dy, z-\-dz). Составляющие пере-
перемещения точки В относительно точки А выражаются формулами
Аи = ив — иА = (иА + du) -uA = du = ^dx + щйу + ^йг (uvw);
F.25)
dx, dy и dz в этих формулах можно рассматривать как относи-
относительные координаты \, г], ?, т. е. координаты точки В в случае,
если точка А принята за начало отсчета; тогда
д«=4^+!ч+Й? (««>• <б-2б>
Если относительные смещения суть линейные функции отно-
относительных координат, деформация называется однородной. Из
F.26) следует, что деформация малого элемента тела является
однородной.
Имея уравнения F.11) и F.24), можем выразить девять про-
производных составляющих перемещения через девять функций ех,
е</, ег, уХу, ууг, угх, <ох, а>у, <ог. Действительно, ди/дх, dv/dy и dw/dz
выражаем соответственно через ех, гу и гг непосредственно из
уравнений F.11). Остальные производные находим путем попар-
попарного рассмотрения соответствующих уравнений из систем F.11)
и F.24). Например, из двух уравнений
dv . ди п dv ди
находим
до \ . ди I
У + а> ^УЩ
Аналогично находим и остальные производные.
В результате получаем
йН6-*' Ъ11==~2Ух!>~10" Тг^ 2"V« + Wi/ (uvw)(xyz). F.27)
Подставляя найденные производные ди/дх, ..., dw/dz из F.27)
в F.26), получим
Ди = <x)uZ, - ш2ц + гх1 + -i- ухух\ + у угхЪ (uvw) (xyz). F.28)
Из F.28) видно, что относительные перемещения образуются
из перемещений при повороте элемента как абсолютно твердого
тела и перемещений, обусловленных чистой деформацией (три
последних слагаемых в каждой из формул F.28)).

* 6.7)
ЖЕСТКИЙ ПОВОРОТ И ЧИСТАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
477
Матрицу 3-го- порядка, элементами которой являются девять
производных1) ^[(uvw), xyz], легко разложить на симметричную
и кососимметричную. Действительно, воспользовавшись зависи-
зависимостями F.27), имеем
ди
дх
dv
di
дш
дх
ди
ду
dv
ду
dw
ш
ди
дг
dv
дг
дш
Ъ
-к У иг — ®х
•СО,
1
1
~п Уху ~К Ухг
1
О —со.
О
—СО,
О
1
у Уху *у
1 J_
2 Ухг «- 2 У У*
Первое, симметричное слагаемое представляет собой деформа-
деформацию, второе, кососимметричное — поворот.
3. Преобразование компонентов жесткого поворота при пово-
повороте системы координатных осей. При переходе от одной прямо-
прямоугольной системы координатных осей xyz к другой, аналогичной
системе ХхУ^х изменяются и компоненты жесткого поворота.
Можно показать, что
2 3). F.29)
Знак плюс берется в том случае, если системы осей xyz и xxyxzx
имеют одинаковую ориентацию (обе правые или обе левые),
а минус —в случае различной ориентации систем.
Из формул F.29) следует, что оух, ау и (ог>при переходе от
одной системы осей к другой изменяются, как проекции аксиаль-
аксиального вектора, имеющего длину, равную
ю =
и направление, определяемое направляющими косинусами
Если <ох, (оу и щ одновременно равны нулю в какой-либо
прямоугольной системе координатных осей х, у, г, то на основа-
основании F.29) они равны нулю и в любой другой системе осей
х) Символ циклической перестановки [(хуг) uvw] обозначает, что в рамках
каждого выражения (уравнения), получаемого вследствие применения цикли-
циклической перестановки (xyz), используется циклическая перестановка uvw. вслед-
вследствие чего образуется девять выражений (уравнений).

478
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[ГЛ. VI
т. е. объемный элемент при этом в среднем не будет получать
поворота относительно какой бы то ни было оси, проходящей
через точку, в окрестности которой расположен объемный элемент.
При этом под поворотом объемного элемента подразумеваем сред-
средний угол поворота всех линейных элементов, проходящих через
точку тела и составляющих объемный элемент. Подробнее этот
вопрос освещен в § 6.9.
§ 6.8. Условие однозначности перемещений
для многосвязных областей
Соблюдение условий совместности деформаций F.23), как уже
указывалось, гарантирует интегрируемость уравнений Коши F.11)
для любой области, рдносвязной и неодносвязной, но однознач-
однозначность перемещений это соблюдение гарантирует лишь в телах
односвязных. В неодносвязной области при соблюдении лишь
условий Сен-Венана нельзя гарантировать однозначность переме-
перемещений. Действительно, совершая" интегрирование по замкнутой.
Рис. 6.12. К условиям однозначности перемещений в неодносвязных областях; а) дьух-
связная область; 6) трехсвязная область.
кривой, пересекающей тот мысленный разрез, который превра-
превращает двухсвязную область в односвязную, начиная от точки Mft
и возвращаясь в нее (рис. 6.12, а), имеем
ди
ди
(uvw).
F.30)
Если интегралы по замкнутой кривой в F.30) не равны нулю,
то перемещения в точке Мо неоднозначны. Можно показать, что
если мысленно произвести разрез, превращающий двухсвязную
область в односвязную, и если перемещения хотя бы двух точек,
лежащих на противоположных краях разреза друг против друга,
оказываются одинаковыми,' то и все остальные соответствующие
точки краев разреза перемещаются одинаково, т. е. соблюдается
совместность деформаций в целом для всего тела. Таким образом,
в двухсвязном теле условие однозначности перемещений требует
не только выполнения условий Сен-Венана F.23)., без чего нельзя

5 6.9) ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ 479
было бы и проинтегрировать уравнения Коши, но и выполнения
равенств
Если тело трехсвязное (рис. 6.12, б), число равенств, анало-
аналогичных F.31), удваивается, так как приходится интегрировать
по двум замкнутым кривым, пересекающим те мысленные разрезы,
которые обращают трехсвязную область в односвязную. В случае
л-связной области число условий, подобных F.31), равно 3(я — 1).
Каждый новый замкнутый контур, по которому берутся интегралы
F.31), при сопоставлении его с уже рассмотренными, должен
пересекать один новый мысленный разрез из числа разрезов,
лревращающих неодносвязную область в односвязную.
§ 6.9. Элементы нелинейной теории деформации
1. Предварительные замечания. В настоящем параграфе дается
более точное определение геометрических соотношений, имеющих
место при деформации тела, нежели приведенные выше. Такое
уточнение позволяет оценить характер ранее полученных зависи-
зависимостей и ограничить область возможного их применения, т. е.
область возможного применения классической (линейной) теории
сплошной деформируемой среды (в частности, классической теории
упругости).
Лишь при определенных условиях качественная разница между
вводимыми в данном параграфе величинами и аналогичными вве-
введенными ранее становится столь незначительной,, что ею можно
пренебречь и перейти к той трактовке характера деформации,
которая дана в предыдущих параграфах.
Некоторые зависимости и положения настоящего параграфа
будут использованы при рассмотрении нелинейных в геометри-
геометрическом смысле задач.
Изложение в данном параграфе в значительной мере основы-
основывается на главе 1 книги В. В. Новожилова «Теория упругости»,
Судпромгиз, 1958.
2. Относительная линейная деформация. Компоненты дефор-
деформации. Отметим в теле до его деформации вдоль оси г (с направ-
направляющими косинусами /, т и п. в системе осей хуг) некоторый
линейный элемент АВ, длина которого dr (рис. 6.13), а состав-
составляющие по осям х, у и г суть dx, dy и dz; при этом
В результате деформации тела точки А и В переместились
и заняли новое положение в пространстве Ai и Bit расстояние

480
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[ГЛ. VI
между точками At и Вх стало drlt составляющие его в осях х,
у и г суть dxt, dylt dzt, а ось rlt на которой расположились
точки Ах и В1г характеризуется направляющими косинусами
dr-i dr-C ' drl'
Перемещения точек А и В имеют составляющие иА,
и «в, vB и wB. Относительная линейная деформация J)
гг, dry—dr __ drt .
F.33)
Таким образом, для отыскания Ег необходимо найти выражение
dr-ijdr. Очевидны следующие соотношения (рис. 6.13):
dx1 = dx + uB — uA (xyz)(uvw). F.35)
Последние два члена в каждом из равенств F.35) представляют
ГA,т,п)
Рис. 6.13. К определению линейноЯ относительной деформации вдоль направления г
в окрестности точки А в геометрически нелинейной постановке.
собой составляющие относительных смещений точек В и А, кото-
которые могут быть выражены формулами F.25). Поэтому получаем
из F.35) следующие три равенства:
ди
ди
ди , , ч
7i7 dz (хУг)
(uvw), F.36)
связывающие проекции произвольного линейного элемента после
деформации тела с проекциями этого же элемента до деформации.
Подставляя F.36) в F.33) и используя F.32), получим
F.37)
•) Для относительной линейной деформации здесь введено новое обозна-
обозначение Ег, в отличие от линейной теории, изложенной в предыдущие парагра-
параграфах, где эта величина обозначена чг (формула F.5)).

§ 6.9] ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ 481
Из зависимости (ГJ -\- (/л'J + (я'J = 1 следует:
[?'+?«.+A+?)•]"-№¦)'¦
или
[1 +2ex]l* + [l +2ey]m* + [l +2ez] n* ?
-1dr* Y
-\dr ) >
где
ди , l Т(ди\*,(до\* (d
-*L±*.jl*!L*Ljl*-*.j.*!L*L (***) («"»)• F.38)
еху — ду + дх + дх ду + дх ду -Г дх ду )
Учитывая, что /2-f- m2 + n2 = 1, имеем
DгJ = 1 + 2 [в*/1 + eytn* + e,n2 + exylm + еугтп + ezxnl\
Обозначив выражение в квадратных скобках символом f, получим
($-/=1+2/. F.39)
Сопоставляя F.34) с F.39), будем иметь
(+)
Отсюда
Er = —l+VT+%. F.40)
Формула F.40) дает точное значение относительной линейной
деформации.
Если учесть формулы F.11) и F.27), то F.38) можно пред-
представить в следующем виде:
у [ej + (у уху + a.J + (± угх - <оу
Уху ~ «>*) + (у Уху
(хуг). F.41)
Таким образом, зная величины ех, еи, ..., егхъ некоторой пря-
прямоугольной системе координатных осей хуг, по формулам F.39)
и F.40) можно найти относительную линейную деформацию в лю-
любом направлении. Поэтому величины ех, ..., егх логично назвать
компонентами деформации в точке.
16 А, П. Филин

482
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[ГЛ. VI
При ех — 0,,.., ezx = 0 тело не деформируется, и, наоборот,
при отсутствии деформации тела ех = 0,..., егх — 0. Величины
же ех, ..., угх, рассматриваемые в линейной теории как компо-
компоненты деформации, получают новую трактовку и интерпретиру-
интерпретируются, с уточненных позиций, не как компоненты, а как некото-
некоторые параметры.
3. .Преобразование компонентов деформации, при переходе от
одной системы осей к другой. Можно показать, что при переходе
от одной системы отрогональных осей xyz к другой аналогичной
системе xxyxzx компоненты ех, ..., егх изменяются в соответствии
с законом, свойственным для компонентов симметричного тензора
второго ранга:
eXt = ej'i + еут\+ezti\ + exyllmx+еугтхпх + е2хпх1ъ
l = 2
ху
Т =
~2exy
1
2 e"x
2е*У 2 '
1
ey Y'
2 вуг
A23),
F.42)
Тензор Те имеет следующие инварианты:
h (Те) =
~2exy
ey ~2 '
2 вуг
~2ezx
ezx ~~2 e
yz
где elt e2 и e3 — главные значения тензора Те.
4. Относительные линейные деформации элементов, параллель-
параллельных осям х, у, Z, и сдвиги между ними. Геометрическая интер-
интерпретация компонентов деформации. Относительная линейная дефор-
деформация элементов, первоначально параллельных одной из коорди-
координатных осей, определяется формулами
(хуг). F.43)

§ 6.9] ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ 483
Формулы F.43) получены из F.40) с учетом того, что при
г||* /=1, т = 0, п = 0, при г\\у 1 = 0, т=\, п = 0 и при г\\г
/ = 0, т = 0, п=\.
Можно установить геометрический смысл компонентов ех, еу
и ег\ для этого разложим Ех, Еу, Ег по формуле бинома Ньютона:
Ех = -\ + \+\.2ех —1B^ + -!- (&,)¦-...=
Из формул F.43) и F.44) видно, что компоненты ех, еу, ег,
входя в состав выражений линейных относительных деформаций
Ех, Еу, Ег, характеризуют последние; в этом заключается гео-
геометрический смысл компонентов деформации ех, еу и ег.
Можно установить геометрический смысл и компонентов еху,
?уг> ?гх- Для этого необходимо определить изменение угла при
деформации тела между двумя линейными элементами АВ и АС,
пересекающимися в точке А под произвольным углом. Пусть
направление п элемента АВ до деформации тела характеризуется
направляющими косинусами 1Ъ mx и П\, а после деформации
тела —направляющими косинусами 1\, т\ и п\. Направление же ги
элемента АС до деформации — косинусами /2, т2 и п2) а после
деформации — 4, тг, щ. Угол ¦О1 между элементами АВ и АС до де-
деформации определится из формулы аналитической геометрии
COS О = Ц
а после деформации — из формулы
cos О' — 1'А + т\пц + п\гц. F.45)
Если направляющие косинусы каждого из элементов опреде-
определить по формулам F.37), то после простых преобразований по-
получим
cos & = п+ЕлA + Ег11^ [cos 0 + 2 (eJi
+ exy (lim2 + ^тг) + eyl
Если элементы АВ и АС параллельны соответственно осям х и у,
то
U—U mi = 0. "i = 0; к = 0, тг = 1, п2 = 0; cos0=0;
Eri =
поэтому
еху = cos У УA+2ех)(\+2еу) (хуг) («'0'"). F.46)
Ь', ¦&", •&'" — новые углы между линейными элементами, первона-
первоначально параллельными осям х и у, у и г, г и х.
16*

484 теория деформаций [гл. vr
Формулы F.46) могут быть представлены в следующем виде:
еху = sin ф^ У( 1 + 2ех) A + 2еу) (хуг).
Здесь tpxy, (fyz, ipzx — углы, на которые изменились первоначально
прямые углы между направлениями х и у (хуг).
Таким образом, компоненты еху, eyz, егх характеризуют изме-
изменение упеов в процессе деформации между направлениями, прохо-
проходящими через рассматриваемую точку параллельно осям х, у и г.
Подчеркнем, что полученные уравнения, связывающие компо-
компоненты перемещений и деформаций F.38), являются нелинейными,
в связи с чем интегрирование такой системы оказывается очень
сложной задачей, не идущей ни в какое сравнение с простой за-
задачей интегрирования уравнений F.11), аналогичных по смыслу
уравнениям F.38) в случае малой деформации. При решении
конкретных задач в общих формулах компонентов деформации
мыслимы те или иные упрощения, вытекающие из относительного
порядка величин, входящих в выражения компонентов.
Изобразим зависимости F.36), учитывая F.27):
dxi = A + е*) dx + (-J уху - сог) dy + (±- угх + ау) dz (x^iZj) (хуг).
-. F.47)
Если рассматривать линейный элемент, параллельный до де-
деформации оси х, то dy = dz = 0, и проекция этого элемента после
деформации на ту же ось изобразится в виде
отсюда
d.rj — dx
8* dx '
Итак, ех является относительной линейной деформацией проекции
на ось х линейного элемента^ который до деформации был парал-
параллелен этой оси.
Аналогичен смысл величин еу и гг. Что касается величин уху,
Ууг и угх, то для них в условиях нелинейных зависимостей F.38)
или F.41) геометрическую интерпретацию дать затруднительно.
5. Геометрическая интерпретация величин (лж, <яу, <яг, В. В. Но-
Новожилов дал следующую геометрическую трактовку величинам со*,
(йу и <ог. Бесконечно малый объемный элемент, мысленно выде-
выделенный из тела до его деформации, в результате деформации тела
характеризуется в окончательном положении деформацией и пово-
поворотом. При этом под поворотом объемного элемента вокруг неко-
некоторой оси подразумевается среднее значение поворота, испытывае-
испытываемого всем множеством линейных элементов, принадлежащих дан-
данному объему и проходящих через рассматриваемую точку. Под
углом поворота элемента относительно оси подразумевается угол,

6.9]
ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ
485
составляемый проекциями этого элемента до и после деформации
на плоскость, перпендикулярную оси.
Обозначив углы поворота объемного элемента относительно
осей х, у и г (т. е. средний угол поворота всех линейных_элемен-
тов, составляющих объемный элемент) соответственно tyx, tyy и ¦фг,
В. В. Новожилов в результате ряда выкладок получил следую-
следующие зависимости:
Ю* (xyz).
Из них видно, что ах, (Оу и со2 пропорциональны тангенсам углов
поворота объемного элемента
относительно осей х, у и г.
6. Элементы, не меняющие
направления при деформации.
Можно показать, что через
любую точку деформируемого
тела проходит хотя бы один
линейный элемент, не меняю-
меняющий своего направления в ре-
результате деформации тела
<рис. 6.14). Для такого элемен-
та соблюдаются пропорции
dx
dy
dz
Рис. 6.14. К отысканию элемента, не изме-
изменяющего своего направления (элемент оста«
/с ло\ ется параллельным первоначальному положе*
(Ь.4о) нию) при деформации.
Подставляя F.47) в F.48), деля обе части равенств на dr и учи-
учитывая F.32), получаем следующую систему линейных алгебраи-
алгебраических уравнений:
(е, — Er)l-\- (j уху - со2) т + (-j угх + <луj п = 0 (xyz) (Imn),
которая в сочетании с уравнением /2 + m2 + n2= 1. связывающим
направляющие косинусы /, т и п искомого направления, позво-
позволяет найти /, т и п по схеме, аналогичной схеме отыскания
главных направлений деформации, т. е. путем решения уравнения
1
= 0.
F.49)
Так как элементы, симметричные относительно главной диаго-
иали, здесь не являются одинаковыми, уравнение имеет, вообще

486 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. VI
говоря, лишь один вещественный корень. В частных случаях
могут быть и все три корня вещественными. Итак, имеется хотя
бы один линейный элемент, проходящий через рассматриваемую
точку, направление которого не меняется в процессе деформации;
в частном случае таких направлений три (отметим, что они не
являются взаимно ортогональными).
Если же (ох = (йу — (йг = 0, то матрица определителя получается
симметричной относительно главной диагонали, и, таким образом,
в этом случае все три корня уравнения F.49) вещественны и три
неповорачивающихся линейных элемента взаимно ортогональны.
Ортогональность этих элементов следует из того, что при ах =
= (лу = <лг = 0 F.49) и уравнение для отыскания еъ е2 и еа ока-
оказываются аналогичными, и законы преобразования как ех, ..., егху
так и гх, ... ,угх получаются одинаковыми. Вместе с тем главные
элементы тензора Те ортогональны. Коль скоро три элемента были
взаимно ортогональными до деформации, а в процессе деформации
не поворачивались, следовательно, они остались взаимно ортого-
ортогональными и в результате деформации, а это означает, что направ-
направления этих элементов являются главными направлениями дефор-
деформации.
Итак, в случае соблюдения равенств а>х = и>у = сог = 0 сущест-
существует три взаимно ортогональных неповорачивающихся линейных
элемента, проходящих через точку тела и совпадающих с глав-
главными направлениями деформации.
7. Картина деформации в окрестности точки и общая картина
деформации тела. Картина деформации окрестности точки тела
в соответствии с линейными зависимостями F.47), связывающими
проекции линейного элемента до и после деформации, характе-
характеризуется тем, что прямолинейный бесконечно малый элемент в про-
процессе деформации занимает новое положение, но остается прямо-
прямолинейным, бесконечно малая плоская площадка занимает новое
положение, но остается плоской. Если два таких линейных эле-
элемента до деформации были параллельными, то параллельными они
остаются и после деформации; параллельные до деформации грани
объемного бесконечно малого элемента остаются параллельными
и после деформацииL). Разумеется, все это справедливо лишь
в случае рассмотрения бесконечно малой области в окрестности
точки, так как иначе зависимости F.47) перестают иметь силу.
Вследствие сказанного бесконечно малый параллелепипед при
деформации превращается, вообще говоря, в иной, но все же
параллелепипед, элемент в виде бесконечно малого шара в резуль-
*) Сказанное вытекает из того, что, как известно из аналитической гео-
геометрии, при линейных преобразованиях прямые остаются прямыми, пло-
плоскости—плоскостями, параллельные —параллельными. Отметим, что при линей-
линейных преобразованиях поверхность второго порядка превращается в другую
поверхность тоже второго порядка.

§ 6.9'J ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ 487
тате деформации, вообще говоря, приобретает форму эллипсоида.
При этом объемный элемент получает поступательное перемеще-
перемещение и поворот как жесткое целое. В результате поворота элементы,
совпадающие с главными направлениями деформации, поворачи-
поворачиваясь, остаются взаимно ортогональными. Наконец, элемент, кроме
того, испытывает чистую деформацию, состоящую в относительных
изменениях длин линейных элементов вдоль главных направлений
деформаций, характеризующихся величинами Ek:
?* = -1+УТ+2^ (ft-1,2,3).
Итак, деформация тела в некоторой его точке характеризуется
компонентами ех, еу, ez, exy, еуг, егх, из коих первые три связаны
с относительными линейными деформациями вдоль трех взаимно
ортогональных направлений, па-
параллельных осям х, у и г, а три
последних связаны с изменениями
углов, т. е. со сдвигами между
этими направлениями.
Вместе с тем, говоря о дефор-
деформации тела в целом, мы характе-
характеризуем ее Перемещениями ТОЧеК Рис. в-15. Картина деформации кон-
тела и поворотами элемента тела сольной балки,
вблизи этих точек. Так, например, •
деформацию балки характеризуют прогибами ее оси и углами по-
поворота элементов балки. Перемещение элемента, заштрихованного
на рис. 6.15, и поворот этого элемента, т. е. величины о ий, ха-
характеризуют известным образом деформацию балки.
Таким образом, говоря о деформации тела, следует различать
деформацию его в целом, которая главным образом характери-
характеризуется перемещениями и поворотами, и деформацию бесконечно
малого объемного элемента, которая характеризуется изменением
длин линейных элементов, входящих в его состав, и сдвигами
.(изменением углов между этими линейными элементами).
В § 6.1 отмечалось, что линейная теория деформаций основана
на предположении об относительной жесткости тела. Как уже ука-
указывалось там, под этим подразумевается малость перемещений
точек по сравнению с размерами тела. Сейчас, уточняя, добавим,
что под этим подразумевается и малость углов поворота элемен-
элементов тела по сравнению с единицей. Итак, относительная жесткость
тела понимается нами в смысле малости перемещений *) и пово-
поворотов. При этом малыми (по сравнению с единицей) оказываются
1) Так как перемещения являются величинами, имеющими размерность
длины, судить об их малости можно лишь при сопоставлении^ линейными раз»
мерами тела.

488
.ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[ГЛ. VE
и относительные удлинения и относительные сдвиги в пределах
малых элементов тела.
Напротив, условие малости относительных удлинений и сдви-
сдвигов (по сравнению с единицей) в пределах малых элементов тела
още не означает малости перемещений и поворотов. В этом легко
убедиться, рассматривая изгиб тонкого стержня (табл. 1.3, строка 3).
Таким образом, ограничение величины перемещений и поворо-
поворотов является ограничением более жестким, чем ограничение вели-
величины удлинений и сдвигов в пределах малого элемента.
В ряде случаев имеют место большие повороты элементов и малые
сдвиги (например, в изгибаемых балках, пластинах, оболочках);
тогда направление линейных элементов в теле после деформации
в основном определяется поворотом, а не сдвигом, в связи с чем
последним можно пренебречь по сравнению с первым. Такого рода
упрощение в теории изгиба балок, пластин и оболочек широко-
широкоиспользуется. Заметим, что, несмотря на различие в порядке ве-
величин жестких поворотов и сдвигов, те и другие могут считаться
малыми по сравнению с единицей.
Итак, линейная теория деформаций применима при малости
перемещений (по сравнению с размерами тела) и малости углов
поворота (по сравнению с единицей), влекущими за собой ма-
малость относительных линейных и угловых деформаций. В нели-
нелинейной теории деформаций в самом общем случае считается, что
перемещения не малы по сравнению с линейными размерами тела,
углы жесткого поворота элементов не малы по сравнению с еди-
единицей, относительные линейные и угловые деформации (сдвиги)
тоже не малы по сравнению с единицей. В частных случаях
нелинейной теории какие-то из упомянутых величин оказываются
малыми, тогда теория становится проще.
Таблица 6.1
Перемещения
не малы
не малы
ие малы
малы
I
Повороты
не малы
не малы
малы
малы
Удлинения
не малы
малы
малы
малы
Сдвиги
не малы
малы
малы
малы
Примечания
Самый общий случай нели-
нелинейной теории деформации
Нелинейная теория деформа-
деформации гибких элементов (гиб-
(гибкие стержни, гибкие пла-
пластины, гибкие оболочки)
Один из частных случаев
нелинейной теории (пово-
(повороты являются величинами
иного порядка малости,
нежели параметры гх, ...
••• > Угх)
Линейная теория деформации

¦§ 6.9]
ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ
489
В табл. 6.1 показаны некоторые частные случаи теории, соот-
соответствующие различным комбинациям порядков величин переме-
перемещений, поворотов, относительных линейных и угловых деформаций.
.Могут быть и иные частные случаи, в том числе и такие, при
которых, например, малыми оказываются не все повороты или
не все повороты, принимаемые малыми, превосходят параметры
*jrt • • • t Угх-
8. Относительное изменение объема. В нелинейной теории
иным оказывается и выражение для относительного изменения
объема. Исходим из того, что масса элемента вблизи точки
деформируемого тела в процессе деформации не меняется, т. е.
что
pdxdydz = pxdxxdyxdzx, Щ р dx dy dz = Щ p^dy^, F.50)
v v,
где V — объем тела до деформации, Vx — объем, в который преоб-
преобразован V в процессе деформации тела, р и рх — плотности тела
до и после деформации в объеме V и V% соответственно. При этом
Относительное изменение объема
а _ dxidyidzl — dx dy dz _ d
W~ dxdydz ~ axdydz
. _ p
Интеграл, стоящий в правой части равенства F.50J, может быть
представлен в координатах xyz:
где
dx
~~dx~
-\\\
dy
dz,
dz
У dz
dzt dzt dz,
dx dy dz
Сопоставляя F.36) с выражениями для- dxu dyu ofz,
dxi=itdx+itdy+ilrdz №>
можем определитель D представить так:
du du du
F.53)
D =
1 +
dx
dw
~dx~
dx
dz
dz
dw

490 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ [ГЛ. VI
Тогда, подставляя F.52) в F.50), получим
Щ (PlD - р) dx dy dz = 0.
V
Интеграл F.53) должен быть равен нулю при любом V, следо-
следовательно,
p = 0, -?- = D. F.54)
Сопоставляя F.54) с F.51), получаем
O = D-1,
или, после преобразований,
еху егх
ху 1 + 2еу еуг
Раскрывая определитель, учитывая выражения инвариантов тен-
тензора Те и имея в виду обозначение главных относительных линей-
линейных деформаций (Еи Е2, Е3), получим
= A + 2ех) A+ 2еу) () + 2ег) + 2ехуе,1гегх -()+ 2ех) е\2 -
- A + 2еу) elx-(l+ 2ez) 6^=1+2^ (Т.) + 4/2 (Т.) + 8/, (Т.).
Отсюда
9. Упрощения, вносимые в общие зависимости нелинейной1
теории.
9.1. Малая деформация. В случае малых деформаций,
т. е. в случае, когда можно пренебречь компонентами ех, еу, егу
еху, eyz, егх по сравнению с единицей и квадратами этих компо-
компонентов по сравнению с их первыми степенями, из формул F.44)
и F.46) получаем
'Ъ"Ъ'"). F.55>
В условиях малой деформации компоненты ех, еу и ег отож-
отождествляются с соответствующими относительными линейным»
деформациями, а компоненты еху, еуг и- егх — с соответствующими,
сдвигами.
Относительное изменение объема в этом случае
i + Е2 + Е3 = в! + е2+е3 = ех +
Здесь учтены F.55) и выражение первого инварианта тензора

§ 6.9] ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ 491
9.2. Малость деформации и поворотов. Дальнейшие
упрощения оказываются возможными, если малы не только дефор-
деформации, но и углы поворота. В этом случае, пренебрегая квадра-
квадратами углов поворота, можно показать, что
урхъ<ох (хуг).
При этом, пренебрегая в F.41) углами поворота и компонентами
деформации по сравнению с единицей, получаем приближенные
формулы для компонентов деформации:
(ох(оу (хуг).
Подчеркиваем, что здесь как гх, .... угх, так и со*, со,,, щ малы
по сравнению с единицей, однако сами они не одного порядка
малости, поэтому сохранены квадраты и произведения величин
<ох, а>у, сог наряду с первыми степенями вх угх.
Как уже отмечалось выше применительно к наиболее общим
формулам, мыслимы различные варианты упрощений, обусловлен-
обусловленные частными особенностями задачи.
9.3. Классическая (линейная) теория. Если углы
поворота малы и можно пренебречь как их произведениями, так
и квадратами по сравнению с вх, ..., y2J», то уравнения нелиней-
нелинейной теории переходят в уравнения классической механики сплош-
сплошной среды:
ди ди , до . . . .
et*y+-s; (xyz)(uvw).
В этом случае ех, ..., угх приобретают более простой геомет-
геометрический смысл, установленный в §§ 6.2 и 6.3. Тензор 1е пере-
переходит в тензор ТЕ.
При больших деформациях главные оси тензора Те являются
главными осями деформации, т. е. между линейными элементами,
проходящими через рассматриваемую точку тела и совпадающими
с этими осями, в процессе деформации тела сдвигов нет, а отно-
относительные линейные деформации вдоль этих направлений обладают
свойством экстремальности; тензор Т8 также обладает главными
осями, но не совпадающими с главными осями тензора Те, и,
таким образом, они не являются главными осями деформации,
т. е. сдвиги между линейными элементами, проходящими через
рассматриваемую точку тела и совпадающими с главными направ-
направлениями тензора Т8, не равны нулю.
Главным направлениям тензора Т8 соответствует равенство
нулю величин
dv . ди дш . до ди . да>
У*" = дх + ду* Уу* = ~ду + Ж' Угх ~~ Ж + ЛГ'

492 , ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ [ГЛ. VF
которые в общем случае не являются углами сдвига. Вдоль глав-
главных направлений тензора Т, испытывают экстремум его элементы
ди dv dw
e Ъ е
которые в этом случае не являются относительными линейным»
деформациями.
Если есть возможность перейти к линейным зависимостям,.
то главные оси тензора Т8 несущественно отклоняются от глав-
главных осей тензора Те, т. е. от главных осей деформации; поэтому
в случае малой деформации можно считать, как это и было
сделано в § 6.5, что главные оси тензора Те представляют собой
главные оси деформации.
В. В. Новожилов обратил внимание на несовершенство терми-
терминологии теории деформации среды, согласно которой линейная
теория называется теорией малых деформаций, а нелинейная —
теорией конечных деформаций. На самом деле картина выглядит
следующим образом. И в линейной и в нелинейной теориях,
деформации конечные и обычно одного порядка в обеих теориях.
Разница состоит лишь в том, что в линейной теории пренебрегают
влиянием поворотов на относительные линейные деформации и
на сдвиги, а нелинейная теория учитывает это влияние.
Так, например, величины удлинений (укорочений) и сдвигов
как при изгибе тонкой пластины, так и при изгибе толстой
пластины могут быть одинаковыми, однако в первом случае пра-
правомочной оказывается лишь нелинейная теория, а во втором
случае удовлетворяет точности и линейная теория.
Условия совместности деформаций в нелинейной теории очень
сложны; они могут быть выведены только с использованием тен-
тензорного анализа. Поэтому здесь их не рассматриваем.

Глава VII
ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
§ 7.1. Предварительные замечания
В двух предыдущих главах рассматривались закономерности
напряженного и деформированного состояний, присущие любой
сплошной среде. Эти закономерности были установлены независимо
от того, как среда сопротивляется оказываемым на нее воздейст-
воздействиям.
В главе V рассматривалось только равновесие тела или его
элемента, в связи с чем зависимости этой главы имеют стати-
статическую природу. В главе VI анализировалась геометрическая
или, иначе, кинематическая сторона вопроса деформации тела.
Напряжения и деформации оставались между собою не свя-
связанными. Вместе с тем установление такой связи необходимо.
Без этой связи системы уравнений E.59) и F.23) совместно
использованы быть не могут и, таким образом, не может быть
раскрыта механическая (в частности, статическая) неопределимость
напряжений в сплошной среде. Установление зависимостей между
напряжениями и деформациями необходимо и при получении
формулы для потенциальной энергии деформации, а также при
рассмотрении энергетических законов, которым подчиняется твер-
твердое деформируемое тело.
Связь между напряжениями и деформациями определяется
природой сопротивления тела деформациям и, таким образом,
имеет физический характер. Современное состояние науки пока
не позволяет вскрыть исчерпывающим образом и изобразить
в математической форме взаимосвязи между отдельными частицами
тела (молекулами или атомами) при его деформации. Приходится
довольствоваться интегральным эффектом сопротивления те-
тела деформациям, обнаруживаемым экспериментальным путем
при испытаниях образцов. Эксперимент позволяет установить

494 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
зависимость между напряжениями и деформациями в виде кривой
в системе осей напряжение—деформация при определенных
условиях, в частности при тех или иных температуре и режиме
нагружения. Сопротивление тела деформации описывается без
вскрытия физических причин явления, т. е. отражается лишь
внешняя картина последнего. Подобное изучение, как уже отмеча-
отмечалось, называется феноменологическим, внешнеописательным.
Однако, несмотря на феноменологический характер данных,
характеризующих физическую сторону вопроса, этих данных
достаточно для построения математической теории той или иной
среды.
В упругом теле каждый из компонентов напряжений является,
вообще говоря, какой-то функцией компонентов деформаций:
Ox^hiex, ey, ..., егх), ]
G.1)
"^гх == /в \рх> &уг • • • > &zx)t J
Большой практический интерес представляет область малых
деформаций, при которых зависимости G.1) линейны:
ох = Спгх +... + С1в т угх,
Хгх —
G.2)
Эти зависимости для многих материалов хорошо согласуются
с опытными данными, получаемыми при испытании образцов.
Уравнения G.2) по аналогии с линейной зависимостью между
напряжением и деформацией, обнаруженной из опыта над линейно
напряженным образцом Р. Гуком и носящей его имя, называются
уравнениями обобщенного закона Гука. Аналогично можно было
бы представить эти зависимости и в форме, при которой каждый
из компонентов деформации выражен линейно через все компо-
компоненты напряжений:
е* = Snax + • • • + SwTzx
Коэффициенты Q/ и Sy являются постоянными, характеризу-
характеризующими упругие свойства материала, и носят название упругих
постоянных. При этом коэффициенты С,7 называют упругими
жесткоетями, a Sy — упругими податливостями. Чем больше Cijt
тем (при неизменности деформации) большими оказываются напря-

Щ 7.2] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ТРЕХОСНОГО РАСТЯЖЕНИЯ 495
жения, т. е. тем жестче тело. Чем больше S^-, тем (при неизмен-
неизменности напряжений) больше деформации, т. е. тем податливее тело.
Зависимости G.2) и G.3) могут быть представлены в матрич-
матричной форме:
<г = Се, G.2')
8 = So, G.3')
где
1Сц ... С1в| II Sjf ... Sle I!
II II I
— матрицы упругих жесткостей и податливостей.
Если зависимости G.1) в конкретной задаче нелинейны, ее
называют физически нелинейной. Термин физическая нелинейность
отражает то, что нелинейность заключена в физических уравне-
уравнениях, дающих связь между напряжениями и деформациями.
В отличие от этого, как уже было" показано в главе VI (§ 6.9),
нелинейность мо'жет возникнуть и из уточненного рассмотрения
геометрической стороны деформации тела. Такого рода нелиней-
нелинейность носит название геометрической нелинейности.
Один и тот же материал в различных условиях, а также раз-
различные материалы в одинаковых условиях ведут себя по-разному.
Устанавливаемые в опыте зависимости между напряжениями и
деформациями характеризуются многообразными особенностями.
Существует раздел механики, одной из целей которого является
изучение деформации материала и описание ее при помощи урав-
уравнений, имеющих, как и уравнения G.1), физическую природу и
связывающих напряжения и деформации и (или) их производные по
времени. Этот раздел механики называется реологией. Поведение
материала, описываемое законом Гука, является простейшим. Во
многих случаях физические уравнения, или, как их называют иначе,
реологические уравнения, имеют значительно более сложную природу.
В настоящей главе после подробного обсуждения линейно
упругой среды (тело Гука) приводятся краткие сведения из рео-
реологии о других средах (телах) и даются соответствующие им
реологические уравнения.
§ 7.2. Уравнения обобщенного закона Гука
для трехосного растяжения (сжатия) изотропного тела1)
В данном параграфе первые три уравнения обобщенного за-
закона Гука для изотропного тела выводятся исходя из картины
деформации образцов, изготовленных из изотропного материала,
наблюдаемой в опыте с такими образцами. Ниже приводятся
*) Для анизотропных тел закон Гука подробно обсуждается в главе XV.

4D6 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
упомянутые экспериментальные факты, дается вывод уравнений
обобщенного закона Гука и подтверждается, что этих фактов дей-
действительно достаточно для описания связей между напряжениями
и деформациями именно в изотропном теле. Критерием для сужде-
суждения об этом является инвариантность матриц С и S по отно-
отношению к системе координатных осей хуг.
Будем опираться на наблюдаемые в опытах с образцами из
изотропных материалов факты, состоящие в следующем.
Во-первых, при осевой деформации призматического, в част-
частности круглого цилиндрического, образца не происходит измене-
изменения первоначально прямых углов между линейными элементами,
из которых один совпадает по направлению с осью призмы,
а второй лежит в поперечном сечении, т. е. в процессе осевой
деформации образец, изготовленный из изотропного материала,
не перекашивается (такой перекос в случае материала, обладаю-
обладающего, например, общим случаем анизотропии, имеет место).
По сути дела, этот факт показывает в данном случае коаксиаль-
ность тензоров напряжений и деформаций в изотропном материале,
т. е. совпадение в изотропном материале направ-
направлений главных напряжений и главных дефор-
м а ц и й.
Во-вторых, при осевой деформации круглого цилиндрического
образца происходит и поперечная его деформация (одинаковая
во всех поперечных направлениях), составляющая от продольной
деформации долю, определяемую коэффициентом Пуассона (х,
епоп = — М^прод- G.4)
Напомним, что fiS^O. Последние три уравнения обобщенного
закона Гука для изотропного тела рассматриваются в § 7.3,
где используется еще один экспериментальный факт.
Мысленно вырежем из напряженно-деформированного тела
вблизи произвольной точки А элемент в виде кубика с гранями,
совпадающими с главными площадками. Пусть ребра кубика
параллельны осям х, у, г. На гранях элемента действуют главные
напряжения, которым соответствуют нормальные силы, являющиеся
по отношению к кубику внешними. Под влиянием этих сил
в соответствии с отмеченной выше картиной осевой деформации
призмы, изготовленной из изотропного материала, происходит
изменение длин ребер, не сопровождающееся искажением углов
между гранями, т. е. без сдвигов. Изменение длины ребра кубика,
параллельного линии действия напряжения аъ происходит под
влиянием всех трех нормальных сил; при этом под влиянием
нормальных сил, параллельных напряжениям сг2 и сг3. ребро, парал-
параллельное а,, изменяет свою длину за счет эффекта поперечной
деформации.

$ 7.2] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ТРЕХОСНОГО РАСТЯЖЕНИЯ 497
Таким образом, относительную деформацию ъг можно пред-
представить в виде суммы трех величин:
G.5)
Первое слагаемое находится на основании закона Гуна для
случая одноосного напряженного состояния изотропного матери-
материала B.15):
<-%-. G.6)
Второе и третье слагаемые, вызванные соответственно нормальными
напряжениями аг и а3, находятся по формулам, полученным
из G.4):
Ч — Г*?~. Е1 — Г ?
? •
Подставляя G.6) и G.7) в G.5), получаем
81 = ? И1 "?" ~ И1 "?" »V
ИЛИ
ei = ^[cTi-|x(aa + (T3)]. G.8)t
Аналогично выводятся и два других уравнения обобщенного
закона Гука, связывающие компоненты линейных относительных
деформаций с напряжениями в главных осях:
e8 = -^[°r2-M'(or3 + ori)]. e3-=-|r[(T3-fi(ori + or2)]- G.8Jl8
Выведем теперь формулы для относительных линейных деформа-
деформаций в*,, 6У1 и ег, в трех произвольных ортогональных
направлениях, параллельных осям хъ уъ zv не совпадающих
с главными направлениями деформации.
Будем исходить из формул F.15). При этом, так как в нашем
случае оси х, у и г совпадают с главными направлениями дефор-
деформации, e*=*ei. ey=e2, ег=е3, yxy = yyz^yzx=Q,
G.9)
Подставляя в равенства G.9) вместо гъ е2 и е3 их выражения
согласно G.8), получим
1—fi [(а2 + <х3) 1\+(а3 + ах) т\
G.10)

498 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
Прибавим к правой части равенства G.10) следующее выражение,
равное нулю:
(? а А -1- ОД) + (-? в2т1 - ? а,т\) + (f a3n? - ? oyzj).
Тогда G.10) преобразуется к виду
" e*. = i 10 + И) (cn^i + <VnJ + a8nf) -ц (ai + ога + a,) (/[ +/n} + n»].
Учитывая равенства
\= 1, ffi + o2 + ffs=ff*, + ^, + ^,,
a^, G.11)
получаем
«fc. = 7Г К • +1*)a*. - Iх (a*. + a». + **.)]»
или, после приведения подобных членов внутри квадратных скобок,
«*, = ^-К,-Ц К,+ <**,)]• G.12)!
Вторая из формул G 11) изображает первый инвариант напря-
напряженного состояния в точке, а третья получается согласно E.18*),
если учесть, что оси х, у и г —главные и, следовательно,
Аналогично получаются формулы
1 1
Если трех уравнений G.8) достаточно для полного описания обоб-
обобщенного закона Гуна в главных осях, в которых сдвиги отсутст-
отсутствуют, то уравнения G.12), описывающие обобщенный закон Гука
в произвольных (не главных) ортогональных осях, представляют
собой лишь первые три уравнения; помимо них имеется еще три
уравнения, в которых через компоненты напряжений выражаются
относительные сдвиги. Эти уравнения выведены в § 7.3.
Матрица упругости (упругой податливости), преобразующая
компоненты напряжения в компоненты деформации, сохраняет свой
вид в любой системе осей. Действительно, и в уравнениях G.8),
записанных для главных осей, и в уравнениях G.12), справедли-
справедливых для произвольных ортогональных осей, матрица упругой по-
податливости одна и та же:
1 ц
F ~1 ~:
Ё Ё ~Е ' GЛЗ>
Е ~'Ё ?"

$ 7.3) ЧИСТЫЙ СДВИГ. ЗАКОН ГУКА ПРИ СДВИГЕ 499
т. е. инвариантна по отношению к системе координатных осей.
Напомним, что формулы G.8) и вытекающие из них G.12) были
выведены в предположении, что для того, чтобы охарактеризовать
осевую деформацию образца, изготовленного из изотропного мате-
материала, достаточно использовать два наблюдаемых в опыте факта —
совпадение, направлений главных напряжений и главных дефор-
деформаций и наличие эффекта поперечных деформаций (одинаковых,
разумеется, в силу изотропности материала в любом поперечном
направлении). Инвариантность матрицы G.13) по отношению к си-
системе координатных осей подтверждает эту достаточность. Из G.12)
легко усмотреть, что в изотропном теле касательные напряжения
ле влияют на относительные линейные деформации.
В дальнейшем произвольные (не главные) оси будем обозна-
обозначать символами х, у и г, вследствие чего первые три уравнения
. обобщенного закона Гука запишутся в форме
e-v = ? К - Ц К + а*)}> ev = |г К ~ Iх (а* + а*)]>
e, = ^-[a,-|i(a, + ay)]. G.12*)
§ 7.3. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге.
Три последних уравнения обобщенного закона Гука
1. Определение деформации «чистый сдвиг». Чистым сдвигом
называется деформация, которая возникает при напряженном со-
состоянии с главными напряжениями
o3 = — Oi, cra = O. G.14)
Таким главным напряжениям соответствуют круги Мора, изобра-
изображенные на рис. 7.1, а. Из рис. 7.1, а ясно, что на площадках,
нормали к которым составляют с направлениями аа и а3 углы я/4,
действуют напряжения, имеющие только касательные состав-
составляющие
_
Т—
Таким образом, условия G.14) возникновения чистого сдвига могут
быть записаны и так:
ог1 = т, (Т2 = О, а3 = — х, G.15)
а графическое изображение чистого сдвига представимо и в форме,
показанной на рис. 7.1, б, где приведены и соответствующие круги
Мора.
На рис. 7.1, а и 7.1,6 изображена одна и та же картина,
но повернута она относительно другой на я/4.

500
ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VU
Чистый сдвиг можно было бы охарактеризовать и так: это
деформация, возникающая в окрестности точек тела, при которой
Рис. 7.1. Круги Мора при чистом сдвиге: а) определение максимальных касательных
напряжений и площадок их действия по главным напряжениям; б) определение главных
напряжений и их направлений по касательным напряжениям чистого сдвига; в) кар-
картина взаимного расположения главных площадок и площадок, испытывающих лишь
касательные напряжения при чистом сдвиге.
мыслимо выделение элементарного прямоугольного параллелепи-
параллелепипеда с напряжениями на гранях
у
г = %xi = 0.
G.16)

i 7.3]
ЧИСТЫЙ СДВИГ ЗАКОН ГУКА ПРИ СДВИГЕ
50*
Эквивалентность G.16) и G.15) очевидна из рис. 7.1, а, б. Это
подчеркнуто и рис. 7.1, б. По сути дела, G.15) и G.16) —это зада-
задание одного и того же тензора напряжения компонентами, отне-
отнесенными к различным системам ортогональных осей — главным и
осям, делящим углы между ними пополам.
2. Установление связи между углом сдвига и касательным
напряжением. Выделим элементарную прямоугольную призму
с квадратным основанием в окрест-
окрестности точки, испытавшей чистый
сдвиг, так, чтобы основанием приз-
призмы была бы главная площадка
с нулевым главным напряжением,
а боковые грани призмы, на ко-
которых действуют касательные нап-
напряжения, составляли с главными
площадками углы я/4 (рис. 7.2).
В результате сдвига прямые
углы в поперечном сечении призмы
изменяются на величину уХу = У-
Диагональ ВС испытывает уко-
укорочение, характеризуемое относи-
относительной деформацией е3, а диаго-
диагональ AD — удлинение, характери-
характеризуемое ei. Абсолютные укорочение диагонали ВС и удлинение диа-
диагонали AD равны соответственно е3ВС и ziAD.
Удлинение и укорочение отрезков АО и ВО определяется вели-
величинами гхАО и е3ВО. Из рис. 7.2 видно, что Z. В1А1О = п/4 — у/2у
to / R А
tg l ViA
Здесь учтено, что АО
ИЛИ
в
Рис. 7.2. К установлению связи между
касательными напряжениями чистого
сдвига и углом сдвига.
О!Ь
U - Л]0 - A0A+ei)
ВО. На основании G.8) и G.14) имеем
8j = — вз — e — •
Итак,
'Л _ 11 =
1+81
1-8
1+8-
G.17)
В -силу малости у можем считать, что tg (у/2) «=> Y/2; тогда G.17)»
приобретает вид
1— у/2 _ 1-е
1 + V/2 ~ 1+е1

02 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
откуда
или
T = TWV. G.18)
Введем обозначение
Величину G называют модулем упругости при сдвиге или просто
модулем сдвига. Уравнение G.18) с учетом G.19) приобретает вид
x = Gy G.20)
и называется законом Гука при чистом сдвиге. Эксперимент на
чистый сдвиг с тремя одинаковыми образцами, каждый из кото-
которых представляет собой прямоугольный параллелепипед, изготов-
изготовленный из изотропного тела, показывает следующее. Если первый
образец загрузить так, чтобы чистый сдвиг происходил в плоско-
плоскости ху, второй — в плоскости уг и третий — в плоскости гх (ребра
параллелепипеда параллельны осям), то обнаруживается, во-пер-
во-первых, что изменение углов между гранями в плоскостях, парал-
параллельных одной координатной плоскости, не сопровождается изме-
изменением углов между остальными гранями; во-вторых, что сдвиги
не сопровождаются изменением линейных размеров ребер, т. е. они
не связаны с линейной деформацией (этот факт выше уже отме-
*чался).
Таким образом, формула G.20) позволяет записать три послед-
ших уравнения закона Гука:
^xy = Gyxy, Xyz = Gyyi, xzx = Gylx, G.21)
соответствующие трем сдвигам, происходящим независимо один от
.другого в трех ортогональных плоскостях ху, уг и гх.
§ 7.4. Две формы записи уравнений закона Гука
для изотропного тела
Уравнения G.12) и G.21) в совокупности изображают обобщен-
обобщенный, закон Гука для изотропного тела:
_ 1 ,
гг = -g- [az — \i
Уху = 7f xxy,
(°y + O2)], 1
(Ox + Oy)),
, _ 1
zv — ~p [°y ~ I1
\ Z Q
(аг + ах)],
G.22)
Из G.22) видно, что в уравнениях закона Гука для изотропного
тела содержится две независимых упругих постоянных (Е и ц,

S 7.51 МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ГУКА 503"-
или ц и G, или G и Е), третья же постоянная из числа Е, ц и G
находится по двум другим из зависимости G.19).
Уравнения закона Гука могут быть представлены и в другой
форме, в которой каждый из компонентов напряжения выражен
через компоненты деформации. Для этого достаточно уравнения.
G.22) решить относительно компонентов напряжений:
G.23>
Здесь
Уравнения G.23) можно изобразить и иначе —в форме, пред-
предложенной Ламе:
ах = Х& + 2vex, оу = Ы + 2v?y, ог = Ы + Ъгг, \
> G.24)
y, tyz = VVyz, tzx = Vyzx. J
Здесь X и V —так называемые упругие постоянные Ламе.
Сопоставляя системы уравнений G.23) и G.24), убеждаемся»
в их идентичности при
^ —G
В дальнейшем символом v пользоваться не будем и будем приме-
применять символ С
§ 7.5. Матричная форма закона Гука
1. Закон Гука для шаровых тензоров. Установим зависимость
между компонентами шаровых тензоров деформации и напряжения,
с этой целью рассмотрим сумму первых трех уравнений закона
Гука G.22):
чх + еу + чг = -g[(ox + oy + ell) — 2iL(
или
где
в =
Если ввести обозначение
« = т4г. G-27)

504 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
то из G.26) получим
0 = -®, G.28)
т. е. относительная объемная деформация' в окрестности точки
напряженно-деформированного тела прямо пропорциональна сумме
трех нормальных напряжений и обратно пропорциональна вели-
величине К. Величина К характеризует сопротивляемость тела объем-
объемной деформации, почему ее называют модулем объемной упругости
(модулем объемной жесткости).
Легко видеть, что при ^ = 1/2 К-*-оо и, следовательно, объем
не изменяется (# = 0). Если бы ц оказалось больше, чем '/а» то
модуль К приобрел бы отрицательный знак и, таким образом,
получилось бы, что при трехосном растяжении кубика, выделен-
выделенного в окрестности некоторой точки тела, т. е. при в = ах -\- ау -f-
+ ог > 0, объем кубика уменьшался бы, чего быть не может.
Выше был установлен нижний предел для коэффициента Пуассона
^0^[i). Здесь установлен и верхний предел (цг^/г); таким обра-
образом у различных изотропных материалов
Такие именно пределы изменения коэффициента Пуассона у всех
изотропных материалов и наблюдаются в опыте.
Зависимость G.28) может быть представлена и в форме
ед = ^, ао=/Сео G.29)
или
|а0 й 0 | |е0 0 0 |
0 а0 0 =/( 0 8о 0 . G.30)
0 0 а01| 10 0 во 1
Уравнение G.28), или G.29), или, наконец, G.30) изображает
закон Гука для объемной деформации (для шаровых тензоров на-
напряжений и деформаций).
2. Закон Гука для девиаторов. Установим зависимости между
компонентами девиаторов напряжения и деформации. Вычитая а0
из правой и левой частей первого уравнения группы G.22), по-
получим
ax-a0 = 2G[ex + T^^]-a0 G.31)
или, учитывая, что д = Зе0 и
а - Е - .-За + цХ?
сто~_ 2цг°~ 1— 2(х 0>
и подставляя G.32) в правую часть G.31), будем иметь
а, - а0 = 2G [е, + -А- е0 - ±±± е»] = 2G (гх - ej. G.33)

§ 7.5] МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ГУКА
Аналогично
605-
G.33>>
Представим- последние три уравнения системы G.23) в виде
x 2Gy t 2G 2Gy
G.34>-
В левых частях уравнений G.33) и G.34) имеем компоненты девиа-
тора напряжений, а в правых частях, при одинаковом во всех урав-
уравнениях множителе 2G, имеют место компоненты девиатора дефор-
деформаций; поэтому в матричной форме уравнения G.33) и G.34) могут
быть записаны так:
к- — &п t
ух
ИЛИ
= 2G
Da=2GDe
sx — ео
1
у Уху
1
2 Угх
-2 Уху
Ъу — е0
у Ууг
1
У
Ууг
-е„
G.35>
G.35'>
Уравнения G.33) и G.34) или G.35) изображают закон Гука для*
девиаторов, т. е. для формоизменения. Итак, компоненты напря-
напряжений и деформаций, соответствующие изменению формы, пропор-
пропорциональны друг другу. Коэффициентом пропорциональности яв-
является удвоенная величина модуля сдвига.
В главе VI было показано, что первый инвариант тензора,
деформации равен относительному изменению объема тела в окрест-
окрестности рассматриваемой точки тела. Так как у девиатора деформа-
деформации первый инвариант равен нулю, его компоненты характери-
характеризуют изменение лишь формы элемента (без изменения его объема).
Та доля полной величины компонентов напряжений, которая вхо-
входит в шаровой тензор напряжения, приводит к изменению лишь
объема элемента, без изменения его формы. Вследствие же воз-
воздействия на элемент остальной части полной величины компонентов
напряжений, т. е. части, входящей в девиатор напряжения, проис-
происходит изменение лишь формы элемента, без изменения его объема.
Закон Гука для полных величин напряжений и деформаций
имеет вид
3. Еще одна форма записи закона Гука. Покажем закон Гука,
выраженный через интенсивности касательных напряжений и де-
деформаций сдвига. В главах V и VI были получены выражения
для интенсивности касательных напряжений" и интенсивности

S06 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
деформаций сдвига:
х, = Yi V(°i ~ о2J + (о* - ояJ + (ст3 -
VI
Vi = у у V (?i - е*J + (в, - е3J + (е, - е,
В главных осях, уравнения G.23) имеют вид
G.36)
'Отсюда легко перейти к следующим зависимостям:
a1 — a2^2G(e1 — e2), a2 — a3 = 2G(e2 -e3),, a3 -a, = 2G (eg-e^.
G.37)
Подставляя G.37) в G.36)!, найдем,
- е2J + (е, - е3J + (е3 - гг)*. G.38)
¦Сопоставляя G.38) с G.36J, получим зависимость, изображающую
закон Гука в терминах тг и у,-:
t, = Cv/. G.39)
Аналогично можно изобразить закон Гука и через интенсив-
яость напряжений а( и интенсивность деформаций е,-:
Подставляя G.37) в G.40)ь получим
G.40)
ст' = У\. 2G У ^ ~ б2J + ^ ~ е^J + (?з - ?iJ • G-41)
-Сопоставляя G.40J с G.41), получим зависимость, изображающую
закон Гука в терминах at и е;:
ст, = ЗСе;.
§ 7.6. Графическая интерпретация коаксиальности
тензоров напряжений и деформаций
Следствием наблюдаемых в опытах с изотропными материа-
материалами совпадения главных осей тензоров напряжений и деформа-
деформаций (учтенного при выводе уравнений обобщенного закона Гука)
и линейности зависимости между напряжением и деформацией
в линейно напряженном образце является подобие диаграмм Мора

S 7.7] УДЕЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ 507'
для напряжений и деформаций, относящихся к одной и той же-
точке напряженно-деформированного тела.
Рассмотрим первые три уравнения закона Гука G.23). Вычтем
из первого второе, из второго — третье и из третьего — первое,.
в результате будем иметь
сг, — оу = 2G {ех — е„), оу — аг = 2G (еу — ег), аг — ох = 2G (ег — гх).
G.42)-
Сопоставляя уравнения G.42) и последние три уравнения.
G.23), обнаруживаем, что
ах~°у ау — аг °г — ах ^ху^?? Ifl 9Г
Ъх—Ъу ~~ Ъу-ег ~ Ьг — Ьх ~ (V2) Уху ~ (Vj) Ууг ~~ Ш Угх ~
или, аналогично, применительно к главным направлениям
81—62 63—63 83 —в!
Сопоставляя теперь диаграммы Мора, построенные для одной-
и той же точки напряженно-деформированного тела, убеждаемся!
в их подобии.
§ 7.7. Удельная потенциальная энергия деформации
изотропного тела
Выведем формулу для W — так называемой удельной потенци-
потенциальной анергии деформации в изотропном теле, т. е. энергии, на-
накапливаемой в единице объема тела. С этой целью рассмотрим*
бесконечно малый элемент тела (кубик) с ребрами dx = dy — dz^
вырезанный так, чтобы грани его совпадали с главными -площад-
-площадками; тогда ох = ои оу = о2, oz = Os, xxy — xyll = xzx = 0. Потенци-
Потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе, равна*
W их dy dz. Энергия W dx dy dz, накапливаемая в таком элементе,,
численно равна работе внешних по отношению к элементу сил»
под влиянием которых он деформируется. Такими силами являются
внутренние силы упругости, интенсивность которых равна напря-
напряжениям на соответствующих гранях элемента; силы, действующие
на них, суть Oidydz, o2dzdx, a3dxdy.
На рис. 7.3, а, б, в силы, приложенные к элементу, показаны*
отдельно. На этих же рисунках показаны обобщенные перемеще-
перемещения, соответствующие этим силам, т. е. перемещения, на которых
силы производят работу; разумеется, указанные перемещения
вызваны всей совокупностью приложенных к элементу сил. Попе-
Поперечное сужение призмы при ее растяжении на рис. 7.3 не пока-
показано. Обобщенные перемещения, на которых силы производят
работу, равны абсолютным удлинениям ребер:
= ег dz = е3 dz.

«08
ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VII
Работа всех сил, приложенных к элементу, равна сумме работ
каждой из сил на соответствующем ей перемещении, вызванном
всеми силами.
Определим работу сил в процессе нагружения тела, т. е. в про-
процессе их роста от нуля до окончательного значения. Вследствие
линейной зависимости между силами и соответствующими им пере-
перемещениями (закон Гука) работа каждой силы равна половине
Ч»ис. 7.S. К определению удельной потенциальной энергии деформации в изотропном
произведения окончательного значения силы на соответствующее
-ей перемещение. Этой работе численно равна потенциальная энер-
энергия деформации
W dx dy dz = ~ (at dy dz
dzdx-B%dy-\-a3dxdy-e3 dz)
«ли
Если воспользоваться уравнениями закона Гука в форме G.8),
W можно выразить только через компоненты напряжений:
№ = w [a\ + ai + al - 2ц (ata2 + a2a3 +
G.43)
Если воспользоваться уравнениями закона Гука в форме G.23),
можно W выразить только через компоненты деформаций:
G.44)
1—2ц
Величина W представляет собой полную удельную потенциаль-
яую энергию деформации.
В функцию W входят лишь члены, содержащие либо квадраты
величин еь е2, е3, либо произведения двух величин из числа
указанных трех. Такая функция называется однородной квадра-
квадратичной функцией относительно elf e2, es. W >> 0, если хотя бы

§ 7.7) УДЕЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ 509
одна из величин еь е2, е3 отлична от нуля. При одновременном
равенстве нулю всех ek(k—\, 2, 3) W = 0.- W включает в себя
удельную потенциальную энергию деформации изменения объема Wo
и удельную потенциальную энергию формоизменения Wg:
Найдем эти слагаемые. Величина Wo может быть найдена так:
Wo dx dydz = z(j °0 dxdy-eodz}, Wo = у аоео G.45)
или, учитывая G.29)! и G.27),
W - 3 a gQ2|*) 3('2M)
g 2? °*
Если в G.45) выразить a0 через е0 на основании G.29)а, то
w°=4 е«л^г е« = т T^ire»-,
Имея выражения для W и Wo, можно найти
Вычитая G.46)t из G.43) и учитывая.вид формулы для а0, по-
получим
W
3A— 2u) /CTl+O, + <78 \2 1 +U г -1
4? СТ2J + (а, - а3)* + (а, - а^]. G.47)
В случае одноосного напряженного состояния, т. е., например,
при а1 ФО, Оъ = о3 = 0, выражения для W, Wo и Wg приобре-
приобретают следующий вид:
W-W W—^ob W~±±±o\
G.48)
Вычитая G.46J из G.44) и производя преобразования, найдем
^ [( )
т е, - Ё1J + (в! - е3J]. G.49)
Сопоставляя G.47) с выражением для /2 (Do):
h (Do) = | [(О! - a2J +¦ (о, - a3)* + (a, - dJ],
можем заключить, что
^L G.50)

510 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VU
Формула G.50) позволяет дать энергетическую интерпрета-
интерпретацию второму инварианту девиатора напряжения. С точностью да
постоянного множителя 2G второй инвариант девиатора напря-
напряжений представляет собой удельную потенциальную энергию
формоизменения.
Сопоставляя G.49) с формулой для /2 (De):
h (De) = ~ [(ex - е2J + (е2 - е3J + (е3 - ej2],
можем заключить, что
157
b) /(D) 5!
5<! G.51),.,
Формула G.51J позволяет дать энергетическую интерпретацию
второму инварианту девиатора деформации.' С точностью до
постоянного множителя 11?р второй инвариант девиатора дефор-
деформации представляет собой удельную потенциальную энергию
формоизменения.
Имея G.50) и G.51), легко установить связь между вторыми
инвариантами девиаторов напряжений и деформаций. Эта связь
имеет вид
/2(DCT) = BGJ/2(DE). G.52)
Извлекая корень квадратный из обеих частей равенства G.52)
и учитывая следующие формулы для т; и у,-:
получим
т, = Gyh
т. е. ранее найденную форму записи закона Гука через интенсив-
интенсивности касательных напряжений и деформаций сдвига G.39).
Из формул G.50) и G.51) формально следует, что любое выра-
выражение для Wg является инвариантным к ортогональному преоб-
преобразованию координатной системы, так как We выражается череа
инварианты к этому преобразованию. Указанная инвариантность
энергии совершенно очевидна и из простых физических соображе-
соображений, а именно величина потенциальной энергии системы не
должна зависеть от того, в какой из систем координат ее вычис-
вычисляют. Количество удельной энергии в окрестности некоторой
точки следует рассматривать как объективную реальность,
не зависящую от субъективного подхода исследователя, выбираю»
щего ту или иную систему координат.

§ 7.8) НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ РЕОЛОГИИ Б11
§ 7.8. Некоторые основные понятия реологии
1. Общие соображения. Одной из основных задач реологии
является установление связей между параметрами, характеризую-
характеризующими физические признаки тела (материала), проявляемые
в макроопыте. Реология х) изучает с единых позиций как твердые,
так и жидкие тела.
С состоянием тела отождествляют совокупность величин,
характеризующих физические признаки тела. Такими величинами
являются напряжения, деформации, скорости деформации,
скорости изменения напряжений2). Уравнения, описывающие
состояние тела во времени в терминах указанных величин,
называются уравнениями состояния или реологическими уравне-
уравнениями. Одним из примеров реологических уравнений являются
уравнения закона Гука. Реологические уравнения состояния
содержат некоторые скалярные величины—постоянные, имеющие
физическую природу и являющиеся мерой реологических свойств
тела. Такие величины называются в реологии «реологическими»
коэффициентами или «модулями». Фундаментальной аксиомой
реологии является утверждение о наличии у каждого из реаль-
реальных жидких и твердых тел всех реологических свойств,
проявляемых, однако, в разных телах и в различных условиях
в неодинаковой мере.
В главе IV был показан ряд характерных примеров поведения
реальных материалов под нагрузкой во времени (ползучесть,
релаксация, упругое последействие, текучесть и т. п.). Исто-
Исторически отдельные реологические уравнения состояния возникали
в связи с необходимостью математического описания такого
поведения. Разумеется, наблюденная в опыте картина поведения
реального материала изображается не с абсолютной точностью,
а приближенно. Фактически реологическое уравнение описывает
не реальный материал, а его схему — идеальный материал. Чем
•) Подробно с реологией можно познакомиться по следующим книгам:
Рейн ер М., Десять лекций по теоретической реологии, перев. с англ.
М. П. Воларовича и А. М. Гуткина, под общ. ред. М. П. Воларовича,
Гостехиздат, 1947.
Рей не р М., Деформация и течение. Введение в реологию, перев.
со 2-го англ. изд. под ред. Л. В. Никитина и др., Гостоптехиздат, 1963.
Р е й и е р М., Реология, перев. с англ. Н. И. Малинина под ред.
Э. И. Григслюка, «Наука», 1965.
Реология. Теория и приложения, под ред. Ф. Эйриха, перев. с англ., под
общ. ред. Ю. Н. Работнова и П. А. Ребиндера, ИЛ, 1962.
Ра бот нов Ю. Н., Ползучесть элементов конструкций, «Наука», 1966.
а) В главе XV дается более общая постановка вопроса, в которой рас-
рассматриваются совместно происходящие и взаимно влияющие механические,
тепловые и электрические процессы. В таком случае состояние тела, кроме
отмеченных выше величин, характеризуют еше и такие параметры, как
температура и энтропия, напряженность метрическою поли и индукция,.

512 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
ближе эта схема по свойствам к реальному материалу, тем ближе
результаты, получаемые на основе реологического уравнения,
к картине, наблюдаемой в опыте.
В некоторых случаях реологические уравнения составлялись
на основе теоретических схем структуры реального материала
и затем проверялись в опыте с реальным материалом. Хорошая
согласованность результатов опыта и теории подтверждает эффек-
эффективность принятой теоретической схемы. Отдельные идеальные
материалы (тела), изучаемые в реологии, носят имена ученых,
предложивших эти схемы, например, —тело Гука. Реологические
уравнения, имеющие физическую ( в феноменологическом смысле)
природу, позволяют' вместе с уравнениями равновесия и совмест-
совместности деформаций вскрыть механическую неопределимость напря-
напряжений в теле.
- Имеется два идеальных тела, ограничивающих с двух сторон
идеальные тела реологии, но не изучаемые в реологии. Такими
телами являются абсолютно твердое тело—тело Евклида и
идеальная жидкость—жидкость Паскаля. В теле Евклида
деформации равны нулю, а в теле Паскаля касательные компо-
компоненты напряжения равны нулю, т. е. равны нулю силы вязкого
взаимодействия частиц жидкости. Эти два крайних случая области
твердых и жидких тел изучаются не реологией, а механикой.
В реологии, в частности, изучаются такие представители
классических идеальных Тел, как твердое тело Гука, жидкость
Ньютона и твердое тело Сен-Венана. Первое—идеальное линейно
упругое тело—является объектом классической теории упругости,
второе —«простая», вязкая жидкость—объектом классической
гидродинамики, третье—твердое тело, имеющее предел текучести,
ниже которого тело является абсолютно твердым, а при дости-
достижении которого течет, — изучается в теории идеальной пла-
пластичности.
Изотропность материала позволяет представить физические
соотношения в каждом случае в виде двух реологических уравне-
уравнений состояния—одно из них относится к изменению объема, а
второе — к формоизменению.
. С достаточной точностью первое уравнение для всех жидких
и твердых тел может быть принято в одинаковой форме, так как
объемная деформация практически и у всех жидких и у всех
твердых тел может рассматриваться как линейно упругая.
Таким образом, первое реологическое уравнение для всех мате-
материалов имеет вид1)
!) Более детальное исследование показывает, что и изменение объема
у разных тел может характеризоваться проявлением различных реологических
свойств. Наподобие того, как упругость проявляется и при изменении объе-

7.8] НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ РЕОЛОГИИ
513
Реологические различия проявляются при формоизменении,
т. е. во второе реологическое уравнение в каждом частном случае
входят компоненты девиаторов напряжения, деформации и (или)
их скоростей. Итак, в рамках определенной точности изменение
объема подчиняется у большинства тел единому закону, а формо-
формоизменение у разных тел различное.
Реологическое уравнение можно представлять и сразу для
полных напряжений и деформаций и (или) их производных, без
разбиения на доли, относящиеся к изменению объема и изменению
формы.
Если реологическое уравнение связывает тензоры напряжения
и деформации х) в изотропном теле:
R(Ta, T8) = 0, (а)
то и оператор R в (а) является изотропным2). Это обстоятельство
выше на примере закона Гука уже было обследовано—было
показано, что при повороте осей прямоугольной системы коорди-.
нат структура уравнений и величины входящих в них реологичес-
реологических (в случае закона Гука — упругих) коэффициентов (модулей)
не изменяются.
2. Классические тела реологии и реологические свойства.
2.1. Вводные замечания. Число различных идеальных
реологических тел практически неограннчено. Многие из них
могут быть построены на основе всего лишь трех простейших
тел, называемых классическими, — тела Гука, тела Ньютона и
тела Сен-Венана. В отличие от классических тел остальные назы-
называются сложными. В соответствии с таким делением тел клас-
классифицируются и реологические свойства, которые могут быть
фундаментальными и сложными. К первым относятся: упругость,
вязкость и пластичность (внутреннее трение). Сложные свойства
являются комбинациями элементарных. Некоторые из сложных
свойств получили специальное название: последействие, релак-
релаксация и т. п. Кроме трех отмеченных можно указать еще одно —
четвертое фундаментальное свойство—прочность. Это свойство
в настоящей главе не обсуждается и полностью отнесено в главу
ма (модуль к) и при изменении формы (модуль С?), обнаруживаются в обоих
видах деформации — объемной и изменения формы — три других характерных
свойства: последействие, релаксация и текучесть. Каждое из этих свойств
в каждом из двух видов деформации характеризуется своим реологическим
модулем. Таким образом, имеет место парность модулей, наподобие парности
модулей упругости к и G. Текучесть при изменении объема связана е увеличе-
увеличением или уменьшением объема пустот в материале.
!) Здесь а и е — напряжения и деформации. Индексы компонентов у о и
е в (а) опущены. В дальнейшем в настоящем параграфе имеется в виду спе-
специальная символика (см. стр. 617); при этом компоненты девиаторов напряже-
напряжений и деформаций обозначаются соответственно символами Sy и 9у.
2) То есть сохраняет свой вид при повороте осей.
17 А. П, Филин-л ",

614 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VII
VIII, в которой наряду с этим свойством рассматриваются и
другие.
2.2. Твердое тело Гука. Классическое тело Гука имеет
фундаментальное свойство — упругость. Реологическое уравнение
для компонентов девиаторов имеет вид
Stj = 2вэи.
Для полных напряжений реологическое уравнение имеет видх)
здесь
I u 2G_ Е 2
3 3A-2A) 3
— первая постоянная Ламе.
2.3. Ньютонова жидкость. Реологическое уравнение
ньютоновой жидкости имеет вид2)
sij = 2г\эи\
здесь т|—коэффициент (сдвиговой) вязкости, измеряемый в пуа-
пуазах3). Работа, затрачиваемая на формоизменение ньютоновой
жидкости, непрерывно и полностью рассеивается; работа, затра-
затрачиваемая на изменение объема, переходит полностью в потенциаль-
потенциальную энергию.
Реологическое уравнение для полных напряжений записывается
так:
2.4. Тела Сен-Венана и Прандтля. До некоторого
предельного значения напряжения (sT]ij — предела текучести — тело
Сен-Венана является абсолютно твердым; по достижении равенства
материал пластически течет.
Тело Прандтля характеризуется наличием линейной упругости
до достижения напряжением предела текучести и пластическим
течением — по достижении этого предела.
*) Приводимое ниже уравнение получено из поясненного уже уравнения
Тст = Кго\ + 2GDe,
или, иначе,
путем прибавления к правой части нулевого выражения 2Geo6y—2Geo5y)
тогда
2G
оц=\ у. тг-
2) Точка над буквой — символ производной по времени.
8) 1 пз = дин ¦ см ~2 сек.

§ 7.8]
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ РЕОЛОГИИ
Б15
На рис. 7.4 показаны диаграммы Р — Д/ и а — в для тел Гука, Нью-
Ньютона, Сен-Венана и Прандтля. В диаграмме Сен-Венана изображен
зуб текучести. Реологические тела символически обозначаются
так: тело Гука —Я, тело Ньютона —./V, тело Сен-Венана — St-V.
Можно представить механические аналоги реологических тел.
На рис. 7.4, а, б, в изображены эти аналоги.
Рис. 7.4. Классические тела реологии: а) модель тела Гука; б) модель тела (жидкости)
Ньютона; в) модель тела Сен-Венана; г) диаграммы тела Прандтля; д) диаграммы Р — Д/ и
о — е тела Гука; е) диаграммы Р — \1 и о — g тела Ньютона; ж) диаграммы Р — Д/ и о—в
тела Сен-Венана; / — сила трения покоя, 2 — сила трения движения, ав н <JH — верх-
верхний н нижний пределы текучести.
Аналогом тела Гука является пружина, тела Ньютона —пор-
—поршень, вставленный с зазором в цилиндр, наполненный вязкой
жидкостью; тела Сен-Венана — элемент сухого трения; при этом
верхнему пределу текучести соответствует трение покоя, а ниж-
нижнему—трение движения. Отметим, что модели работают на простое
растяжение, но они способны описать и общий случай напряжен-
напряженного состояния.
3. Сложные реологические тела.
3.1. Общие положения. Соединяя различным образом
элементы, соответствующие телам Н, N и St-V, можно получить
механические модели значительно более сложных по своим свой-
свойствам реологических тел, оставаясь в области тел, обладающих
линейными упругостью и вязкостью. При составлении реологи-
реологического уравнения сила в механической модели заменяете»
напряжением, а удлинение —относительной деформацией. Соеди-
17*

Б16
ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. VII
нение элементов может быть как параллельным, так и пос-
последовательным (рис. 7,5). На рис. 7.5, а показано параллельное
соединение двух моделей классических тел: Н и N', дающих
в результате так называемое тело Кельвина К. Такое соединение
символически обозначают H/N (т, е. K = H/N). При параллель-
параллельном соединении нагрузка, передаваемая элементами, составляет
общую нагрузку, скорости же деформации у элементов одинаковые.
На рис. 7.5, б изображено последовательное соединение двух
моделей классических тел: N и Н, дающее в результате так
называемое тело Максвелла М. Последовательное соединение
символически обозначают N — H (т. е. M = N — H). При таком
соединении полная скорость удлинения
равна сумме скоростей составляющих
элементов, при этом каждый из элемен-
элементов передает всю нагрузку.
Ряд сложных тел имеют модели,
включающие в свой состав не два,
а большее (в принципе значительно боль-
большее) число элементов.
Тело К воспроизводит явлениеупру-
гого последействия, неустановившейся
ползучести и применимо ко всем мате-
материалам, обладающим этими свойствами.
Оно'было предложено с целью объясне-
объяснения затухания упругих колебаний. Тело
М описывает явление релаксации, на-
наблюдаемое в ряде материалов. Другие
реологические тела также позволяют
анализировать целые категории различ-
различных на первый взгляд материалов. Это оказывается возможным
благодаря огромному многообразию мыслимых комбинаций число-
числовых значений реологических модулей. Предложены же были мно-
многие реологические тела в связи с исследованиями конкретных
материалов, находящихся в тех или иных определенных условиях.
Некоторые тела могут явиться частным случаем других тел
при определенных предельных значениях реологических модулей.
Например, из тела Кельвина получается тело Гука при r)s = 0
(см. G.53)), из тела Максвелла — тело Ньютона при 1/G = O
(см. G.54)).
3.2. Тело Кельвина1). Если учесть вид реологических урав-
уравнений тел Н и N, реологическое уравнение тела К приобретает вид
sy = 2(fev + 2ibfy. G.53)
Интеграл уравнения G.53) обсуждается в главе X.
!) Уильям Томсои, лорд Кельвин (William Thomson, Lord Kelvin, 1824—>
1907) —английский (шотландец по происхождению) физик и механик.
Рис. 7.5. Комбинации элементов
классических тел: а) параллель-
параллельное соединение элементов тел
Гука и Ньютона, дающее мо-
модель тела Кельвина; 6) после-
последовательное соединение элемен-
элементов тел Гука и Ньютона, даю-
дающее модель тела Максвелла.

<§ 7.8] НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ РЕОЛОГИИ 517
3.3. Тело Максвелла1). Реологическое уравнение тела М
имеет вид
Здесь э\] — скорость деформации формоизменения, включающая
и скорость упругих деформаций и скорость течения.
Решение этого уравнения обсуждается в главе X.
3.4. Принципы построения сл.ожных реологиче-
реологических тел. Построение сложных реологических тел мыслится на
основе различных принципов. Можно ввести понятие обобщенного
линейного тела, описываемого реологическим уравнением
«о + O-iSi) + аг8и + а3эи + афч = О,
из которого как частные случаи при соответствующем выборе
коэффициентов at получаем тела Н, N, St-V, К, М и ряд более
•сложных.
Новые реологические тела могут быть предложены путем
использования механических моделей, в которых параллельно
или последовательно соединены модели уже известных сложных
тел. Следует, однако, иметь в виду, что такое соединение не
всегда приводит к качественно новому результату.
Если соединить параллельно или последовательно две модели
тела Н, то' в результате не возникнет качественно новой механи-
механической модели реологического тела; полученной таким образом
модели по-прежнему соответствует тело Я. Аналогичная ситуация
имеет место и в случае тела N или St-V.
Рассмотрим тело Mi — M2-
Реологическое уравнение этого тела (скорость деформации тела
равна сумме скоростей деформации тел Мг и М2) имеет вид
1 1 . 1 1
ЭЧ = S'/ + s + S + s
или
где
JL —J-J--L -L-JL_i_J_
Таким образом, взяв комбинацию Мг — М2, получили реологическое
уравнение той же структуры, что и у каждого из тел Mi и М2.
То есть такая комбинация не позволяет получить нового реоло-
шчеекого тела. Если же рассмотреть тело Mi/Ma (имеется в виду
1) Джемс Кларк Максвелл (Jams Clerk Maxwell, 1831—1879) —английский
(шотландец по происхождению) физик.

518 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ VII
случай постоянства скоростей деформации тел Мг и /И2), то
реологическая модель, ему соответствующая (напряжение тела
Mi/M2 равно сумме напряжений тел Mi и М2), имеет такой вид,
что только в случае
G G G.55)
тело Mi/М9 деформируется с постоянной скоростью при постоян-
постоянных напряжениях, т. е. так, как деформируется каждое из тел
Mi или М2. При несоблюдении же условия G.55) получаем
качественно новое, отличное от М, тело.
Итак, несколько последовательно соединенных тел М ведут
себя как одно тело М, но несколько параллельно соединенных
тел М имеют природу качественно нового тела — с переменными
реологическими параметрами. Наоборот, несколько тел /С, соеди-
соединенных последовательно, ведут себя как новое тело, при парал-
параллельном же соединении нескольких тел /С получаем тело, ведущее
себя как одно тело К.
Иногда даже очень большое число классических элементов
в реологической модели не позволяет получить требуемых свойств
последней. Тогда можно ввести величину
i|j = sW. G.56)
Реологическое уравнение, в котором вместо реологического модуля
использовано г|), обладает значительной гибкостью. В частности,
из него одного можно получить как реологическое уравнение
тела Н, так и тела N — жидкости Ньютона. При Р = 1 и й = 0
величина г|) является модулем упругости, при р = 1 и k—\ —
коэффициентом вязкости, а в промежуточных случаях — имеет
более сложную природу; t в G.56) — время.
Преобразуя G.56), можно получить такое выражение для i|j,
которое позволяет описывать процессы с одновременным измене-
изменением как напряжения, так и деформаций.
3.5. Ограниченность возможностей классиче-
классической реологии. Классическая реология, изучающая линейные
реологические тела, имеет определенную область применения,
ограниченную самим фактом линейности уравнений.
М. Рейнер приводит весьма наглядный пример, показывающий,
что не всегда эффекты второго порядка (нелинейные) меньше эф-
эффекта первого порядка.
Если в функции
(±j G.57)
безразмерная величина bx/a^l, то получаем достаточно точную
аппроксимацию функции G.57):
у = ах.

§ 7.8] НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ РЕОЛОГИИ 519
Если же Ьх/сиы1, то приближение G.57) приводит к большим
погрешностям, и вместо него необходимо пользоваться самой
функцией G.57). Если же, наконец, Ьх/а^>\, то первый член
в G.57) становится малосущественным, и функцию G.57) можно
аппроксимировать так:
у = Ьх2.
В связи с этим М. Рейнер отмечает четыре недостатка классиче-
классической теории. Два из них связаны с геометрической линеаризацией.
Такую линеаризацию нельзя производить, во-первых, если в теле
большой гибкости, имеющей место вследствие его геометрической
формы, наблюдаются значительные повороты: перемещения, связан-
связанные с поворотами, в таких телах могут быть очень большими
(см. табл. 1.4); во-вторых, линеаризацию нельзя производить,
если обнаруживается существенная разница между условной
и истинной деформациями.
Два других недостатка классической теории связаны с физи-
физическими обстоятельствами — с физической линеаризацией реологи-
реологического уравнения состояния, т. е. с сохранением в последнем
лишь членов, содержащих тензоры в степени не выше первой,
и с принятием постоянства реологических коэффициентов (моду-
(модулей), т. е. независимости их от температуры и от тензоров (на
самом деле такая зависимость имеет место).
В реологии рассматриваются и все упомянутые явления выс-
высших порядков. Здесь мы на них не останавливаемся.

Глава VIII
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕРИАЛА
В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
§ 8.1. Предварительные замечания
1. Зависимость сопротивляемости материала возникновению
предельного состояния в локальной области от напряженного
состояния и от истории нагружения. До сих пор при рассмотре-
рассмотрении сопротивляемости материала разрушению или возникновению
текучести имелась в виду работа его в условиях линейного
напряженного состояния, изучаемого в опытах с образцами,
подвергнутыми растяжению или сжатию, напряженное состояние
в которых однородно. Вместе с тем в конструкциях материалу
приходится работать и в иных, гораздо более сложных условиях —
напряженное состояние материала может быть не линейным,
а плоским или даже пространственным.
Опыт показывает, что сопротивляемость материала разрушению
или возникновению текучести зависит от вида напряженного
состояния, определяемого отношениями главных напряжений a.ifal
и oyov Так, например, если цилиндрический образец поместить
в полость массивного очень жесткого тела, точно соответствующую
его форме и размерам (рис. 8.1, а) и подвергнуть через штамп
воздействию сжимающей силы, то вследствие стеснения поперечной
деформации материал в образце испытает сжатие не только
в направлении силы Р, но и в поперечных направлениях. Находясь
в описанном состоянии, материал образца разрушится при напря-
напряжении P/F, большем по величине, чем то значение, которое
обнаруживается в опыте с таким же образцом, но подвергнутым
воздействию силы Р без стеснения поперечной деформации (рис.
8.1,6).
Опыт свидетельствует еще об одном факте. Если сопоставлять
два одинаковых однородно напряженных образца, у которых
в момент возникновения предельного состояния материала имеются

8.1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
521
соответственно одинаковые отношения ojalt ojalt но история
нагружения была различной (в предшествующие моменты времени
отношения аг1ах и aja^ в сопоставляемых образцах были не оди-
одинаковыми), то уровень напряжений, соответствующий возникно-
возникновению предельного состояния материала в образцах, оказывается
различным. Таким образом, сопротивляемость материала возник-
возникновению в нем предельного состояния зависит и от истории
нагружения.
В настоящей главе, за исключением §8.10 и 8.11, рассматри-
рассматривается лишь так называемое простое нагружение, при котором
Рис. 8.1. Сжатие образца! а) со стеснением поперечной деформации; б) без стеснения
поперечной деформации.
компоненты напряжения монотонно растут пропорционально одному
общему для всех параметру. Случаи непростого нагружения
обсуждаются в главе X.
2. О путях оценки сопротивляемости материала возникнове-
возникновению в нем предельного состояния в локальной области. Возни-
Возникает вопрос: как же судить о сопротивляемости материала появ-
появлению текучести или разрушению, в случае, если он находится
в условиях пространственного напряженного состояния?
На первый взгляд может показаться, что коль скоро мате-
материал по-разному сопротивляется разрушению и возникновению
пластических деформаций при различных комбинациях значений
<t2/o"i и а3/аъ то для суждения о величине напряжений, разру-
разрушающих его или вызывающих текучесть в нем, необходимо поста-
поставить опыт с образцом, находящимся в таком именно пространст-
пространственном напряженном состоянии, которое изучается.
Однако такой путь является совершенно неприемлемым.
Объясняется это рядом причин. Во-первых, испытание образца
материала в условиях пространственного напряженного состояния
может быть осуществлено только на специальных сложных маши-
машинах, да и то не при любых комбинациях oyai и а^ац обсуждае-
обсуждаемые испытания находятся на уровне научно-исследовательского
эксперимента, а не рядового опыта на производстве.

522 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Во-вторых, мало того, что испытание даже одного образца
является сложным, число таких опытов для каждого материала
оказалось бы очень большим в силу необходимости рассмотре-
рассмотрения достаточно большого числа комбинаций значений ai/a1 и
o3loi. В-третьих, для описания свойств материалов пришлось
бы хранить огромную информацию, использование которой было
бы достаточно затруднительным.
В силу отмеченных сложностей обсуждаемая проблема решается
иначе. Это решение состоит в следующем.
Исходя из соображений механики, делается предположение
(принимается гипотеза) о причине разрушения материала или воз-
возникновения в нем состояния текучести; эта причина считается
одинаковой во всех мыслимых напряженных состояниях. Предпо-
Предполагается, что такой причиной является некоторый фактор <р,
имеющий механическую природу и могущий быть оцененным коли-
количественно. Например, таким фактором может явиться напряже-
напряжение, деформация, удельная энергия деформации. То значение
фактора ср, ответственного за разрушение или возникновение те-
текучести, которое соответствует наступлению предельного состо-
состояния материала, будем называть предельным (опасным) и обозна-
обозначать сроп.
Основываясь на сделанном предположении о том, что пре-
предельное значение "фактора (сроп) оказывается одинаковым и в линей-
линейном и в любом сложном напряженном состоянии, можно найти
Фон из опыта с линейно напряженным образцом, т. е. с обыкно-
обыкновенным образцом, испытанным на обычной испытательной маши-
машине. Для исследуемой же точки тела, находящейся в сложном
напряженном состоянии, фактор ср находится теоретически.
Критерий предельного состояния материала в локальной
области записывается так:
ср=фоп. (8.1)
Условие невозникновения предельного состояния в материале
в рассматриваемой точке тела приобретает вид
ф<фоп-
Имея критерий предельного состояния, легко получить усло-
условие надежности с некоторым запасом, оцениваемым коэффициен-
коэффициентом запаса k, которое выглядит так:
Здесь ф — допускаемое значение фактора.
Известен ряд гипотез, на основе которых построены критерии
прочности или условия текучести. Некоторые из них приобрели
характер классических и получили широкое распространение.

§ 8.1] ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 523
Совершенно очевидно! что так как в основу получения крите-
критерия положена гипотеза, необходима оценка степени ее удачности.
Вот для такой оценки, которая имеет исследовательский харак-
характер и выполняется раз навсегда, эксперимент с образцами, нахо-
находящимися в условиях пространственного или плоского напряжен-
.ного состояния, совершенно обязателен. После подтверждения
достаточно хорошего согласования результатов, получаемых на
основе критерия и в ряде тщательно поставленных опытов, кри-
критерий допустимо применять на практике.
Существуют и другие пути построения теорий прочности и
условий текучести; о некоторых из них говорится ниже.
3. Об использовании критерия предельного состояния мате-
материала в локальной области. Известны два типа предельных состоя-
состояний материала —хрупкое разрушение и текучесть,
Если предельным состоянием материала в локальной области
является хрупкое разрушение, то в ряде случаев это предельное
состояние может представить опасность для всей конструкции,
ибо разрушение материала в малой области может явиться нача-
началом развития конечной по размеру области разрушения. В таких
случаях вполне уместно использование расчета по допускаемым
напряжениям, в котором считается, что опасная ситуация для
конструкции в целом заключается в возникновении опасной
для материала ситуации хотя бы в одной или нескольких ее
точках.
Тот факт, что в качестве предельного состояния материала
в локальной области принята текучесть, нуждается в пояснении.
Если локальную область, в которой материал доведен до состоя-
состояния текучести, окружает материал, находящийся еще в упругом
состоянии, то фактически текучести как таковой произойти не
может в силу стеснения больших деформаций сопротивлением
окружающего материала. Утверждение о возникновении текучести
в локальной области фактически является утверждением о потен-
потенциальной возможности пластических деформаций, реализация кото-
которых мыслима лишь по снятии стеснения1). Именно поэтому расчет
по допускаемым напряжениям в случае пластического состояния
материала не является совершенным, так как предельное состоя-
состояние материала в окрестности точки не представляет опасности
а целом для конструкции. Более совершенным является расчет
по разрушающим (или, иначе, по допускаемым) нагрузкам, а еще
более совершенным — расчет по предельным состояниям.
') Уменьшение стеснения деформаций происходит с увеличением области,
охваченной текучестью. Как только область, в которой материал доведен до
состояния текучести, оказывается пусть малой, но все же конечных размеров,
внутри нее происходит значительная концентрация. деформаций, уменьшаю-
уменьшающихся к границе области до величины упругих деформаций окружающей эту
область части материала.

524 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Однако, несмотря на отмеченное несовершенство расчета по*
допускаемым напряжениям, его все же еще довольно широко
применяют. О причинах этого говорилось в главе III.
В настоящей главе не затрагиваются вопросы, выходящие за
рамки установления критерия текучести (пластичности) в локальной
области (в окрестности точки тела). Таким образом, результаты
настоящей главы непосредственно могут быть использованы лишь.
при статическом расчете по допускаемым напряжениям.
На самом деле условие (8.1) может быть использовано и при
расчете конструкции по предельному состоянию; при этом под
последним понимается состояние, действительно опасное для всей
конструкции. Эти вопросы рассматриваются в теории пластичности,
позволяющей прослеживать процесс расширения первоначально
локальной области, где возникла текучесть, и находить такие
конечные области, возникновение текучести в которых означает
наступление предельного состояния для всей конструкции.
Элементы теории пластичности излагаются в главе X.
Из ограничений, принятых в настоящей главе, отметим следу-
следующие: материал считается изотропным, нагружение предполага-
предполагается простым, статическим, температура образца и окружающей
среды — комнатной.
§ 8.2. Классические критерии прочности
1. Первая теория (теория максимальных нормальных напря-
напряжений). Первой теорией предельного состояния материала в лока-
локальной области принято называть теорию, в основу которой поло-
положена следующая гипотеза: предельное состояние мате-
материала, независимо от того, находится ли он в
линейном или сложном (плоском или простран-
пространственном) напряженном состоянии, наступает
при достижении максимальным нормальным напря-
напряжением в окрестности рассматриваемой точки
тела предельной (опасной) величины стоп.
Ниже приводятся критерий предельного состояния (в квадрат-,
ных скобках), условие ненаступления предельного состояния и усло-
условие надежности (в круглых скобках), соответствующие обсуждае-
обсуждаемой теории. Все эти условия относятся к.локальной области —
окрестности рассматриваемой точки тела.
Если ал Зз сгг 3s o8 ^0, то
l>i = o-on.p]. (T,<(Tonip (oi^Sfo-,,]). (8.2>
Если а!>0, с3<0, то
= 00,,. р], a,<aonip, (Ст!<[(тр]);
= crOU)C], | cxa j < i а0П1 е |, (j (Х3 К ! К] |

§ 8.2]
Если 0:
КЛАССИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ
3, ТО
= СТоп, с].
п, e|i
К] I).
525
(8.4)
Здесь ооп,р и сгоп> с — предельные (опасные) значения напряжений,
определяемые в опыте соответственно с растянутым и сжатым
образцами. •
Если материал одинаково сопротивляется растяжению и
сжатию,
то условия (8.2) —(8.4) ненаступления предельного состояния без
¦ f
' О
Рис. 8.2. Предельная поверхность теории Рис. 8.3. Предельная линия теории макси-
максимальных нормальных напряжений мальных нормальных напряжений (след
в случае материала, одинаково сопротив- предельной поверхности на плоскости
ляющегосп растяжению и сжатию.
— случай плоского напряженного со-
состояния при одинаковом сопротивлении
растяжению и сжатию).
подразделения на три случая (при этом мы отказываемся от обоз-
обозначения, согласно которому (Tj ^ ff2 ^ ^з) могут быть представлены
и так:
, —0О„ =с сг2 *s сго„,' —ст0П sg ст8 s=S сгоп. (8.5)
В системе осей <х1( ст2, ст3 условие (8.5) изображается замкнутой
предельной поверхностью в виде поверхности куба с центром в начале
координат и ребрами, параллельными осям и равными по длине
2(jon (рис. 8.2). При всех комбинациях напряжений, соответст-
соответствующих точкам, лежащим внутри этого куба (в условиях (8.*5)
используется знак <с), в материале в окрестности рассматривае-
рассматриваемой точки не возникает предельного состояния. Точкам, лежа-
лежащим на поверхности куба (в условиях (8.5) используется знак
равенства), соответствуют комбинации главных напряжений, кото-
которым отвечает возникновение предельного состояния в материале.
Следы'предельной поверхности на координатных плоскостях пред-
представляют собой квадраты. Например, на рис. 8.3 изображен
квадрат в плоскости (Jicr3- Этот квадрат можно рассматривать как

826. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
предельную линию в случае плоского напряженного состояния
В ПЛОСКОСТИ CTjCT,.
Обычно первую свявывают с именем Г. Галилея. Многочисленные опыты
показывают что эта теория не отражает действительного характера поведения
материала. В случае at ——at, at = 0, т. е. в условиях чистого сдвига, который
удается наблюдать при кручении тонкостенной круглой трубы, обсуждаемая
теория (если материал находится в пластичном состоянии) переоценивает воз-
возможности материала. Если же 0 ;& o"i Эс а8 ^ аэ, т- е. при трехосном сжатии
эта теория недооценивает возможности материала1). Лишь в очень редких
ситуациях эта теория дает удовлетворительный результат, например: при чис-
чистом сдвиге, в условиях хрупкого состояния материала; при трехосном растя-
растяжении материала, находящегося в хрупком состоянии. Коль скоро те редкие
случаи, в которых первая теория верна, относятся к случаям хрупкого
разрушения, уместно эту теорию называть теорией прочности, а критерий (8. 2) —
критерием прочности.
Существует и такая точка зрения на первую теорию, что в критерий
предельного состояния должно вноситься лишь опасное растягивающее напря-
напряжение и проверка соответственно должна производиться лишь по максималь-
максимальному растягивающему напряжению.
В основном первая теория имеет лишь историческое значение.
2. Вторая теория (теория максимальных относительных линей-
линейных деформаций). Впервые гипотеза, положенная в основу теории,
называемой второй, была предложена Мариоттом 2) еще в XVII в.
Позднее по сути дела эта же гипотеза использовалась Ж. В. Пон-
селе и Сен-Венаном. Сущность ее состоит в следующем: пре-
предельное состояние материала, независимо от того,
находится ли он в линейном или сложном (плос-
(плоском или пространственном) напряженном состоя-
состоянии, наступает при достижении максимально";
линейной относительной деформацией в окрестно-
окрестности рассматриваемой точки тела предельной (опа-
(опасной) величины еоп.
Критерий предельного состояния, условие ненаступления
цредельного состояния материала в окрестности рассматриваемой
точки тела и условие надежности записываются на основе этой
теории следующим образом.
Если все три величины ei, e2 и е8 положительны, то, обозна-
обозначая наибольшую из них символом етах, будем иметь
Если из трех величин еь е2 и в8 две положительны и одна
отрицательна или одна положительна и две отрицательны, то,
J) Заметим, что при равномерном трехосном сжатии материал, не имеющий
пор, практически не разрушается даже при очень высоких напряжениях.
s) Mariotte E., Traite du mouvement des eaux, Paris, 1686. Этот труд
посвящен движению воды, но именно в него входят исследования Мариотта
по теории упругости. Первое издание этой работы было осуществлено
де Ла Ир;>м (de la Hire) уже после смерти Мариотта A684). Эта работа вошла
во второй том трудов Мариотта B-е издание, Гаага, 1740).

% 8.2] КЛАССИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ 527
обозначая наибольшую положительную величину символом етах,
а наибольшее абсолютное значение отрицательных величин сим-
символом ет|П, получим
[етах = еоп,р], етах<еоп,р> (етах *?? [ер]); (8,6),
[ет1п = еоп,с], erain <! еошс |, (emin < | [ес] |). (8.6)8
Если, наконец, все три величины ei, e2 и е3 отрицательны, то,
обозначая наибольшее абсолютное значение этих величин симво-
символом emin, будем иметь
[emin = eon,c], emIn < (еоп,с|, (em(n<| [ес] |). (8.6L
В опыте с линейно напряженными образцами непосредственно
определяются ооп,р и cronjC — опасные напряжения, при которых
образец начинает течь или хрупко разрушаться, а еошр и е0ПгС
находятся по формулам
р
onip— р > воп,с
При этом предполагается, что при пластичном состоянии мате-
материала
а пределы текучести ат,„ или сгт,с практически совпадают с пре-
пределами пропорциональности; в случае же хрупкого состояния
материала
^оп,р = С пч,р ^оп,с == ^пч,с»
а пределы прочности также практически совпадают с пределами
пропорциональности. То обстоятельство, что опасное напряжение,
как ив случае пластичного, так и в случае .хрупкого состояния
практически совпадает с пределом пропорциональности, и позво-
позволяет пользоваться законом Гука (8.7) при определении еоп>р, вопл,
соответствующих 0ОП,Р и стоп-с — предельным значениям нормаль-
нормального напряжения, найденным экспериментально.
Величина етах в левой части условия (8.6) находится как
максимальная по модулю из трех следующих величин, также
определяемых, в силу отмеченных выше обстоятельств, из урав-
уравнений обобщенного закона Гука
ei = 2г [°i ~ F (°2 + ая)\, е2 = ?- [ста — \i (o8
e3 = ^[a8-!i(o-i + o-a)]. (8.8)
Пусть
emax=8i, 8га1п = ез, (8.9)
тогда условия (8.6), при учете (8.9), (8.8) и (8.7), после сокращения

528 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОК ' ЛЬНОИ ОБЛАСТИ [ГЛ VIII
на \/Е, приобретают такой вид;
- М* {а, + ст8) = стоп, р], а, - ц (ста + ст8) < воп> р,
(X, - (Х((Т2 + СТ8)
(оя
;[стр]); (8.10)t
ОП, р,
— М-
(8.10),
(ст3 - Ц (О! + стя) < | [стс] |). (8.10L
Если материал одинаково сопротивляется и укорочениям и
удлинениям, еоп,р = |еоп>с| = е0„, то
стоп, р = СТ0П, с = Ооп,
и условия предельного состояния (знаки равенства) и ненаступле-
ненаступления такового (знаки неравенства), учитывая, что в качестве етах и
Ряс. 8.4. Предельная поверхность
теории максимальных линейных
деформаций при одинаковом сопро-
сопротивлении растяжению и сжатию.
Рис. 8.5. Предельные линии при одинаковом соп-
сопротивлении растяжению и сжатию (следы пре-
предельных поверхностей иа плоскости ata, — случай
плоского напряженного состояния; / — теория
максимальных нормальных напряжений, 2 — тео-
теория максимальных относительных линейных де-
деформаций (ц = »/4).
emin может оказаться любая из трех величин еь е2 и е8, приобре-
приобретают вид
• Ста) =s? сто
(8.11)
сто„ < ста -
— Сто
ст3 — ц (Ох + аа) ==S a0
В системе осей alt ст2, сг3 (при этом от условия ог ^ ог ^ сг8 отказыва-
отказываемся) критерий (8.11) может быть изображен замкнутой предельной
поверхностью в виде поверхности косоугольного параллелепипеда
с гранями в виде ромбов (рис. 8.4). Ненаступлению предельного

$ 8.3] КЛАССИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ (ТЕКУЧЕСТИ) 629
состояния (используется знак •< в (8.11)) соответствуют точки,
лежащие внутри этой поверхности, наступлению предельного
¦состояния материала (используется знак равенства в (8.11)) — точки
поверхности. В случае плоского напряженного состояния в пло-
плоскости (ijCTs "предельная линия (рис. 8.5) представит собой след
в этой плоскости предельной поверхности, показанной на рис. 8.4.
Рис. 8.5 соответствует случаю ц =¦ */4. Для сравнения на рис. 8.5
изображена пунктиром предельная линия, соответствующая
плоской задаче в плоскости ^Стд для первой теории.
Многочисленные опыты показывают, что вторая теория не отражает во всех
случаях действительного характера поведения материала. Приемлемые резуль-
результаты получаютси в случаях, когда в условиях сложного напряженного состоя-
состояния предельным состоянием оказывается разрушение путем отрыва, т. е. хру-
хрупкое разрушение. Поэтому вторую теорию уместно назвать теорией прочности,
а условие (8.10) критерием прочности.
Существует и такая точка зрения на вторую теорию, что в критерий предель-
предельного состояния должна вноситься лишь опасная относительная деформация
растяжения и проверка соответственно производиться лишь по максимальной
деформации растяжения.
§ 8.3., Классические условия пластичности (текучести)
1. Третья теория (теория максимальных касательных напряже-
напряжений). Третьей называют теорию предельного состояния материала
в локальной области, в основу которой положена следующая
гипотеза, сформулированная Кулоном1) и позднее Треска2):
предельное состояние материала, независимо от
того, находится ли он в линейном или сложном
(плоском или пространственном) напряженном
состоянии, наступает при достижении макси-
максимальным касательным напряжением в рассмат-
рассматриваемой точке тела предельной (опасной) вели-
чины топ. Критерий предельного состояния, условие невозник-
невозникновения предельного состояния материала и условия надежности
!) СоиГотЬ С. A., Essai sur l'application des regies de maximis et mi;
nimis a quelques problemes de statique, relatifs a l'archltecture. Memoires de
mathematique et de physique, presentes a l'academie Royale des Sciences, Annee
1773, Paris, de l'impimerie Royale, 1776.
В этой работе Кулон указывает на то, что разрушение сжатой призмы
происходит в результате скольжения одной ее части по другой по некоторой
плоскости, составляющей 45° с направлением сжатия. Скольжение возникает
при достижении составляющей сжимающей силы в указанной плоскости пре-
предельной величины, обусловленной сопротивлением скалыванию в ней вслед-
вследствие сцепления. Величину же предельного касательного напряжения (тпр)
Кулон ошибочно полагал равной апр при растяжении вместо апр/2.
2) Tresca, Memoires sur l'econtement des corps solides. Mem. presentes
par divers savants, t. 20, 1869. *

630 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
материала в окрестности рассматриваемой точки тела на основе
»той теории имеют вид
[Тщах —Теш, pJ> Tmax < Топ, р, (Tmax ^ L^pJ)» (8.12)];
[Ттах = Топ> CJ, Tmax < T0IIj с, (Ттах ^ [Тс]). (8.12)а
В опыте с линейно напряженным образцом непосредственно
определяется аоар или стоп, с — опасное напряжение, при котором
образец начинает течь или хрупко разрушается, а топ, р и топ> а
находятся по формулам
т = "°°'Р _ gT-P т _ а°п'с _ fill /в 1 qv
>on, p = 2 .— 2 ' топ, с— 2 — 2 ' (p.io^
Величина ттах находится по формуле
ттах=^-3. . (8.14)
Подставляя (8.13) и (8.14) в (8.12), получим
<х1-а3 = ат, с, CT1-ff3<aT, c, (8.15)a
а соответствующее условие надежности, после деления правой
части в (8.15) на коэффициент запаса k, изобразится так:
<Ji — ст8^[стР], сг2 — aas^ [ac].
Фактически приходится пользоваться тем из двух приведенных
условий, в котором по абсолютному значению меньше правая
часть. Равенство (8.15)]. представляет собой условие пластичности,
используемое в теории пластичности (см. главу X).
При условии одинаковости сопротивления,материала растяже-
растяжению и сжатию и отступая от условия a1^a2'^a3i (8.15) можно
записать так:
' — СГОП s? CTj — СГ2 «С СГОП,
(8.16)
В системе осей аг, а2, а3 условиям (8.16) соответствует предель-
предельная поверхность в виде поверхности призмы, ось которой является
прямой линией, равнонаклоненной к осям сть а2 и а3, а попереч-
поперечное сечение, расположенное в девиаторной плоскости, представ-
представляет собой правильный шестиугольник. Эта призма носит имя
Кулона. Как и в случае поверхностей, изображенных на
рис. 8.2 и 8.3, при комбинациях значений аь сг2 и а3, которым
соответствуют точки, лежащие внутри поверхности (используется
знак •< в (8.16)), в материале в окрестности рассматриваемой
точки предельного состояния не возникает. Комбинации значений
оь (Т2 и о3, которым отвечают точки, лежащие на предельной
поверхности (используется знак равенства в (8.16)), вызывают

S 8.31
КЛАССИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ (ТЕКУЧЕСТИ)
531
предельное состояние. В частном случае при плоском напряжен-
напряженном состоянии в плоскости аг ая имеем предельную линию, которая
является следом предельной поверхности, показанной на рис.
8.6. Эта линия изображена на рис. 8.7, где одновременно
пунктиром представлены и предельные линии, соответствующие
плоской задаче в той же плоскости согласно первой и второй
теориям. Многочисленные опыты показывают, что критерий (8.15)
достаточно хорошо подтверждается в случае пластического состо-
состояния материала, вследствие чего этот критерий (8.15) иначе
называют условием текучести1).
бл
Рис. 8.8. Предельная поверхность Рис. 8.7. Продельные линии (следы предельны»
теории максимальных касательных поверхностей на плоскости <Ti<Ts — случай плос-
иапрн/кений (призма Кулона). кого напряженного состояния); / —теория мак-
максимальных нормальных напряжений, 2 — теория
максимальных линейных относительных дефор-
деформации, 3 — теория максимальных касательных
напряжений.
Критерий (8.15) хорошо соответствует и трехосному равномер-
равномерному сжатию материала, при котором даже очень высокие напря-
напряжения не приводят ни к разрушению, ни к возникновению теку-
текучести. Что. касается трехосного равномерного растяжения, то при
таком напряженном состоянии происходит хрупкое разрушение,
тогда, как на основании критерия (8.15), предельное состояние
не должно возникать. О том, что при хрупком состоянии мате-
материала критерий (8.15) не согласуется с опытом, уже говорилось.
Третья теория дает достаточно хороший результат не только
при оценке ненаступления текучести, но и при оценке ненаступле-
ненаступления разрушения от среза, являющегося концом развития пластичес-
пластических деформаций при наличии упрочнения. Разумеется, лри этом
!) В середине XIX века Сен-Венан в исследовании по пластичности, рас-
рассматривая плоскую задачу (в плоскости Oi аа), использовал условие (8.15) х
как условие текучести, поэтому это условие называют условием пластичности
Сен-Венана, хотя предложил его Кулон, правда, совсем ие занимавшийся
пластичностью.
Кулон Шарль Огюстен (Coulomb Charles Augustin, 1736—1808), француз-
французский физик и механик.

532 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
в качестве аоп>р и аоп, с в (8.13) принимается уже не <тт>р и ат>с>
a °к, р и ак> с — нормальное напряжение в поперечном сечении
растягиваемого (сжимаемого) образца в момент разрушения от
среза. Критерий разрушения от среза и условие ненаступления
такого разрушения имеют вид
01 — erg = сгк< р, ах — аэ<°гк, p. ai — аз = °к, с. Oi — ^з < ^к, с-.
2. Четвертая теория (энергетическая). Поскольку при пла-
пластическом деформировании материала и доведении его до разруше-
разрушения вполне естественно в качестве фактора, ответственного за .
наступление в материале предельного состояния," полагать удель-
удельную потенциальную энергию деформации, польский ученый
М. Т. Губер1) предложил в 1904 г. в качестве фактора, опре-
определяющего наступление в материале предельного состояния,
считать удельную потенциальную энергию формоизменения, моти-
мотивируя это тем, что при трехосном одинаковом во всех направле-
направлениях сжатии предельное состояние не возникает даже при очень
высоких сжимающих напряжениях. Соответствующая гипотеза
может быть сформулирована следующим образом: предельное
состояние материала, независимо от того, нахо-
находится ли он в линейном или сложном (плоском или
пространственном) напряженномсостоянии, насту-
наступает при достижении удельной потенциальной
энергией формоизменения в окрестности рас-
рассматриваемой точки тела предельной (опасной)
величины Wg,оп.
Критерий предельного состояния и условие ненаступления пре-
предельного состояния материала в окрестности рассматриваемой
точки тела выглядит на основе гипотезы Губера так:
We = Wg.m, We<Wg,on. (8.17)
В опыте с линейно напряженным (например, растягиваемым)
образцом непосредственно определяются ооп — опасное напряже-
напряжение, при котором образец начинает течь или хрупко разрушаться,
a Wg, on находится по формуле, вытекающей из G.47) при сг2 =
х=(т3 = 0.и о1 = ооп, или, иначе, из G.48K
AНиКп .„ .
wf,on = з? * (о. 18)
Величина Wg в (8.17) для трехосного напряженного состояния
определяется по формуле G.47)
= 1±?[a] + ol + al-(Ti(T2-<у2о3-а3а\]. . (8.19)
х) Huber М. Т. Die spezifische Formanderungsarbeit als Mass der Anstren»
gung eines Materials; Crasopismo. tech., t. 15, Lemberg (Lwow), 1904.

S 8.3]
КЛАССИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ (ТЕКУЧЕСТИ)
53*
Подставляя (8.18) и (8.19) в (8.17J) сокращая на A+ц):ЗЕ
и извлекая из обеих частей неравенства корень квадратный,
получаем условие невозникновения предельного состояния мате-
материала в окрестности рассматриваемой точки тела:
Va\ + Щ + а] - Oja2 - (Т203 - (Т3ах < аоп. (8.20)
Соответствующее условие надежности получится из (8.20) после
деления правой части на коэффициент запаса k (использование
закона Гука при определении We аргументируется так же, как
A
Ш
l
л
Ш
/
/м
/
/
i
Рис. 8.8. Предельная поверхность Рис. 8.9. Предельные линии (следы предельных
теории удельной потенциальной поверхностей на плоскости 6i6s — случай плос-
^ , кого напряженного состояния): /—теория нор-
нормальных напряжений, 5 — теория максимальных
линейных относительных деформаций, 3 — тео-
теория максимальных касательных напряженнй,-
4'— теория удельной потенциальной энергии
формоизменения.
р уд ц
енергии формоизменения (цилиндр
Мизеса).
и при обсуждении второй теории — полагаем, что при хрупком
разрушении аоп = о„ч «^ о1Щ, а при возникновении текучести аоп =
(огя -
(8.21)
В системе осей а1а2а3 условию (8.20) соответствует предельная
круглая цилиндрическая поверхность с радиусом поперечного
сечения, равным ^— ао„, и с осью, равнонаклоненной к осям аъ
сг2 и о8 (рис. 8.8). Этот цилиндр является описанным по отноше-
отношению к призме Кулона. Возникновение или невозникновение
предельного состояния в материале в окрестности рассматриваемой
точки тела определяется соответственно тем, лежит ли точка
с координатами аг, а2> а3 на предельной поверхности (тогда в (8.20)
используется знак равенства вместо знака<<) или внутри этой
поверхности. Поперечное сечение цилиндра, имеющее форму
круга, располагается в плоскости, равнонаклоненной к осям

S34 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
ви о2, о3. В частном случае, при плоском напряженном состоянии
в плоскости (TxCTg имеем предельную линию, которая является
следом предельной поверхности на плоскости о^Од. Этот след
представляет собой эллипс с центром в начале координат и боль-
большой полуосью, расположенной вдоль биссектрисы прямого угла
между а1 и ст3 (рис. 8.9).
Результаты оценки четвертой теории, полученные путем сопо-
сопоставления теории и опыта с пространственно напряженными
образцами, аналогичны таковым в случае третьей теории, т. е.
в случае пластического состояния материала теория дает резуль-
результаты близкие к экспериментальным. Однако результаты экспери-
эксперимента несколько ближе к результатам четвертой, нежели третьей
теории. Близость результатов, получаемых по третьей и четвер-
четвертой теориям, подтверждается близостью соответствующих предель-
предельных поверхностей: шестигранной правильной призмы и описан-
описанного вокруг этой призмы цилиндра. Так же и по той же причине,
как и в случае третьей теории, критерий четвертой теории (8.17) г,
имеющий в*развернутой форме (с учетом того, что аоп = а\) вид
У а] + al + сг| — <тг<т2 — о2о3 — ago"! = сгт,
называют критерием или условием пластичности (текучести).
Однако ни третья, ни четвертая теории не позволяют учесть
влияние на пластическую деформацию высокого гидростатического
растяжения.
Весьма поучительна история возникновения и развития четвертой теории.
Основная ее " идея, по-видимому, впервые, еще до Губера, возникла
у Дж. К. Максвелла, который в письме к У. Томсону (лорду Кельвину)
писал: «у меня имеются веские основания думать, что когда энергия (искаже-
(искажения формы) достигает известного предела, элемент цыходит из строя». Эта
идея, к которой Максвелл больше не возвращался, оставалась неизвестной
до опубликования писем Дж. К. Максвелла У. Томсону, происшедшего уже
после1) возьикновения первого варианта энергетической теории предельного
состояния материала. Упомянутый первый вариант возник в 1885 г. в работе
Е. Бельтрами2), когда он выдвинул гипотезу, согласно которой предельное
состояние материала, независимо от того, находится ли он в линейном или
сложном (плоском или пространственном) напряженном состоянии, наступает
при достижении удельной потенциальной энергией деформации в окрестности
рассматриваемой точки тела предельной (опасной) величины W оп. Обращаем
внимание на то, что здесь речь идет не об удельной потенциальной энергии
формоизменения, а о полной удельной потенциальной энергии деформации.
!) Как указывает С. П. Тимошенко а своей истории науки о сопротивлении
материалов, «Письма Джеймса Кларка Максвелла своему другу
Уильяму Томсону» были впервые напечатаны в Ргос Cambridge phil. Soc.
Впоследствии они были изданы отдельной книгой издательством Кембриджского'
университета (New York, Cambridge), 1937.
¦>) Beit r ami E., Rendiconti, p. 704, 1885; Be I tr ami В., Math. Ann.
p. 94, 1903.

5 8.3] КЛАССИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ (ТЕКУЧЕСТИ) 535
Критерий предельного состояния и условие ненаступления предельного
состояния материала в окрестности рассматриваемой точки тела по гипотезе
Бельтрами выглядит так:
W=W0U, W<Won. (8.22)
В опыте с линейно напряженным, например, растягиваемым, образцом,
непосредственно определяется аоп — опасное напряжение, при котором образец
начинает течь или хрупко рачрушагься, a Won находится по формуле, выте-
вытекающей из G.'47) при ста=ст3 = 0 н сг1 = сг0П:
Woa = %-. ' (8.23)
Величина W находится по формуле G.43).
Теория ^Бельтрами, однако, не получила подтверждения в опыте. В случае
трехосного 'сжатия, одинакового во всех направлениях, эта теория дает
преуменьшенные значения по сравнению с действительной сопротивляемостью
материала. Этот недостаток обратил на себя внимание исследователей.
По-видимому именно поэтому Губер предложил не учитывать в критерии
(8.22) ту долю удельной энергии деформации, которая соответствует одинако-
одинаковому во всех направлениях сжатию. Такой долей удельной потенциальной
энергии деформации является Wo—удельная энергия изменения объема.
После такого корректива, произведенного Губером, вместо (8.22) получена
условие в форме (8.17). Условие (8.17) и предусматривалось Максвеллом;
это условие, разумеется, независимо от последнего, спустя много лет предло-
предложил Губер.
Уже посля того как критерий (8.17) был сформулирован Губером, этому
критерию в разное время давались различные трактовки.
Мизес1) в 1913 г., желая упростить уравнение предельной поверхности,
предложил перейти от шестигранной призмы к цилиндру, вокруг нее'описан-
нее'описанному. Первоначально Мизес рассматривал условие (8.20) как аппроксимацию
условия (8.16). Позднее, однако, оказалось, что эта аппроксимация точнее
аппроксимируемой предельной поверхности соответствует результатам опытов
с пространственно нагтяженными образцами. Вместе с тем оказалось, что
уравнение этого цилиндра
^ ах)»=аоп (8.24)
совпало с уравнением предельной поверхности, соответствующей критерию
(8.20).
Так было осознано, что предложение Мизеса совпадает с теорией Макс-
Максвелла—Губера. Имя Мизеса стали присоединять к именам последних ученых,
как имя одного из авторов теории. Позднее Мизес, а наряду с ним и.Гепки8),
в работах по пластичности использовал критерий (8.24) (имея в виду стоп=ат)
как условие пластичности (текучести). Это явилось основанием для того,
чтобы критерий получил название условия пластичности Мизеса — Генки.
Следующей в хронологическом порядке является трактовка условия (8.24)
с точностью до постоянного множителя как услонпя иепревышения величиной
1) von Mises R., Mechanik tier iesten Korper im plastischdeformablen
Zusfand. Nachrichten d. Geselsch. d. Wissensch. zu Gotlingen Math.-phys. Klasse,
582—592, 1913 До этой работы Мизеса предельная поверхность, соответствую-
соответствующая критерию (8.24), не обсуждалась.
2) Не пс к у Н., Zur Theorie plashsche.r Deformationen und der dedurch
im Material hervorgreferipn Nachspanungen ZAMM, Bd. 4, Heft 4, 1924.
Hencky H., Uber das VVesen der plastischen Verluruiung. Zeitschrift VDI,.
t. 69, S. Шо, 1925.

S36 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
«ктаэдрического касательного напряжения предельного значения такого напря-
напряжения, найденной в опыте с линейно напряженным образцом. Эту трактовку
дали Рош и Айхингер1). Таким образом четвертую теорию, т. е. теорию
предельной удельной потенциальной энергии формоизменения можно тракто-
трактовать как теорию предельных касательных напряжений, но, в отличие от
третьей теории, в ией имеются в виду не максимальные касательные напря-
напряжения, возникающие на площадках, делящих двугранные углы между глав-
главными площадками пополам, а октаэдр и ческие касательные напряжения, воз-
возникающие на площадках, равнонаклонениых к главным.
Отметим еще одну любопытную трактовку четвертой теории. Составим
среднее квадратичное уклонение тензора напряжения от гидростатического
напряжения:
у .
.-g- [(ах -о-0J + (о»-Ос,J + (°з-
Легко видеть, что это выражение с точностью до постоянного множителя сов-
совпадает с октаэдрическим касательным напряжением или с корнем квадратным
из энергии формоизменения. Следовательно, IV теорию можно трактовать и
так: предельное состояние материала (состояние текучести) в окрестности
точки тела, независимо от того, находится ли тело в линейном или сложном
напряженном состоянии, наступает тогда, когда среднее квадратичное укло-
уклонение тензора напряжений от гидростатического напряжения достигает пре-
предельной величины, которую можно найти из опыта с линейно напряженным
образцом. На этот факт обратил внимание С. Д. Пономарев 2).
В главе VI уже говорилось о трактовке, данной В. В. Новожиловым з),
интенсивности касательных напряжений, формула для которой с точностью до
постоянного множителя совпадает с формулой для левой части (8.20). Эта
трактовка состоит в том, что интенсивность касательного напряжения представ-
представляется как среднее значение касательных составляющих напряжений, действую-
действующих на площадках, касательных к сферической поверхности с центром, совпа-
совпадающим с рассматриваемой точкой тела, при неограниченном уменьшении ради-
¦ уса этой поверхности. С точки зрения теории квазинзотропного материала такая
трактовка является наиболее содержательной, так как, учитывая хаотический
характер ориентации зерен кристаллитов в поликристалле, именно отмеченное
выше среднее напряжение является мерой сопротивления материала началу
пластических деформаций текучести.
§ 8.4. Некоторые соображения о классических теориях
1. Эквивалентное напряжение. Выражения в левых частях критериев пре-
предельного состояния (условий невозникновения предельного состояния и усло-
условий надежности), соответствующих каждой из четырех рассмотренных теорий,
имеют размерность напряжения. Эти выражения можно рассматривать как
некоторые напряжения в условиях одноосного напряженного состояния, экви-
эквивалентные по эффекту своего действия напряжениям при сложном напряжен-
напряженном состоянии. Под эффектом действия понимается возникновение предельного
состояния материала. Будем называть обсуждаемые выражения эквивалентными
*) RoS M., Eichinger A., Die Bruchgefahrfester Кбгрег. Вег., N 172
der EMPA, Ziirich,. 1949.
2) Пономарев С. Д., К вопросу'о трактовке теории прочности формоиз-
формоизменения. «Вестник инженеров и техников»', 1953, № 4.
3) Новожилов В. В., О физическом смысле инвариантов напряжения,
используемых, в теории пластичности. Прикладная математика и механика,
«.16, вып. 5, 1952.

S 8.4] НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ 537
напряжениями, обозначать их символом сгэкв и присваивать второй индекс, соот-
соответствующий номеру теории:
аЭкв. з=°Ч — °з. оэкв, 4=
Критерий предельного состояния, условие невозникновения предельного со-
состояния и условие надежности могут быть во всех четырех теориях запи-
записаны так:
ОЭКВ, < = С0П. «"ЭКВ. /<а0П. °9КВ. /^[С] (t= 1,2,3,4).
2. Затруднения в применении классических теорий, связанные
с возможностью двух состояний материала —хрупкого или пластич-
пластичного. До сравнительно недавнего времени и критерии разрушения
и критерии текучести назывались теориями прочности. Это объяс-
объясняется тем, что первоначально они формулировались без указания
на то, какое именно предельное состояние материала имеется
в виду, и лишь позднее при проверке применимости этих крите-
критериев удалось установить, что некоторые из них верны для хруп-
хрупкого состояния материала, работающего при определенных видах
напряженных состояний, а другие дают результаты, хорошо согла-
согласующиеся с экспериментом лишь в случае пластического состоя-
состояния материала. В настоящее время можно четко различать, какие
из условий являются критериями прочности и какие условиями
пластичности. Вместе с тем известно, что один и тот же материал
в разных условиях может вести себя по-разному, в одних условиях
как хрупкий, а в других —как пластичный. В основном на пере-
переход материала из одного состояния в другое влияют следующие
факторы:
1. Вид материала.
2. Характер напряженного состояния в точке, определяемый
отношениями оусгг и оуа3.
3. Степень неоднородности напряженного состояния в окрест-
окрестности точки.
4. Скорость нагружения.
5. Температура.
6. Внешняя среда.
По поводу первого фактора можно сказать, что в силу инди-
индивидуальности природы различных материалов одни из них склонны
легко переходить из одного состояния в другое под влиянием
факторов, отмеченных в пунктах 2 — 6, легко, другие же, наоборот,
весьма слабо реагируют на эти факторы. Имеются некоторые мате-
материалы, которые не удалось перевести в хрупкое состояние нн
при каких условиях.
Влияние отношений ах/с!2 и ах1а9 на установление хрупкого
или пластичного состояния материала заключается в следующем.

538 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ УПГ
Так как пластические деформации связаны со сдвигами, а
последние —с касательными напряжениями, то при тех напряжен-
напряженных состояниях, при которых касательные напряжения малы,
пластические деформации также малы.
Чем выше степень неоднородности поля напряжений, тем,
например, в меньшей мере проявляются пластические дефор-
деформации, так как при концентрации напряжений часто возникают
главные напряжения одного знака — условие, при котором могут
оказаться малыми касательные напряжения. Разумеется, опасность
этой ситуации усугубляется высоким уровнем нормальных напря-
напряжений.
Чем выше скорость нагружения и чем ниже температура, тем
большая склонность у материала к хрупкости.
В настоящее время установилась точка зрения, согласно кото-
которой каждый материал может разрушаться и путем отрыва.
и путем среза, но каждый из этих видов разрушения реали-
реализуется в своей области сочетания характеристик факторов 2 — 6,
перечисленных выше в настоящем разделе. Существуют две харак-
характеристики для каждого материала — сопротивление отрыву1) и
сопротивление срезу2). Если при рассматриваемом сочетании фак-
факторов 2 — 6 сопротивление отрыву меньше, чем сопротивление
срезу, материал разрушается хрупко, в противном случае —по
схеме пластичного материала.
При испытании в условиях комнатной температуры с неболь-
небольшой скоростью нагружения поведение материала (хрупкое или
пластичное) зависит в основном от напряженного состояния. Зная
лишь характер напряженного состояния, заранее мы не имеем
ясности в том, как будет вести себя материал — как хрупкий
или как пластичный, поэтому не ясно, какой из критериев при-
применять — критерий ли прочности или критерий пластичности.
В этом состоит значительное неудобство, возникающее при исполь-
использовании классических теорий.
1) Сопротивление отрыву для многих пластичных материалов определить
очень трудно, так как они разрушаются путем среза. Для получения разру-
разрушения путем отрыва принимаются специальные меры (увеличение скорости
нагружения, понижение температуры испытания, создание концентраций
напряжений посредством надрезов). Наблюдаемую при таком искусственно
созданном хрупком разрушении характеристику сопротивления отрыву можно
считать такой же по величине, как и при малой скорости нагружения, ком-
комнатной температуры и отсутствии концентраторов напряжения, вследствие под-
подтверждаемой опытом малой зависимости величины сопротивления отрыву от
?хзрог-и нагружения, температуры и степени концентрации напряжений.
') Сопротивление срезу не такая ярко выраженная характеристика как
сопротивление отрыву, так как разрушению от среЗа предшествует большая
пластическая деформация. При пространственном напряженном состоянии
(в отличие от более простого случая—чистого сдвига, происходящего при
кручении круглого тонкостенного цилиндра) не всегда легко установить как
произошло разрушение (вследствие отрыва или среза).

§ 8.4] НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ 539
t
Идеальной была бы такая теория, которая сохраняла бы силу
и для хрупкого, и для пластичного состояния и при этом преду-
предупреждала не только о переходе в предельное состояние, но и
о том, каким оно является — разрушением или возникновением
пластичности. Такиетеории обсуждаются ниже. Весьма желательной,
разумеется, являлась бы теорий, учитывающая неоднородность
поля напряжений в теле, которая не учитывается в классических
теориях.
3. Феноменологический и физический пути построения крите-
критериев. Описанный выше подход к построению критерия для оценки
границы перехода материала в предельное состояние имеет чисто
феноменологический характер, никак не связанный с дискрет-
дискретностью строения материи; поэтому и сами критерии имеют
чисто феноменологический характер. В отличие от феноменоло-
феноменологического, мыслим и физический подход к решению проблемы.
Однако даже в случае линейного напряженного состояния или
чистого сдвига теоретически находить характеристики, опреде-
определяющие переход материала в предельное состояние, удается лишь
для монокристаллов идеальной структуры. В случае же наличия
многообразных дефектов структуры монокристалла, а тем более
в случае поликристаллического тела (металла), проблема до
сих пор не разрешена надежно даже для отмеченных выше
элементарных однородных напряженных состояний. В настоящее
время предпринимаются многочисленные попытки в направле-
направлении построения физических теорий с использованием методов
математической статистики и теории вероятностей, к сожалению,
пока далекие от возможности непосредственного широкого их
использования в практических расчетах. Больше других удалось
исследовать вопросы хрупкого разрушения, в том числе рассмот-
рассмотреть масштабный фактор и изменчивость прочности, а также явле-
явление усталости. Однако будущее принадлежит именно статисти-
статистическим теориям, описывающим физику явления с единых позиций.
В своей монографии «Статистические методы в строительной
механике»х) В. В. Болотин по этому поводу пишет: «Статистическая
теория деформирования и разрушения твердых тел позволила бы
сединой точки зрения описать процессы пластической деформации,
ползучести и релаксации, хрупкого разрушения и накопления
повреждений при циклических нагрузках. Пользуясь статисти-
статистической теорией, можно было бы естественным путем получить все
соотношения для феноменологических теорий пластичности, пол-
ползучести и усталости, о которых в настоящее время приходится
догадываться, отправляясь от более или менее ограниченного
числа экспериментальных фактов. Не будет преувеличением
сказать, что статистическая теория сыграет в будущем для науки
Строниздаг, М., 1961, сгр. ЬО—61.

540 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
о прочности не менее выдающуюся роль, чем статистическая фи-
физика—для учения о молекулярных и тепловых явлениях».
Все еще имеющиеся трудности в использовании собственно
физических концепций и методов приводят к исследованию проб-
проблемы прочности и разрушения твердых тел феноменологическими
средствами. Можно отметить три четко сформировавшихся направ-
направления в учении о прочности и разрушении твердых тел. Первое
из них —это феноменологические механические теории прочно-
прочности—теории локального предельного состояния. Второе направ-
направление—теория макротрещин. Наконец, третье —это континуальные
теории накопление дефектов в твердом теле в процессе его дефор-
деформирования. .
В настоящей главе первое направление представлено преды-
предыдущими параграфами, а также приводимыми ниже §§ 8.5—8.8.
Основная идея второго направления весьма кратко обсуждается,
в § 8.9, а некоторое представление о третьем можно- составить
по § 8.10.
§ 8.5. Теория прочности Мора
Выше уже говорилось о желательности иметь теорию, позво-
позволяющую сформулировать такой критерий, который в одних слу-
случаях,., при одних напряженных состояниях, представлял бы со-
собой критерий прочности, а в других, при других напряженных
состояниях,—условие текучести. При этом желательно, чтобы од-
одновременно выявлялся и вид предельного состояния (разрушение
или текучесть). Кроме того, необходимо построение теории, учи-
учитывающей неодинаковость сопротивления разрушению при растя-
растяжении и сжатии, если таковая наблюдается в опыте. Первая по-
попытка создать такую теорию была предпринята О. Мором (окон-
(окончательный вариант теории р 1900 г.1)). В этой теории делается
предположение, что предельное состояние возникает на площад-
площадках» проходящих через направление главного напряжения а2;
кроме того, предполагается, что из трех главных напряжений
величина аа не влияет на возникновение предельного состояния.
Принцип построения теории О. Мора внешне несколько отли-
отличается от примененных в ранее обсужденных теориях. Исполь-
Используется графическая интерпретация напряженного состояния в точке,
основанная на применении кругов напряжений Мора. Выполняет-
Выполняется следующее построение. Из трех окружностей, учитывая отме-
отмеченные выше предположения, рассматривается только одна — постро-
построенная на отрезке at — а3 как на диаметре. В осях ах для напря-
х) Mohr О., Welche Umstande bedingen die Elastizitatsgrenze und der
Bruch eines Materials. VDI, Bd. XLIV, №45, Nov. 1900. S. 1524—1530; Кг 46,
Nov.1900, S.1572.

5 8.51
ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА
541
женного состояния, определяемого некоторым отношением гэ
строятся круги Мора. Например, в случае линейного напряжен-
напряженного состояния (осевое сжатие)
(Т! = 0, О3ф0.
На рис. 8.10 изображено пять окружностей Мора, соответствую-
соответствующих такому" напряженному состоянию. Каждой из этих окружно-
окружностей отвечает свой уровень напряжений. При некотором уровне
напряжений в материале наступает предельное состояние. Такую
окружность называют предельной. Можно построить предельные
окружности, соответствующие ряду различных отношений (Ti/cr3
(рис. 8.11). Разумеется, каждому отношению соответствует одна
лредельная окружность. Такие окружности могут быть получены
Рис. 8.10. Окружности Мора в случае осе-
осевого сжатия (Oi = 0, о» ф 0) при пяти
разных уровнях о3.
Рис. 8.11. Огибающая предельных окруж-
окружностей Мора.
на основе опытов со сложно напряженными образцами, в которых
создается соответствующее отношение aja3. Эти окружности обла-
обладают тем свойством, что для них можно построить огибающую,
касающуюся каждой из окружностей в некоторой точке М. Точнее
сказать, таких точек две — они расположены'1Гймметрично относи-
относительно оси а, которая вообще является осью симметрии всего
изображения. Заметим, что огибающая нигде не пересекает ни
одну из предельных окружностей. Пользоваться этим графическим
изображением можно так: выбирается окружность, соответствую-
соответствующая изучаемому отношению aja3. Находится точка касания этой
окружности с огибающей. Координаты этой точки показывают,
при каких значениях нормальной и касательной составляющих
полного напряжения возникает предельное состояние в материале.
Одновременно наклоном отрезка МА определяется ориентация
плоскости, на которой возникает скольжение.
Для ряда материалов огибающая предельных окружностей
Мора получается с возрастанием ординат при перемещении в сто-
сторону отрицательного направления а. При а-*- — оо
*¦ 0.

542 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНО!'! ОБЛАСТИ [ГЛ. VIIT
Отмеченное увеличение ординат находит такое объяснение:
вследствие наличия на предельной площадке, кроме касательного и
сжимающего нормального напряжения, сопротивляемость сдвигу
по этой площадке увеличивается по сравнению со случаем отсут-
отсутствия, нормальной составляющей напряжения за счет возникнове-
возникновения как бы сил трения, затрудняющих взаимное скольжение частей
тела, расположенных по разные стороны от предельной площад-
площадки. При повышении абсолютной величины сжимающего нормаль-
нормального напряжения на предельной площадке происходит повышение
и сопротивляемости сдвигу.
Если нас интересует не вся огибающая предельных окружностей
Мора, а лишь некоторая ее часть, то приближенно ее можно аппро-
аппроксимировать на этом участке прямой. И тогда критерий предель-
предельного состояния или критерий надежности легко получить в анали-
аналитической форме. В качестве иллюстрации рассмотрим участок оги-
огибающей между окружностями Мора, соответствующими осевому
растяжению (с^^О, сг3 = 0) и осевому сжатию (^ = 0, aa=fc0).
Пусть сопротивляемость материала сжатию выше сопротивляемости
растяжению (рис. 8.12): | а0П| с j > аоп> р. Из рис.8.12 следует, что
моя o,os
или
ИЛИ
знаЧ(
01-
2
0оп
N03-NM
00
i-00s
С0г — CL 00х + 00» "
ениям в напряжениях, получи
03 0оп, р 0оп. р 01 + 03
2
, с 0оп, р
2 2
01 — 03 — °оп. р
0ОС1
[. С "ОП» р
t
0оп.
2
0оп. р
0оп,
г 2
Р ! 0ОП, С
1 2
— @1 + 0з)
р т" "оп» с
Отсюда, после элементарных преобразований, имеем
ИЛИ
(8.26)
где

8.5]
ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА
543
Условие невозникновения предельного состояния приобретает вид
ot — аоа < стоп, р. (8.26)
Условие надежности получается отсюда путем деления правой
части на коэффициент запаса k:
Oj — аоз ^ [<7р]. (8.27)
Если а =1, т. е. сгоп> р = аоп> с (материал одинаково сопротивляется
Рис. 8.12. Огибающая предельных окружностей
Мора в виде отрезка прямой иа участке между
окружностями, соответствующими осевому рас-
растяжению и осевому сжатию, при рааиом сопро-
сопротивлении этим дефдрмациям.
Рис. 8.13. Огибающая предельных
окружностей Мора в виде прямой
при одинаковом сопротивлении рас-
растяжению и сжатию.
растяжению и сжатию), то условия (8.25), (8.26) и (8.27) приоб-
приобретают соответственно следующий вид:
— Од
— о-8<(То
i — оа
[а],
т. е. совпадают с аналогичными условиями третьей теории. Этому
случаю соответствует огибающая предельных окружностей Мора,
показанная на рис. 8.13.
В области растягивающих а в окрестности вершины огибаю-
огибающей Мора могут встретиться два характерных случая, которые
изображены на рис. 8.14, а, б.
В первом из них круг кривизны огибающей в ее вершине
имеет радиус, меньший радиуса предельной окружности осевого
растяжения, и вершина огибающей расположена правее крайней
правой точки этой окружности. В таком случае существуют две
точки касания огибаюшей и окружности осевого растяжения,
вследствие чего имеются две плоскости скольжения, параллельные
направлениям AM и AM', и предельное состояние при осевом
растяжении наступает в форме текучести. Во втором случав

544
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
[гл. via
радиус круга кривизны огибающей в ее вершине больше радиуса
предельной окружности осевого растяжения. Вершина огибающей
совпадает с крайней правой точкой этой окружности. Это един-
единственная точка касания, ей соответствует предельная площадка,
перпендикулярная к направлению растяжения, что означает воз-
возникновение предельного состояния в форме разрушения от
отрыва1).
Так вид огибающей позволяет предсказать характер поведения
материала в предельном состоянии.
Если огибающая отлична от изображенной на рис. 8.13, то
с продвижением в сторону отрицательного напряжения в увели-
увеличиваются ординаты огибающей. При таком виде огибающей точки
м'
Pet. 8.I4. Два характерных случая вида огибающей предельных окружностей Мора
в окрестности вершины.
касания расположены всегда правее центра соответствующей
окружности, вследствие чего площадки скольжения составляют
с направлением ог угол больше 45°, а с направлением а3 — угол
меньше 45° (рис.8.15). Такая картина и наблюдается в опыте.
И лишь в том случае, когда огибающая имеет вид, показанный
на рис. 8.13, точки касания лежат на одной вертикали с центром
соответствующей окружности, вследствие чего площадки скольже-
скольжения делят пополам двугранный угол между главными площадками
с' напряжениями аг и сг3.
Теория Мора позволяет найти объяснение многим фактам.
Однако в силу неучета влияния напряжения сг2 на возникновение
предельного состояния материала в окрестности точки тела эта
теория не в состоянии избежать погрешностей. Опыт подтверждает
это. Однако количественно максимальная погрешность достигает
величины не более 17% и может быть доведена до 8,5%, что
х) Сопротивлению отрыву равна абсцисса точки В на рис. 8.14, а; однако
в этом случае имеется отрыв не при одноосном, а при трехосном растяжении.
Учитывая чрезвычайную сложность постановки такого эксперимента, следует
иметь в виду, что вблизи точки В вид огибающей, как правило, не известен.

S 8.5]
ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА
545
в конечном итоге не может служить поводом для дискредитации
теории. Теории Мора отвечает и некоторая предельная поверхность
в системе осей aio?,o3. В связи с тем, что напряжение о2 в тео-
теории Мора не учитывается, эта поверхность является цилиндричес-
цилиндрической с направляющей в плоскости OjOg и образующей, парал-
параллельной оси а2.
^Площадни
ашьзшия
Рис. 8.15. Расположение площадок сколь- Рис. 8.1 в. К обоснованию зависимости
жеыия в напряженном элементе. . х' = dx/do = — tg 0.
Для получения уравнения направляющей необходимо уравне-
уравнение огибающей
т = /(о) . . (8.28)
в системе осей ах отобразить на плоскость сгха3. Из рис. 8.16
следует, что
Кроме того,
Отсюда
2
cos р.
(8.29)
Решая (8.29) относительно аг и а3, найдем
а1 = ст + т(т' + У + т'2), аа = а + т(т'-|/1+т'2). (8.30)
Таким образом, (8.30) является параметрическим заданием предель-
предельной кривой (параметром служит о) в плоскости OiOa — эта кривая
и есть направляющая отмеченной выше предельной цилиндричес-
цилиндрической поверхности.
Опыты, проводившиеся для оценки достоверности теории
Мора, показали, что можно построить плавные огибающие пре-
предельных окружностей Мора. Однако, если имеются две серии
опытов, отличающихся уровнем напряжения а2, то огибающие,
18 А. П. Филии

846 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ |ТЛ VIII
соответствующие каждой из серий, несколько отклоняются одна от
другой, но остаются все же достаточно близкими друг к другу.
Теория Мора с момента ее создания подвергалась и критике,
и различным усовершенствованиям, и модификациям.
§ 8.6. Опыты с образцами, находящимися в сложном
напряженном состоянии. Оценка теорий
Опыты с образцами, находящимися в сложном напряженном
состоянии, выполнялись и выполняются главным образом для
оценки критериев прочности и текучести, а в отдельных случаях для
непосредственной оценки поведения материала при плоском или
пространственном напряженных состояниях. Очень часто опыты
проводятся с образцами, имеющими форму трубы. При этом
образец подвергается воздействию осевой (растягивающей) силы,
кручению и внутреннему давлению. За счет выбора соответствую-
соответствующих отношений параметров нагрузки можно получить желаемые
отношения главных напряжений. Однако это удается сделать
лишь в некоторых пределах. Для экспериментов с такими, образ-
образцами служат специальные испытательные машины.
Опыты с трубчатыми образцами проводились многими исследо-
исследователями; некоторые из этих экспериментов стали классическими
(Д. Гест*) — сталь, железо, медь— 1900, Надаи и Лоде2) — никель,
хром, молибденовая сталь—1925—1928, Г. Тейлор и Г. Кви-
нив) — алюминий, медь, свинец, кадмий, мягкая сталь, стекло —
1931, П. Людвик*) — сталь —1927, Д. Лессельс и К. Мак-Гре-
гор5) — железо, медь, никель—1938—1940 и др.).
На рис. 8.17 показаны предельные кривые по третьему и
четвертому критериям текучести и экспериментальные точки.
Ив этого рисунка видно, что для материалов, находящихся
в пластическом состоянии, энергетический критерий текучести
(четвертая теория) оказывается очень хорошим. Наряду с экспери-
экспериментами с трубчатыми образцами "известен ряд экспериментов
с массивными образцами (кубики, цилиндры). Из числа этих
экспериментов отметим следующие. Опыты А. Фёппля6) A900)
1) Guest J. J., Phil., Magazine, t. SO, p. 69, 1900.
*) Lode W., Berichte des Werkstoffaussehuss. VDI, Dusseldorf, 1925.
Proc. 2-d Intern. Congress of Applied Mechanics. Zurich, 1926. Z. Physik, t. 36,
S. 913, 1926. Mitt. u. Forschungsarb., H. 303, 1928.
s) T а у 1 о r G. I., Quinney H., Trans. Roy. Soc. London (A), t. 230,
pp. 323—362, 1931.
4) Ludwik P., Bruchgefahr und Materialprfifung, Ber. 13. Schwelz. Ver-
band f. Materialpriifungen, Zurich, November, 1928. Elements der technology
schen Mechanik. Julius Springer, 1929.
*) Lessells J. M., McGregor С W., J. Franklin Inst., 1940.
•) Fdnpl A., Mitt. a. d. Tech. Laboratorium, Munchen, 1900. Фёппль
Август (Foppl August, 1854—1924) —немецкий ученый, специалист по приклад-
прикладной механике деформируемых твердых тел.

S 8.6)
ОПЫТЫ СО СЛОЖНО НАПРЯЖЕННЫМИ ОБРАЗЦАМИ
647
с кубиками из горных пород, загруженными по двум или четы-
четырем граням и доводимыми до разрушения; результат этих опы-
опытов показал практическую независимость предела прочности
от среднего главного напряжения. Другие опыты А. Фёппль вы-
выполнял со свинцовыми шариками, подвергнутыми высокому гид-
гидростатическому давлению; было установлено, что нет никаких
признаков разрушения при напряжениях, во много раз превос-
превосходящих предел прочности, обнаруженный при одноосном сжа-
сжатии. Большую известность приобрели опыты Т. Кармана1) A911)
Рис. 8.17. Сравнение опытных данных с критериями наибольшие касательных напря-
напряжений (кривая /) и удельной потенциальной, энергии фбрмоиавшгаиия (кривая //) для
случая плоского напряженного состояния; ,> . — хромоиикалавая «таль в состоянии по-
поставки, О — отпуск 600" С, 0 — медь, А — иикаль, ® — сталь, X — алюминий, р —
ередиеуглеродистая сталь, ф — медь, -X —цемеитоваииая сталь, S—алюминиевый сплав.
[И. И. Гольденблатт, В. А. Копиов, Критерии прочности и пластичности конструкцион-
конструкционных материалов, «Машиностроение», 1968].
и Р. Бекера2) A914). Обе серии опытов проводились с образцами
из мрамора в виде цилиндров. В первом этапе опытов Т. Кармана и
Р. Бекера цилиндры подвергались воздействию осевой силы, возбу-
возбуждавшей напряжения а, и гидростатическому давлению на боковую
поверхность интенсивностью р — о; получалось трехосное одинаковое
во всех направлениях сжатие материала, при котором он находится
в состоянии «неразрушимости». Далее Т. Карман повышал интенсив-
интенсивность сжатия вдоль оси цилиндра при неизменном гидростатическом
давлении на боковую поверхность; Р. Бекер же повышал интен-
интенсивность гидростатического давления на боковую поверхность,
оставляя неизменной силу, действующую вдоль оси цилиндра. Разу-
Разумеется, что в обоих случаях, в результате отклонения от одинако-
одинакового во всех направлениях сжатия, происходило разрушение цилинд-
цилиндров,—в опытах Т. Кармана при напряжениях
01 = а2 =— о, о = — а — Да',
^Теодор Кармаи (Theodor Karman) —немецкий механик, последний
период жизни работавший в США. Karman Т. von, Forschungsheft, 118.
Karman T von, Zeitschrift d VDI, 1911.
2) Bocker R.j Dissertation, Techn. Hochschule, Aachen, 1914,
18*

548
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
а в опытах Р. Бекера —при напряжениях
Ох = — а а2 = а3 = — а —Да".
Легко видеть, что коэффициент Лоде в опытах Т. Кармана рав-
равнялся+1, а в опытах Р. Бекера—1.
Таким образом, эти опыты отвечали двум крайним случаям
значений коэффициента Лоде, который, как известно (см. главу V),
характеризует на диаграмме Мора относительное расположение
точки В на диаметре главного круга.
Напомним, что точка В — конец отрез-
отрезка, измеряющего о2 на оси а.
Каждая из серий испытаний, вхо-
входивших в опыт Т. Кармана и Р. Бе-
Бекера, дает огибающую предельных
кругов Мора. Огибающие получают-
получаются в обоих случаях плавными, но
несколько смещенными одна относи-
относительно другой. Это несовпадение оги-
огибающих объясняется тем, что, как
только что обсуждалось, роль о2
в опытах Т. Кармана и Р. Бекера
была неодинаковой. Иными словами,
предположения О. Мора об отсут-
отсутствии влияния о2 на возникновение
предельного состояния материала не
оправдывается, хотя это влияние и не столь уж велико и им
зачастую можно пренебрегать1).
Подводя итог обсуждению экспериментальной оценки теорий,
следует иметь в виду одно очень существенное обстоятельство,
состоящее в том, что большинство экспериментов выполнялись
все же не с пространственно, а с двумерно напряженными телами.
Даже если образец в целом находился в пространственном напря-
напряженном состоянии, то те именно локальные области, в которых
возникает предельное состояние, располагаются чаще всего вблизи
поверхности, и если отсутствуют поверхностные нагрузки, то одно
из главных напряжений в элементах у поверхности равно нулю.
Так обстоит дело с изгибаемыми и со скручиваемыми образцами,
так обстоит дело и с образцами с надрезом. Поэтому результаты
°оп.с
Рис. 8.18. Предельная линия, со-
соответствующая теории Мора и экс-
эксперт ментальные точки опытов в
гипсовыми образцами.
1) В качестве иллюстрации приведем результат исследования В. Д. Глебова
и С. А. Елсуфьева (О применении идей Мора к описанию деформирования
и разрушения материалов. Известия ВНИИГ, 1966. 82. 137—143.), которые,
имея в виду аналитическое изображение теории Мора в форме
р,
провели испытание серии гипсовых образцов и построили теоретическую предель-
предельную кривую (замкнутая ломаная, рис. 8.18). Изображенные на рисунке
экспериментальные точки показывают достаточную удачность теории Мора.

§ 8.7] ТЕОРИЯ Я. Б. ФРИДМАНА И ЕЙ АНАЛОГИЧНЫЕ 549
теорий применять в случае пространственного напряженного состоя-
состояния следует все же с некоторой осторожностью, пока не будет
накоплен необходимый экспериментальный материал, подтвержда-
подтверждающий теорию.
§ 8.7. Теория Я. Б. Фридмана и ей аналогичные
1. Замечания о терминах. Напомним о терминологии, принятой
в настоящем курсе в главе IV. Различаем два типа предельного
состояния материала: разрушение и текучесть. Последняя при
развитии пластической деформации также может закончиться раз-
разрушением. Разрушение различаем двух типов — разрушение хруп-
хрупкое от отрыва, которому практически не предшествует пластическая
деформация, и разрушение от среза, которому предшествует замет-
заметная пластическая деформация. При разрушении от среза, ввиду
значительного поворота пачек скольжения в процессе предшест-
предшествующей разрушению пластической деформации и возможности
заклинивания этих пачек (прекращения скольжения), может про»
явиться хрупкий характер в пос-
последний момент разрушения.
2. Идеи П. Людвика, А. Ф. Иоф- .^.
чфе, Н. Н. Давиденкова. Стремле- f
ние к построению схемы, которая ет
отражала бы различный характер ,
поведения материала — пластичный 1
и хрупкий в различных уело- о s
.ВИЯХ, Определяемых СКОРОСТЬЮ Рис. 8.19. диагра„„а П. Людвика.
нагружения, температурой, типом
напряженного состояния, степенью его неоднородности, — ощуща-
ощущалось уже давно: В разное время разными учеными делались
попытки построения таких схем.
По-видимому, первой такой попыткой явилась схема П. Люд-
Людвика *), в которой отражено влияние на характер деформации
к моменту разрушения скорости деформирования.
На рис. 8.19 показана схема Людвика. На ней более крутые
кривые относятся к большим скоростям деформирования. Из схемы
видно, что скорость деформирования не отражается на аот — сопро-
сопротивлении отрыву. Вместе с тем с повышением этой скорости сни-
снижаются пластические свойства материала. Таким образом, с уве-
увеличением скорости деформирования материал имеет склонность
к переходу из пластичного состояния в хрупкое.
Второй по времени появления схемой является ранее (в гла«
ве IV, рис. 4.46) упоминавшаяся уже схема А. Ф. Иоффе 2), кото-
') Ludwik P., Elemente der technologische Mechanik, 1909.
*) Иоффе А. Ф., Журнал Русск. физ.-хим. о-ва, т. 56, 1924, стр. 491.

550
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
рая отражает тот факт, что с понижением температуры величина
сопротивления отрыву практически не изменяется, а сопротивле-
сопротивление сразу увеличивается, вследствие чего, если сопротивление
отрыву становится меньше сопротивления срезу, материал из плас-
пластичного состояния переходит в хрупкое.
В дальнейшем идея о наличии у каждого из материалов двух
характеристик сопротивления—отрыву и срезу неоднократно
высказывалась Н. Н. Давиденковым1). При этом указывалось,
что хрупкое поведение имеет место при отношении сопротивления
Сжатие
Ноучгние
¦^Растяжение
Линия текучести -Ш - —
gmaa
Рис. 8.20. Диаграмма теории Я Б. Фридмана.
отрыву к сопротивлению срезу меньшем единицы, а пластичное
поведение —в случае, когда это отношение больше единицы.
Во многом под впечатлением именно этих взглядов позднее
Я. Б. Фридманом 2) была совершена попытка создания схемы,
отражающей по возможности все основные факторы, влияющие
на возникновение хрупкого разрушения или начала пластической
деформации (текучести), а также на разрушение вследствие среза,
наступающего в конце пластической стадии работы материала.
3. Теория Я. Б. Фридмана3). Я. Б.Фридман предложил1) стро-
строить на основании некоторых экспериментально найденных данных
следующие две диаграммы, располагаемые рядом. Первая (левая)
строится в системе осей сгвкв>2 —ттах. а вторая (правая) —в системе
осей gmax — Tmax (максимальный истинный сдвиг — максимальное
касательное напряжение) (рис. 8.20). Диаграмма отражает поведе-
поведение материала, связанное как с его природой, так и с характером
напряженного состояния. Коснемся прежде всего вопроса о том,
1) Давиденков Н. Н., Динамические испытания металлов, 2-е изда-
издание, 1936, стр. 158. Давидеиков Николай Николаевич A8/9 —1960) —
советский механик, работавший, в частности, в области выявления природы
пластических деформаций и разрушения материалов.
2) Фридмаи Я. Б., Журнал технической физики, XI, №11, 1941.
3) Фридман Яков Борисович A911—1968) —советский ученый в облаети
механики и материаловедения.
4) Достаточно подробное изложение этой теории дано в книге: Фрид-
Фридман Я- Б., Механические свойства металлов, Обороигиз, М., 1932.

§ 8.7]
ТЕОРИЯ Я. Б. ФРИДМАНА И ЕЙ АНАЛОГИЧНЫЕ
Б51
как отражается на этой диаграмме влияние природы материала
на его поведение. На левой диаграмме проводится система пре-
предельных линий, выделяющих некоторые области характерной
работы материала. Согласно третьей теории проводится горизонталь-
горизонтальная линия текучести с ординатой, равной тт, т. е. тому значению
максимального касательного напряжения, при котором в материале
возникает текучесть. Параллельно ей проводится линия среза
с ординатой, равной tK —тому значению касательного напряжения,
Рис. 8.21. Диаграммы теории Я Б Фридмана; А — очень твердые материалы, Б —
твердые мягеричлы, В — мягкие материалы.
при котором происходит разрушение от среза, т. е. акт, заверша-
завершающий пластическую деформацию. Напомним, что и условие воз-
возникновения разрушения от среза хорошо описывается третьей
теорией. Кроме этих линий, проводится вертикальная линия
отрыва согласно второй теории; абсциссой этой линии является соп-
сопротивление отрыву Оот- Эта линия проводится в промежутке
между осью абсцисс и линией текучести. Далее линия отрыва
перестает быть вертикальной и имеет наклон вправо. Ниже линии
текучести располагается область упругой работы материала, между
линиями текучести и среза — область пластической работы мате-
материала. Вся совокупность обсуждаемых выше линий,—будем назы-
называть ее сеткой линий материала, —описывает свойства или, иначе,
возможности материала. Вводятся три коэффициента,
P-f. 4 = -?-. *—г. <8-31>
аот "от хк
характеризующие отношение размеров сеткн.
На рис. 8.21 изображены три сетки линий материала, отно-
относящиеся к очень твердым (А), твердым (Б) и мягким (В) мате-
материалам, имеющие различные коэффициенты (8.31).

552 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ бБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Если Р ^> 1, то в целом материал имеет склонность к хрупкому
разрушению путем отрыва. Прочность таких материалов при
растяжении меньше прочности при сжатии.f
Если Р^1, то в целом материал имеет склонность к пласти-
пластическому разрушению путем среза.
Если р ~ 1, то характер разрушения материала (путем отрыва
или среза) и поведение его (хрупкое или пластичное) в основном
зависят от типа напряженного состояния.
Если Ж 1, то существует пластическая область и при каких-то
напряженных состояниях имеет место пластическая деформация;
если Я = 1, то произошло вырождение пластической области на
диаграмме и, следовательно, материал всегда, т. е. каким бы
ни было напряженное состояние, хрупок.
Итак, возможности материала, связанные с его природой, от
которых во многом зависит его поведение, отражены на диаграмме
сеткой линий материала. Вторым фактором, влияющим на пове-
поведение материала, является напряженное состояние в обследуемой
точке. Я. Б. Фридман предложил напряженное состояние харак-
характеризовать параметром
ттах
о, — —
здесь Ттах — максимальное касательное напряжение в рассматри-
рассматриваемой точке, оно выражается формулой
^экв, а — приведенное (эквивалентное) нормальное напряжение по
второй теории, т. е. наибольшая положительная величина из числа
трех следующих:
Учтем, во-первых, что на диаграмме вдоль оси ординат откла-
откладываются ттах — максимальные касательные напряжения, а вдоль
оси абсцисс эквивалентные по второй теории напряжения, во-вто-
во-вторых, то, что рассматривается простое нагружение, при котором
компоненты напряжений растут пропорционально одному общему
для всех них параметру. Тогда каждое напряженное состояние на
диаграмме может быть охарактеризовано в пределах закона Гука,
т. е. до ттах = Tna«sTTf прямой линией, проходящей через начало
координат. При этом тангенс угла наклона этой линии равен а.
Допуская определенную погрешность, Я. Б. Фридман предложил
охарактеризовывать этой прямой напряженное состояние в точке
и за пределом пропорциональности, т. е. во всем диапазоне изме-
изменения нагрузок и напряжений.

$ 8.7] ТЕОРИЯ Я. Б. ФРИДМАНА И ЕЙ АНАЛОГИЧНЫЕ 553
На рис. 8.20 проведено несколько линий (пунктирных), соот-
соответствующих различным напряженным состояниям. Угловые коэф-
коэффициенты этих прямых легко находятся.
Трехосное одинаковое во всех направлениях растяжение:
Tmax=0, CT8KBi2 = (l— 2(х) СТ1( О = 0.
Растяжение:
ттах = otj/2, сэкв> 2 = alt a = 1/2.
Кручение (чистый сдвиг):
Tmax=CTli (Т9КВ> 2 = 0^ — (Х(Т3 = (
а= ] + |А ; при jA=l/4 a = 4/5.
Сжатие:
Ттах=Оз/2, СТ9кв>г = {А03, <Х
при (х= 1/4 а = 2.
Совершенно очевидно, что найти величину а, а следовательно, и
построить такую прямую, можно для любого напряженного состо-
состояния в точке.
Если прямая, соответствующая напряженному состоянию
в точке, пересекает линию отрыва, то разрушение произойдет путем
отрыва, при этом, в случае, если имеется отрезок прямой, рас-
расположенный в пластической области, то разрушению от отрыва
предшествует некоторая пластическая деформация. В случае же^
если обсуждаемая прямая до пересечения с линией отрыва нахо-
находится полностью в упругой области, то разрушение от отрыва
происходит хрупко. Наконец, если прямая, соответствующая
напряженному состоянию в точке, пересекает линию среза, то
разрушение произойдет путем среза.
Таким образом, тип излома определяется,- с одной стороны,
природой материала, характеризуемой коэффициентом р\ а с дру-
другой стороны, напряженным состоянием, характеризуемым коэффи-
коэффициентом а. При р<а имеет место срез; при Р>а —отрыв.
Условию Р = а может соответствовать в одних случаях срез,
в других —отрыв, т. е. картина разрушения неустойчивая.
Пластическое или хрупкое поведение материала перед разру-
разрушением определяется отношением коэффициентов ц и а. При
т) < а перед разрушением имеет место пластическая деформация;
такой режим назван «мягким» погружением. При ц ^ а материал
разрушается хрупко —без предшествующей пластической дефор-
деформации; такой режим назван «жестким» погружением г).
1) Иногда термины «мягкие» и «жесткие» нагружения используют лишь
в связи с величиной а, без сравнения его с г\. Это в тех случаях, например,
когда а известно, а ц не известно (т. е. не конкретизируется материал). Оче-

ББ4 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIU
Я. Б. Фридман обращает внимание на три вида хрупкости
материала, которые подтверждаются и диаграммой:
Хрупкость абсолютная (при Я=1), наблюдаемая ь материале
при любом напряженном состоянии, т. е. при любом а. Примером
абсолютно хрупкого материала может служить стекло.
Хрупкость, характеризуемая не только типом разрушения
(отрыв), но и отсутствием пластических деформаций перед разру-
разрушением; этот вид хрупкости возникает при «жестком» нагружении
(т] ^ а), даже если Я < 1.
. Наконец, хрупкость, состоящая в разрушении, от отрыва, но
с предшествующими пластическими деформациями; этот вид хруп-
хрупкости возникает при «мягком» нагружении (т) < а), которое, разу-
разумеется, мыслимо лишь при условии Ж 1.
Выше упоминалась, ио пока не обсуждалась правая часть
диаграммы, которая представляет собой обобщенную кривую
течения
Ттах =г/ (^таху.
Такие кривые можно построить при разных видах напряженного
состояния. По сути дела эти кривые необходимы для установле-
установления тт и тк. С другой стороны, кривые служат для оценки досто-
достоверности предсказания по теории Я. Б. Фридмана типа разруше-
разрушения и уровня напряжений ттах, при которых это разрушение
происходит.
Излом а на обобщенной кривой течения (см. рис. 8.20) соответ-
соответствует линии текучести, а точка б —конец, кривой —разрушению
от среза. Так устанавливаются уровни линий тт и т„ в левой
части диаграммы. Так как диаграммы ттах =/ (gmax) могут быть
получены при различных видах напряженного состояния, Обнару-
Обнаруживается хорошее согласование мест преждевременного обрыва
обобщенной кривой течения, получаемой при том виде напряженного
состояния, которому соответствует разрушение от отрыва. На
рис. 8.21 показано, что в случае очень твердого материала «прежде-
«преждевременный» отрыв обобщенной кривой течения произошел при всех
видах напряженного состояния (сжатие, кручение, растяжение),
кроме смятия материала у поверхности. В случае твердого матери-
материала при двух видах напряженного состояния удается получить
полную обобщенную кривую течения (при смятии и сжатии),
а при двух видах напряженного состояния (кручение и растяжение)
в силу разрушения от отрыва происходит «преждевременный» обрыв
видно, что чем меньше а, тем больше оснований ожидать хрупкое поведение
материала, поэтому такие нагружения, у которых сс<<1, называют жесткими,
в отличие от мягких с а^1, Так, например, можно составить последователь-
последовательность наприженных состояний в порядке уменьшения их жесткости: трехосное,
одинаковое во всех направлениях растяжение; осевое растяжение; кручение
(чистый сдвиг); осевое сжатие] вдавливание шарика в поверхность материала.

§8.7] ТЕОРИЯ Я. В ФРИДМАНА И F.PI АНАЛОГИЧНЫЕ 655
обобщенной кривой течения. Наконец, если материал мягок, то
при всех показанных на левой части диаграммы (см. рис. 8.21)
напряженных состояниях получаются полные обобщенные кривые
течения, т. е. не происходит «преждевременного» обрыва ни
в одном из этих случаев.
Итак, для построения диаграммы Я. Б. Фридмана необходимо
иметь обобщенную кривую течения и сопротивление отрыву. Имеется
в виду, что в процессе этого построения находится и сопро-
сопротивление срезу; если при построении обобщенной кривой течения
получить сопротивление срезу не удается, последний необходимо
найти особо. Построение обобщенной кривой течения не является
простой операцией. При растяжении затруднения возникают в связи
с образованием шейки, при сжатии — в связи с наличием трения
на опорных площадках и невозможностью доведения пластичного
материала до разрушения. Более приемлемым является испытание
на кручение, хотя и здесь имеются свои сложности — в случае
образца в виде сплошного круглого цилиндра упругая сердцевина
влияет на периферийные слои, доведенные до предельного" состоя-
состояния, если же образец трубчатый, то возможна потеря устойчи-
устойчивости.
Не менее сложно и определение сопротивления отрыву, так как
многие материалы трудно переходят в хрупкое состояние. Для
получения аот часто необходимо принимать специальные меры —
понижение температуры, увеличение скорости деформирования,
создание концентраторов напряжений.
Что фактически дает теория Я. Б. Фридмана?
Во-первых, она позволяет предсказать вид разрушения. Во-вто-
Во-вторых, пользуясь этой теорией, можно судить, насколько близок
другой вид разрушения; если прямую, соответствующую рассматри-
рассматриваемому напряженному состоянию, достаточно повернуть на неболь-
небольшой угол, чтобы произошло изменение вида разрушения, то этот
другой вид разрушения достаточно близок к фактически реализу-
реализуемому. Наконец, теория Я. Б. Фридмана позволяет установить
предельные значения напряжений, соответствующие возникнове-
возникновению текучести и разрушению. Теория Я. Б. Фридмана позволяет
судить и о том, как добиться получения более мягкого режима
работы материала.
Какова общая оценка теории Я. Б. Фридмана?
Эта теория содержит много интересных идей. Наибольший инте-
интерес представляет установление и вида предельного состояния —
возникновение текучести или разрушение, а в последнем случае
его типа (отрыв или срез) и уровня предельных напряжений в зави-
зависимости от природы материала и характера напряженного состоя-
состояния в точке. Однако для необходимого завершения этой теории
требуется еще большая работа. Уточнению должны быть подверг*
Нуты линии сетки материала и линии напряженных состояний.

656 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Непрямолинейность последних за пределом пропорциональности
очевидна.
К уже отмеченным недостаткам, многие из которых обсуждались
в большой дискуссии, возникшей на страницах журналов «Вестник
инженеров и техников» A947—1949) и «Заводская лаборатория»
A949), можно присоединить и недостатки, присущие всем выше
обсуждаемым теориям, — рассмотрение локальной области, т. е.
неучет неоднородности поля напряжений, рассмотрение лишь ста-
статического действия нагрузки. Все перечисленные выше недостатки
осознавались и отмечались самим автором.
4. Теория Г. Шиадта *). Как и Я. Б. Фридман, Г. Шнадт
строит диаграмму на плоскости в некоторой системе осей и нано-
наносит сетку линий, каждая из которых соответствует той или иной
границе области работы материала. Этими областями являются
область упругой работы, область пластических деформаций и область.
исчерпанной прочности. На сетку линий, отражающих возможности
материала, наносятся линии, характеризующие напряженное состоя-
состояние конструкций. Несмотря на сходство некоторых основных поло-
положений теории Г. Шнадта с положениями теории Я. Б. Фридмана,,
никаких указаний на последнего в работе Г. Шнадта не имеется.
Диаграмма Г. Шнадта строится в осях аг — П; ах — максималь-
максимальное (>0) из главных напряжений, П —безразмерная величина
где 112 = 02/0!, т]3 = (Тз/а1 (при этом |ai!3s|<Ta|3s|a8|); Ла и
могут изменяться в пределах от +1 Д° — 1'» вследствие этого
Легко видеть, что П представляет собой, с точностью до постоян-
постоянного множителя, корень квадратный из частного от деления удель-
удельной потенциальной энергии формоизменения на квадрат наиболь-
наибольшего главного напряжения. Иначе, П представляет собой, с точ-
точностью до постоянного множителя, частное от деления среднего
*) Генри М. Шнадт (Henri M. Schnadt) —люксембургский инженер; пер-
первое известное нам указание в литературе на его работу относится к 1950 г.
Доклад был сделан 30. XI 1949 г. в Институте сварки в Лондоне R-. Week.
An account of M. Henri M. Schnadt's ideas on the strength of materials and his
testing methods. Transactions of the Institute of welding. Vol. 13, № 2, april
1950, London. В этой статье английский инженер Р. Век излагает идеи
Г. Шнадта. В изложении самого Шнадта эта теория описана в книге Neue
Priifmethoden von Stahlen und schweifiwerkstoffen fur groCe Schweifikonstruktio-
nen. 1. Teil. Teoretische Grundlagen Zng. Selbstverlag Verfassers, 1957, 87 S., ill.
Кроме того, в пятидесятые годы в Бельгии, Франции и др. странах появился
ряд статей, посвященных идеям Г. Шнадта.

S 8.7]
ТЕОРИЯ Я. Б. ФРИДМАНА И ЕЙ АНАЛОГИЧНЫЕ
557
(по В. В. Новожилову) касательного напряжения на наибольшее
главное напряжение. На рис. 8.22, а изображена диаграмма
Г. Шнадта, на которой имеются линии текучести и разрушения
и области упругой и пластической работы материала. Величина П
характеризует пластические свойства материала — чем она больше,
тем в большей мере пластичен материал. При а1 — о2 = а3, когда
Ла = Лз = 1 независимо от того, являются ли напряжения сжима-
сжимающими или растягивающими, пластические деформации полностью
исключены, и вместе с тем П = 0. Однако, как будет отмечено
Л
б)
Рис. 8.22. Диаграммы теории Г. Шнадта: а) основная диаграмма; б) основная диа-
диаграмма и кривые максимальных напряжений; / — линия хрупкого разрушения от
отрыва без предшествующей пластической деформации, 2 — линия хрупкого разруше-
разрушения от отрыва с предшествующей пластической деформацией.
ниже, для такого материала как сталь, даже при Пт^О, в некото-
некотором диапазоне малых значений П пластические деформации пол-
полностью исключены. Величину П можно рассматривать как меру
влияния вида напряженного состояния на пластические свойства
материала. Чем меньше П (но не меньше определенной величины —
ординаты точки Уо)> тем приходится создавать более высокий уро-
уровень напряжений, мерой которого является аи для возбуждения
пластического течения. Итак, по оси абсцисс откладывается мера
уровня напряженного состояния, а по оси ординат мера влияния
типа напряженного состояния на.сопротивления материала пласти-
пластическим деформациям. Сетка линий диаграммы Шнадта характери-
характеризует свойства и возможности материала в разных ситуациях.
Сначала будем считать, что температура и скорость деформи-
деформирования фиксированы. Сверху линии диаграммы ограничены уров-
уровнем ординаты П = 2.

Б58 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Линия А на диаграмме Шнадта — это линия начала пласти-
пластической деформации (линия текучести). Снизу линия текучести огра-
ограничена точкой Jo, ордината которой равна пределу хрупкости,
т. е. такому значению величины П, при котором и ниже которого
мыслимо лишь хрупкое разрушение без предшествующей ему
пластической деформации. Предел хрупкости — это константа мате-
материала в рассматриваемом состоянии и относящаяся к определен-
определенным температуре и скорости деформирования. Отрезок прямой,
расположенный вертикально между точкой Jo и пересечением
с осью абсцисс, представляет собой линию хрупкого разрушения
(от отрыва). Кроме отмеченных выше двух линий, на диаграмме
имеется еще две линии —обе линии разрушения. Одна из них,
линия R, сверху ограничена. уровнем ординаты П = 2, а снизу точ-
точкой NR. Линия R соответствует разрушению от среза. Другая линия,
J0Nr, является линией разрушения от отрьша, происходящего после
предварительной пластической деформации. Обсуждаемая основ-
основная диаграмма строится на базе эксперимента по нескольким
характерным точкам. Так, например, кроме точек /„ и NR экспе-
экспериментально может быть найдена точка Ао; она соответствует П = 1,
которое имеет место при одноосном растяжении; следовательно,
абсцийсой точки Ло является предел текучести.при простом растя-
растяжении. Для кривой А в системе осей П — а1 может быть состав-
составлено уравнение; таким является х)
Псгх = const.
Если ввести для абсцисс точек, кривой А специальное обозначе-
обозначение, <гт, п> имея в виду, что они представляют собой предел теку-
текучести, соответствующий значению П, то уравнение кривой А
можно иначе написать так:
По-Т>п = о-Т11 (8.32)
(здесь учтено, что обычный предел текучести ат находится при
П=» Г). Итак, кривая Л — это симметричная гипербола. Заметим, что
(8.32) представляет собой не что иное, как условие текучести
Губера — Мизеса — Генки и, следовательно, гиперболический вид
кривой А подтверждается большим экспериментальным материа-
материалом, накопленным за последние несколько десятилетий. Будем
счи ать, что основная диаграмма, изображенная на рис. 8.22,
ста хится к комнатной температуре и некоторой определенной
Справедливость этого можно доказать так:
— У af+а|+aj—OjCf»—otfj9—азаг—С -= const.
tai< как выражение под радикалом представляет собой, с точностью до посто-
постоянного множителя, величину второго инварианта девиатора напряжений, соот-
соответствующую возникновению текучести. Найти величину С легко ив условий
при П—1: Cj^Ct, отсюда С—от.

$ 8.7] ТЕОРИЯ Я. Б. ФРИДМАНА И ЕЙ АНАЛОГИЧНЫЕ 559
скорости деформирования. Если эти величины изменяются, то
изменяется и диаграмма. При повышении температуры точки Jo
и NR диаграммы понижаются и несколько смещаются вправо, при
понижении температуры, наоборот, повышаются и несколько сме-
смещаются влево. То есть при понижении температуры испытания
хрупкое разрушение наступает при более высоком значении П
и, таким образом, при меньшем значении разрывного напряжения.
Траектории движения точек Jo и NR при изменении температуры
изображены на рис. 8.22.
До сих пор говорилось лишь о возможностях материала, от-
отраженных основной диаграммой. Теперь коснемся напряженного со-
состояния всей конструкции. Каждой точке т конструкции на пло-
плоскости П — Ох соответствует некоторая точка М (П, <Т]); IInvj отно-
относятся к напряженному состоянию точки т. Точка М названа по-
полюсом напряжений точки т. Если уровень напряжений в точке т
повышается, а вид напряженного состояния остается неизменным,
т. е. II не изменяется (простое нагружение), то точка М перемещается
в плоскости П— (Тх слева направо по горизонтальной прямой
(рис. 8.22). Если же изменение напряженного состояния в точке
т сопровождается и повышением а? и изменением П (сложное
нагружение), то точка М перемещается, в плоскости П —стг по
некоторой криволинейной траектории. Интересно отметить, что
изменение напряженного состояния в рамках испытания призма-
призматического образца на разрыв происходит так, что в начале П>=1
@й ф 0, ог2 = а3 = 0), с момента же образования шейки появляются
и напряжения ст2 и о3, вследствии чего П возрастает.
Для того чтобы оценить находится ли конструкция в опасном
или безопасном состоянии, и если в последнем, то насколько
оно далеко от опасного, на сетку линий основной диаграммы
М. Г. Шнадта необходимо нанести так называемую кривую максималь-
максимальных напряжений. Эта кривая представляет собой геометрическое
место полюсов напряжений всех точек конструкции, в которых
ст1 достигает максимума по сравнению с другими точками кон-
конструкции, имеющими такие же значения П. То есть из бесконеч-
бесконечного числа точек конструкции, в которых величина П одинакова
и равна некоторому значению П*, выбирается точка с макси-
максимальным уровнем напряжений; пусть этот уровень характери-
характеризуется величиной сг1 = сг*. Тогда точка с координатами П* и а*
лежит на кривой максимальных напряжений. Если при этом П*
пробегает все значения в диапазоне изменения П, то в резуль-
результате и получаем кривую максимальных напряжений. Кривая макси-
максимальных напряжений может по-разному располагаться относительно
линий основной диаграммы Шнадта.
На рис. 8.22,6 показаны четыре такие линии. Одна из этих
линий, Bi, относящаяся к некоторому состоянию конструкции,
полностью лежит в упругой области, т. е. ни в одной точке

560 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
конструкции не возникает ни текучести, ни разрушения. При
увеличении нагрузки кривая максимальных напряжений смещается
вправо. При простом нагружении новая кривая максимальных
напряжений аффинна первой, пока она полностью находится в упру-
упругой области. Если кривая максимальных напряжений какой-то
своей точкой М коснется линии начала текучести, то в соэтвет-.
ствующей точке т конструкции возникнет текучесть. Аналогично,
в точке т конструкции произойдет хрупкое разрушение без пред-
предшествующей пластической деформации, если соответствующая ей
точка М кривой максимальных напряжений коснется линии хруп-
хрупкого разрушения (вертикальная линия диаграммы, проходящая
через точку Jo). Разумеется, что после того как линия макси-
максимальных напряжений где-то коснулась либо линии начала теку-
текучести либо линии хрупкого разрушения при дальнейшем увели-
увеличении нагрузки, даже происходящем пропорционально одному
параметру, пропорциональность роста напряжений нарушается, и
кривые максимальных напряжений перестают быть аффинными
предыдущим. Пусть при некотором уровне внешней нагрузки
кривой максимальных напряжений является кривая В2 (см. рис.
8.22, б), пересекающая линию начала текучести, но нигде не дохо-
доходящая до линии разрушения; очевидно, что в какой-то области
или в каких-то областях конструкции материал вступил в ста-
стадию пластических деформаций* При расчете по допускаемым
напряжениям за опасное принимается такое состояние, при кото-
котором кривая максимальных напряжений впервые коснулась одной
из двух линий, начала текучести или хрупкого-разрушения. На
самом деле, есди не рассматривать случая касания кривой макси-
максимальных напряжений линии хрупкого разрушения и ограничиться
лишь случаем касания линии начала текучести, то ясно, что
можно допустить дальнейшее (часто весьма значительное) увеличе-
увеличение нагрузки, разрешив кривой максимальных напряжений далеко
войти в область пластических деформаций, пока либо конструк-
конструкция не потеряет своей неизменяемостих), оставаясь в стадии
упруго-пластической работы, либо не наступит разрушения одного
из трех видов. Вид разрушения зависит от того, в какой области
расположена точка касания кривой максимальных напряжений и
линии разрушения. Ниже приводятся области расположения отме-
отмеченной точки касания (ее ординаты) и соответствующая форма
разрушения:
1-я область при 0 sg П sg Пх — хрупкое разрушение без пред-
предшествующей пластической деформации;
2-я область при Иг «с П ^ П2 — хрупкое разрушение с пред-
предшествующей пластической деформацией;
3-я область при П2 < П — разрушение от среза.
Это г факт диаграммой Шнадта не улавливается.

«. 8.7]
ТЕОРИЯ Я. Б. ФРИДМАНА И ЕЙ АНАЛОГИЧНЫЕ
561
Легко понять, что желательны такие конструкции, для кото-
которых кривые максимальных напряжений в 1-й области имеют малые
абсциссы. Например, кривая В3 (см. рис. 8.22,6) опасна и даже
нереализуема из-за того, что согласно ей имеется область разру-
разрушения конструкции. Удачнее кривая В4; согласно этой кривой
в какой-то области развиваются пластические деформации *), но
нигде не возникает хрупкого разрушения, так как при О «S П ^ П
абсциссы кривой В4 малы.
Повышение безопасности кон- °)
струкции может быть осуществ-
осуществлено за счет выбора иного
материала—с более низким
Рис. 8.23. Диаграмма Г. Шнацта с линиями Рис. 8.24. Система предельных поверхио-
разрушення от среза, соответствующими стей, соответствующих теории Г. Шиадта.
трем напряженным состояниям.
расположением кривой J0MR. Этому материалу соответствует диа-
диаграмма Шнадта, изображаемая пунктирной линией. Другой путь —
такое изменение конструкции, при котором в лучшую сторону из-
изменяется кривая максимальных напряжений (например, переход от
конструкции, которой соответствует В3, к конструкции с кривой
максимальных напряжений В4).
В заключение рассмотрения диаграммы Шнадта сделаем два
примечания.
Первое состоит в том, что вид линий пластического разруше-
разрушения, т. е. на участке выше точки Nr, зависит в некоторой мере
1) Важно, чтобы при этом не происходила потеря геометрической неизме-
неизменяемости.

662 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VII?
от напряженного состояния. Шнадт отмечает три частных случая
напряженного состояния и соответственно этому три указанных
линии (рис. 8.23). Такими напряженными состояниями являются:
l1).^ = т {at + <т3), откуда ц2 = -у A + Л.ч),
2. ог2 = ст3, т. е. т]2 = т1з, 3. o-2 = cTi, т. е. т]2=1.
Второе примечание заключается в следующем. Теории Шнадта
соответствует система поверхностей, отражающих и переход из
упругого состояния в пластическое и разрушение2), которые при-
приводим (рис. 8.24) без вывода.
§ 8.8. Некоторые уточнения классических теорий
1. Развитие идей О. Мора, данное А. Надаи.
1; 1. Общие, положения. Согласно теории О. Мора
в момент возникновения текучести касательное напряжение т
в плоскости скольжения функционально зависит от нормального
напряжения в той же плоскости
т = /((т). (8.33)
Плоскости скольжения в теории Мора предполагаются проходя-
проходящими через направление напряжения о2. (8.33) представляет собой
уравнение огибающей предельных кругов Мора. А. Надаи 3>
обобщил идею О. Мора, положив, что в предельном состоянии
текучести октаэдрическое касательное напряжение является функ-
функцией октаэдрического нормального напряжения*)
токт = Мо-окт). (8-34)
*) Это напряженное состояние соответствует минимуму П как функции tjs
при фиксированном ть:
_дП_ 2л,—п,—1 _ft
дть = 2П
Можно показать, что такому напряженному состоянию соответствует (при
заданном тK) наименьшая пластическая деформация. Именно' поэтому Шнадт
ввел специальную методику испытания, при которой материал находится
в этом напряженном состоянии, имея в виду, что если он выдержал такое
испытание, то при любом другом напряженном состоянии услешная его работа
гарантируется тем более.
2) Petltdidier M., Surfaces-limite d'elasticite et de repture. Revue de
Metallurgie.-LII, N 10, 1955. Societe.Francaise de Metallurgie.
8) Надан А., Пластичность и разрушение твердых тел. ИЛ,- 1954.
«) Условие, сходное с (8.34), до А. Надаи предложил Ф. Шлейхер
(Schleicher F., Z. angew. Math. u. Mechanik 6, 1926, 216), предполагав-
предполагавший, что полная удельная энергия деформации вблизи предельного состояния
является заданной функцией среднего гидростатического напряжения. В случае
поликрнсталлических квазиизотропных тел наилучшую трактовку обобщение
Надаи приобретает, если, согласно В. В. Новожилову, токт, с точностью до
постоянного множителя, трактовать как среднее касательное напряжение
в TO4K6J а оОКг ка" среднее гидростатическое напряжение.

5 8.8]
НЕКОТОРЫЕ УТОЧНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
563
В том смысле, в каком четвертая теория энергии
формоизменения аналогичн-а третьей теории мак-
максимального касательного
напряжения, т'еория А. На-
дай аналогична теории
О. Мора. Теории А. Надаи
•соответствует предельная поверх-
поверхность (текучести), представляю-
представляющая собой поверхность враще-
вращения в пространстве ст^стз с осью,
совпадающей с гидростатической
осью.
На рис. 8.25 показана систе-
система осей ст|, 02, Оз, в которой
уравнение этой поверхности запи-
записывается наиболее просто. Коор-
Координаты точки в системе осей стъ
<т2, ст3 выражаются через коор-
координаты той же точки в системе осей о\, ст2, ста следующими фор-
формулами преобразования координат:
Рис. 8.25.
1 - Кб" Y2
(8.35)
Учитывая (8.35), представим формулы для касательной и нормаль-
нормальной составляющих октаэдрического напряжения через ст[, а'2, ctJ:
¦ = "й- I ( СТ, — СТ., I -j- I СТа — СТ3 j
[(«
Сект = 4 (CT1 + ff2 + <?
Тогда уравнение (8.34) можно записать так:
Из бесконечного множества поверхностей вращения отметим три:
круговой конус (рис. 8.26), параболоид -вращения (рис. 8.27) и
круговой цилиндр. Их уравнения суть (8.36), (8.37) и (8.38) *):
3(а[2 + о? ) = 2 (^3 С0о'3 - Сг)\ (8.36)
') В осях а,а2а8 уравнения этих же поверхностей выражаются формулами
(а,-02)* + (аа-а3)а + (а8-a!)»»-! [Co^ + o^oJ-Ctf, (8.36')
fa-orf +(oi-o3)* + (o3-ol)*], (8.37')
s - о.,)* + (as - oj* =-jO*. (8.38')

S64
где
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Г _ °тс — <*тр г — 2атс °
L.0 ; > W ;
Тр
(стт. и сттр — пределы текучести соответственно при одноосном сжа-
сжатии и растяжении),
2 г (8-37)
3(ст[Чст2'2) = 2С?. (8.38)
Уравнение кругового цилиндра (8.38) получается из уравнения
Рис. 8.26. Предельная поверхность в виде
конуса как частный случай предельных
поверхностей вращения: / — след поверх-
поверхности на девиаторной плоскости;
У2-(«гт. с - gT. р)
°т, с + °т, р
Рис. 8.27. Предельная поверхность в виде
параболоида вращения (теория П. П. Ба-
Баландина, теория Стасси и др.) как част-
частный случай предельных поверхностей вра-
вращения; / — след поверхиости на девна-
торной плоскости.
кругового конуса (8.36) как частный случай при равенстве пре-
пределов текучести при сжатии и растяжении, т. е. в случае
при этом
Поверхность (8.38) —это цилиндр Мизеса (рис. 8.28). Урав-
Уравнения (8.36), (8.37), что ясно из их структуры, соответствуют
материалам с разными пределами текучести при растяжении и
сжатии. Вместе с тем они характеризуют материалы и с разны-
разными пределами прочности при сжатии и растяжении. Каждая из
поверхностей, соответствующих (8.36) и (8.38), как и кривая О.
Мора, является предельной поверхностью, некоторая часть кото-
которой описывает предельное состояние текучести, а остальная, при-
примыкающая к месту пересечения поверхности с осью (/3, — предель-
предельное состояние хрупкого материала.

§ 8.8]
НЕКОТОРЫЕ УТОЧНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
Б65
1.2. Пр и ложение. В качестве иллюстрации применения
идеи Надаи отметим две работы; одна из них принадлежит
Л. К. Лукше 1), а другая И. Н. Ах-
вердову и Л. К. Лукше 2).
В первой из этих работ функ-
функция (8.34) для хрупких тел при-
принята в форме
Здесь Rc и /?р —пределы прочно-
прочности материала при сжатии и рас-
растяжении. Эта зависимость оказа-
оказалась достаточно удовлетворитель-
удовлетворительной (согласующейся с резуль-
результатами экспериментов) до х =
Рис. 8.28. Предельная поверхность Ми-
зеса (цилиндр) как частный случай
предельных поверхностей вращения;
/ — след поверхности на девиаторной
плоскости.
р
Во второй работе выполнено
уточнение для хрупких тел типа
бетона с большим отношением
Яс и /?р. Уточнение преследова-
преследовало цель замкнуть предельную кри-
кривую для плоского напряженного состояния и устранить завы-
завышенное значение прочности в области неравномерного трехосного
сжатия. В результате такого уточнения уравнение поверхности
разрушения приобрело вид 3)
<*1 + о! + Oi —
2CRc-2Rp)
+ 02°я + Оз^О —
-(Яс-#р)
1) К теории прочности. ДАН БССР, 1963, 7, № 5, 301—304.
2) К теории прочности хрупких тел. ДАН БССР, 1965, 9, № 2, 182—184.
8) Отметим некоторое сходство этой зависимости с критерием, полученным
Ф. Шлейхером в упоминавшейся выше его работе (для удобства сравнения
использованы обозначения обсуждаемых выше работ):
о? Н- а| + а*—2ц (а^ + ааа3 + asat) + (Rc — Rp)
а также с критерием Стасси, два варианта кот рого опубликованы в журнале Bull.
Reunion iniernat. labs, essais et rech. mater, et constr. Первый —в 1961 г. № 13
(Une fonction quadratique des tensions principales corhme condition de plastisite
des corps solides), а второй—1-963, № 21 (Interdependance des caracteristiques des
resistance des materiaux).
В первом варианте условие текучести Стасси имеет вид;
а* -
(Р - О jj~§- J|
(Р —

566
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
2. Обобщение теории О. Мора, данное М. М. Филоненко-
Бородичем (сопоставление идеи А. Над аи с идеей О. Мора).
2.1. Сущность обобщения. М. М Филоненко-Бородич,
рассматривая зависимость А. Надаи
Tokt = /i(POkt). (8.39)
которой соответствует некоторая предельная кривая в системе
осей стт, предложил поступать следующим образом 1). Каждой точке
<стокт, токт) этой кривой (рис. 8.29) соответствует семейство окруж-
окружностей Мора, касающихся изнутри некоторого огибающего эллипса
<§ 5.16, раздел 12). Внутри этого семейства каждая окружность
Рис. S.29. К обобщению теории О. Мора, предложенному М. М. Филоненко-Вороди-
ч«м: / — огибающий эллипс, соответствующий точке Т предельной кривой токт= f, (o"OKT)
соответствует определенному значению \i0 из всего диапазона
изменения (—1*ёЦо-<;1); при этом в семейство входят окруж-
окружности, соответствующие всем значениям \ia в указанном диапазоне.
Если рассматривать каждую точку предельной кривой (8.39)
Шлейхера — Надаи, то получится бесконечное множество семейств,
в каждое из которых входит бесконечное множество окружностей
Мора. В совокупности это семейство семейств представляет собой
конгруэнцию, т. е. двупараметрическое семейство кривых. В качестве
этих двух параметров можно принять стокт и [ia. Каждому значению
<iOKT соответствует определенный огибающий эллипс вместе с беско-
бесконечным множеством окружностей Мора, изнутри касающихся
его, а каждому значению (гст внутри этого множества отвечает
¦а во втором представлено так:
(о, - о2)» + (аг — о8J + (o
2 (р - I) о„ (о, + о»
2рст»..
Здесь р«=о?/о0, oj — предел текучести при сжатии, о„ — предел текучести при
растяжении, О/ — предел текучести при гидростатическом растяжении.
При р= 1 и О/««со получаем из условий Стасси, как частный случай,
условие Мизеса.
х) Ф и л о неико-Бор о д и ч М. М., Об условиях прочности материалов,
обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию. «Инженерный
сборник» т. XIX, 1954.
Филоиенко-Бородич М. М., Механические теории прочности, изд.
Л1ГУ, 1961.

8 8.8] НЕКОТОРЫЕ УТОЧНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ 567
одна окружность. Если выделить все окружности, соответст-
соответствующие некоторому фиксированному значению \ia (по одной из
множества окружностей, отвечающих каждому значению о-окт),
то для такого множества окружностей можно построить огибающую-
(разумеется, если она существует) наподобие огибающей Мора.
В отличие от теории Мора, таких огибающих должно быть столько,.
сколько различных значений ца. Однако, как показали упоминав-
упоминавшиеся уже выше опыты Т. Кармана и Р. Бекера, выполненные
для крайних значений (хо:1 и —1, огибающие Мора предельных
кругов, соответствующих отдельно (ао = I и отдельно [х„ = —1Г
мало отличаются одна от другой. Надо полагать, что при про-
промежуточном значении ца это отличие от огибающих, построенных,
при крайних значениях ца, будет еще меньшим. Поэтому пред-
предложение М. М. Филоненко-Бородича практически достаточно реали-
реализовать при весьма ограниченном количестве различных значений цок
либо вообще, убедившись в том, что различие огибающих кривых
невелико, ограничиться какой-то одной из них, и тогда сохранить
все в рамках теории Мора. Факт наличия не одной, а бесконечного
множества огибающих Мора, связан с влиянием промежуточного-
по величине главного напряжения ст2.
В предложении М. М. Филоненко-Бородича сочетаются досто-
достоинства подходов А. Надаи (рассмотрение зависимости токт =» fr (aOKT}
вместо x = f(a)) и О. Мора (возможность обнаружения характера
разрушения).
Поучительно рассмотрение частных "случаев, выполненное
самим М. М. Филоненко-Бородичем.
2.2. Частный случай, соответствующий теории
Губера —Мизеса —Генки. В обсуждаемом случае
токт = т* = const.
Напомним формулу E.77J!
Очевидно, что все окружности Мора при fio = const имеют одина-
одинаковый радиус ц. Таким образом, огибающая всех окружностей
с одинаковым значением ца представляет собой прямую, параллель-
параллельную оси ст. Прямые, отвечающие различным ца, располагаются
в пределах достаточно узкой полосы, определяемой граничными
значениями т]: T)min= 1,061 т* и т)тах = 1,225 к* (рис. 8.30). Если
(уже указывалась возможность сохранения теории Мора) ограни-
ограничиться одной огибающей, проведенной посредине ширины отмечен-
отмеченной полосы, то погрешность теории Мора по сравнению с обобщен-
обобщенной теорией М. М. Филоненко-Бородича составит 8%.

Б68
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Обращает на себя внимание следующее обстоятельство. Огиба-
Огибающие Мора, соответствующие точкам, симметрично расположенным
иа участке ABC, в частности, точкам А и С, совпадают. Вместе
¦с тем у ряда материалов сопротивление возникновению предель-
предельного состояния при сжатии выше, чем при растяжении. Для того
¦Рис. 8.30. К обобщению теории О. Мора, предложенному М. М. Филоненко-Бороди-
чем; / — вспомогательный эллипс (геометрическое место вершин всех главных окруж-
окружностей О. Мора с фиксированными значениями о0КТ н токт)
чтобы иметь возможность отразить этот факт в теории, М. М. Фило-
ненко-Бородич предлагает видоизменить (8.39), придав ему сле-
следующий вид:
Ы) (841)
В рассматриваемом случае (теория Губера — Мизеса — Генки) зави-
зависимость (8.41) можно представить так:
где "ф — постоянная, значение которой принимается в следующих
пределах: 0<i|><1; или, учитывая E.77).г,
Т*A
откуда уравнение пучка огибающих кругов Мора получает вид
Теперь при [хст = -+-1
при ptCT = —-1
Очевидно, что
2УТ '
2/2

S 8.8]
НЕКОТОРЫЕ УТОЧНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
669'
т. е. при напряженном состоянии типа сжатия огибающая Мора
проходит выше, чем при напряженном состоянии типа растяжения.
2.3. Еще один частный случай. Второй частный случай
соответствует линейной зависимости между ст0Кт и токт:
токт=*-^<токт + ^. (8.42)
Здесь— 1/ЛГ — угловой коэффициент, а* — отрезок, отсекаемый на
оси а прямой, изображающей (8.42) в системе осей о-окт, токт.
(рис. 8.31). Опуская промежу-
промежуточные выкладки, покажем урав-
уравнение огибающей кругов Мора
У (*
(а-а*)
Рис. 8.31. К обобщению теории О. Мора-
предложенному М. М. Филонеико-Бо-
Этому уравнению соответствуют
две прямые, одинаково наклонен-
наклоненные к оси а и отсекающие на
ней отрезок а —о*. Указанные прямые действительны лишь при
условии, что подкоренное выражение в знаменателе положитель-
положительно, т. е.
(8.43>
Первый множитель положителен, следовательно, условие (8.43)
может быть заменено следующим:
(8.44>
2.4. Линейная аппроксимация предельной зави-
зависимости. Если зависимость токт = /д (оот) не является, как (8.42),
линейной, то и при этом условие (8.44) может быть использовано
при замене кривой на небольшом участке отрезком прямой. Осно-
Основываясь на этом, проведем следующий ниже анализ.
Пусть имеется предельная зависимость
*окт = h (°w)
и соответствующая ей предельная кривая LM (рис. 8.32). На
этой кривой можно найти точку Тк, в которой удовлетворяется
условие

«70
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Тогда все семейство окружностей Мора (напомним, что все
они отвечают одному и тому же значению ца) подразделяется
на два подсемейства — на подсемейство окружностей, имеющих
огибающие, и подсемейство окружностей, которым не соответ-
соответствует никакая огибающая. Первое подсемейство выбрано из мно-
множеств окружностей, касающихся огибающих эллипсов, которые
•соответствуют точкам предельной кривой токт = /1 (стокт), располо-
расположенным левее точки Тк. Второе же подсемейство соответствует
точке Тк и точкам, расположен-
расположенным правее нее.
Следовательно, крайняя правая
точка (точка ,4К) огибающей кри-
кривой Мора соответствует точке Тк
предельной кривой токт = /t (стокт).
Всем точкам, лежащим левее точ-
точки Тк, отвечает начало разрушения
от среза (т. е. возникновение те-
текучести); начиная с точки Тк, всем
точкам, расположенным правее Тк,
отвечает разрушение, происходя-
происходящее от отрыва. Подсемейство
окружностей Мора, соответствую-
соответствующих разрушению от отрыва, лежит
внутри огибающей Мора, не ка-
касаясь ее. Для получения сопро-
сопротивления отрыву, определяемого
точкой Т, на участке TJA пре-
предельной кривой необходимо по-
построить окружность Мора, отве-
отвечающую точке Т; наибольшая абсцисса точки пересечения этой
¦окружности с осью а и представляет собой стотр. Заметим, что в не-
людифицированной теории Мора ситуации, определяемые точками
.кривой: токт = /!(стокт), расположенными на участке ТКМ, ускользают
нз поля зрения, как и все подсемейство отвечающих этим точкам
окружностей Мора.
Критическое значение параметра \\/N \ = \diOKT/doOKT\, опреде-
определяющее положение точки Тк на предельной кривой токт = /!1(стОК1),
зависит от величины коэффициента Лоде:
Рис 8.32. К обобщению теории
V. Мора, предложенному М. М Фи-
лонеико-Бородичем; -подсемейство пре-
предельных окружностей О. Мора, кото-
которые имеют огибающие и которым соот-
соответствует разрушение от отрыва без
предварительной пластической дефор-
деформации; /—.предельная кривая О. Мора,
3 —^ окружность, отвечающая точке Т.
при [i<r = — 1
при цо = 0
при ца= 1
;
1
N
=
атоКТ
da0KT
<frOKT
da0K1
- = 0,707,
= -^ = 0,814,
1,414.

§ 8.8]
НЕКОТОРЫЕ УТОЧНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
67»
Следовательно, при переходе от напряженного состояния типа
растяжения к состоянию типа сжатия происходит увеличение
крутизны касательной в граничной точке Т'к (*'¦»', ",'") (рис. 8.33).
Иными словами, при переходе от напряженного состояния типа
растяжения к состоянию типа сжатия
расширяется область разрушения пу-
путем среза.
3. Обобщение классических тео-
теорий. Выше уже обсуждалось обобще-
обобщение теории О. Мора, выполненное
А. Надаи и состоящее в переходе от
критерия в форме
к критерию такого вида:
tokt=/i((Tokt)-
Этот последний можно записать в
форме
е.-мво, (8.45)
"ffKtn
Рис 8.3». К обобщению теорн»
О. Мора, предложенному М. М. Фи-
лоиеико- Бороднчем; положение то-
точек Тк. делящих кривую *окт —
«= /, (сгокт) иа две области, который
отвечают два подсемейства предель-
предельных окружностей О. Мора (еоот-
ТаК Как Товт СВЯЗаНО С 62 СЛедуЮЩИМ ветствующих разрушению от врез*
образом 1):
i 2>
©1-
и — от отрыва; Т^ -*¦ при напря-
напряженном состоянии типа растяже-
растяжения (M(j «= — 1); Тк — при напря-
напряженном состоянии типа чистого
сдвига (|1О = 0); Тк — при напря-
напряженном состоянии типа сжатия
(Но- = + О.
Дальнейшее обобщение оэстоит в представлении уравнения
предельной поверхности в следующем виде:
Ф(в1>02, в3) = 0,
или, учитывая взаимно однозначное соответствие между Of, o-s и
CTS, с одной стороны, и обобщенными инвариант &i, 82 и 68, —
с другой,
F(al,at,-aa) = 0. (8.4б>
1) Здесь учтено, что
- ацJ + (о, - os)a + (о, -а,)».
V2
Vl[((Tl ~
~ffsJ
""fflJJ=
- os)a + (а8 -

572 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Вид функций F или Ф определяется гипотезой, положенной в
основу теории прочности, либо задается непосредственно.
В последнем случае функция должна содержать параметры,
определяемые эмпирически, и самое отыскание конкретного вида
этой функции имеет характер построения некоторой аппроксима-
аппроксимации, в частности, интерполяционного полинома.
Известны теории, вписывающиеся в форму (8.45) (кроме ука-
указанных в разделе 1), где зависимость (8.45) была представлена
в виде (8.47). К числу их относятся теории: Ю. И. Ягна 1) A931),
П. П. Баландина 2) A937), И. Н. Миролюбова A953) 3). В этих
теориях соответственно зависимости (8.45) придана следующая
форма:
(8.47)
Согласно числу неизвестных в (8.47) параметров для определения
их в теории Ю. И. Ягна необходимы три опыта (например: растя-
растяжение, сжатие и чистый сдвиг (кручение)), в теории П. П. Балан-
Баландина—два опыта, в теории И. Н. Миролюбова — тоже два опыта.
Так все три обсуждаемые теории вытекают как частные случаи
из условия (8.45). Для этого условия в общем виде было показа-
показано, что предельная поверхность, ему соответствующая, представ-
представляет собой поверхность вращения с осью, равнонаклоненной к
направлениям alt a2 и аа.
Следовательно, и теориям Ю. И. Ягна, П. П. Баландина и
И. Н. Миролюбова соответствуют предельные поверхности в виде
поверхностей вращения. В теории П. П. Баландина это парабо-
параболоид вращения, наподобие изображенного на рис. 8.27. В тео-
теории И. Н. Миролюбова это однополостной гиперболоид враще-
вращения (рис. 8.34). В теории Ю. И. Ягна частный вид поверхности
вращения зависит от соотношения А, В я С.
г) Я гнЮ. И., Новые методы расчета на прочность. «Вестник инженеров и
техников», 1931, №6.
2) Балаидин П. П., К вопросу о гипотезах прочности. «Вестник инже-
инженеров и техников», 1937, №1.
3) Миролюбов И. Н., К вопросу об обобщении теории прочности
¦октаэдрических касательных напряжений на хрупкие материалы. Труды ЛТИ,
1953, №25.
Заметим, что число различных вариантов теорий подобного рода непре«
рывио возрастает. Приведем в качестве еще одного примера работу Н u L. W.,
Рас К. D., Inclusion of the hydrostatic stress component in formulation of the
yield condition, J. Franklin Inst., 1963, 275, № 6, 491—502, в которой усло-
условие текучести для металлов предложено в виде
где k, а и р—постоянные материала, отыскиваемые из эксперимента. Экспе-
Эксперимент показал удовлетворительное согласование с результатам^ получаемыми
по этой теории.

S 8.8]
НЕКОТОРЫЕ УТОЧНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
573
Поскольку поверхность вращения полностью определяется
видом образующей, во всех теориях, в которых предельная по-
поверхность может быть представлена в таком виде (это теории с
условием вида (8.34) или (8.45)), предельное условие можно
изобразить при помощи плоской кривой (например, в плоскости
6lt 82 или в плоскости аокт, токт), наподобие того, как это де-
делается в теории Мора (в которой основная предельная зависи-
зависимость представлена в форме (8.33)). Другая форма изображения
предельных поверхностей в теориях, основанных на зависимости
4
Рис. 8.34. Предельная поверхность в виде
однополостного гиперболоида как частный
случай предельных поверхностей враще-
вращения (теория И. Н. Миролюбова); 1 — след
поверхности на девиаторной плоскости.
Рис. 8.35. Предельная поверхность враще-
вращения, отражающая характер сопротивле-
сопротивления материала при равномерном трехос-
трехосном растяжении и при напряженных со-
состояниях, близких к нему; / — след по-
поверхности иа девиаторной плоскости.
типа (8.34),—это цилиндрическая поверхность в системе осей
6„ ©2, в3 с образующей, параллельной оси 83, и упомянутой
выше направляющей в плоскости ©^а.
Совершенно очевидно, что так как при трехосном, хотя бы в
небольшой мере, неравномерном растяжении предельное напря-
напряжение не. равно бесконечности, пользоваться в этой области по-
поверхностью типа однополостного гиперболоида вращения нельзя.
В немногочисленных вследствие трудной их осуществимости опы-
опытах у материала наблюдалось высокое сопротивление возникно-
возникновению в нем предельного состояния при трехосном одинаковом
во всех направлениях растяжении. Вместе с тем даже весьма
незначительное отклонение от одинаковости растяжения во всех
направлениях сопровождается резким снижением сопротивления
материала наступлению предельного состояния. Вследствие такого
рода неустойчивости в поведении материала в области значитель-

574 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
ных растягивающих напряжений предельная поверхность в сис-
системе осей 0iOa3 в указанной области должна асимптотически
приближаться к прямой, равнонаклоненной к осям <xlt a2, аа
(рис. 8.35). И в области, близкой к началу координат, повер-
поверхность отрицательной гауссовой кривизны лучше соответствует
опыту. В области же аначительного трехосного сжатия более при-
приемлемой является поверхность положительной гауссовой кривизны.
§ 8.9. Понятие о теории макротрещин
1. Вводные замечания. Теория макротрещин представляет со-
собой одну из ветвей учения о прочности материала, развивающу-
развивающуюся наряду с феноменологическими теориями разрушения в ло-
локальной области, подробно обсужденными в предыдущих парагра-
параграфах настоящей главы.
Первыми в механике макротрещин явились работы Гриффитса1),
в которых делается попытка объяснить аномально низкую проч-
прочность в случае хрупкого разрушения материала при растяжении
развитием при определенных условиях трещин, имевшихся в нем
еще до приложения нагрузки. Позднее, примерно, с пятидеся-
пятидесятых годов, интерес к этому подходу- возрос. Появились работы
как за рубежом, так и у нас, в которых первоначальные идеи
получили дальнейшее развитие. Известные результаты в практи-
практическом отношении пока скромны, однако они уже сейчас нахо-
находят применение в технике. В настоящем параграфе кратко изла-
излагаются некоторые элементы теории трещин.
В настоящем параграфе, в отличие от предыдущих, рассмат-
рассматривается не ситуация в Локальной области материала* выделенной
"в окрестности любой точки тела произвольной формы и как угодно
нагруженного, а глобальное поведение тела, имеющего совершенно
определенную форму и размеры, включая сюда и трещину ко-
конечных размеров, и загруженного также совершенно определен-
определенным образом. Несмотря на такое отличие, результаты, приводи-
приводимые в настоящем параграфе, в определенном смысле проливают
свет на поведение материала с начальными (до приложения наг-
нагрузки) микрогрещинами, распределенными в материале и так или
иначе ориентированными в нем. Именно поэтому параграф поме-
помещен в настоящую главу.
2. Некоторые общие положения. Основным понятием механики
хрупкого разрушения является трещина, начальное образование
которой не рассматривается. Изучается лишь вопрос равновесия
и распространения трещины от тонкой начальной. Принципиаль-
ж) Griffith A. A., The phenomenon of rupture and flow in solids. Philos.
Trans. Roy. Soc A., vol. 221, 1920, p. 103—198; Griffith A. A., The
theory of rupture. Proc. 1-st Intern. Congr. Appl. Mech., Delft, 1924, 55—63.

$ 8.9] . ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ МАКРОТРЕЩИН 575
ное отличие трещины от щели состоит в возможности существен-
существенного изменения в ней первоначальных размеров. Можно сказать,
что трещина — это щель с переменной поверхностью.
В работах Гриффитса материал принимался идеально хрупким
{абсолютно упругим и подчиняющимся закону Гука вплоть до
разрушения). Позднее Ирвин *) и Орован2) расширили область
применимости теории трещин, введя понятие «квазихрупкого» меха-
механизма разрушения, согласно которому в теле возникают пласти-
пластические деформации, но они сосредоточиваются в очень тонком
слое вблизи контура трещины у ее вершины. Ниже в основном
коснемся идеально хрупкого поведения материала и лишь в кон-
конце параграфа поясним подход к решению проблемы в случае
квазихрупкого материала. Так как ширина трещины предпола-
предполагается намного меньше двух других ее размеров, трещину можно
считать поверхностью разрыва сплошности материала, на которой
одна нормальная (чаще всего) или все три составляющие переме-
перемещения претерпевают разрыв.
Под воздействием внешних сил, приложенных к телу, в нем
может происходить развитие трещин, в том числе весьма значи-
значительное, вследствие чего проблема трещин принципиально отли-
отличается от классической проблемы теории упругости (см. главу IX),
в которой граница тела сохраняется неизменной с точностью до
упругого смещения ее точек. Вследствие отмеченного изменения
границ тела в проблеме теории трещин задача становится весьма
сложней нелинейной (задача с неизвестными границами) и не раз-
разрешимой обычными методами теории упругости. Однако дело не
только в изменении границ, с которым необходимо считаться и,
мало того, находить это изменение. Сложность состоит в том, что
в теории трещин приходится использовать дополнительные (по
сравнению с обычной теорией упругости) схемы, описывающие
поведение материала в области контура трещины. В теорию
в какой-то мере вносится элемент физики, однако пока не в пол-
полном смысле этого слова. Постановка задачи может быть сформу-
сформулирована так.
В теле задана некоторая система контуров начальных трещин.
Требуется найти поля напряжений и смещений и систему контуров
трещин, соответствующих заданной нагрузке.
Очень важным является следующее положение. Если хотя бы
в одной точке контура возникает максимально возможная интен-
>) Irwin G. R., Analysis of stresses and strains near the end of crack
traversing a plate. J. Appl. Mech., 1957; Irwin Q. R., Fracture. In: Hand-
buch der Physik. Bd. 6, Berlin, Springer. 1958. Irwin Q.R., Kles I. A.,
Smith H. L., Fracture strength relative to onset and arrest of crack propa-
propagation, Proc. Americ. Soc. Test. Mater., vol. 58, 1958/1959.
*) Orowan E. O., Fundamentals of brittle behavior of Metals, «Fatigue
and Fracture of Metals» (Murray W. M., ed), Wiley, N. Y., 1930, 189—167.

576 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
сивность силы сцепления, то трещина оказывается в одном из
двух состояний — устойчивом или неустойчивом. В первом случае
при квазистатическом увеличении нагрузки трещина непрерывно
переходит из одного устойчивого состояния в другое. Во втором
случае —при малейшем увеличении нагрузки начинается очень
быстрое, имеющее динамический характер, развитие трещины. Если
при этом в процессе такого развития не возникает устойчивого
равновесного состояния (а такое мыслимо), то происходит полный
разрыв тела.
В приводимых ниже разделах 3 и 4 кратко излагается соот-
соответственно решение Гриффитса и результаты Ирвина.
3. Хрупкое разрушение упругого тела. Задача Гриффитса.
Гриффите рассматривал следующую задачу. Бесконечная хрупкая
пластина единичной толщины растягивается в одном направлении
равномерно распределенными на бесконечности напряжениями.
В теле имеется плоская трещина, расположенная перпендикулярно
к направлению растяжения; размер трещины в плоскости пластины
равен /. Требуется найти критическое значение напряжения ст = 0о,
при достижении которого размер трещины начинает увеличиваться.
Рассматривался случай отсутствия притока внешней энергии.
Гриффите исходил из энеркетических соображений, полагая,
что равновесному состоянию соответствует минимум полной энер-
энергии системы. Вследствие этого вариация полной энергии в окрест-
окрестности равновесного состояния системы должна быть равна нулю.
При изменении длины трещины на величину б/ вариация полной
энергии содержит два слагаемых, 6?/, и бЛвя. Первое из них 6Ui —
это изменение (уменьшение) потенциальной энергии деформации,
происходящее вследствие того, что в окрестности трещины при
увеличении ее размера напряжения снижаются. При этом область
концентрации напряжений перемещается в новые вершины трещины.
В остальной же части тела напряжения практически не изменяются.
Второе слагаемое бЛвя представляет собой изменение (увеличение)
поверхностной энергии, происходящее вследствие изменения на вели-
величину 26/ суммарной поверхности (точнее, длины, поскольку задача
плоская) берегов трещины. Равенство нулю вариации полной энер-
энергии системы выразится так1):
О. (8.48)
^Обозначение 6Л62, заимствовано нз книги Л. И. Сед о в а (Механика
сплошной среды, т. 2, «Наука», 1970, 532—558). В этой книге теория излагается
в весьма общей постановке; под индексом 62 понимается изменение в процессе
роста трещины суммарной площади противоположных ее берегов). Если умень-
уменьшение потенциальной энергии деформации больше увеличения поверхностной
энергии, то трещина будет увеличиваться по длине. Граница начала роста
трещины соответствует условию (8.48).

$ 8.9] ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ МАКРОТРЕЩИН 577
Здесь W+X), а факт уменьшения потенциальной энергии деформа-
деформации при развитии трещины учтен знаком минус. Условие (8.84)
иначе можно представить так:
-U)=0. (8.48')
=0.
Удельная потенциальная энергия деформации пластины без
трещины равна о2/2Е. Ввиду того, что толщина пластины равна
единице, такая энергия приходится на единицу площади пластины.
Тогда из соображений размерности
(8.49)
Эта величина пропорциональна удельной потенциальной энергии-
деформации в пластине без трещины и площади примыкающей
к трещине некоторой области, поле напряжения в которой
ощутимо отличается от поля напряжения в пластине
без трещины. Поскольку длина трещины равна /, эта площадь,
может быть представлена как величина, пропорциональная (IJ.
В пластине без трещины энергии поверхностного натяжения;
нет вовсе. В пластине же с трещиной она имеется и равна
Здесь 2/ • 1 — суммарная площадь противоположных берегов тре-
трещины, имеющей длину /. Величина у —плотность поверхностной
энергии. Подставляя (8.49) и (8.50) в (8.48'), получим
dl J- = 0, или 2т-*-2р—0,
откуда .
При достижении напряжением а такой величины возможно
начало роста трещины. Если, наоборот, задано какое-то значение
напряжения а* ^ а0, то критическая длина трещины находится
из (8.51):
/
4. Квазихрупкое разрушение тела. Идеи Ирвина и Орована.
Поскольку в вершине трещины имеет место высокая концентра-
концентрация напряжений, материал в этой области переходит в пласти-
пластическое состояние. Возникающее при этом развитие трещит
называется квазихрупким разрушением. Это разрушение исследо-
исследовано Ирвином и Орованом. Соответствующие результаты ближе
к реальным, нежели результаты Гриффитса.
19 А П, Филин

578 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Ирвин ввел новое понятие — коэффициент интенсивности на-
напряжений Д'. Поясним его сущность. Распределение напряжений
по поперечному сечению растянутой полосы, ослабленному попереч-
поперечной трещиной, подчиняется зависимости гиперболического типа.
Согласно ей при уменьшении расстояния от точки материальной
части поперечного сечения до вершины трещины нормальные напря-
напряжения в поперечном сечении увеличиваются и устремляются к бес-
бесконечности, если указанное выше расстояние устремляется к нулю.
Асимптотами являются: линия, параллельная ослабленному попе-
поперечному сечению полосы и перпендикулярная ей линия, проходящая
через вершину трещины. Вследствие перехода материала у вершины
трещины в пластическое состояние пик напряжений срезается.
В системе осей, совмещенных с асимптотами, можно рассмотреть
бесчисленное множество гипербол, каждая из которых характери-
характеризуется своим параметром, представляющим собой произведение пере-
переменных, входящих в гиперболическую зависимость. Этот параметр
называют коэффициентом при особенности. Аналогично, коэффи-
коэффициент К представляет собой коэффициент при особенности в зависи-
зависимости между нормальным напряжением и расстоянием точки ослаб-
ослабленного сечения, в которой оно действует, от вершины трещины.
В теории Ирвина коэффициент Л' — величина, полностью характе-
характеризующая локальное деформирование и разрушение на контуре
макротрещины. Величина К зависит от формы тела и от граничных
условий и определяется из решения глобальной (т. е. для всего
тела в целом) задачи. Ирвиным *) было получено условие предель-
предельного равновесия трещины в форме
К = Кс (8.52)
Согласно условию (8.52) рост трещины начинается, как только К.
достигает некоторой критической величины Кс> характерной для
данного материала.
Ирвин и Орован ввели в теорию, вместо имеющейся у Гриффитса
у—плотности энергии, соответствующей силам поверхностного натя-
натяжения, величину 7эфф — эффективную плотность поверхностной
1) Подробное изложение работ Ирвина имеется в статье: Г. П. Черепа-
Черепанов, К математической теории равновесия трещин, инженерный журнал «Меха-
«Механика твердого тела», № 6, «Наука», 1967. См. также книги: Г. П. Ч е р е п а и о в,
Механика хрупкого разрушения, «Наука», 1974, и Л. М. К а ч а н о в, Основы
механики разрушения, «Наука», 1974.
В книге Г. П. Черепанова в приложении I имеется обширная информация
о коэффициентах интенсивности напряжений для ряда элементов с трещинами в
различных случаях плоской и пространственной их работы. В приложении II к
этой книге приведена информация о величине Кс Для многих сталей, тита-
титановых сплавов и неметаллических материалов с указанием характера макро-
эксперимента, в котором определялась эта величина. Наконец, в приложении III
указаны некоторые пары металл — среда, для которых наблюдается хрупкое
разрушение материала, подверженного растягивающим напряжениям.

8.10] ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ МИКРОДЕФЕКТОВ 579
энергии [7эфф ^ vb включающую в свой состав, кроме того, и
плотность энергии, обусловленную рядом других явлений, напри-
например пластическим деформированием поверхностного слоя.
•е)
1
Рис. 8.86. К теории трещин Грнффитса; возможные эксперименты по определению ве-
величины Кс. ГЛ. И. Седов, Механика сплошной среды, т. 2, «Наука>, 1970. М.1
Величина Кс должна находиться из макроопыта. Л. И. Седов
в своем упомянутом выше курсе приводит примеры мыслимых
постановок таких опытов; они изображены на рис. 8.36.
§ 8.10. Понятие о теориях процессов накопления
рассеянных микродефектов
1. Вводные замечания. В предыдущих параграфах настоящей
главы были рассмотрены два направления в учении о прочности
материала феноменологические теории предельного состояния
(в том числе разрушения) в локальной области и теории макро-
макротрещин (последнему из них посвящен § 8.9). Настоящий параг-
параграф содержит материал о третьем направлении в этом учении —
направлении, в котором строятся так называемые континуальные
(тоже феноменологические) теории тех или иных дефектов1),
например, континуальная теория трещин8), континуальная, теория
дислокаций3) и т. п. Во всех этих теориях не производится
наблюдения за отдельным дефектом, например, за отдельной
трещиной, но создается такая модель сплошной однородной среды,
!) Друкер Д., Континуальный подход к проблеме разрушения металлов.
Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей. 1964, 1,
83, 107-150.
2) Каиаун С. К., Чудновский А. И., Квазихрупкое разрушение
металлов. Труды ЦКТИ, вып. 109, Л., 1971.
Канаун С. К., Квазихрупкое разрушение деформируемых тел (диссер-
(диссертация). ЦКТИ, ЛГУ, Ленинград, 1971, лит. —64 источника.
3) Крёнер Э., Общая континуальная теория дислокаций и собственных
напряжений, пер. с нем. А. А. Вакулеико под ред. Г. И. Бареиблат}а.
Изд-во «Мир», М., 1965. Лит.—75 источников.
19*

680 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
которая отражает накопление дефекта в процессе воздействия
нагрузки.
В настоящее время является общепризнанной точка зрения,
что разрушение тела не есть мгновенный акт, а представляет
собой процесс, подготовляющийся с самого начала нагружения
тела за счет накопления в последнем повреждений. Особенно
отчетливо это проявляется в условиях напряжений, переменных
во времени по величине, а тем более по знаку; в условиях высоко-
высокотемпературной ползучести и пластического деформирования.
Завершающему акту разрушения — разделению тела на части —
предшествует период накопления всевозможных повреждений —
дефектов. Этот период работы материала можно образно назвать
«инкубационным». Об этом факте говорилось уже в главе IV при
обсуждении механических, в частности, прочностных свойств
материалов. Здесь даются дополнительные сведения, относящиеся
к затронутому вопросу, потому что именно в этих случаях,
когда ярко проявляется постепенность подготовки глобального
разрушения' тела, должны находить свое основное применение
теории процессов накопления микродефектов.
Одной из ярких иллюстраций длительности «инкубационного»
периода работы материала является работа его в условиях пол-
ползучести.
Другой такой иллюстрацией является работа материала в усло-
условиях циклического пластического деформирования. При этом
почти до конца — 90% времени . до полного разрушения — не
обнаруживается макроповреждений (тело остается, макроодно-
роднымI).
Ниже проблема теории процесса накопления рассеянных
микродефектов обсуждается следующим образом. Рассматриваются
два характерных исследования (Н. Дж. Хофф, Л. М. Качанов)
в области длительного разрушения при высоких температурах,
т. е. при ползучести материала; далее излагается одна из работ
по пластическому деформированию (В. В. Новожилов) и, наконец,
в общих чертах кратко поясняются некоторые идеи новых более
сложных исследований по накоплению повреждений в теле.
Хотя в настоящем параграфе нас интересуют вопросы, отно-
относящиеся вообще к проблеме теории процесса накопления рас-
рассеянных микродефектов, используемые для этого примеры пред-
представляют большой интерес и сами по себе. Так, в частности,
первые два примера существенно расширяют представление о явле-
явлении ползучести. Поскольку, однако, ползучесть специально обсу-
обсуждается в одной из последующих глав (X), примеры, использован-
использованные в настоящем параграфе, требуют от читателя в основном
1) С е р е н с е и С. В., Несущая способность и расчегы иа прочносгь дета-
деталей машин, Машгиз, 1963.

S 8.10] ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ МИКРОДЕФЕКТОВ 581
лишь той небольшой информации об этом процессе, которая была
изложена раньше. Некоторые же немногочисленные дополнитель-
дополнительные сведения о ползучести в настоящем параграфе даются в соот-
соответствующих местах в подстрочных примечаниях.
2. Вязкое разрушениех) при растяжении стержня постоянной
нагрузкой в условиях ползучести. В 1953 г. появилась работа
Н. Дж. Хоффа*). В ней автор приводит результаты произведен-
произведенного им исследования поведения растягиваемого образца в виде
круглого цилиндрического стержня, выполненного из вязкоупру-
гого материала. Автор проанализировал два вопроса — определил
продолжительность жизни образца и изучил форму образца
в районе шейки3). Нас здесь будет интересовать лишь первый
из этих вопросов. При равномерном распределении на торцах
сил, растягивающих стержень, материал последнего находится
в однородном линейном напряженном состоянии. Автор опускает
1) В главе IV при обсуждении понятия предела длительной прочности
отмечалось, что образец (растягиваемый стержень), находящийся в условиях
незатухающей ползучести, по истечении некоторого отрезка времени разру-
разрушается. Уровень условных напряжений (подсчитанных применительно к перво-
первоначальной площади поперечного сечения стержня), при которых работает
образец, и продолжительность его. жизни связаны зависимостью, графически
Рис. 8.S7. Кривая параметров разрушения при ползучести1 а) вид кривей для боль-
большинства металлов; б) вид кривой для Мо.
изображенной на рис. 8.37 в плоскости at. Деформация, образца, возникаю-
возникающая к моменту разрушения, как правило, оказывается меньшей, при мень-
меньших уровнях условных напряжений. На рис. 8.37, а это изображено графи-
графически—все три координаты каждой точки пространственной кривой относятся
к моменту разрушения образца. Лишь у некоторых материалов, например,
у Мо, кривая имеет вид, показанный на рис. 8.37, б. Малость деформации
к моменту разрушения свидетельствует о том, что в этих случаях разрушение
хрупкое. Итак, при высоких уровнях.напряжении наблюдается визкое раз-
разрушение от ползучести, а при низких —хрупкое.
а) Hoff N. J., The necking and rupture of rods subjected to constant
tensil loads. J. of Applied Mechanics, vol. 20, № 1, March, 1953. Transactions
of the American Society of Mechanical Engineers.
s) При исследовании формы шейки автор предполагает, что исходная
форма образца —тело вращения, мало отличающееся от круглого цилиндра.
Площадь среднего по длине поперечного сечения меньше площади каждого
из торцов на 1%. Образующей этого тела вращения являетси синусоида.

682 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VII!
первоначальный этап загружения — процесс приложения нагрузки,
в течение которого происходит быстрое, главным образом упругое,
удлинение, и начинает исследование с того момента, когда уже
имеет место постоянная скорость удлинения — скорость устано-
установившейся ползучести. Предполагается, что деформация ползучести
с достаточной точностью определяется следующим законом ползу-
ползучести
и что 6 — скорость ползучести — величина постоянная как при
любом заданном напряжении, так и при любой заданной темпера-
температуре. Зависимость (8.53) находится из эксперимента. Поскольку
при вязком разрушении возникают большие деформации, целесо-
целесообразно, сохраняя структуру зависимости (8.53), иметь в ней
истинные напряжения н деформацию
6-ет—^Р—/Кет)- (8.53')
Напоминаем (см. формулы главы II (стр. 115)) как связаны <тИС1
и еист с условными напряжениями и деформациями:
<7Ист-=М1 + е), евст-1пA+е).
Введем обозначение
1+в-Д,
тогда уравнение (8.53') приобретает вид
-*-ln/? = | = /((xotf). (8.54)
Примем правую часть в (8.53) в форме степеннбй зависимости
(8.55)
Здесь Вг н т — некоторые постоянные, определяемые из экспери-
эксперимента. Уравнение (8.54) после подстановки в него (8.55) приоб-
приобретает такой вид;
Отсюда
d/-^7^' <8-бб>
Интегрируя (8.56), получим

S 8.10] ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ МИКРОДЕФЕКТОВ 583
Постоянную интегрирования С найдем из начального условия
#_1 (е = 0) при / = 0. (8.58)
Отсчет времени начат после того, как произошла упругая дефор-
деформация. Учитывая (8.58), получим
Вр* (-m)
Отсюда
С 1
Тогда формула (8.57) для / приобретает вид
т Вха* K ' mzQK '
Если номинальная деформация е стремится к бесконечности, то
и R-*-oo и
t-+tKp = -±-. (8.59)
Отсюда
< = ^крA-^-т). (8.60)
Из условия постоянства объема образца получаем
или
/ и F — текущие, a lt и Fo — первоначальные значения длины и
площади поперечного сечения образца. После сокращения на я/,
раскрытия скобок, приведения подобных членов и деления всех
членов на г2, получим
Отсюда
— 8
(использование знака + перед радикалом противоречит физиче-
физическому смыслу задачи), или, окончательно,
"Аг _ , _ _1 ,
Из (8.60) имеем

584 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Отсюда
J_ = fl LI/m
или
_j /. M1*"" l _ л M1/m
l+e~l i.P) ' l+d-lo)/k~\ tKV) '
или, наконец,
Показатель m ^> 1, поэтому резкое уменьшение F наступает лишь
в последнем периоде жизни образца.
Согласно (8.61), площадь поперечного сечения стремится к нулю.
Фактически при очень больших деформациях равномерное растя-
растяжение становится неустойчивым
и в каком-то из сечений обра-
образуется шейка. Однако отрезок
времени до образования шейки
мало отличается от отрезка вре-
времени tKp.
В обсуждаемой статье нет
непосредственно никакого разго-
8Г вора о дефектах, накапливаемых
ияприпо^?,ест„вдвой„ых51- в материале, и критическое время
гарифмических координатах. НЭЙДеНО Непосредственно ИЗ урЭВ-
нения закона ползучести и усло-
условия обращения в нуль площади поперечного сечения стержня,
т. е. в схеме Хоффа свойства материала с течением времени не
изменяются, но изменяются геометрические размеры тела.
3. Обобщенная схема разрушения при ползучести. Л. М. Кача-
новх) поставил перед собою цель найти продолжительность жизни
тела (вообще говоря, произвольной формы), работающего в усло-
условиях ползучести, независимо от того, имеет ли разрушение вяз-
вязкий или хрупкий характер 2).
Предполагается, что в материале с самого начала работы тела
под нагрузкой происходит развитие трещин. Первая, большая
часть жизни образца представляет собой стабильную стадию его
работы (постепенное развитие трещины), а незначительная по
*) Качаяов Л. М., О времени разрушения в условиях ползучести
Известия АН СССР, Отделение технических наук, 1958, № 8.
2) Опыт показывает, что если зависимость a=a(t), где а—уровень напря-
напряжений, а /—соответствующая ему продолжительность жизни образца, изо-
изобразить в логарифмических координатах, то соответствующий график приоб-
приобретет форму, показанную на рис. 8.38. Верхней прямой соответствует вязкое
разрушение, а нижней — хрупкое. Промежуточный криволинейный участок
соответствует смешанному характеру разрушения.

$ 8 10] ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ МИКРОДЕФЕКТОВ 585
продолжительности последняя часть жизни образца характеризу-
характеризуется нестабильной стадией разрушения.
Разрушение как процесс трещинообразования предполагается
происходящим на фоне растущих деформаций ползучести при
отсутствии взаимного влияния трещинообразования и ползучести.
Такую гипотезу автор оправдывает различием природы хрупкого
разрушения и вязкого течения. Первое происходит по границам
зерен, второе — внутри них. Резонным является утверждение
автора о том, что если даже и существует влияние трещинообра-
трещинообразования на ползучесть, то оно отражается в кривых ползучести,
по которым устанавливаются уравнения ползучести, и последние,
таким образом, отражают суммарный эффект.
Поврежденность Л. М. Качанов характеризует скаляром 1 ^
1 в начальный момент, когда нет никакой поврежденности;
О в момент хрупкого разрушения — стопроцентная повреж-
поврежденность.
Величина if названа сплошностью, учитывая те значения, кото-
которые она приобретает в отмеченных выше крайних случаях. Ана-
Аналогично тому, как при вязком разрушении наступает момент
потери устойчивости равномерного растяжения и возникает шейка,
в условиях малых значений if, а именно —при if = ifo>O, рас-
рассеянный характер разрушения становится неустойчивым, и про-
происходит глобальное разрушение образца. Однако, как Н. Дж. Хофф
при определении /кр не учитывал образования шейки, так и
Л. М. Качанов в упрощенном варианте теории относит [разруше-
[разрушение не к ifo>0, а к if = 0. При этом* как и в случае вязкого
разрушения, отрезки времени от начала нагружения до if = if0 и
до if =¦ 0 отличаются несущественно. Л. М. Качанов делает еще
одно существенное предположение — связывает хрупкое разруше-
разрушение с возникновением трещин, которые образуются при достиже-
достижении максимальным растягивающим напряжением определенной
предельной величины. Учитывая это предположение и ожи-
ожидаемый характер изменения параметрах) if, Л. М. Качанов для
его определения предложил следующее уравнение:
dt
-__ Л (_=!«], (8.62)
обеспечивающее получение if, которое удовлетворяет отмеченным
условиям. Здесь Л>0 и п ^0 — некоторые постоянные, а сгтах —
истинное максимальное растягивающее напряжение в данной точке.
[) Имеется в виду уменьшение ip и увеличение абсолютного значения ф при
увеличении t.

586 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
Отношение crmax/\|j можно трактовать как некоторое эффективное
напряжение — оно увеличивается с уменьшением сплошности (ty)
или, что то же самое, с увеличением поврежденности.
Автор делает ряд оговорок, расширяющих пределы примени-
применимости предлагаемого им подхода (возможность использования
в качестве характеристики сплошности не скаляра, а тензора;
возможность учета переменности температуры и структурных изме-
изменений в материале за счет того, что Ann принимаются не
постоянными, а функциями Т (температуры) и t (времени)).
Из двух подробно рассмотренных задач— растяжение стержня
и действие внутреннего давления на тонкостенную трубу — оста-
остановимся на первой из них, как на более простой и позволяющей
произвести сопоставление с решением Хоффа. Закон ползучести
принят в такой же форме, как у Хоффа. Учитывая принятую
гипотезу о независимости хрупкого трещинообразования от пол-
ползучести, можно определить продолжительность жизни образца
при отсутствии ползучести (вследствие чего F = F0) и «чисто хруп-
хрупком разрушении». Из (8.62) имеем
лотах
откуда
При / = 0 ф-1. (8.64)
Учитывая (8.64), найдем
! . (8.65)
Подставляя (8.65) в (8.63), получаем
t = ! A - ib»+i).
Значению ф = 0 соответствует критическое время t = №. Учитывая
это, находим
<кр . (8.66)
Вследствие неизменности или увеличения абсолютного значения
углового коэффициента касательной к кривой lg0=>/(lgl)
Перейдем к общему случаю, когда происходят одновременно
два процесса — трещинообразование и ползучесть. Обозначим кри-

f 1.10] ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ МИКРОДЕФЕКТОВ 687
тическое время в этом общем случае символом /Кр. Подставим F
из (8.61) в (8.62), произведем интегрирование и найдем /, соот-
соответствующее -ф ==» 0. Из (8.61) имеем
F-FJl -t-T- (8.67)
\ гкр /
Представляем (8.62) в следующей форме, учтя выражение am&x
Подставим (8.67) в (8.68):
Учтя, что PiF0=*Oo, получим
или
dt
Интегрируя, будем иметь
t \-п/т + 1
)
ft
- (8<69)
Из условия, что при / = 0 \|j = 1, которое в развернутой форме
имеет вид
находим
C=.-b!!L-t*p. (8.70)
Подставлйя (8.70) в (8.69), найдем1)
m—n \ tKpJ ^ г m_n
Здесь учтено, что l/[^aj (п + 1)| = <кр, так как при <=0 amM—о#
р р '
amax = Y '
¦о-*:

Б88
ИЛИ
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАОТИ [РЛ. VIII
Перенося единицу из левой части равенства в правую часть и
т
возводя обе части равенства в степень т_п. получим
При
T
гкр
/(кр); отсюда
(8.71)
Уравнение имеет смысл при /(кр)^/кр. Отсюда
т-п
или
m-n <KP
n <Кр'
0<1-
0«sl-
л,
(т—п)т
я + 1 Ао? '
или, наконец,
/ (п + 1)А \т~п -
Если напряжения превышают <х0, то разрушение происходит вяз-
вязкое, согласно решению Хоффа (8.59). При напряжениях, мень-
меньших чем <х0, разрушение происходит хрупко, но при больших
Рве. 8.39. Кривая параметров разрушения при ползучести: к теории Л. М. Качанова.
или меньших деформациях, определяемых из (8.61) при t — t(K.p).
На рис. 8.39 изображена кривая длительной прочности. Эта кри-

5 8.10] ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ МИКРОДЕФЕКТОВ 589
вая плавно переходит в прямую ab в точке Ь и асимптотически
подходит к прямой de. Прямая abc соответствует вязкому, а асимп-
асимптота de — чисто хрупкому разрушению. Постоянные Лига нахо-
находятся по данньш испытании на длительную прочность (при малых
деформациях) по положению линии de.
Перепишем формулу (8.71) в следующем виде:
[/ т—п тВло™ \m-r
т
Рассмотрим случай т = п, учитывая, что при этом степень
выражения в круглых скобках можно представить так:
1 !__ "*i \m~".
m {m+\)A '
m—n J
имея в виду формулу
lim
Х-* СО '
получаем
,' т тВ,
тВ уп+п
т — п
Таким образом,
mBl
При этом разрушение всегда хрупкое (при \|) = 0) и происходит
всегда при одной и той же деформации, равной
1-М—Y"
где / (кр) — длина стержня при разрушении.
В исследовании Л. М. Качанова накопление дефектов (трещин)
учитывается в явной форме при помощи функции ф, однако ника-
никакой конкретизации физической природы возникновения и разви-
развития трещин не производится.
В заключение предыдущего и настоящего разделов подчеркнем
еще раз, что обсуждение приведенных работ не преследовало цель
детального и исчерпывающего показа состояния вопроса о дли-
длительном разрушении при ползучести. Интересующимся этой про-
проблемой можем рекомендовать монографию Ю. Н. Работнова *).
1) Ра бот иов Ю, Н., Ползучесть элементов конструкций. «Наука»,
М., 1966.

590 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ VIII
Преследовалась другая цель —показ характерных особенностей
исследований, посвященных проблеме накопления дефектов в мате-
материале. С этой же иллюстративной целью приводится и следую-
следующий раздел.
4. «Разрыхление» материала при пластической деформации.
В. В. Новожилов1) показал, что всякая пластическая деформа-
деформация сопровождается остаточным монотонным увеличением объема,
которое физически можно истолковать как образование в теле
микропустот, т. е. как «пластическое разрыхление».
В. В. Новожиловым рассмотрены четыре варианта теории соот-
соответственно четырем мыслимым комбинациям из условий предель-
предельного состояния (два варианта условия) и гипотезы о причине
упрочнения материала (два варианта гипотезы).
В качестве двух упомянутых выше вариантов условия пре-
предельного состояния предложены уточненные критерии теории мак-
максимальных касательных напряжений и теории удельной потен-
потенциальной энергии формоизменения:
ft lTJ + aail (ffff) + a|((T + a)
Здесь | ттах | — абсолютная величина максимального касательного
напряжения, а \ Хтах — нормальное напряжение, действующее на
площадке с максимальным касательным напряжением, at — интен-
интенсивность напряжения, сг0 — гидростатическое напряжение, аи Р —
константы материала, т* — предельное значение касательного
напряжения; Уточнение критериев состоит в учете влияния нор-
нормального напряжения на значение критического касательного
напряжения 2).
!) Новожилов В. В., О пластическом разрыхлении. Прикладная мате-
математика и механика, т. XXIX, вып. 4, 1965.
2) Условия (8.72) представляют собой, по существу условия предельного
состояния (текучести) для сыпучей среды. В. В. Новожилов оправдывает при-
применение таких условий и к твердым деформируемым телам, считая чх сыпу-
сыпучими средами с очень большим сцеплением между частицами. Условия типа
(8.72) использовались для твердых деформируемых тел, как это было пока-
показано выше, и рядом других исследователей (О. Мором, А. Надаи и др.).
В. В. Новожилов обобщает условия (8.72), представляя их так:
Здесь G*, xJJ** — константы, ej", e^ —главные компоненты тензора пластиче-
пластических деформаций,
=1, при

$ 8.10) ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ МИКРОДЕФЕКТОВ 591
В качестве двух упомянутых выше вариантов гипотезы о при-
причине упрочнения приняты:
Упрочнение, обусловленное возрастанием внутреннего трения;
упрочнение, обусловленное внутренними упругими силами меж-
зеренной и межблочной природы.
При.использовании первого варианта гипотезы (и при неучете
в (8.72) влияния о\ттлх или <х0) граница области упругих дефор-
деформаций всесторонне расширяется.
При использовании второго варианта гипотезы (и при неучете
в (8.72) влияния а\хтах или а0) граница, области упругих дефор-
деформаций смещается как жесткое целое.
В. В. Новожилов отмечает, что на самом деле на упрочнение
влияют обе отмеченные выше причины: «Как известно, некоторая
доля работы, затрачиваемой на пластическую деформацию, не
обращается в тепло, что свидетельствует о накоплении в теле
скрытой упругой энергии. Отношение этой доли работы ко всей
работе, затраченной на пластическую деформацию, с ростом послед-
последней монотонно убывает. Отсюда следует, что роль упругих микро-
микронапряжений в эффекте упрочнения постепенно падает, уступая
место влиянию возрастания трения».
Использование-критериев (8.72) при условии, что упрочнение
обусловлено силами трения, приводит к двум вариантам теории,
согласно которым всякая пластическая деформация сопровожда-
сопровождается увеличением объема. Это увеличение оказывается пропорцио-
пропорциональным работе, затрачиваемой на пластическую деформацию.
Использование критериев (8.72) при условии, что упрочнение
вызвано внутренними силами упругости, приводит еще к двум
вариантам теории, согласно которым всякая пластическая дефор-
деформация сопровождается увеличением объема. Это увеличение ока-
оказывается пропорциональным некоторой характеристике (параметр
Одквиста, названный длиной пути пластического деформирования
(L)). Величина L определяется следующим образом:
Здесь йэр —дифференциал дуги девиаторного «пути» пластической
деформации; эр — девиатор тензора пластических деформаций.
Вывод об увеличении объема при пластической деформации
вытекает из того, что еР — первый инвариант тензора пластической
деформации, представляющий собой, как известно, относительное
изменение объема, оказывается больше нуля.
В табл. 8.1 показана величина первого инварианта тензора
пластической деформации во всех четырех упомянутых выше вариан-
вариантах теории.
При однократном загружении эффект, обнаруженный В. В. Ново-
Новожиловым, не является существенным. Этого никак нельзя сказать

592
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
относительно многократных циклических нагрузок; в случае
таких нагрузок эффект пластического разрыхления определяет
сопротивление разрушению. Действительно, длина пути пласти-
пластического деформирования зависит от числа циклов L = 2nf.
Здесь я —число циклов, a f = \d3p— длина пути пластического
деформирования в пределах одного цикла. Аналогично от числа
циклов зависит и работа Л—с увеличением п возрастает и А.
Таблица 8.1
Критерий предельного состояния
уточненный критерий
максимального касательного
напряжения
уточненный критерий
удельной потенциальной
энергии формоизменения
>>* <L>
а о.
а н
#Л>0
\ >0
добавочные пластические де-
деформации, обусловленные
учетом а„ в критерии теку-
текучести, сводятся к плоской
деформации (всестороннее
расширение в плоскости
сдвига). Использован ассоци-
ассоциированный закон течения (см.
ГЛ. X) dEff^H-g—
добавочные пластические де-
деформации, обусловленные
учетом а в критерии теку-
текучести, сводятся к всесторон-
всестороннему (трехосному) расшире-
расширению
где
в качестве критерии загруже-
иия принят F=gf.
Здесь k, ki, а, р—константы, А, А%, Ап — работа, совершаемая при пла-
пластических деформациях напряжениями, максимальными касательными нап-
напряжениями, нормальными напряжениями ап соответственно.
В заключение раздела приведем соображения В. В. Новожи-
Новожилова о соотношении феноменологических и физических теорий,
высказанное им в обсуждаемой статье по поводу теории пластич-
пластичности, но справедливое и для других теорий.
«Вероятно, когда-нибудь основные результаты феноменологи-
феноменологической теории пластичности будут выведены из статистической
теории твердых тел и тогда (подобная судьба была у закона
Бойля—Мариотта) они приобретут физическое обоснование».
5. Некоторые общие ведения о более сложных теориях.
5.1. Вводные замечания. Известен ряд теорий, в кото-
которых авторы делают попытку учета в возможно большей мере ряда
факторов и приближения в каком-то смысле к отражению физи-
физической картины явления. Как правило, все эти теории сегодня

<S 8.10] ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ МИКРОДЕФЕКТОВ 593
интересны глишь как указания на мыслимые направления даль-
дальнейших исследований. Практическая же их ценность пока не велика.
Это объясняется сложностью, а вместе с нею и уязвимостью самой
теории, большими требованиями к эксперименту, призванному снаб-
снабдить теорию необходимой информацией, и неизбежностью доста-
достаточно широкой и продолжительной апробации в жизни.
5.2.0 микрокартине разрушений. Микроструктурная
картина разрушения металлов показывает, что в условиях пол-
ползучести на границах зерен возникает система микротрещин (как
правило, на стыке трех зерен), с преимущественной ориентацией
в плоскостях, перпендикулярных к направлению растяжения1).
Так же ориентированы микротрещины и в испытывающих ползу-
ползучесть полимерах2) .Удельная концентрация таких трещин в мате-
материале постепенно увеличивается.
Существует мнение3), что дальнейший рост образовавшихся
трещин происходит в связи с диффузионными явлениями. Поскольку
и клиновидные трещины и цепочки пор4) располагаются на гра-
границах зерен, роль необратимых деформаций в «инкубационном»
периоде процесса разрушения оказывается большой.
Выше говорилось о том, что не вся работа неупругого дефор-
деформирования переходит в тепло, и что часть работы идет на повы-
повышение потенциала тела в связи со всевозможными остаточными
искажениями внутренней структуры тела. При отжиге тела удается
обнаружить долю (до 20%) работы внешних сил, идущей на дефор-
деформацию тела, которая (эта доля) остается в теле в виде скрытой
энергии. Отмеченная энергия связана с дислокациями, искаже-
искажениями решетки и т. п. Обнаружить при отжиге долю скрытой
энергии, обусловленную трещинами, не удается, поскольку отжиг
«залечивает» трещины в очень малой мере. Так как в конечном
итоге все дефекты теми или иными путями приводят к образова-
образованию трещин, правильно полагать всю скрытую энергию, аккому-
лированную в теле, как энергию, связанную .с подготовкой к раз-
разрушению тела.
!) Розенберг В. М., Ползучесть металлов, «Металлургия», М., 1969;
Джифкинс P. K-, Механизм межкристаллитного разрушения при повышен-
повышенных температурах, в сборнике <Атомный механизм разрушения». А1атериалы
Международной конференции по вопросам разрушения, состоявшейся в апреле
{12—16) 1959 г. в Свампскотте (США), пер. с англ. под ред. М. А. Штремеля,
Металлургиздат, 1963, стр. 593—647. Гран г Н. Дж., Межкристаллитное
разрушение при высоких температурах, в том же сборнике, стр. 575—592.
2) Журков С. Н., Кусенко В. С, Слуцкер А. И., Образование суб-
субмикроскопических трещин в полимерах под нагрузкой, ФТТ, т. II, вып. 2, 1969.
3) Cottrell A. H., Structural Processes in Creep. Iron Steel. Inst.
(London), 1961. Большанина М. А., Панин В. Е., Скрытая энергия
деформации, в сборнике «Исследования по физике твердого тела», изд. АН
СССР, 1957.
4)Лоу Джон Р., младший, Микроструктурная картина разрушения,
в сборнике «Разрушение твердых тел», «Металлургия», 1967,

594 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
5.3. Понятие о характерном объеме. Поскольку,
с одной стороны, тела, рассматриваемые в теории процесса накоп-
накопления микроповреждений, неоднородны, а, с другой стороны,
имеется в виду построение сплошной однородной модели повреж-
поврежденного тела, приходится строить модель в два этапа.
На первом этапе поликристаллический материал с микродефек-
микродефектами моделируется при помощи некоторой сплошной, но регу-
регулярно неоднородной среды, например '), при помощи однородной
упругой изотропной среды со сферическими анизотропными вклю-
включениями. Таким образом, модель первого этапа — это композитный
материал. Далее выделяется так называемый характерный объем *).
Это минимальный объем, содержащий такое число включений,
которое позволяет считать, что тело в рассматриваемом объеме
макроскопически однородно. Последнее понятие трактуется так.
Если на поверхности макроскопически однородного тела в рас-
рассматриваемом объеме задать нагрузки, которые в абсолютно одно-
однородном теле вызвали бы однородное напряженное состояние, то
длина волны флуктуации полей тензоров напряжений и деформаций
должна быть пренебрежимо мала по сравнению с линейными разме-
размерами тела, имеющего обсуждаемый объем.
На втором этапе построения модели тела композитный мате-
материал заменяют сплошной однородной средой, характеризуемой
так называемыми эффективными упругими свойствами.
5.4. Определение эффективных упругих свойств
композитных материалов. Эффективными упругими свой-
свойствами однородной модели композитной среды называют такие
свойства, при которых эта однородная среда в определенном смысле,
в среднем, эквивалентна композитной.
Необходимость в определении эффективных упругих свойств
композитных материалов возникла в связи с тем, что появилось
большое число таких материалов, используемых в технике. В нашем
же случае такое определение оказалось нужным, так как компо-
композитная среда использована на первом этапе построения модели
поликристаллического тела с дефектами.
Существует ряд методов, позволяющих находить эффективные
свойства. К числу их относятся вариационные3), метод самосо-
•) См. сноску 2) на стр. 579.
*) X и л л Р., Упругие свойства составных тел. Механика. Периодический
сборник переводов иностранных статей, 1965, 5.
3) X а ш и н 3., Упругие модули неоднородных материалов. Прикладная
механика. Труды американского общества инженеров-механиков. Серия Е,
№ 1, 1962; Хашии 3., Роз^н Б. В., Упругие свойства материалов, арми-
армированных волокнами. Прикладная механика. Труды американского общества
инженеров-механиков. Серия Е, № 2, 1964; Hashin Z., Shtrikman S.,
A variational approach to the theory ol the elastic behaviour of multiphase mate-
materials. J. of the Median. Phys. Solids, v. 11, № 2, 1963.

f 8.101 ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ МИКРОДЕФЕКТОВ 595
гласованного поля *), метол случайных полей2), метод сингуляр-
сингулярных приближений3).
5.5. Составные части построения теории про-
процесса накопления повреждений в теле. В отмечен-
отмеченную в заголовке настоящего раздела проблему входят:
1. Выбор математического объекта, способного охарактери-
охарактеризовать поврежденность в точке сплошной среды, моделирующей
тело,
2. Установление вида кинетического уравнения, связывающего
параметр *) поврежденности с нагрузкой.
3. Формулирование условия локального разрушения модели
тела.
4. Формулирование краевой задачи, позволяющей выяснить
процесс глобального разрушения тела.
5. Формулирование условий для проведения макроопыта,
дающего в теорию накопления дефектов натурную информацию
о материале и условиях, в которых он находится.
Пункты 3 и 4 могут и не быть разрешаемы совместно, но
один из них обязательно входит в общую теорию. В зависимости
от того, какой из этих пунктов реализован в теории, находятся
и возможности теории и степень ее сложности.
Если реализован пункт 3, то в определенном смысле уровень
результата теории аналогичен уровню феноменологических тео-
теорий прочности — теория позволяет судить лишь о надежности
работы материала в локальной области, выбранной из бесконеч-
бесконечного множества таких областей в теле самим исследователем,
или о надежности работы материала в однородно напряженном
теле, в котором предельное состояние наступает сразу во всей
области.
Если реализован пункт 4, то представляется возможным
решение глобальных задач в целом для тела и при неоднородном
напряженном состоянии — выявление процесса разрушения тела.
Разумеется, такая постановка более интересна для практики,
но значительно сложнее в реализации. В определенном смысле
эта постановка симметрична постановке задачи в теории пластич-
!) Н i 11 R., A self-consistent mechanics ot composite materials. J. of the
Median. Phys. Solids, v. 13, № 4, 1965.
a) Болотин В. В,Москаленко В. Н., Задача об определении упру-
упругих постоянных микронеоднородных сред Журнал прикладной механики и
технической физики, 1968, № 1.
3) Фокин А. Г., Об использовании сингулярного приближения при
решении задач статистической теории упругости. Журнал прикладной механики
и технической физики, 1972, №1; Wai pole L. J., On bounds for the overal
elastic moduli of inhomogeneous systems. I, П J.'of the Mechan. Phys. Solids,
v. 14, № 3, 5, 1966.
4) Параметром поврежденности является гот математический объект, кото-
который выбран в п. 1.

596 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ VIII
ности, но для среды с предельным состоянием, имеющим хрупкую
природу.
5.6. Математическое описание поврежденности.
Выбор математического объекта, определяющего собой степень
поврежденности материала, является весьма непростой задачей.
Как выбор всякой расчетной схемы, он находится между двумя
опасностями — недостаточностью отражения природы изучаемого
объекта и чрезмерной сложностью математического аппарата про-
проблемы, порождаемого схемой.
Первой из известных нам работ, в которой был введен пара-
параметр степени поврежденности (скалярная функция г|>), является
обсужденная ранее работа Л. М. Качанова. ф представляет собой
функцию, равную нулю при разрушении и единице при полном
отсутствии дефектов, яр можно трактовать как относительную пло-
площадь сохранившейся части поперечного сечения. Ю. Н. Работнов *)
предложил параметр ю, связанный с ^ зависимостью ©=1— г|>.
А. А. Ильюшин 2) принял в качестве математического объекта,
характеризующего степень поврежденности материала, некоторый
тензор я, меры Л4,- которого в неразрушенном состоянии равны
нулю: Mi (я) = 0, а при разрушении выполняется одно из равенств
М,(я) = С, A=1, .... п).
Существуют и другие предложения, например, обсужденный
выше результат В. В. Новожилова.
Интересным, также учитывающим в мере поврежденности микро-
микроструктурную картину разрушения, является предложение С. К. Ка-
науна и А. И. Чудновского. Схема поврежденного поликристал-
поликристаллического тела представлена ими в виде изотропного тела
со сферическими анизотропными включениями, имеющими различ-
различную ориентацию осей анизотропности. В качестве меры поврежден-
поврежденности (имеются в виду межкристаллические трещины) характерного
объема, относящегося к некоторой точке тела, принимается функ-
функция р = р(ф, Ф, t|)), представляющая собой объемную концентрацию
включений различной ориентации. Здесь ф, Ф и г|з — эйлеровы углы,
определяющие ориентацию включения относительно некоторой
системы осей; анизотропия подразумевается полная.
В случае трансверсально изотропного тела ориентация оси,
перпендикулярной к плоскости изотропности, определяется двумя
углами, поэтому р=р(ф, #). Если имеется в виду описание
поврежденности во всей области тела и, кроме того, в любой
момент времени, при переменной нагрузке, то
p = p.(*i, xit х3, Ф, ¦&, i).
^Работнов Ю. Н., О разрушении вследствие ползучести. Журнал
прикладной механики и теоретической физики, № 2, 1963.
- 2) И л ь ю и) и н А. А., Об одной теории длительной прочности. Механика
твердого тела, № 3, 1967.

i 8.10] ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ МЙКРОДЕФЕКТОВ 697
Здесь Хг, хг и ха — координаты точки тела (в окрестности которой
выделен характерный объем).
5.7. Кинетическое уравнение. Изменение функции,
характеризующей поврежденность материала тела в процессе
деформации, описывается так называемым кинетическим уравне-
уравнением. Очевидно, что от степени обоснованности этого уравнения
зависит достоверность всей теории. В ряде случаев при построении
кинетического уравнения авторы исходили из аналогии между
законами необратимого деформирования и накопления рассеянных
микродефектов.
Например, кинетическое уравнение Л. М. Качанова (меру
поврежденное™ а|з мы уже обсуждали выше) принято в виде,
позволяющем усмотреть аналогию между процессами ползучести
и разрушения.
При выводе кинетического уравнения можно привлечь и термо-
термодинамические соображения. Это позволяет, в отличие от эврис-
эвристического подхода, или подхода, основанного на тех или иных
аналогиях, процесс разрушения твердого тела при необратимой
деформации пытаться описать адекватно.
Такая попытка была совершена в уже упоминавшейся работе
С. К. Канауна и А. И. Чудновского. Авторы используют вариа-
вариационный принцип, согласно которому из всех возможных измене-
изменений функции р(ф, #, /), удовлетворяющих уравнению баланса
энергии, реальному процессу разрушения соответствуют такие
изменения, которые обеспечивают максимум скорости порождения
энтропии внутри системы.
В результате решения вариационной задачи получается зави-
зависимость вида
,a), (8.73)
где р — параметр нагрузки, а / и а — соответственно функция
и параметр, которые необходимо найти из макроопыта.
5.8. Краевая задача (условия глобального р аз-
рушения). Некоторые теории процесса накопления рассеянных
микродефектов позволяют определять картину глобального раз-
разрушения и соответствующий уровень нагрузки *). В таких слу-
случаях приходится решать краевую задачу. Краевая задача состоит
в том, чтобы найти решение системы уравнений E.59), F.11), F.23)
и кинетического уравнения, например, (8.73), при заданных гра-
граничных и начальных условиях. Найденная при решении краевой
задачи функция поврежденности полностью описывает процесс
!) При этом, как уже отмечалось, получается теория, которая в классифика-
классификации занимает положение, в некотором смысле симметричное теории пластич-
пластичности, но справедливая ие для пластической среды, а для среды хрупко раз-
разрушающейся.

598 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
разрушения рассматриваемого тела. Как правило, сложность реше-
. ния краевых задач чрезвычайно велика, а, кроме того, макроопыт,
необходимый для установления вида всех требуемых при этом
функций, оказывается сложным и весьма трудоемким.
5.9. У.словие локального разрушения. Во многих
теориях процесса накопления рассеянных микродефектов условием
локального разрушения является достижение параметром степени
поврежденности, принятым в теории, предельного значения, опреде-
определяемого в макроопыте. В этом смысле такие теории по своей
структуре напоминают феноменологические механические теории
предельного состояния в локальной области. Однако в последних
сопоставляются не значения параметра разрушения, найденного
теоретически для сложного напряженного состояния, и предельное
значение этого параметра, полученное экспериментально (макро-
(макроопыт) для линейно напряженного образца, а теоретически находится
-значение фактора, ответственного за наступление предельного со-
состояния в локальной области.
Такой подход к формированию условия локального разруше-
разрушения не является единственным. Если сам выбор параметра разру-
разрушения является конструктивным, т. е. имеет в своей основе
использование конкретного механизма зарождения микродефектов
в материале, а в основу получения кинетического уравнения поло-
положены термодинамические соображения, то условие разрушения
вытекает из свойств модели разрушения. Так, например, если
кинетическое уравнение имеет вид (8.73), то разрушение в точке
сплошной среды есть обращение в бесконечность скорости измене-
изменения функции р в этой точке, т. е. величины р.
5.10. Макроопыты. Выше, при обсуждении тех или иных
элементов теорий процесса накопления рассеянных микродефектов,
уже неоднократно упоминались макроопыты. В любой модели
реального тела, построенной с учетом микроструктуры, должна
быть указана система макроопытов, позволяющая, с одной стороны,
снабдить теорию информацией для построения тех или иных
функций, а, с другой стороны, произвести количественную про-
проверку согласованности свойств модели с существенными в рассматри-
рассматриваемой' ситуации свойствами реального тела, т. е. проверку того,
отражены ли и адекватно ли отражены в модели самые сущест-
существенные свойства реального тела" в изучаемой ситуации.
Чем проще модель разрушения или, иначе, чем проще матема-
математический объект, описывающий степень поврежденности материала,
тем меньше информации требуется от опыта с образцом конечных
размеров, выполненным из материала, для которого предполагается
использование теории. Слишком точные модели опасны не только
тем, что сложным получается кинетическое уравнение, но и макро-
макроопыт оказывается трудновыполнимым —сложным в исполнении
и обширным по количеству требуемой от него информации. В тех

i 8.11] КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ 699
случаях, когда условие локального разрушения представлено
в форме достижения параметром степени поврежденности пре-
предельного значения, из макроопыта требуется определить послед-
последнее. В разных случаях это достигается по-разному, но, как
правило, на образцах, находящихся в однородном напряженном
состоянии.
Надо иметь в виду и тот факт, что одной формально-логичес-
формально-логической канвы для определения из макроопыта необходимых в теории
функций недостаточно, так как процесс вообще может оказаться
неустойчивым, т. е. либо будет большим разброс эксперименталь-
экспериментальных данных, либо после получения этих данных их придется
подвергнуть таким операциям, при выполнении которых безнадежно
потеряется точность.
Здесь нельзя не вспомнить ту подкупающую простоту макро-
макроопыта и простоту использования его, которая лежит в основе
классических теорий предельного состояния (в частности, разру-
разрушения) в локальной области.
§ 8.11. Идеи В.* В. Новожилова1) о перспективах построения
критерия прочности при сложном нагружении
До сих пор при обсуждении критериев надежности имелось
в виду простое нагружение, при котором все напряжения изме-
изменяются пропорционально одному параметру. На самом деле в реаль-
реальных условиях приходится встречаться с так называемыми сложными
нагружениями, в которых указанные условия не соблюдаются.
В таких условиях критерий предельного состояния должен отли-
отличаться от критерия при простом нагружении.
Из литературы был известен так называемый критерий Коф-
фина 2), предложенный для случая циклического нагружения,
JV —число циклов, ггр — размах пластической деформации (ширина
петли пластического гистерезиса).
Опыт показал, что критерий Коффина подтверждается, он
оказывается справедливым даже при простом испытании на
разрыв при однократном нагружении, т. е. при N^1/^
Последнее обстоятельство натолкнуло В. В. Новожилова
и О. Г. Рыбакину на мысль о возможности обобщения критерия
Коффина на случай любого не циклического нагружения. Была
поставлена цель построения такого критерия предельного состоя-
') Новожилов В. В. и Р ы б а к и и а О. Г., Перспективы построения
критерия прочности прн сложном нагружении. МТТ, 1966, № 5.
2) Коффин Д. Ф., Циклические деформации и усталость металлов.
Сборник «Усталость и выносливость металлов», ИЛ, 1963.

600 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
ния материала при сложном нагружении, который в случае
циклического нагружения мало отличается от критерия Коффина.
В качестве такого критерия, обобщающего критерий Коффина,
В. В. Новожилов и О. Г. Рыбакина предлагают принять:
(8.74)
Здесь: Эр — интенсивность пластических деформаций, отсчет ко-
которых ведется от наклепанного, а не от естественного перво-
первоначального изотропного состояния тела; А —физическая константа
материала, Л = РЭ|; Эх — предельное значение ЭР при разрушении
путем чистого сдвига; Р — коэффициент внутреннего трения, а =
= A/3) @1 + 02 + °'з); S —физическая постоянная — сопротивление
материала всестороннему разрыву; т — физическая константа*
материала — «показатель охрупчивания материала в объемном
напряженном состоянии». (Если S = or, то разрушение происходит без
предварительных пластических деформаций, если афЭ, or<S, то,
чем больше т, тем меньше Эр, т. е. при меньших значениях
пластических деформаций происходит разрушение; отсюда и назва-
название т — коэффициент охрупчивания); ЕР = ер° + ер — суммарное
пластическое разрыхление (см. предыдущий раздел), слагающееся
из начального разрыхления ер° и разрыхления ер = PL, приобре-
приобретенного в процессе нагружения (L — ^ Уd9f,d3f.\ з? — девиатбр
тензора пластических деформаций L — 2N9P, Эр = У~эрзр.\ эр=*
= (9tf)max ~ C?)min ~ размах пластических деформаций).
Критерий Коффина можно записать так:
9pL = const.
Действительно, учитывая выражение для L, получаем
ЭР2ЫЭр = const,
или
N9p = const.
Если разрушение происходит в области больших пластических
деформаций, то входящие в (8.74) инварианты следует трактовать
в компонентах тензора логарифмической деформации.
Если бы критерий (8.74) принять в форме
ЭрЕр = А = const,
то из него критерий Коффина получается при циклическом
загружении, как частный случай, совершенно точно.
В. В. Новожилов и О. Г. Рыбакина показывают, что критерий
(8.74) связан с критериями прочности при простом нагружении
в теории Я- Б. Фридмана. Действительно, существует зависимость

$ 8.П]
КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ
601
(at = Y*ifiij, Sij — девиатор тензора напряжений), которую можно
аппроксимировать следующим образом:
Эр = Во;,
В и п константы; их можно найти так, чтобы кривая пластичности
проходила через точку, соответствующую техническому пределу
текучести, и точку, близкую к временному сопротивлению ¦
yb — константа, имеющая физический смысл предельного значения
сдвига при разрушении путем чистого сдвига1.
В результате некоторых преобразований приходим к равенству
(8.75)
где k=mlBn), при этом, если А-»-0, то п->оо, и получается
диаграмма Прандтля.
Равенство (8.75) можно преобра-
преобразовать:
91 "Л °V (8.76)
Y
Введем обозначения
х=~, у= aJ
тогда зависимость (8.76) приобретает
вид
у = (\^х)к. (8.77) о
На рио. 8.40 показана кривая,
соответствующая (8.77) при k — xla. На
этом же рисунке, кроме графика за-
зависимости (8.77), показаны и предель-
предельные прямые диаграммы теории
Я. Б. Фридмана.
Чем больше k, тем ближе кривая зависимости (8.77) к предель-
предельным прямым Я. Б. Фридмана. Таким образом, критерий
В. В. Новожилова — О. Г. Рыбакиной позволяет единой зависимостью
описать два разных по природе предельных состояния.
Имеется и отличие рассмотренного частного случая (при про-
простом нагружении) критерия В. В. Новожилова—О. Г. Рыбакиной
от критерия Я. Б. Фридмана, состоящее в том, что
у Я- Б. Фридмана условие хрупкого разрушения имеет вид
Рис. 8.40. Предельная кривая част-
частного случая (при простом нагру-
нагружении) теории В. В. Новожилова
и О. Г. Рыбакиной; / — линия
вязкого разрушения в диаграмме
теории Я- Б. Фридмана, 2 — линия
хрупкого разрушения в диаграмме
теории Я. Б. Фридмана.
(a0T — сопротивление отрыву),

602 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
а у В. В. Новожилова и О. Г: Рыбакиной:
(S — сопротивление всестороннему разрыву).
Если (8.74) записать в форме
к Ер\ оот/ •
то в частном обсуждаемом случае критерий В. В. Новожилова —
0. Г. Рыбакиной полностью совпадает с критерием Я. Б. Фридмана.
Применительно к циклическому нагружению критерий
В. В. Новожилова приводит к завышению числа циклов до раз-
разрушения по сравнению с аналогичным числом циклов по Коффину
в 2,5—1,5 раза. Такое отличие В. В. Новожилов и О. Г. Рыбакина
считают допустимым.
В заключение обсуждения идеи В. В. Новожилова и
О. Г. Рыбакиной приведем цитату из их работы.
«Особенностью формулы (8.74) является то, что в нее входят
как инвариант деформаций, так и инвариант напряжений. При
желании охватить возможно более широкий круг нагружений.
такая форма критерия, по-видимому, неизбежна. В самом деле,
рассматривая разрушение, предваряемое большими пластическими
деформациями, необходимо включить в критерий деформационные
параметры (в частности ер', которое для произвольных путей
деформирования может быть явно • выражено через напряжения).
С другой стороны, возможны разрушения, происходящие почти
упруго, поэтому в универсальный критерий должно войти и
^среднее нормальное напряжение, которое не связано с пластичес-
пластическими деформациями и, следовательно, не может быть через них
выражено.
В критерий включены три константы: A, Sum; две из них
не новы: А может быть связана с истинным удлинением при
разрыве и сопротивлением на разрыв, a S —это аналог сопротив-
сопротивлению отрыву. Таким образом, предлагаемое обобщение достигается
довольно экономными средствами. Единственная новая введенная
константа — показатель охрупчивания материала в объемном
напряженном состоянии m — необходима по существу. (Факти-
(Фактически m это параметр, позволяющий построить одну кривую,
подходящую асимптотически к двум пересекающимся прямым;
такая кривая должна быть гиперболой — А. Ф.) Потребность в ней
ощущалась давно, так как хотя при оценке материалов много
говорилось о влиянии объемности напряженного состояния на
предельные пластические деформации, тем не менее никакой коли-
.чественной меры этого качества до сих пор, насколько известно,
предложено не было.

I S.12] ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ОБ ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ 603
Необходимо отметить, что авторы не рассматривают свое пред-
предложение как бесспорное и окончательное, а считают его лишь
самым первым шагом в направлении построения критерия проч-
прочности при сложном нагружении».
§ 8.12. Место, занимаемое результатами настоящей главы
в общей проблеме оценки надежности конструкций
В самом начале курса отмечалось, что надежность гарантиро-
гарантирована, если обеспечивается прочность, жесткость и устойчивость.
К этому, учитывая такие процессы, происходящие во времени,
как усталость (если считать, что количество циклов нагружения
так или иначе связано со временем), ползучесть, старение мате-
материала, необходимо добавить, что обеспечена должна быть и долго-
долговечность конструкции. В настоящей главе речь шла главным
образом о прочности и отчасти о долговечности. Такая картина
объясняется чрезвычайной сложностью проблемы. Оценка надеж-
надежности в отношении жесткости и устойчивости, как правило,
выполняется самостоятельно; иногда при этом приходится вносить
коррективы в первоначально принятые формы и размеры конст-
конструкции. Получение данных для суждения о жесткости конструк-
конструкции, а именно, отыскание перемещений точек конструкций,
происходящих вследствие тех или иных внешних воздействий
(нагрузка, изменение температурного поля, усадка материала)
обсуждается в главе XV. Проблеме оценки устойчивости элемен-
элементов конструкций посвящена глава XVIII.
Как уже было показано в главе III и как это отмечалось и
в настоящей главе, существуют два подхода к проблеме оценки
прочности — расчет по допускаемым напряжениям и расчет по пре-
предельным состояниям. Материал настоящей главы непосредственно
относится главным образом к первому подходу; для второго он
дает условия текучести, которые при помощи аппарата теории
пластичности (см. главу X), могут позволить оценивать предель-
предельное состояние конструкции в целом. Кроме того, рассматривались
элементы глобального хрупкого разрушения в результате накоп-
накопления дефектов. Такая теория занимает положение, симметричное
теории пластичности, но предельные состояния в локальной обла-
облает, используемые в ней, это предельные состояния хрупкого
разрушения материала в окрестности точки. И теория пластич-
пластичности (см. главу X) и теория хрупкого глобального разрушения
вследствие накопления дефектов приводят решение проблемы
к краевой задаче и результат зависит от истории всего процесса
нагружения.
Не затрагивались в настоящей главе и вопросы динамического
воздействия (прочность при ударе и при циклических нагруже-
ниях). Эти вопросы обсуждаются в главах XVII и XIX. Совер-

604 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ (ГЛ. VIII
шенно не затрагивался вопрос оптимальности н надежности в духе
понятий современной специальной теории надежности.
Некоторые стороны вопроса (учет анизотропности, сложности
нагружения, неоднородности полей) лишь кратко затронуты.
Практически ничего не сказано о физических концепциях
деформирования и разрушения твердых тел и связанных с ними
статистических и вероятностных методах.
Все приведенные выше упоминания и перечисления призваны
помочь читателю составить правильное представление о чрезвы-
чрезвычайной сложности проблемы и необходимости дальнейших интен-
интенсивных исследований во многих направлениях.
§ 8.13. Примеры
Пример 8.1. Определить опасное и допускаемое касательные напряження
при чистом сдвиге.
При чистом сдвиге главные напряження принимают следующие значения:
ах = т, а2=0, а3=—т.
Найдем приведенные (эквивалентные), напряження согласно четырем пер-
первым теориям:
а9кв, *=V af+ а| + а|—аха2 —aja3—»Л =
Критерии предельного состояния по всем четырем теориям выглядят так:
поскольку этому равенству соответствует опасное состояние материала,
з выражениях для a9KB, i надо полагать и т = топ. Следовательно,
оп. 1 = аоп>
(при ц=0,3),
. 3= 2 ==
Наилучшая согласованность г опытом наблюдается у результата, полученного
но четвертой теории.
Условие надежности по всем четырем теориям записывается так:
Используя в этом условии знак равенства, мы тем самым полагаем в выра-
выражениях для приведенных напряжений т = [т].

i 8.13] ПРИМЕРЫ 605
Следовательно,
[
(при |i=0,3),
Индекс при [т] соответствует номеру теории.
Поскольку из четырех значений топ, t (t = l, 2, 3, 4) ближе к результа-
результатам опыта оказывается топ, 4. наиболее обоснованным допускаемым касатель-
касательным напряжением при чистом сдвиге является [т]4 = 0,б77 [а].
Пример 8.2. Установить, находится ли материал в окрестности некоторой
точки в предельном состоянии, если известны главные напряжения в этой
точке: ^ = 800 кГ/смг, аа = 400 кГ/см*, а8 =— 300 кГ/см*, при условии, что
[а] =1000 кГ/смг и ц = 0Д
Определяем эквивалентные напряжения по каждой нз четырех теорий:
°"экв, а = °"х — И (°"а+аз)=80° ~ °.3 D00 — 300) = 770 кГ/см*,
°"экв,s = o-i—а3 = 800—(— 300)= 1100 кГ/см\
= J/8002+ 4002 + (— 300J _800 ¦ 400 — 400 • (— 300) — (— 300) • 800 = 964 кГ/см2.
Исходя из полученных значений a9KB,,-, заключаем, что прн использовании
критерия надежности по третьей теории условие надежности не удовлетво-
удовлетворено. По всем остальным теориям надежность гарантирована. Обращаем вни-
внимание на весьма существенный момент. При переходе от одной теории к дру-
другой, более совершенной, уменьшается фактор незнания, в связи с чем одно-
одновременно должен уменьшаться и коэффициент запаса, а следовательно, —
увеличиваться допускаемое напряжение. Поэтому переход от одной теории
к другой связан не только с заменой одного выражения приведенного напря-
напряжения другим, но н изменением величины допускаемого напряжения. Разу-
Разумеется, такое изменение должно быть хорошо обоснованным, учитывать опыт
эксплуатации существующих конструкций, запроектированных прн определен-
определенных значениях допускаемых напряжений.
Пример х) 8.3. Построить теорию прочности в следующих исходных пред-
предположениях. Формула для a9KB принята в виде
a3KB = Aal + Ba2+Ca3+D\al\+E\a2\ + F\a3\ (at Э= a2 => a3). (8.78)
Для отыскания коэффициентов воспользоваться пятью опытами (осевое
растяжение, осевое сжатие, чистый сдвиг, всестороннее равномерное сжатие,
всестороннее равномерное растяжение.)
Условия для отыскания коэффициентов составляются так: прн растяже-
растяжении a1=aon, р, аа = а3=0,
(^+^)оа. р нли 1
х) Пример построен на основе статьи Kissel W. und Blum F., Neue
Festigkeitshypothese. Schweizerische Technlsche Zeitschrift, August, 1965, № 32.
Трактовка некоторых принципиальных вопросов а этой статье менее строгая
и четкаи, чем в примере 8.3 настоящей кннгк

Щ ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
При сжатии о1 = ог=0, a3 = —аоп, С1 -
с или
При чистом сдвиге а1=топ, а2=0, а3 = —топ,
n или
При всестороннем равномерном сжатии
o3KB = oon,p = (-A-B
или
Роп
— A-B-C+D + E+F.
Отношение аоп, р/роп принято равным нулю в силу того, что при строго
одинаковом во всех направлениях сжатии предельное состояние материала не
наступает, т. е. роп -» оо.
При всестороннем равномерном растяжении
или
Итак, имеем пять уравнений для отыскания шести величин:
А+ D =1,
— А —В —
Легко обнаруживается линейная зависямость левых частей первых трех урав-
уравнений (сумма двух первых равна третьему), вследствие чего на правые части
этих уравнений накладывается условие
(8.80)
факт существования которого эквивалентен уменьшению числа независимых
экспериментов на единицу. Следовательно, несмотря на проведение пяти экспе-
экспериментов, при принятой форме представления условия (8.78) они эквивалентны
четырем независимым экспериментам и наложению ограничения (8.80) на пре-
предельные напряжения при разных напряженных состояниях 1).
Вследствие сказанного дополнительно к условиям, получаемым из экспе-
эксперимента, приходится вводить еще два предположения (так как неизвестных
коэффициентов шесть, а независимых экспериментов оказалось четыре). Таким
образом, не любая форма представления аэнв с л коэффициентами требует
имеиио я опытов; число требуемых опытов нли сумма числа опытов и допол-
1) В обсуждаемой работе авторы не указывают на отмеченный здесь факт,
чем нарушается четкость всего построения.

J 8.13] ПРИМЕРЫ 607
нительных предположений может оказаться и большей, чем п. Прежде чем *
формулировать эти дополнительные- предположения за счет использования
независимых уравнений из числа (8.79), упростим выражение для а9КВ1 доведя
его до формы, в которой содержится лишь два неизвестных коэффициента.
Из первых двух уравнений получим
D=l — A, F=C+a. (8.81)
Следовательно, ст9КВ приобретает следующий вид:
| о-2 | + (C+a) | а3 |.
Третье уравнение, как уже отмечалось, лишь накладывает условия (8.80) на
величины предельных напряжений в различных опытах и не уменьшает числа
неизрестных коэффициентов в выражении для a9KB. Это условие можно иначе
записать так:
*°п 1+а *
Четвертое и пятое условия с учетом (8.81) позволяют найти
после чего выражение для оэкв приобретает такой вид:
Итак, после использования результатов пяти опытов мы получили выраже-
выражение для азкд, содержащее не шесть, а два неизвестных коэффициента. Для
отыскания их примем дополнятельные предположения. Предположение сфор-
сформулируем так: влиянием промежуточного главного напряжения пренебрегаем.
Практически реализация этого предположения сведется к приравниванию
нулю коэффициента при а2 в формуле для а9кв. Поскольку в выражении для
a9KB имеются как члены, содержащие главные напряжения, так и члены
с абсолютными значениями главных напряжений, выражение для коэффици-
коэффициента прн о2 получается различным в условиях, когда <т2<0 (например, прн
всестороннем сжатии) и в условиях, когда о > 0 (например, в условиях все-
всестороннего растяжения). Поэтому предположение о пренебрежении влиянием
напряжения <т2 эквивалентно двум условиям.
В условиях трехосного сжатия аакв имеет вид
о-экв = BЛ -1) ах + (— 2А +1 + а) а2 - аа8,
Приравниваем нулю коэффициент при <т2:
— 2Л+1+а=0,
откуда
после чего находим
п, D l+a
С
+|-^-^„

608 ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ Б ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. VIII
В условиях трехосного растяжения авкв имеет внд
Чоп
Приравнивая коэффициент при а2 нулю, получаем
Отсюда
Яоп
= 0.
1+а
"on, р
2<7оп ¦
В результате получаем окончательное выражение для азкв:
\+а . 1-« . , . /«оп.р +о\ . /аоп.р 1
—а
"экв g 1~ 2 \ 2о 2 Is
Полученная форма сгэкв позволяет получить частные выражения для сг9кв
о)
Рис. 8.41. К теории В. Кисселя и Ф. Блюма (пример 8.3): а) часть предельной поверх-
поверхности, соответствующая теории Кисселя и Ф. Блюма: б) соответствующий сектор цилин-
цилиндра Мизеса, от которого отсечена часть плоскостью а, =з ооп
в зависимости от типа напряженного состояния. В случае, когда все три
главные напряжения — сжимающие, v
в случае, когда о, > 0, а о3 < 0,
в случае, когда ах > 0, о3>0,
а°п,р
:
Чоп
На рис. 8.41, а показана часть предельной поверхности, соответствующей
обсуждаемой теории; для сравнения на рис. 8.41,6 изображен соответствую-
соответствующий сектор цилиндра Мизеса, от которого плоскостью о, =aon, p отсечена
часть, так как прн всестороннем растяжении энергия формоизменения должна
быть ограничена конечной величиной сопротивления.

Отдел третий
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СРЕД
Глава IX
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ1)
§ 9.1. Предмет и задачи теории упругости
Теория упругости является одним из разделов теории сплош-
сплошных сред. Иными разделами последней являются теории пластич-
пластичности, теории ползучести и др. В свою очередь теория упругости
подразделяется на ряд ветвей.
Настоящая глава посвящена основным уравнениям наиболее
разработанной ветви теории упругости, так называемой классичес-
классической или линейной теории упругости.
В этой ветви рассматривается идеализированная среда, которая
имеет следующие свойства: однородность, сплошность, изотроп-
изотропность, упругость, линейность зависимости между напряжениями и
деформациями (физическая линейность). Кроме того, имеется в виду,
что тело (здесь подразумевается материал, форма и размеры тела)
обладает достаточно большой жесткостью, вследствие которой
перемещения малы по сравнению с характерными размерами тела,
а повороты малы по сравнению с единицей. Последнее обстоя-
обстоятельство позволяет довольствоваться линейным приближением
зависимостей между перемещениями и деформациями (геометри-
(геометрическая линейность).
Предметом теории упругости является напряженно-деформиро-
напряженно-деформированное состояние, возникающее вследствие различных причин:
силового воздействия, изменения температурного поля. В отличие
от элементарной теории — сопротивления материалов, где главным
х) Для более подробного ознакомления рекомендуем курсы:
Л я в А., Математическая теория упругости, ОНТИ, НКТП, 1935.
Треффтц Е., Математическая теория упругости, ОНТИ, Гостехиздат,
1934.
Папкович П. Ф., Теория упругости, Оборонгиз, 1939.
Тимошенко С. П., Теория упругости, ОНТИ, Гостехиздат, 1934.
Новожилов В. В., Теория упругости, Судпромгнз, 1958.
Лурье А. И., Теория упругости, «Наука», 1970.
20 А, П. Филин

610 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
объектом изучения являются стержни, в теории упругости
рассматриваются тела любой формы, могут не применяться
никакие гипотезы (кроме упомянутых выше гипотез о свойствах
материала) при описании картины деформации или распределения
напряжений, не используется илн во всяком случае может не
использоваться идеализация внешних сил, такая, например, как
замена распределенной по объему или поверхности нагрузки,
распределенной по линии или сосредоточенной.
Таким образом, теория упругости позволяет исследовать
напряженно-деформированное состояние и в тех случаях, когда
средства, используемые в сопротивлении материалов, не могут
привести к цели. Так обстоит дело, если по форме тело сущест-
существенно отличается от стержня.
Даже для тел, имеющих форму стержня, средствами сопро-
сопротивления материалов в ряде случаев решение получить не уда-
удается, например, в задачах о кручении стержней некруглого по-
поперечного сечения, определении компонентов касательных напря-
напряжений при изгибе стержня, направленных перпендикулярно к
плоскости изгиба и др. Когда решение может быть получено и
методами сопротивления материалов, но приближенно, с исполь-
использованием гипотез, теория упругости позволяет произвести оценку
точности этого решения.
Вместе с тем ряд аспектов проблемы напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного тела, вовсе не затрагиваемых в теории упругости, состав-
составляет существенную часть сопротивления материалов.
Здесь в первую очередь имеется в виду вся физико-механическая
проблема упругих и пластических деформаций и разрушения мате-
материала во всем многообразии условий, в которых ему приходится
работать.
Во-вторых, в сопротивлении материалов изучаются все реаль-
реальные материалы, используемые в технике и изделиях, к которым
предъявляется требование прочности. Таким образом, в сопротив-
сопротивлении материалов наряду с моделью среды теории упругости изу-
изучаются и другие модели сред, характерные для других разделов
теории сплошных сред —теории пластичности, ползучести и т. д.
В сопротивлении материалов, в отличие от теории, сред, и,
в частности, теории упругости, одной из центральных проблем
является проблема оптимизации проектируемого изделия. Иными
словами, в сопротивлении материалов рассмотрение напряженно-
деформированного состояния производится в неразрывной связи
с проблемой прочности и экономичности, в то время как в теории
сред (теории упругости) за пределы анализа напряженно-дефор-
напряженно-деформированного состояния изучение не выходит.
Имея много общего с теорией сред (теорией упругости), сопро-
сопротивление материалов по своему предмету, средствам и целям су-
существенно отличается от нее.

§ 9.2] СВОДКА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ОБЗОР 611
В ряде случаев для решения основной проблемы сопротивле-
сопротивления материалов в качестве вспомогательного средства исполь-
используется решение той или иной проблемы теории упругости. И,
наоборот, при решении задач теории упругости иногда исполь-
используются результаты сопротивления материалов. Как это делается,,
показано в настоящей и последующих главах.
§ 9.2. Сводка основных уравнений и их обзор. Прямая
и обратная задачи теории упругости. Граничные условия.
Два пути решения проблемы теории упругости
В трех предыдущих главах (V—VII) были получены все урав-
уравнения, имея которые можно решить задачу теории упругости..
Приведем сводку этих уравнений.
Статические уравнения:
а) дифференциальные уравнения равновесия
^ ^ ^ XYZ); (9.1)
б) условия на поверхностиг)
xn (хуг) (Гпгп). (9.2)
Кинематические (геометрические) уравнения:
а) уравнения Коши
ди до , ди / \ / ч ,п „.
Ж = Вх' -dJ + ~dJ = yxy (uvw) (хУгУ> (9-3)
б) условия совместности деформаций:
д^ _ духу ^_(_ дЧу* I дУг* . дУху) — 2
ду* ~ дх* дхду ' дх \ Л т ф т fe / дгду
(хуг). (9.4)
Физические уравнения (закон Гука):
ex = -jr [ох — I-1 (Gy-\-Gz)]> yxy — -Q-^Xy (хуг) (9.5^
или
ох = 2в(гх + -Г?щГЪУ), iXy = GyXy (хуг). (9.6)
В указанные выше уравнения входят пятнадцать функций,
характеризующих напряженно-деформированное состояние тела и
перемещения его точек: шесть функций ох, ..., хгх, представля-
представляющих собой компоненты напряжения, шесть функций ех угх,
х) Здесь указан лишь один из возможных вариантов. Более подроби
о граничных условиях говорится ниже.
20*

612 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
представляющих собой компоненты деформации, и, наконец, три
функции и, v, w — составляющие перемещения.
Кроме указанных выше, в уравнения входят функции, харак-
характеризующие внешнюю нагрузку.
Объемные силы X, Y и Z входят в уравнения (9.1), поверхност-
поверхностные силы pvx) рщ и Рмг — в условия на поверхности (9.2). Физи-
Физические свойства тела характеризуются физическими постоянными
Е, G и (л, входящими в уравнения закона Гука и связанными соот-
соотношением
/- Е
вследствие чего независимыми являются любые две постоянные из
указанных трех. Форма и размеры тела характеризуются уравне-
уравнением его поверхности, имея которое можно получить направляю-
направляющие косинусы /, т, п нормали к площадке поверхности, ограни-
ограничивающей тело. При этом /, т и п следует рассматривать как
функции координат точек поверхности тела, всюду удовлетворяю-
удовлетворяющие условию /2 + т2 + п2 = 1 и задаваемые сразу для всей поверх-
поверхности тела, если вся поверхность тела изображается одним урав-
уравнением, или для каждой из частей поверхности, если вся поверх-
поверхность может быть разбита на отдельные части, изображаемые
различными уравнениями.
В теории упругости различают прямую и обратную задачи.
Прямой называется задача, в которой заданы размеры и форма
тела (уравнение поверхности, а следовательно, и функции /, т и п),
материал тела (т. е. постоянные Е и (х, или ц иб, или G и Е),
объемные силы и граничные условия на всей поверхности тела;
искомыми же являются пятнадцать функций ах хгх; гх,..., угх;
и, v и w, характеризующие напряженно-деформированное состоя-
состояние всего тела.
Обратной задачей называется такая, в которой, кроме разме-
размеров и формы тела, характеризуемых функциями /, т и п, и мате-
материала тела (две упругие постоянные) заданы для всего объема тела
какие-то из пятнадцати функций, характеризующих напряженно-
деформированное состояние тела (например, функции ах, ..., хгх,
или функции ех угх, или функции и, v, w, или иные системы
функций). Искомыми же являются все остальные функции из числа
указанных пятнадцати функций, а также объемные и поверхност-
поверхностные силы на всей поверхности тела.
Совершенно естественно, что для инженера большой интерес
представляет прямая задача; именно с такими задачами и прихо-
приходится встречаться в инженерной практике. Значительно менее инте-
интересна обратная задача. Прямая задача существенно сложнее обратной.
Выше при формулировании содержания прямой и обратной задач
упоминались граничные условия. Остановимся на них несколько

9.2]
6В0ДКА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЯ И ИХ ОВЗОР
613
подробнее. В теории упругости граничные условия могут быть
одного из трех следующих типов: статические, кинематические и
смешанные.
Статическими называются граничные условия, при которых
в каждой точке поверхности тела задана интенсивность поверхност-
поверхностной нагрузки, составляющие которой суть pvx, pvy, и pvz. Приме-
Примером такого задания могут быть граничные условия для тела, пла-
плавающего в жидкости (рис. 9.1). Действительно, для любой точки
Рис. 9.1. Пример задания статических граничных условий — плавающее тело.
поверхности ниже горизонта жидкости интенсивность поверхност-
поверхностной силы определяется по закону гидростатического давления —
воздействие жидкости на поверхность тела направлено по нормали
к ней и равно hy, где h — расстояние точек поверхности тела от
горизонта жидкости и у — удельный вес жидкости. Для любой же
точки выше горизонта жидкости поверх-
поверхностные силы равны нулю. Таким обра-
образом, для всей поверхности тела извест-
известной является интенсивность поверхност-
поверхностных сил.
Кинематическими называются гра-
граничные условия, при которых для каж-
каждой точки поверхности тела заданными
являются перемещения.
Примером такого задания могут быть
граничные условия для тела, полностью
заполняющего замкнутую полость в бес-
бесконечно жестком массиве и во всех точ-
точках поверхности приклеенного к массиву
абсолютно прочным и неподатливым
клеем (рис. 9.2). Если изменить темпе-
температурное поле такого тела, то в нем
возникнут напряжения, точки внутри
тела получат перемещения. При этом перемещения всех точек на
поверхности известны — они равны нулю. Труднее привести при-
пример задания таких кинематических граничных условий, при кото-
которых на поверхности всюду заданы не равные нулю перемещения.
Наконец, смешанными называются такие граничные условия,
при которых на части поверхности тела заданы напряжения (интен-
(интенсивность поверхностных сил), а на остальной части поверхности
Рис. 9.2. Пример задания кине-
кинематических граничных условий:
/ — абсолютно твердое тело о
внутренней полостью, 2 — уп-
упругое тело, целиком заполняю-
заполняющее полость при условии при-
приклеивания всей его внешней
поверхности к поверхности по-
полости абсолютно прочным клеем

614 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
тела — перемещения точек поверхности. Примером такого задания
могут служить граничные условия для балки, показанной на
рис. 9.3. Здесь часть поверхности балки прикреплена (приклеена)
к абсолютно жесткому телу и, следовательно, перемещения всех
точек этой части поверхности тела равны нулю, а на остальной
части поверхности заданы поверхностные силы; на верхней грани
нормальная их составляющая имеет интенсивность q, а касатель-
касательные составляющие равны нулю, на других же гранях —все состав-
составляющие поверхностной силы равны нулю. Существует и другая
форма задания смешанных граничных условий, в которой на одной
и той же части поверхности или на всей поверхности тела заданы
Рис. 9.3. Пример задания смешанных граничных усло-
условий; / — абсолютно Жесткая стена.
некоторые функции от компонентов напряжений и составляющих
перемещения.
Если для какой-либо части поверхности тела не заданы ни
поверхностные силы, ни перемещения и нет никаких иных усло-
условий (например, условие контакта с другим деформируемым телом),
задача не может быть решена, так как не хватает данных для
ее решения.
Чаще других встречаются смешанные граничные условия.
Вместе с тем в математическом отношении этим граничным усло-
условиям удовлетворить труднее, чем статическим или кинематическим.
Ниже будет пояснена причина этой сложности. Реже всего встре-
встречаются кинематические граничные условия; эти условия удовлет-
удовлетворяются просто.
Статические граничные условия выражаются зависимостями (9.2).
Прямая задача при статических граничных условиях в лите-
литературе (в терминологии Н: И. Мусхелишвили) называется первой
основной задачей теории упругости. Прямая задача при кинема-
кинематических граничных условиях в той же терминологии называется
второй основной задачей теории упругости. Наконец, прямая
задача при смешанных граничных условиях называется смешан-
смешанной задачей теории упругости.
Поясненные выше граничные условия в ряде случаев схемати-
схематизируют реальную картину работы тел. В действительности эле-
элементы конструкций испытывают деформацию в условиях так назы-
называемой контактной задачи,

i 9.2]
ёводк;А Основных уравне ний и их обзор
615
Поверхностные силы представляют собой результат взаимодей-
взаимодействия рассматриваемого тела с примыкающими к нему телами.
Если иметь в виду, что взаимодействуют твердые деформируемые
тела, то точки соприкасающихся, или иначе, контактирующих тел,
в области контакта, в зависимости от его характера, перемеща-
перемещаются одинаково, либо, при наличии соприкасания, проскальзы-
проскальзывают одна относительно другой. Все это осложняет граничные
условия для каждого из контактирующих тел, так как неизвестны
ни напряжения по поверхности контакта, ни перемещения точек
этой поверхности (известно лишь, что по этой поверхности тел&
Рис. 9.4. Пример контактной задачи с из-
меииющейся площадкой контакта — сжа-
сжатие двух шаров, первоначально имеющих
контакт в точке касания.
Рис 9.5. Пример контактной задачи с по-
постоянной площадкой контакта; / — абсо-
абсолютно жесткий штамп.
находятся в том или ином контакте). Одно из двух контактирую-
контактирующих тел может быть абсолютно жестким. Из большого числа слу-
случаев укажем следующие примеры, в которых тела находятся в усло-
условиях контактной задачи:
Два упругих шара при взаимном их нажатии друг на друга
(рис. 9.4). Первоначальное соприкасание происходит в точке,
в результате силового взаимодействия шаров соприкасание осу-
осуществляется по площадке, представляющей собой круг некоторого
радиуса, если диаметры шаров равны один другому и одинаковы
по величине соответствующие упругие характеристики материала
шаров. С изменением сил Р радиус круга контакта меняется.
Другим примером является давление абсолютно жесткого штампа
на. упругое полупространство (рис. 9.5). Особенностью контактных
задач является то, что для точек площадки контакта (размеры
которой в ряде случаев зависят от величин сил) заданными явля-
являются не непосредственно величины напряжений или перемещений.
Для точек площадки контакта в процессе решения приходится
находить напряжения или перемещения как неизвестные заранее
сложные функции нагрузки, формы и материала контактирующих
тел. Контактные задачи образуют самостоятельный класс сложных
задач.

616
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
К контактной может быть приведена задача и в том случае,
когда в целом для тела имеем первую или вторую основную, или
смешанную задачу. В некоторых случаях такое приведение ока-
оказывается целесообразным. Укажем пример.
Имеется тонкостенная пустотелая балка (рис. 9.6). Граничные
условия заданы в статической форме, т. е. имеем первую основную
задачу теории упругости. Форма тела для непосредственного реше-
решения проблемы очень сложна. Легче перейти к контактной задаче,
но для областей значительно более простых. Действительно, если
Рис. 9.6. Сведение первой основной задачи для тонкостенной балки коробчатого се-
сечения к контактной задаче для пластин: а) тонкостенная балка коробчатого сечения;
все силы, действующие на нее, известны; б) пластины, из которых составлена балка
коробчатого сечення; / — неизвестные силы взаимодействия пластин.
мысленно разбить балку на отдельные пластины, то каждая из них
работает в условиях контактной задачи, которая для пластин ока-
оказывается значительно более простой, чем первая основная задача
для всей пустотелой балки.
Условия контакта пластин — это условия совместности их дефор-
деформации.
Решая задачу теории упругости, необходимо удовлетворить как
всем условиям равновесия, так и всем условиям совместности дефор-
деформаций. Так как условия равновесия (9.1) выражены через шесть
функций ах, оу, ..., хгх, а условия совместности деформаций (9.4)
через шесть функций гх, ..., угх, необходимо использовать зави-
зависимости, связывающие компоненты напряжений с компонентами де-
деформации. Такими зависимостями являются уравнения закона Гука.
Известно два основных пути решения прямой задачи.
Первый путь решения прямой задачи состоит в использовании
разрешающей системы уравнений, выраженных через напряжения.
В эту систему входят три дифференциальных уравнения равнове-

СВОДКА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ОБЗОР 617
сия и шесть условий совместности деформаций, выраженные через
напряжения. При выводе этих условий использована подстановка
(9.5) в (9.4). Такой путь решения, поскольку в нем в первую оче-
очередь находятся напряжения, называется решением в напряжениях.
После отыскания напряжений, пользуясь уравнениями закона Гука
(9.5), можно найти функции гх, ..., угх; для отыскания функций
и, v и w остается проинтегрировать уравнения (9.3). Как уже
было сказано в главе VI, эта задача всегда может быть сведена
к отысканию квадратур.
Второй путь решения прямой задачи состоит в том, что в качестве
основных неизвестных функций принимаются три функции и, v и w,
для чего применяется система уравнений равновесия, выраженных
через перемещения. Поскольку при использовании такого пути
решения в первую очередь находятся перемещения (решение в пере-
перемещениях), отпадает необходимость в решении системы уравнений
Коши, а уравнения совместности деформаций Сен-Венана превра-
превращаются в тождества относительно перемещений, поскольку непре-
непрерывным функциям и, v и до соответствуют всегда совместные дефор-
деформации.
Вывод уравнений совместности деформаций, выраженных через
напряжения, используемых в первом пути решения задачи теории
упругости, и уравнений равновесия, выраженных через перемеще-
перемещения, приводится ниже.
Возможны и смешанные схемы решения прямой задачи.
Поскольку в литературе по теории сред и, в частности, по теории
упругости встречается и иная форма записи уравнений, пока-
покажем и эту форму, установив соответствие между нею и приведен-
приведенной выше развернутой формой. Такая форма использована и в гла-
главе X настоящей книги.вводится несколько иная символика в изо-
изображении функций. Ниже приводим схему соответствия указанных
двух форм представления информации:
X ** Х\ У *~* Х%, Z *-* Х$,
Ох
8*
а,-
1
и
Pvx
X
«-*<*/;
<->•«!,
¦¦Pvl.
«-> Хл,
ХуХ
1
1
~2~Уух
8j/
8/
т
V
Pvy
Y
**ол,
22>
¦•"*¦ 821>
**822,
•«-» Z/
*-* lit
*-*ы2,
*-*Pv2i
*¦ х2,
Тгх"
1
у Угх+*
1
гг *-¦
is
п**
до *¦*
Р\г*+
31>
е31(
• 632>
883">
1, 2, 3),
*з»
«3,
Pva,
xs.

618 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
Уравнения равновесия (9.1) записываются так:
до и
-^- + Х; = 0 (/=1,2,3). (9.7)
В обсуждаемой символике принято опускать знак суммирования
по повторяющемуся в выражении индексу. Поскольку в первом
члене формулы (9.7) повторяется индекс i, символ суммирования
3
2 опущен. Условия (9.2) приобретают следующий вид:
„ п 1 A 1 О 0\
PvJ — °ijli \1— J» ^, ч!»
Уравнения Коши (9.3) записываются так:
1 / dui ди, \
&Ч = ^Щ + -дхГ) •(*=!, 2,3; /=1,2,3).
Наконец, уравнения (9.5) закона Гука приобретают следующий
видх):
&Ч - la (a'V - T+V 6'/00) V = 1' 2- 3; / = f. 2, 3). (9.8)
Здесь, как обычно,
За0 = ап + а22 + cr33 = a1 + ai + a8 — ou.
§ 9.3. Разрешающие уравнения в напряжениях
Пользуясь уравнениями (9.5), подставим в (9.4) вместо компо-
компонентов деформации соотвегствующие выражения через компоненты
напряжения. Входящие в уравнения (9.4)х производные приобре-
приобретут вид:
дЧх _ 1 Гд*ох /Рву d*ozY]
ду* ~ Т [~ф2 Р \dlf~ + ду2 /J •
~дх*~ = ТГ [~дх~2 ^ \~дхг~ + 1P/J'
д2Уху _ 1_ дНху _ 2A+ц) дНху
дхду ~ G дхду ~~ Е дхду • (У'У>
Подставим (9.9) в (9.4)х; после сокращения на \/Е получим
1 д*У -I ^ I
"г ду2 Т дх% -Г
? I J 1 I I
ду* ^ дх* r\ aX2 "г ду2 Т дх% -Г dyi
(9.10)
( 1, [=/,
/ — < , . —символ Кронекера.

t 9.3] РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ 619
Уравнение (9.4)х является более общим (справедливым для любой
сплошной среды), нежели условие (9.10), которое справедливо
лишь для сплошной среды, следующей закону Гука.
Упростим уравнение (9.10), исключив из него функцию хху.
Тогда в уравнении останется не четыре, а три неизвестные функ-
функции ах, Оу и аг. Для этого воспользуемся уравнениями равнове-
равновесия (9.1).
Для исключения функции хху из (9.10) необходимо иметь вто-
вторую производную хху по х и по у. Если мы продифференцируем
уравнение (9.1)! по х, а уравнение (9.1J по у, то в каждом
из полученных результатов будем иметь искомую вторую произ-
производную дНху/дхду:
д*ох д2тих д*хгх дх
^ + + d + ^r = 0. <9Л1)
дУ
Жду + ~ЩГ
Складывая (9.11) и (9.12), найдем
дЧху &ЪХ &оу дХ dY
2++ + +
Чтобы исключить из (9.13) производные дх™ и Лиг*у , продиф-
продифференцируем уравнение (9.1K по z:
дууг &о^ М_
' "Г Л„ А, ~Г Д-2 "Г Л,
дхдг ^ дудг ' dz2 ^ дг
и результат вычтем из (9.13):
д^ху <Р°х d^Qy д^г дХ дУ dZ
Отсюда
д2а,, д2а„ д»а, дХ дУ dZ
2
дхду ~~ дх* ду*
Теперь можем исключить хху из (9.10); подставляя в него (9.14),
будем иметь
доу 1дох ду ог
1** ** \д1ё~ ' ~дуГ "+" ~дх*~ у)
aktx д*оу &ог дх дУ dz
или, произведя раскрытие скобок, перенося члены, содержащие
производные от неизвестных функций ах, ау и аг, в левую часть

620 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
уравнения и выполняя приведение подобных членов, получим
дХ дУ , 6Z
Если бы в левой части имелись члены д2ах/дг2 и d2ay/dz2, то они
совместно с первыми четырьмя членами левой части (9.15) соста-
составили1) Аах-\-Аау. Для того чтобы иметь возможность произ-
произвести такую запись, добавим к левой части равенства (9.15),
не нарушая его, выражение
Н
при этом получим
(9.17)
Если бы в (9.17) содержался член Ааг, то, вынося Д за скобки
из этого члена и из первых двух членов в левой части (9.17),
в скобках получили в = or * + <*» + аг. Для того чтобы иметь
возможность произвести такое преобразование, прибавим к левой
части равенства (9.17), не нарушая его, следующее выражение:
Авг — Ааг =э 0;
в результате получим
(9.18)
Знак циклической перестановки указывает на то, что можно полу-
получить еще два аналогичных уравнения, если исходить из уравне-
уравнений (9.4J,8. Складывая все три уравнения (9.18), получим
или, учитывая, что второй, третий и четвертый члены в левой
части (9.19) образуют Д0, а также то, что последний член в левой
Под символом Д ( ) имеется в виду оператор Лапласа

$ 9.3] РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ 621
части (9.15) может быть выражен через 0, получим
0-|»>лв —<1+|*>(-?г + т1г + #¦)• <9-20)
Отсюда
*»—¦?*(?+?+#)• <"«
Подставляя (9.21) в (9.18), перенося все известные функции
в правую часть и изменяя все знаки на обратные после деления
на 1+ji, получим окончательно:
Если подставить (9.21) в (9.18J>3 и произвести преобразова-
преобразования, аналогичные приведенным, найдем еще два уравнения сис-
системы совместности деформаций, выраженные через напряжения.
Эти уравнения могут быть получены и из (9.22) циклической
перестановкой букв \хуг) (XYZ).
Остается преобразовать последние три уравнения Сен-Венана.
Рассмотрим (9.4L. Имея в виду уравнения закона Гука (9.5),
выразим производные, входящие в (9.4L, через компоненты напря-
напряжений
~Р\ду~ЬТ+ ду~дг~)у
(9.23)
дудг ~~ Е {дудг
д^уг 2 A + ц) дЧуг d»yzx 2 A + ц)
дх2 Е дх2 ' дхду Е дх ду
&уху = 2A+1*) faxy
дхдг Е дхдг '
Подставим (9.23) в (9.4L и сократим на 2/Е, получим
дудг
Уменьшим число различных функций, входящих в уравнение (9.24)
до четырех, исключив компоненты хгх и хху, используя для этого
уравнения (9.1). Продифференцируем уравнения (9.1J>8 соответ-
соответственно по г и у и полученные уравнения решим относительно
производных 1Ш ww
faxy _ &Оу д*хуг дУ д*хгх _ дНуг _ д*ог dZ
дхдг дудг Ш* Щ~ > дхду дуг ду дг д~у"'
(9.25)

622 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
Подставляя (9.25) в (9.24) и перенося все члены, содержащие
неизвестные функции, в левую часть равенства, будем иметь
дудГ ~~ ^ ~дудг ~ ^ dyW
Производя приведение подобных членов и вводя оператор Лап-
Лапласа, получим
Atw + T+JT ^ЭГ = ~ [Ж + -WJ- (9-26)
Два последних уравнения выводятся аналогично, но могут быть
получены и из (9.26) циклической перестановкой букв (хуг)
(XYZ).
Итак, получено всего шесть уравнений совместности деформа-
деформаций (9.22) и (9.26), выраженных через компоненты напряжений
и справедливых для тел, следующих закону Гука. Эти уравнения
были выведены Мичеллом и носят его имя.
Если X, Y и Z не зависят от х, у и г, то производные от них
равны нулю, и уравнения (9.22) и (9.26) упрощаются:
- (9-27)
В таком виде еще до Мичелла уравнения были выведены Бельт-
рами и носят его имя.
Получена полная система уравнений для непосредственного
отыскания компонентов напряжений. В эту систему входит девять
уравнений: три уравнения равновесия (9.1) и шесть уравнений
совместности деформаций (9.22), (9.26). Из указанных девяти
уравнений, при удовлетворении граничным условиям, и нахо-
находятся искомые напряжения.
Проще всего удовлетворить граничным условиям в случае
статической их формы, так как в эти условия входят непосред-
непосредственно искомые функции. В случае же задания граничных усло-
условий в кинематической форме приходится, используя уравнения
(9.3) и (9.5), выражать перемещения через напряжения, что зна-
значительно осложняет решение. Аналогичное осложнение получается
и в случае смешанных граничных условий.
После отыскания ах, . ., хгх, из (9.5) получаем гх, ..., угх,
далее, интегрируя уравнения (9.3), находим и, v и до.

$ 9.4] РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ 623
§ 9.4. Разрешающие уравнения в перемещениях
Для отыскания функций и, v и w необходимо выразить через
них систему уравнений равновесия. Покажем вывод таких урав-
уравнений. Рассмотрим уравнение равновесия (9.1)х. Подставим'в него
вместо компонентов напряжений их выражения через компоненты
деформации (9.6); при этом получим
Таким образом, (9.28) — уравнение равновесия, справедливое для
среды, подчиняющейся закону Гука. Уравнение (9.1)i является
более общим, так как оно справедливо для любой сплошной среды.
Используя (9.3), выразим (9.28) через компоненты перемещений:
(9.29)
Полученное уравнение (9.29) и два других, которые можно
вывести аналогично, исходя из (9.1J>3, представляют собой урав-
уравнения равновесия тела, подчиняющегося закону Гука.
Поскольку, как уже отмечалось, любым непрерывным функ-
функциям и, v и w соответствуют всегда совместные деформации
(уравнения Сен-Венана удовлетворяются тождественно, если в них
вместо ех, ..., угх подставить выражения через ы, v и w согласно
уравнениям Коши), условия сплошности при решении в переме-
перемещениях удовлетворяются автоматически.
Уравнение (9.29) можно преобразовать для придания ему
более компактного вида. Разделим все члены уравнения на О,
перенесем член, не содержащий искомую функцию, в правую
часть уравнения и, используя оператор Лапласа, получим
d(dudv,dw\_ X
S?[Ж + ~ду + ~дГ) ~ ~ "б""
Имея в виду, что выражение в скобках равно О и учитывая
(9.3)i>2,з> получим окончательно
Ь1 (uvw)(XYZ). (9.30)
Два других уравнения могут быть найдены аналогично. Система
(9.30) была введена в теорию упругости Ламе и носит его имя.
При решении задачи теории упругости в перемещениях легче
всего удовлетворить кинематическим граничным условиям, форму-
формулируемым в искомых функциях и, v и w.
После отыскания и, v и w компоненты вх, ...,
дятся из (9.3), а компоненты напряжения — из (9.6).

624 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
§ 9.5. Теорема о единственности решения задачи
линейной теории упругости
Наряду с теоремой, указанной в названии параграфа, имеется
еще и теорема о сущгствовании решения задачи теории упру-
упругости. Доказательство этой последней теоремы является далеко
не простым в математическом отношении. Вместе с тем, если
исходить из физических соображений, то факт существования
решения задачи теории упругости является достаточно очевидным.
Все уравнения теории упругости, приведенные выше, получены
из принципов механики, не вызывающих сомнения, вследствие
чего они, эти уравнения, не могут быть з противоречии с при-
природой — сплошное тело (сохраняющее свою сплошность) определен-
определенным образом нагруженное и надлежащим способом закрепленное,
должно иметь хотя бы одно положение равновесия. Поскольку
теорема о существовании решения задачи теории упругости (в том
числе и нелинейной), представляя большую математическую слож-
сложность, с точки зрения механики не вызывает сомнения в смысле
ее справедливости, на доказательстве этой теоремы мы не останав-
останавливаемся и будем исходить из предположения о существовании
решения отмеченной выше задачи. Что касается теоремы о един-
единственности решения линейной задачи теории упругости, то ее
ниже докажем.
Пусть имеем тело произвольной формы, на поверхности кото-
которого для общности заданы смешанные граничные условия. На
части поверхности QL — силы, а на остальной —О2~пеРемеЩения.
Пусть, кроме того, тело подвергнуто воздействию объемных сил.
Предположим, что в указанной ситуации мыслимы два отличаю-
отличающихся одно от другого решения: и', v', w' и и", v", w". Скон-
Сконструируем третью систему перемещений:
(9.31)
поскольку обе системы (и', v', w' и и", v", w") на Й2 подчиня-
подчиняются одинаковым условиям, система (9.31) должна подчиняться
на &2 условиям
й = у = © = 0.
Компоненты деформации гх, &у, вг, уху, ууг, yzx> соответствующие
(9.31), найдем из уравнений Коши
__дп _ д(и'-и") _ , ,
~~ дх — di Ъх~г*'
- _дп д® _ д(и'-и") d(w'-w") , .
Угх~Ж + ~дх~ Тг I дх ' V« ~Ъх-
Тг I дх
(9.32)

§ 9.51 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 625
Компоненты напряжений получим из уравнений закона Гука;
6X = 2G h
(9.33)
Xzx = Gyzx = G(y'zx-'
Поскольку системы а'х, ...,
нениям
I — Xzx — Xzx-
и ах xlx удовлетворяют урав-
да'
дх'
дт'
до"
дх"
дх"
и на fit условиям
х'гхП ,
pvx ==
х'гхП ,
напряжения 0х, ..., тгх должны удовлетворять уравнениям равно-
равновесия
дх
и на fij условиям
Учитывая (9.1) и (9.2), систему функций
w;
гх, ..., yz
можно трактовать как решение линейной задачи теории упру-
упругости, соответствующее нулевым объемным и поверхностным на йх
силам, а также нулевым на й2 перемещениям.
В упругой системе работа заданных внешних сил на соответ-
соответствующих им перемещениях равна удвоенной потенциальной энер-
энергии деформации системы (см. главу XV):
В нашем случае, поскольку системе функций (9.33) соответ-
соответствуют нулевые объемные и поверхностные на fit внешние силы
при нулевых на fi2 перемещениях, работа, совершаемая внешними
силами, равна нулю, а следовательно, равна нулю и потенци-
потенциальная энергия деформации, т. е.
Вместе с тем из главы VII известно, что W — удельная потен-
потенциальная энергия деформации, — является однородной квадратичной

626 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
положительно определенной функцией компонентов деформаций
(или компонентов напряжения). В силу того, что IF —квадратич-
—квадратичная функция, она должна быть неотрицательной в любой точке
области. Равенство же нулю интеграла, взятого по всему объему
тела от этой функции, свидетельствует о том, что в рассматри-
рассматриваемом случае функция W равна нулю в любой точке области.
Последнее же мыслимо лишь в том случае, если в любой точке обла-
области нулю равен каждый из компонентов деформации (напряжения):
ох = о'х — а'х = О,
Угх = Угх — У"гх = О,
Хгх — Хгх "
Отсюда следует, что в каждой точке области
Угх = Угх,
Иными словами, предположение о возможности наличия двух
разных напряженно-деформированных состояний, соответствующих
одним и тем же силам и закреплениям, сделанное в самом начале
обсуждения вопроса, является неправильным. На самом деле
одной системе внешних сил (объемных и поверх-
поверхностных) и закреплений в случае линейной задачи
теории упругости соответствует одна и только
одна система фу нкций, характер изующих напря-
напряженно-деформированное состояние тела. В этом и
состоит теорема о единственности решения линейной задачи теории
упругости. Вопрос о перемещениях (единственности или неедин-
неединственности) будет обсужден более подробно ниже.
В случае неправомочности принципа независимости действия
сил, а это имеет место в нелинейных задачах теории упругости,
единственность решения проблемы теории упругости не подтверж-
подтверждается — одной и той же нагрузке может соответствовать не одно,
а несколько напряженно-деформированных состояний.
§ 9.6. Интегрирование уравнений Коши
1. Общая схема определения в, v и w. Интегрирование урав-
уравнений Коши, т. е. операция отыскания функций и, v и w из урав-
уравнений (9.3) при условии задания функций ех, еу, ег, уху, ууг, угх,
может быть выполнено путем использования (кроме уравнений
(9.3)) зависимостей F.24), приводящих к F.27). Если иметь
возможность тем или иным образом найти функции а>х, а>у и о)г,
то формулы F.27) позволяют получить все частные производные
функций и, v и w, зная которые, можно получить сами функции

§ 9.6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КОШИ 627
и, v и w из полного дифференциала каждой из них путем его
интегрирования:
" = Сх+ \ (to-dx + ljLdy + ^-dz) (uvw) A2 3). (9.34)
Формулы (9.34) позволяют определить составляющие переме-
перемещения и, v, w любой точки тела М при задании условий, обеспе-
обеспечивающих отыскание постоянных Си Са и С3. О таких условиях
говорится ниже. Криволинейные интегралы в формулах (9.34) бе-,
рутся между некоторой точкой тела Мо, о которой будет также
сказано ниже, и произвольной текущей точкой М по любому из
путей, располагающихся внутри тела.
Таким образом, для отыскания функций и, v и w использу-
используются функции (йх, (йу и (ог.
2. Условия интегрируемости уравнений F.27). Условия интег-
интегрируемости уравнений F.27) состоят в том, что должны быть
выполнены следующие соотношения, достаточные для того, чтобы
подынтегральное выражение в (9.34) было полным дифференциалом:
Символ \{хуг) uvw] показывает, что после получения трех равенств
вследствие циклической перестановки (хуг) над каждым из них
выполняется циклическая перестановка [uvw]-^ итого получается
девять равенств. Учитывая вид уравнений F.27), получим усло-
условия их интегрируемости, или, что то же самое, интегрируемости
уравнений (9.3), в развернутой форме:
да>у
дех
ду
1
2
дЧху
дх
ди>г
дх '
дгх
дг
1
2
<tyzx
дх
дх
3. Схема определения функций atx, (oy и а>г. Условия (9.35)
позволяют найти все частные производные функций ах, ау и шг,
по которым могут быть определены сами функции.
Указанные частные производные функций а>х, а>у и сог выра-
выражаются через известные функции ех, &у, ег, уху, ууг и yzx сле-
следующим образом:
дшх
дх
1 |
2 '
\ ду
дУху\
дг У>
д
дшу
дх
дгх
дг
1
2
дЧгх
дх
X
тгт^тг гУ (9'36)
Функции а>х, а>у и шг находятся путем интегрирования полных
их дифференциалов. Формулы для отыскания функций ах, ау

628
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ IX
и оаг в любой точке тела М, если заданы условия, позволяющие
найти постоянные интегрирования С4, Съ и Св, имеют следующий
вид:
Ш* = С«+ \ {^Tdx+-llirdy+4i-dz) (хуг)D5^. (9.37)
/Wq/W
4. Условия интегрируемости уравнений (9.36) и уравнений
(9.3). Условия интегрируемости уравнений (9.36), а следовательно,
и уравнений (9.3I), состоит в том, что должны быть выполнены
следующие очевидные соотношения:
~д.':\ ду)' дг
\ду )~ ду\ дг
ду[дх
или, учитывая вид (9.36), получим эти условия в развернутой
форме:
L О. (dJ±!L _ dHfl) — L ВИ2ш _
2Ту\ду ~ "^ ' *
2 дг \ ду
дг
дудх
2 ЗуЗг
2 дгду'
(ж у г)
(9.39)
Из девяти условий (9.39) существенно разных оказывается шесть.
После самых элементарных преобразований они приобретают
форму условий Сен-Венана (9.4).
Условия (9.4) являются необходимыми и достаточными усло-
условиями интегрируемости уравнений (9.3) при любой форме тела
(односвязной или неодносвязной). Полученные в результате интег-
интегрирования уравнений (9.3) функции в случае тел односвязных
могут рассматриваться как перемещения точек тела. В случае
же тел неодносвязных, для того чтобы функции, полученные при
интегрировании (9.3), являлись перемещениями, необходимо
удовлетворить еще некоторым условиям, о которых говорится
в § 9.7.
5. Резюме по определению функций (лж, (лу, <ог, и, v, w.
Подводя итог сказанному выше, можно указать следующий план
интегрирования уравнений (9.3).
Заданными должны быть функции гх, гу, ъг, уху, yyz и угх.
Кроме того, должны быть заданы условия, характеризующие
положение тела в пространстве как жесткого целого. Число таких
*) Поскольку, если известны функции со^, <оу и шг, то могут быть най-
найдены из (9.34) и F.27) и функции и, v и w.

f 9.6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КОШИ 629
условий равно числу степеней свободы твердого тела в простран-
пространстве, т. е. шести. Тогда намечается следующая последовательность
операций:
1. Находятся производные д<ох/дх, ..., да>г/дг по формулам
(9.36).
2. По формулам (9.37) находятся функции <ох, <оу и ю,. Посто-
Постоянные интегрирования С4, Съ и С6 отыскиваются нз трех (из общего
числа шести) условий, определяющих положение тела в простран-
пространстве как жесткого целого.
3. Находятся производные ди/дх, ..., dw/дг по формулам F.27).
4. По формулам (9.34) находятся функции и, v и w. Посто-
Постоянные интегрирования Clt C2 и Са отыскиваются из оставшихся
неиспользованными трех условий, определяющих положение тела
в пространстве как жесткого целого.
6. Условия для определения постоянных Ct, ...,Ce. Если нас ин-
интересуют не абсолютные, а относительные перемещения точек тела,
полностью определяющие его вид в деформированном состоя-
состоянии, достаточно произвести условную фиксацию положения тела
как жесткого целого в пространстве. С этой целью для произ-
произвольной точки Мо необходимо принять составляющие и, v и w пе-
перемещения и углы (?>х, (Ну, ш2 поворота, равными некоторым произ-
произвольно выбранным величинам
« = «„ , = ,0 w=w0,
Такое закрепление никак не стесняет деформацию. Если в (9.37)
и (9.34) начинать интегрировать от точки Мо, для которой за-
заданы (9.40), то, как легко установить,
Сохраняя одну и ту же систему координатных осей, связанную
с телом, и изменяя положение точки Мо, перемещение и поворот
в которой приняты для удобства равными нулю, всякий раз будем
получать свой собственный вид функций и, v и т. Однако раз-
размеры и форма тела, испытавшего деформацию, во всех вариантах
окажутся одинаковыми. Аналогична картина и в том случае, когда
точка Мо остается неизменной, а система координатных осей
изменяет свое положение относительно тела.
Разумеется функции и, v и w могут оказаться соответственно
одинаковыми при двух вариантах закрепления тела, если в этих
вариантах положение тела как жесткого целого относительно
системы осей получается одним и тем же. Так, например, если
два варианта закрепления реализуются путем принятия в точках

630
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
О и /Ио соответственно следующих условий:
<лх—0, ©0=0, щ—аТ, и — и0, v = v0, w — 0
и при этом аТ, «о и v0 такие же, какие возникают в точке Мо
в первом варианте закрепления. Другой пример: решая задачу
о перемещениях при воздействии на полосу растягивающих
Рис 9Л. Закрепление тела в пространстве как жесткого це-
целого, не стесняющее деформации тела.
а)
У
А В
6) \у
Ig^jfcj*— в
в) |
: —
У
А А\
\ Ы
¦
X
3
Рис. 9.8. Варианты закрепления тела как жесткого целого прн определении перемеще-
перемещений: а) тело и действующие на него силы; б) первый вариант закрепления; в) второй
вариант закрепления.
сил, можем в одном случае считать неподвижной относительно
системы координатных осей точку А (рис. 9.8, б), тогда функции
перемещений и и v будут такими, при которых точка В полу-
получает перемещение вдоль оси х, а точка А не перемещается.

S 9.6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КОШИ " 631
В другом случае можем считать неподвижной относительно
системы координатных осей точку В (рис. 9.8, в), тогда функции
и и v будут иными по сравнению с первым случаем, и на осно-
основании этих функций получим, что точка В неподвижна, а точка А
переместится вдоль оси х влево. Аналогично можно было бы
рассмотреть и другие случаи условного закрепления тела.
Во всех этих случаях функции и и- v оказываются различными,
хотя форма и размеры деформированного тела совершенно оди-
одинаковы.
7. Схема интегрирования уравнений (9.3) без определения <ах,
©у и <дг. Интегрирование уравнений Коши можно осуществить
и не используя функций ах, щ и аг; при этом производные функ-
функций и, v и w, входящие в формулы (9.34), выражают непосред-
непосредственно через известные функции rx, ву, ег, ..., угх. Покажем,
как это делается.
Соединим с телом систему координатных осей и зададим поло-
положение тела как жесткого целого относительно этой системы осей
следующим образом:
при х=у=г=0
ди
ду~
(ди\
У»-
V
ди
дг
= fo,
(ди\
~\дго'
и
dv
дг
(до\
{дг к
I. Определение перемещений начнем с функции и:
) (9.41)
м,м
ди ди ди л_
Выразим производные ^, щ и ^ через заданные функции
2. Производная ди/ду представляет собой некоторую функцию
координат х, у, г; для отыскания этой функции поступим ана-
аналогично тому, как поступали при отыскании функции и:
ди /ди\ , С Jdu\ (ди
Таким образом, для отыскания функции ди/ду необходимо вы-
выразить ее производные по х, у и z через заданные функции

632
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГГЛ. IX
«*> ¦¦¦ > Угх- Произведем эту операцию:
I? (ди\ д (ди
дх \ду) ду \дх
д /ди\ д
'
дг
-ту
dv\
д ldv
д (ди
ду
д
дх \ду,
dv
ду
духу
' Л» I Ai / Qg \ixy ()xj Qg
д I dw\ духу ду
дх ууг ду) ~~ дг д.
д I ди\ духу дууг
Уху
~~ЬТ'
д (ди
г
д fdw
(9.43)
дугх _ д (ди\
ду дг\ду/'
В полученном равенстве и в левой и правой частях содержится
искомая производная Y\di' ^ешая эт0 уравнение относительно
указанной производной, получим
д (ди\
духу - дууг дугх
дг дх ' ду
Таким образом, найдены все три производные з-(зЧ, з~(д") и
(j^J, зная которые, из (9.42) находим ди/ду.
3. Производная ди/дг находится аналогично производной ди/ду:
д (ди
ди
дг
ди\
дг
. д (ди\ д (ди
а> дх\Тг -дг[дх
~Ъ7
ду\дг) - дг\ду
Так как производная ди/ду выше уже определена (выражена
через известные функции ех, ..., угх), можно считать, что опре-
определена и производная д-(д^),
, д (ди\ д ( dw\ ду,х д (dw\ ду,ж дг, *
В) lf\-g-j = а" [Угх — ¦§-) — -JT- — 3^( я^) = -*§*¦ — 3^- ТаКИМ
л " о д (ди\ д (ди\ д (ди\
образом, найдены все три производные ^(gj), ]f{~§~) и Эг\5г);
зная их, из (9.44) определяем ди/дг.
Имея производные ди/дх, ди/ду и ди/дг, по формуле (9.41)
находим функцию и.

§ 9.6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КОШИ 633
II. Определение функции v осуществляется аналогично отыс-
отысканию и:
p = pe-j- \ dv = Vn-\- \ (а~ dx-\-д-dy-\--^- dz). (9.45)
J j V"-* ду дг /
j do ди
Учитывая, что производная ди/ду уже определена при отыска-
отыскании функции и, можно считать, что и производная dv/dx найдена.
2- ? = V
ду у
3. Производную dv/dz приходится искать подобно тому, как
искались производные ди/ду и ди/дг:
dv [до\ ,
.(dv
а> ±(?\±(\
л> дх\дг) ~ дг\дх}-
Учитывая, что производная dv/dx выше уже найдена, можно
д (dv\
считать, что и производная =-(=-) известна;
д /dv\ д /dv\ деу
® ) [
ду \ Тг) Тг [ду/ = Ж:
д /dv\ __ 5 / дш\ ау^г 3 /аш\ Зу^г дег
В> Ш\Ш)=^Тг[Ууг~ду~) = ~дТ~~ду'\^):=1)Г~~ду~-
Таким образом, найдены все три производные з- (j-j, ¦=- (if
и -a-f^j, зная которые, из (9.46) находим dv/dz. Имея производ-
производные dv/dx, dv/dy и dv/dz, по формуле (9.45) находим функцию v.
III. Аналогично функциям и к v находим функцию w:
Зм о dw dv о dw
Производные du/dz и 5и/3г выше найдены. Легко заметить, что
наиболее трудоемким было определение первого компонента пере-
перемещения и наименее трудоемким определение последнего компо-
компонента. Объясняется это тем, что в последнем случае многие про-
производные выражаются через ранее найденные.
Как видно из изложенного выше, интегрирование уравнений
Коши всегда сводится к квадратурам, и, таким образом, можно
считать, что оно выполнимо всегда.

I
634 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
§ 9.7. Решение прямой задачи полуобратным методом
Решение прямой задачи теории упругости представляет значи-
значительную трудность. Тем не менее на сегодня известно решение
ряда важных классов задач; к числу их относятся: плоская задача,
осесимметричная задача, задача для слоя, полупространства и
другие. Во всех упомянутых классах задач, в каждом конкретном
случае остается лишь вычислительная работа (правда, порою
далеко не простая), принципиальные же сложности проблем пре-
преодолены.
Число решенных задач из года в год увеличивается, однако
еще нельзя решить (довести до отыскания функций в общем виде)
любую задачу теории упругости, пользуясь указанными выше
путями решения. В ряде случаев удается получить решение пря-
прямой задачи теории упругости так называемым полуобратным
методом, впервые примененным Сен-Венаном. Коротко изложим
сущность этого метода. Ниже этим методом решен ряд задач, где
обнаруживаются некоторые особенности метода,, о которых в дан-
данном параграфе говорить преждевременно. С целью придания
методу в каком-то смысле алгоритмичности, рассматриваются
четыре этапа решения задачи этим методом. Такая схема не пре-
претендует на универсальность, хотя все известные автору решения
задач теории упругости полуобратным методом хорошо вписы-
вписываются в рамки этой схемы.
На первом этапе, желая упростить решение системы
уравнений теории упругости, часть искомых функций стараются
«угадать», при этом система уравнений упрощается, так как в ней
искомыми оказываются только остальные неизвестные функции.
Конечно, угадать в полном смысле этого слова искомые функции
невозможно. В основу такого априорного выбора функций должны
быть положены те или иные соображения. Обычно, если решается
такая задача, которая могла бы быть решена при упрощенном
подходе и в элементарной теории (например, в сопротивлении
материалов), то некоторые из искомых функций могут быть взяты
из упомянутого элементарного решения. Если решается задача,
которая не может быть решена средствами элементарной теории,
то в основу априорного выбора некоторых функций кладутся те
или иные умозрительные соображения или в ряде несложных
случаев удается использовать теорию размерностей х). В качестве
иллюстрации такого выбора функций приведем следующий пример.
*) Теория размерностей позволяет определять структуру формул для неко-
некоторых физических величин, относитетьно которых известно, от каких других
физических величин они зависят, при условии, что коэффициенты, входящие
в формулу, безразмерны.
Классическим примером может служить установление вида формулы для
Т—периода колебаний математического маятника, если считать известной

РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ПОЛУОБРАТНЫМ МЕТОДОМ
635
Рис. 9.9. Сила, действующая на
кромку полубесконечной пластины.
Пусть имеется тонкая полубесконечная пластина с прямоли-
прямолинейной кромкой, на которую действует сила Р, распределенная
равномерно по толщине пластины (рис. 9.9). Если рассматривать
вблизи точки С площадку, нормальную к поверхностям пластины
и нормальную к радиусу г = ОС, то можно предположить с доста-
достаточным основанием, что нормальное напряжение на этой площадке
аг является сжимающим (знак минус),
пропорциональным силе Р (коэффи-
(коэффициент пропорциональности обозначим
k), обратно пропорциональным рас-
расстоянию точки С от точки О (естест-
(естественно, что в точке С\, более удален-
удаленной от места приложения внешней
силы Р, напряжение аг меньше, чем
в точке С). Кроме того, можно дога-
догадаться, что на площадках, равноуда-
равноудаленных от точки О, лежащих на ци-
цилиндрической поверхности с центром
в точке О и радиусом, равным г, нап-
напряжения различны: на площадке, рас-
расположенной на вертикали силы Р (вблизи точки А), напряжение
больше, чем на площадке, нормаль к которой составляет угол д
с указанной вертикалью, и при этом с увеличением угла д напря-
напряжение аг уменьшается. Высказанные догадки о характере функции
можно выразить аналитически следующим образом:
а, =-Л-?-/(*),
где под f(p) подразумевается функция, уменьшающаяся с увеличе-
увеличением Ф от 0 до я/2. Одной из таких функций является cos Ф, по-
поэтому мы вправе предположить, что функция аг имеет следующий вид:
а, = -?-?-cos д. (9.47)
Конечно, приведенные выше соображения не могут гарантиро-
гарантировать того, что принятая функция описывает действительный ха-
характер распределения компонента напряжения аг. Однако
в качестве первого предположения функции аг может быть придан
следующую информацию: 1) Т вависит от / — длины маятника в g — ускоре-
ускорения силы тяжести. 2) Коэффициент, входящий в формулу для Т, безразмерный.
При таких условиях, учитывая, что Т имеет размерность времени, единствен-
единственной формулой для Т, удовлетворяющей тому условию, чтобы и у выражения
в правой ее части размерность была бы такой же, является формула
Л. И.
r-ftl/ 4-.
Подробно о теории размерностей говорится в монографии Седова Л. :
Методы теории размериостей и теории подобия в механике, «Наука», 1970.
иштес
ЧОПОХВА
ОСХОРКк
ОСКОРКК

636 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ IX
указанный вид. Далеко не всегда удается путем такого рода
рассуждений установить предполагаемый вид искомой функции.
В тех случаях, когда этого не удается сделать ни для одной из
искомых функций, от применения полуобратного метода Сен-Венана
приходится отказываться. Нельзя не отметить и то, что во многом
удачность выбора функции зависит от интуиции и опыта исследо-
исследователя. Поэтому применение полуобратного метода Сен-Венана
на первом этапе требует индивидуального подхода, искусства и не
может быть выполнено по шаблону. Первый этап в этом смысле
представляет собой наиболее сложную часть решения задачи.
На втором этапе производится проверка удовлетворения
принятыми на первом этапе функциями основным уравнениям теории
упругости — равновесия и совместности деформации. Выясняется,
каким требованиям при этом должны удовлетворять остальные,
пока не известные функции. Проверяется, не являются ли эти тре-
требования противоречащими друг другу. Если обнаруживается такое
противоречие или если непосредственно выясняется невозможность
удовлетворить основным уравнениям теории упругости выбранными
на первом этапе функциями, то это свидетельствует о внутренних
противоречиях в указанной системе функций. С механической точки
зрения это означает, что выбранной на первом этапе решения задачи-
системе функций невозможно поставить в соответствие какое-либо
мыслимое напряженно-деформированное состояние тела в рамках
соблюдения его сплошности (в процессе деформаций) и равновесия.
Если основные уравнения теории упругости удовлетворены
функциями, принятыми на первом этапе решения задачи, и выяв-
-лены условия, накладываемые на остальные не известные еще
функции, то на этом второй этап решения задачи заканчивается.
В таком случае приходим к выводу, что напряженно-деформиро-
напряженно-деформированное состояние тела, соответствующее выбранным на первом этапе
функциям, возможно с точки зрения теории упругости. В против-
противном случае приходится либо отказываться совершенно от функ-
функций, принятых на первом этапе, и начинать поиск заново, либо
вносить коррективы в функции, обеспечивая возможность удовле-
удовлетворения ими основным уравнениям теории упругости.
После того как удастся удовлетворить выбранными функциями
основным уравнениям теории упругости, переходят к третьему
этапу решения задачи.
На третьем этапе выясняется, соответствует ли мысли-
мыслимое с точки зрения теории упругости напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное состояние тела, изученное на первом и втором этапах, тем
объемным силам и граничным условиям, которые заданы в качестве
условий задачи. Не исключена возможность того, что принятые
на первом этапе функции при проверке их на втором этапе удовле-
удовлетворяют всем требованиям теории упругости, т. е. они описывают
.мыслимое напряженно-деформированное состояние, но это напря-

$ 9.8] РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМЫ СОБСТВЕННЫМ ВЕСОМ б37
женно-деформированное состояние соответствует не тем условиям,
которые даны в задаче (не тем граничным условиям), а каким-то
другим. Если на третьем этапе обнаруживается, что выбранным
ранее функциям соответствуют условия (граничные условия) именно
решаемой задачи, на этом третий этап решения заканчивается.
Если же оказывается, что выбранные ранее функции являются
решением какой-то другой задачи (т. е. им соответствуют какие-то
другие граничные условия), то выясняется, в чем состоит разница
между этой иной задачей и той, которая подлежит решению. В неко-
некоторых случаях разница такова, что с нею можно примириться,
в некоторых же случаях разница оказывается существенной и с нею
мириться нельзя. Критерием для суждения об этом в известной
мере могут послужить соображения, изложенные в следующем пара-
параграфе. Если обнаруженное отличие решаемой задачи от той, реше-
решением которой являются выбранные ранее функции, оказывается
недопустимым, приходится возвращаться к предыдущим этапам
либо начинать все снова, делая новые попытки предугадать реше-
решение, либо опять вносятся такие коррективы в выбранные функции,
при которых, не нарушая удовлетворения условиям теории упру-
упругости (совместность деформаций и равновесие), оказывается воз-
возможным точно или с допустимым отклонением удовлетворить гра-
граничным условиям задачи.
Может возникнуть и такая ситуация, при которой в резуль-
результате третьего этапа решения задачи происходит не удовлетворе-
удовлетворение, а лишь упрощение граничных условий. Такой случай может
встретиться тогда, когда на четвертом этапе предстоит решать
дифференциальное уравнение или систему таких уравнений. При
этом на четвертом этапе приходится решать краевую задачу, но
более простую, чем исходная краевая задача.
После удовлетворения изложенным выше требованиям третьего
этапа переходят к последнему, четвертому этапу, на кото-
котором производится решение системы уравнений, полученной в резуль-
результате упрощения, связанного с тем, что некоторые из искомых
функций ранее уже так или иначе найдены. Чем больше число
функций удается выбрать предварительно, тем проще оказывается
та система уравнений, решение которой остается выполнить на
четвертом этапе. Полученное таким образом решение является
искомым, что следует из теоремы о единственности решения.
§ 9.8. Растяжение призмы (цилиндра)
под влиянием собственного веса
Имеется цилиндр, ось которого расположена вертикально.
Верхним своим основанием цилиндр закреплен (предварительно
детальных указаний о характере закрепления не делается).
Цилиндр считается весомым. Объемный вес материала у. Под

638
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
влиянием собственного веса цилиндр испытывает деформацию и
в нем возникают напряжения. Требуется найти все функции,
характеризующие напряженно-деформированное состояние цилин-
цилиндра, и перемещения его точек и проанализировать форму, кото-
которую приобретает цилиндр в результате деформации.
Свяжем с цилиндром систему координатных осей так, как это
показано на рис. 9.10. L—длина цилиндра, г и Ь — полярные
координаты точки контура основания. Решение задачи будем вести
полуобратным методом Сен-Венана.
В)
Рис. 9.10. Цилиндр, растягиваемый собственным весом; а) путь ннтегрировання(М0ЛО
при определении составляющих и, v н w перемещения точки М; б) форма круглого
цилиндра, полученная в результате деформации; в) характер закрепления верхнего ос-
основания цилиндра (точки на контуре свободно перемещаются в его плоскости).
Первый этап. Воспользуемся решением этой задачи, полу-
полученным средствами сопротивления материалов (§ 2.15). В соответ-
соответствии с этим решением компоненты напряжении
= ои = тхи = тиг = тгх = 0, ог = уг. (9.48)
Хху
уг
Второй этап. Коль скоро функции ах, ..., хгх представ-
представляют собой алгебраические функции степени не выше первой,
условия совместности деформаций тождественно выполняются и
задача, таким образом, является простейшей. Остается проверить,
удовлетворяют ли функции (9.48) уравнениям равновесия.
Учтем, что в принятой системе координатных осей составля-
составляющие объемной силы следующие:
Х = У = 0, Z = — y. (9.49)
Подставляем функции (9.48) и (9.49) в уравнения равновесия (9.1);
получаем
0 = 0, 0 = 0, y-y = 0.

S 9.8] РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМЫ СОБСТВЕННЫМ ВЕСОМ 639
Иными словами, функции (9.48) удовлетворяют и уравнениям рав-
равновесия и, таким образом, с точки зрения теории упругости воз-
возможны.'
Третий этап. Проверяем, выполняются ли граничные усло-
условия задачи в случае использования функций (9.48). Из сделанной
выше постановки задачи ясно, что по нижнему основанию и по
боковой поверхности не должны действовать поверхностные силы;
что же касается верхнего основания цилиндра, то к нему не
предъявлено никаких требований, и мы можем считать, что на
этой части поверхности цилиндра граничные условия могут быть
такими, какими они получатся, исходя из функций (9.48).
Проверяем нижнее основание, для которого г = 0. Направля-
Направляющие косинусы нормали к площадке, расположенной в нижнем
основании, следующие:
/ = т = 0, п = —1. (9.50)
Подставляя (9.48) и (9.50) в условия на поверхности (9.2), полу-
получаем
Pvx = 0, рчу = 0, рчг = yz (— 1 )|г_о = 0.
Рассмотрим боковую поверхность. Направляющие косинусы
нормали к площадке, расположенной на боковой поверхности ци-
цилиндра, следующие:
Z = cos#, т = cos (я/2 - §) => sin О, п = 0. (9.51)
Подставляя (9.48) и (9.61) в условия на поверхности (9.2), полу-
получаем
Pvx = 0, pvy =» 0, pV2 =» 0.
Таким образом, если исходить из функций (9.48), то на боковой
поверхности цилиндра, как то и должно быть по условию задачи,
поверхностные силы не действуют.
Коль скоро не было сделано ограничения, касающегося гра-
граничных условий на верхнем основании цилиндра, на этом третий
этап решения задачи можно было бы и окончить. Однако поинте-
поинтересуемся, каков закон распределения напряжений по верхнему
основанию цилиндра, т. е. по заделанному основанию.
Для этого учтем, что у точек верхнего основания цилиндра
z = L. Направляющие косинусы нормали к площадке, лежащей
в верхнем основании цилиндра, следующие:
/ = т = 0, п = 1.
Подставляя их и (9.48) в условия на поверхности (9.2), получаем
Pvx = 0, рчу = 0, pvz = yz • 1 \z_l = yL.

540 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
Таким образом, принятым функциям (9.48) соответствует такой
характер закрепления верхнего основания, при котором имеет
место равномерное распределение напряжений по селению за-
заделки.
Четвертый этап. Находим все остальные функции. Ком-
Компоненты деформаций определяем по закону Гука (9.5):
(9.52)
После отыскания функций гх, ..., угх переходим к определению
функций и, v и w из уравнений (9.3). Уравнения (9.3) с учетом
(9.52) приобретают следующий вид:
ди _ руг 5а цуг dw уг
Зи . ди n За . to n dw . ди n I V ¦ /
Проинтегрируем уравнения (9.53). Будем искать функции «, с
и w, исходя из предположения о том, что центр нижнего основания
не перемещается относительно начала координатных осей хуг,
т. е. что при x = y = z = 0
и = ыо = 0, v = vo=.0, ву = шо = 0. (9.64)
. Кроме того, будем считать, что точка призмы с координатами
х = у = 0, z = dz остается на оси z; это эквивалентно тому, что
элемент призмы, совпадающий с осью z вблизи начала координат
и имеющий длину dz, закреплен против поворота как относительно
оси х, так и относительно оси у. Таким закреплением из трех
возможных поворотов призмы как жесткого целого два поворота
(относительно осей хну) предотвращаются. Для предотвращения
поворота призмы как жесткого целого и относительно оси z будем
считать, что не перемещается и точка призмы с координатами
x = z — 0, y — dy. Это эквивалентно тому, что элемент призмы, сов-
совпадающий с осью у вблизи начала координат и имеющий длину dy,
не выходит из плоскости Oyz. Аналитически указанное закрепле-
закрепление элементов dz и dy выражается следующим образом: при х =
ди _ / ди \ _ q dv _(dv\u ди

9.8]
РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМЫ СОБСТВЕННЫМ ВЕСОМ
641
I. Определяем составляющую перемещения и. Формула (9.41
приобретает вид
йг.
(9.56)
6 0 б 0=0
ио = 0 на основании (9.54). Путь интегрирования от точки Мо@}
до точки М выберем по ломаной, показанной на рис. 9.10, а, т. е.
по г интегрируем при * = 0, у = 0, по у — при jc = 0 и по х инте-
интегрируем не фиксируя ни одну из координат.
1. Производную ди/дх находим непосредственно: .
aJ-8*- е • V-01*
2. Производную ди/ду находим по формуле:
ди С а / ди
~W ~ J ~дх\~ду,
о ' 6
Здесь учтено, что (ди/ду)о = 0 на основании (9.55). Путь интегри-
интегрирования от Мо @) до М выбираем тот же, как и при отыскании и.
Находим производные, входящие под интегралы в (9.58), по фор-
формулам (9.43):
д I ди\ дгх
~дх~ \ду~) = ~ЬТ
а /ди
<9-58>
д /ди
~дг
ду
дУху
дх
(9.59>
Учитывая (9.59), получаем из (9.5'8)
ди
= 0.
(9.60}
3. Аналогично, учитывая, что (ди/дг)о = 0 согласно (9.55), на-
находим ди/dz по формуле:.
х и г
дЦ^ [ _д_(Иа)
дг ) дх [дг ) '
Для отыскания ди/dz по (9.61) определяем производные, входя-
входящие под интегралы,
J_(du\ дгх цу
дх\дг)~ дг ~ Е '
ж
дг \дг
= |г(-^) = 0 (учтена формула (9.60)),
—г--0-
дг
21 А. П. Филин - 1568

642
Отсюда
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ди
Ж
-Jtt- в-
Подставляя (9.57), (9.60) и (9.62) в (9.56), получим
[ГЛ. IX
(9.62)
Е '
II. Определяем составляющую перемещения v. Формула (9.45)
приобретает вид
_odz.
Здесь учтено, что vo = O согласно (9.54).
1. Находим производную dv/dx:
-%- — Уху — -д- = ® (учтена формула (9.60)).
2. Производную dvfdy находим непосредственно:
ду ~е» E ¦
(9.63)
(9.64).
(9.65)
3. Производную dvldz получаем, учитывая, что согласно (9.55)
Э) О
о
Находим производные, входящие под интегралы в (9.66):
д I dv \ де.и
~§у \ЬТ) дг
дг\дг)~ дг ду ~ '
Имея производные, находим dvldz из (9.66):
и
dv i
(9.67)

§ 9.81 РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМЫ СОБСТВЕННЫМ ВЕСОМ 643
Учитывая (9.64), (9.65) и (9.67), на основании (9.63) получаем
V — — \-Ч^\ .йу—\Чг- _dz=- — -
III. Определяем составляющую перемещения w, учитывая, что
согласно (9.54) шо = О,
ш'\
дш
х<=0
dw
-8
dz.
Находим производные, входящие под интегралы в (9.68).
1. Учитывая (9.3N, (9.52N и (9.62), получим:
dw
ди
Е '
2. Учитывая (9.3)8, (9.52M и (9.67), получим
3.
dw dv
Е '
dw уг
Подставляя (9.69), (9.70) и (9.71) в (9.68), будем иметь
dz =
(9.68>
(9.69>
(9.70>
(9.7
о
х = 0
г
С VZ
т
Итак, три искомые функции и, v и w имеют следующий вид:
Имея функции (9.72), можем проанализировать форму деформиро-
деформированной призмы. Для конкретности будем считать, что призма
представляет собой круглый цилиндр.
Проследим за тем, какую форму приобретут основания цилиндра
и его поперечные сечения. Начнем с нижнего основания. Перво-
Первоначальное уравнение этого основания г= 0, так как основание
было плоским и проходило через начало координат. После де-
деформации уравнение основания приобрело вид
гт = B + йу)|г==0 = 1?(*2-т-4'2), (9.73}
т. е. нижнее основание стало параболоидальным. Поперечное
21.

644 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
сечение, удаленное на расстояние z = z* от начала координат,
имевшее уравнение
после деформации приобретает вид, характеризуемый уравнением
г1 = (г + ®) \г=г* — 2* + ^г [|Х (Х2 + у2) + (Z*J].
Если рассмотрим точку А, лежащую на оси цилиндра в ука-
указанном поперечном сечении, то аппликата ее в результате пере-
перемещения станет равной
.-« . УB*)а
2 "!~ 2? '
Второй член показывает перемещение точки Л цилиндра вдоль
его оси. Легко заметить, что по мере удаления от начала коорди-
координат перемещения вдоль оси z точек, лежащих на оси цилиндра,
увеличиваются пропорционально квадрату расстояния от начала
координат. Центр сечения, отстоящего от начала координат на
расстояние г*/2 (точка В), перемещается вдоль оси цилиндра
в четыре раза меньше, чем центр сечения, отстоящего от начала
координат на расстояние г* (точка А).
Функция (9.72) показывает, что все поперечные сечения
искривляются, и точки сечений, плоских до деформации, ложатся
на поверхность, представляющую собой параболоид.
Верхнее основание приобретает форму, характеризуемую урав-
уравнением
z.1 = (z-\-w) \Z—L — L-\--?g[\i(x*-}-y2)-\-IJ].
Проследим за тем, какой станет боковая поверхность призмы.
Уравнение образующей цилиндра до деформации * = **; у = у*г
если учесть, что
имеет вид
х = х*. у = Уг2-(х*J.
После деформации уравнение этой образующей в параметрической
форме приобретает следующий вид:
— v* —JiVflfL
(9.74)

$ 9.8] РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМЫ СОБСТВЕННЫМ ВЕСОМ 645
Из формул (9.74) видно следующее:
1. Образующая цилиндра в процессе его деформации остается
прямой (функции *! и ух линейны относительно г).
2. Нижний конец образующей сохраняет свои координаты
вдоль осей хну: при z = 0 * = **, y = y*—Vr% — (**J> т. е.
нижний конец образующей перемещается лишь вдоль оси z на
величину
gg [(*•)¦+ !/>«-(*•)«]. (9.75)
Формула (9.75) получена из (9.72).
3. Точки образующей, перемещаясь, остаются в диаметральной
(осевой) плоскости, проведенной через первоначальное положение
образующей. Это легко установить. Рассмотрим точку, лежащую
на образующей (х*, у* =]/г/-2 — (х*J, г*), перемещения этой
точки вдоль осей х и у суть:
u = — №-x*z*, о = — №¦ у*г* - — Ц z* У г* - (л:*J, (9.76)
отношение их
Щ> *.*
и . Е Х Z х*
равно отношению первоначальных координат точки. Этим доказы-
доказывается сделанное выше утверждение о том, что образующая в про-
процессе деформации остается в диаметральной плоскости цилиндра,
проведенной через первоначальное ее положение. Таким образом,
в процессе деформации цилиндра цилиндрическая боковая поверх-
поверхность превращается в коническую.
Если рассматривать произвольную прямую, параллельную
оси цилиндра и лежащую внутри него, то в процессе деформации
и эта прямая ведет себя, аналогично образующей, т. е. остается
прямой, нижний ее конец не перемещается вдоль осей х и у
(имеет перемещение лишь вдоль оси г) и в деформированном
цилиндре эта прямая остается в диаметральной (осевой) плоскости,
проведенной через первоначальное ее положение. Иными словами,
любая цилиндрическая поверхность, лежащая внутри цилиндра
и коаксиальная боковой его поверхности, в процессе деформации
превращается в коническую. Учитывая, что все сдвиги равны
нулю, волокна (в том числе образующие), параллельные до дефор-
деформации оси цилиндра, остаются нормальными к поверхностям (пара-
(параболоидам), в которые превращаются первоначально плоские попе-
поперечные сечения.

646 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
Если длина цилиндра равна Lap = E/\ny, то, как следует из
<9-76>' '
т. е. точки верхнего основания, лежащие на наружной поверх-
поверхности, окажутся на оси —верхнее основание цилиндра стянется
в вершину конуса. Чем менее жесток материал цилиндра и чем
больше его объемный вес, а также коэффициент Пуассона, тем
меньшей оказывается длина Lnp, т. е. тем большим оказывается
угол при вершине конуса. Следует, однако, заметить, что при
таких больших перемещениях нельзя пользоваться линейными
уравнениями (9.3), справедливыми лишь для малых перемещений.
Если же воспользоваться для решения этой же задачи нелиней-
нелинейными уравнениями, то результат получится иным, соответствую-
соответствующая ему форма, которую приобретает цилиндр в результате дефор-
деформации, окажется значительно более сложной, чем конус с вершиной.
3. Найденные выше функции и, v и w полностью характери-
характеризуют форму деформированного цилиндра, но не позволяют судить
о положении его в пространстве. Для охарактеризования этого
положения нужно иметь данные о действительном закреплении
цилиндра в пространстве.. Если цилиндр закреплен так, что
точки, лежащие на наружной окружности верхнего основания,
не имеют вертикального перемещения (в плоскости основания
они перемещаются, оставаясь на окружности и приближаясь
к оси, т. е. располагаются на окружности меньшего радиуса,
чем первоначальная), то весь цилиндр, сохранив форму, рассмот-
рассмотренную выше, опустится так, что центр нижнего основания полу-
получит вертикальное перемещение
Закрепление верхнего основания цилиндра, соответствующее
обсуждаемой картине перемещений, можно интерпретировать сле-
следующим образом.
Все точки верхнего основания подвешены к пружинам, жест-
жесткости которых подобраны так, что эти точки, перемещаясь, зани-
занимают положение на поверхности, показанной на рис. 9.10, в (при
этом натяжение всех пружин оказывается одинаковым). Пружины,
к которым подвешены точки, лежащие на граничной окружности
верхнего основания, можно трактовать как бесконечно длинные
нерастяжимые нити. Таким образом, полученное элементар-
элементарное решение и соответствующая ему картина деформаций отно-
относятся лишь к строго определенному частному виду закрепления
верхнего основания. Если закрепление верхнего основания
цилиндра таково, что все его точки не могут иметь никаких
перемещений, решение имеет другой вид и составляющие переме-
перемещений гораздо более сложные функции, чем (9.72).

t 9.9J
ЕШЕ О ПРИНЦИПЕ СЕН-ВЕНАНА
647
§ 9.9. Еще о принципе Сен-Венаиа
Сущность принципа Сен-Венана пояснена в § 2.7. Принцип
был сформулирован Сен-Венаном первоначально для призм1):
«Способ приложения и распределения сил по концам призмы
безразличен для эффектов, вызванных на остальной длине, так
что всегда можно. с достаточной
степенью приближения заменить
силы статически эквивалентными
силами, т. е. имеющими тот же
полный момент и ту же равнодей-
равнодействующую, но с распределением
в точности таким же, какое тре-
требуют формулы растяжения, изгиба
и кручения для того, чтобы быть
совершенно точными».
Позднее принцип Сен-Венана
распространили и на тела произ-
произвольной формы. Справедливо сле-
следующее утверждение.
Способ приложения и распре-
распределения сил в локальном участке
тела безразличен для эффектов,
вызванных ими в области, доста-
достаточно удаленной от места прило-
приложения нагрузки, так что можно
с достаточной степенью приближе-
приближения заменить силы статически им
эквивалентными силами, т. е. имею-
имеющими тот же полный момент и ту же
равнодействующую, но с распреде-
распределением в точности таким же, для
какого оказывается более простым
получение решения задачи. Следует,
однако, иметь в виду, что справед-
справедливость принципа Сен-Венана в
такой формулировке не доказана в общем виде и применять его
следует с осторожностью.
Вернемся к призме. На рис. 9.11 показаны три совершенно
одинаковые призмы, подвергнутые растяжению силами Р, прило-
приложенными на торцах, но по разным законам. Во всех трех случаях
нагрузки, действующие на торцах, статически эквивалентны (равно-
(равнодействующая каждой из них равна Р, а момент относительно
¦if-**
Рис. 9.11. К принципу Сен-Венана:
три варианта нагрузки, приложенной
к торцам; в каждом из вариантов ста-
статическим эквивалентом распределенной
нагрузки является Р EИ = 0V / — об-
область (в пределах фигурной скобки),
в которой во всех трех вариантах в со-
соответствующих точках (например, в
точках В) на соответствующих пло-
площадках напряжения практически оди-
одинаковы. В точках А на соответствую-
соответствующих площадках напряжение в каждом
нз трех вариантов существенно отли-
отличается от напряжений в двух других
вариантах.
1) De Saint-VenantB., Memoire sur la Torsion des Prismes. Memoires
des savants Strangers, XIV, p. 233—560, 1855.

648 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
центра тяжести площади торца равен нулю). Вид функций,
характеризующих распределение напряжений, в каждом из случаев
оказывается своим собственным; например, в случае a) ox = P]F,
в случаях б) и в) функция ах значительно сложнее и различна
в каждом из них. Однако, подсчитывая по этим различным
функциям величину напряжения ох в точке с одинако-
одинаковыми координатами во всех трех призмах а), б) и в), мы обна-
обнаружили бы, что в точке В, расположенной вдали от места
приложения нагрузки (не ближе, чем на расстояние d), ах
практически оказалось бы одинаковым. Это справедливо для
всей области, отмеченной сбоку фигурной скобкой. Вблизи же
места приложения нагрузки, например, в точке А, величина
напряжения ах, подсчитанная по функциям, соответствующим
каждому из случаев (а), б) и в)), оказалась бы существенно
отличной от двух других случаев.
К принципу Сен-Венана можно подойти путем использования
понятия самоуравновешенной системы сил. Рассмот-
Рассмотрим самоуравновешенную систему сил, приложенную к небольшой
области тела (рис.. 9.12). Легко понять, что от такой системы
сил напряжения возникнут практически лишь вблизи места при-
приложения нагрузки. Напряжения эти могут быть даже очень больши-
большими; если же удаляться от места приложения нагрузки, то уже
на небольшом от нее расстоянии эффект воздействия нагрузки
практически не будет ощутим, напряжения практически будут
равны нулю.
Можно сформулировать следующее положение. Есл"И к ло-
локальной области тела приложена самоуравнове-
самоуравновешенная система сил, то напряжения от этой
системы сил возникают практически лишь вблизи
места их приложения. Вне этой области эффект
такой системы сил практически равен нулю. Словом
практически подчеркивается, что речь идет не о точном соблю-
соблюдении равенства нулю напряжений. Если отыскать функцию axt
соответствующую случаю, изображенному на рис. 9.12, то она
не обращается в тождественный нуль и на значительном рас-
расстоянии от места приложения сил, но там она приобретает зна-
значения, очень в малой мере отличающиеся от тождественного
нуля. Отсюда легко перебросить мостик к тем рассуждениям,
которые приведены выше. Пусть имеем брус, растянутый силами Р,
которые приложены к торцам так, как это показано на рис. 9.13, а.
Пользуясь принципом независимости действия сил; »ту задачу
можем разбить на две задачи, показанные на рис. 9.13,6 и в;
сумма результатов этих двух задач дает нам искомое решение.
Но случай, изображенный на рис. 9.13, в, представляет собой
случай действия на тело системы самоуравновешенных сил;
эффект 6Y них ощутим лишь вблизи места их приложения

S 9.9]
ЕЩЕ О ПРИНЦИПЕ СЕН-ВЕНАНА
649
(в брусе —в районе торцов (где приложена нагрузка), определяе-
определяемом размером его поперечного сечения).
Таким образом, в области, отмеченной сбоку фигурной скоб-
скобкой, в случае в) напряжения практически равны нулю, и сум-
суммарные напряжения (случай на рис. 9.13, а) окажутся практи-
практически равными первому слагаемому, т. е. мы показали, что
Рнс. 9.12. Локальность эф-
эффекта действия на тело
самоуравновешеииой систе-
системы сил, приложенной к ло-
локальной области. [Рисунок
заимствован из книги Навье
«Resume des Iecons donnees
a l'ecole des ponts et chaus-
sees sur ['application de la
mecanique a f'etablis sement
des constructions et des ma-
machines». Premiere partie, pre-
premiere section p. 41, 1864.
Parl3.J
6) P
Л
¦LJ
о
Рис. 9.13. Локальность эффекта самоуравиовешеяной си-
системы сил, приложенной к торцу призмы: а) призма, за-
загруженная на торцах неравномерно распределенной на-
нагрузкой, статическим эквивалентом которой является
сила Р (Зй •» 0); б) первое слагаемое состояния призмы;
изображенной на рис. а) (в этом слагаемом статический
эквивалент нагрузки иа торце такой же, как и в случае,
показанном на рио. а); в) второе слагаемое состояния
призмы, изображенной на рис. а) (в этом слагаемом к
торцам приложена гамоуравиовешенная система сил);
/ — область, в которой в состояниях а) н б) напряже-
напряжения в соответствующих точках и площадках практиче-
практически одинаковы; 2 — облавть, в которой в состоянии
в) напряжение практически равно нулю.
в случаях а) и б) (см. 9ЛЗ) в средней области стержня напря-
напряжения практически по величине одинаковы. Напряжения отли-
отличаются лишь в той части стержня, в которой ощутимым оказы-
оказывается действие самоуравновешенной системы сил.
Можно пойти дальше простого использования принципа Сен-
Венана и, развивая основную его идею, сопоставлять по эффекту
действия два различных случая нагрузки не только по величи-
величинам статических (Р и Ш), но и сверхстатических величин.
В связи с этим вернемся еще раз к вопросу об относительном

650
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГГЛ IX
размере площадки, которую можно считать малой (локальной)
в принципе локальности действия самоуравновешенной системы
сил и, что то же самое, в принципе Сен-Венана.
Рассмотрим тонкостенный стержень, показанный на рис. 9.14.
Минимальным характерным размером поперечного сечения
является толщина пластин, образующих стержень; именно такие
линейные размеры должны быть у площадки, чтобы получить ее
той малости, какая подразумевается в формулировке принципа
Сен-Венана. Если же, подобно тому как это было сдельно для
сплошного стержня, считать за линейный размер площадки
в формулировке Сен-Венана размер порядка, например, ширины
Рис. 9.14. Порядок размеров пло-
площадки на торце тонкостенного
стержня, которую еще можно счи-
считать локальной в формулировке
принципа Сен-Венаиа или принци-
принципа локальности эффекта самоурав-
новешеииой системы сил, прило-
приложенной к локальной площадке.
Рис. 9.15. Пример случая, в котором площадку
(весь торец тонкостенного стержня) нельзя рас-
рассматривать локальной в формулировке принципа
Сен-Веиаиа, так как эффект самоуравновешенной
системы сил, приложенной к этой площадке, не
локализуется в малой области, а распростра-
распространяется на весь стержень.
полки, то две статически эквивалентные нагрузки вызовут раз-
различные эффекты, так как и самоуравновешенная система сил,
приложенная к такой площадке (в пределах площади попереч-
поперечного сечения), вызовет ощутимую деформацию и напряжения не
только вблизи места приложения нагрузки, но и на значи-
значительном от него расстоянии. На рис. 9.15 показан результат
действия на тонкостенный стержень системы самоуравновешен-
самоуравновешенных сил, приложенной в пределах всего поперечного сече-
сечения. Легко видеть, что действие такой системы не является ло-
локальным.
К вопросу можно подойти и иначе. Можно не ограничивать
жестко размер области, к которой прикладывается нагрузка,
заменяемая эквивалентной ей. Однако в таком случае жестче

ЕЩЕ О ПРИНЦИПЕ СЕН-ВЕНАНА
651
<0
A
следует подойти к эквивалентности, заменяющей нагрузки за-
заданной.
Если при малости загружаемой области, заменяя одну
нагрузку другой, для получения практической одинаковости
эффекта нагрузки достаточно считать их эквивалентными в ста-
статическом смысле (равенство равнодействующих и главных момен-
моментов; будем называть такую эквивалентность эквивалентностью
в смысле Сен-Венана), то с увеличением размеров загружаемой
области под эквивалентностью нагрузок, в различных ее вариан-
вариантах, обеспечивающей практическое равенство напряжений в соот-
соответствующих точках в большей части стержня, следует понимать
не только равенство равнодействующих
и главных моментов, но и равенство не-
некоторых обобщенных силовых характе-
характеристик, описывающих самоуравновешен-
самоуравновешенные системы сил. Например, для само-
самоуравновешенной нагрузки, показанной
на рис. 9.15, такой характеристикой
может послужить величина, называемая
бимоментом B — Pdh (это понятие вве-
введено В. 3. Власовым1)). Бимоменты в
сравниваемых нагрузках должны быть
одинаковыми, но осуществлены могут
быть различным образом, т. е. напряже-
напряжения, их образующие, могут быть рас-
распределены по разнообразным вариантам
(рис. 9.16).
Эквивалентность нагрузок, при ко-
которой требуют равенства равнодейст-
равнодействующей (или нормальной силы), глав-
главных моментов относительно главных осей
инерции поперечного сечения и равенства бимоментов, будем на-
называть эквивалентностью в смысле В. 3. Власова.
Аналогично можно говорить и о более жесткой (в смысле
близости) эквивалентности нагрузок друг другу, одновременно
увеличивая размеры загруженной области, которую еще можно при-
принимать в качестве малой в формулировках принципа Сен-Венана.
Пусть прямоугольная полоса рассматривается в двух состоя-
состояниях, в каждом из которых она загружена на длинных кромках
на некотором одинаковом в обоих состояниях участке, но при
различных законах распределения нагрузки. Предположим, что
каждую из этих нагрузок мы разложили в ряд по функциям
Ряс. 9.16. Нагруаки, эквива-
эквивалентные в сверхстатическом
смысле имеют одинаковую ве-
величину н бнмомента.
!) Власов Василий Захарович A906—1958)—советски* механик, автор
теории тонкостенных стержней открытого профиля и ряда важных работ по
теории оболочек.

652
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
Лежандра1). Если у нас в этих разложениях соответственно
одинаковы лишь коэффициенты при функциях нулевой и первой,
г) Функции Лежандра (сферические функции)—система ортогональных по
1 dn Нх^ ПЛ1
линомов, определяемых по формуле Рп (х) = ^щ ^ , — 1
и удовлетворяющих дифференциальному уравнению
при целочисленных значениях п. Приведем первые шесть полиномов Лежандра
и их графики:
График функции
+1
J
+1
-I
Pn(x)xdx
Я, (*)«=*
' F3*8_ 70r>+15*)
Jfflii
0
-7
0 id
м
¦чщр'
IV ж
Шпь. РЧ
1
р
Использование разложения функции, описывающей распределение нагрузки,
в ряд по функциям Лежандра удобно в том смысле, что первые два члена
(я=0 и п=\) дают для заданной нагрузки в точности статически ей экви-
эквивалентную. Все остальные члены— самоуравновешенные нагрузки (см. 3-й и
4-й столбцы приведенной здесь таблицы).

$ 9.10] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 653
что эквивалентно одинаковости равнодействующих нагрузок и
их моментов, то для использования принципа Сен-Венана учас-
участок загружения должен быть мал по сравнению с поперечными
размерами полосы и тем более по сравнению с ее длиной. Если
у двух сопоставляемых нагрузок одинаковыми оказываются коэф-
коэффициенты соответственно при функциях Лежандра с номерами
выше первого (до какого-то номера п), то нагрузки эквивалентны
не только в статическом смысле, т. е. не только в смысле Сен-
Венана, и тогда заменять одну нагрузку другой можно при
условии распределения ее на тем большей доле длины полосы,
чём больше п.
Отметим, что такое ужесточение требований, предъявляемых
к понятию эквивалентности нагрузок, приводит все к более близ-
близкому закону их распределения (в сопоставляемых случаях) в
связи с чем, естественно, ослабляется требование к размерам
площадки.
§ 9.10. Плоская задача теории упругости
1. Определение. Две разновидности плоской задачи.
1.1. Определение. Плоской задачей механики сплошной
среды и, в частности, теории упругости называется такая задача,
в которой напряженно-деформированное состояние тела во всей
области характеризуется функциями двух одних и тех же коор-
координат точек тела.
Имеется два случая, в которых возникает отмеченная выше
ситуация. В каждом из них и форма области, занятой телом, и
нагрузка, действующая на тело, удовлетворяют определенным
требования^.
1.2. Плоская деформация. Первый случай характерен
следующим. Тело имеет форму призмы (цилиндра) произвольного
поперечного сечения. Длина этой призмы бесконечна. Будем счи-
считать, что ось z направлена вдоль оси призмы или параллельна
ей, оси же х и у лежат в плоскости поперечного сечения призмы.
Учитывая расположение осей, укажем, что нагрузка, приложен-
приложенная к призме, должна удовлетворять следующим требованиям
= Л (л, W), / = / (л, Ы), i. ^з U, I
> (9 77}
P\x — Pvx (X t у )> Pvy — Pvy \x > У )> Р\г ^ u- /
Здесь x* и #* — координаты точек боковой поверхности призмы.
Иными словами, во всех плоскостях поперечных сечений эпюры
нагрузок одинаковы, но могут иметь произвольный вид. Вдоль
каждой образующей призмы интенсивности pvx и pvy распределены
равномерно. Вдоль каждой прямой, лежащей внутри призмы и
параллельной ее оси, каждая из интенсивностей X и Y также

654
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ IX
распределена равномерно. На рис. 9.17 изображены обсуждаемые
форма тела и вид нагрузки.
Из-за бесконечности длины призмы и характера приложенной
к ней нагрузки любое поперечное сечение призмы является плос-
плоскостью симметрии напряженно-деформированного ее состояния.
а)
Рис. 9.17. Условия возникновения плоской деформации.
Перемещение любой точки этого сечения, а следовательно, и
любой точки призмы (вследствие произвольности выбора сечения)
вдоль оси г равно нулю или, иными словами, поперечные сече-
сечения призмы, плоские до деформации, остаются плоскими и не
перемещаются как жесткое целое и в процессе деформации призмы.
Если выделить из призмы элемент двумя поперечными сечениями,
неходящимися одно от другого на расстоянии dz, и .приложить
к этому элементу, представляющему собой пластину, внешние
силы (X, Y, pvx, pvy; Z == О, pvz320), то под влиянием этих сил
вследствие эффекта поперечной деформации основания пластины
(поперечные сечения призмы) перестанут быть плоскими. Сопостав-
Сопоставляя работу этой пластины в составе призмы и самостоятельно,
убеждаемся, что в призме происходит стеснение деформации тех
пластин, из которых призма мысленно может быть составлена —
стесняются перемещения w (составляющая вдоль оси г):
Вследствие этого стеснения в каждом поперечном сечении воз-
возникают нормальные напряжения ах. Из-за равноправности попе-
поперечных сечений это напряжение от z не зависит:
о, = о,(х, У). (9.78)
Равноправность всех поперечных сечений призмы свидетельствует

J 910]
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
655
о том, что в призме не происходит сдвигов в плоскостях, парал-
параллельных Oxz и Оуг, т. е.
а следовательно, в соответствии с законом Гука и
Т„вшО,
т„,в*0.
Остальные компоненты напряжений, а также составляющие
перемещения, являются функциями лишь х и у:
ах(х, у),
оу(х, у),
1xy(X,,y),
и(х, у),
v(x, у).
(9.79)
Исходя из зависимости sz—.dw/dz, имеем ег==0. Наконец,
используя уравнения закона Гука и учитывая (9.78) и (9.79),
получаем
ех-ех(х, у),
= ?у(х, у),
, у).
Описанный в настоящем разделе случай плоской задачи назы-
называется задачей о плоской деформации. Происхождение названия
очевидно.
1.3. Обобщенное плоское напряженное состоя-
состояние. Второй случай, при котором мы также приходим к плоской
задаче, характерен следующим. Тело имеет форму пластины малой
постоянной толщины ? основанием произвольного вида.
Будем считать, что начало координат 0 расположено в любой
точке срединной плоскости пластины, ось z направлена перпен-
перпендикулярно к этой плоскости, а оси х и у лежат в ней. Нагрузка,
приложенная к пластине, должна удовлетворять следующим
требованиям:
Х=Х(дг, У),
у),
У*),
У*),
(9.80)
т. е. таким же требованиям, как в случае плоской деформации.
х* и у* в (9.80) — координаты точек, лежащих на кромке пластины.

656
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ IX
Иными словами, вся внешняя нагрузка лежит в плоскостях,
параллельных срединной плоскости пластины, и равномерно рас-
распределена по ее толщине. Распределение нагрузки
в плоскости пластины является произвольным.
На рис. 9.18 изображены обсуждаемые форма
тела и вид нагрузки. Отметим существенный факт:
рассматривая напряженно-деформированное состоя-
состояние пластины, вызываемое силами, лежащими
в ее плоскости, мы отвлекаемся полностью от воп-
вопроса о возможной потере устойчивости первона-
первоначальной плоской формы пластины.
Вследствие эффекта поперечной деформации
w Ф О и ухг Ф 0, ууг Ф 0. Однако величины w,
Ухг и Ууг не представляют практического интереса
и ими не занимаются. Основания пластины бла-
благодаря сделанному предположению о характере
нагрузки свободны от поверхностных сил; вслед-
вследствие этого и малости толщины пластины можно
полагать, что и на всех площадках внутри тела
пластины, параллельных наружным плоскостям (основаниям),
напряжения равны нулю:
Рис 9.18. Усло-
ВЦЯ возникнове-
возникновения обобщенного
плоского напря-
напряженного состоя-
состояния.
'.0.
(9.81)
Кроме этого, из-за той же малости толщины пластины, можно
считать, что напряжения и перемещения распределены равномерно
по толщине, т. е. не зависят от г:
ох = ах(х, у),
Оу = <Уу{Х, У),
xy = txy (X, у),
и = и(х, у),
v = v(x, у).
(9.82)
Наконец, исходя из уравнений закона Гука и учитывая (9.81) и
(У.82), получаем
ех = ех(х, у),
?у = ?у(х, У),
Уху = Уху (X, У).
Величиной ег, как и величинами w, ухг и yyz, интересоваться не
будем вследствие их несущественности в рассматриваемом случае.
Описанный в настоящем разделе случай плоской задачи называется
»адачей об обобщенном плоском напряженном состоянии. Обобщен-

9.101
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
657
ным оно названо потому, что произведен перенос фактов, харак-
характерных для бесконечно малой толщины пластины на пластины
конечной толщины (равномерность распределения ох, оу, хху, и и
v по толщине; равенство нулю az, xzx, xzy).
1.4. Сопоставление двух разновидностей пло-
плоской задачи. В табл. 9.1 производится сопоставление двух
случаев плоской задачи. В условиях плоской деформации нахо-
находится и призматическое тело конечной длины, если объемные силы
Рис. 9.19. Примеры сооружений и элементов конструкций, находящихся практически
в условиях плоской деформации,' а) подпорная стена; б) труба, уложенная в землю;
в) средняя часть трубы под железнодорожной насыпью; г) обделка тоннеля; д) плита
и поверхностные силы на боковой поверхности распределены сог-
согласно (9.77), а на торцах поверхностные силы равны: pv* = 0,
pvy = 0, pv2-oz = ix(ox + oy). Разумеется, плоскую деформацию
испытывает и призма, загруженная лишь на торцах поверхностной
нагрузкой аг = const. Примеры конструкций и сооружений, кото-
которые можно рассматривать находящимися в состоянии плоской
деформации, являются: подпорные стены, прямой трубопровод,
расположенный в земле, средняя часть водопропускной трубы
под насыпью, обделка тоннеля, плита перекрытия малого пролета
и большой длины в направлении поперек пролета (рис. 9.19).

658
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
Таблица 9.1
Плоская деформация
Обобщенное плоское
напряженное состояние
Форма тела
Нагрузка
Х~Х(х,у), У = У (х,у), 2 = 0,
= Pvx (х, у), pvy=pvy (х, у), р,гз0.
Основные поло-
положения, вытекаю-
вытекающие из постановки
задачи
Xzx ЕЕ 0, Хгу = О.
Остальные ком-
компоненты напря-
напряжения
(х, У),
у (х, У),
(х, у),
(х, У),
к=ах {х, у),
ч = ау (х, у),
, = тх1/ (х, у).
Остальные состав-
составляющие переме-
перемещения
и = и(х,у),
v(x,y).
U=U (At, у), V=V (ДГ, у),
W ф 0 (этой функцией не
интересуемся).
Остальные ком-
компоненты дефор-
деформации
У),
ех=?х(х, У),
еу=еу (х, у),
Уху^Уху (X, У),
(этими тремя
функциями не
Примечания.
Призма может быть и не бесконечной длины, но в случае конечной
длины к торцам призмы должны быть приложены нормальные силы, рав-
равные тем нормальным напряжениям аг, которые возникли бы в поперечном
сечении бесконечной призмы.
1. Несогласованность одновременного равенства нулю тгх и хгу, с од-
одной стороны, и неравенства нулю угх н угу, с другой,— результат обобще-
обобщения ситуации в бесконечно тонкой пластины на пластину конечной толщины
и связанного с этим обобщением внесения элемента приближенности теории.
2. Возможная потеря устойчивости пластины исключается из рассмот-
рассмотрения.

$ 9.10]
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
659
В условиях обобщенного плоского напряженного состояния
работают, например, такие элементы как балки-стенки (рис. 9.20),
т. е. балки прямоугольного сечения при малом отношении L: h,
не позволяющем применять элементарную
теорию.
Если на пластину действует нагрузка,
и поперечная и лежащая в ее плоскости,
и при этом пластина достаточно жест-
жестка—перемещения ее из плоскости (про-
(прогибы) малы по сравнению с толщиной, то
можно воспользоваться принципом неза-
независимости действия сил. Отдельно рас-
рассматривается работа пластины на попе-
поперечную нагрузку, вызывающую ее изгиб,
и отдельно —на нагрузку, лежащую в ее
плоскости. Под влиянием этой последней
нагрузки возникает изучаемое в настоя-
настоящем параграфе обобщенное плоское напря-
напряженное состояние. Если же пластина не-
недостаточно жестка (такую пластину назы-
называют гибкой), то к ней применять принцип
независимости действия сил нельзя, и приходится рассматривать
совместно работу на поперечную нагрузку и на силы, располо-
расположенные в плоскости пластины.
2. Основные уравнения плоской деформации.
2.1. Закон Гука. Из условия ег = 0 и уравнения (9.5K
Рве 9.20. Пример конструк-
конструкции, находящейся в усло-
условиях обобщенного плоского
напряженного состояния —
балка-стенка.
поскольку Е Ф со, имеем
откуда
(9.83)
Подставляя (9.83) в первые два уравнения закона Гука, найдем
Введем обозначения:
Е _F ц _
Тогда уравнения (9.5)li2 для плоской деформации примут вид
1 ,
(9.84)

660 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
Уравнение закона Гука (9.5L сохраняется
Т^-^Г12^. (9-85)
Докажем тождество
2A4-^) ..2A4-Ц)
Е,, ~ Е '
Преобразуем выражение в левой части:
М-)) 2 2
Тогда уравнение (9,85) можно записать так:
Где» — ?l х*0»
т. е. выразить его через те же две постоянные Ех и (ilt которые
вошли в (9.84). Последние два уравнения — (9.5)s,e в силу усло-
условий т^гЕ=0, тг* = 0 не рассматриваем.
2.2. Дифференциальные уравнения равновесия.
Уравнения (9.1) в рассматриваемом случае принимают вид
до* дти* дх дв
+ +x0
Третьи члены в первых двух уравнениях (9.1) обращаются в нуль
поскольку хгх s= 0 и хгу ?= 0. Третье уравнение равновесия выро-
выродилось в равенство 0 = 0 вследствие того, что ххг е= 0, хуг = 0,
аг = аг(х, у), т. е. не зависит от г и, наконец, вследствие того,
что Z = 0.
Условия равновесия на поверхности (9.2) (уравнения равнове-
равновесия элементарного тетраэдра) приобретают вид
(9.88)
Последние члены в первых двух уравнениях (9.2) не вошли
в (9.88), так как тглгг=0 и тг|,г=0; последнее уравнение приоб-
приобрело вид 0 = 0, так как ххг == 0, хуг hs 0; направляющий косинус
нормали к элементу боковой поверхности п — 0 и pVi;==0.
2.3. Геометрические соотношения и совмест-
совместность деформаций. Из шести уравнений Кош и сохраняется
только три:
ди о dv v dv,du
Три других в связи с тождественным равенством нулю w и
независимостью и и v от г обращаются в тождества 0 = 0. Из

i 9.10] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 661
шести уравнений совместности деформаций Сен-Венана сохра-
сохраняется лишь одно:
Остальные уравнения обращаются в тождества 0 = 0 либо вслед-
вследствие равенства нулю величин гг, ууг, угх, либо вследствие неза-
независимости от г величин гх, гу, уху.
3. Основные уравнения обобщенного плоского напряженного
состояния. Дифференциальные уравнения равновесия и условия
равновесия на поверхности — те же, что и в случае плоской
деформации, т. е. (9.87) и (9.88). Из шести соотношений Коши
сохраним лишь интересующие нас три уравнения (9.89). Три дру-
других нас не интересуют, так как величины ez, ууг и угх не рас-
рассматриваются.
Из шести условий совместности деформаций сохраняем лишь
одно
д*гу д*уху
пять других уравнений Сен-Венана выполняются лишь прибли-
приближенно с той точностью, которая соответствует пренебрежению
величинами az, хгх и хуг.
Из шести уравнений закона Гука три приобретают вид
? ^ ^ xxy.
Тремя остальными не пользуемся, из них два последних перехо-
переходят в ууг = 0, угх=0\ хотя это и противоречит кинематике
деформации, однако, как уже неоднократно отмечалось, ни ууг,
ни угх нас не интересуют ввиду своей малой значимости для
всей проблемы в целом.
4. Сопоставление уравнений двух случаев плоской задачи
теории упругости. Сопоставление уравнений, полученных выше
для двух случаев плоской задачи теории упругости, показывает,
что все группы соответствующих уравнений в сравниваемых зада-
задачах идентичны, за исключением уравнений закона Гука, в кото-
которых различие состоит лишь в величинах упругих постоянных —
в случае плоского обобщенного напряженного состояния имеют
место обычные модуль упругости Е и коэффициент Пуассона ц,
в случае же плоской деформации вместо этих величин в уравне-
уравнениях фигурируют1) Ех = Е1{\ — \1г) и ^ = ^/A — ц). Полная иден-
идентичность уравнений, за исключением только что отмеченной
!) Некоторые авторы сохраняют ? и ц в задаче о плоской деформации и
меняют их в задаче о плоском напряженном состоянии.

662 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ IX
детали, позволяет при построении метода решения плоской задачи
теории упругости не уточнять вопроса о том, какой из двух
случаев на самом деле имеет место.
5. Решение плоской задачи теории упругости в напряжениях.
Для того чтобы иметь возможность решать задачу теории упру-
упругости в напряжениях, необходимо через них выразить условие
совместности деформаций, после этого, присоединяя его к двум
дифференциальным уравнениям равновесия (9.88), получим раз-
разрешающую систему уравнений.
Выразим уравнение совместности деформаций (9.90) через
напряжения. С этой целью воспользуемся законом Гука (приме-
(применим вариант обобщенного плоского напряженного состояния —
уравнения (9.91)). Подставляя (9.91) в (9.99) и сокращая на 1/Е,
будем тяметь
д*ох д2а„ д*о„ д*ох
Уменьшаем число функций в (9.92), исключив хху, для чего вос-
воспользуемся уравнениями равновесия (9.88): из каждого из них
после соответствующего дифференцирования получи!* вторую сме-
смешанную производную от т^:
д2хху ^ах дХ дНх11 д2аи дУ
дхду дх2 дх ' дхду ду2
или, складывая, будем иметь
о ^хху ^ах д^и дХ дУ
дх ду дх2 ду2 дх ду
(9.93)
Подставляя (9.93) в (9.92), оставляя в правой части лишь члены,
содержащие объемные силы, и используя оператор Лапласа, найдем
Если X не зависит от х, a Y от у, то последнее уравнение ста-
становится таким:
А(ох + оу) = 0. (9.94)
В таком виде это уравнение совместности деформаций, выражен-
выраженное через напряжение, известно как уравнение Мориса Леви1),
по имени французского ученого, впервые получившего его.
!) Леви Морнс (Levy Maurice, 1838—1910)—французский механик, инже-
инженер, специалист в области теории упругости и строительной механики.

i 9.101 ПЛОСКАЯ ЧАДАЧА ТЕОРИИ VnPvroCTH 663
Итак, для решения плоской задачи теории упругости в напря-
напряжениях имеем систему уравнений
до г дти
foxy , дау
J.95)
при граничных условиях (9.88).
6. Функция напряжений Эйри. Эйриг) предложил искать реше-
решение системы (9.96) в следующем виде. Учитывая, что эта система
линейна, можно представить общий ее интеграл как сумму общего
интеграла соответствующей однородной системы
0 + 0 A<
и какого-либо частного решения системы (9.95). Общее решение
однородной системы (9.96) Эйри предложил искать в следующей
форме:
удовлетворяющей однородным уравнениям равновесия (9.96) и
приводящей уравнение совместности деформаций (9.97K к виду
В развернутой форме уравнение (9.99) имеет следующий вид:
Таким образом, уравнение (9.100), представляющее собой
условие совместности деформаций, и служит для отыскания функ-
функции ф, через которую далее находятся напряжения по формулам
(9.98), удовлетворяющие условиям равновесия в однородной за-
задаче. Функция ф носит название функции.Эйри по имени уче-
ученого, введшего ее в употребление.
Нам остается присоединить к (9.98) частное решение системы
уравнений (9.95) и выяснить, какой вид имеют граничные усло-
условия для функции ф. Частное решение системы (9.95) зависит
от вида функций X и Y. Поэтому в качестве примера покажем
!) Эйри Джордж Бидцэлл (Airy George Biddell, 1801—1892) —английский
математик, астроном, физик и механик — профессор Кембриджского универси-
университета, королевский астроном в Гринвиче.

664
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
отыскание такого решения в одном конкретном, но достаточно часто
встречающемся случае, а именно —пусть объемными силами явля-
являются силы веса, которые вследствие однородности материала рас-
распределены по объему равномерно. Пусть, кроме того, ось у
направлена вертикально вниз, вследствие чего
Х = 0, Y = y, (9.101)
где у —объемный вес материала. В таком случае частное реше-
решение можно принять, например, в следующей форме:.
стж = 0, оу = — уу, xxy = xyx = Q. (9.102)
То, что оно удовлетворяет системе уравнений (9.96) при условии
(9.101), совершенно очевидно.
Рис. 9.21. К формулированию граничных условий в плоской задаче теории упругости
для прямоугольной полосы.
Итак, общее решение системы уравнений (9.96) складывается
из (9.98) —общего решения однородной системы уравнений, соот-
соответствующей (9.96), и (9.102) — частного решения системы (9.96):
Покажем теперь, как формулируются граничные условия. Для
конкретности рассмотрим область.в виде прямоугольной полосы
(рис. 9.21). Пусть на каждой из сторон контура заданы функции,^
в соответствии с которыми распределяются нормальная и каса-*
тельная составляющие контурной нагрузки (см. рис. 9.21):
h (x), gi (x); h (x), g2 {x); h (if), gs (У); h (y), g* (уУ> (9- *03)
тогда граничные услбвия запишутся в виде
_ д2(Р
дхду
¦¦gi(x);
при х = 0
при x = L -|J-
(9.104)
(9.105)

§ 9.10] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 665
^Подводя итог сказанному в настоящем разделе, отметим, что Эйри
фактически заменил одну краевую задачу (для системы диффе-
дифференциальных уравнений (9.96) и граничных условий (9.88)) дру-
другой—для бигармонического уравнения (9.100) и соответствующих
граничных условий для функции ср.
Переход от некоторой системы уравнений к эквивалентному
ей одному, называемому" разрешающим и являющемуся уравне-
уравнением относительно новой функции, которая связана с неизвест-
неизвестными функциями исходной системы, используется в математике
и механике довольно часто. Уравнение (9.99) является разреша-
разрешающим для плоской задачи теории упругости.
7. Решение в алгебраических полиномах (решение Менаже).
Рассмотрим обратную однородную (при Х = 0, У = 0) задачу.
Возьмем какую-либо бигармоническую функцию, т. е. функцию
Ф, удовлетворяющую бигармоническому уравнению (9.100). Най-
Найдем по формулам (9.98) компоненты напряжений. Тот факт, что
компоненты напряжений найдены по этим формулам, гарантирует
выполнение условий равновесия, а то, что функция удовлетворяет
уравнению (9.100) —выполнение условия совместности деформаций.
Наконец, пользуясь условиями равновесия на границе, задавшись,
разумеется, областью, занятой телом, можно выяснить, какой
поверхностной нагрузке соответствует принятая функция <р.
Менаже предложил в качестве бигармонических функций при
решении обратной задачи использовать алгебраические полиномы.
Поскольку бигармоническое уравнение (9.100) имеет четвертый
порядок, очевидно, что любой алгебраический полином степени
не выше третьей является бигармонической функцией. Алгебраи-
Алгебраические полиномы четвертой и более высоких степеней являются
бигармоническими функциями лишь при тех значениях коэффи-
коэффициентов, при которых удовлетворяется уравнение (9.100). Сохра-
Сохранять в алгебраическом полиноме линейную часть не следует,
поскольку этим членам, согласно (9.98), соответствуют нулевые
напряжения в теле.
Покажем примеры решения обратной плоской задачи теории
упругости при помощи алгебраических полиномов.
Пример 9.1. Дан полином третьей степени общего вида1) (линейная часть,,
т. е. члены нулевой и первой степени опущены)
Ф=«го*2 + <hi*y+"ой2 + ago*3 + апх*у+anx\p+Оо3(/3. (9.106)
Решить при помощи этого полинома обратную однородную аадачу теории
упругости для прямоугольной области со сторонами Лий при расположении
осей х Я у, показанном иа рис. 9.22.
2) У каждого коэффициента два индекса —первый соответствует показа-
показателю степени х в рассматриваемом члене, второй — показателю степени у.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
СГЛ IX
Решение. Заданный полином является бигармонической функцией и, сле-
следовательно, условие совместности деформаций соблюдено. Определим компо-
компоненты напряжений по формулам (9.98):
°u = -л^- = 2°я> + 6oso*+ ^пУ,
^у-Ч,х- дхду u
В табл. 9.2 изображено решение задачи, т. е. показаны контурные
нагрузки иа границе области применительно к каждому нз членов исходного
полинома. Используя принцип независимости действия сил, можно в опреде-
определенной мере разнообразить граничные условия. Таким образом, полиному
т
в-
Л
Рис. 9.22. К примеру 9.1; область, за-
занятая телом.
Рис. 9.23. К примеру 9.2; область, за-
занятая телом.
,(9.106) соответствует комбинация таких видов деформации как равномерное
.растяжение разной интенсивности в двух направлениях, чистый сдвиг, чистый
.изгиб и некоторые более сложные случаи деформации.
Пример 9.2. Дай однородный полином четвертой степени общего вида:
Решить при помощи этого полинома обратную однородную задачу теории
упругости для треугольной области, изображенной иа рис. 9.23.
Решение. Установим, при каких соотношениях коэффициентов полийома
.функция ф является бигармонической. Для этого выполним бигармоническую
операцию иад функцией ф н приравняем полученное выражение нулю:
О^Р ОЛп I О . А/. I ОЛ„ Q (Q |08)
-Итак, для того чтобы функция (9.107) являлась гармонической, необхо-
необходимо удовлетворение коэффициентами с четными индексами условию (9.108)
или, после сокращения, условию:
За4О + аи + Зво4=О- (9.109)
Воспользовавшись (9.109), представим функцию (9.107) в следующем виде:
Ф = аю** + а31х3у — 3 (а40 + ам) х*у* + а13ху* + а04у*. (9.110)
Разумеется, что зависимостью (9.109) можно было распорядиться и по-другому.
/ Итак, использование функции напряжений Эйри в форме (9.110) гаранти-
гарантирует выполнение совместности деформаций.

i 9.10]
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 667
Таблица 9.2
№
п/п
Член
Компоненты напряжений
Нагрузка иа границе области
(решенная задача)
«го*2
-га*
ПШШШШШШШМ//
ШШШПШПШШШК//
mmexmwt
мшшшт
oy-* 0

663
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ IX
Перейдем теперь к определению напряжений по формулам (9.98), что
само по себе обеспечит соблюдение условии равновесия:
°х •** -Щ- — — 6 (в10 + Я04)
Проанализируем картину, соответствующую членам с коэффициентом а^.
Остальные члены могут подвергнуться аиа-
логичному анализу. Итак, имеем
ах= —
а у = 12ai0xi — 6а40у2,
lxy
Построение эпюр pvx и pvy иа кромках
х—0 и у = 0 элементарно и его не пояс-
поясняем, изобразив лишь соответствующие эпю-
эпюры на рис. 9.24. Остановимся иа построении
эпюр pvx и pvy на наклоненной к осям х и
у кромке.
Уравнение этой кромки имеет вид
= — Уг х + КГ Ь.
Направляющие косинусы нормали к этой
кромке суть
/=cos (v, х)=cos 30°
m = cos(v, ^) =
Озставляющие pvx и pvy найдем по формулам
1 ух<П~
Vz 1 '
= -- 6a4(,*s -5 1- 12ai0xy ¦ у,
Рис. 9.24. К примеру 9.2; контур-
контурная нагрузка, соответствующая
функции Эйрн.
у
i-.
Выразим в этих формулах у через х, используя уравнение кромки; получим
Pvx = — 9 /Зо40л:« +6/1 о406д:, pvy = — 21 a^nfl + 36aiobx—9al0bK
Исследуем полученные функции иа экстремум:
0; —18/3"
dx*
3 aiob = 0;
< 0 (приа40>0I

$ 9.10] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 669
Pyx max "Рул | Ь = °40 /3 ft»;
(приа40>0).
45
6
f>vy max = Pyy |
Определим абсциссы, которым соответствуют нулевые значения функций:
Q Q7
15-^=—ft (вне интервала
Эпюры pvx и pVJ/ изображены на рис. 9.24.
Одному и тому же полиному ср при отыскании обратного
решения можно ставить в соответствие какие угодно области и,
таким образом, разнообразить полученные результаты и за этот
счет. Может возникнуть вопрос, а имеет ли смысл решать обрат-
обратные задачи теории упругости? Ответить следует утвердительно.
Ведь действительно, решая большое число обратных задач, мы
можем обнаружить среди них такие, которые позднее нас будут
интересовать в прямой постановке. В таком случае у нас уже
имеется готовое решение. Коллекция решенных обратных задач —
это до некоторой степени арсенал, из которого мы иногда выби-
выбираем готовое решение интересующих нас прямых задач: Число
таких случаев невелико.
8. Уравнения плоской задачи теории упругости в полярных
координатах.
8.1. Связь между декартовыми и полярными
координатами. Связь между координатами точки в декар-
декартовых и полярных координатах выражается зависимостями:
y = rsinft;l G = arctg-|.j (9.111)
Имея эти зависимости, выполним переход во всех основных

670
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
уравнениях теории упругости от прямоугольных прямолинейных
координат к полярным координатам.
8.2. Формулы для производных от функций Эйри
по координатам. Нам понадобятся формулы для вторых про-
производных от функции Эйри по декартовым координатам, выражен-
выраженные через полярные координаты. Начнем с производных первого
порядка, используя правило дифференцирования сложных функций:
<5<р дг . <Э<р дЬ
дгдх~Т~Мдх'
Лр ф
ду ~ W
дг
(9.112)
Найдем формулы для производных дг/дх, дг/ду, дА/дх, дл/ду.
Будем исходить из формул (9.111):
2. | =
дг
ду
дх
sin
1 1
1 X
ду
Подставим (9.113) в (9.112):
к cos Ь
г* ~ г '
(9.113)
(9.114)
Найдем вторые производные:
дх [дх ) ~ дг [дх ) дх
дх J дх
__ д_ /йф\ _ д_ /5ф \ дг_ д_ /5ф\ 5д
~ ф \йж / "~ й/- [дх )дуЧг д® [дх j ду •
Й1/2 - ду [ду ) * дг [ду )ду + дв [ду ) ду •
или, учитывая (9.114) и (9.113), получим:
д /да> ¦ „ дер sin
_ А ^ rns ft 5(P sin
дв \дг соъw"ёв~7
(9.115)

f 9.10]
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
671
Выполняя дифференциальные операции над выражениями, заклю-
заключенными в круглые скобки, после приведения подобных членов,
будем иметь
sin ft cos ft , г, dtp sin ft cos ft .
<Э2ф sin2 ft
" dft2 7* '
^$ = ?$ cos2, А — 2
дх* дг* '
дгдЬ
дг г
dtp cos 2ft
ОГ Ov Г Сл7 Т
dtp sin ft cos ft <52ф sin ft cos ft
sin ^ cos О
5ft2 /-3
j Эф sin ft cos 1
dtp cos2 ft
Vr ~7~
г*
(9.116)
8.3. Условие совместности деформаций в поляр-
полярных координатах. Представим условие совместности дефор-
деформаций в декартовых координатах (9.100) в форме
dx*
ди*
(9.117)
а теперь составим формулу для дифференциального выражения,
порожденного гармоническим оператором при действии на ф,
дх* + фа I
выразив его через полярные координаты, для чего воспользуемся
формулами (9.116). Итак,
^ф__
j^2 T Л„2
. 1
1
(9.118)
Сопоставляя (9.118) с (9.117), получаем рассматриваемое уравне-
уравнение в полярных координатах:
8.4. Уравнения Коши в полярных координатах.
На рис. 9.25 показан плоский элемент тела, выделенный коорди-
координатными линиями полярной системы координат. Дано два изо-
изображения элемента*—до {abed) и после (а'Ь'с'а") деформации.
Через точку а проведены оси г и А; первая из них направлена
вдоль радиуса (проходит через полюс 0), а вторая — по касатель-
касательной к окружности (с центром в 0), проходящей через точку а.
Составляющие перемещения точки а по осям г и А обозначим
символами и и у.

672
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
е, находим по формуле F.5), учитывая, что р = м, т. е.
Rr~ дг'
Относительное удлинение элемента ad, которое обозначим е#,
у складывается из двух слагае-
слагаемых, ее и ее. Первое связано
д' с радиальными перемещения-
¦' v ми точек, а второе с танген-
тангенциальными перемещениями.
Первое слагаемое найдем
в предположении, что обе
точки, and, перемещаются
вдоль радиусов на и.
Тогда
, a,di—ad
~ rd® - г '
Рис. 9.25. Перемещения в элемент* и дефор-
деформация его в плоской задаче теории упруго- ПТОГ)ПР глягЯРМОР ГИЯЧЯН
сти в полярных координатах. второе слагаемое, связан-
связанное с составляющей пере-,
мещений точек а и d по оси ¦&, найдем, если учтем, что точка а
перемещается на v, а точка d на v-^-~ds
Ш
ds
dv
Итак,
ds
1 dv
г dv
u_
r.
Относительный сдвиг угъ между первоначально ортогональ-
ортогональными направлениями г и Ь найдем по формуле
при
этом
ди d
ds
ds
du
ds
1 du
r db
«2 = 0-7 =
dr
dv
dr
и, следовательно,
1 du_ у . dv
Таким образом, уравнения Коши в плоской задаче в полярных.

J 9.10]
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
673
координатах имеют вид
_ди_
&г — дг '
*«=Т
dv
8.5. Уравнения равновесия в п
н а т а х. Вырежем из тела элемент двумя
линий, бесконечно близко друг к другу
расположенных (рис. 9.26); заменим дейст-
действие примыкавших к элементу частей тела
соответствующими внутренними силами,
которые по отношению к элементу ока-
оказываются внешними. На рис. 9.26 изобра-
изображены интенсивности этих сил. Составим
уравнения равновесия элемента, считая
при этом
cos-y^l, sin-y^-y. B.121)
Равенство нулю момента всех сил, прило-
приложенных к элементу, относительно любой
точки плоскости приводит к закону пар-
парности касательных напряжений т^ = твг.
Приравняем нулю суммы проекций всех
элемент, на оси г н Ъ:
7dd-7 + ^' (9Л20)
олярных коорди-
коордипарами координатных
Рис. 9.26. Элемент тела в
плоской задаче теории упру-
упругости в полярных коорди-
координатах и интенсивности сил.
действующих на него,
сил, действующих на
- as
a, + *r dr) (r + dr) db- т«г
cos f-
- ae dr cos * + (ae + *| du) dr cos -^ -
* + ^
sin^ + S dr[r + %) db - 0,
или, после учета (9.121), взаимного уничтожения членов и отбра-
отбрасывания бесконечно малых более высокого порядка, чем второй,
получаем
r%?fdrd® + ordrd® + '^drd®-oi>drd# + Rrdrd®=0,
^drd$ + Tr<>drd$-\-r^dr dft + T<>rdrd® + rEdr d$==0,
22 А, П. Филии

674 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
или же, после деления всех членов на г dr d$,
даг , 1 &Xf,r . ar—o® . D _ n drr$ , 1 do$
8.6. Формулы для компонентов напряжения. Фор-
Формулы для компонентов напряжений аг, а$ и х^, выраженные
через функцию Эйри, получим, если будем исходить из зависи-
зависимостей:
i^. "jr-a*. *ху-'у«- дхду-
Положим в. них, в правых частях равенств, вместо дгу/дуг,
дЪр/дх* и д2у/дхду соответствующие выражения согласно (9.116), а
при записи левых учтем, что ось х направлена вдоль г, а у
параллельно $ (угол ф = 0) (см. рис. 9.26), вследствие чего ax = ar,
а у ¦= Оф, хху = тг*. В таком случае
8.7. Частный случай: центральная симметрия.
8.7.1. Основные уравнения. Если напряженно-деформированное
состояние симметрично относительно центра, то все функции пере-
перестают зависеть от Ф и становятся функциями одной переменной г,
вследствие чего во всех уравнениях производные функций по ft
обращаются в нуль, а производные по г становятся обыкновен-
обыкновенными. Вследствие центральной симметрии нагрузки объемная сила
3 = 0. Составляющая перемещения v и компонент напряжения
Tr» = To/ B СИЛУ центральной симметрии напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного состояния равны нулю.
Ниже приводим все основные уравнения и зависимости для,
случая центрально-симметричного напряженно-деформированного
состояния.
Уравнение совместности деформаций
\dr* ^ г dr}\dri "f" r dr
НЛИ
dri~T~Td73'~r*dr2~^7a~dr
представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение
четвертого порядка с переменными коэффициентами (уравнение
Эйлера).

$9 10] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 675
Уравнения Коши
du и г,
%r=zd?' e<> = 7 • Vr* =
Уравнение равновесия
Второе уравнение равновесия превращается в тождество.
Формулы для компонентов напряжений
<9Л25>
8.7.2. Переход к дифференциальному уравнению совместности
деформаций с постоянными коэффициентами. Для центрально-
симметричного напряженно-деформированного состояния в пло-
плоской задаче можно получить замкнутое решение.
Уравнение (9.124) путем замены переменной г на t, опреде-
определяемой соотношением
r = e? {t=\nr), (9.126)
приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с по-
постоянными коэффициентами:
dt* dP +4 dP ' [if.lZ/)
8.7.3. Отыскание общего вида функции Эйри. Найдем интеграл
уравнения (9.127), представив частное решение в форме
е". (9.128)
Подставляя (9.128) в (9.127), получим характеристическое урав-
уравнение
с корнями s,. г = 0, sSi4==2. Из-за кратности корней линейно не-
независимые частные решения имеют вид (с учетом (9.126))
Таким образом, общий интеграл уравнения (9.127) имеет вид
<р = Ах + A,'in r + Asr2 + Atr* In r.
22»

676
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ IX
8.7.4. Общие формулы для компонентов напряжений. Исполь-
Используя (9.125), определим напряжения:
(9.129)
Если область не имеет отверстия при г = 0, то А2 и Л4 следует
полагать равными нулю, так как в противном случае при г = 0
ог-+со и <ie->-oo. Остающаяся отличной от нуля постоянная
интегрирования А3 свидетельствует о том, что в таком случае
во всей области имеет место равно-
равномерное двухосное растяжение или
сжатие:
Оу = 2Л3 и ад = 2Л3. (9.130)
При наличии отверстия в окрест-
окрестности г = 0 можно получить реше-
решения, отличные от (9.130).
8.7.5. Задача Ламе1). Для обла-
области в форме кругового кольца может
быть получено напряженное состоя-
состояние, известное как решение Ламе
для толстостенной круглой цилинд-
цилиндрической трубы, испытывающей воз-
воздействие внутреннего и наружного
равномерно распределенных давлений
Яв и <7и (рис. 9.27). Такая труба нахо-
находится в условиях плоской деформации. Напряжения в трубе
могут быть найдены по формулам (9.129). Постоянные интегри-
интегрирования определяются из граничных условий:
при /" = /¦„ аг = — qBr при r = rH а,- = —-<7„.
Учитывая, что имеется всего два граничных условия, а
постоянных интегрирования три, от одной из них (Л4) можно
освободиться, положив ее равной нулю. Тогда в развернутой
форме граничные условия приобретают вид
Рис 9.27. Поперечное сечение тол-
толстостенной трубы, находящейся в
условиях плоской деформации и
осеснмиетричного напряженно-де-
напряженно-деформированного состояния.
откуда
2 3
Г Н ГВ
2 (/-и — Га)
(9.131)
•) Задача была решена Ламе. Опубликована в Lemons sur la theuue do
"ilasticite. Paris, 1852.

< 9 101
ПЛООКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУРОвТИ
677
и, таким образом, компоненты напряжений определятся в соот-
соответствии с (9.129) и (9.131) по формулам
a 1 •
Гн—/"в
Гн—Гв Г* Гн — Г»
Максимальные касательные напряжения, действующие на
Рис 9.28. Эпюра напряжений в тонковтеииой трубе (он. рис. 9.27I а) эпюра
в) эпюра <Jq.
площадках, наклоненных к радиусам под углом 45е, определяются
по формуле
f max !
Наибольшее значение тюах имеет место в точке г =*
lmax !'¦ = '¦„
• 2
н — гя
; Ниже приводятся два частных случая:
bVh 1 ЦаГн
ri
—/"в
Гн
Гн—Г» Г" Гя /•»
""и 1 - -'
2 2. >
?нгвгн I Уи'я
ri — Гъ г' Гн—Гв
На рис. 9.28 представлены графики о> и оо для обоих частных
случаев.

678
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
§ 9.11. Задача о клине
1. Вводные замечания. В настоящем параграфе рассматрива-
рассматривается пример применения аппарата плоской задачи теории упру-
упругости — задача о напряженном состоянии бесконечного клина,
загруженного сосредоточенной силой, приложенной к вершине
и направленной вдоль оси его симметрии. Обсуждается и част-
частный случай этой задачи — напряженное состояние полубесконеч-
полубесконечной плоскости, загруженной сосредоточен-
сосредоточенной силой, приложенной нормально к прямо-
прямолинейной кромке. Наконец, в этом же парагра-
параграфе приводится таблица с результатами решения
некоторых других задач.
2. Условия задачи о напряженном состоя-
состоянии клина. Пусть имеем бесконечный клин
с углом при вершине 2а (рис. 9.29), загру-
загруженный в вершине сжимающей силой Р, нап-
направленной вдоль оси симметрии клина. Объем-
Объемные силы будем считать равными нулю. Опре-
Определим напряжения, возникающие в клине.
Решение задачи выполним полуобратным мето-
методом Сеи-Венана.
3. Первый этап решения задачи. Рассмот-
Рассмотрим площадку, центр которой находится в точ-
силой Р, направлен
ной вдоль оси сн
метр и и клииа.
Рис. 8.29. Бесконеч-
Бесконечный клин (в условиях
плоеной задачи), за-
загруженный в верши- „
не сосредоточенной ке А (г, V), а сама площадка направлена пер
пендикулярно к радиусу-вектору этой точки.
Можно предположить, что нормальное напря-
напряжение аг на этой площадке является сжимаю-
сжимающим и по величине пропорционально силе Р, обратно пропорцио-
пропорционально радиусу г и уменьшается с увеличением угла ft. Таким
условиям, например, удовлетворяет функция (9.47) (см. § 9.7)
- k -- cos Ь,
которую- мы и примем в качестве о>.
Касательное напряжение на рассматриваемой площадке поло-
положим равным нулю, так же как и нормальное напряжение, дей-
действующее на площадке, проходящей через точку А и составляю-
составляющей с плоскостью Охг угол •&.
Таким образом, на первом этапе решения задачи мы пола-
полагаем, что компоненты напряжения выражаются следующими фор-
формулами:
Or- — Л-^cosft, тго = т<ь.~0, <r# = 0. (9.132)
4. Второй этап решения задачи. Проверяем, удовлетворя-
удовлетворяются ли основные уравнения теории упругости функциями (9.132).

f 9 11] ЗАДАЧА О КЛИНЕ 679
Начнем с уравнений равновесия (9.122). Подставляя в эти урав-
уравнения
даг , Р п 1 дхлг п аг—ал . Р „ п „
(9.133)
0 = 0
убеждаемся, что они удовлетворяются тождественно.
Теперь проверим, удовлетворяется ли условие совместности
деформаций. С этой целью найдем ту функцию ф, которая соот-
соответствует компонентам (9.132), если иметь в виду формулы (9.123),
связывающие эти компоненты с ф. А далее проверим, удовлетво-
удовлетворяет ли найденная таким образом функция ф бигармоническому
уравнению (9.119), выражающему собой условие совместности
деформаций.
Уравнение (9.123J в нашем случае, учитывая (9.132), приоб-
приобретает вид
¦S--0.
Проинтегрировав это уравнение, получим
Интегрируя еще раз, будем иметь
<P = '/i(tt) + Mfl). (9.135)
Теперь подставим (9.135) в (9.123)! и (9.123K; в результате при-
придем к уравнениям
-kу cosfl = -fc№ + ^ № #) + /*(tyj, I
. (9.136)
o = ^/Hd). _ J
Из (9.136J имеем
/ИО) = 0. (9.137)
Дифференцируя (9.137) по ¦&, получим
/2(*)-0. (9.138)
Подставим в (9.136)! вместо последнего члена в правой части
его выражение согласно (9.138), в результате будем иметь
^ T (9.139)
или
ft+/i = — kPcos®. (9.140)

680 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Общий интеграл уравнения (9.140) имеет такой вид:
[гл.
(9.141)
Последний член представляет собой частное решение. Из (9.137)
имеем
/2(О)=^С. (9.142)
Итак, учитывая (9.141) и (9.142), согласно (9.135) получаем
r§si
(9.143)
Правильность интегрирования уравнений (9.123) при отыскании
.р функции ф легко проверить подстановкой (9.143)
в (9.123), приводящей (9.123) к тождествам.
Теперь проверим, удовлетворяется ли усло-
условие совместности деформаций (9.119) функцией
(9.143). Согласно (9.143)
тогда
рис. 9.зо. вырезка
из «еск'онечного кли-
¦ л^3р?иУТаИспрГаделе:
Функции (9.132), принятые на первом этапе
решения задачи, удовлетворяют и условию сов-
местности деформаций.
5- Третий этап.решения задачи. Установим
граничные условия, соответствующие функциям
(9.132), и сопоставим их с граничными усло-
условиями решаемой задачи. Рассмотрим боковые
кромки клина ¦& = ± а. На этих кромках*, впрочем, как и на всех
остальных площадках,
я к кромке»
имеющей очертание
дуги даРуУв?Ттн Ра"
что совпадает с граничными условиями поставленной задачи.
Вырежем у вершины клина малую область в виде сектора
радиуса р. Из условия равновесия этого сектора найдем k, вхо-
входящее в выражение для q, и остающееся пока не известным
(рис. 9.30). Приложим к получившейся криволинейной кромке
напряжения и проверим, приводятся ли они к силе Р:
+а
ar cos
cos2
db = P,

ЗАДАЧА О КЛИНЕ
681
или
-jj- sin 2a
Таким образом, окончательно искомое решение имеет такой вид:
а, = —•
1
-^ sin 2a
— COS'
Интересно заметить, что если бы был выполнен четвертый
этап решения, на котором были найдены перемещения и и о, то
обнаружилось бы обращение этих функций, так
же как и функции о> в бесконечность при г = 0.
Для того чтобы избежать этого несоответствия
физическим условиям задачи, достаточно иск-
исключить из рассмотрения небольшую область
у вершины клина, заменив сосредоточенную
силу Р статически ей эквивалентной распреде-
распределенной нагрузкой интенсивности аг (рис. 9.31).
6. Частный случай. Если а = я/2, то полу-
получаем решение задачи для полуплоскости, загру-
загруженной нормальной к кромке силой Р
(рис. 9.32):
a, = —-
= Тфл = 0.
Рис. 9.31, Бесконеч-
Бесконечный клнн о отрезан-
отрезанной вершиной, дей-
действие которой на ос-
оставленную часть за-
заменено распределен-
распределенными по сечению
силами.
Сказанное выше об обращении и, v и аг в бесконечность при
г = 0 справедливо, разумеется, и для рассматриваемого случая.
Для того чтобы избежать этого и в данном частном случае,
I
Рис. 9.3J. Полубескоиечиая плоо- Рис 9.S3. Полубесконечная плоскость с удален-
удаленность, загруженная силой Р. нор- ной областью, примыкающей к точкам приложе-
мальнов к кромке. ни я сосредоточенной силы, действие которой за-
заменено действием распределенной нагрузки на
границе области.
достаточно выразить небольшую область около точки приложения
силы Р и заменить эту силу статическим эквивалентом —распре-
—распределенной нагрузкой интенсивности аг (рис. 9.33). Можно из-
избежать обращения и и v в бесконечность и не прибегая к

682
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[Г Л IX
удалению участка у точки приложения сил Р, если полагать,
что сила Р бесконечно мала. Ниже будет показано, что такой
подход не лишен смысла, если иметь в виду распределенную на-
нагрузку, действующую на кромку полуплоскости. Перейдем от
полярных координат к декартовым (рис. 9.34, а).
Учитывая, что
Р
у —г
sin ft
получим формулы для ах, ау и
i)
Рис 9.S4. Напряженнее состояние полу- Рые, 9Я5 Полубесконечиая плоскость, ia-
бесконечной плоскости, загруженной сосре* груженная распределенной нормальной и
доточенной силой, нормальной к кромке: а) кромке нагрузкой: к определению напр»-
к установлению связи между о~г в компе-
нентамн напряжений в декартовой системе
координат: б) эпюра ах; в) эпюра хху.
жеинй от этой нагрузки.
%ху в следующем виде:
' OD О 0
ox = orcos*{} = cos8d =
пг я
Ju = arsin4^ = sin*0cosd=
* nr я
IP
*xy
•¦ ar sin d cos d= sin * cos1 #= —
Ня рис. 9.34, бив изображены эпюры а* и хху для некоторого
горизонтального сечения.
Если прямолинейная кромка полубесконечной плоскости загру-
загружена распределенной нормальной к кромке нагрузкой (рис. 9.35),
то легко могут быть найдены возникающие при этом напряжения

i 9 in
ЗАДАЧА О КЛИНЕ
683
ox, ay и хух = хХу. Для этого достаточно вместо силы Р иметь
в виду pdx\, где (рис. 9.36)
, г db
dax = —
cos3
-TTsi"''
sin Ь cos* Ь = — sin d cos
я
xxy = — — \ p sin d cos d dd.
Вернемся теперь к случаю действия сосредоточенной силы Р.
Рис. 9.81. К установлению аавнси- Рис. 9.37. Геометрическое место точек,
мости между <ft) я dO. имеющих одинаковые напряжения ог в по-
полуплоскости, загруженной силой Р, нор-
нормальной к ее кромке
Найдем геометрическое место точек с одинаковым по величине
напряжением аг. Уравнение этой линии имеет вид
ог = cos v = — А = const,
откуда , Ап
Из рис. 9.37 видно, что зависимости
СОЯ ft l_

684
ЭЛЕМЕНТЫ ТРОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ IX
Таблица 9.3
Mr
п/п
1
2
8
Условия задачи
т-Рс
m-N
к%
* /TV*4
А-ъ v
^ ^
< 1
"
/У
у
У
¦1 II >
У
' 'апряжеиия
Здесь
Р 1 аа+6*
r S \ г
a<i S \ г
Здесь
v S \ г
л S \
Здесь
а й ft—внутренний и
кольцевого сектора.
.,„-<+.,„-«],
¦+-/>* In j +
&а — 0*1,
2 + 6s) In —.
а
— Н J-J sin w;
о. 1 ft
наружный радиусы

§ 9.111
ЗАДАЧА О КЛИНЕ 685
Таблица 9.3 (Продолжений
Hi
п 'п
Условия задачи
Напряжения
Р 3 —2щ 1
1 .
_ cos %
г
_
4л I —
4л 1—ц0 г
T^=4n l-|u г яп'1
Сила Р отнесена к единице
толщины пластины.
Захон раснределения напряжений о> !
и т^, статическим эквивалентом которых I
является сила Р, получается, из формул
для о> и -ty# при г=а.
а—^" sin 2a
sin О,
sin-20
r2(sin 2а—2а cos 2a)
ig}(cos2A—cos 2а)
г "" г» (sin 2а—2а cos 2а)

686
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
Таблица 9.3 (Окончание)
."ft
п/п
Условия задачи
Напряжения
cosa
, Sin а д cosa»
+ Р -щ- cos 20 + р —^- д,
сова
cos
sina .
т
- р
cosa
2/Г'
Здесь К — a cos a — sin a.
аг = 2Л ,г cos # + 2Агг sin * —
— 6Ляг cos 30 -f-6/44r sin 3*,
sin d +
sin 3d,
+ 6Л3г sin 301 — 6Л4г cos 3©
Здесь
„ 6р*A—3 sin a sin За—cos a cos За)
Л,= g . _,
. fy>*(— 3 cos a sin 3a-f-sin a cos 3a)
2== В
. __ 2p* C — sin a sin За — 3cos acos3a)
3~ В
. 2p* C cos a sin 3a — sin a cos 3a)
4 В •
6 = 24 C—5 sin a sin 3a—3 cos a cos 3a).
2P
""nD sin<ai
2P(cos3Qx
2P
_ 2P /cos flj sin^ ft, cos 08 «In» ft,
2P/cos8ftt sin ft, cos" Од sin Q8\
T*"—irV f; + т% )¦

121
ОСРСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
687
соответствует окружность диаметра d. Каждому уровню напря-
напряжения о> = — А соответствует своя собственная окружность
COS*
2Р
пА
L
На рис. 9.38 изображено семейство таких окружностей, отвечаю-
отвечающих различным напряжениям; каждая из
них является геометрическим местом точек
одинаковых напряжений.
7. Результаты решения некоторых задач.
В табл. 9.3 приведены результаты реше-
решения некоторых плоских задач теории упру-
упругости.
§ 9.12. Осесимметричное
напряженно-деформированное состояние
в пространственной задаче
Рис 9.38. Окружности
равных напряжений в
полуплоскости, загру-
загруженной сосредоточенной
силой Р, нормальной и
кромке
1. Вводные замечания. Значительный
интерес представляет осесимметричное на-
напряженно-деформированное состояние тела.
Разумеется, что для возникновения такого
состояния требуется, во-первых, чтобы форма тела была осесимме-
тричной, а, во-вторых, чтобы и внешнее воздействие на это тело
также было осесимметричным.
Уравнения для осесимметричного напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния легко получаются из уравнений общего случая
пространственного напряженно-деформироваиного состояния тела,
представленных в цилиндрических координатах, при условии, что
в последних уравнениях все функции, как заданные, так и иско-
искомые, не зависят от угла ¦&.
2. Уравнения пространственной задачи теории упругости
в цилиндрических координатах.
2.1. Формулы преобразования компонентов
напряжений при переходе от полярной системы
координат к декартовой. Прежде всего составим урав-
уравнения пространственной задачи теории упругости в цилиндри-
цилиндрических координатах.
Согласно рис. 9.39 таблица направляющих косинусов осей х,
у и г в системе г, Ь, г имеет вид
X
»
г
г
cos 0
sinO
0
#
— sin Ь
COS©
0
г
0
0
1

688
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГГЛ (X
а формулы преобразования компонентов напряжений в системе
осей гЬг в компоненты напряжений в системе осей хуг записы-
записываются так:
ах = ar cos* Ь + <r# sin* d — 2t^ sin d cos d,
oy = arsm*
o# cos*
тл# sin •& cos
ixy
¦ (ar — oe) sifl A cos A + тг0 (cos2 A — sin* 1
V = ^e*cos
T^-sin
x2X =
sin
cos
(9.144)
Зависимости между декартовыми и цилиндрическими координа-
координатами точки:
d i^ г — г\
2.2. Уравнения Коши. Зависимости между х и у, с
одной стороны, и г и А, — с другой, в цилиндрических ко-
координатах в пространственной задаче такие
же, как и в полярных,—в плоской. Поэтому
три уравнения Коши (формулы для ег, е#
и Yr*) такие же, как и в полярных коорди-
координатах плоской задачи (9.120), три остальные
г уравнения Коши такие же, как и в про-
пространственной задаче в декартовых коорди-
координатах, т. е.
Ряс. 9.39. К установле-
установлению зависимостей между
компонентами напряже-
няй в цилиндрической н
декартовой системах ко-
координат.
ди
дг '
t
Уг»
dw
, =И
1 ди
— г di
. ди
1 до
dv
dw . до
2.3. Уравнения равновесия. В уравнениях равновесия
по сравнению с таковыми в плоской задаче в полярной системе
координат добавляются подчеркнутые в (9.145) члены в первых
двух уравнениях и, кроме того, имеется третье уравнение:
даг
I Uifff I "Iff | (
T~W~i'~dT~i~
~л~. Г¦— ~яяГ ~T SZ I '. Г " — u.
даг
+ Tf- + 2
= 0.
(9.145)

<) 121
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
689
2,4. Уравнения совместности деформаций. Рас-
Рассмотрим уравнение совместности деформации в форме Бельтрами
(9.27); входящий в эти уравнения гармонический оператор и инва-
инвариант в. в случае цилиндрических координат имеют вид
д^^.4--?-.
dr*
1—4-1—4-—
"¦" г дг "•" г» 3d2 "¦" 3z2
3z2' I
I
(9.146)
Вторые производные от первого инварианта тензора напряжений,
также входящие в уравнения Бельтрами, имеют следующий вид
(см. формулы (9.116) для операторов дУдх*, д3/дхду, д*/ду* и фор-
формулы (9.114) для операторов д/дх, д/ду; из последних легко полу-
получаются формулы для операторов дг/дхдг, д*/дудг):
^. п _., азв sin ft cos ft
дх2 ""v""
ду*
дкду
dydz
дг дх дг дг
COS© —
дддг г
дв sin ft cos ft л
sin ft cos ft
drdfr г
дв sin ft cos ft ,
aft
а2в
"Л
д*в cos 2ft
дв sin* ft |
d/- r '
ae cos» ft
d/- r '
ав cos 2ft
дгдЬ г aft r*
дв sin ft cos ft 0*8
dr
cos ft
r •
sin ft
r aft»
аФ sinaft
aft* r*
^9 cos2 ft
sin ft cos ft
(9.147)
дЪдг г
Учитывая (9.27), (9.144), (9.146) и (9.147), представим уравнения
Бельтрами в следующем виде:
Д {аг cos2 ft -f <*o sin2 # — 2тА<> sin d cos •
г г
ae sina ft ,
Д (o, sin2 ft -f Oft cos2 ft -\-2xr^ sin ft cos
I I J'-'Q ., a , г. а-в sin ft cos ft
sin ft cos ft , о 36 sin ft cos ft ,
"~T * ДА t3 T
= 0,
l+ti
-3-3- sin11 a+2
cosa ft
'• J"
, ав sin ft cos ft
-aft r* •
e cosaft:
dr
(9.27')

690
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
I ff»e
1+цдг*
= 0,
дв sin ft cos ft _ д*в sin ft cos ft ]
(9.27')
Преобразования можно было бы продолжить, произведя дейст-
действия, обусловленные оператором Лапласа; далее, группируя члены
с одинаковыми тригонометрическими функциями и учитывая спра-
справедливость полученных уравнений при любых ft, перейти к экви-
эквивалентным им уравнениям путем приравнивания нулю множите-
множителей при sin О, cos О, sin2 ft, cos2 ft, sin 2^, cos 20. Такой вывод
уравнений Бельтрами для частного случая ниже доведен до конца
3. Частный случай — осесимметричное напряженно-деформиро-
напряженно-деформированное состояние. Если задача осесимметрична, то все производ-
производные от составляющих перемещений и от компонентов напряжении
по ft в приведенных выше формулах обращаются в нуль и урав-
уравнения приобретают следующий вид:
Система уравнений Коши распадается на две подсистемы:
дг
а
dw
'дг'
dw
ди
do
дг
V
T '
. dv
в первую из них входят перемещения и и ш, а во вторую v;
первой соответствует круговая симметрия (и Ф 0, w ф 0, v = 0),
второй —кручение (ы = 0, ш = 0; 0=^0). К первой системе следует
присоединить yh> =» V«* = °. а «о второй — присоединить ег = е^ =
-=ег = у„=»О. Соответственно распадаются на две подсистемы
и системы уравнений равновесия и совместности деформаций.
Уравнения равновесия приобретают вид
дг
—U.
(9.148)
(9.149)

« 9.121
ООЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
691
При этом в первом случае отличны от нуля а„ сгЛ, сгг и хгг
(trQ — О, тГ# = 0), а во втором случае отличны от нуля т^ и т,Л
(а, = 0, а# = 0, сгг = О, т« = 0).
Система уравнений (9.148) удовлетворяется, если компоненты
напряжений представляются через некоторую функцию <р (функ-
(функция напряжений) следующим образом:
д !
Здесь
(9.150)
<9Л51>
Уравнение (9.149) удовлетворяется, если тг# и т#г выражаются
через некоторую другую функцию напряжений <р (обозначение
сохраняем таким же, как и в случае задачи о круговой симмет-
симметрии, хотя функция здесь иная) по следующим формулам:
1 Ар
*~~ г* дг'
дг\
(9.152)
Уравнения совместности деформации х) записываются так:
TiT 7 S]sin* * -
~ is х'»]sin
0,
ТЛ 7 f ]cos*d +
Те
cos d = 0,
L °
7 fr} sin d cos
- -J 4 cos 20 =
- 7T »•*] cos
sin d =
о,
0.
(9.153)
>) Уравнения (9.153) получены из (9.27'), во-первых, с учетом того, что
А = А0Н— SE5. во-вторых, после выполнения операции д*1д№ и, в третьих,
Г 0v
Г 0v
в результате принятия производных по Ь от о>
ными нулю.
^, а„
а г,
рав-

рав692
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ IX
Так как уравнения (9.153) справедливы при любых О эквива-
эквивалентными им оказываются уравнения, получающиеся путем прирав-
приравнивания нулю множителей при cos2 О, sinad, sin О cos d, cos 20,
sin 0, cosw.
В результате получим эквивалентную (9.153) систему уравне-
уравнений, распадающуюся на две подсистемы, каждая из которых
соответствует одной из разновидностей осесимметричной задачи —
круговой симметрии и кручению,
1 д*в
l+рдгдг
= 0;
(9.154)
— ~2 ъг& = О,
* — 1j *«г = 0.
(9.155)
Здесь учтено, что ряд выражений, являющихся коэффициентами
при тригонометрических функциях в (9.153), повторяется. Кроме
того, выражение, являющееся множителем при sin О cos О в (9.153L
представляет собой разность двух упоминавшихся выше выра-
выражений (множителей при cos* О и sin* О в (9.153)! или, что то же
самое —множителей при sin2d и cos2О в (9.153J). Можно пока-
показать, что каждое нз четырех уравнений совместности деформа-
деформаций (9.154), при подстановке в него выражений для аг, аФ, аж
и хгг согласно (9.151), приводится к бигармоническому уравнению
( * J.1
или
-dz*J\W?~r r dr '
Д0Д„Ф •= 0.
При подстановке же в каждое из двух уравнений совместности
деформаций (9.153) вместо т2#..и'т„ их выражений через функ-
функцию ф согласно (9.152) получаем уравнение
--^г = и- (9.157)
Уравнения (9.156) и (9.157), таким образом, являются по своей
природе уравнениями совместности деформаций и служат для
^отыскания, функций ф (напоминаем, что ф в. (9.156) и в (9.157)
различные).

§ 9.13] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ 693
§ 9.13. Напряженное состояние круглой пластины
1. Вводные замечания. В настоящем параграфе исследуем напря-
напряженное состояние круглой пластины, загруженной на одном из осно-
оснований равномерно распределенной нормальной сжимающей нагруз-
нагрузкой интенсивности q, используя обратную постановку задачи.
Поступим следующим образом. Будем задаваться функцией напря-
напряжений ф в виде алгебраических степенных полиномов, далее за
счет соответствующего подбора коэффициентов обеспечим удов-
удовлетворение этими полиномами бигармоническому уравнению (9.156).
После этого будем находить те статические граничные условия,
которые соответствуют полиномам <р, построенным поясненным
выше путем. Пользуясь набором полученных решений, посредством
соответствующей их комбинации получим решение интересующей
нас отмеченной выще задачи.
2. Построение степенных полиномов <р, удовлетворяющих
бигармоническому уравнению (9.156). Учитывая тот факт, что
компоненты напряжений выражаются, согласно формулам (9.150),
через третьи производные функции ф, заключаем, что рассмат-
рассматривать однородные полиномы аргументов гиг степени ниже
третьей нет смысла, так как им соответствуют ко мпоненты напря-
напряжений, равные нулю.
Рассмотрим следующие полиномы:
ф,з) = азо*8 + а^г + амгг2 -f айьг*,
4 + aalzsr + апг2гг + а19гг8 + а04л4,
+ апг*г + o^
(9.58)
Покажем, как обеспечивается удовлетворение уравнению (9.156)
полиномом ф(в) за счет соответствующего подбора коэффициентов.
Для остальных полиномов приведем готовый результат.
Подставляя <p(e) в (9.156), получим
zs C60ав0 + 96а42 + 64а24) + гг B40а51 + 108aS8 -f 225а15) +
+ гг B4042 + 64ам + 576оов) + -рИОам + 9а88) -f ^ а„ = 0. (9.159)
Из линейной независимости функций г*, гг, г*, г*/г, гь/г
в (9.159) следует:
45ae0-f 12a4a + 80^+ =0,
240ан+ Ю8а88+ " 225а15 =0,
(9.160)
72аое = 0,
-О,
вы -0.

694 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Из (9.160) находим
«51 == «83 = «15 == 0,
«42 ==: о" «24 ^^«06»
8 , 96
[ГЛ IX
(9.161)
(9.162)
«60 = 15 «84 "Г Tg Qoe<
Таким образом, полином ф(в) приобретает вид
/8 , 96 \ „ , ( 8 ' . \
Ф(в» = Тс «24 + Тй «06 z + I 5" «24 ~ ¦"«<» J
или, из-за произвольности ам и ам,
Ф(в) = «24 (8г« - 402^ + 15г2г*) + aoe (96z« - 360г*г2 + 15г«). (9.163)
Аналогично находятся и остальные полиномы из числа (9.158):
= «22 Bг* -
- 15г8л2) + аи (8z8 -
Ф<в>
3. Определение напряжений. Имея функции <р, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям совместности деформаций, можем перейти к опре-
определению напряжений, которые также удовлетворяют этим усло-
условиям и, кроме того, условиям равновесия.
Компоненты напряжений определяем по формулам (9.150).
После выполнения указанных в этих формулах дифференциаль-
дифференциальных операций получим компоненты напряжения, соответствую-
соответствующие ф(„:
120 Dц + 3) гг*] + ам [2880 Bц -+-1) г8 - 8640цгг»],
,1 АФ(„ —L*gL) = an [320 Qi + 1) г» -
l)?s-8640{tzr*],
+ 480цгг*] + floe [—5760цг» - 8640 A - ц\ гг%
аю Г— 8640цг*л + 8180 A - ц) г3].
(9.164)

(9.166>
§ 9.131 НАПРЯЖЕННОЕ (ЕОСТОЯНИЕ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ 695
Аналогично находим напряжения, соответствующие трем дру-
другим функциям напряжений—ф(8), ФD) и q>E>
о1," =*-2 Bц - 1) а12 + 6ца80, о» =• 2 Bц - 1) а» + 6ца3о,) g , 6&
а/ ¦ - 4 B - ц) аи+6 A - ц) а80, f,V = *,V = 0; Г
о1,11 -= 12 Bц + 1) аи* + 192ца04г,
а1^' = 12 Bц + 1) а22г + 192ца04г,
о1*4'.— — 24ца22г -f 192 A — ц)
xi4; = тА' - 12ца22л + 96 A - ц)
а1?' = а82 [90 Bц + 1) г2 - 90л2] + аи [480цг2 - 60 Dц - 3) г*],
<т*' = 082 [90 Bц + 1) г2 - 90л2] + аи [480цг2 - 60 Dц - 1) л»],
<#' = аз2 [—180цг* - 90 A - ц) л2]+
+ а14 [480 A - ц) г2 - 240 B - ц)л*],
т^1 = тД» == 1 вОцазагл - A - ц) 480а14гл.
(9.167)
Если положить а'г' равным нулю, т. е.
о-Г31 = 2Bц-1)а12 + 6ца8о = 0, (9.168),
то
При этом
*'=0,
(9.168),,,
Из решения (9.166) получим решение двух частных задач, и в
первой из них потребуем, чтобы
ог = 0, (9.169)
а во второй — чтобы
сг, = О. (9.170)
В первом случае коэффициенты о,, и ^ снабдим верхним индек-
индексом A), а во втором —B).
Итак, исходя из (9.169), имеем
— 24ца<» + 192 A - ц) <» - 0. (9.171)
Сопоставляя (9.171)с(9.166L, обнаруживаем, что при выполнении

696 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ IX
(9.171) обращается в нуль не только аг, но и хгг = хгг. Из
(9.171) находим
При этом компоненты напряжений выражаются следующими функ-
функциями:
И1
(9.172)
Исходя из (9.170), имеем
0. (9.173)
Сопоставляя (9.173) с (9.166J, обнаруживаем, что при выполне-
выполнении (9.173) обращается в нуль не только аг, но и а#.
Из (9.173) находим
При этом компоненты напряжений выражаются следующими фор-
формулами.:
= Хгг (8) = — У
Теперь, располагая полученными решениями обратных задач,
попытаемся в следующем разделе решить одну прямую задачу.
4. Изгиб круглой пластины, нагруженной равномерно распре-
распределенной иа одном основании нормальной нагрузкой, при сво-
свободной от моментов боковой поверхности. Сопоставление приве-
приведенных выше решений показывает, что сочетание (9.168) и (9.174)
позволяет при соответствующем подборе коэффициентов получить
на одном из оснований пластины равномерно распределенную
нормальную нагрузку, а на другом отсутствие таковой. Эта внеш-
внешняя нагрузка уравновешивается распределенной по боковой по-
поверхности пластины касательной поверхностной нагрузкой.
Сумма (9.168) и (9.174) не дает, однако, решения интересую-
интересующей нас задачи, так как, в отличие от условий последней, на
основаниях пластины имеются направленные по радиусам каса-
касательные напряжения, которых по условию решаемой в настоящем
разделе задачи не должно быть. Для того чтобы снять эти напря-
напряжения, необходимо к комбинации результатов (9.168) и (9.174)

§ 9.13] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ 697
добавить еще такое решение, в котором содержится компонент хгг,
линейно зависящий от г. Разумеется, исправляя граничные усло-
условия для %rt на основаниях пластины, необходимо следить за тем,
чтобы вновь добавляемое решение не нарушало возможность
удовлетворить всем остальным граничным условиям, имеющимся
в комбинации (9.168) и (9.174). В решении (9.167) компонент т'Л',
как и требуется, зависит от т линейно, однако он зависит линейно
и от г, вследствие чего знаки t*V на противоположных основаниях
пластины получаются различными, а это означает, что, добавляя
(9.167) к комбинации (9.168) и (9.174), можно снять напряжения
хгг на одном из оснований пластины, но на другом они удвоятся,
что противоречит условию решаемой задачи.
Переходим к рассмотрению решения (9.164). В нем функция
х'гг также содержит члены с г в первой степени; при этом в эти
же члены г входит во второй степени. При помощи этих членов
можно компенсировать напряжение xzr на основаниях пластины
в комбинации решений (9.168), (9.174). Однако имеется обстоя-
обстоятельство, которое, надо учесть, чтобы, исправляя одно, не ухуд-
ухудшить другого. Действительно, в функции тУ/ имеются члены,
содержащие г3. Их надо уничтожить соответствующим подбором
коэффициентов а24 и а0б. Кроме того, и в составе аУ содержатся
нежелательные члены с ггг, нарушающие равномерность нормаль-
нормальной распределенной нагрузки на одном торце пластины и отсут-
отсутствие нормальной нагрузки на другом торце. Удачным обстоя-
обстоятельством, как это показано ниже, является то, что при отноше-
отношении коэффициентов а24 и аов, при котором уничтожаются члены
с л3 в т4% происходит уничтожение и членов с гг2 в о'*'. Усло-
Условия уничтожения указанных членов записываются так:
480^4 -8640 (l-nJaoe^O./ (9.176)
Легко видеть, что условия (9 175) и (9.176) повторяют друг друга,'
Итак, для обращения в нуль членов с гг2 в о*" и с гя в х'?г
необходимо, чтобы имело место соотношение коэффициенте^
а24 -18^^ао«. (У. 177)
при котором
8640 ,
— аОаг V,
о/ = 7f [4 B + и) г" - 3 (,i + 3) zrV ап„
at = ^ [4 B + ц) г» - 3 A + Зц) <n „O

в98 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ГГЛ IX
Теперь покажем формулы для напряжений аж и хгг, представляю-
представляющие собой сумму решений (9.168), (9.174) и (9.164) (при условии
(9.177)):
2A Л ч) , inn 1+Р - 5760
о = у •' а + 192 ^gL ап\г —
ov= '-f [4 B + ц) г"-3 Qi + 3) гг*\ аОв,
о# = ™ [4 B Н- ц) г8 - 3 A + Зц) гл2] аов.
Необходимо, чтобы при г —±Л/2
¦^, = 0. (9.178)
Учитывая, что -в полученное тг, z входит во второй степени,
обнаруживаем, что оба условия (9.178) выполняются одновре-
одновременно при удовлетворении уравнению
пс 1+И .а. I 8640 А* п
откуда
,8 45 1+2ц
^04 о 2ц
После учета этого соотношения компоненты напряжений выра-
выражаются формулами
2A+ц) , 1440Л3 U г
2160 ,„ /. .z»\
т„ = Ъг = jp ^2aoe ^ 1 - 4 jTfj,
о»- = ^Чо [4 B + и) 2s - 3 Oi + 3) zr*\,
°« = ™ aOe [-4 B + ц) г3 - 3 A + Зц) гла].
Теперь добьемся удовлетворения граничным условиям для су
при z = h/2 стг = —^,
при г = — Л/2 аг = 0.
или, в развернутой форме,
2A+Ю „ , 144Оао.Л» /3
~Ц Ql + U ~

i 9.13] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ
Отсюда следует:
аов = — 2880АЗ •
699
Получаем следующие формулы для компонентов напряжений:
(9.179)
Перейдем к рассмотрению граничных условий на боковой
поверхности пластины, на которой действуют напряжения хгг и
аг. Во-первых, найдем интеграл
+ /1/2
-ft/2
Найденная величина представляет собой силу, статически
эквивалентную распределенным на боковой поверхности силам с
Рис. 9.40. К определению погонной
поперечной силы иа боковой по-
верхности пластины.
Рис. 9.41. Уравновешивание поперечной нагрузки
интенсивности ?, приложенной к основанию пла-
стииы, поперечными силами, действующими на
боковую поверхность.
интенсивностью xrz (рис. 9.40) на площадке с размерами А и 1.
На всей боковой поверхности возникает сила, равная
Эта сила полностью уравновешивает нагрузку с интенсивностью
q, приложенную к основанию пластины (рис. 9.41).
Во-вторых, найдем интеграл
-Ъ/3
+ Л/2
- Л/2

TOO
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ IX
Этот интеграл представляет собой момент, статически эквива-
эквивалентный распределенным по боковой поверхности силам с интен-
интенсивностью а г (рис. 9.42) на площадке с размерами А и 1. Так
Рис. 9.42. К определению погонног* изгибающего иоиента на боковой поверхности
пластины
как в поставленной задаче на боковой Поверхности не должно^
быть моментов, то к решению (9.179) следует прибавить реше-'
ние (9.172):
(9.180)
и найти do\ из условия равенства нулю интеграла
-ft/2
—h/2
Подставляя с$ в (9.180), получим окончательные формулы для
компонентов напряжений
На рис. 9.43 показана эпюра напряжений а2 по толщине
пластины. На рис. 9.44 изображены эпюры х„ и аг по толщине

S 9.131
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ КРУГЛОЙ-ПЛАСТИНЫ
701
пластины: На боковой поверхности, т. е. при г=/?, напряже-
напряжение о> приобретает значения, определяемые функцией
Нормальная к боковой поверхности сила и изгибающий момент,
создаваемые а,,
+А/2
-ft/2
+А/2 +А/2
j j
Таким образом, несмотря на отсутствие на боковой поверх-
поверхности изгибающих моментов и нормальных сил, статически экви-
эквивалентных напряжениям о>, сами эти напряжения отличны от
? А
«г
t
Рис, 9.48. Эпюра аг по толщине пла-
Рис. 9.44. Эпюры хгг и аг по толщине
пластины.
нуля и, таким образом, образуют систему еамоуравновешенных
сил, эффект влияния которых быстро затухает по мере удаления
от боковой поверхности к центру пластины, где (при г = 0)
напряжение ог выражается формулой
аг = —,
В табл. 9.4 и 9.5 приведены проценты, составляемые само-
самоуравновешенной долей напряжений о> от полной величины напря-
напряжения. Легко видеть, что с уменьшением параметров h/R и rlR
этот процент быстро убывает.
Имея приведенные выше решения, можно было бы получить
решение и такой задачи, в которой ставится условие, что ради-
радиальные элементы при г = 0 и r=*R не поворачиваются (рис. 9.45)
(такой случай может трактоваться как случай заделки пластины

/02
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ IX
Таб.лица 9.4
ц г, 0,125
г
А/2
г/Я
0,95 0,90 0,88 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50
0,125
0,250
0,375
0,500
0,625
0,750
0,875
1,000
—25,4
—23,5
—20^
—16,6
—11,8
—6,54
—0,90
4,91
-11,6
-10,8
-9,58
-7,8E
-5,74
-3,25
-0,46
2,58
-7,66
-7,17
—6,36
-5,25
—3,86
—2,20
—0,31
1,78
—5,80
—5,44
—4,84
—4,00
—2,95
—1,69
—0,24
1,38
4,7,
4,43
3,95
3,27
2,41
1,39
0,20
1,14
—4,03
—3,78
—3,37
-2,7
—2,06
—1,19
-0,17
0,98
-3,54
—3,23
—2,96
—2,46
—1,82
-1,05
-0,15
0,86
-3,18
-2,99
-2,66
-2,21
-1,64
-0,94
-0,14
0,78
—2,91
-2,74
—2,44
—2,03
—1,50
—0,86
—0,12
0,72
—2,71
—2,54
—2,26
—1,88
—1,39
—0,80
—0,12
0,67
0,125
0,250
0,375
0,500
0,625
0,750
0,875
1,000
12,9
12,0
10,6
8,69
6,32
3,57
0,50
2,82
-6,21
-5,82
-5,17
-4,28
-3,15
-1,80
-0,26
1,47
-4,17
—3,91
—3,48
—2,89
—2,13
—1,23
—0,18
1,01
—3,18
—2,99
—2,66
—2,21
—1,64
—0,94
—0,14
0,78
—2,61
—2,45
—2,18
—1,81
—1,34
—0,78
—0,11
0,64
-2,23
—2,09
—1,87
—1,55
—1,1
—0,66
—0,10
0,55
-1,96
—1,84
-1,64
-1,37
—1,01
—0,59
—0,08
0,49
1,77
1,66
1,48
1,23
0,91
0,53
0,08
0,44
—1,6:
-i,s
—1,36
-1,13
—0,84
—0,48
—0,07
0,40
—1,50
— 1,41
—1,26
—1,05
—0,78
—0,45
—0,06
0,38
0,125
0,250
0,375
0,500
0,625
0,750
0,875
1,000
—7,87
—7,36
—6,53
—5,39
—3.96
—2,26
—0,32
1,83
—3,89
—3,65
—3,25
—2,70
—1,99
—1,15
—0,16
0,95
-2,63
-2,47
-2,20
-1,83
-1,36
-0,78
-0,
0,65
—2,01
—1,89
—1,69
—1,40
—1,04
—0,60
—0,09
ОД)
—1,65
— 1,55
—1,39
—1,15
—0,86
—0,49
—0,07
0,41
-1,41
—1,33
—1,19
—0,99
—0,73
—0,42
—0,05
0,36
—1,24
-1,17
—1,05
—0,87
—0,65
—037
—0,05
031
—1,12
—1,06
—0,94
—0,79
—0,58
—0,34
—0,05
0,28
—1,03
—0,97
—0,86
-0,72
—0,53
—0,31
—0,04
0,26
—0,96
—0,90
—0,80
—0,67
-0,50
—0,29
—0,04
0,24
0,125
0,250
0,375
0,500
—1,86
—1,74
—1,56
—1,30
0,625 —Ода
0,750
0,875
1,000
—0,56
—0,08
0,46
—0,94
—0,89
—0,79
—0,66
—0,49
—0,28
—0,04
0,24
—0,64
—0,61
—0,54
—0,45
—034
—0,19
—0,03
0,16
—0,50
—0,47
—0,42
—0,35
—0,26
—0,15 —О,
—0,02
0,13
—0,41
—0,38
—0,34
—0,29
—0,21
U2
—0,02
0,10
—0,35
—0,33
—0,29
—0,24
—0,18
—0,11
—0,02
0,09
—0,31
—0,29
—0,26
—0,22
—0,16
—0,09
—0,01
0,08
—0,28
—0,26
-0,23
-0,20
—0,15
-0,08
—0,01
0,07
-0,26
—0;24
—0,21
—0,18
—0,13
—0,08
—0,01
0,06
—0,24
-0,22
—0,20
-0,17
—0,12
—0,07
—0,01
0,06
Ц = 0,25
/1
«
1
3
1
4
z
щ
0,125
0,500
0,875
1,000
0,125
0,500
0,875
1,000
r/R
0,95
—26,0
—16,9
—0,91
5,00
—13,1
—8,86
-0,51
2,87
0.75
—4,82
-3,33
—0,20
1,16
—2,65
—1,85
-0,11
0,66
0.80
—2,76
—1,92
—0,12
0,68
—1,53
—1,07
—0,07
0,38
Табл
та 9.5
ц =• 0,25
А
R
1
5
1
10
Й/2
0,125
0,500
0,875
1,000
0,125
0,500
0,875
1,000
r/R
0,95
—8,02
—5,49
—0,33
1,86
—1,89
—1,32
—0,08
0,47
0.75
—1,68
—1,17
—0,07
0,42
—0,42
—0,29
—0,02
0,11
0,50
—0,97
—0,68
—0,04
0,25
—0,24
—0,17
—0,01
0,06

9.!4|
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
703
на контуре). Для этого необходимо было бы продолжить реше-
решение задачи, а именно, исходя из (9.180), найти компоненты
деформации, пользуясь законом Гука, а далее из уравнений
Эпюраш
Рис. 9.45. Деформация пластины при условии отсутствия поворотов у радиальных
элементов dr в плоскости г = 0,' расположенных у боковой поверхности.
Коши, путем их интегрирования, определить перемещения и, v,
w (которые выражались бы через aj,i'). Далее, из условия
dw
Тг
= 0
Найти аи и подставить его в (9.180).
§ 9.14. Решения некоторых задач
об осесимметричном напряжённом состоянии
1. Сосредоточенная сила в точке тела бесконечных размеров.
Если в точке бесконечного тела приложена сила Р (с точкой
приложения силы совмещено начало координат), действующая
вдоль оси г (рис. 9.46), то она вызывает в теле напряжения,
определяемые формулами
- 2vl) г
г2)~3/2
г2)~
2+г2)/2]>
При /-->-0 все компоненты напряжений устремляются к беско-
бесконечности. Для того чтобы избежать рассмотрения таких напря-
напряжений, вырежем из тела сферу радиуса л0, расположив ее центр
в точке приложения силы и загрузив поверхность образовавшейся
полости поверхностными силами руг и pvr (рис. 9.47):

704
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
2. Сферический сосуд, находящийся под внешним и внутрен-
внутренним равномерно распределенными давлениями. Если на сфериче-
сферический сосуд с концентрически расположенной полостью действует
Рис. S.4S. Сосредоточенная, Рис. 9.47. Поверхностная нагрузка и напряжения, дей-
сила Р, приложенная и точ- ствующие на элемент вблизи поверхности внутреннего
ке бесконечного тела. сферического выреза в бесконечном теле, загруженном
силой, приложенной к центру вырезанной из тела сферы
Риар — наружное и рвн — внутреннее давления, равномерно распре-
распределенные по внешней и внутренней поверхностям (рис. 9.48),
Рис. 9.48. Внешние и внутренние давления, дейстпующие на толстостенный сфериче-
сферический СО1'УД
то в теле сосуда возникают напряжения (в сферических коорди-
координатах):
a _
в„ ~ * нар)
,, ~ *?.„) '
_
1

Э.14]
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
705
3. Сосредоточенная сила, действующая на плоскость, ограни-
ограничивающую полупространство
Для точек сферической поверхности диаметра d, касающейся
наружной плоскости в точке 0 приложения силы Р [(рис. 9.49),
Рис. 6,46. Напряжения иа площадке в Рис. 9.50. Равномерно распределенная
полубесконечном теле, загруженном сосре- нормальная нагрузка, действующая на
доточенной силой, нормальной к гранич- плоскость, ограничивающую полубеско-
ной плоскости. иечиое тело.
полное напряжение рг =
постоянно и равно
на горизонтальной площадке
ЗР_
2nd*'
направление этого напряжения проходит через точку 0.
Перемещения, возникающие в полубесконечном теле от силы
Р, выражаются формулами:
При г —0, т. е. на граничной плоскости
и= и
23 А П. Фнлнн
2пЕг
W — W
РA— у
nEr

706 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IX
4. Полубесконечное тело, загруженное на круге на граничной
плоскости равномерно распределенной нормальной нагрузкой
интенсивности р. При воздействии на плоскость, ограничивающую
полубесконечное тело, нагрузки, указанной в заголовке раздела
(рис. 9.50), точки на граничной плоскости получают вертикаль-
вертикальные перемещения
—
Наибольшее перемещение имеет место в центре загруженного
круга и равняется
21*
Напряжения, возникающие в теле в точках на оси г, выра-
выражаются формулами
В центре 0 загруженного круга
с, —р, а,-
В точках, лежащих на оси г, максимальное касательное напря-
напряжение возникает на площадках, составляющих с г угол 45°, и выра-
выражается формулой
Наибольшей величины максимальное касательное напряжение
достигает не на поверхности. Так, при jj, = 0,3 в точке (г = 0,
г = 0) w = 0,1/9, а в точке (г = 0, г = а у ЦЩ+ = 0,638а)
Ттах = 0,33р.
Результаты настоящего. раздела получаются из результатов
предыдущего путем интегрирования по площади загруженного
круга, если полагать P = pdF, где ^ — элементарная площадка
загруженной части граничной плоскости.
Если круг радиуса а загружен любой (не равномерно распре-
распределенной) осесимметричной нагрузкой интенсивности p — p(t), то
для точки граничйой поверхности в центре загруженного круга
а

§ 9-15]
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕННО
§ 9.15. Концентрация напряжений
707
1. Концентрация напряжений у круглого отверстия в пластине,
растянутой в одном направлении. Имеем прямоугольную пластину,
подвергнутую воздействию на двух противоположных кромках
равномерно распределенной нормальной нагрузки интенсивностью
а. Пусть в центре пластины имеется круглое цилиндрическое
отверстие (рис. 9.51, а). Будем считать отношение диаметра от-
отверстия к ширине пластины бесконечно малым. Поставим задачу
Рис. 9,51. К задаче о концентрации напряжений у круглого отверстия в растягивав1-
мой полосе: а) пластина с круглым отверстием малого радиуса, растягиваемая в одном
направлении равномерно распределенными напряжениями;, б) вырезанный из полосы
диск: в) элемент у боковой поверхности диска.
найти закон распределения напряжений в области, примыкающей
к отверстию.
Исходя из принципа Сен-Венана, будем считать, что на боль-
большом удалении от отверстия напряженное состояние пластины не
отличается от того, которое имеет место при отсутствии отвер-
отверстия. В таком случае можно рассматривать не всю пластину,
а часть, вырезанную из нее круглой цилиндрической поверх-
поверхностью, ось которой совпадает с осью цилиндрического отверстия
в пластине, а диаметр равен ширине пластины (рис. 9.51, б).
Вследствие того, что ширина пластины, а следовательно, и ди-
диаметр вырезанной части, намного больше диаметра отверстия,
можно считать, что на наружной круглой цилиндрической кромке
вырезанной части пластины напряжения распределены так же,
как и на аналогичной поверхности в пластине без отверстия.
23*

708
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. ТХ
Из-за цилиндрической формы вырезанной части пластины приме-
применим полярную систему координат.
Компоненты напряжении на внешней кромке выражаются
формулами (см. рис. 9.51, в), известными еще из анализа напря-
напряженного состояния полосы при растяжении ее силами, равно-
равномерно распределенными на торцах,
а, = a cos2 ft = а-±-A+cos 2ft),
тл<> = — а sin ft cos ft = — -у sin 2ft.
(9.182)
Напряжения (9.182) можно рассматривать как внешнюю поверх-
поверхностную нагрузку, приложенную к кромке вырезанной цилиндри-
цилиндрической части пластины, под действием которой и возникает ин-
интересующее нас напряженно-деформированное состояние внутри
Рис. 9,52. Поверхностная нагрузка, действующая на диск, вырезанный нз растянутой
в одном направлении пластины: а) полная нагрузка; б) первое (осесимметрнчное) сла-
слагаемое; б) второе слагаемое.
отмеченной вырезанной части пластины. Представим нагрузку
(9.182) (рис. 9.52) состоящей из двух слагаемых (рис. 9.52, б, в).
Первое слагаемее вызывает напряжения, которые могут быть
определены по формулам Ламе для напряжений в толстостенной
трубе, если положить в них
2 •
В таком случае формулы Ламе приобретают вид
Деля числитель и знаменатель дробей в (9.183) на /?а, получим
а а2 I , а 1 а а2 I , a I
а31
!*'

$ 9.15J КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 709
Устремляя отношение a/R к нулю, придем к формулам
о & , о а (л аг\ о а? , о
^ + l1) 0 +
(9.184)
Что касается второго слагаемого нагрузки (см. рис. 9.52, в), то
для него необходимо найти соответствующее решение.
Представим функцию Эйри в виде
ф = {(г) cos 2ft. (9.185)
Подставим (9.185.) в уравнение совместности деформаций (9.119;.
Дифференциальное выражение
^? л. — ?$¦ л. — ^2
Зга ~*~Т~дг ~*~7*W
после подстановки в него (9.185) приобретает вид
а уравнение (9.119) по сокращении на cos2# запишется так:
*^ r dr , ri)\dri~r~ r dr r*
или, после выполнения дифференциальных операций и приведе-
приведения подобных членов,
Подобно тому как это было сделано применительно к уравне-
уравнению (9.124), путем замены переменной
r = ef {t = \nr)
перейдем к дифференциальному уравнению с постоянными коэф-
коэффициентами
33SS
Его характеристическое уравнение
s4 - 4s3 -4s2 + 16s = О
имеет корни
Si — и, Sa — zt S3 — ^t, S| z,
вследствие чего общий интеграл уравнения (9.187) имеет вид
\-A3r* + At-^.

710 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1ГЛ. IX
Функция Эйри изобразится так:
ф = ( Ах + Аггг + A3r* + At ^) cos 20. (9.188)
Имея (9.188), находим по формулам (9.123) компоненты напря-
напряжений:
аг = — cos 20 -7ai + 2/42 + 7ji '
oo = cos20[2/42+12y43/-2 + /44;|l> (9.189)
т^ = sin 20 [_ 2Л, ~ + 2А2 + 6Л3/-2 - ^].
Определим постоянные интегрирования из граничных : условий:
при г = а аг = 0, тло = 0;
при r — R аг = у cos 20, trO— — у sin 20,
или, в развернутой форме,
- 2Аг ± + 2А
- Ц? = 0,
2 R< ~ 2
Отсюда следует:
¦*»в
576а» ,
Я"
576а»
576а»
Я"
36а
144а8
72аа2
Я4
144а»
288а4 576аЗ
108аа4
288а4 576а2
24аа* ^
Я6
288а« 576аа
, , Збаа8
2 ' я4
1
Л. 144
t
144
t
144
576а« 144а8 288а4 576а2

$ 9.15]
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
711
Теперь напомним, что отношение a/R нами было принято
очень малым; при устремлении этого отношения к нулю получим
следующие выражения для постоянных интегрирования:
aa2
{=-Ц-. (9.190)
Подставляя (9.190) в (9.189), получаем
Т а 7*) cos 2*'
3 а*\ .
о)81
(9.191)
Складывая (9.184) и (9.191), находим окончательно
(9.192)
При малом отношении а/г, или, иначе, при большом г, т. е.
на значительном расстоянии от отверстия, формулы (9.192) для
аг и XrQ переходят в формулы (9.182),
справедливые для растянутой пла-
пластины при отсутствии отверстия.
У самого отверстия, т. е. при
г = а, напряжения приобретают сле-
следующие величины: на площадках,
перпендикулярных к направлению
растяжения, т. е. при ft = я/2
(рис. 9.53)
Рис. 9.53. Распределение нормаль-
нормальных напряжений в двух сечениях
вблизи отверстия в растянутой по-
полосе.
при г = а и ¦б' = 0 или п, т. е.
на площадках, расположенных у от-
отверстия, но параллельных направлению растяжения
кают сжимающие напряжения
возни-
возниВ табл. 9.6 показано, насколько быстро изменяются напряже-
напряжения у отверстия в эпюрах, изображенных на рис. 9.53.

712
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
Таблица 9.6
л
г
а .
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
"о
а
—1,000000
—0,611297
—0,376157
—0,2293аЗ
—0,135360
—0,074074
п
о
г
а
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
1
2
а
—0,033569
—0,006585
0,011431
0,023403
0,031249
A+?Ь
я/2
т(
г
а
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
+ 3
а
3,0000
2,437743
2,070601
1,821049
1,645564
1,518518
я/2
-^J cos 20
г
а
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
Ч ¦
а
1,424194
1,352605
1,297210
1,253604
1,218750
2. Концентрация напряжений у круглого отверстия в пластнне
в некоторых других случаях. На рис. 9.54 показана картина
концентрации напряжений у круглого отверстия малого диаметра
в пластине в двух случаях ее напряженного состояния — при
1
1
|
26
Illllllllllllltlillltlill
V
—
mtftttttwt
И
| Z6
\
1
-i
Рис. 9.84. Напряжения в пластнне с отверстием: а) при равномерном растяжении в двуя
направлениях: о) прн чистом сдвиге.
двухосном равномерном растяжении и при чистом сдвиге. При
этом использован принцип независимости действия сил.
. Если а/г не очень малая величина, то формулами (9.182),
выведенными в этом предположении, пользоваться нельзя. Реше-
Решение же задачи о напряженном состоянии пластины с конечным
отношением alb (а — по-прежнему радиус отверстия, a b — поло-
половина габаритного размера пластины в направлении, перпенди-
перпендикулярном к растяжению) намного сложнее приведенного выше,
на нем не останавливаемся и покажем лишь результат, изобра-
изображенный на рис. 9.55. Коэффициент 4,3 больше 3 в связи с тем,

9.15]
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
713
что за ¦ счет большего ослабления в сечении значительно возра-
возрастают средние напряжения для изображенного на рис. 9.55
случая (а:6 = 0,5)
Коэффициент же концентрации по отношению к среднему (номи-
(номинальному) напряжению
Рис. 9.55. Концентрация напряже-
напряжений вблизи отверстия конечного
меньше, чем в случае отверстия очень малого диаметра (при
малой* величине alb), когда этот коэффициент равен 3.
3. Концентрация напряжений при различных концентраторах.
В приложении II приведены результаты решения ряда задач
о концентрации напряжений при раз-
различных концентраторах.
Анализ многочисленных резуль-
результатов решения задач на концентра-
концентрацию напряжений позволяет обнару-
обнаружить некоторые общие закономерно-
закономерности. Остановимся на главных из них.
Во всех случаях наблюдается
резкое уменьшение напряжений при
Незначительном удалении ОТ ОЧага диаметра Bа = ~\ в полосе, рас-
НЭИбОЛЬШеЙ КОНЦеНТраЦИИ НЭПряже- тянутой в одном направлении
ний — концентратора, т. е. от места,
где возникает наибольший пик напряжений. В особенности та-
такая картина резко появляется при объемном напряженном со-
состоянии. Это явление немецкий ученый Г. Нейбер назвал законом
затухания.
Обнаруживается, что на максимальное напряжение существенно
влияет форма лишь той части поверхности выточки; которая
располагается в непосредственной близости к месту наибольшей
концентрации напряжений. Уже при небольшом удалении от
этого очага форма поверхности тела очень мало влияет на мак-
максимальные напряжения. Значительный интерес представляют так
называемые разгружающие выточки — создаваемые специально,
т. е. не вызванные целевым назначением детали и эксплуата-
эксплуатационными к ней требованиями. Если, например, на валу имеется
одна выточка, требующаяся по конструктивным соображениям,
то вызываемое ею возмущение в поле напряжений оказывается
большим, чем возмущение, возникающее при наличии в валу
двух выточек, из которых лишь одна нужна по конструктивным
соображениям, а вторая создана для улучшения напряженного
состояния. Эта вторая выточка и носит название разгружающей.

714
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
§ 9.16. Контактные напряжения
1. Общие положения. Большой и важный в практическом
отношении класс составляется так называемыми контактными
задачами, характерной особенностью которых является наличие
на части поверхности упругого тела того или иного контакта
с другим телом, абсолютно жестким или упругим. При этом гра-
граничные условия на поверхности контакта тел становятся специ-
специфическими, определяющими собой особенность рассматриваемого
класса задач.
Рис. 9.66. Контактные вадачн (класси-
фикация по признаку размерности):
а) плоская; б) пространственная (осе-
симметричная).
Рис. 9.57. Контактные задачн (классификации
по признаку физических свойств контакти-
рующих тел): а) контакт абсолютно жесткого
н деформируемого (в частности, упругого)
тела: О) контакт двух деформируемых тел.
В настоящем параграфе приводятся лишь постановка некото-
некоторых типичных контактных задач и некоторые характерные резуль-
результаты рещеция небольшого числа задач. Математическая же
формулировка задач и методы их решения не обсуждаются.
Сначала будут показаны типичные представители контактных
задач, а после уяснения их специфических особенностей читатель
познакомится с практическими примерами тех условий, которые
приводят к постановке контактных задач. Контактные задачи
могут быть классифицированы по нескольким признакам. Оста-
Остановимся на важнейших из них.
Контактные задачи делятся на плоские и пространственные
(рис. 9.56). Последние, как и вообще в механике твердого
деформируемого тела, и, в частности, в теории упругости, намно-
намного сложнее первых. Этим объясняется тот факт, что значительно
больше решено плоских задач, нежели пространственных.
По признаку физических свойств контактирующих тел разли-
различают случаи: упругое тело —жесткое тело (штамп) (рис. 9.57, а),
упругое тело —упругое тело (рис. 9.57,6). В последнем случае
физические свойства у контактирующих тел могут быть одинако-
одинаковыми либо различными. Кроме того, в обоих случаях под упру-
упругим телом может пониматься и изотропное и анизотропное тело.
По форме первоначальной поверхности контактирующих тел
(если тело абсолютно жесткое, то эта форма не изменяется при

9.161
КОНТАКТНЫЙ НАПРЯЖЕНИЯ
715
силовом взаимодействии тел) можно различать три случая.
В первом случае форма тел такова, что площадка контакта сох-
сохраняет свои размеры и форму при возрастании сил взаимодейст-
взаимодействия от нуля до максимального их значения (рис. 9.58, а). Во
втором случае площадка контакта по мере роста силы увеличи-
увеличивается (рис. 9.58, б). Наконец, в третьем случае площадка кон-
контакта по мере роста силы сначала увеличивается до определен-
определенного значения силы, 'а затем, достигнув определенной величины,
перестает увеличиваться (рис. 9.58, в), начиная с того значения
силы, при котором все основание штампа вступило в контакт.
ч)
1~П
Рис. 9.58. Классификация контактных задач по признаку размеров площадки контакта:
а) неизменяющийся, в процессе роста силы, размер контактной площадки; б) увеличе-
увеличение контактной площадки прн росте силы; е) увеличение контактной площадки при росте
силы до некоторого предела и сохранение неизменными размеров площадки контакта
после достижения силой этого предела.
По условиям взаимодействия контактирующих тел на площадке
контакта различают такие случаи: а) отсутствие сил трения на всей
площадке контакта; б) наличие полного сцепления контактирующих
тел на площадке контакта; в) наличие тангенциальных сил
взаимодействия на части площадки контакта, меньших по величине,
нежели произведение нормального давления на коэффициент трения
(на этой части площадки контакта имеет место сцепление контак-
контактирующих тел), а на остальной части контактной площадки, где
происходит проскальзывание контактирующих тел одного по дру-
другому — наличие тангенциальных сил трения (например, кулонова
трения, равного нормальному давлению, умноженному на коэффи-
коэффициент трения).
Граница между указанными частями площадки контакта из-
изменяется по мере возрастания внешних сил, и параметр, опре-
определяющий положение границы, относится к числу неизвестных ве-
величин.
В ряде случаев условия взаимодействия контактирующих тел
определяются наличием смазки между ними. С такой ситуацией
приходится сталкиваться во всевозможных машинах. При этом,
если оба контактирующих" тела рассматриваются как абсолютно
жесткие, то давление взаимодействия определяется методами
гидродинамической теории смазки. Если же тела полагают упру-
упругими, то приходится совместно использовать аппараты теории
упругости и гидродинамической теории смазки. Если скорости

716 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ IX
относительного движения деталей машины невелики, то гидро-
гидродинамическими явлениями можно вовсе пренебречь.
В тех случаях, когда линейные размеры площадки контакта
намного меньше радиусов кривизны контактирующих тел, могут
быть приняты упрощенные предположения о форме тел. Так, на-
например, одно из них может быть принято в виде упругой полу-
полуплоскости в плоской задаче или в виде упругого полупростран-
полупространства в пространственной задаче. Распространенной расчетной схемой
контактирующих тел в пространственной задаче являются контак-
контактирующие эллиптические параболоиды. Если неровности на поверх-
поверхности контактирующих тел имеют размеры того же порядка, как
и размеры контактной площадки, то принимать упрощающие пред-
предположения о форме поверхности контактирующих тел нельзя.
Иногда возникает необходимость рассматривать воздействие на
упругую полуплоскость или упругое полупространство не одного,
а нескольких самостоятельных или определенным образом соединен-
соединенных между собой (жестко или шарнирно) штампов.. Контактную
задачу можно рассматривать и в условиях, когда на части поверх-
поверхности контактирующих деформируемых тел имеется внешняя на-
нагрузка. При этом такая нагрузка в силу деформируемости тел
или одного из них влияет на силы взаимодействия тел на контакт-
контактной площадке.
Наряду со случаями, в которых рассматривается перемещения
контактирующих тел, связанные лишь с деформацией одного из
них или обоих тел, встречаются контактные взаимодействия тел
в условиях, когда одно тело перемещается относительно другого
путем поступательного скольжения или качения. Такие задачи
составляют одну из групп контактных задач.
К числу контактных относится и задача о повороте цилиндриче-
цилиндрического штампа относительно своей оси при условии, что нормаль-
нормальное основание цилиндра сцеплено с упругим полупространством.
Большую специфику имеют задачи об изгибе упругих гибких
балок и пластин, лежащих на сплошном упругом основании, или
задачи об изгибе гибких балок и пластин под воздействием штам-
штампов, контактирующих с ними.
Приходится в ряде случаев рассматривать задачи о контакте
тел, имеющих конечные размеры во всех или некоторых, из числа
трех, направлениях, например, задача о контакте двух сфер,
задача о давлении штампа на слой конечной толщины.
Кроме величины и распределения сил взаимодействия контак-
контактирующих тел исследователя может интересовать вопрос' о месте
расположения точки с наибольшим напряжением (эта точка.может
быть и внутри тела) и о величине последнего.
• В табл. 9.7 представлены результаты решения некоторых задач,
заимствованные из книги Л. А. Галина «Контактные задачи теории
упругости», Гостехиздат, 1953.

Ч.16]
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
717
Г а б л и ц а 9.7
п/п
Рисунок
Р(Х)
Эпюра р ис) в без-
безразмерных коорди-
координатах
IJ1
-ijo -о i,o
-1,0 0 1,0 x
парабола четвертой
степени
Если .поверхность, ограничивающая штамп, гладкая — без
ребер и острых вершин, в том числе и на краях площадки кон-
контакта, то давление, возникающее под штампом, ограничено на ли-
линии, являющейся контуром этой площадки.
Если у основания штампа имеется ребро и оно находится
в пределах контактной площадки, то интенсивность сил взаимо-
взаимодействия вблизи ребра, полученная теоретическим путем, устрем-
устремляется к бесконечности. В реальных условиях в соответствующих
областях материал работает за пределом упругости.
С контактными напряжениями приходится встречаться во мно-
многих случаях и в машинах и в разнообразных конструкциях.
Примерами могут служить шарико- и роликоподшипники
(рис. 9.59, а, б), цилиндрические подшипники (рис. 9.59, в),
катковые, валиковые и тангенциальные опорные части мостовых
пролетных строений (рис. 9.59, г, д, е), зубчатые колеса
(рис. 9.59, ж), фундаменты под разнообразными (рис. 9.59, з)
сооружениями, аэродромные плиты и т. п.

718
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГГЛ IX
2. Взаимное надавливание двух соприкасающихся сферических
тел. В настоящем разделе проследим за методикой решения кон-
контактной задачи. Имеем два сферических тела с радиусами /?j и /?2,
Рис. 9.89. Примеры конструкций и деталей машин, работающих в условиях контакт-
контактной задачи: а) шарикоподшипник; б) роликоподшипник; в) цилиндрический подшипник;
г) катковая опорная часть мостового пролетного строения; д) валковая опорная часть
мостового пролетного строения; е) тангенциальная опорная часть балки; ж) зубы зубча-
зубчатых колес; е) фундамент мостовой опоры.
первоначально касающихся в точке 0 (рис. 9.60). Отметим
на поверхности этих тел точки Nx и N2, лежащие на одной
линии, параллельной оси г на расстоянии г от этой оси. Восполь-
Воспользуемся известной приближенной формулой для кривизны плоской
кривой, какой является центральное сечение каждой из сфер:
/-3

9.161
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Отсюда найдем гх и г2, сумма которых представляет собой
расстояние между точками Nx и N2 до деформации тел:
Теперь рассмотрим картину после того как тела окажут
давление одно на другое силами Р, направленными по оси г.
В результате такого воздействия
и N2 получат переме-
Wi и w2 соответственно
точки
щения 2
от местной деформации. При
этом перемещения w1 и w2 про-
происходят в противоположных
направлениях. Вместе с тем, если
рассмотреть в -контактирующих
телах точки на оси г, достаточно
далеко отстоящие от точки 0, то
эти точки вследствие сжатия
тел сблизятся на величину а.
Тогда взаимное сближение
точек Л^ и #2 представится
формулой
a — (w1-\-w2). .
Рис. 9.60. Геометрическая картина контак-
контакта двух сфер в первоначальный момент.
Если это взаимное сближение полностью компенсирует первоначаль-
первоначальное расстояние между точками zx-\-z2 (иными словами, точки
Nx и N2 оказываются в пределах площадки контакта), то будем
иметь следующее равенство:
= р/-2, (9.193)
где1)
а
Р ~
Местные перемещения и>1 и w2 можно найти, учитывая малость
площадки контакта тел по сравнению с их радиусами, по формуле,
полученной для полубесконечного пространства, загруженного
осесимметричной распределенной нормальной нагрузкой на круге
граничной плоскости
!) Заметим, что если бы рассматривалось взаимодействие сферы и полу-
полубесконечного тела (рис. 9.61), ограниченного плоскостью, то было бы R1=<x^,

720
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
fix, Ех и (i2, ?2 —УпРУгие постоянные контактирующих тел, соот-
соответственно радиусов /?i и /?2.
Подставляя (9.194) в (9.193), получим
где
(У.1У5)
Требуется найти такую функцию р — р(г), при которой удовлет-
удовлетворяется уравнение (9.195). Такой оказывается функция, соот-
соответствующая распределению давления на площадке контакта по
закону половины сферы. Задавшись такой функцией после инте-
интегрирования, получаем
Это равенство удовлетворяется прн любых г, т. е. предположение
о законе распределения правильное, если
Здесь po — ka — максимальное давление на площадке контакта (в ее
центре), k — коэффициент масштаба.
и расстояние между точками JV: и N2 определялось по формуле
„ . г* . „ 1
т. е. (J=f
Если сфера радиуса R2 действует на сферическую полость радиуса
а) б)
Рис. 9.61. Геометрия контакта двух тел: а) сферического и полупространства с плоской
поверхностью; б) сферического тела с бесконечным телом со сферической полостью
бесконечном теле (рис. 9.62), то расстояние между точками N, и Л/а выра-
выражается формулой
ч—*i=-
т. е. р = -

9.16]
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
721
Наибольшее давление равно
зр
_
т. е. оно в 1,5 раза больше среднего.
При неучете сил трения в тех случаях, когда контакт пер-
первоначально происходит в точке, а при возрастании силы возни-
возникает площадка контакта, имеющая форму эллипса, нормальное
Ряс. 9.62. Сближение центров контактирующих Ряс. 9.63. Эллипсоидальная эпюра
тел в процессе деформации, 'вызванное деформа- контактны* давлений,
цией вблизи места контакта
контактное давление распределяется по эллипсоидальному за-
закону. Уравнение эллипса контакта имеет вид
или
где а = У~С1А, Ь — YClB, а Л и Л —величины, зависящие от
радиусов главных кривизн'1) контактирующих тел. С —сближение
контактирующих тел, происходящее за счет упругой деформации
по площадке контакта (рис. 9.62). Эллипсоидальная эпюра кон-
контактных давлений имеет вид, показанный на рис. 9.63. Имея в
виду, что половина объема эллипсоида равна
3 .
у Jtao<jmax,
где a, b и атах — длины его полуосей, а с другой стороны, имея
в виду, что объем этой эпюры равен силе Р, действующей на кон-
контактирующие тела, получаем уравнения для отыскания отах:
отсюда
1 JL
2 nab'
х) Радиусами главных кривизн в точке поверхности называются наиболь-
наибольший и наименьший из радиусов кривизн нормальных сечений поверхности
в рассматриваемой точке, т. е. следов, оставляемых на поверхности плоско-
плоскостями, проходящими через нормаль к поверхности в рассматриваемой ее точке.

722
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ ГХ
а
s
ч
«о
S
ЕЕ
S
i
I
Ш
3
Е
О
05
аа
аа
<и
к
а
с
я
в
в
3
irogi
л
Ж
равнения
5НИЯ
>>о
2*
н
X СО
X С
ес Ч
-Q- "^
О
Ч
о
к
о
•и*
ющв:
CJ
рИК?
С
О
л
S
о.
о
е
1
D
ч
сающихся
а
К
Си
с
о
CJ
3
а
си
S
я
а
к
IHH
«о
CJ
Я
S
QJ
X
о
+
-5
\
й.
00
0,38
°?
+
о;
Й
s
i-i
1
S
et
та
Сь
03
О——ч
2^
о?
1
91
*а
о;
'а.
00
0,38
•«г
i
91
1
1
«4
Й -
К
03
Щ
О
О.
со
э
S
03 Л
о о
со
о. о.
га ш
Я -в-
ft
~&
о.
СХ)
о1
-
-!Й
с
X
S
1
ТО "^
°-8
о. II
со вч
^^
§
-к
+
— с
с
,
га
о.
о.
Л ЦИЛИНД
.)
ос
« «
fcf M
ге О;1
о.
то
1
II
1
1
ш

Шар радиуса /?j и цилиндриче-
цилиндрический желоб радиусаR% (R2>Ri)
1 (
2R,
Шар радиуса i?j и тороидальный
желоб радиусов #г и /?^ (шари-
(шариковый подшипник)
2 Ux
_1_
Re.
о
i
>
H
I
S
m
Роликовый подшипник радиусов
/?! и /?2 и тороидальный желоб
радиусов /?3 и /?4
Два цилиндра с осями, распо-
расположенными накрест, радиусов /?!
и Ra (R2>RJ
1
2R,
1
2Я,
Два цилиндра с параллельными
осями радиусов #t и /?2 (/?2>
0,418
Цилиндр радиуса У? и плоскость
(Я2=со)
1
2R
0.4.8]/^-

724
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IX
Этой формулой пользоваться неудобно, так как величины полу-
полуосей площадки контакта не известны, их величины зависят от
отношения А/В. Удобнее пользоваться формулой для <ттах, имеющей
следующую структуру:
•2. (9.196)
Здесь а — коэффициент, зависящий от А/В. В табл. 9.8 приведены
формулы для А я В для разных случаев контактирующих тел, а
в табл. 9.9 — значения коэффициента а1).
Таблица 9.9
А
В
а
А
В
a
1
0,388
0.9
0,400
0.20
0,716
0,8
0,420
0.15
0,800
0,7
0,440
0,10
0,970
0,6
0,468
0,05
1,280
0,5
0,490
0,02
1,800
0,4
0,536
0,01
2,271
0,3
0,в0.)
0.007
3,202
Проверка прочности материала должна производиться для опас-
опасной точки, которая лежит на некотором удалении от поверхно-
поверхности под центром эллипса контакта.
Если использовать энергетическое условие пластичности (чет-
(четвертая теория), то эквивалентное напряжение по этой теории
в указанной опасной точке может быть найдено по формуле
Условие невозникновения предельного состояния материала
в опасной точке, с установленным коэффициентом запаса, при-
приобретает вид
Рост контактных напряжений, что видно из формул (9.196),
происходит медленнее.чем рост силы. Контактные напряжения зави-
зависят от модуля упругости материала.
>) Таблицы 9.8 и 9.9 заимствованы из курса «Сопротивление материалов>
Н. М. Беляева, «На>ка>, 1965.

Глава X
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ»)
§ 10.1. Холодная пластичность
Выше в связи с рассмотрением поведения металлических тел
при одноосном напряженном состоянии и нормальных темпера-
температуре и давлении было указано, что деформация материала пере-
перестает быть обратимой, если напряжения достигают значений, боль-
больших предела упругости ат2). В этом можно убедиться, если
ат
о
Рис. 10.1. Диаграмма Рис. 10.2. Диаграмма сдви-
растяжения пластичного га пластичного металла.
металла.
Рис 10.3. Диаграмма все
стороннего сжатия пластич-
пластичного металла
образец, нагруженный до точки А (рис. 10.1), лежащей выше о„
разгрузить. Разгрузка изобразится на диаграмме линией А В;
отрезок ОВ определяет величину остаточной деформации. При
чистом сдвиге связь между касательными напряжениями и углом
сдвига для металлического образца имеет такой же характер,
как и при растяжении — сжатии (рис. 10.2; тт —предел текучести
при сдвиге).
•') Глава X написана Ю. Б. Шулькиным.
») В этой главе мы не будем делать различия между пределами упругости
и 1екучести.

726 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
По-другому ведут себя металлы при всестороннем сжатии.
Опыты - показывают, что до очень больших давлений (порядка
105 кГ/см2) металлы ведут себя как упругие. Связь между
давлением р и относительным изменением объема О показана
на рис. 10.3.
Таким образом," при напряженном состоянии, отличающемся
от всестороннего сжатия, металлы проявляют способность при-
приобретать остаточные деформации1). Неупругость проявляется
после того как внешняя нагрузка достигнет некоторого опреде-
определенного значения, зависящего от материала и вида напряжен-
напряженного состояния в образце. Эта способность к необратимым дефор-
деформациям сохраняется у металлов и при весьма низких температу-
температурах, когда тепловые колебания атомных частиц практически отсут-
отсутствуют. Отсюда следует, что металлические тела могут приобре-
приобретать пластическую деформацию, внутренний механизм которой
не связан с тепловым движением. Такого рода пластичность при-
принято называть холодной или атермической.
Способность кристаллических тел к атермической пластичности
не исключает у них неупругости, связанной с тепловым движе-
движением элементов структуры. Механизм такой неупругости прояв-
проявляется при достаточно высоких температурах (порядка темпера-
температуры рекристаллизации данного материала) или при весьма
длительных воздействиях. Обусловленную ими неупругость при-
принято называть ползучестью, так что термин «пластичность» будет
применяться только для обозначения неупругости, носящей атер-
мический характер.
Холодная пластичность может наблюдаться также у некото-
некоторых неметаллических материалов (например, у горных пород),
однако для ее проявления необходимо весьма большое всесторон-
всестороннее сжатие. В частности, мрамор, являясь при обычном (атмос-
(атмосферном) давлении типично хрупким материалом, в условиях высо-
высокого давления (~ \0*кГ/см2) деформируется пластически, не раз-
разрушаясь (см. главу VIII, § 8.6). В отличие от этих материалов,
металлам холодная пластичность свойственна при нормальном
давлении.
§ 10.2. Простейшие модели упруго-пластического материала
при одноосном напряженном состоянии
Идеализируя поведение материала при растяжении — сжатии
(или при чистом сдвиге), приходят к двум основным типам моде-
моделей упруго-пластических тел.
Первый из них является схематизацией кривой растяжения
мягкой стали, для которой характерна площадка текучести. Эта
1) Имеются материалы (например, грунты, пбристые среды), способные
к необратимой деформации и при всестороннем сжатии.

$ 10.2)
МОДЕЛИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
727
кривая заменяется диаграммой, изображенной на рис. 10.4. Как
видно из диаграммы, при растягивающем напряжении, меньшем
предела текучести, т. е. при в<Свт, модель ведет себя как тело
Гука (участок О А). При достижении напряжением значения ат
начинается пластическое течение (участок АВ); деформация здесь
является неопределенной и может неограниченно возрастать. Раз-
Разгрузка протекает упруго с тем же модулем упругости, что и при
нагружении {ОА и ВС параллельны). Если OD —полная дефор-
деформация, то CD определяет её упругую долю, а ОС — остаточную.
Сжатие подчиняется тем же закономерностям, причем можно при-
принять о'т = ат. Тело, поведение которого определяется диаграммой
на рис. 10.4, называется идеальным упруго-пластическим (тело
Прандтля).
# A
—4~0j
Рис. 10.4. Идеальное упруго-
пластическое тело
И
Рис. 10.5. Идеальное жестко-пла-
жестко-пластическое тело.
Если пластическая деформация является развитой, то упру-
упругой составляющей с достаточной точностью можно пренебречь.
В этом случае поведение материала описывается диаграммой, изоб-
изображенной на рис. 10.5. При растягивающих напряжениях, мень-
меньших, чем ох (или сжимающих, меньших а'т), деформаций в теле
вообще нет. При <х = ат или а = —а'т начинается пластическое
течение, деформация неопределенна и может неограниченно воз-
возрастать. Разгрузка протекает по пути ВС. Другими словами, вся
накопленная в теле деформация является пластической. Такую
модель называют идеальным жестко-пластическим телом (телом
Сен-Венана).
Общим для приведенных моделей является то, что процесс
накопления пластической деформации не ведет к повышению пре-
предела текучести.
- Другой тип моделей пластических тел учитывает упрочнение,
т. е. повышение предела упругости материала (обнаруживаемое
при повторном после разгрузки нагружении) вследствие развития
пластической деформации. Одна из возможных моделей такого
типа характеризуется диаграммой, приведенной на рис. 10.6.
В этой модели повышение предела упругости, т. е. величина
а' — ах, линейно связано с накопленной пластической деформацией,

728
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
которая изображается отрезком ОС. Поэтому такая модель
называется линейно упрочняющимся телом. Кроме того, модель
с диаграммой, изображенной на, рис. 10.6, описывает эффект
Баушингера: после пластического деформирования (ОАВ) предел
упругости при сжатии понижается (а"<ат); здесь уменьшение
предела упругости при сжатии равно увеличению его при рас-
растяжении, т, е. </ — ат = а'т — а".
Характерной особенностью пластического тела является неодно-
неоднозначность связи между напряжениями и деформациями. Это его
свойство передается всеми указанными моделями. Например, для
упрочняющегося тела (см. рис 10.6) напряжению а* отвечает бес-
бесконечное множество значений деформаций (в частности, задавае-
задаваемые точками а, Ь, с). Однако если исключить из рассмотрения
разгрузку, то в упрочняющемся
теле связь а — е становится
взаимно однозначной (нелиней-
(нелинейной). В идеально пластичном теле
взаимно однозначной связи меж-
между а и е нет даже при отсутст-
отсутствии разгрузки: при_о = ат де-
деформация неопределенна.
Все рассмотренные модели
без изменений переносятся на
случай чистого сдвига.
Рис. 10.6. Линейио-упрочняющееся тело. g КОНКрвТНЫХ Задачах, В КО-
торых каждый элемент тела испы-
испытывает одноосную деформацию, либо чистый сдвиг, использование
идеализированных диаграмм, позволяет довольно просто про-
проследить за упруго-пластическим поведением системы в целом.
Такого рода задача была рассмотрена в главе III при обсужде-
обсуждении поведения шарнирно-стержневых систем в случае, когда
напряжения в отдельных стержнях достигают предела теку-
текучести.
Аналогичные задачи рассмотрены в главах XI и XII, посвящен-
посвященных кручению и изгибу стержней. При их решении принци-
принципиально возможно исходить из самих экспериментальных кривых
(не прибегая к моделям), что привело бы к некоторым, как пра-
правило, неоправданным трудностям.
В случае, когда конструкция находится в сложном напря-
напряженном состоянии, выяснение связи между напряжениями и
деформациями в упруго-пластической стадии на основе экспери-
экспериментов оказывается принципиально невозможным, так как нельзя
исчерпать перебором все мыслимые типы напряженного состояния.
В связи с этим построение теории пластичности должно базиро-
базироваться на каком-то достаточно ограниченном числе эксперимен-
экспериментов, выполненных для простых напряженных состояний, и на

s ю.з]
СЛУЧАЙ СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
729
распространении результатов этих опытов на общий случай напря-
напряженного состояния путем принятия некоторых гипотез. Эта ситуация
подробно обсуждена в гл. VIII. Более определенно задачу постро-
построения теории пластичности можно подразделить на три вопроса:
обобщение на сложное, напряженное состояние понятия предела
упругости, определение в" общем случае понятий разгрузки и
нагружения, установление связи между напряжениями*^ остаточ-
остаточными деформациями (или их приращениями).
§ 10.3. Обобщение на случай сложного напряженного состояния
Для обобщения моделей предыдущего параграфа на случай
сложного напряженного состояния удобно исходить из геометри-
геометрической интерпретации процесса нагружения. Выделим в исследу-
исследуемом теле элемент в форме параллелепипеда настолько малого
размера, что его напряженное состояние допустимо считать одно-
однородным. Отнесем этот элемент к осям xl7 xiy хя (рис. 10.7) и
обозначим компоненты напряжений, действующих по его граням,
через oij(/, /=1, 2, 3). Так как тензор напряжения с компонен-
компонентами Oij симметричен (аг/- = о,7), то для
характеристики напряженного состояния
выделенного элемента достаточно задания
шести величин Оц. Сопоставим напряжен-
напряженному состоянию элемента точку с декарто-
декартовыми координатами аи в шестимерном про-
пространстве, которое будем называть прост-
пространством напряжений. Ненагруженному
состоянию элемента отвечает в простран-
пространстве напряжений начало координат. На-
гружение образца сопровождается измене-
изменением значений Оц и, значит, в простран-
пространстве напряжений точка, изображающая напряженное состояние ис-
исследуемого элемента, вычерчивает некоторую траекторию — путь
нагружения. При одноосном напряженном состоянии все а,у, кроме
одного, например, ац, равны- нулю. В этом случае путь нагружения
совпадает с осью аи. Появление пластической деформации со-
согласно моделям предыдущего параграфа связано с достижением
ап значения ат) характерного для данного материала. Таким
образом, на оси ап можно выделить такую содержащую начало
координат область, внутри которой состояние материала
при первоначальном нагружении упруго. На рис. 10.8 эта
область обозначена Q; ее границами являются точки с координа-
координатами ± ат, что соответствует случаю равных пределов текучести
при растяжении и сжатии.
Если тело идеально пластично, то точки, лежащие вне Q, не
могут быть 'реализованы, так как. напряжения, большие а,,
Рис. 10.7. Элементарный па-
раллелепи пед.

730 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
в соответствии с моделью идеально пластического тела недости-
недостижимы. Выход изображающей точки на границу области Q озна-
означает переход элемента тела в состояние текучести (участок АВ
на рис.. 10.4 или 10.5); при этом деформация является неопреде-
неопределенной. Переход точки с границы внутрь области Q (разгрузка)
соответствует изменению только упругой части деформации.
Теперь рассмотрим упрочняющееся тело. Модель такого тела
определяется, в частности, диаграммой на рис. 10.6. При выходе
изображающей точки за пределы области Q появляется остаточная
деформация. Если достигнуто растягивающее напряжение ои = о'~>
><хт (см. рис .10.6), то предел упругости в данный момент равен а\
Это означает, что верхняя граница области Q сместилась вправо
по оси аи от значения ат до а". Нижняя граница этой области,
если модель упрочняющегося тела принята по диаграмме рисунка
а
-6Г о 6Т б„ -6,-6» о 6,6' е„
Рис. 10.8. Границы текучести идеально пла- Рис. 10.9. Границы текучести упрочняю-
стическог© тела при осеЪой деформации. щегося тела при осевой деформации.
10.6, получает такое же смещение вправо, так что изображающая
точка увлекает за собой область Q как жесткое целое (рис. 10.9).
При переходе точки с границы внутрь области Q (разгрузка)
меняется только упругая составляющая деформации; в противном
случае (догружение) получает приращение как упругая (ср.
отрезки CD и CD' на рис. 10.6), так и остаточная (ср. ОС и ОС)
доля деформации.
Естественным обобщением описанной картины на случай сло-
сложного напряженного состояния является представление о том,
что в пространстве напряжений существует такая область Q,
содержащая начало координат, что на, всяком пути нагружения,
расположенном целиком внутри Q, деформация элемента остается
упругой. Если тело идеально пластично, то выход точки на
границу 5 области Q означает переход тела в состояние те-
текучести, деформация при этом становится неопределенной. Таким
образом, граница S представляет собой геометрическое место
пределов текучести при всевозможных путях нагружения. Для
идеально пластичного тела точки вне Q реализуются. Пере-
Переход точки с границы S внутрь области Q сопровождается изме-
изменением только упругой составляющей деформации, т. е. происхо-
происходит разгрузка, хотя некоторые из компонентов напряжения ст,у
могут при этом возрастать.
В случае упрочняющегося тела процесс нагружения, выво-
выводящий изображающую точку за пределы области Q, должен со-
сопровождаться перемещением этой области. Аналогом одномер-

$ 10.3) СЛУЧАЙ СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 731
ной модели, определяемой рис. 10.6, для сложного напряжен-
напряженного состояния будет модель, в которой область Я смещается
поступательно как жесткое целое (так называемое трансляционное
упрочнение (рис. 10.10))х). При движении точки внутрь области
Я изменяется только упругая деформация (разгрузка). Если
точка перемещается за пределы Я, то происходит дальнейшее
увеличение пластической деформации (догружение). Кроме того,
возможны такие изменения напряжений, при которых путь на-
гружения касателен к границе области Я (нейтральные нагруже-
ния). Можно показать (на чем мы останавливаться не будем),
Рис. 11.10. Трансляционное упроч- Рис. 10.11. Поверхность иагруже-
иеиие. ния для упрочняющегося тела.
что в упрочняющемся теле при таких изменениях напряжений
должны меняться только упругие деформации.
Граница S области Я называется поверхностью течения или
нагружения. В случае идеально пластического тела эта •поверх-
•поверхность фиксирована. Для упрочняющегося тела поверхность нагру-
нагружения изменяется по мере накопления пластической деформации.
В пространстве напряжений в каждый данный момент нагруже-
нагружения она отделяет область упругого деформирования от области
деформирования пластического (рис. 10.11). При трансляционном
упрочнении поверхность нагружения смещается поступательно как
жесткое целое. Возможны и другие виды упрочнения, при кото-
которых меняется не только положение поверхности нагружения в
пространстве напряжений, но и ее форма и размеры.
1) Одномерная модель, определяемая диаграммой на рис. 10.6, описывает
не всякое трансляционное упрочнение, а только линейное Поэтому для пол-
полной аналогии между одноосной и пространственной моделями необходимо было
бы добавить условие линейности упрочнения последней В связи с этим возни-
возникает вопрос: какие величины в случае сложного напряженного состояния
аналогичны пределу упругости и остаточной деформации в одномерном случае.
Обобщение понятия предела упругости иа случай сложного напряженного со-
состояния было указано в гл. VIII. Можно обобщить на пространственный слу-
случай и понятие пластической деформации (говоря точнее, указать такую вели-
величину, которая была бы в пространственном 'случае мерой пластической дефор-
деформации). В качестве меры пластической деформации может быть, в частности,,
взяга работа пластической деформации (§ 10.5).

732 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
§ 10.4. Кривая текучести
Рассмотрим идеально пластическое тело. Поверхность течения
в этом случае является фиксированной. Это означает, что в шес-
шестимерном пространстве напряжений она представляет собой гипер-
гиперповерхность, задаваемую условием
где С —некоторая постоянная («предел текучести»), характерная
для данного материала. Если 5@,7) — С <0, то элемент нахо-
находится в упругом состоянии. При разгрузке изображающая точка
переходит с поверхности течения внутрь упругой области, при-
приращения компонентов напряжений удовлетворяют в этом случае
соотношению
Пластическое деформирование возможно, если изображающая
точка перемещается по поверхности течения (догружение). При
этом бесконечно малые приращения компонентов напряжения под-
подчиняются условию
Выясним возможный вид поверхности течения. Прежде всего
ясно, что эта поверхность не проходит через начало координат,
так как при нулевых напряжениях пластическое состояние не мо-
может достигаться. Положим, что нагружение ведется таким образом,
что все компоненты напряжений меняются пропорционально одно-
одному параметру, т. е. Ojf~pG*if, где Os^p^l, оц* — фиксиро-
фиксированные значения; такое нагружение называется простым. В про-
пространстве напряжений простое нагружение изображается лучом,
исходящим из начала координат. Можно показать, что этот луч
пересекает поверхность течения не более одного раза.
Дальнейшая конкретизация вида поверхности течения возможна
только при дополнительных гипотезах.
Сделаем следующие три предположения:
1) наступление пластического состояния не зависит от дейст-
действия всестороннего давления;
2) тело изотропно;
3) свойства материала при растяжении и сжатии одинаковы.
Эти предположения достаточно хорошо оправдываются для широ-
широкого круга материалов.
Чтобы было проще представить себе вытекающие отсюда след-
следствия, введем, наряду с шестимерным пространством напряже-
напряжений, трехмерное пространство главных напряжений, в котором

§ 10.4] КРИВАЯ ТЕКУЧЕСТИ 733
декартовыми координатами являются значения главных напряже-.
ний ak(k=\, 2, 3), действующих в рассматриваемом элементе.
В пространстве главных напряжений нагружеиие элемента всесто-
всесторонним давлением представляется лучом, выходящим из начала
координат и равнонаклоненным к осям olf a2, о3. Из первого
предположения следует, что такой луч не пересекает поверхности
течения и последняя имеет вид цилиндра с осью, определяемой
соотношениями а1 = ста = а3.
Для выяснения вида поверхности течения в пространстве глав-
главных напряжений достаточно рассмотреть ее пересечение с деви-
аторной плоскостью. Получающуюся в пересечении линию назы-
называют кривой текучести.
Обозначим через а{, а'2, аз проекции осей а1( а2, а3 на деви-
аторную плоскость (рис. 10.12). Так как тело изотропно, то кри-
кривая текучести симметрична относительно
осей а[, а'2, стз- В силу одинаковости свойств
тела при растяжении и сжатии кривая те-
текучести симметрична относительно прямых,
перпендикулярных к осям а\, а'2 и аз (эти
прямые на рис. 10.12 показаны пункти-
пунктиром). Итак, кривая текучести состоит из
12 одинаковых дуг. Задание одной из этих
дуг вполне определяет кривую текучести,
а значит, и поверхность течения.
Форма кривой текучести следует из ус- "' 'л
ловия текучести; последнее представляет рис 10.12. Кривая текучести,
собой гипотезу о причине перехода эле-
элемента тела в пластическое состояние. Так как наступление тече-
течения не связано с всесторонним давлением, то условие текучести
можно записать в форме
где Sij — компоненты девиатора напряжений. Последнему равенст-
равенству можно придать другой вид, если его записать в пространстве
главных напряжений:
f(ok-o0)-C = 0;
здесь о0 —среднее напряжение. Так как тело изотропно, то функ-
функция / должна быть симметричной относительно своих аргументов
°к — ао. т. е. значение / не должно меняться при перестановке
индексов k у главных напряжений. В силу одинаковости свойств
тела при растяжении и сжатии функция / четна по каждому из
аргументов, т. е. перемена знака у одного или нескольких аргу-
аргументов вк — а0 не меняет значения /.
Наиболее часто применяются два условия текучести идеаль-
идеально пластического тела, удовлетворяющего указанным выше трем

734 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
предположениям, — это условия наибольшего касательного напря-
напряжения (Треска —Сен-Венана) и удельной потенциальной энергии
изменения формы (Мизеса). Эти условия подробно обсуждались
в главе VIII, поэтому здесь мы только напомним их формули-
формулировки.
Условие наибольшего касательного напряжения записывается
в виде (см. (8.15'))
2|Tmex| = max{|oft —су|}=от. (]0Л)
Поверхность текучести здесь имеет" вид шестигранной призмы,
ось которой равно наклонена к осям а1( а2, а3 (см. рис. 8.6).
Условие удельной потенциальной энергии изменения формы
записывается в виде (см. (8.24))
(ах - я*J + (°2 - а3J + (а3 - айJ = 2а? A0.2)
или1) .
где Т/— интенсивность касательных напряжений 2). Соответствую-
Соответствующая поверхность текучести представляет собой круговой цилиндр,
описанный около шестигранной призмы (см. рис. 8.8).
В условии A0.2) левая часть является дифференцируемой
функцией своих аргументов, т. е. поверхность текучести имеет
в каждой точке единственную нормаль. Поверхность текучести,
соответствующая условию A0.1), имеет особенности в виде ребер,
вдоль которых нормаль к поверхности не определена.
• §10.5. Теория пластического течения.
Ассоциированный закон течения
Как показывает диаграмма «напряжение —деформация», изо-
изображенная на рис. 10.4, для идеально пластического тела вза-
взаимно однозначная связь между напряжением и пластической
деформацией невозможна. Действительно, после достижения со-
состояния течения (<х = ат) пластическая деформация становится не-
неопределенной. Естественно считать, что такой взаимно однознач-
1) Формула A0.2) вытекает из сопоставления (8.24) и формулы для
2) Поскольку Т/ с точностью до множителя ]Л>/2 представляет собой сред-
среднее касательное напряжение в точке (см. трактовку В. В. Новожилова на
стр. 421—422) условие Мизеса A0.2) иногда называют условием среднего каса-
касательного напряжения в точке.

§ 10.51 ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ. АССОЦИИРОВАННЫЙ ЗАКОН 735
ной связи между напряжениями и остаточными деформациями не
может быть и в случае сложного напряженного состояния.
Теория пластического течения исходит из предпосылки, что
напряжения связаны не с самими остаточными деформациями,
а с их бесконечно малыми приращениями. Высказанное предпо-
предположение является обобщением многочисленных эскпериментов по
нагружению упруго-пластических тел в условиях, когда изменя-
изменялись направления главных осей напряжений и соотношения между
главными напряжениями.
Теория течения для изотропного тела формулируется в виде
следующих положений:
1. Относительное изменение объема подчиняется закону Гука:
величина F — модуль объемной податливости — обратна модулю
объемной жесткости G.28) (F=\/K).
2. Полная деформация может быть представлена в виде суммы
упругой ef. и пластической е?. составляющих, т. е.
Щ/ —, е'/ + е?/,
или
A0.3)
Упругая составляющая деформации связана с напряжениями
законом Гука:
3. Девиаторы напряжений и приращений пластической дефор-
деформации пропорциональны:
аэц = ал, • Sjj AU.о)
или, так как объемная деформация упруга и в силу этого
d&i/ ^ ал • Si/. A и.о)
В соотношениях A0.5) и A0.6) dX — бесконечно малый скаляр-
скалярный множитель, который является неопределенным.
Свяжем dX с работой пластической деформации, приращение
которой определяется соотношением
Представляя (Ty = 6//ro-f-sy и пользуясь равенством A0.6) и тем,

736 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ 1.ГЛ. X
что 8tfst/ = 0, находим1)
dAp = sklskldX = 2x\dX.
Отсюда
Л--^-. (Ю.7)
Так как dAp^s0, то и dX^Q.
Для выполнения соотношений A0.5), как можно показать, усло-
условия текучести должны быть взяты в форме Мизеса, при этом A0.7)
приобретает вид
^. (Ю.8)
Это равенство дает выражение dX через приращение работы пла-
пластической деформации. Так как последняя сама выражается через
приращения компонентов пластической деформации, то величина dk
остается неопределенной. Значит, в состоянии течения прираще-
приращения пластической деформации не могут быть однозначно опреде-
определены по заданным напряжениям. Это обстоятельство отражает
существенное свойство идеально пластического тела.
Объединяя равенства A0.3), A0.4) и A0.6), получим
Дифференциальные соотношения A0.9) не могут быть проин-
проинтегрированы — в противном случае мы могли бы получить связи
между а,7 и е,7 в виде конечных соотношений. Отсюда следует,
что напряженное состояние элемента тела в данный момент опре-
определяется" не только значениями компонентов деформации в этот
же момент, а всей предшествующей историей деформирования.
Другими словами, двум разным путям деформирования (в шести-
шестимерном пространстве деформаций, аналогичном пространству нап-
1) Равенство s^/si,/—2т? легко проверить. В самом деле, с одной стороны,
-аиJ1 +2(aj. + of, +aj,)
2
[(CT+CT + <7D
а с другой —
Г 1 ~12 Г 1
«*/**/= СТ11—-3- (СТП+О22 + СТ33) + СТ22 - -3-
[1 I2
o33~j (Оц+asH 033)!
= 3 KoiL+oL + oL)

§ 10.5] ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ. АССОЦИИРОВАННЫЙ ЗАКОН 737
ряжений),, имеющим общие начало и конец, соответствуют, вообще
говоря, разные значения компонентов напряжений. Заметим; что
в соотношения теории течения не входит время. Это означает,
что временные факторы (например, темп деформирования) на про-
процессе изменения напряжений не отражаются. Последнее обстоя-
обстоятельство является формальным выражением атермического харак-
характера пластичности (см. § 10.1).
Теория течения может быть обобщена на случай произвольной
поверхности текучести с помощью принципа максимума скорости
работы пластической деформации. Пусть элемент тела находится
в состоянии пластического течения и в данный момент заданы
приращения компонентов пластической деформации def.. Обозначим
через <Х(/ действительные напряжения в данный момент. Так как
элемент деформируется пластически, то изображающая точка,
соответствующая напряжениям аи, лежит на поверхности тече-
течения, т. е. -
Под оу будем подразумевать компоненты напряжений любого
статически возможного состояния, не превышающие «предела теку-
текучести», т. е. такие, что
Вычислим работу напряжений оу и оу на приращениях пласти-
пластической деформации de?.:
dAp = a,jd^h dAp — otj de?h
Принцип максимума выражается так:
dAp- dip = (оц - a/y) deft Э* 0. A0.10)
Словесно равенство A0.10) можно сформулировать следующим
образом: работа, совершаемая действительными напряжениями
на заданных приращениях пластических деформаций, не меньше
работы, которую на тех же приращениях пластической деформа-
деформации совершили бы любые возможные напряжения, не превосхо-
превосходящие предела текучести.
Если рассматривать ay — ay и defy как векторы в шестимер-
шестимерном пространстве, то соотношение A0.10) выражает неотрица-
неотрицательность скалярного произведения этих векторов. Отсюда выте-
вытекает, что если в точке с координатами оу, лежащей на поверх-
поверхности текучести S, провести плоскость, перпендикулярную к век-
вектору deP, то область Q будет располагаться по одну сторону от
этой плоскости (рис. 10.13). Поскольку точка ау взята на поверх-
поверхности 5 произвольно, то из сказанного следует выпуклость этой
поверхности. В случае, когда поверхность 5 имеет единственную
24 А. П, Филин

738
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
нормаль в каждой своей точке (таков, например, цилиндр Мизе-
са), вектор deft направлен по этой нормали в сторону от области
Q. Формально это означает, что
A0.11)
ие d% — бесконечно малый положительный множитель. Формула
A0.11) определяет направление развития пластического течения,
хотя сами величины приращений компонентов пластической дефор-
деформации являются неопределенными (за счет неопределенности dX\
этот множитель находится при решении каждой конкретной за-
задачи). Если поверхность течения имеет ребро (как, например,
Рис. ]о.18. Ассоциированный закон, тече-
течения; гладкая поверхность текучести.
Рис. 10.14. Ассоциированный закон тече-
течения; поверхность текучести с ребром.
призма Сен-Венана), то вектор def. располагается внутри угла,
образованного нормалями к участкам поверхности, примыкающим
к ребру (рис. 10.14).
Закон пластического течения, определяемый формулой A0.11),
называется ассоциированным, так как он связан (ассоциирован)
с данным условием течения. В частном случае, когда принимается
условие текучести Мизеса
из ассоциированного закона течения A0.11) вытекают уравне-
уравнения A0.6) теории пластического течения, так как
Таким образом, при построении теории течения можно исходить
не из постулирования соотношения A0.6), а из принципа макси-
максимума скорости работы пластической деформации (который, впро-
впрочем, также является постулатом) и определенного условия теку»
чести.

f 10.6] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАОТИЧНОвТИ 739
§ 10. в. Деформационная теория пластичности
Пластическая деформация, достигнутая к данному моменту
иагружения, зависит не только от значений напряжений в этот
момент, но и от всего пути нагружения (§ 10.5). Однако для
каждого конкретного пути могут быть найдены конечные соотно-
соотношения между напряжениями и пластическими деформациями,
которые, вообще, окажутся разными для разных путей нагруже-
нагружения. Представим себе определенный путь нагружения, не вклю-
включающий разгрузку. Тогда улруго-пластическое упрочняющееся
тело аналогично нелинейно-упругому телу в том смысле, что
в обоих случаях связь между напряжениями и деформациями
будет взаимно однозначной. Нелинейно-упругое тело может быть
описано соотношениями закона Гука, в которых модули упругости
не являются постоянными, а зависят от деформации. Перенесение
такого рода конечных соотношений на пластическое тело и со-
составляет основу деформационной теории пластичности.
Эта теория для изотропного упруго-пластического тела осно-
основывается на следующих предположениях:
1. Относительное изменение объема подчиняется закону Гука:
й-З/чхо. A0.12)
2. Девиаторы деформаций и напряжений связаны равенством:
A0.13)
Здесь V|J- некоторая скалярная функция компонентов напряжений
и деформаций. Так как тело изотропно, то можно считать, что
$ — функция инвариантов тензоров напряжения и деформации 1).
Если я|з = «л5-1 const, то A0.13) дает закон Гука для девиаторов.
Принимая ip в виде функции, а не постоянной, мы получаем
обобщение закона Гука. Объединяя A0.12) и A0.13), запишем
A0.14)
или, разрешая эти уравнения относительно напряжений,
Из A0.13), кроме того, следует простая связь между интеисив-
ностями касательных напряжений и сдвигов:
х) Точнее, здесь предполагается, кроме начальной изотропии, изотропна
в данный момент нагруження.
24*

740 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГООТИ [ГЛ. X
Все выписанные соотношения содержат неизвестную функ-
функцию г|з. Для состояния течения при условии Мизеса
получим
т. е. в состоянии течения функция \р с точностью до множителя
совпадает с интенсивностью сдвигов.
Равенство A0.16) вместе с уравнениями A0 14) не позволяет
получить однозначную связь компонентов деформаций с компо-
компонентами напряжений, так как в состоянии текучести по заданным
компонентам напряжений нельзя однозначно определить интенсив-
интенсивность сдвигов Y/. Такая ситуация вообще характерна для идеально
пластического тела. В случае упрочняющегося тела функция \|)
может быть определена таким образом, что уравнения A0.14)
и A0.15) свяжут напряжения и деформации взаимно однозначно.
Деформационная теория приводит к более простым уравнениям,
чем теория течения. В случае простого нагружения обе эти теории
совпадают. Действительно, если нагружение простое, то (см. § 10.4)
По теории течения
l A0.17)
Для идеально пластического тела нагружение в состоянии течения
может быть простым только при условии р = const. Проинтегри-
Проинтегрируем равенства A0.17) по К от 0 до некоторого фиксированного
значения этой величины:
о
Используя выражение A0.7), найдем
^ Ф. A0.18)
Таким образом,
e?/ = <p-ty, A0.19)
где ф, как видно из формулы A0.18), является скалярной функ-
функцией компонентов напряжений и деформаций. К таким же уравне-
уравнениям приводит и деформационная теория. Чтобы убедиться в этом,

% 10.7] РАСТЯЖЕНИЕ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ 741
достаточно учесть, что е? = »р., и использовать закон Гука для
Девиаторов. Получим
Так как ф — скалярная функция <fy и е^у, а О = const, то можно
принять гр—1/Bб) = ф, после чего A0.19) и A0.20) совпадут.
В случае, когда в каждом элементе тела осуществляется нагруже-
ние, близкое к простому, деформационная теория, дает достаточно
правильную картину распределения напряжений.
§ 10.7. Растяжение и кручение тонкостенной трубы
В качестве примера применения теории течения и деформацион-
деформационной теории рассмотрим растяжение и кручение тонкостенной
трубы (рис. 10.15), изготовленной из несжимаемого идеально
Рис. 10.15. Растяжение и кручение тонкостенного цилиндр».
пластичного материала. Напряженное состояние трубы можно
считать однородным с отличными от нуля компонентами напряже-
напряжений аг и тгф. Введем обозначения
сг = ?, т-?, e = *i, y = yf, A0.21)
ат тт вт 7т
где
Р — — V —¦ —
ч вг —¦ Е . Ут q •
Так как материал несжимаем (ц. = 0,5), то Е =30.
Примем условие текучести Мизеса
т,= ^ = тт. A0.22)
Тогда надо считать
. ' A0.23)
В рассматриваемом случае

?42 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНВЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ 1ГЛ. X
и условие текучести A0.22) в обозначениях A0.21) примет вид
аа + та=1. A0.24)
В упругой стадии
или
а = е, т = у.
Значит, в состоянии текучести
3=1. A0.25)
Определим напряжения аг и тгч> (или соответствующие им без-
безразмерные параметры а и т) в пластическом состоянии, исходя
из деформационной теории. Принимая во внимание несжимаемость
материала, запишем уравнения A0.13):
«v=--iev. A0.26)
функция ¦ф определяется соотношением A0.16), в котором интенсив-
нбеть сдвигов у{, вычисленная с учетом условий несжимаемости
_ 1
?/• — ?<р == о"^« i
равна
Подставляя в A0.26) выражение^ согласно A0.Гб), находим
3 "*<(
или, используя обозначения A0.21) и равенство A0.23),
A0.27)
Аналогичным образом из A0.26). получаем
т= ,J . A0.28)
Напряжения, определяемые формулами A0.27) и A0.28), автомати-
автоматически удовлетворяют условию текучести A0.24). Для нахождения
а и т достаточно внать деформации е и у в данный момент.
Рассмотрим ту же задачу на основе теории течения. Для
несжимаемого материала уравнения A0.9) приобретают вид
Hj. (Ю.29)

§ 10.7] РАвТЯЖЕНИЕ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ 743
Отсюда
1 2
de.x =» ?- daz + у dk • ot
или, с использованием обозначений A0.21),
de = da + ^Ed%-a. A0.30)
Таким же путем из A0.29) выводим
dy = dx + 2GdKx. A0.31)
Поскольку E=3G, то можно обозначить
На основании A0.8)
Вычислим работу Пластической деформации
dA =a (de — dee) + x (dy —dye \
P Z \ Z Z/ ' 2ф \ ¦ Zip ¦ 2(p/ •
Переходя к обозначениям A0.21), запишем- с учетом A0.22) и
A0.23)
dAp = -g- [(or.de -\-xdy) — (odo + x dx)].
На основании A0.24) второе слагаемое в квадратных скобках
равно нулю, так что
dy). A0.32)
Подстановка выражения A0.32) в формулу A0.8) с учетом
условия A0.24) позволяет записать A0.30) и A0.31) в виде сле-
следующих дифференциальных уравнений:
A0.33)
Для нахождения а и т мало иметь значения деформаций е и у
в данный момент, для этого необходимо знание всей истории
деформирования, т. е. функций е = г(у) или у = у(е).
Рассмотрим сначала путь деформирования, отмеченный на
рис. 10.16, а цифрой /. Пока труба подвергается простому рас-
растяжению G = 0, 0<е«?е0), <т = е — при 0<е-<1 или <т=1 при

744
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
, а т = 0. Если е = е0 и y>0. то по деформационной
1 „. Y
теории
Характер изменения а и т показан на рис. 10.16,6.
Уравнения A0.33) теории течения при е = const = e0 дает
%-*-* (I-0)-
Отсюда с учетом условия т = 0 при у = 0 находим
т = th у.
Здесь величина т (а значит, и а) в пластическом состоянии не
зависит от значения е0.
0
/Г
I у0 Г Г
Рве 10.16. Изменение напряжений при заданном деформировании.
Таким образом, деформационная теория и теория течения дают
разные значения сг и т, но результаты сближаются при у-»-оо:
по обеим теориям т-*-1, or —>-0.
Точно так же можно рассмотреть путь деформирования, обо-
обозначенный на рис. 10.16, а цифрой 2.
Пусть теперь е = ау (а = const); на рис. 10.16, а этот путь де-
деформирования отмечен цифрой 3. Деформационная теория дает:
т =
поскольку эти выражения справедливы для пластического состо-
состояния, согласно условию A0.25) следует считать e2 + Y2Ssl-
По теории течения для отыскания функции т = т (у) требуется
проинтегрировать уравнение A0.33), которое теперь имеет вид
A0.34)
Ограничимся выяснением предельного значения т при

g 10.8] ТЕОРИЯ ПЛАЯТИЧНОбТИ И ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ 745
Предположим, что такое значение существует и что при
dx/dy-^-О. Тогда из A0.34) находим
совпадающее с тем* которое следует из деформационной теории..
Полученные здесь результаты отражают общую закономер-
закономерность: деформационная теория и теория течения вообще приво-
приводят к разным результатам, однако, если путь деформирования в
пространстве деформаций представляет собой прямую (или прибли-
приближается к прямой), то напряжения, вычисленные по обеим тео-
теориям, сближаются.
§ 10.8. Теория пластичности и предельное состояние
Полную систему уравнений теории пластичности в геометри-
геометрически линейном ее варианте составляют линейные статические н
кинематические уравнения E.59), E.4), F.11), F.23), дополнен-
дополненные соотношениями физическими, основывающимися либо на тео-
теории течения, либо на деформационной теории.
При использовании деформационной теории, согласно которой
связь между напряжениями и деформациями является конечной
нелинейной, полная система уравнений может быть приведена
к разрешающим уравнениям в перемещениях или напряжениях,
аналогичным уравнениям Ламе или Бельтрами — Мичелла в теории
упругости. Для решения конкретных задач с успехом применяются
различные варианты метода последовательных приближений. Воз-
Возможна, например, следующая схема этого метода (метод допол-
дополнительных нагрузок). Напряжения, выраженные через деформации
по формуле A0.15):
!/, ' (Ю.35)
подставим в статические уравнения E.59) и E.4) и члены, воз-
возникшие здесь из-за наличия подчеркнутого слагаемого в A0.35),
перенесем в правые части. Тогда полученные уравнения можно
трактовать как уравнения Ламе, но с дополнительными неизвест-
неизвестными нагрузками. В нулевом приближении полагаем эти нагрузки
нулевыми и решаем задачу теории упругости. По найденным иа
этом этапе деформациям э\) находим дополнительные нагрузки
в первом приближении и с их учетом повторно решаем задачу
теории упругости (первое приближение), и т. д. Здесь, так же
как и в других вариантах метода последовательных приближе-
приближений, нелинейная задача для упруго-пластического тела при-
приводится к решению последовательности линейных задач для

746 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГООТИ [ГЛ. X
упругого тела. По этой причине указанный подход называется
методом упругих решений.
Использование в теории пластичности деформационной теории,
уравнения которой, в сущности, описывают нелинейную упру-
упругость, обосновано только при нагружениях, близких к простым.
Можно показать, что пропорциональное возрастание внешних
нагрузок — объемных Ft = pF* и поверхностных Д = pf* — приводит
к простому нагружению (т. е. к пропорциональному возрастанию
компонентов тензора напряжений a(j = pa*j), если при малых де-
деформациях и несжимаемости материала интенсивности напряже-
напряжений и деформаций связаны степенной зависимостью
%t*=Ayf, A0.36)
где А, а > 0 — постоянные. Такое соотношение является более
или менее подходящим только при развитых пластических дефор-
деформациях и заметном упрочнении. В других случаях (в частности,
при идеальной пластичности) лагружение не будет близким к про-
простому и применение деформационной теории может привести к не-
неверным результатам.
Теория течения, в большей степени, чем деформационная
отвечает духу пластичности, однако приводит к значительно более
сложным общим уравнениям. Здесь удается решить лишь некоторые
простейшие задачи.
Таким образом, решение краевой задачи для упруго-пласти-
упруго-пластического тела связано, как правило, с большими математическими
трудностями. С другой стороны, если ограничиться случаем иде-
идеальной пластичности, то наибольший практический интерес часто
Представляет не картина распространения в теле области текуче-
текучести, а то состояние, при котором пластическая деформация пере-
перестает сдерживаться упругой областью и в теле возникает пла-
пластическое течение. Это состояние называется предельным. Так
как предельное состояние характеризуется развитой пластиче-
пластической деформацией, то упругими деформациями можно пренебречь
и перейти к схеме жестко-пластического тела (см. § 10.2). При
втом, поскольку речь идет о начальном моменте развития пласти-
пластического течения, допустимо считать деформации малыми и прене-
пренебрегать изменениями конфигурации тела и положений его точек.
Задача о предельном состоянии несжимаемого жестко-пласти-
жестко-пластического тела будет рассмотрена для случая, когда часть поверх-
поверхности Sv тела закреплена от смещений, т. е. скорости vt удов-
удовлетворяют условию
vt = 0 на Sv,
а на другой части поверхности Sf заданы внешние силы, изме-
изменяющиеся пропорционально одному скалярному параметру, т. е.
/, = р/Т на Sf,

§ Ю.«] ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ 747
где /* —некоторая фиксированная («единичная») нагрузка. Для
простоты записи примем, что объемные силы отсутствуют. На-
Нагрузку fio=*Pof*, при которой в теле возникает пластическое тече-
течение, называют предельной; р0 — коэффициент запаса, соответст-
соответствующий нагрузке ff.
Пусть 5iy — статически возможные напряжения, т. в. 0^ удов-
удовлетворяют внутри тела уравнениям
*У-,0,
иа поверхности Sf условиям
и не превышают предела текучести
Введем скорости деформаций Ъ'ц, связанные с Оц ассоциированным
законом течения. Для жестко-пластического тела уравнения A0.11)
этого закона приобретут вид
Fc^lM-; A0.37)
day
здесь X > 0, если ви лежит на поверхности текучести и не проис-
происходит разгрузки, и а = 0 во всех других случаях. Скорости дефор-
деформации I'ij, вообще говоря, несовместны.
Поле скоростей v{ назовем кинематически возможным, если
оно удовлетворяет условиям сплошности и несжимаемости и на
участке поверхности Sv vt = 0. Кинематически возможные скорости
деформаций определим соотношениями
Напряжения %, связанные с ё;/ ассоциированным ваконом A0.37),
в той части тела, где й/ ф. О, удовлетворяют условию текучести,
в жесткой области — неопределены и, вообще говоря, не явля-
являются статически возможными.
В теории предельного равновесия основным является энерге-
энергетическое соотношение
выражающее равенство скоростей изменения работы внешних сил
и соответствующих им статически возможных напряжений на лю-
любых кинематически возможных перемещениях. Если в качестве о у

748 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
и vi взяты действительные напряжения и скорости, то выраже-
выражения, входящие в A0.39), положительны.
Пусть e*i — какая-либо система статически возможных для
нагрузки /* напряжений, всюду не превышающих предела теку-
текучести:
Можно подобрать число ps таким образом, чтобы статически воз-
возможные для нагрузки /; = psff напряжения aij = psotj достигали,
хотя бы где-нибудь, предела текучести. Число ps назовем стати-
статическим коэффициентом для данного поля of/.
Далее возьмем какие-либо кинематически возможные скоро-
скорости щ и вычислим по формулам A0.38) скорости деформаций ё;, и
напряжения &v, связанные с Щ ассоциированным законом A0.37).
Можно подобрать такое число рк, что будет выполнено равенство
Рк \ ffvi dSf= $ °tfi'u dV. A0.40)
sf v
Число рк назовем кинематическим коэффициентом для данного
поля vt.
Сформулируем две теоремы о предельном состоянии.
1. Статический коэффициент является нижней оценкой коэф-
коэффициента запаса:
Ps < Ро-
Равенство достигается только в случае, если выбранные стати-
статически возможные напряжения 5,у отличаются от действительных aif
разве лишь на равномерное давление.
2. Кинематический коэффициент является верхней оценкой
коэффициента запаса:
Знак равенства будет только тогда, когда выбранное кинемати-
кинематически возможное поле скоростей vt совпадает с действительным vt.
Доказательство этих теорем опирается на основное энергети-
энергетическое уравнение A0.39) и неравенства
(oij — 5,7) e'tj 5з 0, (bij — Оц) е'ц 3s 0,
которые иллюстрируются рис. 10.17 (см. также рис. 10.13). Тео-
Теоремы 1 и 2 позволяют получить двустороннюю оценку для коэф-
коэффициента запаса:
Ps < Ро < Рк-
Пример. На рис. 10.18 изображена балка постоянного прямо-
прямоугольного сечения под единичной нагрузкой /*; материал балки-
жестко-пластический с пределом текучести при растяжении и ежа-

5 10 8] ТЕОРИЯ ПЛАвТИЧЙОбТИ И ПРЕДЕЛЬНОЕ СОвТОЯНИВ
749
тип <тт. Сначала оценим коэффициент запаса заданной нагрузки
снизу. Для этого построим два варианта статически возможных
Рис 10.17. К доказательству теорем о предельном сос-
состоянии.
полей напряжений fff/. В обоих вариантах будем полагать, что
с? меняется по высоте линейно, t$z — по параболическому
0,64$ ,
•"*
Рнс. 10.18. Схема белки н единичной нагрузки.
закону, a 9|s0 (рис. 10.19, а). В первом варианте примем,
что изгибающие моменты в левом пролете при г = 1/3 и на сред-
средней опоре равны. Тогда получится 'эпюра М, показанная на
рис. 10.19,6. Соответствующий статический коэффициент/?? вы-
вычисляется следующим образом:
6-0,169/
откуда
p'sGz \г=\,Ы =PS
p's = 0,985 ^<
Во втором варианте потребуем равенства изгибающих моментов
на средней опоре и посредине правого пролета. Эпюра М для этого
случая приведена на рис. 10.19, в. Определяем статический коэф-
коэффициент ps:

750
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
—<хт.
Согласно теореме 1 надо выбрать большее из двух значений pg.
Теперь оценим р0 сверху. Рассмотрим два варианта кинемати-
кинематически возможных распределений скоростей деформации ё}/. По
в)
Т
6)
0,t6U
м
в)
Рис 10.19. втатическя возможные напря-
напряжения и изгибающие моменты.
Рис
10.20. Кинематически возможные
скорости деформаций.
первому из них (рис. 10.20, а) над средней опорой в заштрихо-
заштрихованной области а, ширина которвй меняется с высотой по закону
z=s2Ay/h, примем ё^5=| = const, в такой же области Ь посредине
правого пролета — г'г — 2\, все прочие компоненты fy'/saO. Соот-
Соответствующие напряжения аг будут отличны от нуля (и равны огт)
только в заштрихованных областях, другие компоненты <ty = 0.
Определим скорость перемещения 5„ посредине правого пролета
(рис. 10.20,6):
Запишем равенство A0.40):
А 2
где
Vn =
6ЛД

f 10.9] ПОЛЗУЧЕСТЬ 761
Для кинематического коэффициента получается значение
Р/с = 1,5 — огт.
Во втором варианте зададим в областях, показанных на рис. 10.20, в.
Согласованное поле постоянных скоростей деформаций (рис. 10.20, г).
Вычисления, аналогичные предыдущим, дают
В силу теоремы 2 надо выбрать меньшее из двух значений рк.
Итак,
— о-т<р0<1,5 —о-т.
Мы получили довольно широкую «вилку». Это объясняется тем,
что принятое распределение ву существенно отличается от дей-
действительного Оу в предельном состоянии. Вследствие этого зна-
значение ps оказалось явно заниженным. Можно предполагать, что
истинное значение р0 ближе к верхней оценке, хотя и не может
с ней совпадать, так как поле напряжений аи не является стати-
статически возможным и, значит, отличается от действительного.
§ 10.9. Ползучесть
До сих пор мы встречались с телами, наделенными свойствами
упругости и пластичности. Характерной чертой этих тел является
независимость их поведения от временных факторов. Для упру-
упруго-пластического тела в силу неоднозначности связи между напря-
напряжениями и деформациями порядок приложения воздействий отра-
отражается на окончательном состоянии. Например, если некоторая
деформация тела достигается по разным путям деформирования
в шестимерном пространстве деформаций, то окончательные значе-
значения напряжений, вообще говоря, окажутся разными. Однако
история деформирования не имеет здесь временного характера,
т. е. скорости приложения воздействий несущественны. Это озна-
означает, что реакция тела на воздействие происходит мгновенно,
без запаздывания. В частности, напряжение не зависит от того,
как долго поддерживается заданная деформация, а деформация
при заданных постоянных значениях напряжений не меняется
во времени.
Поведение всех реальных материалов более или менее значи*
тельно отличается от поведения упруго-пластического тела. Отли-
Отличие это проявляется в том, что связь между силами и перемеще-
перемещениями в реальных телах обычно существенно зависит от времени.
Можно указать два простейших проявления этой зависимости.

752 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
Первое состоит в том, что при действии постоянных сил деформация
с течением времени нарастает. Это явление принято называть
ползучестью. Если тело получило некоторую деформацию, которая
поддерживается постоянной, то усилия в ней постепенно ослабе-
ослабевают. Это второе проявление временного характера зависимости
между силами и перемещениями получило название релаксации
напряжений. В дальнейшем под термином «ползучесть» мы будем
понимать все механические явления, для которых существен
фактор времени.
У большинства металлов при комнатных и более низких тем-
температурах за достижимое в опыте время наблюдения заметить
ползучесть не удается. В этих условиях их поведение с достаточ-
достаточной точностью описывается моделью улруго-пластического тела.
При более высоких (сходственных) температурах ползучесть может
проявиться весьма заметно. Например, у малоуглеродистой стали
временные эффекты становятся существенными при температурах
выше 400°С. При таких температурах зависимость между напря-
напряжениями и деформациями существенно меняется с изменением
скорости деформирования (нагружения), так что кривая а — е
без указания условий эксперимента утрачивает смысл. Важно
заметить, что ползучесть металлов при высоких температурах
наблюдается при любых, даже весьма небольших напряжениях,
что отличает это явление от холодной пластичности, которая
проявляется только по достижении определенного уровня напря-
напряжений. Ползучесть других, неметаллических материалов (цемент-
(цементный камень, бетон, дерево, пластмассы) можно обнаружить уже
при комнатной температуре.
Изменение деформаций во времени при, постоянных напряже-
напряжениях и температуре для разных конструкционных материалов
(металл, бетон, пластмассы и др.) описывается качественно сход-
сходными кривыми ползучести (см. главу IV), хотя физические меха-
механизмы развития деформаций ползучести у этих материалов совер-
совершенно различны.
Типичная кривая ползучести была приведена на рис. 4.60.
Введем величину (см. рис. 4.62, кривая а<0))
и назовем ее длительным модулем, в отличие от модуля упру-
упругости, который характеризует мгновенную упругую реакцию мате-
материала на воздействие. Если е (оо) ¦< оо, то длительный модуль
Еоо отличен от нуля.
Сопоставление кривых ползучести, полученных для разных
»начений напряжений при одной и той же температуре, показы-,
вает, что у большинства материалов скорость ползучести возрас-
faer значительно быстрее, чем напряжение. Например, у металлов,

5 10.91 ПОЛЗУЧЕСТЬ 753
если аппроксимировать зависимость между скоростью ползучести
и напряжением степенной функцией
ё." = Вап (В = const),
показатель степени п следует принимать равным трем и выше.
Только у полимеров в определенном интервале температур в
первом приближении можно считать скорость ползучести линейно
зависящей от напряжения, при этом кривые ползучести для раз-
разных о оказываются примерно подобными.
Для разных материалов общий характер кривых релаксации
напряжений оказывается сходным (см. рис. 4.66), однако формы
кривых могут разниться довольно существенно. При возрастании t
напряжения стремятся обычно к некоторому отличному от нуля
значению сг(оо). Длительный модуль определяется отношением
Есо — о(со)/е0, при 0(оо)>О Ет >0.
Задачей теории ползучести является установление соотноше-
соотношений, связывающих напряжения и деформации, для таких состоя-
состояний тела, при которых существенными являются временные факто-
факторы. Изучение такого рода соотношений составляет предмет рео-
реологии (см. гл. VII).
Первоначальные исследования в области реологии, относящиеся
ко второй половине прошлого столетия и связанные с именами
Максвелла, Фойгта, Кельвина, Больцмана, были посвящены тече-
течению весьма вязких жидкостей и дисперсных систем (коллоидных
растворов, суспензий). Отправным пунктом этих исследований по-
послужила идея объединения в одной модели свойств упругости и
вязкости. Наибольшее развитие получила теория линейных вязко-
упругих тел, т. е. таких, для которых реологическое соотношение
имеет вид
или
<rk,(t) = Rt,{en(t) ез,@}, (Ю.42)
где Р* и R* — линейные временные операторы (дифференциальные
или интегральные). Так как у материалов, применяемых в качестве
конструкционных, связь между напряжениями и деформациями
более или менее значительно отклоняется от линейной, то к линей-
линейным реологическим моделям долгое время обращались лишь
для качественного объяснения наблюдаемых при работе конструк-
конструкций временных эффектов, но не для их количественного описания.
В последнее время область приложения линейной теории к
конструкционным материалам расширилась в связи с примене-
применением в технике полимеров, которые при определенных условиях
можно рассматривать как линейные тела. На основе ли-
линейной теории нередко также производятся инженерные расчеты
бетонных и железобетонных конструкций на ползучесть.

764 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНООТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
Дальнейшее обобщение линейной теории вязкоупр угости сос-
состоит в переходе к нелинейным уравнениям вида A0.41) или A0.42),
т. «. к соотношениям указанного вида при нелинейных операто-
операторах Р* .и R*. Нелинейная теория вязкоупругости позволяет
получить достаточно хорошее описание ползучести бетона и поли-
полимеров при различных режимах, в том числе неизотермических.
В то же время этой теорией не охватываются необратимые про-
процессы, протекающие мгновенно (атермическая пластичность); такие
явления, как было указано, характерны в первую очередь для
металлов. Тела, обладающие упругостью, вязкостью и пластич-
пластичностью, вписываются теорией упруго-вязко-пластических сред.
Реологические уравнения этой теории уже не могут быть пред-
представлены в виде A0.41) или A0.42) (даже при нелинейных
операторах Р* и R*) подобно тому, как соотношения между
напряжениями и деформациями для упруго-пластического тела
нельзя записать в виде конечных (функциональных) связей.
В рамках упомянутой теории и следует искать описание пове-
поведения металлов при достаточно высоких температурах.
В главе VII, посвященной физическим уравнениям механики
сплошной среды, были даны некоторые общие сведения о реоло-
реологии. Ниже более подробно обсуждаются отдельные реологиче-
реологические модели.
§ 10.10. Линейные вязкоупругие модели
Простейшим телом, поведение которого описывается линейным
реологическим соотношением, является вязкая жидкость. Соглас-
Согласно закону Ньютона касательные напряжения, возникающие в та-
такой жидкости, пропорциональны не деформации сдвига (как у
гуковского тела), а скорости деформации сдвига
T = iiv. _ A0.43)
Коэффициент пропорциональности ц называют коэффициентом
вязкости или просто вязкостью. Вязкость имеет размерность
[сила • время/длина2]. Для осевой деформации записывается соот-
соотношение, аналогичное A0.43):
К— продольная вязкость.
Поведение реального тела, которое, с одной стороны, облада-
обладает упругостью, т. е. мгновенной реакцией на воздействие, а, с дру-
другой, — вязкостью, т. е. способностью менять деформацию во вре-
времени при постоянных напряжениях, естественно описывать с по-
помощью модели, которая сочетала бы в себе свойства упругости
и вязкости. Объединение этих свойств можно произвести разны-
разными способами. Например, будем считать, что полная деформация

9 10.10] ЛИНЕЙНЫЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ МОДЕЛИ 755
может быть представлена в виде суммы двух долей — упругой
и вязкой:
е = еЧ-е* или ё
где е' и е" — соответственно упругая и вязкая деформации. Далее
положим, что с напряжением упругие деформации связаны зако-
законом Гука, а вязкие — законом Ньютона. Тогда получим
8 F+T- A0.44)
Это равенство представляет собой линейное реологическое соотно-
соотношение вида A0.41) с оператором
где через е @) обозначена деформация при *==0. Тело, определя-
определяемое соотношением A0.44), называется моделью Максвелла.
Рассмотрим поведение модели Максвелла при двух режимах
воздействия:
1. сг = сг0 при 0 «S t < tlt
ог = О при t^tt
(рис. 10.21, а).
2. е = const = е0.
В первом случае при 0^?<?i a = const, е= const, т. е. де-
деформации, как в ньютоновской жидкости, возрастают с постоян-
постоянной скоростью. При t^sh «r = 0, ог = 0 и e = const = ei". Кривая
изменения диформаций во времени показана на рис. 10.21, б.
Приведенный график описывает установившуюся ползучесть при
полностью необратимых деформациях ползучести. От ньютонов-
ньютоновской жидкости модель Максвелла отличается наличием упругой
реакции на воздействие. При Е — со максвелловское тело превра-
превращается в ньютоновскую жидкость.
Положим теперь, что в момент t = 0 телу мгновенно сообщается
деформация е0, которая в дальнейшем поддерживается постоян-
постоянной. Тогда из A0.44) имеем
Интегрируя это уравнение с начальным условием
сг = сго = ?'ео при / = 0,
находим
сг = аоехр (-/

766
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
где обозначено 6 = К/Е. График изменения а во времени показан
на рис. 10.22. При t-*-oo a-*-0, т. е. напряжения ослабевают
до нуля. Напомним, что у реальных материалов сг(оо) обычно
отлично от нуля. Постоянная 9, имеющая размерность времени,
определяет то значение времени, по истечении которого напряже-
напряжение уменьшается по сравнению
с начальным значением сг0 в е раз;
6 называют временем релаксации.
Модель вязкоупругого тела
можно получить и другим путем.
е"
6)
о t, t
Рис. 10.21. Режим «нагрузка — выдерж-
выдержка — разгрузка»; график 8 — t для модели
Максвелла.
Рис. 10.22. График о — i аля модели
Максвелла.
Представим себе, что полное напряжение а является суммой
двух частей, первая из которых, (/, вызывает упругую дефор-
деформацию, а вторая, а", вязкую деформацию. Если с деформацией
напряжение (/ связано законом Гука, а сг" — законом Ньютона,
то из условия
следует
ff = ?e+U, A0.45)
т.е. в соотношении A0.42) /?*—дифференциальный оператора
Тело, определяемое равенством A0.45), называется моделью
Фойгта.
При постоянной деформации (е = const) cr = const, т.е. напряже-
напряжения в модели Фойгта не релаксируют. У всех реальных материа-
материалов, наоборот, наблюдается релаксация напряжений.
Положим, что в момент / = 0к телу прикладывается напряже-
напряжение сг = сг0, которое затем поддерживается постоянным до момента
t = tx. Решая дифференциальное уравнение A0.45) с начальным
условием
е = ао/Е при ^ = 0,
находим
A0.46)

$ 10.10] ЛИНЕЙНЫЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ МОДЕЛИ 757
Постоянную у называют временем запаздывания. Если в момент
? = #! напряжение снимается, то решение уравнения A0.45)
Ее + к'е = 0,
с условием
e = ej при t = tx,
дает
l = EleXp(_Lzii). (Ю.47)
При t-*-co e->0, т. е. вся деформация ползучести является
обратимой. . График е — t, соответствующий формулам A0.46)
" t, t ' '
Рис. 10.23. График е — t для модели Рис, 10.24. Простейшие вязкоупругие
Фойгта. модели.
и A0.47), приводится на рис. 10-23. Пунктиром обозначена кри-
кривая ползучести A0-46) при t~>t^, при ?->оо e-^ajE, т. е. Е
играет здесь роль длительного модуля Еж.
Указанные модели вязкоупругого тела становятся весьма на-
наглядными, если их представить в виде комбинации простейших
элементов — упругого и вязкого. Упругий элемент имеет вид
пружины (см. рис. 7.4, а) с линейной характеристикой, т. е.
а = Ее. Вязкий элемент представляет собой цилиндр (рис. 7.4, б)
с вязкой жидкостью, в котором перемещается поршень с отвер-
отверстием или с зазором вдоль стенки цилиндра, благодаря чему
жидкость может перетекать из одной части цилиндра в дру-
другую. При постоянной силе поршень перемещается с постоян-
постоянной скоростью, или, иначе говоря, сг = Яё. В модели Максвел-
Максвелла деформации в упругом и вязком элементах суммируются, а
напряжения одинаковы. Это соответствует последовательному
соединению элементов (рис. 7.5, а). В модели Фойгта сум-
суммируются напряжения в элементах, а их деформации одинаковы.
Такая картина получится, если элементы соединить параллель-
параллельно (рис. 7.5, б).
Приведенные модели можно- несколько усложнить, добавив
третий элемент (рис. 10.24). Реологическое соотношение, опи-
описывающее модель, изображенную на рис. 10.24, а (она часто

788 теория пластичности и линейной вязкоупругости [гл. х
называется моделью Кельвина), можно получить из равенств
о = Е'е"+№". A0.48)
8десь в' и в" —соответственно деформации упругого элемента
и модели Фойгта. Исключая из трех равенств A0.48) величины
в' и е", находим
Для модели, изображенной на рис. 10.24, б, получается
такое же реологическое соотношение, но с другими значениями
коэффициентов. Обе модели рис. 10.24 описываются равенством
9ог + (т= ЕВе-\- Яоов; A0.49)
для модели Кельвина, в частности,
— О А> и с в ДрД
^ Ь "| Р/> С = Со> "оо—l "i с/'
с0 Тс с0"Гс
Рассмотрим поведение модели Кельвина при заданной истории
нагружения o=*a(t). Тогда левая часть равенства A0.49) явля-
является известной функцией времени. Интегрированием уравнения
A0.49) с начальным условием
вш.°р. при /-0
находим
е W = ?|L Г "я" 7 + ^_ С [ст
Если второе слагаемое в квадратных скобках проинтегрировать
по частям, то получим
Е-Е -^— 1
^ в е () ЛI (ю.б0)
При заданной истории деформирования e — e(t) аналогичные
вычисления приводят к равенству
1 A0.51)
Таким образом, модель Кельвина описывается реологиче-
реологическими соотношениями A0.41) и A0.42), в которых Р* и R*

f 10 10] ЛИНЕЙНЫЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ МОДЕЛИ
представляют собой линейные интегральные операторы:
_t — X -,
е ~r(...)dx\.
T59
ЕЬ
Пусть напряжение меняется во времени так, как показано на
рис. 10.21, а. При 0<*<*! имеем из A0.50):
'-*['
|
Е — Е
A0.52)
Если напряжение сг0 все время сохраняется, то при t-
-*-Oo/Eoa, что оправдывает принятое в A0.49) обозначение коэф-
коэффициента при е. Следовательно, при мгновенном приложении
напряжений сг0 мгновенно же возникает деформация е @) = oJE,
которая затем возрастает до равновесного значения е(оо) =
Величина ЕВ/ЕМ играет здесь роль времени запаздывания.
А
?.
4l
С
ис.
10.25.
в»
ч
'рафик в —
Кельвина.
< Оля модели
Я»
,.,
0
Рис. 10.
К,
1
26. График С —
Кельвина.
^—
< для модели
Положим, что при t = tt напряжение снимается, т. е. при
f>tx а = 0, тогда имеем
ЕВ
.е Е 6 dx
ИЛИ
Ею t-tt
A0.53)
При t-*-oo e->0, т. е. вся деформация ползучести обратима.
На рис. 10.25 показан график e — t, отвечающий выражениям
A0.52) и A0.53). Пунктиром обозначена кривая ползучести A0.52)
при t>d.

760
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ [ГЛ. X
Рассмотрим случай е = const — e0. Из выражения A0.51) выте-
вытекает
[ ?? ()j A0.54)
При t-*~ca a->?oo80. Значит, модель Кельвина, в отличие от
модели Фойгта, релаксирует и, в отличие от модели Максвел-
Максвелла, <т(оо) не равно нулю. График функции A0.54) показан на
рис. 10.26.
Рассмотрим еще один режим деформирования:
е (t) = tot, &0 = const
— равномерное увеличение деформаций. Подстановка выражения
для e(t) в формулу A0.51) приводит к следующему закону изме-
изменения напряжений:
A0.55)
Если из соотношения A0.55) исключить время, используя
равенство t = e/b0, то получим связь между <т и е:
График зависимости а —е изображен на рис. 10.27. При изме-
изменении скорости деформирования наклон графика при t = 0 и / = оо
не меняется, но асимптота а —а пере-
перемещается параллельно самой себе; при
этом ббльшим значениям ё0 соответствует
более высоко расположенные графики.
Если скорость ё0 бесконечно велика, то
связь между а и е дается прямой линией
о = Ее.\ при бесконечно медленном де-
деформировании получается зависимость
а = Еоэв.
Поведение модели Кельвина при
в трех рассмотренных режимах в общих
чертах передает поведение полимеров
в определенном температурном интер-
интервале. Однако кривые ползучести и релак-
релаксации полимеров плохо аппроксимируются экспонентами, так
что и для этих материалов количественного соответствия с экспе-
экспериментом тело Кельвина не дает. Можно пытаться исправить
положение путем усложнения модели, набирая ее не из трех,
а из большего числа упругих и вязких элементов. Не остаиав-
Рис. 10.27. Модель Кельвина;
графрч б — е при постоянной
скорости деформирования.

I 10.10] ЛИНЕЙНЫЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ МОДЕЛИ 761
ливаясь на выводе, укажем, что в этом случае получаются сле-
следующие реологические соотношения:
A0.56)
а @ - Е Ге (/) - ] i|> (t - х) е (т) dx\. A0.57)
Функции <р(* — т) и ty(t — x), которые называются ядрами ползу-
ползучести и релаксации, имеют вид не одной экспоненты, как это
было в модели Кельвина,, а являются линейными комбинациями
нескольких экспонент:
где Аи Bi и <xi, р, —некоторые постоянные.
Величины a,i и рг имеют простой смысл:
¦ 1 ft 1
в{ и ft — времена релаксации и запаздывания. Таким образом,
для тела, описываемого соотношениями A0.56) и A0.57), харак-
характерно не одно время релаксации (запаздывания), а набор из п
времен.
Чтобы выяснить смысл постоянной Ait рассмотрим поведение
модели под действием постоянного напряжения а0. При < = оо
имеем
'—.1
Здесь первое слагаемое определяет мгновенную деформацию,
а второе — установившуюся деформацию ползучести. Значит, вели-
величина o0AiJE указывает ту часть деформации, которую вносит
в общую деформацию ползучести механизм со временем запазды-
запаздывания yi.
Если принять постоянной деформацию (е = const = е0), то для
напряжения получим
о (/) = Ее0 - J] г»ЕВ( A-е"
или
с(О-?во( 1 - Ц В,)+ 2 eoEBie-W. A0.58)

762 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГООТИ 1ГЛ. X
При t-*-oo
т. е.
Значит, первое слагаемое в правой части равенства A0.58) пред-
представляет собой установившееся (равновесное) напряжение а (оо).
Второе слагаемое естественно назвать релаксирующим напряже-
напряжением; на графике рис. 10.26 оно обозначено а. При /==0
о— 2
Отсюда следует смысл постоянных Bt: величина e0EBi опреде-
определяет при t = 0 релаксирующее напряжение, которое убывает
в дальнейшем со временем релаксации 9(.
Формальным путем можно обобщить эту модель на случай
бесконечного числа элементов. При этом получится тело со вре-
временами релаксации (запаздывания), имеющими не дискретные
значения, а непрерывно распределенные внутри некоторого вре-
временного интервала. Однако, мы не будем этого делать и изло-
изложим другой, более общий подход к построению линейных реоло-
реологических моделей.
§ 10.11. Принцип суперпозиции Больцмана — Вольтерра.
Наследственно-упругое тело
Принцип суперпозиции является основой линейной механики.
Частная его форма — принцип независимости действия сил —была
использована при выводе уравнений обобщенного закона Гука;
этот принцип применяется неоднократно и в дальнейшем. В линей-
линейной теории вязкоупругости принцип суперпозиции впервые был
сформулирован Больцманом A875 г.) и Вольтерра A913 г.). На
его основе могут быть получены линейные реологические соот-
соотношения A0.41) и A0.42) общего вида.
Пусть линейный вязкоупругий материал при постоянной
температуре подвергается одноосному нагружению с историей
a — a(t) (рис. 10.28) и пусть известен закон ползучести этого
материала при фиксированном напряжении <т = а0, начинающем
действовать с момента * = 0:
5 (.10.59)

f 10.11] ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ БОЛЬЦМАНА — ВОЛЬТЕРРА
763
Функция Ф (/) указывает изменение во времени отношения дефор-
деформации ползучести к мгновенной деформации; ее называют функ-
функцией ползучести. Так как деформация ползучести со временем
нарастает, то Ф должна быть монотонно возрастающей функ-
функцией. Предположим, что свойства материала не меняются во
времени. Это означает, что если напряжение начинает действо-
действовать не с момента / = 0, а с / = т ?? 0, то закон ползучести
Рис. 10.28. История иагружеиия; «ступеи-
чат_ая> аппроксимация.
* 7
Рис. 10.29. Кривые ползучее™ для на-
нагрузок, начинающих действовать в разны§
моменты времени.
материала будет прежним, т. е. кривые ползучести будут одина-
одинаковыми, но смещенными друг относительно друга по оси /
(рис. 10.29). Кривая ползучести 2 имеет выражение:
е(/) = -^-[1+Ф(/-т)]. A0.60)
Аппроксимируем историю нагружения 0
пенчатых» воздействий (см. рис. 10.28), т. е.
] Да»,
<т(/) суммой «сту-
«стугде ДаА —дополнительное напряжение, начинающее действовать
в момент / = xk, a 5 (/) — число догрузок, произведенных к моменту
времени t.
Принцип суперпозиции выражается здесь в утверждении, что пол-
полная деформация в момент времени/ равна сумме деформаций в этот
же момент, вызванных отдельными «ступеньками» напряжений Aak:
2 Де*(<-т*); A0.61)
здесь ео(О и Де*(/) — деформации, отвечающие соответственно
напряжениям <т0 и Д°а- С помощью равенств A0.59) и A0.60)
выражению A0.61) можно придать вид
SW
2
к-1

764 теория пластичности и линейной вязкоупругости Лгл. х
Записывая
и переходя к пределу при тахДтл->0, получаем
6
Возьмем интеграл по частям и учтем, что Ф @) = 0, так как
деформация ползучести не успевает проявиться в момент нагру-
жения. Тогда
Замечая, что
перепишем выражение для деформаций:
A0.62)
Для конкретного материала ядро ползучести
ф(;-т) = Аф(,_т)=*М1_1>. A0.63)-
может быть получено по его экспериментальной кривой ползуче-
ползучести Ф(/). Ядро ползучести, как видно из последнего равенства,
определяет скорость ползучести. Мы будем рассматривать только
такие тела, для которых скорость ползучести является убываю-
убывающей (положительной) функцией аргумента t — т.
Если функция ползучести Ф(?) является ограниченной, т. е.
кривая ползучести имеет горизонтальную асимптоту, то при
t —>¦ оо ф (t) -> 0, длительный модуль
с°°— 1+ф(со)
отличен от нуля и вся деформация ползучести обратима. Послед-
Последнее обстоятельство следует из рассмотрения режима нагружения,
соответствующего рис. 10.21, а; для t>ti имеем
Наличие конечного предела у Ф (t) при t -*- сх> обеспечивает

§ 10.111 ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ БОЛЬЦМАНА — ВОЛЬТЕРРА 765
стремление к нулю выражения в квадратных скобках, вследствие
чего е ((») = 0. В этом случае тело является упругим (в смысле
полной обратимости его деформаций), но равновесное состояние
устанавливается в нем не сразу (как в гуковском теле), а с запаз-
запаздыванием. По этой причине деформация такого тела, в отличие
от тела Гука, сопровождается рассеянием энергии. В этом можно
убедиться, если для режима, показанного на рис. 10.21, а, построить
диаграмму а —е (рис. 10.30). Отрезки О А и
ВС отвечают мгновенным нагружению (при л а в
t = 0) и разгрузке (при t — ti), которые про-
протекают упруго с мгновенным модулем Е,
определяющим наклон этих отрезков. Учас-
Участок АВ соответствует нарастанию деформа-
деформаций ползучести @^t<.(i), а СО — убыванию
деформаций после разгрузки (/>*i). Пло-
Площадь параллелограмма ОАВС дает величину
работы, совершенной напряжением ст0 за
С Й
р, р р 0 ^ярежима«н«^узГ
ЦИКЛ Нагрузка — разгрузка. С ДРУГОЙ СТОрО- выдержка — разгрузка».
ны, после полного исчезновения деформаций
тело возвращается к своему первоначальному состоянию, т. е.
его энергия не изменяется. Значит, вся произведенная работа
рассеивается.
Рассмотренное упругое тело называется наследственно-упру-
наследственно-упругим, так как к мгновенной упругой деформации, характерной
для гуковского тела, здесь добавляется упругая деформация,
«унаследованная» от всех прошлых воздействий. Наследственная
упругость свойственна почти всем полимерам в определенном
(для каждого материала своем) интервале температур; при этих
температурах полимер находится в так называемом высокоэла-
высокоэластическом состоянии.
В случае, когда кривая ползучести имеет наклонную асимпто-
асимптоту, предел функции q>(*) при t -+- оо* отличен от нуля, Яю = 0и де-
деформация ползучести является, хотя бы частично, необратимой:
через ДФ (оо) здесь обозначен конечный предел, к которому стре-
стремится разность Ф@~ Ф(^ — *i) при t-**co. Таким свойством
обладает, например, максвелловское тело, у которого вся дефор-
деформация ползучести необратима (кривая ползучести имеет вид
наклонной прямой). Частично необратимой является деформация
ползучести у полимерных материалов при достаточно высоких
температурах, когда полимер находится в так называемом вязко-
текучем состоянии.
Соотношение A0.62) может быть выведено и другим способом.
Будем аппроксимировать историю нагружения ступенчатой функ-

766 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГООТИ 1ГЛ. X
цией, но в качестве элементарного воздействия брать не «сту-
«ступеньку» (см. рис. 10.28), а «столбик» (рис. 10.31). Деформация
в момент t, вызванная напряжением ak,
действовавшим за промежуток, времени
Атл — xk — %ь-\> принимается пропорцио-
пропорциональной величинам <тА, АтА и некоторой
функции -g<f(t — тА), выражающей «воспо-
«воспоминание», которое сохранил материал к мо-
моменту времени t о прямоугольном импуль-
. Ю.31. история и»гру се, действовавшем в момент хк. Естественно
жеиия^тадпбик°акмсн»"*цвй считать, что со временем воспоминание
стирается, так что q> (t — х) должна быть
убывающей функцией аргумента i — т. То, что функция <р зависит
только от разности t — т, является следствием неизменности свойств
материала во времени.
На основе принципа суперпозиции вся деформация, возник-
возникшая к настоящему моменту от прошлых воздействий, равна сумме
ok<p(t-тк)Атк. A0.64)
Если к этой наследственной деформации добавить мгновенную,
связанную только с напряжением, действующим в данный момент,
и перейти в A0.64) к пределу при тахДт*->-0, то получим
с учетом обозначения A0.63) соотношение A0.62). При таком
выводе ядро ползучести <р приобретает смысл функции памяти.
Соотношение A0.62) совпадает по внешнему виду с A0.56),
однако, если в A0.56) ядро ползучести должно иметь вполне
•пределенную структуру, а именно, представлять собой линейную
комбинацию конечного числа экспонент, то ядро в A0.62) огра-
ограничено только требованиями "его положительности и убывания.
Используя другую форму принципа суперпозиции — независи-
независимость деформационных воздействий — можно получить линейное
реологическое соотношение
. а (/) = Е Ге (t) - $ ф (t - г) е (т) dx\ A0.65)
Ядро релаксации ty(t — x) связано с функцией релаксации
Последняя может быть получена из эксперимента по релаксации
напряжений при е = const = е0: <т(/) = ?ео[1 — ?(*)]. Соотноше-
Соотношения A0.62) и A0.65) для наследственно-упругого тела запишем

i 10.11] ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ БОЛЬЦМАНА - ВОЛЬТЕРРА 767
кратко так:
1 „*
где
=е\(.. .)-$*(/-
Операторы ?*• и 1/?* взаимно обратные. Оператор наследствен-
наследственной упругости Е* аналогичен модулю упругости Е.
До сих пор мы рассматривали только одноосную деформацию.
В общем случае напряженного состояния для описания наслед-
наследственно-упругих свойств изотропного тела необходимо знание,
кроме Е*, еще одного оператора, например, v*, аналогичного
коэффициенту Пуассона. Можно использовать и два каких-либо
других оператора, например, О* и /С*, соответствующих моду-
модулям сдвига и объемной деформации. По аналогии с законом Гука,
для наследственной упругости имеем
ао = /С*Ф, sir=2G*alfi
напомним, что ст„ и Sy — среднее напряжение и компоненты девиа-
тора напряжений, Ф и эц — объемная деформация и компоненты
девиатора деформаций. Операторы К* и G* определяются равен-
равенствами:
k (t — т) и g (t — т) — ядра релаксации при гидростатическом напря-
напряженном состоянии и чистом сдвиге, К и G — соответствующие
упругие (мгновенные) модули.
Аналогия между упругим и наследственно-упругим телами
может быть распространена и на задачу отыскания напряженно-
деформированного состояния. А именно, если требуется решить
такого рода задачу для наследственно-упругого-* тела, то следует
сначала решить эту же задачу для упругого тела, & затем в реше-
решении заменить все упругие модули на соответствующие операторы
наследственной упругости (принцип Вольтерра). В частности,
если решение упругой задачи не зависит от упругих постоянных
материала, то оно без изменений переносится на случай наслед-
наследственно-упругого тела. Простейшие примеры применения этого
принципа будут рассмотрены в главах XI и XII, посвященных
изгибу и кручению.

Дополнение
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АФФИННЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
ТЕНЗОРАХ
1. Понятие аффинного ортогонального тензора. Известно, что
многие физические или геометрические объекты принадлежат
либо к скалярам, либо к векторам. Примером первых являются:
объем тела, площадь фигуры; ко вторым относятся сила, ско-
скорость, ускорение, перемещение и т. п. Наряду с упомянутыми
категориями объектов существуют и более сложные, в частности,
тензоры второго ранга.
Особенностью скаляра является то, что он может быть опре-
определен одним числом, не зависящим от системы координатных
осей. Всякий раз, когда нам встречается физический или геомет-
геометрический объект, который может быть определен одним числом,
не зависящим от системы координат, можно утверждать, что дан-
данный объект представляет собой скаляр.
Характерной особенностью вектора в пространстве трех изме-
измерений является то, что в каждой системе координат он может
быть определен тремя числами. При этом указанная тройка чисел
ах, ау, аг, определяющих собой вектор, например, в какой-либо
системе ортогональных координатных осей хуг, связана с трой-
тройкой чисел aXl, аУ1, aZl, определяющих собой тот же вектор в дру-
другой системе ортогональных осей x^Zu совершенно определенным
образом:
aXi = aj! + аит1 + агпи '
ay, = «Л + аут2-+ агп2, A)
Здесь 1Ъ тъ ..., п3 — косинусы углов, составляемых осями хи
уъ гъ с осями х, у, г:
х у г
УЛк Щ пЛ. B)
гх 1 'з тз пз II

ДОПОЛНЕНИЕ 769
Всякий раз, как только встречается физический или геометри-
геометрический объект, который может быть определен в пространстве
трех измерений в каждой прямоугольной прямолинейной системе
координат своей тройкой чисел и при этом между указан-
указанными тройками чисел, относящихся к любым двум различным
системам прямоугольных прямолинейных координат, существуют
зависимости вида A), можно утверждать, что данный объект
представляет собой вектор
а = \ах-\-)ау-\-Ыг.
Совершенно аналогично можно дать определение и тензора
второго ранга.
Если некоторый объект в пространстве трех измерений в каж-
каждой прямоугольной прямолинейной системе координат может быть
определен тремя векторами и при этом между указанными
тройками векторов, относящихся к любым двум различным пря-
прямоугольным системам координат, существуют зависимости следу-
следующего вида:
C)
то рассматриваемый объект представляет, собой аффинный орто-
ортогональный тензор А второго ранга. Иными словами, тензором
второго ранга называется совокупность трех векторов ах, ау, а*,
преобразующаяся при повороте координатных осей в тройку
векторов а*,, ай, a2l по закону C). Векторы а„ а,,, лг можно
назвать составляющими тензора А. По аналогии с обозначением
вектора, тензор А представим так:
Мыслимо и другое определение тензора второго ранга, также
в известном смысле аналогичное приведенному выше определе-
определению вектора. В каждой прямоугольной прямолинейной системе
координат тензор второго ранга может быть определен девятью
составляющими; девять чисел
Охг йуг йгг )
определяющих собой тензор второго ранга в системе осей хуг,
связаны с девятью числами,
aXlx, ayiX,
26 А, П. Фнлив

770 ДОПОЛНЕНИЕ
определяющими собой тот же тензор в другой системе ортого-
ортогональных осей XttfiZi, совершенно определенным образом. Связь
эта изображается девятью формулами следующего вида:
= axJl + ауут\ + аггп\ + а
D)
- й.гуП2Ш\ -\- Clxglzfli,
(хуг) A, 2, 3)
Если для направляющих косинусов B) принять двухиндексное
обозначение
Ih mi ni | I «it «12 «i31
k Щ «2 = «21 О22 OjS • E)
h тз пз II II «31 «32 «зз II
а для осей вместо старых принять новые обозначения: х-*-Хи
у-+х2, г->х3; х1-*-х\,. г/д-*-^, гг-+х'3, то общая формула для
ах'х приобретает вид
з з
*-¦ ¦ — • i • i ^'hr^'ts^'X х •
r = \ s=l
Если в девятке чисел, определяющих тензор второго ранга
(в пространстве трех измерений) имеют место равенства
пху = пуХ, йуг = Ozy, ¦ пгх = Q-xzt
т. е., если одинаковыми являются составляющие (компоненты)
тензора, симметричные относительно главной диагонали в матрице
1ахх аух агх |
О-ху ®уу ^zy t
axz ауг агг II
то тензор второго ранга называется симметричным и формулы
D) приобретают вид:
aXlXl = axxl\ + ауут\ + аггп\
-f а^г^щ + аху
(хуг) A, 2, 3) J
При этом обнаруживается, что

ДОПОЛНЕНИЕ 771
Различных чисел, определяющих симметричный тензор второго
ранга в пространстве трех измерений, оказывается шесть. Вся-
Всякий раз, когда встречается физический объект, который в про-
пространстве трех измерений может быть определен в каждой прямо-
прямоугольной системе координатных осей шестеркой чисел н при этом
между указанными шестерками чисел, относящимися к различным
системам прямоугольных координат, существуют зависимости
вида F), можно утверждать, что данный объект представляет
собой симметричный тензор второго ранга.
Целесообразность введения понятия тензора состоит в том,
что природу тензора имеют многие объекты. В частности, сим-
симметричным тензором второго ранга являются: напряжение в точке,
деформация сплошного тела в точке, моменты инерции массы и
другие объекты. Вместе с тем тензор подчиняется определенным
закономерностям, однажды изучив которые, можно использэвать
их всякий раз, когда встречаешься с тензором, независимо от
того, какова его физическая природа.
Совершенно аналогично обстоит дело и с вектором. Например,
известно, что векторы в плоскости складываются по правилу
параллелограмма, а в пространстве —по правилу параллелепи-
параллелепипеда. И это оказывается верным, независимо от того, какова
природа" вектора, является ли он силой, скоростью или пере--
мещением.
Введение понятия тензора позволяет вскрыть непосредственно
ряд особенностей, присущих объекту и не зависящих от приня-
принятой системы координат.
Приведем цитаты из книги П. К. Рашевского «Риманова гео-
геометрия и тензорный анализ» (изд. 3-е, «Наука», М., 1967), опре-
определяющие значение тензорного исчисления.
«... во всех случаях применения координатного метода на
изучаемую геометрическую картину накладывается случайный
выбор координатной системы, и те аналитические данные, кото-
которые мы получаем, отражают не только то, что нас интересует
(геометрическую картину), но и то, что нас вовсе не интересует
(произвольный выбор координатной системы) и что без необхо-
необходимости усложняет результаты».
«Возникает потребность ... научиться отделять геометрически
существенное важное от случайного, привнесенного выбором коор-
координатной системы.
Решением этой задачи и занимается тензорное исчисление».
В заключение отметим, что скаляры, векторы, тензоры вто-
второго ранга, а также более сложные объекты — тензоры более
высоких рангов, могут быть объединены в общую систему и все
рассматриваться как тензоры разных рангов. Скаляр —как тен-
тензор нулевого ранга, вектор —как тензор первого ранга. При
этом в пространстве п измерений тензор r-хо ранга может быть
25*

772 ДОПОЛНЕНИЕ
определен пг числами (имеет пг компонентов). Легко видеть, что ска-
скаляр определяется одним числом п°= 1, вектор в пространстве
трех измерений тремя числами C1 = 3), тензор второго ранга —
девятью числами (За = 9I).
Правые части .равенств D) или F) — формул преобразования
компонентов тензора второго ранга при переходе от одной пря-
прямоугольной системы координатных осей к другой аналогичной
системе представляют собой квадратичные функции (функции вто-
второй степени) относительно направляющих косинусов lu mlt ...
..., Яз. Аналогично, в равенствах A) преобразования компонен-
компонентов тензора первого ранга (вектора) при переходе от одной
системы ортогональных осей к другой .системе, правые части
представляют собой линейные функции (функции первой степени)
относительно направляющих косинусов 1и тъ ..., п3. Учитывая
неизменность числа а, определяющего тензор нулевого, ранга
(скаляр) в любой системе координат, формулу преобразования
для скаляра при переходе от одной системы ортогональных осей
к другой, аналогичной, можно представить в виде
а = а.
Правая часть этого равенства представляет собой функцию нуле-
нулевой степени относительно направляющих косинусов 1и тъ ..., па.
Итак, ранг тензора совпадает со степенью относительно направ-
направляющих косинусов lu mlt ..., п3, функции, представляющей
собой правую часть формул преобразования компонентов тензора
при переходе от одной системы ортогональных координатных осей
к другой аналогичной системе.
Сокращенно матрицу, в которую выше были сведены компо-
компоненты тензора второго ранга можно изображать одной буквой
с индексом, характеризующим природу компонентов тензора:
\\ахх аух агх\
В настоящем курсе свойства аффинного ортогонального сим-
симметричного тензора второго ранга анализируются на примере
напряжения в точке (см. главу V), а затем принимаются во вни-
внимание во всех случаях, в которых имеем дело с такими тензорами.
2. Представление тензора второго ранга при помощи квадрат-
квадратной матрицы. Тензор второго ранга в пространстве трех измере-
измерений может быть представлен в виде матрицы третьего порядка.
На тензоры второго ранга распространяются: классификация
J) В случае симметрии тензора второго ранга три из этих чисел равны
трем другим и разных оказывается не более шести чисел.

ДОПОЛНЕНИЕ
773
частных видов, квадратных матриц, например симметричность1),
кососимметричность2) и правила некоторых операций, выполня-
выполняемых с матрицами. Имеется в виду сложение3) тензоров, умно-
J) Симметричный теизор определяется шестью компонентами (три' осталь-
остальных равны трем другим из числа входящих в отмеченную шестерку).
2) Кососимметричный тензор
10 — cos . (Bg|
СО3 0 — mi
— со2 mi • 0 |
определяется тремя различными компонентами: щ, м2 и щ. Эти величины
можно рассматривать и как компоненты некоторого аксиального вектора (о.
действительно, если воспользоваться формулой E), то, например, компонент
о>1 изобразится так:
3 з
2] 2
rmm\s=l
Используя формулы для составляющих векторного произведения векторов
будем иметь
(верхний знак используется при одноименности систем х^д-р^ и хдг, а ниж-
нижний—при разиоимениости).
») Всякий тензор А второго ранга можно разложить иа сумму двух тензо-
тензоров: симметричного Ас и кососимметричного Ак
«в« Oft впИ
A—\<h\ «и <h3 =
U A
«я
1
1
-х-(ига — азг)
у («31 —"is) -уСаи —«аз)
= АС+АК. G)
Если транспонировать равенство G), получим
^= А^-р Ад ^= А к»
Из G) и (8) можно иайти тензоры Ас и Ак:
(8).

774
ДОПОЛНЕНИЕ
жение тензора на скаляр, умножение тензора на вектор1), тран-
транспонирование2) тензора.
Ряд особенностей симметричных тензоров второго ранга рас-
рассматривается на примере тензора напряжений в гл. V (тензорный
эллипсоид, главные оси, главные значения, инварианты тензора).
3. Еще одно определение понятия тензора второго ранга.
Теорема. Пусть для каждой прямолинейной прямоугольной
системы координат имеется совокупность девяти величин ры (k, I =
= 1, 2, 3) и пусть линейные соотношения
(9)
определяют в любой координатной системе совокупность трех
величин bx, b2, b3.
Если эти величины оказываются проекциями некоторого век-
вектора, как только за alt сц, <h взяты проекции какого-нибудь
Рис Д.1.
вектора, то девять величин рк1, являющихся коэффициентами
линейных соотношений (9), определяют некоторый тензор П.
Приведем пример к обсужденному определению тензора вто-
второго ранга. Рассмотрим произвольную площадку, проходящую
через точку напряженного тела, отнесенного к системе коорди-
координатных осей хуг. Нормаль к площадке v имеет в этой системе
осей направляющие косинусы /, т и п, которые можно тракто-
трактовать как составляющие по осям х, у и г единичного вектора v,
направленного вдоль нормали. На этой площадке вектор напря-
напряжения pv имеет в системе осей хуг составляющие pvx, рчу и рчг
1) Скалярное умножение тензора иа вектор может быть осуществлено как
справа, так и слева; при этом
(b, A) = (A', b).
В данном случае не делается различия между матрицей-строкой и матрицей-
столбцом.
а) Транспонированный тензор иногда называют сопряженным.

ДОПОЛНЕНИЕ
775
(рис. Д.1). Вектор v может быть преобразован" в вектор pv по
следующей формуле:
m
от
я
Исходя из приведенного выше определения тензора, матрица
Vх
"'У
изображает тензор второго ранга. Читателю уже известно, что
это тензор напряжений.
4. Некоторые дифференциальные операции. В качестве другого
примера тензора рассмотрим поле вектора а (г) = a (xlt хг, хв).
Рассмотрим приращение da вектора а, происшедшее вследствие
приращения вектора г. В проекциях на оси хи *2, ха это может
быть записано так:
(Ю)
На основании приведенной выше теоремы матрица
дхг дхл
6% дх3
да3 dag
дхг дх3
определяет тензор производной от вектора а по вектору г, ко-
который обозначим da/dr.
Формулы A0) можно представить так:
da.
-(*¦ *)•
(И)
Через тензор daldr можно выразить основные дифференциаль-
дифференциальные операции с векторами (grad, rot, div, градиент от градиента).

776
ДОПОЛНЕНИЕ
Обозначим тензор, сопряженный тензору-^-, т. е. определяе-
определяемый матрицей
ах дач да3
дхг дхх дхг
dui da<i да3
дхг дх2 дх2
дх3 дх3 дх3
символом
dr) '
Если тензор da/dr разложить на симметричную и кососим-
метричную доли, то получим
dx
da\
1)
при этом
даг j_fdal.da2\ 1 / даг . да3 \
дхл 2 \ дх2 дхг ) 2 \ дх3 дхг )
~2 \ дхг •" дх2 ) дх2 ~2 \дх3 ¦" дх2 )
ylll""^"' -^-(-^--1--^—) -=-2-
дх3 ) 2
Ur /к " 2 L rfr Ur / J
О — G)g 60,11
Юз 0 — сох ,
- о)о о)} 0 |1
где
о) = у rota.
Ротор вектора
а=аг (х19 х2, х3) Ъ + а2 (xl9 x2i х3) \2 + az (xu х2% х3) 19
представляет собой вектор
rot а
rotа
даз
дп1 да* \\
дхТ ~ 1x7Г
дхТ
В главе VI показывается, что природу тензора ( ~) имеет
\ "г /с
деформация сплошного тела в точке, а природу тензора (й*-\ —
жесткий поворот в этой же точке.

ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕРИАЛАХ
I. Металлы и сплавы.
I.I. Сплавы железа.
I.I.I. Стали и другие сплавы с преобладанием железа и никеля1).
1. (I класс). Конструкционные стали и сплавы.
1.1. Конструкционные стали и сплавы, применяемые при обычных темпе-
температурах.
1.1.1. Стали, применяемые в состоянии поставки без дальнейшей термической
обработки.
1.1.1.1. Конструкционные стали обыкновенного качества (ГОСТ 380—60)
общего назначения.
1.1.1.1.1. Группа А, поставляемая по механическим ^о"г;гвам (табл. 1.1).
(при одном и том же методе выплавки сталь \ ^л быть кипящей
и успокоенной; у последней более высокая ударная . ^сть.)
Таблица2) 1.1
Марки
стали
Ст. 0
Ст. 1
Ст. 1кп
Ст. 2
Ст. 2кп
Ст. Зкп
Механические свойства
кГ/мм*
не<32
1 32-40
1 34-42
38—47
кГ/мм2
19-22
21-24
бю, в %
18
28
26
23-21
Марки
стали
Ст. 3
Ст. 4
Ст. 4кп
Ст. 5
Ст. 6
Ст. 7
Мехалические свойства
°пч'
кГ/мм*
38-47
| 42-52
50-62
60—72
70-75
кГ/мм2
22-24
24—26
26-28
30—31
б, в %
21 — 19
17—15
13-11
9-8
1) Ниже приводится существующая классификация указанных в названии
п. I.I.I, сплавов; отмечаются ГОСТы важнейших групп сплавов, а для неко-
некоторых из них приводятся таблицы с механическими свойствами.
2) Нумерация таблиц не по ГОСТу.

778
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Наименова-
Наименование марки
стали
1
М16С
Ст. 3 мост.
ВСТ5
15ХСНД
10Г2СД
40 X
09Г2
15ХСНД
10Г2С1 (МК)
МК40
15ХГ2СФР
Название сталей и №№ ГОСТ
2
' Сталь углеродистая горячека-
горячекатаная для мостостроения 6713—53
Сталь углеродистая горячека-
горячекатаная для мостостроения 6713—53
Сталь углеродистая обыкновен-
обыкновенного качества 380—60
Сталь низколегированная кон-
конструкционная 5058—57
Сталь низколегированная кон-
етрукционная 5058—57
Сталь легированная машино-
машиностроительная 4543—57
Сталь низколегированная кон-
конструкционная 5058—57
Сталь низколегированная кон-
конструкционная. По проекту ГОСТа
взамен ГОСТа 5058—57
Сталь низколегированная конст-
конструкционная. По проекту ГОСТа
взамен ГОСТа 5058—57
Сталь низколегированная конст-
конструкционная. По проекту ГОСТа
взамен ГОСТа 5058—57
Сталь низколегированная. По
данным опытно-промышленной
плавки
Механические
кГ/ммг
3
23
24
28
35
35
85
30
35
36
40
51,5
°ПЧ'
кГ/мм*
4
38
38
50—53
52
50
100
45
52
51
54
75,6
Относительное
удлинение
профиль проката
сорто-
сортовой и
фасон-
фасонный
5
24
28
24
28
—
10
18
21
21
19
листо-
листовой и
широко-
полос-
полосный
6
22
26
22
26
17
18
18
—
18
21
21
15,0

ПРИЛОЖЕНИЕ I
779
Таблица 1.2
свойства
*, %
7
50
50
—
—
—
45
—
—
—
Ударная вязкость,
кГм/см*
°к продольн.
ак поперечн.
профиль проката
сортовая
t норм.
" 8
—•
10
—
—
—
—
—
6
—
t отрицат.
строки 1 и 2
-20 °О
остальные:
-40 °G
9
4
4
—
—
—
—
3
3
5
i
—
листовая
t норм.
10
8
—
—
—
—
—
—
6
—
—
t отрицат.
строки 1 и 2
-20 °С
остальные:
-40 °О
11
4
4
—
—
—
—
3
3
5
5,6
Примечание
12
Для сварных конструкций
Для клепаных конструкций
1) для болтов-шарниров
2) катков
3) узловых болтов
Для конструкций мостов с до-
дополнительным требованием по
ударной вязкости при отрица-
отрицательной температуре после меха-
механического старения
Для высокопрочных болтов и
гаек к ним
Для заклепок
Перспективная сталь для мос-
мостов.
То же
В состоянии термического
улучшения
Перспективная сталь на базе
руд Качканарского месторожде-
месторождения

780
ПРИЛОЖЕНИЕ I
1.1.1.1.2. Группа Б, поставляемая по химическому составу1).
1.1.1.1.3. Группа В, поставляемая по механическим свойствам с дополнитель-
дополнительными требованиями по химическому составу.
1.1.1.2. Стали углеродистые качественные (ГОСТ 1050—60) (подразделяются
на две подгруппы I и II — с нормальным и повышенным содержанием Мп).
На тонколистовую качественную углеродистую конструкционную сталь
введен ГОСТ 914—56.
1.1.1.2.1. Мостовые стали2).
1.1.1.2.2. Судостроительные стали.
1.1.1.2.3. Конструкционные автоматные стали.
1.1.1.3. Сталь легированная конструкционная (ГОСТ 4543—61) (подразде-
(подразделяется на группы в зависимости от легирующих добавок и на под-
подгруппы— в зависимости от назначения проката).
1.1.2. Цементуемые стали (подразделяются на 4 группы (механические свой-
свойства приведены в таблице 1.3.)
Таблица 1.3
с
>>
о.
и
1
1
2
3
4
Условия
нагружения
Износ при ма-
малых удельных на-
нагрузках
Износ при боль-
больших удельных
нагрузках
Износ при вы-
высоких удельных
нагрузках
Износ при вы-
высоких удельных
нагрузках
Сечение
детали
Малое
Малое и
среднее
Среднее
Большое
Марки
10, 20
15Х; 20Х;
15Г; 20Г;
15ХФ;
12ХН2
18ХГМ;
18ХГТ;
12ХНЗА;
20ХН
18Х2Н4ВА;
ЗОХГТ;
20ХГ5
Механические свойства
сердцевины
апч'
кГ/мм*
Не per
40—75
. 80-
110
100—
150
кГ/мм*
ламенти
25-55
65-90
90-
130
*
юваны
35—55
45-55
35—55
"в
95-
150
100—
160
250—
350
320-
440
!) Поставка стали по химическому составу производится, если для изго-
изготовления изделий применяется технология, изменяющая механические свой-
свойства стали. Эти свойства зависят от способа выплавки, в связи с чем в обо-
обозначения сталей группы Б вводят дополнительный индекс: М —сгаль марте-
мартеновского производства, Б — сталь бессемеровского производства (МСтО, МСт1,
МСт7; БСтО, БСтЗ, БСтб).
2) По данным НИИ мостов при ЛИИЖТе (ст. н. сотр. к. т. н. Н. И. Ново-
Новожилова) составлена приводимая табл. 1.2 применяемых и перспектив-
перспективных марок сталей для мэстов, относящихся к различным ГОСТам. Вт все
стали в табл. 1.2, кроме М16С, Ст. 3 мост, и 40Х, входят следующие эле-
элементы: С, Мп, Si, Cr, Ni, Си; в сталь 15ХГ2СФР, кроме того, входят: V, В,
Ti; в стали М16С, Ст. 3 мост, и 40Х входят: С, Мп, Si, в последнюю, кроме
того, Сг. Для краткости проценты содержания не приводим. Сера и фосфор
во всех сталях ограничиваются количествами порядка 0,05—0,03%.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
781
1.1.3. Улучшаемые стали (улучшение состоит в закалке и высокотемператур-
высокотемпературном отпуске) подразделяются на три группы; механические свойства
приведены в табл. 1.4.
Таблица 1.4
групп
1
2
3
Условия нагружения
Детали, работающие
при малых нагрузках
Средненагруженные
детали
Детали, работающие
при наибольших нагруз-
нагрузках
Марки
стали
40
45
50
40Х
40Г
ЗОХГСА
40ХНМА
18Х2Н4ВА
Механические свойства
апч
кГ/мм2
60-70
80-90
100—
120
ат>
кГ/мм2
40—60
70-80
90—110
Ч>. %
40—50
45—55
40-50
"в
8-10
10-12
1.1.4. Пружинно-рессорные стали (ГОСТ 2052—53) подразделяются на три
группы; механические свойства приведены в табл. 1.5.
Таблица 1.6
групп
1
2
3
Характеристика .
Пониженной прочности
Средней прочности
Высокой прочности
Марки стали
65; 70; 75; 85;
55ГС; 65Г
50С2; 55С2; 60С2;
50ХФ2; 55СГ; 60СГ
60С2А; 63С2А;
70СЗА; 60С2ХА;
60С2ХФА; 65С2ВА;
60С2Н2А; 60СГА
Механические свойства
кГ /мм2
110-115
120—130
160—190
кГ/мм*
80—100
110—120
140-170
На отливки из конструкционной стали введены: ГОСТ 977—58 — отливки
из углеродистой стали, ГОСТ 7832—55 — отливки фасонные из конструк-
конструкционной легированной стали, ГОСТ 2176—57 — отливки из высоколегиро-
высоколегированной стали со специальными свойствами.
1.2. Конструкционные стали и сплавы, применяемые при повышенных темпе-
температурах (ГОСТ 5632—61).
1.2.1. Жаропрочные стали. Подразделяются на пять классов (перлитный*
(работают до Т = 500—550 °С), мартенситный (до Т = 500—600 °С), мар-
тенситно-ферритный (длительно работают E0—100 тыс. часов) при 500—
600 °С), аустенитно-мартенситныи, аустенитный).
1.2.2. Жаростойкие (окалиностойкие) стали и сплавы.
1.2.2.1. Жаростойкие стали. Подразделяются на пять классов (мартенситный,
мартенситно-ферритный, ферритный, аустенитио-фёрритный и аустенигный).
1.2.2.2. Жаростойкие сплавы на железоникелевой основе.

782
ПРИЛОЖЕНИЕ I
1.2.2.3. Жаростойкие сплавы на никелевой основе.
2. (II класс). Инструментальные стали и сплавы. Включают в свой состав:
2.1. Режущие стали (группа 1: режущие стали углеродистые и легированные,
ГОСТ 1435—54 —«сталь инструментально-углеродистая», ГОСТ 5950—63 —
«сталь инструментальная легированная»; группа 2: быстрорежущая
ГОСТ 5952—63 —«сталь инструментальная быстрорежущая»), 2.2 —штам-
повые стали, 2.3 —стали для измерительных инструментов, 2.4 —режущие
и штамповые стали, устойчивые против коррозии, 2.5 — твердые сплавы.
Каждая из отмеченных рубрик имеет дальнейшее деление (еще два знака
в десятичной системе классификации).
3 (III класс). Стали и сплавы с~особыми свойствами C.1—магнитные стали
и сплавы, 3.2 — сплавы с особенностями электрического сопротивления,
3.3 —сплавы с особенностями теплового расширения, 3.4 —нержавеющие
стали, 3.5 —износостойкие стали; каждая из отмеченных рубрик имеет
дальнейшее деление (еще два знака в десятичной классификации).
В табл. 1.6 помещены данные о свойствах некоторых сталей четвертой
группы III класса (ГОСТ 10994—64)
Таблица 1.6
Марки стали
40КХНМ
401ШХМВТЮ
36НХТЮ
36НХТЮМ
42НХТЮ
97НЛ
X арактеристика
Высокопрочный
Немагнитный коррозион-
коррозионно-стойкий высокопрочный
Немагнитный коррозион-
коррозионно-стойкий, ди?персионно-
тве рдеющий, повышенной
прочности
Высокопрочный диспер-
сионно-твердеющий с низ-
низким температурным коэф-
коэффициентом модуля упруго-
упругости (до 100 °С)
Коррозионностойкий
Механические и упругие свойства
бпч кГ/ммш
270
200
120-160
140-180
120-160
160-190
Е, кГ/мм*
20 000
22 000
19 000-20 000
20 000-21000
20 000-21000
I.I.II. Чугуны!)
1. Механические свойства серого чугуна (ГОСТ 1412—54)
в табл. 1.7.
представлены
*) Существуют следующие виды чугунов: серый (ГОСТ 1412—54), ковкий
(ГОСТ 1215—59), высокопрочный с шаровидным графитом (ГОСТ 7293—54)
и легированный.
Легированные чугуны делятся на антифрикционные (ГОСТ 1585—57),
жаростойкие (ГОСТ 77о9—59) и коррозионностойкие (аустенитные).
Антифрикционные чугуны изготовляются на основе серого (марки АСЧ-1,
АСЧ-2, АСЧ-3), ковкого (марки АКЧ-1, АКЧ-2) и высокопрочного (марки
АВЧ-1, АВЧ-2).

ПРИЛОЖЕНИЕ I
783
Таблица 1.7
Марка чугуна
СЧ-12-28
СЧ-15-32
СЧ-18-36
СЧ-21-40
СЧ-24-44
СЧ-28-48
СЧ-32-52
СЧ-35-56
СЧ-38-60
Предел прочности, кГ/мм*
апч
12
15
18
21
24
28
32
35
38
пч, с
50
65
70
75
85
100
110
120
130
апч,и
28
32
36
40
44
48
52
56
60
Стрела про-
прогиба балки
в мм
при полете
в 300 мм
2
2,5
2,5
3
3
3
3
3
3
"в
143-229
163—229
170-229
170-241
170-241
170-241
187-255
197-269
207-269
Здесь: апч — предел прочности при растяжении,
апч, с— > > > сжатии,
апч. и— > > » изгибе.
2. Механические свойства ковкого чугуна (ГОСТ 1215—59) представлены
в табл. 1.8.
Таблица 1.8
Марка
КЧ-30-6
КЧ-33-8
КЧ-35-10
КЧ-37-12
КЧ-45-6
КЧ-50-4
КЧ-56-4
КЧ-60-3
КЧ-63-2
Предел прочности
при растяжении
в кГ/мм*, не менее
30
33
35
37
45
50
56
60
63
б, % (не менее)
6
8
10
12
6
4
4
3
2
Hq (не более)
163
163
163
163
241
241
269
269
269
3. Механические свойства высокопрочного чугуна е шаровидным графитом1)
(ГОСТ 7293—54) приведены в табл. 1.9.
х) Получение отливок из чугуна с шаровидным графитом обеспечивается
обработкой* расплавленного чугуна присадками магния или другими специаль-
специальными присадками.

784
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Таблица 1.9
Марка
ВЧ-45-0
ВЧ-50-1,5
ВЧ-60-2
ВЧ-45-5
ВЧ-40-10
Предел
прочности,
кГ/мм*
Условный
предел теку-
текучести при
растяжении,
кГ/мм2
6, %
Ударная
вязкость,
к Г - м/см*
не менее
45
50
60
45
40
36
38
42
33
30
1,5
2,0
5,0
10
1,5
1,5
2,0
3,0
ив
187—255
187-255
197—269
170—207
156-197
4. Механические свойства отливок из жаропрочных чугунов (ГОСТ 7769—55)
приведены в табл. 1.10.
Таблица 1.10
Марка~
ЖЧХ-0,9
ЖЧХ-1,5
ЖЧХ-2,5
ЖЧХ-5,5
ЖЧСШ-5,5-0,1
ЖЧНДХ-15-7,2
Предел прочности, кГ/мм2
апч
апч, и
не менее
18
15
Не опреде-
определяется
10
22
18
36
32
32
24
Не опреде-
определяется
Не опреде-
определяется
Стрела про-
прогиба балки
в мм
300 мм
2,5
2,5
2,0
2,0
Не опреде-
определяется
Не опреде-
определяется
"я
207—285
207-285
228—363
140—225
228—321
120-197
LI1. Алюминий и его сплавы
1. Механические свойства алюминия и деформируемых алюминиевых сплавов
представлены в табл. 1.11.
Таблица 1.11
Марка
Литой алюми-
алюминий
Технический
деформируемый
алюминий АД,
АД-1 (листы,
прутки, трубки)
гост
или ТУ
—
Состояние поставки
Нагартованный,
отожженный
V
кГ/мм2
апч'
к Г /мм2
б, %
«в
не менее
5-9
8-10
3
9— 12
10-15
И
10—25
4-5
20-28
25—35
32
28

ПРИЛОЖЕНИЕ I 785
Таблица 1.11 (Продолжение)
Марка
ГОСТ
или ТУ
Состояние поставки
кГ/мм*
кГ/мм*
б, %
АМц
АМг
АМг5
АМгбП
АМг7
Д1 и Д1П
Д6
Д16
Д16П
Д18П
Д20
АВ
АК2
АК4
АК4-1
АК6
ГОСТ
4784—49
ГОСТ
4784-49
АМТУ
411—47
ГОСТ
4784—49
АМТУ
411-47
ГОСТ
4784-49
ГОСТ
4784—49
ГОСТ
4784-49
ГОСТ
4784—49
ГОСТ
4784—49
ГОСТ
4784-49
ГОСТ
4784—49
Нагартованный
полунагартованный
отожженный
ванный
Полу нага рто]
ожженный
отожженны:
Полунагартованный
отожженный
Отожженный
Полунагартованный
отожженный
Закаленные, с по-
последующим старением
отожженные
Закаленный
Отожженные
закаленные и ес-
естественно состарен-
состаренные
отожженные
Закаленный и ес-
естественно состарен-
состаренный
отожженный
Закаленный и ис-
искусственно состарен-
состаренный:
полуфабрикаты
листы
Закаленный и ес-
естественно состарен-
состаренный
закаленный
отожженный
Закаленные и ис-
искусственно состарен-
состаренные
То же
8
7
5
21
10
20
14
15
25
17
24
11
30
11
30
11
17
6
25
30
28
12
28
27
30
22
13
13
25
19
30
25
27
37
32
42
21
46
22
46
21
30
16
40
42
33
22
18
42
44
44
42
5
10
23
6
23
14
22
23
12
20
15
18
15
15
15
18
24
24
19
12
16
22
30
13
10
12
13

786
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Таблица 1.11 {Окончание)
Марка
АК8
В95
В65
ГОСТ
или ТУ
ГОСТ
4784-49
АМТУ
262-55
АМТУ
332—53
Состояние поставки
Закаленный н ис-
искусственно состарен-
состаренный
То же
Проволока зака-
закаленная и естествен-
естественно состаренная
кГ/мм*
кГ/мм*
в. %
"в
не менее
38
46
49
55
40
12
10
20
135
150
2. Механические свойства алюминиевых литейных снлавов (ГОСТ 2685—63)
представлены в табл. 1.12.
Таблица 1.12
Марка *)
АЛ1
АЛ2
АЛЗ
АЛЗВ
АЛ4
АЛ4В
АЛ5
АЛ6
АЛ7
АЛ7В
АЛ8
АЛ9
АЛ9В
о л
о н
С X
и ч
з, к
3, К
Д
3, К
з, к
з,к
д
з,к
к
з,к
з, к
3
з, к
3, К
з,к
3
з,к
з,к
з,к
здк
ао н .
PQSOK
Тв
—
т*
—
тх
—
I:
т2
т4
Тв
т4
Т6
Тв
кГ/мм2
не
20
15
16
17
12
24
15
15
20
16
16
20
15
20
22
28
16
18
20
15
20
б,
"в
менее
0,5
4,0
2,0
1,0
ад
0,5
2,0
15
0,3
—
10
6
3
9
2,0
4,0
2,0
2,0
0,5
95
50
50
70
65
75
65
50
70
70
65
70
45
60
70
60
50
50
60
50
75
Марка *)
АЛ10В
АЛИ
АЛ12
АЛ13
АЛ14В
АЛ15В
АЛ16В
АЛ 17В
АЛ 18В
АЛ19
особ
в я
з,к
К.Д
/СО*
к,д
з, к
з,к
д
3, К
з, к
з,к
з, к
3, К
о
о
к
к
з, к
к
3
Вид тер-
термической
обработ-
обработки 2)
Tj
Тв
Т6
ТБ
О
т~
Тв
—
кГ/мм*
не
12
17
18
17
15
17
13
20
15
20
16
9П
22
18
20
18
30
1) Буква «В> в условных обозначениях марок указывает, что
изготовлены из литейных алюминиевых
8) 3 —в землю,
Та —отжиг, 1
К-в
кокиль,
*4 —закалка, Тб —
сплавов в
Д — под
к
"в
менее
—
1,0
—
Ю
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
—
8,0
80
90
60
100
55
55
70
85
70
80
65
7R
10
70
65
75
80
80
этливки
чушках по ГОСТу 1583—53.
давлением,
закалка и частичное
Тх —старение,
k старение.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
787
1.111. Магниевые сплавы
1. Механические свойства технического магния при 20 °С представлены
в табл. 1.13.
Таблица 1.13
Состояние материала
Литы€ образцы
Листы отожжённые
Листы холодноКатанные
Прутки прессованные
<
кГ/мм*
2,5
9,5
19,0
9,0
апч«
кГ/ми*
и,{
19,0
26,0
20,0
б. %
1?
. 9
11,5
«в
30
40
50
40
8. Механические свойства магниевых деформируемых сплавов (по АМТУ
371-56, 226-52, 226-45, 227-49, 286-49, 289-50, 425-57) . представлены
в табл. 1.14.
Таблица 1.14
Марка
МА1
МА2
МАЗ
МА5
МА8
ВМ 65—1
Состояние материала
Ленты отожженные
при 350 ФС
при 240вС
Прутки и поковки
Профили прессованные
Прутки прессованные
Поковки и штамповки
Прутки, поковки и штамповки
отожженные
Прутки закаленные
Поковки и штамповки зака-
закаленные
Листы отожженные
при 350°С
при 250вС
Прутки горячепрессованные
Профили горячепрессованные
Прутки, профили прессованные
Штамповки
Поковки
кГ/мм*
в. %
"в
не менее
17
25
18
26
26
24
26
30
27
24
25
20
26
32
, 30
28
а
10
2
4
5
5
8
8
6
10
7
7
10
7
8
6
40
—
45
45
50
55
55
55
—
—
—
60
60
60

788
ПРИЛОЖЕНИЕ I
3. Механические свойства магниевых литых сплавов (ГОСТ 2856—55) пред-
представлены в табл. 1.15.
Таблица 1.15
Марка
МЛ2
МЛЗ
МЛ4
МЛ5
Вид
терми-
термической
обра-
обработки
Те
т.
апч'
кГ/мм2
б, %
не менее
10
16
18
22
23
15
15
22
23
3
6
4
5
•2 •
2
2
5
2
35
40
50
50
60
50
50
50
65
Марка
МЛ6
МЛ7-1
МЛ-11*)
МЛ-12*)
Т? — отжиг, Т4 —гомогенизация с закалкой
низация с закалкой на воздухе (Тб1 —в воде) и
*) Сплавы не стандартизированы.
Вид
терми-
термической
обра-
обработки
Т4. Те
Tei
1
°пч*
кГ/мм2
6, %
"в
не менее
15
22
23
18
13
22
25
27
на воздухе,
старение.
1
4
1
5
3
11
3
6
50
60
65
55
60
7
8
8
Тв — гомоге-
I.IV. Медь и медные сплавы
Основные механические свойства технической меди
Предел текучести, кГ/мм2 38 Относительное удлинение, % 4—6
Предел прочности при рас- Ударная вязкость, кГ ¦ м/см2 16—18
тяжении, кГ/мм2 40—50 Твердость по Бринеллю
Предел прочности при ежа- (отожженный) Ив 35—45
тии, кГ/мм2 157
LIV.I. Латуни
1. Механические свойства меди и деформируемых двойных латуней (ГОСТ
1019—47) приведены в табл. 1.16.
Таблица 1.16
Марка
Л96
Л90
Состояние
материала
Техническая
медь
Твердый
отожженный
Твердый
отожженный
к Г/мм2
кГ/мм2
б,
%
а»
кГ'М/см*
не менее
38
39
40
12
40—50
(раст.)
157
(сжат.)
45
24
48
26
4-6
2
50
-4
45
16-18
22
18
не
более
35-45
130
53
Полуфабрикаты
Радиаторные
трубки
Листы и ленты
для планировки

ПРИЛОЖЕНИЕ I 789
Таблица 1.16 (Окончание)
Марка
Л85
Л80
Л70
иЛ68
Л62
]
Состояние
материала
Твердый
отожженный
Твердый
отожженный
Твердый
отожженный
Твердый
отожженный
Примечание
называются томпако\
кГ/мм2
апч«
кГ/мм*
6,
%
кГ -м/см*
не менее
45
10
52
12
62
9
50
11
55
28
64
32
66
32
60
33
4
45
5
52
3
55
3
49
_
—
16
17
14
не
более
126
54
145
53
150
62
164
56
Двойные латуни, содержащие
I, содержащие '
Полуфабрикаты
Трубы гофриро-
гофрированные
Листы, ленты
и проволока
Полосы, листы,
ленты, трубы,
проволока
Полосы, ленты,
листы, трубы и
проволока
88—97% меди,
78—86% —полутомпаком.
2. Механические свойства деформируемых многокомпонентных латуней (отож-
(отожженные) представлены в табл. 1.17.
Таблица 1.17
Марка
ЛА 85-0,5
ЛА 77-2
ЛАЖ 60-1-1
ЛАН 59-3-2
ЛИ 65-5
ЛЖМц 59-1-1
ЛМп 58-2
ЛМцА 57-3-1
ЛО 90-1
ЛО 70-1
ЛО 62.1
ЛО 60-1
ЛС 74-3
ЛС 64-2
ЛС 63-3
ЛС 60-1
Л С 59-1
ЛЖС 58-1-1
ЛК 80-3
кГ/мм*
—
20
30
17
17
—
8,5
10
15
15
10,4
10
12
13
14
—
—
кГ/мм*
не менее
30
40
45
38
40
45
40
55
28
70
40
38
35
35
35
37
40
40
30
6, %
60
55
45
50
65
50
40
25
45
60
40
40
50
55
55
45
45
35
58
ив.
HG ООЛС6
54
60
95
75
—
88
85
115
58
—
—
—
—
—
90
—
Полуфабрикаты
Трубы, прутки, трубки,
прутки
Трубы манометрические,
листы и ленты
Полосы, проволока,
прутки и листы
Поковки
Полосы, ленты, трубы
и др.
Проволока для сварки
Полосы, ленты, прутки
Прутки специального
назначения
Прутки
Поковки и штамповки

790
ПРИЛОЖЕНИЕ I
3. Механические свойства литейных латуней (ГОСТ 1019—47) представлены
в табл. 1.18.
Таблица 1.18
Марка
ЛС 59-1Л
ЛКС 80-3-3
ЛМцС 58-2-2
ЛА 67-2,5
ЛК 80-ЗЛ
ЛМцЖ-55-3-1
ЛМцЖ-52-4-1
ЛМцОС58-2-2-2
ЛАЖ 60-1-1Л
ЛАЖМц 66-6-3-2
1) 3—литье в землю
апч, кГ/мм*
з.)
К»)
6.%
3
к
не менее
25
25
30
25
45
50
30
38
60
20
30
30
40
30
50
30
42
65
2) К —литье
7
10
12
10
15
15
6
20
7
20
15
8
15
15
10
4
18
7
в кокиль.
"В
не более
90
ПО
90
90
ПО
120
140
100
90
160
1.IV.II. Бронзы
1. Механические свойства деформируемых оловянистых бронз представлены
в. табл. 1.19.
Таблица 1.19
Марка
Бр. ОФ 6,5-0,4
Бр. ОФ 4-0,25
Dp. ОФ 7-0,2 •)
Бр. ОЦ 4-3
Бр. ОЦС 4-4-2,5
Бр. ОЦС 4-4-4
Состояние
материала
Твердый
мягкий
Твердый
мягкий
Мягкий
Твердый
мягкий
Твердый
мягкий
Мягкий
¦) По ГОСТу 10025-62.
апч, кГ/мм*
70
35
60
34
36
55
35
55
30
31
б, %
7,5
60
8
52
64
4
40
2
35
46
"в
160
70
160
- 55
75
160
60
160
60
62

ПРИЛОЖЕНИЕ I
791
2. Механические свойства вторичных литейных оловянястых бронз (ГОСТ
613—50) представлены в табл. 1.20. '
Таблица .1.20
Марка сплава
Бр. ОЦС 5-5-5
Бр. ОЦС 6-6-3
Бр. ОЦС 3-12-5
Бр. ОЦСН 3-7-5-1
Бр. ОНС 11-4-3*)
Бр. ОЦН 5-2-5 *)
анч, кГ/мм*
3
К
б, %
3
К
не менее
15
15
18
18
20
35
20
18
21
21
20
35
16
8
8
8
12
4
5
5
1,2
16
*} Не стандартизованные.
3 — литье в землю, К — литье в кокиль.
60—75
60-75
60
60
80
3. Механические -свойства безоловянистых литых и деформируемых бронз
(ГОСТ 493—54) (не менее) представлены в табл. 1.21.
Таблица 1.21
Марка
Бр. А5
Бр. А7
Бр. АЖ9-4
Бр АЖН 10-4-4
Бр. АЖН 11-6-6
Бр. АМц 9-2
Бр. АЖМц 10-3-1,5
Бр. КМц 3-1
Бр. КН 1-3
Бр. Мц5
Бр. СЗО
Бр. СН 60-2,5
Бр. Б2
Зпч, кГ/мм*
Ли-
Литой
28
30
55
65
48
40
56
35
60
25
7,6
3,0
50
Твер-
Твердый
80
100
60
70
60
—
—
60
—
130
Мяг-
Мягкий
38
42
55
60
40
61
—
30
—
50
6. %
Ли-
Литой
55
45
10
10
—
20
22
25
12
30
5
5
22
Твер-
Твердый
4
3
5
9
—
—
2
_
—
1
Мяг-
Мягкий
65
70
40
35
25
32
—
—
-40
—
30
Ли-
Литой
65
70
120
180
260
30
130
90
150
70
25
14
140
"В
Твер-
Твердый
200
154
160
225
—
—
160
—
350
Мяг-
Мягкий
60
70
ПО
140
160
—
—
80
—
—
117

792
ПРИЛОЖЕНИЕ I
1.IV.III. Медноникелевые сплавы
Механические свойства медноникелевых конструкционных сплавов (ГОСТ
492—52) представлены в табл. 1.22.
Таблица 1.22
\ МН 19
МНЖ 5-1
МНЖМц 30-0,8-1
МНЦ 15-20
МНЦС 17-18-1,8
МНА 6-1,5
МНА 13-3
о* ,
Мягкий
35
24
38
40
40
36
70
кГ/мм*
Твердый
55
45
60
67
65
65
90
Мягкий
35
45
40
45
40
35
7
Твердый
4
4
4
2,5
2
24
4
"в
Мягкий
70
35
70
70
—
60
75
Твердый
120
ПО
190
165
—
200
250
I.V. Тугоплавкие металлы1)
Физические свойства тугоплавких металлов представлены в табл. 1.23.
Таблица 1.23
Свойства
Плотность, г/см9
Температура плавления, °С
Теплоемкость (при 20 °С)
кал/г •°С
•Теплопроводность,
кал/см • сек °С
Коэффициент линейного
расширения (при 20 °С) X
Модуль продольной уп-
упругости, кГ/мм2
Металлы
V
6,11
1900
0,119
0,074
9,7
15 000
Сг
7,2
1875
0,107
0,16
6,2
22 000—
25 810
Nb
8,56
2 415
0,065
0,125
7,1
10 500
Мо
10,2
2610
0,061
0,35
5,4
29 530-
32 000
Та
16,6
2 996
0,033
0,13
6,6
19 000
w
19,3
3410
0,032
0,48
4,5
36 560—
41500
1) Таблицы 23, 27—31 заимствованы из книги «Новые материалы в тех-
технике», «Химия», 1964.или составлены автором по данным этой книги.

Механические свойства тугоплавких металлов в зависимости от способов их получения приведены в табл. 1.24.
Таблица 1.24
Металл
Cr
V
Nb
Mo
Та
W
03
a -
Температу
испытания
20
20
20
20
1095
20
1095
20
1095
20
1095
Способ получения
Электролитический, литой
Иодидный
Литой, калышетермический
Деформированный и отожженный (каль-
циетермическ и й)
Дуговая плавка + ковка + рекристал-
лизационный отжиг
Электронная плавка + ковка + рекрис-
таллизационный отжиг
Дуговая плавка + рекристаллизацион-
ный отжиг
Ковка + рекристаллизационный отжиг
Дуговая плавка + рекристаллизацион-
рекристаллизационный отжиг
Отожженный лист
Порошковая металлургия + рекристал-
рекристаллизационный отжиг
Спекание -f прокат + отжиг
В рекристаллизованном состоянии
Чистота
металла, •
99,5
99,9
99,79
99,68
99,39
99,84
—
—
—
99,98
—
Содержав
примесей
внедрения
0,15
0,020
0,15
0,23
0,0723
0,04
—
—
—
—
—
кГ/мм*
17
18-21
35,3
54,7
17,5
25,0
7,7
47,5
17,6
32—46
11,9
60
23,9
Механические свойства
кГ/ммг
11,9
32
46,3
—
17,0
—
44,6
—
—
—
—
б, %
2
12
20
—
60
34,8
46
71,0
25—40
43,0
2
. 52
Ф, %
99
17,5
63
70
95
100
56
97,0
—
—
—
«в.
кГ/мм*
57-64
—
—
115
—
-—
187
—
80-
1 1 О
11U
400—
500
<п О
Длительна
прочность
за 100 час
—
—
—
8,4
—
2,1
—
15,5

I.VI. Жаропрочные сплавы (температурные области работы)
(См. книгу М. В. Захарова и А. М. Захарова, цйтир. на стр. 332.)
Таблица 1.25
Основа
Сплавы
Марка, химический состав
и др. информация
Температуры, °G
Mg
ВМ65-1, для работы при 20 °С
5,5% Zn; 0,6% Zr
МА-11, для работы при 200—250 °С
2%Мп; 3% Nb; 0,1% Ni
НК 31ХА, для работы при 300—
350 °С, 3,5% Th; 0,75% Zr
•о
X
X
ГО
А1
Д19, закалка, холодная деформа-
деформация (на 20%) и искусственное
старение
АЦР-1, легирование, Си, Се, Мп,
искусственное старение
а
Ti
АТ4,4% А1;
1,5% (Fe+Si+Cr+B) листы
(рабочая температура 450°С)
АТ6,б% А1;
1,5% (Fe+Si+Cr+B) прутки
(рабочая температура 500 еС)
ВТ18,б% А1; 11 %Zr; 1 % Mo;
1% Nb; поковки, штамповка
(рабочая температура
500--600 °Q
ВТ-9; 6,5% А1; 2% Zr; 3,5% Mo;
0,2% Si; поковки, штамповка
(рабочая температура 500 °С)

Таблица 1.25 (Продолжение)
Температуры, °С
10
И
12
13
14
15
Основа
Си
Fe
(стали)
Ni
16
17
Со
(Зплавы
Марка, химический состав
и др. информация
БР НБТ; 1,56% Ni; 0,38% Be;
0,05% Ti, 53% от электропровод-
электропроводности меди
0,27% Zr; i 92% от электропровод-
электропроводности меди
0,15% Сг,. 0,15% Zr, 90% от элек-
электропроводности меди
12x2 МВ8ФБ (ЭИ503); 2,4% Сг;
0,6% Мо; 0,3%V; l%Nb;
7,5%W; 0,6%Si; 0,6%Mn; 0,1% С
ЭИ589 0,48% С; ^0,8% Si; 8% Мп;
12,5% Сг; 8% Ni; 3,7% W; 2,3% V;
l,2%Nb
ЭИ826 (деформируемый сплав);
15% Сг; 2% Ti; 2,6% А1; 3% Мо;
6%W; 5% Fe; 0,3%V; 0,12% С;
0,015% В
F 488 (зарубежный опытный сплав);
5% Ni; 25% Сг; 4% Мо; 4% W;
4%Nb; 2%Fe; 1% В; 4% С
70% V; 20% Nb; 10%Ta

Таблица 1.25 (Окончание)
Температуры, *Q
Основа
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Сг
Nb
Mo
Та
W
Сплавы
Марка, химический состав
и др. информация
ВХ-2И; 0,15% Ti; 2o/o V; до io/o Y
F—48; 15% W; 5% Мо; 1% Zr;
0,1% С; y = 9>42 г/см*\
Т14?^
1,26% Ti
0,12% Zr
0,20% Hf,
BM2; Трекристалл. =¦
(начало)
ЦМ 5; Трекристалл. =
(начало)
:; ТрекРисталл.= 1760°С (начало),
зарубежный сплав
—111; 8%W; 2% Hf; Тсолид.,
99Я0 ®Г Т
Г;
ь— 99Я0 ®Г
Г Т
^ 1 начала рек
1370 °С; y==16;65
ристалл
0,12% Zr, кованые прутки
1,6% Та, прессованные прутки

Механические характеристики жаропрочных сплавов в зависимости от температуры
(в скобках — номер сплава согласно таблице 1.25)
Тггбл-нца 1.26
.Т,'С
20
(М
150
200
250
300
400
500
580
600
620
650
ТОО
800
570
980
100»
«95
1200
1315
1400
1430
1500
1980
2200
33
a
15
s
T
ГШП
€4
-5J
B)
28
2»
M
14
ГШ1
i 82
L5J
13 *
20
t»
15
14
ГШП
96
li
I D) I
49
49
LJ3J
ПШП
Iwl
29
27
17
U2)
36
34
25
19
LJLJ
|С28)|
ы

IL Пластмассы
II 1. Термопластичные пластмассы
Физические, в частности, механические свойства пояиэтяленов, полипропилена, полистирола и продуктов его
модифицирования сведены в табл. 1.27.
Таблица 1.27
-4
8
Удельный вес, г/см*
Теплостойкость , но
Мартенсу, °С
Теплостойкость по
Вика, °С
Морозостойкость, *С
Водопоглощение, % .
за 24 часа
за 7 дней
Водопоглощение пре-
предельное, %
Коэффициент тепло-
теплопроводности (ХЮ4),
(ккал/сек • см - °С)
Удельная теплоем-
теплоемкость, кал/г -°С
Полнакрилаты
литьевые
ПТ
1,18-
1,2
88—95
—
—
мс
1Л4
75-78
—
—
0,26
—
—
Полиамиды
капрон
1,13—
1,15
50-55
160—
180
-20
1,5-
5,0
12
6,0
0,55
амид
1,14-
1,16
65
220-
230
0,5-
0,7
—
6-7
0,5-
0,55
АК-7
1,14
—
205
1,5
8
6-8
П-54
1,10—
1,12
—
115
-40
9,5
7-5
Поливи-
нилхло-
ридные
пластмас-
пластмассы марки
ВН
—
—
75
—
—
—•
Поликар-
Поликарбонат
1,2
150—160
—
0,1
0,30
—
—
Полипро-
Полипропилен
прессо-
прессованный
0,90-
0,92
—
90
—
—
—
0,28
Полисти-
Полистирол
блочный
т
1,05
80
—
—
——
—
—
Полиэти-
Полиэтилен
марки
НД
0,94—
0,96
—
—
—¦
0
0
—
10
0,55

Таблица L27 (Окончание)
Коэффнц. линейного
термич. расширения на
Е кГ/см*(ХИТ*)
вп.кГ/см*
(хш-^
сжатие
срез
взгнб
растяжение
Удлинение прм раз-
разрыве, %
Удельная ударная
вязкость, кГ • см/см*
ЫВ9 кГ/мм*
Полиакрилаты
литьевые
ПТ
—
—
12-18
—
12—19
17-18
мв
___
10
—
9>5
—
13—15
16—17
какрон
6-15
15
7-8
—
8-
10,5
5-8,4
150—
200
150—
170
10—12
Полиамида
амид
7-13
15—29
7-10
—
8-10
5-Ti5
50-
100
150
—
Шр ямечания:
1. У пластмасс теплоемкость и коэффициент
стекла, а теплопроводность намного меньше.
2. Теплостойкость
1 jmc2, вдавливается по;
3. Теплостойкость
по Вика—температура, при
[ нагрузкой 5000 кГ в
АК-7
10—11
15
10-12
5-6,5
60-
100
130-
160
15-18
П-54
13-
13,5
3
—
—
2,8-3
5-6
300-
350
200-
250
4-5
Поливи-
нилхло-
ридные
пластмас-
пластмассы марки
ВН
—
—
ю
Не < 6,5
—
Не<80
—
линейного расширения
Поликар-
Поликарбонат
22
9-9,50
10-12
6,7-7,8
50-110
350-500
15-16
намного
Полипро-
Полипропилен
прессо-
прессованный
16
13
—
3,2
650
Не
ломается
—
больше,
Полисти-
Полистирол
блочный
т
11,9—32
'—
—
8,5
—
0,4-0,7
12—18
—
Полиэти-
Полиэтилен
марки
нд
10
5—8
2—3,6
2-3,6
2—3,8
2,2-4,5
200—900
Не
ломается
—
чем у металлов,
которой цилиндрический наконечник с, основанием,
образец па глубину
по Мартен су—температура,
при которой
образец, подвергающийся изгибу) конец горизонтального стержня (
на 6 мм.
1 мм.
в Г-образной раме
рычаг, Ее
i который
равным
(вертикальный стержень —
действует
груз) опускается

11.2. Отверждающиеся пластмассы
Физические, в частности, механические
дены в табл. 1.28.
свойства пластиков с волокнистыми наполнителями и слоистых пластиков све-
Таблица 1.28
Пластики
с волокнистым
наполнителем
Волокнит
Асбоволокнит К-6
Фаолит
Асбовинил
К-41-5
АГ-4В
АГ-4С
КМС-9
712-ПН
СВАМ
Напыленный стешюво-
локнит СВН-12
Предель-
Предельная рабо-
рабочая тем-
температура
(длитель-
(длительная), °6
Плотность,
г/см»
1,35—1,45
1,95
1,5—1,65
1,54—1,64
1,9
1,8—2,0
1,8-2,0
1,78
1,8
1,7
Тепло-
Теплостойкость
по
Мартенсу,
°G
110-120
200-250
150
150
350
260—330
350
170
160
150
Влагопо-
глощение,
%
0,4
0,5-1,0
0,3-0,5
0,5—1
0,25
0,02-0,1
0,1
од
0,3
3,0
Ударная
вязкость,
кГ»см/см2
9-11
18—21
3,5-5,5
3,5—4,5
18
25/100
36-100
30
290
30
при
изгибе
5-6
7
3—6
—
5-7
10 20
3-6
12
48
16
°пч' кГ1мм
при
сжатии
12—13
11
5-9
2,5-3,8
13
13
—
10
—
—
при растя-
растяжении
3—3,5
3
3
1,5—2,15
—
8/20
—
—
44
13
Модуль
упруго-
упругости при
растя-
растяжении,
кГ/мм2

Таблица 1.28 (Окончание)
Слоистые
пластики
Стеклотекстолит
Связующее
КАСТ-В
ФН
ВФТ
911
ЭФ-32-301
СКМ-1
ПН-1
Древеснослоистый пла-
пластик
Текстолит ПТК
Асботекстолит
Гетинакс
Предел прочности для
Предель-
Предельная рабо-
рабочая тем-
температура
(длитель-
(длительная), °С
200
250
200
200
175
150
110-120
100—120
200
110—120
слоистых
Плотность,
г/см3 •
1,85
1,59
1,75
1,67
1,62-1,71
1,75
1,5
1,53
1,3-1,4
1,5-1,7
1,3-1,4
пластиков ,
Тепло-
Теплостойкость
по
Мартенсу,
250
270—320
200—400
285-290
245—255
—
—
140—150
120-125
200
130—150
Влагопо-
глощение,
%
0,8-1,6
1,55
1,6—1,87
1,3-1,65
0,1-0,5
—
0,5
5—18
0,8-1,5
3
1—2,5
дан применительно i
Ударная
вязкость,
кГ • см/см2
60—115
180
100
500 .
148
60
100-120
60—80
25—30
16—20
16-20
при
изгибе
16
21
29
21-27
41,4
14
19-21,3
28
12-14,5
12-17
10-13
anq, кг/мм
при
сжатии
И
10,7
16
15
26
610
—
16-18
23-?5
8,5
30—32
при растя-
растяжении
23,5-52,7
35,1
36
39,5
40,8
21
27—30
22—30
8—10
8
8—10
* испытаниям параллельно основе.
Модуль
упруго-
упругости при
растя-
растяжении,
кГ/мм2
1600
1370
—
1200
500
2000
100

III. Порошковые материалы
Ш.1. Материалы порошковой металлургии
Сопоставление свойств материалов, полученных методом порошковой металлургии и литьем (в некоторых случаях
с последующей ковкой или прокатом) даны в табл. Т.29.
Таблица 1.29
Материал
Сталь 30
То же
Сталь 45
То же
Электродная сталь
То же
Медь
То же
Латунь 70/30
То же
Бронза оловянистая
То же
Алюминий
То же
Методы обработки
Спекание смеси железа с
графитом
Литье, горячий, прокат
Спекание
Литье, прокат
Спекание,
закалка,
отпуск
Литье
Спекание
Литье, ковка, отжиг
Спекание
Литье
Спекание
Литье *
Спекание
Литье
Условш
давление,
кГ/мм2
—
—
56
70
70
42
i обработки
температура,
°С
1050
1090, 1095
1095
830
320
600
880
850
615
Плот-
Плотность,
г/см8
7,65
7,72
7,32
7,72
7,20
7,72
7,46
8,77
7,80
8,29
8,35
8,64
2,57
2,65
Пори-
Пористость,
%
15
0
5,1
0
7,3
0
15
0 .
9,4
0
3,4
0
3
0
кГ/мм*
51
52,5
41
68
107
128
14-16
15—20
24
26
24
30
8,4
7-10
Удлине-
Удлинение, %
23
30
25
25
4
12
3-4
15—25
50
58
21
25
49
35-45

ПРИЛОЖЕНИЕ I
803
HI.2. Керамико-металлические материалы
Наиболее интересные сочетания материалов, комбинируемых в керметах,
представлены в таблице 1.30.
Таблица 1.30
Класс керметов
Окислы
Карбидные
Боридные
Силицидные
Нитридные
Керамическая
составляющая •
А12О3
Сг2О3
MgO
SiO2
ZrO2
SiC
TiC
Cr3C2
Cr3B2
TiB2
ZrB2
MoSi2
TiN
Металлическая составляющая
Al, Be, Co, Cr, Co—Cr, Fe;
Cr—Ni, Fe
Cr
Al, Be, Co, Fe, Ag
Cr, Si
Zr
Ag, Si, Co, Cr
Mo, W, Fe, Ni, Co
Ni, Si, жаропрочные сплавы
Ni
\ Fe, Ti, Co
Ni, Co, Pb, Fe, Cr
Ni
Физико-механические свойства некоторых твердых керметов даны
таблице 1.31.
Таблица 1.31
Марка
сплава
Т5КЮ
Т15К6
Т30К4
Твердость,
88,5
90
92
опч (изгиб),
кГ/мм2
115
по
90
Плотность,
г/см*
12,1 — 13,0
10,8-11,5
9,3—9,6
26*

IV. Древесина. Физико-механические свойства древесины (ГОСТ 4631—49) представлены в табл. 1.32.
s
Таблица 1.32
Порода
Акация
Береза обыкновенная (европейская)
Береза обыкновенная (западно-
(западносибирская)
Береза обыкновенная (уральская)
Береза железная
Береза желтая
Береза черная
Бук кавказский
Вяз
Граб кавказский
Граб УССР
Груша
Дуб
Ель аянская
Ель обыкновенная
Ель сибирская:
Урал
Западная Сибирь
Восточная Сибирь
Хабаровский и Приморский край
Предел прочности
при сжатии
вдоль волок
670
447
460
527
776
533
437
46Д
389
558
503
565
520
391
423
353
353
431
389
при статиче-
статическом изгибе
1520
997
917
984
1340
1084
1074
938
852
1290
1134
1210
935
751
774
640
603
729
721
при 15%
при растяжс
НИИ ВДОЛЬ
волокон
1690
—
—
—
—
2100
1935
1201
—
—
—
1288
1263
1223
—
722
864
931
влажности
при CKaj
в ради-
радиальной
плоско-
плоскости
166
85
86
84
—
127
115
99
70
137
—
85
63
53
59
57
67
78
, кГ/см2
тывании
в танген-
циаль-
циальной
плоско-
плоскости
176
НО
99
100
145
133
141
131
77
182
—
104
60
52
61
54
68
69
Сопротивление
^J с*\*, I\. uvl Oi о d П п I\J у
кГ/см
в ради-
радиальной
плоско-
плоскости
20I
16,7
15,6
15,5
22,6
20,8
21,3
16,1
15,5
20,2
21,2
16
8,6
—
—
8,8
в танген-
циаль-
циальной
плоско-
плоскости
26,2
19,3
20,2
19,9
22,6
26,2
26,3
24,3
17,2
___
27,2
27,5
21,6
8,6
—
—
9,0
Сопротивлен
ударному из
в TaHreH^aj
плоскости, ь
0,47
—
0,42
0,54
0,41
0,37
—
0,56
0,37
0,21
0,18
0,20
0,13
0,19
0,16
>>? 3
Модуль упр
сти при стал
ском изгибе
(в тыс. кГ/с
145
124
—
148
ПО
—
—
131
—
104
73
80
—
75
87
86

Порода
Ильм Европейской части СССР
Ильм УССР
Ильм Башкирской АССР
Кедр корейский
Кедр сибирский (Урал)
Кедр западносибирский
Кедр алтайский
Кедр восточносибирский
Клен манчжурский
Клен Моно
Клен остролистный
Клен полевой
Липа амурская
Липа мелколистная
Лиственница даурская
Лиственница сибирская
Лиственница уральская
Лиственница западносибирская
Лиственница (Алтай)
Лиственница (восточносибирская)
Ольха черная
Орех грецкий
Осина (европ. часть СССР)
Предел г
X
о
при сжатии
вдоль волок
306
486
381
337
376
352
347
378
433
514
540
519
334
390
573
515
511
615
550
553
368
485
. 374
фОЧНОСТИ
при статиче-
статическом изгибе
566
1057
782
639
603
645
715
628
932
1186
1091
1053
631
680
1062
973
973
978
1030
963
692
975
766
при 15%
при растяже
НИИ ВДОЛЬ
волокон
1036
—
—
1074
—
780
893
786
—
—
—
—
—
1158
—
1291
—
1205
—
1186
—
1312
влажности
, кГ/см2
при скалывании
в ради-
радиальной
плоско-
плоскости
62
—
64
59
59
53
59
70
116
98
87
117
—
73
77
115
83
85
94
93
—
100
57
в танген-
циаль-
циальной
плоско-
плоскости
85
138
71
61
60
57
66
74
127
124
124
132
—
80
60
126
72
78
88
85
—
106
77
Та
блица
Сопротивление
г>асскалыванию
кГ/см
в ради-
радиальной
плоско-
плоскости
18,5
14,2
7,9
—
—
—
—
—
—
—
21,8
—
—
—
12,2
14,7
—
13,1
11,6
—
18
10,6
в танген-
циаль-
циальной
плоско-
плоскости
21,0
14,2
9,9
—
—
—
—
—
—
30,6
26,4
—
—
—
12,3
13,8
—
12,0
12,8
—
17
14,3
1.32 (Продолжение)
Сопротивлеь
ударному иа
в тангенциа,
плоскости, /
0,27
0,49
0,51
0,16
0,12
0,14
0,17
0,15
0,41
0,49
0,43
0,35
—
0,27
0,25
0,27
0,33
0,28
0,23
0,24
—
0,36
0,41
>»5 5?
Модуль упр
сти при ста!
ском изгибе
(в тыс. кГ/с
77
—
—
69
—
84
—
80
83
105
126
—
65
—
115
—
130
132
122
129
66
102
107

Таблица 1.32 (Окончание)
Порода
Осина (Хабаровский и Приморский
край)
Пихта белокорая
Пихта кавказская
Пихта манчжурская
Пихта сибирская
Пихта (Зап. Сибирь)
Пихта (Вост. Сибирь)
Сосна (Кольский полуостров)
Сосна северо-европ. части СССР
Сосна (центр, р-ны европ. части
СССР)
Сосна (Урал)
Сосна (Зап. Сибирь)
Сосна (Вост. Сибирь)
Сосна (Хабаровский край)
Сосна (европ. части СССР)
Тополь канадский
Тополь Максимовича
Тополь черный (европ. части СССР)
Тополь черный (Башкирская АССР;
Ясень европейский
Ясень европейский (Кавказ)
Ясень манчжурский
Предел
s
о
s g
н 5
is
с со
309
361
391
311 .
330
317
337
417
466
439
428
427
396
348
308
358
301
351
304
510
530
450
прочности
иче-
ибе
я!
О. х
с о
580
674
722
587
584
570
519
799
877
793
717
736
718
694
533
555
560
600
497
1150
1120
979
при 15%
у о в
= = §
о. я о
с в аз
—
1118
972
—
716
595
1024
—
1150
931
841
—
860
936
727
1020
908
1656
—
1444
влажное™
I, кГ/см*
при скалывании
в ради-
радиальной
плоско-
плоскости
—
40
77
65
60
50
47
70
68
69
82
66
62
60
54
59
58
58
47
138
135
122
в танген-
циаль-
циальной
плоско-
плоскости
—
44
82
64
65
58
53
70
66
73
77
62
64
59
71
67
68
74
60
133
126
114
Сопротивление
кГ/см
в ради-
радиальной
плоско-
плоскости
—
7,9
7,4
7,1
, 9,8
11 4
11,4
9,7
9,5
9,9
9,2
8,4
10,7
8,5
19,3
23,7
19,2
в танген-
циаль-
циальной
плоско-
плоскости
—
8,9
8,7
8,7
—
—
9,4
11,2
11,2
—
9,4
9,0
11,5
10,3
10,1
13,5
11,5
12,9
21,2
19,3
5 к * *
Я S f О
—
0,16
0,20
0,13
0,13
0,13
0,11
0,14
0,23
0,22
0,17
0,18
0,16
0,15
0,18
0,18
0,21
0,22
0,14
0,48
0,36
0,30
>»! s *
65
96
91
—
78
79
73
113
—
145
102
Л05
78
71
83
95
73
113
—
119

ПРИЛОЖЕНИЕ I I
КОНЦЕНТРАТОРЫ НАПРЯЖЕНИЙ
И КОЭФФИЦИЕНТЫ КОНЦЕНТРАЦИИ
В подрисуночных подписях в квадратных скобках указаны номера литера-
литературных источников, приведенных в конце приложения.
О 0,20 0,40 0,60 0,80 dp
Ф
б
«
в)
.26
s
Рис. II.1. tGj.
0,2 ОЛ 0,6 г/с
Рис. Н.З. [4], [8].
(
е
Рис.
А
II.2.
В
[71.
U
/А
Ц
V
- *-"
Y с
~—~—
1 f I
О;
\ \ \
)
f
¦ i"
2
Рис. 11.4. L9I, LlOl.

I
\
V
\*л
\
flfl
rft,
в»ь-
П
6А=6а;А}бв-6«в
ruOftlb
Рис. 11.5. [3].
#_
#
4*
4? W
Рис. II.6. [4].
4. /А
ф
6-P--Bh
r/d
as
/7
t Si
>
/7 *^
3D
40 t/r
+ 0,8a2
Рис. 11.8. [1]. Ci = ао"ном» a E
Относительно ai и a2 см. подпись к рис
II.7, а. При очень малом / анпм = -т-т Т =-—
HUM /jy | ^J '
ш
TUN
/ У
У'
щ
у
Рис. 11.7. а) — Ш. Существенным является
не очертание отверстия, а радиус кривизны
кривой в точке А; Од = aaH0M, a = a4 +
+ 0,8a2; at и a2 отвечают соответственно^кон-
центраторам, изображенным на рис. 11.18, г
(растяжение) и 11.21, г (изгиб) настоящего
приложения.
ином '
P/2th в сечении
пг — т. б), в), г) — [ill; Б = 3,1 /, б = ^- /,
<М =^нома@' аном=а^ (Б-/)' аа) =3'7*
а'2> = 2,85, a(8J = 2,Ю.
При малом / a
ном Л (Б»— Ь*)/6-
штв) ¦
Рис. 11.9. [2J, UL

0,12 0,16 A30 № 0,28 r/h
Рис. НЛО. [12].
О ОМ 0,08 0,12 0,16 0,20 0& 0,28 r[h
Рис. 11.11. [12].
'1,0
/,5 2,0 2J 3,0 3,5 H/h
Рис. 11.12. [13].
0,50 0,75 10
r/t
Рис. 11.14. L5]. г— радиус выточки,
h — толщина пластины.
1,0 10
r/h (Логари/рмтжая шнама)
Рис. И. 13. [2], [4].
V
Рис. 11.15. U7J.

810
ПРИЛОЖЕНИЕ II
О т фВ 0/4 г/Л
Рис. 11.16. [2], [4].
1,0
/
Рис. 11.18. [14]. При одном ослаблении
а = 3. Четыре верхние кривые относятся
* концентрации напряжений у крайнего
ослабления. Две нижние кривые — к кон-
концентрации напряжений у среднего отвер-
отверстия (цифры около кривых указывают на
число выточек).
О 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24 0,26
г/Л
Рис. 11.17. [21, [4].
ос
3,0
2,6
1,8
X
1
J
м '
б - 6М
1 1 1
1
а
Т
1 1
6 ф
Рис. 11.19. [15].
2 4 6
Рис. 11.20. [16].
8 a/ft

SO 40 tjr,bjr,a/r
Рис. 11.21. [lL а), б) /<? (мелкая вы-
выточка). Коэффициент концентрации одина-
одинаков в обоих случаях — выточки с двух
сторон полосы и односторонняя выточка.
Одинаковым является коэффициент кон-
концентрации в обоих рассмотренных слу-
случаях деформации растяжения и изгиба.
В случае растяжения oq = ао и в случае
изгиба Oq =tt'i, 6 Однако коэффици-
коэффициент концентрации зависит от вида выточ-
выточки^ Рассмотрено два вида выточек, А и
В; каждому из них соответствует своя
кривая коэффициента концентрации, ко-
который зависит и от отношения глубины
выточки к радиусу закругления у ее вер-
вершины (t/r). в), г) — выточка глубокая. При
глубоких выточках, двухсторонних или
односторонней, коэффициент концентрации
зависит и от вида деформации и от того,
имеется ли выточка с двух сторон или
лишь с одной стороны. Однако при этом
общее очертание выточки не является су-
существенным; существенным является отно-
отношение ширины нетто (в случае б) и в слу-
случае г) в ослабленном сечении к радиусу
закругления г у вершины выточки.
. в
|аном = ау (растяжение)
а?>=ааном { м <РИС-
(изгиб)
0,!0 0,20
Рис. 11.22. [18].
О 0,Ю 0,20 0,30 d/D
Рис. 11.23. [19].
аном=аЯ <Рагг*'*ение>
м (рис*
аном=л^7б (ИЗГИб)
0,08
Рис. 11.24. 112].

812
ПРИЛОЖЕНИЕ II
№ rjd
Рис. 11.25. UJ, [12], [213.
О 000 0,16
Рис. 11.27. [4], F23J.
W
Рис. 11.26
Рис. 11.28. [2], [4].
18 z
1,0 /О
Рис. 11.29. 1.2], UJ.
too to
р
^^
.——
h
—~
.—-^
\ г
Л—
*?
i ,
/ 2 3 4 5 Ь/г
Рис. 11.30. L20J.

Рис. 11.31. [17].
Ш . I ¦ 1 . I i 1 . 1 . I \ I
0 0,04 0/18 0,12 0,16 0,20 0,24 $28r/d
Рис. 11.32. [5], [17].
0 0,2 № 0,6 r/tt
Рис. 11.35. a) — [25], 6) - L26].
0 № 0,08 012 0,16 0,20 0,24 0,28r,
Рис. 11.33. [2], [24].
0,1 0? &J и,ч r/G
Рис. 11.36. [27]. Здесь
P
Рис. 11.34. L2J, UJ.
(растяжение),
(изгиб).

814
ПРИЛОЖЕНИЕ II
м
Рис. 11.37. [1]. В случаях, изображенных
на рис. а), б), г) и д), формула для макси-
максимального напряжения о*тах = од в пло-
плоскости поперечного сечения у дна выточки
имеет вид Од = ао\ при этом а = 1 -{- 2Yt/r.
Нормальное напряжение в той же точке, но
в диаметральной плоскости также во всех
случаях изображается формулой of =
= ¦— (Од — ayt при этом для о вид фор-
формулы в каждом случае свой собственный:
й)СГя=я^74, б) a==nDW,
Р
г) а=-
д) о
М
я (D* - d*)/32d-
В случаях, изображенных на рис. в) и е),
формула для максимального касательного
напряжения в поперечном сечении у дна вы-
гочки имеет вид тд = ат, где а = 1 +VT/?,
5 определяется по формулам в) т
е)
м
nD*/\6t
Рис. 11.38. Ш. |и = 0,3; нормальные нап-
напряжения в точке А определяются по фор-
формулам од = а**о (в плоскости попереч-
поперечного сечения), of = a***a (в диаметраль-
диаметральной плоскости), где
a = —-— (а)
б) [I = 0,3; нормальные напряжения в точ-
точке А суть Од = ао*ном (в плоскости попе-
метральной плоскости),
Р
(б)
В случаях, изображенных на рис. в)
(а < /, а < d) и г) (а < t), нормальные
напряжения равны Од= осаном (в плоско-
плоскости поперечного сечения), а^ = — (ад —
— аном) (в диаметральной плоскости), а =»
= ai + 0,8af (относительно at и а8 см.
подпись к рис. II.7, а),
ном я (D« - flf*)/4-
(в)

ПРИЛОЖЕНИЕ II
815
Рис. 11.39. U]. Все сказанное в подписи
к рис. 11.38 справедливо и в данном слу-
случае, с той лишь разницей, что вместо фор-
формул (а), (б) и (в) нужно иметь в виду фор-
формулы (а'), (б') и (в') соответственно:
м
о М
ном ш/*/32,
(а')
(б')
(в')
6
аC)
WjlL
Тип
о)
1
/
//
г
/
1
//
/
б)
/
/
/
/
/
4
/
у
/,
/
У
II
1
1
1
1 ШШ
1
г)
о го w во во /оо т мо d/r
10-20 30 40 50 60 70 а (г
Рис. 11.40. Ш. В случаях, изображенных
на рис. а) (а -< tt a < d), б) (а < /),
В случае, изображенном на рио. e)t
В случае, изображенном на рис. г);
т
%А =а( 8»
Литература к приложению II
Известно несколько монографий, специально посвященных концентрации
напряжений (именно из них взята большая часть результатов, помещенных
в приложении II):
1. Нейбер Г., Концентрация напряжений, пер. с немецкого Н. Н. Лебе-
Лебедева под ред. проф. А. И. Лурье, Гостехиздат, 1947.
2 Neuber H., Theory of Notch Stresses, J. W. Edwards Co., Ann. Arbor,
Michigan A946).
3 Савин Г. Н., Концентрация напряжений около отверстий. Гостехиздат,
1951.
4 Peterson R. E., Stress Concentration Design Factors, John Wiley and
Sons, New York A953).

816 . ПРИЛОЖЕНИЕ И
Далее приводим список остальных источников, из которых взяты резуль-
результаты, приведенные в приложении II:
5. Neuber H., Research on the Distributions of Tension in Notched Con-
Construction Parts, WADD Tech. Report 60—906, Wright Patterson Air Force
Base, Ohio, January A961).
«6. Wahl A. M. and Beeuwkes R., Trans. Amer. Soc. ofMech. Engrs. 56,
617—636 A934).
7. F a u p e 1 J. H. and H a r r i s D. В., Ind. and Eng. Chem., 49 A2), 1879—
1986, December A957).
8. Sjostrom S. On the Stresses at the Edge of an Eccentrically Loaded
Circular Hole in a Strip Under Tension, Report 36, Aeronautical Research
Institute of Sweden (Stockholm) A950).
9. H utter A., Z. Angew. Math. u. mech. 22 F), 322—335, December A942).
1Q. Griff el W., Product. Eng. 34 A9), 98—104, September 16 A963); 35 B3),
104—113, November 11 A963).
II. Кокер Э. и Файлов Л., Оптический метод исследования напряжений,
ОНТИ, 1936.
42. Frocht M. M. and Landsberg D., Proc. Soc. for. Exp. Stress
Analysis 8 B), 149—170 A951).
13. Hetenyi M. J., Appl. Mech. 6 D), A151—A155, December A939).
44. Durelli A. J., R. L. Lake and Phillips E., Machine Design 23
A2), 165—167, December A951).
15. Goodier J. N.. Phil. Magazine 22 (Series 7), 69—80 A936).
16. Naghdi P. M., J. Appl. Mech. 22 A), 89—93, March A955).
17. Frocht M. M., J. Appl. Mech. 2 A), A67—A68, March A935).
18. Con way H. D., J. Appl. Mech. 21 A), 42—44, March A954).
!9. Seel у F. B. and Dolan T. J., Stress Concentration at Fillets, Holes
'and Keyways as Found by the Plaster Model Method, Eng. Exp. Station
Bulletin 276, University of Illinois A935).
20. Lee L. H. N. and Ades C. S., Proc. Soc. Exp. Stress Analysis 14 A),
99—108 A956).
21. Timoshenko S. and Dietz W., Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs. 47
(Paper No. Ш58), 199—237 A925).
22. Berkey D. C, Proc. Soc. Exp. Stress. Analysis 1 B), 56—60 A943).
23. Neugebauer G. H., Product Eng. 14 B), 82—87, February A943).
24. Sountag R., Z. Angew. Math, und Mech. 9 A), 1—22, February A929).
25. Лихарев К. К., Расчетно-справочные данные по местным напряжениям,
Изд-во МММИ им. Баумана, 1940.
26. Frocht M. M. and Hill A. N.. Stress-concentration Factors around
a Central Circular Hole in Plate Loaded through Pin in the Hole, JAM,
vol. 7, № 1 A940).
27. T г е f f t z E., Uber die Wirkung einer Abrundung auf die Torsionsspannungen
in der inneren Ecke eines Winkeleisens, Zeitschrift f. Angew. Math, und
Mech., Bd. 2, H. 4, 1922.
Непосредственно приложение II составлено по материалам двух следующих
книг, в которых собран большой материал по концентрации напряжений:
28. Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Лихарев К. К., Ма-
кушин В. М., Мал и нин Н. Н., Феод ось ев В. И., Расчеты на
прочность в машиностроении, т. III. Машгиз, М., 1959.
29. Fa u pel Joseph Н., Engineering Design, John Wiley and Sons, New
York, London, Sydney.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Авдеев Б. А. 299
Азаров Л. В. (Azarofi L. W.) 243, 251
Айхингер A. (Eichinger A.) 536
Аладьев А. Т. 357
Александров А. П. 348
Александров А. Я- 336
Александровский С. В 362, 363
Алфрей Т. (Alfrey Т.) 336
Андреевская Г. Д. 336
Арутюнян Н. X. 365
Аскадский А. А. 336, 346, 348
Ахвердов И. Н. 565
Ашкенази Е. К. 372
Баддери Дж. (Baddery J.) 327
Баженов Ю. М. 367
Баландин П. П. 564, 572
Балдин В. А. 260, 289
Баренблатт Г. И. 255, 579
Барис Д. Э. (Barris D. Е.) 327 .
Баррет Ч. С. (Barret Ch S.) 224
Бартенев Г. М. 336, 354
Бауман P. (Bauman R.) 372
Баушингёр И. (Bauschinger J.) 5, 261.
728
Бах К. (Bach С.) 118
Бекер P. (Bocker R.) 547, 548, 567
Беленя Е. И. 260, 289
Бельтр^ми (Beltrami) 534, 535, 622, 689,
690, 745
Беляев Н. М. 358, 359, 724
Берг О. Я 358
Бережной А. И. 356
Беркей Д. (Berkey D. G.) 816
Беркович Е. С. 315
Берн Д. (Bern D.) 327
Бернулли Яков старший (Bernoulli Jacov)
97
Бидерман В. Л. 816
Биюкс (Beeuwkes R.) 816
Блантер М. Е. 265, 304
Блевит Т. X. (Blewitt Т. Н.) 293
Блюм Ф. (Blum F.) 605, 608
Богданов А. П. 369
Богуславский И. А. 354
Бокин П. Я- 354
Боксберг И. П. 372
Бойер Р. 336
Бойль P. (Boele R.) 592
Болотин В. В. 539, 595
Больцман Л. (Boltzmann L.) 7, 753, 762
Большанина М. А. 593
Бордзыка А. М. 302
Борисенко В. А. 328
Борн М. (Born M.) 226
Бородин М. Я. 336
Бочвар А. А. 265, 320
Брегер А. X. 293
Бриннелль (Brinell) 311, 312, 313, 314, 315
Брулов А. Н. 315
Бубнов И. Г 141
Будников П. П. 356
Бурханов Г. С. 330
Вакуленко А. А. 255. 579
Вал А. М. (Wahl A. M.) 816
Валецкий П. М. 336
Валпол Л. (Walpole L. J.) 595
Ван-Бюрен Г. (Van Bureu G.) 233
Васильев Б. Н. 443
Вейбулл В. (Weibull W.) 307
Вёллер A. (Wohler A.) 368
Верещагин Л. Ф. 295
Вик Р (Week R.) 556
Ьиккерс (Vikkers) 311, 312, 313, 314, 315
326
Виннард Дж 293
Вискоцил К. Т (Wiskocil С. Т.) 316
Витман Дж. В. (Weahtman J. В) 357
Власов В. 3. 651
Воларович М. П. 511
Вольтерра В (Volterra V.) 7, 762, 768
Галин Л. А. 716
Гвоздев А. А. 358, 359, 368
Гениев А Н. 260, 289
Генки Г. (Hencky H.) 535, 558, 567, 568
Герберт (Herbert) 312
Гест Дж. (Guest J. J.) 546
Глебов В. Д. 548
Голломон Д. (Hollomon J. H.) 279, 286
Гольденблатт И. И. 547
Горелик G. С. 265
Городецкий С. С. 328
Грант Н. Д. (Grant N. J.) 593
Граф (Graf) 367, 368
Григолюк Э. И. 511
Гриффел В. (Griffel W.) 816
Гриффите A. A. (Griffith А. А.) 574, 575.
576, 577, 578
Губер М. Т. (Huber M. Т.) 532, 534, 535,
558, 567, 568
Гудченко В. М. 356
Гудьер Дж. Н. (Goodier J. N ) 816
Гук P. (Hook R.) 4, 6, 12, 91, 130, 132, 133,
195, 494, 495, 496, 497, 498, 499 502,
503, 504, 505, 506, 507, 508, 510, 511,
512, 513, 514, 515, 516. 527, 532, 533,
611, 612, 617, 618, 619, 621, 622, 623,
625, 640, 655, 656, 659, 660, 661, 662.
703, 735, 739, 741, 755, 766, 767
Гуль В. Б. 336
Гуткин А. М. 511

818
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Давиденков Н. Н. 224, 260, 306, 549, 660
Дакворс В. (Duckworth W. Н.) 356
Дамаск A. (Damask A.) 224
Дарвин Дж. (Darwin J.) 327
Девис X Е. (Davis H. Е.) 316
Джексон Л. P. (Jackson L. R.) 282
Джифкино Р. К. (Gifkins R. G.) 693
Джонс P. (Jons R.) 316
Дике Е. X. (Dix E. Н.) 283
Дине Дж. (Dins J.) 224, 293
Дитц В. (Dietz W.) 816
Долан Т. Д. (Dolan T. J.) 816
Драгомиров А. М 446
Дриц М. Е. 321
Друкер Д. (Drucker D.) 579
Дюрелли А. Д. (Durelli A. J.) 816
Евклид 512
Елкин Ф. М. 321
Елсуфьев С. А. 548
Жалюссо Л. (Gelluseau Ь.) 43S
Жданов Г. G. 224, 293
Жигун И. Г. 336
Журков С Н. 593
Завриев К. G. 359
Запорожец 359
Захаров М. В. 332
Захарова А. М. 332
Зеленева Ю. В. 336
Зонтаг P. (Sonntag R. Z.) 816
Зуев К. С. 336
Иванов В. А. 327
Игнатюк Г. А. 368
Ильюшин А. А. 596
Иоффе А. Ф. 285, 344, 345, 549
Ирвин. Г. P. (Irwin G. R.) 575, 577, 578
Калашников В. А. 316
Калинин В. G. 16
Канаун С. К. 579, 596, 597
Каргин В. А. 336
Карман Т. (Karman Т.) 547, 548, 567
Касаткин Б. С. 258
Качанов Л. М 16, 578, 580, 584, 585,
589, 596, 597
Кащенко Г. А. 265
Квини Г. (Quinney H.) 546
Кельвин, лорд У. Томсон (Kelvin, lord
Tomson W.) 516, 534, 753, 758, 759,
760, 761
Кербер М. Л. 336
Кингери У. Д. 356
Кинней Г. Ф. (Kinney G. F.X 314
Кинсман Ф. В. (Kinsman F. W.) 443, 445
Кинцис Т. Я. 336
Кис (Kies J. A.) 575
Киссель В. (Kissel W.) 605, 608
Китайгородский А. Н. 261
Киттель Ч. (Kittel С.) 224, 241
Кишкин Б. П. 336
Кишкин Е. Т. 265
Классен-Неклюдов М. В. 252
Кокер Э. (Coker E. G.) 816
Колачев Б. А. 318, 325, 329, 336, 357
Колобнев И. Ф. 320
Колосов Г. В. 443, 446
Колтман P. P. (Coltman R. R.) 293
Конвей X. Д. (Conway H D.) 816
Копельман Б. 327
Копнов В. А. 547
Коршак В. В. 336
Костюков Н. С. 357
Коттрелл А. X. (Cottrell A. H.) 245, 593
Коффин Д. Ф. 599, 600, 602
Коши О. Л. (Cauchy A. L.) 6, 7, 138, 387,
411, 412, 419, 424, 457, 458, 478, 479,
611, 618, 623, 624, 626, 631, 660, 661, 671,
673, 675, 688
Крёнер Э. (Kroner E.) 255, 679
Кронекер (Kronecker) 618
Крылов Н. А. 316
Кузнецов В. Д. 224
Кулезнев В. Н. 336
Кулон Ш. О. (Coulomb <Sh. A) 529, 530,
531, 533
Кусенко В. ©. 593
Лаверс (Lavers) 370
Лагир де (de la Hire) 526
Лазуркин Ю. С. 347, 348
Ламе Г. (Lame G.) 389, 438, 439, 440, 441,
442, 503, 514, 623, 676, 708, 745
Ландсберг Д. (Landsberg D.) 816
Ланская К. А. 332
Лаплас П. G. (Laplace P. S.) 620, 622, 623,
662, 690
Лебедев Н. Н. 819
Левй М. (Levy M.) 662
Лежандр (Legendre) 651, 652, 653
Лейк Р. Л. (Lake R. L.) 816
Лермит P. (L'Hermite) 358, 359, 361, 362,
363, 365, 367
Лессельс Дж. М. (Lessells J. M.) 546
Лессинг Е. И. 260, 289
Лехницкий С. Г. 230
Ли Л. X. Н. (Lee L. H. N.) 816
Линч Дж. (Lynch J. F.) 356
Лихарев К. К. 816
Лихтман В. И. 274, 275
Лоде В. (Lode W.) 431, 434, 435, 436,
468, 546, 548, 570
Лосев Н. П. 327
Лоу Дж. Р. мл. (Low J. R.) 593
Лукша Л. К. 565
Лурье А. И. 16, 609, 819
Любов Б. Я. 224, 255
Людвик П. (Ludwik P.) 546, 549
Людерс В. (Luders W.) 243
Ляв A. (Love A. E. Н.) 609
Майер И. X. (Meier J. H.) 470
Мак Грегор К. (MacGregor С. W.) 546
Макмиллан П. У. (MacMillan P. W ) 357
Максвелл Д. К. (Maxwell J. 6.) 516, 517,
534, 535 .
Макушин В. М. 816
Малинин Н. И. 336, 511
Малинин Н. Н. 816
Малкин А. Я. 336
Малмеистер А. К. 336
Маньель Г 368
Мариотт Ф. (Mariotte F.) 97, 526, 592
Мэрфи Г. (Murphy G.) 272
Мейер P. A. (Meyer R. А.) 294
Менаже A. (Mesnager A.) 665
Мизес P. (Mises R.) 533, 535, 558, 564,
567, 568, 608, 734, 738, 740, 741
Миллер (Miller) 232
Миллер Г. Л. (Miller G. L.) 327
Миркин Л. И. 255
Миролюбов И. Н. 572, 573
Митинский А. Н. 372
Михайлов В. В. 368

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
819
Мичелл Дж. X. (Michell J. Н.) 622, 745
Молчанов Ю. М. 336
Моос (Moos) 314, 357
Мор О (Mohr О.) 6, 403, 425, 426, 428, 429,
430, 431, 432,433,434,435,436. 437, 438,
439 468, 469, 470. 500, 504, 507, 540,
541, 542, 543, 544, 545, 548, 562, 563Г
566, 567, 568, 569, 570, 571, 572, 590
Москаленко В. М. 595
Мот М. В. (Mote M. W.) 283
Мощанский Н. А. 362
Мурашов В. И. 358
Муррей В. М. (Murray W..M.) 470
Мусхелишвили Н. И. 614
Навье Л. М. (Navier L. М. Н.) 649
Нагди П. М. (Naghdi P. M.) 816
Надаи A. (Nadai A.) 546, 562, 563, 565, 566.
567, 571, 590
Натансон А. К- 224
Нейбер Г. (Neuber H.) 101, 713, 815, 816
Нейгебауер Г. X. (Neugebauer G. Н.) 816
Немец Я. (Nemec J.) 336
Нетребко В. П. 336
Никитин Л. В. 511
Новик Ф. С. 332
Новожилов В. В. 6, 10, 15, 420, 422, 467,
479, 492, 536, 557, 562, 580, 590, 591,
592 599, 600, 601, 602, 609, 734
Новожилова Н. И. 780
Ньютон И. (Newton I.) 483, 512, 514, 515,
516, 755, 756
Огибалов П. М. 336
Одинг И. А. 224, 245
Орлов А. В. 356
Орован Е О. (Orowan E. О.) 575* 577, 578
Павлов В. А. 245
Павлов В. В. 336
Павлов Н. М 328
Павлушин Н. М. 354
Пак К. Д. (Рас К- D.) 572
Панин В Е. 593
Папиров И. И. 327
Папкович П. Ф 609
Паскаль Б. (Pascal В.) 512
Петерсон Р Е (Peterson R. Е.) 815
Пинегин С. В 356
Писаренко Г G 328
Пифагор 400
Погодин-Алексеев Г. И. 306
Полещук А М. 316
Пономарев С. Д. 536, 816
Понселе Ж В. (Poncelet J. V.) 526
Прандтль Л (Prandtl L.) 131. 514, 515, 601
Протасов К. Г. 27
Птидидье М. (Petitdidier M.) 562
Пуассон С Д. (Poisson S. D.) 4, 132, 366,
371, 496. 504, 646, 661
Пух В. А 354
Пью X Д. 295
Рабинович М. X. 233, 236, 248, 257, 296
Работнов Ю. Н 88, 511, 589, 596
Раковский В. С. 369
Ратнер С. И. 306 ..
Рахлип И. В. 336, 344
Рашевский П. К. 771
Ребиндер П. А. 274, 275, 359, 511
Рейнер М. (Reiner M.) 511, 518, 519
Рейфман М. Б. 327 -
Рид В Т. (Reed W. Т.) 245, 246, 270
Роговин 3. А. 336
Розе А. В. 336
Розенберг В. М. 332, г>93
Ройтбурд А Л. 255
Роквелл (Rockwell) 311, 313, 314
Роман О. В. 369
Роузен Б. (Rousen В.) 336
Роч Д. (Roach D. В.) 283
Рош М. (Ros M.) 536
Рояк Г. С. 358
Рояк С. М. 358
Рубинштейн Г. М. 372
Рудерер К. (Ruderer С. G.) 356
Румянцев М. В. 322
Руше 396
Рыбакина О. Г. 599, 600, 601, 602
Рэлей лорд, Стретт Дж. У (Lord Rayleigh,
Strutt J. W.) 317
Савин Г. Н. 815
Савицкий Е. М. 330
Саклинский В.. В. 369
Салли A. (Sally A.) 302
Самсонов Б. В. 327
Сафронов Г. А. 372
Свидерская Э. А. 321
Седов Л. И. 576, 578, 579, 635
Сен-Венан Б. (Saint-Venant В.) 4, 7, 12,
Ю2, 103, 472, 478, 512, 514, 515, 526, 531,
617, 621, 623, 628, 634, 636, 638, 647,
648, 649, 650, 651, 652, 653, 661, 678,
707, 734, 738
Серенсен G. В. 307, 336, 580
Сили Ф. Б. (Seely F. В.) 816
Сильвестрович С. И. 318, 325, 329, 336,
357
Скоров Д. М. 327
Скрамтаев Б. Г. 358, 367, 368
Слонимский Г. Л. 336
Слуцкер А. И. 593
Смит М. Е. (Smith M. Е.) 224
Смит X (Smith H L.) 575
Соболев А. С. 332
Соколов И. Д. 327
Стасси (Stassy) 564, 565, 566
Степанов В. А. 354
Страмеев В. С. 336
Стрелецкий Н. С. 260 289, 306
Сьостром С. (Sjostrom S.) 816
Тамуж В П. 336
Тарнопольский Ю. М. 336
Тейлор Д. (Taylor G. I.) 546
Темкин Д. Е. 224
Темплин Р. Л. (Templin R. L.) 113, 291
Тетере Г. А. 336
Тимошенко С. П. 267, 278, 534, 609, 816
Тихвинский Г. Ф. 327
Торопов Н. А. 356
Трапезников А. К. 261
Трелоар (другая русская транскрипция
Трилор) Л. (Treloar) 336
Треска (Tresca) 529, 734
Третьяков А. К. 316
Треффтц Е. (Trefftz E.) 609, 816
Трокселл Г. Е. (Troxell G. Е.) 316
Тростянская Е. Б. 318, 325, 329, 336, 357,
369
Трохова В. Р. 321
Туркин Ф. Д. 322
Туроверов К. К. 372
Уайт Д. (White D.) 327
Ужик Г. В. 285

820
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уитмен Дж. (Weahtmen J.) 357
Улицкий И. И. 358
Уманский Я. С. 224, 261. 265
Файлон Л. (Filon L. N. G.) 816
Фарис Ф. (Faris F. E.) 294
Фастов Н. А. 265
Фаупль И. (Fauple J. И.) 287, 380, 816
Федоренко Н. П. 33G, 344
Фельгина С. Б. 273
Феодосьев В. И. 816
Фёппль A. (Foppl A.) 546, 547
Ферри Д. Д. (Ferry D. D.) 336
Филиппе Е. (Phillips E.) 816
Филиппе Ф. (Phillips F. С.)'230
Филоненко-Бородич М. М. 438, 516, 567,
568, 569, 570, 571
Филонидов А. М. 316
Финкельштейн Б. Н. 224, 265
Финько А.. Г. 327
Фойхт В. (Voigt) 753, 756, 758
Фокин А. Г. 595
Форти А. Д. (Forty A. D.) 245
Фрайфельд С. Я. 358
Франк (Frank) 245, 246, 270
Фрейссине Е. (Freyssinet E.) 358
Френкель Я- И. 224, 234, 240, 241
Фридман Я. Б. 6, 231, 276, 278, 2&2, 299,
300, 549, 550, 551, 552, 554, 555, 556,
600, 601, 602
Фрост П. Д. (Frost P. D.) 283
Фрохт М. (Frocht M. М.) 816
Хухрянский И. Н. 374, 375
Хюттер A. (Hfitter A.) 816
Цилосани 3. Н. 362, 363
^ицикас Г. A. (Zizicas G. А.) 430
Челмерс (Chelmers) 224
Черепанов Г. П. 578
Чернов Д. К. 243, 262, 263
Чудновский А. И. 579, 596, 597
Чукмасов А. С. 268, 314
Чукмасова Н. Д. 268, 314
Шапошников Н. А. 299, 311
Шейкин А. Е. 358, 360
. Шлейхер Ф. (Schleicher F.) 562, 565, 566
Шмид Е. (Schmid E.) 240
Шнадт Г. (Schnadt H.) 556, 557, 559, 560,
561, 562
Шор 311, 313, 314, 315
Штремель М. А. 593
Штрикман С. (Shtrikman S.) 594
Штурм P. (Sturm R. G.) 113, 291
Шулькин Ю. Б. 16, 725
Шульце Ф. (Schulze F.) 224
Щукин Е. Д. 274
Хайдуков Г. К. 368
Халл A. (Hall A. M.) 283
Хансен X. М. (Hansen H. М.) 470
Харрис Д. Б. (Harris D. В.) 816
Хашин 3. (Hashin Z.) 594
Херасков М. Л. 358
Хетени М. (Hetenyi M.) 816
Хилл А. Н. (Hill A. N.) 816
Хилл P. (Hill R.) 594, 595
Хофф Н. Д. (Hoff N. D.) 580, 581, 584,
585, 586, 587
Хрущев М. М. 315
Ху Л. В. (Ни L. W.) 572
ХуанБ Кунь 226
Эдес (Ades С. S.) 816
Эйлер Л. (Euler L.) 674
Эйри Дж. Б. (Airy J. В.) 663, 665, 670,
674, 675, 709, 710
Эйрих Ф. (Eirich F.) 511
Эмпергер (Emperger) 356
Эстрин Ж. 224
Эшелби Дж (Eshelby J.) 255
Юнг Т. (Young T ) 130, 752
Ягн Ю. И. 572

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Агрегат поликристаллический 259
Аналоги механические реологическим те-
телам 515
Анизотропия общего вида 231
— технологическая 232, 271
Анизотропность криволинейная 370
— механических свойств 230, 252, 327,
330 — 332, 343,-353. 370, 374
— упругих свойств 231
Атом внедрения 249, 268, 292, 293
— дислоцированный 233, 234
— замещения 249
База образца 109, 111
Барьер энергетический 250, 251
Бимомент 651
Блок кристалла 235, 237
— мозаичной структуры 257, 261
Бомбардировка материала частицами вы-
высокой энергии 292, 297
Брус равного сопротивления сжатию 127,
129
Вакансия 292, 233, 234, 237, 246
Вес материала объемный действительный
210
— — — нормативный 210
— собственный конструкции 127, 129» 155,
161, 162, 210, 637
Взаимодействие межатомное 242
Вид разрушения 555
Влияние агрессивной среды 380
— дефектов разупрочняющее 295
— — упрочняющее 295
— легирующее 321
— облучения на свойства тел 291
— скорости деформирования на свойства
материала 298
— температуры на свойства материала 284
— трещинообразования на ползучесть 585
Воздействие внешнее 574
— длительное 301, 349
— — силовое 339
— температурное 183
Возникновение пластической деформации
(пластичности, текучести) в материале
259, 522, 539
Волна изгибная 317, 318
— поверхностная Релея 317, 318
— поперечная 317
— продольная 317, 318
Время запаздывания релаксации 756, 757
Выносливость (высокий предел усталости)
310
Выточка разгружающая 713
Вязкость 301, 319, 376, 513, 514
Вязкость статическая 152
— ударная 268, 276, 307, 320, 321, 325,
326, 378
— циклическая 310, 320
Вязкоупругость линейная 753
— нелинейная 754
Гиперболоид деформации 464
— — направляющий 468
— напряжений 419
— — направляющий 424
Гипотеза плоских сечений 97, 98, 104, 137
Гистерезис упругий 152, 154, 155, 339
— — неустановившийся 339
— — установившийся 339
Граница температурная между хрупким и
пластичным состояниями материала 293,
328
— — — областями состояний аморфного
полимера 341
Группа скольжения 243
Группировка дислокаций горизонтальная
257
Давление всестороннее равномерное (гид-
(гидростатическое) 294, 419, 433, 434, 547
— гидростатическое высокое 295, 297, 333,
547
— контактное 721
Двойник 250—252
Двойникование 249—253, 256, 257
Девиатор деформации' 463—465
— напряжения 419, 424, 431, 433, 447, 601
Декремент логарифмический 293
Дефект атомной решетки 233, 237, 261,
292, 293
— — — двумерный 235
— — — дислокационный 270
— линейный 234
— — __ точечный 224, 234
— — — трехмерный 235
— — — Френкеля 234
— структуры монокристалла 242, 244,
247, 250, 253, 254, 539
— — поликристалла 256, 270, 275, 290,
295
— — полимера 338
Деформации местные 301
— окткаэдрические 465, 467
Деформация 152, 221, 243, 270, 274, 301,
305, 326, 328, 336, 339, 340, 349, 365,
511—513, 518, 522
— активная 151
— в точке тела 453, 454, 456, 460, 466, 468,
471, 477, 483, 486, 487, 493 — 496, 499

Я22
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Деформация вынужденно пластическая
343-345, 348, 35~0
— высокоэластическая 344, 349, 350
— главная 460, 461, 468 — 470
— изменения объема 462, 464, 489, 490,
504,-512, 513
— — формы 464
— истинная 114, 115, 294, 519, 582
— линейная относительная 82, 83, 106,
130, 354, 379, 450, 453 — 455, 463, 464,
467, 470, 479 — 484, 488—492, 497, 499 —
501
— — — максимальная 526, 528, 529
— _ — опасная 526, 529
— — — поперечная 106, 132
— — — продольная 130, 132, 194, 195,
199, 496
— мгновенная 302, 366, 761
— — пластическая 365
— — упругая 302, 339, 365
— — упруго-пластическая 302
— обратимая 339
— однородная 476
— остаточная (необратимая) 111, 113,
. 238, 303, 321, 341, 344, 350, 364, 726
— — после разрушения 253, 322, 325, 326,
327, 329-333
— относительная угловая 83, 456, 488, 489
— пассивная 151
— пластическая 189, 190, 202, 238, 244,
247, 252, 262, 270, 282, 295, 301, 310,
327, 343, 365, 523, 531, 549, 553, 561,
570, 580, 590
— — скольжения 238, 249
— плоская 578, 654
— поверхности материала пластическая
311, 578
— — — упругая 311
— — — упруго-пластическая 311
— ползучести 302, 304, 582, 585, 755
— — обратимая 757
— — пластическая 252, 3G5
— — установившаяся 761
— полностью необратимая 344
— стержня осевая 31,35, 98,99, 101, 169, 170
— — элементарная 34, 91
— тела в целом 453
— температурная (термическая) 178, 352,
355
— упругая 111, 151, 254, 259, 270, 338,
344, 350, 364, 523, 582, 755, 761
— упругого последействия 348
— — — при нагружении 152
— — — — разгрузке 152, 365
— упруго-пластическая 253
— усадки 365
— — обратимая 365
— — остаточная 362
— — относительная 365
— — пластическая 362
— — — установившаяся 365
— условная 519, 582
— холодная 296, 324, 328, 329
— чистая 473, 475, 476
— эластическая 351
Деформирование статическое 108
Деформируемость тела 20. 37, 38
Диаграмма выносливости 308
— деформационно-прочностных состояний
аморфного полимера 341, 347
— напряжений (кривая напряжений) 112 —
114, 116, 131, 150, 151, 260, 261, 267, 270,
278, 289 293, 330, 335, 344 '
— — при растяжении 111, 112, 131, 341,
342
— — — сжатии 117, 119, 364
Диаграмма напряжения, разновидности
системы координат 116, 295
— полярная свойств 372
— Прандтля 131, 189, 515, 601
— растяжения (кривая растяжения) 109,
149, 150, 267, 350
— состояния сплава 262—266, 296, 515
— тела Гука 515
— — Ньютона 515
— тела Сен-Венана^55
— Фридмана 551
— Шнадта 561
Дислокация 233, 236, 237, 244—246, 249,
256, 266, 295, 297, 593
— винтовая 233, 234, 236, 244, 247, 248, 261
— линейная 233, 234, 236, 244, 247 — 249,
261
Доза облучения 293
Дырка 235
Жаропрочность 287, 325, 327, 332, 334
370
— удельная 303, 304, 334
Жаростойкость 287, 333, 334
Жесткости упругие 494
Жесткость абсолютная 615
— конструкции (тела) 17, 287, 320
— материала 130, 133
— стержня при осевой деформации 133
Жидкость вязкая 753
— идеальная 512
— Ньютона 512, 514; 518. 754
Зависимость между напряжениями и де-
деформациями 255
— — — — — линейная 276
— — — — — нелинейная 276
— свойств материала от облучения 327
Зависимость сопротивления скольжению от
скорости деформирования 278
— — — — степени наклепа 278
Загружение ступенями 109
— циклическое 600
Задача контактная 614 — 616, 714
— Ламе 676
— о клине 678
— статически неопределимая 182
— теории упругости вторая основная 614,
616
— — — (нелинейная) с неизвестными гра-
границами 575
— — — обратная 611, 612. 665, 666, 669,
696
— — — первая основная 614, 616
— _ __ плоская 469, 653
— — — простейшая 411
— — — прямая 612, 634
— — — смешанная 614, 616
—• — — трехмерная 381
Закон Гука 91, 130, 133, 152, 195
— — в матричной форме, 503—505
— — для девиаторов 504, 505
— — — объемной деформация 504
— — __ шаровых тензоров 503, 504
— — обобщенный 495, 497, 505, 506,
508, 510, 513, 527, 552, 575, 618, Г>4<;
— — при чистомсдвиге 499, 502
— затухания Г. Нейбера 99, 713
— парности касательных напряжений ,182,
384, 392, 395, 403
— _ __ _ (плоская задача) 673
Закон ползучести t>82, 584, 586
— течения ассоциированный 734, 738
— Шмида 240

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
823
Законы энергетические 493
Закрепление дислокаций 293
— тела против перемещения его как жест-
жесткого целого 144, 148, 629—631, 640
Замораживание упругих деформаций 360
Зародыш разрушения 238
Зерно (кристаллит) 230 — 232, 235, 270, 296
Значения главные компонентов девиатора
419, 464
Зуб текучести 112, 257, 344
Избыточная плоскость (экстраплоскость)
дислокаций 246 — 248
Изгиб 260, 299, 300, 301, 308, 328. 356,
488
— стержня поперечный 36
— — чистый 36, 58
— ударный 373, 376
Излом детали зернистый 309
, Изменение нагрузки циклическое 205, 207,
208
— напряжений во времени гармоническое
154
— — периодическое 155
— — циклическое 154
— напряженно-деформированного состоя-
состояния во времени 305
— свойств материала во времени 380
— температуры 216, 288
Изменчивость физико-механических свойств
375, 539
Изостата (траектория главных напряже-
напряжений) 446, 447 -
Изотерма физических свойств сплава 263
Изотропность 20, 22, 350 355, 512, 524,
609
— идеальная 231
— оператора реологического уравнения 513
Изучение тела феноменологическое 494
Инвариант девиатора деформации второй
4G5, 510, 558
_____ первый 419, 464
— — напряжения второй 419, 420, 421
— — — первый 419
— тензора деформации первый 461, 462,
464, 498
— — напряжения первый 498
Инварианты девиатора деформации 464
— — напряжения 419
— тензора деформации 461, 482, 490
— — напряжения 396, 399 414, 449
Индексы Миллера 232
Инкубационный период разрушения 580
Интенсивность деформации 465, 647, 506
— — пластической 600
— — сдвигов 465, 467, 506, 510
— касательных напряжений 420 — 422, 506,
510, 536
— напряжений 420 421, 506, 578, 590
— облучения 293
— объемной силы 383
_ _ _ действительная 24
— — — средняя 24
— поверхностной нагрузки 411
— — — действительная 24
_____ средняя 24
Искажение решетки 244, 247 248, 266, 297
— структуры материала 151, -71
Испытание без разрушения 310 316
— воздействием на поверхность материала
311
— гладких микрообразцов 300
— гладкого образца статическое 152
— динамическое 298
— длительное 305
Испытание длительное при комнатной тем-
температуре и постоянной нагрузке 298
— — — переменной нагрузке 298
— _ __. статической нагрузке 301
— кратковременное статическое гладких
образцов 298
— — — — — при комнатной темпера-
температур.i 299
— на разрыв 132, 315
— — статический изгиб 316
—- — статическое растяжение 316
— — — сжатие 316
— — твердость 316
— — ударную вязкость 306
— — усталость 316
— образца с надрезом 301
— при высокой температуре длительное
298
— — — — кратковременное 298
— — повторно переменных нагрузках 307
— статическое 279, 336
— усталостное 307
История деформирования(нагружения) 520,
521, 578, 751, 763
Источник возникновения дислокаций Фран-
Франка — Рида 245, 246, 270, 297
Квадрика (поверхность) напряжений Коши
387, 411, 412, 460
— — деформаций Коши 460
Квазиизотропность поликристалла 231,
255
Квазиоднородность свойств 21, 369, 378
Коаксиальность тензоров напряжения и
деформации 496, 506
Колебания 155, 343
— (вибрация) элемента 308
— механические 277
— ультразвуковые 316
— упругие 153
Компонент напряжения касательный 250,
386, 387,. 425, 512
— — нормальный 425
Компоненты девиатора деформации 465,
504, 505, 513
— — напряжения 504, 505, 513
— — скорости деформации 513
— — — напряжения 513
— деформации 138, 453, 458, 469 — 471,
473, 479, 481—484, 491, 494, 498, 503,
508, 612
— —, соответствующие изменению объема
505
— —, — — формы 505
— главного тензора пластических дефор-
деформаций 590
— жесткого поворота 477
— напряжения 381, 383, 385, 390, 396, 404,
408, 409, 412, 413, 494, 498, 501, 503,
508, 691 ^"
— —, соответствующие изменению объема
505
— —, — — формы 505
—тензора деформации 461
— — напряжений 451
— шарового тензора деформации 420
— — — напряжения
Контур трещины 575
Концентратор напряжений 100, 101» 101,
108, 555, 713
Концентрация напряжений 121, 122, 124,
125, 189, 246, 250* 258, 286, 288, 289,
301, 306, 309, 378, 523, 538, 707, 712, 713
— — у вершины трещины 576, 577
Коррозия межкристаллическая 273

824
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Коэффициент возможной неоднородности
материала 211—213
— — перегрузки 210
— вязкости (сдвиговой) 345, 514, 518, 754
— запаса 121, 122, 125, 126
— изменчивости свойств 375
— интенсивности напряжений 578
— концентрации- напряжений 125, 289
— — — действительный 310
— линейного температурного (термиче-
(термического) расширения материала 17/, 179
— Лоде 431, 433, 435, 436, 468, 548. 570
— охрупчивания 600
— Пуассона 132, 288, 317, 318, 320, 327,
356, 366, 371, 496, 504, 661
— реологический («модуль») 511, 513, 519
— температуропроводности 181
— теплоемкости 181, 287
— теплопроводности 287, 357
— трения 369
— упрочнения 284
— упругости температурной 282
— усадки 361
— условий работы 212
Кривая Веллера 308
— касательных напряжений 445
— нагревания (охлаждения) сплава 263
— нагружения 151
— направляющая полных напряжений 438,
440. 441
— нормальных напряжений 445
— ползучести 302, 303, 366, 585, 752, 763
— предельная Новожилова — Рыбакиной
601
— — Шлейхера — Надаи 566
— разгрузки 151
— релаксации
— — установившейся 349
— текучести 732, 733
— термомеханическая 336, 340, 341, 351
— течения обобщенная 554, 555
Кристалл идеальной структуры 233
— нитевидный бездислокационный 335
— реальный 233
Критерий Коффина 599, 600
— Надаи А. 511
— надежности 542, 599
— наибольших касательных напряжений
546, 547
— Новожилова В. В. — Рыбакиной О. Г.
600, 601
— пластичности (текучести) 537, 538, 546
— прочности 522, 524. 526, 529, 538, 540,
546, 599
— Стасси 565, 566
— удельной потенциальной энергии фор-
формоизменения 546, 547
— (условие) предельного состояния 522,
524, 526, 528, 529, 532, 535 — 537, 542
—феноменологический 539
— Шлейхера Ф. 565
Критическое время 584, 586
Круги напряжений Мора 402, 403, 425, 426,
428—436, 438, 439, 468 — 471, 499, 500, 541
Кручение 35, 295, 300, 301, 308, 328, 526,
538, 546, 553, 554, 555
Линеаризация геометрическая 519
— физическая 519
Линейность геометрическая 609
— физическая 609
Линия дислокаций 244-%247
— нагружения 201
— предельная 525, 528, 529, 531, 533, 534,
545 '
Линия разгрузки 202, 206
— скольжения 245
— цепная 155, 167
Локализация пластических деформаций
288, 301, 309
Макротрещина 309
Материал абсолютно упругий 151, 575
— высокопластичный 300, 309
— высокопрочный 301, 309, 357, 369
— высокоэластичный 336
— вязкоупругий 581
— жаропрочный 310, 329, 333, 334, 369, 370
— жаростойкий 288, 370
— идеально хрупкий 575
— изотропный 496, 497, 499, 504, 506
— квазиизотропный 536
— квазихрупкий 575
— композитный 297, 335, 594
— конструкционный 326, 327, 334, 355—
357, 369, 370, 378, 547
— пластичный 107—109, 112, ИЗ, 117,
125, 193, 277, 279, 538, 728
— стойкий в отношении радиационных эф-
эффектов 291
— хрупкий 107, 108, 111, 114, 118, 119,
125, 192, 295, 299
Матрица упругих жесткостей 495
— — податливостей 495, 498
Мера влияния вида напряженного состоя-
состояния на пластические свойства материала
557
— вязкости материала 151
— пластичности материала 152
— ползучести 365, 366
— прочности материала 152
— степени деформации 106
Металл бездефектный высокопрочный 297
— высокой степени чистоты 298
— наклепанный 271
— поликристаллический 232, 252, 255 —
258, 286, 539
— с большим количеством дефектов 333
— хладноломкий 297
— хрупкий 297, 298
Метод начальных параметров 141, 142
— неразрушающий определения механи-
механических характеристик 311, 315
— определения микротвердости 315
— оптический исследования напряженного
состояния 431
— полуобратный Сен-Венана 634, 638, 678
— сечений 39
— смешанный теории упругости 617
Методы механических испытаний 327
— определения твердости 311—315
— упрочнения металлов 297
Механизм деформации пластической 255
— разрушения 223
— — квазихрупкого 575
— — хрупкого 574
Механика макротрещин 574
— физико-химическая 274, 275, 359
Микромеханизм хрупкого разрушения 258
Микротвердость 315
Микротрещины 238, 253, 256, 275, 355, 364*
574
Микрощель 274, 275
Минимум полной энергии системы 576
Множество огибающих Мора 568
Модель классическая тела реологии 516
— тела Гука 515
— — Кельвина 758
— — Максвелла 755
— — Ньютона 515

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
825
Модель тела Сен-Венана 515
Фойхта 756
Модуль высокой эластичности 345, 350
— касательный 131
— объемной жесткости (упругости) 504
— реологический 516, 518
— сдвига (упругости при сдвиге) 242, 371,
502, 505
— упрочнения 254
— упругости 173, 195, 230
— — динамический 345
— — длительный 752
— — продольной (модуль Юнга) 130, 131,
133
Монокристалл 155, 198, 230, 231, 330
— бездефектный 238, 239, 297
— — нитевидный 330
Нагружение 151, 245, 344, 364, 365
— динамическое 258, 349
__ _ ударное 306, 309
— — циклическое 602
— жесткое 553
— мягкое 553
— простое 259, 521, 732, 740
— сложное 559, 599
— статическое 125, 149, 524
Нагрузка вибрационная 308, 326
— временная 25, 210
— — действительная 210
— _ нормативная 210
— — полезная 25
— допускаемая 190, 191, 195
— кратковременная разрушающая 374
— моментная распределенная 48
— — сосредоточенная 48
— объемная 390
— опасная 192
— переменная 308
— периодическая 273, 308
— поверхностная 390, 391, 548
— постоянная 25, 210
— предельная 747
— регулярная 25
— силовая распределенная 48
— — сосредоточенная 48
— случайная 25
Надежность конструкции 17—19
Наклеп 258, 270 — 273, 292, 329
Накопление дефектов 580, 589, 590, 594
Направление двойникования 251, 254
Направления главные девиатора 420
_ — деформаций 460, 461
— — тензора 420, 422, 461
— главных напряжений 496, 499
— кристаллографической решетки качест-
качественно подобные 232
— скольжения 239, 240, 243, 245, 247, 254,
256
Напряжение 39 — 41
— второго рода 260, 261
— главное 387^ 389
— — максимальное 556, 557
— допускаемое 121
— истинное 41, 293, 294, 341, 582
— касательное 41, 42,
— — в плоскости скольжения 561
— — максимальное 105, 400, 408, 415,
417, 426
— — октаэдрическое 536, 562
— — _ предельное 239, 240, 529, 536
— — предельное 590
_ — _ двойникования 254
— — — скольжения 244, 252, 254
— — псевдоэкстремальное 431
Напряжение касательное среднее (по
В. В. Новожилову) 557, 562
— контактное 714, 724
— критическое в теории макротрещин 576,
— максимальное в области концентрации
(местное) 99, 104, 124, 125, 307, 309
— начальное 168, 259—261, 289, 319, 348
349, 355, 363, 364
— — при релаксации 377
— номинальное 98
— нормальное 41, 42
— — в плоскости скольжения 561
— — на площадке с максимальным каса-
касательным 590
— — октаэдрическое 422 .
— — предельное 527
— нормативное 252
— опасное 527, 530, 532, 535
— остаточное 202, 262, 278
— первого рода 260
— переменное (во времени) 307, 308, 580.
— предварительное 187
— предельное (опасное) 524, 525, 573
— — отрыва 254
— псевдоглавное 430
— релаксирующее 349, 762
— собственное 255
— среднее 40
— — гидростатическое 415, 447, 562
— — по поперечному сечению стержня 99»,
104
— третьего рода 260, 261
— условное 582
— установившееся (равновесное) 762
— эквивалентное 537
— эффективное 586
Напряжения самоуравновешенные 260, 36ft
— статически возможные 737, 746
— температурные (термические) 168, 216,
287, 310, 323, 327 359
— технологические 380
— усадочные 183, 363, 378
Натяжение нити 215
Неизменяемость системы геометрическая
173
Нелинейность геометрическая 495
— уравнений 87
— физическая 131, 150, 495
Неоднородность напряженного состояния
288, 378, 539
— поля приращения температур 179
Неопределимость статическая 87, 173, 512
— — закона распределения напряжений 91
Неустойчивость рассеянного характера раз-
разрушения 585
— равномерного растяжения при больших
деформациях 582
— структуры 275
Нечувствительность к концентрации на-
напряжений 378
Нить гибкая 155 — 165, 167, 215
— — крутая (непологая) 157, 165
— — очень пологая 157, 215
— — пологая 157, 163, 165
— — статически неопределимая 215
Нормаль к поверхности текучести 734
«Облако» примесей 257
Области температурные различных состоя-
состояний аморфного полимера 349
Область пластического разрушения путем
среза 285, 571
— пластической работы материала (пла-
(пластических деформаций) ИЗ, 261, 276»
651, 553, 556,, 557, 730

826
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Область упрочнения металла 284
— упругой работы материала (упругих
деформаций) 113, 274, 276, 277, 341, 551,
553, 556, 557, 560, 730
-~ хрупкого разрушения 285
Облучение среды 291—297, 327, 341
Обработка давлением (холодная) 225, 291,
292, 297, 320, 322, 324, 369
Образец гладкий 258, 289, 298, 301, 308,
328, 520
— монокристаллический 242, 246, 247
— с надрезом 258, 289, 290, 301, 306, 308,
309. 328
— стандартный 107, 108
Обратимость высокоэластической деформа-
деформации 349 •
— работы деформации 150
Объем характерный 594
Огибающая предельных окружностей Мора
436, 437, 541—545, 548, 562, 567—569
Однозначность перемещений 478
Однородность модели тела 20, 21, 609
— напряженного состояния 193
— тела в среднем (макроскопическая) 21,
274, 355, 378
Окружности Мора (для напряжений и де-
деформаций) 388, 403 — 407, 409, 410, 468 —
470
окружность Мора предельная 541, 543,
544
Оператор наследственной упругости 767
Опыт макроскопический 223, 255
Оси главные тензоров напряжений и де-
деформаций 386, 416, 422, 425, 426. 442,
452, 497, 501, 506, 735
Ослабление сечения 98
Ось гидростатическая 421, 425, 563
— инерции площади поперечного сечения
стержня главная 137
— стержня 28, 105, 174, 178
Отрыв 258, 553
Параметр Одквиста 591
Параметры деформации 482
— начальные 139
— элементарной ячейки кристаллической
решетки 226,230, 282
Парность реологических модулей 513
Пачка скольжения 243, 244, 246, 251, 256,
257, 261
Перемещение возможное 146
— дислокаций 246, 252, 254, 257
— обобщенное 144, 149, 507
— остаточное 200, 205
— относительное 476, 679
— тела как жесткого целого 144, 183
— точки тела 81, 82
Перемещения, связанные с поворотами 519
Перераспределение напряжений в местах
концентрации .310
Переход материала в предельное состояние
539
— — из пластичного состояния в хрупкое
273, 288, 289. 290, 549, 550
— — — хрупкого состояния в пластичное
285
Петля упругого гистерезиса 153, 154, 155,
310, 339, 343
Пластичность 152, 226, 242. 245, 255, 268,
270,271, 273, 274,285, 294, 301, 306. 319,
321-323. 327, 336, 338, 358, 370
— (внутреннее трение) 513
«- высокая при комнатной температуре
298
— термическая 225
Пластичность феноменальная 331
— холодная (атермическая) 225, 726
Плоскости кристаллической решетки одно-
однотипные 232
— в кристалле пирамидальные 324
~ — — призматические 324
— симметрии кристалла 229. 230
— — куба 230
Плоскость двойникования 243, 250, 251,
254, 256 "А
— девиаторная 421, 424
— избыточная (экстроплоскость) 234
— кристаллографическая 228, 232, 234,
238, 239, 247
— отрыва 252, 253, 254
— сдвига 251, 371
— скольжения 236, 238 — 247, 254, 257,
529, 543, 562
Плотность поверхностной энергии 577
-— — — эффективная 578
— упаковки 227
Площадка главная 386, 387. 389
— контакта 715, 716, 721
— с максимальным касательным напря
жением 402, 407, 409
— текучести 123, 131
Площадки октаэдрические 421, 422, 425,
434, 437, 452, 467
Поверхности изостатические 446
Поверхность деформаций 461
— касательной составляющей напряже-
напряжения 443, 444
— Колосова 443
— Коши 419, 424, 464, 468
— напряжений направляющая 442
— нормальной составляющей напряжений
442 — 444
— предельная 525, 528 — 531, 533—535,
545, 571—574
— — в теории Шнадта 561
— — в виде конуса 564
— — — — однополостного гиперболоида
573
— — — — параболоида вращения 564
— — Кулона
— — Мизеса 564
— раздела 237, 257, 260, 266 — 268, 270
— разрушения 565
— разрыва сплошности материала 575
— течения 731, 738
— — гладкая 738
— — с ребрами 738
Поворот 83, 453
— линейного элемента 473
— объемного элемента 478, 484, 486
Поврежденность, математическое описание
596
—, параметр степени 596
— по Л. М. Качанову 586
Подсемейство окружностей Мора, имею-
имеющих огибающие 570
— — —, не имеющих огибающих 570
— — —, соответствующих разрушению
от отрыва 570
— — —, — — — среза 571
Поле напряжений 295, 577
_ — начальных 289
— — однородное 100, 108
— приращения температур 179. 182, 183
Ползучесть 252, 284, 301, 302, 304, 305,
324, 326, 329, 332, 339, 366, 375, 511,
680, 581, 586, 726, 751
— в обобщенном смысле 305
— высокотемпературная 580
— затухающая 304, 365
— незатухающая 581

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
827
Ползучесть неустановившаяся ыо
— установившаяся 302, 304, 755
Полюс круга Мора 405, 406, 408, 470
— напряжений точек конструкции 559
Последействие термическое 355
— упругое 152—154, 253, 339, 345, 355,
365, 375, 377, 511, 516
— — при нагружении 152, 365
Постоянные упругости 281
Предел выносливости 271, 3G7, 308, 309,378
— — условный 308, 310
— вынужденной эластичности 341—346
— длительной прочности 284, 285, 298,
305, 310, 333, 334, 581
— ползучести 284, 285, 298, 203 — 305, 333
— — удельной 303
— пропорциональности 112, 131
— прочности 112, 120, 211, 356, 357, 373,
375
— текучести 112
— — верхний 112, 515
— — местный 112
— — нижний 112, 515
— — нормативный 211
— — условный 113, 321
— температурной выносливости 333"
— упругости 131, 214, 253, 379
— усталости 307
— хрупкости 558
Принцип независимости действия сил 68,
89, 90, 192, 659, 666
— максимума скорости работы пластиче-
пластической деформации 737
— отвердения 39
— Сен-Венана 102, 103, 108, 647—653, 707
— суперпозиции Больцмана — Вольтерра
762, 768
— температурно-временной суперпозиции
348, 349
Приращение объема относительное 461
Природа пластичности диффузионная 225
— ползучести пластическая 305
— — упругая 305
Продолжительность жизни образца 581
— — — в условиях ползучести 584
— — — при отсутствии ползучести 586
— прохождения фронта волны через из-
изделие 316
— работы детали установленная 303
— — материала 284, 333
Пространство абстрактное 425
— главных напряжений 424, 732
— напряжений шестимерное 729
— реальное 425
Процесс адиабатический 279, 288
— волновой 317
— изотермический 288
— нагружения 151, 192
— разгрузки 151
— разрушения 254, 258
— физико-химико-механический 275
Прочность 120, 121
— бетона кубиковая 195, 367, 368
— — призменная 195, 367
— вибрационная 308
— границ зерен 334
— длительная 280, 284, 325, 326, 327,
329, 374, 588
— зерна 225, 334
— конструкции 17, 378
— контактная 356
— материала в конструкции 367
— *— удельная 120
— мгновенная 374
— межмолекулярных связей 346
— металлов теоретическая 296, 297
Прочность предельная 367
— связей химических 346
— соединения зерен 225
— твердых тел 224, 540
— ударная 287, 355
— удельная 319 — 321, 323, 325, 327,
329, 334, 335
Путь деформирования 736, 745
— нагружения 150, 729, 731
— разгрузки 150
Работа, затрачиваемая на разрушение
конструкции 152
т— металла упругая 282
— силы 144, 145, 147, 149, 150, 507, 508
— — внешней 151, 507, 625
— — — при растяжении (сжатии) об-
образца (стержня) 149
— пластической деформации 736
— удельная 152 *
— — деформации за один цикл нагруже-
нагружения 310
Равновесие динамическое 226
— и распространение трещины 574
— системы (тела) 39, 203, 221, 382, 493
Равнонапряженность элементов 186, 187
— — статически неопределимой системы
Разгрузка НО — 112
— полная 201, 154
— — мгновенная 349
Разрушение 107, НО, 111
— внутри зерен (транскристаллическое)
334, 585
— вязкое 259, 345, 584, 585, 588, 589
— — в условиях ползучести 581, 582
— длительное 332
— локальное 598
— межкристаллическое 258, 273, 286,
334, 585
— монокристалла металла 238
— пластическое (от среза) 238, 252, 254,
257, 295, 300, 307, 532, 538, 549 — 551,
553, 561
— при ползучести 581, 589
— смешанного характера 584, 585
— тела вследствие развития в нем тре-
трещин 579
— — глобальное 580, 585, 595, 597
— — квазихрупкое 577, 579
— усталостное 307—310
— — мгновенное 225
— хрупкое (от отрыва) без предшествую-
предшествующей пластической деформации 238,.252 —
254, 257, 342, 529, 538, 549, 550. 553,
554, 560, 570, 586, 589
— — — — с предшествующей пластиче-
пластической деформацией 553, 558, 560
Разрыхление пластическое 590, 592
— структуры 253, 345
Раскрытие статической неопределимости
173, 182, 473, 493.
Распор гибкой нити 166
Раствор внедрения 236, 237, 257, 266, 322
— замещения 236, 237, 257, 266, 322
Расширение всестороннее 592
Растрескивание коррозионное внутрикри-
сталлическое 273
— — межкристаллическое 273
Растяжение 91, 107
— двухосное 300, 411, 440
— гидростатическое высокое 534
— одноосное 300, 411, 421, 542, 543, 55а
— с кручением 273

428
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Растяжение стержня 35
— трехосное 387, 411, 495, 504, 526, 544
— — равномерное 431, 463
Расчет на подвижную нагрузку 192
— — прочность 209
— по деформированной схеме (деформа-
(деформационный) 39, 84, 85, 215
— — допускаемым (разрушающим) на-
нагрузкам 168, 189, 190, 192—194, 209,
212 213 593
'_ напряжениям 187, 188, 192 — 194,
523, 524, 560
— — недеформированной схеме 39, 84,
85, 215
— — предельным состояниям 168, 192,
209, 213, 214, 523, 524
Регулирование напряжений (усилий) ис-
искусственное 187, 188, 193
Резонанс 153
Релаксация 301, 305, 339, 375, 511, 513,
516, 752
— вязко-упругая 336
Реология 496, 511, 518, 519, 753
Решетка атомная кристаллическая 226,
231, 233, 237, 242, 251, 258, 268, 292, 322
— — — идеальная 233
~- гексагональная 231, 232, 239, 322
— — плотноупакованная 227т-229, 233,
240, 251, 324
•»• кубическая гранецентрированная 227—.
229, 231, 239, 240, 250 — 252, 256, 268,
322, 330
— — объемноцентрированная 227—229,
231, 239, 240, 251, 268, 322, 327, 330, 332
Роза А. М. Драгомирова 446
Самоуравновешенность напряжений в пре-
пределах поперечного сечения ггержня 93
Свойства деформативные 352
— изделий конструктивные 378
—• изделия эксплуатационные 378
¦»— материала временные 339
— — в изделии 290
механические 233, 261, 273, 280,
291, 301, 320, 331, 341, 353, 370, 580
— — — чувствительные к коррозии 273
. пластические 133, 271, 288, * 295,
298, 320, 324, 332, 549, 557
прочностные 58, 261, 352
физические 261, 324, 330, 336, 337,
353, 370, 453
— монокристаллов 332
— оптической активности 350
— реологические 513
— — сложные 513
— — фундаментальные 513, 514
— тела упругие 231, 275, 277, 280, 291,
293, 298, 353, 370, 494, 594
— упруго-вязкие 336
Связи внутренние 39
— межмолекулярные 337, 339
— на границах зерен 256
— химические 337
— голономные (позиционные) 146
Связь лишняя 171, 172, 173
— металлического типа между атомами
в кристалле 225, 242
— стационарная 146
Сдвиг 240, 242, 244 — 246, 345, 537
— главный 463, 465
— максимальный 462, 463, 467
— — истинный 550
— стносительный 488, 489, 490, 498
— пластический 271
Сдвиг чистый 36, 421, 434, 441
Сечение поперечное (бруса, образца, эле-
элемента) стержня 28, 104, 210, 309
— — стержня ослабленное 101, 121, 124,
290
Сжатие 36, 36, 91, 184, 219, 261
— двухосное 440
— одноосное 35, 91, 184, 409, 411
— трехосное 270, 271, 411, 495
— — неравномерное 565
— — равномерное 526, 531, 535, 547
Сила 173, 199
— активная 34, 144, 146, 147
— внешняя 202, 205, 233, 238, 245, 252,
254
— — объемная 383, 385, 612
— — поверхностная 382 — 384, 612
— внутренняя 40, 44, 45, 66, 105, 259,
382, 384
— обобщенная 144, 145, 147—149
— поперечная 43, 45, 47
— продольная 43, 45, 47, 143, 160
— — допускаемая 195
— — нормативная 210
— — действительная 210
— реактивная 34, 126, 144
— сцепления 225
— трения 117, 345, 542
— — движения 515
— — покоя 515
Силы самоуравновешенные 648
— — внутренние 76 — 81, 259
— сейсмические 25
— статистического характера 226
— упругости 507, 591
Символ Бубнова 141
Симметрия системы упругая 219
Система геометрически неизменяемая 169
172
— голономная 146
— плоская 31
— пространственная 31
— статически неопределимая 87, 88, 142,
168, 171
— — определимая 175, 178, 184, 185,
188, 193, 194, 203, 221
Ситуация дефектов стандартная 290
Скалывание 373
— вдоль волокон 376
Склонность к коррозии 320
— к ползучести 287
— материала к пластическому разруше-
разрушению путем среза 552
— — к хрупкому разрушению путем
отрыва 290, 306, 552
— — к переходу из пластического с©стоя-
ния в хрупкое 306
Скольжение 239, 242 — 245, 247, 252, 253,
256, 270, 324, 529, 541, 542
Скорость деформации (деформировали я)
107, 122, 152, 276—280, 284, 302, 339,
341, 345, 346, 350, 511, 516—518, 549,
555, 557, 558, 578, 746
— — абсолютной 277
— — возможная 747
— — сдвига 344, 345
— — упругой 517
— звука 277
— изменения напряжений 511, 513
— коррозии 273
— нагрева 341
— нагружения 276, 277, 285, 345, 367,
537, 538, 549
— относительная изменения модуля упру-
упругости по температуре 282
— перемещения дефектов 237

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
829
Скорость ползучести 304, 332, 582, 752
<— протекания усадки 363
— распространения волны 316—318
— релаксации напряжений 348
— течения 517
Слой двойниковый 250
— плотноупакованный 251
Смещение дислокаций 245
Смыкание микротрещин 270
— щелей 274, 275
Смятие 370
— материала у поверхности 554
Совместность деформаций 94, 95, 97, 174,
471
Соотношения реологические 753, 758
— физические 512
Сопротивление возникновению в системе
пластических деформаций 204
— временное 112
— двойникованию 250
— ударному повторному воздействию 307
— отрыву 258, 285, 290, 538, 549, 550, 555
— пластическим деформациям 252, 254,
277, 278, 284, 557
— ползучести 319, 325, 331
— разрушению 112, 273, 278, 284, 306, 520
— — пластическому 285
— скольжению 252, 278
— срезу 258, 285, 538, 550, 555
Сопротивляемость материала возникнове-
возникновению предельного состояния 520—522,
524, 526
— — текучести 520
— — удлинениям 528
— сдвигу 542
— тепловому удару 287
— ударному воздействию 298
Составляющие октаэдрического напряже*
ния 503
— поверхностной нагрузки 391
— полного напряжения 105, 238, 239,
247, 381, 384, 385, 389, 393, 404, 407,
437, 447, 451, 499
— перемещения 81, 82, 453, 454, 476
Состояние материала высокоэластическое
765
— — вязко-текучее 766
— — ориентированное 339
— — пластичное (текучее) 108, 113, 120,
122, 123, 270, 328, 340, 378, 523, 526,
527, 531, 534, 537, 539; 546, 561
— — упругое 523, 561
— — хрупкое 108, 113, 120, 122, 124, 270,
285, 286, 289, 294, 328, 378, 526, 527,
531, 537, 539, 555
— монокристаллическое 330, 332
— напряженно-деформированное 19, 204,
375
— — — осесимметричное 687, 690
— напряженное в точке тела 253, 273,
291, 347, 361, 407, 415, 422, 431, 493,
520, 537, 538, 552 — 556, 561
линейное 381, 388, 408, 411, 428,
443, 520, 522, 524, 526, 532, 534, 53б,
539, 541
— — однородное 390, 391, 408, 497, 509,
520, 539, 581
— — плоское (двумерное) 381, 388—392,
402, 411, 429—431, 439, 444, 620, 523 —
526, 529, 531—534, 546, 565, 578, 655
_ __ __ обобщенное 658, 669
— — пространственное 350, 381, 388—
390, 411, 428—430, 432, 441, 520, 521,
532, 546
сложное 101, 258, 366, 522, 532, 541
сферическое 388, 389, 416
. Состояние напряженное типа растяжения
569, 571
— — — сжатия 569, 571
— — — чистого сдвига 571
— — цилиндрическое 388, 389
— предельное конструкции 190, 193, 194,
214, 521, 559
— — материала в локальной области 120 —
122, 124, 192, 209, 259, 520 — 522, 524 —
526, 529, 531, 532, 536, 637, 539 — 541,
548, 562, 573, 745
— — — в форме разрушения от отрыва
544, 564
-» — — — — текучести 543, 564
— — по жесткости 209
— — поликристаллического агрегата 258
— — по несущей способности 209
— — трещинообразованию 209
— равновесное 339
— разрушения 561
— решетки устойчивое 226, 247
— трещины неустойчивое 576
— элемента предельное 214
— состояние полимера в различных тем-
температурных областях 337, 338, 340, 341,
345, 347, 349, 350, 354
Сплошность 585, 586, 609
— модели тела 20, 21
— тела в процессе деформации 470
Способность несущая конструкции 113
— — — минимальная 210, 211, 212
Среда линейно упругая (тело Гука) 495
— сплошная 168, 381, 411/493
-f — однородная 453
Стадия упруго-пластической работы си-
системы 560
— упругой работы системы 214, 288
Стенка вертикальная 249
Стержень 26, 28, 29, 103, 104
— гибкий 89
— естественно закрученный 28, 29
— лишний 172
— массивный 102
— переменного по длине сечения 28, 134,
135
— тонкий 488
— тонкостенный 80, 102
Степень неоднородности поля напряже-
напряжений 107, 537, 538, 549
— — — приращения температур 179 —181
— свободы 146, 147
— статической неопределимости 171, 173
Стеснение деформации 123, 145, 148,
261, 523, 655
— — пластической 192, 262, 288
— — поперечной 520
Стойкость термическая (высокий предел
термической усталости) 310
Структура двойникбванная 251
— дендритная 237
— мозаичная кристалла 235, 237
— монокристаллическая идеальная 295
— условия надежности 213
Сужение относительное остаточное 132.
133
— поперечное относительное равномерно!
106, 273, 315, 318, 320, 321, 326, 327,
32д, 330 — 333
Схема Иоффе А. Ф. 285, 344, 549
— Людвика 549
— расчетная конструкции 26
Сцепление зерен механическое 225
Твердость 268, 271, 273, 296, 298, 311.
315, 319, 322, 338, 340, 351, 370

830
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Твердость по Бринеллю 318, 319, 320, 321
325
— — Виккерсу 318, 326
— — Моосу 357
Текучесть 511, 521, 531, 540, 549, 550, 560
— в системе 198
— вязкая 340
Тело абсолютно твердое 19, 20, 37, 39,
512, 514
— анизотропное 231, 495
— большой гибкости 519
— Гука 512, 513, 514, 515, 516, 518
— деформируемое 39, 151
— Евклида 512
— жестко-пластическое 727, 746, 747
— жидкое 511-
— идеальное линейное упругое 512
— идеально-пластическое 727, 730
— изотропное 495, 496, 5Q2, 513
— квазихрупкое 577
— Кельвина 516
— Максвелла 516, 517
—, напряженное пространственно 548
—, — двумерно 548
-— наследственно упругое 765
— нелинейно-упругое 151, 739
— Ньютона 513, 515, 516
— Паскаля 512
— податливое 495
— поликристаллическое 155, 224, 231,
259, '270
— — квазиизотропное 562
— Прандтля 514, 515
— реологическое 512, 515, 516
— — классическое 513, 515
— — линейное 518
— — — обобщенное 517
— — сложное 513, 515, 517
— Сен-Венана 512 — 515
-— сплошное 471
— — деформируемое 493, 590
— трансвлрсально изотропное 596
— упрочняющееся 730
— — линейно 728
— упругое 494
— упруго-пластическое 151, 726
— хрупкое 565
Температура абсолютная 286
— высокая 181, 267, 280, 284, 287, 288,
292, 302, 310, 323, 324, 328, 332, 334, 374
— критическая (температура перехода в
хрупкое состояние) 285, 341, 344
— низкая 252, 258, 280, 284-288, 307,
320, 321
— плавления 237, 264, 271, 288, 323, 327,
333, 357
— сходственная (гомологическая) 281, 283,
301, 305
Тензор второго ранга 769, 775
—ч— — кососимметричный 773
— — — симметричный 413, 460, 772
— деформации 4вЗ, 465, 466, 468, 513
— — направляющий 468
— —• шаровой 463 — 466
— напряжения 419, 451, 464, 468, 477
501, 513, 536, 776
— — направляющий 421, 423, 468
— — шаровой '419, 447
Теория Губера —Мизеса 568
— деформаций 453, 460, 462
— — линейная 487, 488, 492
— — нелинейная 488, 490, 492
— дислокаций 245, 255
— — континуальная 255, 579
— континуальная накопления дефектов
в твердом теле 540
Теория континуальная трещин 579
— — феноменологическая дефектов 579
— максимальных касательных напряже-
напряжений 529, 531, 533, 563
— — нормальных напряжений 525, 528,
531, 533
— — относительных линейных Деформа-
Деформаций 528, 531, 533
— макротрещин 540, 574, 579
— Надаи А. 563
— надежности 604
— напряжений 460 — 462, 467
— пластического течения 734
— пластичности деформационная 739
— — идеальной 512
— — феноменологическая 539
— предельного состояния материала в ло-
локальной области (теория прочности)
523, 526, 529, 537, 540, 572, 574, 579
— предельных октаэдрических касатель-
касательных напряжений 536
— процесса накопления рассеянных микро-
микродефектов 579, 580, 595
— — прочности Баландина П. П. 572
— — механическая феноменологическая
540
— — Миролюбова Н. Н. 572
— — Мора 540, 544 — 546, 548, 561, 567
— — октаэдрических касательных напря-
напряжений 512
— — Ягна 572
— размерностей 634
— трещин Гриффитса 579
— удельной потенциальной энергии фор-
формоизменения 533, 536, 562
— Фридмана Я Б. 549, 554, 600, 601
— Шьадта 556
Течение вязких жидкостей 339, 350
— пластическое 245, 259, 344, 514, 530,
533, 535, 557, 727
Торможение перемещения дислокаций 257
Точка температурная критическая 263
Точки закрепления дислокаций 245
Трение внутреннее материала 153. 155,
293, 344, 591, 592
Трещина 124, 246, 364, 373, 575, 585
— видимая 253
— зародышевая поперечная невидимая 309
— клиновидная 593
— конечных размеров 574
— между зернами (межкристаллическая)
270, 596
— микроскопическая 270
— на поверхности 225
— тонкая 100
— — начальная 574
— усадочная 364
— усталости 309
Трещинообразование 364, 585, 586
Трещиноустойчивость 358
Удар 278, 341
— тепловой 323, 287
Ударопрочность 353
Удлинение образца абсолютное 106 ! 11,
133, 135, 136, 184
— — остаточное 110, 201, 246
— — относительное 135
— — — остаточное 132, 230, 27Ь, 290,
315, 318, 320
— — полное ПО
— — упругое 110
Упрочнение 109, 245, 246, 254, 256, 257,
2G1, 266, 270, 295, 324, 531, 591, 592
— материала ориентационное 343, 344

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
831
Упрочнение трансляционное 731
Упругость 339, 358, 513, 514
— линейная 514, 515
Уравнение кривой провисания нити 165
— Леви М. 662
— предельного равновесия 747
— равновесия 39, 164, 165, 173, 179, 182,
189, 202, 203, 217, 219, 385, 410, 473
— совместности деформаций 168, 173, 174,
177, 184, 201, 202, 215, 217 — 222, 411,
453, 472, 689, 691
— — —, записанное относительно функ-
функции Эйри 663
Уравнения дифференциальные совмест-
совместности деформаций Сен-Венана 472. 623,
661
— — — — Бельтрами—Мичелла 622, 689
— — равновесия элемента етержня с пря-
прямолинейной осью 58
— закона Гука 494 — 497, 499, 502, 503,
507, 508, 511, 527
— — — в главных осях 498
— Коши 138, 457, 458, 479, 618, 660, 661,
671, 673, 675, 688, 690
— Ламе 623
— равновесия дифференциальные элемен-
элементарного параллелепипеда 410, 411
— — элементарного тетраэдра 384, 385,
393
— реологические 495, 511 — 513, 515 — 519
_ — — для компонентов девиаторов 513,
514
— — для полных напряжений 514
— состояния 511
— физические 493, 495, 611
Усадка 183, 340, 359—364, 366
Усилие монтажное 218
— нормативное 210, 212
— опасное разрушающее 195
— остаточное 199, 201, 205, 262
— температурное (термическое) 177—183
— усадочное 183
Усилия самоуравновешенные 201
Условие взаимодействия контактирующих
тел 715
Условие возникновения скольжения 239
— (критерий) текучести 522, 523, 524,
529—531, 534, 540
— — — Мизеса 558, 566, 734
— — — Сен-Ванана (Треска) 531, 628,
734
— локального разрушения 598, 599
— надежности 210, 223, 522, 524, 526,
530, 533; 536, 537, 640
— предельного равновесия на контуре
трещины 578
— — состояния поперечного сечения 214
— прочности 91, 120, 121, 125, 129, 136,
161 — 163
— — по допускаемой нагрузке 191, 194,
195
— — — допускаемым напряжениям 194
— — при осевом действии сил 121
— хрупкого разрушения 601, 602
Условия граничные 411, 612
— — кинематические 613
— — смешанные 613
— — статические 410, 411, 613
— интегрируемости уравнений Коши 472
— однозначноети перемещений 472
— предельного состояния 579, 590
— совместности деформаций (сплошности
тела) 97, 179, 470, 471, 478. 492, 611.
616
— эквивалентности (статической) 45
Усталость 308, 539, 603
Усталость ударная 309
Устойчивость конструкции 17
— трещины 576. 578
Участок слоя вакантный 246
— эпюры усилий в стержне 56
Учет пластической деформации 191
Фактор масштабный 119, 290, 301, 332,
245, 539
— температурный 181, 280, 281, 282,
284, 288, 298, 364, 374
Феноменология 255
Ферма 27, 30, 31, 89, 169, 170, 184
— плоская, пространственная 169
— простая, сложная 169
— равнонапряженная 185, 193
— — статически неопределимая 193
— — — определимая 194
— статически неопределимая 171, 174, 187,
193
— — определимая 185, 192, 215
Форма образца в районе шейки 581, 582
Формоизменение 512—514
Фронт волны плоский 317
— — продольной зондирующего импульса
316
— — сферический 217
Функция напряжения Эйри 663
— памяти 766
— ползучести 763
— релаксации 767
Характер динамический развития трещины
Характеристика материала при наличии
надреза в образце 301
— механическая материала нормативная
19, 230, 233, 266, 274, 281, 299, 312,
315, 318, 326 — 329, 334
— — — фактическая 214
Характеристики пластичности материала
132, 315
— прочностные 181, 320, 327, 353, 374,
375
— — при ударной нагрузке 374
— упругие материала 231, 277, 318, 328
при ударной нагрузке 374
Хладноломкость 288, 307
Хладнотекучесть 352, 353
Хрупкость материала 271, 273, 276, 279,
338, 340, 355, 370
— — при «жестком» нагружении 554
— — — «мягком» нагружении 554
— тепловая 286
— ударная 307
Центрирование образца геометрическое
-367
— — физическое 367
Цикл замкнутый изменения параметров
сиотемы 205
— колебаний 153
Частота воздействия 339
— колебаний 345
— угловая 317
Число координационное 227
— лишних связей 173
— степеней свободы 146
— твердости 311, 313, 315
— циклов изменения напряжений 307,
308

832
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ам
Чувствительность материала к дефект
300
— — — перегрузкам 378
— — — надрезам 301, 378
Шарнир 171, 178
— конструктивный 31
— — цилиндрический 31
— — шаровой 31, 32
— узловой в ферме 169
— — — — плоской (цилиндрический)
169
«- — — — пространственной (шаровой)
169
Шейка в образце ПО, 111, 114, 132, 258.
300, 343 — 345, 555, 559, 585
Шкала твердости Бринелля 314
— — Мооса 314
Шкалы твердости Роквелла А, В, С, ... 313
Щель 575
Эквивалентность нагрузок статическая 102,
103, 651
Эластичность 338
— вынужденная 343, 345, 347
Элемент, не изменяющий своего направле-
направления при деформации тела 485, 486
Эллипс Ламе 438, 439, 441, 442
Элипс огибающий 438, 566, 570
Эллипсоид Ламе 388, 389
Энергия деформации потенциальная 151,
' 493, 508, 576, 625
— — — удельная 522
_ — _ — изменения объема 509, 514.
535
— — — — изменения формы 509, 510,
532, 534, 536, 556
_ __ — _ изотропного тела 507, 508
— — — — —• — предельная 532
— — — — полная 508, 532, 534, 562
— поверхностного натяжения 576, 57?
— удельная необратимая 153
Энтропия 511
Эпюра внутреннего усилия в стержне 52,
59, 63, 64, 68-70, 73 — 76, 135
— напряжений статически возможная 91
Эффект Баушингер.а 261, 349, 728
— масштабный 378
— поперечной деформации 497
— Ребиндера- П А. 274, 275
Эффекты концентрационные 292
— радиационные 291, 293
Явления поверхностные 253
— ползучести 761, 764
— релаксации 761, 767
— статистической природы 291
— тепловые и молекулярные 540

вивлио-w
КОЛОХЗА
ОСКОРКА
ч J