Текст
"h" @
c .
Александр Леоненков
Нечеткое
моделирование
в среде МА LAB
и fuzzyTECH
. Основы теории нечетких мно>!<еств инечеткой
лоrики
. Построен..е нечетких моделей в среде MATLAB
Fuzzy Logic Toolbox
. Создание проектов в пакете fuzzyTECH
п
МАСТЕР .. ЕUJЕНИ
Александр Леоненков
Нечеткое
моделирование
в среде MATLAB
и fuzzyTECH
Санкт Петербурr
«БХВ Петербурr»
2005
удк 681.3.068
ББК 32.973.26 0 J 8.2
Л47
Леоненков А. В.
Л47 Нечеткое моделирование D среде MATLAB и fllzzyTECH.
СПб.: БХВ Петербурr, 2005. 736 с.: ил.
ISBN 5 94157 087 2
в книrе рассматриваются основы нечеткоrо моделирования HOBOro
направления применения наукоемких технолоrий для решения практиче
ских задач. Подробно описываются базовые понятия теории нечетких
множеств инечеткой лоrики, необходимые ДЛЯ построения нечетких MO
делей систем в технике и экономике (в т. ч. бизнесе). Исследуются oco
бенности нечеткоro моделирования в средах МА TLAB и fllzzyTECH. Из
ложение сопровождается примерами разработки отдельных нечстких
моделей и иллюстрациями выполнения всех необходимых операций с He
четкими множествами.
Для системных аналитиков, nprepoммucmoB и студентов вузов
УДК 681.3.068
ББК 32.973.26 OI8.2
fруппа подroТО8КИ издания:
[давный редактор
Зав. редакцией
Редактор
Компьютерная верстка
Корректор
Дизайн обложки
Оформление серии
Зав. производством
Екатерина Кондукова
ТриеОРllЙ Добин
Анатолии Хрипов
Натальи СмиР1l0вой
Наталия Перuюкова
Иi!Oря Цырульнuкова
Иа Design
Николаii Тверских
Лицензия ид NII 02429 от 24.07.00. Подписано в печать 26.04.05.
Формат 70х100 1 / 16 . Печать офсетная. Усл. печ. л. 59,34.
Доп. тираж 2000 экз. Заказ N 998
"БХВ-Петербурr", 194354, Санкт-Петербурr. ул. Есенина, 515.
Санитарно-эпидемиолоrическое заключение на продукцию N9 77.99.02.95З.Д.006421.11.04
от 11.11.2004 r. выдано Федеральной службой по надзору
в сфере защиты прав потребителей и блarополучия человека.
Отпечатано с rOToBblX диапозитивов
в rvn "Типоrрафия "Наука"
199034, Санкт Петербурr, 9 линия, 12
ISBN 5 94157 087 2
с> ЛеонеНКОI\ А в., 2003
с> Оформление, излательстl\O -БХВ Петербурr., 2003
Содержание
Предислов не.... .... ................ ... ......... ........... ................ ................ ............... ............. .... ....... .... 1
Структура книrи.......... ................... .................. ...... .......................................................... 3
Рекоменлации по изучению материала книrи ..............................................................5
Блаrодарности .......................... .......... .............. ................... ............................. ................6
ЧАСТI> 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ м НОЖЕCf В И НЕЧПКОЙ лоrиКи...............9
r лава 1. Введен не .............................................. .... ........... .................... .... ..........................11
1.1. История развития теории и приложений нечетких множеств
инечеткой лоrики ...... ......... ............ ............................ ......... ........ .................................. 12
Первые промышлеШlые приложения в Европе ......................................................12
Япония лидер в области промышленных приложений .....................................13
Европа и США преслсдуют Японию .......................................................................14
1.2. Методолоrия систеМlюrо моделирования ............................................................15
Анализ проблеМIЮЙ ситуации ........... .... ......................... ................... ....................... 19
Структуризация предметной области и постросние модели ................................. 20
Выполнение вычислительных экспериментов с моделью......................................21
Применение результатов вычислительных эксперимеIlтов...................................22
Коррекция или доработка модели ....................",.....................................................23
J .3. Методолоrия нечеткоrо моделирования ..............................................................24
1.4. Анализ нечеткоrо и верОЯТНОСТНОI'О подходов к моделированию
нео пределенности.. .................................................... ............................................. ........26
Стохасти ческая неопределенность .......... ........ ............. ...... ........ ........... .......... ......... 27
Л инrвисти ческая неопределенность . .................... ........... .................. ............... .......28
Моделирование линrвистической неопределенности ...... ... ........ .......... .................29
Нечеткая лоrика в сравнении с теорией вероятностей ..........................................30
rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств .................................................33
2.1 Определение нечеткоrо множества ........................................................................33
2.2. Основные характеристики нечетких множеств....................................................43
2.3. Основные типы функций принадлежности ......................................................'.... 52
К усочно линейные функции принадлежности........................................................ 52
z образные и s образные функции принадлежности ............................................ 54
П образные функции принадлежности.... ............... ............................ .....................60
2.4. Некоторые рекомендации по построению функций принадлежности
не четких множеств............................ ....................................... .............................. ........63
Прямые методы построения функций принадлежности ........................................64
Косвенные методы построения функций принадлежности ...................................65
/V
Содержание
rлава 3. Операции над нечеткими множесТВами.............................................................67
3.1. Равенство и доминирование нечетких множеств.................................................68
3.2. Операции пересечения, объединения и разности нечетких множеств ...............70
3.3. Альтернативные операции пересечения и объединения
н ечетких мн ожеств ................ ..... ..... ............. ............................................................... ...79
Нечеткие операторы................................................... ...............................................89
3.4. Некоторые дополнительные операции над нечеткими множествами ...............93
r лава 4. Нечеткие отношения .......... ................ ......................................... .... .... .... ............ 99
4.1. Нечеткое отношение и способы ero задания .........................................................99
Способы задания нечетких отношений .................................................................101
4.2. Основные характеристики нечетких отношений ...............................................110
4.3. Операции над нечеткими отношениями . ............................................................ 114
Композиция бинарных нечетких отношений........................................................118
4.4. Нечеткое отображение.. ................................. .............. ......................................... 124
Принцип обобщения в теории нечетких множеств ..............................................125
4.5. Свойства бинарных нечетких отношений, заданных
на одном универсуме ...................................................................................................126
Операция транзитивноrо замыкания бинарноrо нечеткоrо отношения ........... 128
4.6. Некоторые специальные виды нечетких бинарных отношений,
заданных на одном базисном множестве ..................................................................131
rлава 5. Нечеткая и линrвистическая перемениые.
Нечеткие величины, числа и интервалы.........................................................................134
5.1. Определения нечеткой и линrвистической переменных ................................... 134
5.2. Нечеткие величины, числа и интервалы .............................................................137
Операции над нечеткими числами и интервалами ............................................... 139
5.3. Нечеткие числа и интервалы в форме (L R) функций .......................................141
Операции над нечеткими числами и интервалами (L R) Типа............................145
5.4. Треуrольные нечеткие числа и трапециевидные нечеткие интервалы ............148
Операции над треуrольными нечеткими числами
и трапециевидными нечеткими интервалами ....................................................... 152
r лава 6. Основы нечеткой лоrики ..................................................................................158
6.1. Понятие нечеткоrо высказывания и нечеткоrо предиката ...............................159
Нечеткие предикаты .............................................. ......................................... ......... 16}
6.2. Основные лоrические операции с нечеткими высказываниями .......................162
Лоrическое отрицание нечетких высказываний ................................................... 162
Лоrическая конъюнкция нечетких высказываний................................................163
Лоrическая дизъюнкция нечетких высказываний ................................................164
Нечеткая импликация. ..................................... .............................................. .......... 165
Н ечеткая эквивалентность .............................. .............................................. .......... 167
6.3. Правила нечетких продукций ..............................................................................167
Прямой и обратный методы вывода заключений в системах
нечетких продукций ......... ..................................... ................ ................................... 171
Содержание
v
rлава 7. Системы нечеткоro вывода...............................................................................178
7.1. Базовая архитектура систем нечеткоrо вывода .................................................178
Нечеткие линrвистические высказывания .............. ..... ............ .......... ...... ...... ........ 179
Правила нечетких продукций в системах нечеткоrо вывода .............................. 181
Механизм или алrоритм вывода в системах нечеткоrо Вывода.......................... J 85
7.2. Основные этапы нечеткоrо вывода.....................................................................185
Формирование базы правил систем нечеткоrо вывода ....................................... ] 87
Фаззификация (Fuzzification)..... ...... .................. ....... ............. ... ... .................... ....... 189
Аrpеrирование (Aggregation) ........................... .................. '" ..... '" ......... .... ............. 191
Активизация (Activation)... ........... ................... ........ ........ ................. .......... ............. ] 92
Аккумуляция (Accum u)ation) ........ ................ .... .... ............. ..................................... 195
Дефаззификация (Defuzzifica tion)..... .............. ..... ..... ..... ......................................... 197
Метод центра тяжести ......................................................................................... ] 97
Метод центра тяжести для одноточечных множеств ....................................... 198
Метод центра площади .......................................................................................199
Метод левоrо модальноrо значения ..................................................................200
Метод правоrо модальноrо значения .. .............................................................. 200
7.3. Основные алrоритмы нечеткоrо вывода .. .......................................................... 20 I
Алrоритм Мамдани (Mamdani) ........................................... ............. ........ ..............202
Алrоритм Цукамото (Тsukаmоtо) ..........................................................................202
Алrоритм Ларсена (Larsen)......... ............ ......... ........... ......... .............. ....... ........ ...... 203
Алrоритм CyreHo (Sugeno) ... ...... ....... ............ ... ..... ............... ...................... ....... ...... 204
Упрощенный алrоритм нечеткоrо вывода .......................................... ..................205
7.4. Примеры использования систем нечеткоrо вывода в задачах управления..... 205
Нечеткая модель управления смесителем воды при принятии душа.................. 208
Содержательная постановка задачи ..................................................................208
Построение базы нечетких линrвистических правил....................................... 209
Фаззификация входных переменных .................................................................209
Нечеткая модель управления кондиционером воздуха в помещении ................212
Содержательная постановка задачи .................................................................. 212
Лостроение базы нечетких линrвистических правил....................................... 214
Фаззификация входных переменных .................................................................215
Нечеткая модель управления контейнерным краном ..........................................218
Содержательная постановка задачи ..................................................................218
Формирование базы правил систем нечеткоrо вывода ...................................219
Фаззификация входных переменных ... .............................................................. 220
r лава 8. ЯЗblК нечеткоrо управления FCL ................................................................222
8.1. Концептуальные основы нечеткоrо управления......................:......................... 222
Интеrрация проrpаммируемых контроллеров ..................................................... 226
Перенос проrрамм нечеткоrо управления.............................................................228
История разработки и стандартизации языка FCL .............................................229
8.2. Базовая нотация языка нечеткоrо управления FCL .......................................... 230
Основные элементы языка FCL... ....... .,. ....... .......... ......... .......................... ............. 230
Нотация правил продукций ................................................................................230
Ключевые слова языка FCL................................................................................232
Интерфейс функциональноrо блока (Function Block interface)....................... 234
Фаззификация (Fuzzification) ... ............. ..... ......... .................... ........ .................... 235
Дефаззификация (Defuzzification). ..... .............. ............................................ ....... 237
VI
Содержание
Блок правил (Rule block) .....................................................................................239
Простой при мер записи модели нечеткоrо управления
с использованием нотации языка FCL ..............................................................243
Необязательные параметры (Орtiопаl pai'ameters) ........................................... 244
Соrласовашюсть классов языка FCL .................................................................... 244
Список проверки данн ых .................. ................ .................................................. 248
8.3. При мер разработки и записи нечетких моделей на языке FCL ....................... 250
Нечеткая модель управления смесителем БОДЫ при принятии душа.................. 250
Нечеткая модель управления кондиционером воздуха в помещении ................ 251
Нечеткая модель управления контейнерным краном ..........................................253
r лава 9. Осиовы общей теории нечеткой Меры .............................................................256
9.1. Нечеткие меры и их основные свойства .............................................................256
Общее определение нечеткой меры........................................................................ 257
Меры доверия и правдоподобия ............................................................................ 258
Меры возможности, необходимости и вероятности ............................................ 259
л нечеткие мерь! .......... ...................................................................... ....................... 261
Классификация пространств с нечеткими мерами ............................................... 262
9.2. Нечеткий интеrрал и примеры ero вычисления ................................................. 263
['лава 10. Нечеткие сети Петр" ...................................... ................................................. 267
10.1. Базовый формализм классических сетей Петри............................................... 268
Свойства сетей Петри и задачи их анализа........................................................... 276
10.2. Основные подклассы нечетких сетей Петри .....................................................280
Нечеткие сети Петри типа V r ..................................................................................280
Нечеткие сети Петри типа С с ..................................................................................286
Обобщенные нечеткие временные сети Петри типа Cpт f .....................................291
Свойства нечетких сетей Петри........ ......................... .................. .......... .............. ... 298
Классификация нечетких сетей Петри ................................................................... 300
10.3. Использование нечетких сетей Петри для представления правил
нечетких продукций..................... ..... ........................... .............. .................. ................ 303
ЧАСТЬ 11. НЕЧЕТКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ МА TLAB .................................309
rлава 11. Общая характеристика проrраммы МА TLAB..............................................311
11.1. Основные элементы системы МА TLAB ...........................................................311
Особенности инсталляции системы МА TLAB на компьютер
пользователя.................. ...................................... .............................................. ....... 312
Запуск системы МА TLAB и элементы ее rрафическоrо интерфейса .................313
Встроенная справочная система и документация, поставляемая
с системой МА TLAB ...............................................................................................319
11.2. Основные приемы работы Б системе МА TLAB ............................................... 321
Назначение операций rлавноrо меню ...................................................................322
Назначение операций панели инструментов ........................................................ 326
Основные приемы работы в окне команд ............................................................. 327
J 1.3. rрафические возможности системы МА TLAB ................................................334
Содержание
V/I
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде МА TLAB ..................................343
12.1. Процесс разработки системы нечеткоrо вывода
в интерактивном режиме ............................... ..... ........... ............ .... ................ ..... .........343
Редактор систем нечеткоrо вывода FIS ................................................................. 344
Редактор функций принадлежности....... ................ ...... ........... ........ ........... ... ........349
Редактор правил системы нечеткоrо вывода ........................................................ 352
Проrрамма просмотра правил системы нечеткоrо вывода................................. 354
Проrрамма просмотра поверхности системы нечеткоrо вывода .......................356
12.2. Пример разработки системы нечеткоrо вывода
в интерактивном режи ме.. ........................................... ...... ..................... ....... .... ..........358
12.3. Процесс разработки системы нечеткоrо вывода
в режиме командной строки ................ ........ .................................. ............. ................371
rлава 13. Нечеткая кластеризация в Fuzzy Logic Toolbox............................................379
13.1. Общая характеристика задач кластерноrо анализа ........................................379
13.2. Задача нечеткой кластеризации и алrоритм ее решения.................................380
Общая формальная постановка задачи нечеткоrо кластерноrо анализа .......... 381
Уточненная постановка задачи нечеткой кластеризации.................................... 383
Алrоритм решения задачи нечеткой кластеризации методом
нечетких с-средних.. ....................... ..... ......................... .... ......................... ..... ..........385
13.3. Средства решения задачи нечеткой кластеризации в пакете
Fuzzy Logic Т 001 Ьох. ....................... ............................. ....................... ..... ....................387
Решение задачи нечеткой кластеризации в командном режиме ......................... 387
Решение задачи нечеткой кластеризации с использованием средств
rpафическоrо интерфейса................... ........... ............ ... ............... ....... ........ .... ........392
Решение задачи определения числа кластеров для нечеткой
кластеризации в системе МА TLAB.............. .......................................................... 395
rлава 14. Основы проrраммирования в среде МА TLAB ..............................................399
J 4.1. Основы. языка проrpаммирования системы МА TLAB ...................................399
Операторы управления последовательностью выполнения команд..................404
Условный оператор if.. .elseif.. .else.. .end ........................................................... 404
Оператор выбора switch.. .case.. .otherwise.. .end ...............................................405
Оператор цикла for.. .end .............. ................................... .................................... 406
Оператор цикла while.. .end ................................................... .............................. 407
Оператор continue ....... ...... .... ..................... .............. ............ ................... .... .... .....408
Оператор break................. ...... ........ ........... ........... ................ .... ............... ...... .,. .... 408
Оператор return .... ........... .., ..... ......................................... ....................................409
ЗаЩИlценный блок try...catch.. .епd .....................................................................41 О
Текстовые ком ментарии ............. ............... .... .......... .............. .,. ..... ..........................411
14.2. Основные приемы работы с редактором/отладчиком m-файлов...................4J 1
Назначение операций rлавноrо меню ...................................................................4 J 3
Назначение операций панели инструментов ........................................................418
14.3. При мер nporpaMMbI, расширяющей возможности пакета
нечеткой лоrики Fuzzy Logic Toolbox........................................................................420
VI/I
Содержание
rлава 15. ОСНОВЫ нечетких нейронных сетей................................................................426
15.1. Общая характеристика ANFIS адаптивных систем
нейро нечеткоrо вывода.......................................................... ...... ....... .......................427
Понятие нейронной сети и основные способы ее задания ..................................427
rибридная сеть как адаптивная система нейро нечеткоrо вывода ....................432
15.2. Реализация ANFIS в среде МА TLAB ...............................................................432
15.3. Пример решения задачи нейро нечеткоrо выВода...........................................442
rлава 16. Примеры разработки нечетких моделей управления
в среде МА TLAB ................... ........ ................... ............ ............................................ .... .... 451
J 6.1. Нечеткая модель управления кондиционером воздуха в помещении............ 45 J
16.2. Нечеткая модель управления контейнерным краном.......................................457
rлава 17. Примеры разработки нечетких моделей прииятия решений
в среде МА TLAB ...................................... ............................................................ .... .... ....464
17.1 Оценивание финансовой состоятельности клиентов
при предоставлении банковских кредитов ................................. ......................... ......464
Содержательная постановка задачи оценивания финансовой
состоятельности клиентов................ .... ..... ................ ....... ....... ................................464
Описание входных и выходных переменных рассматриваемой задачи.............465
Нечеткая модель аценивания финансовой состоятельности клиентов ..............468
Фаззификация входных и выходных переменных ............................................469
Формирование баЗbl правил систем нечеткоrо вывода ...................................471
Построение нечеткой модели средствами Fuzzy Logic Toolbox
и анализ полученных результатов....................... ...................................................473
17.2. Анализ и проrнозирование валютных цен на финансовом рынке.................479
ЧАСТЬ 111. НЕЧЕТ КОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ fUzzvTECH ............................489
r лава 18. Общая характеристика проrpаммы fuzzyTECH ...........................................491
18.1. Общая характеристика нечеткоrо проекта в среде fuzzyTECH .....................492
18.2. Основные элементы рабочеrо интерфейса проrраммы fuzzyTECH ..............497
Встроенная справочная система nporpaMMbI fuzzyTECH ....................................503
18.3. Назначение операций rлавноrо меню и панели инструментов
nporpaMMbI f uzzyTECH........... ........ ................... ............ ........ ...................................... 506
Назначение операций rлавноrо меню ...................................................................506
Назначение операций панели инструментов ........................................................ 5 J 6
18.4. rрафические средства визуализации результатов нечеткоrо вывода
в nporpaMMe fuzzyTECH ....... ................... ......................................... ..... ... ...................5 J 8
rрафическое окно просмотра поверхности нечеткоrо вывода
на плоскости ......................................... ................................................ .......... ... .......518
r рафическое окно просмотра трехмерной поверхности
нечеткоrо вывода......... .................. ............... ............................................ ............... 521
rрафическое окно просмотра временных rрафиков значений
линrвисти ческих переменных................................... ........ ...................................... 524
Содержание
/Х
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH................................527
19.1. Основные средства редактирования и анализа систем
нечеткоrо вывода в fuzzyTECH ..................................................................................527
rрафический редактор линrвистической переменной и функций
принадлежности их термов... ... ......... ............................. ........................... .............. 528
rрафические редакторы правил системы нечеткоrо вывода ..............................533
rрафические средства анализа результатов нечеткоrо вывода ..........................539
19.2. Основные средства разработки проектов и компонентов
систем нечеткоrо вывода в fuzzyTECH .....................................................................543
Мастер нечеткоrо проекта ......................................... .............................. ............... 543
Мастер линrвистической переменной ................. ..................................................549
М астер блока правил.... ................................................................................. .......... 554
rлзва 20. Примеры разработки и анализа нечетких моделей
в среде fuzzyTECH ......... .... .... ... ..... ... ........ ................. ... ........ ... ... ... ... .... ....... ............. .... .... 559
20.1. Пример разработки системы нечеткоrо вывода для задачи
« Чаевые в ресторане» ..................... ....... ................ .... ............................................. .....559
20.2. Нечеткая модель управления контейнерным краном .....................................568
20.3. Нечеткая модель оценивания финансовой состоятельности клиентов
при предоставлении банковских кредитов................................................................573
ЧАСТЬ IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ............................................................... ........ ..... ..........583
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений.........................585
Множество и способы ero задаНия............................................................................. 585
Основные Теоретико множественные операции ................................. ....... ...............593
Булеан или множество всех подмножеств ................................ ................................599
М У ль тимножество или ко мплект ......... .......... .... ....... ...................................... ... ........600
Отношения и способы их задания .............................................................. ................ 60 1
Операции над бинарными отношениями ..................................................................607
Отображение . ........ ....... ............ ....... .......... .... ... .................. .... ................... ...................609
Свойства бинарных отношений, заданных на одном базисном множестве .......... 61 О
HeKoTopыe специальные виды бинарных отношений, заданных на одном
базисном множестве '" ................ ............ ......... .... ........ ............ ... .................................61 2
Отношение cTpororo частичноrо порядка ............................................................613
Отношение толерантности ..................................... ......................... ........................ 613
Отношение эквивалентности ..... ....... ... .............. .... .... ...... .... ...................................614
М У ль тиотношение ........................................ ...............................................................614
Приложение 2. Основы математической лоrики ...........................................................616
Классическая лоrика высказываний .......................................................................... 617
Основные понятия лоrики высказываний ............................................................. 617
Основные лоrические операции над высказываниями ........................................619
Фор мальные теории....... ......... ..... .......... ......... ...... ........................ ........... .............. ......624
Исчисление высказываний как формальная теория ................................. ............ 625
х
Содержание
л оrика предикатов ......... ....................... ............ ..................................................... .....628
Основные понятия лоrики предикатов первоrо порядка ....................................629
Лоrические операции над предикатами ................................................................630
Кванторы лоrики предикатов.................................................... .............................631
Исчисление предикатов первоrо порядка как фОРМaJlьная теория ....................632
Продукционные системы ................................ ...... ... .................. ...... ............. ............ ...635
Прямой и обратный методы вывода заключений
в продукционных системах .................................. ..... ........................ .... ..................637
Приложение 3. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Toolbox
системы М А TLAB ............................. .... ............................................... ........ ........ ............641
Приложение 4. При мер файла проекта ДЛЯ проrраммы fuzzyTECH ............................705
r лосеа ри й .... ... ......... ... .... .... ........ .... ....... ........ .... ........ ............ ....... ..... ..................... ........ ... 713
л итера тура .. .... .... ...... ..... ........ .... .... ........... .... ............ ............ ...... ....................... ... .... .... .... 717
Предисловие
Книrа посвящена рассмотрению теоретических основ и прикладных методов
новой современной технолоrии нечеТКОI'О моделирования в контексте pe
шения практических задач с использованием специализированных проrраммных
средств МА ТLAB и fиzzyTECH. Основная цель предлаrаемоrо вниманию чита
телей учебноrо пособия привлечь внимание студентов, аспирантов, преПода
вателей, инженеров, молодых научных сотрудников и проrраммистов к нечеткой
проблематике и дать доступное введение в одну из интереснейших и перспектив
ных областей современных высоких технолоrий нечеткое моделирование.
Чем же обусловлена актуальность этой новой технолоrии и в чем проявляется ее
преимущество перед известными и ставшими уже классическими концепциями
моделирования и управления?
Прежде Bcero это тенденция увеличения сложности математических и фор
мальных моделей реальных систем и процессов управления, связанная с желани
ем повыитьb их адекватность и учесть все большее число различных факторов,
оказывающих влияние на процессы принятия решений.
С одной стороны, традиционные методы построения моделей не приводят к
УДOlшетворительным результатам, коrда исходное описание подлежащей реше
нию проблемы заведомо является неточным или неполным. С друrой стороны,
стремление получить всю исчерпывающую информацию для построения точной
математической модели сколь нибудь сложной реальной ситуации может при
вести к потере времени и средств, поскольку это может быть в принципе невоз
можно.
В подобных случаях наиболее целесообразно воспользоваться такими методами,
которые специально ориентированы на построение моделей, учитывающих He
полноту и неточность исходных данных. Именно в таких ситуациях технолоrия
нечеткоrо моделирования оказывается наиболее конструктивной, поскольку за
последнее десятилетие на ее основе были решены сотни практических задач
управления и принятия решений.
Сейчас уже не вызывает сомнения тот факт, что важнейшей особенностью жиз
неспособности той или иной теоретической концепции является ее реализация и
поддержка в соответствующих проrраммных инструментах. Появление и успеш
ное развитие коммерческих проrраммных средств, которые специально ориен
тированы на решение задач нечеткоrо моделирования, объективно свидетельст
вуют в пользу Toro, что теория нечетких множеств инечеткая лоrика MorYT и
должны быть эффективно использованы для решения широкоrо Kpyra практиче
ских задач. При этом наиболее интересными проrраммными средствами, в KOTO
рых реализована технолоrия нечеткоrо моделирования, по мнению автора, яв
ляются рассмотренные в книrе система МА TLAB и проrрамма fL1zzyTECH.
2
Предисловие
К сожалению, существующие издания по нечеткой проблематике либо излишне
упрощены и поверхностны, что характерно, в первую очередь, для информации,
представленной в Интернете, либо содержат абстрактное изложение отдельных,
зачастую весьма узких аспектов теории нечетких множеств и различных ее направ
лений, что характерно для академических работ последних трех десятилетий.
С одной стороны, упрощенное изложение теории нечетких множеств инечеткой
лоrики на уровне картинок создает несерьезное отношение к ней со стороны
профессиональных математиков и проrраммистов, препятствуя внедрению COOT
ветствующих идей в процесс их подrотовки и обучения. С друrой стороны, TeH
денция перевести все идеи современной математики на язык теории нечетких
множеств привела к появлению целоrо ряда работ, содержащих абстрактное
обобщение тех или иных математических конструкций, которые оказались OTO
рванными от проблематики реальных практических задач системноrо моделиро
вания. По целому ряду причин эта тенденция также не нашла широкоrо призна
ния в среде математиков и проrраммистов.
В настоящей книrе представлен материал, который тщательно отобран из большо
ro мноrообразия идей и работ, получивших развитие в последние три десятилетия.
При отборе материала автор руководствовался, rлавным образом, возможностью
конструктивноrо применения соответствующих идей на практике. При этом изло
жение материала не является поверхностным в ущерб математической cTporo, сти
ибо. по мнению автора, теория нечетких множеств продолжает оставаться разде
лом математики, анечеткая лоrика разделом математической лоrики. Нечеткая
математика не может и не должна излаrаться нечетким языком. С этой целью в
книrе приводится теоретический материал, который необходим для адекватноrо
пони мания всех основных идей нечеткоrо моделирования.
В то же время конструктивное восприятие идей нечеткоrо моделирования воз
можно посредством построения и анализа нечетких моделей конкретных прак
тических задач. С этой целью в книrе рассматривается достаточное количество
прикладных задач, которые не только иллюстрируют особенности реализации
тех или иных идей нечеткоrо моделирования, но и MorYT быть эффективно решены
с использованием соответствующих проrраммных инструментов МА TLAB и
fuzzyTECH. При этом целый ряд представленных задач имеет ориrинальный xa
рактер, в чем читатель сможет убедиться самостоятельно при чтении КНИП1.
При изложении материала невольно возникает проблема унификации терминоло
rии и обозначений, традиционно применяеМblХ в различных работах по теории
нечетких множеств. Как представляется автору, целый ряд таких обозначений не
являются вполне удобными и не отражают внутреннюю лоrику рассматриваемых
понятий, хотя исторически применялись в целом ряде ориrинальных работ. Это
относится, например, к использованию символов нижнеrо подчеркивания, суммЬ!
и интеrрала для обозначения нечетких множеств. Поскольку эти обозначения спо
собны привести к путанице и трудностям у начинающих читателей, они не исполь
зуются в книrе, а заменены на более ПРИВblчные теоретико множественные, KOTO
рые наиболее точно отражают обобщенный характер нечетких понятий по
сравнению с понятиями классической математики.
Предисловие
з
Структура книrи
в основу книrи положены две основные идеи. С одной стороны, познакомить
читателя с теоретическими основами новой концепции нечеткоrо моделирования
сложных систем, которая может быть конструктивно использована для построе
ния нечетких моделей и без пони мания которой вряд ли возможно адекватно
использовать боrатейший потенциал возможностей соответствующих проrрам
мных инструментов.
С друrой стороны, рассмотреть основные проrраммные инструменты, которые
за последние несколько лет оказались наиболее эффективными при решении
практических задач с использованием технолоrии нечеткоrо моделирования.
Материал книrи делится на три части. Первая часть знакомит с основными Teo
ретическими понятиями, которые необходимы для правильноrо пони мания ба
зовой терминолоrии нечеткоrо моделирования и возможностей соответствую
щей технолоrии в контексте решения прикладных задач. Здесь представлен
теоретический материал, необходимый для уяснения всех основных понятий
теории нечетких множеств инечеткой лоrики. При этом материал излаrается
независимо от проrраммных инструментов, следуя лоrической и исторической
традиции развития соответствующих научных направлений.
Вторая часть посвящена рассмотрению особенностей процесса нечеткоrо Moдe
лирования с использованием возможностей одной из наиболее мошных и уни
версальных систем компьютерной математики системы МА TLAB. Третья
часть содержит описание особенностей процесса нечеткоrо моделирования с ис
пользованием специальноrо проrраммноrо инструментария проrраммы
fuzzyTECH.
В zлаве J рассматриваются особенности cOBpeMeHHoro состояния нечеткоrо MO
делирования в контексте общих концепций системноrо моделирования, приво
дится исторический обзор развития методолоrии нечеткоrо моделирования
сложных систем. Здесь можно познакомиться с сущностью проблемы неопреде
ленности и основными подходами ее количественноrо анализа.
В zлаве 2 рассматриваются основные понятия теории нечетких множеств и их
связь с определением классическоrо множества, описываются все основные типы
функций принадлежности, их аналитическое и rрафическое представления, а
также приводятся примеры различных нечетких множеств.
В zлаве 3 рассматриваются операции над нечеткими множествами и основные
способы их определения в контексте классических теоретико множественных
операций. При этом результаты выполнения операций над нечеткими множест
вами иллюстрируются целым рядом примеров.
В zлаве 4 рассматриваются нечеткие отношения и операции над нечеткими OTHO
шениями, а также описывается ряд свойств нечетких отношений, которые позво
ляют определить нечеткое разбиение и нечеткий порядок. Приводятся примеры
конкретных нечетких отношений, возникающих в экономике, бизнесе и в быту.
4
Предисловие
в 2лаве 5 рассматриваются нечеткая и линrвистическая переменные, которые ис
пользуются в дальнейшем при определении понятий нечеткой лоrики, а также
описываются основные операции над нечеткими числами и интервалами, кото-
рые иллюстрируются различными примерами.
В 2лаве 6 излаrаются теоретические основы нечеткой лоrики, рассматриваются
основные операции с нечеткими высказываниями в контексте классической ло
rики, приводятся примеры нечетких высказываний и выполнения нечетко
лоrических операций.
В 2лаве 7 рассматриваются нечеткий вывод и системы нечеткоrо вывода, опреде
ляются различные способы вычислеНИЯ степени истинности нечеткой имплика-
ции, приводятся примеры использования нечеткоrо вывода в системном модели
ровании.
В 2лаве 8 приводится описание базовой нотации языка нечеткоrо управления
FCL в соответствии со Стандартом IEC 1 J 31 7. Здесь также рассматриваются
основные понятия теории нечеткоrо управления и приводятся примеры записи
нечетких моделей управления в нотации языка FCL.
В 2Лаве 9 рассматриваются основы теории возможностей, которая представляет
одно из перспективных направлений развития теХНОЛОrии нечеткоrо моделиро-
вания. При водится общее определение нечеткой меры и ее разновидностей
мер возможности, необходимости и вероятности в контексте адеКВатноrо пред
ставления неопределенности.
В 2лаве 10 рассматривается аппарат нечетких сетей Петри, который также пред
ставляется перспективным направлением развития технолоrии нечеткоrо Moдe
лирования, описываются особенности формальноrо и rрафическоrо представле
ний, при водятся примеры задач и построение нечетких моделей систем с
использованием формализма нечетких сетей Петри.
В Z.Jюве 11 представлена общая характеристика системы компьютерной MaTeMa
тики МА TLAB и ее пакета расширения Fuzzy Logic Toolbox, предназначенно-
[о для построения систем нечеткоrо вывода, а также рассматриваются rрафиче
ский интерфейс и основные функции режима команд системы MATLAB.
В 2Лаве 12 описывается процесс построения нечетких моделей в среде MATLAB и
соответствующие rрафические средства пакета Fuzzy Logic Toolbox, приводятся
простейшие примеры нечеткоrо моделирования.
В 2лаве 13 рассматриваются теоретические основы нечеткой кластеризации и
особенности реализации соответствующих алrоритмов в системе МА TLAB,
приводятся примеры решения задач нечеткой кластеризации в среде FlIzzy Logic
Toolbox.
В 2лаве 14 излаrаются основы проrраммирования в среде- MATLAB с использо-
ванием языка разработки m файлов, рассматривается синтаксис этоrо языка и
ero основные конструкции, приводится при мер разработки m файла для реали-
зации операций с нечетКИМИ множествами, который расширяет возможности
системы МА TLAB.
Предисловие
5
в 2лаве J 5 рассматривается новое направление нечеткоrо моделирования
адаптивные системы нейро нечеткоrо вывода, при водится исходное определение
нейронной сети и описываются особенности реализации адаптивных Систем
ANFIS в среде МА TLAB.
В 2/ювах 16 и 17 приводятся конкретные примеры построения нечетких моделей в
среде MATLAB, предназначенные для решения задач управления и прИнятия
решений, среди которых нечеткие модели управления кондиционером воздуха
в помещении, управления контейнерным краном в порту, оценивания финансо
вой состоятельности клиентов при предоставлении банковских кредитов и про
rнозирования валютных цен на финансовом рынке.
В 2.Т1аве 18 представлена общая характеристика nporpaMMbI fuzzyTECH, описаны
особенности ее инсталляция и rрафическоrо интерфейса, рассматриваются ос-
новные характеристики нечеткоrо проекта в среде fuzzyTECH.
В 2лаве 19 рассматриваются все специальные средства nporpaMMbI fuzzyTECH,
предназначенные для разработки и анализа нечетких моделей, а также даются
рекомендации по выполнению отдельных этапов нечеткоrо моделирования в
среде fuzzyTECH.
В 2лаве 20 приводятся конкретные при меры построения нечетких моделей в среде
fuzzyTECH, предназначенные для решения отдельных задач управления и при
нятия решений, среди которых нечеткие модели поведения в ресторане,
управления контейнерным краном в порту и оценивания финансовой состоя
тельности клиентов при предоставлении банковских кредитов.
В прШЮJкенuu 1 рассматриваются основы клаССИLlеской теории множеств, KOTO
рые необходимы для понимания базовой концепции теории нечетких множеств,
являющейся обобщением и дальнейшим развитием описываемых здесь понятий.
В приложеl1uи 2 рассматриваются основы математической лоrики, которые He
обходимы для понимания концепции систем нечеткоrо вывода, также являющейся
обобщением и дальнейшим развитием описываемых здесь понятий.
В приЛОJкеllиu 3 при водится справочник функций пакета Fuzzy Logic Toolbox
системы MATLAB дЛЯ выполнения различных операций с системами нечеткоrо
вывода.
В прU..'lо.женuu 4 приводится текст файла проекта системы нечеткоrо вывода в
формате FTL дЛЯ среды fuzzyTECH, который иллюстрирует дополнительные
возможности спецификации нечетких проектов в среде fuzzyTECH.
Рекомендации
по изучению материала книrи
Представленный в книrе материал охватывает всю основную проблематику ме-
ТОДОлоrии нечеткоrо моделирования и технолоrии решения практических задач
с использованием наиболее эффективных проrраммных инструментов. В то же
6
Предисловие
время для BcecTopoHHero пони мания особенностей разработки и применения He
четких моделей, как правило, недостаточно общей эрудиции и наличия Toro или
иноrо проrраммноrо инструментария. Как показывает практический опыт, для
творческоrо овладения меТОдолоrией нечеткоrо моделирования необходима оп
ределенная математическая подrотовка и знание некоторых общих принципов
моделирования и управления, разработанных в рамках прикладноrо системноrо
анализа.
Читатели, впервые приступающие к изучению нечеткоrо моделирования и CTa
вящие перед собой цель в совершенстве овладеть данным предметом, MorYT по
следовательно знакомиться с материалом отдельных rлав, обращаясь к прило
жениям по мере необходимости. При этом теоретический материал, изложенный
в первой части книrи, используется в дальнейшем при изложении конкретных
нечетких моделей. Те из читателей, кто знаком с понятиями и проблематикой
теории нечетких множест инечеткой лоrики, MorYT сразу перейти к paCCMOTpe
нию особенностей реализации нечетких моделей в средах МА TLAB и
fuzzyTECH, обращаясь к основному теоретическому материалу по мере необхо
димости. Наконец, читатели, которые интересуются прикладными аспектами
отдельных направлений нечеткоrо моделирования, такими, как адаптивные сис
темы нейро нечеткоrо вывода или методы нечеткой кластеризации, MorYT выбо
рочно обратиться к материалу соответствующих rлав.
Материал КНИП1 может быть использован для постановки соответствующеrо учеб-
Horo курса в вузах с целью ПОДrотовки специалистов математическоrо, экономиче
cKoro и техническоrо профиля. В этом случае автор надеется, что как студенты, так
и преподаватели найдут в книrе интересный для размышления материал, который
позволит понять целый ряд особенностей и перспектив профессиональноrо обра
зования в области современных информационных технолоrий.
Блаrодарности
Автор искренне блаrодарит К. Н. Ильинскоrо, Е. В. Ко ндукову , Е. В. CTpora
нову, А. М. Коновалова и И. А. Корнеева за предоставленные в разное время
материалы, которые были использованы при написании книrи, а также доцента
А. Н. Павлова за конструктивное обсуждение материала отдельных rлав кни
rи. Автор искренне признателен директору Школы IТ менеджмента АНХ при
Правительстве рф (www.itmane.ru) И. Ю. Прокиной, а также Л. А. Ермакову,
В. А. Перекрестову и В. В. Фамильнову за оказанную поддержку в процессе pa
боты над книrой. В предоставлении персональной лицензии и фирменной ДOKY
ментации на систему МА TLAB неоценимую помощь оказали Борис Манзон
(SoftLine) и сотрудник компании MathWorks Coиrtney Esposito.
Написание современной книrи немыслимо без использования ресурсов Интерне
та. В этой связи хотелось бы выразить особую признательность директору Меж
дисциплинарноrо Центра СПбrу (www.icape.nw.ru) профессору Н. В. Борисову
за предоставленную возможность электронной коммуникации.
Предисловие
7
в заключение следует специально отметить одно немаловажное обстоятельство,
которое усложняет понимание и распространение идей нечеткоrо моделирова
ния среди отечественных математиков, инженеров и проrраммистов. Речь идет о
неустановившейся терминолоrии в этой области и о неоднозначности перевода
отдельных терминов, имеющих зачастую мноrозначное толкование в том или
ином конкретном контексте. С этой целью названия наиболее важных понятий и
их краткая характеристика отдельно приводятся в конце книrи. В любом случае
аВТОР будет признателен за все отзывы и конструктивные предложения, связан
ные с содержани м книrи и проблематикой нечеткоrо моделирования, которые
можно отправлять по адресу: fuzzy@itmane.ru.
ЧДСТЬI
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ
МНОЖЕСТВ ИНЕЧЕТКОЙ лоrики
rлава 1
,.
.
i"
Введение
Теория нечетких множеств, основные идеи которой были предложены американ
ским математиком Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) более 35 лет назад, позволяет опи
сывать качественные, неточные понятия и наши знания об окружающем мире, а
также оперировать этими знаниями с целью получения новой информации. Oc
нованные на этой теории методы построения информаЦИОННbIХ моделей сущест
венно расширяют традиционные области применения компьютеров и образуют
самостоятельное направление научно прикладных исследований, которое полу
чило специальное название нечеткое моделирование.
В последнее время нечеткое моделирование является одной из наиболее актив
ных и перспективных направлений прикладных исследований в области управ-
ления и принятия решений. Нечеткое моделирование оказывается особенно по
лезным, коrда в описании технических систем и бизнес процессов присутствует
неопределенность, которая затрудняет или даже исключает применение точных
количественных методов и подходов.
В области управления техническими системами нечеткое моделирование позво-
ляет получать более адекватные результаты по сравнению с результатами. KOTO
рые основываются на использовании традиционных аналитических моделей и
алrоритмов управления. Диапазон применения нечетких методов с каждым ro
дом расширяется, охватывая такие области, как проектирование ПРОМbIшленных
роботов и бытовых электроприборов, управление доменными печами и движе
нием поездов метро, автоматическое распознавание речи и изображений.
Нечеткая лоrика, которая служит основой для реализации методов нечеткоrо
управления, более естественно описывает характер чел')веческоrо мышления и
ход ero рассуждений, чем традиционные формально-лоrические системы. Имен
но поэтому изучение и использование математических средств для представле-
ния нечеткой исходной информации позволяет строить модели, которые наибо-
лее адекватно отражают различные аспекты неопределенности, постоянно
присутствующей в окружающей нас реальности.
12
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
1.1. История развития теории
и приложений нечетких множеств
инечеткой лоrики
Первой публикацией по теории нечетких множеств принято считать работу
профессора из Университета Беркли (шт. Калифорния. США) Лотфи Заде, KOTO
рая относится к 1965 r. Понятие нечеткоrо множества в смысле Л. Заде положило
начало новому импульсу в области математических и прикладных исследований,
в рамках которых за короткий срок были предложены нечеткие обобщения всех
основных теоретико множественных и формально лоrических понятий.
Наиболее значимыми из работ в этой области следует отметить публикации
Л. Заде, Д. Дюбуа (D. DlIbois) и А. Прада (Н. Prade) по теории нечеткой меры и
меры возможности, M.CyreHo (М. Sugспо) по нечеткому выводу и нечеткому ин
теrралу, Дж. Беждека (J. Bezdek) по нечеткой кластеризации и распознаванию
образов, Р. Яrера (R. R.Yagel') по нечеткой лопше.
Однако, несмотря на большое количество теоретических работ, прикладное зна
чение нечетких моделей долrое время ставилось под сомнение. Даже сеrодня,
коrда имеется информация о мноrих десятках успешных применений нечетких
моделей, некоторые ученые все еще скептически относятся к возможностям He
четкоrо моделирования.
Первые промышленные
приложения в Европе
Первые реализации нечетких моделей в промышленности относятся к середине
1970 x rr. Именно в этот период в Великобритании Эбрахим Мамдани (Ebrahim
Mamdani) использовал нечеткую лоrику для управления пароrенератором.
Решение этой задачи обычными методами было сопряжено с целым рядом TPYД
ностей вычислительноrо характера. Предложенный Э. Мамдани алrоритм, oc
нованный на нечетком лоrическом выводе, позволил избежать чрезмерно боль
шоrо объема вычислений и был по достоинству оценен специалистами. В этот же
период нечеткие модели были применены при управлении печью для обжиrа цe
мента. Тем не менее, эти немноrие приложения, использовавшие нечеткую лоrи
ку, по существу скрывали этот факт, поскольку в них нечеткая лоrика называ
лась "мноrозначной лоrикой" или "непрерывной лоrикой".
В начале 1980 x {Т. нечеткая лоrика и теория нечетких множеств получили свое
дальнейшее развитие в целом ряде проrраммных средств поддержки принятия
решений и в экспертных системах анализа данных. Хотя мноrие из этих про
rpaMMHblx инструментариев так и не вышли за пределы научно исследо
вательских лабораторий и институтов, в ходе их разработки были получены
важные эмпирические результаты по моделированию с помощью нечеткой лоrи
ки процессов человеческих рассуждений и принятия решений.
/лава 1. Введение
13
Япония лидер в области
промышленных приложений
После первых промышленных приложениЙ в Европе Япония за короткий период
времени вышла на первое место в мире по количеству устройств и механизмов, в
которых были реализованы нечеткие технолоrии. Появление микропроцессоров
и микроконтроллеров инициировало резкое увеличение бытовых приборов и
промышленных установок с аш'оритмами управления на основе нечеткой ЛОI'И
ки. В настоящее время в Японии запатентовано более чем 3000 соответствующих
устройств в этой области. Слово "фаззи" (fllzzy) стало символом популярности и
коммерческоrо успеха новых промышленных изделий в этой стране.
Имеется целый ряд обстоятельств, которые объясняют причины столь впечат
ляющей популярности нечеткой лоrики в Японии. Во первых, нечеткая лоrика
поддерживает разработку быстроrо прототипа техническоrо устройства с после
дующим усложнением el'o функциональности, что характерно для стиля работы
японских инженеров. BO BTOpЫX, нечеткая лоrическая модель более проста для
пони мания, чем аналоrичная математическая модель на основе дифференциаль
ных или разностных уравнений. В третьих, нечеткие модели оказываются более
простыми для своей аппаратной реализации по сравнению с классическими ал
rоритмами управления техническими системами.
В результате этоrо неLIеткие технолOl'ИИ нашли свое применение в самых различ
ных технических устройствах и бытовых приборах, выпускаемых японскими
фирмами. Фотоаппараты и видеокамеры используют нечеткую лоrику, чтобы
реализовать опыт фОТOl'рафа в управлении этими устройствами. Например,
компании Fishel" и Sanyo производят нечеткие лоrические видеокамеры, в KOTO
рых при меняется нечеткая фокусировка и стабилизация изображения.
Компания Matsllshita выпускает стиральную машину, в которой используются
датчики и микропроцессоры с неLlеткими аш'оритмами управления. Датчики оп
ределяют цвет и вид одежды, количество твердых частиц, степень заrpязнения, а
нечеткий микропроцессор выбирает наиболее подходящую nporpaMMY стирки из
600 доступных комбинаций температуры воды, количества стиральноrо порош
ка и времени производственноrо цикла быстроrо или медленноrо вращения и
промывки.
Компания Mitsubishi объявила о выпуске nepBoro в мире автомобиля, [де управ
ление каждой системой основано на нечеткой ЛОI'ике. При этом Mitsllbishi также
производит "нечеткий" кондиционер, который управляет изменением темпера
туры и влажности в помещении соrласно человеческому восприятию степени
комфорта. Компания Nissan разработала "нечеткую" автоматическую трансмис
сию и "нечеткую" противоскользящую тормозную систему и реализовала их в
одном из своих последних автомобилей повышенной комфортности.
Японский [ород Сендай имеет метрополитен с 16 станциями, который управля
ется нечетким компьютером. При этом нечеткий компьютер реrулирует процес
сы ускорения и торможения поездов метро, делая на 70% меньше ошибок, чем
соответствующий человек оператор.
14
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
На фондовом рынке Токио используется несколько трейдерных систем, OCHO
ванных на нечеткой лоrике, которые превосходят по скоростным и динаМиче
ским характеристикам традиционные информационные системы. В Японии
имеются также "нечеткие" системы управления уличным движением, "нечеткие"
тостеры, "нечеткие" рисовые печи, "нечетк'ие" пылесосы и мноrие ДРУI'ие быто
вые и технические устройства.
Европа и США преследуют Японию
Только в начале 1990 x rr. ведущие европейские корпорации поняли, что они
практически уступили Японии одну из ключевых современных технолоrий.
С этоrо времени были предприняты серьезные усилия наверстать упущенные
возможности в этой области. Именно в этот период в Европе появилось более
200 видов промышленных изделий и устройств, в которых были реализованы
нечеткие модели. Это были, rлавным образом, бытовые приборы, которые xa
рактеризовались более эффективной экономией электроэнеРI'ИИ и водопотреб
ления без дополнительноrо увеличения цены издеЛИЯ. Друrие промышленные
приложен'ия относились к автоматизации производства, включая управление
химическими и БИОЛOl'ическими процессами, управление станками и сборочны
ми конвейерами, а также различные интеллектуальные датчики.
Поскольку этим приложениям сопутствовал коммерческий успех, в настоящее
время нечеткая лоrика рассматривается как стандартный метод проектирования
и получила широкое признание среди инженеров и проектировщиков. К нечет
ким технолOl'ИЯМ проявляют все больший интерес компании из США, особенно
те из них, кто испытывает жесткую конкуренцию со стороны фирм из Азии и
Европы. Тем не менее, для американских корпораций остались открытыми иe
лые cel'MeHTbI потребитеЛЬСКОI'О рынка.
Например, нечеткая ЛOl'ика оказалась превосходным инструментом для разра
ботки систем управления внутренними компонентами персональных компьюте
ров, а также алrоритмов компрессии речи и Видео. Так, например, в системной
плате MSI К 7Т Pro 266 Master R используется система интеллектуальноrо раз
l'oHa микропроцессора FlIzzy Logic™3, которая автоматически выбирает частоту
системной шины и процессора в зависимости от температуры и рабочей наrруз
ки базовых компонентов персональноrо компьютера.
Известны приложения из области теле и радиосвязи, направленные на ycтpaHe
ние влияния отраженных ТВ сиrналов и радиосиrналов. Предложены и реализо
ваны ПрOl'раммные алrоритмы для сетевой маршрутизации и распознавания
речи на основе нечеткой лоrики. Следует учитывать и дрУI'ое важное обстоя
тельство в настоящее время в США развернуты серьезные исследования по
нейро сетевым технолоrиям. Все эксперты СOl'лашаются с тем, что комбинация
нейронных сетей инечеткой ЛОI'ИКИ будет следующим серьезным шаrом в даль
нейшем проrрессе высоких технолOl'ИЙ.
Сеrодня количество технических изделий и проrраммных средств, включая HO
вые патенты, продолжает быстро расти. Поэтому, чтобы остаться KOHKypeHTO
способными, мноrие американские компании начинают свои собственные BHYT
rлава 1. Введение
15
ренние нечеткие проекты. Хотя информации о подобных проектах недостаточно,
можно отметить ассиrнования Министерства обороны США на исследования в
области построения систем управления вооружением и тренажеров для обучения
пилотов' истребителей на основе нечетких технолOl'ИЙ. Национальное управле
ние по аэронавтике и космонавтике (НАСА) предполаrает использовать нечет
кие модели для решения специальных задач в космосе.
Таким образом, можно сделать вывод, что область приложений теории нечетких
множеств инечеткой лоrики с каждым rодом продолжает неуклонно расширяться.
При этом процесс разработки и применения нечетких моделей тесно взаимосвя
зан с концепцией системноrо моделирования как наиболее общей методолоrией
построения и использования информационных моделей сложных систем различ
ной физической природы. Именно поэтому изложению методов нечеткоrо Moдe
лирования предшествует рассмотрение основных особенностей методолоrии
системноrо моделирования, в контексте которой возможна разработка наиболее
адекватных и эффективных информационных моделей сложных систем.
1.2. Методолоrия
системноrо моделирования
Системный анализ и системное моделирование имеют более давнюю историю,
чем теория нечетких множеств. Центральным понятием системноrо моделиро
вания является само понятие система. под которой понимается совокупность
объектов, компонентов или элементов произвольной природы, образующих He
которую целостность в том или ином контексте. Определяющим принципом pac
смотрения некоторой совокупности объектов как системы является появление у
нее новых свойств, которых не имеют составляющие ее элементы. Значимость
этоrо принципа проявляется в том, что ОН получил даже специальное назва
ние принцип эмерджентности (от аН2Л. emel'gence появление, выявление).
Системы различной физической природы окружают нас повсеместно это и
конкретные предметы и объекты: СОЛН,ечная система, человек, персональный
компьютер, автомобиль, самолет, аэропорт. Это и более абстрактные сущности,
такие как компьютерная проrрамма, естественный язык, коммерческая фирма,
Культура, политика, наука, экономика. Наиболее ортодоксальная точка зрения
предполаrает, что все окружающие нас предметы являются системами.
При рассмотрении той или иной системы исходным этапом ее изучения является
определение ее 2раницы. Речь идет о необходимости разделения всех элементов
на ДВа класса: принадлежащих и не принадлежащих системе. При этом те сущно
сти или объекты, которые собственно принадлежат системе, и будут являться ее
элементами. Напротив, не принадлежащие системе объекты, но оказывающие на
нее то или иное влияние, образуют среду или внешнюю по отношению к системе
предметную область. Традиционно одним из принципов систеМНОI'О анализа яв
лЯлось предположение о том, что rpаница системы четко разделяет элементы
системы и ее внешнюю среду (рис. 1. J).
16
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
rРАНИЦА СИСТЕМЫ
ПРЕДМЕТНАЯ ОБЛАСТЬ
'-;:. : '->'
. ,. : { у
ОКРУЖАЮЩАЯ СРЕДА
Рис. 1.1. Общее представление системы и окружающей среды
в контексте традиционноrо системноrо анализа
Важнейшими характеристиками любой системы являются ее структура и процесс
функционирования. Под структуроЙ системы понимают устойчивую во BpeMe
ни совокупность взаимосвязей между ее элементами или компонентами. Именно
структура системы связывает воедино все элементы и препятствует распаду сис
темы на отдельные компоненты. Структура системы может отражать самые раз
личные взаимосвязи, в том числе, и вложенность элементов одной системы в
ДРУI'УЮ. В этом случае принято называть более мелкую или вложенную систему
подсистемоЙ, а более крупную систему метасисте.МОй.
Процесс функционирования системы тесно связан с изменением свойств системы
или отдельных ее элементов во времени. При этом важной характеристикой сис
темы является ее соспlOяние, под которым понимается совокупность свойств или
признаков системы, которые в каждый момент времени отражают наиболее cy
щественные особенности поведения системы.
Рассмотрим следующий пример. В качестве системы рассмотрим такой объект,
как "Автомобиль". rраницы этой системы четко оrраничены теми компонента
ми, которые размещаются в корпусе отдельноrо автомобиля. При этом такой
объект, как двиrатель является элементом системы "Автомобиль". С друrой CTO
роны, двиrатель сам является системой, которая состоит из отдельныХ компо
нентов, таких как блок цилиндров, свечи зажиrания и др. Поэтому система
"Двиrатель" в свою ОLIередь является подсистемой системы "Автомобиль". Сис
тема охлаждения ДВИl'ателя и система электрооборудования также будут являться
подсистемами "Автомобиль".
Структура системы может быть описана с разных точек зрения. Наиболее общее
представление о структуре дает схема устройства той или иной системы. При
этом взаимодействие элементов может носить не только механический, электри
ческий или биолоrический характер, но и информационный, что характерно для
современных орrанизационно технических систем. Состояние системы также
можно рассматривать с различных точек зрения, наиболее общей из которых
(лава 1. Введение
17
является рассмотрение особенностей функционирования или эксплуатации той
или иной системы.
Процесс функционирования системы отражает поведение системы во времени и
может быть представлен как последовательное изменение ее состояний. Если
система изменяет одно свое состояние на друrое состояние, то принято rоворить,
LITO система переходит из одноrо состояния в дрУI'ое. Совокупность признаков
или условий изменения состояний системы в этом случае называется Ilереходом.
Для системы с дискретными состояниями процесс функционирования может
быть представлен в виде последовательности состояний с соответствующими
переходами.
При рассмотрении движущеI'ОСЯ по трассе автомобиля можно выделить раЗЛИLI
ные характеристики ero состояния. Это, прежде Bcero, скорость движения aBTO
мобиля, уrловое положение передних колес относительно продольной оси, тем-
пература охлаждающей жидкости, количество топлива в баке и друrие.
Изменение значений этих характеристик MOI'YT привести к изменению состояний
автомобиля, в частности, к изменению ero скорости и направления движения.
IvlетодолOl'ИЯ системноrо моделирования служит концептуальной основой сис
темно-ориентированной структуризации предметной области. В этом случае ис
ходными компонентами концептуализации являются системы и взаимосвязи ме-
жду ними. Результатом системноrо моделирования является построение
Ilекоторой модели системы и соответствующей предметной области, которая
описывает важнейшие с точки зрения решаемой проблемы аспекты системы.
Под J"toделью будем пони мать некоторое представление о системе, отражающее
наиболее существенные закономерности ее структуры и процесса функциониро
вания и зафиксированное на некотором языке или в некоторой форме. Примени-
тельно к теме нашеI'О рассмотрения нас будут интересовать только такие аспек-
ты построения моделей, которые связаны с информационным или лоrическим
моделированием систем.
Примерами моделей являются не только известные физические модели
(аэродинамическая модель rоночноrо автомобиля или проектируемоrо самоле
та), но и лоrические модели раЗЛИLIНЫХ систем (матемаТИLIеская модель колеба-
тельной системы, анаЛИТИLlеская модель системы электроснабжения реrиона,
информационная модель избирательной компании и др.).
Общим свойством всех моделей является их подобие некоторому реальному объ-
екту или системе ориrиналу. Важность построения моделей заключается в воз-
можности их использования для получения информации о свойствах или поведе-
нии системы ориrинала. При этом сам процесс построения и последующеrо
применения моделей для получения информации о системе ОРИl'инале является
Основным содержанием процесса систеиНО20 .моделирования.
Наиболее общей информационной моделью системы является так называемая
модель "чеРНО20 ящика". В этом случае система представляется в виде прямо
уrольника, внутреннее устройство KOToporo скрыто от системноrо аналитика
или вообще неизвестно. Однако система не является полностью изолированной
от внешней среды, поскольку последняя оказывает на систему некоторые ин
18
Часть 1. Основы теории нечетких множеств и нечеткой лоrики
формационные или материальные воздействия. Такие воздействия получили Ha
звание входных воздействий или входных nара.метров, входных nеременных. Cpe
ди входных воздействий выделяют специальный класс так называемых ynpaв
ляющих воздейстпвий (nеременных). Последние предназнаLIены для тото, чтобы
оказывать на систему целенаправленное воздействие, предназначенное для дoc
тижения системой некоторой цели (целей) или желаемоrо поведения. В свою оче
редь система также оказывает на среду или друrие системы определенные ин
формационные или материальные воздействия, которые получили название
выходных воздействий (nара.метров, nере.менных). rрафически данная модель
может быть изображена следующим образом (рис. 1.2).
Входные
воздействия
(nepeMeHHbIe)
.r::';
' ",'
Выходные
воздействия
(nepeMeHHbIe)
!! X:.. ,,;'
rёиСТ -'
Рис. 1.2. rрафическое изображение МОДели системы в виде "черноrо ящика"
Ценность моделей, подобных модели "черноrо ящика", весьма условна. OCHOB
ное ее назначение состоит в том, чтобы структурировать исходную информацию
относительно самой системы и внешней по отношению к ней среды. Поэтому эта
модель, прежде всето, фиксирует упоминавшиеся выше rраницы системы. В дo
полнение к этому. модель специфицирует воздействия, на которые реаrирует сис
тема, и как проявляется эта реакция на окружающие объекты и системы. При
этом в случае количественноrо описания входных (выходных) воздействий их
иноrда называют входными (выходными) переменными. В рамках системноrо
моделирования разработаны определенные методолоrические средства, позво
ляющие выполнить дальнейшую структуризацию или концептуализацию этой
наиболее общей модели системы.
В самом общем случае процесс системноrо моделирования может быть пред
ставлен в форме взаимосвязанных этапов, на каждом из которых выполняются
определенные действия, направленные на построение и последующее использо
вание информационно лоrических моделей систем (рис. 1.3). Характерной oco
бенностью данното процесса является ето циклический или итеративный xapaK
тер, который отражает современные требования к анализу и проектированию
сложных систем.
Таким образом, отдельными этапами процесса системноrо моделирования яв
ляются:
1. Анализ проблемной ситуации.
2. Структуризация предметной области и построение модели.
(лава 1. Введение
19
3. Выполнение вычислительных экспериментов с моделью.
4. Применение результатов вычислительных экспериментов
5. Коррекция или доработка модели.
З. ВЫПОЛНЕНИЕ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ
С МОДЕЛЬЮ
Рис. 1.3. Общая концептуальная схема процесса системноrо моделирования
Ниже дается краткая характеристика каждOl'О из этапов, конкретное содержание
которых зависит от специфических особенностей решаемых задач в той или
иной проблемной области. При этом каждый отдельный цикл процесса систем
Horo моделирования инициируется этапом анализа проблемной ситуации, в чем
проявляется реализация требования проблемно ориентированноrо подхода к
построению и использованию информационно лоrических моделей систем.
Анализ проблемной ситуации
Одним из основных принципов системноrо моделирования является проблемная
ориентация процессов построения и использования моделей. Друrими словами, та
или иная модель конкретной системы строится в контексте решения некоторой
проблемы или достижения некоторой цели. [лавное назначение первоrо этапа
Лоrическое осмысление решаемой проблемы в контексте методолоrии системноrо
моделирования. При этом выполняется анализ всех доступных ресурсов
(материальных, финансовых, информационных и др.), необходимых для построе
ния модели, ее использования и реализации полученных результатов с целью pe
шения имеющейся проблемы. В случае отсутствия требуемых ресурсов на данном
20
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
этапе может быть принято решение либо о сужении (уменьшении масштаба) pe
шаемой проблемы, либо вообще об отказе от использования средств системноrо
моделирования. На этом этапе также выполняется анализ требований, предъяв
ляемых в той или иной форме к результату решения проблемы.
Первоначальный анализ решаемой проблемы и соответствующей проблемной
области является наименее формализуемым с точки зрения применения извест
ных аналитических подходов и средств. Поэтому на данном этапе рекомендуется
при менять так называемые эвристические или неформальные методы системноrо
анализа. К ним относятся:
С] методы построения ЛОI'истических сценариев на естественном языке для ана-
лиза возможных способов и альтернативных путей решения проблемы;
С] методы мозrовой атаки (штурма) для rенерации новых идей инестандартных
подходов к решению проблемы
r:J методы морфолоrическоrо и концептуальноrо анализа для достижения Tpe
буемой полноты рассмотрения исходной проблемы;
С] методы построения и анализа дерева целей и задач, которые позволяют разбить
исходную проблему на ряд более частных или более простых подпроблем.
Структуризация предметной области
и построение модели
Целью данноrо этапа является построение адекватной модели системы и COOT
ветствующей предметной области в наиболее общем контексте решения исход
ной проблемы. Структуризация проблемной области ПреДПОЛaI'ает определение
и последующее уточнение ее rраниц, а также установление l'раниц и состава сис
тем, которые потенциально MorYT участвовать в решении исходной проблемы.
Соответствующая информация представляется в форме модели системы или
проблемной области в целом на некотором формально лоrическом языке.
Речь ИДет о том, что вся доступная информация о решении проблемы должна
быть зафиксирована в виде некоторой информационно лоrической модели сис
темы. При этом модель должна удовлетворять принципу адекватности отраже-
ния основных особенностей системы ориrинала. Друrими словами, модель не
должна быть ни поверхностной (неполной), которая не учитывает существенные
аспекты структуры или поведения системы ориrинала, ни излишне сложной или
избыточной, в рамках которой разработчики пытаются учесть даже несущест
венные с точки зрения исходной проблемы детали системы ориrинала.
данный этап построения информационно лоrической модели предполаrает вы-
полнение следующей последовательности действий:
1. Построение концептуальной или информационной модели системы и про
блемной области, которая содержит наиболее общую информацию и отража-
ет структурные взаимосвязи ситемы ориrинала с друrими объектами OKPY
жающей среды.
(лава 1. Введение
21
2. Построение аналитической или математической модели системы, которая
детализирует отдельные аспекты структуры и поведения системы ориrинала в
форме текста с использованием специальной математической нотации (сим
волики).
3. Построение имитационной или проrраммной модели системы, которая непо
средственно реализует информационно лоrическую модель в форме, специ
ально предназначенной для ее исследования с использованием компьютеров.
примечани
Один из принципов системноro моделирования заключается в том, что для по
строения адекватной модели сложной системы может потребоваться не одна, а
несколько моделей системы ориrинала. В этом случае каждая из подобных MO
делей будет являться отдельным представлением сложной системы, а полная
модель системы будет состоять из комплекса взаимосвязанных моделей. Этот
принцип получил специальное название принцип мноаомодельностu сис
TeMHoro моделирования. С точки зрения системноro аналитика все частные
модели системы равноправны, поэтому корректно вести речь лишь об их aдeK
ватности. При этом выбор типа модеЛИ должен зависеть от характера решае
мой проблемы, ане от профессиональной специализации прикладных MaTeMa
тиков и системных аналитиков, участвующих в решении проблемы.
Процесс разработки адекватных моделей и их последующеrо конструктивноrо
прнменения требует не только знания общей методолоrии системноrо анализа,
но и наличия соответствующих изобразительных средств или языков для фиксации
результатов моделирования и их документирования. Очевидно, что eCTeCTBeH
IIЫЙ язык не вполне подходит для этой цели, поскольку обладает неоднозначно
стью и неопределенностью. Поэтому для построения моделей используются
формально теоретические методы, основанные на дальнейшем развитии MaTeMa
тических и ЛОI'ических средств моделирования. Для этой цели также предложены
различные rрафические нотации и языки моделирования, в той или иной степени
отражающие специфику решаемых задач на основе применения соответствую
щих проrраммных инструментариев.
8ыполнениевычислительных
экспериментов с моделью
Модель системы разрабатывается для получения некоторой новой информации о
системе ориrинале с целью решения исходной проблемы. В этом случае базовым
объектом для получения такой информации является проrpаммная модель слож
но}! системы, реализованная на одном из языков проrраммирования или постро
еННая с иСпользованием соответствующих проrраммных инструментариев.
Реализация данното этапа в контексте методолоrии систеМНОI'О моделирования
Означает выполнение серии экспериментов с проrраммной моделью системы на
Той или иной вычислительной платформе. При этом возможна следующая по
22
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
следоватеЛБНОСТЬ действий, отражающая содержание собственно процесса пла
нирования экспериментов:
1. Формирование КОНкретНЫХ значений наборов исходных данных (входных
переменных), которые характеризуют отдельный вычислительный экспери
мент с проrраммной моделью системы.
2. Выполнение расчетов или, в общем случае, выполнение отдельной Итерации с
имитационной моделью системы с целью получения конкретных значений
выходных параметров (переменных) модели.
3. Оценка точности и верификация полученных результатов на основе про верки
соrласованности отдельных компонентов вычислительных расчетов с исполь
зованием аналитической модели.
4. Интерпретация полученных результатов в форме управляющих воздействий
или альтернатив решения исходной проблемы.
5. Оценка потенциальной возможности реализации полученных результатов
применительно к СИСТtме ориrиналу.
Применение результатов
вычислительных экспериментов
Содержанием даННОI'О этапа является материальное или информационное воз
действие на систему ориrинал с целью решения исходной проблемы. При этом
может потребоваться планирование орrанизационных мероприятий по реализа
ции подобных воздействий и контроль их выполнения.
После реализации рекомендаций выполненных исследований, что оказывается
возможным только после окончания этапа вычислительных экспериментов с MO
делью, вообще rоворя, может сложиться одна из двух ситуаций.
О Исходная проблема полностью решена тем самым цели системноrо моде--
лирования достиrНУТbl. В этом случае можно перейти к решению очередной
проблемы из данной предметной области, что характеризует начало HOBoro
цикла системноrо моделирования.
О Исходная проблема не решена или решена не полностью тем самым цели
системноrо моделирования не достиrнуты. В этом случае необходимо тща
тельно проанализировать сложившуюся ситуацию и причины неудачи. После
этоrо можно перейти либо к коррекции исходной модели системы, либо BO
обще отказаться от построенной модели и реализовывать цикл системноrо
моделирования заново.
Примечание )
Следует заметить, что процесс системноrо моделирования при решении слож
ных проблем занимает достаточно продолжительное время, в течение KOTOpo
ro, вообще rоворя, может измениться как само содержание исходной пробле
Mbl, так и наличие необходимых для ее решения ресурсов. Эти особенности
rлава 1. Введение
23
зачастую не учитываются при реализации сложных проектов, что является ис
точником их неудачноrо завершения. Именно для исключения или ослабления
неrативноrо влияния данных факторов на схеме системноrо моделирования
должен быть предусмотрен отдельный этап коррекция или доработка Moдe
ли, который может начать выполняться с любоro момента изменения исходной
ситуации или в результате возникновения признаков неадекватности модели на
любом из рассмотренных выше этапов.
Коррекция или доработка модели
Цель данноrо этапа неявно была уже сформулирована выше, а именно BHece
Iше изменений в существующую модель, которые направлены на обеспечение ее
адекватности решаемой проблеме. Речь может идти как о включении в состав
исходной модели дополнительных компонентов, так и о радикальном изменении
структуры и содержания модели. Важно отметить проблемно ориентированный
характер этих изменений, т. е. коррекция или доработка модели должны выпол
няться в непосредственном контексте с решаемой проблемой.
Уllоминавшиеся выше сложные системы, исследование которых представляет
наибольший интерес в рамках методолоrии системноrо моделирования, образу
ют отдельный подкласс систем. При этом СЛОJIСllOсть системы и, соответственно,
ее модели MorYT быть рассмотрены с раЗЛИLIНЫХ точек зрения. Прежде Bcero,
можно выделить сложность структуры системы, которая характеризуется боль
шим количеством элементов системы и различными типами взаимосвязей между
этими элементами.
Так, например, если количество элементов системы превышает некоторое поро
rOBoe значение, которое, вообще rоворя, не является cтporo фиксированным, то
такая система может быть названа сложной. Например, если проrраММнаЯ сис
тема управления базой данных насчитывает более 100 отдельных форм ввода и
вывода информации, то мноrие проrpаммисты сочтут ее сложной. Транспортные
и энерrетические системы современных меrаПОЛИСОВ, макроэкономика rосудар
ства или отдельных отраслей также MorYT служить при мерами сложных систем,
состоящих из десятков и сотен отдельных подсистем или элементов с нетриви
альной структурой взаимосвязей между ними.
Вторым аспектом сложности является сложность процесса функционирования
системы или отдельных ее подсистеl\.1. Это может быть связано как с непредска
зуемым характером поведения системы, так иневозможностью формальноrо
представления правил преобразования входных воздействий в выходные. Этот
важный аспект сложности системы может быть связан с наличием неопределен
ности в описании процесса поведения системы ориrинала.
Так, например, процесс поведения участников HeKoToporo рынка товаров или
услуr в определенной степени непредсказуем или характеризуется неопределен
ностью сосТояний своих элементов. Процесс функционирования современных
операционных систем также характеризуется сложностью повеДеНИЯ, поскольку
их надежность и безопасность не всеrда удовлетворяют требованиям различных
катеrорий пользователей.
24
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
При анализе структуры и поведения сложных систем, как правило, присутст
вуют различные факторы неопределенности, которые MorYT быть учтены и
адекватно представлены в процессе построения информационно лоrических
моделей в рамках HOBoro направления системноrо моделирования нечетко
ro моделирования.
1.3. Методолоrия
нечеткоrо моделирования
Прежде Bcero, следует заметить, что методолоrия нечеткоrо моделирования не
заменяет и не ис;ключает рассмотренную выше методолоrию системноrо модели
рования, а конкретизирует последнюю применительно к процессу построения и
использования нечетких моделей сложных систем. Процесс нечеткоrо моделиро
вания представляет аналоrичную последовательность взаимосвязанных этапов,
как и процесс системноrо моделирования (см. рис. 1.3). При этом каждый из эта
пов выполняется с целью построения и использования нечеткой модели системы
для решения исходной проблемы.
В общем случае под нечеткой .'.toделыо пони мается информационно лоrическая
модель системы, построенная на основе теории нечетких множеств инечеткой
лоrики.
Таким образом, отдельными этапами процесса нечеткоrо моделирования явля
ются:
1. Анализ проблемной ситуации.
2. Структуризация предметной области и построение нечеткой модели.
3. Выполнение вычислительных экспериментов с нечеткой моделью.
4. Применение результатов вычислительных экспериментов.
5. Коррекция или доработка нечеткой модели.
Примечание )
Поскольку к настоящему времени предложены нечеткие обобщения для самых
различных разделов математики и лоrики, каждое из них потенциально может
служить основой для построения соответствующей нечеткой модели. Однако
чтобы исключить возможные противоречия при столь широком толковании He
четкой модели, ее содержание будет оrраничено лишь рассмотренными в пер
вой части книrи нечеткими понятиями. Соответственно понятие нечеткой Moдe
ли будет уточняться по мере изложения последующеro материала.
Как было отмечено ранее, одним из характерных признаков сложности построе
ния модели является неопределенность в представлении структуры или поведе
ния системы ориrинала. При этом сама катеrория неопределенности может быть
рассмотрена с различных точек зрения. В рамках современной методолоrии сис
rлава 1. Введение
25
TeMHoro моделирования неопределенность может характеризовать следующие
аспекты модельных представлений.
а Неясность или нечеткость rраницы системы. Так, например, использование ди
хотомических признаков "высокий низкий", "большой маленький", "дороrой
дешевый", "молодой старый", "опытный неопытный", "быстрый медленный" и
подобных им для определения состава элементов системы сталкивается с прин
ципиальной трудностью представления структуры модели системы. XapaKTep
ный пример этоrо аспекта неопределенности собственно класс сложных сис
тем в контексте ответа на вопрос: "Какие системы следует считать слоЖными?"
Друrим примером может служить проблема распознавания рукописноrо текста
компьютером, которая и сейчас не решена в полном объеме.
а Неоднозначность семантики отдельных терминов, которые используются при
построении концептуальных моделей систем. Речь идет о присущей eCTeCT
венным языкам полисемии или неоднозначности смысла понятий (модель при
чески и математическая модель, иrральный автомат и автомат как стрелко
вое оружие, rеоrрафическая карта местности и иrральная карта, стрела
башенноrо крана и стрела, пущенная из лука, за.мок двери и средневековый
замок).
а Неполнота модельных представлений о некоторой сложной системе, особен
но в связи с решением слабо формализуемых проблем. В этом случае сама по
пытка построить адекватную модель сложной системы или предметной
области сталкивается с принципиальной невозможностью учесть все реле
вантные особенности решаемой проблемы.
а Противоречивость отдельных компонентов модельных представлений или
требований, которым должна удовлетворять модель сложной системы. Так,
например, требование решить проблему за минимальное время и с мини
мальными финансовыми затратами содержит в себе элемент противоречия.
Элементы противоречий содержатся в законодательных актах и являются
предметом юридической практики.
О Неопределенность наступления тех или иных событий, относящихся к воз
можности нахождения системы ориrинала в том или ином состоянии в буду
щем. Речь идет о том, что анализ процесса поведения системы не дает OCHOBa
ний для однозначноrо ответа на вопрос: "Будет ли находиться система
ориrинал в некотором состоянии в момент времени, который относится к ее
будущему?" Этот аспект неопределенности часто называют стохастическим,
поскольку он традиционно исследовался средствами теории вероятностей и
математической статистики.
Возвращаясь к характеристике методолоrии нечеткоrо моделирования, следует
отметить, что исходной предпосылкой ее развития являлась разработка aдeKBaT
ных модельных средств для представления первО20 аспекта неопределенности,
связанноrо, прежде Bcero, с неясностью или нечеткостью описания rраницы сис
темы или отдельных ее состояний. Тем не менее, появление и последующее раз
витие концепции нечеткой меры и теории возможностей позволяет утверждать
то, что и друrие аспекты неопределенности MorYT быть подверrнуты нечеткому
анализу.
26
Часть 1. ОсновЬ! теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Таким образом, нечеткая модель системы ориrинала, или нечеткая система в
первую очередь характеризуется неопределенностью типа неясности (нечет
кости) rраницы системы, а также, ВОзможно, отдельных ее состояний, входных и
выходных воздействий. В этом случае исходная структуризация неLlеткой систе
мы может быть изображена rрафически в ВИде фиrуры с расплывчатыми rрани
цами (рис. 1.4).
НЕЧЕТКАЯ rРАНИЦА
СИСТЕМЫ
ПРЕДМЕТНАЯ ОБЛАСТЬ
НЕ4ЕJ;I<AЯ
ИСТЕМА
Рис. 1.4. rрафическая иллюстрация нечеткой системы
как системы снечеткой rраницей
Как было отмечено выше, базовой методолоrией построения нечетких моделей
являются собственно теория нечетких множеств инечеткая лоrика, которые, в
свою очередь, являются обобщением классической теории множеств и классиче
ской формальной лоrики. В связи с этим в прuло;нсеНllЯХ 1 и 2 рассматриваются те
из понятий классической теории множеств и формальной лоrики, которые в той
или иной степени используются далее для соответствующеrо нечеткоrо обобще
ния. Читатели, которые знакомы с соответствующей терминолоrией, MorYT He
посредственно перейти к рассмотрению теории нечетких множеств (см. 2.тюву 2),
а к материалу IlрuпожеllUй 1 и 2 обращаться по мере необходимости.
1.4. Анализ нечеткоrо и вероятностноrо
ПОДХОДОВ к моделированию
неопределенности
в связи с рассмотренными выше различными аспектами неопределенности, пере
чень которых, в свою ОLlередь, не претендует на полноту, следует отметить дис
куссию, которая возникла по вопросу: "Является ли нечеткость разновидностью
вероятности или она имеет некое самостоятельное содержание?" Эта дискуссия
была инициирована адептами стохастическоrо подхода к анализу неопределен
ности и время от времени дополняется новой арrументацией в пользу Toro, что.
rлава 1. Введение
27
по их мнению, нечеткость не вносит ничеrо HOBoro в процесс анализа неопреде
ленности. Хотя ниже будет cтporo математически показано. что концепция He
четкой меры включает как частный случай вероятностную меру, уже сейчас
можно увидеть качественное отличие в рассмотренных выше аспектах неопреде
ленности. Наличие друrих ее аспектов, таких как неуверенность, несоrласован
ность, ненадежность, недостаточность, MorYT послужить предметом дальнейших
размышлений заинтересованных читателей по данной проблематике.
Исторически изучением и разработкой моделей, учитывающих неопределен
ность Toro или иноrо вида, занимаются мноrие математические дисциплины,
такие как теория вероятностей, теория информации, математическая статистика,
теория иrр, теория MaccoBoro обслуживания и теория нечетких множеств. Один
из способов показать различия нечеткоrо и стохастическоrо подходов клас
сифицировать тип неопределенности, которая изучается этими дисциплинами.
С этой целью рассмотрим два наиболее характерных типа неопределенности
стохастическую и линrвистическую неопределенности.
Стохастическая неопределенность
Стохастическая неопределенность имеет место в ситуациях, коrда некоторое xo
рошо описанное событие может произойти, а может не произойти. При этом С
течением времени степень неопределенности, связанная с этим событием, может
измениться. Дополнительно необходимо принять некоторые предположения OT
носительно условий, при которых рассматривается данное событие. Эти усло
вия, как правило, характеризуют так называемый идеаЛЬ/lЫЙ JKCnepIHleHIIl.
Рассмотрим следующее высказывание: "Вероятность mozo, что при БРОСШlllU MO
иеты выпадет орел (zерб), равна 0.5".
В этом высказывании неявно предполаrается, что монета и поверхность идеаЛJ .
но правильной формы, процесс бросания идеален с точки зрения субъектов экс
перимента, а потенциальная возможность Toro, что монета окажется в верти
калыlOМ положении, исключается полностью. По прошествии HeKoToporo
времени неопределенность исчезает, поскольку после подбрасывания монеты
она окажется в одном из двух возможных состояний: либо орлом сверху, либо
решкой.
Таким образом, рассматриваемое высказывание имеет смысл только по отноше
нию к событию в будущем. Изменение условий эксперимента может привести к
изменению содержания этоrо высказывания. Поскольку обеспечить идеальные
УСЛОвия на практике не всеrда возможно, вольно или невольно мы вынуждены
СЧитаться с некоторой потенциально присутствующей ошибкой в кодичествен
ной оценке вероятности событий. Предельные теоремы теории вероятностей как
раз и предназначены для оценки этой поrрешности при частотной интерпрета
ции вероятности события в длинной серии испытаний.
Исторически теория вероятностей была первой математической дисциплиной
для представления неопределенности в математических моделях. По этой причи
не любая неопределенность долrое время считалась стохастической по своей
28
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
природе и наделялась, иноrда искусственно, свойствами случайной неопределен
ности. Что касается вероятностноrо процесса, результат любой частной реали
зации KOToporo является исключительно вопросом случая, предсказать последо
вательность событий просто невозможно. Для вероятностных процессов оказы
вается возможным лишь точное описание статистических оценок некоторых
усредненных характеристик этоrо процесса.
Рассмотрим друrое высказывание: "Вероятность ПlО20, что завтра пойдет
дождь, равна 0.8".
В этом высказывании неявно предполаrается, что событие "пойдет дождь" xo
рошо описано. Тем не менее, совершенно очевидно, что это событие недостаточ
но хорошо определено: не ясно, то ли дождь будет идти целый день, или дождь
будет идти 80% от следующих по времени суток? Более Toro, следует ли считать
дождем мелкий дождь или только ливень? Таким образом, при кажущейся оче
видности этоrо высказывания при более детальном ero анализе мы обнаружива
ем некоторый друrой тип неопределенности, который содержательно отличается
от стохастическоrо. Эта неопределенность скорее относится к линrвистическому
описанию ситуации или события, а не к количественной оценке Toro, произойдет
это событие в будущем или не произойдет.
Линrвистическая неопределенность
Реальный мир сложен, причем эта сложность зачастую проявляется как неопре
деленность в форме неоднозначности или неточности.
Этот тип неопределенности связан с неточностью обычноrо человеческоrо язы
ка, с ним мы постоянно сталкиваемся в повседневной жизни. Достаточно pac
смотреть фразы типа "высокие люди", "rорячие пирожки", "красивое лицо",
"хороший автомобиль", "устойчивая валюта", "дождливый день", "неважное ca
мочувствие", "трудный день", чтобы понять, что вряд ЛИ возможно дать им точ
ные количественные определения.
Действительно, высокие и низкие люди будут иметь свои собственные представ
ления о том, каких людей следует считать высокими. Более Toro, если мы фор
мально установим считать высокими всех людей выше 180 см, будет ли человек с
ростом 179.999 см высоким или нет? Контекст фраз тоже имеет значение, по
скольку оценка высоких людей, находящихся на сцене театра и в зрительном
зале, будет различной.
Для изучения подобных субъективных оценок предназначена отдельная наука
психолинrвистика. В рамках этой науки принято считать, что в рассмотренных
фразах люди используют слова в качестве некоторых субъективных кате20рUЙ.
Эти субъективные катеrории дают нам возможность классифицировать объекты,
которые характеризуются такими свойствами, как "высота", "длина", "вес",
"температура", "цвет". Даже при том, что большинство используемых катеrорий
точно не определено, люди MorYT использовать их для весьма комплексных oцe
нок и решений, которые основаны на учете мноrих различных факторов.
rлава 1. Введение
29
Рассмотрим высказывание: "Вероятно, .мы будем и.меть успешный Финансовый 20д".
'Это высказывание имеет существенные отличия от рассмотренных ранее BЫCKa
зываний. Во первых, само событие точно не определено. Для некоторых компаний
успешный финансовый [од может означать, что им удастся избежать банкротст
ва. Для друrих это может означать превышение прибыли за предшествующий
rод. Даже для отдельно взятой компании трудно предложить некоторое количе
ственное значение прибыли, чтобы определить, будет ли для нее бюджетный [од,
как рассматривается, успешным или нет. Следовательно, понятие "успешный
финансовый [од" является субъективной катеrорией.
Друrая особенность последнеrо высказывания заключается в определении BЫ
ражения вероятности. В то время как в предыдущих двух высказываниях вероят
ность была выражена количественно, данное высказывание не определяет коли
чество вероятности. Следовательно, выражение вероятности в последнем
высказывании также является субъективной катеrорией так же, как "высокие
люди" и "rорячие пирожки".
Моделирование линrвистической
неопределенности
Высказывания, аналоrичные последнему высказыванию и использующие субъ
ективные катеrории людей, иrрают важную роль в процессе повседневноrо при
нятия решения. Даже при том, что эти высказывания не имеют количественноrо
содержания, люди успешно используют их для комплексных оценок. В HeKOTO
рых случаях неопределенность, которая присутствует в значении тех или иных
слов, сознательно используется нами в разrоворе для придания ему дополни-
тельной rибкости. Достаточно представить себе диалоrи в ситуациях С поиском
высокооплачиваемой работы или приобретением недвижимости.
Чтобы адекватно использовать лоrику, присутствующую в человеческих paccy
ждениях, для решения технических проблем необходимо разработать COOTBeTCT
вующую математическую модель. Именно с этой целью была разработана He
четкая лоrика, которая позволяет представить процессы принятия решений и
оценки ситуаций человеком внекоторой алrоритмической форме. Хотя возмож
ности человеческоrо мышления и фантазии безrраничны, пределы Toro, что по
Зволяет моделировать нечеткая лоrика, существуют.
Каким образом люди MorYT рассуждать относительно реальных систем, коrда
законченное описание реальной системы часто требует более детальных данных,
чем человек в состоянии получить и интерпретировать? Ответ состоит в том, что
Люди имеют способность рассуждать приблизительно, возможность, которой
компьютеры в настоящее время не обладают. При общении людей использова-
ние фраз типа "высокий человек" и "высокооплачиваемая работа" не приводит к
возникновению концептуальных проблем, поскольку передает семантически по-
нятную информацию участвующим в разrоворе личностям. При необходимости
всеrда можно уточнить используемые субъективные катеrории.
30
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
в то же время компьютеры или микропроцессоры используют в своей работе
исключительно бинарную лоrику. Для пони мания соответствующих фраз KOM
пьютером необходимо, чтобы конкретное значение высоты или заработной
платы сравнилось с заданным пороrовым значением для рассматриваемых фор
мальных катеrорий "высокий человек" и "высокооплачиваемая работа". Основ-
ное достоинство теории нечетких множеств заключается в возможности исполь-
зовать линrвистические переменные вместо количественных, нечеткую лоrику
вместо бинарной лоrики для формальноrо представления подобных неточных
субъективных катеrорий.
При рассмотрении сложной системы люди рассуждают относительно ее CTPYKTY
ры и поведения приблизительно или неточно. Тем самым достиrается некоторое
универсальное понимание содержания проблемы. К счастью, эта общность и
неточность, приобретаемая в форме опыта с течением времени, зачастую оказы
ваются достаточными для человеческоrо понимания сложных явлений и aдeK
BaTHoro принятия решений в бытовых ситуацияХ. Именно в рамках теории He
четких множеств оказывается возможным включить в описание проблемы этот
опыт и интуицию отдельноrо человека.
Нечеткая лоrика в сравнении
с теорией вероятностей
Рассмотренные выше примеры высказываний иллюстрируют тот факт, что CTO
хастическая и линrвистическая неопределенности имеют различный характер.
Стохастическая неопределенность имеет дело снеопределенностью Toro, про
изойдет ли некоторое хорошо описанное событие в будущем, а теория вероятно
стей позволяет дать на этот вопрос тот или иной ответ.
Напротив, линrвистическая неопределенность связана С неточностью описания
самой ситуации или события независимо от времени их рассмотрения. Теория
вероятностей не может использоваться для решения подобных проблем, по-
скольку представления о субъективных катеrориях, присутствующих в процессах
мышления человека, в полной мере не соrласуются с ее аксиомами.
Тем не менее, некоторые из специалистов, интенсивно работающие с теорией
вероятностей и математической статистикой, долrое время отрицали саму воз
можность применения нечеткой лоrики в приложениях. Эти специалисты зачас-
тую утверждали, что все виды неопределенности MorYT быть выражены в поня-
тиях теории вероятностей. В то же время даже из рассмотренных выше примеров
становится очевидным, что как теорию вероятностеЙ, так и теорию нечетких
множеств целесообразно использовать для моделирования различных аспектов
неопределенности, отличающихся по своей природе.
В заключение приведем еще один наrлядный пример, который хорошо иллюст
рирует семаНТИLJеское различие между стохастической и линrвистической неоп
.ределенностью. Представим себе ситуацию, коrда путник после длительноrо пу
тешествия, испытывая чувство жажды, находит две бутылки снеизвестной
жидкостью внутри каждой из них (рис. 1.5, а). Естественным желанием путника
r лава 1. Введение
31
является утолить свою жажду. Однако никаких этикеток с указанием напитка
найденные бутылки не содержат (кроме, возможно, пометок А и Б).
[ ]
[ ]
[ ]
o
-:;:-"':;;,
а
А ДЖИН-ТОНИК Б УКСУС
,u(A) = 0.91 р(Е) = О
б
,u(A):::: 0.91 р(Е):::: 0.91
Рис. 1.5. Пример с неизвестными напитками в бутылках
Предположим, что дополнительно известна степень принадлежности содержи
Moro бутылки А к жидкостям, приrодным для питья, и эта степень принадлежно
сти равна 0.91. Известна также вероятность Toro, что содержимое бутылки Б
приrодно для питья, и эта вероятность также равна 0.91. Если путник орrаничен
в выборе напитков этими двумя бутылками, какую из них ему следует выбрать
для утоления жажды?
Если путник знаком с теорией нечетких множеств и теорией вероятностей, то ero
выбор может основываться на следующем рассуждении. Анализируя информа
цию о содержимом бутылки А, он может предположить, что в ней находится не
совсем приrодная для питья жидкость, например, болотная вода. При этом eCTe
ственно считать, что чистая вода имела бы степень принадлежности равную 1.
В то же время в этой бутылке не может находиться ядовитая жидкость, скажем,
серная кислота, поскольку в этом случае степень принадлежности содержимоrо
бутылки А к жидкостям, приrодным для питья, была бы равна О.
Анализируя информацию о содержимом бутылки Б, путник, естественно, будет
апеллировать к частотной интерпретации вероятности содержащейся в ней жиk
кости. В этом случае резонно предположить, что если бы путник имел возмож-
ность MHoroKpaTHoro выбора бутылки Б, то при близи те ль но в 9 случаях из 1 О он
cMor бы блаrополучно утолить свою жажду. При этом содержимое бутылки Б
должно было бы быть по качеству близким к чистой воде. Что же должно Про
изойти в том единственном случае из рассматриваемых 1 О остается непонят-
ным. Возможно, результатом может оказаться самыЙ печальный исход для пут-
ника или ero серьезное недомоrание. Очевидно, что это не может случиться, если
в бутылке Б находится пиво или квас. Значит в одном случае из 1 О в этой бутыл-
ке может находиться нечто совсем неприемлемое для питья, например. соляная
кислота.
32
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Вывод для путника напрашивается очевидный при наличии только указанной
информации выбрать содержимое бутылки А. Во всяком случае 'Это позволит
избежать серьезноrо отравления или летальноrо исхода. Но этот выбор может
измениться, если изменится информация о содержимом бутылок. Так, совсем не
очевидно, какую из бутылок предпочесть, если степень принадлежности для бу
тылки А и вероятность для бутылки Б станут равными, скажем, 0.5.
Посмотрим, как изменятся эти количественные характеристики после Toro, как
путнику станет известно, что в бутылке А содержится джин тоник, а в бутылке
Б уксус (рис. 1.5, б). Очевидно, что обе ситуации возможны при paCCMOTpeH
ных исходных условиях. Степень принадлежности жидкости в бутылке А OCTa
нется без изменений, если исключить явное предпочтение этоrо напитка перед
всеми остальными. А вот апостериорная вероятность жидкости в бутылке Б CTa
нет равной О, поскольку вряд ЛИ уксус следует считать жидкостью, приrодной
для питья без опасности печальных последствий. С друrой стороны, если бы в
бутылке Б оказался джин тоник. то у нас были бы все основания считать COOT
ветствующую апостериорную вероятность равной 1.
Таким образом, понятие нечеткоrо множества способно обеспечить нас aдeKBaT
НОЙ информацией относительно неточноrо описания тех или иных ситуаций. По
существу, этот подход наиболее применим для решения таких проблем, в KOTO
рых неопределенность характеризуется отсутствием хорошо определенных кри
териев, позволяющих однозначно судить о принадлежности элементов тому или
иному классу. Именно в этом проявляется различие между нечеткостью и слу
чайностью. В то же время нечеткие модели не являются заменой моделей, разра
ботанных в теории вероятностей. Как будет видно из последующеrо изложения,
каждое четкое множество является нечетким, но обратное утверждение не верно.
Поэтому нечеткие модели обобщают традиционные и более знакомые нам MaTe
матические модели. Иноrда они работают лучше, а иноrда нет. В конце концов,
эффективность модели проявляется в ее способности адекватно решить ту или
иную конкретную проблему.
Как правило, сложная проблема в той или иной степени связана с неопределен
ностью. Искусство и профессионализм системноrо аналитика как раз и прояв
ляются в том, чтобы предложить для ее решения такую модель, которая наибо
лее адекватно учитывает тот или иной тип неопределенности. Достиrнутые в
последнее время впечатляющие успехи в приложении нечетких технолоrий для
решения самых разнообразных практических задач позволяют утверждать, что
нечеткое моделирование реальных сложных систем эффективная альтернати
ва традиционным математическим моделям и методам.
rлава 2
Основные понятия
теории нечетких множеств
Настоящая rлава во мноrих отношениях является базовой, поскольку в ней пред
ставлены определения всех основных свойств нечетких множеств, которые исполь
зуются на всем протяжении книrи. Хотя из общих методолоrических рассуждений
2лавы 1 может сложиться впечатление о неформальном характере теории нечетких
множеств, это впечатление обманчиво. В действительности данная теория в MaTe
матическом смысле является cтporo формализованной. К настоящему времени
предложены самые разнообразные определения нечетких теоретико множествен
ных лонятий. Однако в книrу вошел только тот материал, который непосредст
венно при меняется для решения различных практических задач и в той или иной
степени реализован в соответствующих инструментальных средствах.
2.1 Определение нечеткоrо множества
Н е ч е т к о е м н о ж е с т в о. Нечеткое ]Iто;жество (fuzzy set) представляет co
бой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых
нельзя с полной определенностью утверждать принадлежит ли тот или иной
элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет. Друrими
словами. нечеткое множество отличается от обычноrо множества тем, что для
всех или части ero элементов не существует однозначноrо ответа на вопрос:
"Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому He
четкому множеству?" Можно этот вопрос задать и по друrому: "Обладают или
нет ero элементы некоторым характеристическим свойством, которое может
быть использовано для задания этоrо нечеткоrо множества?"
Для построения нечетких моделей систем само понятие нечеткоrо множества
следует определить более cTporo, чтобы исключить неоднозначность толкования
тех или иных ero свойств. Оказалось, что существуют несколько вариантов фор
мальноrо определения нечеткоrо множества. которые по сути отличаются между
собой способом задания характеристической функции данных множеств. Среди
этих вариантов наиболее естественным и интуитивно понятным является задание
области значений подобной функции как интервал действительных чисел, за
ключенных между О и J (включая и сами эти значения).
34
Часть 1. ОсновЬ1 теории нечетких множеств инечеткой лоrики
м а т е м а т и ч е с к о е о п р е д е л е н и е н е ч е т к о r о м н о ж е с т в а.
Формально нечеткое множество .я определяется как множество упорядоченных
пар или кортежей вида: <х, L.9I(X», rде х является элементом HeKoToporo универ
сальноrо множества или универсума Х, а f..!.9I(x) функция llршшдле:жности, KO
торая ставит в соответствие каждому из элементов ХЕХ некоторое действитель
ное число из интервала [О, 1], т. е. данная функция определяется в форме
отображения:
f..!.9I : Х -4 [О, 1].
(2.1)
При этом знаilение f..!.9I(x) = 1 для HeKoToporo ХЕХ означает, что элемент х oпpeдe
ленно пршшдле:JlCuт нечеткому множеству .я, а значение f..!.9I(x)=O означает, что
элемент х определешlO не llрUllадле:JICll/11 нечеткому множеству .я.
Формально конечное нечеткое множество будем записывать в виде:
31= {<XI, f..!:7I(XI», <Х2, f..!.9I(X2) > ,..., <х", L.9I(XII»}' а в общем случае в виде:
.я={<х, f..!.9I(x»}.
Примечание
В литературе по теории нечетких множеств, которая исчисляется orpoMHbIM KO
личеством работ, можно встретить не только различные определения, но
и разнообразные обозначения для нечетких множеств. Наиболее общие из оп
ределений нечеткоro множества предполаrают, что в качестве области значе
ний функции принадлежности MorYT выступать друrие нечеткие множества или
произвольные вполне упорядоченные множества. Следует также отметить. что
в ранних работах отечественных авторов по данной тематике нечеткие MHO
жества иноrда назывались расплывчатыми. Кроме принятых нами обозна
чений конечные нечеткие множества часто записываются в форме:
А = {(IlA(X1), Х1), (IlA(X2), Х2), .... (IlA(X п ), х п )}, А = {X11IlA(X1) + XiIlA(X2) + ... + XпIIlA(Xп)}
или А== { PI(X 1 ) + Р1(Х 2 ) + ... + р.,(х,,) }. При этом косая и rоризонтальная черта
.'(1 Х2 Х "
служат просто разделителем, а знак "+" обозначает не арифметическую сумму.
а теоретико множественное объединение отдельных элементов. Бесконечные
нечеткие множества иноrда записывают со знаком интеrрала в виде:
А = fIlA(X) 'Х. Все это скорее дань традиции, чем нечто имеющее содержатель
ный смысл. Тем более, что сам знак интеrрала может быть воспринят как He
четкий интеrрал, чем он здесь никак не является. Желая подчеркнуть или явно
указать, что множество А является нечетким, мноrие авторы часто записывают
нечеткое множество со знаком тильда .. " внизу или вверху, т. е. в фор
ме: А или А.
Поскольку существующие различия в формах записи не имеют принципиальноrо
значения, в последующем тексте нечеткие множества для удобства будут обозна
чаться рукописными прописными буквами: .я, 13, С, V. с друrой стороны, для
записи классических (не нечетких, c.-isp) множеств будут по прежнему исполыо
ваться общепринятые обозначения в форме: А, В, С, D (см. IlрUЛО:JlCеlluе /). Что
касается друrих определений и обозначений нечетких множеств или нечетких
подмножеств, то заинтересованный читатель может познакомиться с ними, об
ратившись к дополнительной литературе, приводимому в конце книrи.
(лава 2. Основные понятия теории I:fечетких множеств
35
Из всех нечетких множеств выделим два частных случая, которые по сути совпа
дают со своими классическими аналоrами и используются в дальнейшем при
определении друrих нечетких понятий.
П у С Т О е н е ч е т к о е м н о ж е с т в о. В теории нечетких множеств сохраня
ют свой смысл некоторые специальные классические множества. Так, например,
пустое Ilечеткое множество или множество, которое не содержит ни одноrо эле
мента, по прежнему обозначается через g и формально определяется как такое
нечеткое множество, функция принадлежности KOToporo тождественно равна нулю
для всех без исключения элементов: 110 = О. в этой связи уместно упомянуть о том,
что характеристическая функция обычноrо пустоrо множества также тождествен
но равна нулю для каких бы то ни было элементов: Х0 = О (см. Ilpll'IO:JfCeUUe 1).
у н и в е р с у м. Что касается друrоrо специалыюrо множества, то так называе
мый универсум, обозначаемый через Х, уже был использован выше в качестве
обычноrо множества, содержащеrо в рамках HeKoToporo контекста все возмож
ные элементы. Формально удобно считать, что функuия принадле)/<"!IОСТИ уни
версума как нечеткоrо множества тождественно равна единице для всех без ис
ключения элементов: IlX= 1. При этом характеристическая функция обычноrо
универсальноrо множества также тождествеflНО равна единИце для каких бы то
ни было элементов: Хх = 1 (СН. llрu.ЛОJ/Сe1Jllе 1).
': Q
Примечани е
Как не трудно заметить, рассмотренные понятия пустоro множества и универсума,
используемые в теории нечетких множеств, по своему содержанию полностью
идентичны соответствующим понятиям классической теории множеств. Поэтому ro
воря о них, мы не будем использовать определение "нечеткое", поскольку в произ
вольном контексте они всеrда являются формально определенными.
Для Toro чтобы определить конечные и бесконечные нечеткие множества, необ
ХОДИМО ввести в рассмотрение одно из основных понятий, которое используется
для характеристики произвольноrо нечеткоrо множества, а именно понятие
носителя нечеткоrо множества.
Н о с и т е л ь н е ч е т к о r о м н о ж е с т в а. Носителем нечеткоrо множества
.я называется обычное множество As. которое содержит те и только те элементы
универсума. для которых значения функции принадлежности соответствующеrо
нечеткоrо множества отличны от нуля. Математически носитель нечеткоrо MHO
жества определяется следующим условием:
As ={ХЕХ IIlJl(x»O}
VXEX.
(2.2)
Q
Примечани е
Иноrда носитель нечеткоro множества обозначают через suрр(Я) , rде supp
первые буквы анrлийскоrо слова support. Мы не будем использовать это обо
значение, поскольку оно может быть ошибочно ассоциировано с обозначением
рассматриваемой ниже функции sup(x).
36
Часть 1. Основы теории нечетких Множеств инечеткой лоrики
Очевидно, пустое нечеткое множество имеет пустой носитель, поскольку I-tQJ=О
дЛЯ любоrо ero элемента. Носитель универсума, рассматриваемоrо как нечеткое
множество, совпадает с самим универсумом. Для удобства и сокращения записи
произвольноrо нечеткоrо множества часто указывают лишь значения ero функ
uии принадлежности для элементов носителя, неявно предполаrая, что все oc
тальные значения функции принадлежности равны нулю.
В зависимости от количества элементов в нечетком множестве по аналоrии с
обычными множествами можно определить конечные и бесконечные нечеткие
множества.
К о н е ч н ы е н е ч е т к и е м н о ж е с т в а. Нечеткое множество называется
конечным, если ero носитель является конечным множеством. При этом вполне
уместно rоворить, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность, KO
торая численно равна количеству элементов ero носителя как обычноrо множе
ства (см. прuложенuе 1). В этом случае для обозначения мощности произвольно-
ro нечеткоrо множества .Jl можно также использовать символ card(.Jl). Удобно
считать мощность nycToro множества равной О.
Б е с к о н е ч н ы е н е ч е т к и е м н о ж е с т в а. Аналоrичным образом можно
определить и бесконечные нечеткие множества как такие нечеткие множества,
носитель которых не является конечным множеством. При этом счетным нечет
ким множеством будем называть нечеткое множество со счетным носителем, т. е.
носитель KOToporo имеет счетную мощность t'{o в обычном смысле (см. IlриЛО;JfCе
ние 1). несчеl1'lныM нечетким множеством будем называть нечеткое множество с
несчетным носителем, т. е. носитель KOToporo имеет несчетную мощность или
мощность континуума с (или ) в обычном смысле.
Очевидно, данное выше определение носителя нечеткоrо множеств корректно,
поскольку как для конечных, так и для бесконечных нечетких множеств выраже
ние (2.2) имеет смысл.
Чтобы привести некоторые примеры нечетких множеств и приступить к опреде
лению их основных свойств, следует рассмотреть основные способы, которыми
формально MorYT быть заданы произвольные нечеткие множества.
Нечеткие множества MorYT быть заданы двумя основными способами:
1. В форме списка с явным lIеречислением всех элементов и соответствующих им
значений функuии принадлежности, образующих рассматриваемое нечеткое
множество. При этом зачастую элементы с нулевыми значениями функuии
принадлежности просто не указываются в данном списке. Этот способ подхо
дит для задания нечетких мноЖеств с конечным дискретным носителем и He
большим числом элементов. В этом случае нечеткое множество удобно запи-
сывать в виде: .Jl={ <XI, 1-t..1l(ХI», <Х2, 1-t..1l(Х2)> ,..., <Х n , 1-t..1l(Х n )> }, rде 11
рассматриваемое число элементов нечеткоrо множества.Jl (ero носителя).
Например, возьмем в качестве универсума х={ 1,2, 3,...} множество HaTY
ральных чисел. Тоrда нечеткое множество .91, представляющее внекотором
контексте "неБОЛЬUlOе натуральное число", можно задать следующим образом:
.91={<1, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>,
<9, O.I>}. При этом элементы, для которых 1-t.:7l(Х) = О, отсутствуют в этом списке.
rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
37
2. АЩLТlUlпuческu в форме математическоrо выражения для соответствующей
функции принадлежности. Этот способ может быть использован для задания
произвольныx нечетких множеств как с конечным, так и с бесконечным носи-
телем. В этом случае нечеткое множество удобно записывать в виде:
..1l={ <х, 1-t.1l(x) > } или ..1l={x, 1-t.1l(Х)}, rдe 1-t.1l некоторая функция, заданная
аналитически в форме математическоrо выражения f(x) или rрафически в
форме некоторой кривой. Наиболее часто используемые виды функций при-
надлежности будут рассмотрены ниже в этой rлаве.
Для формальной строrости при задании нечетких множеств необходимо явно
указывать соответствующий универсум Х элементов, из которых формируется то
или иное конкретное нечеткое множество. В общем случае никаких предположе-
ний относительно элементов этоrо множества не делается. Однако с практиче
ской точки зрения целесообразно оrраничить универсум элементами рассматри-
ваемой предметной области или решаемой задачи. Поскольку при построении
нечетких моделей систем используются количественные переменные, то наиболее
часто в качестве универсума Х используется некоторое подмножество действи-
тельных чисел /R, например, множество неотрицательных действительных чисел
/R+ или натуральных чисел
Рассмотрим некоторые конкретные при меры нечетких множеств.
При м е р 2.1. Предположим, необходимо построить некоторое нечеткое MHO
жество, которое содержательно описывало бы выходные (нерабочие) дни обыч
ной семидневной недели. В терминолоrии классических множеств ситуация три
виальная, а именно, дни недели с понедельника по пятницу являются рабочими,
а суббота и воскресенье выходными. Заметим, что речь идет о традиционной
календарной неделе, а рабочие дни считаются без учета сменности и друrих осо-
бенностей трудозатрат. Таким образом, обычное не нечеткое множество выход-
ных дней А состоит из двух элементов: А={суббота, воскресенье}. Эта точка зре-
ния является общепринятой для бухrалтерии при расчете заработной платы
сотрудникам.
Что же касается определения соответствующеrо нечеткоrо множества ..1l, попы
таемся субъективно оценить степень нашеrо эмоциональноrо отношения к раз-
личным дням недели, рассматривая их с точки зрения выходных и психолоrии
возможноrо отдыха. Для большинства из нас ситуация уже не будет казаться
столь простой, как в предыдущем случае.
Что касается дней с понедельника по четверr, то отношение к ним как к рабочим
дням вряд ли изменится. А вот пятница, особенно ее вечер,длЯ мноrих ассоции-
руется с полноценным отдыхом и высокой. степенью положительных эмоций.
Суббота является безусловно выходным днем, в течение KOToporo MorYT быть
забыты все служебные заботы, особенно в субботу вечером, а для мноrих и
Ночью. А вот что касается воскресенья, то ближе к вечеру ситуация меняется
нередко на ум приходит мысль: "Завтра нужно рано вставать u nриступать к
работе", и настроение уже нельзя считать столь безоблачным.
Таким образом, рассматриваемое нечеткое множество .1l, описывающее выход-
ные дни недели, может быть задано, например, в виде: .1l={ <понедельник, О>,
<вторник, О>, <среда, О>, <четвеР2, О>, <пятница, 0.5>, <суббота, 1.0>.
38
Часть '. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
<воскресенье. 0.8>}. Здесь в качестве универсума выступают все дни недели:
х= {пО1lеделыlUК, вторник, среда, четверz. "ЯI1l/f/Jl{а. суббота, воскресенье}, а функ
ция принадлежности задается перечислением своих значений. При этом чем
ближе ее значение к 1, тем больше соответствует тот или иной день недели Ha
шему отношению к нему как к выходному Дню.
Попробуем представить это нечеткое множество rрафически. Очевидно, обыч
ный способ изображения множеств с помощью диаrpамм Венна (см. пРШlO:JICение J)
здесь не подходит, поскольку rраницы данноrо нечеткоrо множества не являют
ся четко очерченными. Однако, помня, что каждое нечеткое множество вполне
определяется своей функцией принадлежности, изобразим rрафически функцию
принадлежности этоrо нечеткоrо множества. Для этоrо на l'ОРИЗОНТальной оси
отметим отдельные значения элементов универсума (в нашем случае элементы
множества Х), а на вертикальной оси значения соответствующей функции
принадлежности 1l..9l(X) (рис. 2.1).
J.1(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
.
{ .
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I
х
понедельник вторник среда
четверr
пятница суббота 80а<ресенЬе
Рис. 2.1. rрафическое представление конечноrо нечеткоrо множества Я,
описывающеrо выходные дни недели, в форме значений функции
принадлежности ЭТОrО нечетКОrо множества
Примечание
Даже этот простой пример показывает, что однозначно определить то или иное
нечеткое множество не представляется возможным, а иноrда и принципи
ально невозможным. Если КТO TO решит, что еro субъективная оценка выходных
дней отличается от рассмотренной выше, то он/она будут по своему правы.
Соответственно, в качестве нечеткоrо множества 3l моrли бы выступать MHO
жества: 3l={<понедельник, О>, <вторник, О>, <среда, О>, <четверz, 0.1>,
<пятница, 0.6>, <суббота, 1.0>, <воскресенье, 0.7>} или 3l={<понедельник, О>,
<вторник, 0.1>, <среда, О>, <четвера, 0.1>, <пятница, 0.5>, <суббота, 0.9>,
<воскресенье, 0.8>}. Важно представлять себе, что с формальной точки зрения
все они должны удовлетворять лишь исходному определению нечеткоro MHO
жества в форме (2.1).
Продолжим рассмотрение предыдущеrо примера с целью ero расширения на
случай бесконечноrо нечеткоrо множества. Поскольку наше отношение к BЫ
ходным дням недели может изменяться в течение времени суток, а rоризонталь
(лава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
39
ная ось на рис. 2.1 леrко преобразуется к непрерывной оси времени, то и COOT
ветствующее нечеткое множество .я допускает естественное обобщение. А имен
но, каждЫЙ из дней недели будем представлять как отдельные сутки с переходом
в О часов к следующему дню Недели. Тоrда функция принадлежности нечеткоrо
множества.я может быть задана аналитически в форме некоторой КРИВОЙ, KOTO
рая в максимальной степени соответствует нашему эмоциональному отношению
к выходным дням в течение всех суток.
В простейшем случае мы моrли бы аппроксимировать представленную ранее
функцию принадлежности (рис. 2.1) некоторой кривой. Один из возможных вари
антов такой функции принадлежности изображен на рис. 2.2, на котором rоризон
тальная ось соответствует посуточному представлению семидневной недели.
J.l(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
I I I I I I
I , r I , r
I I I I I I
I 1 r I , r
I I I I I I
I 1 r I , r
I I I I I I
I 1 т I "'j .. х
I
понедельник вторник среда
пятНИЦа суббота ВОСКресенье
ЧеТверr
Рис. 2.2. rрафическое представление бесконечноrо нечеткоrо множества 5'1,
описывающеrо выходные дни недели, в форме кривой ero функции принадлежнОСТи
Для сравнения рассмотрим представление обычноrо (не нечеткоrо) множества
выходных дней недели А={суббота, воскресенье} в форме бесконечноrо множе
ства. В этом случае характеристическая функция ХА(Х) данноrо множества может
быть записана в виде кусочно непрерывной функции, принимающей только два
значения О и 1 на множестве значений универсума Х (рис. 2.3).
х(х)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
I
I I I I
I , r I
I I I I
I 1 r I
I I I I
I 1 r I
I I I I
I T
I I
I
r
I
r
I
r
I
.. Х
I :....
понеДельник вторник среда
пятница суббота воскресенье
четверr
Рис. 2.3. rрафическое представление обычноrо множества выходных дней А
в форме значений соответствующей характеристической ФУНКЦИИ
40
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Примечание
Поскольку изображенная на рис. 2.3 функция принадлежности имеет разрывы в
точках смены суток с пятницы на субботу и с воскресенья на понедельник, то
CTPOro формально следует определить ее значение в данных точках. Эта неоп
ределенность содержательно связана с неопределенностью соответствующих
моментов времени на временной оси (24 часа в пятницу и О часов в субботу).
Не оrраничивая общности изложения, математически можно считать, что зна
чения функции принадлежности в этих точках равны нулю (или единице) и co
ответствующим образом откорректировать рисунок. Поскольку в нашем KOHTeK
сте это не имеет принципиальноrо значения, мы оставим данный рисунок без
изменения.
Из рассмотрения naHHoro при мера видно, что характеристическую функцию ХА
обычноrо множества А в том или ином контексте удобно считать специальным
случаем функции принадлежности 11..91 соответствующеrо нечеткоrо множества ..'А.
Этот факт позволяет рассматривать произвольное нечеткое множество..'А как
обобщение обычноrо множества А, а множество А как сужение или частный
случай соответствующеrо нечеткоrо множества..'А.
При м е р 2.2. В качестве BToporo примера рассмотрим типичную бытовую си
туацию, с которой сталкиваются мноrие из нас при попытке дать характеристи
ку температуры Toro или иноrо напитка. Подобная характеристика обычно oc
новывается исключительно на субъективных ощущениях, Например, rорячий
кофе или чай, холодный квас или кола. Хотя в этом случае неявно используется
некоторая шкала температуры, при этом, как правило, не при меняется никаких
измерительных инструментов.
Применительно к данной ситуации рассмотрим иеi,еткое множество 13, которое
будет характеризовать "zорячuй кофе". В этом случае в качестве универсума eCTe
ственно взять шкалу температуры, измеренной в rрадусах Цельсия и заключен
ной в открытом интервале (О ОС, 100 ОС), т. е. Х={х I О ос <Х< 100 ОС}. Выбор
этоrо интервала вполне оправдан с физической точки зрения, поскольку именно
в этом диапазоне температур кофе потенциально может существовать как напи
ток. Очевидно, что отдельная чашка кофе, скажем XI, с температурой 10 ос не
может быть признана rорячей, поэтому для нее значение функции принадлежно
сти рассматриваемому множеству 13 будет равно нулю, т. е. I1!В(ХI)=О. С друrой
стороны, друrая чашка кофе Х2 с температурой 90 ос вполне может быть призна
на rорячей, поэтому для нее значение функции принадлежности рассматривае
мому множеству 13 будет равно 1, т. е. 1123(X2)= 1.
Что касается значений температур, заключенных между этими крайними значе
ниями, то ситуация представляется уже не столь однозначной. Более Toro, она по
своей сути является исключительно субъективной и неопределенной, поскольку
чашка кофе с температурой 55 ос дЛЯ одноrо индивидуума может оказаться ro
рячей, а для друrоrо не слишком rорячей. Именно в этом и проявляется He
четкость задания соответствующеrо множества. Тем не менее, мы можем быть
вполне уверены в общем виде функции принадлежности, а именно в том, что
r лава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
41
соответствующая функция принадлежности является моното/-/но возрастающей
(или более CTporo монотонно неубывающей).
Таким образом, в качестве множества ={x, J1 (x)}, ОПИСblвающеrо rорячий KO
фе, можно рассматривать, например, такое нечеткое множество, ДЛЯ KOToporo
фУНКЦИЯ принадлежности имеет следующий вид (см. рис. 2.4, а и/или 2.4, 6).
I.I.в(Х)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
I I I I
I I I I
I
I I I I
, I I I
I I I I
- - --.-- - - - r- -- --- ----
I I I I
I I I .
. I I I I I I I ,
---- ---- -----r----r--- ,----- ----r----T-----I----
. I I I I I I I I
I I I I I I I I I
I I . I I I I I I
----i-- - -----r- -- ---- -----I----- ----i---- ----
I I I I I I I I
I I I I I I I
. I I I
I I I I I
____ ____ _____ ____L____ __
I . I I I
I I I I I
I . I . I
О
О
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
тОе
а
\.LB(X)
1
I I I I
I I I I I I
____ ____ _____ ____L____ _ _
---- ---- ---- -----I----
I
I
I , I I I
--,----- ----r----T-----I----
I I I I I
. , I I f ,
I I I I I I
---i---- -----r----r-
I I I I I I
I I I I I I
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
I I I I
I I I I
. I I I
I I I I
I I I I
I I I I
l r
I I I
I . I
I I ,
I I
I I
I I
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
тОе
б
Рис. 2.4. rрафики вариантов функций принадлежности для нечеткоrО множества 13,
описывающеrо "rорячий кофе"
Примечание ")
Рассмотренный пример допускает обобщение на друrие ситуации, связанные с
представлением аналоrичной нечеткой информации. В частности, целый ряд
свойств технических устройств, бытовых приборов И социальных явлений MOryT
инициировать похожие нечеткие множества. Например, такие фразы, как
"скоростной автомобиль", "высокооплачиваемая работа", "блаzоустроенная
квартира", "щедрые чаевые", "престuжный район", "вкусный ужин" порождают
нечеткие множества, аналоrичные рассмотренному в при мере 2.2. При этом
общий вид функций принадлежности таких множеств будет подобен изобра
женным на рис. 2.4, а, б.
42
Часть '. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
При м е р 2.3. Следующий при мер связан с распознаванием букв HeKoToporo
алфавита и десятичных цифр, что является весьма актуальной задачей при CKa
нировании текстовых документов. Предположим, имеется некоторое rрафиче
ское изображение, на котором представлены некоторые буква и цифра (рис. 2.5).
...':-"i.:'". .... "".
....., . : .. :: ., ;,: . . : ' " ': ' : ' : " ' " . :' : " ,:,
.;. :: ' ':' ;;.;- -. ' .
f":c,i! . . . ,.ti!
. :'::;' . а
б
Рис. 2.5. rрафическое изображение некоторой буквы (а)
и не которой десятичной цифры (6)
Первое изображение порождает на множестве всех прописных букв (например,
pyccKoro) алфавита Х={А, Б, В,..., Я} некоторое конечное нечеткое множество
С={<А, J..Lc(A», <Б, Jlc(Б»,..., <Я, Ilc(Я»}. Это нечеткое множество содержа
тельно описывает соответствие изображения, представленноrо на рис. 2.5, а, той
или иной букве pyccKoro алфавита. Таким множеством может быть, напри
мер следующее нечеткое множество: С={<А, О>, <Б, О>,...,<И, 1.0>, <Й,0.9>,
<К, 0.4>, <Л, О>, <М, 1.0>, <Н, 1.0>, <О, О>,...,<х, О.3>,...,<Я, О>}. Пропущен
ные элементы соответствуют нулевым значениям функции принадлежности для
остальных букв алфавита.
Второе изображение порождает на множестве всех десятичных цифр х={о, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} конечное нечеткое множество V={<O, J..Lv(O», <1, J..Lv(l»,...,
<9, J..Lv(9) > }. Это нечеткое множество содержательно описывает соответствие
изображения, представленноrо на рис. 2.5, б, той или иной десятичной цифре.
В частном случае таким нечетким множеством может быть, например, следующее:
С={<О, 0.8>, <1, О>, <2, О>, <3,0.9>, <4, О>, <5,0.2>, <6,1.0>, <7, О>, <8,1.0>,
<9,0.9>}. Здесь указаны все значения функции принадлежности для элементов
универсума.
Примечание.
Рассмотренные выше примеры иллюстрируют характерные аспекты неопреде
ленности, которые встречаются в практике нечеткоrо моделирования. Bo
первых, каждое из нечетких множеств допускает в общем случае неоднознач
ное представление, что отражает субъективную точку зрения на моделирова
ние соответствующих практических ситуаций. Друrими словами, если KТO TO не
соrласен с конкретным вариантом задания нечетких множеств Я, 13, и С, то
он/она MoryT предложить свои варианты значений функций принадлежности.
И формально все будут по своему правы, поскольку адекватность этих пред
ставлений обуславливается их последующим практическим использованием
для решения той или иной задачи. BO BTOpЫX, эти примеры хорошо иллюстри
r лава 2. Основные понятия теорИИ нечетких множеств
43
руют концептуальное различие между теорией нечетких множеств и теорией
вероятностей, поскольку рассмотренные варианты неопределенности имеют не
стохастический характер. И, наконец, в третьих, выбор аналитической функции
или вида кривой для той или иной функции принадлежности с целью задания
соответствующеrо нечеткоrо множества зачастую определяется соображения
ми удобства и простоты.
Перейдем к рассмотрению основных характеристик нечетких множеств, которые
используются для их более детальноrо описания и систематическоrо изучения.
2.2. Основные характеристики
нечетких множеств
Пусть .9I={x, Jl.:7l(x)} произвольное нечеткое множество (конечное или беско
нечное) с элементами из универсума Х и функцией принадлежности J.L x).
М н о ж е с т в о a y р о в н я. Обобщением носителя нечеткоrо множества явля
ется понятие Аt1l0жество а уровllЯ, под которым понимается обычное множество
Аа. удовлетворяющее следующему условию: Аа. = {хеХ I Jl.:7l(X) а}, rде а HeKO
торое де йствительное число из интервала [О, 1], т: е. ае[О, 1].
Примечание
Иноrда можно встретить также определение множества строаоао а уровня,
которое отличается строrим неравенством в соответствующем условии:
Аа ={ХЕХ I Jl.1!(X) >а}. Очевидно, в этом случае носитель произвольноrо нечетко
ro множества есть ero Множество cTpororo О уровня, т. е. справедливо фор
мальное равенство: Ао = As.
в качестве примера рассмотрим определенное выше нечеткое множество .9I,
представляюшее в некотором контексте "неболыиое HoтypaТlbHoe число" и равное:
.9\= {< 1, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>, <4,0.8>, <5, 0.6>, <6, 0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>,
<9, O.I>}. Тоrда некоторые из ero множеств а уровня равны: Ao.s={l, 2,3, 4},
АО5 ={ 1,2,3,4,5, 6}, Ао.. ={l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
fрафически множества а уровня для конечноrо нечеткоrо множества удобно
представить с ПОl\ЮШЬЮ вложенных диаrрамм Венна. В этом случае каждая из
окружностей будет соответствовать отдельному множеству а уровня, а элементы
каждоrо из множеств а уровня размешаются внутри соответствующей окружно
сти (рис. 2.6).
В случае бесконечных нечетких множеств для построения множеств а уровня
МОжно поступить следующим образом. На rрафике соответствующей функции
принадлежности следует провести прямую линию у=а. После чеrо выделить на
оси Х те точки или интервалы, для которых отдельные части rрафика располо
жены выше этой линии.
44
Часть 1. Основы теорИИ нечетких множеств Инечеткой лоrики
Рис. 2.6. rрафическое изображение различных множеств а уровня
С помощью влсженных диаrрамм Венна для конечноrо нечеткоrо
множества "небольшое натуральное число"
Так, если в качестве примера рассмотреть бесконечное нечеткое множество 13,
которое представляет "действительное число. nриБЛZ1JlсеюlO равное НУЛЮ", с функ
цией принадлежности, rрафик которой изображен на рис. 2.7, а, то описанным
выше способом можно получить, например, ero множество 0.5 уровня (рис. 2.7, 6).
Как можно заметить, в данном случае Во.5 = [ 0.5, 0.5].
Очевидно, для множеств а-уровня произвольноrо нечеткоrо множества .71 спра
веДЛИВО следующее свойство: если а( а2, то Aal <;; А а2 .
В ы с о т а н е ч е т к о r о м н о ж е С т в а. Величина h: 1f = sup{/l.9l(X)} , [де супре
мум берется по всем значениям функции принадлежности дЛЯ ХЕХ, называется вы-
сотой нечеткоrо множества .71. Соrласно этому определению, нечеткое множест
во .71 пусто, если ero высота в точности равна О, т. е. h.91 = О.
Например, высота конечноrо нечеткоrо множества .71 "небольшое HaтypaТlbH0e
число" равна 1 и соответствует двум элементам универсума: 1 и 2. Высота нечет
Koro множества 13, которое представляет "действителыюе число, nрuбли.Jкеuно
равное НУЛЮ" , также равна 1 и /l:в(0)= 1..
Рассмотрим в качестве еще одноrо примера бесконечное нечеткое множество С,
которое представляет "большое действительное число", с функцией принадлежно
сти, заданной следующим математическим выражением:
x l
f.lc(x) = О для ХЕ[О,I) и /lc(x) = для xER+\[O, 1). Высота этоrо нечеткоrо
х
множества также равна 1, однако среди элементов универсума X=R+ OTCYТCTBY
ют числа, для которых /lc(X) = 1 (рис. 2.8). Действительно, какое бы число мы не
рассмотрели, соответствующее значение функции принадлежности всеrда будет
cTporo меньше 1.
rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
45
Ils(X)
0.8
J..I.sCX)
0.6
у==О. j
0.4
0.6
, I I
, I ,
L J
, I I
I , ,
I I ,
J L J
I , ,
I I I
I I ,
L
I , I
I , I
, I I
L
, I ,
I , I
I ,
I I I
, I I
J L L
I , I
I I I
I , I
J L L
, I I
I I I
I I I
L L
I I I
I I I
I I ,
L L
I I I
I I I
I I I
0.4
0.2
о
А
3
2
1
2
о
3
4
а
0.8
, ,
, , I
L J
, , I
, I I
, I I
L J
, I ,
I
, , I
J L L
I , I
I , I
. , I
J L L
, , ,
0.2
I I I I
_ L
I I I I
I I I I
I I I I
_ L
I I I I
I I I I
1 I '1
I I I I
.&......J............ L............. 1...............
I I I I
I I I I
I I I I
.......1.......J.................L...............I................
I I I I
I I I I
l' I I
о
А
3
2
1 В О . 5
2
3
4
б
Рис. 2.7. rрафическое изображение функции принадлежности
бесконечноrо нечеткоrо множества "действительное число, приближенно
равное нулю" (а) и ero множества О.5 уровня (б)
J..1(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
I I I I , I I I
I .,.. .. , т r .. , , т .. .. r
I I I I I I I I I
r ., ..'.. ..T r ' ' T.... r.. ..
I I , , I I I I I
.. ' 1 ....T r ' .. T r ..
I I , I I , , I I
.. ..' ....1.. T......r ' ..i ....r R+
I I I I I
о
10
20
40
90
100
50
70
80
30
60
Рис. 2.8. rрафик функции принадлежности бесконечноrо
нечеткоrо множества С, которое представляет
"большое вещественное число"
Особенность определения высоты заключается в том, что высота нечеткоrо
Множества всеrда существует и равна некоторому действительному числу из ин
тервала [О, 1], которому может соответствовать несколько элементов универсу
Ма. Действительно, для конечных нечетких множеств высота всеrда равна MaK
46
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой nоrиКИ
СИМЮlЬНОМУ значению их функций принадлежности. Для бесконечных нечетких
множеств область значений соответствующих функций принадлежности всеrда
является компактным множеством, т. к. является подмножеством интервала
[О, 1]. А поскольку для произвольноrо компактноrо множества всеrда существует
наименьшая верхняя [рань, то она и принимается по определению за высоту He
четкоrо множества.
Примечание
При определении высоты нечеткоro множества использована специальная
функция y=sup(f), которая получила свое название от латинскоro supreтuт
наивысшее и называется верхней аранью (или наuменьшей верхней аранью).
Как будет видно из дальнейших рассуждений, эта функция отличается от похо
жей на нее функции max(f). Формально функция y=sup(f) определяется для
обычных множеств следующим образом. Рассмотрим произвольное отображе
ние (: O /R, rAe О область определения этоro отображения (О!;;Х). Отобра
жение f называется оаранuченным сверху (снuзу) на множестве О. если суще
ствует конечное число kE/R, такое что выполняется условие: (х) k
(соответственно, (х) k) (\iXEO). При этом отображение (х) называется oapa
нuченным на множестве О, если оно одновременно оrраничено на О сверху и
снизу. Далее рассмотрим некоторое оrраниченное сверху отображение (х), для
KOToporo О r:;;;/R, т. е. оrраниченную сверху функцию (х). В общем случае число
вые значения kEIR, для которых выполняется условие: (х) k, 'VXEO, образуют
некоторое числовое подмножество И r;;;/R, при этом очевидно, что U;62J. Если
среди всех kEU найдется некоторое наименьшее значение, обозначим ero че
рез k s , то оно называется наuменьшей верхней аранью функции (х) на множе
стве О r;;;JR и обозначается через ks= sup(f) (читается "супремум f на множестве
О"). Очевидно, если ksElтf. то это значение одновременно является и MaKcи
МУМОМ функции (х) на множестве О r;;IR, т. е. ks= max(f) и Torдa значения этих
двух функций sup(f) И max(f) совпадают. С друrой стороны, может оказаться,
что в множестве 1т, не существует TaKoro k s , для KOToporo ВЫПОЛНЯЛОСь бы yc
ловие: (х) k s , 'VXEO, Т е. ks /m,. Введение в рассмотрение функции sup(f) Bce
rAa rарантирует существование TaKoro ks в множестве действительных чисел fR,
поскольку последнее является непрерывным и вполне упорядоченным множе
ством. Следует также отметить, что функции sup(f) и тах(') BcerAa можно опре
делить на множестве значений рассматриваемых функций (, т. е. на 1т,. Таким
образом, поскольку область значений любой функции принадлежности оrрани
чена интервалом [О, 1], высота произвольноrо нечеткоro множества BcerAa cy
ществует и это числовое значение принадлежит интервалу [О, 1].
Приведем простой пример. Рассмотрим конкретную числовую функцию па
раболу, которую запишем в традиционной НОТацИИ: у=х2, а в качестве области
определения возьмем два интервала: замкнутый 01=[ 1, 1] и открытый 02=
= ( 1, 1). Очевидно, что sup(y) == 1 иsuр(у) == 1, при этом шах(у) == 1 (достиrа
xED 1 xeD 2 xeD 1
ется при Х1 = 1, Х2 =1 и эти Х1.2е01), а шах(у) не существует. Действительно,
xeD 2
r лава 2. ОснОВНЫе понятия теории нечетких множеств
47
в открытом интервале ( 1. 1) нет TaKoro числа ХЕО 2 , для KOTOpOro выполнялось
бы равенство: >f =1.
н о р м а л ь н о е н е ч е т к о е м н о ж е с т в о. Нечеткое множество .7f назы
вается нор.\юл , ЬНЫ/I1 если максимальное значение ero функции принадлежности
равно 1. Формально это означает, что дпя нормальноrо нечеткоrо множества
необходимо выполнение следующеrо условия:
J.L.7I(",,") = 1,
(::3 ХЕХ)
(2.3)
Например, нечеткое множество .7f OI не болыuое натуральное число" является HOp
мальным, поскольку ero высота равна I и соответствует двум ero элементам: 1 и
2. Нечеткое множество 13 "деuствuтелыюе число, I1рuБЛU:>lCенно равное нулю" TaK
же является нормальным, поскольку ero высота равна 1 и J.L23(O)= 1. Напротив,
нечеткое множество С "большое действuтельное число" не является нормальным.
С у б н о Р м а л ь н О е н е ч е т к о е м н о ж е с т в о. Если высота нечеткоrо
множества равна еДИНИце (h.71 = 1), но условие (2.3) не выполняется, то такое He
'leTKoe множество будем называть суБНОРJ14ШIЬНЬ/,;W.
Q'Iевидно, нечеткое множество С "большое действительное число" является суб
нормальным.
ДРУП1МИ словами, для субнормальноrо нечеткоrо множества необходимо лишь,
чтобы ero высота была равна 1, т. е. выполнялось бы условие: h.71 = 1. Это опреде
ление корректно, поскольку в этом случае всякое нормальное нечеткое множест
во является субнормальным с дополнительным условием (2.3).
Примечание
Ситуация с понятием нормальноrо нечеткоro множества не является столь oд
нозначной, поскольку в литературе можно встретить и друrие определения по
нятий нормальноro и субнормальноro нечеткоro множества. Так, например,
нормальным нечетким множеством иноrда называют такое, для KOToporo BЫ
полняется лишь условие: sup(I-!:II(х»=1 ('v'XEX) , а субнормальным нечетким
множеством называют нечеткое множество, для KOToporo выполняется усло
вие: sup(I-!:II(х»<1 ('v'XEX). Как нетрудно заметить, для рассматриваемых нами
нечетких множеств в смысле определения (2.1) нестроrая форма BToporo усло
вия выполняется всеrда, а значит, подобное определение субнормальности в
какой то мере теряет свой конструктивизм. С друrой стороны, в большинстве
работ, в которых рассматриваются нечеткие числа и интервалы, определение
нормальности последних основано на выполнении условия: max(I-!.1!(х»=1
(3ХЕХ). Поскольку это противоречит общему определению нормальноrо нечет
Koro множества, было решено использовать более частное ero определение в
смысле (2.3).
у н и м о Д а л ь н о е н е ч е т к о е м н о ж е с т в о. Нечеткое множество .7f Ha
'3ывается )'ЩlМодальны.м (стРО20 унllмодалы/ыи), , если ero функция принадлежно
сти t:lI(X) является унимодальной (cTporo унимодальной).
В свою очередь произвольная функция принадлежности J.L(X) называется уншю
(J(пьноu IЮ llI/11zервале [а, Ь]с /R, если она непрерывна на [а, Ь], а также существует
48
Часть '. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
некоторый непустой [с, dJc [а, Ь], такой что а:$ с:$ d:$ Ь и выполняются следую
щие условия:
D функция J.l(x) cтporo монотонно возрастает на интервале [а, с] при а<с;
D функция J.l(x) CTporo монотонно убывает на интервале [d, Ь] при d<b;
D функция J.l(x) принимает свое максимальное значение на интервале [с, dJ, т. е.
любая точка х",Е[С, dJ является точкой максимума функции принадлежности
относительно интервала [а, Ь]:
x ll1 =arg тах {J.L(x)}. (2.4)
хЕ[а, Ь]
в этом случае любая точка X",E.7f нечеткоrо множества .7f, удовлетворяющая yc
ловию (2.4), называется J\40дальнbl.М значением или .модой нечеткоrо множества.7f.
Если в этом определении интервал [с, d] вырождается в точку, т. е. c=d, то COOT
ветствующая функция принадлежности называется стРО20 унuмодалыюй на иH
тервале [а, Ь].
Функция принадлежности J.L.1I(X) называется уни.модальной (стРО20 УНU!l'Iодаль
НОЙ), если она унимодальна (cTporo унимодальна) на носителе соответствующе
ro нечеткоrо множества .7f.
Например, рассмотренное выше в примере 2.1 нечеткое множество .7f с функцией
принадлежности, изображенной на рис. 2.2, является унимодальным, но не явля
ется cтporo унимодальным. Нечеткое множество 13 из примера 2.2 является уни
модальным на интервале [25 ОС, 99 ОС], поскольку оно задано на универсуме
х= {х I о ОС < х< 100 ОС}, но не является cтporo унимодальным на этом интервале.
Ч то касается дискретноrо нечеткоrо множества С из примера 2.3, то относитель
но ero унимодальности ничеrо сказать нельзя. Рассматриваемые ниже функции
принадлежности трапециевидной формы являются унимодальными, а треуrоль
ной формы cTporo унимодальными.
Примечание
Следует заметить, что рассмотренное выше определение унимодальности He
прерывной функции может быть распространено на случай некоторой дискрет
ной тополоrии. Действительно, если в качестве интервалов использовать впол
не упорядоченные множества. то условие (2.4) остается справедливым.
Поскольку это условие сохраняет свой смысл и в случае нечетких множеств с
конечным числовым носителем. соответствующее определение унимодально
сти может быть применено к нечетким множествам, заданным на не котором KO
нечном подмножестве действительных или целых чисел.
я д р о н е ч е т к о r о м н о ж е с т в а. ЯдрОJ\4 нечеткоrо множество .7f называ
ется такое обычное множество А 1, элементы KOToporo удовлетворяют условию:
А I ={ХЕХ I J.l.1l(x) = 1}.
Например, ядро нечеткоrо множества .7f " не БОЛbluое натуральное число" равно
двухэлементному множеству АI ={l, 2}. Ядро нечеткоrо множества 13 "дeйcтви
rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
49
тельное число, приближенно равное нулю" равно одноэлементному множеству
(singleton) В. ={О}. Нечеткое множество С "болыuое действителыюе число" имеет
пустое ядро.
Не трудно заметить, что если произвольное нечеткое множество не является
нормальным, то ядро TaKoro нечеткоrо множества будет пустым. Таким обра-
зом, имеет место следующая фундаментальная т е о р е м а. Для Toro чтобы HeKO
торое нечеткое множество было нормальным, необходимо и достаточно, чтобы
оно имело непустое ядро.
Поскольку, как было показано выше, высота нечеткоrо множества всеrда суще
ствует, то произвольное непустое нечеткое множество 5{ всеrда можно преобра-
зовать по меньшей мере к субнормальному нечеткому множеству 5{' по следую
щей формуле:
Jl А' (х) = JlA(X) .
h A
(2.5)
Более Toro, если в исходном нечетком множестве 5{ найдется хотя бы один эле
мент ХЕ5{, дЛЯ KOToporo значение функции принадлежности равно высоте этоrо
нечеткоrо множества, т. е. l,lI(X)= h:л, то полученное после преобразования (2.5)
нечеткое множество 5{' будет нормальным.
В частности, если исходное нечеткое множество 5{ является нормальным или
субнормальным, то преобразование (2.5) приводит к тривиальному результату.
Рассмотрим случай, коrда исходное нечеткое множество 5{ не является пустым и.
субнормальным. Это означает, что ero высота равна некоторому значению из
OTKpbIToro интервала (О, 1), т. е. h.'7iE(O, 1). При этом, если JZ:л=J.!.51(Х) дЛЯ HeKOTO
poro элемента ХЕХ, то для этоrо элемента ХЕХ значение функции принадлежно
сти J.l:л'(Х), рассчитанное по формуле (2.5), будет равно 1. Это означает, что He
четкое множество 5{' будет нормальным.
Если же /l:л>J.!.:л(Х) для всех элементов ХЕХ, то значение функции принадлежности
l.'If'(X), рассчитанное по формуле (2.5), всеrда будет меньше 1. Однако, по свойст
ву наименьшей верхней rрани числовоrо множества, высота результирующеrо
нечеткоrо множества будет равна единице: J1:л' = SUP {J.!.!A'(X)} = 1. А это означает,
что нечеткое множество 5{' будет субнормальным.
r р а н и Ц ы н е ч е т к о r о м н о ж е с т в а. rртшца}.4и нечеткоrо множества
называются такие элементы универсума, для которых значения функции при
надлежности отличны от О и 1. Друrими словами, rраницы нечеткоrо множества
:А={х, J.!.:л(Х)} включают те и только те элементы универсума ХЕХ, дЛЯ которых
ВЫполняется условие: О <J.!.:л(Х) < 1.
т о ч к и пер е х о д а н е ч е т к о r О м н () ж е с т в а. Элементы нечеткоrо
Множества УЕ5{, для которых выполняется условие: 1l:л(у)=0.5, называются J1l0Ч
каЛlllllерехода этоrо нечеткоrо множества 5{.
50
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
в общем случае введенные в рассмотрение понятия можно про иллюстрировать
rрафически следующим образом (рис. 2.9).
1
\.l.1l(x)
0.8
0.6
1
\.l.1l(x)
0.8
0.4
I ,
, I
... ......:-- ....
. , ,
I I . I . I I I
.......... .. ........:-- .. ... .......... .............. .. ... ... ....... ........... .. .......
I I . I I I I I
I I . I I I I I
......... ............. .. ..... ........ ........... .......... ..... .... .......... .............
. I . I I I I I
. I I , t I I I
. , I I . I I I
.......... ... ........L ........ .......... ............L............ ....... .. .......... .. ........
. I I I I I I I
. I I I I I I I
I . I I I I I
0.2
о
о
2 3 4 5
ядро
rpанllЦЫ
6
7
8 Х 9
I
НО lIтель
а
0.6
0.4
,
............J...... L.....
, I
, ,
, I ,
........... ............L... .. ..........
I I ,
, I ,
I I I I I I I .
...J..............L ...... .. .......L........ ......L ...... ..........
I I I I I I . I
, I I I I I . I
I I I I I I . I
...........J........... ......... ............I............L......... ....... ..L........... ........ ...
I I I I I I . I
I I , I . I 1 ,
I 1 I I . I I I
0.2
о
о
6
7
8 Х 9
2
5
3
4
1 4
I
rpаницы и носитель
6
Рис. 2.9. Ядро, носитель и rраницы нечетких множеств,
одно из которых является нормальным (а),
а друrое не является нормальным (6)
в дополнение к этому рассмотренное в примере 2.1 конечное нечеткое множество
.71 выходных дней (см. рис. 2.1) имеет непустой носитель А={llятница, суббота,
воскресенье}, является нормальным, поскольку J..t.9l(суббота)=l.
Рассмотренное в этом же примере 2.1 бесконечное нечеткое множество .71 BЫXOД
ных дней (см. рис. 2.2) имеет непустой носитель As, которому будет COOTBeTCTBO
вать ОТКРЫТЫЙ интервал действительных чисел, для которых rрафик ФУНКЦИИ
принадлежности лежит выше оси абсцисс. Оно также является нормальным, по
скольку J..t.9l(x)= 1.
(лава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
51
Б л и ж а Й ш е е ч е т к о е м н о ж е с т в о. Часто оказывается полезным понятие
четкоrо множества А, БЛUJ/сайlllе20 к нечеткому множеству.я. Характеристическая
функция TaKoro множества может быть определена следующим выражением:
{ О, если Il А (Х) < 0.5 }
ХА(Х)== 1, если IlА(х»0.5 .
О или 1 если Il А (х) == 0.5
(2.6)
Для характеристики нечетких множеств используют также понятие выпуклости,
которое ассоциируется с соответствующим rрафическим изображением функции
принадлежности.
В ы п у к л о е н е ч е т к о е м н о ж е с т в о. Нечеткое множество .7I={x, J.!.:1!(X)}
С универсумом Х называют 6blпYK'1bl.'H, если ero функция принадлежности J.!.:1!(X)
)довлетворяет следующему неравеНСТВУ:
J.!. 1I('\") min{J.!.:1!(a), l:1!(b)}
(2.7)
для любых значений х, а, ЬЕХ, при которых а<х<Ь и a=l:- Ь.
1
Il;l'l(x)
0.8
, ,
, , I
J L
, , I
, , ,
'1 I I I I I
J L L J L
I I I I I I I
I I I I I I I
I I I I I . I
J J L
I I I . I I I I
I I I , I I I I
I I I I I I I I
J L L L
I I I I I I I I
I I I I I . I I
I I I I , I I I
0.6
0.4
0.2
о
о
2
3
4
5
6
7
8 Х 9
а
1
1l;l'l(X)
0.8
, .
I I I I I
L J L
I I I I
I I I I
I I I I I t I
J L I L J L
I I I I I I I
I I I I I I I
I I . I I I I I
J L I L
I I I I I I I
I I I I I I I
I I I I I I I I
J L .J. I L ...1 L
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I
0.6
0.4
0.2
о
о
2
3
4
5
6
7
8 Х9
6
Рис. 2.10. rрафики ФУНКЦИЙ принадлежности выпуклоrо (а)
и невыпуклоrо (6) нечеткоrо множества
52
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
. Примечание
Определение выпуклости для нечетких множеств отличается от известноro в
анализе, поскольку имеет более общий математический контекст. Тем не Me
нее, ero весьма удобно использовать на практике, поскольку кроме непрерыв
ных функций принадлежности оно применимо к конечным нечетким множест
вам, а таюке ко множествам, функция принадлежности которых не является
непрерывной кривой.
На рис. 2.1 О изображены rрафики двух функций принадлежности, первая из KO
торых является выпуклой, а вторая не является выпуклой. В связи с paCCMOT
рением этоrо при мера следует заметить, что первая функция принадлежности
является cтporo унимодальной с модой х т =5, а вторая не является унимодаль
ной и имеет две моды: х",=2 и х",=4.
2.3. Основные типы
функций принадлежности
Формальное определение нечеткоrо множества (2.1) не накладывает никаких
оrраничений на выбор конкретной функции принадлежности для ero представ
ления. Однако на практике удобно использовать те из них, которые допускают
аналитическое представление в виде некоторой простой математич ской функ
ции. Это упрощает не только соответствующие численные расчеты, но и COKpa
щает вычислительные ресурсы, необходимые для хранения отдельных значений
этих функций принадлежности. Необходимость типизации отдельных функций
принадлежности также обусловлена наличием реализаций соответствующих
функций в рассматриваемых далее инструментальных средствах.
Кусочно-линейные
функции принадлежности
в качестве первоrо типа функций принадлежности рассмотрим функции, KOTO
рые, как следует из их названия, состоят из отрезков прямых линий, образуя He
прерывную или кусочно непрерывную функцию. Наиболее характерным приме
ром таких функций являются "треуzольная" (рис. 2.11, а) и "трапециевидная"
(рис. 2.11, б) функции принадлежности. В нашем случае каждая из этих функций
задана на универсуме Х=[О, 10], в качестве KOToporo выбран замкнутый интервал
действительных чисел. В общем случае выбор универсума может быть произ
вольным и не оrраничен никакими правилами.
rлввв 2. Основные понятия теории нечетких множеств
53
J.lЭ'\(х)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
I
I
...... .......l..................
I
I
, I
, I
............ .........................I........................
I I
I I
, I
..... ................ ... ............... ......
I I
I .
2
4
6
8
10
а
J.lЭ'\(х) 1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
I I
I I
J... ...... ....... .. ...
I ,
I ,
I
I
,
I I I I
..................... T.................... ................... ,....... ............ ....................
, '1
I I I
I I I I
...T ... ...i .. ... ... I...... .....
I I , I
I I I I
2
.4
6
8
10
б
Рис. 2.11. rрафики ФУНКЦИЙ принадлежности треуrольной (а)
и трапециевидной (б) формы
Первая из этих функций принадлежности в общем случае может быть задана
аналитически следующим выражением:
О, х5:а
x a а5:х5:Ь
,
f/),(x;a,b,c) = b a (2.8)
c x
c b ' Ь5:х5:с
О, с5:х
rде а, Ь, с некоторые числовые параметры, принимающие произвольные дей
ствительные значения и упорядоченные отношением: а5: Ь5: С.
I1рименительно к конкретной функции, изображенной на рис. 2.11, а, значения
параметров равны: а=2, Ь=4. с=7. Как нетрудно заметить, параметры а и С xa
рактеризуют основание треуrольника, а параметр Ь ero вершину. Как можно
заметить, эта функция принадлежности порождает нормальное выпуклое уни
Модальное Нечеткое множество с носителем интервалом (а, С), rраницами
(а, с)\{Ь}, ядром {Ь} и модой Ь.
54
Часть '. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Трапециевидная Функция принадлежности в общем случае может быть задана
аналитически следующим выражением:
О, xsa
x a а'5х'5Ь
,
b a
fT(X; a,b,c,d) = 1, Ь'5х'5с (2.9)
d x
, c'5x'5d
d c
О, d'5x
rде а, Ь, с, d некоторые числовые параметры, принимающие произвольные
действительные значения и упорядоченные отношением: a'S Ь'5 с'5 d.
Применительно к конкретной функции, изображенной на рис. 2.11, б, значения
параметров равны: а=l, Ь=3, с=5, d=8. Как нетрудно заметить, параметры а и d
характеризуют нижнее основание трапеции, а параметры Ь и с верхнее OCHO
вание трапеции. При этом данная функция принадлежности порождает HOp
мальное выпуклое нечеткое множество с носителем интервалом (а, d), rpани
цами (а, b)u(c, d) и ядром [Ь, с].
Эти функции используются для задания таких свойств множеств, которые xapaK
теризуют неопределенность типа: "приблизительно равuо", "среднее значение",
"распОЛОJlсен в интервале", "1l0добен объекту", "1l0XO:JIC на предмет" и др. Они
также служат. для представления нечетких чисел И интервалов, которые будут
рассмотрены в i!лаве 5.
Z-образные и S..образные
функции принадлежности
Эти функции принадлежности также получили свое название по виду кривых,
которые представляют их rpафики. Первая из функций этой rpYnnbI называется
Z образной кривой или С1lЛаЙН фУllкцией и в общем случае может быть задана
аналитически следующим выражением:
{ 1,
fz. (х; а, Ь) = t+tcos (;=: п),
О,
х<а }
asx'5b ,
х>ь
(2.1 О)
rде а, Ь некоторые числовые параметры, принимающие произвольные дейст
вительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь. rрафик этой функции
для HeKoToporo нечеткоrо множества .7I и универсума Х=[О, 1 О] изображен на
rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
55
рис. 2.12, а, при этом значения параметров соответственно равны а=3, Ь=6.
СllлаЙН фУIlКЦUЯ может быть также задана друrим выражением:
1, х5:а
I { )" а+Ь
a<x5:
fZ 2 (х; а, Ь) == b a 2 (2. 11)
{ b X )', а+Ь
<x<b
b a 2
О, Ь5:х
rде а, Ь некоторые числовые параметры, принимающие произвольные дейст
вительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь. rрафик этой функции
ДЛЯ HeKoToporo нечеткоrо множества .7I и универсума Х=[О, 1 О] изображен на
рис. 2.12, б, при этом значения параметров соответственно равны а=3, Ь=6.
1-L3't(Х)
1
0.8
I , I
I , I
L
. , I
. I ,
I I I I I , I I .
L L
I I I I I . I I I
. I I I I I I . I
, I I I I I I I I
L L
I . I I I I I . .
. I I I I I I I I
. I I I I I . I
..........I............ .............& ..-....... ...1..... ........ ...........J..............L.............&............ ...1..............
I . I I . I
I , I I I I
I . I . . I
0.6
0.4
02
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9
10
а
l-J.3'I(х)
1
0.8
I I I I I
I I I I I . I I I
.......... ...............L...........!........... .............. ............J...............L............ ............ ............
I I I 1" I .
I I I 1" I .
I I I I I . I I .
......... ..__..... ..__..!_...... ... ....... .........J_........ ........!........... ...........
I I I I I . I I t
. I , I I . . I .
I t I . I I I I I
L L L I
I I I . I . I I I
. I I . I . I I I
I I , I I I I I I
J L _ L L
I I I I I I I I
I I I I I I , I
I I l' I I I I
0.6
0.4
0.2
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9
10
б
Рис. 2.12. rрафики Z-образных ФУНКЦИЙ принадлежности fZ1
и fZ2 для значений параметров а==З, Ь==6
56
Часть '. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
римечание )
Хотя на первый вэrляд различие между этими функциями едва уловимо, тем не
менее оно существует, в чем можно убедиться посредством совмещения их
rрафиков на одном рисунке.
Данные функции принадлежности порождают нормальные вьшуклые нечеткие
множества с ядром ( oo, а] и носителем ( oo, Ь).
Эти функции используются для представления таких свойств нечетких множеств,
которые характеризуются неопределенностью типа:. "МШlOе колич((ство",
"llебольшое значение", "незначительная величина", "низкая себестоимость npoдYK
ции", "низкий уровень цен или доходов", "низкая nроцентная ставка" и мноrих дpy
rих. Общим для всех таких ситуаций является слабая степень про явления Toro
или иноrо качественноrо или количественноrо признака. Особенность нечеткоrо
моделирования при этом заключается в представлении соответствующих нечет
ких множеств с помощью невозрастающих (монотонно убывающих) функций
принадлежности.
Вторая из функций рассматриваемой rруппы называется S обраЗ1l0Й кривой или
сплаЙН фУНlщией и в общем случае может быть задана аналитически следующим
выражением:
{ О,
fS 1 (х; а, Ь) == t+tcos( = п),
1,
х<а }
а5,х5,Ь ,
х>Ь
(2.12)
rде а, Ь некоторые числовые параметры, принимающие произвольные дейст
вительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь. rрафик этой функции
для HeKoToporo нечеткоro множества .7I и универсума Х=[О, 1 О] изображен на
рис. 2.13, а, при этом значения параметров соответственно равны а=3, Ь=6.
Сплайн фушщия может быть также задана друrим выражением:
О, х5а
{ x a )'. а+Ь
a<x5
fS 2 (х; а, Ь) == b a 2 (2.13)
l { b X )'. а+Ь
<x<b
b a 2
1, Ь5,х
rде а, Ь некоторые числовые параметры, принимающие произвольные дейст
вительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь. rрафик этой ФУНКЦИИ
дЛЯ HeKoToporo нечеткоrо множества .7I и универсума Х=[О, 1 О] изображен на
рис. 2.13, б, при этом значения параметров соответственно равны а=3, Ь=6.
Данные функции принадлежности порождают нормальные выпуклые нечеткие
множества с ядром [Ь, +00) и носителем (а, +00).
rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
57
I-L (X)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
I I I . I I
I I I I I .
- i t - I ---- --
I I f I I
I I I I I .
---- ---- ----- ----.--- I_____ ----
I I I I I I
. I I I I I
I I I I I I
----, ---'-----r---- - --'-----r----
I I I I I I
I I I t I
____J ___ _____L___ ____J_____L____
I I I I I
. f I I I
. I I I I
2
з
4
5
6
7
8
9
10
а
I-L (X)
1
I I
, I
0.8 ---- ---- -- ----1--- ---- ----t---- --- - ----
I I I I I I I I .
I I I I I I I I I
0.6 - - --- - -. - - - ---- - - ----
I I I I I I I I .
I I I I I I I I I
0.4 - - - - - - - :... - - - - - ... ... ... ; ... ...: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ...
I I I I I I , I .
I I I I I I I I .
0.2 ... i.........- ............... ............ ............ ...... ... ... t............ ............... ............
I I I I I I I .
I I I I I I I .
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9
10
б
Рис. 2.1 з. rрафики S о6разных ФУНКЦИЙ принадлежности '51
и '52 для значений парамеТРО8 а==З, Ь==6
к типу S образных и одновременно Z образных функций принадлежности MO
жет быть отнесена так называемая СUZ.моидальиая функция (сиrмоид), которая в
общем случае задается аналитически следующим выражением:
1
fs з (х;а,Ь) == I a(x b)'
+е
здесь а, Ь некоторые числовые параметры, принимающие произвольные дейст
вительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь, а е основание HaTY
ральных лоrарифмов, которое инициирует задание соответствующей экспоненци
аль ной функции. При этом в случае а>О может быть получена S образная функция
принадлежности, а в случае а<О Z образная функция принадлежности.
[рафики этой функции для HeKoToporo нечеткоrо множества .7I и универсума
Х=[О, 10) изображены на рис. 2.14. При этом S образной функции принадлежно
сти соответствуют значения параметров а=3, Ь=6 (рис. 2.14, а), а Z образной
функции принадлежности соответствуют значения параметров а= 3, Ь=6
(рис. 2.14, 6).
(2.14)
Данные функции принадлежности порождают субнормальные выпуклые нечет
кие множества с носителем и rраницей IR и точкой перехода Ь.
58
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
1 .1\(x)
0.4
0.2
О
О
I ,
I I . I I ,
}
I I I I I I
I I . I I I I I I
4
I I . I I I I 11
, I , I I I I ,
I I I I I f I I I .
' , r , r - ' r
I I I I I I I I ,
I I I I I I I . .
I I I I I I I I .
1 I r 7 I r 7 r
I I . I I I I . I
I I . I I I . .
0.8
0.6
2
з
4
5
6
7
8
9
10
а
1 .1\(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
I I .
I I I . I
} i l
I I I I I I I
Е I I I , I I I I
I I I I I I I I
I I I I I l' I
I I I I I I I I
' I r I r
I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
I I I I . I , , I
1 - i 7 r
I I I I I I I I I
I I I . I I I I
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9
10
6
Рис. 2.14. rрафики сиrмоидальной функции принадлежности 'S3
ДЛЯ значений параметров а==3, Ь==6 (а) и а== 3, Ь==6 (6)
Рассмотренные S образные функции используются для представления таких He
четких множеств, которые характеризуются неопределенностью типа: "болыuое
количество", "большое значение", "значительная величина", "высокий уровень дoxo
дов и цен", "высокая норма nриБЬUlи", "высокое качество YOlY2", "высокий сервис
обслуживания" и мноrих друrих. Общим для всех таких ситуаций является высокая
степень про явления Toro или иноrо качественноrо или количественноrо призна
ка. Особенность нечеткоrо моделирования при этом заключается в представле
нии соответствующих нечетких множеств с помощью неубывающих (монотонно
возрастающих) функций принадлежности.
В качестве частных случаев z и S образных кривых удобно рассматривать так
называемую линейную Z образную функцию (рис. 2.15, а) и линейную S-образную
функцию (рис. 2.15, 6). Первая из этих функций в общем случае может быть за
дана аналитически следующим выражением:
{ J,
b x
fJ,(x;a,b)= ,
b a
О,
х5:а 1
а<х<Ь ,
Ь5:х
(2.15)
rде а, Ь некоторые числовые параметры, принимающие произвольные дейст
вительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь. rрафик этой функции
rлава 2. Основные понятир теории нечетких множеств
59
для HeKoToporo нечеткоrо множества .7I и универсума Х=[О, 1 О] изображен на
рис. 2.15, а, при этом значения параметров соответственно равны а=3, Ь=6.
Вторая из этих функций в общем случае может быть задана аналитически сле
дующим выражением:
{ О,
x a
fr(x;a,b) == ,
b a
1,
xSa }
а < х <Ь ,
bSx
(2.16)
rде а, Ь некоторые числовые параметры, принимающие произвольные дейст
вительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь. rрафик этой функции
для HeKoToporo нечеткоrо множества .7I и универсума Х=[О, 1 О] изображен на
рис. 2.15, б, при этом значения параметров соответственно также равны а=3, Ь=6.
j.l",,(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
I ,
I ,
, I . . I . I I .
1 r 1 i
. . . . I . I I .
I . I I I I I I
. .
I I I I I I I I I
I . I . I I I I I
I I I . t I I I I
.......,....................... .... r-............"........ ......... ................."...........,...............,...............
I . l' . I I .
I I I I I , I . .
.............. ........... ..................L..............!............ ... .....L...........J...........J................L...............
I I I I I . I I .
I I I I I . . I ,
I I I I I I I . .
2
з
4
5
6
7
8
9
10
а
j.l",,(x)
1
0.8
0.6
I I . I I . I I .
I I I . I , I I I
...............J............J..............._L... .......J...............J... ...... .............J............J...............L...........
I I I I , , I I I
I I I I I I I I I
, I I t I I . I
............ ............. --,........................................... ........... ....-............. .. ... ... ...
0.4
0.2
,
,
I I I I , , , I I
, ' ......r... ......T ...... '... .........r ... T '... .........r ...
. I I I I I I I
, I I I I I I , I
. I I I , I I I I
...I......... I............ i ... ...i .........I... ......i ... I...... . ............I............
I I I I I I I . I
I I I , I I I I I
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9
10
б
Рис. 2.15. rрафики линейной z обра3нОй функции (а)
и линейной s образной функции (6) принадлежности
для значений параметров а==3, Ь==6
Данные функции принадлежности порождают нормальные выпуклые неч.еткие
множества с rраницами (а, Ь).
Следует заметить, что данные линейные z и S образные функции MorYT быть
Использованы для построения рассмотренных выше треуrольной и трапециевид
60
Часть '. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
ной функций принадлежности (см. рис. 2.11). В частности треуrольная функция
принадлежности получается как композиция линейной Z-образной и линейной
S-образной функций по следующей формуле:
I (x; а,Ь ,с) = minVj(x; а, Ь), IJ, (х; Ь, с)}, (2.17)
хеХ
rде а, Ь, с некоторые числовые параметры, принимающие произвольные дей-
ствительные значения и упорядоченные отношением: a b c. В выражении (2.17)
используется операция взятия минимума (обозначенная знаkом min) из всех зна-
чений, указанных в фиrурных скобках через запятую. При этом если соответст-
вующие функциональные значения зависят от некоторой независимой перемен
ной (в нашем случае от х), то под знаком минимума явно указывается диапазон
или множество значений этой переменной (в нашем случае универсум).
Трапециевидная функция принадлежности получается как композиция двух ли-
нейных Z-образной и S образной функций по следующей формуле:
Ir(x; а ,Ь ,с, d) =: minVj(x; а, Ь), [,!, (х; с, d)}, (2.18)
ХЕХ
rде а, Ь, с, d некоторые числовые параметры, принимающие произвольные
действительные значения и упорядоченные отношением: a b<c .
П-образные функции принадлежности
к данному типу функций принадлежности можно отнести целый класс кривых, KO
торые по своей форме напоминают колокол, сrлаженную трапецию или букву "П".
Первая из подобных функций так и называется Л-образная функция, и в об-
щем случае задается аналитически следующим выражением:
Iп(х; а,Ь ,С, d) = Is(x; а, Ь). fz(x; С, d),
(2.19)
rде а, Ь, с, d некоторые числовые параметры, принимающие произвольные
действительные значения и упорядоченные отношением: a b<c:5д, а знак 11." обо-
значает обычное арифметическое произведение значений соответствующих
функций.
При этом MorYT быть использованы любые из рассмотренных выше z- и s-
образных функций. В частности, если использовать функцииfSI и/ZI' то получим
Л-функцию lm, rрафик которой для HeKoToporo нечеткоrо множества .11 и уни
версума Х=[О, 10] изображен на рис. 2.16, а. При этом значения параметров для
Функции/ SI равны a=l, Ь=4, а для Функции/ZI с=5, d=9. Если же использовать
функции ISI и IZ2> то получим Л-функцию [т, rрафик которой для HeKoToporo
нечеткоrо множества .11 и универсума Х=[О, 1 О] изображен на рис. 2.16, б для тех
же значений параметров.
Очевидно, этот тип функций принадлежности по рождает нормальные выпуклые
нечеткие множества с носителем (а, d) и ядром [Ь, с].
Тлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
61
1 3'I(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
I
.
I I I I I
, r ,
I I I I I
I I I I I I
I I I I I I
L
I I I I I I
I I I I I I
I I I I I I
I I I I I I I
i i I i I I i
I I I , I I ,
I I I I I I I
I I I I I I
, T , ' r
I I I I I I
I I I I I I
. t I . I I
I
,
,
................
I
I
I
...............1...............
,
.
I
............... .........
.
.
... "' "'I"' "'''''''
I
I
2
з
5
8
4
6
7
9 10
а
3'I(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
,
I ,
...... '......... ...r... ...
I ,
, I I
I I I . I I I I I
............ ...... ......L...... ... ......... ............ L............ ......... ...L............ ............... ............
, I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I I
............ ......_......L .........l............ ...............L............ ............... .........!............... ............
I I I I I I I I I
I I I , I I I I .
I I I I I I I .
I I I I I I I I
............,............ r............ ............ ............... ............ ...............r... ... ............... ............
I I I I I I I I
I I I I I I I .
I I I I I '1 I
2
з
5
7
8
9
10 6
6
4
Рис. 2.16. rрафики П образных функций принадлежности fП1 (а) и fП2 (6)
для значений параметров а=1, Ь=4, с=5, d=9
Следующая функция этоrо типа П обраЗНblХ функций определяется как произве
дение двух сиrмоидаЛЬНbJХ функций и в общем случае может бbJТЬ задана анали
тически следующим выражением:
I П (х; а ,Ь ,С, d) = f S (х; а, Ь). Is (х; С, d) ,
3 J J
(2.20)
rде а, Ь, с, d некоторые ЧИСЛОВbJе параметры, принимающие произвольные
действительные значения, причем а>О, с<О, и упорядоченные отношением:
a b<lcISd. Знак 11." обозначает арифметическое произведение значений COOTBeт
ствующих функций, а функция Ixl модуль действительноrо числа.
К П образным функциям относится также так называемая колоколообразная
(bell shaped) функция, которая в общем случае задается аналитически следующим
выражением:
1
fп 4 (х;а,Ь,с)= 2Ь '
1 + I x : с l
(2.21)
62
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
rде а, Ь, с некоторые числовые параметры, принимающие произвольные дей
ствительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь<с, причем параметр
Ь>О. Здесь функция Ixl обозначает модуль действительноrо числа
3'I(x)
1
08
0.6
0.4
0.2
О
О
I
,
I I I I I I
' r T ' r '
. I I I I
I t I I I I
I I I I I I . I I
L I L L
I I I I I I I . I
I I I I l' I
I I I I I I . I
1 f i
I I I I I I , I
I I I I I , I
, , I I I I I I I I
' r T - - - r 1
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I . I I
8
9
10
2
3
4
5
6
7
а
.s'l(x)
1
08
0.6
0.4
0.2
О
О
,
I . I I
' r т - ' -
I I I I
I I I I
I I I I I I I I I
_ __L_ __ _ ___I __L____ ____ L_ __ ___ I_ _
I I I I I I I I I
I . I I I I I
I I I I I I I
I . I I , I I .
---"'i---- I ----I"'-- ..,...............,..............,............................,................ ...........
I I I I I I I I I
I . I I I I I I I
I I I I I I I f I
' r - T --r - r Т r
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I I
2
7
10
4
5
6
8
9
з
6
Рис. 2.17. rрафики П образных функций принадлежности fпз
ДЛЯ значений парамеТРО8 а==1, Ь==5, c== 7. cF9 (а)
и для значений параметров а==2, Ь==4, c== 5, d==9 (6)
Наконец, последней из рассматриваемых функций данноrо типа является xopo
шо известна.я в теории вероятностей функция плотности нормалЬНО20 pacпpeдe
ленuя в предположении, что J2;,a == 1, и которая в нашем случае задается анали
тически следующим выражением:
----(x c)2
fп (х; а, с) == е 20
5
(2.22)
Здесь о' И С числовые параметры, при этом квадрат первоrо из них 0'2 В теории
вероятностей называется дисперсией распределения, а второй параметр с Ma
тематическим ожиданием.
Очевидно, эти последние типы функций принадлежности порождают нормаль
ные выпуклые нечеткие множества, при этом плотность нормальноrо распреде
ления обеспечивает унимодальность соответствующеrо нечеткоrо множества.
rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
63
1l3'l(Л)
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
, I
, ,
, I I I I I .
' T T
I I I I I I I
I I I I I I I
I I I I I I I
L _ . _ _
I I I I I
I I I I
I I I I l' I
. ._J_____L__._!.___ I___._L____ ...__ ____J ____ ____
I I . I I I I I I
I I t , I I , , I
I , t I I I I I I
I I I I I I I I I
-.--'- -- r-- - -. -'- ---Т---- .----r. Т-. ._,-----
I I I I I I I
I I I . I
I I I I I
I
,
I
--..... I- --
,
,
..............1................
I
2
з
4
5
6
7
8
9
10 а
1l3'l(Л)
1
0.8
I ,
I ,
I I I I I I I
T .........' ........T -- .. r ... ' ........r- ....
. I I I I I .
. I I I , I I
I I I I I I .
......-... ............. .............. ............ ............ ......... .............. ............
I I I I I I
. I I I I ,-
I . . I I I I I I
........... .... ........ -........f............ .............t............ ....- ... ..............f............... .........
I I I I I I I
I I I I I I I I I
I I I I I I I I .
.. ...'...............r...... ...T ......' .......r............ ...............r...... T...
I , . I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I
06
0.4
0.2
О
О
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
Рис. 2.18. rрафики П образных функций принадлежности f П 4 для значений
параметров а==2, Ь==З, с==6 (а) и f П 5 для значений параметров а==2, с==4 (6)
2.4. Некоторые рекомендации
по построению функций,
принадлежности нечетких множеств
При построении функций принадлежности для нечетких множеств следует при
дсрживаться некоторых правил, которые предопределяются характером неопре
дсленности, имеющей место при построении конкретных нечетких моделей.
С практической точки зрения с каждым нечетким множеством удобно ассоцииро
вать некоторое свойство, признак или атрибут, которые характеризуют paCCMaT
риваемую совокупность объектов универсума. При этом по аналоrии с классиче
скими множествами рассматриваемое свойство может порождать некоторый
предикат (см. приложение 2), который вполне естественно назвать нечетким пре
ДИкатом. Данный нечеткий предикат может принимать не одно из двух значений
ИСтинности ("истина" или "ложь"), а целый континуум значений истинности, KO
торые для удобства выбираются из интервала [О, 1]. При этом значению "истина"
По прежнему соответствует число 1, а значению "ложь" число о. ,
64
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой поrики
Содержательно это означает следующее. Чем в большей степени элемент хеХ
обладает рассматриваемым свойством, тем более близко к 1 должно быть значе-
ние истинности соответствующеrо нечеткоrо предиката. И наоборот, чем в
меньшей степени элемент хеХ обладает рассматриваемым свойством, тем более
близко к О должно быть значение истинности этоrо нечеткоrо предиката. Если
элемент хеХ определенно не обладает рассматриваемым свойством, то соответ-
ствующий нечеткий предикат принимает значение "ложь" (или число О). Если же
элемент хеХ определенно обладает рассматриваемым свойством, то COOTBeTCT
вующий нечеткий предикат принимает значение "истина" (или число 1).
Тоrда в общем случае задание нечеткоrо множества с использованием специаль
Horo свойства эквивалентно заданию такой функции принадлежности, которая
содержательно представляет степень истинности соответствующеrо одноместно-
[о нечеткоrо предиката. Более подробно эта взаимосвязь нечетких множеств и
нечеткой лоrики будет рассмотрена в 2лаве 6.
Наибольшее распространение при построении функций принадлежности нечет
ких множеств получили прямые и косвенные методы.
Прямые методы построения
функций принадлежности
в прямых методах эксперт либо rруппа экспертов просто задают для каждоrо
хеХ значение функции принадлежности f.l.я(Х). Как правило, прямые методы по-
строения функций принадлежности используются для таких свойств, которые
MorYT быть измерены в некоторой количественной шкале. Например, такие фи-
зические величины, как скорость, время, расстояние, давление, температура и
друrие имеют соответствующие единицы и эталоны для cBoero измерения. При
этом целесообразно оrраничить рассмотрение только теми значениями величин,
которые имеют физический смысл в контексте решаемой задачи.
При прямом построении функций принадлежности следует учитывать то обстоя
тельство, что теория нечетких множеств не требует абсолютно точноrо задания
функций принадлежности. Зачастую бывает достаточно зафиксировать лишь
наиболее характерные значения и вид (тип) функции принадлежности.
Так, например, если необходимо построить нечеткое множество, которое преk
ставляет свойство "скорость движения автомобиля около 50 км/ч", на начальном
этапе может оказаться достаточным представить соответствующее нечеткое
множество треуrольной функцией принадлежности ft. с параметрами а = 40 км/ч,
Ь = 50 км/ч и с = 60 км/ч. Аналоrично, в случае построения нечеткоrо множества
для представления свойcrва "скорость движения автомоБWlЯ находится приблuзи-
тельно в пределах 50---------60 км/ч", на начальном этапе может оказаться достаточным
представить соответствующее нечеткое множество трапециевидной функцией
принадлежности fT с параметрами а = 45 км/ч, Ь = 50 км/ч, с = 60 км/ч и d =
= 65 км/ч. В последующем функция принадлежности может быть уточнена опыт-
ным путем на основе анализа результатов решения конкретных задач.
rлава 2. Основные понятия теории нечетких множеств
65
Процесс построения или заданИЯ нечеткоrо множества на основе HeKoToporo
звестноrо заранее количественноrо значения измеримоrо признака получил
даже специальное название фаззuфuкацuя или приведение к нечеткости. Речь
идет о том, что хотя иноrда нам бывает известно некоторое значение измеримой
величины, мы признаем тот факт, что это значение известно неточно, возможно
с поrрешностью или случайной ошибкой. При этом, чем меньше мы уверены в
точности измерения признака, тем большим будет интервал носителя COOTBeTCT
вующеrо нечеткоrо множества. Следует помнить, что в большинстве практиче
ских случаев абсолютная точность измерения является лишь удобной абстракци
ей для построения математических моделей.
Именно по 'Этой причине фаззификация позволяет более адекватно представить
объективно присутствующую неточность результатов физических измерений.
Более подробно особенности этоrо процесса будут рассмотрены далее в 2лаве 7.
Косвенные методы построения
функций принадлежности
Как правило, косвенные методы определения значений функции принадлежно
сти используются в тех случаях, коrда отсутствуют ОLlевидные измеримые свой
ства, которые MorYT быть использованы для построения нечетких моделей pac
сматриваемой предметной области.
Среди косвенных методов наиболее известен так называемый метод попарных
сравнений. Этот метод используется для конечных нечетких множеств и основан
на следующем предположении. Если бы значения искомой функции принадлеж
ности были известны и равны значениям J.tAx;) для ie {I, 2,..., 1l}, то попарные
сравнения соответствующих элементов носителя нечеткоrо множества .7l можно
было бы представить в виде матрицы А с элементами (lij, при этом элементы 'Этой
матрицы равны: a;j =J.t.9l(x;)/J.t.9l(X j ), rде символ "1" обозначает операцию деления.
На практике бывает проще вначале построить матрицу А в предположении, что
ее диаrональные 'Элементы должны быть равны 1, а симметричные относительно
rлавной диаrонали элементы должны быть взаимно обратными, т. е. a;j= lIa ji .
Последнее условие означает, что если степень принадлежности одноrо из эле
ментов оценивается в а раз сильнее степени принадлежности друrоrо, то степень
принадлежности BToporo элемента должна быть в I/a раз сильнее степени при
надлежности nepBoro элемента.
В 'Этом случае задача построения функции принадлежности сводится к нахожде
I-IИЮ TaKoro вектора W, который является решением следующеrо уравнения: А,н' =
== АшахW, rде Ашах наибольшее собственное значение матрицы А. Поскольку все
значения 'Элементов матрицы А положительны по построению, решение данноrо
уравнения существует и является положительным.
Собственно процесс попарноrо сравнения 'Элементов может быть основан на
субъективной интуиции или на выполнении некоторой последовательности ал
rоритмических или лоrических действий. При этом отдельные элементы универ-
66
Часть 1. ОСНОВЫ твории нвчетких множеств и нечвткой лоrики
сума MorYT использоваться в качестве эталонов или все элементы MorYT быть
разделены на rруппы с последующим сравнением 'Этих rpупп между собой.
Из алrоритмических процедур наибольшую известность получили методы итера
тивноrо уточнения значений функций принадлежности, основанные на нейронных
сетях и rенетических алrоритмах. Лоrические процедуры используют методы ин
дуктивноrо обучения и построения нечетких метаправил. Иноrда применяются
методы обработки статистических даННblХ, факторноrо и дискриминантноrо aHa
лиза с целью выделения значимых признаков для последующеrо сравнения элемен
тов рассматриваемоrо универсума. Заинтересованный читатель более подробное
изложение этих вопросов может найти в дополнительной литературе.
В заключение следует отметить, что в случае недостатка информации об особен
ностях функций принадлежности нечетких переменных рекомендуется начинать
построение нечеткой модели с использования наиболее простых форм функции
принадлежности, а именно кусочно линейных функций. В последствии их xa
рактер может быть уточнен и учтен на этапе коррекции нечеткой модели.
rлава 3
Операции
над нечеткими множествами
Прежде чем приступить к рассмотрению операций над нечеткими множествами
следует привести некоторые важные соображения, которые необходимо прини
мать во внимание при определении нечетких аналоrов обычных теоретико
множественных понятий.
Во первых, следует иметь в виду, что то или иное нечеткое множество является
обобщением классическоrо множества. Поскольку в общем случае можно пред
ложить самые различные варианты подобноrо обобщения, это приводит к прин
ципиальной неодuозначностu тех или иных определений, имеющих аналоrию в
классической теории MHo eCTB и представляющих практический интерес. При
менительно к операциям над нечеткими множествами это означает, что любое
определение той или иной операции должно быть справедливым в том частном
случае, коrда вместо нечетких множеств используются обычные множества. Дpy
[ими словами, подобные определения должны превращаться в известные опре
деления теоретико множественных операций, если участвующие в них функции
принадлежности заменить характеристическими функциями множеств.
BO BTOpЫX, если при рассмотрении классических множеств (С.М. прuложение 1)
понятие универсума можно мыслить в форме "все что у;юдно", то сравнение He
четких множеств и выполнение над ними различных операций становится воз
можным, только коrда соответствующие нечеткие множества определены на oд
ном и том же универсуме.
Наконец, в третьих, поскольку каждое нечеткое множество вполне определяется
своей функцией принадлежности, последнее понятие зачастую используется как
СИноним нечеткоrо множества. При этом следует помнить, что в общем случае
одна и та же функция принадлежности может описывать качественно различные
нечеткие множества. С друrой стороны, хотя одно и то же нечеткое множество
или точнее то или иное свойство в форме нечеткоrо множества, может быть
представлено различными функциями принадлежности, отражающими HeOДHO
значность субъективных или иных представлений, с формальной точки зрения
Все из них следует различать и rоворить о различных нечетких множествах.
Поэтому, rоворя о соответствии нечетких множеств и функций принадлежности,
мы будем понимать 'ПО соответствие в форме математическоrо изоморфизма.
68
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Именно наличие подобноrо изоморфизма нечетких множеств, заданных одной и
той же функцией принадлежности, позволяет рассматривать формальные опре
делениЯ на требуемом уровне строrости.
3.1. Равенство и доминирование
нечетких множеств
По аналоrии с обычными множествами, прежде Bcero, определим два простей
ших обычных отношения, которые MorYT иметь место между двумя произволь
ными нечеткими множествами .91 и !В, заданными на одном и том же универсуме
Х. Первое из них равенство двух нечетких множеств.
Р а в е н с т в о н е ч е т к и х м н о ж е с т в. Два нечетких множества
.9I={х, 1l.9l(X)} и !В={х, Ilf3(X)} считаются равными, если их функции принадлежно
сти принимают равные значения на всем универсуме Х:
1l.9l(X)= 1l.в(Х) дЛЯ любоrо хех. (3.1)
Равенство множеств в данном случае записывается как ..'7{=!В.
Примечание )
Вообще rоворя, с практической точки зрения не совсем корректно rоворить о
равенстве двух нечетких множеств в смысле выполнения только условия (З.1),
если речь идет о содержательно различных множествах. Возможно, cTporo
формально следовало бы rоворить о математическом изоморфизме таких He
четких множеств. Тем не менее, далее понятие равенства нечетких множеств
будет использоваться в смысле (З.1).
Следующим простейшим отношением является понятие нечеткоrо подмножества
(или нечеткоrо доминирования) произвольных нечетких множеств. Формально
это определение также записывается с помощью соответствующих функций при
надлежности.
Н е ч е т к о е n о Д м н о ж е с т во. Нечеткое множество ..'7{={х, 1l.9l(X)} является
нечеткUJW подмножеством нечеткоrо множества ={x, Ilf3(X)} (записывается как
и ..'7{ ) тоrда и только тоrда, коrда значения функции принадлежности nepBoro
не превосходят соответствующих значений функции принадлежности BToporo,
т. е. выполняется следующее условие:
1l.9l(X):::; Ilf3(x) (\ixeX). (3.2)
Так же как и для обычных множеств, для обозначения нечеткоrо подмножества
используется символ " ". При этом в случае ..'7{ !В часто rоворят, что нечеткое
множество доминирует нечеткое множество ..'7{, а нечеткое множество .91 co
держится в нечетком множестве !В.
По аналоrии с классическими множествами среди нечетких множеств можно
различать два различных варианта доминирования. Рассмотренное выше опре
rлввв з. Операции над нечеткимltI множествами
69
деление характерно для так называемоrо несобствеННО20 подмножества, коrда не
исключается случай возможноrо равенства двух нечетких множеств ..'7{ и !В. Если
же в определении нечеткоrо подмножества исключается равенство COOTBeтCT
вующих нечетких множеств в форме (3.1), то в этом случае ..'7{ называется собсm
венным нечетким подмножеством 13 и обозначается: .9Iс 13. При этом часто rOBO
рят, что нечеткое множествО 13 стРО20 доминирует нечеткое множество ..'7{, а
нечеткое множество .91 стРО20 содержится в нечетком множестве 13.
Из определения нечеткоrо подмножества следует, что пустое множество является
собственным подмножеством любоrо нечеткоrо множества, не являющеrося в
свою очередь пустым. Друrими словами, для любоrо нечеткоrо множества ..'7{,
TaKoro что ..'7{=1f:0, всеrда справедливо утверждение: 0c.9l, rде знак "с " понима
ется в нечетком смысле, поскольку справа от Hero стоит нечеткое множество. Из
этоrо определения также следует, что любое нечеткое множество, не являющееся
в свою очередь универсумом, является собственным подмножеством универсума.
То есть для любоrо нечеткоrо множества .91, TaKoro что .9I=1f:X, всеrда справедли
во утверждение: .9Ic Х.
Если для двух нечетких множеств .91 и 13, заданных на одном универсуме, не BЫ
полняется ни отношение .91 13, ни отношение 13 ..'7{, то в этом случае rоворят,
что нечеткие множества.91 и 13 несравнимЫе.
Так, например, для конечных нечетких множеств ..'7{I и .912, каждое из которых
представляет в некотором контексте "неБОЛЫllое натуральное число", и равные:
.7{1={<I, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>, <4,0.8>, '<5,0.6>, <6, 0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>,
<9,O.l>} и ..'7{2={<1, 1.0>, <2,0.9>, <3,0.8>, <4,0.7>, <5,0.5>, <6,0.4>, <7,0.3>,
<8,0.2>, <9, O.l>}, справедливо следующее отношение доминирования: .7{2 1.
Нечеткое доминирование или факт включения элементов ОДноrо нечеткоrо MHO
жества в друrое нечеткое множество можно изобразить rрафически в декартовой
системе координат на плоскости. С этой целью изобразим прямоуrольную сис
тему координат, на оси абсцисс которой в том ИЛИ ином порядке расположим
элементы универсума Х, а на оси ординат соответствующие им значения
функции принадлежности рассматриваемоrо нечеткоrо множества.
Примечание
Подобное rрафическое изображение уже было использовано нами валаве 2
при рассмотрении функций принадлежности нечетких множеств. Очевидно,
этот способ наиболее удобен, коrда в качестве универсума выступает HeKOTO
рое подмножество действительных чисел R
Для случая.2Зs;;9I rрафик функции принадлежности нечеткоrо множества !в будет
расположен по вертикальной оси не выше rpафика функции принадлежности
нечеткоrо множества .7{ (рис. 3.1, а, 6). Более Toro, как на рис. 3.1, а, так и на
рис. 3.1, б, изображены случаи cтpororo доминирования 1Зс ..'7{.
70
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
0.2
О
О 1 2
S'I(x)
.fI(x) - - _.
О.В
0.6
0.4
з
4
5
6
7
8 Х 9
а
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О 1 2 3
IlS'l(x)
.fI(x) .
4
5
6
7
8 Х9
6
Рис. 3.1. Различные варианты отношения
доминирования 2Зс;; .11 fJl3yx нечетких множеств
3.2. Операции пересечения,
объединения и разности
нечетких множеств
Пусть ..'7{ и 13 произвольные (конечные или бесконечные) нечеткие множества,
заданные на одном и том же универсуме Х.
Пер е с е ч е н и е. Пересеченuем двух нечетких множеств .1{ и 13 будем называть
некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме Х,
функция принадлежности KOToporo определяется по следующей формуле:
Jlc(x)= min{Il.9l(x), 1l (X)}
(\ixeX).
(3.3)
Операция пересечения нечетких множеств по аналоrии с обычными множества
ми обозначается знаком "п". в этом случае результат операции пересечения двух
нечетких множеств записывается в виде: C=.7ln13.
rлава з. Операции над нечеткими множествами
71
в этом случае C={xIJlc(X)} нечеткое множество с функцией принадлежности
J.1c(x), которая определяется по формуле (3.3). Как нетрудно заметить, пересече
ние ..'7{п.2З есть наибольшее нечеткое подмножество С, которое содержится OДHO
временно в нечетких множествах ..'7{ и 13.
Операцию пересечения нечетких множеств в смысле (3.3) иноrда называют min
пересечением или л пересечением. Последнее обозначение связано с определени
ем лоrической операции "И", которая в математической лоrике обозначается
знаком "л" (см. пРUТlOжение 2). Соответственно функция принадлежности пере
сечения Jlc(x) в этом случае записывается в виде: Jlc(Х)= .91(х)л 23 (х) (\7' х ЕХ). При
этом знак "л" используется в качестве синонима операции нахождения мини
мальноrо значения. Поскольку в практике нечеткоrо моделирования эта опера
ция используется наиболее часто, в дальнейшем, rоворя опересечении нечетких
множеств, если явно не указано друrое, мы будем иметь в виду miп пересечение
(л пересечение).
Операция miп пересечения нечетких множеств корректна в том смысле, что она
сохраняет свое определение для случая обычных множеств. А именно, если в Ka
честве нечетких множеств ..'7{ и 13 взять обычные множества А и В как их частный
случай, то определение операции пересечения (3.3) превратится в определение
операции пересечения (П 1.4) для характеристических функций последних.
В качестве примера рассмотрим конечное нечеткое множество ..'7{, которое пред
ставляет в некотором контексте свойство "небольuюе натуральное число", и paB
но: .9I={<I, 1.0>, <2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>,
<9. 0.1>}, и конечное нечеткое множество 13, которое представляет свойство
"натуральное число, приближенно равное двум", и равно: 13 ={<1,0.5>,
<2,1.0>, <3,0.6>, <4,0.4>, <5,0.2>, <6, О>, <7, О>, <8, О>, <9, О>}. Тоrда нечет
кое множество С как результат операции пересечения С=.9Iп13 будет равно:
С={<I, 0.5>, <2,1.0>, <3,0.6>, <4,0.4>, <5,0.2>, <6, О>, <7, О>, <8, О>, <9, О>}.
Содержательно нечеткое множество С может представлять в этом же контексте
"небольшое натуральное число, приближенно равное двум".
Результат операции пересечения двух и большеrо числа нечетких множеств, за
данных на одном и том же универсуме Х, также можно изобразить rрафически в
декартовой системе координат на плоскости. Этот способ особенно удобен для
визуализации операций с бесконечными нечеткими множествами. В данном слу
чае каждое из нечетких множеств изображается соответствующей функцией при
надлежности, а функция принадлежности результата операции пересечения изо
бражается утолщенной линией. Для дополнительной наrлядности область,
расположенная ниже значений результирующей функции принадлежности, изо
бражается затемненной.
Для случая пересечения двух нечетких множеств .91(113, заданных различными
функциями принадлежности, результат операции изображен на рис. 3.2, а, б. При
этом линейные Z образная и S образная функции принадлежности имеют пара
метры а=3, Ь=6, а П образные функции принадлежности а= 1, Ь=3, с=4, d=7 и
а=3, Ь=6, с=7, d=9 соответственно.
72 Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
\J. (x) \J.s(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
I
I
I , I
I
I
, I ,
I
I I I I
I , 1 I
I I I I
, I r т
I I
I I
I I
I I
I I
I ,
,
I I I I
I
,
I I I I
.
, I I I I
I , , I
, I I I I
I I ,. , ,..
I I I I
I I I .
I I I I
i
I I I
I '1
о
о 2 3 4 5 6 7 8 9 10
\J.c( х )
а
Il",(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ilc(x) 6
Рис. 3.2. rрафическое представление операции пересечения
двух нечетких множесТВ .11 и 1J, заданных линейными Z образной
и S обраэной функциями принадлежности (а)
и П образными (6) функциями принадлежности
Для выпуклых нечетких множеств имеет место следующее свойство. Если нечет
кие множества .71 и 13 выпуклые, что их пересечение .7In23 также является BЫ
пуклым нечетким множеством. Рис. 3.2 поясняет и данное свойство, поскольку
изображенные на нем исходные нечеткие множества и результат операции пере
сечения являются выпуклыми.
О б ъ е д и н е н и е. Объединением двух нечетких множеств.7I и 13 называется He
которое третье нечеткое множество 1), заданное на этом же универсуме Х, функ
ция принадлежности KOToporo определяется по следующей формуле:
f!v(X)= max {f!.9I(X), f!:в(х)}
(\txeX).
(3.4)
Операция объединения нечетких множеств по аналоrии с обычными множества
ми обозначается знаком "u". В этом случае результат операции объединения
двух нечетких множеств записывается в виде: 1)=.7Iu13.
В этом случае 1)={xlf!v(x)} нечеткое множество с функцией принадлежности
f!v(X), которая определяется по формуле (3.4). Как нетрудно заметить, объеди
(лава 3. Операции над нечеткими множествами
73
нение .яu!В есть наименьшее нечеткое множество ЯJ, которое доминирует OДHO
временно как .я, так и 13.
Операцию объединения нечетких множеств в смысле (3.4) иноrда называют max
объединением или v объединением. Последнее обозначение связано с определе
нием лоrической операции "ИЛИ" (неисключающеrо ИЛИ), которая в MaTeMa
тической лоrике обозначается знаком "v" (см. приложение 2). Соответственно
функция принадлежности объединения J..1v(X) в этом случае часто записывается в
виде: Jlv(Х)=J..1.91(Х)VJ..12З(Х) (V'XE'X). При этом знак "v" используется в качестве си
нонима операции максимума. Поскольку в практике нечеткоrо моделирования
па операция используется наиболее часто, в дальнейшем, rоворя об объедине
нии нечетких множеств, если явно не указано друrое, мы будем иметь в виду их
mах объединение (v объединение).
Операция mах объединения нечетких множеств также корректна в том смысле,
что она сохраняет свое определение для случая обычных множеств. А именно,
если в качестве нечетких множеств .я и 13 взять обычные множества А и В как их
частный случай, то определение операции объединения (3.4) превратится в опре
деление операции объединения (Пl.5) для характеристических функций обычных
множеств.
В качестве при мера рассмотрим нечеткое множество .я, которое, как и выше,
представляет в некотором контексте "небольшое натуральное число", и равно:
.я={<I, 1.0>, <2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6, 0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>,
<9,O.l>}, и нечеткое множество 13, которое представляет "натуральное число,
приближенно равное двум", и равно: 13 ={<1,0.5>, <2, 1.0>, <3, 0.6>, <4,0.4>,
<5,0.2>, <6, О>, <7, О>, <8, О>, <9, О>}. Тоrда нечеткое множество V как pe
зультат операции объединения v=.яu13 будет равно: V={<1,1.0>,
<2, 1.0>, <3, 0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6, 0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9, O.I>}. Co
держательно нечеткое множество V может представлять в этом же контексте
"небольшое натуральное число ши натуральное число, приближенно равное двум".
Результат операции объединения двух и большеrо числа нечетких множеств, за
данных на одном и том же универсуме Х, можно изобразить rрафически в дeKap
товой системе координат на плоскости. Для случая объединения двух нечетких
множеств .яu13, заданных различными функциями принадлежности, результат
операции изображен на рис. 3.3, а, б.
Раз н о с т ь. Разностью двух нечетких множеств 51 и 13 называется некоторое
третье нечеткое множество 8, заданное на этом же универсуме Х, функция при
надлежности KOToporo определяется по следующей формуле:
Jlt;(X) = max{J..1.91(x) J..12З(х), О} (\fxeX) , (3.5)
rДе под знаком максимума используется обычная операция арифметической раз
ности двух чисел. Операция разности двух нечетких множеств по аналоrии с
обычными множествами обозначается знаком "\". В этом случае результат опе
рации разности двух нечетких множеств можно записать в виде: 8=:Jn13.
74
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Так, если, как и выше, рассмотреть нечеткое множество Sf, равное: Sf= {< 1, 1.0>,
<2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9, O.I>}, и He
четкое множество 13, равное: 13 = {< 1,0.5>, <2, 1.0>, <3,0.6>, <4,0.4>, <5, 0.2>,
<6, О>, <7,0>, <8,0>, <9,0>}, то разность Sf\V будет равна: Sf\V={<1,0.5>,
<2, О>, <3, 0.3>, <4,0.4>, <5,0.4>, <6,0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9, O.l>}. Coдep
жательно нечеткое множество Sf\V может представлять в том же контексте
"небольшое натУРШlьное число, не являющееся приближенно равным двум". Для
этих двух нечетких множеств разность V\J{ будет равна пустому множеству, по
скольку все значения функции принадлежности результата будут равны нулю.
Содержательно нечеткое множество V \J{ может представлять в том же контексте
"натуральное число, приближенно равное двy.lН и не Я6.'lяющееся uеболыull.М".
1-L.s<I(Х)
I-L!> (х)
0.4
0.2
2
з
4 5
I-LD(X)
6
7
8
9
10
08
0.6
а
1-L.s<I(Х)
I-L!>(X)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
2
з
4
5 6
I-LD(X)
7
8
9
10
6
Рис. 3.3. rрафическое представление операции объединения
двух нечетких множеств .11 и 13, заданных линейными Z образной
и S образной функциями принадлежности (а)
и П образными (6) функциями принадлежности
Результат операции разности двух нечетких множеств sf и '13, заданных на одном
и том же универсуме Х различными функциями принадлежности, изображен на
рис. 3.4, а, б.
rлава з. Операции над нечеткими множествами
75
Il",,(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О 1 2
l-L.1\\s(x)
l-Ls(Х)
. / I I l
jнш /н Ш;НШ!Ш : Ш1
' 'y1 H + )
. '/ :\ i р
: T," : .
: '" : : : I
з 4 5 6 7 8 9 10
а
1l.1\(x )
Ils(X)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
2 3 4
1l.l'l\S (Х)
5
6
7
8
9
10
б
Рис. 3.4. rрафическое представление операции разности
двух нечетких множеств .9'1\ 13, заданных линейными Z-образной
и S-образной функциями принадлежности (а)
и П-образными (6) функциями принадлежности
с и м м е т р и ч е с к а я раз н о с т ь. Следует заметить, что операция разности
двух нечетких множеств в отличие от операций v-объединения и л-пересечения
не является коммутативной, т. е. в общем случае .1l\!В* 1j\9l. По аналоrии с обыч-
ными множествами иноrда оказывается полезной операция сuм.,wетрической раз-
1I0сти двух нечетких множеств .1l и 13 (будем обозначать ее через .9I613). По оп-
ределению:
f..1.910Я3(Х)= 1f..1.91(x) f..1яз(х)1
(V'xeX),
(3.6)
rде в правой части выражения применяется операция модуля (или вычисления
абсолютноrо значения) числа. При этом оказывается справедливым следующее
утвеРЖДение: .1l613=(.7{\1j)u(13\9l), т. е. симметрическая разность двух нечетких
множеств представляет собой объединение двух разностей нечетких множеств
.JI и 13.
Определенные выше операции разности и симметрической разности двух нечет.
I<их множеств корректны в том смысле, что они остаются справедливыми для
случая обычных множеств. А именно, если в качестве нечетких множеств .1l и 13
Взять обычные множества А и В как их частный случай, то определения опера-
76
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
ций разности (3.5) и симметрической разности (3.6) превратятся в соответствую
щие определения (Пl.6) и (Пl.7) для характеристических функций последних.
Если, как и выше, рассмотреть нечеткое множество .9t, равное: .9t={<I, 1.0>,
<2, 1.0>, <3. 0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9, O.l>}, и He
четкое множество 13, равное: 13 ={<1, 0.5>, <2, 1.0>, <3,0.6>, <4,0.4>, <5,0.2>,
<6, О>, <7, О>, <8, О>, <9, О>}, то их симметрическая разность .9t813 будет равна:
.9tG23={<I, 0.5>, <2, О>, <3,0.3>, <4,0.4>, <5,0.4>, <6, 0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>,
<9, 0.1>}. в данном случае результат совпадает с обычной разностью .9t\13.
Операция симметрической разности двух нечетких мн.ожеств.9t и 23, заданных на
одном и том же универсуме Х различными функциями принадлежности, может
быть проиллюстрирована rрафически (рис. 3.5). При этом результату операции
симметрической разности нечетких множеств также соответствует более темная
область на rрафике.
1-L3'I(X) I-LJS(х)
1
08
0.6
0.4
0.2
О
О 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l-L3'les(x)
а
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l-L3'les(x) 6
Рис. 3.5. rрафическое представление операции симметрической разности
двух нечетких множеств .1{ и 13, заданных линейными Z образной
и S образной функциями принадлежности (а)
и П образными (6) функциями принадлежности
Д о п о л н е н и е. Специально следует остановиться на унарной операции допол
llения нечеткоrо множества. Дополнение нечеТI<оrо множества .9t обозначается
rлава з. Операции над нечеткими множествами
77
через .9{ и определ ется как нечеткое множество .9{={хl Jl (x)}, функuия при
наДЛежности KOToporo Jl (х) определяется по следующей формуле:
Jl:9l(x)=1 Jl.9l(x) (УХЕХ). (3.7)
Если, как и выше, рассмотреть нечеткое множество .я, равное: .9{= {< 1, 1.0>,
<2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9, O.I>}, и He
четкое множество 13, равное: 13 ={ <1,0.5>, <2, 1.0>, <3, 0.6>, <4,0.4>, <5,0.2>,
<6, О>, <7, О>, <8, О>, <9, о>}, то их дополнения будут равны: :Я={<I, О>,
<2, О>, <3, 0.1>, <4,0.2>, <5,0.4>, <6, 0.5>, <7,0.6>, <8,0.8>, <9,0.9>} и
={<I, 0.5>, <2, О>, <3,0.4>, <4,0.6>, <5,0.8>, <6, 1.0>, <7,1.0>, <8,1.0>,
<9, I.O>}. Содержательно нечеткое множество:Я может представлять в pac
сматриваемом к..?нтексте "натУРШlьное число. не являющееся небольшим", а нечет
кое множество 13 "натуральное число, не равное приближенно двум".
Примечание
Следует обратить внимание, что в рассмотренном выше примере в качестве
универсума фактически использовалось множество из первых 9 натуральных
чисел. Если взять в качестве универсума все множество натуральных чисел, то
результат дополнения нечеткоro множества .1{ будет иным. Соответственно при
интерпретации дополнений более cTporo следует rоворить: "натуральное чис
ло в пределах между 1 и 9, не являющееся небольшим", анечеткое множест
во fj "натуральное число между 1 и 9, не равное приближенно двум".
Операция дополнения нечеткоrо множества .9{ может быть проиллюстрирована
rрафически (рис. 3.6). При этом результату операции дополнения .9{ также co
ответствует более темная область на rрафике. Как нетрудно видеть, rрафик
функции принадлежности дополнения нечеткоrо множества симметричен rрафи
КУ функции принадлежности исходноrо нечеткоrо множества относительно ли
нии: у=0.5.
J..I..1'I(x) J..I.,g;;:(x)
0.8
0.6
0.4
0.2 ' , ,
I
r ,
r ,
О 10
О 2 3 4 5 6 7 8 9
а
Рис. 3.6. rрафическое представление операции дополнения нечеткоrо множества.1{,
которое задано линейной Z образной (а) функцией принадлежности
78
Часть 1. Основы теории нечетких Множеств инечеткой лоrики
\l3'\(X) \l (x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 б
Рис. з. . rрафическое представление операции дополнения
нечетКоrо множества .9'1. которое задано
П образной (6) функцией принадлежности
Для рассмотренных операций над нечеткими множествами имеют место сле
дующие фундаментальные свойства, аналоrичные свойствам обычных теорети
ко множественных операций.
Пусть .9f, 13 и С произвольные (конечные или бесконечные) нечеткие множества,
заданные на одном и том же универсуме Х. Справедливы следующие утверждения.
(j Ко.ммутативность операций объединения и пересечения нечетких множеств:
.9fv13= 13v.9f; .9fn13= 13n.9f. (3.8)
(j Ассоциативность операций объединения и пересечения нечетких множеств:
.9fv(13vC) = (.9fv23)vC; .1{n(13nС)== (.9fn13)nC. (3.9)
(j Дистрибутивность операций объединения и пересечения нечетких множеств
относительно друr друrа:
.9fv(13nC) = (.9fv13)n( .9fvC); .9fn(13vC)= (.9fn13)v( .1{nС) . (3.1 О)
(j Идемпотентность операций объединения и пересечения нечетких множеств:
.9fv.9f=.9f;
.9fn.9f =.1{.
(3.] ])
(j ПО2лощение одноrо из нечетких множеств при операциях объединения и пере
сечения:
.9fv(.9fn13) = .9fn(.9fv13) = .9f. (3.12)
(j Универсальные верхняя u нижняя 2ратЩbl (единичные элементы) операций пе
ресечения и объединения нечетких множеств:
.9fu0=.9f;
.9fnX=.9f;
.9fuX= Х;
.9fn0=0.
(3.13)
(3.14)
(j Инволюция (двойное дополнение) нечеткоrо множества:
.9f = .9f .
(j Законы д е Морю на (l806 187I):
(.9f u 13 ) = .9f n ;
(3.15)
(.1{ n13 ) = .9f u .
(3.16)
(лава З. Операции над нечеткими множествами
79
Особенность рассматриваемых операций над нечеткими множествами состоит в
том, что для них не выполняются закон uсключеННО2О третье2О и закон тожде
ства (свойства дополняемости операций пересечения и объединения). А именно,
в общем случае оказываются справедливыми неравенства:
.9{n S{::I: 0;
.9{u S{::I: Х.
(3.17)
(3.18)
Доказательство отмеченных свойств непосредственно следует из свойств опера
ций минимума и максимума, используемых в определениях соответствующих
нечетких операций.
Примечание
Важность перечисленных свойств обусловливается тем обстоятельством, что они
представляют собой аксиомы дистрибутивной решетки (структуры) с единствен
ными еДИНИЧНЫМИ элементами относительно адцитивной и мультипликативной
операций. Следует заметить, что аксиомы булевой алrебры включают в себя
аксиомы дистрибутивной решетки с дополнениями. Если рассмотреть алrебру
нечетких множеств (нечеткую алrебраическую систему): Z=<1{, U, п, . (О. Х> с
операциями. которые были определены вые,' то она не будет являться булевой
алrеброй, поскольку для нее имеют место неравенства (З.17) (З.18). Таким об
разом, каждая булева алrебра является нечеткой алrеброй, но не наоборот.
Введенные в рассмотрение операции над нечеткими множествами, основанные
на использовании операций mах(е) и min(e), получили наибольшее распростра
нение при решении практических задач нечеткоrо моделирования. Эти операции
обладают двумя основными достоинствами. Во первых, они наиболее eCTeCTBeH
ны для интуитивноrо представления неопределенности, связанной с использова
нием соответствующих им лоrических связок "И", "ИЛИ", "НЕ". BO BTOpbIX, они
удовлетворяют свойствам (3.8) (3.18), что в максимальной степени приближает
структуру нечетких множеств к булевой алrебре.
Тем не менее, операции miп пересечения и mах объединения нечетких множеств
было бы неверно считать единственными, поскольку в общем случае, как будет
видно из последующеrо изложения, возможны и друrие альтернативные способы
их определения. При этом большинство из подобных альтернативных операций
также оказываются корректными в смысле соответствия обычным теоретико
множественным операциям.
3.3. Альтернативные операции
пересечения и объединения
нечетких множеств
Целесообразность применения альтернативных операци может быть обуслов
лена специфическими особенностями конкретных практических задач и желани
ем повысить адекватность интерпретации используеМblХ нечетких моделей на
80
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
основе учета разнообразных смысловых оттенков соответствующих им лоrиче
ских связок "И" И "ИЛИ".
Пусть .1l и 13 произвольные (конечные или бесконечные) нечеткие множества,
заданные на одном и том же универсуме Х.
А л r е б р а и ч е с к о е пер е с е ч е н и е. Алzебраическuм пересечением (или
алzебраическuм проuзведением) двух нечетких множеств .1l и 'в называется HeKO
торое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме Х, функция
принадлежности KOToporo определяется по следующей формуле:
Ilc(X)= J-t.9l(х).J-tяз(Х)
(V'XEX),
(3.19)
т. е. как результат обычноrо арифметическоrо произведения соответствующих
значений функций принадЛежности.
Для альтернативных операций над нечеткими мноЖествами также предложены
специальные обозначения. В частности, алrебраическое пересечение двух нечет
ких множеств .1l и 13 обозначается через C=.1l e 13, rде C={xlllc(x)} результат
этой операции, функция принадлежности J-tс(Х) KOToporo определяется по фор
муле (3.19).
Все рассматриваемые в данном подразделе альтернативные операции будем ил
люстрировать на следующем простом примере. Как и ранее, рассмотрим конеч
ное нечеткое множество .1l, которое представляет в некотором контексте
"небольшое натуральное число", и равно: .1l={<I, 1.0>, <2, 1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>,
<5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9,0.1>}, и конечное нечеткое множество
13, которое представляет "натуральное число, приближенно равное двум", и равно:
13 ={<1, 0.5>, <2,1.0>, <3,0.6>, <4,0.4>, <5,0.2>, <6, О>, <7, О>, <8, О>, <9, О>}.
Тоrда нечеткое множество С, как результат операции алrебраическоrо пересече
ния C=.1l e 13, будет равно: С={ <1,0.5>. <2, 1.0>, <3,0.54>, <4,0.32>, <5,0.12>,
<6, О>, <7, О>, <8, О>, <9, О>}.
Операцию алrебраическоrо пересечения двух бесконечных нечетких множеств,
заданных на одном и том же универсуме Х, можно проиллюстрировать rрафиче-
ски в декартовой системе координат на плоскости. В этом случае, как и выше,
результат операции алrебраическоrо пересечения двух бесконечных нечетких
множеств .1l и 13. заданных различными функциями принадлежности, изображен
затемненным II I рис. 3.7, а, б.
А л r е б р а и ч е с к о е о б ъ е Д и н е н и е. Алzебраическuм объединением (или
Шlzебраическuм суммой) двух нечетких множеств .1l и 13 называется нечеткое
множество 1], заданное на этом же универсуме Х, функция принадлежности KO
Toporo определяется по следующей формуле:
J-tv(Х)= J.t.9l(X)+J-tяз(Х) J-t.9l(х).J-tяз(Х)
(\fXEX),
(3.20)
[де справа от знака равенства использованы обычные арифметические опера
ции. Алrебраическое объединение двух нечетких множеств .1l и 13 обозначается
через 1]=.1l+13, rде 1]= {xlJ-tv(Х)} резулы:ат этой операции с функцией принаk
лежности J-tv(Х), которая определяется по формуле (3.20).
r лава З. Операции над нечеткими множествами
81
1J.3'I(x)
IJ.s(x)
,
0.8 ; -- t t t
I I I I I
I , I
0.6 t T
I , ,
0.4 .
0.2
I ' , ,
о
о 2 3 4 5 6
IJ.c(x)
7
8
9
10
а
1J.3'I(X)
IJ.s(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
IJ.c(x) б
Рис. 3.7. rрафическое представление операции алrебраическоrо
пересечения двух нечетких множеств .1{. , заданных линейными
Z образной и S образной функциями принадлежности (а)
и П образными (6) функциями принадлежносТИ
Для р ссматриваемоrо примера результат алrебраическоrо объединения двух
конечных нечетких множеств .9f и 13 будет равен: V=.9f+13={<I,I>,
<2,1>, <3, 0.96>, <4, 0.88>, <5,0.68>, <6,0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, O.l>}.
Операцию алrебраическоrо объединения двух бесконечных нечетких множеств,
заданных на одном и том же универсуме Х, можно про иллюстрировать rрафиче
СКИ в декартовой системе координат на плоскости. В этом случае, как и выше,
результат операции алrебраическоrо объединения двух бесконечных нечетких
Множеств .9f и 13, заданных различными функциями принадлежности. изображен
]атемненным на рис. 3.8.
Как можно убедиться, для операций алrебраическоrо пересечения и алrебраиче
CKoro объединения нечетких множеств имеют M CTO лишь некоторые из свойств,
аналоrичные свойствам обычных теоретико множественных операций.
82
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
1J.3'Itx)
IJ.s(x)
.
:i1
2
з
4 5
lJ.f)tx)
6
7
8
9 10
а
IJ.3r\tx)
IJ.s(x)
1,: : i:;4 "О,:"" 4" .'
0.8r ...:....: ..: '
0.6 .... B. :
0.4
0.2
О
О
,
, ,
T "Т .
,
T
. ,
2
з
456
lJ.f)t x )
7
9
10
8
6
Рис. 3.8. rрафическое представление операции алrебраическоrо
объединения двух нечетких множеств .1{+ , заданных линейными
Z.образной и S образной функциями принадлежности (а)
и П образными (6) функциями принадлежности
А именно, пусть .5Ч, 13 и С произвольные (конечные или бесконечные) нечеткие
множества, заданные на одном и том же универсуме Х, а операция нечеткоrо допол
нения определена по формуле (3.7). Torдa справедливы следующие утверждения.
(j Комму"юmивность операций алrебраическоrо объединения и пересечения
нечетких множеств:
.5Ч+13= 13+.5Ч; .5Ч-13= 13-.5Ч. (3.21)
(j Ассоциативность операций алrебраическоrо объединения и пересечения He
четких множеств:
.5Ч+(13+С) = (.5Ч+13)+с; .5Ч-(13-С)= (.5Ч-13)-с. (3.22)
(j Универсальные верхняя и нижняя 2раницы (единичные элементы) операций ал
rебраическоrо пересечения и объединения нечетких множеств:
.5Ч+0=.5Ч;
.5Ч-Х=.5Ч;
.5Ч+Х= Х;
.5Ч-0=0.
(3.23)
(3.24)
(лава 3. Операции над нечеткими множествами
83
о Законы д е Mopr aHa:
(..11 + Б ) = ..11 е Б ;
(..11 е 13) = ..11 + 13 .
(3.25)
Однако в общем СЛУLJае остальные свойства не выполняются.
О Дистрибутивность операций алrебраИLJескоrо объединения и пересеLJения
неLJетких множеств относительно друr друrа:
..1I+(БеС) =F (..1I+Б)е(..1I+С);
..1I е (Б+С) =F (..1I е Б)+(..1IеС).
(3.26)
о l1де1Ипотентность операций алrебраИLJескоrо объединения и пересеLJения He
Ilетких множеств:
..11 + ..11 =F s{;
..1IeS{ =F S{.
(3.27)
о ПО2лощение одноrо из неLJетких множеств при операциях алrебраИLJескоrо
объединения и пересеLJения:
..1I+(..1I е Б) =F ..11;
..1I е (S{+Б) =F..1I.
(3.28)
о Закон иСЮllOчеН11О20 третьею и закон тождества (свойства дополняемости
операций алrебраИLJескоrо пересечения и объединения):
s{ е ..11 =F 0;
S{+..1I=Fx.
(3.29)
(3.30)
Доказательство выполнения свойств непосредственно следует из определения
соответствуюших операций и может служить в KaLJeCTBe упражнения. При этом
следует помнить, LJTO доказательством невыполнения свойств (3.26) (3.30) MO
жет служить произвольный отрицательный пример.
Докажем, например, ассоциативность операции алrебраИLJескоrо объединения
нечетких множеств. Для этоrо рассмотрим три произвольных неLJетких множест
Ba:..1I, Б и С. Пусть для произвольноrо 'l7'XEX знаLJения функций принадлежности
,тих неLJетких множеств равны соответственно: а = J.!sч(х), Ь = J.!23(X), с = J..tc(x).
Тоrда по определению ..1I+(Б+С) результирующее знаLJение функции принадлеж
ноети будет равно: a+(b+c bc) a(b+c bc). Раскрывая скобки, полуLJИМ: a+b+c
bc ab ac+abc. Выполнив простейшие преобразования, можно ПОЛУLJИТЬ сле
дующий результат: a+b+c bc ab ac+abc=a+b ab+c bc ac+abc=(a+b ab )+c
c(a+b ab)=(a+b ab)+c (a+ b ab)c. Последнее выражение как раз и ознаLJает
(3НБ)+С, LJTO и доказывает свойство ассоциативности данной операции.
АналоrИLJНО можно доказать невыполнение свойства дистрибутивности опера
ций алrебраИLJескоrо объединения и пересеLJения неLJетких множеств относитель
НО друr друrа. Например, докажем, LJTO S{е(Б+С) =F (..1I е Б)+(..1IеС). В этом СЛУLJае
левая LJaCTb выражения с YLJeTOM введенных выше обознаLJений равна: a(b+c bc)=
=-ab+ac abc. Правая LJaCTb этоrо же выражения равна: ab+ac (ab)(ac)=ab+ac
a2bc. РаЗЛИLJие этих простейших выражений и доказывает данное неравенство.
84
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Примечание
Выполнение только части свойств, которые в совокупности определяют аксио
мы дистрибутивной решетки, позволяют утверждать, что нечеткая алrебраИЧEr
ская система: Z1=<3{, +,., , 0, Х> не будет являться ни булевой алrеброй, ни
алrе6раической решеткой.
r р а н и ч н о е пер е с е ч е н и е. rранuчное пересеченuе двух нечетких множеств
.7I и 13 определяется как нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме Х,
функция принадлежности Koтoporo определяется по следующей формуле:
fJc(X)= max{fJ.1I(x)+fJ X) I, О} (\fXEX), (3.31)
rде справа от знака равенства использованы обычные арифметические опера
ции. rраничное пересечение нечетких множеств обозначается через C=.7I013, rде
C={xlfJc(X)} результат данной операции, функция принадлежности fJc(X) KOTO
poro определяется по формуле (3.31).
.?I(x ) .I!I(x)
1
/.
0.8 . ,
.. , .
0.4
0.2
О
О 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ilc{x) а
1l&'l(X) Ils(x)
1 [ : : / ': : _'\ : ... /: \ : : j
0.8 ! r r / r r r t \ \ -1- н -1 в
0.6 -. -: - ! i - : - -: / - -: . -: - - \ :'
о 4 I ZJ \..
. : : : : J :":: : : \ :
I I I I I \ I
0.2 н н . . н . . : . \ : . - ..
: :: - : ,\:
l' 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c(x)
о
о
6
Рис. 3.9. rрафическое представление операции rраничноrо пересечения
двух нечетких множеств .1IOj8, заданных линейными Z образной
и S образной функциями принадлежности (а)
и п-образными (6) функциями принадлежности
rлава з. Операции над нечеткими множествами
85
Для рассматриваемоrо примера результат rраничноrо пересечения нечетких
множеств ..11 и 13 будет равен: C=.7I013={<I, 0.5>, <2,1>, <3, 0.5>, <4,0.2>,
<5, О>, <6, О>, <7, О>, <8, О>, <9, О>}.
Результат операции rраничноrо пересеLJения двух бесконеLJНЫХ неLJетких MHO
жеств .7I и 13, заданных различными функциями принадлежности, изображен за-
темненным на рис. 3.9, а, б.
r р а н и LJ Н О е о б ъ е Д и н е н и е. Fраllичное объединение двух неLJетких множеств
.(11 и 13 определяется как HeLJeTKOe множество Ю, заданное на этом же универсуме Х,
функция принадлежности KOToporo определяется по следующей формуле:
Pv(x)= min {P.91(X)+Jl23(X), I} (\;1' х ЕХ), (3.32)
[де справа от знака равенства использованы оБЫLJные арифмеТИLJеские опера
ции. rраничное объединение двух неLJетких множеств ..7{ и 13 обозначается LJерез
V=..1IEВ13, [де V={xIJlv(x)} результат этой операции с функцией принадлежно
сти JlV(X), которая определяется по формуле (3.32).
J.l (x)
J.lB(X)
0.6
0.2
2 3 4 5 6 7 8 9
J.lvt X )
а
J.l.fl(x) J.lB(x)
1 I
I .
i '
0.8 .... . .L..
0.6 . - --
I
04 H__ -
. I :
0.2 -.-- -
о I
о 2 3 4 5 6 7 8 9 10
J.lf)t x ) 6
Рис. 3.10. rрафическое представление операции rраничноrо объединения
двух нечетких множеств .9IEВ . заданнЫХ линейными Z-образной
и S-образной функциями принадлежности (а)
и П-образными (6) функциями принадлежности
86
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Для рассматриваемоrо примера результат rраничноrо объединения нечетких
множеств 31 и 13 будет равен: Ю=3IЕе13={<I, 1>, <2, 1>, <3,1>, <4, 1>, <5,0.8>,
<6,0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9, 0.1>}.
Результат операции rpаничноrо объединения двух бесконечных нечетких MHO
жеств 31 и 13, заданных различными функциями принадлежности, изображен ]a
темненным на рис. 3.10, а, б.
Д Р а с т и ч е с к о е пер е с е ч е н и е. Драстuческое пересеченuе (от анrл.
drastic решительный, радикальный) двух нечетких множеств 31 и 13 определя
ется как нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме Х, функция при
надлежности KOToporo определяется по следующей формуле:
{ JlfJ(X),
Jlc(X) = Jl. 1I (X),
о,
если Jl. 1I (х) == 1,
если Jlfj (х) == 1,
в остальных случаях.
(V ХЕХ).
(3.33)
1lS\(X)
IlB(X)
08
0.6
0.4
0.2
О
О
'\ /.
: : !. t \1: r !
t t /t\. t t
I I I I / . '\. I I I I
T \T :
I I I I I I t
I I I ., I _ I I
... ... .. : .. .::.;,; .. .. ..
I I I , I I I
I I I . I I
I I I '1 I
2
3
456
Ilc(x)
7
8
9 10
а
1lS\(X) Ils(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
I
, ,
, ,
li T
2
4
6
Ilc(X)
8
10
б
Рис. З.11. rрафическое представление операции драстическоrо пересечения
двух нечетких множеств ..9{ , заданных линейными Z образной
и S образной функциями принадлежносТИ (а)
и П образными (6) функциями принадлежности
r лава З. Операции над нечеткими множествами
87
Драстическое пересечение нечетких множеств обозна'шется 'Iерез С=:1lд!В, rде
C={xlJ..1c(x)} результат данной операции, функция принадлежности lc(X) KOTO
poro определяется по формуле (3.33).
Для рассматриваемоrо примера результат драСПl'lескоrо пересечения нечетких
множеств .1{ и!в будет равен: С=.71 r Б={ < 1,0.5>, <2, 1>, <3, О>, <4, О>, <5, О>,
<6, О>, <7, О>, <8, О>, <9, О>}.
Результат операции драстическоrо пересечения двух бесконечных нечетких MHO
жеств.7I и !8, заданных различными функциями принадлежности, изображен за
темненным на рис. 3.11, а, б.
Д р а с т и ч е с к о е о б ъ е Д и н е н и е. Драстическое объедuпеllllе двух нечетких
множеств .71 и Б определяется как He'leTKOe множество V, заданное на этом же
универсуме Х, функция принадлежности KOToporo определяется по следующей
формуле:
{ J.t:6 (х),
J.tv(x)= J.t:}!(x),
1,
если J.t.'l! (х) = О,
если J.t!i(x) = О,
в остальных случаях.
(\lXEX).
(3.34)
ДраСТИ'lеское объединение двух нечетких множеств .1{ и Б обозначается через
V=.7I'V'Б, rде V={xIJlv(x)} результат этоЙ операции с функцией принадлежно
сти JlV(X), которая определяется по формуле (3.34).
Для рассматриваемоrо примера результат драСТИ'lескоrо объединения нечетких
множеств:1l и Б будет равен: V=:1l'V'Б={<l, 1>, <2,1>, <3,1>, <4,1>, <5,1>,
<6,0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, O.I>}.
Результат операции драСТИ'lескоrо объединения двух бесконе'IНЫХ нечетких
множеств.9'I и Б, заданных различными функциями принадлежности, изображен
затемненным на рис. 3.12, а, б.
Примечание
Для рассмотренных операций над нечеткими множествами имеет место BЫ
полнение только части свойств, аналоrичных свойствам обычных теоретико
множественных операций. Поэтому соответствующие нечеткие алrебраические
системы не будут являться алrебраическими решетками. Доказательство этих
свойств оставляем заинтересованным читателям в качестве упражнения.
о пер а ц и я л. с у м м ы не'lетких множеств. Для полноты изложения следует
отметить еще операцию Л СУJW,Мbl для двух нечетких множеств. Эта операция для
lfе'lетких множеств .9'1 и Б обозначается 'Iерез V =.9'1 +лБ, [де V={xIJlv(x)}.
Функция принадлежности Jlv(x) результата этой операции определяется по
формуле:
Jlv(X)= Л'Jl.9l(х)+(I Л)'Jl (Х)
fде параметр ЛЕ [О, 1].
(\1 ХЕХ),
(3.35)
88 Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
11.1\(Х) 11.1!1(Х)
06
04
6
7
8
9
10
l1юt х )
а
11.1\(Х)
11.1!1 (х)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I1Dtx)
6
Рис. 3.12. rрафическое представление операции драстическоrо объединения
двух нечетких множеств 5ЧV2:/, заданных линейными Z образной
и S образной функциями принадлежности (а)
и П образными (6) функциями принадлежности
Это среднее между двумя функциями принадлежности с весами л и I л COOTBeT
ственно. При этом следует заметить, LJTO операция л суммы по своему определе
нию оказывается некорректной с ТОLJКИ зрения обычных множеств, поскольку
значения характеРl'lСТИLJеской функции ее результата применительно к оБЫLJНЫМ
множествам MorYT не принадлежать двухэлементному множеству {О, l}.
Однако все остальные альтернаПiВные операции над неLJеткими множествами,
кроме л суммы, являются корректными в том смысле, что они сохраняют свое
определение для СЛУLJая оБЫLJНЫХ множеств. При этом оказывается справедливой
следующая цепочка неравенств:
g ..7{ .9IO .91. .9IrШ .9I +A
.9Iu23 ..7{+ .9IED .9I'V Х.
(3.36)
Эти неравенства следует понимать в том смысле, что для произвольных нечетких
множеств.9I и результат более левой операцю'l всеrда будет являться нечетким
подмножеством результата более правой операции. rраницами этих неравенств
служат пустое множество 1'1 униве сум.
(лава З. Операции над нечеткими множествами
89
Чтобы убедиться в справедливости этих неравенств, следует обраПIТЬСЯ к более
общему подходу к определению операций с неLJеткими множествами, OCHOBaH
ному на так называемых нечетких операторах.
Нечеткие операторы
Введенные в рассмотрение неLJеткие теоретико множественные операции не ис
черпывают все возможные способы их задания, которые потенциально можно
предложить в контексте общей теории не'lетких множеств. Большой класс по
добных операций, ВКЛЮLJая и уже рассмотренные операции пересеLJения и объе
динения неLJетких множеств, допускает обобщенное представление Н,а основе так
называемых нечепuшх опеРШ1l0ров. Эти операторы действуют на множествах
знаLJений функций принадлежности (в нашем случае на Jштервалах [О, 1]) и
поэтому MorYT быть непосредственно применены к функциям принадлежности
произвольных нечетких множеств. Из мноrообразия нечетких операторов наи
больший интерес представляют треуrольные норма и конорма.
т р е у r о л ь Н а я н о р м а (T HopMa, t HopMa). Произвольная действительная
функция от 2 x переменных Т: [О, l]х[О. 1] [0, 1] называется 11lреУ20ЛЬНОЙ норлюЙ,
если она удовлетворяет следующим свойствам, называемым аксишzaлш тpe
У?().'1ЫЮй IlOP-,ИЫ:
Т(х, О) = о; Т(х, 1) = х
Т(х, у) = Т(у, х)
Т(х, Т(у, z» =Т(Т(х, у), z)
Т(х, у) :-:; T(ZI, Z2),
(оrрани уенность);
(ком мутативность);
(ассоциативность);
(монотонность),
(3.37)
(3.38)
(3.39)
(3.40)
ссли одновременно х :-:; ZI И у:-:; 22.
Аксиома оrраниченности обеспеLJивает выполнеШlе rраничных условий, KOTO
рые должны выполняться для всех операций пересеLJения не'lетких множеств,
включая и оБЫLJные множества. Аксиомы коммутативности и ассоциативности
обеспеLJИВaIОТ выполнение соответствующих свойств у всех операций пересече
/[ия HeyeTКl1X множеств. Аксиома монотонности rарантирует неизменность по
РЯдка величин знаLJений функций принадлежности от каких бы то ни было зна
чеШiЙ друrих функций принадлежности. ТИПИLJНОЙ треуrольной нормой является
операция л пересечения нечеТКliХ множеств.
Рассмотренные выше альтернативные операции пересеLJения HeLJeTКliX множеств,
которые определены по формулам (3.19), (3.31) и (3.33), также являются Tpe
уrольными HOpMaMJi. А именно, для алrебраическоrо пересечения двух нечетких
Множеств ..7l.SВ, rраШiLJноrо пересеLJения ..7l0SВ и драстическоrо пересечения ..7lil.fВ
выполняются ВСС аксиомы треуrольной нормы (3.37) (3.40), в уем можно убе
Диться нспосредственной проверкой.
т р е у r о л ь Н а я к о н о р м а (Т KOHopMa, s HopMa). Произвольная действи
тельная функция от 2 x переменных S : [О. l]х[О, 1] [0, 1] называется треУ20ЛЬНОй
90
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
КОIl0РМОй, если она удовлетворяет следующим свойствам, называемым аксuолшлш
треУ20ЛЫlOzJ конормы:
S(x,O)=x; S(x,I)=1
S(x, у) = S(y, х)
S(x, S(y, 2» = S(S(x, у),2)
S(x, )') S(21, 22),
(оrраЮiченность);
(коммутаТИВIЮСТЬ);
(ассоциативность);
(монотонность) ,
(3.4 1)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
если одновременно X 21 и у:-:;; 22.
Как можно Видеть, аксиоматика этих двух норм практически одинакова, кроме
первой аксиомы оrраниченности конормы. Эта аксиома обеспечивает выполне
ние rраничных условий, которые должны выполняться для всех операций объе
динения нечетких множеств, ВКЛЮLJая и оБЫLJные множества. Типичной Tpe
уrольной конормой является операЩiЯ Пlах объединения неLJетких МНОЖеств.
Альтернативные операции объединения нечетких множеств, которые определя
ются по формулам (3.20), (3.32) 1I (3.34), также являются треуrольными KOHopMa
ми. А именно, для алrебраическоrо объединения двух нечетких множеств ..7l+.fВ,
rpаничноrо объединения ..7lEE>.fВ н драстическоrо объединения ..7l'V'.fВ выполняются
все аксиомы треуrольной конормы (3.41 ) (3.44), в уем можно убедиться непо
средственной проверкой.
Поскольку областью определения и областью значений треуrольных норм и KO
норм является интервал [О, 1], то все рассмотренные ранее операции над нечеткими
множествами MorYT быть ПрОИЛЛЮстрИрОВaI-IЫ rрафически с использованием так
называемоrо TpexMepHoro единичноrо куба. ПрJi этом результатам операuий л
пересеLlения (а), алrеБРaliческоrо пересечения (6), rраничноrо пересечения (в) и
драстическоrо пересечения (2) нечетких множеств соответствует более темная об
ласть на rpафике (рис. 3.13). Аналоrично на рис. 3.14 представлены операции v
объединения (а), алrебраическоrо объединения (6), rраНИЧl-lоrо объединения (в) и
драстическоrо объединения (2) нечетких множеств в трехмерном пространстве.
xny
0.4
fl"
.... . ... "
08
о 6 .' ..
02
.....,wi .,"{j" .
о
о
о
0.5
05
х 1 1 У
а
Рис. 3.1 3. rрафическое представление операций /\ пересечения (а)
нечетких множеств в трехмерном пространстве
rлава 3. Операции над нечеткими множествами
91
х.у
........ '--
0.8 1'.:.....1.. '.".. ,.......!:.:.::: :.....:. ........ ..,......
. '0,-
0.6 .""'"
0.4 ........
,... ':..'
о
о
'" ::.- "'0
о
0.5
0.5
х 1 1 У
. ?y
6
08 [':'
.' . . :. '. .' -
.' .:.-
. '" : . . . -
,О'. .
. ..... ..,-
/t", +, .
0.6 ......,
0.4 .....
-,
о
о
'. .
,.. , .......;
о
0.5
0.5
х
1 1 У
Х.6.У
В
.......
0.0'_
...:.:::-.......
.....::::....
...... .
0.8 ......
0.6 .........
0.4 .
.......
.........
0.2
о
о
'Т'?",
. .{
'0
05
1, 7'>
х
Jf.". .t, .
1 У
05
r
Рис. 3.13. rрафическое представление алrебраическоrо пересечения (6),
rраничноrо пересечения (В) и драстическоrо пересечения (r)
нечетких множеств в трехмерном пространстве
92
Часть 1. ОСНОВЫ теории нечетких множеств и нечеткой лотки
XuY
....;. .
,.,
,'/.,-
. '=. ', "
0.4
. ; ...
J /
О ') ..
.'
о
о
'0
05
Х 1 1 У
0.5
а
Х+У
.-."."; -".
о
о
........:
о 8 .'
0.6
0.4 ......
........:
0.2
о
Х
6
Х$У
. '," ....
........
.:........
0.2
08
0.6
о 4 .....
о
о
х
1 У
в
Рис. 3.14. rрафическое представление операций v объединения (а),
алrебраическоrо объединения (6), rраничноrо объединения (в)
нечетких множеств в трехмерном пространстве
rлава 3. Операции над нечеткими множествами
93
xvy
<*' '..
о 8 ..'
. ..
0.6 ......
0.4 ........
о
о
х
0.2
r
Рис. 3.14. rрафическое представление драстическоrо объединения (r)
нечетких множеств В трехмерном пространстве
3.4. Некоторые дополнитеЛЬНblе
операции над нечеткими множествами
Среди дополнительных операций, которые находят применение при построении
нсчетких моделей сложных систем, следует отметить унарные операции умноже
ния нечеткоrо множества на число и возведение нечеткоrо множества в степень.
у 1\1 Н О Ж е н и е н е ч е т к о r о м н о ж е с т в а н а ч и с л о. Пусть
Я={х. .9I(x)} произвольное нечеткое множество, заданное на универсуме X
n положительное действительное число (а EIR+), такое, что a.h.91 1 (напомним,
что h:ll высота нечеткоrо множества .1l). Результат операции УJ'vtножения He
четКО20 J"vtножества.1l на число а определяется как нечеткое множество ={x. J.t23
(х)} , заданное на этом же универсуме Х, функция принадлежности KOToporo оп
ределяется по формуле:
J.l23(X)= a.J.l.9l(x) ('dXEX).
(3.45)
Эту операцию в дальнейшем будем обозначать через a..1l.
Например, для конечноrо нечеткоrо множества .1l= {< 1, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>,
<4,0.8>, <5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9,0.1>} и числа а=0.7 нечеткое
Множество a..1l равно: a..1l ={<1, 0.7>, <2,0.7>, <3, 0.63>, <4,0.56>, <5,0.42>,
<6,0.35>, <7, 0.28>, <8,0.14>, <9, 0.07>}.
В о з в е Д е н и е в с т е п е н ь. Пусть .1l={x, J.t.1!(x)} произвольное нечеткое
множество, заданное на универсуме Х; k положительное действительное число
(п ER+). В этом случае чисто формально можно определить операцию возведеllИЯ
94
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
нечеткOf'О множества .я в степень k как нечеткое множество 2З={х, j..!23(X)} , задан
ное на этом же универсуме Х, функция принадлежности KOToporo определяется
по формуле:
j..!23(X) = j..!.1I(X)k (VXEX).
(3.46)
Эту операцию иноrда обозначают через .я А . Например, для конечноrо нечеткоrо
множества.я={<I, 1.0>, <2, 1.0>,<3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>,
<8,0.2>, <9,O.I>} и числа а=3 нечеткое множество 313 равно: 313 ={<I, 1.0>,
<2,1.0>,<3,0.729>, <4,0.512>, <5,0.216>, <6,0.125>, <7,0.064>, <8,0.008>,
<9,0.OOI>}.
Операции умножения бесконечноrо нечеткоrо множества на число и возведения
бесконечноrо нечеткоrо множества в степень MorYT быть проиллюстрированы
rрафически следующим образом (рис. 3.15).
1-l2J'1(Х) I-l (x)
0 8
r
:. ./ :
T '
0 6
0.4
02
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9
10
а
I-lJ'l0 25(х)
I-lJ'lЗ(Х) L..I'I(X)
0 6
0.4
08
02
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9
10
6
Рис. 3.15. rрафическое представление операций умножения нечеТКОrО
множества:7l на число 2 (а) и возведения нечеткоrо множества :7l
в степени 0.25 и 3 (6) ДЛЯ п образны)( функций принадлежности,
первая из которых не является нормальной
rлава 3. Операции над нечеткими множествами
95
На основе операции возведения в степень определяются две специальные опера
цни над нечеткими множествами: операция концентрирования и операция pac
тяжения нечеткоrо множества.
К о н Ц е н т р и р о в а н и е. Пусть на универсуме Х задано произвольное нечет
кое множество ..1'l={x, /l.1l(x)}. Операция концентрирования, обозначаемая через
CON(..1'l), дает в результате нечеткое множество С={х, f.lc(x)}, функция принад
леЖНОСТИ KOToporo равна значениям функции принадлежности исходноrо нечет
Koro множества, возведенным в квадрат, т. е.
fJc(x) = /l.1l(X)2 (\1' ХЕ...\). (3.47)
Очевидно, в этом случае CON(..1'l)=..1'l2. Например, для конечноrо нечеткоrо MHO
жества ..1'l={<I, 1.0>, <2,1.0>, <3, 0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6, 0.5>, <7,0.4>,
<8,0.2>, <9,0.1>} ero концентрирование равно: CON(..1'l)=..1'l2 ={<I,I.O>,
<2, 1.0>, <3, 0.81>, <4, 0.64>, <5, 0.36>, <6, 0.25>, <7, 0.16>, <8, 0.04>,
<9,0.01>}.
р а с т я ж е н и е. Операция растяжения, обозначаемая через DIL(..1'l), дает в pe
зультате нечеткое множество V={x, Lv(X)}, функция принадлежности KOToporo
равна значениям функции принадлежности ИСХОДНоrо нечеткоrо множества,
возведенным в степень 0.5, т. е.
1123(X) = 11.11(x)0.5 (\1'ХЕХ). (3.48)
Очевидно, в этом случае СОN(.5Ч)=..1'lo.5. Например, для конечноrо нечеткоrо
множества ..1'l={<I, 1.0>, <2, 1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>,
<8,0.2>, <9,0.1>} ero растяжение равно: DIL(..1'l)=..1'lo.5= {< 1, 1.0>, <2, 1.0>, <3,0.949>,
<4,0.894>, <5,0.775>, <6,0.707>, <7, 0.632>, <8,0.447>, <9, 0.316>}.
Операции концентрирования и растяжения нечеткоrо множества MorYT быть
про иллюстрированы rрафически (см. рис. 3.16). Результатам этих операций co
ответствует более темная область на rрафике.
/J.CON(.5'I/X) /J.$!(X)
: : : } ;_ .. _; Ш ::, _ : : :
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
2
з
4
5
6
7
8
9
10
а
Рис. 3.16. rрафическое представление операций концентрирования
нечеткоrо множества (а) для П образных функций принадлежности
96
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
I-lDЩ.9!)(т.) 1-l.s<!(Х)
0.8
,
, ,
.... ..r.. ....T ....
I ,
, I
, I
....L........L.
, I
I
,
,
..............j.......
,
.. r
,
0.6
0.4
0.2
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9
10 6
Рис. 3.16. rрафическое представление операций
растяжения нечеткоrо множества (6)
ДЛЯ П образных функций принадлежности
...... Примечание
Применение операции концентрирования к нечеткому множеству означает
уменьшение нечеткости или неопределенности в задании этоro множества. За
частую это может быть следствием поступления дополнительной информации,
которая уточняет некоторые аспекты соответствующей предметной области.
Напротив, применение операции растяжения означает усиление неопределен
ности в задании нечеткоrо множества, что может быть следствием либо потери
части информации. либо поступления информации о дополнительных факто
рах, не учитываемых в исходной нечеткой модели. Эти операции находят при
менение при оперировании линrвистическими переменными, которые paCCMaT
риваются далее в zлаве 5.
Обобщением операции л су_иJtbl двух нечетких множеств является операция
определения выпуклой комбинации ПРОИЗНОJlыюrо конечноrо числа нечетких
множеств. Пусть ..1'l1, ..1'l2,..., ..1'ln нечеткие множества, заданные на универсу
ме Х, а 1-1, 1-2,..., 1-" неотрицательные действительные числа, сумма которых
равна 1.
В ы п у к л а я к о м б и н а Ц и я н е ') е т к и х м н о ж е с 1 в. выlуклоil КШI'tби
нацией нечетких множеств ..1'l1, ..1'l2,..., ..1'ln называется нечеткое множество
v= {xIJ.l1)(X)}, функция принадлежности K()TOpOrO определяется по формуле:
J.l1)(X)= I-I'J.l.1lI(х)+1-2. t l/2(Х)+... +1-,,'J.l.1ln(Х) (Vx Е...\:), (3.49)
при этом параметры I-;Е[О, 1] для всех iE{l, 2,..., 1l} И 1-1+1-2+...+l- n =l.
Д и з ъ ю н к т и в н а я с у м м а. В завершение рассмотрения операций с нечет
кими множествами определим так называемую дизыolю1ш6н)'/о "У_Н.НУ двух He
четких множеств .9{ и 13, которая хотя и редко, но все же используется в практике
нечеткоrо моделирования. Результатом этой операции называется некоторое
rлава 3. Операции над нечеткими множествами
97
третье нечеткое множество '1J, заданное на этом же универсуме Х, функция при
надлежности KOToporo определяется по следующей формуле:
:D(X)= max{min{ .9!(x), 1 2З(Х)}, min{l .1I(x), 2З(Х)}}
(3.50)
для любоrо ХЕХ, rде операции mахО и minO справа от знака равенства выпол
няются над парами соответствующих значений функций принадлежности исход
ных нечетких множеств .я и 13. Эквивалентная запись для определения операции
дизъюнктивной суммы: '1J =(31 n 13)u(.я n 13).
Для конечноrо нечеткоrо множества .я={<I, 1.0>. <2,1.0>, <3.0.9>, <4,0.8>.
<5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9,O.I>} и нечеткоrо множества: 13={<1,0.5>,
<2,1.0>, <3, 0.6>, <4,0.4>, <5,0.2>, <6, О>, <7, O . <8, О>, <9, О>}, результат их
дизъюнктивной суммы будет равен: '1J=(.яn13)u( .яn13)={<I, 0.5>. <2, О>, <3,0.4>,
<4,0.6>, <5,0.6>, <6,0.5>, <7,0.4>, <8, 0.2>, <9, O.I>}.
.>'\(x)
E(X)
2
з 4
Lv(X)
5
6
7
8
9 10
а
(J..s'!(X)
(J.s(x)
0.8
0.6
04
0.2
О
О
I
,
, . ,
., ,
I ,
I ,
..J .J
, I
, ,
, ,
I
2
з 4 5
(J.ю(Х)
6
7
8
9 10
б
Рис. 3.17. rрафическое представление операции дизъюнктивной суммы
двух нечетких множеств 31 и 13, заданных линейными Z образной
и S образной функциями принадлежности (а)
и п образными (6) функциями принадлежности
98
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Операция дизъюнктивной суммы двух бесконечных нечетких множеств .я и 13,
заданных на одном и том же универсуме Х различными функциями принадлеж
ности, может быть про иллюстрирована rрафически (рис. 3.17). При этом резуль
тату операции дизъюнктивной суммы нечетких множеств соответствует более
темная область на rрафике.
В завершение этой rлавы следует отметить то обстоятельство, что все введенные
в рассмотрение операции над нечеткими множествами образуют необходимый
концептуальный базис, который будет использоваться на всем протяжении кни
rи. При этом в процессе решения конкретных задач нечеткоrо моделирования
будут отмечены дополнительные семантические особенности нечетких теорети
ко множественных операций в том или ином контексте.
rлава 4
t -:. - ---
!' . . :fl . J"1 . JXZ .. l. . . - ......
И : I..IJ ,& '::' ' ;
I .: 'r.i1
. . ."
. .
. - .
Нечеткие отношения
Понятие нечеткоrо отношения наряду с понятием caMoro нечеткоrо множества
следует отнести к фундаментальным основам всей теории нечетких множеств. На
основе нечетких отношений определяется целый ряд дополнительных понятий,
используемых для построения нечетких моделей сложных систем. Нечеткое OT
ношение обобщает понятие обычноrо отношения и часто заменяется '.ерминами
нечеткая связь, ассоциация, взаимосвязь или соотношение.
4.1. Нечеткое отношение
и способы ero задания
Содержательно нечеткое отношение определяется как любое нечеткое подмно
жество упорядоченных кортежей, построенных из 'Элементов тех или иных ба
ll1СНЫХ множеств, в качестве которых в данном <случае используются универсу
МЫ. При этом под корте.же-м, так же как и в случае обычных множеств,
понимается произвольный набор или список упорядоченных элементов.
Н е ч е т к о е о т н о ш е н и е. В общем случае llечетки« 01111-lOше1lием или, более
точно, нечетКШl k ар1-llJlМ отношением, заданным на множествах (универсумах)
.\'1, Х2,..., X k , называется некоторое фиксированное нечеткое подмножество дe
картова про изведен ия этих универсумов. Друrими словами, если обозначить
произвольное нечеткое отношение через Q, то по определению
Q={<XI, Х2,. .., X k >, f.lQ«XI, Х2,..., Х/(»} , rде f.lQ«XI, Х2,..., X » функция при
НRдлежности данноrо нечеткоrо отношения, которая определяется как отобра
iКеНИе J..1Q: XIXX2X...XX/( [O, 1]. Здесь через <XI, Х2,..., X k > обозначен кортеж из
k 'Элементов, каждый из которых выбирается из cBoero универсума:
XIEXI,X2EX2,...,X k EX k (см. Приложение 1).
Так же как и в случае обычных множеств с целью характерюовать количество
универсальных множеств, на основе которых строится то или иное нечеткое OT
ношение, принято называть нечеткое отношение между элементами из двух уни
Версальных множеств 6u1-lар1-/ы.t,' между элементами трех множеств тep1-/ap
"ЫМ, а в общем случае k Qр1-lы.M отношением. При этом на форму и вид
Функции принадлежности нечеткоrо отношения предварительно не накладыва
ется никаких оrраничений.
100
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Примечание
Следует отметить, что существуют и друrие способы определения нечетких OT
ношений. Так, например, можно предварительно задать нечеткие базисные
множества Я1, '7i2,..., Яk И определить нечеткое декартово произведение этих
нечетких множеств в форме: 1'=.:7l1ХЯ2Х...ХЯk, rAe J..tP«X1, Х2,..., Xk»=
=min{J..t:lJ1(X'), J..t.'lJ2(X2) , ..., J..t:lIk(Xk)} и Х1 E,'7i" X2E,'7i2...., XkE,'f!k. После чеro опреде
лить нечеткое отношение Q как некоторое нечеткое подмножество этоrо He
четкоrо декартова произведения. Поскольку этот способ основан на исполь
зова нии так называемоrо принципа обобщения, он будет рассмотрен ниже в
этой rлаве.
п у с т о е н е ч е т к о е о т н о ш е н и е. В теории нечетких отношений пустое
нечеткое отношение определяется как отношение, которое не содержит ни OДHO
ro кортежа. Это отношение по прежнему обозначается через 0 и формально оп
ределяется как такое нечеткое отношение, функция принадлежности KOToporo
тождественно равна О на всем декартовом про изведении ero универсумов. Из
этоrо определения также следует, что пустое нечеткое отношение совпадает с
обычным пустым отношением.
П о л н о е н е ч е т к о е о т н о ш е н и е. Что касается друrоrо крайнеrо
случая, то так называемое поЛ/юс нечеткое 01111юшсuuе по своей сути совпадает
с обычным полным отношением, которое. в свою очередь, равно по определе
нию декартову произведению соответствующих универсумов ХI ХХ2Х... xX k .
Как ero обозначать , из соображений удобства можно просто через Х. Важно
представлять себе, что функция принадлежности полноrо нечеткоrо отноше
ния тождественно равна единице для всех без исключения кортежей, т. е.
X«XI, Х2,..., x/;»=I.
Особое значение в нечетком моделировании имеют бинарные нечеткие отноше
ния, для задания которых используется одно или разные базисные множества
(универсумы). В связи с этим приведем их формальное определение.
Е и н а р н о е н е ч е т к о е о т н о ш е н и С. В общем случае 6ШЮр1fое нечеткое
отношение задается на базисных множествах XI, Х2 и определяется как нечеткое
отношение Q={<x j , X j >, Q«X" х:,»}. Здесь LQ«X" лj» функция I1рИllадлежно
сти бинарноrо нечеткоrо отношения, которая определяется как отображение
J.lQ: XIXX2 [O, 1], а через <Xj,X j > обозначен кортеж из двух элементов, при этом
Х;ЕХI И Х,ЕХ2.
О б р а т н о е н е ч е т к о е о т н о ш е н и е. Применительно к бинарным He
четким отношениям определяется так называемое 06ртшюе нечеткое отношение.
А именно, если задано бинарное нечеткое отношение Q на декартовом произве
дении XIXX2, то обратным к нему нечетким отношением (обозначается [Iерез Q I)
называется такое бинарное нечеткое отношение, которое заданио на декартовом
произведении X2XXI, а функция принадлежности KOToporo определяется по сле
дующей формуле:
JlQ I(X"XJ):::::JlQ(Xj'X;) для любых Х;ЕХ2 и XjEXI. (4.1)
(лава 4. Нечеткие отношения
101
Б и н а р н о е н е ч е т к о е о т н о ш е н и е, з а д а н н о е н а о д н о м у н и
в е р с у м е. Бuнарное нечеткое отношенuе, задаmюе на одно.\'! баЗllCfЮ.м ножеСl1ше
(универсуме) Х, определяется как нечеткое отношение а={ <X j , х,>, j.1Q«X j , X j »} , rде
LQ«Xj, Х;» функция принадлежности бинарноrо нечеткоrо отношения, KOTO
рая определяется как отображение IlQ: ХхХ [O, 1]. Здесь через <X j , Х;> обозначен
кортеж из двух элементов, при 'Этом как XjEX, так и Х;ЕХ.
Способы задания нечетких отношений
Существуют различные способы, которыми в общем случае MorYT быть фор
мально заданы те или иные нечеткие отношения. Наибольшее распространение
из них получили следующие:
CI В форме списка с явным перечисление-м всех кортежей нечеткоrо отношения и
соответствующих им значений функции принадлежности: Q ={(H'I, IlQ(WI»,
Н'2, (W2»,..., (W q , (Wq»}, rде H'i i й кортеж <XI, Х2,..., х,,> элементов этоrо
отношения, а q рассматриваемое число кортежей нечеткоrо отношения а.
При этом для сокращения подобной записи кортежи с ну:Левыми значениями
функции принадлежности не указываются в данном списке. Как нетрудно за
метить, этот способ подходит только для задания нечетких отношений с KO
нечным и небольшим числом кортежей q.
О Аналитически в форме HeKoToporo математическоrо выражения для COOTBeT
ствующей функции принадлежности этоrо нечеткоrо отношения. Этот способ
может быть использован для задания произвольных нечетких отношений как
с конечным, так и с бесконечным числом кортежей. В этом случае нечеткое
отношение записывается в виде: Q ={ <Х" Х2,..., х,,>, j.1Q«XI, Х2,..., Х/(»} или
сокращенно: Q ={w, (w}}, понимая под Н' общее обозначение кортежа длины
k. Если в качестве универсумов используются числовые множества, то в этом
случае удобно представить функцию принадлежности аналитически в
форме некоторой функцииf(ХI, Х2,..., х,) от k переменных, которая конкрети
зирует отображение.f(х) : Х,ХХ2Х...хХ" [O, 1]. Некоторые примеры использо
вания этоrо способа задания нечетких отношений будут рассмотрены ниже в
Этой rлаве.
В дополнение к этим способам бинарные нечеткие отношения также MorYT быть
заданы следующим образом.
О rрафически в форме некоторой поверхности или совокупности отдельных
точек в трехмерном пространстве. При этом две координаты (независимые
переменные) будут соответствовать значениям универсумов ХI и Х2, а третья
координата интервалу [О, 1]. Например, rрафик математической функции:
Z=X2+y2 для Х, YE[ O.5, 0.5] может служить примером rрафическоrо способа
формальноrо задания HeKoToporo HeLleTKoro отношения. Здесь функция Z яв
ляется представлением функции принадлежности соответствующеrо нечетко
ro отношения. Этот способ зачастую используется в дополнение к аналитиче
102
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
скому для визуализации бинарных нечетких отношений с бесконечным чис-
лом кортежей.
CI В форме Аштрицы нечеткоrо отношения. Этот способ основан на представле
нии нечеткоrо бинарноrо отношения с конечным числом кортежей в форме
матрицы MQ, строки которой соответствуют первым элементам кортежей, а
столбцы вторым элементам кортежей рассматриваемоrо нечеткоrо OTHO
шения. При этом элементами матрицы являются соответствующие значения
функции принадлежности данноrо отношения. Если бинарное нечеткое
отношение задается на одном универсуме, то матрица TaKoro отношения
является квадратной. Определенную таким образом матрицу называют мат-
рицей бинарноzо нечеткоzо отношения и обозначают M Q . В этом контексте
табличный способ может рассматриваться как разновидность матричноrо,
поскольку конечная матрица всеrда может быть представлена в форме табли
цы. В случае счетноrо универсума можно использовать бесконечные матри-
цы, однако эти математические конструкции лежат за пределами тематики
книrи.
CI В форме так называемоrо нечетКО20 2рафа, который формально может быть
задан в виде двух обычных конечных множеств и некоторой функции при
надлежности. А именно, нечеткий zраф, а точнее, ориентированный нечеткий
zраф, есть g=(V, Е, g), rде V={Vl, V2,..., 1'n} множество вершин нечеткоrо
rрафа, E={el, е2,..., е,,,} множество дуr нечеткоrо rрафа, Jlg функция при
надлежности дуr данному нечеткому rрафу, т. е. Jlg: E [O, 1]. При этом Bep
шины нечеткоrо rpафа, как и в случае обычных rрафов, изображаются точ
ками, дуrи отрезками прямых линий со стрелкой на одном из концов.
Рядом с вершинами записываются условные обозначения соответствующих
вершин, а рядом с каждой дуrой значение функции принадлежности для
соответствующей дуrи. Натуральное число II определяет общее количество
вершин KOHKpeTHoro нечеткоrо rрафа, а натуральное число т общее коли
чество дуr нечеткоrо rрафа. При этом дуrи с нулевой функцией принадлежно-
сти внечетком rpафе обычно не изображаются.
Как нетрудно заметить, каждому ориентированному нечеткому rрафу g co
ответствует некоторое бинарное нечеткое отношение Qg, состоящее из всех
пар вида <V;, 1';>, rде V;, V;E V. При этом для каждой пары <V;, V j > определено
некоторое действительное число из интервала [О, 1], которое равно значению
функции принадлежности g(e,J для дуrи е"ЕЕ, которая соответствует этой
паре вершин. И обратно, если вершины 1'; и vjсоединяются внечетком rpафе g
некоторой дуrой ekEE со значением функции принадлежности f.!g(e,,) и на-
правленной из вершины V; в вершину 1';, то тем самым задается некоторое би-
нарное нечеткое отношение Qg. При задании нечеткоrо отношения Q с помо-
щью ориентированноrо нечеткоrо rpафа g каждому элементу универсума
Х,ЕХ будет соответствовать отдельная вершина V;Eg этоrо нечеткоrо rрафа, а
каждому кортежу нечеткоrо отношения <Х;, Xj>EQ будет соответствовать дy
ra rрафа e,,=<v;, V j > с началом в вершине V;, концом в вершине V; и значением
функции принадлежности «Xi' хр).
(лава 4. Нечеткие отношения
103
Как и в случае обычных rрафов, можно определить различные типы нечетких
f'рафов. Кроме рассмотренных выше ориентированных нечетких rрафов, можно
ввесТИ в рассмотрение HeopиeHтиp06тJНыe нечеткие rрафы, т. е. такие rрафы, у
которых соединяющие вершины ребра не имеют направления или ориентации.
Неориентированные нечеТКие rрафы также удобно считать частным случаем
ориентированных, у которых каждая дуrа одновременно имеет дуrу противопо
ложной ориентации. В слу'.ае счетноrо универсума можно использовать беско-
нечные rрафы, т. е. rрафы с бесконечным числом вершин. Бесконечные rрафы,
хотя и рассматриваются в современной теории rрафов, но выходят за рамки Te
маТИКИ настоящей книrи. Именно поэтому мы будем использовать нечеткие
rрафы для задания бинарных нечетких отношений только в случае их конечноrо
универсума.
Примечание )
При рассмотрении обычных отношений иноrда отмечают способ их задания на
основе явноro указания HeKoToporo свойства, которым должны обладать все
элементы данноro отношения. Применительно к нечетким отношениям этот спо
соб во MHoroM аналоrичен описанным выше, поскольку в этом случае необходимо
ввести в рассмотрение некоторое характеристическое свойство, KOTOpo может
быть записано в виде мноаоместноао нечеткоао предиката Р«Х1, Х2,..., Xk».
Данный нечеткий предикат Р«Х1. Х2,.... Xk» определяется на декартовом произве
дении универсумов Х 1 , Х 2 ...., Xk И может принимать значения истинности из HeKO
Toporo вполне упорядоченноro множества, в частности. из интервала [О, 1]. При
ЭТОМ в отличие от случая обычных множеств возникает проблема задания caMOro
нечеткоro предиката или ero функции принадлежности (см. приложение 2). Тем
не менее, принято считать, что в общем случае нечеткое отношение Q может
быть таюке задано с помощью нечеткоro предиката следующим образом:
Q={<X1. Х2,.." xk>IPQ«X1, X2....,Xk», Х1ЕХ1, Х2ЕХ2,..., XkEXk}.
в зависимости от количества кортежей нечеткое отношение может быть конеч
ным или бесконечным. Нечеткое отношение называется конечным, если ero носи
тель является конечным отношением. При этом вполне уместно rоворить, что
такое нечеткое отношение имеет конечную мощность, которая 'шсленно равна
количеству кортежей ero носителя, рассматриваемоrо как обычное множество
(с.н. прuложенuе 1). в этом случае для обозначения мощности произвольноrо
нечеткоrо отношения Q можно использовать общепринятое обозначение card(Q).
Аналоrично счетным нечетким отношением будем называть нечеткое отношение
со счетным носителем, т. е. носитель KOToporo имеет счетную мощность I\ J в
обычном смысле. Несчеl1l1lЫМ нечетким отношением называется нечеткое OTHO
wеНие с несчетным носителем, т. е. носитель KOToporo имеет несчетную мощ
НОсть или мощность континуума с (или N) в обычном смысле.
Для иллюстрации описанных способов задания отношений рассмотрим следую
щие примеры конкретных нечетких отношений.
При м е р 4.1. В качестве первоrо примера рассмотрим конечное бинарное нечет
кое Отношение QI, заданное на одном универсуме Х, в качестве KOToporo возьмем
ПОДмножество первых 10 натуральных чисел: X={I, 2, 3. 4, 5, 6,7, 8, 9,10}.
104
Часть 1. Основы теории нечетКИХ множеств инечеткой лоrики
Пусть отношение 01 ОПИСblвает свойство: "натУрllЛЫlOе число Х ; приближеllНО
равно HтllypalJЬHo.MY числу х/'.
Конкретное бинарное нечеткое отношение ОI может быть задано в форме списка
следующим образом: 01 ={«1, 1>, 1.0), «1. 2>, 0.8), «1,3>,0.5), «1,4>,0.2),
«2, 1>,0.8), «2,2>, 1), «2,3>,0.8), «2,4>,0.5), «2,5>,0.2), «3, 1>,0.5),
«3,2>,0.8), «3,3>,1), «3,4>,0.8), «3,5>,0.5), «3,6>,0.2), «4,1>,0.2),
«4,2>,0.5), «4,3>,0.8), «4,4>,1), «4,5>,0.8), «4,6>,0.5), «4,7>,0.2),
«5,2>,0.2), «5,3>,0.5), «5,4>,0.8), «5,5>,1), «5,6>,0.8), «5,7>,0.5),
«5,8>,0.2), «6,3>,0.2), «6,4>,0.5), «6,5>,0.8), «6,6>,1), «6, 7>, 0.8),
«6,8>,0.5), «6,9>,0.2), «7,4>,0.2), «7,5>,0.5), «7,6>,0.8), «7, 7>,1),
«7,8>,0.8), «7,9>,0.5), «7,10>,0.2), «8,5>,0.2), «Х, 6>, 0.5), «8,7>,0.8),
«8,8>, 1), «8,9>,0.8), «8,10>,0.5), «9,6>,0.2), «9,7>,0.5), «9,8>,0.8),
«9,9>,1), «9,10>,0.8), «10,7>,0.2), «10, 8>, 0.5), «10, 9>, 0.8), «10, 10>, 1)}.
В этом списке отсутствуют кортежи с нулевым значением функции принадлеж
ности.
Это же бинарное нечеткое отношение может быть задано матрицей MQI:
1 0.8 0.5 0.2 О О О О О О
0.8 1 0.8 0.5 0.2 О О О О О
0.5 0.8 1 0.8 0.5 0.2 О О О О
0.2 0.5 0.8 1 0.8 0.5 0.2 О О О
О 0.2 0.5 0.8 1 0.8 0.5 0.2 О О
MQI= О О 0.2 0.5 0.8 1 0.8 0.5 0.2 О
О О О 0.2 0.5 0.8 ] 0.8 0.5 0.2
О О О О 0.2 0.5 0.8 1 0.8 0.5
l О о о о 0.2 0.5 0.8 1 0.8
О О О О О 0.2 0.5 0.8 1
Данное нечеткое отношение можно также представить rрафически в форме co
вокупности точек в трехмерном пространстве и в форме нечеткоrо rрафа. OДHa
ко эти представления не совсем удобны для визуализации рассматриваемоrо He
четкоrо отношения и поэтому здесь не приводятся.
При м ер 4.2. В KaLleCTBe бесконечноrо бинарноrо нечеткоrо отношения pac
смотрим нечеткое отношение й2, которое задается на одном универсуме Х
множестве неотрицательных действительных чисел IR+. Содержательно отноше
ние 02 ОПИСblвает свойство: "действительное число Х ; mllчuтелыlO больше деЙст
витеЛЫlO20 числа Х/,. ЭТО HeLleTKoe отношение удобно задаТЬ аналитически, на-
пример, в виде следующей функции принадлежности:
f.lQ2( <X j , X j » = О для xj:S X j
и 1 (4.2)
f.lQ2«X j , Х/» =1 для X j > x j (\ix j , x j EIR+).
Xj XJ
rлава 4. Нечеткие отношения
105
Фраrмент данноrо нечеткоrо отношения может ()ыть изображен в форме rрафи
ка этой функции в трехмерном пространстве (рис. 4.1).
о
о
Q «X;. X 1 »
0.5
о
20
40
60
;..
Х;
80
Рис. 4.1. rрафическое представление нечеткоrо отношения Q2
в форме rрафика ero функции принадлежности
Очевидно, данное бесконечное нечеткое отношение нельзя представить в мат-
ричной форме и в форме нечеткоrо rрафа.
При м ер 4.3. Предположим, необходимо построить нечеткое отношение, кото-
рое содержательно описывает упрощенную ситуацию поиска неисправности в
автомобиле. С этой целью в качестве nepBoro универсума рассмотрим множество
предпосылок или причин неисправности X={XI, Х2, Х3, Х4}, в котором ХI
"неисправность акку.мулятора", Х2 "неисправность карбюратора", Хз "низкое
КQtlество бензшю", Х4 "неисправность систе.МЫ ЗО:JICUiЮ1fUЯ". В качестве BToporo
универсума раССМОТРИМ множество заключений или IlроявлениЙ неисправности
У={УI,У2,УЗ}, rде )11 "двuzатель не запускается", Y2 "двиZОl1lель работает
1iеустоЙчиво", уз "двuzатель не развивает 1l0ЛНОй Jl,IOU/IIOСПШ". При этом между
каждым элементом множества предпосылок и каждым элементом множества
следствий существует некоторая причинная взаимосвязь.
Особенность построения нечеткой модели для описываемой ситуации заключа
ется в том, что рассматриваемая ПРИЧИl1ная взаимосвязь не является однознач-
ной. Более Toro, исходя из субъективноrо опыта KOHKpeTHoro механика. марки
автомобиля, условий ero эксплуатации и учета друrих факторов эта причинная
взаимосвязь наиболее адекватно может быть представлена в виде бинарноrо He
четкоrо отношения P={<X;,Yj>, Jl1'«X;,Yj»} , заданноrо на базисных множествах
Х и У. В этом случае функция принадлежности l'1'«X,,)j» этоrо бинарноrо He
четкоrо отношения количественно описывает степень уверенности в том, что та
или иная причина неисправности может привести к тому ИЛИ иному следствию.
106
Часть 1. ОсновЬ! теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Применительно к нашему примеру конкретное нечеткое отношение Р может
быть записано в форме списка следующим образом: P={«XI,YI>, 1), «XI,Y2>,
0.1), «ХI,уз>, 0.2), «X2,YJ>, 0.8), «Х2,У2>, 0.9), «Х2, уз>. 1). «хз,УI>, 0.7),
«Х3, )12>,0.8), «Хз, У3>, 0.5), «Х4, YJ>, 1), «Х4, )'2>,0.5), «Х4, уз>, 0.2)}.
ПОСКОЛЬКУ нечеткое отношение Р бинарное и конечное, оно может быть пред
ставлено в форме табл. 4.1, представленной НИЖе.
Таблица 4.1. Нечеткое отношение диаrностики неисправности в автомобиле
)'1 У2 уз
XI 1 0.1 0.2
Х2 0.8 0.9 I
ХЗ 0.7 0.8 0.5
Х4 1 0.5 0.2
Эта таблица может быть леrко преобразована в матрицу М р нечеткоrо отноше
ния, которая в данном конкретном случае имеет следующий вид:
[ 1 0.1 0.2 ]
0.8 0.9 1
М р = 0.7 0.8 0.5 .
I 0.5 0.2
.\'1
.\']
,.
. 1
.\"2
,.
. z
X
,.
- 3
(Jrp
Рис. 4.2. Нечеткий rраф отношения 'Р
(стрелки Дуr, направленных от вершин Х;
к вершинам Yj для удобства не указаны)
r лава 4. Нечвткив отношения
107
Для Toro чтобы представить это нечеткое отношение в форме нечеткоrо rрафа,
изобразим на плоскости ero вершины, в качестве которых выступают элементы
множеств Х и У. Соединим эти вершины дуrами, направленными от вершин, co
ответствующих элементам множества Х, к вершинам, соответствующим элемен
там множества У. Рядом с каждой из дуr запишем значение ее ФУНКЦИИ принад
лежности. Тем самым получим нечеткий rраф rJ'P рассматриваемоrо отношения rp
(рис. 4.2).
Что касается аналитическоrо способа представления данноrо нечеткоrо отноше
ния, то поскольку отсутствует математическое выражение для записи COOTBeTCT
вующей функции принадлежности, использовать этот способ в данном случае не
представляется возможным.
При м ер 4.4. М о д е л ь "П р О Д У К Ц и я / Р ы н о к", используемая в CTpaTe
rическом бизнес планировании. Эта модель, известная также rlOД названием
.матрица "продукция/рынок" или "продукция/рыночная определенность", является
клаССИL.еской моделью для разработки корпоративной стратеrии.
Данная модель представляет собой практический инструмент для ПЛанирования
выпускаемой продукции и рынков ее сбыта в зависимости от степени неопреде
ленности перспектив продажи продукции или возможностей проникновения
конкретной продукции на тот или иной рынок. Эта матрица строится исходя из
субъективных оценок менеджеров с учетом Toro обстоятельства, что rораздо
проще продать имеющимся покупателям уже известную продукцию, чем COBep
шенно новую или мало известную. При этом под продукцией понимаются как
товары, так и оказываемые услуrи.
Исходя из практическоrо опыта также известно, что ПРОДавать существующий
ассортимент товаров или услуr катеrориям потребителей, близким к тем, KOTO
рые уже приобретали их ранее, проще, чем осваивать совершенно новые рынки.
Рассмотренные обстоятельства MoryT служить основой для задания бинарноrо
нечеткоrо отношения ={ <X i , Jlj>, P1Z( <Х;, Yj»} , заданноrо на базисных множест
вах X={XI, Х2, хз} И Y={YI, У2, уз}. При этом элементы базисных множеств имеют
следующий содержательный смысл: ХI "lЫ1еющuйся известный рынок", Х2
"новый рынок, связаllJlЫй с llмеющuмся", Хз "соверше1l1LO новый рынок", )'1
"продукция, выпускае.i'vtая в настоящее вре.мя", )'2 "новая продукция, связаlllШЯ с
выпускае.моЙ" , уз "соверще1l1LO новая продукцuя".
Функция принадлежности P1Z«X i , У») рассматриваемоrо бинарноrо нечет
Koro отношения количественно описывает степень уверенности в успешной IlрО
даже различноrо типа продукции на том или ином рынке. При этом в CTpaTe
rическом бизнес планировании используется следующее конкретное HeL.eTKoe
отношение , записанное в форме СПИСКа:'R={«ХI,УI>, 0.9), «XI,y:!>, 0.6).
«ХI,УЗ>, 0.3), «X2,YI>, 0.6), «Х2,У2>, 0.4), «Х2, уз>, 0.2), «X3,YI>, 0.3), «хз,)'2>,
0.2), «хз,уз>, O.l)}.
Наиболее часто данная модель представляется в форме таблицы (табл. 4.2).
108
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Таблица 4.2. Нечеткое отношение модели "Продукция/Рынок"
Продукция, выпус Новая продукция, Совершенно
каемая в настоя связанная с BЫ новая про
щее время пускаемой дукция
Имеющийся 0.9 0.6 0.3
известный рынок
Новый рынок, связан 0.6 0.4 0.2
ный с имеющимся
Совершенно новый 0.3 0.2 0.1
рынок
Эта Таблица леrко преобразуется в матрицу нечеткоrо отношения
r O. 9 0.6 0.3 1
M = 0.6 0.4 0.2 ,
0.3 0.6 0.1
откуда и произошло название рассматриваемой модели.
Аналитический способ представления данноrо нечеткоrо отношения OTCYTCTBY
ет, поскольку отсутствует компактное математическое выражение ДЛЯ записи
соответствующей функции принадлежности. Очевидно, рассматриваемое нечет
кое отношение можно также представить в форме нечеткоrо rрафа, что предла
rается выполнить читателям в качестве упражнения.
Пр '.
в качестве иллюстрации модели "Продукция/Рынок" рассмотрим практическую
ситуацию, связанную с деятельностью менеджера по продаже престижных Ma
рок автомобилей бизнесменам. 3адача менеджера состоит в том, чтобы обес
печить максимальный уровень продаж автомобилей, учитывая индивидуаль
ные предпочтения клиентов. Эта ситуация соответствует левой верхней клетке
в табл. 4.2. Если этот бизнес процветает. менеджер может принять решение о
ero расширении. Один из вариантов расширения может быть основан на реше
нии орrанизовать сеть станций техническоrо обслуживания престижных марок
автомобилей, проданных бизнесменам. Этот вариант будет соответствовать
левой средней клетке таблицы. Друrой вариант начать продавать бизнесме
нам бытовую электронику (левая нижняя клетка в таблице).
Иная ситуация расширения может быть связана с решением продавать пре
стижные автомобили не только бизнесменам, но и друrим катеrориям поку
пателей, например, женам бизнесменов (второй столбец таблицы) или ШИро
ким слоям населения (третий столбец таблицы). В зтой ситуации модель
"Продукция/Рынок" количественно характеризует успешность TOro или иноrо
варианта расширения рассматриваемоro бизнеса.
rлава 4. Нечеткие отношения
109
При м ер 4.5. Рассмотрение примеров нечетких отношений завершим моделью
изучения профилей бизнес систем, которые используются для комплексноrо aHa
лиза текущеrо состояния последних. С этой целью в качестве nepBoro универсу
ма введем в рассмотрение множество качественных признаков:
X={XI, Xz, Хз, Х4, Х5, Хб, Х7, Х8, Х9, XIO}, элементы KOToporo имеют следующий co
держательный смысл: ХI "качество вЫl1ускае.мОй продукции", Xz "l1роизвод
ствеllные .МОЩ1l0сти" , .\"3 "фll1юнсовые rюз.НОJlCflOсти" , Х4 "конкуреfl1поспо
соБНОСIllЬ", .\"5 "общий уровень себестоимости продукции", Х6 "ко.wпетеflция
руководителеЙ", .\"7 "наличие стабu'lЬНЫ.\" рынков сбыта", Х8 "наличие наЛО20
вы.\" ЛЬ20т", Х9 "вОЗ..НОJlCflOсти выхода 11l1.\.lСJ/сд)'1/арод1lые рынки", XIO "наличис
ПЮМОJlсенных ЛЬ20т". Очевидно, перечень признаков можно продолжить.
В KaLleCTBe элементов BTOPOI'O базисноrо множества выступают бизнес системы,
которые подлежат комплексному анализу. Например, пусть это множество co
стоит llЗ 3 x бизнес систем: У={УI,УZ,уз}. Тоrда задача профилирования бизнес
систем заключается в формировании бинарноrо нечеткоrо отношения
r={<X;'Yj>' РЛ<Х;,У j »}. Один из вариантов решения этой задачи может быть
представлен в форме таблицы профилей бизнес систем (табл. 4.3) и COOTBeTCТ
вующей матрицы нечеткоrо отношения
0.6 0.5 0.7
0.5 0.8 0.8
0.7 0.4 0.9
0.2 0.6 0.6
0.5 0.6 0.8
M r = 0.7 0.5 0.7
0.6 0.8 0.5
0.6 0.7 O.
0.3 0.5 0.8
0.1 0.3 0.4
Таблица 4.3. Нечеткое отношение результата профилирования З х бизнес систем
Бизнес-система Бизнес-система Бизнес-система
У1 У2 Уз
Качество выпускаемой 0.6 0.5 0.7
продукции
Производственные 0.5 0.8 0.8
мощности
Финансовые 0.7 0.4 0.9
возможности
110
Часть 1. ОсновЬ! теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Таблица 4.3 (окончание)
Бизнес-система Бизнес-система Бизнес-система
У1 У2 УЗ
Конкурентоспособность 0.2 0.6 0.6
Общий уровень себе 0.5 0.6 0.8
стоимости продукции
Компетенция руководи 0.7 0.5 0.7
телей
Наличие стабильных 0.6 0.8 0.5
рынков сбыта
Наличие налоrовых 0.6 0.7 0.5
льroт
Возможности выхода на 0.3 0.5 0.8
междунарОДНЫе рынки
Наличие таможенных 0.1 0.3 0.4
льrот
Примечание ')
Следует заметить, что дальнейшее использование матрицы профилей бизнес
систем является предметом теории принятия решений, в рамках которой раз
работаны различные модели мноroкритериальной оценки альтернатив. В этом
контексте описанная нечеткая модель может рассматриваться как одна из наи
более конструктивных для мноroкритериальноrо выбора наиболее предпочти
тельной бизнес системы. например, с целью приобретения ее акций или инве
стирования капитала.
4.2. Основные характеристики
нечетких отношений
Пусть Q ={ <XI, Х2,..., X k >, 11Q«XI, Х2,..., X »} произвольное нечеткое k apHoe
отношение с кортежами из декартова произведения соответствующих уНиверсу
мов X.XX2X...XXk и функцией принадлежности lQ«XI, Х2,...,х,,».
Н о с и т е л ь н е ч е т к о r о о т н о ш е н и я. НОСllтеле}", нечеткоrо отношения
Q называется обычное отношение Qs, которое формально определяется следую
щим образом:
QS={<XI,X2,..., X > I PQ«XI,X2,..., х,,»>О}
(\;i<XI, Х2,..., Xk>EX,XX2 X ... x X k ).
(4.3)
r лава 4. Нечеткие отношения
111
Друrими словами, носитель нечеткоrо отношения содержит те и только те KOp
тежи, для которых значение соответствующей функuии принадлежности отлично
от-О. Очевидно, данное определение корректно, поскольку как для конечных, так
и для бесконечных нечетких отношений выражение (4.3) имеет смысл. При этом
пустое нечеткое отношение имеет пустой носитель, поскольку 0=0 для любоrо
ero кортежа, а носитель полноrо нечеткоrо отношения совпадает с этим полным
отношением.
Например, носителем нечеткоrо отношения Q., paccMoTpeHHoro в примере 4.1,
является отношение: Qsl ={<I, 1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>,
<2,4>,<2,5>,<3, 1>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4, 1>,<4,2>,<4,3>,
<4,4>,<4,5>,<4,6>,<4.7>,<5,2>,<5,3>,<5,4>,<5,5>,<5,6>,<5,7>,<5,8>,
<6,3>,<6,4>,<6,5>,<6,6>,<6,7>,<6,8>,<6,9>,<7,4>,<7,5>,<7,6>,<7, 7>,
<7,8>, <7,9>, <7,10>, <8,5>, <8,6>, <8,7>, <8,8>, <8,9>, <8,10>, <9,6>,
<9,7>,<9,8>,<9,9>,<9, 10>,<10,7>,<10,8>,<10,9>,<10, 10>}.
О т н о ш е н и е a y р о в н я. Обобщением носителя нечеткоrо отношения явля
ется понятие Оl1l1юшенuя а уровIlЯ, под которым понимается обычное отношение
Qш которое формально определяется следующим образом:
Qa ={ <XI, Х2,..., ХА> I Q<XI, Х2,..., Xk» а}
( 4.4)
(\7'<XI, Х2,..., X,,>EXIXX2 X ... X X k ),
[де а некоторое действительное число из интервала [О, 1], т. е. аЕ[О, 1].
Примером отношений а уровня для нечеткоrо отношения QJ, paccMoTpeHHoro в
примере 4.1, MorYT служить отношения: Qo.s={<I,I>, <1,2>, <2,1>, <2,2>,
<2,3>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,3>, <4,4>, <4,5>, <5,4>, <5,5>, <5,6>,
<6,5>,<6,6>,<6,7>,<7,6>,<7,7>,<7,8>,<8,7>,<8,8>,<8,9>,<9,8>,<9,9>,
<9,10>, <10,9>, <10, 10>} и Qo.s={<I, 1>, <1,2>, <1,3>, <2, 1>, <2,2>, <2,3>,
<2,4>, <3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <3,5>,<4,2>, <4,3>, <4,4>, <4,5>,
<4,6>, <5,3>, <5,4>, <5,5>, <5,6>, <5,7>, <6,4>, <6,5>, <6,6>, <6,7>.
<6,8>, <7,5>, <7,6>, <7,7>, <7,8>, <7,9>, <8,6>, <8,7>, <8,8>, <8,9>,
<8,10>, <9, 7>, <9, 8>, <9,9>, <9,10>, <10,8>, <10,9>, <10, 10>}.
В ы с о т а н е ч е т к о r о о т н о ш е н и я. Величина
/IQ= sup{ Q«.\'I, Х2,..., Х/,»}, rде супремум берется по всем значениям функuии
принадлежности для кортежей <xI, Х2,..., Xk>EXIXX2X...XX/" называется высотой
нечеткоrо отношения Q.
Например, высота конечноrо нечеткоrо отношения QI (см. пример 4.1) равна 1 и
соответствует элементам rлавной диаrонали матрицы M Q l этоrо отношения. Bы
сота нечеткоrо отношения Q2, описывающеrо свойство "действuтелыюе ЧUС70 Х,
.Jна t lШllелыю больше действuтельно?о числа Х/, (см. пример 4.2), также равна 1.
Однако среди элементов универсума lR+xlR+ отсутствуют числа, для которых бы
IlQ2«X" Х}» =1 (см. рис. 4.1). Действительно. какие бы числа мы не рассмотрели.
соответствующее значение функции принадлежности всеrда будет cтporo меньше 1.
112
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Н о р м а л ь н О е н е ч е т к о е о т н о ш е н и е. Нечеткое отношение Q назы
вается нормальны ч, если максимальное значение ero функции принадлежности
равно 1. Формально это означает, что для нормальноrо нечеткоrо отношения
необходимо выполнение следующеrо условия:
J.1.Q«XI, Х2,..., x,,»=1 (3 <.\:'1, X ,.... Xk>EXIXX2X...xX,j. (4.5)
Нечеткое отношение QI в примере 4.1 является нормальным, поскольку ero BЫ
сота равна 1 и соответствует элементам rлавной диаrонали матрицы этоrо OT
ношения. Напротив, нечеткое отношение 'R, представляющее модель "продукция!
рынок" (см. пример 4.4), и нечеткое отношение 'Т, представляющее модель про
филирования бизнес систем (см. пример 4.5), не являются нормальными.
С у б н о р м а л ь н О е н е ч е т к о е о т н о ш е н и е. Если высота нечеткоrо
отношения равна единице (/lQ = 1), но условие (4.5) не выполняется, то такое He
четкое отношение будем называть суБIl0рма.'lhIfЫJlt.
Произвольное непустое нечеткое отношение Q можно сделать субнормальным,
используя следующее преобразование:
J.1.0( < XI, Х2"'" Xk »
J.1. Q .«XI,X2....,Xk »=
h Q
(4.6)
Очевидно, нечеткое отношение Q2 (см. пример 4.2) является субнормальным.
М о Д а н е ч е т к о r о о т н о ш е н и я. НекоторыЙ кортеж И'",ЕХ'ХХ2Х"'ХХk
нечеткоrо отношения Q называется JllOдоЙ, если этот кортеж является точ
кой локальноrо максимума соответствующей функции принадлежности lQ«XI, Х2,...
...,х,,», т. е. выполняется условие:
И'т=аrg шах {IlQ( <XI, .\2,.... X k »} ,
(4.7)
[де максимум рассматривается в некоторой локальной окрестности кортежа И'т
из области определения функции принадлежности.
Если произвольное нечеткое отношение имеет моду, совпадающую с ero BЫCO
той, то преобразование (4.7) дает в результате нормальное нечеткое отношение.
Например, нечеткое отношение QI (см. при мер 4.1) имеет 10 мод, соответствую
щих элементам rлавной диаrонали матрицы этоrо нечеткоrо отношения. Напро
тив, нечеткое отношение Q2 (см. при мер 4.2) не имеет ни одной моды.
Я д р о н е ч е т к о r о о т н о ш е н и я. Ядром нечеткоrо отношения Q называ
ется обычное отношение QI, которое О Iределяется следующим образом:
QI ={<XI, Х2,..., Xk>/ J.1.Q«XI,X2,...,X k » =I}
(4.8)
«XI, Х2,..., X k >EX 1 XX2 X ... X X,J.
Например, ядро нечеткоrо отношения 'Р(см. пример 4.3) равно PI={<XI,YI>, <Х2.уз>,
<X4,J'I>}.
Б л и ж а й ш е е ч е т к о е о т н о ш е н и е. Часто оказывается полезным поня
тие четкоrо отношения Q, ближайше20 к нечеткому отношению Q. Характери
rлава 4. Нечеткие отношения
113
стическая Функuия TaKoro отношения может быть определена следующим Bыpa
жением:
{ О,
XQ«X"X2'''''Xk »=
l
еСЛИJ..l.Q«Х)'Х2'''''Хk »<0.5 }
если J..I.Q( < Х), Х2"'" Ч » > 0.5 .
ИЛИ 1, если J..I.Q« Х), Х2,"', xk » = 0.5
(4.9)
Например, ближайшее к нечеткому отношению rp (см. пример 4.3) естЬ отноше
ние: P={<Xl,Y1>, <Х2,У1>, <Х2,)'2>, <Х2,уз>, <Хз,У,>, <хз,У2>, <X4,YI>}.
FраUИЦbl, точки пере.).:ода, а также свойство выпуклости нечеткоrо отношения
определяются аналоrично нечетким множествам (СА'. 2,Тюву 3).
Прежде чем приступить к определению операций, рассмотрим два простейших
отношения между двумя нечеткими отношениями. Первое из них равенство
двух нечетких отношений.
р а в е н с т в о н е ч е т к и х о т н о ш е tl и Й. Два нечетких отношения счита
ютсяравны,нu, если они заданы на одних и тех же универсумах Х" Х 2 ..... X k , име
ют одинаковую арность и их функции принадлежности принимают равные зна
чения на всем декартовом произведении соответствующих универсумов.
Формально равенство двух НС'Iетких множеств можно записать следующим об-
разом. А именно, нечеткое отношение Q={<XI,X2,...,Xk>, tQ«Xl,.X2,...,Xk»}
равно нечеткому отношению ={<XI,X2,...,X/.>, «XI,X2,...,X,,>)} (записы
вается как Й= ) тоrда и только тоrда, коrда знаLlения функций принадлежности
этих отношений равны на всем декартовом ПРОl1зведении их универсумов. т. е.
выполняется следующее условие:
Q( <Хl, .\'2....' X k »= l ( <XI, х2...., X k »
(4.10)
для любых кортежей <Хl, Х2...., х,,>Е XIX.X2X...xXk.
При этом следует отметить, что I1римеНlfтельно к бинарным нечетким отноше
ниям матрицы равных отношений и соо'mетствующие им нечеткие rрафы равны,
как это определено для соответствующих математических объектов.
Н е ч е т к о е Д о м и н и р о в а н и е. rоворят, что нечеткое отношение Q cтpo
20 включает в себя (стРО20 дОJншшр)'ет) нечеткое отношение (записывается
как c а), если значения Функщш принадлежности nepBoro cTporo больше COOT
ветствующих значений функции принадлежности BToporo, т. е. выполняется сле
дующее формальное условие:
lQ( <XI, Х2...., Xk» > l'J« <XI. .\"2,..., X k » (4.11)
для любых кортежей <ХI, .\'2,..., х,,>Е XIXX2 X ... X X k _
Здесь по аналоrии с обычными множествами для обозначения cTpororo ДОМИШI
рования нечеТКIfХ отношений используется симв;)л 11 с" . Если в данном определе
нии в условии (4.11) вместо знака cTpororo неравенства записать знак HecTpororo
неравенства " ", то получим определение нестрО2020 включения нечстких OTHO
шений или Hecтpo?Ozo дОЛlШillровтшя, которое обозначается как: а. При ')1'01\1
114
Часть (. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
в случае 'Rr;;;. Q просто rоворят, что нечеткое отношение Q доминирует нечеткое
отношение , а нечеткое отношение 'R содеР:JIСИf1lСЯ в нечетком отношении Q.
Если для двух нечетких отношений Q и п, заданных на одних и тех же базисных
множествах, не выполняется ни отношение 'Rr;;;, Q, ни отношение Qr;;;, п, то в том
случае rоворят, что нечеткие отношения Q и 'R несравнимые.
Как нетрудно заметить, любое нечеткое отношение, не являющееся пустым,
cTporo включает в себя пустое отношение. Друrими словами, для любоrо нечет
Koro отношения Q всеrда справедливо утверждение: 0с Q, rде знак "с " понима
ется в нечетком смысле, поскольку справа от Hero стоит нечеткое отношение. Из
определения нечеткоrо доминирования также следует, что полное нечеткое OT
ношение cTporo включает в себя любое нечеткое отношение этой же арности, не
являющееся в свою очередь полным нечетким отношением. Друrими словами,
для любоrо нечеткоrо отношения Q всеrда справедливо утверждение: ас Х
4.3. Операции
над нечеткими отношениями
Поскольку каждое нечеткое отношение представляет собой нечеткое множество,
то применительно к нечетким отношениям оказываются справедливыми все опе
рации, которые были определены выше в 2лаве 3. В то же время при использова
нии нечетких отношений имеет место целый ряд дополнительных особенностей,
которые следует учитывать при оперировании соответствующими понятиями.
Пусть Q и 'R произвольные (конечные или бесконечные) k арНЫе нечеткие от-
ношения, заданные на одном и том же декартовом произведении универсумов:
XIXX2 X ... X X k .
Пер е с е ч е н и е. Пересечением двух нечетких отношений Q = { <XI, Х2,..., Xk> I
IJlQ( <XI, Х2,..., X k »} И п= {<XI, Х2,..., X k > 111 ( <XI, Х2,..., X k »} называется некоторое
третье нечеткое отношение S, заданное на этом же декартовом произведении
универсумов ХI ХХ2Х... xX k , функция принадлежности KOToporo определяется по
следующей формуле:
I1S«Xt, Х2,..., X k » = min{JlQ«Xt, Х2,..., X k », 11 «XI, Х2,..., X k >)} (4.12)
(V<XI, Х2,..., Xk>E XIXX2 X ... X X k ).
в этом случае результат операции пересечения двух отношений записывается в
виде: S=Qn'R, rде S={ <XI, Х2,..., x k >ll1s«Xl, .\'2,..., X k »} с функцией принадлеж
ности I1s( <XI, Х2,..., Xk»' которая определяется по формуле (4.12). Операцию пе
ресечения нечетких отношений в смысле (4.12) также называют miп пересечением
или I\ пересечением. Поэтому функция принадлежности пересечения двух нечет
rлава 4. Нечеткие отношения
115
ких отношений, обозначаемая для краткости через s()v), иноrда записывается в
виде: s()V)=J.tQ(W)I\Jl'R()V) (V)VEX\XX2 X ... хХд.
При м е р 4.6. Для иллюстрации операции пересечения нечетких отношен й
рассмотрим два бинарных нечетких отношения Q и п, заданных на одном уни
версуме числовом множестве Х= Р, 2, 3, 4, 5}. Первое нечеткое отношение Q
содержательно описывает условие: "натуральное число Х ; приближенно равно Ha
111УРальному числу х;", аналоrично рассмотренному в примере 4.1. Второе нечет
кое отношение п содержательно описывает условие: "натуральное число Х; зна
чительно Ilревосходит llатуральное число Х/'. Пусть эти нечеткие отношения
заданы следующими матрицами:
1 0.8 0.5 0.2 О О О О О О
0.8 1 0.8 0.5 0.2 0.2 О О О О
MQ= 0.5 0.8 1 0.8 0.5 и M 1l = 0.5 0.2 О О О . Тоrда результат
0.2 0.5 0.8 1 0.8 0.7 0.5 0.2 О О
О 0.2 0.5 0.8 1 0.9 0.7 0.5 0.2 О
пересечения этих нечетких отношений может быть представлен в виде матрицы:
о о о о о
0.2 О О О О
M Q ,,1l = 0.5 0.2 О О О , которая содержательно соответствует OДHOBpe
0.2 0.5 0.2 О О
О 0.2 0.5 0.2 О
менному выполнению двух условий: "натуральное число Х ; приближенно равно
натуральному числу Х/' и "ншnураllьное число Х; значительно 1lревосходиl1l J{аПlУ
ральное число Х/' .
о б ъ е Д и н е н и е. ОбъедuнениеЛ'1 двух нечетких отношений Q и 'R называется
некоторое третье нечеткое отношение 7/, заданное на этом же декартовом про
изведении универсумов XIXX2X...XXk, функция принадлежности KOToporo опре
деляется по следующей формуле:
и«X\, Х2,..., X k »= max{ Q«XI, Х2,..., X k », 'R«XI, Х2,..., X k »} (4.13)
(V<XI, Х2,..., X k >EXIXX2 X ... x X A J
В этом случае результат операции объединения двух отношений можно записать
в виде: U=Qu1З, rде и={ <д, Х2,..., xk>I ,U«XI, Х2,..., X k »} с функцией принад
лежности 'U«XI, Х2,..., Xk»' которая определяется по формуле (4.13). Операцию
объединения нечетких отношений в смысле (4.13) также называют тax
объединением или V объединением. Поэтому функция принадлежности объеди
нения двух нечетких отношений, обозначаемая для краткости через 'и()V), ино
rдa записывается в виде: и(W)=J.!Q()V)VJ.!'R("') (V"'EXIXX2X.. .xX k ).
116
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Для paCCMoTpeHHoro выше при мера 4.6 результат объединения соответствующих
нечетких отношений может быть представлен в виде матрицы:
] 0.8 0.5 0.2 О
0.8 1 0.8 0.5 0.2
MQu'R = 0.5 0.8 ] 0.8 0.5 , которая содержательно соответствует выполне
0.7 0.5 0.8 ] 0.8
0.9 0.7 0.5 0.8 1
нию двух условий: "натуралыюе число Х; прибли:JlсеюlO равно натуралыю.му числу
Х/, или "натуральное число хjзначитслыlO превосходиlll натуральное число х;".
Раз н о с т ь. Разностью двух нечетких отношений Q и <R называется такое He
четкое отношение Т, заданное на этом же декартовом произведении универсумов
XIXX2X...XXk, функция принадлежности KOToporo определяется по следующей
формуле:
11.,-«XI, Х2,..., X k » = max{I1Q«XI, Х2,..., XJ.» l «XI, Х2,..., Xk»' О} (4.14)
(\1'<_\'1, Х2,..., X/;>EXIXX2X...XXk).
Здесь под знаком максимума применяется обычная операция арифметической
разности. Операция разности двух нечетких отношений в смысле (4.14) по aHa
лоrии с обычными отношениями также обозначается знаком "\". В этом случае
результат операции разности двух отношений можно записать в виде: T=Q \ ,
rде Т={ <XI, Х2,..., x k >II1.,-«ХI, Х2,..., Xk»} с функцией принадлежности
Jl1{<XI, Х2,..., Xk»' которая определяется по формуле (4.14).
Для paccMoтpeHHoro выше примера 4.6 результат разности Q \ соответствую
щих нечетких отношений может быть представлен в виде матрицы:
I 0.8 0.5 0.2 О
0.6 1 0.8 0.5 0.2
M Q \ 'R = О 0.6 1 0.8 0.5 , которая содержательно соответствует выпол-
О О 0.6 1 10.8
О О О 0.6 1
нению двух условий: "натуралыюе число Х; прuБЛUJ/сенно равно l-ютуралыlOМУ ЧllС
лу Х/' и одновременно "натуралЫlOе число Х; не Ilревосходиl11 знаЧll1пельно Haтy
ральное число Х/ .
с и м м е т р и ч е с к а я раз н о с т ь. Операция СUkL""етрической разности двух
нечетких отношений Q и (здесь мы будем обозначать ее через 6) по определе
нию есть такое нечеткое отношение Q61Z, функция принадлежности KOToporo
равна:
11Q:J'R«XI, Х2,..., X k » = I JlQ«Xt , Х2,..., X k » 11 «XI, Х2,..., xk»1
(\1'<XI, Х2,..., X k >EXIXX2 X ... X X k ).
Здесь в правой части выражения применяется операция модуля (или вычисления
абсолютноrо значения) числа. При этом оказывается справедливым следующее
( 4.15)
rлаsа 4. Нечеткие отношения
117
утверждение: QO'R=(Q \ 'R)u('R \ Q), т. е. симметрическая разность двух нечетких
отношений представляет собой объединение двух разностей нечетких отношений
Qи'R.
Операции л пересечения и v объединения, а также операции разности и симмет
рической разности нечетких отношений сохраняют свои определения для случая
обычных отношений. А именно, если в качестве нечетких отношений Q и'R взять
обычные отношения как их LJaСТНЫЙ случай, то все определения нечетких опера
ций будут справедливы и для характеристических функций этих обычных OTHO
шений.
Для paccMoтpeHHoro выше примера 4.6 результат симметрической разности Qe'R
соответствующих нечетких отношений может быть представлен в виде матрицы:
1 0.8 0.5 0.2 О
0.6 I 0.8 0.5 0.2
MQJ'R = О 0.6 1 0.8 0.5
0.5 О 0.6 1 0.8
0.9 0.5 О 0.6 1
д о n о л н е и е. Унарная операция дополнеllия нечеткоrо отношения Q обозна
чается через Q и определяется аналоrично операции дополнения нечеткоrо MHO
жества. А именно, Q= {<XI, Х2,..., x k >lJ.1 Q( <XI, Х2,..., Xk»}' rде функция принад
лежности 11 Q«XI, Х2,..., X k » определяется по следующей формуле:
11 Q«XI, Х2,..., xk»=I JlQ«XI, Х2,..., Xk» (4.16)
(\t<XI, Х2,..., X k >EXIXX2X... x X k ).
Для paccMoTpeHHoro выше примера 4.6 дополнения соответствующих нечетких
отношений MorYT быть представлены в виде матриц:
о 0.2 0.5 0.8 1 1 1 1 1 I
0.2 О 0.2 0.5 0.8 0.8 1 1 1 1
M Q = 0.5 0.2 О 0.2 0.5 и М п = 0.5 0.8 1 1 1 . Для сравнения
0.8 0.5 0.2 О 0.2 0.3 0.5 0.8 1 1
1 0.8 0.5 0.2 О 0.1 0.3 0.5 0.8 1
приведем матрицы обратных нечетких отношений:
I 0.8 0.5 0.2 О О 0.2 0.5 0.7 0.9
0.8 1 0.8 0.5 0.2 О О 0.2 0.5 0.7
Ma l = 0.5 0.8 I 0.8 0.5 и Mп l = О О О 0.2 0.5 Как можно
0.2 0.5 0.8 1 0.8 О О О О 0.2
О 0.2 0.5 0.8 1 О О О О О
заметить, Ма = MQ t, но Мп '* Mп 1.
Для рассмотренных операций над нечеткими отношениями имеют место фунда
ментальные свойства, аналоrичные свойствам нечетких теоретико множест
118
Часть (. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
венных операций (3.8) (3.18). Поэтому, если paCCMOTpeть алrебру нечетких OT
ношений (нечеткую алrебраическую систему): L=< а, U, n, ,0, Х> с операциями,
которые были определены выше, то она будет являться дистрибутивной решеткой
(структурой) с единственными единичными элементами: 0 относительно операции
нечеткоrо объединения и Х относительно операции нечеткоrо пересечения.
Наряду с этим можно также рассматривать ал.!:ебру (алrебраическую систему)
матриц нечетких отношений: М=<М а , л, V, ,Мо, Мl> с операциями л
пересеLlения и v объединения матриц одинаковоrо размера. Эти матричные опе-
рации MorYT быть определены поэлементно по формулам (4.12) и (4.13) COOTBeT
ственно. Операция дополнения для матрицы может быть определена соrласно
формуле (4.16). Что касается специальных матриц Мо и MI, то элементы первой
из них тождественно равны О, а элементы второй тождественно равны 1. Оп
ределенная таким способом алrебра матриц М также будет являться дистрибу-
тивной решеткой (структурой) с единственными еДИНИLIНЫМИ элементами: Мо
относительно операции нечеткоrо v объединения матриц и М. относительно
операции нечеткоrо л-пересечения.
имечание )
Для нечетких отношений сохраняют свой смысл альтернативные и дополни-
тельные операции над нечеткими множествами. А именно, применительно к
нечетким отношениям MOryT быть аналоrично определены операции: алrебраи-
ческое пересечение (3.19), алrебраическое объединение (3.20), rраничное пе
ресечение (3.31), rраничное объединение (3.32), драстическое пересечение
(3.33), драстическое объединение (3.34), умножение нечеткоro отношения на
число (3.45), возведение нечеткоro отношения в степень (3.46), концентрирова
ние (3.47), растяжение (3.48), выпуклая комбинация (3.49) и дизъюнктивная
сумма (3.50). Формальную запись соответствующих определений и проверку
свойств альтернативных операций читателям предлаrается выполнить само-
стоятельно в качестве упражнения.
Композиция бинарных нечетких отношений
Пусть Q и 'R конечные или бесконечные бинарные нечеткие отношения. При-
чем нечеткое отношение а={ <Х;, x j >, J.ta«X;, X j »} задано на декартовом про из-
ведении универсумов XIXX2, а нечеткое отношение 'R={<xj,x k >, 1l «Xj'Xk»}
на декартовом произведении универсумов Х2ХХЗ.
К о М поз и Ц и я Д в у х б и н а р н ы х н е ч е т к и х о т н о ш е н и й. Нечет
кое бинарное отношение, заданное на декартовом произведении Х1хХз и обозна
чаемое через Q 'R, называется композициеЙ бинарных нечетких отношений Q и
'R, а ero функция принадлежности определяется следующим выражением:
/lQ0'R«X 1 , X k » = mах {min{/lQ«x j , x j », J.1R«X j , Xk»}} (4.17)
Х/ЕХ 2
(V<X;, Х/;>Е ХIХХЗ).
rлава 4. Нечеткие отношения
119
Определенную таким образом композицию бинарных нечетких отношений Ha
зывают иноrда (тах miп) композицией или максuминной сверткой нечетких OT
ношений.
Из определения данной операции композиции следует, что она ассоциативна,
дuстрибуmuвна относительно нечеткоrо объединения, но не дuстрибутивна OT
носительно нечеткоrо пересечения. Друrими словами, для произвольных бинар
ных нечетких отношений '?, Q и 'R, заданных на декартовых произведениях
XIXX2, Х2ХХ3 и Х3 Х Х4 соответственно, имеет место следующее свойство:
'? (Q 'R) = ('? Q) 'R.
(4.18)
Для бинарных нечетких отношений '?, Q и п, заданных на декартовых произве
дениях XIXX2, Х2ХХ3 и Х2ХХ3 соответственно, имеют место следующие свойства:
'? (Q u п) = ('? Q) u ('? п);
'? (Q n п) ;:1; ('? Q) n ('Р 'R).
(4.19)
(4.20)
Кроме Toro, для (mах miп) композиции произвольных бинарных нечетких OT
ношений 'Р, Q и 'R, заданных на декартовых произведениях XIXX2, Х2ХХ3 и Х2ХХ3
соответственно, выполняется следующее свойство монотонности: если Q п, то
('Р <8> Q) ('? 'R).
При м е р 4.8. Рассмотрим типичную ситуацию, связанную с консалтинrом в
области выбора профессии для последующеrо обучения и получения COOTBeTCT
вующей специальности. С этой целью построим нечеткую модель, основанную
на двух бинарных нечетких отношениях S и r. Первое из этих нечетких отноше
ний строится на двух базисных множествах Х и У, а второе на двух базисных
множествах У и Z. Здесь Х описывает множество специальностей, по которым
проводится набор на обучение, У множество психо физиолоrИ'lеских xapaKTe
ристик, а Z множество кандидатов на обучение. В интересуемом нас контексте
нечеткое отношение S содержательно описывает психо физиолоrическое профи
лирование специальностей, а r психо физиолоrическое профилирование KaH
дидатов на обучение.
Для конкретности, пусть X={Xl, Х2, Х3, Х4, Х5}, Y={YI, У2, У3, У4, У5, У6, У7, У8, У9, YIO}
И Z={ZI, Z2, Z3, Z4}. Элементы универсумов имеют следующий содержательный
смысл:
LJ Хl "менеджер", Х2 "проrраммист", Х3 "водитель", Х4 "секретарь рефе
рент", Х5 "переводчик";
LJ YI "быстрота и rибкость мышления", )'2 "умение быстро принимать pe
шения", У3 "устойчивость И концентрация внимания", У4 "зрительная па
мять", У5 "быстрота реакции", У6 "двиrательная память", У7 "физиче
ская выносливость", У8 "координация движений", У9 "эмоционально
волевая устойчивость",УIО "ответственность";
LJ ZI "Петров", Z2 "Иванов", Z3 "Сидоров", Z4 "Васильева", Z5
'Триrорьева" .
120
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Конкретные значения функций принадлежности Jls«X j , J:;» и Jl".«)l;, Zk» pac
сматриваемых нечетких отношений представлены следующими таблицами
(табл. 4.4 и 4.5).
Таблица 4.4. Нечеткое отношение S профилирования специальностей обучения
Быстрота Умение быстро Устойчивость 3рительнан Быстрота
и rибкость принимать и концентра- памнть реакции
мышленин решенин цин вниманин
.
Менеджер 0.9 0.9 0.8 0.4 0.5
Проrраммист 0.8 0.5 0.9 0.3 0.1
Водитель 0.3 0.9 0.6 0.5 0.9
Секретарь 0.5 0.4 0.5 0.5 0.2
Переводчик 0.7 0.8 0.8 0.2 0.6
Двиrатель- Физическан Координацин Эмоциональ Ответст-
нан памнть выносливость движений но-волеван венность
устойчивость
Менеджер 0.3 0.6 0.2 0.9 0.8
Проrраммист 0.2 0.2 0.2 0.5 0.5
Водитель 0.8 0.9 0.8 0.6 0.3
Секретарь 0.2 0.3 0.3 0.9 0.8
Переводчик 0.2 0.2 0.3 0.3 0.2
Таблица 4.5. Нечеткое отношение rпрофилирования кандидатов на обучение
Петров Иванов Сидоров Васильева rриrорьева
Быстрота и 0.9 0.8 0.7 0.9 1
rибкость
мышления
Умение быст 0.6 0.4 0.8 0.5 0.6
ро принимать
решения
Устойчивость 0.5 0.2 0.3 0.8 0.7
и KOHцeHTpa
ция внимания
Зрительная 0.5 0.9 0.5 0.8 0.4
память
rлаsа 4. Нечеткие отношения
121
Таблица 4.5 (окончание)
Петров Иванов Сидоров Васильева rриrорьева
Быстрота pe 1 0.6 0.5 0.7 0.4
акции
Двиrательная 0.4 0.5 1 0.7 0.8
память
Физическая 0.5 0.8 0.9 0.5 0.4
выносливость
Координация 0.5 0.6 0.7 0.6 0.5
движений
Эмоциональ- 0.8 1 0.2 0.5 0.6
но-волевая
устойчивость
Ответствен- 0.3 0.5 0.9 0.6 0.8
ность
Матрицы этих нечетких отношений имеют следующий вид:
0.9 0.9 0.8 0.4 0.5 0.3 0.6 0.2 0.9 0.8
0.8 0.5 0.9 0.3 0.1 0.2 0.2 0.2 0.5 0.5
Ms = 0.3 0.9 0.6 0.5 0.9 0.8 0.9 0.8 0.6 0.3 ;
0.5 0.4 0.5 0.5 0.2 0.2 0.3 0.3 0.9 0.8
0.7 0.8 0.8 0.2 0.6 0.2 0.2 0.3 0.3 0.2
0.9 0.8 0.7 0.9 1
0.6 0.4 0.8 0.5 0.6
0.5 0.2 0.3 0.8 0.7
0.5 0.9 0.5 0.8 0.4
1 0.6 0.5 0.7 0.4
м т = 0.4 0.5 1 0.7 0.8
0.5 0.8 0.9 0.5 0.4
0.5 0.6 0.7 0.6 0.5
0.8 1 0.2 0.5 0.6
0.3 0.5 0.9 0.6 0.8
Поскольку рассматриваемые нечеткие отношения удовлетворяют формальным
требованиям, необходимым для выполнения их нечеткой композиции соrласно
122
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
(4.17), результат операции нечеткой композиции этих отношений может быть
представлен в виде матрицы результирующеrо нечеткоrо отношения:
0.9 0.9 0.8 0.9 0.9
0.8 0.8 0.7 0.8 0.8
Ms 0 'т = 0.9 0.8 0.9 0.7 0.8
0.8 0.9 0.8 0.6 0.8
0.7 0.7 0.8 0.8 0.7
Для наrлядности преобразуем эту матрицу к табличной форме (табл. 4.6).
Таблица 4.6. Нечеткая композициядвух исходных отношений
Петров Иванов Сидоров Васильева rриrОрЬ8ва
Менеджер 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9
Проrраммист 0.8 0.8 0.7 0.8 0.8
Водитель 0.9 0.8 0.9 0.7 0.8
Секретарь 0.8 0.9 0.8 0.6 0.8
Переводчик 0.7 0.7 0.8 0.8 0.7
Рассмотрим, каким образом получается одно из значений функции принадлеж-
ности композиции, например, значение /.lQ0'R«XI, YI» = 0.9. Вначале найдем ми-
нимальные значения функции принадлежности всех пар элементов первой cтpo
ки табл. 4.4 и первоrо столбца табл. 4.5. А именно: miп{0.9, 0.9} = 0.9, min{0.9,
0.8} = 0.8, min{0.8, 0.5} = 0.5, min{O.4, 0.5} = 0.4, min{0.5, I} = 0.5, min{O.3, 0.4} =
= 0.3, min{0.6, 0.5} = 0.5, min{0.2, 0.5} = 0.2, min{0.9, 0.8} = 0.8, min{0.8, 0.3} =
= 0.3. После этоrо найдем максимальное из 10 полученных значений, которое и
будет являться искомым зн чением функции принадлежности: /.lQeJR«XI, YI» =
= mах{0.9, 0.8,0.5,0.4,0.5,0.3,0.5,0.2,0.8, 0.3} = 0.9. Остальные значения функ
ции принадлежности находятся аналоrично.
Примечание
Операцию композиции нечетких отношений можно распространить на матрицы
соответствующих нечетких отношений. В этом случае результатом композиции
матрицы М1 размерности (nхт) и матрицы М2 размерности (mxk) будет матрица
М з размерности (nxk), элементы которой получаются соrласно формуле (4.17).
Тем самым оказывается корректным следующее обозначение: Мз= М10М2. ко-
торое будет нами использоваться в дальнейшем.
Анализ табл. 4.6 показывает, что имеющимся каНдидатам можно порекомендо-
вать обучение по следующим специальностям (на основе максимальных значе-
ний функции принадлежности композиции рассматриваемых нечетких отноше-
rлаsа 4. Нечеткие отношения
123
ний): Петров .менеджер, водитель; Иванов .менеджер, секретарь; Сидо
ров водитель; Васильева .менеджер, rриrорьева .менеджер. С точки зре
ния подrотовки рассматриваемых специалистов для обучения по специальности
менеджер наиболее подходят кандидаты: Петров, Иванов, Васильева и rриrорь
ева; по специальности пРО2раммист те же кандидаты; по специальности вo
дитель Сидоров; по специальности секретарь Иванов; по специальности
переводчик Сидоров и Васильева.
А л ь Т е р н а т и в н ы е о пер а Ц и и к о м поз и Ц и и двух бинарных He
четких отношений. Нечеткое бинарное отношение, заданное на декартовом про
изведении ХIХХЗ и обозначаемое через Q>I< п., называется (тах *) ко.мпозицией
бинарных нечетких отношений Q и п., если ero функция принадлежности опреде
ляется следующим выражением:
JlQ. «Xj, X k » = тах {J..IQ«Xj, XP)*J.t-R«.х:;, X k »} (\f<x j , Xk>E Х.хХз) (4.21)
х,ЕХ 2
В частности, если в выражении (4.21) вместо операции "*,, использовать операцию
алrебраическоrо умножения, то получим определение (пюх рrоd) кшипозицuи.
Проиллюстрируем результат (mах рrоd) композиции нечетких отношений из
примера 4.8. Эти нечеткие отношения удовлетворяют формальным требованиям,
необходимым для выполнения их нечеткой (mах рrоd) композиции соrласно
(4.21). Результат операции нечеткой композиции может быть представлен в виде
следующей таблицы (табл. 4.7).
Таблица 4.7. Нечеткая (тах рrod) композициядвух ИСХОДНЫХ отношений
Петров Иванов Сидоров Васильева rриrорьева
Менеджер 0.81 0.90 0.72 0.81 0.90
Проrраммист 0.72 0.64 0.56 0.72 0.80
Водитель 0.90 0.72 0.81 0.63 0.64
Секретарь 0.72 0.90 0.72 0.48 0.64
Переводчик 0.63 0.56 0.64 0.64 0.70
Анализ табл. 4.7 показывает, что имеющимся кандидатам можно порекомендо
вать обучение по следующим специальностям (на основе максимальных значе
ний функции принадлежности композиции рассматриваемых нечетких отноше
ний): Петров водитель; Иванов менеджер, секретарь; Сидоров водитель;
Васильева .менеджер, rриrорьева менеджер. С точки зрения подrотовки
рассматриваемых специалистов для обучения по специальности менед:Jlсер наи
более подходят кандидаты: Иванов и fриrорьева; по специальности пp02paM
мист rриrорьева; по специальности водитель Петров; по специальности
секретарь Иванов; по специальности переводчик Сидоров и Васильева.
124
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
римечание
Следуя общим рекомендациям прикладноro системноro анализа относительно
принципа мноrомодельности, можно сделать следующий вывод. Если при ис
пользовании различных моделей получены одинаковые результаты. то этот
факт может свидетельствовать о наличии устойчивой связи или закономерно-
сти между отдельными элементами моделей. Применительно к рассматривае-
мым нечетким моделям совпадение результатов. полученных на основе опера-
ций (mах miп)-композиции и (mах рrоd)-композиции, дает основание для более
уверенных выводов относительно выбора тех или иных специальностей для
обучения кандидатов.
4.4. Нечеткое отображение
Давая определение нечеткоrо отображения, следует иметь в виду, что, с одной CTO
роны, оно является обобщением обычноrо теоретико множественноrо отображе-
ния, а с друrой стороны, частным случаем бинарноrо нечеткоrо отношения.
Н е ч е т к о е о т о б р а ж е н и е. Бинарное нечеткое отношение 'Т={ <X j , ;>,
J..L1:( <X j ' Х;»} , заданное на декартовом произведении Х\ ХХ2, называется нечеткuм
отображением, если для любоrо ajEX\ существует не более ОДноrо элемента
a J EX2 с отличным от нуля значением функции принадлежности Jl <Xj, x j ». Дpy
rими словами, каждому из элементов а ; универсума Х. нечеткое отображение r
ставит в соответствие не более одноrо элемента а } из универсума Х2, TaKoro что
Jl <Xj, х;»>О. В этом случае rоворят, что отображение r действует из универсу
ма Хl в универсум Х2. ДЛЯ формальной записи нечеткоrо отображения 'использу-
ется обозначение, аналоrичное обозначению обычноrо отображения: 'Т: XI X2,
при этом не исключается случай, коrда Хl =Х2.
Н е ч е т к а я Ф у н к Ц и я. Если в качестве универсумов Х. и Х2 рассматривать
числовые множества, то соответствующее нечеткое отображение естественно
назвать нечеткоu функцией. В этом случае можно использовать общепринятый
способ обозначения функциональной зависимости малыми латинскими буквами
в форме/: Xl X2.
Понятие нечеткоrо отображения допускает обобщение на декартово произведе-
ние произвольноrо конечноrо числа универсумов слева от стрелки. Поэтому
в общем случае нечеткое отображение может быть записано в виде
'Т: X.XX2 X ... x X k X и ставит в соответствие каждому кортежу <х., Х2,..., Xk>E
EXIXX2X",XXk не более одноrо элемента Х из универсума Х, дЛЯ KOToporo выпол-
няется условие:
J.l <Xl, Х2,..., X k , х»>О. (4.22)
Н е ч е т к а я а л r е б р а и ч е с к а я о пер а Ц и я. Аналоrичным образом
. можно ввести понятие нечеткой алzебраuческой операции, которая является част
ным случаем нечеткоrо отображения, коrда все универсумы Х., Х2,..., X k тожде
rлаsа 4. Нечеткие отношения
125
ственно равны Х. В этом случае нечеткая операция, точнее, нечеткая k-М,ест1lая
операция, может быть записана в форме Т: ХхХх...хх......Х.
примечани
Для дальнейшеrо анализа нечетких отображений можно ввести в paCCMOTpe
ние специальные нечеткие множества, которые по аналоrии с обычными OTO
бражениями характеризуют особенности CTPyктypHoro строения нечетких OTO
бражений. Речь идет об области определения нечеткоrо отображения и об
ласти значений нечеткоro отображения r. в этом случае эти области
естественно определить как обычные подмножества соответствующих универ
сумов, которые являются носителями нечеткоrо отношения, индуцируемоrо
рассматриваемым нечетким отображением. Поскольку эти понятия довольно
редко используются на практике, их формальные определения оставим чита
телям в качестве упражнения.
Принцип обобщения
в теории нечетких множеств
Пусть задано обычное отображение /: XtXXzx... xX k X, [де XI, Х2,..., X k , Х обыч-
ные конечные или бесконечные множества. Предположим, что на основе каждоrо из
множеств XI, Х2,..., X k , используемых в качестве универсумов, заданы некоторые
нечеткие множества..1l1 = {х, l.91I(X)}, ..1l2= {х, l.91Z (х)} ,.,., ..1l k = {х, Jl:ilk (Х)}.
При н ц и п о б о б щ е н и я утверждает, что отображение/и совокупность
нечетких множеств ..1l1, ..1l2,..., ..1l k однозначным образом порождают нечеткое
отображение Т: XIXX2X...xXk X, функция принадлежности KOToporo определя
ется по следующей формуле:
/J:r«Xl, Xz,..., х,,, х» = min{Jl.91I(xl), Jl:1I2(X2),..., /J.91k(X k )} (4.23)
для всех кортежей <XI, Х2,..., X k , X>EX,XX2 X ... x X k xX, таких что Х = f«XI, XZ,..., x k ».
Действительно, соrласно определению обычноrо отображения / каждому корте-
жу <XI, Х2,..., Xk>EXIXX2X...XXk соответствует единственный элемент ХЕХ, KOTO
рый становится (k+ I ) M элементом кортежа <XI, Х2,..., Х", Х>, используемоrо для
определения нечеткоrо отношения 'Т. При этом для всех остальных элементов
УЕХ, таких что y:;t:X, очевидно Jlt«Xl, Xz,..., xk,y» = О. Последнее условие является
достаточным для Toro. чтобы нечеткое отношение 'т удовлетворяло определе
нию нечеткоrо отображения (4.22).
Принцип обобщения может быть использован не только для задания нечетких
отображений, но и, что более важно, для формальноrо определения различ
ных нечетких конструкций, обобщающих известные теоретико множественные
понятия. Так, например, на ero основе можно дать определение нечеткоrо декар-
това про изведения нечетких множеств ..1l1, ..1lz,..., ..1l k . А именно, 1lечеткuм дeKap
товым произведенuем нечетких множеств .7l1, .1fz,..., ..1l k , заданных на универсумах
126
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
XI, Х2,..., X k соответственно, называется такое нечеткое отношение 'Р, которое
обозначается через 3lI x .912 x ...x31 k , а функция принадлежности KOToporo определя
ется по формуле:
«XI, Х2,..., X k » = min {1l.91I(XI), l.9l2(X2),..., 1l.91;.-(x k )} (4.24)
('\7'<XI, Х2,..., Xk>EXIXX2X...XXk).
Принцип обобщения будет также использован для определения операций с He
четкими числами и интервалами далее в 2лаве 5.
4.5. Свойства бинарных нечетких отношений,
заданных на одном универсуме
В контексте нечеткоrо моделирования наибольший интерес представляют такие
свойства бинарных нечетких отношений, которые обобщают известные свойства
обычных отношений. Интересуемыми нас свойствами являются рефлексивность,
симметричность и транзитивность, поскольку эти свойства используются в
дальнейшем при определении некоторых специальных типов бинарных нечетких
отношений.
Ре Ф л е к с и в н о с т ь. Бинарное нечеткое отношение Q = {<X j , x j >, /JQ«X j , X j »},
заданное на декартовом произведении ХхХ, называется рефлексивным, если для
любоrо из кортежей <X j , X j > выполняется равенство:
flQ«X j , X j » = I ('\7'X j EX). (4.25)
Как нетрудно заметить, все элементы rлавной диаrонали матрицы рефлексивно
ro бинарноrо нечеткоrо отношения с конечным универсумом равны 1.
Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, можно утверждать, что нечеткое
отношение QI из примера 4.1 является рефлексивным.
А н т и р е Ф л е к с и в н о с т ь. Бинарное нечеткое отношение Q = {<X j , _\:;> ,
/JQ«X j , Х;»} , заданное на декартовом произведении ХхХ, называется антиреф-
лексивным, если для любоrо из кортежей <X j , Х;> выполняется равенство:
flQ«X;, X j » = О ('\7'X j EX). (4.26)
Как нетрудно заметить, все элементы rлавной диаrонали матрицы антирефлек
сивноrо бинарноrо нечеткоrо отношения с конечным универсумом равны О. По-
этому нечеткое отношение Q2 из примера 4.2 является антирефлексивным.
С и м м е т р и ч н о с т ь. Бинарное нечеткое отношение Q ={<Х;, x j >,
/JQ( <Х;, Х;»}, заданное на декартовом про изведении ХхХ, называется сu.м.метрич-
ньш, если для любоrо из кортежей <X j , Х;> выполняется равенство:
/JQ«X j , X j » = flQ«.x:;, X j » ('\7'<x j , Xj>EXXX). (4.27)
Следует заметить, что матрица симметричноrо бинарноrо нечеткоrо отношения
.С конечным универсумом симметрична относительно rлавной диаrонали. Это
подтверждает нечеткое отношение QI из при мера 4.1, которое является симмет-
ричным.
rлава 4. Нечеткие отношения
127
А с и м м е т р и ч н о с т Ь. Бинарное нечеткое ОТ!lошение Q ={ <Х;, Х';>,
/lQ«X;, Х;»}, заданное на декартовом произведении ХхХ, называется acиMMeт
рUЧllЫМ, если выполняется следующее условие:
min{f..\Q«x;, ;», f..\Q«x j , Х;>)} = О ('\7'<Х;, Xj>EXXX). (4.28)
Следует заметить, что все элементы rлавной диаrонали матрицы асимметрично
[О бинарноrо нечеткоrо отношения с конечным универсумом равны О. В допол
нение к этому один из двух (а может быть и оба) симметричных относительно
rлавной диаrонали элементов должен быть равен О. Нечеткое отношение Q2 из
примера 4.2 является асимметричным, что непосредственно следует из определе
ния ero функции принадлежности.
А н т и с и м м е т р и ч н о с т ь. Бинарное нечеткое отношение Q = {<Х;, X j >,
/lQ«X j , »}, заданное на декартовом произведении ХхХ, называется allтиcиM
метричным, если выполняется следующее условие:
min{f..\Q«x j , x j », f..\Q«x;, Х;»} = О
(4.29)
(\7'<Х;, X j > ЕХХХ, причем Х; ::f.:X j ).
Как не трудно заметить, антисимметричность является более слабым свойством,
чем асимметричность. Для выполнения этоrо свойства требуется лишь, чтобы
один из двух (а может быть и оба) симметричных относительно rлавной диаrо
нали элементов матрицы соответствующеrо бинарноrо нечеткоrо отношения
был равен О. Нечеткое отношение Q2 из примера 4.2 также является и антисим
метричным, что непосредственно следует из определения ero функции принад
лежности.
Тр а н з и т и в н о с т ь. Бинарное нечеткое отношение Q ={<X j , x j >, f..\Q«X;, Х;»} ,
заданное на декартовом произведении ХхХ, называется транзитивным, если BЫ
полняется следующее условие:
J.!Q«X;, Xk» тах {min{f..\Q«x;, х,», 1Q«Xj, х,,»}} (4.30)
х,ЕХ
('\7'x j , X j , XkEX).
Нечеткое отношение Q2 из примера 4.2 также является транзитивным, поскольку
ero функция принадлежности монотонно возрастает относительно разности х, X;-
К о т р а н з и т и в н о с т ь. Бинарное нечеткое отношение Q = { <Х;, х,>,
1lQ«X;, X j :::»} , заданное на декартовом про изведении ХхХ, называется 1(oтpaH311
тиВllЫМ, если выполняется следующее условие:
f..\Q«X;, X k »::;; min {max{J.!Q«X;, x j », f..\Q«x;, X k >)}}
х,ЕХ
('\7'Х;, Х;, XkEX).
Примечание
Непосредственная проверка свойств транзитивности и котранзитивности дЛЯ KOH
кретных нечетких отношений представляется довольно трудоемкой процедуроЙ,
(4.31)
128
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
поскольку требует большоro числа попарных сравнений вида (4.30) и (4.31).
Более конструктивным представляется способ эмпирическоrо установления
данных свойств на основе выполнения операции нечеткоro транзитивноro за-
мыкания соответствующеrо нечеткоrо отношения, о котором пойдет речь в за
вершение этоrо раздела.
с и л ь Н а я п о л н о т а. Бинарное нечеткое отношение Q = { <Х;, XJ>' /JQ( <X j , х.,»},
заданное на декартовом произведении ХхХ, называется сильно полным, если вы-
полняется следующее условие:
max{f..\Q«X j , x j », f..\Q«x j , Х;»} = I (4.32)
(\f<x;, Xj>EXXX).
Нечеткие отношения QI из примера 4.1 и Q2 из примера 4.2 не являются сильно
полными, поскольку для первоrо из них только элементы rлавной диаrонали
матрицы этоrо отношения равны 1, а второе вообще является субнормальным.
С л а б а я п о л н о т а. Бинарное нечеткое отношение Q ={ <Х;, x j >, f..\Q«X;, x j »},
заданное на декартовом произведении ХхХ, называется слабо полныJrt (ЛИНейНЫМ
или связным), если выполняется следующее условие:
max{f..\Q«x;, Xj», 1Q«Xj, Х;»} > О (4.33)
(\f<x;, Xj>EXXX, причем X;::f.:X j ).
Нечеткое отношение Q2 из примера 4.2 является слабо полным, поскольку для
всех кортежей <Х;, Xj>EXXX, таких что X;>X j , по определению функции принад-
лежности (4.2) f..\Q1«X j , х;»>О. Нечеткое отношение Ql из примера 4.1 не является
слабо полным.
Операция транзитивноrо замыкания
бинарноrо нечеткоrо отношения
Рассмотрим произвольное конечное бинарное нечеткое отношение Q = {<Х;, x j >,
f..\Q«X;, х.;»}, заданное на одном базисном множестве Х. В основе операции тpaH
зитивноrо замыкания лежит определенная выше операция (max-miп) КоМпо
зиции (4.17) произвольных бинарных нечетких отношений.
Транзитивное замыкание бинарноrо нечеткоrо отноше-
н и я. Транзитивным замыканием бинарНО20 нечетКО20 отНOtиенuя Q, заданноrо на
конечном универсуме Х, называется такое бинарное нечеткое отношение
QT ={ <х" х,;>, f..\QT«x;, Х;»} , которое задано на том же универсуме, а ero функция
принадлежности определяется следующим выражением:
/JQT«x;, X k » = тах {min{f..\Q«x;, X.;I», f..\Q«Xjl, х,;2»,..., f..\Q«X.;.H' X k >)}}
X;l' Х;2''''' Х; k IEX
(V<Xj,Xk>E ХхХ, \fkE{I, 2,...,1l}, [де n=card(X».
(4.34)
(лава 4. Нечеткие отношения
129
Определенную таким образом операцию транзитивноrо замыкания бинарноrо
нечеткоrо отношения также называют (тах тiп) транзuтuвНblМ замыканием
(максиминным транзитивным замыканием).
Можно показать, что транзитивное замыкание произвольноrо конечноrо би
нарното нечеткоrо отношения, заданноrо на одном универсуме, всетда обладает
свойством транзитивности.
Для практическоrо выполнения операции транзитивноrо замыкания бинарноrо
нечеткоrо отношения удобно использовать представление данноrо отношения в
форме матрицы Ма. В этом случае результат операции транзитивноrо замыка .
ния бинарноrо нечеткоrо отношения также представляется в форме COOTBeTCT
вующей матрицы MQT, которая может быть получена по следующей формуле:
MQT= MQvMQ2VMQ3V...MQ"... (4.35)
rде через M Q " обозначена k-степень композиции матрицы M Q данноrо нечеткоrо
отношения. При этом k степень матрицы бинарноrо нечеткоrо отношения опре
деляется рекуррентно следующим выражением:
M Q k =M Q MQH (4.36)
для любоrо натуральноrо k>l.
При этом имеет место замечательное свойство, которое существенно упрощает
численные расчеты, связанные с выполнением операций (4.35) и (4.36). А именно,
для ПОЛ.j'чения матрицы транзитивноrо замыкания бинарноrо нечеткоrо отноше
ния M Q достаточно оrраничиться выполнением одноrо из следующих условий:
LI если для HeKoToporo натуральноrо k при условии 1 < k < 11, тде Il = card(X), BЫ
полнено равенство M Q k = k l, то дальнейшие расчеты степеней композиции
матрицы исходноrо нечеткоrо отношения можно прекратить, а матрица TpaH
зитивноrо замыкания рассматриваемоrо нечеткоrо отношения будет равна:
MQT= МavMQ2vMQJv...Мak (4.37)
LI выражение (4.37) всеrда имеет место при k=n, rде n=card(X).
При м е р 4.9. В качестве примера использования операции транзитивнOI'О за
мыкания нечеткоrо отношения рассмотрим так называемую задачу анализа эф
фективности коммуникации, известную также как задача распространения слу
хов среди хорошо знакомых между собой людей.
С этой целью рассмотрим в качестве исходноrо универсума X={XI, Х2, Х3...., Х,,}
некоторую совокупность людей. Определим на этом универсуме бинарное нечет
кое отношение <Н, которое содержательно описывает условие: "человек Х; ХОРОШО
знаком с человеком х/. По определению есть все основания считать это нечеткое
отношение рефлексивным и симметричным. Однако в общем случае данное He
четкое отношение не является транзитивным, поскольку факт знакомства имеет
место в основном между парами людей. Предположим, нас интересует потенци
альная возможность передачи информации или распространения слухов среди
рассматриваемой совокупности людей. Оказывается, эта задача может быть pe
шена применением операции нечеткоrо транзитивноrо замыкания данноrо He
четкоrо отношения.
130 Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Для простоты, пусть х={Xl, Х2, Х3, Х4, Х5} и нечеткое отношение 1f задано
1 0.8 0.4 0.2 О
0.8 1 0.1 0.7 0.2
следующей матрицей М'Н= М = 0.4 0.1 1 0.6 0.5
0.2 0.7 0.6 1 О
О 0.2 0.5 О 1
Для получения матрицы транзитивноrо замыкания этоrо нечеткоrо OT
ношения последовательно найдем матрицы:
1 0.8 0.4 0.7 0.4
0.8 1 0.6 0.7 0.2
0.4 0.6 1 0.6 0.5
M2=M M= 0.7 0.7 0.6 1 0.5 ,
0.4 0.2 0.5 0.5 1
1 0.8 0.6 0.7 0.4
0.8 1 0.6 0.7 0.5
0.6 0.6 1 0.6 0.5
M3=M M2=
0.7 0.7 0.6 1 0.5
0.4 0.5 0.5 0.5 1
1 0.8 0.6 0.7 0.5
0.8 1 0.6 0.7 0.5
M4=M M3= 0.6 0.6 1 0.6 0.5
0.7 0.7 0.6 1 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 1
1 0.8 0.6 0.7 0.5
0.8 1 0.6 0.7 0.5
0.6 0.6 1 0.6 0.5
M5=M M4= 0.7 0.7 0.6 1 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 1
Наконец, можно записать матрицу транзитивноrо замыкания нечеткоrо OTHO
шения 1f, которую получим с использованием выражения: М Т = Mv M 2 v M 3 vM4
(заметим, что М4= М5).
(лава 4. Нечеткие отношения 131
1 0.8 0.6 0.7 0.5
0.8 1 0.6 0.7 0.5
М Т = 0.6 0.6 1 0.6 0.5
0.7 0.7 0.6 1 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 1
Анализ ЭТОй матрицы показывает, что любой слух достаточно "быстро" распро
странится среди всех без исключения людей рассматриваемой совокупности.
Следует отметить, что при этом некоторые из них MorYT быть даже не знакомы
между собой (например, ХI и Х5).
Примечание
Наряду с максиминным транзитивным замыканием бинарноro нечеткоro OTHO
шения можно определить таюке (mах рrоd) транзитивное замыкание. В этом
случае, как не трудно предположить, в качестве композиции используется (тax
рrоd) композиция нечетких отношений, определяемая выражением (4.21). Про
верку свойств (mах рrоd) транзитивноrо замыкания бинарноro нечеткоro OTHO
шения, заданноrо на одном конечном универсуме, предоставляем заинтересо
ванным читателям в качестве упражнения.
4.6. Некоторые специальные виды
нечетких бинарных отношений,
заданных на одном базисном множестве
Как и в случае обычных отношений, совместное наличие нескольких свойств MO
жет характеризовать общий вид Toro или иноrо бинарноrо нечеткоrо отношения.
Н е ч е т к о е о т н о ш е н и е ч а с т и ч н о r о с т р о r О r о пор я Д к а. Би
нарное нечеткое отношение Q={<x"xj>,,uQ«Xj,X j »}, заданное на декартовом
произведении ХхХ, называется нечетким отношением частUЧ/Ю20 Cтp020Z0 Il0
рядка, если оно одновременно является антирефлексивным, асимметричным и
транзитивным.
Н е ч е т к о е о т н О ш е н и е л и н е й н о r о с т р о r о r о пор я Д к а. He
четкое отношение частичноrо cTpororo порядка, которое дополнительно yДOB
летворяет условию слабой полноты, называется нечетким отношением ЛllнейНО20
стРО2020 порядка.
Например, нечеткое отношение Q2 из примера 4.2 является отношением линейно
ro cTpororo порядка, поскольку, как было отмечено выше, оно удовлетворяет
условиям антирефлексивности, асимметричности, транзитивности и слабой пол
ноты. Что касается нечеткоrо отношения Q, из примера 4.1, то оно не является
нечетким отношением cTpororo порядка.
132
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Н е ч е т к о е о т н о ш е н и е т о л е р а н т н о с т и. Бинарное нечеткое OTHO
шение Q = {<Х;, х,;>, J.ЧJ( <X j , Xj>)}, заданное на декартовом про изведении ХхХ, Ha
зывается отношением толерантности, если оно является рефлексивным и сим
метричным. Нечеткое отношение толерантности также называют отношением
нечетКО20 сходства, поскольку оно используется для содержательноrо представ
ления попарноrо подобия или похожести различных объектов между собой.
Иллюстрацией нечеткоrо отношения толерантности может служить нечеткое
отношение 1f из примера 4.9, представляющее хорошо знакомых между собой
людей.
Нечеткое отношение толерантности тесно связано с так называемым нечетким
покрытием нечеткоrо множества.
Н е ч е т к о е п о к рыт и е нечеткоrо множества. Система нечетких подмно
жеств (.1{)={.1{kl.1{k .1{} нечеткоrо множества.1{ называется нечеткuм пOKpЫ
тием, если выполняется следующее условие:
u .1{k = .1{,
k
т. е. объединение всех (или части) подмножеств из (.1{) совпадает (или
"покрывает") С исходным нечетким множеством .1{.
(.1{kE ),
(4.38)
примечание
Используя принцип обобщения теории нечетких множеств. можно показать, что
нечеткое отношение толерантности порождает некоторое нечеткое покрытие
З(.'А)={.'Аk I .'Ak!;;.'A} нечеткоrо множества Я, если в качестве нечетких подмно
жеств .'Ak!;;.'A взять двухэлементные нечеткие множества .'Ak={X;, ХЙ. совокуп
ность всех кортежей которых удовлетворяет условиям нечеткой рефлексивно
сти и симметричности.
Н е ч е т к о е о т н о ш е н и э к в и в а л е н т н о с т и. Бинарное нечеткое OT
ношение Q == {<Х;, х;>, J...tQ( <Х;, Х;»}, заданное на декартовом произведении ХхХ,
называется нечетким отношением эквuвШlеН11lностu, если оно одновременно яв
ляется рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Иллюстрацией нечеткоrо отношения эквивалентности может служить транзи
тивное замыкание нечеткоrо отношения 1f из примера 4.9, представляющее xo
рошо знакомых между собой людей.
Нечеткое отношение эквивалентности тесно связано с так называемым нечетким
разбиением нечеткоrо множества.
Н е ч е т к о е раз б и е н и е нечеткоrо множества. Система нечетких подмно
жеств 91(.1{)={.1{kl.1{k .1{} нечеткоrо множества.1{ называется нечеткuм разбие
ние.м, если выполняются следующие условия:
u .1{k = .1{,
k
hc< 1,
(.1{k E91 );
( 4.39)
rде c=.9t, п .9t т , (V.1{" .1{т Е 91).
(4.40)
rлава 4. Нечеткие отношения
1ЗЗ
Друrими словами, объединение всех (или части) нечетких подмножеств из 91(..9l)
совпадает (или "покрывает") с исходным нечетким множеством .1f, при этом BЫ
сота nonapHoro пересечения любых нечетких подмножеств нечеткоrо разбиения
crporo меньше единицы. Нетрудно заметить. что нечеткое разбиение является
нечетким покрытием, которое дополнительно удовлетворяет свойству нечеткой
транзитивности.
Примечание )
Используя принцип обобщения теории нечетких множеств, можно показать, что
нечеткое отношение эквивалентности по рождает некоторое нечеткое разбие
ние 9t(.7I)={.7Ij( I .7Ij( .7I} нечеткоrо множества .7I, если в качестве нечетких
подмножеств .7Ij( .7I взять нечеткие множества .7Ij(, кортежи всех попарных
элементов которых удовлетворяют условиям нечеткой рефлексивности, сим
метричности и транзитивности.
Дальнейшее рассмотрение концепций теории нечетких множеств связано с изу
чением специальных случаев нечетких множеств, которые представляют собой
линrвистические переменные. а также нечеткие числа и интервалы. Эти понятия
и их основные свойства будут рассмотрены в следующей rлаве.
rлава 5
, .. .._ . : :::::'-,
..: ;4\ '
<'. , ,
'.ii" .,fi', ,
-' -,
Нечеткая и линrвистическая
переменные. Нечеткие величины,
числа и интервалы
Рассмотренное выше понятие нечеткоrо множества допускает различные уточ
нения, которые целесообразно использовать для более адекватноrо отражения
семантики неопределенности при построении нечетких моделей сложных систем.
Одним из таких уточнений является понятие линrвистической переменной, кото-
,
рое широко используется в нечетком управлении для представления входных и
выходных переменных управляемой системы. В этой rлаве также будут paCCMOT
рены нечеткие аналоrи обычных чисел и интервалов, которые оказываются
весьма удобным средством для численных расчетов значений соответствующих
функции принадлежности при выполнении арифметических операций.
5.1. Определения нечеткой
и линrвистической переменных
н е ч е т к а я пер е м е н н а я. Нечеткая nере.менная определяется как кортеж:
<а, Х, .1f>, rде а наименование или название нечеткой переменной; Х об
ласть ее определения (универсум); .1f={x, J.!..'lI(x)} нечеткое множество на Х,
описывающее возможные значения, которые может принимать нечеткая пере
менная а. Таким образом, rоворя о нечеткой переменной а, мы всеrда будем
иметь в виду некоторое нечеткое множество .1f, которое определяет ее возмож
ные значения.
В качестве примера нечеткой переменной можно привести рассмотренное в 2лаве 2
нечеткое множество 13, которое характеризует "20рЯЧUЙ кофе" (см. пример 2.2).
В этом случае соответствующая нечеткая переменная может быть представлена
следующим образом: <rорячuй кофе, {х I о ос <Х< 100 ОС}, 13>, rде Б={х, J.! X)}
нечеткое множество с функцией принадлежности J.!B(X), которая может быть за
дана, в частности, rрафически (рис. 2.4, а или рис. 2.4,6).
rлава 5. Нечеткая и линrвиcтическая переменные. Нечеткие величины, числа и интервалы 135
Обобщением нечеткой переменной является так называемая линrвистическая
переменная.
Л и н r в и с т и ч е с к а я пер е м е н н а я. Лuнzвuстuческая nеременная также
определяется как кортеж: < , Т, Х, G, М>, rде:
О (3 наименование или название линrвистической переменной;
О Т базовое терм ,множество линrвистической переменной или множество
ее значений (термов), каждое из которых представляет собой наименование
отдельной нечеткой переменной а;
О Х область определения (универсум) нечетких переменных, которые входят
в определение линrвистической переменной ;
О G некоторая синтаксическая процедура, которая описывает процесс обра
зования или rенерирования из множества Т новых, осмысленных в paCCMaT
риваемом контексте значений для данной линrвистической переменной;
LJ М семантическая процедура, которая позволяет поставить в соответствие
каждому новому значению данной линrвистической переменной, получаемо
му с помощью процедуры G, некоторое осмысленное содержание посредством
формирования соответствующеrо нечеТl\оrо множества.
При м ер 5.1. В качестве примера рассмотрим ситуацию со скоростью движе
ния автомобильноrо транспорта в пределах rородской черты. Хотя правила дo
рожноrо движения реrламентируют величину этой скорости, однако мноrие aB
толюбители предпочитают давать собственную субъективную оценку своей
скорости движения. При этом используются такие определения, как "малая CKO
рость", "средняя скорость" и "высокая скорость" движения. Очевидно, что по
добная практическая оценка скорости может относиться к диапазону скоростей
в пределах интервала от О км/ч до некоторой величины, определяемой личными
предпочтениями Toro или иноrо водителя. Пусть в нашем примере из соображе
ний удобства это будет величина 100 км/ч.
Формализация субъективной оценки скорости движения может быть выполнена
с помощью следующей линrвистической переменной <(31, Т, Х, G, М >, rде
D (31 скорость движения автомобиля;
О Т={"малая скорость", "средняя скорость", "высокая скорость"};
О Х = [О, 100];
О G процедура образования новых термов с помощью связок лоrических свя
зок "И", "ИЛИ" И модификаторов типа "очень", "НЕ", "слеrка" и др. Напри
мер: "малая или средняя скорость", "очень высокая скорость" и др.;
О М процедура задания на Х=[О, 100] нечетких переменных ш= ",малая CKO
рость", а2= "средняя скорость", аз= "высокая скорость", а также COOTBeTCT
вующих нечетких множеств для термов из G(1) в соответствии справилами
трансляции нечетких связок и модификаторов "И", "ИЛИ", "НЕ", "очень",
"слеrка" .
136
. Часть 1. Основы теории нечетких Множеств инечеткой лоrики
римечание
Конкретные процедуры G И М будут рассмотрены нами далее валаве 6. посвя-
щенной изложению основ нечеткой лоrики. Применительно к данному конкретно-
му примеру можно оrраничиться предположением об их тривиальном характере,
т. е. никаких лоrических связок и модификаторов мы не будем использовать.
Для рассматриваемоrо примера нечеткие множества ..1{" ..1{2, .1l3, соответствую
щие нечетким переменным: at = ".малая скорость", а2= "средняя скорость",
аз = "высокая скорость", удобно задать rрафически с помощью кусочно
линейных функций принадлежности. Один из возможных конкретных вариантов
этих нечетких множеств изображен на рис. 5.1.
0.8
I .
, f I I I I I I I
L L L J
I I , . , I I I I
I I I I I I . I .
I I I I , I . I .
......... ..... ......... ..,........... ......... ..................., ........ ................ ................ ......... ..........,.............
I I I I . I I I .
I , I I I I I I .
I I I I . I . I I
т I ... r ... r ... , ... I r ... ... т ... I'" ... ...
, I I I I I I I .
I I I . I I I I I
......... ...1............ ...'........... ...'.............. !............ ................ ...'.............!.......... ...1........... ..1..........
I I I I I I I 1 I
I I I I . I . I I
I I I f I I I I I
0.6
0.4
0.2
о
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
а
0.8
0.6
0.4
0.2
о
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 6
О.В
I I
f . I I I ,
.......... ...............I............ .......... ........... .............. ........
. , I I I I
I , I I I ,
I I . I . I I I I
4 , I
I I I I I I I , I
I I I I I I I I I
, I I I I I I I I
T r T ' r r I
I . I . I , I I I
I I I I I I I I I
l I L ! J L J I
, , I I . , I I I
I , , I I I I I I
I . , l' I I I
0.6
0.4
0.2
О
О
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 в
Рис. 5.1. rрафики функций принадлежности нечетких множеств .711. .712. .7Iз.
соответствующих нечетким переменным а1= "малая скорость" (а),
а2 = "средняя скорость" (6), аз= "Вblсокая скорость" (в)
для линrвистической переменной Р1 (скорость движения автомобиля)
rлава 5. Нечеткая и линrвистическая переменные. Нечеткие величины, числа и инrервалы 137
Иноrда для наrлядности rрафики функций принадлежности нескольких нечетких
переменных, используемых для задания одной линrвистической переменной,
изображают на одном рисунке. Применительно к примеру 5.1 все три rрафика
представлены на рис. 5.2, что позволяет сравнивать значения функций принад
лежности соответствующих нечетких переменных для различных значений уни
версума.
0.8
I
, , ,
,-
, , ,
, , ,
, , .
0.6
0.4
0.2
о
о
10
20
зо
40
50
б
60
70
80
90
100
а
в
Рис. 5.2. rрафики функций принадлежности нечетких множеств .111. .112. .113.
изображенные на одном рисунке
Примечание ")
Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями пинrвистической пере
мен ной "скорость движения автомобиля" (Т={"МдЛдЯ скорость", "средняя ско-
рость", "высокая скорость"}) возможны и друrие значения этой же линrвисти
ческой переменной, зависящие от конкретной величины скорости движения.
Например, MOryT быть определены такие дополнительные значения линrвисти
ческой переменной "скорость движения автомобиля", как "около 30 км/ч",
"около 50 км/ч", "около 70 км/ч". Как будет видно из дальнейшеrо изложения,
эти значения линrвистической переменной удобно моделировать с помощью
нечетких чисел.
5.2. Нечеткие величины, числа и интервалы
Процесс нечеткоrо моделирования основывается на количественном представле
нии входных и выходных переменных системы в форме нечетких множеств. Ta
кое представление связано с рассмотрением специальных нечетких множеств,
которые задаются на множестве действительных чисел и обладают некоторыми
дополнительными свойствами. Наиболее общим понятием в этом контексте яв-
ляется понятие нечеткой величины.
138
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Н е ч е т к а я в е л и ч и н а. Нечеткой величиной называется произвольное He
четкое множество ={x, J.!.f3(x)}, заданное на множестве действительных чисел fR,
т. е. для KOToporo универсумом Х служит все множество fR. Друrими словами,
функция принадлежности нечеткой величины есть отображение J.!.f3(x): fR [O, 1].
Если в качестве универсума взять подмножество неотрицательных действитель
ных чисел fR+, то получим определение flеотрuцательной нечеl1lКОй величины +.
Примерами нечетких величин являются нечеткие множества, функции принаk
лежности которых изображены на рис. 2.11 2.18. Более Toro, все эти нечеткие
величины являются неотрицательными. С друrой стороны, рассмотренные в
примерах 2.1 и 2.3 нечеткие множества не являются нечеткими величинами.
Наибольший интерес для нечеткоrо моделирования представляет конкретизация
нечеткой величины в форме нечетких чисел и интервалов.
Н е ч е т к и й и н т е р в а л. В общем случае нечеткuм zттервало.М называется
нечеткая величина с выпуклой функцией принадлежности.
Примерами нечетких интервалов MorYT служить нечеткие множества с функция
ми принадлежности, изображенными на рис. 2.9, а, 2.1 О, а и 2.11, б, а также на
рис. 2.12 2.16. С друrой стороны, нечеткое множество с функцией принадлеж
ности, изображенной на рис. 2.10, б, не является нечетким интервалом.
Примечание )
В литературе нечеткий интервал иноrда называют таюке толерантным нечет
ким числом.
Н е ч е т к о е ч и с л о. В общем случае нечеткl{.;Н числом называется такая He
четкая величина, функция принадлежности которой являеТС$! выпуклой и унимо
дальной.
Примерами нечетких чисел MorYT служить не'tеткие множества с функциями
принадлежности, изображенными на рис. 2.10, а, 2.11, а и 2.18, б. С друrой CTO
роны, нечеткое множество с функцией принадлежности, изображенной на
рис. 2.1 О, б, не является нечетким интервалом. Как видно из этих примеров, He
четкое число в общем случае является частным случаем нечеткоrо интервала, что
полностью соrласуется с обычными ч слами и интервалами на множестве дейст
вительных чисел.
Примечание
При общем определении нечеткоro интервала и нечеткоrо числа не делается
никаких предположений относительно нормальности соответствующих нечет
ких множеств. С друrой стороны, фУНКЦИИ принадлежности нечетких чисел и
интервалов, вообще rоворя, MoryT и не иметь аналитическоrо представления.
Все это затрудняет практическое использование этих общих понятий для pe
шения конкретных задач нечеткоrо моделирования. ПО этой причине в даль
нейшем рассматриваются некоторые способы уточнения данных понятий на
основе использования типовых фУНКЦИЙ принадлежности.
rлава 5. Нечеткая и линrвистическая переменные. Нечеткие вeJ1ИЧ11fНЫ, числа и интервалы 1 З9
Поскольку нечеткие числа и интервалы представляют собой нечеткие множества,
то для них оказываются справедливыми все свойства и операции, определенные
ранее для нечетких множеств. Это в полной мере относится к определению HOp
мальноrо нечеткоrо числа и нормальноrо нечеткоrо интервала, носителя и ядра,
а также свойств выпуклости и унимодальности нечетких чисел и нечетких интер
валов, которые были использованы при их определении (см. zлавы 2 иЗ).
Дополнительно нечеткие числа MorYT характеризоваться следующими свойствами.
Н е ч е т к и й н у л ь. Нечеткое число называется нечеmкuм нулем, если ero MO
дальное значение (мода) равно О.
П о л о ж и т е л ь н о е (о т р и Ц а т е л ь н о е) нечеткое число. Нечеткое число
называется положumелы-lы.м (или оmрицаmельны.м) нечетким числом, если оно
имеет cTporo положительный (соответственно, CTporo отрицательный) носитель.
Операции над нечеткими
числами и интервалами
Для нечетких чисел и интервалов в общем случае с использованием принципа
обобщения (4.23) MorYT быть определены аналоrи обычных арифметических
операций. В этом случае расширенные бинарные арифметические операции
(сложение, вычитание, умножение и деление) для нечетких чисел и интервалов
определяются через соответствующие операции для обычных действительных
чисел.
Пусть.1{ и 13 произвольные нечеткие числа (нечеткие интервалы) с функциями
принадлежности /lS'l(X) и /l.в(у) соответственно.
е л о ж е н и е. Операция сложения нечетких чисел (интервалов) обозначается
через .1{+13 = С ={z, (z)}, rде функция принадлежности результата z) опреде
ляется по формуле:
(z) = sup {min {/lS'l(x), /l!!(y)} } .
z=x+y
(5.1)
Вы ч и т а н и е. Операция вычитания нечетких чисел (интервалов) обозначается
через .1{ 13 = C={z, (z)}, rде функция принадлежности результата (z) опреде
шiется по формуле:
(z) = sup {min {/l.1l(x), /l2J(y)} }.
z=x y
(5.2)
у м н о ж е н и е. Операция умножения нечетких чисел (интервалов) обозначается
через .1{е13= С ={z, (z)}, rде функция принадлежности результата (z) опреде
ляется по формуле:
(z) = sup {min{/lS'l(x), /l2J(y)}}'
z=x.y
(5.3)
140
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
д е л е н и е. Операция деления нечетких чисел (интервалов) обозначается через
.:lI+Б = С = {z, Ilc(Z)} , [де функция принадлежности результата Ilc(Z) определяется
по формуле:
Jlc(Z) = sup {min{ l.9l(x), Jl:в(у)}}.
z=x+y
(5.4)
в выражениях (5.1) (5.4) справа от знака равенства супремум берется по каж
дому из совокупности значений элементов универсума, которые в свою очередь
являются результатом соответствующей обычной арифметической операции над
численными значениями элементов универсума исходных нечетких чисел
(интервалов).
Например, пусть задано нечеткое число "нечеl11КОЯ единица", которое описывает-
ся следующим конечным нечетким множеством: I={<O, 0.2>, <1,1.0>, <2, 0.2>}.
Рассмотрим выполнение нечеткой операции сложения "нечеl11Кая единица" плюс
"нечеткая единица" с использованием формулы (5.1). Последовательно получим:
I+ I={<O, 0.2>, <1,1.0>, <2, 0.2>}+{<0. 0.2>, <1,1.0>, <2, 0.2>}={<0, min{0.2, 0.2}>,
<1, rnах {rnin {0.2, 1.0}, rnin{l.O, 0.2} }>, <2, rnax{min{0.2, 0.2}, min{l.O, I.O}, min{0.2, 0.2} }>,
<3, max{min{I.O, 0.2}, min{0.2, I.O} }>, <4, min{0.2, 0.2}>} ={ <0,0.2>, <1,0.2>. <2,1.0>,
<3, 0.2>, <4, 0.2>}.
Возможно, операция сложения нечетких чисел станет более понятной, если при-
нять во внимание, что значения результата получаются как различные комбина
ции слаrаемых обычной арифметической операции сложения: 0=0+0,
1=0+1=1+0,2=0+2=1+1=2+0,3=1+2=2+1,4=2+2. Очевидно, что для конечных
множеств вместо операции супре.Му.м можно использовать операцию мйксиму.м.
Полученное в результате нечеткое число можно назвать "нечетКQЯ двОЙКQ".
Аналоrичным образом можно получить друrое нечеткое число "нечеткиu
нуль", как результат выполнения операции разности с использованием формулы
(5.2). В этом случае получим: "нечеткий нуль" равен "нече111КQЯ единица" минус
"нечеткая единица" или I I={<0,0.2>, <1, 1.0>,<2,0.2>} {<0,0.2>, <1,1.0>,
<2,0.2>} = {< 2, min{0.2,0.2}>, < I, max{min{0.2,1.0}, min{l.0,0.2}}>, <О,
max{min{0.2, 0.2}, min{ 1.0, '.О}, min{O.2, 0.2} }>, <1, max{min{I.O, 0.2}, min{0.2, 1.0} }>,
<2, min{0.2, 0.2}>} = {< 2, 0.2>, < I, 0.2>, <0,1.0>, <1,0.2>, <2, 0.2>}.
Иноrда MorYT представлять интерес операции расwиренноrо максимума и pac
ширенноrо минимума нечетких чисел (интервалов), которые определяются сле
дующим образом.
р а с ш и р е н н ы й м а к с и м у м. Операция росширеННО20 MQKCUJvtYMQ нечетких
чисел (интервалов) обозначается через mах{Я, Б} = С = {z, Jlc(z)}, [де функция
принадлежности результата Ilc(Z) определяется по формуле:
Ilc(Z) = sup {min{JlYY(x), JlfJ(v)}}'
z=max{x, у}
(5.5)
(лава 5. Нечеткая и линrвистическая переменные. Нечеткие величины, числа и интервалы 141
Р а с ш и р е н н ы й м и н и м у м. Операция расширеННО20 .МИНUМу.ма нечетких
чисел (интервалов) обозначается через min{.J[, Б} = С = {z, Ilc(Z)} , rде функция
принадлежности результата Ilc(Z) определяется по формуле:
Ilc(Z) = sup {min{J!.1I(x), J!13(Y)}}.
z=min{x, у}
Например, пусть задано два нечетких числа "нечеткая единица" и "нечеткий
нуль", которые описываются следующими конечными нечеткими множествами:
I={<O, 0.2>, <1,1.0>, <2, 0.2>} и О ={< I, 0.1>, <0,1.0>, <1, O.I>}. Рассмотрим
выполнение нечеткой операции расширенноrо максимума с использованием
формулы (5.5). Последовательно получим: max{I,O} = {<О, max{min{0.2, O.I},
min{0.2, I.O} }>, <1, max{min{l.O, O.l}, min{I.O, 1.0}, min{I.O, O.l}, min{0.2, I.O} }>,
<2,max{min{0.2, 0.1},min{0.2, 1.0},miп{0.2,О.l}}>} = {<0,0.2>, <1, 1.0>, <2,0.2>},
Т.е. результат равен "нечеткой единuце".
При этом значения результата получаются как различные комбинации операции
обычноrо максимума над парами значений исходных нечетких множеств:
O=max{O, I}=max{O,O}, l=max{I, I}=max{I,O} = тах {I, 1}=max{O,I},
2 = тах{2, I}= тах{2, О} = тах{2, I}.
(5:6)
Аналоrичным образом для этоrо примера можно выполнить нечеткую операцию
расширенноrо минимума с использованием формулы (5.6). Последовательно по
лучим: mill{I,O} = {< I,max{min{0.2,0.1},min{I.0,0.1}, min{0.2,O.l}}>, <О,
max{min{0.2, I.O}, miп{0.2, O.l}, min{0.2, I.O}, min{ 1.0, I.O} }>, <1, max{min{I.O, O.I},
min{0.2,O.l}}>} = {< I,O.I>, <О, I.O>,<I,O.I>}, т. е. результат равен "нечетко
му нулю".
5.3. Нечеткие числа и интервалы
в форме {L..R)"Функций
Нечеткие числа и интервалы, которые наиболее часто используются для преk
ставления нечетких множеств в нечетком моделировании, являются нормальны
ми. Однако данные выше определения нечеткоrо числа и нечеткоrо интервала
слишком общие, что затрудняет их практическое использование. С вычисли
тельной точки зрения удобно использовать более конкретные определения He
четких чисел и интервалов в форме аналитической аппроксимации с помощью
так называемых (L R) функций. Получаемые в результате нечеткие числа и ин
тервалы в форме (L R) функций позволяют охватить достаточно широкий класс
конкретных функций принадлежности.
Ф у н к Ц и и L т и п а и R т и п а. Функция L l1luпa (а также и R l1lиfla), в общем
случае определяется как произвольная функция L: /R [O, 1] и R: /R--4[0, 1], заданная на
множестве действительных чисел, невозрастающая на подмножестве неотрицатель
ных чисел /R+ и удовлетворяющая следующим дополнительным условиям:
L( x)= L(x), R( x)=R(x) условие четности;
L(O) = R(O) = 1 условие нор.мирования.
(5.7)
(5.8)
142
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой nоrики
Примечание
Иноrда в литературе можно встретить еще одно условие, которому должны, по
мнению некоторых авторов, удовлетворять фУНКЦИИ (L R) типа: Ц1) = R(1) = О.
Поскольку с одной стороны это условие существенно оrраничивает класс функ
ций (L R) типа, а с друrой стороны, рассматриваемые ниже треуrольные нечет
кие числа и трапециевидные нечеткие интервалы соrласуются с выполнением
этоro свойства, мы не будем ero включать в ОПределение функций (L R) типа_
Как нетрудно заметить, рассмотренные ранее в 2лаве 2 треуrольная функция
принадлежности fд(Х: а, Ь, с) при Ь = О и а = c (2.8), трапециевидная функция
принадлежности fT(X; а, Ь, с, d) при а = d и с = b (2.9), а также П образные
функции принадлежности (2. 1 9) (2.22), симметричные относительно оси орди
нат, являются функциями (L R) типа, поскольку удовлетворяют условиям опре
деления (5.7) (5.8).
Примерами L функций и, соответственно, R функций являются также следующие
функции, которые в общем случае Moryт быть заданы аналитически в виде:
f(x) = е lxlP ;
I
f(X)= II P ,
1 + х
(5.9)
(5.10)
[де р некоторый параметр, который удовлетворяет условию: p O. [рафики
функций этоrо вида для KOHKpeTHoro значения параметра р=2 изображены на
рис. 5.3.
Н е ч е т к о е ч и с л о (L R) T И n а. Нечетким число.!.t (L R) типa будем назы
вать нечеткую величину Б={х, /J.23(X)}, функция принадлежности которой может
быть представлена в форме композиции некоторой L функции и некоторой R
функции в следующем виде:
!liI(X) = ! { а :х )
, X а )
если Х :5: а;
(5.1 J)
еслих а,
[де <1>0 И 13>0. При этом параметр а является модой или модальным значением
нечеткоrо числа, а параметры <1 и 13 являются левым и правым коэффициеuтами
uечеткости соответственно. Как видно из этоrо определения, при задании He
четких чисел (L R) типа MorYT использоваться, вообще rоворя, две различные
функции указанноrо вида, что существенно расширяет диапазон их возможных
представлений.
Из данноrо определения следует, что нечеткое число (L R) типа с функцией при
надлежности /J.iI(x) при фиксированных L и R функциях вполне определяется
тройкой своих параметров <а, <1,13>, что оказывается весьма удобным дЛЯ BЫ
полнения операций с подобными числами. Чтобы отметить тот факт, что нечет
rлава 5. Нечеткая и линrвистическая переменные. Нечеткие величины, числа и интервалы 143
кое число является (L R) типа, будем ero обозначать специальным образом:
13 LR =<а, а, Р> LR' Расширением понятия нечеткоrо числа (L R)-типа является по
нятие нечеткоrо интервала (L-R) типа.
0.8
0.6
0.4
0.2
О
5 4 з 2 1
,
,
I I I I
i i i I
I I I I
I I I I
о
2
з
4
5
а
0.8
0.6
. ,
.
I I I . I
t 7 f
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I I I
r , I r r r T
I I I I I I , I I
I I I I I I I
I I I I I I I I
L l J L L L L
I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
T ' r r r
I I I I I I I I
I I I I I I
I I I I
0.4
0.2
о
5 А з 2 1
о
2
з
4
5 6
Рис. 5.3. rрафики L функций и R функций, заданных формулами (5.9) (а)
и (5.10) (6) соответственно, ДЛЯ значения параметра p:z2
н е ч е т к и й и н т е р в а л (L R) T и n а. Нечетким интервшlOМ (L R) тИllа бу
дем называть нечеткую величину ={x, J.l2З(х)}, функция принадлежности KOTO
рой может быть представлена в форме композиции некоторой L функции и He
которой R функции в следующем виде:
L( a x ) если х ::; а;
J.!!В(х) = 1, если а < х < Ь; (5.12)
{ X b ) если х Ь,
rде а>О и р>о. При этом параметры а и Ь определяют ядро нечеткоrо интервала
(а < Ь) и называются соответственно нижним и верхним модальными значения.ми
нечеткоrо интервала. Параметры а и Р по-прежнему называются левым и правым
коэффициентами lIечеткости соответственно. Следует отметить, что нечеткий
интервал (L R) типа часто называют толерантным нечетким числом (L R) типа.
144
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Функция принадлежности J.lБ(Х) нечеткоrо интервала (L R) типа при фиксиро
ванных L и R функциях вполне определяется четверкой своих параметров
<а, Ь, а, 13>, что оказывается весьма удобным для выполнения операций с подоб-
ными интервалами. Чтобы отметить тот факт, что нечеткий интервал является (L
R) типа, будем ero обозначать специальным образом: 13 LR =<а, Ь, а, I3>LR'
ИЗ определений (5.11) и (5.12) видно, что при задании нечетких чисел и интерва
лов (L R) типа MorYT использоваться две различные функции указанноrо вида.
При этом в случае равенства параметров а=Ь нечеткий интервал (L R) типа пре-
вращается в нечеткое число (L-R)-типа.
В качестве примеров введенных в рассмотрение понятий можно привести KOH
кретное нечеткое число (L R)-типа 13 LR =<2, 1, 2>LR И нечеткий интервал (L-R)-
типа 13 LR =<1,3,2, I>LR' rде в качестве функции L-типа использована функция
(5.9) со значением параметра р=2, а в качестве функции R-типа использована
функция (5.9) со значением параметра р=3. rрафическое изображение этих не-
четкоrо числа и нечеткоrо интервала (L R) типов представлено на рис. 5.4.
0.8
0.6
,
,
I , I
4
. I ,
I I I
I I I I I r I I
J L J l l L J
I I I I I I I I
I I I I I I . I
I I I I I I I I
t I I I I I I I
. .
1. I I I I
I I I l'
I I I I I
I I I I I I I .
T 1 7 1 r ,
I I I I I I I I
I I I I I . I I
I I I I 1. I
0.4
0.2
о
2
.1
о
2
з
4
5
6
7
а
0.8
0.6
0.4
0.2
,
I I I I I . I
4 .. . . .
I I I . I I
I I I I . . I
I I I I . . I I I
.. .. . t.. . . .f.. . -...f.. . ._--- ----
I I I , I I I I
I I I I I I I I
I I I , I I I I I
-_.. ._-_..-.._- . . . +
. I I I I I I
I I I I I I
. I I I I I I
I I I I I I I I I
' T T i r 1 r
I I I J . I I I I
I I I I I I I I
I t I I I I I
о
4
з
2
-1
о
2
з
4
5
6
6
Рис. 5.4. rрафики нечеткоrо числа (L-R)-типа f)LR ==<2, 1, 2>LR (а)
и нечеткоrо интервала (L R) типа f)LR==<1, 3, 2, 1>LR (6)
rлава 5. Нечеткая и линrвистическая переменные. Нечеткие величины, числа и интервалы 145
Операции над нечеткими числами
и интервалами (L-R)-типа
При определении операций над нечеткими числами и интервалами (L R)-типа
следует исходить из следующих соображений. Результат арифметических опера-
ций сложения, вычитания, деления и умножения должен быть точно или прибли-
зительно равен некоторому нечеткому числу или интервалу с теми же функциями
L-типа и R-типа, а параметры а и 13 результата должны некоторым однозначным
образом зависеть от аналоrичных параметров исходных нечетких чисел и интер-
валов (L R)-типа.
С этой целью для определения аналоrов обычных арифметических операuий над
нечеткими числами и нечеткими интервалами (L R) типа целесообразно исполь-
зовать принuип обобщения (4.23). Замечательным свойством определенных Ta
ким способом арифметических операций (сложение, вычитание, умножение и
деление) является то, что они определяются на основе значений соответствую
щих параметров их (L R) представлений.
Пусть ..1l LR и 13 LR произвольные нечеткие числа (L R) типа, заданные парамет-
рически в виде: ..1l LR =<01, Щ, I3I>LR И 13 LR =<02, 0.2, 132>LR'
С Л О Ж е н и е. Операция сложения нечетких чисел (L R) типа обозначается через
:J{LR+13 LR = C LR = <а, а, I3>LR' rде параметры О, а и 13 результата определяются сле-
дующим образом:
а = 01+a2,
0.=0.1 +0.2,
13=131+132.
(5.13)
в ы ч и т а н и е. Операция вычитания нечетких чисел (L R) типа обозначается
через ..1l LR 13LR = C LR = <а, а, I3>LR' rде параметры а, а и 13 результата определя-
ются следующим образом:
а = Ol 02, о.=щ+132, 13=I3I+Щ. (5.14)
Операции умножения и деления нечетких чисел (L-R)-типа MorYT быть определе-
ны при выполнении некоторых дополнительных условий.
у м н о ж е н и е положительных нечетких чисел (L-R)-типа ..1l LR и 13 LR , т. е. носи
тели которых являются подмножествами R+, а модальные значения т>О и 112>О.
Операция умножения таких нечетких чисел (L-R) типа обозначается через
:J{LR-13 LR = C LR = <а, а, f3>LR' rде параметры а, а и f3 результата определяются сле
дующим образом:
0=ala2, о.=а\щ+а2СХ1, 13=01132+02131. (5.15)
У м н о ж е н и е нечетких чисел (L-R) типа ..1l LR и 13 LR , дЛЯ которых модальные
значения разных знаков: а\ <О и 02>0. Операuия УМ/ЮJlCенuя таких нечетких чисел
(L-R)-типа также обозначается через ..1l LR -13 LR = C LR =<а, а, I3>LR' rде параметры
а, а и 13 результата определяются следующим образом:
о = 01(/2, 0.= 02Щ ([.132, 13= a2131 OIa2. (5.16)
у м н о ж е н и е нечетких чисел (L-R)-типа ..1l LR и 13 LR , дЛЯ которых модальные
значения отрицательные: 01<0 и 02<0. Операция у.множенuя таких нечетких чисел
146
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
(L R) типа также обозначается через :JiLR823LR = C LR =<а, а, P>LR' rде параметры
а, а и Р результата определяются следующим образом:
а = ala2, а= 02P' GI 2, = a2al a.CX2. (5.17)
Д е л е н и е положительных нечетких чисел (L R) типа .9l LR и 23 LR , т. е. носители
которых являются подмножествами IR+, а модальные значения GI>О и 02>0. Опе
рация деления таких нечетких чисел (L R) типа обозначается через
:Ji LR -723 LR = C LR = <а, а, P>LR, rде параметры а, а и р результата определяются сле
дующим образом:
а = al!02, а= (Glp2+a2al)!т 2 , Р= (ala2+a2p.)!02 2 . (5.18)
О б р а т н о е н е ч е т к о е ч и с л о для положительноrо нечеткоrо числа (L
R) типа .9l LR , т. е. носитель KOToporo является подмножеством IR+, а модальное
значение т>О. В этом случае обратное нечеткое число обозначается через CLR I
=<а, а, P>LR' параметры KOToporo а, а и Р определяются следующим образом:
а = 1/щ, а= р.!а. 2 , Р= GI/Gl 2 . (5.19)
В качестве примера выполнения операций с нечеткими числами (L R) типа pac
смотрим два конкретных нечетких числа: "нечеткая тройка" и "нечеткая двойка".
Для удобства предположим, что эти нечеткие числа заданы с использованием
одинаковой L функции и R функции, В качестве которой возьмем уже известную
нам функцию (5.9) со значением параметра р=2. Конкретные значения функций
принадлежности этих нечетких чисел изображены на рис. 5.5, при этом значения
параметров нечетких чисел следующие: GI=3, Щ=РI=2, а2=2, a2=p2=1.
Результаты выполнения операций сложения и вычитания этих нечетких чисел с
использованием формул (5.13) и (5.14) изображены на рис. 5.6, а и рис. 5.6, б. Эти
результаты можно назвать "нечеткая пятерка" и "нечеткая единица" COOTBeTCT
вен но. Результаты выполнения операций умножения и деления этих нечетких
чисел с использованием формул (5.15) и (5.18) изображены на рис. 5.6, в и рис. 5.6,
z. Эти результаты можно назвать "нечеткая шестерка" и "нечеткая дробь 3/2"
соответственно. При этом следует заметить, что для удобства изображены лишь
фраrменты rрафиков результирующих функций принадлежности вблизи их MO
дальныIx значений.
0.8
0.6
0.4
0.2
2
з
4
5
6
7
8
9
10
а
Рис. 5.5. rрафики двух нечетких чисел (L R) типа: "нечеткая тройка" (а)
rлава 5. Нечеткая и линrвистическая переменные. Нечеткие величины, числа и интервалы 147
0.8
,
I I I I I I
J .... J .. .... .. .........
I I I I I I
I I I I I I
I I I I I I
I I I I I I
"'1" "'''''''i'''''''''''''''I'''''''''''''''i''''''''' '''r'''''''''''1'''''''''-'''
I I I I I I
I I I I I I
I I I I I I
............ ...............I............... ............... ........... ......... ...
I I I I I
I I I I I
I I I I I
I I I I I
................................. ............ ................................_...
I I I I I
I I I I I
I I I I .
I I I I I
0.6
0.4
0.2
о
о
2
з
4
5
6
7
8
96
Рис. 5.5. rрафики двух нечетких чисел (L R) типа: "нечеткая двойка" (6)
Аналоrичным образом можно определить операции над нечеткими интервалами
(L R) типа, а также операции расширенноrо максимума и расширенноrо мини
мума нечетких чисел и интервалов (L R) типа. Поскольку подобные операции
характеризуются повышенной сложностью соответствующих численных расче
тов. они не нашли широкоrо применения в практике нечеткоrо моделирования.
0.8
I
, I ,
"'''' '''''''''''' '''4
, , ,
, , ,
, ,
, ,
............ ...1""'... ...... '.........
, ,
.............-4...............
I
I
,
... ... :
, . ,
, , ,
, I ,
,""'............ t............ ...:... ......... t...............,
I I . I I
I I I I I
I I I I I
......... ............... ... ......... ......... ................ ......
I I I I I
I I I I I
I I I I I
I I I I I I I
...T...............I...............7............... ............7...............r ......... .........
I I I I I I I
I I I I I I I
I I I I I I I
0.6
0.4
0.2
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9
10
а
0.8
2
з
4
5
6
7
8
9 6
0.6
0.4
0.2
Рис. 5.6. rрафики нечетких чисел (L R) типа: "нечеткая пятерка" (а)
и "нечеткая единица" (6), которые являются результатами выполнения
операций сложения, вычитания, умножения и деления нечетких чисел (L R) типа:
"нечеткая тройка" и "нечеткая двойка" соответственнО
148
Часть 1. Основы теории нечетких множеств и нечеткой лоrики
0.8
0.6
I
I ,
I I I I I
- I
I I I I I I I
I t I I I I I
I I I I I I I I I
J _L I ! _ A L
I . I I I . I I I
I . I I I . I I I
I . I I I . I I I
I I , I I I . t I I I I
___.__ 4 _ _
I I . I I I . I I I I I
I . . I I I . I I I I I
I I . I I I I I I I I I I
I I . I I I . I I I I I I I
... .....,..-...,....... r"" -.- .. I....... Т-... ....-.... -.-..... i" ....i..... "',-"'" i........ Т..... ..,.....
I I . I I I I I I I I I . .
I I . I I I . t I I I I I I
I I . I I I I I I I I I I ,
,
,
I I I I I
.. ...... .....1..........-..... ...
. I I I I
I I I I
. I I .
.... .......t..... ...:......
, , ,
, ,
, .
...... ...I ......
,
,
0.4
0.2
о
о
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
в
0.8
,
,
I I I I I I
........1.......... ... .... ......... ....... .. ........1............
I I I I I t
I I I I I I
I I I I I I I I
........J...........!...... _1............l............ .........!.............L..........J..........
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I
I I I I I I I
......... .............. ............, ......... ........... I . .
I I t I I I I I
I . f I f f I I
I , I I I I I I
I I I I I I I I
' T I- 7 r 1 , .
I I I I I I I
I I f I I I I
I I I I I I I
0.6
0.4
0.2
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9 r
Рис. 5.б. rрафики нечетких чисел (L R) типа: "нечеткая шестерка" (в)
И "нечеткая дробь 3/2" (r), которые являются результатами выполнения
операций сложения, вычитания, умножения и деления нечетких чисел (L R) типа:
"нечеткая тройка" и "нечеткая двойка" соответственно
Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аналоrи ариф
метических операций, определенные для треуrольных нечетких чисел и трапе
циевидных нечетких интервалов, которые отличаются наrлядностью и просто-
той интерпретации получаемых результатов. ЭТИ понятия являются темой
следующеrо раздела.
5.4. Треуrольные нечеткие числа
и трапециевидные нечеткие интервалы
При решении практических задач нечеткоrо моделирования наибольшее приме-
нение нашли простейшие частные случаи нечетких чисел и интервалов, полу-
чившие свое название по виду их функций принадлежности. Эти нечеткие числа
и интервалы можно рассматривать как частный случай нечетких чисел и интер
валов (L-R)-типа, если в качестве соответствующих функций L-типа и R-типа
использовать их предельные случаи, а именно линейные функиии. При этом
целесообразность использования трапециевидных нечетких интервалов и тpe
rлава 5. Нечеrкая и линrвистическая перемвнные. Нечеткие величины, числа и интервалы 149
уrольных нечетких чисел обусловливается не только простотой выполнения опе
раций над ними, но и их наrлядной rрафической интерпретацией.
т р е у r о л ь Н О е н е ч е т к о е ч и с л о. Треуzольны./И нечетки./И число.И
(сокращенно ТНЧ) будем называть такое нормальное нечеткое число, функ
ция принадлежности KOToporo может быть задана треуrолыюй функцией/д.
в этом случае ТНЧ удобно представить в виде кортежа из трех чисел:
.1I Ll = <а, а, Р> д, rде а ./Иодальное ЗIIачение ТНЧ; а и Р левый и правый КОЭффll
циенты нечеl1lкости ТНЧ. Поскольку, как было отмечено в zлаве 2, каждая тре-
уrольная функция принадлежности порождает нормальное унимодальное BЫ
пуклое нечеткое множество с непустым носителем открытым интервалом (a a,
а+р), то ТНЧ является част ным случаем нечеткоrо числа (L R) типа.
Примечание
Напомним. что треуrольная функция принадлежности f", характеризуется тремя
параметрами и в общем случае с использованием выаженияя (2.8) может быть
записана в виде fд(Х; а, Ь, С). При этом параметры ТНЧ Я д = <а. а, Р>А OДHO
значным образом связаны с параметрами треуrольной функции принадлежно
сти fLl(x; а, Ь, с). А именно, модальное значение ТНЧ тождественно равно пара
метру Ь функции принадлежности fL\(X; а, Ь, 'С), т. е. а=Ь, а левый и правый
коэффициенты нечеткости ТНЧ соответственно равны: и=Ь а, Р=с---Ь.
Пример KOHKpeTHoro ТНЧ <3, 1, 2> д, которое соответствует "нечеl1lКОй тройке",
изображен на рис. 5.7, а. Очевидно, примерами ТНЧ также MorYT служить нечет
кие множества, функции принадлежности которых изображены на рис. 2.7, а,
2.11, а, а также на рис. 5.1, б.
Т рап е Ц и е в и Д н ы й н е ч е т к и й и н т е р в а л. Трапециевидны};, нечетким
uтпервалом (сокращенно ТНИ) будем называть нормальный нечеткий интер
вал, функция принадлежности KOToporo может быть задана трапециевидной
функцией /Т.
В этом случае ТНИ удобно представить в виде кортежа из четырех чисел:
.1IT= <а, Ь, а, Р>Т, rде а и Ь соответственно I/ИJ/снее и верхнее модалыlеe Зllаче
lIUЯ ПIИ; а и Р левый и правыЙ коэффицистпы нечеткости ТНИ. Поскольку
каждая трапециевидная функция принадлежности порождает нормальное BЫ
пуклое нечеткое множество с непустым носителем открытым интервалом (a a.
ь+р), то ТНИ является частным случаем нечеткоrо интервала (L R) типа. Как He
трудно заметить, треуrольное нечеткое число .яl является частным случаем Tpa
пециевидноrо нечеткоrо интервала .ят= <а, Ь, а, р>т при а = Ь.
Примечание
Трапециевидная функция принадлежности fT характеризуется четырьмя пара-
метрами и в общем случае с использованием выражения (2.9) может быть за
писана в виде fT(X; а, Ь, с, d). При этом пара метры ТНИ ят= <а, Ь, а, Р>т OДHO
значным образом связаны с параметрами трапециевидной функции
принадлежности fT(X; а, Ь, с, d). А именно, нижнее модальное значение ТНИ TO
150
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
ждественно равно параметру Ь функции принадлежности (т(Х; д, Ь, с, d), Bepx
нее модальное значение ТНИ тождественно равно параметру с функции при
надлежности 'т(Х: д, Ь, с, d), т. е. Ь=с, а левый и правый коэффициенты нечет
кости ТНЧ соответственно равны: a=b д, p=d---c.
Пример KOHKpeTHoro ТИИ <4,6,2, I>T, которое соответствует "нечетко.му ИН
тервалу от 4 до 6", изображен на рис. 5.7, б. Примерами ТИИ MorYT служить
также нечеткие множества, функции принадлежности которых изображены на
рис. 2.11, б, 2.15,5.1, а, в.
0.8
0.6
0.4
0.2
о
о
2 3
17 1 4
а.==1
4 5
\ ...1
J)==2
6
10
7
8
9
.91 А =< З, 1, 2 >А
а
0.8
I
I I ,
. I I
I I I
. I I I I I I I I
L J L J L
I I I I I I I I I
.. l' I I I I
I I t I I I I I I
L L
I I I . . I I I I
I I I I I I I I I
I I I , I I I I I
L L L L
. I I . I I I I t
I I I I I . I I I
I I I I I I I I I
0.6
0.4
0.2
О
О
3
4
2
'т
0:==2
5
6 7
1,1
J)==1
б
8
9
10
.91 т =<4, 6, 2, l>т
Рис. 5.7. rрафическое представление ТНЧ .916=<3, 1,2>6 (а)
и тни .9Ir<4, б, 2, 1 >т (6)
Примечание
Иноrда MOryT оказаться полезными и друrие альтернативные определения ТНЧ
и ТНИ, в которых не требуется нормальность соответствующих нечетких MHO
(лава 5. Нечеткая и линrвистическая леременные. Нечеткие величины, числа и интервалы 151
жеств. Так, например, некоторые авторы треуzольным нечетким числом Ha
зывают нечеткую величину, которую с использованием двух линейных функций
можно представить в ВИде кортежа из четырех чисел: 'V'L\= <а, а, (3, h>, rде а
модальное значение нечеткоrо числа; а И [3 левый и правый коэффициенты
нечеткости; h высота нечеткоro числа. Соответственно, трапециевидным
нечетким интервалом называют нечеткую величину, которую с использовани
ем двух линейных функций можно представить в виде кортежа из пяти чисел:
'V'T= <а, Ь, а, [3, h>, rде а и Ь соответственно нижнее и верхнее модальные
значения нечеткоro интервала; а И [3 левый и правый коэффициенты нечет
,ко ти; h высота нечеткоrо интервала. В этом случае треуroльное нечеткое
число 'V' L\ таюке является частным случаем трапециевидноrо нечеткоro интер
вала 'V'T при а = Ь.
Как не трудно заметить, введенные ранее определения тнч и тни становятся
частными случаями этих более общих понятий треуrольноrо нечеткоrо числа и
трапециевидноro нечеткоrо интервала. А именно, ТНЧ есть не что иное как
нормальное треуrольное нечеткое число 'V'L\O = <а. а, [3, 1>, а ТНИ есть HOp
мальный трапеЦИевидный нечеткий интервал 'V'TO = <а, Ь, а, [3. 1>. PaCCMOTpeH
ные понятия можно проиллюстрировать rрафически, rде на рис. 5.8, а изобра
жено треуrольное нечеткое число 'V'L\= <3, 2, 2, 0.8>, а на рис. 5.8, б изображен
трапециевидный нечеткий интервал 'V'T= <3, 6, 1, 3, 0.6>. В дальнейшем наше
рассмотрение будет оrраничено только нормальными тнч .1l и нормальными
тни .ят.
Для решения задач нечеткоrо моделирования необходимо определить некото-
рые простейшие операции над ТНИ и ТНЧ, аналоrичные обычным арифметиче
ским операциям над обычными числами и интервалами.
0.8
I I I I I
1. I I f
L L J
1, I 8 I
I I I I I
I . I I I I
L I L J
I . I I . I
I I I I I I
I . I I I I
L
I I I I I I
I I . I , I
I . I I I I
J L I L
I . I I I I
I t I I I I
I . I I I I
h ==0.8
0.6
0.4
0.2
о
о 1 2 3 4 5 6 7
I/.I \ .1
et==2 13==2
'VlL=="з, 2,2,0.8>
а
Рис. 5.8. rрафическое представление треуrольноrо нечеткоrо
числа '1'6== <3,2, 2, 0.8>. не являющеrося нормальным (а)
152
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
I I . I I I I I I
I . I . I I I I I
0.8 .. 8а.... .......... ........ ........ i-........ ........ .......... ...... ........ -:..........
I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
0.6 .. .. .. .. .. .... .. .. ... .. .. .. 1'" .... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. -:- ... ......
I . I I I I I
I I I I I I I I I
0.4 ........ .......... .... .. ..........:.......... ........ ........ ......... .._...... ...._..
I I I I I I I I
I I I I I I I I I
0.2 ........ .......... ...... ........ .......... ........ .......... ........ .......... ........
I I I I I I I I
I . I I , I I I
о
о
I 6
2 3 4 5 6 7 В 9 . 10
7 'Yт=<3. 6. 1. 3. 01 : \ I
0:==1 13==3 6
Рис. 5.8. rрафическое представление трапециевидноrо нечеткоrо интервала
'Ут== <3, 6, 1, 3,0.6>, не являющеrося нормальным (6)
Операции над треуrольными
нечеткими числами
и трапециевидными нечеткими интервалами
Пусть .11,., и 13,., два произвольных треуrольных нечетких числа, которые зада
ны параметрически в виде: .11,.,= <01, al, 131>,., и 13",= <щ, щ, 132>,.,. Для этих тнч
оказываются справедливыми аналоrи обычных арифметических операций, BBe
денных в рассмотрение выше в розд. 5.3 для треуrольных нечетких чисел (L R)
типа. А именно, операция сложения ТНЧ определяется выражением (5.13), опе
рация вычитания ТНЧ выражением (5.14), операция умножения ТНЧ BЫ
ражениями (5.15) (5.17), операция деления выражением (5.18), и, наконец,
обратное ТИЧ выражением (5.19).
Например, для конкретных ТИЧ .11",= <3, 1, 2>,., и 13,.,= <2, 2, 1>,., результаты
арифметических операций равны: .116 + 136 = <5, 3, з>,." .1{,., 13,., ;;;; < 1, 2, 4>,."
.11,.,813,.,= <6,8, 7>,." .11,.,+136 = <1.5, 1.25,2.5>,.,. rрафики результатов операций с
этими ТИЧ изображены на рис. 5.9 (0 2) соответственно.
Перейдем к рассмотрению операций с ТИН. Пусть .1{ и 13 два произвольных
трапециевидных нечеТКJ:1Х интервала, которые заданы параметрически в виде:
.11т = <01, bl, щ, 131> Т И 13т = <т, Ь2, а2, 132> Т.
С Л О Ж е н и е. Операция СЛОJlCенuя ТИМ обозначается через .1{т+13т = Ст = <о, Ь,
а, l3>т, rде параметры О, Ь, а и 13 результата определяются следующим образом:
о;;;; 0'+02,
ь ;;;; Ь.+Ь2,
а=аl +а2,
13=131+132.
(5.20)
(лава 5. Нечеткая и линrвистическая nеременные. Нечеткие величины, числа и инreрвалЫ 153
0.8
I I I I
-
I . I I
I 1 I I
I . ,
, , .
-- i ----
. , .
I I .
, . I
- - ---- .- -
, I
. I
I ,
........... ..,............... r........
. ,
. .
, I
I I
I I
. . ,
...........i........i.. .. ... ....
. , ,
, , ,
I . ,
.......... .............. ..........
I I
I .
I I
, I
' r----
I .
I ,
I ,
0.6
0.4
0.2
о
о
2
3
4
5
6
7
8
9
10
а
0.8
2
3
4
5
6
7
8
9 б
0.6
0.4
0.2
08
,
....... .. ... ... ...
I , ,
, , ,
, , ,
I I I . I
i ... .... ..i
I I I I I .
I I I I I .
I I I I I I I .
.. _....... .... .. - ... ..................
I I I I
I I I I
I I I I
I I I . I I . I I I I
..r 1...... i r 1 ...r...... i r
I I I I I I I I I I .
I I I I I I I I I I .
I I I I I I I I I I I
I
I I I I I I I
................ ......... .... .._.. ...... ....
I I I I I I I
I I I I I I
I I . I I I
l........L J .....! ......
I I I I I
I . I I
:: :
.. I... ... ........... . .. ....I
I
. , I
,.. ... ... r .. I
I I
. ,
06
04
0.2
о
о
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 в
0.2
.
I
. I I . I I
.......... .. ...... .................. .................... .............................. .... ........1................
I . I I I I
I I I I I I
I I t I I I
I I I I , I
.... ....................i - - ----i- - r - --- .
I I I I I ,
! : : I : :
---- -- -- -- - --- -- .
, , I I I ,
, , I , I ,
I , , , I ,
I . I , , , 1 ,
... ... - - -,- - - i '"" - ...,'""... ... i' ... .... '""1'"" ... ... - - i' - - 1'"" ... ... .... 1 - ... - .
: : : : : : :
I I I 1 I 1 I .
0.8
0.6
0.4
о
о
2
3
4
5
6
7
8
9 r
Рис. 5.9. rрафики ТНЧ: "нечеткая пятерка.' (а) и "нечеткая единица" (6),
"нечеткая шестерка" (в) и "нечеткая дробь 3/2" (r), которые являются результатами
выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления ТНЧ:
"нечеткая тройка" и "нечеткая двойка" соответственно
154
Часть 1. ОСНОВЫ теории нечетких множеств инечеткой лоrики
в ы ч и т а н и е. Операция вычиттшя ТНИ обозначается через .1{1' 1' = С1' =
= <о, Ь, а, fЗ>т, [де параметры о, Ь, а и f3 результата определяются следующим
образом:
а = т т, Ь = bl bz, a=a,+f3z, f3=f31+a2. (5.21)
у м н о ж е н и е положительных ТНИ .1{т и 1', т. е. носители которых являются
подмножествами IR+, а все модальные значения положительные. Операция y.M
/ЮJ/сенuя таких ТНИ обозначается через .1{T. T = Ст = <а, Ь, а, fЗ>1', [де парамет
ры а, Ь, а и f3 результата определяются следующим образом:
а = 0102, Ь= b,bz, а= аЮZ+02а., fЗ= ыlзz+ь2f3'.. (5.22)
д е л е н и е положительных ТНИ .1{т и T, т. е. носители которых являются под
множествами IR+, а все модальные значения положительные. Операция деления
таких ТНИ обозначается через .1{т+2Зт = С1' = <а, Ь, а, fЗ>т, [де параметры а, Ь, а
и f3 результата определяются следующим образом:
0= т/Ь2, а = Ь,/а2, а= (llIfЗ2+ b2a.)/bz 2 , f3=(ЬЮ2+а2rзl)/т 2 . (5.23)
Например, рассмотрим два конкретных ТНИ: .1{т= <3,5,1,2>1' и 1'= <1,2,1, I>T.
Первый из них соответствует "нечетко.му ll1/111ервалу от трех до пятu", а BTO
рой "нечетко.м)' llнтервШ1У от едll1llЩЫ до двух". Тоrда результат их сложения с
использованием формул (5.20) равен ТНИ .1{T+ T= <4,7,2, 3>т И соответствует
"uечетко.му интервалу от четырех до се./IШ". Результат вычитания из первоrо
ТНИ BToporo ТНИ с использованием формул (5.21) равен ТИИ: .1{т 2Зт=
= <2, 3, 2, 3>т И соответствует "нечетко.fl,1jJ UШllервалу от двух до трех". rрафики
соответствую щих ТНИ предст авлены на рис. 5.10.
римечание
Что касается операций с альтернативными определениями ТНЧ и ТНИ, которые
Не являются нормальными, то предложенные в этом случае способы ОПределе
ния результатов соответствующих операций уже не являются столь очевидными
и наrляДНЫМИ. В частности, для двух трапеЦиеВИДНЫХ нечетких интервалов (не
являющихся нормальными): T= <а1, Ь1, а1, Р1, h1>, 11/т= <a2J b2J а2, Р2, h2> па
раметры результата их СЛОжения 1.1т= 'VT+11/T=<a, Ь, а, р, h> рассчитываются
последовательно по следующим формулам:
h=miп(h1. h1);
а= h.(a1/h,+a2/h2),
р= h.(I3,lh1 +132/h2);
(5.24)
(5.25)
(5.26)
а = a1+a2 a1 a2+a,
ь = Ь 1 + lh+P1+P2 P.
Данная операция сложения может быть проиллюстрирована rрафически
(рис. 5.11), rде на рис. 5.11, а изображен траПециевидный нечеткий интервал:
T= <3, 5, 1, 2, 0.8>, на рис. 5.11, б изображен трапециевиДНЫЙ нечеткий ин
тервал: 11/т= <1, 2,1,1, 0.6>, а на рис. 5.11, в изображен результат их сложения
1.1т= <3, 6, 1,3, 0.6>, полученный с использованием формул (5.24}------(5.26).
rлава 5. Нечеткая и линrвистическая переменные. Нечеткие величины, числа и иЮ'ервалы 155
О.В
0.4
,
, I
.J L
I I
I ,
I I I I I I I I I
L
, . , I I I I I I
. I . I I I I I
I I . I I I I I
- - -- ---- - -- ---- ----- ----
I I t I I I I I I
I I I I I I I I I
I I , I I I I I I
---- ----- --- - -- ---- ---- -- -- --- ----- ----
I . I I I I I I I
I . I I I I I I I
I I I I I I I I
0.6
0.2
о
о
2
з
4
5
6
7
В
9
10
а
О.В
,
I I I I I
___ ___J_____L____ ___ _ __ _ __
I I I I I I
I I I I I
0.6
0.4
0.2
О
О
2
з
4
5
6
7
8
9
6
0.8
,
I I I .
_J_____L____ _____ __
I I I I
I . I I
I . I I , I I I
____ _____L____ ____'_____L____ _____L____ ____ ____
I I I I I I I I .
I I I I I I I
I I I I . I I I I
_ _ _____ ___ ___ _____L____ __ __L___ __ _L_ __
I . I I 1 I I I I
I I I I I . I I
I r f I , I , f I
____ _____L_ __ _____I____ L ___ _____L___ L
I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
I I I I I I I .
0.6
0.4
0.2
о
о
2
3
4
5
6
7
8
9
10
в
0.2
. 1
2
з
4
5
6
7
В
9
r
О.В
0.6
0.4
Рис. 5.10. rрафики ТНИ: "нечеткий интервал от трех до пяти" (а),
"нечеткий интервал ОТ единицы до двух" (6),
а также результат их сложения (в) и вычитания (r)
156
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
0.8
. I I I
I I I t I I
I I t I I .
I I I I I I I I .
L _I _J _L I _ ___
I I I I I I I I .
I I . I I I I I I
I I I I I I I I I
--- -- -- -- _____I_____ -- - _____ ____ _____ __ _
I . I . I I I
I t I I I I I I
, I I I I . . I I
_ __J____ ___ ___ ____L __ __ __ ___ _____ ____
I I I I I I I I .
I I I I I , I . ,
I '1 I . I I ,
0.6
0.4
0.2
о
о
2
3
4
5
Б
7
8
9
10
а
0.4
I
I . . I I I . I
____ _____L____ ____ _____l____J_____L___w __
I I I I . I . I
I I I I I I I I
I I I I I I I I
____ _____I____.l____J_____L____ _ __
I I I I I I
t I . I I I
I . I I . I I I
__ _J_.___ ___ ____ .___. .. _ _____ ____ . __
I I I I I I I t
I I . . I I , I
1 I I I I I I I
_ __J_____L__ _ ____ ___._L__ _ _____L____ _ __
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I I
0.8
0.6
0.2
о
о
2
3
4
5
Б
7
8
9
б
0.8
I
I I . I I I I I I I I
J J l J J J
I I I I t I I I I I I
I I I I I I I . I I I
, I I I I I I . I I I
J J J_ __
I I . I I I I
I I I I I I I
, I I I I I I I I I
_ L_ _ _ _ _ _ _ _
I I ,1 I I I , I I
,. I I I I I . I I
I I I I I I I I I I I
_ __ _ I __ _L_ __ _ _ _
I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
, 8 I I I I I I I
O 6
0.4
0.2
о
о
2
3
4
5
6
7
в
9
10
11
12
в
Рис. 5.11. rрафики двух трапециевидных нечетких интервалов,
не являющихся нормальными (а, б), и результата их сложения (в)
Для нас представляют интерес операции расширенноrо максимума и расширен
Horo минимума ТИИ .'lIT= <G1, bl, (11, PI>T И Бт = <т, Ь2, (12, Р2>Т (COOTBeTcтвeH
но ТИЧ), которые определяются следующим образом.
р а с ш и р е н н ы й м а к с и м у м. Операция расшuреmЮ20 .максиму.ма ТИИ
обозначается через mах{Ят, Бт} = Ст= <а, Ь, (1, Р>т, rде параметры а, Ь, (1 ир
результата определяются следующим образом:
а = mаХ{G1, а2}, Ь = max{bl, Ь2},
(1= a max{G1 al,a:ra2}, Р= max{bl+pl,b2+P2} b.
(5.27)
rлава 5. Нечеткая и линrвистическая переменные. Нечеткие величины, числа и интервалы 157
р а с ш и р е н н ы й м и н и м у м. Операция расшuретюzо .миниму.ма ТИИ обо
значается через min{.'lIT, Бт} =Ст= <а,Ь, а, р>т, rде параметры а,Ь, а и Р pe
зультата определяются следующим образом:
а = min{QJ, а2}, Ь = min{bl, Ь2},
а= а min{QJ..-..а.I, а2 Щ}, Р= min {bl+Pl, b2+P2} Ь.
В заключение этой rлавы приведем некоторые рекомендации, которые целесо
образно использовать в процессе представления различных термов тех или иных
линrвистических переменных нечеткими числами и интервалами (L-R) типа, а
также их более простыми частными случаями ТНЧ и ТИИ (табл. 5.1).
(5.28)
Таблица 5.1. Рекомендации по представлению термов
линrвистических переменных
Терм линrвистической (L-R)- Представление
переменной представление в форме ТНЧ и тни
Средний, около, приблизительно <8, а, P>LR, <В, а, Р>6.'
rAe а<.оо, Р<.ОО rAe а<.О':), Р<оо
Малый, низкий <'8, 0':), P>LR, <В, 00, Р>.1'
rAe а=оо, Р<.ОО rAe а=оо, Р<оо
Большой, высокий <.8, а, oo>LR, <.В, а, 0':».1,
rAe а<.оо, Р=оо rAe а<.оо, р=оо
Приблизительно в диапазоне, <'В, Ь, а, I3>LR, <.а, Ь, а, р>т,
В интервале {В, Ь}, rAe 8<00 и ь<.оо rAe а<.оо, 13<00 rAe а<оо, Р<.ОО
Точно В диапазоне, в интервале <В, Ь, а, р>т,
[а, Ь], rAe в<оо И Ь<оо rAe а=О, р=о
Точно равен числу 8, rAe а<оо <.а, а, Р> 6.,
rAe а=О, р=о
Не превышает значения Ь, <'В, Ь, а, P>LR, <.В, Ь, а, Р>т,
rAe ь<.оо rAe а=оо, а=оо, Р<оо rAe а=О':), а=оо, Р<.ОО
Не меньше, чем значение а, <.а, Ь, а, I3>LR, <.В, Ь, а, р>т,
rAe 8<'00 rAe Ь=оо, а<.оо, Р=оо rAe Ь=оо, а<.оо, Р=оо
Подводя итоr этой rлавы, заметим, что при решении практических задач нечет
Koro моделирования наиболее удобными оказываются ТНЧ и ТНИ. Именно они
наиболее часто используются для представления входных и выходных перемен
ных нечетких моделей систем управления, о которых пойдет речь в последующих
rлавах.
rлава 6
. \.9{j .{п .-.
! .. {" t..
?: t : ,
,",,",,,;.
--.. . . .
ОСНОВЫ нечеткой лоrики
Нечеткая лоrика предназначена для формализации человеческих способностей к
неточным или приближенным рассуждениям, которые позволяют более адекват-
но описывать ситуации с неопределенностью. Классическая лоrика по своей сути
иrнорирует проблему неопределенности, поскольку все высказывания и рассуж-
дения в формальных лоrических системах MorYT иметь только значение "истина"
(И, ) или значение "ложь" (Л, О). В отличие от этоrо внечеткой лоrике истин-
ность рассуждений оценивается в некоторой степени, которая может принимать
и друrие отличные {И, Л} значения.
Чтобы иметь возможность выражать неопределенные знания, необходима такая
лоrическая СИСlOема, которая позволяет некоторому предложению иметь истин-
ностное значение, отличающееся от бинарноrо И или Л. Один из подходов
расширить множество истинностных значений {И, Л} и позволить предложени-
ям принимать некоторые дополнительные значения истинности. Одним из пер-
вых лоrиков, предложивших в 1930 r. вариант мноrозначной лоrической систе-
мы, отличающийся от классической бинарной лоrики, был польский математик
Ян Лукасевич (1878 )956). В трехзначной лоrике Лукасевича используется
3 истинностных значения: {О, 0.5, I}, [де значение О интерпретируется как
"ложь", 1 как "иС/11ШШ", а число 0.5 как "воз.мо.JIС/IO". В каче.стве высказыва
ний с истинностным значением "возможно" MoryT выступать такие, которые от-
носятся к некоторому моменту времени в будущем.
Так, например, высказывание "Сборnая России по футболу выйдет в 1/8 фИНШЮ
На предстоящеJl-t ЧеАtIluоиате мира" до начала Чемпионата не может быть оцене-
но ни как истинное, ни как ложное. Именно по этой причине более адекватным
ответом на вопрос об ero истинности будет использование трехзначной лоrики с
соответствующей интерпретацией ИСТИhНОСТИ в форме значения "возможно".
Наряду с понятием нечеткоrо множества, Л. Заде предложил обобщение класси-
ческой лоrики на основе рассмотрения бесконечноrо множества значений истин-
ности. Далее в этой rлаве изложены основы нечеткой лоrики, которая использу-
ет основные понятия теории нечетких множеств для формализации неточных
знаний и выполнения приближенных рассуждений в той или иной проблемной
области.
rлава б. ОСНОВЫ нечеткой лоrики
159
6.1. Понятие нечеткоrо высказывания
и нечеткоrо предиката
в предложенном Л. Заде варианте нечеткои лоrики множество истинностных
значений высказываний обобщается до интервала действительных значений
[О, 1], что позволяет высказыванию принимать любое значение истинности из
этоrо интервала. Это численное значение является количественной оценкой CTe
лени истинности высказывания, относительно KOToporo нельзя с полной YBepeH
ностью заключить о ero истинности или ложности. Использование в качестве
множества истинностных значений интервала [О, 1] позволяет построить лоrиче
скую систему, в рамках которой оказалось возможным выполнять рассуждения с
неопределенностью и оценивать истинность высказываний типа: "Скорость aв
томо6u.ля довольно высокая", "Давление в системе весьма значительное", "Высота
полета самолета предельно низкая" и др.
Исходным понятием нечеткои лоrики является понятие элементарноrо нечеткоrо
высказывания.
Э л е м е н т а р н о е н е ч е т к о е в ы с к азы в а н и е. В общем случае эле
ментарНЫJl1 нечеткuм высказыванием называется повествовательное предложе
ние, выражающее законченную мысль, относительно которой мы можем судить
об ее истинности или ложности только с некоторой степенью уверенности.
Элементарные нечеткие высказывания для удобства будем обозначать теми же
буквами, что и нечеткие множества: .я, 13, С, V, 6 (возможно, с индексами). Сами
элементарные нечеткие высказывания иноrда называют просто нечеткими BЫ
сказываниями .
[лавным ОТЛИ1lием элементарноrо нечеткоrо высказывания от элементарноrо
высказывания математической лоrики является следующий факт. Множество
значении истинности элементарных высказываний классической математической
лоrики состоит из двух элементов: {"истина", "ложь"} ({И, Л} или {О, l}), при
этом значению "иС/1lШЮ" соответствует цифра 1 или буква И, а значению
"ложь" цифра О или буква Л (см. прuло:жеlluе 2). Внечеткой лоrике степень
истинности элементарноrо нечеткоrо высказывания принимает значение из замк
HYToro интервала [О, 1], причем О и 1 являются предельными значениями степени
истинности и совпадают со значениями "ЛО:>IСЬ" и "истина" соответственно.
Примечание ')
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что использование интерва
ла [О, 1] в качестве множества значений истинности нечетких высказываний ec
тественным образом порождает бинарное отношение HecTpororo порядка на
декартовом произведении произвольноrо множества нечетких высказываний.
Хотя измерение степени истинности нечеткоrо высказывания выполняется в
шкале интервалов, допустимые преобразования этой шкалы являются избы
точными и MOryT оказаться Неадекватными содержательным аспектам той или
иной практической задачи. Это следует помнить при построении нечетких MO
160
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
делей реальных систем. Детальный анализ семантических особенностей изме
рения степени истинности нечетких высказываний возможен на основе pac
смотрения теории нечеткой меры, основы которой излаrаются далее в 2лаве 9.
При м е р 6.1. Ниже приводится несколько примеров элементарных нечетких
высказываний:
1. О. Бендер имеет довольно высокий рост.
2. Завтра будет паслtурная ПО20да.
3. З J"taлое число.
4. ВАЗ 21/0 является скоростНЫJl" автО.llюбилем.
5. Возможно. нам подадут 20рЯЧИЙ кофе.
Содержательно неопределенность нечетких высказываний может иметь различ
ную природу. Так, например, неопределенность оценки истинности в высказы
вании (1) связана с нечеткостью определения понятия "высокий рост'', которое
является нечеткой переменной (см. 2лаву 5). Аналоrичный характер неопреде
ленности имеют нечеткие высказывания (3) и (4), связанные с определением He
четких переменных ".II1Gлое число" и "скоростноЙ автШtшбиль" соответственно.
Что касается высказываний (2) и (5), то здесь кроме определения нечетких пере
менных "пасмурная ПО20да" и "20рЯЧИЙ кофе" следует оценить их истинность OT
носительноrо HeKoToporo момента времени в будущем. Общим для всех этих BЫ
сказываний является то обстоятельство, что относительно их истинности мы
можем судить лишь с некоторой степенью, количественно оцениваемой действи
тельным числом из интервала [О, 1].
Примечание
Конечно, наиболее строrие из читателей MOryт дополнить содержательный aHa
лиз истинности рассмотренных выше высказываний. В частности, можно заме-
тить, что точное измерение роста О. Бендера как литературноrо персонажа вряд
ли возможно и в свою очередь может быть основано лишь на приближенных ви
зуальных оценках тех или иных экранизаций или субъективном анализе контекста
соответствующеro художественноro произведения. Поскольку эти тонкие ceMaH
тические нюансы лежат за пределами собственно нечеткой лоrики, мы оставляем
их рассмотрение за указанной катеroрией читателей.
Для оценки степени истинности произвольноrо нечеткоrо высказывания удобно
ввести в рассмотрение специальное отображение Т, которое действует из множе
ства рассматриваемых нечетких высказываний U в интервал [О, 1], т. е.
Т: 'И [О, 1]. Это отображение будем называть отображение/и истинности He
четких высказываний. В этом случае значение истинности HeKoToporo нечеткоrо
высказывания .:J{eU будем обозначать через T{.:J{). Так, если обозначить нечеткое
высказывание (1) из примера 6.1 через .7f1, то ero истинность формально может
быть записана как T(.7fI), а количественно равна, например, 0.7, т. е. T(.7f.) = 0.7.
rлава 6. ОСНОВЫ нечеткой лоrики
161
Нечеткие предикаты
Как было отмечено ранее в 2лаве 5 при описании способов задания нечетких OT
ношений, в общем случае можно ввести в рассмотрение некоторое характери
стическое свойство, которое может быть записано в виде лtНО20местНО20 liечепl
КО20 предиката Р( <XI, Х2,..., х х »'
Н е ч е т к и й п р е Д и к а т. Нечеткий предикат P«XI, Х2,..., Хх» или, более
CTporo, k местныЙ нечеткий предикат, формально определяется как некоторое
отображение из декартова произведения универсумов XI, Х2,..., X k В некоторое
вполне упорядоченное множество значений истинности, в частности, в интервал
[0,1], т. е. Р: XIXX2X...XXk [0, J]. По аналоrии с обычными предикатами, пере
менные XI, Х2,..., X k называются предметными переменными нечеткоrо предиката
P«XI, Х2,..., X k », а декартово произведение универсумов XIXX2X...XX k ero
предметноЙ областью.
имечани
Следует заметить. что это определение с точностью до обозначений COOTBeT
ствует определению нечеткоrо отношения Q={<X1, Х2..... Xk>1 «X,. Х2..... Хх».
х,ЕХ" Х2ЕХ2,..., ХхЕХх} (см. алаву 4). Этот факт подчеркивает формальную и
содержательную взаимосвязь функции принадлежности произвольноrо нечет
Koro отношения «X,. Х2..... Хх>)} С соответствующим нечетким предикатом
PQ«X1. Х2..... Хх». который, возможно неявно, выражает некоторое характери
стическое свойство этою нечеткоrо отношения.
Таким образом, анализ семантических особенностей нечетких предикатов P«XI,
Х2,..., X k » в общем случае тесно взаимосвязан с анализом соответствующих He
четких отношений Q={ <XI, Х2,..., xk>1 Q«XI, Х2,..., x k », XIEXI, Х2ЕХ2,..., XkEX k },
которые были рассмотрены ранее в 2лаве 4. Верно и обратное заключение. Эта
связь функции принадлежности нечеткоrо отношения и соответствующеrо ему
нечеткоrо предиката иrрает важную роль при установлении взаимосвязей между
теорией нечетких множеств инечеткой лоrикой, поскольку изучение нечетких
предикатов может быть выполнено с помощью анализа рассмотренных выше
свойств нечетких отношений.
В свою очередь взаимосвязь между нечеткими высказываниями инечеткими
предикатами устанавливается с помощью процесса так называемоrо 0значиваиuя
нечеткоrо предиката P«XI, Х2,..., X k », под которым понимается подстановка
вместо предикатных переменных XI, Х2,..., X k конкретных значений из COOTBeTCT
вующих универсумов: GJ EXI, тЕХ2,..., ахЕХх, В этом случае нечеткий предикат
P«XI, Х2,..., X k » превращается в некоторое нечеткое высказывание 'Р, которое
принимает конкретное значение истинности, равное числу из интервала [О, 1].
Нечеткое обобщение лоrики предикатов первоrо порядка, так же как и COOTBeT
ствующие ей нечеткие исчисления, не нашли широкоrо применения при решении
прикладных задач. Наиболее конструктивным направлением внечеткой лоrике
оказалось нечеткое обобщение правил продукций, использующих нечеткие BЫ
162
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
сказывания в форме означивания линrвистических переменных. В этом случае
нечеткие высказывания MorYT комбинироваться с помощью нечетких лоrических
операций или связок, которые и рассматриваются ниже.
6.2. Основные лоrические операции
с нечеткими высказываниями
Пусть '11 некоторое множество элементарных нечетких высказываний, а
т : '11-----)0[0, 1] отображение истинности высказываний.
Лоrическое отрицание
нечетких высказываний
л о r и ч е с к о е о т р и Ц а н и е. Отрицанием нечеткоrо высказывания SI
(записывается как: SI и читается "не .я", "неверно, что .7f") называется YHap
ная лоrическая операция, результат которой является нечетким высказыванием,
истинность KOToporo по определению принимает значение:
T( .7f) = 1 Т(.7f).
(6.1 )
Очевидно, что принятый в математической лоrике способ определять лоrические
операции с помощью таблиц истинности не может быть использован внечеткой
лоrике. Причина этоrо заключается в континуальной мощности множества ис-
тинностных значений [О, 1]. Именно поэтому центральную роль в определении
лоrических операций внечеткой лоrике при обретает отображение истинности Т,
которое имеет вспомоrательное значение в классической математической лоrике
( см. пРШlOжеиuе 2) .
Примером применения операции лоrическоrо отрицания к нечеткому высказы
ванию "О. Бендер имеет доволыю высокий рост" будет высказывание "Неверно,
что О. Бендер и.меет довО.7ЫIO высокий рост", степень истинности KOToporo с уче
том ранее определенноrо значения дЛЯ T(.7fI) равна 0.3. Отрицанием высказыва
ния "Завтра будетllасмурная nО20да" будет высказывание "Завтра будет не пас-
мурная 1l0i'ода", степень истинности KOToporo, если принять T(.7f2) = 0.2,
принимает значение 0.8.
Примечание
rоворя об лоrических операциях с нечеткими высказываниями, нельзя не CKa
зать о наличии большоrо числа альтернативных способов их определения.
Особенно это относится к нечеткой импликации, которая занимает центральное
место в системах нечеткоrо вывода.
(лава 6. ОСНОВЫ нечеткой лоrики
163
Лоrическая конъюнкция
нечетких высказываний
л о r и ч е с к а я к о н ъ ю н к Ц и я. КОlfЪЮlПщией нечетких высказываний .9't и 13
(записывается как: .911\13 и читается "Я и 13") называется бинарная лоrическая
операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность KO
Toporo определяется по формуле:
Т{ЯI\13) = miп {Т(Я) , Т(13)}.
(6.2)
Лоrическую конъюнкцию нечетких высказываний также называют llечетКllМ
ЛО2uческuм "И", Ilечеткой КОllъюнкцией или miI1 конъюнкцией и иноrда записы
вают также в форме .9't AND 13. При этом исторически принято считать формулу
(6.2) основной для определения степени истинности ее результата.
По аналоrии с операциями над нечеткими множествами, рассмотренными Б ZЛlве
3, для определения степени истинности конъюнкции нечетких высказываний MO
[УТ быть использованы следующие альтернативные формулы.
О Алzебраическое проuзведенuе степеней истинности нечетких высказываний:
Т(.91I\13) = Т{Я).Т(13).
(6.3)
о rранuчное Jlроuзведенuе степеней истинности нечетких высказываний:
Т{.91I\13) = тах {Т(.91)+Т(13) 1, О}.
(6.4)
LI Драстuческое произведение степеней истинности нечетких высказываний:
{ Т(13)'
Т(.91 л 13) = Т(Я),
О,
если Т(Я) = 1;
если Т(13) = J;
(6.5)
в остальных случаях.
Для этих альтернативных способов определения истинности лоrической KOHЪ
юнкции нечетких высказываний MorYT быть использованы обозначения, анало
rичные соответствующим обозначениям операций над нечеткими множествами.
Так нечеткая конъюнкция, рассчитываемая по формуле (или методом алrебраи
ческоrо произведения, обозначается через .91-13, методом rраничноrо произведе
ния через .91013, методом драстическоrо произведения через .91д13.
При м е р 6.2. Рассмотрим составное нечеткое высказывание, состоящее из двух
элементарных: "О. Бендер lI.\l('ет довольно высокий рост и завтра будет Jl{JСЛ1)'Р
ная Jlоzода" и предположим, что истинность первоrо из них равна T(JZII) = 0.7, а
истинность BToporo Т(.912) = 0.2. Тоrда истинность лоrической конъюнкции
этих нечетких высказываний, вычисленная по основной формуле (6.2), равна:
Т(.1{Iл.9't2) = 0.2. Значения истинности этой же конъюнкции, рассчитанные по oc
тальным формулам, равны: Т(Я.-.912) = 0.14, Т(.9110.912) = О, Т(.911l\.912) = о.
164
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Лоrическая дизьюнкция
нечетких высказываний
Л о r и ч е с к а я д и з ъ ю н к Ц и я. ДиЗЪЮНКllией нечетких высказываний ..11 и 13
(записывается как: ..1Iv13 и читается "..11 или 13") называется бинарная лоrиче-
ская операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность
KOToporo по определению принимает значение:
T(..1Iv13) = тах {T(..1I), Т(13)}.
(6.6)
Лоrическую также называют лоrическим 1lеисключаlОЩli.Аf "ИЛИ".
Лоrическую дизъюнкцию нечетких высказываний также называют нечеткu.м He
исключающu.м ЛО2uческu.м "ИЛИ", нечеткой дизъюнкциеЙ или mах дизъюнкцией и
иноrда записывают также в форме ..11 OR 13. При этом исторически принято счи
тать формулу (6.6) основной для определения степени истинности ее результата.
По аналоrии с операциями над нечеткими множествами, рассмотренными в rла
ве 3, для определения степени истинности дизъюнкции нечетких высказываний
MorYT быть использованы следующие альтернативные формулы.
О АЛ2ебраическая сумма степеней истинности нечетких высказываний:
T(..1Iv13) = T(..1I) + Т(13) T(..1I)' Т($)
О rранuчная сумма степеней истинности нечетких высказываний:
T(..1Iv13) = min {T(..1I)+T(13), I}
О Драстическая сумма степеней истинности нечетких высказываний:
(6.7)
(6.8)
{ Т(13),
T(..1I v 13):: T(..1I),
1,
если Т(.1{) = о;
если Т(13) = о;
в остальных случаях.
(6.9)
Для этих альтернативных способов определения истинности лоrической дизъ
юнкции нечетких высказьiваний MorYT быть использованы обозначения, анало
rичньiе соответствующим обозначениям операций над нечеткими множествами.
Так, нечеткая дизъюнкция, рассчитываемая .по формуле (6.7) или методом алrеб
раи ческой суммы, обозначается через ..11+13, методом rраничной суммы через
..1Iffi13, методом драстической суммы через ..11\713. При этом алrебраическую
сумму (6.7) часто называют также вероятностной суммой.
При м е р 6.3. Как и выше, рассмотрим составное нечеткое высказывание:
"О. Бендер u.мeeт довольно высокий рост или завтра будет пасмурная пО20да" и
предположим, что истинность входящих в Hero элементарных нечетких высказы
ваний по прежнему равна T(..1II) = 0.7 и T(..1I2) = 0.2. Тоrда истинность лоrической
дизъюнкции этих нечетких высказываний, вычисленная по основной формуле
(6.6), равна: T(..1Itv..1l2) = 0.7. Значения истинности этой же дизъюнкции, рассчи
танные по остальным формулам, равны: T(.J{I+..1I2) = 0.76, T(..1Ilffi..1l2) = 0.9,
T(..1I1 V..1(2) = 1.
rлава 6. ОСНОВЫ нечеткой лоrики
165
Примечание
В общем случае для определения истинности результатов нечеткой конъюнкции
и нечеткой дизъюнкции MOryт быть предложены и друrие расчетные формулы.
основанные на рассмотрении треуrольных норм (3.37) (3.40) и конорм (3.41)
(3.44). Подобное рассмотрение базируется на содержательной взаимосвязи меж
АУ операциями над нечеткими множествами и лоrическими операциями с нечет
кими высказываниями. Как будет видно далее, эта взаимосвязь становится еще
более очевидной в случае нечетких линrвистических высказываний.
Нечеткая импликация
н е ч е т к а я и м п л и к а Ц и я. Нечеткой импликацией или просто имплика
l.Juей нечетких высказываний ..11 и 13 (записывается как: ..1I:J13 и читается "из ..11
следует 13", "ЕСЛИ ..11, ТО 13") называется бинарная лоrическая операция, резуль
тат которой является нечетким высказыванием, истинность KOToporo может
принимать значение, определяемое по одной из следующих формул.
а Классическая нечеткая ИМПЛИкация, предложенная Л. Заде:
T(..1I:J13) = max{min{T(..1I), Т(13)} , I T(..1I)}.
(6.1 О)
Эту форму нечеткой импликации называют также нечеткой импликациеЙ Заде.
а Классическая нечеткая импликация для случаяТ(..1I) Т(13):
T(.7I;:,13) = max{T(..,..1I), Т(13)} = mах{ I H..1I), Т(13)}.
(6.11 )
Эту форму нечеткой импликации иноrда называют нечеткой импликацией rёделя.
LI Нечеткая импликация, предложенная Э. Мамдани:
T(..1I:J13) = min {T(.7I), Т(13)}.
(6.12)
Эту форму нечеткой импликации также называют нечеткой импликацией
Мамдани или нечеткой импликацией ]ИИНllМу]иа корреляции. Можно заметить,
что в случае T(..1I) 0.5 и T(13) O.5 классическая нечеткая импликация превра
щается в нечеткую импликацию Мамдани.
LI Нечеткая импликация, предложенная Я. Лукасевичем:
T(..1I;:,13) = min { 1, 1 T(.7I)+T(13)}.
(6.13)
Эту форму нечеткой импликации также называют нечеткой импликацией Лу
касевича.
LI Нечеткая импликация, предложенная Дж. roreHoM:
T(..1I:J13) = min {I, Т(13) /T(..1I)}, rдe T(..1I»O.
(6.14)
Эту форму нечеткой импликации также называют нечетко;:' имnлuкацuezj r02eHa.
LI Нечеткая импликация по формуле rраЮ:IЧНОЙ суммы:
T(..1I:J13) = min р, T(..1I)+T(13)}.
(6.15)
166
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
D Нечеткая импликация по формуле произведения:
Т(.JI 2З) = Т(.JI)'Т(2З)}.
D Нечеткая импликация, предложенная Н. Вади:
T(.JI 25) = 11lйх{Т(.JI)'Т(25), I T(.JI)}.
D Нечеткая импликация Брауэра:
(6.16)
(6.1 7)
{ 1,
Т(.JI 2З) =
Т(В),
если T(.JI) Т(25);
в противном случае.
( 6.1 8)
Эта форма нечеткой импликации получила свое название в честь rолландско
ro лоrика л. Брауэра (l881 1966), основоположника математическоrо ин
туиционизма.
D Нечеткая импликация стандартной лоrики последовательностей (R SEQ):
{ 1,
Т(.JI 2З) =
О,
если T(.JI) Т(2З);
(6.19)
в противном случае.
Нечеткая импликация иrрает важную роль в процессе нечетких лоrических pac
суждений. Так же, как и в математической лоrике первый ее операнд (нечеткое
высказывание) называется 1l0СЬLТlКОЙ или ш{/nецедеU11l0М, а второй заключением
или KOHceKeeumOAt.
Хотя классическая нечеткая импликация находит наибольшее применение при
решении прикладных задач и она остается справедливой в случае обычных BЫ
сказываний классической лоrики, остальные способы вычисления нечеткой им
пликации в отдельных ситуациях оказываются более эффективными с вычисли
тельной точки зрения.
;: примечани
Рассмотренные выше формулы для определения истинности результата He
четкой импликации можно считать основными и далеко не исчерпывающими
все предложенные для этой цели способы. ПО некоторым оценкам число таких
способов приближается к 100. Одно из наиболее известных исследований раз
личных определений нечеткой импликации было выполнено японскими MaTe
матиками Мидзумото, Танака и Фуками, а также в работах Кицки, Кочански и
Сливински. Интерес к изучению различных вариантов нечеткой импликации oc
нован на том обстоятельстве, что нечеткая импликация занимает центральное
место в той или иной систеМе нечеткоrо вывода в качестве метода активации
или композиции. Назначение и осоnенности различных этапов нечеткоrо BЫBO
да рассматр ваются в следующей rлаве.
При м е р 6.4. Рассмотрим составное нечеткое высказывание в форме нечеткой
импликации: "Если О. Бендер имеет доволыlO высокий рост, то завтра будет
nаСАtУр1/ая n020да", при этом истинность входящих в Hero элементарных нечетких
в.ысказываний по прежнему равна T(.JII) = 0.7 и T(.JI2) = 0.2. Тоrда истинность
этой нечеткой ИМПликации, вычисленная по основной формуле (6.1 О), paB
на Т(.JII::).JI2) = 0.3, по формуле (6.12) T(.JII::)3'f2) = 0.2, по формуле (6.13)
rлава 6. ОСНОВЫ нечеткой лоrики
167
T(.1{I::).1{2) = 0.5, по формуле (6.14) Т(.1{о.1{2) 0.29, по формуле (6.15)
T(.1{I:::J.1{2) = 0.9, по формуле (6.16) T(.1{I:::J.1{2) = 0.14, по формуле (6.17)
T(.1{1:::J312) = 0.3, по формуле (6.18) T(.7(I:::J.1{2) = 0.2, по формуле (6.19)
Т(.1{ ,::xfl2) = О.
Нечеткая эквивалентность
н е ч е т к а я э к в и в а л е н т н о с т ь. Эквивале1l1пJlOстью нечетких высказы
ван ий .7( и !в или просто нечеткой ЭКВИjJалентностью (записывается как: .7(=13 и
читается ".1{ эквивалентно В") называется бинарная лоrическая операция, pe
зультат которой является нечетким высказыванием, истинность KOToporo опре
деляется по следующей формуле:
Т(.1{=!В) =min {тах {Т( .1{), Т(13)}, тах {Т(.1{) , Т( 13)} }.
(6.20)
Примером лоrической эквивалентности может служить составное нечеткое BЫ
сказывание: "О. Бендер имеет довольно высокий рост эквивалентно тому, что
завтра будет пасмурная пО20да", истинность KOToporo принимает значение 0.3.
Так же, как в классической математической лоrике, внечеткой лоrике с помо
щью рассмотренных лоrических связок MorYT быть образованы достаточно
сложные нечеткие высказывания. При этом для явноrо указания порядка их сле
дования используются круrлые скобки, а иноrда и приоритет соответствую
щих нечетких лоrических операций.
Так, например, составное высказывание: (.1{I ::) .1(2)::) ( .1{2::) .1{I) В случае T(.7(I) =
= 0.7 и Т(.1{2) = 0.2 имеет значение истинности, равное: тах{ l max{J T(.7(I),
Т(.1{2)}}, тах {I Т( .7(2), Т( .7(I) }} = тах {I тах{ I 0.7, 0.2}}, тах {I 0.8, 0.3}} =
= тах{0.7, 0.3} = 0.7.
Следует отметить, что обязательным условием корректности определения ис
тинности составных нечетких высказываний является требование OДHOBpeMeH
ной подстановки вместо одинаковых букв одних и тех же нечетких высказыва
ний. Кроме рассмотренных лоrических операций MorYT быть определены и
друrие бинарные лоrические операции с нечеткими высказываниями. Более дe
тально познакомиться с ",ими можно в специальной литературе.
6,;3. Правила нечетких продукций
Продукционные системы были разработаны в рамках исследований по методам
искусственноrо интеллекта и нашли широкое применение для представления
знаний и вывода заключений в экспертных системах, основанных на правилах.
Поскольку нечеткий вывод реализуется на основе нечетких продукционных пра
вил, рассмотрение базовоrо формализма нечетких продукционных моделей при
обретает самостоятельное значение. При этом нечеткие правила продукций не
только во MHoroM близки к лоrическим моделям, но и, что наиболее важно, по
168
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
зволяют адекватно представить практические звания экспертов в той или иной
проблемной области.
П р а в и л о н е ч е т к о й про Д у к Ц и и. В общем случае под правилом не-
четкой продукции или просто неllеткой llродУКtlиеЙ понимается выражение
следующеrо вида:
(i) : Q; P;.1l 13; S, F, N,
(6.21)
rдe (1) имя нечеткой продукции; Q сфера применения нечеткой продукции;
р условие применимости ядра нечеткой продукции; .1l 13 ядро нечеткой
продукции, в котором .1l условие ядра (или антецедент); 13 заключение ядра
(или консеквент); "::::::>" знак лоrической секвенции (или следования); S метод
или способ определения количественноrо значения степени истинности заключе
ния ядра; F коэффициент определенности или уверенности нечеткой продук
ции; N постусловия продукции.
По аналоrии с обычным правилом продукции, в качестве имени (t) нечеткой
продукции может выступать та или иная совокупность букв или символов, по-
зволяющая однозначным образом идентифицировать нечеткую продукцию в
системе нечеткоrо вывода или базе нечетких правил. В качестве имени нечеткой
продукции может использоваться ее номер в системе.
Сфера применения нечеткой продукции Q, условие применимости ядра нечеткой
продукции Р и постусловие нечеткой продукции N определяются аналоrично
оБыIнойй не нечеткой продукции (см. прило.женuе 2).
Аналоrично обычным правилам продукций ядро .1l 13 также является цен-
тральным компонентом нечеткой продукции. Ядро продукции записывается в
более привычной форме: "ЕСЛИ .1l, ТО 13" или в наиболее распространенном
виде: "IF .7<, THEN 13", rде .1l и 13 некоторые выражения нечеткой лоrики, ко-
торые наиболее часто представляются в форме нечетких высказываний. При
этом секвенция интерпретируется в обычном лоrическом смысле как знак лоrи
ческоrо следования заключения 13 из условия .1l. В качестве выражений .1l и 13
MorYT использоваться составные лоrические нечеткие высказывания, т. е. эле-
ментарные нечеткие высказывания, соединенные нечеткими лоrические связка
ми, такими как нечеткое отрицание, нечеткая конъюнкция и нечеткая дизъюнкция.
S метод или способ определения количественноrо значения степени истинно
сти заключения 13 на основе известноrо значения степени истинности условия .1l.
Данный способ в общем случае определяет так называемую схему или алrоритм
нечеткоrо вывода в продукционных н четких системах и называется также
.методом композиции или методом активации соrласно Стандарту IEC 1 131-7
(см. 2лаву 8). В настоящее время для этой цели предложено несколько способов,
основные из которых рассматриваются ниже в настоящем разделе.
F коэффициент определенности или уверенности выражает количественную
оценку степени истинности или относительный вес нечеткой продукции. Коэф
фициент уверенности принимает свое значение из интервала [О, 1] и часто назы-
вается весовым коэффициентом нечеткоrо правила продукции.
rлава 6. ОСНОВЫ нечеткой лоrики
169
Примечание :)
Наряду с обычной формой ядра нечеткоrо правила продукции рассматривается
так называемая расширенная форма в виде: "ЕСЛИ .9[, ТО 13, ИНАЧЕ С" или в
эквивалентной записи: "IF .9[ THEN 13 ELSE С". С точки зрения нечеткой лоrики
эта форма нечеткоro правила продукции по определению эквивалентна двум
нечетким правилам продукции: "ЕСЛИ .7{, то:/3" и "ЕСЛИ НЕ .7{, ТО С", rде связ
ка "НЕ" используется в смысле операции нечеткоrо отрицания.
Про Д у к Ц и о н н а я н е ч е т к а я с и с т е м а. Продукционная 1leчеткая сис-
тема или система нечеmких правил продукций представляет собой некоторое co
rласованное множество отдельных не четких продукций или правил нечетких
продукций в форме "ЕСЛИ .JI, ТО 23" (или в виде: "IF .7{ THEN !В", как определе-
но в Стандарте IEC 1131-7). Далее обе эти формы записи будут использоваться
как эквивалентные в зависимости от удобства в том или ином контексте.
Основная проблема приближенных рассуждений с использованием нечетких
правил продукций заключается в том, чтобы на основе некоторых нечетких
высказываний с известной степенью истинности, которые являются условиями
нечетких правил продукций, оценить степень истинности друrих нечетких вы-
сказываний, являющимися заключениями соответствующих нечетких правил
продукций.
Чтобы иметь возможность решить эту проблему, необходимо ответить на более
частный вопрос: Чему должна быть равна степень истинности заключения OT
дельноrо нечеткоrо правила продукции, если известна степень истинности усло-
вия этоrо правила? Таким образом, в системах нечетких продукций центральное
место занимает способ или метод определения истинности заключений в нечет-
ком правиле продукции.
Нетрудно заметить, что взаимосвязь между условием и заключением внечетком
правиле продукции в общем случае представляет собой некоторое бинарное He
четкое отношение на декартовом произведении универсумов соответствующих
нечетких высказываний. Этот подход и будет использоваться в дальнейшем для
определения различных схем или методов нечеткоrо вывода на основе продук-
ционных нечетких систем.
В общем случае для формальноrо определения различных методов нечеткоrо
вывода применительно к нечеткому правилу продукции рассмотрим два нечет
ких множества .JI и !В, заданных соответственно на универсумах Х и У. При этом
нечеткое множество.JI интерпретируется как условие HeKoToporo нечеткоrо пра
вила продукции, а нечеткое множество !в как заключение этоrо же правила.
Основная идея заключается в том, что нечеткое множество.7{ можно рассматри
вать как унарное отношение на универсуме Х, а нечеткое множество !в можно
рассматривать как унарное отношение на универсуме У. В этом случае первое
отношение определяется функцией принадлежности J.l.1l(x), а второе отноше
нне функцией принадлежности 1l23(y)'
Теперь предположим, что некоторым образом определено бинарное нечеткое
отношение на декартовом произведении универсумов: Q={ <х, у>, JlQ«X, у»},
170
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
rде ХЕХ и УЕ У. Если дополнительно известна функция принадлежности f1.9!(X)
первоrо множества, то функция принадлежности l13(Y) BToporo множества может
быть определена в результате нечеткой композиции соответствующих неLlетких
отношений с использованием, например, формулы (4.17) для максиминной He
четкой композиции.
Кроме максиминной нечеткой композиции, рассмотренной в 2лаве 4, предложе
ны и друrие способы для определения результата композиции нечетких отноше
ний. Таким образом. для определения функции принадлежности нечеткоrо MHO
жества !в можно использовать следующие методы, основанные на различных
расчетных формулах для определения функции принадлежности результата.
О Мах miп композиция или максиминная нечеткая свертка:
l13(Y) = тах {min {J.!:I!(X), l(i<x, У»} }.
хЕХ
(6.22)
о МаХ Рl"оd композиция:
J.!13(y) = тах { l.9!(.XJ l(J( <х, у>)} .
ХЕХ
(6.23)
о Мiп mах композиция:
f113(y) =mil1 {mах{р.9!(Х). f1Q«x,y»}}.
хЕХ
(6.24)
о Мах mах композиция:
f113()') = тах {тах {J.!:IJ(x), Ра( <х, У>)} }.
хЕХ
(6.25)
о Мil1 mil1 КОМПОЗИЦИЯ:
l13(y) = l11il1 {шiп {J.!.J!(x), J.!a( <х, У»} }.
ХЕХ
(6.26)
о Мах аvешgе композиция:
J.!13(y) =0.5. тах {P.9!(x)+j.lQ«x, у»}.
ХЕХ
(6.27)
о Sum р..оd композиция:
l13(y) = fQ:( lЯ(Х)'j.lQ«Х,у»».
.\Е. \'
(6.28)
[де f некоторая лоrистическая функция типа сиrмоидной, которая оrрани
чивает значения функции числом из интервала [О, 1]. Этот метод композиции
применяется в приложениях искусственных нейронных сетей для установле
ния взаимосвязей между параллельными слоями в мноrослойных сетях.
В системах нечеткоrо вывода, которые рассматриваются в следующей rлаве,
наиболее часто применяются методы mах шiп композиции (6.22) и шах рrоd
композиции (6.23). Первый из них был предложен Л. Заде в одной из ero первых
работ по приближенным рассуждениям с использованием eCTecTBeHHoro языка и
правил продукций.
rлава б. ОСНОВЫ нечеткой лоrики
171
Прямой и обратный методы вывода
заключений в системах нечетких продукций
По аналоrии с обычными продукционными системами важным компонентом
систем нечетких продукций является так называемый метод или схема вывода
заключений на основе нечетких условий в базе правил нечетких продукций.
Наиболее известными являются два таких метода вывода заключений: прямой и
обратный, особенности которых рассматриваются ниже.
О Прямой Jиетод вывода заключений в системах нечетких продукций, называе
мый также методом нечеткоrо восходящеrо вывода или методом прямой He
четкой цепочки рассуждений (fuzzy fOl'Wal'd chaining ..easoning), основан на
использовании нечеткоrо обобщения правила вывода модус поненс FMP
(fuzzy modus ponens, нечеткий модус поненс). Соrласно Л. Заде, суть нечетко
[о модус поненс заключается в следующем. Классическая импликация A B в
правиле вывода МР заменяется на правило нечеткой пропукции: "ЕСЛИ Х
есть .7{, ТО У есть !В", [де .7{ и !в нечеткие множества, а саМО правило нечет
кой продукции представляет некоторое нечеткое отношение между перемен
ными Х и у, при этом ХЕХ и)'Е У. Что касается посылки А правила МР, то она
заменяется на нечеткое условие "х есть .7{''', [де .7{' нечеткое множество, OT
ражающее знания о реальном значении переменной х. Объединение правила
нечеткой продукции и нечеткоrо условия позволяет получить новую инфор
мацию О значении переменной )' в форме: ")' есть !В"'. При этом заключение по
правилу FMP получается как функuия принадлежности нечеткоrо множества
13' на основе функции принадлежности условия .7{' и функции принадлежно
сти нечеткой импликации как соответствующеrо нечеткоrо отношения с ис
пользованием одноrо из методов нечеткой композиции (6.22) 6.27).
Применительно к системам нечетких продукций прямой метод вывода реали
зуется посредством преобразования отдельных фактов проблемной области 8
конкретные значения функций принадлежности условий нечетких продукций.
После этоrо преобразования по одному из методов нечеткой композиции Ha
ходятся значения функций принадлежности заключений правых частей по
каждому из правил нечетких продукций. Эти значения функций принадлеж
ности либо являются искомым результатом вывода, либо MorYT быть исполь
зованы в качестве дополнительных условий в рассматриваемой базе правил
нечетких продукций. При этом правила, которые MorYT быть использованы
для выполнения нечеткой композиции, также называют активными.
Проuесс вывода прямым методом в системах нечетких продукций в общем
случае может иметь рекурсивный (итеративный) характер. Он может быть oc
тановлен либо в случае отсутствия активных правил нечетких продукций, ли
60 в случае получения функции принадлежности заключения, которое являет
ся целевым в контексте решения исходной проблемы. В этом случае функция
принадлежности заключения характеризует успех процесса вывода в системах
нечетких продукций и решение поставленной проблемы.
172
Часть 1. Основьт теории нечетких множеств инечеткой лоrики
CJ Обратный метод вывода в ПРОДУКЦИОННЫХ системах, называемый также ме-
тодом нечеткоrо нисходящеrо вывода или методом обратной нечеткой цe
почки рассуждений (fuzzy backwal'd chaining .-easol1ing), основан на использо
вании нечеткоrо обобщения правила вывода модус толленс РМТ (fuzzy
modus tollens, нечеткий модус толленс). Суть нечеткоrо модус толленс заклю
чается в следующем. Классическая импликация A:::JB в правиле вывода МТ
заменяется на правило нечеткой продукции: "ЕСЛИ х есть .1{, ТО У есть !В",
rде .1{ и !в нечеткие множества, а правило нечеткой ПРОДУКЦИИ представля-
ет некоторое нечеткое отношение между переменными х и У, при этом ХЕХ И
УЕ У, как и в методе FMP. Заключение В заменяется нечетким заключением в
форме "является ли У !В'?" или "у есть !В'?". При этом нечеткое множество !В' не
равно нечеткому множеству !В, используемому в заключении правила нечет
кой продукции. Целью вывода методом обратной нечеткой цепочки рассуж
дений является установление истинности условия правила нечеткой продук
ции в форме: "является ли х .1{'?" или "х есть .1{'?". В :этом случае заключение
по правилу FMT получается как функция принадлежности нечеткоrо множе
ства .1{' на основе функции принадлежности заключения !В' и функuии при
надлежности нечеткой импликации как соответствующеrо нечеткоrо отноше
ния с использованием одноrо из методов нечеткой композиции (6.22) (6.27).
Принципиальное различие между обратными методами вывода заключений в
нечетких и обычных системах продукций заключается в том, что примени
тельно к системам нечетких продукций функции принадлежности условий He
известны и должны быть KaK TO заданы. Процесс обратноrо вывода в систе
мах нечетких продукций начинается с подстановки отдельных интересующих
нас значений функции принадлежности заключений в правые части COOTBeT
ствующих правил нечетких продукций, которые в этом случае становятся aK
тив1lыми. После анализа каждоrо из активных правил находятся функции
принадлежности условий, которые используются в этих правилах. Эти функ
ции принадлежности условий принимаются в качестве подцелей, которые мо-
rYT быть использованы в качестве функций принадлежности новых заключе
ний в рассматриваемой базе правил нечетких продукций.
Процесс вывода обратным методом также имеет рекурсивный (итеративный)
характер. Он может быть остановлен либо в случае отсутствия новых актив
ных правил, либо в случае получения значений функций принадлежности ус-
ловий, которые подтверждаются фактами проблемной области. Подобное
подтверждение условий характеризует успех процесса вывода и справедли-
вость значений функции принадлежности исходных заключений.
Примечание
Изложенные здесь особенности методов вывода заключений в системах нечет
ких продукций представлены в схематичном виде. Более детально эти методы
рассматриваются в 8лаве 7, rде представлены конкретные алrоритмы нечетко-
ro вывода в системах нечетких продукций.
(лава 6. ОСНОВЫ нечеткой лоrики
173
При м е р 6.5. В качестве примера нахождения заключений прямым методом
вывода в системах нечетких продукций рассмотрим использование модифици
рованной базы правил для проблемной области, связанной к проверкой rраждан
на таможенном пункте контроля с целью исключения возможности провоза Hap
котиков (см. пример П2.8).
В качестве системы нечетких продукций рассмотрим следующее множество пра
вил нечетких продукций, которое более адекватно представляет ситуацию TaMO
женноrо досмотра rраждан при пересечении rраницы, чем в примере П2.8.
О ПРАВИЛО I: ЕСЛИ 'Тражданин не является высокопоставленным чиновни
ком", то "он подверrается таможенному досмотру" (Л= 1 .0).
О ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ "[ражданин является высокопоставленным чиновни
ком", то "он не подверrается таможенному досмотру" (F2=O.9).
О ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ 'Тражданин не подверrается таможенному досмотру",
ТО "не исключается возможность провоза наркотиков" (Fз=О.8).
О ПРАВИЛО .4: ЕСЛИ "Количество rраждан, проходящих таможенный oc
мотр, велико", ТО "контролер испытывает чувство усталости" (F4=0.6).
О ПРАВИЛО 5: ЕСЛИ "Контролер испытывает чувство усталости", ТО "не ис
ключается возможность провоза наркотиков" (Fs=0.7).
О ПРАВИЛО 6: ЕСЛИ 'Тражданин подверrается таможенному досмотру" И
"в отношении 'Этоrо rражданина имеется аrентурная информация", ТО
"исключается возможность провоза наркотиков" (F6=O.95).
О ПРАВИЛО 7: ЕСЛИ 'Тражданин подверrается таможенному досмотру" И
"контролер использует новейшие технические средства", ТО "исключается
возможность провоза наркотиков" (F7=0.95).
При этом каждое из правил нечетких продукций имеет некоторый вес или KO
эффициент определенности F;, который определяет значимость правила или
уверенность в степени истинности заключения, получаемоrо по отдельному He
четкому правилу. В качестве условий и заключений каждоrо из правил исполь
зуются нечеткие высказывания.
Предположим, что на таможенном пункте контроля сложилась следующая TeKY
щая ситуация. Среди rраждан, въезжающих в страну, находятся высокопостав
ленные чиновники (Т=0.2). Количество rраждан, проходящих таможенный oc
мотр, невелико (T=O.I). Таможенный пункт контроля оснащен новейшими
техническими средствами (Т=О.8). Какая либо предварительная информация о
наличии наркотиков у отдельных rраждан отсутствует (Т=О.9). Здесь в скобках
указаны степени истинности соответствующих нечетких высказываний.
Проблема заключается в оценке истинности нечеткоrо заключения об исключе
нии возможности провоза наркотиков через данный пункт контроля.
Рассмотрим один из возможных способов решения данной проблемы с исполь
З0ванием прямоrо метода вывода, правила mах min композиции инечеткой
операции mах дизъюнкции для оценки одинаКОВЫХ заключений. С этой целью
последовательно рассмотрим все правила для получения соответствующих He
четких заключений.
174
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Правило 1 позволяет получить нечеткое заключение о том, что "rраждане будут
подверrнуты таможенному досмотру". Степень истинности этоrо нечеткоrо BЫ
сказывания равна: T=rnin {l""'О.2, 1.0} = 0.8.
Правило 2 позволяет получить нечеткое заключение о том, что "rраждане не бу
дут подверrнуты таможенному досмотру". Степень истинности этоrо нечеткоrо
высказывания равна: T=min{0.2, 0.9}= 0.2.
Правило 3 позволяет'лолучить нечеткое заключение о том, что "не исключается
возможность провоза наркотиков". Степень истинности этоrо нечеткоrо BЫCKa
зывания равна: T=min{O.2, 0.8}= 0.2.
Правило 4 позволяет получить нечеткое заключение о том, что "контролер ис
пытывает чувство усталости". Степень истинности этоrо нечеткоrо высказыва
ния равна: T=rnin{l O.l, 0.6}= 0.6.
Правило 5 позволяет получить нечеткое заключение о том, что "не исключается
возможность провоза наркотиков". Степень истинности этоrо HeLleTKoro BЫCKa
зывания равна: T=min{0.6, 0.7}= 0.6.
Правило 6 позволяет получить нечеткое заключение о том, что "исключается
возможность провоза наркотиков". Степень истинности этоrо нечеткоrо BЫCKa
зывания равна: T=min{min{O.8, 0.8}, 0.95}= 0.1.
Правило 7 позволяет получить нечеткое заключение о том, что "исключается
возможность провоза наркотиков". Степень истинности этоrо нечеткоrо BЫCKa
зывания равна: T=min{min{0.8, 0.8}, 0.95}= 0.8.
Интересующее нас нечеткое высказывание является нечетким следствием правил
6 и 7. Объединяя степени истинности нечетких заключений, полученных с помо
щью этих правил, получим искомое значение истинности нечеткоrо высказыва
ния о том, что для рассматриваемой ситуации "исключается возможность прово
за наркотиков". Это значение равно: T=rnax{O.l, 0.8}= 0.8. Дополнительно
можно получить степень истинности нечеткоrо высказывания о том, что "не исклю
чается возможность провоза наркотиков". Это значение равно: Т=mах{О.6, О.2}= 0.6
(см. правила 3 и 5).
Анализ этих значений истинности показывает, LITO сложившаяся ситуация на
таможенном пункте контроля характеризуется высоким уровнем неопределенно
сти и может потребовать от руководства принятия дополнительных мер. Одно из
таких решений может быть связано со своевременной заменой контролеров с
целью предотвращения их усталости. Это решение основано на том обстоятель
стве, что относительно высокая степень истинности заключения "не исключается
возможность провоза наркотиков" получается при использовании правила 5,
условием KOToporo является "контролер испытывает LIYBCTBO усталости".
Примечание :)
Рассмотренная система правил нечетких продукций не претендует на закон
ченность и служит лишь иллюстрацией применения основных идей нечеткой
лоrики. В этой связи следует отметить, что реальные экспертные системы,
основанные на правилах нечетких продукций, MOryT содержать сотни отдель
ных правил. В этом случае собственно процесс получение нечетких заключе
rлава 6. ОСНОВЫ нечеткой лоrики
175
ний может превратиться в серьезную проблему, имеющую самостоятельное
значение и требующую дополнительных средств для cBoero конструктивноrо
решения.
Тем не менее, даже этот простой пример показывает, что системы правил нечет-
ких продукций позволяют не только получить более адекватное решение про
блемы, но и менее cTporo относиться к противоречивости и полноте исходных
правил. Действительно, наличие совокупности правил, которая приводит в
обычной ситуации к взаимно исключающим заключениям, в нечеткой продук
ционной системе еще не служит признаком ее противоречивости. Безусловно, это
является одним из достоинств правил нечетких продукций.
Примечание
Можно предложить в качестве упражнения получить нечеткие заключения для
системы правил нечетких продукций из примера 6.5 с использованием друrих M
тодов нечеткой композиции (6.2З) (6.28), а полученные результаты сравнить.
При м е р 6.6. В заключение этой rлавы рассмотрим процесс получения заклю-
чений на основе непосредственноrо использования нечеткоrо отношения, KOTO
рое было построено в примере 4.3. Этот пример характерен для задач техниче
ской диаrностики и иллюстрирует два важных аспекта: особенности решения
нечетких уравнений и неравенств, а также метод получения заключений с ис
пользованием посылок.
Напомним, что в при мере 4.3 рассматривалось нечеткое отношение, которое co
держательно описывает упрощенную ситуацию поиска неисправности в aBTOMO
биле. С этой целью в качестве предпосылок или причин неисправности paCCMaT
ривалось множество X={Xl, Х2, Хз, Х4}, в котором ХI "неисправность aKKJ'
.мулятора", Х2 "неисправность карбюратора", Х3 "низкое качество бензина",
Х4 "nеисправность сиСI11ШНЫ зажиzания". В качестве BToporo универсума pac
смотрим множество заключений или проявлений неисправности у= {YI, У2, )'з},
[де У' "двU2атель не запускается", У2 "двИ2атель работает иеустойчuво".
уз "двиzатель не развивает полной АtOи/llOсти" .
Причинная взаимосвязь между множеством предпосылок и множеством следствий
представлена в виде бинарноrо нечеткоrо отношения 'Р={<Х;,),;>, j..1p«X"Y j »}, за
[ 1 0.1 0.2 ]
0.8 0.9 1
данноrо в форме матрицы М'Р этоrо нечеткоrо отношения: М'Р = .
0.7 0.8 0.5
1 0.5 0.2
Если результаты осмотра KOHKpeTHoro автомобиля показывают, что двиrатель
не запускается, хотя и работает устойчиво и развивает полную мощность, то эта
информации может быть представлена в форме нечеткоrо множества, например,
23={<YI, 0.9>, <У2, 0.1>, <)'з, 0.2>}. Задача состоит в том, чтобы определить воз-
176
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
можные причины неустойчивой работы двиrателя, используя для этоrо эксперт
ную информацию в форме нечеткоrо отношения 'Р.
Друrими словами, в этой задаче, характерной для задач технической диаrности
ки, необходимо найти такое нечеткое множество .9'1= { <XI, 1-t.'7/(XI», <Х2, 1-t.9l(Х2».
<хз, 1-t.9l(ХЗ», <Х4, 1-t.9l(Х4»} , которое соответствовало бы нечеткому множеству !В.
е этой целью представим нечеткое множество !в в форме вектора Ь = (0.9 0.1 0.2),
компоненты KOToporo равны значениям функции принадлежности соответст-
вующих элементов. Нечеткое множество .9'1 также представим в форме вектора а =
= (т, т, аз, а4), компоненты KOToporo неизвестны и требуется определить. Базо
вой предпосылкой для решения этой задачи является предположение о том, что
компоненты вектора а должны удовлетворять следующему условию:
а 0 М1'= Ь.
(6.29)
rде "0" знак композиции, соответствующий одному из методов (6.22) (6.28).
Если в качестве метода нечеткой композиции использовать mах miп компо
зицию (6.22), то выражение (6.29) преобразуется в следующую систему так назы-
ваем ых нечеткuх уравнений:
(lлаl)v(0.8лт)v(0.7лаз)v(lла4) = 0.9;
(0.1 лт)v(0.9лт)v(0.8лаз)v(0.5ЛG4) = 0.1;
(0.2лаr)v(lлт)v(0.5ЛQз)v(0.2ла4) = 0.2.
(6.30)
(6.31)
(6.32)
Здесь связка "v" используется для сокращения записи операции тах, а связка
"л" для сокращения записи операции min. Необходимо решить эту систему
уравнений, т. е. найти такие значения т, т, аз, а4, которые бы удовлетворяли
соотношениям (6.30) (6.32).
Прежде Bcero, следует отметить, что в первом уравнении (6.30) второй и третий
компоненты не оказывают влияния на результат правой части. Откуда следует,
что (lлт) v(lла4) = 0.9 или a,va4 = 0.9. Это приводит к необходимости рассмот-
реть два случая: т=0.9 и а4 = 0.9. Оба эти случая удовлетворяют (6.32).
В то же время первый случай al=0.9 удовлетворяет (6.31), а второй а4=0.9 не
удовлетворяет (6.31), откуда следует, что щ О.l. Из (6.31) также следует, что:
a2 0.1 и аз О.I. Эти неравенства и являются решением поставленной задачи.
Таким образом, решением задачи диаrностики является произвольный вектор
значений функций принадлежности а = (т, т, аз, а4), компоненты KOTopor'o
удовлетворяют условиям: al=0.9, m O.I, аз О.I, a4 0.1. Для рассматриваемой си
туации этоrо может оказаться и достаточно, поскольку первое значение 1-t.9l(ХI) =
= 0.9 явно указывает на неисправность аккумулятора.
Примечание
В качестве упражнения предлаrается решить аналоrичную задачу, используя
друrие методы композиции (6.2З) (6.28) и друrие начальные условия осмотра
rлава 6. ОСНОВЫ нечеткой лоrики
177
автомобиля. Полученные результаты сравнить. При необходимости можно дo
полнить экспертные знания, расширив рассматриваемое нечеткое отношение
на большее число элементов базисных универсумов Х и У. В качестве еще oд
Horo упражнения можно предложить преобразовать нечеткое отношение из
примера 6.6 в совокупность правил нечетких продукций и выполнить вывод за
кпючений для аналоrичных исходных данных.
Не исключая возможности практическоrо использования рассмотренных здесь
нечетких продукционных систем и нечетких отношений, следует отметить, что
наибольшее практическое применение нашли так называемые системы нечеткоrо
вывода, в которых сделаны некоторые дополнительные предположения о форме
нечетких высказываний, используемых в качестве условий и заключений в пра
вилах нечетких продукций. Именно эти системы нечеткоrо вывода, paCCMOTpe
нию которых посвящена следующая rлава, оказываются наиболее адекватным
средством формализации экспертных знаний в самых различных проблемных
областях и вывода соответствующих заключений.
rлава 7
Системы нечеткоrо вывода
Нечеткий вывод занимает центральное место внечеткой лоrике и системах нечет
Koro управления. Процесс нечеткоrо вывода представляет собой некоторую про-
цедуру или алrоритм получения нечетких заключений на основе нечетких условий
или предпосылок с использованием рассмотренных выше понятий нечеткой лоrи
ки. Этот процесс соединяет в себе все основные концепции теории нечетких MHO
жеств: функции принадлежности, линrВИСТИLJеские переменные, нечеткие лоrиче
ские операции, методы нечеткой импликации и нечеткой композиции.
Системы нечеткоrо вывода предназначены ДfIЯ реализации процесса нечеткоrо
вывода и служат концептуальным базисом всей современной нечеткой лоrики.
Достиrнутые успехи в применении этих систем ДfIЯ решения широкоrо класса задач
управления послужили основой становления нечеткой лоrики как прикладной
науки с боrатым спектром приложений. Системы нечеткоrо вывода позволяют
решать задачи автоматическоrо управления, классификации данных, распознава
ния образов, принятия решений, машинноrо оБУLlения и мноrие друrие.
Поскольку разработка и применение систем нечеткоrо вывода имеет междисцип
линарный характер, данная проблематика исследований тесно взаимосвязана с
целым рядом друrих научно прикладных направлений, таких как: нечеткое Moдe
лирование, нечеткие экспертные системы, нечеткая ассоциативная память, нечет-
кие лоrические контроллеры, нечеткие реrуляторы и просто нечеткие системы.
7.1. Базовая архитектура
систем нечеткоrо вывода
РассматриваеМ1>Iе в настоящей rлаве системы нечеткоrо вывода являются част
ным случаем продукционных нечетких систем или систем нечетких правил про
дукций, в которых условия. и заключения отдельных правил формулируются в
форме нечетких высказываний относительно значений тех или иных линrвисти-
ческих переменных. Поскольку нечеткие линrвистические высказывания имеют
фундаментальное значение в контексте современной нечеткой лоrики, изучение
систем нечеткоrо вывода начнем -именно с них.
r лава 7. Системы нечеткоrо вывода
179
Нечеткие линrвистические высказывания
Н е ч е т к о е л и н r в и с т и ч е с к о е в ы с к азы в а н и е. Н ечеl1жи.м лин
2вuстически.м высказыванием будем называть высказывания следующих видов.
1. Высказывание "13 есть а", rде 13 наименование линrвистической перемен
ной, а ее значение, которому соответствует отдельный линrвистический
терм из базовоrо терм множества Т линrвистической переменной 13.
2. Высказывание "13 есть Va", rде V модификатор, соответствующий таким
словам, как: "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "MHOrO БОЛЬШЕ" и дpy
fИМ, которые MorYT быть получены с использованием процедур G и М данной
линrвисти ческой переменной.
3. Составные высказывания, образqванные из высказываний видов 1 и 2 и He
четких лоrических операций в форме связок: "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ ТО", "НЕ".
Поскольку в системах нечеткоrо вывода нечеткие линrвистические высказыва
ния занимают центральное место, далее будем их называть просто нечеткими
высказываниями.
При м ер 7.1. Рассмотрим некоторые примеры нечетких высказываний. Первое
из них "скорость автомобиля высокая" представляет собой нечеткое высказы
вание первоrо вида, в рамках KOToporo линrвистической переменной "скорость
автомобиля" присваивается значение "высокая". При этом предполаrается, что на
универсальном множестве Х переменной "скорость автомобиля" определен COOT
ветствующий линrвистический терм "высокая", который задается в форме функ
ции принадлежности HeKoToporo нечеткоrо множества (например, рис. 5.2).
Нечеткое высказывание BToporo вида "скорость авто.мобиля очень высокая" оз
начает, что линrвистической переменной "скорость автомобиля" присваивается
значение "высокая" с МQдификатором "ОЧЕНЬ", который изменяет значение co
ответствующеrо линrвистическоrо терма "высокая" на основе использования He
которой расчетной формулы, например (3.47) для операции концентрации
CON (Jl) нечеткоrо множества Jl для терма" высокая".
Нечеткое высказывание BToporo вида "скорость автомобиля более или Л1еиее вы
сокая" означает, что линrвистической переменной "скорость ав1110J\юбиля" при
сваивается значение "высокая" с модификатором "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", KOTO
рый изменяет значение соответствующеrо линrвистическоrо терма "высокая" на
основе использования некоторой расчетной формулы. например (3.48) для опе
рации растяжения DIL(Jl) нечеткоrо множества Jlдля терма "высокая".
Ниже на рис. 7.1. изображен при мер функции принадлежности терм множества
"средняя" линrвистической пере мен ной "скорость автомобшlЯ" (а) и определение
значений функций принадлежности этоrо же терм множества для модификато
ров "ОЧЕНЬ" (6) и "БОЛЕЕ МЕНЕЕ" (в).
Примечание
Поскольку в настоящее время отсутствует единая точка зрения на применение
друrих модификаторов, соответствующие расчетные формулы в случае их ис
180
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
пользования в конкретных системах нечеткоro вывода принято указывать явно
в рамках процедур G и М соответствующей линrвистической переменной. He
смотря на это, в рассматриваемых ниже правилах нечетких продукций стара-
ются избеrать употребления модификаторов даже на этапе их построения.
0.8
,
I I I I
, , T
I , , f
I , I I
0.6
0.4
0.2 -f ... ..I...............
о
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
а
0.8
I I
.
. I l' I I . I
"""' " "I" r ,"""" " "T " r """"
I I I I I I I I
. I . I I I I I
I I . I I I I I I
...... ' r ..r.. .. ' .. r .. ' ......r......
I I I I I I I I I
I I . I I I I I I
. I I I I I I . .
........1.......... ........ ........ .... .... .... ........... ......... ........ ........
I I . I I I I I I
I I I I I . I . t
I I I I I I I I I
.. .... .......... ................. ........ .. . ....... .......... ...........
. I I I I I I I
. I I I I I I
I I I I I I I
0.6
0.4
0.2
о
о
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
6
1
.
I I I I
........,.....................Т........'....
I I I I
I I I I
0.8
0.6
0.4
0.2
о
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
в
Рис. 7.1. Применение модификаторов "ОЧЕНЬ" (6)
и "БОЛЕЕ МЕНЕЕ" (в) к терму "средняя скорость" (а)
Наконец, нечеткое высказывание TpeTbero ВИДа "скорость автомобиля высокая и
расстояние до перекрестка близкое" означает, что одной линrвистической пере-
rлава 7: Системы нечеткоrо вывода
181
менной "скорость автомобиля" присваивается значение "высокая", а друrой лин
rвистической переменной "расстояние до перекрестка" присваивается значение
"близкое". Эти нечеткие высказывания первоrо вида соединены лоrической опе
рацией нечеткая конъюнкция (операцией нечеткое "И").
Примечание
При записи нечетких высказываний в форме структурируемоrо текста на языке
FCL используется специальная связка "15". В этом случае нечеткое высказыва
ние "давление большое" может быть представлено в виде "давление 15 боль
шое", что может оказаться более удобным для последующей интерпретации.
Правила нечетких продукций
в системах нечеткоrо вывода
Как уже отмечалось в начале этой rлавы, рассматриваемые здесь системы нечет
Koro вывода являются частным случаем продукционных нечетких систем или
систем нечетких правил продукций вида (6.21), определение которых было дано
ранее в 2лаве 6. Основная особенность нечетких правил, используемых в систе
мах нечеткоrо вывода, условия и заключения отдельных нечетких правил
формулируются в форме нечетких высказываний вида 1 3 относительно значе
ний тех или иных линrвистических переменных.
Таким образом, всюду далее под llравUЛОJ\1 нечеткоu продукции или просто иe
четкой продукцией будем пони мать выражение следующеrо вида: (i) : Q; Р; А:::::>В;
S, F, N, в котором все компоненты определены соrласно (6.21), за исключением
Toro, что условие ядра (антецедент) ..11 и заключение ядра (консеквент) !8 пред
ставляют собой нечеткие линrвистические высказывания вида 1 3.
Простейший вариант правила нечеткой продукции, который наиболее часто ис
пользуется в системах нечеткоrо вывода, может быть записан в форме:
ПРАВИЛО <#>: ЕСЛИ "131 есть сх"', ТО "13:!есть сх''''. (7.1)
Здесь нечеткое высказывание "131 есть сх'" представляет собой условие данноrо
правила нечеткой продукции, а нечеткое высказывание "132 есть сх"" нечеткое
заключение данноrо правила. При этом считается, что 131*132.
Примечание
Запись простейшеrо варианта правила нечеткой продукции в анrлоязычной
транскрипции: RULE <#>: IF "(31 15 а"', THEN "(32 15 а"" считается эквивалентной
записи (7.1), если не оroворено обратное. Использование той или иной записи
определяется соображениями удобства или необходимости следования HeKO
торым стандартным нотациям.
с и с т е м а н е ч е т к и х п р а в и л про Д у к Ц и й. Система не четких npa
вил продукций или продукционная иечеткая система представляет собой HeKOTO
182
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
рое соrласованное множество отдельных IIсчетких продукциЙ или правил нечет
ких продукций в форме "ЕСЛИ 51, ТО 13" (или в виде: "IF 51 THEN 13"), rде 51 и
13 нечеткие линrвистические высказывания вида 1, 2 или 3. Два последних
случая нечетких высказываний требуют дополнительноrо пояснения.
Рассмотрим вариант использования в качестве условия или заключения в HeKO
тором правиле нечеткой продукции нечеткоrо высказывания вида 2, т. е. вида: "Р
есть Va", rде V модификатор, определяемый процедурами G и М линrвисти
ческой переменной 13. Пусть терму а соответствует нечеткое множество 51. В этом
случае исходное нечеткое высказывание "13 есть Va" можно преобразовать к ви
ду 1 в форме нечеткоrо высказывание "13 есть а"', rде терм а' получается на oc
нове применения определенной процедурами G и М операции к нечеткому MHO
жест ву 51. Полученное в результате подобной операции нечеткое множество 51'
принимается за значение терм множества а'.
Если в качестве условия или заключения используются составные нечеткие BЫ
сказывания, т. е. образованные из высказываний видов 1 и 2 и нечетких лоrиче
ских операций в форме связок: "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ ТО", "НЕ", то ситуация
несколько усложняется. Поскольку вариант использования нечетких высказыва
ний вида 2 сводится к нечетким высказываниям вида 1, то достаточно paCCMOT
реть сложные высказывания, в которых нечеткими лоrИLlескими операциями co
единены только нечеткие высказывания вида 1.
Эта ситуация может соответствовать простейшему случаю, коrда нечеткими ло
rическими операциями соединены нечеткие высказывания, относящиеся к одной
и той же линrвистической переменной, т. е. в форме: "13 есть а/" ОП "13 есть а/"',
rде ОП некоторая из бинарных операций нечеткой конъюнкции "И" или He
четкой дизъюнкц tи "ИЛИ".
Примечание
Посколь/<}' нечеткая импликация и нечеткая эквивалентность MOryT быть Bыpa
жены через операции нечеткой конъюнкции и нечеткой дизъюнкции, анечеткое
отрицание в данном контексте является по сути модификатором, оrраничимся
рассмотрением только двух указанных выше нечетких операций.
Очевидно, в этом простейшем случае нечеткое высказывание "13 есть а'" И "Р
есть а"" эквивалентно нечеткому высказыванию "13 есть а*", rде TepM MH
жеству а* соответствует нечеткое множество 51*, равное пересечению нечетких
множеств 51' и 51", которые соответствуют термам а/ и а". При этом операция
пересечения определяется одним из ранее рассмотренных способов (3.3), (3.19),
(3.31), (3.33), (3.35).
Соответственно, нечеткое высказывание "13 есть а'" ИЛИ "13 есть а"" эквива
лентно нечеткому высказыванию "13 есть а*", rде терм множеству а* COOTBeTCT
вует нечеткое множество 51*, равное объединению нечетких множеств 51/ и 51",
которые соответствуют термам а/ и а". При этом операция объединения опреде
ляется одним из ранее рассмотренных способов (3.4), (3.20), (3.32), (3.34), (3.35).
[лава 7. Системы нечеткоrо вывода
183
При м ер 7.2. Рассмотрим составное нечеткое высказывание вида 3: "скорость
автомобиля средняя и скорость автомобu'lЯ высокая". Ему соответствуют два He
четких высказывания первоrо вида, соединенные лоrической операцией нечет
кой конъюнкции. Тоrда исходное нечеткое высказывание эквивалентно нечет
кому высказыванию первоrо вида: "скорость автОАюбиля средняя и высокая".
Функция принаДfIежности терма "средняя и высокая" изображена на рис. 7.2, б
более темным фоном, при этом результат нечеткой конъюнкции определялся по
формуле (3.3).
Рассмотрим аналоrичное составное нечеткое высказывание вида 3: "скорость
автомобиля средняя или скорость автомобиля высокая". Ему также соответствуют
два нечетких высказывания первоrо вида, соединенные лоrической операцией
нечеткой дизъюнкции. Тоrда исходное нечеткое высказывание эквивалентно He
четкому высказыванию nepBoro вида: "скорость авl1lOJ\юБШIЯ средняя U.'lU выco
коя". Функция принадлежности терма "средняя или высокая" изображена на
рис. 7.2, в более темным фоном, при этом результат нечеткой дизъюнкции опре
делялся по формуле (3.4).
BO BTOpЫX, ситуация может соответствовать более сложному случаю, коrда He
четкими лоrическими операциями соединены нечеткие высказывания, относя
щиеся к разным линrвистическим переменным в условии правила нечеткой про
дукции, т. е. в форме: "131 есть а'" ОП "132 есть а"", rде ОП некоторая из
бинарных операций нечеткой конъюнкции "И" или нечеткой дизъюнкции
"ИЛИ", а 131 и J32 различные линrвистические переменные.
Этот вариант правил нечетких продукций может быть записан в следующей об
щей форме:
ПРАВИЛО <#>: ЕСЛИ "131 есть а'" И "132 есть а"" ТО "133 есть у"
или
(7.2)
ПРАВИЛО <#>: ЕСЛИ "131 есть а'" ИЛИ "132 есть а"" ТО "133 есть у".
Здесь нечеткие высказывания: "131 есть а'" И "132 есть а"", "13. есть а'" ИЛИ "132
есть а""представляют собой усЛовия правил нечетких продукций. анечеткое
высказывание "133 есть у" заключение правил. При этом считается, что
РI*Р2*J3з, а каждое из нечетких высказываний "J3! есть а''', "р2 есть а"" называют
1I0дусловиями данных правил нечетких продукций.
В случае правил нечетких продукций в форме (7.2) необходимо использовать
один из методов аrреrирования условий в левой части этих правил. COOTBeTCT
вующие методы аrреrирования рассматриваются ниже при описании этапа arpe
rирования.
Наконец, нечеткими лоrическими операциями MorYT быть соединены нечеткие
высказывания, относящиеся к разным линrвистическим переменным в заключе
нии правила нечеткой продукции, т. е. в форме: "13. есть а'" ОП "132 есть а,т, rде
ОП некоторая из бинарных операций нечеткой конъюнкции "И" или нечеткой
дизъюнкции "ИЛИ", а 131 и J32 различные линrвистические переменные.
184
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
0.8
06
0.4
0.2
О
О 10 20 ЗО 40 50 БО 70 80 . 90 100 а
I
0.8 ' I ,
L .J. I
I , ,
I , ,
0.6
0.4
0.2
О
О 10 20 30 40 50 во 70 80 90 100
б
0.8
I I I .
I L L
I I I I
I ,1
I I I I
I .
I I I I
I I I I
I I I I
,. I r , ,
, I
I ,
, I I
i ! r .
, ,
, ,
0.6
0.4
0.2
О
О
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
в
Рис. 7.2. Преобразование составных нечетких высказываний,
относящихея к одной И той же линrвистической переменной
Этот вариант правил нечетких продукций может быть записан в следующей об-
щей форме:
ПРАВИЛО <#>: ЕСЛИ "PI есть а'" ТО "р2 есть а"" И "Рз есть у"
или (7.
ПРАВИЛО <#>: ЕСЛИ "PI есть а'" ТО "Р2есть а"" ИЛИ "Рз есть у".
Здесь нечеткое высказывание "PI есть а'" представляет собой условие правил
нечетких продукций, а нечеткие высказывания: "Р2 есть а"" И "Рз есть v", "Р2
есть а"" ИЛИ "Рз есть у" заключения данных правил. При этом считается,
чТО Р.:;СР2*РЗ, а каждое из нечетких высказываний "Р2 есть а"", "Рз есть v" назы-
вают подЗQключенuями данноrо правила нечеткой продукции.
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
185
в случае правил нечетких продукций в форме (7.3) необходимо использовать
один из методов аккумуляции заключений в правилах нечетких продукций. Эти
методы также рассматриваются ниже при описании этапа аккумуляции.
Примечание :)
Следует отметить, что если использование правил нечетких продукций в фор
ме (7.2) является широко распространенным, то записи правил нечетких про
дукций в форме (7.2) стараются избеrать, преобразуя их к форме (7.1) или (7.2)
на этапе построения базы правил нечетких продукций. Примеры конкретных
правил представлены в разд. 7.4 настоящей rлавы.
Механизм или алrоритм вывода
в системах нечеткоrо вывода
Механизм или алrоритм вЫвода является следующей важной частью базовой
архитектуры систем нечеткоrо вывода. Применительно к системам нечеткоrо
вывода механизм вывода представляет собой конкретизацию рассмотренных
ранее методов прямоrо и обратноrо вывода заключений в системах нечетких
продукций (см. 2лаву 6). В данном случае алrоритм вывода оперирует правила
ми нечетких продукций, в которых условия и заключения записаны. в форме He
четких линrвистических переменных.
Для получения заключений в системах нечеткоrо вывода предложены несколько
алrоритмов, характерные особенности и примеры применения которых изложе
ны ниже в настоящей rлаве. Описание этих алrоритмов базируется на разделении
процесса вывода на ряд последовательных этапов, которые рассматриваются в
следующем разделе. Тем самым оказывается возможным не только достичь оп
ределенной систематизации понятий нечеткой лоrики, но и получить некоторую
общую схему, которая позволяет формировать и друrие алrоритмы нечеткоrо
вывода.
7.2. Основные этапы нечеткоrо вывода
rоворя о нечеткой лоrике, чаще Bcero имеют в виду системы нечеткоrо вывода,
которые широко используются для управления техническими устройствами и
процессами. Разработка и применение систем нечеткоrо вывода включают в себя
ряд этапов, реализация которых выполняется с помощью рассмотренных ранее
основных положений нечеткой лоrики.
Информацией, которая поступает на вход системы нечеткоrо вывода, являются
измеренные некоторым образом входные переменные. Эти переменные COOTBeT
ствуют реальным переменным процесса управления. Информация, которая фор
мируется на выходе системы нечеткоrо вывода, соответствует выходным пере
менным, которыми являются управляющие переменные процесса управления.
186
Часть 1. ОсновЬ! теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Системы нечеткоrо вывода предназначены для преобразования значений вход-
ных переменных процесса управления в выходные переменные на основе исполь-
зования нечетких правил продукций. Для этоrо системы нечеткоrо вывода
должны содержать базу правил нечетких продукций и реализовывать нечеткий
вывод заключений на основе посылок или условий, представленных в форме не-
четких линrвистических высказываний.
Таким образом, основными этапами нечеткоrо вывода являются (рис. 7.3).
О Формирование базы правил систем нечеткоrо вывода.
О Фаззификация входных переменных.
LJ Аrреrирование подусловий внечетких правилах продукций.
!
ФОрh-ПlрОВ3ЮIС оазы правпл
ФатпlФПК3ЦllЯ ВХОДНЫХ псременныx
ArpсrПрОВ3ЮIС ПОДУСЛОВIП I
АкЛIВIIЗ3ЦJlЯ под' зключсюпl
АккУl\lутЧ>ОВЗНJlС ' аключсюпl
Рис. 7.3. Диаrрамма деятельности процесса нечеткоrо Вывода
в форме диаrраммы деятельности языка UML
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
187
о Активизация или композиция подзаключений внечетких правилах продукций.
О Аккумулирование заключений нечетких правил продукций.
Ниже рассматриваются основные особенности каждоrо из этих этапов и приво
дя.тся простые примеры их выполнения.
Формирование базы правил
систем нечеткоrо вывода
База правил систем нечеткоrо вывода предназначена для формальноrо пред
ставления эмпирических знаний или знаний экспертов в той или иной проблем
ной области. В системах нечеткоrо вывода используются правила нечетких про
дукций, в которых условия и заключения сформулированы в терминах нечетких
линrвистических высказываний рассмотренных выше видов. Совокупность Ta
ких правил будем далее называть базами правил нечетких продукций.
Б а з а пр а в и л н е ч е т к и х про Д у к Ц и й. База правитl нечетких llPoдYK
циЙ представляет собой конечное множество правил нечетких продукций, соrла-
сованных относительно используемых в них линrвистических переменных. Наи
более часто база правил представляется в форме структурированноrо текста:
ПРАВИЛО I: ЕСЛИ "Условие I" ТО "Заключение l" (FI)
ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ "Условие 2" ТО "Заключение 2" (F2)
(7.4)
ПРАВИЛО ll: ЕСЛИ "Условие ll" ТО "Заключение ll" (F n )
или в эквивалентной форме:
RULE I: IF Condition I THEN Conclusion I (FI)
R ULE 2: IF Condition 2 THEN Conclusion 2 (F2)
(7.5)
RULE Il: IF Condition n THEN Conclusion п (F n )
Здесь через F; (iE {l, 2,..., п}) обозначены коэффициенты определеlllшсти или Be
совые коэффициенты соответствующих правил. Эти коэффициенты MorYT при
нимать значения из интервала [О, 1). В случае, если эти весовые коэффициенты
отсутствуют, удобно принять, что их знаLlения равны 1.
СО2ласоваli1tOсть правил относительно используемых линrвистических перемен
ных означает, что в качестве условий и заключений правил MorYT использоваться
только нечеткие линrвистические высказывания вида (7.2) и (7.3), при этом в Ka
ждом из нечетких высказываний должны быть определены функции принадлеж
ности значений терм множества для каждой из линrвистических переменных.
В х о д н ы е и в ы х о д н ы е л и н r в и С т и ч е с к и е пер е м е н н ы е.
В системах нечеткоrо вывода линrвистические переменные, которые использу
ются в нечетких высказываниях подусловий правил нечетких продукций, часто
называют входными ЛUll2вистичесКlНШ перемеllllыми, а переменные, которые ис
188
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
пользуются в нечетких высказываниях подзаключений правил нечетких продук-
ций, часто называют выходными ЛИН2вuстuчес1ШМИ пере.менными.
Таким образом, при задании или формировании базы правил нечетких продук-
ций необходимо определить: множество правил нечетких продукций: P={RI,
R2,..., Rn} в форме (7.5), множество входных линrвистических переменных: V={PI,
132,..., Р",} И множество выходных линrвистических переменных: W={rol, (1)2,..., ro..}.
Тем самым база правил нечетких продукций считается заданной, если заданы
множества Р, V, W.
Напомним, что входная Р;Е V или выходная WjE W линrвистическая переменная
считается заданной или определенной, если для нее определено базовое терм-
множество с соответствующими функциями принадлежности каждоrо терма, а
также две процедуры G и М. Наиболее распространенным случаем является Ис-
пользование в качестве функций принадлежности термов треуrольных или тра-
пециевидных функций принадлежности, рассмотренных в 2лаве 2. При этом для
удобства записи применяют специальные сокращения для наименования отдель-
ных термов входных и выходных пинrвистических переменных (табл. 7.1).
Таблица 7.1. Общепринятые сокращения для значений основных термов
линrвистических переменных в системах нечеткоrо вывода
Символическое Анrлоязычная нотация Русскоязычная нотация
обозначение
NB Negative Big Отрицательное большое
NM Negative Middle Отрицательное среднее
NS Negative Small Отрицательное малое
ZN Zero Negative Отрицательное близкое к нулю
Z Zero Нуль, близкое к нулю
ZP Zero Positive Положительное близкое к нулю
PS Positive Small Положительное малое
РМ Positive Middle Положительное среднее
РВ Positive Big Положительное большое
На формирование базы правил систем нечеткоrо вывода часто оказывают влия-
ние некоторые дополнительные факторы, которые определяются спецификой
решаемой задачи или используемоrо алrоритма нечеткоrо вывода. Эти специфи-
ческие особенности и соответствующие им требования, предъявляемые к базе
правил, будут отмечены ниже при рассмотрении алrоритмов вывода и примеров
систем нечеткоrо управления в разд. 7.4.
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
189
Примечание )
Изложенные здесь понятия базы правил нечетких продукций в максимальной
степени соответствуют алrоритму вывода Мамдани, который в настоящее Bpe
мя получил наибольшее практическое применение в задачах нечеткоrо Moдe
лирования.
Фаззификация (Fuzzification)
в контексте нечеткой лоrики под фаззификацией пони мается не только отдель-
ный этап выполнения нечеткоrо вывода, но и собственно процесс или процедура
нахождения значений функций принадлежности нечетких множеств (термов) на
основе обычных (не нечетких) исходных данных. Фаззификацию еще называют
введением нечеткости.
Целью этапа фаззификации является установление соответствия между KOHKpeT
ным (обычно численным) значением отдельной входной переменной системы
нечеткоrо вывода и значением функции принадлежности соответствующеrо ей
терма входной линrвистической переменной. После завершения этоrо этапа для
всех входных переменных должны быть определены конкретные значения функ
ций принадлежности по каждому из линrвистических термов, которые исполь
зуются в подусловиях базы правил системы нечеткоrо вывода.
Формально процедура фаззификации выполняется следующим образом. До Ha
чала этоrо этаПа предполаrаются известными конкретные значения всех BXOД
ных переменных системы нечеткоrо вывода, т. е. множество значений V'={QJ,
02,..., а",}. В общем случае каждое а;ЕХ;, rде X; универсум линrвистической пе
ременной р;. Эти значения MorYT быть получены либо от датчиков, либо HeKOTO
рым друrим, внешним по отношению к системе нечеткоrо вывода способом.
Далее рассматривается каждое из подусловий вида "Р; есть а'" правил системы
HetIeTKoro вывода, rде а' некоторый терм с известной функцией принадлежно-
сти М(Х)' При этом значение а; используется в качестве aprYMeHTa f.l(X), тем самым
находится количественное значение b;'=f.l(a;). Это значение и является результа
том фаззификации подусловия "Р; есть а"'.
Этап фаззификаuии считается законченным, коrда будут найдены все значения
b/=Il(a;) для каждоrо из подусловий всех правил, входящих в рассматриваемую
базу правил системы нечеткоrо вывода. Это множество значений обозначим че
рез В= {Ь;'}. При этом если некоторый терм а" линrвистической переменной J3; не
присутствует ни в одном из нечетких высказываний, то соответствующее ему
значение функции принадлежности не находится в процессе фаззификации.
Примечание )
Если внекотором подусловии встречается терм с модификатором, то процеду
ра фаззификации выполняется аналоrичным образом применительно к функ
ции принадлежности терма после выполнения операции, соответствующей
данному модификатору.
190
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
При м ер 7.3. Для иллюстрации выполнения этоrо этапа рассмотрим пример
процесса фаззификации трех нечетких высказываний: "скорость автомобиля ма-
лая", "скорость автомобиля средняя", "скорость автомобиля высокая" для входной
линrвистической переменной (31 скорость движения автомобиля (см. пример 5.1).
Им соответствуют нечеткие высказывания первоrо вида: "(31 есть а1", "(31 есть
а2", "(31 есть аз". Предположим, что текущая скорость автомобиля равна 55 км/ч,
т. е. al= 55 км/ч.
08
Ь
10.6
0.4
0.2
О О
О
0.8
0.6
04
0.2
Ь 1 О
о
0.8
I I
I I I I I I I I ,
L L L
I I I I I I I I I
, I I I I I I I I
I I I I I I I I I
... ... , t'" t- 1 I ... ... ... ... ... --,... ... ... ...
I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
I , I I I I I I I
... ...... ..............I... .........r...... "'T .........,"''''''''''''' ''''''''''''r'''''''''''' '''''''''''' ''''''''''''
I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
I I I I I I I I I
............7...............,............... ...... 7............ ............... ............r............i............ ............
I I I I I I I I I
I I l' I I I .
0.6
0.4
0.2
Ь 1 0 0
70
10
20
60
аl
90
100
зо
80
а
,
I I I I
......... ............L ... .........
I I I I
I I I I
I I I I
...... ............ ........................... ............
I I I I
I I I I
I I I I
...........r............ .........
I , I
I , I
I , I
.........t............I... ...t
I , I
I , I
10
20
50 60
аl
70
90
100
30
40
80
б
,
I I I I I
:
I , I I I I
I I I I I I I I I
.... . t'" .. 1 I t- ....
I . I I I I I I ,
I . I I I I I I I
, , I I , I I I I
T r r r r
I , I I I I I I I
I , I I I I I I I
l L ! J L J J
I I , . I I I I I
I . I . I I I I I
I I I I I I I I
10
20
в
70
90
100
за
40
80
Рис. 7.4. Пример фаззификации ВХОДНОЙ линrвистической переменной
"скорость автомобиля" ДЛЯ трех нечетких высказываний
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
191
Torдa фаззификация первоrо нечеткоrо высказывания дает в результате число О,
которое означает ero степень истинности и получается подстановкой значения
01= 55 км/ч в качестве aprYMeHTa функции принадлежности терма а. (рис. 7.4, а).
Фаззификация BToporo нечеткоrо высказывания дает в результате число 0.6.7
(приближенное значение), которое означает ero степень истинности и получается
подстановкой значения т= 55 км/ч в качестве aprYMeHTa функции принадлежно
сти терма щ (рис. 7.4,6). Фаззификация TpeTbero нечеткоrо высказывания дает в
результате число О, которое означает ero степень истинности и получается ПОk
становкой значения т= 55 км/ч в качестве aprYMeHTa функции принадлежности
терма аз (рис. 7.4, в).
Аrреrирование (Aggregation)
А2ре2нрование представляет собой процедуру определения степени истинности
условий по каждому из правил системы нечеткоrо вывода.
Формально процедура аrреrирования выполняется следующим образом. До Ha
чала этоrо этапа предполаrаются известными значения истинности всех поду
словий системы нечеткоrо вывода, т. е. множество значений В={Ь,'}. Далее pac
сматривается каждое из условий правил системы нечеткоrо вывода. Если
условие правила представляет собой нечеткое высказывание вида I или 2, то
степень ero истинности равна соответствующему значению Ь;'.
Если же условие состоит из нескольких подусловий вида (7.2), ПрИLjем линrвис
тические переменные в подусловиях попарно не равны друr друrу, то определя
ется степень истинности сложноrо высказывания на основе известных значений
истинности подусловий. При этом для определения результата нечеткой KOHЪ
юнкции ИЛИ связки "И" может быть использована одна из формул (6.2) (6.5), а
для определения результата нечеткой дизъюнкции или связки "ИЛИ" может
быть использована ОДНа из формул (6.6) (6.9). При этом значения Ь;' использу
ются В качестве aprYMeHToB соответствующих лоrических операций. Тем самым
находятся количественные значения истинности всех условий правил системы
нечеткоrо вывода.
Этап аrреrирования считается заКОНLjенным, коrда будут найдены все значения
Ь/' дЛЯ каЖДоrо из правил Rk' входящих в рассматриваемую базу правил Р сис
темы нечеткоrо вывода. Это множество значений обозначим через B"={bl",
Ь2" ,..., Ь п "}.
имечание
Следует отметить, что при использовании расчетных формул для определения
результатов нечеткой конъюнкции и нечеткой дизъюнкции целесообразно при
менять попарно соrласованные методы расчета для всех правил системы He
четких продукций. Так, например, если в некоторой системе нечеткоro вывода
результат нечеткой конъюнкции определяется по формуле алrебраическоrо
произведения (6.З), то для определения ре;iультата нечеткой дизъюнкции
предпочтительно использовать алrебраическую сумму (6.7).
192
Часть 1. ОСНОВЫ теории нечетких множеств инечеткой лоrики
При м е р 7.4. Для иллюстрации выполнения этоrо этапа рассмотрим пример
процесса аrреrирования двух нечетких высказываний: "скорость автомобиля
средняя" И "кофе 20рЯЧИЙ" и ., скорость автомобиля средняя" ИЛИ" кофе 2Орячий"
для входной линrвистической переменной 131 скорость движения автомобиля и
132 температура кофе. Предположим, что текущая скорость автомобиля равна
S5 км/ч, т. е. т= 55 км/ч, а температура кофе равна т=70 Ос.
Тоrда аrреrирование первоrо нечеткоrо высказывания с ИСПО.l!ьзованием опера
ции нечеткой конъюнкции (6.2) дает в результате число bl"= 0.67 (приближенное
значение), которое означает ero степень истинности и получается как минималь-
ное из значений 0.67 и 0.8 (рис. 7.5, а). Аrреrирование BToporo нечеткоrо выска-
зывания с использованием операции нечеткой дизъюнкции (6.6) дает в результа
те число Ь,"= 0.8, которое означает ero степень истинности и получается как
максимальное из значений 0.67 и 0.8 (рис. 7.5,6).
О
О
40 50 БО
аl
0.4
0.2
О
О
40 50 БО
аl
Ь ' ,
2 О.е : : : : : Ш :ВШ:
0.6 ш: ш в в -i ш : ш ш; в :ш
I I I I I I I
0.4 ': r ' : . t _..-:.. ....
0.2 ш: н ! ш i ш;нш шt ш 1н
О
О зо 40 50 60 70 ео 90 100
а2 тОе
а
Ь 2 ое : : : :: ::
06 :нш ш: шr в : ш;ш :ш
I I I . I . I
О 4 I I I I I I
. ..: ........: r " :........ ..:.. .... ...... -:.. .. :
02 .. .. .I.... I .. J .. .. ..1.. .. .... ...... ..l.. I
"! :: ::
О
О 50 БО т 00 100
а2 тОе
б
О е "
0.6 Ь]
0.4
02
О
1
"
О.е Ь 1
0.6
0.4
0.2
О
Рис. 7.5. Примерbl аrреrирования подусловий для двух нечеткиХ ВblсказыванИй
"скорость автомобиля средняя" И "температура кофе высокая" (а) и "скорость aBТO
мобиля средняя" ИЛИ "температура кофе высокая" (6)
Активизация (Activation)
Активизация в системах нечеткоrо вывода представляет собой процедуру или
процесс нахождения степени истинности каждоrо из подзаключений правил He
четких продукций. Активизация в общем случае во MHoroM аналоrична компо-
rлава 7. Системы нечеткоro вывода
193
зиции нечетких отношений, но не тождественна ей. Поскольку в системах нечет
Koro вывода используются линrвистические переменные, то формулы (6.22)
(6.28) для нечеткой композиции теряют свое значение. В действительности при
формировании базы правил системы нечеткоrо ВЫВода задаются весовые коэф:-
фициенты F; для каждоrо правила (по умолчанию предпола.rается, если весовой
коэффициент не задан явно, то ero значение равно 1).
Формально процедура активизации выполняется следующим образом. До нача
ла этоrо этапа предполаrаются известными значения истинности всех условий
системы нечеткоrо вывода, т. е. множество значений В"={Ь,", Ь2",..., Ь п "} и зна
'Iения весовых коэффициентов F; дЛЯ каЖДОfО правила. Далее рассматривается
каждое из заключений правил системы нечеткоrо ВЫВода. Если заключение пра-
вила представляет собой нечеткое высказывание вида 1 или 2, то степень ero ис-
тинности равна алrебраическому произведению соответствующеrо значения Ь/'
на весовой коэффициент F;.
Если же заключение состоит из нескоЛЬКИХ подзаключений вида (7.3), причем
линrвистические переменные в подзаключениях попарно не равны друr друrу, то
степень истинности каждоrо из подзаключений равна алrебраическому произве
дению соответствующеrо значения Ь// на весовой коэффициент F;. Таким обра-
зом, находятся все значения C k степеней истинности подзаключений для каждоrо
из правил R k , входящих в рассматриваемую базу правил Р системы нечеткоrо
вывода. Это множество значений обозначим через C={CI, С2,..., c q }, rде q об
щее количество подзаключений в базе правил.
Примечание :)
При этом не исключается случай, коrда весовой коэффициент F; может быть
задан ИНДивидуально для отдельных подзаключений. При этом процедура aK
тивизации остается прежней.
После нахождения множества C={CI, С2,..., C q } определяются функции принад
лежнос:rи каждоrо из подзаключений для рассматриваемых выходных линrвис
тических переменных. Для этой цели можно использовать один из методов, яв
ляющихся модификацией Toro или иноrо метода нечеткой композиции:
О miп-активизация:
J.l/(y) = min{c;, J.l(y)};
(7.6)
о рrоd активизация:
J.l/(y) = С;' J.l(y);
(7.7)
о аvеrаgе активизация:
J.l/(y) = O.5.(c;+J.l(y»,
(7.8)
rде J.l(y) функция принадлежности терма, который является значением HeKOTO
рой выходной переменной (J,)j, заданной на универсуме У.
Этап активизации считается законченным, коrда для каждой из выходных лин
rвистических переменных, входящих в отдельные подзаключения правил нечет
194
Часть 1. ОсновЬ! теории нечетких множеств инечеткой лоrики
ких продукций, будут определены ФУНКЦИИ принадлежности нечетких множеств
их значений, т. е. совокупность нечетких множеств: CI, С2,..., С Ч ' rде q 'общее
количество подзаключений в базе правил системы нечеткоrо ВЫВода.
Примечание
Следует отметить, что кроме методов (7.6) (7.8) для выполнения активизации
MOryT быть предложены и друrие способы, основанные на модификации раз
личных операций нечеткой композиции. Здесь приводятся лишь те из них, KO
торые нашли наибольшее практическое применение в задачах нечеткоro Moдe
лирования.
При м е р 7.5. Для иллюстрации выполнения этоrо этапа рассмотрим пример
процесса активизации заключения в следующем правиле нечеткой продукции (это
правило вряд ли имеет целевое применение и используется формальным образом):
ЕСЛИ "скорость автомобиля средuяя" ТО "кофе 20рячий"
Входной линrвистической переменной в этом правиле является 13, скорость дви
жения автомобиля, а выходной переменной является 132 температура кофе. Пред-
положим, что текущая скорость автомобиля равна 55 км/ч, т. е. щ= 55 kм/ч.
08
Ь IО6
08 "
0.6 ы I
о
о
30 40 50 БО 70 80 90 100
тОе
04
02
О
а
... ,
, . ,
I I ., I I .
0.8 -.. . -.. -;- -.. - -.. . .. t". - : ... .. - .
06
08 08 "
Ь 06 Ь 1
10.6
0.4 04
02 0.2
О О
О 40 50 БО
а1
04
02
О
О 50 ro ro 00 100
тОе
б
Рис. 7.6. Пример активизации заключения для правила нечеткой продукции
Поскольку аrреrирование условия этоrо правила дает в результате Ь,"= 0.67, а
весовой коэффициент равен ] (по умолчанию), то значение 0.67 будет использо
ваться в качестве CI для получения результата активизации. Результат, получен
ный методом miп активизации (7.6), изображен на рис. 7.6, а более темным цв!?
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
195
ТОМ, а результат, полученный методом р[Оd активизации (7.7), изображен на
рис. 7.6, б более темным цветом. Следует помнить, что в этом примере в отличие
от предыдущеrо "температура кофе" выходная линrвистическая переменная.
Аккумуляция (Accumulation)
Аккумуляция или аккумулирование в системах нечеткоrо вывода представляет
собой процедуру или процесс нахождения функции принадлежности для каждой
из выходных линrвистических переменных множества w= {О)I 0)2,..., О)..}.
Цель аккумуляции заключается в том, чтобы объединить или аккумулировать
все степени истинности заключений (подзаключений) для получения функции
принадлежности каждой из выходных переменных. Причина необходимости BЫ
полнения этоrо этапа состоит в том, что подзаключения, относящиеся к одной и
той же выходной линrвистической переменной, принадлежат различным прави
лам системы нечеткоrо вывода.
Формально процедура аккумуляции выполняется следующим образом. До начала
этоrо этапа предполаrаются известными значения истинности всех подзаключений
ДЛЯ каждоrо из правил R k , входящих в рассматриваемую базу правил Р системы
иечеткоrо ВЫВода, в форме совокупности нечетких множеств: CI, С2,..., С ч , rде q
общее количество подзаключений в базе правил. Далее последовательно paCCMaT
ривается каждая из выходных линrвистических переменных O)jE W и относящиеся к
ней нечеткие множества: Cjl, C j 2,..., С jч . Результат аккумуляции для выходной лин
rвистической переменной O)j определяется как объединение нечетких множеств Cjl,
Cp,...,C jQ по одной из формул (3.4), (3.20), (3.32), (3.34), (3.35).
Этап аккумуляции считается законченным, коrда для каждой из выходных лин
rвистических переменных будут определены итоrовые функции принадлежности
иечетких множеств их значений, т. е. совокупность нечетких множеств: Сl', Ci,...,C.:,
rде s общее количество выходных линrвистических переменных в базе правил
системы нечеткоrо вывода.
Примечание
Следует отметить, что кроме методов (3.4), (3.20), (3.32), (3.34), (3.35) для выпол
нения аккумуляции MOryт быть предложены и друrие способы, основанные на MO
дификации различных операций объединения нечетких множеств. Выбор Toro
или иноrо метода определяется спецификой задачи нечеткоro моделирования.
При М ер 7.6. Для иллюстрации выполнения этоrо этапа рассмотрим при мер
процесса аккумуляции заключений для трех нечетких множеств CII, C12, C13, по
,1ученных в результате выполнения процедуры активизации для выходной лин
rвистической переменной "скорость двUJlсеllUЯ автомобиля" в некотороЙ системе
иечеткоrо вывода. Предположим, что функции принадлежности этих нечетких
множеств изображены на рис. 7.7, а, б, в соответственно.
Аккумуляция этих функций принадлежности методом mах объединения нечет
ких множеств Сн, C12, С13 по формуле (3.4) позволяет получить в результате
функцию принадлежности выходной линrвистической переменной "скорость
196
Часть 1. Основы теории нечетких множеств и нвчеткой лоrики
движения автомобиля", которая представлена на рис. 7.7, z. Эта функция при-
надлежности соответствует нечеткому множеству с,', если принять, что рассмат-
риваемая выходная линrвистическая переменная есть (О,.
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
, B H H [ 1= П :
I I I I I I
; : : :
I I I I I I
I I I I I I
I . . j" 'i I
I I I I I I
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
а
40 50 60 70 80 90 100 б
I
I , , ,
0.8 -
, ,
0.6 I ,
: ; .. ; :
I
0.4 I I I I I .
,. I с '!" ""\ I
" , ,
, , ,
0.2 f i I
:
О
О 10 20 за 40 50 ЕЮ 70 80 90 100
в
О.В
0.6
0.2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
r
Рис. 7.7. Пример аккумуляции заключения
для ВЫХОДной линrвистической переменной "скорость движения автомобиля"
rлава 7. Системы нечвткоrо вывода
197
Дефаззификация (Defuzzification)
Дефаззифuкация в системах нечеткоrо вывода представляет собой процедуру или
процесс нахождения обычноrо (не нечеткоrо) значения для каждой из выходных
линrвистических переменных множества W={(OI, (02,..., (Os}.
Цель дефаззификации заключается в том, чтобы, используя результаты aKKYMY
ляции всех выходных линrвистических переменных, получить обычное количе
ственное значение (crisp value) каждой из выходных переменных, которое может
быть использовано специальными устройствами, внешними по отношению к
системе нечеткоrо вывода.
Действительно, применяемые в современных системах управления устройства и
механизмы способны воспринимать традиционные команды в форме количест
венных значений соответствующих управляющих переменных. Именно по этой
причине необходимо преобразовать нечеткие множества в некоторые конкрет-
ные значения переменных. Поэтому дефаззификацию называют также приведе
нием к четкости.
Формально процедура дефаззификации выполняется следующим образом. До
начала этоrо этапа предполаrаются известными функции принадлежности всех
выходных линrвистических переменных в форме нечетких множеств: CI', С2',...,
С.:, rде s общее количество выходных линrвистических переменных в базе
правил системы нечеткоrо вывода. Далее последовательно рассматривается каж
дая из выходных линrвистических переменных (ojE W и относящееся к ней нечет
кое множество С/. Результат дефаззификации для выходной линrвистической
переменной (Oj определяется в виде количественноrо значения YjE/R, получаемоrо
по одной из рассматриваемых ниже формул.
Этап дефаззификации считается законченным, коrда для каждой из выходных
линrвистических переменных будут определены итоrовые количественные зна
чения в форме HeKoToporo действительноrо числа, т. е. в виде YI, У2,..., У.," rде s
общее количество выходных линrвистических переменных в базе правил систе
мы нечеткоrо вывода.
Для выполнения численных расчетов на этапе дефаззификации MorYT быть исполь
зованы следующие формулы, получившие название методов. дефаззuфuкации.
Метод центра тяжести
Центр тяжести (CoG, COG, Centre of Gravity) или центроид площади рассчи
тывается по формуле:
Мах
J х' J.t(x) dx
у = Min
Мах
J J.t(x) dx
Min
(7.9)
198
Часть '. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
в формуле используются следующие обозначения: у результат дефаззифика
ции; х переменная, соответствующая выходной линrвистической переменной ro;
Il(X) функция принадлежности нечеткоrо множества, соответствующеrо BЫ
ходной переменной w после этапа аккумуляции; Min и Мах левая и правая
точки интервала носителя нечеткоrО множества рассматриваемой выходной пе-
ременной ы.
При дефаззификации методом центра тяжести обычное (не нечеткое) значение
выходной переменной равно абсциссе центра тяжести площади, оrраниченной
rрафиком кривой функции принадлежности соответствующей выходной пере
менной.
Пример дефаззификации методом центра тяжести функции принадлежности BЫ
ходной линrвистической переменной "скорость движения автомобиля" изобра-
жен на рис. 7.8. В этом случае YI=40 км/ч (приближенное значение).
I - I I
I
I I I I
:
I
0.4
0.2
О
О
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
Уl ::::: 40 км/ч
Рис. 7.8. Пример дефаззификации выходной ЛИН..-ВИСТ\I1ческой переменной
.. скорость движения автомобиля" методом центра тяжести
Метод центра тяжести
для одноточечных множеств
Центр тяжести (COGS, Centre of Gravity fOl" Singletons) для одноточечных
множеств рассчитывается по формуле:
п
L,X; . (X;)
у == ;==1
п
1).t(x;)
i==1
[де 11 число одноточечных (одноэлементных) нечетких множеств, каждое из
которых характеризует единственное значение рассматриваемой выходной лин
rвистической переменной.
(7.1 О)
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
199
При мер дефаззификации методом центра тяжести для одноточечных множеств
функции принадлежности выходной линrвистической переменной "скорость
движения автомобиля" изображен на рис. 7.9. В этом случае YI=41 км/ч (прибли
женное значение).
: ::
I I I I
0.8 : : -
. . . I
0.6 . +
I I I
0.4 : '_
I I
I I
0.2 1 :
I I
I I
I I I :
. I I I
t- .-. : ...
I . . .
I I I I
I ... 'f --I
I I I I
I I I I
I I I .
I I I I
{ 7
I I I I
I I I I
о
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
У1 == 41 км/ч
Рис. 7.9. Пример дефаззификации выходной линrвистической переменной
"скорость движения автомобиля" методом центра тяжести
ДЛЯ одноточечных множеств
Метод центра площади
Центр fLТlOщадu (СоА, СОА, Centre of А..еа, Bisector of Area) равен у = и, rде зна
чение u определяется из уравнения:
u Мах
J (x) dx = J (x) dx ,
Min l/
(7.11 )
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
I
,
, ,
.. ; .
, "
I I . I
1 1 4
I I I I
I I , .
I I I .
I r т I
I
I I
, , ,
, ,
, ,
I
I I
.,1. .
,
10
203014050
Уl == 35 км/ч
60
70
80
90 100
Рис. 7.10. При мер дефаззификации ВЫХОДной линrвистической переменной
"скорость движения автомобиля" методом центра площади
200
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Друrими словами, центр площади равен абсциссе, J<оторая делит площадь, orpa
ниченную rрафИJ<ОМ J<РИВОЙ фУНJ<ЦИИ принадлежности соответствующей BЫXOД
ной переменной, на две равные части. Иноrда центр площади называют биссек
трисой площади. Этот метод не может быть использован в случае одноточечных
множеств.
Пример дефаЗЗИфИJ<ации методом центра площади функции принадлежности
выходной линrвистической переменной "скорость движения автомоБUТ1Я" изо-
бражен на рис. 7.10. В этом случае YI =35 J<М/Ч (приближенное значение).
Метод левоrо модальноrо значения
Левое модалыюе значение (LM, Left Most Maximиm) рассчитывается по формуле:
y=min{x m }, (7.12)
rде х'" модальное значение (мода) нечеткоrо множества, соответствующеrо
выходной переменной ro после аккумуляции, рассчитываемое по формуле (2.4).
Друrими словами, значение выходной переменной определяется как мода нечетко
ro множества для соответствующей выходной переменной или наимеНБшая из мод
(самая левая), если нечеткое множество имеет несколько модальных значений.
Пример дефазЗИфИJ<ации методом левоrо модальноrо значения функции принад
лежности выходной линrвистической переменной "скорость движения автомоби
ля" изображен на рис. 7.11. В этом случае YI= 24 км/ч (приближенное значение).
70 80
90 100
Рис. 7.11. Пример дефаззификации выходной линrвистической переменной
"скорость движения автомобиля" методом левоrо модальноrо значения
Метод npaBoro модальноrо значения
Правое модальное значение (RM, Right Most Maximиm) рассчитывается по фор
муле:
у = тах{х т },
(7.13)
(лава 7. Системы нечеткоrо вывода
201
rде Х т модальное значение (мода) нечеткоrо множества для выходной пере
менной (о после аккумуляции, рассчитываемое по формуле (2.4).
В этом случае значение выходной переменной также определяется как мода He
четкоrо множества для соответствующей выходной переменной или наибольшая
из мод (самая правая), если нечеткое множество имеет несколько модальных
значений.
Примечание
Нетрудно заметить. что в случае cTporo унимодальноrо нечеткоrо множества
левое и правое модальные значения совпадают. а расчеты по формулам (7.12)
и (7.13) приводят к одинаковому результату.
Пример дефаззификации функции принадлежности выходной линrвистической
переменной "скорость движения автомобиля" изображен на рис. 7.12. В этом
случае YI=54 км/ч (приближенное значение) методом правоrо модальноrо значе
ния изображен на рис. 7.12.
T - I
, ,
I I I ! I ,
; :
, , I
0.8 .B BH :
,
,
, I I I
' r 'т I
, .
, , ,
7 1
0.6
0.4
0.2
О
О
10
20
30
40 50 60 70
Уl == 54 км/ч
80
90 100
Рис. 7.12. Пример дефаззификации выходной линrвистической переменной
"скорость движения автомобиля" методом правоrо модальноrо значения
Примечание )
Следует отметить, что кроме методов (7 .9) (7.1 З) для выполнения дефаззи
фикации MOryT быть предложены и друrие расчетные формулы. Здесь приво
дятся лишь те из них, которые нашли наибольшее практическое применение в
задачах нечеткоrо моделирования и стали в некотором смысле традиционными
для систем нечеткоrо вывода.
7.3. Основные алrОРИТМbI нечеткоrо вывода
Рассмотренные выше этапы нечеткоrо вывода MorYT быть реализованы HeOДHO
значным образом, поскольку включают в себя отдельные параметры, которые
должны быть фиксированы или специфицированы. Тем самым выбор KOHKpeT
202
Часть 1. Основы теории нечвтких множеств и нвчвткой лоrики
ных вариантов параметров каждоrо из этапов определяет некоторый алrоритм,
который в полном объеме реализует нечеткий вывод в системах правил нечетких
продукций. К настоящему времени предложено несколько алrоритмов нечеткоrо
вывода. Те из них, которые получили наибольшее применение в системах нечет
Koro вывода, рассматриваются ниже.
Алrоритм Мамдани (Mamdani)
Алrоритм Мамдани является одним из первых, который нашел применение в
системах нечеткоrо вывода. Он был предложен в 1975 r. анrлийским математи
ком Е. Мамдани (Ebl"ahim Mamdani) в качестве метода для управления паровым
двиrателем. По своей сути этот алrоритм порождает рассмотренные выше эта
пы, поскольку в наибольшей степени соответствует их параметрам.
Формально аЛ20рит.М Мамдаuи может быть определен следующим образом.
D Формирование базы правил систем нечеткоrо вывода. Особенности форми-
рования базы правил совпадают с рассмотренными выше при описании дaH
Horo этапа.
D Фаззификация входных переменных. Особенности фаззификации совпадают с
рассмотренными выше при описании данноrо этапа.
D Аrреrирование подусловий внечетких правилах продукций. Для нахождения
степени истинности условий каждоrо из правил нечетких продукций исполь
зуются парные нечеткие лоrические операции. Те правила, степень истинно-
сти условий которых отлична от нуля, считаются активными и используются
для дальнейших расчетов.
D Активизация подзаключений внечетких правилах продукций. Осуществляется
по формуле (7.6), при этом для сокращения времени вывода учитываются
только активные правила нечетких продукций.
D Аккумуляция заключений нечетких правил продукций. Осуществляется по
формуле (3.4) для объединения нечетких множеств, соответствующих термам
подзаключений, относящихся к одним И тем же выходным линrвистическим
переменным.
D Дефаззификация выходных переменных. Традиционно используется метод
центра тяжести в форме (7.9) (7.IO) или метод центра ПлощадИ (7.1 1).
Алrоритм Цукамото (Tsukamoto)
Формально аЛ20рШ11.М Цукамото может быть определен следующим образом.
D Формирование базы правил систем нечеткоrо вывода. Особенности форми
рования базы правил совпадают с рассмотренными выше при описании дaH
Horo этапа.
D Фаззификация входных переменных. Особенности фаззификации совпадают с
рассмотренными выше при описании данноrо этапа.
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
203
о Аrреrирование подусловий внечетких правилах продукций. Для нахождения
степени истинности условий всех правил нечетких продукций используются
парные нечеткие лоrические операции. Те правила, степень истинности усло
вий которых отлична от нуля, считаются активными и используются для
дальнейших расчетов.
О Активизация подзаключений внечетких правилах продукций. Осуществляется
аналоrично алrоритму Мамдани по формуле (7.6), после чеrо находятся
обычные (не нечеткие) значения всех выходных линrвистических переменных
в каждом из подзаключений активных правил нечетких продукций. В этом
случае значение выходной линrвистической переменной W j в каждом из ПОk
заключений находится как решение уравнения:
C;=Jl(W j ) (V;e{l,2,...,q}), (7.14)
rде q общее количество подзаключений в базе правил.
О Аккумуляция заключений нечетких правил продукций. Фактически OTCYTCT
вует, поскольку расчеты осуществляются с обычными действительными чис
лами W j .
О Дефаззификация выходных переменных. Используется модифицированный
вариант в форме метода центра тяжести для одноточечных множеств:
п
C"W'
L.J, ,
у ::: ;==1
п
LC;
;== 1
(7. 15)
rде п общее количество активных правил нечеткИХ продукций, в подзак
лючениях которых присутствует выходная линrвистическая переменная <Oj'
Алrоритм Ларсена (Larsen)
Формально алzорит-м Ларсена может быть определен следующим образом.
D Формирование базы правил систем нечеткоrо вывода. Особенности форми
рования базы правил совпадают с рассмотренными выше при описании дaH
Horo этапа.
D Фаззификаuия входных переменных. Особенности фаззификации также COB
падают с рассмотренными выше при описании данноrо этапа.
D Аrpеrирование подусловий внечетких правилах продукций. Используются
парные нечеткие лоrические операции для нахождения степени истинности
условий всех правил нечетких продукций (как правило, mах дизъюнкция и
miп конъюнкция). Те правила, степень истинности условий которых отлична
от нуля, считаются активными и используются для дальнейших расчетов.
204
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
о Активизация подзаключений внечетких правилах продукций. Осуществляется
использованием формулы (7.7), посредством чеrо находится совокупность не-
четких множеств: CI, C2,...,C q , rne q общее количество подзаключений в ба-
зе правил.
О Аккумуляция заключений нечетких правил продукций. Осуществляется по
формуле (3.4) для объединения нечетких множеств, соответствующих термам
подзаключений, относящихся к одним И тем же выходным линrвистическим
переменным.
О Дефаззификация выходных переменных. Может использоваться любой из
рассмотренных выше методов дефаззификации.
Алrоритм CyreHo (Sugeno)
Формально GЛzорипv.t CyzeHO, предложенный CyreHo и Такаrи, может быть опре
делен следующим образом.
О Формирование базы правил систем нечеткоrо вывода. В базе правил исполь
зуются только правила нечетких продукций в форме:
ПРАВИЛО <#>: ЕСЛИ "(31 есть а'" И "(32 есть а"" ТО "W=EJ.QJ+Cl'Q2". (7.16)
Здесь EJ, Cl некоторые весовые коэффициенты. При этом значение выходной
переменной И' в заключении определяется как некоторое действительное число.
О Фаззификация входных переменных. Особенности фаззификации совпадают с
рассмотренными выше при описании naHHoro этапа.
О Аrреrирование подусловий внечетких правил ах продукций. Для нахождения
степени истинности условий всех правил нечетких продукций, как правило,
используется лоrическая операция min конъюнкции. Те правила, степень ис-
тинности условий которых отлична от нуля, считаются активными и исполь-
зуются для дальнейших расчетов.
О Активизация подзаключений внечетких правилах продукций. Во первых, с
использованием метода (7.6) находятся значения степеней истинности всех
заключений правил нечетких продукций. BO BTOpЫX, осуществляется расчет
обычных (не нечетких) значений выходных переменных каждоrо правила.
Это выполняется с использованием формулы для заключения (7.16), в кото-
рую вместо QJ и й2 подставляются значения входных переменных до этапа
фаззификации. Тем самым определяются множество значений C={CI, С2,..., Сп}
и множество значений выходных переменных W= {WI, W2,..., и'n} , rne 11 общее
количество правил в базе правил.
О Аккумуляция заключений нечетких правил продукций. Фактически OTCYTCT
вует, поскольку расчеты осуществляются с обычными действительными чис-
лами Wj'
О Дефаззификация выходных переменных. Используется модифицированный
вариант в форме метрда центра тяжести для одноточечных множеств (7.15).
(лава 7. Системы нечеткоrо вывода
205
Упрощенный алrоритм нечеткоrо вывода
Формально упрощенный алzорU1nМ может быть определен следующим образом.
О Формирование базы правил систем нечеткоrо вывода. В базе правил исполь
зуются только правила нечетких продукций в форме:
ПРАВИЛО <#>: ЕСЛИ "131 есть а'" И "132 есть а"" ТО "W=E". (7.17)
Здесь Е некоторое действительное число.
О Фаззификация входных переменных. Особенности фаззификации совпадают с
рассмотренными выше при описании данноrо этапа.
О Аrреrирование подусловий внечетких правилах продукций. Для нахождения
степени истинности условий всех правил нечетких продукций, как правило,
используется лоrическая операция miп конъюнкция. Те правила, степень
истинности условий которых отлична от нуля, считаются активными и ис
пользуются для дальнейших расчетов.
О Активизация подзаключений внечетких правилах продукций. Осуществляется
с использованием метода (7.6), посредством чеrо находятся значения степеней
истинности всех заключений правил нечетких продукций C={CI, С2,..., сп}, rде
11 общее количество правил в базе правил.
О Аккумуляция заключений нечетких правил продукций. Фактически OTCYTCT
вует, поскольку расчеты осуществляются с обычными действительными чис
лами C j .
О Дефаззификация выходных переменных. Используется модифицированный
вариант в форме метода центра тяжести для одноточечных множеств (7.15).
При решении практических задач нечеткоrо моделирования MorYT OДHOBpeMeH
но использоваться несколько алrоритмов нечеткоrо вывода с целью получения
наиболее адекватных результатов. Ниже рассматриваются при меры применения
некоторых из этих алrоритмов в задачах нечеткоrо управления.
7.4. Примеры использования систем
нечеткоrо вывода в задачах управления
Одним из основных направлений практическоrо использования систем нечетко
ro вывода является решение задач управления различными объектами или про
цессами. В этом случае построение нечеткой модели основывается на формальном
представлении характеристик исследуемой системы в терминах линrвистических
переменных. Поскольку кроме алrоритма управления, основными понятиями
систем управления являются входные и выходные переменные, то именно они
рассматриваются как линrвистические переменные при формировании базы
правил в системах нечеткоrо вывода.
В общем случае цель управления заключается в том, чтобы на основе анализа
текущеrо состояния объекта управления определить значения управляющих пе
206
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
ременных, реализация которых позволяет обеспечить желаемое поведение или
состояние объекта управления. В настоящее время для решения соответствую
щих задач используется общая теория управления, в рамках которой разрабо
таны различные алrоритмы нахождения оптимальных законов управления объ
ектами различной физической природы.
Не вдаваясь в детальное обсуждение концепций классической теории управле
ния, рассмотрим лишь основные определения, необходимые для пони мания oco
бенностей и места систем нечеткоrо вывода при решении задач управления.
Базовая архитектура или модель классической теории управления основывается
на представлении объекта и процесса управления в форме некоторых систем
(рис. 7.13). При этом объект управления характеризуется некоторым конечным
множеством входных параметров и конечным множеством выходных парамет
ров. На вход системы управления поступают некоторые входные переменные,
которые формируются с помощью конечноrо множества даТЧИКО1J. На выходе
системы управления с использованием HeKoToporo алrоритма управления фор
мируется множество значений выходных переменных, которые еще называют
управляющими переменными или переменными процесса управления. Значения
этих выходных переменных поступают на вход объекта управления и, комбини
руясь со значениями входных параметров объекта управления, изменяют ero по
ведение в желаемом направлении.
входные
napallleIpbI
Объеъ:т
управлеmIЯ
выходные
парамеIРЫ
ДЗТ1ШКП
Спстема
)'правлеmш
выходные
переменные
входные
переменные
Рис. 7.1 з. Архитектура компонентов процесса управления с обратной связью
Рассмотренная архитектура называется процессом управления с обршпной связью,
а используемые для управления техническими объектами системы управления
контроллерами.
Наиболее типичным примером рассмотренной модели управления является так
называемый uнте2ра.!lьно дuффереНЦUРУlOщиЙ контроллер или РID контроллер
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
207
(propOl.tional integral de..ivative controller). Алrоритм ero управления основан на
сравнении выходных параметров объекта управления с некоторыми заданными
параметрами и определении величины расхождения между ними или ошибки.
После этоrо рассчитываются величины выходных переменных в форме адцитив
ной суммы величины этой ошибки, значения интеrрала и производной по време-
ни в течение HeKoToporo промежутка времени.
Один из недостатков РID-контроллеров заключается в предположении о линей-
ном характере зависимости входных и выходных переменных процесса управле
ния, что существенно снижает адекватность этой модеЛИ при решении отдельных
практических задач. Друrой недостаток модели связан со сложностью выполне
ния соответствующих расчетов, что может привести к недопустимым задержкам
в реализации управляющих воздействий при оперативном управлении объекта
ми с высокой динамикой изменения выходных параметров.
Архитектура или модель нечеткоrо управления основана на замене классической
системы управления системой нечеткоrо управления, в качестве которой исполь
зуются системы нечеткоrо вывода. В этом случае модель нечеткоrо управления
(рис. 7.14) строится с учетом необходимости реализации всех этапов нечеткоrо
вывода, а сам процесс вывода реализуется на основе одноrо из рассмотренных
выше алrоритмов нечеткоrо вывода.
Объеt-Т
управлеюUl
ВЫХО':lНые
парамеIl'Ы
;.:{ЗJ'1-ШКJI
Сисrема иечеrкоrо управлеИllЯ
выходиые
переJl.lенные
'\
Дефаззи-
ФикаЦIIЯ
\
входные
IL _ e
/" "
f Нечеrкиii: вывод -'
Фаззи-
ФнкаЦIIЯ
База правил
ие'lеIКIIХ
ПрОДУКЦИII
I
Рис. 7.14. Архитектура компонентов процесса нечеткоrо управления
Далее рассматриваются особенности построения некоторых моделей систем He
четкоrо управления с целью решения практических задач по управлению KOH
кретными объектами.
208
Часть 1. ОСНОВЫ теории нечетких множеств и нечеткой лоrики
Нечеткая модель управления
смесителем воды при принятии душа
в качестве nepBoro при мера использования систем нечеткоrо вывода в задачах
управления рассматривается задача управления смесителем воды при принятии
душа. Эта задача является одной из наиболее простых, которая может быть реше
на методами нечеткоrо моделирования. Для определенности предположим, что в
качестве алrоритма нечеткоrо вывода будет использоваться алrоритм Мамдани.
Содержательная постановка задачи
При принятии душа на вход смесителя подается холодная и rорячая вода по соот.
ветствующим маrистральным трубопроводам. Наиболее комфортные условия для
душа создаются при наличии на выходе смесителя теплой воды постоянной темпе
ратуры. Поскольку во время принятия душа может наблюдаться неравномерный
расход воды, температура воды на выходе смесителя будет колебаться, приводя к
необходимости ручноrо изменения подачи холодной или rорячей воды. Задача
состоит в том, чтобы сделать реrулировку температуры воды автоматической,
обеспечивая постоянную температуру воды на выходе смесителя (рис. 7.15).
холодная
вода
rОрЯ'lая
вода
Объеь."Т
управлеюrя
....
уrол поворота вентнля
крана rОрЯ'lей воды
/
смеСlIтель
lfi \
j : I \ \
.. 11 \ \
. I I I
rемпераrура
воды
J
Рис. 7.15. Иллюстрация модели нечеткоrо
управлеНm1 смесителем воды при принятии душа
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
209
Опыт принятия душа позволяет сформулировать несколько эвристических пра
вил, которые мы при меняем в случае реrулирования температуры воды на BЫXO
де смесителя:
1. Если вода rорячая, то следует повернуть вентиль крана rорячей воды .на
большой уrол вправо.
2. Если вода не очень rорячая, то следует повернуть вентиль крана rорячей BO
дЫ на небольшой уrол вправо.
З. Если вода теплая, то оставить вентиль крана rорячей воды без воздействия.
4. Если вода прохладная, то следует повернуть вентиль крана rорячей воды на
небольшой уrол влево.
5. Если вода холодная, то следует повернуть вентиль крана rорячей воды на
большой уrол влево.
Эта информация будет использоваться при построении базы правил системы
нечеткоrо вывода, которая позволяет реализовать данную модель нечеткоrо
управления.
Построение баЗbl нечетких линrвистических правил
Для формирования базы правил систем нечеткоrо вывода необходимо предвари
тельно определить входные и выходные линrвистические переменные. Очевидно,
в качестве входной линrвистической переменной следует использовать темпера
туру воды на выходе смесителя или формально: (31 "температура воды". В Ka
честве выходной линrвистической переменной будем использовать уrол поворо
та вентиля крана rорячей воды или формально: (32 ")'20Л поворота".
В этом случае система нечеткоrо вывода будет содержать 5 правил нечетких
продукций следующеrо вида:
ПРАВИЛО I: ЕСЛИ "вода rорячая" ТО "повернуть вентиль крана rоря
чей воды на большой уrол вправо"
ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ "вода не очень rорячая" ТО "повернуть вентиль
крана rорячей воды на небольшой уrол вправо"
ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ "вода теплая" ТО "оставить уrол поворота крана
rорячей воды без изменения"
ПРАВИЛО 4: ЕСЛИ "вода прохладная" ТО "повернуть вентиль крана
rорячей воды на небольшой уrол влево"
ПР АВИЛО 5: ЕСЛИ "вода холодная" ТО "повернуть вентиль крана ro
рячей воды на большой уrол влево"
Фаззификация входных переменных
в качестве терм множества первой линrвистической переменной будем исполь
зовать множество ТJ={"20рячая", "Не очень 20рЯЧая", "теплая", "llрохладная" ,
"холодная"} с функциями принадлежности, изображенными на рис. 7.16, а.
210
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
в качестве терм множества второй линrвистической переменной будем исполь
зовать множество Т2={"большой У20Л вправо", "uебольшоЙ У20Л вправо", "UУЛЬ" ,
"uебольиюЙ У20Л влево", "большоЙ У20Л влево"} с кусочно линейными функциями
принадлежности, изображенными на рис. 7.16, б.
холодная
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
О
npОХЛ3ДНaJI не очень rОр IШI
теплая rОр lая
I I I
I , I
L.... ....&....... .........1...........
I I I
I I I
I I I
...... - .. -t........... ...............
, , .
I I ,
, , .
r...... T..... ...I ...
, I I
, , .
, , I
I ... I ...
I I
. I
10
20 30 40 50 60 70 80
Температура воды [rpaд С]
90
100
а
нуль
оольшоii
)ТОЛ влево
1
неоольшой
)'Тол влево
небольшой
)ТОЛ вправо
большой
}ТОЛ вправо
0.8
0.6
0.4
02
О
90
о
Утол ПОВОРОТfI вентнля [rpад]
90
6
Рис.7.16. rрафики ФУНКЦИЙ принадлежности для термов
линrвистической переменной "Температура воды" (а)
и линrвистической переменной "Уrол поворота вентиля крана" (6)
При этом температура воды измеряется в традусах Цельсия, а уrол поворота
в уrловых традусах. В последнем случае поворот вправо означает положитель
ное направление отсчета, а поворот влево отрицательное.
Используя в качестве алrоритма вывода алrоритм Мамдани, рассмотрим пример
ето выполнения для случая, котда текущая температура воды на выходе смесите-
ля равна 55 ос. В этом случае фаззификация входной линrвистической перемен
ной приводит к значениям степеней истинности 0.5 для правил нечетких продук
ций С номерами 2 и 3. Эти правила считаются активными и используются в
текущем процессе нечеткоrо вывода.
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
211
Поскольку все условия в правилах 1 5 заданы в форме нечетких линrвистиче
ских высказываний nepBoro вида, этап их аrpеrирования тривиален и оставляет
степени истинности 0.5 без изменения.
Следующим этапом нечеткоrо вывода является активизация заключений в He
четких правилах продукций. Поскольку все заключения правил I 5 заданы в
форме нечетких линrвистических высказываний первоrо вида, а весовые коэф
фициенты правил по умолчанию равны 1, то активизация правил 2 и 3 приводит
К нечетким множествам, функции принадлежности которых изображены на
рис. 7.17, а.
Аккумулирование заключений нечетких правил продукций с использованием
операции mах дизъюнкции для правил 2 и 3 при водит В результате к нечеткому
множеству, функция принадлежности KOToporo изображена на рис. 7.17, б.
неоольшоii:
нуль )ТОЛ вправо
I I . 1
I I . I
О 8 7 --:
l' ,
0.6
0..4
0.2
О
90
о
Уroл поворота вентиля [rpaд]
90
а
0.8
0.6
04
0.2
О
90
о
Уrол поворот" вентиля [rрад]
90
6
Рис. 7.17. rрафики Функции принадлежности для двух термов выходной
линrвистической переменной "Уrол поворота вентиля крана" (а)
и функции принадлежности после аккумуляции (6)
Дефаззификация выходной линrвистической переменной "У20Л поворота вентиля
крана" методом центра тяжести для значений функции принадлежности. изобра
жен ной на рис. 7.17, приводит к значению управляющей переменной, равному
повороту вентиля крана вправо на 16° (приближенное значение). Это значение и
212
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
является результатом решения задачи нечеткоrо вывода для текущеrо значения
входной линrвистической переменной "TeJvlllepaтypa воды".
Для реализации этоrо алrоритма нечеткоrо управления необходимо орrанизовать
периодическое измерение температуры воды на выходе смесителя в некоторые
дискретные моменты времени. При этом, чем меньше интервал измерения этой
температуры, тем выше оказывается точность реrулирования температуры воды.
Что касается реализации собственно процедуры нечеткоrо управления, то для
этой цели необходимо использовать соответствующие nporpaMMHbIe или аппа
ратные средства, специально предназначенные для выполнения всех этапов He
четкоrо вывода. В частности, для этой цели мотут быть применены специальные
проrраммируемые нечеткие контроллеры, которые обладают возможностью
реализовывать протрамму нечеткоrо вывода, записанную, например, на языке
нечеткоrо управления или языка FCL. Более подробно эти аспекты реализации
алrоритмов нечеткоrо управления изложены в 2лаве 8.
Нечеткая модель управления кондиционером
воздуха в помещении
в качестве второто примера использования систем нечеткоrо вывода в задачах
управления рассматривается задача управления кондиционером воздуха в по
мещении. Эта задача иллюстрирует процесс стабилизации температуры воздуха
в помещении, в котором установлен бытовой кондиционер. Для определенности
также предположим, что в качестве алrоритма нечеткоrо вывода будет исполь-
зоваться алrоритм Мамдани.
Содержательная постановка задачи
в помещении установлен бытовой кондиционер, который позволяет охлаждать
или натревать воздух в этом помещении. Наиболее комфортные условия в по
мещении создаются при некоторой стабильной температуре воздуха. Поскольку
температура окружающей среды вне помещения изменяется в течение суток и в
большой степени зависит от внешних потодных условий, все это дестабилизиру-
ет температуру воздуха в Помещении и приводит к необходимости ручной peTY
лировки режима работы бытовоrо кондиционера. Задача состоит в том, чтобы
сделатЬ реrулировку кондиционера автоматической, обеспечивая постоянную
температуру воздуха в помещении (рис. 7.18).
Опыт использования бытовых кондиционеров показывает, что процесс охлаж
дения или наrревания воздуха в помещении обладает некоторой инерционно
стью. А именно, после включения режима "холод" происходит наrнетание xo
лодноrо воздуха, в связи с чем температура воздуха в помещении постепенно
падает. При этом в момент отключения этоrо режима температура продолжает
падать в течение небольшоrо, но' конечноrо промежутка времени. Аналоrичная
картина наблюдается при включении и отключении режима "тепло". Предполо
жим, что в рассматриваемой модели кондиционера включение режима "холод"
rлава 7. СистеМbI нечеткоrо Вblвода
213
осуществляется поворотом реrулятора влево, включение режима "тепло" осуще
ствляется поворотом реrулятора вправо относительно некоторой точки, в KOTO
рой кондиционер выключен.
Объеъ:т
управлеюIЯ
1\ ОНДllЦнонер
)ТОЛ ПОБорота l}сryшrтора
. . . . i.
-,"
Система
иечеткоrо
управ.леНJIЯ
;(
;;.-;
тОе
CKopocrъ 1IЗl\IСНСЮIЯ ТСJ.П1срnтуры
ПОI\IСЩСЮIС
Рис. 7.18. Иллюстрация модели нечеткоrо управления
кондиционером воздуха в помещении
Чтобы учесть эту особенность процесса управления кондиционером и исключить
дополнительные затраты, связанные с частым включением и выключением YKa
занных режимов, необходимо рассматривать в качестве выходноrо параметра не
только температуру воздуха в помещении, но и скорость ее изменения. В этом
случае эмпирические знания о рассматриваемой проблемной области MorYT быть
представлены в форме эвристических правил, которые применяются в случае
ручноrо реrулирования температуры воздуха в помещении с кондиционером:
1. Если температура воздуха в помещении очень теплая, а скорость изменения
температуры положительная, то следует включить режим "холод", повернув
реrулятор кондиционера на очень большой уrол влево.
2. Если температура воздуха в помещении очень теплая, а скорость изменения
температуры отрицательная, то следует включить режим "холод", повернув
реrулятор кондиционера на небольшой уrол влево.
3. Если температура воздуха в помещении теплая, а скорость изменения теМпе
ратуры положительная, то следует включить режим "холод", повернув pery
лятор кондиционера на большой уrол влево.
214
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
4. Если температура воздуха в помещении теплая, а скорость изменения темпе
ратуры отрицательная, то кондиционер следует выключить.
5. Если температура воздуха в помещении очень холодная, а скорость измене
ния температуры отрицательная, то следует включить режим "тепло", повер
нув реrулятор кондиционера на очень большой уrол вправо.
6. Если температура воздуха в помещении очень холодная, а скорость измене
ния температуры положительная, то следует включить режим "тепло", по
вернув реrулятор кондиционера на небольшой уrол вправо.
7. Если температура воздуха в помещении холодная, а скорость изменения
температуры отрицательная, то следует включить режим "тепло", повернув
реrулятор кондиционера на большой уrол вправо.
8. Если температура воздуха в помещении холодная, а скорость изменения
температуры положительная, то кондиционер следует выключить.
9. Если температура воздуха в помещении очень теплая, а скорость изменения
температуры равна нулю, то следует включить режим "холод", повернув pe
rулятор кондиционера на большой уrол влево.
10. Если температура воздуха в помещении теплая, а скорость изменения темпе
ратуры равна нулю, то следует включить режим "холод", повернув реrулятор
кондиционера на небольшой уrол влево.
11. Если температура воздуха в помещении очень холодная, а скорость измене
ния температуры равна нулю, то следует включить режим "тепло", повернув
реrулятор кондиционера на большой уrол вправо.
12. Если температура воздуха в помещении холодная, а скорость изменения
температуры равна нулю, то следует включить режим "тепло", повернув pe
rулятор кондиционера на небольшой уrол вправо.
13. Если температура воздуха в помещении в пределах нормы, а скорость изме
нения температуры положительная, то следует включить режим "холод", по
вернув реrулятор кондиционера на небольшой уrол влево.
14. Если температура воздуха в помещении в пределах нормы, а скорость изме
нения температуры отрицательная, то следует включить режим "тепло", по
вернув реrулятор кондиционера на небольшой уrол вправо.
15. Если температура воздуха в помещении в пределах нормы, а скорость изме-
нения температуры равна нулю, то кондиционер следует выключить.
Эта информация будет иСпользоваться при построении баЗbl правил системы
нечеткоrо вывода, которая позволяет реализовать данную модель нечеткоrо
управления.
Построение базы нечетких линrвистических правил
Дця формирования базы правил систем нечеткоrо вывода необходимо предвари-
тельно определить входные и выходные линrвистические переменные. Очевидно,
в качестве одной из входных линrвистических переменных следует использовать
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
215
температуру воздуха в помещении: 131 "температура воздуха", а в качестве
второй входной линrвистической переменной 132 "скорость измеuенuя тe.Mпe
ратура воздуха". В качестве выходной линrвистической переменной будем ис
пОльзовать уrол поворота реrулятора включения режимов "холод" и "тепло"
кондиционера: 133 "ушл поворота рпулятора". Для сокращения записи правил
будем использовать рассмотренные символические обозначения (см. табл. 7.1),
при этом модификатор ОЧЕНЬ преобразован к значению отдельноrо терма.
В этом случае система нечеткоrо вывода будет содержать 15 правил нечетких
продукций следующеrо вида:
ПРАВИЛО I: ЕСЛИ "13. есть РВ" И "132 есть PS" ТО "133 есть NB"
ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ "13. есть РВ" И "132 есть NS" ТО "133 есть NS"
ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ "131 есть PS" И "132 есть PS" ТО "13зеСI1lЬ NM"
ПРАВИЛО 4: ЕСЛИ "131 есть PS" И "132 есть NS" ТО "13зеСI1lЬ Z"
ПРАВИЛО 5: ЕСЛИ "131 есть NB" И "132еСI1lЬ NS" ТО "133 есть РВ"
ПРАВИЛО 6: ЕСЛИ "131 есть NB" И "132 есть PS" ТО "13зеС11lЬ PS"
ПРАВИЛО 7: ЕСЛИ "131 есть NS" И "132 есть NS" ТО "13зеС11lЬ РМ"
ПРАВИЛО 8: ЕСЛИ "13\ есть NS" И "132 есть PS" ТО "l3зесть Z"
ПРАВИЛО 9: ЕСЛИ "13\ есть РВ" И "132еСI11Ь Z" ТО "133 есть NM"
ПРАВИЛО IО: ЕСЛИ "13. есть PS" И "132 есть Z" ТО "133 есть NS"
ПРАВИЛО II: ЕСЛИ "13. есть NB" И "132 есть Z" ТО "133 есть РМ"
ПРАВИЛО 12: ЕСЛИ "13. есть NS" И "132 есть Z" ТО "133 есть PS"
ПРАВИЛО 13: ЕСЛИ "13. есть Z" И "132еСIIlЬ PS" ТО "133 есть NS"
ПРАВИЛО 14: ЕСЛИ "13. есть Z" И "132 есть NS" ТО "13зесть PS"
ПРАВИЛО 15: ЕСЛИ "13. есть Z" И "132 есть Z" ТО "13зеС11lЬ Z"
Фаззификация ВХОДНЫХ переменных
в качестве терм множества первой линrвистической переменной будем использо
вать множество Т. = {" очень холодная", "холодная", "в пределах нормы", "теплая",
"0чеllЬ 11lеrUlая"} или в символическом виде т.={NВ, NS, Z, PS, РВ} с функциями
принадлежности, изображенными на рис. 7.19. В качестве терм множества второй
линrвистической переменной будем использовать множество Т2={"0Illрицатель
пая", "равна нулю", "положительная"} или в символическом виде T2={NS, Z, PS} с
функциями принаДТIежности, изображенными на рис. 7.20. В качестве TepM
множества выходной линrвистической переменной будем использовать множество
Тз={"очень большой У20Л влево", "БОЛblUОЙ У20Л влево", "uебольиюй У20.1 влево",
"выключить кондиционер", "неболыuоЙ У20Л вправо", "боЛЬUlOzl У20Л вправо", "очень
болыuйй ушл вправо"} или в символическом виде T ={NB, NM, NS, Z, PS, РМ, РВ}
с функциями принаДТIежности, изображенными на рис. 7.21.
216
Часть 1. Основы теории нечетких множеств и нечеткой лоrики
NВ
NS
z
PS
РВ
1
о
о
10
20
Температура воздуха в помещеНIIИ
30
40
тОе
Рис. 7.19. rрафики ФУНКЦИЙ принадлежности для термов входной
линrвистической переменной "Температура воздуха.'
NS
z
PS
. . .
- - - .. .. - - - .. -.. .. .. ..:... -.. ... ... .. .. .. r"
, , ,
. , ,
. . .
тОе
въпm
о
4
3
2 1 О 2
Скорость нзменення темпераJ)'РЫ воздуха
3
4
Рис. 7.20. rрафики фУНКЦИЙ принадлежности для термов входной
линrвистической переменной "Скорость изменения температуры"
NВ
NM
NS
z
PS
РМ
РВ
о
900
450 О
Уrол поворота реryлятора кондициоиера
О
90
Рис. 7.21. rрафики функций принадлежности для термов ВЫХОДНОЙ
линrвистической переменной "Уroл поворота реryлятора"
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
217
При этом температура воздуха измеряется в [радусах Цельсия, скорость измене
иия температуры воздуха в rpадусах Цельсия в минуту, а уrол поворота
в уrловых rрадусах. В последнем случае поворот реrулятора вправо означает
включение режима "тепло" и положительное направление отсчета, а поворот
влево включение режима "холод" и отрицательное направление отсчета.
Используя в качестве алrоритма вывода алrоритм Мамдани, рассмотрим пример
ero выполнения для случая, Коrда текущая температура воздуха равна 20 ОС, а
скорость ее изменения положительная и равна 0.2 ОС/мин.
В этом случае фаззификация первой входной линrвистической переменной при
водит к значению степени истинности 0.15 для терма PS, а фаззификация второй
иечеткой переменной приводит к значению истинности 0.5 для терма Z и значе
иию 0.2 для терма PS. Соответствующие подусловия используются в правилах
иечетких продукций с номерами 3 и 10. Эти правила считаются активными и ис
пользуются в текущем процессе нечеткоrо вывода.
Аrреrирование подусловий правила 3 дает в результате число 0.15, аrреrирова
иие подусловий правила I О также число 0.15. Следующим этапом нечеткоrо
вывода является активизация заключений внечетких правилах продукций. По
скольку все заключения правил 1 5 заданы в форме нечетких линrвистических
высказываний nepBoro вида, а весовые коэффициенты правил по умолчанию
равны 1, то активизация правил 3 и 10 приводит к двум нечетким множествам.
Аккумулирование заключений нечетких правил продукций с использованием
операции mах дизъюнкции для правил 3 и 1 О приводит В результате к нечеткому
множеству, функция принадлежности KOToporo изображена на рис. 7.22.
NВ
NЫ
NS
z
Р::>
И\ 1
РЕ
l
0.15
о
900
-4 O О .и о
Уrол поворота реryлятора КОН":11IШlOнера
о
90
Рис. 7.22. rрафик Функции принадлежности двух термов выходной
линrвистической переменной "Уrол поворота реrулятора" после аккумуляции
Дефаззификация выходной линrвистической переменной "Ушл поворота ре2УЛЯ
тора" методом центра площади для значений функции принадлежности, изо
браженной на рис. 7.22, приводит к значению управляющей переменной. paB
иому повороту реrулятора кондиционера влево на уrол 340 (приближенное
218
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
значение). Это значение соответствует включению режима "холод" на треть CBO
ей мощности и является результатом решения задачи нечеткоrо вывода.
Примечание
Следует отметить, что дефаззификация друrим методом при водит к результа
там, которые MOryT суЩественно отличаться от полученных. Это может потре
бовать дополнительных исследований по настройке используемых алroритмов
нечеткоro вывода.
Нечеткая модель управления
контейнерным краном
в заключение этой rлавы рассматривается пример разработки модели системы
нечеткоrо управления контейнерным краном, который предназначен для TpaHC
портировки моноблочных контейнеров при выполнении разrрузочных работ
морских судов.
Содержательная постановка задачи
Контейнерные краны используются при выполнении поrрузочно разrрузочных
работ в портах. Они соединяются с моноблочным контейнером rибким тросом и
поднимают контейнер к кабине крана. Кабина крана вместе с контейнером
может перемещается в rоризонтальном направлении по направляющим типа
рельсов. Коrда контейнер поднимается к кабине, а кран приходит в движение,
контейнер начинает раскачиваться и отклоняться от cTporo вертикальноrо по
ложения под кабиной крана. Эта ситуация иллюстрируется на рис. 7.23.
}(ОНТСlrnСрНЬП 1 кран
KoиrClrncp
.
;' ::;J .., '
' .. . . . . . .. '. . .-... . -I.e . .. :1"
, . t! : .<;t-
-',......,.- <
..:'0_0". >
'i T ; rп + ; ; . . .>
,'." '." >
Рис. 7.23. Иллюстрация примера с контейнерным краном
r лава 7. Системы нечеткоrо вывода
219
Проблема заключается в том, что пока контейнер раскачивается в ходе своей
транспортировки и отклоняется от вертикали, он не может быть опущен на oc
нование цели перемещения, в качестве которой используются железнодорожные
платформы или друrие транспортные средства.
Анализ действий крановщиков операторов, выполняющих управление краном,
показывает, что они в своей работе применяют следующие эвристические правила:
1. Начинать движение следует со средней мощностью.
2. Если движение уже началось и кабина находится далеко от цели, отреrулиро
вать мощность двиrателя таким образом, чтобы контейнер оказался несколь
ко впереди кабины крана.
3. Если кабина находится близко над целью, уменьшить скорость таким обра
зом, чтобы контейнер находился несколько впереди кабины крана.
4. Коrда контейнер находится очень близко от позиции цели, следует выклю
чить мощность двиrателя.
5. Коrда контейнер находится прямо над позицией цели, следует остановить
двиrатель.
Формирование базы правил систем нечеткоrо вывода
Следующим этапом построения модели является построение базы правил. С этой
целью преобразуем рассмотренные выше 5 эвристических правил в 6 правил He
четких продукций:
ПРАВИЛО I: ЕСЛИ "расстояние далекое" И "уrол равен нулю"
ТО "мощность положительная средняя"
ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ "расстояние далекое" И "уrол отрицательный малый"
ТО "мощность положительная большая"
ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ "расстояние далекое" И "уrол отрицательный большой"
ТО"мощность положительная средняя"
ПРАВИЛО 4: ЕСЛИ "расстояние среднее" И "уrол отрицательный малый"
ТО "мощность отрицательная средняя"
ПРАВИЛО 5: ЕСЛИ "расстояние близкое" И "ушл положительный малый"
ТО "мощность положительная средняя"
ПРАВИЛО 6: ЕСЛИ "расстояние ноль" И "уrол равен нулю"
ТО "мощность равна нулю"
Примечание :)
Следует заметить, что правило 2 разделено на два отдельных правила, чтобы ис
пользовать простой формат ЕСЛИ ТО. При этом расстояние становится отрица
тельным в том случае, коrда кабина крана находится справа от положения цели.
220
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Фаззификация ВХОДНЫХ перемеННblХ
Чтобы иметь возможность автоматически управлять таким краном, необходимо
использовать датчики для измерения rоризонтальноrо положения кабины крана
("Расстояние") и измерения уrла раскачивания контейнера ("У20Л"). выодомM В
этом случае является мощность мотора.
Для построения модели системы нечеткоrо управления контейнерным краном в
первую очередь следует для всех переменных определить соответствующие лин-
rвистические переменные. В нашем случае таких линrвистических переменных
три это расстояние, уrол и мощность мотора. Каждая из них будет включать в
себя 5 термов. При этом будем использовать функции принадлежности типа КУ-
сочно линейных функций, а также функции принадлежности для одноточечных
множеств. Ниже приводятся rрафики конкретных функций принадлежности для
отдельных линrвистических термов соответствующих линrвистических перемен-
ных (рис. 7.2 7.26). Названия отдельных термов сокращены: "отр" отрица-
тельный, "пол" положительный.
очень дnлекое
ноль
oml'lКoc
peДНee
далекое
о
-10
о
10
PaCCTOJIНIIC [мстры]
20
30
Рис. 7.24. rрафики функций принадлежности для термов линrвистической
переменной "Расстояние", измеряемое от кабины крана до положения цели
отр большой
отр малый ноль пол малый
пол большой
о
-90.
90.
Уrол
Рис. 7.25. rрафики функций принадлежности для термов линrвистической
переменной "Уrол", измеряемый между положением контейнера и кабиной крана
rлава 7. Системы нечеткоrо вывода
221
.. 0"11' BЫI:OKВJI отр cpCДНU ноль поп срсднu поп ВЫСОКaJI
!
, ,
. : - H
, ,
, ,
, .
. .
- .. : .... .. . .. .. ..: .. - .. ........ ...... - ........... ... ............. ... ........... .... .............. ................................ .................. B
, ,
, .
, , ... ...... ......L............... ................. ................................J................. ...............L.............................. B
--- ................ .................................:............ ..............
, ,
, ,
, ,
, , .....................L...... ............ .............. .................................1................ ....... L...............................
--- .. ........ ..... ............... ...................:......... ............... ---
, . I
, .
: i i : ....
о
.30
-15
о
15'
30
l\IОЩНОI:IЬ ДВИI"RТСШl [килuвап]
Рис. 7.26. rрафики ФУНКЦИЙ принадлежности для термов линrвистической
переменной "Мощность" двиrателя
Далее необходимо определить методы аrpеrирования подусловий. Поскольку во
всех правилах 1 6 в качестве лоrической связки для подусловий применяе:rся
только нечеткая конъюнкция (операция "И"), то в качестве метода аrреrирования
будем использовать операцию miп конъюнкции. В качестве схемы нечеткоrо BЫ
вода будем использовать метод Мамдани, поэтому методом активизации будет
MIN, который рассчитывается по формуле (7.6). Для аккумуляции заключений
правил будем использовать метод mах дизъюнкции, который также при меняется в
случае схемы нечеткоrо вывода методом Мамдани. Наконец, в качестве метода
дефаззификации будем использовать метод центра тяжести для одноэлементных
множеств (7.1 О), который можно также записать в виде ключевоrо слова COGS.
Рассмотрим пример выполнения нечеткоrо вывода для этой модели в случае,
коrда текущее расстояние до цели равно 7.5 м, а уrол между контейнером и Ka
биной крана равен 100.
В этом случае фаззификация первой входной линrвистической переменной при
водит к значениям степени истинности: 0.5 для терма "близкое" и 0.5 для терма
"среднее", а фаззификация второй нечеткой переменной приводит к значениям
истинно ти: 0.1 для терма "пол большой" и 0.9 для терма "пол малый". COOTBeT
ствующие подусловия совместно используются только в правиле нечеткой про
дукции с номером 5. Это единственное правило считается активным и использу
ется в текущем процессе нечеткоrо вывода.
Аrреrирование подусловий правила 5 дает в результате число 0.5. Следующим
этапом нечеткоrо вывода является активизация заключения в правиле 5 нечеткой
продукции. Поскольку это заключение единственное и задано в форме OДHOTO
чечноrо множества, то активизация тривиальна и дает в результате степень при
надлежности 0.5. Аккумулирование и дефаззификация также тривиальны и дают
в результате, что мощность двиrателя равна 12 киловатт.
В заключение следует отметить, что рассмотренные при меры будут использо
ваться далее в качестве тестовых задач в частях 1/ и III.
rлава 8
Язык нечеткоrо управления..... FCL
Язык нечетКО20 управления FCL (FlIzzy Сопt.-оl Langllage) описан в Стандарте
IEC 1 131 7, в котором определяются цели разработки этоrо языка, ero базовая
нотация и приводятся примеры записи моделей нечеткоrо управления с исполь
зованием нотации языка FCL. В настоящей rлаве рассматриваются 'Элементы
языка FCL в соответствии с указанным Стандартом.
Язык FCL разработан для представления нечетких моделей систем управления,
в частности, моделей так называемых проrраммируемых контроллеров
(Pl"ogl"ammable ContI"ollel"s) или пРО2рам.мируемых ЛО2uческих контроллеров (ПЛК)
в форме структурируемоrо текста, который может быть интерпретирован как
проrрамма на языке BbIcoKoro уровня. Хотя Стандарт IEC 1131 7 не определяет
требования к вычислительным средам и устройствам, которые MorYT реализовы
вать трансляцию, компиляцию и выполнение nporpaMM на языке FCL, описан
ная в нем нотация основных компонентов систем нечеткоrо вывода позволяет
достичь формальноrо уровня строrости, необходимоrо для последующей разра
ботки соответствующих инструментальных средств.
Изложению нотации языка предшествует краткое введение в специальную об
ласть прикладных исследований, которая получила название нечеткоrо управле-
ния. После этоrо рассматриваются элементы базовой нотации языка FCL. В за-
ключение этой rлавы подробно рассматривается конкретный пример разработки
нечеткой модели системы управления подъемным краном и запись этой модели в
нотации языка FCL.
8.1. Концептуальные основы
нечеткоrо управления
Под нечеткu.,w управлеиuем (Fuzzy Contl"ol) понимается область применения об
щей методолоrии теории нечетких множеств инечеткой лоrики для решения
практических задач управления. Нечеткое управление возникло как технолоrия,
способная расширить возможности автоматизации производства и предназна
ченная для решения прикладных задач в области управления, которые в общем
случае MoryT быть реализованы с помощью проrраммируемых контроллеров.
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
223
Нечеткое управление базируется на использовании не столько аналитических
или теоретических моделей, сколько на практическом применении знаний, KOTO
рые можно представить в форме так называемых линrвистических баз правил.
Нечеткое управление может использоваться в том случае, коrда существует oп
ределенный опыт экспертов и ero можно записать некоторым формальным об
разом. Все это позволяет воспользоваться доступными знаниями с целью улуч
шить процессы управления и решить ряд задач, например:
О управление (с обратной или без обратной связи, с одной или со мноrими пе
ременными, для линейных или нелинейных систем);
О установка параметров систем управления в автономном режиме или в режиме
реальноrо времени;
О классификация и распознавание образов;
О оперативное принятие решения (Послать этот продукт на обработку устрой
ством А или В?);
О помощь операторам в принятии решений или настройке параметров;
О определение и диаrностика неисправностей в системах.
Широкий диапазон приложений и естественность подхода, oCHoBaHHoro на опы
те специалистов, делает нечеткое управление основным средством, которое в
качестве стандарта должно стать доступным для всех пользователей проrрамми
руемых контроллеров. Нечеткое управление может также непосредственно KOM
бинироваться с классическими методами управления.
Применение нечеткоrо управления может быть наиболее эффективным в тех
случаях, коrда отсутствует явная модель процесса и аналитическая модель явля
ется слишком сложной для представления (например, системы с несколькими
входами и несколькими выходами) или для получения решений в реальном Mё:l.C
штабе времени.
Друrое достоинство нечеткоrо управления заключается в непосредственном объ
единении опыта нескольких специалистов. При этом вовсе не нужно моделиро
вать целиком весь контроллер с помощью нечеткоrо управления иноrда He
четкое управление может только интерполировать серию локально линейных
моделей или динамически адаптировать параметры HeKoToporo линейноrо pery
лятора. Тем самым становится возможным не только оперировать нелинейными
моделями, но и сосредоточить внимание на рассмотрении тех параметров суще
ствующих реrуляторов, которые следует улучшить.
Нечеткое управление, являясь мноrозначным управлением, больше оrраничива
ется значениями высказываний "истина" или "ЛО:JIСЬ". Эта особенность делает
нечеткое УПРё:l.вление адекватным средством для моделирования эмпирическоrо
опыта экспертов, оперируя теми понятиями, в терминах которых формулируются
управляющие воздействия на заданном множестве входов.
Ниже дается краткое введение в теорию нечеткоrо управления, насколько это
необходимо для пони мания нотации языка FCL. Поскольку используемая в He
четком управлении терминолоrия вынесена в 2лоссарий, здесь рассматривё:l.ЮТСЯ
224
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
только основные особенности интеrpации приложений нечеткоrо управления и
их представления в формелиаrрамм.
С точки зрения информационныx технолоrий системы нечеткоrо управления
являются продукционными экспертными системами. С точки зрения теории сис-
тем управления системы нечеткоrо управления являются контроллерами с нели-
нейными параметрами реrулирования. При этом текущие значения выходных
переменных зависят только от текущих значений входных переменных и не зави-
сят от предыстории этих значений за исключением случаев, коrда отсутствуют
активные правила и не определены значения переменных по умолчанию. Если же
контроллер должен быть реализован как динамическая система, то соответст-
вующие динамические функции представляют собой внешние элементы для не-
четкоrо функциональноrо блока.
В системах автоматическоrо реrулирования обычно используются дифференци-
рующие и интеrрирующие элементы (звенья) первоrо порядка. Выходные пере-
менные таких элементов являются дополнительными входными переменными
для системы нечеткоrо управления. Такими переменными также MorYT быть пе-
ременные, описывающие значения отклонения управляемых параметров от yc
тановленных значений.
Напротив, выходные переменные систем нечеткоrо управления MorYT использо
ваться операторами для выполнения коррекции управляем ых параметров в раз
личныx системах управления.
Общая структура систем с нечетким управлением изображена на рис. 8.1, а, при
мер реализации системы нечеткоrо управления изображен на рис. 8.1, б. В при
мере в качестве входной переменной используется разность х между заданным и
реальным значениями контролируемоrо параметра. Эта разность совместно с ее
производной по времени и интеrралом по заданному интервалу времени пере
даются в собственно систему нечеткоrо управления как три входные переменные,
не зависящие от своей предыстории. В то же время переменная для коррекции
контролируемоrо параметра получается на основе интеrрирования по заданно-
му интервалу времени выходной переменной системы нечеткоrо управления.
Область применения нечеткоrо управления достаточно широка от небольших
и простых приложений до комплексных и сложных проектов. Чтобы охватить
все возможные случаи, следует использовать Правила соrласованности классов
систем нечеткоrо управления, которые дополняют и расширяют базовую нота-
цию языка FCL. При этом Базовый Класс определяет минимальное множество
требований, которым должны удовлетворять все соrласованные системы, что
обеспечивает переносимость nporpaMM нечеткоrо управления.
Существующая теория и системы, реализованные в области нечеткоrо управле
ния, отличаются между собой по используемой терминолоrии, функциональным
возможностям и особенностям реализации в инструментальных средствах.
Цель Стандарта IEC 1131-7 состоит в том, чтобы, с одной стороны, предоста-
вить разработчикам и пользователям однозначные и доступные для пони мания
базовые средства для интеrрации приложений нечеткоrо управления, которые
MorYT быть записаны в нотации языков проrpаммируемых контроллеров, а, с
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
225
друrой стороны, обеспечить возможность переносимости мобильных nporpaMM
нечеткоrо управления между различными системами проrpаммирования.
Зl1Д8ниые
зиа'lеИ I ":- Х
v П}>едварнтельиая " ;
обрабоrк., v
>, .. .J
Парамеrры V
процесса
Сисrема
ие'lеrкоrо
управ.IIеИIIЯ
у
'"
PaC'leT
УПРIIВJJЯющнх
переменных
I
УПРnВJJЯющне
перемеииые
;,т. ;.I}t U
v
..
v
а
Зl1Д8ииое
зна'lеИИе
,v
+
.Х
1
Х!
Систеr.1II
He'lerKOrO
управления
УПрав.!IЯЮWI1Я
переменнllЯ
11
переменная
процесса
v
"'"3
Pac'ler
управJ1ЯЮЩИХ
переl\fениы)(
ПредваРllrельиllЯ обрабоrка
б
Рис. 8.1. Общая структура систем нечеткоrо управления
Необязательные средства языка FCL определены в Классе Расширения. Про
rpaMMbI нечеткоrо управления, использующие эти средства, MorYT переноситься с
одной системы на друrую только в том случае, если эти системы реализуют оди
ню<овое множество этих средств. В противном случае может оказаться возмож
ным лишь частичный перенос nporpaMM. Стандарт не требует, чтобы все соrла
сованные системы реализовывали средства Класса Расширения в полном объеме.
Хотя и допускается возможность частичноrо переноса, следует избеrать исполь
зования нестандартных средств. Поэтому соrласованная система не должна co
держать нестандартные средства. которые не MorYT быть адекватно реализованы
с использованием стандартных средств Базовоrо Класса и Класса Расширения.
Чтобы не исключать из рассмотрения системы, использующие свои собственные
и достаточно сложные средства, и не препятствовать процессу дальнейшеrо раз
вития, Стандарт разрешает использование дополнительных нестандартных
средств, которые не вошли в ни Базовый Класс, ни в Класс Расширения. Однако
все такие средства должны быть перечислены стандартным способом, чтобы
можно было бы леrко установить их нестандартный характер.
Переносимость приложений нечеткоrо управления зависит от особенностей как
систем проrраммирования, так и от характеристик систем управления. Все эти
226
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
особенности указываются в Списке Про верки Данных, который разрабатывается
производителями систем.
Интеrрация проrраммируемых контроллеров
Приложения нечеткоrо управления, разработанные в форме проrрамм на языке
FCL соrласно Стандарту IEC 1131 7, должны быть инкапсулированы в Функ
циональные Блоки (или Проrраммы) на основе Стандарта IEC 1 13 1 3, который
определяет использование языков проrраммирования в проrраммируемых KOH
троллерах. Поэтому здесь будут использоваться понятия Типа Функциональноrо
Блока и Экземпляра Функциональноrо Блока, которые определяются в CTaH
дарте IEC 1 13 1 3.
Примечание
Стандарт 'ЕС 1131 3 (полное название International standard IEC 1131 3. Pro
grammabIe controllers. Part 3. Programming languages, 1993) заслуживает тощ
чтобы остановиться на нем более подробно. Этот Стандарт определяет син
таксис и семантику пяти языков проrраммирования проrраммируемых контрол
леров: Ladder diagram (LD), Sequential Function Charts (SFC), Function Block
Diagram (FBD), Structured Text (ST), Instruction List (IL). Оставляя в стороне дис
куссию о достоинствах и недостатках этих языков и Стандарта в целом, ниже
дается лишь краткая характеристика этих языков.
О Язык LD представляет собой некоторый rрафический язык проrраммирова
ния, являющийся стандартизованным вариантом класса языков релейно
контактных схем. Лоrические выражения на этом языке описываются в виде
реле, которые широко применялись в области автоматизации в 1960 x roдах.
О ЯЗЫК SFC представляет собой rрафический язык, используемый для описа
ния алrоритма в виде набора связанных пар: шаr (step) и переход
(transition). Шаr представляет собой набор операций над переменными. Пе
реход набор лоrических условных выражений, определяющий передачу
управления к следующей паре шаr переход. По внешнему виду описание на
языке SFC напоминает хорошо известные лоrические блок схемы алrорит-
мов. SFC имеет возможность распараллеливания алrоритма. Однако SFC
не имеет средств для описания шаrов и переходов, которые MOryт быть BЫ
ражены только средствами друrих языков стандарта.
О Язык FBD представляет собой rрафический язык, по своей сути похожий на
LD. Вместо реле в этом языке используются функциональные блоки, по
внешнему виду микросхемы. Алrоритм работы HeKoToporo устройства на
этом языке выrлядит как функциональная схема электронноrо устройства:
элементы типа "лоrическое И", "лоrическое ИЛИ" и т. П., соединенные ли
ниями.
О Язык ST представляет собой текстовый высокоуровневый язык общеro на-
значения, по синтаксису ориентированный на Паскаль. Самостоятельноrо
значения не имеет, используется только совместно с языком SFC.
О Язык IL представляет собой текстовый язык низкоro уровня. Выrлядит
как типичный язык Ассемблера, что объясняется ero происхождением: для
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
227
некоторых моделей ПЛК фирмы Siеmепs является языком Ассемблера.
В рамках стандарта IEC 11З1 З к архиТектуре KOHкpeTHoro процессора не
привязан. Самостоятельноrо значения не имеет, используется только co
вместно с SFC.
Перечисленные языки 'ЕС 11З1 З используются ведущими фирмами изrотоеи
телями ПЛК, имеют длительную историю применения. достаточно распростра
нены и известны пользователям по тем или иным модификациям. Несмотря на
то, что во мноrих случаях такие модификации несущественны, это влечет оп
ределенные неудобства при работе с ПЛК различных фирм изrотовителей.
С этой точки зрения, стандарт IEC 11З1 З несомненно проrрессивен, поскольку
позволяет привести бесчисленное число различных вариантов и интерпрета
ций языков ПЛК к единому знаменателю.
Тип ФУНКЦUО1-lQЛЬНО20 Блока, определяемый в языке FCL, задается входными и
выходными параметрами, специальными правилами и объявлениями нечеткоrо
управления. Соответствующие Экземпляры ФУflКЦUОllалЫlO20 Бrzока должны co
держать значения данных конкретных приложений нечеткоrо управления.
Функциональные Блоки, записанные на языке FCL, MorYT быть использованы в
проrpаммах и Функциональных Блоках, записанных на любом из языков CTaH
дарта IECl131 3. При этом типы данных входных и выходных параметров Функ
циональноrо Блока или проrраммы на языке FCL должны соответствовать анало
rичным параметрам данной среды реализации, как это показано на рис. 8.2.
у прав.flЯЮЩllti Клапан 1
Di,'
Не'lепшii ФБ
Ад,1
Тl ВХО;!С 1
Клапан
Bxoд l
Пер l
выход
ВХО;С 2
Кl1аПан l
выход
Теll. ше l)аr:>l)д
С'ощ;t вход...... 2
Рl Давленне
Рис. 8.2. Пример Функциональноrо Блока нечеткоrО управления
в форме диаrраммы языка FBD
в этом примере Управляющuй КлапQ1сl использует конкретный экземпляр
Функциональноrо Блока, инстанцируемый от Типа Функциональноrо Блока
Нечеткий ФБ. Тип Функциональноrо Блока Нечеткuй ФБ может быть записан
в форме проrраммы на языке FCL в соответствии с ero базовой нотацией, опре
деленной в Стандарте IECI 131 7. Этот Функциональный Блок НечеткuiсФБ
может быть использован как внекоторой проrрамме, так и в друrом Функцио
228
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
нальном Блоке, представленном в форме диаrраммы на rрафическом языке FBD
(Function Вlock Diagram, диаrраммы функциональных блоков).
Перенос nporpaMM нечеткоrо управления
Определение нотации языка FCL базируется на определениях языков проrpам
мирования Стандарта IECl131 3. При этом взаимодействие алrоритма нечеткcr
[о управления со средой проrраммирования должно быть скрыто от соответст-
вующих проrрамм. Именно поэтому алrоритм нечеткоrо управления следует
представлять в форме Функциональноrо Блока. При этом для представления
собственно линrвистических аспектов Функциональных Блоков нечеТкоrо
управления оказываются необходимыми и такие элементы, как функции при-
надлежности, правила, операции и методы, которые и определяются в Стандар-
те IECl131 7.
Стандартизация элементов языка FCL выполнена с целью достижения единоrо
представления данных для обеспечения переноса проrрамм между системами не-
четкоrо управления различных производителей, как это изображено на рис. 8.3.
Редактор ШUI прнложення
ие'lеткоrо упрмлеиия
разрабоучика А
Редактор цля lII>l1ложеиия
ие'lе"Il(оrо УllРlIвления
разраБОТ'IШШ Б
ТеКСI0ВЫII файл
иа я:lыеe FC'L
I! формате переиоса
ДIIИИЫХ
'. -r ...;;.,:' =:-_' ." ; .: ': »;;i..' ' ,: . ...,...."'... i : .! : ':; , . :";: '. "-:"". !J: ; <H..:$
, <; .. . : ,:. " :<.:::;:;. ..:...::, !:; ;.::,::rY.':' : .. ....
ПроrраМlIIнруемый коитроллер li:
разраБОТ"ИКI1 Б "
Проrpllм шруеr.IЫЙ КОИТрОJlТJер "':
рllЗрllБОТ'llll(lI А _.
.".
Рис. 8.3. Переносимость проrрамм, написанных на языке FCL
Использование TaKoro единоrо представления разработчиками проrраммируе-
мых контроллеров позволяет каждому из них иметь собственное аппаратное
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
229
обеспечение, редакторы и компиляторы nporpaMM. Разработчику достаточно
лишь реализовать интерфейс данных для cBoero собственноrо редактора. В свою
очередь заказчики и потребители получают возможность переноса COOTBeTCT
вующих проектов нечеткоrо управления между различными разработчиками.
История разработки
и стандартизации языка FCL
Необходимость унификации и стандартизации подходов к рассмотрению MeTO
долоrии нечеткоrо управления С'?lла осознаваться в первой половине 1990 x п. в
связи с широкой разработкой и производством промыwленных и бытовых YCT
ройств, реализоваННbIХ на основе алrоритмов нечеткоrо управления.
С целью стандартизации методолоrии лроrраммирования, средств и функцио
нальных характеристик нечеткоrо управления в области проrpаммируемых KOH
троллеров в 1993 [. в США была орrанизована специальная рабочая rpynna по
рассмотрению соответствующих предложений (NWIP, New Working Item Proposal).
В результате широкоrо международноrо обсуждения предложений была одобрена
и принята в рамках Международной электротехнической комиссии IEC рабочая
проrpамма с названием "Стандартизация Нечеткоrо Управления".
Поскольку уже Тоrда предполаrалось, что находившаяся на стадии становления
технолоrия будет включена в проектируемые проrраммируемые контроллеры,
разработка этоrо проекта была поручена в рамках подкомитета IEC SC65B
(Устройства) специальной рабочей [руппе IEC 65B/WG7 (Проrраммируемые
контроллеры).
В декабре 1996 [. международным отделением TF8 рабочей [руппы
IEC/65B/WG7 во Франкфурте, rермания был подrотовлен проект Стандарта,
получивший номер 1.0. По плану он должен стать частью 7 Международноrо
Стандарта IEC 1] 3] "Проrраммируемые контроллеры". Полное название этоrо
Стандарта Стандарт IEC 1131 7 COl 2 IEC TC65/WG 7пР8 Part 7 Fuzzy
Control Language (Release 19, JaпUaI' 1997). Для удобства будем использовать ero
сокращенное название: IEC 1131 7.
Основное назначение Стандарта IEC 1131 7 определить язык FCL, предна
значенный для проrраммирования приложений нечеткоrо управления, которые
MorYT быть использованы в проrраммируемых контроллерах.
Этот Стандарт ссылается на друrие стандартные документы, которые также YT
верждены в качестве Стандартов Международной орrанизацией по стандарти
зации ISO по предложению Международной электротехнической комиссии. Ни
же следует перечень этих документов:
LI IEC 1 1581 FDIS 1996, Internatioпal Electrotechnical VocabulaIY, clause 351:
Automatic Control
LI IEC 1131 Part 1: 1992, Gefleral iпfшmаtiоп
LI IEC] 131 Part 2: 1992, Equipment requirements and tests
230
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
о IEC 1131 Pa1"t 3: 1993, Pl"Ogl'amming languages
О IEC 1131 Technica1 RepOl"t, Guidelines f01" use1"S and imp1ementers of IEC 1131 3
8.2. Базовая нотация языка
нечеткоrо управления FCL
в настоящем разделе рассматриваются элементы языка FCL, их синтаксис и пра
вила использования в нечетких моделях систем управления. Описание этих эле
ментов занимает центральное место в Стандарте IEC 1131 7.
Основные элементы языка FCL
Метод спецификации TeKcToBoro описания проrраммируемых контроллеров
приводится в Приложении А Стандарта IEC 1131 3 (IEC 1131 PaI.t 3: 1993,
Prog1"amming 1anguages). Этот же метод спецификации используется при описа
нии языка FCL.
Формальная спецификация элементов языка для текстовых языков проrpамми
рования описывается в Приложении В Стандарта IEC 1131 3. Для языка FCL
следует использовать следующее подмножество этих элементов языка:
О Буквы, цифры, идентификаторы
О Константы
О Типы данных
О Переменные
Нотация правил продукций
в дополнение к перечисленным выше элементам языка Части 3 Стандарта IEC
1131 для записи правил продукций следует использовать следующие элементы
языка FCL:
объявление функциональноrо блока :: 'FUNCTION BLOCK'
имя функциональноrо блока
{объявления вх выliпеременньlli фБ}}
{объявления друrих переменных ФБ}
тело функциональноrо блока
'END FUNCTION BLOCK'
объявления вх вых переменных ФБ :: объявления входа I объявления выхода
объявления друrих переменных ФБ :: объявления переменных
тело функциональноrо блока.. {блок фаззификации}
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
231
{блок дефаэзификации}
{блок правил}
{необязательный блок}
блок фаззификации :: == 'FUZZ1FY' имя переменной
{линrвистический терм}
'БNО FUZZ1FY
блок дефаззификации :: == 'OEFUZZIFY' имя нечеткой переменной
{линrвистический терм}
метод дефаззификации
значение по умолчанию
[интервал]
'ENO FUZZIFY'
блок правил :: == 'RULEBLOCK' имя блока правил
определение операции
[метод активизации]
метод аккумуляции
{правило}
'ENO RULEBLOCK'
необязательный блок
'OPT10N'
любой параметр спецификации модели
'ENO OPTION'
линrвистический терм :: == 'TE ' имя терма ': ==' функция принадлежности' ; ,
функция лринадлежности ::== одноэлементное множество I точки
одноэлементное ожество ::== число I имя переменной
точки :: == {' ( 'число I имя переменной ' " число')'}
метод дефаззификации ::=='МЕТНОО' ':' 'COG' 'COGS' 'СОА' 'LМ' 'RМ'
, ; ,
значение по умолчанию ::== 'OEFAULT' ':==' число I 'NC' ';'
интервал::== 'RANGE' ':== ' '( 'число'.. 'число')' ';'
определение операции .. ( 'OR' ':' 'МАХ' I ' ASUМ' 'BSUМ' )
('МО' ':' 'MIN' 'PROO' '801F') ';'
метод активизации .. 'АСТ":' 'PROO' 'MIN";'
метод аккумуляции .. 'ACCU' ':' 'МАХ' 'BSUМ" 'NSUМ' ';'
правило :: == ' RULE' целое число' : '
'IF' условие 'THEN' заключение [WITH весовой коэффициент] ';'
условие ::== (подусловие I имя леременной) {МО' 'OR'
(подусловие имя переменной)}
подусловие :: == ( 'NOT' '(' имя переменной 'IS' [' NOT ' ]) имя терма' ) , )
(имя леременной 'IS' [' NOT '] имя терма)
232
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
заключение . о
, , , }
{(имя переменной I (имя переменной 'IS' имя терма»
(имя переменной имя переменной '1S' имя терма)
весовой коэффициент :: переменная I число
имя функциональноrо блока :: идентификатор
имя блока правил :: идентификатор
имя терма :: идентификатор
имя нечеткой переменной :: идентификатор
имя переменной :: идентификатор
число :: целое число I действительное число
объявления входа :: See IEC' llЗl З Anпех В
объявления выхода о . see IEC 11З1 З Anпех В
объявления переменных о . see IEC 11 з1 3 Anпех В
идентификатор о . see IEC l1Зl З Anпех В
Ключевые слова языка FCL
в табло 8.1 приводится перечень ключевых слов языка FCL, которые разреша-
ется использовать только в том значении, как оно определено в нотации язы
ка FCL.
Таблица 8.1. Зарезервированные ключевые слова языка FCL
Ключевое слово
Описание ключевоrо слова
()
Скобки в условии, терме, интервале
Метод аккумуляции
Метод активизации
Операция лоrической конъюнкции (лоrическое "И")
Операция лоrическоrо "ИЛИ" по формуле алrебраиче-
ской суммы
Операция лоrическоrо "И" по формуле оrраниченной
разности
Метод аккумуляции по формуле оrраниченной суммы
Метод дефаззификации по формуле центра площади
Метод дефазэ.ификации по формуле центра тяжести
Метод дефаззификации по формуле центра тяжести для
одноэлементных множеств
3tiачение выхода по умолчанию в случае отсутствия aK
тивных правил
ACCU
АСТ
AND
ASUM
BDIF
BSUM
СОА
COG
COGS
DEFAULT
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
233
Таблица 8.1 (продолжение)
Ключевое слово
Описание ключевоrо слова
DEFUZZIFY
END DEFUZZIFY
END FUNCTION BLOCK
END FUZZIFY
END OPTIONS
END RULEBLOCK
END VAR
FUNCTION BLOCK
FUZZIFY
1F
18
LM
МАХ
МЕТНОО
MIN
NC
NOТ
NSUM
OPTIONS
OR
PROD
RANGE
RM
RULE
RULEBLOCK
Дефаззификация ВЫХОДНОЙ переменной
Конец спецификации дефаззификации
Конец спецификации функциональноrо блока
Конец спецификации фаззификации
Конец спецификации дополнительных параметров
Конец спецификации блока правил
Конец определения входных/выходных переменных
Начало спецификации функциональноrо блока
Фаззификация входной переменной
Начало правила, после KOToporo следует ero условие
Связка для значения линrвистической переменной в yc
ловии или заключении
Метод дефаззификации по формуле левоrо модальноrо
значения
Метод аккумуляции по формуле максимума
Метод дефаззификации
Минимум в качестве лоrической операции "И"
Значение выходной пере мен ной остается без изменения
(No Change) в случае отсутствия активных правил
Операция лоrическоrо отрицания (лоrическое "НЕ")
Метод аккумуляции по формуле нормализованной суммы
Начало спецификации дополнительных параметров
Операция лоrической дизъюнкции (лоrическое "ИЛИ")
Произведение в качестве лоrической операции "И"
Интервал переменной для шкалирования функции при
надлежности
Метод дефаззификации по формуле правоrо модальноrо
значения
Начало спецификации нечеткоrо правила
Начало спецификации блока правил
234
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Таблица 8.1 (окончание)
Ключевое слово
Описание ключевоrо слова
TERM
Определение линrвистическоrо терма (ФУНКЦИИ принад
лежности) для линrвистической переменной
Разделитель условия и заключения внечетком правиле
Определение локальной переменной (переменных)
Определение входной переменной (переменных)
Определение выходной переменной (переменных)
Определение BecoBoro коэффициента
THEN
VAR
VAR INPUT
VAR OUTPUT
WITH
Интерфейс функциональноrо блока
(Function Block interface)
Соrласно Стандарту IEC 1131 7, внешнее представление Нечеткоrо Функцио
нальноrо Блока требует использования следующих элементов языка FCL:
FUNCTION BLOCK имя фун циональноrо бло а
{Функциональный бло }
VAR INPUT
{Объявление входных параметров }
имя переменной: тип данных;
END VAR
VAR OUTPUT
{Объявление выходных параметров}
имя переменной: тип анных;
END VAR
VAR
{Локальные переменные}
имя переменной: тип данных;
END VAR
END FUNCTION BLOCK
Эти элементы языка FCL позволяют описать интерфейс функциональноrо бло
ка. Интерфеt;с функциональноrо блока определяется совместно с параметрами,
которые MorYT использоваться внутри и вне этоrо Функциональноrо блока. Ти
пы данных этих параметров должны быть определены в соответствии с требова
ниями Стандарта языка FCL. Ниже приводится пример объявления функцио
нальноrо блока на языке структурированноrо текста (ST, Structured Text), а на
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
235
рис. 8.4. изображен этот же функциональный блок на языке диаrрамм функцио
нальных блоков.
FUNCTION BLOCK Нечеткий ФБ
V INPUT
Температура : REAL;
Давление : REAL;
END VAR
оитрит
Клапан
REAL ;
END VAR
END FUNCTION BLOCK
Не"lеrкий ФБ
Температура
Клапан
ДавлеНllе
Рис. 8.4. Пример объявления интерфейса
функциональноrо блока на языке FBD
Фаззификация (Fuzzification)
Как было сказано в lЛGве 7, цель фаззификации заключается в преобразовании
числовых значений входных переменных в функции принадлежности, опреде
ленные для линrвистических значений соответствующих переменных. Это пре
образование в языке FCL описывается между ключевыми словами: FUZZIFY и
END FUZZIFY следующим образом:
FUZZIFY имя переменной
TERМ имя терма . функции принадлежности;
END FUZZIFY
После ключевоrо слова FUZZIFY должно быть записано имя переменной, KO
торая используется для фаззификации. Это имя переменной предварительно
должно быть определено в секции VAR INPUT. Соответствующая линrвистиче
236
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
ская переменная должна быть описана одним или несколькими линrвистически
ми термами.
Линrвистические термы определяются после ключевоrо слова TERM и описыва-
ются посредством функций принадлежности, которые фаззифицируют эту пере
менную. В качестве функции принадлежности может использоваться некоторая
кусочно линейная функция. Эта функция задается таблицей своих точек в форме:
функция принадлежности :: (точка i), (точка j), ...
Каждая точка в списке представляет собой пару значений, разделенных запятой.
Первое из них количественное значение переменной, а второе значение
функции принадлежности для этоrо значения переменной. Эти пары значений
заключаются в скобки и отделяются друr от друrа запятыми:
точка i :: значение входа i I имя переменной на входе i,
значение функции принадлежности i
Таким способом MorYT быть определены все простые элементы, такие как Ha
клонная прямая и треуrольная функция принадлежности. Точки должны запи
сываться в возрастающем порядке значений переменной. Функция принадлежно
сти между последовательными точками является линейной. Остальные значения
функции принадлежности для произвольноrо значения входа вычисляются по
средством линейной интерполяции значений функции принадлежности для двух
соседних точек.
Число точек может изменяться, но их максимальное количество оrраничено co
rласно правилу 6 классов соrласованности.
Ниже приводится пример функции принадлежности с 3 точками для линrвисти
ческоrо терма "теплый":
TERМ теплый: (lO°C, 0.0), (50°С, 1.0), (90°, 0.0);
Если значение линrвистической переменной меньше, чем первая базовая точка в
таблице задания функции принадлежности, то соответствующее значение функ-
ции принадлежности принимается равным значению для этой первой точки в
таблице. Если значение линrвистической переменной больше, чем последняя ба
зовая точка в таблице задания функции принадлежности, то соответствующее
значение функции принадлежности принимается равным значению для этой по
следней точки в таблице.
Примеры определения линейной Z образной функции и линейной S образной
функции принадлежности:
FUZZIFY температура;
TERМ холодный : ( 100c, 1), (10 0 С, О);
TERМ теплый
END FUZZIFY
Чтобы адаптировать модель нечеткоrо управления на этапе ее реализации, базо-
вые точки функций принадлежности MorYT быть модифицированы. Это можно
(10°С, 0.0), (50°С, 1.0);
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
237
сделать посредством определения дополнительных переменных, которые описы
ваются как входные в функциональном блоке. Эти переменные необходимо объ
явить в секции VAR INPUT функциональноrо блока.
Примечание
Значения отдельных точек функций принадлежности во время выполнения про
rpaMMbI MOryT выходить за пределы последовательности.
Ниже представлен пример задания точек функции принадлежности
VPJ>.. ШРUТ
температура : REAL; (* Этот вход должен быть фаззифицирован *)
давление : RБAL; (*этот вход должен быть фаззифицирован *)
bp warm1, bp war.m2 : REAL; (* эти входы предназначены для
интерактивной адаптации *)
END VAR
FUZZIFY температура
TERМ теплый
(bp warm1, 0.0), (40 0 с, 1.0), (bp war.m2, 0.0);
END FUZ ZI FY
Дефаззификация (Defuzzification)
Линrвистическая переменная должна быть преобразована в количественное зна
чение. Это преобразование описывается между ключевыми словами DEFUZZIFY и
END DEFUZZIFY.
Переменная, которая используется для дефаззификации, должна быть записана
после ключевоrо слова DEFUZZIFY. ИМЯ этой переменной должно быть объявле
но ранее в секции VAR OUTPUT.
DEFUZZIFY имя переменной
TERМ имя терма : функция принадлежности;
метод дефаззификации;
значение по умолчанию;
[интервал; )
END DEFUZZIFY
Определение линrвистических термов задается в секции фаззификации. С целью
упрощения дефаззификации выходов MorYT быть использованы специальные
функции принадлежности в форме значения для одноэлементноrо множества.
Подобные функции принадлежности описываются посредством единственноrо
значения для линrвистическоrо терма.
238
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Ниже приводится пример определения таких термов.
DEFUZZIFY клапан
TERМ открыт на слив 100;
TERМ закрыт : о;
TERМ открыт на наполнение 100;
END DEFUZZIFY
Метод дефаззификации должен быть определен посредством элемента языка
МЕТОД после ключевоrо слова МЕТНОD.
МЕТНОО : метод дефаззификации;
В качестве метода дефаззификации мотут быть использованы следующие методы
(табл. 8.2)
Таблица 8.2. Методы дефаззификации
Ключевое
слово
Описание
Формула
расчета
COG
Центр тяжести (Centre 01 Gravity)
Центр тяжести для одноточечных множеств (Centre 01 Gravity
10r Singletons)
Центр площади (Centre 01 Area)
Левое модальное значение (Le1t Most Maximum)
Правое модальное значение (Right Most Maximum)
(7.9)
(7.1 О)
COGC
СОА
(7. 11 )
(7.12)
(7.13)
LM
RM
Если значение функции принадлежности равно О для всех линrвистических тер--
мов некоторой выходной переменной, то это означает отсутствие активных пра
вил для этой переменной. В этом случае дефаззификация не позволит получить
адекватный результат. Именно по этой причине целесообразно определить для
такой переменной некоторое значение по умолчанию. Это значение будет назна
чено выходной переменной только в случае отсутствия активных правил. Значе
ние по умолчанию задается после ключевоrо слова DEFAULT.
DEFAULT : значение I NC;
После ключевоrо слова DEFAULT может быть указано значение по умолчанию
или ключевое слово NC (по change). Последнее применяется для тото, чтобы явно
указать, что выход остается без изменения в случае. если отсутствуют активные
правила.
Интервал определяется заданием после ключевоrо слова RANGE некоторых ми-
нимальноrо и максимальноrо значений, которые разделяются двумя точками.
RANGE : (minimum value.. maximum value);
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
239
Интервал используется для спецификации минимальноrо и максимальноrо зна
чений некоторой выходной переменной. Если функции принадлежности термов
выходной переменной заданы в форме одноэлементных множеств, то подобный
интервал не может быть задан. В остальных случаях RANGE используется для or
раничения каждой функции принадлежности интервалом по каждой из BЫXOД
ных переменных. Этот интервал следует явно определять, чтобы избежать He
предсказуемых значений выходных переменных.
Если этот интервал не задан, то принимается интервал по умолчанию для типа
данных соответствующей переменной, как это определено в части 3 Стандарта
!ЕС 1131 3.
Блок правил (Rule bIock)
Для определения механизма нечеткоrо вывода используется один или несколько
блоков правил. С целью удобства и предоставления возможности декомпозиции
базы правил на отдельные модули разрешается использовать несколько блоков
правил. При этом каждый блок правил должен иметь уникальное имя.
Правила должны быть определены между ключевыми словами RULEBLOCK и
END RULEBLOCK следующим образом.
RULEBLOCK имя блока правил
определение операции;
[ метод активизации;]
метод аккумуляции;
правила;
END RULEBLOCK
Внутри блока правил используются нечеткие операции
определение операции :: == операllИЯ : алТ'оритм
Чтобы соответствовать законам Де MopraHa следует использовать парные алrо
ритмы для операторов AND и OR, например, если для оператора AND использует
ся алrоритм MIN, то для оператора OR следует использовать алrоритм МАХ. Co
ответствующие парные алrоритмы определены в табл. 8.3.
Таблица 8.3. Парные алroритмы для операций
Оператор ОА (лоrическое "или") Оператор AND (лоrическое "и")
Ключевое слово Алrоритм Ключевое слово Алrоритм
ДЛЯ алrоритма ДЛЯ алrоритма
МАХ max{I1,(x), 112(X)} MIN min{I1,(x), 112(X)}
ASUM 111 (х)+ 112(X) PROD 11, (Х)'112(Х)
11, (Х)'112(Х)
BSUM min{1, 111(X) + 112(Х)} BDIF тах{О, 111 (X)+112(X) 1}
240
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Ниже представлен пример записи блоков правил:
RULEBLOCK первый
МО : MINi
END RULEBLOCK
RULEBLOCК второй
МО : PROD;
END RULEBLOCК
Метод активизации определяется после ключевоrо слова АСТ следующим образом:
АСТ : метод активизации;
Методы активизации, которые допустимы в языке FCL, определены в табл. 8.4.
При этом следует помнить, что метод активизации не применим для одноэле-
MeHTHoro множества.
Таблица 8.4. Методы активизации
Название метода Ключевое слово Алrоритм
для метода активизации
Произведение PROD 1-11 (х). 1-12 (х)
Минимум MIN min{1-11(x}, 1-12(x}}
Метод аккумуляции определяется после ключевоrо слова ACCU следующим образом:
ACCU : метод акку:муляции;
Методы аккумуляции, которые допустимы в языке FCL, определены в табл. 8.5.
Таблица 8.5. Методы аккумуляции
Название метода Ключевое слово для Формула
метода аккумуляцИИ
Максимум МАХ max{1-11(x}, 1-12(x}}
Оrраниченная сумма BSUM min{1. 1-11(X} + 1-12(X)}
Нормализованная NSUM JlI(X) + Jl2(X)
сумма max{l, max{JlI (у) + Jl2(Y)}}
уеХ
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
241
Входами блока правил являются линrвистические переменные со своими множе
ствами линrвистических термов. Каждый из термов имеет соответствующие зна
чения функции принадлежности.
Правила определяются внутри блока правил. Каждое правило должно иметь в
качестве cBoero имени уникальный номер внутри блока. Этот номер записывается
после ключевоrо слова RULE и заканчивается двоеточием.
RULE номер правила : IF условие THEN заключение
[WITH весовой коэффициент];
Само правило должно начинаться ключевым словом IF, после KOToporo записы
вается условие правила. После условия должно следовать заключение, которое
записывается после ключевоrо слова THEN.
В одном правиле допускается использовать несколько отдельных подусловий и
входных переменных, чтобы иметь возможность оперировать различными He
четкими степенями принадлежности, которые MorYT быть включены внечеткий
функциональный блок FFB. Все такие подусловия должны быть записаны между
ключевыми словами IF и THEN и соединены лоrическими операциями с ключе
выми словами AND, OR, NOT.
Приоритет этих лоrических операций определяется соrласно табл. 8.6.
Таблица 8.6. Приори ет лоrических операций
Приоритет Операция Приоритет Операция
1 Скобки () 3 I AND (И)
2 NOT (НЕ) 4 OR (ИЛИ)
Ниже приводится простой пример записи HeKoToporo правила:
RULE 1 : IF подусловиеl AND переменнаяl OR переменная2 TНEN заключение;
В соответствии с Базовым Уровнем соrласованности операция OR в условии He
KOToporo правила может быть заменена определением двух отдельных правил.
Например,правило
RULE 3 : IF подусловиеl OR подусловие2 THEN заключение;
можно заменить на правила:
RULE За IF условиеl THEN заключение;
RULE ЗЬ : IF условие2 TНEN заключение;
Подусловия начинаются с имени некоторой линrвистической переменной, после
KOToporo следует ключевое слово IS с необязательным ключевым словом NOT.
После этих ключевых слов записывается один линrвистический терм для лин
rвистической переменной, которая определяется в соответствующем условии:
подусловие : линrвистическая переменная IS [NOТ) линrвистический терм
242
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
римечание
Используемые в условии линrвистические термы должны соответствовать лин
rвистической переменной в том же условии. При этом используемый терм дол
жен быть заранее определен с ключевым словом TERM.
Ниже приводятся примеры записи подусловий в форме структурируемоrо текста:
температура IS орячая
температура IS NOT орячая
Допускается использование ключевоrо слова NOT перед записью подусловия.
В этом случае следует применять круrлые скобки, например:
IF NOT (температура IS орячий) THEN...
Заключение может быть разделено на несколько подзаключений и выходные пе
ременные. Подзаключения начинаются с имени некоторой линrвистической пе
ременной, после KOToporo следует ключевое слово IS с одним линrвистическим
термом ДfIЯ этой линrвистической переменной:
подзаключение : лин вистическая переменная IS лин вистический терм
Ниже приводится пример нескольких подзаключений, записанных в одну строку:
IF температура 1S холодная AND давление IS низкое THEN переменнаяl,
клапанl IS открыт на наполнение, клапан2 IS закрыт;
или в несколько строк:
IF температура IS холодная AND давление IS низкое
THEN переменнаяl,
клапан! IS OTKpЫT Ha наполнение,
клапан2 IS закрыт;
При необходимости, но не обязательно, для каждоrо подзаключения можно за
дать весовой коэффициент, который представляет собой некоторое число типа
данных REAL и со значением из интервала [О, 1]. Это число записывается после
ключевоrо слова WITH:
IF условие THEN подзаключениеl [WITH весовой коэффиuиент),
подзаключение2;
Выражение предназначено ДfIЯ уменьшения степени принадлежности (значения
функции принадлежности) подзаключения посредством умножения результата
подзаключения на этот весовой коэффициент.
Чтобы иметь возможность внешнеrо изменения параметров приложений нечет
Koro управления, весовой коэффициент может быть задан как переменная. При
этом соответствующая переменная должна быть объявлена в секции VAR INPUT.
ЭТО предоставит возможность изменить весовой коэффициент в ходе выполне
ния проrраммы и тем самым адаптировать nporpaMMY нечеткоrо управления к
особенностям решаемой задачи.
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
243
Если подзаключение не имеет записи с ключеВblМ словом WITH, то используется
значение BecoBoro коэффициента по умолчанию, которое равно 1. Ниже приво
дится пример записи постоянноrо BecoBoro коэффициента:
IF температура IS холодная AND давление IS низкое
THEN клапан1 I8 открыт на наполнение WITH 0.5,
клапан2 IS закрыт;
Пример записи nepeMeHHoro BecoBoro коэффициента:
VFR INPUT
вес правила1
END VAR
REAL
0.8;
RULEBLOCK правило для температуры
RULE 1: IF температура I8 холодная AND давление I8 низкое
TНEN клапан1 I8 открыт на наполнение WITH вес правила1,
END RULEBLOCK
Простой при мер записи модели нечеткоrо
управления с использованием нотации языка FCL
FUNCTION BLOCK Нечеткий ФБ
VAR INPC1T
температура : REAL;
давление : REAL;
END VAR
VAR OUTPUT
клапан
REAL;
END VAR
FUZZIFY температура
TERM холодная :== ( 10°C, 1.0) (lO°C, 0.0);
TERM !'орячая . (20°С, О. О) (700с, 1. О) ;
END FUZZIFY
FUZZIFY давление
TERM низкое :== (55, 1.0) (95, 0.0);
TERM высокое . (55, 0.0) (95, 1.0);
END FUZZIFY
DEFUZZIFY клапан
244
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
TERM открыт на слив 100;
TERM закрыт : о;
TERM открыт на наполнение . 100;
ACCU : МАХ;
МЕТНОО : COGS;
DEFAULT : О;
END DEFUZZIFY
RULE BLOCK HOMep l
AND : MIN;
RULE 1 : IF температура IS холодная AND давление IS низкое
THEN клапан IS открыт на слив
RULE 2 : IF температура IS холодная AND давление IS высокое
THEN клапан IS закрыт WITH 0.8;
RULE 3 : IF температура IS !'оря:чая AND давление IS низкое
THEN клапан IS закрыт;
RULE 4 : 1F температура IS l'орячая AND давление IS высокое
THEN клапан IS открыт на наполнение;
END RULEBLOCK
END FUNCTION BLOCK
Необязательные параметры
(Optional parameters)
При построении нечетких моделей может возникнуть необходимость определить
некоторую дополнительную информацию для той или иной системы, чтобы
иметь возможность наиболее адекватноrо преобразования приложений нечетко-
ro управления. Такая дополнительная информация может относиться к соответ-
ствующему элементу языка FCL и помещаться между ключевыми словами
OPTIONS и END OPTIONS следующим образом.
OPTIONS
параметры спецификации приложения
END OPTIONS
Соответствующие элементы языка FCL должны удовлетворять правилам соrла-
сованности классов OTKpbIToro уровня (правило 6).
Соrласованность классов языка FCL
Модели систем управления, записанные в нотации языка FCL, должны быть со-
rласованными по так называемым уровням СО2ласованностu классов. Эти уровни
соrласованности изображены на рис. 8.5 в форме так называемой дuа2рШо4.Мbl пa
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
245
кетов в нотации языка UML. Эта диаrрамма представляет данные уровни в Ka
честве основных подпакетов языка FCL, между которыми имеются зависимости,
изображенные пунктирными линиями со стрелками.
I
[
Рис. 8.5. Уровни соrласованности классов языка FCL
Примечание
В Стандарте IEC 11З1 7 уровни соrласованности классов изображены иным
способом, хотя по своей сути они отражают структуру языка FCL в форме
именно пакетов, как они определяются в нотации унифицированноro языка
моделирования UML. Желание более точно отобразить эту структуру и ceMaH
тику зависимостей между пакетами послужило основной причиной для пред
ставления иерархии уровней соrласованности в более адекватном виде в
форме диаrраммы пакетов.
Соrласно Стандарту IEC 1131 7, уровни соrласованности классов представляют
собой иерархию из трех уровней.
О Базовый Уровень, включающий в себя определения функциональноrо блока
и типы данных.
О Уровень Расширения, включающий в себя необязательные параметры.
О Открытый Уровень, включающий в себя дополнительные параметры.
Модель системы управления, записанная в нотации языка FCL, должна COOTBeT
ствовать настоящим требованиям Стандарта, которые представлены в форме
следующих Правил СО2Ласованностu:
1. Для реализации функциональности в модели нечеткоrо управления следует
использовать Функциональный Блок, как он определен в настоящем CTaH
дарте. Поэтому определения Функциональных Блоков и Типов Данных для
входных и выходных параметров функциональноrо блока должны соrласо
вываться с базовой нотацией языка FCL.
246
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
2. Все параметры функциональности модели нечеткоrо управления, определенные
в табл. 8.7, должны быть заданы в соответствии с базовой нотацией языка FCL.
Указанная таблица определяет множество элементов Базовоrо Уровня, кото-
рые должны содержать в общем случае все модели стандартных систем.
3. Подмножество элементов Уровня Расширения, определенных в табл. 8.8, co
ставляет дополнительные элементы, которые можно использовать в необяза-
тельном порядке. Модели систем в нотации языка FCL должны в точности
отвечать соответствующим требованиям Стандарта IEC 1 131 7. Все необяза
тельные параметры должны относиться к Уровню Расширения, а перечень
используемых необязательных параметров в форме табл. 8.8 должен стать ча-
стью документации на модель системы.
4. Друrие параметры, выходящие за пределы Базовоrо Уровня и Уровня Pac
ширения. допускается использовать в модели таким образом, чтобы эти па
раметры не имели таких же или аналоrичных параметров среди стандартных
элементов функциональности языка FCL. Тем самым должны быть исключе
ны любые возможные недоразумения. Эти дополнительные параметры долж-
ны относиться к Открытому Уровню, а перечень используемых дополнитель
ных параметров в форме табл. 8.9 должен стать частью документации на
модель системы.
5. Перенос прикладных nporpaMM между различными системами нечеткоrо
управления следует осуществлять в текстовой форме в соответствии с нотаци-
ей языка FCL, определенной в Стандарте IEC 1131 7. При этом все системы
нечеткой лоrики, претендующие на соответствие этому Стандарту, должны
обязательно использовать в качестве cBoero входноrо и выходноrо формата
нотацию Базовоrо Уровня языка FCL (см. табл. 8.7), включая определение
Функциональноrо Блока и Типов Данных из Стандарта IEC 1131 3, а также
Уровень Расширения с дополнительными средствами (см. табл. 8.8) и Откры-
тый Уровень с необязательными средствами (см. табл. 8.9).
Таблица 8.7. Элементы языка FCL Базовоrо Уровня (обязательные)
Элемент языка FCL
Ключевое слово
Примечание
Объявление функ
циональноrо блока
VAR INPUT,
VAR OUTPUT
Содержит входные и выходные пе
ременные
Функция принад
лежности
Входная
переменная: TERM
Максимум 3 точки (координата
степени принадлежности равна О
или 1)
Аrреrирование yc
ловий
Выходная
переменная: TERM
Оператор: AND
Только однозлементное множество
Алrоритм: MIN
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
247
Таблица 8.7 (окончание)
Примечание
Элемент языка FCL Ключевое слово
Активизация
Аккумуляция Оператор: ACCU
(результат аrреrиро
вания)
Дефаззификация МЕТНОD
Значение по умол
чанию
Условие IF.. . 18 . . .
Заключение THEN
Весовой коэффи WITH
циент
Не при меняется в случае ИСПОЛьзо
вания только одноэлементных MHO
жеств
Алrоритм : МАХ
Алrоритм: COG8
Чтобы использовать этот параметр,
в Базовом Классе должны быть
подrотовлены предварительные
определения
N подусловий
Только одно подзаключение
Только значение
Элементы, представленные в табл. 8.8, расширяют множество параметров, KOTO
рые являются необязательными для представления в стандартной модели нечет
Koro управлении (например, для лоrической операции "И" может быть исполь
зован алrоритм PROD или BDIF).
Таблица 8.8. ЭлементЬ/ язЬ/ка FCL Уровня Расширения (необязательные)
Элемент языка FCL Ключевое слово Примечание
Объявление функ VAR Содержит локальные переменные
циональноro блока
Функция принад Входная Максимум 4 точки (координата
лежности переменная :TERM степени принадлежности равна О
или 1) .
Выходная Максимум 4 точки (координата
переменная :TERM степени принадлежности равна О
или 1)
Аrреrирование Оператор: AND Алrоритм : PROD, BD1F
условий
Оператор: OR Алrоритм : ASUM, B8UM
Оператор: NOT 1 {aprYMeHT}
248
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Таблица 8.8 (окончание)
Элемент языка FCL Ключевое слово
Примечание
Активизация
Аккумуляция
Метод дефаззифи
кации
Значение по умол
чанию
Условие
Заключение
Весовой коэффи
циент
Скобки
Оператор: АСТ
Оператор: АССО
Оператор: METHOD
()
Алrоритм : MIN, PROD
Алrоритм: BSUM,NSUM
Алrоритм : COG, СОА, LM, RM
DEFAULT
NC, значеНие
IF
п подусловий, N входных перемен
ных
THEN
п подзаключений, N выходных пе
ременных
Значение назначается переменной
в секции объявления
VAR INPUT...END VAR
WITH
в табл. 8.9 представлен пример списка элементов языка FCL OTKpbIToro Уровня.
Этот список также должен быть частью документации на систему.
Таблица 8.9. Пример списка элементов языка FCL OTKpbfToro Уровня
Произвольные функции принадлежности для входов/выходов (например, функция
raycca, экспоненциальная функция)
Более чем 4 точки для функции принадлежности
Координата значения функции принадлежности от о До 1
Произвольные элементы, задаННые проrраммистом
Список проверки данных
Этот список проверки данных должен прилаrаться к технической документации.
В этом списке разработчик nporpaMMHbIx контроллеров, средств нечеткоrо про
rраммирования и прикладных nporpaMM должен описать специальные пара метры
реализации своей системы нечеткоrо управления. Чтобы обеспечить передачу при
ложений нечеткоrо управления между системами различных производителей, не-
обходимо представить следующий Список проверки данных (табл. 8.1 О), который
является средством установления правильности возможноrо переноса nporpaMM.
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
249
Технические данные
Таблица 8.10. Список проверки данных
Значения,установ-
ленные разработ-
чиком (примеры) .
Типы данных входов и выходов Функциональноrо блока
Строки комментариев в nporpaMMax на языке FCL
Длина идентификаторов (например, имена переменных,
блоков правил, термов)
Максимальное число входных переменных для фаззифи
кации
Максимальное число функций принадлежности термов для
входной переменной
Максимальное общее число функций принадлежности Tep
мов для всех входных переменных
Максимальное число точек функции принадлежности для
каждоrо из термов входных переменных
Максимальное общее число точек функции ПрИНадлежности
для всех термов входных переменных
Максимальное число выходных переменных для дефаззи
фикации
Максимальное число функций принадлежности термов для
выходной пере мен ной
Максимальное общее число функций принадлежности Tep
мов для всех выходных переменных
Максимальное число точек функции принадлежности для
каждоrо из термов выходных переменных
Максимальное общее число точек функции принадлежности
для всех термов выходных переменных
Максимальное число блоков правил
Максимальное число правил в блоке
Максимальное число подусловий в правиле
Максимальное число всех правил
Максимальное число подзаключений в правиле
r лубина вложенности скобок 11 ( ) "
REAL, INT
YES,NO
6,8
6,8
5,7
30,56
3,4,10
90,224
6,8
5,7
30,56
1,4,10
90,224
1, 10
10
4, 10
15
4
1,3
250
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
8.3. Пример разработки
и записи нечетких моделей на языке FCL
Нечеткая модель управления
смесителем воды при принятии душа
Соответствующий пример был рассмотрен ранее в 2лаве 7. Если в качестве алrо
ритма нечеткоrо вывода используется алrоритм Мамдани, то методом аJ<'rиви
зации будет MIN, который рассчитывается по формуле (7.6). Для аккумуляции
заключений правил будем использовать метод МАХ, который наиболее часто
применяется в случае схемы нечеткоrо вывода методом Мамдани. Наконец, в
качестве метода дефаззификации будем использовать метод центра тяжести, KO
торый задается с помощью ключевоrо слова COG.
Таким образом, нечеткая модель управления смесителем воды может быть запи-
сана в нотации языка FCL следующим образом:
FUNCTION BLOCK смеситель воды
VAR INPUT
температура: REAL;
END VAR
VAR OUTPUT
УI'ол: REAL;
END VAR
FUZZIFY температура
TERM холодная : (10, 1) (30, О);
TERM прохладная : (20, О) (35, 1) (50, О);
TERM теплая : (40, О) (50, 1) (60, О);
TERM не очеНЬ I'орячая : (50, О) (60, 1) (70, О);
TERM I'орячая
END FUZZIFY
DEFUZZIFY УI'ол
TERМ большой влево : ( 72, 1) ( 3б, О);
(БО, О) (70, 1);
TERM небольшой влево : ( 54, О) ( 27, 1) (О, О);
TERM нуль : ( 18, О) (О, 1) (18, О);
TERM небольшой вправо : (О, О) (27, 1) (54, О);
TERM большой вправо . (3б, О) (72, 1);
ACCU: МАХ;
(лава 8. Язык нечеткоro управления FCL
251
МЕТНОО : COG
DEFAULT :== О
END DEFUZZIFY
RULEBLOCK HOMep l
AND : MIN;
RULE 1: IF температура 18 орячая THEN у ол 18 большой вправо;
RULE 2: 1F температура 18 не очень орячая THEN у ол 18 неболь
шой вправо;
RULE 3: 1F температура 18 теплая THEN уrол 18 нуль;
RULE 4: 1F температура 18 прохладная THEN у ол 18 небольшой
влево"
RULE 5: 1F температура 18 холодная THEN уrол 18 большой влево;
END RULEBLOCK
END FUNCT10N BLOCK
Нечеткая модель управления кондиционером
воздуха в помещении
Соответствующий пример был рассмотрен ранее в 2лаве 7. Если в качестве алrо
ритма нечеткоrо вывода используется алrоритм Мамдани, то методом активи
зации будет M1N, который рассчитывается по формуле (7.6). Для аккумуляции
заключений правил будем использовать метод МАХ, который наиболее часто
применяется в случае схемы нечеткоrо вывода методом Мамдани. Наконец, в
качестве метода дефаззификации будем использовать метод центра площади,
который задается с помощью ключевоrо слова СОА.
Таким образом, нечеткая модель управления кондиционером может быть запи
сана в нотации языка FCL следующим образом:
FUNCT10N BLOCK кондиционер
VAR 1NPUT
температура: REAL;
скорость изм: REALi
END VAR
VAR OUTPUT
уrол: REAL;
END VAR
FUZZ1FY температура
TERМ NB
TERM NS
(5, 1) (10, О);
(5, О) (10, 1) (16, О);
252
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
TERM Z : '" ( 15, О) ( 1 7 . 5, 1 ) ( 2 О , О);
TERМ Р8 ( 19, О) (25 I 1) (3 О, О);
TERM РВ ( 2 5 , О) ( 3 О , 1);
END FUZZ1FY
FUZZ1FY скорость изм
TERМ N 8 : '" ( 1 , 1 ) ( О, О);
TERM Z : ( o. 5, О) (О, 1) (0.5, О);
TERM Р8 : ( О , О) ( 1, 1);
END FUZZ1FY
DEFUZZ1FY уrол
TERМ NB . ( 67.5, 1) ( 45, О) ;
TERМ NM ( 67.5, О) ( 45, 1 ) ( 22. 5, О) ;
TERM N8 ( 45, О) ( 22. 5, 1 ) (О, О) ;
TERМ Z ( 10, О) (О, 1) (10, О) ;
TERM Р8 (О, О) (22.5, 1) (45, О) ;
TERM РМ . (22.5, О) (45, 1) (67.5, О) ;
TERМ РВ (45, О) (67.5, 1) ;
ACCU: МАХ;
МЕТНОО : СОА
DEFAULT :'" О
END DEFUZZ1FY
RULEBLOCK HOMep l
AND : M1N;
RULE 1: 1F температура IS РВ AND скорость изм 18 PS
THEN уrол 18 NB;
RULE 2: 1F температура 18 РВ AND скорость изм IS NS
THEN уrол IS NS:
RULE з: IF температура IS Р8 AND скорость изм IS PS
THEN уrол 18 NM;
RULE 4 : 1F температура IS Р8 AND CKOpOCTЬ изм IS NS
THEN уrол 18 Z;
RULE 5: 1F температура IS NB AND CKOpOCTЬ изм IS NS
THEN уrол 18 РВ;
RULE 6: 1F температура IS NB AND CKOpOCTЬ ИЗМ IS PS
THEN уrол IS PS;
RULE 7 : IF температура IS NS AND СКОРОСТЬ ИЗМ IS NS
Тлаsа 8. Язык нечеrкоrо управления FCL 253
THEN уrол 18 РМ;
RULE 8 : 1F температура IS NS AND скорость изм 18 Р8
THEN уrол IS Zi
RULE 9: 1F температура 1S РВ AND скорость изм 18 Z
THEN уrол IS NMi
RULE 10: 1F температура IS PS AND скорость изм 1S Z
THEN уrол 1S N8i
RULE 11: 1F температура IS NB AND скорость изм IS Z
THEN уrол 1S РМ;
RULE 12: 1F температура 18 N8 AND скорость изм 1S Z
THEN уrол IS PSi
RULE 13: 1F температура IS Z AND скорость изм 1S PS
THEN уrол 18 N8i
RULE 14: 1F температура IS Z AND скорость изм IS NS
THEN уrол 18 PSi
RULE 15: 1F температура IS Z AND скорость изм IS Z
THEN уrол 1S Zi
END RULEBLOCK
END FUNCT10N BLOCK
Нечеткая модель управления
контейнерным краном
Соответствующий пример был рассмотрен ранее в 2лаве 7. Если в качестве ал
rоритма нечеткоrо вывода используется алrоритм Мамдани, то методом активи
зации будет M1N, который рассчитывается по формуле (7.6). Для аккумуляции
заключений правил будем использовать метод МАХ, который наиболее часто
применяется в случае схемы нечеткоrо вывода методом Мамдани. Наконец,
в качестве метода дефаззификации будем использовать метод центра тяжести
для одноэлементных множеств, который задается с помощью ключевоrо слова
COGS.
Таким образом, нечеткая модель управления контейнерным краном может быть
записана в нотации языка FCL следующим образом:
FUNCT10N BLOCK контейнерныli кран
VAR 1NPUT
расстояние: REALi
уrол: REALi
254
Часть 1. ОСНОВЫ теории нечетких множеств инечеткой лоrики
END VAR
VAR OUTPUT
МОЩНОСТЬ: REAL;
END VAR
FUZZ1FY расстояние
TERМ очень далекое : ( 5, 1) (О, О);
TERМ нуль ( 5, О) (О, 1) (5, О) ;
TERM близкое . ( О, О) (5, 1) (10, О) ;
TERМ среднее (5, О) (10, 1) (22, О) ;
TERМ далекое . (10, О) (22, 1) ;
END FUZZ1FY
FUZZ1FY уrол
TERМ отр большой : ( 50, 1) ( 5, О);
TERM отр малый :== ( 50, О) ( 5, 1) (О, О);
TERM нуль : ( 5, О) ( О, 1 ) ( 5 , О);
TERM пол малый :== (О, О) (5, 1) (50, О);
TERM пол большой . (5, О) (50, 1);
END FUZZ1FY
DEFUZZ1FY мощность
TERM OTp высокая . 27;
TERM отр средняя 12;
TERM нуль О;
TERM пол средняя . 12;
TERM пол высокая . 27;
ACCU: МАХ;
МЕТНОD : COG8
DEFAULT О
END DEFUZZ1FY
RULEBLOCK HOMep 1
AND : M1N;
RULE 1: 1F расстояние 18 далекое AND уrол 18 НОЛЬ
THEN мощность 18 пол средняя;
RULE 2: 1F расстояние 18 далекое AND уrол 18 отр малый
THEN мощность 18 пол большая;
RULE з: 1F расстояние IS далекое AND уrол IS отр большой
THEN мощность 18 пол средняя;
rлава 8. Язык нечеткоrо управления FCL
255
RULE 4: 1F расстояние 18 среднее AND уrол 18 отр малый
THEN мощность 18 отр средняя;
RULE 5: 1F расстояние 18 близкое AND уrол 18 пол малый
THEN мощность 18 пол средняя;
RULE б: 1F расстояние 18 ноль AND уrол 18 ноль
THEN мощность 18 ноль;
END RULEBLOCK
END FUNCT10N BLOCK
Поскольку этот функциональный блок записан в нотации языка FCL, который
является языком проrраммирования BbICOKOrO уровня, то рассмотренная про
rpaMMa по своей структуре полностью соответствует некоторой процедуре.
Формальными параметрами такой процедуры являются входные переменные
блока правил, а возвращаемыми значениями значения выходных переменных
после дефаззификации.
Вызов такой процедуры в некоторой внешней проrрамме может быть реализо
ван, например, следующим образом:
контейнерный кран (расстояние : 12, уrол : 15°);
varP := контейнерный кран.мощность;
в этом случае переменной с именем varP присваивается значение нечеткоrо BЫ
вода для блока правил, определенноrо в Функциональном Блоке контейнер
ный кран, при конкретных значениях входных переменных: 12 м для расстояния
и 150 для уrла.
Особенности реализации систем нечеткоrо вывода и выполнение соответствую
щих расчетов для конкретных значений входных переменных и параметров
функциональных блоков в инструментальных средах МА TLAB и fllzzyTECH
будут рассмотрены далее в частях Il и III книrи.
rлава 9
1 .... .:.. 5Ч' ," ....=.:::::<
r ...... r .. :
, :. , ,'
.. ,
ОСНОВЫ общей теории
нечеткой меры
в начале книrи рассматривалось несколько содержательных примеров, которые
иллюстрировали особенности нечеткоrо представления знаний и различия в не-
четком и вероятностном описании различных явлений и объектов. В настоящей
rлаве излаrаются основы теории нечеткой меры, которая позволяет с единых
концептуальных позиций рассматривать широкий класс задач нечеткоrо Moдe
лирования, устанавливая при этом взаимосвязь между теорией нечетких MHO
жеств, теорией вероятностей и теорией свидетельств.
Необходимость введения в рассмотрение и изучение различных вариантов не-
четких мер обуславливается наличием раЗЛИLJНЫХ аспектов неопределенности,
которые встречаются при решении задач нечеткоrо моделирования. В этом слу
чае построение адекватных нечетких моделей оказывается возможным на основе
анализа доступной информации с точки зрения общей концепции нечеткой меры
и представления ее в виде, в наибольшей степени соответствующем получению
достоверноrо решения задачи.
9.1. Нечеткие меры
и их основные свойства
Нечеткие меры предназначены для представления неточной или неясной инфор
мации относительно принадлежности тех или иных элементов одному или He
скольким обычным множествам. Чтобы пояснить эту идею, рассмотрим сле-
дующий простой пример.
При м ер 9.1. Предположим, имеется два утверждения в форме обычных выска-
зываний: "Двuжущuйся по автостраде автО.моБLШЬ беЛ020 LLЛLl cepo< o цвета" и
"Двuжущuйся по автоспlраде авто.моБLLЛЬ беЛ020 Шlll серебрист020 цвета", при
надлежащие двум различным наблюдателям. Вопрос заключается в том, чтобы
по возможности TOtlНO определить цвет движущеrося по автостраде автомобиля.
Если предположить, что оба эти высказывания истинны, то достаточно преобра-
зовать эти высказывания, представив их в форме HeKoToporo предиката Р(х),
который бы описывал каждое из них. В этом случае обозначим множество aBTO
rлава 9. ОСНОВЫ общей теории нечеткой мерЫ
257
мобилей белоrо цвета через АI, множество автомобилей ceporo цвета через А2, а
множество автомобилей серебристоrо цвета через Аз. Пусть предикат Р(х) опи
сывает цвет автомобиля таким образом, что он принимает значение "истина" в
случае, коrда автомобиль Х принадлежит одному из введенных в рассмотрение
множеств. А именно, если цвет автомобиля белый, то Р(х) принимает значение
"истина" только при XEAI, если цвет автомобиля серый, то Р(х) принимает зна
чение "истина" только при ХЕА2 и, наконец, если цвет автомобиля серебристый,
то Р(х) принимает значение "истина" только при ХЕАз.
Тоrда истинность первоrо высказывания будет соответствовать истинности дaH
Horo предиката Р(х) при ХЕА luA2, истинность BToporo из высказываний будет
соответствовать истинности данноrо предиката Р(х) при ХЕА luАз. Что касается
поставленноrо вопроса, то истинность соответствующеrо высказывания опреде
ляется множеством: (АluА2)п(АluАз), которое равно А. в случае, коrда три
множества AI, А2, Аз взаимно не пересекаются. Таким образом, ответом на по
ставленный вопрос будет утверждение о том, что "Дви:нсущuйся по автостраде
автомобиль беЛО20 цвета".
Ситуация существенно усложняется в ситуации, коrда исходные высказывания
сформулированы в форме нечетких высказываний. Именно в этом случае наибо
лее адекватный ответ позволяет дать теория нечеткой меры. Рассмотрение основ
этой теории начнем с формальноrо определения аксиоматики нечеткой меры,
которая впоследствии конкретизируется с целью систематизации отдельных мер
возможности и необходимости, доверия и правдоподобия, а также классической
вероятности.
Общее определение нечеткой меры
Формальное определение нечеткой меры основывается на рассмотрении HeKoToporo
произвольноrо универсума Х и множества всех ero подмножеств (булеана) IВ(X).
Н е ч е т к а я м ера. Нечеткой мероЙ или квази./иерой называется произвольное
отображение G: IВ(X) -----)-[0, 1], удовлетворяющее следующим условиям (aKcиOJua.M
нечеткой "иеры) :
G(0)=0,
если А, BEIВ(X) и АсВ, то
G(X)=I,
(О2раничеllность)
(9.1)
G(A):S G(B), (монотонность) (9.2)
если F;EIВ(X) и {F;} ;e является монотонной относительно включения последова
тельностью множеств, то
lim G( Fj ) = G(lim F;)
i oo j oo
(непрерывность)
(9.3)
Примечание
Формальное определение нечеткой меры в форме аксиом (9.1) (9.З) не YДOB
летворяет строrим критериям конструктивности, приняты м в некоторых школах
258
Часть 1. Основы теории нечетких множеств и нечеткой лоrики
математики. С этой целью вместо булеана IВ(X) необходимо использовать бо
лее "хорошую" конструкцию так называемую (1 алаебру или Борелевское пo
ле подмножеств Х. ХОТЯ 6улеан является более общим понятием, чем (1-
алrебра подмножеств, ero использование для оrраниченных или компактных
УНИВерсумов не приводит к концептуальным противоречиям.
По аналоrии с вероятностным пространством общее определение нечеткой меры
позволяет определить математическую структуру, соответствующую простран
ству с нечеткой мерой.
ПространствОАf снечеткой .мерой называется математическая структура вида
(Х, З, G), rде Х базовое множество (универсум); 3 cr алrебра на Х; G не-
которая нечеткая мера, т. е. функция множества, удовлетворяющая аксиомам
(9.1) (9.3).
С учетом сделанноrо выше примечания и с целью систематизации последующеrо
изложения будем испОльзовать конкретизацию булеана в форме cr-алrебры 3 на
Х. Эти обозначения будут при меняться и далее.
Математическая структура пространства с нечеткой мерой (Х, З, G) является
слишком абстрактной для cBoero использования и допускает различные KOHKpe
тизации на основе введения дополнительных аксиом, усиливающих отдельные
свойства функции G. Получаемые в результате математические структуры явля
ются порожденными от математической структуры пространства с нечеткой Me
рой и наследуют все характерные свойства последней.
Меры доверия и правдоподобия
Конкретизацией общеrо понятия нечеткой меры являются мера доверия (от анrл.
ЬеliеЛ и мера правдоподобия (от анrл.рlаиsiыlitу).
М е р а Д о в е р и я. Мерой доверия называется такая нечеткая мера G., дЛЯ KO
торой вместо аксиомы (9.3) используется более сильная аксиома:
если А 1, А2,..., А"Е3, то
п
G*(A 1 uA 2 u...uAn) LG*(A;) LG*(A; nА})+...
;=1 ;<}
(9.4)
...+( l)n+lG*(Al пА] n...nА п ).
Меру доверия иноrда называют также НИ;JICllей вероятностью и обозначают че-
рез Ь(А) или bel(A).
Пространством с мерой доверия называется математическая структура (Х, З, (;.),
функция нечеткой меры G. KOToporo удовлетворяет аксиомам (9.1), (9.2) и (9.4).
В случае 2 x множеств (п=2) формула (9.4) превращается в формулу:
с.(А luA2) с.(А 1) + G.(A2) G.(A InA2).
(лава 9. ОСНОВЫ общей теории нечеткой меры
259
М е рап р а в Д о п о Д о б и я. Мерой правдоподобuя называется такая нечеткая
мера G*, дЛЯ которой вместо аксиомы (9.3) используется более сильная аксиома:
если AI, А2,..., A"E , то
* п * *
G (А] пА2 п...пAп) LG (A;) LG (А; uA j )+...
;=l ;<j
(9.5)
( I) п+l '"
...+ G (A l uA 2 u...uA п ).
Меру правдоподобия иноrда называют также верхней вероятностью и обозна
чают через р/(А).
Пространсmвом с мерой правдоподобuя называется математическая структура
(X, , G*), функция нечеткой меры G* которой удовлетворяет условиям (9.1), (9.2)
и (9.5).
В случае 2 x множеств (п=2) формула (9.5) превращается в формулу:
G*(AlпA2) G*(AI) + G*(A2) G*(AluA2).
Эти две меры удовлетворяют свойству обратноrо дополнения: G*(A)= 1 G*( А ) и
G*(A)= 1 G*( А ).
Аксиоматика пространств с мерой доверия и мерой правдоподобия остается все
еще слишком бедной для их практическоrо использования в задачах нечеткоrо
моделирования. Наибольшее применение при построении нечетких моделей Ha
ходят меры возможности, необходимости и вероятности, определения которых
приводятся далее в этой rлаве.
Меры возможности,
необходимости и вероятности
М е р а в о з м о ж н о с т и. Мерой возможности называется такая нечеткая Me
ра GO, дЛЯ которой вместо аксиомы (9.3) используется более сильная аксиома:
если А 1, А2,..., A;,...E , то GO(A IUA2U...uA;...) = sup G°{/J.;) (9.6)
;EN
Просmранством с мерой возможности называется математическая структура (Х,
, GO), функция нечеткой меры GO которой удовлетворяет условиям (9.1), (9.2)
и (9.6).
Мера возможности в некотором контексте отражает физические или иные orpa
ничения на значения, которые может принимать та или иная переменная. Так,
например, если рассмотреть число пассажиров, которые MorYT поместиться в
обычном леrковом автомобиле, то с каждым натуральным числом пE можно
связать число из интервала [О, 1], которое содержательно будет соответствовать
возможности размещения п пассажиров (не считая водителя) в салоне обычноrо
леrковоrо автомобиля.
260
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Если обозначить эту функцию через g(x), то очевидно, g(l) = 1, g(2) = 1, g(3) = 1,
g(4) = 1, g(5) = 0.9 (бывает ведь и так), g(6) = 0.5 (вспомним свою юность),
g(7) = 0.2 (случалось один раз в салоне rАЗ 21), g(8) = g(9) =...= О. (Впрочем, KTO
нибудь из читателей может не соrласиться и будет по своему прав, поскольку
оценка возможности процедура субъективная).
Это распределение возможности может быть использовано для некоторых коли
чественных оценок. Например, если имеется свидетельство, что в проехавшем
леrковом автомобиле находилось несколько пассажиров, то тем самым нечеткое
множество, описывающее свойство "несколько", сопоставляется с paCCMOTpeH
ным распределением возможностей. Это сопоставление может быть выполнено с
помощью так называемоrо нечеткоrо интеrрала, определение KOToporo приво-
дится далее в разд. 9.2.
Для меры возможности справедливо следующее свойство: GO(A)+GO( А ) I.
М е р а н е о б х о д и м о с т и. МероЙ необходимости называется такая нечеткая
мера Go, для которой вместо аксиомы (9.3) используется более сильная аксиома:
если А 1, А2,..., А;,...ЕЗ, то Go(A InА2i1..лА;...) = inf Go(A;). (9.7)
ieN
Меру необходимости иноrда называют соrласованной мерой доверия.
Для меры необходимости справедливы следующие свойства: Go(A)+Go( А )sl, а
также: GO(A)=I Go (А) и Go (A)=I GO (А ). Если Go(A»O, то GO(A)= 1. Напротив,
если GO(A)< 1, то Go(A)=O.
Пространством с .мерой необходU!"lOсти называется математическая структура
(Х, З, Go), функция нечеткой меры Go KOToporo удовлетворяет условиям (9.1),
(9.2) и (9.7).
В е р о я т н о с т н а я м ера. ВероятностноЙ .мерой называется такая нечеткая
мера Р, для которой вместо аксиомы (9.3) используется более сильная аксиома:
если А 1, А2,..., А;,...ЕЗ и A;nA j =0 (i>t!:j), то Р(А IUA2U...uA;...) = L Р(А;). (9.8)
ieN
Пространством с вероятност1l0Й мероЙ или веРОЯl1l1l0стньш 11ространством на-
зывается математическая структура (Х, З, Р), функция нечеткой меры Р KOToporo
удовлетворяет условиям (9.1), (9.2) и (9.8).
Вероятностное пространство обладает наиболее сильной аксиоматикой, обу
словленной необходимостью выполнения условия счетной аддитивности (9.8).
С одной стороны это способствовало становлению и развитию самостоятельной
математической дисциплины теории вероятностей с весьма обширной обла
стью приложений и rлубиной полученных теоретических результатов. Познако
миться с предметом этой дисциплины и методами соответствующих исследова
ний можно, обратившись к специальной литературе.
В контексте нечеткоrо моделирования следует помнить, что аксиома счетной
аддитивности требует, чтобы исследуемый объект или процесс удовлетворял це-
лому ряду требований, в частности, некоторому закону распределения вероятно
стей. В отдельных случаях, особенно при отсутствии прецедентов или друrой
rлаВа 9. Основы общей теории нечеткой меры
261
достоверной информации о свойствах исследуемых объектов или систем, подоб
ные предположения MorYT привести к построению неадекватных математических
моделей.
Именно по этой причине необходимо с большой осторожностью подходить к
высказываниям типа: "Предположим, что случайная величина подчиняется paB
номерному закону распределения". Подобные утверждения, особенно при недос-
татке информации относительно полноrо пространства событий, MoryT оказаться
причиной получения необоснованных результатов с использованием вероятно
стных моделей.
С точки зрения прикладноrо системноrо анализа в подобных ситуациях при не-
достатке статистической информации или при отсутствии предпосылок выпл
нения аксиом вероятностноrо пространства, целесообразно использовать более
слабую аксиоматику пространств с мерой возможности и необходимости. По-
строенные на их основе нечеткие модели MorYT оказаться более конструктивны-
ми для решения широкоrо класса практических задач.
л-нечеткие меры
в завершение рассмотрения нечетких мер приводится их параметрическое пред
ставление, которое оказывается очень удобным в случае построения и использо-
вания так называемых адаптивных нечетких моделей, в которых некоторые
модели обладают возможностью итеративноrо уточнения либо в ходе предвари
тельноrо обучения или итеративной настройки. Примером подобных моделей
являются нечеткие нейронные сети, которые рассматриваются далее в 2лаве 15.
Здесь приводится лишь формальное определение л-нечеткой меры, которое He
обходимо для общей систематизации пространств с нечеткой мерой.
л-н е ч е т к а я м ера. л нечеткоЙ мероЙ называется такая нечеткая мера Р, дЛЯ
которой вместо аксиомы (9.3) используется более сильная аксиома:
если А, Ве':3 и АпВ=0, то Gл(АuВ)=Gл(А)+Gл(В)+л.Gл(А).Gл(В), (9.9)
rде число ЛЕ( l ,+(0) называется пapaмempO/vt нормировки.
Пространство.м с л нечеткой мерой называется математическая структура
(Х, ':3, G л ), функция нечеткой меры G-л KOToporo удовлетворяет условиям (9.1),
(9.2) и (9.9).
Пространство с л-нечеткой мерой (Х, ':3, G-л) в свою очередь допускает несколько
конкретизаций в зависимости от значения параметра л. Наиболее важными с
точки зрения классификации пространств с нечеткой мерой являются случаи
ЛЕ( 1, О), л= 1 и ЛЕ(О, +(0), для которых получаются конкретизации введенных в
рассмотрение пространств с нечеткой мерой.
Пространством с л-нечеткой мерой доверия называется математическая CТPYKTY
ра (Х, ':3, G*л), функция нечеткой меры о.л KOToporo удовлетворяет условиям
(9.1), (9.2) и дополнительному условию (9.9) при ЛЕ(О,+оо).
262
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Пространством с л нечеткоЙ мерой правдО1l0добия называется математическая
структура (Х, 3, G\), функция нечеткой меры G. л KOToporo удовлетворяет усло
виям (9.1), (9.2) и дополнительному условию (9.9) при ЛЕ( I, О).
Следует заметить, что вероятностное пространство (Х, 3, Р) является также про
странством с л нечеткой мерой при л=О.
Классификация пространств
с нечеткими мерами
Рассмотренные выше пространства с различными вариантами нечетких мер
представляют собой математические структуры, каждую из которых можно счи
тать некоторым абстрактным классом. Важной особенностью подобной точки
зрения является определенная взаимосвязь классов пространств с неопределен
ностью, основанная на их конкретизации посредством усиления соответствую
щих аксиом.
Пространство с
Л н('.,еIllКОi'i !,/epoi;
:'..
Пространство с
!ЛероЙ необходll.«остu
ПростР(lнство с
мероЙ ВО3МО.JfC1ЮС111l1
Пространство с
Л lIе'lеIllКОЙ
.«ероЙ доверия
Пространство с
л не"f!ткоii
_ 4epoЙ lIравдОllодобltJl
Пространство с
вероятностноЙ мероЙ
Рис. 9.1. Диаrрамма классов математических структур пространств
с нечеткой мерой в нотации языка UML
rлава 9. ОСНОВЫ общей ТеориИ нечеткой меры
263
Таким образом, может быть получена классификация различных классов про
странств с нечеткой мерой, которая представлена на рис. 9.1 в форме дuazром.мы
классов языка UML. На этой диаrрамме базовая математическая структура про
странства с нечеткой мерой может использоваться в качестве своеобразноrо шаб
лона, пара метрами KOToporo являются аксиомы рассмотренных нечетких мер. При
этом отношение обобщения соответствует усилению отдельных аксиом.
Если между двумя математическими структурами пространств с нечеткой мерой
имеется отношение обобщения, то математическая структура нижнеrо уровня
является конкретизацией соответствующей математической структуры BepxHero
уровня. При этом все математические структуры нижних уровней наследуют aK
сиоматику соответствующих математических структур верхних уровней.
Так, например, математическая структура пространства с мерой необходимости
является конкретизацией или частным случаем математической структуры про-
странства с мерой доверия. Математическая структура вероятностноrо про
странства является конкретизаuией как математической структуры пространства
с мерой доверия, TaR и математической структуры пространства с мерой правдо
подобия, тем самым реализуется так называемое множественное наследование.
Указанные взаимосвязи имеют существенное значение при рассмотрении MaTe
матических структур пространств с нечеткой мерой.
Теория нечеткой меры находит также применение при определении нечеткоrо инте
rpала, который успешно используется для решения задач нечеткоrо моделирования.
9.2. Нечеткий интеrрал
и при меры ero вычисления
Пусть (Х, 3, g) некоторое пространство с нечеткой мерой, для KOToporo Х
базовое множество (универсум) 3 (j алrебра на Х; g некоторая нечеткая
мера, т. е. функция множества, удовлетворяющая аксиомам (9.l) (9.3). PaCCMOT
рим некоторую измеримую на 3 функцию 11: X [O, 1].
Н е ч е т к и й и н т е r р ал. Нечеткu/и uнтеzралом от функции li на .множестве
А Е3 по нечеткой Мере g называется выражение следующеrо вида:
fh(x)}.g == sup {miп{а,g(АпН а }},
А a.e[O,l]
rде На= {х I h(x) a.}. Нечеткий интеrрал также называют нечетким ожиданием
(FEV, Fиzzу Expected Vаlие). Наибольший интерес при решении практических
задач нечеткоrо моделирования при обретает обобщение этоrо понятия на слу
чай, коrда вместо множества А используется нечеткое множество .9'1.
Нечетким интеzралом от функции h на нечетком J'Иножестве .9'1= {<х, "'.:?I(x»} ,
заданноzо на универсуме Х, по нечеткой мере g называется выражение следующеrо
вида:
(9.1 О)
frnin{J.lA(X), h(x)}. g,
х
(9. 11 )
264
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
[де интеrpирование осуществляется по всем значениям универсума Х, а знак H
четкоrо интеrpала здесь обозначен в форме обычноrо интеrрала.
При м е р 9.2. В качестве примера рассмотрим использование нечеткоrо инте
rрала для оценки модели проезжающих по автостраде автомобилей.
С этой целью определим некоторую функцию нечеткой меры g(x), которая co
держательно описывает распределения возможности достижения предельной
скорости на автостраде некоторой моделью автомобиля, для определенности,
предположим ВАЗ 2110. При этом в качестве универсума Х будем рассматривать
диапазон скоростей в интервале [30 км/ч, 180 км/ч]. Функция нечеткой меры g(x)
задается исходя из физической возможности данной модели автомобиля развить
максимальную скорость движения по автостраде. rрафик этой функции изобра-
жен на рис. 9.2, а.
Если в качестве автомаrистрали рассматривается автобан, то каждый из авто-
мобилей стремится двиrаться по ней с высокой скоростью. Поэтому в качестве
функции h(x) возьмем некоторую функцию, описывающую высокую скорость
движения автомобилей по автомаrистрали. Эта функция может быть определена
на основе анализа скоростей проезжающих автомобилей. rрафик этой функции
изображен на рис. 9.2, б.
о 8 - - -- -[-- - - - - -1- - - - - - -- - _[о -- --- -1-- --. - - --- -- - -t------1- - --' - t-------t - - - -- --t-- - - - -1 -- -.- - -. -- - j- -- - --
06 ---- - --( - - - - -i-- -- ---t- -- ..-- --- - - -- i- ----- -! -- - --- -] ----- - i- - --- - i - - - - .-! -- - -j-- -. - - i-- - -'-1-- --t- -_.-
о 4 - - - : - :--- - - ... : _....... - -: -- :----- -t--- - --:--- - .: _... -: --. t -- -- --:-- .- -:-..._- -- - - -- -- --:'" --...-.
I I . l' I I I . I
I I l' I I I I I I
02 -- -- - -:- - -- - - -. - - --- -- - .:----- -- - -- -..;.- ----- - -. - - _. - --- -; -. - -- ;--- --- - -- - - - - --- - - ; -- ____о: - - ---
I I I I ,
I '1. I
О .. . .- __i .....l..._. . .. ..j..... ........1.. .. _ -О' .1 ........ ... .1.. _._ . i.. .. . . i _ ..1. .
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
а
I . I . . I . . I I
. . I , I I I I I I
08 - -- -- - +- - -- -+ - -- - -+- - - - +--- -. +- - ш_ __ - - - -- -- - - - -- - -- - - i- -.-- -- -- - -- --' - --1- -- - -- - j -.. -- -! - _ Ш
: : : : :1:: ::::I::::: :i::::: :1::: ::I :. :J;: : ::I::;: [;: : 1: : I: :I:::::[ : :: j ::j: :I: ]
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
6
Рис. 9.2. rрафики ФУНКЦИИ распределения возможностей (а)
и фУНКЦИИ высокой скорости движения автомобилей (6)
rлава 9. Основы общей теории нечеткой меры
265
Далее предположим, что мимо пункта наблюдения проехало два автомобиля,
один со скоростью около 90 км/ч, а друrой со скоростью около 120 км/ч. При
этом скорость движения определяется визуально наблюдателем без технических
приборов. Этим значениям скоростей соответствуют два нечетких множества .9t
и !/З, функции принадлежности которых изображены на рис. 9.3, а. Требуется вы-
полнить оценку скорости и определить возможность проезда мимо пункта KOH
троля автомобиля марки ВАЗ 2110.
Для решения этой задачи используем определенное ранее понятие нечеткоrо ин
теrрала. Для этоrо необходимо найти два ero значения: одно для функции h(x)
на нечетком множестве.9t по нечеткой мере g(x), а второе для функции h(x) на
нечетком множестве !в по нечеткой мере g(x). Выполнив соответствующие расче-
ты, получим следующие значения: для первоrо автомобиля 0.27, для BToporo
автомобиля 0.55 (значения приближенные). Процесс решения задачи ИЛлюст
рируется rpафиками на рис. 9.3, б.
о
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140 150 160 170 180
а
- - - - н : - - - :- -- -1
. I I I
I I I ,
04
02
о
за
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140 150 160 170 180
б
Рис. 9.3. rрафики функций принадлежности нечетких множеств .'ll и 'в (а)
и результатов вычисления нечеткоrо интеrрала (6)
Таким образом, возможность Toro, что первым проехал мимо пункта наблюде
ния автомобиль модели ВАЗ 2110 равна 0.27, а возможность Toro, что aBTOMO
биль модели ВАЗ 211 О был вторым равна 0.55. Если же есть дополнительная ин
266
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
формация о том, что один из двух автомобилей есть модель ВАЗ 2110, то резуль
тат решения задачи явно свидетельствует в пользу BToporo автомобиля.
Данная нечеткая модель может быть модифицирована на основе установления
более точноrо вида функции оценки скорости движения по автомаrистрали
только для моделей интересуемоrо нас класса. В этом случае результат решения
задачи будет соответствовать более высоким значениям величин возможности
при установлении модели автомобиля.
Примечание
В качестве упражнения предлаrается построить аналоrичную нечеткую модель
для друrой марки автомобиля, например, Ford Escort 4W. а результаты cpaB
нить. Впрочем, большинство из читателей Moryr это сделать и без построения
нечеткой модели.
в настоящее время теория нечетких мер находит применение для мноrокритери
альной оценки альтернатив в нечетких моделях принятия решений. Хотя Teope
тические исследования в этой области показали высокую адекватность нечетких
моделей при решении отдельных задач, реализация соответствующих алrорит
мов в коммерческих проrpаммных средствах и инструментариях пока еще OCTaB
ляет надежды на будущее.
rлава 1 О
, 4 :
...,.....
.
Нечеткие сети Петри
Сети Петри (СП) и их мноrочисленные модификации являются одним из классов
моделей, неоспоримым достоинством которых является возможность aдeKBaTHO
ro представления не только структуры сложных орrанизационно технолоrи
ческих систем и комплексов, но также и лоrико временных особенностей процес
сов их функционирования. Сети Петри представляют собой математическую
модель для представления структуры и анализа динамики функционирования
систем в терминах "условие событие". Эта модель может быть успешно исполь
зована для описания так называемых динамических дискретных систем раЗJIII"I
ных классов, таких как: вычислительные процессы и проrраммы, технолоrиче
ские процессы, информационные, экономические, биолоrические, социальные и
технические системы.
Модели сетей Петри позволяют исследовать работоспособность моделируемых
систем, оптимальность их структуры, эффективность процесса их функциониро
вания, а также возможность достижения в процессе функционирования опреде
ленных состояний. Сети Петри и их обобщения являются удобным и мощным
средством моделирования асинхронных, параллельных распределенных и Heдe
терминированных процессов, позволяют наrлядно представить динамику функ
ционирования систем и составляющих их элементов. Свойство иерархическоrо
вложения сетей Петри позволяет рассматривать модели различной степени дета-
лизации, обеспечивая тем самым необходимую декомпозицию сложных систем и
процессов.
К настоящему времени известно большое количество разновидностей и обобще
ний классическоrо формализма сетей Петри, к которым, в первую очередь, сле
дует отнести временные СП, СП с разноцветными маркерами и дуrами, алrеб
раические СП, Е сети. Данные классы моделей позволяют представить структуру
и динамику функционирования моделируемых систем в условиях отсутствия
влияния тех или иных факторов неопределенности. Указанное предположение о
детерминированном характере структурных взаимосвязей и динамики функцио
нирования СП существенно оrраничивает возможности практическоrо исполь
зования моделей данных классов и не отражает адекватным образом отдельные
аспекты знаний о предметной области.
Включение описания неопределенности в различные детерминированные разно
видности и обобщения СП может быть осуществлено, вообще rоворя, различ
ным образом по каждому из основных компонентов исходноrо формализма co
268
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
ответствующеrо класса СП. Поскольку при этом можно рассматривать различ-
ные формы неопределенности (стохастическая, нечеткая, комбинированная), то,
следуя по этому пути, можно получить чрезвычайно большое количество вари-
антов формализма соответствующих классов СП с неопределенностью. В Ha
стоящей rлаве рассмотрены только основные из известных подклассов нечетких
СП, которые имеют непосредственное отношение к тематике нечеткоrо модели-
рования и находят наибольшее применение при решении прикладных задач.
10.1. Базовый формализм
классических сетей Петри
Сети Петри получили свое название в честь немецкоrо математика Карпа
А. Петри (с. А. Petl'i), который в 1962 [. опубликовал свою работу с описанием
HOBoro класса сетей, использованных им в своей диссертации. В середине 1980 x rr.
произошел буквально всплеск активности в области разработки новых классов
сетей Петри и формальноrо анализа их свойств, следствием чеrо стали ежеrОk
ные международные конференции и семинары, посвященные данной тематике.
Хотя сетям Петри и их мноrочисленным разновидностям присущ серьезный не-
достаток, связанный с отсутствием эффективных алrоритмов решения так назы-
ваемой проблемы достижимости, этот формализм представляет и сеЙчас важное
направление прикладных исследований в области системноrо моделирования.
Формально СП представляет собой rраф специальноrо вида (сд приЛО;J/Cенuе 1)
с дополнительными правилам и, которые определяют динамику процесса функ
ционирования СП. Ниже приводится определение сетей Петри, представляющее
собой базовый формализм СП, на основе KOToporo строятся различные обобще-
ния и расширения СП. При этом следует помнить, что тот или иной класс СП
определяется не только своим формальным или rpафическим представлением, но
также и правилам и функционирования СП.
О б о б щ е н н а я м а р к и р о в а н н а я С П. Обобщенная ,/иаРКltроваНllая сеть
Петри (или кратко сеть Петри) это пятерка С = (Р, T,I, 0,1110), rде:
О P={PI,p2,...,Pn} конечное множество Ilо:тций СП;
О T={(I, (2,..., (1I} конечное множество Ilереходов СП;
О 1 входная функция переходов, которая определяется как отображение /:
Рх Т ---7/'%;
О О выходная функция 1lереходов. которая определяется как отображение
о: ТХР---7/%;
О mo=(mIO, /112°,..., l11 п О) вектор /ЮЧШ1ЫЮЙ .J\.taркuр()(щи СП, при этом тpE ()
(\1' i Е { 1, 2,..., 1I}) И тр KO.MI10He/l11l вектора начальной м аркировки СП, соот-
ветствующий позиции РпЕР.
Здесь и далее через } будет обозначаться множество натуральных чисел и ноль,
т. е. }={O, 1,2, 3,...}.
rлава 10. Нечеткие сети Петри
269"
в определении сети Петри часто выделяют первые четыре компонента, которые
задают структуру СП: N=(P, T,l, О). В этом случае СП может быть записана в
эквивал ентной форме: С = (N, то).
Примечание
Эквивалентное определение обобщенной маркированной сети Петри С = (Р, Т,
1, О, то), а, точнее, структуры СП может Быьb дано с использованием понятия
мультимножества или комплекта, являющеrося, в свою очередь, обобщением
понятия множества (см. прuложенuе 1). В этом случае входная и выходная
функции переходов СП определяются как 1: P /В*(Т) и о: Т /В*(P} COOTBeTCT
венно. Здесь через /В*(Т) и /В*(Р} обозначены множества всех комплектов, по
строенных на универсумах, в качестве которых используются множества пере
ходов Т и позиций Р соответственно.
Более простым случаем обобщенной маркированной сети Петри является так
называемая ордuнариая Jиаркuровшщая сеть Петри, которая также определяется
как пятерка (Р, T,l, О, то), [де в качестве входной функции переходов 1 и BЫXOД
ной функции переходов О используются отображения 1: TxP...-7 {О, I} и
о: TxP {O, 1} соответственно.
rрафически ординарная маркированная сеть Петри изображается ориентиро
ванным двудольным rрафом специальноrо вида, а обобщенная маркированная
сеть Петри ориентированным двудольным мультиrрафом специальноrо вида.
Множество вершин rрафа или мультиrрафа СП есть V=PuT, а множество дуr
определяется входной и выходной функциями переходов. Особенностью rрафи
ческоrо представления сети Петри является изображение позиций в вИде KPy
жочков, а переходов в виде черточек (узких прямоуrольников). Дуrи rрафа
или мультиrрафа соединяют переходы только с позициями, а позиции только
с переходами, поэтому rраф или мультиrраф является двудольным. Начальная
маркировка изображается точками или натуральным числом внутри кружочков,
соответствующих отдельным позициям сп. Количество таких точек, получив
ших название маркеров, в позициях СП равно значению соответствующеrо KOM
понента вектора начальной маркировки.
При м ер 10.1. Изображенная на рис. 10.1, а ординарная маркированная сеть
Петри имеет: множество позиций P={PI, р2, р3, Р4, ps}, множество переходов
т ={11, 12, 1з, 14}, значения входной функции переходов l(pl, (1)= 1, l(pl, (2)=1, l(р2,
(2)= 1, l(рз, 1з)= 1, l(р4, 13)= 1, l(р4, (4)= 1. остальные l(р;, [j)=O значения выходной
функции переходов 0(11, Р3)= 1, 0(!2, Р4)= 1, 0(1з, р3)= 1, 0([4, ps)= 1, остальные зна
чения 0([;, Pi)=O вектор начальной маркировки 1110=( 1, 1, О, О, О). Маркеры в по
зициях этой СП изображены точками, при этом отсутствие точки в позиции оз
начает отсутствие в ней маркера.
Изображенная на рис. 10.1, б обобщенная маркированная сеть Петри имеет:
множество позиций P={PI,P2, р3, Р4}, множество переходов Т={II, [2, [3, 14}, зна
чения входной функции переходов l(pl, 12)=3, l(р2, 11)= 1, l(рз, 1з)= 1, l(р4, 14)=2, oc
тальные l(р;, l j )=O; значения выходной функции переходов O(!I, pl)= 1, 0(!2, Р3)= 1,
0([2, Р4)= 1, О(tз, Р2)= 1, 0(1з, Р4) = 1, 0([4, pl) = 1, остальные значения 0(1;, р) = о;
270
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
вектор начальной маркировки mо=(З, О, О, 1). Количество маркеров в позициях
этой СП изображено цифрами.
'.
R 13
().
ll '4
1 ..
'.
а
б
Рис. 10.1. rрафическое изображение ординарной (а)
и обобщенной (6) маркированных сетей Петри
Позиции, дуrи из которых ведут в переход {;Е Т СП, называются входными пози-
циями перехода lj; аналоrично, позиции, в которые ведут дуrи из перехода (;Е Т,
называются выходныJwи позициями этоrо перехода. Значения входной и выходной
функций переходов в этом случае удобно представлять в виде соответствующих
матрицы входных Позиций 1 и матрицы выходных позиций О. Для СП, изображен-
ной на рис. 10.1, а, матрицы входных и выходных позиций соответственно равны:
1 1 О О 0= [ о 1 О ]
О 1 О О О О 1
1= О О 1 О
О О 1 1 О 1 О
О О О О О О О Для СП, изображенной на рис. 10.1, б, матрицы входных и выходных позиций
соответственно равны:
I = [ 3 О ]. 0= [ о о [].
О О О 1
О 1 1 О
О О О О
Примечание )
Как можно заметить, структура N маркированной сети Петри (как ординарной,
так и обобщенной) полностью определяется матрицами входных и выходных
позиций переходов. Ниже обобщенная маркированная сеть Петри, если не воз-
никает неоднозначности понимания, будет сокращенно именоваться сетью
Петри (СП). При этом все утверждения, справедливые для обобщенных сетей
Петри, естественным образом оказываются справедливыми и для ординарных
СП, но не наоборот.
rлаВа 10. Нечеткие сети Петри
271
Наибольшее значение с прикладной точки зрения, во MHoroM обусловившей ин-
Терес к развитию исследований в области СП, имеет динамика изменения Ha
чальной и последующих маркировок СП. При этом сам процесс изменения Map
кировок СП происходит в результате запуска переходов, который определяется.
условием активности и правилом срабатывания переходов.
Динамика изменения начальной и последующих маркировок СП после момента
ее запуска подчиняется следующим Правuтzам IP(С).
LI (IPI) ПравwlO 01lределения текущеzо состояния сп. Любое состояние СП С =
= (Р, Т, 1, О, то) определяется некоторой маркировкой СП, которая представ
ляет собой вектор m=(тl, т2,..., т п ). При этом т; является компонентом BeKTO
ра маркировки СП, соответствующим позиции РпЕР, rде ЩЕ I (\1'iE {l, 2,..., п}).
Очевидно, начальное состояние СП, т. е. состояние сети Петри до момента ее
запуска или начала процесса функционирования, определяется вектором Ha
чальной маркировки то.
LI (1P2) ПравwlO (условие) активности переходов. Переход ljE Т СП С = (Р, Т, 1,
О, то) называется акmивllЬШ (разрешенным или возбужденным) при HeKOTO
рой маркировке m=(ml, 1112,..., т п ), если выполнено следующее условие:
m j :? I(tj,p;) (\1'р;ЕР). (10.1)
Друrими словами, некоторый переход СП является активным, если в каждой
из ero входных позиций имеется такое количество маркеров, которое больше
или равно количеству дуr, соединяющих соответствующую входную позицию
с данным переходом.
LI (lPз) ПравwlO срабатывания lIерехода. Если некоторый переход tjE ТСП С = (Р,
Т, 1, О, то) активен при маркировке m=(ml, 1112,..., т п ), т. е. для данноrо пере
хода выполнено условие (10.1), то срабатывание этоrо перехода, осуществ
ляемое MrHoBeHHbIM образом, приводит к новой маркировке Illp=(ml', т2'.,..., т п '),
компоненты вектора которой определяются по следующей формуле:
т/ =щ +O(tj,p;) I(р;, t j ) (\1'р;ЕР). (10.2)
Друrими словами, срабатывание HeKoToporo активноrо перехода СП "переме
щает" маркеры из входных позиций данноrо перехода в ero выходные позиции
таким образом, что во всех ero входных позициях "исчезает" столько маркеров,
сколько дуr соединяет эту входную позицию с данным переходом. CooтвeтCT
венно, во всех ero выходных позициях "появляется" столько маркеров, сколько
дуr соединяет данный переход с соответствующей выходной позицией. При
этом срабатывание перехода считается неделимым актом;т. е. предполаrается,
что изъятие маркеров из всех входных позиций и их перемещение во все BЫXOД
ные позиции осуществляется MrHoBeHHo, с нулевой задержкой.
Проиллюстрируем применение описанных Правил IP(C) изменения начальной
маркировки то СП С = (Р, Т, 1, О, то) ДЛЯ СП из примера 10.1. Так, дЛЯ СП, изо-
браженной на рис. 10.1, а, при данной начальной маркировке тo=(I, 1, О, О, О)
соrласно правилу 1P2 активными являются сразу два перехода: tl, (2, поскольку
для каждоrо из них выполнено условие (10.1). ДЛЯ СП, изображенной на
рис. 10.1, б, активным при начальной маркировке то=(З, О, 0,1) является единст
272
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой I:'оrики
венный переход [2, т. к. только для Hero выполнено условие (10.1). ДЛЯ ОСТ,ЩЬНЫХ
переходов этих СП условие (10.1) не выполняется, следовательно, они не >lВЛЯЮТ-
ся активными при соответствующих начальных маркировках.
Процесс запуска или функционирования СП начинается с определения а:<ТИВНbJХ
переходов при начальной маркировке и их срабатывания. При этом срабатыва-
ние активноrо перехода [1 дЛЯ СП, изображенной на рис. 10.1, а, приводит к но-
вой маркировке lnv=(O, 1, 1, О, О), компоненты вектора которой определяются по
правилу IPз следующим образом: 1111"= 1 +o 1 =0, 1112"= 1 +o o= 1, тз"=О+ 1 o= 1,
т4"=0+0 0=0, 1115"=0+0 0=0. Срабатывание активноrо перехода [2 этой же СП
приводит к новой маркировке 111".=(0, О, О, 1, О), компоненты вектора которой
определяются по правилу 1P3 следующим образом: 111."'= 1 +o 1 =0, 1112'"= 1 +O I =0,
тз"'=О+О О=О, 11l4'"=0+ I O= 1, т5'"=0+0 0=0.
Примечание
Следует заметить, что наличие в СП двух и более активных при некоторой
маркировке переходов приводит к конфликту, суть KOToporo заключается в том,
что срабатывание OAHOro из активных переходов может превратить друrие пе-
реходы в неактивные. Следствием этоro является альтернативное ветвлеНL<1е
последовательности достижимых маркировок. Желание исключить подобные
конфликты переходов приводит к необходимости дополнительноrо определе-
ния последовательности или задания приоритета их срабатывания. Поскольку
в базовом формализме СП и Правилах !Р(С) ничеrо не сказано о способе раз-
решения этоro конфликта, все активные переходы следует считать равноправ-
ными с точки зрения возможности их срабатывания.
срабатывниеe единственноrо активноrо перехода [2 дЛЯ СП, изображенной на
рис. 10.1, а, приводит к новой маркировке I1Iv=(O, О, 1, 2), компоненты вектора
которой определяются по правилу 1P3 следующим образом: тl"=3+0 3=0,
т2"=0+0 0=0, 111з"=0+ I O= 1,1114'= 1 + 1 0=2. Ординарная сеть Петри, полученная в
результа.е срабатывания активноrо перехода [1, изображена на рис. 10.2, а, а
обобщенная сеть Петри, полученная в результате срабатывания активноrо пере-
хода [2, изображена на рис. 10.2, б.
( 1
O ' ;J
'\ 'з
\ ......
\" /
' \ ' ' 1 ?
11 2 11 // 14 ,
0 ' ' +
а
б
Рис. 10.2. rрафическое изображение СП после срабатывания перехода t1
для СП, изображенной на рис. 10.1, а, и после срабатывания перехода t2 дЛЯ СП,
изображенной на рис. 10.1, б
rлава 10. Нечеткие сети Петри
273
н е п о с р е Д с т в е н н а я Д о с т и ж и м о с т ь м а р к и р о в о к. Маркировка
тF СП С = (Р, Т, 1, О, то) "еnосредствеmю достиЭКLl.ма из маркировки т
(непосредственно следует за маркировкой т) этой же СП, если маркировка mF
получается в результате срабатывания HeKoToporo перехода l;Е Т, активноrо прJ.:l.
маркировке IIJ. Тем самым определяется отношение непосредственной достижи
мости маркировок, которое будем обозначать: Ill (lJ..---)тF.
Очевидно, отношение непосредственной достижимости маркировок является
бинарным траНЗИТИВНI;>IМ отношением на декартовом произведении множества
всех возможных маркировок фиксированной СП. Что касается свойств рефлек
сивности и симметричности, то в общем случае нельзя сделать никаких YTBep
ждений относительно их наличия или отсутсrnия для той или иной СП.
Д о с т и ж и м о с т ь м а р к и р о в о к. Маркировка т... СП С = (Р, T,I, О, то)
называется дОСl1111:жимой из маркировки т этой же СП, если существует конечная
упорядоченная последовательность маркировок Mk=<тl, т2,..., 1IIч>, в которой
тl=m и т,,=т..., и соответствующая ей конечная упорядоченная последователь
ность переходов л,=<11, 12,..., tq I>, такие, что любая пара соседних маркировок в
M k удовлетворяет отношению непосредственной достижимости: m.r(l) mj+1
(\7'jE {1, 2,..., q l». Отношение достижимости маркировок СП будем обозначать:
", ( 1t,) тw.
Отношение достижимости маркировок также является бинарным транзитивным
отношением на декартовом произведении множества всех возможных маркиро
вок фиксированной СП. Более Toro, данное отношение является транзитивным
замыканием (С.М. nрШlOJlсе"ие 1) отношения непосредственной достижимости
маркировок, в чем читателю предлаrается убедиться самостоятельно.
Примечание :)
Следует заметить, что при достижимости маркировки mw из маркировки m для
заданной СП может, вообще rоворя, существовать несколько последователь
ностей маркировок МК и, соответственно, последовательностей переходов п/.
Более Toro, даже для фиксированной последовательности М/{ может существо
вать несколько последовательностей переходов п/, удовлетворяющих условию
определения достижимости маркировок. Данное обстоятельство существенно
усложняет анализ отношения достижимости маркировок в СП, КОТОрblЙ, как
следует из дальнейшеrо изложения, является центральной задачей при иссле
довании характеристик конкретных СП.
Обозначим через D(m) множество маркировок, ДОСТИЖИМblХ из некоторой фик
сированной маркировки т для заданной СП С = (Р, T,I, О, то), т. е. D(m) =
= {тк> I (3 Л/): т (л/) т...}. В действительности, это множество определяется кон-
структивным образом, поскольку для ero построения может быть использован
рекурсивный алrоритм построения отношения достижимости для маркировки т
и СП С = (Р, T,I, 0,1110), основаННblЙ на определении отношения достижимости:
", ( Л/) I1l..,.
М Н О Ж е с т в о Д о с т и ж и м ы х м а р к и р о в о к С П. Множество D(lIlo) бу
дем наЗblвать м"ожеством достижимых .маркировок для СП С = (Р, T,I, О, то)
или просто АтОJlсество.М достижимости СП.
274
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Поскольку в прикладных исследованиях формализм сети Петри используется в
качестве модели дискретных динамических систем, то каждую маркировку СП
можно рассматривать в качестве отдельноrо состояния такой системы (Правило
IPI). В этом случае для рассматриваемой СП особый интерес представляет множе
ство достижимых маркировок D(mo) , которое соответствует пространству дос-
тижимых состояний некоторой дискретной динамической системы. При этом
мощность множества достижимых маркировок card(D(mo» может быть конечной
или счетной. В случае конечноrо множества D(mo) теоретически может быть по-
лучено ero конструктивное представление в форме перечисления всех последова
тельностей M k и п/, удовлетворяющих определению отношения достижимости.
Если же множество D(тo) счетное, то возникают принципиальные трудности ero
конструктивноrо определения и прёдставления.
Для наrлядноrо представления множества D(тo) в случае ero конечной мощно-
сти используется rрафическое изображение в виде специальноrо rpафа в форме
так называемоrо дерева достижимых маркировок или кратко дерева дости-
жимости СП. Дерево достижимых .маркировок представляет собой ориентиро-
ванный rраф, вершины KOToporo соответствуют достижимым маркировкам, а
дуrи отношению непосредственноrо следования маркировок, причем каЖДаЯ
дуrа помечается тем переходом, срабатывание KOToporo привело к смене данных
маркировок: m (tJ"-+I1J.. Корнем дерева является вершина, соответствующая на-
чальной маркировке.
Примечание
При rрафическом представлении множества достижимости D(то) в дереве дос-
тижимости предполаrается, что равные маркировки m v , которым соответствуют
различные последовательности переходов Л/, изображаются различными вер-
шинами на дереве. В этом случае в каждую вершину дерева будет вести един-
ственный ориентированный путь от корневой вершины то, которому соответст-
вует единственная последовательность переходов Л/. Если же с целью
удобства и сокращения rеометрических размеров дерева достижимости рав-
ным маркировкам ставить в соответствие одну вершину, то полученный в ре-
зультате rраф получил название диаараммы достижиМblХ маркировок СП или
диаrраммы состояний СП. В последнем случае от корневой вершины диаrрам-
мы то в каждую из ее вершин может вести несколько ориентированных путей,
каждому из которых будет соответствовать своя последовательность перехо-
дОВ Л/. ДЛЯ нахождения множества достижимости О(то) и ero представления в
форме дерева или диаrраммы достижимости предложены два основных алro-
ритма, один из которых основан на процедуре исчерпывающеrо поиска в шири-
ну, а друrой на процеДуре исчерпывающеrо поиска в rлубину. Эти алroритмы
позволяют сформировать все множество достижимых маркировок и отличаются
лишь последовательностью выбора маркировок для анализа: по ширине или
rлубине дерева. С этими алroритмами можно познакомиться в соответствую-
щей литературе.
Примеры двух диаrрамм достижимости, построенных для сетей Петри из приме-
ра 10.1, представлены на рис. 10.3. Данные диаrраммы изображены в форме так
называемых диаzрамм деятельности в НОтацИИ унифицированноrо языка моде-
rлава 10. Нечеткие сети Петри
275
лирования, с основами KOToporo можно познакомиться по одному из специаль
ных руководств.
[,работал [1]
[Сl)аооr8Л t1l
"
а
[С)ПUОТ8Л tзJ
6
Рис. 10.3. Диаrраммы ДОСТИЖИМОСТИ ДЛЯ СП, изображенной На рИС. 10.1, а (а),
И для СП, изображенной на рИС. 10.1,6 '(6)
Замечательным свойством СП является тот факт, что структура и начальная Map
кировка СП С = (Р, T,I, О, то) вполне однозначным образом 1l0рождают или оп-
ределяют множество достижимости D(mo). Именно это обстоятельство, сближая
некоторым образом СП с теорией конечных автоматов и теорией формальных
rpамматик, позволяет строить наrлядные модели; адекватно интеrpирующие
структурные и функциональные аспекты моделируемых систем и объектов.
276
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Свойства сетей Петри и задачи их анализа
Проведение исследований с использованием сетей Петри предполаrает установ-
ление целоrо ряда конкретных свойств моделей с последующей интерпретацией
полученных результатов применительно к решаемой задаче и проблемной об
ласти. При этом сети Петри MorYT различаться не только своей структурой, но
даже при одинаковой структуре, но различными начальными маркировками
множеством достижимых маркировок. Поэтому исследование моделей сп преk
полаrает анализ не только статических (структурных) характеристик, но и цело-
ro ряда динамических характеристик.
Что касается структурных или статических свойств сп, их анализ предполаrает
рассмотрение сп с точки зрения теории rрафов. Поскольку при исследовании
моделей СП на первый план выдвиrаются задачи анализа таких свойств сетей
Петри, как безопасность, оrраниченность, сохраняемость, живость и достижи-
мость маркировок, наибольший интерес представляют функциональные или ди-
намические характеристики сп. Именно наличие или отсутствие этих свойств у
конкретной модели сп позволяет сформулировать некоторые требования ПО
выбору рациональной структуры исследуемой системы или процесса. Ниже при-
водятся определения основных динамических свойств СП, имеющих непосредст-
венное отношение к процессу функционирования или запуска сп.
О r р а н и ч е н н о с т ь поз и Ц и й и С П. Позиция р;Е Р сп с =(Р, Т, 1, О, то)
называется k О2ранuчеJl}ЮЙ, если для любой достижимой маркировки InED(1I10)
выполняется условие 11l; k для HeKoToporo фиксированноrо значения
kE {l, 2, 3,...}. Или, друrими словами, КОЛИLlество маркеров в данной позиции не
превосходит натуральноrо числа k для всех маркировок, достижимых из началь-
ной маркировки то. сп С = (Р, T,I, 0,1110) называется k О2раничетюЙ, если все
позиции множества Р являются k оrраниченными.
Б е з о п а с н о с т ь поз и Ц и й и С П. 1 оrраниченная позиция сп называется
безопаС110й позицией. 1 оrраниченная СП называется безопасной сп.
С охр а н я е м о с т ь С П. СП с = (Р, T,l, 0,1110) называется сохраняющеЙ, ec
ли существует вектор Н' =(И't, И'2,..., 'п) С неотрицательными вещественными ком-
понентами, такой, что выполняется условие:
п
L И'i . т; = const
i=l
Если данное условие выполняется при И'; =1 (\:fiE{I, 2,..., п}), то соответствую-
щая сп называется стРО20 сохраняющеЙ или консервативной.
у с т о й ч и в о с т ь Л е р е х о Д о в и С П. Переход {; сп с = (Р. Т, 1, О. то)
называется устойчивым, если выполнено следующее лоrическое условие:
("Xt1ll Е D(mo».
(10.3)
«1Il (l(pl, {;), I(р2, {;),..., I(Рп, t;))л(т (I(pl, [,), 1(p2, 1,),..., l(рп' (,») ::)
::) (т (1(P1, 1;)+ l(р t, 1,), l(р2, t;)+1(P2, 1,),..., l(Pп' t;)+I(Pn> [,»)
("XtI,ET\{t;}, "Xt1l1ED(тo)
(10.4)
rлава 10. Нечеткие сети Петри
277
Друrими словами, если переход 1; является активным при маркировке InED(lnO),
то никакой друrой переход 1" тоже активный при маркировке т, не может, cpa
ботав, сделать переход 1; неактивным, т. е. лишить ero возможности срабатыва
ния. СП С = (Р, Т,l, О, то) называется устойчивой, если все ее переходы являются
устойчивыми.
Примечание )
По содержанию лоrическое условие (10.4) представляет собой некоторый
двухместный предикат P(t, т), коroрый записан в традиционной математиче
ской форме, т. е. с постфиксной записью кванторов общности. Так же как и в
случае инфиксной записи кванторов, истинность предиката P(t, т) зквивалент
на истинности импликации для любых переходов t, и достижимых маркировок
т, входящих в область действия квантора общности (см. пРUЛDженuе 2).
у р о в н и а к т и в н о с т и пер е х о д о в С П. Пусть задана СП
С = (Р, Т, 1, О, то).
О Переход I;Е т обладает актив1l0стыо уровия О и называется llассивньш или
.мертвьш, если не существует ни одной достижимой маркировки 111 Е D(mo) ,
при которой этот переход был бы активным.
О Переход I;Е т обладает аЮllивlЮСI11ЬЮ уровня 1 и называется потеlщиШlЫLO aK
тUBHblAl или JlCивьш, если существует достижимая в СП маркировка 111 Е D(тo) ,
при которой этот переход является активным.
О Переход I;Е т обладает активНОСI11ЫО уровня 2, если для любоrо натуральноrо
SE B СП существует последовательность срабатываемых переходов л", в KO
торой 1; присутствует по крайней мере S раз.
LJ Переход I;Е т обладает акти61юстыо уровия 3, если существует последова
тельность срабатываемых переходов л", в которой переход 1; присутствует He
оrраниченное число раз.
О Переход I;Е т обладает активностью уровня 4 и называется активным или
живьш, если для любой достижимой в СП маркировки IIlED(mo) существует
последовательность срабатываемых переходов л", так что 1; является актив
ным при некоторой маркировке mvED(m), получаемой в результате последо
вательноrо срабатывания переходов из л".
LJ Переход I;Е т называется 11Oте1ЩIШЛЫЮ .мертвым, если существует некоторая
достижимая маркировка IIlED(I1lO), такая, что при любой достижимой из III
маркировке I1llvED(II1) переход (; не является активным.
О СП С = (Р, T,I, О, то) обладает активностью уровня k, rдe kE {O,l,2,3,4}, если
все ее переходы обладают активностью уровня k.
Т У n и к о в а я м а р к и р о в к а. Достижимая в СП маркировка IIlED(тo) Ha
зывается 1; тупиковоЙ (/;E 1), если переход 1; потенuиально мертвый для марки
ровки т. Если достижимая маркировка 111 I; тупиковая для всех переходов I,Е Т,
ТО она называется тупиковой.
278
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Рассмотрим использование введенных определений дЛЯ СП из примера 10.1. Так,
для СП, изображенной на рис. 10.1, а, все позиции являются 1 оrраниченными, а
значит и вся сеть Петри является 1 оrраниченной или безопасной. Переход (4 яв
ляется устойчивым, а переходы (\ и (2 устойчивыми не являются, следовательно,
данная СП не является устойчивой. Переходы (', (2 И (4 обладают активностью
уровня 1, а переход (3 является мертвым. Следовательно, данная СП обладает
активностью уровня О. Достижимые маркировки ml=(O, 1, 1, О, О) и 111з=
= (О, О, О, О, 1) являются тупиковыми, поскольку ни один из переходов СП не ЯБ
ляется активным при данных маркировках.
Так, для СП, изображенной на рис. 10.1, б, все позиция р\ и р4 являются 3 orp
ниченными, позиции р2 и р3 являются 1 оrраниченными, а значит и вся сеть Пет
ри является I оrраниченной или безопасной. Все переходы этой СП являются
устойчивыми, следовательно, данная СП является устойчивой. Все переходы СП
обладают активностью уровня 1. Следовательно, данная СП обладает активно-
стью уровня 1. Достижимая маркировка 1116=(2, О, О, 1) является тупиковой, по
скольку при данной маркировке ни один из переходов СП не является активным.
При моделировании процессов функционирования дискретных динамических
систем одно из центральных мест занимает установление рассмотренных выше
свойств СП. В общем случае исследование характеристик СП предполаrает ре-
шение следующих задач:
1. Задача достижимости маркировки. Для заданной СП С = (Р, T,I, О, то) и
заданной некоторой 111, установить выполнение условия: III,Еп(то). Или, дpy
rими словами, достижима ли маркировка т, из начальной маркировки то для
заданной СП?
2. Задача достижимости подмаркировки. Для заданной СП С = (Р, T,I, О, то) и
заданной маркировки 111, и подмножества позиций Р'с Р определить: сущест
вует ли достижимая маркировка III"Еп(то), такая что т;' = т/" ('\/Р;ЕР)? Дру-
rими словами, существует ли достижимая маркировка т..., компоненты BeKTO
ра которой с номерами позиций из подмножества Р' равны соответствующим
компонентам вектора маркировки 111,? Остальные компоненты вектора т, мо-
rYT принимать произвольные значения.
3. Задача покрываемости маркировки. Для заданной СП С = (Р, Т, 1, О, то) и за-
данной маркировки т, определить, существует ли достижимая маркировка
m..ED(mo), такая что In,v т,?
4. Задача достижимости нуля. Для заданной СП С = (Р, Т, 1, О, то) определить.
достижима ли нулевая маркировка т =(0, О,..., О) из начальной маркировки
то, т. е. выполняе!ся ли условие: 11IED(mo)?
5. Задача достижимости нуля в одной /lOзицuu. Для заданной СП
С = (Р, Т, Т, О, то) и некоторой фиксированной позиции р;ЕР определить, су-
ществует ли достижимая маркировка тЕп(то), в которой т;= О (i ый компо-
нент вектора маркировки равен нулю)?
Тлава 10. Нечеткие сети Петри
279
6. Задача равенства. Для двух сп с' = (P T I О', то') и С" = (P' т': I' O' то"),
таких что Р'= P' определить, равны ли соответствующие им множества дoc
тижимых маркировок п(то') = п(IIlО")?
7. Задача подмножества. Для двух СП с' = (Р', Т', 1', O то') и С" =
= (Р': Т': 1': О': то") определить, является ли одно из множеств достижимых
маркировок подмножеством друrоrо, т. е. выполняется ли отношение
п(то') п(то") или отношение п(то") п(тo')?
8. Задача k О2раниченности позициЙ и сп в цело.м. Для заданной СП
С = (Р, T,I, О, то) и фиксированной позиции PiEP определить, существует ли
натуральное число k, для KOToporo позиция Р; является k оrраниченной
(является ли СП в целом k оrpаниченной)?
9. Задача безоnаC1-l0С1Jlи позициЙ и сп в цело.м. Для заданной СП
С = (Р, T,I, О, то) и фиксированной позиции Р;ЕР определить, является ли
позиция Р; безопасной (является ли безопасной СП в целом)?
10. Задача устойчивости переходов. Для заданной СП С = (Р, T,I, О, то) и за
данноrо подмножества переходов T' T определить, являются ли переходы
из подмножества Т'устойчивыми?
11. Задача активности переходов. Для заданной СП С = (Р, T,I, О, то) и задан
Horo подмножества переходов T' T определить уровни активности перехо
дов подмножества Т'.
12. Задача сохраняемости сп. Для заданной СП С = (Р, T,I, О, то) определить,
является ли она сохраняющей?
13. Задача стРО20й сохраняе.мости (консервативности) сп. Для заданной СП
С = (Р, Т, 1, О, то) определить, является ли она cTporo сохраняющей (KOHcep
вативной)?
При изучении данных задач оказалось, что они определенным образом взаимосвя
заны между собой. Так, например, решение задачи достижимости (1) предопреде
ляет решение задачи достижимости нулевой маркировки (4), а решение задачи дoc
тижимости подмаркировки (2) предопределяет решение задачи достижимости нуля
в одной позиции (5). Решение задачи k оrpаНИ'lенности позиции (8) предопределя
ет решение задачи безопасности позиций (9), а решение задачи сохраняемости (12)
предопределяет решение задачи консервативности (13).
Таким образом, исчерпывающая информация о решении указанных задач co
держится в дереве или диаrрамме достижимых маркировок СП. Поэтому одной
из основных проблем в рамках классическоrо формализма СП является построе
иие диаrраммы достижимых маркировок и ее анализ для конкретных СП. Реше
иие этой проблемы позволяет дать ответ на решение всех пере'lИсленных выше
задач (I 13) и установить все основные свойства СП, содержательная интерпре
тация которых зависит от проблемной области и рассматриваемых моделей при-
кладных систем.
280
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
10.2. Основные подклассы
нечетких сетей Петри
Не..еткие сети Петри (НСП), являясь разновидностью СП снеопределенностью,
позволяют конструктивно решать задачи нечеткоrо моделирования и нечеткоrо
управления, в которых неопределенность имеет нестохастический или субъектив-
ный характер. В данной rлаве внимание сосредоточено на рассмотрении только
трех подклассов НСП, являющихся естественной конкретизацией базовой матема-
тической структуры СП с неопределенностью, которая может быть построена на
основе использования общей концепции нечеткой меры (см. 2лаву 9).
Нечеткие сети Петри типа V f
Первый из рассматриваемых ниже подклассов НСП, называемый в дальнейшем
НСП типа Vr или кратко НСП Vr, получается в результате введения описания
неопределенности нечеткоrо характера в начальную маркировку и правила из-
менения маркировок базовоrо формализма классических СП.
Н е .. е т к а я с е т ь П е т р и т и п а Vr. Нечеткая сеть Петри типа Vr (НСП
Vr) определяется как Vr = (N, Мо), rде:
LJ N = (Р, т, L О) структура НСП Vr, в которой: Р = {р J' Р2,"', Рn} конечное
множество позиций; Т= {tl, {2,..., {,,} !<онечное множество переходов;
1: PxT ) входная функция переходов; о: TxP ) выходная функция
переходов;
LJ Mo матрица начаl1ЫЮЙ маркировки, размерность которой равна (nx(d+ 1».
Каждый элемент m ii O этой матрицы равен значению функции принадлежности
наличия j 1 числа маркеров в позиции Р; НСП на момент начала ее запуска.
По определению функции принадлежности элементы матрицы начальной
маркировки должны удовлетворять следующему условию:
m/E[O,I] (ViE{I,2,...,Il}, VjEJ). (10.5)
Здесь, как и ранее, )={O, 1,2, 3,...} обозначает множество натуральных чисел и
ноль. Множество J определяется как: J = {l ,..., d, d+ l}с )' т. е. как некоторое
конечное подмножество /0/0' состоящее из d+ 1 первых натуральных чисел. При
этом общее количество столбцов матрицы начальной маркировки определяется
максимальным количеством вводимых в рассмотрение маркеров в позициях
НСП Vr, которое в общем случае принимается равным d.
Примечание :)
В определении НСП Vf каждая строка матрицы Мо может рассматриваться как
значения функции принадлежности нечеткоrо множества маркеров дЛЯ COOT
ветствующей позиции нсп Vf. Характерным свойством указанноrо нечеткоrо
множества является ero дискретный характер, что позволяет задать ero конеч
ным множеством положительных значений функции принадлежности для носи
rлава 10. Нечеткие сети Петри
281
теля данноrо множества. В этом случае базовый формализм классических
СП может быть получен в качестве частноrо случая нсп Vf, если в определе
нии нсп Vf условие (10.5) заменить на обычное условие для допустимых зна
чений компонентов начальной маркировки СП: mijOe{O, 1} (Vie{1, 2,..., п}, VjeJ)
d+l
т? 1 (Vie{1. 2..... п}). С друrой стороны. вводя дополнительно к (1 0.5) усло
L.J !/
./=1
d+l
вие: т? = 1 (Vie{1. 2..... п}), получим определение стохастических СП типа
L.J !/
j=1
V s . Таким образом, НСП Vf являются обобщением не только обычных СП, но и
обобщением стохастических СП V s .
Из определения введенноrо в рассмотрение подкласса НСП Vr можно видеть,
что структура N нсп Vr полностью идентична структуре базовоrо формализма
классических сп. Поэтому НСП Vr rрафически также изображаются ориентиро
ванным двудольным мультиrрафом аналоrично обычным сп.
При м е р 10.2. Структура изображенной на рис. 10.4 НСП типа Vr, имеет MHO
жество позиций Р={рI,Р2,рз,Р4} и множество переходов Т={tl, 12, 1з, 14}. Началь
ная маркировка для этой НСП Vr может быть задана, например, следующей MaT
рицей:
[ 0"1 0.2 0.6 0'8 ]
МО = 0.8 О О О.
0.7 О О О
0.6 0.5 О О
Строки матрицы начальной маркировки образованы из векторов т;О =
= (m;IO, m j 20, 111;3°, 111,-4°), (\liE {1, 2,..., "}), компоненты которых определяют степени
принадлежности 111/=lli(j I) нечеткоrо наличия j 1 количества маркеров в пози
ции р; данной НСП. При этом общее количество вводимых в рассмотрение Map
керов равно d=3. Так, для позиции pl значение 11111° = 0.1 означает, что степень
принадлежности нечеткоrо отсутствия маркеров в данной позиции для началь
ной маркировки равна 0.1. Значение 11112° = 0.2 означает, что степень принадлеж
ности нечеткоrо наличия одноrо маркера в позиции рl для начальной маркиров
ки равно 0.2. Значение 1111З° = 0.6 означает степень принадлежности нечеткоrо
наличия двух, а значение 11114° = 0,8 степень принадлежности нечеткоrо нали
чия трех маркеров в позиции рl данной НСП дЛЯ начальной маркировки. Значе
ния I111S0 = 11116° =...= О В матрице Мо не приводятся.
Друrими словами, в матрице начальной маркировки МО указываются лишь зна
чения степеней принадлежности для носителя нечеткоrо множества количества
маркеров в позициях НСП Vr.
Динамика изменения начальной и последующих маркировок НСП Vr после MO
мента ее запуска подчиняется следующим ПравШIGМ lP(Vr):
LJ (1P1) Правило оnределеllUЯ текущей J'WapKupoeKU. Любое текущее состояние
НСП Vrопределяется некоторой матрицей М размерности (пx(d+I», элемен
282
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
ты которой удовлетворяют условию (10.5) и интерпретируются как значения
степеней принадлежности нечеткоrо наличия {О, 1,2,..., d} маркеров в COOT
ветствующих позициях PjEP НСП Vr. Начальное состояние нсп определяется
матрицей начальной маркировки Мо.
( 1 Ii
R
lj (3:
{,
. ( 1
!.. .. ' t .... . :
I
Рис. 10.4. rрафическое изображение структуры НСП типа V f
LJ (1P2) Правило (условие) a1<тиB1l0CIllU перехода. Переход lkE Т НСП Vr называ
ется активным (разрешеIШЫМ, возбуждеШIЫМ) при некоторой текущей Map
кировке М, если выполнено следующее условие:
а (l(pl, lk)' l(р2, lk)"'" l(рn, t k »,
(10.6)
rде компоненты вектора а = (al, а2,..., а n ) определяются по формуле:
a j = шах {Л 1
(jЕJ)л(mi] >0)
т. е. значение а; равно максимальному индексу отличной от нуля степени при
надлежности нечеткоrо наличия маркеров в позициях нсп Vr. Друrими слова
ми, некоторый переход tkE ТНСП Vr является активным или разрешенным, если
для текущей маркировки М во всех ero входных позициях имеется нечеткое KO
личество маркеров, которое больше или равно количеству дуr, соединяющих
соответствующие входные позиции с рассматриваемым переходом.
LJ (11'з) ПравwlO сра6атываllия "ерехода. Если переход tkE Т нсп Vr является aK
тивным при некоторой текущей маркировке М (т. е. выполнено условие
(10.6», то срабатывание данноrо перехода, осуществляемое MrHoBeHHbIM об-
разом, приводит к новой маркировке Мр элементы которой определяются
следующим образом:
. для каждой из входных позиций PjEP, для которых I(pj, сд*О, по формулам:
т/"= шах {ту}; (10.8)
(jE{I, 2,..../(pj, tk)+I})
(\::1 pjE Р),
(1 0.7)
т.."=т.
!I l,]+/(P,,tk)
(VjEJ\{I}).
(10.9)
rлава 10. Нечеткие сети Петри
283
. ДЛЯ каждой из выходных ПОЗИЦИЙР;ЕР, такой что: O(tk,p;),*O по формулам:
т;/=miп{тij,] qk} (VjE{1,2,...,0(t",p;)}); (10.10)
т;;"= mах{miп{т i' 1 Qk}, miп{тi,j О(tk' р;)' Qk}} ,
(VjЕJ)л(j>О(t",р;»
rде qk степень принадлежности или мера возможности l1ечетКО20 сраб(l
тыванuя (запуска) перехода tkE Т, рассчитываемая по формуле:
qk = miп { r.1ax {ту}} (Vt k E1). (10.12)
(iE(l, 2,...' п}) (jЕJ)л(j>/(р"l k »
(10.11)
Если некоторые из позиций р;ЕР являются одновременно входными и BЫXOДHЫ
ми для разрешенноrо перехода tkE Т, то для них элементы матрицы новой Map
кировки Mv рассчитываются последовательно, вначале по формулам (1 0.8)
(10.9), а затем по формулам (10.10) (10.ll).
Проиллюстрируем применение описанных Правил IP(Vr) на примере изменения
начальной маркировки Мо НСП Vr, изображенной на рис. 10.4. Соrласно прави
лу 1P2, при данной маркировке МО разрешенным является единственный переход
(2, поскольку только для Hero выполнено условие (10.6): (3, О, О, 1) (3, О, О, О).
Срабатывание данноrо перехода приводит к новой маркировке MI, элементы
матриuы которой определяются по правилу 1P3 следующим образом:
LJ для позиции pl, являющейся входной для перехода (2 со значением I(р" (2) =
= 3, с использованием соотношений (10.8) 10.9): тll'= max{O.I, 0.2, 0.6, 0.8} =
= 0.8, Пl'2 1 = Пl13 1 = т14 1 = о;
LJ для позиций р3 И Р4, являющимися выходными для перехода (2 со значениями
0(t2, р3) = 1 и 0(t2, Р4) = 1, с использованием соотношений (1 0.1 0) (1 0.11),
при этом степень принадлежности нечеткоrо срабатывания перехода 12 paB
на ф== 0.8: т31 1 = min{тIIO, 1 0.8} = min{0.7, 0.2} = 0.2; т32 1 = max{min{m320,
1 0.8}, min{тЗI0, 0.8}} == max{mill{O, 0.2}, min{0.7, 0.8}} = 0.7; пш l ==т34 1 =
= О, т41'= min{т410, 1 0.8} = min{0.6, 0.2}} = 0.2, Пl42 1 = max{min{m420, 1 0.8},
min{п14I 0 , 0.8}} = max{min{0.5, 0.2}, min{0.6, 0.8}} = 0.6, #11.п l = max{min{I1143o, 1 .8},
min{I11420, 0.8}} = max{min{O, 0.2}, min{O.5, 0.8}} = 0.5, т44 1 =0;
LJ для позиции Р2, не являющейся для перехода 12 ни входной, ни выходной,
компоненты новой маркировки МI будут равны компонентам исходной Map
кировки Мо, т. е. 1112 = (0.8, О, О, О).
Таким образом, после нечеткоrо срабатывания перехода 12 начальная маркиров
ка Мо НСП Vr изменится на маркировку MI, матрица которой равна:
МI = [ :: ] . Полученная маркировка МI разрешает переходы 13 и 14, В
0.2 0.7 О О
0.2 0.6 0.5 О
чем можно убедиться, используя правило IP2. Поэтому процесс изменения марки
284
Часть 1. ОСНОВЫ теории нечетких множеств инечеткой лоrики
ровок для данной НСП Vr может быть продолжен, что предлаrается выполнить
самостоятельно в качестве упражнения.
Поскольку процесс изменения маркировок НСП Vr во MHoroM аналоrичен COOT
ветствующему процессу для базовоrо формализма классических СП с такой же
структурой, хотелось бы представить динамику изменения маркировок НСП Vr
также в виде дерева или диаrpаммы достижимых маркировок. CTporoe опреде
ление диаrраммы достижимых маркировок НСП Vr базируется на отношениях
непосредственноrо следования и достижимости маркировок, определения KOTO
рых приводятся ниже.
Н е п о с р е Д с т в е н н а я Д о с т и ж и м о с т ь М а р к и р о в о к. Маркировка
МР НСП Vr= (N, Мо) непосредственно достижима из маркировки М (непос
редственно следует за маркировкой м) этой же НСП, если маркировка МР полу
чается в результате срабатывания HeKoToporo разрешенноrо при М перехода tkE Т.
Отношение непосредственноrо следования маркировок НСП Vr будем обозначать
через: M (I.д Mp, rдe М и Mp матрицы соответствующих маркировок.
Очевидно, отношение непосредственной достижимости маркировок НСП Vr яв-
ляется бинарным транзитивным отношением на декартовом произведении MHO
жества всех возможных маркировок фиксированной НСП Vr. Что касается
свойств рефлексивности и симметричности, то в общем случае нельзя сделать
никаких утверждений относительно их наличия или отсутствия для той или иной
НСП Vr.
Д о с т и ж и м о с т ь М а р к и р о в о к. Маркировка Мн' НСП Vr == (N, Мо) Ha
Зblвается достижимой из маркировки М этой же НСП, если существует конечная
упорядоченная последовательность маркировок M k = <Мl, М2,..., M q >, rде
MI=M, Мq=M'f' и соответствующая ей конечная упорядоченная последователь
ность переходов 1C/=<tl, 12,..., tq l> такие, что любая пара соседних маркировок
в M k удовлетворяет отношению непосредственноrо следования маркировок:
Mr(t) Mj+1 (VjE {l, 2,..., q l}). Отношение достижимости дЛЯ НСП Vr будем
обозначать через M (п/) M....
Отношение достижимости маркировок НСП Vr также является бинарным TpaH
зитивным отношением на декартовом произведении множества всех возможных
маркировок фиксированной НСП. Более Toro, данное отношение является TpaH
зитивным замыканием (см. прuложение 1) отношения непосредственной дости-
жимости маркировок, в чем читателю предлаrается убедиться самостоятел.ьно.
Обозначим через D(M) множество маркировок, достижимых из некоторой фик-
сированной маркировки М для заданной НСП Vr = (N, Мо), т. е. D(M) =
== {М... 1(з п/) M (п/) M...}.
М н о ж е с т в о д о с т и ж и м ы х м а р к и р о в о к НСП Vr. Множество
D(Mo) будем называть множеством достижимых .маркировок дЛЯ НСП
Ус == (N, Мо) или просто множеством достижимости НСП Vr.
ДиQZРам.мой достижимых маркировок (rрафом достижимости) НСП Vr будем на-
зывать ориентированный мультиrраф D(V, Е, у), rAe V=={VI, V2,...,V q } множест
rлава 10. Нечеткие сети Петри
285
во вершин мультиrрафа, которое соответствует множеству достижимых марки
ровок D(МQ); Е={е/} (\1v;, VjE v)} В общем случае мультимножество (комплект)
дуr, которое соответствует отношению непосредственной достижимости марки
ровок НСП Vr; у: E Т отображение, помечающее каждую дуry мультиrра
фа переходом; срабатывание KOToporo обеспечивает выполнение соответствую
щеrо отношения непосредственной достижимости для рассматриваемой пары
маркировок.
Диаrpамма достижимых маркировок, построенная дЛЯ НСП из примера 10.2 в
форме диarраммы деятельности нотации UML, представлена на рис. 10.5.
[сработол (1]
[с})оботал '4]
[сработал '3]
Рис. 10.5. Диаrрамма достижимых маркировок для нсп Vf из примера 10.2
286
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Для наrлядности значения матриц всех ДОСТИЖИМblХ маркировок записаНbI OT
дельно от диаrраММbI:
[ 0.8
0.8
Мl=
0.2
0.2
[ 0.3
0.7
М4=
0.7
0.2
[ 0.3
0.7
М7=
0.7
0.6
о
о
0.7
0.6
0.7
О
О
0.3
0.4
О
О
0.5
о
о
о
0.5
О
О
О
0.6
0.6
О
О
О
!]
I]
!]
[ 0.8
0.3
Mz=
0.7
0.2
[ 0.4
0.3
Мs=
0.7
0.6
[ 0.3
0.7
Мв=
0.7
0.3
о
0.7
О
0.3
0.6
0.7
О
0.5
0.5
О
О
0.6
о О ] [ 0.5
О О Мз= 0.8
О О 0.2
0.6 О 0.6
] [ :
Мб=
о О 0.7
О О 0.3
O 5 ] .
о о
0.5
О
0.7
О
0.5
0.7
О
0.6
!]
! !]
Как показывает анализ данной диаrраММbI достижимости (см. рис. 10.5), для pac
сматриваемой НСП Ус справедливы следующие отношения: Mo (t2) MI, MI
(tз) Мz, Мl (t4) МЗ и MO «t2, IЗ» М2.
ДЛЯ НСП Ус MorYT бblТЬ введенЬ! в рассмотрение свойства, соответствующие
приведеННblМ Вblше свойствам классических СП. В этом случае при решении за
дач системноrо моделирования с использованием рассматриваеМblХ моделей
НСП Ус основной интерес также представляют множества D(Mo) и COOTBeTCТ
вующие им диаrраММbI достижимости, которые содержат исчеРПblвающую ин
формацию об соответствующих свойствах НСП Ус.
Нечеткие сети Петри типа C f
Второй из рассматриваемых подклассов НСП, наЗblваеМblЙ в дальнейшем НСП
типа Сс или кратко НСП Сс, получается в результате введения нечеткости в
начальную маркировку и правила срабатывания переходов формализма орди
нарных СП.
Н е ч е т к а я с е т ь П е т р и т и п а Сс. Нечеткая сеть Петри типа Сс (Н СП
Сс) определяется как Сс = (N.f, л, то), rде:
(j N = (Р, T,I, О) структура НСП Сс, которая аналоrична структуре орди
нарных СП и для которой 1: PxT {O, 1} и о: TxP {O, 1} входная и вм-
ходная функции переходов соответственно;
(j f= (fi,J2,..., f.,) вектор значений функции принадлежности нечетКО20 сраба
f11blванuя переходов, при этом./jЕ[О, 1] ('\ljE {1, 2,..., и});
iлава 10. Нечеткие сети Петри
287
(j 1..= (1..1, 1..2,..., л,,) вектор значений пороrа срабаТblвания переходов, при этом
1..jЕ [О, l](\1'jE { 1, 2,..., и});
(j то= (п1l 0 , т2 0 ,..., т п О ) вектор начальной .маркировки, каждая компонента KO
Toporo определяется значением функции принадлежности нечеткоrо наличия
одноrо маркера в соответствующей позиции данной НСП Cr, при этом
т;ОЕ [О, 1] (\1'; Е {1, 2,..., п} ).
Примечание :)
Определение для НСП СА несколько отличается от известных в литературе опре
делений НСП. т. к. последние дополнительно содержат в своем определении He
которое множество высказываний D = {d 1 . d2...., d n } и биективное отображение
а: O P. Поскольку дополнительные компоненты (О. а) подобных определений
отражают специфику моделируемой предметной области и не оказывают прин
ципиальноrо влияния на математические аспекты анализа свойств НСП Ct, В Ha
шем определении они не используются, что не влечет потери в строrости всех
последующих рассуждений. Из методических соображений следует отметить, что
ординарные СП можно считать конкретизацией НСП ct при фиксации следующих
оrраничений на компоненты в определении НСП Ct: ц=1. 'Л.j= О (\fjE{1. 2..... и}) и
тРЕ{0.1} (\fiE{1, 2..... п}). Данное обстоятельство делает данное определение
НСП Ct корректным в плане нечеткоrо обобщения классических СП.
Структура N введенноrо в рассмотрение подкласса НСП Cr также имеет обblЧ
НblЙ (не нечеткий) вид, определяеМblЙ матрицами входных 1 и выходных О пози
ций. Поэтому rрафически НСП Cr изображаются ориентироваННblМ ДВУДОЛЬНblМ
rрафом аналоrично ординаРНblМ СП.
При м е р 10.3. Изображенная на рис. 10.6 НСП Cr имеет множество позиций
Р={рI,Р2,рз,Р4,рs} и множество переходов T={tl, {2, 1з, 14}, ниже каЖдоrо из KO
торых (\1' tjE 7) укаЗblваются значение функции принадлежности HeLleTKoro сраба
тывания jj. С целью удобства вектор значений пороrов нечеткоro срабаТblвания пе
реходов ').. = (0.6,0.5,0.4,0.5) и вектор начальной маркировки то=(0.95, 0.9, О, О, О)
указаНbI отдельно.
'1
\,
\ t //0'7
R \ 2 R/ f R.
о 8
0.75
Рис. 10.6. rрафическое изображение НСП Cf
с начальной маркировкой то=(0.95, 0.9. О, О, О)
и вектором значений пороrа нечеткоrо срабатывания л = (0.6, 0.5. 0.4. 0.5)
288
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
Динамика изменения начальной и последующих маркировок НСП Сс после MO
мента ее запуска подчиняется следующим Правилам, IP(Cr):
D (IP,) ПравшlO определения текущей маркировки. Любое текущее состояние
НСП Cr определяется вектором т = (пн, т2,..., т п ), компонентЬ! KOToporo
(т;Е[О, 1]) интерпретируются как значения функции принадлежности нечетко
ro наличия одноrо маркера в соответствующих позициях р;ЕР НСП Cr. На-
чальное состояние НСП определяется вектором начальной маркировки то.
LI (1P2) ПравшlO (условие) активности IIерехода. Переход tkE ТНСП СrнаЗblвает
ся аюпuвны.м (разрешеННblМ, возбужденным) при некоторой текущей марки
ровке т, если выполнено следующее условие:
min {тj} Лk, (10.13)
(iE{I, 2,..., п))л(l(р;, t k »0)
rде Л k значения nopora срабатывания перехода tkE Т. Друrими словами, пе-
реход tkE Т НСП Cr является активным, если во всех ero входных позициях
имеются ненулеВblе значения компонентов вектора текущей маркировки, а
минимальное из них не меньше пороrа срабатывания рассматриваемоrо
перехода.
LI (lPз) ПравшlO нечеткоzо срабатывания перехода. Если переход IkE Т НСП Cr
является активным при некоторой текущей маркировке т, (т. е. для Hero BЫ
полнено условие (10.13», то нечеткое срабатывание данноrо перехода, осуще
ствляемое MrHoBeHHblM образом, приводит к новой маркировке Jn =(тl",
т2",..., 111 п '), компонеНТbI вектора которой определяются по следующим фор
мулам:
. для каждой из входных позиций р;ЕР, ДЛЯ которых l(р;, 1,,»0:
т;"=О,
(Vp;EP) Л (l(Pj, Ik»O);
(10.14)
. для каждой из выходных позиций PjEP, для которых O(t k . р;»О:
т} = mах{т f' min{т;, fk} } (VРjЕР)Л(О(lk,р;»О), (10.15)
(iE{I, 2,,__, п))л(/(р/, t k »0)
rде л значение функции принадлежности или мера возможности He
четкоrо срабатывания (запуска) перехода 1kE Т, которое задается при оп-
ределении конкретной НСП Сс.
Если некоторые из позиций р;ЕР являются одновременно ВХОДНblМИ и
ВblХОДНblМИ для разрешенноrо перехода 1kE Т, то для них компоненты
вектора новой маркировки рассчитываются последовательно, вначале по
формуле (l 0.14), а затем по формуле (10.15).
Рассмотрим применение описаННblХ Правил IP(Cr) на примере изменения началь-
ной и последующих маркировок НСП Cr, изображенной на рис. 10.6.
При начальной маркировке то= (0.95, 0.9, О, О, О) активными являются два пе-
рехода: 11 и 12, поскольку для каждоrо из них выполненоусловие (10.13), т. е.
rлава 10. Нечеткие сети Петри
289
0.95>0.6 и min{0.95, 0.9}= 0.9>0.5, rде л,= 0.6 и ')..2= 0.5 значения пороrов cpa
батывания переходов 11 и 12 соответственно. Друrих разрешеННbIХ переходов при
данной начальной маркировке нет.
НечеТI<ое срабатывание перехода 11 приводит к новой маркировке Inl, компонен
ты вектора которой определяются по формулам (10.14) (10.15) следующим
образом. Поскольку позиция PIEP является входной для данноrо перехода, то
для нее: 11'111=0. Для позиции рз, которая является ВbIХОДНОЙ для перехода
11: тз l = mах{О, min{0.95, 0.8}} = 0.8, rде 1,= 0.8. Значения т2'= п12 0 , 11141= 11'140,
тs'= mS O остаются без изменения, поскольку позиции Р2, Р4, р5 не является ни
входными, ни ВbIХОДНЫМИ для рассматриваемоrо активноrо перехода 1,. Таким
образом, нечеткое срабаТblвание перехода 1, приводит к изменению начальной
маркировки то на новую маркировку Inl= (0,0.9,0.8, О, О).
Нечеткое срабаТblвание перехода 12 приводит к новой маркировке Inz, компонен
Ть! вектора которой определяются по формулам (10.l4) (l0.15) следующим об-
разом. Поскольку ПОЗИЦИИРI,Р2ЕР являются входными для данноrо перехода, то
для них: 11'112=0 и т2 2 =0. Для ВblХОДНОЙ позиции р4 компонент новой маркировки
равен: т4 2 =тах{0, min{0.95, 0.9, 0.85}} = 0.85. Значения п13 2 =т5 2 =0 остаются без
изменения, поскольку позиции рз и р5 не являются ни ВХОДНblМИ, НИ выходными
для рассматриваемоrо активноrо перехода 12. Таким образом, нечеткое срабаты
ваНие перехода 12 приводит к изменению начальной маркировки то на новую
маркиро вку Лlz=(О, О, О, 0.85, О) .
Примечание
Следует заметить, что нечеткое срабатывание перехода t 1 делает неактивным
переход t2, а нечеткое срабатывание перехода t2 в свою очередь делает HeaK
тивным переход t1. Таким образом, данные переходы являются конфликтными,
что приводит к их альтернативному срабатыванию.
При текущей маркировке 'NI нет аКТИВНblХ переходов, а при маркировке Inz aK
тивным является переход 14Е Т, поскольку для Hero Вblполнено условие
(l 0.13): 0.85>0.5, rде ')..4= 0.5. Нечеткое срабаТbIвание перехода 14 изменит марI<И
ровку Inz на новую маркировку "'з=(0, О, О, О, 0.75), rде значение l1l5 З = 0.75 полу-
чается с использованием формулы (10.15). При полученной в результате марки-
ровке тз нет активных переходов, поэтому рассмотрение этоrо примера можно
закончить.
CTporoe определение диаrраММbI достижимых маркировок НСП Cr базируется
на отношениях непосредственноrо следования и достижимости маркировок, оп-
ределения которых приводятся ниже.
Н е п о с р е Д с т в е н н а я Д о с т и ж и м о с т ь М а р к и р о в о к. Маркировка
"' НСП Cr= (N, то) непосредственно достижима из маркировки т (непосред
ственно следует за маркировкой т) этой же НСП, если маркировка "' получает
ся в результате нечеткоrо срабатывания HeKoToporo активноrо при т перехода
290
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
["Е Т. Отношение непосредственноrо следования маркировок НСП Cr будем обо
значать через: т (t,,) nlv, rде т и Inv BeKTopbI соответствующих маркировок.
Очевидно, отношение непосредственной достижимости маркировок НСП Cr яв
ляется бинарным транзитивным отношением на декартовом произведении MHO
жества всех возможных маркировок фиксированной НСП Cr.
Д о с т и ж и м о с т ь М а р к и р о в о к. Маркировка т", НСП Cr = (N, то) назы
вается достИJКUМОЙ из маркировки l1l этой же НСП, если существует конечная
упорядоченная последовательность маркировок М,,= <ml, 1т,..., тч>, rде I1lI=m,
I1l ч =т. о , и соответствующая ей конечная упорядоченная последовательность
переходов 1t,=<tl, 12,..., 1q l> такие, что любая пара соседних маркировок в
М" удовлетворяет отношению непосредственноrо следования маркировок:
11lj- (lj) IЩ+1 (V}E {1, 2,..., q I}). Отношение достижимости для НСП Cr будем обо
значать через т (ЛIJ тн"
Отношение достижимости маркировок НСП Cr также является бинаРНblМ TpaH
зитивным отношением на декартовом произведении множества всех ВОЗМОЖНblХ
маркировок фиксированной НСП. Как и в случае классических СП, данное OT
ношение является транзитивным замыканием отношения непосредственной дoc
тижимости маркировок, в чем читателю предлаrается убедиться самостоятельно.
ДЛЯ НСП Cr (см. рис. 10.6) справедливы соотношения: l1lo-----(11) 11l1, 11lo-----(12) Iп2,
II12 (14) тз и l1lo-----«t2, Ц» 11lЗ.
Как и ранее, через D(m) будем обозначать множество маркировок, достижимых
из некоторой фиксированной маркировки т для заданной НСП Cr = (N, то), т. е.
D(m) = {11lн' I (3 л,) т (л,) I1l",}.
М н о ж е с т в о Д о с т и ж и м bI Х М а р к и р О В О К Н С П Cr. Множество
D(тo) будем называть МIl0.жество..w достu.ЖШWblХ маркировок дЛЯ НСП
Cr = (N, то) или просто Мll0жеством дОСl1lu:жимости НСП Cr.
Диа2РШШОЙ достижиМЬ1Х маркировок (rрафом достижимости) НСП Cr будем
называть ориентированный rраф D(V, Е, у), rде V={VI, 1'2,...,I!q} множест
во вершин rрафа, которое соответствует множеству достижимых маркировок
D(тo); Е={е;;} (Vv;, V;E V)} множество дуr, которое соответствует отношению
непосредственной достижимости маркировок НСП Cr; у: E Т отображение,
помечающее каждую дуrу данноrо rрафа переходом, нечеткое срабаТblвание
KOToporo обеспечивает Вblполнение соответствующеrо отношения непосредст
венной достижимости для рассматриваемой пары маркировок.
Диаrpамма ДОСТИЖИМblХ маркировок. построенная дЛЯ НСП Сrиз примера 10.3 в
форме диаrраммы деятельности нотации UML, представлена на рис. 10.7. На
этой диаrрамме срабатывание переходов понимается в смысле нечеткоrо сраба
тывания, как это определяется правило м 1P3.
Некоторые примеры построения нечетких моделей продукционных систем с ис
пользованием нечетких сетей Петри типа Сrприводятся в разд. 10.4.
rлава 10. Нечеткие сети Петри
291
(СI>аботап ( 1 ]
(сраболlП t:tl
Рис. 10.7. Диаrрамма ДОСТИЖИМЫХ маркировок
. для НСП C f из примера 10.3
Обобщенные нечеткие временные сети
Петр и типа С РТ '
Третий и наиболее общий подкласс НСП, называемый здесь обобщенными He
четкими временными СП типа СРТ У или кратко ОНВСП Срт У , может быть по
лучен введением описания неопределенности нечеткоrо характера в формализм
обобщенных временных СП типа Срт, что также позволяет сформулировать оп
ределения различных более конкретных подклассов ОНВСП в качестве частных
случаев. Однако более детальное рассмотрение последних выходит за рамки
данной книrи и может служить предметом специальных исследований.
О б о б щ е н н а я н е ч е т к а я в р е м е н н а я с е т ь П е т р и т и п а Срт У
(ОНВСП CPTI). Обобщенная нечеткая временная сеть Петрu типа Срт У может
быть определена как СРТ У = (N, 11l0(ro), z(ro), s(ro», rде:
L'] N:;:: (Р, Т, 1, О) структура ОНВСП Срт У , которая аналоrична структуре
обычных СП и для которой 1: PxT II входная функция переходов;
о: TxP /WII чыходная функция переходов;
292
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
LI тo(ro)= (mIO, т20,..., т"О) вектор начальной маркировки, с каждым компо
нентом тР KOToporo связано некоторое пространство с нечеткой мерой
(.о;, ;, G j ) (\iie {l, 2,..., п})
LI z(ro) = (ZI, Z2,..., z,,) вектор параметров временных задержек маркеров в пози-
циях ОНВСП CPT r , с каждым компонентом Z; KOToporo связано некоторое
пространство с нечеткой мерой (О;', ;', G/) (\iie{J, 2,..., п})
CJ s(ro) = (51, $2,..., 5,,) вектор параметров времен срабатывания активных пepe
ходов, с каждым компонентом Sj KOToporo также связано некоторое простран
ство с нечеткой мерой (О/" З/" G/,) (\ije{J, 2,..., и}).
Данное определение ОНВСП CPT r является слишком общим и абстрактным, что
затрудняет практическое использование соответствующих моделей при решении
прикладных задач нечеткоrо моделирования. Однако математическая структура
данноrо класса CPT r допускает различные конкретизации на основе рассмотре-
ния конкретных способов задания нечетких мер. Наиболее перспективным и ин-
тересным в контексте нечеткоrо моделирования представляется рассматривае-
мый ниже подкласс ОНВСП CPT r , который получается на основе задания
параметров векторов Z и S в виде нечетких величин (СМ. 2лаву 5).
Н е ч е т к а я в р е м е н н а я с е т ь П е т р и т и п а Срт У (НВСП Срт). Нечет-
кой временной сетью Петри типа Срт У будем называть подкласс ОНВСП CPT r ,
который определяется как Срт У =(N, O, Zv. Sy), rде:
CJ N =(Р, Т, 1, О) структура НВСП Срт У , которая аналоrична структуре орди
нарных СП и для которой 1: PxT------){О, l} входная функция переходов
о: TxP------){О, I} выходная функция переходов;
CJ то= (mIO, т20,..., т п О) вектор начальной маркировки, каждый компонент m j O
KOToporo представляет собой некоторую неотрицательную нечеткую величину;
CJ Zy= (ZI У, Z2 Y ,..., z,,1 вектор параметров времеНllЫХ задержек маркеров в пози
цuях НВСП Срт У , каждый компонент Zj у KOToporo представляет собой HeKOTO
рую неотрицательную нечеткую величину
CJ Sy=(SI\ 52\..., 5111 вектор параметров време1l срабатываllUЯ разрешеllllblХ
переходов НВСП Срт У , каждый компонент 5/ KOToporo также представляет
собой некоторую неотрицательную нечеткую величину.
Примечание
Напомним, что используемое в данном определении понятие неотрицательной
нечеткой величины представляет собой нечеткое множество .23={х, Б(х)}, за
данное на множестве неотрицательных действительных чисел IR+, т. е. для ко-
TOpOro универсумом Х служит множество IR+. Друrими словами, функции при-
надлежности компонентов векторов то, Zy и sуопределяются как I1m: IR+ [O, 1],
I1z: IR+ [O, 1] и I1s: IR+ [O, 1] соответственно.
rлава 10. Нечеткие сети Петри
29З
Поскольку понятие нечеткой величины допускает конкретизацию в виде нечет
Koro интервала и нечеткоrо числа, которые наиболее удобно с вычислительной
точки зрения использовать в форме (L R) представления, то рассматриваемый
подкласс НВСП CPT v также может быть конкретизирован применительно к YKa
занной форме представления то, Zv и S\!, Следуя в этом направлении, можно оп
ределить наиболее удобный с вычислительной точки зрения подкласс ИВСП,
основанный на задании указанных векторов в форме трапециевидных нечетких
интервалов (ТИИ) и треуrольных нечетких чисел (fНЧ), которые были опреде
лены в 2лаве 5.
Н е ч е т к а я в р е м е н н а я с е т ь П е т р и т и n а Срт Т (НВСП СРТ Т ). He
четкой временноЙ сетью Петри типа Срт Т будем называть подкласс НВСП CPT v ,
который определяется как СРТ Т = (N, то, ZT, ST), rде:
LI N = (Р, Т, 1, О) структура НВСП Срт Т , которая аналоrична структуре op
динарных СП и для которой 1: PxT {O, I} входная функция переходов;
о: TxP {O, I} выходная функция переходов
L'] то= (mJO, т20,..., т 1l О) вектор начальной маркировки, каждый компонент тр
KOToporo представляет собой ТНИ МТ; = <а;, Ь;, а,;, fЗ,>т (Vie {I, 2,..., п});
LI ZT= (ZI, Z2,..., ZII) вектор параметров временных задержек маркеров в позu
циях НВСП Срт т , каждый компонент Z; KOToporo представляет собой ТНИ
ZT; = <a j , Ь;, а,;, fЗ;>т (Vie {l, 2,..., п});
L'] ST= (SI, S2,..., sJ вектор параметров времен срабатывания разрешенных пepe
ходов НВСП Срт т , каждый компонент Sj KOToporo также представляет собой
ТНИ STj = <a j , Ь), a,j, J3 j >T (Vj e {I, 2,..., и}).
Примечание
Если в данном определении Н8СП Ср/ все ТНИ в векторах то. ZT, ST заменить
на ТНЧ мы= <8;, а;. P;>t., ZN= <8;. а;. P;>t. И 8N= <8j. aj. pj>t, соответственно. то
получим определение Н8СП CPTt. = (N, то, ZA. St,). которая является частным
случаем Н8СП СРТ Т . На основе нвсп Срт Т и Cpтt. MOryT быть таюке получены
определения отдельных подклассов Н8СП СР т. Cpt. И нвсп С/ и CTt. путем ис
ключения нечеткости из рассмотрения векторов ST, SA и ZT. Zt, соответственно.
что предлаrается выполнить читателям самостоятельно в качестве упражне
ния. В то же время полное исключение неопределенности при задании Beктo
ров ST, SA, ZT. Zt, приводит к определению обычных временных СП. В случае
частичноrо исключения неопределенности при задании векторов ST. St. и ZT, Zt..
т. е. при -задании их компонентов в виде неотрицательныx целых или действи
тельных чисел, MOryT быть получены определения комбинированных НВСП.
рассмотрение которых выходит за рамки настоящей книrи.
rрафически НВСП срт т и CPTt. представляются в виде ориентированноrо ДBY
дольноrо rpафа, аналоrично классическим ординарным СП.
При м ер 10.4. Изображенная на рис. 10.8 НВСП СртТимеет множество позиций
Р = {р1,Р2,рз,Р4,Р5} и множество переходов Т= {11, 12, lз,}. Для каждой из пози
294
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
ций дополнительно следует указать времена задержек маркеров в ВИде ТНИ:
ZI=ZTI=<2, 3,1, I>T, Z2,=Zп=<3,5, 1, I>T, zз=Zп=<I, 2, О, О>т, Z4=ZH=<2, 4,1, I>T,
zs=Zп=<О, О, О, О>т. Так, например, ZI T = <2,3,1, l>т означает, что временная
задержка маркера в позиции plEP представляет собой ТНИ ZTI, для KOToporo:
а=2, Ь=3, а= 1, (3= 1. Для каждоrо из переходов дополнительно следует указать
времена срабатывания активных переходов в виде ТНИ: 51 =Sп =< 1, 2, О, 1 >т,
52=SП=<0, 1, О, l>т, 5з=Sп=<2, 3, 1, О>т. Так, например, 51= <1, 2, О, l>т означа
ет, что время срабатывания перехода tl Е Т В случае ero активности представляет
собой ТНИ STI, дЛЯ KOToporo: а= 1, Ь=2, а=О, (3= 1.
Начальная маркировка для этой НВСП также должна быть задана в виде BeKTO
ра с компонентами в форме ТНИ: ПIlО=Мп=<I, 2, 1, I>T, m2 0 = Мп=<2, 3, О, I>T,
1113 0 =Мтз=<0, О, О, О>т, 11l4 0 =МТ4=<0, О, О, о>т, n1s 0 =MTS=<0, О, О, О>т. Так, напри
мер, 11110= <1, 2,1, I>T означает, что возможность наличия одноrо маркера в Ha
чальной маркировке 1110 в ПОЗИЦИИРIЕР представляет собой ТНИ Мп, для KOTO
poro: а= 1, Ь=2, а= 1, (3= 1. Остальные компоненты векторов 1110, ZT, ST
интерпретируются аналоrичным образом.
Sп <1.1. О. l>т
11 '1 l1
t:'1 . I О Zтз <1.2.0,0>r
U 8Ii , ..
'\ \ "". [3 R, Z <D
Zп=<l, 3.1. l>т \.\ \\ ": T . О. О, О>т
R \, (, \ р. ,//Sп=<2. 3. 1, О>Т
" ... '\....,/
0 /
Sп <О. 1,0, l>т
2 т2 =<3, 5.1, l>т 274=<2,4,1, J>r
Рис. 10.8. rрафическое изображение НВСП СртТ с начальной маркировкой
т1 0 ==МТ1==<1,2, 1, 1>т, т2 0 ==А1 т2 ==<2, З, О, 1>т, mзО==мтз==<О, О, О, О>т,
т4 0 ==м т4 ==<О, О, О, о>т, т5 0 ==м т5 ==<0, О, О, О>Т
Примечание
Изображенная на рис. 10.8 структура НВСП Ср/ может представлять собой
пример нвсп CPTt, в случае задания компонентов векторов то, ZT, ST в виде
ТНЧ ..1It,= <В, а, 13> t,. Так, например, если вместо векторов то, ZT, ST задать BeK
тора то, Zt" St, в виде: Z1=Zt,1=<2, 1, 1>t" Z2=Zt,2=<З, 1, 2>t" ZЗ=Zt,з=<1, О, 1>t"
Z4=ZM=<2, 1, 1>t" Z5=Zt,5=<O, О, O>t" S1=St,1=<1, О, 1>t" S2=St,2=<1, О, 2>t"
SЗ=St,з=<2, 1, 1>t, и начальной маркировкой, например, m10=Mt,1=<1, 1. 1> ,
m2°=Mt,2=<2, 2, 1>t,. mзО=мt,З=<О, О, O>t" т4 0 =мм=<0, О. O>t.. m50=Mt,5=<0, О. O>t"
то получим при мер Н8СП CPTt, со структурой N из примера 10.4. В этом случае
значение z1=<2, 1, 1>t, означает, что временная задержка маркера в позиции
Р1ЕР представляет собой тнч Zt,1, дЛЯ KOToporo в=2, 0.=1. 13=1. Значение
Тлава 10. Нечеткие сети Петри
295
51=<1, О, 1>,., означает, что время срабатывания перехода (1ЕТ в случае ero aK
тивности представляет собой ТНЧ 561' для KOTOpOro: а=1, 0.=0, 13=1. Остальные
компоненты векторов то, z,." 5,., интерпретируются аналоrичным образом.
Для описания процесса изменения начальной и последующих маркировок
ОНВСП СРт С можно использовать различные правила, определяющие KOHKpeT
ные условия активности и правила срабатывания переходов, аналоrично прави
лам IP(Cr) и IP(Vr). Однако, поскольку данный класс ОНВСП CPT f является наи
более общим и абстрактным среди всех ранее рассмотренных, ниже приводится
конкретизация данных правил только применительно для ero подкласса безо
пасных НВСП СРт Т . При этом безопасность НВСП понимается в смысле воз
можности наличия в каждой ИЗ ПОЗИЦИЙ сети не более одноrо маркера, задавае
Moro соответствующим ТНИ.
Динамика изменения начальной и последующих маркировок безопасных НВСП
СРт Т (далее просто НВСП СРТ Т) после момента их запуска подчиняется сле
дующим Правилам IP(CPT Т).
L'] (IPI) Правило Оllределеllия текущей маркировки. Любое текущее, в том числе и
начальное состояние НВСП Срт Т определяется вектором т = (1111. 11l"!...., 111,,).
компоненты KOToporo 111; представляют собой тни Мт; = <а" Ь" а" 13,>Т
(\fiE{l, 2,..., п}) и интерпретируются как значения функции принадлежности
нечеткоrо наличия одноrо маркера в соответствующих позициях PjEP OTHO
сительно времени, отсчитываемоrо от момента запуска данной НВСП C"r T .
Начальное состояние НВСП Срт Т определяется вектором на1laЛЬНОЙ марки
ровки то.
CJ (1P2) ПРllвило (условие) llIШlUвllОС/1lи 1lерехода. Переход lf.:E ТНВСП Срт Т назы
вается активны.м (разрешенным, возбужденным) при некотороЙ доступной
маркировке 111, если выполнено следующее условие:
Мт;>О
(Vp,EP) 1\ (l(pj, [f.:»0),
(10.16)
т. е. во всех входных позициях рассматриваемоrо перехода на момент Bpel\1e
ни т должны быть доступные маркеры, представленные отличными от нуля
НТНИ. При этом неравенство (10.16) следует понимать применительно к
функции принадлежности соответствующеrо ТНН для aprYMeHTa TEIR+. Дос-
тупность маркеров в позициях НВСП определяется соrласно правилу 1P4.
CJ (lPз) ПРl18ило нечеткоzо сра6атывllllllЯ IIерехода. Если переход 1/, Е ТНВСП Срт Т
активен при некоторой доступной маркировке 11l, т. е. для Hero выIIлненоo ус-
ловие (10.16), то нечеткое срабатывание данноrо перехода, осуществляемое за
время Sf.:= ST/" приводит к новой маркировке 111., компоненты вектора которой
определяются следующим образом:
. для каждой ИЗ входных ПОЗИЦИЙР;ЕР. дЛЯ которых I(p,. [/»0. по формуле:
т;"= <О, О, О, О>т
(\fp;EP)I\(I(p;, 1,» О);
(10.17)
296
Часть 1. OCHOBbI теории нечетких множеств инечеткой лоrики
. для каждой из выходных ПОЗИЦИЙРjЕР, для которых O(t", Р;» О , по формуле:
т; =min{ тах {т'}+Sk.тJ}
(iE{l, 2,..., п} )"и(р" ( .}>O) (10.18)
(VРjЕР)л(О(t",Рj»О) Л(МТ;;С<О, О, О, О>т),
rде "шах" расширенная операция максимума дЛЯ ТНИ, определяемая по
формуле (5.27), "min" расширенная операция минимума дЛЯ ТНИ, опре
деляемая по формуле (5.28), а "+" операция сложения ТНИ, определяе
мая по формуле (5.20);
. для каждой позиции PjEP, не являющейся ни входной, ни выходной, по
формуле:
\.
тj=т j
(VРjЕР)л{I(р;, t,,)=O) (O(tk'Pj)=O).
(10.19)
Если некоторые из позиций PjEP являются одновременно входными и BЫXOД
ными для активноrо перехода ["Е Т, то для них компоненты вектора новой
маркировки рассчитываются последовательно, вначале по формуле (10.17), а
затем по формуле (10.18).
О (!Р4) ПравшlO Ilечеткой задержкu маркеров в 1l0ЗUЦUЯХ. После нечеткоrо сраба
тывания активноrо перехода соrласно правилу IPз маркеры в выходных пози
циях для новой маркировки тр в общем случае являются недоступными. На
них начинают действовать временные задержки в соответствующих BЫXOД
ных позициях сработавшеrо перехода, определяемые вектором ZT' COOTBeTCT
вующие маркеры становятся доступиыми только после окончания дейс:вия
временных задержек, которые определяют доступную маркировку тр по
формуле:
Мт/ =MTj+ZTj (VРjЕР)л(О(t",р;»О)Л(МТj;С<О, О, О, О>т) , (10.20)
[де операция сложения понимается как сложение ТНИ по формуле (5,20). Для
выходных позиций Pj перехода (" с Мт;=<О, О, О, О>т по определению
MTj '=<0, О, О, О>т.
Примечание )
Указанные правила IP(Срт Т ) MOryт быть расширены на общий случай небезопас
ных нвсп Срт Т . Однако возможность наличия в позициях нвсп С рт Т несколь
ких маркеров приведет к необходимости рассмотрения в качестве текущей
маркировки некоторой матрицы, элементами I<Oторой будут ТНИ. Интерпрета
ция последних будет COOTBeTCTBOBaT значениям функции принадлежности He
четкоrо наличия соответствующеro количества маркеров в позициях данноrо
подкласса нвсп для определенных моментов времени. Данное обстоятельст
во существенно усложняет процесс анализа свойств небезопасных нвсп Срт Т ,
поэтому в дальнейшем наше внимание будет оrраничено рассмотрением толь
1<0 безопасных нвсп Ср/ и CPTt.. Следует таюке отметить, что если в правилах
т
IP(СРТ) всюду заменить ТНИ на ТНЧ, то получим соответствующие правила
lP(сртд), которые описывают динамику изменения начальной и последующих
маркировок безопасных нвсп сртд.
rлава 10. Нечеткие сети Петри
297
Проиллюстрируем применение описанных правил IP(CPT T } на примере изменения
начальной маркировки ВВСП срт т , изображенной на рис. 10.8.
Соrласно правилу IP, начальное состояние данной НВСП срт т определяется BeK
тором то= (mIO, т20, 11'23°, 11'24°, msO), компоненты которото являются ТНН:
mI0=MTI=<1,2, 1, I>T, m20=МТ2=<2, 3, О, I>T, mзО=Мтз=<О, О, О, О>т, т40=МТ4=
::: <О, О, О, О>т, ms O =MT5=<O, О, О, О>т. Соrласно правилу 1P4 на начальную марки
ровку то начинают действовать временные задержки маркеров в позициях дaH
ной НВСП. Поэтому доступной начальной маркировкой будет вектор то', KOM
поненты которото равны: тl '=Мп=<3, 5, 2, 2>т, т2'=МТ2=<5, 8,1, 2>т, тз'=
=Мтз=<О, О, О, О>т, т4'=МТ4=<0, О, О, О>т, ms'=MTS=<O, О, О, О>т. Соrласно пра
вилу 1P2 для доступной маркировки то' активными будут переходы 11 и 12, по
скольку для них выполнено условие (10.16).
Нечеткое срабатывание перехода 1, при водит к новой маркировке т", компонен
ты вектора которой определяются соrласно правилу 1P3 и равны соотвеТственно:
nll"=MTI=<O, О, О, О>т, поскольку позиция PIEP является входной для данното
перехода; 11'22"= МТ2=<5, 8, 1, 2>т, поскольку позиция р2 не является выходной для
рассматриваемоrо активноrо перехода 1\ тз"= Мтз=<3, 5, 2, 2>т +< 1, 2, О, 1 >т=
=<4, 7, 2, 3>т, поскольку позиция рз является выходной для перехода 11
т/=МТ4=<3, 5, 2, 2>T+<I, 2, О, I>T=<4, 7, 2, 3>т, поскольку позиция р4 также
является выходной для перехода 11 ms"=Mтs=<O, О, О, О>т, поскольку позиция
р5ЕР не является выходной для рассматриваемоrо разрешенноrо перехода 1\.
Нечеткое срабатывание перехода 12, также активноrо при маркировке то' при
водит к новой маркировке Inw. Компоненты вектора этой маркировки опреде
ляются по правилу IPз и равны соответственно: lпJ'''=МП=<О, О, О, О>т,
т2 W =МП=<0, О, О, О>т, т. к. позиции рl И р2 входные для перехода 12
m4'r=MH=max{<3, 5, 2, 2>т, <5,8, 1, 2>т} + <О, 1, О, I>T=<5, 8,1, 2>т +<0, 1, О, I>т=
=<5,9,1,3>T, т. к. позиция P4 выходная для перехода 12; mз ll '=Мтз=
=<0, О, О, О>т, msO=MTS=<O, О, О, О>т остаются без изменения, т. к. Р3, pSEP не яв
ляются выходными для перехода 12.
После нечеткоrо срабатывания переходов 1\ и 12 маркировки т. и т... являются
недоступными, поскольку на маркеры в выходных позициях р3 И р4 действуют
временные задержки. Соrласно правилу 1P4, доступными будут маркировки т,,' и
Inw', Компоненты которых равны соответственно: mll"=<O, О, О, О>т, т2 1 "=
=<5,8, 1, 2>т, mз"'=<5, 9, 2, 3>т, т41' <6, 11, З, 4>т, ms l " = <О, О, О, О>т И ml''' <O, О, О, О>т,
т2 Ir '=<0, О, О, О>т, mз 1 r'=<0, О, О, О>т, m4,r'=<7, 13,2, 4>т, ms'V' = <О, О, О, О>т.
Рассматривая маркировки mv' и Inw' В качестве доступных, можно заметить, что
при маркировке т,,' активным будет единственный переход 1з, а при маркировке
Inw' активных переходов в данной НВСП нет. Закончить рассмотрение этоrо
примера изменения маркировок предлаrается читателям самостоятельно в каче
стве упражнения.
Анализ данното примера показывает, что дЛЯ НВСП срт т можно определить OT
ношения непосредственной достижимости и достижимости маркировок.
298
Часть 1. ОсновЬ! теории нечетких множеств инечеткой лоrики
н е п о с р е Д с т в е н н а я Д о с т и ж и м о с т ь м а р к и р о в о к. Маркировка
I1lр НВСП СРТ Т = (N, то, ZT, ST) непосредственно достижима из маркировки т
(непосредственно следует за маркировкой 1Il) этой же НСП, если маркировка I1lр
получается в результате нечеткоrо срабатывания HeKoToporo активноrо при т
перехода tkE Т и является доступной для активности друrих переходов. Отноше-
ние непосредственноrо следования маркировок НВСП СРТ Т будем обозначать
через: m (tk) IIlV' [де т и IIlр векторы соответствующих маркировок.
Д о с т и ж и м о с т ь м а р к и р о в о к. Маркировка IIlн' НВСП СРТ Т = (N. то, ZT, ST)
наЗblвается дости.жuмой из маркировки т этой же НСП, если существует конеч
ная упорядоченная последовательность маркировок M k = <1111, 1Il2,..., тч>, [де
тl=т, тч=т"., и соответствующая ей конечная упорядоченная последователь-
ность переходов 7t,=<tl, [2,..., [q I>, такие, что любая пара соседних маркировок
в M . удовлетворяет отношению непосредственноrо следования маркировок:
IIl.r(ti) IIlj+l (\fjE {l, 2,..., q l}). Отношение достижимости дЛЯ НВСП СРТ Т будем
обозначать через т (п,) т",.
ДЛЯ НВСП СРТ Т (рис. 10.8) справедливы соотношения: 1II0 (tl) IIl: И mo (t2) тH:'
Как и ранее, через D(m) будем обозначать множество маркировок, достижимых
из некоторой фиксированной маркировки 111 для заданной НВСП СРТ Т =
= (N, то, ZT, ST), т. е. D(m) = {т", 1(з п,) т (п,) тH'}'
М н о ж е с т в о Д о с т и ж и м ы х м а р к и р о в о к НВСП СРТ Т . Множество
D(lIlo) будем называть Мlю.жеством дости:НСlLМblХ маркировок дЛЯ НСП
Сс = (N, то) или просто множеСl1lво м достu:жuмостu НСП Сс.
Дuа2рамлюй дОСI1Ш:НСU.МЫХ маркировок (rрафом достижимости) НВСП СРТ Т будем
называть ориентированный rраф D(V, Е, у), [де V={VI, V2,...,J'q} множество
вершин rрафа, которое соответствует множеству достижимых маркировок
D(mo); Е={еу} (\fv;, VjE V)} множество дуr, которое соответствует отношению
непосредственной достижимости маркировок НВСП СРТ Т ; у: E T отображе
ние, помечающее каждую дуrу данноrо rрафа переходом, нечеткое срабатыва-
ние KOToporo обеспечивает выполнение соответствующеrо отношения непосред
ственной достижимости для рассматриваемой пары маркировок.
Свойства нечетких сетей Петри
Проведение исследований с использованием нечетких сетей Петри также пред-
полаrает установление целоrо ряда конкретных свойств моделей с последующей
интерпретацией полученных результатов применительно к решаемой задаче и
проблемной области. Ниже приводятся определения только тех из основных ди
намических свойств НСП рассмотренных подклассов, которые допускают
обобщение аналоrичных свойств базовоrо формализма классических СП.
О r р а н и ч е н н о с т ь поз и Ц и й. Позиция р;ЕР НСП Ус = (N..Mo) называется
k О2раничеН1l0Й, если для любой достижимой маркировки MED(Mo) выполняется
rлава 10. Нечеткие сети Петри
299
условие: rnax{т i ; I тy>O} k 1 для HeKoToporo фиксированноrо значения
kE {l, 2, 3,...}. Здесь максимум берется по всем компонентам вектора 111;, COOTBeT
ствующеrо i ый строке матрицы достижимой маркировки М.
неп Уу = (N, Мо) называется k О2раничеН1IОЙ, если все позиции множества Р яв
ляются k оrраниченными.
Б е з о пас. н о с т ь поз и Ц и й. l оrраниченная позиция неп Уу = (N. Мо) Ha
зывается безопасной позицией. l оrраниченная веп Уу = (N, 1\10) называется
безопасной неп.
у с т о й ч и в о с т ь пер е х о д о в. Переход (; неп Уу (а также неп ef и
нвеп еРт Т ) называется устоЙчивым, если 'Этот переход с; остается активным при
срабатывании любоrо друrоrо активноrо при этой же маркировке перехода 1,.
веп называется устойчивой, если все ее переходы являются устойчивыми.
у р о в н и а к т и в н о с т и пер е х о Д о в веп. Пусть задана неп V f (НСП
Су или ВВСП СРт'Т).
LI Переход tjE Т обладает активностью уровня О и называется lЮСС1ШIIЫМ или
мертвым, если не существует ни одной достижимой в 'Этой неп маркировки.
при которой этот переход был бы активным.
LI Переход tjE Т обладает активно стыо уровня 1 и называется 1l0/1lеllцuалыш Ш\.
/1lивны.М или живым, если существует достижимая в этой НСП маркировка,
при которой этот переход является активным.
LI Переход l;Е Т обладает активностью уровня 2, если для любоrо натуральноrо
SEN в 'Этой ВСП существует последовательность срабатываемых переходов
1[k, в которой l; присутствует по крайней мере s раз.
LI Переход tjE Т обладает актив1l0стыо уровня 3, если в этой неп существует
последовательность срабатываемых переходов 1[k' в которой переход [, при
сутствует неоrраниченное число раз.
LI Переход ljE Т обладает аК11lивиостыо уровня 4 и называется аЮlll/в//Ы.Н или
живьш, если для любой достижимой в 'Этой веп маркировки существует по
следовательность срабатываемых переходов 1[", так что [; является активным
при некоторой друrой достижимой в этой НСП маркировке. получаемой в
результате последовательноrо срабатывания переходов из 1(,...
LI Переход ljE Т называется 1l0теициалыlO _14ертвым, если существует некоторая
достижимая в этой неп маркировка, такая что при любой ДОСТИЖИl\ЮЙ из
данной маркировки переход с; не является активным.
LI Рассматриваемая веп обладает активностью уровня ", rде kE {O,l ,2.3,41, cc
ли все ее переходы обладают активностью уровня k.
Т у п и к о в а я м а р к и р о в к а. Достижимая в неп маркировка называется
tj тУllиковоЙ (tjE 1), если переход с, потенциально мертвый для данной маркиров
ки. Если рассматриваемая достижимая в этой неп маркировка l; тупиковая для
всех переходов {;Е Т, то она называется туnиковой.
300
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
При моделировании процессов функционирования дискретных динамических
систем с использованием НСП рассмотренных подклассов также MorYT быть
сформулированы некоторые задачи, аналоrичные задачам базовоrо формализма
СП. Так, например, задача достижимости маркировки в НСП состоит в YCTaHOB
лении отношения достижимости некоторой заданной маркировки из начальной
маркировки для рассматриваемой НСП.
Классификация нечетких сетей Петри
Ниже представлены основы теории математических структур СП с неопределен
ностью и схема порождения конкретных подклассов НСП, использующие поня
тие математической структуры пространств с нечеткой мерой. Дополнительное
включение в схему порождения классов математических структур СП с неопре
деленностью концепции нечеткой меры позволяет существенно обоrатить полу
чаемые при этом модели НСП, увеличить их моделирующие способности и по-
высить их адекватность при решении практических задач. Полученная в
результате классификация НСП фиксирует основные компоненты COOTBeTCT
вующих моделей и позволяет систематизировать представление достаточно ши
pOKoro класса математических структур НСП на базе единой аксиоматики.
При этом в основу систематизации классов СП с неопределенностью, включая
НСП и НВСП, положена концепция ПОрОЖденИЯ конкретных математических
структур детерминированных СП путем введения в их компоненты различных
видов неопределенности.
Для иллюстрации этой идеи рассмотрим схему порождения различных классов
СП с неопределенностью, образуемых из базовой математической структуры
класса временных СП (ВСП), которая определяется как <СРТ, IP>. Здесь СРТ = (N,
то, z, s) базовый формализм ВСП, в котором:
r:J N = (Р, т, L О) структура ВСП Срт, которая аналоrична структуре обобщен
ных СП и для которой 1: PxT J входная функция переходов; о: TxP J
выходная функция переходов;
r:J то= (тIO, т20,..., т n О ) вектор начальной маркировки, каждый компонент m j O
KOToporo представляет собой целое неотрицательное число: mjEN(}
(ViE{1,2,...,п});
О ,= (ZI, Z2,..., zn) вектор временных задержек маркеров в позициях ВСП СРТ,
каждый компонент Zj KOToporo представляет собой целое неотрицательное
число: ZjE (} (V'iE{I, 2....' n}) (V'iE{I, 2,..., п});
r:J s = (SI, S2,..., Sl/) вектор времен срабатывания разрешенных переходов ВСП
СРТ, каждый компонент Si KOToporo также представляет собой целое неотри
цательное число: SiE (J (V'iE {I, 2,..., и).
IP совокупность Правил IP(CPT), определяющих процесс запуска и функциони
рования ВСП, которые включают в себя условия активности и срабатывания
rлава 10. Нечеткие сети Петри
301
переходов, доступности маркеров в позициях ВСП, изменения начальной и по
следующих маркировок, а также, возможно, друrие условия.
В общем случае введение неопределенности в описание исходной математиче-
ской структуры ВСП СРТ = (N, то, z, s) предполаrает задание одной или несколь
ких структур снеопределенностью 8(ш), которая может отражать стохасТиче-
ский, нечеткий или комбинированный характер ее проявления. Последовательно
вводя описание неопределенности 8(ш) в отдельные компоненты базовой мате-
матической структуры (М С) <СРТ, IP> можно получить следующие обобщенные
классы ВСП СРТ = (N, то, z, s) снеопределенностью соrласно следующей Схеме
порожденuя:
О <N(m), то, z, s, IP'> МС ВСП с неопределенностью задания структуры
(р, Т, 1, О)roВСП Срт, при этом IP' обозначает модификацию исходных Правил
функционирования ВСП IP, отражающих содержательный смысл вводимой
неопределенности в структуру ВСП;
О <N, то(ш), z, s, IP'> МС ВСП с неопределенностью задания начальной Map
кировки lIlо. Конкретизацией данной МС являются рассмотренные выше
ВСП Vc при z= О, s= О, rде 8(0) определяется аксиоматикой нечеткой меры;
О <N, lIlо, z(m), s(m), IP'> МС ВСП с неопределенностью задания времен за-
держки маркеров в позициях и времен срабатывания активных переходов.
Данная МС представляет собой определенный выше класс ОВВСП СРт С , при
менительно к которому 8(0) определяется аксиоматикой пространства с не-
четкой мерой (О, 3, G);
О <N, то, Z, s, IP'(O)> МС ВСП с неопределенностью в задании Правил IP, оп-
ределяющих процесс функционирования сети. Конкретизацией этой МС яв
ляются различные разновидности ВСП и СП, например, с заданием вероятност
ных или нечетких мер на множествах конфликтных переходов с целью
исключения альтернативноrо ветвления на диаrpамме достижимых маркировок.
Если в рассмотренной схеме порождения МС СП с неопределенностью под S(m)
понимать математическую структуру с аксиомами нечеткой математики, то по
лученные подобным образом обобщения базовоrо формализма классических
МС естественно принять за определения соответствующих подклассов нечетких
СП, что вполне соrласуется с известными в литературе формальными определе
ниями последних.
И, наконец, рассматривая различные комбинации cOBMecTHoro введения описа
ния неопределенности S(O) в отдельные компоненты базовой МС ВСП и МС
друrих классов детерминированных СП (например, в МС СП с разноцветными
маркерами и дуrами, в МС сетей предикат-переход), а также используя различ
ные структуры S(O) стохастической, нечеткой или комбинированной природы,
можно получить определение весьма боrатых в математическом отношении МС
СП различных классов, анализ свойств которых далеко выходит за рамки тема-
тики книrи и может служить предметом самостоятельных исследований.
302
Часть 1. Основы теории нечетких множеств и нечеткой лоrики
Взаимосвязь различных подклассов нечетких сетей Петри, которые MorYT быть
получены с использованием предложенной выше схемы порождения ме еп с
неопределенностью, представлена на рис. 10.9 в форме диа2раммы классов языка
UML. На этой диаrрамме базовая математическая структура временных еп ис
пользуется в качестве своеобразноrо шаблона, параметрами KOToporo являются
те ее компоненты, в которые вводится описание неопределенности соrласно pac
смотренной выше схеме порождения подклассов еп.
р iIJ;: S-:-(
< С рт . Р >- r
'" \
Рис. 10.9. Диаrрамма классов нечетких сетей Петри, полученная на основе схемы
порождения математических структур етей Петри снеопределенностью
При изучении Подклассов неп основное внимание уделяется не столько Teope
тическому анализу отмеченных свойств веп, сколько анализу конкретных He
четких моделей, построенных на их основе. Ниже рассматриваются некоторые
конкретные особенности построения нечетких моделей на основе подклассов
веп и интерпретаuия их свойств с учетом спеuифики той или иной проблемной
области.
rлава 10. Нечеткие сети Петри
зоз
10.3. Использование нечетких
сетей Петри для представления
правил нечетких продукций
При решении прикладных задач нечеткоrо моделирования и выполнения про
цесса приближенных рассуждений используются модифицированные НСП Сс =
= (N,f, л, то), для которых правила IPI, 1P2 такие же, как и рассмотренные выше
для IP(Cr}, а правило 1P3 модифицироваНG и принимает следующий вид'
(lPз') При расчете компонентов вектора новой маркировки т как для входных,
так и для выходных позиций используется единая формула (10.15).
Это правило обусловлено тем обстоятельством, что НСП Сс используют для ин
терпретации маркеров в позициях понятие нечеткой истинности высказывания.
Значение последнеrо не становится равным нулю для выказыыанийй в левой час
ти правил продукций после их выполнения при данной интерпретации.
Одним из наиболее известных приложений НСП является их использование для
наrлядноrо представления правил нечетких продукций и выполнения на их oc
нове вывода нечетких заключений.
В этом случае используется следующая интерпретация позиций и переходов
НСП. Правило нечеткой продукции вида "ПРАВИЛО i: ЕСЛИ 51, ТО 13" преk
ставляется как некоторый переход I;Е Т НСП (N,f, л, то), при этом условию 51
этоrо правила соответствует входнаЯ позиция PjEP этоrо перехода 1;, а заключе
нию выходная позиция PkEP этоrо перехода с; (рис. 10.1 О, а).
Если условие правила нечеткой продукции состоит из нескольких подусловий,
соединенных операцией нечеткой конъюнкции: 51= 5111\5121\...I\51" то все эти по
дусловия представляются как входные позиции соответствующеrо перехода
(рис. 10.10, б для случая 1=3).
Если заключение правила нечеткой продукции состоит из нескольких подзаклю
чений, соединенных операцией нечеткой конъюнкции: 13= 1311\1321\...1\13" то все
эти подзаключения также представляются как Выходные позиции COOTBeTCT
вующеrо перехода (рис. 10.1 О, в для случая 1=3).
Более сложный случай соответствует дизъюнкции подусловий и подзаключений.
Так, если условие правила нечеткой продукции состоит из нескольких подусло
вий, соединенных операцией нечеткой дизъюнкции: 51= 51lv5l2V... v5l" то все эти
подусловия представляются как ВХОДные позиции отдельных переходов 1; для
iE О, 2,..., '} (рис. 10.10,2 для случая 1=3).
Если же заключение правила нечеткоЙ продукции состоит из нескольких подзак
лючений, соединенных операцией нечеткой дизъюнкции: 13= 13lv132v...v13" то все
эти подзаключения представляются как выходные позиции отдельных переходов
[, ДП:1 i Е { 1, 2,..., '} (рис. 10.1 О, д для случая 1=3).
304
Часть 1. Основы теории нечетких множеств инечеткой лоrики
RO
t/ lj,
я .о
/
0 //
lj
I] t i lt
а
t 1
R
'2 lt
Il
/
'J /
/
lj \..../ l.... ..
r
J)lf
R t, _/
\.J .I .'JIl
"'--
"'-
Ulj
б
в
(1
R
1] / fl
",-. fJ
' .I .{\
lj
д
Рис. 10.10. Фраrменты нечетких сетей Петри для представления различных вариан
тов правил нечетких продукций
Таким образом, любое правило нечеткой продукции может быть представлено в
виде фраrмента НСП. При этом веса или коэффициенты определенности F; пра
вил нечетких продукций преобразуются в вектор f= (fi, /2,..., 1./) значений функ
ции принадлежности нечеткоrо срабатывания переходов, а степеням истинности
подусловий правил соответствуют значения компонентов начальной маркиров
ки то= (11'21°, 11'22°,..., тпО)' которая в этом случае описывает текущую ситуацию
моделируемой проблемной области.
римечание
Следует заметить, что в дополнение к базовому формализму правил нечетких
продукций в НСП можно учесть возможность активизации каждоrо из правил
заданием вектора л= (Л1. 1..2..... ли), компоненты KOTOpOro определяют значения
nopora срабатывания переходов.
При м е р 10.4. Представим базу правил нечетких продукций из примера 6.5 в
форме модифицированной НСП Се = (N,f, л, то) и рассмотрим пример вывода
заключений с ее использованием на основе Правил IP(Cr'). Напомним, что в каче
стве системы нечетких продукций исполь уется следующее множество правил
нечетких продукций:
LJ ПРАВИЛО l: ЕСЛИ 'Тражданин не является высокопоставленным чиновни
ком", ТО "он подверrается таможенному досмотру" (FI=1.0)
LJ ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ 'Тражданин является высокопоставленным чиновни
ком", ТО "он не подверrается таможенному досмотру" (F2=0.9)
rлава 10. Нечеткие сети Петри
305
(j ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ 'Тражданин не подверrается таможенному досмотру",
ТО "не исключается возможность про воза наркотиков" (Fз=О.8)
r:J ПРАВИЛО 4: ЕСЛИ "Количество rраждан, проходящих таможенный дo
смотр, велико", ТО "контролер испытывает чувство усталости" (F4=O.6)
r:J ПРАВИЛО 5: ЕСЛИ "Контролер испытывает чувство усталости", ТО "не ис
ключается возможность провоза наркотиков" (Fs=O.7)
О ПРАВИЛО 6: ЕСЛИ 'Тражданин подверrается таможенному досмотру" И
"в отношении этоrо rражданина имеется аrентурная информация", ТО
"исключается возможность провоза н ркотиков" (F6=O.95)
О ПРАВИЛО 7: ЕСЛИ 'Тражданин подверrается таможенному досмотру" И
"контролер использует новейшие технические средства", ТО "исключается
возможность провоза наркотиков" (F7=O.95)
Этой системе правил нечетких продукций соответствует НСП ci =(N,f, л, то),
структура которой изображена на рис. 10.11. При этом все компоненты вектора л
принимаются равными нулю.
R
"-
\,
li 'J l/, \.t4J; O ]5
._.
fl ) \
Jj \\ Т, /. О 9 /'
О \' ', 5 /'
11 ( р.. 16 r О 8
Jl O 9 ./
Ц '. ps '7 ./
.,
/ /J
lf.o
{)
Рис. 10.11. Структура нечеткой сети Петри для представления
базы правил нечетких продукций примера 10.4
Для удобства визуализации этой НСП принята следующая интерпретация пози
ций, каждая из которых соответствует отдельному нечеткому высказыванию:
(j Рl "В отношении rpаждашша имеется аrентурная информация";
r:J р2 'Тражданин не является высокопоставленным чиновником";
r:J рз "Контролер использует новейшие технические средства";
(j р4 'Тражданин является высокопоставленным чиновником";
r:J р5 "Количество rраждан, проходящих таможенныЙ досмотр, велико"
(j р6 'Тражданин подверrается таможенному досмотру";
306
Часть 1. ОсновЬ1 теории нечетких множеств инечеткой лоrики
о р7 'Тражданин не подверrается таможенному досмотру";
О р8 "Контролер испытывает чувство усталости";
О р9 "Исключается возможность провоза наркотиков";
О PIO "Не исключается возможность провоза наркотиков".
При этом каждый из переходов соответствует отдельному правилу нечеткой
продукции: 11 правилу 1, 12 правилу 2, 13 правилу 4, 14 правилу 6, 15
правилу 7, 16 правилу 3, 17 правилу 5.
Как 11 ранее, предположим, что на таможенном пункте контроля сложилась сле-
дующая текущая ситуация. Среди rраждан, въезжающих в страну, находятся вы-
сокопоставленные чиновники (Т=0.2). Количество rpаждан, проходящих TaMO
женвый досмотр, невелико (T=O.I). Таможенный пункт контроля оснащен
новеЙшими техническими средствами (Т=0.8). Какая либо предварительная ин
формация о наличии наркотиков у отдельных rраждан отсутствует (Т=0.9). Здесь
в скобках указаны степени истинности соответствующих нечетких высказыва
ний. Тем самым задается вектор начальной маркировки: 1110=(0.1, 0.8, 0.8, 0.2, 0.9,
О, О. О, О, О). Этой ситуации соответствует НСП, изображенная на рис. 10.12.
Ii
IIIL 01 0
\
\" T
Я. [1 l-}, _ " . O 95
т! OH -v - 1
J;. 1 \, '
\[ //
-1-'r. o 9S /
, :[)
lj
l1Iз U8 0 -
11 '1 l?
"'4 o:!0- -. . - i .--- - .0-
-1i О 9
[6 R
_ O 8 10
.+ -- - -- -.- - - . -;O
///
n '3 l ' ,.
1<; I r..
1II5 O 9& - i-- - - ---1 _? ./
Рис. 10.12. Нечеткая сеть Петри, представляющая рассматриваемую
текущую ситуацию на таможенном пункте контроля
Формально задача заключается в том, чтобы, используя построенную НСП и
модифицированные Правила ее функционирования IP(Cr'), оценить наличие од-
Horo маркера в ПОЗИЦИЯХР9 и plO.
С этой целью последовательно рассмотрим все активные переходы и результаты
их нечеткоrо срабатывания. На первом шаrе решения этой задачи следует опре-
делить активные переходы в НСП.
Срабатывание активноrо при начальной маркировке перехода (1 приводит к из-
менению маркировки в позиции Р6, которая становится равной 1116=0.8. Сраба-
rлава 10. Нечеткие сети Петри
307
тывание активноrо при начальной маркировке перехода (2 приводит к измене
нию маркировки в позиции Р7, которая становится равной Пl7=0.2. Срабатывание
активноrо при начальной маркировке перехода (3 приводит к изменению марки-
ровки в позиции Р8, которая становится равной т8=0.6.
Новые значения маркеров в этих позициях приводят К активности переходов (4 (7.
При этом срабатывание активноrо перехода (4 приводит к изменению маркиров
ки в позиции Р9, которая становится равной 1119=0.1. Срабатывание активноrо
перехода (5 приводит к новому изменению маркировки в позиции p'J, которая
становится равной П19=0.8.
Срабатывание активноrо перехода (ь приводит к изменению маркировки в пози-
ции plO, которая становится равной 11110=0.2. Наконец, срабатывание активноrо
перехода (6 приводит к новому изменению маркировки в позиции PIO, которая
становится равной 11110=0.6. Поскольку дальнейшие срабатывания активных пе
реходов не изменяют маркировку: ",=(0.1, 0.8, 0.8,0.2,0.9,0.8,0.2,0.6,0.8,0.6), то
на этом процесс анализа функционирования данноЙ НСП можно закончить.
Таким образом, для рассматриваемой ситуации степень истинности нечеткоrо
высказывания "исключается возможность провоза наркотиков" равна значению
П19=0.8, а степень истинности нечеткоrо высказывания "не исключается возмож-
ность провоза наркотиков" равна значению 11l10= 0.6.
Анализ этих значений истинности показывает, что они в точности совпадают со
значениями степеней истинности соответствующих высказываний, полученных
при решении задачи методом прямоrо вывода заключений в примере 6.5. Несо-
мненным достоинством представления базы правил в форме НСП и последую
щее решение задач вывода заключениЙ на ИХ основе является наrлядность и ви-
зуализация всех промежуточных результатов.
Примечание
Можно предложить в качестве упражнения получить нечеткие заключения для
НСП с той же структурой, но с использованием измененных Правил функцио-
нирования НСП, отражающих возможность применения друrих методов нечет
кой композиции (6.2З) (6.28), а полученные результаты сравнить.
в заключение следует отметить, что решение практических задач нечеткоrо BЫ
Вода в системах нечетких продукций характеризуется высокой трудоемкостью
выполнения численных расчетов. Поэтому в таких случаях не вызывает COMHe
ния необходимость использования для этой цели специальных nporpaMMHbIx ин-
струментариев и nporpaMMHbIx средств, позволяющих существенно упростить
создание и анализ соответствующих нечетких моделей. Далее, в частях II и [П,
детально рассматриваются особенности разработки и выполнения исследований
с нечеткими моделями в двух nporpaMMHbIx средах МА TLAB и fuzzyTECH,
которые обладают всеми необходимыми ВОЗМОЖНОСТЯМИ реализации систем He
четкоrо вывода и визуализации результатов нечеткоrо моделирования.
ЧАСТЬ 11
НЕЧЕТКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ
В СРЕДЕ МА TLAB
Система МА TLAB. разработанная и постоянно обновляемая компанией
MathWOl-ks Iлс. (США), является одной из наиболее известных систем компью
терной математики. К последним принято относить специализированные KOM
пьютерные nporpaMMbl, которые предназначены для решения широкоrо класса
задач. связанных с тем или иным разделом теоретической или прикладной мате-
матики. При этом отдельные классы задач, которые позволяет решать система
МА TLAB, имеют весьма условное отношение к классической математике, по
скольку в настоящее время представляют собой узко специализированные об
ласти научных и прикладных исследований.
Использование системы MATLAB и связанных с ней методик моделирования и
процедур выполнения численных расчетов стало стандартом de facto для широ
чайшеrо Kpyra специалистов из самых различных областей науки, техники, эко
номики и образования. Содержащая специальные средства нечеткоrо моделиро
вания, система МА TLAB позволяет выполнять весь комплекс исследований по
разработке и применению нечетких моделей. Именно по этим причинам система
МА TLAB была выбрана в качестве ОДноrо из проrраммных средств, в рамках
которых можно реализовать рассмотренные ранее теоретические концепции не-
четких множеств и процедуры нечеткоrо вывода.
rлава 11
Общая характеристика
nporpaMMbI MATLAB
Система MATLAB (сокращение от анrл. МА Trix LАВшаtOlУ матричная лабо
ратория) представляет собой интеrрированную проrраммную среду для выполне
ния численных расчетов, компьютерноrо моделирования и вычислительных экспе
риментов, охватывающих в том ИЛИ ином объеме раЗЛИ<lНые области классической
и современной математики, а также широчайший спектр инженерных приложений.
Архитектурно система МА TLAB состоит из базовой проrраммы 11 нескольких
десятков так называемых пакетов расширеНIIЯ, которые в своей совокупности
обеспечивают исключительно широкий Дllапазон решаемых задач. Интеrрация
всех этих средств в единой рабочей среде обеспечивает неоБХОДIIМУЮ rибкость
использования сотен встроенных функций, реализующих разнообразные MaTe
матические процедуры и вычислительные аЛl'ОрИТМЫ.
Нечеткое моделирование в среде MATLAB осуществляется с использованием
пакета расширения Fuzzy Logic Toolbox, в котором реализованы десятки функ
ций нечеткой лоrики и нечеткоrо вывода. Перечень этих функций с их краткой
характеристикой и примерами использования приводится в пРШlO:JIССIШU 3.
Примечание
В настоящей книrе рассматривается система MATLAB версии 6.1 (Release
12.1). которая является последней на момент написания книrи. Практически
вся информация о нечетком моделировании с использованием пакета Fuzzy
Logic Toolbox оказывается справедливой для предыдущих версий системы
MATLAB 6.0 (Release 12) и 5.3 (Release 11).
11.1. Основные элемеНТbI систеМbI МА TLAB
Прежде Bcero, необходимо сказать несколько слов о системных требованиях к
компьютеру. Компьютер, на который предпопаrается установить систему
MATLAB 6.1, должен удовлетворять следующим системным требованиям.
О Процессор Pentium, Pentium Pro, Pentium 11, Pentium III, Pentium IV или AMD
Athlon.
312
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
о Операционная система MS Windows 95/98/МЕ, MS Windows 4.0 (SP 5/6а) MS
Windows 2000 (ДЛЯ ОС UNIX/Linux имеется специальный дистрибутив, Ko:ro-
рый здесь не рассматривается).
О Оперативная память (RAM) минимум 64 Мбайт, рекомендуется 128 Мбайт.
О Дисковод компакт-дисков CD-ROM (необходим для инсталляции).
О Свободное место на жестком диске, необходимое для установки системы
MATLAB 6.1, определяется количеством устанавливаемых пакетов расшире
ний и документацией. Вариант установки всех пакетов и полной документа-
ции к ним может потребовать до 1.5 [байт. В процессе инсталляции при
выборе пакетов расширений пользователю выдается информация о необхо-
димом свободном месте на жестком диске.
О 8-битовый I'рафический адаптер и монитор, поддерживающий не менее 256
цветов.
О Один из браузеров Интернета для просмотра документации в формате HTML
и доступа к сайту компании MathWol"ks по адресу: www.mathworks.com.
О Проrрамма Adobe ACl"obat Readel" для просмотра документации в формате
PDF.
При установке отдельных пакетов расширений MoryT потребоваться следующие
дополнительные средства.
О rрафический адаптер с ускорителем и звуковая карта.
[:] Текстовый процессор MS Word из MS ОШсе 95/97/2000 для работы с пакетом
расширения MATLAB Notebook.
О Поддержка протокола TCP/IP дЛЯ работы в сети.
Для проrраммирования в среде МА TLAB и разработки собственных МЕХ-
файлов MorYT оказаться необходимыми следующие среды разработки nporpaMM:
О Compaq Visual FOl"tl"an 5.0/6.1
[:] MS Visual С++ 5.0/6.0
О Borland С/С++ 5.0/5.02
О BOl"land С++ Builder 3.0/4.015.0
О Lcc 2.4 (поставляется с МА TLAB)
Особенности инсталляции систеМbI MATLAB
на компьютер пользователя
Для инсталляции системы MATLAB 6.1 необходимо использовать 2 компакт-
диска, первый из которых содержит дистрибутив с проrраммами и пакетами
расширения, а второй обширную документацию по всем разделам системы
MATLAB в форматах HTML и PDF.
rлава 11. Общая характеристика nporpaMMbI МА ТLAB
31З
Процесс инсталляции системы МА TLAB достаточно традиционен дЛЯ ОС MS
Windows 9x12000 и включает в себя следующие этапы:
1. Установить компакт диск с дистрибутивом проrраммы в привод CD ROM и
выполнить щелчок на кнопке с предложением начать инсталляцию.
2. Ввести пароль персональной лицензии (PLP, Personal License Passwol"d).
3. Ознакомиться с Соrлашением о лицензировании данноrо nporpaMMHoro обес
печения.
4. Ввести свое имя и название компании.
5. Выбрать устанавливаемые компоненты, пакеты расширения и состав ДOKY
ментации из числа доступных для данной лицензии.
После выполнения последнеrо этапа начинается собственно установка системы
МА TLAB и документации на компьютер пользователя. При установке ДOKyMeH
тации необходимо вставить второй компакт диск в привод CD ROM. что будет
предложено сделать пользователю после окончания инсталляции исполняемых
модулей nporpaMMbI. Установка всей системы МА TLAB и документации осуще
ствляется в отдельную папку (каталоr) на жестком диске (по умолчанию
C:\MATLAB6pl).
Примечание
Имеются сообщения о том, что версии МА TLAB б.О и ниже не работают на ПК с
Процессором Intel Pentium IV. Автор склонен не соrласиться с этими мнеН'иями,
поскольку все описанные в книrе операции и действия проверялись, в том чис
ле, для системы MATLAB версии 5.3, установленной на ПК с процессором Intel
Pentium IV. Возможно эта проблема может быть связана с установкой на один
ПК нескольких версий MATLAB. В последнем случае для корректной работы
каждой из них необходимо использовать отдельный файл autoexec.bat, в KOTO
ром должны быть прописаны пути запускаемой версии MATLAB (либо вручную
отредактировать этот файл до перезаrрузки ОС MS Windows).
Запуск системы MATLAB
и элементы ее rрафическоrо интерфейса
После инсталляции в rлавном меню ОС MS Windows 9х/2000 появляется новая
проrраммная rруппа с именем MATLAB 6.1. Для запуска системы MATLAB 6.1
необходимо в этой проrраммной rруппе выбрать название nporpaMMbI
"MATLAB 6.1", в результате чеrо на экране монитора появится рабочий интер
фейс nporpaMMbI MATLAB 6.1 (рис. 11.1). При этом каждый отдельный запуск
систеМЫ МА TLAB называется ceaHCO/I4 или сессией работы с ней.
В верхней части окна MATLAB расположена строка заrоловка, в которой YKa
зывается название системы. В правой части строки заrоловка находятся CTaH
дартные кнопки управления rрафическим окном проrраммы.
314
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
1.) МдТLAB
Eile dil YISW web. c dffi"' ";;';
.:,!: :;e. )i:6:'J'!! ", !:; ,, C AT 6P1\ Ot :::J .,4
+" фlU.ТLАВ I er::at n coun.t :;;. 12, obJ. fcn = 'З.19?б6б
t ф:ru.zzу LOqlC ТооlЬох I'C.eJ:8.t1011 СОUn = 13, obJ. [сп z 3.197680
... Ф NeUl:al Ner..work Toolbox
.. "S>aUlink
+ 1; Sy3t.e1iВulld tD S1ID.u11nk Tran le.t-o
D;Х
. . :
:;; :: .
СО Зr'1d \h1ndQw 0131
Z.0359
1.4506
4.6490
Z. S16Z
о.
0.1645 0.6906 0.0549 0.6556 0.5419
0.5355 0.1094 0.9451 0.1444 0.1581
....j '
I plot(x"yl,x,y2,x,z)
, y2' <"p"!(x. [2 3 4 5]);
I z;=tuZl:ttlth(x,yl,y2,'sU».');
рlоцх,У.L,х,у2,х, z)
I z-tuzarlth(x,yl,1-'Z, "::ЩЬ 1);
1 pJor..(x,yl,x,y2"x,z)
; Z=fUZ8Ll th(x,yl,y2, I prod l ):
plot(x.- yl,x,y2,x ,2:)
da "'[2 3; J 5; 1 z; 2 4; 1 5]
[е ,U,1 ]'!c..[d" ,,,2)
5.0740
4.7796
4.6574
4.1'748
3.4997
З.2452
З. 2046
3.1991
3.1981
3. 1978
3.1977
3.1977
3.1977
.. »
.{
'. .
СurrеnЩtеctOjy' "соm".,8щtнisiOiY",
Я""!!у
Рис. 11.1. Общий вид rрафическоrо интерфейса системы MATLAB 6.1
Под строкой заrоловка находится строка rлавноrо меню системы МА TLAB и
::трока панели инструментов (рис. 11.2). Выбор той или иной операции меню BЫ
полняется стандартным для всех приложений MS Windows образом. Панель ин
::трументов содержит кнопки, позволяющие осуществить доступ к наиболее час
ro используемым командам и операциям.
p! .; i '. ew ' C Q g ;tfEi '
'О . .. ;: ,: A ". 1 !;;: t ; 1 : TL . P1\ O k
.,
. .\ ':
.!J ;jJ
Рис. 11.2. rлавное меню и панель инструментов системы MATLAB 6.1
Jсновную часть окна системы МА TLAB занимает окно команд (рис. 11.3), KOTO
?ое предназначено для взаимодействия с системой в режиме командной строки.
В последних версиях MATLAB 6.0/6.1 режим командной строки (режим команд)
lродолжает оставаться основным для мноrих практических задач. Однако сле-
J.yeT признать, что с каждой новой версией увеличивается количество специаль-
ibIX rрафических средств, позволяющих реализовать интерактивное взаимодей-
;твие пользователя с проrраммой в более удобной и наrлядной форме.
rлава 11. Общая характеристика nporpaMMbI МА ТLAB
315
Окно команд можно "открепить" от остальных окон nporpaMMbI, нажав COOTBeT
ствующую кнопку справа вверху.
с .
.,
2.0359 4.6490
1.4508 2. 5162
U
0.1645 0.8906 0.0549 0.8556 0.8419
0.8355 0.1094 '0.9451 0.1444 0.1581
5.0740
4.7796
4.6574
4. 1748
3. 4997
3.2452
3.2046
3.1991
3.1981
3.1978
3.1977
3.1977
3.1977
»
.
"
Рис. 11.3. Окно команд системы MATLAB 6.1
Окно команд используется для ввода команд и функций с необходимыми apry
ментами, задания значений переменным и отображения результатов выполненных
расчетов. По своему назначению окно команд аналоrично режиму командной
строки операционных систем UNIX/Linux, поскольку обладает возможнос'тями
прямоrо вызова orpoMHoro числа функций МА TLAB. Этот факт отражает исто
рию появления первых версий системы МА TLAB, в которых окно команд было
единственным средством взаимодействия с системой.
С появлением новых версий MATLAB были разработаны специалыше rрафиче
ские интерфейсы пользователя (GUI G..aphic Use.. Intel"face). ориентированные
на решение отдельных классов задач. Не является исключением и пакет Fuzzy
Logic Toolbox, который сейчас содержит около 10 самостоятельных GUI. Тем не
менее, окно команд продолжает иrрать ключевую роль при работе с системой
MATLAB, поскольку обеспечивает полный контроль над процессом решения тех
или иных задаЧ. Более Toro, все простейшие операции по заданию исходных зна
31б
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
чениЙ расчетных переменных и выполнению большоrо числа специальных MaTe
матических функций по-прежнему осуществляются в окне команд.
Для rибкоrо и полноrо использования возможностей системы МА TLAB следует
знать функциональные возможности окна команд. rоворя о процессе работы в
данном окне, будем называть этот режим режимом командноЙ строки или co
кращенно peJlCllMOM команд. Напротив, использование специальных rрафиче
ских интерфейсов GUI ДЛЯ решения отдельных классов задач будем называть
2рафuческu.м или иптерактивныht режи..ЛЮЛ1 работы.
Продолжая знакомство с рабочим интерфейсом системы МА TLAB, отметим две
вкладки, расположенные Б левой части rлавноrо окна системы MATLAB. Одна
из них представляет собой панель доступа к компонентам системы (Lallnch Pad),
а друrая окно просмотра рабочей области системы (Wol"kspace).
Панель доступа к компонентам системы (рис. 11.4) орrанизована в стиле обыч
Horo Проводника и предназначена для быстроrо вызова справки по выбранному
разделу МА TLAB, демонстрационных примеров, специальных rрафических
средств и ПОЛУ lения дополнительной информации из Интернета. Выбор необхо
димоrо действия осуществляется после нажатия правой кнопки мыши, YCTaHOB
ленной на том или ином компоненте системы. При этом можно также выбрать
режим редактирования исходных файлов компонентов или режим их обновления
через Интернет.
Launch Pad
013
j-jфИАТLАВI
. С... _ ...._.._ ...)
r:f.}--.ф. Fuzzy Loqic Toolbox
ф фNеUl:аl Net\Jotk Toolbox
ф ,. Simulink
&., SуэtеIDВui1d to Simulink Т:tsnэlаtо
РИс. 11.4. Окно доступа к компонентам системы MATLAB
Окно просмотра рабочей области систеМbI МА TLAB (рис. 11.5) позволяет ви-
зуализировать содержимое рабочей области и, что не менее важно, редактиро
вать значения отдельных переменных (элементов массивов и структур). При
этом следует помнить о важнейшей особенности системы МА TLAB все объ-
явленные и заданные переменные система рассматривает как матрицы или
rлаsа 11. Общая характеристика nporpaMMbl МА ТLAB
317
массивы. Поэтому в окне просмотра рабочей области указывается не только
имя переменной, но и ее размерность как матрицы, занимаемый ею размер в
байтах и тип этой переменной.
'} ;q : >,
: &A {;f;!)ji\! ;si'Ji,e : :';:i"'t j Ъi , i ,;t il'f ji[t
m1 ""ш".._"".._" .. >.'. . __.... '.. ... ..,, .! d ..." .. . ),'".....
с ! ZxZ ЗZ: doub1e al:l:ay
data 5xZ 80 I doub1e al:l:ay
j 1Зх1 1041 doub1e al:l:sy
x 1х101 вовl doub1e al:l:sy
у1 1х101 808! doub1e аl:l:ау
yz 11Х101 вое: doub1e aJ::l:sy
z \101х1 808 i doub1e sl:l:ay
'v'Vorj.:space
м '... t UnСh'раd.;";..VVщ sрас ;; I .. :.: .
Рис. 11.5. Окно просмотра рабочей области системы MATLAB
Для редактирования знаLlений переменных необходимо дважды щелкнуть на
строке с выделенной переменной, в результате чеrо будет открыто диалоrовое
окно со значениями этой переменной в отдельных ЯLlейках. Окно просмотра pa
бочей области позволяет также выполнять целый ряд друrих операций: удалить
выбранную переменную из раБОLlей области, ОLIИСТИТЬ всю раБОLIУЮ область,
заrрузить переменные в раБОLIУЮ область из внешнеrо файла или сохранить зна
чения переменных рабочей области во внешнем файле, Все эти операции стано-
вятся доступными в контекстном меню, которое может быть вызвано нажатием
правой кнопки мыши, установленной на выделенной переменной в этом окне.
В правой нижней LJaСТИ rлавноrо окна системы МА ТLAB расположены две
вкладки, одна из которых содержит окно истории команд (Command History), а
друrая окно текущеrо каталоrа или папки системы (Current Dil'ectory).
Окно истории команд (рис. 11.6) позволяет визуализировать все команды, KO
торые были введены пользователем не только в текущем сеансе работы с сис
темой, но и в предшествующих сеансах. Если необходимо выполнить одну из
ранее введенных команд, то для этоrо достаТОLJНО дважды щелкнуть на ее име
ни в активном окне истории команд. После этоrо выбранная команда последу
ет на исполнение.
В СЛУLJaе необходимости предварительно отредактировать одну из введенных
ранее команд можно скопировать в буфер выбранную в окне истории команду и
потом вставить ее в окно команд, используя для этой цели правую кнопку мыши.
АналоrИLJНЫЙ результат может быть достиrнут и простым "перетаскиванием" с'
помощью мыши выбранной команды в окно команд.
318
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
ОiЗ
z=fuza ith(x,yl,y2,'s ');
plot(x,yl,x,y2,x,z)
y2=trapmf(x, [2 3 4 5]);
z=fuzar1th(x,yl,y2,'s I);
plot(x,yl,x,y2,x,z)
z=fuzar1th(x,yl,y2,'sub');
plot(x,yl,x,y2,x,z)
z=fuzar1th(x,yl,y2, 'prod'); U\Ш
plot(x,Yl,x,y2,x,z) ;,
data=[Z З; з 5; 1 2; 2 4; 1 5] .;;.;
[c,U,j]=fcm(data,2)
;. ' E' " 'c ':n' hdJ.ji ttj ' I "Gщr-8rjtiбirs,fЬ
СОrllrllэnd HI.5tory
...
_: f!;
1: ::
E; ' .'.
..:-: '['
Рис. 11.6. Окно истории команд системы MATLA8
Заметим, LIТO просмотреть ранее выполненные команды можно находясь в окне
команд. Для этоrо достаточно использовать клавиши клавиатуры со стрелками
<i> и <.J...>.
.) Current Directory
(ilefdi! SbfN!, Yxel.1,' ipc;io " 't!e, ii:1 ,<,
I С: \НАТLАБбр1 \ to01box\ fuzzy\ fuzzy , .dJ1 ' 6T'
. _. -- .-'- < ,- , . '
. . .. ..
AHfiJ:es
:i,B.
u src
:.J r.lc c
lIi addmf. m
lIi addrule. m
lIi addVBr. m
lIi аddvаr 5 З.m
lIi anfis.m
lIi anfiscb.m
lIi anfisеd1t.ш
[[t'21 anfismex. dll
lIianfismex.m
! A1"\f pc1i t".. п.
.
Ready
F01der
F01der
Folder
H eHe
M eHe
M file
M eHe
M Elle
M EHe
M eHe
НEX f11e
M eHe
М;-,I'Н,::
t :lt'JtDdiЪеd,::
09 Ju1 2002 18: 42
....... ... .Ш ....
09 Ju1 2002 18:42
09 Ju1 2002 18: 42
08 aпp 2001 07: 25
08 aпp 2001 07: 25
17 ИX>JI 2002 Об: 27
12 0!':'I' 1999 01: 16
21 aпp 2001 12: 17
08 aпp 2001 07: 25
04 Май 2001 05: 20
14 aпp 2001 09: 3б
21 aпp 2001 12: 17
(lR A",, '-(1т (1,7: 7.
.,' f!lоа
, De:lcri ti1bn":
Fuz y oq c ,T ,1.,ь.,(»(:
5ynорзiз
Рurрозе
Рurрозе
Рurрозе
ANFIS Adapt1ve Neuro Fuzzy tra1ning >
Сорупуht 1994 Z001 The Math1Jorks, Inc
ANFISEDIT anЕ1:! GUI to01.
:::: cO : : p,;;:: ;:r,;,: : FI:r
Рис. 11.7. Окно текущеrо каталоrа системы MATLA8
Окно текущеrо каталоrа (рис. 11.7) отображает файлы выбранноrо каталоrа
системы МА TLAB, который при необходимости можно изменить. При этом сле
дует помнить, LIТO файлы с расширением т, dat, fis являются оБЫLIНЫМИ TeKCTO
вы ми файлами, которые можно просматривать и редактировать в любом ASCII
rлава 11. Общая характеристика nporpaMMbl МА ТLAB
319
редакторе. Однако более удобным для этой цели является встроенный редактор
системы МА TLAB, так называемый редактор отладчик m файлов. Этот peдaK
тор открывается после двойноrо щелчка на имени любоrо rn файла, при этом в
Hero оказывается заrруженным выбранный файл. Более подробно работа с pe
дактором rn файлов рассматривается в zлаве 14.
В состав системы МА TLAB ВХОДит встроенная справочная система и обширная
документация в форматах HTML и PDF, которые содержат необходимую ин
формацию по системе в целом, ее отдельным функциям и мноrочисленным паке
там расширения.
Встроенная справочная система и документация,
поставляемая с системой МА TLAB
Для просмотра документации по системе МА TLAB (в случае ее инсталляции)
необходимо нажать кнопку? панели инструментов или выбрать команду меню:
Help>MATLAB Help. В результате выполнения этой команды на экране появится
дополнительное окно с проrраммой просмотра справочной системы МА TLAB
(рис. 11.8).
) H lp Ш 1!Ia
< '._' , ,,). ,.,- ,.-,";; -;,." / ". ,./.. с'; < ";:."'.. ,..' _, .. _: ".... ,,-. .,"__ ..0 < ,..:>" >",_"",,,:-"! _,. , < .' ) - _> ", . _' "
,Aq!llp Favorlles I
.r
Begin Here
Release 12.1
i:< 1+ .. FuzzyLoglc Toolbox i
:': :r :'rlNae:;: : :;es '!
!:
!;; rli! Product Documentation and Demos
k,
1--
i'..
Ii What's New
, !: '
. R e l ease N ole s descrIIJe пewfealures, пew producI5, ап" lтportaпllJug fixes
The Relea5e Noles ауе avallabIe as а o rln l abI e v e r s lOn In PDF (оуупаl
. Тl l e MAT LA . 8 de t ou 15 MATLA8'5 пew developmenl envltonmenl.
<! ;,
1
1.
.;
,i '"
, :!,.
],.
< !1
{.'
. MATLA!:! Docume lllal1 9Jl prov'Ide5 complele InformallOn аооиl uSlng MATLA8.
. ТI1e Launch Р<ы In the desktop provldes access 10 demos. 10015, апа
documenlallOn (о! all уои! producls
. MATLA8 D emos enabIes you 10 ,ип demon5trallOns of MATLA8's fealures
-).1, ;
. ,.
11; Uslng the Help Browser
" " i
:ш U5e Ihe Help Navigalor labs 10 locale Informalion In dllferenlways
";""
!"-i'J
1""
J :
. CorllerJts - browse IhrOlJgh lopics In ап ехраndаые "tree vleW'
::1 , l . , ::i;'"" ",,' ;; .,. :У"!:С-".
1 ,,-, iI'
'. dy
Рис. 11.8. Окно справочной системы MATLAB
320
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
В левой части этоrо окна содержится панель навиrации с несколькими вкладка
ми, которые позволяют просматривать раЗЛИLlНые разделы документации, ocy
ществлять поиск информации по ключевым словам и запоминать ранее про
смотренные разделы. Следует отметить, что информация здесь орrанизована по
иерархическому принципу.
В правой части окна справочной системы МА TLAB расположено основное окно
просмотра документации, орrанизованное по технолопш rипертекста. COOTBeT
ствующие ссылки на друrие разделы выделены традиционным образом: синим
цветом и подчеркнуты. При необходимости здесь можно выбрать вариант ДOKY
ментации в формате PDF или распечатать интересуемый раздел справки на
принтере. История просмотра документации сохраняется, для ее анализа можно
воспользоваться соответствующими кнопками.
Весьма удобной является вкладка Index, которая позволяет осуществлять поиск
информации по ключевым словам (рис. 1 1.9). Для этоrо следует ввести ключевое
слово в поле ввода Search index for. В процессе ввода символов ключевоrо слова
система MATLAB переходит к справке по первому подходящему слову, которое
следует в алфавитном порядке после введенных символов.
",.' ОХ
.. !) i t: :*: j;,:; ::+;i:.: ;f; ]ktf !;:;;J %;i ; it 1 ii ; :: ' i; .'
' r;ci;,\ " . 1 " . " .'. . , " ... . . . . . . : . ; _ . '
, .....,-....._; ''"'.';;' _;- .С . ., .. _ ............... . ,._ ; ..
Fuzzy Loglc Toolbol( H
MATLAВ. Reterence i : ' :
: ::;: ,:!
МA . : . . . . _ . _ . ; . ; . enc: . ; . . ' . . .'
. w ". ' I ',
> ." >< ;. _ : , ,:: : A";";'';';:;:::f '-' '.,
А ADnd В AorB А
О О j;I О О [J О
О 1 I о I о 1
1 О L;J 1 О
1 1
AND ОА
ш
, . -' -'--'
f :tt: !ti
.":..(,..... ....'_'"<, ....r:c....
. i1 i
{.;
i:;1
01'
, ' .:..IJ.
- . '0'0"- ,:. --. ' .<
...,А
. .. ,elu,n nelds
1 r fUnoamental sample tlme
: " funm
'; fuZbIOtk
i . 1uldemos .
П : :C.Mn
fj > tuzzy c-means tlu51erlng
i . tuzzy clu5tertng
+: Fuzzylnfe,enceSYSlem( .
l!
'J " . ftЛzf 'е!
ti. 1Wr,le (1)
.: : S8,t.. pOr! ио
'1; "'''10 (2)
:: 1'l:ero
МATLAB programm .:_. ,_ :
Slmullnl< }' : , i
;: , ;: ::: fr.' :!
Fuщ Loglt TOOlbox ',;1 i1
Fu2'Zf Loglc TOOlbox
Fu2'Zf Loglc TOOlbox
F ит Loglt Toolbox
Fu2'Zf LOQ'C Toolbox
Fuzzy LDgoc Toolbox
We now knowwhat's fuzzy atioul fuzzy loglt, blJtwhat зЬоut the loglc?
The most Importarlt Ihюg 10 real12e аЬОUlll.1Щ IIJQlcal reaslJrllng 15 the fэсtthаllt 15 а SL1perset ofstand&rd
BOOleall11oglc 111 ()lher word$, Ifwe "еер th@fUПojvаlUРS ..1 thelf ех1л?mеs of 1 (completety IrUB), and О
(completel,;, falsa), stЗnс3аtd IOQlcal operil10nS wlll t'101d As H' eAamJ:lle, conslder the s1andiltd ttulh lэЫеs
belcw
NOT
"'>-'-';,." : <' ' '" ,. > .. > ."""':' ' -. -,
"У'. '- > .:-: ;:i :;;"' '': Y'
Рис. 11.9. Окно справочной системы MATLAB
с открытой вкладкой поиска по ключевым словам
в дополнение к документации практически все функции системы МА TLAB oc
нащены собственной справочной информацией. Если необходимо получить Ta
кую справочную информацию по отдельной функции, имя которой известно, то
rлава 11. Общая характеристика nporpaMMbl МА ТLAB
321
в окне команд достаточно набрать слово "help" с именем этой функции. После
выполнения этой команды в окне команд отобразится справочная информация
по выбранной функции (рис. 11.1 О).
..} Соmmвпd Wшdоw ВОIЗ
, ; dj ' iW,: J: 18!9iР f: :';;'И"Э' 'i; Т';;;Z:';i; i{,,:::::; , ttj!? st,]:::';""
» he1p fc_
[CEJrl'ER, U, OBJ]CN] - УСН(ЮАТА, N CL:JS'IER) find N CLUS1ER шшhе. of
c1и ce. 1n the daca ec ЮАТА. ЮАТА 1 1ze И Ьу N, ",h..l:.. Н i the nUlibel: of
daca po1nc and N 1 th.. nUJlll)el: of cool:d1nac.. fo. ..ach daca p01nc. 111..
cool:d1nate fOI: each c1и ce:: сenСе!: are rewrned 1n the "o", of the lIat::ix
CENТ!:R. 111.. ..eab... h1p funcc10n _a"1:1x U COnC"1n the grad.. of ....IIb..r h1p of
..ach ЮАТА poinc in еасЬ c1u cer. The ya1иe О and 1 1ndicac.. по ....IIb..r b1p
and full ....IIb..r h1p 1'.. p..cC1y..1y. Grad":I b..c",een О and 1 1ndicat.. th"t th..
daca p01nc ha parc1a1 eiWersh1p 1n а c1u c..r. Ас each 1teratlon, an
оЬ1..сс1у.. funcc10n 1!! ..1n1_1zed 1:0 f1nd th.. be c 1осас1оn for th.. с1u t..rз
and 1сз values ах.. rewrn..d 1n ОБJ FСN.
УСИ I)ata зес c1u ter1ng u 1ng fuzzy c ean c1ust...ing.
[CEJrl'ER, ...] - FСИФАТА,N СLUS'IER,ОРТIОNS) Sp..c1f1es а у..ссо. of ОрС10nЗ
for th.. clu I:...1ng р::ос..зз:
OPТIOtlS (1]: exponenc for th.. ..acrix U (d..rault: Z. О]
OPТIotls(z]: ..8><1...". nUJlll)..:: of 1t:..raC1an" (d..r"u1": 100)
OPTIONS(3): _1nlllu.lll ....оunс 01: 1_provelll..nt (d..fau1c: 1.. 5)
OPTIONS(4): info d1sp1ay du.ina ic..racion (w,r"u1c: lt
The c1u t"J:1ng proc..,, Cop ",h..n th.. _8><1...". nUJlll)... of 1t..::at10n J
1 ...ached, о:: ",h..n т.. objecc1ve funccion 1шр,оу.._еnс b..c"'e Ша
consecutive itC!t:&t1ons iз: lС!аа th8Il. и1!: mlД mtua. 8J'I.ount ot i.pa::oV'i!1D.ent >
p..c1f1..d. U".. ВаН со "..1есС th.. def"u1c уа1и...
Ех....р1е
daca - rand(100,2);
rc..nt..r.U .0Ь; fcnl - fCl1ldaca.21;
.;....."'.,.. . ..::; ;: --' "'... >, .. ;).:.;:._.f . . " , ,о,
iЯеа(t,-:i ]i . . : ; :.1..!"
t;; : :\
Рис. 11.10. Окно команд со справочной информацией
по выбранной функции fcm
в окне команд также доступна справочная информация по функциям цеЛОf'О
раздела или пакета расширения системы МА TLAB. ДЛЯ этоrо следует после
имени команды help набрать имя интересующеrо раздела или пакета расшире
ния, установленноrо в системе MATLAB. После выполнения этой команды в
окне команд отобразится краткая информация о составе и назначении всех
функций выбранноrо раздела.
11.2. Основные приемы работы
в системе МА TLAB
Прежде Bcero рассмотрим операции rлавноrо меню системы МА TI AB и назна
чение отдельных кнопок панели инструментов. После этоrо остановимся на oc
новных командах, которые MorYT оказаться необходимыми в процессе работы в
режиме командной строки.
322
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Назначение операций rлавноrо меню
Окно системы MATLAB имеет rлавное меню, которое позволяет пользователю
вызывать друrие rрафические средства работы с системой МА TLAB, заrружать
и сохранять информацию во внешних файлах, изменять внешний вид элементов
rрафическоrо интерфейса, вызывать справочную информацию и т. д. Рассмот-
рим назначение отдельных пунктов rлавноrо меню системы МА TLAB.
t1ew .
flpen;j, CtrI",O'
I ; !' and' i p .,,}?: t .,
ч . ;..'", : .: ... ,. :- "o :,.: <:" !
: tvHj[e .
.. : .. fi ufe ":,'
. '!J .Qdel
.дщ( ",',
lrпрчrtЬёi "."
,," , : P .P,
:: :;
",. i i;.:::' ,.,",.' <:;'''/''''';'
, , inз:$ I Cti ч;;. ," :: з,.;{:'),,,,
IlS${" ....".
.1б.\.t 9r,r<\bon itiрnеrJ;s
E it'MA
qrt+Q
Рис. 11.11. Операции пункта меню File rлавноrо меню
о Пункт меню File (Файл) rлавнOf'О меню содержит следующие операции
(рис. 1 [.11):
. New позволяет выбрать тип HOBoro объекта системы МА TLAB и со-
держит дополнительное вложенное подменю с подпунктами: М Ше BЫ
зов редактора отлаДLlика т-файлов; Figure открытие пустоrо окна rpa-
фи ков функций; Model открытие nycTOI"O окна для создания новой
Siтuliпk-модели; GUI вызов редактора для разработки элементов rpa
фическоrо интерфеса пользователя. При этом новые объекты по умолча-
нию имеют имя Untitled;
. Ореп... вызывает стандартное диалоrовое окно открытия внешнеrо
файла с диска. Если выбирается некоторый текстовый файл (например, т
файл), то выбранный файл заrружается в редактор-отладчик m файлов.
Если выбирается файл SiШllliпk-модели (файл с расширением mdl), то вы-
бранный файл заrружается в окно системы моделирования Simulink;
. Close Command Window закрывает окно команд системы МА TLAB. По-
сле выполнения этой операции вместо нее появляется операция с предло-
жением закрыть следующее окно доступа к компонентам системы: Close
Launch Pad и т. д.;
[лава 11. Общая характеристика nporpaMMbl MAТLAB
323
. Import Data... позволяет импортировать информацию из внешних фай
лов раЗШIЧНЫХ форматов, включая rрафические, звуковые и мультимедиа.
При этом вызывается мастер импорта данных, выполняющий предвари
тельный просмотр изображений;
. Save Workspace As... позволяет сохранить рабочую область системы
МА TLAB во внешнем файле с расширением mat на диске. При этом вызы
вается стандартное диалоrовое окно сохранения файла на диске с предло
жением задать имя соответствующеr'о файла;
. Set Path... вызывает окно задания путей доступа к файлам системы
МА TLAB. Как правило, значения путей, установленные по умолчанию,
следует изменять только в случае крайней необходимости;
. Preferences... вызывает окно настройки системы MATLAB, которое по
зволяет изменить шрифт и цвет отображения данных в различных окнах, а
также изменить некоторые друrие характеристики элементов рабочеrо ин
терфейса;
. Print... позволяет распечатать на принтере информацию о текущем дo
кументе системы MATLAB. В этом случае вызывается стандартное диало
rOBoe окно настройки свойств печати на ПОl1.ключенном к данному KOM
пьютеру принтеру;
. Print Selection... позволяет распечатать на принтере информацию о BЫ
деленной части текущеrо документа системы МА TLAB. При этом также
вызывается стандартное диалоrовое окно настройки свойств печати на
подключенном к данному компьютеру принтеру;
. секция с именами последних файлов, с которыми осуществлялась работа в
системе МА тив;
. Exit MATLAB закрывает систему МА TLAB, при этом содержимое pa
бочей области оказывается не сохраненным, если предварительно не была
выполнена соответствующая операция.
D Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции (рис. 11.12):
. Undo отменяет выполнение последнеrо действия;
. Redo отменяет выполнение последней операции Undo;
. Cut вырезает выдеЛенный фраrмент из текущей строки окна команд и
помещает ero в буфер обмена;
. Сору копирует выделенный фрar'мент из окна команд и помещает ero в
буфер обмена;
. Paste вставляет фраrмент в текущую строку окна команд из буфера об
мена;
. Paste Special... вызывает мастер импорта данных, который позволяет
выполнить предварительный просмотр информации, хранящейся в буфере
обмена;
324
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
. Select All позволяет выделить всю информацию окна команд текущеr'о
сеанса работы;
. Delete удаляет выделенный объект (бывает активной весьма редко);
. Clear Command Window очищает окно команд от информации текущеrо
сеанса работы;
. Clear Command History очищает окно истории команд от информации о
введенных ранее командах;
. Clear Workspace очищает рабочее пространство системы MATLAB от
всей имеющейся в ней информации о перемеНЩ)IХ.
:: jt, !:{
"": : T:
. ::i: 12 ; "\ :"<':
' 't t; ; I1 {i
= lt l;
Рис. 11.12. Операции пункта меню Edit rлавноrо меню
о Пункт меню View (Вид) позволяет отображать на экране раЗЛИLJНые компо
ненты системы и содержит следующие операции (рис. 11.13):
. Desktop Layout позволяет настроить внешний вид rрафическоrо интер-
фейса системы МА TLAB и содержит дополнительные подпункты:
Default располаrает все окна системы MATLAB по умолчанию
(рис. 1 1.1); Command Window Оl11у устанавливает интерфейс для системы
МА TLAB, состоящий только из окна команд; Simple устанавливает уп-
рощенный интерфейс ДЛЯ системы МА TLAB, состоящий из окна команд и
окна истории команд; Short History устанавливает узкое окно истории
команд; Tall History устанавливает широкое окно истории команд; Five
Рапеl делает видимыми на экране все 5 основных окон системы
MATLAB;
. Undock Command Window позволяет открепить и сделать "плавающим"
окно команд системы МА ТLAB;
. Command Window делает видимым/невидимым окно команд;
. Commal1d History делает видимым/невидимым окно истории команд;
rлава 11. Общая характеристика nporpaMMbI МА ТLAB
325
. Current Directory делает видимым/невидимым окно текущеrо каталоrа;
. Workspace делает видимым/невидимым окно просмотра рабочей области;
. Launch Pad делает видимым/невидимым окно доступа к компонентам
системы i\ТLi\В;
. Help вызывавет браузер справочной системы i\ TLi\B;
. Current Directory Filter позволяет установить фильтры для отображения
файлов текущеrо каталоrа;
. Workspace View Options позволяет отображать отдельные свойства пе-
ременных рабочей области и сортировать их по различным параметрам.
Рис. 11.13. Операции пункта меню View rлавноrо меню
о Пункт меню Web (Интернет) вызывает установленный в операционной сис
теме по умолчанию браузер Интернета и делает попытку соединиться с W eb
сайтом компании athWorks (в случае наличия доступа в Интернет). Выбор
отдельной операции этоrо пункта меню определяет заrpузку той или иной
Web-страницы компании, предназначенной для выполнения специальных
действий по дополнительной поддержке системы Mi\ TLi\B или заrрузке
имеющихся обновлений.
О Пункт меню Window (Окно) содержит операцию Close АН, которая позволяет
закрыть все дополнительные окна с rрафиками, rрафическими редакторами и
друrими компонентами системы i\ TLAB, открытыми в текущем сеансе pa
боты. Если дополнительные окна отсутствуют, то эта операция является He
доступной. Если открыты дополнительные окна, то в этом пункте меню по-
является новая строка с именем каждоrо из дополнительных окон, выбрав
которую, можно сразу перейти в нужное окно.
О Пункт меню Help (Справка) содержит следующие операции (рис. 11.14):
. Full Product Family Help вызывает браузер (проrрамму просмотра)
справочной системы, установленный на начало знакомства с Mi\TLi\B
(см. рис. 11.8);
326
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
. МА TLAB Help вызывает браузер спраВОLJНОЙ системы, установленный
на раздел общей справки о МА TLAB;
. Using t e Desktop вызывает браузер справочной системы, установлен
ный на раздел справки об элементах и окнах рабочеrо интерфейса системы
MATLAB;
. Using the Command Window вызывает браузер справочной системы, yc
тановленный на раздел справки об окне команд системы MATLAB;
. Demos вызывает окно с демонстрационными примерами, поставляемы
ми с системой MATLAB;
. About MATLAB отображает информацию о текущей рабочей версии
системы МА TLAB.
ff ;:i,y ;rp"
!J$in.gtК,eQ. k p'; . .
' !t ":1 ? " ,-,..
,:;;: "D; Q. ;;:;(':-:'" '.:;>'7'" '. ,
: E 7 t T C
Рис. 11.14. Операции пункта меню Help rлавноrо меню
Назначение операций панели инструментов
Панель инструментов содержит набор кнопок, которые дублируют наиболее
часто выполняемые операции f-лавноrо меню. Рассмотрим назначение отдельных
кнопок панели инструментов (табл. 11.1).
Таблица 11.1. Назначение кнопок панели инструментов
rрафическое
изображение
Всплывающая
подсказка
Назначение кнопки
@]
New M File
Вызывает редактор отладчик m файлов с пустым
окном редактирования и именем файла Untitled,
заданным по умолчанию
Вызывает стандартное диалоrовое окно открытия
внешнеrо файла с диска. Если выбирается HeKOТO
рый текстовый файл (например, m файл). то BЫ
бранный файл заrружается в редактор отладЧИК т
файлов. Если выбирается файл Simuliпk модели
(файл с расширением mdl), то выбранный файл за
rpужается В окно системы моделирования Simulink
Оре" File
Тлава 11. Общая характеристика nporpaMMbl МА ТLAB
327
Таблица 11.1 (окончание)
rрафическое
изображение
Назначение кнопки
Всплывающая
подсказка
[!J
. ' . .. . . .
._;
",":0:_.,_.."
. .
EJ
EJ
..
.... . --,< .
. .
[1J
Cut
Вырезает выделенный фраrмент из текущей строки
окна команд и помещает ero в буфер обмена
Копирует выделенный фраrмент из окна команд и
помещает ero в буфер обмена
Вставляет фраrмент в текущую строку окна команд
из буфера обмена
Отменяет выполнение последнеro действия
Сору
Paste
Undo
Redo
Отменяет выполнение последней операции Undo
Simulink
Вызывает оКно библиотеки системы моделирова
ния Simulink
Вызывает окно справочной системы МА TLAB
Help
I;СUrrenШirеd&: :;1 g :t try
Позволяет установить текущий каталоr (папку), co
держи мое котороro будет отображаться в диалоrо
вых окнах открытия и сохранения файлов на диске
Основные приеМbI раБОТbI в окне команд
Как уже отмечалось ранее, окно команд (см. рис. 11.3) используется для ввода
команд и функций с необходимыми арrументами_, задания значений отдельным
переменным и отображения результатов выполненных расчетов.
При этом используются следующие основные правила работы. Ввод команды
осуществляется набором соответствующих символов команды в отдельной CTpO
ке активноrо окна команд после символов приrлашения ». Запуск команды на
исполнение после ее набора осуществляется нажатием клавиши <Entel">. Анало
rично набираются и отдельные значения переменных, при этом после имени пе
ременной необходимо указать знак равенства , который в системе МА TLAB
иrрает роль знака присваивания.
Следует отметить, что символы BepXHero и нижнеI-О реrистров воспринимаются
системой МА TLAB как различные. При вводе произвольной КО lбинации сим
волов система МА TLAB вначале пытается сопоставить эти СИМВОJIЫ с именем
одной из переменных рабочей области. Если переменной с подобным 11менем в
рабочем пространстве нет, то система MATLAB сопоставляет символы с именем
одной из встроенных функций. Если и функция с таким именем отсутствует, то в
окно команд будет выведено сообщение об ошибке.
328
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
примеч;н ие
Окно команд системы МА TLAB воспринимает ввод символов с клавиатуры в
основной кодировке ASCII (анrлоязычный реrистр или латиница). Что же каса-
ется использования символов дополнительной кодировки (кириллицы), то при
попытке ввести русскоязычные символы в качестве строк или комментариев
MOryT возникнуть проблемы, зависящие от версии МА TLAB и операционной
системы. В частности, версия МА TLAB 6.1, установленная в среде MS Windows
98, не воспринимает строчную букву "я", а при вводе в окно команд строчной
буквы "с" происходит самопроизвольный переход к следующей строке без BЫ
полнения набранноrо фраrмента и без ero сохранения. В то же время в версии
MATLAB 5.3 эти проблемы отсутствуют. Наконец, на диаrраммах и rрафиках
может неверно отображаться символ подчеркивания " " и некоторые друrие
символы, набранные в русскоязычном реrистре. Во всех подобных случаях
следует помнить, что система MATLAB не является локализованной проrрам-
мой, и поэтому было бы странным требовать от нее корректноrо восприятия
кириллицы.
Если имя команды или значения слишком длинное, то следует использовать сим
вол продолжения ввода . .. (три точки). В этом случае все набранные в но-
вой строке символы считаются продолжением символов предыдущей строки.
Если после набора имени команды или задания значений переменной поставлен
символ ; (ПlOчка с запятой), то после исполнения данной команды результат ее
выполнения в окне команд не отображается. В противном случае (завершение
набора команды без символа ;) происходит отображение результата ее выпол-
нения, что может переrружать окно команд излишней информацией.
Если результат выполнения отдельной команды имеет некоторое значение, ко-
торое не назначено никакой переменной, то в системе для этой цели предусмот-
рена переменная по умолчанию переменная с именем ans. Переменная с этим
именем может появиться и в рабочей области, важно помнить, что ее значение
может изменяться по мере выполнения отдельных команд.
При задании значений переменным в СlIстеме MATI AB задавать тип самих пе-
ременных нет необходимости, т. к. тип каждой переменной определяется самим
задаваемым значением. Так, например, если справа от имени переменной запи-
сано целое число без разделительной точки, то тип этой переменной будет цело
численный. Более Toro, как уже отмечалось ранее, система МА TLAB каждый
объект рассматривает как матрицу. При этом обычное число или символ счита
ется матрицей размерности 1 х 1, а массив из нескольких элементов матрицей
размерности 1 ХI1. В этом заключается одна из ключевых особенностей системы,
которая обеспечивает высокую производительность вычислений и удобство ра-
боты пользователя.
Поскольку во всех численных расчетах система МА TI AB оперирует матрицами,
для задания зна1lений их элементов используются специальные символы: [ для
Начала и ] для окончания отдельной матрицы. При этом матрицы записыва
ю ся по строкам в возрастающем ПОрЯдке. Каждый элемент матрицы отделяется
от дрУI"оrо элемента пробелом, строки отделяются друr от друrа символом ;.
После задания значений переменных (матриц) все они запоминаются и хранятся
rлава 11. Общая характеристика nporpaMMbl МА ТLAB
329
в так называемой рабочеЙ области (workspace) систеМbI МА TLAB. При задании
матриц размерности Ixl (обычных скаляров) знаки начала и окончания матри
цы можно не указывать.
Например, если необходимо задать переменной с именем а некоторое количест
венное значение, скажем 10, то. находясь в окне команд (миrающий курсор после
знака приrлашения), следует ввести следующую строку:
» х==10
После нажатия клавиши <Entel"> в окне команд появится следующая информация:
Х ""
10
Аналоrично можно задать значение строки некоторой переменной с именем Ь:
» b=='String'
Ь ""
St ring
При этом сама строка текста заключается в апострофы. Чтобы задать матрицу,
например, матрицу Мl' нечеткOI"О отношения из примера 4.3 (напомним, что она
равна
[ 1 0.1 0'2 ]
0.8 0.9 1
0.7 0.8 0.5 ),
1 0.5 0.2
следует ввести ее значения по строкам следующим образом:
»т==[1 0.1 0.2; 0.8 0.9 1; 0.7 0.8 0.5; 1 0.5 0.2]
т==
1.0000 0.1000 0.2000
0.8000 0.9000 1.0000
0.7000 0.8000 0.5000
1.0000 0.5000 0.2000
Далее для этой матрицы MorYT быть применсны различные унарные функции
(функции с единственным aprYMeHToM), например, транспонирования и нахож
дения обратной матрицы, нахождения минимальных и максимальных элементов
в каждом из столбцов матрицы и др. Например, для нахождения минимальных
элементов в каждом из столбцов матрицы m следует воспользоваться встроенной
функций min:
» min (т)
апз
0.7000
0.1000
0.2000
ззо
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Основные алrебраические операции матричной арифметики приводятся в
табл. J J .2. При этом следует отметить двойственность этих операций, поскольку
наряду с символами операциЙ для их выполнения можно использовать и BCTpO
енные функции. Так, например, для сложения двух матриц А и В одинаковой
размерности можно ввести: А+В или plus (А, В), что совершенно эквивалентно.
Таблица 11.2. Основные алrе6раические операции системы MATLAB
СИМВОЛ
операции
ИМЯ
функции
Название
Примечание
+
plus
minus
*
times
. /
rdivide
. \
ldivide
+
uplus
uminus
Сложение
Применяется для матриц и скаляров.
В случае сложения двух матриц они
должны быть одной размерности
Применяется для матриц и скаляров.
В случае разности двух матриц они
должны быть одной размерности
Умножение Поэлементное умножение двух MaT
риц, при этом матрицы должны быть
одной размерности
Вычитание
Правое деление Поэлементное деление первой MaT
рицы на вторую. В случае деления
двух матриц они должны быть одной
размерности
Левое деление Поэлементное деление второй MaT
рицы на первую. В случае деления
двух матриц они должны быть одной
размерности
Унарный плюс Применяется для матриц и скаляров
Унарный минус Применяется для матриц и скаляров
power Возведение в
степень
transpose Транспониро
вание
ctranspose Транспониро
вание с KOM
плексным co
пряжением
Умножение
матриц
*
mtimes
/
mrdivide
Правое деление
матриц
Возведение в степень каждоrо из
элементов матрицы
Обычное транспонирование матри
цы, при котором ее строки и столбцы
меняются местами
В дополнение к обычному транспони
рованию матрицы выПолняется KOM
плексное сопряжение ее элементов
Умножение двух матриц (строка на
столбец), при котором размерности
матриц должны быть соrласованными
Эквивалентно умножению первой
матрицы на обратную второй матрицы
rлава 11. Общая характеристика nporpaMMbl МА ТLAB
331
Таблица 11.2 (окончание)
СИМВОЛ
операции
ИМЯ
функции
Название
Примечание
\
mldivide
Левое деление
матриц
Воз ведение в
степень матрицы
Эквивалентно умножению обратной
первой матрицы на вторую матрицу
Применяется только для квадратных
матриц
mpower
Для обращения к отдельным элементам матрицы следует после имени матр"цы
указать в круrлых скобках индексы соответствующеrо элемента, разделенные
запятой. Например, для обращения 1< элементу первой строки и BToporo столбца
матрицы m следует ввести:
» m(1, 2)
ans
0.1000
в некоторых случаях для задаНИЯ значений элементам массивов и матриц весьма
удобным оказывается использование оператора двоеточие (:), действие KOTOpO
[О аналоrично присваиванию значений переменной в цикле типа for. При этом
достаточно указать значение первоrо элемента массива, затем после ДBoeTO
чия шаr изменения элементов и, наконец, после двоеточия :шачение по
следнеrо элемента массива. Если значение шаrа отрицательное, то элементы Mac
сива будут следовать в убывающем порядке. Например, для изображения
rрафиков функций одной переменной необходимо определить диапазоН значе
ний соответствующей независимоЙ переменной. Это удобно сделать с помощью
paccMoтpeHHoro оператора следующим образом:
» x 0:0.1:10;
В результате ввода этой строки будет определен массив х, состоящий из 1 О 1 эле
мента, первым из которых является число О, а последним число 10.
Для задания некоторых специальных матриц в системе МА TLAB предусмотрены
ОТДельные функции. Так, например, для Toro, чтобы определить матрицу раз
мерности 3х4, состоящую из нулей, в окне команд достаточно ввести имя COOT
ветствующей функции и ее параметры в круrлых скобках:
» z zeros (3, 4)
z
О О О О
О О О О
О О О О
Для задания специальных матриц можно воспользоваться специальными функ
циями, простейшие из которых приводятся В табл. 11.3. С друrими анаЛОI-И чны
ми функциями можно познакомиться по справочной системе МА TLAB.
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
332
Таблица 11.3. Простейшие функции для задания специальных матриц
Примечание
Имя
функции
Назначение
Задание матрицы, состоящей из
нулей
Задание матрицы, состоящей из
едИНИЦ
Задание матрицы, элементы кото-
рой распределены по равномер-
ному закону в интервале [0,1]
Задание матрицы, элементы кото-
рой распределены по нормальному
закону
Задание единичной матрицы, rлав-
ная диаrональ которой состоит из
единиц
Задание "маrической" матрицы,
сумма элементов которой по стро-
кам, ПО столбцам и по диаrоналям
одинаковая
в качестве apryMeHToB указывается
размерность матрицы
В качестве apryMeHТOB указывается
размерность матрицЫ
В качестве apryмeHТOB указывается
размерность матрицы
zeros
ones
rand
randn
в качестве apryMeHToB указывается
размерность матрицы
в качестве apryMeHToB указывается
размерность матрицы
еуе
magic
в качестве единственноro apry
менТа указывается размерность
квадратной матрицы
в процессе работы в системе МА TLAB следует знать о системных переменных,
используемых для хранения и представления отдельных значений переменных
или специальных математических констант. Одной из подобных систеМНЫХ пе-
ременных является рассмотренная ранее переменная ans. ОбщиЙ перечень сис-
темных переменных представлен в табл. 11.4.
Таблица 11.4. Системные переменные MATLAB
Имя переменной
Примечание
Назначение
Результат выполнения по
следней операции
Мнимая единица, используе-
мая при задании комплексных
чисел
ans
Определяется как
sqrt( l)
i или j
Тип операционной системы
компьютера, на котором ис
пользуется система MATLAB
Первый apryMeHT слева тип
операционной системы, BТO
рой apryMeHT максимально
допустимое число элементов в
задаваемых матрицах
computer
[str,
maxsiz€) computer
rлава 11. Общая характеристика nporpaMMbl МА ТLAB
ззз
Таблица 11.4 (окончание)
Имя переменной
Назначение
ерз
Значение пороrа для функций,
реализующих приближенные
итеративные процедуры BЫ
числений
Inf
Положительная бесконечность
для численных расчетов
Неопределенное значение
(Not а Number)
NaN
nargin
Число входных apryMeHToB
вызываемой функции
Число выходных apryMeHToB
вызываемой функции
Транспонирование с KOM
плексным сопряжением
narout
pi
realmax
Наибольшее положительное
действительное число для опе
раций машинной арифмеrnки
realmin
Наименьшее положительное
действительное число для оne
раций машинной арифмеrnки
Примечание
Определяется как 2" ( 52)
Это значение возвраща
ется при делении на О
Это значение возвраща
ется, например, при BЫ
полнении деления О на О
в дополнение к обычному
транспонированию MaT
рицы выполняется ком-
плексное сопряжение ее
элементов
Положительная беско
нечность по своей вели
чине превышает это зна
чение
Значение пороrа по своей
величине превышает это
значение
Примечание
Следует отметить, что указанным в табл. 11.4 системным переменным можно
присвоить произвольные значения, при этом система МА TLAB не выдаст даже
предупреждения. Аналоrично, в качестве имен переменных можно использо
вать и имена встроенных фУНКЦИЙ MATLAB (sin, соз, аЬз и Т. д.), однако в
этом случае соответствующие функции окажутся недоступными.
Информация о всех функциях системы MATLAB содержится в СПРаВОЧНОЙ сис
Теме. При этом операции сравнения и лоrические операции рассматриваются в
2лаве 14. Для работы в режиме командной строки с пакетом Fuzzy Logic Toolbox
MorYT быть использованы специальные функции, общий перечень которых С
описанием их назначения и примерами задания представлен в пРlСlO;J/се.чuu 3.
ЗЗ4
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
11.3. rрафические возможности
систеМbI МА TLAB
Система МА TLAB обладает удобными, rибкими и мощными средствами визуа
лизации и rрафическоrо представления самых разнообразных математических
объектов типа кривых, поверхностей и диаrрамм На плоскости и в 3 MepHOM
пространстве. При этом используются различные системы координат, стили и
способы UBeToBoro выделения изображений, что обеспечивает наrлядность
получаемых рисунков. Построенные rрафики функциональных зависимостей
можно экспортировать в большинство известных rрафических форматов. Под
черкивая достоинства rрафических возможностей системы МА TLAB, следует
отметить, что большинство изображенных в книrе rрафиков получены с помо
щью системы МА TLAB.
Детально рассмотреть все rрафические средства системы МА TLAB, включая
такие как средства анимации, объекты дескрипторной rрафики и собственный
rрафический редактор пакета расширения Images, не представляется возможным,
поскольку этой теме посвящены отдельные тома документации. В настоящей
книrе преследуется более скромная цель познакомиться с основными функ
uиями системы МА ТLAB, которые MorYT быть использованы для визуализации
их отдельных свойств нечетких моделей и конечных результатов нечеткоrо MO
делирования.
Для построения простейшеrо rрафика функции одной переменной прежде Bcero
необходимо определить множество (массив) значений независимой переменной и
соответствующее множество значений зависимой (функциональной) переменной.
После этоrо можно воспользоваться функцией системы МА TLAB plot для изо
бражения rрафика заданной функциональной зависимости. При этом задание
значений независимой переменной удобно выполнить с помощью paCCMOTpeH
ной выше операции :. Ниже приводится последовательность команд для по
строения rрафика функции у ::: sin(x):
» х 10:0.1:10;
» у sin(x);
» plot (х, у)
После выполнения данной последовательности команд возникнет новое окно с
rрафиком этой функции (рис. t 1.15). Это окно имеет собственное rлавное меню и
панель команд. Соответствующие команды меню позволяют выполнить редак-
тирование свойств изображенноrо rрафика, такие как: внести дополнительный
текст (леrенду), изменить цвет, тип линий и масштаб изображения, а также BЫ
полнить вращение изображения в любом из направлений.
Наиболее полный контроль и форматирование изображений rрафиков позволя
ет выполнить редактор свойств, состоящий из отдельных диалоrовых окон. Так,
редактор свойств осей (property Editor Axes), вызываемый двойным щелчком
мыши на изображении осей или командой меню Edit> Axes Properties (рис. 11.16),
.представляет собой самостоятельное диалоrовое окно с набором вкладок, обес
печивающих доступ к отдельным осям rрафическоrо изображения.
(лава 11. Общая характеристика nporpaMMbI МА ТLAB
ЗЗ5
.) "'iI1U1P. Nu. 1
';;:{.Di
Рис. 11.15. Окно с построенным rрафиком функции у == sin(x)
r.r Property Editor Axes
;r ; : . j "'p < I Црм. I """,,, I kU!> I'
, .
_" - , < ::.:. -:c ) .': .' '_'_ __ ,::.:> > ;'(, z.. . '"
Ul'I)its Р' AutQ I 'J,dU. I Щ;'JuР';,A\Jtо ] 6::щ",: , ' I M" . ,: 1 1 (:j I !.9.? ';,.
,. :n : o I . ; . ; i: :. ; :. '; fi i ; :' ' сч; ;;:' ; .;; ,': . W-" АiЛо I' ' ;; ij: :j ..... t
! ,b!!Js;1? Au1Q' l i"r'HH . .. ". , .. ' . ; ? ,р Auto l .:. . . ; . . ,. . W , ' . 'AUIO ... : ( : ". ;",. :'_." .4
? "". < ш.."" ..;;;j, .;::1 ,..... .. "..... .,. ".'
_,, ;;" t=:J ,": : :: " :: : ; :::<:
q!i((rl p ' > >';:;' :-о 7:::-;:r>;s ;Z>; ' 7 C""";' ",,> f'S h ""'С."Т"т"'"7'::'7;";"-:'
IlIiIEI
,,; I
i -,-,-; , , < :-
':' S,еtэ)! i;Щ hз I ti t'lfrt1ф!. 1
!' ::':: :
ОК
Ready
cancel
Apply ! р' Imт .dlale' pply.
Н 1II)
Рис. 11.16. Окно редактора свойств построенноrо rрафика
с открытой вкладкой Scale для осей
Первая из вкладок Scale (Шкалирование) предназначена для форматирования
осей rрафика. Здесь можно редактировать пределы изменения переменных осей,
интервалы изображения меток переменных, а также указать линейный (по умол
ЗЗб
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
чан ию) или лоrарифмический масштаб для отдельных из осей. При еобходимо-
сти можно сделать видимой сетку для отдельных переменных осей, а также изме
нить направление оси на противоположное.
Вторая вкладка предназначена для редактирования стиля изображения осей
(рис. 11.17). Здесь можно изменить заданные по умолчанию толщину и цвет ли-
ний отдельных осей, свойства шрифтов для записи леrенд осей, а также reoMeт-
рическое расположение линий осей относительно rрафика.
Jl Propp.r1y (: dllor Ахеэ
E ;'ro 1ot axe :
.- : . {,,; \:е: . ' ." I ' itr .. ....
, (::S j !:, .<' , ,
l f\;
I( J : ; C
',.. .; \'.. : ,-... -,; I::" -(;
!: :: " : } f., :e(: 4 : ":>:.p, ;\ l i ! ;Tediat > p > ,..
': i! '(k:ij ;-: 1 f
Рис. 11.17. Окно редактора свойств nOCTpOeHHOrO rрафика
с открытой вкладкой Style для осей
Остальные вкладки этоrо окна позволяют редактировать дополнительные свой-
ства осей, связанные с пространственной перспективой и освещенностью rрафи
ков. Назначение меню команд этих вкладок вполне очевидно, позтому подробно
они рассматриваться не будут.
Редактор свойств линий (property Editor Lines) , вызываемый двойным щелчком
мыши на изображении линии rpафика или из редактора свойств осей выбором соот-
ветствующеrо пункта (lioe:) раскрывающеrося списка Edit Properties for (рис. 11.18),
представляет собой самостоятельное диалоrовое окно с набором вкладок, обес-
печивающих доступ к отдельным свойствам линии.
Здесь на вкладке Style (Стиль) можно изменить стиль изображения кривой.
для чеrо следует выбрать необходимый пункт списка Color. На этой же вкладке
rлава 11. Общая характеристика nporpaMMbI МА ТLAB
ЗЗ7
аналоrИЧНblМ образом можно изменить толщину и цвет изображения кривой
(рис. 11.19). Следует отметить, что указанные свойства характерны для интерак
тивноrо форматирования элементов так называемой дескрипторной rрафики
системы MATLAB. более подробно познакомиться с которой можно с помощью
отдельных разделов справочной документации.
" PP!Y
/," .:: //:;-? ; . .- <,::':'-", ' .
">
. -'
;;;. .: .:: : . . ..;:"
Рис. 11.18. Окно редактора свойств линии построенноrо rрафика
с открытой вкладкой Style для выбора стиля изображения кривой
Для построен.ия rpафиков нескольких функций одной переменной в одном окне
можно также воспользоваться функцией системы MATLAB plot. Ниже приво
Дится последовательность команд для построения rрафиков двух функций
у = sin(x) и у = cos(x) в одном окне:
»х 10:0.1:10;
»у sin (х) ;
»z cos (х) ;
» plot(x,y,x,z);
После выполнения данной последовательности команд появится окно с I'рафи
ками этих функций (рис. 11.20). Используя вкладки свойств осей и линий, можно
задать отображение сетки, изменить цвет кривых и добавить надписи (леl'енду) к
ЭТИМ кривым.
ЗЗ8
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
(iIt r;; ? I .fP,r. l l ine
o ;,.. StYt8 'I"( ' ',(\,; ;;,!f.K ,
';' ' : nI8s:' ; ;:.4i ; i:""<
:J iLI!1e$ 18 Solld liпе Н
: Z:, I 05 '
ii! f
'j;eX<in1 le'; Ш ШШШШ
. '< Custom color".
, ::!J J. j
'; ; .
.:, ".. ':'
?
T ',,: :;: +
- . .:c"" .......; 'i:.t, );:.. l'-!.............., ...;."...:..:.;,......
. ;."",,: ..._.-"' -' ' ' - Ч ' ,,,,? '!,;"" P'.: :;'
"1 ,- с
:t- }:
4: _,L :I ;:_:
'i' . ....
\1
Щ<
R!!<idy"
Apply f 'imrrie'aiale;j piy <.
Help
Рис. 11.19. Окно редактора свойств линии построенноrо rрафика
с открытой вкладкой Style для выбора цвета изображения кривой
..) Figure No, 1
< O :;; ; ,, , "
l!I[]а
Рис. 11.20. Окно с построенными rрафиками функций у == siп(х) и у == cos(x)
Для построения rрафиков 3 MepHЫX поверхностей и кривых, представляющих
собой функции двух переменных, также необходимо определить множество
(массив) значений независимых переменных и соответствующее множество зна
r лава 11. Общая характеристика npOrpaMMbJ МА ТLAB
ЗЗ9
чений зависимой (функциональной) переменной. После этоrо для изображения
rрафика заданной функциональной зависимости можно воспользоваться He
сколькими функциями системы MATLAB:
О рlоtЗ функция построения изображений 3 MepHЫX поверхностей линиями;
О mesh функция построения изображений 3 MepHЫX поверхностей с функ
циональной окраской образующих линий контурной сетки;
О surf функция построения изображений 3 MepHЫX поверхностей с функ
циональной закраской ячеек контурной сетки.
Задание значений независимых переменных удобно выполнить с помощью
функции meshgrid. Ниже приводится последовательность команд для построе
ния rрафика поверхности z = rnin(x, у) с помощью функции рlоtЗ, которая по-
зволяет изображать rрафики кривых в перспективной проекции:
» [х,у] meshgrid([ 1:0.1:1]);
» z min (х, у) ;
» рlоtЗ (х, у, z)
После выполнения данной последовательности команд появится новое окно с
rрафиком поверхности этой функции (рис. 1 1.21).
;..) Figure No. 1 "I!IDIЗ
': 'в- : . Wc.J9 2: t() ::!lt '.",!=ii!R.E. ,.",,,:,.:;'=:,':f Ci.'.,::; :J::lC ;":;; '':':{:::
шо: """iII'в'.]f :iА:;:1Ф;ft>f?g; ,у . \/?>'J;'i. :;/, ",' ,'/i);, ,.".;
о
,."
0.5
-0.5
-1
-.
Рис. 11.21. Окно с построенной поверхностью z = min{x, у)
с помощью функции рlоtЗ
340
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Для сравнения ниже приводится последовательность команд для построения
rрафика этой же поверхности z = min(x, у) с помощью функции mesh:
» [х,у] meshgrid([ 1:0.1:1]);
» z min (х, у) ;
» mesh(x,y,z)
После выполнения данной последовательности команд появится новое окно с
I'рафиком этой функции (рис. 11.22) в форме сетчатой поверхности.
.) Figure No. 1
l:!/e.. lt.__ '::",::,J .sert ocM,- _,. ndow.,. Jjв.
D riiI в '! It А / ; frJ :=> о-
';A::;::WDE1
. . .. .
.: & ;: : :
. х'<
0.5
О
0.5
1
1
0.5
A
, I Ъ :t & s'f 1 ';';'":
о
0.5
0.5
о
0.5
1 1
Рис. 11.22. Окно с построенной поверхностью z == min(x. у)
с помощью функции mesh
Знакомство с функциями построения rрафиков в 3 MepHOM пространстве завер
шим еще одним примером визуализации рассматриваемой поверхности. Ниже
приводится последовательность команд для построения rрафика поверхности
)' = min(x, у) с помощью функции surf ():
» [х,у] meshgrid([ 1:0.1:1);
» z min(x,y);
» surf(x,y,z)
После выполнения данной последовательности команд появится новое окно с
rрафиком этой функции (рис. 11.23) в форме расцвеченной поверхности.
rлава 11. Общая ХараКТерИСТика nporpaMMbI МА TLAB
341
.) IIIUHJ No 1 "I!IEI
. >' ';;l j:.t !to I ' .jj Ji. :. :<i: i/;:' i.:; 'l;a ::: , / \;;ws: ,;Ь. y : "
!lp\:' ' ' {,1t ' ;; ';(;>;(. ft;: :: i:;:':; ::' ! У: : ::: i:)jУ'/'(, " ;?ЙJjо:Щ ;f'1i :; ; ' :f:'
r=;:::, .. '.<-, .<_ . . ,.
1
::,,}
. ....
-;.'....
. .
. }" .< . . . .
. 'о,; : : . . . . . . . . .
'»(:.> " :.
.... ... . <" . . " . .
: ,: ,? · : - ii
" ,.. O,5
, },
..
. '''.
{ , .
, .5
1 -1
O;5
',; .;\:"Ф:
О:,
'::\; o:, ;: -0.5'
Рис. 11.23. Поверхность z = min(x, у), построенная с помощью функции surf
-9 T !"=-. flthWorks, G'flph ics О"то . MI('.rosoft Inle'nBt Eкplo,er
"EIJe I;.dit. !iia'" Wel1 Window \:jep
,'о aJ; с.;, -) FiCjL.re Il1o. 1
...." . .,;,'.:: Eiie !;;dit '!le,.., Lnsert 1001s !t!t1dow, t:f'Ф, ' ',' '..
Бot\lI.\ТLАВ '1o, '.. T "A";" ; i'f:: ii'i;:..: ' "-""""' 'cc '''''' .......... ..
HelP J! : : ;.. .:.: 1:- i;: I/ :з .,l: ,)'- <i' f.j] Ш,: ф
: -iIiI D."os с,
"fIiiIcut:t:en D1t:ect()I:Y
; .Ifi ТoJo.k .р"с.
f--lIiiIр"th
:"'IiiiIGtJID (GUI Бщld.,
... .PJ:Oduc Paqe (иеЬ:
I!IO 13
', I!lIDIЗ
.EI )
'-.t)
х \!!}
1
20
,) M'\Il.AiJ': > ,.
\ ....:.:,:.
. : .,. . '
.... ' $',
Thls presentation describes the graphlng
features avallabIe 1" MAТLAB.
'i: 25'
2IJ
15
. ;
/
20
I
J,J <'
....i;
\,,, 10'
5
1<' "
Rе'зdy
I j'
Рис. 11.24. Демонстрационный обучающий пример для ознакомления
с rрафическими возможностями системы МАЛJ..В
342
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Для построения I'рафиков кривых и поверхностей также .MorYT быть использова
ны функции meshc, meshz, surfc, surfl и целый ряд ДРУI'ИХ. ДЛЯ построения
столбиковых диаrрамм можно использовать функция bar, barh, hist. Для по
строения плоской КРУI'ОВОЙ диаrраммы предназначена функция pie, а для по
строения 3 мерной круrовой диаrраммы функция рiеЗ.
Для дополнительноrо знакомства с rрафическими возможностями системы
MATLAB MorYT оказаться полезными два обучающих мультипликационных
примера. Первый из них, который вызвается из окна с демо примерами операци
ей Graphics>Overviw оС features (playback), иллюстрирует процесс настройки
свойств rрафическоrо окна (рис. 11.24).
Второй обучающий пример, который можно вызвать из окна с демо примерами
операцией Graphics>Plotting апd рriпtiпg (playback), иллюстрирует процесс Ha
стройки свойств изображений для печати в системе МА TLAB (рис. 1 1.25).
В последующих rлавах приводятся друrие варианты rрафических изображений,
построенные с помощью средств МА TLAB, а также рассматриваются способы
построения нескольких rрафиков в одном I'рафическом окне.
.g Matlab D phlr;s MI . ! t rne xplorer RI!I I:I
.",*"
..i::..J.gJ19
;J.!.';
J
47
V
} : :, ,:. :: : :.
ю 2
Р.oge S..lup . F.gu,.. 1
' : : : и.. ,
Jt:!. 1IIO f
., :1т Д J : ; I ';i.<.:" ; . . ';f"': '" .
» Х . [1,l1з,25б,3134,20000,21000,22000,40154]:
» у . 1щr(Х):
» .."'1l0gy(X, У)
»
х
I
'
.
r.
.
!bl!J
i \",
I .:..
Cll<k IhB Cвntвr bulton
10 cenler IhB figure оп
Ihe page.
'iЖ; ., ,1 Y ani i;.:
:i(! ".0." t,"'
, ... .,\>i . ''''''-,'.' 'I'''''fiI( ''''' : ......, <!' '''«:l' ..'-'p. .'_' [ .":."
; "-;;
Рис. 11.25. Демонстрационный обучающий пример для ознакомления
с ВОЗМОжнОстями настройки изображений ДЛЯ печати в системе MATLAB
rлава 12
Процесс нечеткоrо
моделирования в среде МА TLAB
Для реализации процесса HeLleTKoro моделирования в среде МА TLAB предна
значен специальный пакет расширения Fuzzy Logic Toolbox. В рамках ЭТОI'О па
кета, который расположен в папке C:\MATLAB6pl\toolbox\fuzzy (ссли система
МА TLAB установлена по умолчанию на диске С:), пользователь может выпол
нять необходимые действия по разработке и использованию нечетких моделей в
одном из следующих режимов:
LJ в интерактивном режиме с помощью rрафических средств редактирования и
визуализации всех компонентов систем нечеткоrо вывода;
LJ в режиме команд с помощью ввода имен соответствующих функций с необхо
димыми арrументами непосредственно в окно команд системы MATLAB
Ниже рассматриваются особенности разработки систем нечеткоrо вывода в Ka
ждом их этих режимов и даются рекомендации по выполнению необходимой
последовательности действий.
12.1. Процесс разработки систеМbI
нечеткоrо Вblвода в интерактивном режиме
Для разработки и дальнейшеrо применения систем нечеткоrо вывода в интерак
тивном режиме MorYT быть использованы следующие rрафические средства, BXO
дящие в состав пакета FlIzzy Logic Toolbox.
LJ Редактор систем нечеткоrо вывода FIS (FIS Еditш) или сокращенно peдaK
тор FIS.
LJ Редактор функций принадлежности системы lIеЧетКOl'О вывода (McтbeIsl1ip
FlInction Edito[) или сокращенно редактор функций принадлежности.
LJ Редактор правил системы нечеткоrо вывода (Rule Еditш) или сокращенно
редактор правил.
LJ Проrрамма просмотра правил системы нечеТкоrо вывода (RlIle Viewel") или
сокращенно просмотрщик правил вывода.
344
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
r:J Проrрамма просмотра поверхности системы нечеткоrо вывода (Sшfасе
Viewer) или сокращенно просмотрщик поверхности вывода.
Кроме этих I'рафических средств в состав пакета FlIzzy Logic Toolbox также вхо-
дят следующие специальные nporpaMMbl.
r:J Редактор адаптивных систем нейро-нечеткоrо вывода (Adaptive Neuro-Fuzzy
Inference System Editor) или сокращенно редактор rибридных сетей или ре-
дактор ANFIS.
r:J Проrрамма нечеткой кластеризации методом нечетких с-средних (fllzzy с-
means clиstel"ing).
В табл. 12.1 представлены функции МА TL.A.B, которые MorYT быть использова-
ны для вызова соответствующих rрафИLlеских средств. Более подробно особен-
ности работы с редактором rибридных сетей ANFIS изложены в zлаве 15, а осо-
бенности работы с проrраммой нечеткой кластеризации в zлаве 13.
Таблица 12.1. Функции rрафическоrо интерфейса пользователя
Функция
Назначение
anfisedit
findclиster
fиzzy
mfedit
rиleedit
rиleview
sиrfview
Редактор rибридных сетей ANFIS
Проrрамма нечеткой кластеризации
Редактор системы нечеткоrо вывода FIS
Редактор функций принадлежности
Редактор правил нечеткоrо вывода
Проrрамма просмотра правил и диаrраммы нечеткоro вывода
Проrрамма просмотра поверхности нечеткоrо вывода
Рассмотрим особенности каждоrо из rрафических средств, которые следует ис-
пользовать для разработки и исследования систем нечеткоrо вывода в среде
MATLAB.
Редактор систем нечеткоrо вывода FIS
Редактор систем HeLleTKoro вывода FIS (или просто редактор FIS) является ос-
новным средством, которое используется для создания или редактирования сис-
тем нечеткоrо вывода в rpафическом режиме. Редактор FIS может быть открыт с
помощью ввода функции fиzzy или fиzzy (' fismat') в окне команд. Эта
функция предоставляет пользователю возможность задавать и редактировать на
в.ысоком уровне свойства системы нечеткоrо вывода. такие как число входных и
выходных переменных, тип системы нечеткоrо ВЫВода, используемый метод дe
фаззификации и т. д.
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде МА ТLAB
345
Если функция fuzzy вызывается без aprYMeHToB, то редактор FIS вызывается
для вновь создаваемой системы нечеткоrо вывода с именем Untitled по умолча-
нию (рис. 12.1). При этом по умолчанию также задается целый ряд параметров,
таких как тип системы нечеткоrо вывода (Мамдани), нечеткие лоrические опе-
рации, методы импликации, аrреrирования и дефаззификации и некоторые дру-
rие. Пользователь может соrласиться с этими значениями или изменить их.
.) 11:,; ..Jllur UnllllPIJ I!ID[J
' J :6i ЛЙЙj :тi !Ей tiдll! жЬ'!' .'. r"1Ш Iit ;f и
Untitled
(mзmdзпi)
mputl
output1
t N , ii';;" (,:, ,; @ ,;'.
_, _., . ... ".' о".
:"
liТ1pll pij:
.,\; i ! :Э:l. :., {,У'". '" , i ,. : .typ :j :::: d .'>" < i;" I '
J ;::.:t : , ,; ; ' С Щ: :'."
'. ; , " ' , : ' : _ ' . J _ J . , . . . . _ " f . ': ' +. ' :" -' , . o ;: , '- ' - I ,t' ': . , ' , . . . . . . I '; {;''' ::"
,....'Н' "'. ...:.J.' , _fi p;;" . : k ::i :.
t$; ''' gf.J:'lпf (-;1i:d iр.Цt;iiii q.QJi'ii s' .<):? ;:tЭ" _",,}::l; H;::::,;<;;::i.:;jo;, '<"
Рис. 12..1. rрафический интерфейс редактора FIS,
вызываеМЫЙ функцией fuzzy
Если функция fuzzy вызывается с aprYMeHToM в форме fuzzy (' fi.smat') , [де
fismat имя внешнеrо файла с расширением fis с уже разработанной системой
нечеткоrо вывода, то редактор вызывается с уже заrруженной системой FIS с
именем fi.smat ( рис. 12.2).
' римечание
Возможен также вызов редактора FIS с помощью этой же функции в формате
fuzzy (fismat). rде fismat имя структуры FIS в рабочей области MATLAB.
В этом случае соответствующая структура нечеткоrо вывода должна быть
предварительно создана (например. средствами KOMaHAHoro режима) либо за
rружена в рабочую область с помощью функции readfis ( 'fisma,t' ), rде
346
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
fismat имя внешнеro fis файла с разработанной ранее системой нечеткоrо
вывода. В частности, вызов редактора функцией fuzzy ( · tipper') заrружает
в Hero систему нечеткоrо вывода для демонстрационноrо при мера "Чаевые в
ресторане", который более подробно будет рассмотрен ниже в качестве при
мера 12.1.
...) FIS Editor: tipper
,Ei!eEdit, Vi ;
м
n .:'(
м
food
P i:S, I:I.(11 : .)\
And,{!1,e\t1qp
Or method
:;" P;PE1!'
, .. '1 t :;n;
...: ' ax.
: I .miri. .
! J ri1ex. "
, Ш blntroitJ';,
Implice.tion
. f9 . . . . ;jriiI9 ti(iric' ':;.
.r-:
. Defyzzjfjco.liOn
"
I Sy$tет' Р 1;'?J::я !. зJtР д З'rulе$;'
" :o :Х
Ilpper
(mamdanl)
lip
FJ$ Туре:
1 ,
,m mj:j i
d . , rrE>n MJ;I(iabI ' .
. Name.,
, . ' 7уР,е;;
. f\ g
]
; 1 ervlce
Jnput
'< J;9 1_P1,
><0'"
Clos!:\,. .'
" [1
' 1 ;
Help.
" 1 '
"
Рис. 12.2. rрафический интерфейс редактора FIS,
вызываемый функцией fuzzy ( · tipper' )
Редактор FIS обладает rрафическ м интерфейсом и позволяет вызывать все дpy
rие редакторы и nporpaMMbI просмотра систем нечеткоrо вывода. rрафический
интерфейс этоrо редактора обладает максимальным удобством и rибкостью,
необходимой для интерактивной раБОlЫ с отдельными компонентами системы
нечеткоrо ВЫвода.
В верхней части рабочеrо интерфейса редактора FIS изображается диаrрамма,
представляющая в визуальной форме входы и выходы системы нечеткоrо BЫBO
да, в центре которых находится так называемый процессор Ilечетких правШl.
Щелчок на прямоуrольнике с изображением входа или выхода выделяет COOT
ветствующую переменную и делает ее текущей. Прямоуrольник текущей пере-
менной при этом выделяется красным цветом.
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде МА ТLAB
347
Двойной щелчок на прямоуrольнике с изображением входной или выходной пе
ременной вызывает редактор функций принадлежности с заrруженной в Hero
соответствующей переменной. Двойной щелчок на изображении процессора He
четких правил вызывает редактор правил для соответствующей системы нечет
Koro вывода. Если некоторая переменная существует в системе нечеткоrо BЫBO
да, но не используется в правилах вывода, то связь ее с процессором нечетких
правил изображается не сплошной, а пунктирной линией.
Редактор FIS имеет rлавное меню, которое позволяет пользователю вызывать
друrие rрафические средства работы с системой нечеткоrо вывода FIS. заrру
жать и сохранять структуру FIS во внешних файлах и т. д. Рассмотрим назначе
ние пунктов меню редактора FIS.
["] Пункт меню File (Файл) редактора FIS содержит следующие операции:
. New FIS... позволяет выбрать тип задаваемой новой системы нечеткоrо
вывода: Mamdani типа Мамдани или Sugeno типа CyreHo. При этом
задаваемая система нечеткоrо вывода не имеет ни входных, ни выходных
переменных, а ее имя задается по умолчанию как Untitled;
. Import позволяет заrpузить в редактор FIS существующую систему He
четкоrо вывода одним из следующих способов: From Workspace... из
рабочеrо пространства проrраммы MATLAB или From Disk... из внеш
Hero файла. В последнем случае вызывается стандартное диалоrовое окно
открытия внешнеrо файла с диска;
. Export позволяет сохранить редактируемую систему нечеткоrо вывода
одним из следующих способов: То Workspace... в рабочем пространстве
проrраммы MATLAB или То Disk... во внешнем файле. В последнем
случае ВЫзывается стандартное диалоrовое окно сохранения файла на
диске;
. Print позволяет распечатать на прию-ере редактируемую систему нечетко
[о вывода. В этом случае вызывается стандартное диалоrовое окно Ha
стройки свойств печати на подключенном к данному компьютеру принтере;
. Close закрывает редактор FIS, при этом вызывается диалоrовое окно с
предложениями сохранить или отказаться от сохранения редактируемой
системы нечеткоrо вывода.
О Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции:
. Undo отменяет выполнение последнеrо действия;
. Add Variable... позволяет добавить в редактируемую систему нечеткоrо
вывода переменную одноrо из следующих типов: Illput входную пере
менную или Output выходную переменную;
. Remove Selected VariabIe удаляет выбранную переменную из редакти
руемой системы нечеткоrо вывода;
. \ Membership Functions... вызывает редактор функций принадлежности;
. Rules вызывает редактор правил нечеТКОI"О вЫвода.
348
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
(j Пункт меню View (Вид) содержит следующие операции:
. Rules вызывает проrрамму просмотра правил нечеткоrо вывода;
. Surface вызывает проrрамму просмотра поверхности нечеткоrо вывода.
В левой нижней части рабочеrо интерфейса редактора FIS имеется 5 всплываю-
щих меню:
(j And method (Метод лоrической конъюнкции) позволяет задать один из сле
дующих методов для выполнения лоrической конъюнкции в условиях нечет-
ких правил:
. min метод минимальноrо значения (6.2);
. prod метод алrебраическоrо произведения (6.3);
. Custom метод, определенный пользователем.
(j Or method (Метод лоrической дизъюнкции) позволяет задать один из сле
дующих методов для выполнения лоrической дизъюнкции в условиях нечет-
ких правил:
. тах метод максимальноrо значения (6.6);
. probor метод алrебраической суммы (6.7);
. Custom метод, определенный пользователем.
(j Implication method (Метод вывода заключения) позволяет задать один из
следующих методов для выполнения (активизации) лоrическоrо заключения в
каждом из нечетких правил:
. min метод минимальноrо значения (7.6);
. prod метод алrебраическоrо произведения (7.7);
. Custom метод, определенный пользователем. Это меню не используется
для систем нечеткоrо вывода типа CyreHo.
(j Aggregation method (Метод аrреrирования) позволяет задать один из сле-
дующих методов для аrреrирования значений функции принадлежности каж-
дой из выходных переменных в заключениях нечетких правил:
. тах метод максимальноrо значения (6.6);
. sum метод rраничной суммы (6.8);
. probor метод алrебраической суммы (6.7).
. Custom метод, определенный пользователем. Это меню не используется
для систем нечеткоrо вывода типа CyreHo.
О Defuzzification method (Метод дефаззификации) позволяет задать один из
следующих методов для выполнения дефаззификации выходных переменных
в системе нечеткоrо вывода типа Мамдани:
. centroid метод центра тяжести для дискретноrо множества значений
функции принадлежности (7.1 О);
rлаВа 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде МА ТLAB
349
. bisector метод центра площади (модификация (7.11»;
. mom (middle of maximum) метод среднеrо максимума, определяемый как
среднее арифметическое левоrо и npaBoro модальных значений;
. som (smallest of maximum) метод наименьшеrо (левоrо) модальноrо зна-
чения (7.12);
. 10m (largest of maximum) метод наибольшеrо (npaBoro) модальноrо зна-
чения (7.13);
. Custom - метод, определенный самим пользователем.
Для систем нечеткоrо вывода типа CyreHo можно выбрать один из следую
щих методов дефаззификации:
. wtaver (weighted avel'age) метод взвешенноrо среднеrо (7.15);
. wtsum (weighted s um) метод взвешенной суммы (7.16).
Примечан;lе
Методы, определенные пользователем, должны быть заданы либо в существующих
m файлах. либо в форме разработанных пользователем отдельных т-файлов,
размещенных в папке C:\MATLAB6p1\tooJbox\fuzzy или в папке C:\MATLAB6p1\
work (если система MATLAB установлена по умолчанию на диске С). Поскольку
особенности написания и редактирования т-файлов относятся к области про-
rраммирования, эта тематика будет рассмотрена далее валаве 14.
в правом нижнем уrлу находятся кнопка вызова встроенной справочной систе-
мы МА TLAB (Help) и кнопка закрытия редактора FIS (Close).
Редактор функций принадлежности
Редактор функций принадлежности, как следует из ero названия, предназначен
для задания и редактирования функций принадлежности отдельных термов сис-
темы нечеткоrо вывода в rрафическом режиме. Редактор функций принадлеж
ности может быть открыт с помощью ввода функции mfedit, а также
mfedit (' а') или mfedit (а), В окне команд либо с помощью rлавноrо меню
редактора FIS (командой меню Edit>Membership Functions... или нажатием кла-
виш <Ctrl>+<2».
Эта функция, записанная в формате mfedi t, просто вызывает редактор функций
принадлежности без заrрузки какой бы то ни было системы нечеткоrо вывода.
Функция в формате mfedi t ( , а ') вызывает редактор функций принадлежности,
который позволяет пользователю в rрафическом режиме анализировать и моди
фицировать все функции принадлежности некоторой структуры FIS, coxpaHeH
ной во внешнем файле с именем a.fis. Функция в формате mfedit (а) работает с
переменной рабочеrо пространства МА TLAB, соответствующей структуре FIS с
именем а. Для каждой функции принадлежности можно изменить ее имя, тип и
параметры. Редактор предоставляет пользователю не только возможность вы-
350
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
брать любую из 11 встроенных функций принадлежности, но и задать собствен
ную функцию принадлежности.
Результат вызова редактора функций принадлежности с помощью функции
mfedit('tipper') изображен на рис. 12.3.
Ф) Membership Function Edltor: tipper
F,'И E!3it, < Vie, ,; <:
IIОIЗ
FIS VariabIe5
., . '" G'.;" ,,";,;." ; !,S f ';
Membership funcllDn plols plQt pomts: J
I <"I<- o , "o _ . ... T "'- " 'O- O" о_о . .
Pqol good
1
l\iV1 rO' ' l
еемсе tip
, f\7\11
.)
food
"1
e)(c llenl
I
l.\ ") i'
I
I
LJ -о о .. '_0 __..... .__.. ''' O O _.' ...J. .. o . .O.. о......
iJ 1 ., ,
, - . : .
...... , . .... ,, ........... .. . . ..... . . . . , .... ,,
'.)
6
8
э
:0
;:: i"
>: !) ;;; ; ... .е: '"
.Reпge; .<; I [О 1 О]
;:'?'
ц
(jis ) rgE! 1 [О 1 О]
1 'R8ed ' .
f , r+ '<i ,'d ; f 1 ;: " ;l , ' . .' . ;
. ; . . . . T . n . .. , T , :: . ';; в ; . .:, " [ "...."* С" -""'
.. " .i! ;50]
,HeJp:
' :
Оове,
ц :
'.., .. . . t
. С. '
-,- . '-,
.:.: ''; Щ :, ,:
..< y "-
'0 . , "'" ;...- Ч :J:
Рис. 12.3. Редактор функций принадлежности,
вызываемый функцией mfedit ('tipper')
Для отображения rрафиков функций принадлежности следует выбрать необхо
димую переменную в левой части rрафическоrо интерфейса редактора под заrо
ловком FIS Variables (Переменные FIS). Чтобы выбрать нужную функцию при
надлежности, следует щелкнуть на ней или ее метке в основном окне с
rрафиками функций принадлежности.
Редактор функций принадлежности имеет rлавное меню nporpaMMbI, которое
позволяет пользователю вызывать друrие rрафические средства работы с систе-
мой нечеткоrо вывода FIS, заrружать и сохранять структуру FIS во внешних
файлах и т. д.
LI Пункт меню File (Файл) редактора функций принадлежности содержит такие
же операции, что и соответствующий пункт меню редактора FIS.
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде MAТLAB
351
LI Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции:
. Undo отменяет выполнение последнеrо действия;
. Add MF... позволяет добавить встроенную функцию принадлежности
термов для выбранной переменной;
. Add Custom MF... позволяет добавить пользовательскую функцию при
надлежности для отдельной переменной;
. Remove Current MF позволяет удалить отдельную функцию принадлеж-
ности;
. Remove АН MFs позволяет удалить все функции принадлежности для
отдельной переменной;
. FIS Properties... вызывает редактор FIS;
. Rules... вызывает редактор правил нечеткоrо вывода.
LI Пункт меню View (Вид) содержит следующие операции:
. Rules вызывает проrрамму просмотра правил нечеткоrо вывода;
. Surface вызывает проrрамму просмотра поверхности нечеткоrо вывода.
Раскрывающийся список типов функций принадлежности позволяет выбрать
одну 1З 1 1 встроенных функции принадлежности. Используя соответствующие
поля ввода, можно изменить имена термов выбранной переменной в поле ввода
Name, модифицировать пара метры встроенных функций принадлежности в поле
ввода Params.
Примечани
Поскольку данный редактор не позволяет задать функцию принадлежности,
определенную пользователем, в случае подобной необходимости следует BOC
пользоваться соответствующими функциями командноrо режима. Тем не Me
нее, BCTpoeHHblx типов функций принадлежности оказывается вполне ДOCTa
точно для большинства практических приложений.
Изменить вид функции принадлежности можно также с помощью мыши. Для
этоrо следует выделить изменяемую функцию принадлежности на rрафике (она
будет изображена красным цветом) и, не отпуская нажатую левую кнопку мыши,
перемещать маркер в нужную сторону. При этом будут изменяться rраф 1К соот-
ветствующей функции принадлежности и ее параметры. Этой возможностью
следуe:r пользоваться с осторожностью, поскольку выполненные изменения
функции принадлежности уже не удастся отменить. В правом нижнем уrлу Haxo
дятся кнопка вызова встроенной справочной системы МА TLAB (Help) 11 кнопка
закрытия редактора функций принадлежности (Close).
352
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Редактор правил системы нечеткоrо вывода
Редактор правил системы нечеткоrо вывода, как следует из ero названия, пред
назначен для задания и редактирования отдельных правил системы нечеткоrо
вывода в rрафическом режиме. Редактор правил может быть открыт с помощью
ввода функции ruleedi t ( I а 1) или ruleedi t (а) В окне команд либо с помощью
rлавноrо меню редактора FIS (командой меню Edit>Rules... или нажатием кла-
виш <Ctrl>+<3».
Эта функция, записанная в формате ruleedi t ( I а I ) , вызывает редактор правил, KO
торый позволяет пользователю в I'рафическом режиме анализировать и модифици
ровать правила продукций системы нечеткоrо вывода FIS, сохраненной во внешнем
файле с именем a.fis. Эта функция позволяет также выполнять rpамматический aHa
лиз правил, которые используются в некоторой системе нечеткоrо вывода FIS.
Чтобы использовать данный редактор для создания правил, необходимо пред
варительно определить все входные и выходные переменные, для чеrо можно
воспользоваться редактором системы нечеткоrо вывода FIS и редактором функ
ции принадлежности. При этом задать правила можно с помощью выбора соот-
ветствующих значении термов ВХОДНЫХ и выходных переменных.
Результат вызова функции ruleedi t ( I tipper 1) изображен на рис. 12.4.
} Rule Editor: tipper
itl :. ! d ,.,у S.;б о.ns: Ш!, ; J ",
....' [zi ,)С,
, 2,11 (sel"Jlce IS good) then (tlp is !:1\/erege) (1)
З, 1I (sel"Jice IS excellent) or (Iood 15 delicious) then (11p is generous) (1)
.>,' >, ;ffr }f{' j
:-i-
, 11
. :: 's .
Рис. 12.4. Редактор правил, вызываемый функцией ruleedi t ( I tipper' )
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде МА ТLAB
353
Функция в формате ruleedit (а) вызывает редактор правил для переменной
рабочеrо пространства МА TLAB, соответствующей структуре FIS с именем а.
Редактор правил имеет rлавное меню, которое позволяет пользователю вызы
вать друrие rрафические средства работы с системой нечеткоrо вывода FIS, за
rружать и сохранять структуру FIS во внешних файлах и т. д.
О Пункт меню File (Файл) редактора правил содержит такие же операции, что и
соответствующий пункт меню редактора FIS.
О Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции:
· Undo отменяет выполнение последнеrо действия;
· FIS Properties... вызывает редактор FIS;
· Membership Functions... вызывает редактор функций принадлежности.
О Пункт меню View (Вид) содержит следующие операции:
· Rules вызывает nporpaMMY просмотра правил;
. Surface вызывает проrрамму просмотра поверхности вЫвода.
О Пункт меню Options (Сервис) содержит следующие операции:
. Language позволяет выбрать язык для записи правил в форме текста:
English (анrлийский), Deutsch (немецкий) или Francais (французский);
. Format позволяет выбрать формат записи правил системы нечеткоrо
вывода: Verbose (в форме текста), Symbolic (в символической форме) или
Indexed (в цифровой форме).
При записи правил в форме текста для создания законченных предложений ис
пользуются служебные слова "if', "then", "is" , "AND" , "OR" и т. д. При записи
правил в символической форме эти служебные слова заменяются символами co
ответствующих операций. Например, правило "if (А is .11) and (В is 13) then (С is
С)" преобразуется к виду: "(А = = .1l) & (В = = 13) => (С = = С)". Правила нечет
Koro ВЫвода, записанные в цифровой форме, соответствуют формату их flред
ставления в структуре FIS, который рассматривается в разд. 12.3.
Поля ввода в средней части rрафическоrо интерфейса редактора правил позво
ляют задать новое правило в системе нечеткоrо ВЫвода. Для этоrо необходимо
выделить имя терма соответствующей переменной, которая должна быть пред
варительно определена с помощью редактора функций принадлежности. Если
некоторый терм не входит в правило, то для Hero следует выбрать значение
"попе". Если в условии правила используется лоrическое отрицание HeKoToporo
терма, то для этоrо терма следует отметить соответствующий флажок с меткой
"not" ("выставить rалочку").
Редактор правил позволяет также задать лоrические связки для подусловий пра
вила (переключатель Connection) и вес правила (поле ввода Weight). Кнопки в
нижней части rрафическоrо интерфейса редактора правил, как следует из их Ha
званий, служат для удаления выделенноrо в окне правила (Delete rule), добавле-
ния созданноrо правила в систему (Add rule) и внесения изменений в выделенное
354
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
в окне правило (Change rule). В правом нижнем уrлу находятся кнопки вызова
встроенной справочной системы МА TLAB (Help) и кнопка закрытия редактора
правил (Close).
Проrрамма просмотра правил
системы нечеткоrо вывода
rлавное назначение проrраммы просмотра правил заключается в возможности
визуализировать результаты нечеткоrо вывода и получать значения выходных
переменных в зависимости от исходных значений входных переменных. rрафи
ческий интерфейс проrраммы просмотра правил может быть открыт с помощью
ввода функции ruleview( 'а') или ruleview(a) В окне команд либо с помо
щью rлавноrо меню редактора FIS, редактора функций принадлежности или
редактора правил (командой меню View>Rules или нажатием клавиш <Ctl"l>+<5».
Функция, записанная в формате ruleview ( 'а' ) , вызывает проrрамму просмот
ра правил, которая изображает диаrрамму He'leTKoro вывода для структуры FIS,
сохраненноЙ во внешнем файле с именем a.fis. Функция в формате ruleview (а)
вызывает проrрамму просмотра правил для переменной рабочеrо пространства
МА TLAB, соответствующей структуре FIS с именем а.
Проrрамма просмотра правил не позволяет редактировать правила и функции
принадлежности термов переменных и используется после разработки системы
нечеткоrо вывода на этапе ее анализа и оценки. Функцию также целесообразно
ИСПО.1ьзовать в том случае, коrда необходимо визуально представить весь про
цесс нечеткоrо вывода от начала до конца. При этом пользователь имеет воз
можность оценить значения выходных переменных нечеткой модели и влияние
каждоrо из правил на результат нечеткоrо вывода посредством изменения зна
чений входных переменных.
rрафический интерфейс проrраммы просмотра правил изображен на рис. 12.5.
Проrpамма просмотра правил имеет rлавное меню, которое позволяет пользо
вателю вызывать друrие rрафические средства работы с системой нечеткоrо BЫ
вода FIS, заrружать и сохранять структуру FIS во внешних файлах и т. д.
О Пункт меню File (Файл) редактора правил содержит такие же операции, что и
соответствующий пункт меню редактора FIS.
О Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции:
. Undo отменяет выполнение последнеrо действия;
. FIS Properties... вызывает редактор FIS;
. Membership Functions... вызывает редактор функций принадлежности;
. Rules... вызывает проrрамму редактирования правил.
О Пункт меню View (Вид) содержит следующие операции:
. Surface вызывает проrрамму просмотра поверхности вывода.
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде MAТLAB
355
) Rule Viewer: tipper
:"!l! H' :&i ": 1ili ' :'H "", ,«:,:,. :.<:'е:, , ;,,,,,,,,.;"..,,,,.
service '" 5 food = 5
2
з
} i"JМ' I !5 5} .
, I .QP p : ! !,: .
i
I
.O х
tip= 15
V\ I
lu
I п
[I]
о
30
'. . :; f FtоtроimSЛ1Ul 1I м .lett l'righfJр Фuр I1
. .' . rl :' : Belp . . CIose 11
Рис. 12.5. Проrрамма просмотра правил,
вызванная функцией ruleview ( 'tipper' )
о Пункт меню Options (Сервис) содержит следующие операции:
. Format позволяет выбрать формат записи правил системы нечеткоrо
вывода: Verbose (в форме текста), Symbolic (в символическоЙ форме) или
Indexed (в цифровой форме).
В центральной части rрафическоrо интерфеЙса nporpaMMbI просмотра правил
расположены прямоуrольники, соответствующие отдельным входным перемен
ным (функции принадлежности желтоrо цвета) и выходным переменным
(функции принадлежности синеrо цвета) правил нечеткоrо вывода. При этом
каждому правилу соответствует отдельная строка из этих прямоуrольников.
Номера правил указаны в левой части rрафическоrо интерфейса.
В правой нижней части rрафическоrо интерфейса расположен прямоуrольник,
изображающий дефаззификацию выходной переменной после аккумулирования
всех заключений правил нечеткоrо вывода. Полученное в результате дефаззифи
кации значение выходной переменной указывается в верхней части столбца с
именем этой выходной переменной (tip 15 на рис. 12.5).
Прямоуrольники входных переменных пересекает вертикальная прямая KpaCHO
ro цвета, положение которой соответствует конкретному значению входной пе
356
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
ременной соответствующеrо столбца. Задать конкретные значения входных пе
ременных можно либо с помощью их записи в поле ввода Input, либо с помощью
мыши, перемещая вертикальные прямые в нужном направлении. В последнем
случае можно щелкнуть на той или иной вертикальной прямой и, удерживая на-
жатой левую кнопку мыши, переместить прямую вправо или влево, либо просто
щелкнуть в необходимой точке внутри прямоуrольника соответствующей вход-
ной переменной.
Полученные после изменения значения входных переменных непосредственно
отображаются в верхней части прямоуrольников после имени входных перемен-
ных и в поле ввода с меткой Input. Более тото, система МА TLAB реаrирует
на каждое изменение значения отдельной входной переменной выполнением
процедуры нечеткоrо вывода, получением и отображением соответствующих
результирующих значений выходных переменных.
Проrрамма просмотра поверхности
системы нечеткоrо вывода
Проrрамма просмотра поверхности системы нечеткоrо вывода позволяет про-
сматривать поверхность системы нечеткоrо вывода и визуализировать rрафики
зависимости выходных переменных от отдельных входных переменных. rрафиче-
ский интерфейс nporpaMMbI просмотра правил может быть открыт с помощью
ввода функции surfview ( 'а')' или surfview (а) в окне команд либо с помощью
rлавноrо меню редактора FIS, редактора функций принадлежности или редактора
правил (командой меню View>Surface или нажатием клавиш <Ctrl>+<6».
Функция, записанная в формате surfview ( 'а' ) , вызывает протрамму просмот-
ра поверхности, которая изображает поверхность нечеткоrо вывода для струк-
туры FIS, сохраненной во внешнем файле с именем a.fis, для любой одной или
двух из ее входных переменных. Функция в формате surfview (а) вызывает про-
трамму просмотра поверхности вывода для переменной рабочеrо пространства
МА TLAB, соответствующей структуре FIS с именем а.
rрафический интерфейс протраммы просмотра поверхности изображен на рис. 12.6.
Проrрамма просмотра поверхности вывода имеет rлавное меню, которое позво
ляет пользователю вызывать друrие rрафические средства работы с системой
нечеткоrо вывода FIS, ЗaI'ружать и сохранять структуру FIS во внешних файлах
и Т.д.
О Пункт меню File (Файл) редактора правил содержит такие же операции, что и
соответствующий пункт меню редактора FIS.
О Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции:
. Undo отменяет выполнение последнеrо действия;
. FIS Properties... вызывает редактор FIS;
. Membership Functions... вызывает редактор функций принадлежности;
. Rules... вызывает nporpaMMY редактирования правил.
rлава 12. Процесс нечеткоro моделирования в среДе MAТLAB
357
..) Surface Yiewer: tipper
,;: ";; ' 1 :; i,:
r:::J )(
10 .
:.;.."
. i._:< i:-.
-... ---:-,,;>:
..',;,,, 20'
, '15
:10
10
food'
о о
seIVICB
.... ...I;;,. t 7' i ZJ ;1 : \
] :::: O! . ,;" Ji ,' .
I lood
' '.1 15
" 'z (outj:\til),: ",
.:-."" "",.,\. .
J tip
r'.У,1JЫ;' с. I
qO$e. 11
Н ' .
. Help
Рис. 12.6. Проrрамма просмотра поверхности вывода,
вызываемая функцией surfview ( 'tipper' )
[j Пункт меню View (Вид) содержит следующие операции:
. Rules вызывает проrрамму просмотра правил.
О Пункт меню Options (Сервис) содержит следующие операции:
. Plot позволяет выбрать один из 8 стилей изображения rрафика поверх
ности вывода;
. Color Мар позволяет выбрать одну из 4 цветовых схем изображения
rрафика поверхности вывода;
. Always evaluate пометка rалочкой этоrо пункта вложенноrо меню при
водит к автоматическому формированию новой поверхности вывода вся
кий раз, коrда вносятся изменения в систему нечеткоrо вывода, влияющие
на форму rрафика поверхности вывода (такие как изменение количества
точек сетки rрафика). Это значение принято по умолчанию. Чтобы ero
отменить, необходимо снять rалочку у этоrо пункта вложенноrо меню,
щелкнув на этой позиции меню.
Проrрамма просмотра поверхности вывода не позволяет вносить изменения в
систему нечеткоrо вывода и соответствующую ей структуру FIS. Используя
358
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
rлавное меню проrраммы, пользователь может выбрать входные переменные и
соответствующие им rоризонтаЛЫlые оси системы координат (Х и У), а также
выходную переменную, которой соответствует вертикальная ось системы KOOp
динат (Z).
Щелкнув и удерживая левую кнопку мыши на осях rрафика поверхности, по
средством последующеrо перемещения курсора мыши в том или ином направле-
нии можно изменить уrол просмотра поверхности вывода. Если рассматривается
система нечеткOI"О вывода с более чем двумя входными переменными, то для He
визуализируемых входных переменных следует задать некоторые постоянные
значения (константы).
Далее в этой rлаве описываются конкретные приемы и операции с paCCMOTpeH
ными средствами пакета Fuzzy Logic ТооlЬох, используя которые, пользователь
может разработать и выполнить анализ системы нечеткоrо вывода в rрафиче
ском режиме.
12.2. Пример разработки системы
нечеткоrо вывода в интерактивном режиме
в качестве при мера разработки системы нечеткоrо вывода в интерактивном pe
жиме с помощью rрафических средств пакета Fuzzy Logic ТооlЬох рассмотрим
следующую нечеткую модель, которая входит в число демонстрационных при
меров системы МА TLAB.
При м е р 12.1. "Чаевые в ресторане". Рассмотрим ситуацию в ресторане, при
которой, соrласно принятым в США традициям, после окончания обслуживания
посетителя принято оставлять официанту чаевые. Основываясь на устоявшихся в
этой стране обычаях и интуитивных представлениях посетителей ресторанов
величина суммы чаевых не является постоянной и зависит, например, от качест
ва обслуживания и качества приrотовления заказанных блюд.
Задача состоит в том, чтобы разработать некоторую экспертную систему, KOTO
рая была бы реализована в виде системы нечеткоrо вывода и позволяла бы оп
ределять величину чаевых на основе субъективных оценок посетителей качества
обслуживания и качества приrотовления заказанных блюд.
Эмпирические знания о рассматриваемой проблемной области MorYT быть пред
ставлены в форме следующих эвристических правил продукций:
1. Если обслуживание плохое или ужин подrоревший, то чаевые малые.
2. Если обслуживание хорошее, то чаевые средние.
3. Если обслуживание отличное или ужин превосходный, то чаевые щедрые.
Примечание )
Приведенные выше правила действительно субъективны и не свободны от кри
тики. В частности, для мноrих посетителей наших ресторанов может по казаться
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде МА ТLAB
359
странным правило 1, соrласно которому следует оставлять чаевые в случае
плохоro обслуживания или подrоревшеrо ужина, и правило 2, соrласно KOTOpO
му следует оставлять средние чаевые даже в случае подroревшеro ужина.
Возможно, некоторые из наших читателей сочтут возможным вообще отказаться
от оставления чаевых в подобных ситуациях и будут по своему правы. Тем не
менее, поскольку данный пример широко используется в литературе для дe
монстрации возможностей системы МА TLAB, он при водится здесь без измене
ния в своем ориrинальном виде.
в качестве входных параметров системы нечеткоrо вывода будем рассматривать
2 нечеткие линrвистические переменны,:: "качество оБСЛ)':JIсиваНllЯ" и "качество
приzотовления заказанных блюд" (или сокращенно "качеапво У:JIСUlШ"), а в Ka
честве выходных параметров нечеткую линrвистическую переменную "ве.'1ичи
110 чаевых".
в качестве терм множества первой линrвистической переменной "качество обс-'lУ
жuвания" будем использовать множество ТI={"ШlОхое", "хорошее", "О111.7UЧ1IОе"} , а в
качестве терм множества второй линrвистической переменной "качество УЖUlШ"
будем использовать множество Т2={"под20ревшuй", "превосходНblЙ"}. В качестве
терм множества выходной линrвистической переменной "величшю чаевых" будем
использовать множество Тз={"малые", "средние", "щедрые"}. При этом каждый из
термов первой и второй входной переменной (качество обслуживания и приrо
товления заказанных блюд) будем оценивать по IО балльной порядковой шкале,
при которой цифре О соответствует наихудшая оценка, а цифре 1 О наилучшая
оценка. Что касается термов выходной переменной, то будем предполаrать, что
.малые чаевые составляют около 5% от стоимости заказанных блюд, средние чае
вые около 15%, а щедрые чаевые около 25%.
С учетом сделанных уточнений, рассмотренная субъективная информация о Be
личине чаевых может быть представлена в форме 3 x правил нечетких продук
ций следующеrо вИда (система нечеткоrо вывода типа Мамдани):
ПРАВИЛО l: ЕСЛИ "качество обслужuвания плохое" ИЛИ "ужин 1l0дzоревший"
ТО "велиЧИllа чаевы.Х малая"
ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ "качество обслуж'uваllUЯ хорошее"
ТО "величина чаевых средняя"
ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ "качество обслуживания отлuчное" ИЛИ "у:нсин 11ревосход
ный"
ТО "величина чаевых щедрая"
Примечани
Заканчивая содержательное описание демонстрационноrо примера "Чаевые в
ресторане", следует отметить, что соответствующая ему система нечеткоro
вывода хранится во внешнем файле с именем tipper.fis в папке C:\MATlAB6p1\
toolbox\fuzzy\fuzdemos, если система MATLAB установлена на диске С:.
360
Часть 11. Нечеткое моделирование 8 среде МА ТLAB
Процесс разработки системы нечеткоrо вывода в интерактивном режиме для
paCCMoTpeHHoro выше при мера "Чаевые в ресторане" состоит в выполнении сле
дующей последовательности действий:
1. Вызвать редактор систем нечеткоrо вывода FIS, дЛЯ чеrо в окне команд на-
брать имя соответствующей функции fuzzy. После выполнения этой коман-
ды на экране появится rрафический интерфейс редактора FIS с именем систе-
мы нечеткоrо вывода Untitled и типом системы нечеткоrо вывода (Мамдани),
предложенными по умолчанию (см. рис. 12.1).
2. Поскольку в примере 12.1 рассматривается система нечеткоrо вывода с двумя
входами, необходимо добавить в разрабатываемую систему FIS еще одну
входную переменную. Для этоrо следует выполнить команду меню Edit>Add
VariabIe... >Input. В результате выполнения этой командЫ на диаrрамме сис
темы нечеткоrо вывода появится новый желтый Ilрямоуrольник с именем
второй входной переменной: input2 (рис. 12.7).
) FIS Edltor: Untltled
./::lle;' f'E'dit :::.Yi ' "
'I!IElD
'1 . : "1 ,:i :/.:t ;':
12C6J
input1
Unlltled
'M
(mаmdзпi)
output1
iiipur2
:1 FJ blri f ;.{:{:\V, ; : : ;l o':?>;,;::: '::;, ""0'
".."'-
-} ,,<
,:F1S'fурщ;, .:" .,,,' .':: 1:!1ini ''' /. ::' : j '
:1; il ; 1 f.$
,,)t< :: " ,: -:.It:F r ':"
'" input2 .... '
": : , ,': }":lT':
,:
A. ':;:;;J' ':С\ов$";; '...'.: 'fl '
'(.i1:( ;' ,
,-."...... ....>:';,.
:* o . : (
Рис. 12.7. Вид редактора F/S после добавления второй входной переменной
3. Изменим имена входных и выходных переменных, предложенных системой
МА TLAB по умолчанию. Для этоrо необходимо Быделить прямоуrольник с
именем соответствующей переменной, выполнив щелчок на ero изображении
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде МА ТLAB
361
на диаrpамме (стороны выделенноrо прямоуrольника имеют красный цвет).
После чеrо следует набрать новое имя переменной в поле ввода Name в пра
вой части редактора FIS. Результат изменения имен переменных системы He
четкоrо вывода изображен на рис. 12.8.
lМ "
оБслуживание
Unlitled
IMr
(marndanl)
'H €'B ,H?
ужин
. ;i I ';;1;i;; !: i( :; t ' ;(';ii:':
, ,
t :X : t l t& i< "
"''Ч;< .,, at:.,. )j:;c:. ) :;t ; 4i, ': : ) f '
Рис. 12.8. Вид редактора FIS после изменения имен переменных,
предложенных системой MATLAB по умолчанию
Примечание )
Чтобы избежать проблем с корректным отображением символов кириллицы,
следует давать такие имена переменным, которые состоят из одноro слова без
дополнительных служебных символов. Более TOro, в версиях MATLAB 6.016.1
имеется ряд проблем с кириллицей в названиях переменных и термов
(символы "с" и "я"). Как это ни парадоксально, эти проблемы отсутствуют в
предыдущей версии MATLAB 5.3.1. Именно по этой причине вторая перемен
ная в примере 12.1 получила название "ужин".
4. Изменим имя системы нечеткоrо вывода (UntitJed), предложенное по умолча
нию. Для этоrо сохраним создаваемую структуру FIS во внешнем файле с
именем mytip. fis, выполнив команду меню File>Export>To Disk.... При этом
362
Часть 11. Нечеткое моделирование в среДе МА ТLAB
будет вызвано стандартное диалоrовое окно сохранения файла, в котором
пользователю предлаrается ввести имя соответствующеrо файла (расширение
файла приписывается автоматически). Оставим без изменения предложенные
системой МА TLAB по умолчанию: метод HeLJeTKOrO лоrическоrо И (And
method) значение "min", метод нечеткоrо лоrическоrо ИЛИ (Or шеthоd)
значение "mах", метод импликации (Iшрlicаtiоп) значение "min", метод ar
реrирования (Aggregation) значение "mах'" и метод дефаззификаuии
(Defuzzification) значение "centIoid". Очевидно, эти значения MorYT быть
изменены пользователем.
5. Теперь необходимо определить термы и их функции принадлежности для
ВХОДных и выходных переменных нашей системы нечеткоrо вывода. Для этой
цели следует воспользоваться редактором функций принадлежности, KOTO
рый может быть вызван одним из следующих способов:
. двойным щелчком на значке прямоуrольника с именем соответствующей
переменной;
Fi1e dItVjе-n;;",,,
FIS VariabIes
4 М;;;'Ь;;; ;hlрFuпctiоп.D
обслуживание чаевые
gg:;
ужин
: , Uf(el'\t I le;'
: Ne.m!!)
T)lp'
,=:< ' : <:r
.:?;: >' : ..
'input
", < , ...;:' '
..
t1ge'" ".;, Н [О 1]
/ . . '. . ::: С;> -:":.
. Di$PI Y&n .;; 1 [О 1]
f "::' >,
Mernbership function plots
plot pOlnts'
181
ш'1
mJз
mQ
{}
i.i!
(;...
Н,
.J--'
<
r "t Mernltership Func\ion (click onMf 10 sele,!;t)(
:..:.;>
o,fIс ие "
,aтe'
I тП
t-;
. 5Туре
, ",;:;:.: .:!J '
" : \ .trlтl
-С, . _: . ';'.'___" : .
.-'. ":
,< ,;:: -';
:;",i\.J
params
J [ 0.4004]
I '. .J' Help
.:: .
' ,$ т ,
, (\ ,1
, 1 <
1 ,'
;;.
, i_ '-'_ .
Рис. 12.9. ВИД редактора ФУНКЦИЙ принадлежности после ero вызова
с функциями принадлежности для термов переменной "обслуживание".
предложенных системой MATLAB по умолчанию
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде MAТLAB
363
. командой меню Edit>Membership Functions... (предварительно должен быть
выделен прямоуrольник с именем соответствующей переменной);
. нажатием клавиш <Ctrl>+<2> (предварительно также должен быть Bыдe
лен прямоуrольник с именем соответствующей переменной).
После вызова редактора Функuий принадлежности каждой из переменных
по умолчанию предлаrается 3 терма с треуrольными функции принадлеж
ности (рис. 12.9).
Вначале изменим диапазон определения значений входных переменных,
для чеrо в полях ввода Range и Display Range изменим верхнее значение с 1
на 1 О (баллов). Аналоrично выполняются изменения соответствующих
диапазонов для выходной переменной "чаевые", при этом верхнее значе
ние 1 следует заменить на 30 (%). Изменения подтверждаются нажатием на
клавишу <Entel"> на клавиатуре.
} Membership Function Editor: mytip
fli! ; <2yrE!W' . ':,., ,: .
FIS VariabIes
-II[]IЗ
<. .,
Membershlp function plots
plot points: I
181
j "" !' " ' ""' .'; "" .... t'r , r
плоptое
'!
хорошее
ОПlIIчное
ужин
,
05 t
обслуживание чаевые
XXl
l . . .
l
П
.::
(;,
'-)
ti
, :fЧ у ;Ь ?}.
'.$ e,' ,..
. . ч ::} .mЪ;r .; f . V '(, ICk o ; .!O"s: I,Bctr ,,",
}qб: r,j:t.. " 'N :)'. \ :;
_: ;; 1 .: _.:.. "> .
,,}; i?ut: .
'. J от личное
;!'J: e
. I igeusli f,.: .
<";..::
: П &:, } ; ] . &j,, ';:, , ,Pertlms;', ,.,'i,\ :!J ,( i; 6. 91 ]
. :b; P! 9 : , . I [O'l ]";'<J." '" ' 1 н "", ;,'fj iii.> ';:;i;{; l i:';;:' . , . ; , : . > . :' . '
> ' . , . >.( < . .
, 1 . 'g:. ВЭ=t1. tЬ, 9 а> th : ':.. ;;i;:,:. '.,
.Ч ,,/,..;) ,'.,
.<".,..
,,,' ,; ;:,.
.... . ,Y ;:'"
a9:S '>
11
I
, ' . . . , .
';.";',-, ,,; "; '-
- .' ';'';':
' ";' ;\
..'>:f(;2, /"
Рис. 12.10. Вид редактора функций принадлежности после изменения названия
термов и типа их функций принадлежности для первой входной
переменной "обслуживание"
364
Часть 1/. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Далее изменим названия термов первой входной переменной "оБСЛУ:"Сli
вшше", предложенные системой MATLAB по умолчанию (mf1, mf2, mfЗ) на
"плохое", "хорошее", "отличное" соответственно. После чеrо изменим тип
функций принадлежности первой переменной, предложенный по умолча
нию, на функции типа [аусса (gaussmf), выбрав соответствующий пункт в
поле Туре. Параме'rpы вновь заданных функций принадлежности оставим
без изменения. Вид редактора функций принаДJlежности после внесенных
изменений для первой из входных переменных изображен на рис. 12.10.
Аналоrичным образом изменим названия термов второй входной переменной
"УЖ:UН" и удаi'IИМ один из термов с соответствующей функцией принадлежно
сти. Для удаления терма следует выделить удаляемую функцию принадлежно
сти и нажать клавишу <Delete> на клавиатуре. Переход к редактированию
переменной осуществляется щелчком на изображении прямоуrольника с име
нем необходимой переменной. Для переменной "у:жин" изменим тип функций
принадлежности ее термов на трапециевидные функции (trapmf) и их пара
метры следующим образом: для терма "Ilодi'оревший" зададим параметры [О О
1 3], а для терма "превосходный" [7 9 1 О 1 О].
Вид редактора функций принадлежности после внесенных изменений для
второй входной переменноЙ изображен на рис. 12.11.
.) Membersh,p Funcf,()n Edltor' myt,p . . ;,,' rllfilEl
.,..... ., ." .,....... ". ' '.._::<' -, J ." ....;. ,....-, > ,
k. : €cj. i;;k . ):1fJ ";;;;\;.,.di i?X;"" .
. ;:, :С'
FIS VariabIes
Meтbershlp funr.tlOn plots
..
plot points: 1181,
преВОСJ<ОДНЫЙ
[XXJ
подrоревший
б lХХi и аевые
ужин
} 51.
,]
.' ' ....... .... . ,..
.1.
1)
h
10
. "
'" "Po.$J!
Рис. 12.11. Вид редактора функций принадлежности после изменения названия
термов и типа их функций принадлежности для второй входной переменной "ужин"
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде МА ТLAB
365
Наконец, изменим названия термов и параметры функций принадлежности для
выходной переменной "чаевые", оставив без изменения треуrольный тип функ
ций принадлежности, предложенный системой МА TLAB. ДЛЯ терма "МШlые"
зададим параметры [О 5 10], а для терма "средиие" [10 15 20], для терма
"щедрые" [20 25 30J. Вид редактора функций принадлежности после сделан
ных изменений для выходной переменной "чаевые" изображен на рис. 12.12.
) Membership Function Editor: mytip ВОЕ!
: :i i!i iё > ; '::; ! 11 l!t t;:- ; it ;: r ,.; ! 1 j t l: ' tt * i1t: ; r 1f' -
FIS VariabIes
Membership function plots
У" "' .""""""""'U " -"""""" ' __'Ш"' ""'''t' ' ..u. ''''f ' - . -- T
I малые средние
1 t'
plot poinlS:, 1
щедрые
[XZ]
Об ие aeBыe
ужин
i
оьf
!
С} .._......... . ...... . ..l. . . . .. . . ":j.. . ._ ........_ ._y ._
О ij .Н)
y_ J ... .. y _ """', , ., .:.. Ш...
i '
LCi
5
JL'
i. &::i <
4;t1!-\.
:l:r :' ",,1,
j:... ''-";
Ч ; "':,'-i--
,, J
J 20 25 30] . .
!,,' HEiIP' '.) ' , ,' : f', ,;::C :и :"::;i :jki f.'I :' ",;;'; ;; ';: ct6 i :'::': ;:; H
Рис. 12.12. Вид редактора функций принадлежности после изменения названия
термов и типа их функций принадлежности для входной переменной "обслуживвние"
6. Теперь настала очередь определить правила нечеткоrо вывода для разраба
тываемой экспертной системы. Для этой цели следует воспользоваться peдaK
тором правил, который может быть вызван одним из следующих способов:
. ДВОЙНblМ щелчком на значке квадрата в центре с именем создаваемой сис
темы нечеткоrо вывода (myfis);
. командой меню Edit>Rules...;
. нажатием клавиш <Ctl'I>+<3>.
Поскольку первоначально база правил нечеткоrо вывода пуста, то после BЫ
зова редактора правил центральное мноrострочное поле ввода не содержит
366
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
никаких правил. Для их определения следует использовать поля меню и пере
ключатели в нижней части rрафическоrо интерфейса редактора правил. Для
задания первоrо правила следует оставить выделенные по умолчанию поле с
именем терма "плохое" для первой входной переменной, поле с именем терма
"подzоревuшЙ" для второй входной переменной и поле с именем терма ",малые"
для выходной переменной. Далее следует переключатель Connection поставить
в положение ос (лоrическое ИЛИ) и нажать на кнопку Add rule. После этоrо
первое правило с символами кириллицы отобразится в верхнем окне.
Аналоrичным образом задается второе правило, для KOToporo следует Bыдe
лить имена термов "хорошее", "попе" и "средние", и третье правило с именами
термов "отличное", "превосходный" и "щедрые" для соответствующих перемен
ных. Вид редактора правил после их определения для разрабатываемой экс
пертной системы изображен на рис. 12.13.
Заметим, что в поле ввода Weigl1t отображается вес каждоrо правила, KOTO
рый можно изменять в пределах интервала [О, 1] (оставим без изменения ero
значение по умоЛ'шнию, равное 1 для всех правил). Этот же вес правил запи
сывается в круrлых скобках в окне правил после каждоrо из правил нечетко
ro вывода.
..) Rule Edltor' mytlp '1!IIiIEI
,. _. '_", . "_'. _ ,',., >:'_ . _ . ,_, с. < ,С' . ;, . , " . > ._. < j , ,_ .; '_ " ' , "
::t jl ,;;;:e, j )&i w' .'O' 6!l ..
" попе
K .
...."...
.;
:'
-. - "-l :
" :i ;j&:i::;: :!::
'Thsl)':.. т.. ";';
че.еsьis'ls
...
малые
" с еАние
. >
попе
..:::J
[ ,] : , .
t : erul 5$' dP ;, .,
ii,: , '
":! по.
2:.1" '
"
QEi! te'r'ule " AMt!Jle:' 1 C::h6/l9 ituIS'; '
ц'
':!
t;ielp"
:1J; ,
'> 1 ' 919 e; 11
Рис. 12.13. Вид редактора правил нечеткоrо вывода после их определения
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде МА ТLAB
367
7. После задания правил нечеткоrо вывода оказывается возможным получить
результат нечеткоrо вывода (значение выходной переменной) для конкретных
значений входных переменных. С этой целью необходимо открыть проrрам
му просмотра правил одним из следующих способов:
· командой меню View>Rules редактора FIS;
. командой меню View>Rules редактора функций принадлежности;
· командой меню View>Rules редактора правил;
· нажатием клавиш <Ctrl>+<5>.
После вызова проrраммы просмотра правил для нашей системы нечеткоrо
вывода по умолчанию для входных переменных предложены средние значе
ния из интервала их допустимых значений (значения [5 5] в поле ввода Input).
Это означает, что посетитель ресторана оценивает качество обслуживания в
5 баллов и качество ужина также в 5 баллов. Этим значениям входных пере-
менных соответствует значение чаевых в 15%, которое отображается выше
прямоуrольников правил в правой части окна проrpаммы просмотра.
Изменим значения входных переменных для друrоrо случая, которому COOT
ветствует качество обслуживания в О баллов ("хуже некуда") и качество ужина
в 10 баллов ("лучше не бывает"). Для этоrо курсор мыши переместим в поле
ввода Input и введем соответствующие значения входных переменных: [О 1 О].
Система MATLAB оставит значение чаевых без изменения (15%), однако
на диаrpамме правил можно заметить результаты выполненных изменений
(рис. 12.14).
Поскольку процесс нечеткоrо моделирования предполаrает анализ результа
тов нечеткоrо вывода при различных значениях входных переменных с целью
установления адекватности разработанной нечеткой модели (в данном слу-
чае экспертной системы), рассмотрим и друrие случаи. Предположим, что
качество обслуживания оценивается в 1 О баллов ("лучше не бывает"), а каче
ство ужина в 2 балла ("бывает и хуже, но реже"). Введем соответствующие
значения переменных аналоrичным способом. В этом случае разработанная
систеМа нечеткоrо вывода рекомендует нам оставить чаевые в размере 16.4%.
Если же предположить, что качество обслуживания по прежнему отличное
(1 О баллов), а качество ужина несколько улучшилось и оценивается в 3 балла,
то величина чаевых существенно изменится и станет равной 24.7%. Более TO
[о, дальнейшее увеличение качества ужина не оказывает изменения величины
чаевых. В частности, для значений входных переменных [1 О 1 О] величина чае
вых составит по-прежнему 24.7%. Если некоторым из посетителей такая экс
пертная система покажется неадекватной (в частности, для случая значений
входных переменных [1 О 1 О] можно бы оставить максимальные чаевые в 30%),
то разработанная система нечеткоrо вывода потребует модификации. Данная
модификация может потребовать изменения существующих правил или до-
бавления новых, а также изменения параметров функций принадлежности
368
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА TLAB
входных и выходной переменных. Более тонкая настройка модели может
быть связана с увеличением количества термов для каждой из входных и BЫ
ходных переменных, что, в свою очередь, приведет к увеличению количества
правил в системе нечеткоrо ВЫВОДа и общему усложнению модели. Все это
предлаrается выполнить читателям самостоятельно в качестве упражнения.
:) Rul Vшwer mytlp "[!]Е')
...' ":..' .'!"" '0';;:""; ' . ,X } :f'" »..(;. '"'1Ц" ' J. !' ') :"\,!. !',:';' .,' '.1.J.'. ?., "'.:' ,.: 11.."';" "''=- ,''t ". . ' .. .: ;...!;, '1 I'.
.: 1.f; ,, YJ 2! ' ; f t ц t,:' . , 'r; А3 f:I;. ; ' Yfr.i lШЯ 1: ;;; ' уriJ: r '; {11j.ft ;
обслуживание = О ужин = 10 '
'IaeBbIe = 15
L
L 1\ I
I
lAJ:i
2
3
10
о
30
Рис. 12.14. Вид проrраммы просмотра правил нечеткоrо вывода
после изменения значений входных переменных на [О 1 О]
8. Для окончательноro анализа разработанной нечеткой модели может оказаться
полезной проrpамма просмотра поверхности нечеткоrо вывода, которая MO
жет быть вызвана одним из слеДУЮЩi1Х способов:
· командой меню View>Surface редактора FIS;
· командой меню View>Surface редактора функций принадлежности;
· командой меню View>Surface редактора правил;
. командой меню View>Surface проrраммы просмотра правил;
. нажатием клавиш <Ctrl>+<6>.
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде MAТLAB
369
rрафический интерфейс nporpaMMbI просмотра поверхности нечеткоrо BЫBO
да для разработанной нечеткой модели изображен на рис. 12.15.
r...) Surface Viewer: mY'lp . . ....-Т"::;:; [j. )(
, ,. ,
Fjle, -Ed;\ View; Options
10
10
20
10
ужин
о о
обслуживание'
11 Help
! чае , Бt>lе , I
. . , I
""""":""==:!J
I C10 e
.Х (lr\p t ;/
Xgrids: '"
I epnp t_
I Re dY ,'
l обспужие ..:o:j ''у (inpuQ:
, 1 15 'у g ids:
f ужин
1 15
i:J ,,: Цqutр .,
1.,
Рис. 12.15. Вид nporpaMMbI просмотра поверхности нечеткоrо вывода
ДЛЯ разработанной нечеткой модели
Эта nporpaMMa служит для общеrо анализа адекватности нечеткоЙ модели, 'lo
зволяя оценить влияние изменения значений входных нечетких переменных на
значение одной из выходных нечетких переменных. В случае необходимости
можно получить rрафик зависимости выходной переменной от одной из BXOД
ных переменных. Для этоrо необходимо выбрать нужную переменную в paCKpы
вающемся списке Х (input), а в раскрывающемся списке У (input) выбрать значе
ние попе . Полученный rрафик зависимости изображен на рис. 12.16.
Полученный rрафик зависимости соответствует среднему значению второй
входной переменной ("качество ужина") в 5 баллов. Это значение может быть
изменено пользователем, для чеrо следует ввести нужное значение в поле ввода
Ref. Input:. Заметим, что зна'lение NaN для первой входной переменной COOTBeT
ствует ее изменению во всем интервале определения [О, 1 О].
370
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Заканчивая рассмотрение процесса разработки простейшей системы нечеткоrо
вывода в интерактивном режиме, следует заметить, что наиболее эффективным
этот способ оказывается для сложных нечетких моделей с большим числом пе
ременных и правил нечеткоrо вывода. В этом случае задание переменных и
функций принадлежности их термов в rрафическом режиме, а также визуализа
ция правил позволяют существенно уменьшить трудоемкость разработки нечет
кой модели, снизить количество возможных ошибок и сократить общее время
нечеткоrо моделирования.
...) Surf8ce Viewer: mytip
. F,i! " :;;}!:! ,,Я РI\"');::i: ;li ,: \;i :; ;: , 1<
25"
"I!!I[] tJ
20
Б
8
10
:x(iripЦt):'
," , : ':
)<grid$:.;:::
, :: ,.,:.,- ",, ,; zj :' ')-:r. rlUti:; ,
i j 15 ,у, g[iO$:
, 1 ';;r.Qn '; ':
1 15 .
I el:;i .:,. ","
1 : e '1': '
1 [Ne.N 5]
-. . ".<
Z(9't'Pч?;... ' 1 '!: j;i g l '
J H , HelPii ,, { ';(;;16se . I f
.. \
> . '.
- .'I. .
Рис. 12.16. rрафик зависимости выходной переменной от первой
из входных переменных для разработанной нечеткой модели
в то же время следует помнить, что количество переменных и правил внечеткой
МОДеЛИ, которые MorYT быть визуализированы, оrраничено. В частности, если
число входных переменных Ilревышает 1 О, то их отображение в соответствую
щих rрафических редакторах происходит с искажениями.
Процесс разработки системы нечеткоrо вывода в режиме команд может допол
нить, а в отдельных случаях, и заменить процесс разработки в интерактивном
режиме, предоставляя пользователю полный контроль над всеми переменными
рабочей области системы МА ТLAB.
rлава 12. Процесс нечеткоro моделирования в среде МА ТLAB
371
12.3. Процесс разработки системы
нечеткоrо вывода в режиме
командной строки
Процесс разработки системы нечеткоrо вывода в режиме команд реализуется с
помощью функций, входящих в состав пакета Fuzzy Logic ТооlЬох. В системе
MATLAB реализованы следующие основные rpYI111bI функций нечеткой лоrики:
О 11 встроенных функций принадлежности для термов нечетких переменных
(табл. 12.2);
О функции управления структурой данных системы нечеткоrо вывода FIS
(табл. 12.3);
О функции дополнительных методов и взаимодействия с пакетом Simulink
(табл. 12.4).
Подробное описание функций пакета Fuzzy Logic ТооlЬох [lРИВОДИТСЯ в IlрUТlO
;Jlсении З.
Таблица 12.2. Функции принадлежности пакета Fuzzy Log;c Toolbox
Функция Назначение
dsigmf Разность двух сиrмоидальных функций принадлежности
gauss2mf Функция принадлежности типа двухсторонней кривой raycca
gaussmf Функции принадлежности типа кривой raycca
gbellmf Обобщенная функция принадлежности типа колоколообразной кривой
pimf побразная функция принадлежности
psigmf Произведение двух сиrмоидальных функций принадлежности
smf S образная функция принадлежности
sigmf Сиrмоидальная функция принадлежности
trapmf Трапециевидная функция принадлежности
trimf Треуrольная функция принадлежности
zmf Z образная функция принадлежности
Таблица 12.3. Функции управления структурой данных системы нечеткоrо вывода
Функция
addmf
Назначение
addrule
Добавляет функцию принадлежности в систему нечеткоrо вывода FIS
Добавляет правило в систему нечеткоrо вывода FIS
372
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Таблица 12.3 (окончание)
Функция Назначение
addvar Добавляет переменную в систему нечеткоrо вывода FIS
de fuz z Дефаззификация функции принадлежности
evalfi5 Выполняет нечеткий вывод в FIS
evalmf Выполняет оценку функции принадлежности
gensurf rенерирует поверхность вывода FIS
getfis Выводит свойства нечеткой системы
mf2mf Преобразует параметры двух функций принадлежности
newfis Создает новую систему нечеткоrо вывода FIS
parsrule Проверяет правильность правил вывода
plotfis Отображает структуру входа/выхода системы нечеткоrо вывода FIS
plotmf Изображает rрафики всех функций принадлежности соответствующей
линrвистической переменной
readfis Заrружает систему нечеткоrо вывода FIS с диска
rmmf Удаляет функцию принадлежности из системы нечеткоrо вывода FJS
rmvar Удаляет переменную из системы нечеткоrо вывода FIS
setfis Задает свойства нечеткой системы
showfi5 Отображает обозначения FIS
showrule Отображает правила системы нечеткоrо вывода FIS
writefis Сохраняет систему нечеткоrо вывода FIS на диске
Таблица 12.4. Функции дополнительных методов
Функция Назначение
anfis Проrрамма обучения системы нечеткоrо вывода FIS типа CyreHo (толь
ко МЕХ)
fcm Проrрамма нахождения кластеров для алrоритма нечетких с средних
FCM
fuzarith Выполнение операций нечеткой арифметики
fuzblock Библиотека нечеткой лоrики пакета Simulink
genfisl rенерирует матрицу системы нечеткоrо вывода FIS с использованием
"Ж8Дноrо" алrоритма grid
rлава 12. Процесс нечеткоrо модвлирования в среде МА ТLAB
З7З
Таблица 12.4 (окончание)
Функция Назначение
genfis2 rенерирует матрицу системы нечеткоrо вывода FIS с использованием
субтрактивной кластеризации (subtractive clustering)
sffis S функция нечеткоrо вывода для па кета Simulink
5ubclu5t Проrрамма нахождения кластеров для алrоритма субтрактивной кла
стеризации
При разработке системы нечеткоrо вывода в режиме команд необходимо знать,
что нечеткая модель в рабочей области системы МА TLAB представляется в
форме та к называемой стр уктуры.
примечани
Понятие структуры в общем случае является разновидностью типа данных язы
ка проrраммирования типа С/С++, дЛЯ записи KOToporo используется специаль
ное ключевое слово struct.
в системе МА TLAB структура представляет собой тип данных, которая состоит
из полей и возможно друrих структур. В свою очередь, поле представляет собой
простейший тип даННbIХ (число или строка). В рабочей области МА TLAB cтpyK
тура представляется в форме массива и обозначается ключеВblМ словом struct
array.
Каждая система нечеткоrо вывода в МА TLAB представляется в форме CIlециаль
ной структуры. которая может быть rрафически представлена с использованием
нотации языка UML в форме диаl'раммы классов (рис. 12.17).
Для представления собственно правил в рабочей области МА TLAB используется
специальный цифровой формат. При этом все правила системы нечеткоrо BЫBO
да представляются в форме матрицы, содержащей одну или несколько строк.
Каждой строке соответствует отдельное правило. Если система нечеткоrо BЫBO
да имеет 111 входных переменных и п выходных переменных, то соответствующая
матрица должна иметь в точности 111 + 11 + 2 столбцов.
Первые т столбцов относятся к входным переменным системы. При этом номер
столбца должен соответствовать номеру терма для конкретной входной пере
менной. Следующие 11 столбцов относятся к выходным переменным системы BЫ
вода. При этом каждый столбец также имеет номер, который должен COOTBeTCT
вовать номеру функции принадлежности для выходной переменной.
Столбец с номером т + п + 1 содержит вес, с которым применяется данное I1pa
вило. Вес может принимать любое значение между нулем и еДИНlщей. В общем
случае целесообразно задавать вес paBHbIM 1 (задается по умолчанию).
Столбец с номером т + 11 + 2 содержит число 1, если для подусловий naHHoro
правила используется нечеткий оператор AND (нечеткое И). Этот столбец coдep
374
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
жит число 2, если для подусловий данноrо правила используется нечеткий опе
ратор OR (нечеткое ИЛИ).
Так, например, для демонстрационноrо примера "Чаевые в ресторане", который
хранится во внешнем файле с именем tipper.fis и может быть заrружен в рабо
чую область командой readfis ( , tipper' ), правила в рабочей области
MATLAB будут представлены в форме следующей матрицы:
11112
2 О 2 1 1
32312
«struct»
FIS
+паmе : StrlПg
+type: FIS = mamdani
+anoMethod : <specifltк1> = min
+orMettlOQ : <specтed> = mах
+detuzzMethod : <speclfloo> = centrord
+impMethod : <speciflea> = min
+aggl\' ethod : <specifioo> = тах
о
1
.
1
1
1.. .
11.. .
1..
« struct)
rule
+antecedellt
+consequent
+weight
+connectioп
"struct"
input
+пэmе . Strlng
+range
1<struct»
outpul
+рате : String
+r.зrlуе
.
1
1
1.'+ I
1""
« struct»
mf
+пате : String
+type
+params
Рис. 12.17. Диаrрамма классов структур системы
нечеткоrо вывода MATLAB в нотации языка UMl
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде MATLAB
375
Для данноrо примера первая строка этой матрицы может быть интерпретирова
на в форме следующеrо правила нечеткоrо вывода: "Если первая входная пере
менная принимает значение первоrо терма (функция принадлежности с номером
1) ИЛИ вторая входная переменная принимает значение первоrо терма (функция
принадлежности с номером 1), то выходная переменная принимает значение пер
Boro терма (функция принадлежности с номером 1)". При этом вес данноrо пра
вила равен 1. Если на Mec:re HeKoToporo терма расположена цифра О, то это озна-
чает, что соответствующая входная переменная не используется в правиле
нечеткоrо вывода с номером строки данной матрицы.
Таким образом, процесс разработки системы нечеткоrо вывода в командном
режиме представляет собой последовательность функций, которые в фиксиро-
ванном порядке определяют все элементы (поля и вложенные структуры) исход-
ной структуры системы MATLAB. Ниже приводится последовательность команд,
которые позволяют разработать систему нечеткоrо вывода для примера 12.1. При
вводе соответствующих функций в окно команд результаты их выполнения
можно контролировать либо с помощью окна просмотра рабочей области, либо
непосредственно в окне команд, для чеrо имена всех функций следует набирать
без завершающей точки с запятой. Напомним, что последний символ блокирует
или запрещает отображение информации в окне команд после выполнения COOT
ветствующих функций.
примечан
При разработке системы нечеткоro вывода в режиме команд рекомендуется
отказаться от символов КИрИЛЛИЦЫ в записи имен переменных и их термов.
В противном случае MOryT возникнуть проблемы с корректным функционирова
нием системы MATLAB. Следует таюке заметить, что для задания полей исход
ной структуры с именем а и вложенных в нее структур в качестве разделителя
используется принятый в некоторых языках проrраммирования символ ТОЧКИ.
:; ;1''' ! ;-=' ': f ; :=== i.;!
a newfis('mytip');
a.input(l) .name 'service';
a.input(l).range [O 10);
a.input(l).mf(l) .name 'poor';
a.input(l) .mf(l) .type 'gaussmf';
a.input(l) .mf(l) .params [1.5 О];
a.input(l) .mf(2) .name 'good';
a.input(l) .mf(2) .type 'gaussmf';
a.iIlput(l) .mf(2) .params [1.5 5);
a.input(l) .mf(З).пamе 'ехсеl1епt';
a.input(l) .mf(З).tуре 'gаussmf';
37б
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
a.inpиt(1).mf(3).params=[1.510];
a.inpиt(2) .name='food';
a.inpиt(2).range=[0 10];
a.inpиt(2) .mf(l) .name='rancid';
a.inpиt(2) .mf(l) .type='trapmf';
a.inpиt(2) .mf(1).params=[ 2 О 1 3);
a.inpиt(2).mf(2).name='delicioиs';
a.inpиt(2) .mf(2).type='trapmf';
а. inpиt (2) .mf(2).params=[7 9 10 12];
a.oиtpиt{l) .name='tip';
a.oиtpиt(l).range=[O 30];
a.oиtpиt(l) .mf{l) .name='cheap';
a.oиtpиt(l) .mf(l) .type='trimf';
a.oиtpиt(l) .mf(l) .params=[O 5 10];
a.oиtpиt(1).mf{2) .name='average';
a.oиtpиt(l) .mf(2) .type='trimf';
a.oиtpиt(l) .mf(2) .params=[10 15 20];
a.oиtpиt{l) .mf(3) .name='generoиs';
a.oиtpиt(1).mf{3) .type='trimf';
a.oиtpиt(1).mf(3).params=[20 25 30];
a.rиle(l) .antecedent=[l 1];
a.rиle{l) .conseqиent=[l];
a.rиle(l).weight=l;
a.rиle(1).connection=2;
a.rиle(2).antecedent=[2 О];
a.rи1e(2) .conseqиent=[2];
a.rиle(2).weight=1;
a.rи1e(2).connection=1;
a.rиle(3).antecedent=[32];
a.rиle(3) .conseqиent=[3];
a.rиle(3) .weight=l;
a.rиle(3).connection=2;
showfis(a)
в результате выполнения этой последовательности функций в окне команд OTO
бразится информация о созданной структуре нечеткоrо вывода (рис. 12.18).
Дальнейший анализ разработанной нечеткой модели можно выполнить либо с
использованием rрафических средств проrраммы просмотра правил описанным
ранее способом, либо непосредственно с помощью функции командной строки
rлава 12. Процесс нечеткоrо моделирования в среде МА ТLAB
377
evalfis. Так, например, если после задания одним из рассмотренных выше спо-
собов структуры нечеткоrо вывода с именем а ввести команду evalfis ([10 О],
а) , то в окне команд получим результат HeQeTKOrO вывода для значения первой
входной переменной 10 и второй входной переменной О в форме: ans == 15.0000.
fJ!IЕ1IЗ
} Commund Window
'e, 7 if...' ;"", : iif.;fu.,
1З.
14. OutLвbe1"
15. InRenqe
16.
17. Ou enqe
18. InИFLвЬе1"
19.
20.
21.
22.
2З. оutИFLвЬе1s
24.
25.
26. InИrI'ypез
27.
28.
29.
ЗО.
З1. OUСИrI'ypе"
З2.
ЗЗ.
З4. InИfPаJ:II.InS
З5.
Зб.
З7.
З8.
З9. ОutИf'РаJ:8JIlS
40.
41.
42. Ru1e Antecedent
4З.
44.
42. Ru1e Consequent
4З.
44.
42. Ru1e lJeiqth
4З.
44.
42. Ru1e Connection
4З.
44.
»1
. . : ;; ; )
...
tood
tip
[О 10]
[О 10]
[О ЗО]
роо!:
qood
exce11ent
J:encid
de1 ciou"
cheap
8V I:aqe
qeneJ:ou"
qаШl slDf
qаuз SlDf
qаШl "lDt
tJ:a])lDt
tJ:aplDf
tJ: ilDt
tПlDt
tJ:ilDt
[1.5 О О О]
(1.5 5 О О]
[1.5 10 О О]
[ 2 О 1 З]
[7 9 10 12]
[О 5 10 О]
[10 15 20 О]
[20 25 ЗО О]
[1 1]
[2 О]
[з 2]
1
2
З
1
1
1
2
1
2
...
::.",,: .. ;
: r 'r-
'."\ii:'
Рис. 12.18. Результат отображения созданной структуры
нечеткоrо вывода в режиме команд
Примеча
Чтобы исключить ВВод каждой ИЗ фУНКЦИЙ рассмотренной выше последова
тельности команд, можно скопировать приведенный листинr в буфер обмена и
сохранить ero во внешнем файле в папке C:\MATLAB6p1\toolbox\fuzzy или в
378
Часть 11. Нечеткое моделирование в среДе МА ТLAB
папке C:\MATLAB6p1\work (если система MATLAB установлена по умолчанию
на диске с:) с произвольным именем и расширением т. Для этой цели можно
использовать встроенный редактор m файлов системы MATLAB, вызываемый
командой edi t, либо любой друroй АSСII редактор. Заметим, что текстовый
процессор MS Word из па кета MS Office не вполне подходит для этой цели. Ec
ли после сохранения созданноro подобным образом m файла на диске ввести
ero имя в окне команд, то получим результат, аналоrичный последовательному
вводу этих команд с клавиатуры.' в данном случае мы познакомились с одним
из простейших приемов проrраммирования в системе МА TLAB, особенности
KOTOpOro будут рассмотрены валаве 14.
в данной rлаве изложены лишь основные приемы разработки систем нечеtкоrо
вывода в среде MATLAB. В последующих rлавах рассматриваются друrие oco
бенности и дополнительные возможности, которые предоставляет пользовате
лям система MAТLAB. Что касается выбора наиболее удобноrо режима разра
ботки и исследования нечетких моделей, то оставим этот вопрос на усмотрение
читателей.
В заключение следует заметить, что режим команд служил основным в первых
версиях системы MATLAB. В последних ее версиях все большее число задач MO
жет быть решено с помощью соответствующих rрафических средств, что пред
ставляется более удобным с точки зрения наrлядности и трудоемкости.
rлава 1 3
./ , "
Нечеткая кластеризация
в Fuzzy Logic Toolbox
13.1. Общая характеристика задач
кластерноrо анализа
Термином кластерный анализ принято обозначать совокупность методов, подхо
дов и процедур, разработанных для решения проблемы формирования OДHOpOД
ных классов в произвольной проблемной области.
Необходимость анализа больших объемов объективной и субъективной инфор
мации, связанных с неформализуемыми и плохо формализуемыми задачами раз
личной физической природы, потребовала интенсивноrо развития новых науч
ных направлений, среди которых важную роль иrрают прикладная статистика и
методы анализа данных.
Методолоrия применения методов приклад1l0й ClпamиcmUKli основывается на
предположении о вероятностной интерпретации анализируемой информации и
получении в результате применения этих методов закономерностей, имеющих
стохастический характер.
Методы аllализа данных, составной частью которых являются методы кластер
Horo анализа, напротив, не используют априорных предположений о вероятно
стной природе исходной информации и руководствуются только эвристически
ми соображениями о характере и особенностях исследуемой совокупности
объектов. Разработанные в рамках данноrо направления методы и алrоритмы
приобретают в последнее время новое содержание в связи с исследованиями по
теории возможностей. В основе данной теории лежит нечетко возможностная
интерпретация неопределенности, что в зна чительной степени соrласуется с ис
ходными установками методолоrии анализа данных.
КластерныЙ анШШЗ (или автоматическая классификация, распознавание образов
без учителя, численная таксономия, кластер анализ) занимает одно из централь
ных мест среди методов анализа данных и представляет собой совокупность
подходов, методов и алrоритмов, предназначенных для нахождения HeKoToporo
разбиения исследуемой совокупности объектов на подмножества относительно
сходных, похожих между собой объектов. При этом исходным допущением для
выделения таких подмножеств, получивших специальное название кластеров,
380
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
которые иноrда называют также таксонами или просто классами, служит лишь
неформальное предположение о том, что объекты, относимые к одному класте
ру, должны иметь большее сходство между собой, чем с объ ктами из друrих
кластеров.
Таким образом, выявление или нахождение кластеров в множестве данНЫХ ис-
следуемой совокупности должно удовлетворять следующим требованиям:
О каждый кластер должен представлять собой концептуально однородную ка-
теrорию и содержать похожие объекты с близкими значениями свойств или
признаков;
О совокупность всех кластеров должна быть исчерпывающей, т. е. охватывать
все объекты исследуемой совокупности;
О кластеры должны быть взаимно исключающими, т. е. ни один из объектов
исследуемой совокупности не должен одновременно принадлежать двум раз
личным кластерам.
Формально под задачей кластерноrо анализа заданноrо множества объектов
понимается задача нахождения HeKoToporo теоретико множественноrо разбие
ния (rруппировки, покрытия) зтоrо исходноrо множества объектов на непересе-
кающиеся подмножества таким образом, чтобы элементы, относимые к одному
подмножеству, отличались между собой в значительно меньшей степени, чем
элементы из разных подмножеств. Обладающие подобным свойством подмноже
ства также называются кластерами.
Возможность использования различных подходов к формальному определе
нию кластеров послужила исходной причиной разработки большоrо мноrооб
разия методов и алrоритмов кластеризации. Методы и алrоритмы кластерноrо
анализа как инструмент предварительноrо или разведочноrо анализа данных
незаменимы при поиске закономерностей в больших наборах MHoroMepHbIx
данных, таких как хранилища данных. При этом проблема кластер анализа
приобретает самостоятельное значение в контексте интеллектуальноrо анализа
данных (Data Mining).
13.2. Задача нечеткой кластеризации
и алrоритм ее решения
Концептуальная взаимосвязь между кластерным анализом и теорией нечетких
множеств основана на том обстоятельстве, что при решении задач структуриза
ции сложных систем большинство формируемых классов объектов размыты по
своей природе. Эта размытость состоит в том, что переход от принадлежности к
непринадлежности элементов к данным классам скорее постепенен, чем скачко
образен. Поэтому наиболее адекватный ответ в подобноrо рода случаях следует
искать не на вопрос: "Принадлежит ли рассматриваемый элемент тому или ино-
му классу или нет?", а на вопрос: "В какой степени данный элемент принадлежит
рассматриваемому классу?".
rлава 13. Нечеткая кластеризация в Fuzzy Logic Toolbox
381
Требование нахождения однозначной кластеризации элементов исследуемой
проблемной области является достаточно rрубым и жестким, особенно при pe
шении плохо или слабо структурируемых задач системноrо анализа. Методы
нечеткой кластеризации ослабляют это требо ание. Ослабление требования ocy
ществляется за счет введения в рассмотрение нечетких кластеров и соответствую
щих им функций принадлежности, принимающих значения из интервала [О, 1].
Таким образом, в общем случае задачей нечеткой кластеризации является нахо-
ждение нечеткоrо разбиения или нечеткоrо покрытия множества элементов ис
следуемой совокупности, которые образуют структуру нечетких кластеров, при
сутствующих в рассматриваемых данных. Эта задача сводится к нахождению
степеней принадлежности элементов универсума искомым нечетким кластерам,
которые в совокупности и определяют нечеткое разбиение или нечеткое покры
тие исходноrо множества рассматриваемых элементов. Ниже приводится фор
мальная постановка задачи нечеткой кластеризации и описание одноrо из наи
более конструктивных алrоритмов ее решения.
Общая формальная постановка задачи
нечеткоrо кластерноrо анализа
Пусть исследуемая совокупность данных представляет собой конечное множест
во элементов A={al, а2,..., аn}, которое получило название .множеапво объектов
кластеризации. В рассмотрение также вводится конечное множество признаков
или атрибутов P={PI,p2,...,Pq}, каждый из которых количественно представляет
некоторое свойство или характеристику элементов рассматриваемой проблем
ной области. При этом натуральное п определяет общее количество объектов
данных, а натуральное q общее количество измеримых признаков объектов.
Далее предполаrается, что для каждоrо из объектов кластеризации некоторым
образом измерены все признаки множества Р в некоторой количественной шка
Ле. Тем самым каждому из элементов ajeA поставлен в соответствие некоторый
вектор Х;= (Xl i , xi,..., х/), rде х/ количественное значение признака pjeP для
объекта данных aieA. Для определенности будем полаrать, что все х/ принимают
некоторые действительные значения, т. е. x/eIR.
Вообще rоворя, проблема измерения свойств или признаков у объектов данных
является нетривиальной и имеет самостоятельное значение. В частности, процесс
измерения свойств может быть реализован в различных шкалах, каждая из KOTO
рых характеризуется допустимым преобразованием данных. В связи с этим для
уточнения особенностей процесса измерений различают несколько типов шкал
измерений. Ниже дается их краткая характеристика.
О Шкала наименований или номинальная шкала. Является наиболее простой из
всех шкал измерений, поскольку может быть использована для установления
отношения эквивалентности элементов относительно рассматриваемоrо при
знака. В данном случае в процессе измерения HeKoToporO признака объекту
ставится в соответствие некоторый символ или номер, который лишь отлича
382
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
ет одно значение признака от друrоrо. Допустимым преобразованием в шка
лах наименований, которое не искажает результаты измерения признаков в
'Этой шкале, является биективное или взаимно однозначное отображение Me
жду двумя множествами значений признаков. Бинарная шкала, которая co
стоит из двух элементов, обозначаемых произвольными символами, напри
мер: {О, l} или {+, }, удобно считать частным случаем шкалы наименований.
Примеры признаков, измеряемых в шкалах наименований, пол человека,
марка автомобиля, название улиц, rородов и друrих объектов.
[j Порядковая шкала или шкала порядка. В дополнение к различию элементов
по значениям признаков позволяет установить отношение порядка элементов
относительно рассматриваемоrо признака. В этом случае в процессе измере
ния признака объекту ставится в соответствие, как правило, некоторое HaTY
ральное или целое число, которое может быть интерпретировано как значе
ние признака в баллах. Допустимым преобразованием в шкалах порядка,
которое не искажает результаты измерения признаков в этой шкале, является
произвольное монотонно возрастающее отображение или функция между
двумя множествами значений признаков. Примеры признаков, измеряемых в
порядковых шкалах, баллы или оценки на экзаменах, баллы за выступле
ния в некоторых видах спорта.
[j иllтервшlыlя шкала или шкала интервалов. В дополнение к порядку элемен
тов по значениям признаков позволяет установить равенство интервалов
значений рассматриваемоrо признака. В этом случае в процессе измерения
признака объекту ставится в соответствие, как правило, некоторое действи
тельное число, равное значению этоrо признака. Допустимым преобразова
нием в шкалах интервалов является произвольная линейная возрастающая
функция между двумя множествами значений признаков. Характерным свой
ством этой шкалы является отсутствие абсолютноrо нуля. Пример призна
ка, измеряемоrо в интервальной шкале, температура в шкалах Цельсия и
Фаренrейта.
[j Шкала опшошеllUй. В дополнение к равенству интервалов 'Элементов по значе-
ниям признаков позволяет установить равенство отношений значений pac
сматриваемоrо признака. В этом случае в процессе измерения признака объ
екту ставится в соответствие также некоторое действительное число, равное
значению этоrо признака. Допустимым преобразованием в шкалах отноше
ний является произвольная линейная возрастающая функция, проходящая че
рез нуль. Характерным свойством этой шкалы является наличие абсолютноrо
нуля. Примеры признаков, измеряемых в шкале отношений, расстояние в
метрах и футах, масса в килоrраммах и фунтах, скорость в км/ч и узлах.
Возвращаясь к измерению признаков у объектов кластеризации, само множество
признаков следует выбирать таким образом, чтобы все х/ были измерены в шка
ле отношений или шкале интервалов. Именно в этом случае результаты нечеткой
кластеризации имеют содержательную интерпретацию, адекватную проблеме
нахождения нечетких кластеров.
(лава 13. Нечеткая кластеризация в Fuzzy Logic Toolbox
383
Векторы значений признаков Х;= (Xl i , X2 i ",., Xqi) удобно представить в виде так
называемой матрицы данных D размерности (пxq), каждая строка которой равна
значению вектора Х;.
Задача нечеткоrо кластерноrо анализа формулируется следующим образом:
на основе исходных данных D определить такое нечеткое разбиение
m(3l)={Я k IЯks;;;; Я} (4,39) (4.40) или нечеткое покрытие З(3l)={Я k IЯks;;;; Я}
(4.38) множества Я=А на заданное число С нечетких кластеров Я k (kE {2".., С}),
которое доставляет экстремум некоторой целевой функции flm(я» среди всех
нечетких разбиений или экстремум целевой функцииj{З(3l) среди всех нечетких
покрытий.
Сформулированная здесь задача нечеткоrо кластерноrо анализа является слиш
ком общей. Для ее решения требуется дополнительно уточнить вид целевой
функции и тип искомых нечетких кластеров (поиск нечеткоrо разбиения или по
крытия).
Уточненная постановка задачи
нечеткой кластеризации
Один из вариантов конкретизации задачи нечеткоrо кластерноrо анализа, для
решения которой может быть использована специальная функция fcm системы
МА TLAB, основан на алrоритме ее решения методом нечетких с средних.
Для уточнения вида целевой функции f(З(Я» в рассмотрение вводятся HeKOTO
рые дополнительные понятия. Прежде Bcero предполаrается, что искомые нечет
кие кластеры представляют собой нечеткие множества .1I k , образующие нечеткое
покрытие исходноrо множества объектов кластеризации Я=А, дЛЯ KOToporo yc
ловие (4.38) принимает следующий вид:
с
LJlAk(aj)=l (VaiEA),
k=\
rде С общее количество нечетких кластеров Я k (kE {2,..., с}), которое считается
предварительно заданным (СЕiWи С> 1).
(13.1 )
Примечание :)
Необходимость условия (13.1) обуславливается тем обстоятельством, что ис
комое нечеткое покрытие должно "покрывать" обычное не нечеткое множество
объектов кластеризации А, которое в то же время является нечетким множест
вом .11, для KOToporo значения функций принадлежности каждоro из элементов
равны 1. Иноrда нечеткое покрытие. КОТорое удовлетворяет условию (13.1), Ha
зывают нечетким разбиением в смысле Заде.
Далее для каждоrо нечеткоrо кластера вводятся в рассмотрение так называемые
типичные представители или центры Ik искомых нечетких кластеров Я k
384
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
(kE {2,..., с}), которые рассчитываются для каждоrо из нечетких кластеров и по
каждому из признаков по следующей формуле:
п
L(J.t Ak (а; »т . х)
k ;=1 ( k {2 } Р
v j п V Е ,..., с , VPjE ),
L(J.tA k (а;»т
;=1
rде т некоторый параметр, называемый ЭКСllонеНЦUШ1ЬНЫМ веСОJl1 и равный
некоторому действительному числу (т> 1). Каждый из центров кластеров пред
ставляет собой вектор J'k=(v"l, v"2,..., }I<ч> в некотором q MepHoM нормированном
пространстве, изоморфном R', т. е. V/ER', если все признаки измерены в шкале
отношений.
(13.2)
Наконец, в качестве целевой функции будем рассматривать сумму квадратов
взвешенных отклонений координат объектов кластеризации от центров искомых
нечетких кластеров:
п с q
f(Ak' vJ)== L L(J.tA k (а;»т L(xj vJ)2,
;=\k=1 j=1
(13.3)
rде т экспоненциальный вес нечеткой кластеризации (тE/R, т> 1), значение
KOToporo задается в зависимости от количества элементов (мощности) множест
ва А. Чем больше элементов содержит множество А, тем меньшее значение BЫ
бирается для т.
3 а Д а ч а н е ч е т к о й к л а с т е риз а ц и и. Задача нечепжой кластерuзацuu
может быть сформулирована следующим образом: для заданных матрицы дaH
ных D, количества нечетких кластеров с (CE и с> 1), параметра т определить
матрицу U значений функций принадлежности объектов кластеризации ajEA
нечетким кластерам Я k (kE {2,..., с}), которые доставляют MUHUiWYM целевой
функции (13.3) и удовлетворяют оrраничениям (13.1), (13.2), а также дополни
тельным оrраничениям (13.4) и (13.5):
п
LJ.t Ak (aj) > О (V kE {2,. .., с} );
;=1
(13.4)
J.tAk(a;) O (VkE{2,...,c}, VajEA).
(13.5)
Условие (13.4) исключает появление пустых нечетких кластеров в искомой He
четкой кластеризации. Последнее условие (I3.5) имеет чисто формальный xapaK
тер, поскольку непосредственно следует из определения функции принадлежно
сти нечетких множеств. В этом случае минимизация целевой функции (13.3)
минимизирует отклонение всех объектов кластеризации от центров нечетких
кластеров пропорционально значениям функций принадлежности этих объектов
соответствующим нечетким кластерам.
rлава 13. Нечеткая кластеризация в Fиzzy Logic Тоо/Ьох
385
Поскольку целевая функция (13.2) не является выпуклой, а оrраничения (13.1),
(13.2), (13.4), (13.5) в своей совокупности формируют невыпуклое множество дo
пустимых альтернатив, то в общем случае задача нечеткой кластеризации OTHO
сится к мноrоэкстремальным задачам нелинейноrо проrpаммирования.
Достоинством постановки задачи нечеткой кластеризации в виде 03.1) (13.5)
является естественная интерпретация как искомых нечетких кластеров, опреде
ляемых функциями принадлежности (I3.5), так и их типичных представителей
или центров (13.2), которые также определяются в результате решения постав
ленной задачи.
Недостатком данной постановки задачи нечеткой кластеризации является необ
ходимость априорноrо задания общеrо числа нечетких кластеров с (CE/W и с> 1),
которое в отдельных случаях может быть неизвестно. Это обстоятельство может
потребовать привлечения дополнительных процедур для ero определения либо
решения поставленной задачи для нескольких значений с с последующим выбо
ром наиболее адекватноrо результата нечеткой кластеризации.
Алrоритм решения задачи нечеткой
кластеризации методом нечетких с-средних
Основные идеи алrоритма для решения сформулированной задачи нечеткой кла
стеризации были предложены Дж. К. Данном (1. С. ОlIПП) в 1974 r. Этот алrо
ритм первоначально получил название нечеткоrо алrоритма ISODATA (fuzzy
ISODATA или F ISODATA). В 1980 r. Дж. К. Беждек (1. С. Bezdek) теоретически
доказал сходимость этоrо алrоритма. Позже в 1981 r. Дж. Беждек обобщил ал
rоритм FISODA Т А на случай произвольных нечетких мноrообразий и предло
жил для этоrо алrоритма название нечетких с средних (РСМ, FlIzzy C Means).
Именно под таким названием ,алrоритм сейчас наиболее известен и реализован в
системе МА TLAB.
Алrоритм РСМ дЛЯ решения задачи нечеткой кластеризации в виде 03.1} 03.5)
имеет итеративный характер последовательноrо улучшения HeKoToporo исход
Horo нечеткоrо разбиения 9t(..1l)= {..1l k l..1l k ..1l}, которое задается пользователем
или формируется автоматически по некоторому эвристическому правилу. На
каждой из итераций рекуррентно пересчитываются значения функций принад
лежности нечетких кластеров и их типичные представители.
Алrоритм РСМ закончит работу в случае, коrда произойдет выполнение задан
HOro априори HeKoToporo конечноrо числа итераций, либо коrда минимальная
абсолютная разность между значениями функций принадлежности на двух
последовательных итерациях не станет меньше HeKoToporo априори заданноrо
значения.
Формально алrоритм РСМ определяется в форме итеративноrо выполнения сле-
дующей последовательности шаrов:
1. Предварительно необходимо задать следующие значения: количество искомых
нечетких кластеров с (СЕ/WИ c>I), максимальное количество итераций алrорит
386
Часть /1. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
ма S (SE , параметр СХОДИМОСТИ алrоритма Е (EEtR+), а также экспоненциаль
ный вес расчета целевой функции и центров кластеров т (как правило, т=2).
В качестве mе1<уще20 нечеткоrо разбиения на первой итерации алrоритма для
матрицы данных D задать некоторое исходное нечеткое разбиение 9t(:A)={:tI k I
:tI k :tI} на с непустых нечетких кластеров, которые описываются совокупно
стью функций принадлежности k(a;) (\7'kE{2,..., с}, \7'а;ЕА).
2. Для исходноrо текущеrо нечеткоrо разбиения 9t :A)={:tIk I :tIk :tI} по форму
ле (13.2) рассчитать центры нечетких кластеров }'/ (\7'kE {2,..., с}, \7'P j EP) и
значение целевой функцииf(:tI k , v/) по формуле (13.3). Количество выполнен
ных итераций положить равным 1.
3. Сформировать новое нечеткое разбиение 9t'(..1l)={:tI k I :tIk :tI} исходноro
множества объектов кластеризации А на с непустых нечетких кластеров, ха-
рактеризуемых совокупностью функций принадлежности ' ,,(а;) (\7' kE {2,..., с},
\7'a j EA), которые определяются по формуле:
2 J
Jl'Ak (а;) ==
q. l.
(L(X} vj)2)2
с
L j=1
q I
/=1 (L(xj v )2Y2
j=1
т 1
(\7'kE {2,..., с}, \7'a j eA).
(13.6)
4. При этом если для HeKoToporo kE{2,..., с} и HeKoToporo ajEA значе-
q . k 2
ние L(X} V}) == О, то для соответствующеrо нечеткоrо кластера :tI k полаrа
}=1
ем 'k(a;)=I, а для остальных:tl/ (\7'IE{2,:.., с}, l-:l:-k) полаrаем '/(a,)=O. Если же
таких ke {2,..., с} для HeKoToporo ajEA окажется несколько, т. е. для них зна-
q
чение L(X} vj)2 ==0, то эвристически для меньшеrо из k полаrаем 'k(a;)=I, а
)=1
для остальных IE{2,..., с}, l"::l:-k полаrаем '/(aj)=O.
5. Для HOBoro нечеткоrо разбиения 9t'(:tI)= {:tI k I :tI k :tI} по формуле (13.2) рас-
считать центры нечетких кластеров v/ (\7'kE{2,..., с}, \7'PjEP) и значение целе
вой Функцииf{:tI k , }'I> по формуле (13.3).
6. Если количество выполненных итераций превышает заданное число S или же
модуль разности IЛ:tl k , v/> f1:t1k' vI) I:$; Е, т. е. не превышает значения пара
метра сходимости алrоритма Е, то в качестве искомоrо результата нечеткой
кластеризации принять нечеткое разбиение 9t'(:tI) = {:tI k I :tIkk::tI} и закончить
выполнение алrоритма. В противном случае считать текущим нечетким раз
биением 9t(:A) = 9t'(:tI) и перейти на шаr 3 алrоритма, увеличив на 1 количест
во выполненных итераций.
rлава 13. Нечеткая кластеризация в Fиzzy Logic Тоо/Ьох
387
Алrоритм РСМ по своему характеру относится к приближенным алrоритмам
поиска экстремума для целевой функции (13.3) при наличии оrраничений: (13.1),
(13.2), (13.4), (13.5). Поэтому в результате выполнения данноrо алrоритма опре
деляется, вообще rоворя, локально оптимальное нечеткое разбиение 9t*(.9t), KO
торое описывается совокупностью функций принадлежности k(a;) (\fkE{2,..., с},
\fajEA), а также центры или типичные представители каждоrо из нечетких кла
стеров v / (\fkE {2,..., с}, \fp;EP) .
Примечание
Инorда возникает необходимость представить результаты нечеткой кластери
зации в форме обычноro не нечеткоro разбиения. С этой целью можно исполь
зовать один из рассмотренных ранее методов дефаззификации (см. 2лаву 7)
для конечноro множества значений функции принадлежности или любой друrой
метод приведения к четкости. Поскольку все функции принадлежности искомо
ro нечеткоro разбиения k(aj) (\fkE{2,.... с}, \fa;EA) нормированы условием
(13.1), в качестве метода дефаззификации можно использовать метод макси
мальноrо значения функции принадлежности.
Опыт решения прикладных задач нечеткой кластеризации показывает, что наи
более эффективный путь получения адекватных результатов заключается в MHO
rOKpaTHoM выполнении алrоритма РСМ дЛЯ различных исходных нечетких раз
биений и, если не известно количество нечетких кластеров, для различных
значений с (CE и с> 1). Полученные результаты для одинаковых значений с
сравниваются по значениям целевой функции полученных нечетких разбиений с
целью принятия окончательноrо решения об искомой нечеткой кластеризации.
13.3. Средства решения задачи нечеткой
кластеризации в пакете Fuzzy Logic Toolbox
в системе МАПJАВ дЛЯ решения задачи нечеткой клаСТеризации на основе алrо
ритма РСМ может быть использована специальная функция командной строки [сm
или специальный rpафический интерфейс кластеризации, вызываемый функцией
findclиster. Рассмотрим более подробно особенности применения этих средств.
Решение задачи нечеткой кластеризации
в командном режиме
Функция командной строки fcm предназначена для решения задачи нечеткой
кластеризации с использованием алrоритма FCM. Она может быть вызвана в
одном из следующих форматов:
[center, и, obj fcn] fcm(data, clиster n)
или
[center, и, obj fcn]
fcm(data, clиster n, options)
388
Часть /1. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Входными арrументами этой функции являются:
CI data: матриц исходных данных D кластеризации, i cтpoKa которой пред
ставляет информацию об одном объекте нечеткой кластеризации aiEA в фор-
ме вектора Xi= (Xl i , X2 i ,..., Xqi) , rде Х/ количественное значение признака
PjEP для объекта данных aiEA;
CI clиster n: число искомых нечетких кластеров с (СЕtWи с> 1).
Выходными арrументами этой функции являются:
CI center: матрица центров искомых нечетких кластеров v/, (VkE {2,..., с},
VPjEP), каждая строка которой представляет координаты центра одноrо из
нечетких кластеров в форме вектора J'k ('dkE {2,..., с});
CI U: матрица значений функций принадлежности искомоrо нечеткоrо разбие
ния J..1k(a;) (VkE{2,..., с}, 'da;EA);
CI obj fcn: значения целевой функции j{:A k , v/) на каждой из итераций работы
алrоритма.
Функция fcm(data, clиster n, options) может быть вызвана с дополнитель
ными арrументами options, которые предназначены для управления процессом
нечеткой кластеризации, а также для изменения критерия остановки работы ал
rоритма и/или отображения информации на экране монитора.
Эти дополнительные aprYMeHTbI имеют следующие значения:
CI options (1): экспоненциальный вес т для расчета матрицы нечеткоrо раз
биения U (по умолчанию это значение равно т=2);
CI options (2): максимальное число итераций s (по умолчанию это значение
равно s= 1 00);
CI options (3) : параметр сходимости алrоритма Е (по умолчанию это значение
равно E=O.OOOOI);
CI options (4): информация о текущей итерации, отображаемая на экране MO
нитора (по умолчанию это значение равно 1).
Если любое из значений дополнительных aprYMeHToB равно NaN (не число), то
для этоrо aprYMeHTa используется значение по умолчанию. Функция fcm закан
чивает свою работу, коrда алrоритм РСМ выполнит максимальное количество
итераций 5, или коrда разность между значениями целевых функций на двух по
следовательных итерациях будет меньше заданноrо априори значения параметра
сходимости алrоритма Е.
Примечание
Функция fcm реализована в ВИДе m файла и использует, в свою очередь, три дpy
rие функции: функцию ini tfcm для формирования матрицы исходноro разбиения
некоторым случайным образом, функцию distfcm для расчета матрицы расстоя
ний между точками данных и центрами кластеров и функцию stерfсmдля значений
rлава 13. Нечеткая кпастериэация в Fиzzy Logic Toolbox
389
целевой функции и функций принадлежности объектов нечетким кnacTepaM на каж
дой итерации работы алroритма FCM. Все эти функции таюке реализованы в виде
m файлов и находятся в папке C:\MATLAB6p1\toolbox\fuzzy\fuzzy.
При м ер 13.1. В качестве примера рассмотрим множество данных, содержа-
щихся в системе МА TLAB и использующихся в качестве тестовой совокупности
объектов нечеткой кластеризации. Эти данные представляют собой матрицу
данных D размерности (140х2), которые содержатся в файле fcmdata.dat, постав-
ляемом вместе с системой МА TLAB. В этом случае матрица данных D COOTBeT
ствует 140 объектам, для каждоrо из которых выполнены измерения по двум
признакам, что является удобным для визуализации исходных данных и резуль-
татов нечеткой кластеризации в двумерном пространстве на плоскости. rрафик
координат точек на плоскости, соответствующих объектам нечеткой кластери-
зации, изображен на рис. 13.1.
.
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
00
00
о <9 <о о
о о
<:1880 о о <5р 8 о oo
O O О О
00 О
О О @
00 4') 00 00 0E€ OQ)
о (j О "'I('P О\.()
О (). О 0'<:8 О о
"U О О
О O о о 000 о <6 о
О v 00 <ш>
О 000 0 00 о
00 00<6 oo 00 00
оо&, о
,
,
,
0.2
0.6
0.4
08
Рис. 13.1. Множество объектов нечеткой кластеризации,
соответствующих матрице данных из файла fcmdata.dat
в листинrе 13.1 при водится последовательность команд, которые обеспечивают
решение задачи нечеткой кластеризации множества данных D и визуализацию по
лученных результатов. В этом примере используется первый формат записи функ
ции fcm.
! . .. ::'''.;,!Y. ''''1'!.': ,';.t:,o:" !' . .... '"' ..,j::' . _!'''' .-." .. .'JI!&!" '''!'-''''',& .,'.!' ": ",,,... _..:' ':,.. . !-.?-. """ .... ...!.. ."<. !!- '!!' :". .... """ :"".. ..., "!,!,.!' "..... ".,"" "--"-,....,, !".".......... ..-....:;....'!' "............... .. ...... . ... . .. -.. - .... . .." "" ".... -.. .,.- . ... ..
r ЛиCТt.tнi:"13 1.tiРиМ.ерХрt'Ulеl;lиязаД ",и' мечеткой'Кла ризац и с ПОМОЩЬЮ . i' 1
!,. Ш ; i g, ;м ; ; g . ;:, : . : ,...:: ......:...: ..,......:..':.,..;..,.. :.':.1
load fcmdata.dat
plot{fcmdata(:,1),fcmdata{:,2), 'о', 'color', 'k')
[ceпter,U,obj fcп] fcm(fcmdata, 2);
390
mахИ
тах (И) ;
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
index1 fiпd(И(l,:} maхИ};
index2 fiпd(И(2, :) mахИ);
line(fcmdata(indexl,l), fcmdata(index1,
'marker', 'o','co1or', 'g');
2) , , linestyle' , 'попе' , . . .
2) , 'linesty1e', , попе' , . . .
1ine (fcmdata (index2, 1.), fcmdata (index2,
'marker', 'х', 'co10r', 'r');
ho1d оп
plot(center(1,1},center(1,2}, 'ko', 'markersize' , 10, 'LineWidth', 2}
plot(center(2,1),center(2,2),'ko','markersize', 10, 'LineWidth', 2)
Результат решения задачи нечеткой кластеризации для 2 x нечетких кластеров с
использованием указанной последовательности команд может быть визуализи
рован (рис. 13.2).
ОЯ
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
00
00
о 6> о
о <60
;o o :
o o о о
о 00
00
о
t'o х
о х х х X х
х X *х><хх
xJS:x x х хх
х х
х х о< Хх х х х
х Хх х
х xXx к< х
х х x x х х
х ххх х х х
х х х
,
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис. 13.2. Результат решения задачИ нечеткой кластеризации
для матрицы данных из файла fcmdata.dat
Если после записи функции fcm В третьей строке не указывать точку с запятой
(;), то в окне команд будут отображены значения координат центров нечетких
кластеров, значения функций принадлежности объектов нечетким кластерам и
значения целевой функции на каждой из итераций работы алrоритма РСМ
(рис. 13.3).
Теперь выполним небольшой эксперимент и изменим параметры функции fcm,
заданные по умолчанию. Для этоrо будем использовать второй формат ее записи
с дополнительными значениями aprYMeHToB (листинr 13.2).
rлава t 3. Нечеткая кластеризация в Fиzzy Logic Т оо/Ьох
391
!'i !!:,.,; i; ;й. : . ! i",,, ? " ;'1( Ё.f.?. "Ji.,. :'ч;бr"."
tЙ i t -if .d д L ;( : ТL , _ ;.l[J;'d Z .
' !A,:..... ., . - , 0-':'" ,": ох" lo.__rllf"",n.,j VI'irt,j' '''1
"j!t">":: ;t;
ОIЗ
> : i}{ 1f 1' t ;ji;\;:i:J;T :>
. ." '" " . Sl;r: (" :., ..'
i 2х140
:2Х2
140xZ
\1х49
Il x91
i 1х140
!12Х1
и.'......
Imо
cent.e1:.
ИfJ fCll1dat:a
1m lndex1
ии з.ndех2
1m IW<U
1m obJ fcn
» [c nt. r...U,obj t:cn] .. tса(fсш.datа, 2)
Ite["at. on count:; 1, оЬ). (сn . 9.100320
ItHat10n count . Z, 0101. fcn = 7.3098Z5
2240; , I't.erataon count. . З, obj. fcn . 6.910323
I _ Itel:e.t.lon count. '"' 4, ob . fcn .. S.4Эl464
32; ; It.EJ:::at.1.on СОШlt - 5, оЬ). fcn - 4.083457
2Z40i Iteratlon count - 6, 010,. fcn - 3.631063
3921 IteI:at o:n СОШ1t . 7, оЬ). (сn . 3.802946
It r:at otl СОШ1t .. 8, оЬ:). (сn "& 3.798432
7281 Itetat Qn СОШlt . 9, obJ. fcn . З.797612
l120 Ite<atlon count = 10, 010). fcn = 3.797462
9б! Itex:at (ln t;0\Шt.. .. 11, ОЬ). ft;n.. 3.797435
: IUlatlon count ::: 12, оЬ). t'cn::: 3.797430
..
."
"
t.'''::
i,
cer!ter ""
О. 6969
О. 2655
О. 3206
О. 7ZZ9
''1:;. ш
-.'.'Uui\ch piid:
u =
Со1umn, 1 tb<оuф1 tl
," х
hold оп "..
plot(cente:t(2,,1) ,centex: (2,2), 'ko'" . "
11.nе(t'c1ll.dac.a(lndex2"1) , fClldete( n(1
11ne:(fclldsta(lndexl,1), fcadsta(lnc
[centel:,U,obJ fcn] . fсш.(fсш.dаtа, C '-:
..
0.0056
0.9944
0.9990
0.0010
0.8980
0.1020
0.0715
0.9285
0.8424
0.1576
0.0548
0.9452
0.9473
0.0527
0.9644
0.0356
Со1umn, 12 tb<ouQh 22
0.9982
0.0018
О. 9280
0.07Z0
D. 0802
0.9198
0.0190
О. 9810
0.9730
0.OZ70
0.0651
О. 9349
0.9194
О. 0606
0.4710 ...J
О. 5Z90
Со1umn, Z3 tb<ough 33
.. ,'0<
Рис. 13.3. Результаты решения задачи нечеткой кластеризации
в окне команд системы MATLAB
load fcmdata.dat
center,U,obj fcn]
maxU =о max (И) ;
index1 find(U(l,:)=o maxU);
index2 find(U(2, :)=o maxU);
line(fcmdata(index1,1), fcmdata(indexl, 2), 'linestyle', 'попе',...
fcm(fcmdata, 2, [2.5 1000 0.0000001 1]);
'marker', 'o','color', 'g');
line(fcmdata(index2,1),
'marker', 'x','color',
fcmdata(index2, 2),
'r' ) ;
'linestyle' ,
'попе' , . . .
hold оп
plot(center(l,l),center(1,2),'ko', 'markersize', 10,
plot(center(2,1),center(2,2), 'ko', 'markersize', 10,
'LineWidth', 2)
'LineWidth', 2)
392
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Результат решения задачи нечеткой кластеризации для 2 x нечетких кластеров с ис
пользованием указанной последовательности команд визуализирован (Рис. 13.4).
В этом случае экспоненциальный вес т=2.5, максимальное количество итераций
s== 1 000, параметр СХОДимости алrоритма 8==0.0000001. Как можно увидеть, столь
высокая точность расчетов практически не нужна, поскольку алrоритм заканчи
вает свою работу после выполнения 16 итераций.
0.9
0.8
0.7
0.6
05
0.4
0.3
0.2
0.1
00
00
о <9 о
о <00
080 о о 006'>
8 оРф
о o о о
00 о
о о G>
о CSO х
О Q Х х х W<x Х
Х Х 'X x Х >х
х )(. Х Х хх
.х . х х х)( х
х ><v х О Х х х
')1,( х х х х
х х х
х хХхХ .;< х
>s.: х Х
х ххх х
хх х х х х х х
х х х
0.2
0.6
0.8
0.4
Рис. 13.4. Результат решения задачи нечеткой кластеризации
с дополнительными параметрами функции f ст
Анализ rpафиков, изображенных рис. 13.2 и рис. 13.4, показывает их практиче-
скую идентичность, что позволяет сделать вывод о соrласованности полученных
результатов нечеткой кластеризации.
Решение задачи нечеткой кластеризации
с использованием средств
rрафическоrо интерфейса
Функция findcluster предназначена для вызова rрафическоrо интерфейса про-
rpaMMbI нечеткой кластеризации для метода нечетких с-средних и метода суб
трактивной кластеризации (subtractive clustering). Она может быть вызвана в
одном из следующих форматов: findcluster или findcluster ( 'file. dat').
в первом случае функция findclиster вызывает rpафический интерфейс GUI про
rpaMMbI для выполнения нечеткой кластеризации алrоритмом РСМ и/или нечеткой
субтрактивной кластеризации. При этом необходимо заrpузить в рабочую область
исходные данные из внешнеrо файла с помощью кнопки Load Data (рис. 13.5).
rлава 13. Нечеткая кластеризация в Fиzzy Logic Toolbox
393
с1 ! 'rL. " 'се !; !;;',,: ; ;;:3 :':' 'i;' "" C с. " ' .С:' ;. ... ",
Sпlеt:I Fllп 10 Operl с, ,EJ.. . Metho(:J$
; .. "'=} fu, ;: '" . : : J : ''''i{ ;;
: : t ' : .dat ; ,; r,: p;t;t: .
; c!usterdemo dat
. !:Jfcmdat",.dat
,'. fulexlchkData.de.t
: fulexltrnDe.te.,d",t
' fulex2chkDe.ta.dat
Мin.
; . .t (;A /'; "i
1i i щ; t-: " l doЩ.l
.!tl
:;.;.
Y:e.xis :1 de.te. 2
1:!I1"
..... 1 ;'
.",:
. <
tl. : ' : :"
'} ;, '"
] '::: T t :';; J '
" ; ;- A-:. . :,,':'.; ;>,:::'><_>,,'
.::::![ : % i : :I
.ZJ . :
, ,
,,-:{,-,,-;
Рис. 13.5. Выбор 8нешнеrо файла
для заrрузки исходных данных в рабочую область
Выбор метода нечеткой кластеризации осуществляется с помощью раскрываю
щеrося списка Methods. Для каждоrо из методов нечеткой кластеризации в COOT
ветствующих строках ввода установлены значения параметров алrоритмов по
умолчанию. Эти значения MorYT быть изменены пользователем. Для этоrо необ
ходи м о установить курсор ввода в соответствующее поле и набрать нужные
цифры с учетом допустимых значений параметров. Назначение этих параметров
для алrоритма РСМ описано ранее при рассмотрении функции fcm. Назначение
этих параметров для алrоритма субтрактивной кластеризации будет описано
ниже при рассмотрении функции sиbclиst.
Во втором случае функция findcluster ( 'file. dat') вызывает rрафический
интерфейс, а в рабочую обрасть автоматически заrружаются данные кластери
зации из внешнеrо файла file.dat. При этом на [рафике отображаются значения
матрицы данных для первых двух признаков.
После нажатия на кнопку Start начинает работу соответствующий алrоритм He
четкой кластеризации с параметрами, установленными по умолчанию или изме
ненными пользователем. Результаты работы алrоритма отображаются на rрафике
(рис. 13.7). Найденные центры кластеров изображены черными круrами и их KOOp
динаты можно сохранить во внешнем файле с целью последующеrо анализа.
Иноrда число нечетких кластеров, необходимых для работы алrоритма FCM,
априори является неизвестным. В этом случае целесообразно использовать pea
лизованный в системе МА TLAB так называемый алrоритм субтрактивной кла
стеризации.
394
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
>-
1.. .,. ,:.
О.б
о ( ("\.ooo
О "( Jc
«.,,>.0 ,., '.) .) о ,(jj
:; . 8 ')o
' )\;?'O ;, ;:.o с,
:;п.' , rp ' ,' :,g ? ; J
о ?-..... '"' . ", '"
O ;C ' i : , '
(: с. 1.')7.3 (.
0.4
0.2
00
0.6
08 1
02
ДА
X--exis
I dl'ita 1
х
.iJ
..:ы .;
y" S I data 2
"
. Jre ady
. j'
"- ":--:':-"":';:"':,,: ".':<
Рис. 13.6. Результат вызова rрафическоrо интерфейса нечеткой кластеризации
с уже заrруженными исходными данными из внешнеrо файла fcmdata.dat
I.!IDх
. . Clustering
., ffi!e\ :fdit ::iiew: :!.{seJi6'!IdoIS: ; ndoW . t:i .'
1 '
." :S:< O.
O,
':>- .....,
<;)Э
. "
. I.::.:
'. '
0:2
.0.0
О ,"(" ()., о
':. 'V .o
cfi..(,\..... ,) о о ф
3' ",=\')
осе)о () (" О
'0 О
.о О. .o (.
Q .J .... ') ":\ ,---.. й-" "'\ О о':
v Q() 'V ,,'<)
о ' ./) f ' q;;' (.... ("\ "
:> , O с , v('.o .с. oo (\
v ,) .о
о o(')r:,, Q О
" _ ,') j v'Q; .o .0
(;.; ,.)\..)0 О ....) ..>
0°6:, о
i:': 90 ' ,02 0:6
' : "': ata 1 21 ",:, ,V s.'
t tе[86 n, . . :! ; ч.78:о1
О.В'
I dl'ite. 2" f1
, . ><.'
Рис. 13.7. Результат решения задачи нечеткой кластеризации алrоритмом FCM
с помощью rрафическоrо интерфейса для множества данных
из внешнеrо файла fcmdata.dat
rлава 13. Нечеткая кластеризация в Fuzzy Logic Toolbox
395
Решение задачи определения
числа кластеров для нечеткой
кластеризации в системе MATLAB
В случае отсутствия каких либо априорных предположений относительно коли
чества нечетких кластеров в системе МА TLAB можно использовать функuию
командной строки subclust или метод субтрактивной нечеткой кластеризаuии,
реализованный в rрафическом интерфейсе кластеризации.
Идея метода субтрактивной кластеризации состоит в том, что каждая точка
данных предполаrается в качестве центра потенциальноrо кластера, после чеrо
следует вычислить некоторую меру способности каждой точки данных пред
ставлять центр кластера. Эта количественная мера основана на оценке плотно
сти точек данных BOKpyr соответствующеrо центра кластера.
Данный алrоритм, который является обобщением метода кластеризации
Р. Яrера (R. Yager), основан на выполнении следующих действий:
1. Выбрать точку данных с максимальным потенциалом для представления цeH
тра первоrо кластера.
2. Удалить все точки данных в окрестности центра первоrо кластера, величина
которой задается параметром radii, чтобы определить следующий нечеткий
кластер и координаты ero центра.
Эти две процедуры повторяются до тех пор, пока все точки данных не окажутся
внутри окрестностей радиуса radii искомых центров кластеров.
Функция командной строки subclust находит центры кластеров методом суб
трактивной кластеризации. Она используется в следующем формате:
[C,S] subclust(X, radii, xBounds, options)
При этом матрица Х содержит данные кластеризаuии, каждая строка которой
соответствует координатам отдельной ТО<IЮ1 данных. Параметр radii представ
ляет собой вектор, компоненты KOToporo принимают значения из интервала [О.
1] и задают диапазон расчета центров кластеров по каждому из признаков изме
рений. При этом делается предположение, что все данные содержатся в HCKOTO
ром единичном rиперкубе. В общем случае малые значения параметра radii
приводят К нахождению малоrо числа больших по количеству точек кластеров.
Наилучшие результаты получаются при значениях radii между 0.2 и 0.5.
AprYMeHT xBounds представляет собой матрицу размерности (2xq), которая оп
ределяет способ отображения матрицы данных Х в некотором единичном rипер
кубе. Здесь q количество рассматриваемых признаков в множестве данных.
Этот aprYMeHT является необязательным, если матрица Х уже нормализована.
Первая строка этой матрицы содержит минимальные значения интервала изме
рения каждоrо из признаков, а вторая строка максимальные значения измере
ния каждоrо из признаков.
396
Часть 11. Нечеткое моделирование в среДе МА ТLAB
Для изменения заданных по умолчанию параметров алrоритма кластеризации
может быть использован дополнительный вектор options. Компоненты этоrо
вектора MorYT принимать следующие значения:
LJ options (1) :; quashFactor параметр, используемый в качестве коэффи
циента для умножения значений l"adii, которые определяют окрестность цeH
тра кластера. Это осуществляется с целью уменьшения влияния потенциала
rраНИ<IНЫХ точек, рассматриваемых как часть He<leTKoro кластера (по умол-
чанию это значение равно 1.25);
LJ options (2) == acceptRatio параметр, устанавливающий потенциал как
часть потенциала центра первоrо кластера, выше KOToporo друrая точка дaH
ных может рассматриваться в качестве центра друrоrо кластера (по умолча-
нию это значение равно 0.5);
LJ options (3) == rejectRatio параметр, устанавливающий потенциал как
часть потенциала центра первоrо кластера, ниже KOToporo друrая точка дан-
ных не может рассматриваться в качестве центра друrОl'О кластера (по умол
чанию это значение равно 0.15);
LJ options (4) :; verbose если значение этоrо параметра не равно нулю, то
на экран монитора выводится информация о выполнении процесс а кластери
зации (по умолчанию это значение равно О).
Функция subclust возвращает матрицу С значений координат центров нечетких
кластеров. При этом каждая строка этой матрицы содержит координаты одноrо
центра кластера. Эта функция также возвращает вектор S, компоненты KOToporo
представляют (J-значения, которые определяют диапазон влияния центра кла-
стера по каждому из рассматриваемых признаков. При этом все центры класте
ров обладают одинаковым множеством (J значений.
При м е р 13.2. Рассмотрим решение задачи определения количества кластеров
для множества исходных данных из примера 13.1. Напомним, что эти данные
представляют собой матрицу данных D размерности (I40х2), которые содержатся
в файле fcmdata.dat. В этом случае вызов функции субтрактивной кластеризации
может быть реализован следующим образом:
load fcmdata.dat
[C,S] == subclust(fcmdata, [0.5 0.5], [], [1.25 0.5 0.15 1])
Поскольку для множества данных из примера 13.1 используется 2 признака
(матрица datin имеет 5 столбцов), то по каждому из признаков задаются радиу
сы окрестностей 0.5 и 0.5 соответственно. Коэффициенты шкалирования для
отображения множества данных в единичный rиперкуб получаются на основе
минимальноrо и максимальноrо значений данных.
AprYMeHT squashFactor :; 1.25 указывает на то, <по необходимо определить
кластеры, недалеко расположенные друr от друrа. ApryMeHT acceptRatio == 0.5
указывает на то, что для нахождения центров кластеров очень высокий потенци-
ал не является необходимым. AprYMeHT rejectRatio :; О .15 не исключает из
рассмотрения точки данных, не обладающих высоким потенциалом. Наконец,
rлава 13. Нечеткая кластеризация в Fиzzy Logic Тоо/Ьох
397
последний aprYMeHT verbose == 1 разрешает вывод информации о выполнении
процесса кластеризации на экран монитора.
В результате выполнения этоrо фраrмента команд будут ПОЛУ<lены следующие
значения матрицы центров кластеров и вектора а-значений (рис. 13.8). Как мож-
но заметить, для указанных значений aprYMeHTOB рассматриваемая функция суб-
трактивной кластеризации находит три нечетких кластера и отображает KOOp
динаты их центров в командном окне системы MATLAB.
) МАТLЛО
,, ' 1 , I t>: &' i\,; !P;;,11i '; " .', 10 .. .
J 1 Ji 1E 1 ':C!j; ;!l1: ! 1\:,or
. ffi";it ; -i! ".)( Comr..'I")....,d "IP-..1пdQw
.... .......III!J El
...... . ;A i.; :: . 'О ,_ :> = ; 11j I! :
ПD
.к ::,,' )iЕN =: ;; Ь, { : ;i, ;; "
ti ,;:;.,.
ии chk.datDut
m)dat1n
; m)datout
ии fCID.data
. ии tспdаtаl
;.
'f
-
0.6962 0.3693
0.26б! 0.7364
0.6614 0.0641
tt
,.:..:
!
;
"",...
,
f ndcluste:r
[С,5] . ubc1u t(fc..data,[0.5 О..'"
," 1 ,:; ...... --; t: ",, ,, .,!,; , . '
-; ;; :r} aild'НtttOt't,
;R«ta.;ai( \,;"'.' i';;
0.1560 0.1525
. : -
;. '; ;'"
Рис. 13.8. Результат решения задачи нечеткой субтрактивной кластеризации
с помощью функции командной строки для множества данных
из внешнеrо файла fcmdata.dat
Для решения задачи субтрактивной кластеризации может быть также использован
рассмотренный выше rрафИ<lеский интерфейс нечеткой кластеризации, который
вызывается функцией findcluster. Вызов этой функции может быть осуществлен в
одном из следующих форматов: findcluster или findcluster (' file. dat'),
особенности которых были изложены ранее и иллюстрированы на рис. IЗS 13.7.
При м ер 13.3. Рассмотрим решение задачи определения количества кластеров
для множества исходных данных из примера 13.1 с использованием rрафическо
[о интерфейса кластеризации. Для этоrо заrрузим исходные данные из внешнеrо
файла командой findcluster (' fcrndata.dat'). выберем метод кластеризации
subtractive в раскрывающемся списке Methods и нажмем кнопку 8tart. Остальные
параметры оставим предложенными по УМОЛ<lанию. Результат решения задачи
субтрактивной кластеризации изображен на рис. 13.9 и также содержит 3 нечет
ких кластера.
..) Clustering
Часть /1. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
. ::; 1:1 ')(
398
Eiie,. .;ait I8W ;jrisert ;1;o01" пdOW Heip
0.8
.: ) ,,')
,) 6> , ,
о 'O< ,
t O "'" (.... r , ...:..
8 v cP) Qc
,,') r. ) ' " ,... о
А -о
о ':'
О,.) 1 ...)
о.. о (.... о #'., О 1
О Q () :'H" " O -V
':. ':. о (i' ':' , , 00.
'\ :':?: ::, : ' ) (, , 6 о
... ) r-.(; "'J (... , : , (,
r: ';--- о ....,:'.у... (:.о ( '
О (. .', о
. 0.6
>- ,-
0.4
'{;:: 2
о .
О.
, . .-:
t dy
Y.exi$
I da.ta. 2
0.2'
0.6
0.8
х
, J<-exis .... 1 d8ta. 1
'lLO сщ а:::> .
:;..' y . . . .
. .' >I; .. \.. ..; .-
subtre.di\t ....
-: )t...r t i;, ;., r.:
. .5'
,; ",.
; . ' . : ; : [ .
''' 1 . '. . '. . j и
Рис. 13.9. Результат решения задачи нечеткой субтрактивной кластеризации
с помощью rрафическоrо интерфейса кластеризации
для множества данных из внешнеrо файла fcmdata.dat
Таким образом, система MATLAB позволяет решать задачи нечеткой кластери
зации двумя способами: с помощью функций командной строки и с помощью
rрафическоrо интерфейса кластеризации. Первый из них является более TPYДO
емким, но обладает большей rибкостью и возможностью отображения в окне
команд значений матриц центров нечетких кластеров, функций принадлежности
и целевой функции. Второй способ представляется наиболее удобным дЛЯ BЫ
полнения некоторой серии расчетов для различных значений входных парамет
ров с целью визуальноrо анализа ПОЛУ<lенных результатов.
В заключение этой rлавы следует отметить, что результаты нечеткой кластери
зации имеют приближенный характер и MorYT служить лишь для предваритель-
ной структуризации информации, содержащейся в множестве исходных данных.
Решая задачи нечеткой кластеризации, нужно помнить об особенностях и orpa
НИ<lениях процесса измерения признаков у совокупности объектов кластериза
ции. Поскольку не<lеткие кластеры формируются на основе евклидовой метрики,
соответствующее пространство признаков должно удовлетворять аксиомам MeT
рическоrо пространства. В то же время для поиска закономерностей в проблем
ной области, имеющих неметрический характер, необходимо использовать спе
циальные средства и инструментарий, разработанные для интеллектуальноrо
анализа данных (Data Mining).
r -':'''яF;i'.: .::.:.:>:
rлава 14
'" 1.';.
ОСНОВЫ проrраммирования
в среде МА TLAB
rибкость и популярность системы МА TLAB во MHoroM основана на возможности
создания, редактирования и выполнения в ее среде nporpaMM, написанных пользо
вателями. Эти nporpaMMbI MorYT расширять функциональные возможности систе
мы или модифицировать отдельные ее функции желательным для пользователей
образом. При этом используется собственный язык проrpаммирования MATLAB,
который по форме хотя и напоминает отдельные конструкции языка С/С++, но
имеет синтаксические отличия. Именно по этой причине ниже рассматриваются
основные элементы языка проrраммирования системы MATLAB.
14.1. ОСНОВЫ языка проrраммирования
системы МА TLAB
Достоинством системы MATLAB является то обстоятельство. что практически
все специальные функции реализованы в виде так называемых m файлов, KOTO
рые представляют собой оБЫ(lНые текстовые файлы, содержащие конструкции
языка проrраммирования MATLAB. При желании понять способ реализации
той или иной функции можно всеrда обратиться к исходному тексту COOTBeTCT
вующеrо файла. Чтобы отметить этот факт, иноrда rоворят, что система
MATLAB распространяется вместе с исходными текстами проrрамм, имея в виду
соответствующие m файлы.
...... Примечание
Сравните этот факт с одним из наиболее часто употребляемых сторонниками
Liпuх apryMeHToB, коrда, rоворя о достоинствах этой ОС, специально и HeOДHO
кратно подчеркивается, что она распространяется в своих исходных кодах.
М файлы системы МА ТLAB MorYT быть двух видов: так называемые скрипты,
которые содержат последовательность некоторых команд, и функции, которые
предполаrают использование некоторых aprYMeHToB и возвращают определен
Ное значение. В обоих случаях используется один и тот же язык проrpаммирова
400
Часть /1. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
ния МА TLAB, который также применяется и при работе в окне команд. Эта
унификация языка представляет собой исключительное удобство для пользова-
телей, поскольку достаточно изучить только один язык проrраммирования для
BcecTopoHHero и rлубокоrо использования возможностей системы МА TLAB.
Как следствие этой унификации все операции и команды, рассмотренные ранее,
MorYT быть использованы в тексте т-файлов. В системе MATLAB выполнение
команд и операций реализовано в форме интерпретации, т. е. все команды т-
файла выполняются в линейной последовательности без компиляции исходноrо
TeKcToBoro файла. Некоторые особенности выполнения действий с переменными
были рассмотрены ранее при знакомстве с основными приемами работы в окне
команд (см. 2лаву 11). в дополнение к основным алrебраическим операциям сис-
темы MATLAB (табл. 11.2) в лоrических выражениях MorYT быть использованы
также операции сравнения (табл. 14.1) и лоrические операции (табл. 14.2).
Таблица 14.1. Операции сравнения
Символ Имя Название Пример
операции функции
< lt Меньше i < 10
< le Меньше или равно 5 < pi"2
> gt Больше pi > 1
>:; ge Больше или равно а > Ь
eq Равно \String' 'string
пе Не равно Result O
Таблица 14.2. Лоrические операции
Символ Имя Название Пример
операции функции
& and Лоrическое И А&В
or Лоrическое неискпю- AIB
чающее ИЛИ
not Лоrическое НЕ A
xor Лоrическое искпючаю xor (А, В)
щее ИЛИ
Центральным понятием языка проrpаммирования системы МА TLAB является
математическое выражение, которое состоит из имен отдельных переменных,
имен функций и операций. Имя переменной должно начинаться с буквы и может
содержать произвольное КОЛИ<lество букв, цифр и символов подчеркивания. В то
rлава 14. ОСНОВЫ проrраммирования В среде MAТLAB
401
же время система MATLAB различает переменные только по первым 31 симво
лам их имен, а также с учетом их реrистра (большие и маленькие буквы разли
чаются).
Как уже упоминалось ранее, каждая переменная имеет внутреннее представление
в форме матрицы или массива. При этом скалярная переменная рассматривается
как массив размерности 1 х 1. С друrой стороны, каждая переменная имеет свой
тип, который определяет допустимые операции над значениями этой перемен
НоЙ. В системе MATLAB предусмотрены 14 фундаментальных типов данных,
которые представляют собой отдельные классы (рис. 14.1).
t
i
I
!
i
i
I (datatYiJ e»l
]
(,datatype) I
UintЗ2
Рис. 14.1. Диаrрамма классов фундаментальных типов данных
системы MATLAB (в нотации языка UMl)
Примечание
Тип данных user class определяется пользователем и не является фор
мально определенным в языке проrраммирования системы MATLAB. Классы
Array и Nuтeric являются абстрактными, поэтому их имена записаны курси
вом соrласно нотации языка UML.
Краткая характеристика указанных фундаментальных типов данных и их при
меры при водятся в табл. 14.3.
402
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Таблица 14.3. Характеристика фундаментальных типов данных МА TLAB
Тип данных
iпt8, iпtlб,
int32
uint8,
uiпtlб,
uint32
double
sparce
single
char
cell
structure
Пример
int (magic (3»
uint(magic(3»
3*lОЛ300
5+бi
speye (5)
3*lОЛ38
'Hello'
{17 'hello'
еуе (2) }
a.day==12
a.color=='red'
Описание
Целое число со знаком 8, 16 32 бит длины соот-
ветственно. Используются для представления
целых чисел в памяти с целью более эффектив
ных преобразований. Этот тип данных непосред
ственно не может быть использован в математи
ческих вычислениях
Целое число без знака 8, 16 32 бит длины COOT
ветственно. Также используются для представ
ления целых чисел в памяти с целью более эф
фективных преобразований. Этот тип данных
непосредственно не может быть использован в
математических вычислениях
Произвольное число со знаком двойной точно-
сти. Основной тип данных во всех математиче
ских вычислениях и расчетах. Используется по
умолчанию при задании произвольной числовой
переменной
Разреженная числовая матрица размерности
(2х2) с элементами двойной точности. Использу
ется для более компактноrо представления в
памяти матриц с большим количеством нулевых
элементов. Для разреженных матриц определе-
ны специальные операции
Произвольное число со знаком одинарной точ
ности. Используется для более компактноro
представления чисел в памяти. Этот тип данных
непосредственно не может быть использован в
математических вычислениях
Произвольный символ В кодировке Unicode. Мас-
сив данных типа char используется для представ-
ления строк произвольной длины. Для символьных
строк определены специальные операции
Ячейка с произвольным элементом. Массивы
ячеек MOryT содержать элементы, представляю-
щие различные типы данных, включая и друrие
массивы ячеек
Структура представляет собой массив полей и,
возможно, друrих структур. Обращение к от-
дельным полям структуры осуществляется обыч-
ным для языка проrраммирования способом с
помощью оператора" точка"
rлава 14. ОСНОВЫ проrраммирования В среде MAТLAB
403
Таблица 14.3 (окончание)
Тип данных Пример Описание
function @humps Дескриптор функции. Используется для подста
handle новки одних функций В качестве apryMeHToB дpy
rих функций
j ava class j ava. awt. Frame Класс языка проrраммирования Java. Применя
ется в случае использования классов, опреде
ленных в библиотеке Java, для проrраммирова
ния rрафических интерфейсов
user class inline ( 'sin (х) ') Тип данных, определяемый пользователем. Ис
пользуется при написании проrрамм в стиле обь
ектно ориентированноrо проrраммирования
По умолчанию система MATLAB рассматривает каждую переменную как про
извольное число со знаком (dollble), однако формат ее отображения в окне
команд может различаться и зависит от настроек системы. При этом доступ ко
всем переменным текущеrо сеанса работы осуществляется с помощью браузера
рабочей области.
При разработке т файлов следует различать два основных типа этих файлов:
LI т файл сцеН{lРllЙ, который может быть использован для определения значе
ний переменных в рабочей области или их изменения. Этот тип т файлов
аналоrичен записи команд в окне команд в текущем сеансе работы с про
rраммой. Например, последовательность функций для задания системы He
четкоrо вывода примера 12.1 "Чаевые в ресторане". сохраненная во внешнем
текстовом файле с расширением т, представляет собой файл сценарий;
LI т Ф{lйЛ ФУНКЦUЯ, который реализует выполнение некоторой функции или
процедуры и возвращает некоторое зна<lение. Пример разработки файла
функции, который расширяет функциональность системы MATLAB, приво
дится далее в разд. 14.3.
Наибольший интерес в контексте проrpаммирования в системе МА TLAB имеют
т файлы BToporo типа, которые записываются в специальном формате и MorYT
содержать математические выражения, операторы управления последовательно
стью команд и текстовые комментарии.
Каждый т-файл функция должен иметь специальную структуру. А именно
начинаться с ключевоrо слова function, после KOToporo следует имя выходной
переменной, имя функuии и список ее входных параметров (aprYMeHToB). Завер
шаться текст т файла может произвольным оператором, комментарием или BЫ
ражением (ключевое слово end В этом случае не используется). При этом имя т-
файла должно совпадать с именем функции.
Вызов реализованной в т файле функции осуществляется аналоrично обычной
функции в окне команд. При этом указывается имя функции и список KOHKpeт
ных зна<lений параметров (aprYMeHToB). В этом случае соответствующий т файл
404
Часть 1/. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
автомаТИLlески исполняется системой MATLAB, в результате чеrо реализован
ной в нем функцией будет возвращено конкретное значение.
Следует заметить, что все используемые в тексте m.файла переменные по своему
характеру являются локальными, т. е. не оказывают побочноrо влияния на зна
Llения переменных с аналоrИLIНЫМИ именами из рабочей области. В тексте m
файла в случае необходимости Moryт быть использованы имена друrих функций
системы MATLAB.
В общем случае последовательность выполнения команд и операторов m файла
является линейной, что типично для процедурноrо стиля написания проrрамм.
Для изменения линейной последовательности команд MorYT быть использованы
специальные операторы управления, которые рассматриваются далее.
Операторы управления последовательностью
выполнения команд
Операторами языка проrраммирования МА TLAB являются специальные син
таксические конструкции языка, предназначенные для выполнения определен-
ных функциональных задач.
Условный оператор if...e/seif...e/se...eпd
Условный оператор предназнаLlен для реализации последовательноrо бинарноrо
ветвления в проrрамме на основе проверки определенных лоrических условий.
Полный синтаксис этоrо оператора:
if ЛО2ическое условие 1, вblраJlсенuя l; elseif ЛО2uческое условие 2,
вblраJlсенuя 2; else выраж'еНllЯ З; end
Условный оператор выполняется следующим образом. Вначале проверяется ло
2ическое условuе l. Если оно принимает значение "истина", то последовательно
выполняются выраJlсения l, после LJero управление передается на конец условно
ro оператора end. Если ЛО2uческое условuе l принимает значение "ложь", то
выраженuя l не выполняются и происходит переход к проверке ЛО2uчеСКО20 усло
вuя 2. Если оно в свою очередь принимает значение "истина", то последователь-
но выполняются выраж'енuя 2, после Llero управление передается на конец yc
ловноrо оператора end. Если ЛО2uческое условие 2 принимает значение
"ложь", то выраJlCеfluя 2 не выполняются, а выполняются выраJlсения З, после
чеrо выполнение условноrо оператора Заканчивается.
Возможно использование более простоrо синтаксиса этоrо оператора в форме:
if ЛО2ическое условие 1, вblраJlсеНllя l; else выражеllия 2; end
или В простейшей форме:
if ЛО2ическое условие, выраJlсенuя; end
Наряду с этим возможны и более сложные варианты этоrо оператора с вложенны
ми условиями elseif. Для записи лоrических выражений MorYT быть использова
rлава 14. ОСНОВЫ проrраММfAрованиЯ В среде MAТLAB
405
ны операции сравнения (см. табл. 14.1) и лоrические операции (см. табл. 14.2).
Важно помнить, что в системе MATLAB в случае истинности лоrическое выраже
ние принимает значение 1, а в случае ложности значение О.
.&., !:=:' " "
n == 1;
s == 10:10;
if (s(15»==O)&(n>O),
n ==s(16) + 1;
end
с примером использования условноrо оператора в полном варианте ero синтак
си са можно познакомиться, просмотрев текст m файла defllzz.m, который реали-
зует различные методы дефаззификации в системе MATLAB.
Оператор выбора switch...case...otherwise...eпd
Оператор выбора предназначен для реализации параллельноrо ветвления в про
rpaMMe для выполнения различных вариантов выражений.
Полный синтаксис этоrо оператора:
swi tch исходное выра;JlCеllие
case значение l, вblра;)lсе1iия l;
case значенuе 2, вblра;)lсеllllЯ 2;
otherwise вblраженuя О;
end
Оператор выбора выполняется следующим образом. Исходное вblраженuе
должно быть определено как некоторый скаляр (число или символ) или как
строка текста. Если оно равно значению l, то последовательно выполняются вы
раженuя l , после чеrо управление передается на конец оператора выбора end.
Если uсходное вblражеllllе не равно значенuю l, то вblражеllия l не выполняют
ся, а управление передается на следующий по порядку вариант case. Если исход
ное вblраженuе равно значенuю 2, то последовательно выполняются вblраже
ния 2, после чеrо управление' также передается на конец оператора выбора
end. Если исходное вblражение не равно значенuю 2, то вblражения 2 не выпол
няются, а управление передается на следующий по порядку вариант case. Bы
раженuя О выполняются только в том случае, если uсходное вblраженuе не равно
ни одному из вариантов значений.
Возможно использование более npocToro синтаксиса этоrо оператора без секции
otherwise вblражения О. Оператор выбора варианта целесообразно использо-
406
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
вать в качестве альтернативы условному оператору, чтобы избежать вложенно
сти при проверке лоrических УСJlОВИЙ.
; tt.i$j: ,; g :. ;" :gБ еР.i Р.;' ; р : р'Н f Е :::: :: :::::::: :::: З!
r :; 1;
swi tch r
сазе 5, s :; 10;
сазе 10, s :; 15;
otherwise s :; 20;
end
Если окажется, что значение исходflО20 выра:JlсеН/lЯ равно нескольким значениям
вариантов сазе, то В этом случае будет выполнен первый по порядку вариант
послеДовательности выражений.
Оператор цикла for...eпd
Этот оператор предназначен для выполнения rруппы выражений языка фикси
рованное число раз, причем соответствующее число повторений заранее извест
но и задается до начала выполнения выражений цикла.
Синтаксис этоrо оператора:
for llере.менная=начальное значение : приращение : конечное значение,
выра:Jlсения; end
Если при ращение отсутствует, то по умолчанию оно принимается равным 1.
Цикл типа for выполняется следующим образом. В начале цикла перемешlOU
цикла присваивается начаЛЬflое значеfluе, и последовательно выполняются вы
ражения тела цикла (итерация), после чеrо управление снова передается на ero
начало. Переменной цикла присваивается сл дующее значение, определяемое
значением nрuращеflия. Если новое значение nеремеН1IOЙ цикла не превышает KO
неЧНО20 Зflачеflия переменной, то выполняется очередная итерация цикла. Bы
полнения выражений цикла заканчивается, коrда значение переменной цикла
превысит ее КОflечное значение. В этом случае выражения цикла не выполняются
и происходит переход к выполнению следующеrо за end выражения.
: '., RШ : ! ::: ;::,: i ;:: j
s :; О;
for n
1:100,
s :; s + n;
end
rлава 14. ОСНОВЫ проrpаммирования В среде MAТLAB
407
Циклы типа for MorYT быть вложенными. В качестве значений переменной цик
ла MorYT выступать элементы HeKoToporo массива или матрицы. Ниже приво
дится вариант предыдущеrо примера, в котором переменная цикла принимает
значения из заранее определенноrо массива.
T',:. % , :::; :
А == 1:100;
s == о;
for п == А,
s == s + п;
end
в случае использования в качестве значений переменной цикла элементов некоторой
матрицы следует помнить, что элементы матрицы упорядочены по столбцам.
Оператор цикла while...eпd
Этот оператор предназначен для выполнения rруппы выражений языка несколь
ко раз, причем соответствующее число повторений заранее неизвестно и опреде
ляется проверкой HeKoToporo условия внутри цикла.
Синтаксис этоrо оператора:
while ЛО2ичеСl(ое условие, выражения; end
Цикл типа while выполняется следующим образом. Вначале цикла проверяет
ся лО2ичеСl(ое....Условие. Если оно принимает значение "истuна", то последова
тельно выполняются выражения тела цикла, после чеrо управление снова пере
дается на ero начало. Если ЛО2uчеСl(ое""условие принимает значение "ЛОJ/СЬ", то
выражения не выполняются и происходит переход к выполнению следующеrо
за eпd выражения.
::"rРё' ''';; Т ' "С: :; ij;r :и !;:::, ;,: i
n == 1;
s == О;
while п<==100,
s == s + п;
п п + 1;
end
408
Часть /1. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Следует отметить, что невнимательное использование цикла типа whi1e может
служить источником ошибок и даже зависания системы МА TLAB в случае вы-
полнения бесконечноrо цикла.
Оператор continиe
Этот оператор используется в теле операторов цикла for или whi1e, чтобы за-
кончить выполнение выражений текущей итерации. При вложенных циклах опе-
ратор continue передает управление на окончание итерсщии содержащеrо этот
оператор цикла.
s =о о;
for n 1:100,
if rem(n,2)=o=oO,
continue;
end;
s =о S + п;
end
Заметим, что в приведенном фраrменте nporpaMMbI использована специальная
функция rem (х, у), которая возвращает остаток от деления х на у.
Оператор break
Этот оператор используется в теле операторов цикла for или whi1e, чтобы за
кончить выполнение выражений Bcero цикла. После выполнения 'Этоrо операто
ра управление передается следующему за end выражению. При вложенных цик-
лах оператор break передает управление на окончание только Toro цикла, в
котором находится этот оператор.
s =о о;
k о;
for n
1: 100,
if rem(n,2)====O,
continue;
rлава 14. ОСНОВЫ ПроrраммированиЯ В среде МА ТLAB
409
end;
s-=s+n;
k-=k+1;
if k 10,
break;
end;
end
Оператор retиrп
Этот оператор используется, как правило, в теле функций, чтобы закончить BЫ
полнение любых оставшихся выражений и возвратить управление в вызвавшую
эту функцию проrрамму или в окно команд текущеrо сеанса работы МА TLAB.
function out
if k>-=n,
error('k должно быть меньше чем n !');
surnodd(k,n)
end
out О;
j -= О;
for i -= 1:п,
if rem(i,2)-=-=0,
continue;
end;
out-=out+i;
j-=j+1;
if j -=-=k,
return;
end;
end
Для TOrO чтобы данную функцию можно было бы использовать в системе
MAТLAB, необходимо сохранить текст данной проrраммы во внешнем файле с
именем slImodd.m, а сам файл поместить в один из рабочих каталоrов системы
MATLAB, например, в каталоr C:\MATLAB6pl\work. После этоrо созданная
нами функция подсчета суммы первых k нечетных натуральных чисел в интерва
ле от I до п становится доступной в любой nporpaMMe и в сеансе работы
410
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
МА TLAB. ДЛЯ использования этой функции ее необходимо вызвать с заданны
ми значениями двух ее aprYMeHToB. Например, если в окне команд набрать
» х sumodd(5,100)
то получим значение:
х
25
Рассмотренный при мер иллюстрирует процесс написания nporpaMM в системе
MATLAB и оформления их в форме функций. Далее в разд. /4.3 приво.и:ится
пример nporpaMMbI, расширяющей возможности пакета нечеткой лоrики систе
мы MATLAB.
Защищенный блок try...catch...eпd
Защищенный блок предназначен для изменения последовательности выполнения
выражений, если во время их выполнения обнаруживается некоторая ошибка.
Синтаксис защищенноrо блока следующий:
try, вblраженuя /;
catch, вblражеllия 2;
end
Система МА TLAB при исполнении защищенноrо блока делает попытку выпол
нить последовательность Bblpa;нceHиu l. Если при выполнении хотя бы одноrо из
выражений этой последовательности происходит ошибка, то выполнение всей
последовательности вblражеllиЙ l аннулируется. После этоrо происходит пере
дача управления на выполнение eblpa:нceHuic2. Если же при выполнении выpa
жеlluй l ошибки не происходит, то выра:нсеlluя l не выполняются, и происходит
передача управления на конец блока. В случае наличия ошибки при выполнении
вblраженuй 2 система прерывает работу nporpaMMbI и сообщает о характере
происшедшей ошибки.
1 lIr::: 4i!:;:; =!: : : ; :' ;':::
try,
k O;
s renf;
catch,
s 7;
k l;
end
(лава 14. ОСНОВЫ проrраммирования в среде MAТLAB
411
При выполнении данноrо фраrмента проrраммы в окно команд не будет BЫBe
дено сообщение об ошибке "??? Undejined fипction о, ra,iabZe ',еп!"', поскольку
соответствующий оператор присваивания помещен в защищенный блок. После
выполнения защищенноrо блока в рабочей области будут помещены следующ е
значения переменных: s=7 и k= 1.
Следует заметить, что все операторы управления последовательностью выпол
нения команд должны заканчиваться словом end, которое указывает на конец
соответствующеrо управляющеrо блока.
Текстовые комментарии
Текстовые комментарии используются в m файлах для пояснения основных идей
реализации процедур, а также отображения справочной информации при вызове
справки по соответствующей функции m файла. При этом текстовый комментарий
может вставляться в любое место m файла после символа начала комментария: %.
Для разработки и отладки m файлов в системе МА TLAB предназначен специ
альный редактор/отладчик. Ниже рассматривается назначение операций rлавно
ro меню и панели инструментов редактора/отладчика, а также основные приемы
работы с ним.
14.2. Основные приемы работы
с редактором/отладчиком т-файлов
Для создания, редактирования и отладки m файлов в системе МА TLAB предна
значен спеuиальный отладчик m файлов. Хотя m файлы являются основными
объектами проrраммирования, редактор отладчик позволяет открывать и pe
дактировать любые типы файлов, включая обычные текстовые файлы (с расши
рением txt, dat и др.), файлы с текстами проrрамм на различных языках про
rpаммирования (с расширением с, срр, h, html и друrими), а также файлы
моделей отдельных пакетов расширений системы MATLAB (с расширением mdl,
fis, rtw и др.).
Открыть редактор отладчик можно несколькими способами, например, нажав
соответствующую кнопку (самую левую) на панели инструментов системы
MATLAB. В результате откроется рабочее окно редактора отладчика с предло
женным системой именем HOBoro m файла по умолчанию (рис. 14.2).
Если необходимо редактировать существующий m файл или любой друrой TeK
стовый файл, имеющийся на диске, то редактор отладчик можно открыть. нажав
соответствующую кнопку (вторую слева) на панели инструментов системы
МА TLAB. В этом случае будет вызвано стандартное диалоrовое окно открытия
файла, а после выбора файла появится окно редактора отладчика с заrружен
ным в Hero файлом (рис. 14.3).
412
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА TLAB
"j"
,,'
"j.;. ."_ .:"'4;:'I::;:":.. .., "'.... .. ,. ....,, r:.. . . _,,0-.
\1r.. 1 ! : ii : :;. t-PJr;;:. : %. . .
!.'
;;,
: : '; :': J__ :i' : t) i : : . i ;[ij r\1i
Рис. 14.2. Окно редактора отладчика при создании HOBoro т-файла
!8) с \МА TI ArJtirll 'tооltJlIх\fUI/у\IUllу\trlшt ПI
t : .. t j::
unct.1t1n у . t.r1..t (К, ре.ЖUS)
\'l'PlfiF lr. blLIJI.11b.t. D 1a.bf!C "J.)..P I: l.tlt.'\".1(IJ}.
\ п.Il.fr(х PA.N\f':::) t:С"I'Ш:::n;;'1 tJ :'n.J....-ri}: W J.H }). 1.L' I.'}'.a сr1 Ш'J\.1 Н.
\ u w:,el":;hlV t1.Ul.t't.: ('I!t Q..!.t'JJ.I: e.rl t t:; :-.. 'Pl\PJJ1$ .. (А D (} 1.-' U 1,el Li 1;':
TJ ,-;"".f.)r "'.1)'1.[ jl!. .""'.;,jH},tFl$ t'h" 1'Irt.:.iJj, p(z"lt1t (О! tt ),[1I tl<f:ы'l'i'rй,,::.rJJ tUnf;1.:.1C'1..
1J.51! 11Iy [0\(> 1.l:C!'AHf. А (Со В <-"' r;,
,:;
1;
и'2се thnt. th1э М.. I!tlf18j' hээ е. he 'itlt. iЛ. Uh t:'1. Ти )1JЗ.vе ::. tt"1.aJ'1{1'.ll.i3L
НУ toI1.th tt nf:<lqht. lt"" t.h&l Ш1:lt'1, l1.эе 1ЩIНF iri.ste d.
F\.!r "'x mJJ':'C::
х .. (u:('.З: 1(11';
yL . t:;. _"i. tO(, [.. \ 5});
yi. " :'L1.a.f"A.. [ -1: "J]);
y ,. 'tr. .mfiy., rl 49]);
!:':.wplj'''Jr, 2Jl), lQ';I>:, (уl у2. ? ..));
1?1,.. r:rjillt,X... [:;: J S]J:
:!.: :. '" trita.! '):.. [3 4 ?]);
):....; '" t.::!.k\! ",.. l-t .5 9]);
"",Jl.,plot:112). Vl(;.:{).. (уl у;;' 1"1]);
,t'i!."tllJt::"J 'l1.fШ':.. 't'.,[1.1II.t', 'nU1lLl'JI!:r.llf..i.II.. '.. ',.ll'f');
.;,.
;
i i
')io!
t:
;;;
- .,.... r. . ..... r
. -:",," -.oJ- <'.
! "
J:
..
:;;') '1.1 $0 J)s! .tп.r.. F..';ЛL1Н'.. GJ\ '[Z tt:-1F, (;1\1.1';$:;111, Gf'"J:l.LИJo", nl'".: HF, PI.1'lf.. rsП' м.F,
S!Gr.-F, ':;M} . lF.AH1f", 7.tJf'.
...
Рис. 14.3. Окно редактора отладчика с открытым существующим m файлом
Заметим, что открыть редактор отладчик можно и без запуска системы MATLAB,
дЛЯ чеrо следует воспользоваться rлавным меню ОС MS Windows (Пуск>
Проrраммы>МАТLАВ 6.1>М filе Editor) или просто набрав в системном меню
Выполнить команду meditor. Последний случай может быть использован для
работы с редактором отладчиком как обычным Windоws приложением. В этом
случае в редакторе отладчике доступен только режим редактирования файлов
без возможности их отладки (соответствующие пункты меню будут недоступны).
Примечание
Открыть редактор отладчик можно из окна команд, введя команду edi t для
создания HOBOro т файла или команду edi t <имя файла> для открытия cy
ществующеrо файла.
rлава 14. ОСНОВЫ проrраммирования В среде МА ТLAB
413
Рабочий интерфейс редактора отладчика представляет собой стандартное окно в
стиле MS Windows, которое содержит собственное rлавное меню и панель инст
рументов. Основную область занимает окно редактирования файлов, в котором
отображается текст создаваемоrо или выбранноrо файла. При этом каждая
строка файла имеет собственный порядковый номер, а слова текста выделяются
различным цветом. Служебные или ключевые слова проrрамм выделяются си
ним цветом, комментарии в nporpaMMax зеленым, строки как элементы про
rpaMM красным, остальные элементы текста черным.
Прежде Bcero, рассмотрим операции rлавноrо меню системы MATLAB и назна
чение отдельных кнопок панели ИНСТру\tентов. После этоrо остановимся на oc
новных командах, которые MorYT оказаться необходимыми в процессе работы в
режиме командной строки.
Назначение операций rлавноrо меню
Окно редактора отладчика системы MATLAB имеет rлавное меню (рис. 14.4),
которое позволяет пользователю выполнять отладку m файлов, открывать и
сохранять редактируемые файлы, изменять внешний вид элементов rрафическо
ro интерфейса, вызывать справочную информацию и т. д. Рассмотрим назначе
ние отдельных пунктов rлавноrо меню редактора отладчика.
Рис. 14.4. Операции пункта меню File
rлавноrо меню редактора отладчика
414
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
LI Пункт меню File (Файл) rлавноrо меню содержит следующие операции:
. New позволяет выбрать тип создаваемоrо HOBoro объекта системы
MATLAB и полностью совпадает с соответствующим пунктом меню pa
бочеrо интерфейса системы MATLAB, если редактор отладчик вызван из
сеанса работы с системой. Новый m файл по умолчанию имеет имя
Untitled. Если ранее в редакторе отладчике был открыт некоторый т
файл, то при создании HOBoro m файла он не закрывается, а помещается в
отдельное окно редактирования. Это окно можно восстановить с исполь-
зованием соответствующих вкладок в нижней части рабочеrо интерфейса;
. Орео... вызывает стандартное диалоrовое окно открытия внешнеrо
файла с диска. В этом окне можно выбрать нужный фильтр для отображе
ния отдельных типов файлов системы МА TLAB;
. Орео Selectioo позволяет открыть внешний m файл, предварительно вы-
делив ero имя в тексте редактируемоrо файла. Если файла с выбранным
именем не существует, то будет выдано сообщение об ошибке;
. Close <имя файла> закрывает окно редактирования файла с COOTBeTCТ
вующим именем
· Save сохраняет редактируемый файл под своим именем;
. Save As... вызывает диалоrовое окно сохранения файла на диске с воз
можноcrью задать файлу новое имя;
. Save All сохраняет все открытые для редактирования файлы под своими
именами;
. Source Cootrol позволяет осуществлять контроль версий файлов при со-
вместном использовании дополнительных средств конфиrурационноrо
управления (например, средства Rational Cleal"Case). Содержит дополни
тельное вложенное подменю с подпунктами: Check Io... установить
контрольный комментарий в редактируемый файл, Check Out... прове
рить последнюю версию файла, Uodo Check Out... отменить проверку
последней версии файла.
Остальные операции этоrо пункта меню совпадают с соответствующими опе
рациями пункта меню File (Файл) рабочеrо интерфейса системы МА TLAB
(см. рис. 11.11), поэтому здесь не рассматриваются.
LI Пункт меню Edit (Редактирование) редактора отладчика расширен по срав-
нению с этим же пунктом rлавноrо меню системы МА ТLAB и содержит сле-
дующие операции (рис. 14.5):
. Uodo отменяет выполнение последнеrо действия;
. Redo отменяет выполнение последней операции Undo;
. Cut вырезает выделенный фраrмент текста из редактируемоrо файла и
помещает ero в буфер обмена;
. Сору копирует выделенный фраrмент текста из редактируемоrо файла и
помещает ero в буфер обмена;
rлава 14. ОСНОВЬ! проrраммирования В среде МА ТLAB
415
"J ; :,!;, i ; ,.1 . ,
ч.,\ i:::,: ;' 't>. :, 7r9tit i;T\
'.i ;K ,.:':? :: ,
"';a ' ,,'''''''' ki; "".f :,:,'"П" "., ',)
f !! c;iA!(
ele{e;'
):;а.
1> .
;: ,..:::.:: .::!.".
!..xJ:
:: ,.
Рис. 14.5. Операции пункта меню Edit
редактора-отл чика
. Paste вставляет фраrмент текста из буфера обмена в текущую позицию
редактируемоrо файла;
. Paste Special... вызывает мастер импорта данных, который позволяет
выполнить предварительный просмотр информации, хранящейся в буфере
обмена;
. Clear вырезает выделенный фраrмент текста из редактируемоrо файла
без помещения ero в буфер обмена;
. Select АН позволяет выделить всю информацию в окне редактирования;
. Delete удаляет выделенный фраrмент текста из редактируемоrо файла;
. Find and Replace позволяет найти фраrмент текста в редактируемом
файле и заменить ero на друrой фраrмент текста;
. Find Next осуществляет переход к следующему найденному фраrменту
текста в редактируемом файле;
. Find Selection находит вхождение последнеrо из заданных фраrментов
текста в редактируемом файле;
. Go to Line... осуществляет переход к редактированию строки с выбран
ным в диалоrовом окне номером;
416
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
. Set/Clear Bookmark позволяет задать/отменить закладку в тексте peдaK
тируемоrо файла для ее использования в следующих операциях;
. Next Bookmark осуществляет переход к следующей по порядку закладке
в редактируемом файле;
. Prev Bookmark осуществляет переход к предыдущей по порядку заклад-
ке в редактируемом файле;
. Clear Command Window очищает окно команд от информации текущеrо
сеанса работы;
. Clear Command History очищает окно истории команд от информации о
введенных ранее командах;
. Qear Workspace очищает рабочее пространство системы МА TLAB от
всей имеющейся в ней информации о переменных.
Пункты меню View (Вид), Web (Интернет), Window (Окно) и Help (Справка)
практически идентичны соответствующим пунктам rлавноrо меню системы
МА TLAB, за исключением последнеrо, который содержит справочную инфор-
мацию по разделу работы с редактором отладчиком. Поскольку эти пункты Me
ню были рассмотрены ранее в 2лаве 11, далее описываются лишь новые пункты
редактора отладчика, отсутствующие в rлавном меню системы МА TLAB.
, 8di>' R'g' "
'; УСЕ ,,:,; ,;;; ; c:;;::,':';;; : ;::(;; :
:; ii I ; r ;; zj;:\:ik': 4 i ;:itt,
ii : r iH ,
'" ',' ce ji lf J;::;: ; Ь; :;'N :3 r ',+Щ ;:;
.,:j!',:a.mcUtlL:Ydent " "Ctrl+1
Рис. 14.6. Операции пункта меню Text редактора отладчика
с1 Пункт меню Text (Текст) содержит следующие операции (рис. 14.6):
. Evaluate Selection - выполнение выделенноrо фраrмента текста nporpaMMbI;
. Format Selected Comment автоматическое форматирование выделенноrо
фраrмента или строки комментария;
. Comment преобразование строки nporpaMMbI или выделенноrо фраr
мента в комментарий посредством добавления слева символа %;
. Uncomment преобразование строки или выделенноrо фраrмента KOM
ментариев в строку или фраrмент nporpaMMbI посредством удаления слева
си мвола %;
rлава 14. ОСНОВЫ проrраммирования В среде MATLAB
417
. Decrease Iodeot сдвиr строки проrраммы или выделенноrо фраrмента
влево на установленный интервал;
. Iocrease Iodeot сдвиr строки nporpaMMbI или выделенноrо фраrмента
вправо на установленный интервал;
. Balaoce Delimiters выделение текста выражения между двумя парными
разделителями (скобками);
. Smart Iodeot автоматическое форматирование строки проrpаммы или
выделенноrо фраrмента на установленный интервал отступа.
При работе с текстом редактируемоrо файла слева от каждой строки указы
вается ее порядковый номер. Пустой строке также присваивается отдельный
номер. При отображении текста проrраммы используется цветовое выделение
различных по назначению слов. Ключевые слова, такие как операторы
if/elseif/else, for/while/end, выделяются rолубым цветом, KOMMeHTa
рии зеленым, имена переменных черным, законченные значения CTpO
OBЫX переменных красным, точнее каштановым (mапоп), а незакон
ченные, т. е. без завершающеrо знака "". пурпурным (purple).
При записи математических выражений также оказываются полезными сле
дующие возможности редактора отладчика. Если в тексте встречаются про
извольные скобки, то для соrласования количества открывающих и закры
вающих скобок используется специальных маркер. Для этоrо достаточно
установить курсор справа от одной из скобок. В этом случае будут выделены
пара соответствующих скобок. В дополнение к этому двойной щелчок на
произвольном символе выделяет весь текст внутри соответствующей пары
скобок, что позволяет контролировать правильность задания сложных pac
четных формул.
При наборе текста проrраммы в редакторе отладчике для визуализации цик
лов и условных управляющих конструкций автоматически используются OT
ступы. В этом случае тело каждой соответствующей конструкции сдвиrается
вправо на установленный интервал.
; "",; [>F5":,
'Й GiР" : :" :j:?K::'{:
b gl Q x i .
Рис. 14.7. Операции пункта меню Debug
редактора отлqдчика
о Пункт меню Debug (Отладка) содержит следующие операции (рис. 14.7):
. Step выполнение одноrо шаrа построчной трассировки;
. Step 10 пошаrовая трассировка с заходом в вызываемые m файлы;
418
Часть /1. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
· Step Out пошаrовая трассировка без захода в вызываемые m файлы;
. Continue продолжить выполнение до следующей точки останова;
. Со Until Cursor продолжить выполнение до строки с установленным
курсором;
. Exit Debug Mode завершить отладку nporpaMMhI.
'lщ tiFii;i В еlikpоint ' f12' ,
i ;Ь
,> P:" 1E'frOf",<'
Рис. 14.8. Операции пункта меню Breakpoints
редактора отладчика
о Пункi' меню Breakpoints (Точки останова) содержит следующие операции
(рис. 14.8):
. Set/Clear Breakpoint установить/отменить точку останова (прсрывания);
. Clear All Breakpoints отменить все точки останова;
. Stop If Error прекратить отладку nporpaMMhI в случае обнаружения
ошибки;
. Stop If Wаrпiпg прекратить отладку nporpaMMbI в случае обнаружения
предупреждения;
. Stop If NaN Or Inf прекратить отладку nporpaMMbI в случае обнаруже
ния нечисловоrо или бесконечноrо значения у какой либо из переменных;
. Stop If All Error прекратить отладку nporpaMMbI в случае обнаружения
любой из перечисленных выше ситуаций.
Назначение операций
панели инструментов
Панель инструментов редактора отладчика содержит набор кнопок, KOTO
рые дублируют наиболее часто выполняемые операции rлавноrо меню. Рассмот-
рим назначение отдельных кнопок панели инструментов редактора отладчика
(табл. 14.4).
rлава 14. Основы проrраммирования в среде MAТLAB
419
Таблица 14.4. Назначение кнопок панели инструментов редактора отладчика
rрафическое
изображение
Всплывающая
подсказка
Назначение кнопки
[9]
rsl .... . . . . '.6 .. .. ..
l&
iI:
-; -<. ' '- .-
-> < .
Ер . "
F%l . . . .. . '
EJ
.. ....
..;
i.:f "
р >,
[]J
.. '"
:.
".с>", "
.' ,
New M-File
Ореп File
Save
Cut
Сору
Paste
Uпdо
Redo
Print
Fiпd text
Show function
Setlclear
breakpoint
Clear all
breakpoints
Step
Step in
Step out
Создает новую вкладку с пустым окном ре-
дактирования и именем файла Untitled, за-
данным по умолчанию
Вызывает стандартное диалоrовое окно от-
крытия внешнеrо TeKcToBoro файла с диска.
При этом выбранный текстовый файл (напри-
мер, т-файл), заrружается в новую вкладку
редактора отладчика т файлов
Сохраняет изменеНИЯ в редактируемом файле
ВырезаеТ выделенный фраrмент из окна ре-
дактирования и помещает ero в буфер обмена
Копирует выделенный фраrмент из окна ре-
дактирования и помещает ero в буфер обмена
Вставляет фраrмент в позицию ввода окна
редактирования из буфера обмена
Отменяет выполнение последнеrо действия
Отменяет выполнение последней операции
Undo
Выводит на печать редактируемый файл
Вызывает окно справочной системы МА TLAB
Позволяет установить текущий каталоr
(папку), содержимое котороro будет отобра-
жаться в диалоrовых окнах открытия и сохра-
нения файлов на диске
Установить/отменить точку останова
Отменить все точки останова
Выполнение oAHoro шаrа трассировки
Пошаrовая трассировка С заходом в вызы-
ваемые т-файлы
Пошаrовая трассировка без захода в вызы
ваемые т-файлы
420
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Таблица 14.4 (окончание)
rрафическое
изображение
Всплывающая
подсказка
Run
Назначение кнопки
" , , j! , -'
Начать отладку или выполнение nporpaMMbI
Exit Debug
Mode
Stack
Завершить отладку nporpaMMbI
Стек функции
Кроме m файлов, в системе МА TLAB MorYT быть также использованы так назы
ваемые р файлы и МЕХ файлы. Первый тип файлов применяется для сокраще
ния времени выполнения m файлов посредством их предварительной компиля
ции в специальный бинарный формат. Второй тип файлов предназначен для
компиляции внешних файлов проrрамм пользователя, написанных на языках
проrраммирования С/С++ и Fortran. В обоих случаях применяются собственные
средства системы MATLAB, которые здесь не рассматриваются.
14.3. Пример nporpaMMbI,
расширяющей возможности
пакета нечеткой лоrики
Fuzzy Logic Toolbox
Пакет расширения Fuzzy Logic Toolbox содержит большое число функций, пред
назначенных для выполнения самых различных действий (см. пРUТlOженuе 3).
Анализ этих функций показывает, что среди них имеется специальная функция
fuzarith для выполнения операций нечеткой арифметики с нечеткими числами
и интервалами (см. 2лаву 5). В то же время отсутствует функция, которая позво
ляла бы выполнять базовые теоретико множественные операции снечеткими
множествами (см. 2лаву 3).
Поэтому в качестве примера разработки m файла рассмотрим следующий текст
nporpaMMbI, в которой реализована функция fuzoper, предназначенная для
выполнения теоретико множественных операций с нечеткими множествами и
расширяющая возможности системы МА TLAB в этом контексте. Для работы с
данной проrраммой ее текст следует набрать в редакторе отладчике и сохранить
в рабочем каталоrе пакета FlIzzy Logic Toolbox: C:\MATLAB6pI \toolbox\
fuzzy\fuzzy (если система MATLAB установлена на диске С:) в файле с именем
fuzoper.m.
rлава 14. ОСНОВЫ проrраммирования В среде МА ТLAB
421
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
function out fuzoper(x, А, В, operator)
% FUZOPER Нечеткие операции
% С FUZOPER(x, А, В, OPERATOR) возвращает нечеткое множество С
% как результат применения операции OPERATOR для нечетких множеств А
% и В на универсуме х.
% А, В,и х должны быть векторами одинаковой размерности.
% OPERATOR должен быть одной из следующих строк: 'miin', 'таип',
% 'alin', 'alun','boin', 'Ьоип' , 'drin', или 'drun'.
% Возвращаемое нечеткое множество С является вектором той же
% размерности, что А и В.
% Например:
% х 0:0.1:10;
% А trapmf(x, [1 2 3 5]); % трапециевидное нечеткое множе
% ство А
% В gaussmf(x, [2 5]); % нечеткое множество с rауссовой
% функцией принадлежности В
% С1 fuzoper(x, А, В, 'miin');
% subplot(2,2,1);
% plot(x, А, 'y ', х, В, 'т:', х, Cl, 'с');
% titlе('тiп пересечение нечетких множеств А и В');
% С2 fuzoper(x, А, В, 'таuл');
% subplot(2,2,2);
% plot(x, А, 'y ', х, В, 'т:', х, С2, 'с');
% titlе('тах объединение нечетких множеств А и В');
% С3 fuzoper(x, А, В, 'alin');
% subplot(2,2,3);
% plot(x, А, 'y ', х, В, 'т:', х, С3, 'с');
% titlе('алrебраическое пере сечение нечетких множеств А и В');
% С4 fuzoper(x, А, В, 'alun');
% subplot(2,2,4);
% plot(x, А, 'y ', х, В, 'т:', х, С4, 'с');
% titlе('алrебраическое объединение нечетких множеств А и В');
% Copyright (с) А.В.Леоненков, 2003
% Текст этоrо комментария адаптирует текст из комментария
% файла fuzarith.m
%
422 Часть 11. Нечеткое моделирование s среде МА ТLAB
36 xright length{x);
37 if strcmp{operator, 'miin'),
38 out min{A,B);
39 elseif strcmp{operator, 'таип'),
40 out mах{А,В);
41 elseif strcmp(operator, 'alin'),
42 out А. *В;
43 elseif strcmp(operator, 'alun'),
44 out A+B A.*B;
45 elseif strcmp(operator, 'boin'),
46 out max{A+B l,O);
47 elseif strcmp{operator, 'Ьоип'),
48 out min{A+B,l);
49 elseif strcmp(operator, 'drin'),
50 for i l:xright
51 if A{i) l.O,
52 out{i) B(i);
53 elseif B(i) l.O,
54 out(i) A(i);
55 else out(i) O.O;
56 end
57 end
58 elseif strcmp(operator, 'drun'),
59 for i 1:xright
60 if A(i) O.O,
61 out(i) B(i);
62 elseif B(i) O.O,
63 out (i) A{i);
64 else out{i) 1.0;
65 end
66 end
67 else
68 еrrоr{'Это неизвестная операция!');
69 end
Приведем некоторые пояснения к тексту данной проrраммы. Первая строка про
rpaMMbI объявляет функцию fuzoper (х, А, В, operator), которая должна
быть вызвана для выполнения операций над нечеткими множествами. При этом
переменная х предназначена для задания области определения соответствующих
нечетких множеств А и В. Исходные нечеткие множества А и В MorYT быть опре
rлава 14. ОСНОВЫ проrраммирования в среде MAТLAB
423
делены произвольными функциями принадлежности, значения которых пред
ставляются в виде числовых массивов одинаковой размерности с х.
Для указания типа нечеткой операции предназначен параметр operator. При
этом данный параметр может принимать одно из следующих строковых значе
ний (сокращение от первых двух букв названия на анrлийском):
О 'rniin' пересечение двух нечетких множеств .7l и 13 по формуле П1iп
intersection (3.3);
D 'rnаип' объединение двух нечетких множеств.7l и 13 по формуле тax unjon
(3.4);
D r alin r алrебраическое пересечение двух нечетких множеств .7l и 13 по
формуле algebl"ajc intersectjon (3.19);
r::J 'alun' алrебраическое объединение двух нечетких множеств .7l и 13 по
формуле algebrajc lInjon (3.20);
D 'boin r rраничное пересечение двух нечетких множеств .7l и 13 по формуле
bOllnd intel"section (3.31);
D 'Ьоип' rраничное объединение двух нечетких множеств .7l и 13 по формуле
bound union (3.32);
D 'drin r драстическое пересечение двух нечетких множеств .7l и 13 по фор
муле drastic intel"section (3.33);
D 'drun r драстическое объединение двух нечетких множеств .7l и 13 по фор-
муле drastic union (3.34) .
примечание
Если пользователь укажет Apyroe значение параметра operator, отличное от
перечисленных выше, то в окне команд будет выдано сообщение об ошибке:
"Uпkпowп fuzzy set operator!" (Неизвестный оператор для нечетких множеств).
Для этой цели предназначен отдельный оператор (строка 66). Сообщение об
ошибке будет выдано и в том случае, если одна из букв (или несколько) будут
набраны в верхнем реrистре.
Строки 2 35 являются комментарием к тексту nporpaMMbI и отображаются в
окне команд при вызове справки по данной функции командой help fl1zoper
(до первой строки собственно тела nporpaMMbI).
Проверить работу этой функции можно следующим простым способом. Скопи
ровать строки 11 31 в буфер обмена, открыть редактор отладчик и вставить
выделенный фраrмент во вновь открытом файле. После чеrо следует убрать сим
вол комментария у всех строк и, сохранив данный текст во внешнем файле с
расширением .т в одном из рабочих каталоrов системы МА TLAB, нажать кноп
ку Run (Выполнить) на панели инструментов редактора отладчика. Вместо по
следней операции альтернативно можно ввести имя этоrо файла в окне команд.
424
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
примечание
Данный способ тестирования функций может быть рекомендован для всех
стандартных m файлов, большинство из которых содержат примеры аналоrич
но рассматриваемому примеру.
Результат выполнения данноrо TecToBoro примера изображен на рис. 14.9. Сле
дует заметить, что предварительно в рабочий каталоr C:\MATI AB6pl\toolbox\
fuzzy\ fllzzy должен быть помещен m файл fuzoper.m с текстом рассматриваемой
проrраммы.
'ь,'I: " ;: f;ti fr Щ > ; 1 ; ;\1:" ': ;;
min-intersection fuщ sets А апд 8
t ' '
a ;<{
.;..:_. ';-:'-j :>
0:8
O:Q
0.4
0.2
'O ,
О
0.6
0.4
i;0.2
19 ::
algebrai<:. uлiоп fUZZy setsAand'S
.1 ..., '
08
. а.б
ОА
., 10,:
./о..;'
\.: '
\'
\
,
,
algebraic intersecti6i1 fuzZ'i'sets A4 rjd 8
1 . ....., ' ..
О.е
Qi6:
0.4
Рис. 14.9. Результат выполнения TeCTOBoro примера
рассматриваемой проrраммой fuzoper.m
Собственно тело проrраммы состоит из строк 36 69. При этом переменная с
именем xright служит для указания общей размерности массива переменной х.
Далее следует последовательная проверка условий на значения параметра
operator, который определяет математическое выражение для вычисления pe
зультата соответствующей операции с нечеткими множествами. При. этом для
проверки совпадения двух строк используется функция strcrnp, которая возвра
rлава 14. ОСНОВЫ проrраммирования В среде МА ТLAB
425
щает значение "истина" или 1, если сравниваемые строки идентичны (с учетом
реrистра), и значение "ложь" или О в противном случае.
Примечание
в качестве упражнения можно рекомендовать дополнить указанную проrрамму
реализацией бинарных операций разности и симметрической разности нечет
ких множеств (см. алаву З).
Таким образом, рассмотренный пример иллюстрирует одну из наиболее мощных
и rибких возможностей системы MATLAB по расширению своей базовоЙ функ
циональности за счет дополнительной разработки и включения в ее состав спе
циальных m файлов. Более Toro, представлением результатов научных и при
'кладных исследований в форме m файлов достиrается необходимая унификация в
понимании этих результатов друrими специалистами.
Именно по этой причине язык проrраммирования m файлов системы МА TLAB
при обретает растущую популярность в качестве независимоrо от вычислитель
ной платформы, компиляторов и библиотек средства разработки и документи
рования вычислительных алrоритмов и процедур в различных областях Teope
тической и прикладной математики.
rлава 15
: ' .' ::..,
i /; .
.-.,' , ..,;,..
. 'H' "" .
< ,И. О'',, ;' ""o.1ii о
-' ;.м.'::
..........._ ........ ... ...
ОСНОВЫ нечетких
нейронных сетей
Основным компонентом рассмотренных ранее средств системы МА TLAB в paM
ках пакета Fuzzy Logic Toolbox является база правил нечетких продукций, KOTO
рая занимает центральное место в процедурах нечеткоrо вывода. В то же время
сушествуют целые классы прикладных задач, в которых выявление и построение
правил нечетких продукций невозможно или связано с серьезными трудностями
концептуальноrо характера. К таким задачам относятся задачи распознавания
образов, экстраполяции и интерполяции функциональных зависимостей, клас-
сификации и проrнозирования, нелинейноrо и ситуационноrо управления, а
также интеллектуальноrо анализа данных (Data Mining).
Обшей особенностью подобных задач является существование некоторой зави
симости или отношения, связывающеrо входные и выходные переменные модели
системы, представляем ой в форме так называемоrо "черноrо ящика" (см. 2лаву 1).
При этом выявление и определение данной зависимости в явном теоретико
множественном или аналитическом виде не представляется возможным либо по
причине недостатка информации о моделируемой проблемной области, либо
сложности учета мноrообразия факторов, оказываюших влияние на характер
данной взаимосвязи.
Для конструктивноrо решения подобных задач разработан специальный MaTe
маТический аппарат, получивший название llейРОllllЫХ сетей. Достоинством MO
делей, построенных на основе нейронных сетей, является возможность получения
новой информации о проблемной области в форме HeKoToporo проrноза. При
этом построение и настройка нейронных сетей осуществляется посредством их
обучения на основе имеюшейся и доступной информации.
Недостатком нейронных сетей является представление знаний о проблемной об
ласти в специальном виде, которое может существенно отличаться от возможной
содержательной интерпретации существующих взаимосвязей и отношений.
Нечеткие нейронные сети или rибридные сети по замыслу их разработчиков
призваны объединить в себе достоинства нейронных сетей и систем нечеткоrо
вывода. С одной стороны, они позволяют разрабатывать и представлять модели
систем в форме правил нечетких продукций, которые обладают наrлядностью и
простотой содержательной интерпретации. С друrой стороны, для ПОСТроения
правил неЧеТКИХ продукций используются методЫ нейронных сетеЙ, что является
(лава 15. ОСНОВЫ нечетких неЙРОННblХ сетей
427
более удобным и менее трудоемким процессом для системных аналитиков. В по
следнее время аппарат rибридных сетей повсеместно признается специалистами
как один из наиболее перспективных для решения слабо или плохо структуриро
ванных задач прикладноrо системноrо анализа.
В настоящей rлаве рассматриваются основные понятия l'ибридных сетей, а также
средства их разработки, предоставляемые системой MATLAB. В заключеНИе
приводятся при м еры задач, решаемых с помощью МОДелей адаптивных систем
нейро нечеткоrо вывода (ANFIS, Adaptive Neul"O Fuzzy Inference System) в среде
MATLABo
15.1. Общая характеристика
АNFIS"адапуивных систем
нейро"нечеткоrо вывода
История исследований в области нейронных сетей берет свое начало с 1943 [.,
коrда У. Маккалох (W. McCLllloch) и У. Пипс (W. Pitts) предложили первую MO
дель нейрона и сформулировали основные принципы функционирования rолов
Horo мозrа человека. Первые результаты в теории нейронных сетей связывают с
появлением в период 1960 1970 rr. различных моделей искусственных нейронных
сетей, которые были предложены в работах В. Уидроу (W. Widrow).
К. Штайнбуха (К. Steinbllch), М. Минскоrо (М. Minsky) и С. Пейперта (S. Papert).
Однако началом cOBpeMeHHoro этапа развития нейронных сетей принято считать
1982 r., коrда американским математиком Дж. Хопфилдом (J. Hopfield) был раз
работан специальный класс нейронных сетей и предложены методы их обучения.
Рост популярности нейронных сетей связан с появлением первых коммерческих
проrраммных средств, позволяюших осуществлять построение соответствующих
моделей для решения различных прикладных задач. Не является исключением и
система МА TLAB, в состав которой входит специальный пакет расширения
NeU1°al Netwo1"k Toolbox. Этот пакет содержит средства, предназначенные для
проектирования, моделирования, обучения и использования различных вариан
тов искусственных нейронных сетей, начиная с простейшей МоделИ персеl1трона
и заканчивая моделями ассоциативных и самоорrанизующихся сетей.
Поскольку рассмотрение возможностей этоrо пакета является самостоятельноЙ
темой и выходит за рамки тематики настоящей книrи, ниже описываются только
особенности построения и использования rибридиых сетей, реализованные в
пакете Fuzzy Logic Toolbox.
Понятие нейронной сети
и основные способы ее задания
к настоящему времени предложено и изучено большое количество вариантов и
разновидностей нейронных сетей. Для рассмотрения моделей rибридных сетей
необходимо дать некоторое общее определение нейронной сети (более точно
428
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
искусственной нейронной сети), которое послужит основой для последующеrо
определения модели нейро нечеткоrо вывода. При этом с особенностями функ
циональноrо представления биолоrических нейронов и общей проблематикой
Теории нейронных сетей можно более подробно ознакомиться в специальной
литературе, которая приводится в конце книrи.
Концептуальной основой и составной частью искусственных нейронных сетей
является так называемый искусственный неЙрон, который имеет определенную
внутреннюю структуру (рис. 15.1) и правила преобразования сиrналов.
."\:1
."\:
.
",'
"--'
s
у
.'1:"
...
l'l
Рис. 15.1. Структура искусственно,о нейрона
Искусственный нейрон (далее просто нейрон) состоит из умножителей (синап
сов), сумматора и нелинейноrо преобразователя. СИllапсы, изображаемые пере
черкнутым кружком, предназначены для связи нейронов между собой и YMHO
жают входной сиrнал X j на некоторое постоянное чнсло. Это число и,'j, называе
мое весо.м сиuаllса, характеризует силу этой связи. Сумматор выполняет
сложение всех сиrналов, поступающих на вход нейрона от друrих нейронов, и
внешних входных сиrналов. НеЛllllеiшыu преобразователь предназначен для He
линейноrо изменения выходноrо значения сумматора соrласно некоторой функ
ции от одноrо aprYMeHTa. Эта функция называется функциеЙ аКflluвацuи или пepe
даточной фРllкциеЙ нейрона.
Правила преобразования сиrналов определяются математической моделью нейро
на, которая может быть записана в форме следующих аналитических выражений:
п
S =: L,w; 'Х; +Ь;
i=1
(15.1 )
у == I(s),
(15.2)
rде.Wj вес синапса (iE{I,2,...,n}); b значение смещения; s результат CYM
мирования; Х; компонент вектора входа или входноrо сиrнала (iE {1 ,2,..., п});
у выходной сиrнал нейрона; 11 число входов нейрона; 1 функция актива
rлава 15. ОсновЬ1 нечетких нейроннЬ1Х сетей
429
ции (передаточная функция) нейрона, представляющее собой некоторое нели
нейное преобразование. В общем случае: И'j, X j , bE/R (iE {1 ,2,..., п}).
Синаптические связи с положительными весами WjE/R+ (iE {1,2,..., п}) называются
возбуждающими, а с отрицательными весами ИJiЕ/R (iE {1 ,2,..., п}) mор_мозящими.
Таким образом, отдельно взятый искусственный нейрон полностью описывается
своей структурой (см. рис. 15.1) и математической моделью (l5.1) (l5.2). Полу
чив вектор входноrо сиrнала х, нейрон выдает некоторое число у на своем BЫXO
де. В качестве функции активации нейрона MorYT быть использованы различные
нелинейные преобразования (табл. 15.1).
Таблица 15.1. Основные виды функций активации нейронов
Название Формула Область
значений
Линейная f(8) == k . 8 IR
Полулинейная {О. если 8 О IR+
f(8) == если 8 > О
k '8,
Пороrовая {О. если 8 < Т {О,1}
f(8) == если 8 Т
1.
Модульная f(8) ==1 8 I
Знаковая { I если 8 Т { 1, 1}
(сиrнатурная) f(8) == ' если 8 > Т
1,
Квадратичная 2 IR+
f(8) == 8
Экспоненциальная f(8) == e a's IR+
Синусоидальная f(8) == sin(8) [ 1, 1]
Лоrистическая I (О, 1)
(сиrмоидальная) f(8) == 1 + е a's
Рациональная 8 ( 1, 1)
f(8) ==
(сиrмоидальная) a+181
rиперболический TaHreHC a.s a's ( 1, 1)
f(8) == е e
(сиrмоидальная) e a . s + е a's
430
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Таблица 15.1 (окончание)
Название Формула Область
значений
Линейная с насыщением j 1 если s $ 1 [ 1, 1}
(шаrовая) I(s) == s,' если 1 < s < 1
1, если s ?: 1
Полулинейная с насыщением jO. если s $ О [О, 1]
I(s) == s, если О < s < 1
1, если s ?: 1
Треуrольная {I I sl, если I s 1$ 1 [О, 1}
I(s) == если I s 1> I
О,
Радиальная базисная 2 (О, 1]
(rayccoBa) I(s)=e s
НеЙРОllllая сеть представляет собой совокупность отдельных нейронов, взаимо
связанных между собой некоторым фиксированным образом. При этом взаимо
связь нейронов определяется или задается структурой (тОllОЛО211ей) нейронной
сети. С точки зрения тополоrии нейронные Сети MorYT быть полносвязными,
мноrослойными и слабосвязными. В общем случае структура мноrослойной
или мноrоуровневой нейронной сети может быть изображена следующим обра
зом (рис. 15.2).
ВХОД
Уровень 1
Уровень 2
Уровень 3
Рис. 15.2. Структура мноrоуровневой (трехуровневой) нейронной сети
rлава 15. Основы нечетких нейронных сетей
431
Каждый из уровней нейронной сети называется ее слоем. При этом слой BXOДHO
[о уровня называется входным слое,м, слой уровня 1 и 2 скрытыми слоями, а
слой уровня 3 выходным слоем.
В свою очередь мноrослойные нейронные сети MorYT быть следующих типов.
О Монотонные КаЖДЫЙ слой (кроме выходноrо) дополнительно разбивается
на 2 блока: возбуждающий и тормозящий. Аналоrично разбиваются и свя
зи между блоками: на возбуждающие и тормозящие. При этом в качестве
функций активации MorYT быть использованы только монотонные функции
(см. табл. 15.1).
О Нейронные сети с обратными связями информация с последующих слоев
может передаваться на нейроны предыдущих слоев.
О Нейронные сети без обратных связей информация с последующих слоев не
может передаваться на нейроны предыдущих слоев. Классическим вариантом
мноrослойной нейронной сети является полносвязная сеть прямоrо распро
странения (см. рис. 15.2).
Процесс построения и использования нейро сетевых моделей состоит из сле
дующих этапов:
1. Выбор типа и структуры нейронной сети для решения поставленной пробле
мы (синтез структуры нейронной сети).
2. Обучение нейронной сети (определение ЧислеННЫХ значений весов каждоrо из
нейронов) на основе имеющейСЯ информации о решении данной задачи экс
пертом или данных о решении задачи в прошлом.
3. Проверка нейронной сети на основе использования HeKoToporo контрольноrо
примера (необязательный этап).
4. Использование обученной нейронной сети для решения поставленной про
блемы.
В настоящее время предложены различные схемы классификации нейронных
сетей и соответствующие алrоритмы их обучения. Одним из самых распростра
ненных алrоритмов обучения является так называемый алrоритм обраmНО20 pac
nросmраненuя ошибки (back propagation). Этот алrоритм представляет собой ИТе
ративный rpадиентный алrоритм минимизации среднеквадратичноrо
отклонения значений выхода от желаемых значений (минимизации ошибки) в
мноrослойных нейронных сетях.
Выбор вида и структуры нейронной сети предопределяется спецификой решаемой
задачи. При этом для решения отдельных типов практических задач разработа-
ны оптимальные конфиrурации нейронных сетей, которые наиболее адекватно
отражают особенности соответствующей проблемной области. Дальнейшим
развитием нейронных сетей являются так называемые rибридные сети, которые
реализованы в пакете Fuzzy Logic Toolbox системы MATLAB.
432
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
rибридная сеть как адаптивная система
нейро-нечеткоrо вывода
ruбрuдllая сеть представляет собой мноrослойную нейронную сеть специальной
структуры без обратных связей, в которой используются обычные (не нечеткие)
сиrналы, веса и функции активации, а выполнение операции суммирования
(15.1) основано на использовании фиксированной T HOpMЫ, T KOHOpMЫ или не-
которой друrой непрерывной операции. При этом значения входов, выходов и
весов rибридной нейронной сети представляют собой вещественные числа из
отрезка [О, 1].
Основная идея, положенная в основу модели rибридных сетей, заключается в
том, чтобы использовать существующую выборку данных для определения па
раметров функций принадлежности, которые лучше Bcero соответствуют неко-
торой системе нечеткоrо вывода. При этом для нахождения параметров функций
принадлежности используются известные процедуры обучения нейронных сетей.
В пакете Fuzzy Logic Toolbox системы MATLAB rибридные сети реализованы в
форме так называемой адаптивной системы нейро нечеткоrо вывода ANFIS.
С одной стороны, rибридная сеть ANFIS представляет собой нейронную сеть с
единственным выходом и несколькими входами, которые представляют собой
нечеткие линrвистические переменные. При этом термы входных линrвистиче-
ских переменных описываются стандартными для системы МА 11.АВ функциями
принадлежности, а термы выходной переменной представляются линейной или
постоянной функцией принадлежности.
С друrой стороны, rибридная сеть ANFIS представляет собой систему нечеткоrо
вывода FIS типа CyreHo нулевоrо или первоrо порядка, в которой каждое из пра
вил нечетких продукций имеет постоянный вес, равный 1. В системе МА TLAB
пользователь имеет возможность редактировать и настраивать rибридные сети
ANFIS аналоrично системам нечеткоrо вывода, используя все рассмотренные
ранее средства пакета Fuzzy Logic Toolbox.
15.2. Реализация ANFIS в среде MATLAB
в пакете FlIzzy Logic Toolbox системы МА TLAB rибридные сети реализованы в
форме адаптивных систем нейро-нечеткоrо вывода ANFIS. При этом разработка
и исследование rибридных сетей оказывается возможной:
О в интерактивном режиме с помощью специальноrо rpафическоrо редактора
адаптивных сетей, получившеrо название редактора ANFIS;
О в режиме командной строки с помощью ввода имен соответствующих функ
ций с необходимыми арrументами непосредственно в окно команд системы
МА TLAB. ДЛЯ работы в режиме командной строки предназначены специаль-
ные функции (см. прuложеlluе З).
Редактор ANFIS позволяет создавать или заrружать конкретную модель адап-
тивной системы нейро нечеткоrо вывода, выполнять ее обучение, визуализиро
rлава 15. ОСНОВЫ нечетких нейронных сетей
4ЗЗ
вать ее структуру, изменять и настраивать ее параметры, а также использовать
настроенную сеть для получение результатов нечеткоrо вывода.
fрафический интерфейс редактора ANFIS вызывается функцией anfisedit из
командной строки (рис. 15.3).
O' f;- !' ; ;:;i;; : "; ;'::"'k . ;6:' "'!
(;0:8. "' .;
"
Generate AS ..:1:r n$S:. '.
" . ;; . ' . ' . 'I. . f d ""' fro ; m Ф d ' I ' s ';: " ' ;: :, : , : : ; :,, : , ' , ,' , ; , : . . . .. , ;... . . . . , ': . ; ., ..: qpti MEi(ho.d.::
" ... ..... ' l fuI6r,щ .. .. , Ы
"" . ...',' :; .; { f оiф<f'''''',iЩ'
" .. . . . . . : .; .. ,. . . :.. ' .. . . :,.. ,;,, : : . : :, . . b.. : . ' . . : : . . . .eт . . . . . . : ,: . .. . . .. -:..._... .. ._.. . ' . . ... ' . : . .; .. ' . ;' . : . : . ' 1 ;; ....... ' . ; . . ' r э-. E .. . . .
. '.;.'i- - . -Do» 1 ,\ },;2 ''' r ,' j 'J ..rn =:; j
:'-i\ .:Т tFI : :
: :'r,:;f c .:.
: :f. :t;: 6
[t; ;,)
" ';',':r.est'fqQW; "':' " I .
, n ; ; j::;.::.:.)..'::;:,:,.:;:;; ,:.:i: :.::, :..,; о,: '.
J> .
., ......:. I { ::..y,... 'т.,'
. .;';;. .;; ; ! 't: <С, .. f;I lp'.
+ ' .С
" .'
': <;10$ ei, " {l
Рис. 15.3. rрафический интерфейс редактора ANFIS,
вызываемый функцией anfisedit
fлавное меню редактора ANFIS достаточно простое и предназначено для рабо
ты с предварительно созданной системой нечеткоrо вывода. Основную часть
rpафическоrо интерфейса занимает окно визуализации данных, которое распо
ложено ниже rлавноrо меню. Для вновь создаваемой rибридной сети 'Это окно не
содержит никаких данных.
Для создания rибридной сети необходимо заrpузить данные. Для 'Этой цели сле
дует воспользоваться кнопкой Load Data в левой нижней части rрафическоrо
окна. При этом данные MorYT быть заrружсны из внешнеrо файла (disk) или из
рабочей области (worksp.). В первом случае необходимо пр дварительно создать
файл с исходными данными (файл с расширением .dat), который представляет
собой обычный текстовый файл. При этом исходные данные представляют co
434
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
бой обычную числовую матрицу размерности т Х (Il+ 1), в которой количество
строк т соответствует объему выборки, первые п столбцов значениям BXOД
ных переменных модели, а последний столбец значению выходной перемен
ной. Соrласно правилам системы MATLAB отдельные значения матрицы OTдe
ляются пробелам и, а каждая строка матрицы завершается символом "перевод
каретки" (клавиша <Enter».
Примечание
Хотя по количеству строк матрицы исходных данных не существует формальных
рекомендаций, принято считать, что качество обучения rибридной сети, а, следо
вательно, и точность получаемых результатов пропорционально зависит от объ
ема обучающей выборки. Что касается количества столбцов матрицы исходных
дaH ЫX. то следует отметить возможные проблемы с работоспособностью систе
мы MATLAB. если количество входных переменных превышает .
Заrружаемые исходные данные MorYT быть одноrо из следующих типов:
D обучающие данные (Training) обязательные данные, которые используются
для построения rибридной сети;
D тестовые данные (Testing) необязательные данные, которые используются
для тестирования построенной rибридной сети с целью проверки качества
функционирования построенной rибридной сети;
D проверочные данные (Checking) необязательные данные, которые исполь
зуются для про верки построенной rибридной сети с целью выяснения факта
переобучения сети;
D демонстрационные данные (Demo) позволяют заrрузить один из дeMOHCT
рационных примеров rибридной сети.
Так, например, в папке C:\MATLAB6pl\toolbox\fuzzy\fllzdemos имеется два фай
ла fuzex 1 trnData.dat и fuzex 1 chkData.dat, которые MorYT быть использованы для
иллюстрации приемов разработки rибридных сетей с помощью редактора
ANFIS. Первый из этих файлов содерЖИТ обучающие данные, для редактирова
ния которых может быть использован любой текстовый редактор, например,
блокнот (рис. 15.4) или редактор отладчик m файлов системы MAТLAB.
После заrрузки обучающих данных из файла fuzex 1 trnData.dat их структура бу
дет отображена в рабочем окне редактора ANFIS (рис. 15.5).
При этом каждой строке данных соответствует отдельная точка rрафика, KOTO
рая для обучающих данных изображается кружком. На rоризонтальной оси YKa
зываются порядковый номер (индекс) отдельной строки данных, а вертикальная
ось служит для указания значений выходной переменной. В случае рассматри
BaeMoro примера используется 25 точек обучающих данных.
Второй из файлов содержит проверОlшые данные, для редактирования которых
также может быть использован любой текстовый редактор. Поскольку тестовые
данные для данноrо примера отсутствуют, то в редактор ANFIS следует зрrру
зить проверочные данные из файла fuzex 1 chkData.dat. Для этоrо необходимо
rлава 15. ОСНОВЬ! нечетких неЙРОННblХ сетей
435
изменить тип заrружаемых данных (Checking) и выбрать имя указанноrо файла
при заrрузке данных. В результате проверочные данные будут заrружены в pe
дактор ANFIS и изображены в рабочем окне (рис. 15.6).
4 tuzex1 trnDlltll.dllt Блокнот
;Щ JI'" . t!i? ,щ .1 f;1 J4 pe.aK
9.5999999999999996e eel
8_8eeeeeeeeeeeeeeee eel
8.eeeeeeeeeeeeeeeЦe eel
7.1999999999999997e eel
6_цeeeeeeeeeeeeeele eel
5.6eeeeeeeeeeeeee5e eel
Ц.7999999999999998e eel
Ц.eeeeeeeeeeeeeee2e eel
З.2ееееееееееееееlе ееl
2.З999999999999999е ееl
1.6eeeeeeeeeeeeeeee eel
8.eeeeeeeeeeeeeee2e ee2
е.еееееееееееееееее+еее
8.eeeeeeeeeeeeeee2e ee2
1 .6eeeeeeeeeeeeeeee eel
2.З999999999999999е ееl
З.2ееееееееееееееlе ееl
Ц.eeeeeeeeeeeeeee2e eel
Ц.7999999999999998e eel
5.6eeeeeeeeeeeeee5e eel
6.цeeeeeeeeeeeeeele eel
7.1999999999999997e eel
8.eeeeeeeeeeeeeeeЦe eel
8.8eeeeeeeeeeeeeeee eel
9.5999999999999996e eel
I!I[]D
;jj[:J ..
Ц.2ЗЗЗ875999999998е ееl
7.27ЦЗ98зееееееееlе ееl
7.1З56Ц67999999995е ееl
З.5зе691Цееееееееее ееl
З.1591221ееееееееЗе ееl
Ц.ЗЦ9ЗЦ95999999998е ееl
5.З151З16999999998е ееl
З.З781727ееееееееее ееl
З.1ЦЗ5еЦ5ееееееееее ееl
5.еЗ98978ееееееее5е ееl
8.1Ц19З7еееееееее2е ееl
5.72Ц757e999999997e eel
1 .9Ц81687eeeeeeeeee eel
5.9982Цl1eeeeeeee2e eel
5.8еЦ7678ееееееееЗе ееl
5.7Ц978цзееееееееЦе ееl
Ц.95Ц5Ц5цeeeeeeeeee eel
Ц.цe95162999999998e eel
Ц.еЗ29672ееееееееее ееl
Ц.ее9З566ееееееееЗе ееl
5.961917geeeeeeeeee eel
Ц.З882866999999998е ееl
Ц.gee687699999999ge eel
7.e86цe86eeeeeeeeЦe eel
Ц.9866З71999999999е ее2
i1J
;з
Рис. 15.4. Обучающие данные для демонстрации возможностей
обучения rибридной сети ANFIS
в этом случае исходный rрафик будет дополнен 26 точками проверочных дaH
ных, каждой строке которых также соответствует отдельная точка rрафика. изо
бражаемая плюсом. На rоризонтальной оси указываются порядковый номер
(индекс) отдельной строки данных, а вертикальная ось служит для указания зна
чений выходной переменной. В случае рассматриваемоrо при мера используется
25 точек обучающих данных.
После подrотовки и заrрузки обучающих данных можно сrенерирова1Ъ CTPYKTY
ру системы нечеткоrо вывода FIS типа CyreHo, которая является моделью rиб
ридной сети в системе МА TLAB. ДЛЯ этой цели следует воспользоваться кноп
кой Generate FIS в нижней части рабочеrо окна редактора. При этом две первые
опции относятся к предварительно созданной структуре rибридной сети, а две
последних к форме разбиения входных переменных модели.
436
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
.) Anl,s Edilor: Unlilled
, 1," ,,}' \ ..
I!I[][J
о
000 о
0000 00
о
00 00
00 о
о
., - _. . >
. . . .
I fi ',: ::,' , ! ;_,::' 'j.": :';.i: ; ii: .::;' ;:A;:, ;} . ' . . . . ' . " . ... . . . ... . ;: . . ' . - . : . '. _ : TJ .':; + . ' . H . . . . . . ; .. ... .. . . . . . ; . . . :: . . . .: . ' . I . : . . . ': : _ .. . . : . ":::0 . ' . . . . . . ; . .: . : . . : . ' . r; . .: . . . I .. j :
",'-' ".>., .-.', ? . '.: :-"5 ; '.. ,...... '". ". '-", ;-: ._ , О')": ' --, '. ..' '. ' > .
i:; . jj. r.;.:: "rrt:. ,i*: :;;;
' i j i !(. :
Рис. 15.5. rрафический интерфейс редактора ANFIS
после заrрузки файла с обучающими данными fuzex1trnData.dat
Заrрузить структуру уже созданной FIS можно либо с диска (Load from disk), ли
бо из рабочей области (Load from worksp.). При создании структуры новой FIS
можно независимо разбить все входные переменные на области их значений
(Grid раrtitiоп) или воспользоваться процедурой субтрактивной кластеризации
для предварительноrо разбиения значений входных переменных на кластеры
близких значений (Sub. сlustеriпg).
После нажатия кнопки Gепеrаtе FIS вызывается диалоrовое окно с указанием
числа и типа функций принадлежности для отдельных термов входных перемен
ных и выходной переменной (рис. 15.7). В этом случае можно выбрать любой
тип функций принадлежности из реализованных в системе МА TLAB и paCCMOT
ренных ранее (см. 2лаву 12).
После rенерации структуры rибридной сети можно визуализировать ее CTPYKTY
ру, для чеrо следует нажать кнопку Structure в правой части rрафическоrо окна.
Структура полученной в результате системы нечеткоrо вывода FIS отображается в
отдельном окне и достаточно тривиальна по своему виду (рис. 15.8).
Для рассматриваемоrо примера система нечеткоrо вывода содержит одну вход-
ную переменную с 4 термами, 4 правила нечетких продукций, одну выходную
переменную с 4 термами. Компоненты системы FIS изображаются узлами соот-
ветствующеrо цвета. При этом узел с нормализующим коэффициентом для пра
вил на рис. 15.8 не указан.
rлава 15. ОСНОВЬ! нечетких неЙРОННblХ сетей
437
:.) Anf'5 Edltor tJntitled
.:п..:
:::tDEJ
G 'fjS" '"
I : # ! ;'{C
,--,.;-'-.';'! ,... ' """, .. '<
, .,. ,.' . _ ;: ;, ' j ;} :1 O
. " . f ' I ";; .:;; .:....;: .;.. _.. . . . I
:", IJ, :;:'::Re '?'; " 6 ' . :"ac; ; ;' J .
Рис. 15.6. rрафический интерфейс редактора ANFIS
после заrрузки файла с проверочными данными fuzex1 chkData.dat
) .
. aQP
';; 'f l>-!.. .
.-I---
'r , i9n'l1 Щеrеl1t
,: ..
1i ] 7 Д'":.';
: . " . . .. . .. ...... >.: ,.. .. MfTyp . . е.
.. ' "';_ ,: 0'-
.... 7 ..; -' _.. #"
,. .. ..
. n'$_ i.
. ' '
i j ; .
x: I .:: k :
;'р .; \ ,; .. ..:;:1 1
-c:...:"i'.;
." .;: ;. ,,)014' .
Рис. 15.7. Диалоrовое окно ДЛЯ задания количества
и типа функций принадлежности
438
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Ш ШС" _....."
E:lL:.J к.3
'inputmt'
"
,1: i} 'r'
rillii с,
lj;iutputmf"./
:,, ;' ihрЩ ." "
I ; O eCcbn d ;. ee Jed' .
J iiЪя .
'.' 'or.;, .
. . по! " '
opa te , 1
Help'
j t : ,.':qQS$' '
" ' { :
Рис. 15.8. Структура сrенерированной системы нечеткоrо вывода
Перед обучением rибридной сети необходимо задать параметры обучения, для
чеrо следует воспользоваться следующей rруппой опций в правой нижнеЙ части
рабочеrо окна:
1. Выбрать метод обучения rибридной сети обратноrо распространения
(backpropo) или rибридный (hybrid), представляющий собой комбинацию Me
тода наименьших квадратов и метода убывания обратноrо rрадиента.
2. у становить уровень ошибки обучения (Error Tolerance) по умолчанию зна
чение О (изменять не рекомендуется).
3. Задать количество циклов обучения (Epochs) по умолчанию значение 3
(рекомендуется увеличить и для рассматриваемоrо примера задать ero значе-
ние равным 40).
Для обучения сети следует нажать кнопку Тrаiп Now. При этом ход процесса
обучения иллюстрируется в окне визуализации в форме rрафика зависимости
ошибки от количества циклов обучения (рис. 15.9).
В этом случае на верхнем rрафике изображена зависимость ошибки проверки от
Количества циклов обучения, а на нижнем rрафике зависимость ошибки обу
чения от количества циклов обучения (знаком "*").
Аналоrично MorYT быть выполнены дополнительные этапы тестирования и про
верки rибридной сети, для которых необходимо предварительно заrрузить COOT
ветствующие данные.
rлава 15. ОСНОВЫ нечетких нейронных сетей
439
.) Anfis Editor: Untltled
"Яlff:.':а.'lюi:Vtsw' о;'
.. I!I[]D
..
. '.
' . J _ ..
';:'rrainlng Error
ANFIS lnlo;"
,;; 6:16;
,:.S;" ,_' ".b ',. , _,_,д'_o
.:::::::::::::::::::: . ..........
*",
*+
*+
*"'",
""'*+***
35
I t)j'ih 5:1'
# t!f;рцtj:1,uts:'j
"tq!inpuip,f5:
:'4. .
., '90;1:
f '>?:3:
:;; H o :;
$':'
St uclufe I
CleiIrf=io\ , 1 ,
f ';: ! :i(,: Load оm;Щsk;
. i; r:::; :;; (o',; ;: ;,f''' Load1rom workSR.
. : ri ,:, (": $P;;' ',.r. 'grid p a rt!!l9F\
t'" . '" .. , . "r;si)b;dUsier1niP
.. "';; "; i , :" J i .Generete,AS;i.,
TrainFIS'
Opiim.Мethod:
. J bybrld ..=J .
Err'orT olerance:
1 0
E p ochs:
I O
Tes!FJS'
'Р!о! e-ge-inst;:
r Trainm9,dala
. ...:r 1'e5\ln,9 dqle
, r. Cl1ecking dala
1 ,
,ТrщпNow . 1
TestNow . , 1
1 ' 'o; O ;O:D' 6i':.:: ., :;,:: :"",:
-,., - .
,,>->,- ;.,.:.;,;- ! ,.' - .-.-
.; :':'. :"
,,:-:.';:" ([ :Ъ'He! ..' ''' 1 ,:; .
Close
.11
Рис. 15.9. rрафик зависимости ошибок обучения
и проверки от количества циклов обучения
Дальнейшая настройка параметров построенной и обученной rибридной сети
может быть выполнена с помощью рассмотренных ранее стандартных rрафиче
ских средств пакета Fuzzy Logic Toolbox (СА!. 2.ШВУ 12). Для этоrо рекомендуется
сохранить созданную систему нечеткоrо вывода во внешнем файле с расширени
ем fis, после чеrо следует заrрузить этот файл в редактор систем нечеткоrо BЫBO
да FIS (рис. 15.1 О).
При этом также становятся доступными редактор функций принадлежности сис
темы нечеткоrо вывода (Membership Fuпсtiоп EditOl-), редактор правил системы
нечеткоrо вывода (Rule EditOl-), проrрамма просмотра правил системы нечеткоrо
вывода (Rule Viewer) и проrрамма просмотра поверхности системы нечеткоrо
вывода ( Surface Viewel-).
примечан
в последних версиях системы МА TLAB вызов rрафических средств редактиро
вания и просмотра моделей FIS возможен непосредственно из rлавноro меню
редактора ANFIS.
Для исследования построенной модели rибридной сети можно воспользоваться
проrраммой просмотра правил (Rule Viewer). Для получения интересующеrо зна
чения выходной переменной необходимо задать конкретное значение входной пе
440
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
ременной (например, 0.5) аналоrично общим рекомендациям систем нечеткоrо BЫ
вода. При этом на rрафике функций принадлежности выходной переменной будет
указано искомое значение выходной переменной 0.451 (рис. 15.11).
.) FIS Edltor: fuzdemol
file . Ei:!,t"View
.....,::. ':r... "';...." '''',, ; ;
. ,. 'BDE]
.. ..i:t:".:..;,,;...y,::,
м
fuzdemo1
f(u)
(sugeno)
.iтut1
oulput
I . ;..';j i,:, u J"J
f,nd mi@Jщj ;-; .'
orf!'lвr.
Inmi' i?r;);f > '
9re atlOn .;, :'.
Qe.ull[ n.
' S&Ved FIS.hi2de!'l)Ol 'tOJi 1< ,;:
";" , "i i ;;l:; j {:} ,:: ]:::< ;', FI 't ;:i' ,:::: Ъ: , Я П(): ? ;jz:j;::::!,ii:;; r. .
i t рrаф" ;;;' y ,' QjiтS",'Ve,icl:!!(; " с: '! С' /'
I ' , ..=J N i\ei ,'".!.", :, .: 1 input1 , , !
' д J.:crr. . : ', 1 ; 1 , ' R , , ' , g ' "' , :.,/ ::; ;й < :;?;:' rl1 ;":"::;':); :';ц.\"
" " '." " , ...... " i,Н" :: ,,',> :" !.:ok;{MI6] :; H ;::;,
j :: "" H . н.r. " 1 '!,';{ "!!"i, ."" ,, . If
15\,'" "О ''<''", " "';; ; " :f :): [ ( l '
Рис. 15.10. rрафический интерфейс редактора FIS
дЛЯ сrенерированной системы нечеткоrо вывода
в дополнение к этому можно выполнить визуальный анализ поверхности вывода
для построенной rибридной сети, которая также позволяет оценить значения
выходной переменной. Выполнить анализ обученной и настроенной rибридной
сети можно посредством визуализации поверхности нечеткоrо вывода. Для этой
цели следует воспользоваться проrраммой просмотра поверхности системы He
четкоrо вывода (рис. 15.12).
Изображенная поверхность вывода может быть интерпретирована как rрафик
функциональной зависимости выходной переменной от входной для рассматри
BaeMoro примера табличноrо задания соответствующих пар значений. Как мож
но заключить из анализа даНноrо rрафика, эта зависимость характеризует HeKO
торый тренд.
Более подробно содержание отдельных этапов построения, обучения и настрой
ки rибридных сетей ANFIS будет описано далее при рассмотрении примера по
строения адаптивной системы нейро нечеткоrо вывода для решения задачи про
rнозирования на финансовом рынке.
rлава 15. ОСНОВЬ! нечетких неЙРОННblХ сетей
441
.) Rule Voewer: fUldemol Rr;JD
1 w. t , qpJ df :j y : ft; , . i :. . t. ! f > f : 'Ь ' ;: ; 1 ;\ :., _ : : : '
inpull = О 5
ошрut = о 451
u
2 C
3 I I
I t!
I
096 0.96 I L
59.47 5458
: $. I ;5 . . .
:1 : ", : ,\o, d 1";:t;:',; : .
. -, - . . .>" '. . > -.- ',-,
. . :.' ; ?,' :g ;:jlO1 11 gh: dо щ I :.
.,; .;;: : f\ f; ", ::;,:',.,: 11 'j ;: . T :' e ;'f '! 1I i
Рис. 15.11. rрафический интерфейс просмотра правил
сrенерированной системы нечеТКОrо вывода
e- e ::E" :. ' !":',.; : 6
0.8
О.Б
0.4
0,2
.,,1 :
.0.4.
.oi
.ов
.1
,1
.05
, . : . ;; ;i,: : 1 :";: . ,
: I SI.mp :: ;:' J . .
l яs 8dY " '. .;,:;::: ,;;;:}i :';;.,\
,.<С..-. :
' : .i..:
j'" /.
0.5
J ;n9 neN .
I .l
. . JJ ,
HII!p:' .1: 1 :
"C!cse. ,;'
; .- ;{'! >
-; -'}
Рис. 15.12. rрафический интерфейс просмотра поверхности
сrенерированной системы нечеткоrо вывода
442
Часть 1/. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
15.З.Пример решения задачи
нейро"нечеткоrо вывода
Для иллюстрации процесса разработки rибридной сети в системе MATLAB pac
смотрим задачу построения адаптивной системы нейро нечеткоrо вывода для
аппроксимации некоторой зависимости, которая описывается математической
функцией у=х 3 . Этот пример позволяет не только уточнить содержание и после
довательность этапов разработки, но и оценить точность полученной нечеткой
модели посредством сравнения проrнозируемых модельных значений с извест
ными заранее значениями соответствующей функции.
Общая последовательность процесса разработки модели rибридной сети может
быть представлена в следующем виде.
1. Для начала с помощью редактора отладчика m файлов подrотовим обучаю
щие данные, которые содержат 9 строк пар "значение входной переменной
значение выходной переменноЙ" следующеrо вида (рис. 15.(3). Сохраним обу
чающие данные во внешнем файле с именем fuпсtiоп.dаt.
:! С:\МАТLAEJБр1\work\luпctiоп.dо\ "" I!I[]IЗ
:fit8.: tc!jt;', .eW .Iex1> 'ОёtЩ ,'Б'fuh.lsPоit)t$ lIi !!Yi db;"'.. I ,.,<,:< ,;;",,,.'
> i ro' P.r . ' 't:,l;:r,:;' l:. .!;J2 .Д:;;l Аi1!ЕО Й I'1 df;: Ь :.;J .:;.2
'2 1. 5 з. 375 "
1.0 1.0
. o. 5 0.125
е О О
6 0.5 0.125
7 1.0 1.0
8 1.5 3.375
'Q 2.0 В.О
\
't -:
7
. 1..
.'; ' .',":"" ;':-" ?;["Lii 1:',"!':'СоjТ :7
,',
Рис. 15.13. Обучающие данные для примера построения rибридной сети ANFIS,
представляющей функцию }Fx3
2. Далее заrрузим этот файл с обучающими данными в редактор ANFIS
(рис. 15.14). В рабочем окне редактора будет изображен rрафик, форма KOTO
poro аналоrична исходной математической функции.
3. Поскольку в данном случае отсутствуют тестовые и проверочные данные,
можно сразу приступить к rенерации структуры системы нечеткоrо вывода
FIS. Установив параметры rенерации аналоrично ранее рассмотренному дe
монстрационному примеру (рис. 15.7), получим структуру FIS, вид которой
таКЖе совпадает с изображенной на рис. 15.8.
4. Теперь можно перейти к обучению сrенерированной системы нечеткоrо BЫ
вода. Для этоrо оставим без изменения предложенные системой MATLAB по
умолчанию метод обучения (rибридный) и уровень ошибки (О), а количество
циклов обучения изменим на 40. После обучения сети в рабочем окне peдaK
rлава 15. ОСНОВЫ нечетких нейронных сетей
443
тора ANFIS будет изображен rрафик изменения ошибки в ходе выполнения
отдельных циклов обучения (рис. 15.15).
) Anfis Edilor: fuпсlюп
'i i\1 : 1'.,"",R".""i "ilfeini q iQ"i")
, !lОЕ.1
..;"<
'...-.'" "
;'- .:;:: :
ANAS Info: ,-
Q': '
:'- < ;;;-;--'
{ . :S\l::"":
:;;Оf[!1 I,П:f;: '. ;
}#'о! 1n:iIл.оаtа "
p l: .: Э <' ,
:;;:"'" ;;jg1
; J\H
,g;; I; :
.. " :";'
; : ;: '
"J I\.
о
о
о
о
о
о
о
'7
8
9"
":.:';.,;'.
'..".:,,,,,,,,:/ "
'JiJ! Ptot, , 1 : '
'-« .
,; GJiШ'dаia
Туре; " " E.roni
i': ;;;
,' mi?[hg (:" disk,
: ,r. ting:: .;;' ., ,
; /' :с tюn (' ;:,,:;
,r:DefuQ [
" ;,(tjaqQOte::,,: ,., 'Q ar; ta. : 1 1 "
р.... ' e.d Q.1s
:;('" 'l.be.d frOriiwo'rk p.
..' Gfid'pМiliCiti
jr: b,dus i
. ,1'т6]", f;I8
9p rn;;МSthQd:
:, ' ! hyDril;k, . ..::.1
€OOf ТQlеrI'.ПG8:"
1 0
E p 6chs: ,,: "
1 з
Тез! FIS
',Plot зgЫi'isl:
'Со' ТfаiрiП9; ,etа,
('" Testingd ia
'(- Checking ,dtm1,
GE!п tеFts о..", I
,TrainNow,1
> ' j.!.J>':i 1' :
' I s ; ; (:;},' .
,:,: JI , Help " 1
"Clqse
Рис. 15.14. rрафический интерфейс редактора ANFIS после заrрузки файла
function.dat с обучающими данными
5. Выполнить анализ точности построенной нечеткой модели rибридной сети
можно с помощью просмотра поверхности соответствующей системы нечет
Koro вывода (рис. 15.16).
Визуальный анализ изображенноrо rрафика с точным rрафиком функции у=х 3
позволяет судить о достаточно высокой степени их совпадения, 'ПО может сви
детельствовать об адекватности построенной не'lеткой модели rибридной сети.
Анализ адекватности построенной модели можно выполнить с помощью про
смотра правил соответствующей системы нечеткоrо вывода (рис. 15.17).
Проверка построенной модели rибридной сети может быть выполнена для He
скольких значений выходной переменной. С этой целью необходимо ввести KOH
кретное значение в поле ввода Input (например, значение 1.1), после нажатия
клавиши <Entel"> с помощью построенной модели будет получено COOTBeTCT
вующее значение выходной переменной (в данном случае значеfiие 1.23). CpaB
нивая полученное значение с точным значением функции 1.331), получим OTHO
сительную ошибку порядка 8%.
444
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
RОrз
..... ::... ", .
". .;
: ;r.ki;; ]
.' ' ;: ; '''' if:.,]: ,:j ;1f; j;;U :. #i :il ; i;7:t(;2Q:' i; !
i ':{ f}
, i',L ii / t i, ef'6 : ! " ::,, ,<"", :
'- - .
- ...,- ".,...-. -o ' , !" ,'",: <.,' :;>'< '<, ._., > .. < , ,<.- .
I Et!Q.ch'40:ii'ror 6e 84мJ ,::' ,.',« , ",,,
",." , . ".. "" . .,. ,.,' ,'., " -
'T Ыn Ае('
. О ,:МаtiЮ , : ; Е:
, :ri ,;i
";'.: ,'1,'
:," :T't!lI\'N , l ' .1'estNQw" : f i
41 " ;";.:,,: '. :;', i .'( ::; :;':..: j!:r
Рис. 15.15. rрафик зависимости ошибки обучения от количества циклов обучения
i » Surfoce Viewer: function
:,Piie EiI ; ,YI,jw 9
,." r:r EI
8
. '\ >,
13
4
2
:'$
, ,
':О
о 0,5. 1
t, t ; f t':' 1;;i:::Й: ('D '; ; : :pn$:t),/, '
I ";;f:! pцe\., . iJ i .
I Re '.<, l1!' ; ," )1" .. :: "
ч
J - :!
: ; ,;' ? ц' 1
Рис. 15.1 б. rрафический интерфейс просмотра поверхности
сrенерированной системы нечеткоrо вывода
rлава 15. ОСНОВЫ нечетких нейронных сетей
445
:.: сз 'Х.
5 : 9 d . ;i 1t .lk. J:l flt k; ( J 1 1 € ; i
inputl '" 1.1
2
output = 1.23
О
I
I
I
I
з
66.65
f
;
{
!
66.65
' 1 k1P Ч i. i "j J pOrni : (101: ,,[ : i .itc l ' ri9 4
f blp i!, 4 !& .,:i>i;,.; {' <.;:"...;, :., \j: ', ;' : ?H," l jy::' l i: ;'j ; ' : 11 ;
Рис. 15.17. rрафический интерфейс просмотра правил
сrенерированной системы нечеткоrо вывода
Менее удачной оказывается проверка для значения входной переменной 0.1, для
KOToporo построенная модель предлаrает отрицательное значение o. 1 48. Оче
видно, данный факт свидетельствует не в пользу адекватности построенной He
четкой модели и требует ее дополнительной настройки.
В общем случае дополнительная настройка модели может быть выполнена He
сколькими возможными способами. Наиболее приемлемыми из них представля
ются следующие.
1. Подrотовка и заrрузка большеrо по объему выборки файла с обучающими
исходными данными.
2. Подrотовка и заrрузка дополнительноrо файла с проверочными исходными
данными, сформированными для пар значений рассматриваемой математиче
ской функции, отсутствующих В выборке обучающих данных.
3. Редактирование типов и значений параметров функций принадлежности Tep
мов входной и выходной переменных с помощью редактора функций при
надлежности системы MATLAB.
Про иллюстрируем третий способ дополнительной настройки построенной не-
четкой модели rибридной сети. На первый взrляд он представляется наиболее
естественным с точки зрения возможности визуальноrо контроля выполняемых
изменений параметров. С этой целью откроем редактор функций принадлежно-
сти и методом подбора изменим количественные значения параметров второй и
третьей функции принадлежности входной переменной, поскольку именно они
446
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
"работают" при получении HeKoppeKTHoro значения выходной переменной:
0.148 для значения входной переменной 0.2. (рис. 15.18).
Membership funclion plols
II!IOE1
';1h"C:,; ;?; /J>i l:: .;j! ;',
plolpoinls. 1181.,
inl f4
.) Membershlp functlOn Edilor: functlOn
File,,: ti!!.. V!iW! 0<.'
FIS VarlabIes
IZ:Z.I f(U)
inpull Оulри'
>. L->; I j'..
о
..
!
i. _ . . .l. . ..t.._ . , . ...!_ . ..
., ::, t, n с.
Gи;{ЕщtVariаЬlе
C4rr. t' mbe,r$hi .F,iI dh'(diCk ОП МF 10 selet;;t).
:,<"
Нете
, Inp(j11
:Ncme
t inlmf2
;.:......,
-;;H ,t"::
Pcrems
:. J [0.55 2 o 437)
i ];g .llmt
.:!J
Ror1gl!: "
!. ,
, i!'Jrз!rt i \H"f,
' i [ 2 2)
;rYf.J:e
Туре
'-, :t ::; :a
DISPI R e:;' 1 [ 22] . '. . 1 ,..:i.;H lp". :.: I 'С'.<С,
I Chal) i pOrcme iMMF' ' [Q;.Б5;JЩД.ё6 i<:' .. ;!;. .'< Y; </' ,. ((.."
- .., .
.,...( "-;:;.' ,
' 1 ' 1 :
"; l '
; .><Clоее"";,'.
Рис. 15.18. rрафический интерфейс редактора функций
принадлежности построенной системы нечеткоrо вывода
После изменения параметров в поле Params для второй функции принадлежно
сти на значения [0.55 2 0.437] и для третьей функции принадлежности на значе
ния [0.65 1.9 0.667] получим практически точное значение выходной переменной
для ИСХОД ноrо значения входно й переменной 0.2 (рис. 15.19).
Примечание
Данный способ редактирования параметров функций принадлежности не Bce
rда приводит к желаемому результату, поскольку оказывает влияние на друrие,
возможно правильные, значения выходной переменной. В этом можно убедить
ся, введя значение входной переменной, равное 0.1. Поэтому разработанная
нечеткая модель не может быть признана адекватной и требует дополнитель
ной модификации.
Более эффективным способом настройки, а точнее модификации, данной He
четкой модели оказывается первый. С этой целью увеличим объем обучающей
выборки до 17 пар значений, который сохраним в новом файле с именем
fllпсtiоп2.dаt (рис. 15.20).
rлава 15. ОСНОВЫ нечетких нейронных сетей
447
.) Rule Viewer: funclion
. И[] Х
:' : :i%9Pt! : :i $ :; '8 :: : ;:J ' ,: ; :':;i k ' ' : , - . ..; J 1 :'/ O' 5: e;'.. . <,
inpul1 = 0.2 .
2
output = 0.00799
"'
"
2
2
I
I
I I
'
I ,
.;.:,
I
з
[
66.65
6665
'\?' j"'<:- ":-' ;'.
1 зi : 11 o.1H .: i JeIt+righ1 f (! I.щ 11
". . . ...' - Т " - 1!rP._);'; I '";.6'Q e . 11
Рис. 15.19. Результат ручной настройки параметров функций принадлежности
входной переменной для рассматриваемой системы нечеТКQro вывода
! С\МД ПАВ Iiр1\work\fllПcliоп2.dв.t
E!! ;",; iI,.:i '. ;rext' :Щl:i, ,. ' Oillt ' 1ii *, ;& iii: ?,:::.;1'с"
f rr ""dЕ I[!!k:' ..!Н ,1<JЧ1 1Ъ!' I :Ш:С '
1.0 1.0
o. 6 o. 512
0.5 0.125
o. 4 o. 064
О О
0.4 0.064
0.5 0.125
О.а 0.512
1.0 1.0
1.4 2.744
1.5 3.375
l.а 5.632
2.0 8.01
:.,.."" .
; В[]Е!
"« ; : !
....:..: ,;.-.i.:::;'::,:..::.::::::1::".'
,
'1
'1
Рис. 15.20. Обучающие данные увеличенноrо объема ДЛЯ построения
rибридной сети ANFIS, представляющей функцию у=х3
448
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде д.!А ТLAB
После удаления всех ранее заrруженных данных кнопкой Clear Data заrрузим
новый файл с обучающей выборкой. При rенерации структуры новой FIS увели-
чим количество термов и, соответственно, количество функций принадлежности
входной переменной до 5, оставив их тип без изменения (gbellmf). Процесс обу-
чения выполним аналоrично ранее рассмотренному. В результате будет получе-
на новая система нечеткоrо вывода FIS, анализ которой показывает, что по
сравнению с первым вариантом нечеткой модели она более точно описывает ис-
ходную математическую функцию (рис. 15.21).
.) Rule Viewer: Untitled
- ',:,I; : :Yt .9ptjQ!'IS
!nput1 = 0.2
.. . .... " ' '''''' ' ''M ''''''' 7R[f13
output = 0.0769
2
.
.
3
I
4
'..
:....
.
5
.
.2
2
l
.104.2
104.2
-l i ' :J ,,о : <..,, .,... :..",.:,
t Q;;eh Ieii1U '5:iJr '_
-. -.......... ..' . .<-, ,
. : 1 01 p ! !: 1 Ol' ', IJ M ;: Jefi; l ght. , d < р."П :
,:"- . ' 11 "':'-:H; ; . 1 :, :,,;::- ;; , : I I :
Рис. 15.21. Результат построения новой модели рассматриваемой
системы нечеткоrо вывода
Действительно, для значений входной переменной 0.1, 0.2 и 0.3 с помощью дaH
ной модели будут получены значения выходной переменной, равные 0.0425,
0.0769 и 0.0956 соответственно. Для сравнения точные значения выходной пере-
менной для указанных значений входной переменной равны 0.001, 0.008 и 0.027
соответственно. В некоторой степени улучшение качества вновь построенной
нечеткой модели иллюстрируется rрафиком поверхности (рис. 15.22). который
более точно по сравнению с ранее полученным rрафиком (рис. 15.16) COOTBeTCT
вует исходной математической функции.
rлава 15. ОСНОВЫ нечетких нейронных сетей
449
.) Surffice Viewer: Untitled
lJ[]а
< J : ;
;; J iripМt1' "! '" "Y(inpui); " ,'; I nqrie" . ,:Z1 out pиt);
" j 15 " , :.: '(gridJi ) ... j 15",..;'"
{' j;
: 1 'f=I i: ;"x ; { ...
t "' , :}:; '< i:
.< .: ';;1
.=3= .'. ! '.'
1 0000Щ ' 1
,о, ,',,' """t...; I
. п . ;:tjeIP ,,'. 1 i', .CJose . п
I
,:'" ,. ..; 1. ,--, . ...:
., -..'''' . ;;-':
Рис. 15.22. rрафик поверхности вновь сrенерированной
и обученной системы нечеткоrо вывода
Хотя полученные ЗЩlчения все еще ОТЛllчаются от точных значений исходной
математической функции, выполненная модификация нечеткой модели позволи
ла исключить явно ошибочные значения выходной переменной, связанные со
знаком. Очевидно, проверка адекватности нечеткой модели для значений в ин
тер вал ах ( 0.4, О) и (О, 0.4) заведомо обречена на возможные проблемы, посколь
ку В этих интервалах отсутствуют значения среди обучающих данных.
Исключение подобных пропусков в обучающих данных может служить основой
для rенерации новой нечеткой модели, которую предлаrается читателям выпл
нить самостоятельно в качестве упражнения.
В заключение следует отметить, что даже простейшие рассмотренные примеры
отражают творческий характер процесса построения и анализа моделей rибрид
ных сетей. При этом выбор Toro или иноrо способа дополнительной настройки
нечетких моделей зависит не только от специфики решаемой задачи, но и от
объема доступной выборки обучающих и проверочных данных.
В случае недостаточной информации обучающих данных использование П1б
ридных сетей может оказаться вообще нецелесообразным, поскольку получить
адекватную нечеткую модель, а значит и точный лроrноз значений выходной
переменной не представляется возможным.
450
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Именно по этим причинам необходим предварительный анализ всех возможно-
стей применяемых нечетких моделей для решения конкретных задач в той или
иной проблемной области. Подобный анализ необходимо выполнять с систем
ной точки зрения и с учетом всех складывающихся на данный момент обстоя-
тельств. Только всесторонняя и полная оценка проблемной ситуации позволит
разработать адекватную модель решения той или иной конкретной задачи He
четкоrо управления или принятия решений.
rлава 16
Примеры разработки нечетких
моделей управления
в среде МА TLAB
Настоящая rлава посвящена рассмотрению двух конкретных примеров систем
нечеткоrо вывода в задачах управления и построению соответствующих нечет
ких моделей с использованием средств МА TLAB. При этом в ка",естве nepBoro
примера используется задача управления кондиционером в помещении, а в каче
erвe BToporo задача управления контейнерным краном. Содержательные no
становки этих задач были сформулированы ранее в славе 7.
16.1. Нечеткая модель управления
кондиционером воздуха в помещении
Напомним, что эта задача связана с процессом управления температурой возду
ха в помещении, в котором установлен бытовой кондиционер. Суть задачи co
стоит в том, чтобы сделать реrулировку кондиционера автоматической, обеспе
чивая постоянную температуру воздуха в помещении.
Для решения этой зада"ш в разд. 7.4 была построена база правил соответствую
щей системы нечеткоrо вывода, которая содержит 15 правил нечетких продук
ций следующеrо вида:
ПРАВИЛО I: ЕСЛИ "131 есть РВ" И "132 есть PS" ТО "l3зесть NB"
ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ "131 есть РВ" И "132 есть NS" ТО "l3зеСI/lЬ NS"
ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ "131 есть PS" И "132 есть PS" ТО "l3зесть NM"
ПРАВИЛО 4: ЕСЛИ "131 есть PS" И "132 есть NS" ТО "l3зеС/1lЬ Z"
ПРАВИЛО 5: ЕСЛИ "131 есть NB" И "132еСI11Ь NS" ТО "l3зеСI1lЬ РВ"
ПРАВИЛО 6: ЕСЛИ "131 есть NB" И "132еСI11Ь PS" ТО "l3зеС/J1Ь PS"
ПРАВИЛО 7: ЕСЛИ "131 есть NS" И "132еСI/lЬ NS" ТО "l3зеСI1lЬ РМ"
ПРАВИЛО 8: ЕСЛИ "131 еСI1lЬ NS" И "132 есть PS" ТО "l3зеСI1lЬ Z"
452
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
ПРАВИЛО 9: ЕСЛИ "(31 есть РВ" И "(32 есть Z" ТО "(3зеС/1lЬ NM"
ПРАВИЛО IО: ЕСЛИ "(31 есть PS" И "(32еСI1lЬ Z" ТО "(3з есть NS"
ПРАВИЛО ll: ЕСЛИ "(31 есть NB" И "(32 есть Z" ТО "(3зеСI11Ь РМ"
ПРАВИЛО 12: ЕСЛИ "(3. есть NS" И "(32 есть Z" то "(3зеСI11Ь PS"
ПРАВИЛО 13: ЕСЛИ "(31 есть Z" И "(32 есть PS" ТО "(3з есть NS"
ПРАВИЛО 14: ЕСЛИ "(31 есть Z" И "(32еСI1lЬ NS" ТО "(3зесть PS"
ПРАВИЛО 15: ЕСЛИ "(3. есть Z" И "(32 есть Z" то "(3зесП1Ь Z"
ДЛЯ сокращенной записи правил используются следующие обозначения: (31
первая входная линrвистическая переменная с именем "температура воздуха",
(32 вторая входная линrвистическая переменная с именем "скорость изменения
температуры воздуха", (3з выходная линrвистическая переменная с именем
"У20Л поворота ре2улятора". Для сокращения записи правил использованы также
символические обозначения значений отдельных термов переменных (см. табл. 7.1).
В качестве терм множества первой линrвистической переменной используется
множество ТI={"очень холодная", "холодная", "в пределах нормы", "теплая", "очень
теплая"}, которое записывается в СИМВОЛИ"lеском виде: n={NB, NS, Z, PS, РВ}.
В качестве терм множества второй линrвистической переменной используется
множество Т2= {" отрицательная", "равна нулю", "1l0ло;нсительная"}, которое за
писывается в символическом виде: T2={NS, Z, PS}. В качестве терм множества
выходной линrвистической переменной используется множество Тз={"очень
большой У20/1 влево", "БОЛblUОЙ У20Л влево", "неБОЛblUОй У20]l влево", "выключить
кондиционер", "неБОЛblUОй У20Л вправо", "большой У20Л вправо", "очень БОJlЫUОй У2Шl
вправо"}, которое записывается в символическом виде: Tз={NB, NM, NS, Z, PS,
РМ, РВ}. При этом функции принадлежности термов из ТI изображены на
рис. 7.19, функции принадлежности термов из Т2 изображены на рис. 7.20, а
функции принадлежности термов из Тз изображены на рис. 7.21.
Разработку нечеткой модели (назовем ее conditionel') будем выполнять с исполь
зованием rрафических средств системы MATLAB. С этой целью откроем peдaK
тор FIS и определим 2 входные переменные с именами "те-,,,тература" (131) и
"скорость" «(32) и одну выходную переменную с именем "У2ОЛ" «(33). Вид rрафиче
cKoro интерфейса редактора FIS для этих переменных изображен на рис. 16.1.
Поскольку мы используем систему нечеткоrо вывода типа Мамдани, оставим без
изменения тип, предложенный системой МА TLAB по умолчанию. Нет необхо
димости изменять и друrие параметры разрабатываемой нечеткой модели, пред
ложенные системой МА TLAB по умолчанию, такие как лоrические операции
(min для нечеткоrо лоrическоrо И, тах для нечеткоrо лоrическоrо ИЛИ),
методы импликации (min), аrреrирования (тах) и дефаззификации (centroid).
Далее следует определить функции принадлежности термов для каждой из пере
MeHHblx системы нечеткоrо ВЫвода. Для этой цели воспользуемся редактором
функций принадлежности системы МА TLAB. ДЛЯ первой входной переменной
следует добавить два дополнительных терма к трем, заданным по умолчанию. и
определить параметры соответствующих функций принадлежности. Численные
rлава 16. Примеры разработки нечетких моделей управления в среде MAТLAB 453
значения этих параметров можно взять из записи этой нечеткой модели на языке
FCL (см. zлаву 8). Вид rрафическоrо интерфейса редактора функций принад
лежности после задания первой входной переменной изображен на рис. 16.2.
-) flS Edltor conditioner
11, i 11!>:! ;:&
"[]Е!
IXX "
IMr /
(mamdani)
/fj;j
conditioner
TeMnep<lTypa
уrол
скорость
i>;;;H ';'%f (iib'ri .: i/,:;;i:!:, ..
· . i1X) ;) ! п' . ::+ JЩ
: ... . . A, ', . o . . . : . . : : . ' . , . . , . , '. . , . , .. . : . ' , ' . ; . . : . e, ' ; ' . , tI'ю . "'''I' , . . . ' . , . . . . . . ' " : ' , .. .. d , ' o ' , . on t 'i: ' , : . r , : : :: . " :': " : ' : " " ' : ; " .'. д . . , ' . ' ,. : . ' , : ,. .i ,, : ,: ' , . " . . : , ' ,: ' ".'" " . ' :"::i-' { :: , , '
;' ё:';, 1i 1 { ;, ,: ' t:,
, ,Не!Р
<» J '.
.'Y.! ;: :;:..
Рис. 16.1. rрафический интерфейс редактора FIS после определения входных
и выходных переменных разрабатываемой системы нечеткоrо вывода
Для второй входной переменной следует оставить 3 терма, заданные по УМОJIча
нию, и изменить только тип и параметры функций принадлежности. ДЛЯ BЫXOД
ной переменной следует добавить 4 терма к трем, заданным по умолчанию, и
задать параметры соответствующих функций принадлежности. Численные зна
чения этих параметров также берутся из записи этой нечеткой модели на языке
FCL (см. 2лаву 8). Вид rрафическоrо интерфейса редактора функций принад
лежности после задания выходной переменной изображен на рис. 16.3.
Примечание )
Выполнение операции добавления термов переменных в редакторе функций
принадлежности МА TLAB версии 6.1 может привести к нестабильной работе
системы. В этом случае для определения дополнительных функций принад-
лежности входных и выходных переменных следует воспользоваться функция-
ми командной строки, которые были рассмотренЬ! ранее в zлаве 12 для приме-
ра разработки нечеткой модели в командном режиме.
454
Часть 1/. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
.ИDD
.) t.4embership Function Ed,torc cond,lioner
Fil$, Ed ,. Vi '
FIS VanabIes
zт
температура уrол
2Ci;
скорость
CurreпtVMable
, Name
>J : '
туРе
Hang8
Ч isрf .I1YRмgв"':; 1 [О 40]
. "
..
<'
Membershlp funcllOn plots plol pOlnts. J1ё1
Z PS РВ
NB
NS
. .-..
()
i(
16
x
.: :
ТЕ!мперО1)'ра-
. ,.
п: ! Member : .tfj\'jdDn (C1IckSJ to fЭ!8.dJ.
f{ame
>-(,
':.-/.-
I Z"" ;;;"
inplJt
ТуРе'
.:.!J ,
I tЛinI'
...., 'i..,.
>"
I [О 40]
. 1 [1517520]
Pararns
1 :
Hr;tlp
" 1 :'
a6 .e: l}
:>., .. I
.;.
I Ch"rj9J gp 8n;el (for.t:1 .tQ [25;эо !iбj;i ;:..
. -- .
:' :>'
. \_.-. ", :-:
:.,..; .
Рис. 16.2. rрафический интерфейс редактора функций принадлежности после задания
первой входной переменной "температура" для системы нечеткоrо вывода conditioner
ИОD
FIS VапаЫеs
.) Membership Function Edltorc conditioner
Fjle Edl\ "",.-..;,"
Membersh.p function plots . plot poonts; . (18Т.
NS Z PS РМ РВ
[blJ
температура уrол
:ХА.
. .
CI<:CpOCTb
nt.Y6J'!e.bie'
1Щ\6
TYI1 '
:..':.' :./' "':;;
NB
NM
CU; n! l.jernb!1.r$,tI f'llncti {СЩ k gП.t-.1 F ф e' t9 " ",
Х[ОЛ
NeI11e.
;' 1 Z
: I, ;;.:;; i\", ',. ffJ ,; ,
. '.,
'.:;"..,.
<;;
........
pulpU1
",,}-
о;""< ,
о",.
T e "
' .O . .:
ru,,' n ge; ., H , O, 90] I:crams
Di$pIaY : 1 [ 90 90] ,Х, '1 1 - ;/:;",11{
I Cl)аnwn9щ :еier'io! rэ + 5: , p}i'
; I H0010]
С
IJ
", ' ;1 :
асще,
'!;; <
. ,.xc:." .
Рис. 16.3. rрафический интерфейс редактора функций принадлежности
после задания выходной переменной "уrол" для системы нечеткОrО вывода conditioner
(лава 16. Примеры разработки нечетких моделей управления в среде МА ТLAB 455
Теперь зададим 15 правил для разрабатываемой системы нечеткоrо вывода. Для
этой цели воспользуемся редактором правил системы MATLAB. Вид rрафиче
cKoro интерфейса редактора правил после задания всех ] 5 правил нечеткоrо BЫ
вода изображен на рис. 16.4.
.) Rule Edltor condltlQner . ,',,'.:;:иmD
w. '. .
t;iie "EtJit, ,Y! ",.,bptip.,s".
i,.' J
:: 6 1I (температура i8 NB) and (скорость i8 PS) then (уrол is РЗ) (1)
, 7.If(температураI8 NS) and (скорость 18 NS)then (уrол 18 РМ) (1)
8.11 (температура 18 NS) and (скорость 18 PS) then (уrол i5 2) (1)
, 9, If(температураl8 РВ) and (СКОРОСТЬ 1& Z)then (yrofJ i5 NM) (1)
.: 10.If(температура 18 PS) and (скорость 18 Z)then (уrол 15 NS)(1)
11.If(температура 15 NB) and (скоростыв 2) then (yroflls РМ)(1)
, 12. If(температу::за 18 NS) and (СКОрОСТЬ 15 2) then (уrол is РЗ) (1)
13,11 (температура i8 Z) and (скорость i5 PS) then (yron is NS) (1)
'14,11 темпе ат ai82)and(CKO OCTbi5NS then{ rолi5РS 1
..;
, PS
РВ
: попе
rnOl ,;\
8rJt!,
'CI<Op6CTb'l&
: P: , ;,: , ,:,
попе' : ! "
: Дj' '>
:r '1'IOt:
; Mne aTYoPal;: .
NB
NS
jJ'
по!
. ;'
[ ]
,.r,br; ':
.",";;";1 .
f ,;rne J:$addett
y.'pight:
Ч
, i<_
- < ; .--
н Help
' 1
. '..::.J
Cldse I1
j'1"""" Dejei 1Iile 1 ,
dr\.l1e
Q1Cn9E!,ul,e I <'"
Рис. 16.4. rрафический интерфейс редактора правил после задания
базы правил для системы нечеткоrо вывода conditioner
Теперь можно выполнить оценку построенной системы He'leTKoro вывода для
задачи автоматическоrо управления кондиционером в помещении. С этой целью
откроем проrрамму просмотра правил системы MATLAB и введем значения
входных переменных для частноrо случая, коrда текущая температура воздуха в
помещении равна 20 ОС, а скорость ее изменения положительная и составляет
0.2 ОС/мин. Процедура нечеткоrо вывода, выполненная системой МА TLAB дЛЯ
разработанной нечеткой модели, ВЫдает в результате значение выходной перс
менной "У20Л", равное 33.80 (рис. 16.5).
Данное значение соответствует ВКЛЮLlению режима "холод" кондиционера на
треть своей мощности. Сравнение результатов нечеткоrо вывода для этих значе
ний входных переменных, полученные на основе численных расчетов в i'..7аве 7
( 340 влево) и с помощью разработанной нечеткой модели MATLAB, покаЗblва
ет хорошую соrласованность модели и подтверждает ее адекватность в рамках
рассматриваемой модели.
456
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Flle 'E 'ili!i! qRlio s '
температура = 20
скорость'" 0.2
уrол '" ,33,8
I "'-
2 I .. ! i I /'-
3
4 1\
5 [ '. I I I / ,
6 I I I I / " ',,-
7 I I I : с I , /. '""....
8 1\
9 А I /"-.. .
10 :
11 /"'-
12 I r1 /"'-
13 I j . "1 /"\.
,
14 : ' / '-.
15 1\
о 40 .4 I 4
/ IПРUI: I [20 О 2] . ...' . "
I Opsned $УSlеmСОПdiIIО i.1 М& ':
- 90 9 0
J PlQ! рОiПIS; cJi01"" Л моуе ,'!tJft Irigtit I dbWnju}:icl'l .
, '; 11 Help ..,; J ,': Clos . тТ
Рис. 16.5. rрафический интерфейс проrраммы просмотра правил после выполнения
процедуры нечеткоrо вывода для значений входных переменных [20 0.2]
Процесс анализа и исследования построенной неLlеткой модели включает в себя
выполнение нечетких выводов для различных значений входных переменных и
оценки полученных результатов с целью установления адекватности модели и
внесеНIfЯ в нее необходимых изменений в случае несоrласованности отдельныx
результатов. Проверка нечеткой модели для друrих значений входных перемен
ных, например, 10 ос и 0.2 ОС/мин приводит к результату 19.70, что также под
тверждает ее адекватность.
n'P; airne
Для более тонкой настройки. построенной нечеткой модели необходимо знать
технические характеристики KOHKpeTHoro КОНДИционера, установленноro в по-
мещении. В частности, значения парамеТР08 функций принадлежности отдель
ных термов MOryT зависетЬ от мощности кондиционера и зависимости мощно
сти от уrла поворота реryлятора.
Для общеrо анализа разработанной нечеткой модели может оказаться полезной
визуализация соответствующей поверхности нечеткоrо вывода (рис. 16.6).
rлава 16. Примеры разработки нечетких моделей управления в среде MAТLAB 457
.) Surffice VIOWнr: сопrJitiопer I!!I[]О
, , ,. . ,': : : , ' :, ' . . , :. ., . , . ; . .f. . :l . - , -+ . , : . . , ; . : . ] . , ; . ) . ' ;:;iЬ:1'(-! t t. : .. ' .. 1 , ' , : . : . : , : !,:!i ;'v . ; , . . . . . ,: . , : .. :. ': . !W . ,, : . ' . : . : , : f i; ,
} ; :. !f: r . : . ' , , ' , I; 'f: , > " . : . '1' , ' , ' '" ' . ,':
, ;1 ;' ' '!. -
:' "
.ою
,'"
< ,
CkOpOCТb
температура' .
J 1' ne .:d ;,.' !}:'Y: ' 1 .\Жорост
1 15 giids :'!;;;" : 1 15
.';X) 1. . .
I ....i-4<, ' ..,., ., ... . .c . " . . , ' . :. . ; . ' . " " " ' :' ';. '...,:' .
: & (' :! :;J . . :' ;:. ,,' ,...,.; .,.CC.:":
t;;: ( yrigi1 . .:: :
.,. "i';:, "',,,,' "1
' {I ;:' j;i ip,. . I ,..,...'ClO$ '1
. .. . . ;,., .. .' . . . ' . ; . . . .. . ,
'V. ,.: .' . . "".; :; ' - .
Рис. 1 б.б. Визуализация поверхности нечеткоrо вывода
для системы нечеткоrО вывода conditioner
Данная поверхность нечеткоrо вывода позволяет установить зависимость значе
ний выходной переменной от значений ВХОДIIЫХ переменных нечеткой модели
системы управления кондиционером. Эта зависимость может послужить ОСlЮвой
для проrраммирования контроллера или аппаратной реализации соответствую
щеrо нечеткоrо алrоритма управления в форме таблицы решений. В дополнение
к этому установление данной зависимости является по сути решением задачи,
известной в классической теории управления как задача синтеза управляющих
воздействий. При этом для решения данной задачи были использованы средства
нечеткой лоrики и теории нечетких множеств.
16.2. Нечеткая модель управления
контейнерным краном
Напомним, что эта задача связана с процессом управления контейнерным Kpa
ном, который используется для транспортировки моноблочных контейнеров при
выполнении разrpузочных работ морских судов. Суть задачи состоит в том,
чтобы разработать модель, позволяющую автоматически управлять процессом
rоризонтальноrо перемещения контейнерноrо крана, исключив раскачивание
контейнеров.
458
Часть 1/. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Для решения этой задачи в разд. 7.4 была построена база правил соответствую-
щей системы нечеткоrо вывода, которая содержит 6 правил нечетких продукций
следующеrо вида:
ПРАВИЛО I: ЕСЛИ "f31 есть РВ" И "f3 есть Z" ТО "f33 есть РМ"
ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ "(31 есть РВ" И "Р2 есть NS" ТО "Рз есть РВ"
ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ "PI есть РВ" И "B есть NB" "Рз есть РМ"
ПРАВИЛО 4: ЕСЛИ "РI есть РМ" И "Р2 есть NS" ТО "Р3 ссть NM"
ПРАВИЛО 5: ЕСЛИ "Р\ есть PS" И "B ссть PS" ТО "Р3 есть РМ"
ПРАВИЛО 6: ЕСЛИ "(31 есть Z" И "Р2 ссть Z" ТО "/33 есть Z"
ДЛЯ сокращенной записи правил используются следующие обозначения: 13\
первая входная линrвистическая переме lНая с именем "расстояние", Р2 вторая
входная линrвистическая переменная с именем "у<,ол", Рз выходная линrвисти-
ческая переменная с именем "мощность".
В качестве терм множества первой линrвистической переменной используется
множество 1'\= {"нуль", "близкое", "среднее", "далекое"}, которое записывается в
символическом виде: Тi={Z, PS, РМ. РВ}. В качестве терм множества второй
линrвистической переменной используется множество 1'2= {"отрицательныЙ
БОЛblUОЙ", "отрицательный .малый", 11 нуль", "IlОЛО;Jfсительный J"алый"} , которое
записывается в символическом виде: T2={NB, NS, Z, PS}. в качестве TepM
множества выходной линrвистической переменной используется множество
Тз= {"отрицателыюя средняя", "НУЛI/', "IIOЛО.ж;ителыюя средняя", "1l0ло.жuтелыюя
Болыuя''},, которое записывается в символическом виде: T,={NM, Z, РМ, РВ}.
rрафики функций принадлежности термов из 1'1 изображены на рис. 7 .24, функ
ции принадлежности термов из 1'2 изображены на рис. 7.25, а функции принад
лежности термов из Тз изображены на рис. 7.26.
Примечание
Рассматриваемая база правил нечеткой модели управления краном несколько
отличается от построенной базы правил в разд. 7.4. В частности, для СОКраще
ния избыточности исключены не используемые в правилах нечеткоro вывода
термы, а их имена записаны в типовых обозначениях.
Разработку нечеткой модели (назовем ее crапе) также будем выполнять с исполь-
зованием rрафических средств системы МА TLAB. С этой целью откроем peдaK
тор FIS и определим 2 входные переменные с именами "расстояние" (PI) и "уzол"
(Р2) и одну выходную переменную с именем "J tOЩllOсть" (рз). Вид rpафическоrо
интерфейса редактора FIS дЛЯ этих переменных изображен на рис. 16.7.
Оставим без изменения тип системы нечеткоrо ВЫвода, предложенный системой
МА TLAB по умолчанию, поскольку будем использовать систему нечеткоrо BЫ
вода типа Мам.и.зни. Нет необходимости изменять и друrие параметры разраба-
тываемой нечеткой модели, предложенные системой МА TLAB по умолчанию,
такие как лоrические операции (min для нечеткоrо лоrическоrо И, тах для
(лава 16. Примеры разработки нечетких моделей управления в среде MAТLAB 459
нечеткоrо лоrическоrо ИЛИ), методы импликации (min), аrреrирования (тах) и
метода дефаззификации (centroid).
.. FIS Edltor: crane
'f!i( ; ; i , ,
[XX}
,:;=(;'..J- !, ...-:
11C> J
уrол
1 ,F1:N , '!' '., ne
P !ttl;t9# " '.','" I 'mih');
e d ' 1 rrii;x
i !:!:1# ,,' J мт'
' rt'g pq l тФ:
DefuzzffiCe.iibil l CE!ntroi
I l!liimlh\1;i p, YeU I'!J:t Р"c:t;т,:kие"
, ',:' 'I!I013
r' t'"
иапе
I
(mamdar.i)
МОЩНОСТЬ
FIS'Tyt5s;) " me.mdi\r.i
.!iI ' 'Current,Variab!e
', iЫ le.trie '
:;,::;,' JJ : T pe
i.J : Rrilise
, i:.) i I H lp
' 1
: ':: И'
X::lose
1.1
I
. " '. ..'-
>--' "-' , , <.,; : '"
,; ;;"
Рис. 16.7. rрафический интерфейс редактора FIS после определения
входных и выходных переменных для системы нечеткоrо вывода crane
Далее следует определить функции принадлежности термов ДЛЯ каждоЙ IП пере
менных системы нечеткоrо вывода. Дпя этой цели воспользуемся редактором
функций принадлежности системы МА TI AB. ДЛЯ первой входной переменноЙ
следует добавить один дополнительный терм к трем, заданным по умолчанию. и
определить параметры соответствующих функций принадлежности. Численные
значения этих параметров можно взять из записи этой нечеткой модели на языке
FCL (см. 2лаву 8). Вид rрафическоrо интерфейса редактора функциЙ ПрИllад
лежности после задания первой входной перемешlOЙ изображен на рис. 16.8.
Для второй входной переменной "У20Л" также следует определить 4 терма, Иlме
нив диапазон значений переменной и параметры треуrольных функций Принад
лежности термов. Для выходной переменноЙ "МОЩllость" следует определить
4 терма, изменить диапазон значениЙ переменноЙ и определить соответствую
щие функции принадлежности термов.
Поскольку функции принадлежности термов выходной переменной равны
постоянным значениям, как это определено в записи этой нечеткоЙ модели на
языке FCL (CJH. 2лаву 8), а среди встроенных функций принадлежности системы
460
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
MATLAB отсутствуют одноточечные функции принадлежности, то в Качестве
фУ"КЦИll принадлежности термов возьмем треуrольные функции принадлежно
сти с подходящими значениями параметров. Вид rрафическоrо интерфейса pe
дактора функций принадлежности после задания выходной переменной изобра
жен на рис. 16.9.
.) Membersbip Functian Editor: crane
File Edil У'El'"
F:S VarliJbIeS
"."11013
Mert1ber$llip fuпсtюп plot$ plot рОlПts' J181
tbl:i z PS РМ РIJ
, ' t\t
расст-ние мощность
м' V)< .
(". .
yrOJ1 /1\ /\ .
IL V \
-... ....... I .
,,, " ' . i ) 3.1 ; ".:-..1
" OOOT_cиo"
CurrentVaт.lbIe ,'-.,:" " .'
, .Gчпеnt Меll1J;JеrshФ Flюttiоп (clid< on,MF tosetect ; " ,,' , "
о> ., ,-.,
Name) расtт-ние Nfime , I РВ
" "
Туре inpu! ТуРе I lrapmf ..!.!
Range I [1030] P rarrs ,- : 1 i1 О 2l зо 30]
I ,. 1 ; 1
Disp!ay Range I [-10 3О] Help I Close
I Gh6!lg ing par6l11 t rJo,r M 1.Q 2] "-
Рис. 16.8. rрафический интерфейс редактора функций принадлежности
после задания первой входной пере мен ной "расстояние"
для системы нечеткоrо вЫВода crane
(' Примечание ')
При задании треуrольных функций принадлежности для термов выходной пе
ременной исходная нечеткая модель для задачи управления краном несколько
модифицируется с учетом возможностей среды реализации МА TLAB. Если эту
модель реализовывать в точности, то следует воспользоваться функциями
командной строки, которые были рассмотрены ранее в влаве 12 для при мера
разработки нечеткой модели в командном режиме.
Теперь зададим 6 правил для разрабатывемойй системы нечеткоrо вывода. Для
этой цели воспользуемся редактором правил системы МА TLAB. Вид rрафиче
CKoro интерфейса редактора правил после задания всех 6 правил нечеткоrо BЫ
вода изображен на рис. 16.10.
(лава 16. Примеры разработки нечетких моделей управления в среде МА ТLAB 461
.) Ml!mbership Func1ion Edilor' crane
; ... Щ1!! E:M ,'
FIS VariabIes
I!!IDD
> .._.!- :Р!.: :';!-:': \'
. ] : .
[ZX]
расст-ние мощность
[ .
NS
Membersh.p funcllon plols plolpoinls 11В1.
Z PS РВ i
i ..
уrол
,',
,,!I:
.:::0
) !
.Ч]
.:{,
Ю
.___..J
Д,.
i ;!
; pjOy IJ' J [:40 40] : .1
1 :$ _ . ?Ы ;r 96t .';:
' ё . . :; еm9'еi$hlрruпаicir (cI . . .. ! . :. Ьn'м,fJi5', iе :'/' .
. '" .. ';
". : <.;.
e'
Jz
> ,.':
T)fPB' '.>; I IrimI
Parems, ;,1;' 1[ -0 1 О О 1]
.=J
/:ielp'
ДОВ!'
I ' t
J
Рис. 16.9. rрафический интерфейс редактора функций принадлежности после
задания выходной переменной "мощность" для системы нечеткor'о вывода crane
.) Rull! Edilor: crane
,f!',,->.!;:pil . '\Iiew. <.(Jpl'OrS.,;.; ..
'i'..... I!!IDD
,,'
.:::!:
.:;:.; Тhen.
"1 bH..
IЧМ
попе
.:,1;
PS
попе
..::.1..
РМ
РВ
попе
2:.1
r
r:i1al
:1-:'пО1
. f; l ;\ ;
: 1 ) n;le;iS i; ,.
",'t "_ . ': '.
. 6еl!Эtе ;Ule (
дOd rule
I Cheпg6rule I
.' ,,; 11 " Help'
..:J
. . 1 ' '. Оа$е Н
Рис. 16.10. rрафический интерфейс редактора правил после задания
базы Правил для системы нечеткоrо вывода crane
462
Часть 1/. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Теперь можно выполнить оценку построенной системы нечеткоrо вывода для
задачи автоматическоrо управления портовым краном. С этой целью откроем
проrрамму просмотра правил системы МА TLAB и введем значения входных
переменных для частноrо случая, коrда текущее расстояние до цели равно 7.5 м,
а уrол между контейнером и кабиной крана равен 1 О О . Процедура нечеткоrо BЫ
вода, выполненная системой МА TLAB для разработанной нечеткой модели, BЫ
дает в результате значение выходной переменной "мощность", равное 12 кило
ватт (рис. 16.11).
.) Rule Viewer: crane
.,I:i! .; j i! \!i , :9p!iQf)s,
расст-ние = 7 5
2
з
5
6
.10
пр'Щ: 1 [7 Б 10] ; " .,
I Open dsyiiem cтane, В f i s '
уrол = 10
30
!1; i
I ,./;'! I
ЕЕ
I 1;, 1 I
-90 i 90
I
I
'.,: I!IOD
,. y
мощность = 12
I
I
П
I
I П
IП
I D
-40
40
, ' j i:.rd!PDints::'ji'ol II M :J I.rj h I ,, p'IJ
, , ': 11 ' " e1P '" Clo$e " ' 1
Рис. 1 б. 11. rрафический интерфейс проrраммы просмотра правил
после выполнения процедуры нечеткоrо вывода для значений
входных переменных [7.5 10]
Данное значение соответствует включению двиrателя крана для движения впра
во (в положительном направлении), при этом сама мощность равна 12 киловатт.
В данном случае сравнение результатов нечеткоrо вывода для этих значений
входных переменных, полученных на основе численных расчетов в 2лаве 7 и с
помощью разработанной нечеткой модели МА TLAB, также показывает соrла
сованность модели и подтверждает ее адекватность.
примечание
Для более тонкой настройки построенной нечеткой модели таюке необходимо
знать технические характеристики KOHKpeTHoro крана в том или ином в порту.
(лава 16. Примеры разработки нечетких моделей управления в среде МА ТLAB 463
8 частности, значения параметров функций принадлежности отдельных термов
MOryT зависеть от мощности двиrателей отдельных кранов, rабаритов контей
неров и размещения целевых площадок для поrрузки контейнеров. При этом
может потребоваться увеличение количества правил для модифицированной
нечеткой модели.
Для общеrо анализа разработанной нечеткой модели также может оказаться по
лезной визуализация соответствующей поверхности нечеткоrо вывода (рис. 16.12).
) Surface Viewer: crane
,j:тe,' Edtto y, " ' oп$
I!!IDЕ.1
«',-- <
.20
10
,С:> О
,3-
, .щ
))
уrол
.10
расст.ние
х ( pu,t):, 1 pe.cCТ;"AIt!( .2J
'i< ;;f( -' 15 <:,r,g ds;
1 ;I t:"";:"t l ' '
J , ,' ' .,' ,
I уrол,
1 15
'
'? (output):
fI Ae1p
I моu:JiiэСТI
_ <{ ;_ _;; . k1"' ,
( '/Oose 11
ъ j
Рис. 16.12. Визуализация поверхности нечеткоrо ВЫвода
для системы нечеткоrо вывода crane
Данная поверхность нечеткоrо вывода позволяет установить зависимость значе
ний выходной переменной от значений входных переменных нечеткой модели
системы управления краном. Эта зависимость может послужить основой для
проrраммирования контроллера или аппаратной реализации соответствующеrо
нечеткоrо алrоритма управления в форме соответствующей таблицы решений.
Рассмотренные примеры иллюстрируют все практические действия, которые He
обходимо выполнить для разработки и использования нечетких моделей в форме
систем нечеткоrо вывода. При этом соответствующие rрафические средства сис
темы MATLAB позволяют реализовать все этапы процесса нечеткоrо моделиро
вания в удобной для пользователя форме.
rлава 17
91\ '" ""
" " :. .... r .. '::":::0'
'- .". ...,. .
-';:"
" 'p;i.
. . c 11 1 ,. .
, .. ': 't,:: ;.
Примеры разработки нечетких
моделей принятия решений
в среде МА TLAB
в качестве иллюстрации практическоrо применения системы МА TLAB paCCMaT
риваются две практические задачи нечеткоrо моделирования. Первая из них
возникает при оценивании финансовой состоятельности клиентов со стороны
банков при выдаче долrосрочных кредитов (ссуд) на строительство недвижимо
сти под залоr. Вторая задача является типичной в практике анализа и проrнози
рования цен на финансовом рынке валюты или ценных бумаr.
17.1 Оценивание финансовой
состоятельности клиентов при
предоставлении банковских кредитов
Данная задача была сформулирована и решена в рамках исследования, выпол
HeHHoro фирмой INFORM GmbH, являющейся разработчиком проrраммноrо
средства fllzzyTECH, которое рассматривается в части II/. Этот пример позволя
ет не только познакомиться с особенностями разработки реальных приложений,
но и может служить в качестве TecToBoro при выполнении сравнительноrо ана-
лиза различных nporpaMMHbIx средств нечеткоrо моделирования.
Содержательная постановка задачи оценивания
финансовой состоятельности клиентов
Суть рассматриваемой задачи заключается в следующем. При выдаче долrо-
срочных кредитов на строительство зданий или коттеджей под залоr недвижи
мости для оценки состоятельности клиентов банками традиционно используется
метод экспертных оценок. При этом целью банков является получение макси
мальной прибыли от заключенных сделок по предоставлению кредитов и ис
ключение возможности финансовых потерь. Поэтому интересы банков сосредо-
rлава 17. Примеры разработки нечетких моделей принятия решений в среде MAТLAB 465
точены, с одной стороны, на увеличении количества успешных сделок, а с друrой
стороны, на избежании неудачных сделок, котда клиент не возвращает BыдaH
ный кредит или возвращает ето не вовремя.
Традиционно основанием для принятия решений по предоставлению кредитов в
будущем служит опыт успешных сделок, совершенных в прошлом. Руководство
банка Home&Savings Bank, в интересах KOToporo ВЫl10ЛНЯЛОСЬ соответствующее
исследование, хотело бы обобщить правила предоставления кредитов с целыо MaK
симально полно использовать опыт экспертов. При этом необходимо ИСКЛЮЧI1ТЬ
возможные ошибки субъективноrо характера со стороны отдельных менеджеров в
случае неадекватното оценивания финансовой состоятелыюсти клиентов.
Анализ стратеrии предоставления кредитов на строительство здаНИЙ rlOказыва
ет, что для оценивания финансовой состоятельности клиентов мотут быть IIС-
пользованы различные характеристики, такие как месторасположение строяще
rося здания, качество предполаrаемоrо выполнения отделочных работ, оценка
активов потенциальноrо клиента, оценка дохода flOтеНЦИaJIьноrо клиента за вы-
четом фиксированных расходов, величина подлежащих уплате процентов по
кредиту. При этом собственно финансовая состоятельность клиента оценивается
ето кредитоспособностью.
Одной из первых формальных моделей, предложенных для решеlШЯ данной за
дачи, являлась статистическая модель, основанная на вероятностноЙ интерпре-
тации количественной оценки положитеЛbl-юrо решения о предоставлении Kpe
дита. Однако более детальный анализ этой модели со временем показал' ее
неадекватностъ, связанную с недостаточным объемом статистической выборки 11
изменяющимися с течением времени условиями предоставления кредитов.
Именно по этой причине была предложена идея разработки нечеткой модели для
оценивания финансовой состоятельности клиентов с целью принятия решениЙ о
предоставлении долrосрочных кредитов. При этом в качестве нечеткой модели
используется система нечеткOI-О вывода со следующими входными и выходными
переменными.
Описание ВХОДНЫХ и ВЫХОДНЫХ переменных
рассматриваемой задачи
Содержательная интерпретация нечеТКОII модели предполаrает выбор и специ-
фикацию входных и выходных переменных соответствующей системы нечеткоrо
вывода. При этом в нечеткой модели предполаrается использовать 5 входных
переменных и I выходную переменную.
В качестве первой входной переменной используется оценка местораСllоложения
строящеrося здания, которая непосредственно оценивает проект строящеrося
здания, принимая во внимание размещение здания в том или ином конкретном
районе торода или реrионе приrорода. Очевидно, чем выше эта оценка, тем бо-
лее ЛИКВИДНЫМ представляется проект в случае er'o реализации на рынке неДВII
жимости.
466
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
в качестве второй входной flеременной ИСflользуется качество предполаrаемоrо
выполнения отделочных работ соrласно архитектурному проекту строящеrося
здания. Эта переменная вносит дополнительный элемент в оценку стоимости
строящеrося здания.
В качестве третьей входной переменной используется оценка активов, которая
ИСflользуется для оценки имущества или авуаров в случае несостоятельности по
lенциальноrо клиента при невозвращении им взятоrо кредита. Действительно,
величина предоставляемоrо кредита должна основываться не только на учете
стоимости строящеrося здания, но и на собственной капитализации клиента.
В ка<,естве четвертоЙ входной переменной используется оценка дохода потенци
аЛЫlOrо клиента за вычетом фиксированных расходов, которая также использу
ется в случае несостоятельности потенциальноrо клиента при невозвращении им.
взятоrо кредита. Чем выше значение этой переменноЙ. тем более успешным
представляется предоставление кредита клиенту.
В качестве пятой входной переменной ИСflользуется величина подлежащих упла
те процентов соrласно I1редполаrаемому плану выплат по взятому кредиту. Эта
переменная связана со сроком предоставления кредита и ero величиной, позво
ляя объединить в себе соответствующие характеристики кредита. Чем выше
величина выплат по Ilроцентам, тем более высокими должны быть значения aK
тивов и доходов для положительноrо решения о предоставлении кредита потен
циальному клиенту.
В качестве выходной переменной используется оценка кредитоспособности, KO
торая является основой для принятия решения руководством банка по предо
ставлению кредита потенциальным клиентам. При этом решение о предоставле
нии кредита руководством банка принимается только в случае высокой оценки
этой выходной flеременной.
Анализ предоставления кредитов на строительство зданий показывает, что для
анализа финансовой состоятельности потенциальных клиентов руководство
банков применяет следующие эвристические правила:
1. Если величина дохода низкая и величина выплат средняя, то кредитоспособ-
ность очень низкая.
2. Если величина дохода низкая и величина выплат высокая, то кредитоспособ
ность очень низкая.
3. Если величина дохода средняя и величина выплат высокая, то кредитоспо
собность очень низкая.
4. Если активы низкие и величина дохода низкая, то кредитоспособность очень
низкая.
5. Если активы низкие и величина дохода средняя. то кредитоспособность очень
низкая.
6. Если активы среДНие и величина дохода низкая, то кредитоспособность очень
низкая.
rлава 17. Примеры разработки нечетких моделей принятия решений в среде МА TLAB 467
7. Если качество отделки плохое, активы низкие и величина дохода высокая, то
кредитоспособность очень низкая.
8. Если качество отделки плохое, активы средние и величина дохода средНЯЯ,
то кредитоспособность очень низкая.
9. Если качество отделки плохое, активы высокие и величина дохода низкая, то
кредитоспособность очень низкая.
10. Если качество отделки плохое, активы высокие и величина дохода средняя,
то кредитоспособность очень низкая.
11. Если местоположение непрестижное, качество отделки хорошее, активы низ
кие и величина дохода высокая, то кредитоспособность средняя.
12. Если местоположение непрестижное, качество отделки прекрасное, актнвы
низкие и величина дохода высокая, то кредитоспособность средняя.
13. Если местоположение престижное, качество отделки хорошее, активы низкие
и величина дохода высокая, то кредитоспособность средняя.
14. Если местоположение очеllЬ престижное, качесТlЮ отделки хорошее, активы
низкие и величина дохода высокая, то кредитоспособность средняя.
15. Если местоположение непрестижное, качество отделки хорошее, активы
средние и величина дохода средняя, то кредитоспособность средняя.
16. Если местоположение непрестижное, качество отделки прекрасное, активы
средние и величина дохода средняя, то кредитоспособность средняя.
17. Если местоположение престижное, качество отделки хорошее, активы cpeд
ние и величина дохода средняя, то кредитоспособность средняя.
18. Если местоположение очень престижное, качество отделки хорошее, активы
средние и величина дохода средняя, то кредитоспособность средняя.
19. Если местоположение непрестижное, качество отделки хорошее, активы BЫ
сокие и величина дохода низкая, то кредитоспособность средняя.
20. Если местоположение непрестижное, качество отделки прекрасное, активы
высокие и величина дохода низкая, то кредитоспособность средняя.
21. Если м стоположение престижНое, качество отделки хорошее, активы BЫCO
кие и величина дохода низкая, то кредитоспособность средняя.
22. Если местоположение o'leHb престижное, качество отделки хорошее, активы
высокие и величина дохода низкая, то кредитоспособность средняя.
23. Если местоположение ненрестижное, качество отделки хорошее, активы BЫ
сокие и величина дохода средняя, то кредитоспособность средняя.
24. Если местоположение непрестижное, качество отделки прекрасное, активы
высокие и величина дохода средняя, то кредитоспособность средняя.
25. Если местоположение престижное, качество отделки хорошее, активы BЫCO
кие и вели'/Ина дохода средняя, то кредитоспособность средняя.
26. Если местоположение очень престижное, качество отделки хорошее, активы
высокие и величина дохода средняя, то кредитоспособность средняя.
468 Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
27. Если местоположение преСТИЖНое, качество отделки прекрасное, активы
средние и величина дохода высокая, то кредитоспособность очень высокая.
28. Если местоположение престижное, Ka[leCTBO отделки прекрасное, активы вы-
сокие и величина дохода высокая, то кредитоспособность очень высокая.
29. Если местоположение очень престижное, качество отделки прекрасное, aK
тивы средние и величина дохода высокая, то кредитоспособность очень BЫ
сокая.
30. Если местоположение очень престижное, качество отделки прекрасное, aK
тивы высокие и величина дохода высокая, то кредитоспособность очень BЫ
сокая.
31. Если местоположение непрестижное, качество отдслки хорошее, активы
средние и величина дохода высокая, то кредитоспособность высокая.
32. Если местоположение непрестижное, качество отделки прекрасное, активы
средние и величина дохода высокая. то кредитоспособность высокая.
33. Если местоположение престижное, качество отделки хорошее, активы cpeд
ние и величина дохода высокая, то кредитоспособность высокая.
34. Если местоположение очень престижное, качество отделки хорошее, активы
средние и величина дохода высокая, то кредитоспособность высокая.
35. Если местоположение непрестижное, качество отделки хорошее, активы BЫ
сокие и величина дохода высокая, то кредитоспособность высокая.
36. Если местоположение непрестижное. качество отделки прекрасное, активы
высокие и величина дохода высокая, то кредитоспособ IOСТЬ высокая.
37. Если местоположение престижное, качество отделки хорошее, активы BЫCO
кие и величина дохода высокая, то кредитоспособность высокая.
38. Если местоположение очень престижнос, качество отделки хорошее, активы
высокие и величина дохода высокая, то кредитоспособность высокая.
39. Если местоположение престижное, качество отделки прекрасное, то кредито
способность высокая.
40. Если местоположение очень престижное, качество отделки прекрасное, то
кредитоспособность высокая.
После рассмотрения содержательной постановки задачи можно приступить к
построению ее нечеткой модели в форме соответствующей системы нечеткоrо
вывода. Для этой цели воспользуемся рассмотренными ранее rрафическими
средствами пакета Fuzzy Logic Toolbox с.истемы MATLAB.
Нечеткая модель оценивания финансовой
состоятельности клиентов
При построении нечеткой модели оценки финансовой состоятельности потенци-
альных клиентов было сделано предположение о том, что все рассматриваемые
переменные измеряются в баллах в интервале действительных чисел от О до 10.
rлава 17. Примеры разработки нечетких моделей принят ия решений в среде MATLAB 469
При этом самая низкая оценка значения каждой из переменных является О, а ca
мой высокой 10. Этот подход аналоrИ1lен рассмотренному ранее примеру 12.1
"Чаевые в ресторане".
Фаззификация ВХОДНЫХ
и ВЫХОДНЫХ переменных
в качестве теРМ I\1Ножества первой входной переменной "/vfеС/1l01l0.Ю.J/С(!lIuе"
(Location) будем ИСflOЛЬЗОВ.пь множество ТI = {"HellpecmUJlClIoe", "llрести:JlОlOе",
"очень прести;)/CllOе"} или в символическом ВИДе Tl={PS, РМ, РВ} с функциями
принадлежности термов, изображенными на рис. 17.1, а.
В качестве терм множества второй входной переменной "Отделка" (Wol'k
manship) будем использовать анаЛО[ИLfное множество Т2= {" fио.хая", "хорошая",
"прекрасная"} или в символическом виде T2={PS, РМ, РВ} с функциями принад
лежности термов, изображенными на рис. 17.1, б.
непрестижное
1
престижное
очень престижное
0.8
06
0.4
0.2
О
О 2 3 4 5 Б 7 8 9 10
Местоположение
а
плохай хорошая прекрасная
1
08
0.5
04
0.2
О
О 2 3 4 5 Б 7 В 9 10
Отделка
б
Рис. 17.1. rрафики ФУНКЦИЙ принадлежности
ДЛЯ термов линrвистических переменных "Местоположение" и "Отделка"
470
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
в качестве терм множества третьей линrвистической переменной "А ктиеы"
(Asset) будем использовать множество Тз={"низкие", "средние", "высокие"} или в
символическом виде Тз={РS, РМ, РВ} с функциями принадлежности термов,
изображенными на рис. 17.2, а.
В качестве терм множества четвертой линrвистической переменной "Доход"
(Income) будем использовать аналоrичное множество Т4={"uизкиЙ", "средниЙ".
"высокий"} или в символическом виде T ={PS, РМ, РВ} с функциями принадлеж
ности термов, изображенными на рис. 17.2, б.
низкие средние высокие
1
0.6
0.4
0.2
О
О 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А....'Тивы
а
низкий высокий очень высокий
0.8
0.6
0.4
02
О
О 2 3 .4 5 Б 7 8 9 10
Доход б
Рис. 17.2. rрафики функций принадлежности для термов
линrвистических переменных "Активы" и "Доход". измеряемых в баллах
в качестве терм множества пятой линrВИСПl'fеской переменной "Выплаты"
(Intel"est) будем использовать аналоrичное множество Т5={"uuзкuе", "средние",
"высокие"} или в символическом виде Ts={PS, РМ, РВ} с функциями принадлеж
ности термов, изображенными на рис. 17.3, а.
В качестве терм-множества выходной линrвистической переменной
"Кредитоспособность" (C..edit) будем использовать множество Т6={"очеuь lШЗ
коя", "низкая", "средняя", "высокая", "очень высокая"} или в символическом виде
rлава 17. Примеры разработки нечетких моделей принятия решений в среде МА TLAB 471
T6={NB, NS. Z, PS, РВ} с функциями принадлежности термов, изображенными
на рис. 17.3, б.
низкие
1
средние
высокие
.
0.8
I
I
I
I
I
,
I ,
, , I
I I I I
L , L
I I I I
I I I I
I I I I
J L
I I I .
I I I ,
I I I ,
0.6
04
02
о
о
2
3
4 5 6
Выплаты
7
8
9
10
а
очень низкая
1
низкая средняя высокая очень высокая
0.8
0.6
0.4
0.2
о
о
2
з
45678 9
Кредитоспособность
10
б
Рис. 17.3. rрафики функций принадлежности для термов линrвистических
переменных "Выплаты" и "Кредитоспособность" I измеряемых в баллах
Формирование базы правил систем нечеткОrо вывода
Следующим этапом построения модели является построение базы правил. Для
этой цели будем использовать 40 правил нечетких продукций, которые удобно
представить в виде следующей таблицы (табл. 17.1).
Таблица 17.1. Правила нечетких продукций для рассматриваемой
системы нечеткоrо вывода
Номер Местополо- Отделка Активы Доход Выплаты Кредито-
правила жение способность
1 PS РМ NB
2 PS РВ NB
472 Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Таблица 17.1 (продолжение)
Номер Местополо- Отделка Активы Доход Выплаты Кредито-
правила жение способность
3 РМ РВ NB
4 PS PS NB
5 PS РМ NB
6 РМ PS NB
7 PS PS РВ NB
8 PS РМ РМ NB
9 PS РВ PS NB
10 PS РВ РМ Z
11 PS РМ PS РВ Z
12 PS РВ PS РВ Z
13 РМ РМ PS РВ Z
14 РВ РМ PS РВ Z
15 PS РМ РМ РМ Z
16 PS РВ РМ РМ Z
17 РМ РМ РМ РМ Z
18 РВ РМ РМ РМ Z
19 PS РМ РВ PS Z
20 PS РВ РВ PS Z
21 РМ РМ РВ PS Z
22 РВ РМ РВ PS Z
23 PS РМ РВ РМ Z
24 PS РВ РВ РМ Z
25 РМ РМ РВ РМ Z
26 РВ РМ РВ РМ Z
27 РМ РВ РМ РВ РВ
28 РМ РВ РВ РВ РВ
29 РВ РВ РМ РВ РВ
30 РВ РВ РВ РВ РВ
31 PS РМ РМ РВ PS
rлава 17. Примеры разработки нечетких моделей принятия решений в среде МА TLAB 473
Таблица 17.1 (окончание)
Номер Местополо- Отделка Активы Доход Выплаты Кредито-
правила жение способность
32 PS РВ РМ РВ PS
33 РМ РМ РМ РВ PS
34 РВ РМ РМ РВ PS
35 PS РМ РВ РВ PS
36 PS РВ РВ РВ PS
37 РМ РМ РВ РВ PS
38 РВ РМ РВ РВ PS
39 РМ РВ PS
40 РВ РВ PS
в качестве схемы нечеткоrо вывода будем использовать метод Мамдани, поэтому
методом активации будет MIN, который рассчитывается по формуле (7.6). Далее
необходимо определить методы аrреrирования подусловий. Поскольку во всех
правилах 1 40 в качестве лоrической связки для поду слов ий применяется только
нечеткая конъюнкция (операция "И"), то в качестве метода аrреrирования будем
использовать операцию miп конъюнкции. Для аккумуляции заключений правил
будем использовать метод mах Дизъюнкции, который также применяется в случае
схемы нечеткоrо вывода методом Мамдани. Наконец, в качестве метода дефаззи
фикации будем использовать метод центра тяжести (см. (7.9».
Построение нечеткой модели средствами Fuzzy
Logic Toolbox и анализ полученных результатов.
Разработку нечеткой модели (назовем ее тш-tgаgе) будем выполнять с использо
ванием rрафических средств системы МА TLAB. С этой целью в редакторе FIS
определим 5 входных переменных с именами "местоположение" ( I), "отделка"
( 2), "активы" ( з), "доход" ( 4), "вы1lатыы' ( 5) и одну выходную переменную с
именем "кредитоспособность" (136). Вид rрафическоrо интерфейса редактора FIS
для этих переменных изображен на рис. 17.4.
Для решения поставленной задачи нечеткоrо моделирования будем использо
вать систему нечеткоrо вывода типа Мамдани. Оставим без изменения llapaMeT
ры разрабатываемой нечеткой модели, предложенные системой МА TLAB по
умолчанию, а именно, лоrические операции (шiп для нечеткоrо лоrическоrо
И, шах для нечеткоrо лоrическоrо ИЛИ), метод импликаuии (шiп), метод ar
реrирования (шах) и метод дефаззификации (centroid).
474
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
RLJD
I f!s.N 'ci}:
АЛjj rnelhod
'mq!1g,a, ;,<
, I pin "
;, , ; :: .-. ,'.
01mefhDp
! mii!<
l ,mi1\
I m
1тPlicalio ,
Agg(eg i9!)
ОеfuЦlfi оп'
i : "'roid;j
mor1gage
(mamdaт)
кредитоспособность
,-,
'I;'ЩТуре';:'
I
1JjЩ'r1ф:iЩ;
;.J
..
;d
,..,:
CUrrent VwiЫ:i1e'i
'. . Ne.m's ,
' ]
'. . {", . "j..
Туре'
. Ran9Е!
:;J 1 :
. Не1р:
-'.. . . { .
'"
:-". '''_<С';< <,' .
, Iqsii"
. tl
Рис. 17.4. rрафический интерфейс редактора FIS после определения
входных и выходной переменных системы нечеткоrо вывода mortgage
Далее следует определить функции принадлежности термов для каждой из
5 входных и единственной выходной переменных рассматриваемой системы He
четкоrо вывода. Для этой цели воспользуемся редактором функций принадлеж
ности системы MATLAB. Будем использовать типы функций принадлежности и
соответствующие численные значения их параметров, которые изображены на
рис. 17.1 17.3. rрафический интерфейс редактора функuий принадлежности для
выходной переменной "кредитоспособность" изображен на рис. 17.5.
Далее зададим 40 правил для разрабатываемой системы нечеткоrо вывода
(табл. 17.1). Для этой цели воспользуемся редактором правил системы MATLAB.
Вид rрафическоrо интерфейса редактора правил после задания всех 40 правил
нечеткоrо вывода изображен на рис. 17.6. Поскольку в рабочем окне отобража
ю.тся не все переменные нечеткой модели, для управления режимом отображения
переменных правил следует воспользоваться специальными кнопками » и «,
расположенными в нижней правой части редактора правил.
rлава 17. Примеры разработки нечетких моделей принятия решений в среде МА ТLAB 475
l!!Ir:.1fЭ
FIS VeriebIes
) MHmbershtp FuпctlUn Edltor mortquge
i * -. :. . . J :ЬК j t; .: - '; .
181
: t" ' : ' : " ' " { " " ' ' ;;;;1
. . ;' . ' ) 5;
: , ' . ; . , , - , . . :, . =t. lf . .
;j .:Jj;1.'. jl o10) ""':!"
. ,...-;.; . .. :,' .. >. . ..,. ':,:;;::1';> , ": ; ;",," Ч',,, .'- .
: ' i ;'[: \ [ i j'...':'"
M ! H! O
f 'ХХ jОДИТОСПОСОБНОСn'
. Qтде'nk&
r')('5{ i
'-"=. . )
8кrИ8Ы
l
ДОХОД
[. хх ...............,
I .
. . . -j
]: f:..
;.i
...... .... .,... . . ._. .... .._.".. .' . .. . Membersh'P functl n. I t: plot pOln . 1
NS PS
Pj3 .
outpu1 varlable "t<pедитоспособность"
r}{:,;
.. ;
::: :
::::t'i; ..:.
';:i:
" ': 1 PS
:i l : IIiim '
.! (i ;67' з '
' r ;H .
f : .
!>
. CI
.. ". ;...
Рис. 17.5. rрафический интерфейс редактора функций принадлежности
для выходной переменной "кредитоспособность"
Теперь можно выполнить анализ построенной системы нечеткоrо вывода для
рассматриваемой задачи оценки финансовой состоятельности клиентов.
С этой целью откроем окно просмотра правил системы МА TLAB и введем
значения входных переменных для частноrо случая, коrда значение входной
переменной "местоположение" оценивается в 8 баллов, значение входной пе
ременной "отделка" также оценивается в 8 баллов, значение входной перемен
ной "активы" оценивается в 9 баллов, значение входной переменной "доход"
оценивается в 9 баллов, и, наконец, значение входной переменной "выllатыы'
оценивается в 5 баллов. Это достаточно высокие оценки входных переменных,
которые даже на интуитивном уровне свидетельствуют в пользу COOTBeTCT
вующеrо клиента.
Процедура нечеткоrо вывода, выполненная системой МА TLAB дЛЯ разработан
ной нечеткой модели, выдает в результате значение выходной переменной
"кредитоспособность", равное 7.75 балла (рис. 17.7). Это достаточно высокая
оценка финансовой состоятельности потенциальноrо клиента, которое может
служить основанием для положительноrо решения со стороны банка о предо
ставлении кредита под залоr. Как можно заключить, данный вывод полностью
соrласуется с ранее высказанными интуитивными соображениями.
476
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
FiI4'>'tdi( .. .Opti .
f.
1
; :. .
Рис. 17.6. rрафический интерфейс редактора правил после задания
базы правил системы нечеткоrо вывода mortgage
Далее выполним анализ построенной системы нечеткоrо вывода для BToporo
варианта исходных данных с более низкими оценками значений входных пере
менных. С этой целью изменим значения входных переменных: значение входной
переменной "местоположение" оценим в 3 балла, значение входной переменной
"отделка" оценим в 5 балла, значение входной переменной "активы" оценим в
4 балла, значение входной переменной "доход" оценим в 4 балла, и, наконец,
значение входной переменной "выllатыы' оценим в 2 балла.
Процедура нечеткоrо вывода, выполненная системой МА TLAB, выдает в pe
зультате значение выходной переменной "кредитоспособность", равное 3.42 бал
ла (рис. 17.8). Это достаточно низкая оценка финансовой состоятельности по
тенциальноrо клиента, которое может служить основанием для отрицательноrо
решения со стороны банка о предоставлении кредита под залоr. Как можно за
ключить в этом случае, данный вывод также соrласуется с интуитивными сооб
ражениями на этот счет.
Сравнение результатов нечеткоrо вывода для двух рассмотренных вариантов
значений входных переменных показывает, что rраничное значение выходной
переменной "кредитоспособность", которое влияет на решение о предоставлении
кредита, может быть выбрано в пределах 5 баллов.
rлава 17. Примеры разработки нечетких моделей принятия решений в среде МА TLAB 477
':JI!PI,"
'l..:;j!$;' , : : ' ': ' :J:(.:,i)jd:::::::. , -' ". '<; Т<,;, ','.,... ;:,i;< ",:;:: .> .,. о .,\ . ",..;&:,'i."':';:Ji;.
" '"
местопоnoжение:;: в Dтде'nКа! = е a.m1Bbl ::о: 9 ДОIiJ)А 9 flыn.nаты ,. S It.pВАИТОСПС1со(ltiDti", = 1.15
1 ,... ...... Ii
2
3
. '"
5 ."
б
7 '"
е
9
10
11
12 .. ..
13
14
15
15
17 " "
18
19 ." - .-- i Е I
20 ..
21 '.
22 .'
23
24
25 "
2б ..
27
2б
29
30
31 .. с=
32 --.
33
3.
35 r
36
' ..,. ", !c,[; Z :: l
. 995}
. ,
- I m 1 Чtl ; f,1. t
Рис. 17.7. rрафический интерфейс nporpaMMbI просмотра правил после ВЫПОлнения
процедуры нечеткоrо вывода для nepBoro варианта значений входных переменных
) HulL' VII!wt. r IпmЩнq(' Plr;]D
' : - ; ' !!:.;;;i::>t? -it': '"irJ(.. . ,:: . f.1:, .ЧЕ,:: :; 't...,;;;, : щР Н r1i : ":.::.;f; ji ;;:\! t ;; { ;,J.i:.;;rif .,i'VP.;j
"8С1'аМJlОЖ'НИ' . э
DTAI'nl(8 . 5
8КТНIIЫ" 4
A(l)(O",-.
ElЫI1JIlты"2
kpе.днтоспособноС'Т" : 3 42
1
2
3
.
5
6
7
е
9
10
11
12
13
14
15
Iб
17
18
19
20
"
п
23
24
2б
2б
27
2б
29 .
32
33
э..
35
35
--
t; ,:;
Е
11
r----
r
.\ ; Ir ;::: ..]]
,,' ': tr ' ! ';; :,, .: ! < ::'ы...,''' Ч
! : l
ш i
r . . 1
r I
-- 1
' b :
Рис. 17.8. rрафический интерфейс nporpaMMbI просмотра правил после выполнения
процедуры нечеткоrо вывода для BToporo варианта значений входных переменных
478
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
римечание
Для более тонкой настройки построенной нечеткой модели необходимо допол
нить ее конкретными методиками балльной оценки отдельных количественных
значений входных и выходных линrвистических переменных. Поскольку такие
методики в значительной степени зависят от рассматриваемой проблемной
области, от сложившейся на данный момент рыночной конъюнктуры и имеют
частный характер для KOHKpeTHoro банка, здесь они не рассматриваются.
Для общеrо анализа разработанной нечеткой модели также может оказаться по-
лезной визуализация соответствующей поверхности нечеткоrо вывода (рис. 17.9).
Данная поверхность нечеткоrо вывода позволяет установить зависимость значе
ний выходной переменной от значений отдельных входных переменных нечет-
кой модели. Анализ этих зависимостей может служить основанием для измене
ния функций принадлежности входных переменных или не тких правил с целью
повышения адекватности системы нечеткоrо вывода для конкретных стратеrий
банков.
.) Surface Vlewer mortgttge 1!!I[!JE1
.. -о < - . _ '." .
F!! J:d , " ; 'Opfion
"';' :, 6
t 5
о
х
'g 4 "
и
о
. з;'
Ii
2
ft .'
1
10
1.-<:;;;, '":
- .",..",,"
';'<;' :1 : :;:;: ' ""
.w.
.'",.*"""
10
QrlJeJ1
00,
2,
4
"'6
8
5
..е,ЩРЩ),J10Жl!НI<\
. (i;1J:lU
9П :;
. 1 .,МеСТРnO ,Ы '
1 15 ...
;
p.l.......:r.J . 'Z(.очtPudt
\ j 15 .
: 1 pe!iii1itQc b:) ; :
';'; ;r; ;щ :; , .
.R!f;InpЦt: '. I ,[NBN NaN 5 . 5I
; ' 1 . . '. ' : '. : ': ' ; 1 .
he , 'С,;,'
. '
Рис. 17.9. Визуализация поверхности нечеткоrо вывода
рассматриваемой модели для ВХОДНЫХ
переменных "местоположение" и "отделка"
rлава 17. Примеры разра60ТКИ нечетких моделей принятия решений в среде MATLAB 479
Следует отметить также то обстоятельство, что разработчики данной нечеткой
модели отмечают ее несколько упрощенный характер по сравнению с реально
используемой в процессе принятия решений руководством банка. В то же время
рассмотренная нечеткая модель обладает достаточно высокой адекватностыQ,
что обуславливает ее успешное применение в практике финансовых операций
банка Horne&Savings Bank.
В заключение этоrо примера следует отметить, что реализация данной нечеткой
модели в среде МА TLAB отличается от ориrинальной модели в среде
fuzzyTECH. Более подробно особенности построения соответствующей нечеткой
модели средствами системы fuzzyTECH рассматриваются в 2лаве 20.
17.2. Анализ и проrнозирование
валютных цен на финансовом рынке
в качестве BToporo примера построения и использования адаптивной системы
нейро нечеткоrо вывода рассмотрим процесс разработки нечеткой модели rиб
ридной сети для решения задачи проrнозирования валютных цен на финансовом
рынке.
Суть данной задачи состоит в том, чтобы, зная динамику изменения курсовой
стоимости продажи некоторой валюты за фиксированный интервал времени,
предсказать значение ее курсовой стоимости на определенный момент времени в
будущем. При этом характерной особенностью динамики изменения курса
(тренда) является наличие двух основных тенденций в колебаниях COOTBeTCT
вующих цен.
С одной стороны, наблюдается общее долrосрочное повышение курсовой стои
мости, связанное с величиной инфляции. С друrой стороны, наблюдается KpaT
косрочное колебание цен, связанное с uелым рядом случайных факторов, aдeK
ватное представление которых в той или иной формальной модели вряд ли
возможно.
"--
Традиционно для решения данной задачи применяются различные модели Tex
ническоrо анализа, основанные на использовании различных индикаторов. В то
же время наличие неявных тенденций в динамике изменения курсовой стоимости
валют позволяет применить модель адаптивных нейро нечетких сетей.
В качестве исходных данных можно воспользоваться информацией о динамике
курса ЦБ рф по валюте "Доллар США" (USD) за некоторый временной интер
вал, которая доступна в Интернете по адресу: www.finmarket.ru. Для KOHKpeTHO
сти возьмем значения курсовой стоимости lJSD за I единицу в период с I октяб
ря 2002 с. по 1 О декабря 2002 с. Данную информацию для удобства дальнейшей
работы представим в табличной форме (табл. 17.2).
480
Часть 11. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Таблица 17.2. Динамика курса иностранной валюты (USD)
в период с 1.10.02 по 10.12.02
Дата Курс USD Дата Курс USD Дата Курс USD
01.10.02 31.6827 01.11.02 31.7701 03.12.02 31.8547
02.10.02 31.6919 02.11.02 31.7646 04.12.02 31.8584
03.10.02 31.6982 05.11.02 31.7744 05.12.02 31.8596
04.10.02 31.6809 06.11.02 31.7909 06.12.02 31.8578
05.10.02 31.68 07.11.02 31.7756 07.12.02 31.86
08.10.02 31.6795 11.11.02 31.7756 10.12.02 31.8597
09.10.02 31.6799 12.11.02 31.7756
10.1О.О2 31.6803 13.11 .02 31.8226
_"
11.10.02 31.6685 14.11.02 31.8157
12.10.02 31.6703 15.11.02 31.8203
15.10.02 31.6703 16.11.02 31.8225
16.10.02 31.6762 19.11.02 31.8231
17.10.02 31.6767 20.11.02 31.8224
18.10.02 31.6761 21.11.02 31.823
19.10.02 31.6727 22.11.02 31.8248
22.10.02 31.6973 23.11.02 31.8222
23.10.02 31.7272 26.11.02 31.8416
24.10.02 31.7159 27.11.02 31.8382
25.10.02 31.7109 28.11.02 31.84
26.10.02 31.7314 29.11.02 31.84
29.10.02 31.7411 30.11.02 31.8424
30.10.02 31.6977
31.10.02 31.7408
Предположим, что нечеткая модель rибридной сети будет содержать 4 входных
переменных. При этом первая входная переменная будет соответствовать курсу
USD на текущий банковский день, вторая курсу USD на предыдущий банков
ский день, т. е. на день (i I), rде через i обозначен текущий банковский день. To
rда третья входная переменная будет соответствовать курсу USD на (i 2) бан
ковский день, а четвертая курсу USD на (i 3) банковский день.
Соответствующие обучающие данные MorYT быть сведены в отдельную таблицу.
Объем полученной таким образом обучающей выборки равен 40 (табл. 17.3), что
rлава 17. Примеры разработки нечетких моделей принятия решений в среде МА TLAB 481
соответствует ДИНамике курса USD в период с 4 октября 2002 [. по 29 ноября
2002 r. При этом данные за декабрь 2002 [. не вошли в состав обучающей выбор
ки и MorYT быть использованы ДЛЯ проверки адекватности построенной нечет
кой модели.
Таблица 17.3. Обучающие данные для построения модели rибридной сети
Первая Вторая Третья Четвертая Выходная
входная входная входная входная переменная
переменная переменная переменная переменная
31.6809 31.6982 31.6919 31.6827 31.68
31.68 31.6809 31.6982 31.6919 31.6795
31.6795 31.68 31.6809 31.6982 31.6799
31.6799 31.6795 31.68 31.6809 31.6803
31.6803 31.6799 31.6795 31.68 31.6685
31.6685 31.6803 31.6799 31.6795 31.6703
31.6703 31.6685 31.6803 31.6799 31.6703
31.6703 31.6703 31.6685 31.6803 31.6762
31.6762 31.6703 31.6703 31.6685 31.6767
31.6767 31.6762 31.6703 31.6703 31.6761
31.6761 31.6767 31.6762 31.6703 31.6727
31.6727 31.6761 31.6767 31.6762 31.6973
31.6973 31.6727 31.6761 31.6767 31.7272
31.7272 31.6973 31.6727 31.6761 31.7159
31.7159 31.7272 31.6973 31.6727 31.7109
31.7109 31.7159 31.7272 31.6973 31.7314
31.7314 '31.7109 31.7159 31.7272 31.7411
31.7411 31.7314 31.7109 31.7159 31.6977
31.6977 31.7411 31.7314 31.7109 31.7408
31.7408 31.6977 31.7411 31.7314 31.7701
31.7701 31.7408 31.6977 31.7411 31.7646
31.7646 31.7701 31.7408 31.6977 31.7744
31.7744 31.7646 31.7701 31.7408 31 .7909
31.7909 31.7744 31.7646 31.7701 31.7756
31.7756 31.7909 31.7744 31.7646 31.7756
482 Часть /1. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Твблицв 17.3 (окончание)
Первая Вторая Третья Четвертая Выходная
входная входная входная входная переменная
переменная переменная переменная переменная
31.7756 31.7756 31.7909 31.7744 31.7756
31.7756 31.7756 31.7756 31.7909 31.8226
31.8226 31 .7756 31.7756 31.7756 31.8157
31.8157 31.8226 31.7756 31.7756 31.8203
31.8203 31.8157 31.8226 31.7756 31.8225
31.8225 31 .8203 31.8157 31.8226 31.8231
31.8231 31.8225 31 .8203 31.8157 31.8224
31.8224 31.8231 31.8225 31.8203 31.823
31 .823 31.8224 31.8231 31.8225 31.8248
31.8248 31.823 31.8224 31.8231 31.8222
31.8222 31.8248 31.823 31.8224 31.8416
31.8416 31.8222 31.8248 31.823 31.8382
31.8382 31.8416 31.8222 31.8248 31.84
31 .84 31.8382 31.8416 31.8222 31.84
31.84 31.84 31.8382 31.8416 31.8424
Примечание
Для большеrо удобства подroтовки соответствующеro файла с обучающими
данными целесообразно воспользоваться редактором электронных таблиц MS
Excel, обладающим возможностью копирования содержимоro ряда ячеек.
Сохраним обучающую выборку во внешнем файле под именем priceUSD.dat.
После этоrо откроем редактор ANFIS, в который заrрузим этот файл с обучаю
щими данными. Внешний вид редактора ANFIS с заrруженными обучающими
данными изображен на рис. 17.10.
Перед rенерацией структуры системы нечеткоrо вывода типа CyreHo после
вызова диалоrовоrо окна свойств зададим для каждой из входных переменных
по 3 ЛИНl'вистических терма, а в качестве типа их функций принадлежности BЫ
берем треуrольные функции (установленные системой МА TLAB по умолчанию).
В качестве типа функции принадлежности выходной переменной зададим линей
ную функцию (рис. 17.1 1).
Тлава 1 Z Примеры разработки нечетких моделей принятия решений в среде МА TLAB 483
) Anti!; Editor' priceUSD
'Ri{ftJ jVi '
. < < - . .. .> . ,<,,-
.с:;:"
1}:,о", :
;:.
;;тr, ФiqQрat :<dР'О): "
3t:8 ;
....... .!
t
о
000 000
О 00 О
00
a 7 О
., 00000000000
311.65:,,,..,,,
..", '''':0 ,; 5;
о
l!Iоа
,-.: ';- '.
".AN li\jO:
.. .
00000.,
000000000
,'; ;,1
.of.inp ;
.' ЗЗ : ..:'"
, ., lioftfain'data
i .. p Si:ib '" '"
f
r 1
; ;,: ,FiS
'20'"'' '2S<'Ф'ЗО
'35
401
SЩte.
Оват PJoi
f ;;:, M <m;
:'€T iijg
;;'(0" idis , k , ''."
....,'fQstn9;' ,,' ,."'
/"' g
, .r'bemO:,
; :LPf),tiЬe.ta.;;! ;,Ф arD ta . 1 ; ',','
'lr9rrdi J:.,
Lo fror11 pj ,
.Со G':d.eat ti nl
:.( $!!b,(';I $ rg
' ereief'lsti.,,, J
1 . d i : "" '
. : ' ::
6!rotTo{Eiremqh'\ ' ;r.Tra[riiliij data
I о ' .. J'" fettiпg d;ata
E p otlis'
1 1 о r<(;h!3 ckiп g date,
flcinNow , , If
tеsiЪ!i:iw '
--..=
!' Н "
"f.ie1P'
1 :
'tIOs,,' ,
, 1)
Рис. 17.10. rрафический интерфейс редактора ANFIS
после заrрузки обучающих данных
)
_°13
" ЧЦl r;oi s;
': ; , зз з з "
. "" """,. !r"".'"'''''''' <>
: :Tii, ssjgn CliftElr8i1t
. ntifn'/jerbf Mf'$ to
!1cli\nрut:чs "
'ip t?f1 pel
the'$e nuinbers<
,
,:.:;/>"'.
,M,F 1t!(l? ;\
I"",f
, trapfflt;" <
91:1e1l m (
! ; t:
lil1if ,
dsigrnf
psigrnf
r ,:T ' J ..
ос''';';:;:-.
; , I
с._" _,
':;";1 '] ;,
..::..
k ,'" I ,'. I 'ОК
Рис. 17.11. Диалоrовое окно для задания количества
и типа функций принадлежности
484
Часть /1. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
Для обучения rибридной сети воспользуемся rибридным методом обучения с
уровнем ошибки О, а количество циклов обучения зададим равным 10. После
окончания обучения данной rибридной сети может быть выполнен анализ rpa
фика ошибки обучения (рис. 17.12), который показывает, что обучение практи
чески закончилось после 3 ro цикла.
.) Лnfl'; E:dllor: prlccUSD
*
*
\'.. ,j: g;;'>;:' :i Wl' i ::i. : :: . :,;-: 7 :;
ROEJ
..:H t;i+l': I .:"
; ; ': ;j 1 ; 1
Рис. 17.12. rрафик зависимОСТи ошибки обучения
. от количества циклов обучения
После обучения rибридной сети можно визуально оценить структуру Построен
ной нечеткой модели (рис. 17.13). Очевидно, rрафическая наrлядность данной
модели оставляет желать лучшеrо, поскольку общее количество правил в разра-
ботанной адаптивной системе нейро нечеткоrо вывода равно 81, (по затрудняет
их визуальный контроль и оценку.
С помощью rрафических средств системы МА TLAB можно выполнить контроль
и настройку параметров функций принадлежности входных переменных и пра
вил нечетких продукций. Для выполнения соответствующих операций можно
воспользоваться peдa TopOM функций принадлежности (рис. 17.14). Однако до
проверки адекватности построенной нечеткой модели оставим все параметры
функций принадлежности без изменений.
rлаsа 17. Примеры разработки нечетких моделей принятия решений в среде МА TLAB 485
.) Anfls Model Slructure
оа
oulpUI
Logic;.a/ OperilllOns
. and
. or
м()1
.ClI,ck9 : e.d,:! .9 .to,sQe de1aill?d inforтe.ti __
,.., ,.... ,Ф...,, :. /' ...;i :"' ," _:.Jf.:.: <.1_ ,..(!'...' . '- о -. <, ,, .
Updete
Не!р
Ciose
11
Рис. 17.13. Структура сrенерированной системы нечеткоrо вывода
Выполним проверку адекватности построенной нечеткой модели rибридной ce
ти. Для этой цели сделаем ретроспективный проrноз значения курсовой стоимо
сти USD на следующий банковский день, например, на 3 декабря 2002 r., считая
для этоrо случая текущим банковским днем 30 ноября 2002 r.
Поскольку точность количественных значений, обеспечиваемая rpафическими
средствами пакета Fuzz Logic ТооlЬох, является недостаточной для решения
данной задачи, воспользуемся функцией командной строки evalfis. В качестве
aprYMeHToB этой функции (см. приложение З) укажем вектор значений курсовой
стоимости USD на текущий и 3 предшествующих банковских дня. Полный фор
мат Вblзова этой функции будет следующим:
out evalfis([31.8424 31.84 31.84 31.8382), priceUSD)
rде out условное имя выходной переменной; 31. 8424 значение курсовой
стоимости USD на 30.11.02; 31. 84 значение курсовой стоимости USD на
29.11.02; 31.84 значение курсовой стоимости USD на 28.11.02; З1.8З82
значение курсовой стоимости USD на 27.11.02; priceUSD имя структуры FIS,
предварительно заrруженной в рабочую область системы МА TLAB.
486
Часть 1/. Нечеткое моделирование в среде МА ТLAB
I!!IОIЗ
.) Membcrship FUnClion Edilor: priccUSD
F'[I , ! i! "vlчн
FIS VariabIes
Ra ge, ! У1 6 ,P6 ] pи $,
Di$PlliyRe.nge I J 1.67 316 .' :, k . ..ti p,
R!!e.d)t
IZZI
inpul1 oulpul
[хх]
CIJrren V ebjEi
Neroe
ТуРе
Membership funclion plols
plOI points: .)181 .
in1mG
ill1фП
in1 mf2
11 t?:
:i! !!1 31 -;Е:
: 1 . :oe
?1 Э З :::;: :1! 84
3 ?
. QirreпtМeiП hi rЙi 1iiМ( ,Gk(;,iМF , еiе,Ct) ': '
inpI.Jt1
'. -:Н '. . < ::.. ':':
J i l !l
l ;tfirnJ .'
;i
NeJ11f>(
Jtlput
T ;
J [31.56 Зl.67:3175]
' т .
-.:,-:".1'
Щ$
.:: 1 1 /
Рис. 17.14. rрафический интерфейс редактора функций принадлежности
построенной системы нечеткоrо вывода для про верки первой входной переменной
I!!IОrз
.) Command Window
. fiie E ' e. ,, \'1d()\!ok 1:jEiI(J.
374. 1 С.-
375. 1
376. 1
377. 1
378. 1
379. 1
380. 1
381. 1
» out=evalf1a([31.8424 31.84 31.84 31.8382j,pr1ceUSDI
lIarn1nq: I"'p1icat1on lnetl10d зhоuld Ье .'prod" for Suqeno syste",s.
> In с: \ИАТLАБ6Р5\toоlЬох\fuzzу\fuzzу\еvаlfis... at line 54
lIa"n1n\J: So..e input values are outside of tЛе spec1fied input ran\Je.
> In с: \ИАТLАБ6Р5\tооlЬох\fuzzу\fuzzу\еvаlf1s.D at l1ne 73
out =
31.8547
»1
.( , .
jJ
. :...:" __:. ,::,, . '..: " ".: : : ;"':' "i,." .: ), <.-
>' .t . ;, <.d
Рис. 17.15. Окно команд с отображением резулЬТата оценки
построенной нечеткой модели rибридной сети
rпaвa 17. Примеры разработки нечетких моделей принятия решений в среде МА TLAB 487
После выполнения этой команды с помощью разработанной нечеткой модели
будет получено значение выходной переменной для 3.12.02, равное 31.8547
(рис. 17.15). Сравнивая полученное значение с соответствующим значением из
табл. 17.2, можно констатировать абсолютное совпадение этих значений (!), He
смотря на два предупреждения при выполнении команды нечеткоrо вывода сис
темой МА TLAB.
Таким образом, проверка построенной нечеткой модели rибридной сети пока
зывает достаточно высокую степень ее адекватности реальным исходным дaH
ным, что позволяет сделать вывод о возможности ее практическоrо использова
ния для проrнозирования курсовой стоимости USD на финансовом рынке
валют. В этом случае нечеткие модели адаптивных систем нейро нечеткоrо BЫ
вода MorYT считаться новым и конструктивныM инструментом техническоrо
анализа финансовых рынков.
Рассмотренный подход является перспективным направлением для построения и
использования соответствующих нечетких моделей проrнозирования цен друrих
финансовых инструментов, таких как курсы друrих валют, акций компаний,
фьючерсов и опционов. Действительно, общим для всех этих инструментов с по
зиций техническоrо анализа является отсутствие априорных предположений о
динамике колебаний соответствующих курсов цен, что вполне соrласуется с ис
ходными предпосылками построения нечетких моделей адаптивных систем ней
ро нечеткоrо вывода.
.::.(!' ' .......Т................ .............. :::;::
r , ...... tR .... .... :
.'
ЧАСТЬ 111
НЕЧЕТ КОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В СРЕДЕ fuzzvTECH
Проrрамма fuzzyTECH, разработанная и постоянно обновляемая компанией
INFORM GmbH (InfOl'm Software Corpol"ation, rермания), предназначена для
решения различных задач нечеткоrо моделирования. В отличие от системы
МА TLAB, проrрамма fuzzyTECH является специализированным средством, KO
торое позволяет разрабатывать и исследовать разнообразные нечеткие модели в
rрафическом режиме, а также преобразовывать их в проrраммный код на одном
из языков проrраммирования с возможностью последующей реализации в про
rраммируемых микроконтроллерах.
Проrрамма fuzzyTECH обладает возможностью использования ее в качестве
сервера или клиента при нечетком управлении удаленными объектами. Интерес
ной особенностью проrраммы fuzzyTECH, которую также следует обязательно
отметить, является возможность автоматической rенерации документации по
нечетким моделям в виде текста с иллюстрациями в формате RTF.
rлава 18
. _ .' i" ' -......... .........
"':9rr.,: ..... .. :
. !r!':' : :\, :
. . ..,. ""
.
Общая характеристика
nporpaMMbI fuzzyTECH
в настоящей книrе рассматривается демонстрационная версия проrраммы
fuzzyTECH 5.52 (далее просто fllzzyTECH), которая доступна в Интернете по
адресу: www.fuzzytech.com. Дистрибутив проrраммы в форме самораспаковы
вающеrося архивноrо файла занимает около 16 Мбайт. Основными оrраниче
ни ям и демонстрационной версии проrраммы fuzzyTECH являются отсутствие
возможности сохранения проекта и rенерации проrpаммноrо кода на том или
ином языке проrраммирования.
Системные требования, которым должен удовлетворять компьютер пользовате
ля для инсталляции проrраммы fuzzyTECH, следующие.
D Процессор 486 и выше (для лучшей производительности рекомендуется
Pentium 1).
D Операционная система MS Windows 9х, MS Windows 4.0 или выше.
D Оперативная память (RAM) как минимум 16 Мбайт.
D Свободное место на жестком диске, необходимое для установки проrраммы
fllzzyTECH, как минимум 25 Мбайт.
D rрафический адаптер как минимум VGA (256 цветов при разрешении
800х600) и монитор, поддерживающий не менее 256 цветов.
D Один из браузеров Интернета для просмотра документации в формате HTML
и доступа к сайту компании INFORM GmbH по адресу: www.fuzzytech.com.
D Проrрамма Adobe ACl"Obat Readel" для просмотра документации в формате
PDF.
Процесс инсталляции проrраммы достаточно традиционен и предполаrает ввод
установочноrо пароля. Для получения установочноrо пароля на сайте компании
INFORM GmbH необходимо заполнить реrистрационную карту, после чеrо па
роль высылается пользователю по e maH.
492
Часть /11. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
18.1. Общая характеристика
нечеткоrо проекта в среде fuzzyTECH
Каждая система нечеткоrо вывода в проrрамме fuzzyTECH представляется в
форме отдельноrо проекта (Pl'oject). При этом следует заметить, что в проrрамме
fuzzyTECH проекты называются нечетКО-ЛОluчесКlНtu сuстеJlюми или системами
нечеткой лоrи ки (FlIzzy Logic Systems, сокращенно FLS).
Примечание
С целью унификации терминолоrии и обозначений в части 1/1 нечетко лоrические
системы в контексте проrpаммы fuzzyTECH обозначаются общим для всех по-
добных систем термином системы нечеткоао вывода. В то же время COKpa
щение FIS, принятое в системе МА TLAB для систем нечеткоro вывода, чтобы из
бежать возможной путаницы, здесь использоваться не будет. поскольку является
специфичным для нечетких моделей пакета Fuzzy Logic Т oolbox.
Хотя проrрамма fuzzyTECH и система МА TLAB используют единые принципы
нечеткоrо моделирования, существует несколько принципиальных отличий в
реализации систем нечеткоrо вывода f'LS в проrрамме fllzzyTECH от ранее рас-
смотренных систем FIS в пакете FlIzzy Logic Toolbox. rлавные из них изложены
ниже.
О Проект системы нечеткоrо вывода в fuzzyTECH может иметь несколько бло-
ков правил (RlIle Blocks) нечетких продукций, каждый из которых может co
держать собственные входные и выходные ЛИНl"вистические переменные. При
этом отдельные блоки правил мотут соединяться между собой последова-
тельным или параллельным образом.
О Кроме входных (Inpllts) и выходных (Olltputs) линrвистических перемен-
ных проекты fuzzyTECH мотут иметь так называемые IlРOJwе:JlCутОЧllые
(llltепnеdiаtеs) линrвистические псременные. Эти переменные появляются в
тех СЛУ(IaЯХ, котда блоки пр,шил соединяются последовательно, т. е. выход
одноrо блока праВItП соединяется с входом друr"оrо блока правил.
О Все операции по разработке, редакrированию, отладке и анализу проектов в
проr'ра I lе fllzzyTECH выполняются в l-рафическом интерактивном режиме,
при этом для создания прототипов проектов и спецификации их отдельных
компонентов мотут быть использованы различные мастера (WizaI'ds).
О На основе разработанноrо и отлаженноrо проекта Проrраммой fuzzyTECH
может быть сrенерирован проrраммный код реализации системы нечеткоrо
вывода на одном из языков проrраммирования (С, Java, MS Visиal С++, MS
Visual Basic, MS VBA, COBOL,AssembIel', язык m файлов системы MATLAB).
В дальнейшем полученные подобным образом листинrи проrраммноrо кода
мотут быть откомпилироваНbJ для той или иной вычислительной платформы
и использованы независимо от проrраммы fllzzyTECH для реализации в не-
четких микроконтроллерах.
rпasa 18. Общая характеристика nporpaMMbI fuzzyTECH
493
Примечание )
Хотя система МА TLAB таюке позволяет в отдельных случаях преобразовывать
m файлы в проrраммный код на языке С. однако проrрамма fuzzyTECH специ
ально ориентирована на более тесную интеrрацию с аппаратной реализацией
нечетких моделей управления в нечетких микроконтроллерах. Поэтому кроме
рассматриваемой версии проrраммы fuzzyTECH 5.5 Professional существуют
таюке и друrие варианты этой проrраммы, а именно: fuzzyTECH Опliпе IA S5,
Fuzzy 166, MCU C, MCU 96, MCU 166, MCU 320, MCU 51. MCU 374, MCU ST6,
MCU-MP, MCU HC11/12. MCU HC05108, которые специально ориентированы на
тот или иной тип микропроцессор6 и позволяют rенерировать код на языке
Ассемблера. Так, например, релизы MCU HC11/12 и MCU HC05108 предназна
чены для использования с нечеткими микроконтроллерами компании Motorola.
Кроме этоrо. указанные релизы MOryT отличаться функциональностью модуля
(RTRCD. Rea/ Time Remote Contro/ Debug).
(j Разработчики проrраммы fllzzyTECH явно указывают оrраничения на раз
мерность проектов систем нечеткоrо вывода, которые MOI"YT быть реализова
ны в ее среде. Рассматриваемая версия проrраммы fllzzyTECH 5.5 Professional
имеет следующие количественные оrpаничения на отдельные компоненты
разрабатываемых проектов:
. общее количество линrвистических переменных проекта не должно пре
вышать 255, из них входных 255 и выходных 32;
. каждая из линrвистических переменных может иметь не более 32 нечетких
термов или не более 255 обычных (CategOl'ical), т. е. не нечетких значений.
При этом общее количество термов у всех переменных не должно превы-
шать 65 535;
. общее количество блоков правил нечетких продукций проекта не должно
превышать 32. При этом у каждоrо блока правил может быть не более 11
входных и 11 выходных линrвистических переменных.
(j Использование в проrpамме fllzzyTECH технолоrии динамическою обмена
данны.ми (Dynamic Data Exchange или сокращенно DDE) позволяет COBMe
стно использовать разработанные нечеткие модели с друrими проrраммами и
инструментами, такими как MS Access, MS Excel, МА ТLAB. При этом про
rpaMMa fllzzyTECH может выступать как в роли сервера, так и в роли клиен
та, что существенно расширяет диапазон возможных приложений разрабаты
ваемых нечетких моделей. В последнем случае для нечеткоrо управления
удаленными объектами необходимо использовать тот или иной протокол пе
редачи данных (TCP/IP, IPXlSPX) и дополнительные интерфейсы (последо
вательный интерфейс RS232, SDI 5, SFS, FTOCC).
О Все проекты в среде fuzzyTECH сохраняются в отдельных файлах проектов
формата FTL (FlIzzy Technology Langllage), которые имеют расширение ftl.
Они представляют собой обычные текстовые файлы, которые можно про
сматривать и редактировать любым АSСП редактором (например, MS
Notebook). Формат FTL был специально разработан компаниями Intel Corp.
и Inform Sоftwю'е Corp. в 1991 r. для представления систем нечеткоrо вывода
494
Часть 1/1. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
в форме структурируемоrо текста. Этот формат поддерживают все ведущие
разработчики проrраммных и аппаратных решений, основанных на исполь
зовании систем нечеткой лоrики, позволяя осуществить их перенос на раз
личные платформы.
Примечание
Файлы формата FTL по своей структуре аналоrичны записи системы нечеткоrо
вывода на языке FCL (см. алаву 8). Последнее отнюдь не случайно, поскольку
проrрамма fuzzyTECH поддерживает стандарт IЕС 1131 7. 8 то же время нель
зя не заметить, что файлы проектов формата FTL таюке напоминают распро
страненные ранее файлы конфиryрации оборудования, имевшие, как правило.
расширение ini. Пример файла формата FTL с характеристикой ero структуры
приводится В приложении 4.
L] Кроме формата FТL, файлы проектов MorYT быть представлены в формате
FTR (fuzzyTECH RlIntime), соответственно, с расширением ft1'. Файлы фор
мата FTR, в отличие от формата FTL, представляют проекты в бинарном ви
де. При этом форма представления зависит от используемой версии проrpам
мы fuzzyTECH. Файл формата FTR содержит всю информацию о проекте и
может быть использован для преобразования в соответствующий файл про
екта формата FTL.
L] Внечетких проектах fllzzyTECH MorYT быть использованы различные типы и
формы функций принадлежности термов линrвистических переменных. Что
касается типов функций принадлежности, то пользователь может выбрать
один из вариантов, приведенных ниже.
. СтаJ/дартJ/ЫЙ вариант функции принадлежности (Standa1'd MBFs), KOTO
рый иноrда называют "4 точечным" вариантом, поскольку основан на ис
пользовании 4 характеристических точек или параметров для задания co
ответствующей функции принадлежности.
. Произвольный вариант функции принадлежности (A1'bit1'a1'Y MBFs), в paM
ках KOToporo можно использовать до 16 характеристических точек или
параметров для задания или аппроксимации соответствующей функции
принадлежности.
. Инверсный вариант функции принадлежности (Invel'se MBFs), который
может оказаться полезным при определении правил нечетких продукций с
отрицанием существующих в проекте термов (invel"se te1'ms) для отдельных
линrвистических переменных.
L] Каждый из типов функции принадлежности может иметlt одну из форм, при
веденных ниже.
. Линейную (L shape), которая предполаrает представление функции при
надлежности в форме треуrольной, трапециевидной функции или их HeKO
торой комбинации.
r лава 18. Общая характеристика nporpaMMbl fuzzy ТЕСН
495
. S образную (S shape), которая предполаrает представление функции при
надлежности в форме некоторой S ообразной, Z образной или П образ
ной кривой (см. славу 2).
l.] В проrрамме fllzzyTECH MorYT быть различные методы фаззификации BXOД
ных переменных. При этом пользователь может выбрать один из следующих
вариантов фаззификации.
. Стандартный метод фаззификации (Compute MBF) предполаrает исполь
зование функций принадлежности стандартноrо типа треуrольных,
трапециевидных и кусочно линейных кривых.
. Нечеткий вход (FlIzzy Input) указывает, что Bc e термы соответствующей
линrвистической переменной представляются в форме вектора значений
функции принадлежности. Этот вариант более эффективен при реализа
ции систем нечеткоrо вывода на конкретной аппаратной платформе.
. Нечеткий вход в форме таблицы (Look lIp MBF) указывает, что нечеткие
значения соответствующей линrвистической переменной вычисляются с
помощью HeKoToporo алrоритма и представляются в форме таблицы. Этот
вариант может быть использован для увеличения скорости вычислений на
некоторых типах микроконтроллеров и нечетких микропроцессоров.
. Быстрый метод фаззификации (Fast Cornplltation of MBF) является разно
видностью стандартноrо метода применительно к некоторым конкретным
типам микроконтроллеров. Этот вариант обладает наибольшей эффек
тивностью при использовании конкретной аппаратной платформы.
. Обычный вход (Categorical) указывает, что все термы соответствующей
линrвистической переменной представляются в форме обычноrо вектора
значений.
l.] Внечетких проектах fuzzyTECH MorYT быть также использованы различные
методы аrреrирования, композиции, аккумуляции и дефаззификации полу
ченных результатов нечеткоrо вывода. Для аrреrирования подусловий пра
вил нечетких продукций разработчик может воспользоваться одним из сле
дующих вариантов:
. rnin rnax для лоrическоrо нечеткоrо И используется операция минимума
(6.2), для лоrическоrо нечеткоrо ИЛИ операция максимума (6.6), для
лоrическоrо отрицания НЕ операция разности (6.1). При этом может
быть использован дополнительный параметр компенсации ЛЕ[О, 1] для по
лучения окончательноrо значения результата аrреrирования подусловий в
соответствии со следующей формулой:
b ==(1 л). rnin { (аi)}+Л' тах { (ai)};
iE{I, 2,..., т} iE{I, 2,..., т}
(18.1)
. rnin avg для лоrическоrо нечеткоrо И используется операция минимума
(6.2), для лоrическоrо нечеткоrо ИЛИ арифметическое среднее, для ло
rическоrо отрицания НЕ операция разности (6.1). При этом может быть
использован дополнительный параметр компенсации ЛЕ [О, 1] для получе
496
Часть 11/. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
ния окончательноrо значения результата аrреrирования подусловий в co
ответствии со следующей формулой:
" т (a.)
bk =(1 л).. min { (а;)}+л' L ;
lE{I, 2,.., т} ;=1 т
(18.2)
. gamma для аrреrирования подусловий правил нечетких продукций ис
пользуется следующая формула:
т т
b ::: (П (аl »I Y .(1 п (1 (a; »)У,
;=1 ;=1
(18.3)
rде У количественный пара метр компенсации, задаваемый разработчи
ком из некоторых эвристических соображений (УЕ[О, 1]).
О Для композиции заключений правил нечетких продукций пользователь MO
жет воспользоваться одним из следующих вариантов задания весовых коэф
фициентов правил (при этом используется метод рrоd активизации, опреде
ляемый в соответствии с формулой (7.7».
. Стандартный (Standard), при котором значение BecoBoro коэффициента
для каждоrо правила предполаrается неизменным и равным 1.
При меча ни е
Следует заметить, что хотя в проrрамме fuzzyTECH весовой I<оэффициент пра
вила нечеткой продукции получил название степени поддержки (Oegree of
Support или сокращенно OoS), из соображений унификации терминолоrии для
DoS будет использоваться более традиционный термин весовой коэффициент.
. Определяемый пользователем (Fuzzy Associative Maps или сокращенно
F АМ), при котором значение BecoBoro коэффициента DoS для каждоrо
правила можно изменять в пределах интервала [О, 1].
О Для аккумуляции заключений правил нечетких продукций пользователь мо-
жет воспользоваться одним из следующих методов:
. обычным (тах), при котором результат нечеткоrо вывода в блоке правил
нечетких продукций определяется как объединение нечетких множеств по
формуле (6.б);
. zранuчной суммы (bsum), при котором результат нечеткоrо вывода в блоке
правил нечетких продукций определяется как объединение нечетких MHO
жеств по формуле (6.8).
О В проектах fllzzyTECH MorYT быть использованы различные методы дефаз
зификации выходных переменных. При этом пользователю предоставляется
возможность выбора одноrо из следующих методов дефаззификации.
. Стандартный метод (Center of Maximllm или сокращенно СоМ), кото-
рый, по мнению разработчиков, представляется методом наилучшеrо
компромисса для получения окончательноrо значения выходных перемен-
rлаВа 18. Общая характеристика nporpaMMbI fuzzyTECH
497
ных. В nporpaMMe fllzzyTECH метод дефаззификации СоМ работает aHa
лоrично методу центра тяжести СоО, определяемому по формуле (7.9).
. Метод центра lL'lOщадu (Сепtrе-оf Аrеа или сокращенно СоА), который
определяется по формуле (7.11).
. Метод средНе20 маКСUМ)'Jиа (Mean of Maxil1ll1m или сокращенно МоМ),
который, по мнению разработчиков, представляется наиболее rибким Me
тодом и определяется как арифметическое среднее между левым (7.12) и
(7.13) правым модальными значениями, при этом в качестве моды нечет
Koro множества рассматривается максимальное значение ее функции при
надлежности.
. Метод 2Иllерцентра маКСUА1УllЮ (Нуреl' Centel' of Maximllm или сокращен
но HyperCoM), который может быть использован только в ДОПОJ'1НИ
тельных модулях проrраммы fllzzyTECH. Этот метод позволяет учитывать
положительные и отрицательные результаты нечетких выводов и в COOT
ветствии с этим формирует некоторое оптимальное значение для BЫXOД
ных переменных.
t:
Примечание
Как можно заметить, используемые в проrрамме fuzzyTECH сокращения СоМ и
МоМ для методов дефаззификации отсутствуют в описании языка FCL (см. zлаву 8).
Этот факт предстаВf!яется по меньшей мере странным, поскольку компания
INFORM GmbH не только объявила о подцержке в проrрамме fuzzyTECH стандарта
'ЕС 11З1 7, но, по всей видимости, была в числе разработчиков последнеro
18.2. Основные элементы рабочеrо
интерфейса nporpaMMbI fuzzyTECH
После инсталляции в rлавном меню MS Windows появляется новая проrраммная
rpynna с именем: fllzzyTECH 5.5. Для запуска nporpaMMbI следует выбрать ссют
ветствующий пункт меню в этой проrраммной rpynne (Пуск>Проrраммы>
fuzzyTECH 5.5>fuzzyTECH 5.5 Professional Edition). После запуска проrраммы
fllzzyTECH на экране появится рабочий интерфейс (r'лавное окно) nporpaMMbI с
пустым проектом (рис. 18.1).
Если уже имеется разработанный ранее нечеткий проект, то ero можно выбрать
и заrрузить в проrрамму fuzzyTECH одним из следующих способов:
О через проrраммную rруппу Пуск>Проrраl\lмы>fuzz:уТЕСН 5.5>Examplcs;
О с использованием пункта rлавноrо меню File>Open... (Файл>Открыть);
О с использованием кнопки панели инструментов Оре" (Открыть).
После заrрузки имеющеrося проекта рабочий интерфейс nporpaMMbI fuzzyTECH
изменится и будет отображать информацию о соответствующем IlрОСК1'е
(рис. 18.2).
498
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
.' " 'ииуТЕСН 5,52 Pfofessional Оето <untitled) !l1!1 ;)с
; r4!: t t l i; ' ' :!;; :lli :'i I ::'.j ,:jl;' ;1 i ;;; Z3 '
, ':.: iщ ::е.ыe Groups J'.. ProJect Edltor '" " , , .'.,' ";j i:i
:SJ Inputs
1cl Outputs
ij Intermedle.tes
Rule Blocks
т Тех!
""r,:1 Online Connections
3J
..!J:
.J
'
'=. ;:.
, ", "Z
. .;........
.,;. > ': ."
. ., ..-
.....;;
Рис. 18.1. Общий вид rрафическоrо интерфейса проrраммы fuzzyTECH 5.52
ДЛЯ HOBoro проекта
Примечание
Следует обратить внимание на тот факт, что дистрибутив Dеmо версии про
rpaMMbI fuzzyTECH поставляется с примерами разработанных компанией
INFORM GmbH проектов систем нечеткоro вывода, которые удобно использо
вать для изучения особенностей процесса нечеткоrо моделирования в среде
fuzzyTECH.
в верхней части rрафическоrо интерфейса проrраммы fuzzyTECH расположена
строка заrоловка, в которой указывается название и версия проrраммы, а также
имя разрабатываемоrо или заrруженноrо проекта. В правой части строки заrолов
ка находятся стандартные кнопки управления rрафическим окном проrраммы.
Под строкой заrоловка находится строка rлавноrо меню проrраммы fuzzyTECH
и строка панели инструментов (рис. 18.3). Выбор той или иной операции меню
выполняется стандартным для всех приложений MS Windows образом. Панель
инструментов содержит кнопки, позволяющие осуществить доступ к наиболее
часто используемым командам и операциям. Назначение отдельных кнопок па
нели инструментов приводится в табл. 18.3.
(лава 18. Общая характеристика nporpaMMbI fuzzyTECH
499
, {иllуТЕСН 5 52 РюfеssiОПfil Оето STOCK FТL* [Project Edifor]
Rr:.1D
%,;' ! ' 'L dii:::; ' , ;:tu ;); i, :; 1! ' ');t J(/' . ,1.": с. .. ":',':::,,:.' " ..,. ....' ;Jfslx t
: : :!! "; E ; " : !: **1 [i ; i :!j\ ;С!;):Ii'J;D;-! H!f E \ !-,.. ; :J:] I;L ;l ": ii
5 ; 'il roups Fl1zzy Logic T'-\)l1Сllсlсlltitiсаtiоll
н,; Е] Outputs
[,1-] !lli Intermedl8tes
f::I:" @ Rule Blocks
,fi Т Text
; Online Connedions
Trend D1J'ectlon
R81
B DI PL
C DI MIN
Dlredion Х
dion
Мт/Ма;( ,оп
..J
En111fonment
R83
IпLR,,-'е
T,ade Fee
Environ
M;':;iMa)(
...
1i3i'&rY.: ':'
';';,Oe$ign Mode"
Рис. 18.2. Общий вид rрафическоrо интерфейса проrраммы fuzzyTECH 5.52
ДЛЯ разработанноrо проекта
:1Eil ' j dff; ':, Wi tl u$" M' i . I i 'Y1rndd 'fl. !p" .... .
:,Q, ;. j' ;:ii! :' .i ';; :.: l'! :'t i1!!:: \Щ jf,ijJ::;II;'!' ;,j;t И: ;,:]:;; м;; ..r .; , ;f ,
Рис. 18.3. rлавное меню и панель инструментов проrраммы fuzzyTECH
в центре rрафическоrо интерфейса находится окно редактора проекта (Project
Editor), в котором отображается структура системы нечеткоrо вывода в форме
прямоуrольников переменных и блоков правил (рис. 18.4). Редактор проекта яв
ляется основным средством, которое используется для визуализации общей
структуры и быстроrо доступа к различным инструментам редактирования
свойств систем нечеткоrо вывода в rрафическом режиме.
Редактор проекта проrраммы fuzzyTECH позволяет визуализировать структуру
всето проекта и rрафически представить отношения между компонентами проек
та. Двойной щелчок на изображении тото или иноrо прямоуrольника позволяет
открыть окно редактирования свойств соответствующеrо компонента системы
нечеткоrо BbIBO,lJ,a.
500
Часть 1/1. Нечеткое моделирование в среДе fuzzyTECH
Tr_nd Str_ngth
O дDX
J1. )rtJlf.(t( """""""' """"" n'[;jiil
Fl1zzy J..,ogic Tl"Cl1d IclCl1ti11catiol1
{'.
;f:'
т
H
;'.,
. t
8 DI PL
Inl Rele RB3
1\': Tr"de Fee
!J
..i.:
Buy I Hold I S_U
RB2
D..ADX
ОlrеctlОП
ЕnИfОП
SloCk
Slock
Mlr Ja"
In t Re.le
Tr-;;dв Fее
ЕПVlrоn
.>1I':;!M '
Рис. 18.4. Окно редактора проекта nporpaMMbI fuzzyTECH
..J у
='!'I.
,r-', '4
Отдельные компоненты системы нечеткоrо вывода в rрафическом окне peдaKTO
ра проекта представляются в форме прямоуrольников или пиктоrрамм. При
этом внешний вид используемых пиктоrрамм характеризует некоторые особен-
ности или свойства отдельных компонентов проекта. Так, например, входные
линrвистические переменные системы нечеткоrо вывода изображаются в виде
прямоуrольников, которые имеют дополнительный значок для визуализации
метода фаззификации линrвистической переменной (табл. 18.1).
Таблица 18.1. rрафические пиктоrраммы методов фаззификации
линrВИС1ических переменных
rрафическое
изображение
пиктоrраммЫ
Назначение дополнительноrо значка пиктоrраммЫ
DCL vari в.Ы е 1 I
1 1.. VariabIe2 !
' "11 VariabIe3 !
1 "," VariabIe4 1
Стандартный метод фаззификации линrвистической перемен.
ной (Compute MBF)
Нечеткий вход для линrвистической переменной (Fuzzy Input)
Отсутствие фаззификации для линrвистической переменной
( Categorical)
Фаззификация линrвистической переменной с помощью до.
полнительноrо интерфейса, определяемая разработчиком
Выходные линrвистические переменные системы нечеткоrо вывода также изо
бражаются в виде прямоуrольников, которые имеют дополнительный значок для
визуализации метода дефаззификации линrвистической переменной (табл. 18.2).
rлава 18. Общая характеристика nporpaMMbI fuzzyTECH
501
Таблица 18.2. rрафические пиктоrраммы методов дефаээификации
линrвистических переменных
rрафическое
изображение
пиктоrраммы
Назначение дополнительноrо значка пиктоrраммы
I Out Va.r1
C I
I Out Va.r2
r- I\I
I OuL Vа.rЗ
( I
I OuL Va.r4
I OUL Va.r5
1.. 1
I OUL Va.r6
fE I
Метод центра максимума (Center of Maximum или сокращен
но СоМ)
Метод среднеrо максимума (Mean of Maximum или сокращен
но МоМ)
Метод центра площади (Сепtrе оf Аrеа или сокращенно
СоА)
Метод rиперцентра максимума (Hyper Сепtеr оf Махimum или
сокращенно HyperCoM)
Отсутствие дефаззификации выходной переменной (нечеткая
линrвистическая переменная)
Дефаззификация линrвистической переменной в окне анали
за результатов нечеткоrо вывода
Каждый из компонентов системы нечеткоrо вывода может иметь свое имя, KOTO
рое в разрабатываемом проекте специфицируется с помощью отдельноrо TeKCTO
Boro объекта (Text Object) или блока текста. Для задания TeKcToBoro объекта
предназначено отдельное диалоrовое окно, которое может быть вызвано с по
мощью команды меню Edit>New Text... или с помощью соответствующей кноп
ки панели инструментов (см. табл. 18.3). После вызова окна свойств текста МОЖ
но не только определить собственно текстовый блок, но и свойства шрифта
этоrо те кста (рис. 18.5).
Прим чание
в связи с заданием текста следует заметить, что в окне свойств текста доступ
ны все шрифты, установленные в операционной системе MS Windows. Поэтому
проrрамма fuzzyTECH корректно отображает символы кириллицы в текстовых
блоках в окне редактора разрабатываемоrо проекта.
Слева от окна редактора проекта расположено ОКllО прос.мотра структуры "po
екmа (Treeview), которое представляет разрабатываемый проект в форме иерар
хической структуры или дерева (рис. 18.6). Окно просмотра структуры проекта
содержит перечень всех компонентов проекта. Щелчок на изображении знака
"+" rpYnnbI компонентов позволяет раскрыть соответствующую вложенную
структуру этой rруппы. В этом окне также можно получить быстрый доступ к
инструментам редактирования отдельных компонентов или проекта в целом.
А именно, двойной щелчок на имени выбранноrо компонента проекта позволяет
открыть окно редактирования свойств данноrо компонента системы нечеткоrо
вывода.
502
Часть 1/1. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Pt ".'
":... .. ',"-t "' " '.;':: . ;l ; .:: :..;?";'.'"
Вblбuр ШрИфта
,? )(
!; ':'\'" ROrllC\fI (\..
/ Jjсчерт6.fi!'Щ,
J об 14Н IЙ
УРСИ8
. полужирный
. полужирный урсив
e EiP;',,"' : .:
,;; )j; I :"';'.;;Qi{i .:> : I ;:
'16 . ,\jiм Щ
.18 J' ' :, ' .....' .
; 20
; P K ; j '.:
d:;2Б. )"
.;.
.....J
, . --
!"АТРИ6У!:t>f .Образец:........, .,...... ';;1'..
!f ? i :, f ;::AaO ,;;: : f, . .
Рис. 18.5. Диалоrовое окно задания текста и определения свойств ero шрифта
Ни одно из этих двух окон не может быть закрыто в проrрамме fuzzyTECH. Oд
нако окно редактора проекта можно минимизировать с помощью COOTBeTCT
вующей кнопки управления окном. Окно просмотра структуры проекта можно
скрыть (сделать невидимым), нажав соответствующую кнопку на панели инст
рументов, которая расположена слева от кнопки Справка (см. табл. 18.3).
Строка rлавноrо меню nporpaMMbI fuzzyTECH содержит всплывающее меню с
большим количеством различных операций некоторые из них содержат вложен
ные меню или вызовы диалоrовых окон. При этом не все операции MorYT быть
доступны в nporpaMMe. Некоторые из них являются неактивными и требуют пе
рехода в интерактивный режим отладки проекта.
Все пункты rлавноrо меню имеют комбинацию клавиш быстроrо доступа, для
чеrо необходимо одновременно нажать клавишу <Alt> и подчеркнутую букву
соответствующеrо пункта меню. При этом в качестве рабочеrо языка в системе
используется анrлийский.
Примечание
Вообще rоворя, nporpaMMa fuzzyTECH в качестве ра60чеrо языка может ис
пользовать как анrлийский, так и немецкий. Что касается использования сим
волов кириллицы, то проrрамма позволяет вводить на русском лишь текстовые
блоки и комментарии.
В нижней части rрафическоrо интерфейса проrраммы fllzzyTECH расположена
строка состояния, в левой части которой дублируется название отдельных KHO
пок панелей инструментов, а в правой части указывается текущий режим работы
nporpaMMbI.
rлава 18. Общая характеристика nporpaMMbl fuzzyTECH
503
B!lf
в VariabIe Groups
В Inputs
. 8 B DI PL
. ,@Iow
ш.@ medium
j.... high
8 C DI MIN
. @ low
@ medlum
@ high
B.'tL1 О..АDХ
...@Iow
. ... medium
. .@ high
[f] 1ш InLRate
[i1 Trade Fee
а ;в) Oulputs
8 g Stock
..ш.@ sell
1 ш @ hold
шн {lil buy
В.. [ш Intermediates
н3 g Diredion
ffi !blJ Environ
[ .. @ Rule Blocks
: 821RBl
8 tш RB Inputs
, B DI PL
. C DI MIN
(::1 li:1I RB OUlputs
Diredion
1: 21 RB2
:Е 21 RВЗ
ffi Т Text
Online Gomections
Имя npoelcra
Входные переменные npoelcra
Имя линrвистической пере иной
Имена термов JПIиrвистичеас:ой переменной
Имя линrвистическоii переменной
Имена термов JПIнrвистичеас:оii nepeJ\eHHoii
Имя линrвистическоii перемеииоii
и мен о!- термов JПIнrвистичеас:оii переменной
Выходные nepellreНHыe npoelcra
Имя линrвистическоii перемениоii
ИllreНа термов JПIнrвистичеас:ой пере нной
Промежyrочные переменные npoelcra
БлоЮl правил проеЮ'а
И на блоков правил npoelcra
Входные переменные блока правил
Имя лииrвистическоii переменной
Выходные переменные блока правнл
Имя линrвистической переменной
Текстовые блоЮl проеЮ'а
Рис. 18.6. Окно просмотра структуры проекта проrраммы fuzzyTECH
в состав проrраммы fllzzyТECH кроме демонстрационных примеров также BXO
дИТ встроенная справочная система и документация в формате PDF, которые
содержат необходимую информацию по отдельным компонентам проrраммы и
процессу нечеткоrо моделирования в среде fllzzyTECH.
Встроенная справочная система
nporpaMMbI fuzzyTECH
Для про смотра справочной информации в проrрамме fuzzyTECH следует BOC
пользоваться соответствующим пунктом rлавноrо меню Help (Справка). Далее
можно выбрать один из вариантов справочной системы.
Первый из них так называемый быстрый старт (Help>Quick Help). В резуль
тате выполнения этой операции на экране появится дополнительное окно с про
rраммой просмотра информации по изучению одноrо из демонстрационных
504
Часть 1/1. Нечеткое моделирование в среде fuzzy ТЕСН
примеров системы нечеткоrо вывода в форме стандартной справки Мiсrоsоft
(рис. 18.7). При этом все варианты справочной информации орrанизованы в
форме rипертекста с возможностью поиска раздела справки по ключевому слову.
.:.::- fuzzyTE'CH ()uick H"IJ.I ' :; r;JD
m n:. ; ft1 :: . : ' A 7; 'i' 1 : J ; !: . ;. tJ $ . . ., #fЪ$ f. :I.
koд.рж.eiн_а,18 rJ7 j :. '{ '-J t#t "' ->:J ч#fь:';:<"., - '). :" - '\ } ; : "<J" ;; 1q : ff: :: .:;C .. ' - ':;. ,,>.- . . ,. < : :rt ? itI . ; '-:'
;:T ' ;t' rt edwi ; i! ;! !:: in ; ;! i'I W:1 :4ii iф &t,' ""ti>:.P'" iCJ" .'" 'C1 "f ::'
1) Ореп the flle CREDIT4 FТL located in the \SAМPLES\BUSINESS\CREDIТ\ subdlrectory Thls file contalns
а module for evaluatlng the financial background of bank customers as par1 of а risk assessmenl system
The example is explained in detailln the book"Fuzzy Logic and NeuroFuzzy in ВUSlПеss and Flnance",
Prentlce Hall1996
2) The "project Edltor" indow displays the system strLlcture There are Ihree Input varlabIes for "Continuity". п
Iпс Ехр", and "Securily". and tvvo output varlabIes for "LIQUldlty" and ..Flnanclat' The vапаЫеs are
connected Ьу two rule bIocks DoubIe-сllCk each rule bIock 10 ореп а Spreadsheet rule edltor for the
respecllve rule bIock Тhe rule bIocks deflne the rlsk assessment pollcy through fuzzy rules
..I. """", "... . ,
. . . \ ) . : .. i: , . , :".." " : ::II: ,:t ;' I:':: '
:-. ;:"1 ""' .....".... .".< ....
! . ! :.::: . . ; :f:::;::;;::.{ I<. :j...;:.;: . .:t:
h ;\7.,: : , .::, зj'; !1
З) The Treevlew wlndow at the left Ilsts allllПgUlstlС vапаЫеs In Ihe system DoubIe cllck оп each Ilsted vапаЫе
to ореп а VапаЫе Edllor for "Continulty", ..lnc Exp", "Security", "Llquldity" and ..Financlal".
.:!:J
Рис. 18.7. Окно справочной системы fuzzyTECH с описанием oAHOro
из демонстрационных примеров
Второй вариант отображения справочной информации, предлаrаемый nporpaM
мой fllzzyTECH, это справка по ее отдельным компонентам (Help>fuzzy1ECH
Help или Р1). В результате выполнения этой операции на экране появится дo
полнительное окно с возможностью выбора информации по тому или иному
компоненту nporpaMMbI fuzzyTECH. В этом случае информация также орrанизо-
вана в форме стандартной справки Micl"Osoft (рис. 18.8).
Третий вариант отображения справочной информации, предлаrаемый nporpaM-
мой fllzzyTECH, это также справка по ее отдельным компонентам, начиная с
редактора проекта (Help>Help оп topic или <Ctrl>+<F1». В результате выпол
нения этой операции на экране также появится дополнительное окно со спра
вочной информацией по редактору проектов (рис. 18.9).
Наконец, можно воспользоваться одним из разделов справочной системы, дос-
тупной через соответствующее меню в проrраммной rpynne fuzzyTECH:
Пуск>Проrраммы>fuzzуТЕСН 5.5>Help. Хотя эти разделы повторяют справоч-
ную информацию OCHoBHoro меню nporpaMMbI, их можно просматривать незави-
симо от проrpаммы fuzzyTECH без ее запуска.
rлава 18. Общая хараКТеристика.проrраммЬ/ fuzzyTECH
505
То develop, optJmlze and Implement fuzzy systems Ihe fиzzyTECH developmenl syslem conlalns
Tr(:€NII;:,',I .
Edlt,'r ,
Q еыlюаer, '
!::i?Q[. and
t)(jti: ': "'H ;ral'ol'.
The fuпсtюпs о! fиzzyTECH сап Ье accessed Ьу
M f"lI.I:, . the
!i&.it''JB,'d and
I..\ Q!Qm:.
fиzzyТECH expedlles syslem design wllh Ihe followlng Wlzards
fl,!f.;'у".[J. ;;;!gr!...\:'!: ;;Л[2 for syslem deslgn.
Vд/.Iflt'Ii's .f.'{gш:i 10 des.Qn IlпgLЯsllС vaпabIes. arld
E.IJ ..J;!!Q. \r" ! ArQ 10 support Ihe deslgn of Ihe fuzzy rule base
Рис. 18.8. Окно основной справочной системы fuzzyTECH
.,:, IUllyTECH Help
;[ Ой#fn;e i:i( " K$ ;:ngp e'ij)t,(, . ",.;.\ ,0,;;"
. toМji}r. ; oТe/ib': 'B .' Л&че.ть
;! ?j 1 dito . J;;.
ВD13
Syslem structure IS dlsplayed graphlcally ,п the Tr,?e '<1:2\ and Proj09cl Edltor wlndow Thls \IIIIndow is
cr09ated upOn slart up of fиzzyTECH and тау only Ье Iconized and по! closed. Three ObJect types are used
in the wlndow
)',,"":'
Text
То make а fuzzy loglc system structure more transparent, (елt сап Ье Inserted а! every place ,п the
worksheet Теxl obJects сап Ье рппtеd in dlrterent fonl sizes, styJes and colors
V.rlabIes
Each Input or output vапаЫе of the system is Ilnked with ап interface Interfaces are displayed as
small bOJ(09s shoWlng а уапаЫе пате and ап ,соп representlng the chosen соmрutаtюп method
Input interfaces show the ,соп оп the 109ft slde and output Iпtеrfасеs оп the nght Тhe number о!
Interfaces IП а proJect depends оп the fиzzyTECH Еditюп Please refer 10 the Appendix о, the User's
Мапuаl for ап overv1ew
Iпtеrmеdlаtе Varlables are rюt Ilпkеd 1NIth ап ,nterface and occur Ihus only IП the rule block Ihey
belong 10
Rule Blocks
In fиzzyTECH. IndlVldu6! rules are сопflпеd Iпlо rule blocks to bUlld the syslem structure The
number of rule blocks that сап Ье deflned Iп а proJect depends оп the fuzzyTECH EdltlOrl Please
refer to the .JI.ррепdlХ о' the User's Manual for ап overv1ew. -=1
Рис. 18.9. Окно справочной системы fuzzyTECH
с описанием возможностей редактора проектов
506
Часть 111. Нечеткое моделирование в среДе fuzzyTECH
18.3. Назначение операций
rлавноrо меню и панели
инструментов проrраммы fuzzyTECH
Проrрамма fllzzyTECH имеет развитую систему операций rлавноrо меню с He
сколькими уровнями вложенности отдельных операций. Некоторые из наиболее
часто используемых операций rлавноrо меню представлены в форме COOTBeTCT
вующих кнопок на панели инструментов. Поэтому прежде чем при ступить к изу
чению особенностей процесса нечеткоrо моделирования в среде [uzzyTECH, pac
смотрим операции rлавноrо меню и назначение отдельных кнопок панели
инструментов. После этоrо остановимся на некоторых особенностях нечетких
проектов в среде fllzzyTECH.
Назначение операций rлавноrо меню
Окно проrраммы fuzzyTECH имеет rлавное меню, которое позволяет пользова
тешо вызывать друrие rрафические средства работы с проектом, заrружать и
сохранять информацию во внешних файлах, изменять внешний вид элементов
rрафическоrо интерфейса, вызывать справочную информацию и т. д. PaCCMOT
рим назначение отдельных операций rлавноrо меню nporpaMMbI fuzzyTECH.
..
О Пункт File (Файл) rлавноrо меню содержит следующие операции (рис. 18.1 О):
. New вызывает диалоrовое окно быстроrо создания прототипа HOBoro
проекта (Generate Project), которое позволяет задать входные и выходные
линrвистические переменные, их термы и блоки правил системы нечеткоrо
вывода. При этом новый проект по умолчанию имеет имя Untitled;
. Fuzzy Design Wizard... вызывает мастер нечеткоrо проекта (Fuzzy Design
Wizard), который позволяет более детально задать не только структуру, но
и характеристики прототипа HOBoro проекта. Более подробно мастер He
четкоrо проекта рассматривается в 2лаве 19;
. Ореп... вызывает стандартное диалоrовое окно открытия внешнеrо
файла с диска. Если заrружается фаЙл проекта, то он должен иметь pac
ширение ftl или [tr. При этом MorYT быть использованы следующие фильт
ры: * .FTL формат файлов проектов в nporpaMMe fuzzyTECH версии 3.Х и
более поздних, * .CFG формат файлов конфиrурации проектов, * .FTP
формат файлов проектов версии 2.Х и более ранних, * .REV формат
файлов системы контроля версий (Revision Contl"ol System);
. Close закрывает редактируемый проект системы нечеткоrо вывода.
Следует отметить, что одновременно в nporpaMMe fuzzyTECH может быть
открыт для редактирования только один проект;
rлава 18. Общая характеристика nporpaMMbl fuzzyTECH
507
!J1!iW ' Otrl N< , .
; I Wilаrd"':jctrJ1-0 ,>
;: : ,:i. }1
:a:: #j j . :; ,;;': "',....,, ;'''?
: '; =S6 : :::::1.':'
. ; ;5;10!"':;<'
; ' 2..
;iр' i ;! !;;'!' :::::iЫ?} Э;':;:; 5 '
, ;. "H;''. ' :';{, ;"-": ,:>t. Е . -. ..
5 . :;; ,(,,_ ':'
Рис. 18.10. Операции пункта File
rлавноrо меню
. Save позволяет сохранить редактируемый проект во внешнем файле на
диске под текущим именем и с расширением [tl. Следует отметить, что в
демонстрационной версии проrраммы эта операция недоступна;
. Save As... позволяет сохранить редактируемый проект во внешнем файле
на диске и изменить при необходимости ero Имя. Следует также напомнить,
что в демонстрационной версии проrраммы эта операция недоступна;
. Project Information... вызывает окно с информацией о редактируемом
проекте, которое позволяет редактировать имя и автора проекта, а также
комментарии к проекту;
. Revision Control... вызывает окно настройки системы контроля версий
проrраммы [uzzyTECH, которое позволяет заrрузить, сохранить или yдa
лить файлы проектов соrласно их текущему статусу. В рамках системы
контроля версий файлы проектов сохраняются как бинарные файлы и MO
rYT быть защищены паролем. Система контроля версиЙ позволяет coxpa
нять все важные изменения, внесенные разработчиком в проект, включая
дату и имя автора соответствующих изменений;
. Documentation... вызывает Диалоrовое окно задания свойств для aBTO
матической rенерации документации по разработанному проекту системы
нечеткоrо вывода в формате R TF на анrлийском языке. При rенерации
документации она сохраняется во внешнем файле с расширением 1"t[. Имя
файла документации может быть задано пользователем либо оставлено
без изменения предложенное проrраммой (по умолчанию имя проекта).
После rенерации документации ее можно просмотреть и отредактировать
в текстовом процессоре MS WOl'd;
508
Часть 1/1. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
примечание
При rенерации документации по проекту вся информация о разрабатываемой сис
теме нечеткоrо вывода по умолчанию rpуппируется в следующие разделы: Общая
информация (GепеrаllпfОПТIаtiоп), Описание проекта (Project Description), СТРУК-
тура системы (System Structure), Линrвистические переменные (Liпguistiс
VariabIes), Блоки правил (Rule Blocks), Настройки проекта (Sеttiпgs).
. Pattern Generator... вызывает диалоrовое окно rенерации паттерна или
шаблона проекта (Pattern Generator), которое позволяет автоматически
сrенерировать некоторый шаблон ВХОДных данных разрабатываемой сис
темы нечеткоrо вЫвода для анализа производительности соответствующей
нечеткой модели. Сrенерированный шаблон сохраняется во внешнем фай-
ле с расширением csv;
. Rule Export... вызывает диалоrовое окно экспорта правил нечетких про-
дукций (в демонстрационной версии nporpaMMbI эта операция недоступна);
· View FТL File открывает файл текущеrо проекта в текстовом редакторе.
По умолчанию файл с расширением ftl открывается в Блокноте (MS
N otepad);
. View File... вызывает стандартное диалоrовое окно открытия файла
проекта в текстовом редакторе. По умолчанию файлы с расширением [tl
открываются в Блокноте (MS Notepad);
. Print Window... позволяет распечатать на принтере одно из rрафических
окон, открытых в nporpaMMe fuzzyTECH. В этом случае вызывается диа-
лоrовое окно выбора объекта для печати на подключенном к данному
компьютеру принтеру;
. Сору \Vindow... позволяет скопировать в буфер обмена MS Windows
одно из rрафических окон, открытых в проrрамме fuzzyTECH. В этом слу-
чае вызывается диалоrовое окно выбора объекта для копирования в буфер
обмена;
. секция с именами последних файлов проектов, с которыми осуществлялась
работа в nporpaMMe fиzzyTECH. Количество запоминаемых файлов про
ектов устанавливается в настройках проrраммы fиzzyTECH;
. Exit закрывает nporpaMMY fuzzyTECH.
О Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции (рис. 18. 11):
. Undo отменяет выполнение последнеrо действия. Последовательно раз-
работчик проекта может отменить 16 последних внесенных изменений.
Аналоrичным образом отменить выполненные действия можно последо-
вательно нажимая клавиши: <Alt>+<Backspace>. В режиме отладки эта
операция недоступна;
. New VariabIe... вызывает мастер новой линrвистической переменной
(Lingllistic VariabIes Wizard). Более подробно мастер линrвистической пе
ременной рассматривается в 2лаве 19;
rлава 18. Общая характеристика nporpaMMbI fuzzy ТЕСН
509
tf
:; ;:;; :-: \Qd ;; :: .: .>7;
r--."?"_з '''. " -." -"1- '1<,.:1 ]CtrI x '<', .\ (;,.;:;;:
РИс. 18.11. Операции пункта Edit rлавНОrО меню
. Duplicate VariabIe... позволяеТ дублировать выделенную линrвистиче
скую переменную проекта. При этом открывается мастер для новой лин
rвистической переменной, имя которой по умолчанию принимается как
имя выделенной переменной с добавленным к нему справа символом под
черкивания " ";
. New Rule Block... вызывает мастер HOBoro блока правил (Rule Вlock
Wizard). Более подробно мастер блока правил рассматривается в 2лаве 19;
. Duplicate Rule Block... позволяет дублировать выделенный блок правил
проекта. При этом открывается мастер HOBoro блока правил, имя KOTOpO
ro должно отличаться от имен существующих блоков правил в проекте и
должно быть задано разработчиком;
. New Text... вызывает окно задания блока текста в редакторе проекта.
Это окно позволяет не только ввести собственно текст, но и выбрать свой
ства шрифта;
. Duplicate Text... позволяет дублировать выделенный блок текста в раз
рабатываемом проекте. При этом открывается окно свойств текста, в KO
тором можно изменить не только текст, но и свойства шрифта;
. DDE Links... вызывает диалоrовое окно настройки связей DDE дЛЯ
конфиrурации проrраммы fuzzyTECH в качестве клиента.
О Пункт меню View (Вид) позволяет отображать на экране различные компо-
ненты nporpaMMbI и разрабатываемоrо проекта и содержит следующие опе-
рации (рис. 18.12):
. Toolbars позволяет настроить внешний вид rрафическоrо интерфейса
отдельных компонентов nporpaMMbI fuzzyTECH и содержит дополнитель
ные подпункты: Show all отображает панели инструментов всех rрафи
ческих окон nporpaMMbI fuzzyTECH; Show попе скрывает панели инст
рументов всех rpафических окон проrраммы fuzzyTECH; Main \Vindow
отображаетlcкрывает панель инструментов rлавноrо окна проrраммы
fllzzyTECH; VariabIe Editor отображает/скрывает панель инструментов
редактора линrвистических переменных; Spreadsheet Rule Editor OTO
бражает/скрывает панель инструментов табличноrо редактора правил;
510
Часть 11/. Нечеткое моделирование в среде fuzzy ТЕСН
Matrix Rule Editor отображает/скрывает панель инструментов матрич
Horo редактора правил; Watch Window отображает/скрывает панель ин
струментов окна интерактивноrо режима отладки вывода; Transfer Plot
отображает/скрывает панель инструментов окна просмотра rрафиков на
плоскости; 3D Plot отображает/скрывает панель инструментов окна
просмотра трехмерных rрафиков; Time Plot отображает/скрывает па
нель инструментов окна просмотра временных rрафиков; Rule Analyzer
отображает/скрывает панель инструментов анализатора правил;
IооlЬзr5
.. . ," -,
.'Z:b,o ,
:i'f . . ....
; 9 9rR ' 4
,Rn ;s-; ' -".:'
ЦЬj , ,вJ\ts,:
T ,::;
.Show 1I
С:::' Я ..'"".::....':i:':": ;: "
: j' ' ( f ;;; :::; 'M 1 yYi >;' .;;: >,;;;,'; .
., )lari 11i:1 ditQr
,)<_,1 ,. -> о .":
.,. rEtadsh. f?ul' ;I; itgr
'( Jifatrix;8 ! ilQr ...
. tФWir(!oW '"
'(I(I'-П$t r,PJOt
AI( Ъ: "" O Plot
" Time 'J;lpt,
"'. R.цlе Analyzer
Рис. 18.12. Операции пункта View rлавноrо меню
· Statusbar отображает/скрывает строку состояния проrраммы fuzzyTECH;
· Zoom Project Editor позволяет выбрать масштаб изображения системы
нечеткоrо вывода в окне редактора проекта. Содержит дополнительные
подпункты: 100'%, 75'% и 50'%, выбор которых изменяет размеры отобра-
жаемых компонентов проекта соответствующим образом;
· Gridlines делает видимым/невидимым координатную сетку в редакторе
линrвистических переменных и в окне просмотра временных rрафиков.
Разрешение координатной сетки устанавливается автоматически;
· Term List Вох делает видимым/невидимым окно термов в редакторе
JlинrВИСТИLJеской переменной. Более подробно редактор линrвистической
переменной рассматривается в 2лаве 19;
· Plot Background устанавливает белый/черный фон в окнах просмотра
трехмерных и временных rрафиков;
· Lines позволяет изменять толщину кривых в редакторе линrвистической
переменной при отображении функций принадлежности отдельных термов
и в окне просмотра временных rрафиков;
. Object СОП1mепts выбор этой опции позволяет отображать в форме
всплывающей подсказки комментарий объекта при задержке на ero изо-
бражении курсора мыши в редакторе проекта;
. Treeview делает видимым/невидимым окно просмотра структуры проекта.
(лава 18. Общая характеристика протраммы fuzzyTECH
511
о Пункт меню Debug (Отладка) обеспечивает доступ к различным инструмен
там режима отладки разрабатываемоrо проекта и содержит следующие опе
рации (рис. 18.13):
· Interactive включает режим интерактивной отладки проекта и вызыаетT
соответствующее окно интерактивноrо режима отладки. Более подробно
интерактивный режим отладки проекта рассматривается в 2Лаве 19;
· Serial Link включает режим отладки проекта совместно с друrими при
ложениями с использованием HeKoToporo последовательноrо интерфейса
персональноrо компьютера. При использовании данноrо режима предпо
лаrается, что nporpaMMa fuzzyTECH функционирует на компьютере 1. а в
качестве компьютера 2 может использоваться любое аппаратное устрой-
ство или проrрамма. При этом соединение компьютеров 1 и 2 осуществля
ется с помощью последоватеJlьноrо интерфейса;
<Jhtertidi\le
" Seribl Unk
j' f :' "!'; ' l '; " ( .
, Q i; : it ;",';';:" ;.;:;';if,"
,QIiIЩ$::, 'о iti:lУ& МЬd ,
Рис. 18.13. Операции пункта Debug rлавноrо меню
· File Recorder включает режим отладки проекта с записью файлов. При
использовании данноrо режима предполаrается, что имеются предвари
тельно созданные внешние файлы с некоторой выборкой данных или файл
сrенерированноrо шаблона (паттерна);
· Batch включает режим отладки проекта с использованием внешнеrо
TeKcToBoro файла. При использовании данноrо режима предполаrается,
что имеется предварительно созданный текстовый файл в кодировке
ASCII со значениями входных линrвистических переменных. После BЫ
полнения процедуры нечеткоrо вывода проrраммой fuzzyTECH результа
ты записываются во внешний файл, который можно просмотреть и про
анализировать в текстовом редакторе;
. Online Monitor включает режим отладки проекта с использованием He
I<ОТОрОЙ дополнительной проrраммы реальноrо времени (fuzzy )"untime
system). Применяется для реализации систем нечеткоrо вывода при управ
лении внешними объектами в реальном времени. В этом режиме исполь
зуемая дополнительная проrрамма реальноrо времени защищается от воз
можных изменений;
. Online--Monitor & Modify включает режим отладки проекта с использова
нием некоторой дополнительной nporpaMMbJ реальноrо времени (fuzzy
шпtimе system). В этом режиме разработчик имеет возможность вносить из-
менения в используемую дополнительную nporpaMMY реальноrо времени.
512
Часть 1/1. Нечеткое моделирование в среде fuzzy ТЕСН
о Пункт меню Analyzer (Анализатор) позволяет отображать на экране различ
ные инструменты анализа результатов нечеткоrо вывода для текущеrо проек-
та, становится доступным только при включении режима отладки проекта и
содержит следующие операции (рис. 18.14):
. New Transfer Plot... создает новое окно просмотра rрафиков поверхно-
сти вывода на плоскости;
. New 3D Plot... создает новое окно просмотра трехмерных rрафиков по-
верхности вывода;
· New Time Plot... создает новое окно просмотра временных rрафиков
системы нечеткоrо вывода;
. New Rule Analyzer... создает новое окно анализатора правил системы
нечеткоrо вывода для первой выходной линrвистической переменной;
· Statistics включает/отключает в таБЛИLIНЫЙ редактор правил дополни-
тельный столбец с информацией о количестве циклов активизации каждо-
[о из правил;
· Trace... включает режим записи значений входных линrвистических пе-
ременных при использовании внешних проrрамм реальноrо времени в не-
котором внешнем файле с расширением trc.
N$W:(riiti$ter:Plot.:.,: .
f. N ЗЦlitоt:;: .
:i:i ;
Рис. 18.14. Операции пункта Analyzer rлаВНОrо меню
о Пункт меню Tools (Средства) обеспечивает доступ к различным дополнитель
ным инструментам nporpaMMbI fuzzyTECH, к ее настройкам, свойствам про
екта и содержит следующие операции (рис. 18.15):
. Compile to позволяет сrенерировать для текущеrо проекта проrраммный
код на одном из языков проrраммирования и для рассматриваемой версии
nporpaMMbI fиzzyTECH содержит дополнительные подпункты: С... вы-
зывает окно задания имени файла с текстом исходноrо кода nporpaMMbI на
языке С; Java... вызывает окно задания имени файла с текстом исход-
Horo кода проrраммы на языке Java; М... вызывает окно задания имени
т-файла с текстом исходноrо кода проекта Д11я системы МА TLAB; ПR...
вызывает окно задания имени бинарноrо файла формата FTR дЛЯ текуще-
ro проекта; FТR+Wrapper Class for Visual C++/MFC... кроме файла
проекта в формате FTR позволяет сrенерировать описание класса для cpe
дЫ MS Visиal С++ в форме приложения MFC; FТR+Wrapper Class for
rлава 18. Общая характеристика nporpaMMbl fuzzyTECH
513
Visual Basic... кроме файла проекта в формате FTR позволяет сrенери
ровать модуль класса для среды MS Visllal Basic в форме файла с расшире
нием cls; FТR+Wrapper Class for VBA... кроме файла проекта в формате
FTR позволяет сrенерировать модуль класса для языка проrраммирова
ния MS Visual Basic fOl. Applications в форме файла с расширением cls.
Следует напомнить, что в демонстрационной версии проrраммы эта опе
рация rлавноrо меню недоступна;
· . . ......; i
!fi i Б f i
Рис. 18.15. Операции Пункта Tools rлавноrо меню
. Neuro позволяет использовать дополнительный модуль нейро-
нечеткоrо вывода для улучшения и оптимизации характеристик разраба
TbIBaeMoro проекта и содержит два подпункта: Configuration вызывает
диалоrовое окно задания свойств конфиrурации модуля нейро нечеткоrо
вывода; Learning вызывает диалоrовое окно открытия файла с обучаю
щей выборкой с целью последующеrо использования этоrо файла для обу
чения системы нейро нечеткоrо вывода;
. Cluster позволяет использовать дополнительный модуль кластеризации
для оптимизации процесса обучения системы нейро нечеткоrо вывода
разрабатываемоrо проекта и содержит два подпункта: IsodataCluster
вызывает диалоrовое окно открытия файла с исходной выборкой данных
для последующей кластеризации методом ISODA Т А: FuzzyCluster BЫ
Зblвает диалоrовое окно открытия файла с исходной выборкой данных для
последуюшей кластеризации методом нечеткой кластеризации:
. Project Options... вызывает диалоrовое окно с тремя вкладками для за
дания свойств разрабаТblваемоrо проекта, которые сохраняются в COOT
ветствующем файле проекта формата FTL;
. FuzzyTECH Preferences... Вblзывает диалоrовое окно с шестью вкладка
ми для настройки рабочеrо интерфейса nporpaMMbI fuzzyTECH в COOTBeT
ствии с индивидуальными пожеланиями разработчика, при этом все на-
стройки сохраняются;
. Edition позволяет запустить друrие версии nporpaMMbI fuzzyTECH. ус-
тановленные на данном компьютере;
. Language позволяет изменить язык меню и диалоrовых окон nporpaMMbI
fuzzyTECH.
514
Часть ff1. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
о Пункт меню Wi"dow (Окно) позволяет отображать на экране rрафические
окна различных компонентов nporpaMMbI fuzzyTECH и содержит следующие
операuии (рис. 18.16):
. Оре" а1l VariabIe Editors оС VariabIe Group позволяет открыть дополни-
тельные rрафические окна редакторов для отдельных линrвистических пе-
ременных текущеrо проекта системы нечеткоrо вывода и содержит сле-
дующие подпункты: AII VariabIes открывает окна редакторов для всех
линrвистических переменных проекта; I"put открывает окна редакторов
только входных линrвистических переменных проекта; Output открыва-
ет окна редакторов только выходных линrвистических переменных проек
та; I"termediates открывает окна редакторов только промежуточных
линrвистических переменных проекта;
Ореп ell аflеЫе Edltors ofVerlebIe GIOUp .
Openall'Spre,adi>tieetBule Ei::Iitor$
Clo$eeJl Y6Ji,al:if ,Ефtоrs
C'Q$e< ,I. ! f : .'2y(e, r<:<
, "._0-, -_, ",_,__ .,-" ,,.!-. '._»-'_. 1'"._:.<H
Arr,,-oge, ,,' , .
IiЩ", Shift+F5
't6 cai::le Shift+F"I
:' : . 9g < ;,:;; ь.u,,,,. M."":; \;;'-.2: c:. ,"):,. j:1,,,;;; '
T r ;ed Edit " :: 'е:;>" "-",,:, , , . "''-' . '" :"'!" "
А11 aiitфle$'
.lnpuf . ,
..Qutput ;-:'
,1ntehD Б'! ' ,:':'
Рис. 18.16. Операции пункта Window rлавнОrо меню
. Оре" all Spreadsheet Rule Editors позволяет открыть дополнительные
rрафические окна табличных редакторов всех блоков правил разрабаты
BaeMoro проекта;
. Close all VariabIe Editors позволяет закрыть все открытые ранее rрафи
чески е окна редакторов линrвистических переменных текущеrо проекта
системы нечеткоrо вывода;
. C10se all Spreadsheet Rule Editors позволяет закрыть все открытые ранее
rрафические окна табличных редакторов блоков правил текущеrо проекта
системы нечеткоrо вывода;
. Arra"ge позволяет отобразить в окне редактора проекта все открытые
rрафические окна различных КGмпонентов проекта, автоматически на-
страивая их rеометрические размеры и выравнивая расположение;
· Тilе позволяет отобразить в окне редактора проекта все открытые rpa-
фические окна различных компонентов проекта, автоматически упорядо-
чивая их по именам;
· Cascade позволяет отобразить в окне редактора проекта все открытые
rрафические окна различных компонентов проекта в каскадной форме,
автоматически выравнивая их rеометрические размеры;
rлаВа 18. Общая характеристика nporpaMMbl fuzzyTECH
515
. Arrange Icons позволяет УПОРЯДОЧИТЬ пиктоrраммы свернутых rрафиче
ских окон всех OTKpbJТblX компонентов текущеrо проекта в нижней части
окна редактора проекта;
. секция с номерами и именами открытых rрафических окон в npOrpaMM€
для быстроrа переключения между ними.
О Пункт меню Help (Справка) содержит следующие операции (рис. 18.17):
. Quick Help вызывает раздел быстроrо старта справочной системы про
rpaMMbI fuzzyTECH (рис. 18.7);
. FuzzyTECH Help вызывает основной раздел справочной системы про
rpaMMbI fuzzyTECH (рис. 18.8);
. Help оп topic вызывает раздел справочной системы проrраммы fuzzyTECH,
который соответствует текущему активному окну компонента разрабаты
BaeMoro проекта, т. е. имеющему в текущий момент фокус редактирования;
. Help оп Neuro вызывает окно справочной системы с разделом справки о
модуле нейро нечеткоrо вывода nporpaMMbI fuzzyTECH;
. Help оп Cluster вызывает окно справочной системы с разделом справки
о модуле кластеризации проrраммы fuzzyTECH;
. Fuzzy Primer вызывает окно справочной системы с разделом общей ин
формации о нечеткой лоrике;
. Shortkey Overview вызывает окно справочной системы с описанием кла
виш быстроrо доступа к различным компонентам проrраммы fuzzyTECH;
. FuzzyTECH оп \V\V\V вызывает браузер Интернета, установленный на
компьютере разработчика по умолчанию, для доступа к дополнительной
информации по nporpaMMe fuzzyTECH. предоставляемой компанией
INFORM GmbH;
. About... отображает информацию о текущей рабочей версии nporpaMMbI
fuzzyTECH и ее компонентах.
)),uickHelp
. f(JZlY t;н !::!el\2
,."J ip,Qn ЩРi& '
' ""/ !
'" ., HelpQ.ntleuro
Help,on,Quster
Ец 'mer
Fl
Ctrl+F1
,., .-:.,' ':, "
( 1
8!50иС;",
Рис. 18.17. Операции пункта Help
rлавноrО меню
516
Часть I/f. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Назначение операций
панели инструментов
Панель инструментов rлавноrо окна nporpaMMbI fllzzyTECH располаrается ниже
строки rлавноrо меню и содержит набор кнопок, которые дублируют наиболее
часто выполняемые операции rлавноrо меню и обеспечивают быстрый доступ к
выполнению соответствующих операций (табл. 18.3):
Таблица 18.3. Назначение кнопок панели инструментов nporpaMMbI fuzzyTECH
rрафическое
изображение
Всплывающая
подсказка
Назначение кнопки
New
Design Wizard
Ореп
Save
Documentation
Revision
Control
Undo
Interactive
Monitor
Monitor&Modify
Вызывает диалоrовое окно rенерации HOBOro
проекта (Generate Project)
Вызывает диалоroвое окно мастера нечеткоrо
проекта (Fuzzy Design Wizard)
Вызывает стандартное диалоrовое окно OTKpЫ
тия внешнеrо файла с расширениями 1tl, cfg,
ftp, rev с диска
Сохраняет текущий проект во внешнем файле
с расширением 1tl или c1g
Вызывает диалоrовое окно задания свойств
для автоматической rенерации документации
по разработанному проекту системы нечеткоrо
вывода в формате RTF на анrлийском языке
Вызывает окно настройки системы контроля
версий nporpaMMbI fuzzyTECH
Отменяет выполнение последнеrо действия
Включает режим интерактивной отладки проек-
та и вызывает окно анализа результатов нечет
Koro вывода
Включает режим отладки проекта с использо
ванием некоторой дополнительной nporpaMMbI
реальноrо времени без возможности внесения
изменений в используемую дополнительную
nporpaMMY
Включает режим отладки проекта с использо-
ванием некоторой дополнительной nporpaMMbI
реальноrо времени с возможностью внесения
изменений в используемую дополнительную
nporpaMMY
rлаsа 18. Общая характеристика nporpaMMbl fuzzyTECH
517
Таблица 18.3 (окончание)
rрафическое
изображение
Всплывающая
подсказка
Назначение кнопки
.
:Ш1!
.. <'
.,
[i]
Ifё]
fk1
b!!J
. ' . ";" ...
fii'1 . ".
[I]
Transfer Plot
зо Plot
Time Plot
Rule Analyzer
Statistics
Options
Neuro Learning
VariabIe
Rule
Text
Properties
Treeview
Help
Создает новое окно просмотра rрафиков по
верхности вывода на плоскости
Создает новое окно просмотра трехмерНЫХ
rрафиков поверхности вывода
Создает новое окно просмотра временных
rрафиков поверхности вывода
Открывает окно анализатора правил разраба-
тываемой системы нечеткоrо вывода
Включает/отключает в табличном редакторе
правил дополнительный столбец с информаци-
ей о количестве циклов активизации каждоrо
из правил
Вызывает диалоrовое окно для задания
свойств разрабатываемоrо проекта
Вызывает Диалоrовое окно открытия файла с
обучающей выборкой с целью ero последую-
щеro применения для обучения системы нейро-
нечеткоro вывода
Вызывает мастер новой линrвистической пере-
менной (Linguistic VariabIes Wizard)
Вызывает мастер HOBOro блока правил (Rule
Block Wizard)
Вызывает окно задания блока текста в редак-
торе проекта
Вызывает диалоrовое окно для индивидуаль-
ной настройки рабочеrо интерфейса проrрам-
мы fuzzyTECH
Отображает/скрывает окно просмотра структу-
ры проекта (см. рис. 18.6)
Вызывает окно справочной системы проrраммы
fuzzyTECH
Указанные операции панели инструментов rлавноrо окна используются в даль
нейшем при рассмотрении способов вызова различных rрафических инструмен-
тов nporpaMMbI fllzzyTECH.
518
Часть f/f. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
18.4. rрафические средства
визуализации результатов
нечеткоrо вывода в nporpaMMe fuzzyTECH
Проrрамма fuzzyTECH обладает встроенными средствами визуализации и rpa
фическоrо представления результатов нечеткоrо вывода для разработанных
проектов в форме кривых и поверхностей на плоскости и в 3 MepHOM простран
стве. При этом MorYT быть использованы различные способы и стили их ЦBeTO
Boro представления, что обеспечивает наrлядность получаемых изображений.
В процессе разработки и последующеrо анализа систем нечеткоrо вывода в ин
терактивном режиме MorYT быть использованы следующие специальные rрафи
ческие средства визуализации результатов нечеткоrо вывода, входящие в состав
проrраммы fиzzyTECH:
О rрафическое окно просмотра поверхности нечеткоrо вывода на плоскости;
О rрафическое окно просмотра трехмерноЙ поверхности нечеткоrо вывода;
О rрафическое окно просмотра временных rрафиков значений линrвистических
переменных.
Ниже рассматриваются особенности представления поверхностей нечеткоrо BЫ
вода с помощью указанных rрафических окон.
rрафическое окно просмотра поверхности
нечеткоrо вывода на плоскости
rрафическое окно просмотра поверхности нечеткоrо вывода на плоскости
(TIansfel" Plot Window) может быть открыто только в интерактивном режиме
отладки проекта с помощью операции rлавноrо меню Analyzer>New Transfer
Plot... или с помощью соответствующей кнопки панели инструментов rлавноrо
окна (см. табл. 18.3).
После выполнения данной операции возникнет rpафическое окно с изображени
ем поверхности нечеткоrо вывода на плоскости (рис. 18.18).
rрафическое окно просмотра поверхности нечеткоrо вывода на плоскости ниже
стандартной строки заrоловка и кнопок управления окном имеет собственную
панель инструментов и вложенные списки с именами линrвистических перемен
ных проекта. Отобразить или скрыть эти списки можно с помощью COOTBeTCT
вующей кнопки панели инструментов (табл. 18.4).
Основную часть rрафическоrо окна занимают сеКции визуализации поверхности
по каждой из входных линrвистических переменных и секция визуализации соб
ственно поверхности нечеткоrо вывода на плоскости. В первых двух секциях,
расположенных выше и прав ее секции визуализации поверхности нечеткоrо BЫ
вода, изображаются вертикальные срезы или сечения поверхности Вывода по
текущему значению первой и, соответственно, второй входной линrвистической
rлава 18. Общая характеристика протраммы fuzzyTECH
519
переменной. Отобразить или скрыть эти секции можно с помощью COOTBeTCT
вующей кнопки панели инструментов (см. табл. 18.4).
==, Тrппslеr Plot 1 ',' .. Q .)(
r l : r "t ; ", , 'P ; .y :
; .... O . .. ' : . '
J ' 1
, ' I
cJ1
'l i iФО{( " [iJ ' ,...,.. ..
:1 , .
_ 'n-,' .
t" : ic
l' . .} . :
., > .-. -'- -.- >< ....>
.;:-IIiIlll ?:<: 1 Q. iЗG ,'.,
.1
Рис. 18.18. rрафическое окно просмотра поверхности
нечеткоrо вывода на плоскости
Поверхность нечеткоrо вывода rрафически представляет функциональную зави
симость выходной линrвистической переменной от двух входных линrВИСТИLJе
ских переменных в форме изменения оттенка и насыщенности HeKoToporo цвета
(по умолчанию диапазона цветовой raMMbI от желтоrо до КОРИLJневоrо).
Панель инструментов окна просмотра поверхности HeLJeTKOrO вывода на плоско
сти содержит набор кнопок, которые позволяют изменять внешний вид данноrо
rрафИLJескоrо окна и выполнять некоторые дополнительные операции. НазнаLJе
ние отдельных кнопок панели инструментов приводится в табл. 18.4.
Таблица 18.4. Назначение кнопок панели инструментов окна просмотра
поверхности нечеткоrо вывода на плоскости
rрафическое
изображение
Назначение кнопки
.. ""
Ijfl . " . '::
@J
Всплывающая
подсказка
Cross Section
View
VariabIe Вох
Repaint
Trace
Отображает/скрывает секЦИИ визуализации зна
чений входных линrвистических переменных
Отображает/скрывает секции задания имен вход'
ных и выходных линrвистических neременных
Перерисовывает rрафик поверхности нечеткоro
вывода после внесенных изменений в проект
Включает/выключает режим отображения зна
чений входных линrвистических переменных
при их записи с исполЬзованием внешних про
rpaMM реальноro времени
520
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Таблица 18.4 (окончание)
rрафическое
изображение
[g
Всплывающая
подсказка
Reset Trace
Назначение кнопки
[I]
Help
Обновляет отображение значений входных лин
rвистических переменных при их записи с ис
пользованием внешних nporpaMM реальноrо
времени
Вызывает раздел справочной системы, посвя
щенный окну просмотра поверхности нечеткоro
вывода на плоскости
Выбор двух входных линrвистических переменных для построения COOTBeTCT
вующей поверхности нечеткоrо вывода осуществляется с помощью раСКРblваю
щихся списков, расположенных справа от панели инструментов. Третий paCKpы
вающийся список предназначен для выбора выходной линrвистической
переменной проекта в том случае, коrда внечетком проекте используется He
сколько выходных переменных. Справа от списка выходных переменных Haxo
дится небольшое окно со списком значений коэффициента аппроксимации
(Zoom Factor) rрафика поверхности. Чем меньше значение данноrо коэффициен
та, тем более точно изображается поверхность нечеткоrо вывода.
Собственно поверхность нечеткоrо вывода изображается аналоrично изображе-
нию рельефа земной поверхности на rеоrрафической карте. При этом меньшим
значениям выходной линrвистической переменной соответствуют более светлые
оттенки цвета, а большим значениям более темные оттенки цвета. Весь диапа-
зон цветовых оттенков значений выходной линrвистической переменной изо-
бражен в нижней части rрафическоrо окна. Здесь указывается также количест-
венное 'Значение выходной переменной как результат нечеткоrо вывода для
текущих значений входных переменных.
Текущие значения входных линrвистических переменных визуализируются с по
мощью вертикальной (для первой) и rоризонтальной (для второй) линий на rpa
фике поверхности. Щелкнув и удерживая левую кнопку мыши на этих линиях.
посредством последующеrо перемещения курсора мыши в том или ином направ
лении можно изменить текущие значения входных линrвистических переменных.
К аналоrичному результату приводит однократный щелчок левой кнопки мыши
в произвольной точке rрафика поверхности.
Анализ поверхности нечеткоrо вывода для разработанноrо проекта заключается
в контроле или проверке адекватности влияния изменения текущих значений
входных линrвистических переменных на ВblХОДНУЮ линrвистическую перемен-
ную. Для этоrо MorYT быть использованы различные значения этих перемеННbIХ
из Bcero диапазона ВОЗМОЖНbIХ значений. Для более полноrо и BcecTopoHHero
анализа нечеткоrо проекта следует воспользоваться дополнительными rрафиче
скilМИ окнами просмотра трехмерных поверхностей и временных rрафиков He
'1eTKOrO nывода, которые рассматриваются ниже.
rлава 18. Общая характеристика nporpaMMbl fuzzyTECH
521
Закрыть активное rрафическое окно просмотра поверхности нечеткоrо вывода на
плоскости можно с помощью соответствующей кнопки управления окном. При
выходе из режима интерактивной отладки проекта все открытые ранее rрафиче-
ские окна просмотра поверхности нечеткоrо вывода автоматически закрываются.
rрафическое окно просмотра трехмерной
поверхности нечеткоrо вывода
rрафическое окно просмотра трехмерной поверхности нечеткоrо вывода
(3D Plot Window) может быть открыто только в интерактивном режиме отладки
проекта с помощью операции rлавноrо меню Апаlуzеr>Nеw 3D Plot... или с по
мощью соответствующей кнопки панели инструментов rлавноrо окна проrрам
мы fuzzyTECH (табл. 18.3).
После выполнения данной операции появится rpафическое окно с изображением
поверхности нечеткоrо вывода в пространстве трех измерений (рис. 18.19).
: 1Н ;"':'i : :щ 1l::
.';'r" hI/l111 ,,'ф.t-:ф";,\,\,, ,.. ...'" -.! 0.40
.! Co",':: ti ;ft",",,:>: , '" ,I:,, ' p>
, о -20000
, tJ°"J '''''О.'З.'< '025
. . :<::: k..:}:.,.! :+: . J,' .
0.З8 O'. O.' 'ОJ З', !Н5
'Q,B8 .' ",.' 1
Рис. 18.19. rрафическое окно просмотра
трехмерной поверхности нечеткоrо вывода
rрафическое окно просмотра трехмерной поверхности нечеткоrо вывода ниже
стандартной строки заrоловка и кнопок управления окном имеет собственную
панель инструментов и вложенные списки с именами линrвистических перемен-
ных проекта. Отобразить или скрыть эти списки можно с помощью COOTBeтCT
вующей кнопки панели инструментов (табл. 18.5).
Основную часть rрафическоrо окна занимает секция визуализации трехмерной
поверхности нечеткоrо вывода. При этом поверхность нечеткоrо вывода rрафи
чески представляется в трехмерном пространстве, в котором первым двум KOOp
динатным осям соответствуют входные линrвистические переменные. а верти
кальная ось координат соответствует выходной линrвистической переменной.
522
Часть 11/. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Панель инструментов окна просмотра трехмерной поверхности нечеткоrо BЫBO
Да содержит набор кнопок, которые позволяют изменять внешний вид данноrо
rрафическоrо окна и выполнять некоторые дополнительные операции. Назначе
ние отдельных кнопок панели инструментов приводится в табл. 18.5.
Таблица 18.5. Назначение кнопок панели инструментов окна просмотра
трехмерной поверхности нечеткоro вывода
rрафическое
изображение
Назначение кнопки
Всплывающая
подсказка
@j
Ш . е .
L2:J
[Иi] 1 ,о
о11 .. :
,, _о"
[@
/:i&l . ;;;' . .
L!J
[ШJ
Left
Right
Up
Down
Stop
Vertical
VariabIe Вох
Cricp Values
Color Palette
Repaint
Hide Plot
Drawing
Trace
Поворачивает rрафик трехмерной поверхности
вывода на 100 влево
Поворачивает rрафик трехмерной поверхности
вывода на 100 вправо
Поворачивает rрафик трехмерной поверхности
вывода на 100 вверх
Поворачивает rрафик трехмерной поверхности
вывода на 100 вниз
Останавливает непрерывное вращение rрафи
ка трехмерной поверхности вывода, иницииро
ванное одним из способов поворота
Изменяет направление осей входных линrвис
тических переменных на противоположное
Отображает/скрывает секЦИИ заданиЯ имен
входных и выходных линrвистических перемен
ных
Отображает/скрывает текущие значения лин
rвистических переменных, выделяемые с по
мощью красных стрелок
Изменяет цвет rрафика трехмерной поверхно
сти вывода
Включает режим отладки проекта с использо
ванием некоторой дополнительной проrраммы
реальноrо времени с возможностью внесения
изменений в используемую дополнительную
проrрё:.ММу
Включает/выключает режим последовательноrо
вычерчивания фраrментов rрафика TpeXMep
ной поверхности вывода
Включает/выключает режим отображения зна
чений входных линrвистических переменных
при их записи с использованием внешних Про
rpaMM реальноrо времени
rлава 18. Общая характеристика протраммы fuzzyТECH
523
Таблица 18.5 (окончание)
rрафическое
изображение
Всплывающая
подсказка
Назначение кнопки
Reset Trace
Обновляет отображение значений входных лин
rвистических переменных при их записи с ис
пользованием внешних nporpaMM реальноrо
времени
ВЫЗЬiвает раздел справочной системы, посвя
щенный окну просмотра трехмерной поверхно
сти нечеткоrо вывода
00
Help
Выбор двух входных линrвистических переменных и выходной линrвистической
переменной проекта для построения соответствующей трехмерной поверхности
нечеТКоrо вывода осуществляется с помощью вложенных списков, расположен
ных ниже панели инструментов. Справа от этих списков находится небольшое
окно со списком значений коэффициента аппроксимации (Zoom Factor) TpeXMep
Horo rрафика поверхности. Чем меньше значение данноrо коэффициента, тем
более точно изображается поверхность нечеткоrо ВЫвода.
Трехмерная поверхность нечеткоrо вывода изображается аналоrично изображе
нию rрафиков поверхностей в декартовой системе координат. Для более наrляд
Horo восприятия формы поверхности используются оттенки HeKoToporo цвета,
при этом меньшим значениям выходной линrвистической переменной COOTBeTCT
вуют более светлые оттенки цвета, а большим значениям более темные oтreH
ки цвета. Изменить базовый цвет изображения поверхности можно с помощью
соответствующей кнопки панели инструментов (см. табл. 18.5).
Текущие значения входных линrвистических переменных визуализируются с помо
щью красных стрелок на координатных осях rрафика поверхности в случае, если
данный режим включен с помощью кнопки панели инструментов (см. табл. 18.5).
Щелкнув и удерживая левую кнопку мыши на одной из этих линий, посредством
последующеrо перемещения курсора мыши в том или ином направлении мож
но изменить текущее значение соответствующей входной линrвистической пере
менной.
Анализ поверхности нечеткоrо вывода для разработанноrо проекта заключается
в визуальной проверке адекватности формы поверхности нечеткоrо вывода. Для
этоrо можно использовать различные уrлы просмотра трехмерной поверхности
и изменение направления координатных осей.
Закрыть активное rрафическое окно просмотра трехмерной поверхности нечетко
ro вывода можно с помощью соответствующей кнопки управления окном. При
выходе из режима интерактивной отладки проекта все открытые ранее rрафиче
ские окна просмотра поверхности нечеткоrо вывода автоматически закрываются.
524
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
rрафическое окно просмотра
временныхrрафиковзначений
линrвистических переменных
fрафическое окно просмотра временных rрафиков зна1lений линrвистических
переменных нечеткоrо вывода (Time Plot \Vil1dow) может быть открыто только в
интерактивном режиме отладки проекта с помощью операции rлавноrо меню
Al1alyzer>New Time Plot... или с помощью соответствующей кнопки панели ин
струментов rлавноrо окна nporpaMMbI fllzzyTECH (см. табл. 18.3).
После выполнения данной операции возникнет пустое rрафическое окно, которое
после выполнения определенных настроек и выполнения серии изменений значе
ний входных линrвистических переменных будет содержать временные rрафики
соответствующих значений этих линrвистических переменных (рис. 18.20).
I TlmeP'ot l " ,'ox
!2 {J'; ';:i ;r " ';;wj 't <; '
(}9f}:.iO t: .j.\ ; . 1. ; ;
DiЮО(} п J' i'\ . . ., ,- l ;:' :., ' .'", I q uo d , ly
, I ,\ . ,. I
О fOOO 1. . t _" ':'-'1\ .,.L. r ... ' ''',C .
! , i . : {H t t l;3
_,О .K ;
Рис. 18.20. rрафическое окно просмотра временных rрафиков
значений линrвистических переменных системы нечеткоrо вывода
fрафическое окно просмотра временных rрафиков значений линrвистических
переменных ниже стандартной строки заrоловка и кнопок управления окном
имеет собственную панель инструментов. Основную часть rрафическоrо окна
занимает секция визуализации временных rрафиков значений линrвистических
переменных, справа от которой находится секция имен линrвистических пере
менных. При этом временные rрафики значений линrвистических переменных
rрафически представляются в двумерной декартовой системе координат, в KOTO
рой rоризонтальной координате соответствует ось времени, а вертикальной
значения отдельных линrвистических переменных.
Панель инструментов окна просмотра временных rрафиков значений линrвис
тических переменных содержит набор кнопок, которые позволяют изменять
внешний вид данноrо rрафическоrо окна и выполнять некоторые дополнитель
ные операции. Назначение отдельных кнопок панели инструментов при водится
в табл. 18.6.
rлава 18. Общая характеристика протраммы fиzzyTECH
525
Таблица 18.6. Назначение кнопок панели инструментов окна просмотра
временных rрафиков значений линrвистических переменных
rрафическое
изображение
Назначение кнопки
. 'iC: . i
Всплывающая
подсказка
Configuration
20 dl
Zoom Factor
Zoom In
Zoom Out
[8 Reset
Freeze
"
List Вох
Add Input
VariabIes
Add Output
VariabIes
[I] Help
Открывает диалоroвое окно задания свойств
конфиryрации окна временных rрафиков, KO
торое позволяет выбрать линrвистические пе
ременные для построения соответствующих
rрафиков
Вложенный список из фиксированноrо набора
значений для выбора коэффициента масштаба
изображения rрафиков по rоризонтальной оси
времени
Увеличивает значение коэффициента масшта
ба изображения rрафиков по rоризонтальной
оси на одно значение из вложенноrо списка
времени
Уменьшает значение коэффициента масшта
ба изображения rрафиков по rоризонтальной
оси времени на одно значение из вложенноrо
списка
Очищает секцию изображения временных rpa
фиков
Останавливает/продолжает изображение Bpe
менных rрафиков
Отображает/скрывает секцию имен входных и
выходных линrвистических переменных
Добавляет все входные линrвистические пере
менные для построения соответствующих Bpe
менных rрафиков
Добавляет все выходные линrвистические пе
ременные для построения соответствующих
временных rрафиков
Вызывает раздел справочной системы, посвя
щенный окну просмотра временных rрафиков
нечеткоrо вывода
Выбор входных и выходных линrвистических переменных для построения COOT
ветствующих временных rрафиков нечеткоrо вь!Вода можно выполнить либо
при задании конфиrурации этоrо rрафИLJескоrо окна, либо с помощью кнопок
панели инструментов. На панели инструментов также имеется небольшое поле со
списком значений коэффициента масштаба (Zoom Factor) для представления оси
526
Часть 1/1. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
времени. Чем меньше значение данноrо коэффициента, тем более мелкой пред
ставляется координатная сетка по rоризонтальной оси времени.
Временные rрафики нечеткоrо вывода служат для изображения всех последова
тельных изменений текущих значений входных и выходных линrвистических
переменных в обычной декартовой системе координат. Для более наrлядноrо
восприятия rрафиков каждой из линrвистических переменных используются
различные цвета. Изменить цвет изображения HeKoToporo BpeMeHHoro rрафика
можно с помощью изменения цвета представления соответствующей линrвисти
ческой переменной, что удобно выполнять с помощью операции Color... (Цвет)
KOHTeKcTHoro меню.
Анализ временных rрафиков нечеткоrо вывода для разработанноrо проекта за
ключается в визуальной проверке адекватности последовательных результатов
нечеткоrо вывода. Для этоrо можно использовать раЗЛИЧIIЫЙ цвет фона (белый
или черный) временных rрафиков.
Закрыть активное rрафическое окно просмотра временных rрафиков нечеткоrо
вывода можно с помощью соответствующей кнопки управления окном. При BЫ
ходе из режима интерактивной отладки проекта все открытые ранее rрафические
окна просмотра временных rрафиков автоматически закрываются.
Примеры изображений, построенные с помощью различных средств rрафИlJе
ской визуализации результатов нечеткоrо ВЫвода nporpaMMbl fuzzyTECH для
некоторых задач управления и принятия решений, приводятся в 2лаве 20.
rлава 19
. ." l' . .
., . ';9Ъ<":) " ..' ::->
1#4"'1.
:' 'i:'
.<,' ,...".....'.... . .
-- ......--/-
Процесс нечеткоrо моделирования
в среде fuzzyTECH
Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH осуществляется в инте-
рактивном режиме с помощью специальных rрафических средств, предназначен-
ных для редактирования и визуализации компонентов систем нечеткоrо вывода.
В дополнение к ним также MorYT быть использованы специаЛЬНЫе средства или
мастера вновь разрабатываемых или модифицируемых систем нечеткоrо вывода.
Ниже рассматриваются особенности разработки и редактирования систем He
четкоrо вывода с использованием соответствующих rрафических средств и да-
ются рекомендации по применению мастеров. Примеры разработки нечетких
моделей с помощью rрафических средств в среде fuzzyTECH для некоторых за-
дач управления и принятия решений приводятся в 2лаве 20.
19.1. Основные средства редактирования
и анализа систем нечеткоrо вывода
в fuzzyTECH
Для редактирования и последующеrо анализа систем нечеткоrо вывода в инте-
рактивном режиме MorYT быть использованы следующие rрафические средства,
входящие в состав проrраммы fuzzyTECH.
а rрафический редактор проекта системы нечеткоrо вывода (Project Editor).
а rрафический редактор линrвистической переменной и функций принадлеж-
ности ее термов (Vю-iаЫе Editor).
а rрафические редакторы правил системы нечеткоrо вывода (Spreadsheet Rule
Editor, Matrix Rule EditOl-).
а rрафические средства анализа результатов нечеткоrо вывода (Watch Window,
Rule Analyzel').
а rрафические средства просмотра поверхности системы нечеткоrо вывода
(Transfer Plot Window, 3D Plot Window, Time Plot Window).
528
Часть /11. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Вызов этих средств (кроме редаКТора проекта, который всеrда открыт) возмо
жен через операции rлавноrо меню, а также с помощью кнопок панели инстру
ментов (см. табл. 18.3) или двойноrо щеЛЧКа мыши на rрафическом изображении
отдельных компонентов системы нечеткоrо вывода в rрафическом окне peдaK
тора проекта.
Редактор проекта и rрафические средства просмотра поверхности системы He
четкоrо вывода были рассмотрены ранее в 2лаве 18. В настоящей rлаве излаrа
ются особенности rрафических средств, которые MorYT быть использованы для
разработки и исследования широкоrо класса систем нечеткоrо вывода в среде
fllzzyTECH.
rрафический редактор
линrвистической переменной
и функций принадлежности их термов
Редактор линrвистической переменной и функций принадлежности ее термов
(далее сокращенно редактор ЛUН2вuстuческой llеременноЙ), как следует из ero
названия, предназначен для спецификации термов отдельной линrвистической
переменной проекта и редактирования ее функций принадлежности в rрафиче
ском режиме.
rрафическое окно редактора линrвистических переменных может быть открыто
двойным щелчком мыши на изображении прямоуrольника соответствующей
линrвистической переменной в окне редактора проекта или двойным щелчком
мыши на имени соответствующей линrВИСТИLlеской переменной в окне просмот
ра структуры проекта. Открыть окна редакторов для всех линrвистических пе
ременных проекта можно с помощью соответствующей операции rлавноrо Me
ню: Window>Open аН Variable Editors of variable GrotJp> AII Variables.
Результат вызова редактора линrвистической переменной для некоторой пере
менной с именем Val"iablel, которая имеет три терма с именами: 10w, medium и
high, из.ображен на рис. 19.1.
rрафическое окно редактора линrвистической переменной ниже стандартной
строки заrоловка и кнопок управления окном имеет собственную панель инст
рументов и две секции: секцию имен термов, расположенную слева, и секцию
rрафиков функций принадлежности термов, расположенную справа. Внешний
вид этих секций зависит от общеrо количества термов у редактируемой линrвис
тической переменной.
В секции rрафиков функций принадлежности изображаются две координатные
оси, первая из них (rоризонтальная) представляет весь диапазон значений peдaK
тируемой линrвистической переменной, а вторая (вертикальная) интервал
значений функции принадлежности, т. е. интервал [О, 1]. Ниже rоризонтальной
оси указываются единицы измерения значений редактируемой линrвистической
переменной (по умолчанию Units).
(лава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH
529
i : Q'X
f 1 E :' :'; 7 ? / lf
" ! \
\.1 \ ;
,;; -1).6 \. / \ '
;";:/--;
c.-';-l- ,
. ItJ;'4 / \
J ::%,, :: tt ' 'l иt '{t ,;,>/Д },'J. дХ) J
Рис. 19.1. rрафическое окно редактора линrвистической
переменной с именем VariabIe1
Результат вызова редактора линrвистической переменной для некоторой пере
менной с именем Variable 2, которая имеет 5 термов с именами: vel'y low, low,
medium, high и very high, изображен на рис. 19.2.
1m ";;;; aЫ 2 H ""' ' " ' И[jD
;, 1 :( 2;9 r} : J : :1 ;2 i !::' :k;JiJ $'"
'1 ::" C : \j\ /\ /\/
;"0..4. / 25212',0494 \ /\
:'''12' 11 \ \,/ /.
Oo ;o I:З ''' I" i,;., .\ ;,, " 10
'Units ' '" ::;;)' "..: . -:: .
:I ., ..
;& 1
Рис. 19.2. rрафическое окно редактора линrвистической
переменной с именем VariabIe2
Для редактируемой линrвистической переменной один из термов в редакторе
всеrда выделен фоном цвета этоrо терма в секции имен термов. Для удобства
визуальноrо представления все термы редактируемой линrвистической перемен
ной изображаются различными цветами. Изменить цвет отдельноrо терма мож
но с помощью операции редактирования цвета в окне свойств KOHTeKcTHoro Me
ню (рис. 19.3).
530
Часть /J/. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Выделенному терму в окне функций принадлежности соответствует rpафик этоrо
же цвета с характерными маленькими квадратами или маркерами в местах пересе
чения кривой с rоризонтальными линиями, соответствующими значениям функ
ции принадлежности О и 1. Указанные маркеры MorYT быть использованы разра-
ботчиком для изменения вида и значений функции принадлежности. Для Этоrо
следует позиционировать курсор мыши на нужном маркере, нажать левую кнопку
мыши и, не отпуская ее, переместить маркер в нужном направлении. Изменение
функции принадлежности можно контролировать визуально с помощью измене
ния соответствующеrо rрафика в секции функций принадлежности редактора.
При перемещении курсора в окне секции функций принадлежности появляется
всплывающая подсказка с координатами указателя мыши на плоскости, при
этом первое число соответствует rоризонтальной координате (значению peдaK
тируемой линrвистической переменной), а второе число вертикальной KOOp
динате (значению функции принадлежности).
Выделить нужный терм в секции имен можно последовательным нажатием кла-
виш <.J.,> и <t> на клавиатуре или щелчком левой кнопки мыши на имени терма
в этой секции. При этом происходит выделение соответствующей кривой в ceK
ции функций принадлежности редактора.
Выделенный терм редактируемой линrвистической переменной можно удалить,
для чеrо достаточно нажать клавишу <Delete> на клавиатуре или воспользо
ваться соответствующей операцией KOHTeKcTHoro меню (см. рис. 19.3). Для дo
бавления новых термов к редактируемой линrвистической переменной следует
воспользоваться соответствующей кнопкой панели инструментов редактора или
операцией KOHTeKcTHoro меню (см. рис. 19.3).
Панель инструментов редактора содержит набор кнопок, которые позволяют BЫ
полнить отдельные операции по редактированию линrвистической переменной.
Назначение отдельных кнопок панели инструментов приводится в табл. 19.1.
Таблица 19.1. Назначение кнопок панели инструментов редактора
линrвистической переменной
rрафическое
изображение
Всплывающая
подсказка
Назначение кнопки
i1iJ
Next Term
New Term
вu
Inverse Term
Осуществляет переход к следующему терму
редактируемой линrвистической переменной
Открывает окно задания HOBoro терма для pe
дактируемой линrвистической переменной, при
этом можно задать имя HOBoro терма и форму
ero функции принадлежности
Создает новый терм для редактируемой лин
rвистической переменной, функция принад
лежности KOToporo симметрична функции при
надлежности выделенноrо терма относительно
rоризонтальной линии на уровне 0.5
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH
531
Таблица 19.1 (окончание)
rрафическое
изображение
Всплывающая
подсказка
Назначение кнопки
(-p;l . ...... ..... .. .
@J
[ж]
[iJ
I l +f:. +j I
[!]
50rt Terms
Grid
Base VariabIe
Stапdаrd MBF
VariabIes
Wizard
Term List Вох
Hyperde--
fuzzifiсаtiоп
Lеаrп MBFs
Help
Упорядочивает множество термов редактируемой
линrвистической переменной по максимальным
значениям их функций принадлежности, при этом
вначале располаrаются положительные термы, а
затем отрицательные термы
Открывает диалоrовое окно свойств редактора
линrвистической переменной с предложением
изменить величину координатной сетки
Открывает диалоrовое окно свойств редактора
линrвистической переменной с предложением
изменить диапазон ее возможных значений
Преобразует функции принадлежности всех
термов редактируемой линrвистической пере
менной к стандартной форме
Вызывает третье по счету окно мастера лин
rвистической переменной (Liпguistiс VariabIes
Wizard) с предложением изменить форму функ
ций принадлежности отдельных термов
Отображает/скрывает секцию с именами термов
редактируемой линrвистической переменной
Отображает/скрывает результаты дефаззифика
ции (всех/положительных/отрицательных) значе
ний выходной линrвистической переменной. Эта
кнопка может изменять свой внешний вид, при
этом она становится активной только в режиме
отладки проекта и при выборе соответствующеro
метода дефаззификации Hyper СоМ
Включает/отключает режим обучения для спе
цификации функций принадлежности термов
редактируемой линrвистической переменной
Вызывает раздел справочной системы, посвя
щенный редактору линrвистической переменной
Кроме панели инструментов, операции редактора линrвистической переменной
доступны через контекстное меню, которое может быть вызвано с помощью Ha
жатия правой кнопки мыши при позиционировании курсора в пределах rрафи
ческоrо окна редактора (рис. 19.3).
532
Часть 1/1. Нечеткое моделирование в среде fuzzy ТЕСН
2\ Ц
:I
. . s
';:' L! ,)(
i,i '1У' :1 шt:
; e' , Eroрertiез, 1;, "::;'\'
: " n m " d . 7 . : . ' .. . ' . ' . m . m . . . . f . . . m . : . ; . . . . i . i . . . ' : i
" .o.p o ,{, :. .... . .
;:' ';' . ;Ы; > : п : ,'
: ::Ь ; ; 'JЫ" ;':': i i
. : Sht;rФr.:Т rm tf t.6ox < :--:, ; '.: ' .:" t
Рис. 19.3. Контекстное меню
редактора линrвистическОй переменной
Контекстное меню редактора ЛИНI'вистическоЙ переменной содержит следующие
операции:
О Properties... (Свойства) открывает окно свойств выделенноrо терма для их
редактирования;
О Learning... (Обучение) открывает окно свойств процедуры обучения функ
ции принадлежности для выделенноrо терма;
О Delete (Удалить) удаляет выделенный терм у редактируемой линrвистиче
ской переменной;
О New Term... (Новый терм) открывает окно задания HOBoro терма для pe
дактируемой линrвистической переменной, при этом можно задать имя HOBO
[о терма и форму ero функции принадлежности;
О New Inverse Term (Новый инверсный терм) СОЗДает новый терм для peдaK
тируемой линrвистической переменной, функция принадлежности KOToporo
симметрична функции принадлежности IIсходноrо выделенноrо терма OTHO
СlIтельно rоризонталыlOЙ линии на уровне 0.5:
О Sort Terms (Сортировка термов) упорядочивает множество термов peдaK
тируемой линrвистической переменной по максимальным значениям их
функций принадлежности, при этом вначале располаrаются положителы-\ые
термы, а затем отрицательные термы;
О Grid... (Сетка) открывает диалоrовое окно свойств редактируемой лин
rвистической переменной с предложением изменить величину отображения
координатной сетки;
О Base Variable... открыв"ет диалоrовое окно свойств редактируемой лин
rвистической переменной с предложением изменить диапазон ее возможных
значений;
(лава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH
5ЗЗ
а Standard MBF преобразует функции принадлежности всех термов редакти
руемой линrвистической переменной к стандартной форме;
О Learn all MBFs... включает/отключает режим обучения для спецификации
функций принадлежности всех термов редактируемой линrвистической пере
менной;
О Variables Wizard... вызывает третье по счету окно мастера линrвистической
переменной (Linguistic Val'iables Wizard) с предложением изменить форму
функций принадлежности отдельных термов;
а Show Term List Вох отображает/скрывает секцию с именами термов peдaK
тируемой линrвистической переменной.
Закрыть активный редактор линrвистической переменной можно с помощью
соответствующей кнопки управления окном. Закрыть все открытые редакторы
линrвистических переменных можно с помощью операции rлавноrо меню:
Window>Close аН Variable Editors.
При закрытии редактора линrвистических переменных все внесенные изменения
автоматически сохраняются в текущем проекте (но не во внешнем файле проек
та). При необходимости можно отменить внесенные изменения с помощью COOT
ветствующей кнопки панели инструментов nporpaMMbJ fllzzyTECH (см. табл. 18.3)
или операции rлавноrо меню.
rрафические редакторы правил
системы нечеткоrо вывода
Редакторы правил СlIстемы нечеткоrо вывода (далее сокращенно редакторы
правил), как следует из их названия, предназначены для редактирования правил
нечетких продукций, используемых в различных блоках правил проекта. В про
[рамме fllzzyTECH редакторы правил MorYT иметь одну из rрафических форм,
приведенных ниже.
О Табличный редактор правил (Spreadsheet Rule EditOl').
О Матричный редактор правил (Matrix Rule Editor).
rрафическое окно табличноrо редактора правил может быть открыто двойным
щелчком мыши на изображении соответствующеrо блока правил в окне peдaK
тора проекта или двойным щелчком мыши на имени соответствующеrо блока
правил в окне просмотра структуры проекта.
Примечание
Открытие табличноrо или матричноrо редактора правил по двойному щелчку
мыши можно задать на вкладке General (Общие) диалоrовоrо окна командой
операцию rлавноrо меню Too/s>FuzzyTECH Preferences.... Если установить
флажок Ореп Matrix Rule Editor Ьу DoubIe clicking Rule Block, то по двойному
щелчку мыши будет открываться матричный редактор правил, если этот флажок
снять то табличный редактор правил (установлен по умолчанию).
534
Часть 1/J. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Открыть окна табличных редакторов для всех блоков правил проекта можно
также с помощью соответствующей операции rлавноrо меню Window>Open аН
Spreadsheet Rule Editors.
Результат вызова табличноrо редактора правил для блока правил с именем RB1,
который имеет 9 правил нечетких продукций, изображен на рис. 19.4.
mI Spreadsheet Rule Edltor АВl 1!!I[!J1'3
.. _ ,е, >_- -"_'< _,_." <"_.0' ...-. >' '.' _ _ . , _.> ?
: E; : ; : ; E= j
f ; i ;N .. ! .+ ' l ; di m ...
. ,4 ;' ,zero iclose . 100 ,zero
: : : .... =I ::;. . . ..... .t. :E т . = =
] 'O......... : c",. ..: ....) j ii : . . .
} 9"J";neg small far J 1 00 !pos hlgh .
:!о : .... . ! .. "Т" . Ш - '.:-J
Рис. 19.4. rрафическое окно табличноrо редактора
правил нечетких продукций
rрафическое окно таБЛИ(lНоrо редактора правил ниже стандартной строки заrо
ловка и кнопок управления окном имеет собственную панель инструментов и
секцию правил нечетких продукций, которая занимает основную часть rрафиче
cKoro окна редактора. При этом правила в этой секции представляются в форме
таблицы, что и предопределило название данноrо редактора.
Каждому правилу нечетких продукций редактируемоrо блока правил COOTBeTCT
вует отдельная строка секции. Слева от правила указывается порядковый номер
этоrо правила. Далее следуют имена термов входных линrвистических перемен
ных, которые формируют отдельные подусловия правил нечетких продукций.
После них указывается значение BecoBoro коэффициента правила (Degree of
Support ишt сокращенно DoS). Далее следуют имена термов выходных лин
rвистических переменных, которые формируют отдельные заключения правил
нечетких продукций. Имена входных и выходных переменных редактируемоrо
блока правил указываются вверху соответствующеrо столбца таблицы.
Панель инструментов табличноrо редактора правил содержит набор кнопок,
которые позволяют выполнить некоторые операции по редактированию пра
ВIЩ отдельноrо блока. Назначение кнопок панели инструментов при водится в
табл. 19.2.
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH
535
Таблица 19.2. Назначение кнопок панели инструментов
табличноrо редактора правил
rрафическое
изображение
Назначение кнопки
f;ji1
[!Q]
. ' . 'i'<'
.. "
LZj
crn
. ""
Всплывающая
подсказка
Matrix Editor
Rule Block
Wizard
Delete А"
Rules
Set DoS
Partial Rule
Block
Full Rule Block
Fuzzy
Operators
Sort Rules
Compressed
Rule ТаЫе
Show Absolute
Statistics
Переключает режим представления табличноrо
редактора в режим представления матричноrо
редактора для редактируемоrо блока правил
Вызывает третье по счету окно мастера блока
правил с предложением изменить степень
влияния входных переменных на выходные пе
ременные редактируемоrо блока правил
Удаляет все правила у редактируемоrо блока
правил
Открывает окно задания значения весовоro
коэффициента для правил редактируемоrо
блока, при этом данному коэффициенту можно
задать произвольное значение
Удаляет все правила редактируемоrо блока и
формирует новую базу правил из всех возмож
ных комбинаций термов входных линrвистиче
ских переменных. При этом столбцы значений
выходных переменных остаются пустыми, а
значения всех весовых коэффициентов правил
(008) принимаются равными 1
Удаляет все правила у редактируемоrо блока и
формирует новую базу правил из всех возмож
ных комбинаций термов как входных, так и BЫ
ходных линrвистических переменных. При этом
значения всех весовых коэффициентов правил
(008) принимаются равными 1
Открывает окно задания параметров нечетких
операций для правил редактируемоro блока
(рис. 19.22)
Открывает окно задания параметров упорядо
чения правил нечетких продукций для редакти
pyeMoro блока правил
Открывает окно представления правил редакти
pyeMoro блока в сокращенном (сжатом) формате
Добавляет к таблице правил редактируемоrо
блока новый столбец с указанием абсолютноrо
количества активизации правил в течение за
AaHHoro интервала моделирования. Кнопка
доступна только при включении анализатора
статистики
536
Часть 11/. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Таблица 19.2 (окончание)
rрафическое
изображение
Назначение кнопки
Всплывающая
подсказка
{gJ
ш
Show Relative
Statistics
Reset Statistics
Counter
Learn DoS
Help
Добавляет к таблице правил редактируемоrо
блока новый столбец с указанием относитель
Horo (в %) количества активизации правил в
течение заданноrо интервала моделирования.
Кнопка доступна только при включении анали
затора статистики
Сбрасывает (обнуляет) t{оличественные эначе
ния активизации правил. Кнопка доступна
только при включении анализатора статистики
Открывает диалоrовое окно параметров обуче
ния для определения значений весовых коэф
фициентов (Оо8) правил редактируемоrо блока
Вызывает раздел справочной системы, посвя
щенный табличному редактору правил нечетких
продукций
Кроме панели инструментов, некоторые операции редактирования правил дос-
тупны через контекстное меню редактора, которое может быть вызвано с помо-
щью нажатия правой кнопки мыши при позиционировании курсора в пределах
rрафическоrо окна редактора правил. Если контекстное меню открывается в об
ласти зна'lения отдельноrо терма, то в контекстном меню появляются все воз
можные значения термов соответствующей линrвистической переменной, при
этом выбор HeKoToporo из этих значений изменяет подусловие редактируемоrо
правила. Если контекстное меню открывается в области значения отдельноrо
BecoBoro коэффициента, то в контекстном меню появляются все возможные зна
чения весовых коэффициентов правил, при этом выбор HeKoToporo из этих зна-
чений изменяет весовой коэффициент DoS редактируемоrо правила.
rрафическое окно матричноrо редактора правил может быть открыто с помо
щью кнопки переключения окон редакторов (см. табл. 19.2). В дополнение к
этому способу матричный редактор правил можно открыть двойным щелчком
мыши на изображении соответствующеrо блока правил в окне редактора проек
та или двойным щелчком мыши на имени соответствующеrо блока правил в ок-
не просмотра структуры проекта, если 13 настройках проrраммы fuzzyTECH yc
тановлен флажок у соответствующеrо свойства.
Результат вызова табличноrо редактора правил для блока правил с именем RB1,
который имеет 9 правил нечетких продукций, изображен на рис. 19.5.
rрафическое окно матричноrо редактора правил ниже стандартной строки заrо
ловка и кнопок управления окном имеет собственную панель инструментов. Oc
новную часть окна редактора занимает секция правил нечетких продукций.
Правила в этой секции представляются в форме матрицы, что и предопределило
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH
537
название данноrо редактора. Внешний вид этой секции зависит от общеrо коли
чества правил редактируемоrо блока и выбора режима UBeToBoro представления
заключений правил.
,;; Matrix Rule Edi10r АВ1
:'ii ':J JtJ\ :t ' <.' ,,:)
"A ':: IF Аn le. neg big AND Dlstance . medium THEN Power..- p ,..m dlum W1TH 1.00000,
I!IDIЗ
рu
rle
",'
-; . ,;.'
>;.. .,.. . . .
.- "i; ':' _,
<" j; ..
. -
'!'(,N: J ';:, :;
.,,"..
.. r.. ' I, ;'< '
' '{1 , ,& { : :
",':;';:. ,;;-
' -;.';::';:.:o. --<
Qis nte' .. ""j\j;:: , Y,. \!;;
Рис. 19.5. rрафическое окно матричноrо редактора
правил нечетких продукций
Каждому правилу нечетких продукций редактируемоrо блока правил COOTBeTCT
вует отдельная ячейка или клетка матрицы. Слева от матрицы правил указыва
ются имена термов первой входной линrвистической переменной, внизу матри
цы указываются имена термов второй входной линrвистической переменной.
В соответствующей ячейке матрицы указывается сокращенное имя терма BЫXOД
ной линrвистической переменной, которое соответствует заключению отдельно
ro правила нечетких продукций.
Значение BecoBoro коэффициента правила изображается оттенком цвета от бело
ro (DoS = 1) до TeMHo ceporo (DoS = О), если включен режим отображения в
ячейках весовых коэффициентов правил. Имена входных переменных редакти
pyeMoro блока правил указываются слева и снизу матрицы правил, а имя BbIXOk
ной линrвистической переменной указывается выше списка вложенноrо меню с
именами значений ее термов.
При перемещении курсора в секции правил редактора появляется всплывающая
подсказка с текстом соответствующеrо правила нечеткой продукции (рис. 19.5).
Данная подсказка позволяет контролировать правильность записи отдельных
правил в редактируемом блоке правил.
Панель инструментов матричноrо редактора правил содержит набор кнопок,
которые позволяют выполнить отдельные операции по редактированию блока
правил. Назначение отдельных кнопок панели инструментов при водится в
табл. 19.3.
538
Часть /11. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Таблица 19.3. Назначение кнопок панели инструментов
матричноrо редактора правил
rрафическое Всплывающая
изображение подсказка
Spreadsheet
Rule Editor
[I] Fuzzy
Operators
FuzzyTECH
Preferences.. .
Matrix Rule
Editor
0 Swap Row and
Column
Display Gray
Scale
Display Term
Colors
Display False
Colors
Display Input
Aggregation
r+Jl . " .
Display Degree
of Support
(DoS)
Е]
Display Сот-
position with
Degree 01
Support (DoS)
Назначение кнопки
Переключает режим представления матричноrо
редактора в режим представления табличноro
редактора для редактируемоro блока правил
Открывает окно задания параметров нечетких
операций для правил редактируемоro gлока
правил (см. рис. 19.22)
Открывает диалоrовое окно настроек рабочеrо
интерфейса проrраммы fuzzyTECH на вкладке
свойств матричноrо редактора правил
Транспонирует матрицу правил редактируемо
ro блока, меняя местами входные линrвистиче
ские переменные
Отображает значения весовых коэффициентов
(Оо8) в секции правил нечетких продукций в
оттенках ceporo цвета
Термы выходной линrвистической перемен
ной в секции правил нечетких продукций OTO
бражаются в оттенках цвета этоrо терма, опре
деленноrо в редакторе линrвистической пере-
мен ной
Термы выходной линrвистической переменной
в секции правил нечетких продукций отобра
жаются в оттенках зеленоrо (для положитель-
ных значений терма) и KpaCHoro цвета (для от-
рицательных значений терма)
В ячейках матрицы секции правил отображаются
промежуточные результаты вывода после arpe
rирования входных линrвистических перемен-
ных. Эта кнопка становится доступной только в
режиме отладки проекта
В ячейках матрицы секции правил отображаются
значения весовых коэффициентов правил. Эта
кнопка BcerAa нажата (по умолчанию) в режиме
редактирования проекта
В ячейках матрицы секции правил отображается
промежуточный результат вывода после KOM
позиции выходных линrвистических перемен
ных. Эта кнопка становится доступной только в
режиме отладки проекта
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH
539
Таблица 19.3 (окончание)
rрафическое
изображение
Всплывающая
подсказка
Назначение кнопки
00
Help
Вызывает раздел справочной системы, посвя-
щенный матричному редактору правил нечет.
ких продукций
Закрыть активный матричный редактор правил можно с помощью соответст-
вующей кнопки управления окном. Закрыть все открытые табличные и матрич
ные редакторы правил, как уже отмечалось ранее, можно с помощью операции
rлавноrо меню Window>Close аll Spreadsheet Rule Editors.
При закрытии редактора правил все внесенные изменения автоматически coxpa
няются в текущем проекте (но не во внешнем файле проекта). При необходимо
сти можно отменить внесенные изменения с помощью соответствующей кнопки
панели инструментов nporpaMMbI fuzzyTECH (см. табл. 18.3) или операции rлав
Horo меню.
rрафические средства анализа
результатов нечеткоrо вывода
в качестве rрафических средств анализа результатов нечеткоrо вывода в про-
rpaMMe fuzzyTECH используются специальные rрафические окна режима отлад-
ки проекта (Watch Window) и анализатора правил нечетких продукций (Rule
Analyzel)
Режим отпадки (Debllg Mode) нечеткоrо проекта является основным способом
получения информации о результатах нечеткоrо вывода в рамках разрабаты
ваемой системы нечеткоrо вывода. rлавное назначение этоrо режима кон-
троль значений выходных и промежуточных линrвистических переменных раз-
работанной системы нечеткоrо вывода для различных значений входных
линrвистических переменных. При этом основным средством контроля является
rрафическое окно режима отладки проекта, а вспомоrательным rрафическое
окно анализатора правил нечетких продукций.
Перейти из режима разработки проекта в интерактивный режим отладки можно
с помощью операции rлавноrо меню Debug>Interactive или с помощью COOTBeT
ствующей кнопки панели инструментов проrраммы fllzzyTECH (см. табл. 1 Н.3).
rрафическое окно режима отладки проекта (Watch Window) открывается авто-
матически при переходе в режим отладки проекта и остается открытым постоян
но до выхода из этоrо режима (рис. 19.6).
rрафическое окно режима отладки проекта ниже стандартной строки заrолов-
ка и кнопок управления окном имеет собственную панель инструментов и две
(рис. 19.6, а) или три (рис. 19.6, б) секции. В первом случае секцию имен и зна
чений входных линrвистических переменных, расположенную слева, и секцию
540
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
имен и значений выходных линrвистических переменных, расположенную спра
ва. Во втором случае в дополнение к указанным секциям справа добавляется
секция имен и значений промежуточных линrвистических переменных, если они
присутствуют в проекте. Внешний вид этих секций зависит от общеrо количества
линrвистических переменных в текущем нечетком проекте. В нижней части rpa
фическоrо окна режима отладки проекта раcnоложен реrулятор выбора значе
ний входных линrвистических переменных.
(.!;'D'
а
! Wfitch: Intеюсti\lе Debug Mode
: I 11 ; ; . ;! Ч о.5000
f :l RUt$!ы." ',' ; ;'.: i1b lliii:j >;r;: Z"; ;i
+'> :-;,:.....
!;.i: C DI MIN " 0.5000 ;f":
;; : D"АDХ 30.0000 t
; ? InCRe;te О 0500
rt'lcle Fce 1] 0500 .
(;'\; [J rз'
,
.
;. i ;.
j ;-; ",'r'#;<"'''''', ,.."
0.0000 J%
1.0000 :f.t
1.1 f1f!ПL! :[.
00000 t
1J.7501 .;.
р :'.4 З (t _
, g;;
," ";i< " ;:? < 1 , ; /:'fJ7';; :' "7'j,t'''j' "r \; .f"
. :1 9 .. J:: :;\ . ; t 4 .i:
, [)Irec\ion nege.ti\/e
iredion no trend
. .
';r . ctl()(1 Pf);:':I!j\. f.:<
lI\illon.negetlve
nVlron.lndifferent
б
Рис. 19.6. rрафические окна режима отладки проекта системы нечеткоrо вывода
Для удобства rрафическоrо восприятия каждая из линrвистических переменных
проекта имеет собственный цвет, который служит для выделения входных пере
менных фоном соответствующеrо цвета в секции имен входных линrвистических
переменных. При необходимости можно отменить режим Цветноrо изображения
переменных с помощью операции панели инструментов (табл. 19.4). Выделить
нужную входную линrвистическую переменную в секции имен можно последова
тельным нажатием клавиш <..1..> и <t> на клавиатуре или щелчком левой кнопки
мыши на имени линrвистической переменной в этой секции.
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fиzzyTECH
541
Выделенной входной линrвистической переменной всеrда соответствует HeKOTO
рое количественное значение, которое отображается в небольшом окне справа от
панели инструментов. Изменить это значение можно непосредственным измене
нием значения в этом окне либо с помощью перемещения движка реrулятора
значений в ту или иную сторону. После изменения отдельных значений входных
линrвистических переменных происходит соответствующее изменение значения
выходной линrвистической переменной, которое отображается в секции имен
выходных линrвистических переменных справа.
Панель инструментов rрафическоrо окна режима отладки содержит набор KHO
пок, которые позволяют выполнить отдельные операции в режиме отладки. Ha
значение отдельных кнопок панели инструментов приводится в табл. 19.4.
Таблица 19.4. Назначение кнопок панели инструментов окна режима отладки
rрафическое
изображение
Всплывающая
подсказка
Назначение кнопки
;.;
: ;. .f.
..
'ir
It:ill
00
FuzzyTECH
Preferences -
Watch Window
Colored
Intermediate
VariabIes
Default Values
Reinitialize ООЕ
Links
Help
Открывает диалоrовое окно настроек рабочеrо
интерфейса nporpaMMbI fuzzyTECH на вкладке
свойств окна режима отладки
Включает/отключает режим UBeToBoro выделе
ния линrвистических переменных проекта
Отображает/скрывает дополнительную секцию
имен и значений промежуточных линrвистиче
ских переменных проекта. Кнопка недоступна
в случае отсутствия в проекте промежуточных
переменных
Устанавливает значения всех входных лин
rвистических переменных Проекта, заданные
по умолчанию
Обновляет все связи динамическоrо обмена
данными, используемыми совместно с друrи
ми проrраммами в рамках технолоrии DDЕ
Вызывает раздел справочной системы, посвя
щенный rрафическому окну режима отладки
проекта
Анализатор правил нечетких продукций (Rule Analyzer) можно вызвать с помо
щью операции rлавноrо меню Analyzer>New Rule Analyzer... или с помощью COOT
ветствующей кнопки панели инесрументов проrраммы fllzzyTECH (см. табл. 18.3).
Напомним, что в последнем случае кнопка анализатора правил становится дoc
тупной только В режиме отладки проекта.
В результате вызова анализатора правил нечетких продукций будет открыто
соответствующее rрафическое окно (рис. 19.7).
542
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
I!I[]О
. Rule Analyzer Stock
1 r:i!g&OD5u ; . i 1 l . 1 i: ' i*:: ;5 ; ? "';j:';; +1:';'".'
.:, '":
. TeIm
. sell - О 00000
hold = 0.75006
RB2
RB2
Env,ron - Ind,fferenl
D ADX - 111911 8.
Direc\ion = no tr8nd
D ADX = medium
О 750. 1 000
0750 .
RB2
Ьиу . О 00000
G 666.. 1.000.
о.ззз.. 1.000.
0666.
О ззз.
Рис. 19.7. rрафическое окно анализатора правил нечетких продукций
rрафическое окно анализатора правил ниже стандартной строки заrоловка и
кнопок управления окном имеет собственную панель инструментов. Uентраль
ную часть rрафическоrо интерфейса анализатора правил занимает секция с име
нами и значениями термов выходной линrвистической переменной. Выбор BЫ
ходной линrвистической переменной для анализа ее значений осуществляется с
помощью поля списка, расположенноrо слева от панели инструментов
Панель инструментов окна анализатора правил режима отладки содержит Bcero
лишь 4 кнопки, которые позволяют выполнить отдельные операции. Назначение
кнопок панели инструментов приводится в табл. 19.5.
Таблица 19.5. Назначение кнопок панели инструментов окна анализатора
правил нечетких продукций
rрафическое
изображение
Назначение кнопки
Всплывающая
подсказка
в1
EJ
rJl
L!J
Sort
Aggregation
Sort Result -
Aggregation
Freeze
Help
Упорядочивает правила соrласно значениям
до аrреrирования их подусловий
Упорядочивает правила соrласно значениям
после аrреrирования их подусловий
Останавливает процесс нечеткоrо вывода за
ключений для анализируемых правил проекта
Вызывает раздел справочной системы, посвя
щенный rрафическому окну анализатора пра-
вил проекта
Закрыть rрафическое окно анализатора правил нечеткоrо вывода можно с по
мощью соответствующей кнопки управления окном либо автоматически при
выходе из режима интерактивной отладки. Как указывалось ранее, для выхода
из режима отладки проекта следует убрать отметку у операции rлавноrо меню
Debug>Interactive или отжать ранее нажатую кнопку панели инструментов про
rpaMMbI fllzzyTECH.
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH
543
19.2. Основные средства разработки
проектов и компонентов систем
нечеткоrо вывода в fuzzyTECH
Для быстрой разработки прототипов проектов и задания отдельных компонен
тов систем нечеткоrо вывода в интерактивном режиме MorYT быть использованы
специальные средства или мастера, входящие в состав nporpaMMbI fuzzyTECH,
перечисленные далее.
О Мастер нечеткоrо проекта (FDW, FlIzzy Design Wizard).
О Мастер линrвистической переменной (Linguistic VariabIes Wizard).
О Мастер блока правил (RlIle Вlock Wizat"d).
О Мастер нечетких систем реальноrо времени (ОпНпе Wizю'd for Fuzzy RlIntime
System).
Далее в этой rлаве приводится характеристика этих мастеров и рассматриваются
особенности создания новых проектов и компонентов систем нечеткоrо вывода с
их помощью.
Мастер нечеткоrо проекта
MaClJlep печетКО20 IlроеЮllа предназнаtlен для создания базовой структуры или
прототипа системы нечетКоrо вывода и позволяет специфицировать все ее oc
новные компоненты. Мастер нечеткоrо проекта реализован в форме 110следова
тельности диаЛоrоВЫХ окон, каждое из которых служит для спецификации OT
дельных свойств компонентов создаваемоrо проекта.
Мастер нечеткоrо проекта может быть вызван с помощью операции rлавноrо
меню File>Fuzzy Design Wizard... или с помощью соответствующей кнопки пане
ли инструментов проrраммы fuzzyTECH (см. табл. 18.3).
В результате вызова мастера нечеткоrо проекта будет открыто первое окно из
последовательности диалоrовых окон спецификации свойств отдельных компо
нентов создаваемоrо прототипа проекта (рис. 19.8).
В первом диалоrовом окне разработчику предлаrается соrласиться с выбором
варианта создания новой системы нечеткоrо Вывода (Create New System по
умолчанию) или изменить ero на вариант добавления системы нечеткоrо вывода
к существующему проекту (Append to Existing System). При необходимости мож
но воспользоваться возможностью использования внешнеrо файла формата
(CSV, Соmmа Separated Values) с некоторой выборкой данных для специфика
ции компонентов создаваемоrо проекта.
После этоrо с помощью нажатия кнопки Next можно перейти ко второму диало
rOBoMY окну мастера нечеткоrо проекта (рис. 19.9) для задания количества BXOД
ных, выходных И промежуточных линrвистических переменных проекта и обще
ro количества их термов.
544
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Fuuy nesil]n WillHd D
, .
'f'
'11. .. . ." ,.' ;; \;;i;';. ;;;?, '''';;'''' .,
i 1 :::fl : : I
' > ; ,ii :: 11 [ .: 1l з'] l :', ,.;,4't!Blp l ' : ;""Clin '
Рис. 19.8. Первое диалоrовое окно мастера нечеткоrо проекта FDW
Fuzzy Design WizElrd
/:j': ' _/: ., ::
.. '" ., ;.,'
;: 1'::' U1pШt.,V : - \ 1
: ""i, 1. "
! '; -':,:
; ::c, i m:i e'i l o': "C" ' f
х
:: :;Э";., w.",-.,;;.<....l;...:Z.: .... .": . 'i2 Б;;.х
';;-и.;., '. . С' Jj' 3':1f
aJ ..;
' ';i:' . : '::',;Н
.";: I,
Jп\ im.-Т ennsJ!.V:
J з
\ 5
' jз
..-:: - f :
, j
6:'i
.
. .. )
.;;::f.',, :t r:,, v:
":: 9y\puITliJrj'rlS/lY':
.
..' i ::
Рис. 19.9. Второе диалоrовое окно мастера нечеткоrо проекта FDW
Во втором диалоrовом окне мастера нечеткоrо проекта можно задать количест-
во входных (Input LVs), выходных (Output LVs) и промежуточных (Intermediate
LVs) линrвистических переменных проекта, а также общее количество термов
входных (Input Terms/L V), выходных (Output Terms/L V) и промежуточных
(Interm. TermslL V) переменных.
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH
545
После задания общеrо количества линrвистических переменных с помощью Ha
жатия кнопки Next можно перейти к следующим Диалоrовым окнам мастера He
четкоrо проекта для спецификации параметров или свойств отдельных входных
линrвистических переменных. При этом для каждой из входных переменных бу
дет открыто отдельное диалоrов'ое окно (рис. 19.1 О).
Рис. 19.10. Диалоrовое окно мастера нечеткоrо проекта FDW
ДЛЯ спецификации ВХОДНЫХ линrвистических переменных
в диалоrовом окне спецификации свойств входных линrвистических переменных
можно изменить следующие пара метры, предложенные проrраммой fllZZyTECH
по умолчанию: имя линrвистической переменной (Name inl), диапазон изме
нения значений линrвистической переменной (Range Frorn), количество термов
линrвистической переменной (Nurnber оС Terrns), а также выбрать имена этих
термов (Terrn Names) из предложенноrо мастером списка.
Примечание )
Следует заметить, что количество вариантов имен термов и сами эти имена в
списке зависят от заданноro общеrо количества термов у соответствующей
линrвистической переменной.
После спецификации свойств отдельных входных линrвистических переменных с
помощью нажатия кнопки Next можно перейти к аналоrичным диалоrовым ок-
нам мастера нечеткоrо проекта для спецификации параметров или свойств OT
дельных выходных и промежуточных линrвистических переменных. При этом
для каждой из выходных переменных также будет открыто отдельное диалоrо
вое ОКНо (рис. 19.1 1).
546
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Fuzzy Dosiqn WiZBrd D
J:::; ;:; p ! Th 'f ; L' ; , .. ::' ti
:1. Rengtl"E! qi ,/"С 1 0 " " Xo : i ; ;;'<.'3"'" .!!, ;.; :'i\ ;'\I : I::: ·
'1 ." "'''':'',' 'Ш"' "'О''''''''''';'.'' .." ':\"""""".., ';":" "'""'. ! . -1.
. " О. . . " ; ,..' {}: : ::: . .., ;'i!j'j; , ,: . ' . . .. ! , . . , .'" . " . . , . .. . !. l . : ,. . . : ,, ' . : ;
1 5 »' :b!;' "
1;,': ;; : ': ::::: ::.: : ::: : :' i lt '
]:. =; Ert E ii: C:'" ]!
::1 'i:; ':';"'::';::';;':;;"';'- ".:.' f';i',." j '.'
.-. ,: y .+.
o;.
: 1 ' . ' .. " . r
I:!elp . 'i r-Ce[ : .
.(er!i ; <. } : , .. tlsx\>.
\' ,E,nd
'.. 1' .
Рис. 19.11. Диалоrовое окно мастера нечеткоrо проекта FDW
ДЛЯ спецификации ВЫХОДНЫХ линrвистических переменных
После спецификации свойств всех линrвистических переменных с помощью нажа.
тия кнопки Next можно перейти к диалоrовому окну для спецификации метода
дефаззификации создаваемоrо прототипа системы нечеткоrо вывода (рис. 19.12).
Fuzzy Design Wizard
';rD,elli$biduizi,fiC :ri ..':?;'.... ,. . ,
. In 1hj&,SlSР. Ч sрscifylпз (jeluzlifi o.!'fme1hod for.o yai\ 1S
,( 0.1.111;>:;.; . ".. ....> , ... ... .......... о. ... . ..,'..
')(
с:':
,!: ;
.' Wh0l1s. the 'cIiafaCterlwc 61 your:iiUtPlrt?
,
r. @: RТ. ! I ' .' "
; I i, ,!9 ii-. m; p:inir !; l?ill: alionsj
("Mc:istPlausitl.!e Re$ "'
;,.CМ6M:,iiSёd,ii1;recognitiQiiepP( lcihs.
:.. : :
!: '';; ,5:-: Ч
:':;.: ...::..:....;..:.::;.. ...:..: :J.;..
< :' ;, i. } :::_
-"", > . . ..-,.,
c(E ; IJ
,Вех,>: .
, . .. ' . . . . с . . .:.... О" ,
,.' '. ,i;;: rid., ,:,;;
< 't--;>
. '8 IP':..:'1 1 >
"_ MCj:; (' <" ' ,'.;
, ;:. J
Рис. 19.12. Диалоrовое окно мастера нечеткоrо проекта FDW
для спецификации метода дефаззификации
rлава 19. Процесс нечеткоro моделирования в среде fuzzyTECH
547
в диалоrовом окне спецификации метода дефаззификации можно либо соrла
ситься с методом центра максимума (Best Compromize (СоМ: uesd in most control
аррlicаtiопs)), предлаrаемым мастером по умолчанию для большинства приложе
ний нечеткоrо управления, либо изменить ero на метод среднеrо максимума
(Моst PlausibIe Result (МоМ: used in recognition appIications), который peKOMeHДY
ется использовать в приложениях распознавания образов.
После выбора метода дефаззификации с помощью нажатия кнопки Next можно
перейти к последнему диалоrовому окну мастера нечеткоrо проекта для специ
фикации блоков правил нечетких продукций (рис. 19.13).
Fuzzy Design Wizard
. 'б Б) " ;;; : , ::: ' \li?,:, f;:::: , "'
Injbls: p IЭ М!' О! 1 'ыoks;; yщJ.!J 1y s!'l.I'!' tIr1 Jul
blbC:Is:, !'IFQYf. I.R ,ad f c:Q/} ,c,tiQf!sforJl '+
If Youfi led mQr'i!'iht\.h(]n rulsbl.or::k :thefQ'Nwi1I i:iel') 'e.11 :it!t9rf8ceiCCnd:
(ule ьtоck6withQut:ljnlФi9ttj m lo!'!ЙoWyciu tРQ8fiп$ еiRtЮ liеtWfilт,
thEiJiQjeds /cIfEi!:
,)(
,.
.....' ,_ <,-'-i<
p'iQ-Щlti;(' е sе
.-я.
, ,;'Re.ndomDQSУoIЧIi!'
'(\JiеК!W1пеd DoE;'Y:eJue,
1 0
, 10
- . .-..,' ",ОС,
;;:':; . . >:-.; .2 . .. _ :: _ : .. . 'M1. ;./i..;:: . .:]
''''' .":; i "' :': : '/: >' ( :!.E; ,}' \ ;
I i 'tiе)\1 Ч
Рис. 19.1 з. Диалоrовое окно мастера нечеткоrо проекта FDW
ДЛЯ спецификации блока правил проекта
в диалоrовом окне спецификации блоков правил можно задать общее количест
во блоков правил (Rule Blocks), сrенерировать полное множество правил на oc
нове комбинации всех термов линrвистических переменных проекта (оставить
флажок Create Rule Base). Здесь также можно задать значение весовых коэффи
циентов правил (User defined DoS Value) либо выбрать вариант случайноrо зада
ния их значений (Random DoS Value).
После спецификации блоков правил нечетких продукций создаваемоrо проекта с
помощью нажатия кнопки Next и подтверждения будет создан прототип системы
нечеткоrо вывода, структура KOToporo будет изображена в окне редактора про
екта (рис. 19.14).
Для быстроrо создания стандартноrо прототипа HOBoro проекта системы He
четкоrо вывода можно воспользоваться упрощенным вариантом мастера нечет
Koro проекта, который может быть вызван с помощью операции rлавноrо Me
548
Часть 111. Нечеткое моделирование в среДе fuzzyTECH
ню File>New или с помощью соответствующей кнопки панели инструментов
nporpaMMbI fuzzyTECH (см. табл. 18.3).
. fuzzyTECH 5.52 Protessionn\ Оето - <unli"ed>*
"';Fil :" diI ' ;АiеЬ!i[;$?;1 ю :t:,*,! :'; :'f:1eip. '.":; ),;,,/s,
J : ( ; ! J) ,R' t ;f.1: ., П J .'!.J J:i( t t:;"'::I
;':+ [;Б unlilled t;" Projec\ Edil r .
i::'! :ш VallebIe Groups
(illlnpu\s
S "!'1:L}1nl.
..1low
iliJ тedium
2] hlgh
'f] in2
"": :ш Outpu1s
:J1J Inlermedl!l1es
!:Н Rule BJocks
'... Т ТеХ!
!i! OnJine Connections
':.:. 013
1111
,n2
ои11
R81
м;nЛiб:.:
[\/
->- > . ......;
. ",;,,::" !f3$iig t:.J9 .':,:::-:-- .
Рис. 19.14. rрафический вид редактора проекта С новой системой нечеткоro вывода,
созданной с помощью мастера нечеткоrо проекта FDW
При вызове упрощенноrо мастера быстроrо создания прототипа нечеткоrо про
екта будет открыто единственное диалоrовое окно спецификации общих свойств
создаваемоrо нечеткоrо проекта (рис. 19.15).
Gellp.rn\e Projec\
- - ...._.. ...... _.,,_. .. ш -'-'-""-'1.3
l < ' J " F 1 fP;;<
1...,":r.....,.,="':>.<,...
fle; ti ik ;
Рис. 19.15. Диалоr060е окно быстроrо создания cTaHAapTHoro
прототипа HOBoro нечеткоrо проекта
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH
549
в диалоrовом окне быстроrо создания стандартноrо прототипа нечеткоrо про
екта можно задать количество входных и выходных линrвистических перемен
ных проекта, количество блоков правил, а также общее количество термов BXOД
ных и выходных переменных. При необходимости можно использовать внешний
файл с некоторой выборкой данных для спецификации функций принадлежно
сти термов линrвистических пе.ременных.
После спецификации общих свойств создаваемоrо нечеткоrо проекта и нажатия
кнопки ОК будет создан прототип системы нечеткоrо вывода. структура KOTO
рой будет изображена в окне редактора проекта аналоrично структуре, изобра
жен ной на рис. 19.14. После создания прототипов систем нечеткоrо вывода при
необходимости редактирования свойств их отдельных компонентов можно BOC
пользоваться рассмотренными ранее rрафическими средствами редактирования.
В завершение рассмотрения особенностей мастера нечеткоrо проекта следует
заметить, что нажатие кнопки End в любом из диалоrовых окон этоrо мастера
закрывает данный мастер и завершает процесс создания прототипа новот'о He
четкоrо проекта. При этом все свойства на оставшихся не рассмотренными диа
лоrовых окнах мастера для HOBoro проекта принимаются равными предложен
ным проrраммой fuzzyTECH по умолчанию.
В свою очередь нажатие кнощ<и Previous в любом из диалоrовых окон (кроме
первоrо) возвращает к предыдущему диалоrовому окну данноrо мастера. Нажа
тие кнопки Help в любом из диалоrовых окон открывает раздел справочной сис
темы, посвященный соответствующему диалоrовому окну, а нажатие кнопки
Сапсеl закрывает мастер нечеткоrо проекта. отказываясь от создания COOTBeTCT
вующеrо прототипа.
Мастер линrвистической переменной
Мастер линrвистической переменной предназначен для БЫС'Ipоrо создания новой
линrвистической переменной и позволяет специфицировать все ее основные свойства
или параметры. Мастер линrвистической переменной реализован в форме последо
вательности диалоrовых окон, каждое из которых служит для спецификации отдель
ных свойств вновь создаваемой линrвистической переменной.
Мастер линrвистической переменной может быть вызван с помощью операции
rлавноrо меню Edit>New Variable.... а также с помощью соответствующей опе
рации KOHTeKcTHoro меню редактора проекта или одновременным нажатием
клавиш <Ctrl>+<V> на клавиатуре.
В результате вызова мастера линrвистической переменной будет открыто первое
окно из последовательности Диалоrовых окон спецификации свойств новой лин
rвистической переменной (рис. 19.16).
В первом диалоrовом окне разработчику предлаrается изменить имя вновь соз
даваемой линrвистической переменной. предложенное мастером по умолчанию
(в поле Name) и выбрать тип этой переменной: входная Onput Interface). BЫXOД
ная (Output Interface) или промежуточная (lntermediate). Секция справа служит
для спецификации метода фаззификации вновь создаваемой переменной. При
550
Часть 11/. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
необходимости можно выбрать любой из 4 методов либо остановиться на CTaH
дартном (Compute MBF), предложенное мастером по умолчанию. Кнопка Color
служит для задания цвета отображения создаваемой переменной, который ис
пользуется в rрафическом окне режима отладки.
. ...........
Llngui3tic У/Нl6Ыез Wizard ;)(
, > -. , >. - > .' ....
,
,, .DelineLtпgijJ llcVmifible;
H:iP, < ' " _ < _ '> _ ._. _ о:;:
j:;:rne цпguI 1\;Iапе.ыss »:i !!Ird)Nill hel,:J УО!l to crellt!!;e.llngujstfc ti le h'\
.' !" l1lПitiе's,,, Рf1 rmSar1d,mеmЬеr'$hip:tuп оJ'j$. '..i.
j' , \r) lI1i$, step уОиеР!2Щ nam$;'coIor t'Jnd \YPeoftheVJ1!16.!.1le
! . . 'i; с '>;1
'.Ч ;
1;:?N me:. ,, )
- :'} F.;;: {}1
.- "'.
' ja
I
, 1y
' :
,::::: ю; ; .J 'l[
,.оС' '".:>::.:$ ':- : (f!<i :.:.
i;;j:! ;:
r 'jj i
"(' ::;
j
! li":pm:::' ':::
:jiE:: ; ""!'1 ::'
"J :' "; r:;.': 1 :1 1
fi1tl
' ( >< ' ,' ::'. '; k
.;" .. ,
.', -1. "
. . ;::; :. -{: t t
<:: :
ti '
. 1 :
, "": I и
Рис. 19.16. Первое диалоrовое окно мастера
линrвистической переменной
После спецификации свойств линrвистической переменной в первом диалоrовом
окне мастера с помощью нажатия кнопки Next можно перейти ко второму диа
лоrовому окну мастера линrвистической переменной (рис. 19.17).
Во втором диалоrовом окне разработчику предлаrается задать диапазон изме
нения значений создаваемой линrвистической переменной: ее минимальное зна
чение (Min), максимальное значение (Мах), и значение, принимаемое по умолча
нию в режиме отладки (Default). В поле Unit можно ввести наименование единиц
измерения данной линrвистической переменной (только на анrлийском).
После этоrо с помощью нажатия кнопки Next можно перейти к третьему диало
rOBoMY ОКНУ мастера линrвистической переменной (рис. 19.18) для специфика
ции общих свойств функций принадлежности ее термов.
В третьем диалоrовом окне разработчику предлаrается задать общее количество
термов новой линrвистической переменная (Number) и выбрать их стандартные
имена из вложенноrо списка (Names). В этом окне разработчик может также
уточнить общую форму функций принадлежности термов создаваемой линrвис
тической переменной. Для зтоrо можно выбрать вариант задания функций при
r лава 19. Процесс нечеткоro моделирования в среде fuzzyTECH
551
наДJJежности термов с равенством l (High Shoulder рекомендуется для входных
переменных) либо О (Low Shoulder рекомендуется для выходных переменных)
для всех наименьших и наибольших значений линrвистической переменной. При
этом можно изменить положение мод отдельных функций принадлежности OT
носительно ширины диапазона значений линrвистической переменной (Width),
для чеrо удобно воспользоваться расположенным ниже реrулятором.
, < . . . . ! . l . . . . . . \: . 1: .. . .. ' < .. , ': . : : . . . . t ; i; III ... . . : . , . aт , : :'7
i'" . j li
t.l':: } : . : r , ' '
';:,'1:;;J" t, "' Its;y- <, с .,. .."
;:Jii:
.' '"
5ji,;
" I ) i j" f' !: E ", ; .
. ;'f;.
.
':.. .;
' I' Т;;; :'f""\;;' ! ;
Рис. 19.17. Второе диалоrовое окно мастера
Линrвистической перемен ной
в дополнение к этому можно изменить симметричность линейных функций при
надлежности относительно их модальных значений (Symmetric/Asymmetrical),
При выборе первоrо варианта функции принадлежности термов являются сим
метричными относительно центра интервала значений линrвистической пере-
мен ной. Дополнительно можно изменить положение мод отдельных функций
принадлежности относительно ширины диапазона значений линrвистической
переменной, задавая необходимое значение коэффициента (Factor) в интервале
значений [О, 500]. При этом значению Factor = О соответствует симметричная
форма кусочно линейных кривых, а положительные значения Factor > О при
ближают моды функций принадлежности к оси симметрии.
Для случая выбора асимметричных функций принадлежности можно задать He
обходи мое значение коэффициента (Factor) в интервале значений 500, 500]. При
этом значению Factor = О по-прежнему соответствует симметричная форма KY
сочно-линейных кривых, положительные значения Factor > О смещают моды
функций принадлежности вправо, а отрицательные значения Factor < О смещают
552
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
моды ФУНКЦИЙ принадлежности вправо. Для изменения значений этоrо коэффи
циента также удобно воспользоваться расположенным ниже реrулятором.
lingulsttC VElrlElbIeS WizElrd vElrl . , 1:1
,>
!: ::::=J1:: ,:?ц р rО'lеrm mdеt rminВ$ ed1oice рl 'te " о ;1,t\
,,1.>, ,I1Q/'fI s,and..theml3f11bf:jl'$htp IIJnctiondef.Mol1Sfor '1),е, 5е! o!termS,to Ьеа,ебte(!. ;:,]."
Рис. 19.18. Третье диалоrовое окно мастера
линrвистической переменной
Контроль настройки общей формы функций принадлежности создаваемой лин
rвистической переменной осуществляется с помощью rрафиков соответствую
щих кривых в окне предварительноrо просмотра (Preview).
После задания общей формы фУНКЦИЙ принадлежности с помощью нажатия
кнопки Next можно перейти к четвертому и последнему диалоrовому окну Mac
тера линrвистической переменной (рис. 19.19).
В этом диалоrовом окне разработчику предлаrается ввести текстовое описание
имени переменной (VariabIe Name Explanation) и комментарий (Comment) вновь
создаваемой линrвистической переменной. При этом возможен ввод символов
кириллицы, которые корректно отображаются аналоrично тексту на анrлийском
в форме всплывающей подсказки при выделении соответствующей линrвистиче
ской переменной в окне просмотра структуры проекта после добавления этой
переменной к разрабатываемому проекту.
После спецификации блоков правил нечетких продукций создаваемоrо проекта с
помощью нажатия кнопки Next или End будет создана новая линrвистическая
переменная и добавлена к системе нечеткоrо вывода в окне редактора проекта
(рис. 19.20). Для дальнейшеrо использования созданной линr'вистической пере
мен ной следует воспользоваться мастером блока правил или окном свойств co
ответствующеrо блока правил.
rЛдва 19. Процесс нечеткоro моделирования в среде fuzzyTECH
553
Рис. 19.19. Четвертое диалоrовое окно мастера
линrвистическОЙ переменной
11., Pruject Editor
- I!!IDЁJ
..
D; У:' varl I
RBl
,п1
,"2
outl
Ivlin/Max
out1
Lol 'f
..J
,,,,'
", ,-
...
.-,, ...
,
Рис. 19.20. rрафический вид редактора проекта с добавленной
к нему новой линrвистическОй переменной
в завершение рассмотрения особенностей мастера линrвистической переменной
следует заметить, что нажатие кнопки End в любом из диалоrовых окон этоrо
мастера закрывает данный мастер и завершает процесс создания новой перемен
ной. При этом все свойства на оставшихся не рассмотренными диалоrовых OK
554
Часть 11/. Нечеткое моделирование в среде fuzzy ТЕСН
нах мастера этой линrвистической переменной принимаются по умолчанию,
предложенные проrраммой fllzzyTECH.
В свою очередь нажатие кнопки Previous в любом из диалоrовых окон (кроме
nepBoro) возвращает к предыдущему диалоrовому окну данноrо мастера. Нажа
тие кнопки Help в любом из диалоrовых окон открывает раздел справочной сис
темы, посвященный соответствующему диалоrовому окну, нажатие кнопки Can
сеl закрывает мастер линrвистической переменной.
Мастер блока правил
Мастер блока правил предназначен для создания HOBoro блока правил и позво
ляет специфицировать все ero основные свойства или параметры. Мастер блока
правил также реализован в форме последовательности диалоrовых окон, каждое
из которых служит для спецификации отдельных свойств компонентов созда
BaeMoro блока правил.
Мастер блока правил может быть вызван с помощью операции rлавноrо
меню Edit>New Rule Block..., а также с помощью соответствующей операции
KOHTeKcTHoro меню редактора проекта или одновременным нажатием клавиш
<Ctrl>+<R> на клавиатуре.
В результате вызова мастера блока правил будет открыто первое окно из после
довательности диалоrовых окон спеuификаuии свойств HOBoro блока правил
(рис. 19.21).
Rule Block WizBrd
E]
.... . о. _ _. . . . .
5!1i :iь а
!; ] R 2' .
. t ;, f?'!Ъ ': ....",,:.! -r--.'.:: .n ....' :;., , H..
1![ : 1":;;
' j ;;: : ,
н;т ,,""''''''''''j( .",.",," ': 1 .
; jf; /. if 1gfik ; "
..r-. ,.,,,,,.; ,..;о<
. _ j " . i . : _ : .. , ,. . ;" .. . ( _ ' : " ' f' b . : . , . . . k . L . ' . ' .. . . .. - .. . , . , ' . . . . , . . . , " ' . : . M . . . " '. " " ' " " ' :''' ' P , . ,.. ' :. . .. . , . " : ., . . . . : . . ' < . . . . ';: . ;С" "" 11. ...' . . .. . .",
, '-, r;;' ") :,,'. - +' ", ,,"" i ""::'i::: ; :i ''',;;'f I', , ' :
,;.
.
.;
>:!.-
{ :,
C -;>."
,-,:' !; :
' '.
Рис. 19.21. Первое диалоrовое окно мастера блока правил
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среДе fиzzyTECH
555
в первом диалоrовом окне разработчику предлаrается определить в поле Rule
Block Name имя вновь создаваемоrо блока правил или оставить без изменения
предложенное мастером по умолчанию (RB2), а также определить входные и вы-
ходные линrвистические переменные создаваемоrо блока правил. Для этой цели
следует выделить имя линrвистической переменной в секции слева и нажать
кнопку >Input> для спецификации этой переменной в качестве входной или
кнопку >Output> для спецификации этой переменной в качестве выходной. По
сле нажатия одной из этих кнопок имя выделенной линrвистической переменной
переносится в соответствующую секцию имен входных или выходных перемен
ных справа.
Если оставить флажок Create Rule Base установленным, то мастер блока правил
сrенерирует полное множество правил на основе комбинации всех термов лин
rвистических переменных этоrо блока правил. В противном случае для соз
даваемоrо блока правил будет определено пустое множество правил нечетких
продукций.
После спецификации входных и выходных линrвистических переменных создавае
Moro блока правил в первом диалоrовом окне мастера с помощью нажатия кнопки
Next можно перейти ко второму диалоrовому окну данноrо мастера (рис. 19.22).
R.ule Block Wizord: R.B2 E'I
, 'Q ireB 13IOck'OP to :;; JЬj;; , :i;';'; ;'Ч \ ;;;t";":: :':; .,,
, т m; aggreg(lliP " 'the resJh aggf;eg ' llY
Nlr Op ,
'j;j } ;:; . ; ]
· : ,;, ] -f . ,'fь i ""' tЩi ,
, ,j'" :С"", ,."
4 :1 ;;: f;:;::;: ;'
с t €Р.Ю':: ;;: ::: ,
"'..-; t) , ' -. ;:;:у-,
," <Ereyip j ll ,; J e:4) , fч J:lIitiJ;1
,' i:i. .-
. Ji
.:._.с;.,-_
P'i1,I,
Рис. 19.22. Второе диалоrовое окно мастера блока правил
Во втором диалоrовом окне разработчику предлаrается специфицировать опе
рации аrреrирования подусловий для всех правил создаваемоrо блока правил.
556
Часть 11/. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
в первом случае (Min) для операции аrреrирования используется формула (18.1).
Если при этом параметр компенсации 1,.=0, то подусловия соединяются с помо-
щью нечеткой операции И, если же параметр компенсации k:::.l, то подусловия
соединяются с помощью нечеткой операции ИЛИ.
Во втором случае (Мiп Avg) для операции аrреrирования используется формула
(18.2). Если при этом параметр компенсации 1..=1, то для вычисления результата
аrреrирования подусловий используется операция арифметическоrо среднеrо.
Наконец, в третьем случае (Саmmа) для операции аrреrирования используется
формула (18.3). Если при этом параметр компенсации у=о, то для вычисления
результата аrрешрования подусловий используется операция алrебраическоrо
произведения. При этом можно изменять значения параметров компенсации л и
у, для чеrо удобно воспользоваться расположенным ниже реrулятором.
Контроль настройки операций аrреrирования создаваемоrо блока правил ocy
ществляется с помощью rрафиков соответствующих кривых операций в окне
просмотра (Operator Plot).
Нижняя часть этоrо диалоrовоrо окна предназначена для спецификации резуль-
тата аrреrировавия (Result Aggregation) или композиции правил для получения
окончательных значений функции принадлежности термов заключений. В пер
вом случае (Мах) для операции композиции используется операция максимума,
а во втором случае (BSum) операция оrраниченной суммы.
После этоrо с помощью нажатия кнопки Next можно перейти к третьему диало-
rOBoMY окну мастера линrвистической переменной (рис. 19.23) для задания KO
личсственных значений степени влияния отдельных входных линrвистических
переменных на выходные линrвистические переменные.
В диалоrовом окне спецификации степени влияния каждой из входных ЛИНl'вис-
тических переменных на выходную переменную блока правил разработчику
предлаrается выбор из следующеrо множества значений: Very Negative, Negative,
Not at AII, Positive, Very Positive. При необходимости можно вовсе исключить
влияние указанной входной линrвистической переменной на выходную, сбросив
флажок <inl> has ап influence оп <outl>.
После спецификации степени влияния всех входных переменных на выходные
переменные создаваемоrо блока пр.шил (' помощью нажатия кнопки Next можно
перейти к последнему диалоrовому окну мастера блока правил (рис. 19.24).
В этом диалоrовом окне разработчику предлаrается ввести текстовый KOMMeH
тарий (Comment for Rule Block) для вноьь создаваемOl"О блока правил. При этом
также возможен ввод символов кириллицы, которые корректно отображаются
аналоrично тексту на анrлийском в форме всплывающей подсказки при выделе
нии соответствующеrо блока правил в окне просмотра структуры проекта после
добавления этоrо блока правил к разрабатываемому проекту.
После спецификации всех свойств I-IОВОrО блока правил нечетких продукций с
помощью нажатия кнопки Next или End будет создан новый блок правил и дo
бавлен к системе нечеткоrо вывода в окне редактора проекта (рис. 19.25).
rлава 19. Процесс нечеткоrо моделирования в среде fuzzyTECH
557
[Rule IlIflr.k Wizшd: НА?
[J
Рис. 19.23. Диалоrовое окно спецификации степени влияния каждой
из входных линrвистических переменных на выходную переменную блока правил
Rule Block Wizard: АВ2 ;)("
: i
. :. OO;., -;;_. N
:' i: : ,;; r;;J >J : ':;;T '
Рис. 19.24. Последнее диалоrовое окно мастера блока правил
558
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
t:
'.. Praject Editor
1!!II1:I!3
...-
АВ2
,п1
var'
out'
Min!M ",
RB1
,п1
,п2
out1
tvlil1lt e:.:
.!J.
-" ..
2tJ
;iE
Рис. 19.25. rрафический ВИД редактора проекта с добавленным
к нему новым блоком правил
в завершение рассмотрения особенностей мастера блока правил следует заме
тить, что нажатие кнопки End в любом из диалоrовых окон этоrо мастера за
крывает данный мастер и завершает процесс создания HOBoro блока правил. При
этом все свойства на оставшихся не рассмотренными диалоrовых окнах мастера
для HOBoro блока правил принимаются равными по умолчанию, предложенными
проrраммой fuzzyTECH.
В свою очередь нажатие кнопки Previous в любом из диалоrовых окон (кроме
первоrо) возвращает к предыдущему диалоrовому окну данноrо мастера. Нажа-
тие кнопки Help в любом из диалоrовых окон открывает раздел справочной сис
темы, посвященный соответствующему диалоrовому окну, а нажатие кнопки
Сапсеl закрывает мастер блока правил.
Примеры использования rрафических средств создания, редактирования и aHa
лиза разработанных проектов систем нечеткоrо вывода в среде fuzzyTECH для
некоторых задач управления и принятия решений приводятся в 2лаве 20.
rлава 20
." . ":: : >
I . ;f;t? &;
'":
" .
Примеры разработки и анализа
нечетких моделей
в среде fuzzyTECH
в настоящей rлаве рассматриваются примеры нечетких моделей, которые иллю
стрируют особенности практическоrо применения различных инструментов про
rpaMMbI fuzzyTECH.
Первый из примеров нечетких моделей, известный под именем "Чаевые в pecтo
ране", стал уже в некоторой степени классическим, поскольку довольно часто
используется в литературе для иллюстрации обших свойств систем нечеткоrо
вывода. В дополнение к этому построенная средствами fuzzyTECH COOTBeTCT
вующая нечеткая модель может быть использована для сравнительноrо анализа
возможностей системы МА TLAB и проrраммы fuzzyTECH.
Второй прием также традиционно используется для демонстрации особенностей
задач нечеткоrо управления. Речь идет о построении в среде fllzzyTECH нечет
кой модели управления контейнерным краном. Соответствующая нечеткая MO
дель также может быть использована для сравнительноrо анализа возможностей
системы МА TLAB и проrраммы fuzzyTECH.
Наконец, третий пример представляет собой ориrинальную нечеткую модель,
разработанную компанией INFORM GmbH для решения проблемы оценивания
финансовой состоятельности клиентов со стороны банков при выдаче долrо
срочных кредитов на строительство недвижимости под залоr. Содержательная
постановка и нечеткая модель этой задачи для среды МА TLAB были paCCMOTpe
ны ранее.
20.1. При мер разработки системы
нечеткоrо вывода для задачи
11 Чаевые в ресторане"
в качестве первоrо примера разработки системы нечеткоrо вывода в интерак
тивном режиме с помощью rрафических средств проrраммы fuzzyTECH pac
560
Часть 11/. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
смотрим построение нечеткой модели для примера 12.1 "Чаевые в ресторане".
Выбор примера сделан исключительно из методических соображений с целью
сравнения возможностей проrраммных сред нечеткоrо моделирования
fllzzyTECH и МА TLAB, поскольку соответствующая нечеткая модель входит в
число демонстрационных примеров системы MATLAB. Содержательная поста-
новка данной задачи и соответствующая нечеткая модель были рассмотрены в
2лаве 12.
В качестве входных переменных системы нечеткоrо вывода будем рассматривать
2 нечеткие линrвистические переменные: "Sef1lice" (качество обслуживания) и
"Food" (качество приrотовления заказанных блюд или сокращенно качество
ужина), а в качестве выходной переменной не'{еткую линrвистическую пере-
менную "Пр" (величина чаевых).
Примечание
Поскольку nporpaMMa fuzzyTECH не позволяет задавать русскоязычные имена
компонентам нечеткой модели, здесь используются соответствующие имена из
ориrинальноrо демонстрационноrо примера системы MATLAB.
В качестве терм множества первой линrвистической переменной "Sепiсе" исполь-
зуется множество TI={"poor" (плохое), "good" (хорошее), "excelle11l" (отличное)}, а в
качестве терм множества второй линrвистической переменной "Food' используется
множество Т2={"таnсИ' (подrоревший),"dеliсiоиs" (превосходный)}. В качестве
терм множества выходной линrвистической переменной "Пр" используется
множество Тз={"сI2еар" (малые), "a'Verage" (средние), "geпerous" (щедрые)}.
Как и ранее, каждый из термов первой и второй входной переменной (качество
обслуживания и приrотовления заказанных блюд) будем оценивать по IO
балльной порядковой шкале, при которой цифре О соответствует наихудшая
оценка, а цифре 1 О наилучшая оценка. Что касается термов выходной пере-
менной, то как и ранее будем предполаrать, что малые чаевые составляют около
5% от стоимости заказанных блюд, средние чаевые около 15%, а щедрые чае-
вые около 25%.
Субъективная информация о величине ч.аевых представляется в форме следующих
трех правил нечетких продукций (система нечеткоrо вывода типа Мамдани):
ПРАВИЛО I: IF ("Sеп'iсе ispoor") OR ("Food is raпcid") THEN ("Пр is cheap")
ПР АВИЛО 2: IF (" Sеп'iсе is good") THEN (" Пр is й1 1 еrаgе")
ПРАВИЛО 3: IF ("Seп'ice is excellenl") OR ("Foodis delicious") THEN ("Пр isgenerous")
Процесс разработки системы нечеткоrо вывода в среде fuzzyTECH для примера
"Чаевые в ресторане" состоит в выполнении следующей последовательности дей
ствий:
1; Откроем мастер нечеткоrо проекта FDW (Fuzzy Design Wizard). Для этоrо
можно воспользоваться специальной кнопкой на панели инструментов про-
[раммы fuzzyTECH (см. табл. 18.3). В первом окне мастера нечеткоrо проекта
Тлава 20. Примеры разработки и анализа нечетких моделей в среде fuzzyTECH 561
соrласимся с предложенным по умолчанию вариантом создания новой систе
мы нечеткоrо вывода (Create New System) и перейдем ко второму диалоrово
му окну мастера.
2. Во втором диалоrовом окне мастера проекта зададим количество входны'х
(lnput LVs = 2), выходных (Output LVs = 1) и промежуточных (Intermediate
LVs = О) линrвистических переменных проекта, а также общее количество
термов входных (Input Terms/LV = 3), выходных (Output Terms/LV = 3) и про
межуточных (Interm. Terms/L V = О) переменных (рис. 20.1). После ЭТОI'О пе
рейдем к следующему диалоrовому окну.
Fuzzy Oesign Wizllrd
<> ',',," " . " С ., '.. .... '.; ".', ", .. "
а
' ' ; :: :.: . W .:.::: ; ; ' '
,,'- ,'.J: '};:-:!.;.c!.:: ::: ,:i .{:
<1 '
Рис. 20.1. Второе окно мастера нечеткоrо проекта
3. В следующих диалоrовых окнах мастера нечеткоrо проекта изменим имена
входных и выходной линrвистических переменных, предлаrаемые проrрам
мой fuzzyTECH по умолчанию, и диапазоны изменения их значений. Резуль
тат изменения имени первой входной ЛИНI'вистической переменной и диапа
зона ее значений для создаваемоrо проекта изображен на рис. 20.2.
4. В последующих диалоrовых окнах оставим без изменения свойства, предло
женные проrраммой fuzzyTECH по умолчанию: метод дефаззификации
центр максимума (Best Compromize, СоМ) и количество блоков правил, paB
ное 1. После окончания работы с мастером нечеткоrо проекта будет создан
прототип системы нечеткоrо вывода. Структура системы нечеткоrо вывода с
измененными значениями текстовых блоков изображена на рис. 20.3.
5. Далее необходимо более точно специфицировать термы и их функuии при
надлежности для входных и выходной линrвистических переменных разраба
тываемой системы нечеткоrо вывода, ДЛЯ чеrо следует воспользоваться peдaK
тором линrвистической переменной. Для первой входной ЛИlirвистической
562
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
переменной изменим имена заданных ранее по умолчанию термов. Новые
имена термов вводятся в окне свойств терма, которое может быть открыто с
помощью соответствующей операции KOHTeKcTHoro меню.
Вид редактора линrвистической переменной в процессе изменения имени пер-
Boro терма для первой из входных переменных изображен на рис. 20.4.
Fuzzy Design Wizшd
;
:< ,
i :o, iIe;'I icbl , ti;:7;:; ;1:;:_\;, ;:t;j';;i , ,' ;07'
<,1" thi$ stepygu s Jnput\lerie.tilfl1,
j", у.'<';,",.',
; I;; ' j;;; , ..'
;'/.. <"' >-;:P {:-
;'и'1 g i, ro 1 0
iЁ!; Т ;; J:; ::: "
J ;i;,'1 t :-. m"i":::i ''О
o 2 t f :,;t,j:,
,J "<,
,}
:.,:;'1::;
'"
{'! >:::Ц I
,',' ,.", ", : ':
Ч. :{ ;:': : : 1'
/,]'
'1
, J;
.. -::
10-: : 1 10
. ";" ;
:....:! ., ..
:.. ..i::' :" "
., :{l; . , /:
. :' ; ;
, p c : t [ f I' 1
Рис. 20.2. Вид диалоrовоrо окна мастера нечеткоrо проекта
для первой из входных линrвистических переменных
F" Project Editar
Чаевые в ()eCTOIHIHe
I!IIDа
Входные nepeMeHHbIe
Блок правил
I выходная переменная l
RB1
Servlce
Food
Tip
,;iit1ti ;i'""" .
Tlp
o
.:J
\ 'r
\ Е,
Food
..iJ ,:
: "....... ::; k<> : <'>' <
,:.1
.!d
: .;:м 1
Рис. 20.3. Вид редактора проекта после создания прототипа системы
нечеткоrо вывода с помощью мастера нечеткоrо проекта
rлава 20. ПримерЬ/ разработки и анализа нечетких моделей в среде fuzzyTECH 563
i ,. '
". i; ' . . ,. :":. .... .
j i :,, : ;' ::I!t:';i : " Д ::-
.. . :1.0-' . - ....
0.8' :
G ' . ;".н{Т: iФ ',1;'
:: .i:j[МО<'<f I РОШ . ? If! :
M i:; t ,::::::: : : : :1
. medl\lm
igh
.:'..
Term Properties
is: 1
I -
;" 1 :
9 ,_
. 1. :
-,)(
_ ce.nсе!
. 'Ч :
1:
,tlE!lp ./
Рис. 20.4. Окно свойств термов первой из входных
линrвистических переменных
6. Далее изменим форму и значения функций принадлежности термов первой
входной линrвистической переменной. Для этоrо следует выбрать S образ
ную форму кривых В окне свойств каждоrо терма и задать коэффициент кри
визны кривой равным 0.8.
Вид редактора функций принадлежности после внесенных изменений для
первой входной линrвистической переменной изображен на рис. 20.5.
ш Service
:i ;';;Y Jr< ;r !:!:";' ' .' ; ;
\
ll:i:s'
I
I
\ \ . ;:
, /'
\
\ /
\\; /
\,{/
_..// .'..... .. ...
2;5 '
( , . .:
t
;, :
': : :.,;:,:; .,:;:f!; ; :.;;1l ;o:IЭ'О о. ,
110)(
" .:Ц -: : -;"
>:;:g o :
II :
"\
\
\
\
\
\.
\
\,
\
\
\.
.:
:t
;
[]--.,........{ .
' iI0
,5
egr!!e
Рис. 20.5. Вид редаю-ора линrвистической переменной
после изменения названия термов и типа их функций
принадлежности для первой входной переменной "Service"
564
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
7. Аналоrичным образом изменим названия термов второй входной перемен
ной "Food" и удалим один из термов с соответствующей функцией принад
лежности. Для удаления терма следует выделить удаляемую функцию при
надлежности и нажать клавишу <Delete> на клавиатуре. Вид редактора
линrвистической переменной после внесенных изменений для второй BXOД
ной линrвистической переменной изображен на рис. 20.6.
:)1. 1 '
}l' 1
i7i Food
. i l :i.i. ;t}: :.n it': ;PI ("k:. :,y,.:. '" .'> /" .....,
:Ie.rm.' ' : :': 'J 6:rc; <,;,: -: "':'- "" "':::- . . ,'" . ""<
ellCIOUS ?!! . :\
!; \. ::
.. I; ; i .з;i;: C;T;;:'::::; f . C , ,'i
. -'.
'';''; t:I ,)<' '
.'
-<--;.">
11-'
Рис. 20.6. Вид редактора линrвистических переменных
после изменени названи термов и типа их функций
принадлежности ДЛ второй входной переменной .. Food"
8. Наконец, изменим названия термов и вид функций принадлежности дЛЯ BЫ
ходной переменной "Тip", оставив без изменения треуrольный тип функций
принадлежности, предложенный проrраммой fuzzyTECH. Вид редактора
линrвистической переменной после сделанных изменений для выходной пе
ременной "Тip" изображен на рис. 20.7.
9. Теперь можно определить базу правил для разрабатываемой системы нечет
Koro вывода. Для этой цели можно воспользоваться табличным редактором
блока правил. Поскольку первоначально база правил нечеткоrо вывода пус-
та, то после вызова табличноrо редактора правил центральное окно этоrо
редактора не содержит никаких правил. Для их определения следует исполь
зовать кнопку Full Rule Block панели инструментов, после нажатия на KOTO
рую будет сrенерирована база из 18 правил нечетких продукций. Удалим из
быточные правила и один из термов подусловий для линrвистической
переменной "Food".
Вид табличноrо редактора блока правил после ero определения для разраба
тываемой системы нечеткоrо вывода изображен на рис. 20.8.
10. Поскольку процесс нечеткоrо моделирования предполаrает анализ резуль
татов нечеткоrо вывода при различных значениях входных переменных с цe
лью установления адекватности разработанной нечеткой модели, перейдем в
rлава 20. ПримерЬ/ разработки и анализа нечетких моделей в среде fuzzyTECH 565
интерактивный режим отладки. После появления rрафическоrо окна режима
отладки откроем также окна редакторов всех линrвистических переменных
проекта и rрафическое окно анализатора правил.
Внешний вид рабочеrо интерфейса nporpaMMbI fuzzyTECH в режиме отладки
проекта "Чаевые в ресторане" изображен на рис. 20.9.
. MoD
j" ff'J11;t 4 i i:, ;':;;f",}i;."t;J::if";;"
ere.ge
". , е
: kB:
.+ .\,
1\
/ \
'1 \.
, \
'/ \
1 \
I \. I
! \
>,.::/
J ' #X ;;,, ,;,,"]' '[ .:." ;":::';";;"'"
C " 'i' if.I:'
"":' {: !'
" ;, Щэ
С;""
Рис. 20.7. Вид редактора линrвистической переменной
после изменения названия термов и Типа их функций
принадлежности для выходной переменной "Пр"
l1li Spreadsheet Rule Editor АВ1 О )(
,, ,,' . ; !и ) ,, ;',! ';:'о" ' 7 . "; -h",''';.d
. .o:.2t-' . lf >. '>"'.'.... , .:1 .> ,е . ;.{J . . JТНЕN' t,l..:;}. . "" . , ....,,-:,. . . -'
jf :/' jIiQ6 ; ':., ::: ,'.';::":::;:.::, ; ', : ,';,:..\ "':: r 'DtiS ,-.:,,;i;p'.: :.:';:: :;:::./ .;: ,: ,':,,: '
t r '< ;; ;; Id ....д",",, "'- . ....,. 1 p-;;;---' -" .............""" ........ i ОО : h:;-"' ' . '" . ""-' -
. .
" ' '.2.,I l . jgood . 1 00 ]e.verage .
Э' ' 'l d llCIou 1exC llent 100 jg'enerous
.'. ,! I j .
.J
Рис. 20.8. Вид редактора правил нечетких продукций
после внесения изменений в блок правил проекта
Для окончательноrо анализа разработанной нечеткой модели можно ВОСIlОЛЬЗО
ваться rрафическим окном просмотра поверхности нечеткоrо вывода на плоско
сти (рис. 20.1 О, а) и rрафическим окном просмотра трехмерной поверхности He
четкоrо вывода (рис. 20.1 0,6).
Эти rрафические окна MorYT служить для общеrо анализа адекватности нечеткой
модели, позволяя оценить влияние изменения значений входных нечетких пере
менных на значение одной из выходных нечетких переменных.
566 Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
'опуТЕСН 5 52 Pro'"..;o",,1 Оето TIPPER FТl I!!Ir1D
E "'.;f;dit . i..Y:i . "IDgl$' . fjeIP; . .'. ,," "" .,
\
\
\
\
. 9.l '< \
I .. . .,... ,09 . . . : . ... o .. . . . '" ";-" . ' , ' ''' . ;;)7' ", ' .
'. .-.' . о' . ".'.'\'1:.'..'....;" 1Ii
J :;. d..9r:".,; .: :. 1i:J1
A.'.lft;"<;:,7 : :, Ж }1 Й,:;,; i'l. :::;. ; i , .. ...
]:еП11
еlюоus О 00
. 1
I
:: [j ,)С ,..
С.В
Ser-./is:e
М'
\
"
\
. -" :." Ос.
jj
....: i:... "'1 ..\...."
, k= :;; : ;c a J
ТеiП;
сс,,,,,!, . О 00000
"ve'''ge . С 99994 АВl
generous'"' 0000
. АВ"
IF'
Servlce'" good
< -.fcncid
1.С
i l :: i: !
. ;1 ' /' Ii ,.: : 4'I"X"; R?""'; "".;;W
)/- 1 - . JSJitiООРilil:Sl'Щl!,
С.В
\.
\
0.&
\
\
\
. \:.
i'
.'1' :Ш : : 1:"'Ш";;;':'"71
C:
q
C;G
'.о
Рис. 20.9. ВИД рабочеrо интерфейса проrраммы fuzzyTECH
в режиме отладки проекта '.Чаевые в ресторане"
Изображенные rрафики поверхности нечеткоrо вывода и эксперименты с разра
ботанной нечеткой моделью показывают, что ее точность оставляет желать
лучшеrо. Действительно, существуют такие области значений входных линrвис
тических переменных, в которых малые изменения значений входных переменных
модели приводят к большим (скачкообразным) изменениям значений выходной
линrвистической переменной. Указанный факт свидетельствует о недостаточной
устойчивости (робастности) разработанной нечеткой модели. Одним из путей
повышения устойчивости и адекватности модели в целом может быть увеличе
ние базы правил нечеткоrо вывода и уточнение функций принадлежности OT
дельных термов, что предлаrается выполнить читателям самостоятельно в каче
стве упражнения.
Заканчивая рассмотрение процесса разработки простейшей нечеткой модели для
примера 12.1 "Чаевые в респюране", следует отметить, что в демонстрационной
версии невозможно сохранить разработанный проект во внешнем файле на дис
ке. Однако тот факт, что проrрамма fuzzyTECH сохраняет нечеткие проекты в
обычных текстовых файлах формата FTL, подсказывает идею, как можно co
хранить нечеткий проект, разработанный в среде fuzzyTECH.
Идея заключается в том, чтобы разработку прототипа системы нечеткоrо выво-
да проводить в форме создания соответствующеrо TeKcToBoro файла нечеткоrо
проекта. Для этоrо можно воспользоваться одним из текстовых ASCII
rлава 20. Примеры разработки и анализа нечетких моделей в среде fuzzyTECH 567
редакторов. Что касается языка формата FTL, используемоrо для задания пара
метров нечеткоrо проекта в среде fuzzyTECH, то этот язык очень похож на язык
нечеткоrо управления FCL (см. 2Jюву 7).
:: I Transfer Plol 1
J:ji <1"': .:'!!.... ' : 'f I Food
I Tlp
' t servlce
lт . ,
1 2
. .." . < .' ... . ".,....., ,.; d
О,
Food
10
.
:.;;ш.
'f ZР-; '1:
r.. ;.":"..
...:.!o.:oo...";: '"1"
.z ;; 3 'X,
I
о
1 , . 1 >,<'" k '! I ' '
Tip: 15ДООО
: i зо Plol 1
( !"'\.,.... " 'f\' ..;:1 i :
. '4< ):< <\;' . <"
:,. tl;&riG
'< ;r.li. j . ;<1 @ 9:'
I Sel"lllce I Tlp
Tlp
'-1
. О =Ю
о
S
е
r
v
i
с
10
.':
. . , . . .. i . '
''-
"
::1
зо
а
. :,: ' '''=*: 'i8[]
'f
1 5%
i
зо
24
18; "O '
121' () ,
Б ' "...
:.' . ":>-.-:...
О';. ,.>. ........
Food 1 О 9 "6" . ..
7 Б
.30
':':':i ..;; ..: 24
.' .' :
2 >' . ':0 SeM"
2 1 О О
! О
3.'75
11.25
. . . '" ;l ""': :;;;
15 1 В 75 22 50
7.50
2625
зо 6
Рис. 20.10. Вид поверхности нечеткоrо вывода на плоскости (а)
трехмерной поверхности (6) для разработанной
нечеткой модели в интерактивном режиме отладки
Примечание :)
В случае при мера "Чаевые в ресторане" текст соответствующеrо файла про
екта системы нечеткоro вывода в формате FTL приводится в прuложенuu 4.
568
Часть lIf. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Этот файл можно заrрузить в демонстрационную версию nporpaMMbI fuzzyTECH
и использовать для выполнения всех необходимых расчетов. Аналоrичным об
разом можно поступить при решении друrих задач нечеткоrо моделирования,
однако трудоемкость процесса разработки нечетких проектов в этом случае
существенно возрастает.
20.2. Нечеткая модель управления
контейнерным краном
Напомним, что эта заДа1lа связана с процессом управления контейнерным Kpa
ном, который используется для транспортировки моноблочных контейнеров при
выполнении разrрузочных работ морских судов в порту. Суть задачи состоит в
том, чтобы разработать модель, позволяющую автоматически управлять про
цессом rоризонтальноrо перемещения контейнерноrо крана, исключив или дo
бившись минимальноrо раскачивания транспортируемых контейнеров при по
добном перемещении.
Содержательная постановка этой задачи была рассмотрена в разд. 7.4, а нечет-
кая модель для среды MATLAB была построена в разд. 16.2.
Для анализа этой модели в среде fllzzyTECH целесообразно воспользоваться COOT
ветствующим примером, поставляемым вместе с демонстрационной версией про-
rpaMMbI. С этой целью в редактор проекта необходимо заrрузить файл соответст-
вующеrо проекта: Cl'ane.ftl, который расположен в папке C:\P.-ogl'am Files\
fuzzyTECH 5.5\Dde\VB5 (если проrрамма fuzzyTECH установлена на диске С:).
Вид rрафическоrо окна редактора проекта DJIЯ этой нечеткой модели изображен
на рис. 20.11.
Е., project Е ditor
::.) r;з ,-х'
>о '
COlltaillC1" СПlllС COlltH)lIC1"
[nрш Il1t rfa o
Rt P.1ock
Output Interface
,--"
,; I
.;....J
Angle
D'st"псе
Power
Power
. Min/tvlax
J
'UJ
>,< ... .:,'" >w .....
';'
. м . , '<,.. .",». '".. .' ,/.
"' " :'" «-.' .y
Рис. 20.11. rрафическое окно редактора проекта для системы нечеткоrо
вывода управления контейнерным краном в порту
rлава 20. Примеры разработки и анализа нечетких моделей в среде fuzzyTECH 569
в качестве первой ВХОДНОЙ линrвистической переменной данной нечеткой Moдe
ли используется линrвистическая переменная "Aпgle" (уrол), В качестве второй
входной линrвистической переменной используется линrвистическая переменная
"Distaпce" (расстояние). В качестве выходной линrвистической переменной дан..,
ной нечеткой модели используется лиtlrвистическая переменная "Po»'er"
(мощность).
В качестве терм множества первой линrвистической переменной используется
множество TI= {"пeg big", "пeg sтall", "zero" , "pos sтall" , "pos big"}. rрафики
функций принадлежности термов из ТI изображены на рис. 20.12, а. В качестве
терм-множества второй линrвистической переменной используется множество
Т2= {"lleg close", "zero", "close", " тe diuт" , "far"}. rрафики функций принадлеж
ности термов из Т2 изображены на рис. 20.12. б.
Rrn:f1j
. .= ; ;.
\:,/ "
1.
i"'ib. /
f
'" f:Il ! //
. ..: ,:,,, , ."",: " '<'"
"
;i='i
., ..
.;
, , ,:' о' J:: j:1 "';'40' ""i{,; i:C;1' :9 : i
m Dislance
!:
!f : ;e"'"
а
"D ,
«'
/' \ /
I . I
\/',
/\
/ \
',! / \
. I \
.; :2ri;::: ::'j:'? ,
.
:...;
,;. ,,-,'-::- ,
y rt!$
" .. : -;./-.
б
Рис. 20.12. Вид редактора линrвистических переменных
ДЛЯ первой входной переменной "Aпg/e"
и второй входной переменной "Distaпce"
570
Часть fIf. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
в качестве терм множества выходной линrвистической переменной используется
множество T3={"lleg /ligh", "lIeg тediит", "zero", "pOS тelliи111" , "pos lligl1"}. rpa
фики функций принадлежности термов из Tl изображены на рис. 20.13.
m Power
;[ . "t :!J" ;i . ;;d ' Ь; ,,,:5 :;iJ,.:t ntdi _ "1.'"
"eg rrrediulJl .' 1 O_ ' п ' л' ,
, " \
рОS..ПlI:Э.:III.Ю)
'''''.:: I \ / I \\
i - ! 24 0000 ДO 3P a ' :;{б' '" , 1 ' ;;;>:;;':: iJ ii;i"з%: ,
)< 1 1 0000 '
о )(
-
Рис. 20.1 з. Вид редактора линrвистических переменных
ДЛЯ выходной переменной '.Power"
Блок правил рассматриваемой системы нечеткоrо вывода содержит 9 правил
нечетких продукций. Вид rрафическоrо окна табличноrо редактора блока лра
вил системы нечеткоrо вывода управления контейнерным краном изображен на
рис. 20.14.
ШI Sprcadsheet Rule Editor АВ1 , О х
i i1 l: f! :::: J :':::;:"'
; close ..! 1.00 'zero
'close i 1 00 pos medium
... t
j,medium I
;medium .
';i r'- . J
:
j ' j;g';, { J :: 11 '
r- # ." .,.. ............
:far
1.00 !pos hlgh
1.00 'pos medium
'.... ..
1 00 ;pos medium
.! 1.00 pos high
.::tJ
Рис. 20.14. rрафический интерфейс редактора блока правил
системы нечеткоrо вывода управления контейнерным краном
rлава 20. Примеры разработки и анализа нечетких моделей в среде fuzzyTECH 571
Теперь можно выполнить анализ данной системы нечеткоrо вывода для задачи
управления контейнерным краном в порту. С этой целью перейдем в интерак
тивный режим отладки и дополнительно откроем окно анализатора правил.
Внешний вид рабочеrо интерфейса проrpаммы fuzzyTECH в режиме отладки
проекта "Управление контейнерным краном" изображен на рис. 20.15.
. .. .... .
J:!I!I ;.e.<j@ , '1"'" Q8bIJ , 'З; .'.;.
D'. ' 'IiiJ: :' ,' "" ..'
",- _......J, ... ......,.., . ..:;.. ,. :"'." ....":. ;.:__ : ..
, ж! '"
1 00 !J..S
ift .
"'--::.
,;,;, ,,;; .;!
10 0000
> !'1fJtfiurll
т ><",
. fJ ,, ;l ; . . ci
" ' ' < ::' : j,,6IB
".Н' "", . ;;;"'; :;4 "
1\< /: * ! n
:.Х. :< .;QB, Д
7" ;Ё. j \
11
i l ;:;"
:it t ;: ,
.
i! J '
I
_..-.. ._.:.. -:....... ....;
за
Рис. 20.15. Вид рабочеrо интерфейса nporpaMMbI fuzzyTECH
в режиме отладки проекта "Управление контейнерным краном"
Для общеrо анализа рассматриваемой нечеткой модели можно воспользоваться
rрафическим окном просмотра поверхности нечеткоrо вывода на плоскости
(рис. 20.16, а) и rрафическим окном просмотра трехмерной поверхности нечет
Koro вывода (рис. 20.16, 6).
Данная поверхность нечеткоrо вывода позволяет установить зависимость значе
ний выходной переменной от значений входных переменных нечеткой модели
системы управления краном. Эта зависимость может послужить основой для
проrраммирования контроллера или аппаратной реализации соответствующеrо
нечеткоrо алrоритма управления в форме соответствующей таблицы решений.
Сравнительный анализ нечетких моделей управления контейнерным краном,
построенных в средах MATLAB (см. 2лаву 16) и fuzzyTECH, показывает, что
увеличение правил нечетких продукций с 6 до 9 не приводит к заметному увели
572
Часть 11/. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
чению адекватности модели. С друrой стороны, наличие разрывов на поверхно
сти нечеткоrо вывода (рис. 20.16, б) может служить причиной неустойчивости
данной нечеткой модели fuzzyTECH, на что необходимо обратить внимание
пользователей и разработчиков соответствующих систем управления.
:: I Tr6nsfer Plot 1
e ]:ji1l. ]jF!l t ' Jfd' j ',
_4 ..
, i : f } ,,,{Щ ;;'f: :;;<"11i; i ; ( {
, l '
:' g; ;i! ;J \ i ' ;i{' :\.;7 j 'j{ : l:1;1;; ? ;' 64. . "i9 ':,
.' . . .
. . $ <.." k!:i' <.,<: '4; ; {" : \,; . <-,." -';'Н
:,; ; , ,; i;Ж ! 'iр.QОСР;' ij;:i;;i / ' 'i ,i;f:l( % : :ijQ ; а
IЩ 3L) Plot 1
fl ;!" ; i щ;! I ;; : I ;': :;j7'"
.: n le ;' l Distance 2!T Power
-: >,""",,' >..e -"""""""''' -..-'-' . '>,,". ->,!.*, lOM"''\. , :"'f<A ,.".,............... ..... '.',' . "i." . . - ,,'
1Ш; ОЕ!
, ""
:. j
';."
, .-t с
'. . :. ' . ' . ' , :, : :; ; ,' , t . ; . ' ,: З I 0 8 ,.
',. F. . :t.: /;7: 7;,....:: ":" ,. i . :.; .
. 6 . " '4 f ; :'
".,., b ,
'.$1 113 . I .;:; ?- = . !g='! . .' . 18
t- .
!t [1ls1ence 1:ро ?" . . '9 0 Angle
rl .. 14 10 ')0 " 18'" 18
;: : ; ',,,,;.f.igj5.o ::'i.I:: ::; : :' r 9. .q;:; ;::.:, o; i ( :: ;: ; .(!;. ,;lSi:,)","J:::i1. ?;59: ._, :,; <Q1;: 6
Power
I
за
. 18
:13
c
Рис. 20.16. Вид поверхности нечеткоrо вывода на плоскости (а)
трехмерной поверхности (6) в интерактивном режиме отладки
для разработанной нечеткой модели "Управление контейнерным краном"
rЛава 20. Примеры разработки и анализа нечетких моделей в среде fuzzyTECH 573
20.3. Нечеткая модель оценивания
финансовой состоятельности клиентов
при предоставлении банковских кредитов
Данная задача была сформулирована и решена в рамках исследования, выполнен-
ното фирмой.INFОRМ GmbH. Содержательная постановка этой задачи была pac
смотрена ранее в разд. 17.1. Там же была построена модель соответствующей сис
темы нечеткоrо вывода в среде MATLAB. Аналоrичная нечеткая модель в среде
fuzzyTECH может служить примером использования нескольких блоков правил и
промежуточных линrвистических переменных. В то же время непосредственная реа-
лизация нечетких моделей с нескоЛЬКИМИ блоками правил в среде МА ТLAB без ис
пользования средств пакета моделирования Simulink не представляется возможной.
Для анализа этой модели в среде fuzzyTECH целесообразно воспользоваться co
ответствующим ориrинальным примером, поставляемым вместе с демонстраци
онной версией проrраммы. С этой целью в редактор проекта необходимо заrру-
зить файл соответствующеrо проекта: Realest.ftl, который расположен в папке
C:\Program Files\fuzzyTECH 5.5\SAMPLES\BUSINESS\REALEST (если проrрам-
ма fuzzyTECH установлена на диске С:).
Вид rрафическоrо окна редактора проекта для этой нечеткой модели изображен
на рис. 20.17.
t:.. Prtl}Cf:t ( dltor
I!!lli1iЗ
ApplicaJ1t Аs ssе1l1епt tы1" Л()1.tgаgе I..Ш11l
Location Вlшdmg ProJec! А...о.т.n!
...B1:',ldln';l
Localion Bu.ld,ng
Wo,k,ne.n$hip ..... liAiniMa... .
Eva1ua on of Credit Worthw...
C'.e. .'':''. .' . . .,
Applicen!
Bu,ldlng
Credit
M,n/Me;
Appllcant
M'ni?;,....:
Killer Cn!.n>
K,llerCI1tel1e
Inccme
Inle,e.!
J;j ;,) AlJX
,.';:"
.J
Рис. 20.17. rрафическое окно редактора проекта для системы нечеТКОrО вывода
принятия решений по предоставлению кредитов
574
Часть lIf. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
в качестве первой входной линrвистической переменной данной нечеткой Moдe
ли используется линrвистическая переменная "Locatioп" (местоположение), в Ka
честве второй входной линrвистической переменной используется линrвистиче
ская переменная "Workтaпship" (отделка). В качестве третьей входной
линrвистической переменной используется линrвистическая переменная "Asset"
(активы), в качестве четвертой входной линrвистической переменной использу
ется линrвистическая переменная "/псоте" (доход) и, наконец, в качестве пятой
входной линrвистической переменной используется линrвистическая переменная
"/Illerest" (выплаты).
В качестве выходной линrвистической переменной данной нечеткой модели ис
пользуется линrвистическая переменная "Credit" (кредитоспособность).
,
В качестве терм множества первой входной линrвистической переменной
"Locatioп" используется множество TI={"bad", "fair", "best"} с функциями при
надлежности термов, изображенными на рис. 20.18, а.
В качестве терм множества второй входной линrвистической переменной
"Workтaпsl1ip" используется множество T2=.{"/ousy", ''fair'', "pretty ood"} с функ
циями принадлежности термов, изображенными на рис. 20.18, б.
В качестве терм множества третьей входной линrвистической переменной "Asset"
используется множество r,={"/ow", "тediu11l", "l1igh"} с функциями принадлежно
сти термов, изображенными на рис. 20.19, а.
В качестве терм множества четвертой входной линrвистической переменной
"/псоте" используется множество Т4={"/ОН''', "тediиm", "high"} с функциями при
надлежности термов, изображенными на рис. 20.19, б.
IOlx'
,: i ;:; r;, ,: ; 4f:i# :,:,1:)/; jt'": :' 'z -4 ; '
", А 1;:0;' ' '\. r
i ;' b st 0.6:'."'+ /
;:t 'f-,
:' 11.6 -,
" . . '''"'"О
'-"" I
"",., /1
[j
50 ,70
:
0;4 :
i
:'i
;g J
; I .;
':O:. : '
./
"
Units
i
о "
100
",' }
а
o:g;n
"," .,З \;,
Рис. 20.18. rрафики ФУНКЦИЙ принадлежности
для термов линrвистической переменной "Location" (а)
rлава 20. Примеры разработки и анализа нечетких моделей в среде fuzzyTECH 575
, ;9.6
'...... ,
; !; ,
"D О
: ,')kj,
./ j;
'"
!.
;,JJ:4:
; J j:,<:;
; ;; I ,' .
,O; '
,J, : "O
'\.,.
"-
..... . .. ... ,c, ...,. ;).
50 ' """:;'0; ', "Щй
'Unjts 6
з0
Рис. 20.18. rрафики функций принадлежности
ДЛ51 термов линrвистической переменной "Workтaпship" (6)
в качестве терм множества пятой входной линrвистической переменной
"/ п terest" используется множество Ts= {"/ тv ", 1 11le diU11l", "Ыglz"} с функциями при
надлежности термов, изображенными на рис. 20.20, а.
В качестве терм множества выходной линrвистической переменной "Creclit" ис
пользуется множество Т6={"1Iеrу /ои;", "/ои:", " тe diит", Il1ig/Z", 1 , 'eryj1igh"] с
функциями принадлежности термов, изображенными на рис. 20.20,6.
Рассматриваемая нечеткая модель содержит 4 блока правил, 2 из которых имеют
промежуточные линrвистические переменные с именами соответствующих бло
ков правил.
r::\ ;frL!1.;f? k
' >' :) " :
0.4,
'\
''\
"
hi9h
/'
/' ,',
/
/'
'-. /
',-,
'",
\/
50
Units
",1О,
о
100
Igh
О.е
",.
"
\.....
\,
. \х.
0,6
'0.2;
&" '
, I :' .
, БО:.JJU(I-'
0.0
. :С'
зо
:". O. 1; Ы -.
а
Рис. 20.19. rрафики функций принадлежности
ДЛ51 термов линrвистической переменной "Asset'. (а)
576
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
t ""' S : ' !f'
. \
! \ ./
:o: \ '\
E ,t D :; .f'- \ .
х . 1 .,' . , :;I,\ ; ' ., ., :' .. '
" " ""' 1 ; :; i;,, +; :[,!:';,!;I!i'ri ..
i1'
: (1i rJ :
6
Рис. 20.19. rрафики функций принадлежности
для термов линrвистической переменнОЙ "/псйте.' (6)
Первый блок правил с именем "Bиildiпg" используется для про межу точной oцeH
ки общеrо качества местоположения и отделки и для рассматриваемой системы
нечеткоrо вывода содержит 7 правил нечетких продукций. Входными линrвис-
тическими переменными этоrо блока правил являются первые две входные лин-
rвистические переменные проекта, а выходной линrвистической переменной это
ro блока правил является промежуточная переменная данНоrо проекта с именем
"Buildiпg" .
Вид rрафическоrо окна табличноrо редактора для этоrо блока правил изобра
жен на рис. 20.21.
[М Interest
:; r ji;t'?fv.:# /
: I ro ; ".
I!IОrз
-
; ::' ;'"(. llJrr-
IQh
. i
:;.:
,; i
' i...:
i'
; 5 r !; а
Рис. 20.20. rрафики функций принадлежности
для термов линrвистической переменнОЙ "/пterest" (а)
rлаsа 20. Примеры разработки и анализа нечетких моделей в среде fuzzyTECH 577
i rn Credit
it:;::[]D
! ,:erv Ir.ow
j ; ):d,um
J;: 4 igh
!i l : 'ely hlgh
.
.1:.;;:;.....
: .".: 1 ;:!:;: ; 'S\. ,
'6
Рис. 20.20. rрафики функций принадлежности
для термов линrвистической переменной "Credit" (6)
l 'prel1y gOOd
- . .. . .. ..... .. ..... . - -
--+
1.00 'тedlUm
1 .00 ...Lтedlum
100 .. ; igh
1 00 . medlum
;.-
1.00 : high
.... t.
..J..
i
..j
..... J.
Рис. 20.21. rрафическое окно табличноrо редактора
первоrо блока правил с именем "Buifding"
Второй блок правил с именем "Applicalll's Assessmellt" используется для проме
жуточной оценки общеrо количества активов и доходов и для рассматриваемой
системы нечеткоrо вывода содержит 9 правил нечетких продукций. Входными
линrвистическими переменными этоrо блока правил являются третья 11 'leTBep
тая входные линrвистические переменные проекта, а выходной линrвистической
переменной этоrо блока правил является промежуточная переменная данноrо
проекта с именем "Applicalll".
Вид rрафическоrо окна табличноrо редактора для этоrо блока правил изобра
жен на рис. 20.22.
Третий блок правил с именем "E 'alиatioп о/ Cre(!it И/оrthiпеss" используется ДЛЯ
частичной итоrовой оценки кредитоспособности потенциальных клиентов и ДЛЯ
578
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
рассматриваемой системы нечеткоrо вывода содержит 6 правил нечетких про-
дукций. Входными линrвистическими переменными этоrо блока правил являют-
ся промежуточные линrвистические переменные проекта, а выходной перемен-
ной этоrо блока правил выходная линrвистическая переменная проекта с
именем" C,'edit" .
пв Spreadsheet Rule Editor Applicant "D )( .
: "i i: :", ':=i : ). : 1tI:, tl; Ii i .
:2' 2! o"" imedium 1 OOlow
: ._=j' :dium ! h -1- ' o:.;dlUm
5 (1medium :medium ! 1.00 :medium
__,-" ',."':'!..oo._. О.ш. -t.o - о.
. o . 9 ' o - . . . .. . . .. ." . : . ; . .. . : ' I . . , : h .. . . . ig g :h h :mm j:;om I ::::: :::
-'10 1 .. о o..jh 9h Х. 1000o..!o i.9h
,ooZJ
Рис. 20.22. rрафическое окно табличноrо редактора
BToporo блока правил с именем "App/icaпt"
Вид rрафическоrо окна табличноrо редактора для этоrо блока правил изобра
жен на рис. 20.23.
IIJ Spreadsheet Rule Editor Creditworthines ИО[1
, ; 1 : :: Ч :;: :
'ii Ш :;;;' _ .lum "оw11ЛО 'very low
"З':: ,medlUm medlUm ! 1 00 ;medlUm
. :j o':j;jh 9h : :: -1- : "; : hI9h
':i o €:. th.i:h._.._ш-. .. ..!. oedium J 1 00 шi. оlg о..
.=.J
Рис. 20.23. rрафическое окно табличноrо редактора
TpeTbero блока правил с именем "Creditworthiпess"
Наконец, четвертый блок правил с именем "КШа Criteria" используется для OT
рицательной оценки кредитоспособности потенциальных клиентов, коrда Bыдa
ча кредита клиенту практически исключается. Для рассматриваемой системы
(лава 20. Примеры разработки и анализа нечетких моделей в среде fuzzyTECH 579
нечеткоrо вывода этот блок правил содержит 3 правила нечетких продукций.
Входными линrвистическими переменными этоrо блока правил являются про
межуточные линrвистические переменные проекта, а выходной переменной это
[о блока правил выходная линrвистическая переменная проекта с именем
"Credi (" .
Вид rрафическоrо окна табличноrо редактора для этоrо блока правил изобра
жен на рис. 20.24.
!II Sprel1dsheet R ule Editor KillerCriteria I'ОIз
J =,::':= l= t; i z, :
;medlum .hlgh j 1 00 __i\lery 'ow
'4'>' - J
Рис. 20.24. rрафическое окно табличноrо редактора
четвертоrо блока правил с именем "KiflerCriteria"
. tUllyTECН 5.52 pfOfession..1 Оемо - REAlEST FТl
;'1tdit' Ж'iew: QI>bЩ! ,,(.fools.!Ю ,Jj&Ip
J '; '" ; =:jot :" ; :>: , ' :' f: I W..tch Inter..aive Debug Mode
r i : i ' . '
; J.i*: ; ! :; i ,,:: X j !!:,
'0'5. 1 i "'-''''-, -. I). I .: l ое . е . t. . 'З7 . - . <: ... . . ' . >' _ - : ..X-X j
'<о' ,k::.2, '"" , , C,
!>-.о' 30, ." -' ;31)-;' -:i'. ' ;100 1) 1O-;'-.,t "-''?0'.100 Term-
-.,'". .". .": .: bo:,:,:,..:.:: ; I 'r 'f[4f ;: ',' " ,,:lgl1tl ' :: 0::оЗЗЗЗ4
i t ; t f2 J F: .l :: : =
;;.rJx
... i5 ....-
37 '000
. ja '2!,
AppllCN1t.
BUlldln9 -
AppllCN1' .
Вшldlng-
о 3З3 100
0999 100
0000 100
1..1".
Рис. 20.25. Вид рабочеrо интерфейса проrраммы fuzzyTECH
в режиме отладки проекта "Оценка кредитоспособности клиентов"
580
Часть 111. Нечеткое моделирование в среде fиzzyTECH
Для выполнения анализа данной системы нечеткоrо вывода перейдем в интерак
тивный режим отладки и д'ополнительно откроем окно анализатора правил.
Внешний вид рабочеrо интерфейса проrраммы fuzzyTECH в режиме отладки
"Оценка кредитоспособности клиентов" изображен на рис. 20.25.
Для общеrо анализа рассматриваемой нечеткой модели можно воспользоваться
rрафическими окнами просмотра поверхности нечеткоrо вывода на плоскости
(рис. 20.26, а и 20.27, а) и rрафическими окнами просмотра трехмерной поверх
ности нечеткоrо вывода (рис. 20.26, б и 20.27, б).
;.. Tronsfer Plot 1 ВО IЗ I
' IИ ю 'r : : ] ; '1
. 1 . , . . .-,. " " ; {;jt1\ i ,!; j
', 1 " i "t: i 1 1 о ; I
. I ':..::,. , n '
< > '1\f 1 : ::.;,. :; _:; : С' I
.;."\ : :; : ',: :;;, ' ,,.".,.,,' .,'. g; ,- .
е:,
i
'. !
::. . 1ОО, а
, ,:;:.
" >::)....;.
100.
_.....__1'-"'1 1',":;:: ;;1;;
,:.0 ;., _ <;crеJ:ijt:З7. БОО-О
.'lmЗD Plot 1
1!!I[]E1
'< ):' A ' :J'!,;;; Jj.;1 \ r f i .ё щ t;l ' . ,. ,, '"'..... "j: :i' < .: ::......
:' 1 . '3E'! '.., I lncoтe I Cre " .!J , 1 з 5 %, .::!J '
Credlt
: :
/' ,:,; ._.: :т +э J.
1 oo . -r j 'T '__1"' ' \ .
fj]Ht[y
40-+ ."
20 '
+- -!
О'
Asset 100
'-'"
j:ii l r : HE
i':1.=:!
. ,'о
1 00 Income
о о
" o: ,: ;tp ; "; 'i::;:;7"'1 ; '; ''' ;: r:r$' Б. .5 ';.i};;' ;1!1,
87,59
1.00 6
Рис. 20.26. Вид поверхности нечеткоrо вывода на плоскости (а)
трехмерной поверхности (6) в интерактивном режиме отладки
ДЛЯ входных линrвистических переменных первоrо блока правил
(лава 20. Примеры разработки и анализа нечетких моделей в среде fиzzyTECH 581
Данные поверхности нечеткоrо вывода позволяют установить зависимость зна
чений выходной переменной от значений отдельных входных переменных нечет
кой модели. Анализ этих зависимостей может служить основанием для измене
ния функций принадлежности входных переменных или нечетких правил с целью
повышения адекватности системы нечеткоrо вывода для конкретных стратеrий
банков.
.' I Transfer Plot 1 О ,)(
: o:",, . } r,.. A7 '
о
"У. "
о
r
k
m
е,
n
;f
;\
100
____ '..;; It'd .qы t
о ", < "'С[$git:З75000 ,
100
а
1m зо Plot 1
?iE:,: Jkli ;J e!.,"; ; [ij " 'i , f
; I Loce.\iOn ' Workпle.nship j Credi\
Credlt
"'''' " I!I[]
, '\,'::с;> )(
.: .(J ;5%" '
:
' t fWffП;[f
'.
О
100 80
- } .....
.-, Lосе.tюп
.; 100
:. 80
'- ;,.1 БО
., O
t .\.; 20
.0
80 100 Workrnanshl
-'j:-;',
о о
'о '. - у '''';1 50 -;
25
37.50 ;' 50;!i; ,
, _:: --. ;..f;;t .
62.50 75
8750
100 6
Рис. 20.27. Вид поверхности нечеткоrо вывода на плоскости (а)
трехмерной поверхности (6) в интерактивном режиме отладки
ДЛЯ входных линrвистических переменных BToporo блока правил
582
Часть 11/. Нечеткое моделирование в среде fuzzyTECH
Сравнительный анализ нечетких. моделей оценки кредитоспособности клиен
тов, построенных в средах MATLAB (см. 2лаву 17) и fuzzyTECH, показывает,
что обе эти модели обладают одинаковой степенью адекватности, поскольку
rрафики поверхностей нечеткоrо вывода соответствующих линrвистиче
ских переменных хорошо соrласуются между собой. Отсутствие разрывов на
поверхности нечеткоrо вывода может свидетельствовать об устойчивом xapaK
тере данных нечетких моделей, что является одним из веских aprYMeHTOB в
пользу применения этих моделей в практике принятия решений при оценке
кредитоспособности клиентов.
ЧАСТЬ IV
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
- ,:Л ,:>
. "..';'.
.
Основы классической теории
множеств и отношений
Основы классической теории МНОЖеств как специальноrо раздела математики
были разработаны немецким математиком reoproM Кантором (l845 1918) в
серии ето работ в период 1871 1883 тт. Поскольку теория нечетких множеств
является обобщением и дальнейшим развитием обычных множеств и отношений,
в настоящем приложении рассматриваются основные теоретико-множественные
понятия и обозначения, необходимые для понимания соответствующих KOHCT
рукций теории нечетких множеств. При этом следует отметить, что сама Teope
тико-множественная терминолоrия имеет непосредственное отношение не толь
ко к современным концепциям естествознания и методолоrии математических
исследований, но и к адекватному описанию базовых концепций системноrо мо-
делирования.
Множество и способы ero задания
Исходным понятием теории множеств является само понятие АtllOжество, под
которым принято понимать некоторую совокупность объектов, хорошо разли-
чимых нашей мыслью или интуицией. При этом не делается никаких априорных
предположений ни о природе этих объектов, ни о способе их включения в дан-
ную совокупность. Отдельные объекты, составляющие то или иное МНОЖество,
называют элементами данното множества. В классической теории множеств
природа элементов, из которых состоят множества, не имеет принципиалыюrо
значения. Предметом данной теории является изучение таких свойств множеств,
которые не зависят от природы составляющих их элементов.
Вопрос "Почему мы раСОl'lатриваем ту или UIlУЮ совОКУ1llюсть элемеШ1l0в как
множество?" в классической теории t.:'ножеств не требует ответа, поскольку в
общее определение множества не входит никаких дополнительных условий на
включение отдельных элементов в множество. Если нам хочется, например, pac
смотреть множество, состоящее из трех элементов: "солнце, море, апельсин", то
никто и ничто не сможет запретить это сделать. В то же время неявно предпола
I'ается, что rраницы множества должны быть четко определены, т. е. относи-
тельно любоrо элемента можно с полной определенностью сказать: принадлежит
586
Часть IV. Приложения
ли он рассматриваемому множеству или нет. Именно этот аспект в определении
множества послужил исходной предпосылкой для введения в рассмотрение He
четких множеств.
Можно привести MHoro примеров конкретных множеств. Это множество KBap
тир жилоrо дома, множество натуральных чисел, множество планет Солнечной
системы, множество сотрудников коммерческой фирмы, множество субъектов
Российской Федерации. Совокупность компьютеров в офисе тоже представляет
собой множество, хотя, возможно, они и не соединены между собою в сеть.
Множество живущих на планете людей, так же как и множество звезд на небо
своде, тоже может служить примером множеств. В дальнейшем перечень приме
ров множеств будет продолжен по мере рассмотрения их отдельных свойств.
Примечание :)
Создается впечатление, что ситуация с заданием множеств более или менее
очевидна. Но это впечатление обманчиво. Даже не rоворя об известных пара
доксах теории множеств, как быть с "множеством" мыслей отдельноro челове
ка? Или множеством всех красок, которые встречаются в природе? Именно Ta
кой нетрадиционный взrляд на неопределенность caMoro способа определения
состава Toro или иноro множества будет интересовать нас на всем протяжении
книrи. Вернее, наше внимание будет сосредоточено на таких ситуациях, KorAa
идентификация состава отдельных множеств превращается в самостоятель
ную проблему. Как было отмечено выше, процесс нечеткоro моделирования
сопряжен с преодолением именно подобноrо рода трудностей.
Для записи множеств, их свойств и операций используются специальные обозна-
чения. В общем случае сами множества принято обозначать прописными буква-
ми латинскоrо алфавита. При этом отдельные элементы множества, которые
MorYT иметь различную природу , обозначаются строчными буквами, иноrда с
индексами, которые хотя и вносят некоторую упорядоченность в послеДователь
ность рассмотрения этих элементов, но не являются необходимым атрибутом их
задания. Важно понимать, что какой бы то ни было порядок, вообще rоворя, не
входит в исходное определение множества, а может быть установлен на основе
аксиоматизации свойств отношений.
При м ер П 1 .1. Рассмотрим в качестве простоrо примера множество квартир
HeKoToporo 1 ОО квартирноrо жилоrо дома. В нашем контексте совершенно
безразличны архитектурные особенности этоrо дома, район ero местораспо
ложения и планировка отдеЛЬНblХ квартир. Именно в этом и проявляется абст
раrирование теоретико множественноrо подхода при построении концепту-
альных моделей той или иной предметной области. Это множество с
использованием специальных обозначений можно записать следующим обра
зом: A={al, щ, аз,..., тоо}. Здесь фиrурные скобки служат обозначением COBO
купности элементов, каждый из которых имеет свой уникальный числовой ин-
декс. Важно понимать, что для данноrо KOHKpeTHoro множества элемент 010
обозначает отдельную квартиру в рассматриваемом жилом доме. При этом
вовсе не обязательно, чтобы номер этой квартиры был равен 1 О, хотя с точки
зрения удобства это было бы желательно.
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
587
Принято называть элементы отдельноrо множества принадлежащuми данному
множеству. Данный факт записывается с использованием специальноrо символа
"е", который так и называется символом принадлежности. Например, запись
тоеА означает тот простой факт, что отдельная квартира (возможно с номером
1 О) принадлежит рассматриваемому множеству квартир некоторото жилоrо дo
ма. Если через allo обозначить квартиру с номером 110, то применительно к дан-
ному примеру она не входит в множество А, или, rоворя более cTporo, Не при-
надлежит этому множеству (рис. Пl.I). Формально это записывается как allo A,
rде символ " " означает отрицание принадлежности элемента множеству. По
определению кроме указанных квартир ь множество А не входят никакие друrие
объекты. Например, такие элементы, как дача и автомобиль, по определению не
принадлежат множеству А.
Дача
х
Автомобиль
Рис. П1.1. Условное изображение rраницы и элементов
множества квартир А рассматриваемоrо примера
Как следствие вышесказанноrо, с любым множеством можно связать или ассо-
циировать некоторую функцию, которая принимает значение 1 для каждоrо из
элементов данното множества, и значение О для всех остальных элементов, не
входящих в рассматриваемое множество. Такая функция получила название xa
рактерuстuческой функции множества. С использованием специальных обозна-
чений характеристическая функция множества А, обозначаемая через ХА и фор
мально заданная на некотором универсуме Х, определяется следующим образом:
{ I,
ХА(Х) =
О,
если хЕ А
если хе А
(для любоrо хеХ).
(П 1. 1 )
Можно сказать, что задание любоrо конкретното множества неявно определяет
соответствующую характеристическую функцию и наоборот. Обычно в класси
ческой теории множеств характеристическая функция Х редко используется и
иrрает второстепенную роль. Однако в теории нечетких множеств обобщение
этой функции имеСт фундаментальное значение, поскольку именно с этой KOHCT
рукцией связано базовое определение нечеткоrо множества.
588
Часть /V. Приложения
Применительно к рассматриваемому примеру характеристическую функцию
множества ХА можно изобразить rрафически в форме rрафика. Для 'Поrо на ro-
ризонтальной оси Х отметим точками обозначения квартир 01, 02, аз,..., 0100,
0101,0102 И, возможно, друrих интересующих нас объектов. На вертикальной оси
у рассмотрим только два числовых значения: О и 1. Тоrда rрафик COOTBeтCT
вующей характеристической функции будет состоять из отдельных изолирован
ных точек, что предопределено конечным числом элементов множества А, при-
чем только для 100 элементов значение ХА будет равно 1, а для всех остальных О
(рис. П 1.2).
1
. .-
I I I
.. .
.. .
I I
о
...
I I ...
а9'Э аlO) QIDl йН)2 Х
а} й.2 й:з
Рис. П1.2. rрафик характеристической функции ХА
рассматриваемоrо множества квартир А
Между множествами MorYT иметь место различные отношения, простейшим из
которых является равенство двух множеств. Два множества считаются равными,
если они состоят из одних и тех же элементов. При этом порядок следования
'Элементов в этих множествах не имеет значения. Формально равенство двух
множеств можно записать с помощью характеристических функций этих MHO
жеств. А именно, множество А равно множеству В (записывается как А =В) тоrда
и только тоrда, коrда их характеристические функции равны, т. е. выполняется
следующее условие:
ХА (Х)=Хв(Х) (для любоrо ХЕХ), (Пl.2)
rде хАх), xJx) характеристические функции множеств А и В соответственно.
Для иллюстрации различных теоретико множественных операций традиционно
используются не характеристические функции, а специальные rрафические KOH
струкции дuоzроммы Венно. Последние получили свое название в честь aHr
лийскоrо лоrика Джона Венна (1834 t923), который предложил эти обозначе-
ния для наrлядной интерпретации множеств. Тот факт, что некоторая
совокупность элементов образует множество, на диаrрамме Венна обозначается
rрафически в форме Kpyra. В этом случае окружность при обретает содержатель-
ный смысл или, выражаясь более точным языком, семантику ZpOHUlJbl даНноrо
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
589
множества. В этом случае равенство двух множеств можно изобразить rрафиче
ски следующим образом (рис. П 1.3).
Рис. П1.3. Диаrрамма Венна
для равенства двух множеств А и В
Следующим важным понятием, которое служит прототипом для мноrих друrих
терминов системноrо и нечеткоrо моделирования," является понятие подJo.1НО:JlCе
ства. Интуитивно ситуация достаточно прозрачна. Если есть некоторая COBO
купность, рассматриваемая как множество, то любая ее часть и будет являться
подмножеством этоrо множества. Так, например, совокупность квартир на пер
вом этаже жилоrо дома есть ничто иное, как подмножество множества квартир
рассматриваемоrо нами примера. Для обозначения подмножества используется
специальный символ "с". Если утверждается, что множество А является подмно
жеством множества В, то это записывается как: Ас В.
римечание
CTPOro rоворя, следует различать два различных варианта подмножества. Pac
смотренное выше определение характерно для так называемоro собственноао
подмножества, KorAa исключается случай возможноrо равенства двух множеств
А=В. Если же при определении подмножества допускается равенство двух
множеств, то оно называется несобственным подмножеством и имеет обозна
чение А!;;В.
Формально это отношение можно записать и с помощью характеристических
функций этих множеств. А именно, множество А является подмножеством
(собственным подмножеством) множества В тоrда и только тоrда, коrда спра
ведливо следующее неравенство:
хАх) Хв(Х) (соответственно, хАх)<хв(х» (Пl.3)
(для любоrо ХЕХ).
Здесь ХА(Х)' Хв(Х) характеристические функции множеств А и В соответственно.
Подмножество или факт включения элементов одното множества в друrое MHO
жество можно изобразить rрафически следующим образом (рис. П 1.4). На этом
рисунке большему множеству В соответствует внешний крут, а меньшему множе
ству (подмножеству) А внутренний крут.
590
Часть IV. Приложения
Рис. П1.4. Диаrрамма Венна
ДЛS1 CTpororo включениS1 двух множеств АсВ
в теории множеств некоторые специальные множества иrрают особую роль. Oд
ним из таких множеств является так называемое пустое множество или множест
во, которое не содержит ни одноrо элемента. Это множество имеет специальное
обозначение: 0. Из этоrо определения следует, что пустое множество является
собственным подмножеством любоrо множества, не являющеrося в свою очередь
пустым. То есть для любоrо множества А всеrда справедливо утверждение: 0сА.
Очевидно, что характеристическая функция пустоrо множества тождественно
равна нулю для каких бы то ни было элементов: Х0 = о.
Друrим специальным множеством является так называемый универсум или MHO
жество, содержащее все возможные элементы. Это множество также имеет спе
циальное обозначение: Х. Из определения универсума следует, что любое множе
ство, не являющееся в свою очередь универсумом, является собственным
подмножеством универсума. То есть для любоrо множества А всеrда справедли
во утверждение: АсХ. Очевидно, 'IТO характеРИСТИ'lеская функция универсума
тождественно равна единице для каких бы то ни было элементов: ХХ = 1.
В зависимости от количества элементов множества бывают конечные и беско
нечные. Множество называется конеЧllЫМ, если оно содержит конечное число
элементов. Про такое множество еще rоворят, что оно имеет конечную мощ
ность, которая численно равна количеству элементов этоrо множества. Для обо
значения мощности произвольноrо множества А используется специальный сим-
вол card(A).
Примечание
В литературе для обозначения мощности множества А также используются и
друrие символы, как, например: IAI или А . Последний из символов может BBe
сти в заблуждение, поскольку, как будет видно из последующеro изложения,
совпадает по внешнему виду с символом двойноro дополнения. По этой причи
не в дальнейшем мы не будем ero использовать.
Возвращаясь к примеру с множеством квартир жилоrо дома, можно сказать, что
ero мощность равна 100. Множество всех возможных комбинаций из 8 символов,
которые MorYT служить для ввода HeKoToporo пароля с клавиатуры компьютера,
Приложение 1. ОСНОВЫ классической теории множеств и отношений
591
конечное, хотя и достаточно большое. Или, rоворя строrим языком, это множе
ство имеет конечную мощность.
Ситуация усложняется, коrда рассматриваются бесконечные множества,. т. е.
множества, не являющиеся конечными. Эта сложность связана с тем, что беско
нечные множества MorYT быть счетными и несчетными. Счетным множеством
принято называть множество, содержащее бесконечное число элементов, KOTo
рые, однако, можно перенумеровать натуральными числами 1, 2, 3 и т. д. При
этом важно иметь в виду, что достичь последнеrо элемента при такой нумерации
принципиально невозможно, иначе множество окажется конечным. Про такие
множества rоворят, что они имеют счетную мощность, которая обозначается No
(читается "алеф нуль"). Есть все основания считать множество всех звезд бес
конечным, хотя мноrие из звезд имеют свое уникальное название. Именно по
этой причине данное множество может быть отнесено к катеrории счетных.
НесчетНblМ множеством принято называть множество, содержащее бесконечное
число элементов, которые принципиально нельзя перенумеровать натуральными
числами. r. Кантор доказал, что множество всех действительных чисел несчетно.
В этой связи иноrда rоворят, что данное множество имеет несчетную мощность
или мощность континуума (обозначается символами с или "").
Примечание .
Проблема бесконечноrо моrла бы показаться отвлеченной и имеющей HeKOTO
рый философский оттенок, если бы не ее связь с систеМНblМ моделированием.
Так, при рассмотрении некоторой предметной области с целью построения ее
концептуальной модели приходится выделять конечное число .сущностей или
объектов, образующих определенный "скелет" будущей модели. Это при том,
что реальность окружающих нас предметов допускает бесконечное paCCMOTpe
ние их свойств, атрибутов и взаимосвязей.
Множества MorYT быть заданы двумя основными способами.
с] Явным llеречисление1vl или указанием всех элементов, входящих в рассматри
ваемое множество. Очевидно, этот способ подходит только для задания KO
нечных множеств с небольшим числом элементов. Например, множество из
пяти первых натуральных чисел или множество планет Солнечной системы.
с] Указанием HeKoToporo свойапва, которым обладает каждый из элементов
рассматриваемоrо множества и не обладает всякий друrой элемент, не BXO
дящий в рассматриваемое множество. Этот способ может быть использован
для задания как конечных, так, что наиболее важно, и бесконечных множеств.
Например, только таким способом можно определить множество всех четных
натуральных чисел или множество действительных чисел, cтporo больших 10.
В первом случае множество символически записывается в виде: A={al, 02, ..., аn},
[де 1l общее число элементов множества А. Друrими словами, множество А
имеет конечную мощность ll=card( А).
Во втором случае вводят в рассмотрение некоторое характеристическое свойст
во, которое может быть записано в виде одноместноrо предиката Р(х). Для фор
592
Часть IV. Приложения
мальной строrости предикат Р(х) определяется на универсуме Х '.Элементов, из
которых формируется множество А. Предполаrается, что в качестве универсума
Х в каждом конкретном случае используется такая совокупность объектов, для
которых рассматриваемое свойство имеет содержательный смысл или, друrими
словами, означивание соответствующеrо предиката семантически корректно.
При этом предикат может принимать одно из двух значений истинности:
"истина" или "ложь". Если элемент ХЕХ обладает рассматриваемым свойством,
то соответствующий предикат Р(х) принимает значение "истина". Если же эле-
мент ХЕХ не обладает рассматриваемым свойством, то соответствующий преди
кат Р(х) принимает значение "ложь". Тоrда в общем случае задание множества А
с использованием специальноrо свойства, выраженноrо в форме одноместноrо
предика та Р(х), может быть за писано в виде: A={al Р(а). аЕХ}.
Примечание
Вообще rоворя, понятие предиката и значения истинности относятся к матема-
тической лоrике. основы которой изложены в прuложенuu 2. Однако для полно-
ты представления основ теории множестВ необходимо уже сейчас использо
вать указанные конструкции.
Например, множество неотрицательных действительных чисел, которое имеет
специальное обозначение /R+ или [О, +00), может быть задано в виде:
/R...={xl XE/R, Х О}. В этом случае предикат Р(х) определяется в форме HeKOTOpo
[о cocTaBHoro высказывания "х является действительным числом ll. одllовременно.
х болыuе или равно О", которое допускает подстановку вместо х любоrо числа
(т. е. X=/R, rде /R множество всех действительных чисел). Друrим интересным
для нас множеством, которое также может быть задано вторым способом, явля
ется замкнутый интервал действительных чисел, заключенных между О и 1,
включая сами эти числа. Этот интервал, который традиционно обозначается как
/R или [О, 1], определяется следующим образом: /R ={xl XE/R, O X I}. Эти множе-
ства также MorYT быть определены на основе задания соответствующих характе-
ристических функций XIO.+",) И Х[О. 1], rрафики которых представлены на рис. П 1.5.
у
у
1
1
о
х
о
1
х
Рис. П1.5. rрафики характеристических функций Х[О,+"') (а) и Х[О. 1] (6)
Приложение 1. ОСНОВЫ классической теории множеств и отношений
593
Примечание
В связи с рассмотрением последнеrо при мера следует обратить внимание на
различие множеств {О, 1} и [О, 1J. Первое из них является конечным множест
вам, которое состоит только из двух элементов: чисел О и 1. Второе является
бесконечным множеством и, более тоro, имеет мощность континуума. Тем не
менее, справедливо включение: {О. 1} с [О, 1J.
Как нетрудно заметить, в общем случае для произвольноrо множества А сущест
вует формальная взаимосвязь между характеристической функцией множества
хАх) и некоторым предикатом РАх), коrорый, возможно неявно, выражает He
которое характеристическое свойство этоrо множества. А именно, если элемент
аЕХ обладает свойством РА(х), т. е. PA(a) "истиюю", то xAa)=I. Если же эле
мент аеХ не обладает свойством РА(х), т. е. РАа) "ложно", то ХА(а)=О. Верно и
обратное заключение. Эта связь характеристической функции множества и COOT
ветствующеrо ей предиката иrрает важную роль при установлении взаимосвязей
между теорией нечетких множеств инечеткой лоrикой.
Основные
теоретико-множественные операции
Пусть А и В произвольные (конечные или бесконечные) множества. Пересеt'е
нuем двух множеств А и В называется некоторое третье множество С, которое
состоит из тех и только тех элементов двух исходных множеств, которые oдlto
временно при надлежат и множеству А, и множеству В. ДЛЯ этой операции имеется
специальное обозначение: "п". Тоrда результат операции пересечения двух MHO
жеств мо жно записать в виде: С=АпВ, rде C={xlxeA и од1l0врШvtен"о хеВ}.
Примечание )
При этом важно обратить внимание на тот факт, что характеристическая функ
ция ХС множества C=AnB зависит некоторым образом от характеристических
функций исходных множеств ХА и ХВ. А именно, значение функции хс(х) для лю
боrо хеХ может быть получено как минимальное из двух значений: ХА(Х) и хв(Х).
Это свойство может быть положено в основу определения операции пересече
ния множеств. Формально же оно записывается в следующем виде:
xc(x)=min{XA(X), хв(х)}
(для любоro хеХ).
(П 1.4)
Например, если в качестве множества А рассмотреть множество сотрудников
некоторой фирмы, а в качестве множества В множество всех мужчин, то He
трудно доrадаться, что множество С как результат операции пересечения АпВ
будет состоять из элементов всех сотрудников мужскоrо пола данной фирмы.
Операция пересечения множеств может быть проиллюстрирована с использова
нием диаrрамм Венна (рис. П 1.6). На этом рисунке условно изображены два
множества А и В, затемненной области как раз и соответствует множество С,
являющееся 'lересечением множеств А и В.
594
Часть 1\1. Приложения
х
\
J
)
/
в
Рис. П1.6. Диаrрамма Венна для пересечения двух множеств А и В
Под объединением двух множеств А и В пони мается некоторое третье множество,
которое обозначим как D. состоящее из тех и только тех элементов. которые
принадлежат или А. или В. или им обоим одновременно. Для этой операции
также су ществует специальное обозначение: D= AuB. rде D={xlxEA или ХЕВ}.
Примечание
При этом важно заметить, что характеристическая функция Хо множества
D=AuB также зависит некоторым образом от характеристических функций ис
ходных множеств ХА и ХВ. А именно, значение функции хо(х) для любоrо хеХ
может быть получено как максимальное из двух значений: ХА(Х) и хв(х). Это
свойство может быть положено в основу определения операции объединения
множеств. Формально же оно записывается в следующем виде:
XD(x)=max{XA(x), хв(х)}
для любоrо
хех.
(П 1.5)
Так. например, если в качестве множества А рассмотреть множество. состоящее
из клавиатуры и мыши, а в качестве множества В множество, состоящее из
системноrо блока и монитора. то нетрудно доrадаться, что их объединение, т. е.
множество D=AuB будет сдержать все основные компоненты персональноrо
компьютера. Операция объединения множеств также может быть проиллюстри
рована с использованием диаrрамм Венна (рис. Пl.7). На этом рисунке объеди
нению двух исходных множеств также соответствует затемненная область, толь
ко размеры и форма ее отличаются от случая пересечения двух множеств.
Разностью двух множеств А и В называется некоторое третье множество Е
(обозначается Е=А\В, которое состоит из тех и только тех элементов, которые
принадлежат множеству А и не принадл жат множеству В, т. е. E={xlxEA и oдHO
временно x B}. Если множества А и В не пересекаются (т. е. АпВ=0). то А\В=А.
Из определения этой операции также следует, что: А\А=0 и А\0=А. Формально
справедливо следующее утверждение:
хБ<х)=mах {xAx) хВ<:х). О} для всех ХЕХ. (П 1.6)
rде под знаком максимума при меняется обычная операция арифметической раз
ности двух чисел. Это свойство в свою очередь может быть использовано для
исходноrо определения операции разности множеств.
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
595
х
Рис. П1.7. Диаrрамма Венна для объединения двух множеств А и В
Так, например, если в качестве множества А рассмотреть множество, состоящее
из студентов некоторой rpYnnbI, а в качестве множества В множество CTyдeH
тов, получивших неудовлетворительные оценки на сессии или не аттестованных
вовсе, то их теоретико множественная разность Е=А\В множество студентов
труппы, успешно сдавших сессию. Операция разности множеств также может
быть проиллюстрирована с использованием диаrрамм Венна (рис. Пl.8). На
этом рисунке разности двух исходных множеств также соответствует затемнен
ная область.
х
( ';::H') }., ,
'.. ... . ". . .' . '; . ' .. ;:<' " \ \
:\> .. ;',1 \ )
,!:. ь: I В
. . .., )
.... .
""',' ./ )
::. . <::
, '.;. .
. '.. ,,.f', . ." "- /'
, '. . -......... .
Рис. П1.8. Диаrрамма Венна для разности двух множеств А и В
Следует заметить, что операция разности множеств в отличие от операций объе
динения и пересечения не является симметричной, т. е. в общем случае А\В #: В\А.
Поэтому иноrда удобно рассматривать так называемую симметрическую раз
н.ость двух множеств А и В (обозначается через АдВ). По определению
AflB=(A\B)u(B\A), т. е. симметрическая разность двух множеств представляет
собой объединение двух разностей множеств А и В. При этом оказывается спра
ведливым следующее утверждение:
XAt..B(X)=11lax{IXA(X) XB(X)I, О} дЛЯ всех ХЕХ, (Пl.7)
rде под знаком максимума применяется операция модуля (или вычисления абсо
лютноrо значения) числа. Это свойство также может быть использовано для ис
ходноrо определения операции симметрической разности множеств.
596
Часть IV. Приложения
Операция симметрической разности множеств иллюстрируется с помощью диа
rpaMM Венна следующим образом (рис. ПI.9). На этом рисунке симметрической
разности двух исходных множеств соответствует затемненная область. Можно
показать. что для операции симметрической разности имеет место следующее
свойство: АДВ=(АuВ)\(АпВ).
х
a "" '"''''ё'''''''''
. ; i. :: .Ш1 ';':: '::' { ;'; ' ,, t;rf A
i...:j ,..."4iP}1, 1 c:..;:>: ..: {;: :::;"'1
\ .. ......" , ) ...,..,.. ,,,,,,,..;и
Рис. П1.9. Диаrрамма Вен на
для симметрической разности двух множеств А и В
В целом ряде случаев оказывается полезной унарная операция дОllолнеllUЯ MHO
жества. Дополнение множества А обозначается через А и определяется следую
щим образом: A={xlxEXи одновремеllНО x A} или А=Х\А, rде множество
Х универсум. Леrко проверяется следующее свойство характеристической
функции для дополнения множества:
ХА=I ХАдлявсеХХЕх. (ПI.8)
Операция дополнения множества иллюстрируется с помощью диаrрамм Венна
следующим образом (рис. ПI.IО). На этом рисунке дополнению множества А
соответствует затемненная область.
t'fЧf$.
Рис. П1. 1 о. Диаrрамма Венна для дополнения множества А
При мерПI.2. Рассмотрим два числовых множества: A={1,3,5,7,8,9} и
В={2, 4, 6, 7, 8, IO}. ДЛЯ этих множеств результаты выполнения рассмотренных
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
597
выше теоретико множественных операций будут следующими: АnВ={7, 8},
AuB={I, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9, 10}, А\В=О, 3, 5, 9}, А6В=О, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10}. Если
в качестве универсума Х взять множество натуральных чисел то
А ={2, 4, 6, 10,11,12,13, ...}и В = О, 3, 5,9,11,12, 13,...}.
Для теоретико множественных операций имеют место следующие свойства,
часть из которых непосредственно следует из их определения, а доказательство
друrих может служить в качестве упражнения:
а Коммутативность операций объединения и пересечения:
AuB=BuA; АnВ=ВnA. (Пl.9)
О Ассоциативuоапь операций объединения и пересечения:
Au(BuC) = (AuB)uC; Аn(ВnС)= (АnВ)nс. (П 1.1 О)
О Дистрибутивность операций объединения и пересечения относительно друr
друrа:
An(BuC)= (AnB)u(AnC); Au(BnC) = (AuB)n(AuC).
О Иде.лтотеюпность операций объединения и пересечения:
AuA=A; АnА=А. (ПI.12)
О ПО2лощеНllе пустоrо множества и универсума при операциях объединения и
пересечения соответственно:
(Пl.ll)
Au0=A; АnХ=А.
О Универсальные rраницы (верхняя и нижняя):
AuX= Х; Аn0=0.
О ДопОЛНЯе]иость (или дополнительность):
(П 1.13)
(ПI.14)
А пА =0;
А u А =х.
(П 1 .15)
о Инволюция или двойное дополнение:
А=А.
(П 1.(6)
о Законы де MopraHa:
(AuB)==AnB;
(АnВ) == Au В.
(П 1.1 7)
Перечисленные свойства получили название аксиом булевой аЛ2ебры в честь aHr
лийскоrо лоrика Дж. Буля (1815 1864), отмечая тем самым ero вклад в разра
ботку основ математической лоrики.
Формула (ПI.9) означает, что теоретико множественные операции объедине
ния и пересечения конечноrо числа множеств не зависят от порядка следования
отдельных множеств при выполнении этих операций. Формула (Пl.l0) означает,
что эти операции не зависят от Toro, выполняем ли мы их в некоторой очередно
сти или разбиваем на отдельные rруппы с последующим выполнением COOTBeT
ствующих операций над этими rруппами. Первый из законов дистрибутивности
(ПI.ll) полностью аналоrичен закону дистрибутивности операции умножения
относительно сложения в арифметике. Как и в арифметике, из этоrо закона сле
598
Часть 1\1. Приложения
дует, что ДJIЯ TOrO, чтобы найти пересечение двух rрупп множеств, каждая из
которых представляет собой объединение конечноrо числа множеств, следует
найти пересечение каждоrо из множеств первой rруппы с каждым из MHO
жеств второй rРУППbl, а к полученным результатам применить операцию объе
динения. Например, (AuBuCuD)rI(EuF\...JG) = (ArlE)u(Arlf)u(ArlG)u(BrlE)u...
u(DrlE)u(Drlf)u(DrlG). Идемпотентность операций объединения и пересечения
не имеет аналоrии в арифметике, поскольку в результате их применения к OДHO
му И тому же множеству всеrда получается исходное множество. Свойства по
rлощения и универсальных rраниц аналоrичны наличию единицы для операции
умножения и нуля для операции сложения в арифметике (кроме первой формулы
(П 1. 14), которая не им еет аналоrии).
Первая формула дополняемости (П 1 .15) имеет аналоrию в формальной лоrике в
виде так называемоrо закона противоречия. Этот закон утверждает, что в про
цессе рассуждения о каком либо определенном предмете или явлении нельзя oд
новременно утверждать и отрицать что либо в одном и том же отношении, в
противном случае оба суждения не MorYT быть одновременно истинными. Дей
ствительно, если мы утверждаем, что некоторый элемент а; принадлежит множе
ству А, то тем самым мы исключаем противоположное утверждение, что этот же
элемент а; не принаДJIежит множеству А. И наоборот, истинность утверждения
"элемент а; не принаДJIежит множеству А" влечет ложность противоположноrо
утверждения "элемент a j принадлежит множеству А". Например, утверждая, что
квартира с номером 100 одновременно принаДJIежит и не принаДJIежит множест
ву А paccMoTpeHHoro выше примера П 1.1, мы неизменно приходим к противоре
чию, поскольку в данном примере по определению возможен только один слу
чай. а именно: аJOОЕА.
Вторая формула дополняемости (П 1.15) также имеет аналоrию в формальной
лоrике в виде так наЗbJваемоrо закона ИСКЛlОчеlllL020 третье20. Этот закон YT
верждает, что в процессе рассуждения о каком либо определенном предмете или
явлении необходимо доводить дело до HeKoToporo законченноrо утверждения
или ero отрицания. При этом, если одно из таких утверждений истинно, то дpy
roe должно быть обязательно ложно, и наоборот. TpeTbero в этом отношении
быть не может: либо истина, либо ложь. Действительно, можно сформулировать
только два утверждения относительно принаДJIежности Toro или иноrо элемента
множеству: "элемент а; принадлежит лиlOЗlCеству А" и "элемент а; не принадле
жит MHo cecтвy А". TpeTbero утверждения в классической теории множеств
быть не может. Например, относительно квартиры с номером 100 можно утвер-
ждать только следующее: "квартира 0100 принадлежит лt/lожеству А" или
"квартира 11100 не принадлежит MHoJlcecтBY А". В этом контексте важно пони
мать, что нельзя сформулировать какое бы то ни было третье утверждение отно-
сительно принадлежности даННОЙ квартиры рассматриваемому множеству А.
Что касается инволюции или двойноrо дополнения, то это свойство леrко ДOKa
зывается, СЛИ обозначить А=В. Тоща, если некоторый элемент а;Е!" то тем са-
мым a; А и, следовательно, а;еВ или а;ЕВ. Таким образом, А = В или, вводя
операцию ДБойноrо дополнения, А = А. В обратную сторону доказательство фор
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
599
мулы (ПI.16) аналоrично. Предполо им, что GjEB. Это означает, что Gj B или, с
учетом введенных обозначений, Gj А. Последнее утверждение в свою очередь
влечет GjEA. Поскольку В по определению равно А , то тем самым А == А, что
и завершает доказательство данноrо свойства.
В заключение докажем справедливость первоrо из законов, получивших свое
название в честь шотландскоrо матем атика и лоrика OracTeca де MopraHa (De
Morgan AlIgllstus, 1806 1871): (AuB) = АпВ. Для этоrо обозначим AuB через
С, т. е. С = AuB. Предположим, что некоторый элемент GiE С или (/j c. Тем ca
мым справедливо ai A, поскольку АсС, и OДHOBp MeHHO Gj B, поскольку также
и всс. С друrой стороны, это означа , чт,9 ajE А и одновремеННО GjE В. По
следнее означает ни что иное как: ajE А n В. Это доказывает первую часть за
кона. Теперь докажем рассматриваемое равенство в обратную сторону. Если
предположить, что некоторый элемент a, A и одновременно aj B, то это будет
означать, что Gi AuB. Действительно, если существует такой элемент G j , для KO
Toporo справедливо условие: (/jEAuB, то тем самым исключается одновременное
выполнение условий: a; A и в то же BpeM G;rE.B. Помня, что С= AuB, усл вие
ai AuB будет озна ать a, C, а значит а,Е С. Поскольку aj A означает GjE А, а
aj B означает GiE В, одновременное выплнениеe этих условий означает ни что
иное, как: а,Е АпВ. Поскольку мы начали рассуждения с последнеrо утвержде
ния, а пришли к утверждению ajE С == А u В , то тем самым получили доказатель
ство первоrо закона де MopraHa в обратную сторону. Второй закон доказывается
аналоrично и предоставляется выполнить читателю в качестве самостоятеЛЫlOrо
упражнения.
Булеан или множество всех подмножеств
Как можно заметить, в определении множества присутствует некоторая двойст
венность, которая касается входящих в множество элементов. С одной стороны,
между элементом и множеством имеет место отношение принадлежности а,ЕА,
которое устанавливает исходный состав множества А={т, т,..., а"...}. С друrой
стороны, каждый из элементов множества А можно рассматривать как одноэле
ментное подмножество {a j }, и тоrда имеет место отношение включения между
каждым из этих одноэлементных подмножеств и исходным множеством: {а;}сА.
При этом оказывается справедливым следующее утверждение: U{aj} == А, rде
операция объединения выполняется по всем одноэлементным подмножествам,
соответствующим элементам множества А.
Именно последний аспект рассмотрения множеств послужил исходной идеей для
введения специальной конструкции, которая иrрает особую роль при определе
нии целоrо ряда друrих понятий. Речь идет о множестве всех подмножеств
(булеане или степенном множестве), элементами KOToporo по определению яв
600
Часть /V. Приложения
ляются все без исключения подмножества HeKoToporo фиксированноrо множест
ва А. А именно, формально булеан определяется как B(A)={A,I A jk А}. По этому
определению пустое множество (о и само множество А входят в булеан или яв
ляются ero элементами. Если исходное множество А конечное, т. е. имеет конеч-
ную мощность n=cal'd(A), то булеан также будет являться конечным множеством,
а ero мощность будет равна сю'd(В(А»=2/1 (доказывается методом индукции по
количеству элементов множества А).
Таким образом, имеет место следующее утверждение: саrd(В(А»=2 сапl (А). По aHa
лоrии с конечными множествами это свойство распространяют и на бескон&чные
множества, допуская при этом некоторую вольность, поскольку показатель сте-
пени в этом случае не ЯВ;lяется числом.
Мультимножество или комплект
Одним из обобщений понятия множества является так называемое мультимно
жество, в качестве синонима KOTOpOI'O часто применяется термин КО.Нn7еКI1l. Это
понятие иноrда используется для формаЛЬНОI О определения математических
конструкций, в которых допускается повторение одинаковых элементов или эк
земпляров HeKoToporo класса.
М у л ь Т И М Н О Ж е с т в о. Содержательно Jну.,1ыJlL'Iшо.Jl/есlJl80o можно опреде
лить как такое множество, в котором те или иные элементы MorYT повторяться
или встречаться несколько раз. Формально мультимножество определяется как
множество кортежей: А*={<т. al>, <т., a >,.... <Пl/' а п >}, [де (1i элемент муль-
тимножества, ai количество повторений элемента (1" в этом мультимножестве
А*. Как видно из JTOrO определения, мультимножества будем обозначать так же,
как и обычные множества, но с дополнительным знаком "*". Очевидно, порядок
следования кортежей в записи мультимножества не имеет никакоrо значения.
При м ер П 1.3. Для иллюстрации данноrо понятия рассмотрим два абстракт
ных мультимножества: А*={<т, 2>, <02,1>, <аз, 2>, <a4,1>, <а5,3>} и
B*={<al, 1>, <02,2>, <аз, 3>, <04,1>, <ш, 2>} и два числовых мультимножества:
C*={<I, 1>, <2,2>, <3, 1>, <4,2>, <5,3>} и D*={<I, 1>, <2,2>, <3, 3>, <4,4>,
<5, 5>}. Они MorYT быть также записаны в альтернативной форме как: А*={т,
т, а2, аз, 03, а4, а5, а5, as} и В*={т, а2, (12, аз, а), аз, а4, а5, as}, а также: C*={l, 2,2,
3,4,4,5,5,5} и п*=р, 2, 2, 3.3,3,4,4,4,4,5,5,5,5, 5}.
. =..
Примечание
Следует заметить, что в альтернативной форме записи порядок следования
элементов в записи мультимножества не имеет значения. Друrими словами,
записи {1. 2, 5. 2, 4, 5, 3. 5, 4} и {2, 1, 2, 5, 3, 4, 5, 4, 5} соответствуют одному и
тому же мультимножеству. а именно, С*. Очевидно, что для мультимножеств с
достаточно большим числом элементов эта форма записи не совсем удобна,
поскольку затрудняет визуальное установление подобноrо факта.
Приложвние 1. ОСНОВЫ классической теории множесТВ и отношений
601
Более cTporoe определение мультимножества может быть дано на основе пред
варительноrо рассмотрения HeKoToporo универсума Х, как правило, имеющеrо
конечную мощность, и HeKoToporo отображения а: x.....). o, ставящеrо в COOTBeT
ствие каждому элементу универсума неотрицательное целое число, равное коли
честву ero включений в мультимножество. При этом элементы универсума, для
которых значение этоrо отображения равно нулю, не записываются в состав
данноrо мультимножества. Здесь и далее через o будет обозначаться множество
натуральных чисел и ноль, т. е. 1%= {О, I,2,3,...}.
Как и в случае обычных множеств, с любым мультимножеством А* можно свя-
зать некоторую обобщенную характеристическую фУllКЦИЮ ХА*(Х)' которая при-
нимает значение а(х;) для каждоrо из элементов Х; данноrо мультимножества.
С использованием этой обобщенноЙ характеристической Функuии для мульти-
множеств MorYT быть определены отношения равенства и включения, аналоrи
теоретико r.1Ножественных операций и друrие понятия, соответствующие случаю
обычных множеств.
В общем случае два МУЛЬТlIмножества А* и В* считаются ра61lьини по определе-
нию, если равны множества соответствующих им кортежей. Друrими словами,
равные мультимножества не только состоят из одинаковых элементов универсу
ма Х, но и количество повторений каждоrо из элементов в этих мультимножест
вах также равно. Это эквивалентно выполнению условия (П 1.2) для cooтвeTCT
вующих обобщеННbIХ характеристических функций этих МУJlьтимножеств.
В противном случае мультимножества считаются неравными. Равные мультим
ножества записываются в виде: А*=В*.
Таким же образом можно ввести определения отношения включения мульти
множеств на основе выполнения условия (Пl.3), операции пересечения мульти
множеств на основе выполнения условия (П 1.4), операции объединения муль
ТИМНОЖеств на основе выполнения условия (П 1.5), операции разности мулы'и-
множеств на основе выполнения условия (П 1.6) и операции симметрической
разности мультимножеств на основе выполнения условия (Пl.7) для соответст-
вующих обобщенных характеристических функций этих мультимножеств.
Так, например, для мультимножеств из при мера П 1.3 справедливы записи
А**В*, А*nВ*={<т.l>, <а2,1>, <аз, 2>, <04,1>, <а5,2>}, A*uB*={<0I,2>,
<а2,2>, <аз, 2>, <04,1>, <ш,3>}, А*\В*={<OI, 1>, <т, 1>}, A* B*={<OI, 1>,
<02, 1>, <аз, 1>, <05, I>}.
ПриМ-ечание
На основе обобщенных характеристических функций для мультимножеств мо-
ryT быть определены некоторые дополнительные операции, аналоrичные
арифметическим операциям.
Отношения и способы их задания
Понятие отношения наряду С понятием caMoro множества является фундамен
таЛЬНbIМ не только в теории множеств, но и в друrих теоретических и приклад
602
Часть /V. Приложения
ных дисциплинах. Следует помнить, что это понятие часто заменяется термина
ми связь, ассоциация, взаимосвязь или соотношение. В общем случае отношение
определяется как любое подмножество упорядоченных кортежей, построенных
из элементов некоторых исходных множеств. При этом под кортеJlCеJИ понима
ется просто набор или список упорядоченных элементов.
Хотя и существует некоторая неоднозначность в принятых обозначениях, KOp
теж из двух элементов удобно обозначать как <01, az>, из трех элементов <т,
т, аз> и т. д. Кортеж из k элементов будем обозначать через <т, 02,..., a k > и ro
ворить, что он имеет длину k, [де k некоторое натуральное число. При этом
отдельные элементы кортежа MorYT принадлежать как одном;, множеству, TaJ{ 11
различным множествам. Важно иметь в виду, что порядок выбора элементов для
построения кортежей cTporo фиксирован для каждоrо KOHKpeTHoro случая. Речь
идет о том, что первый элемент всеrда выбирается из первоrо множества, BTO
рой из BToporo и т. д.
Совокупность всех кортежей длины 2, образованных из элементов двух произ
вольных (конечных или бесконечных) множеств А и В, образует множество, KO
торое получило специальное название декартово произведение двух множеств.
Данное произведение названо в честь известноrо французскоrо философа и Ma
тематика Рене Декарта (1596 1650). Формально декартово произведение опре
деляется как: А>.<В={ <а;, bj>1 ajEA, Ь,ЕВ}. Поскольку декартово произведение яв
ляется множеством в обычном смысле, то для Hero справедливы все теоретико
множественные свойства и операции. В частности. мощность декартова произве
дения двух конечных множеств А={т, т,..., а,,} и B={bl, Ь2,..., Ь",} равна произ
ведению (арифметическому) мощностей этих множеств: card(AxB)=l1 . т. Этот
факт непосредственно следует из простоrо подсчета всех кортежей, составленных
из элементов этих множеств.
Декартово произведение может быть расширено на случай произвольноrо KO
нечноrо числа множеств: AIXA2X...xAk на основе рассмотрения всех кортежей
длины k, составленных из элементов этих множеств. С друrой стороны, в качест
ве множеств декартова про изведеНИЯ может выступать и одно множество А. Co
ответствующее декартово про изведение примет вид: АхА или АхАХ...хА (k раз).
k
В последнем случае иноrда используется запись: ПА.
;=1
В общем случае отношением, заданным на множествах AI, А2,..., А" (иноrда [o
ворят над множествами), называется некоторое подмножество декартова
произведения этих множеств. Друrими словами, если обозначить произвольное
отношение через Q, то по определению Q AIXAzx...xA k . При этом не исключа
ется случай равенства отношения самому декартову произведению множеств.
Чтобы характеризовать количество множеств, на основе которых строится то
или иное отношение, принято называть отношение между двумя множествами
бинарным, между тремя множествами тернарным, а в общем случае k apHbl:\;I
отношением. В каждом конкретном случае рассматриваемое отношение неявно
предопределяет некоторый способ или семантику выбора отдельных элементов
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
603
из одноrо или нескольких множеств для образования соответствующеrо множе
ства кортежей.
Примечани
Поскольку отношение по своей сути является множеством, то каждому отноше
нию будет соответствовать некоторая характеристическая функция этоro OTHO
шения Хо. заданная на декартовом произведении исходных множеств AaHHoro
отношения. При этом. если кортеж <81. 82..... 8k> входит или принадлежит OT
ношению О, то значение характеристической функции этоrо отношения ХО для
данноrо кортежа равно 1. и О в противном случае.
Существуют различные способы, которыми MorYT быть заданы те или иные KOH
кретные отношения. Наибольшее распространение из них получили следующие.
1. Непосредственное llеречисление кортежей отношения. Как и для случая одноrо
множества, этот способ может быть использован только для задания конечных
отношений произвольной арности с небольшим количеством кортежей.
2. Матричный способ. Основан на представлении отношения в форме матрицы,
строки которой соответствуют одному из множеств отношения, а столбцы
друrому множеству. При этом элементы матрицы принимают одно из двух
значений: 1 или О, в зависимости от Toro, принадлежит или не принадлежит
соответствующий кортеж данному отношению. Как не трудно представить,
данный способ может быть использован только для задания конечных би
нарных отношений. Иноrда определенную таким образом матрицу называют
матрицей бинарНО20 отношения, которую будем обозначать через MQ.
3. Табличный способ, с одной стороны, может рассматриваться как разновид
ность матричноrо, поскольку конечная матрица всеrда может быть представ
лена в форме таблицы. С друrой стороны, при представлении отношений (не
обязательно бинарных) в форме таблиц удобно указывать только те кортежи.
которые при надлежат рассматриваемому отношению. Вообще rоворя, табли
цы отношений являются центральным объектом теории и практики реляцион
ных баз данных. Данная тематика, в рамках которой разработаны специаль
ные средства манипулирования данными (реляционная алrебра, правила
нормализации, язык SQL, коммерческие базы данных и пр.) выходит за paM
ки настоящей книrи.
4. Трафический способ. В общем случае основан на представлении отношения с
использованием некоторой rрафической нотации или системы специальных
обозначений. Наиболее распространены две разновидности этоrо способа.
которые подходят для задания бинарных отношений.
. Представление отношения в виде некоторой rеометрической фиrуры
(кривой или совокупности отдельных точек) на плоскости или в простран
стве. При этом MorYT использоваться различные системы координат. ["pa
фик математической функции, такой как, например, парабола у=х 2 ,
является примером этоrо спос;оба задания отношения. Здесь функция pac
сматривается как частный случай отношения, о чем будет сказано ниже.
Этот способ зачастую является единственно возможным для визуализации
бесконечных отношений.
604 Часть /V. Приложения
· Представление отношения в виде ориентированноrо (направленноrо) rpa-
фа. Хотя основные понятия теории rрафов получили свое развитие задол-
[о до появления теории множеств как самостоятельной научной дисцип-
лины, формальное определение rрафа удобно представить в теоретико.
множественных терминах. Рассмотрим этот способ более подробно.
Ориентированным ?рафш t называется совокупность двух м ножеств: мно-
жества точек или веРllIин и множества соединяющих их линий или дуr.
Формально rраф задается в виде двух конечных множеств: G=(" Е), rде
r/={I'I, 1'2,..., I'n} множество вершин rрафа, E={el, С2,..., е",} множество
дуr rpафа. Вершины rрафа изображаются точками, а дуrи отрезками
ПРЯМbIХ линий со стрелкой на одном из концов. Рядом с вершинами и ду-
rами заПИСbIваются условные обозначения соответствующих вершин и ДУI',
LITO позволяет идентифицировать их однознаЧНbIМ образом. Натуральное
число 11 определяет общее количество вершин KOHKpeTHoro rрафа, а нату-
ральное число т общее количество HYf' rрафа.
Следует заметить, что в общем случае не все вершины в rрафе MorYT со-
единяться между собой. Именно этот факт ставит в соответствие каждому
ориентированному rpафу некоторое бинарное отношение QG' состоящее из
всех пар вида <1';, Il j >, [де I'j, II,Е V. При этом пара <I'j, I'j> принадлежит со-
ответствующему отношению Qc в том и только в том случае, если верши-
нь) 11; И Ij соединяются в rрафе G некоторой дуrой е/. ЕЕ, направленной из
веРШИНbI V; В вершину V j . При f'рафическом задании отношения Q АхА
каждому элементу множества (/jEA будет соответствовать отдельная вер-
шина l';EG rрафа этоrо отношения, а каждому кортежу отношения
<а" (Jj>EQ будет соответствовать дуrа rрафа <1';, Vj>EE с наLIaЛОМ в вер-
шине V j и концом в вершине \'j'
Примечание :)
Вообще rО80рЯ, rрафы бывают различных типов. Кроме рассмотренных выше
ориентированных rрафов, в теории rрафов рассматриваются неорuентuрован-
ные rрафы, т. е. такие rрафы, у которых соединяющие вершины ребра не име-
ют направления или ориентации. Неориентированные rрафы удобно считать
частным случаем ориентированных, у которых каждая дуrа имеет дуry противо-
положной ориентации. В современной теории rрафов рассматриваются также и
бесконечные rрафы, Т. е. rрафы с бесконечным числом вершин. Бесконечные
rрафы выходят за рамки тематики настоящей книrи. Именно поэтому задание
отношения с помощью rрафа используется только для конечных отношений.
В общем случае rрафы широко используются для. представления информации
о структуре систем и процессов. Примерами подобных rрафических моделей
MOryT служить: схемы автомобильных Дороr реrиона, которые соединяют ОТ-
дельные населенные пункты; схемы телекоммуникаций, используемых для пе-
редачи информации между отдельными узлами системы; схемы nporpaMM, на
которых указываются варианты ветвления вычислительноro процесса. Общей
для всех подобных моделей является возможность представления информа-
ции в rрафическом виде. Достоинством данноrо способа является наrлядность
представления отношений и возможность их визуализации. При этом отдель-
ные модели MOryT обладать дополнительной семантикой и специальными обо-
значениями, характерными для той или иной предметной области.
Приложение 1. Основы классической твории множеств и отношений
605
5. Задание отношения на основе явноrо указания HeKoToporo свойства, которым
должны обладать все элементы рассматриваемоrо отношения. Этот способ
аналоrичен описанному ранее способу для множеств и подходит для задания
как конечных, так бесконечных отношений. В этом случае вводится в pac
смотрение некоторое характеристическое свойство, которое может быть за
писано в виде .M1-/020,нестНО20 преди"ата P«XI, Х2,..., х,,». Данный предикат
P«XI, Х2,..., х,,» определяется на декартовом произведении АахА2х...хА". При
этом предикат может принимать одно из двух значений истинности: "истина"
или "ложь". Если кортеж <01, а2...., а/;> принадлежит рассматриваемому OT
ношению Q, то соответствующий предикат PQ«т, т,..., а,,» принимает зна
чение "истина". Если же кортеж <01,02,..., а/;> не принадлежит отношению Q,
то соответствующий предикат PQ«т, Щ,..., а,,» принимает значение "ложь".
Тоrда в общем случае отношение Q может быть записано в виде:
Q={ <al, Щ,..., а,,> I Р Q«al, 02,..., а,,», <т, Щ,..., ал>Е Аа х А2 х ... х А,,}.
При м ер Пl.4. Для иллюстрации раЗЛИLlНЫХ способов задания отношений pac
смотрим в качестве примера фраrмент расписания международных авиарейсов
аэропорта Пулково 2 (Санкт Петербурr, 2001 [.). Для простоты оrраничим наше
внимание только номерами авиарейсов, аэропортами назначения и типами ca
молетов. С этой целью рассмотрим следующие базисные множества: множество
номеров авиарейсов A={LH6370, МА232, Z8221, Z8229, Z8257, Z8277, Z8285},
множество аэропортов назначения B={A.tlcmepiJa.'l-t, АфUllbl. Барселона, Каир,
Нью Йорк, Пари:ж, Хельсинки}, множество типов самолетов С={Боинr 737, Бо
инr 747, Ил 86, Ty 134, Ty 154}. Одним из бинарных отношений Q, AxB явля
ется отношение, устанавливающее соответствие между каждым номером авиа
рейса и аэропортом назначения. ДРУI'ИМ отношением Q2<;:;;AxC является
отношение между номерами авиарейсов и типом самолета, осуществляющим
перелет по соответствующему маршруту.
Традиционно подобная информация записывается в форме таблиц, которые яв
ляются исходными объектами пrедставления информации в реляционных базах
данных. В нашем простом случае эти таблицы имеют следующий вид (табл. П 1.1
и Пl.2), что соответствует табличному способу задания этих отношений.
Таблица П1.1. Авиарейсы и аэропорты назначения
Номер авиарейса
Z8277
МА232
Z8221
Z8285
LH6370
Z8257
Z8229
Аэропорт назначения
Амстердам
Афины
Барселона
Каир
Нью Йорк
Париж
Хельсинки
606
Часть /V. Приложения
Таблица П1.2. Авиарейсы и типы самолетов
Номер авиарейса
Тип самолета
Z8277
МА232
Z8221
Z8285
LH6370
Z8257
Z8229
т y 154
Боинr 737
т y 134
Т y 1 34
Боинr 747
Ил 86
т y 154
Первый из указанных выше способов задания отношений непосредственное
перечисление кортежей. В этом случае рассматриваемые отношения MorYT быть
записаны в следующем виде: QI={ <Z8277, А.мспlерда.м>, <МА232, Афины>,
<Z8221, Барселона>, <Z8285, Каир>, <LH6370, Нью-Йорк>, <Z8257, Париж> ,
<Z8229, Хельсuнки>} Q2={<Z8277, Ty 154>, <МА232, Боинr 737>, <Z8221, Ty
134>, <Z8285, Ty 134>, <LH6370, Боинr 747>, <Z8257, Ил 86>, <Z8229, Ty
154> } .
Второй из способов матричный, с использованием KOToporo эти отношения
MorYT быть заданы в виде двух матриц МI и М2, первая из которых соответствует
отношению QI, а вторая отношению Q2. При этом неявно предполаrается, что
на исходных базисных множествах введено естественное отношение порядка,
которое соответствует перечислению элементов в множествах А, В, С.
0000100
0100000
00]0000
Ml = О О О О О О 1
0000010
1 О О О О О О
0001000
01000
10000
О О О I О
Mz=OOOOI
00100
00001
О О О I О
Примечание
Напомним, что при задании отношений матричным способом строки матрицы
соответствуют элементам первоrо множества, а столбцы матрицы элемен
там BTOpOro множества. В этом случае каждый из элементов матрицы может
принимать одно из двух возможных значений: О или 1 в зависимости от Toro,
принадлежит или нет соответствующий кортеж исходному отношению. Как He
трудно заметить, количество единИц в матрице отношения в точности равно
количеству различных кортежей, из которых состоит то или иное отношение.
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
607
Третий из способов задания отношений (табличный) был использован для ис
ходной записи рассматриваемых отношений.
Рассмотрим четвертый способ задания отношений rрафический. В этом слу
чае отношения QI и Q2 MorYT быть заданы в виде двух ориентированных rрафов.:
GI=(VI, EI), G2=(V2, Е2). При этом множество вершин V, rрафа G, должно COOT
ветствовать объединению множеств AuB, а множество вершин V2 rрафа G2
объединению множеств AuC. Соответствующие rрафы отношений представле
ны на рис. ПI.ll.
LH6370 Аисmердa.n LH6370
МА232 Афины МА232 БоlПП- 737
Z8221 Барселона Z8221 Бо"нr 747
Z8229 Каир Z8229 Ил 86
Z8257 Нь Йорк Z8257 Ty 134
Z8277 Пuри:ж: Z8277 Ty 154
Z8285 Хельсинки Z8285
G 1 G2
Рис. П1.11. rрафы отношений О1 и О2
Что касается пятоrо способа задания отношений, то применительно к paCCMaT
риваемому примеру для кортежей отношений Q, и Q2 нельзя выявить общие
свойства или характеристические признаки. Поскольку в этом случае для зада
Ния самих предикатов P'«XI, Х2» и P2«XI, Х2» отношений QI и Q2 необходимо
использовать один из способов задания соответствующих отношений, 'пот спо
соб из соображений конструктивности здесь не приводится.
Операции над бинарными отношениями
Поскольку отношения являются некоторыми специальным образом определен
ными множествами, то для них в полной мере применимы все теоретико
множественные операции: пересечение, объединение, разность, симметрическая
разность и дополнение. В то же время для отношений MorYT быть определены
дополнительные операции, не имеющие аналоrов среди множеств в общем слу
чае. Оrраничив наше внимание бинарными отношениями, рассмотрим унарную
операцию "обратное Оl111ЮluеNuе" и бинарную операцию КОМ"ОЗlЩИI отlюшений.
608
Часть /V. Приложения
о б р а т н о е о т н о ш е н и е. Пусть задано некоторое бинарное отношения
Q <;;4хВ. ОБР{lтНbL't1 Ol11HOllleHue.'t1 Q l к отношению Q называется такое бинарное
отношение, заданное на декартовом произведеНИII ВхА, которое содержит KOp
теж элементов <b j , а/> (bjEB, а;ЕА) тоrда и только тоrда, коrда <а/, b}>EQ. Дpy
rими словами: Q I = {<b i , {l/>I <а/, b j > Е Q, а;ЕА, Ь,Е В}.
В качестве примера рассмотрим обратное отношение Q2 1 к отношению Q2 AxC
из примера П 1.4. В зтом случае Q2 I СхА и может быть задано матричн ым спо
собом В виде:
м Q2"1 ==
О 1 О О О О 01 1
1 О О О О О О
О О О О 1 О O J '
0010001
LO О О ] О 1 О
приме а -;е
Как нетрудно заметить, матрица обратною отношения может быть получена
транспонированием матрицы исходною бинарноrо отношения, а rраф обратно
ro отношения может быть получен обращением стрелок (изменением их ориен
твции на противоположную) rрафа исходноrо ОТНОШения И возможно переме
щением некоторых ero вершин для большей наrлядности.
к о м поз и Ц и я о т н о ш е н и Й. Пусть задано два бинарных отношения
QI AxB и Q2 BxC (правое базисное множество отношения Ql должно быть
обязательно равно левому базисному множеству отношения Q2). ](О.\tfЮЗlщuей
бинарных отношений QI и Q2 (обозначается Q!8Q2) называется такое бинарное
отношение Q, которое зщJ,aННО на декартовом произведенни АхС и содержит
кортеж элементов <(1/, C k > (а;ЕА, CkE С) тоrда и только тоrда, коrда существует
элемент bjEB, такой что одновременно <п" bj>EQ, и <b J . C,,>EQ2. Операцию KOM
позиции бинарных отношений ИНOl'да наЗЫВаЮТ l1рОllЗведеllиеJ t отношений.
В качестве примера рассмотрим композицию конечных отношений Q2- 1 и Ql. rде
Q2 ! обратное к отношению QH;;;;,AxC из примера П 1.3. В этом случае
Q2 1 СхА. QI АхВ, что обеспечивает выполнение формальноrо условия, необ-
ХОДИмоrо для этой операции. Результат композиции ЭТИХ отношений, который
содержательно устанавливает соответствие между типами самолетов и аэропорта-
ми назначения, может быть представлеll 13 матричном виде следующим образом:
"'0 ] О О О О О
0000]00
M Q I Q О О О О О ] О
2 · 1
0011000
LJ О О О О О 1
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
609
Для наrлядности представим этот же результат в форме таблицы (табл. Пl.3).
Таблица П1.3. Типы самолетов и аэропорты назначения
Тип самолета
Аэропорт назначения
Боинr 737
Боинr 747
Ил 86
т y 134
Т y 154
Афины
Нью Йорк
Париж
Барселона, Каир
Амстердам, Хельсинки
Примечание
Как нетрудно заметить, матрица композиции бинарных отношений может быть
получена произведением матрицы первоrо бинарноrо отношения на матрицу
BToporo бинарноrо отношения. Равенство npaBoro базисноro множества перво
ro отношения и левоrо базисноro множества второro отношения rарантирует
соrласование размерности соответствующих матриц. Однако при выполнении
операции сложения над элементами матриц следует придерживаться следую
ЩИХ правил: 0+0=0, 0+1=1+0=1, 1+1=1. Операция умножения выполняется
обычным образом: 0.0=0, 0.1=1.0=0, 1.1=1. Очевидно, эти бинарные операции
эквивалентны операциям тах и miп, что устанавливает концептуальную связь с
операцией композиции нечетких отношений, рассматриваемой в влаее 4.
Отображение
Бинарное отношение F, задаННое на декартовом произведении АхВ, называется
Оl1l0браJlсеllllеJl, если из оДновременно('о выполнения условий <а;. aj>Ef и
<a j . a,>EF Всеrда следует равенство вторых элементов этих кортежей, а именно,
Qj=a... ДРУI'ИМIl словами. каждому из элементов множества А отображение f CTa
вит в соответствие не более ОДНОIО элемента множества В. В этом СЛУ4ае I'OBO
рят, 4ТО отображение f действует из f\Пюжества А в множество В. ДЛЯ формаль
ной записи отображения используется следующее обозна4ение f : А ---+B, при
этом не ИСКЛЮ4ается СЛУ4ай, коrда А =8.
С Т04КИ зрения теории множеств известное в математике понятие фут.:Цllll явля
ется 4астным случаем отображения, коrда множества А и В являются 4ИСЛОВЫМИ.
Общепринятый способ обозначения функциональной зависимости малыми ла-
тинскими буквами часто используется и в теории множеств. В этом случае OTO
бражение может быть записано в форме f: А B или бuлее привычной у=Лх),
что, если не указано дополнительно, не имеет принципиалыюrо значения. Обе
эти формы записи отображениЙ (функций) будут использоваться далее как экви
валентные.
610
Часть IV. Приложения
Понятие отображения допускает обобщение на декартово произведение произ
вольноrо конечноrо числа множеств слева от стрелки. Поэтому в общем случае
отображение записывается в виде f: AlxA2X...xAk B и ставит в соответствие
каждому кортежу <т, т,..., a">EAlxA2X...xA,, некоторый единственный элемент
Ь из множества В. Известное в алrебре понятие операция является частным случа
ем TaKoro отображения, Korna все множества А" А2,.... А" и В равны. В этом слу
чае операция, точнее, k меСl1lная операция, может быть записана в форме
f: AxAX...xA A или более привычной Y=XIX2...X". Так, например, арифметиче
ская операция сложения есть не что Иное, как бинарная операция +: IRxlR lR, rде
через IR обозначено множество всех действительных чисел.
При анализе отображений часто вводят в рассмотрение два отдельных множест
ва, которые характеризуют особенности CTPYKTypHoro строения отображений.
Во первых, отображение f может быть задано не на всем множестве А, а только
на некотором ero подмножестве D,r;;;; А. В этом случае множество D, называется
областью (множеством) опреdе:Je1IUЯ отображения f Если же Dt =А. то отобра
жение f (соответственно, функцию) называют всюду Оllреде.'1С1ПIЫ,.,I. BO BTOpЫX,
подмножество lт! В, определяемое как lт! = if(x)1 XED t }, получило на:шание
обтюсти (множества) 31lаченuй отображения f Здесь можно отметить тот слу
чай, коrДа множество обозначено двумя буквами (сокращение от анrл. image).
Имеются некоторые дополнительные понятия, связанные с произвольным OTO
бражением f: A B. Зафиксируем произвольный элемент {lEDJ' По определению
этому элементу а отображениеj" ставит в соответствие некоторый единственный
элемент bElm f . При этом элемент Ь называется образом элемента а при отобра
жении f, а сам элемент а прообразом элемента Ь при отображении f
Примечание
Как нетрудно заметить, характеристическая функция множества по определе
нию является отображением ХА : х......;{о, 1}, которое задается выражением
(П 1.1). Здесь в качестве области определения отображения используется HeKO
ТОрЫЙ универсум Х, а в качестве области значенИЙ двухэлементное множе
ство {о, 1}. Важно пони мать, что задание в качестве области значений множе
ства {о, 1} rарантирует, что никаких друrих значений, кроме О и 1, данная
функция принимать не может.
Свойства бинарных отношений,
заданных на одном базисном множестве
Как уже было упомянуто выше, в теории множеств физическая природа элемен
тов, из которых MorYT быть образованы множества и отношения, не имеет прин
ципиальноrо значения. Предметом исследования являются такие особенности
множеств и отношений, которые характеризуют отдельные абстрактные свойст
ва их структуры. В контексте нечеткоrо моделирования наибольший интерес
представляют такие общие свойства бинарных отношений, заданных на одном
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
611
множестве, как рефлексивность, симметричность и транзитивность. Эти свойства
иrрают важную роль при определении некоторых специальных отношений. Наш
интерес к этим отношениям обусловлен тем обстоятельством, что эти свойства
допускают естественное нечеткое обобщение, что широко используется в нечет
ком моделировании.
Бинарное отношение Q, заданное на декартовом произведении АхА, называется
рефлексiшным, если каждый из кортежей <а" о;> принадлеж'1Т отношению Q.
Формально это можно записать в следующем виде: Q рефлексивно Torna и
только Torna, коrда <о;, ai>EQ, \:Ia,EA. Следует заметить, что rjJавная диаrональ
матрицы рефлеКСИВНОIО отношения состоит из одних 1.
1Ш ечание )
в определении рефлексивноrо отношения использован специальный символ
"\;j", который называется квантором общности и читается "для любо;ю, для
каждо,ю, для всех" (этот символ ассоциируется с перевернутой первой буквой
анrлийскоrо AII). Квантор общности широко применяется в различных лоrиче
ских исчислениях, включая нечеткую лоrику. Здесь ero употребление обуслов
ливается соображениями удобства и сокращением формальных записей.
Кроме квантора общности \:1, имеется двойственный ему квантор существовштя,
который обозначается символом "3" (этот символ ассоциирован с первой буквой
анrл. Exisl). В математических и лоrических выражениях он читается как
"существует, liай{}ется хотя бы один". При этом не исключается случай, коrда
искомых элементов может оказаться несколько, а в предельном случае даже
все. Важно понимать, что применение квантора существования rарантирует Ha
личие хотя бы одНО20 элемента, удовлетворяющеrо заданному лоrическому yc
ловию. Более подробно семантика использования этих кванторов рассмотрена в
прШЮJlCениu 2.
;, ,.;;
При использовании квантора существования ничеrо не rоворится о способе оп
ределения указанноrо элемента (или элементов, которых, вообще rоворя, MO
жет быть несколько). Данное обстоятельство послужило источником критики
классической теории множеств и целых разделов математики, особенно Teo
рем существования, со стороны так называемоro конструктивноао направле
ния. Однако эти аспекты теории множеств Лежат за пределами тематики Ha
стоящей книrи.
Бинарное отношение Q, заданное на декартовом произведении АхА, называется
атпирефлексивНЫ./vt, если ни один из кортежей <a;.oi> не принадлежит отноше
нию Q. Формально это можно записать в следующем виде: Q антирефлексив
но тоrда и только тоrда, Коrда <о;, o,> Q, \:IaiEA. Следует заметить. что Iлавная
диаrональ матрицы антирефлексивноrо отношения состоит и] одних О.
Бинарное отношение Q, заданное на декартовом произведении АхА, называется
сu.М.метричным, если наряду с каждым кортежем <а;, о;>, принадлежащим OTHO
612
Часть IV. Приложения
шению Q, этому отношению принадлежит и кортеж <ар (li>' В котором элементы
a j , ajEA взяты в обратном порядке. Формально это можно записать в следующем
виде: Q симметрично тоrда и только тоrда, коrда <(lj,(I,>EQ и <aj,(lj>EQ oд
новременно. Следует заметить, что матрица симметричноrо отношения симмет-
рична относительно rлавной диаrонали.
Бинарное отношение Q, заданное на декартовом произведении АхА, называется
асuммеl11рuчны.i,' если из двух кортежей <(1;, lli> и <а;, а;> по меньшей мере один
не принадлежит отношению Q (а может быть и оба). Формально это можно за
писать в следующем виде: Q асимметрично тоrда и только TorJXa, коrда усло-
вия <а;, OJ>EQ и <а;, ll;>EQ не MorYT выполняться одновременно.
Бинарное отношение Q, заданное на декартовом произведении АхА, называется
аН/11UСlLН,МеmрUЧflЬи.t, если оба кортежа <а" о,> и <а;, о,> MorYT при надлежать отно-
шению Q только в одном случае, а именно, кorда a;=aj' Формально это можно за-
писать в следующем виде: Q антисимметрично тor"да и только тоrда, кorда ус-
ловия <ai, a;>EQ и <a j , a;>EQ MorYT выполняться одновременно только при а;=а;.
Бинарное отношение Q, заданное на декартовом произведении АхА, называется
тРОНЗUl1швIlЫМ, если из условия принадлежности двух кортежей <а" a j > и <а;, а,>
всеrда следует, что данному отношению принаДJlежит и кортеж <а;, а,,>. Фор-
мально это можно записать в следующем виде: Q транзитивно тоrда и только
тоrда, коrда из условий <а" (lj>E Q и <а" a,>EQ всеrда следует выполнение усло-
вия: <а" о,> Е Q.
Про иллюстрируем своЙства отношений на следующем примере.
При м ер ПI.5. Каждая бизнес система имеет некоторую структуру подчинения
своих сотрудников соrласно занимаемым ими должностям. Рассмотрим подоб-
ное отношение "субординаЦllU" на множестве сотрудников в общем случае. Дан-
ное отношение антирефлексивно (сотрудник не может быть подчинен самому
себе); асимметрично (если сотрудник а; подчинен сотруднику а;. то сотрудник а;
не может быть подчинен сотруднику а,) и траюитивным (если сотрудник а; под
чинен сотруднику а;, а сотрудник а, подчинен сотруднику а" то сотрудник a j под-
чинен сотруднику а,).
Рассмотренный пример иллюстрирует тот важныЙ факт, что те или иные OTHO
шения, рассматриваемые в самом общем контексте, MorYT одновременно обла
дать несколькими из введенных в рассмотрение своЙств.
Некоторые специальные виды
бинарных отношений, заданных
на одном базисном множестве
Совместное наличие нескольких свойств у тех или иных бинарных отношений по
зволяет выполнить их дальнейшую специализацию с целью получения более KOH
структивных результатов относительно наличия целоr'о ряда дополнительных
свойств и уточнения характера взаимосвязей элементов этих бинарных отношений.
Приложение 1. OCHOBbI классической теории множеств и отношений
613
Отношение CTpororo частичноrо порядка
Бинарное отношение Q, заданное на одном базисном множестве QcAxA. назы
вается отношением стРО2020 часmUЧНО20 порядка, если оно одновременно является
антирефлексивным, асимметричным и транзитивным. Если дополнительно OT
ношение удовлетворяет условию: для любой пары элементов <а;, а/>, rде а;, а;ЕА,
справедливо либо <а" {/j> Е Q. либо <а;, ll;> Е Q, то такое отношение называется
отношением стРО2020 линейНО20 порядка.
Примерами отношений cTpororo частичноrо порядка MorYT служить отношение
субординации на множестве сотрудников некоторой бизнес системы (пример
П 1.4), а также отношение включения на множестве всех подмножеств (булеане)
HeKoToporo базисноrо множества. ПримераМlI отношений cTpororo линейноrо
порядка MorYT служить отношение "стро?о БОЛbluе" на множестве действитель
ных чисел, а также отношения типа "БЫ11lЬ выше ростом", "иметь более высокую
CKOpOClllIJ дви:нсения" на соответствующих базисных множествах.
Отношение толерантности
Бинарное отношение Q, заданное на одном базисном множестве QcAxA, назы
вается отношением толерантности, если оно является рефлексивным и симмет
ричным.
Отношение толерантности иноrда называют отношением покрытия или CXOДCT
ва, поскольку оно связано с определением соответствующей системы множеств.
А именно, система подмножеств З(А) = {А" I A"k А} множества А называется
покрытuем. если выполняется следующее условие:
UAk==A,
k
(A Е.3),
(ПI.18)
т. е. объединение всех или части подмножеств из З(А) совпадает с исходным
множеством А (или "покрывает" исходное множество А).
Примером отношения толерантности может служить факт знакомства среди He
KOToporo множества субъектов. Для конкретности рассм()трим в качестве исход
Horo множества А={т, т, т....' {//I} совокупность сотрудников некоторой ДOCTa
точно крупной бизнес системы. Сформируем бинарное отношение Q на этом
множестве, включив в Hero такие пары элементов <{/;, Йj>' [де {[j, ajE А, дЛЯ которых
выполняется условие: "сотрудник а; ЗШ1КОМ с сотрудuиком а/. Леrко проверить, что
это отношение является симметричным. поскольку если "сотрудник а ; знакOJИ с co
труднuкйи а;", то определенно и "сотрудник а; ЗIЮКОJН с сотрудниКО/l" а;". Свойство
рефлексивности также выполняется, поскольку по опрt:делению будем считать, что
каждый из сотрудников знаком с самим собой.
С друrой стороны, это же отношение порождает некоторое покрьпие
З(А)={А"IА,, А} множества А, если в KaLlecTBe подмножеств A"kA взять YKa
занные выше пары элементов А,,={а;, а/} знакомых между собой сотрудников.
614
Часть IV. Приложения
Отношение эквивалентности
Бинарное отношение Q, заданное на одном базисном множестве QcA хА, назы
вается отношением эквивалентности, если оно одновременно является рефлек
сивным, симметричным и транзитивным.
Отношение эквивалентности также называют отношением разбиения, поскольку
оно связано с определением соответствующей систеМы множеств. А именно. сис
тема подмножеств 9\(А) = {А!, I Ak s;;;: А} множества А называется разбиение.;,>" если
выполняются следующие условия:
UAk = А,
k
А[ n А1II ==о,
(А"Е9\),
(П J .19)
(\;1 А" А",Е91),
(П 1.20)
т. е. объединение всех или части подмножеств из (A) совпадает с исходным
множеством А (или "покрывает" исходное множество А), при этом подмножества
разбиения попарно не пересекаются между собой. В этом случае отдельные MHO
жества AkE H разбиения получили специальное название классы разбиения.
Нетрудно заметить, что каждое разбиение является в то же время и покрытием,
которое дополнительно удовлетворяет свойству (П 1.20). Вообще rоворя, это
свойство существенно обоrащает структуру соответствующих отношений экви
валентности, позволяя утверждать, что каждый из элементов исходноrо множе
ства А южет принадлежать не более одному из классов разбиения. Свойство
(ПI.l9) rарантирует наличие TaKoro класса Ak для каждOI"О элемента а;ЕА.
Примерами отношений эквивалентности MorYT служить отношение "быть poд
ствешlUКОМ", "иметь одИllаковыйрост", "U;\rlemb одинаковую цену", "об.'lадатьрав
IlЬШ доходом" и мноrие друrие. В общем случае с отношением эквивалентности
связаны лоrические правила "хорошей" классификации, которые используются в
системном моделировании для концептуальной структуризации предметной об
ласти при построении моделей сложных систем.
Мультиотношение
в общем случае мультиотношениl?JИ. заданным на множествах А 1, А 2,..., Ak
(иноrда r6ворят над множествами), называется некоторое мультимножество
кортежей элементов этих множеств.
Друrими словами, если обозначить произвольное мультиотношение через Q*, то
по определению: Q*={<Yl, al>, <У2, а2>,..., <Уп, а,,>,...}, rne У; кортеж длины k из
элементов <al;, а2;,..., ak;> , при этом: т;EAI, a2 i EA2,..., akiEA k , ai количество
повторений кортежа У; в этом мультиотношении Q*.
Поскольку мультиотношение является, с одной стороны, мультимножеством, а с
друrой стороны, обобщением обычноrо отношения, для Hero оказываются спра
ведливыми операции, определенные выше для мультимножеств. В общем случае
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
615
мультиотношения MorYT быть заданы перечислением кортежей мультимножест
ва, матрицей мультиотношения. а также с помощью так называемоrо мульти
rрафа.
Орuентировтщым м)'льтuzрафом называется совокупность двух множеств: MHO
жества точек или вершин и мультимножества соединяющих их линий или дуr.
Формально мультиrраф задается в виде двух конечных множеств: G'=( V, Е*), rде
V={VI, 1'2,..., 1 1 ,,} множество вершин rрафа, E*={<el, щ>, <С2, а2>,....
<е"" а т >} мультимножество дуr мультиrрафа.
Вершины мультиrрафа и:юбражаются течками, аналоrично обычным rрафам, а
дуrи отрезками прямых линий со стрелкой на одном из концов. Рядом с Bep
шинами и дуrами записываются условные обозначения соответствующих Bep
шин и дуr. Натуральное число 1l определяет общее количество вершин KOHKpeT
Horo мультиrрафа, а натуральное число 111 общее количество ду!" мультиrрафа.
Следует заметить, что в общем случае при rрафическом задании бинаРНОIО
мультиотношения Q* каждому элементу множества а;ЕА будет соответствовать
отдельная вершина 1';Е G мультиrрафа этоrо отношения, а каждому кортежу
мультиотношения "kEQ* будет соответствовать а; количество дуr мультиrрафа с
началом в вершине 1', и концом В вершине ",.
Понятие мультиrрафа используется при rрафическом представлении структуры
сетей Петри и их обобшений в ?Iювс 10.
Приложение 2
ОСНОВЫ математической лоrики
л о r и к а как наука об особенностях и формах мышления имеет весьма дpeB
нюю историю, истоки кот рой берут начало с TBopLIecTBa таких античных фило
софов, как Аристотель (38 322 до н. э.). Зенон (336 264 до н. э.). Демокрит
(460 370 до н. э.). Изучая структуру и формы человеческой мысли, лоrика отвле
кается от KOHкpeTHoro содержания, которое MorYT заключать в себе те или иные
формы мысли. Тем самым лоrика абстраrируется от реальных объектов, предме
тов и явлений. которые являются элементами мыслительноrо процесса.
Начиная с античных философов, предметом ЛОПIКИ принято считать изучение
структуры и взаимосвязей форм, в рамках которых реализуется процесс челове
ческоrо мышления. Именно в этом аспекте лоrику называют также формальной
лоrикой.
Разработка формалЬНО ЛOJ'ических средств для анализа ЛОIических основ MaTeMa
тики привела к появлению математической лоrики. Идея построения универсаль
Horo символическоrо языка для математики и форма,'1изации на ero основе процес
са математическоrо доказательства теорем принадлежит немецкому математику и
философу r. Лейбницу (l646 1716). Важный вклад в начальный этап разработки
аппарата математической лоrики внесли Дж. Буль (1815 1864), r. Фреrе (l948
1925). Дж. Пеано (1858 1932), Б. Рассел (l872 1070), А. УаЙтхед (106J 1947),
Н. И. Лобачевский (1792 1856). Именно в этот период были сформулированы
принципы аксиоматическоrо метода в математике, а также разработаны основы
лоrики высказываний и лоrики предикатов.
Важнейшим событием не только в истории лоrики, но и в науке в целом, стала
проrрамма обоснования математики на базе математической лоrики, с которой
выступил на 11 Математическом KOHrpecce математиков в 1900 r. немецкий Ma
тематик д. rильберт (l862 1943)- Сформулированные им проблемы математи
ки на несколько десятилетий определили развитие некоторых направлений фун
даментальной математики и математической лоrики. Именно этот период
принято считать началом cOBpeMeHHoro этапа развития математической лоrики,
характерной особенностью KOToporo является применение строrих математиче
ских средств для изучении формальных аксиоматических теорий. Наибольший
вклад в разработку математической лоrики на этом этапе внесли К. rёдель
(l906 1978), А. Чёрч (l903 1995), А. М. Тыоринr (l912 1954), r. rенцен
(l909 1945), П. С. Новиков (l901 1975), А. И. Мальцев (l909 1967), А. А. Марков
(l903 1 979).
Приnожение 2. ОСНОВЫ математической nоrики
617
Отличие современной формальной лоrики от классической заключается не в
предмете исследования, а в применяемых методах, которые основаны на MaTeMa
тических средствах аксиоматизации и формализации точных рассуждений.
Именно эти методы способствовали интенсивному развитию математическqй
лоrики, в рамках которой были решены мноrие проблемы, такие как установле
ние или доказателы;:тво полноты, непротиворечивости и разрешимости различ
ных формалыю лоrических теорий.
На развитие математической лоrики в последние десятилетия оказали влияние
две основные тенденции.
е одной стороны, инженерная разработка вычислительных устройств потребо
вала развития математических средств моделирования и проектирования COOT
ветствующих технических устройств, что послужило стимулом к исследованию
различных лоrико алrебраических систем.
е друrой стороны, интенсивное развитие Ilроблематики искусственноrо интел
лекта привело не только к разработке лоrико линrвистических моделей пред
ставления знаний и появлению основанных на правилах экспертных систем
(продукционных экспертных систем), но и созданию неклассических лоrик, KO
торые специально предназначены для моделирования тех или иных аспектов че
ловеческоrо мышления. В этом контексте нечеткая лоrика представляет собоЙ
вариант неклаССИLlеской лоrики.
В контексте нечеткоrо моделирования наибольший интерес представляют три
раздела математической лоrики, а именно: лоrика высказываний, лоrика преди
катов (лоrика предикатов первоrо порядка) и продукционные системы (системы,
основанные на правилах). Выбор этих тем определяется исключительно возмож
ностью использования соответствующих базовых лоrических конструкций для
обобщения в рамках нечеткой лоrики и нечеткоrо лоrическоrо вывода.
Классическаялоrикавысказываний
Хотя исторически тремя базовыми конструкциями формальной лш'ики являются
понятие, суждение и умозаключение, в математической ЛОПfКе rлавным образом
исследуются формы взаимосвязеЙ между ЛOI'ическими высказываниями или пред
ложениями. Важное значение при этом имеют используемые для этих целеЙ симво
лические обозначения или синтаксис формально лоrических теорий, а также JlоrИ
ческие формулы, которые MOryT быть построены на основе высказываний,
предИкатных и функциональных символов, лоrических связок и кванторов.
Основные понятия лоrики высказываний
в ы с к азы в а н и е. Высказыванием (1лементарным высказыванием) в MaTeMa
тической лоrике называется повествовательное предложение, выражающее за
конченную мысль, относительно которой мы можем судить истинна она или
ложна, но не то и друrое одновременно.
618
Часть IV. Приложения
Важной особенностью лоrики высказываний является то, что само элементарное
высказывание не подлежит какому либо синтаксическому или линrвистическому
анализу. Друrими словами, ответ на вопрос: "Почему то или иное элементарное
высказывание является истинным или ложным?" лежит за пределами лоrики и
может служить предметом специальных исследований.
При м ер П2.1. Ниже приводятся примеры элементарных высказываний:
1. Москва столица Российской ФедеРШfllll.
2. Сеzодня пасмурная nО20да.
3. 4 является KoplleJH уравнения: у2= 16.
4. 4>10.
5. 1 О делится на 5 без остатка.
Элементарные высказывания будем обозначать заrлавными буквами: А, В, С, D
(возможно, с индексами). По определению множество значений истинности BЫ
сказываний состоит из двух элементов: {"IlСl11U1Ю", "ложь"}. Традиционно эти
значения истинности обозначают буквами {Н, Л}, при этом значению "истшш"
соответствует буква Н, а значению "лож'ь" буква Л.
Примечание
Иноrда значения истинности обозначают цифрами {О, 1}, при этом значению
"истина" соответствует цифра 1, а значению "ложь" цифра о. В общем слу
чае то или иное обозначение значений истинности в математической лоrике не
имеет прИнципиаЛьноro значения, поскольку отражает лишь синтаксический
аспект лоrических исчислений. Однако в контексте нечеткоrо моделирования
для нас будет удобным использовать значения {О, 1}, которые в нечеткой лоrи
ке естественным образом обобщаются до интервала [О, 1].
Применительно к рассмотренным выше при мерам высказываний истинными
являются высказывания: 1,3,5; а высказывание 4 является ложным. Относитель
но высказывания 2 ситуация представляется не столь тривиальной. поскольку
ero истинность зависит от Toro, какая в действительности поrода на текущий
день. Специфический характер подоб.ноrо рода высказываний послужил основой
для рассмотрения так называемых nepeAIe1l11lJlX высказываний, т. е. 'Элементарных
высказываний, которые в том или ином контексте MorYT принимать одно из двух
значений истинности.
Примечание
Для оценки истинности произвольноro элементарноro высказывания можно
ввести в рассмотрение специальное отображение Т, которое действует из
множества рассматриваемых элементарных высказываний и в двухэлементное
множество: {И, Л} или {О, 1}, т. е. Т : U {И, Л} или Т : U {O, 1}. В этом случае
значение истинности HeKOToporo элементарноro высказывания АЕ И будем обо
значать через Т(А). Так, если обозначить элементарное высказывание (1) из
примера П2.1 через А1. то ero истинность формально может быть записана как
Т(А 1 ), а количественно равна 1, т. е. Т(А1) = 1.
Приложение 2. Основы математической лотки
619
в лоrике высказываний представляют интерес более сложные высказывания.
которые состоят из элементарных, соединенных лоrическими связками или опе-
рациями.
Основные лоrические операции
над высказываниями
л о r и ч е с к о е о т р и ц а н и е. Это унарная лоrическая операция над "шемен
тарным высказыванием, результат которой является также высказыванием и
принимает значение "истшю", если исходное высказывание ложно и значение
"ло.жь", если исходное высказывание истинно.
Используя символические обозначения и обозначив произвольное элементарное
высказывание, например, через А, ero отрицание записывается как: ..А (читается
как "не А", "неверно. что А").
Примечание
Кроме указанноro обозначения в литературе можно встретить и друrие оБЬзна
чения отрицания, например: . . not. не.
в математической лоrике принято определять лоrические операции с помощью
так называемых таб.1Ш{ uстlllf1l0сти, которые определяют истинность результа
та рассматриваемой операции для каждоrо из значений истинности исходноrо
или исходных высказываний. Так операция лоrическоrо отрицания полностью
определяется своей таблицей истинности (табл. П2.1).
Таблица П2.1. Таблица истинности лоrическоrо отрицания
л
i
д
л
...,Д
д
и
...,Д
и
Примером применения операции лоrическоrо отрицания к высювываНIIЮ
"Москва столица Российской ФедераЦllи" будет высказывание "Неверно. что
Москва СlJlО.71ща Российской Федерации", которое принимает знаLlение " 70.ж'ь".
Отрицанием высказывания "4>10" будет выска'3ывание "4:::;10", которое ПрИНJlма
ет значение "истина".
л о r и ч е с к а я к о н ъ ю н к Ц и я (обозначается через "AI\B"). ЭТо бинарная
операция над двумя высказываниями, резульпп которой равен значению
"истшю", если истинны оба высказывания одновременно и значение ":lOж'ь" во
всех остальных случаях.
Высказывание: AI\B читается "А и В". Лоrическую конъюнкцию также назы-
вают лоrическим "Н". Эта операция может быть определена соответствующей
таблицей истинности (3-й столбец в табл. П2.2).
620
Часть /V. Приложения
" п ;е '
Кроме указанноrо обозначения в литературе можно встретить и друrие обозна
чения для конъюнкции, например: &, ., and, и.
Примером лоrической конъюнкции может служить составное высказывание:
"Москва столица Российской Федерации и 4 яв.7яется корне.м уравнеНllЯ: y2=16",
которое принимает значение "истина". Результат лоrической конъюнкции BЫ
сказываний "4>10 и 10 делится на 5 без остатка" принимает значение "ложь".
Л о r и '1 е с к а я Д и з ъ ю н к Ц и я (обозначается через "AvB"). Это бинарная
операция над двумя высказываниями, результат которой равен значению
".1ОЭlCь" , если ложны оба высказывания одновременно и значение "иСl11U1Ю" во
всех остальных случаях.
Высказывание: ЛvВ Читается "А или В". Лоrическую дизъюнкцию также Ha
зывают лоrическим неuсключающu.м "ИЛИ". Эта операция также может быть
определена соответствующей таблицей истинности (4 й столбец в табл. П2.2).
Пр имечание
Кроме указанноro обозначения в литературе можно встретить и друrие обозна
чения для дизъюнкции, например: 1, or, или.
Примером лоrической дизъюнкции может служить составное высказывание:
"М осква столица Российской Федерации или 4 является корне.'-! УРШП1еllия:
у2= 16", которое принимает значение "истина". Результат лоrической дизъюнк
ции высказываний "4> 1 О llли 1 О делится lЮ 5 бе1 остатка" также принимает зна
чение "иСl111ПШ".
Таблица n2.2. Таблица истинности основных бинарных лоrических операций
А В АлВ AvB А::::>В AssB
И И И И И И
И Л Л И Л Л
Л И Л И И Л
Л Л Л Л И И
л о r и ч е с к а я и м п л и к а ц и я (оБОЗliачается через "А:::>В"). Бинарная опе
рация над двумя высказываниями, результат которой принимает значение "ло.жь"
в случае истинности высказывания А и ложности высказывания В и значение
"истина" во всех остальных случаях.
Высказывание: А:::>В читается "А влечет В", "из А следует В", "если А, то В".
ПQследнее прочтение для импликации использовать Не целесообразно, чтобы
отличать ее от правила продукции. Лоrическая импликация может быть опреде
лена соответствующей таблицей истинности (5 й столбец в табл. П2.2).
Приложение 2. Основы математической лоrики
621
- Q
Примечани е
Кроме ук занноrо обозначения в литературе можно встретить и друrие обозначе
ния для импликации, например: =>, . Что касается условных конструкций типа
i f . . . then (если. . . то), которые используются в различных языках проrрамм-и
рования, то, как будет видно из последующеro изложения, они при меняются для
обозначения правил продукций. Как будет показано далее, операцию импликации
высказываний в общем случае следует отличать от правила продукции.
Примером лоrической импликации может служить составное высказывние::
"Если Москва С/110лш/а Российской Феоерациu, то 4 явдяется корне.М уравнения:
у2=16", которое принимает значение "иС1111l1Ш". Результат лоrической имплика
ции высказываний "Если 4>10, то 10 делится на 5 без остатка" также принимает
значение "истина". С друrой стороны, составное высказывание: "Если lV!OCKea
столица Российской Федер(щии, то 4>10" принимает значение "ложь",
Импликация иrрает особую роль в процессе лоrических рассуждений. Первый ее
операнд (высказывание) называется 'lOСЫ7КОй (или аuтецедеН/ПO.J14) , а второй
заКЛЮ(lениеАt (или KOJlCCKeeli1J10At). Из таблицы истинности импликации можно
заметить, что если посылка истинна, то импликация принимает значение истин
ности заключения. У тех, кто впервые сталкивается с этой Jlоrической связкой,
может вызвать недоумение тот факт, что импликация может быть истинной даже
тоrда, Коrда ее посылка ложна (3 я и 4 я строки в 5 M СТQлбце табл. П2.2). Тем не
менее, в лоrике принято считать, что при импликации из лжи может следовать
Бсе, что уrодно, а из истины -- - только истина. Следует также отметить, (по в
отличие от дизъюнкции и конъюнкции, импликация является некоммутативной
лоrической связкой.
- -- -
Примечание
rоворя о лоrической Импликации, следует отметить, что она не заключает в ce
бе никакой причины, временной или иной взаимосвязи между посылкой и за
ключением. Чтобы явно отметить этот факт, определенную подобным образом
импликацию еще называют материальной импликацией. Эта связка является
основной в математических рассуждениях, поскольку соединяет условие Р и
утверждение Q в теоремах. Однако в общем случае запись p=:JQ может OKa
заться некС?рректной, поскольку в качестве посылки и заключения MOryT исполь
зоваться произвольные высказывания, в том числе и не принадлежащие тому
или иному лоrическому формализму. Именно по этой причине для обозначения
лоrическоrо следования в математических теоремах используется Apyroe обо
значение: р=>а.
л о r и ч е с к а я э к в и в а л е н т н о с т ь (обозначается через ";:"). Это бинар
ная операция над двумя высказываниями, которая принимает значение "иСI1lШЮ"
в случае истинности или ложности обоих высказываний одновременно и значе-
ние "ЛОJICЬ" во всех остальных случаях.
Высказывание: А=В читается "А JKeиeaтlellтHO В", которая может быть опре
делена соответствующей таблицеЙ истинности (6 й столбец в табл. П2.2).
622
Часть /V Приложения
Примечание
Кроме указанноrо обозначения в литературе можно встретить и друrие обозна
чения для эквивалентности, например: , , .
Примером лоrической эквивалентности может служить составное высказывание:
" М осква столица Российской Федерации эквивалентно том)', что 4 является
корне/и уравнения: у2=16", которое принимает значение "истшю". С друrой сто-
роны, результат лоrической эквивалентности высказываниii "4> 1 О эквивалеЮ1l1Ю
тому. что 1 О делшпся на 5 без остатка" принимает значение ".70.J/Ct;'.
Поскольку с помощью рассмотренных лоrических связок MorYT быть образова-
ны достаточно сложные лоrические высказывания, для явноrо указания порядка
их применения по аналоrии с арифметическими операциями используются Kpyr
лые скобки. Так, например, составное высказывание: (P:::)Q):::> ( Q :::> P) остается
истинным при любых конкретных высказываниях, которые можно подставить
вместо букв Р и Q. В этом случае обязательным условием корректности лоrиче
ских рассуждений является требование одновременной подстановки вместо оди-
наковых букв одних и тех же высказываний.
Примечание
Кроме рассмотренных лоrических связок существуют и друrие бинарные лоrи
ческие операции. Поскольку каждая бинарная связка может быть задана своей
таблицей истинности, которая имеет 4 строки, а каждая строка может содер-
жать одно из двух значений истинности {И, Л}, то общее количество различных
бинарных связок равно: 24=16. С друrими лоrическими связками можно позна
комиться в дополнительной литературе по математической лоrике.
Истинность произвольноrо высказывания может быть установлена с помощью
построения так называемой таблиuы истинности. Таб.7UцеЙ истllll1юсти вЫCKa1Ы
вШfUЯ называется специальным образом построенная таблица, содержащая зна
'Iения истинности всех элементарных высказывнийй и результатов ВЫПОЛНенИЯ
лоrических операций, входящих в состав данной cocTaBHoro высказывания.
Правило (алrоритм) построения таблиuы истинности для произвольноrо BЫCKa
зывания следующее:
1. Определить все элементарные высказывания, входящие в состав рассматри-
BaeMoro cocTaBHoro высказывания. Пусть число различных элементарных вы-
сказываний в составном высказывании равно k.
2. Определить последовательность выполнения лоrических операций в данном
составном высказывании, при необходимости расставив для наrлядности
скобки. Пусть общее количество лоrических операций, которые используются
с различными операндами, равно т.
3. Изобразить таблицу, содержащую 2 k + 1 строк (первая из которых использу-
ется в качестве заrоловка) и k+m столбцов.
Приложение 2. Основы математической лоrики
623
4. Первые k столбцов таблицы должны содержать все комбинации значений
истинности элементарных высказываний, входящих в состав cocTaBHoro BЫ
сказывания.
5. Оставшиеся столбцы заполняются слева направо в последовательности BЫ
полнения лоrических операций в составном ВЫСКазывании, при этом каждой
операции соответствует свой столбец таблицы. Тоrда последний правый
столбец построенной таким образом таблицы содержит искомые значения
истинности рассматриваемоrо cocTaBHoro высказывания.
При м е р П2.2. В KaLleCTBe при мера рассмотрим процесс построения таблицы
истинности для следующеrо cocTaBHoro высказывания: ((P=>Q) 1\ (Q:::>R» :::> (P:::>R).
ДЛЯ начала определим общее число различных элементарных высказываний: k=3
и общее число лоrических операций, которые используются с различными опе
рандами: т=5. Далее изобразим таблицу, содержащую 23+ 1 =9 строк и 3+5=8
столбцов. В данной таблице (табл. П2.3) первые три столбца содержат все ком-
бинации значений истинности элементарных высказываний данной формулы.
Следующие четыре столбца таблицы содержат значения истинности отдельных
частных высказываний рассматриваемоrо cocTaBHoro высказывания. Наконец
последний столбец таблицы содержит значения истинности Bcero cocTaBHoro
высказывания в целом.
Как нетрудно заметить, рассмотренное в примере П2.2 составное высказывание
принимает значение "иСI1lШЮ" для всех возможных значений истинности элемен
тарных высказываниЙ, входящих в состав этоrо cocTaBHoro высказывания. По-
следнее получило даже специальное название закон сиЛЛО211з,ма.
Таблица П2.3. Таблица истинности формулы исчисления высказываний
из примера П2.2
Р Q R Р::::>а О::::>А (Р::::>Q)л(Q::JR) P::JR «Р::JQ)л (Q::JR »::J(P::::>Q
)
и и и и и и и и
и и л и л л л и
и л и л и л и и
и л л л и л л и
л и и и и и и и
л и л и л л и и
л л и и и и и и
л л л и и и и и
624
Часть /V Приложения
Формальные теории
Более общий и строrий подход к установлению истинности произвольноrо BЫCKa
зывания основывается на рассмотрении формальных теорий, которые позволяют
изучать высказывания с помощью так называемоrо аксиоматическоrо метода.
В общем случае формальная или аксиоматическая теория 7 считается опреде
ленной, если выполнены следующие условия:
1. Задан некоторый алфавит А в виде не более чем cLleTHoro множества симво
лов теории т- При этом произвольная конечная последовательность симво
лов теории называется выра.ж'ениеJI,f или сдовом теории т- Множество всех
выражений или слов теории 70бозначим через 04(1).
2. Определено подмножество выражений теории F<;;;;A(7), называемых формула
Atи или правильно построенными выражениями теории т-
З. Среди формул множества F выделено некоторое подмножество формул Rk;F,
которые называются аксиомами теории т-
4. Задано некоторое конечное число отношений RI, R1., ..., RII между формулами,
которые называются правUТЮМII вывода. Совокупность этих отношений обо
значим через R.
Формальную теорию будем обозначать принятым в математике способом для
обозначения математических объектов, а именно в форме кортежа COCTaB
ляющих ее конструкций: 7= <А , F, Н, R>. При этом слово "фор.мальиая" для
краткости опускают.
В общем случае формула GEF формальной теории 7 называется иe1l0cpeдcтвe1l
Jtbl.At следствием формул FI, F2,..., FkEF по правилу R, 'пой же формальной Teo
рии, если формулы Л, F2,..., Fk' G удовлетворяют отношению R,. Выводом в фор
мальной теории 7называется всякая упорядоченная последовательность формул
ли кортеж произвольной длины < FI, F2,..., Fk >, такая, что любая из формул
последовательности является или аксиомой теории, или непосредственным след
ствием каких либо предыдущих формул этой последовательности.
Формула GEF формальной теории 7 называется теоре.wоЙ этой теории, если в 7
существует такой вывод, в котором последней формулой является G. Такой BЫ
вод называется выводом тeopeJI,flJl (формулы) G.
Одной из центральных проблем изучения формальных теорий является решение
вопроса о том, является ли некоторая фс,рмула теории теоремой или нет. Наибо
лее конструктивным ответом на поставленный вопрос служит нахождение такой
процедуры или алrоритма, с помощью KOToporo для любой произвольной фор
мулы теории можно установить, существует ли ее вывод в этой теории или нет.
Формула. ]J,ЛЯ которой такая процедура существует, называется разреZUIl.WОЙ в
этой теории, в противном случае неразреU/UJllOlt. Друrими словами, для нераз
решимых формул отсутствует алrоритм выяснения свойства формулы быть Teo
ремой в данной теории.
Приложение 2. Основы математической лоrики
625
Исчисление высказываний
как формальная теория
Kal< было отмечено выше, математическая лоrика изучает структуру Jlоrических
рассуждений с формальной ТОЧI<И зрения, абстраrируясь от содержания фраз ec
TecTBeHHoro языка, которыми MorYT быть выражены те или иные I<онкретные
высказывания. Формальная теория, в основе которой лежит лоrика ВЫСКазыва
ний, получила называние исчисления высказываний.
Исчисление высказываний представляет собой формальную теорию, в рамках KO
торой составные высказывания являются формулами исчисления высказываний,
а правила образования таких высказываний cTporo определяются некоторым
рекурсивным образом.
Таким образом, Шlфавит исчисления высказываний содержит три rруппы сим
волов:
1. А, В, С, Р, Q, ... элементарные высказывания или атомы (буквы).
2. -., v, Л, ::J, == символы лоrических операций или связок.
3. (,) вспомоrательные символы (скобки).
ФормулоЙ исчисления высказываний называется выражение, составленное из
символов алфавита и удовлетворяющее следующим правилам построения:
1. Всякое элементарное высказывание является формулой исчисления высказы
ваний (базис).
2. Если Р, Q формулы исчисления высказываний, то выражения: ..Р, ...,Q,
(PvQ), (РлQ), (p::JQ), (P==Q) являются формулами исчисления высказываний
(индукционныЙ Ш(2).
З. Формулой исчисления высказываний является любое выражение, которое
может быть получено с помощью правил О) и (2) (Оlраничение).
Если при построении некоторой формулы друrая формула используется как эле
мент в индуктивном шаrе (2), то последняя называется 1l0дформулоЙ исходной
формулы.
Правила построения формул исчисления высказываний (I) (3) позволяют CTpO
ить формулы какой уrодно сложности. Например, выражение: «-.РvQ)::J
::J «РлQ) == Q» является формулой исчисления высказываний. Напротив. Bыpa
жение: «..PvQ)::J «лQ) ..Р» не является формулой ис'шсления высказываний,
поскольку подвыражения (лQ) и (лQ) ..Р), входящие в ero состав, не удовлетво
ряют второму из прави.:1 построения формул.
Множество формул исчисления высказываний является подмножеством множе
ства всех выражений, составленных из алфавита исчисления высказываний. По
скольку последнее множество является счеl1lНЬШ (можно установить взаимно oд
нозначное соответствие между этим множеством и м ножеСТВО:\1 натуральных
чисел), следовательно, множество формул исчисления высказываниЙ, являясь
бесконечным, также является счетным.
626
Часть /V. Приложения
Порядок применения лоrических операций в формулах исчисления высказыва
НI1Й устанавливается аналоrично принятому в алrебре слева направо. Иноrда
в дополнение к этому задается приоритет лоrических операций. Для исключения
неоднозначности или изменения порядка выполнения операций используются
вспомоrательные символы круrлые скобки.
Примечание
Выше было показано, что в лоrике высказываний существует общая Процедура,
которая позволяет установить истинность произвольной формулы на основе
построения ее таблицы истинности. Поскольку число всех возможных интер
претаций той или ИНОЙ формулы является конечным, то методом полноro пе
ребора мы всеrда можем установи' ъ выполнимость (общезначимость, проти
воречивость) любой формулы. rоворя более CTPOro, проблема выявления
общезначимости или выполнимости формулы исчисления высказываний явля
ется NР полной. Это означает, что не существует (возможно, пока) эффектив
HOro алrоритма с полиномиальной оценкой трудоемкости, который бы позволил
конструктивно решить указанную проблему. Тем не менее наличие paCCMOT
рен ной выше процедуры построения таблиц истинности для формул позволяет
rоворить об алаоритмической разрешимости исчисления высказываний, что
имеет важное значение в математической лоrике.
Приписывание конкретных значений истинности для входящих в некоторую
формулу элементарных высказываний называется Шll11ерllреl1l11цuеЙ данной фор
мулы. Друrими словами, если задана некоторая формула исчисления высказыва
ний G, в состав которой входят элементарные высказывания: AI, А2, Аз,..., А", то
интерпретацией этой формулы является приписывание некоторой фиксирован
ной комбинации значений истинности для этих элементарных высказываний,
при которой каждому из А; поставлено в соответствие либо значение "И", либо
значение "Л", но не оба значения одновременно. Очевидно, подобная формула
будет иметь 2" возможных интерпретаций. Нетрудно заметить, что каждая CTpO
ка таблицы истинности некоторой формулы представляет собой некоторую ее
интерпретацию.
Если произвольная формула G исчисления высказываний истинна при HeKOTO
рой интерпретации, то rоворят, что эта формула вы/oлнllJ\юю в JlIlOU llHтepпpeтa
ции или данная интерпретация удовлетворяет рассматриваемой формуле G. Mo
делью формулы G называется произвольная ее интерпретация, которая
удовлетворяет этой формуле. Таким образом, семантическая выполнимость He
которой формулы означает существование для нее хотя бы одноЙ модели.
Формула исчисления высказываний, которая принимает значение "IlСI1lUlШ" для
всех возможных значений истинности входящих в состав этой формулы элемсн
тарных высказываний называется тОJlсдествеюю uстuшlOй.
Формула исчисления высказываний, которая принимает значение "ло.JlСЬ" для
всех возможных :тачений истинности входящих в состав этой формулы )лемен
тарных высказываний называется mождественно ложной или невы1lлнu.мойй
фОрJI4У.rюЙ. Наконец, формула исчисления высказываниЙ, которая принимает
значение "uсmUlШ" хотя бы для одной комбинации значений истинности входя
Приложение 2. Основы математической лоrики
627
щих в состав этой формулы элементарных высказываний, называется семантиче
ски BbIпOJ/lfUMoii формулой или просто 6ыполнu,;,\юй.
При м е р П2.3. Примерами тождественно истинных формул, которые иrрают
особую роль не только в ИСLlИслении высказываний, но и в матсмаТИLlеской ло
rике в целом, являются следующие формулы:
1. (P:::)Q):::) (...Q:::)....,P) закон контраnозиции.
2. (...Р:::)Q)л( ...P ...Q) :::) Р закон доказОl11ельоnва от nротивНО20.
3. .....,(....,р) == Р закон двОйНО20 оmрИЦOllllЯ.
4. ...(PvQ) == (...Рл...Q) закон отрицания дизыокции..
5. ...(РлQ) == (...,Pv...Q) закон отрицания конъюнкции.
Примерами тождественно ложных формул являются слсдующие формулы:
1. Р л....,Р закон противоречия.
2. «Р:::)Q)л(Р:::)...Q» == Р.
Примерами выполнимых формул являются следующие формулы:
1. (Р:::)Q)л(р:::)...,Q).
2. (Р лQ)vR.
римеча е
Доказательство этих утверждений с помощью построения таблиц истинности
для соответствующих формул предлаrается выполнить читателям самостоя
тельно в качестве упражнения.
Вернемся к формальному олределению исчисления высказываний как формаль
ной лоrической системы. для ЧСI'О необходимо определить систему или множест
во аксиом и правила вывода.
В KaLleCTBe системы аКСИШf исчисления высказываний MorYT быть использованы
следующие формулы:
1. А:::)(В:::)А).
2. (A (B C»=>«A=>B)=>(A=>C».
3. АлВ =>А.
4. АлВ =>В.
5. (А:::)В)=>«А :::)С)=>(А=>(ВлС»).
6. A:::)AvB.
7. B:::)AvB.
8. (A:::)C)=>«B=>C)=>«AvB)=>C»).
9. (A B) (...,B=>...A).
10. А :::)( ....,...,А).
11. (......,А)=>А.
628
Часть IV. Приложения
np;;ме ;;е -
Поскольку вместо формул А, В, С MOryT быть подставлены произвольные фор
мулы исчисления высказываний, аКСИОМЫ (1 11), cTporo rоворя, представляют
собой схемы аксиом. В этом случае множество аксиом исчисления высказыва
ний является бесконечным. Эта система аксиом предложена П. С. Новиковым.
Правилам и вывода исчисления высказываний являются следующие правила:
О ПравU70 заключеНllЯ или так называемое правило мр (mO{/us ponell.'i LlИтается,
как "ЛlОдус 1l0неIlС"). Если А и А=:>В произвольные выводимые формулы ис
числения высказываний, то В также ВЫВОДИМая формула. Символически
А, А :J В
это записывается в виде:
В
о Правшю nодспlОновкu. Пусть F выводимая в исчислении высказываний фор
'мула, которая содержит символ HeKoToporo элементарноrо высказывания А, а
G произвольная формула исчисления высказываний. Тоrда формула В, KO
торая получается из F заменой всех вхождений элементарноrо высказывания А
на формулу G, также является выводимой в исчислении высказываний.
При м е р П2.4. В качестве примера вывода в исчислении высказываний pac
смотрим вывод простой формулы: А=:>А, т. е. докажем, что эта формула является
теоремой исчисления высказываний. С этой целью рассмотрим следующую по
следовательность формул:
1. А=:>(В=:>А) аксиома (1).
2. A «A=:>A) A) правило ПОДстановки.
3. (А=>(В=:>С»=>«А=:>В)=:>(А=:>С» аксиома (2).
4. (A:::>«A:::>A):::>A»:::>«A:::>(A A»=:>(A:::>A» правило подстановки.
5. (А:::>(А:::>А»=:>(А=:>А) правило вывода мр (2, 4).
6. А=:>(А=:>А) правило подстановки.
7. А=:>Л правило вывода МР (6, 5).
Тем самым доказано исходное утверждение о том, что формула А=:>А является
теоремой исчисления высказываний.
Лоrика предикатов
Рассматриваемые в исчислении высказываний элементарные высказывания и
формулы позволяют формализовать лишь незнаLlИтельную часть лоrпческих
рассуждений. Причина этоrо заключается в том, что высказывания представля
ют собой неделимый объект, не имеющий своей внутренней структуры. В то же
время очевидно, что такие высказывания, как: "Все автш,юбилu U.меюm белый
цв"е111" и "Некоторые ав1JlOJlюБШlll имеют белый цвет" имеют различные значения
истинности в силу раЗЛИLIИЯ их внутренней структуры. Более сложная ситуация
Приложение 2. Основы математической лоrики
629
связана с невозможностью в рамках ИС'lИсления высказываний формализовать
лоrические рассуждения, представленные ниже.
r::J Все [осударства имеют свою столицу. Российская Федерация rосударство.
Следовательно, Российская Федерация имеет свою столицу.
О Российская Федерация имеет морские rраницы. Российская Федерация ro-
сударетво. Следовательно, некоторые rосударства имеют морские rраницы.
О Все натуральные числа, которые делятся на 4 без остатка, являются четными.
Следовательно, некоторые из четных чисел делятся на 4 без остатка.
Формализация подобных семантически;, аспектов лоrических рассуждений OKa
залась возможной на основе введения в рассмотрение специальных объектов,
которые получили название предикатов.
Основные понятия лоrики предикатов
nepBoro порядка
п р е Д и к а т. JlредикатШ t называется некоторое высказывание относительно
некоторых внутренних переменных и принимающее зна'lение "истина" или
"лож'Ь" только при подстановке вместо этих переменных тех или иных KOHKpeT
ных объектов.
Более cTporoe определение основано на введении в рассмотрение HeKoToporo
множества А={G1, 02,..., а"...} и l1еременных Х, у, Z,..., которые MorYT принимать
значения из этоrо множества, т. е. х, у, zEA. Каждая из таких переменных полу
'шла название Ilред..иетной пере.меююй. а само множество А допустимых значе
ний предметных переменных называется llредл.tеmной областью. То или иное BЫ
сказывание об элементах множества А будем обозначать через Р(G1), Q(G1, 02),
R(G1, 02, аз) и т. д. При этом каждое такое высказывание может принимать ОДНо
из множества значений истинности {И, Л}, но не оба одновременно.
Если вместо элементов т, ([2, аз в высказывания Р(т), Q(G1. ([2) И R(G1, (/2, т) под
ставить предметные переменные: х, у, ZEA, то получим предикаты: Р(х), Q(x, у) и
R(x, у, =). При этом Р(х) называется одuоместНЬ1JИ предикатом, Q(x, у) ДBYMe
стным предикатом, R(.'(, у, z) трехместным предикатом и т. д.
р и м е р 112.5. Примерами предикатов MorYT служить следующие переменные
высказывания:
r::J Рассмотрим в качестве предметной области множество натуральных чисел, а
в Ka'lecTBe предиката Р(х) высказывание: "х простое число". Тоrда для
значения х = 7 предикат Р(7) принимает значение "исmUJЮ", а для 'Значения х =
= 6 предикат Р(6) принимает значение "ло:жь".
r::J Для той же предметной области рассмотрим предикат Q(x, у), семантика KO
Toporo выражается переменным высказыванием: "х делится н([ у без остШIl
ка". Тоrда высказывания: Q(4. 2) и Q(lO, 5) принимают значение "иСl11ll1Ш". а
высказывания: Q(9, 2) и Q(lO, 3) зна'lения "лож'ь".
630
Часть IV. Приложения
LJ Рассмотрим в качестве предметной области декартово произведение множе
ства авиарейсов: A={LH6370. МА232, Z8221, Z8229, ZX257. Z8277. Z82 5} и
множества rородов из примера П 1.3: В={АJtlстердам, Афины. Барселона, Ka
ир, Нью Йорк, Парu:JlC, Хельсинки}. Тоrда двухместный предикат Р(х, у) будет
описывать бинарное отношение QI <;:АхВ, устанавливающее соответствие
между каждым номером авиарейса и аэропортом назначения. В этом случае
высказывание P(Z8277, А.мстердши) принимает значение "истина", а BЫCKa
зывание Р(МА232, Хельсинки) значение "ЛО:J/Cь".
. примечание
Как было отмечено в приложении 1, в общем случае для произвольноro MHO
жества А с элементами из универсума Х существует формальная взаимо
связь между характеристической функцией этоro множества ХА(Х) и HeKOTO
рым одноместным предикатом РА(Х), который, возможно неявно, выражает
какое нибудь характеристическое свойство этоrо множества. А именно, если
элемент универсума аЕХ обладает рассматриваемым характеристическим
свойством, т. е. значение предиката РА(а) "истина", то ХА(а)=1 и аЕА. Если
же элемент аЕХ не обладает этим свойством, т. е. значение предиката
РА(а) "ложь", то ХА(а)=О и a A. Верно и обратное заключение. Эта связь
характеристической функции множества и соответствующеrо ей предиката
иrрает важную роль при установлении взаимосвязей между теорией нечетких
множеств инечеткой лоrикой.
Лоrические операции над предикатами
Поскольку предикаты являются переменными высказываниями, то примени
тельно к ним MorYT быть обобщены все рассмотренные выше лоrические опера
ции: {" /\, V, :::>, =}. При этом результатом выполнения соответствующих опера
ций будет то значение истинности, которое получается при одновременной
подстановке вместо предметных переменных конкретных значений элементов из
предметной области.
При м е р П2.6. Будем использовать в качестве предметной области множест
во натуральных чисел. Рассмотрим два предиката: Р(х) "х четное число" и
Q(x. у) "х стРО20 болыuе у". ТOl да переменное высказывание: "х четное чис
ло их стРО20 больше у" формально может быть записано с помощью ЛОПfческой
конъюнкции исходных предикатов: P(x)/\Q(x, у). По определению конъюнкции
составное высказывание P(4)/\Q(4, 3) принимает значение "истина", а высказы
вание P(S)/\Q(7, 4) значение "ложь". Аналоrичным образом может быть YCTa
новлена истинность высказываний P(4)vQ(3, 4), P(3):::>Q(8, 3), P(5)=Q(5, 7) и лож-
ность высказываний P(3)vQ(3, 6), P(4):::>Q(3, 6), P(S) Q(7, 5).
Приложение 2. Основы математической лоrики
631
Кванторы лоrики предикатов
в лоrике предикатов нашли применение так называемые кванторы, которые
также рассматриваются в прuложении 1. Применительно к предикатам исполь
зуются эти же кванторы и их обозначения: знак "'17''' для квантора общности. и
знак "3" для квантора существования. Каждый из кванторов может быть приме
нен только к отдельной предметной переменной, ВХодящей в состав Toro или
иноrо предиката.
Семантика этих предикатов следующая. Пусть А предметная область, на KO
торой определен некоторый предикат Р(х). Torдa выражение 'Vx, Р(х) означает:
"Для вСЯКО20 (ЛlOБО20, каждО20) х llЗ Ilред.,.tетной области А имеет место
(справедливо, истинно) высказывание Р(х)". Выражение 3х, Р(Х) в свою очередь
означает: "Существует (найдется хотя бы один) элемент Х из предJwеrnной об
ласти А. для котОрО20 и.меет.место (справедливо, истинно) высказывание Р(х)".
Применение этих кванторов естественным образом расширяется на MHoroMecT
ные предикаты. При этом вхождение предметной переменной в предикат назы
вается свЯЗШlllЫМ, если эта переменная используется с одним из кванторов или
находится в области действия применяемоrо к этому предикату квантора. В про
тивном случае вхождение предметной переменной в рассматриваемый предикат
называется свободНЫ;'I,t. Если все ВХОЖДения предметных переменных внекоторый
предикат связанные. то такой предикат становится обычным высказыванием.
При м е р П2.7. ДЛЯ простоты будем по прежнему использовать в качестве
предметной области множество натуральных чисел. Рассмотрим два предиката:
Р(х) "х чеПlllое число" и Q(x. у) "х С111рО20 болыuе у". Тоrда высказывание:
"Любое х чепuюе число" формально может быть записано с помощью квантора
общности следующим образом: 'Vx. Р(х). Очевидно. это высказывание принима
ет значение "ложь". Напротив, высказывание: "Существует натуральное х, KO
торое является четным числOJW" формально может быть записано с помощью
квантора существования следующим образом: 3х, Р(х). Очевидно так же. что это
высказывание принимает значение "истина". Более сложный случай применения
кванторов выражение: 3x'V у, (P(x)I\Q(x, у», которое является высказыванием
со значением истинности "ложь".
В общем случае предикат P(XI, Х2,..., ХII/) от предметных переменных XI, Х2,..., х lll
называется тождественно истинным, если он принимает значение "истина" при
любой подстановке элементов из предметной области вместо предметных пере
менных, входящих в состав этоrо предиката. Предикат P(XI, х2...., ХII/) от пред
метных переменных XI, Х2,..., Х IIl называется 1110ждественно ЛОJICIlЬt.М, если он
принимает значение "ложь" при любой подстановке элементов из предметной
области вместо предметных переменных. входящих в состав этоrо предиката.
Наконец, предикат P(XI, Х2,..., Х т ) называется выполнимым, если он принимает
значение "истина" хотя бы для одной из подстановок элементов из предметной
области вместо предметных переменных, входящих в состав этоrо предиката.
Исходя из определения кванторов. предикат P(XI, Х2...., ХII/) тождественно ис
тинный. если высказывание 'VXI'VX2...'VXII/' P(XI, Х2,..., ХII/) принимает значение
632
Часть /V. Приложения
"истина". С друrой стороны, предикат P(XI, Х2,..., Х т ) тождественно ложный,
если высказывание 3XI3x2...3x ll " P(XI, .\"2,..., -"1/1) принимает значение "ЛОJlСЬ".
Исчисление предикатов nepBoro порядка
как формальная теория
Формально лоrический анализ рассуждениЙ в ЛО['ике предикатов безотноси
тельно к содержанию отдельных предикатов приводит к определению COOTBeTCT
вующей формальной системы иСЧllслению IlредШШ1110в llервО20 порядка. По aHa
лоrии с ИС(JИслением высказываний в этом случае также можво определить
строrий лоrический формализм, которыЙ позволяет рассматривать формулы,
построенные с помощью введенных выше понятий и обозначений.
Алфавит исчисления предикатов первоrо порядка (далее просто исчисления
предикатов) содержит следующие rРУI1ПЫ символов:
1. Не более чем счетное множество предметных переменных: {XI,X2,...,.'-'j,...}.
2. Не более чем c( eTHoe (возможно, пустое) множество предметных констант
или элементов предметной области: А={т, (12....' а/....}.
3. Не более ([ем счетное (возможно, пустое) множество функциональных симво
лов (букв): {(l ,/2,..., /,.,...}.
4. Не более чем счетное множество предикатных символов (букв): {PI, Р2,..., Р""...}.
5. Символы лоrических олерациii (связок): {...., V, 1\, :::>, =}.
6. Символы лоrических кванторов: {3, \;j}.
7. Вспомоrательные символы (скобки): ( ,) и запятая.
Из этих rрупп СИМВОЛОВ пояснения требуют лишь множество функциональных
символов (букв): {f1,/2,..., /,.,...}, каждый из которых представляет собой HeKO
торос отображение из предметной области А (в случае одноместноrо функцио
нальноrо символа) или декартова произведения АхАХ...хА (в случае MHorOMecT-
Horo фувкциональноrо символа) в эту же предметвую область А. Друrими
словами, j;..:A--..+А или/,.: AxAX...xA--..+А. При этом их часто записывают в виде:
j;.(x) или /"(XI, Х2,..., х n ), rде натуральное /1 обозначает количество aprYMeHToB
функционалыюrо символа или ero местность. Примерами двухместных функ
циональных символов MorYT служить оБЬРJНые арифметические операции, а
также бинарные операции максимума 11 минимума на множестве всех действи
тельных чисел.
Прежде чем определить собственно формулы исчисления предикатов, необходимо
предварительно определить некоторые дополнительные понятия термы и атомы.
Тер.мы в исчислении предикатов определяются рекурсивно следующим образом:
1. Всякая предметная переменная или предметная константа является термом.
2. Еслиfk некоторый п-местный функциональный символ, а 11, 12,..., lK тер-
мы, то j;. (11, 12,..., ln) является термом.
3. Друrих правил образовав ия термов нет.
Приложение 2. Основы математической лоrики
взз
Например, если х, у термы, а тах и min двухмеСТНые функциональные сим
волы, то тах(х, у) и min(x. у) также термы.
Атомы Б исчислении предикатов определяются рекурсивно сл.едующим образом:
1. Если PIII некоторый п местный предикатный символ, а 11, 12,..., 1tl термы,
то Р т (11, 12,..., 1,,) является атомом.
2. Если 11, 12 некоторые термы, то выражение 11=12, ['де знак "=" равенство,
является атомом.
3. Друrих правил образования атомов нет.
Примерами атомов MorYT служить выражения: Р(.у+у), Q(max(x, )1), Z), R(x,
Лх, )1».
фор.,.t)lЛОЙ исчисления предикатов первоrо порядка называется выражение. co
ставлен ное из символов алфавита и удовлетворяющее следующим правилам llO
строения:
1. Всякий атом является формулой исчисления предикатов (базис).
2. Если Р, Q формулы исчисления предикатов, а х предметная переменная,
то выражения: ....,Р; ...Q; (PvQ); (PAQ); (]J::)Q); (P=Q): \:Jx, Р; Vx, Q; Зх, Р; Зх, Q;
являются формулами исчисления предикатов (индукционный Ш(2).
3. Формулой исчисления предикатов является любое выражение, которое может
быть получено с помощью правил (1) и (2) (оzраиuченuе).
Если при построении некоторой формулы друrая формула используется как эле
мент Б индуктивном шаrе (2), то последняя называется подфОРJW)'JiОЙ исходной
формулы.
Порядок применения лоrических операциЙ и кванторов в формулах исчисления
предикатов также устанавливается слева направо. Для исключения неоднознач
ности или изменения 3Toro порядка MOI'YT быть использованы скобки.
В качестве системы аксиOJИ исчисления предикатов MorYT быть использованы
следующие формулы:
1. p::J(Q=:)P).
2. (P=:)(Q=:)C»:)«P:)Q)=:)(P::JC».
3. PAQ =:)Р.
4. PAQ :)Q.
5. (bQ):=}«P =:)c):=}(P:=}(QAC»).
6. P:=}PvQ.
7. Q;:JPvQ.
8. (P=:)C)=:)«Q=:)C)=:)«PvQ)=:)C»).
9. (P:=}Q):=}(...,Q:=}...,P).
10. h(-,....,P).
634 Часть /V Приложения
11. (....,....,р}=>р.
12. (\1'х, Р(х»:::>Р(у).
13. Р(у):::>(3х, Р(х».
В аксиомах (12) и (13) предполаrается, что терм у свободен по переменвой х в
формуле Р.
римечание :)
Поскольку вместо формул Р, Q MoryT быть подставлены произвольные форму
лы исчисления предикатов, аксиомы (1 1З) таюке представляют собой схемы
аксиом. В этом случае множество аксиом исчисления предикатов является бес
конечным.
Правилами вывода исчислеНия высказыванuй являются следующие правила:
с] Правило заключения или так называемое правило МР (шО{lиs poпeпs читает
ся, как "лтдус поненс"). Если Р и P=>Q произвольные выводимые формулы ис
числения высказываний, то Q также выводимая формула. Символически
Р, Р::) Q
это записывается в виде: .
Q
о Правило обобщения: Р , rде Р произвольная формула, в которой He
\1'х, Р(х)
который терм заменяется предикатной переменной х.
О Первое правило Бернайса: Р:) Q(x) , rде формула Q(x) содержит свобод
Р::) (\1'x,Q(x»
ное вхождение переменной х, а формула Р не содержит.
О Второе правило БернаЙСll: Р(х)::) Q ,rде формула Р(х) содержит свобод
(Зх, Р(х» :J Q
ное вхождение переменной х, а формула Q не содержит.
Установление истинности произвольной формулы исчисления предикатов может
быть связано с серьезными трудностями, имеющими принципиальный характер.
Действительно, в общем случае отсутствует конструктивный алrоритм, который
бы за конечное, хотя и возможно большое число шаrов, позволил бы установить
тождественную истинность или ложность про изволь ной формулы. Хотя, каза
лось бы, используемый для аналоrичной цели в исчислении высказывавий алrо
ритм построения таблицы истинности может быть обобщен для формулы исчис
ления предикатов, тем не менее, он совершенно не rодится в случае предметной
области с более чем счетной мощностью. Действительно, в этом случае потребо
валось бы построить таблицу с бесконечным числом строк, что уже в принципе
не позволит установить истинность произвольной формулы для подобной пред
метной области.
Поиск выхода из создавшеrося положения послужил движущей силой развития
математической лоrики в ХХ столетии. Были предложены различные формаль-
Приложение 2. Основы математической лотки
635
ные системы, в рамках которых удалось разработать алrоритмы (например, Me
тод резолюций или обратный метод С. Ю. Маслова), предназначенные для поис
ка доказательств общезначимости формул исчисления предикатов nepBoro по
рядка. Однако данная проблематика выходит за рамки настоящей КНИПf.
Продукционные системы
Продукционные системы были разработаны в рамках исследований по методам
искусственноrо интеллекта и нашли широкое применение для представления
знаний и вывода заключений в так называемых экспертных cucтeJwax, OCHoвall
ных на правuлах (rule based expert systems, продукционные ЭС). Поскольку
нечеткий вывод реализован в форме нечетких правил продукций, рассмотрение
базовоrо формализма продукционных моделей приобретает самостоятельное
значение. При этом продукционные системы не только во MHoroM близки к ло
rическим моделям, но и, что наиболее важно, позволяют наrлядно представить
практические знания экспертов в той или иной проблемной области.
Продукционная система или система правил продукций представляет собой He
которое соrласованное множество отдельных продукциЙ (или правил продукций
в форме "ЕСЛИ А, ТО В").
В общем виде под продукцией пони мается выражение следующеrо вида:
(i) : Q p А:=)В; N,
rде (1) имя продукции; Q сфера применения продукции; Р условие при
менимости ядра продукции; А:=)В ядро продукции, в котором А условие
ядра (или антецедент); В заключение ядра (или консеквент); ":=)" знак лоrи
ческой секвенции (или следования); N постусловия продукции.
Дадим краткую характеристику компонентам продукции. В качестве имени (i)
продукции может выступать та или иная совокупность букв или символов, по
зволяющая однозначным образом идентифицировать продукцию в системе.
Наиболее часто продукции хранятся в системе со своим уникальным номером.
Сфера применения продукции Q описывает явно или неявно предметную область
знания, которую представляет отдельная продукция. При этом декомпозиция
предметной области на отдельные независимые области может существенно по
высить эффективность рассуждений в продукционной системе. Именно этот ac
пект при необходимости может описывать данный элемент продукции.
Условие применимости ядра продукции Р представляет собой лоrическое Bыpa
жение (как правило, предикат). Если оно присутствует в продукции, то активи
зация ядра продукции становится возможной только в случае истинности этоrо
условия. Во мноrих случаях этот элемент продукции может быть опущен или
введен в ядро продукции.
Ядро продукции А:=)В, как следует уже из ero названия, является центральным
компонентом продукции. Наиболее часто ядро продукции читается как "ЕСЛИ
А, ТО В", rде А и B некоторые лоrические выражения, которые в том или
636
Часть /V. Приложения
ином контексте MorYT принимать значения "истин{/" или ":lOJICb". При этом ceK
венция интерпретируется в обычном лоrическом смысле как знак лоrическоrо
следования В из истинноrо А. Друrими словами, если истинно выражение А, то
истинвым следует считать и выражение В. В остальных случаях, KorAa А не явля
ется истинным, об истинности В ничеrо сказать неЛЬЗЯ. Во мноrих случаях в Ka
честве выражения А MorYT использоваться сложные ЛОПlческие выражения, т. е.
выражения, содержащие основные лоrически связки, такие как отрицание,
конъюнкцию или дизъюнкцию.
Наконец, постусловие продукции N описывает действия и процедуры, которые
необходимо выполнить в случае реализации ядра продукции, т. е. получения ин-
формации об истинности В. Характер этих действий может быть самым различ
ным и отражать вычислительный или иной аспект продукционной системы.
примечан
Рассмотренная выше общая форма продукции характерна для так называемых
детерминированных ядер продукции. В недетерминированных продукционных
системах каждая из продукций может дополнительно содержать количествен
ную оценку степени истинности правила.
Системы продукций нашли широкое практическое применение при построении
экспертных систем, которые формализуют опыт экспертов в некоторой про
блемной области. Как оказалось, принимая решение, мноrие специалисты опе
рируют знаниями именно в форме правил вида "ЕСЛИ "некоторое условие" ТО
"З{/Юlюченuе". При этом в качестве условий выступают известные факты, OTpa
жающие конкретно сложившуюся ситуацию в проблемной области на текущий
момент времени. Что касается заключения, то ero вывод или подтверждение OKa
зывает непосредственное влияние на процедуру принятия решения по изменению
сложившейся ситуации в необходимом направлении.
Таким образом, система правил продукций представляет собой некоторое соrла
сованное множество отдельных правил продукций, которое представляет знания
экспертов в той или иной проблемной области. Такая система служит составной
частью систем управления в случае их реализации в форме продукционных экс
пертных систем. В этом случае построение системы правил продукций или базы
правил является важным этапом разработки соответствующих систем, который
должен быть выполнен до начала их применения по целевому назначению.
При м е р П2.7. В качестве системы продукций рассмотрим следующее множе
СТВО правил продукций (базу правил), которое упрощенно представляет ситуа
цию таможенноrо досмотра rраждан при пересеLJении rраницы:
О ПРАВИЛО I: ЕСЛИ 'Тражданин не является высокопоставленным чиновни
ком", ТО "он подверrаетсЯ таможенному досмотру"
О ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ 'Тражданин является высокопоставленным чиновни
ком", ТО "он не подверrается таможенному досмотру"
О ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ 'Тражданин не подверrается таможенному досмотру".
ТО "не исключается возможность провоза наркотиков"
Приложение 2. Основы математической лоrики
637
а ПРАВИЛО 4: ЕСЛИ "Количество rраждан, проходящих таможенный дo
смотр, велико", ТО "контролер испытывает (JYBCTBO усталости"
а ПРАВИЛО 5: ЕСЛИ "Контролер испытывает чувство усталости", ТО "не ис
ключается возможность провоза наркотиков"
а ПРАВИЛО 6: ЕСЛИ 'Тражданин подверrается таможенному досмотру" И
"в отношении этоrо rражданина имеется аrентурная информация", ТО
"исключается возможность провоза наркотиков"
О ПРАВИЛО 7: ЕСЛИ 'Тражданин подверrается таможенному досмотру" И
"контролер использует новейшие технические средства", ТО "исключается
возможность провоза наркотиков"
примечан е
Конечно, рассмотренная база правил не претендует на полноту и построена на
основе лишь здравоro смысла. Тем не менее, даже зтот простой пример xapaктe
ризует нетривиальный характер возможности реальноro использования подобной
базы правил, которое должно быть дополнено механизмами исключения возмож
ных конфликтов И противоречий, о которых будет сказано ниже. Более aдeKBaT
ный при мер системы нечетких продукций был рассмотрен валаве 6.
Прямой и обратный методы вывода
заключений в продукционных системах
Следующим важным компонентом продукционных систем является так назы
ваемый метод (или схема) вывода заключений на основе известных значений yc
ловий в базе правил продукций. Наиболее известными являются два таких MeTO
да вывода заключений: прямой и обратный.
а ПРЯ.АЮй .метод вывода заключений в продукционных системах, называемый
также методом восходящеrо вывода или методом прямой цепочки рассужде
ний (classic forward chaining l'easoning), основан на использовании правила
вывода МР. А именно, если это правило позволяет определить истинность
заключения правила продукции при известной истинности ero условия. Дей
ствительно, дедукция по правилу МР позволяет заключить следующее: если
утверждается, что обе формулы Р и P Q принимают значение "истина", то
значение "истина" принимает и формула Q.
Применительно к системам правил продукций прямой метод вывода реализу
ется посредством преобразования отдельных фактов проблемной области в
конкретные значения истинности условий правил продукций. После этоrо
преобразования те из правил продукций, для которых становятся истинными
соотвеитвующие условия, rенерируют заключения своих правых частей. Эти
заключения прииимаются как истинные и становятся новыми фактами, KOTO
рые MoryT быть использованы в качестве условий в рассматриваемой базе
правил. При этом правила, для которых имеются истинные условия, часто Ha
зывают активНbLМИ.
638
Часть /V. Приложения
Процесс вывода прямым методом имеет рекурсивный характер и может быть
остановлен либо в случае отсутствия новых активных правил, либо в случае
получения заключения, которое является целевым в контексте решения ис-
ходной проблемы. Подобное подтверждение целевоrо заключения характери
зует успех процесса ВЫВОДа, поскольку только в этом случае использование
- системы продукций характеризует решение поставленной проблемы.
О Обратный метод вывода в продукционных системах, называемый также Me
тодом нисходящеrо вывода или методом обратной цепочки рассуждений
(classic backward chaining reasoning), основан использовании правила вывода,
известноrо как правило вывода МТ (modlls tollens, читается как "люду с тол-
лене"). Это правило также является прави,ЛОJ'vt заключения, которое символиче
Q,P Q
ски записывается в виде: , rде Q и P::JQ проltЗвольные выводи
Р
мые формулы исчисления высказываний. В случае применения этоrо правила
становится справедливым заключение о том, что Р также выводимая
формула. Тем самым это правило позволяет определить ложность условия
правила продукции при известной ложности ,ero заключения.
Применительно к системам правил продукций обратный метод вывода pea
лизуется в несколько модифицированном виде посредством исследования
возможности применения правил для подтверждения некоторых заранее за
данных заключений. А именно, форма импликации P::JQ остается без измене
ния, а отрицание заключения Q заменяется вопросом о ero истинности.
В этом случае ставится вопрос об истинности условия Р. Символически это
Q?, Р Q С
записывается в виде: . одержательно это означает, что в случае
Р?
истинности импликации "Р влечет Q" достаточным условием истинности
формулы Q является истинность формулы Р. Таким образом, если целью BЫ
вода является доказательство истинности заключения Q, то для этоrо ДOCTa
точно доказать истинность условия Р, рассматриваемоrо как подцель. По
этому обратный метод служит обоснованием достаточных условий для
истинности заключений правил продукций. Именно в этом проявляется раз
личие между классическим методом заключения МТ и обратным методом BЫ
вода в продукционных ЭС.
Применительно к системам правил продукций процесс обратноrо вывода Ha
чинается с подстановки отдельных интересующих нас заключений в правые
части соответствующих правил, которые в этом случае становятся aKтивHЫ
J'vtll. После анализа каждоrо из активных правил фиксируются условия, KOTO
рые подтверждают эти правила. Эти условия принимаются как истинные и
становятся новыми фактами, которые MorYT быть использованы в качестве
новых целевых заключений в рассматриваемой базе правил.
Процесс вывода обратным методом также имеет рекурсивный характер и
может быть остановлен либо в случае отсутствия новых активных правил,
либо в случае получения подтверждения условий, которые являются истин-
ными или известными фактами проблемной области. Подобное подтвержде-
Приложение 2. Основы математической лоrики
639
ние условий характерюует успех процесса вывода и подтверждение исходных
заключений.
римечание
Рассмотренные методы вывода лишь упрощенно представляют основные
идеи, лежащие в их основе. Конкретные реализации механизмов вывода в сис
темах правил продукций должны обладать целым рядом дополнительных oco
бенностей, позволяющих эффективно управлять процессом вывода на каждой
из рекурсивных итераций. Обсуждение этих механизмов управления выводом
выходит за рамки книrи.
При м е р П2.8. Рассмотрим использование базы правил, построенной в преды
дущем при мере П2.7, дЛЯ получения выводов в двух конкретных ситуациях.
Предположим, что текущая ситуация на таможенном пункте контроля сложи
лась таким образом, что среди rраждан, въезжающих в страну, находятся BЫCO
копоСтавленные чиновники. Количество rpаждан, проходящих таможенный
досмотр, невелико, а таможенный пункт контроля не оснащен новейшими тех-
ническими средствами. Какая либо предварительная информация о наличии
наркотиков у отдельных rpаждан отсутствует.
Проблема заключается в оценке истинности заКлючения об исключении воз
можности провоза наркотиков через данный пункт контроля. Рассмотрим воз-
можный способ решения данной проблемы с использованием прямоrо метода
вывода.
При прямом методе вывода на первом этапе активными является правило 2, KO
торое позволяет получить заключение о том, что "некоторые из rраждан не
будут подверrнуты таможенному досмотру". В свою очередь это условие активи
зирует правило 3, которое позволяет получить заключение о том, что в сложив
шейся ситуации "не исключается возможность провоза наркотиков". Поскольку
друrие активные правила в системе отсутствуют, то данное заключение при
нимается в KaLlecTBe результата ВЫВОДа в рассматриваемой базе правил для
заданной исходной ситуации. Тем самым исходное целевое заключение об ис
ключении возможности провоза наркотиков через данный пункт контроля не
подтверждается.
примечани
Обычные Продукционные системы оставляют открытым вопрос о том, как учи
тывать тот факт, что подтверждение HeKoToporo заключения может следовать
на основе сразу нескольких правил продукций. Одним из достоинств систем
нечеткоro вывода является то, что они позволяют аккумулировать факты, сви
детельствующие в пользу тех или иных заключений (см. славу 7).
При м ер П2.9. Предположим, друrая ситуация на таможенном пункте KOHTpO
ля характеризуется тем, что среди rpаЖдан, въезжающих в страну, отсутствуют
высокопоставленные LIИНОВНИКИ. Количество rраждан, проходящих таможенный
досмотр, велико, но таможенный пункт контроля оснащен новейшими техниче-
640
Часть tv. Приложения
скими средствами и имеется предварительная информация о наличии наркоти
ков у одноrо из rраждан.
Проблема заключается в оценке истинности заключения об исключении воз
можности провоза наркотиков через данный пункт контроля. Рассмотрим воз
можный способ решения данной проблемы с использованием обратноrо метода
ВЫВода.
Очевидно, в этом случае правило 6 сразу дает ответ на поставленный вопрос,
поскольку ero условием является известный факт текущей ситуации проблемной
области. Продолжая процесс обратноrо вывода, можно активизировать также
правило 7, после чеrо правило 1, которые В совокупности также свидетельст
вуют в пользу заключения об исключении возможности провоза наркотиков че
рез данный пункт контроля.
Попытка найти решение для последней ситуации методом прямоrо вывода стал
кивается с противоречием, суть KOToporo в том, (по активизация нескольких
правил приводит к взаимно ИСКлючающим заКЛЮLlениям. Еще одним достоинст
вом систем нечеткоrо вывода является то. что они позволяют без внесения дo
полнительных механизмов исклюLшть противоречивость на основе оперирова
ния степенью истинности заключений, отличной от бинарных значений "истина"
И "ЛОJICЬ" (СА,. 2.:юву 7). ХОТЯ некоторые из читателей мor"ут поставить под COMHe
ние целесообразность практическоrо применения противоречивых баз правил,
подобных рассмотренной выше, тем не менее, практически интересным про
блемным областям присущи свойства противоречивости и неполноты. Именно
по этой причине системы нечеткоrо вывода оказываются наиболее адекватным
средством формализации экспертных знаний в таких проблемных областях и
решения задач вывода в нечетких продукционных системах.
Приложение 3
.. i
Справочник функций пакета Fuzzy
Logic Toolbox системы MATLAB
Настоящее приложение содержит описание всех функций FlIzzy Logic Toolbox
МА TLAB, предназначенных для работы с нечеткими множествами, создания и
редактирования систем нечеткоrо вывода, а также выполнения процедур нечет
Koro вывода. ФУНКЦИИ перечислеliЫ в алфавитном порядке, некоторые из них
снабжены рисункам н и примерами. По каЖдоЙ из функций указывается ее Ha
значение, приводится описание общеrо синтаксиса и всех формальных парамет
ров, используемых в качестве aprYMeHToB.
addmf
Назначение. Добавляет новую фУНКЦИЮ принадлежности к системе нечеткоrо
вывода FIS.
Синтаксис.
mfParaтs)
ОПllсаНllе. Функция принадлежности может быть добавлена только к сущест
вующей переменной FIS дЛЯ текущей рабочей области MATLAB. При этом HO
мера или индексы функциям принадлежности назна1JaЮТСЯ в том порядке, в KO
тором они добавляются. Таким образом, первая добавленная к переменной
функция принадлежности будет всеrда являться для этой переменной функцией
принадлежности с номером 1. ЕСЛl1 в FIS опрсделена только одна входная пере
менная, то добавить функцию принадлеЖIIОСТИ для любой друrой входной пере
менной с номером 2 нельзя.
Функция использует 6 aprYMeHToB (входных параметров) в следующсм порядке:
1. а имя переменной структуры FIS в рабочсй области МАТLЛВ.
2. 'varType' строка, представляющая IlШIl переменной, к которой добавля
етея функция принадлежности. Может принимать одно из двух значений:
'input' или' output'.
а -= аddшf (а, 'varType " var Index, 'mfNаше " 'шfТуре ' ,
3. varIndex индекс переменной, к которой добавляется функция принадлеж
ности.
642
Часть IV. Приложения
4. 'mfName' строка, представляющая имя новой функции принадлежности.
5. 'mfType' строка, представляющая тип новой функции принадлежности.
6. mfParams вектор параметров, которые специфицируют добавляемую функ
цию принадлежности.
;; В;;;I, , :!=:::: 5.r!:::::,,"1::'::"::! ':':"'::.:;;]
a newfis('tipper');
a addvar(a, 'input', 'service', [О 10]);
a addmf(a, 'input',l,'poor', 'gaussmf', [1.5 О]);
a addmf(a, 'input',l, 'good', 'gaussmf', [1.5 5]);
a addmf(a, 'input',l, 'exce11ent', 'gaussmf', [1.5 10]);
plotmf(a, 'input',l)
Результат этоrо примера изображен на рис. П3.1.
.9- 0.8
ос
(f)
ф
06
ф
Е
'о 04
ф .
ф
0.2
О
о
2
з
4
5
service
6
7
8
9
10
Рис. П3. 1. Результат добавления трех функций принадлежности для одной входной
переменной системы нечеткоrо вывода
См. также: addru1e, addvar, plotmf, rmщf, rmvar.
addrи/e
Назначение. Добавляет новое правило к системе нечеткоrо вывода FIS.
Синтаксис. а = addrule (а, ruleList)
Приложение 3. Справочник функций пакета Fиzzy Logic Т oolbox системы МА ТLAB 643
Описание. Функция addrule имеет два aprYMeHTa. Первый aprYMeHT имя пе
ременной FIS в рабочей области МА ТLAB. Второй aprYMeHT ruleList MaT
рица, содержащая одну или несколько строк, каждая из которых представляет
данное правило. Следует помнить, что для представления этой матрицы исполь
зуется специальНЫЙ формат. Если система вывода имеет П1 входных переменных
и 11 выходных переменных, то соответствующая матрица ruleList должна иметь
в точности т + 11 + 2 столбцов.
Первые т столбцов относятся к входным переменным системы. При этом номер
столбца должен соответствовать индексу функции принадлежности для KOHKpeT
ной входной перемевной. Следующие 11 столбцов отвосятся к выходным перемен
ным системы вывода. При этом каждЫЙ столбец также имеет номер, который дол
жен соответствовать индексу функции принадлежности для выходной переменной.
Столбец с номером т + п + 1 содержит вес, с которым применяется данное пра
вило. Вес может принимать любое значение между нулем и единицей. В общем
случае целесообразно задавать вес равным 1.
Столбец с номером т + п + 2 содержит число 1, если для подзаключений данноrо
правила используется нечеткий оператор AND (нечеткое И). Этот столбец coдep
жит число 2, если для подусловий данноrо правила используется нечеткий опе
ратор OR (нечеткое ИЛИ).
! 'п ; ':Щi " t; ' I;;; ; ; ;:;i .i' ;j :"""";!;""'''''''';''''''':'';:; ' fCj
jj ;i& ,Si ;. i' ; , I: ! . . . j;;; ,;.;,:.".'.!! ,....,;;;"..,.:');;..;,; :"j..;.,;.. ::if:: "..;, ;o;;:; ' .;...::\'.;:,.;.;.:A;;;.,,:...:: :;. ' ; ,;
ruleList [ 1 1 1 1 1
122 1 1 ];
а addrule(a,ruleList)i
Для данноrо примера добавляемое правило может быть интерпретировано сле
дующим образом: "Если входная переменная 1 имеет функцию принадлежности 1
и входная переменная 2 имеет функцию принадлежности 1, то выходная пере
менная 1 имеет функцию принадлежности 1".
См. также: addmf, addvar, rrmnf. rmvar, parsrule, showrule.
addvar
Назначение. Добавляет новую переменную к системе нечеткоrо вывода FIS.
СИlllllаКСllС. а == addvar (а, 'varType', 'varName', varBouпds)
Описание. Функция использует 4 aprYMeHTa в следующем порядке:
1. а имя структуры FIS в рабочей области МА ТLAB.
2. 'varType' строка, представляющая тип добавляемой переменной. Может
принимать одво из двух значений: 'input' или 'output'.
644
Часть /V. Приложения
3. 'varName' строка, представляющая lОЛЯ добавляемой переменной.
4. varBounds вектор, задающий rраницы области определения добавляемой
переменной.
Номера или индексы пере.менным назначаются в том порядке, в котором они
добавляются. Таким образом, первая добавленная переменная будет всеrда яв
ляться переменной с номером 1. Нумерация входных и выходных переменных
производится независимо друr от друrа.
& 1 {i ;; I m ; 1 : i f2: : : : ;; I :::;: j rч
a newfis('tipper');
a addvar(a,'ir.put','service', {О 10]);
getfis(a, 'input',l)
в результате выполнения этой последовательности функций в окне команд поя
вится следующий результат:
Name
NumМFs
MFLabels
Range [О 10]
См. также: addmf, addrule, rrnmf, rmvar.
service
о
anfis
Нашачеuuе. Проrрамма обучения для системы нечеткоrо вывода FIS типа Cyre
но (только МЕХ).
Синтаксис. [fismat, error1, stepsize] anfis (trnData)
[fismat, error1, stepsize] anfis(trnData, fismat)
[fismatl, errorl, stepsize] ...
anfis(trnData, fismat, trnOpt, dispOpt)
[fismat1, errorl, stepsize, fismat2, error2]
anfis(trnData, trnOpt, dispOpt, chkData)
[fismatl, errorl, stepsize, fismat2, error2]
anfis(trnData, trnOpt, dispOpt, chkData,
optMethod)
Описание. Это основная проrрамма обучения для адаптивных систем нейро
нечеткоrо вывода ANFIS. Функция anfis использует алrоритм rибридноrо обу
чения для определения параметров систем нечеткоrо вывода типа CyreHo. Этот
алrоритм представляет собой комбинацию метода наименьших квадратов и MeTO
да убывания обратноrо rрадиента для обучения параметров функции принадлеж
ности FIS с целью воспроизведения заданноrо множества обучающей выборки.
Приложение З. Справочник функций пакета Fиzzy Log;c т оо/Ьох систеМbl МА ТLAB 645
Функция anfis может также вызываться снеобязательным артументом с целью
проверки правилыlOСТИ нечеткой модели. Типом проверки модели, который
применяется в этом случае, является проверка совпадения данных модели. а ap
тумент представляет собой некоторое множество данных, которое называет,СЯ
множеством проверочных данных.
Функция anfis может быть использована со следующими арrументами:
О trnData имя обучающей выборки. Представляет собой матрицу. все
столбцы которой, кроме последнеrо, содержат входные данные. Последний
столбец матрицы представляет собой обычный вектор выходных данных;
D fismat имя системы нечеткоrо вывода FIS, используемой для тото, чтобы
предоставить функции апНз некоторое исходное множество функций при
надлежности для обучения. Без этоrо apI'YMeHTa функция anfi s будет исполь
зовать по умол'шнию функцию gепfisl для задания некоторой системы He
четкоrо вывода FIS дЛЯ выполнения последующеrо обучения. Эта система
нечеткоrо вывода FIS, задаваемая по умолчанию, будет иметь 2 функции
принадлежности типа функции raycca, в то время как функция anfi s вызы
вается только с одним артументом. Если fismat представляет собой HeKOTO
рое число (или вектор), то этот aprYMeHT принимается равным номеру функ
ции принадлежности (или вектору, компоненты которото представляют
номера функций принадлежности соответствующих входных переменных).
В этом случае оба эти apl YMeHTa ФУНКЦИИ anfis используются функцией
genfis 1 для задания некоторой "правильной" структуры FIS до начала про
цесса обучения;
О trnOpt вектор параметров обучения. Если любой из параметров оБУ'lения
вводится как NaN, то будут использованы соответствующие параметры по
умолчанию. Эти параметры оБУ'Jения следующие:
· trnOpt (1) КОЛИ'lество циклов (эпох) обучения (по умолчанию: 1 О);
. trnOpt (2) целевой уровень ошибки обучения (по умолчанию: О);
· trnOpt (3) величина исходноrо шаrа алrоритма обучения (по умолча-
нию: 0.01);
. trnOpt (4) коэффициент уменьшения величины шаrа (по умолчанию: 0.9);
. trnOpt (5) коэффициент увеЛllчения величины шаrа (по умолчанию: 1.1);
D dispOpt вектор параметров отображения информации, которые опреде
ляют характер сообщений, выводимых в окно команд системы МА TLAB в
ходе процесса обучения. По умолчанию значение любоrо из этих параметров
равно 1, что означает отображение соответствующей информации. В слу'ше,
если знаLlение HeKoToporo параметра равно О, то соответствующая информа
ции не отображается. Коrда какой либо из параметров отображения прини
мает значение NaN, то для этоrо параметра ИСlюльзуется значение по умоп
чанию. Эти параметры отображения следующие:
. dispOpt (1) АNFIS информация, такая как число входных и выходных
,
функций принадлежности и т. д. (по умолчанию: 1);
646
Часть IV. Приложения
· dispOpt (2) ошибка обучения (по умолчанию: 1);
· dispOpt (3) величина шаrа обновления по каждому из параметров (по
умолчанию: 1);
· dispOpt (4) конечные результаты (по умолчанию: 1);
О chkData имя необязательноrо множества проверочных данных для про
верки праВIШЬНОСТИ модели. Представляет собой матрицу, формат которой
совпадает с форматом матрицы обучающей выборки;
О optMethod применение необязательноrо метода оптимизации для обучения
параметров функций принадлежности. Этот параметр может принимать одно
из следующих значений: 1 rибридный алrоритм, О алrоритм обратноrо
распространения ошибки. rибридный алrоритм представляет собой комби
нацию метода наименьших квадратов и метода обратноrо распространения
ошибки. rибридный алrоритм используется по умолчанию и вызывается вся
кий раз, коrДа соответствующий параметр принимает любое отличное от О
значение.
Процесс обучения сети заканчивается, коrда выполнено заданное число циклов
обучения или достиrнут целевой уровень ошибки обучения.
В случае если функция anfis вызывается с двумя или большим числом aprYMeH
тов, а любой из необязательных aprYMeHToB задан в форме N aN или равен пус
той матрице, то этот параметр принимает значение по умолчанию. Значения па
раметров по умолчанию MorYT быть изменены непосредственной модификацией
файла лfis.m. Если пользователь не желает специфицировать некоторые из пара
метров, но желает специфицировать следующие за ними параметры, то на месте
первых из них необходимо указать значение NaN или пустую матрицу.
Функция anfis имеет следующие выходные параметры:
О fismatl имя структуры FIS, параметры которой представляют собой
множество, полученное соrласно критерию минимизации ошибки обучения;
О error1 массив (вектор) значений ошибок для обучающей выборки;
О error2 массив (вектор) значений ошибок для проверочной выборки;
О stepsize массив значений величины шаrа в алrоритме обучения. Эти зна
чения следуют в убывающем порядке, если мера ошибки подверrается двум
чередующимся комбинациям увеличения и уменьшения. Величины шаrа сле
дуют в возрастающем порядке, если мера ошибки подверrается четырем по
следовательным уменьшениям;
О fismat2 имя структуры FIS, параметры которой представляют собой
множество, полученное соrласно критерию минимизации ошибки для прове
рочной выборки.
i! i !: l i ti f ii ie ! it f :, : ": : ::: :':::;:':'?: :';::::: ::]
х == (0:0.1:10)';
у == sin(2*x) ./ехр(х/5);
Приложение З. Справочник функций пакета Fиzzy Logic Т oolbox системы МА TLAB 647
trnData =: [х у];
numМFs 5;
mfType =: 'gbellmf';
epoch n =: 20;
in fismat =: genfisl(trnData, numМFs, mfType);
out fismat =: anfis(trnData, in fismat, 20);
plot(x, у, х, evalfis(x, out fismat)i;
legend('Training Data', 'ANFIS Output');
Результат выполнения этой последовательности команд приведет 1< созданию и
обучению rибридной сети ANFIS, трафики обучающей выборки и выхода KOTO
рой изображены на рис. П3.2.
0.8
0.6
0.4
02
О
o 2
0.4
o 6
0.8
О 2 4 6 8 10
Рис. П3.2. rрафики обучающей выборки
и выхода rибридной сети с архитектурой ANFIS
Си. также: genfisl, anfisedi t.
aпfis е dit
Назначение. Открывает редактор rибридных сетей ANFIS.
СИ1ll1lОКСИС. anfisedi t ( , а ' )
anfisedit(a)
anfisedit
ОпUСШlllе. Функция anfisedi t вызывает rрафический интерфейс редактора
ANFIS, который позволяет пользователю заrрузить некоторое множество дaH
648
Часть IV. Приложения
ных И uбучить rибридную сеть ANFIS. Эта ФУНКЦИЯ В формате anfisedi t ( , а ' )
вызывает редактор с заrруженной C'Iруктурой FIS, которая хранится во Внешнем
файле с именем a.fis. Если ФУНКЦИЯ используется В формате anfisedi"t (а), то
она вызывает редактор с заrруженной структурой FIS, которая представляет
собой переменную типа структуры с именем а В рабочей области МА TLAB.
ФУНКЦИЯ в формате anfisedi t вызывает редактор без заrруженной структуры
FIS. Более подробно особенности работы с редактором rибридных сетей A. FlS
изложены в z:юве 15.
Редактор ANFIS имеет rлавное меню, которое позволяет пользователю вызы
вать друrие rрафические средства работы с системой нечеткоrо вывода FIS, за-
rружать и сохранять структуру FIS во внешних файлах и т. д.
О Пункт меню Иlе (Файл) редактора правил содержит такие же операции, что н
соответствующий пункт меню редактора FIS.
О Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции:
. Undo отменяет выполнение последнеl О действия;
· FIS Properties... вызывает rрафИ1Jеский интерфейс редактора FlS;
· Membership Functions... вызывает rрафический интерфейс редактора
функций принадлежности;
. Rules вызывает rрафический интерфейс редактора правил системы He
четкоrо вывода;
· Anfis... вызывает rрафический интерфейс редактора ANFIS.
О Пункт меню View (Вид) содержит следующие операции:
· Rules вызывает nporpaMMy просмотра правил системы нечеткоrо Вывода;
· Surface вызывает протрамму просмотра поверхности системы нечеткоrо
вывода.
; 1. 1l ; : 1 ::I :
anfisedit(out fislnat)
Результат вызова rрафическоrо интерфеЙса редактора ANFIS с исходными дaH
НЫШI из раБОLlей области изображен на рис. П3.3.
СА/. mQK.Jlce: fuzzy, mfedi t., ruleedi t, ruleview, surfview.
Приложение 3. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 649
r:}' Anlis Ed or; 6nfi ;- . ',; 11 [j)(
);? J . f o ; jt it ; ::nio ;' ' 'J}l t:2 ! ;1!:4 .
. k О О . ' . ; , 1 ;: {Й .. ' . ; . с . ' . . . ' : . . ' . ' . ; ._ : . : _ i ; . .; ... :' . : .. ; .; . . . . . .
9!:i''':(' <& 8 . ',.. '.А'::,.. .' - :
";" ' ,< ". v '.., '".?:....,-..:с>,..:..
" ,i . l . l _ ' . . . . . . . ... ." , : . . . . : . t , . : .. . , , : . , ' . . . ' . . o : . ' ; ,. . Л,
, $0 ,О '1ф :; iiii! '»
. t"\'<E;' t.:i. (
;; .{(j,lOЫ dIsls.".
r to ftomWQtksp. ;;\
:'gtiaJ)ar1ijjOh' :: ,"
, ,:; \ ( \
. .- . .
.:< "'<. ', ,_,,:"' --', -<"'" '-.s_c" . .
.! .'o' ew IIS: EI ../i"; ';';
;....;;r.
:.- > .'. .
' '1:' 7< ,jC!{'.,.' t :
Clеш PtOt " l '
'Trairi flS . TestFIS:
.optlm.M lIiod; " ;..>
! h>15nd';, ,; ',P\O\. I:Iin$t: ."'_."
Error'liblerM : : ,(О' Tfairungl:Jata.
I о . . (',.i;; ting:t!eIa . .,. . :..,. . :,. . .
E p ochs;'" .."
I з " . r- Che9king ф fei'
..
Trail1 No'!.V::;: A :; '1;est Now.:,
,.. 1 '. 1 H,efp I < " ,',9os
11
Рис. пз.з. Результат вызова rрафическоrо интерфейса редактора ANFIS
с заrруженными исходными данными
coпvertfis
НQЗIlQченuе. Преобразует матрицу FIS Fuzzy Logic Toolbox версии 1.0 в CTPYKTY
ру FIS версии 2.0.
CzтmaKcиc.
fis new convertfis(fis old)
Описание. Функция convertfis использует в качестве aprYMeHTa матрицу l-;'IS
версии 1.0 и преобразует ее в структуру FIS версии 2.0.
defиzz
Назначение. Выполняет дефаззификацию функции принадлежности.
Синтаксис. out '=' defuzz (х, mf, type)
01l11сшше. Функция defuzz (х, mf, type) позволяет получить число, которое
является результатом дефаззификации функции принадлежности mf для COOTBeT
ствующей переменной х. При этом может быть использован один НЗ методов
650
Часть /V. Приложения
дефаззификации, который определяется артументом type. Этот aprYMeHT может
принимать одно из следующих значений:
О 'centroid' метод центра тяжести для дискретноrо множества значений
функции принадлежности (7.1 О);
О 'bisector' метод центра площади (модификация (7.11);
О 's от' метод левоrо модальноrо значения (7.12);
О 'lom' метод правоrо модалыюrо значения (7.13);
О 'тот' метод среднеrо максимума, определяемый как среднее арифметиче
ское левоrо и правоrо модальных значений.
Примечание )
Метод среднеro максимума выдает корректный результат только в случае уни
модальноro нечеткоrо множества. В противном случае результат может OKa
заться даже не модальным значением соответствующеro нечеткоrо множества.
Если для артумента type не указано ни одно из перечислеННbIХ ВbIше значений,
то предполаrается использование метода дефаззификации, который определен
самим пользователем. Это можно сделать посредством добавления в m файл
этой функции defllzz.m соответствующих операторов, реализующих дополни
тельный метод дефаззификации.
: "::,:,..._ - "".'1-" ". " Д « 'Т. с".." ': ; ". ':' :;' .-'!' . ! , .a . - ': ':_ ;": . !'- _ . . .'.... .". " _ ": , . . . _'; ..':, !;/ ...!', ,_';. Т:". :.... ':.. . ",,:' Лi:;..', -" J' ,. ':_",,,,, :' :'. -.:" _. ... '" ...... ;. :", ::':". ": ., ;"с'!: ... ... ".. -_ -':",, ._._.1: ,"'T "' :"-:" ' , , !_ ;;1.. \
iil?имер';использоваНИЯ;М П'ода 'ЦfiiН'tра'тяж&сти ",,"" ")
. :: ; ; : ; . : . ,, 1'. . ; п : .",..o,........". .,';.,...""'''''''',:..'',...::::.,,.,,'...,.:: .<''',,:.,'!!
х lO:O.l:lOi
mf trapmf(x, [ 10 8 4 7]);
хх defuzz(x,mf, 'centroid')i
p10t (х, mf)
1ine (хх, О, 'linesty1e', 'попе' , 'marker', '*' , 'co1or' , 'r') ;
в результате выполнения данной последовательности команд будет получено
следующее изображение (рис. П3.4).
dsigmf
Назначение. Встроенная П образная функция принадлежности, которая является
разностью двух сиrмоидальных функций.
Синтаксис. у dsigmf (х, [аl сl а2 с2))
Описание. Используемая в MATLAB сиrмоидальная функция принадлежности
зависит от двух параметров а и Ь и аналитически задается следующим выраже
Приложение З. Справочник функций пакета Fиzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 651
нием (2.14). Функция принадлежности dsigmf зависит от 4 параметров: аl. сl,
а2, с2 и представляет собой разность двух сиrмоидальных функций:
fi (х;щ ,Cl) f2(x;a2,c2)'
.) Figure No. 1
.r iS'; Jl ;} e ;
1.;
иаEl
0.8
, .
"" I .
. .
. ,
. .
. .
, ,
0.6 , H - - -
. , ,
. . ,
. . .
. , ,
0.4 н нн-i нн н н: _ ' _ _HH
, . ,
, . .
, . .
, . .
, . .
"'t I-'
, ,
. .
. .
, .
, ,
-.а.2
10
-5
{)
5
10
Рис. ПЗ.4. rрафик трапециевидной функции принадлежности
и результат ее дефаззификации методом центроида (""")
0.2
I I I I
-
I I I I
I . I I
I I I I
08
06
04
о
о
2
з 4 5 6
dsigmf, р==[ 5 2 5 7]
8
9
10
Рис. ПЗ.5. rрафик разности двух сиrмоидальных функций
Следует обратить внимание на правильную запись параметров, которые должны
следовать вначале для первой функции. а потом для второй: [al cl а2 с2].
; i; ft ffl . !; E ! ? J : : : ::::::: :: :: ::::::::: ::: ;:: :::::::::: '::::::::::::': : ;]
x O:O.1:10;
y dsigmf(x, [5 2 5 7]);
652
Часть /V. Приложения...
plot (х, у)
xlabel (1 ci.sigmf, P [5 2 5 7] ')
rрафик соответствующей функции принадлежности изображен на рис. П3.5.
Си. I1ШКJlсе: gaussmf, gauss2mf, gbellmf. evalmf, mf2mf, pimf, psigmf, sigmf,
smf, trapmf, trimf, zmf.
eva/fis
НаЗllачеllие. Выполняет нечеткий ВЫВОД в системе FIS.
СllImШКСllС. output evalfis (input, fismat)
output evalfis(input, fismat, numPts)
[output, IRR, ORR, ARR] evalfis(input, fismat)
[output, IRR, ORR, ARR] evalfis (input:, fismat, numPts)
Оl1l1СШШf. Функция evalfis имеет следующие aprYMeHTbI:
О iпрut число или матрица, которая определяет входные переменные. Если
inpHt является матрицей порядка (тХIl), rДе 11 число входных переменных,
то функция evalfis воспринимает каждую строку input как вектор, COOTBeT
ствующий отдельному набору значений входных переменных. Функция
возвращает матрицу порядка (тх/), в которой каждая строка соответствует
вектору значений выходных переменных. rде 1 число всех выходных rlepe
менных системы;
О fismi:lt имя структуры FIS, дЛЯ которой выполняется нечеткий вывод;
О пuml:'ts необязательный aprYMeHT, задающиЙ общее число выбранных TO
LleK, в которых оцеНиваются функции принадлежности в областях определе
ния входных и выходных IlepeMeHHbIx. Если этот aprYMeHT не указан, то по
умолчанию используется значение 1 01.
Функция evalfis возвращает зна'lения, которые имеют следующий смысл:
О output матрица выходов размерности (l1l x l), rде т равно числу определен
Hыx ранее значений входных переменных, а / числу выходных переменных
системы нечеткоrо вывода FIS.
Следующие выходные значения функции являются необязательными и возвра
щаются функцией evalfis только в том СЛУLlaе, коrда указан один набор значе
ний входов (т= 1):
О IRR результат вычисления значений функций принадлежности ДЛЯ COOTBeT
ствующих входных переменных. Представляет собой матрицу размерности
(ll11mRulesxll), rде lluтRules общее кошиество правил в системе FIS, а п
число входных переменных;
C'I ORR результат вычисления значений функций принадлежности дЛЯ COOT
ветствующих выходныx переменных. Представляет собой матрицу размерно
Приложение 3. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Т oolbox системы МА ТLAB 653
сти (пuтPts х пumRu/es*f), rде пuтRu/es общее количество правил в системе
FIS, а / число выходных переменных. Первые пuтRи/es столбцов этой
матрицы соответствуют первой выходной леременной, следующие пuтRules
столбцов этой матрицы соответствуют второй выходной переменвой и т. д.;
О ARR матрица размерности (IlUnlPtsxf) аrреrированных значений в области
задания каждой выходной переменной.
Если функция вызывается для одноrо набора значений входных переменных, то
в качестве результата возвращается вектор значений выходных переменных. Ec
ли в структуре FIS определена одна выходная переменная, то возвращается CKa
лярное значение этой выходной переменной после ее дефаззификации.
F':::i i K 1; Sfii 1:'I: j il { '; ]
fismat readfis('tipper');
out evalfis([2 1; 4 9],fismat)
Выполнение функции evalfis В -этом случае приведет к получению следующеrо
результата в окне команд:
out ==
7.0169
19.6810
с.м. maKJlce: ruleview, gensurf.
eva/тf
Назначеllие. Задает одну из встроенных функuий принадлежности.
Синтаксис. у == evalmf (х, mfParams, mfType)
Описание. Функция evalmf позволяет задатЬ любую из имеющихся в системе
MATLAB функций принадлежности, тип которой устанавливается строкоЙ
rnfType. При этом значение aprYMeHTa х устанавливает область определения за
даваемой функции принадлежности (универсум) и должна быть предварительно
определена. Строка mfType должна соответствовать имени П1 файла, в котором
определена заДаваемая функuия принадлежности. Второй aprYMeHT mfparams
представляет собой вектор параметров, определяющих задаваемую функцию
принадлежности.
При необходимости пользователь может задать собственную функuию принад
лежности. Для этurо ее следует определить в отдельном m фаЙJ1е как функцию и
использовать имя этоrо файла в качестве TpeTbero aprYMeHTa функции evalmf.
При этом второй aprYMeHT mfParams должен соответствовать параметрам этой
функции принадлежности.
654
Часть /V. Приложения
ti !i : ! ; i i ::; ::: :::::::::;: <:::<::::::::':: ;;::; ,; : ;: ::::;;;; ;;':::,:::;;;:;;:: ,:,:::; ; Ш
x O:O.1:10;
y evalmf(x, [4.5 1.5], 'tri2mf');
plot (х, у)
Результат выполнения этой последовательности команд приведет к заданию Tpe
уrольной функции принадлежности, rрафик которой изображен на рис. П3.6.
I I I I
I I I I
0.8 " " i
, , I
0.6
04
02
о
о
2
з
4
5
6
7
8
9
10
Рис. ПЗ.6. rрафик треуrольной функции принадлежности,
заданной с использованием функции evalmf
См. так:нсе: dsigmf, gaussmf, gauss2mf, gbe11mf, mf2mf, pimf, psigmf, sigmf,
smf, trapmf, trimf, zmf.
fcm
Назначение. Кластеризация методом нечетких с-средних (алrоритм FCM).
Синтаксис. [center, U, obj fcn] fcm (data, cluster п)
[center, U, obj fcn] fcm(data, cluster n, options)
Описание. Функция fcm(data, c1uster n) реализует нахождение нечеткой кла
стеризации заданноrо множества объектов алrоритмом FCM, который, pac
смотрен в 2лаве 13.
Входными арrументами этой функции являются:
О data матрица исходных данных кластеризации, каждая строка которой
представляет информацию об одном объекте нечеткой кластеризации;
О cluster n число искомых нечетких кластеров (должно быть больше еди
ницы).
ВЬJХОДНЫМИ арrументами этой функции являются:
О center матрица центров искомых нечетких кластеров, каждая строка KO
торой представляет координаты центра одноrо из нечетких кластеров;
Приложение З. Справочник функций пакета Fиzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 655
о u матрица функций принадлежности искомоrо нечеткоrо разбиения;
О obj fcn значения целевой функции на каждой из итераций работы алrо
ритма.
Функция fcm (data, cluster n, options) использует переменную дополни
тельных aprYMeHToB options для управления процессом нечеткой кластериза
ции, для изменения критерия остановки работы алrоритма и/или отображения
информации на экране монитора.
Эти дополнительные aprYMeHTbI имеют следующее значение:
О opt ions (1) экспоненциальный вес для расчета матрицы нечеткоrо раз
биения U (по умолчанию это значение равно 2);
О options (2) максимальное число итераций (по умолчанию это значение
равно 100);
CJ options (3) параметр сходимости алrоритма (по умолчанию это значение
равно 0.00001);
CJ options (4): информация о текущей итерации, отображаемая на экране MO
нитора (по умолчанию это значение равно 1).
Если любое из значений дополнительных aprYMeHToB равно NaN, то для этоrо
aprYMeHTa используется значение по умолчанию. Функция fcm заканчивает свою
работу, коrДа алrоритм РСМ выполнит максимальное количество итераций, или
коrда разность между значениями целевых функций на двух последовательных
итерациях будет меньше заданноrо априори значения параметра сходимости
алrоритма.
!:: ; ;;;;;r : :: : :::;: :": :="= : ..:: ::... .:"";'.:;':]
data rand(lOO, 2);
[center,U,obj fcn] fcm(data, 2);
plot(data(:,l), data(:,2),'o');
тахИ тах (И) ;
indexl
index2
find(U(l,:) maxU):
find(U(2, :) maxU):
line(data(indexl,l), data(indexl, 2), 'linestyle', 'попе', ...
'marker', '*','color', 'g'):
line(data(index2,1), data(index2, 2), 'linestyle', 'попе', ...
'marker', '*','color', 'r'):
Выполнение этой последовательности команд приведет к rрафическому пред
ставлению результата нечеткой кластеризации, rрафик которой изображен на
рис. П3.7.
656
Часть /V Приложения
.) Figure No. 1
'Eile"': ; ,I ::: <' ! 'S : ro I ,: .. irtdO J,ki lp ш1,
JP. Ji) .J::It. A":"-;"':;,ft)j,y:;,t.5
, "ОО
.....:::. . ... Z1 ;,, ,J i :'i . ': . : ', ... .. . . ;e
- -J, -<' : ос:;: о>. ,;[;..; y "i-'\\i' ' : ::;;'-" -
Ф
ф
. ф
<1& Ф
Ф
, 6>
ф
ф
Ii>
ф
08
ФФ
@Ф
<1&
Ф
о
1»
<11
(,)
<1&
EI
<1&
Ф
@
Ф
Ф Ф
(,)
ф
06 !)
i)
G.4 @
Ф фф
(
000 ф G
(9) о
(()
} (.)
o
*
61
(f
l O G
<11
(')0 О
'" 0%
t
со
00
)
()
(
()0
02 ф
<Jj)
0 " о
0 0 о о
О G
О 0.2 04 Об 0.8
Рис. ПЗ.7. Результат нечеткой кластеризации множества
с использованием функции f ст
fiпdc/иster
Наз1lачение. Вызывает rрафический интерфейс для интерактивной кластеризации
методами нечетких с средних и субтрактивной кластеризации.
Синтаксис. findcluster
findcluster('file.dat')
Описа1lие. Функция findcluster вызывает rрафический интерфейс GUI дЛЯ BЫ
полнения нечеткой кластеризации алrоритмом FCM и/или субтрактивной
(subtt"active) кластеризации. Выбор метода нечеткой кластеризации осуществля
ется с noм.ощью раскрывающеrося списка Methods. Исходные данные заrружа
ются в рабочую область из внешнеrо файла с помощью кнопки Load Data.
Для каждоrо из методов нечеткой кластеризации в соответствующих строках
ввода установлены значения параметров алrоритмов по умолчанию. Эти значе
ния MorYT быть изменены пользователем. Для этоrо необходимо установить KYP
сор ввода в соответствующее поле и набрать нужные цифры с учетом допусти
мых значений параметров. Назначение этих параметров для аш"оритма FCM
описано при рассмотрении функции fcm. Назначение этих параметров для алrо
ритма субтрактивной кластеризации описано при рассмотрении функции
subclust.
Хотя rрафический интерфейс нечеткой кластеризации позволяет работать с MHO
rомерными исходными данными, он визуализирует данные измерений только по
2 M признакам. Выбор признаков осуществляется с помощью раскрывающихся
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 657
списков X axis и Y axis в нижней части интерфейса. Например, для исходных
данных из внешнеrо файла clusterdemo.dat можно изобразить 2 из 3 x призна
ков, выбрав в полях меню data l, data 2 или dаtа З. Нажатие на кнопку Start
приводит к началу работы соответствующеrо алrоритма, после ОКОliчания eI'o
работы результаты отображаются на rрафике. Найденные центры кластеров
можно сохранить во внешнем файле с целью их последующеrо анализа.
Если функция используется в виде findclиster (' file. dat' ), то при вызове
rрафическоrо интерфейса в рабочую область автоматически заrружаются дaH
ные кластеризации из внешнеrо файла file.dat, а на rрафике отображаются зна
чения матрицы данных для первых двух r.ризнаков.
lf i ; f В{i ;; ' i!S i ;; й
findclиster('clиsterdemo.dat')
Результат вызова rрафическоrо интерфейса нечеткой кластерюации для 3Toro
случая изображен на рис. П3.8.
.) Clustering
,6! f:aiti ; !' ! ll) rlj ,;i t д . I:telp
;,. ..:""" """",,r...... .. .
. о )(
,. <... .:-
;
<
1.2
',08 (.>
06
>-
0.4
,0.2
о
О
r:) (J.(vJ
м j
.:. .-{/ ',о 'f:. :")",::..
.., ..-.\;) '? f.'\
Oc " tl ';
, 1
<)
-0.2
O.2
о
01
04
06
0.8
1.2
.Х
X-exis I dete 1
&
( eady,
Y-exis I data 2
' l
Рис. ПЗ.8. Результат вызова rрафическоrо интерфейса нечеткой
кластеризации с использованием функции findclllster
См. l1ю/,же: [ст, sиbclиst.
658
Часть /V. Приложения
fиzarith
Назначение. Выполнение операций нечеткой арифметики.
Синтаксис. С fиzari th (Х, А, В, operator)
Опuстше. Используя операции с нечеткими интервалами (с,М. i!лаву 5), фующия
С fиzarith(X, А, В, operator) возвращает нечеткое множество С в качест
ве результата выполнения бинарной операции, определяемой строкой operator,
над выпуклыми нечеткими множествами А и В. При этом нечеткие множества А и
В предварительно должны быть заданы выпуклыми функциями принадлежности
на универсуме Х.
Арrументами этой функции являются:
О А, В, Х векторы одинаковой размерности;
О operator строка, принимающая одно из следующих значений: 'sum',
,sиb', 'prod', 'div'.
В качестве результата функция возвращает С вектор столбец той же размерно
сти, что И вектор универсума Х.
Примечание
Нечеткое сложение может rенерировать сообщение "деление на нуль" ('divide Ьу
zero'), но это сообщение не влияет на правильность выполнения этой операции.
! r ; ;' ; : i ".: ; ::::':::::::::::::::::::::::::::':::::::::'::::::::::::::::::::::::::::::::':::':::::::::.::::!
point n 1001; % определяет холичество точех Фунхции принадлежности
min x 20; тax x 20;% универсум нечетхоrо множества [min x, тax x]
х linspace(min x, тax x, point n) ';
А trapmf(x, [ 2 l 1 З]); % А трапециевидный нечеткий интервал
В trimf(x, [2 3 5]); % В треуrольное нечетхое число
С1 fиzarith(x, А, В, 'sиm'):
plot(x, А, х, В, х, Cl);
titlе('нечетхое сложение А+В');
С2 fиzarith(x, А, В, 'sub');
plot(x, А, х, В, х, С2);
titlе('нечетхое ВЬNитание A B');
С3 fиzarith(x, А, В, 'prod');
plot(x, А, х, В, х, СЗ);
titlе('нечетхое умножение А'В');
G4 fиzarith(x, А, В, 'div'):
plot(x, А, х, В, х, С4);
titlе('нечетхое деление А/В');
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Т оо/Ьох системы МА ТLAB 659
Результат выполнения этой последовательности команд изображен на рис. П3.9.
нечеткое сложенне А+В
08
0.6
0.4
0.2
00
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
нечеткое вычнтание A B
06
0.4
02
А 3 2 1 О 2 3 4 5 6 7 8 9 10
нечеткое умножение А.В
08
06
0.4
0.2
О
О 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
нечеткое деление AfВ
08
0.6
0.4
02
О 3 5 7 8 9 10
5 4 3 2 1 О 2 4 6
Рис. ПЗ.9. Результаты выполнения операций
С нечеТким интервалом А и нечетким числам В
660
Часть /V. Приложения
fиzbIock
НаЗllачеllие. Блоки нечеткой лоrики из пакета Siшulillk.
СИllтаксис.
fuzblock
Оllllстше. Эта функция вызывает систему Siшuliпk, в которой кроме дeMOHCTpa
ционных примеров, содержатся три специальных блока.
О Контроллер нечеткой лоrики (Ftlzzy Logic Control1el").
О Контроллер нечеткой лоrики с окном просмотра правил (Fuzzy Logic
Contl"ollel' witll Rule Viewel").
О Блок функций принадлежности MF (рис. П3.1 О).
Последний из блоков позволяет просматривать правила в ходе моделирования,
выполняемоrо в систеМt: Simнliпk. После двойноrо щелчка левой кнопкой мыши
на блоке контроллера нечеткой лоrики открывается диалоrовое окно свойств
этоrо блока. Это окно содержит имя структуры FlS, которая находится в рабо
чей области системы MATLAB и которую прt:Дl10лаrается моделировать в сис
теме Siшuliпk.
libr8ry: fuzbIock
l! i ; \: j :l ;! .1d. !?:; ,.L .,.. _
",- ,:", "",,'''-. Pt#fit х"
'<\I!I[]EI
,,:
:Ь:: Fuz:y Log.c Cor,troller
: FLlzzy Log'c Conlroller wilh Rulev'B\oI.
:,,; !::I Membersh,p FundlOns
:<t; Dlft Sigmolde.I MF
Ge.lJ s s;"n MF
. ; Gaussie.n2 MF
:>' Ger,eral,zed 8ell MF
! F',.sh"ped MF
] Prob"b,l.stlc OR
. .
.:.
00
fU=f Loglc,
Contr(lller
@]
C:J
M@mbershlP
functlons
..!J
.:!] ';.
Fuщ Logl(;
CCtntrf"Jller
IJ1lit" Rutlf\fI lJlIel
''1'0'0% -С' "':' J оё'kеа;' . 'о,
Рис. пз. 1 о. rрафический интерфейс блоков
нечеткой лоrики системы Siтulink
Чтобы открыть диалоrовое окно свойств контроллера нечеткой лоrики с окном
просмотра правил, необходимо:
1. Выполнить двойной щелчок левоЙ кнопкой мыши на этом блоке, в результате
чеrо откроется диалоrовое окно свойств контроллера нечеткой лоrики.
2. Выполнить двойной щелчок левой кнопкоЙ мыши на втором блоке контрол
лера нечеткой лоrики.
Если система нечеткоrо вывода имеет несколько входов, эти входы должны быть
соединены вместе до размещения их в блоке контроллера нечеткой лоrики или в
блоке контроллера нечеткой лоrики с окном просмотра правил. Аналоrично.
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Т оо/Ьох систеМbI МА TLAB 661
если система нечеткоrо вывода имеет несколько выходов, эти выходы должны
быть соединены вместе до размещения иХ в блоке контроллера нечеткой лоrики
или в блоке контроллера нечеткой лоrики с окном просмотра правил.
См. также: 5ffis, ruleview.
fиzdemos
Назначение. Список всех демонстрационных примеров в пакете Fuzzy Logic
Toolbox.
Синтаксис.
fuzdemo5
Описание. Эта функция вызывает rрафический интерфейс, который позволяет
выбрать для анализа любой из демонстрационных примеров, поставляемых с
пакетом FlIzzy Logic Toolbox. С демонстрационными примерами можно также
познакомиться с использованием следующих функций командной строки:
О defuzzdm пример методов дефаззификации;
О fcmdemo пример кластеризации точек на плоскости методом неLlетких c
средних FCM;
О ga5demo пример применения системы для эффективноrо управления топ
ливом с использованием метода субтрактивной кластеризации;
О jugg1er при мер просм.отра правил для задачи жонrлирования мяча;
О invkine пример инверсной кинематики захвата механической руки робота:
О iri5fcm пример кластеризации точек в LleTbIpexMepHoM пространстве Me
тодом нечетких с средних FCM;
О noi5edm пример адаПТИВНОI'О устранения шума;
О 51ЬЬ пример управления движением мяча на качающеЙся балке с помощью
средств пакета Simulink;
О 51ср пример управления инвертированным маятником с помошью средств
пакета Simulink;
О 51 tank пример управления уровнем воды с помощью средств пакета
Simulink;
О 51 tankrule пример управления уровнем воды с использованием проrрам
мы просмотра правил с помощью средств пакета Simlllink;
О 51 tbu пример нечеткоrо управления движением rрузовоrо автомобиля
(только Simulink).
fиzzy
Назначение. Вызывает редактор систем нечеткоrо вывода FIS.
Синтаксис. fuzzy
fuzzy(fi5mat)
662
Часть fV. Приложения
ОпUСG1ше. Эта ФУНКЦИЯ предоставляет пользователю возможность редактиро-
вать на высоком уровне свойства системы нечеТКОI'О вывода, такие как число
входных и выходных переменных, используемый метод дефаззификации и т. Д.
Редактор систем нечеткоrо вывода FIS (или просто редактор FIS) обладает l'pa
фическим интерфейсом и позволяет вызывать все друrие редакторы и проrраммы
просмотра систем нечеткоrо вывода. rрафический интерфейс этоrо редактора об
ладает максимальным удобством и rибкостью, необходимой для интерактивной
работы с отдельными компонентами системы нечеТКОI'О вывода.
В верхней части рабочеrо интерфейса редактора FIS изображается диаrрамма,
представляющая в визуальной форме входы и выходы системы нечеткоrо BЫBO
да, в центре которых находится процессор нечетких правил. Щелчок на прямо
УI'ОЛьнике с изображением входа ИЛи выхода выделяет соответствующую пере
менную и делает ее текущей. Прямоуrольник текущей переменной при этом
выделяется красным ЦВеТОМ.
Двойной щелчок на прямоуrольнике с изображением входной или выходной пе
ременной вызывает редактор функций принадпежности с зш'ружен.ной в Hero
соответствующей переменной. Двойной щелчок на изображении процессора He
четких правил вызывает редактор правил для соответствующей системы нечет
Koro вывода. Если некоторая переменная существует в системе нечеткоrо BЫBO
да, но не используется в правилах вывода, то связь ее с процессором нечетКИХ
правил изображается не сплошной, а пунктирной линией.
Редактор FIS имеет rлавное меню, которое позволяет пользователю вызывать
друrие rрафические среДСТва работы с системой нечеткоrо вывода FIS, заrру
жать и сохранять структуру FIS во внешних файлах и т. д.
О Пункт меню File (Файл) редактора FIS содержит следующие операции:
. New FIS... позволяет выбрать тип задаваемой новой системы нечеткоrо
вывода: Mamdani типа Мамдани или Sugeno типа CyreHo. При этом
задаваемая система нечеткоrо вывода не имеет ни входных, ни выходных
переменных, а ее имя задается по умолчанию как Untitled;
. Import позволяет заrрузить в редактор FIS существующую систему не-
четкоrо вывода одним из следующих способов: From Workspace... из
рабочеrо пространства nporpaMMbI MATLAB или From Disk... из внеш
Hero файла. В последнем случае вызывается стандартное диалоrовое окно
открытия файла;
. Export позволяет сохранить редактируемую систему нечеткоrо вывода
одним из следующих способов: То Workspace... в рабочем пространстве
nporpaMMbI МА TLAB или То Disk... во внешнем файле. В последнем
случае вызывается стандартное диалоrовое окно сохранения файла;
. Print позволяет распечатать на принтере редактируемую систему нечетко
ro вывода. В этом случае вызывается стандартное диалоrовое окно Ha
стройки свойств печати на подключенном к данному компьютеру принтере;
. Close закрывает редактор FIS, при этом вызывается диалоrовое окно с
предложениями сохранить или отказаться от сохранения редактируемой
системы нечеткоrо вывода.
Приложение 3. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Toolbox системы МА ТLAB 663
о Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции:
. Undo отменяет выполнение последНеrо действия;
· Add VariabIe... позволяет добавить в редактируемую систему нечеткоrо
вывода переменную одноrо из следующих типов: Input входную пере
менную или Output выходную переменную;
. Remove Selected VariabIe удаляет выбранную переменную из редакти
руемой системы нечеткоrо вывода;
· Membership Functions... вызывает редактор функций принадлежности;
. Rules вызывает nporpaMMY редактирования правил.
О Пункт меню View (Вид) содержит следующие операции:
· Rules вызывает nporpaMMY просмотра правил;
. Surface вызывает проrрамму просмотра поверхности вывода.
В левой нижней части рабочеrо интерфейса редактора FIS имеется 5 paCKpы
Вающихся меню:
О And method (Метод лоrической конъюнкции) позволяет задать один из сле
дующих методов для выполнения лоrической конъюнкции в условиях нечет
ких правил:
· min метод минимальноrо значения (6.2);
· prod метод алrебраическоrо произведения (6.3);
· Custom метод, определенный самим пользователем.
О Or method (Метод лоrической дизъюнкции) позволяет задать один из сле
дующих методов для выполнения лоrической дизъюнкции в условиях нечет
ких правил:
. тах метод максимальноrо значения (6.6);
· probor метод алrебраической суммы (6.7);
. Custom метод, определенный самим пользователем.
О Implication method (Метод вывода заключения) позволяет задать один из
следующих методов для вьшолнения (активизации) лоrическоrо заключения в
каждом из нечетких правил:
· min метод минималыюrо значения (7.6);
. prod метод алrебраическоrо произведения (7.7);
. Custom метод, определенный пользователем. Это меню не используется
для систем нечеткоrо вывода типа CyreHo.
О Aggregation method (Метод аrреrирования) позволяет задать один из сле
дующих методов для аrреrирования значений функции принадлежности каж
дой из выходных переменных в заключениях нечетких правил:
. тах метод максимальноrо значения (6.6);
. sum метод rраничной суммы (6.8);
664
Часть fV. Приложения
. probor метод алrебраической суммы (6.7);
. Custom метод, определенныЙ пользователем.
Это меню не используется для систем нечеткоrо вывода типа CyreHo.
О Dеfuzzifiсаtiоп method (Метод дефаззификации) позволяет задать один из
следующих методов для выполнения дефаззификации выходных переменных
в системе нечеткоrо вывода типа Мамдани:
. centroid метод центра тяжести для дискретноrо множества значениЙ
функции принадлежности (7.1 О);
. bisector метод центра площади (модификация (7.11»;
. тот (middle of mахiШllm) метод среднето максимума, опредеЛяеМЫЙ как
среднее арифметическое левоrо и правоrо модальных значений;
· som (sшаllеst of шахiшum) метод левоrо модальноrо значения (7.12);
· 10т (lal"gest of mахimшn) метод правоrо модальноrо значения (7.13);
. Custom метод, определенный самим пользователем.
Для систем нечеткоrо выВода типа Сутено можно выбрать один из следующих
методов дефаззификации:
. wtaver (weighted avel"age) метод взвешенноrо среднеrо (7.15);
. wtsum (weighted sum) метод взвешенной суммы (7.16).
.) FIS Editor: tфреr
t=ile 'ЕФ! v ;i':;";:i,;,,
.;. 1:1 х
.jl'"".-
<,. . .;..
I'pper
1m
(mamdan,)
IIp
food
I : ,#\; ,tlPf ' :;"1;:'.i( , .,', (", (. -' " . '" .,' ",,: , I ,T "
j; f: ; ': t d; : j ?; :
I srl$m f ;;,i +A;o r:; ciзrtl ':: . " "
:: ' Y'"''
",!
,, (!I, !,, 1
!i;, ;(9 HJ ] "\;;;.,
,. 'CiAэ е
, 1I
J
'. :::; 1 i ' : . :- ;.
Рис. ПЗ.11. rрафический интерфейс редактора FIS,
вызываемый функцией fиzzy ( I tipper')
Приложение З. Справочник функций naкета Fuzzy Logic Т oofbox системы МА ТLAB 665
Более подробно особенности работы с редактором FIS были изложены в 2лаве 12.
f1iе;' if .;'i Е! ; ; : *-;i i :Ш ' : !; :f: f Ыi ! liri' "' I J
fиzzy{ 'tipper')
Результат выполнения функции fиz zy изображен на рис. П3.1 1.
См. также: mf"edit, ruleedit, rиleview, s\lrfview, anfisedit.
gaиss2тf
Назначение. Встроенная П образная функция принадлежности, которая является
комбинацией двух функций raycca.
Синтаксис. у gaиss2mf (х, [sig1 сl sig2 с2])
Опuсшше. Функция raycca описывает плотность нормальноrо распределения,
определяется выражением (2.22) и зависит от двух параметров sig (или а) И с.
Функция gauss2тf является комбинацией двух таких функций. Первая функция
raycca задается параметрами sig1 и cl и определяет форму кривой функции
принадлежности слева от модальноrо значения. Вторая функция raycca задается
параметрами sig2 и с2 и определяет форму кривой функции принадлежности
справа от модалыюrо значения.
Если выполняется неравенство cl<c2. то функция gaиss2mf достиrает CBoero
максимаЛЫlOrо значения. paBHoro 1. В противном случае ее максимаЛЫlOе зна
чение меньше 1. Параметры должны быть указаны в следующем порядке: [sigl
с1 sig2 с2].
[t! ;3 i : } iE : ' : : .; :::: :' : ti i tJ ;;';1 !ftfJ,1; Л 1
х == 0:0.1:10;
у1 gaиss2mf(x, [2 4 1 8] ) ;
у2 gaиss2mf(x, [2 5 1 7] ) ;
уЗ gaиss2mf(x, [2 б 1 б] ) ;
у4 gaиss2тf(x, [2 7 1 5} ) ;
у5 gaиss2тf (х, [2 8 1 4] ) ;
рlоt(х,уl,х,у2,х,уЗ,х,у4,х,у5)
rрафики соответствующих функций принадлежности, полученные в результате
выполнения указанной последовательности команд, изображены на рис. П3.12.
666
Часть fV. Приложения
08
06
0.4
2
з
4
5
6
7
8
9
10
Рис. ПЗ.12. rрафики нескольких функций принадлежности,
являющихся комбинацией двух функций raycca
Си. также: dsigmf, gauss2тf, gbellтf, evalтf, тf2тf, pimf, psigmf.
sigmf, smf, trapтf. trimf, zmf.
gaиssтf
Нашачеllие. Встроенная П образная функция принадлежности типа функции
raycca.
Синтаксис. у == gaussmf (х, [sig с])
Описание. Симметричная функция raycca описывает плотность норtvtaльноrо
распределения и определяется выражением (2.22). Эта функция имеет два пара
метра: sig (или а) и с, которые задаются в форме вектора [sig с].
i g # E: :., g i; ii#.; ,: '::':: : :::: ;: ::::: : :: ':::.:::::::: ; : ]
x==O:O.l:lO;
y==gaussтf(x, [2 4]);
plot(x,y)
rрафик ЭТОЙ функции принадлежности изображен на рис. 2.18, б.
См. также: dsigmf, gauss2mf, gbellтf, evalmf, mf2mf, pimf, psigmf,
sigmf, smf, trapmf, trimf, zmf.
gbe//тf
Назначение. Встроенная П образная функция принадлежности типа колоколооб
раЗНОй кривой.
Синтаксис. у == gbellmf (х, params)
Приложение З. Справочник функций пакета Fиzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 667
Описание. Данная обобщенная функция принадлежности типа колоколообраз
ной кривой (П образная функция принадлежности) определяется выражением
(2.21) и зависит от трех параметров: а, Ь, с, при этом параметр Ь должен быть
обязательно положительным. Эти параметры являются вторым aprYMeHToM
функции и задаются в форме вектора params, компоненты KOToporo записыва
ются в следующем порядке: [а Ь С).
m ii ;t,;E.} 1;p fil t 1 i :: : : :;': :::::>:: ;: . : :: ::::: ::! J
x==O:O.l:lO;
y==gbellmf(x, [2 3 б]);
plot(x,y)
[рафик этой функuии принадлежности изображен на рис. 2.18, а.
См. maK:JICe: dsigmf, gaиssmf, gaиss2mf, evalmf, mf2mf, pimf, psigmf,
sigmf, smf, trapmf, trimf, zmf.
geпfis 1
Назначение. rенерирует структуру системы нечеткоrо вывода FIS на основе экс
периментальных данных без кластеризации этих данных.
Синтаксис. fismat == genfisl (data)
fismat == genfisl(data,nиmМFs,inmftype, oиtmftype)
Описание. Функuия genfisl rенерирует систему нечеткоrо вывода FIS типа CyreHo,
которая может быть использована в качестве исходной структуры для инициали
заuии параметров функuий принадлежности в процессе обучения rибридной сети
anfis. Эта функция в формате genfisl (data, nurnМFs, inmftype, oиtmftype)
rенерирует структуру FIS на основе некоторой обучающей выборки с именем
data с использованием HeKoToporo сеточноrо разбиения этих данных без их кла
стеризации.
Арrументами этой функции являются:
CJ data матрица данных (обучающая выборка), последний столбец которой
соответствует единственной выходной переменной, а остальные столбцы co
ответствуют входным переменным;
CJ nиmМFs вектор, компоненты KOToporo определяют количество функций
принадлежности у каждой из входных переменных. Если пользователю необ
ходимо задать одинаковое количество функций принадлежности для всех
входных переменных, то для этоrо достаточно задать aprYMeHT nиmМFs как
обычное число (скаляр);
CJ inmftype массив строковых значений, каждое из которых специфицирует
тип функции принадлежности для соответствующей входной переменной.
Аналоrично, если пользователю необходимо определить один и тот же тип
668
Часть IV. Приложения
ФУНКЦИИ принадлежности для всех входных Ilеременных. То для этоrо ДOCTa
точно задать этот aprYMeHT как простую строку;
(j oиtmftype строка, которая специфицирует тип функции принадлежности
выходной переменной. Поскольку используется система нечеТКОI'О вывода
типа CyreHo, то существует только одна выходная переменная. Тип фУНКЦIIИ
принадлежности выходной переменной может быть или линейным. или KOH
стантой.
Количество функций принадлежности для выходной переменной должно быть
равно количеству правил, rенерируемых функцией genfisl. По умолчанию зна
чение apryMeHTa nиmМt's равно 2, а тип функций принадлежности входных и вы-
ходной переменных равен 'gbellmf'. Эти значения используются всякий раз,
коrда функция genfisl вызывается без последних трех aprYMeHToB.
0.8
Об
0.4
02
О
О
, .
r .. r
L L
, ,
, .
... .
, .
, .
, ,
, .
... ... "'r"'''' '''' ''' .... ""r ...........
, ,
, ,
, ,
r ..... ....._
..L...... ... ......... ......
.. .....
..r .... ... ...
0.2
0.4 06
input 1 (plmf)
0.8
08
06
0.4
0.2
О
А .3
2
1
О 1
input 2 (trimf)
2
3
4
5
Рис. ПЗ.1З. Результат выполнения функции genfisl
!mтf fi!i ;kcf! Е i; !; : ; :':'::: ь !l i : i :; . : :;; : ! r , *1i k lliI
data [rand(10,1) 10*rand(10,1) 5 rand(lO,l)];
пl.Ш'МFs
mfType
fismat
[х, mf]
[3 7];
str2mat ( 'pimf I , I trimf' ) ;
gепfisl(dаtа,пl.Ш'МFs,mfТуре!;
plotmf(fismat,'inpиt',l);
Приложение З. Справочник функций пакета Fиzzy Logic Т oofbox системы МА ТLAB 669
sиbplot(2,l,1), plot(x,mf);
xlabel('inpиt 1 (pimf) ');
[x,mf] plotmf (fismat, 'iпpиt' ,2) ;
sиbplot(2,1,2), рlоt(х,шf);
xlabel('inpиt 2 (trimf) ');
Результат выполнения функции gепfisl изображен на рис. П3.13.
См. тaKJJCe: anfis.
geпfis2
Назначение. rенерирует структуру системы нечеткоrо вывода FIS с использова
нием метода субтрактивной кластеризации.
Синтаксис. f'ismat == genfis2 (Xin, Xout, radii)
fismat geпfis2(Xin,Xout,radii,xBounds)
fismat == genfis2(Xin,Xoиt,radii,xBoиnds,options)
ОIlUСШlllе. Функция genfis2 rенерирует структуру системы нечеткоrо вывода
FIS методом субтрактивной кластеризации на основе экспериментальных ДaH
ных, заданных в виде двух отдельных множеств входных и выходных данных.
Если задана только одна выходная переменная, функция genfisl может быть
использована для rенерации структуры адаптивной системы нейро нечеткоrо
вывода (FIS типа CyreHo) с целью ее последующеrо обучения на основе предва
рительной субтрактивной кластеризации экспериментальных данных.
Функция genfis2 выполняет rенераuию структуры посредством спецификации
множества правил, которые соответствуют исходному множеству данных. При
формирования правил нечетких продукций для определения количества правил
и функций принадлежности их условий на первом этапе используется функция
sиbclust. На втором этапе методом наименьших квадратов определяются за
ключения правил нечетких продукций. В итоrе функция genfis2 возвращает
структуру системы нечеткоrо вывода FIS, база правил которой охватывает все
пространство экспериментальных данных.
Арrументами этой функции являются:
CJ Xin матрица, каждая строка которой представляет исходные значения
входных переменных;
CJ Xoиt матрица, каждая строка KOTOp011 представляет исходные значения
выходных переменных;
CJ radii вектор, который задает интервал (радиус) влияния центров класте
ров по каждой координате векторов исходных данных в предположении, что
все данные находятся ВНУТРИ HeKoToporo единичноrо rиперкуба;
Например, если используются 3 MepHыe исходные даННЫе, т. е. матрица Xin имеет
2 столбца, а матрица xoиt . 1 столбец, то значения radii [0.5 0.4 О. З]
670
Часть IV. Приложения
задают относительные интервалы влияния в пределах рассматриваемоrо rипер
куба по каждой из трех переменных: по первой входной переменной 0.5, по
второй входной переменной 0.4, и по выходной переменной 0.3. Если па
раметр radii является скаляром, то соответствующее значение относится к
каждой из переменных нечеткой модели, т. е. центр каЖдоrо кластера будет
иметь сферическую окрестность влияния заданноrо радиуса;
(j xBoиnds необязательная матрица размерности (2хп), специфицирующая
диапазоны значений по каждой из входных и выходных переменных нечеткой
модели (здесь fl общее количество входных и выходных переменных). Эта
спецификация необходима для преобразования исходных значений в зна че
ния единичноrо пшеркуба. Первая строка матрицы xBoиnds задает мини
мальные значения диапазона значений по каждой из осей MHoroMepHbIx дaH
ных, а вторая строка дает максимальные значения диапазона значений по
каждой их осей MHoroMepHbIx данных.
Например, значения матрицы xBoиnds [ 10 О 1; 10 50 1] определяют,
что исходные данные по первой оси нормализуются в интервале [ 10, 10], ис
ходные данные по второй оси в интервале [О, 1] и исходные данные по
третьей оси нормализуются в интервале [ I, 1]. Если матрица xBoиnds не за
дана, то диапазоны нормализации значений определяются по умолчанию
как минимальные и максимальные значения каждой их переменных нечеткой
модели, присутствующие в исходных данных;
(j options необязательный вектор, который специфицирует параметры ал
rоритма rенерации структуры FIS аналоrично параметрам функции
subclиst. Более подробно эти функции рассматриваются в 2лаве J 3.
fi ;;;i.= : :::::: :: :::: :; ::: :: ::::.:. ::::]
fismat genfis2(Xin,Xoиt,O.5);
l :fi 1ie ::::::::::.: ::: :::: :: ==:::::]
fismat genfis2(Xin,Xout,0.5, [ 10 5 О; 10 5 20]);
в данном случае задается параметр нормализации для преобразования значений
матриц Xin и Xout в значения единичноrо rиперкуба, т. е. в интервал [О, 1] по
каждой из переменных. Поскольку для рассматриваемоrо примера матрица Xin
имеет 2 столбца, а матрица Xoиt 1 столбец, то выполняется шкалирование по
каждой их переменных. При этом значения первой входной переменной HopMa
лизуются в интервале [ 10, 10], второй входной переменной в интервале [ 5, 5],
а выходной переменной в интервале [О, 20].
См. также: sиbclust.
Приложение 3. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 671
geпsиrf
Назначение. rенерирует поверхность нечеткоrо вывода FIS.
Сишпаксис. gensиrf (fis)
refinpиt)
Описание. Функция gensurf (fiз) позволяет получить изображение поверхности
нечеткоrо вывода для одной из выходных переменных структуры системы нечет
Koro вывода FIS с именем fis. В этом формате для построения поверхности BЫ
вода используются первые две входные переменные и первая выходная перемен
ная структуры fis.
Функция gensиrf (fis, inpиts, output) во втором формате позволяет полу
чить изображение поверхности нечеткоrо вывода для одной или двух входных
переменных, номера которых задаются вектором inpиts, и одной выходной
переменной с номером оutрцt для структуры системы нечеткоrо вывода FIS с
именем fis.
gensиrf(fis, inpиts, outpиt)
gensиrf(fis, inpиts, oиtpиt, grids)
gensurf(fis, inpиts, outpиt, grids,
Функция gensиrf (fis, inputs, oиtpиt, grids) в третьем формате позволяет
получить изображение сетки на рисунке поверхности нечеткоrо вывода для пер
вой rоризонтальной переменной и второй вертикальной входной переменной.
При этом номера переменных задаются вектором grids.
Функция gensurf(fis, inpиts, oиtpиt, grids, refinput) в четвертом
формате позволяет получить изображение поверхности нечеткоrо вывода для
более чем двух выходных переменных. В этом случае вектор refinpиt задает
номера входных переменных, которые рассматриваются как неизменяющиеся.
Функция может быть также вызвана в формате [х, у, z] ==gensиrf ( . . . ) .
в этом случае она возвращает значения переменных, которые определяют по
верхность вывода и MorYT быть использованы для изображения этой поверхно
сти средствами rрафики МА TLAB.
[ ; : :?E::ii: :f : :, ::::: :;:;:::::::: :::,::::: ::'::::::: ':: ,:::::::::::,:::::: :::' ::::::::::::::::::::::::]
а == readfis('tipper');
gensиrf(a)
rрафик полученной поверхности нечеткоrо вывода изображен на рис. П3.14.
См. тaK:JICe: evalfis, sиrfview.
672
Часть /V. Приложения
- - _:: "
_-- ,, K '<
.... . >--
..,
.:
i",.
:.; c \ \ ,<
, . \ '-.
\ , ," \ \-.' :'- ,
... ...
,.,,)tj; >',: ; 'j '-
t;:> .. : ",. ........ ......
:" --,._, 10
'-_ . 8
е
4
2 servl (е
О
"...: /.
Q. 15_
'Р
;:'
10
,,'
",
.,'
10
5
food
о
Рис. ПЗ.14. rрафик поверхности нечеткоrо вывода, полученный
с помощью функции gensurf
getfis
Назначение. Позволяет отобразить различные свойства системы нечеткоrо BЫBO
да FIS.
СШl11ЮКСИС.
getfis (а)
getfis(a, 'fisprop')
getfis(a, 'vaLtype', varindex, 'varprop')
getfis(a, 'vartype', varindex, 'mf', mfindex)
getfis(a, 'vartype', varindex, 'mf',mfindex, 'mfprop')
Описание. Это основная функция, предназначенная для отображения в окне
команд отдельных свойств структуры системы нечеткоrо вывода FIS. Функция
getfis может использоваться в одном из 5 указанных форматов со следующими
арrументами:
(j а имя структуры FIS в рабочей области МА TLAB;
(j 'vartype' строка с указанием типа отображаемой переменной (input или
outpиt);
(j varindex целое число, соответствующее номеру отображаемой перемен
ной (например, I для первой из входных переменных);
(j 'mf' строка, указывающая на отображение информации о функции при
надлежности;
(j mfindex цеЛое число, соответствующее номеру отображаемой функции
принадлежности (например, 1 для первой JIЗ функций принадлежности).
Приложение 3. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Toolbox системы МА ТLAB 673
t [ !l i i I J: i } re I Еj;:;:"': ;1Ш:::it i i :
а readfis('tipper');
getfis(a)
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
Name tipper
Туре mamdani
Numlnpиts 2
InLabels
service
food
NumOиtpиts == 1
OиtLabels ==
tip
NиmRиles == 3
And1VJethod == min
OrMethod == тах
ImpMethod min
AggMethod тах
DefиzzMethod == centroid
ans ==
tipper
[l E !pj,if ?j : ; I j i. . : i. i :: f? !: J.i. l : :2t i ;:: ! [ : : ; : EJ
getfis (а, 'type' )
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
ans ==
rnamdani
I( &; p.:r. ;i ;ig ; P:: :: !P. : . :f ! ii : :::r: ::':::':: !.! ; :E ?:]
getfis(a, 'input',l)
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
Name ==
NurnМFs
MFLabels
service
з
674
Часть /v. Приложения
poor
good
excellent
Range
[О 10]
ans
[ ]
Iiч f Бi ; ; ' !J :: Ш , :: ::,: :::,: :::: : ;: :': :]
getfis(a, 'input',l, 'пате')
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
ans
service
kfji; i g;; f ;' i i !. : :Б :: i j :! j:: ::::l !. : : : :;:: :::' : ::;: J
getfis(a,'input',l, 'mf',2)
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
Naтe good
Туре gaussmf
Params [1.5 5]
ans
[ ]
r i !#. ; ! ;I ili ;gf :;: : : iE Fi M ; : ::::':::':: ' ::;: : ::: :: ': lEj
getfis(a,'input',l, 'mf',2,'naтe')
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
ans
good
См. также: setfis, showfis.
тaт2sиg
Назначение. Преобразует систему нечеткоrо вывода FIS типа Мамдани в систему
нечеткоrо вывода FIS типа CyreHo.
Синтаксис. sug fis mam2sug (mam fis)
Приложение З. Справочник функций пакета Fиzzy Logic Т oolbox системы МА ТLAB 675
Описание. Функция mam2sиg преобразует структуру FIS типа Мамдани с именем
тат fis (не обязательно с единственным выходом) в структуру FIS типа CyreHo
с именем sиg fis. Получаемая в результате система нечеткоrо вывода типа Cy
reHo имеет функции принадлежности, каждая из которых имеет некоторое по
стоянное значение. Эти константы определяются методом центроида дЛЯ COOT
ветствующих функций исходной системы нечеткоrо вывода типа Мамдани. При
этом условия правил нечеткоrо вывода остаются без изменений.
:,' 't:'-. ':'':' ...... ;;." ; : : ; :"'П:!; ";.К. 'l .! .i. :; . . .... ,:,:,:,. '':' :''' P1!'; . ';, "-"' .. ,!,": ' ..> ,! ''- ".. . j ':: '. ?'. t. ".. !' ':' ".. !':' "': ;"/'" . , , .... '=: ':' 1 ,'! !.;- -".... . ':, _ ' ,1- о.:" -''''' '=t'):: Сс'i'' :';':', ... .(; .....,, ,".. !
. F1J)и еl?;ИCf'lОЛЬЗ9ваIiИЯ;ФУНКЦ I[ ИiJiiV{1 stig::w1я о6ра39.&I;'Нl!tя;:b:rpУК11'ры'FI$(,;
! . .M. , i. i!t : t !fl! ;, i Е :. ! -..._ :.:. j,..:; :1
mam fismat readfis('tipper.fis');
sug fismat mam2sug(mam fismat);
sиbplot(2,2,1);
gensиrf(mam fismat, [1 2], 1);
titlе('Система нечеткоrо вывода типа Мамдани');
sиbplot(2,2,2);
gensurf(sug fismat, [1 2], 1);
titlе('СиСтема нечеткоrо вывода типа Cyreнo');
Результат выполнения этой последовательности команд изображен на рис. П3.15.
.) Fiqure No. 1
J :_'; : w'.:ri ;.;O; ;.' ? " .;;.
с. стем8'нечеткQrо8ыQдаa тила. амдани
.;..
20
, с:",15
"'" .'-
10
"10-
food
.о '.о
БеМсе
о х
Система Н .\j.ет!<бrо еы10J:j?Jтипаa CyreHo
20
,]:).15
<
.1.0
1.0
1.0
10
fooa
о .()
seMce.
Рис. ПЗ.15. Преобразование системы нечеткоrо вывода типа Мамдани
в систему нечеткоrо вывода типа CyreHo
mf2mf
Назначение. Преобразует параметры двух функций принадлежности.
Синтаксис. outParams mf2mf (inParams, inType, oиtType)
676
Часть IV. Приложения
Описание. Эта функция преобразует одну из встроенных функций принадлежно
сти в любую друrую встроенную функцию принадлежности. При этом подобное
преобразование выполняется на уровне пара метров соответствующих функций
принадлежности. В принципе функция mf2mf сохраняет точки симметрии староЙ
и новой функций принадлежности. Однако результат выполнения преобразова
ния может привести к потере информации при выполнении обратноrо преобра
зования новой функции принадлежности в функцию принадлежности исходноrо
типа. В этом случае преобразованная функция принадлежности может по своему
виду отличаться от первоначальной функции принадлежности.
Функция mf2mf имеет следующие входные aprYMeHTbl:
(j inParams параметры исходной функции принадлежности, которая подле
жит преобразованию;
(j inType строка с именем типа исходной функции принадлежности, которая
подлежит преобразованию:
(j outType строка с именем типа новой функции принадлежности, в который
преобразуется исходная функuия принадлежности.
mf; ;;i ;:;' 1 ; 1
х==О:О.1:5;
mfpl == [1 2 3];
mfp2 == mf2mf(mfpl,'gbellmf','trimf');
plot(x,gbellmf(x,mfpl),x,trimf(x,mfp2))
Результат выполнения этой последовательности команд изображен на рис. П3.16.
, : : : ]
. -
, ,
, .
. , ,
-- - - ---- - -- - ----- -
, .
.
I I I r I I I
О 4 -: - : - - - -: - - - - : - - - - - - - - -
I I I I I I
I I I I I I
. I I I I I
I I I I I I I
-- --- ,- - ---- -r--- - , T-- - r----- ,- -----
I I I I
. ,
,
, .
-- -- - -------- -
0.8
0.6
0.2
00
2
з
4
5
6
7
8
Рис. ПЗ.1б. rрафики П образной ИСХОДНОЙ функции принадлежности
и треуrольной ФУНКЦИИ принадлежности, полученной в результате
преобразования с помощью функции шf2mf
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Log;c Тоо/Ьох системы MAТLAB 677
См. также: dsigmf. gaussmf, gauss2mf. gbellmf. evalmf. pimf. psigmf.
sigrnf, smf, trapmf. trirnf, zmf.
тfedit
НазIlGче1/uе. Вызывает rрафический интерфейс редактора функций принадлежно
сти системы нечеткоrо вывода FIS.
Синтаксис. rnfedit (' а')
mfedit(a)
mfedit
Описаllие. Эта функция, записанная в формате mfedi t ( , а ' ) , вызывает редактор
функций принадлежности, который позволяет пользователю в rрафИ1lеском ре-
жиме анализировать и модифицировать все функции принадлежности некоторой
структуры FIS. сохраненной во внешнем файле с именем a.fis. Функция в форма-
те mfedit (а) работает с переменной рабочеI'О пространства MATLAB. COOTBeT
ствующей структуре FIS с именем а.
Функция в формате mfedi t просто вызывает редактор функций принадлежности
без заrрузки какой бы то ни было структуры FIS. ДЛЯ каждой функции принад
лежности можно изменить ее имя, тип и параметры. Редактор предоставляет
пользователю не только возможность выбрать любую из 11 встроенных функций
принадлежности, но и задать собственную функцию принадлежности.
Для отображения rрафиков функций принадлежности следует выбрать необхо
димую переменную в левой части rрафическоrо интерфейса редактора (под ЗaI'О
ловком FIS VariabIes (Переменные FIS). Чтобы выбрать нужную функцию при
надлежности. следует щелкнуть на ней или ее метке.
Редактор функций принадлежности имеет rлавное меню проrраммы, которое
позволяет пользователю вызывать .цруrие rрафические средства работы с систе-
мой нечеткOI'О вывода FIS. заrружать и сохранять структуру FIS во внешних
файлах и т. д.
О Пункт меню File (Файл) редактора функций принадлежности содержит такие
же операции, что и соответствующий пункт меню редактора FIS.
О Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие'операции:
. Undo отменяет выполнение последнеrо действия;
. Add MF... позволяет добавить встроенную функции принадлежности
термов для выбранной переменной;
. Add Custom MF... позволяет добавить пользовательскую функцию при-
надлежности для отдельной переменной;
. Remove Current MF позволяет удалить отдельную функцию принадлеж
ности;
. Remove АН MFs позволяет удаЛIIТЬ все функции принадлежности ЛЛЯ
отдельной переменной;
678
Часть IV. Приложения
. FIS Properties... вызывает rрафический интерфейс редактора FIS;
. Rules... ВblЗblвает rрафический интерфейс редактора правил FIS.
О Пункт Меню View (Вид) содержит следующие операции:
. Rules вызывает проrрамму просмотра правил FIS;
. Surface вызывает проrрамму просмотра поверхности вывода FIS.
Раскрывающееся меню типов функций принадлежности позволяет выбрать одну
из 11 встроенных функций принадлежности. При этом можно также модифици
ровать существующие функции принадлежности или определить пользователь
ские функции принадлежности.
E fi!; ; 5 ; i ; 5i i i ;;: : :' :':; :::: : :::: ::: :: ::; :::::::::::::::::: : : ::: =::::::':: : f
mfedit ('tipper')
Результат выполнения функции mfedi t ( , tipper') изображен на рис. П3.17.
.) Membership Function Editor: tipper
- -: 1.c>.K !f :, , , __., :t;, _ . . _ >:JJ: - - : :
FIS VariabIes r ' ' . , : ers -= O ;! plot pOints: J181..,
pdor good excEillent
1 '
..... D ,)(
1XZl
selVlce
f\7\T'
i. J
tip
_ l _ J"..
food
, !
о
2
(;
'"
:.]
' .'
' '. . t sf{ie!F Jc!i O MF. c(
} ii'! :::
11'\14'./-
;
. e
" 1 oor
. rt>
- . - , :1 :
T I?,,"
: r-
1 ; I\1f,'"
:.tI
, ' 1 [010] .: : j [l.50]
.: ; ' i ' -:; ( :.. ."'10.. (
J Зr ..и
.,:,
. '.
.@.;?'
Рис. ПЗ.17. Редактор функций принадлежности,
вызванный функцией mfedi t ( 'tipper')
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Toolbox системы MAТLAB 679
Более подробно особенности работы с редактором функций принадлежности
изложены в 2]юве 12.
С}н. тaKJ/ce: fuzzy, ruleedi t, ruleview, surfview.
пewfis
Назначение. Создает новую систему нечеткоrо вывода FIS.
Синтаксис. a""newfis (fisName, fisType, andMethod, orMethod,
impMethod, ... aggMethod, defuzzMethod)
Описание. Эта функция предназначена для создания новых структур систем He
четкоrо вывода FIS. Функция newfis имеет 7 aprYMeHToB и возвращает елинст
венное значение структуру FIS с именем а. Арr:ументами функции являются:
О fisName строка с именем создаваемой структуры FIS, при этом также соз
дается файл с именем fisName.fis;
О fisType тип системы нечеткоrо вывода FIS;
О andMethod, orMethod, impMethod, aggMethod, defuzzMethod COOTBeTCT
венно задают методы для выполнения нечетких лоrических операций AND, OR,
импликации, аrреrирования и дефаззификации. Если эти aprYMeHTbI не указа
ны, то задаются соответствующие им значения по умолчанию.
m ;; :! f!:::.:'.":::: ' "!
a""newfis('newsys');
getfis(a)
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
Name newsys
Туре mamdani
Nшnlпрuts О
InLabels =;
NшnОutрuts О
OutLabels ==
NumRules == О
AndМethod == min
OrMethod == mа:х
ImpMethod == min
AggMethod == та:х
DefuzzMethod == centroid
680
Часть IV. Приложения
апз ""
newsys
С"". таК.же: readfis, writefis.
parsrи/e
Назначение. Осуществляет rрамматический анализ нечетких правил.
Оттаксис. fis2 == parsrule (fis, txtRuleList)
fis2 == parsrule (fis,txtRuleList, ruleFonmat)
fis2 == parsrule(fis,txtRиleList,ruleFormat,lang)
Описание. Эта функция выполняет rpаммаТИLlескую проверку текста в правил ах
нечетких продукций для структуры нечеткоrо вывода в рабочей области системы
МА TLAB. Функция может иметь следующие aprYMeHTbI:
О fis имя структуры системы нечеткоrо вывода в рабочей области;
О txtRuleList строка текста, которая определяет некоторое правило He4eT
кой продукции;
О ruleFormat строка, определяющая формат представления правил нечетких
продукций, которая может принимать одно из следующих значений:
. 'verbose' текстовый формат (по умолчанию);
. ' symbolic' символический формат;
. ' indexed' цифровой формат:
О lar!g строка, определяющая язык записи правил нечетких продукций, KO
торая может принимать одно из следующих значений:
. 'english' анrлийский язык;
· 'francais' французский язык;
· 'deиtsch' немецкий язык.
[ й ll! i iiр1; ,..
. lm! !; ;I ! ; k i: .. ! :: :'::: : 1 :: 1)
а == readfis('tipper');
ruleTxt == 'if service is poor then tip is generous':
а2 == parsrule (а, rиleTxt, 'verbose');
showrule(a2)
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
ar!s ==
1. If (service is poor) then (tip is generous) (1)
Си. так:нсе: addrule, ruleedi t, showrиle.
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 681
pimf
Назначение. Встроенная П образная функция принадлежности.
СинтаКСllС. у pimf (Х, [а Ь с d])
Описшше. Эта функция принадлежности определяется как алrебраИ4еское произ
ведение двух сплайн функциЙ (2.19): Z образной функции ВИда (2.11) и S об
разной функции вида (2.13). Вторым aprYMeHToM этой функнии является вектор
параметров [а Ь с d]. При этом параметры а И Ь характеризуют Z 06разную
кривую, а параметры с и d характеризуют S образную кривую.
fi i!'i ;: Ж gе t т :! t JfI) r'...
х==О:О.1:10;
y=pimf(x, (1 4 5 9]);
plot (х, у)
rрафик JТОЙ функции принадлежности изображен на рис. 2.16, б.
C'l-t. maK.JlCe: dsigrr.f, gaussmf, gauss2mf, gbellmf, evalmf, mf2mf, psigmf,
sigmf, smf, trapmf, trimf. zmf.
p/otfis
Назначение. Изображает диаrрамму СИС1СМЫ нсчеткоrо вывода FIS.
Синтаксис. plotfis (fisIТlac: )
Оllllсшше. Эта функция изображает Дl1аrрамму BepXHel'o уровня системы He4eT
Koro вывода FIS с именем fisH.at. В\.одные переменные и их функции принад
лежности располаrаются слева 01 (труктурных характеристик FIS, в то время
как выходные переменные и их функции Ilринадлежности располаrаются справа.
t 9.R; if ? : i : :::::::::::::::::::::; : ::::::: ::::::: :::':::;:: : :: ;;::::: ;:; .:::::::::::: : :: ]
а readfis('tipper')
plotfis{a)
Результат этоrо вызова ФУНКIlИИ plotfis и'ю6ражен на рис. П3.l8.
См. таК.Jlсе: plotfis, еvаlП'.f.
682
Часть IV. Приложения
-) Figure No. 1
fd fd ,:'1f,: ) , I I:;':;:?,: }P
о х
IZZJ
-
Ilpper
[м6]
service (3)"
(mamdanr)
IП]
"
з rules
tJp (3)
fQod(2)
Svslem tjp"er:2 in"uts, 1 out"uts. 3 ru1es
Рис. ПЗ.18. Результат использования функции plotfis
для изображения диаrраммы системы нечеткоrо вывода FIS
p/otтf
Назначение. Изображает rрафики всех функци i принадлежности для заданной
переменной.
Синтаксис. plotmf (fismat, varType, vаrlпdех)
Описание. Эта функция изображает rрафики всех функций принадлежности для
некоторой переменной из системы нечеткоrо вывода FIS с именем fismat, кото-
рое является первым артументом этой функции. Вторым и третьим арrументами
являются тип и номер соответствующей переменной: varType (, iпрut ' или
'output ,) и vаrlпdех. Эта функция также может быть использована с функцией
subplot.
: 'j, ,;.;:;, ;.::.: :,. .\..., !: i :::::::: :::: ::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: : :::::::::]
а = readfis('tipper');
plotmf(a, 'input',l)
Результат этоrо вызова функции plotmf изображен на рис. П3.l9.
См. также: evalmf, plotfis.
Приложение 3. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 683
а. 0.8
:.Е
u)
ф
06
ф
Е
0.4
ф
5
ф
00.2
о
о
2
4
6
8
10
service
Рис. ПЗ.19. Результат использования функции plotmf
для изображения функций принадлежности первой
из ВХОДных переменных системы нечеткоrо вывода FIS
psigтf
Назначение. Встроенная П образная функция принадлежности, являющаяся про
изведением двух сиrмоидальных Функuий.
Синтаксис. у psigmf (х, [а Ь с d))
Описание. Эта функция принадлежности определяется как алrебраическое произ
ведение двух сиrмоидальных функций (2.20), каждая из которых задается как
функция вида (2.14). Вторым apr'YMeHToM этой функции является вектор пара
метров [а Ь с d). При этом параметры а И Ь характеризуют первую сиrмои
дальную функцию, а параметры с и d вторую сиrмоидальную функцию.
: .e_ ;. . : . . ,':" ."''': .''''...': ";': ", t ": ' ,.,;! ': "'.:"/! !, ,"". ::" :; "' ':" "- '{ :'": !'i'!" ':'.: ;' , J, " ! ':"''' ":" " ", !":, ,,, , :..,,, - "- " . 7-.' .... .. :" ; '::......! < ... '::0" ': ':;" ; .. :' .. ":;';"! . ::.. ".,:, : .. .. ...!._ ...... . "'::, ;........ ........ ,"
tПр..."ер';зздаНИЯ.:функции;nриtlcmп е ЖНОСТИ'j;)sig1D.fi" ,: ; .;('/
:::1: ":';.i. ..::l'tj-:; ..i';,.">:i ;;,; '.;;.r;.::::,; 4 "';4 :....: ."".i... ';i,'.. '.. . <. ;:-,;{'Пh:.. ,;: П.; ;. .. ,;'; - .. .:;. ,;.-";, .1.,;.... ; ;'ii.'\;;;I;.. . .. -.. ' .; - .......... ... '. _ а. ;;- _ ';.-.. ..;;,,; ..'_' ..v .>;.';, '"... ....;.;:...:.,,"-': ....... ..-... -...,j;.. ..':. ..:.'w... ....... ';; ";;;"....>.-... .),.' "'':.'' ;
x O:O.l:lO;
y psigmf(x, [2 4 5 9]);
plot (х, у)
rрафик этой функции принадлежности изображен на рис. 2.17, 6.
См. тaK:JICe: dsigmf, gaussmf, gauss2mf, gbellmf, evalmf, mf2mf, pimf,
sigmf, smf, trapmf, trimf, zmf.
684
Часть /V. Приложения
readfis
Назначение. Заrружает систему нечеткоrо вывода FIS из внешнеrо файла.
СН1llпаксис. fismat == readfis ( 'filename')
Описание. Эта функция считывает систему нечеткоrо вывода из внешнеrо файла
с именем filename, имеющеrо расширение fis, и заrружает ero данные в рабочую
область. ЕСЛII данная функция вызывается без aprYMeHTa, то открывается CTaH
дартное диалоrовое окно открытия файла.
!;Ч; g 1 :......" ........:. MI\[ ;. t :; f}; ; ,
1 t.i jfi;. .. 'i;: i. 4
fismat == readfis('tipper');
getfis(fismat)
в этом случае в окне команд будет выведена следующая информация:
Name
Туре
Numlnputs
InLabels ==
ser"ice
tipper
тamdani
2
food
NumOt1tpllts ==
OutLabels ==
NumRules ==
AndМethod ==
OrNethod ==
tip
3
min
mах
ImpMethod == min
AggMethod == тах
DefuzzMethod == centroid
ans ==
tipper
См. f1laK.J/ce: wri tefis.
rттf
Назначение. Удаляет функцию принадлежности из системы нечеткоrо вывода
FIS.
Сннтаксис.
fis == rmmf(fis, 'varType', varlndex, 'mf', mflndex)
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Т oolbox системы МА ТLAB 685
Описание. Функция командной строки fis == rmmf(fis, varType, varII1dex,
'mf', mfInde:x) удаляет функцию принадлежности с номером mfIndex для типа
переменной varType (, iпрut' или 'outPl1t') и номером переменной 'JarIndex
ИЗ системы нечеткоrо вывода FIS, ассоциированной со структурой с именем f1.S.
Структура fis должна находиться в рабочей области системы MATLAB. При
этом требуется еще один aprYMeHT 'mf' строка, указывающая тип удаляемой
Функuии принадлежности.
r: g ; :: r. E : :: ::? :: : : : ], = LJi I::'" ..j 'i : 2 { ( ;
а == newfis ( 'mysys ' ) ;
а == addvar(a, 'input', 'temperatl1re', [О 1001);
а == addmf(a, 'input',l, 'cold', 'trimf', [О ЗО 60J);
getfis(a, 'input',l)
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
Name ==
NшnМFs
ME'Labels
cold
temperature
1
Range
[О 100]
tfRg ': s !iи :: i. :; : : i. : i:': :::::: i ::: ::: T ::::::::::::::::::::::::;/:: : E J
ь == rnf(a, 'input',l, 'mf',l);
getfis(b, 'input',l)
в этом СЛУLше в окно команд будет выведена слеДУК1щая информация:
Name ==
temperature
О
Nu.rrMFs
MFLabels
Range == [О 100]
См /7ЮК,Jfсе: addmf, addrule, addvar, plotmf, rmvar.
rmvar
Назначение. Удаляет переменные из системы нечеткоrо вывода FIS.
Си//1llаксuс. [fis2, errorStr'] == rmvat (fis, 'varType', varlndex)
fis2 rmvar(fis, 'varType', varlndex)
686
Часть IV. Приложения
Описание. Функция командной строки fis2 rmvar(fis, 'varType',
varlndex) удаляет переменную типа' varType' (, input' или' output ,) С HOMe
ром varlndex из системы нечеткоrо вывода FIS, ассоциированной со CTPYKTY
рой fis. Эта структура должна находиться в рабочей области системы
MATLAB. При этом происходит автоматическое изменение списка правил с цe
лью соrласования с новым числом переменных.
До удаления переменной из системы нечеткоrо вывода необходимо удалить все
правила, в которых используется удаляемая переменная. Нельзя удалить пере
менную, которая присутствует в списке правил. При наличии ошибки функция
возвращает сообщение об ошибке в строке с именем errorStr.
t "E ! f: !: ;; i M :: ; :' :: ::::::: :;;:::::::::' :: ::::: :::::::::: :::::: ::::,:::::::::::::::::::: : : : ..:::::::::]
а newfis('mysys');
а addvar(a,'input', 'temperature', [О 1001);
getfis (а)
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
Name
mysys
mamdani
Туре
Numlnputs
InLabels
1
temperature
NumOutputs О
OutLabels
NшnRulеs О
AndМethod min
OrMethod rnах
ImpMethod min
AggMethod rnах
DefuzzMethod centroid
ans
mysys
r f ;, !5. F E ! ; : i fi ! : i:::::: : :::::::: :::::::::; ::T:; ::::: ::<:,::::::: :: ' :I
Ь rmvar(a,'input',l);
getfis (Ь)
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Т оо/Ьох системы МА TLAB 687
в этом случае в окно команд будет выведена следующая информация:
Naтe mysys
Туре mamdani
Numlnputs О
InLabels
NumOutputs О
OutLabels
NurnRules О
AndМethod min
OrMethod тах
ImpMethod min
AggMethod тах
DefuzzMethod centroid
ans
mysys
См. также: addmf, addrule, addvar, rmmf.
rи/eedit
Назначение. Вызывает rрафический интерфейс редактора правил системы нечет
Koro вывода.
Синтаксис. ruleedit (' а')
ruleedit(a)
Описание. Эта функция, записанная в формате ruleedi t ( , а ' ) , вызывает peдaK
тор правил, который позволяет пользователю в rрафическом режиме анализиро
вать и модифицировать правила продукций системы нечеткоrо вывода FIS, co
храненной во внешнем файле с именем a.fis. Эта функция позволяет также
выполнять rрамматический анализ правил, которые используются внекоторой
системе нечеткоrо вывода FIS.
Чтобы использовать данный редактор для создания правил, необходимо пред
варительно определить все входные и выходные переменные, для чеrо можно
воспользоваться редактором системы нечеткоrо вывода FIS. При этом задать
правила можно с помощью выбора соответствующих значений термов входных
и выходных переменных.
Функция в формате rиleedit (а) вызывает редактор правил для переменной pa
бочеrо пространства МА TLAB, которая соответствует структуре FIS с именем а.
Редактор правил имеет rлавное меню, которое позволяет пользователю вызы
вать друrие rрафические средства работы с системой нечеткоrо вывода FIS, за
rружать и сохранять структуру FIS во внешних файлах и т. д.
О Пункт меню File (Файл) редактора правил содержит такие же операции, что и
соответствующий пункт меню редактора FIS.
688
Часть /V. При ложен ия
а Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции:
. Undo отменяет выполнение последнеrо действия;
. FIS Properties... вызывает редактор FIS;
. Membership Functions... вызывает редактор функций принадлежности.
L] Пункт меню View (Вид) содержит следующие операции:
. Rules вызывает nporpaMMY просмотра правил;
. Surface вызывает nporpaMMY просмотра поверхности вывода.
L] Пункт меню Options (Сервис) содержит следующие операции:
. Language позволяет выбрать язык для записи правил в форме текста:
English (анrлийский), Deutsch (немецкий) или Francais (французский);
. Format позволяет выбрать формат записи правил системы нечеткоrо
вывода: Verbose (в форме текста), Sушlюliс (в символической форме) илн
Indexed (в цифровой форме).
п) Rule Editor lipper
;;,flj Фki <; (j Ьt{.
';';;' D )(
. .
..' "';' . .' '_, , J: '-.::';1 ;<> '.," ' -.-..,
е.;:.>....
, :..- . .,..
1 !f 'Ser\(ICf! 1'; :'oor orltood1':: 16nс!rJ1ttl(Чl 1тl'Sche 1)
2 11 (ser.fice 15 good) Ihen (11p IS e.vercge) (1)
3.11 (5ervice 15 excellenl) оу (IOGd 1$ deilclOus) Ihen (tlp ' generous) (1)
. :J'''' . . . , ....
.;.;
.!J
good
. excl"IIenl
попе
:= ;; { ОУЗ
> : ; ,:..:::i !
: j ,я : , !'. iч? ;?ц:!; ; tЩ::):;'(:;:', ; ;;;?i\;; j< .,<.:,<;: < I r '..Help; ',[ I '> CIQSe 11
Рис. ПЗ.20. Редактор правил нечетки)( продукций,
вызываемый функцией r1l1eedit (' tipper')
При записи правил в форме текста Jl)HJ создания законченных предложений I1С
польз)'ются служебные слова "ir', "tI1СП", "AN 1)", "OR" и т. Д. При 1,Шllсlt праВII.:1
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 689
в символической форме эти служебные слова заменяются символами COOTBeTCT
вующих операций. Например, правило "if А AND В then С" преобразуется к ви.
ду: "А & В => С". Правила, записанные в цифровой форме, соответствуют фор
мату их представления в структуре FIS. Более подробно особенности работы с
редактором правил изложены в 2Лаве 12.
ruleedit('tipper')
Результат выполнения функции rиleedi t ( · tipper') изображен на рис. П3.20.
См. также: addrule, fuzzy, mfedit, parsrule, ruleview, showrule,
sиrfview.
rиlev;ew
Назиаченuе. Вызывает rрафическJ.tЙ интерфейс nporpaMMbI просмотра правил
системы нечеткоrо вывода FIS.
Сиитаксис. ruleview ( 'а · )
ruleview(a)
Описание. Эта функция, записанная в формате ruleview ( 'а' ), вызывает про
rpaMMY просмотра правил, которая изображает диаrрамму нечеткоrо вывода
для структуры FI8, сохраненной во внешнем файле с именем a.fis. Функцию цe
лесообразно использовать в том случае, коrда необходимо визуально предста
вить весь процесс нечеткоrо вывода от начала до конца. При этом пользователь
имеет возможность оценить влияние каждоrо из правил на результат нечеткоrо
вывода посредством изменения значений входных переменных.
Функция в формате ruleview(a) вызывает nporpaMMY просмотра правил для
переменной рабочеrо пространства MATLAB, соответствующей структуре FIS с
именем а.
Проrpамма просмотра правил имеет rлавное меню, которое позволяет Пользо
вателю вызывать друrие rpафические средства работы с системой нечеткоrо вы.
вода FIS, заrружать и сохранять структуру FIS во внешних файлах и т. д.
C:J Пункт меню File (Файл) редактора правил содержит такие же операции, что и
соответствующий пункт меню редактора FI8.
О Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции:
· Undo отменяет выполнение последнеrо действия;
. FIS Properties... вызывает редактор F18;
· Membership Functions... вызывает редактор функций принадлежности;
· Rules вызывает nporpaMMY редактирования rlравиЛ.
690
Часть IV. Приложения
['] Пункт меню View (Вид) содержит следующие операции:
. Surface вызывает проrрамму просмотра поверхности вывода.
['] Пункт меню Options (Сервис) содержит следующие операции:
. Format позволяет выбрать формат записи правил систеМbI нечеткоrо
вывода: Verbose (в форме текста), Symbolic (в символической форме) или
Indexed (в цифровой форме).
Если щелкнуть на номере правила в левой части диаrраммы нечеткоrо Вывода.
то соответствующее правило появится в строке состояния в нижней части rрафи
ческоrо интерфейса проrраммы просмотра правил в том формате, который BЫ
бра н операцией Options>Format. Более подробно особенности работы с про
rраммой просмотра правил изложены в 2лаве 12.
ruleview('tipper')
Резуш>тат выполнения функции ruleview ( 'tipper') изображен на рис. n3.21.
C'\.t. также: fuzzy, mfedit, ruleedit, surfview.
..1 Rulc Viс....ш Ilppcr Jg 1:1: ;)(
\ ' \t : '_ !r J iI fi ; J ; E J ; 1 : f; t j J.1 jill?'
service = 5 food = 5
i 2
з
10
C!J
со
,
tip=15
V\ I
lТl
- 1 /\1
cu
о 30
,' !_n 1downl , I -
'i ! ;;i $ ;;_l Ч '. :'qйs13 .'. f :
Рис. ПЗ.21. Про..-рамма просмотра правил нечетких продукций,
вызываемая функцией rulevicw ( r tipper' )
Приложение 3. Справочник функций пакета Fиzzy Logic Т оо/Ьох системы МА ТLAB 691
setfis
Назначение. Задает свойства системы нечеткоrо вывода FIS.
Синтаксис. а setfis (а, 'fisрrорпаmе', 'newfisprop')
а setfis(a, 'vartype', varindex, 'varpropname',
'newvarprop' )
а setfis(a, 'vartype', varindex, 'mf', mfindex, ...
'mfpropnarne', 'newmfprop')
Опuсшше. Функция setfis может быть вызвана с тремя, пятью или семью apry
ментами в зависимости от Toro, необходимо :ш задать структуру FIS в целом,
только переменную структуры FIS или отдельную функцию принадлежности для
одной из переменных структуры FIS. AprYMeHTbI функции имеют следующие
значения:
О а имя структуры FIS в рабочей области МА TLAB;
О 'vartype' строка с указанием типа переменной (input или output);
О varindex номер входной или выходной переменной;
[j 'mf' строка, необходимая для вызова функции с пятью или семью apry.
ментами, с указанием на то, что функция setfis задаеТ функцию принадлеж.
ности для некоторой переменнаой;
О mfindex . номер функции принадлежности для выбранной переменной;
О 'fispropname' строка с указанием свойства поля структуры FIS, которая
может принимать следующие значения: name, type, andmethod. ormethod,
impmethod, aggmethod, defиzzmethod;
D 'newfisprop' строка с указанием имени свойства FIS или метода, KOTO
рый задается данной функцией;
D 'varpropname' строка с указанием имени поля структуры FIS, которая
задается данной функцией (пате или range);
о · newva rprop' строка с указанием имени задаваемой переменной (для
пате) или диапазона изменения ее значений (для rangc);
о 'mfpropname' строка с указанием имени поля задаваемой функции при
надлежности (пате, type или params);
D 'пеvлnfрrор 1 строка с указанием имени или типа поля задаваемой функuии .
принадлежности (для пате или type) или вектор с указанием параметров за
даваемой функuии принадлежности (params).
а readfis('tipper');
а2 setfis(a, 'пате', 'eating');
getfis(a2, 'пате'}
692
Часть /V. Приложения
в этом случае в окне команд будет выведена следующая информация:
out ==
eating
ans
eating
а2 == setfis(a, 'input',l, 'пате', 'help');
getfis(a2, 'input',l, 'пате'}
в этом случае в окне команд будет выведена следующая информация:
ans =
help
а2 setfis (а, , input ' ,1, 'rnf' , 2, 'пате' , '..тrеtсhеd') ;
getfis(a2, 'input',l, 'rof',2, 'пате'}
в этом случае в окне команд будет выведена следующая информация:
ans =
wretched
См. также: getfis
sffis
НаЗllаченuе. S функция нечеткоrо вывода из пакета Simulink.
Синтаксис. output = sffis (t, х, u, f1ag, fismat)
Описание. Для выполнения расчетов, выполняемых обычно функцией evalfi . в
системе Simulink используется собственный МЕХ фаЙл. Этот файл специальнО
оптимизирован для работы в среде Simulink. Это Qзначает, кроме Bcero rIрочеrо.
что функция sffis создает некоторую структуру данных в рабочей области в
ходе выполнения фазы инициализации моделирования в системе Simulink и про
должает ее использовать до завершения процесса моделирования.
AprYMeHTbI t, х И flag являются стандартными параметрами S функции пакета
Simulink. AprYMeHT U является входом в структуру системы HCLJeTKOJ"O вывода
FIS с именем fismat в рабочей области MATLAB. Например, если структура
fismat имеет две входных переменных, то ' 1 представляет собоЙ вектор с ДBY HI
компонентами.
Сн. таК.же: evalfis, f11Zblock.
Приложение з. Справочник функций пакета Fиzzy Logic TooJbox системы МА ТLAB ВУЗ
showfis
Назна'lенuе. Отображает структуру указываемой системы нечеткоrо вывода FIS.
Синтаксис. showfis (fismat)
Описание. Функция showfis (fismat) выводит в окне команд системы MATLAB
значения всех полей структуры fismat, которая определяет систему нечеткоrо
вывода FIS и должна находиться в рабочей области.
в этом случае в окне команд будет выведена следующая информация:
1. Name tipper
2. Туре mamdani
3. Inputs/Outputs
4. Numlnpu tMFs
5. 'NumOutputMFs
6. NumRules
7. AndMethod
8. OrMethod
9. ImpMethod
10. AggMethod
11. DefuzzMethod
а readfis('tipper');
showfis (а)
12. InLabels
13.
14. OutLabels
15. InRange
16.
17.0utRange
18. InMFLabels
19.
20.
21.
22.
23.0utMFLabels
24.
25.
[2 1]
[3 2]
3
3
min
шах
min
тах
centroid
service
food
tip
[О 10]
[О 10]
[О ЗО]
poor
good
excellent
rancid
delicious
cheap
average
generous
694
Часть Jv. Приложения
26. InMFTypes
27.
28.
29.
за.
31.0utMFTypes
32.
33.
34. InMFParams
qaussmf
gaussmf
gaussmf
trapmf
trapmf
t r imf
t rimf
trimf
[1.5 О О о]
35.
36.
37.
38.
42. Ru1e Antecedent
[1 1]
[1.5 5 О О]
[1.5 10 О О]
[О О 1 3]
[7 9 10 10]
[ 10 15 20 О]
[20 25 ЗО О]
[2 О]
[3 2]
2
3
1
1
39. OutMFParams
40.
41.
[О 5 10 О]
43.
44.
42. Rule Consequent
43.
4.
42. Rule Weigth
43.
44.
1
1
42. Rule Connection
2
43.
44.
1
2
См. также: getfis.
showrи/e
Назначение. Отображает правила системы нечеткоrо вывода FIS.
Синтаксис. showrule (fis)
showrule(fis, indexList)
showrule(fis, indexList, format)
showrule(fis, indexList, format, Lang)
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 695
Описание. Эта функция используется для визуализации правил системы нечеткоrо
вывода FIS. Она может быть вызвана с различным числом aprYMeHToB: от 1 до 4.
LI fis обязательный aprYMeJlT, который должен соответствовать имени
структуры системы нечеткоrо вывода FIS в рабочей области МА TLAB;
CJ indexList необязательный aprYMeHT, который представляет собой вектор
номеров правил, которые требуется отобразить в окне команд;
LI format необязательный aprYMeHT, который представляет собой строку
формата, в котором требуется отобразить правила. Эта строка может прини
мать одно из сле.ltующих значений: 'verbose' (значение по умолчанию, KO
торое соответствует отображению правил в форме текста на анrлийском язы
ке), , symbolic 1 (соответствует отображению правил в символической
форме), 'indexed' (соответствует отображению правил в цифровой форме,
при этом указываются только номера правил);
LI Lang необязатеш)ный aprYMeHT, который представляет собой строку с YKa
занием языка отображения правил в окне команд в случае использования
формата verbose. Эта строка может принимать одно из следующих значений:
'english', 'francais', или 'deutsch'.
а readfis('t pper');
showrule(a,l)
в результате выполнения этой последовательности функций в окне команд поя
вится следующий результат:
ans
1. If (service is poor) or (food is rancid) .the:l (tip is cheap) (1)
showrule(a, [3 1], 'symbolic')
в результате выполнения этой функции в окне команд появится следующий ре-
зультат:
апэ =<
3. (service=< =<excellent) I (food=< delicious) =<> (ti generous) (1)
1. (service poor) I (food= rancid) > (tip cheap) (1)
showrule(a,1:3,'indexed')
696
Часть lV. Приложения
в результате выполнения этой функции в окне команд появится С:Jедующий pe
зультат:
аns =
1 1, 1 {l} 2
2 О, 2 (1) 1
3 2, 3 (1) 2
См. также: parsrule, ruleedi t, addrule.
sigтf
Назначение. Встроенная сиrмоидальная функция принадлежности.
Синтаксис. у =< sigmf (х, (а Ь])
Описание. Сиrмоидальная функция принадлежности определяется выражением
(2.14). Вторым apryMeHTQM этой ФУНКЦИИ является вектор параметров [а Ь], KOTO
рые принимают произвольные действительные значения и упорядочеНbI отноше
нием: а<Ь. При этом в случае а>О может быть получена S образная функция при
надлежности, а в случае а<О Z образная функция принадлежности.
x-=О:О.l:lО;
y sigmf(x, [3 6]);
plot (х, у)
rрафик этой функции принадлежности изображен на рис. 2.14, а.
См. также: dsigmf, gaussmf, gauss2mf, gbellmf, evalmf, nf2mf, pimf,
psigmf, smf, trapmf, trimf, zmf.
smf
Назначение. Встроенная S образная функция принадлежности.
Синтаксис. у == smf (х, [а Ь])
Описание. Эта функция принаддеЖI-ЮСТИ является сплайн функцией и определя
етсн выражением (2.13). Вторым aprYMeHToM этой функции является вектор па
раметров [а Ь], которые принимают произвольные действительные значениЯ и
упорядочены отношением: а<Ь. Эти параметры характеризуют наююнную часть
соответствующей кривой.
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Тоо/Ьох системы МА TLAB 697
х==О:О.1:10;
y==smf(x, [3 6):
plot(x,y)
rрафик этой ФУНКЦИИ принадлежности изображен на рис. 2.13, б.
C.w. также: dsigmf, gaussrof, gauss2rof, gbellmf. evalrnf, mf2mf, pimf,
psigmf, sigmf, trapmf, trirnf, zmf.
sиbclиst
Назначение. Находит центры кластеров методом субтрактивной кластеризации.
СИ1lтоксuс. [С, S] == subclust (Х, radii, xBounds, options)
Описание. Эта функция предназначена для нахождения центров нечетких класте
ров в множестве данных методом субтрактивной кластеризации. Метод субтрак
тивной кластеризации предполаrает, что каждая ТО4ка данных является центром
потенцизльноrо кластера и рассчитывает меру подобия каждой точки данных
представлять центр кластера. При этом мера подобия основана на оценке плот
ности точек данных BOKpyr соответствующеrо центра кластера.
Данный алrоритм, который является обобщением метода кластеризации
Р. Яrера (R. Yager), позволяет:
[j выбрать точку данных с максимальным потенциалом для представления цeH
тра nepBoro кластера;
[j удалить все Т04КИ данных в окрестности центра первоrо кластера, веЛИ4ина
которой задается параметром radii, чтобы определить следующий нечеткий
кластер и координаты ero центра.
Эти две процедуры повторяются до тех пор, пока все Т04КИ данных не окажутся
внутри окрестностей радиуса radii HeKoToporo центра кластера.
Матрица х содержит данные кластеризации, каждая строка которой COOTBeтCT
вует координатам отдельной Т04КИ данных. Параметр radii представляет co
бой вектор. компоненты KOToporo принимают значения из интервала [О, 1] и за
дают диапазон расчета центров кластеров по каждому из признаков измерений.
При этом делается предположение, что все данные содержатся в некотором еди
ничном пшеркубе. В общем случае небольшие значения параметра radii при
водят к нахождению малоrо числа точек кластеров. Наилучшие результаты По
лучаются при значениях radii между 0.2 и 0.5.
Например, для двух признаков измерения (матрица х содержит 2 столбиа) зна
чения параметра radi:i [0.5 0.25] задает диапазон расчета по первому
признаку равным 0.5 ширины IlpOCтpaHcTBa данных, а по второму признаку
698
Часть /V. Приложения
равным 0.25 ширины пространства данных. Если параметр radii задан в
форме скаляра, то это значение относится к каждому признаку, т. е. центр каж
доrо из кластеров имеет сферическую окрестность указанноrо радиуса для
расчета значений своих координат.
AprYMeHT xBounds представляет собой матрицу размерности (2xq), которая оп
ределяет способ отображения матрицы данных х в некотором единичном rипер
кубе. Здесь q количество рассматриваемых признаков в множестве данных.
Этот aprYMeHT является Н,еобязательным, если матрица х уже нормализована.
Первая строка этой матрицы содержит минимальные значения интервала изме
рения каждоrо из признаков, а вторая строка максимальные значения измере
ния каждоrо из признаков. Например, xBounds [ 10 5; 10 5] определяет
диапазон измерения nepBoro признака в интерВале [ IO +10}, а диапазон измере
ния BToporo признак а в интервале [ 5 +5]. Если значения этой матрицы не указа
ны, то по умолчанию диапазон измеl?ения признаков полаrается равным интер
J3алу от наименьшеrо значения до наибольшеrо значения по каждому из
признаков в матрице данных.
Для изменения заданных по умолчанию параметров алrоритма кластеризации
может быть использован дополнительный вектор options. Компоненты этоrо
вектора MorYT принимать следующие значения:
О options (1) quashFactor параметр, используемый в качестве коэффи
циента для умножения значений radii, которые определяют окрестность
центра кластера. Это осуществляется с целью уменьшения влияния потенциа
ла rраНИЧНblХ точек, рассматриваемых как часть нечеткоrо кластера (по
умолчанию это значение равно 1.25);
О option5 (2) acceptRatio параметр, устанавливающий потенциал как
чаСТh потенциала центра nepBoro кластера, выше KOToporo друrая точка дaH
ных может рассматриваться в качестве центра друrоrо кластера (по умолча
нию это значение равно 0.5);
О options (3) rejectRatio параметр, устанавливающий потенциал как
часть потенциала центра первоrо кластера, ниже KOToporo друrая точка дaH
ных не может рассматриваться в качестве центра друrоrо кластера (по умол
чанию это значение равно 0.15);
О options (4) verbose если значение этоrо параметра не равно нулю. то
на экран монитора выводится информация о выполнении процесса кластери
зации (по умолчанию это значение равно О).
Функция 5ubclust возвращает матрицу С значений координат центров нечеткиХ
кластеров. При этом каждая строка этой матрицы содержит координаты ОДНОL О
центра кластера. Эта функция также возвращает вектор з, компоненты KOToporo
представляют а значения, которые определяют диапазон влияния центра кла
стера по каждому из рассматриваемых признаков. При этом все центры класте
ров обладают одинаковым множеством а значений.
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Тоо/Ьох системы МА ТLAB 699
[с, S]
subclust(X,0.5)
в этом случае для всех признаков множества данных заДается один диапазон
влияния 0.5.
[C,S] =о subclust(X, [0.5 0.25 0.3], [], [2.0 0.8 0.7])
в этом случае для множества данных используется 3 признака (матрица х имеет
3 столбца) с радиусами окрестностей 0.5, 0.25, 0.3 по первому, второму и TpeTЬ
ему признакам соответственно. Коэффициенты шкалирования для отображения
множества данных в единичный rиперкуб получаются на основе минимальноrо и
максимальноrо значений данных. AprYMeHT squashFactor, равный 2.0, указыва
ет на то, что необходимо определить кластеры, далеко расположенные друr от
дpyra. AprYMeHT acceptRatio равный 0.8, указывает на то, что для нахождения
центров кластеров будет нужен очень высокий потенциал. Наконец, aprYMeHT
rejectRatio равен 0.7, что указывает на необходимость исключения из pac
смотрения всех точек данных, не обладающих ВbIСОКИМ потенциалом.
См. также: genfis2.
sиrfview
Назначение. Вызывает rрафический интерфейс nporpaMMbI просмотра поверхно
сти системы нечеткоrо вывода.
СишпаКСllС.
surfview ( · а I )
surfview(a)
Описание. Эта функция, записанная в формате surfview ( · а'), вызывает про
rpaMMY просмотра поверхности, которая изображает поверхность нечеткоrо BЫ
вода ДJIЯ структуры FIS, сохраненной во внешнем файле с именем a.fis, для лю
бой одной или двух из ее входных переменных. Эта проrpамма не позволяет
вносить изменения в систему нечеткоrо вывода и соответствующую ей структуру
FIS. Используя rлавное меню проrраммы, пользователь может выбрать входные
переменные и соответствующие им rоризонтальные оси системы координат (х и
У), а также выходную переменную, которой соответствует вертикальная ось сис
темы координат (z). Функция в формате surfview(a) вызывает проrрамму ПРО
Смотра поверхности вывода для переменной рабочеrо пространства MATLAB,
соответствующей структуре FIS с именем а.
700
Часть 1\1. Приложения
Щелкнув и задержав левую :кнопку мыши, посредством последующеrо переме
щения курсора мыши в том или ином направлении можно изменить уrол про
смотра поверхности вывода. Если рассматривается система нечеткоrо вывода с
более чем двумя входными переменными, то для невизуализируемых входных
переменных следует задать некоторые постоянные значения (константы).
Проrрамма просмотра поверхности вывода имеет rлавное меню, которое позво
ляет пользователю вызывать друrие rрафические средства работы с системой
нечеткоrо вывода FIS, заrружать и сохранять структуру FIS во внешних файлах
ит.Д.
а Пункт меню File (Файл) редактора правил содержит такие же операции, что и
соответствующий пункт меню редактора FIS.
с] Пункт меню Edit (Редактирование) содержит следующие операции:
. Undo отменяет выполнение последнеrо действия;
. FIS Properties... вызывает редактор FIS;
· Membersbip Functions... вызывает редактор ФУНКЦИЙ принадлежности;
. Rules вызывает nporpaMMY редактирования правил.
О Пункт меню View (Вид) содержит следующие операции:
. Rules вызывает проrрамму просмотра правил.
[j Пункт меню Options (Сервис) содержит следующие операции:
· Plot позволяет выбрать один из 8 стилей изображения rpафика поверх
ности вывода;
· Color Мар позволяет выбрать одну из 4 цветовых схем изображения
rрафика поверхности вывода;
· Always evaluate пометка rалочкоЙ этоrо пункта вложенноrо меню при
водит к автоматическому формированию новой поверхности вывода вся
кий раз, коrда вносятся изменения в систему нечеткоrо вывода, влияющие
на форму rрафика поверхности вывода (такие, как изменение количества
точек сетки rрафика). Это значение принято по умолчанию. Чтобы ero
отменить, необходимо снять rалочку у этоrо пункта вложенноrо меню.
щелкнув на этой позиции меню.
Более подробно особенности работы с проrpаммой просмотра поверхности BЫ
вода изложены в 2лаве 12.
surfview('tipper')
Результат выпОлнения функции surfview ( , tipper') изображен на рис. П3.22.
CI\-t. I1ЮКже: anfisedit. fuzzy, gensurf, mfedit, ruleedit. ruleview.
Приложение З. Справочник функций пакета Fиzzy Logic Toolbox системы MAТLAB 701
.
) Sшffiсе VI8wer Ilpper
' )i м ИЗ"
Рис. П3.22. Проrрамма просмотра поверхности вывода,
вызываемая функцией surfview ( 'tipper' )
trapmf
Назначение. Встроенная трапециевидная функция принадлежности.
Синтаксис. у :о trapmf (х, [а Ь с d])
Onиcam.l.e. Эта функция используется для задания трапециевидных Функuий при
надлежности вида (2.9). Функция trapmf использует четыре aprYMeHTa: а. Ь, с и d,
в качестве некоторых числовых параметРО8. принимающих произвольные дей.
ствительные значения и упорядоченные отношением: a c'5:d. При этом значе
ния а и d задают носитель соответствующеrо нечеткоrо множества, а значения Ь
и с ядро этоrо нечеткоrо множества.
x O:O.l:lO;
y=trapmf(x, [1 3 58}};
plot(x,y)
702
Часть IV. Приложения
rрафик полученной в этом случае функции принадлежности изображен на
рис. 2.11, б.
См. также: dsigmf, gaиssmf, gaиss2rnf, gbellmf, evalmf, mf2mf, pimf,
psigmf, sigmf, smf, trimf, zrnf.
trimf
Назначение. Встроенная треуrольная функция принадлежности.
Синтаксис. у =' trimf (х, [а Ь с])
Описание. Эта функция используется для задания треуrольных функций принад
лежности вида (2.8). Функция trimf использует J'ри aprYMeHTa: а, Ь и с HeKO
торые числовые параметры, принимающие произвольные действительные зна
чения и упорядоченные отношением: a с. При этом значения а и с определяют
носитель соответствующеrо нечеткоrо множества, а значение Ь модальное
значение этоrо нечеткоrо множества.
x=O:O.1:10;
y trimf(x, [3 4 7]);
plot(x,y)
rрафик полученной в этом случае функции принадлежности изображен на
рис. 2.11, а.
См. таК:Jlсе: dsigmf, gaиssmf, gauss2mf, gbellmf, evalmf, mf2mf, pimf,
psigmf, sigmf, зmf, trapmf.
writefis
Назначение. Сохраняет систему нечеткоrо вывода FIS во внешнем файле.
Синтаксис. writefis (fismat)
writefis(fismat, 'filename')
writefis(fismat, 'filename'. 'dialog')
Оп.исание. Функция writefis сохраняет структуру системы нечеткоrо вывода
FIS с именем fismat, находящуюся в рабочей области системы MATLAB,
во внешнем файле с расширением fis. Вызов этоЙ функции в формате
writefis (fismat) открывает стандартное диалоrовое окно сохранения файла.
Использование функции в формате writefis (fismat, 'filer!ame 1) записывает
структуру системы нечеткоrо вывода FIS с именем fismat, находяшуюся в рабо
чей области системы MATLAB, во внешнем файле с расширением fis и именем
Приложение З. Справочник функций пакета Fuzzy Logic Toolbox системы МА ТLAB 703
filename. При этом диалоrовое окно сохранении файла не открывается, а файл
сохраняется в текущем каталоrе на диске.
Вызов функции в формате writefis (fisrnat, 'filename', 'dialog') OTKpЫ
вает диалоrовое окно сохранения файла, при этом запись будет про изводиться в
файл с именем filename.fis. В том случае, если расширение fis не содержится в
имени файла, оно будет добавлено автоматически.
а newfis('tipper'):
а addvar(a, 'inpиt','service',[O 10]);
а addmf{a,'inpиt',l,'poor','gaиssmf', [1.5 О]);
а addmf(a, 'inpиt',l, 'good','gaиssmf', [1.5 5]);
а addmf{a, 'inpиt',l, 'excel1ent', 'gaиssmf', [1.5 10]};
writefis(a,'my file')
См. /1lак;исе: readfis.
zmf
Назначение. Z образная функция принадлежности.
Сиuтаксис. у zmf (х, [а Ь])
Описание. Эта функция используется для задания Z образных функций принад
лежности вида сплайн функции (2.11). Функция zmf использует два aprYMeHTa: (l
и Ь некоторые числовые параметры, принимающие .произвольные действи
тельные значения и упорядоченные отношением: а<Ь.
x O:O.l:lO;
y zmf(x, [3 6]);
plot (х, у)
[рафик полученной в этом случае функции принадлежности изображен на
рис. 2.12, а.
С.м. I1l(fKJlce: dsigmf, gaиssmf, gauss2mf, gbe11mf, eva1mf, rnf2mf, pimf,
psigmf. sigmf, smf. trapmf, trimf.
Пакет FL1zzy Logic ТооlЬох также содерЖАТ ряд демонстрационных примеров.
которые MorYT быть использованы для самостоятельноrо изучения COOTBeTCT
вующих нечетких моделей, их модификации и исследования. Эти дeMOHcтpaиH
онные примеры можно открыть как функцией demo, которая позволяет познако-
704
Часть /V. Приложения
миться со всеми лримерами, доступными в системе МА пАВ, так и с помощью
соответствующих функций в }(омандном режиме. Поскольку некоторые из этих
функций (например, fcmdemo) рассматриваются в тексте книrи, а друrие тесно
ИRтеrрированы с пакетом расширения Simulink, ЗДесь лишь укаЗblвается их Ha
значение (табл. П3.1).
Таблица nЭ.1. Функции Вblзова демонстрационных примеров
Функция
Назначение
defuzzdm
fcmdemo
fuzdemos
gasderno
juggler
invkine
irisfcm
noisedrn
slbb
slcp
sltank
sltankrule
sltbu
Примеры методов дефаззификации
Пример кластеризации точек на плоскости методом нечетких c
средних FCM
Примеры rрафическоrо интерфейса пользователя в пакете Fuzzy
Logic Т oolbox
Пример применения системы для эффективноrо управления топли
вом на основе метода субтрактивнои кластеризации
Пример просмотра правил для задачИ жонrлирования мяча
Пример инверсной кинематики захвата механической руки работа
Пример кластеризации точек в четырехмерном пространстве MeTO
дом нечетких с средних FCM
Пример адаптивноrо устранения шума
Пример управления движением мяча на качающейся балке с ис
пользованием средств пакета Simulink
Пример управления инвертированным маятником с использовани
ем средств пакета Simulink
Пример управления уровнем воды с использованием средств паке
та Simulink
Пример управления уровнем воды с использованием nporpaMMbI
просмотра правил средствами пакета Simulink
Пример нечеткоrо управления движением rрузовоrо автомобиля с
использованием средств пакета Simulink
Приложение 4
: j
. -
.
Пример файла проекта
ДЛЯ nporpaMMbI fuzzyTECH
в настоящем приложении приводится текст файла проекта системы нечеткоrо
вывода в формате FTL среды fuzzyTECH для примера "Чаевые в ресторане". Как
нетрудно заметить, запись системы нечеткоrо вывода в формате FTL, исполь
зуемом для спецификации всех параметров нечеткоrо проекта в среде
fuzzyTECH, очень похожа на спецификацию системы нечеткоrо вывода на языке
нечеткоrо управления FCL (с,м. i!лаву 8).
PROJECT
NAМE
TITLE
AUTHOR
== TIPPER.FТL;
TIPPER;
== А. Leonenkoff;
DATEFO T == УУУУ.DD.ММ;
LASTC GE == 2003.19.01;
CREATED == 2003.06.01;
SНELLOPTIONS {
ONLINE REFRESHTIME == 55;
ONLINE TIMEOUTCOUNT == 1100;
ONLINE СОDЕ == ОЫ;
ONLINE TRACE BUFFER == (ON, PAR(1024»;
COММENTS == ON;
FТL BUFFER == ( OFF , PAR ( 1) ) ;
PASSWORD == OFF;
РИВЫС 10 == ОЫ;
FAST CМBF == OFF;
FAST СОА == ОЫ;
706
Часть /V. Приложения
ВТУРЕ DOUBLE;
С ТУРЕ ANSI;
} /* SНELLOPTIONS */
MODEL {
VARIAВLE SECTION
LVAR (
NAМE Service;
BASEVAR
LVRANGE
degree;
MIN(O.OOOOOO), МАХ(10.000000),
MINDEF(O), МAXDEF(65535},
DEFAULT OUTPUT(O.O);
XGRID(1.0), YGRID(l.O),
SHOWGRID (ОЫ), SNAPTOGRID (ОЫ) ;
RED (255), GREEN (О), BLUE (О);
CМEF;
225, зо;
RESOLUTION
COLOR
INPUT
POS
TERМ
ТERМNAМE poor;
POINTS (0.0,1.0),
(5.0, 0.0),
(10.0, 0.0);
SНAPE (S SНAPE, PAR (0.800000»);
COLOR RED (255), GREEN (О), BLUE (О);
TERМ
TEl<МNAМE good;
POINTS (0.0, 0.0),
(5.0, 1.0),
(10.0, 0.0);
SНAPE (S SНAPE, PAR (0.800000»);
COLOR RED (О), GRE N (О), BLUE (255);
}
TERМ {
TEl<МNAМE
POINTS
excellent;
(0.0, 0.0),
(5.0, 0.0),
(10.0, 1.0);
(З ЗНАРЕ, PAR (0.800000));
SНAPE
COLOR
ПРlAложение 4. Пример файла проекта для nporpaMMbl fиzzyTECH
RED (О), GREEN (255), BLUE (О);
707
l
} /* LVAR */
LVAR {
NAМE
BASEVAR
LVRANGE
RESOLUTION
COLOR
INPUT
POS
TERМ
TERМNAМE
POINTS
SНAPE
COLOR
TERМ
TERМNAМE
POINTS
SНAPE
COLOR
/* LVAR */
LVAR (
NAМE
BASEVAR
LVRANGE
Food;
degree;
==MIN(O:OO), МАХ(10.00},
MINDEF(O), МАХDЕF(б5535),
DEFAULT OUTPUT(O_O);
XGRID(0.2), YGRlD(1.0),
SHOWGRID (ON), SNAPТOGRID (ON) ;
RED (О), GREEN (255), BLUE (О);
CMBF;
225, З5;
rancid;
(0.0, 1.0),
(1.0, 1.0),
(З.О, 0.0),
(ЗО.О, 0.0);
LINEAR;
RED (255), GREEN (О), BLUE (О);
delicious;
(0.0, 0.0),
(7.0, 0.0),
(9.0, 1.0),
(10.0, 1.0);
LINEAR;
RED (О), GREEN (О), BLUE (255);
Tip;
percentage;
MIN(O.OOOOOO), МАХ(ЗО.ОООООО),
MINDEF(O), МАХDЕF(б5535),
DEFAULT OUTPUT(O.O);
708
Часть IV. Приложения
RESOLUTION XGRID(0.25), YGRID(l.O),
SHOWGRID (ON), SNAPTOGRID(ON);
= RED (О), GREEN (О), BLUE (255);
COLOR
OUTPUT
РОВ
TERМ
TERМNAМE
POINTS
SНAPE
COLOR
}
TERМ {
TERМNAМE
POINTS
SНAPE
COLOR
}
TERМ {
СОМ;
75, О;
cheap;
(0.0, 0.0),
(5.0, 1.0),
(10.0, 0.0),
(30.0, 0.0);
LINEAR;
= RED (255), GREEN
(О), ВШЕ (О);
averagei
(0.0, 0.0),
(10.0,0.0),
(15.0, 1.0),
(20.0, 0.0),
(30.0, 0.0);
LINEARi
RED (О), GREEN
(О), BLUE (255);
TERМNAМE generous;
POINTS (0.0, 0.0),
(20.0, 0.0),
(25.С, 1.0),
(30.С, 0.0);
"" LINEAR;
= RED (О), GREEN (255), BLUE (О);
ВНАРЕ
COLOR
1* LVAR */
/* VARIAВLE SECTION */
OBJECT SECTION {
REМARK {
ТЕХТ = Чаевые Е ресторане;
Приложение 4. Пример файла проекта для nporpaMMbl fиzzyTECH
709
POS 175, lЗ5;
FONTSPEC 36, О, О, О, о, 16, О;
FONTNAМE Times New Roman Cyr;
COLOR = RБО (161), GREEN (О), BLUE (160);
}
RULEBLOCK
NAМE RB1 ;
INPUT Service, Food;
OUТPUT Tip;
AGGREGATION ;: (MIN МAX, РМ (0.0»;
RESULT AGGR МАХ;
POS 80, 35;
RULES
IF Service poor
AND Food rancid
TНEN Tip сЬеар WITH 1.000;
IF Service good
THEN Tip average WITH 1.000;
IF Service = excellent
AND Food delicious
THEN Tip;: generous WITH 1.000;
1* RULES */
} /* RULEBLOCK */
REМARK [
ТЕХТ Бло правил;
POS ;: 40, 70;
FONTSPEC 18, О, О, О, О, 16, о;
FONTNAМE =-Times New Rornan Cyri
COLOR RED (О), GREEN (112), BLUE (80);
}
REМARК {
ТЕХТ Входные Переменныеi
POS 205, 70;
FONTSPEC 18, О, О, О, О, 16, О;
FONTNAМE ::Times New Roman Cyr;
COLOR RED (О), GREЮ (80), BLUE (80);
REМARК
ТЕХТ Выходные Ilеременные;
710
Часть 111. ПриложеНИR
POS == 90, 70;
FONTSPEC == 18, О, О, О, О, 16, о;
FONTNAМE ==Times New Roman Cyr;
COLOR == RED (О), GREEN (80), BLUE (80);
/* OBJECT SECTION */
/* MODEL */
} /* PROJECT */
ONLINE {
TlМESTAМP == 2001011914З151UТ;
1* ONLINE * /
NEUROFUZZY {
LEARNRULE
=RandomМethod;
STEPWIDTHDOS
STEPWIDTHTERМ ==
МAXDEVIATION
AVGDEVIATION
МАХЗТЕРЗ
NEURONS
0.100000;
1.000000;
(50.000000,
0.100000;
100;
1.000000, 0.750000);
1;
DATASEQUENCE RANDOM;
UPDATEDBGWIN OFF;
1* NEUROFUZZY */
Прокомментируем отдельные фраrмеllТЫ текста приведеllноrо файла нечеткоrо
проекта. Описание проекта начинается после ключевоrо слова PROJECT и заклю
чается внутри соответствующих фиrурных скобок. Система нечеткоrо вывода
описывается после ключевоrо слова MODEL и содержит секцию линrвистических
переменных VARIABLE SECTION И секцию объектов OBJECT SECTION.
Описание каждой линrвистической переменной заключается в блок LVAR, в KO
тором задается имя переменной после ключевоrо слова NAМE, единицы измерения
ее значений после слова BASEVAR и диапазон возможных значений после слова
LVRANGE. ДЛЯ входных линrвистических переменных после ключевоrо слова
INPUT указывается метод фаззификации значений этой переменной, а для BЫXOД
ных линrвистических переменных noc.le ключевоrо слова OUTPUT указывается
метод дефаззификации значений этой переменной.
Описание каждоrо терма линrвистических перемеННblХ заключается в блок TERM,
В котором задается имя терма после ключевоrо слова TERMNAME, перечисляются
пары значений терма и ero функции принадлежности в некоторых характери
стических точках, а также указывается форма ее функции принадлежности после
ключевоrо слова SHAPE.
Приложение 4. Пример файла проекта для протраммы fuzzyTECH
711
Секция объектов OBJECT SECTION содержит описания блоков текста EEMARK и
описание блока правил RULЕВLОСк. Заметим, что в блоках текста можно исполь
зовать символы кириллицы при установке имени шрифта: lЮNТNАМЕ Times New
Roman (Cyr). Ключевое слово POS используется для задания координат отобра
жения блока текста или друrих объектов, а после ключевоrо слова COLOR можно
определить цвет в трехцветной модели RGB (красный/зеленый/синий) изображе
иия текста в окне рсдактора проекта.
В секции блока правил RULEBLOCK после ключевоrо слова RULES специфициру-
ются все правила соответствующеrо блока в виде структурируемоrо текста:
"IF <Имя теР.Щl = Значение терма> AND <Имя терма = Значение терма> THEi"
<И.МЯ терма = Значение тер.ма> WITH <Значение DOS>". В блоке правил долж
ны быть определены все необходимые методы для аrреrирования и композиции
результатов нечетких выводов, аналоrично рассмотренным в языке FCL
Блоки ONLINE и NEUROFUZZY предназначены для использования дополнительных
модулей прor"раммы fuzzyTECH, и их смысл в данной модели не имеет принци
пиальноrо значения. После заrpузки данноrо файла в редакторе проекта будет
изображена структура соответствующей системы нечеткоrо вывода, которая об
ладаеТ полной функциональностью в контексте ее дальнейшеrо редактирования
и отладки.
rлоссарий
Настоящий rлоссарий поясняет содержательный смысл основных понятий Teo
рии нечетких множеств, нечеткой лоrики и нечеткоrо управления, которые ис
пользуются для построения нечетких моделей систем. Некоторые из терминов
имеюТ статус рекомендованноrо стандарта IEC 1131 7, друrие традиционно
при меняются в нечеткой математике. Все термины расположены в алфавитном
порядке, в скобках приводится анrлоязычный эквивалент каждоrо И3 терминов.
Аrреrировзние (aggl"egation) этап нечеткоrо вывода, представляющий собой
процедуру определения степени истинности УСЛОВЮI каждоrо правила системы
нечеткоrо вывода.
Аккумуляция (accumulation) этап нечеткоrо вывода, представляющий собой
процедуру или процесс нахождения функции принадлежности каждой из BЫXOД
ных линrвистических переменных множества правил нечетких продукций. Сино
ним композиция.
Активизация (activation) этап нечеткоrо вывода, представляющий собой "ро-
цедуру или процесс нахождения степени истинности каждоrо из подзаключений
правил нечетких продукций.
Антецедент CJ 1. Условие.
База правил (rule base) совокупность или множество правил нечетких I1POДYK
ций, сотпасованных относительно использования входных и выходных линrвис-
тических переменных.
Весовой коэффициент (weighting factol", DoS) количественное значение из ин
тервала [О, J], которое определяет степень влияния условия правила нечеткой
продукции на степень истинности заключения этоrо правила или степень YBe
ренности в достоверности получаемоrо результата.
Входная переменная (input val"iabIe) . ЛИНI'вистическая переменная, которая ис-
пользуется в формировании условий правил нечетких продукций.
Вывод, нечеткий вывод (inference) применение линrвистических правил к значе
ниям входных переменных с целью получения значений выходных перем нных.
Выходная переменная (output val'iable) линrвистическая переМенная, которая
используется в формировании заключений правил нечетких продукций.
ДефаЗЗИф.fкация (defuzzification) в общем случае преобразование HeKoToporo
нечеткоrо множества в четкое множество. В контексте нечеткоrо управления
имеет более узкий смысл, означающий получение для заданной функции nри
надлежности выходной линrвистической переменной единственноrо количест
венното значения. Синоним приведение к четкости.
ЗаключеН.fе (conclusion) в общем случае правая часть правила продукции.
В контексте правил нечеткой продукции означает нечеткое линrвистическое
высказывание, следующее после связки THEN (ТО). Синонимы консеквент,
следствие.
714
r лоссарий
КОМПОЗИЦИЯ СМ. Аккумуляция.
Консеквент С.М. Заключение.
Линrвистическая переменная (Iil1gllistic val'iabIe) перемеШIaЯ, кот()рая прини
мает СВОИ значения из множества линrвистических TL"PMOB.
Линrвистический терм (1inguistic term) некоторое фиксированное значение,
которое может принимать ЛИНl'вистическая переменная. Как правил(), является
нечетким МножеСтвоМ с соответствующей функцией принадлежности.
Лиш"вистическое праШIЛО (Iinguistic l"lIle) правило продукции вида ЕСЛИ ТО
(IF THEN) с условием и заключением, которые являются нечеткими линrвисти
ческими высказываниями в форме линrвистических переменных. Синоним
правило нечеткой продукции.
Множество обычное, не нечеткое множество (cl"isp set) специальный случай
нечеткоrо множества, функция принадлежн()сти KOToporo для кажд()rо из эпе
ментов принимает значение О или 1. Это понятие соответствует классическому
определению множества в смысле r. Кантора.
Нечеткая лоrика (fuzzy logic) одна из разновидностей неклассических лоrик, в
которой допускается непрерывное множеств() значений истинности высказыва
ний и применяются специальные лоrические операции или связки.
Нечеткая операция (fuzzy operatol') операция, используемая в теории неtlетких
множеств или внечеткой лоrИI<:е" Синоним нечеткий оператор.
Нечеткая сеть Петр" (fuzzy Petri net ) разновидность сетей Петри, в которых
правила функционирования определяются на основе концепции теории нечетких
множеств.
Нечеткий вывод (fuzzy infel"ence) процедура установления истинности заклю
чения на основании известных значений истинности условий.
Нечеткое множеСТ80 (fuzzy set) совокупность элементов произвольной приро
ДЫ, относителыю которых нельзя с ПО_1НОЙ определенностью утверждать при
надлежит ли тот или иной элемент данной совокупности или нет. Математиче
еки нечеткое множество определяется как множество упорядоченных пар вида:
<х, J.1(X», rде х является элементом универсума Х, а J.1(x) функция принадлеж
ности, которая ставит в соответствие каждому из 'Элементов ХЕХ некоторое дей
ствительное число из интервала [0,1].
Нечеткое упра8ление (fuzzy contt'ol) специальный раздел теории управления,
при котором алrоритмы управления основываются на концепции теории нечет
ких множеств инечеткой лоrики.
Обратная цепочка рассуждений (fuzzy backwa1'd chaining l"еаsоniпg) метод yc
тановления истинности заключений правил, который основан на последователь
ной активизации правил нечетких продукций в порядке проверки предваритель
но задзнноrо заключения.
Одноэлементное множеСТ80 (singleton) специальный случай нечеткоrо множе
ства, состоящеrо только из ОДНоrо элемента, значение функции принадлежности
KOToporo равно 1. Для всех остальных элементов универсума функция принад
лежности этоrо множества равна О.
rлоссарий
715
Проrраммируемый лоrический контроллер (progl"ammabIe logic сопtюllеl") .
электронное устройство, содержащее в своем составе проrраммно-аппараТНbIе
компоненты, такие как один или несколько микропроцессоров, модули памяти,
порты ввода/вывода, и предназначенное ДЛЯ сбора данных о состоянии техноло-
rическоrо процесса, а также ДЛЯ автоматическоrо управления им.
Прямая цепочка рассуждений ([lIZZY fOl'WaI-d сhаiпiпg reasoning) метод уста-
новления истинности заКЛЮ lений правил, I<:ОТОРЫЙ основан на последователь-
ной активизации правил нечетких продукций с целью проверки всех условий
правил с наибольшей степенью истинности.
Степень принадлежности (degl-ee of membel'ship) отдеЛьное значение функции
принадлежности ДЛЯ фиксированноrо элемента нечеткоrо множества.
УСЛ08ие (condition) в общем случае левая часть правила продукции. В систе-
мах нечеткоrо вывода совокупность линrвистических термов, записанных
между ключевыми словами ЕСЛИ и ТО (IF THEN) нечеткоrо правила проду){
ции. Синоним антецедент.
Фаззификация (fuzzificatiol1) преобразование HeKoToporo tleTKoro множесТва в
нечеткое множество. Применительно к нечеткому управлению имеет более узкий
смысл, ознаtшющиЙ получение для KOHKpeтHoro значения входной переменной
значений функций принадлежности, определенных для линrвистических термов
данной входной переменной. Синоним приведение к нечеткости.
Функция принадлежности (membel"sl1ip function) математическая функция, оп
ределяющая степень или уверенность. с I<:ОТОрОЙ элементы HeKoToporo множест
ва при надлежат заданному нечеткому множеству. Данная функция ставит в co
ответствие каждому элементу нечеткоrо множества дt;:йствительное число из
интервала [О, 1]_ Задать конкретное нечеткое множество означает определить
соотв{,'Тствующую ему фУ IКЦИЮ принадлежности.
Ниже приводится список используемых в книrе сокращений с кратким пояснени
ем их смысла.
ANFIS (Adaptive Neuro Fuzzy Il1feIel1Ce System) адаптивная система нейро
нечеткоrо вывода.
CF (certainty factOl") фактор уверенности или весовой коэффициент правила
нечеТКI'IХ продукций.
СоА, СОА (Centl'e of Al'ea) метод дефаззификации по формуле центра площади.
CoG, COG (Сепн-е of Gl-avity) метод дефаззификации по формуле центра тяжести.
CoGS, COGS (Centl'e of Gravity [01- Singletons) метод дефаззификации по фор-
муле центра тяжести для одноточечных множеств.
DoS (Degl"ee of SUppOl"t) весовой коэффициент правила нечеткой продукции в
среде fuzzyTECH..
DDE (DYllal11ic Data Exchange) технолоrия, которая позволяет нескольким
nporpaMMaM обмениваться данными в среде MS Windows.
FB (Function Вlock) функциональный блок в языке FCL.
FBD (Fullction Block Diagl"am) диа['рамма функциональноrо блока на rрафи
ческом языке управления.
716
r лоссарий
FC (Fuzzy Conti'ol) нечеткое управление.
FCL (Fuzzy Control Language) язык нечеткоrо управления.
FDCL (FlIzzy Dependency and Command Language) язык нечеТI<:ИХ зависимо
стен и команд.
FIS (Fuzzy Inference System) система нечеткоrо ВЫВОДа В среде MATLAB.
FI.. (FlIzzy Logic) нечеТкая лоrика.
FМP (fuzzy modus ponens) нечеткии модус поненс,
FМT (fuzzy modlls tollens) нечеткий модус толленс.
FfL (Fuzzy Technology Language) специальный текстовый формат для coxpa
нення файла нечеткоrо проекта в среде f\.lzzyТECH.
J;.R (fHZZyTECH RHntime) специальный бинарный формат ДЛЯ сохранения
файла нсчеткоrо проекта в среде [llпуТЕСН.
GAMMA коэффициент компенсации для аrpеrирования в среде fuzzyTECH.
IEC (International Electro[echnical Coml11ission) Международная электротехни
ческая комиссия, комиссия по электротехнике.
IL (Iпstl"uсtiоп List) список инструкций.
ISO (Iпtеrпаtiопаl Stапdю'dizаtiоп Оl"gапisаtiоп) Международная орrанизация
по стандартизации.
LM (Left Most Maximum) метод дефаззификации по формуле левоrо модаль-
носо значения.
1, V (IJiпguistic Val"iabIe) линrвистическая переменная.
МАХ (Maxin1Um operatOl') операция максимизации произвольноrо количества
арсументон.
MBF/MJ;' (Membel"ship Function) функции принадлежности.
MFLIPS (МiIliол Fuzzy Logic lnferences per Second) миллион нечеТких лоrиче-
ских выводов В секунду.
MIN (Minimum opel"ator) операция МИНИМJ.пации произвольноrо количества
арсументов.
PC/PLC (Pl'ogl'aIntnabIe/Logic Contl"ollel') проrраммируемый/лоrичеСI<:ИЙ J<OH
ТрОЛJ1ер,
PROD (PJ"oduct opel"ator) операция произведения произвольноrо количества
aprYMeHToB.
RB (Rule Block) блок правил нечетких продукций.
RM (Rigl1t Most Maximum) метод дефаззификации по формуле правосо MO
дальноrо значения.
SOFCL (Self....Ol.ganising Fuzzy I.ogic ContJ"ollel's) самоорrанизующиеся KOH
троллеры с неJlеТI<ОЙ ЛОП1Кой.
ST (Struсtшеd Text) структурируемый текст.
Литература
1. Ансофф И. Новая корпоративная стратеrия. СПб: Питер. 1999. 416 с.
2. Дьяконов В. МА TLAB: учебный курс. СПб: Питер, 200 1. 560 с.
3. Дьяконов В., Круrлов В. Математические пакеты расширения МА ТLAB.
Специальный справочник. СПб: Питер, 2001. 480 с.
4. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложение к представлению
знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990. 288 с.
5. rородецкий В. И. Прикладная алrе6ра и ДJ1скретная математика. Часть 3.
Формальные системы лоrическоrо типа. МО СССР, 1987. 177 с.
6. rультяев А. Визуальное моделирование в среде MATHLAB: учебный курс.
СПб: Питер. 2000. 432 с.
7. Искусственный интеллект. Кн. 2. Модели и методы: Справочник I Под
ред. д. А.Поспелова. М.: Радио и связь, 1990. 304 с.
8. Карлоф Б. Деловая стратеrия. М.: 3КОНОМИI<:а, 1991. 239 с.
9. Классификация и кластер Юод. ред. Дж. Взн Райзина. М.: Мир, 1980. 392 с.
10. Клини С. Математическая лоrика. . М.: Мир, 1973. 480 с.
] 1. Ковальски Р. Лоrика в решении проблем. М.: Наука. 1990. 280 с.
12. Котов В. Е. Сети Петри. М.: Наука, 1984. 432 с.
13. Кофман А. Введение в теорию неtlеткиХ множеств. М.: Радио и связь,
1982. 432 с.
14. Круrлов В. В., Борисов Н. Н. Искусственные нейронные сети. Теория и прак
тика. М.: rорячая линия Телеком, 200 1. 382 с.
15. Кузьмин В. Б. Построение трупповых решений в пространствах четких и
нечетких бинарных отношений. М.: Наука, 1982. 168 с.
16. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. . М.: Мир, 1970. 416 с.
17. Леоненков А. В. Самоучитель tJML. БХВ Петербурr, 2001. 304 с.
18. Леоненков А. В. Алrоритм нечеткоrо кластерноrо анализа в задачах cтpYK
туризации сложных систем. Сборник алrоритмов и протрамм типовых
задач. Вып. 1 1. МО РФ, 1993, с. 74 79.
19. Лески н А. А., Мальцев П. А., Спиридонов А. М. Сети Петри в моделирова
нии и управлении. Л.: Наука, 1989. . 136 с.
20. Лоrический подход к искусственному интеллекту: от клаСсической лоrики к
лоrическому проrраммированию. М.: Мир, 1990. 432 с.
21. Мандель Н. Д. Кластерный анализ. М.: ФинаНСbl и статистика, 1988. J 76 с.
718 Часть IV. Приложения
22. Мелихов А. Н., Бернштейн Л. С., Коровин С. Я. Ситуационные советующие
системы снечеткой лоrикой. М.: Наука, 1990. 272 с.
23. Методы анализа данных / Под. ред. Э. Дидэ и др. М.: Финансы и стати
стика, 1985. 360 с.
24. Нечеткие множества в моделях управления и искусственноrо интеллекта/
Под. ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986. 312 с.
25. Нечеткие множества и теория возможностей / Под. ред. Р. Р. Яrера. М.:
Радио и связь, 1986. 408 с.
26. Новиков П. С. Элементы математической лоrики. М.: Наука, 1973. 400 с.
27. Борисов А. Н. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия
решений. М.: Радио и связь, 1989. 304 с.
28. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при не'lеткой исходной ин
формации. М.: Наука, 1981. 208 с.
29. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. М.: Мир,
1984. 230 с.
30. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. CyreHo.
М.: Мир, 1993. 368 с.
31. Резников Б. А. Системный анализ и методы системотехники (Методолоrия
системных исследований). Часть 1. МО СССР, 1990. 522 с.
32. Сети Петри и их реализация на ЭВМ. Вып. 1/ Леоненков А. В. МО СССР.
1990. 61 с.
33. Сети Петри и их реализация на ЭВМ. Выл. 2. Временные сети Петри /
Леоненков А. В. СПб., ВИКА, 1 996. 87 с.
34. Сети Петри и их реализация на ЭВМ. Выл. 3. СтохаСТИ"lеские сети Петри!
Леоненков А. В. МО РФ, 1995. 63 с.
35. Аl"Поuld Т., Тапо S. Iпtеrv,Й vаluеd fuzzy Ьасkwю'd ]'easoning. IEEE Transac
tions 0\1 Fuzzy Systems, vol. 3, по. 4, 1995, рр. 425 37.
36. Bezdek J. С. А convergence the01'em [Ol' tl1e fuzzy ISODATA clustel"ing algo
ritl1m. IEEE Transactions оп Pattern Analysis and Mashine Intelligence, vol. 2.
По. 1, 1980, рр. 1 8.
37. Bezdek J.c. Some recel1t applications of fuzzy c means in раttеl"П ]'есоgпitiоп and
image processing. IEEE WOl'kshop Lang. Autom, 1983, рр. 247 252.
38. Chen S. М., Ке J. S., Chang J. F. Knowledge ]'ep]'esentation usiпg fuzzy PetJ'i
nets. IEEE Transactions оп Knowledge and Data Ellginee]'ing, vol. 2, по. 3.
1990, рр. 311 319.
39. Dunn J. С. А fиzzy l"elative of the ISODA ТА pJ"Ocess and its use in detecting
compact well sepaIated cluste]'S. JОU1'Паl оп Cybel'netics, vol. 3, по. 3. 1974,
pp.32 37
40. Fukami S., Mizumoto М., Tanaka, К. Some considel'ations of fuzzy сопditiопаl
infel'ence. Fuzzy Sets and Systems, vol. 4, 1980, рр. 243 .273.
Приложение 1. Основы классической теории множеств и отношений
719
41. Kiszka J. В., Kochanska М. Е., Sliwil1ska D. S. The influence of some fuzzy irn
plication operators оп the accllracy of а fuzzy model. Fuzzy Sets and Systems,
vol. 15, 1985, рр. 111 128; 223 240.
42. Копю' А., Mandal А. К. Ul1cel"tail1ty rnanagemel1t in expel"t systems usil1g fuzzy
Pett'i nets. IEEE H'ansactiol1s оп Knowledge and Data El1gneel"ing, vol. 8,
по. 1, 1996,pp.96 104.
43. Looney С. G. Fuzzy Pett'i nets fOl' t'ule based decision making. IEEE Tt'ansac
tions оп Systems, Мап, and Cybeтetics, v. 18, по. 1, 1988, рр. 178 183.
44. Mamdani Е. Н. Application of fllzzy logic to approximate t'easoning lIsing lin
guistic synthesis. IЕЕЕ Tl'ansactions оп Computers, vol. 26, по. 12, 1977,
рр. 1182 1191.
45. Mamdani Е. Н., Assilian S. Ап expet'il1lent in linguistic уп thesis with а fuzzy
10gic contl'oller. Intet'national Jou1'l1al of Man Machine Stlldies, vol. 7, по. 1,
1975, рр. 1 13.
46. Mal1ldani Е. Н. Advances in the lillguistic synthesis of fuzzy сопtt'оllеrs. Inter
national Jоurпаl of Мап Масhiпе Studies, vol. 8, 1976. рр. 669 678.
47. Mamdani Е. Н. Applications of fuzzy logic to appl"oximate reasoning using
lingllistic synthesis. IЕЕЕ Tl'ansactions оп Computel's, vol. 26, по. 12, 1977,
рр. 1182 1191.
48. Murata Т. Petri nets: p1'Operties, analysis and applications. Proceedings of the
IЕЕЕ, vol. 77, по. 4, 1989, рр. 541 5S0.
49. Pedt'Ycz W., Gomide F. А genet'alized fuzzy Pett'i net model. IЕЕЕ Transac
tions оп Fuzzy Systems, vol. 2, по. 4, 1994, рр. 295 301.
50. Ross Т. J. Fuzzy logic with engineel'ing applications. McGl"aw HiII, 1995. 600 р.
51. Sugeno М. Fuzzy measнres алd fuzzy integrals: а sш'vеу. (in М. М. Gupta, G. N.
Sш'idis. and В. R. Gaines. editors) Fuzzy Automata апд Decision Processes,
рр. 89 102, Nш-tI1 Ноllаl1d, New YOl'k, 1977.
52. Takagi т., SlIgeno М. Fuzzy identification of systems and its applications to
modeling апd control. IEEE TIansactiol1s оп Systems, Мап, and Cybe1'l1etics,
vol. 15, по. J, 1985, рр. 116 132.
53. Windham М. Р. Clustel" validity [о!" the fuzzy c means clustering algorithl1l.
IEEE Tt'ansactions оп Ране1'l1 Analysis and Mashine Iпtеlligепсе, vol. 4, по. 4,
1982,pp.357 363.
54. Windl1am М. Р. Clustel' validity for the fuzzy c means clustering algOl.ithm,
FlIzzy Sets and Systems, уо]. 10, по. 3,1983, рр. 271 279.
55. Zadeh L. А. Fuzzy sets. InfOl'mation апd Contl"o], vol. 8, 1965, рр. 338 353.
56. Zadeh 1,. А. The concept of а linguistic val'iabIe and its application 10 appl'oxi
mate l"easoning. Infol"mation Sciences, vol. 8, 1975, рр. 43 80.
57. Zadeh L. А. Fuzzy logic. IЕЕЕ Tl'al1sactions 011 Compute!"s, vol, 21, по. 4.
1 98R, рр. 83 93.
lIh {»
· · :: ксандр Леоненков
Нечеткое
моделирование
вереде MATLAB
и fuzzyTECH
Цель книrи помочь системным аналитикам и про
rраммистам освоить принципы новой методолоrии
нечеткоrо моделирования, чтобы в дальнейшем с
успехом решать конкретные практические задачи,
используя рассмотренные в книrе инструментальные
средства.
. Язык нечеткоrо управления FCL
. Стандарты IЕС 11З1 {Part 7} и Fuzzy Control Language
. Нечеткие сети Петри
. Основы нечетких нейронных сетей ANFIS
Средний/высокий
Проrраммирование
ТЕРИЕТ-МД.rдзИ И
ии uterbook. r
www. comp
CJ
ISBN 5 94157 087 2