ОПТИМИЗАЦИЯ
И ИССЛЕДОВАНИЕ
ОПЕРАЦИЙ
Редактор серии
Н. н, МОИСЕЕВ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1981
С. А. ОРЛОВСКИЙ
ПРОБЛЕМЫ
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
ПРИ НЕЧЕТКОЙ
ИСХОДНОЙ
ИНФОРМАЦИИ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1981
22.18
О-вб
УДК 519-6
С. А. Орловский. Проблемы принятия решении при
нечетко* исходной информации. — М.: Наука. Главная редакция
физико-математической литературы, IVoi, zuo с.
В книге излагаются способы математического описания и
анализа разнообразных задач принятия решений на основе
нового подхода, опирающегося на введенное Л. А. Заде понятие
нечеткого множества. Нечеткие множества используются для
математической формализации исходной информации об иссле-
дуемой реальной ситуации или процесса принятия решений,
которая может носить субъективный и потому нечеткий харак-
тер. В рамках предлагаемого в книге единого подхода анализи-
руются задачи математического программирования с нечетко
описанными множествами допустимых выборов и функциями
цели, некоторые типы игр в нечетко определенной обстановке,
а также задачи принятия решений с о
тениями предпочтения на множестве альтернатив.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, включающий
в своя специалистов по прикладной математике, инженеров,
ялГХп6 ЛИ4, интеРесующихся вопросами математической эко-
Библе°4?ИйИСТеЯ14И °бщими В0ПР°сами принятия решений.
гм и несколькими отпо-

20204—067
41b3(02)-8f КБ-2-33—81. 1702070000
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико- математической
литературы, 1081
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора серии
Предисловие автора . . . .
15
Глава 1. Нечеткие множества и нечеткие отношения
••
1.1. Нечеткие множества ....
1.1.1. Определение нечеткого множества и тенмпно-
19
19
логия
1.1.2.	Операции над нечеткими множествами . . .
1.1.3.	Множества уровня и декомпозиция нечеткого
множества .....................................
1.1.4.	Нечеткие топологические пространства . . .
1.2. Нечеткие отношения............................
1.2.1.	Свойства обычных отношений и операции над
19
23
28
30
36
ними
1.2.2.	Определение нечеткого отношения........
1.2.3,	Операции над нечеткими отношениями . . . .
1.2.4.	Свойства нечетких отношений............
1.3.	Отображения нечетких множеств................
1.3.1.	Принцип обобщения......................
1.3.2.	Прообраз нечеткого множества...........
1.4.	Соотношение двух подходов к определению нечетких
множеств и отношений..............................
1.4.1.	Нечеткие
1.4.2.	Нечеткие
множества
отношения
математического программирования
: исходных условиях . .
Глава 2. Задачи
и игры при нечетк
2.1.	Бведение..............
2.2.	Задача достижения нечетко определенной цели (под-
ход Веллмана—Заде)	. . . .  ...............
2.2.1.	Формулировка и определение решения задачи
2.2.2. Многоэтапные процессы принятия решений
при нечетких исходных условиях ...............
37
40
44
49
52
52
56
58
58
63
67
67
69
69
ОГЛАВЛЕНИЕ
г.3. к-М— «”
2( SSTSS^	»р» «-
четком множестве ограничении.........
S° Решение 1, опирающееся на множества уровня
нечеткого множества ограничений.  .	. .
2 и эквивалентность решении оооих
2.5.	Игры в нечетко определенной обстановке........
” 2.5.1. Введение ....••••.......................
• 2.5.2. Описание игры.............................
2.5.3. Максимальные гарантированные выигрыши
' ‘ 2.514.' Игры с противоположными интересами игроков
2.5.5. Нечеткое равновесное решение; игры.......
81
85
86
92
96
96
99
101
104
110
Глава 3. Принятие решении при нечетком отношении
предпочтения на множестве альтернатив . .
115
3.1.	Введение.....................................
3.2.	Нечеткие отношения предпочтения..............
3.2.1.	Нечеткие Отношения безразличия, квазиэкви-
валентности и строгого предпочтения............
3.2.2.	Линейность нечетких отношений...........
3.2.3.	Нечеткое подмножество недоминируемых аль-
тернатив ...................... ...............
3.2.4.	Четко недоминируемые альтернативы и их
свойства ...........
3.2.5.	Условия существования четко недоминируе-
мых альтернатив .........'
3.2.6.	Смешанное расширение задачи принятия ре-
шений . . ..
^Несколько отношений предпочтения на множестве
альтернатив . .
м^рвдтив П^едПочтения на аечетком множестве
вадача нечетког
“Рограммирования .
4.1. Введение
1ио«Х «•'итого отношении ко класс копотких
н
математического
•Ji
115
119
119
125
128
132
137
141
144
151
153
153
155
155
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
4.2.2.
Некоторые свойства
индуцированного отно
<1
ния предпочтения.............................
4.3. Недоминируемые альтернативы в общей задаче не-
158
четкого математического программирования ....	164
4.3.1. Нечеткое множество не доминируемых альтер-
натив .......................................... 164
4.3.2. Выбор альтернатив в случае числовых оценок
альтернатив...................................... 168
4;4. Задачи математического программирования с не-
четко описанными	параметрами ............... 170
• 4.4.1; Введение	............................... 170
4.4.2.	Формулировка исходной задачи и сведение
ее к общей задаче нечеткого математического про-
граммирования ................................
4.4.3.	Недоминируемые альтернативы в задаче с не-
. четко описанными параметрами...................
4.5. Задачи упорядочения при нечеткой исходной инфор-
« г мации ........................................
 4.5.1. Введение .............................
4.5.2. Рациональный выбор альтернатив с учетом
набора признаков..............................
,4.5.3. Упорядочение объектов по набору признаков
л
Литература ...................
Предметный указатель . . . . -
Список обозначений и сокращений
174
177
188
188
189
194
200
203
205
ПРЕДИСЛОВИЕ
редактора серии
„ X А«п принятия решений или проблема выбора
ПроблемаJP	быть> самый раСпространен-
, кл“асс“задач, с которыми сталкивается не только ис-
3 класс зада , * инженер_конструктор, хозяйствен-
и т. п. И математика, вооруженная
г вычислительной* техники,
использовать математические средства
l не
расширение круга вопросов
альтернатив
ууЬТИ
Зрукодаель иТ^Им^^аГв^оруженная
сотреиенными средствами вычислительной* техники,
в°аналиэе этих*проблем может сыграть выдающуюся
поль -но лишь в том случае, если применять ее «пра-
“	______мп^йМйФТШДГ.ТША СПРТТСТРЯ
ВИЛЬНО», Т. в. —
соответственно их возможностям, не переоценивая ’
умаляя роли математики и математика в процессе при-
пятая решений.
Внедрение математик:
человеческой практики, в которых математика оказы-
вается эффективной, часто тормозятся рядом иллюзий.
Люди, не владеющие профессионально математическими
методами, иногда думают, что любая проблема может
быть переведена на язык математики и, следовательно,
решена* ее**средствами. Часто высказывается и в точ-
ности
ность гораздо сложнее таких крайних утверждений.
Любые ситуации, треб
содержат,^Как правилf	_
делешйСтей. Их принято разделять на^три"'кл1ССа.
противоположная точка зрения. Действитель-
ующие принятия решении,
олыпое количество неопре-
Прежде всего* это — «неопределенности природы» —
«не о пре-
L
факторы нам просто не известные. Затем
деланность противника». Человек всегда существует
в условиях, при которых результаты его решений не
строго однозначны, они зависят от действий других
лид (партнеров, противников и т. п.), действия которых
он не может полностью учесть или предсказать. Л'на
конец, существуют так называемые «неопределенност:
желаний» или целей. В самом деле,
^^Л^егда^оит несколько целей,
Г.
перед исследова-
Тцисать^их одним
ПРЕДИСЛОВИЕ редактора серии
9
о и минимальную стоимость
показателем (критерием) невозможно. Конструктору
самолета, например, необходимо обеспечить не только
безопасность пассажир^да^ио и минимальную стоимость
перелета. Экономистуунужно построить такой план,
чтобы с «минимумом затрат добиться максимума вы-
пуска^продукцки» и т. п.л причем" эта требования, как
мы видим, часто противоречат друг другу. ~
Легко понять, что свести подобные задачи с неопре-
деленностями к точно поставленным математическим
/ задачам нельзя в принципе — для этого надо тем
( или иным образом «снять» неопределенности^ т, е. вве-
сти какие-либо гипотезы. Но формирование гипотез —
это уже прерогатива содержательного анализа, это
формализация неформальных ситуации.
Таким образом, анализ задач принятия решений
в условиях неопределенности не может быть завершен ~
силами одних математиков. И всегда умение «эксперта»^
т.’ е. профессионала в данной конкретной области, бы-
вает необходимым, а подчас и решающим.
Но это вовсе не умаляет значения математики и ма-
тематических исследований. Прежде всего, ситуация
с проблемами принятия решений типична для любых
научных проблем. Сначала идет формирование гипо-
тез — акт неформальный в принципе, опирающийся
на опыт. Так обстоит дело и в физике, да и в самой ма-
тематике — вспомним аргументы Пой а в его превосход-
ной книге «Правдоподобные рассуждения».
Но вот гипотезы сформулированы, и математическая
модель готова. И здесь, если задачи, которые решаются
с ее помощью, достаточно сложные, без математики
уже обойтись не удается. По существу, любая постав-
ленная задача, отвечающая тем или иным гипотезам,
представляет собой закодированную информацию о свои-
ленная задача, отвечающая тем или иным гипотезам,
ствах изучаемого явления, о результатах принятия
того или иного решения. И извлечь эту информацию,
раскодировать ее, представить ее оперирукщей стороне
в том виде
ошибок и
математик
деятельности
в условиях неопределенности
кой
иного решения. И извлечь эту информацию,
который ей доступен, помочь избежать
: преодолеть неопределенности может только
Таков афористичный смысл этой формы
I математика: проблема принятия решении
: не является математи-
вучить все много-
но только математик может :
И)	ИРВДЙСЛОЙЙВ Р^АКТОМ СЕРИИ
с
„	этой проблемы И создать системы
образинх	опе1)Ирующую сторону
- которые приведут оперирующую сторону
i - • _ * Л — 2^.1-^ пЪпгмт. в которых она действительно
в5Йу № Реш^ В которых она действительно
ИУ Встйотёму в последние два десятилетия эта пробле-
 Z’ пппплекает к себе усйлия многих математиков
X у наев стране,' так и da рубежом. Ю. Б. Гермейер,
Р Боллман, Л. Заде — это лишь наиболее яркие имена
из того длинного перечня лиц, работы которых внесли
й новые идеи, и новые методы и результаты в теорию
принятия решении.	si,. ,
Йели решение принимается в условиях неопределен-
ности, если, например. Мы не знаем точно своей цели и
результат операции оценивается многими, критериями,
то и само решение бессмысленно точно фиксировать.
Можно говорить б классе «подходящи?» решений — не
более! Этот факт отчетливо, понимается специалистами,
, по существу, он уже давно используется при анализе
Первым его доста-
точно четко сформулировал итальянский экономист
ципа Парето. Согласно Парето, возможные решения
хреди неуду чшаемых" альтерна-
тив! т* е. альтернатив, улучшение которых по одним
критериям приводит к их, ухудшению по другим крп-
Принцип этот достаточно очевидны:
важный с чисто прикладной точки зрения: он i
он демонстрирует те потери, которые имеет оперирую-
______________________________________	__ _	I
улучшить какой-то определенный показатель. Умелая
й««Та с икожветвом Парето позволяет сделать нагляд-
ными многие особенност..
Позднее появился еще
ляющих отбраковывать с
4 Многие
принцип равновесия Нэша -
инструментами анализа пп™™?"1''" ражнымм
Покойный Ю.Т йХп Т“Х аВДаЧ’
в проблемах пвиня^йя	„подчеркивал, что
......• .9ДИЧ.строгий математицескии
к
как у нас
Р. Веллман, Л. Заде
яости,
I
J
[ само решение бессмысленно точно фиксировать.
альтернатив возможных решении.
II!
Парето еще в 1904 году в. форме так называемого прин-

: и очень
зволяет,
во-первых, сжать множество альтернатив, во-вторых
щая сторона по тем или иным показателям, стремясь
КС
и изучаемом операции.
целый ряд подходов, позво-
заведомо неприемлемые аль-
, таких, например, как
, являются сейчас ражными
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ
11
результат — эт
Но он делает и следующий шаг — он
Результат —это оценка, полученная на основе прин-
максимина. Гарантированный результат___________это
гипотезы
и риск. Это утверждение совершенно не означает, что
выбирать нужно именно ту альтернативу, ту стратегию,
которая реализует этот гарантированный результат’
Он может быть и очень хорошим, и совершенно непри-
емлемым — это всего лишь репер, информация, которая
полезна субъекту (оперирующей стороне). В конечном
счете никогда никакой математический анализ не может
дать строгого точного результата выбора альтернатив
в условиях неопределенности.
*’*’ Именно с этих позиций надо оценивать и попытку
одного из известных современных специалистов в при-
кладной математике Л. Заде, который предложил от-
казаться от какого-либо четкого описания в задачах
принятия решений.
В основе теории Л. Заде лежит тоже достаточно
очевидный факт—субъективные представления о цели
всегда нечетки
полагает, что и все оценки субъекта и ограничения,
с которыми он работает, также, как правило, нечетки,
а иногда и вообще лишены в своем начальном виде
количественных характеристик. Так он приходит к по-
нятию лингвистической переменной — красное, не очень
красное, совсем не красное и т. п. — а затем вводит
некоторую функцию принадлежности как способ фор-
мализации субъективного смысла этих качественных
Показателей. Тот же прием позволяет охарактеризовать
Принадлежность какому-либо множеству. Характери-
стической функцией множества оказывается тогда не
'разрывная функция
1 — на множестве, 0 — вне его,
>• ’ I	’
а некоторое распределение, напоминающее интуитив-
'Йые вероятностные распределения. Заде развивает
'¥екййку использования подобных оценок и определен
формализм, дающий новое описание	5F. ‘
вии"й » у—~ях нечеткой информации. Как
•я. основная цель подобных исследований
[звлёкать из этого нбчетко^ описания
НЫЙ
Йя*гйя“ решений в услови
йне’ кажется
йаУчйться 1
авилот
л

предисловие редактора серии
12
л япсить нечеткий характер • Оно также должно
-формуляр°^еКТИвных компромиссов Парето, гаран-
Идеи эфф'	R jq. В. Гермейера, идеи выбора
jSrfi основе нечеткого описан.,» Л. Заде - „се
ЙЙ&П «« ®“Рат’
развит г	иялясОДТВО Л0ПУ<
^7 Математика не может	Крите-
такова"природа конфликта! Но отбросить неконкуренто-
отаосятся, по суЩ^теу,, к одному кругу идей -
°	——_ ,	--ПОЗВОЛЯЮЩИЙ по
=«и сузить множество допустимых альтерна-
та Математика не может дать окончательного крите-
~L- отбора, если на самом деле их несколько! Если
такова природа конфликта! Но отбросить неконкуренто-
способные,«выделить наиболее перспективные множества
вариантов — это уже задача математики и математиков.
И все эти идеи следуют тому естественному ходу че-
ловеческой мысли, который свойствен человеку, анали-
зирующему более или менее сложную ситуацию. Эти
идеи восходят еще к А. А. Маркову* положившему
начало формализации процесса последовательного ана-
лиза. Это направление, трансформируясь через работы
Вальда и Айзекса, привело к появлению динамического
программирования Р. Веллмана и к методу ветвей и
границ. В Советском Союзе В. С. Михалевичем была
дана на сегодняшний день, вероятно, наиболее общая
схема формализованного описания последовательного
анализа, включающая в себя и схему динамического
программирования, и метод ветвей и границ.
Цвнтр^ьна^ процедура этого общего подхода к про-
блема выбора альтернатив опирается на различные
принципы отбраковки. Й в этом контексте принципы
арето, гарантированного результата, формализм Заде
напппх^п СВ°е вполне определенное место. Я думаю,
на псп™* 470 Развитие процедур типа ветвей и границ
весьма сет^6ТКИХ алгоРи™ов в смысле Заде будет
пого анализа.11™ раэвитием методов последователь-
занииаат мвсто в проблемах принятая решений
являются не кпп^Туаци®’ в КОТОРЫХ определяющими
теристики — холопЧ*С“Ве°НЫе’ а качественные ха₽ак„'
а» красный, темно-красный
Конечно, в кажпп« „ расныи’	- --
пых показателей» К0НкР®тном случае для «качествен

не очень холодный, теплый
почти красный и т. Д-
* можно ввести определенную количе*
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ
1J
ственную шкалу — уровень тепла характеризовать гра-
дусами, а цвет - длиной волны линий поглощения
.Но подобная «метризация» далеко не всегда помогает
делу, ибо, во-первых, она вообще не всегда возможна
а во-вторых, не дает достаточно адекватного представ-
ления исходной информации. Начав еще в шестидеся-
тых годах заниматься проблемами нечетких множеств
и нечетких описаний, Л. Заде обратил внимание на
тот факт, что этот способ описания особенно удобен
при анализе ситуаций с величинами, оцениваемыми
качественными характеристиками. Так возникла его
теория лингвистических переменных, теория, которая
существенно расширяет область традиционных опера-
ционалистских исследований.
До работ Л. Заде подобная качественная информа-
ция, по существу, просто терялась — было непонятно,
как ее использовать в формальных схемах анализа
функций принадлежности. Эти функции явля-

как ее
альтернатив. Поэтому шаг, который сделал Л. Заде,
носит действительно принципиальный характер. Но
в связи с этим я хотел бы еще раз подчеркнуть, что
техника, развиваемая Л. Заде, основывается на исполь-
зовании
ются, всегда являются, гипотезами! Они дают субъектив-
ное представление эксперта (исследователя) об особен-
ностях исследуемой операции, о характере ограничений и
целей исследования. Это всего лишь новая форма утвер-
ждения гипотез, но она открывает и новые возможности.
Имея в своем распоряжении функции принадлежности,
исследователь получает в своп руки п определенный ап-
парат, позволяющий строить оценки для альтернатив.
Итак, в схемах анализа, развиваемых Л. Заде,
так же как и в традиционных методах исследования
операций, строится некоторая система гипотез, только
теперь они формулируются >в терминах «субъек-
тивной» принадлежности. Далее, в результате анализа,
так же как и в обычных задачах с неопределенностями,
мы получаем результат снова в нечеткой форме
в форме функции принадлежности некоторому мно-
жеству. Значит, техника Заде, подобно прмндипам
Парето или принципу максимального гарантирован-
ного результата, позволяет сжать множество возможных
альтернатив.
14
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ
' Бvnvniee покажет, насколько подобный подход сде-
лается полезным для решения прикладных задач. Под-
чрпкнем только, что вопрос о будущности всего этого
яапоавления решается не столько математическим
совершенством развиваемой теории, сколько удобством,
которое обеспечивается оперирующей стороне при ана-
лизе и выборе альтернатив.
Теория Л. Заде еще не получила достаточно широ-
кой известности в нашей стране, и публикации на рус-
ском языке ограничиваются пока в основном только
переводами двух книг. Поэтому появление первой оте-
чественной монографии, посвященной изложению ос-
и выборе альтернатив.
звестности в нашей стране, и публикации на рус-
переводами двух книг. Поэтому появление первой оте-
новных положений теории Л. Заде и ее развитию, пред-
ставляется не только полезным и важным, но и своевре-
менным. Книга С. А. Орловского отнюдь не пересказ
Схемы Л. Заде. В ней сделана попытка еще одного шага
в данном направлении. Л. Заде показал, каким образом
нечеткую, качественного характераинформацию можно
использовать в формализованных процедурах анализа.
По существу ~ он предложил такое расширение языка
математики, которое позволяет учитывать нечеткость
И..В.жхшатичесдцз^-Модел ях.
— это проблема математической
Следующий шаг
• обработки той нечеткой информации, которая введена
! в модель
= жества альтернатив на основе этой информации. Пер-
вый шаг на этом пути — последовательная перефор-
мулировка всех задач математического программиро-
вания. Эта проблема далеко не тривиальна, когда целе-
вые функции и ограничения записаны нечетким обра-
зом. Еще сложнее проблемы теории игр, когда субъект
пытаетсявыбрать стратегию при нечеткой информации
™ ~ _________________________________ _______да
еще в условиях, когда множество собственных страте-
гии определено нечетко.
китР^ДЛалаемая книга как раз и посвящена обсуяеде-
nnwfiww Дл*НЫ£ ВОПР°СОВ и предлагает определенные
В форме яе,ик.х“в„^Те явформации’ адШ“
формулировкам оптимизационных
и прежде всего — проблема сужения мио-
®т°°®еден™ ДРУгих субъектов (других игроков)
гий определено нечетко.
которые приводят к новым
и игровых задач.
1979
Н. Н. Моисеев
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Для настоящего времени характерно стремление
ко все более широкому применению математических
методов для описания и анализа сложных экономиче-
ских, социальных, экологических и других систем.
Отличительная особенность многих из этих систем
в том, что помимо объективных законов в их функцио-
нировании существенную роль играют субъективные
представления, суждения и даже эмоции людей.
Анализируя конкретную систему, мы фактически
рассматриваем выделенную вами часть более полной
сложной системы. Само это выделение мы производим,
поскольку не в состоянии охватить и достаточно ком-
пактно математически описать и исследовать все много-
образие свойств полной системы. То, какую часть бо-
лее полной системы мы выделяем, определяется целями
исследования и нашими представлениями о полной
системе.
Выделяя подсистему, мы фактически вводим гра-
ницы, которых на самом деле не существует. Полная
система не есть дискретная совокупность подсистем,
а скорее своего рода «континуум», в котором подсистемы
в некотором смысле «проникают» друг в друга. Переход от
подсистемы к подсистеме происходит не скачкообразно
через четкую границу, а плавно, непрерывно. Поэтому и
границ в обычном смысле между ними установить нельзя.
Анализируя выделенную подсистему, мы не можем
игнорировать ее связи с остальной частью более пол-
ной системы. Не имея возможности и средств точно
описать все эти связи, мы используем либо свои соб-
ственные представления об этих связях, либо обра-
щаемся за помощью к экспертам» которые этими пред-
ставлениями обладают. Важно то, что эти представле-
ния или, иными	„ _
анализируемой подсистемы чаще всего бывает выражена
словами, информация о границах
16
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
_ понятиях, которые имеют нечеткий смысл с точки
зрения классической математики.
Р Вместе с тем человек, моделируя реальность в таких
понятиях, часто находит пусть не наилучшее, но при-
емлемое для него поведение в сложнейших с точки зре-
ния возможности математического описания реальных
ситуациях. В связи с этим можно говорить О том, что
язык традиционной математики, опирающейся на тео-
рию множеств и двузначную логику, недостаточно ги-
бок для моделирования реальных сложных систем,
поскольку в нем нет средств достаточно адекватного
описания понятий, которыми пользуется человек и
которые имеют неопределенный смысл.
Простейший пример — классификация объектов по
цвету. Пусть цели исследования таковы, что достаточно
различать лишь красные, желтые и зеленые объекты.
В традиционной математике классификация — это раз-
биение заданной совокупности объектов на три непере-
секающихся подмножества, т. е. введение четких гра-
ниц, отделяющих объекты одного цвета от объектов
другого цвета. Однако подобная классификация мало
тветствует нашему представлению о цвете объектов
На самом деле мы не в состоянии обоснованно провести
четкую границу между классами, например, красных
и желтых объектов. В нашем понимании переход от
красного к желтому непрерывен. Мы допускаем, что
некоторые объекты могут в той или иной степени отно-
ситься к различным классам одновременно, т. е. что
границы между этими классами нечеткие.
.5?. ОС,Н°В-Н—- целей построения математических
моделей^ реальных систем — найти способ' обработки
'	Для “ выбора’ рациональных
вариантов управления системе®.^Очень часто,
оейно при исследоваЕГй'й эГ ~
и других систем, в ф;_____ц ......	г —
оТ гwr™^Л°ВеК * златательное количество информации
опыт паблт^°ЖеТ бы-Ь полУчено от людей, имеющих
ности пт тт С Д?ннои системой и знающих ее особен-
ФуикционироХ’	П^ст“е ° *еЛЯХ
«осит субъективный
етвемком	„„„	-~r, Ml «- представлении в есх»
, как правило, содержит большое число
ЗН
и осо-
экономических, социальных
функционировании которых уча-
п
ИТ. п. Эта информация
характер, и ее представление в есте-
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
17
неопределенностей типа «много», «мало», «сильно уве-
личить», «высокий», «очень эффективный» и т п ко-
торые не имеют аналогов в языке традиционной мате-
матики. Поэтому и описание подобной информации
ин^ирмации на
языке традиционной математики обедняет математиче-
скую модель исследуемой реальной системы и делает
ее слишком грубой. Вместе с тем наличие математи-
ческих средств отражения нечеткости исходной инфор-
мации позволило бы, по-видимому, построить модель,
более адекватную реальности.
Таким образом, для дальнейшего успешного при-
менения математических методов в качестве мощного
инструмента для анализа все более сложных систем
необходимо, по-видимому, создание средств более точ-
ного учета нечетких представлений и суждений людей
о реальном мире в математических моделях.
Одним из начальных шагов на этом пути можно
считать новое направление в прикладной математике,
связанное с именем видного американского математика
Л. А. Заде и получившее название теории нечетких
множеств. Лежащее в основе этой теории понятие не-
четкого множества предлагается в качестве средства
математического моделирования неопределенных поня-
тий, которыми оперирует человек при описании своих
представлений о реальной системе, своих желаний,
целей и т. п. Нечеткое множество — это математиче-
ская модель класса с нечеткими или, иначе, размытыми
границами. В этом понятии учитывается возможность
постепенного перехода от принадлежности к непри-
надлежности элемента множеству. Иными словами,
элемент может, вообще говоря, иметь степень принад-
лежности множеству, промежуточную между полной
принадлежностью и полной непринадлежностью.
Основополагающая работа Л. А. Заде «Fuzzy
Sets» [1] была опубликована в 1965 году. К настоящему
времени работы, посвященные многообразным аспек-
там этой теории и ее приложений, исчисляются сот-
нями. Свидетельством растущего интереса к этому на-
правлению в прикладной математике может служить
и организация в 1978 году специального Международ-
ного журнала «Int. Journal of Fuzzy Sets and Systems».
Применению языка и методологии нечетких множеств
2 С. А. Орловский
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
: анализе сложных систем были по-
'	“ “I “ 1 '	Я	-л9
многочисленные семинары и конференции
в моделировании и
срящены	....
в различных странах, в том числе i
Данная книга посвящена одному из важных направ-
лении применения нового подхода — проблеме приня-
%— «и • •
ТИЯ „
По сути дела, в ней анализируются различные классы
математических задач принятия решений, в которых
исходная информация описана в терминах нечетких
множеств и отношении в смысле Л. А. Заде. В нашем
понимании математический анализ задачи или ситуа-
ции принятия решений заключается в «отбраковке»
нерациональных альтернатив или вариантов,
в том, чтобы, использовав математические средства для
обработки всей имеющейся информации, сузить мно-
жество возможных вариантов или альтернатив, отбро-
сив те из них
приемлемые варианты или альтернативы. Этот подход
: *	.	-	« ъ °	г 

: в СССР.
ёшений при нечеткой: исходной информации.
в
т. е.
I
;ля которых имеются заведомо более
используется во всех моделях, рассмотренных в книге,
стимулировать интерес к но-
вому направлению в области математического модели-
вания и анализа сложных реальных систем. Быть
может, даже излишне отмечать здесь, что изложенные
в книге постановки задач и подходы к их анализу —
лишь один из возможных путей использования матема-
тических средств для обработки нечеткой исходной
информации. Но вместе с тем столь же излишне, по
надгему мнению, доказывать необходимость поисков
и исследований в этом направлении.
В своей работе в этой области, а также в работе
над книгой я постоянно пользовался вниманием и
поддержкой Н. Н. Моисеева. За все это я приношу
ему свою искреннюю благодарность.
Наконец, я хотел бы выразить свою надежду на
критику всего изложенного в этой книге. Появление
крцтцки свидетельствовало бы о выполнении одной
з основных задач, стоявших передо мной при ее на-
Основная цель книг
1	1	4	*
4
«И
ему свою искреннюю благодарность.
Наконец, я хотел бы выразить свою надежду на
критику всего изложенного в этой книге. Появление
бы о выполнении одной
----------------------------  g— Ж Т-Г	» Г Ж.*	— 
писаниц.-------------------*
W79
С. А. Орловский

*
г
ГЛАВА’ 1
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
И НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
Прежде чем приступить к описанию и анализу
различных моделей принятия решений с учетом нечет-
кой исходной информации, мы изложим в этой главе
основы математического аппарата теории нечетких
множеств и отношений, опираясь главным образом на
работы Л. А. Заде [1—5]. Вводимые здесь определения,
операции над нечеткими множествами, отображения
нечетких множеств и их свойства составляют матема-
тическую основу рассматривающихся ниже способов
построения таких моделей и обработки нечеткой исход-
ной информации.
Отметим, что в эту главу включены главным образом
лишь те сведения, которые потребуются в дальнейшем
при формулировке и анализе задач принятия решений.
Более полное представление о теперешнем состоянии
теории нечетких множеств и отношений можно получить,
ознакомившись с цитируемой ниже литературой.
1,1. Нечеткие множества
1.1.1, Определение нечеткого множества и термино-
логия. В традиционной прикладной, математике мно-
жество понимается как совокупность элементов (объек-
тов), обладающих некоторым общим свойством. На-
пример, множество чисел, не меньших заданного числа,
множество вркторов, сумма компонент каждого из ко-
торых не превосходит единицы, и т. п. Для любого
элемента при этом рассматриваются лишь, две возмож-
ности: либо этот элемент принадлежит данному мно-
жеству (т. е. обладает данным свойством), дибр ^е
принадлежит данному множеству (т..е,, не рбдаддат
данным свойством). Таким образом,, в описда..
жества в обычном смысле должен содержать. , 
критерий, позволяющий судить о принадлежности илп
20
НЕЧЕТКИЕ
МНОЖЕСТВА
1
сформулированной
_	— Ль
рые -
иадиИК—» Ш0в°И °ЛвМ“1а “У ""°™’
ству- «як уже говорилось во введении, при по-
^“^тематического описания сложных систем
пытках ма/с еств может оказаться недостаточно
Хим Имеющаяся информация о системе может быть
с£5^ванной на языке нечетких понятии, кото-
рые не^можно математически формализовать с по-
мощью обычных множеств.
Понятие нечеткого множества — попытка матема-
тической 'формализации нечеткой информации с целью
ее использования при построении математических мо-
делей сложных систем.. В основе этого понятия лежит
представление о том, что составляющие данное множе-
ство элементы, обладающие общим свойством, могут
обладить этим свойством в различной степени и, сле-
довательно, принадлежать данному множеству с раз-
личной степенью. При таком подходе высказывания
типа «элемент х принадлежит данному множеству»
теряют смысл, поскольку необходимо указать «насколько
сильно» или с какой степенью данный элемент принад-
лежит данному множеству.
Один из простейших способов математического опи-
сания нечеткого множества — характеризация степени
принадлежности элемента множеству числом, например,
из интервала [0, 1]. Пусть X — некоторое множество
(в обычном смысле) элементов. В дальнейшем мы будем
рассматривать подмножества этого множества.
________ _	Нечетким множеством С
в X называется совокупность пар вида (х9	(х)), где
ж G а Н? —• Функция X -> [0, 1], называемая функ-
цией принадлежности нечеткого множества С. Значе-
ние Pf (х) этой функции для конкретного х называется
„	этого элемента нечеткому
множеству С.
гт»?	иа -ЭТ0ГЯ определения, нечеткое множе-
ности пА5Фпх°ПИСЬ1Вается сво®® функцией принадлежа
ФуикпижГ™^ я**6 мы часто будем использовать эту
фуняцйго *** обозначение
MoHCHoTotr^W1
общего вида. Так,

степенью прииадлежност
нечеткого множества.
определить нечеткие множества и более
например, в^книге [5] Л. А. Заде
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
21
вводит в рассмотрение нечеткие множества с функциями
принадлежности, значениями которых являются не-
четкие подмножества интервала [0, 1], и называет их
нечеткими множествами типа 2. Обычные нечеткие
множества, соответствующие определению 1.1.1 на-
зываются при этом нечеткими множествами типа 1.
Продолжая это обобщение, Л. А. Заде приходит к сле-
дующему определению.
Определение 1.1.2. Нечеткое множество есть
.	•» если значениями его
множество типа n, п—1, 2, 3, . . если значениями его
функции принадлежности являются нечеткие множе-
ства типа п—1. Функция принадлежности нечеткого
множества типа 1 принимает значения из интервала
[О, И-
В работах Дж. Гогена [6, 7] рассматриваются не-
четкие множества, функции принадлежности которых
представляют собой отображения X -> £, где L —
произвольная структура типа решетки.
Всюду в этой книге рассматриваются нечеткие мно-
жества, соответствующие определению 1.1.1, т. е. по
терминологии Л. А. Заде нечеткие множества типа 1.
Обычные множества составляют подкласс класса
нечетких множеств. Действительно, функцией принад-
лежности обычного множества В
характеристическая функция
является его
?в («) =
обычное мно-
совокуиность
и в соответствии с определением 1.1.1
жество В можно также определить как
пар вида (ж, рв (х)). Таким образом, нечеткое множе-
ство представляет собой более широкое понятие, чем
обычное множество, в том смысле, что фучкции при-
надлежности нечеткого множества может быть, вообще
говоря^ произвольной функцией или даже произволь-
ный отображением.
Пример 1.1.1. Для сравнения рассмотрим обычное
множество чисел~В=(я|0 < х < 2} и нечеткое множество чисел
С={х\ «значение х близко к 1»}. Функции принадлежности
этих множеств представлены на рис. 1.1.1. Заметим, что вад
функции * принадлежности нечеткого множества С еависжт
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
П’Л. j
«г «выела*, вкладываемого в понятие' «близко» в
яивидошой чйФуаДйй;
функц]
жеёйде

jfawKiuwi
в к°втекстс ана
,., ^й^^ше^естаа^вааывартся, вддаы ц
-----да!§даежнос™ рат5 вдгод>;ва вс-~
ь...т^ .е.	м
,л w*e’ ««« о"®аи,
дрдндддажности вида	1ХИ^ать
’ если его
мио-

“€И"И,а -‘(обо™
РР Л) С функцией принадлежност
гг / \ чение
и называется
 •
ra<”MOT0 < *m CBteOT)
supp4 s=
Pa«S
t Маг)>0}-
*	f ) I'
Формильным, если
т—	в
°ш П₽ОТИВНОМ CJnnra»
ШВМЯЭ: cJE*w ««»«*> с
&>е	- 9Рмальным часто ока-
к£Кпмм™ь)
да
аЖ£
ап^име|^кое Множество называется
Дует*
е„исй;
тение Нечеткнх- гтм-эдалным часто от
мОя&оп^брй0^’?' М^МЯЛЬ'
» Разделив !, .? Нормальному
ества- ва-вели^Лг4^ “Р^Д^нЬсти
2; , «тчнйу dup|i (а.), .@давКо
• t
Я?одйЫ Wi’awj; ."^"Рааование i
...... Ре^стй6лять' с'ебёуёг# 4фи-
еле-
4 % > 
кон-
м
1.11
ЫЁЧЁТКИЕ МНОЖЕСТВА
Пусть А и В —
Н-вС?) их Функции принадлежности
Говорят, что А включает в себя В (г
утТТГГ ТТТА^\/Л’ПГ\	/**" XZ"	'
А
МНожест™
М«)=IS1 («) при любом х £ X. ' Если
жества А и В таковы, что В С А, то и
виррБ Csupp4.
Пример 1.1.2. Рассмотрим нечеткие множества
Л = {я| величина х близка к 1),
В = {а;| величина х очень близка к 1}.
т. е. функции принадлежности этих мно-
нечеткие множеств °
•г*
соответственно.
дя любого х £ X выполнено неравенство Мяк'ц (х\.
Т ^ГЛЯТ/ЛЛгттпл Л тл 7Э	q	g	Н f	V /
/1 и zj совпадают (эквивалентны),
•г*
если
нечеткие мно-
Ясно, что BciA'
жеств и должны удовлетворять неравенству рв (х) с рл (х)
Рис. 1.1.2.
J
при любом Графически эти функции могу г выглядеть,
например, как показано на рис. 1.1.2.
1.1.2. Операции над нечеткими множествами. Опе-
рации над нечеткими множествами, такие, например,
как объединение и пересечение, можно определить
ранййчйыми способами. Ниже будет дано несколько
таких определений. Выбор конкретного из них зависит
от смысла, вкладываемого в соответствующие операцип
в рамках рассматриваемой задачи.
Вводя операции, над‘ -нечеткими множествами, не-
обходимо помнить, что класс нечетких множеств охва-
тывает и множества в обычном смысле. Поэтому вво-
димые определения в частном* случав обычных множестй^
должны сЬетве^йвовать обычнымойе^^рй^, ЛЖЧДОЭДЙЭД >»
в теорий множеств, Разумеется, это не относится к теМ1

24
НЕЧЁТКИЕ МНОЖЕСТВА
(ГЛ. 1
операций, которые для обычных
ив вводимых ниже р Д например, к операциям
множеств не имеют	жеяия и выпуклой комби-
концентрирования, р
нации.	4 13 Объединением нечетких
°^А "и В « X шамвами нечеткое множество
"вТфункцией принадлежности вида
Определение 1.1.3. Объединением нечетких
Н'ЛиаВ (Х) —
ах
(М*Ь М*)}’
х£Х.
Если {Л }__конечное или бесконечное семейство
нечетких множеств с функциями принадлежности
Рис. 1.1.3.
Рл, (х» 2/)» гДе У € Y — параметр семейства, то объедине-
нием С = (J А множеств этого семейства является не-
у ¥
четкое множество с
ункцией принадлежности вида
М®)=8«Р	(*, у), х£Х.
Определение 1.1.3а. Объединение нечетких мно-
жеств А и В в X можно определить и через алгебраи-
ческую сумму их функций принадлежности:
р (®)=(	1 при ьФ+М®»1*
U | Ра (®) + Рд (®) в противном случае.
множества Л и В в число-
Р Р и м • Р 1-1.3. Пусть нечеткир
°* °си описываются Атакпиямп ^Ие	_________
« рис. 1.1.3. Жирной Линиейпн ?ивидисжности, показанными
принадлежности объедения „ ® рис- 11>3 “оказана функция
1-1-3.	единения этих множеств по определению
25
1.1]
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
™ ртв г * л^~м
А Л В с функцией принадлежнос™ вида ЫН°Жество
Если {Av} — бесконечное или конечное семейство
множеств с функциями принадлежности
; .г параметр семейства, то пересече-
множеств этого семейства является
- Функцией принадлежности вида
нечетких
У у
нечеткое множество с функцией принадлежности вида
(ж) = inf р (Ж, у), х £ X.
убГ У
Определение 1.1.4а. Еще один способ опреде-
ления пересечения нечетких множеств Л и В — исполь-
зование алгебраического произведения их функций при-
надлежности:
Рапв 0е) = Ра (*) Рл (*)> х € X.
Пожалуй, в наибольшей степени отличие этих
определений друг от друга проявляется в случае не-
четких множеств Л и В таких, что В С Л, т. е.
Рб 0е) £ Ра пРи любом х £ X. По первому
определений

з этих
Ра г\в (^) — Рв(^)> # Е А,
т. е. функция принадлежности множества А фактиче-
ски «не участвует» в этом определении в результирую-
щей функции принадлежности, тогда как по
нию 1.1.4а функция принадлежности всегда
функции принадлежности обоих множеств.
Полезным может оказаться следующее
носителей нечетких множеств:
supp (Л U В) = (supp Л) (J (supp В),
supp (Л П В) = (supp Л) f| (supp В).
Легко проверить, что эти равенства справедливы для
любого из приведенных выше определений объедине-
ния и пересечения.
определе-
содержит
свойство
26
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. 1
‘ ’’ ’ll р’и м е р £1.4. Йусть функции принадлежности нечетких
миожест# И И В ИМёйгг вид, показанный на рис. 1.1.4. Жирной
линией на этом «рисунке показана функция принадлежности
пересечения множеств А и В по определению 1.1.4.
г
Рис. 1.1.4.

” Ойределеяие 1.1.5. Дополнением нечеткого
множества А в X называется нечеткое множество А'
с функцией принадлежности вида ,
^ («)=1 - Рл (®).
Йцтереедо, что при .таком, .определении дополнения,
вообще ; говоря,, ,, А Г| Д' 0 (по обоим приведенным
г‘ч* j Рие. 1.0. - ,,
отличие от
• < *
выше определениям пере-
сечения),
обычных множеств.
Пример 1.1.5. Рас-
. смотрим.. нечеткое . множество
А—[множество чисел, гораздо
бблыйих нулА}, й пусть функ-
ция принадлежности этого
множества имеет вид, пока-
занный .на рис., 14.5 (сплош-
ж	*
можно описать .как множество чисел,
е пред-
олыпих
ийй aw « 1 .	ная кривая). Тогда пунктир-
ности п(Л1& М0^'РйсУнке соответствует функций прйнадлеж-
Словами	А множества А в множестве всех чисел.
.к
H₽nvl^ гораздо большими н^ля.
ставЛяет С0б0ГРнХ^Аое'МН0Жеств Л'и А‘ в РРИмер
8Уад Д.ядновррмйтоге множество чисёл, «гораздо большие
НепуйЬта этого	гораздо большими нуля».
самв!йоймтиё’ '4бмть тлъь^ ??<”к?с’Яа отражает тот факт, что
ствие чего некотовыр ®ольшйм» Описано 'нечетко, вслед-
принадлежать опноттоир^2ла МОГУТ с определенной степенью
Дновременцо и тому и другому множеству. В не-
1.11
нечеткие множества
27
котором смысле это пересечение можно рассматривать кя« мо^
кую «границу» между множествами А и А'. Р	нечет-
' Определение 1.1.6. Разность
уи^СДСаСннС х.х.и. газностъ множеств А и В
в. Л определяется как нечеткое множество 4\В с функ-
цией принадлежности вида	4
ЪV & = {	(Л) ~!Xfi (а) Гф" (Х)	(х)’
...	*	0	в противном случае;
что приведенное выше определение допол»
деления 1.1.6.
31
нения нечеткого множества вытекает из данного опре-
деления 1.1.6.
Опр©деление 1.1.7. Декартово произведение
41X Л., Х4Я. нечетких множеств А  в X., i = 1, 2,..п,
определяется как нечеткое множество А в декартовом
произведении X = X * • • X Хп с функцией принад-
лежности вида
Нл (Ж) = min {*4 (ж1)’ • •
3/	• • • з	(Е X. •
О и р ёд е л е н и е 1.1.8. Выпуклой комбинацией не-
Ап в X называется нечеткое
множество А с функцией принадлежности вида
а . . - • • г  J '	* ♦
п
и, ।
‘ Л/
чётких множеств А

где.Х^^.0, ..i = l, 2,..., я, х/А»“1ф
•	»=i
Выпуклые комбинации нечетких множеств
найти применение, например, в вадачах прин Р
ний с несколькими нечеткими ограничениями. <*аме-
что для обычных множеств эта операция не имеет
“О п р е д е л е н и е - 1.1.9. Операции
ТИМ,
смысла
вания. (CON) и ---------- - л^«ОЛа1,г.
огива А, определяются - следующим обра
.. *• ..... СОНЯ	= Я4', № Д == 4¥я
к
нечеткие множества
1гл. 1
операция растяжения может применяться для модели-
иге Л. А. Заде [5] обсуждается применение этих
Применение операции концентрирования к задан-
ному нечеткому множеству означает, по сути дела?
уменьшение «нечеткости» этого множества. В реальной
задаче это может означать поступление новой инфор-
мации, позволяющей более точно (более четко) описать
данное* нечеткое множество. Аналогичным образом,
операция растяжения может применяться для модели-
рования ситуации, связанной с потерей информации.
В книге Л. А. Заде [5] обсуждается применение этих
операций для представления лингвистических неопре-
деленностей.
1.1,3. Множества уровня и декомпозиция нечеткого
множества. Множеством уровня а нечеткого множе-
ства А в X называется множество в обычном смысле,
составленное из элементов х £ X, степени принадлеж-
ности которых нечеткому множеству А не меньше
числа а. Таким образом, если Аа — множество уровня
а нечеткого множества А, то
t
и
Как будет видно ниже, множествами уровня удобно
пользоваться при формулировке и анализе некоторых
вадач принятия
Пусть (A (J и ^ [ ] я)а — множества уровня а
о соединения и пересечения нечетких множеств А и В
множеств
соответственно. Рассмотрим связь этих множеств
с множествами уровня Л и Вл. Если для опера-
ция объединения и
1Л.4 и 1.1.3, то, как нетрудно
1.1.4а имеем лишь
11 4 »4 у“аения и пересечения принять определения
. .о, то, как нетрудно видеть, эта связь такова:
(Ли5).=Л.ЦВ., (4ПВ)в=ЛвЛ5в.
В случае же определений 1.1,3а
И U В). ЭЛ. UZ?e, (ЛПВ).С4.ПВ..
отиптп№и<п?рпп ,дРавых тастях всех этих четырех со-
ИЖЯ и пересеч№ЯТ«Я o6braBbie операции объедине-
Можно рассматееивИятт,МН0ЖеСТВ’ кажДУю из которых
по любому и™”* и как сетный случай операции
ДСИНЫХ В П. 1L1 9 °™втст»ующих определений, приие-
X Д,). множество уровня а декартова
множеств Лх,..А„, то из опрв-
по любому ИЗ
денных в п. 1Гз
Вслн(А1Х
про«»»«дения н^тк^'
1.1]
НЕЧЁТКИЕ МНОЖЕСТВА
2S
деления 1.1.7 декартова произведения легко видеть, что
(Ах... хА),=(А)их... х(ля)а,
т. е. множество уровня а декартова произведения пред-
ставляет собой декартово произведение множеств уровня
а рассматриваемых нечетких множеств.
Множество (Лв) уровня а любой выпуклой комбина-
ции нечетких множеств (п. 1.1.2) Alt . ..,ЛЯ содержит
пересечение множеств уровня а всех этих множеств, т. е.
В некоторых случаях (см., например, работу [8])
удобно пользоваться разложением нечеткого множества
по его множествам уровня, т. е. представлением этого
множества в виде
где (х)—арл (ж), а объединение нечетких мно-
жеств аАи берется в соответствии с определением по
всем а от 0 до 1.
Пример 1.1.6. Пусть Х = {1, 2,..., 6}, а функция при-
надлежности нечеткого множества А в X задана таблицей
0	1	2	3	4	5	6
(х)	0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9	1
Тогда для А можно выписать следующие множества уровня:
Л011 = {1, 2..........6), Л0>а = {2. 3. 4, 5, 6},
Л0>б={3, 4, 5, 6),	= {4, 5, 6),
{5» 6), Л1>0 == {6}
и представить нечеткое множество А в виде
Л _0..	2. 3. 4. 3. 6) U«.3l(2.,3.
Смысл проивведений типа аАл поясняется выше.
В книге [5] разложение по множествам уровня
используется для обобщения различных поняти тео-
рии обычных множеств на нечеткие множества.
30
г НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
(ГЛ. 1
полемических пространств (и. т..
вольно значительное число работ на эту тему (см., на-
Тео-
виде
точечных мно-
114. Нечеткие топологические пространства. По-
явление нового понятия нечеткого множества стиму-
лировало рассмотрение так называемых нечетких то-
F	'----элементы топологии
которых суть нечеткие множества. Имеется уже до-
вольно значительное число работ на эту тему (см., на-
пример, работы [9—17], из которых видно, что н. т. п.
обладают многими своеобразными свойствами, которых
нет в обычных топологических пространствах. Тео-
рия н; т. п. в ее настоящем виде представляет интерес
лишь с чисто математической стороны, поскольку пока
еще нет примеров использования ее аппарата для ре-
шения конкретных задач.
.1 Одной из интересных особенностей и. т» п. является
то, что понятие точки в них не является столь тривиаль-
ным, как в обычных топологических пространствах.
Обычное множество всегда можно представить :
объединения составляющих его од
жеств. В случае же нечеткого множества подобные
одноточечные множества, вообще говоря, являются
дечеткими и требуют особого определения. В некотором
смысле роль «нечетких точек» в н. т. п. могут играть
вводимые ниже элементарные нечеткие множества.
Понятие точки в н. т. п. обсуждается и в работе
К. Уонга [13].
_ •*
В этом разделе излагаются лишь некоторые сведе-
ния из теории и. т. п., ъ iDm нииш дать чита^
ставление об этом интересном направлении
теории нечетких множеств.
UJ? пределение 1.1.10. Семейство Т
Х=,вр»аЛЬ°°М множестве X называется
топологией. -если
• U4rCT для любого семейства {А*} нечетких
множеств в X такого, что (Л } С 7.
'	для любого конечного семейства (А )
нечетких множеств в X такого, что (4 } с Т
множество X с	х »/'-•<•
₽вей Т называется неит^^пВ Нем нвте,,кой тополо-
cmeo* (и. т. н.) (обозначение lx°T^пР°стРа^
««ч«ние (л, т)). Элементы семей-
они»
с тем чтобы дать читателю пред-
’ развития
ечетких
1.11
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
ства Т называются открытыми
ствами. Нечеткое множество
в X (см. определение в и. открытому
нечеткими мнозке-
’ ”вляю^ееся Дополнением
множеству, называется замкнутым. ' J ,,с,,еткомУ
Приведенное определение топологии аналогично
обычному определению, отметим лишь, что оперли
объединения и пересечения нечетких множеств пони-
маются здесь в соответствии с определениями 1 1 3 и 1 1 4
принятыми в п. 1.1.2 данной книги.	* ’ 1
Замыканием Л нечеткого множества Л в п. т
(X, Т) назовем «наименьшее» замкнутое нечеткое
жество, содержащее Л. Пусть {В*}— семейство
замкнутых нечетких множеств таких, что Л с В ,
Рд (*) < P*z?e (ж) ПРИ любом X £ X, тогда /Т Q В* ИЛи
О
II.
мко-
всех
|*л (х) = inf р (®), т,(-Х.
а а
Ясно, что для любого нечеткого множества Л его
замыкание А замкнуто.
Свойства операции з а м ы к а и и я.
Г.
Эти два свойства с очевидностью следуют из при-
веденных выше определений.
3.
Доказательство.
По определению
р, (x)=inf ря(я), 1*л,(х) —М*)»
Л|	Я&Ь	"е°а
В4 = (В | РВ (х) > РА,(*)
VxgX), i = l, 2.
Далее, А{сАя=> РА (х) <	(«)» поэтому В2 £ В, и,
следовательно, рл (х)	(х) Vx £ X, т. е. i С / а.
4. .4j (J Аа =: Ая U А2.
Доказательство, а) Покажем,
QAt{jAa. Допустим противное, т. е.
для которого
что /IjlMaC
что найдется

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ- 1
Il
inf МФ > таХ
ф? | рл (Ф >	Va**}, i=
ft
что для
Тогда найдутся B'€Bi 1

’	такие,
иг»(г> > <f) ” „
t де. Отсюда следует, что найдется такое Й^В,
любом В ЕВ выполнено невозможное неравенство
МФ>МФ-
б) Покажем, что 411Л => Л U Л- Допустим про-
тивное, т. е. что найдется х£Х, для которого
И’Я.ия» > **404
Отсюда заключаем, что найдется ^ев такое, что для
любого В б В£ (или В G Ва) выполняется (ж) >	(ж).
Но 5(*В, и потому последнее неравенство невозможно.
Из а) и б) заключаем, что Л1иЛ2=Я1иЯ2-
Элементарные нечеткие множества. Эле-
ментарным нечетким множеством Ех (для фиксиро-
ванного я(<Х) назовем пересечение всех замкнутых
нечетких множеств Ва таких, что (х)	0. Рассмот-
рим некоторые свойства элементарных нечетких множеств.
fa) >0 =>EXt с Ех.
Доказательство. По определению для любого
выполнено равенство
l%fa=inf В — {В | Ид (я) > 0J.
Далее,
Ч («1)=inf V-в (ж,) > 0 => рв (Ж1) > О У В б В,
В
’• ®-(bIM®j)>0)c_
выполняется неравенство
означает
Лю6ое 8лвм®нтарное ...__
пресечение замкнутых нечетких
В и, следовательно, для любого
V-H-. (Ф <	(Ф» чт0 и
множество Ех замкнуто как
множеств.
1.1 J
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
33
Последовательности нечетких мно-
жеств. Пусть {Ла) — последовательность нечетких
множеств в н. т. п. Рассмотрим совокупность всевоз-
можных подпоследовательностей (Ла}р этой последова-
тельности, каждая из которых получена выбрасыванием
из {Ла} некоторого конечного числа членов. Пусть
Bp—— замыкание объединения всех членов под-
последовательности {Да)р. Нечеткое множество Во —
= назовем пределом последовательности
₽
Компактность. Система {Ла} нечетких множеств
в н. т. п. (X, Т) называется покрытием нечеткого
множества Л, если A CU^c или
p-и (*) < sup Ил (*)
а
Уя£Х.
Нечеткое множество называется компактным^ если
из любого открытого покрытия этого множества можно
выделить его конечное подпокрытие.
Для компактных н. т. п. справедливо утверждение,
аналогичное соответствующему утверждению для обыч-
ных топологических пространств.
. Теорема 1.1.1 [10]. Для того чтобы н. т. п.
было компактным, необходимо и достаточно, чтобы
оно удовлетворяло условию', каждая центрированная
система его замкнутых нечетких множеств имеет
непустое пересечение.
Теорема 1.1.2. Если н. т. п. компактно, то
любая последовательность его нечетких подмножеств
имеет непустой предел.
Этот факт легко следует из определения предела и
теоремы 1.1.1.
1.1.3. В компактном н. т. п. любое эле-
ментарное нечетное множество Ех непусто (т. е.
Exrj^ Й для любого х^Х).
Доказательство. Система замкнутых нечетких
множеств (2?* |	(х) > 0} является центрированной
для любого х С X. “Следовательно, в силу
н. т. п. она имеет непустое пересечение (теорема 1Л Л), т. е.
3 С. А. Орловский
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
1ГЛ. 1
Назовем я. т. п. отделимым, если для любых х £ X
и у &Х найдется такое замкнутое нечеткое множество
B,vro	, п
Назовем я
а) М*)>°
Теорема 1.1.4. В отделимом н. т. п. любое эле-
ментарное нечеткое множество либо пусто. либо
обладает свойством:

отделимости и
Теорема
подмножество
непустого Ех
=0 в противном случае.
с очевидностью следует из определений
элементарного нечеткого множества.
1.1.5. Если В — замкнутое нечеткое
отделимого н. т. п
выполнено одно из условий*. Ех
то для любого
В или
яост
доказательство, пусть	т. е.
>рл(ж). При этом не может быть >0, так как
в этом случае В являлось бы членом семейства замкну-
тых нечетких множеств, пересечением которых является
Еж, неравенство (х) > (х) было бы невозможно.
Отсюда в силу отделимости н. т. п. и теоремы 1.1.4
получаем ЕЛГ\В = 0.
К. Чанг [10] ввел следующее определение окрест-
нечеткого множества в н. т. п.
ределение 1.1.11. Нечеткое множество U
н. т. п. (X, Т) называется окрестностью нечеткого
множества А, если существует такое открытое нечет-
кое множество Л, что AcAcU.
Теорема 1.1.6 [10]. Нечеткое множество А
Г ♦
Теорема 1.1.6 [10].
открыто тогда и только тогда, когда*оно является
Пусть А я В
окрестностью любого своего нечеткого подмножества.
— два нечетких множества н. т. п.
(А, 7), и пусть A В. Тогда В называется внутрен-
ним подмножеством Л, если А есть окрестность В.
оъединение всех внутренних подмножеств нечеткого
множества А называется внутренностью А и обоэна-
чдбтся А «
?v ’V -Л*’7 ^01* Пусть А — множество
• • п. \л, 1). Тогда нечеткое множество А ° открыто
1.11
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
35
и есть наибольшее открытое подмножество множе-
ства А. Нечеткое множество А открыто тогда и только
тогда, когда А~А°.
Доказательство. Поскольку А° — внут-
реннее нечеткое подмножество Л, то по определению
найдется такое открытое множество Л, что А
Но Л С Л °, и, следовательно, Л=Л°. Поэтому Л° —
наибольшее открытое подмножество множества А,
Если А открыто, то А с А
А — внутреннее открытое подмножество А, Отсюда
утверждение очевидно. Теорема до-
О
поскольку в этом случае
4=Л°. Обратное
казана.
ввел определение нечеткой точки и
помощью локальные свойства н. т. п.
исследовал с его
Нечеткой точкой р в множестве X он назвал нечеткое
множество с функцией принадлежности вида
(ж) —
У при
О’
’О’
называется носителем
нечеткая точка в
X. Тогда говорят [13],
про-
нечеткой точки р.
Пусть р
что р принадлежит нечеткому множеству А (р Е Л), если
р(ж)<р.л(я) для любого х£Х.
Теорема 1.1.8 [13]. Если
извольное множество индексов, то р£А тогда и только
тогда, когда найдется индекс такой, что р£АГ
ПпкАяательство. 1. Ясно, что если р£Ач, то
2. Обратно, пусть р € А и пусть х0
2.	Обратно, пусть р Е А и пусть — носитель не-
четкой точки р. Тогда р>л (^о) = sup (а?0)«
Возможны два улучая:
а)	либо Э i € I, для которого выполнено
. («о) ==	(«О»*
б)	либо ^Ю<ьЮ для любого ieL
3*
36
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. 1
в случае а) имеем p^At, т.е. утверждение тео-
ремы. В случае б) из того, что р£А, получаем
М	Ы = SUP	(го)>
и, следовательно, найдется 10£1, для которого
(а'о) < W’
т. е. в € А<.. Теорема доказана.
Опираясь на введенное определение нечеткой точки,
К. Уонг (131 предлагает следующее понятие сходи-
мости в н. т. п. Пусть рп, и=1, 2,. .
ность нечетких точек в н. т. п. (X, Г) с носителями
п=1, 2 . . . Пусть р — нечеткая точка с носителем
для всех п п0, где п0 — некоторое натуральное
или р„ р,
;ля любого открытого множества А такого, что
р £ А, найдется натуральное число т такое, что
рп £ А при всех п т.
С помощью введенных определений К. Уонг [13]
как наличие счетной
— последователь-
число. Тогда говорят, что рп сходится к р,
если
I
исследовал такие свойства н. т. п
базы, сепарабельность, локальная компактность и др.
Во многих работах, посвященных н. т. п., исследу-
ются также топологические свойства отображений,
изучаются произведения н. т. п. и другие их особен-
ности, которые зачастую не имеют прямых аналогов
в обычных топологических пространствах.
L2. Нечеткие отношения

Как будет видно из последующих глав этой книги,
нечеткое отношение представляет собой важное мате-
матическое понятие, позволяющее формулировать ]
анализировать математические модели реальных задач
принятия решений. Отношение на множестве альтер-
натив, объектов ит. п. в таких задачах выявляется
обычно путем консультаций с лицом, принимающим
решения (л. п. р.), или с экспертами, которые зачастую
не имеют вполне четкого суждения об этом отношении,
подобных случаях нечеткое отношение может служить
«	адекватной реальности формой пред-
л
1.21
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
37
ознакомления
ними.
ставления исходной информации, чем обычное отно-
шение.
В данном разделе нечеткое отношение выступает
как чисто математический объект. Описываемые здесь
свойства и особенности нечетких отношений исполь-
зуются в дальнейшем при анализе различных моделей
принятия решений.
Мы начнем изложение с краткого
со свойствами обычных отношений. Обычное отноше-
ние — более привычный математический объект, и нам
казалось, что свойства нечетких отношений (или, ско-
рее, свойства отражаемых ими реальных отношений)
легче понять, используя их аналогию со свойствами
обычных отношений.
Исходя из потребностей задач, анализируемых в по-
следующих главах, мы ограничимся рассмотрением
лишь бинарных обычных и нечетких отношений, т. е.
отношений, связывающих друг с другом два объекта,
элемента и т. п. Поэтому всюду ниже бинарное от-
ношение мы называем просто отношением. Пе-
рейдем теперь к точному определению этого поня-
тия.
1.2.1. Свойства обычных отношений и операции над
Отношением В на множестве X называется
подмножество декартова произведения ХхХ.
В соответствии с этим определением задать отноше-
ние на множестве X означает указать все пары элемен-
тов, ж, у £ X такие, что х и у связаны отношением В.
Для обозначения того, что элементы хну связаны от-
ношением /?, мы будем пользоваться двумя эквивалент-
ными записями: хВу или (х, у) Е В.
Простым примером отношения может служить отно-
шение «неменьше» на интервале [0, 1]. На приведенном
здесь рис. 1.2.1 это отношение (т. е. все пары х, у Е
€|0, 1], связанные этим отношением) представлено за-
штрихованной областью. Нетрудно видеть, что от-
ношению «равно» в этом примере соответствует по
казанная на рис. 1.2.1 диагональ единичного квад-
рата.	р
Если множество X, на котором задано отношение я,
конечно, то это отношение удобно описывать матри
цёй IIг./||, представляющей собой характеристическую
38
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. 1
X У. X. Элементы этой матрицы

(х{, Xj)£R (или xtRxj),
есл
в противном случае.
г.
—[О
Отношение в конечном множестве X’ можно описать
ЙН
[ины которого соответ-
Рис. 1.2.1.
или *
к вершине Xj проводится в том
и только в том случае,
если
Пусть на одном и том же
множестве X заданы два отно-
шения 4
товом произведении X X за-
даны два подмножества 4 и
В. Множества С=4 (J В и
D=А П В называются соответ-
ственно объединением з
сечением
Нетрудно показать,
t В, т. е. в декар-
отношений А
что
пере-
если

Б = 1М— матрицы этих отношений в случае
конечного множества X, то
Hl
ХхХ
Говорят, что отношение В включает в себя отноше-
ние А, если для соответствующих множеств А

4 = «) и В = (^) — отношения на одном и том же
множестве чисел, то 4 С В. Заметим, что из 4 £ В
и хАу всегда следует хВу.
Если
к 4 отношением называется отношение Л’1 на X такое,
что хА~*у тогда
А — отношение на множестве X, то обратным
только тогда, когда уАх. Если 4 =
=Иа*Л и	1=11а^1| — матрицы этих отношений (в слу-
чае конечного множества X), то элементы этих матриц
связаны соотношением а
чается путем транспонирования матрицы 4.
= т> е- матрица 4“х полу-
НЕЧЕТКИЕ отношения
39
Дополнением отношения R на множестве X назы-
являющееся дополнением множе-
ства ti в декартовом произведении ХхХ. Матрица
дополнения отношения R получается из матрицы от-
ношения R путем замены нулевых элементов единич-
ными, а единичных — нулевыми.
Произведение (или композиция) АоВ отношений
& >|На ^1ножестве % определяется следующим обра-
п только тогда, когда найдется эле-
мени z л, для которого выполнены отношения
xAz и zBy. Элементы матриц отношений С~АоВ, А
и В связаны соотношением
их min [а.к, bkJ,
К
отношения С равна максминному про-
зом: хАоВу тогда
и В связаны
Hi
ч
т. е. матрица ।
изведению*) матриц отношений А и В.
Перейдем к описанию основных свойств отношений.
Отношение R на множестве X называется рефлек-
сивным, если (х, х) £ R (или ж7?х) для любого х (< X.
В матрице рефлексивного отношения все элементы
главной диагонали равны единице. Примером рефлек-
сивного отношения можетУслужить отношение R Qz)
на множестве чисел.
Отношение R на X называется антирефлексивным,
если из того, что xRy, следует х^=у. Все элементы глав-
ной диагонали матрицы такого отношения равны нулю.
Отношение 7? на X называется симметричным,
если из того, что xRy, следует yRx. Матрица симметрич-
ного отношения—симметричная, т. е. го-
такого отношения — неориентированный.
Отношение R на X называется антисимметричным,
если из того, что xRy и yRx, следует х=у. Матрица
•такого отношения обладает следующим свойством:
если i=£k. то
Граф
Lit
вели то u4kaki^\j.
Отношение R на X называется [транзитивным,
если из того, что xRz и zRy, следует xRy. Используя
определение произведения отношений, нетрудно про-
*) В максминном произведении матриц вместо арифмети-
ческих операций сложения и умножения используются опера-
ции гцах и miu соответственно.
40
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
(ГЛ. 1
анзитивность отношения R эквивалентна
? или R2 С R»
замыканием R отношения R на X
верить, что т[	i
УСЛ°Т^нзит^н^\мыканиы R отношения R на X
назЙХя отношение, полученное из R следующим
образом:	j и Я® U • • • U • • •
Тоанзитивное замыкание можно неформально опреде-
X как «наименьшее» транзитивное отношение на X,
«сличающее в себя отношение R. Математически строго
этот факт можно выразить так: для любого отношения
R его транзитивное замыкание равно пересечению
всех транзитивных отношении, содержащих R.
Можно показать (см., например, [18]), что R —
транзитивное отношение тогда и только тогда, когда
оно совпадает со своим транзитивным замыканием,
т. е. когда R—R.
Этим мы завершаем краткий обзор свойств обычных
отношении и переходим к нечетким отношениям. Чи-
тателю, желающему глубже разобраться в свойствах
обычных отношений и познакомиться с отношениями
различных видов, мы рекомендуем обратиться к книге
Ю. А. Шрейдера [18].
1.2.2. Определение нечеткого отношения. В данном
vTдвух последующих разделах описываются лишь об-
щие свойства нечетких отношений и операции над ними.
При формулировке задач принятия решений в гл. 3
мьГбудем опираться на нечеткие отношения предпочте-
ния. К этим отношениям применимы все вводимые здесь
операции, и они обладают описываемыми здесь свой-
ствами. Вместе с тем, составляя отдельный класс,
нечеткие отношения характеризуются рядом особен-
ностей, которые делают их удобным инструментом для
анализа задач принятия решений. Представляется
более целесообразным описывать характерные свой-
ства нечетких отношений предпочтения в ^контексте
задач принятия решений, :
рассмотрение до гл. 3.
Изложение мы будем вести примерно в том же
порядке, что и выше в разделе, посвященном обычным
отношениям, но несколько подробнее. При этом легче
сопоставлять друг с другом свойства тех
Представляется
и поэтому мы отложил;
их
г
других ОТ~
1.2]
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
41
ношении и легче понять смысл операции над нечеткими
отношениями.
Если вспомнить, что обычное отношение определя-
ется как подмножество декартова произведения, то
становится ясным, что переход (обобщение) от обычного
отношения к нечеткому в принципе тот же, что и пере-
ход от обычного множества к нечеткому. Описание не-
четкого отношения должно включать в себя не только
указание всех пар элементов исходного множества,
связанных этим отношением, но и числа из интервала
[О, 1], отражающие степени выполнения нечеткого
отношения для этих пар. Для описания отношения
необходимо указывать и множество, на котором оно
определено. Само это множество может быть нечетким
(описано нечетко), причем в нечетком множестве может
быть определено и обычное отношение. В данном и
двух последующих разделах мы ограничимся рассмот-
рением нечетких отношений в обычном множестве.
О п р е д еление 1.2.1. Нечетким отношением
R на множестве X называется нечеткое подмножество
декартова произведения X X X, характеризующееся
функцией, принадлежности	X х X -> [О, 11*. Зна-
чение (ж, у) этой функции понимается как субъек-
тивная мера или степень выполнения отношения xRy.
Обычное отношение можно рассматривать как ча-
стный случай нечеткого отношения, функция принад-
лежности которого принимает лишь значения 0 или 1.
Здесь представляется уместным привести пример,
иллюстрирующий принципиальное различие обычных
и нечетких отношений. Для этого лучше всего рассмот-
реть два «похожих» отношения на одном и том же
интервале [0, 11, причем одно из этих отношений обыч-
ное (четкое), а другое нечеткое. В качестве обычного
отношения возьмем отношение R (^), л в качестве
нечеткого отношения возьмем отношение R (^>)
(«много больше»).
На приведенном здесь рис. 1.2.2, а пары (ж, у) из
интервала [0, 11, связанные отношением R (т. е. ж, у
такие, что ж у), образуют множество, показанное
*) Нечеткое отношение может описываться и функцией при
надлежиости более общего вида. По этому поводу см. п. . . •
качестве
*2
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. 1
[иагональ единичного квадрата является
гпанипеи множества: все пары (ж, у), находя-
Х^эа этой диагональю (вне штрихованной области),
не связаны данным отношением.
В случае же отношения R ситуация
кма того что понятие «много больше» является нечет-
ким. Пытаясь построить соответствующее отношению
R подмножество единичного квадрата, мы обнаружим,
что в этом квадрате есть пары (я, у)> которые мы опре-
штриховкой. J
границей этого
ВСЯ 83
lit'J
сложнее
Рис. 1.2.2.
деленно относим к подмножеству R (т. е. считаем пары
(х, у) связанными отношением Я), и пары, которые мы
считаем определенно не входящими в это подмножество
(т. е. считаем не связанными отношением R). Так, на-
пример, можно считать, что Xj—0,9 определенно много
больше —0,001, т. е. xr >> yv С другой стороны,
ясно, что для х3=0,8 и уа=0,6 можно столь же опре-
деленно записать х
ностз	а___
Вместе с тем, если сравнить пару х8=0,9, уа=б,2 с парой
х4==0,9, ^4=0,3, то можно сказать, что отношение (^>)
в большей степени приложимо кпаре(х8, у8), чем к паре
(«<1 У^'
Таким образом, существует некоторая промежуточ-
ная область перехода от пар,
(>*) определенно выполняется, к парам
-М. _____ •
(ж, у) из этой области можно приписать степени выпол
нения данного отношения или субъективные оценю
зависящие от смысла, вкладываемого в понятие «много
оольше» в контексте той или

р2. Однако подобной определен-
иет в отношении, скажем, пары х3=0,9, р3=0,2.
х4—0,9,	0,3, то можно сказать, что отношение (^>)
(«<> У^
I—
ная область перехода от пар
отношение определенно не выполняется, причем парам
для которых отношение
"ля которых это

иной ситуации
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
43
но элементами ее могут быть
ела из
На рис. 1.2.2, б отсутствие четкой границы множества
S показано изменением плотности штриховки.
Если множество X, на котором задано нечеткое от-
ношение R, конечно, то функция принадлежности р.й
этого отношения представляет собой квадратную мат-
рицу. По смыслу эта матрицы аналогична матрице
обычного отношения
не только числа 0 или 1, но и произвольные <
интервала [0, 11. Если элемент r.j этой матрицы
равен а, то это означает, что степень выполнения от-
ношения xflxj равна а.
По аналогии с обычным отношением нечеткое от-
ношение можно описать и ориентированным графом
(нечетким графом), каждой дуге которого приписано
число из интервала [0, 1]. С некоторыми свойствами
нечетких графов можно ознакомиться по книге А. Коф-
мана [19].
Носителем нечеткого отношения R на множестве X
называется подмножество декартова произведения
suppfl = ((x, у)|(х, у)£ХхХ, Рд(х, у)>0}.
Носитель нечеткого отношения можно понимать как
обычное отношение на множестве X, связывающее
все пары (ж, у), рдя которых степень выполнения дан-
ного нечеткого отношения не равна нулю. В случае
конечного множества X матрицу носителя можно полу-
чить, заменив в матрице исходного нечеткого отноше-
ния единицами все ненулевые элементы.
При анализе задач принятия решений с нечеткими
отношениями удобно пользоваться множествами уровня
нечеткого отношения. Поскольку нечеткое отношение
определяется как нечеткое множество, то и его множе-
ства уровня определяются как в п. 1.1.2, т. е.
е.
Нетрудно видеть, что множество уровня а
отношения R на X представляет собой обычное отно-
шение на X, связывающее все пары (х, у), для к ₽
степень выполнения отношения R не ме°““® в мат_
множества уровня а можно получить, заменив в мат-
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. 1
— все остальные эле-
л г^ггтлттгптшя R единицами все элементы,
ряде нечеткого отно	мя _ все остальные эле-
не меныпие числа а, и нулями
менты.	пггттпптрния по множествам
DnoTrnwpHne нечеткого отношении ни
»=•«“ —•нм
кого множества (л. 1.1.3).
П пиме р 1.2.1. Пусть матрица нечеткого отношения В
на множестве	ха, х8, х4) имеет вид
х3
*з
0.3
0
1
0,5	0
1	1
0,6	0.5
0,7	0,3
0,2
0.4
0,1
0
Тогда матрица обычного отношения, являющегося множеством
уровня 0,5 этого нечеткого отношения, выглядит так:
над
нечеткими отношениями.
1.2.3. Операции
Перейдем теперь к рассмотрению операций над нечет-
кими отношениями. Некоторые из этих операций яв-
ляются аналогами соответствующих операций для обыч-
ных отношении, однако, как и в случае нечетких мно-
жеств, существуют операции, характерные лишь для
нечетких отношений. Заметим, что так же, как и
в случае нечетких множеств, операции объединения и
пересечения нечетких отношений (и операцию произ-
ведения) можно определить различными способами.
Пусть на множестве1 X заданы два нечетких отноше-
ния А и В, т. е. в декартовом произведении X X X за-
даны два нечетких множества А и В. Нечеткие. мно-
жества С=А U В и D—A П В называются соответ-
ственно объединением и пересечением нечетких отноше-
ний А и В на множестве X. Если воспользоваться
112)
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
45
первыми из приведенных в п. 1.1.2 определений объеди-
нения и пересечения нечетких множеств, то для функ-
ции принадлежности отношении С и D получаем
У) = тах(х, у), ^(х, у)},
У) — min {Ид(х, у), у.в(х, //)}.
Говорят, что нечеткое отношение В включает в себя
нечеткое отношение ?1, если для нечетких множеств А
и В выполнено А С В, Для функций принадлежности
этих множеств неравенство р.л(я, у)^рв(х, у) выпол-
няется при любых ж, у £ X. В рассмотренном выше при-
мере отношений (^) и (^>) нечеткое отношение R содер-
жится в отношении Я, т. е. должно быть ^R(x, у)^
У) Для любых чисел х, у из интервала [0, 1].
Если В — нечеткое отношение на множестве X, то
нечеткое отношение Я, характеризующееся функцией
принадлежности
P-R'fa y) = i
— v-n (-а у)> у G к*
называется дополнением в X отношения R. Дополне-
ние имеет смысл отрицания исходного отношения.
Например, для нечеткого отношения R=(лучше) его
дополнение R' (не лучше).
Обратное к R нечеткое отношение Я"1 на множестве
X определяется следующим образом:
xR 1yoyRx
ух, у£Х,
или с помощью функций принадлежности:
Рв-С®’ У)~?я(У’ ж) Vs, у£х-
Важное значение в прикладных задачах имеет про-
изведение или композиция нечетких отношений. В от-
личие от обычных отношений, произведение нечетких
отношений можно определить различными способами.
Здесь мы приведем некоторые из возможных определе-
ний этой операции.
Определение 1.2.2. Максминное произве-
дение А оВ нечетких отношений А и В на множестве X
характеризуется функцией принадлежности вида
Рл.в(ж> у) = sup min {р.д (ж, *), I*e(z, </)’.
Максминное произве-
4
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
I
1ГЛ./1
В случае конечного множества X матрица нечет-
кого отношения А о В равна максминному произведению
матпип отношений А и В, т. е. получается с помбщью
г	“	------<а произведения обычных
тех же операции, что и мат
отношен:
Определение
дение нечетких отношении А и л на А определяется
функцией принадлежности вида
П'Л1
1.2.2а. Минмаксное произве-
?Л.В (Х> V) — inf max (*» z)> Pa (*» »))•
Отметим, что интересное сравнение свойств нечет-
ких автоматов, основанных на максминном и минмак-
сном произведениях нечетких отношен:
боте У. Уи и К. Фу [20].
Определение 1.2.26. Максмулътипликатив-
ное произведение нечетких отношении
ется функцией принадлежности вида
имеется в ра-
i А и В определя-
Рл.в(х> у) = sup (рл (*> z) х Рл(г, у)).
*ех
для сравнения друг с другом введенных операций
произведения приведем простой пример произведения
“ А и В на конечном множестве X, состоящем
отношен
из двух элементов.
Пример 1.2.2.
в
0,5 0.7
л.в
0,3
0,3
0,18
0,25
Максминное
0,5/ произведение
0’Л Минимаксное
0,7/ произведение
Максмультиплика-
0,8/ тивное произведение

4
Г
Проекции нечеткого отношен
f г. J
ше пояснить смысл
к рассмотрен-
отношения R
IX отношений [5].
в оппвнАлППИИ ___ «.	----я иг₽ают важную роль
панной квит Р ®яий задач, рассматриваемых в гл. 4-
данной книги. Для того чтобы луч
homv т^ЯТИЯ’ ВНОвь обратимся
ному выше примеру обычного
(см. рис. 1.2.2, а).
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
^Выберем некоторое число у и рассмотрим множество
всехх чисел х из интервала [0, 1] таких, что х"^ у
(рисЛ 1.2.3), т. е. множество вида R (у)={х |х^у).
ДЛя фиксированного у £ (0, 11 множество R (у)
образовано всеми числами из
меныпими у. Объединение всех
таких множеств но всем у £
£ [0, 1} называется первой
проекцией /?(1) отношения R,
интервала {0, 11, не
9
Рис. 1.2.3.

R™ = и Щу)-
veto, J]
Множество обладает тем
свойством, что для каждого
его элемента х найдется та-
кой элемент у, что xRy (в дан-
ном примере х у).
Если аналогичным образом ввести
множества вида
R («) = {у I xRy)
и взять их объединение по
всем х£Х, то получим


Рис. 1.2.4.
9
вторую проекцию /?са) отношения Rt
/?<а,= U ВД-
Для любого элемента y£R{*} найдется такой элемент
я£Х, что Х^У (® данном примере
48
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
[гл.

В приведенном примере первая и вторая проекции
отношения R (» совпадают со всем интервалом [О, ДI,
т. е. 2?и,=Я(а,=Ю, 1L Более общий случаи иллюстри-
руется рис. 1.2.4.	/
Легко проверить, что декартово произведение
/?11) Xl?f2) представляет собой наименьшее прямоуголь-
ное множество, содержащее R.	\
Вернемся к нечетким отношениям. Пусть R — не-
четкое отношение на множестве X с функцией принад-
лежности рл(я, у). Для произвольного у £ X нечет-
кое множество R (у) представляет собой нечеткое мно-
жество элементов х множества X, связанных с выбран-
ным у отношением R. Функция принадлежности этого
множества имеет вид (я, у), где у — фиксированный
элемент множества X.
Например, для нечеткого отношения R= (близко к),
заданного на числовой оси, множество R (у) можно
понимать как нечеткое множество чисел, близких к вы-
бранному числу у.
Объединение нечетких множеств R (у) по всем
У 6 Л называется первой проекцией RkV нечеткого
отношения R.
Согласно определению (первому) операции объеди-
нения нечетких множеств функция принадлежности р-яр)
имеет вид
— фиксированный
•те
Няо) (ж) = sup Р* (х, у}, х£Х.
Вторая проекция R{2i нечеткого отношения R опре-
деляется аналогичным образом:
Рлс») (у) ~ sup цд (®, у),	у£Х.
«ех
_ »	***---« а л — декартово произведение пер-
_ ЯИ „ВТОР°Й проекций нечеткого отношения R, ioR с
надлежности декарто
жеств (п. 1.1.2);
из 0ПРеДеления функции при-
произведения нечетких мно-
•I
V) = min {sup*	(ж, y>}t ^ру.я(х',у)^
1.2]
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
49
множестве г-Л.'3 „Пусть матРиЦ» нечеткого отношения R
надмножестве Л- {х1, х2,	ж4} имеет вид
I
я2
0,3
о
0.5
0.3
0.4
0.6
0,5
0,6
0,2
0.1
Тогда функции принадлежности первой и
отношения таковы:
второй проекций этого
X
Гд(1) (я)
Г-д(2) (Ж)
0,6
0,5
0,5	0,6	0,7
0,7	0,6	0,6
1.2.4. Свойства нечетких отношений.
ь.
Нечеткое отношение R
на множестве X называется рефлексивным, если для
любого х С X выполнено равенство
х)=1.
В случае конечного множества X главная диагональ
матрицы рефлексивного нечеткого отношения R со-
стоит целиком из единиц. Примером рефлексивного
нечеткого отношения может служить отношение «при-
мерно равны» в множестве чисел.
Антирефлексивность. Функция при-
надлежности антирефлексивного нечеткого отношения
обладает свойством
М®. х) = 0
он
при любом х £ X. Антирефлексивно, например, отно-
шение «много больше» в множестве чисел. Ясно, что
дополнение рефлексивного отношения антирефлексивно.
Нечеткое отношение R
на множестве X называется симметричным^ если для
любых х, у X выполнено

авенство
Р*д(®» f/)==: Ня ®)“
Матрица симметричного нечеткого отношения, задан-
ного в конечном множестве, симметричная. Пример
4 G. А. Орловский
50
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
отношение
симметричного нечеткого отношения
«сильно различаться по величине».
Антисимметричность. Функция при-
надлежности антисимметричного нечеткого отношения
обладает следующим свойством:
М®’	ж)=°-

Это свойство можно описать и следующими двумя экви-
валентными способами:
рл(я, у) х Ря(у, х) — 0 ух, у Е X,
tnin^(ar, у), рв(у, я)| = 0 ух, у£Х.
Антисимметричным, например, является нечеткое отно-
шение «много больше».
Заметим, что не всякое нерефлексивное (несимме-
тричное) отношение является антирефлексивиым (анти-
симметричным).
Транзитивность. Нечеткое отношение Я на мно-
жестве X называется транзитивным, есл
Из этого определения видно, что свойство транзи-
тивности нечеткого отношения зависит от способа опре-
деления произведения нечетких отношений. Если обо-
значить через Я® 7?2 и максминное, минмаксноё
и максмультипликативяое произведения отношения R
само на себя (см. п. 1.2.3), то нетрудно убедиться в том,
что R* С Д2 С RI. Действительно, при любых х, у, z f X
выполняются неравенства
max (z. zk u_(z. nW ">min	.. .Al

из которых и вытекают соответствующие включения.
Если к слову транзитивность приписывать назва-
ние соответствующей операции произведения нечетких
’ /то пол^мм: (минмаксная транзитив-
ность it) (максминная транзитивность R) => (ма-
ксмультипликативная транзитивность R). Иными сло-
макснЛ^Ч™КОе отношение> обладающее Ьвойством мин-
nnvY пп« Ранаитивности, обладает транзитивностью w
Д У других типов, а отношение, обладающее максмуль-

1.2]
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
51
•1
типликативнои транзитивностью, может, вообще го-
оря, и не быть транзитивным в двух других смыслах
Для обычного отношения, т. е. в случае, когда функ-
ция р-д принимает лишь значения 0 и 1, максминная и
максмультипликативная транзитивности эквивалентны
обычной транзитивности отношения.
Всюду ниже под транзитивностью нечеткого отно-
:ения мы будем понимать максминную транзитивность,
т. е. считать, что при любых х, у £ X функция при-
надлежности транзитивного нечеткого отношения R
на множестве X удовлетворяет неравенству
м*’ У} > sup min {рй (ж, z), pK(z, J/)}.
II
Транзитивным, например, является рассматривав-
шееся выше нечеткое отношение R (>>).
В качестве упражнения можно проверить транзитив-
ность нечеткого. отношения с
матрицей вида
0.4
0,3
0,6
о
о
0,4
О
О
R нечет-
Транзитивное замыкание
кого отношения R определяется по аналогии с обыч-
ными отношениями:
л=яия2и-.- идя---
Вводя транзитивное замыкание, необходимо, как и
выше, указать способ определения операции произ-
ведения нечетких отношении.
Нетрудно проверить, что транзитивное замыкание
представляет собой транзитивное нечеткое отношение
и что транзитивное нечеткое отношение совпадает со
своим транзитивным замыканием.
Вычисление транзитивного замыкания ^четкого
отношения -------- -
множество X состоит ив небольшого числа эл®ме“™®;
Примеры"* таких вычислений можно наитг
А. Кофмана [19].
довольно утомительное дело, даже есл
4
л
в книге
4*
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
£гл. i
52
1.3. Отображения нечетких множеств
1.3.1. Принцип
принятия решении
V, описывающее функцио-
с U есть реакция данной системы на выбор

обобщения. Во многих задачах
возникает необходимость расши-
рГоХстГопределения X заданного отображения
S отношения, включив в нее наряду с элементами
множества X произвольные нечеткие подмножества
этого множества.	у*т
Пусть, например, на мно®^™е Управлении^за-
дано отображение /: U 17	17"
нирование управляемой системы. Обраа v=f (и) управ-
летая и 6 U есть реакция данной системы на выбор
этого управления. Если выбранное управление описано
нечетко, например, в форме нечеткого подмножества
р, (и) множества управлений £7, то для нахождения
реакции системы на такое управление необходимо опре-
делить образ р (и) при отображении f. Иными словами,
необходимо расширить область определения этого ото-
бражения на класс всех нечетких подмножеств мно-
жества U.
Как будет видно из дальнейшего, аналогичная про-
блема расширения области определения нечеткого от-
ношения возникает в анализе общей задачи нечеткого
математического программирования.
Способ расширения области определения отображе-
ний на класс нечетких множеств и называется ниже
принципом обобщения. Важное значение принципа
обобщения еще и в том, что он позволяет обобщить опе-
рации, введенные для нечетких множеств типа 1, на
нечеткие множества типа 2, 3 и т. д. (см. определение
в п. 1.1.1).
Л. А. Заде [51 предложил следующий принцип обоб-
щения, в основе которого лежит определение образа
пт^к«К0Г0 мно®ества при обычном (четко описанном)
отображении. Пусть ср: X -* Y —
пусть А —
множества X с функцией
заданное отображе-
некоторое нечеткое подмножество
A *F -принадлежности р«А ($)• .
обраТ’Л™обобщен:
попмножйетпг?Т°бРажении ‘f определяется как нечеткое
SS ГУ• "Редо~щео ообо»
(р)) == (ф (я),	(ty, д. £ Х>
ние,
f,
образ А при отображен
7
ОТОБРАЖЕНИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
53
где	Y -* [0, 1] функция принадлежности образа.
Нетрудно понять, что функцию принадлежности ji
можно записать в виде	в
M.V) = sup ji (ж),	(1.3.1)
где множество <p 1 (у) для любого фиксированного
п
Та е. представляет собой множество всех элементов
ж X, образом каждого из которых при отображении
(р является элемент у, В работе [5] демонстрируются
разнообразные примеры использования принципа обоб-
щения в форме (1.3.1).
Применим теперь принцип обобщения в форме
(1.3.1) для расширения области определения нечеткого
отображения. Необходимость в рассмотрении нечетких
отображений может возникать, например, при анализе
задач принятия решений, в которых результат выбора
конкретного элемента из множества альтернатив изве-
стен нечетко, т. е., например, описан нечетким множе-
ством в универсальном множестве исходов. В задаче
управления этому соответствует случай, когда нечетко
описано функционирование управляемой системы.
Нечеткое отображение можно описать как отобра-
жение, при котором элементу х f X ставится в соот-
ветствие не конкретный элемент множества К, а, во-
обще говоря, нечеткое подмножество множества Y.
Описывается нечеткое отображение функцией вида
XxY -> [0,1] так, что функция (х0, у) (при фик-
сированном х=х0) есть функция принадлежности нечет-
кого множества в К, представляющего собой нечеткий
образ элемента при данном отображении.
Например, в случае управляемой системы нечеткое
множество (х0, у) можно понимать как нечеткое
описание реакции этой системы на воздействие (управ-
ление) х0.
Итак, пусть	XxY [0-, 11 — заданное нечет-
кое отображение, и пусть (х) — заданное нечеткое
множество в X. Если применить принцип обобщения
54
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
1ГЛ. 1
вообще говоря, не-*
7
в Форме (1.3.1) для нахождения образа этого нечеткого
множества при отображении то получим совокуп-
ность пар вида
(М®’ Мж)), Х£х’
—
где (х (х, у) при каждом фиксированном х £ X (т. е.
в каждой такой паре) представляет собой нечеткое
подмножество множества У. В результате получаем,
что образ нечеткого множества в данном случае
представляет собой весьма сложный объект: нечеткий
подкласс класса всех нечетких подмножеств множества
У. Ясно, что использование подобных объектов в ана-
лизе реальных систем весьма затруднительно.
Имея это в виду, мы введем здесь принцип обобще-
ния в другой форме, положив в его основу определение
образа нечеткого множества пр;
четком отображении.
Определение 1.3.1. Образом В нечеткого мно-
жества А в X при нечетком отображении XX У -*
[0, 1] называется нечеткое множество с функцией
принадлежности вида
Рв (у)=sup min (ж),	у)}.	(1.3.2)
л £ X
Заметим, что если понимать как нечеткое унар-
ное отношение на множестве X, то легко видеть, что
в основе этого определения образа лежит введенное
выше (и. 1.2.3) максминное произведение (композиция)
нечетких отношений и
Нетрудно проверить, что в частном случае, когда
— обычное отображение вида у: X -> У (т. е. (ж, у) =
= 1 при у = <р(я) и	р) = 0 для остальных пар х, у),
определение 1.3.1 дает
= sup р. (Ж),
что соответствует приведенному выше определению об-
раза при обычном отображении, лежащему в основе
принципа обобщения Л. А. Заде.
Во многих случаях заданное нечеткое отображение
может зависеть от п переменных, т. е. иметь вид
и»
ычном отображении, лежащему в основе
1
1.31
ОТОБРАЖЕНИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
55
1 J ”	"iz-. ... ая — декартово про-
изведение соответствующих множеств. Пусть в мно-
жестве X задано нечеткое подмножество ц В общем
случае функция принадлежности этого подмножества
имеет вид
где t** v — -1» • • •» и v' —заданные нечеткие подмно-
жества соответствующих множеств X. (f = 1,..., п) и X.
Запись (1.3.3) означает, по сути дела, что множество
есть «совокупность» всех наборов arv .... хп таких, что
xi «принадлежит» нечеткому множеству [i- (i = 1,..п)
[xv . -хп) «принадлежит» нечеткому множеству v.
Применяя в этом случае принцип обобщения в форме
(1.3.2), получим следующее выражение для функции
принадлежности образа нечеткого множества
H's (У) = SUP
(Л1».. •хп) G-^
и
min(.rj,	(а;,,),
Dpi гведем пример применения принципа обобщения
в форме (1.3.4) для расширения области определения
арифметической операции сложения на класс «нечетких
чисел», т. е. на класс нечетких подмножеств числовой
оси.
Операция сложения в множестве чисел R1 представ-
ляет собой отображение ф: R1 X Я1-* Я1, ?(rv г2) = г=
Л “	_-_«а
ра назовем образ пары (рр р-2)
— Г1“ЬГ2* Пусть р.х, ра: Я1-* [0, 1] Два «нечетких
числа». Суммой р-Е —НпкНа назовем образ пары (р-р р >)
при отображении <р. С помощью равенства (1.3.4) полу-
чаем
ps(r)= sup minfUiOi)» M's)}-	(1-З.а)
В частности, если и представляют собой интер
валы [а1# fej и [аа, 6J, то из (L3.5) получаем
56
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. 1
спользуя принцип обобще-
г
принадл ©ясности.
В п. 3-3-2 подробно обсущдается обобщение на класс
нечетких множеств заданного нечеткого отношения пред-
почтения.
1.3,2. Прообраз нечеткого множества. Введем теперь
определение прообраза нечеткого множества при нечет-
ком отображении, а затем,
ния (1.3-2), найдем явное выражение для его функции
принадл ©ясности.
Определение 1.3.2[21]. Прообразом А нечет-
кого множества В в Y при нечетком отображении р.?:
X X Y [0, 1] называется объединение всех нечетких
мноясеств, образы которых при этом отображении при-
надлеясат (являются подмножествами) нечеткому мно-
жеству В.
Если образ нечеткого множества а при отображе-
нии p.f обозначать как аор.^, то в соответствии с опре-
делением 1.3.2 прообразом нечеткого множества В
является объединение всех множеств о, удовлетворяю-
щих условию
ао^СБ
или, согласно принципу обобщения (1.3.2), условию
sup min (р.в (I),	(X, У)}	(у) уу е Y. (1.3.6)
Явное выражение для функции принадлежности про-
образа определяется приведенной ниже теоремой 1.3.1.
Введем множества
N~{^, у)1(*. у)£Х X У,
= {у IУ € У, (х, y)£N),
Nv={x\x(.X, (х, y)£N),
Х°={х\х£Х, Nx^$}.
гр	.
нечетко? Zвве^енных выше обозначениях
нечеткое множество А (прообраз множества В) описы-
вается функцией принадлежности
(*) =
inf
М.'/)
при х£Х°,
при х£Х\Х°.
1.3]
ОТОБРАЖЕНИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
м сначала, что не-
в_УтвеРжДении тео-
т. е. что нера-
, что
Нд (у)-
четкое множество А, определенное
ремы, удовлетворяет условию Aon с'р
венство (1.3.6) выполняется при любом «с у.
а)	Пусть элемент y£Y таков, что Ns^ 0. Допустим
что найдется элемент x£Ns такой j y ммчустим,
rain { inf (у),	(г,
& зс
Поскольку х 6 Ns, то и у £ Ns, и следовательно, не-
равенство
невозможно, т. е. невозможно неравенство (1.3.7).
б)	Для гиу таких, что Ns^0 и 3$NS, неравен-
ство (1.3.7) также невозможно, поскольку при этом
(я, y}$N и, следовательно (cixr. определение множе-
ства 7V),
в)	Бели y£Y таково, что Л^=0, то для любого
х^Х выполнено (ж,	и вновь, как п в п. б),
неравенство (1.3.7) не выполняется ни при каком .т^Х.
Таким образом, получаем, что
min {р.л (.т), р?(.т, ^)}<РдС/)
для всех пар (лг, у) £ X X Y, откуда следует, что нера-
венство (1.3.6) выполняется при любом i/g Y.
2.^ Покажем, что А —объединение всех нечетких мно-
жеств а, удовлетворят	. .
Р — некоторое нечеткое множество в X такое, что Р ф А.
Это означает, что найдется элемент х f Х°, для которого
выполняется неравенство
Ир (®) > Р-л (*)•
При этом из определения 1.3.2 следует, что множество
ЛГд	_
ОН
(их неравенству (1.3.6). Пусть
(1.3.8) можно записать в виде
0 и что неравенст
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
[гл. t
HiS'lD JL П-	- ----
Следовательно, при некотором у € выполнено
p.p(f)> р-я(у). '	(1.3.9)
Далее, поскольку ? € Ль «> (*• 9) € Я, откуда
(1.3.10)
Иа (1.3.9) и (1.3.10) вытекает, что
min((xp(®), |Af(f, 9}}^>Рв(9}
и, следовательно, неравенство
sup min fap (я), рт(аг,
невозможно, т. е.	В. Теорема доказана.
Нетрудно проверить, что если отображение — чет-
кое, т. е, p.f(s, р) = 1 при р = ?(я) и	у) = 0 для
всех остальных пар х,	где <р — отображение (обыч-
Р-Л (х)—Рв (т (х))	V® € х.
Введенное здесь определение прообраза при нечетком
отображении
полнения нечетко определенной цели (п. 2.2.1).
©пользуется ниже в анализе задачи вы-
f отношег
зс
1.4. Соотношение двух подходов
к определению нечетких множеств
До сих пор мы опирались на определение нечеткого
множества как
определение, мы ввели операции над нечеткими мно-
жествами и отношениями. В данном разделе мы обра-
тимся к другому определению нечеткого множества и
покажем, что это определение в определенном смысле
эквивалентно предыдущему.
1.4.1. Нечеткие множества. Пусть X — некоторое
множество в обычном смысле, и пусть 2х — класс всех
обычных подмножеств X, Пусть Ф — класс функций
вида Х->[0, 1], т. 0, класс всех нечетких подмно-
жеств л по определению 1.1.1. Наконец, обозначим Ф*
класс отображений [0, 1]
функции |л: Х->[0, 1]. Используя это
2х. Любой элемент этого
Ml
СООТНОШЕНИЕ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИИ
59
класса ставит в соответствие любому числу af [О Ц
некоторое подмножество множества У. Будем полагать
кроме того, что любой элемент р.* класса Ф‘ облапает
следующими свойствами:
1. otj, «2 £ [0, 1], a* a2 => |i* (с^) CZ р,* (х,).
2. pi* (0) = X.
В данном разделе мы введем операции в классе Ф*,
соответствующие уже введенным выше операциям
в классе Ф, и покажем что эти классы изоморфны отно-
сительно этих операций. Фактически это будет означать,
что определения нечетких множеств как элементов
класса Ф и как элементов класса Ф* равноправны, т. е.
при формализации нечетких
понятии в математических
моделях в принципе можно пользоваться любым пз этих
определений.
Рассмотрим отображение Г. Ф->Ф* вида
I (р) = {рЛ | е Ф*, р>)={г|ябА\р(.т)>а}, «£[0,11}
и покажем, что это отображение взаимно однозначно.
Действительно, однозначность прямого отображения оче-
видна и
ству>
сего
I х: Ф* -> Ф вида
достаточно показать однозначность соответ-
обратного отображения, т. е. отображения
11 (Ю={j* IР- € ф-
I (р)=Р-*} •

Допустим противное, т. е. что найдутся такие рр р-2 С
что и (чбСЧА	Иными словами,
мы допустили, что I (pi) = I (ра) = Р*. т- е- чт0 множества
А* — {# | х 6 А,
А' = {х|хеX, ра(х)>«}
эквивалентны при любом <х £ [0, 1]-
Поскольку Hi =$A Ра» то существует х<> G А таков
Н (®°) ¥• На (*°). Положим для определенности,
Pi (®°) > Ра (*°). и обозначим Н ) = ₽р $ J) -
₽!>₽.. Отсюда получаем, что я® 6	> ж <ГЛ2
жества Л₽-, < не эквивалентны, что противоречит z
допущению, и, следовательно, I
, что
что
, т. е. мно-
данному выше
однозначное отображение.
60
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
(ГЛ. 1
Легко видеть, что отображение I каждой! функции
принадлежности нечеткого множества (т. е. каждому
влементу класса Ф) ставит во взаимно однозначное со-
ответствие совокупность множеств уровня этого нечет-
кого множества (т. е. элемент класса Ф ). Далее для
причем так, чтобы ото-
каждой из введенных в Ф операции мы определим COOT-
ветствующую операцию в Ф*, причем так, чтобы ото-
бражение I было изоморфизмом относительно каждой
такой пары операции.
Пусть Рр Ра 6 Ф и Pi» Рг € ® » причем Pi==: / (Pi) и
р.*—1 (ра). Будем последовательно рассматривать введен-
ные ранее операции над нечеткими множествами и вво-
дить соответствующие им операции г	А
1.	Отношение вложенности.
классе Ф .

где означает, что' |*х (в)	(a?) Vxf X. Доказа-
тельство этого факта не представляет труда и здесь не
приводится.
2. Операция пересечения (по определению 1.1.4).
Пусть р3£Ф такова, что
Р» (г) = min	(х), ра (х)}
Введем р.*: [0, 1]
VxgX.
2х следующим образом:
Рз («) = Р? («) П р; (а)	Уа£[0, 1].
Нетрудно показать, что
а)	Рз€ф*. т. е. р.* удовлетворяет свойствам 1 и 2
в определении класса Ф*;
9 =I (р«).
о. Операция пересечения (по определению 1.1.4а).
Пусть у.3£Ф такова, что
р8 (ж) = И1 (х) (1а (х) Vx е X.
Введем [0, 1] _> 2х вида
U
И* («) =
VaE[0, 1].
а) Покажем, что и!(0)
Pt. Р? 6 Ф‘, то 3 V ’
X. Действительно, так как
и К Фо п р5 (₽3)=(0) п р? (0)=х.
1.41
СООТНОШЕНИЕ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
61
б)	Покажем, что (ах) С pj («Q для любых с^, аа £
£[0, 1], а1^>«2. Действительно, если а2 = 0, то из а)
и того, что pj, p*6®‘, следует р£ (ах) С р* (а2). Если
а2^>0, то
Р-з(а<) = а U Р-1 (Р) П Р*(а/р),	/ — 1,2.
₽6(0, 1]
Тогда при любом р £ (0, 1| получаем
р! (₽) А [4 («i/Р) с pl (р) а -г: (а.,/р),
следовательно, и в этом случае р* (ях) С р* (а2). Таким
образом, мы показали, что р1£Ф*. Покажем теперь, что
р* = /(р3), т. е. что
Р-1 (а) = {-r I * 6 Из (®)>к)	V«6I°. Л-
Пусть х' £ р~ (а), т. е. х' ( (J
чает, что найдутся рр ра £ [О,
Н (Pi) О (М- Это 03на~
1. 8,11, а такие, что
т. е.
или
или
Обратно
пусть х t Iх Iх t л> Из W	х
а. Покажем, что х' £ pj («) Пусть рх (я )j==
Р2, так что ______ t *
А и 3,3, а, следовательно, х £рэ(“)-
Г ж	 fl L JLa	*
а.
Р1 «
Но тогда x'(Ep1(₽i)’ 11
р2 {х ) =
®' € Р-2 (₽L,	____
Таким образом, pl=/(Ps)-	, , о,
4. Операция объединения {по определению 1.1.о).
Пусть рз 6 Ф такова, что
(х) — max {p-i (ar), ha (я)} Ух 6
вида р*(а) = р’(a) U РгС*)*
Введем [л*: [0, 1]~»2
трудно показать, что
a) pg t Ф* ® б) Из '==^ (Нз)*
5. Операция объединения {по определению 1.1.3а).
Пусть р-g £ Ф такова, что
(т {х) = Pj {X) + Р2 (®). всли m (®) <1 ’
4	в противном случае.
Р-8 (®)-----
62
нечеткие множеств
(ГЛ. 1
pj (РОЛЛОМ Va6[0, 1].
Введем [0. И-2* ™да
ь (“)—₽. ЛУ(в> и
МЛ»»
а)	Легко вйдеть, что Ps(O) = ^Q
б)	Покажем, что pj (“i) С р3 (с^) для любых <4. «г 6
fc(о/ i], «1 > «г Действительно, как нетрудно видеть,
й («в)=й (<ч) и (^и 1<в1 К (₽i) П Р5 <ftty

т. е. р* (aj С р* («а)- Таким обРазом, р^ С Ф*.
Покажем теперь, что р£=/(Рз)» т- е- что
р*(а) = {ж|х€X, ps(s)>a}
V«€[0, 1].
Пусть х* £ Рз (а), т. е. найдутся &, ₽а G [О»
такие, что
®'€rf(₽i) или P!(a:')>₽i
a
®'€р£(₽а) и™ Га(®')>
а, сле-
Отсюда, из определения р3 и того, что
дует, что p8(z')^a.
Обратно, пусть р#(ж')^>а. Покажем, что я'£рд(а).
Обозначим р1(а:')=р1 и - z~''—°	----/о \ -
г'€р£(₽а) и, кроме того, +
х Gps(a)- Таким образом, р*=/(р8).
6. Дополнение множества. Пусть р3^Ф такова, что
[ ра (а/)=Р3. Тогда х £ р; (₽х) и
I
Г2
следовательно,
f
iM1) — 1—Pi(x) Узс^Х.
Введем р*: [0, 1] -»2ХхХ вида
Нз (п) — X \ (J
₽6[0,в)
р* (1 — р)
VaG(0, 1],
rf(0)=x.
а)	что р* q (^ для любых a
z1;1 < V Действительно, если а,=0. то р!
U
₽e[«».»d
1.4]
СООТНОШЕНИЕ ДВУХ
ОПРЕДЕЛЕНИЙ
63
Отсюда и из определения р3 следует, что и* (9 1 с~
Таким образом, н*бф‘-
б)	Покажем теперь, что = I (р)> т. чт0
Из(«) = {х |х еX, Р3(а:)>а)	yaG[0, 1].
Пусть а > 0 и х' G u* fa' т.
₽е[0, а)
Это означает, что х' G р* (1 — 0) ни при каком В С 1°, «1,
т. е. при любом р f [0, а] выполнено
ил:
Р1(«')<1—f
4
.Допустим, что 1 — (хг) а. Тогда найдется такое
г \а’ что 1 р-хСг') <р', а это невозможно. Следова-
тельно, 1 — рх (х') а, т. е. р-з (х') а.
Обратно, пусть
Нз(ж)^а}>
а>0,
т. е. р8 (ж') а или рх (х}	1 — а, но тогда при любом
₽ 6 [0, а) выполнено и, (я') < 1 — В. т. е.
х € Л X \ |i* (1 — р) = X \ и
₽6[0,«)	Ре [о, а)
Hl (1 Р)--------Р*з (а)’
то
Таким образом, мы показали, что |i*=Z(ps).
1.4.2. Нечеткие отношения. Символом Ф« будем
обозначать класс функций v: X
лом ф;
ствдми, аналогичными свойствам элементов введенного
выше класса Ф*.
Аналогично предыдущему введем взаимно однознач-
ное отображение Z: Фд
r — класс отображений
Х->[0, 1], а символ
11-> 2ХхХ со свой-
Ф« вида
1 (v)={** Iv* € фя. v* (а)=
= {(х, у)|(«> у)^ХхХ, у(х, у)^а},
«GfO. !]}•
4
Выше в п. 1.2.3 мы определили операцию компози-
ции нечетких отношений как операцию в классе Фд.

[ГЛ. 1
64
НЕЧЕТКИЕ множества
операцию в классе Ф*{
этих one-
Введем теперь соотвотносительно
и покажем, что i
рац?/'« HVCTb v„ v2 G фк и v*’
Итак, пусть 2 v г
<=/W- , Пусть
=sup min (vi (®’ z'
'6X *-гЛ 11-^2
отображения v . [v, i j
1Ы-.	\
* v* £ Фв, причем v* = I (vj,
KW„ такова, что (ж» У)~
у)} У^х- Для любогс
введем
следующие обозна-
чения.	\ / *
v*i(a) = {3>\x^Xf	'
v»2 (а) = {у | У£Х,
Рассмотрим отображение v8. [О»
VaG(O, 1],
V®G[O, 1].
2ZxX вида
VaG(0, 1],
ре[о,
V
С/(а2) ДЛЯ ЛИ)бЫХ “1>
a. В случае а2=03этот факт достаточно очевиден.
2 >0. Тогда, как нетрудно видеть,
Покажем, что v3
a
Пусть a2
П U
₽G [0, »i)
(₽) X
V?, (₽) =
=( п U<i(₽)x
и, следовательно, v* (aj С v* (a2). Отсюда заключаем, что
А 6 Ф«-
Покажем, что v3=/(v3), т. е. что
V» = {(х, у) I (ж, у) G х х х, >8(х, у) > a} V« G [0.
В случае а = 0 этот факт с очевидностью следует из
определения v* и v8. Пусть а>0, и пусть (я/, уг)€^з(а)’
т. е. для любого Р£ [0, а) найдется и£Х, при котором
Е v*l (₽) или
Е (₽) или
Отсюда получаем, что при любом р £ [0, а)
sup min (д', z),
v2(z, у')}
а это означает, что *а(я',
1.4]
СООТНОШЕНИЕ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
65
Обратно, пусть v3(x',	т. е.
sup inin {vx (а/, z),
va(z, /)}>«.
Это означает, что для любого ₽£[0, а) найдется z£X,
при котором
£)>₽
ИЛИ
или
Но тогда при любом РЕ[0, а)
и, следовательно, (х', */')£** (а).
Таким образом, мы показали, что v* = Z(v8), а это и
означает изоморфность классов Фд и Ф« относительно
введенных в них операций композиции.
Пользуясь этим изоморфизмом
ства транзитивности нечеткого
определением свой-
отношения (т. е.
в классе Фд), можно следующим образом определить
свойство транзитивности в Фд: элемент у*£Фд назы-
вается транзитивным, если
п и
₽eio,«)
\2 (₽) £ v* (а)
Va£[0, 1].
*
В заключение этого раздела выпишем пары соответ-
ствующих друг другу операций в классах Ф и Ф*, от-
носительно которых эти классы изоморфны при изо-
морфизме Z.
КЛАСС
Зь
КЛАСС Ф*
1.	Отношение вложенности
Н (*) < Hi
(в) < Р* («)
Vaf[O, 1]

2.	Пересечение множеств
а)
б)
in ((J.J (ж), ц» («)}
Н (») = Н (») Н Iя)
Ц* (в) = Р1 (“) Л Ра (“)
Рз(а)= L1 (р* (₽1)Г)(4 (₽»))
Н («) =
5 С. А. Орловский
*•*66
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
Ггл. 1
3.	Объединение множеств
а)	Р» (*) = тах (И <*)•
б)	М*) =
( т (х) =Pi (х) 4- р-г (х),
_|	т(х)<1
I 1, т (х) > 1
(4 («) ==l4 («)1>з («)
(e,=ft+fcL(^ <₽1)Пг4 (₽г))
4.	Дополнение множества
и (ж)	I р*(«) = ,¥\ и г1*(1_й)
₽G[0,«)	н’
«€(0, 1], р.*(О) = х
5.	Композиция отношений
v3(^. У)^
к = sup min {vj 2),
*2 (г. У)}
8e[0,a) ZQX
Х^№). О>0, V^(O) = X
ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
И ИГРЫ ПРИ НЕЧЕТКИХ
ИСХОДНЫХ УСЛОВИЯХ
2.1. Введение
Во многих случаях задача принятия решений в об-,
щем виде математически может быть описана множе-
ством допустимых выборов (альтернатив) и заданным
на этом множестве отношением предпочтения, которое
отражает интересы лица, принимающего решения
(л; п. р.). Как правило, это отношение бинарное, т. е.
позволяет сравнивать друг с другом лишь две альтер-
нативы, хотя возможны постановки задач и с тернар-
ными отношениями. Собственно задача принятия реше-
ний заключается при этом в выборе допустимой аль-?
тернативы, которая лучше или не хуже всех остальных
альтернатив в смысле заданного отношения предпочте-
ния.
Бинарное отношение предпочтения на множестве
альтернатив может быть описано двумя способами:
в виде подмножества декартова произведения множества
альтернатив само на себя (т. е. как отн
или в форме так называемой
Функция полезности обычно имеет вид отображения
множества альтернатив в числовую ось. Иными сло-
вами, каждой альтернативе эта функция ставит в соот-
ветствие число (оценку альтернативы), причем так,=
что эквивалентным альтернативам соответствуют оди-
наковые числа (значения функции полезности), а из
каждых двух неэквивалентных альтернатив лучшей
приписывается большее число.
Следует отметить, что не всякое отн
почтения и не на всяком множестве альтернатив можно
описать функцией полезности. В некоторых случаях
отношение удается описать не одной, а лишь конечным,
набором функций полезности, причем соответствую»?
щие задачи принятия решений обычно называют мнрго-
5*
5111
»}н
LIE
ункции полезности
ОН
ение пред-
математической ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ГЛ. 2
жлЛ«яльйыми. Вопросам описания отношении пред-
критериальнойи	яости ПОсвящен специаль-
“Гида мтем8’?“ - та,р” «-
ныи раздел р ультаты этой теории достаточно
борна [22].
предпочтения описано в
К
почтения функциям
книге IL Фиш
Ifl
II

II
ункция полезности. Такие задачи мы назы-
Чяпачи принятия решений, в которых отношение
ппелночтения описано в форме функции полезности,
Х„“ают задачами математического программирова-
ния Рациональным решением в таких задачах явля-
ется выбор допустимой альтернативы, на которой
функция полезности принимает по возможности боль-
tee значение.
Нечеткость в постановке задачи математического
программирования может содержаться как в описании
множества альтернатив, так и в описании функции
полезности. В данной главе обсуждаются задачи, в ко-
торых нечетко описано множество альтернатив
*	JL___— — ~л^лнтт/лЛгвтГ	оаттотттг >ЛГТ_Т ТТЛ
четко —
ваем ниже задачами нечеткого математического про-
граммирования (н.м.п.). Анализ более общих задач
с .нечетко описанной функцией полезности опирается
на аппарат нечетких отношений предпочтения, и мы
отложили их рассмотрение до гл. 3.
Анализируя задачи н.м.п. в данной главе, мы будем
опираться на два подхода к определению решения за-
дачи. По первому из этих подходов задача н.м.п. фор-
мулируется как задача выполнения нечетко определен-
ной цели, причем решением задачи считается пересече-
ние нечетких множеств цели и ограничений (допусти-
мых альтернатив). Работа Р. Веллмана и Л. Заде [23],
в которой был изложен этот подход, замечательна еще
тем, что в ней была впервые сформулирована задача
принятия решений на языке нечетких множеств.
В ней же впервые анализировались многоэтапные (ди-
намические) задачи принятия решений при нечетких
исходных условиях методом динамического програм-
мирования. В данной книге этот подход достаточно под-
робно излагается в пп. 2.2Д и 2.2.2. В п. 2.2.1 обсужда-
ется и некоторое обобщение этого подхода на задачи
управления системами, функционирование которых
описано нечетко.
f.
2.21
НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЦЕлН
а также Г. Циммер-
имеет возможность
Интересным и практически важным представляется
применение подхода Веллмана—Заде к анализу и ре-
шению задач нечеткого линейного программирования.
Эти задачи впервые анализировались в работах
К. Негойты и сотр. [8, 24, 25], а также Г. Циммер-
манна и сотр. [26, 27]. Им посвящен § 2.3.
В другом излагаемом здесь подходе к задачам н.м.п.
предполагается, что решения должны выбираться
подобно jroMy, как это делается в задачах многокрите-
риальной оптимизации. При этом считается, что в ре-
шении исходной задачи должны присутствовать все те
и только те альтернативы (не сравнимые между собой
в рамках данной задачи), которые не доминируются
строго никакими другими альтернативами. При подоб-
ном понимании решения л.п.р.
в большей мере использовать свои субъективные пред-
ставления о реальной ситуации, которые не были
формализованы в математической постановке исход-
ной задачи. Подробнее этот подход излагается в § 2.4
данной главы.
Особый класс задач принятия решений составляют
так называемые игровые задачи, в которых результат
принятия решений определяется не только выборами
самого л.п.р., но и выборами его разумных партнеров.
Математическая формулировка подобной задачи опре-
деляется в первую очередь заложенным в ней принци-
пом принятия решений. Ниже в § 2.5 рассматриваются
постановки игровых задач при нечетких исходных ус-
ловиях, соответствующие двум упомянутым выше под-
ходам к решению задач н.м.п. Анализируются два ос-
новных теоретико-игровых принципа: принцип наилуч-
шего гарантированного результата с учетом информи-
рованности игроков и принцип равновесия Нэша.
II
2.2.	Задача достижения нечетко определенной цели
(подход Веллмана—Заде)
2.2.1.	Формулировка и определение решения за-
дачи. Основным в данном подходе к решению рас-
сматриваемой задачи является то, что цели принятия
решений и множество альтернатив рассматриваются
как равноправные нечеткие подмножества некоторого
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАВ trji, 2
-> [0, 1].
Допустим, например, что X — числовая ось. Тогда
т. п. Будем полагать, что
J5
универсального множества альтернатив. Это позволяет
определить решение задачи в относительно простой
форме.	~ „
Пусть X — универсальное множество альтернатив,
т. е. универсальная совокупность всевозможных вы-
боров лица, принимающего решения (л. п.р.). Нечеткой
целью в X является нечеткое подмножество X, которое
мы будем обозначать G. Описывается нечеткая цель
функцией принадлежности : X —> [0, 1].
нечеткой целью принятия решений может быть нечет-
кое множество типа «величина х должна быть примерно
равна 5» или «желательно. чтобы величина х была
значительно больше 10»
присутствующие в подобных описаниях нечеткие поня-
тия вроде выделенных курсивом в предыдущих при-
мерах вполне точно описаны функциями принадлеж-
ности соответствующих нечетких множеств.
Чем больше степень принадлежности альтернативы
х нечеткому множеству цели т. е. чем больше зна-
чение (я), тем больше степень достижения этой цели
при выборе альтернативы х в качестве решения. В этом
смысле нечетким описанием цели в рамках данного
подхода можно считать и функцию полезности в задаче
н.м.п., если нормировать к единице значения этой
функции (см., например, [25]).
Нечеткие ограничения или множества допустимых
альтернатив также описываются нечеткими подмноже-
ствами множества X. В приведенном выше примере
с X—R1 нечеткие ограничения могут иметь, например,
такой вид: «ж должно быть не слишком большим», «х не
должно быть гораздо большим 30» и т, п. Как и прежде,
здесь полагается, что выделенные курсивом понятия
описаны функциями принадлежности соответствую-
щих нечетких множеств, которые мы будем обозна-
чать р0.	r
Более общей является постановка задачи, в которой
нечеткие цели и ограничения представляют собой под-
JL
„Л„Жаства Разл®чных универсальных множеств. Пусть,
выше, X универсальное множество альтер-
И пусть задано однозначное отображение
как и
катив,

2.2]
НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЦЕЛЬ
71
ф -> I, значения которого (элементы множества ТП
можно понимать как реакции некото^Г^Х 2
входные воздействия ж С Y пт, т,«„ F системы на
(э<Ь(Ьектьй пьт^апп»	ИЛИ Как некот°рые оценки
Нечеткая пель соотаетствующих альтернатив,
нечеткая цель при этом задается в виде нечеткого
подмножества универсального множества
(оценок) У, т. е. в виде функции р.с: У-> [О, 1].
Задача при этом сводится к прежней постановке
(т. е. к случаю, когда цель —
л-) следующим приемом. Определим нечеткое
нечеткое подмножество
-	-	— множество
альтернатив обеспечивающих достижение заданной
Р'с- Это множество представляет собой прообраз
цели
нечеткого множества при отображении ср, т.' е. (см.
определение прообраза в § 1.3)
?G (Ж) = P-G (? (Ж))’	Ж
После этого исходная задача рассматривается как за-
дача достижения нечеткой цели при заданных нечет-
ких ограничениях.
Перейдем теперь к определению решения задачи
достижения нечеткой цели. Грубо говоря, решить за-
дачу означает достигнуть цели и удовлетворить огра-
ничениям, причем в данной нечеткой постановке сле-
дует говорить не просто о достижении цели, а о ее до-
стижении с той или иной степенью, причем следует
учитывать и степень выполнения ограничений. В под-
ходе Веллмана—Заде оба этих фактора учитываются
следующим образом. Пусть, например, некоторая аль-
тернатива х обеспечивает достижение цели (или соот-
ветствует цели) со степенью (ж), удовлетворяет огра-
ничениям (или является допустимой) со степенью
(х). 'Twrw полагается, что степень принадлежности
этой альтернативы решению задачи равна минималь-
ному из этих чисел. Иными словами, альтернатива, до-
пустимая со степенью, например, 0,3, с той же сте-
пенью принадлежит нечеткому решению, несмотря на
то, что она обеспечивает достижение цели со степенью,
равной, например, 0,8.
Таким образом, нечетким решением задачи дости-
жения нечеткой цели называется пересечение нечетких
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [ГЛ. 2
множеств цели и ограничений, т. е. функция принад-
XXИ рейв™ Ъ «“«” «”«
рд (х) = min (#)>	(•£)}•	(2.2.1)
Ппи наличии нескольких целей и нескольких
ПР г нечеткое решение описывается ф—™
ограни-
ункцией при-
ЗЕ
15
чен
надлежност
(х) = {р-С1 (ж)> • • - > PG„ (ж)’ Рс, (*)>• • • ’ Рс,„ (ж)} 
Если различные цели и ограничения различаются по
важности и заданы соответствующие коэффициенты
относительной важности целей и ограничении Vy,
то функция принадлежности решения задачи опреде-
ляется выражением
Рг (Х) —
= minp<iPCi (ж)> • • •> \»Pg„(а:)’ viPt*, (®)»* ’ ’ У’и^о,пС3-)}-
В отмеченном выше случае, когда задано отображе-
ние <р множества альтернатив X в множество реакций
или оценок У, а нечеткая цель задана в множестве У,
нам понадобится и следующее эквивалентное приведен-
ному выше определение нечеткого решения.
Пусть G и С — нечеткие множества цели (в У) и
ограничений (в X). Нечетким решением задачи дости-
жения цели G при ограничениях С называется макси-
мальное по отношению вложенности нечеткое множе-
ство D, обладающее свойствами:
1.	DCC (допустимость решения).
2.	cp(D)CG (достижение нечеткой цели), где ср (О) —
образ D при отображении ср.
Пример 2.2.1. Рассмотрим очень простой пример, в ко-
тором Х={1, 2, . .	10), а нечеткие цель G и два ограниче-
ния и С2 заданы таблицей
я | 1	2	3	45	67	8	9	10
Pc t И
0	0,1	0,4	0,8	1*,0	0,7	0,4	0,2	0	0
0,3	0,6	0.9	1,0	0,8	0,7	0,5	0,3	0,2	0
_0.2	0,4	0.6	0,7	0,9	1,0	0,8	0,6	0,4	0,2
2.2]
НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЦЕЛЬ
73
Тогда для решения D получаем
* ] 1	2	3	4 5	6?	8	9 10
М«) 0 0,1 0,4 0,7 0,8 0,7 0,4 0,2 0	0
Словами цель и ограничения можно выразить, например, так
G Ц.х должен быть близким к 5»,
должен быть близким к 4»,
С’2=«ж должен быть близким к 6».
Тогда решение
Dдолжен быть близким к 5».
исполнение которой обеспечивает достижение
Определенное таким образом решение можно рас-
сматривать как нечетко сформулированную инструк-
цию,
нечетко поставленной цели. Нечеткость полученного
решения еть следствие нечеткости самой исходной
задачи. При таком представлении решения остается
неопределенность, связанная со способом исполнения
подобной нечеткой инструкции, т. е. с тем, какую аль-
тернативу выбрать. Различные способы разрешения
этой неопределенности предполагаются, например, в ра-
Один из наиболее распространенных в литературе
способов состоит в выборе альтернативы, имеющей
максимальную степень принадлежности нечеткому ре-
шению, т. е. альтернативы, реализующей
тах|1п(ж) = шахшш (ре(ж), р<7(^)}.
Такие альтернативы называют максимизирующими
решениями. Отметим, что вопрос о выборе конкретных
альтернатив при решении задачи н.м.п. заслуживает
отдельного обсуждения, и мы вернемся к нему в § 2.4.
В заключение данного раздела мы обсудим приме-
нение подхода Веллмана -Заде к задачам н.м.п. с за-
данным нечетким отображением из множества альтер-
натив в множество реакций или оценок [21 ]. При этом
мы будем опираться на введенное в п. 1.1.6 определе
ние прообраза нечеткого множества при нечетком
отображении.
натив
74
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ. 2
д ь j _ универсальное множество альтернатив,
у _ универсальное множество реакций или оценок,
„ TTVPTb задано нечеткое отображение из А в Y, описы-
^ХХУ-» (0, 11 (ом. § 1.3). Кая,-
дой альтернативе ето отображение ставит в соответ-
ствие ее нечеткую оценку.
По аналогии с приведенным выше определением реше-
ем такой задачи достижения нечеткой цели G будем
считать максимальное по отношению вложенности нечет-
кое множество D, обладающее свойствами:
1. D С С (допустимость решения).
2. DcuQG (достижение нечеткой цели), где Z>op.f—
образ D при нечетком отображении
Выше в § 1.3 максимальное по отношению вложен-
нечеткое множество D такое, что Do у.
н:
7
G, было
ноет
определено как прообраз множества G при отображе-
нии Для того чтобы выписать функцию принадлеж-
ности множества D, введем множества (см. § 1.3)
М = {&У)\& У)£Х X Y, y)>^G(y)},

Во введенных обозначениях эта функция принадлеж-
ности имеет вид
1
Ня (*)=
' | inf р-с (у) °ри х € Х°,
( УСА®
х е х\х°.
' 1	при
Далее, в соответствии с определением получаем, что
н четкое решение рассматриваемой задачи имеет вид
М*) = min {рв (ж), рДж)},
m,n {l\’ (ж)» inf рв (х)) при х G Х°,
. . у*х	(2.2.2)
при zex\x°.
бражениа, П^°®е₽ИТь> что если — обычное (четкое) ото-
м*. у)= (1 при у==<с(^
I 0 при У ^4<р(а)),
11в(а:)=
2.2] \
НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЦЕЛЬ
I
МО «XV однозначное отображение X
(Z.Z.Z) принимает обычный
в этом случае (ж) = (? (ж)) и> следовательно;
то решение
вид (2.2.1). Действительно.
При необходимости выбора конкретной альтерна-
тивы в качестве решения задачи можно, например,
выбрать ту, которая с максимальной степенью при-
надлежит нечеткому решению т. е. альтернативу,
реализующую величину тах^(ж). Однако, как уже
отмечалось выше, такой способ выбора нельзя считать
достаточно обоснованным. Ниже в гл. 3 мы вернемся
к анализу этой задачи как частного случая более общей
задачи принятия решений при нечетком отношении
предпочтения и укажем другой способ выбора альтер-
натив, который представляется нам'более обоснованным.
2.2.2.	Многоэтапные процессы^принятия решени
при нечетких исходных условиях. В этом разделе мы
изложим постановку и анализ многоэтапной задачи
принятия решений, описанный Р. Веллманом и Л. Заде
в работе [23].
Рассмотрим задачу управления динамической си-
стемой. Пусть X — конечное множество возможных со-
стояний этой системы и U — конечное множество воз-
можных значений управляющего параметра. Состоя-
ния системы и значение управления в момент времени
/, £=0, 1, . . N—1, будем обозначать xt и щ соответ-
ственно. Функционирование системы, т. е. ее переходы
из состояния в состояние, описывается системой урав-
нений состояния
I'
: си
состояние
£-f-l однозначно определяется ее состоянием j
минированной системой. Если / — отображение X X U
1-1-/	\
Тип системы определяется типом заданного отобра*
жения /. Если f — однозначное отображение Хх U -»
—> X, т. е. состояние системы в момент времени
£-f-l однозначно определяется ее состоянием и значе-
нием управления в момент t, то мы имеем дело с детер-
минированной системой. Если / — отображение X X U-*
—> у где SC — класс нечетких подмножеств множества
X, то мы ]
моем дело с системой, функционирование ко-
76
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [гл. 2
lu
ункцией
тооой описано нечетко, т. е. нечетко описана реакция
гиг теми на управление и(. Если же f - отображение
“ ‘ U где Р — класс распределений вероят-
ности на множестве X, то система называется стоха-
стической.
Ниже мы рассматриваем лишь детерминированные
системы, т. е. системы, для которых отображение /
имеет вид XxU -+Х. Нас^ будет интересовать задача
управления такой системой при нечетких исходных
условиях. Будем считать, что в любой момент времени
t значение управления ut должно подчиняться задан-
ному нечеткому ограничению Ct, которое описывается
нечетким подмножеством множества U с функцией
принадлежности (uz). Выше в п. 2.2.1 уже говори-
лось о возможных интерпретациях нечетких ограни-
чений.
Рассмотрим управление этой системой на интервале
времени от 0 до N— 1. Пусть задана нечеткая цель уп-
равления в виде нечеткого подмножества G$ множества
X, представляющая собой нечеткое ограничение на
состояние системы хл- в последний момент времени N.
Задача, таким образом, заключается в том, чтобы выб-
рать последовательность управлений и0, и-^ . . ик^,
которая «удовлетворяет» нечетким ограничениям и
«обеспечивает» достижение нечеткой цели GN. Началь-
ное состояние системы xQ полагаем заданным
заметим, что нечеткую цель СЛ- можно считать не-
четким подмножеством множества U X ... X U, поскольку
v-- -----
а
состояние Хц можно выразить в виде х№(х и „
решения
хоном RennLnT, о* После этого в соответствии с под-
представить в видеW Не',еткое 1,ецгение задачи можно
^л(ио> • • •> Ux_i)==Tnin 1„	\	,	.	...
• • • хи.ВВДв нечеткого подмножества множества U X • •
^УДб
е. последоватплк^аКСИМИЗИРУющее решение задачи
довательность управлений а
имею
2.2]
НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЦЕЛЬ
77
щую максимальную степень принадлежности
решению\Л, т. е.
Рл (йо> • • •• ^-i) =
нечеткому
ММ- (2.2.4)
Воспользуемся для этого обычной
ского программирования. Запишем
форме:
процедурой динамиче-
(2.2.4) в следующей
Pz> (Ro* • • • > кл -1) — max max min {р0(н0), ...
У 0» • - •» UN—2 UN—1
’ ‘	(КДГ-1), Р%(/(ЖА-1, ИЛГ-1))}.
(2.2.5)
Имеет место следующее просто проверяемое равенство.
Пусть у — величина, не зависящая от и g (uN^) —
произвольная функция Тогда
max min {у, g (u^_r)} = min {у, max g
С помощью этого равенства запишем (2.2.5) в следую-
щей форме:
PjD
*’	max min (p0(u0),..., Р'Лг_2(илг-2)>
...» «ДГ—2 I
UN-1
in {b»_l (^-1),
^ак(.НХК-1, UA’-1))}|
max ]
и
и введем обозначение
«Ч-!	— maX mil1 {^-1 (“Л’-Э,
UN-1

Функция
^gn-i 0^-1)
представляет собой функцию
принадлежности нечеткой цели для задачи управления
на интервале времени от 0 до N— 2, соответствующую
заданной цели G# управления на интервале от 0 до
N — 1. Смысл этой функции можно пояснить следую-
щим образом. Допустим, что в результате выбора каких-
либо управлений п0, .... система перейдет из состоя-
ния х0 в состояние Xn-i, определяемое системой урав-
нений (2.2.3). Тогда, как нетрудно понять, выбором
управления можно добиться максимальной степени
достижения заданной цели, равной	Таким
78
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
’[ГЛ. 2
(xn 1) е(УГЪ максимальная степень достигав-
Gy в случае, когда на N - 2 шаге система
= /(г^-2. ил'-а)’ то ясно» что
(f(xy г un 2)) есть максимальная степень
достижения цели Gy\ случае, когда система оказалась
(после N —2 шагов управления) в состоянии ^_2 и на
АГ—1 шаге было выбрано управление иу_2- Нетрудно
понять, что выбор ujv_2 на TV — 1 шаге следует сделать
так, чтобы обеспечить (с учетом нечеткого ограничения
на ц^_2) по возможности большее значение величины
образом,
I
ния цели
оказалась в состоянии ях-р___
Далее, поскольку Ху-х —-
величина	i (f (xn-2> un-2.
2 шагов управления) в состоянии xn-% и на
I
на дт— 1 шаге следует сделать
т1П (Р-дг-2	^#-2))}*
Введем соответствующее обозначение

и^-г))) •
Величина (xn-z) — максимальная степень достиже-
ния заданной цели Gn в случае, когда на /V — 2 шаге
система оказалась в состоянии а^_2.
Продолжая эти рассуждения для t = N — 3, ..., О,
получим систему рекуррентных соотношений
--f(XN-v> UN-v)‘
(2.2.6)
С помощью этих соотношений мы получаем последова-
тельно (начиная с v = ‘"
Х‘ (^лг—g)> • • •»
(гостоянию и пользуясь уравнениями состояния системы
( • . ), вычисляем в обратном порядке максимизирую-
щие решения
= 1) функции йдг_1 (xN-i), Uy-гХ
о(ло)» а затем по заданному начальному
Ло (^о),
— Ki (/(«о» по))> я2=а2 (/ (/ (я0, я0), йг)), ...
пример изИработыа[23И] °Pacci^n пР°ЦеДУРы решения приведем
Wл. еЛпримем,что ^f0’P™’Рехэтапный процесс управ-
емая система может находиться в пп„Л“омент в₽емени управля-
°а. ««, а параметр уппаилр.шя Д из трех состояпии °1.
г управления ut может принимать лишь два
и»
НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЦЕЛЬ
79
описывается та^лщеТ*1^ ЦеЛЬ управления (ограничение на ж2)
*2
О2
°3
Р-<?2
0,3
0.8
Нечеткие ограничения на управления в моменты i=0 и 1=1
имеют вид
“о
t = 0: ------
«2
“1
а2
Fi (“1) t0
Переходы системы из состояния в состояние описываются матри-
цей (отображение /):
О2
°з
ci
Применим теперь рекуррентные соотношения (2.2.6) для ре-
шения задачи. Для 1=1 получаем
*1
О2
Оз
^(^1)/ 0,6
0,8
а соответствующая максимизирующая функция имеет вид
о»
U1 («1)
«2
«2
80
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММ ИРОВАНИЕ
Далее, на следующем
Mt
are j=o получаем
0,8 0.6
а соответствующая максимизирующая
МД
0.6
функция имеет
вид
цо (^о)
а2
«ц ИЛИ а2
или ct2

о

3
опустим теперь, что начальное состояние системы (т. е. состоя-
ние при t=0) Тогда соответствующее максимизирующее
ение исходной задачи имеет вид й0= а2» ui= ai, причем это
решение обеспечивает выполнение цели G2 со степенью 0,8.
В работе [23] описанный подход применяется также к ана-
лизу задач управления стохастической системой с фиксирован-
ным конечным моментом времени N и детерминированной систе-
мой с заданным множеством допустимых конечных состояний
системы.
Подход Веллмана—Заде опирается на возмож-
ность симметричного описания множеств цели и огра-
ничений в виде нечетких подмножеств одного и того же
универсального множества альтернатив. Это позволяет
определить решение задачи в довольно простой форме,
как описано выше. Однако в дальнейшем мы увидим,
что не всякую задачу принятия решений удается сфор-
[ение задачи в довольно простой форме
цуп
мулировать в виде задачи достижения нечетко опреде-
в связи
задач принятия решений
леннои цели, описанной в форме нечеткого множества,
с чем ниже рассматриваются и другие подходы
и постановки задач принятия решений.
последующих разделах этой главы мы рассмотрим
задачи, которые можно классифицировать как задачи
нечеткого математического программирования. Некото-
Пдтт™ ЭТИХ удается Рассмотреть в рамках подхода
т=Т^3аДе’ другие - свести к задачам в более
книги И постановке> рассматриваемым в гл. 4 этой

2.3]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ
Прежде чем перейти к рассмотрению различных
нечеткого математического программирования,
задач нечеткого математического программирования
мы приведем в следующем разделе их краткую классик
фикацию. \
2.3.	Классификация задач
нечеткого математического программирования
Стандартная задача математического программи-
рования формулируется обычно как задача максими-
зации (или минимизации) заданной функции на задан-
ном множестве допустимых альтернатив, которое опи-
сывается системой равенств или неравенств. Например,
т, х f X,
ЗЕ
II
где X — заданное множество альтернатив, /: X -> 2?1 и ср:
X —> 7?1 — заданные функции.
При моделировании в такой форме реальных задач
принятия решений в распоряжении исследователя-ма-
тематика могут оказаться лишь нечеткие описания
функций / и ср, параметров, от которых зависят эти
функции, да и самого множества X. Подобное нечеткое
описание ситуации принятия решений может, например,
отражать недостаточность информации об этой ситуа-
ции или служить формой приближенного описания си-
туации, достаточного для решения поставленной задачи.
Более того, в некоторых случаях точно описанное мно-
жество ограничений (допустимых альтернатив) может
оказаться лишь приближением реальности в том смысле
что в реальной задаче, лежащей в основе математиче-
ской модели, альтернативы вне множества ограничений
могут быть не допустимыми, а лишь в той или иной сте-
пени менее желательными для лица, принимающего
решения, чем альтернативы внутри этого множества.
В качестве примера можно рассмотреть ситуацию,
в которой множество допустимых альтернатив пред-
ставляет собой совокупность всевозможных способов
распределения ресурсов, которые л. п. р. собирается
вложить в данную операцию. В этом случае, по-види-
мому, нецелесообразно заранее вводить четкую гра
ницу множества допустимых альтернатив (распределе
ний), поскольку может случиться так, что распределе
6 С. А. Орловский
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАН И Е
желательность этих
образом, нечеткое
адекватным реальности
произвольно принятое четкое описание.
ния ресурсов, лежащие за этой границей (т. е. вцё огра-
ничений), дадут эффект, «перевешивающий»
распределений для л.п.р. таким
описание может оказаться более
, чем в определенном смысле
Формы нечеткого описания исходной информации
в задачах принятия решений могут быть различными,
отсюда и различия в математических формулировках
соответствующих задач нечеткого математического про-
граммирования (н. м. п.).
Перечислим некоторые из таких постановок.
Задача I. «Максимизация» заданной обычной
функции f : X R1 на заданном нечетком множестве
допустимых альтернатив р-с : X -> [0, 1].
Для решения подобной задачи К. Негойта и Д. Ра-
леску [25] предлагают рассматривать функцию / (х) =
= f(x)l sup f(x) (нормировка к 1) как функцию при-
^Gsuppp-C'
надлежности нечеткого множества цели л.п.р. Значе-
ние / (х) этой функции рассматривается как степень
выполнения цели при выборе альтернативы х^Х. Это
позволяет непосредственно применить к решению этой
задачи подход Веллмана—Заде. Рациональным
в книге [25] предлагается считать выбор альтернативы,
имеющей максимальную степень принадлежности не-
четкому решению, т. е. альтернативу, реализующую
величину
max ппн (х), /(«) .
х £ X	•
Нетрудно проверить, что задачу отыскания такой аль-
тернативы можно сформулировать следующим образом:
[6НИЮ этой
II
Ниже предлагается иной подход к ре
задачи. Он излагается в § 2.4.
Задача II. Нечеткий вариант стандартной
задачи математического программирования.
скпгп™ определена следующая задача математиче-
ского программирования:
/(.?)-► max, ®(iKO. ж£У
2.3)
КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ
S3
Нечеткии вариант этой задачи получается, если «смяг-
чить» ограничения, т. е. допустить возможность их
нарушения с той или иной степенью. Кроме того,
вместо максимизации функции / (ж) можно стремиться
к достижению некоторого заданного значения этой
функции, причем различным отклонениям значения
/ (х) от этой величины приписывать различные сте-
пени допустимости (например, чем больше отклонение,
тем меньше степень его допустимости). Задачу при этом
можно записать так:
/(ж)^х0, <р(я)40, а-£Х,
р.) два пороговых уровня а и & такие, что
Ь означают сильное
где волнистая линия свидетельствует о нечеткости соот-
ветствующих неравенств.
Один из возможных подходов к формализации по-
добных нечетко сформулированных задач анализиру-
ется в работах [26, 27]. Заключается он в следующем.
Пусть z0 — заданная величина функции цели f (х),
достижение которой считается достаточным для выпол-
нения цели принятия решений, и пусть имеются (за-
даны л. п.
неравенства f (х) v ....
нарушение соответствующих неравенств / (х) z0 и
ср (х) < 0. Можно следующим образом ввести нечеткие
множества цели и ограничений:
если f(x)^z0 — а,
если zQ
G> / (#)	^0»
р.(я, а),
h? (ж) =
Нс (•г) —
еыш j	О’
если
если 0 < ср (#)<&»
функции [0, 11, описы-
ения соответствующих нера-

где и v — некоторые
вающие степени выпол:
венств с точки зрения л. п. р.	лЖгпют-
В результате исходная задача оказывая форму-
лированной в форме задачи выполнения и	яия__
ленной цели, к которой применим под д
II
31
84 математическое программирование [ГЛ. 2
R паботах [26, 271 описанным здесь способом анали-
“Лся задачи’нечеткого линейного программирова-
нмУ причемДработа [27 ] интересна тем, что в ней фор
X ’ иуется соответствующая двойственная задача и
с ее помощью проводится анализ чувствительности ре-
ения исходной задачи по отношению к вариациям
пороговых уровней и параметров линейных функций
и (ж, а) и v (#» ^)*
3 а д а ч а III. Нечетко описана «максимизируемая»
функция, т» е. задано отображение . X X/?1 —>
[0, 1], где X — универсальное множество альтерна-
тив, R1 — числовая ось.
В этом случае функция (я0, г) при каждом фикси-
рованном х0 £ X представляет собой нечеткое описание
оценки результата выбора альтернативы (нечеткую
оценку альтернативы я0) или нечетко известную реак-
цию управляемой системы на управление ж0. Задано
также нечеткое множество допустимых альтернатив
: X -> [О, 1J.
Как будет видно из дальнейшего (гл. 3), к такой по-
становке сводится широкий класс задач н. м. п. Проб-
лема рационального выбора альтернатив при данном спо-
собе описания нечеткой исходной информации обсуж-
дается в § 4.3.
Задача IV. Заданы обычная максимизируемая
функция f:	и система ограничений вида
> *’ у ’ ’’ т’	параметры в описаниях
Функции <р£(х) заданы нечетко в форме нечетких мно-
ЖССТПв^
им“ХМеР’ В Линейном слУчае = Д") функции ъ (®)
п
* *' '	i~i,.  ,т,
J—I
нечеткими иаРаметР а<у и Ь. описаны соответствующими
И« <«.Л ». И- Об инторпретз-
параметров говорится ниже
к решению задач нечеткого линеи-

в § 4.3 предлагаем другой более
М 4Т 3К0Г0 СПОСОба 8адан™
Один из ПОДХОДОВ -
КОГО ппогпам1ж™2~	«тдач ntHuinuiv
М. Сулариа [24]₽ НтеЯ °ПИСаН в работе С* Негойты и
2.41
НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО ОГРАНИЧЕНИЙ
85
ЭТОЙ
общий подход, который заключается в сведении этой
задачи к постановке задачи типа I, описанной в пЛ
ном разделе.	д
3 а д а ч а V. Нечетко описаны как параметры функ-
ции, определяющих ограничения задачи, так и самой мак-
симизируемой функции.
Ниже в § 2.6 предлагается способ сведения этой
задачи к задаче III, описанной в данном разделе.
В последующих разделах данной книги мы рассмо-
трим перечисленные выше постановки задачи.м.п. и
предложим способы их решения.
2.4. Задача математического программирования
при нечетком множестве ограничений
функции ср
и
Пусть X —~ универсальное множество альтернатив,
и пусть ср — функция X -> 2?1, значениями которой
оцениваются результаты выбора альтернатив из мно-
жества X. В множестве X задано нечеткое подмножество
: X -» [0, 1], которое мы называем нечетким множе-
ством допустимых альтернатив. Задача заключается
в «максимизации» в некотором смысле
на нечетком множестве рс,.
Последнее общее предложение можно понимать
двояко. Под «максимизацией» можно понимать выбор
нечеткого подмножества множества |хс (нечеткого ре-
шения), которому соответствует в некотором смысле
наилучшее нечеткое значение функции ср. Разумеется,
представление решения в форме нечеткого множества
имеет смысл, когда такая форма содержательно понятна
лицу, принимающему решения (т. е. когда л. п. р. поня-
тен язык нечеткого описания). Как бы то ни было,
подобное нечеткое описание столь же информативно,
как и нечеткое описание исходного множества допусти
мых альтернатив.
Если же л. п. р
решения задачи,	__
следует понимать рациональный выбор Р
альтернативы или множества альтернатив. ц
ность при этом понимается в том смысле, чт р_	ид
конкретной альтернативы л. п. р. должн
.. не приемлет нечеткого описания
то под «максимизацией» функции у
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ГГЛ, 2
^гптгамости компромисса между желанием получить
большее значение функции <? и жела-
“пем выбрать по возможности более допустимую
ТлХпнативу (т. е. желанием получить по возможности
большее значение функции принадлежности нечеткого
множества допустимых альтернатив).
В данном разделе рассматриваются два подхода
к решению этой'7 задачи н. м. п. Один из них опирается
на разложение нечеткого множества ограничений по
множествам уровня, а в другом явно учитывается не-
обходимость указанного выше^компромисса. Оба этих
f 2.4.1. Решение 1, опирающееся на множества уровня
к решению
множествам уровня, а в другом явно учитывается не-
подхода описаны в работе [30].
L____
нечеткого множества ограничений. Рассматриваемый
здесь подход, по сути дела, состоит в том, что исходная
задача н.м.п. представляется в виде совокупности
обычных задач максимизации функции ср на всевозмож-
ных множествах уровня множества допустимых аль-
тернатив. Если альтернатива x0QX есть решение за-
дачи ср (я)-> шах на множестве уровня X, то, грубо
говоря, мы считаем, что число > есть степень принад-
лежности альтернативы хе нечеткому множеству реше-
ний исходной задачи н. м. п. Перебрав таким образом
всевозможные значения X, мы получим функцию при-
надлежности нечеткого решения.
Перейдем к более подробному описанию и анализу
этого подхода. Будем обозначать Сг множество уровня
л нечеткого множества допустимых альтернатив
Таким образом (см. п. 1.1.3),
Сх = {х\х£Х, рс(®)>Х).
любого Х ° такого, что С=4 0, введем мно-
жество	a f ’	*
w (X) = (ж | ж С X, <Р (х) = sup <Р (х')},
»'6<Ъ
задачиаВЛЯЮП^ев со®°® множество решений обычной
альтернат™СИЛТаЦИ- Функции <р на множестве тех
допустимым ’ Которь1е со степенью не менее -X считаются
тт_„ _	“ “va4u,hum зад
к»™ Xе™ фул.кц™
а решении необходимо
Д ^м^погтп8 ИСХодной задаче и. м. п.
Роенвя	принадлежности нечет-
। каждой альтер-
2 4] НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО ОГРАНИЧЕНИЙ
87
нативе х£Х приписать степень г,
множеству. Сделаем это сле7уюшТН«ДЛеЖЕ0сти этому
принадлежности альтернатив₽а30М- Рвенью
решении будем считатьмаксХЯл J ?K°My множеству
грань) из чисел X, для котор^ТсХ Й°Лее’ веР^»ю
это выражается следующий оп?елел<*)• Б°Лее ст₽°™
Определение241 Р°ределением.
ЛЛ- Решением 1 задачи н. м. п.
называется нечеткое подмножество множества рс, опи-
сываемое
ункцией принадлежности вида
и.1 (х\ = sup X.
X:
то
Следующее предложение дает возможность выразить
решение 1 в более простой форме.
Предложение 2.4.1. Если х £ suppу.1 (ж),
Р-1 (ж) = Рс (ж) *)•
Доказательство, а) Если	suppу.1 (х) и у.1 (х)>
> рг (ж), то sup X > рс (ж) и, следовательно, найдется
Х:хб#(Х)
такое число X, что
лению 2.4.1 х£(\, и поэтому у^С^^Х, т. е. неравен-
Х>^(ж) и z£7V(X). Но по опреде-
ство X 3>	(х) невозможно.
б) Если х £ supp р1 (ж) и у.1 (x)<Z у.0 (х) или
, sup X<u — v
х.‘	(X)	' — v>
(2.4.1)
то для любого числа X такого, что xf 7V(X), выполнено
х G С С G. Кроме того, х С N (X), так как в противном
—   а ’-л	л Fdl
случае из (2.4.1) следовало бы невозможное неравенство
v<v. Отсюда
? (ж) < SUP ¥
sup <р (ж') = <р (я).
*'есх
Это противоречие и завершает доказательство предло
ния 2.4.1.
) Напомним, что множество supp у< (#) определяется так
supp р (я) == {я f я € ^» Р (я) > О}*
88
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ГГЛ. 2
2.4.1 и определения 2.4.1 нетрудно
Из предложения
заключить, что решение 1 представимо в виде
( Fc (х) п₽и 0 (X),
^(*)= J о
в остальных случаях,
и, таким образом, supp р1 (ж) — х>о^
Будем говорить, что решение 1 существует, если
рх(х)^0 на множестве X. Из определения 2.4.1 полу-
чаем, что решение 1 рассматриваемой задачи н. м. п.
существует тогда и только тогда, когда найдется такое
число Х>0, что 7У(Х)=^=0.
Нечеткому решению 1 соответствует нечеткое «мак-
симальное» значение р?(г) функции <р(я), представляю-
щее собой образ нечеткого множества р1^) при отобра-
жении <р. Согласно определению образа (§ 1.3) получаем
р (г)= sup р1(ж) = sup sup
а(г) яеN
то
где 1(г) = {ж]а:^X, <р(ж) = г}.
Если в задаче н. м. п. решения 1 не существует
можно воспользоваться е-оптимальным нечетким реше-
нием, которое для заданного е^>0 можно определить
следующим образом:
He (z) = sup X,
X:	X)
N (е, К) — {х | х £ X, ср (х) sup ср (х') — е).
Соответствующее нечеткое
вается функцией принадлежности ^(х)= sup p*(z)-
Предел р' при е~
нечеткую грань фу__
не только Т Г™ е'оптимального решения полезно
значение функции ср описы-
О можно понимать как верхнюю
ункции ср на нечетком множестве рг;.
0 при некоторых X
некоторые свойства решения 1,
наглядную интер-
2.4] НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО ОГРАНИЧЕНИЙ
89
претацию. Мы сформулируем эти свойства в
дующих трех предложений.	гва в форме сле-
Предложение 2.4.2.
r»6suppr^Uo/V(X)n^W^0.
Иными словами, для любого г0 такого, что и (г\\л
найдется такая альтернатива х£Х umn Л-ч ’
и ЖС2V(X) при некотором Х>0 Ь ’	*Р(ж)=''о
Д о к э а а т 6 л ь с т в о. Соглаев» оир.дмвовю ,,
чаш И МЫОЖества supp из левой части (2.4.3) полу-
sup sup X > О,
®er^(r0)X;
т. е. найдется такая альтернатива х' £ у1 (г0), для кото-
рои
sup X > О,
X: x'£iV(\)
а это в свою, очередь означает, что найдется такое число
X > О, что х‘ Q N (X). Отсюда получаем х’ £ <р-1 (г„) О (X)
что и доказывает (2.4.3).
r0 € supp р. => sup px(.r)= sup рс(ж).
(го)
Доказательство. Поскольку из определения 2.4.1
следует, что р1 (х)	(х) при любом х f X, то
sup р*(я)<^ sup р0(я).	(2.4.4)
Ро)	^С’Г'Ро)
Допустим, что при некотором г0£ виррр? в (2.4.4)
выполнено строгое неравенство. Тогда для некоторого
х(го) неравенство
Р1 (я) < рс (х0)	(2.4.5)
выполняется при любом
Далее, поскольку r0^suppp?, то согласно предложе-
нию 2.4.2 найдутся такие х'£Х и Х>0, что х f
W(k). Из того, что х' QN (X) и Х^>0, следует
согласно определению 2.4.1, что р1 (xf) = (^ ) ^ X и,
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [ГЛ. 2
90
„аФРПЬН0 из (2.4.5) получаем, что
следовательно, »	\
что х’ е N 00 я х' € Т"1 (го)’ т- е* ф (ж') = г0,
Из того,
получаем
q>(x') = sup ?(я) = го — ? (*о)’
фптг как х Рф"1^- Отсюда x0£N(ty и, согласно опре-
Так как	= что противоречит (2А5)>
нет доказательство предложен
ложение 2.4.4. Функция \^(г) монотонно
•Ml
таких, что гл j>r9/
2
делению
Это противоречие заве[
ния 2.4.3
Пред
убывает на множестве supp [у
Доказательство. Достаточно показать, что ХпХ
(г8) для любых rv r26suPP!\ таких, что гх>
Допустим противное, т. е. что для некоторых
из множества supppT выполнено неравенство pf(rj)
>р. (г2). Тогда, согласно предложению 2.4.3, получаем
sup Pc(z)> sup у.с{х),
(Л)	^6? 1 (ri)
т. e. найдется	такой, что неравенство
Нс (xi) > Нс (х)	(2.4.6)
выполняется при любом х£Х.
Далее, поскольку г2 £ supp у.?, то из предложения 2.4.2
заключаем, что найдутся такие х2	и х>о,
что x2£7V(X), т. е. r2~.<p(x2) = sup ср (ж).
Кроме того, отсюда и из (2.4.6) заключаем, что xrQC
следовательно,
r2 = Т (я2) = sup ? (ж) > <р (xt) = гр
*е^х
2 rii а это противоречит допущению о том, что
г2. Полученное противоречие завершает доказа-
тельство предложения 2.4.4.
Обсудим теперь несколько подробнее свойства ре-
шения 1, которое установлено в предложении 2.4.4.
нетрудно видеть, что функция (г) определена таким
образом, что ее значение для данного г £ R1 есть макси-
X»
с
2.4j НЁЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО ОГРАНИЧЕНИЙ
91
° И <Р (г) > г, Т. е. нет
_ , чем
и давал
максимизируемой
в качестве реше-
мяльная степень принадлежности множеству u м
альтернативы х, на которой Лункпия ,л t \ Ис' '
значение г. Согласно предложению 2 4
(г) монотонно убывает на множестве 1иррФГТ
означает, в частности, что в множестве X нет такой Л
неравенства^? (Т>°ц
неравенства р.с \х) P-у (г) О и ср (х)	-
такого элемента х£Х, который имел бы большую
Р© V)’ степень принадлежности множеству р.т
бы большее, чем г, значение
функции.
Если л. п. р. предпочитает выбрать-
ния конкретную альтернативу х то его выбор дол-
жен опираться не только на степень принадлежности
этой альтернативы нечеткому множеству р.с (а:), но и на
соответствующее значение функции ср (я). Как следует
из предложения 2.4.4, чем^ больше значение г0, тем
меньше степень принадлежности (х) той альтерна-
тивы, которая дает значение ср (ж)=г0. Поэтому л. п. р.
должно сначала обратиться к нечеткому «максималь-
ному» значению (г) функции ср (х) и выбрать пару
(го> Ру (го)Х которая согласуется с его желанием полу-
чить по
время по возможности большую степень принадлеж-
ности выбранного г0 множеству р, (г). После выбора
такой пары имеет смысл выбрать такую альтернативу
«оЕ'Р -1 (г0), которая имеет наибольшую степень при-
надлежности множеству (х) (или альтернативу, ко-
торая в некотором смысле близка к xG).
Изложенный здесь подход к определению решения
задачи н. м. п. неудобен в двух отношениях. Во-первых,
в полученном решении недостаточно явно учитывается
необходимость при выборе альтернатив компромисса
между значениями максимизируемой функции и зна-
чениями степени допустимости альтернатив. Во-вто-
рых, это решение неудобно для вычислений. В следую
Щем разделе вводится другое определение Репг^^’
которое не обладает указанными недостатками ив
время эквивалентно решению 1 в том смысле, что д
возможности большее значение г0 и в то же
математическое
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
1гл. 2
то же самое нечеткое значение максимизируемой фуНк,
ЦИИ9 А 2 Решение 2 и эквивалентность решений обоих
В излагаемом здесь подходе к определению ре<
задачи и. м. п. явно с самого начала учитывается
что ПРИ выбре альтернатив л. п. р. должно руковод-
 - желанием получить возможно большие зна-
-{ максимизируемой функции, так и функции
-- нечеткого множества допустимых аль-
тернатив. Для этого в определение решения включа-
то,
ствоваться
чения как
принадлежности
ются лишь те альтернативы, которые в задачах много-
критериальной оптимизации называются эффективными
или максимальными по Парето.
Альтернатива х0£Х называется эффективной при
функциях у (х) и pt. (х), если для любой другой
ЭК
двух
альтернативы xr g X из неравенств ср (х') <р (ж0) и (х') >
> Рг (Ч) следуют равенства ср (я')=<Р (^о) и (х') = Р'с (жо)-
Иными словами, если xG — эффективная альтернатива
для функций <р(я), Рс(х) на множестве X, то выбором
любой другой альтернативы из X невозможно увели-
чить (по сравнению с ср(я0) или р^(я0)) значение одной
функции, не уменьшив при этом значения другой.
В задачах принятия решений с несколькими крите-
риями множество эффективных альтернатив предлага-
ется л. п. р. в качестве множества его возможных ра-
циональных выборов. (О задачах принятия решений
при нескольких критериях см., например, книгу [31].)
Итак, пусть Р — множество всех эффективных аль-
тернатив для рассматриваемых в задаче и. м> п. функ-
ций ср (х) и (х).
Определение 2.4.2. Решением 2 задачи н. м. п.
называется нечеткое множество с функцией принадлеж-
ности вида	F
I? (х) =	(ж) при х^р>
I 0 в остальных случаях.
должпп rm опР°Делепии явно предполагается, что л. п. р-
нятипы лользовать в своем решении лишь те альтер-
одновпрЛгтИВерСаЛЬНОГО множества X, которые дают
даовременно неулучшаемые значения функций <р и
2.41 ЙЁЧЁТКОЁ МноЖЁсФЬо ОГРАНИЧЕНИЙ
Соответствующее решению 2 нечеткое
функции <р записывается в виде
Р-|(г)= SUP р2(ж), гей1.
«tcp-1 (у)
значение
Покажем Je°ePb> что при некоторых предположениях
решения 1 и 2 дают одно и то же нечеткое значение
функции <р.
Теорема 2.4.1. Если множество X компактно
функция <р непрерывна на X, а функция рс полуне-
прерывна сверху на X, то при любом г (-R1 выпол-
няется равенство
Р? (г) = (г).
Доказательство. Заметим сначала, что в усло-
виях теоремы множество <р~х(г) замкнуто в X при лю-
бом rQR1 и, следовательно, для любого r^R1 най-
дется х0^<р“х(г) такое, что
sup р.1 (х) = рЛ (ж0).	(2.4.7)
(г)
Допустим, что найдется rG^R\ для которого р-Цг0)>
Г-ж *	W	•
sup р1 (ж) > sup р2 (ж).	(2.4.8)
яб?-1 (nJ	*е?-'(го)
В силу (2.4.7) и в условиях теоремы выражение (2.4.8)
можно записать в следующей форме:
р, (х0) = max и.г(х) = sup р.х(я)> sup р>2(Д
J ^(ro) с хе™ ^’Чг0)
откуда следует, что
р0 (х0) > р2 (ж) ДЛЯ любого х е<р-1 (ГО). (2.4.10)
а) Если р2(ж)>0 для некоторого	то
ра (ж) = рс (х) и получаем
<р (х0) = <р (ж) = r0, рс (®o) Ре
Но это противоречит тому,
тернатива для функций и
ЧТО X
эффективная аль-
[ГЛ. 2
9i	математическое ввоГГаШАйройаййй
л\ Рели аа(я)==° для любого
б) Вели р- W не является эффективной, т. е.
6V1 Й найдется х£Х такой, что
f W > ? («') =
-1(г0), то любая
альтернатива х
%ля любого х'‘
(*) > («О»
(2.4.11)
или
<f> (х) > <Р (х') = Го, Рс(х)^ре(х').
х' € Т-1 (го) Г) N Р«) Для некоторого
9 Л А\
““  — —‘ж _
Но если х	кЛ/ /4j*"	~
предложение 2.4.1), то из (2.4.12) получаем, что х^С
и, следовательно,
Гђ (жо)-------
III
Т (*X го = ? (х')9
что противоречит неравенствам (2.4.12).
Что касается неравенств (2.4.11), то они не выпол-
няются для х' = х0, поскольку ^6? Г(го) и
ах (х).
яет-’(г0)
Отсюда получаем, что рЧг) = ??(г) Уг^Я1. Теорема
доказана.	у ?
Итак, принятие решений по первому и второму из
результату.	П₽иводит к ОДНОМУ и тому же
2 сводится^ °л₽еДеЛеНИЮ 2*^-2 нахождение решения
альтевнатип пгг<^А.еДеЛе™Ю множества Р эффективных
сопрпш с Функдии V и рс. Однако это множество
тов, причем°не?еаАЛ>В°₽Я’ бесконечнов число элемен-
Вм^стаГтем nL !ФбКТИВН0Г0 способа его описания,
задаче практически°Л^гНИЯ решения 2 в конкретной
*гекти достаточно указания конечного
- ^х альтернатив, достаточноравномерно
----------------------—
Вместе с тем для получения
Г*** —--
I
И.ИСЛ8. Э	__-—	k>j^xaci 1
выбранных из множества Р.
Для нахождения так!lev CW1J
пользоваться следующим почти
Если для некоторых чисел vx >1 ,
х0 доставляет максимум функции
L (я)=vx<p (а:)	vap.c (х)
на множестве X, то эта альтернатива является э^е^а
тивной для функций ср и р.с. Действительно,

A
х альтернатив можно вое-
и очевидным фактом,
и» v2 Z> 0 альтернатива
2.4]
НЕЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО ОГРАНИЧЕНИЙ
95
UIH
допущения о том, что упомянутая выше альтернатива
не является эффективной,
альтернативы х'£Х, для
неравенства
<Р (х') > ср (ж0),
вытекает существование
которой выполняются либо
либо
<Р (И > <Р fo),
Ру; (ж ) Р'с (^о)?
противоречащие тому, что xQ доставляет максимум функ-
ункции <р и пред-
которое и делает окончательный
ЗЕ
Таким образом, придавая различные положитель-
ные веса функциям <р и и максимизируя соответ-
ствующие функции L (х), можно определить любое тре-
бующееся число эффективных альтернатив.
Полученные при этом альтернативы вместе с соот-
ветствующими им значениями *
ставляются л. п. р.,
выбор из них, исходя из своих субъективных представ-
лений (или пользуясь информацией, не учтенной в дан-
ной математической модели) об относительной важности
значения функции ср и степени допустимости pf; альтер-
натив.
В заключение этого раздела мы кратко обсудим
подход к задачам н. м. п., предложенный в книге К. Не-
гойты и
. Ра леску [251.
Суть этого подхода заключается в том, что задача
«максимизации» функции на нечетком множестве фор-
мулируется как задача достижения нечетко определен-
ной цели типа рассмотренной в предыдущем разделе.
Заданная функция ср (х) (нормированная к 1) пони-
мается при этом как функция принадлежности нечет-
кого множества цели,
как пересечение нечетких множеств цели и допустимых
альтернатив. Иными словами, решение имеет вид
p.(a:) = min{<p(a:),
При необходимости выбора конкретной альтерна-
тивы предлагается выбирать ту, которая имеет макси-
мальную степень принадлежности этому решению, т. е.
доставляет максимум функции р. (х).
а решение задачи определяется
ективных аль-
множестве X. В рам-
[Illis
96	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [Гл 2
Сравним теперь эту рекомендацию с тем, как опре-
деляется решение задачи н. м. л» по описанному в этом
разделе второму подходу (решение 2). Нетрудно убе-
диться в том, что альтернатива, максимизирующая
функцию р (х), является одной из эффективных аль-
тернатив для функций <р и р6, на множестве X. В рам-
ках же анализируемой математической модели эффек-
тивные альтернативы не сравнимы друг с другом, так
как в модели нет информации, пользуясь которой
можно было бы судить о том, что одна эффективная
альтернатива лучше (или не хуже) какой-либо другой
эффективной альтернативы. Это означает, что выбоп
среди эффективных альтернатив может сделать лишь
л. п. р., обладающее какой-либо информацией (или сооб-
ражениями), внешней по отношению к данной матема-
тической модели.
Таким образом, решение рассматриваемой матема
тической задачи должно включать в себя все множество
эффективных альтернатив или по крайней мере доста-
точно большую выборку из этого множества. Выбоп же
конкретной альтернативы из этого множества следует
оставить на усмотрение л. п. р.
2.5.	Игры в нечетко определенной обстановке
2.5.1.	Введение. До сих пор мы рассматривали
задачи принятия решений, в которых результат (значе-
ние функции <р) однозначно определялся действиями
л.п.р. Такие задачи широко распространены в прак-
тике.
Вместе с тем в экономике, военном деле и многих
других областях человеческой деятельности часто
встречаются ситуации, в которых выполнение цели
или результаты принятия решений одним лицом (или
группой лиц) зависят не только от действий этого лица,
Аж	— - “
НО ]_ __	ypv.ixLCiLja.jtij др У L4JJ. U ЛИЦй ИЛИ xpyjxixw
лиц, преследующих свои собственные цели.
В связи с этим при анализе подобных ситуаций
с целью определить рациональный способ поведения
" дайетвй (реш№^ другого лща ии групт[
--.с,изи -с э„„ ири - й—— е^-ситуаця.
необходимо учитывать .Г?-„— _________________
Ров. В военном дело оамо>кные действия партне-
операции невозможен без ччо^еР’ успех пР°веД®ния
оез учета возможных действий
i
ров. в военном пипп „„	Ж JB-Л ЖА/Д	— - 
______военном деле, например, успех проведения
2.5] ИГРЫ В НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОБСТАНОВКЕ
97
противника. При управлении экономической системой
необходимо учитывать, что поведение подсистем (на-
пример, отдельных предприятий) определяется
не только физическими или иными объективными за-
кономерностями, но и интересами участвующих в этих
подсистемах людей, которые могут не совпадать с ин-
тересами управляющего органа. Ясно, что подобных
примеров можно привести очень много.
Ситуации этого типа принято называть игровыми
(играми). Математические модели таких ситуаций изу-
чает теория игр — довольно обширный отдел приклад-
ной математики. (См., например, книги [32—35].) Ос-
новное направление в теории игр связано с выработ-
кой и анализом принципов рационального поведения
игроков в различных условиях.
Пожалуй, наибольшее внимание исследователей
в теории игр привлекают два теоретико-игровых прин-
ципа рациональности: принцип наилучшего гаранти-
рованного результата и принцип, опирающийся на по-
нятие равновесия. Оба этих принципа используются
ниже в анализе игр в нечетко определенной обстановке.
Здесь мы кратко обсудим эти принципы, считая для
простоты, что в игре участвуют лишь два партнера.
В соответствии с принципом наилучшего гаранти-
рованного результата игровая ситуация рассматри-
вается как задача принятия решений одним из игро-
ков (для определенности назовем его игроком 1). Вы-
боры другого игрока (игрока 2) считаются неопре-
деленными факторами. Эта неопределенность может
заключаться, например, в том, что игроку 1 в момент
принятия решения известна не конкретная реакция
(выбор) игрока 2, а лишь некоторое множество его
возможных реакций. Чем больше известно игроку 1
об интересах и ограничениях игрока 2, тем «уже» это
множество, т. е. тем меньше неопределенность в его
поведении с точки зрения игрока 1.
В основе принципа наилучшего гарантированного
результата лежит положение о том, что рациональным
является такой способ оценки игроком 1 своих выбо-
ров, при котором он рассчитывает на наихудшую для
него реакцию игрока 2 из множества возможных реак-
ций последнего. Наилучшей при этом естественно счи-
7 С. А. Орловский
оя	математическое программирование [гл 2
о О
афЬ „„ из стратегий (выборов) игрока 1, которой соот-
ветствует наилучшая оценка.
пХым в применении этого принципа является
точный учет всей информации об игроке 2, которую
йгпок 1 будет иметь в момент принятия решения, по-
скольку именно эта информация позволяет этому
игроку судить о возможных реакциях партнера на его
выборы.	м
Столь гибко понимаемый принцип наилучшего
гарантированного результата был впервые сформули-
рован Ю. Б. Гермейером. Подробное обсуждение этого
принципа, а также анализ принятия решений на его
основе в разнообразных ситуациях, имеется в книгах
Ю. Б. Гермейера [33, 34].
Еще один принцип рациональности, который ис-
пользуется ниже в анализе игр с противоположными
интересами (целями) игроков, опирается на понятие
ситуации равновесия по Нэшу. Он применим в тех
случаях, когда игроки имеют возможность договари-
ваться друг с другом с целью выработки совместного
в некотором смысле взаимовыгодного поведения.
В соответствии с этим принципом рациональным
считается выбор игроками некоторой пары стратегий
£/о (по одной каждым игроком), обладающей устой-
чивостью в следующем смысле: одностороннее наруше-
ние договоренности не выгодно ни одному из игроков.
Иными словами
стратегию х вместо я0,
стратегии у0, то выигрыш игрока 1 в лучшем случае
не изменится. Обладающая такой устойчивостью пара
стратегий (а-0, у0) называется ситуацией равновесия
по Нэшу.
всей своей привлокальности этот принцип имеет
равновесия, как правило, неустойчивы по отн_ _
/зменению стратегий обоими игроками одновременно
Z“P’ - иг₽ока могут получить бблыпие выиг-
веенпиВг«аК0И"г о ДРУгой, вообще говоря, неравно-
шиппкпо туац,ии)- Во-вторых, в игре обычно имеется
homv по МИО/Кество ситуаций равновесия, причем од-
из этих ЛР0К°? Могут быть предпочтительны одни
уации, а другому — другие. Это препятст-
если например, игрок 1 выберет
а игрок 2 останется «верен»
неизменится. Обладающая такой устойчивостью пара
С
по Нэшу.
неД°статка. Во-первых, ситуации
гению
зал
2.61 iitPbt В НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОБС-ГАЙОВКЕ BS
III
вует достижению договоренности между игроками
о выборе конкретной ситуации равновесия. Подроб-
нее о ситуациях равновесия можно прочесть в цити-
рованных выше книгах по теории игр.
Наиболее «удачны» ситуации (игры двух лиц),
в которых имеются стратегии игроков, рациональные
одновременно по обоим описанным выше принципам.
Таким свойством обладают многие игры двух лиц
с нулевой суммой (антагонистические игры). Ниже мы
покажем, что в определенной степени это свойство при-
суще и некоторым играм с противоположными целями
в нечетко определенной обстановке.
В данном разделе описываются игры в нечетко опре-
деленной обстановке [30, 36], т. е. игры, в которых
цели и допустимые выборы (стратегии) участников
описаны в форме нечетких множеств. При анализе
таких игр мы будем пользоваться подходами к задачам
н. м. п., описанными в двух предыдущих разделах.
Изложение ограничивается лишь играми двух лиц,
однако многие из приведенных ниже результатов не-
трудно распространить и на случай большего числа
участников.
2.5.2.	Описание игры. Пусть X и Y — универсаль-
ные множества стратегий, которые в принципе могут
выбирать игроки 1 и 2 соответственно. Допустимые
стратегии игроков описываются нечеткими множест-
вами р-1: X
уже говорилось о возможных интерпретациях этих
нечетких множеств. Заданы функции /1? /2: XxY -> В\
причем значение /. (ж, р), i=l, 2, интерпретируется
как оценка игроком i ситуации (ж, у), Множество R'
(числовая ось) интерпретируется при этом как универ-
сальное множество оценок.
Каждый из игроков стремится к достижению своей
нечетко описанной цели. Будем считать, что цель
игрока I описывается нечетким множеством Gi в уни-
версальном множестве оценок R1 с функцией принад-
лежности Я1-^, 11. Об интерпретации такой цели
говорилось в § 2.2. Заметим лишь, что цель, постав-
ленная перед игроком, может оказаться плохо или во-
обще несовместимой с его возможностями, т. е. напри-
мер, с множеством его допустимых стратегий или с имею-
[О, 1]. Выше в § 2.2
[О, 1] и р.2: X
100 ЙДТЁМАТЙЧЙСКОЙ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ГЛ. 2
шейся У него информацией об интересах и ограниче-
ниях другого игрока. Подробнее этот вопрос рассмат-
ривается ниже.
г Для анализа поведения игроков в сформулирован-
ной игре мы воспользуемся подходом, описанным
в § 2.2. В соответствии с этим подходом цель игрока I
мы будем описывать нечетким подмножеством множе-
ства ситуации вида
ц’е (®, у) = (Л (ж, у)), (X, у) QXXY.
Нетрудно видеть, что заданное нечеткое множество
таково, что его образом в R1 при отображении f. яв-
ляется заданное в Я1 нечеткое множество цели G.
(см. § 1.3).
Если бы, например, цель игрока г была четко опре-
деленной, т. е. описывалась бы функцией принадлеж-
ности, принимающей лишь значения 0 и 1, то игрок i
стремился бы к реализации в игре какой-либо ситуа-
ции (х, у), для которой у£ (ж, у) = 1.
Введем теперь нечеткие множества Dr и D2 в X х Y
следующем образом:
(*> У) = min {у1 (ж), уЬ (я, */)}>
(*, У) = min {у2 (у), у| (х9 у)}.
Иначе говоря, нечеткие множества Di9 i=l, 2, суть
пересечения соответствующих нечеткого множества до-
пустимых стратегий и нечеткого множества цели.
Смысл множеств D Z
щим образом. Если, например
конкретный выбор у £ Y 
ком 1) стоит описанная в 1
i=l, 2, суть
1 и Й2 можно пояснить следую-
, игроку 1, известен
Y игроком 2, то перед ним (игре-
неадткл» ™„	1 ,	_ - п- 2-21 задача достижения
альтопп» Цели, (я» У) при множестве допустимых
апйск₽ ™	В соответствии с используемым
задачи °°^хо^ом Веллмана—Заде решение Dt такой
ри "“Редаяяется как пересечение нечетких множеств
I*. У) = min {у1 (x), y£ {x9 y)}.
M, нечеткое множество у, (ж, у) можно
Таким образом
Рассматривать к«к	vDl\*,y> -------;
как семейство (по параметру у) решении
ГРЫ в нечетко Определенной оёс»гановке
аадач достижения нечетких целей (xt у). Аналогич-
ный смысл можно придать и множеству .
Для дальнейшего анализа игры необходимо уточ-
нить, какие выборы игроков считать допустимыми
При наиболее общей постановке допустимыми нужно
считать выборы игроками произвольных нечетких под-
множеств множеств их допустимых стратегий и вести
анализ игры в классах подобных нечетких стратегий.
- Мы же остановимся здесь на более узкой (и более про-
стой) постановке задачи, в которой выборами игроков
могут быть лишь стратегии-элементы соответствующих
универсальных множеств X и Y. При этом будем счи-
тать, что при каждом фиксированном выборе одного
игрока второй выбирает стратегию, которая максими-
зирует соответствующую ему функцию (х, у), т. е.
стратегию, которая имеет максимальную степень при-
надлежности нечеткому множеству D..
Имея это в виду, можно более точно сформулировать
цели игроков в рассматриваемой игре. Можно пола-
гать, что игрок £'(&=1, 2) стремится к достижению
по возможности большего значения функции у).
Рассматриваемая игровая ситуация формулируется при
этом следующим (четким) образом: X и Y — множества
стратегий игроков 1 и 2, и рл — их функции вы-
игрышей.
2.5.3.	Максимальные гарантированные выигрыши.
Если игрок целиком полагается лишь на свои возмож-
ности, то естественной представляется его ориента-
ция на получение наибольшего гарантированного выиг-
рыша. При этом, как уже говорилось выше, важную
роль играет имеющаяся в его распоряжении информа-
ция об интересах и ограничениях другого игрока.
От этой информации существенно зависит величина
выигрыша, который игрок может себе гарантировать.
Вопросы информированности и связанные с ней раз-
личные постановки задач принятия решений в условиях
неопределенности (и игровых задач в частности) под-
робно описаны Ю. Б. Гермейером [33, 34].
Пусть, например, игрок 1 имеет возможность пеР*
вым выбрать свою стратегию и сообщить ее игроку .
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Ьй. 2
Тогда наибольший гарантированный выигрыш игрока 1
равен
мх=max min	(х, у)=max min (и1 (х), min	(х, у)}.
1 *€* №(*) 1 жеХ У '
Шля простоты изложения будем считать, что всюду
ниже, где используются операции max и пип, соответст-
вующие максимальные и минимальные значения до-
стигаются на указанных множествах.)
Присутствующее в этом выражении множество У (#),
зависящее от х (и известное игроку 1), есть множество
возможных реакций (ответов) игрока 2 на сообщенный
ему игроком 1 выбор х. В этом смысле зависимость
У (х) отражает степень информированности игрока 1
об интересах и ограничениях игрока 2.
Если игроку 1 известно об игроке 2 л:
ство У, то его нечеткое множество выборов имеет вид
Н (х) = min (я), min pi (х, у)).
уег
Конкретным выбором игрока 1 будет при этом страте-
гия, максимизирующая эту функцию на множестве X.
Если игрок 1 имеет больше информации о своем
партнере (т. е. в случае У (х)
жество его выборов имеет вид
Н (х)~ min (ж), min (ж, у)}.
Нетрудно видеть, что при этом р/' (я) > pj (х) для
любого х £ X, т. е. при большей информированности
игрока 1 его нечеткое множество выборов оказыва-
ется более широким. В этом смысле можно говорить
о том, что, имея больше информации о партнере,
игрок имеет больше возможностей гарантировать
достижение своей цели.
Если величина Мг слишком мала
ь множе-
mi
У), то нечеткое мно-
wn ™	слишком мала, то это значит,
глтгт^ЛЬ’ К Д°стижению которой стремится игрок 1,
свя^ завышена (с учетом его возможностей). В этой
дача П^гтТВеАНЫМ °бРазом возникает следующая за-
в виде пгЛт сФ°РмУлиР°вана нечеткая цель игрока 1
быть нечетклр и° множества Й в R1. Каково должно
тировало бы ™ож,ество его стратегий, которое гаран-
У (при заданной информированности
2.5] ИГРЫ В НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОБСТАНОВКЕ ЮЗ
об игроке 2) достижение цели со степенью, не меньшей
некоторого заданного числа а? Иными словами, какова
должна быть функция (х), описывающая нечеткое
множество стратегий игрока 1, чтобы выполнялось
неравенство
= max min	(х), min p-fe (х, у)} а?
з&Х	у£У(х)
Для решения этой задачи введем множество
Ха = {ж | min [io (ж, у) а} с X.
Если Ха=0, то, как легко видеть, Мх<а, и следова-
тельно, игрок 1 не может гарантировать достижение
своей цели со степенью большей или равной а незави-
симо от того, какое множество стратегий находится
в его распоряжении (например, в силу недостаточной
информированности об интересах и ограничениях
игрока 2, которая определяется характером отображе-
ния Y (я)).
Пусть , тогда нетрудно заключить, что гаран-
тировать достижение цели со степенью не менее а
можно тогда и только тогда, когда (х) а при не-
котором X
Имеет смысл и обратная задача: имеется нечеткое
множество допустимых стратегий игрока 1	(х).
Какие цели игрок 1 может гарантированно достигнуть
со степенью не менее а?
Для решения этой задачи введем множество
~ {Ж I Рт (Ж) а} ’
Ясно, что для достижения цели со степенью не менее а
необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая стра-
тегия х £ Х'а, для которой выполнялось неравенство
min р-с (#> у) а
или
Р'б (#, У) а Vy € У (#)•	(2.5.1)
Пусть R1 [0, 1 ] — некоторая функция цели игрока 1.
Введем множество
Za = (z | Й(2)> а) с
Тогда
тения
обходимо и
гия х £ X'
ffa у) —
* -* »
104	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [гд 2
опираясь на (2.5.1), заключаем, что для дости-
’ цели yb игроком 1 со степенью не менее а не-
достаточно, чтобы нашлась такая страте
а, что / (х, у) е za при всех у е У (х), где
функция оценки, введенная выше.
7'2.5.4. Игры с противоположными интересами игро-
ков. Различие в интересах игроков означает, что раз-
личны отношения предпочтения этих игроков на мно-
жестве ситуаций игры. Напомним, что ситуацией игры
называется любой элемент множества X X У*, где
- множества стратегий. Таким образом, любая
кгеет вид а (х, у), где х — стратегия
ь *, - у игрока 2. Если для игрока i ситуация
хуже (не менее предпочтительна) ситуации s
i	2’
ситуация игры j
игрока 1, а у —
не
то мы будем писать sx s2.
Несовпадение интересов игроков может означать
например, что для каких-либо ситуаций sx, s s s'
выполнены предпочтения	’ 2’ 3’ 4
т. е. предпочтения игроков могут быть одинаковыми
для одних пар ситуаций (% и $2) и противоположными
для других пар (s3 и $4).
Если же предпочтения игроков противоположны
для всех пар ситуаций игры, то игра называется игрой
с противоположными интересами игроков. Иными сло-
вами, противоположность интересов игроков 1 и 2
означает, что для любой пары ситуаций a, q справед-
ливо утверждение:
либо s

Если, например, игроки 1 и 2 сравнивают ситуации
_тры по значениям своих функций выигрышен ‘Pi' ’
р) и % (х, у), причем ft (х, у)4-ср2 (х, у)=0 при лю
(х, у) £ ХхУ, то интересы этих игроков против
ложны. Игру в этом случае называют игрой с нУле
суммой или антагонистической. Компактное изло
2.5] ИГРЫ В НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОБСТАНОВКЕ 105
ние теории антагонистических игр имеется, например
в книге Т. Партхасаратхи и Т. Рагхавана (35].
Игрой с противоположными интересами в нечетко
определенной обстановке мы будем называть игру,
в которой функции принадлежности pl (z) и функции
fi (х, описывающие цели игроков, таковы, что
Л
йс (zi) Ис (z2) о jxg (z-J jig (z2),
Йе (zi) — Йс (z2) о pl (zx) = pl (z2),
fl <x, y) = f2 (x, y) v (x, y) e X X У.
(2.5.2)
(2.5.3)
(2.5.4)
но цели их противоположны. Действительно, из не-
равенств (2.5.2) следует, что если при выигрыше
В этом определении предполагается, что игроки одина-
ково оценивают ситуации игры (равенство (2.5.4)),
равенств (2.5.2) следует,
(оценке) zr степень достижения цели игрока 1 больше,
чем при выигрыше z2 (т. е. % предпочтительнее для иг-
рока 1 в смысле достижения его цели), то степень до-
стижения цели игрока 2 при выигрыше zx меньше,
чем при выигрыше z2 (т. е. для игрока 2 выигрыш z2
предпочтительнее выигрыша %).
Если воспользоваться подходом Веллмана—Заде
(§ 2.2), то нечеткую цель игрока i следует записать
в виде
pl (x, y) = pb (A (x, y))
т. е. как нечеткое подмножество множества всех ситуа-
. Цель в этом случае зависит как от
и от вида функции /£. Имея
ций игры XX
вида функции fife, так
это в виду, противоположность интересов игроков хможно
сформулировать в следующем более общем виде: инте-
ресы игроков противоположны, если функции fife и
1 = 1,2, таковы, что для любых (а^, yj, ~(я2, У2) из
множества X X Y выполнено одно из условий
Pg	У1) > Ив (я2, Уъ) Нс (*i> Уг) < Нс	Уъ)>
Pg	У1) ~~ Рс («^2’ У %) Нс	У\) Нс (^2> У2)
Так же, как и в предыдущем разделе, мы сформу-
лируем рассматриваемую игру в форме игры с функ-
циями выигрышей вида
Н^1 (х> У) — rain (Hi	Нс (#• у)}>
Hd2 Cr’ у) — п15п {На СО» Нс (я> !/)}
106	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (гл 2
. Напомним, чТо
х к“ии и Р-2 описывают нечеткие множества стра-
__________4
теги
весия такой игры
множествами стратегии и
В7й“гроков Г И 2 в исходной игре.
Паса стратегий (xQ, у0) называется ситуацией равно-
Г	__ яггттсг ntnhLTY Th X ЪГ 7 Л L V
'flti
полняются
неравенства
Р^С^о» Уо) Ря, Уо)’
Уо) (хо> У)-
(2.5.5)
(2.5.6)
Ниже рассматриваются некоторые свойства ситуаций
равновесия с учетом того, что интересы игроков про-
тивоположны в описанном выше смысле. Введем мно-
жества
Ct = {(х, у) | (х, у) 6 XX Y, рх (ж) > yl (х, у)},
С2={(ж, у) | (ж, у) 6 XX Y, р2 (у) pg (ж, у)}.
Пусть, например, ситуация равновесия (ж0, г/0)^С2.
Это означает, что множество
={у I у 6	(^о? у) € ^2}
непусто. Из определения множества С2 следует, что
р2 (у) ~ й (^0» У) ПРИ любом у £6^ и, следовательно,
при любом у£ Съх0 выполняются равенства
R(*o> у)} = р-с(хо, у).
Но тогда из (2.5.5) вытекает, что при любом у^С2Хо
выполнено неравенство pg (ж0, у0) р| (ж0, у).
Отсюда, в силу противоположности интересов игро-
ков, получаем, что pg (ж0, у0) pg (ж0, у) при любом
Ус^2®0 и, следовательно,
minfpjaro), po(rro, у0)}< min {рх (ж0), рв(ж0, у)},
Кроме того, (2.5.5) можно записать
т- е- йд (ж0, у0) р^ (х0, у),
роме того, (2.5.5) можно записать в виде
Ь (^о. Уо) > Рл (ж, Уо) ух £ С2уо,
лучили*"™»™*'Х	^Х' ^о)€^а}- В результат
л у чили неравенства	'
мы по-
Нд, («о, Уо) > рВ1 (х, у0) ух £ С2уи,
(Хо’ > -Ил, (®о, У) У У € С2А).
2.51 ИГРЫ В НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОБСТАНОВКЕ
107
—— игрока 2,
не
а лишь ситуации, со-
Как нетрудно видеть, эти неравенства означают
что рассматриваемая ситуация равновесия исходной
игры Уо) v ^2 представляет собой ситуацию равно-
весия некоторой игры игроков 1 и 2 с нулевой суммой
(р^ — функция выигрышей игрока 1,
P-jDj “F ( Pjrjj) 0)’ в которой допустимыми считаются
все ситуации множества
ставляющие подмножество этого множества С^сХхУ*).
Аналогичным образом можно исследовать и случай,
когда ситуация равновесия (я0, у0) £ С1.
Выше уже говорилось о том, что обычные игры
с противоположными интересами характерны тем,
что в них в любой ситуации равновесия игроки полу-
чают свои максимальные гарантированные выигрыши,
соответствующие их информированности лишь о мно-
жествах стратегий партнера. Имея это в виду, интересно
рассмотреть связь между наибольшими гарантирован-
ными выигрышами игроков и их выигрышами в ситуа-
циях равновесия в играх в нечетко определенной об-
становке.
При вычислении наибольших гарантированных вы-
игрышей будем полагать, что каждому из игроков из-
вестен лишь носитель нечеткого множества стратегий
партнера. Нетрудно видеть, что при этом наибольшие
гарантированные выигрыши записываются в виде
Мг = max min р^ (х, у),
*ех 1
М2 = max min р^ (х, у).
y£Y а=ех ’
Представим величину Мт в следующей форме:
М. — max {max р, (ж), max min рсСг»1/)}> (2-5.7)
*ех' *бх0 уеС1.т0
где
Xq— {x|z£/V, С1х7^0}, А'о — Х\А%,
а множество С\ введено выше.
*) Игры на произвольном подмножестве множества всех си-
туаций игры называются играми с запрещенными
Об особенностях таких игр см., например, работы [ ,	»
108
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(ГЛ. 2
RvneM рассматривать случай, когда Ct — С2 = С.
Пусть (хл, у0) - ситуации равновесия игры, причем
Лекажем, что	^)- Действительно,
для любых (х, у) выполнено неравенство
min (х, у') Р-д (я, У)
9>ет •
и, в частности, min (х, у') < р-д, (х, у0). Отсюда
у'€Г 1
Мл = max min р. (х, у) max (х, у0) — р-» (я0, у0),
1 хбх уег 1
т. е.
^1 Ид (^0» У о)'
(2.5.8)
2. Покажем теперь, что Mx^y.D (x^ yQ). Действи-
тельно, для любого у 6 CXq= {у\у £ У, (я0, у) £ С} (G-^0,
так как по предположению (ж0, у0) £ С) выполнено нера-
венство р-с (х0, Уъ) р-1 (з?0, у). Отсюда, в силу противо-
положности интересов игроков (см. выше), получаем,
что для любого у £ CXq справедливо неравенство (х^ у0)
Ра У) и> следовательно,
min {р., (х0),	(г0, у0)} min {р, (х0), [4 (х0, у)},
’• е< Рч>,(хо> У0) = ттр.в (х„, у) = min|4(ж0, у).
»егЯ(, •
Далее, легко видеть, что
(г’	(ж0’ У) = Нл, (®о> У0)’
Отсюда и из (2.5.7) получаем
М1 > Ил, (^0. Уо)-
(2.5.9)
Из (2.5.8) и (2.5.9) заключаем, что Мг =	(а:0, у0).
= ц н^10ги^ным образом можно показать, что и Л/а =
Уо)-
Таким образом,
В сформулированной И1
тересами выигрыши игроков
из множества С являются
МЫ пришли к выводу о том, что
здесь игре с противоположными
в ситуации равновесия
их максимальными гарантии
2.51 ИГРЫ В НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОБСТАНОВКЕ 109
рованными выигрышами (при заданной выше инфор-
мированности игроков). Это значит, в частности, что
все ситуации равновесия из множества С эквивалентны
друг другу, поскольку во всех них игроки получают
одни и те же выигрыши. Заметим, что этот случай
типичен для обычных игр с противоположными инте-
ресами игроков.
Обратимся теперь к случаю, когда ситуация равно-
весия не принадлежит множеству С, т. е. (я0, y0)gC,
где C = (XxY)\C- Как следует из определения мно-
жества, при этом выполняются равенства
р.Р1(ж0> у0) = min (х0), рс(я0> Уо)} = Pi (жо)> (2.5.10)
Рр‘ (хй, i/o) = min (р2 (у0), Не (я0> Уо)} = Рг (.Уо)- (2.5.11)
Кроме того, по определению ситуации равновесия
имеет место равенство
р-д, (Яо, Уо) = max Рр, (х’ Уо}- (2.5.12)
Поскольку С,л1_)Сд0 = X, то (2.5.12) можно записать
в виде (см. (2.5.10))
р„ (х0, у о) = max { sup рл (х, у0), sup рд (х, у0)} =
1	'	Уо
— max ( sup (ж), sup рЬ (#, Уо)} = Pi (хо)- (2-5.13)
а7бс'уо
Допустим, что
sup рх (ж) sup Р-G (я> Уо)-
Хб<?Уо
Тогда из (2.5.10) и (2.5.13) получаем
sup Pi (х) <Z Pl (жо)>
что невозможно, поскольку по предположению (х0, у0) € £
и, следовательно, ।
дует, что	. .
Рх (ж0) = max Pi (ж).
«ее,/0
Аналогичным образом получаем
Ра (Уо) = тах
£СУо. Отск>Да и из (2*5^5) сле
их максимальных
2"
Веллмана—Заде к задачам принятия решении
110	математическое программирование [ГЛ. 2
•в данном случае, как и в случае^, у0)£С, выпол-
нены неравенства
ДА < р-а>, <*•>’ м~ ж°’ Уо ‘
„ пйпатные неравенства, вообще говоря, не имеют
Однако обра	и результат> полученный для
ГТУ) 1с, можно утверждать, что для обоих игроков
ситуация равновесия из множества С не хуже любой
SvX равновесия из множества С, которая обеспе-
чивает игрокам получение _ лишь
, гарантированных выигрышен и М
' В заключение этого раздела отметим, что форму-
линовка рассмотренных выше игр опиралась на под-
ход Веллмана—Заде к задачам принятия решении
при нечетких условиях. Мы полагали при этом, что
на основе этого подхода игроки принимают решения
о выборе своих стратегий. Это позволило сформулиро-
вать игру в нечетко определенной обстановке в форме
обычной игры с четко описанными функциями выиг-
рышей и и множествами стратегий X и У.
Для анализа таким образом сформулированных
игр в нечетко определенной обстановке применим ап-
парат теории игр. Было бы интересным, в частности,
исследовать вопрос о существовании и способах на-
хождения ситуаций равновесия в таких играх и свя-
занный с этим вопрос о возможности (и смысле) исполь-
зования игроками смешанных стратегий, т. е. распре-
делений вероятности на множествах X и У. Интересным
и практически важным представляется также исследо-
вание влияния различных способов обмена информа-
цией между игроками на величины их максимальных
гарантированных выигрышей.
2.5.5. Нечеткое равновесное решение игры. Как
уже говорилось выше, формулировка и анализ игры
в нечетко определенной обстановке зависят от того,
по какому принципу игроки принимают решения о вы-
боре своих стратегий. Подход Веллмана—Заде при-
водит к формулировкам, описанным в двух предыду-
щих разделах. В данном разделе мы остановимся еще
на одной *
принятия решений, описанный в§ 2Л. Для упроще*
формулировке, опирающейся на принцип
iii;
2.5] ИГРЫ В НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОБСТАНОВКЕ 111
, как и прежде, будем рассматри-
— универсальные множества
-> [0, 1] и |i2:
[0
ния изложения мы, как и прежде, будем рассматри-
вать лишь игры двух лиц; распространение приведен-
ных выше рассуждений на случай большего числа
участников не представляет труда.
Итак, пусть X и Y —
стратегий игроков 1, 2, а X
1] — их нечеткие множества допустимых стратегий.
Функции выигрышей игроков будем, как и выше, обо-
значать /х (х, у) и /2 (ж, у). В отличие от предыдущего,
будем считать, что каждый из игроков стремится по-
лучить по возможности большее значение своей функ-
ции выигрышей.
Ниже мы попытаемся ввести некоторое понятие
нечеткого равновесного решения игры, которое может
служить
между игроками о выборе их совместного поведения
в игре.
Заметим, что при любой фиксированной (и извест-
ной игроку 1) стратегии У игрока 2 перед игроком 1
стоит рассмотренная в § 2.4 задача принятия реше-
ния о «максимизации» его функции выигрышей на не-
четком множестве его допустимых стратегий. В соот-
ветствии с описанным в § 2.4 подходом решением такой
задачи считается нечеткое множество вида
( р (х, у) при х G и N (*, у)>
/ X )	1	Х>0
Нк =
1	I 0 в остальных случаях,
основой для достижения договоренности
где
N(k, у) = {х | Д (х, у)= sup А (ж', !/)},
я'егх
Зависимость множества от у отражает тот факт, что
это множество является нечетким ответом игрока 1 на
выбор игроком 2 стратегии у.
Аналогичным образом, ответом игрока на в
игроком 2 стратегии х G X следует считать неч
множество вида
f HaGO ПРИ
в остальных случаях,
J
112	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	ГГЛ. 2
где
п. ,)=(!/№	у
С2 — {у\У^^'
пАъгт.га в так определенные решения,
”2Л- “ "“““у тесъ “ы ва °то"
П|1Т.”„° "ш™ формами» олрелемвио нечеткого
оаввовесяого рекяшя раооматртаемок игры, а аатем
установим некоторые его свойств», которые проке-
няют его смысл.
решением рассматриваемой игры двух лиц называется
нечеткое подмножество множества А X У вида
р*(я, У) — m*n {Ра (ж’
е 2.5.1. Нечетким равновесным
е. рв(*о, */о)>°> т0
0 > 0, что Хц £ N (Х°, yQ)
Иными словами, нечеткое равновесное решение
определяется как пересечение нечетких множеств D±
и D2.
Покажем теперь, что множество обладает следую-
щими важными свойствами:
1. Если (х0, t/0)Esuppp/, т.
найдутся такие числа Х° > 0 и р
и Ус£М(р°, xQ). Как нетрудно видеть (см. определение
ситуации равновесия в п. 2.5-1), последнее означает,
что пара стратегий (ж0, у0) представляет собой ситуацию
равновесия исходной игры, в которой множествами до-
пустимых стратегий являются обычные множества (мно-
жества уровня) CJ
L VA»-- V’ > J7V/ “	yt* »	•«'О/,	«
жеств N (X, у) и М (р, х) следует
Действительно, из того, что
из определения мно-
Ус) и р06 W,
АС^о» #о)^А(я» £/0) Уя(«С{о,
/а Ус) > h У) Vy 6 Ср2*-
Такая ситуация равновесия соответствует тому слу-
чаю, когда игрок 1 считает допустимыми в одинаковой
шр1^НИ ВСе стРатегии> принадлежащие нечеткому мно-
стпя ВУ С° степенью» не меньшей Х°, а игрок 2 —
етАттЦГИИ’ пРинаДле>ка1цие нечеткому множеству р2 со
степенью, не меньшей р<>.
2.5] ИГРЫ В НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОБСТАНОВКЕ ИЗ
Из свойства 1 вытекает, что любая пара (х, у) из
носителя нечеткого множества р.6 является ситуацией
равновесия подобной игры при некоторых пороговых
уровнях X и р. Справедливо и обратное утверждение.
2. Если при некоторых Х°>0, р°>0 пара (z0, у0)
есть ситуация равновесия в игре с функциями выиг-
рышей f
(а:0, Уо) € SUPP т- е. |1в(ж0, у0)>0.
Действительно, если (а:0, г/0) — ситуация равновесия
в множестве ситуаций С{о X Cfo, то
/1 (^о> Уо) = sup Д (х, р0),
/г (жо> У о) = sup /2 (а:0, у).
/2 и множеством ситуаций СЬ X С1«, то
Это в свою очередь означает, что z0E/V(X°, у0), у0£
£Л£(р®, ж0) и, следовательно,
Р'в1(3'0> J/o) V'n2^o‘> Уо)>0>
откуда р.*(жо» Ро)>0, т. е. (х0, у0) £ supp рЛ
Из свойств 1 и 2 вытекает, что носитель нечеткого
равновесного решения р.' содержит все такие и только
такие пары (х, у), каждая из которых является ситуа-
цией равновесия игры на некоторых множествах уровня
нечетких множеств стратегий игроков.
Нечеткому равновесному решению соответствуют
следующие нечеткие выигрыши игроков:
u. (г) = sup р-' (х, у) Vr 6 й1,
[Л, (r)= sup р"(х у)
*	(^, у) 6/21 (»*)
где
/71 (г) = {(я, У) | (ж> У) 6 % X Y, fi (х, у) = г},
(при этом полагается, что sup по пустому множеству
равен нулю).
Нечеткое равновесное решение может служить
новой для достижения договоренности между игроками
о выборе конкретной пары (х0, Уо) в исходной нечетко
определенной игре. Заметим, что ситуация здесь ан
8 С. А. Орловский
114
математическое программирование [Гл 2
т. е. ситуацию
логична ситуации, типичной для задач принятия реше-
ний по нескольким критериям, в которых лицу, при-
нимающему решения, предлагается набор не сравни-
мых между собой недоминируемых решений (вместе
со значениями критериев) для осуществления оконча-
тельного выбора. В данном случае, например, игроки
могут выбрать ситуацию вида
(% у0) = arg шах р'(а:, у),
ХхУ
т. е. ситуацию, имеющую максимальную степень при-
надлежности равновесному решению. Разумеется, это
не единственно возможный способ выбора компромис-
сного решения.
В этой главе мы имели дело с задачами принятия
решении, в которых нечетко были описаны лишь мно-
жества альтернатив. Для анализа более сложных
задач нам потребуется аппарат нечетких отношений
предпочтения, с изложения которого мы и начнем сле-
дующую главу.
f
ГЛАВА 3
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
ПРИ НЕЧЕТКОМ ОТНОШЕНИИ
ПРЕДПОЧТЕНИЯ
НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ
3.1. Введение
реальной ситуации или процесса
При исследовании
с целью принятия рационального решения естественно
начать с выявления множества всех допустимых реше-
ний или альтернатив. В зависимости от имеющейся
информации это множество удается описать с той или
иной степенью четкости. Пусть, например, X — не-
которое универсальное множество альтернатив и
Р-с (х) — нечеткое описание его подмножества допусти-
мых альтернатив. Значения функции описывают
степени допустимости соответствующих альтернатив
в данной задаче.
Если кроме этой функции нет другой информации
об исследуемой реальной ситуации, то рациональным
остается считать выбор любой альтернативы из мно-
жества
XD = (x\x£X,	(х)=sup(у)}
т. е. любой альтернативы, имеющей максимальную
степень допустимости, поскольку нет основании пред-
почесть какую-либо из этих альтернатив остальным.
При введении в модель дополнительной информа-
ции рациональным может оказаться выбор альтерна-
тив из более узкого подмножества множества ХБ или
каких-либо альтернатив, не принадлежащих этому
• множеству. Эта информация может оказаться такой,
в частности, что на ее основе удастся выявить единст-
венную наи лучшую из всех альтернативу, как, напри-
мер, при выборе альтернативы, максимизирующей
функцию, достигающую максимума в одной точке.
Информация о реальной ситуации или процессе
принятия решений, на основе которой одни альтерна
8*
116 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [ГЛ. 3
ТИВЫ МОЖНи	~
различными способами. В гл. 2 мы рассмотрели задачи
В КОТОРЫХ ЭТа I Х '
тивы сравнивались друг с другом. Но, как уже отме-
I
ции возможен не всегда. Более универсальным явля-
тивы можно предпочесть другим, может быть задана
различными способами. В гл. 2 мы рассмотрели задачи,
в которых эта информация представлялась в форме
функций полезности, по значениям которых альтерна-
тивы сравнивались друг с другом. Но, как уже отме-
чалось выше, такой способ описания реальной информа-
ции возможен не всегда. Более универсальным явля-
ется описание информации в форме отношения пред-
почтения в множестве альтернатив.
Один из способов выявления отношения предпоч-
тения в множестве альтернатив при построении матема-
тической модели реальной ситуации или процесса при-
нятия решений — консультации с л. п. р. или с экспер-
тами. При этом имеется в виду, что л. п. р. или эксперты
обладают знаниями или представлениями об исследуе-
мом объекте, которые не были формализованы в мо-
дели в силу чрезмерной сложности такой формализа-
ции или по другим причинам.
Допустим, что с помощью л. п. р.
выявлено четкое отношение нестрогого предпочтения *)
R в множестве допустимых альтернатив X. Это
значит, что относительно любой пары альтернатив
у X высказано одно из следующих утверждений:
или экспертов
сузить класс ра-
2. «у не хуже ж», т. е. у^х или (у, х)£Н.
„ (п' 1\Л>У ПС сРавюглил междУ собой», т. е. (х, y)fiR
циси^им^ В 1ак°й $°Рме позволяет сузить класс ра-
нативы котлпЫ °РОВ’ включив в него лишь те альтер-
тивой множества X домини₽у1ОТСЯ ни одной альтерна-
пояснить, какие альтернативы
? выделим соответствую-
я R отношение строгого
Для того чтобы ___
„ “таются иодомипиРУемыми
“-1™ отношению предпочтени
™(“. ») «Л ЖокР™е™ь
предпочтения Цв :
х строго лучше альтерна-
У И у X, т. е.‘ (х, y)£R
всех таких пар (х, у) и на-
четких
также [39]).
ВВЕДЕНИЕ
117

зовем отношением строгого предпочтения R’ на мип
жестве л.	‘ на мн<>-
_ Дл£ бТе комлактной записи определения отноше
воспользуемся определением отношения R'1
обратного к R (см. § 1.2):	п ’
(ж> У) € В 1 эквивалентно (у, х) (=< R,
или
(«, y)^R'io{y, Ж)ея.
Отношение строгого предпочтения R‘ можно записать
теперь в следующей форме:
Соответствующее R отношение безразличия R1 в X
определяется следующим образом. Пара (х, y)^R/
тогда и только тогда, когда либо не выполнено ни пред-
почтение х у. ни предпочтение у > х, либо оба эти
предпочтения выполнены одновременно. Иными сло-
вами, (ж, у) £ jRJ, когда имеющаяся информация в форме
отношения предпочтения
чтобы сделать выбор между альтернативами хну.
Нетрудно проверить, что отношение R1 можно записать
недостаточна для того,
R1 = {(X X X) \ (R и /Г1)) и (Я п кл
тива х доминирует альтернативу у Альтерна-
тиву х^Х назовем недоминируемой в множестве (X,
R), если (у, x)QR8 для любой альтернативы у£Х.
______________если х — недоминируемая альтерна-
те в множестве X нет ни одной альтернативы,
Если (ж, у) £ R\ то будем говорить, что альтерна-
тива х доминирует альтернативу y(z£—y)- Альтерна-
тиву х^Х назовем недоминируемой в множестве (X,
Иными словами
тива
которая бы доминировала ж. Недоминируемые альтер-
нативы являются в определенном смысле неулучшае-
мыми в множестве (X, /?), и их выбор в задаче приня-
тия решений естественно считать рациональным в пре-
делах имеющейся информации.
Таким образом, информация в форме отношения
предпочтения R позволяет сузить класс рациональ-
ных выборов в X до множества недоминируемых
(н. д.) альтернатив вида
= (х^Х, (у, ж)(ЕЯ\Я-1 №
НЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [Гл. 3
больше имеется информации о реальной
Яс“°’™ или процессе, тем уже отношение безразли-
S S подмножество декартова произведения X X X),
X множество Хв-Я- и, следовательно, меньше неопре-
Юность в рациональном выборе альтернатив.
Пои моделировании реальных систем могут встре-
титься такие ситуации (являющиеся, скорее, прави-
лом чем исключением), когда у л. п. р. или у экспер-
тов нет четкого представления о предпочтениях между
некоторыми из альтернатив. В таких случаях
л! и. р. или эксперты затрудняются с полной опреде-
ленностью утверждать, что, например, альтернатива
х не хуже альтернативы у (т. е. что х > у). Если же экс-
перт поставлен перед необходимостью высказывать
четкие суждения о предпочтениях, то при этом он будет
•Ji ।
:, при котором они имеют возможность опи-
из интервала [0, 1].
всеми или
ленностыо утверждать, что, например, альтернатива
х не хуже альтернативы у (т. е. что х у). Если же экс-
перт поставлен перед необходимостью высказывать
четкие суждения о предпочтениях, то при этом он будет
вынужден в некотором смысле «огрублять» имеющиеся
у него знания и представления, а математическая
модель окажется менее адекватной^ реальной ситуа-
ции»
Более гибким способом формализации имеющихся
у экспертов знаний о реальной ситуации представля-
ется так
сывать степень своей убежденности в предпочтениях
между альтернативами числа
В результате с помощью экспертов выявляется, вообще
говоря, нечеткое отношение предпочтения в множестве
альтернатив, в котором каждой паре альтернатив
(ж, у) соответствует число, описывающее степень вы-
полнения предпочтения х у.
Этот способ описания отношения позволяет в более
полной мере ввести в математическую модель знания и
представления экспертов и тем самым сделать модель
в определенном смысле более адекватной реальности.
Задача при этом заключается в том, как использовать
информацию в такой форме для рационального выбора
альтернатив. Таким задачам и посвящена данная глава.
вложение материала главы мы начнем с обсужде-
ния и анализа свойств нечетких отношений предпочте-
К0Т0Рые опираются рассматриваемые ниже
„Т? ^решению соответствующих задач принятия
стий wowi РИ Этом мы ссылаться на общие свой-
став нечетких отношений, изложенные выше в § 1.2.
3 21 НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ 119
3.2.Нечеткие отношения предпочтения
Пусть X заданное множество альтернатив. Не-
четким отношением нестрогого предпочтения (нон)
на X будем называть любое заданное на этом множестве
рефлексивное нечеткое отношение. Как уже говори-
лось в § 1.2, нечеткое отношение можно понимать как
нечеткое подмножество декартова произведения ХхХ.
Имея это в виду, нечеткое отношение предпочтения
R на множестве X будем описывать функцией принад-
лежности вида р.д: ХхХ —> [0, 1], обладающей свой-
нечеткое отношение предпочтения
лежности вида ХхХ
ством рефлексивности, т. е. (х, х)=1 при любом
Если — н. о. п. на множестве альтернатив Х1
то для любой пары альтернатив ж, у £ X значение
рд(я, у) понимается как степень выполнения предпоч-
тения «ж не хуже у» или х у. Равенство у)=^ О
может означать либо то, что с положительной степенью
выполнено обратное предпочтение у х, т. е. что
рд(г/, я)^>0, либо то, что альтернативы х и у не
сравнимы между собой ни с какой положительной
степенью, т. е. что и я) = 0.
Рефлексивность н. о.п. отражает тот естественный
факт, что любая альтернатива х £ X не хуже самой сеоя.
3.2.1. Нечеткие отношения безразличия, квази-
эквивалентности и строгого предпочтения. По задан-
ному на множестве X н. о. п. R можно однозначно
определить три соответствующих ему нечетких отно
шения: безразличия RJ (^), квазиэквивалентности
Яв(^) и строгого предпочтения Rs(^ которые исполь-
безразличия	RJ (р£), квазиэквивалентности
зуются в дальнейшем для определения и анализа свов^^в
множества недоминируемых альтернатив в задачах пр
нятия решений [39].
По аналогии с обычными отношениями
эти три отношения можно определить с ду
образом:
Я' = (Х X Л'\Яий-1)и(ЯАЯ х),
R‘=R \
120 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ (ГЛ. 3
где Я'1
дней _
____o6pajHoe к R отношение, описываемое функ-
принадлежности (см. § 1.2)
р.в_,(а:, у)=?в(У’ х) ^х'
Используя определения пересечения, объединения
и разности нечетких множеств (п. 1.2.2), получаем
следующие выражения для функции принадлежности
этих отношений:
1.	Нечеткое отношение безразличия.
Ив(•р» У) = max{1 — тах(Ня(^» У)* Рп^У* ж)},
min{pB(a:, у), нв(у, *)}} =
= Шах{шП1{1 У)> РдО/’ 4),
min{pB(a:, у), ?в(у, аг)}}.
2.	Нечеткое отношение квазиэквивалентности *):
у)=ппп{р.й(я, у), рв(у, 4}-
3.	Нечеткое отношение строгого предпочтения*.
РЖ У) —
IМ®’ у)—у-к(У’ х) при М*» 4>рд(у> ХЪ
~ I ° при р.в(«, у)<р-д(у> 4-
функций/,: X-.JP, 1=±1,
Для иллюстрации этих определений рассмотрим
простой пример обычного (четкого) отношения, описан-
ного набором функций полезности.
Пример 3.2.1. На множестве альтернатив X заданы п
функций	1=ь1, ...t п. Определим в X отношение
предпочтения R следующим образом:
Vi =. 1
^деть» \1Т0 Функция принадлежности (характери-
стическая функция) отношения R имееГвид
= п₽иW >/<(Р). i-1...........п..
(О в остальных случаях.
хЯу о /4 (я) > /, (р)
м.
• L
валентность wя	это °7ношение описывает нечеткую экви-
ние эквивалентное™*0180 но мы оставляем термин «отнотпе-
ются рефлексивными* ДЛЯ нечетких отношений, которые явля-
и, симметричными и транзитивными.
3.2]
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШРЬгггст
ВОЩЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ Ш
Заметим	___
жестве X могут быть не сравнимый
(т. е.» вообще говоря, R (J R-i
тивы х
у Л™ J1?® так°м отношении -
х собой альтергатмы
• V € X, для которых выполнено (J’	-
мер, альтернативы х, у, ЛЛя которых f'fxilK w-T-
С помощью введенных выше определений получаем
РИ-. !/) = fJ ”Ри^И=А(У) V. = 1........
(О в остальных случаях,
п- Эг0:
>Птг л _ о	в мно-
альтерна-
напри-
о и
у) =

О в остальных случаях.
Отметим, что альтернативы, недоминируемые при описанном
здесь отношении предпочтения, называют эффективными или
оптимальными по Парето для набора функций/,- (я), i=l	it
Рассмотрим теперь некоторые свойства введенных
нечетких отношений рн и pj.
Нетрудно убедиться в том, что нечеткие отношения
Pr и Ря рефлексивны и симметричны (см. определение
этих свойств в п. 1.2.4). Действительно,
1-	рл(з, х) = р^(д;, x) = pR(x, х) — 1, поскольку
исходное н. о. п. рд рефлексивно по определению.
2.	Симметричность обоих отношений следует из самих
их определений.
Столь же просто показать, что н. о.п. р« антирефлек-
сивно и антисимметрично. Действительно,
1. рЬ(а:, я) = 0, так как исходное н. о. п. рд реф-
лексивно, т. е. pR(#» я) = 1 при любом х£Х.
2. Пусть рв(2, ^)>0, т. е. рл(я, у)—
Тогда р£(у, х) = 0, а это и означает антисимметрич-
ность этого отношения.
Покажем теперь, что если исходное н. о. п. рд на
множестве X транзитивно, то тем же свойством обладают
соответствующие нечеткие отношения ря и рк«
Теорема 3.2.1. Еслин. о, п. рв наXтранзитивно,ггю
транзитивно и соответствующее нечеткое отношение рк.
Заметим, что из этой теоремы и из Расам°тРе™^
выше свойств отношения p-я вытекает, что У чияивя
теоремы представляет собой нечеткое °™ХИвное)‘
лентности (рефлективное, симметричное и транзитивное).
Допустим, что в условиях
не является транзитивным. По
такие х, у, z £ X, для которых
122 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [ГЛ. 3
Доказательство.
транзитивности (п. 1.2.4) это допущение
тропой ________ £- у	КОТППКГТ
теоремы
определению
означает,
отношение ря
что найдутся
° in (rf.tr. а. р* (*• »»• (3-м
Попустим «верь. ™ Л. <*'	{У' *И"
„«со доказательство совершенно аналогично).
КдаТОпределения |>й получаем, что	„) =
=Х 4 Пользуясь зтим равенством, запишем неравен-
СТВО (3.2.1) В виде
^(у, х) < min (р-в (х, z), p-r(z, у)}-	(3.2.2)
Поскольку рв симметрично, то из (3.2.2) получаем
^(У, х) < min (р-'/г (у, z), р-к(г» ж))-
Далее, из определения р-в следует, что
р-в(У> 2Хр-я(У’ г)’
min{p4(ib z)’ s)}^min
Из неравенств (3.2.3) и (3.2.4) заключаем, что
Mj/’ *)<min{M^ z)’	*)}•
Последнее неравенство противоречит условию транзитив_
ности исходного и. о. и. pR. Этим противоречием завер
шается доказательство теоремы.
Теорема 3.2.2. Если н. о. п. на X транзи
пшено, то транзитивно и соответствующее нечеткое от
ношение, строгого предпочтения рк.
Доказательство. Допустим
теоремы отношение не является транзитивным,
означает, что найдутся х, у, zf X, для которых выпол
нено неравенство
Р-Н3:. У) < min (р-к (х, г), p.«(z, у)}-	(3-2-5)
что в условиях
Это
S.21 ^ЧЁТКИЕ ОТНОШЕНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Поскольку р£(®, у)>0 при любых X, у с X
зуясь определением р.д, получаем из (3.2.5) ’
Р* (х, г) = р.в (ж, Z) _ р.к (Zj а.) > 0,
P«(z> y) = PR(z, V) — v-R(y, z)>0.
TO, ПОЛЬ-
(3.2.6)
(3.2.7)
а) Допустим, что рв(ж, у)<рв(у, ж). Тогда,
учиты-
пл
•Г*
я транзитивность рв, можно записать неравенство
V-R<Jb	У)>min(Ив(ж, z), pB(z, у)}. (3.2.8)
Из транзитивности р-в и неравенства (3.2.6) следует,
что
Рд(ж> Z)>PR(Z» ж) > min (р.в (z, у), рв(у, ж)}. (3.2.9)
Из (3.2.8) и (3.2.9) получаем
Рв(®. z) > min {p.B(z, у), рв(ж, z)},
(3.2.10)
т. е.
р.в(ж, z)>pB(z, у),	(3.2.11)
и, следовательно, из (3.2.8)
можно заключить
PR(®>	У)-
что
(3.2.12)
Далее, поскольку рй транзитивно,
то
Рй(/Л z)>min
{PR(У’
ж),
РдС^»
z)}.
Отсюда, учитывая неравенство (3.2.11) и принятое выше
допущение о том, что рв(ж, уУ^Рв^У’ хУ’ получаем
PR(y, z) > min (pB (у, «), pR(z, у)}>
min (рв(я, У)» PR(Z> &)}•
Из последнего неравенства и нуа®®нс^0Д2
дует неравенство р.й(г/,	у), г
образом, мн поюзали, .......
невозможность неравенства рв(ж, У)^У-в^’ >’
б) Допустим, что рв (х, у) Р« (у>	°
у)=р-в(х> уУ-^У' *)>о
124 НРРППбЧТЕЙИЙ нА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕЬЙАТИВ [rjj 8
неравенство (3.2.5) можно написать в виде
ря(я, у) — И'вСУ’
< min ([рв (я, z) —ря(я, «)],
[Pb(z> У)~Р-Лу< 2)]}-	(3.2.13)
Допустим, что рй(Ут z)^ У-к(У’ •с)* Гогда в (3.2.13)
величину рЕ (у, z) можно заменить на величину рд (у> х).
рв (х, у) - рв (У, х) < min {[рд (х, z) — рв (z, ж)]
[Мг> ^) —НД(У> *)]}.
(3.2.14)
Прибавив pR(y, я) к обеим частям этого неравенства,
получим
+ (Р-Л(^» «) —pB(z, a:))], pB(z, у)}.	(3.2.15)
Здесь следует рассмотреть две возможности:
1. Если pR(y, х)— P-r(z> #)^0, то из (3.2.15) по-
лучаем неравенство

которое противоречит транзитивности p.R.
я)>0, то, учитывая тран-
зитивность можно записать
Нл(1/> «)>рд(г, а:) > min {рв (z, у), рк(у, я-’)},
откуда сразу следует неравенство рй (у, х) рд (z> !/)’
которое противоречит допущению о том, что рд {у, z)
t'V-itty, х), и неравенству (3.2.7).
и. /~аК1\\ °®₽азом» мы показали, что
я\ >	®) из неравенств (3.2.6)
текает неравенство
У-ц(У> z)<P„(y, х).
при условии
И (3.2.7) ВЫ-
(3.2.16)
«* 1МтШ отаошаая np.BlimttBra ш
Рассуждая аналогичным обояч™ ..
'» пря у“ов,я *. <*' Й > I*, to, «) и (S) Tffi;
вытекает неравенство	'
V-r(z> x}<Zv-R(y, х).
(3.2.17)
Далее, пользуясь неравенствами
Р-яОл z) > min {р.й (г/, Ж), z)j,
ж)>min{нй(z, у), p.R(y, X)jt
4
в (3.2.16)
и (3.2.17)
получаем неравенства
Р-я(^> г)^Рв(х> z), p.E(z, x)^nR(z, у),
ение на множестве X называется квазиноряд-
в II
которые, как нетрудно видеть, противоречат неравен-
ствам (3.2.6) и (3.2.7). Этим противоречием завершается
доказательство теоремы 3.2.2.
Напомним, что обычное рефлексивное и транзитив-
ное отн
ком на X, а антирефлективное, антисимметричное и
транзитивное отношение называется строгим порядком
на X (см. книгу [18]). Пользуясь этой терминологией
и проводя аналогию с обычными отношениями, теоремы
3.2.1 и 3.2.2 можно сформулировать следующим образом.
Теорема 3.2.3. Если — нечеткий квазипорядок
на множестве X, то р*— соответствующее нечеткое
отношение эквивалентности, а рА— соответствующий
нечеткий строгий порядок на X.
3.2.2. Линейность нечетких отношений. Важным
свойством заданного на множестве X отношения пред-
почтения является его линейность. Отношение R на
X называется линейным, если этим отношением или
обратным к нему отношением связаны любые две аль-
тернативы данного множества. Иными словами, при
линейном отношении на множестве X нет не сравни-
мых между собой по предпочтению альтернатив.
Нетрудно понять, что линейность обычного отно-
шения эквивалентна условию
Пн
R\jR 1 — ХхХ,
126 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [ГЛ. ft
/г1 - обратное к Я отношение. Иначе это
следующем виде:
условие
где
можно записать 1
где R — дополнение R в X X X, или с пом
теристических функций
Ря(я, 10=О=>НяОь ж) = 1-
UH
(ью харак-
В случае нечеткого отн
•111
ения однозначно можно
определить лишь полное отсутствие линейности: не-
четкое отношение не является линейным тогда и
только тогда, когда найдутся такие альтернативы
ж, у£Х, для которых выполнено равенство
— ж) = °>
1
где Ик(ж> J?) —функция принадлежности данного нечет-
1)11
можно ввести
кого отношения.
Свойство же линейности нечеткого отношения можно
понимать более широко, чем в случае обычного отноше-
ния, в силу того, что функция принадлежности такого
отношения может принимать кроме 0 и 1 любые про-
межуточные значения. Пользуясь этим,
понятие степени линейности отношения.
Определение 3.2.1 [39]. Пусть X — некоторое
число из интервала [0, 1]. Нечеткое отношение pR
называется ^-линейным, если его функция принадлеж-
ности удовлетворяет условию
нс
при Л1
Таким образом, если н. о. п. является, например,
0,7j л инейным, то из каждых двух альтернатив по край-
ней мере одна не хуже другой со степенью, большей 0,7.
Рассмотрим еще один вид линейности нечеткого
отношения, которым будем пользоваться в дальнейшем.
Определение 3.2.2 [39]. Нечеткое отношение
называется сильно линейным, если его функция при-
надлежности удовлетворяет условию
тах {Ид(ж» у), V*R(y, ж)} = 1
при любых я, у^ X.
3.2] НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
127
Иначе свойство сильной
лить следующим образом:
линейности можно опреде-
Нв(ж> У)>Р-Е(у, ®)=>р.в(а:, у) = 1	(3.2.18)
при любых х, yf^X.
Чтобы пояснить смысл свойства сильной линейности
покажем, что оно эквивалентно условию	’
S/) = l — ^(у, ж) Чху^Х, (3.2.19)
где [х* — соответствующее нечеткое отношение строгого
предпочтения. Действительно, если выполнено (3.2.18),
то по определению р* получаем р* (?/, а:) —0, т. е. усл£
вие (3.2.19) также выполнено. Обратно, если выполнено
(3.2.19) и Ид(ж, ^)>рй(у, я), то р*(у, я)=0 и
|лд(ж, у) = 1, т. е. выполнено (3.2.18).
Обратимся теперь к условию сильной линейности
в форме (3.2.19). Нетрудно понять, что его можно запи-
сать в виде
7Г1 = (X X X) \ R\	(3.2.20)
'• т. е. у х ни с какой положительной
Если же х £+ у, то (у, х) £ R \ т. е. у > х
а выполнено предпочтение у х. Таким
где R~r — обратное к R нечеткое отношение, a R* — соот-
ветствующее R нечеткое отношение строгого предпо-
чтения.
Смысл же (3.2.20) можно пояснить следующим обра-
зом. Если, например, альтернативы х и у таковы, что х
строго лучше (предпочтительнее) у (х £— у) со степенью 1,
то (у, х) $ Л~\ т. е. у > ж ни с какой положительной
степенью. Если же х £+ у, то (у, ж) £ R \ т. е. у ж
со степенью 1. Если, наконец, ж£—у со степенью а, то
со степенью 1 — а выполнено предпочтение у ж. 1аким
образом, по своему смыслу сильная линейность в наи
большей степени аналогична свойству линейности о ыч
ного отношения.	„	..
Легко видеть, что из определения сильной линей-
ности следует, что при сильно линейном нечетком
множестве X для люоых двух нств
выполнено по крайней мере одно из равенств
^(ж,, Ж2) = 1, РК(Ж2, ^l) —1ф
свойство сильно линейного нечеткого^не-
что соответствующие ему нечет
шении R на
тив хг, х2
Еще одно
тения состоит в том
J28 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА
МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [ГЛ. ц
П1 и R* совпадают. Действительно,
Д»я —«»да”Т 0^™яВ™Л2
X» ™	 - — й -v;
чаем rf («. S) = Г, & *)• В “”У —Р"”'°С™ '*
, случае и, (». V) < fr- »> “ммм (х’	= “«{х'
и, следовательно,
1^(х, у) — min {рв(х, у), ?я(у> л)} = Р'я(а:> У)-
линейности нечеткого отношения: 0-линейностыо, ко-
торую будем называть слабой, и сильной линейностью.
можно определить* и следующим образом: н. о. п. р.
В дальнейшем мы будем пользоваться двумя типами
линейности нечеткого отношения: л	-- --
торую будем называть слабой, и сильной линейностью.
Как следует из определения 3.2.1, слабую линейность
можно определить и следующим образом: н. о. и. р,д
ла X называется слабо линейным, если оно обладает
свойством
ря(а:, у) = О=>рд(у, «)>0
при любых х, у£Х.
В заключение данного раздела приведем для иллю-
страции простые примеры нечетких отношений, обла-
дающих линейностью различных типов. Будем считать,
что множество X состоит из четырех элементов.
1. О ^-линейное нечеткое
отношение:»
(1
0,2
0*8
0,55	0,6	О
1	0,3	1
0,6	1	0,4
1	0,7	1
2. Сильно линейное отношение:
1
1
0
1
0,2
1
0,8
1

1	0
1 0.5
1	1
0,3 1
TAnwlfn* ^четкое подмножество недоминируемых аль-
выбооа аль™™ТИМСЯ тепеРь к задаче рационального
выбора альтернатив из множества X
нечеткое отношение предпочтения р • VxX~> [0, 1].
Как уже говорилось во введении
чае, когда информация о ситуац
» на котором задано
~> [0, 1].
к данной главе, в слу-
ии принятия решений
з.21	НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИИ 4,0
описана в форме обычного отношения предпочтения
рациональным естественно считать выбор недХвдиХ’
мых альтернатив. Математически такая задача е™
дится к выделению в заданном множестве Xпоим™
жества иедоминируемых альтернатив.
В этом разделе мы сделаем попытку применить по-
добный подход к задаче принятия решений при нечетко
описанном отношении предпочтения на множестве аль-
тернатив. При этом мы рассмотрим сначала задачи"
в которых само множество альтернатив описано четко'
т. е. как обычное множество, а затем обратимся к более
общему случаю с нечетким множеством альтернатив.
Итак, пусть X — обычное (четко описанное) мио-
Итак, пусть X —
жество альтернатив и — заданное на нем нечеткое
отношение нестрогого предпочтения. Пусть, кроме
того, — соответствующее нечеткое отношение
строгого предпочтения, введенное в п. 3.2.1. Попытаемся
определить подмножество недоминируемых альтерна-
тив множества (X, Заметим, что поскольку исход-
ное отношение предпочтения — нечеткое, то естественно
ожидать, что и соответствующее подмножество недо-
минируемых альтернатив окажется нечетким.
Предполагаемое ниже определение подмножества
иедоминируемых альтернатив опирается на следую-
щие рассуждения. Согласно определению отношения
для любых альтернатив я, у£Х величина (х, у)
есть степень, с которой альтернатива у доминируется
альтернативой х. Следовательно, при фиксированном
yQ X определенную на X функцию р*д (у, х) можно рас-
сматривать как функцию принадлежности нечеткого
множества «всех» альтернатив х, которые строго доми-
нируются альтернативой у. Пусть, например, сте™нь
4
(соответствующему некоторому
альтернативой х. Следовательно, при
ЗЕ
31
принадлежности альтернативы х0 этому множеству
'	Фиксированному у)
равна 0,3. Это означает, что xQ доминируется альтерна
тивой у со степенью 0,3.
Нетрудно попять, что множество «всех» альтерна
тив ж, которые не доминируются альтернативой у, пред
ставляет собой дополнение в X введенного множеств
Р'к (!/» #)• Согласно определению дополнения (п.	/
9 С. А. Орловский
130	ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ	[ГЛ. 3
„плгчаем что ото новое нечеткое множество описыва-
получаем, ч принадлежности вида
ется функцией д
1-у'(у, *),	V^-21)
/„	— 0 3. то со степенью 0,7
например,	х) — и»°’ 1
х не доминируется альтернативой у.
-- что для выделения в X подмножества
«нгех^альтерпа’гив, каждая из которых не доминиру-
одной альтернативой из X, НУ®НО взять пвр®'
множеств вида (3.2.21) по всем у £ X.
и назовем нечетким подмножеством
Р’В(У> ж)>
Если,
альтернатива
Теперь ясно,
И

ется ни
сечение нечетких
Это пересечение мы и назовем	-----------
недоминируемых альтернатив и обозначим его •.
Согласно определению пересечения нечетких мно-
жеств (п. 1.1.2) получаем следующее выражение для
функции принадлежности этого множества:
р,н.д. = inf — Рд (l/j #)]»	37 Е
или
„в.д.	— 1 — Sup у,* (у. х), х £ X. (3.2.22)
Определение 3.2.3 [39]. Пусть X — множество
альтернатив и рд — заданное на нем нечеткое отношение
предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых
альтернатив множества (X, рк) описывается функцией
принадлежности (3.2.22).
Значение р|-д- (ж) представляет собой степень, с кото-
рой альтернатива х не доминируется ни одной из альтер-
натив множества X. Пусть р*- д* (ж0) = а для некоторой
альтернативы ж0. Тогда может доминироваться Дру-
гими альтернативами, но со степенью не выше 1 -— а*
Действительно, при этом
SUP Rj ({/> я0) —1 — а
уех
и, следовательно, №9R(y, я0)^1—а для любой альтерна-
тивы у£Х.
Пользуясь определением нечеткого отношения рд,
нетрудно показать, что
sup ,1» (у, X) = sup (уя (У, х) - Ид (х, у)]	(3.2.23)
v w	1г С
131
— Произ-
множества
(г/, ж)>р-в(«, у)},
J.2] нечеткие отношения предпочтена
при любом х £ Х„ Действительно, пусть
вольно выбранная альтернатива. Введем
У1 (®) = {у | у (< X, , lsx~,
73 И = {У I 6 X, у.к(у,	у)}.
Пользуясь тем что (х) (J У2 (х) X при любо
запишем (3.2.23) в следующей форме:
8ЧРРк(У» х) =
=mai< {s.f‘fo'4	*»
Далее, опираясь на определение р.’, получаем из
suPHr(J6 х) =
= тах
{,е%[flR (у’ х} ~ {х’ °)=
=max (у’ х)~^х'
ж)~^> ^])=
S с Г	(У’	^Х’
Усл-	J
Равенство (3.2.23) позволяет описать подмножество
недоминируемых альтернатив функцией принадлеж-
ности вида
Рд'д> (х) — 1	sup (у, х) — р.д (х, у)1 (3.2.25)
гДе Р'д — исходное н. о. п. на множестве X. Выражение
(3.2.25) можно рассматривать как способ обработки исход-
ной нечеткой информации, заданной в форме н. о, п. р.В)
Для выделения в X подмножества недоминируемых
альтернатив.
Поскольку величина ^|-д- (х) есть степень «недомини-
руемостиж альтернативы х, то рациональным при задан-
ной нечеткой информации естественно считать выбор
альтернатив, имеющих по возможности большую сте-
пень принадлежности нечеткому множеству р-д,д’> т. е. тех
9*
более близкое к величине
_ 1 — inf sup [Рк (У» х) — Рл (ж> У)].
НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [ГЛ. 8
132 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА «
«т которые дают значение функции p«.„, (jc)
альтернатив, когорт м	--------
по возможности
sup РдД" (Х)
Ахерна,™,	» к”н“™ вгу
Т. е. элементы множества
Хн. Д. = {X I X е X, РГ-
в конечном множестве Az=(rc1
МЫ будем называть максимальными недоминируемыми
альтернативами множества (X, рй).
Пример 3.2.1. Пусть
хг, ха, Х4} задано н. о. п. вида
х2
я*

*/) =
1
0,5
ОД
0,6
0,2
1
0,6
0,1
0,3
0,2
1
0,5
0,1
0,6
0,3
1
Пользуясь введенными выше
определениями, получаем

аг2 я3
*1
P*R (xi» xj) 2
х3
х4
0
0,3
о
0,5
0	0,2	0
0	0	0,5
0,4	0	0
0	0,2	О
^2	^8
''•(*<)= 0,5	0,6	0,8	0,5
лВо^Н0’ что наибольшую степень недоминируемости,
nomo=™ ,ь’ имее,г альтернатива ®8, поэтому выбор ее в качестве
ваемого поптл^бТ считать Рациональным в рамках рассматри-
ваемого подхода.
ennifomLa* петко неД°минируемые альтернативы и их
ттилиатг! ’ эт°м "Разделе мы рассмотрим задачи Ра~
ного выбора альтернатив, в которых множе-
3.21
НЙЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИИ
133
ство недоминируемых альтернатив представляет собой
нормальное нечеткое подмножество множества X т е
функция принадлежности этого подмножества обладает
СВОЙСТВОМ	Л
sup pH-д-
(х) = 1.
В этом случае для любой альтернативы х из множе-
ства X д максимальных недоминируемых альтернатив
выполнено р^-д- (х) — 1, т. е. степень недоминируемост
любой такой альтернативы равна 1. Иными словами,
для любой я£Хн-д- и любой альтернативы у^Х при
этом выполнено равенство psR(y, z) = 0, т. е. ни одна
альтернатива не доминирует с положительной степенью
данную альтернативу х.
Имея это в виду, такие альтернативы мы будем
называть четко недоминируемыми (т. е. со степенью 1
недоминируемыми) или, сокращенно, ч. н. д. альтерна-
тивами, а множество ч. н. д. альтернатив будем обозна-
чать Хч-Н’д*. Таким образом,
Хч*н-д- =	(х) — 1].
Отметим, что ч. н. д. альтернативы представляют осо-
бый интерес в анализируемых здесь задачах рациональ-
ного выбора, поскольку множество можно рас-
сматривать как в некотором смысле четкое решение
нечетко поставленной задачи. Разумеется, не всякая
задача имеет такое решение; некоторые достаточные
условия его существования будут сформулированы
в следующем разделе. Здесь же мы изучим некоторые
полезные свойства ч. н. д. альтернатив.
Рассмотрим сначала вопрос об эквивалентности
ч. н. д. альтернатив. Отметим прежде всего, что этот
вопрос весьма важен в задаче рационального выбора.
Как следует из приведенного ниже равенства (d.z.zo),
ч. н. д. альтернативы могут быть сравнимыми
по отношению квазиэквивалентности. Если они не ®
валентны друг другу, то для обоснованного выбора
конкретной альтернативы необходимо при
полнительную информацию
ч. н. д. альтернативы могут быть сравнимыми
то для обоснованного выбора
, внешнюю по отношению
к изучаемой математической модели.
£з4 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ |РЙ. 3
[. альтернативы
 все ч. н
меньшей 1, — промежуточная ситуа-
С другой стороны, вся
аквивалентны друг другу со степенью 1, то такой ин-
формации не требуется и обоснованным (рациональ-
ным) является выбор любой из них. В действитель-
ности этот случай означает, что в рассматриваемой
модели уже имеется информация, достаточная для
рационального выбора конкретной альтернативы.
Эквивалентность ч. н. д. альтернатив с положитель-
ной степенью,
ция, в которой для обоснованного выбора конкретной
альтернативы требуется привлекать меньше дополни-
тельной информации по сравнению со случаем полной
неэквивалентности ч. н. д. альтернатив. Заметим, что
в этом смысле минимальную степень эквивалентности
ч. н. д. альтернатив можно рассматривать как некоторую
меру количества имеющейся в задаче информации, не-
обходимой для рационального выбора конкретной
альтернативы.
Как следует из определений множеств Хч«н- д- и
для любой ч. н. д. альтернативы (любого \г£Хч-н>д-)
выполняется равенство
supply, «) = 0,	(3.2.26)
уех
в котором р.' — соответствующее нечеткое отношение
строгого предпочтения. Отсюда можно заключить, что
для любых xlt х2 £ X" " ~
выполнено
Хя)~р-’я(х2, ж1) = 0.	(3.2.27)
Из определения р* следует, что равенство (3.2.27)
эквивалентно равенству	'
«2)=рв(®а, жД
но тогда
связаны отноше-
♦ не меньшей 0,5.
- Рд получаем
По определению нечеткого отношения
(Я?1’	*а) = Рй (®а, ;
ДЛЯ любых Жр жа £ Хч- и- Д
3.2]
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
поло-
этом случае
не сравнимы
если рд обладает
При произвольном н. о. п. рк может оказаться, что
^2) = 0 при х19 я2£Хч н.д.} т е ч н д альтер-
нативы могут не быть эквивалентными ни с какой
жительной степенью. Заметим, что в
рд (#1» *^2) == 1 ’ т. е. и ж2 определенно
друг с другом. Однако это не так, ।
свойством линейности (см. п. 3.2.2). Рассмотрим два
типа линейности н. о. п
введенные в п. 3.2.2.
>. п. рд. Если рй Х-линейно
и хг, х21 Ач’н> д>, то из определения Х-линейности и из
равенства (3.2.28) следует, что
Р'д (ж1» жг) >
при Х-линейном н. о. п. рд любые две
li
Иными словами,
ч. н. д. альтернативы эквивалентны со степенью, боль-
шей X. В частности, при слабо линейном н. о. п. рд любые
две ч. н. д. альтернативы эквивалентны с положительной
степенью.
Как уже отмечалось выше, величину
I — inf	х2)
можно рассматривать как меру количества имеющейся
в задаче информации, необходимой для однозначного
выбора альтернатив. Заметим, что эту же величину
можно считать и мерой линейности н. о. п. рд, поскольку,
как будет видно ниже, для сильно линейного рк она
равна 1, т. е. своему максимальному значению.
2. С и л ь н о л и и е й н о е и. о. п. рд. Если н. о. п. рд
сильно линейно и xv .т2^Хч-н*д-, то из определения
сильной линейности и из равенства (3.2.28) следует, что
.Го£Хч-н*д-, то из определения
т. е. любые две ч. н. д. альтернативы эквивалентны со
степенью 1 (т. е. определенно эквивалентны). Это озна-
чает, что выбор любой из них является оооснованным
в данной задаче.
Таким образом, сильно линейное н. о. п. рй такое,
что в множестве (X, рд) имеются ч. н. д. альтернативы,
136 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [ГЛ. 3
содержит в себе всю информацию, достаточную для
рационального выбора конкретной альтернативы.
Ч. н. д. альтернативы, соответствующие сильно ли-
нейному н. о. п. обладают еще и следующими важ-
ными свойствами.
Теорема 3.2.4. Если p.R — сильно линейное н. о. п.
на множестве X, то для любой альтернативы xQ £ Хч.н.д.
равенство pR(^0, х) — 1 выполняется для любой альтер-
нативы х^ X.
Доказательство. Допустим, что при некотором
х' £Х выполнено неравенство
•TI
Тогда из определения сильной линейности (п. 3.2.2)
получаем, что (я, х^) = 1. Из этих двух неравенств
заключаем, что р* (х,	^>0, а это невозможно, по-
скольку Хч-Н-Д-.
Теорема 3.2.5. Если ^ — сильно линейное тран-
зитивное н. о. п. на множестве X и н(рХч-н-Д- пп
^е(х’ У)>0 для любой альтернативы х.	’
Доказательство. Если у ft Хч-«• я., то „н.д./г/х<-1
тсюда, пользуясь определением (,»»., можно МКЛ '
™ папдетр» такая альтернатива з С X, для которой
Допустим, что для некоторого
равенство	р
выполнено
7 — и‘	(3.2.30)
л н. д. альтернативы имеет
Кроме того, по определению
место равенство и8 (у т\__п тл	***«^*м
из определения отношения J и t„Г* ДВУХ равенств’
ЛГтайгт™™™-----	* Л При УСЛОВИИ СИЛЬНОЙ
место равенство р.8	х\
_ — -	R /
линейности заключаем, что
у)
Р'п(У, X)
(3.2.31)
Поскольку рд транзитивно пл „
отношение Тоже транз (теорем^З 2 2^’ Т°
неирема 3.2.2). Отсюда,
3.2]
НЕЧЕТКИЕ отно:
11
1ЕНИЯ
ПРЕДПОЧТЕНИИ
137
пользуясь допущением (3.2.30) и
получаем
неравенством (3.2.29),
О > min {р.» (ж, z), p.»(z, у)} yZ£X,
т. е. р-’(z, у) = 0 при любом z£X,
а это противоречит
По сути дела, теорема 3.2.5 утверждает, что при
сильно линейном транзитивном н. о. п. p.R любая ч. н. д.
альтернатива строго с положительной степенью домини-
рует любую альтернативу, не входящую в множе-
ство Хч,н*д’.
Следствие из теоремы 3.2.5. Если, н. о. п. рв
сильно линейно и транзитивно, а?0£Хч-Е-д- и для неко-
торой альтернативы х £« X выполняется условие
ж0) = 1, то я£Хч-н-д-.
Доказательство. Из того, что ^(ж, т0) = 1,
вытекает, что р.* (я0, х) — 0. Отсюда получаем, что
х £ Хч-поскольку в противном случае из теоремы 3.2.5
следовало бы р.* (а;0, ж)^>0.
Это следствие и теорема 3.2.5 позволяют утверждать,
что при сильно линейном транзитивном н. о. п. pR на
множестве X ч.н.д. альтернативы составляют класс
эквивалентности со. степенью 1, причем любой эле-
мент этого класса доминирует с положительной сте-
пенью любую альтернативу, не входящую в этот
этого н. о. п
класс.
3.2.5. Условия существования четко недоминируе-
мых альтернатив. Мы сформулируем здесь условия
существования ч. н. д. альтернатив двух типов. В усло-
виях первого типа заданное н. о. п. не предполагается
транзитивным, однако на функцию принадлежности
этого н. о. п. и на само множество альтернатив X накла-
дываются некоторые топологические условия и тре о-
вания выпуклости. Условия второго типа будут сфор-
мулированы лишь для конечного множества X и тран-
зитивного н. о. п. р.д.
Прежде чем переходить к обсуждению условии
первого типа, введем некоторые вспомогательные опре
деления.
138 предпочтения на множестве альтернатив (ГЛ. 3
п /9е	называется седловой точкой функ-
„ J1®^ Максимум по х, минимум по у), если при
Я и и£Х выполнены следующие неравенства:
’ у (я®, У) > Ч & & > *	(3-2-32)
/„л ,л и (х1. V1} — две седловые точки функ-
тоже седловые точки
i
этой функции ’
•ft
>ме того,
точка
а:0) и (у°, у®)— тоже седловые
антисимметричной
Это равенство непосредственно вытекает из определе-
ния седловой точки.
Функцию <р (xt у) будем называть сснтосимметричнои ,
если при любых х, у£Х выполняется равенство
<р(®» у)=— ?(У> *)•
Ниже мы будем опираться на следующие свойства
антисимметричной функции.
Если (г®, у®) — седловая
функции <р (х, у), то («®,
точки этой функции. Действительно, по определению
седловой точки имеют место неравенства
<i> (г®, *°) > ? (а* у°) > т (у®, у°).	(3.2.34)
С другой стороны, используя это определение и анти-
симметричность функции <р(«, у), можно записать
?(«°, г®)<?(у°, ®°)<T(y«, уО). (3.2.35)
Из (3.2.34) и (3.2.35) следует, что
, У®) = <р(у«, у«),
ч » / и \у , у j седловые точки функции cd
получаем	сех своих седловых точках,
/(^-(((^ ж®) —о,
ной^функции равно^улю?ЧКе Значение антисимметрич-
альтернатив в мнХствГх сД’
<p(aJ°, г°) = ?(а:0
нем н. о, п. (ля.
3.2)
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
ПРЕДПОЧТЕНИЙ
139
Пусть х £ X — -
Согласно определению это означает, что
«/)] = !»
ч. н. д. альтернатива в множестве (X, и. \
ГАПППХХХЛ о».------	V ’
Ив д- (®) = 1 —
т. е.
sup [и, (р, х) - р, (х, „)]=о =	(11 г)
Отсюда получаем
при любом у£Х. Поскольку [рн(у, х) — р.д(ж, у)]_
антисимметричная функция, то из (3.2.36) можно заклю-
. чить, что пара (х, х) — седловая точка этой функции
(максимум по у, минимум по х).
Верно и легко проверяемое обратное утверждение:
если пара (ж, ж) — седловая точка функции Гр.й (у, ж) —
— Рв <ж» У)] на множестве X X X, то ж — ч. н. д. альтер-
натива в множестве (X, рй).
Таким образом, справедлива следующая
И. О. П.
тогда, когда пара (х
на множестве альтернатив X, то xofX —ч. н. д.
альтернатива в множестве (X, тогда и только
тогда, когда пара (а;0, .т0) — седловая точка функции
[Ма у) — pR(y, я)] (максимум по х, минимум по у).
Из этой теоремы и отмеченных выше свойств анти-
симметричной функции непосредственно вытекает сле-
дующее
Следствие. Элементы xG, yQ£X являются ч. н. д.
альтернативами в множестве (X, рй) тогда и только
тогда, когда пара (х$, yG) — седловая точка функции,
fa/? (х* у) —	(у, #)] (максимум по х, минимум по у)
Из теоремы 3.2.6 следует, что любые условия, доста-
точные для существования седловой точки функции
Гр-л (х, у) — pR(y> ж)] на множестве X X X, ^достаточны
и для существования ч. н. д. альтернатив в множестве
(X, р.к). Различные достаточные условия существования
седловой точк
влагаются во многих монографиях по
140 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [ГЛ. $
______Гр (см., например, [35]). Для иллюстрации при-
ведем здесь следующие относительно простые условия.
Теорема 3.2.7. Если множество X выпукло и ком-
пактно, функция рд(аг, у) непрерывна на тихоновском
f
Напомним, что функция <р (х) называется квазивогну-
0, и квазивыпуклой, если множество
теории
*^Теорема 3.2.7. Если множество X выпукло и ком-
пактно. функция у) непрерывна на тихоновском
произведении XX X, квазивогнута по х при любом у £Х
и квазивыпукла по у при любом х£Х, то эта функция
имеет по крайней мере одну седловую точку в множе-
стве X X X щ следовательно, в множестве (X,
имеется по крайней мере одна ч, н. д. альтернатива.
Напомним, что функция <р (х) называется квазивогну-
той, если множество {а: | х £ X, <р (х) X} выпукло в X
при любом X
{xfx^X, <р(^)^Х) выпукло при любом Х>0.
В заключение этого раздела сформулируем простое
достаточное условие существования ч. н. д. альтернатив
в множестве X с заданным на нем транзитивным н. о. п.
(условия второго типа). Для этого введем в мно-
жестве X обычное отношение вида
S~{(x, у)\х, у£Х, р.*(ж, j/)>0).
Легко убедиться в том, что если н. о. п. транзи-
тивно, то S антирефлексивно и транзитивно и, следо-
вательно, конечное множество {X, S} содержит альтер-
нативу х0, обладающую свойством (у, xQ) $ S при любом
t Л.
Для этой альтернативы получаем
P’fc, жо) = О
STполе/’ И °0ЭТ0Му жо€^-п-д-. Таким образом,
т е о dZm а 7ЭДТ достаточ™е Условие.
ным на нем t „ в конечном множестве X с задан^
неймеп^	Н‘ °' П- имеется "° кРай~
неи мере одна ч. н. д. альтернатива.
™ 5™ХТрв“ы"113	3 2-6
условие
[hi (ж> У) — Нй (У, «)]
Н* °' п‘ |Л/г — Достаточное
существования седловой точки функции
в конечном множестве X X X.
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
141
Пример 3.2.2. Пусть множество альтернатив X
п^ти элементов: хг, хг, х,, х. .	-- р
_	состоит
Ж31	^5- Матрица н. о. n. jiR
из
имеет 'вид
I
/1	0,7	0,8	0,5	0,5'
/о	0	0,3	О	0,2
P-r^i. ®у) = | 0	0.7	1	о	0,2
I 0,6	1	0,9	1	0,6
\0	0	0	0	1
Построим матрицу соответствующего нечеткого отношения
строгого предпочтения:
(О	0,7	0,8	0	0,5\
О	0	0	0	0,2 \
О	0,4	0	0	0,2 I
0,1	1	0,9	0	0,6 Г
.0	0	0	0	0 /
Функция принадлежности нечеткого множества недомини-
руемых альтернатив имеет вид
^1	*^2	^3
д (я) =0,9	0	0,1	1	0,4
Таким образом, в рассматриваемом множестве (X, р.й) имеется
единственная ч. н. д. альтернатива х4 (рй’ д‘ (х4) = 1). Заметим,
что эта альтернатива доминирует с положительной степенью
все остальные альтернативы, т. е. р<й(х4,	7 = 1» 2, 3, 5.
Если требующиеся в теореме 3.2.7 условия
3,2.6. Смешанное расширение задачи принятия ре-
шений. Если требующиеся в теореме 3.2.7 условия
вогнутости-выпуклости функции р-й(я, у) не выполнены,
то в множестве (X, рй) может, вообще говоря, не быть
ни одной ч. н. д. альтернативы или, что эквивалентно.,
предыдущему, функция [р-й (ж, у) — рв({А г)] может
не иметь ни одной седловой точки.
В этих случаях в теории игр используется следую
щий прием. Вместо множества X рассматривается его
расширение («выпуклая оболочка»): множество все
Н2 ПГВДИЮТИЯ НА МВОЖВОТВВ АЛЬТЕРНАТИВ [Р^. >
функция	/
ф (р, 0=J J ? (х> у) dP (*)d® №
определенная на множен™
ных распределениях Р (ж)	. ,л
математическое ожидание значении функции ср (ж, у).
Интерпретировать такое расширение можно, например,
следующим образом: величина <р (Р, Q) представляет
собой средний «выигрыш», получаемый при многократ-
ных выборах стратегий с вероятностями, соответствую-
щими распределениям Р и (?.
«Математический выигрыш» от такого расширения
заключается в том, что функция ф (Р, Q) билинейна на
множестве ^Х^ и, следовательно, вогнуто-выпукла
и в том случае, когда исходная функция ср (ж, у) не
является таковой, и множество выпукло. Поэтому
для существования седловой точки расширенной
функции ф (Р, Q) на исходное множество X и исход-
ную функцию ср (я, у) достаточно наложить лишь то-
пологические требования типа приведенных в теоре-
ме 3.2.7.
Мы воспользуемся здесь этим приемом в задаче
выбора альтернатив. Пусть —
можных распределений вероятности (смешанных альтер-
Значение Ф (Р, Q) новой функции при фиксирован-
т ~ ' * и Q (у) представляет собой
ме 3.2.7.
множество всевоз-
натив), определенных на исходном множестве альтер-
натив X. Выбор распределения Р £ X мы будем ин-
терпретировать как процесс многократного выбора
альтернатив из множества X с соответствующими ве-
роятностями.
предаотаение Р^?Л буДвМ считать’ что <<в среднем»
предпочтение Р Q выполнено со степенью
(A Q) = J J (ж, у) dP (ж) dQ (у).
XX
функция р.й .представляет собой
и-о.п. (1Й на множество смешанных алктернатиГТ
натив X. Выбор распределения Р f X мы будем ин-
предпочтение
расширение исходного
з.
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
143
Пользуясь теми же рассуждениями, что и в и. 3.2.3
нетрудно получить, что нечеткое множество недомйни-
руемых смешанных альтернатив описывается функцией
принадлежности вида
р.н-д.(Р) = 1 _sup J J [pR(y, ж)_ y)\dP(x)dQ(y).
как и в п. 3.2.3, определим множество ч. н. д.
Так же,
альтернатив в множестве (X, р.в):
Хч.н.д. = {р|рех, =
Теорему 3.2.7 для подобной расширенной задачи
можно выразить в следующей форме.
Теорема 3.2.9. Если множество X компактно^
функция |ад(я, у) непрерывна на тихоновском произве-
дении X X X, то в множестве (Я,
ней мере одна ч. н. д. альтернатива.
По отношению к исходной задаче смысл подобной
смешанной ч. н. д. альтернативы можно пояснить сле-
дующим образом. Из определения ч. н. д. альтернативы
нетрудно заключить, что
Ш.1.
и-
J J [Р-я (Р> *) - Р* (х, у)] dpo (Ж)=О
при любых у£Х и Р°б£’-Н-Я-- Это означает, что ни-
какая альтернатива у 6 X не доминирует с положитель
ной степенью смешанную ч. н. д. альтернативу, н
словами, в многошаговом (формально бесконечношаг
вом) процессе выбора альтернативы из месиа^
в соответствии с распределением Р (я) Р Д
тематическое ожидание) степень домин^ован „илт
раемых альтернатив альтернативой у £ Р ,шож
Следствие из т е о р ем ы 3.2.9. В конечное
множестве альтернатив X с заданным наw * ’ %
|*я: X X X -> [0, 11 (нетранзитивным, вообще говоря)
имеется по крайней мере одна смешанная ч. н. д. аль р
натива.
144 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [itf. 3
3.3. Несколько отношений предпочтения /
на множестве альтернатив	у
Рассмотрим теперь следующую задачу. Пу^ть за-
дано множество альтернатив X и каждая альтернатива
характеризуется несколькими признаками с номерами
7=1 . . ., т. Информация о попарном сравнении аль-
тернатив по каждому из признаков / представлена
в форме отношения предпочтения Таким образом,
имеется т отношений предпочтения Rj на множестве X.
Задача заключается в том, чтобы по данной информации
сделать рациональный выбор альтернатив из множества
(X, 7?!,..., Rm).
Обратимся сначала к простейшей ситуации, когда
отношения Rj описываются заданными функциями
полезности /у: X -► R1, где R1 — числовая ось. Зна-
чение функции fj (а:) можно понимать как числовую оценку
альтернативы х по признаку /. Альтернатива с боль-
шей оценкой fj (х) полагается более предпочтительной
по признаку /. Задача заключается в том, чтобы выбрать
альтернативу, имеющую по возможности бдлыпие
оценки по всем признакам.
Рациональным в этом случае естественно считать
выбор альтернативы я0£Х, обладающей свойством
/у (у) tj (*о)> 7 = 1. • • •, л1=>/у(р) = /у(а:0),
7 = 1.	(3.3.1)
Такие альтернативы обычно называют эффективными;
решением же данной задачи выбора является множе-
ство всех эффективных альтернатив.
пййт ^трудно понять, что каждая из функций описы-
щего Ви™-100 отношение предпочтения на /'следую-
	/А** •
и
т
П Rj- Покажем, что множество всех э
Пусть Q
tbbwx (недоминируемых) альтернатив.
совпадает с множеством эффективных
набора функций / j = 1 W	Х
эго»
ек-
в множестве (X,
альтернатив для
тп.
3.\] НЕСКОЛЬКО ОТНОШЕНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
•чУ сть а:о‘-~ недоминируемая альтернатива
жестЬе (л, QJ. Это означает (см. п. 3 2 3'»
любого у£Х выполнено	’
\	(&> жо) € <??»
145
В МНО-
ЧТО для
где соответствующее Qx отношение
почтения, имеющее вид (см. п. 3.2.1)
строгого пред-
(/)к>
/у (ж) >(у),	;=1,...,т>
3/0: /л(ж)>/у0(!/)}.
Отсюда и из (3.3.2) заключаем, что
// &) > /у (*о)>
j 1, ...,	— /у(я0),
7 — 1 у  * • > тп^
т. е
ж0 — эффективная альтернатива для функций f
• • •, 772* •
Столь же просто показать и обратное, т. е. то, что
любая эффективная альтернатива для функций
j = l9 ..., тп, является недоминируемой в множестве
Таким образом, для нахождения множества эффек-
тивных альтернатив можно вместо набора отношений R^
j = l, ..., m, взять пересечение этих отношений Qt
и найти множество недоминируемых альтернатив в мно-
жестве (X, (21)-
Представим теперь пересечение отношений Rj в не-
сколько иной форме. Пусть
Ру (ж, у) =
1 при (ж,
О при (ж, y)$Rj,
31
(3.3.3)
ункция принадлежности отношения Rу Тогда пере-
сечению этих отношений соответствует функция при-
надлежности
У)
min !/)>•••>	У))’ (3.3.4)
аналогичная свертке критериев /у вида
F (х) = min Ху/у,
у=1,...»»»
10 С. А. Орловский
-гт . 'югтхлЖРСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ
146 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖ
тия
исла
л-х о югилткиитериальных задачах при
й (ал В например книги [31, 33, 34}).
Г" “ертке играют роль коэффициентов Тноеи-
__ важности рассматриваемых функц^В^ертае
отношений (3.3.4) Ху=1. 7—1
ТОМУ что все заданные отношения одинаковЬ важно
учитывать при выборе альтернатив.
Если заданные отношения Rj различаются по важ-
ности т. е. различаются по важности соответствующие
признаки, по которым нужно сравнивать альтернативы,
то в свертке (3.3.4) можно, вообще говоря, использовать
различные по величине коэффициенты Однако при
этом рассматриваемые в
I
класс нечетких отношений. Иными словами, в опреде-
лении функций принадлежности
тельной
/	Л. --
. zn; это соответствует
т. е. различаются по важности соответствующие
исходной задаче отн
хения
предпочтения необходимо погрузить в более широкий
класс нечетких отношений. Иными словами, в опреде-
лении функций принадлежности (3.3.3) числа 0 и 1
следует понимать не как значения булевой перемен-
ной
•JII
сигнализирующей о принадлежности или непри-
надлежности элемента множеству Rj, а как крайние
точки единичного интервала возможных значений сте-
пени принадлежности.
В результате свертки исходных отношений Rj
tn
с коэффициентами X, такими, что У Х, = 1,	Х.^0,
y=i 3	3
j = • • • > т, получаем функцию принадлежности вида
(*. У) = min (Х1И1 (х, у),..., xmpm (ж, ,/)},	(3.3.5)
т. е. функцию принадлежности • •- -—
ппрппп^еНИЯ" трудно видеть, что это отношение
Д« ™ ТИЯ (3-3-5), вообще говоря, не рефлексивно,
оппАпелри^оЯеТСч отношением предпочтения в смысле
<8-3-5> иеудо6“
важности заданных отношений.
гого вида” тепе₽ь свертку исходных отношений дру-
нечеткого отношения
в относительной
т
г/)=Дх#у(ж, у)
(3.3.6)
НЕСКОЛЬКО ОТНОШЕНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 147
3-3
и обидим ее роль в сформулированной задаче рацио-
^четкое отношение полученное в результате
нальнххго выборе альтернатив. Заметим, что результирую-
щее
сверткй\ исходных обычных отношений Rj, рефлексивно,
так как 'рефлексивны исходные отношения
Пусть, как и прежде, все исходные отношения пред-
почтения одинаковы по важности. В (3.3.6) это соответ-
ствует тому, что Ху = 1 /т, j = 1,.. ..т. Построим нечет-
кое подмножество недоминируемых альтернатив мно-
жест
(X, р^), пользуясь определениями, введенными
sup
уех
т
У)]»
ж^Х.
(3.3.7)
Обозначим Xj-H-«- подмножество ч. н. д. альтернатив
множества (X,	(т. е. Х^н-Д-— множество эффектив-
ных альтернатив для набора функций /у (ж), / = 1,.. ..,тп)
и Х£*н*д*—соответствующее множество в (X, р^). Пока-
жем, что Х*'н’д‘ С Х?-Н,д’.
нию ч. н. д* альтернативы (п. 3.2.4) и (3.3.7) это озна-
чает, что
(X, р.„) (т. е. Х’-«д—множество эффектив-
1)11
Действительпо, пусть x0^Xj,H’n-. Согласно определе-
sup 2 [Р7	~ j = 0
У6ХУ=1
или
HUH J1IVUUM	м	/О О'4\
Допустим, что	н 1огда, согласно (3.3.1)
и (3.3.3), получаем, что найдется у 6 X такой,
р.. (к Ж) = 1, j = 1 ,s .., m, и при некотором ] = }0 выпол-
нено р. (хп, у) = 0. Но тогда при этом у не выпол-
"неравенство (3.3.8). Отсюда заключаем, что
уч.н.д. Г" ХУ,Н,Д’«
вообще говоря, множество	ые
эффективные альтернативы для-функ-
няется
Заметим, что,
охватывает все
что
д* 1
148 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА
МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [ГЛ. 3
ций /7 = 1, • • • - т> т- е‘ не совпадает с миоже-
гтпом ¥чня-. Однако можно показать, что любая эффек-
тивная альтернатива, т. е. любой элемент х £ Xf-н-и-,
принадлежит множеству р«;д- с положительной степенью,
т. е. что
X'} н. д. с; supp д-.
Действительно, если для некоторой альтернативы х £ X
выполнено Д (х)=0, то из (3.3.7) получаем, что пай-
Y 2
дется у^Х, для которого
у-АУ* ж) — V-Ax> у) = 1» 7 = 1,--->иг,
т. е. ру(у, ж) = 1 и ру(ж, у) = 0 при всех 7 = 1,.  -,т.
т. е.	/ = 1, •••, ГГЬ. и, следова-

Это означает, что альтернатива у доминирует альтерна-
тиву х
тельно, х не может быть эффективной альтернативой
для набора функций /у.
Обсудим теперь свойства альтернатив из множества
supp р^’д\ т. е. альтернатив х £ X, для которых р^-д- (ж)^>0.
Нетрудно видеть, что функция р-^*д (аг) принимает лишь
значения вида к/т, где к — натуральное число, ик^т.
Пусть для некоторой альтернативы ^/^suppp.^n
.ч rt А	1 i	л
Пусть для некоторой альтернативы
рн.д.{х ) = klm. Согласно (3.3.7) это означает, что
т
sup 2 [Ру (У, ж') — 1Ъ (ж', У)] — т — к {3.3.9)
ИЛИ
2[|ху({/, ж') — Ру(х', jy)J т — к
(3.3.10)
“Ы, из (3.3.10) следует
между числом членов этой суммы, равных 4-1
членов равных -1, не превышает 1L к п™ ™
при любом у£Х.
значения^П^ Чле”!л сУм^м в (3.3.10) принимают лишь
между чигпо^1 ~ ’ И3 (3-ЗЛО) следует, что разность
членов п»ч ?НОВ ЭТ0Й Сумм,л’ равных 4-1, и числом
Иначе STS -!» не превышает 1 — к при любом у С X.
Пустт d (и т1»КТ можп° 110пснить следующим образом.
Пусть р (у Х) _ число функций fj из 8аданного H^6opai
по каждой из которых альтернатива у строго лучше ж,
3.31
НЕСКОЛЬКО ОТНОШЕНИЙ
ПРЕДПОЧТЕНИЯ
149
и q (у, Ж) — число функций, по которым х строго лучше у.
Тогда, если (x') = k/rri, то
Р(У>	х')Ст-к
при любом у£Х.
Таким образом, функция р.н.д. упорядочивает альтер-
нативы по степени их недоминируемости. Например,
если ^‘д’ (^о) 3/4 (т. е. т —-	1) и некоторая альтер-
натива у £ X строго лучше альтернативы ж0 по каким-
либо двум критериям (признакам), то не менее чем по
одному из остальных признаков альтернатива т0 строго
лучше альтернативы у.
Если взять пересечение множеств Х*н-* и
то получим соответствующее упорядочение на множестве
эффективных альтернатив, пользуясь которым можно
осуществить выбор среди них.
Если же в свертке (3.3.6) веса X- неодинаковы, то
каждая из введенных выше характеристик р (у, х) и
q {Уч я') будет представлять собой не число соответ-
ствующих признаков, а их суммарный относительный
вес (важность).
Итак, применение свертки (3.3.6) исходных обыч-
ных отношений предпочтения в задаче принятия реше-
ний по набору функций позволяет получить дополни-
тельную информацию об относительной степени недоми-
нируемости эффективных альтернатив и тем самым
сузить класс рациональных выборов до множества

Хч-й. Д. _ (х |х (- X, р.«;« (ж)= SUPM др.“;д (ж')}.
В общей задаче, когда на множестве альтернатив
заданы т нечетких отношений предпочтения Яр
7=1, . . т, и заданы коэффициенты \ относительной
важности этих отношений, можно поступать аналогия
ным образом.
1. Строим нечеткое отношение Qx (пересечение исход
ных отношений):
^(.т, y) = min У^> ‘ ‘
150
ПРЕДПОЧТЕНИЯ
ЦА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ
[ГЛ. 3
нечеткое подмножество недоминируемых
в множестве (X,
f«) =1 — sup [р?1 (у, я:) —р₽1(ж. у)].
нечеткое отношение Q.2 (свертка отношений
и определяем
альтернатив
р.и-д. (а
2. Строим
типа (3.3.6)):
м
и определяем
альтернатив в
рИ.Д.(а
н&четое подмножество недоминируемых
множестве (X, р^):

Р.Н.Д..
pH- д- (х) = min {р»«- (ж), р£«: (ж)}.
4. Рациональными считаем выборы альтернатив из
множества
Xй-д- = {# | х £ X,
р.н. д. — дцр р.
и. д.
(ж')}.

Здесь следует отметить, что в зависимости от типа задачи
рациональными могут считаться выборы не только альтер-
натив из множества Хнд-, но и в том или инрм смысле
слабо доминируемых альтернатив (или не очень сильно
недоминируемых), т. е. альтернатив, которые
принадле-
жат множеству рн д- со степенью не ниже некоторой
заданной.
„„ Прнмер 3.3.1. Пусть X = {a;i, хг, а:а} и на X
три одинаково важных отношения предпочтения:
заданы
3.4J ' НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО АЛЬТЕРНАТИВ
151
1.	Строим отношение <?i = J?! |~1 Л Я3:
/1 1 0\
Яр, (*«.*/)= О 1 о)
\0 0 1/
жествеА(ИХ 1^у10Жес‘ГВ0 недоминируемых альтернатив в мно-

pj; «•(«,) = 4	0
2.	Строим отношение — ОчСч.
+ P-е (х<« ж/)):
х3
1/3
2/3
1/3
О
и находим подмножество недоминируемых альтернатив в мно-
жестве (X, р^2):
Х1 ^2
(ж<) —	2/3	1/3
3.	Результирующее множество недоминируемых альтернатив
есть пересечение множеств Рр’д’ и р^‘д‘:
*т3
р.н. д. [х.] =1	0	1/3
Отсюда заключаем, что в данном примере рациональным
следует считать выбор альтернативы жх, имеющей максималь-
ную степень недоминируемости.
3.4. Отношение предпочтения
на нечетком множестве альтернатив
До сих пор в этой главе мы обсуждали задачи рацио-
нального выбора альтернатив, в которых множество
X допустимых альтернатив было описано четко, т. е.
в виде множества в обычном смысле. Однако нечеткость
исходной информации в задаче может относиться и
152 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА
МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [ГЛ. 3
альтернатив v: X -» (0,1 ]. Смысл функции v (х) тот же,
например, что и в обсуждавшихся в § 2.4 задачах не
к описанию самого множества X в том смысле, что аль-
тернативы могут различаться по степени допустимости
(или желательности их использования лицом, прини-
шющим решения). В данном разделе мы обсудим под-
ход к подобным задачам принятия решении.
Итак, пусть X — универсальное множество альтер-
натив. В X задано нечеткое^подмножество допустимых
альтернатив v: X
четкого математического программирования. Заданное
на X нечеткое отношение предпочтения будем по-преж-
нему обозначать (ху у).
Отличие этой задачи от рассматривавшихся выше
состоит в следующем. В задачах с обычным множеством
допустимых альтернатив рациональный выбор опреде-
лялся лишь заданными на множестве X нечеткими от-
ношениями предпочтения. Теперь же в данной задаче,
кроме предпочтений между альтернативами, описывае-
мыми отношением нужно учитывать еще и различия
в степени допустимости этих альтернатив. Более пред-
почтительными, кроме всего прочего, естественно счи-
тать альтернативы, имеющие по возможности большую
степень допустимости, т. е. альтернативы, которым
соответствует по возможности большее значение функ-
ции v(x).
Иными словами, если говорить о рациональном
выборе альтернатив в данной задаче, то необходимо
учитывать еще и следующее отношение предпочтения,
индуцируемое на X функцией v:
1 при v(a;)>v(p),
О в остальных случаях.
шения предпоч-
г/) =
Введением этого дополнительного отно_________________
Данная заДача с нечетко описанным множеством
альтеРнатив сводится к постановке, кото-
рая оэсуждалась в предыдущем разделе, и для ее ре-
можно использовать описанную там процедуру.
ГЛАВА 4
ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
4.1.	Введение
Задачи математического программирования состав-
ляют практически важный подкласс задач рациональ-
ного выбора альтернатив. Как уже отмечалось в гл. 2,
характерным для этих задач является то, что отнопте-
ние предпочтения в них описано с помощью некоторой
функции (полезности), заданной на множестве альтер-
натив так, что более предпочтительным альтернативам
соответствуют большие значения этой функции. Факти-
чески с помощью такой функции исходная задача вы-
бора альтернатив сводится к, вообще говоря, более
простой задаче выбора чисел из некоторого подмноже-
ства естественно упорядоченной числовой оси.
Функция полезности или, как ее часто называют,
функция цели обычно составляет основу математиче-
ской модели реальной системы. Значения этой функции
описывают эффект от выбора того или иного способа
действий (альтернативы). В экономических задачах,
например, эти значения могут отражать величину при-
были, получаемой при тех или иных способах органи-
зации производства, в модели регулирования речного
стока — выработку электроэнергии при различных ре-
жимах пропуска воды через турбины гидроэлектростан-
ций и т. п. По сути дела, адекватность такой модели
реальности в большой мере определяется тем, на-
сколько правильно отражены в этой функции взаимо-
связи различных факторов реального процесса или
системы.
При математическом моделировании сложной си-
стемы невозможно учесть достаточно большое число
реальных факторов, поскольку это привело бы к чрез-
мерному усложнению модели. Поэтому в модель при-
ходится вводить лишь ограниченное число таких фак-
ЗШ1
154 ОБЩАЯ ЗАДАЧА
НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
иным соображениям счи-
При этом возможны
15
можно явно не вводить «несущественные факторы»
или иное воздей-
торов, которые по тем ил
таются наиболее существенными. _
пва подхода. Неучтенные в описании модели факторы
можно считать абсолютно несущественными и полностью
их игнорировать при принятии решении с использова-
нием этой модели. С другой стороны, при втором под-
ходе можно явно не вводить «несущественные факторы»
в математическую модель, но учитывать их влияние,
допустив, что отклик модели на то
ствие (выбор альтернативы) может быть известным
лить приближенно, нечетко.
Для описания нечеткого отклика можно прибегнуть
к помощи экспертов, которые представляют собой влия-
ние на функционирование системы неучтенных в мо-
дели факторов. Разумеется, степень нечеткости описа-
ния откликов системы на воздействия тем меньше, чем
большее число факторов явно участвует в описании
математической модели.
Таким образом, при втором подходе сложная си-
стема описывается некоторой нечеткой функцией цели,
которая каждой альтернативе (воздействию на си-
стему) ставит в соответствие некоторый нечеткий отклик
системы на выбор этой альтернативы.
Если, например, отклики системы описываются
в форме нечетких подмножеств универсального мно-
жества откликов Y, то отражающая функционирование
системы нечеткая функция цели имеет вид ср: X X Y ->
-> [0, 1], где X — множество альтернатив. Если х° —
альтернатива, то определенная на Y функция (ж°, у)
представляет собой функцию принадлежности соответ-
ствующего нечеткого отклика системы на выбор ж0.
В задаче рационального выбора альтернатив при
подобном нечетком описании системы (функции цели)
альтернативы требуется сравнивать друг с другом по
соответствующим им нечетким значениям функции
цели: более «предпочтительным» нечетким откликам
соответствуют более предпочтительные альтернативы.
1аким образом, необходимым этапом в анализе подоб-
ной задачи выбора является построение отношения пред-
почтения в классе нечетких откликов. Этому вопросу и
посвящен следующий параграф.
[ альтернативы,
отклики системы
155
•i
Ы ОБОБЩЕНИЕ НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ
4.2.	Обобщение нечеткого отношен
на класс нечетких множеств
4.2.1.	Построение обобщенного отношения раг
сматриваемую в этом разделе основную задачу можно
сформулировать следующим образом. На унивевсаА
ном множестве Y задано н.о.п. R с функцией принадлеж-
— класс всех не-
четких подмножеств множества У, т. е. класс всех
функции вида V. У > [0, 1]. Какое нечеткое отноше-
ние предпочтения индуцирует на класс 9/ исходное
Н.о.п. 5?	°
Для решения этой задачи мы воспользуемся прин-
ципом обобщения, введенным в § 1.3 (см. также 140]).
Нетрудно понять, что заданное на множестве У
н.о.п. R можно рассматривать как нечеткое отобра-
жение Y у. Образ любого элемента z/° £ У при этом
отображении есть нечеткое подмножество множества
У с функцией принадлежности Q/°, у). По сути дела,
функция (у0, у) описывает нечеткое множество
R (у0) элементов У, связанных с г/° отношением Л,
т. е. таких y£Y, что y^Ry.
Пусть у: У -> [0, 1]— некоторое нечеткое подмноже-
ство множества У. Тогда согласно принципу обобщения
образ у при нечетком отображении есть нечеткое под-
множество У с функцией принадлежности вида
ij(v, у) — sup min (v (z), Pj(z, у)}.	(4.2.1)
Построенная таким образом функция
нечеткое отображение -*>
щение исходного нечеткого
Нетрудно понять и то.
щение R'
Иными словами,
I
(vo» У) описывает
связанных с v0
и представляет собой обоб-
отображения У-* у*
, что эта функция описывает обоб-
ссходного ’ н. о. п. R на множество Щ X Г •
для фиксированного	функция
по, нечеткое множество элементов У,
обобщенным отношением R ,, т. е. так
. Величина ij (v0, у), таким ображе®
степень, с которой нечеткое множество у0
тельнее элемента у-
156
ОБЩАЯ
задача нёчетйого ПРОГРАММИРОВАНИЯ [гл. 4
Рассуждая аналогичным образом, получаем, что вели-
чина
Я (я, vft) = sup min (v (z), рв({/, z)}	(4.2.2)
«er
есть степень обратного предпочтения у *0.
Рассмотрим простой иллюстративный пример.
Пример 4.2.1. Пусть У — числовая ось и н. о. п. —
естественный порядок (>) на У. Тогда, как нетрудно видеть,
равенства (4.2.1) и (4.2.2) запишутся в виде
i(v, у)= supv(z),	(4.2.3)
z^y
*j(p, v)= sup v(z).
z, У6У
y^z
(4.2.4)
Пусть нечеткое множество v имеет вид, показанный на
рис. 4.2.1.

Рис. 4.2.1.
Пользуясь (4.2.3) и (4.2.4), получаем
4(v, р1) = ^({,2. v) = l,	=	v)==0,7.
чаТвМчаХсти,0П₽ВДеЛеНИЙ’ “Раиных в п. 3.2.1, полу-
v
{/2
э квивалентно
строго лучше
эквивалентно
строго лучше
Ух
У1
Уг
v
СО
СО
со
со
степенью 0,7,
степенью 0,3,
степенью 0,7,
степенью 0,3.
БудеГ?аХтвиняЦеСС °бобщени« исходного и. о. п. Я.
нечвткпп А ₽ ТЬ полУче“нУю функцию (4.2.1) как
нечеткое отображение У->9/ гпр <Г/ V ™
K„v _____	у » гДе ц — класс всех нечет-
них подклассов класса Q/ m °
2/->Г0 И	у ’ т* е- всех функций вида
у L » J, и пусть Vo — произвольный элемент у. Со-
4.21
ОБОБЩЕНИЕ НЕЧЁТКОГО ОТНОШЕНИЙ
157
гласно принципу обобщения образом v при
отображении т) является нечеткий подкласс
с функцией принадлежности ?/ -> $/•
Ti(v> ч) — SUP min (v0 (у), тДу,
нечетком
класса у
У)}
Причем его можно понимать как подкласс нечетких под-
множеств v таких, что v Vg. Иными словами, функ-
ция т] описывает обобщение н. о. п. П' на множество
X а следовательно, и соответствующее обобщение
исходного н. о. п. R. Величина д (ур >2) есть степень
исходного н. о. п. R. Величина iq (у
выполнения предпочтения ух X у2.
Из (4.2.1) и (4.2.5) получаем следующее выражение
для функции принадлежности обобщенного отношения
предпочтения:
7](vv V2) == sup min {vx (у), sup min {v2 (z), p.R(y,z)}} =
yer	*er
= sup min(y1(i/)
(z), Ps({/. z)).	(4.2.b)
Аналогичным образом можно прийти к выводу о том,
что обратное предпочтение (v2 ух) выполняется со сте-
пенью, равной величине
V1) = sup min {ух (у)
z, y^z
Пример 4.2.2. Пусть, как и в примере 4.2.1, У —
вая ось и R — естественный порядок (>) на У. Рассмотрим
два нечетких подмножества У: vx и v2, показанные на рис. .
(z), Р-Л(г, У)}-
25
число-
показанные на рис. 4.2,2.
(4.2.6) и (4.2.7), получаем ч (v„ v8)-0,6
со степенью 0,6,
со степенью 0,4.
Пользуясь выражениями
и nj (v2, vx)=l, т. е.
ух эквивалентно v2
v2 строго лучше vx
158
ОБЩАЯ ЗАДАЧА
ЦДЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
, 2 2 Некоторые свойства индуцированного отно-
4.2.2.	некоторие	фвгГЙПТ1 некоторые свой-
и	--- ко' ыв определяются свой-
введена»™	ве,»ткИ мне
исходного н. О. П. и
жеств, на котором рассматривается индуцированное н. о. п.
Теорема 4.2.1. Если я. о. п. рв на Y рефлексивно,
то и индуцируемое им н. о. п. ц рефлексивно на классе
Zx нормальных нечетких подмножеств множества Y.
Доказательство. Если	нормально, т. е.
supv(y) = l, то из (4.2.6) получаем
уег
JUVIXUXUJ««V	-----
тетя предпочтения. Исследуем теперь некоторые свой-
ства
ствами
нечетких подмножеств множества Y •
Если	нормально, т. е.
т (v, v)= sup min {v(y), v (2),
*,у£У
sup min {v (у), V (у)} = sup V (у) — 1.
Поскольку 7] (v, v)<l при любом *6 У» Т0 113 ЭТОГО
неравенства заключаем, что т] (v, v) = 1 при любом v £
что и означает рефлексивность тц.
В следующих двух теоремах изучается вопрос о ли-
нейности н. о. п.
Теорема 4.2.2. Если н. о. п. р.й на Y сильно ли-
нейнО' то и индуцируемое им н. о. п. tq сильно линейно
на классе всех нормальных нечетких подмножеств У.
Доказательство. Поскольку по условиям тео-
ремы н. о. п. сильно линейно, то, как следует из
определения сильной линейности, достаточно показать
_ --------------------------
Y выполнено по крайней мере одно из
_	- —UVlAUUUr-M)
что для любых двух нормальных нечетких подмножеств
множества Y выполнено по крайней мере одно из
равенств
(vi> va) — 1» т] (v2> у*)	1.
мальных^™» пРотивное» т- е- что для некоторых нор-
1 а одновременно выполнены неравенства
Ч(->,	= supmi„(V,(г),	й)) = 01<1	(4 28)
Ч =»р mi„	р.й („, z)) = 0>< ,. (4 2 9)
4.2]
ОБОБЩЕНИЕ НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ
159
Выберем произвольно число е из интервала О
min {(1 — gQ, (1 —
е
а2)} и введем множества
>supv.(z) — е = 1 _е\ i = i
Поскольку рк сильно линейно, то для любых двух эле-
ментов ух £ У* и !/г 6 выполнено одно из равенств:
а) У2) = 1; б) р (у2, yi) = i.
В случае а) получаем
7)	(vp v8) = sup min {vx (z), v2.(y), p (Z> y)}
y. *£Y
> min (vx (yx), v2 (y2), ря (ylt y2)} > 1 — e > av
множества
Аналогичным образом в случае б) получаем щ (v2, vx) > а2.
Отсюда заключаем, что неравенства (4.2.8) и (4.2.9)
не могут выполняться одновременно и, следовательно,
н. о. п. т} сильно линейно.
Теорема 4.2.3. Если н.о.п. р.д на Y Удлиненно
(Х^>0), то и индуцируемое им н. о. п. у к-линейно на
классе всех нечетких подмножеств
дающих свойством supv(z/)>X.
Доказательство. Пусть vr
подмножества, удовлетворяющие
Введем множества
У‘ = {г/| у£ Y, \(у)>М>
и v2 —два
условиям
нечетких
теоремы.
•IX
Выберем произвольно уг Е У1 и у2 £ У2. Из Х-линейности
заключаем, что выполнено одно из неравенств:
а) Руг ОА» или б) У1)>^
В случае а) получаем
т] (vi, va) > min (vi (^i)> v2 (JAj)» Pz? (^i’ У^ >
Аналогично, в случае б) получаем т] (v2, уД X.
Из двух последних неравенств заключаем, что
max {т] (vv v2), т) (v2, yj)} > X,
т. е. что н. о. п. т] Х-линейно.
160 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ГЛ. 4
свойство линейности исходного
1	___— — л «МТГЖ ЯГ YT ГХ Тт *4Х тгт о
соответствующих нечетких подмножеств мно-
соответ у транзитивн0СТИ н. о. п. р-в, вообще
вытекает транзитивность индуцированного
Таким образом
н. о. п. Рт?
классе и -
жества К. Однако из
говоря, не
переносится на индуцируемое.н.о. п. ?ж
транзитивности н. о. п. р-в, вообще
ГоТ’/Эт^факт иллюстрируется, в частности, при-
мером приведенным в конце данного раздела.
МеРОбратимся теперь к случаю, когда исходное н. о. п.
и на У представляет собой обычное отношение пред-
почтения R, т. е. описывается ф5щкцией^ принадлеж-
ности, принимающей -
денного выше выражения (4.2.6) получаем,
шение R индуцирует н. о. п. ч следующего вида:
v2)= sup min(vi, (z), v2(y)}.
я, убГ
zRy
лишь значения 0 и 1. Из приве-
что отно-
(4.2.6а)
Нетрудно убедиться в том, что обычное линейное
отношение R (см. п.1.2.1) является сильно линейным
в смысле определения, данного в п. 3.2.2. Отсюда и из
теоремы 4.2.2 вытекает следующая.
Теорема 4.2.4. Н. о. п. tq, индуцируемое задан-
ным на Y обычным линейным отношением предпочтения
R, сильно линейно на классе всех нормальных нечетких
подмножеств множества Y.
С другой стороны, как было показано вп. 3.2.1, для
сильно линейного н. о. п. выполняются равенства
1 — '1 (v2> vi) Vvv ^2 €
где if — соответствующее iq нечеткое отношение стро-
гого предпочтения. Отсюда и из приведенных выше рас-
суждений получаем, что для любого н. о. п. у, индуци-
рованного обычным линейным отношением предпоч-
тения R для любых нормальных нечетких подмножеств
vi> v2 множества Y, выполняется равенство
[vv va) -l—SUp minOJp), v2(z)}.
(у,*)бя	2' ”
числовая ось и R — естественный поря-
* Т° ^°*п’ *4 описывается в более простой
«пт	тг	----узком классе нечет-
ких подмножеств У. Введем следующее
Если Y
док (» на	___
форме, правда, на несколько более
естественный поря-
4.2]
ОБОБЩЕНИЕ НЕЧЕТКОГО
ОТНОШЕНИЯ
161
Определение 4.2.1. Нечеткое -
v множества Y называется выпуклым, е(^любо"
жество вида	люиое
подмножество
- J мно-
v(y)
выпукло в У*).
Докажем теперь следующую теорему
Теорема 4.2.5. Естественный порядок (>\ на
числовой оси Y индуцирует н.о.п. т) на классе всехючет-
ких подмножеств Y, обладающее следующим свой-
ством. для любых двух нормальных выпуклых нечет-
ких множеств v
v2 выполнено одно из равенств
71 (vv v2) = sup min {vx (у), v2(y)}.
усг
Доказательство. Введем обозначение
A (vi> va) — sup min {v2 (у), v2 (у)}.
Поскольку (у, у) £ /?, то для любых vp v2 выполнено
П (V1. va) > A (V1. v2)> 'i (v2- V1) > A (Vv *2)-
Отсюда, опираясь на теорему (4.2.4), можно заключить,
что для доказательства теоремы 4.2.5 достаточно пока-
зать, что для любых vx и v2 неравенства
Ч (Vl> V2) > A (vp V2),	71 (v2, Vj) > A (Vp V2)
не могут выполняться одновременно.
Допустим противное, т. е. что для некоторых vv
у2Е^ одновременно выполнены неравенства
sup min {vr (z), v2 (у)} > A (vv v2),
sup min {vr (z), V2 (</)) > A (vp v2).
Это означает, что найдутся такие z°, у°, z't у' для
которых
а)	z°>y°, z' </;
б)	V1 (2°) > A (v1( v2), V2 (t/°) > A (vj, v2),
vi kz'} > A (vp v2), v2 (y') > A (vp v2).
*) При этом предполагается, что множество У замкнуто
относительно определенных в нем операций сложения и умно-
жения на число.
11 С. А. Орловский
162 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
Нетрудно проверить, что из условия а) вытекает непу-
стота множества
Z=Con(z°, z') П Con (у®, у’),
где Соп(гр z2) — отрезок, заключенный между точками
х1 vl х2. Далее, поскольку vx и v2 выпуклы по условию
теоремы, то из условия б) следует, что для любого
у £1^=0 выполняются неравенства
(S) > А Ь, v2), v2 (у) > A (vj, v2),
minify), v2 (у)} > A (yv v2) = sup min {vx (y), v2(y)}.
y6r
Утверждение теоремы 4.2.5 вытекает из невозможности
последнего неравенства.
Если нечеткие множества vx и v3 невыпуклы, то
теорема 4.2.5 неверна. Покажем это на следующем
простом примере.
Пример^ 4.2.3. Пусть нечеткие множества и v2 имеют
вид, показанный на рис. 4.2.3 (Y — числовая ось). Легко про-
VA
Рис. 4.2.3.
щерить, что в этом прпмере , (vx, v2)=^ К vx)=l, но А <
замета^Т^еко^ых0 3^ МЫ Сделаем несколы<о
л на клясга „„„„ ДЫХ Своиствах введенного н.о.п.
них множества ?КИХ множеств- Рассмотрим три нечет-
С помощью приведан¥ныТпЛ°В0Й °СИ (₽ИС> 4-2Л)‘
< /	Р Д иных выше определений получаем
петью	“”>»“’»» ' В	...
(т. е. определенно
i и v2 эквивалентны со сте-
эквивалентны). Этот факт
ОБОБЩЕНИЕ НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ
163
i’ v2 и v3 следующую интерпретацию,
длины,
[ ре-
5
может показаться несколько странным, поскольку мио
жество расположено на числовой оси правее Множе-
ства vx, т. е. «смещено» относительно v, в сторону боль-
ших значении у.	1	1
Однако дадим v
Пусть точки оси У представляют собой значения
а множество v( (у), »=1, 2, 3, представляет собо_
зультат измерения длины некоторого стержня i, при-
7----/—	— 	-л
•	।	—.
• I	•	 ъ •	:
I	I	’	I
।	1	1	1	।	:
<111	1
I
I

!
I
“ I
Г
I
о
°1	*

К ,
' Рис. 4.2.4.
чем «ширина» (др множества v. (у) отражает точ-
ность этого измерения. Нетрудно понять, что при задан-
ной здесь точности (см. рис. 4.2.4) нет оснований утвер-
ждать о том, что стержень 2 длиннее стержня 1 (и тем
более утверждать обратное). Таким образом, при дан-
ной здесь точности стержни 1 и 2 неразличимы по
длине, и именно этот факт отражается равенством
С другой стороны, данной здесь точности достаточно
для утверждения о том, что стержень 3 длиннее стержня
1, чему и соответствует равенство if (v3, vx)=l.
Из данного примера видно также, что из транзитив-
ности исходного отношения (^) на Y не следует^тран-
зитивность индуцированного отношения т]. Действи-
тельно, поскольку rf (vx, v3)=0, то из if (vp v2)=l и
if (v2, Уз)=1 не вытекает if (v1# v3)=l, как это должно
было бы быть при транзитивном н.о.п. т] (см. п. 1.2.4).
В следующем разделе мы применим полученные
здесь результаты для анализа общей задачи нечеткого
математического программирования.
И*
164
ОБЩАЯ ЗАДАЧА
НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ, 4
4 3. Недоминируемые альтернативы
в" общей задаче нечеткого
математического программирования
4 3 1. Нечеткое множество недоминируемых альтер-
натив * Обратимся теперь непосредственно к задаче,
которая обсуждалась в § 4.1. Пользуясь аппаратом, раз-
витым в предыдущем разделе, мы сведем ее-к рассмотрен-
ной в § 3.2 задаче принятия решений при нечетком от-
ношении предпочтения на множестве альтернатив.
Формально общая задача нечеткого математического
программирования описывается следующим образом.
Пусть X — универсальное множество альтернатив и
допустимых альтернатив.
множество оценок результатов выборов альтернатив из
множества X и
множестве
альтернатив оцениваются нечеткими значениями задан-
ной нечеткой функции цели ср: ХхУ -> [0, 1] (смысл
этой функции обсуждался в § 4.1). Задача заключается
в рациональном выборе альтернатив на основе инфор-
мации, заданной в описанной выше форме.
При анализе этой задачи в данном разделе мы будем
считать для простоты изложения, что множество допу-
стимых альтернатив описано четко, и будем обозначать
это множество тем же символом X, что и введенное выше
универсальное множество альтернатив. В конце раз-
дела мы кратко остановимся и на задачах с нечетким
множеством допустимых альтернатив.
Для решения поставленной задачи мы построим на
множестве альтернатив X нечеткое отношение предпоч-
тения, индуцированное исходным н.о.п. и нечеткой
функцией цели ср, а затем выделим в X нечеткое под-
множество недоминируемых альтернатив.
Любой альтернативе х° заданная функция ср ставит
в соответствие нечеткую оценку этой альтернативы
в форме нечеткого^ подмножества ср (х°, у) множества
оценок У. Пусть — нечеткое отношение предпочте-
ния, индуцированное н.о.п. на классе У всех нечет-
ких подмножеств множества У (§ 4.2). Пользуясь этим
программирования описывается следующим образом.
: X -> [0, 1 ] — заданное нечеткое подмножество
Пусть Y — универсальное
и	Y X Y -> 10, 1 ] — заданное на
1 к
нечеткое отношение предпочтения. Выборы
[О, 1] (смысл
в соответствие нечеткую оценку этой альтернативы
оценок
ния, индуцированное н.о.п. на классе^/ всезГнёчет-
4.3]
НЕДОМИНИРУЕМЫЕ АЛЬТЕРНАТИВЫ
165
а следова-
отношением, можно сравнивать друг с другом по пред-
почтению нечеткие оценки альтернатив, а следова-
тельно, и сами альтернативы. Иными словами, степенью
предпочтения альтернативы xt £ X альтернативе x^fX
мы будем
оценки <р (хг, у) нечеткой оценке ср (х2, у), т. е. положим
считать степень предпочтения нечеткой

где ¥ (®ц у} и ¥ (ж2» У) — соответствующие и х2 не-
четкие подмножества (оценки) множества Y.
Таким образом, используя определение i
(п. 4.2.1), мы получаем н. о. п. т] на множестве
натив X следующего вида:
Ч («1, »2) = SUP min {<Р («v z)> ? (ж2> У)> Р-я (z> У))-
Заметим, что в аналогичной задаче с четко
ной функцией цели f: Х->
деление (4.3.1) сводится к обычному:
/ (*^i)	/ (^г)*
). П. Т|
альтер-
описан-
У (У — числовая ось) опре-
Действительно, в этом случае
| 1 при f(x) = y,
У)=| о в остальных случаях,
у)=
о
при z^y,
в остальных случаях
а равенство (4.3.1) принимает вид
| 1 ПрИ /(^i)^/(^2)»
я2) = | q в остал1>ных случаях.
После того как и в множестве альтернатив
н. о. п. т], исходная задача сводится к	у
тренной в § 3.2: имеется
с заданным на	_
в том, что если функция <р обладает свои
нем н. о. п.
множество альтернатив X
т]. Нетрудно убедиться

166 об:
и
[АЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
т е если оценка любой альтернативы — нормальное
нечеткое множество, то н. о. п. рефлексивно, т. е.
при любом
_________________	_ ___fY	иоиРТКЛР. ТТПТТ—
н.д. ф j

, то н. о. п. tq рефлексивно, т. е.
'' '^Выделим теперь в множестве (X, ?]) нечеткое под-
множество недоминируемых альтернатив. Согласно опре-
делению (§ 3.2) оно имеет вид
sup Гч (ж', ж) — т] (х, х’)]. (4.3.2)
х'ех
Отсюда и из (4.3.1) получаем
• (х) = 1 — sup [ sup min (ср (xf, z), <p (x, y), pR (z, #)} —
x'Gx s, yer
— sup min{<p(z', z), cp(x, у), рк(г/, z)}]. (4.3.3)
Необходимо отметить, что если функция ср (я, у)
такова, что для некоторой альтернативы х® выполнено
sup<p(z°, у) = а<1,
то значение (ж0) может не отражать фактической
степени недоминируемости этой альтернативы. Для
иллюстрации рассмотрим крайний случай, когда а=0.
В исходной задаче это соответствует тому, что оценка
альтернативы х° неизвестна или не определена (или не-
известна реакция управляемой системы на управле-
ние х°). В то же время, как нетрудно убедиться по вы-
ражениям (4.3.1) и (4.3.2), для этой альтернативы
причем исключительно ввиду отсутствия
т. e. альтернатива x® оказывается определенно недоми-
нируемои, причем исключительно ввиду отсутствия
информации о ней. Поэтому величину т|и д- (ж0) необхо-
димо скорректировать, с тем чтобы исключить такие
«патологические» случаи.
В терминах нечетких множеств равенство
sup ? (ж0, j/) = 0
убУ
означает, что множество оценок (или реакций)
ветствующее альтернативе ж0 _	*
а>0, но мала, -
как «почти пустое» и т. п.
соот-
пусто. Если величина
то это множество можно понимать
- в соответствии с величиной
4.31
недоминируемые альтернативы
167
а, которая, таким образом, характеризует степень на-
личия информации об альтернативе х°. Учитывая что
малые значения а могут приводить к искусственно за-
вышенным значениям функции • Д* для соответствую-
вишенным значениям
щих альтернатив, для корректировки этой функций ее
значения нужно сопоставлять с соответствующими зна-
чениями а.
Опираясь на эти рассуждения, решением исходной
задачи будем считать не функцию принадлежности
т]н-д-, а скорректированную функцию вида
(х) = min (ж), sup ср (ж, у)}.	(4.3.2а)
Нетрудно показать, что для любого х выполнено ра-
венство
SUp? (Я, у) = 7] (х, х),
где т] — индуцированное отношение (4.3.1).
ражение (4.3.2а) можно записать в виде
7]Н*Д* ЭД — mjn ^н.д.	7. ЭД х)}.
Тогда вы-
Н-Д*
Если отношение рефлексивно, т. е. т](ж, я) = 1 при
любом	то, как следует из (4.3.26), функции Т|в-Д*
и 7]н д- совпадают друг с другом.
Для рассмотренного выше крайнего случая получаем
т. е.
По сут:
чения нечеткого множества недоминируемых альт®Р
тать выбор альтернатив, для которых функция jq
(скорректированная) прини
шие значения.
Если в общей задаче
альтернатива xQ исключается из решения задачи.
__ дела, выражения (4.3.3) и (4.3.2а) описы-
вают способ обработки исходной информации для ПОЛУ
чения нечеткого множества недоминируемых альтер
натив. Рациональным в данной задаче ес^с^®е™° ^.д.
мает по возможности боль-
нечеткого математического
AUVJin «	ОО/ЛМ.	_тГГАЛПЯТИВ
программирования множество допустимых осуще-
.v выбор альтернатив следует*осуш_
учетом двух отношении “₽ед°° отношения
описано нечетко, то
ствлять с
лученного выше индуцированного
168
ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
in
Обратимся к более простой, но тем
предпочтения, отражающего степени допустимости аль-
тернатив. Более подробно этот вопрос обсуждается
— где была предложена возможная про-
цедура решения подобной задачи.
4.3.2. Выбор альтернатив в случае числовых оце-
нок "альтернатив. Обратимся к более простой, но тем
не менее практически важной задаче, когда множество
оценок У — числовая ось. В этом случае выражение
(4.3.1) принимает вид
я (ж,, ж2) = sup min{<p (хг, z), <р(ж2, у)},	(4.3.4)
— числовая ось. В этом случае выражение
а решением соответствующей задачи нечеткого мате-
матического программирования является нечеткое под-
множество недомйнируемых альтернатив вида
Тд' (х) = 1 — sup [sup min {<Р (х’, z), (ж, у)} —
— sup min {ф (ж, z), <р(ж', у)}]. (4.3.5)
Как уже говорилось в § 3.2, величина т]в,д’ (х) есть
степень недоминируемости альтернативы х. Если
tjb.a. а, то в множестве X нет ни одной альтерна-
тивы, которая доминировала бы альтернативу х со
степенью, большей, чем 1 — а.
Покажем, что для нахождения альтернативы, недо-
минируемои со степенью, не меньшей а, достаточно
решить следующую задачу математического програм-
мирования:
¥хХе0РглМЛ 4,3,1 • пУсть нечеткая функция цели ф:
лхг->[и, 1] такова, что sup у (ж, г/)>а при любом
V	1^6 Г
пусть 71 н.о.п. на X, индуцированное
и	по£ядк°У .О) на числовой оси оценок Y
функцией <р. Если (ж0, и0) — решение задачи Г4.3.61
5 нл>.п. на X, индуцированное
> У0) —решение задачи’(4.3.6),
4.31
НЕ ДОМИНИРУЕМЫЕ
АЛЬТ ЕРИ АТИВЫ
169
то чя'д
доминируемых альтернатив в	мн?™ество не-
Доказательство. Пчстк 7вa'^X,^^
решение задачи (4.3.6). Тогда, как следуй из “
доказательства теоремы достаточно показать что ’ ЦЛЯ
sup [sup min {<р (я', z), © (я0, Ч)\ _
Я'ЁХ	у,)
— sup min {ср (ж°,
z)’ ? « у)}] < 1
Допустим противное, т. е. что найдутся и
е>0, для которых	у :ctA и
•ли
sup min {у (ж, z), <р (я0, у)} — sup min (© (я0, z)
Выберем?/ Y, так, что <р (ж, у) а — е (существование
такого у следует из предположений о функции ср
в условиях теоремы). Поскольку пара (ж0, у°) — решение
задачи (4.3.6), то у°>у и, кроме того, ©(я0, у°)>а.
Отсюда получаем
sup min {<р (я0, г), <р (я, у)} > а—е,
но тогда неравенство (4.3.7) невозможно, поскольку
левое слагаемое в его левой части не превышает 1.
Из доказанной теоремы вытекает, что любые усло-
вия, достаточные для существования решения задачи
(4.3.6), достаточны и для существования соответствующих
недоминируемых альтернатив в множестве (X, к;).
В частности, справедлива следующая.
Теорема 4.3.2. Если множества X и Y компактны,
причем Y — подмножество числовой оси, функция <р.
ХхУ->[0, 1] полунепрерывна сверху на тихоновском
произведении XX Y, supср(х, у)^а при любом х£Х и
4 — н.о.п. на X, индуцированное естественным по-
рядком на Y и функцией <р, то в множестве (X, »])
имеется по крайней мере одна альтернатива, ля
которой т]вд(я)>а.
то в множестве (X, ц)
170 ОБЩАЯ ЗАДАЧА
НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ.4
4.4.	Задачи математического программирования
с нечетко описанными параметрами
4.4.1.	Введение. В данном разделе обсуждаются
задачи нечеткого математического программирования,
которые описываются постановками IV и V в § 2.^
Обратимся для примера к следующей упрощенной
модели распределения воды для орошения сельско-
хозяйственных культур. Допустим, что на землях общей
площадью X требуется разместить посевы т культур.
Урожайность /-й культуры обозначим су так, что если
под культуру J отведена площадь посевов Ху, то полный
урожай этой культуры будет равен cjXj. Для обеспече-
ния урожайности Су земли, отведенные под культуру у,
необходимо орошать. Пусть для орошения’единицы пло-
щади земли, занятой под культуру у, требуется еди-
ниц объема воды (за весь период роста культуры). Та-
ким образом, для орошения замель площадью х$ тре-
буется w^Xj единиц объема воды. Величину назы-
вают нормой полива. Полное количество воды, которое
можно использовать для орошения всех т культур,
обозначим W. Наконец, пусть ру-
доход от реализации на рынке единицы урожая куль-
туры у.
Задача заключается в том, чтобы определить распре-
деление земель общей площадью X под т культур,
обеспечивающее по возможности больший доход от реа-
лизации урожая на рынке. При этом необходимо учи-
тывать ограниченное количество имеющейся воды для
орошения. Математически эта задача описывается как
стандартная задача линейного программирования.
т
«Задача I. Максимизировать величину 2 Pjcjxj
при ограничениях
т
т
т
____ параметры
У и Wj. Нетрудно понять, что величины этих
Рассмотрим теперь более внимательно
этой задачи с 4i
j	j	Х-v Г-1-ОС<!ШЧИ.НП1 СНИЛ
параметров зависят от многих факторов реального про-
4.41
НЕЧЕТКО ОПИСАННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
171
цесса, не учтенных в приведенной здесь модели Упл-
Ч._ «„mt. ТТПТГПТГМРП ЯПТЭТГПттт ~	_ ‘ FV
образом, от таких
[ли ИНЫХ питательных веществ, сроков и технологии
обработки почвы и внесения удобрений, солнечной
активности и многих других. То же самое относится и
к параметру w^-.
Если, желая сделать модель более адекватной реаль-
ности, внести в нее эти зависимости, то это приведет
к значительному ее усложнению и повысит размер-
ность задачи. Кроме того, может оказаться — при-
чем часто на это не обращают должного внимания —
что уточнение модели таким путем на практике сведется
на нет из-за невозможности измерить или измерить с до-
статочной точностью величины введенных в модель
факторов.
С другой стороны, модель с фиксированными зна-
чениями параметров (например, и w, в данной мо-
дели) может оказаться слишком «грубой», поскольку
часто
ным образом. На самом деле следует, по-видимому,
учитывать по крайней мере тот факт, что известными
бывают не сами значения параметров, а множества их
возможных значений. Модель, в которой параметрам
приписаны не конкретные числа, а, например, интер-
валы возможных значений, более точно соответствует
реальности.
На этом пути мы от задачи I приходит к следующему
ее уточненному варианту.
Задача II. Требуется определить рациональное
распределение > земель общей площадью X под посевы т
культур, если доход от распределения х~{х1У . .	#,п)
описывается е виде
т
дойность, например, зависит, и довольно сложным
акторов, как наличие в почве тех
LIE
и довольно сложным

— при-
нта' значения выбираются весьма произволь-
ц должны выполняться ограничения
т
172 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
Здесь Ср /=1, —, яз, — множество возможных значе-
ний урожайности культуры j;
множество___
Здесь Ср j —
, • • •, тгь
возможных значений норм полива; W — мно-
жество значений имеющегося полного количества воды
для орошения культур.
Задачу такого типа можно назвать задачей линей-
ного программирования с множественно-значными коэф-
фициентами. Ясно, что в рамках этой задачи не имеет
смысла говорить о максимизации функции цели (до-
хода), поскольку значения этой функции — не числа,
а множества чисел. В этом случае необходимо выяснить,
какое отношение предпочтения в множестве альтерна-
тив (т. е. в множестве возможных распределений пло-
щади земель) порождает эта функция, а затем исследо-
вать вопрос о том, какие выборы считать рациональ-
ными в смысле этого отношения предпочтения. Задачи
такого типа анализируются ниже.
Более простая задача этого типа с обычным макси-
мизируемым линейным критерием и с множественно-
значными параметрами в ограничениях рассматрива-
ется в работе А. Сойстера [41]. Эта задача описывается
следующим образом:
шах,
t
т,
у g} — заданные выпуклые
ства Rn. Сумма произведений
этом следующим образом:
т	<
подмножества простран-
в (4,4-1) понимается при
т f
где хр
число х
дится к следующей задаче линейного программирования:
Ьх
обычное произведение
у В работе [41] показано,
вектора £ Rn на
что эта задача сво-
max, Ax^g,
4.41
НЕЧЕТКО ОПИСАННЫЕ
ПАРАМЕТРЫ
173
в которой матрица А определяется по заданным мно
фетвам Лу и л.
а__компонента вектора а.
‘ Следующим шагом на пути уточнения рассматривав
мой здесь модели является описание параметров задачи
В форме нечетких множеств. При этом, кроме з=
множеств возможных значений параметров, в 1I0Z
вводится дополнительная информация в виде функпий
принадлежности этих нечетких множеств. Эти функ
ции можно рассматривать как способ приближенного
отражения экспертом в агрегированном виде имею-
щегося у него неформализованного представления
о реальной величине данного параметра. Значения функ-
ции принадлежности суть весовые коэффициенты, кото-
рые эксперт приписывает различным
чениям этого параметра.
Несомненно, что учет подобной
информации усложняет исходную
модель, но тем не менее она может
(и вместе с тем приемлемо точной) модели, учитываю-
щей многообразие дополнительных факторов, о которой
говорилось выше.
Итак, мы пришли к постановке задачи нечеткого
математического программирования, описанной в задаче
возможным зна-
дополнительной
математическую
оказаться проще
г
Задана «максимизируемая» линейная форма вида
«п
т. Кроме того, заданы огра-
в которой значения коэффициентов а - описаны нечетко
в форме нечетких подмножеств соответствующих уни-
версальных множеств, т. е. заданы функции принад-
лежности ху (ау), 7=1, . . ., щ. Кроме того, заданы огра-
ничения (для простоты изложения одно)
т
174 общая задача нечеткого программирования (ГЛ. 4
причем значения коэффициентов Су и
ствующих универсальных^множеств. Требуется осуще.
~ г- ты который
сходной задачи и сведение
причем значения коэффициентов Cj и Ъ описаны также
в форме нечетких подмножеств vy (су) и т? (Ь) соответ-
ствующих универсальных множеств. Требуется осуще-
ствить рациональный выбор вектора а: £ R”\ который
в некотором смысле «максимизирует» заданную не-
четко линейную форму.
Анализу задач принятия решений такого типа и по-
священы последующие разделы. ~
4.4,2.	Формулировка
ее к общей задаче нечеткого математического про-
граммирования. В данном разделе мы сформулируем
задачу математического программирования с нечетко
описанными параметрами и сведем ее к общей задаче
нечеткого математического программирования, с тем
чтобы воспользоваться результатами, полученными
в § 4.3, для построения множества не доминируемых
альтернатив.
Пусть X — заданное универсальное множество
альтернатив. Подмножество допустимых альтернатив
описывается неравенствами вида
п,
пусть V
т, —
где — заданные функции XxRp -> R1; b{j, i = l,...,p;
i—I* • • •>и, —* числовые параметры, значения которых
описаны нечетко в форме нечетких подмножеств число-
вой ос
заданные функции принадлежности этих нечетких мно-
жеств соответственно.
Выборы альтернатив оцениваются значениями за-
данной функции /: XxRg-+Rr вида
/(ж, щ,.,с^),	(4.4.3)
i===1, ’ ‘	— числовые параметры,
Я которых также описаны нечетко в форме не-
х п°дмножеств числовой оси; пусть х^ (aj,
He4PTwwJ>?’ ~~ заДанныефункции принадлежности этих
сания пап ножеств« Заметим, что в силу нечеткости опи-
(т. е. знлчрМеТ₽лВ	°Ценка любой альтернативы х 6 %
подмножрр “ Функции /) представляет собой нечеткое
«дмножество числовой оси.
4.4]
НЕЧЕТКО ОПИСАННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
175
JI.
мно-
в универ-
ункции /). В данном
_________________1 со-
, что исходное
Для завершения формулировки задачи иеоПл-.,,,,.
описать отношение предпочтения в унтерсальн^
жестве оценок альтернатив (иными словами
сальном множестве значений v	’
случае это универсальное множество представляет
бой числовую ось R1 и мы будем считать —
отношение .предпочтения совпадает с естественным
порядком (» на В1.
Приведенную формулировку задачи следует рас-
сматривать как описание исходной информации, на
основе которой должен осуществляться выбор альтер-
натив из универсального множества X.
Далее мы сформулируем эту задачу в форме общей
задачи нечеткого математического программирования
(§§ 4.2, 4.3). Это позволит построить в множестве X не-
четкое отношение предпочтения, соответствующее ис-
ходной нечеткой информации. Затем, пользуясь ре-
зультатами, полученными в предыдущих разделах, мы
сможем выделить в множестве X подмножество недоми-
нируемых альтернатив, которое и будет служить осно-
вой для рационального выбора альтернатив.
Для формулировки соответствующей общей задачи
можно непосредственно применить принцип обобще-
ния (§ 1.3) для определения нечетких значений (образов)
гфункций фу й /, соответствующих нечетким значениям
входящих в них параметров. Мы же воспользуемся здесь
другим приемом, который представляется нам более
наглядным.
Обратимся сначала к нечетким ограничениям (4.4.2)
и построим соответствующее им нечеткое подмножество
допустимых альтернатив, функцию принадлежности
которого будем обозначать (х). При этом мы будем
опираться на следующие рассуждения.
Пусть f =	j =	некоторые
конкретные числовые значения соответствующих пара
метров в ограничениях (4.4.2); степени их
п. Обозначим
функцию принадлежности
Ji
Пусть Ifij,
ности заданным нечетким множествам равны соответ^
ственно v.y(bjy), i = l,/ = !,.••>
р-0 минимальное из этих чисел, т. е.
(Л°= min
.=1,
f=l...я
176 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
Если некоторая альтернатива х^Х удовлетворяет
неравенствам
фу (£,	б®у) < 0, /= 1. • • П,
то естественно считать, что эта альтернатива принад-
лежит множеству допустимых альтернатив (т. е. допу-
стима) со степенью, не меньшей р., т. е. считать, что
Этим, " “Z
записи его функции принадлежности
собственно говоря, уже и опреде-
ляется нечеткое множество допустимых альтернатив.
Для удобства	*
введем следующие обозначения:
v(B)= min *.7(6О-)’ e = Holl’
Р(х)={В= ||btJ-1, i =
/=1,.... га | фу (я, by,.... 6ру) < О,
J 1, • -.,72).
В этих обозначениях получаем
М*) = sup v(B).
v BGP(x)
(4.4.4)
Каждой альтернативе функция ставит в соответ-
ствие степень допустимости этой альтернативы с уче-
том исходной нечеткой информации о параметрах огра-
ничений.
Обратимся теперь к заданной нечетко «максимизи-
руемой» функции (4.4.3) и представим ее в виде нечет-
кой функции цели вида ср:	1]. Рассуж-
дения здесь во многом аналогичны предыдущим.
Пусть a®, I — 1,...,д, — некоторые конкретные чи-
Пусть а$, 1 = 1
еловые значения параметров функции (4.4.3); степени
их принадлежности заданным нечетким множествам
равны соответственно xf (a®), i = 1,..g. Пусть <р° —
минимальное из этих чисел, т. е.
<р®= min х<(а9).
— if	J
Пусть, наконец, х £ X — некоторая альтернатива, а число

представляет собой соответствующее альтернативе £
значениям параметров л® значение функции (4.4.3)-
4-4]
177
ж со степенью
, что искомая не
вид
НЕЧЕТКО ОПИСАННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Естественно считать, что это
надлежит нечеткой оценке альтернатам Й”*0 при'
не меньшей Отсюда мы	* С°
четкая функция цели <р (ж, г) имеет
? (ж> г) = sup х (ах
aQQ(x> г)
где
х («) = min X. (а .)
*—1> ...» 5
Ч^г) = {а а^В?, f(^, а1,..„аг)=:г}.
Окончательно получаем, что исходная задача с не-
четко описанными параметрами формулируется в форме
следующей общей задачи нечеткого математического
программирования: «максимизировать» нечеткую функ-
на нечетком множестве допустимых
Ие(ж)= sup v(B).
альтернатив вида
недоминируемых
Следующий этап — нахождение
альтернатив для сформулированной общей задачи.
4.4.3.	Недоминпруемые альтернативы в задаче с не-
четко описанными параметрами. Рассмотрим сначала
более простую задачу с нечеткой функцией цели (4.4.5)
и обычным (четко описанным) множеством допустимых
альтернатив, заданным неравенствами
с точно известными значениями параметров.
Функция <р(я, г) и естественный порядок (>) на
числовой оси (универсальном множестве значений функ-
ции /) индуцируют (§ 4.2) на множестве X нечеткое
отношение предпочтения вида
*Ч(Ж1, #2)= sup min (<р	s)> ffe ?)} —
л.уея1
= sup min { sup X («)> sup x ‘
12 а. Орловский
178
ОБЩАЯ
ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ.
Пусть ч”-д
. м _ соответствующее нечеткое множество
иедоминируемых альтернатив в множестве (X т;) Вьь
берем некоторое число а из интервала 0 < а 1 и
осмотрим задачу нахождения альтернативы, сте-
пень недоминируемости которой не меньше а, или
т". (х) rJ-
Будем предполагать, что все
множества х.
исходные нечеткие
(а\ 1 = 1,. ... q, таковы, что sup х. (а ) > а.
i\ гП	a(QRl
Покажем, что в этом случае функция (4.4.5) обладает
свойством
sup <р г) а
при любом
которого
х£Х. Допустим, что найдется X, для
sup<p(ic, r) = d<Ca-
re»1
(4.4.7)
Это означает (см. (4.4.5)), что при любом г £ R1 и любом
a£Q(x, г) выполняется неравенство
х (a) d < а.	(4.4.8)
Выберем произвольно число е из интервала 0 е
<^а — d, и пусть at, i = l,..., q, таковы, что
(«J > 1 — е
(существование таких а. следует из предположении
о функциях *,). В результате получаем
х (a) — min х. (at.) ^>1 — е.
*=i,
Вместе с тем для г = f (х, а1, ..., й?) выполнено
aQQ(x, г). Однако в силу выбора е неравенство (4.4.8)
не выполняется для г f 7?1 и а £ Q (х, г) и, следова-
тельно, не выполняется неравенство (4.4.7).
Итак, если все заданные нечеткие множества хг. имеют
высоту, не меньшую а, то выполнены все условия тео-
ремы 4.3.1 и поэтому для нахождения альтернатив»
степень недоминируемости которых не мецыце сс, и Р^с
4.4J	НЕЧЕТКО ОПИСАННЫЕ 1 тап
в параметры
сматриваемом случае достаточно вР1„,
задачу математического программируя:
г -* max.
t7y
Предположим для простоты, -
все функции х. (a.), 1 — 1
г___________г/ 1 ' »/’	-- ’ •
пактно, все с_ __
на Я1, а функция а
невском произведении X х R9. Неть™-
™условиях задача (4А9)
что множество X ком-
А .д, непрерывны
aq) непрерывна на Тихо-
не показать, что
следующей
max
при ограничениях
Действительно, пусть пара (ж0, . Z4 —реше-
ние задачи (4.4.9). В принятых выше предположениях
функция х(а) непрерывна на R9, а множество Q(x, г)
замкнуто в Я1. Пусть вектор a0 £ Q (я, г) — такой, что
x(a°)^a. Тогда по определению множества Q(xt г) по-
лучаем / (я0,	..., ад) = г°.
Допустим, что (ж0, ।
(4.4.10),	т. е. найдутся ж1, а1, ;
ничениям задачи (4.4.10), такие, что /(.гд
> г°. Это означает,	,
пара (аЛ, г1) удовлетворяет
Дачи (4.4.9). Но тогда не может быть г1^
(а:0, г°) — тоже решение задачи (4.4.9).
Столь же просто показать, что любое решен
дачи (4.4.10) есть решение задачи (4.4.9). лтт„гяиы
Рассмотрим теперь задачу, в которой четко
параметры г = 1,...,	••
и нечетко — параметры b.^ i
ограничений (4.4.2).
, r°) £ X X R1 — реше-

на R9, а множество Q(x, г)
1 — такой, что
т. е.
а°) не является решением задачи
\ удовлетворяющие огра-
» *
что a1 f Q {х1, г1) и <р [х1
ограничениям за-
г°, поскольку

д, максимизируемой
• •
ЗЕ
ункции
I • • •>
12*
180 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
В этом случае нечеткое множество допустимых аль-
тернатив описывается функцией принадлежности вида
(4.4.4):
р.,.(ж)= sup v(B),
где
В=||	||, i—— !»••-» pi i — !>•••> n,
V (В) = min vo- (6V),
P(x) = {B—||^»yll» — !,•••» P>
j ;—- 1 j ... j п|фу (^,	* ’ ' > &pj) j > • • •, n).
I
Таким образом, данная задача представляет собой
задачу «максимизации» обычной функции / : X —> R1
на нечетком множестве (см. § 2.4). Выборы альтер-
натив в такой задаче оцениваются значениями двух
функций (критериев): /-«эффективностью» альтерна-
тивы и р€,-степенью ее допустимости, причем рацио-
нально так выбирать альтернативы, чтобы значения
обеих функций были по возможности большими. Иными
данная задача свелась к задаче принятия
словами
решений по двум критериям: / и
Нетрудно проверить, что ч. и. д. альтернативами
в рассматриваемом случае являются паретомаксималь-
ные альтернативы для пары функций f и Для на-
хождения таких альтернатив достаточно, например,
найти максимум следующей свертки этих функций:
L (х) — Хх/ (я,	, aq) ~|~ X2fx^ (ж),
где Хх>0, Х2>0, Х14-Х2=1.
Пользуясь выражением (4.4.4) для функции р-0 (ж) и
сделанными выше предположениями, запишем функцию
L{x) в виде
L (ж) =Х. Л'Н| {Х1/ ev • • • ’ «»)+’
где
г—1,..., р* / = 1,...,
4.4]
НВ'“ТКО „„ИСАВ1ШВ
181
5
В результате задачу максимизап™ л.,
можно сформулировать следуюшим nL Фуик/Ц0!
определение множества Р образом (см
зации функции L Ы
ГТХИЖ	___ л	\ /
. также
с —> max,
Фу (я» ЬХу» • • •»	< О,
Ч/ («» «х» • • •, а,) + k2v<. (Ь .) с
j = l,..., р- 7 = 1, ..Пэ
же х.
Любое решение ж0 £ X этой задачи —
натива в исходной задаче.
Любая допустимая альтернатива,1^ доставляющая
паретомаксимальной для функций / ;
ч.н.д. альтернативой для исходной задачи. Выбирая
различные коэффициенты свертки Хх > 0 п Х2 > О,
ч.н.д. альтер-
максимум функции L (х) на множестве X. является
<Л	V	-.	'
и р, , а потому и
различные коэффициенты свертки X
можно получить достаточное многообразие ч. и. д.
альтернатив.
Каждая из ч. н.
двумя числами: соответствующим ей значением функ-
ции / (х°) и степенью допустимости этой альтернативы
(я0). При выборе конкретной альтернативы л.п.р.
. альтернатив ж0 характеризуется
ГЛ
должно исходить из компромисса между желанием вы-
брать по возможности более допустимую альтернативу
и желанием получить по возможности большее значе-
ние функции /. (Подробнее об этом см. в п. 2.4.2).
Общая задача. Обратимся, наконец, к об-
щей задаче, в которой нечетко описаны как параметры
ai функции /, так и параметры ограничений (4.4.2).
Как показано выше, эту задачу можно сформулировать
данной задаче выбор
функции /, так и параметры ограничений (4.4.2).
в виде общей задачи (4.4.5) — (4.4.6).
Заметим прежде всего, что в
альтернатив должен осуществляться с учетом д у
предпочтения на множестве альтернати
г	> функцией ср ч
Г'индуцированного функцией и
i
отношений
X : нечеткого, индуцированного
(4.4.5), и четкого
естественным порядком на Л1.

182 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
Как было показано в § 4.2, функция <р (х, ?•) и есте-
ственный порядок (» на R1 индуцируют на X нечет-
кое отношение предпочтения вида
пЧа:,, х2) = SUP minftfo» у), <?(х2, z)}. (4.4.11)
2/,
Второе отношение предпочтения на X определяется
тем, что более предпочтительны альтернативы, имею-
щие большую степень допустимости, т. е. те, которым
соответствуют большие значения функции рс,. Таким
образом,
[ 1 при (Хр (хг) р.с (я2),
7)2 (Х1’	= о при р.с, (xj < fxc (х2).	(4-4-12)
Задачи такого типа (с несколькими отношениями
предпочтения) обсуждались выше в § 3.3, где была пред-
ложена процедура построения нечеткого подмножества
недоминируемых альтернатив. В соответствии с этой
процедурой требуется построить две свертки исходных
н. о. п. т]1 и 7j2 : их пересечение и взвешенную сумму.
Пересечение тд1 и rf имеет вид
v/fo, х2) — min {т]1 (агр х2), r)z(x1, х2)}, (4.4.13)
а взвешенная сумма при условии одинаковых коэффи-
циентов важности исходных н. о. п. т/ и rf имеет вид
х2) — Y bl1 fa, Х2) 4- И2 fa, х2)]. (4.4.14)
Пусть т}1и-д- и т)2и-л- — нечеткие подмножества недо-
минируемых альтернатив множеств (X, т;1) и (X, ^2)
соответственно. Тогда, согласно процедуре § 3.3, резуль-
тирующее подмножество недоминируемых альтернатив
имеет вид
V1-д- (z) = min (т)11Г>д- (я), Tj2".д- (ж)}. (4.4.15)
Функция принадлежности 7jn*л* служит основой для
выбора конкретных альтернатив в исходной общей за-
Даче нечеткого математического программирования.
Как и прежде, в данной задаче представляет инте-
рес вопрос о нахождении альтернатив х £ X, для кото-
4.41	НЕЧЕТКО ОПИСАННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
183
рых чв,д‘ (ж) > а> /де а — некоторое заданное число
из интервала [0, 11, т. е. альтернатив, степень педоми-
иируемости которых не меньше а. Однако для упроще-
ния изложения ниже мы рассмотрим задачу нахожде-
ния ч. н. д. альтернатив, т. е. такихх g X, что (ж)=1
(случай ос—1). Рассуждения для более общего случая
а < 1 во многом аналогичны приведенным ниже.
Итак, рассмотрим задачу определения альтернативы
для которой 7]н-л-(ж):=1. Из (4.4.15) получаем,
что для этого необходимо и достаточно выполнения
условий
т]1Е-д-(я) = 1, ^л.(х) = 1,
т. е. чтобы х была ч. н. д. альтернативой одновременно
в множествах (X, V) и (X, т)2).
Выясним сначала условия, при которых х есть ч. н. д.
альтернатива в множестве (X, т)1), т. е. lj1H-д-(ж) = 1.
Для этого обсудим прежде всего вопрос о линейности
н. о. п. тр.
исходные нечеткие множества уч (a.), i —
о
= 1,..., и, нормальны, т. е. sup (aj = 1, i = l, ...
^en1
.q, то, как показано выше (а — 1), функция
(р(я, г) (4.4.5) обладает свойством
sup ср (х, г) = 1
ге^1
X. Отсюда и из теоремы 4.2.2 следует,
1 — сильно линейное отношение.
я — тоже сильно линейное
при любом X
ЧТО Н. о. П. 7]
Нетрудно видеть, что Tf —тоже сильни
отношение. Однако пересечение т)1 (4.4.13) этих отно
шений этим свойством, вообще говоря, не о ладает.
Пусть, например, ц1(x2t xt) — 1,	^2) = а ( aS т
\) = 0,	®2) = 1- В этом случае^х2)-
= а < 1 и (х2, xt) = 0, т. е. V (xv х2) > (?2, жО,
но (хп ж2) ==£ 1.	является сильно линейным,
I Iпг.хспттглтхг тт. Л. П. 71 Н6 ЯВЛ/icivzi м
и. д. альтернатив в множестве
воспользоваться теоремой 4.6.1
всех ч. н. д. а]1ьтеР’
Поскольку Н. О. П. 7} —
то для нахождения ч. н. д
(X, т}1) мы не можем —
при а = 1.
Пусть X?- «• «• — подмножество всех н.	-
катив множества (X, т)а), т. е. множ ^шолняется при
Для которых равенство (Л » *4
184 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
х f X. Покажем, что ч. н. д. альтернативы мно-
жества (%, tf) (*• е- ч-_н- *	Т)
достаточно
Пусть
искать среди элементов множества Х^н-дч
11 VXi> ___ нечеткое отношение строго предпочте-
соответствующее н. о. п. т]1 (см. определение
п. 3.2.1), и пусть ж0 6 Х^н‘д*.	Покажем, что
-и (х, х°) = 0 при любом х $ XI н*д*. Допустим противное,
т е что найдется альтернатива я1 $ Х>-н-д-, для кото-
рой ^1в (ж1, ж°)>0, т. е. (см. определение т)1 (4.4.13) и
min { г/ («°, ж1), т]2(ж0
я1)} > 0.
«с»
ж2£Х, то if (ж1, ж°) = 0 и неравенство
т. е. выполнено	ж°) = 0.
при любых ж
(4.4.16) невозможно,
Таким образом, ни одна альтернатива ж $ XJ-н-д- не до-
минирует строго с положительной степенью альтерна-
тивы из множества Х^-и-д-.
Покажем теперь, что если ж1 — ч. н. д. альтернатива
в множестве (Х|-н-д-
и в множестве (X, т)1). Действительно
то она является таковой
как показано
Пусть х^ Х|’я-Д-, тогда
тернатива в множестве (Х^-н-д-, iq1) и т/-
I
Кроме того, iq2 (ж1, х) = 1, поскольку ж1 £ XI
заключаем, что неравенство
з того, что аг — ч. и. д. аль-
1 — СИЛЬНО ЛИ'
ней ное н. о. п., получаем (теорема 3.2.4), что iq1 (ж1, я) = !•
?.н.дч Отсюда
— min {tj1 (х
ж), ^(ж1, ж)}>0

ч. н. д. альтернатива
невозможно.
Итак, мы показали, что если х1 выбрано описанным
выше способом, то равенство 7|1Я (ж, ж1) = 0 выполняется
при любом х £ X, т. е. что ж1_
в множестве (X, т]1).
Таким образом, для нахождения ч. н. д. альтерна-
тивы в множестве (X, т)1) достаточно найти ч. н. Д*
альтернативу в множестве (Х2-н-д-
нечеткие множества vo(6iy), / — 1
гаковьт, что существуют W?., для которых vf.y
т}1). Пусть исходные
4.4)
НЕЧЕТКО ОПИСАННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
185
Как нетрудно видеть, при этом множество Х'^н-д. С(ь
ставляют альтернативы х^ X, удовлетворяющие условиям
Задача нахождения ч. н. д. альтернативы в мно-
жестве (X, т)1) аналогична задаче, рассмотренной в на-
чале данного раздела. Если выполнены все введенные
в той задаче предположения о множестве X и функции
то получаем следующую задачу для нахождения
ч. н. д. альтернативы в множестве (X, т)1):
/(ж, aq) -> max	(4.4.17)
при ограничениях
Фу(х,	bpJ)< О, bfjGR1,
—	j =	(4.4.18)
x<(af) = l,	i = l, •••>?>
x £ X.
Любое решение ж0 G X задачи (4.4.17) — (4.4.18) есть
ч. н. д. альтернатива в множестве (X, т)) и в то же
время ч. н. д. — альтернатива в множествах (A, q)
CJ _ л	1-ГТГ
и в“ множестве (X, Действи-
’ Покажем теперь, что любое решение^ этой
ч. н. д. альтернатива — —	ЯПьтрп-
тельно, нечеткое подмножество недоминиру
натив множества (X, q2) имеет вид (см. ( • • /
^2н. д. до _ 1 __ 1. sup Цтд! (у, х) — •»? (х, у)) +
_|_(т]2(у, х) — ^(х, у))]- (4.4.19)
Пусть ж0 — решение задачи (4.4.17) — (4-4-^) 0 ПрИ
поскольку а*-ч. н. д. альтернатива в (А,
любом у f X выполнено
7]М(У, Z°) = 0
или
7]1 {уу — 'Q1 (^°» у) 0*
186 ОБЩАЯ ЗАДАЧА
НЕЧЁТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ГЛ. 4
Кроме того, -
(X, ^2), и, следо
ч. н. д. альтернатива в множестве
цельно, при любом у (^ X выполнено
или -пЧу,	г/)<0.
Из двух последних неравенств следует, что в (4.4.19)
sup[(^(^ ж0)-7!1^’ У)) + ^2^’
т. е.
?/))] = о,
*• (ж0) = 1.
Итак, любое решение задачи (4.4.17) — (4.4.18) удов-
летворяет условиям
^в. Д. (дЛ) = 1, Tj2B- « (х°) = 1,
и поэтому (см. (4.4.15))
т. е< „хо — ч, н. д. альтернатива для исходной общей
задачи.
Наличие в полученных выше задачах математиче-
ского программирования ограничений вида	= l
и x4(aj = l говорит о том, что для нахождения ч. н. д.
альтернатив в исходной задаче достаточно учитывать
лишь те значения параметров, которые заведомо, т. е. со
степенью 1, принадлежат соответствующим нечетким
множествам значений параметров. Поэтому, если инте-
ресоваться лишь ч. н. д. альтернативам;
лировке исходной задачи можно не требовать полного
описания нечетких множеств значений параметров,
ограничиться лишь указанием интервалов их значений,
со степенью 1 принадлежащих этим множествам. За-
дача при этом аналогична той, в которой в виде интер-
валов заданы результаты измерений значений пара-
метров с определенной степенью точности.
Аналогичными рассуждениями можно прийтиТк вы-
воду о том, что для нахождения альтернативы,
щей степень недоминируемости, не меньшую заданного
числами (х)	а), достаточно решить следующую
задачу математического программирования:
Ж а
то при форму-
имею-
max
4.41
НЕЧЕТКО ОПИСАННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
187
при ограничениях
Нужно отметить, что формулировка получаемой
задачи для нахождения ч. н. д. альтернативы зависит
от принятого способа свертки (типа (4.4.14)) нечетких
отношений т]1 и т]2 (см. выше). При рассмотренном
здесь способе свертки с одинаковыми коэффициентами
важности этих отношений для нахождения ч.н.д.
альтернатив достаточно учитывать лишь значения па-
раметров, входящие в соответствующие нечеткие мно-
жества со степенью, не меньшей а (в задаче (4.4.20)—
(4.4.21)). При других способах свертки (с различными
коэффициентами важности) может потребоваться пол-
ное описание этих нечетких множеств, что можно видеть,
например, в описанной выше задаче с четкими значе-
ниями параметров аг Выбор конкретного способа
свертки рассматриваемых нечетких отношений дол-
жен быть сделан с учетом особенностей рассматрива-
емой задачи принятия решений.
Решение задачи типа (4.4.20)—(4.4.21) позволяет
определить лишь некоторые из недоминируемых аль-
тернатив (с соответствующей степенью а) для исходной
общей задачи. Можно показать, что еще один способ
нахождения недоминируемых со степенью а альтерна-
тив заключается в решении следующей задачи:
min / (я, av .
a?)-^max
при ограничениях
собой наиболее осторож-
Заметим, что получаемое в последней
чеиие функции / представляет l
188 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
Hvio («пессимистическую») оценку альтернатив, недо-
йяируемых со степенью, не меньшей а а соответствую-
шее значение / в задаче (4.4.20)-(4.4.21) — наименее
осторожную («оптимистическую») оценку. Заключен-
ный между этими оценками интервал позволяет судить
о возможных значениях функции / при выборе альтер-
натив, иедоминируемых со степенью а.
Этим мы завершаем обсуждение задач нечеткого
математического программирования. Все сказанное
выше
развитии, причем описанные выше подходы следует
рассматривать лишь как один из возможных путей фор-
мализации и использования нечеткой информации при
постановке и анализе реальных задач принятия решений.
конкретизации и
несомненно, нуждается в
4.5. Задачи упорядочения при нечеткой
исходной информации
4.5.1. Введение. По сути дела, в данном разделе
описываются подходы к решению задач принятия ре-
шений при нескольких отношениях предпочтения на
множестве альтернатив. Подобные задачи уже рассма-
тривались в § 3.3 данной книги. Там предполагалось,
что информация об относительной важности отношений
предпочтения задана в форме соответствующих коэф-
фициентов важности. Это позволяло выбирать альтер-
нативы, опираясь на свертку исходных отношений
в виде взвешенной суммы их функций принадлеж-
ности.
Здесь же нас будут интересовать ситуации, в которых
относительная важность заданных отношений пред-
почтения (признаков) описывается не коэффициен-
относительная важность заданных отношений пред-
почтения (признаков) описывается не коэффициен-
тами важности, как в § 3.3, а, вообще говоря, нечет-
ким отношением типа «не*менее важно» на множестве
признаков.	*
Заметим, что известные коэффициенты важности
признаков однозначно определяют отношение «не менее
важно» на множестве признаков. Поэтому описываемый
пктЖе	применим и к решению задач/рассмотрен-
? в * Однако набор коэффициентов относитель-
епл™1ЖИ°СТИ “W»»® в себе больше информации, чем
ствующее ему отношение «не менее важно», и
ким отношением типа «не*менее важно» на множестве

что известные коэффициенты важности
ЗАДАЧИ упорядочения
гатуаЧ«ях отноеительщю важяос» ’o’”m’uPaS““"
"ЯЯ“ (иля признаков, по ко,„„„„ оце,™Х» S
описать соот-
словами, не
не сводятся к зада-
иными словами, известна
[О, 1], зна-
189
поэтому для решения задач с чатг»™
тами более подходит процедура, опиХаТв^®’
Нужно отметить еще и тот факт	S
ситуациях относительную важность
почтения (или признаков, по которым
тернативы) не всегда можно адекватно
ветствующими коэффициентами. (Иными
всякое отношение можно описать функцией	“Г
Это особенно относится к случаю, когда информация об
относительной важности отношений предооХия
имеет нечеткии характер. Поэтому рассматриваемый
ниже задачи, вообще говоря,
чам§3.3.
4.5.2. Рациональный выбор альтернатив с учетом
набора признаков. Пусть задано множество альтернатив
(или объектов) X и задано множество признаков (или
экспертов) Р. Каждой альтернативе х £ X в той или
иной степени присущ каждый из признаков множества
Р- Для каждого фиксированного признака р£Р из-
вестно нечеткое отношение предпочтения ср на множе-
стве альтернатив X или
функция принадлежности ср ; X X X X Р
чение ср (а^, х2, р) которой] понимается как степень
предпочтительности альтернативы хг альтернативе х2 по
признаку р. Если Р — множество экспертов, то
ср (жх, х2, р) — отношение предпочтения на множестве
альтернатив, предлагаемое экспертом р. Таким образом,
функция ср описывает семейство нечетких отношений
предпочтения "на множестве X по параметру р.
Элементы множества Р, вообще говоря/различны по
важности. Пусть р: РхР (0, 1] — заданное не-
четкое отношение ^ важности признаков (экспертов);
величина(р3, р2) понимается как степень, с которой
признак рг считается
знак р2.
Задача заключается в рациональном выооре, аль-
тернатив из множества X с учетом описанной выше
информации.’Ниже мы кратко очертим один из воз-
можных вариантов применения к решению этой'
-развитого выше подхода, опирающегося на
i ©четкого множества недоминируемых
сив.
LHJ
не менее важным, чем при-
190 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. 4
нечеткое подмножество недо-
соответствующее и. о. п.
Пусть <ри<л' (А Р)
минируемых альтернатив, соитв^^^^ %
ф (хи х2, р) при фиксированном р £ Р, т. е. (см. п. 3.2.3)
* (х9 р) z==- 1 — Slip [ср Х9 р) ср	У9 р)]-
и. Д
Если бы выбор альтернатив осуществлялся лишь с уче-
том одного признака р, то рациональным следовало бы
считать выбор альтернатив, доставляющих по возмож-
ности большее значение функции принадлежности
(х, р) (степени недоминируемости) на множестве X.
В данном же случае требуется осуществить выбор с уче-
том совокупности признаков, различающихся по важ-
ности.
Нетрудно понять, что при фиксированном xG£X
функция <рн*(я°, р) описывает нечеткое подмножество
признаков, по которым альтернатива х® является недо-
минируемой. Ясно, что если для двух альтернатив
хг я х2 нечеткое множество признаков срн,д* (хъ р) «не
менее важно»
<рн-я-(я2, р), то и альтернативу xt следует считать не
менее предпочтительной, чем альтернатива ж2. Таким
образом, ситуация в данном случае аналогична той,
которая рассматривалась в п. 4.3.1 при анализе общей
задачи нечеткого математического программирования.
Итак, в
нечеткое отношение р, (plt р2) на множестве признаков
чем нечеткое
множество признаков
данном случае нужно обобщить заданное
Р на класс нечетких подмножеств множества Р и счи-
тать полученное нечеткое отношение результирующим
н. о. п. на множестве альтернатив X.
Пользуясь рассуждениями и результатами, приве-
денными в пп. 4.2.1 и 4.3.1, по л у чаем с ледующее н. о/п.
на множестве X, индуцированное функцией (рн*Ди (х, р)
и нечетким отношением р.:
п. можно рассматривать как!результат «свертки»
~ Л р min	’*(Ж1’	А)’ Р А»-
Это н.о.
семейства нечетких отношений ср (£, ^2, р) в единое
результирующее н. о. п. с учетом информации об отно-
5]
ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИЯ
191
синельной важности признаков, заданной в форме не-
четкого отношения.
Построением н.о.п. цисходная задача выбора све-
денной задаче выбора с единственным отношением пред-
почтения. Для ее решения достаточно определить соот-
ветствующее отношение tq, скорректированное нечет-
кое множество недоминируемых альтернатив’ (см.
п. 4.3.1) и выбрать альтернативы, доставляющие макси-
мум функции т]а-я- (х).
Для иллюстрации описанного подхода рассмотрим
два простых примера.
Пример 4.5.1 (четкие отношения). Пусть Х={яь з2,
з;8? хл) — заданное множество альтернатив. Альтернативы срав-
ниваются друг с другом по трем признакам А, В, С. Пусть ре-
зультаты сравнения альтернатив по каждому из признаков
в отдельности описываются следующими матрицами отношения
нестрогого предпочтения:
по признаку А:
3^2	^3	^4
О
х2
*4
О
о
о
о
по признаку В:
8
#2

О
*1
о
о
о
о
о
о

по признаку С\
Х2
х±
О
х2
О
О
О
О
О
О
я4
192
ОБЩАЯ
ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ.
4
„	относительной важности признаков описывается
матрицей	. а в	С
о
О
и В эквивалентны друг
них важнее признака С.
признаки л
и каждый из
из которой следует, что
ДРУГВ ^оостетстаии^с описанным выше подходом определим
множество иедоминируемых альтернатив по каждому из призна-
ков. В результате получаем
Я71	3^2	“^4
С)= 1	1
0.
Иными словами, недоминируемыми являются альтернативы:
а) по признаку А — альтернатива х2;
б) по признаку В — альтернатива хг;
в) по признаку С — альтернативы х19 х2, х3.
Далее, используя выражение (4.3.1), получаем матрицу
индуцированного отношения предпочтения на множестве аль-
тернатив:
а по выражению
ное) множество
(4.3.2) — соответствующее (нескорректирован-
недоминируемых альтернатив:
«2
хз
11 о 1 .
Наконец, по формуле (п. 4.3.1)
«• («4 =» min й«. д.	ж<)}
ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИЯ
193
И^Тльтопиа™в- ИР°ВаИиОе ПеЧеТК°е кш“кество недоминируе-
иИХ; алыерисимьа

Х1	х3 я4
V a- = 1	1 Q О
Таким образом, приходим к выводу о том, дао раппона явным
2*
Заметим, *что эти альтернативы не доминируемые по" призна-
П ример 4.5.2. (нечеткие отношения). Обратимся теперь
к следу!
выбор на одной из четырех моделей мужского костюма А, Б, В
или JT. Не полагаясь целиком на свой вкус, он пригласил четы-
рех советчиков (экспертов) 31, 32, 33 и 34, причем к мнениям
различных советчиков л. п. р. относится (ценит) по-разному:
fill
в данной задаче следует считать выбор альтернатив хА или х
• — -  —~ —*  — —— — — — 
кам А и В, которые являются наиболее (одинаково) важными.
(ей ситуации. Некто (л. п. р.) должен остановить свой
I
или Г. Не полагаясь целиком на свой вкус, он пригласил четы-
различных советчиков л. п. р. относится (ценит) по-разному:
к мнению одного советчика прислушивается в некоторой сте-
пени больше, чем к мнению другого. Пусть относительные важ-
ности мнений советчиков л. п. р. описывает с помощью матрицы
нечеткого отношения «не менее важно» (н. о. п. р,) следующего
вида:

34
0.6
0,8
О
0,2
О
По мнению советчиков, нечеткие отношения предпочтения
между моделями костюма описываются следующими матрицами.
Э1:	'Э2:
33:
0,8
0,8
о
34:
0,5
0,1
0,3
о
0,8
0,3
0,8
о
о
о
о
О
О
О
О
О
О
О
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
13 С. А. Орловский
«л НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ [ГЛ. i
194 ОБЩАЯ ЗАДа
3.2.3 определением,
М»	»«““пруе"“
ветствуюпще неч	Б в Г
найдем соот~
альтернатив:
«п.д. (-, 51)
КН* Д' (•»
^н. д. 53)
«pH. д. (., 54)
0,2
0,3
О
О
0,5
0,3
О
А-	"
на множестве функ-
ян
0
0
О
0
Л	1	0,4	0,4
Б	1	1	0,5
В	0,5	0,5	0,5
Г	1	1	0,5
1
0,8
0,5
1

^.д.= 1	0,4	0,9	U,»
и корректируем его с учетом выражения (4.3.26).
0,8
[ этому нечеткому
5
if- д* = 1	0,4	0,5
Наибольшую степень принадлежности
множеству (т. е. наибольшую степень недоминируемости) име
модель А, поэтому, в соответствии с предлагаемым подходом,
выбор этой модели и следует считать рациональным.
Если наибольшую степень недоминируемости имеет не одна,
а несколько альтернатив, то л. п. р. может либо сам выбрать
одну из них, исходя из каких-либо дополнительных своих со-
ображений, либо расширить круг своих советчиков и вновь
найти множество т]п*Дв, как это описано выше.
4.5.3. Упорядочение объектов по набору признаков.
Основным элементом излагаемого здесь подхода можно
считать способ решения задачи упорядочения объектов
по важности (весам) при заданной матрице отношении
весов этих объектов, поскольку именно на этот способ
4\51
ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИЯ
195
опирается предложенный в работе [42] метод решения
задачи упорядочения по набору признаков Р
В основе этого способа лежат следующие сообра-
дения. Пусть имеется п объектов А,
• А и пусть
Ш=ЦО)1, . . оу — вектор относительных весов этих
объектов, причем 2%=1- Предполагается, что резуль-
таты попарного сравнения объектов по весам описыва-
ются отношениями весов этих объектов. В этом слу-
чае результаты такого попарного сравнения объектов
можно представить
мером пХп:
рорме следующей матрицы раз-

2
1
Wl/Wl ^1/W2 •••
w2/w2 • * •
Нетрудно убедиться в том, что матрица А обладает
свойством
А(1) = П(л)
или
единственное собственное
следовательно, уравнение
’	—	—। имеет
(Л —n-/)<o = V,
где / — единичная матрица, а со — вектор относитель-
ных весов рассматриваемых объектов.
Допустим теперь, что вектор весов ш неизвестен,
а известна лишь матрица А. Тогда, как нетрудно видеть,
для нахождения вектора весов со по матрице Дос™
точно решить уравнение (4.5.1). Поскольку ранг
J	_ ~гт < Т Г /~Ч У1	Н ТТI fVj
трицы А равен 1, то п — 1
. число этой матрицы и.
(4.5.1) имеет ненулевое решение. Более того, оно
единственное решение, обладающее свойством 2
Это решение и есть искомый вектор относите
сов объектов-	„аттшпы А пред-
Д„пУСТИм теперь. ,то	™	весов
“ »““геР’аМ"' Т
•ставляют собой не точные
•объектов, а их
196
ОБЩАЯ
ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ГЛ.
чем по-прежнему выполнено aij На
Ясно, что для
такой матрицы оценок, вообще говоря, не выполнено
свойство	необходимое для существования
нетривиального решения уравнения (4.5.1). Вместо
этого уравнения следует рассматривать более общее
уравнение вида
(А — \иах^) ш == 0’	(4.5.2)
где Хп]ах — максимальное собственное число матрицы
Опираясь на приведенные выше рассуждения, не-
трудно понять, что слишком сильное отличие Хшах от
п сигнализирует о некоторой внутренней несогласован-
ности оценок экспертом значений элементов матрицы
Лио необходимости их пересмотра, уточнения. С дру-
гой стороны, если значение Хшвх достаточно близко к п,
то нормированный к 1 вектор со — решение уравнения
(4.5.2) — можно принять в качестве приемлемой оценки
относительных весов рассматриваемых объектов, вос-
становленных по матрице оценок А.
Опишем теперь предложенный в работе [42] способ
упорядочения объектов по набору признаков. Восполь-
зуемся для этого одним из примеров, приведенных в ра-
боте [42].
Человеку необходимо остановить свой выбор на од-
ном из предлагаемых ему мест работы А, В и С. Каж-
дое из них он оценивает по шести признакам: возмож-
ность научной работы (н. р.), возможности роста (в. р.),
материальные выгоды (м.в.), коллектив (к.), местополо-
жение (м.), репутация (р.), причем эти признаки разли-
чаются по важности. Пусть результаты попарного срав-
нения признаков друг с другом по важности (матрица
отношений весов признаков) имеет вид
I н. р. в. р. м. в. к. м. р.
<^п== в»
к.
м.
р-
1
1
1
1/4
1
2
1
1
1/2
1/4
1
2
1411/2
24	11/2
15	3 1/2
1/5	1	1/3	1/3
1/3	3	1	1
2	3	3	1
УПОРЯДОЧЕНИЯ
197
I
I
работы А В и сТоТаждому и7пмзн?° ВаЖНОСТИ мест
описываются следующими матрицами°(Хтпы Т™
щении весов мест работы):	4 ^матрицы отно-
1/4
1/2
1/4
1/3
1/5
1/2
1/3
1/3
1/3
1/5 1 /7
1/7
1/7 1
1/7	1
1/9 1,5
Первый этап
работы — восстановление относительных весов (важ-
ностей) признаков по заданной матрице Лп, т. е. на-
хождение нормированного к 1 собственного вектора
этой матрицы, соответствующего максимальному соб-
ственному числу, путем решения уравнения типа (4.5.2).
В .результате получаем
решения
задачи
упорядочения
мест

9
к. м.
= 0,16	0,19	0,19 0,05 0,12 0,30
Затем аналогичным образом находим относительные
веса мест работы по каждому признаку в отдельности:
I п. в. в. о. м. в.
к. м.
0,14
0,63
0,24
0,10
0,33
0,32
0,22
0,65
0,07
0,47
0,47
0,07
0,77
0,17
0,05
этой матрицы указаны
относитель-
В каждом столбце------	. .	„„ пя-
ные веса, приписываемые соответствующе у
боты по соответствующему признаку. пмггим Ве-
Поскольку место'работы, обладаюЩ^ьши “
болеолредпо—
сом, считается
иие весов мест работы для д
198 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ГЛ. ,
матрицы В) можно рассматривать как функцию цели,
соответствующую этому признаку. Таким образом,
на данном этапе исходная задача формулируется как
задача выбора альтернатив (мест работы) с учетом шести
функций цели, причем заданы ^коэффициенты относи-
тельной важности этих функций.
Для решения такой задачи в работе [42] предлага-
ется обычный прием: строится взвешенная сумма за-
данных функций цели с заданными коэффициентами
важности и выбирается та альтернатива, которой
соответствует наибольшее значение построенной взвеси.
Иными словами, для получения результирующего на-
бора весов мест работы А, В и С достаточно умножить
матрицу В на вектор-столбец шп. В результате полу-
чаем следующие относительные веса мест работы:
0,34	0,26
Наибольшим весом обладает место работы А, и потому
его выбор следует считать рациональным.
Сравним теперь описанную здесь задачу с задачами
принятия решений, рассмотренными выше в § 3.3.
Заметим прежде всего, что информация в форме ма-
трицы А отношений весов альтернатив содержит в себе
четкое описание отношения предпочтения на множестве
альтернатив. Действительно, если некоторый элемент
aij этой матрицы больше или равен 1, то это означает,
что вес альтернативы i не меньше веса альтернативы
J, т. е. что альтернатива i определенно (со степенью 1)
не менее важна, чем альтернатива /. Таким образом,
матрица А однозначно определяет матрицу соответ-
ствующего четкого отношения предпочтения. Поэтому
описанная здесь задача относится к классу задач при-
нятия решений при нескольких четких отношениях
предпочтения.
Помимо этого, в матрице содержится и дополни-
тельная количественная информация о величинах отно-
шении весов
мп Н0 в^сстановить вектор весов. Иными словами,
трица А представляет собой описание в определен-
льтерпатив, которая позволяет одпо-
J
4.51
ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИЯ
199
ной форме функции полезности по
натив, по которому эту фуп ™ Е* ^^естве альтер-
решив уравнение типа (4 5 2? п восстановить
что при решении практических за₽ЛЛ°М бается’,
более адекватно отразить свои ппТ эксцеРтам легче
сительной важности альтернативЛ™ЛИШЯ °б Отно'
чем путем непосредственного заданий МаТрицы 4 -
весов.	задания величин этих
I
jHJTEPATyi’A
7 я Л р h L A Fuzzy sets. — Inf. Contr., 1965, 8, p. 338—353.
Za d eh L. A. Fuzzy orderings. - Inf. Sci., 1971, 3, p. 177-
Za'deh L. A. Shadows of fuzzy sets. — Prob, in Trans,
of Informat., 1966, 2, P- 37—44.
Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных
систем и процессов принятия решений. — В сб. «Матема-
тика сегодня». — М.: Знание, 1974, с. 5—49.
Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его
применение к принятию приближенных решений. — М.:
Goguen J. A. Z-fuzzy sets. — J. Math. Anal. Appl.,
1967, 18, p. 145—174.
Goguen J. A. The fuzzy Tychonoff theorem. — J. Math.
Stan E. On considering
1966, 2, p. 37—44.
Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его
применение к принятию приближенных решений. — М.:
Мир, 1976.
Goguen J. A. Z-fuzzy sets. — J. Math. Anal. Appl.,
1967, 18, p. 145—174.
Goguen J. A. The fuzzy Tychonoff theorem. — J. Math.
Anal. Appl., 1973, 43, p. 734—742.
Negoita С. V., Minou S., Stan E. On considering
imprecision in dynamic linear programming. — ECEESR,
1976, 3, p. 83-95.
9.	Brown J. G. A note on fuzzy sets. — Inf. Contr., 18,
p. 32—39.
10.	C h a n g C. L. Fuzzy topological spaces. — J. Math. Anal.
Appl,, 1968, 24, p. 182—190.
11.	Wong С. K. Covering properties of fuzzy topological spa-
ces. — J. Math. Anal. Appl., 1974, 46, p. 697—704.
Wong С. K. Fuzzy topology: product and quotient theo-
rems. - J. Math. Anal. Appl., 1974, 45, p. 512—521.
Wo ng С. K. Fuzzy points and local properties of fuzzy to-
pology. - J. Math. Anal., .	“ —
Lowen R. A comparison
m fuzzy topological spaces.
64, p. 446—454.
Weiss M. D. Fixed points, separation and induced topolo-
6.
12.
13.
14.
Appl., 1974, 46, p. 316—328.
i of different compactness notions
— J. Math. Anal. Appl., 1978,
15.
150 forfuzzy “*“• -	And.“Appl““1975? 50~ p.' 142-
16’ H ’ №5* V 3451з54и“У toPolo8ies- - Kybernetika, 1975,
17. К г a
tisfirol	1U 1 a IKK J . TUZZy ПИЧЮТ “
^sucal metric spaces. — Kybernetika, 1975,11, № 5, p. 336
18. 1
n
hi
Michalek J. Fuzzy metrics and sta-
Наука^Ш^ Ю’ ^авенство> сходство, порядок. —
201
литература
*9- S.V.: A<il”	«“	«tay „W..-
x- Г».! YppSsi Л
Trans., 1969, SSC-6, p. 215—223	6ytems-
21.	О p л о в с к и й С. А Об
в нечетко определенной обстановке 46 ?ринятпя
прикладной математики». — Hdkvtck 4Q7«v
22.	Фиш б о рн П. Теория none^S’
нии. — М.: Наука, 1978.
23.	Z a d е h L. А., I
a fuzzy environment.
20.	W е е W. G
24.
25.
!2Lof f?zzV automata
— IEEE
т>	Решений
л	 * «Проблемы
Для принятия реше-
?' В. Decision-making in
- Managem. Sei., 1970,17, p. 141-16?
• j 	1 a г i a M. On fuzzy mathematical
197^7T.g14 t01erances in planning. LeceeTr !!
N e g o i t а С. V., R a 1 e s c u D. A. Application of fuzzy
sets to systems analysis. - Basel: Birkhauser Verlae
1975.	6’
It
Z i. “ m e Г m a n n H.-J. Fuzzy programming with several
objective functions. — Fuzzy Sets and Systems, 1978 1
p. 46—55.	’	’ ’
a m a c h e г H., Lebexling H., Zimmer-
ann H.-J. Sensititivy analysis in fuzzy linear program-
ming. — Fuzzy Sets and Systems, 1978, 1, p. 269—281.
Zadeh L. A. Fuzzy algorithms. — Inf. Contr., 1968, 12,
p. 94—102.
Беллман P., Гликсберг И., Гросс О. Неко-
торые вопросы теории процессов управления. — М.: ИЛ.
1962.
111
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Orlovsky S. A. On programming with fuzzy constraint
sets. — Kybemetes, 1977, 1, p. 197—201.
Multiple Criteria Decision-making. — Leet.
Math. Syst., 1976, 130.
M а к - ft и и с и Дж. Введение в теорию игр. — М.: Физ-
гТ^мейер Ю. Б. Введение в теорию исследования
операций. — М.: Наука, 1971.	____________
сами. — М.: "Наука, 1978.
Notes Econ.
Гермейер 10. Б. Введение в теорию исследования
операций. — М.: Наука, 1971.
Гермейер 10. Б. Игры с непротивоположными интере-
сами. — М.: Наука, 1978.
Партхасаратхи Т., Р а г х a iвi а н Т.Некоторые
вопросы теории игр двух лиц. — М.: Мир, 1У/4. д
Орловский С А. Игры в нечетко °°Pe^®™0H5.6c?Г
новке. — Ж. вычисл. матем. п матем. фиа., 197b, л. ю,
с. 1427—1435.
37.	Орловский
щепными ситуациями.
1973, № 13, с. 775—781
38.	О р л о в с к и й <
двойных играх с ограничениями.
С. А. Бесконечные игры двух лиц с эапре-
*— Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,
Г АА Ситуации равновесия в бескоали-
-Ж. вычисл. матем.
циинных МГ1И1А V	---- п-’ 4ДД.|
и матем. физ., 1975, № 15. с• *59	f preference
39.	Orlovsky S. A. Decision-making wiin a * 155-167.
Fuzzy Sets and Systems, 1978, I, P- V» *
*
relation.
202
ЛИТЕРАТУРА
programming?1^
43. Т a j
40.	Orlovsky S. A. On formalization of a general г
mathematical programming problem. — Fuzzv Set« =1j ггУ
stems, 1980, 3, 3, p. 311-321.	У S and Sy.
41.	S о у s t e r A. L. Convex programming with set inrl •
constraints and applications to inexact linear nrotmm J• US1 Ve
Operat. Res., 1973, 21, p. 1154—1157. g aiming. _
42.	S a a t у T. L. Exploring the interface between hiemr к-
multiple objectives and fuzzy sets. — Fuzzv Sote .„л “ггЧ
£978, 1, p. 57—68.
•* ura S., H i g u c Ii i S., j. a n
classification based on fuzzv relationч
1971, SMC-1, p. 61-66.
--Vlllg
— Fuzzy Sets and Systems,
Tanaka K. Pattern
- IEEE Trans.,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альтернатива максимальная
недоминируемая 132
— максимизирующая 73
— четко недоминируемая 133
— эффективная 92
л л
Выбор по набору признаков
189
Выпуклая комбинация нечет-
ких множеств 27
Граф нечеткого отношения 38
Декартово произведение нечет-
ких множеств 27
Декомпозиция нечеткого мно-
жества 28
Динамическое программирова-
ние 77
Дополнение нечеткого
жества 26
— — отношения 45
мно-
Замыкание нечеткого
жества 31
мно-
Игра в нечеткой обстановке 96
— — — — антагонистичес-
кая 104
— —— — 0
ситуациями
. с
запрещенными
107
противополож-
ными интересами 105
Изоморфизм классов нечетких
множеств 59
— — нечетких отношении оо
Композиция отношений 39
— — нечетких 45
Концентрирование нечеткого
множества 27

Максимизирующее решение 75
Матрица отношения 37
-----нечеткого 43
Множество 19
—	альтернатив недом
мых 128
-------- четко 132
—	нечеткое 20
	— — выпуклое 161
-----замкнутое 31
—	— компактное 33
—	— нормальное 22
—	— открытое 31
—	— пустое 22
—	— решений 72
—	— субнормальное 22
—	— тппа 1 21
—	— типа п 21
—	— универсальное 22
— — элементарное 32
— уровня декартова произве-
дения 28
__ — нечеткого множества 28
Нечеткая граница множеств 27
—	топология 30
—	цель 70
Нечетко описанные параметры
170
Нечеткое максимальное зна-'
ченпе 88
— математическое программи-
рование 81
—	множество 20
----- альтернатив 82
—	— ограничений 86
—	решение 72
—	— равновесное 112
—	топологическое простран-
ство 30
—	компактное 33
-----— отделимое 34
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Носитель нечеткого множества
22
__ — отношения 43
Образ нечеткого множества 54
Окрестность нечеткого мно-
жества 34
Отношение 37
— нечеткое 41
_____антирефлексивное 49
-----антисимметричное 50
-----безразличия 119
-----квазиэквивалентности
119
-----обратное 45
-----предпочтения 119
—----индуцированное
—-------нестрогого 119
-----сильно линейное
-----слабо линейное
----- строгого 119
-----рефлексивное 49
-----симметричное 49
-----транзитивное 50
-----Х-л инейное 126
— обычное 37
-----антирефлексивное 39
-----антисимметричное 39
-----безразличия 117
-----линейное 125
-----обратное 38
-----предпочтения 116
-----— нестрогого 116
— — — строгого 116
-----рефлексивное 39
-----симметричное 39
-----транзитивное 39
— — эквивалентности 117
мно-
158
128
Отображение нечеткого
жества 52
мно-
Пересечение нечетких
жеств 26
-----отношений 44
Последовательность нечетких
множеств 33
Проекция отношения 46
Произведение нечетких отно-
шений 45
----максминное 45
Произведение нечетких отно-
шений максмультипликатив-
ное 46
— — — минмаксное 46
Прообраз нечеткого множества
56
Разность нечетких множеств
27
Растяжение нечеткрго мно-
жества 27
Решение задачи нечеткого про-
граммирования 87
Свертка отношений 146
Седловая точка 138
Ситуация равновесия 98
Степень недоминируемости 131
— принадлежности 20
Теорема о компактности 20
— о линейности индуцирован-
ного отношения 158
— о нахождении недомини-
руемых альтернатив 168
— о прообразе нечеткого мно-
жества 56
— о рефлексивности индуци-
рованного отношения 158
— о седловой точке 140
— о смешанном расширении
143
— о существовании недомини-
руемых альтернатив 140
— о транзитивности нечеткого
отношения 121
— об эквивалентности реше-
ний 93
Транзитивное замыкание
— — нечеткого отношения
— — обычного отношения
40
51
40
Упорядочение объектов 194
Функция антисимметричная
138
—- выигрышей 104
— принадлежности 20
----нечеткого множества 20
—	— — отношения 41
—	цели 172
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ и сокращений
и
п
—	лучше
—	не хуже
—	влечет
—	эквивалентно
—	пустое множество
—	для всех
— существует
—	элемент х принадлежит множеству X
—	элемент х не принадлежит множеству X
—	множество А — собственное подмножество мно-
жества В
—	множество А — подмножество множества В
—	объединение множеств
—	пересечение множеств
— разность множеств
А х X... X А 1} — декартово произведение множеств
supp А
CON А
DIL А

—	носитель нечеткого множества А
—	концентрирование нечеткого множества Л
—	растяжение нечеткого множества А
—	множество уровня а нечеткого множества А
—	функция принадлежности нечеткого множества Л
—	дополнение
— замыкание
множества
множества
— сумма по I
от 1 ДО п
Я»)
R8
R1
R*
— матрица
—	обратное к В отношение
—	композиция отношений
—	вторая проекция отношения
—	отношение строгого предпочтения
—	отношение безразличия
—	отношение эквивалентности
206
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
JL
ункция принадлежности нечеткого Отношения
строгого предпочтения
ункция предпочтения нечеткого отношения
без-
различия
— функция принадлежности нечеткого отношения
квазиэквив а лентности
н. д.
ч. н. д.
„и. Д.
**7?
9>Р)
(X, Т)
— недоминируемый
— четко недоминируемый
ункция принадлежности нечеткого множества
недоминируемых альтернатив
— функция принадлежности нечеткой цели
— образ множества D при отображении у
— множество X с топологией Т
н.
о. п.
— нечеткое отно:
II
епие предпочтения
3£
н. т. п.
— нечеткое топологическое пространство
— класс нечетких подмножеств
— нечеткий подкласс класса нечетких подмножеств
Сергей Алексеевич Орловский
Проблемы принятия решений
при нечеткой исходной информации
(Серия: «Оптимизация и исследование операций»)
М.» 1981 г., 208 стр. с или.
Редактор М. М. Горячая
Техн, редактор Л. В. Лихачева
Корректор Л. Н. Боровина
ИБ № 11645
Сдано в набор 20.06.80. Подписано к печати 11.03.81.
Т-05723. Бумага 84х1081/32, тип. № 1.
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 10,92. Уч.-изд. л. 10,42. Тираж 7600 экз.
Заказ № 1626. Цена книги 1 р. 20 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая типография издательства «Наука»
199034, Ленинград, В-34, 9 линия, 12