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Текст
J. GENET et G. PUPION
,
,
1 1
1
RÉSUMÉ DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS. MP2. PC2
TOME 1
espaces métriques - séries - systèmes différentiels
VUIIERT
analyse Dloderne 1
, .
espaces metrlques
, .
senes
systèmes différentiels
analyse moderne
résumé de
cours
et
. . ,
exerCIces corrIges
par
J. Genet
et
G. Pupion
agrégé de l'Université,
docteur ès sciences mathématiques,
maître de conférences à
l'Université de Pau
agrégé de [' Université,
docteur ès sciences mathématiques,
maîtres de conférences à
l'Université de Bordeaux
TOME
1
espaces métriques
séries
systèmes différentiels
à l'usage des étudiants du DUES, M.P. et P. C., des classes préparatoires
aux grandes Écoles et de la première année des maîtrises de Mathématiques
LIBRAIRIE VUIBERT
Boulevard Saint-Germain, 63
PARIS - se
La loi du Il mars 1957 n'autorisant, aux termes des alinéas 2 etl
de l'article 41, d'une part, que les « copies ou reproductions strictement
réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation
collec.tive » et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans
un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction
intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses
ayants droit ou ayants cause, est illicite» (alinéa 1 er de l'article 40).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425
et suivants du Code Pénal.
@ Librairie Vuibert, 1971
AVANT-PROPOS
Cet ouvrage est le premier d'une série destinée aux étudiants du DUES,
M.P. et P.C., et à ceux des classes préparatoires aux grandes Écoles scienti-
fiques. Ce volume est consacré à une partie du programme d'Analyse de M.P.2
et de P.C.2. Chaque chapitre comprend un cours résumé et les exercices
d'applications.
En fait, il ne manque pas de recueils d'exercices sur le cours d'Analyse,
mais il nous a paru, avec l'expérience de ces dernières années, que ces recueils
restaient par trop traditionnels et qu'ils ne faisaient pas une part assez impor-
tante aux aspects actuels - et nécessaires - de l'Analyse.
Puisque, entre autres..., le premier cycle des Facultés des sciences doit
conduire au second, certaines notions fondamentales, telles que les notions
de topologie, doivent y être abordées. C'est dans cet esprit que ce premier
volume d'Analyse a été conçu. Non seulement il doit permettre aux étudiants
de réviser et d'approfondir leur cours de M.P.2 ou de P.C.2, mais encore
- en ce qui concerne les premiers chapitres - nous pensons qu'il aura une
utilité certaine pour la mise en route d'une maîtrise (de Mathématiques ou
de Physique) en facilitant l'accès à la topologie générale et à ses applications.
Le début de cet ouvrage a également pour ambition d'être utile à nos collègues
de l'Enseignement secondaire qui sont nombreux à participer à des cours de
recyclage et qui désireraient travailler de plus près ces notions d'Analyse.
Une attention particulière a été apportée aux propriétés dont la terminologie
pourrait prêter à confusion :
- « boules fermées» et fermeture de la « boule ouverte» de même rayon,
- « distances équivalentes» (ne conservant pas la complétion en généraI),
« distances uniformément équivalentes »...,
- applications biunivoques continues, mais non bicontinues, ... etc.
Signalons que nombre des exercices développés dans cet ouvrage ont déjà
été expérimentés, puisque utilisés comme illustration du cours, ou proposés
à nos étudiants en Travaux Pratiques.
Nous remercions vivement la Librairie Vuibert, spécialisée dans j'édition
d'excellents ouvrages de Mathématiques de ce genre, qui a bien voulu se
charger de la publication de ce manuel avec tous les soins nécessaires.
LES AUTEURS.
Utilisation et numérotation des exercices
En tête de chaque chapitre, l'indication M.P.2, M.P.2 - P.C.2, P.C.2 précise
que le programme traité correspond à M.P.2 seulement, à une partie commune
de M.P.2 et de P.C.2, à P.C.2 seulement. Il a été fait en sorte que l'ouvrage
puisse correspondre à une progression normale des connaissances, tant pour
M.P.2 que pour P.C.2.
Les exercices sont numérotés à l'aide de trois chiffres. Par exemple, l'exer-
cice p.q.r. se rapporte au chapitre p, paragraphe q et est le r e correspondant
à ce paragraphe. La résolution de cet exercice fait nécessairement appel à
l'une des propriétés développées au paragraphe q du chapitre p, mais peut
utiliser des connaissances « antérieures ».
Les symboles ., .. et ... sont relatifs à la difficulté des exercices
proposés.
. Exercices faciles. (Application immédiate du cours ou exercice
technique. )
.. Exercices de difficulté moyenne.
. .. Exercices plus difficiles. (Ces derniers sont conseillés à titre de
révision en début de Maîtrise.)
Principales notations
lN : anneau des entiers arithmétiques.
lN* = lN -{O}.
Z : anneau des entiers relatifs.
fP, : corps des rationnels.
IR : corps des réels (et espace métrique muni de la distance euclidienne
s'il n'y a pas d'autre indication).
IR+ = {x; XE IR, x;>O}.
IR! = IR+ -{O}.
q; : corps des complexes.
IRn : espace vectoriel sur IR des n-uples ordonnés (Xl' ..., X j , ..., XII)' xjEIR.
q;n : espace vectoriel sur q; des n-uples ordonnés (Xl' ..., X j , ..., x n ), XjE q;.
[X] : partie entière du réel x.
f : X Ho f(x) = y désigne l'application f qui à X fait correspondre y.
f-...S(f) à f correspond la série de Fourier SC!).
-> : symbole utilisé pour la convergence.
Un U Un tend vers U lorsque n tend vers l'infini.
n-+oo
TABLE DES MATIÈRES
1.
Esp ACES MÉTRIQUES. Ouverts. Fermés. Bornés . . . . . . . . . . . . . . . .
1 G " 1 .,
. enera ltes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. - Ouverts d'un espace métrique ....................
III. - Fermés d'un espace métrique ....................
Énoncés des exercices ..................................
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
ESPACES MÉTRIQUES. Compacts. Suites de Cauchy. Complets...
1. Compacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. - Suites de Cauchy.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. - Complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Énoncés des exercices ..................................
S 0 J u ti 0 n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
ApPLICATIONS CONTINUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 G " 1 .,
. enera 1 tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. - Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. - Définitions et propriétés diverses .................
Énoncés des exercices ..................................
Sol u ti 0 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
ESPACES VECTORIELS NORMÉS. ESPACES DE BANACH. ESPACES DE
HILBERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Espaces vectoriels normés ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Espaces de Banach ................ ... ...........
III. Espace Lc(E, F) .................................
IV. Espaces de Hilbert ..............................
Énoncés des exercices ..................................
Sol u ti 0 n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
S , ,
ERIES NUMERI Q UES ........................................
1 G ' n ' al . t ' su les ' . e
. e er 1 es r serI s ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. - Séries à termes positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
14
16
19
27
59
59
60
60
61
64
77
77
78
79
80
85
101
101
103
103
104
106
114
149
149
151
TABLE DES MATIÈRES 9
III. - Séries à termes réels de signe quelconque ou à termes
complexes ........................................... 154
IV. - Opérations sur les séries ......................... 157
noncés des exercices ...... ............................ 159
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS ............................
A) Suites de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. - Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . .
II. - Théorèmes fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B) Séries de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. - Convergence simple et convergence uniforme ......
IV. - Théorèmes fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Énoncés des exercices ..................................
Sol u ti 0 n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE........
1 P ." " l
. roprletes genera es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. - Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. - Séries entières réelles. Fonctions développables en
séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV. - Fonctions z ez, ch z, sh z, sin z, cos z . . . . . . . . . . . .
V. - Applications.....................................
noncés des exercices ..................................
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
SÉRIES DE FOURIER .......................................
1 D ' fi . t . " al
. e nI Ions gener es.............................
II. Fonctions développables en série de Fourier. . . . . . .
III. gaH té de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV. Cas des fonctions de période T =1= 2n .............
V. Bases orthogonales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
noncés des exercices ..................................
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.
SUITES ET SÉRIES DANS UN E. V.N. ........' . . . . . . . . . . . . . . . . .
A) Suites et séries dans un E.V.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Suites dans un E. V. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Séries dans un E. V. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. Définition de e A et eL ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
179
179
181
183
183
184
186
191
211
211
212
213
215
216
217
223
257
257
258
259
259
260
262
266
279
279
279
279
280
10
TABLE DES MATIÈRES
B) Suites et séries de fonctions à valeurs dans un Banach. .. 282
IV. Définitions diverses ............................. 282
V. Suites de fonctions ln : (a, b) E Banach. . . . . . . .. 283
VI. Séries de fonctions ln : (a, b) E Banach. . . . . . . .. 283
VII. Résolution des systèmes différentiels X' = AX . . . .. 284
Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 286
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 291
10. SYsTÈMES DIFFÉRENTIELS ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
A COEFFICIENTS CONSTANTS. TECHNIQUES DE RÉSOLUTION .... 309
1. - Introduction..................................... 309
II. Propriétés élémentaires et existence des solutions ... 310
III. Méthodes pratiques. Systèmes homogènes ......... 311
IV. Recherche des solutions réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
V. Méthodes pratiques. Systèmes X' = AX + y . . . . . . .. 313
VI. Équations différentielles linéaires à coefficients constants 314
Énoncés des exercices .................................. 316
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
M.P.2
1.
ESPACES MÉTRIQUES
Ouverts - Fermés - Bornés
1. - GÉNÉRALITÉS.
1° Notion de distance. - Soit un ensemble E. On appelle métrique (ou dis-
tance) définie sur E, toute application d : Ex E IR.+ qui vérifie
(1) d(x, y) = 0 <=> x = y (axiome de séparation),
(2) d(x, y) = d{y, x) (axiome de symétrie),
(3) d(x, z) d(x, y)+d{y, z) (inégalité triangulaire).
Exemples:
a) Sur E, ensemble quelconque : d(x, x) = 0 et d(x, y) = 1 si x =1= y.
b) Sur IR. ou q; : d(Zl' Z2) = IZI-Z21, lire valeur absolue, ou module.
2° Espace métrique (E, d). - Un ensemble E muni d'une distance d est
appelé espace métrique. On le notera (E, d). Ses éléments seront appelés points.
Sous-espace métrique. - Soit A un sous-ensemble de E. Le sous-ensemble A
muni de la distance d est appelé sous-espace métrique de E.
Produit d'espaces métriques. - Soit (El' dl), ..., (En, d n ), n espaces métriques,
et E l'espace produit
n
E = n E.
,
i= l
X eE <=> X = (Xl' ..., x n ), où XiEEi,
On définit alors
y EE <=> Y = (YI' ..., Yn), où YiEEi.
d(X, Y) = Viti d (Xi' Yi)'
qui est une distance dans l'espace produit E.
« On peut aussi définir
dl (X, Y) = supdlxi'Yi)
ou
n
d 2 (X, Y) = L dlx i , Yi). »)
i= l
14
ESPACES MÉTRIQUES
Application:
a) On munit généralement IRft de
d(X, Y) = Vit! (Xi - Yi)2
(distance euclidienne ou naturelle).
b) On munit généralement C n de
d(Z,Z') = VitJZi-Z;j2,
où
Z = (Zl, ..., zn) et Z' = (z , "., z )
avec
Zi E C et z E C.
II. - OUVERTS D'UN ESPACE MÉTRIQUE (E, d).
1° Boule ouverte (resp. fermée). - On appelle boule ouverte [resp. fermée],
de centre a et de rayon p, l'ensemble des xEE tels que d(a, x) <p (p constante
positive) [resp. d(a, x) p]. Une telle boule sera notée Bp(a)l[resp. B (a)].
2° Défi tion d'un ouvert de (E, el). - Soit 0 cE. L'ensemble 0 non vide est
dit ouvert si chacun de ses points est centre d'une boule ouverte contenue
dans o. L'ensemble vide est supposé appartenir à la famille des ouverts de E.
Donc
0=0
o ouvert <=> ou bien
VxeO, 3px>0
tel que
Bp,Jx) c. o.
Une boule ouverte est évidemment un ouvert.
Exemples dans JR.2 (x, y):
a) {(x, y); Ixl <1 et Iyl <1} et {(x, y); x+y-l>O} sont des ouverts;
b) {(x, y); Ixl 1 et Iyl <1} et {(x, y); x+y-l O} ne sont pas des ouverts.
3° Théorème l.ll.l. - Dans un espace métrique (E, el) on a les propriétés
suivantes :
i) E et 0 sont ouverts;
ii) toute réunion d'ouverts est un ouvert : uO i = 0;
iel
ili) toute intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert :
11
n o. = o.
J
i=l
OUVERTS D'UN ESPACE MÉTRIQUE (E, d)
15
4° Notion de structure topologique. - Soit E un ensemble et 13 un ensemble
de parties de E. On dit que 13 est une topologie sur E, ou aussi que 13 définit
une structure topologique sur E, pour exprimer que 13 satisfait aux axiomes
suivants :
i) E et 0E13;
ii) OiE13 => u OjE13, YI ensemble d'indices;
iel
iii) Oi E13 => n Oi E13, YI ensemble fini d'indices.
iel
E muni de la topologie 13 est appelé espace topologique et est noté (E, 13).
Les parties de E appartenant à 13 sont dits les ouverts de l'espace (E, 13).
Autrement dit, 13 est l'ensemble des ouverts.
Sur un ensemble E (non réduit à un élément) on peut toujours définir plu-
sieurs topologies.
Exemples:
Topologie discrète 13 = !f(E), ensemble de toutes les parties de E.
Topologie grossière 13 = {0, E}.
Ces deux topologies sont les topologies extrêmes correspondant respecti-
vement au maximum et au minimum d'ouverts.
5° Topologie associée à une distance. - Vu la définition précédente et le
théorème 1.11.1. l'ensemble des ouverts d'un espace métrique (E, el) constitue
effectivement une topologie sur E. On l'appelle topologie associée à la distance.
Ceci justifie aussi le terme ouvert employé auparavant.
6° Distances équivalentes. - Deux distances sont dites équivalentes lorsque
les topologies associées sont identiques.
Pour que deux distances d et d' sur E soient équivalentes il faut, et suffit,
que toute boule B;(a) contienne une boule B;:(a) et réciproquement.
(B:(a) = {x; d(a, x)<p}.)
Distances uniformément équivalentes. - Elles sont définies par
YB>O, 311 > 0 tel que d(x', x") < n => d'(x', x") < B
et
311' > 0
tel que
d'(x', x") < 11' => d(x', x") < B.
Exemple:
Deux distances telles que Àd<:.d' <:'Ild (À et Il constantes strictement posi-
tives) sont uniformément équivalentes.
7° Ouverts d'un espace relatif A inclus dans E. - Soit 0 un ouvert de
(E, el) et 0 A = OnA. L'ensemble 0 A est dit ouvert de l'espace relatif A.
Réciproquement, on définit les ouverts de A par
Q ouvert de A <:;> 30 ouvert de E tel que Q = 0 n A.
16
ESPACES MÉTRIQUES
ill. - FERMÉS D'UN ESPACE MÉTRIQUE (E, d).
-
1° Points adhérents de A (sous-ensemble de E). Fermeture A. Tout
point x de E tel que
B p (x)nA=l-0, 'Vp>O
est dit adhérent à A.
L'ensemble des points adhérents de A est appelé fermeture de A et on le
note A..
On a (Ex. 1.111.1.)
AcA., A uli=AuB, AnBcAnB, A=A.
Exemples:
a) Dans IR2, soit
A = {(x, y); x>l et x+y-l<O},
A = {(x, y); x l et x+y-l O}.
b) Dans IR, soit
A = x .
n'
( _ 1 )n (
X n = n '
alors A = Au {O}.
c) Une boule fermée est un fermé (attention : Bp(a)cB (a), mais on n'a
pas l'identité en général !).
2° Définition et propriétés d'un fermé. - Un ensemble A est dit fermé
lorsque A = A. Autrement dit,
A fermé <=> tout point adhérent à A appartient à A.
Théorème 1.llI.l. - Le complémentaire d'un ouvert est un fermé et réci-
proquement.
Théorème 1.Ill.2.
i) E et 0 sont fermés.
ii) Toute intersection de fermés est un fermé : nF i = F.
ieI
n
iii) Toute réunion d'un nombre fini de fermés est fermée : u Fi = j'.
i= 1
3° Fermés d'un espace relatif A inclus dans E. - Les fermés FA de A
sont de la forme FA = FnA, où F est un fermé de E.
DÉFINITIONS DIVERSES ET COMPLÉMENTS RELATIFS A UN (E, d) ] 7
IV. - BORNES D'UN ESPACE MÉTRIQUE (E, d).
Soit AcE et £5(A) = sup d(x,y) appelé diamètre de A.
x,yeA
Si £5(A) < 00, on dit que A est borné.
Théorème 1.IV.I.
A borné <=> 3a E E et Ta
tel que
Bra(a)-::J A.
V. - DÉFINITIONS DIVERSES ET COMPLÉMENTS RELATIFS A UN
(E, d).
1° Voisinage de aeE. - On appelle vOIsInage d'un point a de E tout
ensemble Va qui contient une boule ouverte Bp(a). Un ouvert non vide est un
voisinage de chacun de ses points.
2° Intérieur de A. - Soit Ac E. On dit que x est intérieur à A si A est un
voisinage de x, c'est-à-dire s'il existe Bp(x) (p>0) inclus dans A. L'ensemble
des points intérieurs à A est noté A :
A ouvert <=> A = A.
3° Frontière de A. - On appelle frontière de A la différence BA = A-A.
Si xEA - A, toute boule Bp(x) contient au moins un élément de A et un élément
de CA.
4° Espace séparable. - Un sous-ensemble A est dit dense dans E si A = E.
Si (E, d) contient un sous-ensemble dénombrable dense, il est dit séparable.
Par exemple IR (puisque f£ = IR), lE, IRft, (En.
5° Distance de deux ensembles. - Soit A et B deux parties de E.
d(A, B) = inf d(x, y)
XEA,}'EB
est appelée distance de A à B.
6° Espaces et sous-ensembles connexes. - Un espace métrique (E, d)
connexe est caractérisé par l'une des deux propriétés suivantes, qui sont
équivalentes :
- E n'est pas la réunion de deux ouverts (ou de deux fermés) disjoints
non vides;
les seules parties de E à la fois ouvertes et fermées sont E et 0.
18
ESPACES MÉTRIQUES
Une partie A d'un espace (E, el) est dite connexe lorsque le sous-espace (A, d)
est connexe.
A connexe <=> de tout recouvrement de A par deux ouverts disjoints non
vides, on peut extraire un ouvert contenant A.
Exemple:
E = lE et Acz = {z; Iz + 11 et et Iz -11 < 1}, et constante positive,
Acz connexe si et 1, non connexe si œ< 1.
EXERCICES DU CHAPITRE 1
1.1.1. (Distance SNCF.)
. C étant le corps des complexes, on considère l'application de C X C
dans IR+ définie par
(z, z') d( z, z') = Iz-z' 1, si arg z = arg z' ou si l'un des deux éléments
z ou z' est nul,
= Izl + Iz'l dans tous les autres cas.
Établir qu'il s'agit d'une distance sur C.
1.1.2. Sur C X C on définit d (z, z') par
· d(z, z') = Iz-z'l, si Izl = Iz'l, d(z, z') = Izi + !z'l, si Izi Iz'l.
Vérifier qu'il s'agit d'une distance sur C.
1.1.3. Vérifier directement que les applications suivantes de IRn X IRn dans
.. IR+ sont bien des distances. Indiquer quelles sont les boules ouvertes de
centre 0 et de rayon 1 correspondantes dans IR2. On note
x = (x 1, ..., x n) et y = (YI'''.' Y n) .
n
a) (x, y) dl (x, y) = lXi-Yi 1.
i= 1
b) (x, y) f-+ dz(x, y) = Vi IXi-YiI Z .
c) (x, y) H dco(x, y) = sup IXi-Yil.
ie [1, ..., n]
Pour le b) utiliser la relation
n V --n V n
i aibi < i al i bl,
où ai et b i E IR (inégalité de Cauchy-Schwarz).
1.1.4.
...
1° Soit "1 E ]0, +1[, démontrer que Vx > 0, x Y -1 < y(x-1).
En déduire que
Vœ et Vp > 0, tels que œ+p = 1 et Va et Vb > 0
on a
(1) arJ.b < œa+pb.
2° Établir l'inégalité de Holder:
(2) . a/bi -< ( .i a ) ( .i br ) , _ r I + r I, = 1,
1= 1 1= 1 1= 1
20
1.1.5.
.
1.1.6.
.
ESPACES MÉTRIQUES
r et r' étant des constantes positives,
nuls. On posera
a. b.
a= b=-.!.
A ' B '
et les ah b i des réels positifs ou
avec
n
A= a
i= 1
et
n
B = b .
i=1
3° On définit l'application d p ( x, y) de /Rn X /Rn dans /R+ par
(x, y) H dp(x, y) = ( .i I Xi-YdP ) , pour p>l.
,= 1
Vérifier qu'il s'agit d'une distance sur /Rn.
On démontrera d'abord l'inégalité de Minkowski:.
[ . (ai+b)p ] < ( .i af ) + ( . bf ) ,
1==1 1=1 1=1
en utilisant une majoration convenable de
n
air ai +bi)P-I
i= 1
n
bi(ai+bi)P-I.
i=1
et de
4° x et y étant fixés, quelle est la limite pour p + 00 de d p ( x, y)?
1 ° Soit <fJ une fonction à valeurs réelles strictement croissante, définie
sur [0, + oo[ telle que <fJ(0) = 0 et vérifiant <fJ( u+v) <ifJ(u) +<fJ(v) (sous-
additivité). Montrer que si d est une distance définie sur un ensemble E,
<fJ (dj est également une distance sur E.
d
2° Application: dl = l+d ' d 2 = Log (l+d), d 3 = da. (O<a<l)sont
des distances sur E.
Une semi-distance, ou écart, sur un ensemble E est une application e de
Ex E dans /R+ qui satisfait aux deuxième et troisième axiomes des
distances, le premier axiome étant remplacé par
x = y => e(x, y) = o.
1 ° Donner un exemple d'écart.
2° Montrer que la relation 3t définie par
x 3t y e(x,y) = 0
est une relation d'équivalence sur E. En déduire qu'on peut définir une
E
distance sur l'espace quotient 3t .
1.1.7. Espaces ultramétriques.
.. Une ultra-distance sur un ensemble E est une application d de Ex E
dans /R+ satisfaisant aux premier et deuxième axiomes des distances,
le troisième étant remplacé par
'ix, y, zEE, d(x, y) sup [d(x, z), d(z, y)].
EXERCICES DU CHAPITRE 1
21
1 0 Montrer que.d est une distance sur E. L'espace (E, d) est dit ultramétrique.
Exemple: On considère l'ensemble des polynômes à une indéterminée
sur un corps fK. Montrer que l'on définit une ultra-distance sur en posant
d(P, Q) = O P = Q,
d(P, Q) = e-val(P-Q), si P -# Q,
val (A) désigne la va/uation du polynôme A.
2 0 Montrer que dans un espace ultramétrique (E, d)
si d(x, z) -# d(z, y) alors d(x, y) = sup [d(x, z), d(z, y)].
1.1.8. Valeur absolue p-adique.
.. Soit c un réel tel que CE ]0, 1 [ et p un nombre premier donnés. Tout élé-
ment x de l'ensemble (12 des rationnels peut s'écrire
a
x = pa. -,
b
a E Z, a et b étant des entiers, premiers avec p.
On définit l'application de (12 dans IR+: x H lx I p par
10Ip = 0 et Ixlp = ca..
1 0 Vérifier que Ix+ Ylp sup (Ixl p , IYlp).
Montrer que l'application XH Ixlp est une valeur absolue sur le corps ([2.
On l'appelle valeur absolue p-adique.
2 0 On pose d(P}(x, y) = Ix- Ylp pour x, y E (12. Montrer que d(P) est une
ultra-distance sur ([2 (cf. exercice 1.1.7.).
1.11.1.
.
Soit d une distance sur un ensemble E, on considère
b(x, y) = inf[l, d(x, y)], 'ix, y E E.
1 0 Montrer que b est également une distance sur E.
2 0 On prend E = IR2 et d = d 2 distance euclidienne sur IR2,o étudier
les boules ouvertes et fermées de l'espace métrique (IR2, b).
1.11.2.
..
Déterminer les boules ouvertes et fermées des espaces métriques définis
sur q; à l'aide des distances étudiées aux exercices 1.1.1. et 1.1.2.
1.11.3.
.
On considère un ensemble E de quatre éléments: E = {a, b, c, d}.
1 0 Les familles suivantes:
U I = {0,{a}, E},
U 2 = {0, {a}, {b, d}, E},
Ua = {0, {a}, {b, c}, {a, b, c}, E},
sont-elles des topologies sur E?
2 0 Donner un exemple d'une topologie sur E con1portant quatre ouverts.
22
1.n.4.
.
l.n.s.
.
1.11.6.
...
l.ll.l.
.
1.ill.2.
.
ESPACES MÉTRIQUES
Établir que les distances définies dans l'exercice 1.1.3. sont équivalentes.
Même question pour les distances d p de l'exercice 1.1.4.
Si d est une distance, les distances définies par
d
1 +d' Log (1 +d), da.(O < ex < 1),
(voir l'exercice 1.1.5.) sont-elles uniformément équivalentes à d?
Soit 0 un ouvert quelconque de IR muni de la distance naturelle.
1° Étudier l'ensemble A = {x; XEC 0, x>a} et montrer que, si A n'est
pas vide, il admet une borne inférieure jl avec Il O. En conclure que
[a, +oo[cO ou [a, jl[cO.
2° Étudier l'ensemble B = {x,. XE C 0, x<a} et montrer que, si B n'est
pas vide, il admet une borne supérieure À avec À O. En déduire que
VaE 0, 3]À, ,ur cO disjoint de toute autre partie de 0, avec a E ]À, jl[ (éven-
tuellement À = -00, ,u = +(0).
3° Utiliser la propriété précédente pour établir que l'ouvert le plus général
de la droite numérique est constitué par une réunion dénombrable d'inter-
valles ouverts.
Fermeture sur un ensemble.
On définit sur (E), ensemble des parties d'un ensemble E, l'application F
suivante:
F: A Ho F(A), VA E (E), F(A) E (E),
que l'on appelle fermeture sur E lorsqu'elle satisfait aux quatre axiomes
suivants:
(1) F(0) = 0 (invariance du vide),
(2) Ac F(A) (croissance) ,
(3) AcB => F(A)cF(B) (isotonie),
(4) F[F(A)] = F(A) (idempotence).
Démontrer que, dans un espace métrique (et plus généralement dans un
espace topologique quelconque), l'application suivante:
A Ho A, A adhérence de A,
est bien une fermeture au sens précédent et que cette fermeture satisfait à
la propriété supplémentaire suivante:
F(AuB) = F(A)uF(B) (additivité).
Dans IR muni de la distance naturelle, l'ensemble
{(-1)1I+ , neJN*}
est-il fermé?
t.ll.3.
...
1.ill.4.
.
l.ill.S.
.
t.ill.6.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 1
23
Dans IR2, (Xl' X2) muni de la distance naturelle, les ensembles suivants:
a xl b, XI-X l, {XI-X l et XI+X <2}
sont-ils fermés?
1 0 Dans IR2, (x, y) muni de la distance naturelle, on considère les bou/es
W n = 1 (x, y); (x- r + (y- r : 1,
ex:>
nE IN* et k constante positive ou nulle. L'ensemble U (JJn est-il un fermé?
n=l
Discuter.
20 Même question pour W n = ! (x, y); (x- ) 2 + (y- ) 2 1, où {k n }
est une suite positive bornée.
Boule fermée et fermeture de la boule ouverte.
1 0 Soit Br(x) et B;(x) les boules respectivement ouvertes et fermées d'un
espace métrique (E, d). Montrer que Br(x)c. B;(x).
2 0 Dans Z l'ensemble des entiers algébriques muni de la distance naturelle
d(n, m) = ln-ml, définir les boules B 1 (n), BI(n) , B 1 (n). Quelle conclusion
peut-on en tirer?
B;(a) désigne la boule fermée de centre a et de rayon p dans un espace
métrique (E, d).
ex:>
a) Déterminer n BI+.!(a). Qu'en déduit-on?
n=l n
ex:>
b) Même question pour U B' (a).
n = 1 n+l
ex:>
ex:>
F = n On et 0 = U Fn.
n=l n=l
Soit F un fermé quelconque d'un espace métrique (E, d). A chaque entier
positif, n, on fait correspondre l'ouvert On tel que On = U BI (X), où
xeF ri
1
Bl(X) désigne la boule ouverte de centre x et de rayon -.
n n
ex:>
1 0 Montrer que Fc. nOn.
n=l ex:>
Démontrer l'inclusion réciproque. On établira que si yEn On pour chaque
1
entier n, il existe x n E F tel que X n E B!(y).
n
2 0 En déduire que tout fermé d'un espace métrique est l'intersection
dénombrable d'une famille d'ouverts et que tout ouvert est l'union dénom-
brable d'une famille de fermés.
24
l.m.7.
...
l.In.8.
..
l.ill.9.
.
I.IV.I.
.
I.IV .2.
.
I.V.I.
..
ESPACES MÉTRIQUES
Propriétés des boules dans un espace ultramétrique.
[Voir la définition et les premières propriétés d'un ultralnétrique (E, d)
dans l'exercice 1.1. 7.]
On rappelle que, dans un tel espace
d(x, z) =F d(z, y) => d(x, y) = sup [d(x, z), d(z, y)].
1 ° Montrer que toute boule ouverte Br(x) est un ensemble ouvert et
fermé. Établir que "Vy E Br(x), on a Br(Y) = Br(x).
2° Montrer que toute boule fermée B;(x) est un ensemble ouvert et fermé
et que "Vy E B;(x), on a B;(y) = B;(x).
3° Montrer que si deux boules ont une intersection non vide, l'une est
contenue dans l'autre.
On munit lE de la distance d: (Zl' zz) H d(zl' zz) = Izi-zzi et soit
Al = {ZE (E; Iz-1! a }, a constante réelle positive ou nulle,
Az = {ZE(E; Iz+11 a},
A = AluAz.
1° a) Montrer que A est fermé dans (E.
b) Montrer que pour a<l, Al et Az sont à la fois ouverts et fermés
dans le sous-espace métrique A. Que peut-on dire lorsque a 1 ?
2° Même question que précédemment, mais relativement à
B1={ZE (E;lz- 1 1<a},
Bz={ZE lE; Iz+11 a},
B = B1uBz.
Fermeture d'un sous-groupe.
Soit .A un sous-groupe additif (sous-anneau, sous-corps) d'un groupe
(d'un anneau, d'un corps) muni d'une distance. Montrer que A est aussi
un sous-groupe additif (sous-anneau, sous-corps).
A et B sont deux ensembles bornés d'un espace métrique. Montrer que la
réunion AuB est également bornée.
d
On sait que sur IR. les deux distances d et d' = 1 +d sont équivalentes.
Montrer que l'espace métrique (IR., d') est borné lorsque d est la distance
naturelle. Que peut-on en conclure?
Filtres de vOlsmages.
Soit E un ensemble quelconque, on appelle filtre sur E un ensemble :F de
parties de E satisfaisant aux axiomes suivants:
(1) 0 :F,
(2) Si A E:F et B::)A alors B E :F,
(3) A et B E :F => AnB E :F.
1. V.2.
..
1.V.3.
...
1.V.4.
.
1.V.5.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 1
25
Exemples :
1° Montrer que l'ensemble des complémentaires des parties finies de lN
constitue un filtre sur lN.
2° (E, d) étant un espace métrique, montrer que l'ensemble CU'a des voisi-
nages Va d'un point a constitue un filtre (appelé filtre des voisinages).
1 ° Soit A un sous-ensemble ouvert dans un espace m étriqu e (E, d).
Montrer que pour tout sous-ensemble B on a AnB c AnB.
2° Dans IRz (distance naturelle), on considère deux disques Dl et Dz
o 0
fermés disjoints. Soit A = Dl uôDz, B = Dz.
Montrer que AnB n'est pas contenu dans AnB.
Donner sur IR un exemple d'une telle circonstance.
3° Donner, dans IR et IR2, des exemples d'ouverts A et B tels que les
quatre ensembles suivants soient tous différents : AnB, BnA, AnB, AnB.
Propriétés de l'intérieur d'un ensemble.
1 ° Démontrer que pour tout ensemble A l'intérieur A est le plus grand
ouvert contenu dans A. [On pourra montrer que, A = UOh Oi ouvert cA.]
2° Établir les propriétés suivantes:
o
o 0
AcB => AcB, VA et B: AuB = AuB.
:> -
3° On pose a(A) = A et (3(A) = A. Montrer que
A ouvert => Aca(A); A fermé => (3(A)cA.
En déduire que pour tout ensemble A
a[a(A)] = a(A)
(3[f3(A)] = (3(A).
et
4° Donner un exemple dans IR où les cinq ensembles A, A, A, a(A)
et (3(A) sont tous distincts.
A est une partie d'un espace métrique et d(x, A) désigne la distance du
point x à la partie A.
1 ° Montrer que d(x, A) = 0 si, et seulement si, x est adhérent à A.
2° Établir que d(x, A) = d(x, A).
A et B sont deux parties non vides d'un espace métrique; démontrer que
d(A, B) = inf d(x, B)
xeA
d(A, B) = d(.1, B).
et
26
1.V.6.
...
1.V.7.
..
1. V .8.
.
1. V.9.
...
ESPACES MÉTRIQUES
Soit:F l'ensemble des parties fermées non vides d'un espace métrique (E, d).
Pour A et B E :F on pose
A(A, B) = sup [d(a, B)], J.L(A, B) = sup [d(b, A)]
aeA beB
et
d(A, B) = sup [A(A, B), J.L(A, B)].
1 0 Calculer d({a},{b}), où a et b E E.
Montrer que d(A, B) = d(B, A).
2° Établir que d(A, B) = 0 => A = B.
Soit a E E, B et CE:F, montrer que l'on a
'i a E E : d(a, C) d(a, B) + d(B, C).
3° Démontrer que d est une distance sur :F.
Montrer que IR muni de la distance naturelle est connexe.
Montrer que si A est un ensemble connexe, A l'est également.
1 ° Soit A et B deux sous-ensembles connexes d'un espace métrique (E, d)
satisfaisant à AnB =F 0. Montrer que AuB est connexe. (On établira
d'abord que si AuB n'est pas connexe, A et B sont nécessairement inclus
dans deux ouverts disjoints.)
2° En déduire que si Al' Az, ..., An sont des sous-ensembles connexes
n
tels que AinA i + 1 =F 0, pour i = 1, 2, ..., n-1 alors l'ensemble u Ai
;=1
est connexe.
3° Si une famille d'ensembles connexes Ai (i = 1, ..., n) 'contient un
ensemble rencontrant tous les autres, la réunion est connexe.
SOLUTIONS
1.1.1.
1 0 Soit d(z, z') = O.
Alors, ou bien Iz-z' 1 = 0 et arg z = arg z', c'est-a-dire z = z',
ou bien !zl + !z'! = 0 soit !zl = !z'! = 0, donc z = z' = O.
L'axiome de séparation est donc bien vérifié.
2° d(z, z') = d(z', z) d'après la symétrie même de la définition.
3° Soit a démontrer l'inégalité triangulaire suivante
d(z, z') < d(z, z") +d(z", z').
Envisageons tous les cas possibles.
et) arg z = arg z' = arg z" alors,
(3) arg z = arg z' =F arg z" alors,
puisque
Iz-z'l =< Iz-z"I+!z"-z'l.
Iz-z'l =< Izl+lz"I+lz"!+lz'!,
Iz-z'l =< Izl+!z'l.
'}') arg z arg z' et arg z" égal a l'un des deux, soit arg ZIf = arg z, par exemple.
Alors,
d(z, z') = Izl + Iz'l, d(z, z'') = Iz-z"!, d(z", z') = Iz'! + Iz"l;
mais
!zl = Iz-z"+z"I=<lz-z"!+lz"l => Izl+lz'I=<lz-z"!+!z"!+lz'l.
On obtient le même résultat si l'on suppose arg z" = arg z'.
<5) Les trois arguments sont différents deux a deux, alors
!zl + Iz'! =< !z! + !z"! + Iz"l + Iz'l.
Dans tous les cas l'inégalité triangulaire est vérifiée.
L'espace métrique ainsi obtenu peut être appelé « espace de la SNCF ». (Il suffit
de faire le schéma pour en comprendre la raison!)
y
y
arg- % = arg %,'
d (%,%1 =M M'
M(%)
arg- :t f= arg- z'
à(z,z;) = OM+OM'
Mf ')
x
x
28
ESPACES MÉTRIQUES
1.1.2.
Il s'agit de verifier les trois axiomes suivants
1° d(z, z') = 0, ou bien Iz-z'! = o z = z',
ou bien Iz!+lz'l = o<=> !z! = !z'! = 0 donc z = z'"
2° !z-z'l = !z'-zl et Izi + Iz'! = !z'! + Iz! donc d(z, z') = d(z', z).
3° On envisage les différentes possibilités pour démontrer l'inégalité triangulaire.
et) Izi = Iz'l = Iz"l, alors Iz-z'l =< Iz-z"l + Iz"-z'l => d(z, z') =<d(z,z")+d(z", z').
P) Iz! = Iz'l Iz"l, alors d(z, z') = Iz-z'l =< Izl + Iz'l =< d(z, z")+d(z", z').
'}') Izi !z'! et Izi = !z"l, par exemple;
l'inégalité
Iz'! =<!z'-z"l + !z"! entraîne Izl + !z'l =<Iz'-z"! + !z"! + !z!,
donc
d(z, z') =< d(z, ZIf) +d(z", z').
<5) Les trois modules sont distincts deux a deux. L'inégalité triangulaire est alors
immédiate, puisque
Izl + Iz'l =< Izi + Iz"! + Iz"l + Iz'l.
1.1.3.
Dans les trois cas les axiomes 1 et 2 sont immédiatement vérifiables. Il reste donc
a vérifier l'axiome 3.
n n n
a) d(x,y) = IXi-Zi+Zi- Yil 1 Xi-Zi 1 + IZi- Yil => d(x,y) d(x,z)+d(z,y).
i=1 i=1 i=1
n n n n
b) IXi-Zi+Zi-YiI2 = I X i- Z i!2+ !Zi-Yi!2+2 IXi-Zillzi-yïl.
i=1 i=1 i=1 i=1
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwar z, on peut écrire
n Y n Y n
1 !Xi- Zi Ilz i - Yi 1 i 1 l x i- Zi 1 2 i 1 !Zi- Yi!2,
donc
d 2 (x, y) [d(x, Z)+ d(z, y)] 2 ,
ce qui est équivalent a l'axiome 3.
SOLUTIONS
29
c) Puisque
sup IXi-yïI sup IXi-zïl+sup IZi-Yil
i i
l'axiome 3 est vérifié.
Les boules ouvertes sont représentées ci-dessous, la frontière est exclue.
x
_1
1 X
_1
_1
d 2
dl
_1
-1
La notation dl, d 2 , deN est justifiée a l'exercice suivant.
1.1.4.
1 0 La fonction x H xY est concave puisque y E ]0, + 1[, la dérivée seconde s'écri-
vant y(y-1)xy-2.
Le graphe de cette fonction est donc situé au-dessous de la tangente au point
(+ 1, + 1). Alors,
Vx 0 : xY y(x-1)+1,
ou xY yx+ 1-y.
En posant a = y et p = 1-y, la relation (1) a démontrer s'écrit
aYb1-y ya+(l-y)b.
Appliquons la relation précédente avec x = [h =1= 0, sinon (1) est triviale], il vient
ya
aYb-Y b +l-y,
soit
aYb1-y ya+(l-y)b,
c'est-a-dire (1).
2 0 Les ai étant supposés non tous nuls, ainsi que les bi' considérons la somme
S = ai b i avec A = ar: et B = br:'
£..J 1 1 , £..J 1 £..J ,
i = 1 Ar .B-'" i = 1 i = 1
30
ESPACES MÉTRIQUES
alors
1 1
n ( a ) r- ( br ) ';; n ( 1 ai 1 bi' )
S= - - -.-+-,.-,
;=1 A B ;=1 r A r B
d'après l'inégalité (1) applicable ici avec C( = ! et p = l, .
r r
Donc
1 n 1 n 1 1
S _ A L a + ' B b[ = - + --; = 1
r i=1 r ;=1 r r
ce qui etablit l'inegalite de Holder (2).
Pour r = r' = 2 on retrouve l'inegalite de Cauchy-Schwarz utilisee dans l'exercice
précédent.
3° Les axiomes 1 et 2 sont immédiats. La verification de l'axiome 3 resulte de
l'inegalite suivante (de Minkowski) :
- pour ai et bi O et p 1, on a
111
(3) ( .f. (a/+b/)p ) P ( .f. ar ) p + ( .f. bf ) 'P ;
1=1 1=1 1=1
- pour p = 1, (3) est une egalite triviale.
Soit donc p> 1 et Si = ai+bj,
n n
sr = (ai+ b i)s!'-l.
;=1 ;=1
De l'inégalité (2) avec y = p et y' = 1 (applicable puisque p> 1), on déduit
n ( n ) 1 ( n ) P-l
. ai s i P - l . af P . sf P .
1=1 1=1 1=1
n
De même avec b i s i P - 1 ; alors
;=1
[ 1 1 ] P-l
.f. sf <. ( .f. ar ) p + ( .f. br ) P ( .f. Sf ) P-,
1=1 1=1 1=1 1=1
donc
111
( .f. (ai+b/)p ) p ( .f. af ) P + ( .f. br ) p.
1=1 1=1 1=1
Il suffit alors d'appliquer cette inegalite avec
ai = IXi-Zil et b i = IZi-yti
pour constater que l'axiome 3 est satisfait.
d p est donc bien une distance, les cas particuliers p = 1, 2 ont éte vus a l'exer-
cice 1.1.3.
La boule ouverte de centre 0 et de rayon 1 correspondante est constituée par
n
l'ensemble des points xf < 1. Dans JR.2 la representation est aisee.
;=1
SOLUTIONS'
31
4° Soit À. = sup IXi - Yi 1; on a evidemment
i
n
À.P IXi-YtI P nÀ.P,
i=1
ou éncore
( n ) 1
À. . IXi-YiIP np)L..
1=1
1
Lorsq ue p -+ + 00, np -+ 1 et, par suite,
1
( . !Xi-YdP ) -P -+ À. = S p IXi-yil.
1= 1 p-+oo 1.
1.1.5.
1 0 u;> 0 => cp(u);> 0 puisque cp croissante et cp(O) = o.
Verifions alors les trois axiomes
(1) cp[d(x, y)] = 0 <=> x = y;
(2) cp[d(x, y)] = cp[d(y, x)];
(3) cp[d(x, y)] cp[d(x, z)]+ cp[d(z, y)].
Ces trois points s'établissent ainsi :
cp[d(x, y)] = 0 <=> d(x, y) = 0 <=> x = y,
cp[d(x, y)] = cp[d(y, x)], puisque d(x, y) = d(y, x),
cp[d(x, y)] cp[d(x, z)+ d(z, y)], puisque cp est croissante, donc
cp[d(x, y)] cp[d(x, y)]+cp[d(y, z)], puisque cp est sous-additive.
2° Il suffit de montrer que les trois fonctions
x
X H- l+x ' x H- Log (l+x) et x H- x a
sont sous-additives pour x;>O, puisque les autres hypothèses faites sur cp sont evi-
demment verifiees ici.
) u+ v u V r ul d l'.d . r
a 1 + u+ v 1 + u + 1 + v res te e 1 entIte
u v u+v uv(u+v)
-+-- = ,
l+u l+v l+u+v (l+u)(l+v)(l+u+v)
puisque u et v sont positifs ou nuls.
b) Log (l+u+v) Log (l+u)+Log (l+v) resulte de l+u+v (l+u)(l+v), puis-
que uv;>O.
c) (u+v)a uœ+va résulte de l'inegalite (x+ l)a-X«-l O (0<(.«1) pour x;>O.
32
ESPACES MÉTRIQUES
1.1.6.
1° Dans IR" soit e(x,y) = IXiO-YiOI, io fixe, i o E[l,...,n],
x = y => Vi, Xi = Yi donc e(x, y) = o.
La réciproque est inexacte e(x, y) = 0 entraîne que les points de coordonnees X et y
ont une même projection sur l'axe OXi o et ne sont pas confondus en géneral.
2° La réflexivite et la symetrie de :R, sont immediates.
Établissons la transitivité :
x9ty <=> e(x, y) = 0, y9tz <=> e(y, z) = 0,
mais
e(x, z) e(x, y)+e(y, z),
donc
e(x, z) 0,
alors
e(x, z) = 0 et x 9t z.
E .,..-.....
Soit 9t l'ensemble quotient et Xo la classe d'equivalence de l'element Xo de E :
?o = {x; e(x, xo) = o}.
Demontrons que l'écart de deux elements de deux classes distinctes ne depend pas
du choix de ces eléments, cet ecart sera donc caracteristique des deux classes. En
effet, soit
-
Xl et X2 E Xo et YI et Y2 E Yo,
e(XI, YI) e(xl, x2)+e(x2, YI) e(xI, X2)+e(x2, Y2)+e(Y2, YI),
donc
e(xl, YI) e(x2, Y2),
puisque
e(xI, X2) = e(Y2, YI) = 0;
mais aussi
e(x2, Y2) e(xl, YI)
en échangeant les couples (Xh YI) et (X2, Y2),
donc
e(xl, YI) = e(x2, Y2).
Posons alors
d(?o, Yo) = e(xo, Yo).
Les axiomes 2 et 3 sont bien vérifies par définition.
Il reste à voir si l'axiome 1 est lui aussi verifie.
Or, d(;o, Yo) = 0 <=> e(xo, Yo) = 0 <=> XoEYo <=> ;0 = y , d est donc une dis-
E
tance sur 3t .
L'exemple du 1 ° dans IR2 avec e(x, y) = Xl - YI illustre ce resultat : les classes
d'equivalence sont les droites parallèles a OX2 et la distance de deux classes est en fait
la distance des deux droites parallèlement à OX1-
SOLUTIONS
33
1.1.7.
--
1 0 Puisque
sup [d(x, z), d(z, y)] d(x, z)+d(z, y),
l'axiome 3 est a fortiori satisfait.
La valuation est le degre du monôme de plus bas degre. Il est immediat que
(1) val (P-Q) = val (Q-P);
(2) val (A + B) inf (val A, val B).
Les axiomes 1 et 2 etant satisfaits: l'axiome 1 par hypothèse et l'axiome 2 comme
consequence de (1), il reste a verifier le troisième axiome.
D'après (2),
val (P-Q) = val (P-R+R-Q) inf[val (P-R), val (R-Q)],
donc
e-va1(P-Q) esup[-val(P-R), -val(R-Q)].
Comme esup(a,b) = sup (e a , eh), on obtient
e-va1(P-Q) sup [e-va1(P-R>, e- va1 (R-Q)]
ce qui etablit
d(P, Q) sup [d(P, R), d(R, Q)].
2° Supposons, par exemple d(x, z) <d(z, y),
d(x, y) sup [d(x, z), d(z, y)] => d(x, y) d(z, y).
Supposons que l'on ait d(x, y) <d(z, y). Cette inégalité, jointe a d(x, z) <d(z, y),
montre alors que
d(z, y» sup [d(x, y), d(x, z)],
ce qui est contradictoire, donc
d(x, y) = d(z, y) = sup [d(x, z), d(z, y)].
Variante:
d(x, z) <d(z, y) => d(x, y) d(z, y),
donc
sup [d(x, z), d(x, y)] d(z, y) sup [d(x, z), d(x, y)].
Alors
d(z, y) = sup [d(x, z), d(x, y)] = d(x, y),
puisque
d(z, y» d(x, z).
Dans un espace ultrametrique tout triangle est donc isocèle, les deux côtes egaux
etant superieurs ou egaux au troisième côte.
34
ESPACES MÉTRIQUES
1.1.8.
1 0 Il s'agit de verifier les axiomes suivants
lx Il' = 0 <=> x = 0 (évident ici);
IxYI" = Ixl"IYl p ;
Ix+Ylp Ixl p + Iylp.
(En fait, pour ce dernier axiome on obtiendra mieux.)
Montrons d'abord que Ixylp = IxlplYl p .
, ,
a , a , aa , b ' .
xy = pa. bPa. b' = pa.+a. bb" aa et b sont premIers avec p,
donc IxYlp = ca.+a.' = ca.ca' = Ixlplylp.
Pour établir l'inegalite triangulaire on va montrer que Ix+ Ylp sup (!xl p , IYl p ),
ce qui peut se faire par une vérification directe ou en remarquant que cette inegalité
est equivalente a la propriété !xl p 1 => !x+ Ill' 1, cette dernière propriete s'eta-
blissant rapidement.
a) Vérification.
,
S . a ,a S ' 1
Olt x = pa. b' y = pa b' . upposons œ <œ, a ors
[ a a' ' ] A
x+y = pa. b+ b,pa-a = paR'
avec
A = ab' +a'bpa'-a
et
B = bb'.
bb' est premier avec p, ab' +a'bpa.'-a. l'est egalement puisque ab' l'est;
alors
Ix+ Yl p = ca. = sup (Ixl p , IYI,,).
Si œ> œ', on a le même résultat avec ca'. Donc
Ix+ y!" = sup (Ixl", IYl p ), si Ixlp:l= IYI".
(Comparer avec la propriete (2) de l'exercice 1.1.7.)
Il reste a voir le cas lx I p = Iy Il" soit œ' = œ. Dans ce cas
( a a' ) ab' + ba'
x+ y = pa b + b' = pa bb' .
bb' est premier avec p, mais ab' + ba' ne l'est pas nécessairement, donc
"
/la "........." .
x+ y = pa bb' avec œ œ, a premIer avec p,
alors
Ix+ Yl p = ca" ca = sup (!xl p , IYI,,).
Finalement, Ix+ yi" sup (Ixl p , IYl p ) dans tous les cas.
b) Autre démonstration.
Etablissons que
(1) Ix+ YI" sup (Ixl", IYI,,) <=> (2) lxl" 1 => Ix+ 11" 1.
SOLUTIONS
35'
L'implication (1) => (2) est immédiate puisque 1111' = 1.
Demontrons l'implication reciproque.
Supposons x et y non nuls (sinon cas banal) et, par exemple, Ixl p IYI" (sinon on
échange x et y),
alors
= Ixl p 1
Y p IYl p ,
donc (2) entraîne
x
1+- 1,
Y p
soit
Ix+Yl p IYl p = sup (Ixl", IYl p ).
Or, la propriéte (2) est immédiate a demontrer puisque Ixl p 1 signifie ex 0 et
donc 11+xl p 1.
2° Puisque 1- ylp = 1- 1 1 p 1Yl p = IYl p , les axiomes definissant la valepr absolue IYl p
entraînent automatiquement les axiomes de la distance pour d(I1)(x, y) = Ix- y I p .
De plus, en vertu de Ix+ Yl p sup [Ixlp, Iyl p ], il s'agit bien d'une _ultra-distance.
1.11.1.
1° (x, Y))-)o b(x, y) est une application de Ex E dans 1R+, puisque
d(x, y) 0 => inf [1, d(x, y)] 0, donc b(x, y) o.
Verifions maintenant les trois axiomes de la distance.
a) Séparation :
b(x, y) = 0 <=> x = y.
En effet,
b(x, y) = 0 <=> inf [1, d(x, y)] = 0 <=> d(x, y) = 0,
Of, d(x, y) = 0 <=> x = y, puisque d est une distance.
b) Symétrie:
b(x, y) = b(y, x), puisque d(x, y) = d(y, x) entraîne inf [1, d(x, y)] = inf [1, d(y, x)].
c) Inégalité triangulaire :
b(x, y) o(x, z)+b(z, y), \:Ix,)', zEE.
On peut etablir cette inegalite en envisageant les differentes possibilités, ou bien
en utilisant des formules concernant inf (a, b) et inf (x, a+b).
Première méthode :
IX) L'un des deux nombres d(x, z) et d(z, y) est supérieur ou égal à 1.
Alors l'un des deux nombres b(x, z) et b(z, y) est egal a 1, or on a toujours b(x,y) 1,
d'après la definition, donc
b(x, y) b(x, z) ou b(x, y) b(z, y).
36
ESPACES MÉTRIQUES
Donc, a fortiori,
b(x, y) b(x, z)+b(z, y).
P) Les deux nombres d(x, z) et d(z, y) sont inférieurs à 1.
Alors
b(x, z)+b(z, y) = d(x, z)+d(z, y).
Mais on a toujours
b(x, y) d(x, y).
Or, d est une distance, donc
d(x, y) d(x, z)+d(z, y) = b(x, y)+b(z, y).
On en deduit
b(x, y) b(x, z)+b(z, y).
Tous les cas etant envisages, l'inegalité triangulaire est demontree.
Deuxième méthode :
Elle est basee sur l'application des formules
(1) \:le E IR, a b => inf (a, e) inf (b, e),
(2) \:le E JR+, a et b> 0 => inf (e, a+b) inf (e, a)+inf (e, b).
L'egalite
b(x, y) = inf [1, d(x, y)]
et l'inegalite
d(x, y) d(x, z)+d(z, y)
entraînent, en appliquant (1),
b(x, y) inf [1, d(x, z)+d(z, y)].
On peut alors appliquer (2) avec
e = 1, a = d(x, z), b = d(z, y),
puisque a et b sont tous deux positifs ou nuls.
Donc
b(x, y) inf [1, d(x, z)]+ inf [1, d(z, y)]
ce qui n'est autre que l'inegalité triangulaire.
2° Boules de (JR2, &) : Bp(xo) et Bp(xo).
a) Boules ou,ertes :
p 1.
b(xo, x) < p <=> d(xo, x) < p,
donc Bp(xo) est la boule euclidienne ouverte de centre Xo, de rayon p.
p > 1.
b(xo, x) < p,
mais
b(xo, x) 1 < p, \:Ix E JR2.
1R 2 est donc la boule ouverte de centre Xo et de rayon p (p > 1).
SOLUTIONS
37
b) Boules fermées :
p < 1.
()(xo, x) p <=> d(xo, x) p,
d9nc B' p(xo) est la boule euclidienne fermee de centre Xo, de rayon p.
p "> 1.
15(xo, x) 1, \:Ix IR.2,
les boules fermees sont toujours IR.2.
On remarque que pour p = 1, la boule ouverte est la boule euclidienne ouverte de
centre Xo, de rayon 1, alors que la boule fermée est le plan tout entier.
1.11.2.
1 0 Distance d(z, z') = Iz- z' 1, si arg z = arg z', d(z, z')= Iz! + Iz' 1 dans tous les
autres cas.
a) Boules centrées à l'origine:
Zo = 0, d(zo, z) = Izol+ Izl = Iz!
(puisque arg 0 n'est pas defini).
En consequence, les boules ouvertes et fermées de centre 0 sont les boules eucli-
diennes correspondantes de rayon p.
b) Boules centrées en Zo :1= 0 :
p < Izoi.
Boules ouvertes : si Zo = Izole ia , intervalles ouverts (Izol-p)e ia , (Izol+p)eia.
Boules fermees : segments (Izol-p)eia, (lzol+p)e ia .
p = Izoi.
Intervalle ouvert de centre Zo, sur la droite passant par 0 et Mo(zo) définie par 0
et par 2zo, ces points etant exclus et pour la boule fermee l'intervalle précedent
fermé.
p > Izoi.
Deux possibilites
sur la droite OMo l'ensemble des points z tels que
Iz-zol <p (resp. inferieur ou égal a p);
l'ensemble des points z tels que
Izl < p-Izol (resp. Izl p-Izol).
Autrement dit,
arg z = arg Zo, 0 < Izi < p+ IZol,
Boules ouvertes t boule euclidienne ouverte de centre 0 et de rayon p- Izo 1.
l", , ! arg z = arg Zo, 0 < Izi p+ IZol,
Boules .lermees boule euclidienne fermee de centre 0 et de rayon p-Izoi.
38
ESPACES MÉTRIQUES
Schéma des boules ouvertes :
f<J%,o/
t'=/%.ol
x
y-
2 o/
x
2° Les résultats sont analogues a ceux de la question 1 0 , le segment de droite etant
toutefois a remplacer par un arc de cercle centre a l'origine, dont le milieu est Zo0
a) Boules centrées à l'origine :
Boules euclidiennes ouvertes (resp. fermées), de rayon p.
b) Bou/es centrées en Zo, IZol '# 0 .:
p IZol.
Arc de cercle, extrémites exclues (resp. incluses) sur le cercle (0, IzoD obtenu par
l'intersection avec le cercle (zo, p).
Dans le cas de la boule fermée pour p = IZol, il faut adjoindre le point o.
P > IZol.
Union d'un arc de cercle du type précedent et de la boule euclidienne ouverte
(resp. fermée) de centre 0 et de rayon p-Izoi.
Sclléma des bOllles ouvertes :
l-- ....
, .. f
' ..
, , -- ,
, .,
, ,
, /,
1 1 \
1 1 \
l ,. 1
1 l """0 '
, \,
J
,
,
-
,
"'
,
,
"
"
>lzol. ,/
. %.0
1
,
,
\
\ 1
, 1
, ,
, "
" ,
....." "
....- --..
o
x
1%.01
Izoi
t.ll.3.
1 0 Pour Ut, U 2 , U 3 , l'axiome i) 0 et E E U j (j = 1, 2, 3) est satisfait.
Les axiomes de l'union et de l'intersection sont egalement satisfaits pour U l et U 3 ,
l'axiome de la reunion ne l'est pas pour U 2 . Donc, U l et U 3 sont des topologies,
U 2 n'en est pas une.
SOLUTIONS
39.
2 0 En s'inspirant des exemples precedents, on peut considérer l'ensemble
U 4 = {cjJ, {a}, {a, b}, E},
pwsque
{a} (') {a, b} = {a} E U 4
et ,.
{a} u {a, b} = {a, b} E U 4 ;
U 4 est bien une topologie sur E comportant quatre ouverts.
1.11.4.
1 0 Une condition suffisante pour que d et d' soient équivalentes est qu'il existe
deux constantes positives, À. et p, telles que
M<d' <pd.
(En fait, cette condition est plus forte que celle de l'equivalence; elle entraîne aussi
que d et d' sont alors uniformement équivalentes.)
Il est immediat que l'on a
d oo dl nd oo et d oo d 2 V nd oo ,
ce qui entraîne l'equivalence de dl et d oo , de d 2 et d oo , donc celle de dl et d 2 .
On obtient d'ailleurs facilement la double inégalité
d 2 dl V nd 2 .
2° Pour les distances d p l'uniforme equivalence, et par suite l'équivalence, résul-
tent des inegalites
1
d oo d p n.pd oo
(puisqu'alors d p est uniformement équivàlent a d oo , Vp 1).
1.11.5.
Lorsque d' = f(d) la condition d'équivalence uniforme indiquee revient a la conti-
nuité a l'origine des applications x H- f(x) = x' .et x' 'H- x (lorsque l'application
reciproque, f- l : x' H- x, existe). C'est précisément le cas ici, puisque
dl d !
d= 1-d l ' d= e 2 -1, d= d 3 Π(O<ct<l),
et les applications sont bicontinues al' origine.
40
ESPACES MÉTRIQUES
La propriete est generale et peut être énoncée pour d' = ljJ(d), ljJ fonction possedant
les proprietés definies a l'exercice 1.1.5. et supposée de plus continue. Alors ljJ-l
existe et est continue d'apres le theoreme sur les fonctions réciproques.
On remarquera, sur les exemples, que l'uniforme d'equivalence de d et ljJ(d) n'en-
traîne pas nécessairement l'existence de constantes, À et Il, telles que
(1) À et J1. > 0 U(x, y) <; ljJ[d(x, y)] <; J1d(x, y), Vx, y.
On a ici seulement
dl <; d
et
d 2 <; d.
1.11.6.
1° Si A est vide, alors [a, +oo[cO.
Si A est non vide, alors A possede une borne inferieure, /1, puisque A est un ensemble
de reels non vide minore par a.
Montrons que /1 Ft 0, en supposant le contraire.
J1. E 0 => 3Bt(J1.)c 0, puisque 0 ouvert, B t (ll) etant la boule ouverte de centre J1.,
de rayon B (ici l'intervalle ]- B+ /1,,u+ BD; mais, par définition de J1., il existe x ECO,
tel que
B
,u x J1.+ 2 <J1.+ B.
Il existerait donc XE 0 et x E CO, ce qui est contradictoire, donc Jl ECO et c'est le
plus petit élement de A. Il est nécessairement different de a.
On en conclut que, ou bien [a, + oo[ c 0, ou bien [a, Jl[ C O.
2° Le raisonnement est analogue au précedent, ou bien Best vide, alors]- 00, a]c 0,
ou bien B est non vide, B possede alors une borne superieure À, puisque c'est un
ensemble de réels majore par a.
Montrons que À Ft 0 en supposant le contraire.
À E 0 => 3B t (À) cO;
mais il existe x E CO, tel que .1- ' x , .1, ce qui est contradictoire, donc À. E Co
et c'est le plus grand element de B. En conclusion, ou bien ]-00, a] c 0, ou bien
]À, a] E O.
On en deduit immediatement que, Va E 0, on a l'une des situations suivantes
]-00, +oo[cO,
a E ] - 00, /1[ cO, disjoint de toute autre partie de 0,
a E ]À, + 00 [ cO, disjoint de toute autre partie de 0,
a E ]À, Jl[ cO, disjoint de toute autre partie de O.
30 Il decoule des seules possibilites mises en evidence à la question 2° que l'ouvert 0
est la reunion d'intervalles deux à deux disjoints. Dans chacun des intervalles il
existe un rationnel; or, l'ensemble des rationnels est denombrable, donc 0 est une
reunion denombrable d'intervalles ouverts.
SOLUTIONS
41
l.m.l.
1 ° et 2° sont des evidences
0 =0
et
AeA.
3° AeB => AeE.
En effet,
XE A Ç> Bp(x)nA #:- 0, 'Vp> 0,
a fortiori,
Bp(x)n B #:- 0, 'Vp> 0
et, par suite,
X EE.
4° A = A.
En effet,
xe A=> Bp(x)nA#:- 0, 'Vp>O
et soit
y E Bp(x) n A;
y appartenant a A, on a nécessairement
Bp-d(x,y)(y) nA#:- 0
et par suite,
Bp(x) nA#:- 0 [puisque Bp(x) :::> Bp-d(x,y)(y)],
ou encore X E A. A est donc fermé : A = A.
Établissons maintenant la propriete supplementaire suivante
AuB = AuE,
en effet,
AeAuB => Ae AuB.
De même
Ee AuB
et, par suite,
AuEe AuB.
Par ailleurs,
AeA et BeE => AuBeAuE;
mais AuE est ferme, donc
AuBe AuB = AuE,
alors on a
AuB e AuE,
ce qui etablit l'egalite cherchee.
Remarques.
1° On a
AnBe AnB.
En effet,
AeA et BeE => AnBeAnE => AnB eAnB = AnB
(puisque AnE est fermé, comme intersection de fermés).
42
ESPACES MÉTRIQUES
2° Dans le cas où E est un espace topologique quelconque, on a une demonstration
analogue en substituant a Bp(x), 'V p> 0, les ouverts O(x) contenant x, et en remar-
quant que l'on a
'Vye O(x), 30(y). tel. que O(y)c O(x).
3° Les axiomes (1) a (4) n'entraînent pas l'additivite. On obtient seulement
F(A)uF(B)c F(Au B)c F[F(A)uF(B)].
1.111.2.
L'ensemble {( -l)n+ !, nE IN*} n'est pas fermé puisque -1 et + 1 sont des points
n
adherents sans appartenir a l'ensemble.
La bande a xl b est evidemment fermee ainsi que l'interieur de l'hyperbole
équilatère XI - x = 1 complete par les deux branches de l'hyperbole. Par contre,
le dernier ensemble n'est pas ferme puisqu'il y a deux arcs de cercle dont les points
sont adherents à l'ensemble sans lui appartenir.
1.lll.3.
00 00
1° Soit a un element appartenant à u ûJ n . On aura donc Bp(a)n(uûJ n )# 0, 'Vp>o.
n=l 1
Pour a {(x, y); x # y}, il existe une constante 80 > 0, telle que a n'appartient pas
a l'ensemble {(x, y); Ix-YI 2Bo} = B 2eo .
Les boules fermées ûJ n , a l'exception d'un nombre fini, sont dans la bande Be o '
k
donc Bp(a)nOJ n = 0, pour p<Bo et n <Bo.
La condition Bp(a)n ( YCO n ) =F 0 devient donc Bp(a)n ( yco n ) =F 0, pour P <80 et
N = [ ] + 1. ( [ ] désignant la partie entière de .) Par suite, a appartient à
N N .N
UûJ ll = U ûJ ,r = UûJ m
111
d'où en conclusion
00
a E UûJ lI .
1
Pour ae{(x, y); x = y}, avec a = (a:, et) # 0, on constate ici encore que les boulesûJ m
a l'exception d'un nombre fini, sont toutes dans la bande definie par
B;£o = {(x, y); Ix+ yi < 2B o}, où 4 80 = et
00
et, par suite, aEU ûJll"
1
SOLUTIONS'
43
00
Il est clair que a = 0 appartient a u rom puisque les centres des boules s'accumulent
a l'origine. 1
Pour k Vi
o E rom Vn
donc
00
o E uro n ;
1
00
de ce qui précède, on peut déduire alors que u ro n est ferme.
1
Pour k < V 2.
00
o rom Vil, donc uro n n'est pas. ferme.
1
2 0 Ici, on aura une constante k telle que kn k, Vn et soit k = sup (k n ).
Pour k < 1/ 2.
00
u ro n n'est pas ferme.
1
Pour k > V 2.
00
u ro n est eviden1ment ferme,
1
puisqu'une boule au moins ro n contiendra o.
Pour k = V 2.
On a deux possibilites :
00
3no tel que kno = k, auquel cas u ro n est ferme;
00 1
k n <k, Vn, auquel ca uro n n'est pas ferme.
1
1.ill.4.
1 0 Nous utiliserons la propriete suivante : pour que a E A, A sous-ensemble d'un
espace metrique (E, d), il faut et il suffit que a soit limite d'une suite de points
an E A, c'est-à-dire que
VB>0,3N tel que n N d(a, aJ B.
(Autrement dit: que toute "boule de centre a contienne tous les elements de la suite
à partir d'un certain N. On retrouvera cette notion de limite au chapitre 2.)
Br(x) = {y; d(x, y) <r},
Z E Br(x) <=> 3{Zn} 1' zn E Br(x) et d(zn' z) B, pour n N.
Donc
d(x, z) d(x, zJ+d(zn, z)
44
ESPACES MÉTRIQUES
entraîne que
d(x, z) r+e, '1e>O,
c'est-a-dire
d(x, z) r,
ce qui établit
- ,
Br(x)c. Br(x).
2° B l (x) = {n}, B l (n) = {n}, BI(n) = {n-1, n, n+ 1}.
L'inclusion Bl(n) c.B (n) est donc propre. En general, dans un espace metrique
on n'a donc pas Br(x) = B;(x).
Nous verrons que dans un espace vectoriel normé la situation est plus naturelle et
que l'on a l'égalité.
l.m.s.
a) On a evidemment Bl+!(a):::::>B (a), donc aussi l'inclusion
n
(1)
00
n BI +1 (a) :::::> BI (a).
n=l n
Demontrons l'inclusion inverse
(2)
00
B 1 (a):::::> n B l +!(a).
n=l n
Soit Xo B (a), donc d(a, xo» 1.
On peut trouver lm entier naturel no tel que Xo Ft BI +1.. (a)
no
(par exemple no = 1+ [ d(a, o)-l ])'
On en déduit donc
00
xoFt n Bl+1
n=1 n
et l'on en deduit l'inclusion (2)
[ CB 1 (a) cC';, B . (a) ] .
n= 1 1 + n
En résumé:
00
n Bl+! (a) = B (a).
n=l n
On a une intersection non finie d'ouverts qui est un ferme.
SOLUTIONS
45
b) On a evidemment B'-1L(a) e B l (a), donc on a aussi l'inclusion
n+l
(3)
00
u B'-2L (a) e BI (a).
n=l n+l
Démontrons l'inclusion inverse
(4)
00
B 1 (a)e U B--IL(a).
n=l 1+n
Soit Xo E B l (a), donc d(a, xo)<l.
On peut trouver no tel que 1 :o >d(a, xo) (par exemple no = [ 1 d d] + 1), donc
Xo E B' (a)
1 +no
et par suite
00
Xo E U B'_'L,
n=l 1+11
d'où l'on deduit l'inclusion (4).
En résumé:
00
u B' --.!!-_ = B 1 (0).
n= 1 n+ 1
On a une reunion non finie de fermes, qui est un ouvert.
Remarque. - Du paragraphe a, on deduit que
C L 1 B1+ (a)] = CB (a),
ou encore
C CB 1 +I(a) = CB;(a).
n=l n
En remarquant que CB 1 +1(a) est un fermé et CB (a) un ouvert; on a une nouvelle
Il
réunion non finie de fermes, qui est un ouvert.
1.111.6.
1 0 Il est evident que On contient F et cela quel que soit n; donc
00
Pen On.
1
00
Soit yEn On, alors y E On, \ln, donc yEU B!(x).
1 xeF n
Il existe, par sQite, au moins un XE Ptel que y E Bl(X); soit X n l'un de ces elements.
n
46
ESPACES MÉTRIQUES
On en déduit
1
Y E Bl(xJ => d(x n , y) < - => X n E B!(y),
n n n
ces implications sont valables quel que soit n, on en deduit que y E F = F.
En résumé:
00
F = nOn.
n=l
00
2° La propriete pour un fermé, resulte de la formule precedente F = n On et
n=l
pour l'ouvert on a evidemment la propriete en passant aux complementaires.
l.m.7.
1° a) Br(x) est evidemment un ensemble ouvert. Montrons que CBr(x) l'est
egalement.
Soit ZECBr(x), alors d(x, z);>r. Soit e tel que l'on ait O<8<ret considerons la
boule ouverte Be(z).
On a
y E Be(z) => d(z, y) <8; mais alors d(x, z) ¥= d(z, y),
donc d(x, y) = sup [d(x, z), d(z, y)], ce qui permet d'affirmer que
d(x, y);>r et Be(z)c CBr(x).
Ansi Vz E CB,(x), 3 Be(z), tel que Be(z)cCB,(x).
On en deduit que CB,(x) est un ouvert, donc B,(x) un fermé.
b) Il suffit de montrer que YE B,(x) => Br(y)cB,{x), car par raison de symetrie
puisque y E B,(x) => x E B,(y), on aura Br(x)cBr(y).
Demontrons donc que Br(y)cB,(x).
Posons Br(y) = {z; dey, z)<r}, alors
Vz E B,(y), on a d(x, z) sup [d(x, y), deY, z)]<r
en tenant compte de d(x, y)<r, qui est donne par hypothèse, donc B,(y)cB,(x).
2° a) La boule fermee B;(x) est un ferme. Nous allons montrer qu'elle est
aussi un ouvert.
Soit z E B;(x), alors d(x, z) r et Vy E B;(z), on a d(x, y) r, puisque
d(x, y) sup [d(x, z), d(z, y)] r.
On peut donc affirmer que B;(z)cB;(x) et, par suite,
Br(z)cB;(z) => B,(z)cB;(x),
donc, quel que soit z E B;(x), il existe une boule ouverte de centre z incluse dans B;(x).
Ceci etablit que B;(x) est aussi un ouvert. . .
SOLUTIONS
47
b) Au paragraphe a nous avons constate que ¥z E B;(x), on a
B;(z)c B;(x),
par raison de symetrie, on peut donc affirmer que
B;(z) = B;(x).
Ainsi dans un espace ultrametrique on a la proprieté suivante toute boule
ouverte ou fermée est à la fois un ensemble ouvert et ferme.
[Attention: cet enonce ne signifie pas, par exemple, que toute boule ouverte Br(x) est
- Q
la boule fermee B;(x). On a simplement Br(x) = Br(x)cB;(x) et Br(x)cB;(x) = B;(x).]
3° La notation BO designant indifferemment une boule ouverte B ou une boule
fermée B', considerons deux boules Bg(x 1) et B (X2). Supposons leur intersection
non vide et soit y un point de cette intersection. On a
y E Bg(Xl) => B (Xl) = B l(y)'
d'apres les questions 1 ° et 2°;
Y E B (X2) => Bg(X2) = B (y),
d'apres les questions 1 ° et 2°.
Autrement dit, Bg(xt) et B (X2) apparaissent comme deux boules de même centre;
l'une est donc incluse dans l'autre.
Rlustration simple.
Les proprietes ainsi etablies sont etonnantes, a premiere vue.
Un exemple concret peut eclairer la question.
Munissons un ensemble quelconque E de la distance triviale, c'est-à-dire
d(x, y) = 1 si x :F y,
d(x, y) = 0 si x = y.
On constate aisement que cette distance est en fait aussi une ultra-distance, que les
boules ouvertes et les boules fermees sont des ensembles formes par les points eux-
mêmes et E.
Les resultats precedents se verifient alors facilement
toute boule ouverte est un ensemble ferme;
toute boule fermee est un ensemble ouvert;
tout point d'une boule est centre de cette boule;
si deux boules ont une intersection non vide, l'une est incluse dans l'autre.
Plus precisément,
Br(x) = {x}, si r l,
B;(x) = {x}, si r<l,
Br(x) = E, si r> 1,
B;(x) = E, si r 1.
48
ESPACES MÉTRIQUES
t.ill.8.
1° a) Al et A 2 etant fermes dans C, on en deduit que A = A l uA 2 est ferme
dans q; (cf. theorème 1.111.2.).
b) Pour «<1.
On a
A = A l uA 2 , avec A l nA 2 = cp, donc C A A I = A 2 et C A A 2 = Al
[CA désignant le complémentaire dans A].
De plus, Al et A 2 sont fermés dans A, puisque (cf. 3.111.)
At(i = 1, 2) ferme dans C => AinA = At ferme dans A,
donc
Al ferme dans A => C A A I = A 2 ouvert dans A
et
A 2 ferme dans A => C A A 2 = Al ouvert dans A.
Pour ex = 1.
Al et A 2 sont évidemment fermes dans A, mais ni l'un ni l'autre ne peuvent être
ouverts. En effet, soit f3 p(O) les boules ouvertes de centre 0 et de rayon p (positiO
du sous-espace A, on peut ecrire
fJp(O) = {z e A; d(O, z)<p} = {z e A; Izl <p}.
TI est clair que f3p(O) 3 Zi = (;;) i (i = 1,2), élément de A, mais qui n'appartient
pas a Ai. Donc f3p(O) ne peut être inclus dans Ai et comme OeA i on en deduit que At
ne peut être un ouvert.
Pour ex> 1.
Le raisonnement est analogue au precedent. Pour montrer, par exemple, que A 2
n'est pas ouvert dans A, on pourra considerer les boules f3p(œ-1).
2° Supposons «<1.
Il est clair que l'on a
BI ouvert dans C => BlnB = BI ouvert dans B
et
B 2 ferme dans C => B 2 nB = B 2 ferme dans B.
Montrons maintenant que B 2 est ouvert dans B.
En effet, soit
l+œ
C 2 = z e C; Iz+11<T '
donc
C 2 nB l = 0; C 2 nB= B 2
SOLUTIONS
49
et, par suite, C 2 ouvert dans q; B2 ouvert dans B. Correlativement, puisque B 2
est ouvert dans B, on en deduit que CBB2 = BI est ferme dans B.
Supposons CI 1.
Il est clair (cf. 1°) que B 2 ne peut être ouvert dans B et BI ne peut être ferme dans B
(l':'rx E BI, mais 1-rx BI).
1.111.9.
Nous utilisons encore la propriete suivante : pour que a E A il faut, et il suffit,
que a soit limite d'une suite de points an E A.
Pour montrer que A est sous-groupe additif il suffit d'etablir que a et bE.1 a-bE.1
quels que soient a et b.
On a
a E A 3{ an}r, an E A, la suite {an}, a pour limite a,
et
b E .1 3{bn}f, b n E A, la suite {b n }, a pour limite b,
alors {an-bn}f est une suite d'elements de A, qui a pour limite a-b, donc a-b E .1.
Notons qu'il n'en serait pas, de même pour un sous-groupe multiplicatif dans un
corps, 0 pouvant appartenir à A (exemple: f/l + = f/l+ dans f/l, f/l+ n'est pas un
sous-groupe multiplicatif de f/l).
La demonstration pour A, sous-anneau, est tout a fait analogue.
En ce qui concerne le sous-corps, on sait que son adherence A est un sous-anneau
d'apres ce qui precède. Il reste a prouver que pour tout a different de 0, avec a E A.
1 -
- existe et appartient à A.
a Ce fait résulte de l'existence d'une suite {an}r, anEA, an :F 0, alors LU"" est une
1 1 an\l
suite dont la limite est egale a - et - E.1.
a a
1.IV.l.
Soit x et y deux points quelconques de AuB.
Si x et yE A (resp. appartient a B), il en resulte d(x, y) £5(A) [resp. d(x, y) £5(B)].
Si x E A et y E B, alors on a
d(x, y) d(x, a)+d(a, b)+ d(b, y), où a E A et b E B,
donc
£5(AuB) d(a, b)+ £5(A) + £5 (B),
ce qui etablit que AuB est borne lorsque A et B le sont, puisque d(a, b) est fini.
50
ESPACES MÉTRIQUES
Comme l'inégalite precedente est vraie, VaeA et VbeB, on en déduit de plus
que l'on a
(AuB) <; ' (A)+ (B)+d(A, B),
où d(A, B) est la distance des deux ensembles A et B.
[d(A, B) = inf d(a, b), voir chapitre 1, paragraphe V.]
aeA
beB
1.IV.2.
La distance naturelle est d(x, y) = Ix- yi, on peut donc ecrire
, Ix-yi
d (x, y) = 1+ Ix-y i -
1
1
1+ Ix-yi
1
{)' (IR) = sup d' (x, y) =
x.YER inf ( 1 + IX Y I)
x :F y,
mais
iJ:r CX YI ) = 0,
donc
'(IR) = 1.
Avec la distance naturelle on a evidemment (IR) = +00, d et d' etant equiva-
lentes, les topologies sont identiques et pourtant IR est borne avec d', non borné
avec d.
Autrement dit, la propriété d'être borné pour un ensemble n'est pas une propriété
liée à la topologie; elle provient de la structure Metrique en ce qu'elle a de plus parti-
culi r que la topologie qu'on peut lui associer.
1. V.l.
1 0 L'axion1e (1) est satisfait.
Soit E = CA, A partie finie de JN.
Si F E, F CA, donc CFcA, alors CF est une partie finie, donc Fe:F.
Soit E = CA et F = CB; on a alors EnF = CAnCB = C(AuB).
Or, AuB est une partie finie, donc EnF e :F.
SOLUTIONS
51
2° Si A=> V,u A est egalement un voisinage de a puisqu'il contient une boule ouverte
de centre a, donc A e CU' a.
Soit Va et V E CU' a' on a alors
3 Bp(a) et 3B p (a),
tels,. que
Va => Bp(a)
et
V , => Bp'(a),
alors
Van V => Bp(a)nBp,(a) = Bp,,(a)
où
p" = inf (p, p').
On en conclut Van V e CU' a.
1. V.2.
1 ° Soit xEAnË, xEA => 3B r (x) boule ouverte, telle que Br(x)cA, puisque A ouvert.
Sachant que
Blx)nB, différent de l'ensemble vide (car x E Ë)
il s'ensuit que
B,(x)n(AnB) = [B,(x)nA]nB = Br(x)nB,
est aussi différent de l'ensemble vide.
On a alors Bp(x)n(AnB):F 0, en effet
si p r :
Bp(x) =>Br(x) => Bp(x)n(AnB):F 0;
si p<r :
Bp(x)c B,.(x),
donc Bp(x)nA = Bp(x) et Bp(x)nB '# 0, puisque xeË.
On a donc bien AnËc AnB.
On sait d'autre part que AnB c AnB, donc AnBc AnBc An.B.
Ceci lnontre que si B est quelconque et A fermé, l'inclusion précédente ne peut
avoir lieu, on a, au contraire,
AnB c AnË,
puisque ici A = A.
Illustrons les résultats dans les exemples suivants.
2° A = D 1 uaD 2 , Ë = D 2 , AnË = aD 2 , AnB = 0, AnË = aD 2 , AnB = 0 et
An.Jj = (.
Ici AnBcAn.B, on n'a donc pas l'inclusion contraire, ce qui est prévisible, puisque A
n'est pas ouvert.
Par contre, B est ouvert, on est donc sûr de l'inclusion AnBcAnB, on le vérifie
trivialement.
52
ESPACES MÉTRIQUES
Dans IR, muni de la distance naturelle, on peut prendre
A = ]a, b], B = ]b, c], avec a<b<c,
on en déduit alors A = [a, b], B = [b, c], AnB = 0, AnB = 0 et AnB = {b}.
On n'a donc pas AnBc AnB.
3 0 Toujours sur la droite réelle on considère les points tels que a<a' <b' <b<c<d
et les ensembles ouverts suivants :
A = ]a, b'[u]b, c[ et B = ]a', b[u]c, d[.
On peut alors écrire
- , -,
A = [a, b ]u[b, c], B = [a , b]u[c, d],
AuB = ]a', b'] et AnB = ]a', b'[,
donc
AnB = [a', b']
et
AnB = [a', b']u{c}.
Les quatre exemples indiques sont bien différents et l'on a les inclusions prévues,
puisque A et B sont ouverts. Dans IR2, les schémas suivants rendent compte egalement
d'une telle situation.
)(
A )(
A nB
AnB
A f"'\ B
Ar\B
1. V.3.
1 0 Il résulte de la définition même que A est un ouvert inclus dans A, alors
Acuob Oi ouvert inclus dans A.
Montrons que u Oic A.
Soit XEUO i , 30 j tel que XE Oj, qui est un ouvert, donc3p>0, tel que Bp(x)c OjcA
et, par suite, xEA.
Finalement,
A = UOi.
SOLUTIONS
53
.A est donc le plus grand ensemble ouvert inclus dans A, d'où la condition nécessaire
et suffisante pour que A soit ouvert : A = .A.
2° AcB => .AcAcB,
=> .A est inclus dans la reunion des ouverts inclus dans B,
donc
o
.AcB.
D'après ce qui precède, on deduit
AnBcA
et
o
0
AnBcB => AnBc.A et cB,
donc
o
0
AnBc.AnB.
Par ailleurs,
o 0
.Ac A et BcB => .AnBcAnB,
o
mais l'intersection des deux ouverts .A et B est un ouvert, donc
o
o
.AnBcAnB,
alors
o
,..---..... 0
AnB = AnB.
Autre démonstration_
On etablit aisément que
CA = CA ;
il suffit alors de passer aux complémentaires dans les formules concernant les fermés.
Par exemple,
o 0
CA u CB = CAuCB => CAuCB = C(AnB) = Cw => C(AnB) = CW,
donc
o
o
AnB = AnB.
o 0
3° a) Supposonsa(A) = A, or AcA=>AcA (d'après la question 2°), donc Aca(A)
et si A est ouvert A = A, on obtient la propriété demandée.
On a Ac A, donc AcA.
Alors on a f3(A)cA et si A est fermé A = A, d'où l'on déduit la propriété cherchée.
b) a(A) est ouvert, donc, d'après la question a), a(A) c a[a(A)]; mais
o
AcA => a(A)cA,
soit
a(A) c A = A,
ou encore
o 0
a(A)c A,
c'est-a-dire
a(a(A))ca(A).
54
ESPACES MÉTRIQUES
Donc
V A, œ[œ(A)] = œ(A).
f3(A) est fermé, donc, d'après la question a), f3[/3(A)]cf3(A); mais
Ac A => Acf3(A)
et
o 0
,...... ......--......
A = A c f3(A),
donc
o
Ac f3(A).
Alors
---0-
- ....---......
Ac f3(A),
c'est-a-dire f3(A) c f3[f3(A)].
Donc
V A, f3f.P(A)] = f3(A).
Exemple (dans IR) : Les cinq ensembles A, A, A, a(A) et f3(A) sont tous distincts.
a) A = ]1, 2[u]2, 3[u{4}.
b) A = ]1, 2[u]2, 3[.
c) A = [1, 3]u{4}.
d) f3(A) = [1, 3].
e) œ(A) = ]1, 3[.
On voit aussi que l'on a
o
.......--....
f3(A) = ]1, 3[, f3f.P(.4)] = [1, 3], cx(A) = [1, 3] et a[a(A)] = ]1, 3[.
1. V.4.
1 0 xEA V 8> 0, la boule B £(x) est telle que B £(x)nA '# 0; donc
V8>0,3zEA tel que d(x,z)<e,
on en conclut que
inf d(x, y) = 0, soit d(x, A) = O.
yeA
Réciproquenlent, soit d(x, A) = o.
Ve>0,3YEA tel que d(x,y)<e;
donc la boule B£(x) est telle que Bix)nA =f:. 0, on en conclut que xE A.
2 0 Puisque A c A, on a d(x, A) <; d(x, A) (proprieté de la borne inférieure).
Soit
ZE.A, Ve>O, 3yE A
tel que
d(y, z) <e,
SOLUTIONS
55
donc
d(x, y) <; d(x, z)+ e,
.a fortiori,
d(x, A) <; d(x, z)+ e,
pUIS
d(x, A) <; d(x, A)+ e, Ve> O.
On déduit alors
d(x, A) = d(x, A).
1. V.5.
1 0 Par définition
d(A, B) = inf d(x, y).
xeA
yeB
Vx E A et Vy E B : d(A, B) <; d(x, y),
donc
d(A, B) <; inf (x, y) = d(x, B)
yeB
et, par suite,
d(A, B)<;inf d(x, B).
xeA
Par ailleurs
inf d(x, y) = d(x, B) <; d(x, y)
yeA
et inf d(x, B) <; d(x, B) <; d(x, y),
xeB
donc
inf d(x, B)<;d(A, B).
xeA
Ceci établit que
d(A, B) = inf d(x, B).
xeA
2° On rappelle que d(x, A) = d(x, A) (exercice 1. V.4.), alors
d(A, B) = inf d(x, B) = inf d(x, Ë) = d(A, B) [= d(A, B)], V A et B.
xeA xeA
En particulier,
d(C, B) = d(C,Ë) => d(A, B) = d(A,Ë), en posant C = A,
et, par suite,
d(A, B) = d(A, Ë).
56
ESPACES MÉTRIQUES
1. V.6.
1° Si A = {a} et B = {b}, on a immediatement
l({a}, {b}) = p({a}, {b}) = d(a, b),
donc
D({a},{b}) = d(a, b);
considérée sur les points de E, D se réduit a la distance d.
On remarque que l'on a jl(A, B) = 2(B, A), donc
D(A, B) = sup [2(A, B), À(B, A)] = D(B, A).
2 0 Soit D(A, B) = 0, alors 2(A, B) = 0 et p,(A, B) = 0 et l'on a
)v(A, B) = 0 <=> Va, d(a, B) = 0 <=> Vae A, on a aeB
(cf. exercice 1.V.4.); donc AcB = B.
De même
p,(A, B) = 0 <=> BeA = A.
Finalement,
D(A, B) = 0 <=> A = B.
Soit z e C, alors
d(a, C) <; d(a, z),
donc
d(a, C) <; d(a, b)+d(b, z), ceci Vb e B;
a fortiori,
d(a, C) <; d(a, b)+D(B, C),
donc
d(a, C) <; inf d(a, b)+D(B, C),
beB
soit
d(a, C) <; d(a, B)+ D(B, C).
3 0 Soit D(A, B) 0, alors
D(A, B) = 0 <=> A = B, d'après la question 20,
et
D(A, B) = D(B, A), d'après la question 1 0 .
Il reste donc a vérifier l'inégalité triangulaire
D(A, C) <; D(A, B)+ D(B, C).
L'inégalité obtenue a la question 2°, d(a, C) <; d(a, B)+ D(B, C), entraîne l'inégalité
suivante :
2(A, C) <; À(A, B)+D(B, C) <; D(A, B)+D(B, C);
SOLUTIONS
57
mais par raison de symetrie, on a aussi
2(C, A) = p,(A, C) <; D(A, B)+D(B, C),
donc
D(A, C) = sup [À.(A, C), p,(A, C)] <; D(A, B)+ D(B, C).
D'est donc bien une distance sur:F. On l'appelle distance de Hausdorff.
1. V.7.
Supposons que IR ne soit pas connexe et que l'on ait IR = 0lU02, 0 1 et O 2 étant
des ouverts disjoints.
Alors O 2 = COI' mais COI ne peut être ouvert, si O 2 n'est pas vide.
En effet, l'ouvert général de la droite réelle est une réunion au plus dénombrable
d'intervalles ouverts (avec éventuellement une ou deux demi-droites). Soit ]a, b[ un tel
intervalle de la famille définissant 0 1 (éventuellement ]a, + oo[ ou ]- 00, aD.
Comme a 0 1 , on a a E COI; mais alors il ne peut exister un intervalle de centre a
inclus dans COI puisque x >a=> XEOI. L'ensemble COI n'est donc pas ouvert,
d'où l'impossibilité de la decomposition envisagée.
Autrement dit : les seuls ensembles a la fois ouverts et fermés dans IR sont 0 et IR.
1. V.8.
Supposons A non connexe. Alors, il existe deux ouverts 0 1 et O 2 tels que
(1) ACO l U0 2, AnO l :F 0, An0 2 :F 0, AnO l n0 2 = 0,
ce qui entraîne
(2) ACO l U0 2 , AnOl :F 0, An0 2 '# 0, AnOln02 = 0.
La première et la dernière affirmation sont évidentes.
Il reste a etablir par exemple que AnOl :F 0.
Supposons que l'on ait AnO l = 0, alors ACC O I et ACC O I = COI' pwsque
COI fermé, mais ACCOl=>AnOl = 0, ce qui est contradictoire.
Les proprietés de (2) montrent alors que A n'est pas connexe, ce qui est en contra-
diction avec l'hypothèse. Donc A est connexe.
Remarque. - La démonstration précédente donne le resultat plus fort suivant
Si A est connexe, tout ensemble B tel que AcBcA est également connexe.
58
ESPACES MÉTRIQUES
1. V.9.
1 ° Supposons que l'on ait C = Au B non connexe alors il existe deux ouverts 0 1
et O 2 tels que
CeO l u0 2 , CnO l ,# 0, Cn0 2 ,# 0 et enO l n0 2 = 0.
a) On a, d'une part,
CeOlu02 => AeO l u0 2 et BeOlu02
et
CnO l n0 2 = 0 => AnOln02 = 0 et BnOln02 = 0.
b) D'autre part, on a
CnO l '# 0 => AnOl :F 0 ou
BnOl '# 0
et
Cn0 2 :F 0 => An02 '# 0
ou
Bn02 '# 0.
Supposons donc que l'on ait An 0 l '# 0, quitte a changer les notations, on ne peut
avoir An02 '# 0, sinon A ne serait pas connexe d'après la question a), donc
AnOl'# 0 => An0 2 = 0, puis AcO l
Finalement, on en déduit que
AeO l
et
Be 02.
Mais alors
AnBeAnOln02 = 0,
ce qui est contradictoire.
2° Puisque Al et A 2 sont connexes et A l nA 2 =f:. 0, on a A l uA 2 connexe, d'après
le resultat précédent.
Raisonnons par récurrence. On suppose Alu...uA k connexe, on a alors
AknAk+l '# 0 => (Alu...uAk)nA k + l # 0,
donc Al u . . . U Ak U Ak + 1 est connexe, ce qui démontre la propriété.
3° Supposons AlnA k =f:. 0, k = 2, ..., n.
Al et Ak étant connexes, alors Bk = Al uA k est connexe et BknB k + 1 '# 0, puisque
l'on a Bk=>Al' \:fk; donc Blu...uB n est connexe, on peut donc écrire que
A l uA 2 u...uA n est connexe.
--"
M.P.2
2.
ESPACES MÉTRIQUES
Compacts - Suites de Cauchy - Complets
1. - COMPACTS D'UN (E, d).
1° Points d'accumulation de A (A cE). Ensemble dérivé A'. - Tout point x
de E tel que « Bp(x) contient un élément de A autre que x, 'ri p > 0» est dit
point d'accumulation de A.
L'ensemble des points d'accumulation de A est appelé dérivé de A. On le
note A'.
- ,
On a A = AuA .
Exemples du paragraphe III, chapitre 1 :
a) A' = A.
b) A' = {O}.
2° Définition et propriétés élémentaires d'un compact. - Soit A un sous-
ensemble de E. Le sous-ensemble A est dit compact si toute partie infinie
de A admet au moins un point d'accumulation dans A. Tout sous-ensemble
fini est compact, par définition.
orème 2.1.1.
i) Tout compact est fermé et borné.
il) Tout fermé F inclus dans un compact A est lui-même compact.
3° éorème de Borel-Lebesgue. - Pour que A soit compact il faut, et il
suffit, que de toute famille d'ouverts, constituant un recouvrement de A, on
puisse extraire une famille finie ayant la même propriété.
On peut donc écrire: A compact et Ac uOi(Oiouverts)=>Ac uO i , où P
I p
est une partie finie de l, convenablement choisie.
4° Théorème de Bolzano-Weierstrass. - Toute partie infinie bornée de /RP
ou fEP admet au moins un point d'accumulation.
60
ESPACES MÉTRIQUES
Corollaire.
Dans /RP ou fEP on a l'équivalence suivante
A compact <=> A borné fermé.
ll. - SUITES DE CAUCHY DANS UN (E, d).
1 0 Convergence d'une suite {x n }, n E IN. - On dit qu'une suite {x n} converge
vers x pour exprimer que l'on a
VB>O, 3N(B) tel que, n N(B) => d(xn,x) B.
Conséquence:
Vn et m N( ), on a d(xn,Xm)<;'B.
2 0 Suites de Cauchy. - Toute suite {x n } qui vérifie, pour chaque B positif,
la relation suivante :
d(Xn,Xm) B, Vn et Vm N(B),
est dite suite de Cauchy.
Exemple:
Une suite convergente est une suite de Cauchy.
III. - SOUS-ENSEMBLE COMPLET D'UN (E, d).
1 0 On dit qu'une partie A d'un espace métrique est complète si toute suite
de Cauchy définie sur A est convergente dans A.
Exemples:
a) /R et fE sont complets.
b) Ac E, A compact => A complet. En particulier (cf. Ex. 2.111.5.).
(E, d) compact => (E, d) complet
n 1
c) f/l sous-ensemble de IR. n'est pas complet, puisque X n = L - est une
suite de Cauchy sur f/l qui ne converge pas dans f/l. p=o p!
2 0 Théorème 2.m.l.
complet, alors on a
Soit A un sous-ensemble d'un espace métrique
A fermé <=> A complet.
3 0 Théorème 2.m.2. - Soit Al c(E l , dl) et Az c(Ez, dz), avec Al et Az
complets, alors A 1 X A z muni de la distance d d'espace produit est complet.
Rappelons que l'on a
d(X, Y) = Vdî(Xl'Yl)+d (xz'Y2).
Corollaire. - IR. et fE complets => /Rn et fEn complets.
2.1.1.
..
2.1.2.
.
2.1.3.
..
2.1.4.
.
2.II.1.
..
2.ll.2.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 2
Soit E = Qn[O, 1] muni de la distance naturelle.
1 0 E est-il fermé dans IR?
2 0 On considère un recouvrement de E par la famille j des intervalles
ouverts ainsi définis:
Il = {y E IR, Iy-xl <l}.
A tout x E E, on associe l'intervalle ouvert Il(x) (0<1 < 1).
Peut-on recouvrir E par un nombre fini d'intervalles de j? Cet exemple
est-il contraire au théorème de Borel-Lebesgue?
(On pourra utiliser un recouvrement de E par les intervalles
Il' = {y E IR, Iy-xl <l'}, où 0<1' <1 et l' E iR.)
Démontrer que toute réunion finie d'ensembles compacts est compacte
que toute intersection de compacts est compacte.
Propriété de l'intersection finie.
On dit qu'une famille d'ensembles possède la propriété de l'intersection
finie si toute intersection finie d'éléments de la famille est non vide.
1 0 Montrer que si un espace métrique E est compact, toute famille de
fermés de E possédant la propriété de l'intersection finie admet une inter-
section non vide.
2 0 Étudier la réciproque et énoncer une condition nécessaire et suffisante
pour qu'un espace soit compact.
Dans un espace métrique (E, d), soit A un sous-ensemble compact et B un
sous-ensemble fermé tels que AnB = 0.
Montrer que d(A, B) est positive.
Dans un espace métrique (E, d), montrer que si une suite de Cauchy a
une valeur d'adhérence a, elle converge vers a.
(On dit que a est valeur d'adhérence d'une suite {x n } lorsque toute boule
Bp(a) contient une infinité d'éléments de la suite, non nécessairement
distincts.)
Dans un espace ultramétrique (E, d), montrer qu'une suite {XII} est de
Cauchy si, et seulement si, on a lim d(xn, X n + 1) = 0, lorsque n tend
vers l'infini (revoir la définition d'une ultra-distance, exercice 1.1.7.).
62
2.m.l.
.
2.m.2.
..
2.m.3.
...
2.111.4.
..
2.111.5.
.
ESPACES MÉTRIQUES
On considère la suite {an} définie dans f/l par
n 1 1 1
an = 2 1' , = 1 + 2 l , +... + 2 n , .
p=o p. . . n.
, 1
1° Etablir que l'on a la relation la.m-anl 2n(n+1)! ' pour m;>n;>O,
et en déduire que {an} est une suit de Cauchy.
2° Montrer que {an} ne peut converger vers un élément de f/l.
[En supposant ue la ;uite {an} converge vers n élémentP. de f/l, on établira
q
successivement les propriétés suivantes:
a) la majoration 12nn! -Knl< n l ' où Kn = 2 n n!, an E IN;
b) l'égalité Kn = 2nn! , pour n;>q;
q
c) la propriété contradictoire an = , 'v'n;>q.]
q
Soit (E, d) un espace métrique complet et {Fn} une suite décroissante de
fermés (F l =:;)F 2 =:;)... =:;)Fn...) dont le diamètre te"nd vers 0 lorsque n tend
vers l'infini. Démontrer que l'intersection de ces fern1és est un point.
Distances uniformément équivalentes et complétion.
1 ° Montrer que si (E, d) est un espace métrique complet, (E, d') où d'est
une distance uniformément équivalente à d, est également un espace
complet. (Voir chapitre 1. II, la définition des distances uniformément
équivalentes.)
2° Soit f l'application définie sur IR par
x
x f(x) = 1 + 1 1 .
.XI
Montrer que d' (x, y) = If(x)- f(y) 1 est une distance sur IR..
Établir que d'est équivalente à la distance euclidienne.
3° Dans l'espace métrique (IR, d'), trouver un exemple simple de suite
de Cauchy non convergente.
La distance d'est-elle uniformén1ent équivalente à là distance euclidienne?
Que peut-on en conclure?
Soit (E, d) lin espace métrique et soit A une partie de E supposée dense
dans E. Montrer que, pOlir que E soit complet, ilfaut et il suffit que toute
suite de Cauchy dans A converge dans E.
Soit (E, d) un espace métrique et soit A un sous-espace. Établir les pro-
priétés suivantes:
1 0 A compact => A complet;
2° A complet => A fermé dans E.
2.ID.6.
...
2.111.7.
...
EXERCICES DU CHAPITRE 2
63
Complétion d'un espace métrique.
Soit (E, d) un espace métrique et soit e l'ensemble des suites de Cauchy
de E. On note x= {Xn} =l un élément de e.
1 ° Soit 3t la relation définie sur e par
X9t y lim d(xn, Yn) = O.
n + ex>
Montrer que 3t est une relation d'équivalence. X étant la classe d'équi-
valence de X, l'ensemble quotient e /3t sera noté È.
2° Montrer que lim d(x m YII) existe, {xn}f et {Yn}i étant des éléments
n ex>
de e (*). Soit <5 (X, Y) cette limite. Établir que <5 (X, Y) ne dépend que
- -
de X et de Y.
3° Démontrer que <5 définie sur Ex È par <5(X, Y) = <5(X, Y) est une
distance sur E.
(*) On pourra utiliser la majoration
Id(xm Yn)-d(xm, y,Jl<:d(xm x,J+d(ym Ym).
Complétion d'un espace métrique (suite de l'exercice précédent).
On considère l'espace métrique (È, <5) construit précédemment ( exer-
cice 2.111.6.).
1 ° Montrer qu'il existe dans È un ensemble E' isométrique à E, c'est-
à-dire tel qu'il existe une application bijective de E' sur E conservant la
distance.
2° Montrer que E' est dense dans È.
3° Établir que E est complet (on pourra utiliser le résultat de l'exercice
2.111.4.). Si l'on identifie E et E', E est doncplongé dans l'espace métrique
(È, <5), où <5(x, y) = d(x, y), TI x et YE E.
4° Montrer que s'il existe un espace métrique complet (F, d) tel que
E = F, alors (F, d) est isométrique à (È, <5).
SOLUTIONS
2.1.1.
1 0 On sait que f/2 est dense dans IR, donc Qn[O, 1] est dense dans [0, 1]. Par suite,
E = [0, 1] et E n'est pas ferme.
2° E peut être recouvert par la famille finie suivante {Il,(x n ) }: 1 (qui n'est pas
extraite de J mais qui va servir a cette operation), où !' est choisi dans Q tel que
O</' <1 et X n = nI'
et où n prend les valeurs n = 0,1,2, ...,110,110 étant défini par
no!' 1 < (no + 1)/'.
Puisque /'eQ, les points X n appartiennent a E. Il est alors clair que la famille Il(x n )
extraite de J est une famille finie recouvrant E.
Cet exemple ne contredit en rien le théorème de Borel-Lebesgue; quand un ensemble
n'est pas compact sur IR., il n'est pas exclu que, d'un recouvrement d'ouverts, on puisse
extraire un recouvrement fini. Quand l'ensemble est compact, le théorème affirme
une propriété plus forte: de tout recouvrement d'ouverts on peut extraire un recou-
vrement fini. .
2.1.2.
Il s'agit toujours d'ensembles dans un espace métrique, mais, en fait, la propriete
subsiste pour un espace topologique quelconque. Dans IRn et C n munis de la distance
naturelle, elle est immédiate puisque A compact A fermé et borné.
Dans le cas genéral, la propriété se demontre par application du theorème de
Borel-Lebesgue.
n
a) Soit A = u Ai; considérons un recouvrement ouvert quelconque de A. Ce
i=1
recouvrement est a fortiori un recouvrement des Ai (i = 1, 2, ..., n). En tant que
recouvrement de Ai on peut extraire un recouvrement fini, puisque Ai est compact
et ceci pour i = 1, 2, ..., n.
La reunion finie de ces recouvrements finis est un recouvrement fini de A, donc A
est compact.
b) Soit A = nAi; Ai compacts => Ai fermes; donc nAi est ferme. Mais A est a]ors
i i
un ferme inclus dans le compact Aio' il est donc compact (théorème 2.1.1.).
SOLUTIONS
65
2.1.3.
1 0 Soit E compact et :Jé = {Fi, iEl} une famille convenable de fermés de E. Mon-
trons que l'on a n Fi #= 4>, en supposant le contraire. Si n Fi = 4>, la famille Oi = CF i
l l
est une famille d'ouverts recouvrant E, puisque
uO i = u CFt = C ( nF i ) = C4> = E.
iel iel ie]
E etant compact, on peut extraire de ce recouvrement un recouvrement fini
n
E = U OÏl,.
k=l
n
Alors 4> = n F ik , ce qui est en contradiction avec l'hypothèse de l'intersection
k=l
finie, donc n Fi #= 4>.
iel
2° Reciproquement, montrons que si toute famille Fi de fermes de E, possedant
la propriéte de l'intersection finie, est telle que nF i #= 4>, alors E est compact.
iel
Supposons E non compact. Il existe alors un recouvrement d'ouverts uO j duquel
on ne peut pas extraire un recouvrement fini. Soit Fj = COj; Fj est un fermé et
l'on a
nFj = C(UOj) = 4>.
La famille {Fj} possède la propriéte d'intersection finie. En effet, s'il existait une
n
intersection finie vide n Fjk' les ouverts Ojk fourniraient un recouvrement fini de E,
k=l
ce qui est contraire a l'hypothèse sur le recouvrement { O)}.
En résumé, si E etait non compact, il existerait donc une famille {Fj} de fermes
possédant la propriete de l'intersection finie et telle que nFj = 4>, ce qui est en contra-
diction avec l'hypothèse faite, donc E est compact. D'où l'énoncé suivant du résultat:
E compact <=> toute famille {Fi}iel de fermes de E possedant la proprieté de l'inter-
section finie est telle que nF i #= 4>.
iel
2.1.4.
On rappelle que d(A, B) = inf d(x, y). Supposons d(A, B) = O. Alors on a
xeA
yeB
1
\ln eIN, 3x n et y", X n e A et Yn e B, tels que d(x", Y n ) -.
n
66
ESPACES MÉTRIQUES
Deux cas sont a étudier
1 0 {xn} est une suite admettant un nombre fini de valeurs distinctes;
2 0 {xn} est une suite admettant une infinité de valeurs distinctes.
Premier cas. - Soit alors Xo un élement stationnaire de la suite {x n }. Dans ce
premier cas, {Yn} ne peut être egalement une suite finie [sinon on aurait d(A, B» 0,
ce qui est contraire a l'hypothèse]. Il existe donc une suite extraite {Ynp} telle que
1
'Vp e IN, 3y.p, d(xo, Ynp) -.
l1p
Mais ceci entraîne que xoeB = B, ce qui est impossible, puisque AnB = 0.
Deuxième cas. - Puisque A est compact et que {xn} admet une infinité de valeurs
distinctes dans A, il existe au moins un point d'accumulation, soit x, de l'ensemble
des {xn} et xeA.
Il existe alors une suite extraite {x np } telle que
1 112
VpeIN, d(x, Ynp) -, donc d(x, xnp) - + - = - .
Toute boule de centre x rencontre donc B.
Alors xeB = B, ce qui est impossible, puisque AnB = 0.
Il est donc bien établi que d(A, B» o.
On voit dans le second cas l'importance de l'hypothèse: A est compact. Elle est
encore mieux mise en evidence dans le contre-exemple suivant où l'on a la situation
A et B fermés, AnB = 0, avec d(A, B) = 0;
A est le sous-ensemble de IR2 (muni de la distance naturelle) défini par { (x, y), y =O};
B est défini par 1 (x, y); y = 1 X2 j (voir figure ci-dessous);
A et B sont bien fermés, sans être compacts.
On voit facilement que
d(A, B) = 0, puisque l'on a
, 1
d(MII' Mn) = 1+n 2 '
y-
B
---------------.
o A Il,
où
Mn(n, 0)
et
M (n, 1 n2 )'
2.11.1.
Soit {xn}f la suite donnée et An = {xp,p n}. Dire que a est valeur d'adherence
de la suite {x n } est équivalent a
(1) VB>O, VneIN; AnnB£(a) #= 4>,
où B £(a) est une boule de centre a et de rayon B.
SOLUTIONS
67
Supposons maintenant que {xn} soit une suite de Cauchy. Alors
(2) \/B>0,3noEIN tel que n, m no => d(x m Xm) B,
donc
(3)
"
\/B>0, 3n oEIN
tel que
n no => d(a, X,J 2B.
[En effet, no existe d'après (2), et d'après (1) il existe p no tel que d(a, Xp) B.
Or, on a
d(a, xn) d(a, xp)+d(x p , xn),
donc
d(a, XJ 2B, pour tout n no.]
De (3), on déduit que la suite converge vers a.
Autrement dit, le comportement d'une suite de Cauchy est très simple : ou bien
elle n'a pas de valeur d'adherence, ou bien elle converge.
2.11.2.
La condition est nécessaire, puisque par définition même d'une suite de Cauchy
\;/B>0,3no tel que d(xm Xn+1) B, pour tout n no.
En général, elle n'est pas suffisante. Ceci va cependant être vrai dans le cas d'une
ultra-distance.
Supposons lim d(x m X n +1) = 0;
n cx>
\/B>0,3N£
tel que
n N£ => d(xn, Xn+1) B.
Or, on a
donc
d(x m X n + p) sup [d(xm X n + 1), ..., d(x n + p-1' X n + p)],
d(xn, Xn+p) B.
Ainsi
\/B>0,3N£
ce qui établit la reciproque.
tel que
11, m N£ => d(xm Xm) B,
2.111.1.
1 1 1 [ 1 1 1 ]
1 0 am-a" = 2n+ 1(n+ 1) !+ ...+ 2n+k(n+k)! 2 n + 1(n+ 1)! 1 + 2. + 22 + ...+ 2 k - l '
en posant m = n+k, donc
(1)
1
lam-anl 2n(n+ 1)! .
68
ESPACES MÉTRIQUES
On en deduit que
\1'8>0,3N e tel que \1'n et m Ne => lam-anl 8.
Il suffit de prendre, par exemple, N. = 1 + [ ; e l
Autrement dit, la suite {an} est une suite de Cauchy.
2° Supposons que {an} ait une limite appartenant a f/2, soit l!.. Alors, la suite
q
{am-an} =l (n etant ici fixe) a pour limite -an. L'inégalite (1) fournit alors, par
passage a la limite sur m q
p 1
(2) q -an 2n(n+ 1)! .
Mais an est de la forme an = 2 n " où k n est un entier positif, (2) entraîne donc
n.
12 n ,P k 1./ 1
n. q - n' n+1 .
(3)
Si l'on prend n q on voit que 2 n n !p -k n est un entier. On déduit alors de (3) que
. ,. ul q. 1 1 D
cet entier est necessalrement n , pUIsque n + 1 <. onc, on a
p k n
q = 2 n n! = an.
Par suite, an = E, Vn q. La suite serait donc stationnaire a partir d'un certain entier,
q
mais ceci est en contradiction avec le fait que {an} est strictement croissante. On a
donc ici un exemple de suite de Cauchy dans f/2, non convergente dans f/2, ce qui
montre que f/2 n'est pas complet.
En anticipant sur l'etude des séries on peut remarquer que lim an = V e, nombre
qui est irrationnel. n--+ ex>
2.111.2.
Soit X n E Fn. La suite {Xn} = 1 est une suite de Cauchy, puisque lim b(F n ) = 0 :
n et m N => X n et XmEFN => d(xm x m ) b(F N ) 8.
Puisque E est complet, cette suite converge vers un point x E E.
Montrons que
ex>
XE n Fn.
1
Pour tout n, Fn est un ferme inclus dans E; or, x p E Fm Vp n, [puisque la suite
des Fn est décroissante] donc x E Fn et ceci quel que soit n.
SOLUTIONS
69
Alors
ex>
xEnF".
1
Montrons que l'intersection des Fn se réduit au seul point x.
ex>
Supposons qu'il existe x' E n Fn, x' #= x, alors
1
d(x', x»O {}(Fn) d(x, x'»O,
ce qui est contraire a l'hypothèse : {}(Fn) tend vers 0 lorsque n + 00.
En étudiant l'exemple suivant on verra pourquoi l'hypothèse {}(F,,) O est essen-
tielle.
Dans IR2(X, y) naturel, on prend Fn = {(x, y), x n}, 'Vn E lN.
Alors, on a
FI '::JF 2 '::J... '::JF" '::J...
et cependant l'intersection est vide.
2.ID.3.
1 0 Il suffit d'établir que toute suite de Cauchy {x n } dans (E, d') est une suite de
Cauchy dans (E, d). Or, ceci va resulter de la définition même de l'uniforme équi-
valence (cf. chapitre 1, 0) :
'Ve> 0, 317(8) tel que d'(x n , x",) 17 => d(x", x",) e.
Puisque {xn} est une suite de Cauchy dans (E, d'), on a aussi
'V8'> 0, 3N e ' tel que n, m Ne' d' (x", x m ) e'.
En choisissant 8' = 17(8), on a donc
n, m N" d(x n , x m ) 8.
2° a) Remarquons que la fonction X- l : 1X1 est monotone et croissante de -00
a + 00 et définit une bijection de ]- 00, + oo[ sur ]-1, + 1[.
Alors,
d(x, y) = 0 x = y.
Évidemment
d(x, y) = If(x)-f(y) 1 = d(y, x)
et l'inégalité triangulaire résulte de
1 f(x)-f(y) 1 If(x)-f(z) 1 + If(z)-f(y) 1.
b) La distance d'est equivalente a la distance euclidienne, soit d sur IR.. Il s'agit
de démontrer que toute boule ouverte Bd,e(Xo) de (IR, d) contient une boule ouverte
70
ESPACES MÉTRIQUES
Bd',t' (xo) de (IR, d') et réciproquement, les boules Bd,t(Xo) et Bd',t' (xo) étant respec-
tivement définies par
Bd,t(XO) = {x; Ix-xoi <e}
et
Bd',t'(XO) = {x; If(x)-f(xo) 1 <e'}.
Puisque f est croissante, on a
Bd',t'(Xo) c Bd ,t(xo),
où
e' <inf {f(xo)- f(xo- e), f(xo+ e)- f(xo)},
et
Bd,t(XO) c Bd',t{Xo),
où
e <inf {xo- f-l[f(xo)- e'],f-l[f(xo)+ e']- xo}.
La propriété est donc bien établie.
Les schémas ci-dessous illustrent concrètement ces deux inclusions
y
oJ+ -----------------
f(x o ) ----------- 1
f(x )-E' ------ : : B
o lie
1 ____ 1 _ C
y
/lxo+ f) ---- -----------
/?;ro) :: ------: :
fXo-E) 1:: B :
1 lie 1
1 lie 1
o
Xo BE'
o
Xo
Ce sont d'ailleurs les schémas qu'on utilise lors de l'étude des propriétés de la
fonction réciproque d'une fonction donnée.
3° Prenons X n = nE IN, il vient
n m
d(x n , X m ) = l+n - l+m
m-n
(l+m)(l+n )' pour m n,
donc
m 1
d(xn, xm) (l+m)(l+n) < l+n '
et ceci montre que {n}.oo est une suite de Cauchy dans (IR, d') non convergente dans
(IR, d').
Autrement dit, (IR, d') n'est pas complet.
On en déduit que d' n'est pas uniformément équivalente a d, sinon, d'après le 1°,
puisque (IR, d) étant complet (IR, d') le serait.
Remarquons maintenant que d et d'étant équivalentes, les topologies associées sont
identiques. On peut donc conclure que le fait d'être complet pour un espace métrique
est lié à la distance et non à la topologie qu'elle définit.
Une remarque analogue a déja été faite au sujet des ensembles bornés (cf. exer-
cice 1.IV.2.).
On voit aussi ici l'intérêt de l'équivalence uniforme qui entraîne la conservation
des ensembles complets.
SOLUTIONS
71
2.111.4.
Lorsque E est complet, toutes les suites de Cauchy dans E convergent et, donc,
en particulier, les suites de Cauchy définies sur A.
Le problème est d'étudier la réciproque.
Supposons que toute suite de Cauchy dans A converge dans E et montrons alors
que toute suite de Cauchy dans E converge.
Soit {xn} une suite de Cauchy dans E. Puisque l'on a A = E, on peut affirmer que
1
'Vn, 3Yn E A tel que d(xm Yn) < -.
Il
La suite {Yn} ainsi mise en évidence est une suite de Cauchy dans A. [En effet,
d(yn, Ym) < d(x n , Yn)+d(xn, xm)+d(xm, y,J;
e
Or 'Ve>0,3N l ,£, tel que 'Vn,meIN; n,m>N l ,e => d(x m x m )<2'
e e
'Ve> 0, 3N 2 ,£, tel que 'Vn, me IN; net m> N 2 ,£ => d(xn, Yn) <.4 et d(x m , y,J < 4..
Donc
'Ve>0,3N£ tel que 'Vn, mEIN; Il et m N£ => d(yn, y,J<e.]
Par hypothèse, la suite {Yn} est donc convergente vers un élément a E E, alors {xn}
converge également vers a, puisque
1
d(a, x n ) < d(a, Yn)+ d(xn, Yn) < d(a, Yn) + -.
n
On en déduit la condition nécessaire et suffisante.
2.lll.5.
1 0 Il s'agit d'établir la propriété
A compact => A complet.
Considérons donc une suite de Cauchy {xn} dans A et montrons qu'elle converge
dans A.
Premier cas. - La suite {xn} a un nombre fini d'éléments distincts
00
U X n = {YI' Y2, ..., Yk}.
1
La suite de Cauchy {Xn} est alors nécessairement stationnaire.
72
ESPACES MÉTRIQUES
En effet, il existe au moins un Yi o qui coïncide avec une infinité de termes x np
Vp, 3npo> p tel que x npo = Yio.
Il ne peut y avoir deux Yi o et Yjo distincts, sinon
Vp, 3nqo> p tel que x nqo = Yjo.
Donc
Vp, 3n po et nqo> p
tels que
d(x npo ' x nqo ) = d(yi o ' Yjo) =1= O.
Or, {xn} est une suite de Cauchy, c'est-a-dire que
Ve>0,3N t tel que m et n Nt => d(xm x,J < e.
En prenant
2e = d(yi o ' Yj), p = Nt' n = npo et m = nqo'
on obtient le résultat contradictoire suivant :
1
d(yi o ' Yjo) < e = id(Yi o , Yjo).
En résumé, la suite {xn} est stationnaire : X n = Yi o ' Vn no, donc converge vers
l'élément Yi o E A.
Deuxième cas. - La suite {xn} a une infinité d'éléments distincts.
Puisque A est compact, l'ensemble des X n admet donc, au moins, un point d'accu-
mulation a E A.
Le nombre a est la valeur d'adhérence de la suite {x n }. En effet, 'VpEIN*, B)...(a)
p
contient un élément x np de la suite, donc Bp(a) contient une infinité d'éléments de la
suite (l'ensemble des x np pour tous les entiers p vérifiant p ;;;. 1 + [ ]).
En résumé, la suite de Cauchy {xn} admet une valeur d'adhérence aEA. Elle converge
donc vers a. (Voir la solution de l'exercice 2.11.1.)
2 0 Il s'agit maintenant d'établir la propriété : A complet => A fermé dans (E, d).
Soit x un élément de A. Il existe donc une suite {xn} d'élements de A qui converge
vers x. La suite {xn} est donc une suite de Cauchy. De plus, elle est définie dans A
complet, il existe donc un élément yE A vers lequel {xn} converge. On a x = y, puisque
d(x, y) < d(xm x)+d(x n , y) < 2e, pour n Nt'
donc xE A.
2.In.6.
1 0 On vérifie les trois axiomes de l'équivalence.
X X est évidente;
X y => y X, puisque d(x n , Yn) = d(yn, x,,);
X y et y Z => X Z, puisque d(xn, zn) < d(x n , y,,)+d(yn, z,,).
La relation est donc une relation d'équivalence sur e, d'où l'on déduit l'existence
-
de l'ensemble-quotient E.
SOLUTIONS
73
2° Remarque: Dans un espace métrique, on a toujours l'inégalité
(1) Id(a, b)-d(a', b')1 < d(a, a')+d(b, b').
En effet, on a
donc aussi
d(a, b) < d(a, a')+d(a', b')+d(b', b),
d(a, b)-d(a', b') < d(a, a')+d(b, b').
En échangeant les rôles des couples (a, b) et (a', b'), on peut donc conclure que (1)
a lieu.
Appliquons maintenant (1) aux couples (xn, Yn) et (x m , y,J, il vient
(2) Id(xn, y,,)- d(xm, y,J 1 <: d(x n , x,J+ d(yn, y,,,).
Or, {xn} et {Yn} e e entraînent que l'on a
Ve>0,3N e tel que Vm et neIN; met n>N£ => Id(x n ,y,,)-d(x m ,y,JI<2e.
Autrement dit, {d(x n , y,,) } = 1 est une suite de Cauchy dans IR.
L'ensemble IR étant complet, lim d(x n , y,,) existe. On note cette limite b(X, Y).
n oo
Soit X et X' (resp. Y et Y') deux représentants distincts de X (resp. Y), montrons
que b(X, Y) = b(X', Y').
L'inégalité (1) appliquée aux couples (x m y,,) et (x , Y ) entraîne
(3) Id(xn, Yn)-d(x , Y )I < d(x n , x )+d(yn' Y );
mais X et X'eX et Y, Y'eY; on déduit donc de (3) la relation
lim Id(x n , y,,)-d(x , y )1 = 0,
n +oo
donc
b(X, Y) = b(X', Y').
3° Il résulte de ce qui precède que l'on peut poser
b(X, Y) = b(X, Y),
où X et Y sont des éléments quelconques respectivement de X et de Y. Montrons
que b est une distance sur E.
b(X, Y) = 0 <=> X = Y, puisque b(X, Y) = 0 <=> X Y;
b(X, Y) = b( Y, X), égalité évidente;
b(X, Y) < bCi, 2)+b(2, Y), puisque d(xm Yn) < d(x n , zn)+d(zn, y,,) entraîne, par
passage a la limite sur n,
b(X, Y) <: b(X, Z)+b(Z, Y).
2.m.7.
1 ° Soit E' l'ensemble des classes correspondant aux suites de Cauchy de E qui
sont convergentes dans E.
On établit alors la bijection E' HE, A Ha, de la manière suivante.
74
ESPACES MÉTRIQUES
A tout a e E on fait correspondre la classe A des suites de Cauchy qui convergent
vers a. Cette classe peut être définie par la suite stationnaire A = {a}.
Réciproquement, a tout élément A de E' on fait correspondre l'élément a de E
qui est la limite d'une suite de Cauchy de la classe A ce qui est possible, d'après la
définition même de E'.
Cette bijection est une isométrie, puisque l'on a
<5(A, B) = <5(A, B) = lim d(a, b) = d(a, b),
n-> CX)
en prenant les suites stationnaires {a} et {b} pour définir A-et B.
2° Soit XeE, il s'agit d'établir qu'il existe une suite d'éléments de E', soit {Xp} )= 1
telle que
lim <5(X, X p ) = 0,
p CX)
où X est défini par la suite de Cauchy X = {xn}f. Choisissons pour X p la classe
définie par la suite stationnaire suivante :
X p = {xp,n} =l'
où
Xp,n = xp, 'Vn e IN.
Nous l'écrirons pour simplifier ici {x p}.
Démontrons alors que lim <5(x, ) = o.
p CX)
Comme {XII} est une suite de Cauchy on a
'V8>0,3Ne, tel que, 'Vn et p eIN, n et p>Ne, => d(x m x p ) < 8,
donc
'V8>0,3Nl;
tel que
'VpeIN, p>Ne, => <5(X, X p ) = lim d(xn, xn,p) < 8,
n CX)
on en déduit la propriété cherchée en passant aux classes d'équivalence.
3° Puisque E' est dense dans E il suffit d'établir que les suites de Cauchy dans E'
convergent dans Ë (voir exercice 2.111.4.). Soit donc {Xp}go= 1 une suite de Cauchy
dans E'. Par définition même de E', on peut prendre, pour caractériser Xp, la suite
stationnaire X p = {xp,n};'= b xp,n = xp.
Alors
<5(X p , X q ) = <5(X p , X q ) = lim d (xp,m xq,n)
n CX)
entraîne
<5(X p , X q ) = d(x p , x q ).
Autrement dit,
{Xp} =l suite de Cauchy <=> {XP}:'=l suite de Cauchy.
Soit Xl'élément deC défini par {Xp}:>= 1, il lui correspond Xe£. Par un raisonnement
identique a celui qui a été exposé a la question 2°, on établit que la suite {Xp}g'= 1
converge vers X et ceci termine la démonstration.
On observera qu'a la question 2° on a défini X p a partir de X alors qu'ici on a fait
l'inverse. L'élément X est défini à partir de Xp, mais les situations sont identiques.
SOLUTIONS
75
4° Unicité à une isométrie près de la complétion.
Soit x un élément de F, puisque E est dense dans F il existe une suite de Cauchy
X = {Xli} = 1 convergeant vers x.
Soit X la classe de X, % E È.
A tout x correspond évidemment une classe et une seule X de If, puisque toutes
les suites de Cauchy convergeant vers x sont équivalentes.
Réciproquement, a tout f élément de Ë correspond une suite de Cauchy
Y={Yn} =l' Yn EE .
La suite {Yn} = 1 est donc une suite de Cauchy dans F puisque EeF. De plus,
cette suite converge vers un élément y de F, puisque F est complet. A tout Y on fait
donc correspondre un, et un seul, élément y de F, puisque les suites de Cauchy équL
valentes ont même limite. Montrons que la bijection ainsi établie est une isométrie.
Soit x et y E F, X et Ye E, avec X = {xn} = 1, Y= {Yn} = 1, suites de Cauchy conver-
geant vers x et vers y.
Alors,
d(x, y) < d(x, xn)+d(x m Yn)+d(y, Yn),
puisque la distance sur F induit la distance d sur E.
Donc, en passant a la limite en n, on a
d(x, y) < lim d(x n , Yn) = b(X, Y) = b(%, Y),
n oo
puisque
lim d(x, x n ) = lim d(y, Yn) = O.
n oo n oo
De même,
d(x n , Yn) < d(x n , x)+d(x, y)+d(y, Yn)
entraîne la relation
b(X, Y) <d(x, y).
Donc, b(X, Y) = d(x, y) et ceci termine la démonstration.
Commentaire:
Cette étude de complétion d'un espace métrique s'applique évidemment au cas
particulier de f2, corps totalement ordonné archimédien, muni de la distance natu-
relle, le complété étant alors IR. La théorie de cette complétion exposée en M.P.1, ou
en classe de Mathématiques supérieures, suit exactement la théorie générale ci-dessus
et l'étudiant pourra s'y reporter avec intérêt.
Si l'on considère f2,' muni de la distance p-adique (voir exercice 1.1.8.), le complété
obtenu est appelé le corps des nombres p-adiques et est noté f2 p.
-"
M.P.2
3.
APPLICATIONS CONTINUES
1. - GÉNÉRALITÉS.
Dans ce paragraphe, on considère deux espaces métriques (E, d), (F, £5) et
une application f : E F.
1 0 Continuité en un point. - On dit que f est continue en xo( EE) lorsque
'Ve>0,3tJ:£,xo>0 tel que f[Ba(xo)J cB£[f(xo)J.
De façon équivalente:
'Ve> 0, 3tJ:£,xo> 0 tel que d(xo, x) < tJ: => b[f(x),f(xo)] < e.
Représentation concrète.
B (x o )
Xo _ 1':-
E
B£ [f(xoJ]
........... ............
! x \
". ........ .........
-F rxo)
F
Remarque. - Dans le cas des espaces topologiques qui sont des métriques
(c'est le cas qui nous intéresse ici), on a
f continue en a <=> f(x n ) --)- fCa),
pour toute suite {x n }, X n a, (xn E E).
2 0 Continuité sur un sous-ensemble A de E. - L'application f est dite
continue sur A si elle est continue en tout point de A, ceci entraîne la continuité
de l'application fA : A F (fA étant la restriction de f à A considéré comme
espace relatif de E).
Remarquons qu'étant donné une application continue g : A F, il n'existe
pas nécessairement de fonction continue G : E F telle que GA = g. (Sauf
si A est fermé.)
78
APPLICATIONS CONTINUES
3° Théorème 3.1.1. - Pour que f soit continue sur E il faut, et il suffit, que
l'image réciproque f-l(O) de tout ouvert 0 de F, soit un ouvert de E. (On
rappelle quef-l(O) est l'ensemble {x E E,f(x) E O}.)
Énoncé analogue pour les fermés.
4° Continuité dans des espaces produits. - Considérons les espaces métri-
ques (Eh di), i = 1, 2, et (Fj, b j ), j = 1, 2, 3, et l'application
f : El xE 2 Ho FI xF 2 xF 3 ,
caractérisée par f(x l , X 2 ) = (Çl' Ç2, Ç3)' où Xi E E i et Çj E Fj.
Soit l'application jj : El x E 2 Ho Fj, définie par jj(Xl' X2) = çj; on a alors
f(x 1 , x 2 ) = [fl(X 1 , x 2 ), f2(X 1 , x 2 ), f3(X 1 , x 2 )]
et la propriété suivante :
f continue en (Xl' X 2 ) <=> fI, f2 et f3 continues en (Xl' X2).
II. - CONTINUITÉ UNIFORME.
1° Soit f : AHo(F, b), où A est un sous-espace relatif de (E, d). L'appli-
cationf est dite uniformément continue sur B (incluse dans A) si « pour chaque
8>0, il existe et£>O, tel que d(x,xo)<et => b(f(x),f(xo)) <8 » (x et Xo étant
des éléments de B).
Remarquons que l'on a les propriétés suivantes :
a) dans le cas de la continuité uniforme, et est indépendant de Xo;
b) la continuité uniforme sur B entraîne la continuité sur B. La réciproque
est fausse, en général. Toutefois on a le théorème de Heine.
2° Théorème de Heine. - Soit A un compact de (E, d). Toute application
f: A Ho (F, b), continue sur A, est uniformément continue sur A.
3° Théorème 3.11.1. - Soit un compact A de (E, d) et une application
continue f : A Ho (F, b), alors f(A) est un compact de (F, b).
On dit encore que l'image continue d'un compact est un compact.
Application:
A compact de (E, d) et F = IR (ou C).
Soitf: AHoIR (ou C) supposée continue, alorsf(A) compact => f(A) borné
dans IR (ou te) =>3M constante telle que If(x) 1 < M, Yx E A.
4° Distances équivalentes et continuité. - Soit (E, d) et (F, b) deux espaces
métriques. Si à d (resp. b) on substitue une distance équivalente d' (resp. b')
DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS DIVERSES
79
la continuité des applications 1 de E dans F est une propriété invariante. Par
contre, la continuité uniforme n'est invariante que si d et d' (resp. b et b')
sont uniformément équivalentes. .
ill. - DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS DIVERSES.
1 ° Homéomorphie. - Une application 1 : (E, d) Ho (F, b) biunivoque et
bicontinue est appelée homéomorphie.
Lorsqu'une telle application existe, on dit que E et F sont homéomorphes.
Si de plus on a b[f(x),f(y)] = d(x, y), on dit que E et F sont isométriques.
2° Théorème 3.rn.1. - L'image continue d'un connexe est connexe.
3° Notion de chemin et application. - Soit A un sous-ensemble de (E, d)
et deux éléments x et y appartenant à A. Nous dirons que x et y sont reliés
par un chemin appartenant à A, si il existe une application continuel: [a, b] 'r-+E,
avec [a, b] c IR, telle que I[a, b] cA, I(a) = x, I(b) = y.
Théorème 3.111.2. - Si deux points quelconques de A sont reliés par un
chemin appartenant à A, alors A est connexe.
EXERCICES DU CHAPITRE 3
3.1.1. On considère deux espaces métriques (E, d), (F, b) et une application
. continue 1: E 1-+ F.
a) Montrer que l'application surjective f: E t-+ f(E) est continue.
b) Soit A un sous-ensemble de E et lA. la restriction de f à A. Montrer
que lA. est continue sur A.
3.1.2. (E, d) et (F, b) désignent deux espaces métriques. Soit une application
. 1 : (E, d) 1-+ (F, b) qui est supposée continue.
On munit E d'une nouvelle distance d' vérifiant la relation suivante:
d' ;>kd, k étant une constante positive
3.1.3.
..
3.1.4.
.
3.1.5.
.
3.1.6.
..
(c'est-à-dire d'ex, y) ;> kd(x, y), \:Ix et y E E).
Montrer que 1 est encore continue sur E, muni de la distance d'.
1 0 Soit (E, d) un espace métrique, muni de la distance triviale d
d(x,y) = 1, si x:l= y, d(x,y) = 0, si x = y
et soit (E', d') un second espace métrique.
Montrer que toute application 1 de E dans E' est continue.
2 0 Soit Z l'ensemble des entiers algébriques muni de la distance natu-
relle ben, m) = ln-ml, \:ln et m E Z.
a) Montrer que toute application 1 de Z dans IR est continue.
b) Montrer que d (pour E = Z) et b sont des distances équivalentes
et retrouver ainsi le résultat de la question a).
Soit IR la droite réelle et IRo l'espace métrique obtenu quand on munit
le corps des réels de la distance triviale do. Démontrer qu'il ne peut exister
d'application bijective continue de IR sur IRo.
En particulier, l'application canonique de IR dans IRo n'est pas continue.
Soit ( d) et (H, d') deux espaces métriques tels que V c. H et
d'ex, y)<:,ad(x, y), \:I(x, y) E Vx V (a est une constante positive).
1 étant une application de H dans IR et i sa restriction à V, montrer que
si 1 est continue sur (H, d') alors i est continue sur ( d).
On considère une application 1 d'un espace métrique (E, d) dans un autre
(E', d'). Montrer que f est continue si, et seulement si, pour tout sous-
ensemble A de E on a f(A) c.f(A) .
EXERCICES DU CHAPITRE 3
81
3.1.7. Soit (E, d) un espace métrique, A et B deux sous-ensembles fermés de E
.. tels que E = AuB.
On considère deux applications f et g continues respectivement de (A, d),
dans (E', d') et de (B, d) dans (E', d'), où (E', d') est un espace métrique,
telles que f(x) = g(x) pour tout xEAnB.
On définit alors sur E l'application h suivante:
h · E E' , X E A, h(x) = f(x),
· X E B, h(x) = g(x).
1 ° X étant un ensemble quelconque de E, on pose
Xl = XnA, X 2 = XnB.
3.1.8.
..
3.1.9.
..
3.TI.t.
..
3.TI.2.
..
Montrer que l'on a
Xl cA, X 2 cB
et
h(X) = f(X l )ug(X 2 ).
2° Déduire du résultat précédent que h est une fonction continue de E
dans E'. (On pourra utiliser la propriété énoncée dans l'exercice 3.1.6.)
Prolongement des égalités.
f et g sont deux applications continues d'un espace métrique (E, d) dans
un autre (E', d').
1° Démontrer que l'ensemble A des points x tels que f(x) = g(x) est
fermé dans E.
2° Établir que si f(x) = g(x) pour tout x d'un sous-ensemble B dense
dans E, alors f = g.
Prolongement des inégalités.
f et g sont deux applications continues d'un espace métrique (E, d) dans
la droite réelle achevée IR.
1° Démontrer que l'ensemble A des points x tels quef(x)<:,g(x) est fermé
dans E.
2° En déduire que si f(x) g(x) pour tout x d'un sous-ensemble B dense
dans E, alors f(x)<:,g(x) pour tout x E E.
A étant une partie d'un espace métrique (E, d), démontrer que, pour tout
couple (x, y) de points de E on a
Id(x, A) - d(y, A) 1 <:,d(x, y).
En déduire que l'application x d(x, A) est uniformément continue
sur (E, d).
Soit Fl et F 2 deux fermés disjoints d'un espace métrique (E, d). On
considère (cf. exercice 3.11.1.) les ouverts suivants:
0 1 = {x E E; d(x, F l ) < d(x, F 2 )}
et O 2 = {x E E; d(x, F l ) > d(x, F 2 )}.
82
3.11.3.
..
3.11.4.
..
APPLICATIONS CONTINUES
Démontrer que 0 1 et O 2 sont des ouverts disjoints et que
0 1 =>F l et O 2 =>F 2 .
1 ° Soit (E, d') et (F, £5) deux espaces métriques, où d'est la distance
triviale définie par
d'ex, x) = 0 et d'ex, y) = 1 pour y =f. x.
a) Montrer que toute application f: E F est uniformément continue.
b) E est-il compact?
c) E est-il complet?
2° Dans cette question, on désigne par E le sous-ensemble de IR2 défini
par
E = (x, y); x = et y = !, où n et m E IN*.
E est muni de la distance naturelle de IR2 qui sera notée d.
Dans E on désigne par Be(a) [resp. B (a)] la boule ouverte de centre a
et de rayon e positif pour la distance d [ resp. pOlir la distance d' J.
a) Montrer que
Ye> 0 : 3a(e, a» 0; Be(a) =>B (a)
et Ye> 0 : 3f3(e, a» 0; B;(a) =>BfJ(a)
En déduire que d et d'engendrent la même famille d'ouverts. (Oll rappelle
que d et d' sont alors dites équivalentes.)
b) (E, d) est-il complet? Comparer ce résultat avec celui de la question 1 0, c.
3° a) Dans cette question, E désigne le sous-ensemble de IR2 défini par
E= !(X,y); x= et y= !U{(O,O)}.
Les distances d et d' sont-elles équivalentes?
b) Toute application f : (E, d) IR (muni de la distance naturelle)
est-elle continue sur E?
c) En utilisant la question 1°, a) retrouver le a) de la question 3°.
Prolongement uniformément continu d'une application.
Soit (E, d) et (E', d') deux espaces métriques. L'espace (E',d') est supposé
complet.
Soit F un sous-ensemble dense de E et f une application de F dans E'
supposée uniformément continue sur (F, d).
1 ° Montrer que pour toute suite de Cauchy {an} de F, {f(a,J} est une
suite de Cauchy de E'.
,..,
2° Montrer que f se prolonge de façon unique en une application f de E
dans E', uniformément continue sur E.
[Pour x E E, 3x n -+x, avec xnEF, et l'on justifiera la définition
i : x f(x) = lim f(x,J.]
n-. + co
3.TI.S.
...
3.TI.6.
..
3.rn.1.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 3
83
Applications contractantes.
Une application f d'un espace métrique (E, d) dans lui-même est dite
contractante de rapport k s'il existe une constante k vérifiant O k < 1
telle que
\Ix, yE E : d[f(x), f(y)] < kd(x, y).
Dans tout ce qui suit on suppose (E, d) complet.
lOf est une application contractante; démontrer que si f possède un
point fixe a [c'est-à-dire tel que f(a) = a], alors ce point est unique.
2° Soit Xo quelconque, Xo E E et la suite {x n } définie par x n + 1 = f(x n ),
n = 0, 1, 2, ..., où f est supposée contractante.
Montrer que {x n } est convergente vers un point a et que
k n
d(a, xJ< 1- k d(X1' xo).
En déduire que toute application contractante dans un espace métrique
complet admet un point fixe et un seul.
3 0 Soit {fn} une suite d'applications contractantes de même rapport k
de E dans lui-même et {an} la suite des points fixes correspondants. Montrer
que si la suite {fn} converge simplement dans E vers une application f
contractante de rapport k alors la suite {an} converge vers le point fixe a
de f.
4° Soit f une application continue de E dans lui-même telle que fr soit
une application contractante dans E, r étant un entier fixé. Établir que f
possède un point fixe et un seul.
(fr signifie: f puissance r au sens de la composition des applications.)
Soit E un ensemble dénombrable dont les points sont notés am n = 1, 2, ...
On munit E d'une distance en posant
1 1
d(a p , a p ) = 0 et d(a p , a q ) = 1+ - + -, si p =f. q.
p q
1 ° Vérifier que d est bien une distance et que E muni de cette distance
est complet.
2° Soit f !' application de E dans E telle que f(a p ) = a p + 1.
Montrer que f diminue strictement les distances et que cependant f n'a
aucun point fixe.
Exemple de fonction continue strictement croissante et dont la fonction
réciproque n'est pas continue.
Soit
E= [-2, -l[u{O}u] +1, +2]
et
F=[-l,l]
considérés comme sous-espaces relatifs de IR (muni de la distance natu-
relie) et f l'application de E sur F définie par
f(X) = x+1, pour XE [-2, -1[,
f: x f(x) f(x) = 0, pour x = 0,
,f(x) = x-l, pour XE ]1, 2].
84
3.ill.2.
.
APPLICATIONS CONTINUES
a) Montrer que f est continue.
b) Montrer que f est bijective.
c) Montrer que /-1 n'est pas continue.
Exemple simple d'application bijective continue qui n'est pas un homéo-
morphisme.
On munit IRn de la distance naturelle d,
d(x,y) = Vi 1IXi-YiI2, si x = (Xl' ..., X n ) et y = (Yb ...,y,,),
et de la distance triviale b,
b(x, y) = 0, si x = y,
b(x, y) = 1, si x =f. y.
Montrer que ['application canonique qJ: x 1-+ qJ(x) = x de (/Rn, b) sur
(/Rn, d) est uniformément continue sur IRn.
Montrer que qJ-l n'est continue en aucun point de IRn.
SOLUTIONS
3.1.1.
a) Soit a un élément quelconque de E. Puisque /, considérée comme application
de E dans F, est supposée continue, il existe une boule Ba(e,a) ta) telle que
(1) f[Ba(a)] e: B e[f(a)].
Désignons par B [f'(a)] la boule du sous-espace relatif f(E) (de F) qui a pour centre
f(a) et pour rayon G :
B (f(a)) = {x E f(E); c5(x, f(a)) < 8} = B e(J(a))nf(E).
On a évidemment f(Ba(a))e:f(E), donc, compte tenu de (1), on obtient
(2) f(Ba(a))e: B (f(a))nf(E) = B:(J(a)).
La relation (2) exprime la continuité en a de la fonction f, considérée comme
application de E sur le sous-espace relatif f(E).
Plus généralement, on peut montrer que f, considérée comme application de E
dans B (f(E)e: Be: F), est continue.
Autre méthode. - Désignons par OF un ouvert quelconque de F. On sait que
jcontinue sur E <=> f- 1 (OF) ouvert de E.
Soit A un sous-espace quelconque de F contenant f(E) et 0.11 un ouvert de A.
Il existe OF tel que 0.11 = 0FnA et tel que /- 1 (0.11) = f- 1 (OF) (puisque A f(E)),
donc f- l (0.A) est un ouvert de E et, par suite, /, considérée comme application de E
dans A, est continue.
Ceci est vrai, en particulier, pour l'application surjective
f : E f(E).
b) Première méthode. - Soit a E A et B;(a) la boule du sous-espace relatif A
qui est de centre a et de rayon a, on a
B;(a) = {x E A; d(a, x) <a} = B a (a)nAe:B(1.(a).
Puisque 1 (considérée comme application de E dans F) est continue en a, on a 1a
relation (1) et, par suite, la relation suivante :
f(B (a))e: f(Ba.(a))e: Be(f(a)),
ou encore, puisque 1.A(x) = f(x), \Ix E A,
(3) IA(B;(a)) = f(B;(a))e:Be(J.A(a)).
La relation (3) exprime la continuité de fA. en a E A.
86
APPLICATIONS CONTINUES
Deuxième méthode. - Soit i (injection canonique) : A 1-+ E qui a x E A fait corres-
pondre i(x) E E. Il est clair que i est continue, puisque
i(B (a)) = Be(a)nAc:Be(a).
Or fA = / 0 i, donc fA.' qui est la composée de deux fonctions continues, est continue.
Troisième méthode. - Désignons par OE (resp. OF ou 0 A) un ouvert de E (resp. F
ou A). Conune précédemment, on peut remarquer que
f continue sur E <=> f- l (OF) ouvert de E.
Or .fi 1(0[<") = f-l(OF)nA, donc fA 1 (OF) est la restriction a A d'un ouvert de E,
c'est-a-dire un ouvert de A.
Il en résulte que fA est bien continue sur A.
3.1.2.
Exprimons que / est continue sur E, muni de la métrique d.
Soit a un élément quelconque de E. L'application f est continue en a, donc
\f 8> 0, 3a(8, a) tel que f[Bcx(a)] c: B e(f(a)),
où
Bcx(a) = {x E E;
d(a, x) <a}.
Soit B;(a)={xEE;d'(a,x)<p}. On a évidemment
B cx(a) = {x E E; d' (a, x) <ka} c: {x E E; d(a, x) <a} = Bcx(a).
Donc
f[B cx(a)] c:f[B [f(a)]] c: B e[f(a)],
d'où l'on déduit la continuité de/en a lorsque E est muni de la métrique d'.
3.1.3.
1 0 Il suffit de revenir a la définition de la continuité.
En choisissant a< 1, on voit que
B:(xo) = {xo} et, par suite, f[B (xo)] = {f(xo)} c: B '[f(xo)],
en notant Bd et Bd' les boules ouvertes respectivement dans (E, d) et (E', d'); donc
'if &> 0, 3a: : fIB (xo)] c B ,[f(xo)] (par exemple, a: = D.
Toutes les applications f de E dans E' sont donc continues.
SOLUTIONS
87
2° a) La démonstration est analogue a la précédente.
Remarque. - Toute application, f: 7L IR, peut être considérée comme la res-
triction a 7L d'une application continue g : IR IR. De l'exercice 3.1.1., b, on déduit
alors que f est continue.
...
_1
.2, x
b) Il faut établir que les topologies associées sont identiques, c'est-a-dire : toute
boule ouverte Bd de (7L, d) contient une boule ouverte B{) de (7L, £5), et réciproquement.
Or,
Bt(n) :::>Bt(n) = {n}
et
B2(n):::>B (n) = {n},
les topologies définies sur 7L par d et b sont identiques. Donc,
f: (7L, d) (E', d') continue <=> f: (7L, £5) (E', d') continue.
Toute application de 7L dans IR est continue pour 7L muni de la distance d; elle
est donc aussi continue pour 7L muni de la distance £5.
3.1.4.
Supposons qu'il existe une bijection f continue de IR sur IRo.
Alors, d'une part,
f(x) = f(y) <=> x = y
et d'autre part, pour x fixé,
V8>O,3p>O : Ix-YI<p => do(f(x),f(y)) <8.
En particulier, il existe donc CI. > 0 tel que
(1)
Ix- yi <CI. => do(f(x),f(y)) < 1 => do(f(x),f(y)) = 0 <=> f(x) = f(y) <=> y = x.
Si l'on choisit y = x + , on voit immédiatement la contradiction [(puisque (1)
est satisfait et qu'alors y = x, ce qui n'est pas).
Il y a donc impossibilité pour une bijection de IR sur IRQ d'être continue. C'est le
gS
APPLICATIONS CONTINUES
cas pour l'application canonique f(x) = x. Cet exercice montre un aspect réciproque
du résultat de la question Iode l'exercice précédent 3.1.3.
Pour toutes les applications de IRo sur IR il Y a continuité et, en particulier, pour
toutes les bijections alors que réciproquement aucune bijection de IR sur IRo n'est
continue. On voit ainsi apparaître concrètement comment la notion de continuité
est liée aux topologies placées sur les espaces considérés et la nécessité de pouvoir
comparer les topologies. La topologie définie par la distance do est une topologie
en quelque sorte extrémale.
Ces notions seront approfondies et développées dans les cours de topologie générale.
3.1.5.
f continue sur (H, d') <=> 'le> 0, 3p' : f(B;, (xo))c.B l ,e(f(xO)).
Or l'inégalité d'(x, y) ad(x, y) entraîne que la boule ouverte Bp, (xo) de (V,d) est
a
incluse dans B;,(xo), lorsque Xo E V; donc
j(B (xo))c.f(B;,(xo))c.f(B;,(xo))c. BI e(f(xo)) = Bl e(!(XO)).
a "
Alors,
'v'e>0,3p>0 : f(B p (xo))c.B 1 ,e(f(xo)),
autrement dit, la restriction de f a Vest continue sur (V, d).
3.1.6.
1 0 Supposons f continue de E dans E'. Montrons que l'on a f(A.)c. f(A) , quel que
soit Ac.E.
Soit Xo E A, alors,
Vp>O, AnBp(xo) =f. 0.
f étant continue au point Xo on a, en posant yo = f(xo),
Vp'>O, 3p>0 tel que f(Bp(xo))c.B;,(yo);
donc
f(A)nB;,(yo) => f(A)nf(Bp(xo)) => f(AnB p(xo)).
Par suite,
V'p'> 0,
f(A)nB;{yo) =f. 0,
ce qui revient a dire Yo E j{A) . Donc f(xo) E f(A), VXo E .1, soit f(A)c. f(A) .
SOLUTIONS
89
2° Réciproquement, supposons que f(A)c f(A), VAcE et montrons que f est
continue. Nous allons établir que l'image réciproque de tout fermé X de E est fermee.
Soit
Y=f-1(X), YcE
donc f(Y)c f(Y) = f[f-l(X)]CX.
Alors f(Y)cX, puisque X = X; ceci entraine que l'on a f c f-1(X) = donc
y est fermé.
3.1.7.
1° Soit Xl = XnA et X 2 = XnB, alors X= X 1 UX 2 , pUIsque AuB = E, et
(1) X = X I UX 2 .
Puisque A est fermé, Xl cA=> Xl C A = A, ainsi Xl c A et de même X 2 c B.
Donc
(2)
h(X l ) = f(X 1 ) et h(X 2 ) = g(X 2 ),
h(X) = h(X 1 )uh(X 2 ) = f(X 1 )ug(X 2 ).
2° Puisque f et g sont continues respectivement sur A et B et que Xl c A et X 2 c B,
on a (voir exercice 3.1.6.)
f(X 1 )c f(X 1 )
et
g(X 2 )cg(X 2 ),
donc
f(X 1 )ug(X 2 )cf(X 1 ) u g(X 2 ) = h(X l ) u h(X 2 ),
alors
!(X l )Ug(X 2 )ch(X l )uh(X 2 ) = h(X 1 UX 2 ) = h(X) .
On déduit alors de (2) que h(X)ch(X), d'où la continuité de h sur E.
Remarque. - La condition f(x) = g(x), \Ix E AnB, intervient uniquement pour que
la définition de h ait un sens, mais elle n'est plus utilisée par la suite. LorsqueAnB= 0,
la propriété de h est immédiate.
3.1.8.
1 ° Il suffit de montrer que l'ensemble CA des points tels quef(x) =f. g(x) est ouvert
dans E.
Soit
Xo E CA, ce qui nécessitef(xo) =f. g (xo).
Posons
a = d'[f(xo), g (xo)].
90
APPLICATIONS CONTINUES
Remarquons que l'on a toujours
(1) a d'[f(x),f(xo)]+d'[f(x), g(x)]+d'[g(x), g(xo)].
Puisque f est continue en Xo, il existe une boule Bp! (xo) telle que
x E BfJ1(xo) => f(x) E B'-:.(f(xo)).
De même, puisque g est continue en Xo, il existe une boule B p2 (xo) telle que
x E Bpixo) => g(x) E B' (g(xo)).
Soit
P = inf (Pl' P2),
alors
x E Bp(xo) =>
, a
d [f(x), f(xo)] < 4'
, a
d [g(x), g(xo)] < 4'
donc, d'après (1),
X E Bp(xo) => a +d'[f(x), g(x»),
soit
d'[f(x), g(x») ;, 'r/x E Bixo).
Il existe donc bien une boule ouverte de centre Xo telle que l'on ait pour tous ses
pointsf(x) "# g(x). Donc, CA est un ouvert de E. Autrement dit, A = {x;f(x) = g(x)}
est ferme dans E.
En particulier, l'ensemble des zeros d'une fonction continue à valeurs dans IRn
ou (En est un ensemble fermé.
2° L'ensemble A des points x tels quef(x) = g(x) est fermé dans E. Donc, BeA et
E = BeA = A et, par suite, A = E, donc f(x) = g(x), 'r/xEE.
3.1.9.
1° Comme dans l'exercice precédent, on va montrer que l'ensemble CA des x tels
que f(x) > g(x) est ouvert dans E.
Soit Xo E CA, alors f(xo) > g(xo), il existe donc a E IR, tel que f(xo) > a> g (xo).
Puisque g est continue, l'image reciproque par g de l'ouvert ]- 00, a[ est un
ouvert 0 1 qui contient Xo, de même l'image réciproque par f de l'ouvert ]a, + oo[
est un ouvert O 2 qui contient Xo; donc 0 1 (")0 2 est un ouvert qui contient Xo, et
pour tout x appartenant a 0 1 (")0 2 on a, simultanement,
g(x)<a et !(x»a.
SOLUTIONS
91
Nous avons trouve un ouvert 0 contenant Xo tel que
't/x E 0, g(x) <f(x),
donc CA est ouvert et A est fermé.
2° Si l'on af(x) g(x), 't/x E B, et si B est dense dans E, on a BeA, où A est
l'ensemble des points tels que f(x) g(x).
Mais A est fermé d'après la question 1°, donc E = BeA = A et, par suite, A = E.
3.11.1.
Soit Z E A, alors
d(x, z) d(x, y)+d(y, z)
entraîne a fortiori
d(x, A) d(x, y)+d(y, z), 't/zEA,
d'où
d(x, A) d(x, y)+d(y, A).
En echangeant le rôle de x et de y, on obtient
deY, A) d(x, y)+d(x, A),
donc
(1)
Id(x, A)-d(y, A)I d(x, y).
Il resulte de cette inegalite que
't/e>0,3'1>0 : 't/x' et x" E E, d(x', x") <'1 => Jd(x', A)-d(x", A)\ <e,
ce qui traduit l'uniforme continuite de x 1---+ d(x, A) sur (E, d).
3.11.2.
L'application x 1---+ d(x, A), où A est un sous-ensemble quelconque de E est unifor-
mement continue sur E (exercice 3.11.1.).
L'application x 1---+ d(x, F l )-d(x, F 2 ) est donc a fortiori continue sur E.
Les images reciproques des ouverts ]- 00, O[ et ]0, + oo[ sont alors des ouverts
de E. Ceci etablit que 0 1 et O 2 sont des ouverts. Les ouverts 0 1 et O 2 sont disjoints
puisque l'on ne peut avoir a la fois
d(x, FI) <d(x, F 2 ) et d(x, F l »d(x, F 2 ).
92
APPLICATIONS CONTINUES
Montrons que 0 1 -:=>F l . Soit Xo E FI' alors d(xo, FI) = 0, mais
F l nF 2 = 0 => d(xo, F 2 » 0
[car
d(x l , F 2 ) = 0 <=> x E F 2 = F 2 ,
ce qui n'est pas].
Donc
d(xo, FI) <d(xo, F 2 ),
soit
Xo E 0 1 .
Ainsi, on a F l cO l et de même F 2 c0 2 .
3.11.3.
1° a) Dans E, on a, évidemment, Bt(a) = {a}, donc
/[Bf(a)] = {/(a)} c B El/(a))
et, par suite, / est bien uniformement continue sur (E, d')
1
ct( e, a) = 2.
b) {a} = Bf(a) est un ouvert donc u{a} est un recouvrement ouvert de E.
aeE
Si E est compact, on peut alors extraire un recouvrement fini, donc, necessairement,
E doit être constitue d'un nombre fini d'élements.
En resume,
- E n'est pas compact lorsqu'il possède une infinite d'elements distincts,
- E est compact, par definition, lorsqu'il est constitue par un nombre fini d'ele-
ments.
c) E complet <=> toute suite de Cauchy est convergente.
Soit {xn} =O une suite de Cauchy.
'1e>0,3N(e) tel que n et m N(e) => d'(xn, x,,;)<e.
Pour = e < 1, on a, necessairement,
x m = X n ,
Vn et m N(e),
donc, en particulier,
X n = x N ,
Vn N(e).
La suite de Cauchy est donc stationnaire et, par suite, convergente.
2° a) Demontrons les deux inclusions indiquees dans le texte.
Nous avons
BE;(a)-:=>B't(a)
Bi(a) = {a}
(tl(8, a) = ),
et, par suite,
SOLUTIONS
.,
puis, en considerant
a = ( !, )
no mo
et
1 j 1 1 1 1 !
p=-Inf -- --
2 no no+1'mo mo+1'
on a
Bp(a) = {x E E; d(x, a)<p} = {a}
et, par suite,
B (a) =>Bp(a).
Designons par 0 (resp. 0') l'ensemble des ouverts de E pour la métrique d (resp. d').
Soit 0 EO et a un point quelconque de o. L'ensemble 0 etant un ouvert de (E, d),
il doit contenir non seulement a mais une certaine boule ouverte de centre a :
O=>Bto(a),
ce qui entraîne
O=>B (to,a)(a).
Pour chaque a E 0, 0 contient non seulement a, mais une boule ouverte de centre a
pour la metrique d', ceci implique que 0 est un ouvert pour la métrique d'et, par
suite, 0 E 0'.
En résumé, OcO'.
Par un raisonnement analogue, on démontre l'inclusion 0' cO et, par suite, l'egalite
0=0'.
Les métriques d et d' sont bien equivalentes.
b) Un = ( , ) est une suite de Cauchy dans (E, d), non convergente dans E
(un -+ (0, 0) ft E). Donc (E, d) n'est pas complet.
Remarque. - Les distances d et d' sont donc equivalentes mais, pas uniformement
équivalentes : (E, d') complet, (E, d) n'est pas complet.
3° a) L'ensemble {(O,O)} est un ouvert de (E, d'), puisque Bi[(O,O)] = {(O, O)}.
Est-ce un ouvert de (E, d)? Si oui,
380> 0 tel que {(O, O)} => B to[(O, 0)],
c'est -a-dire
B to[(O, 0)] = {(O, O)}.
Propriete evidemment fausse, puisque
( !, ! ) EB to[(O, 0)],
no no
(si l'on choisit no = L:lJ + 1).
En résumé, {(O, O)} appartient a 0' et n'appartient pas a O. Donc 0' "# 0 et, par
suite, d et d' ne sont pas équivalentes.
En fait, on peut verifier aisement l'inclusion stricte suivante
OcO' (0' = Ou{(O, O)}).
La topologie definie par d'est dite plus fine que celle definie par d.
94
APPLICATIONS CONTINUES
b) Soit 10 : (E, d) H- IR, définie par
l' . l' ( ) _ \ n+ m pour a = ( !, ) ,
JO · a H- JO a -) n m
0 pour a = (0, 0).
Supposons 1 continue à l'origine:
¥ 8> 0, 3 a[8, (0, 0)] tel que
lo(Ba.[(O, O)])cBt[(O, 0)] = ]-8, 8[,
avec
Ba.[(O, 0)] 3 ( !, ! ) ,
nI nI
où
ni = [1]+1,
donc
lo ( , ! ) E ]- 8, 8[,
nI nI
ou encore
2nl E ]- 8, 8[.
Resultat evidemment faux, donc 10 ne peut être continue au point (0, 0).
c) Soit E un ensemble muni de deux distances d et d' telles que d soit équi-
valente à d'.
Soit une application 1 : EH- (F, b). On a alors.
1 continue en a pour la metrique d<=>I continue en a pour la metrique d'.
De la question 1 0, a, on deduit que 10 est continue sur (E, d').
En particulier, 10 est continue au point (0, 0) pour la metrique d'. N'etant pas
continue en ce point pour la metrique d (cf. 3°, a), on ne peut avoir d et d'équivalentes.
3.11.4.
1 ° La continuite uniforme de 1 sur F permet d'écrire
¥8>0,3'1£>0 tel que d(a n , am) 11£ d'(/(a,J,/(am)) 8.
La suite {an} étant une suite de Cauchy
3N,, tel que m et n N"t => d(a n , am) YJt
et) par suite,
d'[/(a n ), I(a m )] 8.
-
2° a) Définition de f.
Soit xEE, puisque l'on a F = E, il existe une suite {x n }, X n E F, convergeant ve!s x.
La suite {xn} étant convergente, est necessairement de Cauchy et, par suite, {f(x n ) j est
une suite de Cauchy dans E' (d'après la question 1°). Mais E' est complet, donc
{f(x,J} converge dans E' vers une limite 1.
En résumé, {xn} convergeant vers x implique que {f(x n )} converge vers l(x).
Montrons que l(x) est indépendant du choix de la suite {x n } convergeant vers x.
,. Soit {x } une autre suite convergeant vers x, x E F, alors {/(x )} converge vers l'.
Etablissons que l' = l. La fonction f etant uniformément continue sur F
¥8>0,311t>0 tel que d(x m x ) YJ£ => d'(f(x'I),/(x )) 8.
SOLUTIONS
95
Or, {x n} et {x } convergent vers x, donc
3N l (YJJ tel que n Nl => d(xn, x ) '1e
[écrire d(x n , x ) d(xm x)+d(x , x)]
et, par suite,
(1)
n Nl('1t) => d'[f(xn),f(x;J] e.
Exprimons n1aintenant que f(xn) a pour limite 1 et f(x ) a pour limite 1'.
(2) 't/e>0,3N 2 (e) tel que n N2 => d'(f(x,J, I] e,
(3) 'Ve>0,3N 3 (e) tel que n N3 => d'[f(x ), l'] e.
Pour n sup (NI' N 2 , N 3 ), on deduit de (1), (2) et (3)
d'(/, 1') d'(I,f(xn))+d'{f(x,J,f(x ))+d'(f(x ), 1') 3e
et, puisque e est arbitraire, necessairement d' (l, l') = 0 et 1 = l'.
On considère maintenant la fonction f-definie sur E de la manière suivante :
- -
f: x f(x) = lim f(x n )
(où X n E F).
Xn X
-
b) f est un prolongement de f.
En effet, pour XEF on peut considérer la suite stationnaire
-
{x n }, avec X n = x et l'on a f(x) = limf(x n ) = f(x).
Xn-)oX
c) i est uniformément continue sur E.
Soit x et y deux éléments de E tels que
x = lim X n et y = lim Ym
où X n et Yn E F. Alors
-
limf(x,J = f(x)
et
limf(yn) = f(y),
c'est-a-dire
(4)
(5)
'Ve>0,3N l
'Ve>O,3N 2
tel que
tel que
n Nl => d'[f(xn),f(x)] e,
n N2 => d'[f(yn),l(y)] e.
De plus, f etant uniformement continue sur F, on sait que
(6) 'Ve>O, 311 £ tel que d(x n , Y,J yJ £ => d'[f(x,J,f(y,J] e.
Pour n assez grand, n N3' on a
(7) d(x no Yn)<;'d(x no x)+d(x, y)+d(y, y,,)<;' . +d(x, y)+ . .
Pour n sup (NI' N 2 , N 3 ) on a, alors d'après (7), puis (6),
(8) d(x, y)<;' . d(x no Y,,)<;''1. d'lf(x,,),f(Yn)]<;'B,
96
APPLICATIONS CONTINUES
Or
d'r](x), j(y)] <::d' [(x), f(x,J] + d'[(x n ), f(Yn)] + d'[f(Yn), f{y)]
donc [voir (4), (5) et (8)]
11 --
d(x, y)<:: 3£ => d'[f(x),f(y)]<::3e,
-
propriété qui exprime la continuité uniforme de f sur E.
d) Unicité.
Soit h et h deux fonctions continues qui coïncident avecfsur F. Pour XE E, 3{x n },
x n E F, avec lim x n = x. En raison de la continuite des applications 11 et 12 au
point x, on a
limh(x,J = limf(x,J = h(x)
et
limf;(x n ) = limf(x n ) = f;(x),
d'où necessairement JI (x) = h(x) et par suite l'unicite.
3.11.5.
1 0 Supposons qu'il existe deux points fixes a et b, alors
d[f(a),f(b)] = d(a, b)<::kd(a, b),
par hypothèse; mais O<::k< 1, donc
d(a, b) = 0 a = b,
d'où l'unicité.
2 0 Pour tout n>O, on a
d(x n + 1, X,J = d(f(x n ), f(Xn_l) kd(xn' X n _l),
donc
d(X n +l' x,J<::k n d(Xl' XO)
'Vp et q E IN*, on a, par suite,
d(x q , x p )<::(fél- l +k q - 2 + ...+k P )d(Xl' xo), p<::q,
soit
(1)
k P
d(xq, x p )<:: 1_ k d (Xl, xo).
Puisque O k< 1, cette inegalite montre que la suite {xn} est une suite de Cauchy
dans E complet. Donc {xn} converge vers un point a de E. Par passage a la limite
(q-+ 00) on de duit de (1) la relation
k P
(2) d(a, x p ) <:: 1- k d(x l' Xo).
La relation x n + 1 = f(xn) permet aussi d'ecrire par passage a la limite a = f(a).,
SOLUTIONS
97
puisque 1 est necessairement continue sur E, d'où l'existence d'un point fixe, unique
d'après la question 1°.
On remarquera l'importance de la condition suivante :
il existe kE[O, 1[
(cf. exercice 3.11.6.).
3° L'inegalite (2) écrite pour p = 0 et pour chacune des applications ln donne
1
d(a n , xo) 1_ k d (ln(xo), xo).
Posons Xo = a alors f(a) = a, donc
1
d(a n , a) 1 k d[fn(a), f(a)];
mais d[fn(a), f(a)] tend vers 0 avec!, en vertu de la convergence simple, donc d(a m a)
n
tend vers 0 avec et ceci établit la convergence de {an} vers a.
4° D'après la question 2°, fr possède un point fixe a, et un seul, et l'on a
a = lim [(fr)n(f(xo))], Xo quelconque et xoEE,
n-)ooo
d'où
a = lim [f(fr)n](xo),
n-)ooo
ou
a = f[lim (f'"}n(xo)], puisque f est continue,
n-)o 00
et enfin
a = f(a).
Alors, a est point fixe de l'application f. Un tel point fixe est unique car s'il en
existait un second, il serait aussi point fixe de Ir, ce qui est impossible d'après le
résultat de la question 2°.
3.11.6.
1 ° d(x, y) = 0 <=> x = y;
d(x, y) = dey, x), cette égalité est evidente;
1 1 1 1 2
d(a p , aq) d(ap, ar)+d(a r , a q ), puisque 1+ - + - 2+ - + - +-.
p q p q r
Soit {am} une suite de Cauchy de (E, d), alors
\/e>0,3N e tel que m, m' N£ => d(a m , am,) e.
Les seules suites de Cauchy sont donc les suites stationnaires puisque
m '# m' => d(a m , Clm» 1
98
APPLICATIONS CONTINUES
est en contradiction avec la définition pour B < 1. Or, les suites stationnaires sont
évidemment convergentes; donc (E, tl) est complet.
1 1 1 1
d(J(ap),f(a q ) = d(a p +l' a q +l) = 1 + p+ 1 + q+ 1 < 1 + P + q'
d(f(a p ), f(a q )) <d(a p , a q );
2°
donc
f est bien une application qui dimin ue strictement les distances et qui ne possède
aucun point fixe par construction même.
3.rn.1.
a) Première méthode.
Soit g : IR IR, definie par
! x+l pour x<-2,
xHg(X) = 0 pour -2 x 2,
x-l pour x> 2.
Il est clair que g est continue sur IR, donc sa restriction gE au sous-espace E
(gE : E IR) est continue (voir la question b de l'exercice 3.1.1.).
L'application gE : EH gE(E) = F est aussi continue (voir la question a de l'exer-
cice 3.1.1.); doncf= gE est continue sur E.
Deuxième méthode. - Montrons, par exemple, que f est continue au point O.
Pour cela, désignons par Bi(a) [resp. B:*(a)] la boule dans E (resp. F) de centre a
et de rayon e.
On a
B:*(f(O)) = {xEF; Ix-f(O)I<e} = ]-e, e[, si e<1
2-
: 0 1 2. x
1
1
--------- _1
et
Bt(O) = ! xeE; Ix-Ol < 1 = {O}.
Donc
Graphe de :/
f(B (O))c B:*(f(O))
(a(8,O) = )
et, par suite, f est bien continue en O.
De même, on établit la continuite en 1 et - 1,
puis de manière classique la continuite en tout
point des ouverts ]- 2, -l[ et ]1, 2[.
b) L'application f de E sur f(E) = F est stric-
tement croissante, donc bijective.
c) f- 1 : F E est définie par
! x+ 1 pour x E ]0, 1],
x H- f-l(X) = 0 pour x = 0,
x-l pour x E [-1, 0[.
Il est clair que f- l n'est pas continue en x = O.
'1
1 x
Graphe de f-1
SOLUTIONS
99
3.DI.2.
1
a) Pour p<l, B$(a) = {x; £5(x, a)<p} = {a}, donc ¥B>O, avec lX = 2' on aura
q>(Bi(a»c:B (q>(a», 0(( = ) étant indépendant de a E /Rn, la fonction q> est donc
uniformément continue sur /R".
b) Supposons cp - 1 continue en un point a.
'le> 0, 3œ(e, a) tel que cp-l(B (a))cB (a),
ou encore, cp-l etant l'application canonique
B (a) = {x; d(a, x)<œ}cB (a) = {a}, pour e<l.
Mais cette inclusion est impossible, puisque si l'on a
œ
a = (al' a2, ..., a,J, x = al' ..., an_l' a n + 2. '# a alors x E B (a).
La fonction cp-l ne peut donc être continue en aucun point de /R".
Remarque. - Nous avons ici un exemple d'application bijective continue, qUI
n'est pas un homéomorphisme.
--""
M.P.2
4. ESPACES VECTORIELS NORMÉS
ESPACES DE BANACH - J: c (E,F)
ESPACES DE HILBERT
Dans ce chapitre, E désigne un espace vectoriel défini sur IK = IR ou C.
1. - ESPACES VECTORIELS NORMÉS (E.V.N.).
1 0 Norme. - Une norme est une application de E dans IR+ qui associe à
tout vecteur X de E un nombre réel positif ou nul noté IIXII, les trois axiomes
suivants étant satisfaits :
1. IIXII = 0 <=> X = 0;
2. Il AX Il = 1 A! Il X Il, A E IR (ou (C) ;
3. IIX + YII IIXII + Il YII.
L?rsque 1 est remplacé par 1': X = 0 => IIXil = 0, on dit qu'il s'agit d'une
seml-norme.
Exemples:
a) IRn (resp. (Cn) est un espace vectoriel sur IR (resp. (C) lorsqu'il est muni
des lois suivantes :
x = (Xl' ..., X n ) l
y = (y l' ..., y n)
j
X + y = (Xl + Yl, ..., X n + Yn), Xi et yjeIR(resp. (C);
x = (X l' ..., x n )
A eIR(resp. C)
ÂX=(AXl,...,AX n ).
On peut alors poser
Ilxll = VJ11xilZ
et l'on définit ainsi une norme sur IRn (resp. (Cn).
102
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
On peut aussi définir les normes suivantes :
Il XII 00 = SUp IXil
i = 1,...,11
et
11
IIXII1 = L IXil.
i=!
b) Soit $(E, IR) l'espace vectoriel sur IR des fonctions définies sur E, à
valeurs dans IR, et qui sont bornées sur E. L'application
1 11/11 = sup 1 I(x) 1
xeE
est une norme sur $(E, IR) qui est ainsi un E.V.N.
2° Normes équivalentes. - Deux normes Il.111 et 1\.1\2 définies sur E sont
dites équivalentes lorsqu'il existe deux constantes A. et Jl strictement positives
telles que l'on a
JlIIXll 1 iIXli2 ÀIIXiI1' VX E E.
Les trois normes ci-dessus définies sur IRlI ou fEn sont équivalentes.
Plus généralement, sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les
normes sont équivalentes.
3° Définition d'un E.V.N. - Un espace vectoriel muni d'une norme 1\.11
est appelé espace vectoriel normé (en abrégé E.V.N.). On munit un E.V.N.
d'une distance en posant
d(X, Y) = !IX - Yll.
Ainsi, on définit sur un E.V.N. une structure topologique d'espace métrique.
A deux normes équivalentes sont associées deux distances uniformément
équivalentes.
4° Produit d'E.V.N. - Soit n E.V.N., El' ..., En' définis sur IR (resp. fE).
11
L'E.V.N. E i est muni de la norme Il.lli; alors E = TI E i est un E.V.N. défini
i= 1
sur IR (resp. fE) lorsqu'on le munit des lois de compositions usuelles suivantes:
X = (Xl,...,X n ) j (X X
î = (Yi' ..., YJ 1-+ x+ y = 1 + Yi> ..., n+ YJ, X; et Yi E E;;
X = (X l' ..., X n) j " ( ., '] )
'] IR. ( ) AX = AX l' ..., II.X n ,
II. E resp. (;
et de la norme
Ilxll = V;tiiIX;li;.
On peut aussi considérer les normes équivalentes suivantes :
IIxll oo = SUp IIXiil i
i = 1,...,n
ou
11
jlxl1 1 = L IIXiii i .
i=l
ESPACE Le (E, F)
103
II. - ESPACES DE BANACH.
1 ° Espace de Banach. - Un espace de Banach ou, plus simplement, un
Banach, est un E. V.N. complet pour la distance associée à la norme.
Propriété importante. - Si E est un espace de Banach pour deux normes
Il · "1 et Il · 112 et si
VX, "X1I1 <: M IIXII2 (M étant une constante positive),
alors les deux normes sont équivalentes.
2° Produit de Banachs. - Soit n Banachs, El' ..., En' définis sur IR (resp. (C),
11
alors E = TI E i est un Banach défini sur IR (resp. C).
i=1
En bref, on dit qu'un produit de Banachs est on Banach.
Application:
IR et lE sont des Banachs, donc /Rn et (Cn sont des Banachs.
ID. - ESPACE f-c(E, F).
1° Définition. - Les espaces E et F étant deux E.V.N. définis sur le même
corps, on note f-c(E, F) l'ensemble des applications linéaires continues de E
dans F.
2° Propriétés. - On munit f-c(E, F) de la norme 111.111 suivante:
IIiLIII = sup IILXIl F = sup IILX/IF
XeE-{O} I/XIlE {X;IIXIIE=l}
[L est un élément de f-c(E, F)], d'où l'on déduit
IILXIIF Il IL III . IIXIIE.
Lorsque F = E nous avons, de plus, IllLI OL2111 IIIL1111.IIIL2111.
Théorème 4.ill.l.
i) f-c(E, F) = f-(E, F), lorsque E est de dimension finie.
ii) f-c(E, F) muni de la norme 111.111 est un Banach lorsque Eestun E.V.N.
et F un Banach.
3° Dual topologique E'. - Lorsque F = IK (corps des scalaires de E),
l'espace f-c(E, IK) est appelé duaI topologique de E, et se note E'.
D'après le théorème 4.111.1. ü) E' est un Banach.
104
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
IV. - ESPACES DE HILBERT.
1 0 Produit scalaire. - Un produit scalaire sur l'espace vectoriel E est une
application
(X, Y) <X, Y>, E xE IK,
qui satisfait aux trois axiomes suivants :
1. < X, X > 0 ; < X, X > = 0 <=> X = 0;
2. <X, y> = < Y, X> (symétrie hermitique);
3. pour Y fixé, l'application X <X, y> est linéaire.
Remarquons que, pour X fixé, l'application Y <X, y> est anti-linéaire.
Lorsque <X, y> = 0, on dit que les vecteurs X et Y sont orthogonaux.
Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est appelé prébilbertien.
Exemples d'espaces préhilbertiens:
a) On munit IRn ou fEn du produit scalaire
n
<X, y> = LXiYi, où X = (Xl' ..., X n ) et Y = (y l' ..., Yn).
i= 1
00
b) Soit 1 2 l'ensemble des suites (Xl' ..., X n , ...) vérifiant L Ix i l 2 < oo(x i E IK).
i= 1
On le munit du produit scalaire
00
<x, y> = LXiYi, où X=(Xl,...,x n ,...) et Y=(Yl,...,Yn,...).
i= 1
c) Soit C([a, b], fE) l'ensemble des applications définies, continues sur [a, b]
et à valeurs dans fE. On peut le munir du produit scalaire
<f,g> = I!(x) g(X) dX.
2 0 Norme associée au produit scalaire. - La n orme associée au produit
scalaire est la norme définie par IIXII = V <X, X>.
Un préhilbertien est donc un B.V.N.
Dans les trois exemples ci-dessus, les normes associées sont respectivement
11 x li = Vit1Ixi\Z, Il Xii =
i llxiIZ, 11/11 = I:I/(XWdX.
Inégalité de Cauchy-Schwarz:
1 < X, y> 1 Il X Il.11 YII.
ESPACES DE HILBERT
105
3° Espace de Hilbert. - Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire,
complet pour la norme associée, est appelé espace de Hilbert (ou hilbertien).
Un hilbertien est donc un Banach.
/Rn, (En, /2 sont des espaces de Hilbert. L'espace C([a, b], C) n'est pas
hilbertien.
Théorème fondamental4.IV.l.
Soit L une forme linéaire continue sur H, espace de Hilbert (L eH'). II
existe un vecteur unique YLeH tel que
j) LX = <X, Y L >, VXeH;
jj) IIIL':1 = Il YLII (11.11 désignant la nonne de H associée à <, ».
On peut donc identifier algébriquement et topologiquement H et H'.
EXERCICES DU CHAPITRE 4
4.1.1.
.
1 0 Démontrer que les applications suivantes sont des normes sur C":
n
X IIXlll = IXkl, X=(Xl'''.'X n ),
k=l
X IIXI12 = ( t I X kI 2 ) !,
k=l
X IIXllp = ( t IXkIJP ) , p l,
k=l
X IIXllco = sup IXkl.
k
[Pour les exemples 2 et 3 on pourra utiliser l'inégalité de Minkowski:
( :t (ak + bk)P ) <; ( t a ) + ( t b: )
k=l k=1 k=l
a k et b k sont des constantes positives ou nulles et p est une constante
supérieure ou égale à 1.]
2° Établir que ces normes sont équivalentes.
4.1.2. Soit {Ph} = 1 une famille finie de semi-normes sur un espace vectoriel E.
. Démontrer que
n
X p(x) = Pk(X)
k=l
et
x n(x) = sup Pk (X)
k
sont également des semi-normes sur E.
Déterminer dans fEn une famille de semi-normes telle que p et n soient
des normes.
4.1.3. 1 0 Soit E l'espace vectoriel des fonctions définies et continues sur [0, 1]
.. et à valeurs dans fE. Démontrer que les applications suivantes de E dans
IR+ sont des normes sur E:
fHllflll = J:lf(X)ldX,
fH Ilfllz = U:lf(X)l2dx)i,
( 1 1 fil co = sup If(x)!.
[0,1]
Établir que /' on a la relation suivante:
llflll <; Allfll2 <; ,ullfll oo ' A et Jl sont des constantes positives.
4.1.4.
..
4.1.5.
.
4.1.6.
.
4.1.7.
.
4.1.8.
.
4.1.9.
.
EXERCICES DU CHAPITRE 4
107
2° On considère la suite de fonctions {fn} définies sur [0, 1] par
0, pour x E [ , 1].
fn(x) = [
I-nx, pour XE o, ].
a) Calculer IIfnlll' IIf n l12 et IlfnILx).
b) En déduire que deux quelconques des trois normes 11/1111 1 , IIhal12 et
Ilfnlloo ne sont pas équivalentes.
Soit M Ull sous-espace vectoriel de E, E. V.N. sur IR ou C. A l'aide de
la relation d'équivalence
x :Jt y <=> x- y E M,
E
on définit l'espace quotient noté M .
Soit X un élément de , classe d'équivalence de x appartenant à E.
On considère les relations suivantes:
Il XII = infllyll = infllx+ull.
yeX ueM
Montrer que si M est un sous-espace fermé de E, l'application X IIXII
E
est une norme sur M .
Montrer que, dans un E. V.N., les boules ouvertes et fermées Bp(a) et
B;(a) sont des sous-ensembles convexes.
Fermeture de la boule ouverte.
Montrer que, dans un E. VoN., la fermeture d'une boule ouverte Bp(a)
est la boule fermée Bk(a) et que l'intérieur de la boule fermée B;(a) est
la boule ouverte Bp(a).
Soit C un sous-ensemble convexe d'un E. V.N.,. montrer que ë est éga-
lement un convexe.
1° Soit M un sous-espace vectoriel d'un E. V.N.,. montrer que M est
également un sous-espace vectoriel.
2° Établir que le plus petit sous-espace vectoriel fermé contenant un
sous-ensemble A de E est la fermeture du sous-espace engendré par A.
Soit E un E. VoN., Xo étant un vecteur fixé de E et a un scalaire fixé diffé-
rent de zéro,. montrer que les applications suivantes:
x xo+x et x ax
sont des homéomorphismes de E sur lui-même.
108
4.1.10.
...
4.1.11.
4.11.1.
.
4.II.2.
.
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Soit A et B deux sous-ensembles d'un espace vectoriel normé E.
On pose
A+B={x+y; xeA,yeB}.
Démontrer que /' on a les implications suivantes:
a) A ou B ouvert => (A + B) ouvert.
[On pourra remarquer que A ouvert=> A+yo ouvert, 'rIYo e E.]
b) A et B compacts => (A+B) compact.
[Utiliser, C compact <=> toute suite {Zn} = 1 à valeurs dans C admet, au
moins, une sous-suite {znp}i= 1 qui converge dans C.]
c) A compact et B fermé => (A + B) fermé.
Donner un exemple où A et B sont fermés et où (A+B) n'est pas lermé.
Soit E un E. V.N. défini sur IK = IR ou lE. On munit Ex E et Ex IK
d'une norme d'espace produit (par exemple, la somme des normes).
Montrer que
a) qJ : (x, y) x+ y, (Ex E E) est uniformément continue sur Ex E;
b) 1/1 : (x, A) Àx, (Ex IK E) est continue sur Ex IK, mais ne peut
être uniformément continue sur Ex IK ;
c) Pl : (x, y) x est uniformément continue.
C([a, b], lE) est /' espace vectoriel des applications [a, b] lE qui sont
continues sur le compact [a, b] de IR.
Montrer que C([a, b], lE) muni de la norme, Il . 1 Lx), suivante:
1IIIIco = sup If(x)l,
xe[a,b]
est un Banach.
Soit C( [ - 1, 1], IR) l'espace vectoriel des fonctions continues sur [- 1, t]
à valeurs dans IR. On le munit de la norme Il . 11 2 suivante:
il/11 2 = (I + >/(X)!2 d X P.
On considère la suite de fonctions fn définies par
0, si x E [-1, 0],
nx, si xe ]0, ],
1, si x EH, 1].
fn(x) =
Démontrer que ln est une suite de Cauchy dans C([ -1, 1], IR).
L'espace C([ -1, 1], IR) est-il complet pour la norme Il · 1 b?
4.11.3.
..
4.ll.4.
...
4.ill.l.
.
4.llI.2.
..
4.II 1.3.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 4
109
Soit 1 00 l'ensemble des suites bornées de nombres réels (ou complexes)
X={xn}T.
1 0 Montrer que 1 00 est un espace vectoriel, que IIXII = sup IX n 1 est
n
une norme sur 1 00 et que 1 00 est un espace de Banach pour cette norme.
2 0 Soit 1'8 l'ensemble de toutes les suites infinies de nombres réels (ou
complexes) convergeant vers O. Montrer que 1'8 est un sous-espace vec-
toriel fermé de 1 00 .
Soit A un ensemble quelconque, F un E. V.N. sur IR ou C. On considère
$(A, F) l'ensemble des applications bornées de A dans F, qui est un espace
vectoriel normé pour la norme Il f Il = sup Ilf(t) Il F.
teA
1 0 Montrer que si F est un Banach, il en est de même de 9) (A, F).
2° Soit E un espace métrique. On appelle Co(E, F) le sous-ensemble de
9) (E, F) formé des fonctions continues sur E. Établir que Co(E, F) est un
sous-espace fermé de 9) (E, F). En déduire que Co(E, F) est un Banach
si F l'est aussi.
Soit E un E. V.N. défini sur IK = IR ou lE. Démontrer que E est homéo-
morphe à la boule ouverte Bp(O), pour p donné positif. (On considérera
['application x 1--+ 1 x .)
+ Ixll
Soit E et F deux espaces vectoriels normés définis sur un même corps,
IK = IR ou lE. Une application linéaire f de E dans F est dite bornée,
lorsqu'il existe une constante K> 0 telle que
Ilf(x)ll p Kllxll E , \Ix E E.
Établir l'équivalence des propriétés suivantes:
i) f est bornée;
ii) f est uniformément continue sur E;
iii) f est continue sur E;
iv) f est continue en un point Xo de E.
Application bilinéaire continue.
a) Soit f une application bilinéaire de El x E 2 dans F, où El' E 2 et F
sont trois E. V.N. définis sur IK = IR ou C. Montrer que
fcontinue<:>3K tel que Ilf(xl' x2)II Kllxlll.llx211.
b) On pose
Illflli = sup Ilf(xl, x 2 )11.
Il x 1 11<1
Il x 2 11<1
Vérifier que l'on a
Ilf(xl,x2)11 Illflll.llx l ll.llx 2 11.
110
4.ID.4.
...
4.IV.l.
.
4.IV .2.
.
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
1 0 On munit en de la norme euclidienne " . 1/ et d'une autre norme p.
Montrer qu'il existe deux constantes m et M strictement positives telles
que
Xe Sl(O) = {X; IIXII = 1} => m p(X) M.
En déduire que l'on a les inégalités suivantes:
mIIXII p(X) MIIXII, 't/Xe en,
puis la propriété suivante:
« toutes les normes définies sur en sont équivalentes ».
2 0 Soit Fun E. V.N. défini sur e et muni de la norme Il . 1 !F. Montrer que
f.,c( en, F) = f.,( en, F).
Normes caractérisant un produit scalaire.
Soit E un espace vectoriel défini sur IR, muni du produit scalaire <, > et
de la norme associée Il . Il. L'espace E est donc un préhilbertien.
Exprimer < X, y> en fonction de
/lXII, Il YII et IIX + YII,
puis en fonction de
IIXII, Il YII et IIX - YII.
En déduire la relation suivante:
1
Il XII 2 + IIYI1 2 = 2(IIX+ Y1I 2 + 1 IX- YI1 2 ).
[Cette relation caractérise les normes associées à un produit scalaire.
On pose, dans ce cas
1
<X, y> = 4(IIX+ YI1 2 -IIX- YI/ 2 ).]
Normes caractérisant un produit scalaire.
Soit E un espace vectoriel défini sur e, muni du produit scalaire <, >
et de la norme associée Il. Il.
Exprimer 9te<X, y> (9te partie réelle) en fonction de
IIXII, Il YII et IIX + YII,
puis en fonction de
IIXII, Il YII et IIX - YII.
En déduire la relation suivante:
1
IIXI1 2 + IIYI1 2 = 2(IIX+ Y11 2 + IIX- YII 2 ).
[Cette relation caractérise les normes associées à un produit scalaire.
On pose, dans ce cas,
4<X, y> = IIX+YII 2 -IIX-YII 2 +iIIX+iYI!2-iIIX-iYII 2 .]
4.IV.3.
..
4.IV .4.
..
4.IV.S.
...
4.IV.6.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 4
111
Soit E un préhilbertien d fini sur IR. ou C. L'espace E est donc muni du
produit scalaire <, > et de la norme associée Il. Il.
a) Montrer que les applications suivantes:
qJx : Y <X, y> et t/Jy: X <X, Y>,
sont uniformément continues sur E.
b) On munit Ex E de la norme d'espace produit. Montrer que l'appli-
cation h: (X, Y) <X, y> est continue sur Ex E. Vérifier qu'elle ne
peut être uniformément continue sur Ex E.
Produit d'Hllberts.
Soit Hl et H 2 deux Hilberts définis sur IK = IR. ou C. On munit
H = Hl X H 2 du produit scalaire tel que
<X, y> H = <Xl' Yl> Hl + <X 2 ' Y2> H2, où X = (Xl,X 2 )et y = (YI, Y2).
Montrer que H est un Hilbert.
Plus généralement, montrer qu'un produit fini d'Hilberts est un Hilbert.
Opérateur adjoint A*.
Soit H un Hilbert, défini sur IK = IR. ou C, et A un endomorphisme
de H qui est continu (A E Cc(H) <;:> IIIA III <(0).
1 0 a) Montrer que la forme linéaire qJy : X <AX, y> est continue
(Y étant fixé).
En déduire (cf. théorème tI.IV.l.) qu'il existe un vecteur noté A* Y tel que
<AX,Y> = <X,A*Y>, VXEH.
b) Montrer que A* E Cc(H).
c) Vérifier que l'on a
(A*)* = A et
IIIA*III = IIIAIIi.
2 0 On pose H = cn. On sait qu'il est muni du produit scalaire suivant:
n
<X, y> = XiYh où X = (Xl' ..., X n ) et Y = (YI, ..., y,J.
i=1
Soit A E C c ( (En) = f.,( C"). L'endomorphisme A est alors caractérisé par
une matrice carrée À = (aij) dans la base canonique. Déterminer la
matrice À* qui caractérise A* dans cette base.
Propriétés des matrices hermitiennes et symétriques réelles.
Soit A un endomorphisme de cn caractérisé par la matrice carrée 1 = (aij)
dans la base canonique. On appelle opérateur adjoint A* l'opérateur
caractérisé dans cette base par la matrice À* = a;j, où a;j = aji. Lorsque
aji = aij, on a A- = A-* et A = A*. On dit alors que  est une matrice
l12
4.IV.7.
..
4.IV .8.
..
4.IV.9.
..
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
hermitienne et A un opérateur Izermitien. L'ensemble (En est muni du
produit scalaire suivant:
n
<X, y> = XiYh où X = (Xl' ..., X,,) et Y = (YI' ..., Yn).
i=1
1 0 Vérifier que l'on a
<AX, y> = <X, A*Y>, VX et YE E.
Déterminer le polynôme caractéristique de A *, connaissant celui de A.
2 0 Dans cette question on suppose que A est hermitien: ii ji = au.
Montrer que
a) les valeurs propres sc.nt réelles [considérer <A V h Vi>, où Vi est un
vecteur propre],
b) les vecteurs propres Vi et 'V.ï correspondants à deux valeurs propres
distinctes (À i i= À j ) sont orthogonaux [considérer <A Vi' 'V.J>].
3° Que peut-on dire dans le cas où (au) est une matrice carrée symétrique
réelle?
Matrices du groupe unitaire.
On appelle opérateur du groupe unitaire tout endomorphisme, P, de (En
vérifiant la relation suivante:
<X, y> = <PX, PY>,
VX et YE (En.
a) Montrer qu'il transforme une base orthonormée en une base ortho-
normée.
b) Montrer que l'on a pp* = p*p = 1 et en déduire que Idét PI = 1.
[Pour la définition de l'opérateur ( )*, voir l'exercice 4.1V:6.]
Étude de V I /\ V 2 /\ . ../\ V n -... dans (En.
Dans IRn, on se donne n-l vecteurs V 1 , V 2 , ..., V n - l et l'on considère
la forme linéaire suivante:
X dét (VI' V 2 , ..., V n - l , X).
a) Montrer qu'il existe V n unique tel que
dét (VI' v 2 , ..., V n - l , X) = <X, Vn>, VX E IRn,
V n est appelé produit vectoriel de VI' V 2 , ..., V n - l et on le note
V= VIA V 2 A...A V n - l .
b) Si Vi = (ai bai 2, ..., ai n), pour i = 1,2, ..., n-1, caractériser
" ,
VIA V 2 A ...A z-l.
Soit H un Hilbert et A un sous-ensemble dense dans H : A. = H.
Établir les propriétés suivantes:
i) Xo orthogonal à tout vecteur de H => Xo = 0 (X o E H);
ii) Xo orthogonal à tout vecteur appartenant à A => Xo = O.
EXERCICES DU CHAPITRE 4
113
4.IV.I0.
..
Convergence faible, convergence forte.
Soit H un Hilbert et {XII} f une suite à valeurs dans H. On dit que XII
converge faiblement vers Y o appartenant à H lorsque l'on a
<XII' X> --)0 < Y o , X>, V X E H.
n-+ 00
On écrit a/ors
XII Yo.
n-+ 00
On dit que X n converge fortement vers Y o lorsque
d(Xn, Y o ) = IIX n - Y o Il --)0 o.
n-+oo
Établir que l'équivalence suivante est vérifiée:
XII -4 Y o !
Il X Il --)0 Il y; Il <=> X n --)0 y (convergence forte).
Il 0 n-+oo
n-+ 00
SOLUTIONS
4.1.1.
1 0 Pour les quatre exemples proposes il est immediat que les axiomes 1 et 2 des
normes sont satisfaits. Il reste a verifier l'axiome 3.
Soit X= (Xl' ..., XII) et Y= (YI, ...,Yn), donc X+ Y= (Xl+Yl, ..., xlI+Yn).
Pour la norme Il.11 1 , on aura
n n n
IIX+Yll l = IXk+Ykl Ixkl+ IYkl = IIXll l +IIYll l .
k= 1 k=l k=l
Pour la norme Il.ll p (en utilisant successivement la majoration Ix k + Ykl Ixkl-+.Iykl,
puis l'inegalite de Minkowski avec a k = Ixkl et b k = IYkl), on aura
IIX+Yll p = C lIXk+YkIP) C /IXkl+ IYkI)P)
C lIXkIP) + t lIYkIPP= IIXllp+IIYll p '
Pour la norme Il.112' faisons p = 2 dans la majoration ci-dessus. Remarquons
que cette majoration pourrait aussi être utilisee avec p = 1.
Pour la norme Il. Il ex>' on aura
IIX+ YI 1 ex> = sup Ixk+ykl sup Ixkl+sup IYkl = IIXIIex>+ IIYIlex>.
k k k
2 0 Il existe au moins un indice io tel que sup Ixkl = Ixiol. DOl1c
k
n
(s p 1Xk't = IXi.IP ; llxiIP.
De plus, IXil sup Ixkl, Vi, donc
k
n
llxilP n(s p 1Xk't.
En resume, on obtient
n
( su p I Xkl ) P . IXil P n ( su p I Xkl ) P,
k 1= 1 k
ou encore
( n ) .! 1
s p Ixkl i l IXil P " np s p Ixkl,
c'est-a-dire
1
IIXllex> /lXII D nIPIXIIex>' Vp;> 1.
Les normes Il .ll p sont donc équivalentes a Il. IIex>' Vp 1, et, par suite, sont équi-
valentes entre elles.
SOLUTIONS
115
4.1.2.
Vérifions les trois axiomes des semi-normes.
n
a) Pour p(x) = Pk (X).
k=l
On a
x = 0 => Pk(X) = 0,
donc
pUIS,
n
p(O) = Pk(O) = 0;
k=l
Pk(AX) = IAlpk(x),
donc
enfin
n n
p(AX) = pk(lx) = lAI Pk(X) = IAlp(x);
k=l k=l
Pk(X+ y) Pk (X) + Pk(Y)'
donc
n n
p(X+y) = Pk(X+Y) Pk(X)+Pk(Y) = p(X)+p(y).
k=l k=l
b) Pour n(x) = sup Pk(X).
k
On a
x = 0 => Pk(X) = 0,
donc
pUIS
n(O) = sup PK(O) = 0;
k
pk(lx) = IAlpk(x),
donc
enfin
n(AX) = sup Pk(AX) = lAI sup Pk(x) = IAln(x);
k k
Pk(X+ y) Pk(X) + Pk(Y)'
donc
n(x+ y) = sup Pk(X+ y) sup (Pk(X) + Pk(Y)) sup Pk (X) + sup Pk(Y) = n(x) + n(y).
k k k k
Soit X = (Xl' ..., XII) un vecteur de en et Pk la se mi-norme
X Pk(X) = Ixkl.
Nous obtenons ainsi une famille de semi-normes pour k = 1, 2, ..., n.
Il est clair que p et n sont ici des normes. (Voir l'exercice précedent : p = Il.11 1
et n = Il.II JO .)
116
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
4.1.3.
1 0 La structure d'espace vectoriel de E est celle definie par les deux lois de
composition suivante :
I+g : x (/+g)(x) = I(x)+g(x),
AI: x (Àf)(x) = AI(x), A E C.
Nous allons verifier que chacune des trois applications considerees est une norme
sur E.
a) Les axiomes 1 et 2 sont immédiats a vérifier. On notera qu'il s'agit d'une norme
et non d'une semi-norme parce que 1 étant continue sur [0, 1], !/I l'est également.
Alors
f:'f(X)'dX = 0 => f= 0, sur [0, 1].
La verification de l'axiome 3 en ce qui concerne Il. 111 et Il. 1100 provient évidemment
de l'inegalite
1 I(x) +g (x) 1 I/(x) 1 + Ig(x)l.
Par contre, la démonstration de l'axiome 3 pour Il.11 2 utilise l'inégalité de Schwarz
c'est-a-dire ici
J: If(x) 1. Ig(x) Idx < u: If(X)1 2 dx) tU: Ig(X)12 dx ) t.
A partir de
f: If+gl 2 dx < J: (lfI 2 +2Ifl.lgl+ IgI2)dx,
on obtient
f: If+gl 2 dx < f: IfI 2dX + 2 U: If12dX) t (J: Ig1 2 dX) t + f: Igl 2 dx,
d'où
II/+glb 11/112+llglb.
b) Puisque l'on a I/(x) 1 11/1100 (11/11 00 est une constante), on en deduit immé-
diatement
Ilfll = f: !f(x) 1 2 dx < Ilfll f: dx = Ilfll ,
ou encore
11/1 b 11/11 00.
En utilisant a nouveau l'inégalite de Schwarz, on peut écrire
(J: If(x) 1. ldx r < f: If(x) 1 2 dx · J: t2dx,
d'où
11/111 11/112.
SOLUTIONS
117
En résumé,
11/111 11/11 2 Il fI 1 00 , À=p,= 1.
2° a) Calculons les trois expressions demandées. On a
f _1 1
Il ln 111 = : (1- nx)dx => Il ln 111 = 2n ;
II/nllz = (f:(1-nX)Zdx )1=> 11/',112 = V:n ;
Illnl Lx> = sup Iln(x) 1 => Il ln 1 100 = 1.
[0,1]
b) Supposons qu'il existe une constante positive, A, telle que
11/112 A 11/11 b VI E E.
. 1 . 1 A . Vn A
Prenons I=/'" alors Ilfnllz = V3.Viï et Illnl!l = 2n entrameralent V3 2 '
ce qui est in1possible.
De même, supposons qu'il existe une constante positive, B, telle que
11/1100 Blltll1, VIE E.
"111,
Prenons alors 1 = lm il vient 1 , V n, ce qui est impossible.
Enfin, il n'existe pas de constante positive e, telle que
11/1100 CI 1 Il b,
il suffit de prendre 1= ln pour constater que l l ' 'ln, est impossible à réaliser.
v 3n
Autrement dit, deux quelconques des trois normes Il. 111, Il. 1 b et Il. 1100 ne sont
pas equivalentes entre elles.
4.1.4.
.
Notons X = x la classe d'equivalence de x et verifions que la norme Il. Il, definie
par Il XII = inf Ilx+ ull, satisfait bien aux trois axiomes des normes.
ueM
a)
\lXII = 0 <=> inf IIx+ull = 0,
ueM
3u n E M
tel que
IIx+ Un Il inf IIx+ ull = 0,
n->oo ueM
c'est-à-dire
Un+x 0,
n-> 00
ou encore
Un - x.
n oo
Or, Un E M qui est ferme, donc - XE M, et, par suite, XE M (M est un sous-espace
118
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
vectoriel). Le sous-espace M contient aussi le vecteur nul 0, donc x == 0, c'est-a-dire
. .
X = x = o.
. E
X est bien le vecteur nul de M -
Réciproquement,
.
X = 0 => /lXII = inf 110+ull 110+011 = 0
ueM
(puisque M contient le vecteur u = 0).
b)
.
X+ y= x+y, si X= x et Y= y.
Donc on a
/IX + YII = inf IIx+ y+ u Il.
ueM
Or
u u
Ilx+y+ull IIx+2,II+ Y+2 '
donc
u u
inf Ilx+y+ull x+- 2 + y+- 2
ueM
et, par suite,
u u
inf Ilx+y+ull inf x+ - + inf y+ 2 - -
ueM ueM 2 ueM
Il est clair que
inf x+ = inf Ilx+ull
ueAl 2 ueM
(puisque E M ç> U E M).
La majoration precédente entraîne alors
inf IIx+y+ull inf Ilx+ull+ inf Ily+ull,
ueM ueM ueM
ou encore
IIX+YII !IXII+IIYII.
-
c) ÀX = Àx. Alors,
IIÀXII = inf IIÀx+ull = lÀ! inf x+ I = IÀI inf IIx+ull
ueM ueM A ueM
. U
(puisque u E M 1 E M pour )1. i= 0)
et, par suite, IIÀXII = IÀI.IIXII.
SOLUTIONS
119
4.1.5.
Soit X et Y E Bp(a), c'est-a-dire
IIX-all<p
et
IIY-all<p.
Pour montrer que Bp(a) est convexe, il suffit de s'assurer que
X+A(Y-X) = (l-A)X+AYE Bp(a), VA E [0,1].
Or,
.donc
(l-A)X+AY-a = (l-A)(X-a)+A(Y-a),
11[(l-A)X+AY]-all (l-A)IIX-all+AIIY-all«l-A)p+Àp = p
.et, par suite,
(1- A)X + A y E Bp(a).
De même, on peut vérifier que les boules fennées B;(a) = {X; IIX-all p}
sont convexes.
4.1.6.
.a) De l'inclusion Bp(O) c B (O), on déduit
-, -
Bp(O) c Bp(O) (= B (O)).
Montrons que tout point x de B (O) tel que Ilxll = p est un point adhérent a Bp(O).
Soit X n la suite définie par X n = (1- )x, n = 1, 2, 3, ..., on a
X n x [ en effet, Ilxn-xll = Ilxll = ]
n oo
et
x n E Bp (O)
donc x E Bp(O).
[en effet, Ilxnll = (l- )IIXII =P(l- )<P]'
::> 0
b) Un ouvert coïncide avec son intérieur, donc Bp(O) = Bp(O).
o .
De l'inclusion Bp(O)cB (O), on déduit Bp(O)cB (O) et, par suite,
o
(1) B p(O) c B;(O).
o 0
Montrons que tout point x de B;(O) est tel que Ilxll < p (c'est-a-dire B;(O) cBp(O)].
Sinon, il existe Xo verifiant Ilxo Il :> p et Br(xo) c B;(O).
120
ESP ACES VECTORIELS NORMÉS
Soit
X n = Xo ( 1 + ), n = 1, 2, 3, ...,
on a alors
[ "xo" ] ( Ilxol/ Ilxoli )
xnEBr(xo)c:.B (O),pourn>N= r +1 eneffet,IIxn-xoII= n < <r,
donc
IIxnll < p, Yn > N.
De plus,
Ilxnll = Ilxoll(l+ ) P(l+ »P'
Ces deux majorations, Ilxn Il < p et Ilx n Il > p, étant simultanément impossibles!>
on ne pourra donc avoir Ilxo Il > p.
Autrement dit,
o 0
(2) x E B;(O) => Ilxll < p [c'est-à-dire B (O) c:. Bp(O)].
o
Des relations (1) et (2) on déduit B (O) = Bp(O).
4.1.7.
Soit x et y E C, 3x n et Yn E C, tels que l'on ait
X n -+ X et Yn --+ y.
n-> 00 n 00
Puisque C est convexe
(1- À)x n + Ày" E C, y).. E [0, 1].
Or,
(1- À)x n + ÀYn -+ (1- À)x+ Ày,
n oo
[en effet,
X n -+ X <=> YB >0, 3N l (B)
n co
tel que
n > NI => Ilxn-xll<B,
Yn -+ y <=> YB >0, 3N 2 (B)
n co
tel que
n > N 2 => IIYn-yli < B,
donc
1I[(I-À)x n +ÀYza]-[(l-À)x+Ày]11 < (I-À)llx n -xll +ÀIIYn- yll <B];
donc
(1- À)x+ Ày E C, Y À E [0, 1].
SOLUTIONS
121
4.1.8.
1 0 Pour montrer que M est un sous-espace vectoriel de E (E. V.N. défini sur le
corps IK = IR ou lC), il suffit de s'assurer que
i) x et y E M => x+ y E M ;
ii) x E M => Àx E M, 'VÀ E /K.
Démonstration de i).
On peut écrire :
x et y E M => 3x n et Yn E M, tels que X n -+ X et Yn -+ y.
n-> 00 n-> co
Or, xn+ Y n E M (sous-espace vectoriel) et xn+ Yn -+ x+ y; [en effet, on a
n->oo
II(xn+yJ-(x+Y)11 IIx n -xII+IIYn-yII<2e, pour n assez grand],
donc x+y E M.
Démonstration de ii).
On peut écrire
X E M => 3x n E M
tel que
X n -+ x.
->co
Or,
ÀxnEM et ÀX n -+ Àx, [en effet, IIAXn-ÀxlI = IÀlllxn-xil < IÀle pour n assez grand],
n-> co
donc ) x E M.
2° Soit (Mi)iel la famille des sous-espaces vectoriels contenant A et IIo le sous-
espace vectoriel engendré par A. On sait que l'égalité suivante est vérifiée:
IIo = n Mi.
iel
Soit (Mj)jeJ la famille des sous-espaces vectoriels fermés contenant A (J c: 1) et
II 1 le plus petit sous-espace vectoriel fermé contenant A. Il est clair que l'on a
fI l = n M. où M . = M.
J' J J.
jeJ
Par définition, on a fIl ::>A, donc 3io tel que fIl = M io et, par suite,
(1) II o c:IIl.
De l'inclusion fIo ::>A, on déduit IIo ::>A, 3jo tel que donc II o = M jo et, par suite,
(2) III c: ll o .
En comparant (1) et (2), on obtient
fI o c:fIl c:IIo ,
122
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
puis, en passant à la fermeture,
TIO c nl = III c no ,
c'est-à-dire III = IIo .
4.1.9.
Soit qJxo : x H xo+x et t/JQ : x Ho ax, aE IK = IR ou tE et a =1= o.
a) Il est clair que ({Jxo est injective et surjective (Vy E E : ({Jx (y- xo) = y).
De plus, ({Jxo.({J-xo = ({J-xo.({Jxo = i, opérateur identique, donc
( ) - 1 -
({Jxo - ({J-xo.
De même, 1/1 a est bijective et (t/J a)-l = t/J a-le
b) ({JXO homéomorphisme <=> qJxo et «({Jxo)-l continues.
({Jxo est continue. - Quelque soit le choix de Xo, ({J..'Co est continue; en effet, on a
IIx'-xlI<B => 1 l({Jxo(x')-({Jxo(X) Il = 1 l(x'+xo)-(x+xo)1 1 = IIx'-X[[<B
(en fait on constate que ({Jxo est uniformément continue sur E).
Puisque ({Jxo est continue, VXo, «({Jx)-l = ({J-x est aussi continue.
Autrement dit, ({Jxo est un homéomorphisme. o
De manière analogue, on s'assure d'abord que t/J a est continue, Va =1= 0, puis on
en déduit la continuité de (t/J J- 1 = 1/1 a- l .
4.1.10.
a) A ouvert, B quelconque.
Montrons que A + Yo est ouvert, VYo E E. Pour cela, on considère un élément
quelconque Zo E A + Yo : Zo = Xo + Yo, où Xo E A.
Puisque A est ouvert, il existe une boule Bp(xo)c A et, par suite, on a
Bp(xo)+YocA+yo.
Or,
Bp(xo)+Yo = {z; Z = x+yo, où Ilx-xoll<p} = {z; II(z-Yo)-xoll<p} = Bp(zo),
donc
Bp(zo)cA+yo.
SOLUTIONS
123
Tout point Zo de A + Yo est centre d'une boule incluse dans A + Yo; autrement dit,
A + Yo est un ouvert de E.
L'ensemble A+B,
A+B = u (A+yo),
yoeB
est donc un ouvert de E.
Remarque. - Pour montrer que A + Yo est un ouvert, on peut aussi considérer
l'homéomorphisme <PYo : x Ho x+ Yo
A ouvert => cp(A) = A + Yo ouvert.
b) A et B compacts.
A+B compact <=> toute suite {zn}f à valeurs dans A+B admet une sous-suite
{Znp};:>=l convergente dans A+B.
Soit {zn} une suite a valeurs dans A + B : Zn = xn+ Yn, où X n E A et Yn E B.
{xn} admet une sous-suite {x np } qui converge vers xe A (compact).
{Ynp} admet une sous-suite {Ynpq} qui converge vers YE B (qui est compact).
Donc
ZnPq = xnpq+Ynpq x+YEA+B.
q co
De la suite {zn} à valeurs dans A + B, on a pu extraire une sous-suite {znp'l} qui
converge vers Z = x+ y E A + B. Donc A + B est compact.
Remarque. - Dans Ex E muni de la norme d'espace produit, l'application
t/1 : (x, y) Ho x+ y est continue.
Alors,
A x B compact => t/1(A x B) = A + B compact.
e) A com pact, B fermé.
Soit Z E A + B, il existe Zn E A + B tels que
Zn -+ z.
n co
Puisque Zn E A+B, on peut écrire Zn = xn+ Yn, où X n E A et Yn e B.
La suite {xn} est à valeurs dans A compact, donc admet une sous-suite {x np } qui
converge dans A
X np xeA.
p-> co
B
Alors
Y np = znp-x np -+ z-x (noté y).
n-+co
124
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Or, Ynp E B fermé, donc y E B et, par suite, z = x+ y E A + B.
Donnons un exemple où A et B fermé i=> A + B fermé.
Dans JR.2, on a
A = {x, y; xy = 1} et B = {x, y; x = 0, y O},
alors
A+B = {x, y; x>O, xy 1}.
4.1.11.
La norme de E sera notée Il. Il.
Munissons Ex E de la norme définie par
II(x, y) liE XE = IIxil + IIyll
et Ex fK de la norme définie par
II(x, À)IIExK = Ilxll+ 1,1,1.
1 0 Soit z = (x, y) et z' = (x', y') deux vecteurs de Ex E. On aura alors
z-z' = (x-x', y- y') et IIz-z'II E x E = IIx-x'll+ IIy- y'll.
Par suite,
Ilz-z'IIExE e => IIcp(z)-cp(z')II = lI(x+y)-(x'+y')II
= II(x-x')+(y-y')II Ilx-x'll+ Ily-y'll 8.
Autrement dit, cp est uniformément continue sur Ex E.
2 0 De même, soit Z = (x, À) et Z' = (x', À') deux vecteurs de Ex fK vérifiant
IIZ-Z'IIExK e, c'est-a-dire
(1) Ilx-x'll+ 1,1,-,1,'1 e [puisque IIZ-Z'IIExK = Ilx-x'll+ IÀ-À'I].
La majoration (1) entraîne de façon évidente les inégalités (2), (3) et (4) suivantes:
(2) 1,1,-,1,'1 e,
(3) Ilx- x' Il e,
(4) IIx'lI IIxll+e IIxll+ 1 SI O<e 1.
On a, alors,
1It/J(Z)-1/J(Z') Il = IIÀx- À' x' 1 [ = IIÀ(x- x')+ (,1,- À')x' Il
IÀlllx-x'll+ 1} -À'lllx'll IÀle+e(llxll+1) = e[IÀI+ Ilxll+l]
et, par suite, cp est continu.e en Z, VZ E Ex fK.
Supposons que cp soit uniformément continue sur E x fK, alors,
Ye >0, 3'1(e) >0
SOLUTIONS
125
tel que
IIZ-Z'IIExE = IIx-x'II+ 1,1,-,1,'1 11 => IIcp(Z)-cp(Z')II = IIÀx-À'x'll e.
En particulier, pour x = x',
1,1,- À' 1 11 => IIÀx- À' xII = 1,1,- À' 1 IIxil e,
ce qui est évidemment faux pour Ilx Il > .
11
1/1 ne peut donc être uniformément continue sur Ex /K.
3° Les notations sont celles de la question 1°, Pl(Z) = x (z = (x, y)) et Pl(Z') = x',>
IIz-z'IIExE = IIx-x'lI+ lIy-y'll e => IIpl(z)-pl(z')II = IIx-x'lI e.
Autrement dit, Pl est uniformément continue sur Ex E.
4.11.1.
a) On sait que e([a, b], tE) possède une structure d'espace vectoriel sur tE, lorsqu'on
le munit des lois suivantes :
I+g : x r--+ (f+g)(x) = f(x)+g(x),
Àf: x H (Àj)(x) = À/(x).
b) Vérifions que Il .llco est bien définie sur C([a, b], tE) [c'est-a-dire que l'on a
IIfllco < 00].
Soit le e, la fonction f est continue, donc
[a, b] compact => I([a, b]) compact dans tE
=> I([a, b]) borné dans tE If(x) 1 M, V'xe[a, b]
et, par suite,
11/1100 = sup If(x) 1 M
xe[a,b)
est bien un nombre fini.
Il est aisé de vérifier que cette application Il.ll co satisfait aux axiomes des normes.
c) C([a, b], tE)est complet, donc est un Banach.
Soit {J;.}r une suite de Cauchy dans e :
V'e>O,3N(e) tel que m>n;>N(e)=> IIfn-fmll= sup Iln(x)-fm(x)l e,
xe[a,b)
ou encore
(1) V'e>O,3N(e)- tel que m>n;> N => Ifn(x)-fm(x) 1 e, V'xe [a, b].
Pour chaque x fixé, la suite numérique complexe {/n(x)}r est donc de Cauchy,>
par suite elle converge, et l'on a
In{x) l(x).
m-+ co
126
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
En faisant tendre m vers l'infini: Im(x) l(x), et l'on obtient
n co
/In(x)-fm(x) 1 < 8 => /ln(x)-I(x)1 < 8,
donc [cf. (1)]
(2)
n ;> N(8) => Ifn(x)-l(x)/ < 8, VXE [a, b].
On s'assurera que 1 E e en vérifiant qu'elle est continue sur [a, b].
On a
l(x') -l(x) = (l(x') - IN(x')) + (fN(x') - IN(x)) + (fN(x) -l(x)),
donc [cf. (2) avec n = N], on obtient
II(x')-I(x)1 <8 + IfN(x')- f N (x)I+8.
La fonction lN étant continue sur le compact [a, b], on peut écrire
Ix'-xl < a(8) => IfN(x')-fN(x) 1 < B
et, par suite,
lx' -xl < a(8) => Il(x')-l(x) 1 < 3 8.
Autrement dit, 1 est uniformément continue sur [a, b].
De la relation (2) on déduit
n ;> N(8) => IIln-ll/co = sup 1J;,(x)-I(x)1 < 8,
xe [a,b]
c'est-a-dire
ln lee.
n->co
La suite de Cauchy {h} définie dans e converge vers lee. L'espace vectoriel e est
bien complet.
4.11.2.
1 0 Faire le graphe de fn et f,n (m > n).
Il est clair que l'on a
Im(x)- f,lx) = 0, pour
o < fm(x)- fn(x) < 1- In(x),
xe [-1, 0],
pour xe [0, 1],
donc
I + 1 I l
IIfm-Inll = Ifm(x)-/,,(x)1 2 dx = (fm(x)-ln(x)2dx
-1 0
I l I l I l 1
< (1-ln(x))2dx= n(1-nx)2dx< n1.dx=-
o 0 0 n
et, par suite,
1
Ilfm- /,,112 Vii ' pour m > n.
SOLUTIONS
127
Alors on a
'v'8>o,m>n N(8)(= [ 8;] +1) => Ilfm-fnli <; 8,
donc {fn} est bien une suite de Cauchy dans e.
2° Supposons que e est complet.
On a nécessairement ln lE C, autrement dit,
n-+co
3f continue telle que n ;> N(e) => IIfn- fll2 e.
a) Soit et E ]-1, 0[.
La fonction (fn- 1)2 étant positive on aura
f: 1 (fn(x)- f(X»2dx <; f l (fn(x)- f(X»2dx = Ilfn- fll <; 8 2 , pour n N(8),
ou encore
J I% f2(x)dx e 2 (puisque fn(x) = 0 sur [- 1, et]), Ve > 0,
-1
et, par suite,
(1)
J I% f2(X)dx = o.
-1
L'application x J----+ f2(X) est positive et continue sur [-], et] (puisque f E e), donc
(1) => f2(X) = 0 sur [-1, et].
Conséquence. - On a
f(x) = 0 sur [-1, et], avec -1 < et < O.
b) Soit fiE ]0, 1[.
Définissons N l par N l = [ ] + 1.
Pour n ;> v = sup (N(e), NI) nous aurons
i) In(x) = 1, pour x E [{3, 1];
ii) Ilfn-flb e.
Alors
J I (1-f(x)2dx = J I (fn(x)-f(x))2dx J +l (fn(x)-f(x))2dx e 2 , Ye
p p -1
et, par suite,
f; (1-f(x»2dx = O.
La fonction XJ----+ (1- f(x)) 2 est positive et continue sur [{3, 1] (puisquefest continue
sur [-1, 1]), donc
(2)
(2) => [1- f(x)] 2 = 0, y X E [/3, 1].
Conséquence. - On a
f(x) = 1 sur [{3,1], avec 0< {3 < 1.
128
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
c) En résumé:
On a
f(x) = 0, sur [-1, 0[,
f(x) = 1, sur ]0, 1],
f continue sur [-1, 1] (par hypothèse).
Ceci est contradictoire (la fonction f ne pouvant être continue à 1 ' origine), donc
e ne peut être complet.
4.11.3.
1° a) Soit Eun ensemble quelconque et Fun espace vectoriel sur un corps valué /K.
On sait que l'ensemble FE des applications, f : E F, muni des lois de composition
suivantes :
f+g : x (f+g)(x) = f(x)+g(x)
et
Àf: x (Àf)(x) = Àf(x),
est un espace vectoriel sur /K.
En particulier, l'ensemble IR.N* des suites est un espace vectoriel sur IR. et [ooc:.IR.N*.
Pour montrer que [00 est un sous-espace vectoriel, il suffit de s'assurer que l'on a
X= {xn}f et Y= {Yn}f E [00 => X+ Y= {xn+Yn}f E [00,
X= {xn}f E [00 et À E IR => ÀX= {Àxn}f E [00.
Il est clair que l'on a
sup Ixnl et sup IYnl bornés => sup IXn+Ynl bornés
n n n
et, par suite, X + y E [00.
De même,
sup Ixnl borné => sup IÀxnl borné
n n
et, par suite, ÀX E [00.
b) Il. 1100 est une norme.
Vérifions les axiomes 1, 2 et 3 des normes.
(1) 0 = {xn}f, où X n = 0, 'Vn, donc
11011 00 = sup IxnG= o.
n
Réciproquement,
IIXll oo = sup IXnl = 0 => X n = 0, 'Vn.
n
(2)
sup IXn+Ynl sup Ixnl+sup IYnl,
n n n
SOLUTIONS
129
donc
(3)
IIX + YII <X> < Il XII <X> + Il YII <X>
sup IÀxnl = IÀI sup Ixnl,
n n
donc
IIÀXll oo = lÀ Il IXlloo.
c) 1 00 est un Banach.
Soit X<II) une uite de Cauchy dans [<x>, on peut écrire
Ve>0,3N(e) tel que m>n;> Nt => IIX<II)-x<m) 1100 < e,
avec
x<n) = {x n)}f et x<m) = {x m)}f; donc x<n)-x<m) = {x n)-x m)}f
et, par suite, on en déduit
(1) m>n;> N(e) => sup IxJ,II)-xJ,m) 1 < e (<=> Ix II)-xbm)1 e , 'Vp).
p .
Il en résulte que {x n)} =l (p fixé) est une suite de Cauchy dans IR. complet, donc
convergente: xJ,lI) xp.
n oo
Alors, en faisant tendre m vers l'infini (x m) x p ), on a [cf. (1)]
m <x>
Ix n)-x m)1 e => Ix n)-xpl e
et ceci quelque soit le choix de p.
En résumé, on a
(2)
n ;> N(e) => Ix n)-xpl e, 'Vp.
Soit Xo = {Xp} =l [Ixpl borné car IXpl Ix:l+e IIX<N)lloo+e, donc XoE[oo].
Alors,
x(n)-x o = {x n)-Xp} =l
et, par suite,
IIX<II)-X o ll oo = sup IXbll)-xpl e, pour n ;> NN
p
[cf. (2)].
Autrement dit,
x<n) Xo E [00.
n oo
Toute suite de Cauchy dans [<x> converge dans [00. L'ensemble [<x> est complet.
20 I est un sous-espace vectoriel de 1 00 .
En, effet, on a
X= {xn}r et Y= {Yn}f E [g> <=> X n 0 et Yn 0
n-> 00 n-> <x>
=> xn+Yn O<=> X+Y={xn+Yn}rE[û
n <x>
et
X= {xn}r E [ <=> X n 0 => ÀX n 0, 'VÀ E IR. <=> ÀX= {Àxn}r E [W.
n oo n oo
130
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Montrons que IW est fermé.
Soit Z = {Zp} l un element quelconque de lW. Il existe alors
z(n) = {z n)}<X)p=lEIW tel que z(n) Z,
1J <x)
c'est-a-dire
'le >0, 3N(e)
tel que
n N => Ilz(n)-ZII<X) = sup Iz n)-zpl e.
p
En particulier, pour n = N, on a
sup IZ N)-zpl e,
1J
ou encore
(1)
IZ N)-zpl e, Vp.
Puisque Z(N) = {Z N)}:'=l E lW, on a z1 N ) 0, autrement dit,
p <X)
(2) 3P(N, e) tel que p P => IZ N) 1 e.
De (1) et (2), on deduit alors
IZpl 28, Vp P.
Autrement dit, zp 0 et, par suite, Z E lé{>.
p <X)
En résumé, on a Z E l => Z E l . L'ensemble lW est bien fermé.
4.ll.4.
1 0 On sait que $ possède une structure d'espace vectoriel sur IK = IR ou C,
si on le munit des lois suivantes :
I+g : x Ho (f+g)(x) = f(x)+g(x)
À.l: x Ho (Àf)(x) = À.f(x), À E lK.
Supposons que F soit un Banach, et soit {fn}r une suite de Cauchy dans $.
On a
V8>0,3N(e) tel que m>n N(e) => 1 1 fn-/m 1 1 e,
donc
(1)
m>n N(e) => 1 Ifn(t)-fm(t) 1 I p e, VtE A.
Pour chaque t fixé, {fn(t) } f est une suite de Cauchy dans F complet, donc
fn(t) l(t) E F.
n <X)
Alors, (1) entraîne (m tendant vers + (0)
(2) n N(e) => 1 Ifn(t)-l(t) 1 I p e, VtEA.
SOLUTIONS
131
Remarquons que 1 appartient à $ [en effet, on a
11/(t)ll p IlfN(t)ll p + 1 I/(t)-fN(t) 1 I p Ilf N II+8].
De (2) nous déduisons
(3)
n N(8) => Ilfn-/11 8,
c'est-à-dire fn 1 E $. L'ensemble $ est complet; c'est un Banach.
n ex>
2° Co est evidemment un sous-espace vectoriel de $.
a) Montrons qu'il est fermé dans $.
Soit fe , 3hzeC o
tel que fn -+ f;
n ex>
V8>0,3N(8)
tel que
n N(8) => IIfn-fll 8,
ou encore
(4)
n N(8) => 1 Ifn(t)-f(t) 1 I p 8, VteE.
Nous en déduisons que f est continue. En effet, on a
f(t')- f(t) = (f(t')- fN(t'))+ (fN(t')-fN(t))+ (fN(t)-f(t)),
donc
(5)
Ilf(t')-f(t)llp 8+ 1 IfN(t')-fN(t)1 I p +8,
[utiliser (4) avec n = N]
f N étant continue, il existe a(t, 8) > 0 tel que
(6) d(t', t) a=>1 IfN(t')- fN(t)ll p 8 (d distance dans E).
De (5) et (6) on déduit alors
d(t', t) a => Ilf(t')- f(t) Il 3 8,
c'est-a-dire f continue en t, Vt e E.
Autrement dit, f e Co.
En résumé, on a fe => feC o . L'ensemble Co est bien fermé.
b) Conséquence.
F Banach => $(E, F) Banach, donc complet
(d'après la question 1°, avec A = E).
Co(E, F) fermé dans $(E, F) complet => Co(E, F) complet.
L'ensemble Co(E, F) est bien un Banach.
132
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
4.m.l.
d 1 .. px d ' fin . E a 1 d
On consi ère l'app lcatlon qJ : x 1-+ 1 + Ilxll e le sur et va eurs ans
Bp(O)={xeE; Ilxll<p}.
1° Montrons que qJ est bijective.
a) Injection.
qJ(x) = qJ(x') => IlqJ(x) Il = IlqJ(x') Il,
c'est-a-dire
px px' pllxll pllx'll
1+llxll = 1+llx'll => 1+llxll = 1+llx'll
et, par suite, Ilxll = Ilx'll-
Alors
px px' ,
1+ Ilxll = 1+ Ilx'll => x = x.
b) Surjection.
Formellement,
px pllxll IIYII
y = 1+ Ilxll => Ilyll = 1+ Ilxll => "xii = p-llyll
et, par suite,
l+llxll y
x = p y = p_IIYII_
Alors, soit y un vecteur quelconque de B (J(O) (<=> Ily Il < p). Il est aise de vérifier
que qJ( P_ IYII ) = y. L'application qJ est bien surjective.
2° Montrons que qJ est continue.
Première méthode. - On a
px px' Il p IIXII
(1) 1 IqJ(x)-qJ(x') 1 1 = 1+ Ilxll - l+ !Ix' 1 1 = (1+ Ilxll)(l+ Ilx'll) pIIXII,
où
x = (x-x')+(llx'llx-llxllx').
TI est clair que l'on a aussi
X = (x-x')+(llx'II-llxll)x+ Ilx! I(x-x')
donc
(2)
Ilx'-xll 8 => IIXII 8+81Ixll+ IIxl18
[puisque Illx'II-llxll! Ilx'-xll 8].
SOLUTIONS
133
Par suite, [cf (1) et (2)]
Ilx' -xii <: e => 1 Iq>(x')-q>(x) 1 1 <: p(l +2I1xIDe.
Autrement dit, q> est continue en x (\:Ix E E).
Deuxième méthode. - Soit A une application continue définie par
, E IR,
X J---7 A (x).
Il est clair que la fonction 1:::; (x)x est continue.
[Écrire IlxA(X')-XA(X)11 = 1 I(A(X')-A (X))X'+A (x)(x'-x) 1 1
<: lA (X')-A (x) 1(1 + IlxlD+ lA (x)lllx' -xII, pour Ilx' -xII <1.]
Ici, la fonction A : X 1-+ l lxll est continue puisqu'elle est le produitdecompo-
sition des applications continues suivantes
x Ilxll (E IR+)
et
u L ( IR+ J---7 IR ) .
l+u '
donc
px
x XA (x) = 1 + Ilxl l = q>(x)
est continue.
x
30 Montrons que q>-1 : x (cf. la question 1°) est continue sur son
domaine de définition Bp(O). p-Ilxll
Pour cela, on pourra utiliser l'une ou l'autre des méthodes précédentes. Par exemple,
on pourra remarquer que l'application
1
A :x p-Ilxll (xe Bp(O) <=> Ilxll<p)
est continue, puisqu'elle est le produit de composition des applications continues
1
x Ilxll (E [0, pD et u - ([O,p[ IR).
p-u
Conclusion.
q> et q>-1 continues <=> q> homéomorphisme de E sur Bp(O).
4.111.2.
a) i) => ii). - Par hypothèse,
IIf(x)II F <: KllxllE' \:IxE E.
On a évidemment
Ilf(x)-f(x') II F = Ilf(x- x') II F <: Kllx- x' liE'
134
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
donc
, 8 ,
Ilx-x liE K => Ilf(x)-f(x)II F 8.
Autrement dit, f est uniformement continue sur E.
b) i i) => i i i). - Évident (l'uniforme continuité entraînant la continuité).
c) iii) => iv). - Évident.
d) iv) => i). - Par hypothèse, [ est continue en Xo,
V8>0,3et(8,Xo»O tel que Ilx-xoIIE et=> 1 If(x)-f(xo) 1 IF = Ilf(x-xo)IIF 8,
ou encore (en posant y = x-xo)
(1) IIYII E et => 1 If(y) 1 IF 8.
Soit X un vecteur quelconque de E et Y = Il;IIE x.
Il est clair que Il YII E = et, donc, d'après (1), on a Ilf( Y) II F 8,
ou f CI;IIE X ) IF = Il;II/ (X) IF = Il;IIE llfCX)IIF e
ou encore
8
1 If(X) 1 IF aIIXIIE, VXeE.
8
On peut alors poser K = -.
et
4.111.3.
1 0 [est une application bilinéaire, donc
f(Xl'O) = f(O, X2) = f(O, 0) = O.
a) Supposons f continue sur El xE 2 , donc en (0,0).
On peut alors écrire
V8>0,3et e >O tel que II(Xl, x2)11 = IlxllI+ II x 211 et => 11[(Xl, x2)-f(O, 0)11 8.
En particulier, on aura
et
Ilxlll 2
et
et
II x 211 2 => Ilf(Xl,X2)11 8.
Soit (YI' Y2) un elément quelconque de El x E 2 , vérifiant Yi et Y2 différents de zéro.
Yl et Y2 et ,. et et
Zl = IIY 1 11 .4 et Z2 = IIY211 .4 verifient Il z lll 2 et II z 211 2'
SOLUTIONS
135
donc
Ilf(Zl' Z2) Il <: 8,
ou encore
C( C(
411Y l 11 41IY211 .llf(Yl, Y2)11 <: B.
D d .'. , 1 ., d ' d . K 16 8
e cette emlere Inega Ite on e ult, en posant = -r,
C(
Ilf(Yl, Y2)11 <: KIIY l ll.IIY 2 11
(majoration qui reste évidemment valable lorsque YI ou Y2 vaut 0).
b) Supposons que Ilf(x l , X2) Il <: KII Xl Il. Il X2 Il.
Soit a = (al' a2) et h = (hl' h 2 ), avec IIh l ll et IIh 2 11 <: 1. Alors
f(al +h l , a2+ h 2) = f(al, a2)+ f(al, h 2 )+ f(h l , a2)+ f(h l , h 2 ).
Donc
Ilf(al + hl' a2 + h 2 )-f(al' a2) Il <: Ilf(al, hl) Il + ! If(h l , a2) Il + fll(h 1 , h 2 ) Il,
a fortiori (par hypothèse), nous avons
Ilf(a+h)- f(a) 1 1 <: Kll a lll.llh 2 11 +Kllh l ll.ll a 211+Kllh l ll 11h 2 1 1
<: H(llhlll+ IIh 2 1D = Hllhll,
en posant H = K(Ilal Il + IIa211 + 1).
Autrement dit, f est continu en a, Va E El X E 2 .
2° Nous avons
IIf(Xl, x2)11 <: Illflll, VXl et X2 vérifiant Ilxlll = IIX211 = 1.
Soit (YI' Y2) un élément quelconque de El x E 2 vérifiant Yl et Y2 différent de zéro.
Alors,
Yl Y2
Zl = IIYlii et Z2 = IIY 2 11 sont tels que Ilz l ll = IIz 2 11 = 1
et, par suite,
1 1
Ilf(Zl,Z2)11 = IIYlll . I!Y211 1If(Yl,Y2)11 <: Illflll,
ou encore
Ilf(Yl,Y2)11 <: Illflll.IIYlll.IIY211.
(pour Yl ou Y2 nul, cette majoration reste évidemment valable.)
136
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
4.m.4.
1° a) L'application p : x 1-+ p(x) est continue sur CR muni de la norme Il. Il.
En effet, soit X et Y tels que
n
X = (Xl' ..., X n ) = Xiei
;=1
et
n
y = (Yl' ..., Y n ) = Yieh
;=1
où el' e2, ..., en désigne la base ca nonique de CR.
On a IIX-YII = Vi 1IXi-YiI2, [ce qui entraîne lXi-Y;! IIX-YII, \fi]
et
Ip(X)-p(Y) 1 p(X- Y).
(Plus usuellement pour une norme notée Il.11 0 , on écrit \llallo-llbll o 1 Ila+bll o .)
Alors
Ip(X)-p(Y) 1 p(X- Y) = PC l (Xi-Yi)e i ) i /[(Xi-Yi)e;]
n n n
= IXi- Yi Ip(ei) IIX - YI !p(ei) = IIX - YII p(ei).
;=1 ;=1 ;=1
L'application est donc bien uniformement continue sur CR, puisque
8
IIX-YII V n => Ip(X)-p(Y) 1 8.
p(ei)
;=1
b) S = {Xe CR; IIXII = 1} est un compact. De plus, il est connexe [deux points
quelconques de S peuvent être reliés par un chemin appartenant a S].
L'image continue d'un compact est un compact, donc p(S) est un compact.
L'image continue d'un connexe est un connexe, donc p(S) est un connexe.
En bref, p(S) = [m, M] (avec m O, puisque p est a valeurs dans IR+). Il existe donc
Xo et Xl e S tels que p(X o ) = m et p(X l ) = M.
Si m = 0, on aurait p(X o ) = 0, avec Xo =1= 0 (puisque IIX o Il = 1), donc m> O.
Par suite, on a
O<m p(Y) M,
R X
Soit XeC -{O}, alors IIXII ES,
donc
VYE S.
m P CI II ) = II II P(X) M,
ou encore
(1)
mlIX" < p(X) < MIIXII, VXe CR,
m et M étant des constantes strictement positives (pour X = 0, cette inégalité restant
évidemment valable).
SOLUTIONS
137'
c) La relation (1) exprime que p et Il. Il sont des normes équivalentes.
Autrement dit, toute norme définie sur en est équivalente a Il. Il.
2° Soit LE L( en, F), il faut montrer que L est continue. Ce qui revient a démontrer
que l'on a
! IILXllF j
Il IL III = sup IIXII <00.
XeCn-{O}
n
Soit X = (Xl' ..., X n ) = Xiei.
£=1
n
On aura IIXI1 2 = IXiI2, [ce qui nécessite
i=1
IXi 1 <: Il XII, Vi]
et
n
LX = XiLei.
i=1
Par suite, on en déduit
n n n
IILXII F <: IlxiLeillF = Ixil.IILeiIIF<: IIXII.IILeiIIF = KIIXII,
i=1 i=1 - i=1
n
(en posant K = IILei 1 IF)'
i=1
ou encore
IIILIII <: K.
On a bien IIILIII <00, c'est-à-dire que L est continue.
En résumé, on a
L( en, F) = Lc( en, F).
4.IV.l.
L'espace E étant défini sur IR, le produit scalaire est a valeurs dans IR; par suite,
<X, y> = <Y, X> = <Y, X>.
On a alors
ilX+ YI1 2 = <X+ Y, X+ y> = <X, X>+ <X, Y>+ <Y, X>+ <Y, Y>,
ou encore
(1)
IIX+YI1 2 = IIXI12+2<X, Y>+IIYII 2 .
En changeant Y en - Y dans (1), on obtient la relation
(2) IIX-YI1 2 = IIXI1 2 -2<X, Y>+IIYI1 2 .
Les relations (1) et (2) entraînent alors la relation suivante :
IIX+YI1 2 +IIX-YI1 2 = 21IXI12+21IYI12.
(Relation qui caractérise les normes ass ociées a un produit scalaire.)
138
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
4.IV.2.
Formons IIX+ Y11 2 , on obtient
IIX+YI12 = <X+ X+Y> = <X,X>+<X, Y>+< X>+<Y, Y>,
ou
IIX+ YII 2 = IIXI1 2 + <X, Y>+ < X, Y> + IIYI1 2 ,
ou encore
(1)
IIX+YI1 2 = IIXI12+29te<X, Y>+IIYI1 2 .
Il est clair que l'on a
<X, -y> = (-I)<X, y> = - <X, Y>,
donc
9te<X, - y> = -9te<X, y>.
Si l'on change Yen - Y dans (1), on obtient alors
(2) 1 IX- YI1 2 = IIXI1 2 -29te<X, y> + Il Y11 2 .
Les relations (1) et (2) entraînent alors la relation suivante :
IIX+ Y11 2 + 1 IX- YI1 2 = 21IXI1 2 +21IYI1 2 ,
relation qui caractérise les normes associées aux produits scalaires.
4.IV.3.
1 0 Rappelons l'inégalité de Cauchy-Schwarz
1 <X, Y>I IIXII.IIYII.
On a
<Px(Y')-<Px(Y) = <X, Y'>-<X.. y> = <X, Y'-Y>
et, par suite,
lq>x{Y')-<px(Y) 1 = 1 <X, Y'-Y>I IIXII.IIY'-YII.
Alors,
Il y' - YII 8 => ICPx(Y')-<px(Y) 1 8 IIXII.
La fonction <Px est bien uniformement continue sur E. On fera le même raisonne-
ment pour t/J y.
SOLUTIONS
139'
2° Soit Z = (X, Y) et Z' = (X', Y') deux vecteurs de Ex E, formons la différence
de Z et de Z' :
Z'-Z= (X'-X, Y'-Y) et IIZ'-ZIIExE = IIX'-XII+IIY'-YII.
On a
h(Z')-h(Z) = <X', y'> - <X, y> = <X', Y'> - <X', y> + <X', y> - <X, Y>,
ou encore
h(Z')-h(Z) = <X', y'- y> + <X'-X, y>.
Par suite, en utilisant l'inégalite de Cauchy-Schwarz, on en déduit
Ih(Z')-h(Z) 1 IIX'II.IIY'-YII+IIX'-XII.IIYII.
Alors, pour
IIZ'-ZIIEXE = IIX'-XII+ IIY'- YII 8
on a
Ih(Z')-h(Z) 1 (1IXII+8)8+81IYII 8(IIXII+IIYII+I), si 0<8<1.
Autrement dit, h est continue en Z, VZ e Ex E.
Supposons h uniformément continue sur Ex E.
V8>0,3a(8) tel que IIZ'-ZIIExE = IIX'-XII+ IIY'- YII a
=> Ih(Z')-h(Z) 1 = 1 <X', y'> - <X, y> 1 8.
En particulier, pour y' = y, on a
(1) IIX'-XII a=>1 <X'-X, y> 1 8, VYe E.
Soit Y o , choisi arbitrairement dans E, la relation (1) entraîne donc
IIX'-XII a=>1 <X'-X, ÀY o > 1 = AI <X'-X, Yo> 1 8, VA reel >0.
Ceci n'est possible que si l'on a <X' -X, Yo> = 0, et cela quel que soit le choix
de Y o dans E. Le vecteur X' - X, étant orthogonal a tout vecteur de E, est nécessai-
rement nul.
En résumé, IIX' - XII a => X' = X, propriété évidemment fausse dans un E.V.N.
(X' = X+IX 21 UII vérifie IIX'-XII IX, \fUEE).
La fonction h ne peut donc être uniformement continue sur Ex E.
4.IV.4.
Il faut s'assurer que <, > H satisfait bien aux axiomes des produits scalaires.
Ceci est aisé a vérifier.
La norme associée est alors donnée par la relation suivante :
IIXlliI = <X, X> = Ilxlll l + Ilx211 2' X = (Xl' X2).
140
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Nous constatons que la norme associée Il.II H est la norme usuelle de l'espace
produit Hl x H 2 , où Hi (i = 1, 2) est un Hilbert, (donc un Banach) pour la norme
Il.IIHi associée a <, > Hf..
Un produit fini de Banach est un Banach, donc H = Hl X Hl est un Banach pour
cette norme Il. II H .
En résumé, l'espace H muni du produit calaire < , > H est complet pour la norme
associée Il.IIH; c'est donc un Hilbert.
Ceci se généralise évidemment a un produit fini d'Hilbert H = Hl X H 2 X ... x Hn,
où
n
<X, y> H = <Xh Yi> Hf.
i=l
4.IV.5.
1° a) Si l'on a lpy(X) = <AX, Y>, on a donc
lpy(X')-lpy(X) = <A(X'-X), y>
et, par suite,
Ilpy{X')-lpy{X) 1 <; IIA(X'-X)II.IIYII <; IIIAIII.IIX'-XII.IIYII.
Alors, si IIX' - XII <; e, on en déduit
Illpy(X')-lpy(X) Il <; IIIA 111.11 YI le.
Autrement dit, la forme linéaire lp y est continue : lp e H'.
Du théorème fondamental, on déduit l'existence d'un vecteur Z tel que l'on a
lpy(X) = <X, Z>,
Z dépendant du choix de Y, on le notera A* Y et, par suite,
<AX, y> = <X,A*Y>, 'rIXeH.
b) Soit YI et Y 2 deux vecteurs donnés.
On aura
<AX, Y 1 +Y 2 > = <X, A*(Y 1 + Y 2 », 'rIXeH.
Or
<AX, Y 1 +Y 2 > = <AX, Y 1 >+<AX, Y 2 > = <X,A*Y 1 >+<X,A*Y 2 >,
donc
<X, A*(Y 1 + Y 2 » = <X, A*Y 1 > + <X, A*Y 2 >, 'riXe H.
Soit Z = A*(YI + Y 2 )- A* YI - A* Y2, de la relation précédente on déduit
<X,Z> = 0, 'rIXeH.
SOLUTIONS
141
En particulier, pour X = Z, on a
<Z, Z> = IIZI1 2 = 0 <=> Z = 0,
ou encore
A*(Y I + Y 2 ) = A* YI + A* Y 2 .
Soit Y un vecteur donné et À un scalaire donné.
Par définition, on a
<AX, ÀY> = <X, A*(ÀY», VXeH.
Or
- -
<AX, ÀY> = À<AX, y> = À<X, A*Y> = <X, ÀA*Y>,
donc
<X, A*(ÀY» = <X, ÀA*Y>, VXe H.
Soit Z = A*(ÀY)- ÀA* Y, on déduit, alors, de la relation précédente,
<X,Z> = 0, VXeH,
et, par suite (en faisant X = Z),
Z = A*(ÀY)-ÀA*Y= O.
Nous venons de vérifier que A* e C(H), ensemble des endomorphismes de H.
Montrons que A* est continue. (<=> IIIA*III<oo).
Sachant que l'on a
<AX, y> = <X, A*Y>, VX et Ye H,
pour X = A* Y on aura
<AA*Y, y> = <A*Y,A*Y> = IIA*YII 2 , VYeH,
et, par suite (inégalité de Cauchy-Schwarz),
IIA*YII 2 = 1 <AA*Y, y> 1 IIA(A*Y)II.IIYII IIIAIII.IIA*YII.IIYil.
Ceci entraîne que l'on a
IIA*YII Il lAI Il. Il YI 1, VYeH,
et, par suite, la relation
* _ Il A * YI!
(1) IIIA III - YE UP{ O} 1 IIYII 1 'liAI Il,
IIIA* III étant borné, A* est donc continue.
e) Il résulte de la définition de l'opérateur adjoint que l'on a
<A*X, y> = <X, (A*)*Y>, VX et Ye H.
En utilisant la propriété de la symétrie hermitique des produits scalaires, on
obtient
<A*X, y> = «A*)*Y, X>, VX et Ye H.
Or
<A*X, y> = <Y,A*X> = <AY,X>, VXet YeH;
142
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
[la première égalité résulte de la propriété de symétrie hermitique des produits scalaires,
la seconde résulte du fait que
<A Y, X> = <Y,A*X>, VXet YeH].
On déduit
«A*)*Y, X> = <A Y, X>, VX et YeH,
ou encore
«A*)*Y-A X> = 0, 'IX et YeH.
Pour X= (A*)*Y-AY, on obtient II(A*)*Y-AYII = 0 et, par suite,
(A*)*Y= AY, VYe H,
c'est-a-dire (A*)* = A.
D'après la relation (1), on a IIIA*III <; IIIAIII. En appliquant cette majoration
al' opérateur A * on obtient
III(A*)*III <; IIIA*III,
ou encore la relation
(2)
IIIA III <; IIIA* III (puisque (A*)* = A).
En associant (1) et (2), on obtient bien IIIA* III = 1 liA III.
2° Puisque l'opérateur A est caractérisé par la matrice carrée (aij) dans la base
canonique, on aura
AX = (xl, ..., X ),
où
n
X i ' = a..x.
lJ '.1'
j=l
et, par suite, on en déduit
n n ( n ) n n
<AX, y> = XfYi = aijXj Yi = aijXjYi.
i=l i=l j=l i=lj=l
S · B - - ( * ) , * --
Olt - atj' ou aij- a ji.
Cette matrice B caractérise un opérateur B dans la base canonique et l'on a
n ( n ) n n n n
<X, BY> = Xi ar}Yj = a XiYj = ajiXiYj,
i=l j=l i=lj=l i=lj=l
ou encore (i et j étant des indices muets de sommation, i sera noté j et j sera noté i)
n n
<X, BY> = aijXjYi.
i=lj=l
On constate que
<AX, y> = <X, BY>, 'IX et Ye (Cft = H, donc B = A*.
En résumé, l'opérateur A* est caractérisé par la matrice aÙ (où a = aji) dans
la base canonique.
SOLUTIONS
.. 143
4.IV.6.
1 0 Soit X = (Xl' ..., x,J et Y = (Yl, ..., Y,J deux vecteurs de (Cn, alors
AX = (xl' ..., X ),
où
n
'-
x. - a i .x.
t J 'J'
j=1
et, par suite,
n n ( n ) n n
<AX, y> = XiYi = aijx} Yi = aijXjYi.
i=1 i=1 j=1 i=lj=1
De même, on a
A* Y = (y , ..., Y ,
où
n
, *
Yi = £.J QijYj,
j=1
donc on peut écrire
n n ( n ) n n
<X, A*Y> = xiYi = Xi aDYj = ajiXiYj
i=1 i=1 j=1 i=lj=1
(puisque aÙ = aji).
i et j étant des indices muets de sommation, i sera noté j et j sera noté i dans cette
dernière relation. Donc on obtient
n n
<X, A*Y> = aijXjYi
i=lj=1
et, par suite, on en déduit
<X, A*Y> = <AX, Y>, VX et Ye (Cn.
On a
(A-II)* = A*-(II)* = A*-ÀI* = A*-À.1,
donc
A*(A) = dét [A*-AI] = dét [(A- AI )*] = dét [A-II] = A(X .
2 0 On suppose maintenant que ai} = ajf, donc ai} = ai j et, par suite, A = A*.
a) Puisque A = A*, on aura
<AX, y> = <X, A*Y> = <X. AY>,
ou
(1)
<AX, y> = <X, AY>, VX et Ye (Cn.
Donc, on en déduit la relation
(2) <A Vi, Vi> = < Vi, A Vi>
(Vi est vecteur propre),
Vi étant vecteur propre, on aura A Vi = Ai V b avec V i ::/= O.
144
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
La relation (2) entraîne alors
<Ai Vi, Vi> = <Vi, AtVi>,
ou encore
Ai < Vi, Vi> = A < Vi, Vi> (<=> )"ill V i l12 = Aill Vil 1 2 ).
De cette relation, on déduit que l'on a  i = Ah c'est-à-dire que  i est réel.
b) Compte tenu de la relation (1) (puisque A est hermitien), on a
<AVi, Jij> = <Vi, AJij>.
Or A Vi = Ai Vi et A Vi = AjJij, donc
<Ai Vi, Jij> = < Vi, AjJij>.
Puisque Ai et Aj sont réels (cf. la question 2°, a), on déduit de la relation précédente
(Ai- Àj )<Vh Jij> = (Ai-Aj) < Vi, Jij> = 0
et, par suite,
Ai ::/= Aj => < Vi, Jij> = 0,
c'est-à-dire que Vi et V j sont orthogonaux.
c) Supposons que (aij) soit réelle et symétrique (aij = aji).
Si aij est réelle et symétrique, on a alors
a* - a - a - a
iJ - ji - ji - ij,
donc A* = A. L'opérateur A est hermitien. Ses valeurs propres sont donc réelles
et ses vecteurs propres orthogonaux.
4.IV.7.
a) Soit ei et ej deux vecteurs orthogonaux de (ER : <eh ej> = O.
Donc <Peh Pej> = <et, ej> = O. Les vecteurs el = P(el) et e2 = P(e2) sont
bien orthogonaux.
b) On a
<X, y> = <PX, py> = <X, P*(PY», 'rIX et YE (ER,
donc, en posant Z = P*PY- Y, on obtient
<X, Z> = 0, 'riXE (CR.
Pour X = Z, on obtient IIZII = 0 <=> Z = 0, et, par suite,
pp*y = Y, 'ri Y E (CR.
Autrement dit, pp* = 1.
P est donc inversible et P- 1 = P*.
De la relation 1 = P P*, on déduit
dét (1) = dét (P) dét (P*) = dét (P) dét (P) = Idét PI2
et, par suite, Idét (P) 1 = 1.
SOLUTIONS
145
4.IV.8.
a) L'application qJ : X dét (VI, V 2 , ..., V n - 1 , X) est une forme linéaire et conti-
nue sur IRn [la continuité peut se déduire de la majoration suivante :
IqJ(X) 1 = Idét (VI, ..., V n - 1 , X)I IIVlll...IIVn-III.IIXII,
où
11«(Xh ''',(Xn)11 = Vi l(Xn
Du théorème fondamental 4.IV.1., on déduit l'existence d'un vecteur unique VII
tel que
qJ(X) = dét (VI' ..., V n - I , X) = <X, V n >,
'riXe IR1I.
b) Soit les vecteurs V p suivants :
VI = (al,l, ..., QI,,;), V 2 = (a2,l, ..., a2,,.), ..., V n - 1 = (an-l,l, ..., an-l,n).
On aura
[ a 1 1, ... al n ]
dét (V h .... V n - h X) = a l h ... a: l n =.£ XiA/,n
, , 1=1
Xl......... X 1l
(en développant le déterminant suivant sa dernière ligne).
On obtient donc
dét (Vi' ..., V n - 1 , X) = <X, V n >, si V n = (Al 11' ..., An ,.).
, ,
Conséquence. - Les composantes de V n = VIA V 2 A ...A V n - l , dans la base cano-
nique, sont les mineurs du déterminant relatifs a la dernière ligne.
4.IV.9.
a) Supposons que Xo soit orthogonal a tout vecteur Y de H, on a donc
<X o , y> = 0, 'rIYeH.
En particulier, pour Y = Xo, on obtient
<Xo,.xo> = II X ol12 = 0 <=> Xo = o.
b) Supposons que
<X o , y> = 0,
'rIYe A.
146
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Soit un vecteur Z tel que Z e H. Puisque
A = H, 3 Y II E A tel que
¥II Z,
n -+00
on en déduit que l'on a
Ve>0,3N(e)
tel que
n ;> N(e) => IIYII-ZII < B.
Alors (puisque <X o , ¥,.> = 0),
<X o , Z> = <X o , Y,.> + <X o , Z- Y II > = <X o , Z- Y II >
et, par suite,
I<Xo,Z>! = I<Xo,Z-Y,.> 1 < IIXolI.IIZ-Y,.1I < ellXolI
[prendre n ;> N(e)].
B étant arbitraire, on a nécessairement <X o , Z> = O.
En résumé,
<X o , Z> = 0,
VZeH.
De la question a, on déduit que l'on a Xo = o.
4.IV.I0.
a) Supposons que l'on ait
<X,., X> < Y o , X>,
"-+ 00
VXeH
et
1 IX,. Il Il ¥oll.
n-+oo
On a
IIX,.-Y o I12 = <X,.-Y o , X,.-¥o> = IIX,.11 2 +IIY o I12-<X,., Yo>-<Yo,X,.>.
Étudions successivement la limite de chacun des termes figurant au second membre
de cette relation; on obtient
IIX,.11 2 IIY o l12 (puisque IIX,.II IIYoll),
n oo n oo
<X,., Yo> <Y o , Yo> = IIY o 112,
n oo
<Yo,X,.> = <X,., Yo> <Y o , Yo> = IIY o 112.
n oo
On en déduit donc que l'on a
IIX,.- Yol12 O.
n 00
b) Supposons que l'on a it X n ¥o, c'est-a-dire IIX,.- Y o Il O.
n oo n oo
D'une part, on a
/IIX,.II-IIYolll < IIX,.-Yoll (puisque Illall-llblll < Ila+bll),
donc
JIIXnll-llYoll in=:<x> 0,
SOLUTIONS
147
ou encore
IIXIIII -+ Il Y o Il;
n-')- co
d'autre part,
I<X,.,X>-<Yo,X>1 = I<XII-Yo,X>1 IIX,.-Yoll.IIXII
et, par suite,
1 <X,., X> - < Y o , X> 1 -+ 0,
n-+oo
ou encore
<X m X> -+ < Y o , X>, VXe H.
n-+oo
M.P.2-P.C.2
5.
SÉRIES NUMÉRIQUES
1. - GÉNÉRALITÉS SUR LES SÉRIES.
1 0 Définition d'une série. - Soit {un} une suite à valeurs dans IR ou tE.
Le tableau formel qui s'en déduit,
U o +u 1 +u 2 + ... +U n + ...,
est appelé série de terme général Un et sera noté (un)o.
(On fera la distinction entre le symbole + employé ici et le symbole + de
l'addition usuelle!)
A partir de ce tableau on définit la suite des sommes partielles
So = Uo,
Si = UO+Ul,
...,
n
Sn = L U p .
p=o
Deux cas sont à envisager:
i) La suite {Sn} converge
Sn s.
n-'oo
On dit alors que la série (un)o est convergente et a pour somme S.
On note
00
S = L U p'
p=o
ou encore
S = uo+u 1 +u 2 + ... +u n +...
ii) La suite {Sn} diverge.
On dit alors que la série (un)o est divergente.
Plus généralelnent, on peut définir la série
U +u +...+u +...
v v+ 1 n
n
que l'on notera (un)v, ainsi que la suite {Sn}v CO associée: Sn = L U p ,
co p =v
et s'il y a lieu la somme S notée S = LUne
V
150
SÉRIES NUMÉRIQUES
2 0 Premiers exemples.
a) Série géométrique a + aq + aq2 + ... + aqn + ... (a =1= 0). - La suite associée
des sommes partielles s'écrit Sn = }_qn+l . Suivant la valeur de q on obtient
l-q
les deux cas suivants :
i) Iql < 1. - La série est convergente car on a
. a
hm Sn = -.
n-+oo l-q
Autrement dit,
00
S n n a
= aq = a + aq + ... + aq +... = -.
n=O l-q
ii) Iq 1 ;> 1. - La série est divergente.
b) Série de terme général Un = CPn+l -CPn (n ;> 0). - Alors Sn = CPn+l -CPo.
La suite {CPn} et la série (un)o sont donc de même nature.
De plus
Hm CPn = 1 <=> (un)o est convergente et S = 1 - CPo.
n-+ 00
On écrit alors
eX)
l-cpo = UO+u l +...+u n +... = LU n .
o
3 0 Cas d'une somme finie. - Une sommefinieuO+u1+U2+.,,+unopeut
toujours être considérée comme la somme de la série convergente suivante:
U o + U 1 + ... + Uno + 0 + ... + 0 + ...
4 0 Premiers critères de convergence.
i) Condition nécessaire
(un)v convergente => Hm Un = o.
n-+oo
ii) Condition nécessaire et suffisante
Ve>O, 31V(e) tels que m;>n;>N(e)
(un)v convergente <=>
=> \u n +u n + 1 +... +um\<;e.
50 Remarque. - Pour étudier la nature d'une série on peut négliger un
nombre fini de termes. Autrement dit, les deux séries (un)v et (un)Jl sont
simultanément convergentes ou divergentes.
SÉRIES A TERMES POSITIFS
151
Ceci justifie la notation (un) au lieu de (un)o ou (un)v lorsqu'il s'agit d'étudier
la nature d'une série.
En posant
00
S = L u p ,
p=o
m
Sm = L U p ,
p=o
00
Rm = L U p ,
p=m+l
, .
on aura pour une serIe convergente
S = Sm+Rm.
II. - SÉRIES A TERMES POSITIFS.
1° Définition. - Une série de terme général Un est dite à termes positifs
lorsque Un ;> 0, Vn ;> v. Alors la suite associée {Sn} est nécessairement une
suite croissante et l'on en déduit
Sn borné <=> (un) convergente.
2° Théorème 5.11.1. (Théorème de comparaison). - Soit (Un) v et (vn)v
deux séries à termes positifs.
i) Si Vn;> no, Un <; KV n (K est une constante positive), alors
(v n ) convergente => (un) convergente
et (un) divergente => (v n ) convergente.
ii) Si Vn ;> no, 3a et b, constantes positives, telles que a <; Un <; b, alors
V n
(Un) et (v n ) sont de même nature.
iii) Si Un V n , alors
(un) et (v n ) sont de même nature.
Conséquence de i):
Si V n ;> no : Un + 1 <; V n + 1 les résultats de i) s'appliquent.
Un V n
3° Règle de d'Alembert. - Soit (un) une série à termes positifs; on considère
le rapport U n + 1 . Lorsque celui-ci satisfait à l'une des conditions indiquées
Un
ci-dessous, on peut connaître la nature de la série (un).
152
SÉRIES NUMÉRIQUES
a) Utilisation de u n + 1 .
Un
. ) \.1 Un + 1 ./ K K 1 ( )
1 V n ;> nO, - , avec <, => Un convergente.
Un
Dans ce cas, on a
O KUn
<Rn< ·
l-K
1 . 1 . ) \.1........ Un + 1 1 ( ) . .
V n no, -;> => Un dIvergente.
Un
b) Utilisation de Iim U n + 1 (lorsqu'elle existe).
Un
j) lim U n + 1 = l, avec 1 < 1, => (un) convergente.
n-+oo Un
. . ) 1 . Un + 1 1 1 1 ( ) d .
JJ lm - = , avec > , => Un lvergente.
n-+ 00 Un
Dans le cas où 1 = 1 on ne peut conclure.
Exemple : Considérons la série ( ) .
n! 0
On a
Un + 1 1
---,
Un n + 1
1 . Un + 1 0 d 1 0
lm - = , onc = ;
n-+ 00 Un
La série est convergente. Sa somme vaut e.
La règle de d'Alembert est surtout utile lorsque Un se présente sous forme
d'un produit, sinon son intérêt est limité.
4° Règle de Cauchy_ - Soit (un) une série à termes positifs, on considère
"
l'expression V u n . Lorsque celle-ci satisfait à l'une des conditions indiquées
ci-dessous, on peut connaître la nature de la série (un).
n_
a) Utilisation de V Un-
n_
i) Vn ;> no, VU n < K, K<l, => (un) convergente.
Dans ce cas on a
Kn+l
o < Rn < ·
l-K
n
ii) Vn no, V U n 1 => (un) divergente.
SÉRIES A TERMES POSITIFS
153
n
b) Utilisation de Iim VU n (quand elle existe).
n_
j) lim V un = 1, avec 1 < 1 => (un) convergente.
n-+ 00
n
jj) lim V Un = 1, avec 1> 1 => (un) divergente.
n-+ 00
Dans le cas où 1 = 1 on ne peut conclure.
Remarque. - Lorsque u n + 1 admet une limite l, pour n-+ + 00, alors V Un
Un
admet la même limite. (Comparer II, 3°, b et II, 4°, b.)
Exemple:
Série de terme général U" = ( 1 + :) _"2, n 1.
n_ ( a ) -n ( l+a )
Dans ce cas, Vu" = 1 + n = e-"Log ----;;- ,
donc
n
li V -a
m Un = e .
n-+oo
Pour a>O, on a 1<1, donc (un) convergente.
Pour a<O, on a 1> 1, donc (un) divergente.
Pour a = 0, Un = 1, ne tend donc pas vers 0 : (un) divergente.
5° Nature comparée d'une série à termes positifs et d'une intégrale.
a) Soit une application g : (a, (0) 1---+- IR+ supposée intégrable dans tout
intervalle (a, X) où X a. L'expression f: g(x)dx est positive et croît avec X.
Elle admet donc une limite A (éventuellement égale à + (0) que nous noterons
* I +oo [ I +oo ]
.. g(x)dx ou a g(x)dx.
* f +oo
Lorsque A. < 00 on dit que l'intégrale a g(x)dx est convergente; si A. = 00
* I + 00
l'intégrale a g(x)dx est dite divergente.
b) Considérons maintenant une série à termes positifs (un). - Supposons
qu'il existe une application f: (a, (0) 1---+- IR+ décroissante et telle que, \:ln ;> no,
* f + 00
f(n) = U". Alors la série (u,,) et l'intégrale a f(x)dx sont de même nature.
154
SÉRIES NUMÉRIQUES
. c) Application. - La série
1 1 1
1+-+-+...+-+...
2a. 3a. na.
converge pour ex> 1, diverge pour ex <; 1. En effet, si œ <; 0, Un ne tend pas vers 0,
d'où la divergence; si 0(>0, on peut comparer la nature de ( :a: ) et celle de
* I +OOdX
-, d'où le résultat.
1 xa.
En particulier, la série harmonique (œ = 1) est divergente.
ill. - SÉRIES A TERMES RÉELS, DE SIGNE QUELCONQUE, OU
A TERMES COMPLEXES.
1 0 Convergence absolue.
a) Définition. - A la série
Uo + Ut + ... + Un +...
on associe la série
Iuol + Iull + ... + lunl + ...
Lorsque la série (Iunl) converge, on dit que la série (un) est absolument
convergente. (En abrégé A.C.)
b) Théorème 5.111.1. (Iunl) convergente (un) convergente. - L'absolue
convergence entraîne la convergence. L'intérêt fondamental de ce théorème
réside dans le fait que l'on peut appliquer les propriétés du paragraphe 2.
à la série (Iu n 1) qui est à termes positifs.
c) Propriété. - Une série absolument convergente est commutativement
convergente, c'est-à-dire que toute série obtenue à partir de la série donnée
par une permutation quelconque des termes est A.C. et a la même somme.
(Cette propriété est vraie, en particulier, pour une série à termes positifs
convergente. )
Exemple:
Soit la série
. sin 2 sin n
slnl+ +...+ +...
2 n
On a
1 1 _lsinnl 1_
un, - 2 <;2 - VII.
n n
SÉRIES A TERMES RÉELS, DE SIGNE QUELCONQUE, OU A TERMES COMPLEXES 155
(V n ) converge (utiliser II, 5°, avec rJ., = 2), donc (Ju n 1) converge (théo-
rème 5.11.1.), alors (un) est absolument convergente, donc convergente.
2° Critères de convergence.
a) Critères de convergence absolue. - Les critères de convergence absolue
sont ceux des séries à termes positifs, appliqués à (lu n \).
Dans le cas où la série (Iu n \) diverge la recherche de la nature de (un) peut se
faire en utilisant l'une des méthodes suivantes.
b) Règle d'Abel.
Théorème 5.111.2.
La série
rJ.,oPo + rJ.,lP 1 + ... + rJ.,nf3n + ...
converge sous la condition suffisante suivante :
i) {rJ.,n} est une suite réelle positive décroissante,
m
ü) L P P <; K, où K est une constante, et ceci 'Vn et Vm ;> no.
p=n
Application:
oc n = \. (Â. est une constante positive) et Pn = cosnx (resp. sinnx).
n
m 1
On vérifie que L f3p <; --, pour x #= 2kn, k E Z.
p=n . X
SIn -
2
L ,. ( COS nx ) d -t.. 2k
a sene n).. est onc convergente pour x -r- n.
De même, la série ( Si: X ) est convergente pour tout x. (Pour x = 2kn le
résultat est évident.)
c) Série alternée. - On dit qu'une série est alternée si pour tout n, n ;> no,
Un et u n + 1 sont des réels de signes contraires.
Par exemple,
( 1 ) ( _1)n + 1
1+ -2 +...+ n +...
que l'on pourra noter
1 1 1 1
1--+-+...+ +...
2-2 2p+l 2p+2
156
SÉRIES NUMÉRIQUES
Théorème 5.m.3. Pour qu'une série alternée (un) converge, il suffit que
la suite {Iunl} tende vers 0 en décroissant lorsque n -+ + 00. On a alors
o < IR"I < IU"+II, avec R" do signe de ",,+1.
Ce théorème se déduit du précédent en posant rJ.,n = lunl et Pn = (-I)n
lorsque Un = (-l)nlunl.
Exemples:
( -ltsin )
et
« )}
œ>O.
d) Méthode par groupement des termes. - On considère la série
U o +u 1 +... +u n +...
, .
et une serIe
Vo+V 1 + ... +V n + ...,
qui se déduit de la précédente en regroupant au plus ko termes consécutifs.
Par exemple (avec ko = 2)
Uo + (u 1 +u 2 ) + (U3 + U4) + Us + ...
qui correspond à
Vo=Uo, V 1 =U 1 +U 2 , V2=U3+ U 4, V3=U S , etc.
Théorème 5.ID.4. - Sous la condition suffisante Hm Un = 0, les deux séries
n-+ 00
(un) et (v n ) sont de même nature. De plus, dans le cas de convergence, eUes
ont même somme.
Exemple:
( _1)R
U = est de même nature que la série (v p ) de terme général
n n+(_1)n+1
1
v p = tl2p-1 +u 2p = , pwsque lim Un = O. Comme (v p ) est conver-
2p(2p-1)
gente, [V p '" 4 2 J la série (uJ l'est également.
e) Méthode par décomposition du terme général. - En relation avec la
notion de somme de plusieurs séries. (V oir ci-dessous : Opérations sur les
séries. Applications IV, 3°, a.)
OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES
157
IV. - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES.
1° Définitions. - L'ensemble S des séries (un) est muni des trois lois sui-
vantes :
et) Loi additive. - On a
(Un) + (V n ) = (un+v n ).
/3) Loi externe. - Multiplication par un scalaire, Â, E lE,
Â,( un) = (Â,u n ).
y) Loi multiplicative. - On pose
(un)o(v n ) = (unov n ),
,
ou
UnOV n = UOV n +u 1 V n - 1 +... +unvo.
(Cette définition généralise le résultat du produit de deux sommes finies.)
On remarque que et) et /3) définissent sur S une structure d'espace vectoriel
sur lE.
2° Théorème S.IV.1.
i) Si (un) et (v n ) sont convergentes, alors (Â,un+j.lv n ) est convergente et
l'on a
00 00 00
L (Â,u n + j.lV n ) = Â, L Un + j.l LV n .
n=O n=O 0
ii) Si (Un) et (v n ) sont absolument convergentes, alors (uno v,J est abso-
lument convergente et l'on a
n oUnOVn = C oUn)C n).
iii) Si (un) est convergente et (v n ) divergente, alors (Â,un+j.lV n ), (p, * 0)
est divergente.
Remarques:
- L'ensemble des séries convergentes forme un sous-espace vectoriel
de S.
- il) énonce une condition suffisante de convergence de (unov n ); il en
existe d'autres moins exigeantes, mais a priori on ne peut rien dire de la série
(uno v n ) lorsque l'on sait seulement que (un) et (v n ) sont convergentes sans
l'être absolument.
Conclusion pratique pour les séries A.C. - Les séries absolument conver-
gentes se comportent, du point de vue algébrique, comme des sommes finies.
Autrement dit, les propriétés des opérations habituelles sur de telles sommes
158
SÉRIES NUMÉRIQUES
's'appliquent encore aux séries absolument convergentes. Par contre, ces
propriétés ne subsistent pas pour des séries convergentes sans l'être absolument,
en particulier, de telles séries ne sont pas commutativement convergentes.
(Voir exercice 5.IV.3.)
3° Applications.
a) Nature d'une série par décomposition de terme général. - Si Un se met
sous la forme Un = vn+w n et si l'on connaît la nature de (v n ) et (w n ), on peut
en déduire la nature de (un) dans les cas i) et iü) du théorème S.IV.!.
Exemple:
1 +( -l)nV
Un = ,
n
ou
1 ( -1 )n
Un = -+ V - ,
n n
1 ( _1)n
donc V n = - et W n = _ . Comme (v n ) est divergente et (w n ) conver-
n Vn
gente, on en déduit que (un) est divergente.
b) Série définissant e Z , zElE. - On considère la série
a a 2 an
1+-+-+... +-+...,
1! 2! n!
où a E C.
On constate, en utilisant, par exemple, la règle de d'Alembert, que cette
série est absolument convergente, quel que soit a. Soit f(a) sa somme.
La série
b b n
1 +-+... +- + ...,
1! n!
où bEC, est absolument convergente et a pour sommef(b).
La série produit
( an ) 0 ( b n ) = ( an 0 b n ) = ( a + b)n ) ,
n! n! n! n! nf
est donc absolument convergente, et l'on a
00 (a + b)n _ ( 00 an ) ( 00 b n )
L -L- L-,
o n! 0 n! 0 n!
soit
f(a + b) = f(a)f(b).
Cette propriété, caractéristique de la fonction exponentielle pour une
variable réelle, nous amène à poser f(z) = e Z , donc
Z2 zn
e Z = l+z+-+...+-+..., VZEC.
2! n!
5.1.1.
.
EXERCICES DU CHAPITRË 5
Montrer que les séries suivantes sont convergentes et calculer leur somme:
1 1
Arctg 1 +Arctg"j + ... + Arctg n2+n+ 1 + ...,
1 1 1
2 + 6 + ... + n(n + 1) + . ..,
1 1 2
3 + 12 +... + (n-l)n(n+ 1) +...
111
(Remarquer que Arctg n2 + n + 1 = Arctgii-Arctg n+l ' etc.)
5.1.2. Établir la divergence des séries dont les termes généraux sont définis
. ci-dessous :
5.11.1.
.
5.11.2.
.
n ' .
. ,
nLog(l+ ) (n l);
sin n.
sh n,o
( - l)n ;
Donner la nature des séries de termes généraux suivants:
n!
n! ( A' )
n a est une constante positive uonnee ;
a
2n
-.
n+2 n '
( n 2 - 5n+ l ) n 2
n 2 -4n+2 .
.
nn'
( n+a ) n 2
n+b
(a et b sont des constantes positives) ;
Donner la nature des séries de termes généraux suivants:
1
na{Log n){3'
I+Log n .
n V n '
a. et f3 sont des constantes réelles données (cf. 9 II, 5°) ,.
n 2 +an+ 1 ,
Log n 2 + bn+ 2' a et b sont des constantes reel/es;
1
2n n 3 + 1
Arc sin 4n 2 + 1 ; Arc cos n 3 + 2 ;
.
n cos 2 n '
1
sin n(n+ 1)
1 1
cos n. cos n+ 1
.
,
Arg sh n
n[Log n]2.
160
5.D.3.
.
5.ll.4.
..
5.11.5.
..
5.ll.6.
..
5.ll.7.
..
5.ll.8.
..
5.ll.9.
...
SÉRIES NUMÉRIQUES
Donner la nature des séries suivantes:
1
ch-
n
sin 2 n
n 2
.
,
an 1
2 . (a constante positive) ; - h ;
-Sllln c n
n
3
Vn+2(-1)n'
th n
esin n .
,
1
V - n (. .).
n+ 2(-1) n
.
n '
O -1' l ' ( ) -1 +; n 2 (n+ 1)2
n consiuere a serie un 0 ueJlnie par un = , ·
n.
Montrer qu'elle est convergente et trouver sa somme (cf. II,3°, exemple).
Soit {un} i une suite de termes positifs. Comparer la nature des séries
(u n)"
( l nun L
et
Soit (un)" et (v n )" deux séries positives convergentes. Montrer que la
série <V unv n )" est convergente.
( 1 1 ) 1 1
Généraliser pour UnPVnq ", où - + - = 1.
p q
{ } al +a2+ ...+a n
Soit an <f une suite de termes réels et b n = ·
n
Établir la propriété suivante:
(a )l convergente => b n -+ O.
n -. <X>
Soit (a n )l une série à termes positifs, convergente et telle que la suite {an} f
soit décroissante. Montrer que na n -+ O.
n -. <X>
[Pour cela on pourra étudier la série (n[a n -a n +l])l.]
Soit une série à termes positifs (u n )l qui est supposée convergente.
a) Établir simplement que la série ( :n t est convergente pour a:> 1.
n _
b) Montrer que Sn = VU; <; KVn, K étant une constante convenable.
p=l
A partir de la relation
VU; = ( 1 ) ( 1 1 ) Sn
ex 1- 2 ex Sl+."+ (n-l)cx n ex Sn-l+ n ex '
p=l p
montrer que la série ( :n ) 1 est convergente pour a:> .
5.111.1.
..
5.m.2.
..
5.m.3.
..
5.IV.1.
..
5.IV .2.
...
S.IV.3.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 5
161
c) Cas de Œ = . - Donner un exemple de série, (u"h, convergente et
telle que ( ) 1 soit divergente.
Donner la nature des séries de termes généraux suivants:
cos Vii . (1 + on . .
n Vii' (n 2 + l)a" (a est une constante positive) "
( - 1 )11
n 2 +sin n 2 .
Donner la nature des séries suivantes (cf III, 2°, application) :
cos na Log n cos 2n ( _l) lI co V s ji n .
/- (a est une constante réelle),. L ;
1 n n og n
Donner la nature des séries alternées suivantes:
(-l)n(Log n)2
Vii
( - 1 )11
th n .
.
,
sin TC Vn 2 + 1 ,.
Quelle est la nature des séries ci-dessous:
( _ l)n + 1 .
n + ( - l)n '
(-l)n 1/11+1
.
,
sin 3 n(Log n)3
cos 2 n ?
n
n
nt
Soit une suite {zn 1'0 telle que 5tez n 0 (ou JZ n 0). On suppose que les
séries (zn)O et (z )o sont convergentes. Montrer que la série (lzn!2)O est
convergente.
1 ° On considère la série harmonique alternée:
1 1 (_1)n+ 1
1-2:+3+".+ n +...
Vérifier que cette série est convergente sans l'être absolument. A l'aide
de la formule de Mac-Laurin appliquée à Log (1 + x), pour x = 0 et
pour x = 1, trouver la valeur de la somme de cette série.
2° On considère maintenant la série dont les termes sont ceux de la série
précédente écrits dans l'ordre suivant:
11111 1 1 1
1-2:-4 + 3-6-8 + ... + 2n+ 1 - 2(2n+ 1) - 2(2n+2) + ...
Établir que cette série est convergente et que sa somme est la moitié
de la somme de la série alternée précédente.
SOLUTIONS
5.1.1.
111
a) Établ issons la relation Arc tg n 2 + n + 1 = Arc tg n - Arc tg n + 1
Pour cela, il suffit de poser
1
a = Arc tg -
n
et
1
b = Arc tg n+ 1 .
Alors on a
tg a-tg b
tg (a-b) = l+tgatgb =
1 1
---
n n+1
1
1+ n (n+1)
1
= n2+n+l '
de plus, on a l'implication suivante :
1t 1t ( . 1 1 ) 1t 1t
O<a< 2 et O<b< 2: pUIsque 11 et n+ 1 >0 => - 2 <a-b< 2 .
Donc
1
a-b = Arc tg n2+n+ 1 .
[Autre procédé. - Soit
1 1 1
y = Arc tg X2+X+ 1 -Arc tg x + Arc tg x+ 1 ;
la dérivée y' étant nulle, y est constant, y = Ki (i = 1, 2, 3) dans chacun des inter-
valles de continuité ]-00, -1[, ]-1, 0[, ]0, +00[.
Pour XE ]0, +00[, on obtient y = K3 = 0 (faire tendre x vers +00, ou bien x
vers 0+), d'où l'on déduit la relation demandee.]
Calcul de la somme partielle Sn.
Sn = Arc tg 1 + ( Arc tg 1- Arc tg )
+ (ArC tg -Arc tg 0 + ...+ (Arc tg -Arc tg n 1 ')
donc
1 1t
Sn = 2 Arc tg 1- Arc tg + 1 -+ 2 Arc tg 1 = _ 2 .
n n oo
SOLUTIONS
163
, La. série ( Arc tg 2+1 + 1 ) est donc convergente et a pour somme 2 ' d'où l'on
dedult n n 0
1t 00 1 1 1
2:= oArctg n2+n+l = Arc tg I+Arctg 3+...+Arctg n2+n+l +...
, .. d l , . 1 1 1 1
b) A partir de la decomposltlon e expressIon ( + 1) : ( + 1) = - - + 1 . ,nous
d ' d . Il n n n n n
e ulsons
Sn =(l- )+( - )+...+( - n l )= 1- n l n:oo 1.
( 1 \
La série n(n+ 1) t est donc convergente et a pour somme 1; d'où
00 1 1 1 1
1 = 1 n(n + 1) = 2: + 6 + . . . + n(n + 1) + ...
c) Décomposons en éléments simples la fraction rationnelle (X2 l)x ; nous
obtenons
2 1 1 2
(x-l)x{x+1) = x-l + x+l -x.
Donc
n ( 1 1 2 ) n-l 1 n+ lIn 1
Sn= -+--- = -+ --2
p=2 p-1 p+l p Pl=lPl P2=3P2 p=2P
(poser Pl = p-l et P2 = p+ 1).
L'intervalle « commun» des indices des trois sommes étant [3, n-l], nous pou-
vons écrire Sn ainsi :
Sn = ( 1+!+ n 1 ! ) + ( "!+ + n l ! ) -2 ( !+ n l !+! ) ,
2 p=3P n n+ 1 p=3P 2 p=3P n
ou encore
1 1 1 1
S = -+--- -+ -
n 2 Il + 1 n n oo 2.
La série ( n2 1)n t est donc convergente et a pour somme .
5.1.2.
La notation -/--,;0 empIoyee ici signifie : ne tend pas vers o.
a) n!-/ O lorsque Il -+ 00, donc (11!)1 diverge.
b) nLog (l+ ) = n [ +o( )] -l, donc nLog (l+ ) -/ Olorsquen--Hx)
et, par suite, (n Log ( 1 + ) ) 1 diverge.
164
SÉRIES NUMÉRIQUES
c) (-l)n -/ 0, donc « -l)n)l diverge.
1
d) sh n "-1 2: en, donc sh n -/ 0 et, par suite, (sh n)l diverge.
e) Alontrons que sin n -/ 0 lorsque n -+ 00 en montrant que l'hypothèse sin n -+ 0
entraîne une contradiction. Si sin n -+ 0, on a
sin (n+2)-sin n = 2 sin 1 cos (n+ 1) -+ 0,
n <X>
ce qui entraîne cos n -+ O. Alors, sin 2 n+cos 2 n -+ 0, propriéte évidemment eontra-
n-> <X> n-> 00
dietoire, puisque sin 2 n+cos 2 n = 1, 'Vn. Donc, sin n -/ 0 et la serie (sin n)o diverge.
5.11.1.
Toutes les séries proposées sont a termes positifs.
n. U n + 1 ( Il ) l ,
a) Un = -;, => - = - n -+ 1 = - (inferieur al).
n Un n+ 1 12->00 e
La série ( : ) 1 est donc convergente (règle de d'Alembert).
n! U n +l n+ 1
b) U n = 1i=>-=-;> 1 pour n>a-l.
a Un a
La série ( : ) est donc divergente (règle de d'Alembert).
) S . 2n 2n
C Olt Un = n+2n . Alors Un"-l 2" = V m d'où l'on déduit
V n + 1 n+ 1 1 ( . c' . ' 1)
- = _ 2 -+ 1 = 2 - InterIeur a .
V n n n- <x>
La série (v,,) 1 est convergente, donc la série (u"h = ( n 2" ) 1 est convergente
Oes termes UII et v n étant positifs, on peut utiliser le théorème de comparaison 5.11.1.).
d) Soit U" = ( : : r2, on a alors
"VU: = ( n+a )" = (l+ r
" n+b (1+ r
e a
-+ b = e a - b = 1,
n <x> e
SOLUTIONS 165
on en deduit alors les résultats suivants :
b>a => 1<1, donc (U,Jl converge;
b<a => 1> 1, donc (Un)l diverge;
b = a => Un (= 1) -/ 0 lorsque Il -+ 00, donc (Un)l diverge.
. ( n 2 - 5n+ 1 ) n 2
e) SOIt Un = , n2-4n+2 ' on a alors
( 5 1 ) n
1- ïi + n2 - 5
nvu: = -+ e -4 = e-l(inferieur a 1), donc (un)l converge.
( 1- + ) n n-?oo e
n n 2
5.11.2.
a) Soit la série Un = "(L I )P expression qui est positive.
n ogn
1
Premier cas : œ o. - La fonctionf(x) = a(L )P est décroissante dans [a, 00[.
x ogx
(a assez grand dépendant du choix de œ et de p) et f(n) = Un.
Donc, (un) est de même nature que l'intégrale
f oo dx
a xa(Log x)P
(dans tous les cas, prendre a > 1).
- Si e<> 1 et p O. - On aura
f oo dx f oo dx a 1 - a
---<00
a xa(Log x)P a x a - œ-1 '
donc (un) converge.
œ-1
- Si œ> 1 et p< O. - Posons GO = 2' donc {3 = œ-Go> 1.
Pour x assez grand : x b, on aura (Log x)lpl <; xto, donc
1 xto 1
a(L )P <; a = - p ' "Ix E [c, 00[, où c = sup (a, b).
x og x x x
Par suite,
f oo dx f oo dx c 1 - P
- - - <00
c xa(Log x)P c x P - {3-1 '
d'où l'on déduit la convergence de la série (un).
166
SÉRIES NUMÉRIQUES
Si œ < 1 et p O. - On aura
f oo dx ::?; f oo dx - + 00
Q xa(Log x)P Q xa - ,
donc (un) diverge.
1-œ
- Si œ<l et p>O. - Posons Bo = 2' donc f3 = œ+eo<l.
Nous aurons alors
f oo dx ::?; j "oo dx _ +
c xa(Log x)P c xa+eo - 00,
d'où l'on déduit la divergence de (un).
Si œ = 1. - On peut écrire
) + 00 si p 1, donc (un) diverge,
f oo dx - (Lo a)-P+l
a x(Log x)P - g 1 si p> 1, donc (un) converge.
p-
Deuxième cas : œ < O.
La suite Un -/-+ 0 lorsque n 00, donc (un) diverge.
En résunlé, on a
œ > 1, p quelconque => (un) est convergente;
œ < 1, p quelconque => (un) est divergente;
œ = l, p > 1 => (un) est convergente;
œ = 1, p 1 => (un) est divergente.
. 1 + Lo g Il . . . Log n , .
b) SOJt Un = V - qUI est posItIf. On a Unl"toJ 3/2 = V n ; la serIe (V n )l converge,
n n n
. 3
pUIsque ri = 2 et p = -1 (cf. question a), donc (un)! converge.
e) Soit
n 2 + ail + 1 ( al ) ( b 2 )
U n = Log n2+bn+2 = Log 1+ + 112 -Log 1+ïï+ n 2 .
On écrit alors
l( = + _ a 2 _ [ + _ b 2 ] +o ( ) _ a-b + b 2 -a 2 -2 +o ( ! )
n n n 2 2n 2 11 Jl2 2n 2 n 2 - 11 2n 2 n 2 .
a-b
Si b # a. - Le terme Un est de signe constant pour n assez grand, d'où u n ",-,
qui est Je terme général d'une série divergente, donc (un) diverge. n
- Si b = a. - Le terme un est de signe constant (négatif) pour n assez grand;
on a Un - 2 ' qui est le terme général d'une série convergente ( , avec 0( = 2> 1 ),
donc (un) converge.
d) Remarquons que l'on a nécessairement cos n 0, sinon 1t serait un nombre
rationne] .
SOLUTIONS
167
1 1
Nous avons Un = 2 > - = V m qUI est le terme général d'une série divergente,
n cos n n
donc (un) diverge (cf. théorème de comparaison).
. 2n
e) Un = Arc sin 4n 2 + l "-1
gente, donc (un) diverge.
2n
4n 2 + 1
1
"-1 - =
2n
V m terme général d'une série diver-
. . n 3 + 1 ( 1 )
j) SOit Un = Arc cos n 3 +2 = Arc cos 1- n 3 + 2 = Arc cos (l-x n ).
Il est clair que Un -+ 0, donc de la relation cos Un = 1- X n , on déduit
n-> <X>
u 2
1- 2! +o(u;) = 1-x n (développement limité de cos y autour de y = 0),
ou encore
1 V2 ' , 1 d , , .
Un "-1 V kX n "-1 3/2 = V n terme genera une serie convergente.
n
Donc (u,J est convergent.
g) Il est clair que Un =
appartiennent à ] 0, [ .
. 1
sin n(n+ 1)
1 1
cos Ii .cos n+ 1
111
est P ositif , P Uis q ue - et
n(n+ 1)' n n+ 1
U "-1 l "-1 = V n , terme général d'une série convergente ( n I a , avec
n n(n+ 1) n 2
IX = 2> 1), donc (un) converge.
O . 1 1
n peut remarquer aUSSI que Un = tg - - t g - 1 . On en déduit la convergence
de (un)! et la somme égale a tg 1. n n+
h) On sait que Arg sh x = Log (x + VX2 + 1 ) , on en déduit
Arg sh 1'l Log (n+ V n2+ 1) Log 2n 1
U = = "-1 "-1 =v,
n n (Log n)2 n (Log 11)2 n (Log n)2 n Log n n
1
V n est du type l) (L )P ' avec et = 1 et p = 1.
n og Il
Du paragraphe a), l'on déduit (v n ) divergente, donc (un) divergente.
168
SÉRIES NUMÉRIQUES
5.11.3.
. 2 1
) L sin n .. d . 1 ' , 1
a e terme Un = ? est posItif, onc un _ 2 = V n , qUI est e terme genera
n n
d'une série convergente, donc (cf. theorèn1e 5.11.1.) (un) converge.
1
ch-
n
b) Le terme Un = est positif et
J1
série divergente, donc (un) diverge.
1
u - = v n qui est le terme général d'une
n n
an
c) Sun 'P OSO!lS a<1. - Nous avons u = an = V n .
Y. Il 2- sin n '""
(an) converge (série géométrique), donc (un) converge.
an
Supposons a 1. - Nous avons Un "3' donc Un -/ 0 lorsque n 00. Par suite
(un) diverge.
1 . . 2 ( Vn + 1 )
d) Le terme Un = ch n est pOSItif, et Un en = V n ; (v n ) converge former V n '
donc (un) converge.
e ) U n = 3 est P ositif. Le terme 2(-1)n vaut 2 ou! donc U n l n = V n ,
Vn+2<-1)n 2' vTt
la série (v n ) divergente entraîne que la série (un) est aussi divergente.
/) th n . . f 0 . 1 . h 1 d . ( )
Un = - est POSltl. n salt que lm t x = , onc Un et, par sUite, Un est
n x oo n
divergente.
g) Un = e sin n e- 1, donc Un -/ 0, lorsque n 00. Par suite, (un) diverge.
1
h) Un = est positif. On a donc
Vn+2<-1)nn
U2p+ 1 =
1
1
V2p+ 1 + 2 2P + 1
1
V2p+ 1
1
1f2Vjj
- V p .
La série (U2P+l)1, « extraite» de la serie positive (U n )l, est divergente. Ceci entraîne
que (U n )l diverge. [En effet, (U2p+ 1)1, série positive divergente, est équivalente a
n
tI" = U 2p +l -+ 00 en croissant (un suite des sommes partielles).]
p=l n oo
Soit Sn la suite des sommes partielles de la série (U n )l
2n+ 1 n
S2n+1 = UK U2p+1 = G m
K=l p=rl
donc S2ra+ 1 00 et, par suite, (U n )1 diverge.]
n oo
SOLUTIONS
169
5.11.4.
Rappelons que O! = 1.
n 2 (n+1)2 u
Le terme Un = , est positif. De plus, n+ 1 ----+ 1 = 0 « 1), donc (un)o
converge. n. Un n--+oo
Calculons sa somme. - Nous indiquons ici une méthode générale applicable à
Un = P(7) , où P(n) est un polynôme de la variable n de degré fixe.
n.
Il existe cinq constantes A, B, ..., E, déterminées de façon unique et telles que
l'on a il
n 2 (n+ 1)2 = An(n-1)(n- 2)(n- 3)+ Bn(n-1)(n- 2)+ Cn(n-1)+ Dn+ E.
[En effet, les polynômes x(x-l)(x- 2)(x- 3), x(x-1)(x- 2), x(x-1), x et 1 consti-
tuant une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 4
le produit x 2 (x+ 1)2 se décompose de façon unique suivant cette base.]
Par identification, on obtient
A = 1, B = 8, C = 14, D = 4, E = 0
et, par suite,
1 8 14 4
Un = (n-4)! + (n-3)! + (n-2)! + (n-l)! (pour n 4).
Alors
00 3001 00 1 8 1 00 1
n o Un = n o Un + n 4 (n-4)! +8 4 (n-3)! +14 4 (n-2)! +4 4 (n-1)!
ou encore
n o un = 4+l8+24+e+8[e-l]+14 [e-l- l \ ] +4 [e-l- l \ - ;! ] = 27 e.
1
Autre.l?rocéd . - En convenant d'écrire (_ ) , = 0, "ln E IN*, on obtient la dé-
composItIon sUIvante : n .
00 00 1 00 1 00 1 00 1
Un = , +8 _ , + 14 _ , +4 _ , = 27 e
n=O n=O (n-4). n=O (11 3). n=O (n 2). n=O (n 1).
[par exemple :
00 1 00 1 00 1
(-4)' = (-4)' = ,= e, en posant m= n-4,
n=O n . n=4 n . m=O m.
ou encore
00 1 1 1 1 1 ( 1 1 1 1
o (n-4)! = (-4)! + (-3)! + (-2)! + (-1)! +1+ 1! + 2! +."+ m! +". = e.
170
SÉRIES NUMÉRIQUES
5.11.5.
a) Supposons que la série (Un)" soit convergente.
La majoration
Un
1 Un'
+U n
" 1 . d 1 ," ( Un )
entrame a convergence e a serie 1 + unI" .
b) Supposons maintenant que (un)" diverge.
S " 0 1 Un " ( Un ) d "
1 Un , a ors 1 + '" Un et, par sUite, 1 + Iverge.
n--+oo Un Un "
Si Un -/ 0, alors V n = 1 nUn I O [ sinon un = 1 V nV n 0 ] et, par suite, ( 1 nUn )
diverge.
5.11.6.
Soit Sn [resp. Un, resp. b,J la suite des sommes partielles de la série (un)" [resp. (Vn)v,
resp. (V unV n ),,]. Nous avons V unv lZ u n + v n et, par suite,
n n
b n = V Upv p (u p + v p ) = Sn+un.
p=:" p="
00
La suite Sn tend en croissant vers S = u p , puisque (un)" est une série positive
convergente. p = "
De même,
00
Un U = V p .
p="
TI en résulte que la suite croissante {13n} est bornée superieurement par S +u. D e
la convergence de la suite {b n }, on déduit alors la convergence de la série (V unv n )".
Généralisation. - De l'inégalité de Young,
a P b 4 1 1
ab <; - + -, où a et b 0 et p et q> 1, avec -+ - = 1,
p q p q
on déduit
1 1
é fJq + , el et fJ o.
p q
SOLUTIONS
171
" n Ils (J
La suite croissante b n = u v est donc bornée superieurement par - + - ,
k=v P q
et l'on en déduit la convergence de la série (u viL.
5.11.7.
(a;)l est une série positive convergente, donc la suite Sn ( = a; ) des sommes
p=l
partielles tend en croissant vers une limite S ( notée £ a: )
p=l
Sn S; Vn.
On a alors
b 2 = (al + ...+a n )2 n(aî+ ...+a;) S
n n 2 n 2 n'
d'où l'on déduit Ibnl V et, par suite, b n -+ O.
V n 7/.---+00
5.11.8.
(an) 1 posItIve et convergente, donc Sn = al + ...+a n tend en croissant vers
S ( = £ an )
n=l
Sn S, Vn.
Étudions la nature de la serie positive (n[an-an+l])l. Pour cela on considère la
suite (J n de ses sommes partielles :
(1) (Jn = (al-a2)+2(a2- a 3)+ ...+n(a,z-an+l) = Sn-na n + 1 S.
La suite (Jk est croissante [puisque la série (n[a n -a n +l])l est positive] et bornée
superieurement par S, donc convergente :
(Jn (J.
n---+ 00
De (1) on deduit na n +l S-(J = À, ou encore
n OO
(n-1)a n À.
n oo
172
SÉRIES NUMÉRIQUES
S '] 0 0 À À d ( ) . ., , d ..
....:. ; IL> . - n a an'" _ 1 '" -, onc an 1 diverge, propriete contra Ictolre.
1l- n
On a nécessairement À = 0 et par suite
(n-1)a n 0,
n ---+ 00
ce qUI entraîne [puisque an 0]
n oo
na n o.
n oo
5.11.9.
a) (Un)! convergente => Un 0 => {Un} est bornée, c'est-a-dire que l'on a
n---+ 00
o Un K, Vn, où K est une constante.
On en déduit 0 < V!" qui est le terme général d'une série convergente si ex> 1.
n n
D ( VU: ) , . . 1
onc na 1 est une sene convergente SI lX> .
b) En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a
[ .t aibi ] 2 ( .t a; ) ( .t bl ) ,
l=1 l=1 l=1
avec a; = V U. et b. = 1 nous obtenons
. 1. 1. ,
( n ) 2 n
S; = i 1 V U; < n j 1 U;.
A fortiori, on a
s n ( .£ u; ) , Vn,
l=1
ou encore
Sn < xVIi, avec X = V j 1 Uj.
Soit (j n la suite des sommes partielles de la serie a termes positifs ( ) . On sait
que l'on a l'équivalence suivante : n
( ) 1 convergente (J n bornée supérieurement.
Or (poser V u p = S p-S P-l)
< (1- ;« )+ ...+ ( n 1)« - « )Vn+ = b n + .
SOLUTIONS
173
La série (v"h = ([ (n 1)'" '" ] vn t est convergente pour ex> , puisque v,,'" nt ex + ""
Donc {b n }, suite des sommes partielles de (V n )2, est bornée:
ex>
b n v n = Kt, où KI est une constante,
n=2
et, par suite, on a
(T" K[ KI + ] K(K 1 + 1), "ln, (K(K 1 + 1) est une constante).
La série ( ) 1 est donc bien convergente pour ex > .
c) La série (U")1 définie par Ul = 0 et U" = [L 1 ]2 pour n> 1 est convergente
V- n og n
(voir exercic 5.11.2.). La Série( n " ) 1 qui correspond au cas ex = est divergente,
puisque ( L ) est divergente.
n og n 2
5.111.1.
. cos vn
a) SOIt Un = 11:. Nous avons alors
nv n
1
Iunl 3 = V m
n 2
qui est le terme général d'une série convergente.
La série positive (lunD est donc convergente, ou encore de façon équivalente on
peut dire que (un) est absolument convergente.
(1 + i)n
b) En posant Un = (n 2 +1)a n , nous avons
(V2)n (V2)n
IUnl= (n2+1)an n2an = v n -
v n + t V2
De plus, - 1 = -,
V n n ex> a
- pour 0> 1/2, nous aurons 1< 1, donc
(v,J convergente => (lunD convergente <=> (un) absolument convergente;
- pour 0<1/2,
lunl -/ 0 pour n 00, donc (un) est divergente;
- pour 0 = V2,
( n n ) ft
cos 4 + i sin 4
n 2 +1
n . 11:
cos n 4 + i SIn n 4
n 2 +1
Un =
174
SÉRIES NUMÉRIQUES
En utilisant le théorème 5.111.2. (règle d'Abel) avec
1 P n.. n
(Xn= n 2 +1 et n=Cosn 4 +lsmn 4 ,
nous en déduisons la convergence de (un).
) E (-l)n 1 . . .
c n posant Un = 2 + . 2' nous avons a majoratIon SUivante
n sIn n
1
IUnl n 2 -1 = v m
(v,J etant une série convergente, il en resulte que (lunD est convergente, ou encore
la série (un) est absolument convergente.
5.111.2.
,. ( COS na Log n )
a) Pour montrer que la sene vn est convergente lorsque a =j:. 2kn, keZ,
. 1 ffi d 1 . 1 h '.. 5 II n 2 Log n [l 'c . Log x
1 su t 'app Iquer e t eoreme . 1. ., avec OC n = Vi! a lonctlon vx est
décroissante pour x assez grand : x Xo] et Pn = cos na.
,. ( LOg 11 ) . Log n I.
Pour a = 2kn, la sene Vii est dIvergente. En effet, on a vn Vii ' qUi est
le terme général d'une série divergente.
b) Pour montrer que la série ( c s 2n ) est convergente, il suffit d'appliquer le
n ogn
théorème 5.111.2., avec OC n = LI et /3n = cos nx, où x = 2(=j:. 2/ar).
n ogn
c) €onsidérons l'égalité suivante :
(-l)n cos n cos n(l +n )
-
vn VIî
En utilisant le théorème 5.III.2., avec OC n = et /3n = cos nx (cf. III, 2°, b),
, 1 ( -1- 1 ) d d . n d 1 ,. (-l)n cos n
ou x = + n -r- 21m nous en é Ulsons la convergence e a sene vn ·
5.m.3.
) C. [Log X]2 d . . [
a La lonctlon x V:x est écrOlssante sur l'mtervalle ]A, + 00 (A est une
constante positive convenablement choisie). La série alternée (un)v (où v = [A] + 1)
satisfait donc aux conditions du théorème 5.111.3. et, par suite, elle est convergente.
SOLUTIONS
175
b) nV11 2 + l "'nn, expression que nous allons faire apparaître en écrivant les égalités
suivantes :
Un = sin [(nVn 2 + l-lln)+nn] = (-I)n sin (n V n2+ I-nn) = (-I)n sin an.
Il est clair que la suite CXn = V n: est décroissante, avec CXn e ] o, 2[ pour n 1.
n 2 + 1 + n
Donc sin (X,I tend, en décroissant, vers zéro et, par suite, la série (un) est convergente
(cf. théorème 5.111.3.).
c) Le terme Un = ( ll n ne tend pas vers zéro lorsque n-+ 00, donc la série (Un)
est divergente.
S.IV.1.
a) Nous avons
1 1 1 1 1 1
(U 1 ,)2 = -3 + "2-5 + 4-."- 2p+ 1 + 2p -".
La série (V p )1, qui se déduit de la précédente par regroupement de termes consé-
cutifs deux à deux
(V p )l = (- +D + (- + ) +...+ (- 2P 1 + 2 ) +...,
. 1 1
est convergente, pUisque V p = 2p(2p+ 1) '" 4p2 .
Donc la série (U n )2 est convergente.
b) U = (-1)nViï+l = (-w +! = vn+w n .
n n Vii 11
la série (V")1 est convergente (cf. théorème 5.111.3.) et la série (W n )1 est divergente.
On en conclut donc que la série (U n )1 est divergente.
c) A partir de la fornllde trigonométrique sin 3x = 3 sin x- 4 sin 3 x, nous déduisons
4 _ 4 sin 3 n(Log n)3 _ 3 sin n(Log 11)3 sin 3n(Log n)3 _
U" - .J.. - "" - _'- - 3v,,- W".
n n n
E .r 1 h " 51112 (Logn)3 R . [
n ut! Isant e t eoreme . .. avec (x" = nt et fJn = SIn Il remarquer que
l e. (Log X)3 d ,. ]A [ A . . f h .. ffi
a lonchon XH -'-- est ecrOissante sur , 00 , pour pOSlti c OISl su samment
X3
grand], on constate que (V n )1 est convergente. De même (W n )1 est convergente. Donc
(4U n )1 et, par suite, (U n )1 sont convergentes.
2 cos 2 Il cos 2n 1
d) 2u n = - + - = vn+w n .
n n n
La série (V n )1 est convergente et la série (W n )1 est divergente. Donc (2u n ) 1 et,
par suite, (U n )1 sont divergentes.
176
SÉRIES NUMÉRIQUES
5.IV.2.
1 0 Soit Zn = xn+ iYn. Par hypothèse X n est positif ou nul.
On a
(Zn)O convergente <=> (xn)O et (Yn)O convergentes
ce qui entraîne que l'on a X n et Yn 0, lorsque n 4- 00.
Puisque la suite {xn}o tend vers zéro, on aura
o X n 1, Vn no, 110 étant entier convenablement choisi,
et, par suite,
o x X n 1,
Vn no.
La série à termes positifs (x;)no est convergente, puisque la série majorante (xn)no est
f:onvergente. Donc la série (x )o est convergente.
2° On a
(zi)o convergente <=> (xi - Yi)o et (2x n Yn)o convergentes.
Puisque les séries (XT,)o et (x - Y;)o sont convergentes, nous en déduisons que la
série (Yi)o est convergente.
3 0 On a aussi
(xl,)o et (y )o convergentes <=> (l z nI 2 )0 = (X; + Y;)o convergente.
5.IV.3.
1 0 La série des valeurs absolues est divergente (serie harmonique), mais la série
proposée converge d'après le critère des séries alternées.
En posant y = Log (1 + x), on a
Y (n) = (-I)n+ 1(n-1)!
(1 +x)n ,
d'où l'on déduit la formule de Mac-Laurin pour Log (1 + x)
x 2 (_1)n+ 1 (_1)n+2xn+l
Log(l+x)=x-2"+".+ n x n + (n+1)(1+0x)n+l ,O<O<1,
et en faisant x = 1 on obtient
1 (_1)n+ 1 (-l)n
Log 2 = 1- 2 +".+ n + (n+1)(1+0)n+l.
SOLUTIONS
177
Soit Sn la somme partielle d'ordre n de la série étudiée, on a alors
( -1)n
Sn-Log 2 = (n+l)(1+0)n+ 1 '
malS
( -I ) n 1 1
./ . 1
(n+1)(1+0)n+ 1 n+l ' pUIsque 1+0 < ·
On en conclut que l'on a
Hm Sn = Log 2
n oo
et aussi
1 1 (-l)n+ 1
1- 2 + 3 + ... + n + ... = Log 2.
2° En appliquant la n1éthode de groupement des termes consécutifs, légitime
ici (théorème 5.111.4.), on vérifie la convergence de la série, puisque l'on a
1 1 1 1 1
- "'" -
2n+ 1 2(2n+ 1) 2(2n+ 2) 4(2n+ l)(n+ 1) Sn 2 .
En tenant compte"de 2n 1 2(2:+ 1) - 2(2:+ 1) la série peut aussi s'écrire
1 ( 1 1 1 1 1 )
2 1-2+3-4+".+ 2n+1 - 2n+2 +".
et, d'après la question 1 0, la somme de cette série est Log 2. Ce résultat illustre bien
la conclusion du paragraphe IV, 2°.
M.P.2-P.C.2
6. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
A. - Suites de fonctions
Soit une suite de fonctions
ln : (a, b) H IR
(éventuellement a = - 00 ou b = + 00); (œ,p) désignera un intervalle inclus
dans (a, b) avec œ {3.
1. - CONVERGENCE SIMPLE ET CONVERGENCE UNIFORME
D'UNE SUITE DE FONCTIONS.
1 0 Convergence simple. - Supposons que pour chaque XE (œ, 13), la suite
numérique {/n(x)} admette une limite. Cette limite est donc une fonction f
définie sur (œ, {3). On dit alors que la suite de fonctions {ln} converge simple-
ment (en abrégé C.S.) vers f sur (œ, [3). Ceci se traduit par
Ve>O, 3N(e, x) tel que n N => It,(x)- I(x) \ e [x E (œ, 11)).
Exemples:
a) Soit III : IRHIR définie par
nx 2
x Ho f,,(x) = 2 ' n E lN.
l+nx
- Pour x =1= 0,
lim f,,(x) = 1.
n-+co
- Pour x = 0
,
/,,(0) = 0,
donc
lim /,,(0) = O.
n-+ co
{ln} converge donc simplement vers la fonction 1 définie par
( ) _ 1 SI X =tf 0,
X H J' X - (0 si x=o.
b) Soit ln : IR Ho IR définie par
x H f,,(x) = nxe- nx2 +x.
180
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Pour chaque x on a lim J;,(x) = x, donc {fn} converge simplement vers la
n-+ 00
fonction f telle que f(x) = x, Vx E IR.
2 0 Convergence uniforme.
Définition. - On dit que la suite de fonctions {fn} converge uniformément
(en abrégé C.U.) sur (et, /3) vers la fonctionfpour exprimer que V8>0, 3N(8),
indépendant de XE( et, P), tel que . ·
n ;> N(8) => 1J;,(x)-f(x)1 8,
v X E (et, f3).
Interprétation géométrique. - Voir graphe ci-dessous :
o cx;
(3
x
Remarquons que
C.U. sur (et, /3) => C.S. sur (et, /3).
Exemple:
Reprenons l'exemple a) du paragraphe 1°.
ex) On a la convergence uniforme de ln vers 1 sur [ro, 00 [, où ro est une cons-
tante donnée positive. En effet, sur cet intervalle
nx 2 1
1J..(x)-f(x)j = 1- 1+nx2 - 1+nx 2 '
Pour
[ 1- 8 ]
n ;;;a. N = (J)2e + 1,
on a
1J;,(x) - f(x) 1 8.
P) Peut-on avoir la convergence uniforme sur [0, ro[? (Auquel cas il y
aura convergence uniforme sur [0, 00[.)
Supposons qu'il en soit ainsi, alors
\:18>0, 3N(e) tel que l'on a 1J;,(x)-f(x)1 8, \:ln ;> N et VXE [O,ro[.
SUITES DE FONCTIONS
181
Choisissons n> -;, alors 1 E [0,0)[, et, par suite,
ro Vn
fn( V ) - f( V ) = 1- = .
Pour n> sup I!.., N(e»), on aurait donc! <;; e, d'où la contradiction. Ainsi,
ro2 2
{ln} ne converge pas uniformément vers 1 sur [0, ro[.
Remarque. - Dans la définition de la convergence uniforme, il est précisé
que N est indépendant de x E (et, P), mais N dépend évidemment de J'intervalle
(et, /3) lui-même.
3 0 Critère de convergence uniforme. - Dire que la suite {ln} converge
unifonnément vers 1 sur (et, {3) équivaut à dire que
Ve>O, 3N(e) indépendant de XE(et, {3) tel que m et n ;> N 1J;,(x)- Im(x) 1 e.
4 0 Interprétation de la convergence uniforme à l'aide d'une norme (MP2).-
Soit $[(a, b), .IR] l'espace vectoriel sur .IR des fonctions définies sur (a, b) à
valeurs dans .IR et bornées sur (a, b). On vérifie que l'expression sup I/(x)1 pour
(a,b)
1 E $ définit une norme sur $ que l'on notera 1111/ ex:>.
Dire qu'une suite {ln} converge uniformément vers 1 sur (et, /3), c'est dire que
{ln - I} tend vers zéro dans $ muni de la norme Il./1.
Le critère de convergence uniforme ci-dessus montre que $ muni de la
norme Il.11ex:> est un Banach.
II. - THÉORÈMES FONDAMENTAUX SUR LES SUITES DE
FONCTIONS.
Ces théorèmes donnent une réponse au problème suivant:
Problème. - Étant donné une suite de fonctions {ln} dont on connaît les
propriétés : ln continue ou ln dérivabJe, \ln, peut-on affirmer que la fonction
limite 1 est elle-même continue ou dérivable?
L'exemple 1, a) montre qu'il n'en est rien, en général, pour la seule conver-
gence simple, puisque la fonction limite n'est pas continue. On voit dans les
théorèmes suivants l'intérêt de la convergence uniforme.
1 0 Théorème 6.11.1. (Concernant la continuité en un point). - Soit {ln}
une suite de fonctions convergeant uniformément vers 1 sur ]et, /3[ et telle que
\:ln, ln est continue en Xo E ]et, /3[, alors 1 est continue au point Xo.
182
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Remarque. Si fn converge uniformément vers f sur [et, p[ et si Vn,fn est
semi-continue à droite en et, alors f est semi-continue à droite en et.
Corollaire. (Concernant la continuité sur un intervalle). - Si fn converge
uniformément vers f sur (et, /3) et si Vn,fn est continue sur (et, /3), alors la
restriction de f à (et, (3) est continue. [Si (et, /3) = [et, /3), la fonction f est donc
semi-continue à droite en et.]
On traduit ces résultats en disant que « la limite uniforme d'une suite de
fonctions continues est continue ».
2 0 Théorème 6.11.2. (Intégration). - Soit {fn} une suite de fonctions conver-
geant uniformément vers f sur [et, /3] telle que
Vn, fn est intégrable sur [et, /3],
alors
i) f est intégrable sur [et, /3];
ii) Iim f XI/,,(t)dt = f Xlf(t)dt, VXo et '<Ix! E [a,.8];
n 00 Xo Xo
iii) gn(x) = f x f,,(t)dt converge uniformément sur [a,.8] vers f x f(t)dt.
Xo Xo
En fait, la propriété ii) « passage à la limite sous le signe f » peut être obtenu
sous des conditions bien moins restrictives. (Voir Torne II. Intégration.)
3 0 Théorème 6.11.3. (Dérivation.) - Soit {ln} une suite de fonctions telle
que
a) Vn,f est définie et continue sur [et, /3];
b) la suite {/ } converge uniformément sur [et, P] vers une fonction g;
c) 3xo E [et, /3] tel que lim J;,(xo) = 1.
n oo
Alors,
i) fn converge uniformément sur [et, (3] vers la fonctionf définie par
f(x) = l+ J x g(t)dt;
Xo
ii) f est dérivable sur [et, {3] et l'on a f' = g.
Remarque. - Il s'agit de la semi-dérivabilité aux extrémités et et {3 (si et>a
et p<b).
SÉRIES DE FONCTIONS
183
B. - Séries de fonctions
Soit une suite de fonctions Un (a, b) 1-+ IR (éventuellement a = - 00 ou
b = + 00 ).
On considère alors la série
1l0(X)+U 1 (X) + ... +Un(X) + ...
et la suite des sommes partielles associées
So(x) = uo(x), ..", Sn (X) = uo(x) + U 1 (x) + ... + Un(X).
Soit il l'ensemble des x appartenant à (a, b) et tels que 1a série numérique
(un(x» soit convergente. L'ensemble il est appelé domaine de définition de la
00
fonction F : x f"(x) = L un(x). En tout point x de A on aura donc
n=O
Sn(X) F(x).
n-+ co
(et, {3) désignera un intervalle inclus dans A, avec et < /3, lorsqu'il en existe.
III. - CONVERGENCE SIMPLE ET CONVERGENCE UNIFORME
D'UNE SÉRIE DE FONCTIONS.
1 0 Définitions.
a) On dit que la série de fonctions (un(x) converge simplenlent vers sa somme
sur un intervalle (et, /3), pour exprimer que la série numérique (un(x» est
convergente, V x E (ex, /3)
00
Sn(x) F(x) = L un(x), Vx E (et, /3).
n-+oo n=O
[Autrement dit, { Sn} C. S. vers F sur (ex, /3).]
On a évidemment (et, /3) c 11.
b) On dit que la série de fonctions (un(x» converge uniformément sur (et, {3)
vers sa somme lorsque la suite {Sn} des sommes partielles converge unifor-
mément sur (et, /3) vers la fonction F :
co
X F(x) = L un(x).
n=O
2 0 Critère de convergence uniforme. - Dire que la série (un) converge
uniformément vers sa somme F sur (et, /3) équivaut à dire que Ve>0,3N(e)
indépendant de x E (et, {3) tel que
m et n N(e) => IU n (X)+U n +l(X)+".+u m (x)\ e, \Ix E (et,{3).
184
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
o Condition suffisante de convergence uniforme : convergence normale. -
On dit que la série de terme général un(x) converge normalelnent sur (et, {3)
lorsqu'il existe une série numérique convergente (v n) telle que
lun(X)1 V n ,
\Ix E (et,/3).
Théorème 6.111.1. (Convergence normale.) - Si la série de terme général un(x)
converge normalement sur (et, /3), alors elle converge uniformément sur (et, /3).
Cette condition suffisante de convergence uniforme est souvent utilisée.
IV. - THÉORÈMES FONDAMENTAUX SUR LES SÉRIES DE FONC-
TIONS.
Ils sont relatifs aux propriétés de continuité, d'intégrabilité et de dérivabilité
de la fonction limite
00
F :x F(x) =lI un(x)
n=O
1 0 Théorème 6.IV.l. (Continuité en un point.) - Soit (un(x)) une série
convergeant uniformément vers sa somme sur (et, /3) et telle que \ln, Un est
continue en Xo E ]et, /3[.
Alors, sa somme F :
00
F:x F(x) = I tln(x)
n=O
est continue en Xo.
Remarque. - Si (un(x)) converge uniformément sur [et, /3[ et si \ln la suite Un
est semi-continue à droite en et, alors F est semi-continue à droite en et.
Corollaire. (Continuité sur un intervalle). - Si (un(x)) converge unifor-
mément sur (et, /3) et si \ln la fonction Un est continue sur (et, {3), alors la res-
triction de F à (et, /3) est continue [si (et, /3) = [et, /3), F est semi-continue à
droite en et].
2 0 Théorème 6.IV.2. (Intégration). - Soit (un(x)) une série convergeant
uniformément vers sa somme sur [et, /3] telle que
\ln, Un est intégrable sur [et, /3],
alors
00
i) F définie par F(x) = I un(x) est intégrable sur [et, /3];
n=O
SÉRIES DE FONCTIONS
185
f X!
ii) la série de terme général V n défini par V n = un(t)dt est convergente et
XQ
n of::Uit)dt = f:l o Uit)jdt, VXo et Xl E [œ,p];
iii) la série de temle général Un(x) défini par Un(x) = f x un(t)dt
XO
converge uniformément sur [œ, P] vers sa somme n o f:oUn(t)dt et l'on a
n o f:oUit)dt = f:l o Un(t)jdt.
On traduit ii) et iii) en disant que « l'intégrale de la somme est la somme
des intégrales ».
3 0 Théorème 6.IV.3. (Dérivation). - Soit (un(x» une série de fonctions
telles que
a) \ln, u est définie et continue sur [et, p];
b) la série (u (x» converge uniformément sur [et, p];
c) 3x o E [et, P] tel que la série (un(xo» converge;
alors
i) (un(x» converge uniformément sur [et, P];
co
ii) x L un(x) est dérivable sur [et, {3] et l'on a
n=O
( CO ) ' co
n o uix) = n o u (x).
On traduit ii) en disant que « la dérivée de la somme est la somme des
dérivées ».
En et et /3 il s'agit évidemment de la semi-dérivabilité.
6.1.1.
.
6.1.2.
.
6.1.3.
..
6.1.4.
..
6.1.5.
...
EXERCICES DU CHAPITRE 6
On considère la suite de fonctions fn : [ -1, 1] IR, définie par
x fn(x) = sin nxe- nX2 + V 1-x 2 , n E lN.
1° Montrer que la suite de fonctions fn converge simplement sur [-1, 1]
vers une fonction F, que l'on déterminera.
2° Montrer que fn converge uniformément vers F sur [CI), 1], CI) étant une
constante positive.
3° Montrer que fn ne converge pas unifornlément vers F sur [0, 1].
011 considère la suite de fonctions /" : IR IR définie par
x fn(x) = nxe-nx+sin x, n E lN.
1 ° Quel est le domaine de convergence, Ll, de la suite de fonctions fn?
2° Quelle est la nature de la convergence sur les intervalles, l, inclus
dans â?
1 ° Montrer que la suite de fonctions fn : IR IR, définie par
! 2 . 1
/, . 1.( ) - x sln-+1, pour x =F 0,
n.x nx- nx
1, pour x = 0,
converge uniformélnent vers f: x f(x) = 1 sur tout compact de IR.
2° A-t-oll convergence uniforme sur IR?
On considère
a) une sUite { un} = 0 qui converge vers une limite 1,. la limite 1 et la suite
unCVn E lN) sont supposées appartenir à un intervalle (a, b);
b) une suite de fonctions continues Sn: x Sn(x) convergeant unifor-
mément sur (a, b) vers une fonction S : x S(x), lorsque n -+ +00.
1 ° Montrer que la suite { Sn(u n )} converge vers Sel) pour n -+ + co.
, nx 1
2° Etudier la suite Sn(u n ), où Sn (x) = 1 + et Un = -.
nx n
Comparer avec S(l). Commenter le résultat.
Théorème de Dini.
Soit une suite de fonctions continues fn: [a, b] IR.
Pour chaque x E [a, b], la suite numérique{fn(x)} = 1 est supposée décrois-
sante et bornée inférieurement.
6.1.6.
...
6.11.1.
.
6.11.2.
.
EXERCICES DU CHAPITRE 6
187
1 ° a) Montrer que la suite de fonctions fn : x frz(x) converge simplement
sur [a, b] vers une fonction f.
b) Démontrer que l'on a
f continue sur [a, b] fn cOllverge uniforméinent sur [a, b] vers f.
c) Que peut-on dire lorsque la suite {fn(x)} est croissante et majorée?
2° Application: On considère la suite de polynômes définie par la relation
récurrente suivante:
Po = 0,
2 Pn+l(X) = x+2 PII(X)-P (x).
a) Vérifier que, pour tout x E [0, 1], on a 0 < P n < V x.
[Pour cela on pourra considérer la relation
2(V x- P n + 1 (x)) = (V x- P n (x))(2- Vx-Pn(x).]
b) Montrer que la suite numérique {p n(x)}g:> est croissante, lorsque
XE [0, 1], et en déduire que la suite de fonctions P n converge uniformément
sur [0, 1] vers la fonction f: x Vx.
On considère une fOllction continue f: IR IR vérifiant If(x) 1 < lx!,
\/x ¥:- 0, et soit A une constante positive donnée.
1° Démontrer que V8>0, 3et(8»0 tel que
Ixl < et => I!(x) 1 < 8.
2° Soit k = sup \ !(X) ). Vérifier que l'on a k<l.
[rt, A] u [-A, -ex] t x
3° Déduire de ce qui précède la convergence uniforme sur [- A, A]
(et par suite sur tout compact de IR) de la suite jn( = f of 0 .. . of) vers zéro.
On considère la suite de fonctions fn: [0, 2] IR définie par
x H fn(x) = n 2 x(1-x)n+Arc sin (x-l), n entier positif.
1 ° Quel est le domaine de convergence, Ll, de la suite de fonctions {fn}?
2° Montrer que la suite {fn} converge uniformément sur [et,2-et] (et
constante positive) vers sa fonction lilnite f.
3° Évaluer f: [/n(x)- f(x)]dx et en déduire que l'on ne peut avoir conver-
gence uniforme sur [0, 1].
1 ° Montrer que la suite {fn} de jonctions réelles, définies sur [0, 1] par
ne- x +x2
fn :x fn(x) = + ' n 1,
n x
converge uniformément sur [0, 1] vers une fonction limite f, que l'on
dé terminera.
188
6.ll.3.
..
6.ll.4.
...
6.ID.l.
.
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
2° En déduire la nature de la suite numérique {un} telle que
_ f 1 ne-x+x2
un - + dx,
o n X
lorsque n --+ +00.
1 ° Montrer que la suite {fn} de fonctions réelles, définies sur [0, 1] par
n(x 3 +x)e- X
fn : x J,,(x) = nx + 1 ' n;> 0,
converge simplement sur [0, 1] vers une fonction f, que l'on déterminera.
2° Montrer que l'on a convergence uniforme sur tout intervalle [80' 1]
(80 est une constante positive). A-t-on convergence uniforme sur [0, 1]?
3° Montrer que Ifn(x)- f(x) 1 est bornée sur [0, 1].
4° Déduire des questions 2° et 3° la nature de la suite: un = f 1fn (t)dt,
f CI f 1 0
lorsque n --+ + 00. [Pour cela écrire Un = ofn(t)dt+ cxfn(t )dt.]
On considère la suite {fn} de fonctions réelles, fn : IR IR (n> 0) définies
comme suit
(1 1
six<Ooux>-,
n Log ( 1- ) , n
fn(x) = \ nx
o
1
si 0 < x < -
n
1 ° Vérifier que fn est continue sur IR.
2° Montrer que la suite {fn} converge simplement sur IR vers unefonction/,
que l'on déterminera.
3° En majorant convenablement Ifn(x)-f(x) 1, montrer que la conver-
gence établie à la question 2° est uniforme sur IR. (8) 0 étant donné,
on pourra distinguer les trois cas suivants: x< 0, 0 < x < 8, x> 8.)
4° Construire le graphe de la fonction fn. Points remarquables. Branches
1 1
infinies. Montrer que le maximum de Ifn-fl a lieu pour x = - et vaut -.
n n
Retrouver ainsi le résultat précédent.
On considère la série de fonctions de terme général Un'
e - nx2
un : IR IR, un(x) = (-l)R n 2 + l ' uo(x) = 1.
1 ° Déterminer le domaine de convergence A.
2° Montrer que la série converge uniformément sur Ll.
6.Ill.2.
.
6.IV .1.
.
6.IV.2.
..
6.IV.3.
..
6.IV .4.
...
EXERCICES DU CHAPITRE 6
189
1 0 On considère la série de fonctions suivantes:
sin x sin 2x sin nx
x 2 + 1 + x 2 +22 + ... + x 2 +n 2 + ...
Déterminer le domaine de convergence il et étudier la convergence uni-
forme sur L\.
2 0 Mêmes questions pour la série de fonctions,
x 2 sin x x 2 sin 2x x 2 sin nx
x 2 + 1 + x 2 +22 + ... + x 2 +n 2 +...
ex:> 1
Montrer que la fonction x 1---7 2 +. est définie sur IR.
n=2 n sin nx
Étudier la périodicité et la continuité de cette fonction.
1 0 Quel est le domaine de définition, il, de la fonction
ex:> e- nx
f: x (-l)n-?
n=O n+ 1
Montrer que f est continue sur il.
2 0 Quel est le domaine de définition, il 1 , de la fonction
ex:> e- nx
g:x (-l)n 2+1 ?
n=O n
Montrer que g est de classe el sur il!.
O .,/' l '.'/ , , 1 ( ) ( - l)n ( IR)
n conSluere a serie ue terme genera Un X = x XE.
n
1 0 Pour quelles valeurs de x cette série est-elle convergente,. absolument
convergente?
n ( - l)P ex:> (- l)P
2 0 Soit Sn (x) = x et S(x) = x lorsque la série est
p=l p p=l P
convergente. Montrer que l'on a
1
ISn(x)- S(x) 1 < (n+ l)X
,/' d . l '. ( -l)ft ) I'.' [ [
et en ue Ulre que a serle n X converge unlJormement sur xo, + 00
(xo étant une constante positive).
En déduire que S est continue sur ]0, 00[.
On considère l'équation (de Fredholm)
(F): q>(x) = À f: K(x, S)q>(s)ds + f(x),
190
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
où K (resp. f) est une fonction réelle donnée définie et continue sur
[a, b] x [a, b] (resp. sur [a, b]), À. est un nombre réel et qJ une fonction
inconnue, supposée intégrable sur (a, b).
1 0 a) On pose (fJo(x) = fo(x) et (fJn<x) = S: K(x, S)(fJn-l (s)ds, pour n,> 1.
Montrer que qJn est définie, continue sur [a, b] (\:ln E lN).
00
b) Établir que la fonction : x Ho (x) = ),JJqJp(x) est définie et
p=o
continue sur [a, b], \:lÀ. vérifiant la relation suivante:
IÀ.I < M(;- ) ' où M = sup IK(x, y)l.
a [a, b] X [a, b]
c) Vérifier que est solution de (F).
2° a) Montrer que (F) ne peut admettre que des solutions qJ continues.
1
b) En déduire que ifJ est la seule solution de (F) pour IÀ.I < M(b-a) .
6.IV.5.
...
On considère la suite récurrente de fonctions gn définies sur [0, 1] cOlnme
suit
go(x) = 1, gn(x) = 1+ f:gn_1(t-tZ)dt.
1 ° Montrer que g n est une fonction polynomiale qui vérifie
gn(x)+gn(l-x) = k, k est une constante.
2° a) Vérifier que l'on a
Xli
o gn(X)-gn_l(X) nI' \:Ix E [0, 1].
b) En considérant la série
go(x) + [gl(X)-gO(x)] +... + (gn(X)-gn_l(X)) + ...,
montrer que la suite {g n} converge uniformément sur [0, 1] vers une
fonction g, qui est dérivable, et qu'elle vérifie la relation
g'(x) = g(x-x 2 ), \:Ix E [0, 1].
SOLUTIONS
6.1.1.
1° Pour chaque x fixé, on a e-nx'J sin nx 0 (puisque Isin nxle- nx2 e- nx2
n C()
pour x 0 et In(O) = 0), donc F(x) = VI-x 2 .
2° On a, evidemment,
I/nex)-F(x) 1 = e- nx2 1 sin nxl e- nx2 e- nC02 , pour x E [CI), 1].
Puisque
e- nC02 0, 3N(e),
n C()
tel que
n N(e) => e- nijj2 <e.
Donc, on a
n N(e) => Ih(x)-F(x) 1 < e, Yx E [CI), 1].
3° Supposons que l'on ait la convergence uniforme sur [0, 1]. Alors, on a aussi
Ye>0,3N(e) tel que n N(e) j => Ifn(x)-F(x) 1 < e
x E [0, 1]
et, en particulier,
fn( )-F( ) = sin(l)e- <e, Vn N(e).
Ceci étant impossible, on ne pourra donc avoir la convergence uniforme sur [0, 1].
6.1.2.
1 ° Pour x 0 (resp. x < 0), on a nxe- nx 0 (resp. - 00); donc ln converge sim-
1J C()
plement vers F: x Ho F(x) = sin x sur [0, oo[ et L\ = [0, 00[.
2° a) Convergence uniforme sur [w, A]. (w et A sont des CDnstantes positives, avec
w<A).
En effet,
I/n(x)-F(x) 1 = Inxe-nxi nAe- nco , Yx E [co, A].
192
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Or, nAe-"co 0, donc il existe N(e), telquen N(e) => nAe-"co<eet, par suite,
n oo
n N(e) => If,,(x)-F(x) 1 <e, Yx E [co, A].
b) Convergence uniforme sur (w, (0).
En effet,
nxe-"X = ye- Y 0,
y + 00
c'est-a-dire que
Ye,3K(e) tel que y K(e) => Iye-YI <e.
PourxE[w,oo[etn Nl(E)= [K ) ]+l ([.] désignant la partie entière), on
aura
nx K(e) et, par suite, Inxe-"xl <e,
ou encore
X E [co, oo[ et n N 1 (e) => If,,(x)-F(x) 1 <e.
c) On n'a pas convergence uniforme sur [0, w].
En effet, supposons que l'on ait convergence uniforme, c'est-a-dire que
Ve>0,3N(e) tel que n N(e) => If,,(x)-F(x) 1 = Inxe-"xl <e, YXE [0, co].
D 1 1 b . ( . 1 )
cour x = -, aJ'ec n> -, on 0 tIent pUIsque - E[O, co]
n w n
\tn( )-F( ) 1 = e- 1 <8,
ce qui est contradictoire.
Interprétation graphique.
Soit
g,,(x) = f,,(x)-sin x = nxe-"x.
Le faisceau des graphes G" des fonctions g" est represente ci-dessous sur [0, 00[.
O 1 . 1 . 1
n constate que es g" ont un maXImum pour x = - et que ce maXImum vaut -.
n e
!ln
o
Alors, sup ICn(x)1 = ! et la suite {Cn} ne peut converger uniformément vers 0 sur
]O,oo[ e
[0, 00 [. [Voir l'interpretation geometrique au paragraphe 1.2.]
SOLUTIONS
193
6.1.3.
1 ° Soit f : x 1---+ f(x) = 1 et K un compact de IR. Il existe une constante A positive
teUe que K c [- A, A].
Compte tenu de la majoration Isin XI IXI, YX E IR, on obtient sur [-A, A],
- pour x =F 0 :
1 . 1 Ixl A
Ih(X)-f(x) 1 = x 2 sm- - -;
nx n n
- pour x = 0
A
Ih(O)-fCO) 1 = o -.
n
Donc
n N(8)= [ ] +1 => lfn(x)-/(x)I 8, 'v'xE[-A,A].
Nous avons bien convergence uniforme sur [- A, A] (et, par suite, sur K) de fn
vers f, lorsque n 00.
2° Supposons que ln converge uniformément vers 1 sur 1R.
Alors
Ye > 0, 3N(e) tel que n N(e) => Ifn(x) - f(x) 1 e, Yx E 1R.
En particulier, on aurait
I/N(x)-/(x)1 = XZISin ;x l 8, 'v'x¥:-O,
1
ou encore, en posant y = Nx '
I Sl:Y ! NZlyl, 'v'y ¥:- 0,
A . sin y
ce qui entrameralt que le rapport - 0, lorsque y o.
y
Nous ne pouvons donc avoir convergence uniforme sur IR, de fn vers f.
6.1.4.
1° a) Sn converge uniformement vers S sur (a, b), donc
e
Ye> 0, 3N(e) tel que n > N(e) => ISn(x) - S(x) 1 2.' YXE (a, b).
194
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
En particulier,
(1)
8
n N(e) => ISn(u,J - S(u,J1 2:.
b) Exprimons le fait que S est continue au point 1 :
8
(2) 3et(e) > 0 tel que lx - /1 et => IS(x) - S(I)I 2..
c) Un 1, donc il existe un entier v(et) tel que
n oo
(3)
n v(et) => IU n - /1 et.
On deduit alors de (2) la relation
e
(4) n v IS(un)-S(I)I 2.
d) En résumé: Des relations (1) et (4) on deduit
n sup{N(e),v} ISn(u,J-S(I)I e.
Autrement dit, Sn(u,J S(I), lorsque n 00.
2 0 La fonction limite, S, est définie par
, 1 pour x * 0,
S : x Ho S(x) = t 0 pour x = 0,
donc
S(I) = S(O) = o.
Nous constatons que SII(u,J = -/4 S(l) = 0, lorsque n --+ 00, et nous en déduisons
que l'on ne peut avoir convergence uniforme de Sn vers S dans tout intervalle (a, b)
contenant 1 = 0 et les Un (a partir d'un certain rang).
6.1.5.
1 0 a) Pour chaque x E [a, b], la suite numerique {h(x)} est décroissante et bornée
inferieurement, donc elle converge vers une limite finie, que l'on notera f(x). De
façon equivalente, on peut dire que la suite de fonctionsfn converge simplement vers/.
b) Soit e un nombre réel positif.
Pour chaque Xo E [a, b], il existe un entier N(e, xo) tel que
e
n N(e, xo) Ih(Xo) - f(xo) 1 2:-
En particulier,
(1)
e
IfN(xo) - f(xo) 1 2:.
SOLUTIONS
195
De plus, la fonction (lN - f) est continue sur le compact [a, b], donc uniformement
continue :
(2) 3œ( e, N) > 0
e
tel que Ix-xol œ => l(fN(X)-f(x))-(fN(XO)-f(xo))1 2.
De (1) et de (2) nous deduisons
lx - Xo 1 <: œ(e, N(e, xo)) => IfN(x) - f(x) 1 e,
ou encore
(3) xeO xo = {xe [a, b]; Ix-xol<œ(e,N(e,xo))} => IfN(x)-f(x)1 e.
Du recouvrement du compact [a, b] par les ouverts OXo [ [a, b] = U Oxo ] ,
XOE [a,b]
on peut extraire un recouvrement fini numerote Ox , ..., Ox:.
Soit alors No(e) = sup {N(e,x )} pour h = 1, 2, ..., p et x un point quelconque
de [a, b j.
Le point x appartient a un ouvert Ox , donc la relation (3) entraîne que l'on a
IfN(2'X )(X) - f(x) 1 e,
"ln No(e), on aura alors
o fn(x)-f(x) <: fNo(t.)(x)-f(x) <: fN(2'X ) (x)-f(x) e
[puisque la suite {fn(x)}r tend en decroissant vers f(x)].
En résumé, on a
n No(e) => 0 fn(x)- f(x) e, V x e [a, b].
Autrement dit, {fn} converge uniformement vers f sur [a, b].
e) Considerer la suite {- h} pour se ramener au cas etudie.
2° a) 0<: P n(x) < VX.
Cette double inegalite est vérifiee pour le polynôme Po.
Supposons-la satisfaite pour Pn, nous allons montrer qu'elle est vraie pour P n + 1 .
Puisque l'on a 2 P n + 1 (x) = (x-P;(x))+2 Pn(x), le polynôme 2 P n + 1 (x), qui est
la somme de deux termes positifs ou nuls, est necessairement positif ou nul.
En considerant la relation suivante :
2(1fX- P n+l(X)) = (1fX-P n (x))(2- 1fX-P n (x)),
on constate que VX-P n + 1 (x) sera positif si 2- VX-Pn(x) est positif; or on sait que
2-1fX-P n (x) > 2- 2VX > 0,
donc
1fX-P n + 1 (x) > O.
b) { P n} croissante.
En effet, 2(P n + 1 (x) -Pn(x)) = X -P;(x) > 0, d'après la question 2°, a).
La suite {Pn(x)}, etant croissante et bornée superieurement par V x, admet donc
une limite f(x) qui doit verifier la relation
2f(x) = x + 2f(x) - f2(X),
c'est-a-dire f(x) = V
196
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
La fonction limite f est continue sur [0, 1].
Nous sonunes bien places dans les conditions permettant l'application du 1 ° et,
par suite, Pn converge uniformement sur [0, 1] vers f: x Ho VX.
6.1.6.
1 ° En exprimant le fait que f est continue a l'origine, avec f(O) = 0, on obtient
bien la propriete indiquee au 1 0 .
2° Soit Ko le compact [-A, -(l] U [(l, A],
f(x). I f(X)
- contmue sur Ko => - continue sur Ko
x x
I f(X). .
=> x attemt son maXImum sur ce compact
=> 3xo E Ko tel que I f(X) <; f(xo) = k, Yx E Ko.
x Xo
Si k;> 1, on aurait If(xo) 1 ;> Ixo 1, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse
If(xo) \ < IXol.
On a donc nécessairement k < 1.
3° Convergence uniforme de fn vers zéro sur [-A, A].
Il est clair que la suite {Ifn(x) 1 }g>= 1 est décroissante [en effet,
Ifn+l(X) 1 = If(fn(x)) 1 <; Ifn(x) 1].
De plus, on sait que l'on a
XE] -(l, (l[ => If(x) 1 < e
XEKo => If(x) 1 <;klxl
(cf. question 1 0),
(cf. question 2°).
Soit N l'entier verifiant l'inegalite suivante :
kNA < (l <; kN-1.A.
Supposons que ifN(x)1 ;> (l pour un choix convenable de x.
Alors
If(x) 1 ;> If2(X) 1 ;> ... ;> IfN(X) 1 ;> (l.
Puisque f(x), f (x), ..., fN(X) appartiennent a Ko, on aura
If(x) 1 <; klxl,
If2(X) 1 = If(f(x)) 1 <; klf(x) 1 <; k 2 1xl
IfN(X) 1 <; kNlxl <; kN.A < (l.
Ceci est en contradiction avec l'hypothèse : IfN(X) 1 ;> (l.
SOLUTIONS
197
En résumé:
IfN(x)l<œ, VXE[-A,A].
On a donc
n > N => Ijn(x) 1 IfN+1(X)1 = If(fN(X))1 e (cf. la question 1°).
6.ll.1.
1° Étudions la convergence de la suite {fn(x)}.
- Pour XE ]0,2[, on a Ix-II < 1, donc
n 2 x(1-x)n 0 lorsque n 00
et, par suite,
fn(x) Arc sin (x-l).
n oo
Pour X = 0, on a n 2 x(1-x)n = 0 0, donc
n oo
fn(O) Arc sin (-1).
n oo
Pour x = 2, on a n 2 x(1-x)n = 2n 2 (-1)n qui est le terme géneral d'une suite
divergente, donc la suite {h(2)} diverge.
En résumé, le domaine L\ de convergence sera [0, 2[ et la fonction limite sera
Arc sin (x-1).
2° Sur [œ,2-ex] (ex constante verifiant 0< ex< 1) on aura Il-xl l-œ, donc
1 fn(x) - f(x) 1 2n 2 1l - œl n < e dès que n est « assez grand »
[c'est-a-dire "ln N(e), puisque n 2 (1 -œ)n 0 lorsque n 00].
Il en resulte que l'on a bien convergence uniforme defn versfsur [œ, 2-œ].
3° Calculons f:£fn(X) -f(x)] dx = f: n 2 x(1 - x)ndx.
On a, en posant X = l-x,
n 2 J I x(l-x)ndx = n 2 J I xn(l-X)dX= n 2 [ - ] 1.
o 0 n+l n+2 n oo
En conséquence, l'intégrale f>n(X)dx ne tend pas vers J:f(X)dxQorsquen--+oo)
et, par suite, on ne peut avoir convergence uniforme de fn vers f sur [0, 1] (cf. théo-
rème 6.11.2.).
198
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
6.ll.2.
Il est clair que, pour chaque x E [0, 1], on a
limfn(x) = e- X = f(x).
1I-i- co
De plus,
Ix 2 - xe-xI 2
Ih(X) - f(x) 1 = n + x n'
donc
n ;> N(e) = [ ] + 1 => I/"(x) - f(x) 1 e, V x E [0, 1],
propriete qui caracterise la convergence uniforme de fn vers f sur [0, 1].
Le theorème 6.11.2 nous permet alors d'affirmer que
Un = f lh(X)dX f I f(x)dx,
o n 00 0
c'est-a-dire que l'on a Un 1- e- l lorsque n 00.
6.ll.3.
1 0 Pour x fixe et appartenant a l'intervalle ]0, 1], il est clair que l'on a
(x 3 + x)ne- X
fn(x) = + 1 (x 2 + l)e- x .
nx n oo
Pour x = 0,
fn(O) = 0 O.
n oo
En résumé, on constate que la suite de fonctions {fn} converge simplement sur [0, 1 ]
vers la fonction f definie par
f . "" ( ) - , (x 2 + l)e- X pour x E ]0, 1],
· X 1---+ J 1 X - 0 pour x = O.
2 0 La fonction h est continue sur son domaine de definition [0, 1], Vn.
Si ['on avait convergence uniforme de fn vers f sur [0, 1], la fonction limite, f, serait
nécessairement continue sur [0, 1] et, en particulier, a l'origine. Ceci est visiblement
faux [f(x) 1 =l=f(O)]. Nous n'avons donc pas convergence uniforme sur [0, 1].
x o
SOLUTIONS
199
En fait, fn converge uniformement vers f sur tout intervalle [œ, 1] (œ etant une
constante appartenant a l'intervalle ]0, 1 D. En effet, on a
(x 2 + l)e- X 2 2
Ih(x) - f(x) 1 = + 1 - -, pour X E [ex, 1],
nx nx nex
donc 'Ve > 0, on a aussi
n :> N(B) = [ B ] + 1 => I/,,(x) - f(x) 1 < B, \:Ix E [a, 1],
propriéte qui exprime la convergence uniforme de fn vers fsur [œ, 1].
3° Pour x E ]0, 1] on a
Ifn(x) - f(x) 1 (x 2 + l)e- X 2.
Pour x = 0, on a
Ifn(O) - f(O) 1 = 0 2.
On en deduit que l'on a
Ih(x) - f(x) 1 2, 'Vx E [0, 1].
4° De la convergence uniforme sur [œ, 1] de fn vers f, on deduit
J I fn(x)dx --+ J I f(x)dx.
cz n oo cz
Donc, 'Ve > 0,3N(e) tel que
n :> N(B) => 1 f:/,,(X)dX - I:f(X)dx 1 < B.
En particulier, pour e = œ, 3N(œ) tel que
(1) n :> N(a) => f:fn(X)dX- f>(x)dx < a.
De la question 3°, on deduit que l'on a
(2) f:/,,(x)dx - f:f(X)dxl = f: [fn(x) - f(x)]dx < f: fn(x) - f(x) !dX < 2a.
En résumé, en utilisant les relations (1) et (2), on deduit que l'on a
n :> N(a.) => J:f,.dX - f>(X)dx < 3a.
Autrement dit,
un = J I fn(x)dx J I f(x)dx = 3 - 6e- l .
o n-,>oo 0
200
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
6.11.4.
1 0 La fonction ln est évidemment continue pour x E .IR - {O} - ! I.
Pour x -+ 0_, on a
1
In(x) = ( 1 ) --+ 0 = /,,(0).
n Log 1 - -
nx
Pour x --+ 0+, on a
In(x) = 0 --+ 0 = In(O).
La fonction ln est bien continue au point x = O.
De la même façon, on peut établir sa continuité au point x = !.
n
2° Montrons que la suite de fonctions ln converge simplement, sur IR, vers la
fonction 1: x I(x) = -x.
Pour x < 0, on a
1
In(x) = ( 1 ) /"tIJ
n Log 1- nx
donc lim In(x) = -x.
n co
- Pour x = 0, on a
1
n( - n )
= -x [n --+ + 00],
In(O) = 0 --+ 0 = 1(0).
n co
Pour x > 0, il existe un entier N", = H] + 1 tel que
1 1
n ;> N x => x > fi => In(x) = ( 1 ) --+ - X = f(x).
n Log 1 _ _ n co
nx
On constate ainsi que l'on a bien la convergence simple sur IR de ln vers f.
3° Soit 8 positif, choisi arbitrairement.
Pour x < 0, on a (en posant y = :x )
1 1 1 1 1
Iln(x) - I(x) 1 = ( 1 ) + x = fi Y + Log (1- y) .
n Log 1 - -
nx
La fonction cp : y 1--+ cp(y) = 1 + Log ( _ y) 1 est définie continue et bornée sur
[- 00, 1] (cf. note «1» à la fin de cet exercice) :
cp(y) M, V'ye] - 00, 1], M étant une constante.
SOLUTIONS
201
Donc
n N(e) = [ ] + 1 => Ifn(x)-f(x) 1 Me, Vx < O.
Pour x ;> E, on a
n ;> N(8) => X ;> 8 ;> ! => Ifn(x) - f(x) 1 = cp(y) M8, Vx ;> 8.
n n
Pour 0 x E, on a
1
fn(x) = 0, ou ( 1 ) ,
n Log 1 - nx
donc
Ixl
Ifn(x) - f(x) 1 Û,)
n
A fortiori,
Ifn(x) - f(x) 1 cp(y) + Ixl M + 8.
n n
Pour n ;> N(8), on aura donc
Ifn(x) - f(x) 1 (M + 1)8, Vx E [0, 8].
En résumé, on a
n ;> N(8) => Iln(x) - f(x) 1 (M + 1)8, VXE IR,
propriété qui traduit la convergence uniforme sur IR de ln vers f.
4° Le graphe de fn se construit à partir de l'étude de la fonction x 1-+ t 1 )
(n étant fixé). n Log 1 - -
nx
1 1 1
Posons x = 2n + X, alors ( 1 ) = y devient 1 = Y,
n g 1- X- 2n
n Log 1
X+ 2n
d'où l'on déduit le centre de symétrie : le point de coordonnées ( , 0). Il suffit
d'étudier les variations de la fonction précédente pour X .
Ces variations sont immédiates, le calcul de la dérivée donne
y' = _ 1 .
( 2 X 2 _ ! ) L 2 2nX - 1
n 4 og 2nX + 1
Étude des branches infinies. - Pour X -+ + 00, y admet un développement limité
à partie polaire qui s'obtient à partir du développement de Log (1 - :x)
( 1 ) 1 1 1 1 ( 1 )
Lo 1-- - --- - +-0 -
g nx - nx 2n 2 x 2 3n 3 x 3 x 3 x.
202
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
On trouve alors
1 1 1 1
y = - x + _ 2 + 12 2 + - 0-,
n n x x x
d'où l'asymptote d'équation y = - x + et la position par rapport à l'asymptote.
Ces résultats justifient le graphique suivant :
,
,
""
,
,
,
,
,
,
....
,
,
x
1
- "Jt ---------
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
''£
R,
,
,
Pour étudier ln - 1 il suffit d'étudier
1 1
gn : Xl---+- gn(x) = In(x) + x - 2n ' pour x ;> 2n '
a cause de la symétrie, l'étude de In(x) + x s'en déduisant immédiatement.
E l I l · d . . 1 1
ntre 2 - et - e maXImum e gn est attemt au pOInt - et vaut _ 2 ·
n n n n
Il reste à étudier gn, pour x ;> !, c'est-à-dire
n
1 1 1
Z(X) = X + 1 (en posant x - 2n = X) pour X;> 2n '
nX- 2
n Log 1
nX+ 2
Z admet pour dérivée
1
Z' = 1 - 1
u--
( U Z - ) LogZ
u+ 2
(nX = u).
SOLUTIONS
203
Pour U > , on vérifie que l'on a
1
u--
2
- Log 1
u+-
2
1
V I'
U 2 _ 4
1
1 u-:2
on étudiera les variations de u 1---+- 1 + Log 1 alors Z' 0, pour
VU Z - 4 u+ 2
u et gn décroît à partir de x = , donc gn(x) gn ( ) = in ' pour x . On
en déduit alors que Ign(x) 1 admet son maximum pour x = ! et x = 0 et que ce
. 1 n
maxImum vaut 2n .
En revenant à ln - 1 (deux cas suivant que l'on a x ou x ) on voit que
sup Iln(x)-/(x) 1 =In ( ! ) -/ ( ! ) =!,
xeR n n n
ceci établit directement la convergence uniforme de ln vers 1 sur IR.
«1)) *) cp(y) --+ 0 pour y --+ -00. Donc Vk> 0, il existe une constante A(k) positive
telle que
y E ]- 00, - A[ => cp(y) k.
**) Sur le compact [- A, 1], la fonction continue cp est nécessairement bornée
cp(y) k', Vy E [- A, 1].
***) En résumé, cp(y) k + k' = M, Vy E] - 00, 1].
6.ill.l.
Nous avons évidemment
1 (_I)ne- nx2 1
n 2 + 1 n2 + l ' V x E IR,
ce qui entraîne la convergence normale de la série, puisque la série numérique de
, , 1 1
terme genera v n = 2 + 1 est convergente.
On en déduit (théO;ème 6.III.1.) que la série ( -ll e nxO ) est absolument et unifor-
mément convergente sur IR. n
204
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
6.ID.2.
N sin nx /' 1 Y IR d ' 1 d ' .
a) ous avons 2 + 2 2' XE, 'ou a convergence normale e la serIe
x n n
(théorème 6.111.1.) sur 11 = IR et, par suite, la convergence uniforme sur IR.
b) Cette série se déduit de la précédente en multipliant chaque terme par X2. Elle
a donc même domaine de convergence : 11 = IR.
La fonction multiplicative, x X2, n'étant pas bornée sur 11, la propriété de conver-
gence uniforme sur 11 = IR n'est pas nécessairement conservée.
( X 2 sin nx )
Supposons que la série x 2 + n 2 converge uniformément sur IR.
AJors (voir paragraphe III, 2° le critère) :
Y8 > 0, 3N(8) tel que
X2 sin nx x 2 sin (n+ l)x x 2 sin mx
m ;> n ;> N(8) => x 2 + n 2 + x 2 + (n + 1)2 + ... + x 2 + m 2 8, YXE IR.
En particulier, pour m = n = N(8), on a
x 2 lsin Nxl Yx E IR.
X2 + N2 8,
n
Donc, pour x = 2kn + 2N (k E lN), on aura
(21m+ThrY Sin
Uk = ( ) 2 8, Yk E IN,
2k1r+ 2 +Nz
propriété évidemment fausse, puisque Uk -)- 1 lorsque k -)- 00.
On ne peut donc avoir convergence uniforme de la série sur IR = 11. Par contre,
on vérifiera facilement que la série converge uniformément sur tout compact de IR.
6. VI.I.
a) Nous avons la majoration
1/,1
n2 + sin nx n2 _ l ' Y x E IR,
n Z 1 étant le terme général d'une série numérique convergente, nous en déduisons
(théorème 6. III. 1. ) que la série de fonctions de terme général Z + 1. converge
uniformément sur IR. n sm nx
SOLUTIONS
205
b) Pour tout n (n;> 2), la fonction 2 + 1. est continue sur IR et, de plus, la
( 1 ) n sm nx
série 2 + . converge uniformement sur IR.
n smnx 2
Donc (théorème 6.IV.1.), la somme de la série i 2 + 1. est continue sur IR.
n=2 n sIn nx
c) Chaque fonction 2 + 1. admet pour période 211:, donc la somme de la série
co 1 n SIn nx ,
2 +. admet pour période 21t.
n=2 n sm nx
6.IV.2.
-nx
1 0 a) - Pour x < 0, le terme général de la série un(x) = (-I)n : + 1 ne tend pas
vers zéro lorsque n -+ oo[lun(x) 1 -+ 00]. Donc la série (un(x))o est divergente et la
n co
co -nx
fonction (- l)n e + 1 ne peut être définie pour x négatif.
n=O n
- Pour x ;> 0, un(x) est le terme général d'une série alternée et Iun(x) 1 tend en
décroissant vers zéro, lorsque n -+ 00.
La série (un(x))o est donc convergente pour x;>O [théorème des séries numériques
alternées] et, par suite, la fonction
co -nJe
ne
X Ho n O (- 1) n + 1
2st définie sur [0, 00 [= 11.
b) Posons
co -px n -px
f(x) = (- I)P e + 1 = Sn + Rno où Sn = (- 1)P e + 1 .
p=O P p=O P
Du théorème des séries numériques alternées, on déduit que l'on a
e-(n+ 1 )X 1
1 Rn(x) 1 IU n +l(X)1 = n+2 n+2 ' VXE A.
et, V8>0, on aura donc
n ;> N(8) = [ ] => If(x) - Sn(x)1 = 1 Rn(x) 1 8, Vx E A,
propriété qui exprime la convergence uniforme de Sn vers f sur A, c'est-à-dire la
convergence uniforme de la série sur A.
-nx
Pour tout n, la fonction x 1--+ (-I)n e + 1 est continue sur A et, de plus, la série
( - ) n
( - l)n : + 1 , 0 converge uniformément sur A.
co · - nx
Donc, la somme de la série (- l)n e + 1 est continue sur son domaine de défi-
n=O n
nition A (cf. théorème 6.IV.1.).
206
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
2° Il est clair que Al = [0, 00 [. En effet, on a
-nx
+ 1 -+ 00, lorsque x est négatif
n n <x>
et
-nx 1
(-l)n n: + 1 n Z + l ' lorsque x E [0, 00[.
Comme à la question 1°, on montre que la série dérivée terme à terme
( _l)n+1 ne- nX )
n 2 + 1 1
est uniformément convergente sur Al; on en déduit donc la propriété suivante
g est de classe el sur Al [dérivée première g' définie et continue sur At].
6.IV.3.
10 Étude de la convergence.
- Pour x> 0, la série alternée est convergente car Iun(x) 1 = lx tend en décroissant
vers zéro lorsque n -+ 00. n
- Pour x 0, un(x) ne tend pas vers zéro lorsque n -+ 00, donc la série est
divergente.
Le domaine de définition de S(x) = (- )n est donc ]0, 00[.
n=l n
Étude de la convergence absolue.
Il s'agit ici d'étudier la convergence de la série (1 Un(X) 1)1 = ( ) l' qui est bien
connue. Elle converge pour x> 1 et diverge pour x l. On aura donc convergence
absolue de la série si, et seulement si, x> 1.
2° La série (Un(X))1 satisfaisant au théorème des séries numériques alternées, on
sait que le reste Rn(x) défini par
S(x) = Sn(X) + Rn(x)
est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé, c'est-a-dire que l'on a
1
1 Rn(x) 1 (n + l)X = IUn+t(x)l,
donc
1 1
IS(x) - Sn(X) 1 (n + l)X (n + l)Xo '
pour tout x vérifiant l'inégalité x ;> xo.
SOLUTIONS
207
On aura donc
n ;> N(8) = [ \ ] => ISn(x) - S(x) 1 8, Vx E [xo, 00[,
8 x o
propriété qui exprime la convergence uniforme de la série sur [xo, 00[.
D 1 l e. (- l)n ,. d ' d . d h ' ,
e p us, es loncbons Xl---+- x etant contmues, on peut e urre u t eoreme
n
6.IV.1. que la somme S(x) = (- !)n est continue sur [xo,oo[ (semi-continuité
n=l n '
à droite en xo).
Soit x un nombre réel positif, choisi arbitrairement. Il s'agit de montrer que la
fonction S est continue en x. Pour cela, on choisit Xo > 0 tel que XE ]xo, oo[ (par
exemple, Xo = i). La fonction S étant continue sur ]xo,oo[, elle est évidemment
continue en x.
6.IV.4.
1 0 a) La fonction qJo = 10 est définie et continue sur [a, b].
Supposons que qJn-l soit définie et continue sur [0, b].
Alors qJn est définie et continue sur [a, b]. En effet, l'application SI---+- K(x, S)qJn-l(S)
est définie et continue sur [a, b] (pour chaque x E [a, b]), donc intégrable sur [a, b] et,
par suite, qJn est bien définie sur [a, b]. Montrons maintenant qu'elle est continue.
Pour cela formons l'expression
(1) ([Jn(x') - ([Jn(x) = f: [K(x', s) - K(x, s)]([Jn-l(s)ds.
La fonction K est définie et continue sur le compact [a, b] X [a, b]. D'après le théo-
rème de Heine, elle est donc uniformément continue, c'est-a-dire que V8>0, 3a(8) > 0
tel que
lx' - xl a j IK(x', y') - K(x, Y)I 8.
Iy' - yi a =>
En particulier, pour y' = y, on a
lx' - xl a(8) => IK(x', y) - K(x, y)1 8.
De l'expression (1) on déduit alors, pour x et x' vérifiant lx' - xl a(8),
l([Jn(x') - ([Jn(X) 1 f: IK(x', s) - K(x, s)II([Jn-l(S)lds 8 f: l([Jn-l(S)lds,
d'où la continuité de la fonction qJn.
b) Soit h = sup I/(x) 1 ; on a IqJo(x) 1 h, puis
[a,b]
1 ([J 1 (X) 1 J: IK(x, s)ll([Jo(s)lds Mlb - alh
et, plus généralément,
IqJn(x) 1 Mnlb - alnh, sur [a, b].
208
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
La série (l nqJn(x)) est donc majorée en valeur absolue sur [a, b] par la série numé-
rique convergente (1.Â.lnM"lb-alnh). Compte tenu de la continuité des fonctions :
x 1---+- .Â. nqJn(x), on déduit alors du théorème 6.IV.1. la continuité de la fonction 1/1 sur
[a, b].
c) Montrons que 1/1 est solution de (F).
Les fonctions SI---+- .Â.nK(x, s)qJn(s) sont continues sur [a, b], donc intégrables sur [a, b]
(pour chaque x fixé E [a, b ]). En raison de la convergence uniforme sur [a, b] de la
serie (lnK(x, s)([Jn(s)) «x fixe e [a, b] », on déduit du théorème 6.IV.2. que l'on a
2 f: K(x, s)t/1(s)ds = f: AK(x, s) L o 2n<pn(S)] ds
= f: L o 2 n +! K(x, S)<Pn(S)] ds
co f b
= n o.Â. n+ 1 a K(x, S)qJn(s)ds
co
= .Â. n + 1 qJn+l(X) = 1/I(X) - qJO(X) = 1/I(X) - f(x).
n=l
2 0 a) Montrons que toute solution de (F) est nécessairement continue.
Soit qJ une solution de (F), qui est donc supposée intégrable sur [a, b].
Pour montrer que qJ est continue, il suffira d'établir que la fonction
g : x 1--+ g(x) = f: K(x, s)<p(s)ds
est continue, puisqu'alors
qJ(x) = .Â.g(x) + f(x).
On sait que l'on a (cf. la question 1 0 , a)
V8 > 0, 30:(8) > 0 tel que lx' -xl 0:(8) => IK(x', y) - K(x, y)1 8, Vy E [a, b].
Donc
lx' - xl oc(s) => Ig(x') - g(x) 1 = J: [K(x', s) - K(x, S)]<p(s)ds s f: 1<p(s)lds,
ce qui établit la continuité de la fonction g et, par suite, celle de qJ.
b) Montrons que (F) adme une solution unique, qui sera donc qJ.
Soit 1/11 et 1/12 deux solutions de (F) qui seront nécessairement continues et soit
m = sup 11/Il(X)-1/I2(X)I. On aura
[a,b]
t/11(X) -t/12(X) = 2 f: K(x, S)[t/11(S) -1/f,{s)]ds
=> l.pt(x) -1/I2(x)1 1.Â.llb - alMm, Vx E [a, b]
=> m 1.Â.llb - alMm,
donc m = 0 et, par suite,
1
1/11 = 1/12' pour I.Â.I < (b - a)M .
SOLUTIONS
209
6.IV.5.
1° a) Supposons que gn-l soit un polynôme
gn-l(X) ! gn_t(t-t2) j f x gn_l(t-t2)dt ! gn(x)
1 " => 1 " => 0 => l "
po ynome po ynome l " po ynome;
po ynome
go étant un polynôme, on en déduit bien que gn est un polynôme.
b) De la relation de récurrence, on déduit, en dérivant
g (x) = gn-l(X- x 2 ),
et, par suite,
g (1 - x) = gn-l[(1 - x) - (1 - X)2],
ou encore
- [gn(1 - x)]' = gn-l(X - x 2 ) = g (x).
Ceci entraine que l'on a
gn(l-x) + gn(x)=Cte.
2° a) On a évidemment
x
o gl(X) -go(x) = x Il ' Vx E [0, 1].
Supposons que l'on ait
x n
o gn(x) - gn-l(X) " Vx E [0, 1].
n.
Pour chaque t E [0, 1], on aura (t- t 2) E [0, 1] et, par suite,
(t- t 2)n
o gn(t - t 2 ) - gn-l(t - t 2 ) , Yt E [0, 1].
n.
En intégrant entre 0 et x (x E [0, 1]), on obtient
J x f X(t-t2)n "'x t n
o [gn(t - t 2 ) - gn-l(t - t 2 )]dt , dt J ,dt,
o 0 n. 0 n.
ou encore
xn+l
o gn+l(X) - gn(x) (n + 1)! ' Yx E [0, 1].
La propriété est donc établie, par récurrence.
b) Considérons la série
go(x) + (gl(X) - go(x)) + ... + (gn(X)-gn-l(X)) + ...
Elle est uniformément convergente sur [0, 1] puisque l'on a
1
Ign(x) - gn-l(X) 1 " Yx E [0, 1]
n.
[:! étant le terme général d'une série numérique convergente].
210
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Donc, la suite des sommes partielles,
n
Sn(x) = go(x) + (gp(x) - gP-l(X)) = gn(X),
p=l
converge uniformément sur [0, 1] vers la somme g(x) de la série.
Ceci peut se traduire par
\:Is > 0,3N(s) tel que n;> N(8) => Ign(x) - g(x) 1 <; 8, \:Ix E [0, 1].
Soit te[O, 1]; on a alors (t- t 2 )e[0, 1] et, par suite,
n ;> N(8) => Ign(t - t 2 )-g(t - t 2 )1 <; s, \:It E [0, 1].
De la convergence uniforme deg n (t-t 2 ) versg(t- t 2 ) sur [0, 1], on déduit (théorème
6.IV.2.) que l'intégrale f: g n(t- t 2)dt tend uniformément sur [0, 1] vers f: g(t- t 2)dt,
lorsque n tend vers l'infini.
Considérons la relation de recurrence suivante :
gn(x) = 1 + f:gn(t- t 2 )dt.
Par passage a la limite, pour n 00, on obtient, alors,
(1) g(x) = 1 + f: g (t-t 2 )dt, 'r/x E [0, 1].
c) La fonction x 1-+ f: g(t - t 2)dt est dérivable [propriété de l'intégrale]. De la
relation (1), on déduit alors que g est dérivable et que
g'(x) = g(x - x 2 ), \:Ix e [0, 1].
--'
MP.2-P.C.2
7 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE
.
RÉELLE OU COMPLEXE
1. - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES.
1 0 Les séries entières de la variable z( E C) sont les séries du type suivant :
n
ao +a1z +... +anz + ...,
où les constantes an appartiennent à C.
Les polynômes sont des séries entières d'un type particulier: an = 0, Vn>p,
p degré du polynôme.
2 0 Théorème 7.1.1. - A toute série entière (anz n ) on peut associer un nombre
réel positif R (éventuellement nul ou infini) tel que
i) la série (anz n ) converge absolument pour tout z tel que Izi <R;
ii) la série (anz n ) diverge pour tout z tel que Iz 1> R.
3 0 Rayon de convergence. - "Le nombre R est appelé rayon de convergence
de la série.
Exemples:
(x n ) _ R = 1; ( :; ) -R = 00; (n!x n ) - R = O.
Techniques de calcul de R.
et) (Ianxnl) converge pour Ixl <À j => R = À.
(Ianxnl) diverge pour Ixl>À
'}')
Il
lim V lanl = 1
n-' 00
1
=> R = -.
1
1
=> R = -.
1
P)
lim a n +l = 1
n-'oo an
(5) Utilisation de la notion de limite supérieure d'une suite.
Soit une suite numérique (v n ); on dit qu'elle admet une valeur d'accu-
mulation finie, l, si V8>0 il existe une infinité de V n dans ]1-8,1+8[.
212 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
De même, on dit qu'elle admet + 00 (resp. - (0) pour valeur d'accumu-
lation si VA> 0 il existe une infinité de v n dans ]A, + 00 [ (resp. ] - 00, - AD.
La plus grande des valeurs d'accumulation de la suite {v n } (notée L)
est appelée limite supérieure de la suite. On écrit
L= lim Un.
n oo
En considérant la suite V la n l Ion a alors la propriété générale suivante :
R=
lim V lanl
1
4 0 Théorème 7.1.2. (Série dérivée et série primitive.)
i) La série (a n Z n) converge absolument et uniformément vers sa
somme sur tout disque fermé Dp = {z, Izl <; p}, où p < R.
ü) La « série dérivée» (nanz n - 1) et la « série primitive formelle» ( a n zn + 1 )
n+l
ont même rayon de convergence, R, que la série (anz n ).
n. - OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES SUR LES SÉRIES ENTIÈRES.
Théorème 7.n.l. - Soit deux séries (anz n ) et (bnz n ) ayant respectivement
R 1 et R 2 pour rayons de convergence. Alors
i) la série somme ((an + bn)zn) a un rayon de convergence R qui
satisfait aux relations suivantes :
R = inf(R 1 , R 2 ) si
R ;> RI = R 2 SI
RI ¥= R 2 ,
RI = R 2
et l'on a
00 00 00
L(an+bn)zn = Lanz n + Lbnz n , Vz tel que Izl <inf(R1' R 2 );
000
ii) Ja série produit «(aObn+a1bn-1 +...+anbo)zn) a un rayon de conver-
gence R' qui satisfait à la relation suivante :
R';> inf(R 1 , R 2 )
et l'on a
(aobn+...+anbo)zn =( anzn)( bnzn). 't/z tel que Izl<R.
SÉRIES ENTIÈRES RÉELLES, FONCTIONS DÉVELOPPABLES EN SÉRIES ENTIÈRES 213
m. - SÉRIES ENTIÈRES RÉELLES. FONCTIONS DÉVELOPPABLES
EN SÉRIES ENTIÈRES.
1 0 Séries entières réelles. - Les séries entières réelles sont du type
(1)
n
ao + alx +... + anx + ...,
où an E IR et x E IR.
On peut évidemment associer à une telle série la série entière complexe
(2)
ao + alz +... + an zn + ..., avec z = x+ iy,
qui est une extension de (1) à C.
Des théorèmes précédents appliqués à (2) on déduit les propriétés des séries
entières réelles par restriction à IR.
Par exemple, la convergence de (2) étant assurée pour Izi < R, celle de (1)
l'est pour - R < x < R, etc.
On peut appliquer à ces séries entières réelles les résultats généraux (chapitre 6,
paragraphe IV) sur les séries de fonctions. Ainsi, on établit le théorème suivant.
00
Théorème 7.m.l. - La fonction x H> S(x) = L anx n est de classe Coo dans
o
]-R, R[ et l'on a
00
S'ex) = L na n x n - 1
n=l
et
f x 00 xn+l
S(t)dt = L a n -.
. 0 0 n+1
Exemples:
1 00
t) - = Lx n , dans ]-1, 1[ =>
1-x 0
1 _ f nx n - 1 , dans ]-1,1[,
(1-x)2 n= 1
00 xn
Log(l-x) = - L -, dans J -1,1[.
n=l n
1 00
b) 2 =L(-1)n x 2n,dansJ-1,1[
l+x 0
00 X2n+ 1
=>Arctgx= L (_l)n , dans J-1,1[.
n = 0 2n + 1
2 0 Fonctions développables en série entière, autour de x = xo.
a) La somme d'une série entière est une fonction de classe Coo sur] - R, R[.
Réciproquement, peut-on considérer qu'une fonction de classe Coo est la
somme d'une série entière?
214 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
Cette question justifie l'étude suivante.
Soit f: ]et, P,[ H> IR. Lorsqu'à f on peut associer une série entière de
la variable x-xo (an(x-xo)n) (xo et an E IR, X variable réelle) telle que l'on ait
00
f(x) = L an(x-xo)R, V'xE]-a+xo, xo+a[c:]et,j3[.
n=O
on dit que f est développable en série entière dans ] - a + Xo, a + xo[, autour
de Xo. La somme
ao +al(x-xO) +... +an(x _xo)n +...
est alors appelée développement de f en série entière.
Ce développement, quand il existe, est unique puisque
j(n)( xo)
a = .
n ,
n.
b) Conditions d'existence.
Condition nécessaire.
j f de classe Coo dans ]-a+xo, a+xo[
f développable en série entière f(n)(x )
dans ]-a+xo, a+x o [ => et an = 0 .
n!
Condition suffisante.
f de classe Coo dans ]-a+xo, a+xo[, 1 00 n
il existe une constante M telle que ) j(x) = L (x -x o ) j(n}(xo),
=> n=O n!
If (n) ( x ) 1 Mn!
an \ V XE] - a + Xo, a + xo[
c) Exemples. - Développement en série entière autour de l'origine (xo = 0).
00 xn 00 x2p+ 1
e"= L -,VX; sin x = L (-l)P ,Vx;
n=O n! p=o (2p+ 1)!
00 x2p 1 00
cosx= L (-l)P-,Vx; -= Lx n ,VxE]-l,l[;
p=o (2p)! l-x n=O
(1 ) CX _ et( et - 1).. . (et - n + 1) n \.1" ] _ 1 1 [ , 1 Lf lN
+ x - L.J x , v XE, , et ree v= .
n=O n!
d) Méthodes d'obtention du développement.
- Méthode directe : formule de Taylor ou de Mac-Laurin. (Voir
exemples ci-dessus.)
FONCTIONS Z e Z , ch z, sh z, sin z, cos z
215
Par dérivation et intégration : si l'on sait développer la fonction
dérivée.
- Utilisation d'une équation différentielle : voir les exercices 7.111.9.
et 7.111.10.
- Cas des fractions rationnelles : décomposition en éléments simples,
puis sommation des séries entières obtenues. (Une fraction rationnelle
n'admettant pas 0 pour pôle est développable en série entière autour de 0,
le rayon de convergence est le plus petit des modules de ses pôles.)
IV. - FONCTIONS z e z , cb z, sb z, sin z, cos z.
1 0 Fonction Z e Z . - La série ( :: ) a un rayon de convergence infini , elle
est donc convergente pour tout z appartenant à C. On pose, par définition,
ex> Z 11
e Z = L-
n=O n!
(cf. chapitre 5, paragraphe IV, 3°).
L'application de. IR. dans IR. définie par x eX est donc la restriction à IR.
de z e Z .
De plus, e Z + z ' = eZe z ', Vz et Vz' E C (chapitre 5, paragraphe IV, 3°).
On définit alors
eZ+e- z
chz =
2
et
eZ_e- Z
sh z = .
2
2 0 Fonctions z sin z et z cos z. - La série
pour tout z et l'on pose, par définition,
( Z2p+l )
( -1)P (2P+l)!
converge
00 Z2p+ 1
sinz = L (-l)P
p=O (2p+ 1)!
e iz _ e - iz
2i
Il en résulte que l'application de IR. dans IR. définie par x sin x est la
restriction à IR. de z sin z.
De même, on définit
00 Z2p e iz + e -iz
cosz = L (-1)P- =
p=o (2p)! 2
et l'on pose
slnz
tg z = -.
cosz
216 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
3 0 Formules trigonométriques usuelles. - Elles restent valables pour
sin z, cos z, etc.
Ainsi,
sin (z + z') = sin z cos z' + sin z' cos z.
Par ailleurs, les formules telles que
sin iz = i shz,
cos iz = ch z, etc.
permettent le passage de la trigonométrie circulaire à la trigonométrie hyper-
bolique.
V. - APPLICATIONS.
1 0 Calcul approché de la valeur d'une intégrale définie. - V oir les exer-
cices 7.V.l. et 7.V.2.
2 0 Recherche de solutions d'une équation différentielle sous forme de série
entière. (Exercices 7.V.3. et 7.V.4.). - On cherche une solution sous forme
d'une série entière à coefficients indéterminés. Par identification, on obtient
ces coefficients. Il suffit d'étudier la convergence de cette série pour obtenir
une solution de l'équation dans l'intervalle de convergence (- R, R).
La connaissance d'une telle solution (si elle existe!) permet alors de déter-
miner l'intégrale générale dans certains cas.
3 0 Introduction et étude de nouvelles fonctions. - De nouvelles fonctions
peuvent être introduites en tant que solutions d'équations différentielles d'un
type donné. On peut expliciter ces solutions à l'aide de séries entières pour
en étudier les propriétés. (Exercice 7.V.5.)
Exemple:
Les fonctions de Bessel, couramment utilisées en Physique, sont solutions
de l'équation différentielle, dite de Bessel,
(Bv) y" + y' + ( 1- ) Y = 0,
x x 2
où v est une constante et v E IR.
Dans le cas de v = n entier, on obtient la fonction J n définie par
( x ) n 00 ( -1)P ( X ) 2 P
x H> Jn(x) = - L -.
2 p=op!(n+p)! 2
EXERCICES DU CHAPITRE 7
7.1.1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières dont les termes
. généraux sont les suivants:
a)
zn
un = VIi ;
Un =(-2)n
b)
nn
u =-zn.
n nI '
c)
( -l)n z n
un =
nn
.
,
d)
Z3 n + 1
.
n+1 '
e)
un = a n z 2n + 1
(a est une constante
appartenant à C) .
7.1.2. Utiliser la méthode du paragraphe 1. 3°, , pour déterminer le rayon de
. convergence des séries
( anzn )
Log (n+ 2)
( _2)PZ2P Z2P+l )
et p2+1 + p4+1
(a est une constante appartenant à C).
Même question pour les séries d) et e) de l'exercice précédent.
7.1.3. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes:
.. a) z +Z2 +z3 +Z7 +zll +z13 +... +zP + ..., p nombre premier,.
z2 Z4 z2n
b) 2 . + 2 . 2a +... + 2 . + ..., a est une constante appar-
-sin a -sin -sin na
tenant à IR;
c) (l_e Sin tl)z2 + (2_e Sin 21l)z3 +... + (n_e sin nll)zn+ 1 + ....
7.1.4. On considère la suite {Àn} définie par
.. 1
1 r: ' si n = 3p,
P+VP
Àn = 1
p, si n = 3p+1,
p
(-a)P, si n = 3p+2, a = Gte et aE IR't.
Déterminer le rayon de convergence de la série entière de terme général ÀnzR.
7.1.5.
.
Montrer que les séries (anz n ) et (ctnz n ), où ct n = ja n 1 ont même rayon
de convergence.
218
7.II.t.
.
7.11.2.
.
7.11.3.
..
7.ill.t.
..
7.ill.2.
..
7.ill.3.
..
SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
Montrer que si (anz n ), (bnz"), «an + b,Jz") ont respectivement pour rayon
de convergence R 1 , R 2 et R, alors on a nécessairement
R 1 <R 2
=>
R = R 1 .
Quel est le rayon de convergence, R, de la série
((1+a") ), où aE fC et a = Cte?
Soit (anz n ) et (bnz") deux séries entières ayant respectivement R 1 et R 2
pour rayons de convergence.
R désigne le rayon de convergence de «an+b,Jz") et R' celui de
«anb o + ... + aob,Jz").
1° Donner des exemples de séries telles que R soit supérieur à inf(R1' R 2 ).
2° Donner des exemples de séries telles que R' soit supérieur à inf (R 1, R 2 ).
Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières
réelles suivantes:
1 0 . () 2. 2(} n. ()
x sin + x sin + ... + x sin n +...;
x 2 x n
2° x sin () + 2: sin 2(} + ... + Ti sin n(} + ..., où () est une constante
réelle différente de kn.
Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières
réelles suivantes:
2 3 . n 3
x+ 2 ,x 2 +... + ,x n +...,
. n.
x 5 x4P+ 1
x + 5! +... + (4p+ 1)! + ...,
(1 + an), ,
(l+a)x+... + x n + ..., ou a est une constante reelle, lai =F 1,
n
1 2 n+ 1
2 + 3 x +... + n+2 xn+...
a)
b)
c)
d)
Montrer que la fonction
Log (l-x)
x 1
x-
peut être développée en série entière autour de l'origine. Déterminer le
terme général de cette série ainsi que son rayon de convergence.
7.m.4.
.
7.m.s.
..
7.ill.6.
...
7.m.7.
...
EXERCICES DU CHAPITRE 7
219
Montrer que les fonctions suivantes:
l+x I x et-1
a) Log 1-x J. b) ----r- dt :
o
d)
1 .
1-x+x2 J
I x sin t dt .
t J
o
x 2
c)
e) Arc sin x J. f) sin 2 x; g)
h)
Arc tg x,
.
(x-1)(2- X)2 J
sont développables en série entière autour de l'origine.
Déterminer leur développement, ainsi que le rayon de convergence corres-
pondant.
Fonction Coo non développable en série entière.
On considère la fonction f: IR Ho IR définie par
1
\ eX+e-:i2, si x =F 0,
X Ho f{x) =
1, si x = o.
1° Montrer que f est de classe Coo sur IR.
2° Calculer f n (0), puis déterminer la série entière (anx n ) engendrée par f.
3° f est-elle développable en série entière autour de l'origine?
1 ° Calculer le rayon de convergence Ry de la série entière de la variable x
qui a pour terme général
x n cos ny
Yn
(en utilisant la relation cos 2a = 2 cos 2 a-l, on pourra remarquer que
cos na ne tend pas vers 0 lorsque n 00 et considérer la série dérivée).
2° Déterminer le domaine de définition, â, de la fonction
Fr ) = x n cos ny
\,X, y £.J lC '
n=l V n
, ( X n cos n y )
c'est-à-dire l'ensemble des (x, y) de IR2 pour lesquels la serie Y -
est convergente. n
o
3° Soit â l'intérieur de â.
F F 0
Montrer que les dérivées partielles x et y sont définies dans A. Que
peut-on dire pour les dérivées secondes?
Dans IR2{X, y) déterminer le domaine de définition, â, de la fonction
00 x n
f : (x, y) Ho 1 + 2n .
n=l y
71.1 t f t f ,1 . da l ,. ,. A O de A
J.Y.l.on rer que x e y sont ueJ nles ns Interieur Li Li.
220
7.ID.S.
..
7.ID.9.
.
7.ID.I0.
..
7.ID.tt.
..
7.IV.t.
.
7.IV .2.
..
SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
Quel est le domaine de convergence de la série de terme général
1 ( z ) "
u ( z ) = - - ZE tE ?
" n z-1 '
1 ° Chercher les solutions de l'équation différentielle
(1) (1 + x)y' - exy = 0, où ex est une constante réelle,
qui sont développables en. série entière autour de l'origine.
2° Intégrer (1).
3° En déduire que la fonction x (1 + x)œ est développable en série entière.
Déterminer son développement ainsi que le rayon de convergence corres-
pondant.
Former des équations différentielles simples du second ordre auxquelles
les fonctions suivantes satisfont:
x [Log (1 + X)]2 et x [Arc sin X]2.
En déduire que ces fonctions sont développables en série entière autour
de l'origine. Trouver leuf:s développements ainsi que le rayon de conver-
gence de ces développements.
Développer en série entière autour de l'origine la fonction
x y = Log (1 - 2x cos ex + x 2 ), où ex est une constante réelle.
Montrer que la fonction f: IR IR définie par
x cos x ch x \
est développable en série entière autour de l'origine. Déterminer son
développement ainsi que le rayon de convergence correspondant.
Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle
suivante:
x 3 x 6 x 3P
1 + 3! + 6! +... + (3p)! + ...
En déduire la somme de la série:
1 1
1 + 3! + ... + (3p)! + ...
[On formera e"+e.lz+e Pz , où j = - +i et Z E C.]
7 .IV .3.
.
7.IV .4.
.
7.IV.S.
.
7.IV .6.
.
7.V.t.
.
7. V .2.
..
7.V.3.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 7
221
Développer en série entière, autour de x = 1, la fonction réelle de la
variable réelle x: x Arc tg x.
Qu'en déduit-on pour x = O?
Démontrer les inégalités suivantes:
a) lé-II e 1z l-1 Izle 1zl , Vz EtE,.
b) Icos zl ch Izi.
Résoudre sur tE les équations suivantes:
e Z = 3, e Z =. - 2 et
e Z = i.
Résoudre sur tE les équations suivantes:
sin z = 0, sh z = 0, cos z = 2,
Z
e 1 + Z = 1-i cos z = ch z.
,
Développer en série entière la fonction de Gauss
2 f x - t2
X 1-+ @(x) = Vie 0 e dt.
Calculer @ (1), à 10- 3 près.
1 ° On considère l'intégrale 1 = f i- dx . Montrer que 1 est la somme
de la série de terme général 0 V 1 + x3
_ _ p 1.3.5...(2p-1) _ !
U p - ( 1) 2.4.6...2p(3p+ 1)2 3P + 1 ' p 1, avec Uo - 2.
2° Vérifier que le terme général de cette série tend vers 0 en décroissant
en valeur absolue.
3° En écrivant 1 = Sp+Rp, avec
Sp = UO+Ul + ...+u p et Rp = U p + 1 + ...,
montrer que IR 4 1 3.10- 7 et calculer S4 à 2.10- 7 près.
En déduire une valeur approchée de Il' à 10- 6 près.
On considère l'équation différentielle
(E) xy"+3y'-4x 3 y = O.
Montrer qu'il existe une solution et une seule de (E), soit F, développable
en série entière autour de l'origine telle que F(O) = 1. On recherchera
cette solution sous la forme
ex>
F(x) = anx n
n=O
et l'on justifiera les opérations effectuées.
Reconnaître F comme expression de fonctions élémentaires.
222
7.V.4.
..
7. V .5.
..
SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
1 ° Rechercher une solution, sous forme de série entière, de l'équation
différentielle
(E) xy" + 2y' + ro 2 xy = 0, où ro est une constante réelle.
2° Utiliser le résultat du ]0 pour obtenir l'expression de la solution géné-
rale de (E).
Fonctions de Bessel d'ordre entier.
On considère l'équation différentielle de Bessel
(E,J x 2 y" + xy' + (x 2 - n 2 )y = 0, où n est un entier positif ou nul.
1 ° En effectuant le changement de fonction
y = xnu,
montrer que u satisfait à l'équation différentielle
(E ) xu" + (2n+ l)u' + xu = O.
2° Rechercher les solutions de (E:J développables en série entière autour
de l'origine. Rayon de convergence du développement trouvé? On notera Un
la solution telle que un(O) = 1.
3° On appelle fonction de Bessel d'ordre n la fonction J n définie par
x Jn(x) = 2 ; , x"u,,(x),
n.
J n est donc solution de (E,J.
A l'aide des développements en série des fonctions J n , établir les relations
suivantes:
2n
J n _ 1 (X)+J n + 1 (x) = X Jn(x) et J n _ 1 (X)-J n + 1 (x) = 2J (x)
et en déduire les formules suivantes:
n d ( Jn(X) )
J n + 1 (x) = -x dx 7
3"_1 (x) = :" :x (x"3,,(x».
et
SOLUTIONS
7.1.1.
Pour déterminer le rayon de convergence R nous utiliserons l'une des méthodes
ex), /3) ou 1) énoncées au paragraphe 1, 3°.
( Zn ) 1 la n +ll 1
a) Pour Vii ' on a an = Vii => lanl 1 = 1 => R = 7 = 1 (cf. {3).
( nn ) nn la 1 ( n+ l ) n
b)Pour _zn onaa =-=> n+l = e=I=>R=e-l (cf.{3).
n!' n n! lanl n
( zn ) (- l)n - 1
c) Pour (-l)nn' on a an = n => nVlanl = - 0 = 1 => R = 00 (cf. y).
n n n
d) Ici
! 0 pour n = 3p ou n = 3p+ 2,
a = (- 2)"
n p + 1 pour n = 3p + 1,
puisque la série s'écrit
4
o + z + o. Z2 + o. Z3 + o. Z4 + o. Z5 + o. Z6 + '3. Z7 + ...
On ne peut donc utiliser fJ) ou ')'), puisque I n + t! n'est pas défini et nV la n 1 n'admet
pas de limite. an
Utilisons la méthode du paragraphe 1, 3°, ex).
Soit
z3 n + 1
V n = ( - 2)n n + 1 ·
On a donc
V n + 1 n+ 1
- = 21z1 3 21z31,
V n n+ 2 n-+OO
d'où l'on déduit que
( n Z3 n + 1 ) 1 3 1
(- 2) n + 1 converge pour Izi < 2 1 / 3 t 21z1 < )
et
( n z3 n + 1 ) 1
(-2) n+1 diverge pour Izi > 21/3 ( 2IzI3>1)
1
=> R = 2 1 / 3 -
e) Ici aussi on ne peut utiliser P) ou y), puisque
0 si n = 2p
an = t a P si n = 2p + 1.
Utilisons ex).
224 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
Soit alors
V R = la R z ZR +1I; on a V v.'" 1 = jallzjZ, d'où l'on déduit
n
1
(la n z 2n + 1 1) converge pour Izi < lrï::ï
V lai
que
et
(la n z 2n + 1 1) diverge
1
pour Izi > 1!T:ï
V lai J
1
=> R--
- Yïai.
Autre façon de procéder.
La série Cla n z 2n + 1 1) a même rayon de convergence que (a n z 2n ), puisqu'il suffit
de mettre z en facteur dans la première
z+az 3 +a 2 z 5 + ...
En posant Z = az 2 , on obtient (ZII), qui admet R 1 = 1 pour rayon de convergence
et l'on a
1
R 1 = lall R2 R = V - .
laI
7.1.2.
a) Pour la première série il est clair que l'on a
j 0, pour n = 3p + 1 ou 3p + 2,
a = a P
n log (p + 2) ' pour n = 3p.
Donc, la suite
) 0, pour n = 3p + 1 ou 3p + 2,
n"ViQ:i = lal l / 3
(log (p+ 2»)1/3P ' pour n = 3p,
admet deux valeurs d'accumulation qui sont 0 et lal 1/3 (puisque logl/3P (p + 2) 1)
et l'on en déduit que p oo
lim nV lanl = lal l / 3 , d'où R = lal- 1 / 3 .
b) Pour la seconde, on aura
( - 2)P
p2 + l ' pour n = 2p,
1
p4 + l ' pour n = 2p + 1,
a =
n
donc la suite
n Vlanl =
1/2 , pour n = 2p,
1
(p2 + 1) 2p
1
1 , pour n = 2p + 1,
(p4 + 1) 2p+ f
SOLUTIONS
225
V - 1
admet deux valeurs d'accumulation qui sont 2 et 1 (puisque (p2 + l)ïp 1 et
1 - V - Y - 1 1'-+00
(P4 + 1) 2p+ 1 1). On en déduit alors lim 11 la n 1 = 2 et R = Y _ .
oo 2
Étude analogue pour les séries d) et e) de l'exercice précedent. Comparer avec les
résultats déjà obtenus : 2-t et lal-t.
7.1.3.
a) Première méthode utilisant le paragraphe 1, 3°, (5).
Ici
_ , 0 si n non premier,
an - 1 si n premier,
donc
n 1 /fl = , 0 s n non premier,
V ,an' 1 SI n preIDIer.
Il est clair que la suite nVïaJ admet deux valeurs d'accumulation qui sont 0 I t 1.
Donc lim nv la n 1 = 1 et, par suite, R = 1.
Deuxième méthode utilisant le paragraphe 1, 3°, ex).
Puisque an = 0 ou 1, dans tous les cas lanznl Izl n = V n .
Pour z < 1.
(V n ) converge => (Ianzlll) converge.
Pour z ;> 1.
n _ 0 si n non premier
lanz 1 - ( !zln si n premier => lanznl ni: 0 => (Ianznl) diverge.
On en déduit R = 1.
z2n
b) Soit lln(Z) = 2 . ; on aura alors Iun(z) 1 IzI 2n = V n .
- SIn na ( V. )
La série (V n ) converge pour Izi < 1 +l Izl2 , donc la série (Iun(z) 1) converge
n n oo
absolument pour Izi < 1 et, par suite, R ;> 1.
Pour z vérifiant la propriété Izi > 1, on a IUn(z) ,:oo 00 (puiSqUe Iun(z) 1 IZ 2n ),
donc la série (un(z)) diverge et, par suite, R = 1.
e) Comme ci-dessus, on peut montrer que R = 1, en considérant la double inégalité
suivante
Izln+l(n - e) Iun(z) 1 = Izn+l(n - e sin na)1 Izl n + l(n - e- 1 ),
d'où l'on déduit que la série (un(z)) converge absolument pour Izi < 1 et diverge
pour Izl> 1.
226 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
7.104.
Il est clair que l'on a
lIIfjaJ = n 1 =
1
si n = 3p,
3P Vp + VP
1
p si n = 3p + 1,
p3 P+ 1
a p 2 si n = 3p + 2.
Chacune des expressions tend respectivement vers 1, 0 et a t lorsque p + 00 ;
donc la suite n"V1Q:i! admet 1, 0 et a t pour valeur d'accumulation: et l'on aura
1
R = sup (1, at) .
7.1.5.
Ceci résulte immédiatement du paragraphe 1, 30, (5), puisque nV la,,! = n .
7.ll.l.
Il s'agit ici de démontrer une propriété déjà énoncée (cf. théorème 7.n.1.). Puisque
(anz n ) et (bnz n ) convergent simultanément pour Izl < RI, on en déduit que «an + bn)zn)
converge pour Izi < RI; donc R RI.
Supposons que l'on ait R > RI.
Il est alors possible de choisir Zo tel que
RI < Izo 1 < Inf (R, R 2 )
et l'on aura
(1) (anZOn) divergent,
(2)
(bnz o n) convergent
et
(3) «an+bn)zon convergent.
Ceci est contradictoire, donc on ne peut avoir R > Rt.
SOLUTIONS
227
7.11.2.
Il revient au même de chercher le rayon de convergence de la série « dérivée» :
«1 + a n )zn-l), ou encore de «1 + an)zn) (puisqu'elle se déduit de la précédente en
multipliant par z).
a) On a alors la sornme de deux séries (zn) et (anz n ) ayant respectivement R 1 = 1
1
et R 2 = lai pour rayon de convergence.
Si RI =1= R 2 , c'est-à-dire lai =1= 1, on aura donc R = fuf (RI' Rz) = fuf (1, 1 1 )'
b) Pour lai = 1, on aura RI = Rz = 1, donc R ;> 1. En posant a = e iO «(J réel),
on obtient
(1 + an)zn = (1 + einO)zn.
Supposons R > 1.
Il existera alors Zo vérifiant 1 < Izo 1 < R pour lequel la série
(1(1 + a,,)z8D = (1 2ei i' cos n z 1) = (2 cos n Izo ln)
converge. Ceci entraîne que l'on a
21cos n llzoln < 8, pour n;;" N(8),
et, par suite,
cos n --+ 0, puisque Izo 1 > 1.
n ex>
Or ceci est faux pour (J ¥= 2kn (c'est-à-dire a ¥= 1).
Donc R = 1 pour lai = 1, avec a ¥= 1.
e) Pour a = 1, on s'assure immédiatement que R = 1.
d) En conclusion, on voit que dans tous les cas R = Inf (1, 1 1 )'
7.n.3.
1° Nécessairement R 1 = R 2 (cf. théorème 7.11.1.).
Si (anz") = ( Gn -1 ) zR) et (bnz") = (z"), on aura RI = Rz = 1 (utiliser la méthode
f3 du paragraphe 1, 3°).
On aura alors «an+b,.)zn) = ( : ) et, par suite, R = 2 > Inf(R h Rz) = 1.
228 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
2° Considérons la série réduite a un polynôme
1-z+ Z2_Z3 (an = 0 pour n ;> 4), RI = 00,
ainsi que la série
1 + z + Z2 + ... + zn + ... (b n = 1), R 2 = 1.
Alors la série produit se réduit a 1 + z, donc R' = 00 > Inf (Rt, R 2 ).
Autre exemple :
Soit
Z2 Z3 Z2P Z2P+ t
1-z + 2! - 2! + ... + (2p)! - (2p)! + ... --- RI = 00,
et
1 + z + Z2 + ... + zn + ... --- R 2 = 1.
La série produit est alors
z2 Z2P
1 + 2! + ... + (2p)! ... --- R' = 00 > Inf (Rt, R 2 ).
7.111.1.
a) Remarquons que \ :n sin nO J a même rayon de convergence que sa série dérivée
{xn-t sin nO}, qui elle-même a même rayon de convergence que {xn sin nO} (puisque
ces deux dernières ne diffèrent que par le facteur multiplicatif x). Il nous suffira donc
de déterminer le rayon R de convergence de (1), qui sera aussi celui de (2).
On a
lanxnl = Isin nOxnl Ixl n ,
donc on en déduit que la série (Ianxnl) converge pour Ixl < 1.
Deplus, (Ianxnl) diverge pour Ixl = 1, puisque sin nO -j-+ o (cf. remarque 2 ci-dessous).
n ex>
Nous déduisons alors du paragraphe 1, 3°, ex) que R = 1.
Remarques .-
1. Du paragraphe 1, 3°, (5) on déduit que lim nVlsin nOI = 1.
2. Si la suite Un = sin nO tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini, on déduit
de sin (n+ 1)0 = sin nO cos O+sin 0 cos nO que cos nO tend vers zéro lorsque
n tend vers l'infini; ceci est absurde puisque sin 2 nO+cos 2 nO = 1.
b) Soit
ex>
S(x) = x n sin nO, pour x e] - 1, 1[.
n=O
Il est clair que (x n cos nO) converge pour Ixl < 1 et l'on peut poser
ex>
u(x) = x n cos nO, pour x e] - 1, 1[.
n=O
SOLUTIONS
229
Alors,
ex> ex>
o{x) + iS(x) = x"ei"O = z", en posant z = xe i8 .
n=O n=O
Donc
1
u(x) + iS(x) = _ 1 -
-z
1 1-xe- i8
1 - xe iO - 1 - 2x cos () + x 2 -
1- x(cos ()- i sin (})
1-2x cos (}+X2 '
d'où l'on déduit, en séparant parties réelles et imaginaires (x et () réels),
x sin ()
S(x) = () .
1 - 2x cos + x 2
c) Soit
ex> x"
T(x) = - sin n(}, pour x e] - 1, 1[
n=l n
(ce qui implique que T(O) = 0),
donc
ex>
T'(x) = X"-l sin n(}, pour x e] - 1, 1[
n=l
(cf. théorème 7.111.1.)
et, par suite,
ex>
xT' (x) = x" sin n(} = S(x).
n=1
Compte tenu de T(O) = 0, on a, alors,
T(x) = Arc tg ( 1 x sin 0 0 ) .
- x cos
7 .ID .2.
a) En utilisant la méthode /3) du paragraphe 1, 3°, on obtient RI = 00.
Remarquons que n 3 = Al n(n-1)(n- 2)+ A 2 n(n-l)+ A3n+ A4 (Ai est une cons-
tante), puisque X(X-l)(X-2), X(X-l), X, XO est une base pour les polynômes
de degré inférieur ou égal à 3. Par identification, on obtient
Al = 1, A 2 = 3, A3 = 1 et A4 = O.
On aura donc, en posant par convention (_ln) ! = 0, pour neN-{O},
n 3 1 3 1
n! = (n - 3)! + (n - 2)! + (n _ 1)! ' V n 0,
et, par suite,
ex> n 3 ex> x" ex> x" ex> x"
n o n! x"= n 0 (n-3)! +3 n o (n-2)! + n o (n-l)! '
"Ix e IR
(chacune des séries considérées convergeant "Ix).
230 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
Il est clair que
00 x n 00 xn-3
= X 3 - = x 3 e x ,
n=O (n - 3)! n=O (n - 3)!
Donc, finalement,
00 n3
,X n = (X 3 + 3x 2 + x)e X = SI.
n=O n.
b) Calcul de R 2 (rayon de convergence).
On a
1 ln 0 si n = 4p, 4p + 2 ou 4p + 3,
lanxnl -;-, Yn, puisque an = !. _ 4 + 1
n . , SI n - fJ .
n.
Donc, on peut écrire,
( Ix ln )
n! converge, y x, => (Ianx n 1) converge, Y x, <=> R 2 = 00.
Autre méthode.
La série peut s'écrire
x4 P + 1
V o + VI +... + V p + ..., où VI' = (4p+ 1)!"
On a
IVp+11
IVpl
Ixl 4
- (4p + 2) (4p + 3) (4p + 4) (4p + 5) 0 = 1 (Y x E IR),
donc, la série converge absolument Yx, ce qui équivaut à R 2 = 00.
00 X4P+1
Calcul de Sz = p o (4p + 1)1"
On a
00 X2Q+1 00 X2Q+1
sh x = q O (2q + l) !' 'ix, et sin x = q O (-l)q (2q + l)! ' 'ix E IR,
donc
sh x + sin x
2
00 (1 + (- 1)tl) x 2Q + 1 00 x 4P + 1
- 2 (2 1)' = (4 1)' = S2.
q=O q + . p=O fJ + .
c) Calcul de R3.
( X n ) ( anxn )
La série - admet RI = 1 pour rayon de convergence et la serie - admet
1 n ( xn ) n
R 2 = ïai. Puisque RI ¥= R 2 , la série somme (1 + an)n aura pour rayon de conver-
gence
R3 = Inf (Rb Rz) = Inf (1, ! I )'
00
Calcul de S3 = (1 + an) - dans ]- R 3 , R3[.
n=l n
SOLUTIONS
231
On a
GO x"
- Log (1 - x) = -, pour x vérifiant Ixl < 1,
n=l n
donc
GO a"x" 1
- Log (1 - ax) = -, pour x vérifiant Ixl < _ lai '
n=l n
et, par suite,
- Log (1- x)(l- ax) = 1 (1 + an) :n = 8 3 , pour Ixl < Inf (1, I I )
(c'est-à-dire x E ]- R 3 , R 3 D.
d) Calcul de R4.
Utilisons la méthode P) du paragraphe 1, 3°
la n +ll (n + 2)2 1
lanl = (n+ l)(n+ 3) 1 = 1, donc R4 = 1 = 1.
GO n+l
Calcul de S4 = +2 xn.
n=O n
On a
n + 1 X " = X " _ x" 2' \..1
+ 2 vX E ]- 1, 1[,
n=O n n=O n=O n +
puisque chacune des séries considérées converge pour Ixl < 1.
Dans l'intervalle ]-1, 1[ on aura donc
1
S4(X) = 1 - T(x),
-x
avec
00 x"
T(x) = + 2 '
n=O n
00 X"+2 00 x
x 2 T(x) = => (x 2 T)' = X"+l = .
n=O n + 2 n=O 1 - x
Compte tenu de x 2 T(x)lx=0 = 0, on obtient alors
x 2 T(x) = - x -log (1 - x)
et, par suite,
8 4 (x) =
1. 0
'2 SI X = ,
1 Log (1 - x) 1
1 _ x + x2 + x' si x ¥= 0 et Ixl < 1.
7.111.3.
On sait que la fonction x 1--+ 1 1 est développable en série entière autour de
l'origine et que l'on a - x
1 GO GO
X - 1 = o (- x") - o a"x", dans ]- 1, 1[ (RI = 1).
232 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
De même
00 ( xn ) 00
Log (1 - x) = - - = b"x", dans ]- 1, 1[ (R 2 = 1).
n=l n n=O
D ( f h " V ) Lo g (1 - x) d , 1 bl ' . . ,
one c. t eoreme S.I .1., x J--+ 1 est eve oppa e en serIe entlere
x-
autour de l'origine dans ]-1, 1[ et l'on a
Log (1 - x) GO GO ( 1 1 1 )
_ 1 = (a"b o + ... + aob,,)x" = 1 + _ 2 + _ 3 + ... + - x", dans ]-1, 1[.
x n=O n=l n
Soit R' le rayon de convergence de la série produit (( 1 + + ... + ) xn).
On a évidemment R supérieur ou égal a Inf (RI' R 2 ) = 1.
Montrons que l'on a aussi R 1.
Première méthode.
L e. Log (1 - x) . d . . fin .
a J.onctlon x J--+ 1 ..' qUI eVlent ID le pour x 1 - 0, ne peut être
x-
prolongée par continuité a x = 1.
S . R ,. ,. ' 1 l e. Log (1 - x) . d 1 C 00 d
- l etazt superzeur a , a J.onction x J--+ 1 seraIt e casse ans
x-
un voisinage de x = 1 et, en particulier, continue en ce point, ce qui n'est pas.
Deuxième méthode.
Pour x = 1, la série ( (1 + + ... + ) xn) diverge (car ( 1 + + ... + ) -/-+0 pour
n -+ (0) donc R 1.
7.111.4.
a) On sait que Log (1 + x) et Log (1- x) sont développables en séries entières autour
de l'origine. Plus précisément, on a
GO x"
Log(l+x) = (_1)"+1_, pour xE]-l,l[,
n=l n
et
GO x"
- Log(l-x) = -, pour XE ]-1,1[.
n=l n
Donc
l+x GO X 2P + 1
Log 1 _ = 2 2 + l ' pour x E ]- 1, 1[,
x p=o P
( X2P+ 1 )
et le rayon de convergence, R, de 2 2p + 1 vérifie R ;> 1.
SOLUTIONS
233
L .c. L l+x l ,. .,,,
a 1onctIon x J--+ og 1 ne pouvant être pro ongee par contmuIte a x = 1
-x
(p . 1 0 L I + x ) , . ( . . , ' d )
uisque x - => og 1 00 , on a necessalrement VOIr exercIce prece ent
R 1. - x
Finalement, on voit que R = 1.
b) On sait que
GO x"
e%= " Yx,
n=O n.
donc
e X -1 GO x"
- o (n + 1)!' Yx.
x
Du théorème 7.111.1., on déduit alors que l'on a
f x et - 1 GO x"
dt = ----..
o t n=l n.n.
00 x2P+ 1
c) De sin x = o (- 1)" (2p + l)! ' Vx, on déduit que l'on a
f x sin t GO x 2P + 1
o [dt = o (2p+ l)GJr) ( Vx.
d)Ona
1 1-x 00 00
1-x+x2 = 1-x3 =(1-x) x 3P = X3P_X3P+l, YXE]-l,l[.
p=O p=O
Donc
GO \ 1 si n = 3p,
- a"x", Y XE] - 1, 1 [, avec a" = ) - 1 si n = 3p + 1,
n =0 ! 0 si n = 3p + 2.
e) On sait que la fonction (1 + X)cx (ex réel E lN) est développable en série entière
autour de l'origine, dans ]-1, 1[. Plus précisément,
(1 + X)ot = £ Ot:(Ot:-l)... Ot:-p+ 1) X n , VX E ]- 1, l[
p=O p.
1
1 - x + x 2
(cf. le paragraphe III, 2°).
1
Donc (poser X = - x 2 et et = - 2)
1 00 -H- -l)"'(- -P+l)
- (- 1)"x 2P , Yx E ]- 1, 1[,
V1-x2 - p=O p!
ou encore
1 GO (2p)!
VI _ x 2 = o (- 1)" 2 2 "(P!)2 x 2 ", dans ]- R, R[, avec R = 1.
234 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
En intégrant, on obtient, alors (cf. théorème 7.111.1.),
. 00 " (2p)! X 2P + 1
Arc sm x = p o(-l) 2 ZP (p!)z . 2p+l '
avec un rayon de convergence qui vaut 1.
f)Ona
2 sin 2 x = 1-cos 2x,
donc
2sin Z x = 1- £ (-l )P P = £ (-l)P+ J P , \Ix
p=O (2p)! p=l (2p)!
(R = (0).
g) En décomposant en éléments simples, on obtient
x 2 4
(x-1)(2- X)2 - (2- X)2
1
--
1-x.
Chacune des fonctions considérées au second membre étant développables en
série entière autour de l'origine, on en déduit que la fonction considérée est elle-même
développable en série entière. On peut écrire (2 x)2 = ( \r '
1- 2.
Or, on a
1 GO x n
= 2 n , \Ix e ]- 2, 2[
1 _ n=O
2
(RI = 2),
donc, en dérivant, on obtient
1 00 nx n - 1 00 x n
( ) 2 = 2 2 n = 2 (n+1) 2 n + l ' \lxe]-2,2[.
1- n=l n=O
2
De plus,
1 00
- x n , pour x E ]- 1, 1[
1-x= n=O
(R 2 = 1).
Finalement, on obtient, en regroupant,
x 2
(x-1)(2-x)2
- n o (n l -l) x n , dans ]-R,R[, avec R=Inf(Rl,Rz)=1.
h) On a
1 GO
1 + X = (-l)PX P dans ]- RI' R 1 [, avec RI = 1.
p=O
Donc
1
1 +X2
00
- (-1)"x 2P , dans ]-R, R[, avec R2 = Ri
p=O
(puisque ['on a posé x 2 = X), c'est-à-dire R = 1.
SOLUTIONS
235
En intégrant, on obtient
00 X2P+ 1
Arc tg x = (- l)P 2 + l ' dans ] - 1, 1 [,
p=o P
( 2P+ 1 )
le rayon de convergence de la série ( -l)P ;p + 1 étant 1 (cf. théorème 7.I1I.1.).
7.ill.5.
1 0 Soit g l'application définie par
x J-+ e- ;2 si x ¥= 0,
? 0 si x = 0,
et Jz l'application définie par
X J-+ eX.
Il est clair que f = g+ h.
De plus, h est de classe C oo dans IR. Il suffit donc de s'assurer que g est de classe CCXJ.
Elle est évidemment continue en tout point x 1= O. Elle l'est aussi en x = O. En
effet,
1
pour X 0, on a g(x) = e-X 2 0 = g(O),
g est dérivable en tout point x ¥= 0 :
, 2 1
g (x) = 3 e- X2 .
x
Al' origine, on a
g(x) - g(O)
x-o
1
e-x 2
- - limite 0, donc g'(O) existe et est egale à O.
x x o
En résumé, on a
(2 1
' ( ) , _ 3 e-xi pour x ¥= 0,
gx=}x
0 pour x = O.
Il est clair que g' est continue pour tout x (même raisonnement que pour l'étude
de la continuité de g). On s'assure aussi qu'elle est dérivable en procédant comme
ci-dessus. On peut alors faire un raisonnement par récurrence en supposant que g (FI) est
définie par une expression de la forme suivante :
! Pn(X) _ _ .
( FI ){ ) e x 2 SI X ¥= 0,
XJ-+g X = X
o si x = 0,
OÙ P,,(x) est un polynôme.
236 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
2° On a évidemment h<">(O) = 1, donc
f<">(O) = g <">(0) + h<">(O) = 1.
On peut écrire
x x"
f -.. f(O) + 1 ! f'(O) + ... + n! f<n>(o) + ...,
donc
X x"
f -+- 1 + _ 1 ' +... + -. +..., avec R = 00.
. n.
3 0 Si f était développable en série entière, on aurait, dans un voisinage de l'origine,
00 x" 00 x"
J"(x) = ,1"(0) = ,= eX = h(x),
n=on. n=on.
ce qui est évidemment faux, puisque f(x) = g(x) + h(x).
7.111.6.
10 R,;> 1.
N Ixn cos ny l ./ Ixl"
ous avons Vii ' Vii = V n . La série (V n ) converge pour Ixl <1
( V"+l l ;n ) ,. ( X" cos n y )
-v; = Ixl V ïï+1 n::::Jx l , donc la sene vn converge absolument pour
lx 1 < 1 et, par suite, R, est supérieur ou égal à 1.
Ry 1.
Remarquons que cos ny -/ 0 lorsque n + 00. (Sinon, de la relation
cos 2ny = 2 cos 2 ny-1,
on déduirait, par passage a la limite, que l'on a 0 = -1.)
Considérons la série entière dérivée (ViiX"-l cos ny). Pour x = 1, cette série ne
peut converger (sinon Vii cos ny 0, donc cos ny 0; propriété fausse), donc
n GO n GO
Ry, qui est le rayon de convergence de la série dérivée, est inférieur ou égal a 1.
En résumé, on en conclut que l'on a bien Ry = 1.
2° Domaine de définition de F(x, y).
Compte tenu de la qu estion 1°, il est clair que ( V; cos n y ) converge pour Ixl <1
et diverge pour Ixl> 1. Etudions la nature de la série pour x = 1 et pour x = -1.
SOLUTIONS
237
,. ( COS ny ) eira7
Pour x = 1, nous obtenons la sene vn qui est la partie réelle de vn '
série convergente pour y :F 2krr. Donc ( cVnn y ) converge pour y :F 2krr.
Pour y = 2kn, eIle est évidemment divergente.
,. ( -l)n cos n y ) ( COS n(y+n) ) .
- Pour x = -1, on doit étudier la sene vn = vn. qw
converge pour y ¥= 2kn-n, diverge pour y = 2kn-n.
En résumé, si k E 7L, on a
â={(x,y); Ixl < 1 ou x= 1 et y¥= 2kn ou x= -1 et y¥= 2kn-n}
et
o
A={x,y; Ixl < 1}.
1 ,. ( X cos n y ) , . . , d 1
3 0 a) Pour y fixé, a sene n Vii est une sene entIere en x ont e rayon
de convergence est égal a 1. La somme F(x, y) est donc dérivable dans ]-1, 1[ et
l'on a
F (x, y) = :f Vïïxn-l cos ny (voir théorème 7. III. 1.).
uX n=l
) ifi 1 . ( ) : 1 ,. ( X n cos n y )
b Pour x fixé }lé" ant lx < 1, pUisque x, YEti, a sene vn converge
évidemment en la variable y sur]- 00, + 00[. La série dérivée (- Vnx n sin ny) converge
uniformément en la variable y sur ]-00, +oo[ (puisque 1- vnxn sin nyl Vnlxl n ).
Donc, : est définie et l'on a
F (x, y) = - f V1ïxn sin ny (voir théorème 6.IV.3.).
uy n=l
o
De même, on pourrait démontrer l'existence dans .d des dérivées partielles du second
ordre (et, plus généralement, d'ordre n) de la fonction F.
Pour justifier l'existence de ;; , par exemple, il suffit de s'assurer de la conver-
gence uniforme en y sur ]-00, oo[ de la série (-nvnxn cos ny).
7 .ll. 7.
a) Il est clair que si f est définie en (xo, Yo), elle sera définie en (xo, - Yo). Pour la
recherche de â, on pourra donc limiter l'étude à y ;> o.
Pour chaque y fixé positif ou nul, nous avons une série entière (an(y)x n ) en la
variable x de rayon de convergence Ry.
238 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
Calcul de Ry.
Il est clair que l'on a
,
la n + 1 (y) 1 _ 1 + y2" l( ) _ ) 12 si y > 1,
1 ( )1 - 1 + 2"+2 Y - Y
a" y y n oo 1 . 0 ./ ./ 1
SI y .
Donc
_ ! _ y2 si y > 1, _ 2 )
Ry - ly - { 1 si 0 y 1 - Sup (y , 1 .
Nous avons donc convergence de la série (a,,(y)x") pour
- y2 < X < y2, si y > 1, et - 1 < x < 1, si 0 y 1.
La série (a,,(y)x") est divergente pour x = ::1:: Ry.
La série est divergente car son terme général ne tend pas vers zéro. Par exemple,
pour x = y2 avec y > 1, on a
y2"
a,,(y)y2" = 1 + y2" 1.
n->oo
En résumé, on a
o
â = â = {(x, y); Ixl < Ry} = {(x, y); Ixl < Sup (y2, 1)}.
b) Puisque 1 est la somme d'une série entière en la variable x, elle est donc déri-
vable par rapport à x dans ]- Ry, Ry[ et l'on a
01 00 nx"-1
ox (x, y) = 1 1 + y2" .
Montrons maintenant que :'1 est définie en tout point (xo, Yo) E â.
oy ( 2 2"-1 " )
. , ,., . , ny x 0 ' ,
Pour cela consIderons la serIe derlvee - (1 + y2")2 ' dont le terme general est
évidemment continu pour tout y. Si l'on établit la convergence uniforme de cette
série dans un intervalle ]YO-O(l, YO+0(2[ nous en déduirons que (XO, Yo) est définie
(et continue en la variable y) dans cet intervalle, donc en particulier au point Yo.
Il reste donc a établir la convergence uniforme dans de tels intervalles.
Pour Yo 1, on a Ixol < 1, donc
1 2ny2"-IX" j 2 2
(1 + y2R) 1 + 0( n(l + O()2Rlx o i R = 1 + 0( nk R , "Iy E ]- 1- 0(, 1 + 0([.
On peut choisir a. assez petit pour que k = (1 + a.)2Ixol < 1.
Il en résulte alors la convergence uniforme dans]- 1 - et, 1 + a.[, intervalle ouvert
contenant Yo.
Pour Yo > 1, on a Ixo 1 < YB, donc
2 ny 2"-l x 3 2nlxol" 2 [ Xo ] "
(1 + y2")2 IYI2"+ 1 Yo - et' n (yo _ a.')2 ' \/y E ]Yo - a.', + 00[.
SOLUTIONS
239
On peut choisir rx' assez petit pour que k' = (y xo ')2 < 1.
o-ex
Il en résulte alors la convergence uniforme dans ]Yo - ex', + oo[ intervalle ouvert
contenant Yo.
- Pour yo < - 1, le raisonnement est analogue au précédent.
7.]]1.8.
En posant Z = - 1 ' nous sommes ramenés a l'étude de la série entière de terme
z-
Z"
général V,,(Z) = - qui admet R = t pour rayon de convergence.
n
( 1 V"+l(Z)1 n )
. 1 V,,(Z) 1 = n + 1 IZI .' ro !ZI.
Étude de la convergence ou de la divergence de u,,(z) .
Nous avons convergence pour
Izl 1
IZI = -- < 1 <=> Izl2 < Iz- 11 2 <=> X < -
Iz- 11 2'
(en posant z = x + iy) et nous aurons divergence pour x > .
1
Étude de la nature de la série (u,,(z)) pour x = "2' c'est-à-dire IZI = 1.
Sur la circonférence IZI = 1, on peut poser Z = e i8 , où () = Arg Z.
On sait que la série ( n ) = ( e: lI8 ) converge pour ():F 2kn (c'est-à-dire IZI = 1
avec Z ¥= 1) et diverge pour () = 2kn (c'est-a-dire Z = 1).
Pour tout z vérifiant z z 1 1 = 1 (Ç> x = ), nous avons IZI = 1, avec Z:F [
donc convergence de la série u,,{Z).
En résumé, la série (uiz» converge pour x <;; et diverge pour x > .
7 .m.9.
1 0 Il s'agit de chercher les solutions de (1) qui sont de la forme
GO
Y = a"x", pour x E ]- R, R[
n=O
[R désignant le rayon de convergence de (a"xn)].
240 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
Nécessairement, on doit avoir (cf. théorème 7.111.1.)
00 00
y'= na n X n - 1 = (n+1)an+lXn, \/xE]-R,R[.
n = 1 n =0
Donc
00 00 00
o = (1 + X)y' - rxy = (n + l)a n + 1 X n + nanX n - rx anX n ,
n=O n=l n=O
ou encore \/ XE] - R, R[,
00
o = [(n + l)a n + 1 + (n - rx)an]xn Ç> (n+ l)a n + 1 = (rx-n)a n , \/n EIN.
n=O
On en déduit, évidemment, que l'on a
rx(rx - 1) (rx - 2) ... (rx - n + 1)
= ,
n.
et, par suite,
( ) rx(rx - 1)... rx(rx - n + 1) n \..1
y X = ao , X, vX E ]- R, R[.
n=O n.
Calcu 1 de R.
Si rx E IN, on a an = 0, pour n rx+ 1, donc la série entière se réduit a un polynôme
et R est infini, R = 00.
Si rx IN, on peut utiliser ici la méthode P du paragraphe 1, 3°, et l'on obtient R = 1.
Condition suffisante.
. rx(rx-1)... (rx -n + 1) n . d ' fin . d ] [
Les 10nctlons ao k.J , X , qUI sont e les ans - R, R , sont
n=O n.
évidemment solutions de (1).
2° La solution générale de cette équation différentielle linéaire homogène du
premier ordre est donnée par y(x) = K(l+x)ex, K étant une constante quelconque.
3° Il existe donc une constante Ko telle que l'on ait
rx(rx -1) ...(rx- n+ 1) n _ K (1 ) ex d ] _ R R[
ao k.J , X - 0 + x , ans ,.
n=O n.
Pour x = 0, on obtient ao = Ko et, par suite,
(1 ) rx(rx - 1) ... (rx - n + 1) n d [ 1 . 00 si rx E N,
+ x ex = , x, ans]- R, R, avec R = 1 SI . N N.
n =0 n. VI" y=
SOLUTIONS
241
7.ill.l0.
1 0 Soit
x y = [Log (1 + X)]2,
alors
, _ 2 Log (1 + x)
y- l+x'
soit
(1)
y'(l + x) = 2 Log (1 + x).
Par dérivation de (1), on obtient une équation différentielle du second ordre a
laquelle satisfait y
(E) (1 + X)2 U " + (1 + x)u' - 2 = O.
On trouve facilement la solution générale de cette équation (E) en posant u' = u.
Cette solution s'écrit
u = [Log (11 + X 1)]2 + A Log (11 + xl) + B,
où A et B sont des constantes.
On en déduit que la fonction x 1---+- [Log (1 + X)]2 est la seule solution de (E) telle que
u(O) = 0 (ce qui implique que l'on ait B = 0) et u'(O) = 0 (ce qui implique que l'on
ait A = 0).
Recherchons maintenant les solutions de (E) développables en série entière au
voisinage de 0 sous la forme
00
u' = """ a x n
.£..J n ,
o
valable dans [-R, RJ.
Par application du théorème sur la dérivation terme a terme on écrit
00
u" = (n + l)a n + Ix n .
1
Le développement du premier membre de (E) a donc la forme suivante :
00
al + ao - 2 + [(n + l)a n + 1 + (2n + l)a n + nan_I]X n .
o
On en déduit les relations vérifiées par les an :
al + ao = 2, (n+ l)a n +1 + (2n+ l)a n + na n _ l = O.
Cette dernière relation de récurrence s'écrit aussi de la façon suivante:
(n + 1) (an + 1 + an) = - n(a l1 + an_l),
d'où l'on conclut
(n + 1) (a'Z+'1 + an) = (- l)n(al + ao) = 2(- l)n,
[ puisque
- n(a n + an_l) = + (n-l)(an_l + a n _2) = ... = (-l)n(a l + ao)l
d'où l'on déduit la relation
(2)
2( - l)n
an+l+a n = n+l .
242 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
A partir de n = 0 on a donc les relations suivantes :
al+aO = 2,
a 2 +a 1 =2( / ),
1
a3 + a2 = 2 . 3'
(- l)P
a p + 1 + a p = 2 p + 1 '
(- l)n
a n + 1 + an = 2 n + 1 '
d'où l'on tire, en multipliant les deux membres de la relation a p +l +a p par (-l)P
et en ajoutant toutes les égalités obtenues :
n _ [ Il 1 ]
(-1)a n +l+ a O- 2 1+2.+3+".+ n+1 .
Puisque nous recherchons la solution telle que u(O) = u' (0) = 0, alors ao = O.
Le rayon de convergence de la série ainsi obtenue est égal a 1, car
1 1
1+ 2 +".+n+ï 1
1 1 = 1 + [ 1 1 ]
1 +:2 + ... + ïï (n + 1) 1 + 2 + ... + n
la n + 1 1
lanl
et
1 . lan+ 11 1
lm = .
n co lanl
On en déduit l'expression de u telle que u(O) = u'(O) = 0,
00 [ 1 1 ] xn + 2
II = 2 (- l)n 1. + 2 + ... + n + 1 n + 2 .
En vertu de l'unicité de la solution de (E), on a donc
00 [ 1 1 ] xn + 2
[LOg(1+x)]2=2 (-1)n 1+2:+".+ n+1 n+2 ,-1 <x<l.
Remarque.
00
A partir de l'expression (1) et de y' = anx n , on obtenait immédiatement
o
", 00 (_ 1)n-1
ao + (an + a n _ 1 )x n = 2 x n ,
o 1 n
d'où
ao = 0
et
( _ l)n - 1
an + a n _l = 2 n '
ce qui n'est autre que l'expression (2).
SOLUTIONS
243
2° Soit x J---+. y = (Arc sin X)2; on obtient l'équation différentielle
(E) u"(1 - x 2 ) - xu' = 2,
dont la solution générale sur l'intervalle (- 1, 1) est
u = (Arc sin X)2 + CI Arc sin x + C 2 ,
Clet C 2 étant des constantes.
La solution x J---+. (Arc sin X)2 est donc la seule solution de (E) telle que u(O) = u' (0)
= O.
00
A partir de u' = anx n on recherche les solutions de (E) développables en série
o
entière. La relation de récurrence obtenue est la suivante :
(3)
na n = (n - l)a n _2'
avec
al = 2, 2a2 - ao = 0, ...
Avec ao = 0 l'expression des coefficients est
22P+ l(p!)2
a2p = 0, a2p+I = (2p + 1)! ·
En vertu de l'unicité de la solution de (E) telle que u(O) = u' (0) = 0 on peut donc
conclure que
00 2 2n + 1 ( n ' ) 2
(Ar . ) 2 "" . 2n+ 2
C sm x = n -:'0 (2n + 2)! x .
D'après la relation (3) appliquée a n = 2p+ 1, on a lim a2p_1 = 1 et le rayon de
convergence de la série est égal a 1. a2p+ 1
7.ill.ll.
On remarque que l'on a
, 2(x - cos et) ( eirx e- ia. )
y = x 2 - 2x cos et + 1 = - 1 - xe irx + 1 - xe- irx ,
On peut écrire
1 00.
. = "" xne lnrx
1 - xe 1rx
et
1 00 .
. = "" xne- 1nrx
1-xe- trx '
ces développements étant valables pour Ixl < 1, puisqu'il s'agit de progressions
géométriques de raisons respectives xe irx et xe- irx .
On en déduit donc
00
y' = - (e inrx + e- in )xn-l,
n=l
R = 1,
244 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
soit
00
y' = - 2 x n - 1 cos na,
1
R = 1,
et, par application du théorème 7.111.1. (intégration terme a terme) puisque y(O) = 0,
on obtient enfin
00 cos na
Log (1- 2x cos C(+X2) = - 2 x n , R = 1.
1 n
7.IV.I.
Considérons la fonction F : lE J---+. lE definie par
z J---+. cos z ch z.
La fonction f est évidemment la restriction de F a IR (IR c lE).
On a
1
F(z) = cos z cos ;z = 2: [cos [z(l + i)] + cos [z(l - ;)]] .
Or,
00 Z2P
cos Z = (- l)P (2 ) , ' \1 Z,
p=o P .
donc
2F(z) = £ (- 1)Pz2P (1 + l),2P + f (_ 1)Pz2P (1- l),2P , Vz,
p=o (2p). p=o (2p).
et
00 Z2P
2F(z) = (- l)P (2 ) , [(1 + i)2P + (1 - ;)21'), \lz.
p=o p .
En écrivant 1 +; et 1-; sous la forme suivante
1 + ; = V2ei et 1 - ; = V2e-i ,
on obtient
00 Z 2P ( . 1t . 1t )
2F(z) = (- l)P -y (2)P e 1P 2 + e-1Pï ,
p=o (2p).
\lz,
ou encore
00 Z2P n
F(z) = (-1)P (2 ) , cosP- 2 '
p=o p ·
Pour y = 0, c'est-a-dire z = x, on a alors
00 x 2P n
F(x) =f(x) = (-l)P-ycosp-,
p=o (2p). 2
\lz = x + iy.
\Ix E IR.
En résumé, la fonction f est bien développable en série entière et le rayon de conver-
gence de cette série est 00.
SOLUTIONS
245
7 .IV .2.
. 1; V3 .
SOIt j = - "2 + T ; on salt que
(1) 1 + j + j2 = 0
et
(2)
j3 = 1.
On a évidemment pour tout z
00 zn
e Z = "
n=O n.
00 zn
Jz .n
e =.l.J J n "
n=O .
00 n
e j2z = j2 n Z , .
n=O n.
On en déduit
(3)
. .2 00 Zn
e Z + e JZ + eJ Z = ,(1 + jn + j2 n ),
n =0 n.
Vz.
Compte tenu des relations (1) et (2), on peut écrire
1 + .n + .2n _ , 0 pour n = 3p + 1 ou 3p + 2,
J J - 3 pour n = 3p.
L'expression (3) devient alors
00 Z3P
e Z + e jz + e j2z = 3 - V z = x + iy.
p=O (3p)!'
On en déduit, pour y = 0, c'est-a-dire pour z = x réel, que l'on a
eX + e Jx + e j2x 00 x 3P
= -, VxeIR.
3 p=O (3p)!
En résumé, le rayon de convergence et la somme de la série donnée sont les suivants :
eX + e Jx + e j2x
R = 00 et S(x) = 3 .
Remarquons que S(x) doit nécessairement être réel, ce qui n'apparaît pas dans cette
expression. Toutefois, on a
. J 2 X ( .\13 .V3 ) X ( 1/3 )
e JX + e X = e-'j, el]; + e-IT x = 2e-'2 cos 2 x ,
donc
3S(x) = eX + 2e- cos ( x).
En faisant x = 1, on a enfin
e+ 2e- t cos V3
2
3
00 1
- -
- p=O (3p)!"
246 sÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
7.IV.3.
1
Nous allons chercher le développement en série entière de sa dérivée 1 + 2 autour
de x = 1; pour cela posons X = x - 1, on obtient x
1 1 1 1 1
1 + x 2 = X2 + 2X + 2 = 2i X - 1 - i - X - 1 + i .
En posant 1 + i = 1/2e i 4 et 1- i = 1/2e- i , on peut encore écrire
1 1 1
1 + x 2 = 2; { - 1/2ei 4 ·
1
\
1 (.
X .1t (
1---=-e 4 ,
V2 1
1
X + V - 1t .
.1t 2e - i 4 --
1 - 1/2 e-'4
1 00
Compte tenu de 1 _ z = n o zn pour Izi < 1, on obtient
\-I x ' . fi IXI 1
v yen ant Vi < ,
1
00 x n . 1t
= -e- "4
X.1t ",
1 - - n=O 2'2;
- V2 e 4
et
1 00 X" . 1t
= -e l "4
X .1t 2 "'
1 - V2 e'4 n =0 2"
\-I x ' . fi IXI 1
v yen ant Vi < ·
Donc
[ . + 7t . 1t ]
1 = O'J X n e l (" 1)4- e- ("+1)4
X2+2X+2 n o 2 + 2;
pour IXI < V2.
00 X n n
= sin (n+ 1) 4'
n=O 22+2
En résumé, si R est l rayon de convergence de ( :;1 sin (n+ 1) ) , on doit nécessai-
rement avoir R ;> V2. 22 2
L ,. ! X" . ( ) n j di X 1' 12 (p . sin (n + 1) n 1 0
a serIe 1i"1 SIn n + 1 _ 4 verge pour = V k ulsque /- 2 - -
22+2 12
pour n 00), donc R V2.
On a donc nécessairement R = V2" et, puisque X = x-l,
1 00 (x-1)" . ( ) n
1 + 2 = _'!! sIn n + 1 4 _, dans ]1 - R, 1 + R[ avec R = 1/2.
x n=O 22+2
En intégrant entre 1 et x appartenant a l'intervalle] 1 - V2, 1 + V2 [ (cf. théorème
7.111.1.), on aura
00 (x - l)n+ 1 n
Arc tg x - Arc tg 1 = n 1 sin (n + 1) _ 4 ' \/x E ] 1- V2, 1 + Vi[.
n=O (n + 1)22:+2
SOLUTIONS
247
Puisque 0 E ] 1 - V2", 1 + V2: [, on peut faire x = 0 dans la relation précédente et l'on
obtient
n
--
00 sin (n+ 1)
(- l)n n 1 .
n=O (n + 1)22+ 2
4
7.IV.4.
00 zn
a) On a e Z - 1 = -" donc
n=l n.
lez - 11 =
f zn f Iz n = e1zl- 1.
n=l n! n=l n.
d'où un premier résultat.
De plus, on a
00 Izln 00 Izl n
e 1zl - 1 = Iz! n o (n + l)! Izl n o n! = Izle 1zl ,
donc
e lZI - 1 < !zle izi .
b) On a l'implication suivante :
00 (- 1)17 Z 217 00 1 Z 1 217
cosz= (2 )' => Icoszl < (2 ) , = ch Izi.
p=O .p . 2p=O .p.
7 .IV .5.
a) Nous avons e Z = 3 = e Log3 , équation du type eZl = e Z 2 (<:> Zl = Z2 + 2ikn,
où k E Z), donc z = Log 3 + 2ikn.
b) Tout nombre complexe Z pouvant se mettre sous la forme
Z = pe i9 , où p = IZI et 0 = Arg Z,
on écrit
- 2 = 2e Ï1 r:.
Nous avons donc a résoudre l'équation
e Z = 2e Ï1 r: = eLog2. ehr: = eLog2+i1t,
d'où l'on déduit
z = Log 2 + in + 2ikn, k E Z.
c) De même, on a
. 'Tt n
e Z = i = e£2 <:> z = i - + 2ikn.
2
248 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
7 .IV .6.
a) Posons z = x + iy; nous avons alors
sin z = sin (x + iy) = sin x cos iy + sin iy cos x = sin x ch y + i sh y cos x = 0,
c'est-a-dire
(1) sin x ch y = 0,
(2) sh y cos x = O.
Il est clair que l'on a
(1) <=> x = kn (puisque ch y ¥= 0)
pUIS
(2) <=> shycos (kn) = shy(-I)k = 0 <=> y = 0;
donc
sin z = 0 <=> z = kn + iO = kn.
En résumé, on a
sin z = 0 <=> z = kn, où k E 7L.
b) En utilisant la relation sin iz = i sh z, nous constatons que
sh z = 0 <=> sin iz = 0 <=> iz = kn <=> z = ik'n (k' E Z).
c) Nous avons
e iz + e- iz
cosz= =2
2 '
donc
e iz _4+e- iz = 0 <=> e2iz_4eiz+ 1 = 0,
ou encore, en posant X = e iz ,
X2 - 4X + 1 = 0 <=> X = 2 :!: V3.
Nous avons a résoudre les équations suivantes :
e iz = 2 + V3 = e LOg (2+v'3), e iz = 2 - V3 = e LOg (2-v'3)
qui sont du type e Z l = e Z2 ( <=> z 1 = Z 2 + 2ikn, k E 7L).
Donc,
;z = Log (2 + V3) + 2ikn, iz = Log (2 - V3) + 2ikn,
ou encore,
z = 2kn - i Log (2 + V3)
et
z = 2kn - i Log (2 - V3).
SOLUTIONS
249
d) Tout nombre complexe Z peut s'écrire sous la forme
Z= pe i9 , où p = IZI et 0 = ArgZ.
lM .1t
Donc 1 - i = V 2e- 4 et, par suite,
--L -.1t . ,-.1t . ,- .1t
e Z +l = l-i <:> e Z +l = V2e- 4 = eLogv2.e- 4 = eLogv2- 4
équation qui est du type e%l = e Z :{<:> ZI = Z2 + 2ikn où k E Z).
Nous avons alors z 1 = Log V2- i + 2ikn, d'où l'on déduit z.
e) Nous avons cos z = ch z = cos iz, donc z = :!: iz + 2kn, d'où l'on déduit z.
7. V.I.
On écrit
_ 2. f x ( 00 (- l)nt 2 " ) _ 2. 00 (- 1)"x 2 "+ 1
o (x) - V - , dt - V - (2 + 1) , '
n 0 0 n. non n.
puisque l'intégration terme a terme est légitime, le rayon de convergence de la série
utilisée étant infini.
Alors
2 00 (-1)"
0(1) = vn (2n+ l)n!'
ou
2 [ 1 (- 1)"-1 ] 2
0(1)= vn 1- 3 +",+ (2n-l)(n-l)! + Vi Rn_l
et l'on sait q ue l'iné g alité suivante : I R 1 1 est vérifiée , P uis q ue la
"-1 (2n + l)n!
2R
série est une série alternée. Pour n = 6, on a 0 < V < 2.10- 4 , d'où
8; 0 (1) 8 +2.10-4,
où 8; et 8 5 sont des valeurs approchées respectivement par défaut et par excès de
2 [ 1 1 1 1 1 ]
Vi 1- 3 + 5.2! - 7.3! + 9.4! - l1.5! ·
Le calcul numérique donne
o (1) = 0,881 6:!: 6.10- 4 ,
résultat légèrement meilleur que celui demandé par le texte.
250 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
7. V.2.
1 ° On a le développement suivant :
(1 X) <X = 1 X a(a - 1) X 2 a(a - 1)... (a-p + 1) X p
+ +a + 2' +...+ , +...
. p.
(rayon de convergence égal à l'unité), d'où l'on déduit
3 - t _ _ x 3 ! . 6 _ P 1.3.5 ... (2p - 1) 3p
(1 + x) - 1 2 + 2 4 x +... + (1) 2.4.6... 2p x +...
le rayon de convergence étant égal à l'unité.
L'intervalle d'intégration est contenu dans l'intervalle de convergence de la série
donc l'intégration terme à terme est légitime.
Comme on a
I f 3P _ 1
o x dx - (3p+ 1)23P+1
il vient alors
1 1 1 1.3....(2p-1) 1
Il = 2. - 2 x 4 + ... (- l)P. 2.4. .. . 2 p x (3p + 1)2 3p + 1 + ...
2° La série définissant Il étant convergente, on sait déja que u p tend vers o.
Vérifions-le directement
u p + 1 = 2p + 1 x 3p + 1 x => 1 UP u + p 1 1 1
u p 2p + 2 3p + 4 2 3 < 8'
. 2p + 1 3p + 1 . , . ,
pUIsque 2p + 2 et 3p + 4 sont Inlerleurs a 1.
Puisque U:: 1 1 < , cela implique que la valeur absolue de lu p + 11 décroît en tendant
vers 0 (car IUpl < ; ).
3° Cette série alternée, dont le terme général tend vers 0 en décroissant en valeur
absolue, admet un reste Rp majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier
terme négligé, soit IRpl <;; IU p + 1 1.
On a donc
1 R 4 1 <;; 1 U 51,
mais on sait que
1.3.5.7.9 1 1
Iusl = 2.4.6.8.10 x 16 x 2 16
SOLUTIONS
251
ce qui implique que l'on a
63 2 6 1 1
IR 4 1 228 < 228 = 4.220 < 4.10 6 '
donc
IR 4 1 <3.10- 7 .
Pour calculer 8 4 à 2.10- 7 près, il suffit de calculer U 1 , U 2 , U3 et U4 à 5.10- 8 près.
1 u' G
P u p p
-
1 0,5
0 2 0
1 1 1 1 -0,007 812 5
1 _-e_e_-__ 0
2 4 2 4 128
1 3 1 1 3 0,000418 5 5.10- 8
2 2: · 4 · 7 · 2'7 = 7 168
1 3 5 1 1 -1 - 0,000 030 5 5.10- 8
3 -2.4."6. 10 . 2 10 = 32 768
1 3 5 7 1 1 35 - 0,000 002 6 5.10- 8
4 :2 .4 · 6. 8 . 13 · 2 13 = 13 631 488
1
On en déduit alors
8 4 = 0,500421 1 - 0,007 843 O::l:: 1,5.10- 7 ,
soit, enfin,
8 4 = 0,492 578 1 ::l:: 1,5.10- 7 .
On en conclut la valeur de Il
Il = 0,492 578 ::l:: 10- 6.
7. V.3.
00
Soit F(x) = L anx n ; on suppose l'existence d'une telle solution de E, le rayon de
o
convergence R de la série étant non nul. Sur [ - R, R lies opérations de dérivation
terme à terme sont justifiées (théorème 7.111.1.).
252 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
Alors on a
00
F'(x) = L na n X n - 1
n=l
et
00
F"(x) = L n(n- 1)a n x n - 2
n=2
et l'expression xF" + 3F' - 4x 3 F se développe sous la forme
00 00 00
L n(n- 1)a n x n - 1 + L 3na n x n - 1 - L 4a n _4 Xn - 1 .
214
En identifiant à zéro, on obtient les relations
al = 0, 2a2 + 6a2 = 0, 6a3 + 9a3 = 0
ainsi que la relation générale suivante :
n(n - l)a n + 3na n - 4a n _4 = 0,
n ;> 4.
Comme ao = F(O) = 1, on a donc
ao = 1, al = 0, a2 = 0, a3 = 0
et
n(n + 2)a n = 4a n _4.
On en déduit immédiatement que les seuls coefficients non nuls sont les coefficients
a4p, et la relation
4a4(P_l )
Q4p = 4p(4p + 2) -
a4p_4
2p(2p + 1)
donne
ao 1
a4p = (2p+ 1)! = (2p+ 1)!.
F(x) a nécessairement la forme suivante :
00 x 4P
F(x) = (2p+ 1)! .
Comme le rayon de convergence de cette série est infini, on peut donc affirmer
l'existence d'une solution et d'une seule développable en série entière autour de
l'origine telle que F(O) = 1.
En écrivant que l'on a
00 x 4P 1 00 (x 2 )2P+ 1
(2p+ 1)! = x 2 (2p+ 1)!
on reconnaît que F(x) a pour expression
shx 2
F(x) = .
x
SOLUTIONS
253
7. V.4.
00
1 0 En écrivant y = L anx n le premier membre de (E) prend la forme suivante :
n=O
00 00 00
L n(n - 1)a n x n - 1 + 2 L na n x n - 1 + co 2 L anx n + 1,
n=2 n=l 0
les dérivations terme à terme étant justifiées dans [ - R, RJ, R étant supposé non nul.
En identifiant il vient
2al = 0, 2a2 + aoco 2 = 0, (n + 2) (n + l)a n + 1 + co 2 a n _l = 0,
d'où l'on déduit
al = 0,
co 2
a2 = - -
2
et, plus généralement,
co 2
a n +l = - (n + l)(n + 2) an_l'
n ;> 2.
Donc
a2p+l = 0,
VpeJN
et
co 2
a2p+2 = - (2p + 2)(2p + 3) a2p.
Alors,
co2P+ 2
a2p+2 = (- l)P+ 1 (2p + 3)! ao.
Puisque le rayon de convergence de (an x n ) est infini
(1 a2 1 (2p+ 2)(2p+ 3)
= 2 tend vers + 00 lorsque p tend vers
a2p+2 Q)
+ 00 ),
on obtient donc une famille de solutions de (E) :
00 (- 1)Pco 2P
y = ao p"fo (2p + l)! x 2P , ao étant une constante quelconque.
I l". " . sin cox d
On reconnaît a 10nctlon elementaIre , onc
x
sin cox
y=ao x
2° On cherche la solution générale de (E) en effectuant le changement de fonction
inconnue suivant :
, sin cox
y = UYl, ou YI =
X
254 sÉRIES ENTIÈRES D'UNE VARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
(E) devient alors
(El)
XYI U " + 2u'(xYl + YI) = o.
On intègre (El) en l'écrivant sous la forme
" [ ' 1 ]
= _ 2 YI + _
U' YI x'
d'où
Log lu'l = - 2 Log IY 1 1- 2 Log Ixl + c,
où C est une constante, soit alors
KI KI
U' = X 2 YI = sin 2 rox ' où KI est une constante.
Donc
l dt
u= K
1 sin 2 rot
et finalement
A sin rox + B cos rox
y=
x
7. V.S.
Fonctions de Bessel d'ordre entier.
1° On a
n ! y' = nx n - 1 u + xnu',
Y = x u => " ( 1 ) n - 2 + 2 n - 1 ' + n "
Y = n n- x u nx u x u .
Le premier membre de (En) devient alors
xn+ 2U" + (2nx n + 1 + xn+ 1 )u' + [(x 2 - n 2 )x n + nx n + n(n - l)x n ]u,
soit, après réductioD,
xn+ 1 [xu" + (2n + l)u' + XU],
d'où l'équation (E )
(E )
xu" + (2n + l)u' + xu = O.
00
2° Soit u(x) = L apx P , avec pour rayon de convergence R non nul; en dérivant
o
terme à terme on obtient u' et u", c'est-à-dire
00
u'(x) = LpapXP-l
1
et
00
u"(x) = LP(P - 1)a"xP-2.
2
SOLUTIONS
255
En reportant ces développements dans (E ) et en identifiant il vient
al = 0, ao + 2(2n + 2)a2 = O. ..., a p -2 + p(p + 2n)a p = o.
On en déduit
a p -2
a =-
p p(2n+ p)
(puisque n n'est pas un entier négatif) et, par suite, pour tout k on a
a2k+l = 0
et
a2k-2
a2k = - 4k(n+ k)-
Cette dernière relation permet d'obtenir a2k :
( - l)k 1 ( - l)k n !
a2k = 22kk! (n + 1)...(n + k) ao = 2 2k k!(n + k)! ao,
Comme on a l'égalité suivante:
a2k
a2k_ 2
1
-
4k(n -t- k)'
le rayon de convergence de la série trouvée est infini.
Les solutions de (E',z) développables en série entière autour de l'origine sont donc
données par
00 (_ l)k n ! ( X ) 2k
u(x)=aOk o k!(n+k)! 2 ·
Et, en particulier,
00 (- l)k n ! ( X ) 2k
Un (x) = k o k!(n+k)! 2 -
3° On a donc
( x ) ft 00 (_ l)k ( X ) 2k
Jn(x)= "2 k o k!(n+k)! 2 '
le rayon de convergence de la série étant infini.
On en déduit
(1)
( x ) n+ 1 00 (_ l)k ( X ) 2k
J n + 1 (x) = "2 k o k!(n+1+k)! "2'
( x ) n-l 00 (_ l)k ( x ) 2k
J n - 1 (X) ="2 1::;:0 k! (n-l + k)! "2 ·
La première série s'écrit, en posant k = k' -1,
(2)
( x ) n-l 00 (_ l)k' ( X ) 2k'
J n + 1 (x)= 2 k l - (k'-l)!(n+k')! 2 ·
256 SÉRIES ENTIÈRES D'UNE V ARIABLE RÉELLE OU COMPLEXE
Alors on en déduit
( x ) n-l [ 1 00 (- l)k ( 1 1 ) ( X ) 2k ]
J n - 1 (x) + J n + 1 (x) = "2 (n-l)! +k l (k-l)!(n-l+k)! Ïc- n+k "2 '
soit
( x ) n-l [ 1 (f) n( - l)k ( X ) 2k ]
J n - 1 (x) + J n + 1 (x) = "2 (n-l)! +k l k!(n+k)! "2
( x ) n-l 00 (_ l)k ( X ) 2k
= 11"2 k O k! (n + k)! 2. '
ou encore
(3)
2n
J n - 1 (x) + J n + 1 (x) = - Jn(x).
x
En reprenant les expressions (1) et (2) on trouve pour la différence J'Z-1(X)-J n + 1 (x)
( x ) n-l [ 1 00 (- l)k(n+ 2k) ( X ) 2k ]
J n - 1 (X)-J n + 1 (x) ="2 (n-l)! + k l k!(n+k)! "2
( (fj (_ l)k ( X ) n+2k ) '
= 2 k O k!(n+ k)! "2
la dérivation terme à terme étant légitime. On obtient donc
(4) J n - 1 (x) - J n + 1 (x) = 2J (x).
En effectuant la somme, puis la différence des expressions (3) et (4), il vient
n
J n - 1 (x) = J (x) + -Jn(x)
x
et
n
J n + 1 (x) = -Jn(x) - J (x).
x
On en déduit
1 d
J n - 1 (x) = n - d [xnJn(x)]
x x
et
n [ d J n(X) ]
J n + 1 (x) = -x dx xn ·
--"
M.P.2-P.C.2
8.
SÉRIES DE FOURIER
Les séries du type
ao R . j3 .
- + a 1 cos x + fil SIn x + ... + an COS nx + n SIn nx + ...,
2
[an et P n étant des constantes réelles] sont dites séries trigonométriques. Les
séries de Fourier entrent dans la famille des séries trigonométriques.
1. - NOTIONS GÉNÉRALES RELATIVES AUX SÉRIES DE FOURIER.
Soit une fonction f : IR IR qui satisfait aux propriétés suivantes :
) être de période 2n,
être intégrable dans un intervalle (a, a + 2n) (donc dans tout intervalle
de longueur 2n).
1 0 Coefficients de Fourier de f. - Les termes
I f +2x I f «+2x
an(f) = - f(x) cos nxdx et bn(f) =- f(x) sin nxdx
n « n «
sont appelés coefficients de Fourier de f.
Remarquons que
a) an et b n sont indépendants du choix de a;
b) an = 0 si f est impaire et b n = 0 si f est paire.
2 0 Série de Fourier associée à f. - C'est la série trigonométrique
aO (f) + al (f) cos x + b l (f) sin x + ... + an(f) cos nx + bn(f) sin nx + ...
2
A toute fonction.!: satisfaisant aux conditions , on peut faire correspondre
sa série de Fourier. Symboliquement, on écrira
f - a; Cf) + at(f) cos x + b 1 (f)sinx+...
258
SÉRIES DE FOURIER
3 0 Fonction développable en série de Fourier. - Nous dirons qu'une
fonction f satisfaisant à est développable en série de Fourier lorsque f est
la somme de la série de Fourier qu'elle engendre, c'est-à-dire
!(x) = ao(f) + Ï anCf)cosnx+bnCf)sinnx, 'rixE IR.
2 n=l
II. - RECHERCHE DE FONCTIONS DÉVELOPPABLES EN SÉRIE
DE FOURIER.
1 0 Théorème 8.11.1. - Soit une série trigonométrique
CXo R . R ·
-+CXl COSX+Pl S111X+... +cxncosnx+Pnslnnx+...
2
qui converge uniformément vers sa somme S(x) dans IR. Alors, S(x) est
développable en série de Fourier et l'on a an(S) = CX n et bn(S) = Pn.
2° Rappelons que toute fonction g monotone sur un segment [a, b] n'admet
que des discontinuités de première espèce, c'est-à-dire :
g(x) limite notée g(xo+O) si x xo+O,
g(x) limite notée g(xo-O) si x xo-O.
De plus, l'ensemble des points de discontinuités est dénombrable.
Lorsque l'on a g(xo) = g(xo+O)+g(xo-O) en tout pointx o de discontinuité,
2
on dit que la fonction g est régulière. On a alors
g(x) = g(x+O)+g(x-O)
2 '
Yx E [a, b].
Théorème de Jordan. - Si f est périodique, de période 2n, et est la diffé-
rence de deux fonctions non décroissantes dans un intervalle [a, a+2n], sa
série de Fourier converge pour tout x et a pour somme
f(x+O)+ f(x-O)
2
En outre, la convergence vers f(x) est uniforme sur tout segment sur lequel
f est continue, extrémités comprises.
Remarques.
a) f n'admet évidemment que des discontinuités de première espèce,
puisquef= gl-g2, où gl et g2 sont monotones dans [a, a+2n].
ÉGALITÉ DE PARSEVAL
259
b) Toute fonction f, différence de deux fonctions non décroissantes
sur [a, b], est dite à variation bornée sur [a, b].
c) Si f satisfait aux hypothèses du théorème de Jordan et si elle est
régulière, alors elle est développable en série de Fourier.
3° Théorème de Diricblet. - Soit une fonction f de période 2n et bornée
en valeur absolue.
Supposons que l'on puisse partager l'intervalle [et, et+2n] en un nombre
fini d'intervalles [eth eti+l[ (eti < eti+l, et 1 = et, etn = et+2n) de façon que f
soit monotone et continue dans chaque ouvert ]eth eti+ 1[; alors la série de
Fourier associée àfconverge pour tout x et a pour somme
j(x +0) +j(x-O)
2
De plus, la convergence vers f(x) est uniforme sur tout segment sur lequel
f(x) est continue, extrémités comprises.
Corollaire. - Si f(x) satisfait aux hypothèses du théorème de Dirichlet et
si elle est régulière, alors elle est développable en série de Fourier.
ill. - ÉGALITÉ DE P ARSEV AL.
Soit une fonction f : [a, a+2n] IR et intégrable sur [a, a+2n]. Posons
I f a+2n I f a+2n
an = - f(x) cos nxdx et b n = - f(x) sin nxdx.
n a n a
Si f2 est intégrable sur [a, a+2n], alors la série de terme général (a +b )
est convergente. Plus précisément, on a
I f a+2n a2 00
- f 2 (x)dx=-.!!.+ L (a; + b;).
n a 2 n= 1
Remarque.
fintégrable et bornée sur [a,a+2n] f2 intégrable sur [a,a+2nJ.
IV. - FONCTIONS DE PÉRIODE T #= 2n.
Soit une fonctionf définie et intégrable sur [a, a+ T] et de période T.
1° On peut lui associer la série de Fourier suivante:
f- o + al cos (cox) + b l sin (cox) + ... + an cos (ncox) + b n sin (ncox) + ... (OJ = 2; ).
2 f CX+T 2 f CX+T
où an = - f(x) cos (nrox)dx et b n = - f(x) sin (nrox)dx.
T cx T cx
260
SÉRIES DE FOURIER
2° On peut aussi lui associer sa série de Fourier écrite sous forme complexe :
1 C - inrox C - irox C C irox C inrox
-.. ... + _ne + ... + - 1 e + 0 + 1 e + ... + ne + ...,
où
I f a:+T .
C = - f(x)e-tproxdx
p T a:
(W= 2;).
Pour T = 21t,
1 C -inx C -ix C C ix C inx
... + - ne + ... + - l e + 0 + 1 e +. .. + ne + ...
et lorsque 1 est développable en série de Fourier, on aura donc
+00
1 = L Cne inx .
n= - 00
v. - BASE ORTHOGONALE (M.P.2).
Soit :Je un sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications: [a, b]-+ IR,
muni de la structure usuelle. Supposons qu'à deux éléments quelconques 1
et g de:F on puisse faire correspondre un nombre réel noté (f, g) (par exemple,
fi(X)g(X)dX si f et g sont continues) tel que
1. (f,J) ;> 0; (f,I) = 0 <=> 1 = 0,
2. (f, g) = (g,/) (symétrie),
3. 1 Cf, g) est linéaire.
On dit que ( , ) est un produit scalaire sur :F et IJII = V (f,I) définit une
norme sur :F (appelée norme associée au produit scalaire)
Si (f, g) = 0, on dit que 1 et g sont orthogonaux.
Exemple: (f, g) = f!'(x)g(X)dX définit un produit scalaire sur le sous-espace
vectoriel e des applications : [a, b] IR qui sont continues.
Base. - Soit ({JI, ..., ({Jn, ... une suite de fonctions de:F, linéairementindépen-
dantes ( jtl Âj({Jj = O ilj = 0, 'V N) et et> le sous-espace vectoriel engendré
par ({J l, ..., ({J n, ...
<1> = L'I. ,II = À.fn.
l '1' , '1' i..J t't' t'
\ i= 1
où toutes les constantes réelles il; i.
sont nulles, sauf un nombre fini)
On dit que <Pl' ..., ({Jn, ... est une base de:F si pour tout le:F il existe une
suite ln e <1> telle que ln -+ 1 lorsque n -+ 00 C<=> II/n-/11 0).
Autrement dit, ({JI, ..., ({Jn, ... est une base de:F <=> <1> est dense dans:F.
BASE ORTHOGONALE (M.p.2)
261
Théorème des bases orthogonales. - Soit une suite ({JI, ..., ({Jn, ..., ortho-
gonale c'est-à-dire telle que «({Ji, ({Jj) = 0, pour i =F j.
Alors ({JI, ..., ({Jn, ... sont linéairement indépendants et de plus on a
00
({JI' ..., ({Jn". base de :F <=> Il lil 2 = L c;(f) Il ({Jn 11- 2 , où cn(/) = (f, ((Jn), VI E Sf.
n=1
Exemple:
Lorsque b = a + 2n, Je sous-espace vectoriel e admet pour base les fonctions
x 1----). SIn px,
x 1----). cos q x,
p et q E lN.
8.n.t.
.
8.n.2.
.
8.11.3.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 8
1 ° Représenter graphiquement f: x J--)- f(x) = sup (sin x, 0).
Déterminer la série de Fourier associée à cette fonction.
2° Montrer que f est développable en série de Fourier, cette série conver-
geant uniformément sur IR vers f.
3° Calculer
00 ( - l)P
S= 42 1 .
n=l p -
On considère la fonction f de période 2n et qui est définie dans [ - n, n[ par
x J--)- f(x) = ) x si Ixl < n,
t 0 si x = -n.
1 ° Montrer que f est développable en série de Fourier et déterlniner
cette série.
2° a) Montrer que cette série converge uniformément dans tout fermé
[œ, fJ] inclus dans ]-n, n[.
b) Montrer que l'on ne peut avoir la cOllvergence uniforme sur [- n, n[
(donc a fortiori sur [-n, n]).
Soit œ un réel, œ Z, et f la fonction de période 2n définie dan.r; r -n, n[par
x J--)- f(x) = cos œx.
1 ° Vérifier que f est continue pour tout x. Montrer qu'elle est développable
en série de Fourier et déterminer cette série.
2° Montrer que cette série converge uniformément sur IR, en utilisant
a) une étude directe;
b) le théorème de Dirichlet.
3° Vérifier que l'on a
n 1 C\ 00 (- l)n
= - +2 .
sin œn œ n=l œ 2 -n 2
l'
4° Déterminer la somme de la série
( an. b cos nx )
- sin nx- n ,
n=l n n
an et b n étant les coefficients de Fourier de f, et en donner une représen-
tation graphique.
8.ll.4.
..
8.ll.S.
.
8.ll.6.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 8
263
On considère la série de terme général
sin 3 nx
nI
(x E IR).
a) Vérifier que cette serle est convergente \::Ix E IR. Soit S sa somlne.
Montrer que S est de classe Coo.
b) Montrer que S est développable en série de Fourier et trouver son
développement.
c) Expliciter S.
1° Montrer que lafonction F: IR 1--)- IR de période 2n, définie dans [0, 2n[
par
X-1t
x i--+F(x) = { 0 2
si
X E ]0, 2n[,
si
x = 0,
est développable en série de Fourier. Déterminer cette série ainsi que les
domaines de convergence uniforme.
2° Soit f: IR 1--)- IR de période 2n, intégrable sur [0, 2n], nulle au voisinage
de 0 et de 21t.
A f on associe sa série de Fourier
ao(f) .
+a 1 (f) cos x+b 1 if> Sln x+...
Montrer que l'on a
00 1 1 1 f 21t n - t
- bn(f) = - f(t) - dt.
n=l n 1t 0 2
On considère une fonction définie, continue et à variation bornée sur [0, n].
1° Montrer que l'on peut trouver de plusieurs façons deux suites numé-
riques réelles {an} et {bn}(nElN) telles que
ao 00
f(x) = 2" + n l (an cos nx+b n sin Ilx), \::Ix E [0, n],
la série étant uniformément convergente sur [0, n].
2° Montrer qu'il existe une suite {an} et une seule telle que
ao 00
f(x) = 2" + n l an cos nx, \::Ix E [0, n],
la série étant uniformément convergente sur [0, n].
3° Montrer qu'on ne peut, en général, trouver une suite {b n } telle que
00
f(x) = b n sin nx, \::Ix E [0, n],
n=l
la série étant uniformément convergente sur [0, n].
Condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi?
264
8.m.t.
.
8.IV.1.
..
8. V .1.
..
SÉRIES DE FOURIER
Montrer que la fonction f de période 27r, définie sur [-'Tt, n[ par
x f(x) = x 2
est développable en série de Fourier. Calculer cette série et en déduire
co 1 co (-l)n co 1
la valeur de 2' 2 ' 4..
n=l n n=l n n=l n
Formule de Poisson.
Soit une fonction g: IR IR qui est supposée
- monotone, continue et bornée dans] - a, a[, a est une constante posi-
tive lN,
- nulle dans ]-00, -a[ et ]a,oo[.
co
1 0 a) Montrer que la fonction G(x) = g(x+ K) est définie pour
tout x. K=-co
b) Montrer que G est de période 1 et est développable en série de Fourier.
2 0 Déduire de la question ]0 la formule suivante:
+co +co f +a
(1) K OO g(K) = v = "2:. 00 _/(x)e-Zi1tVX dx (formule de Poisson).
3° Généralisation.
Soit une fonction gl : IR IR, qui est supposée
décroissante, continue et bornée dans ]0, 00[,
nulle dans ]-00, 0[,
- régulière, c'est-à-dire ici
g(O) = g( +) .
De plus, on impose
gl(X) < kx- 2 pour x > Xo (k et Xo sont des constantes).
Montrer que l'on a
(2) K O gl(K) = y ) ) 00 f= gl(x)e-Zi1tYX dx.
Théorème des bases orthogonales.
On considère l'ensemble E des applications [a, b] IR qui sont intégrables
et bornées sur [a, b].
1 0 Soit {CPn} = 1 une suite de fonctions de E, vérifiant
J: ({Ji(x)({Jj(x)dx = 0, si i =P j et f: ({Jf(x)dx = 1, si i = j.
On pose
OC n = J:f(X)({J(X)dX
(feE).
Démontrer que la série ((Xi) est convergente et que l'on a
co f b
n l (X; <; a f2 (x)dx.
EXERCICES DU CHAPITRE 8
265
2° On munit E d'une semi-distance en posant
d(f,g) = f: (f-g)2dx.
Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par la suite {({J n} r, c'est-
à-dire que l'on a
g E F <;:?> 3{} k}
telle que
00
g = Àk({J,
n=l
(un nombre fini de Àk étant non nuls).
Montrer que
f:j2(X)dx = n I(l; <;>fE F,
P étant la fermeture de F dans E.
3 0 En déduire le théorème des bases orthogonales.
SOLUTIONS
8.11.1.
1 0 Représentation graphique de f.
La fonction f est évidemment de période 2n et continue Vx E IR.
Ici
f{x) = sin x, s s n x 0,
t 0, SI sin x <; o.
On obtient le graphique ci-dessus.
Série de Fourier associée à cette fonction.
On a
1 f +1t 1 f 1t ( . 1 + (-l)n SI
an = - f(x) cos nxdx = - sin x cos nxdx = 1t I-n 2 '
n -1t n 0 0
,
n =1= 1,
SI n = 1;
et
1 f +1t 1 f 1'C ! 0, si
b n = - f(x) sin nxdx = - sin x sin nxdx = ! si
1t _1t n 0 2'
n =1= 1,
n = 1.
On obtient donc
1 1. 2 cos 2x cos 4x cos 2nx
f(x) -.. n + 2 sm x- n - 4- 1 + 4 2 -1 +... + 4n 2 - 1 +... .
2 0 Développement en série de Fourier.
Pour montrer que f(x) est développable en série de Fourier il suffit de s'assurer
(cf. corollaire du paragraphe II, 3°)
a) qu'elle satisfait aux hypothèses du théorème de Dirichlet;
P) qu'elle est régulière, c'est-à-dire que l'on a
f(x) = f(x+O) f(X-O) . "Ix.
Cette dernière condition est évidemment satisfaite, puisque f est continue pour
tout x.
SOLUTIONS
267
Justifions a). - On a évidemment If(x)1 <; 1 (bornage) pour tout x.
Considérons maintenant l'intervalle [-n, n[ que l'on peut partager en trois inter-
valles :
[ - n, 0[,
[0, [
et
[ ,n[.
Dans chacun des ouverts ]-n, 0[, ] 0, [ et ] , n[ la fonction f est bien conti-
nue et monotone.
a) et ) étant vérifiées par f, cette fonction sera développable en série de Fourier,
c'est-a-dire que l'on aura
1 1. 2 00 cos Znx
(1) f(x) = -+- Z slnx-- 4 2 l ' \::IxeIR.
n n n=l n -
De plus f(x) étant continue sur [0, 2n], extremités comprises (puisqu'elle est conti-
nue \::Ix), on est assuré que la série de Fourier converge uniformément vers sa sommef(x)
sur [0, 2n]. Ceci entraîne la convergence uniforme, \::1 xeIR, en raison de la pério-
dicité 2n de cette série.
00 (-l)P
3° Calcul deS = 4 2 1 .
n=l fJJ -
1 (-l)P . 1 ffi d c.. n d (1) . A
Pour calcu er S = 4 2-1 1 su t e ialre x = 2 ans , ce qUI entralne
n=1 'P
f ( 1t z ) = 1 = !+!_ 2 f (-l)n
1t 2 1t n = 1 4n 2 - 1
et, par suite,
1 1t
8=2- 4 .
8.11.2.
Remarquons d'abord que f est régulière.
y-
En effet, elle n'admet que -n comme point de discontinuité dans l'intervalle
[- n, n[ et l'on a, en ce point,
f( - n + 0) + f( - n - 0)
Z
-n+n
2 = 0 = f( -n).
268
SÉRIES DE FOURIER
1 0 a) Déterminons la série de Fourier associée à f.
On a
an = 0,
puisque f est une fonction impaire, et
1 f + Tt 2 f Tt (- l)n + 1
b n = - f(x) sin nxdx = - f(x) sin nxdx = 2 '
n _'Tt non
puisque f(x) sin nx est paire.
Donc
( ) . sin 2x n + 1 sin IlX !
f x -.. 2 f SIn x - 2 + ... + ( - 1) n + ... .
b) Développement en série de Fourier.
Pour montrer que f est développable en série de Fourier, il suffit de s'assurer que :
a) f satisfait aux hypothèses du théorème de Dirichlet;
P) f est régulière.
Nous avons vu que cette dernière condition est vérifiée.
Justifions a).
If(x) 1 <; n, \::Ix (bornage)
en considérant [- n, n[, la fonction f est monotone et continue dans] - n, n[.
Donc f est développable en série de Fourier, c'est-à-dire que l'on a
f(x) = 2 :f (_l)n+l sin nx , \::Ix E IR.
n=1 n
2° a) La série converge sur tout fermé [a, PJ inclus dans] -1t, 1t[.
On déduit du théorème de Dirichlet que la série de Fourier converge uniformément
sur tout intervalle, où f est continue, extrémités comprises.
Donc elle converge uniformément sur tout fermé [a, fJ] inclus dans] - n, n[.
b) Elle ne converge pas uniformément sur J-n, n[.
Supposons que l'on ait convergence uniforme sur [-n, n[.
Alors
2 f lim (-l)n+ 1 sin nx ! = lim \ 2 f (- 1)"+ 1 sin nx 1
n = 1 x ->--1t+ 0 { n X->-1t+ 0 t n = 1 n 1
( = lim {f(x)} )
X -1t+O
donc 0 = f( - n + 0) = - n, ce qui est contradictoire.
8.11.3.
1 0 a) Dans [- n, n[ le seul point de discontinuité ne peut être que - n.
Pour x -7t+O,
f(x) = cos ax -+ cos (- an) = cos an = f( -n).
SOLUTIONS
269
Pour x -+ - 7t - 0, on a
xe[-3n,-n[ x+2ne[-n,+n[,
ce qui implique que l'on a
f(x) = f(x+ 2n) = cos a(x+ 2n).
Donc
f(x) -+ cos a,n = f( - n).
Il en résulte que - n est point de continuité de la fonction f, donc f est continue
en tout point de [- n, n[, par suite f est continue pour tout x (en raison de la pério-
dicité 2n).
b) On s'assure aisément que f satisfait aux hypothèses du théorème de Dirichlet.
De plus, elle est régulière (puisque continue pour tout x). Donc f est développable
en série de Fourier, c'est-a-dire que l'on a
(1)
ao 00
f(x) = 2 + (an cos nx+ b n sin nx),
n=l
'Vx,
avec
1 J +'Tt 2 f 'Tt
an = - f(x) cos nxdx = - f(x) cos nxdx
n _1t n 0
2 f 1t sin an 2a,
= - cos a,x cos nxdx = (- l)n 2 2 ,
non a,-n
puisque f(x) cos nx est paire, et b n = 0 puisque f est une fonction paire.
Finalement, on obtient
(2)
f . ) sin a,n 2 sin a,n ( 1 ) n a,
x ==. + - 2 2 cos nx,
a,n n n = 1 a, - n
v X e IR.
2° a) La série de terme général an cos nx est uniformément convergente pour
tout x car la n cos nxl est majoré pour tout x par le terme général d'une série numé-
rique convergente. Plus précisément, on a
21a,1 1 21a,1 1 , .
1 an cos nx 1 <; - . 1 2 21 = --. 2 2 (pour tout n verIfiant n > 1a,1).
n a, -n n n-a,
b) Nous venons de voir (cf. la question 1°) que fsatisfait aux hypothèses du théo-
rème de Dirichlet. De plus, elle est continue en tout point de [-n, n] (extrémités
comprises), donc la série {an cos nx} converge uniformément sur [- n, n].
En raison de la périodicité 2n de cette série, on en déduit qu'elle converge unifor-
mement pour tout x.
3° Pour obtenir la relation demandée a la question 3°, il suffit de faire x = 0 dans
l'egalité (2). Remarquons que l'on obtient ainsi un développement de la fonction
z 1-4 . 1 , qui met en evidence les pôles de cette fonction.
sm 1tZ
270
SÉRIES DE FOURIER
4° En raison de la convergence uniforme sur IR de la série (an cos nx), on déduit
de l'égalité (1) (puisque b n = 0)
f x aox 00 ao .
f(t)dt = 2 + -;:; SIn nx,
o n=l
\Ix,
ou encore
sm (lX ao an .
- - X = - SIn nx,
(l 2 n= J n
'Ix E[ - 7r, n].
La somme de la série ( sin nx) est donc la fonction F (x) de période 21t et qui,
dans [-Tt, n[, est définie par
. .
F( ) SIn (lX sm (ln
x H x = - x.
(l (ln
Représentation graphique.
Le graphique ci-dessous a été fait pour ()( = à.
x
-1t
8.11.4.
a) On a évidemment
sin 3 nx \-1
n ! n!' v x,
,. ( Sin 3 nx )
donc la serIe n! converge uniformément sur IR, vers sa somme S(x).
On peut écrire
00 sin 3 nx 00 sin nx 00 sin 3nx
4 , =3 , - "
n=l n. n=l n. n=l n.
puisque chacune des séries considérées est convergente.
00 sin nx
Soit u(x) = , ; on a alors 4S(x) = 3u(x) - u(3x).
n=l n.
Pour montrer que S(x) est de classe C OO , il suffit donc de montrer que u(x) est de
classe C co .
1 d P . )
Or, la série ( dx p Sl: X (PE N) est uniformément convergente sur IR, donc u(/I)
est définie ('v'p) et, par suite, S est de classe CP (\;fp).
SOLUTIONS
271
b) En raison de la convergence uniforme sur IR de
sin 2x sin 3x
sin x + 2 ! + 3 ! +. ..
il est clair que cette série est le développement en série de Fourier de o'(x) (cf. théo-
rème 8.11.1.). Donc S(x) est développable en série de Fourier et compte tenu de la
relation suivante
4 S(x) = 3O'(x) - O'(3x),
on obtient
00
S(x) = b n sin nx, "Ix,
n=l
avec
3 1 Il 3 1 3 1
b 3p - 4. (3p)! - 4 . p! ' b 3p + 1 = 4. (3p+ 1)! ' b 3p + 2 - 4. (3p+ 2)r
00 SIn nx
c) Explicitons d'abord o'(x) = , .
n=l n.
. 00 cos nx
Pour cela on lUI associe 't(x) = , et l'on obtient
n=l n.
00 e inx 00 zn
't + iO' = -,- = "
n=O n. n=O n.
en posant z = e ix .
Donc
't + iO' = e Z = e COS x+i sin x = e Cos x [COS (sin x) + i sin (sin x)]
et, par suite,
0' (x) = sin (sin x) e COSX .
On obtient alors
S(x) = sin (sin x) e COSX - sin (sin 3x) e COS 3x.
8.11.5.
1 0 La fonction F est régulière. En effet, elle n'admet que 0 comme point de dis-
continuité dans [0, 2n[ et l'on a
F(O+) + F(O_)
2
n n
--+-
2 2
2 = 0= F(O).
De plus, elle satisfait aux hypothèses du théorème de Dirichlet, car
1 1t
1 F(x) 1 2'
F(x) monotone et continue dans ]0,2n[,
272
SÉRIES DE FOURIER
donc elle est développable en série de Fourier. On a alors
ao 00
F(x) = + (an cos nx+ b n sin nx), "Ix,
- n=l
avec an = 0, car F est impaire (faire une représentation graphique de F), et
1 I +1t 2 I x 2 f x n - x 1
b n = - F(x) sin nxdx = - F(x) sin nxdx = - 2 sin nxdx = - - .
n -it non 0 n
00 sin nx . ( sin nx )
Donc F(x) = - , "Ix, avec convergence uniforme de sur tout
n= 1 n n
fermé [etK' /3K] inclus dans ]2Kn, (2K + 2)n[ (K E Z).
1 f 2;:
2° Soit b n = - f(x) sin nxdx. Il est clair que l'on a
n 0
f b n = ! f 2 rt f(x) f sin nx dx = ! f o f(x) f sin nx, j dx,
n= 1 n n 0 n= 1 n j n CX o n= 1 n
si f est nul sur [0, eto] et [/30' 2n].
En raison de la convergence uniforme de la série ( Sinn nx ) sur roto, Po], on aura
f h n = ! I f(x) ! f sin nx j dx = J .. o f(x) n - x dx.
n=1 n n <Xo n=1 n n <Xo 2
f étant nul sur [0, C(o] et [/30' 2n], on peut encore écrire
00 b 1 I 2rt n - x
....E = - f(x) - dx.
n= 1 n n 0 2
8.11.6.
Soit h. (a est une constante, 0 < a < ) la fonction de période 27t définie, sur
[_ . 3; [, par
...............
x -+ fcx(x) =
o si XE [ - -et [
2' ,
1(0) ( 1 + ) si x E [- a, 0[,
f(x) si x E [0, n[,
f(n) .
f(n) - - (x - n) SI x E [n, n + a[,
et
o si x E [7t + a, 3; [.
SOLUTIONS
273
...............
Il est clair que cette fonction frJ.(x) est continue "Ix et satisfait aux hypothèses du
theorème de Dirichlet. Elle est donc développable en série de Fourier et l'on a
............... ao(tx) 00
frx(x) = --Z + an(tx) cos nx + bn(tx) sin nx, "Ix E IR,
n=l
avec
1 f 3 "- 1 f 3¥ "-
air:t.) = n fa.(x) cos nxdx et birx) = n _ fix) sin nxdx;
"-
la série (an(rx) cos I1X+ bn(rx) sin nx) convergeant uniformément dans IR. (puisque j est
continue pour tout x).
Enparticulier, on a la convergence uniforme sur [0, n] de (an(rx) cos nx +bn(a) sin nx)
ainsi que celle de
..-.. ao(rx) 00
fry.(x) = f(x) = + 1 an(a) cos nx + bn(rJ..) sin nx, "Ix E [0, n].
A chaque valeur de rx correspond donc sur [0, n] un développement trigonométrique
de f, avec convergence uniforme.
...............
Remarque. - Tout prolongement de f par une fonction f,
- de période 2n,
- continue, "Ix,
- satisfaisant aux hypothèses du théorème de Dirichlet,
fournira évidemment un développement trigonométrique de f sur [0, n], avec conver-
gence uniforme.
2° Si l'on a simultanément
JI, ( (an cos nx) converge uniformément sur [0, n],
, ao 00
(f(x) = 2" + n 1 an cos nx, 'Vx E [0, n],
on en déduit que l'on a
f 1t f(x) cos nxdx = 3 f 1t \ o + :f an cos px 1 cos nxdx = am
non o? - p=l
et il en résulte l'unicité.
...............
Soit f la fonction de période 2n, qui est définie, dans] -n, n], par
............... , f(x) pour x E [0, TC],
X f(x) = f(- x) pour x E ]-n, 0].
Il est clair qu'elle est continue pour tout x et, de plus, développable en serie de
Fourier.
On a alors
............... Do 00,.., ,..,
f'(x) - - + an COS nx + b n sin nx, "Ix,
- 2 n=l
avec
- 1 f +7t............ 2 f 1t
an = - f(x) cos nxdx = - f(x) cos nxdx = an
n -7t TC 0
- ...............
et b n = 0, car f est une fonction paire.
274
SÉRIES DE FOURIER
............... ao 00
Donc f(x) = 2" + an cos nx, "Ix E IR, avec convergence uniforme dans IR de
n=l
(an cos nx).
En particulier, on a
........, ao 00
f(x) = f(x) = "2 + an cos nx
n=l
pour x E [0, n],
avec convergence uniforme sur [0, n].
3° a) Supposons que l'on ait simultanément
00
f(x) = b n sin nx,
n=l
avec convergence uniforme de (b n sin nx) sur [0, TC].
La fonction f: [0, n] IR est donc continue et l'on doit avoir
f(O) = f(n) = O.
b) Cette condition est suffisante. Pour s'en assurer il suffit de considérer la fonction g
impaire, de période 2n, et qui coïncide avec f sur [0, TC].
Il est clair que cette fonction est continue pour tout x et qu'elle est développable
en serie de Fourier, avec an(g) = O.
00
Alors g(x) = bn(g) sin nx, pour tout x, avec convergence uniforme sur IR de
(bn(g) sin nx). n=l
00
En particulier, on a g(x) = f(x) = bn(g) sin nx, pour tout x E [0, n], avec
convergence uniforme sur [0, n]. n = 1
8.ID.1.
Cette fonction est régulière (puisque continue "Ix) et satisfait aux hypothèses du
théorème de Dirichlet. Elle est donc développable en série de Fourier.
On a ici
1 f +1t 2 f 7't
an(j) = - f(x) cos nxdx = - f(x) cos nxdx
n n 0
2 f 1t
= - x 2 cos nxdx =
n 0
4( - l)n .
2 SI n ¥= 0,
n
2n 2
3
si n = 0,
et bn(f) = 0, car f est une fonction paire; donc
TC 2 00 (- 1)11 cos nx
f(x) = _ 3 + 4 2 ' \Ix.
n=l n
SOLUTIONS
275
a) Pour x = 0, on obtient alors
('j) (- l)n n 2
2 =--.
11=1 n 12
b) Pour x = Tt, on obtient alors
00 1 n 2
2: =-.
n=1n 6
c) La fonction f est intégrable et bornée, on peut donc utiliser l'égalité de Parseval
et l'on obtient enfin
1 f + 2 f 7t 2n4 00 16
- f2(X)dx = - x 4 dx = - + 4'
n - n 0 9 n=l n
c'est-à-dire
00 1 n 4
4. = -.
n=l n 90
8.IV.l.
1° a) Il est clair que la série (g(x+k)) n'est composée que d'un nombre fini de
termes non nuls, puisque g(x+k) = 0 pour Ix+ kl > a.
Ceci sera vérifié, en particulier, si Ikl a + Ixl, puisqu'alors on aura
Ik+ xl Ilkl- lx Il = Ikl- Ixl a.
De plus, chaque fonction g(x+k) est continue pour x = 0, donc G est continue
à !' origine.
b) G est évidemment de période 1.
De plus, dans [0, 1[, G est la somme de, au plus, 2N+ 1 fonctions monotones
- toutes croissantes ou toutes décroissantes -. Plus précisément, on a
N N
G(x) = g(x) + g(x+ k) + g(x- k), "Ix E [0, 1[,
k=l k=l
avec N = 2+ [a] ([a] désignant la partie entière de a).
Sa série de Fourier est donc convergente pour tout x (cf. théorème de Jordan)
et l'on a
(3)
G(x+ 0) + G(x- 0)
2
+00
Cve2iftVX,
v =-00
avec
f l +00 f l
C v = G(x)e- 2i1C 't,'xdx = g(x+ k)e-2iftVXdx
o k=-oo 0
+00 f k+ 1 f a
= g(x)e- 2iTCVXdx = g(x)e- 2i1CVXdx.
k=-oo k -a
276
SÉRIES DE FOURIER
2° La fonction G est conttnue al' origine.
En faisant x = 0, on déduit alors de la relation (3) que l'on a
+00 +00 f a
G(O) = k = 00 g(k) = v 00 _Q g(x)e-2iTCVXdx.
3° La méthode utilisée sera celle développée ci-dessus.
et) G est définie.
En effet, la série g(x-1)+g(x-2) +... n'admet qu'un nombre fini de terme
non nuls, la série g(x) + g(x+ 1) + g(x+ 2) + ... a son terme général qui est majores par
le terme général d'une série convergente (Ig(x+ k) 1 < (x':k)Z pour k assez grand).
G(x + 0) + G(x - 0) + 00. f 1 .
{3) 2 = v oo Cve2ITCVX, "Ix, avec C v = 0 G(x)e- 2 l. TCVx dx.
En effet (theorème de Jordan) :
00
- G, qui est décroissante dans JO, 1[ (G(x) = g (x+ k)), est donc la différence
k=O
de deux fonctions croissantes: G = O-(-G);
G est bornée dans ]0, 1 [. Plus précisément,
+00 +00 K
IG(x) 1 = g(x+k) [XoJg(O+)+ k 2 -
k=O k=[Xo]+l
')1) ev = f: g(x)e-ZifCVxdx.
En effet,
00
G(x) = g(x+k), pour x e ]0, 1[, puisque g(x-1) = g(x-2) = ... = 0;
k=O
f l f 1 1 + 00 + 00 f 1
G(x)e- 2iTCvxdx = g(x+ k) e- 2iTCvxdx = g(x+ k)e- 2ivTCxdx,
o 0 k=O k=O 0
car la série g(x) + g(x + 1) + g(x + 2) + ... est uniformément convergente sur [0, 1]
K
(Ig(x + k)1 k 2 pour k > [XoJ + 1).
Donc
00 I l f oo
C v = g(x+ k)e-2iVTCXdx = g(x)e-2i1CVXdx.
k=O 0 0
b) G(O+) G(O_) = k O g(k).
En effet, on a
g(k + 0) = g(k - 0) = g(k), pour
et g(O_) = 0 et g(O+) = 2g(0)
KeIN-{O}
(g est régulière).
On a donc bien
00
G(O+) = 2g(0) + g(k)
k=O
et
00
G(O_) = g(k).
k=O
8) On fait x = 0 en ).
En faisant x = 0 en {3) et en tenant compte de y), on déduit bien la relation (2).
SOLUTIONS
277
8. V.l.
1° En développant l'expression suivante :
S b N
a [f(x) - 1 Ct n l,On(x)]2dx
on obtient
f b N S b N
a f2 (x)dx - n 1 CtTz = a [f(x) - n 1 Ct n l,On(x)]2dx.
Donc, on a
N S b
n 1 Ct < a f2 (x)dx,
d'où l'on déduit la convergence de la série (Ct ) et l'on a, de plus,
00 f b
Ct f2(X)dx.
1 a
N
2° Soit fN = Ctnl,On; il est clair que l'on a
11= 1
I b N
d 2 (f,fN) = a f2 (x)dx- 1 CtTa.
I b 00
Puisque f2(X)dx = Ct , "18 > 0, il existe No tel que l'on ait
a n=l
f b 00
af2(x)dx- n l Ct 8, pour N No,
donc
"18 > 0,3N o
tel que
N No => d(f, fN) yë,
c'est-à-dire enfin : f E Ë.
Réciproquement, soit f E Ë,
"le > 0,
N
3g N = Â.,lP n
n=l
tel que
d 2 (/, gN) = I: (t(X)-gN(X) r dx <;, e,
ou
f b N N
f2(X)dx + (Ct n -Â.J2 Ct + 8;
aIl
278
SÉRIES DE FOURIER
donc
J b 00
f2(X)dx et; + 8
a 1
et, par suite,
J b 00
f2(X) et .
a 1
Compte tenu de la première question, on a bien
f b 00
f2(X) = et;.
Q 1
_ 3° Toujours sous la condition Il cP n Il = 1, 'ri n, on a cP l' ..., ({J m .. . base de E <=>
F = E (cf. page 260)
fi 2 dx = a; = (f!qJn dxY.
'ri f E E (cf. question 20).
Pour une suite orthogonale quelconque, il suffit de remplacer qJn par 1 i::II ' car
alors Il:: 1/ = 1.
,,-
M.P.2
9.
A. - SUITES ET SÉRIES
DANS UN E.V.N. e A , eL
1. - SUITES DANS UN E.V.N.
1° Soit une suite {Xn}oo à valeurs dans un espace vectoriel E muni de la
nor e Il.11. On dit que la suite {Xn}oo a pour limite X lorsque n -+- 00 pour
exprimer que
'te> 0, 3N e tel que n Ne => "Xn-XII e:
[en abrégé, X n -+- X].
n-+ 00
(Cette définition résulte évidemment de la structure d'espace métrique
associée à la norme Il.11.)
2° Propriétés.
a) X n -+- X => IIXnil -+- IIXII.
n-+oo n-+oo
b) Xn n -+- -+oo X {Xn}oo suite de Cauchy, c'est-à-dire
=> Ye > 0, 3N e tel que m n N => IIX rn-Xnll B.
3° Théorème 9.1.1. - Lorsque E est un Banach
{Xn}oo suite convergente {Xn}oo suite de Cauchy.
ll. - SÉRIES DANS UN E.V.N.
1° Soit une suite, {un} ' d'éléments de E. Le tableau formel qui s'en déduit,
U o +llt +u 2 +... +u n +...
est appelé série de terme général Un et sera notée (un)o.
A partir de ce tableau, on définit la suite des sommes partielles suivantes:
So = Uo,
SI = Uo+u 1 ,
...,
n
Sn = L U p .
p=o
280
SUITES ET SÉRIES DANS UN E.V.N. e A , eL
Lorsque la suite {Sn} converge vers une limite S, on dit que la série (un)o
est convergente et a pour somme S. On écrit alors
00
S = L u p ,
p=o
ou encore
S = U O +u 1 +...+U n +...
2 0 Propriétés.
a) (un) série convergente
=> !!unl! o.
n-+ 00
(un) « série de Cauchy», c'est-à-dire
b) (un) série convergente => V8>0, 3N e tel que
n1 n N => Ilu n +U n +l + ... +um!1 8.
3 0 Théorème 9.ll.1. - Lorsque E est un Banach, on a les propriétés suivantes:
i) (un) « série de Cauchy » <=> (un) série convergente;
ii) (lIunll) série convergente => (un) série convergente.
[On dit alors que la série (un) est normalement convergente.]
III. - e A ET eL.
1° a) L'espace vectoriel vt(,n,n des matrices carrées d'ordre n, définies sur
fK = IR ou C, est de dimension n 2 . On le munit généralement de la norme
111.111 :
IIIAIII = n sup lai,jl
i,j
(où
A = (ai,j) 1 <:i<:n ) ,
1 <:,j <;n
qui vérifie la relation
IIIA .BIII IIIAIII.IIIBIII.
Remarquons que vt(,n,n étant « identifiable» à fKn 2 , on peut aussi considérer
les normes équivalentes
IIIAII12 =
n n
L L lai,jI2,
i= 1 j= 1
n n
IIIAIIII = L L lai,jl.
i=1 j=l
b) Considérons la série
A A 2 An
1+-+-+...+-+...
1! 2! n!
La série des normes associées
1 + III A III + III AZIII +... + III An 111 +...
1! 2! n!
e A ET eL
281
. III Ani Il III A \ \ \ n . 1 ' , 1 d ' , .
est convergente, pUIsque qUI est e terme genera une serIe
n! n!
numérique convergente (de somme eIIIAIII).
Donc [cf. théorème 9.11.1., ii)] la série
A A 2 An
1+-+-+...+-+...
I! 2! n!
est convergente. Sa somme est notée e A , donc, par définition,
A co An
e = I -.
n=O n!
2° a) Soit E un Banach et Lc(E) l'ensemble des endomorphismes continus
définis sur E. [On sait que Lc(E) = L(E) lorsque la dimension de E est finie.]
Lc(E) muni de la norme 111.111 définie par
IIILIII = sup \ IILXIIE 1
XeE-{O} "XiiE
est un Banach.
Remarquons que
j)
jj)
IILXIIE IIILIII.IIXII E ;
III LI. L2111 IIILllll.IIIL2111.
b) La série
L L 2 r
1 +-+-+... +-+...
I! 2! n!
est normalement convergente.
Sa somme est notée eL. Donc, par définition,
. co n
é=I I:. .
n=O n
Propriétés.
i)
ii)
L L - L L => e Lt e L2 - e L2 e L! - e L1 + L2
1.2- 2- 1 . - . - ·
eL est inversible V L
et
( L ) -l -L
e = e .
iii) eL = e L - 1 . el = e. eL-l,
où 1 est l'application identique.
M.P.2.
B. - SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS:
(a, b) 1 > E BANACH
APPLICATION A LA RÉSOLUTION
DE =AX
IV. - DÉFINITIONS DIVERSES.
Soit! : (a, b) E Banach muni de la norme Il.11.
1 0 Continuité en 10 E (a, b). - La fonction f est dite continue en t o lorsque
f(t) f(t o ), c'est-à-dire
t to
'18 > 0, :iet(e, t o ) tel que
It- toi et => Ilf(t)- f(t o ) Il e.
2 0 Dérivabilité en 10. - La fonction f est dite dérivable en t o lorsqu'il
existe un vecteur noté f'(t o ) appartenant à E tel que l'on a
f(to + h) - f(to) _ f'(to),
h h O
c'est -à -dire
Ve>O,3a(e,t o »O tel que O<lhl a=> f(to+ -f(to) _f'(to) e.
3 0 Intégration sur [al' b 1 ]. - Soit f b 1 f (U)dU la limite (si elle existe!) de
n - 1 al
L (t i + 1 - ti)f(Oj) au sens suivant :
i=O
« Ve>O, 3et(e) >0 tel que, pour toute partition{t o = al <t 1 <t 2 < ... <tn = b l }
de [al' b l ] vérifiant t i + 1 - t i et, on a
f b 1 n - 1 1
f(u)du - L (t i + 1 - tJf(Oi) 8, Bi E [ti' t i + 1]».
. 0 1
al 1= 1
SÉRIE DE FONCTIONS (U n)
283
On a alors les propriétés suivantes:
i)
f b l f bl
a/(u)du )f(u)li du ;
F(t) = I t f(u)du est dérivable t F'(t) = f(t).
al
ii)
v. - SUITES DE FONCTIONS ln : (a, b) E BANACH.
On dit que la suite defonctions {fn(t)} converge simplement versf(t) sur(c<, {3)
Iorsque};,(t) f(t) pour chaque te(c<, {3).
n co
On dit que {ln} converge uniformément vers f sur (et, {3) lorsque
V8>0, 3N(8) tel que n N(8) => 11J;,(t)-f(t)11 8 quel que soit t e (c<,P).
Les propriétés de la fonction limite f sont déterminées par les théorèmes
classiques du chapitre 6, paragraphe II.
"-
VI. - SÉRIES DE FONCTIONS (un), OU Un : (a, b) E BANACH.
On dit que la série de fonction uO(t)+Ul(t)+...+u n (t)+... converge sim-
plement (resp. uniformément) sur (c<, p) vers sa somme lorsque la suite
So(t) = uo(t),
Sl(t) = UO(t)+ul(t),
...,
n
Sn(t) = L up(t),...
p=O
converge simplement (resp. uniformément) sur (c<, p) vers une fonction limite
8(t), que l'on notera alors
co
L Un(l),
n=O
ou
uo( t) + U 1 (t) + ... + U n ( t) + .. ·
Les propriétés de la/onction limite,
co
t L Un(t) = UO(t)+Ul(t)+ ... +Un(t)+ ...
n=O
peuvent être déterminées par les théorèlnes classiques du chapitre 6, para-
graphe IV.
284
, dX AX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt =
VII. - RÉSOLUTION DU SYSTÈME DIFFÉRENTIEL X = AX.
a) Problème. - Il s'agit de chercher n fonctions Xl' ..., X n : (a, b) fK = IR
ou fK = C qui vérifient les relations suivantes
dXI
- = a 11 x 1 +... +a1nx n
dt
dX 2
- = a21 x l + ... +a 2n x n
dt
'fi t E m.,
dXn
- = a n lxl + ... +annx n
dt
où les aij sont des constantes appartenant à fK.
Introduisons la fonction à valeurs vectorielles X : IR tÂ{,n,l,
( X (t) )
t .
. ,
X n( t )
où tÂ{,n, 1 est l'espace vectoriel des matrices à n lignes et 1 colonne, muni de la
norme rI ) = sup lail qui en fait un Banach.
\a n 1 <i<n
Compte tenu de la propriété suivante :
X h X2, ..., X n de classe el sur (a, b) <=> X de classe el sur (a, b)
et X'(t) = (x't(t), ...,x (t)),
on a donc à résoudre
dX(t)
= AX(t), 'fit E (a, b),
dt
où A = (au) E tÂ{,n,n peut être considéré comme un endomorphisme de tÂ{,n,l.
b) Résolution. - Soit Xo un élén1ent de tÂ{,n 1, la fonction IR tÂ{,n 1 défi-
, ,
nie par t e tA Xo est de classe Coo et vérifie
lAXO) = A(lAX O )
dt
(cf. exercice 9. V 1.1.).
Donc t e tA Xo est bien une solution.
c) Système fondamental de solutions. - Si Xl' ..., X n représentent une base
de tÂ{,n l' on a donc n solutions
,
XXi: t etAX i , où i = 1,2, ..., n.
RÉSOLUTION DU SYSTÈME DIFFÉRENTIEL X = AX
285
Puisque e tA est inversible, il en résulte que, pour chaque t, les vecteurs
XXl(t), ..., XXn(t) forment une base de tÂ{,n,l.
Définition. - Soit n solutions X(l), ..., X(n) telles que X(l){t), ..., x(n){t),
soit une base de tÂ{,n,l, Vt E IR, On dit que X(l), ..., X(n) forme un système
fondamental de solutions. (Par exemple, XXI' ..., X Xn.)
On a alors le théorème 9. VII .1.
Théorème 9. VII.I. - Soit X(l), ..., x(n) n solutions. Les propriétés suivantes
sont équivalentes :
i) X(l), ..., X(n) système fondamental de solutions;
/ ii) X(l){t), ..., x(n){t) base de tÂ{,n,l, VtEIR;
iii) 3t o tel que X(l )(t o ), ..., x(n){t o ) base de tÂ{,n,l;
iv) détx {t) ¥= 0, Vt E IR
SI
( Xi{t) )
X(i){t) = .: ;
x {t)
v) détx {to) ¥= 0;
vi) Toute so]ution t X{t) se décompose de façon unique sous la forme
n
X{t) = L ÂiX(i){t), 'VtE IR (À- i Ctes E IK).
i= 1
Remarquons enfin que le Wronskien W{t) = dét(x {t)) vérifie la relation
"
(t-to) Qpp
p=l
W(t) = W(to)e .
EXERCICES DU CHAPITRE 9
9.1.1. Dans un E. V.N., E, on considère une suite {un}f qui converge vers 1
. (un l). Montrer que
n oo
9.1.2.
...
9.ll.1.
.
9.ll.2.
..
a)
Il Un 1 1 III Il, ". Il désignant la norme de E,
n oo
- u 1 +U2+...+ U n 1
v n - .
n n oo
b)
Opérateur translation.
1° Soit C l'espace des applications x f(x) de IR dans IR qui sont con-
tinues et bornées. On pose Il f Il = sup If(x) 1.
Montrer que C est un Banach après avoir vérifié que Il f Il satisfait aux
axiomes des normes.
2° On considère l'opérateur translation Th qui est défini comme suit,
Thf(x) = f(x+h), h est une constante réelle donnée.
Montrer que Th appartient à Lc(C, C), espace des applications linéaires et
continues de C dans C, et que l'on a IllThll1 = 1.
3° Vérifier que la famille, b, des opérateurs translations est muni d'une
loi de groupe abélien pour le produit de composition.
Dans IR3, on considère une suite de vecteurs V o , VI' ..., V n , ... qui est bor-
née, c'est-à-dire telle que
1 Vnl = VXI,n+x ,n+x ,n K, VneJN,
où
V n = (Xl", X 2 m X3 n)
, , ,
et
K = Cte.
Montrer que
a) la série
VI V 2 V n
V o + _ 1 ' + _ 2 ' +... + ---. + ...
.. Il.
est convergente,
b)
V n ./
, . Ke.
n=O n.
Rotation.
Soit ro et V deux vecteurs de 1R 3 . On forme la suite
V o = VI = ro/\ Vo, V z = ro/\ VI' ..., V n + 1 = ro/\ Pm ...
9.ID.l.
.
(
9.ID.2.
..
9.IV.l.
..
9.IV .2.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 9
287
a) Montrer que la série
- V 1 V 2 V n
V o +- 1 , +- 2 ' +...+,+...
.. n.
est convergente.
---?
b) Soit W la somme de cette série. Préciser la nature de la transformation
- ---?
V W.
sin A, cos A.
Soit A une matrice carrée d'ordre n (A E c.A(,n.n).
a) Définir « de façon naturelle » sin A et cos A.
( COS (J - sin (J )
b) Calculer sin A, pour n = 2 et A = . (J (J .
sin cos
CX)
(/+A)-l = (-l)nAft.
n=O
a) Soit A = (aij) une matrice carrée d'ordre n vérifiant
1
sup 'aijl < - (aijEIK = IR ou C).
i.j n
Montrer que (I+A) est inversible.
[Pour cela on pourra considérer la série I-A+A2-A3+...]
b) Soit B = (b ij ) une matrice carrée d'ordre n vérifiant les relations
1 1
Ibul <- et sup Ib u -11 < -.
n i n
sup
i,j
(i:/=j)
Montrer que B est inversible.
Dérivation de A (t)X(t).
E désigne un E. V.N. et ]a, b[ un intervalle ouvert de IR.
Soit deux applications de classe CI définies par
X : ]a, b[ E et A : ]a, b[ Lc(E) (muni de la norme III . 111).
t X(t) t A(t)
Montrer que l'application
]a, b[ E
t A(t).X(t)
est de classe CI.
Calculer sa dérivée.
Dérivation de A (t)B(t).
E désigne un E. V.N. et ]a, b[ un intervalle ouvert de IR.
Soit
A : ]a, b[ Lc(E)
t A(t)
B : ]a, b[ Lc(E)
t B(t)
et
288
9.IV.3.
.
9 .IV .4.
.
9.V.l.
.
, dX AX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt =
applications de classe CI [Lc(E) est muni de la norme 1". III].
1 0 Montrer que l'application définie par
]a, b[ Lc(E)
t A(t)B(t)
est de classe CI.
Calculer sa dérivée.
2 0 Application. - Vérifier que
a) t An(t) est de classe CI, Vn E JN;
b) [A2(t)]' = A(t)A'(t)+A'(t)A(t),
[A3(t)]' = A(t)A(t)A'(t) + A(t)A'(t)A(t)+ A'(t)A(t)A(t),
n n
[An(t)]' = II Ap,q(t), où Ap,p(t) = A'(t) et Ap,q(t) = A(t) pour
p=lq=l
q ¥= p.
E désigne un E. V.N. et ]a, b[ un intervalle ouvert de IR.
Soit
A : ]a, b[ Lc(E)
t A(t)
B : ]a, b[ Lc(E)
t B(t)
et
deux applications de classe CI vérifiant la condition
A(t 1)B(t 2 ) = B(t 2 )A(t 1), Vt 1 et t 2 E ]a, b[.
Montrer que l'on a
A(t l )B'(t 2 ) = B'(t 2 )A(t l ), Vt 1 et t 2 E ]a, b[,
A'(t l )B(t 2 ) = B(t 2 )A'(t 1 ), Vt 1 et t 2 E ]a, b[,
A'(t 1 )B'(t 2 ) = B'(t 2 )A'(t 1 ), Vt 1 et t 2 E ]a, b[.
Soit
A : ]a, b[ c.A(,n m
,
t A(t) = (aij(t)).
1 i PZ
l j n
Établir les propriétés suivantes:
a) t A(t) de classe Co<=> t oij(t) de classe Co, Vi et j,
b) t A(t) de classe CI <=> t aij(t) de classe CI, Vi et j.
Soit E un E. V.N. défini sur m. et X un vecteur non nul de E.
1 0 On considère les suztes sUivantes:
fn:IR IR
t fn(t)
V1n : IR E (n E lN)
t fn(t)X.
et
Établir la propriété SUIvante:
{h}OO converge uniformément sur IR <=> {V1n}CX:> converge uniformément
sur IR.
EXERCICES DU CHAPITRE 9
289
2° F désigne une application: IR IR et { Xn} ex: une suite de vecteurs de E,
convergente, mais non stationnaire. On considère alors la suite <Pn définie
par
<Pn : IR 'r--+ E
t F(t)X n .
Établir la propriété suivante:
{<Pn}oo uniformément convergente sur IR <=> F borné.
9.VI.l.
..
Dérivée de eL(t).
E désigne un Banach et L une application
]a, b[ Lc(E)
t L(t),
qui est supposée de classe Cl.
1 ° Montrer que
a) t Ln(t) est de classe CI (n E lN);
b) [L2(t)]' = L'(t)L(t)+ L(t)L'(t),
[L3(t)]' = L(t)L(t)L'(t)+ L(t)L'(t)L(t) + L'(t)L(t)L(t);
c) t H eL(t) est de classe CI. [On limitera d'abord l'étude à un compact
[et, {3] inclus dans ]a, b[.]
2° Donner une expression simple de [Ln(t)]', puis de [eL(t)]' lorsque
L(t 1 )L(t 2 ) = L(t 2 )L(t 1 ), Vt 1 et t 2 E ]a, b[.
3° Application. - Soit Lo un élément de Lc(E) et L tels que
IR 'r--+ Lc(E)
t L(t) = tLo.
Calculer (etLo)'.
9. VI.2.
...
Opérateur Ba..
Soit E un Banach et A un élément de Lc(E) [qui est muni de la norme III . III].
On considère une série entière réelle (anxn)o ayant R(>O) pour rayon
de convergence. Soit f(x) sa somme pour x E ]- R, R[. Autrement dit
co
f(x) = anx n
n=O
pour
Ixl<R.
1 ° Montrer que la série (anAn)o est convergente si I! lA III < R. Définir
alors f(A).
2° a) Par analogie avec un résultat connu, énoncer le théorème relatif
au produit de deux séries (un)o et (vn)o à valeurs dans Lc(E).
co
b) Soit g(x) = bnx n définie dans ]-R 1 , R 1 [ (R 1 >O).
n=O
Montrer que la série de terme général
(aObn+albn_l + ...+anbo)A n
est convergente pour ! liA III Inf(R, RI). Déterminer sa somme.
290
, dX AX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt =
3° Soit B un élément de £.c(E) et a. une constante réelle.
On pose
B2 = Q(ÜX-1)... Q(-n+ 1) (B-I)n,
n=O n.
lorsque IIIB- 1111 < 1. (1 est l'application identique.)
Vérifier que Ba..BfJ = Ba.+fJ, et en déduire que Ba. est inversible. [Dans
cette question, on posera A = B-I.]
SOLUTIONS
9.1.1.
Un 1 <=> Ve > 0,3N B
n oo
tel que
n ;> N => lIu n - 111 e.
a) La minoration Illall- Ilblll lia + bll implique que l'on a
Illunll- 11 1 111 lIun-lll.
Donc
n ;> NB => Illunll- 111111 e,
ou encore
Il Un Il 11111.
n-+oo
b)
1 (Ul -1)+ (U2 -/)+... + (uN-/) (UN + 1 -/)+... + (Un-/)
V,- = +
n n n
pour n > NB.
Donc
IWn-111 < IluI -111 + . . + IluN-111 + IluN+! -111 + .. + Ilun-ili
./ Ilul-111+...+ lIuN-111 (n-N)8
+.
n n
Pour n assez grand, n ;> N1(e) > N(e), on aura
lIu 1 - 111 + ... + Il uN - II! ./
e
n
et, par suite,
(n- N)e
IIVn-111 e+ 2e,
n
ou encore,
V n 1.
n oo
9.1.2.
1° La norme Il.11 satisfait de façon évidente aux axiomes des normes (cf. cha-
pitre 4, 1).
Soit {fn}OO une suite de Cauchy dans e, on a.
Ve > 0,3N(e) tel que m ;> n ;> N(e) => J/fm- Inll e.
, dX AX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt =
Nous allons montrer que l'on a fn 1 E e (<=> e complet).
n-)- 00
Soit x fixé, on en déduit
(1) Ifm(x) - fn(x) 1 sup Ifm(x) - In(x) 1 = Ilfm - ln Il 8, \lm n NE.
xeR
Donc Un = fn(x) est une suite de Cauchy dans IR, qui est complet, et l'on peut
écrire
292
Im(x) --+ l(x).
m -)- 00
Par passage a la limite (m 00), on déduit de (1) l'expression
(2) I/(x) - fn(x) 1 8, \ln NE.
La relation (2) exprime le fait que la suite de fonctions ln converge uniformément
sur IR vers 1. La fonction ln étant continue sur IR, pour tout n, on en déduit que
la fonction limite 1 est continue sur IR.
De plus,
I/(x) 1 = 1(/(x)-IN(x))+IN(x)! 8+ IIN(x)! 8+ IlfNI!,
donc 1 est bornée.
En résumé, on aiE e.
La relation (2) entraîne alors
1 lin - III = sup Ifn(x) - I(x) 1 8,
xeR
\ln NE,
ou encore
ln 1 E e.
n -)- 00
Toute suite de Cauchy {/n}OO converge dans e. Donc e est un Banach.(Voir exer-
cice 4,11.4.)
2° Soit lE e; l'application T h [f1: x r--+ Th[f1(x) = I(x + h) est bornée et
continue sur IR. Donc Th[/] E e.
a) Th est linéaire. - En effet, on a \1 x E IR,
Th[f+g](x) = (/+g)(x+h) =/(x+h)+g(x+h) = Th[f] (x) + Th[g](X)
<=> Th[f+g] = Th[f] + Th[g].
De façon analogue, on a 'Vx E IR,
Th[Àf](x) = (Àf)(x + h) = ÀI(x + h) = ÀT h U1(x)
<=> Th[Àf] = À Th[f] (À étant un scalaire).
b) Puisque Th est linéaire, on a l'équivalence suivante :
Th continue <=> :1 une constante K telle que Il Th[f] Il KI !/II.
Or
Il Th[f] Il = sup 1 Th[f1(x) 1 = sup I/(x + h) 1 = sup If(Y) 1 = Ilfll,
xeR xeR yeR
donc Th est continue (K = 1). De plus, on a
! Il T h [/]" }
IllThll1 = sup 11/11 = 1.
fee- o
SOLUTIONS
293
3° a) Montrons que l'on a T h + h ' = Th ° Th'.
Soit lE C, on a
Th,Ul : x r--+ f(x + h') = Th{fl(x)
et
Th [Th'[fl] : x r--+ Th'[f1(X + h) = f(x + h + h') = Th+h' U](x).
Donc, 'VXE IR. et VIE e,
Th [Th{f]] (x) = Th+h,Ul(x) <=> Th [Th'Ul] = Th+h'[f] <=> Tho Th' = Th+h.
b) On a h + h' = h' + h, on en déduit donc
Tho Th' = T h + h ' = Th' +h = Th,o Th.
De plus, Tho T-h = To = 1 opérateur identique.
On vérifie alors que 13 est bien muni d'une loi de groupe abélien.
9.ll.1.
) L ,. ( 1 V n 1 ) , . , ... . . c. Ell
a a serIe -,- est une serIe numerique a termes pOSItl1S. e est convergente
n. 0
car on a IV 1 ' qui est le terme général d'une série convergente (de somme Ke).
n. n.
La série ( ) est normalement convergente dans JR.3 complet, donc ( V ) est
n. 0 n. 0
une série convergente dans JR.3.
b) La somme V étant définie (cf. a), on aura
1'=0 n.
V n ./ 1 V n 1 ./ K
, --,-- --, = Ke.
p=o n. 1'=0 n. p=o n.
.
9.11.2.
a) Munissons JR.3 de la norme 1.1 définie par
1 VI = longueur (V), V E JR.3,
et posons
IVI= v
et
JCôI = co;
294
, dX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt = AX
on aura alors
1 Vol = 1 VI = v,
1 Vll = lro/\ Vol = Irol.1 Vol 1 sin 01 Irol.1 Vol = rov,
1 V 2 1 Irol.1 VII ro 2 v,
1 Vnl ronV.
L ,. .. . . c. ( 1 V n 1 ) . l , 1 V n 1./ ro n .
a serIe a termes posIblS ----,-- est convergente, pUIsque on a ----,-- , v" qUI
n. n. n.
est le terme général d'une série convergente (de somme veCl)).
¥ série ( V ) est normalement convergente dans IR3 qui est un Banach, donc
( V ) est un:' série convergente dans IR3. Soit W sa somme
n. 0 _
- V n
w= ,.
'1=0 n.
- - ....
b) Décomposons V sous la fOlme V = etro + pi, où i est un vecteur unitaire
orthogonal à m. Soit K = ëô et J = K /\ 1.
ro
- - + -.. ..
VI = ro/\ V o = ro/\(et ro+ Pi) = roK/\pi = proj,
- - -.. ..
V 2 = ro/\ VI = roK/\Proj = -pro 2 i,
- - - .. ..
V 3 = ro /\ V 2 = roK /\ (- f3ro 2 i) = - f3ro 3 j,
- .. - ..
V 2P = (-1)Ppro 2P i, V 2P + 1 = (-1)Ppro 2P + 1 j.
Compte tenu du_fait que la série ( V ) est normalement convergente, on peut décom-
00 V n.
poser W = -f sous la forme suivante :
p=o n.
00 p 00 V 00 ro 2P .. 00 ro 2P + 1
W= p o (2;)! +p o (2; +:)! =(Xëô+p1p o (-1)P (2p)! +Pjp o (-l)P (2p+l)!
ou encore W = et ro + f3 (1 cos ro + J sin ro).
Donc, W se déduit de V par une rotation d'axe ro et d'angle ro.
.
9.ill.l.
a) Munissons .Ât.>n n de la norme usuelle 111.111, définie par
,
IIIAIII = nsup laul, où A = (aij).
J l<i<n
1 <'J<.n
Considérons la série
A3 AS A2P+l
A- "3I + 5! -... + (-l)P (2p+ 1)! +...
SOLUTIONS
295
La série des normes associée est convergente car on a
A2P+ 1 1 (IIIA 111)21'+ 1
(-1)1' (2p+ 1)! - (2p+ 1)! IIIA2P+1111 (2p+ 1)! '
qui est le terme général d'une série convergente (de somme sb IIIA 111).
( A2P+l )
La série (-1)1' (2p + 1)! 0 est normalement convergente dans le Banacb .Ât.>n,n;
elle est donc convergente dans .Ât.>n n.
,
Sa somme sera notée sin A :
00 A2P+ 1
sin A = (-1)1' (2 + 1) , .
1'=0 p.
De même, on pourrait définir cos A, cb A, sb A,
Remarquons que l'on a
. 1 ( 1) 1' A2P+l 1 ./ IIIA2P+llll ./ IIIAII12P+l
III sm A III = 1 p";:o - (2p + l)! <:::::: p";:o (2p + l)! <:::::: p";:o (2p + l)! '
ou encore
Illsin A III sb 1 liA III.
b) On vérifie que l'on a
A2 = ( COS 20
sin 20
et, plus généralement,
An = ( C?S nO
sm nO
- sin 20 )
cos 20
-sin nO )
cos nO ·
Cette propriété résulte du fait que Ae caractérise la rotation plane, Re de centre 0
et d'angle 0 et qu
Re. Re = R 2 e <=> Ae.Ae = A 2 e.
n A2P+ 1
Soit Sn = (-1)1' (2 + 1) la suite des sommes partielles de la série conver-
pc::::O P
gente
A3 AS
A- 3! + ST-.'"
dont la somme est notée sin A,
(-1)1' cos (2p+ 1)0
1'=0 (2p+ 1)!
Sn = . ( l)
£ (-1)1' sm 2p+ l) u
1'=0 (2p+ 1)!
On a nécessairement
_ i: (- 1)" sin (2p + 1) 0
1'= 0 (2p + 1) !
£ (-1)1' cos (2p + 1)0 ·
.1'=0 (2p + 1)!
sin A = lim Sn = ( -; ) ,
n oo
où
u= (_I)p cOS(2p+1)0
1'=0 (2p+1)!
et
't = (-1)1' sin (2p+ 1)0
1'=0 (2p + 1)1
296
, dX AX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt =
TI reste donc à calculer CI et If.
Posons z = e ie . On en déduit que l'on a
ex> e i (2p+l)e ex> z2P+l
u+ i-r = p"'ijo (-l)P (2p+ l)! = p"i}o (-1)P (2p+ l)!
= SIn z.
Alors
(J + i'r: = sin z = sin (cos () + i sin ()) = sin (cos ()) cos (i sin ())
+ sin (i sin ()) cos (cos ())
ou encore
(J + i'T: = sin (cos ()) cb (sin ()) + i sb (sin ()) cos (cos ())
, (j = sin (cos ()) cb (sin ()),
<=> 'T: = sb (sin ()) cos (cos ()).
En résumé, on a
( sin (cos ()) ch (sin ())
sin A =
sh (sin ()) cos (cos ())
- sb (sin ()) cos (cos ()) )
sin (cos ()) ch (sin ()) .
9.111.2.
a) Considérons la série I-A + A2_A3 + ....
On a IllAnll1 IIIA Il ln qui est le terme général d'une série convergente [puisque
Il lA III = n sup laij 1 < 1].
i,j
La série I-A + A2_A3 + ... est normalement convergente. Comme elle est définie
dans le Banach n m on en déduit qu'elle est convergente. Soit S sa somme :
,
S= I-A+A2-A3-...
Nous avons, alors
(I+A)S= (I+A)(I-A+A2-A3+ ...) = l,
donc 1 + A est inversible, et
(I+A)-l = s= I-A+A2-A3+...
[Remarquer l'analogie avec (1 + X)-l = 11 x = 1- x+ x 2 -x 3 + ...]
1
b) Posons A = B- I. Alors, sup laul <-.
i,j n
Il résulte de a) que 1+ A = B est inversible, et
(I+A)-l = B-l = I-A+A2-A3+... = I-(B-I)+(B-I)2-(B-I)3+...
ex>
En résumé, B est inversible et B-l = (- l)n(B- I)n.
n=O
SOLUTIONS
297
9.IV.l.
1° Formellement, on a
(A (t).X(t))' = A'(t).X(t)+ A(t).X'(t);
c"est cette formule que nous allons justifier.
Considérons pour cela l'expression (h '# 0) suivante :
A(t+h).X(t+h)-A(t).X(t) ' ( ) ( ) A( ) ' ( )
e= h -At.Xt- t.Xt
que l'on décompose classiquement sous la forme
e = el + e2 + e3,
où
A (t + h) . [X(t + Iz) - X(t)] ( h) ' ( )
el = h -A t+ . X t ,
e2 = [A(t + h) - A(t)] . X'(t),
_ [A(t+ h) - A(t)]. X(t) ' ( ) X( )
e3 - h At. t.
a) Puisque t 1---+ A (t) est continue en t, on a
\/8> 0,3 (,(1(8, t) > 0 tel que Ihl al => IIIA(t+ h)- A(t)111 8,
et a fortiori
IIIA(t+ h)111 IIIA(t)1I1 + 8.
Puisque t 1---+ X(t) est dérivable en t, on a
\/8> 0,3(,(2(8,t)
tel que
X(t + h) - X(t) _ X ' (t)
Ihl (X2 => h
8.
La majoration suivante :
Ile!11 = liA (1 + h) . [ X(1 + h1- X(I) - X'(1)]
IIIA(I+ h)lll. X(I+ hh - X(I) - X'(1) 1,
entraîne alors que l'on a
(1) Ilelll (1IIA(t)1I1 + 8)8, pour tout h vérifiant Ihl Inf(al,a2).
b) Puisque t 1---+ A (t) est continue en t, on peut écrire
!h 1 al => III A (t + h) - A (t) III <; 8.
Compte tenu de la majoration suivante :
IIe211 = "[A(t + h) - A(t)] . X'(t)11 IIIA(t + h) - A(t)111 . IIX'(t)ll,
on obtient a10rs
(2) IIe211 81IX'(t)lI, pour tout h vérifiant Ihl al.
298
, dX AX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt =
c) Puisque t 1---+ A (t) est dérivable en t, on a
\.1 3 ) A(t+ h) - A(t) ' ( )
v8> 0, (.(3(8, t > 0 tel que Ihl (.(3 h -A t
8.
Compte tenu de la majoration suivante :
II e 311 = [ A(t+ -A(t) -A'(t)] .X(t) <
A(t+h)-A(t) -A'(t) .IIX(t)ll,
h
on obtient alors
(3) IIe311 8. Il X(t)ll, pour tout h vérifiant Ihl (.(3.
En résumé, compte tenu de (1), (2) et (3), on conclut que
lie Il Ilelll+ Il e 211+ II e 311 K8,
pour tout h non nul, vérifiant Ih 1 Inf «(.(1' (.(2' (.(3),
où
K = IIIA (t) III + 1 + Il X' (t ) Il + Il X(t) Il, si 8 1.
Autrement dit, l'application t 1-+ A(t)X(t) est dérivable en t et
(A(t) . X(t))' = A'(t) . X(t) + A(t) . X'(t).
2° Si les applications t 1---+ A' (t)X(t) et t 1-+ A (t) X' (t) sont continues, la
dérivée de l'application t 1---+ A(t)X(t) sera continue. Autrement dit, t 1---+ A (t)X(t)
sera de classe el.
Établissons, par exemple, la continuité de l'application t 1-+ A'(t) X(t).
Pour cela considérons l'expression u = A' (t) . X(t) - A' (t o ) . X(t o ) que l'on
décompose classiquement sous la forme u = U1 + U2, où
U1 = (A'(t). X(t)-A'(t). X(t o )) et U2 = (A'(t). X(t o ) - A'(t o ). X(t o )).
a) Puisque t 1-+ A' (t) est continue en t o , on a
Y8 > O 3111(8) > 0 tel que It-tol 111 IIIA'(t)- A'(t o ) Il 1 8,
et a fortiori
IIIA' (t) III IIIA' (t o ) III + 8.
Puisque t 1---+ X(t) est continue en t o , on a
Y8> 0,3112(8) > 0 tel que It-tol 112 IIX(t)-X(to)11 8.
Compte tenu de la majoration suivante :
(4) Ilulll = IIA'(t)[X(t) - X(t o )] 1 1 IIIA'(t)III.IIX(t) - X(t o ) 1 1,
on obtient alors
Ilulll (1IIA'(to)111 + 8)8,
pour tout t vérifiant It - t o 1 Inf (111' 112).
b) Puisque t 1-+ A'(t) est continue en t o , on a
(S) II u 211 = I[A'(t)- A'(t o )]. X(t o ) Il IIIA'(t)- A'(t o ) 111.IIX(t o ) Il 8I1X(t o ) Il,
pour tout t appartenant a ]a, b[ et vérifiant It - toi 111.
SOLUTIONS
299
En résumé, compte tenu des relations (4) et (S), on peut écrire
Iluil Ilulli + II u 21I Ko8,
pour tout t appartenant a ]a, b[ et vérifiant It - t o 1 Inf (111,112),
avec
Ko = IIIA'(to)111 + 1 + 1 IX(t o ) 1 1, si 8 1.
Autrement dit, t 1---+ A' (t). X (t) est bien continue en tout point t o de ]a, b[.
9 .IV .2.
1 0 Démonstration analogue a celle de l'exercice précédent.
Il suffit de substituer B a X et la norme III. III a la norme Il. Il, tout en conservant
la norme III. III déja rencontrée.
Par exemple, on a
Illellll = A(t+ h) [ B(t+hl-B(t) - B'(t)] 1
IIIA(t+h)lll. B(t+hl-B(t) -B'(t) ,
d'où l'on déduit
Illellll (1IIA(t)111 + 8)8, pour h assez petit.
2 0 a) En posant B(t) = A(t), on déduit de la question précédente que
t 1---+ A(t). A(t) = A2(t)
est de classe el.
Puis, en posant B(t) = A2(t), on déduit encore que
t 1---+ A(t). A2(t) = A3(t)
est de classe el.
Plus généralement, t 1---+ Aft(t) est de classe el (faire un raisonnement par
récurrence).
b) On obtient successivement
i) pour B(t) = A(t),
(A2(t))' = (A(t)B(t))' = A'(t)B(t) + A(t)B'(t) = A'(t)A(t) + A(t)A'(t):
ii) pour B(t) = A2(t),
(A3(t))' = (A(t)B(t))' = A'(t).A2(t) + A(t)(A2(t))',
ou encore, compte tenu de i),
(A3(t))' = A'(t)A2(t) + A(t)A'(t )A(t) + A2(t)A'(t).
Faire un raisonnement par récurrence pour établir la formule générale.
300
, dX AX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt =
9.IV.3.
On a évidemment
A(t 1 )B(t 2 + h) = B(t 2 + h)A(t 1 ), pour tout h tel que (t 2 + h) E ]a, b[,
donc on a aussi
( ) B(t2 + h) - B(t 2 ) B(t 2 + h) - B(t 2 ) ( )
A t 1 h = h A t 1
et, par passage a la limite pour h 0,
A(t 1 )B'(t 2 ) = B(t 2 )A'(t 1 ).
Même raisonnement pour montrer que l'on a
A'(t 1 )B(t 2 ) = B(t 2 )A'(t 1 ), Vt 1 et t 2 .
Compte tenu de cette dernière relation, on conclut que l'on a
' ( ) B(t2 + h) - B(t 2 ) _ B(t 2 + h) - B(t 2 ) ' ( )
A t 1 h - h A t 1
et, par passage a la limite, on obtient enfin
A'(t 1 )B'(t 2 ) = B'(t 2 )A'(t 1 ).
9.IV.4.
Munissons cÂ(,nn de la norme usuelle Il. Il définie par liA Il = n sup laij 1, où A = (aij).
i,j 1 i n
J j n
a) Supposons que t A(t) soit continue en to.
Si t A(t) est continue en to, on a
V8 > 0, 3(;( > 0 tel que It - t o 1 (X => IIA(t) - A(t o ) Il 8.
On a évidemment
A(t)- A(t o ) = (aij(t) - aij(t o )),
donc
1 IA(t)-A(to)1 1 = n sup {laij(t)-aij(to)l}
i,j ,
et, par suite, pour tout i et pour tout j,
8
It-tol (X => ns p{laij(t)-aij(to)l} 8 <=> laij(t)-aij(to)1 n'
I,J
Autrement dit, t aij(t) est continue en t o (Vi et j).
SOLUTIONS
301
Supposons que toutes les applications t aij(t) soient continues en to-
Si toutes les applications t J-+ aij(t) sont continues en to, on a
Y8 > 0, 31'/ij > 0 tel que It - t o 1 < 11ij => laij(t) - aij(t o ) 1 < 8.
Donc, pour tout i et pour tout j,
1 t - t o 1 < 11 = Inf {1'/0} => laij(t) - aij(t o ) 1 < 8 <=> I!A(t) - A(t o ) Il < n8.
ij
Autrement dit, t A(t) est continue en to.
b) Supposons t A(t) dérivable en to-
Si t A(t) est dérivable en to, on a
V 8 > 0, 3A' (t o ) = «(Xij)
l i n
l j n
et (X > 0
tel que
o < Ihl ri. = A(t o + - A(to) - A'(t o ) e.
Donc
O Ihl ./ ! aij(to + h) - aij(t o ) _ .. ./
< (X => h (X,) n'
Vi et ·
Autrement dit, aij est dérivable en t o et aij(t o ) = (Xij.
De plus,
A' (t o ) = (aij(t o )).
l i n
l j n
Supposons que toutes les applications aij soient dérivables en t 0-
Si toutes les applications aij sont dérivables en to, on a alors
\-1 0 3 0 tel que 0 Ih 1 ./ aij(t o + h) - au(t o ) , (t ) 1 ./
v8 > , 11ij > < 11ij => h - aij 0 8.
Soit
B = (aij(t o ));
l i n
l j n
on a alors
{ } aij(to + h) - aij(t o ) , ( )
o < Ih J < 11 = Inf 11ij => h - au t o < 8,
ij
V i et j,
ou encore
0< Ihl <11 => s :up l aij(to+h -aij(to) _aiï<to) - A(to+hl-A(to) _B ! <8.
l,}
Ceci exprime que A est dérivable en t o et que l'on a
A'(t o ) = B = (afj(t o )).
De plus, on a [cf. a) ]
A'(t) = (a;j(t)) continue sur ]a, b[ <=> ajj continue sur ]a, b[, Vi et j.
Donc,
A de classe e l <=> aij de classe e l , Yi et j.
302
, dX AX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt =
9. V.I.
1° Supposons que {fn}ex:> converge uniformément sur IR vers f.
On a alors
V8 > 0,3N e > 0 tel que n ;> N => 1 fn(t)-f(t) 1 < 8, Vt E IR.
Soit 1/1 : t f(t)X, on a alors, pour n ;> N,
!1t/ln(t)-1/1(t)II = IIfn(t)X-f(t)XII = Ifn(t)-f(t)IIIXIl < 811XII, Vt.
Autrement dit, {1/1 n}ex:> converge uniformément vers 1/1 sur IR.
Supposons que ('1' Jex:> converge unifcrmément sur IR.
La suite {1/1n} IX> satisfait donc a la condition de Cauchy,
V 8 > 0, 3N e tel que m;> n ;> Ne => l11/1m(t) -1/1 n(t) Il < 8, Vt E IR.
Par suite,
m;> n;> Ne => IIfm(t)X-fn(t)XII = Ifm(t)-fn(t)IIXIl < 8, VtEIR,
ou encore
8
m;> n;> Ne => Ifm(t)-fn(t)1 < Il XII '
V tEIR.
Ceci signifie que {fn}oo converge uniformément sur IR. (Condition de Cauchy pour
les fonctions a valeurs réelles.)
2° Supposons que F soit borné: IF(t) 1 < K, K Cte, Vt E IR.
Exprimons le fait que {Xn}ex:> converge vers X par l'implication suivante :
V8 > 0,3 Ne tel que n;> Ne => IIXn-XII < 8.
En posant <P : t F(t)X, on aura alors
n;;?; Ne => II<Pn(t)-<p(t)11 = IIF(t)Xn-F(t)XII = IF(t)IIIXn-XII < K8, VtEIR.
Autrement dit, {<Pn}ex:> converge uniformément sur IR vers <p.
Supposons que (<Pn)ex:> converge uniformément sur IR.
Elle satisfait donc a la condition de Cauchy,
V8 > 0, 3 Ne tel que m ;> n ;> N=>Il <Pm(t) - <Pn(t) Il < 8,
V t E IR.
En particulier, pour n = N et m = M (premier entier supérieur a N tel que
X M =1= X N ), on aura
II<PM(t)-<PN(t)lI- IIF(t)XM-F(t)XNII = IF(t)I.IIXM-XNII <:8, VtEIR,
ou encore
8
/F(t)/ < K= IIX M - XNII '
La fonction F est donc bornée sur IR.
V tE IR.
SOLUTIONS
303
9. VI.I.
1 0 a) et b) Pour justifier a) et b), il suffit d'utiliser une méthode analogue a celle
développée dans la résolution de l'exercice 9.IV.2.
Remarquons que l'on a
III (L2(t))' Il 1 Il 1 L'(t) . L(t) 1 Il + Il 1 L(t)L'(t) III 2111 L(t) 1111 Il L'(t) Il 1
(puisque 1 liA . Bill Il lA Il 1 . Il IBII 1 = Il IBIII . Il lA Il 1),
de même 1 Il (L3(t))' Il 1 1 Il L2 (t)L'(t) III + Il 1 L(t)L'(t)L(t) III + III L'(t)L2(t) 1 Il,
donc 1 IIL3(t)' 1 Il 3 Il IL(t) 111 2 . IIIL(t) Il 1,
(puisque III A . B. CI Il IIIAIII. IIIBill. IIICIII)
et plus généralement
(1) 1 Il (L n( t ))' III < n Il 1 L' (t ) Il 1 . III L( t ) Il 1 n - l.
c) Soit [et, /3] un intervalle compact inclus dans ]a, b[.
Pour s'assurer que l'application
[et, fJ] Lc (E)
00 LR(t)
t eL(t) - -
- ,
R=O n.
.est de classe CI, il suffit de vérifier les conditions suivantes:
i) L R(t) est de classe CI;
ii) la serie « dérivée »,
L' (t) (L2(t))' (L R(t))'
_ 1 ' + 2 ' + ... + , + ...,
.. n.
converge uniformément sur [et, /3].
La condition i) résulte de la question 2°, a, exercice 9.IV.2.
Il reste à vérifier que la condition ii) est vraie. Compte tenu de la majoration (1),
on a
III (LR(t))' Il 1 ni Il L'(t) Il 1(11 1 L(t) Il Dn-l
n! n! .
Sur le compact [et, /3], t J-+ L(t) est continue, donc bornée,
III L (t) III K, 'it E [et, f3] où K est une constante.
De même,
III L'(t)111 K', 'it E [et, /3] où K' est une constante.
On aura alors
1 1 1 (LR(t))' III , Kn-l
, K ( -1)"
n. n.
V te [et, /3].
304
, dX AX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt =
(Ln(t))'
Pour t E [et, fJ], , est majoré, en norme, par le terme général d'une serIe
, . n. D 1 ,. L ' ( ) (L2(t))' b ...c:'
numerlque convergente. onc a serie t + 2' + ... est len unIJ.ormement
convergente sur [et, /3]. .
En résumé, les conditions i) et ii) étant satisfaites, on peut affirmer que l'appli-
cation t eL(t) est de classe el sur [et, fJ]. De plus, on a
( L(t» ) ' = L ' ( ) L(t)L'(t) + L'(t)L(t)
e t + 2! + ....
L'intervalle [et, fJ] est un compact choisi arbitrairement dans ]a, b[, donc la propriét
énoncée ci-dessus reste valable dans tout l'ouvert ]a, b[.
2° Puisque L(t 2 + h)L(t 1 ) = L(t 1 )L(t 2 + h), on peut écrire
L(t z + h - L(t z ) L(ti) = L(t i ) L(t z + - L(t z ) (h =1= 0)
et, par passage a la limite, pour h 0,
L'(t 2 )L(t 1 ) = L(t 1 )L'(t 2 ),
'tIt 1 et t 2 E]a, b[.
En particulier, pour t 2 = t 1 = t, on a
L'(t)L(t) = L(t)L'(t),
'tIt E ]a, b[.
Donc
(L2(t))' = 2L'(t)L(t)
et
(L3(t))' = 3L'(t)L2(t)
et, plus généralement,
(LR(t))' = nL'(t)LR-I(t).
Par suite,
(eL (t»)'
_ L ' ( ) L(t)L'(t) + L'(t)L(t) L(t)L(t)L'(t) + L(t)L'(t)L(t) + L'(t)L(t)L(t)
- t + 2! + 3! +...
_ L ' ( ) 2L'(t)£(t) 3L'(t)L2(t) _ ' ( ) L(t)
- t + 2! + 3! +... - L te.
30 L'application L : t t Lo satisfait évidemment a la condition énoncée dans
la question 2°. De plus, L' (t) = L o . L'égalité suivante
(eL(t»)' = L' (t )eL(t)
s'écrit alors
(etLO)' = Loe tLo .
SOLUTIONS
305
9. VI.2.
1 0 La série (anxR)o est absolument convergente pour x vérifiant la relation lx 1 < R :
(la ni 1 X IR) converge pour XE]-R,R[.
En particulier, (Ianl (IIIA IIDn) converge si IIIAI Il < R (faire x = Il lA Il D.
Considérons la série
aoI + aIA + a2A2 + ... + anA n + ...
et la série des normes associée
lao 1 + la 1 1 . Il lAI! 1 + la21 IIIA2111 + ....
La série des normes est une série a termes positifs convergente car on a
lanllllAnll1 lanllllAlll n ,
qui est le terme général d'une série convergente.
La série (anA n ) est normalement convergente dans Lc(E) qui est un Banach. Donc,
(anA n ) est convergente.
2° a) « Si (un)o et (Vn)o sont deux séries numériques absolument convergentes,
alors la série produit (Wn)o [où W n = Uo V n + Ul V n - 1 + ... + Un Vo] est absolument
convergente et l'on a
n o W n = C o Un) C o V n ). »
Pour des séries (uR)o et (Vn)o a valeurs dans un Banach (sur lequel est définie une
algèbre), on substitue la notion de série normalement convergente, a celle de série
absolument convergente, d'où l'énoncé suivant :
« Si (un)o et (Vn)o sont deux séries normalement convergentes dans un Banach,
alors la série produit (W,z)o est normalement convergente et l'on a
n o W n = C o Un) C o V n ). »
b) Application:
00 00
Soit f(x) = anx R (rayon de convergence R) et g(x) = bnx n (rayon de conver-
gence RI). n= 0 n= 0
Soit A tel que IIIA III < Inf (R, R 1 ). La série (anx n ) est absolument convergente
pour Ixl < R, donc (Ianll liA Il IR) est convergente (puisque IIIA 1 Il < R) et, par
suite, (anAn)o est normalement convergente.
De même, (bnAn)o est normalement convergente. Donc, la série produit (cnAn)o,
où C n = aob n + albn-l + ... + anb o , est normalement convergente.
[Poser Un = anA n ; V'I = bIlAR, donc
W n = (aob n + a I b n - l + ... + anb o ) AR.]
306
, dX AX
APPLICATION A LA RESOLUTION DE dt =
30 Appliquons le résultat précédent aux séries entières suivantes
1 ax et (et - l)x 2 et (et - 1)... (et - n + 1)
(8 1 ) + IT + 2! + ... + n! x n + ...
1 /3x /3(/3 - 1)x 2 /3(/3 - 1)... (f3 - n + l)x n
(8 2 ) + 1 '+ 2' +...+ , +....
.. n.
Ici on a, d'une part
et (a - 1)... (et - n + 1)
an =
n!
et
b = /3(/3 - 1)... (/3 - n + 1)
n n! '
et, d'autre part,
R=
si a IN,
et
_ 1 si /3 IN,
R 1 - .
t 00 si /3 E IN.
si et E IN,
On aillA" 1 < Inf (R, RI) (puisque "lA III < 1), donc
n o cnAn = C o a nAn ) C /nAn)
= C o ct(ct-l).. -n+ 1) An) C o P(/3-1).. p-n+ 1) An).
Notons Aa. la somme
a (et - 1)... (et - n + 1) An
.k.J , '
n=O n.
on en déduit alors
Aa _ /3(/3 - 1)...(/3 - n + 1) An
- .k.J ,
n=O n.
et, par suite,
co
L; cnAn = Aa. . Aa, où C n = aob n + albn-l + ... + anb o .
n=O
Supposons établi le résultat suivant
(et + /3)(et + /3 - 1)...(et + /3 - n + 1)
n!
C =
n
Alors, on en conclut que
co
L;
n=O
C An = Aa.+a
n
et, par suite,
Aa.+a = Aa..A .
(et + f3)(et + /3- 1)...(et + /3-n + 1)
Reste à établir la propriété en = , ·
n.
SOLUTIONS
307
Pour Ixl < 1, on a
co
(1 + x)'"' = anx n
n=O
et
ex>
(1 + x)13 = bnx n ,
n=O
on en déduit donc
(1)
co
(1 + x)Ct(1 + x)13 =
n
CnX.
n=O
De plus, on a la relation suivante :
(2) (1 + x)"'(1 + x)13 = (1 + x)"'+13 = 1 + (0( + P)x + (0( + fJ)( P - 1) x 2 + ...
(valable dans tous les cas pour Ixl < 1).
Par identification, on déduit alors de (1) et de (2) que l'on a
(et + /3) (et + /3 - 1)...(et + /3 - n + 1)
C n = , .
n.
-"
MP.2-P.C.2
10.
SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS
A COEFFICIENTS CONSTANTS :
dX
dl = AX + Y
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
A COEFFICIENTS CONSTANTS.
MÉTHODES TECHNIQUES
1. - INTRODUCTION.
Soit ]a, b[ un ouvert de IR. On se propose de déterminer les systèmes de
n fonctions
x j : Ja, b[H- lC, t H- X j(t)
qui vérifient
(8) . ..... .'. . . .:: ... . .' . . . :
? xit) - a n ,l x l(t)+... + an.nxn(t) + yit),
où a"k Cte E e et où Yj : ]a, b[ H- e est continue.
On considère e", espace des vecteurs X = (Xl' ..., X n ), Xj E e, muni de la
base canonique
el = (1,0, ...,0), ...,e n = (0, ...,0,1).
Aucune confusion n'étant possible A désignera la matrice carrée (a"k) ou
l'endomorphisme qu'elle caractérise dans la base canonique. De même,
"
X désigne la matrice-colonne (Xj) ou le vecteur X = (Xl' ...,Xn) = L Xje j
j=l
et Y la matrice-colonne (yj) ou le vecteur Y = (YI, ..., Yn).
310 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
Le système (8) s'écrit donc, matriciellement ou vectoriellement
(1)
dX
- =AX+f:
dt
On associe à (1) l'équation homogène suivante
(2)
dX = AX.
dt
II. - PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES ET EXISTENCE DES SOLU-
TIONS.
1 0 Système fondamental de solutions de (2).
Définition. - Considérons n solutions,
Xj(t) = (Xl,j(t), ..., Xn,j(t)),
j = 1,2, ..., n.
On dit que {X 1 (t), ..., Xn(t)} constitue un système fondamental de solutions
de (2) si, et seulement si,
dét({X 1 (t), ...,Xn(t)}) = dét(xk,j(t)) =1= 0, Vt E IR.
Théorème 10.11.1. - On a les propriétés suivantes :
n
a) dét(xk,j(t)) = dét(xk,j(to))e(t-t o ) j laj'J;
b) 3t o tel que dét (Xk,j(t O )) =1= 0 <=> dét (Xk,j(t)) =1= 0, Vt;
c) {X 1 (t), ..., Xn(t)} système fondamental de solutions <=> 3t o tel que
{X 1 (t O )' ..., Xn(t O )} constitue une base de (C".
Théorème 10.11.2. - Il existe toujours un système fondamental de solutions
{X 1(t), ..., Xn(t)}
et
n
X(t) = L CjXj(t), cjCteE (C,
j=l
est solution de (2).
Réciproquement, toute solution X(t) de (2) se décompose de façon unique
n
sous la forme X(t) = L CjXj(t), CjE (C.
j=1
n
On dit que X = L CjX j est la solution générale de (2).
j=1
MÉTHODES PRATIQUES, SYSTÈME HOMOGÈNE
311
2° Système non homogène : = AX + Y. - Si Y est continu sur ]a, b[
..............
[ Yi continu sur ]a, b[, j = 1, ..., n], alors il existe X continûment dérivable
sur ]a, b[ tel que
-.
dX ..-.
- =AX+f:
dt
La solution générale de (1) est donnée alors par
r n ..........
t H XCt) = L CjXj(t)+X(t),
i= 1
----
OÙ {Xl' ..., Xn} est un système fondamental de solutions de (2). (X n'est pas
unique, évidemment.)
3 0 Système non homogène avec donnée initiale. - Le problème suivant :
dX
- = AX+J':
dt '
X(t o ) = Zo, où t o E Ja, b[ et Zo E (Cn donné,
admet une solution unique (non nulle si Y =1= 0) définie et continûment déri-
vable sur ]a, b[.
Ill. - MÉTHODES PRATIQUES : SYSTÈME HOMOGÈNE.
Elles sont basées sur la recherche de solutions particulières du type erkt .
1 0 La matrice A a ses valeurs propres r 1,...,r n distinctes. - A rk corres-
pond un vecteur propre V k . Alors Xk(t) = erkt est solution de l'équation
homogène et la solution générale s'écrit
n
X(t) = L ckVkerkt,
. k=l
Ck Cte E (C.
2° La matrice A a p valeurs propres distinctes (1 p< n).
a) Utilisation du noyau de (A-rkl)m k . - rk est valeur propre d'ordre m k
p
(donc L mk = n).
k=l
Soit N k le noyau de l'endomorphisme (A-rkI)m k ,
N k = {XE (Cn; (A-rkI)mkX = O},
on sait que N k est de dimension mk et l'on en considère une base Zk,l, ..., Zk,mk.
3] 2 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
Au vecteur Zk,l, par exemple, correspond la solution
X k ,l(t) = erkt [ I + A-rJ)+ A-rkI)2+... + t mk - 1 (A-r k I)m k -l ] Zk,l.
1! 2! (mk-1)!
Ainsi, à la valeur propre rk d'ordre mk on fait correspondre mk solutions
p
X k ,l, ...,Xk,mk. On obtient bien, en tout, L m k = n solutions qui forment un
k=l
système fondamental puisque Xk,j(O) = Zk,j et {Zk,j} constitue une base de (C".
b) Triangularisation. - On cherche une base {G p } telle que l'opérateur A
soit représenté par une matrice triangulaire B = (bi,j), bi,j = 0 si i <je
Soit P la matrice de passage
( el' e z, ..., e n) (G l' G Z, ..., G n ).
Si l'on a
"
Bq = L lI.p,qe p ' alors P = (lI.p,q) et B = p- 1 AP.
p=l
Dans cette nouvelle base le vecteur X(t) est représenté par la matrice-colonne
dU
U(t) = (uj(t)) et l'on aura - = BU.
dt
Par exemple, pour n = 3, on a
) u = b l1 u 1 +b12u2+b13u3,
Uz = b ZZ u 2 + b Z3 U 3 ,
u; = b33U3.
On résout la dernière équation différentielle, qui est à coefficients constants,
puis on remonte de proche en proche.
Enfin, la relation X(t) = PU(t) détennine X(t).
3 0 Remarques.
rique suivant :
a) On peut aussi appliquer directement le résultat théo-
dX tA
- = AX X = e C,
dt
où C est la matrice-colonne, C = (Cj), Cj E (C.
Ceci suppose que l'on sache calculer facilement e tA à partir de A, c'est le
cas, par exemple, lorsque A est diagonale, mais dans un tel cas le système est
immédiat à résoudre.
b) Lorsqu'il se présente des intégrales premières simples, combinaisons
linéaires des fonctions inconnues par exemple, on peut avoir intérêt à les
utiliser pour abaisser l'ordre du système. (Cf. Exercice 10.111.2.)
MÉTHODES PRATIQUES. SYSTÈME = AX + y
313
IV. - RECHERCHE DE SOLUTIONS RÉELLES LORSQUE al,k E/R.
Soit à résoudre X' = AX dans /Rn (al k E IR).
-'
Si X = (Xl' ..., X n ), Xj E lE, on note X le vecteur (Xl' ..., x n ) appelé conju-
gué de X.
Si la valeur propre r k E lE sans être réelle, Tk est aussi valeur propre de même
ordre de multiplicité m k.
A rk correspondent mk solutions Xk,l'..., Xk,mk (paragraphe III, 2°) et à Tk
on peut faire correspondre les solutions X k ,l, ..., Xk,mk.
Au système de ces 2mk solutions on substitue les 2mk solutions suivantes :
9teX k ,l, 9leX k ,2, ..., :ReXk,mk' JmX k . 1 , ..., JmXk,mk.
En procédant ainsi pour k = 1,2, ...,p on obtient un système fondamental
de solutions dans IRn, d'où la solution générale à coefficients constants réels.
v. - MÉTHODES PRATIQUES: SYSTÈME = AX+Y
(où Y: t Ho Y(t) est de classe Co sur ]a, b[.)
1 0 Cas général. Méthode de Lagrange. - Soit {Xl' ..., Xn} un système fon-
damental de solutions de l'équation homogène associée :
Xi(t) = (X l ,1(t),X 2 ,1(t), ..., Xn,l(t))
[qui vérifie M' = AM].
On considère alors la matrice
Xl, 1 (t) ... Xl ,n( t)
M(t) = X 2 , 1 (t) ... X2,n(t)
. .
. .
. .
. .
X n , 1 (t) ... Xn,n(t)
et la matrice-colonne suivante :
A = (Â j ),
}"j E Q;.
On montre alors que l'on a
X(t) = M(t)A+M(t) J t M-l(U)Y(u)du.
to
Cette solution s'obtient pratiquement par la méthode de Lagrange dite
« variation des constantes». .
A partir de la solution générale de l'équation homogène
X(t) = À I X 1 (t)+ ... + ÀnXn(t) = M(t)A,
on considère
X(t) = Ul(t)Xl(t)+...+un(t)Xn(t) = M(t)U(t)
et l'on substitue dans l'équation complète pour obtenir les Uj(t).
314 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
2° Cas d'un second membre du type particulier Y = tnerJ.ty o (lI. Cte E fE,
nE lN, Y o E fE" constant). - Si lI. est racine d'ordre p du polynôme caractéris-
tique dét (A - ),,1), il existe une solution particulière de la forme
X(t) = ecxt(tm+PZm+p+". + tZ 1 +Zo).
Il faut cependant remarquer que, contrairement au cas des équations diffé-
rentielles, le vecteur constant Z m+ p peut être nul.
Lorsque le second membre Y est une combinaison de termes t mK ecxKtY K il
..........
suffit de chercher les solutions particulières X m correspondantes. Alors,
X = L X K.
K
VI. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES A COEFFICIENTS
CONSTANTS.
1° Généralités. - Soit l'équation
(E) y(n) = a n _ l y(n-l)+ ...+aoy+j.
Les ak, avec k = 0, 1, . . ., n-l, sont des constantes et f est une fonction
continue de la variable réelle x E ]a, b[.
En posant
y = Zl,
, ,
y = Zl = Zz,
...,
Y (n - 1) = Z
n'
on vérifie que (E) se met sous la forme équivalente d'un système
Z' = AZ+F,
où Z est la matrice-colonne (Zj), et A et F sont définies respectivement par
A=
o 1 ....... 0
o 0 1 .... 0
et
F=
o
o
o .........0 1
ao al. · . · · .. an
Les théorèmes d'existence et d'unicité des solutions d'un système différentiel
s'appliquent donc immédiatement ici.
2° Recherche pratique des solutions. - On peut utiliser toutes les techniques
relatives aux systèmes différentiels en les adaptant à ce cas particulier.
On cherche des solutions particulières de l'équation homogène du type éX
r est alors solution de l'équation caractéristique
n n-l 0
r -an-lr -...-ao = ·
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
315
n
Si toutes les racines sont distinctes, y = L Ckerkx est la solution générale.
k=l
Si Tk est racine d'ordre mk, on obtient une solution du type suivant:
mk
- (C j ) rkX
Ymk - L..J k,jX e ,
j=l
p
alors L Ymk est la solution générale.
k=l
Pour l'équation complète, on utilisera la méthode de variation des constantes
ou un procédé d'identification à coefficients indéterminés dans le cas de seconds
membres du type x m e(1X.
lO.ll.l.
.
lO.III.l.
.
lO.ID.2.
.
lO.III.3.
.
lO.ID.4.
.
lO.IV.l.
.
EXERCICES DU CHAPITRE 10
Résolvant M(t).
Soit X 1 (t) = (Xl l(t), ..., x n l(t)), ..., Xn(t) = (Xl n(t), ..., x n n(t)) un sys-
, , , , ,
tème fondamental de solutions de X = AX.
1 0 Montrer que la solution générale X peut s'écrire
X(t) = M(t)A,
où M (t) est l'opérateur caractérisé par la matrice M(t) = (Xi,j(t)) dans la
base canonique de (En et A = (À 1 , ..., Àn) est un vecteur constant de (Cn.
2° En déduire que M satisfait à M' = AM. L'opérateur M est appelé
résolvant du système.
3 0 Montrer que la donnée d'un système fondamental de solutions carac-
térise A et cela de façon unique.
Déterminer les fonctions x, y et z de IR dans (C, qui vérifient
(1) x' = x+y, y' = -x+2y+z et z' = x+z.
Déterminer dans IR3 la solution générale du système différentiel
(1) x' = 2x+y, y' = y+z et z' = y+z,
en utilisant la méthode du paragraphe III, 2°, a.
Intégrer le système différentiel
x' = x-2y-2z, y' = 2y+z et z' = x+ y.
En utilisant la méthode exposée au paragraphe III, 2°, a, intégrer le
système différentiel
x' = 3x+z, y' = 2x+y+z et z' = -x+y+z.
Déterminer les fonctions à valeurs réelles qui vérifient
, + ' 2 '
x = x y, y = -x+ y+z et z = x+z.
(Voir l'exercice 10./11.1.)
lO.V.l.
...
lO.V.2.
..
lO.V.3.
.
lO.V.4.
.
lO.V.5.
..
EXERCICES DU CHAPITRE 10
317
On considère le système différentiel suivant:
dx
dt = 3x+z+sin t,
dy
dz
- = -x+ y +z
dt '
où a désigne une constante réelle positive ou nulle.
1 ° Trouver la solution générale (sous forme réelle) du système homogène
associé à (S) pour a =1= o.
2° Même question pour a = O.
3° Trouver la solution générale de (8) pour a = 1.
(Concours E.S.E.R.B., partiel.)
Problème du double pendule.
Pour résoudre le problème du double pendule, cas des petites oscillations,
on est amené à intégrer le système différentiel suivant:
, 2œ" + /3" + 2J.lœ = 0,
(1) œ" + /3" + J.l/3 = 0,
où œ et /3 sont des fonctions inconnues de t et J.l est une constante réelle
positive ou nulle.
1 ° En posant œ' = '}', /3' = , ramener (1) à un système différentiel du
premier ordre à coefficients constants.
2° Résoudre le système (1) en œ" et /3" pour le mettre sous la forme X" = AX
et intégrer cette équation vectorielle.
Intégrer le système différentiel
(8) x' = x+e t , y' = y+e 2t et z' = z+e 3t ,
puis le système
(S1) x' = x+e t , y' = y+x+e 2t et z' = z+x+e 3t .
Chercher une solution particulière du système différentiel
x' = 3x+z+te 3t , y' = 2x+y+z et z' = -x+y+.z.
(Pour le système homogène, on se reportera à l'exercice 10.1/1.4.)
Intégrer le système différentiel
d 2 x 15 dx t
(1) - -x+ -.- = e 2
(S) dt 2 4 dt '
( ) dx d 2 y _ 0
2 dt + dt2 + y - ,
318 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
10.VI.l.
.
10.VI.2.
.
10.VI.3.
..
1 ° en se ramenant dans JR4 à un système différentiel du type
dZ -
- = AZ + e 2t Z ·
dt 0'
2° en cherchant des solutions de l'équation homogène associée sous la
forme X(t) = e rt V (V vecteur constant de JR2 ) ;
3° en éliminant x (et ses dérivées) entre (1) et (2) pour obtenir une
équation différentielle du 4 e ordre en y.
Intégrer l'équation différentielle suivante:
y'" - 2y" + y' - 2y = sin x.
Intégrer l'équation différentielle suivante:
yIV +5y"+4y = cos 3x.
Intégrer l'équation différentielle suivante:
,,, " , 1 4
y -4y +5y -2y = -(2x-5) Log x- - - -.
x 2 X
On utilisera la méthode de variation des constantes.
SOLUTIONS
10.11.1.
1 0 Puisque récriture X(t) = M(t) A est equivalente à
XI = À 1 X Il + ... + À,IX 1 n j n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . <=> X(t) = ÀiXi(t),
X n = À 1 X n l + ...+ ÀnXnn l=1
la propriété demandée est immédiate.
2 0 On a éviden1ment
dX
- = AX ( t )
dt '
donc
lkf'(t)/\ == AM(t)/\,
VA E (Cn.
Donc
M'(t) = AM(t).
30 A la donnée du système fondamental,
X 1 (t) = (Xl1(t), ..., X ll l(t)), ..., Xn(t) = (x n1 (t), ..., xnn(t))
correspond M(t) = (xij(t)) et, par suite, on en déduit que l'on a A = M'(t)M-l(t),
puisque M-l(t) existe. A est donc défini de manière unique.
10.111.1.
Soit
X(t) = (x(t), y(t), z(t))
et
( 1 1 0 )
A= -121.
101
11 s 'Iagit de détern1iner la solution générale de
(2)
d){
dt = AX.
Les valeurs propres de A sont données par
(À) == dét (A - ÀI) = (2 - À)[(l- À)2 + 1] = 0,
c'est-à-dire
ri = 2,
'2 = 1 + i
et
Y3 = r2 :::z:: 1 - i.
320 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
Les valeurs propres étant distinctes, nous utiliserons la ll1éthode indiquée au
paragraphe III, 1°. A rk correspond le vecteur propre V k = (lJ.k, {3k, Yk) défini par
(A - rkl) V k = 0, c'est-à-dire
(1 - rk)lJ. k + fJ k _ 0,
J - lJ.k + (2 - rk){3k + Yk - 0,
\ lJ.k + (1 - rk)Yk = 0,
ce qui donne, par exenlple,
VI = (1, 1, 1), V 2 = (i, -1, 1),
v 3 = V 2 =(-i,-1,1).
On a alors les trois solutions particulières suivantes :
X 1 (t) = e 2t V 1 , X 2 (t) = e(l+i)tv 2 et X3(t) = %2(t) = e(l-i)tv 3 ,
qui forment lll1 systènle fondan1ental de solutions. (lndépendamnlent de la théorie,
on peut s'assurer que Xl (t), X 2 (t) et X 3 (t) forment bien une base de (f;3. En effet,
dét [X 1 (t), X 2 (t), X3(t)] = e 4t dét [VI' V 2 , V 3 ] :1 0, Vt E IR.)
La solution générale X(t) = (x(t), y(t), z(t)) de (2) dans (f;3 s'écrit donc
(3) X(t) = À 1 e 2t VI + À 2 e(1 + i)t V 2 + À 3 e(l-i)t V 3 ,
où les À i sont des constantes quelconques E C.
En considérant les composantes, la relation vectorielle (3) nous donne finalenlent
les valeurs suivantes :
x(t) = À 1 e 2t + À 2 ie(1+ i )t- À 3 ie(l-i)t,
y(t) = À 1 e 2t - À 2 e(1+ i )t - À 3 e(1-i)t,
z(t) = À 1 e 2t + .A.2 e (1+ i )t + .A.3e(1-i)t.
10.111.2.
Il s"agit de déterlniner dans JR3 la solution générale X(t) = (x(t), y(t), z(t)) de
l'équation
dX = AX
dt '
où
( 2 1 0 )
A = 0 1 1 .
011
a) Méthode générale.
Ici l'on a
f(À) = det (A - ).1) = - À(À - 2)2 ;
rI = 0 est donc racine simple du polynôme caractéristique de A, tandis que r2 = 2
est racine double.
- A '1 = 0 correspond en particulier le vecteur propre VI = ( , - 1, 1 ) et,
par suite, la solution Xl (t) = VI e O t = VI.
- A partir de '2 = 2, il faut déterminer deux solutions particulières convenables.
Pour ce faire, nous utiliserons la première méthode développée au paragraphe III, 2°.
SOLUTIONS
321
Il faut déterminer le noyau N de (A - 2/)2. Celui-ci est engendré par l'ensemble des
Z = (et, {3, y) tels que (A - 2/)2 Z = o. Il vient alors
-{3+y = 0 \
2{3 - 2y = 0 {3 = y.
- 2f3 + 2y = 0
Donc
Z = (et, fJ, y) EN<=> Z = (C(, /3, /3) = et(l, 0,0) + /3(0,1,1);
N est bien de dimension 2 et l'on prendra pour base Zl = (1, 0, 0) et Z2 = (0, 1, 1).
A u vecteur Z 1 correspond la solution suivante:
( 2 t [ (A - 2/) ] _ 2 '
X 2 ,1 1) = e 1 + t 1 ! ZI - e Zt.
(puisquc (A - 2/) Z 1 = 0).
Au vecteur Z2 correspond la solution suivante:
2t [ (A-2/) ]
X 2 ,2(t) = e 1 + t 1 !
Z2 = e2tZ2 + te2tZt,
car le calcul n10ntre que J'on a
(A - 2/)Z2 = ZI.
Fina]enlent, ]a solution générale est donnée par
X(t) = Jlt XI (t) + /12 X 2, 1 (t) + J L 3 X 2.2(t),
c'est-à-dire
X(t) = Pt VI +J L 2 e2 'ZI + J l 3 e2 'Z2 + J L 3 te2 'Zl.
En utilisant les composantcs, on obtient
x = Jl + Jl2 e2t + Jl3 te2t ,
y = - III + /13 e2t
et
Z = JLI
+ /13 e2t .
b) Méthode particulière s'adaptant au système considéré.
grales premières.)
De (1), on déduit que l'on a
y' + z' = 2(y+z)
- (Utilisation d'inté-
et
, ,
y = z
et, par suite,
\ y' + z' = 2(y+ z) <=> [y+ z)' = 2[y+ z] y+ z = À,le 2t ,
" ,
y =z y-Z=11..2'
où À,1 et À,2 sont des constantes réelles.
Donc
A2 Al t
Y = - + - e 2
2 2
et
À,1 t À,2
Z = "2 e 2 - 2.
322 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
Pour déterminer la fonction x il suffit alors de remarquer qu'el1e est solution de
l'équation différentiel1e suivante :
, À,2 À,1
X = 2x + - + - e 2t
2 2 '
et l'on obtient
,11 ,12
X = À,3 e2t + 2" te 2t - "4.
On retrouve bien la solution générale précédente en posant
À,1 = 2/13' À,2 = - 2111 et À,3 = I l 2.
10.111.3.
Soit A la matrice suivante
( 1 -2 -2 )
A= 0 2 1;
1 1 0
on en déduit que l'on a
!T(,1) == dét (A - À,/) = - (À - 1)3,
donc ri = 1 est racine triple.
Utilisons la première méthode indiquée au paragraphe III, 2°.
Soit N le noyau de l'opérateur (A-I)3. Pour déterminer N, on pourrait chercher
les vecteurs Z = (et, f3, y) vérifiant (A -1)3 Z = O. En fait, ici cela est inuti1e. En
effet, on a
dimension de N = ordre de multiplicité de ri = 3;
N est un sous-espace vectoriel de dimension 3 de JR.3 et, par suite, N = JR.3.
Pour avoir lme base de N, il suffit donc de prendre la base canonique de IR3 ainsi
définie :
ZI = (1, 0, 0),
Z2 = (0, 1, 0)
et
Z3 = (0, 0, 1).
A chaque vecteur Zi correspond une solution définie par
[ A - 1 (A - [)2 ]
Xi(t) = et [+ t 1! + 1 2 2! Zi.
3
La solution générale X(t) = ,1iXi(f) (,1 i est une constante) peut donc s'écrire
ainsi : i = 1
[ A - [ (A - [)2 ]
X(t) = et [+ t 1! + t 2 2! (,1tZl + ,1 2 Z 2 + ,1 3 Z 3 ).
SOLUTIONS
323
Or
À1Z 1 + À,2 Z 2 + À,3Z3 = A,
Oll
A = (,1,1' ,1,2' À,3)'
donc
[ A - 1 (A - 1)2 ]
X(1) = et 1+1 1! +12 2! A,
ou encore, matriciel1ement,
x
= et
1- t 2
,
t 2
2 '
t 2
1--
2 '
- 2t + f 2 , -21
1+t+t 2 , t
1-1 2 , 1- t
À,l
,1,2
y
z
À,3
d'où l'on déduit évidemment
( x = À,]e t (1 - 12) + À 2 e t ( - 21 + 12) + À 3 e t ( -21),
, Y = "lIé ( ) + "l 2 e t (1 + (+ (2) + "l 3 é(1 -1),
( z = "l I et ((- (; ) + "l 2 é «( - (2) + "l 3 e t (1- 1),
avec
À,kE lE SI X, Y et z app1iquent IR dans lE
et
Àk E IR. Si X, Y et z appliquent IR. dans IR.
10.111.4.
Soit A la matrice définie par
( 3 0 1 )
A = 2 1 1 ,
-1 1 1
alors
(À) == dét (A - ,1,/) = (3 - À) (1 - ,1,)2
et l'on a deux valeurs propres : YI = 3 et Y2 = 1, cette dernière étant racine double
du polynôme caractéristique.
- A ri = 3 correspond le vecteur propre VI = (1, 1, 0).
- A r 2 = 1 correspond le vecteur propre V 2 = (1,1, -2).
Complétons la base de (f;3 (ou IR.3) avec W 3 = (1, 0, 0), ce qui est licite puisque
dét (VI' V 2 , W 3 ) :1 O. On a alors
A ( VI) = 3 VI'
A(V 2 ) = V 2
et
3 V 2
A (W 3 ) = (3, 2, - 1) = 2 V t + 2 + W 3 .
324 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
Dans la nouvel1e base VI' V 2 , W 3 , l'opérateur A est donc représenté par la matrice
A(V 1 ) A(V 2 ) A(W 3 )
0 3
VI 3 -
2
B= 1
V 2 0 1 -
2
V 3 0 0 t
Remarque. - On peut aussi déterminer B en écrivant B = P-l AP, où P est la
matrice de passage telle que (el' e2, e3) -)- (VI' V 2 , W 3 ), eb e2, e3 désignant la base
canonique
el = (1,0,0)'1
e 2 = (0, 1, 0)
et
e3 = (0'1 0'1 1).
Ici l'on a donc
VI V 2 W 3
e] ( 1 t 1 )
P = e 2 1 1 0,
e3 0 -2 0
Le vecteur X(t) = (x(t), y(t), z(t)) étant représenté par la matrice colonne
( X (t ) )
X(t) = y(t) dans la nouvel1e base VI' V 2 , W 3 , on a la relation matricielIe
z(t)
X' = BX
,
c'est-à-dire
-, 3 - 3_
x = x+ 2z,
<: _, 1
( y = Y + 2 z,
-, -
z = z.
La dernière relation entraîne que l'on a
Z = A 1 et
(Al étant une constante).
La seconde relation s'écrit alors
-, - Al t - '] t Al t
Y = Y + - e <=> y = A2 e + - te
2 2
(A2 étant une constante).
Enfin, la première égalité donne
i' = 3; + At et Ç> X = A3 e3t - i Ale t
(A3 étant une constante).
De la relation matricielle suivante
x= PX Ç> Œ) = (i -i g) ( ),
SOLUTIONS
325
on déduit alors x, y et z :
l Al Àl
) X = + 4et + 2tet + À. 2 e t + À. 3 e3 t ,
f 3Al Al
y = - T et + 2: tet + A2 et + À 3 e 3t ,
\ z = - À 1 te t - 2À 2 e t .
lO.IV.l.
a) Plaçons-nous d'abord dans ([;3.
Con1pte tenu de l'exercice 10.111.1., on sait que les vecteurs
X 1 (t) = e 2 ! VI' X 2 (t) = e(l+i)t V 2 et X 3 (t) = %2(t) = e(l- i )t V 3
où
VI = (1, 1, 1),
V 2 =(i,-I,I)
et
V 3 = V 2 =(-i,-1,1).
constituent un système fondamental de solutions dans fE3.
b) Pour obtenir un système fondamental de solutions dans IR3 il suffit de substituer
aux solutions X 2 (t) et X 3 (t) (= %2(t)) les solutions 3{eX 2 (t) et JX 2 (t).
Calcul de Re X 2(t) et JX 2 (t).
V 2 peut s'écrire
V 2 = W 1 +iW 2 ,
où
W I et W 2 E IR3.
Plus précisément, W 1 = (0, - 1, 1) et W 2 = (1, 0, 0).
Donc
X 2 (t) = et (cos t+ isin t)(W l + iW 2 )
et, par suite, on en déduit
, :JteX 2 (t) = et cos t W 1 - et sin t W 2 ,
JX 2 (t) = et sin tW l + et cos tW 2 .
La solution générale de (2) dans IR3 s'écrit donc
(3) X(t) = 111e2t VI + 112(e t cos tW l - et sin tW 2 ) + 113(e t sin tW 1 + et cos tW 2 ),
où les l1i sont des constantes quelconques E IR.
En considérant les composantes, la relation vectorielle (3) nous donne finalement
! x(t) = III e 2t - 1l2 et sin t + 1l3et cos t,
y(t) = /11 e 2t - 112 et cos t - 113et sin t,
z(t) = /1le2t + 1l2et cos t + Jl3et sin t.
326 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
10. V.l.
Soit A la n1atrÎce suivante
( 3 0 1 )
A = 2 1 1- a 2 ,
-1 1 1
on a alors
j'(,1) = dét (A - Àl) = (3 - ,1)[(1 - ,1)2 + a 2 ].
1 U Pour a '# 0, les valeurs propres sont distinctes et l'on a
r1 = 3,
r2 = 1 + ia
et
r3 = '2 = l-ia.
- A rI = 3 correspond le vecteur propre VI = (1, 1, 0).
- A '2 = 1 +;a correspond le vecteur propre V 2 = (1, 1-a 2 -2ia, ia-2).
Enfin, à r 3 (= '2) on peut faire correspondre V 3 = V 2 .
On obtient ainsi dans (f;3 le système fondamental de solutions suivant :
X 1 (t) = e 3t V 1 , X 2 (t) = e(1+ia)tV 2 et X3(t) = X 2 (t) = e(1- ia )tj72.
A X 2 (t) et X 3 (t), substituons :Jl e X 2 (t) et JX 2 (t). On obtient alors dans IR3 le sys-
tème fondan1ental de solutions suivant :
X 1 (t),
Calcul de 3{,eX 2 (t) et JX 2 (t).
On a
V 2 = W I + iaW 2 = (1,1- a 2 , - 2) + ia(O, -2, 1), où W 1 et W 2 E n 3.
j{'c X 2(t),
:IX 2(t).
Donc
X 2 (t) = et(cos at+i sin at)(W I +iaW 2 ),
d"où l'on déduit
j{,eX2 (t) = et(cos at W 1 - a sin al W 2 ),
( JX 2 (1) = et(sin al W 1 + a cos al W 2 ).
En écrivant la solution générale X(t) = (x(l), Y(l), z(l )), de l'équation hon10gène
associée a (8) sous la forme
X(l) = /11 Xl (t) + J1 2 :Jt e X 2 (1) + /13 JX 2 (t),
où les /1i sont des constantes réelles, on obtient les composantes suivantes
\ x = /11 e 3 t + e t (/12 cos at + /13 sin at),
J y = jll e 3t + (1- a 2 )e t (/12 cos at + /13 sin at)- 2ae t ( - /12 sin al + /13 cos al),
z = - 2e t (p2 cos al + jl3 sin at) + ae t ( - /12 sin at + /13 cos at).
SOLUTIONS
327
2° Pour a = 0, on a toujours rI = 3, mais r2 = 1 est racine double du polynôme
caractéristiq ue.
- A r l = 3 correspond la solution Xl(t) = e 3t VI' avec V l = (1, 1, 0).
- A r2 = 1, nous devons faire correspondre deux solutions convenables.
Pour cela, utilisons, par exemple, la première méthode exposée au paragraphe III, 2°.
Soit N le noyau de l'opérateur (A-I)2, on a
Z = (rx, f3, y) EN<=> 3et + f3 + 2y = 0;
ZEN est donc de la forme
(rx, - 3rx - 2y, y) = et(l, - 3, 0) + y (0, - 2, 1).
et l'on peut prendre pour base de N
Zl = (1, - 3, 0)
et
Z2 = (0, - 2, 1).
- A Z, (i = 1, 2) correspond alors la solution suivante
[ A-I ]
Xi(t) :.... et 1 + t 1! Zi.
3
La solution générale X(t), mise sous la forme X(t) = ViXi (t), s'écrit
X(t) = VI X I (t) + et [1 + t A 1 ] (V2 Z I +i:: Z2 ),
c'est-à-dire matriciellement
( X(t) ) ( 1 ) ( 1 +2t 0 t )( V2 )
y(t) = Vle3t 1 +e t 2t 1 t - 3V2- 2V3 ,
z( t) 0 - t t 1 v 3
d'où résultent les expressions de x, y et z.
Remarque. - Revenons a l'étude de la question 1° qui correspond a a =F O.
1
On sait que Xl (t), :R. e X 2 (t) et -JX 2 (t) forment un système fondamental de solutions
a
et l'on obtient par passage a la limite, pour a -+ 0+,
Xl (t), et W l (0) et et(t W l + W 2 )
qui constituent un système fondamental de solutions pour a = O.
On voit là apparaître une méthode de résolution dans le cas de racines multiples
par l'introduction d'un petit paramètre.
Si l'on écrit la solution générale X(t) sous la forme suivante:
X(t) = Jll Xl (t) + Jl2 et W(O) + Jl3 et (t W(O) + W 2 ),
on a évidemment
III = Vl,
Jl2 = V2,
/13 = 2V2 + V3.
(Voir aussi exercice III, 4., avec À,I = 4V2 + 2V3, À,2 = - i et À,3 = VI')
328 EQUATIONS DIFFERENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
3° Recherche de la solution de l'équation non homogène.
Il suffit de chercher une solution particulière du système
, .
j x = 3x + z - le H ,
y' = 2x+y,
z' = - x + y + z.
(SI)
En prenant la partie réelle des solutions trouvées on aura alors une solution parti-
culière du système (S) pour a = 1.
La solution particulière est de la forn1e
x = Àe it , y = J1e it et z = ye it .
Dans ces conditions, le système (SI) entraîne que l'on a
j (3 - i)1 + v = l,
2,1, + (l-i)J1 = 0,
-,1,+ J1+ (l-i)v = 0,
d'où ron obtient, par des calculs élén1entaires,
6-8i
J1 = 25
À = 1 + 7i
25 '
et
i-2
v=S.
Alors,
= -0 ( 1 + 7 i it ) = cos t - 7 sin t
X J"e 25 e 25'
=:R ( 6 - 8i it ) 6 cos t + 8 sin t
y .e 25 e - 25
_ ,) ( i - 2 it ) - 2 cos t - sin t
z - j"c 5 e - 5
est une solution particulière de (S), d'où l'on déduit la solution générale de (8) en
ajoutant cette solution a la solution générale du système hOlllogène.
10. V.2.
1 0 En posant rx' = y et 13' = , on obtient
a' = 0 + 0 + y + 0,
13' = 0 + 0 + 0 + ,
y' = - 2J1ex + /lf3 + 0 + 0,
' = 2J1a-2J1fJ+0+0.
Dans (f;4, on a donc X' = A""X, avec
( 0 0 1 0 )
- 0 0 01
A = - 2Jl Jl 0 0
2J.l -2Jl 0 0
et
x = (ex, 13, y, (5).
SOLUTIONS
329
2° En résolvant (1) on obtient
a" = - 2J1l1. + /1{3,
{3" = 2/1rx - 2/1{3
et par suite, dans (C2,
(2) X" = - /1AX,
avec
( 2 -1 )
A = -2 2
et
x = (rx, /3).
A admet deux valeurs propres YI = 2 + V2: et r2 = 2 - V2.
A rI correspond le vecteur propre VI = (1, - V2).
- A r2 correspond le vecteur propre V 2 = (1, V2).
On cherche alors des solutions de la forme e at Vi (a est une constante E (C).
On obtient alors en reportant dans (2),
a 2 = - /1r" = - w2ri'
i = 1 2
,
ce qui donne les quatre solutions suivantes :
X 1 (t) = e iWV 2 +v'2 t VI' X 2 (t) = %l(t) = e- i o> V2+V2 t VI'
X3(t) = eiW V2-V2 t V 2 et X4(t) = %3(t) = e-iW V2-V2 t V 2 .
La solution générale dans (C2 est alors donnée par
4
X(t) = ÀiXlt) (Ai sont des constantes E (C).
i=1
Pour obtenir la solution générale dans JR.2 on substitue a
X1(t) et X 2 (t) = %1(t) les deux solutions :R. c X 1 (t) et JX 1 (t)
et à
X 3 (t) et X4(t) = %3(t) les deux solutions lteX3(t) et JX 3 (t).
La solution gén érale e st alors donnée par
X(t) = /11 cos (co V 2 + VZt) VI + /12 sin (w V 2 + V2t) VI
+ /13 cos (w V 2 - V2t) V 2 + Jl4 sin (w V 2 - V2t) V 2 ,
où les /1i sont des co nstantes réelles , c'est- a-dire que l'on a
x = III cos (w V2 + V2t) + /12 sin (w V 2 + VZt)
+ /13 cos (w V2 - V2t) + /14 sin (w V 2 - V2t)
et
y = - V2/1I cos (w V2+ V2t) - VZ/12 sin (w V 2+ V2t)
+ V2/13 cos (w V 2 - V2t) + V2/14 sin (w V 2 - V2t).
Remarque. - Le problème se pose de savoir si l'on avait bien, avec Xt(t), ..., X 4 (t),
un système fondamental de solutions. Pour cela on fait correspondre (cf. la ques-
tion 1°) aXi(t) = (O!i(t), P,,(t)) le vecteur Zi(t) = (tXi(t), {3,,(t), Yi(t), ,,(t)) = (ahPha ,PD
et il reste a s'assurer que les vecteurs Zi(t), i = 1, 2, 3, 4, sont linéairement indépen-
dants. (Prendre t = 0, par exemple.)
330 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
10. V.3.
1 ° Le système (S) n'est en fait que trois equations differentielles lineaires indepen-
dantes.
Elles s'intègrent immédiatement. On obtient
x = À 1 e t + tet,
y = À 2 e t + e 2t ,
1
z = À 3 e t + 2e3t.
On remarque que 1 est valeur propre triple de la matrice 1; cependant on n'obtient
pas de solutions particulières en (at 3 +bt 2 +ct)e t , et ceci illustre la remarque du
paragraphe V, 2°.
Dans le cas d'une equation differentielle lineaire a coefficients constants, lorsque le
second membre comporte un terme du type erJ.t, où ex est racine d'ordre p de l'equation
caractéristique, il se produit, suivant la terminologie employée en Physique, un
phénomène de résonance. Ce phenomène est caractérise par l'existence d'une solution
particuliere du type
(apt P + . oo)erJ.t,
a p -=1= o.
On constate qu'il n'en est pas necessairement de même pour un système différentiel,
qui traduit en général des propriétés de couplage et le phénomène de resonance qui
a toujours lieu n'entraîne cependant pas a p =1= 0, précisement a cause de la manière
dont ce couplage intervient.
Ainsi le système (S) composé de trois équations indépendantes n'est pas un système
d'equations couplées, d'où l'explication du résultat.
2° La première equation de (SI) est identique a la première équation de (S), d'où
la solution suivante :
x= À 1 e t +te t .
On obtient donc le système de deux equations
(1) y' = y + e 2t + tet + À 1 e t ,
(2) z' = z + e 3t + tet + À 1 e t .
Alors
y = À 2 e t + u
et
z = À 3 e t + v,
où u et v sont des solutions particulières respectives de (1) et de (2).
Cherchons u et v sous la forme suivante :
u = e 2t + (at 2 + bt)e t ,
v = !e 3t + ( a't 2 + b't)e t
2 ·
En reportant dans (1) et (2) et en identifiant on trouve
l '] , 1
a = 2' b = Al et a = 2'
b' = Àl'
SOLUTIONS
331
resultat previsible puisque les deux equations ne diffèrent que par les termes e 2t et e 3t ,
d'où la solution
( x = À 1 e t + tet,
\ t 2
J y = À 1 te t + À 2 e t + 2et + e 2t ,
1 t2 1
z = À tet + À et + -et + -e3t
13 22.
La présence de x dans les deux dernières equations du système traduit la proprieté
de couplage et l'on voit le terme en t 2 e t du phenomène de resonance correspondant.
10. V.4.
Le système s'écrit
(1)
x' = AX+ te 3t y,
avec
( 3 0 1 )
A= 211
-1 1 1
et
y = ( ).
Nous emploierons successivement la méthode d'identification, puis celle de variation
des constantes.
Méthode d'identification.
Puisque 3 est racine simple du polynôme caractéristique, on sait qu'il existe une
..-..
solution partIculière X de la forme
..-..
X(t) = e 3t (Zo+ tZ l + t 2 Z 2 ).
En reportant dans (1), on obtient
Zl = (A - 3I)Zo,
(2) ) 2Z 2 = (A -3I)Zl + Y,
(A -3I)Z2 = 0
ceci en identifiant respectivement les coefficients constants, ceux de t et de t 2.
On déduit de (2) la relation suivante :
(A- 3I)3Zo+ (A- 3I)Y= 0,
avec
(A - 3I)Y = (0, 2, - 1).
Posons Zo = (et, {3, y); on vérifie que l'on a
( 4 - 4 4 )
(A - 31)3 = 12 - 12 4.
- 12 12 - 8
332 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
On en déduit alors
\ et - P + y = 0,
.. 6et - 6p + 2"1 = - 1,
- 12et + 12ft - 8"1 = 1.
(Système d'équations compatibles, d'après la theorie.)
h .. O R 1 1. R 1
On peut c OlSlr et = , fJ = 4 e t "1 = 4' pUisque fJ = et + 4 e t
déduit
1
Zo = 4(0, 1, 1),
1
Zt=4(1,-1,-1),
1
Z2 = 8(3, 3, 0).
y = ! d'où J'on
4
On a donc la solution particulière suivante
..-.. t 312 ) 3 t
X = 4+8 e ,
/ y " = ! _ + 3t2 ) e3t
4 4 8 '
/;= _ )e3t.
Méthode de variation des constantes.
En se reportant a l'exercice 10.111.4. on voit que la solution générale de l'equation
homogène s'écrit
x = À ( + ! ) et + À et + À e 3 t
] 2:..,4 2 3,
'] ( t 3 ) t '] t '] 3 t
Y = A] 2. - 4: e + A2 e + A3 e ,
z = - À]le t - 2A2et,
soit X = M(t)A, avec
M(t) = et
t {1
2+!4
1
t 3
2 4
-t
1 e 2t
Al
1 e 2t
-2 0
et
A=
A 2
A3
On considère maintenant A con1me une fonction U de la variable t, alors
X' = M(t)U' + M'(t) U
d'où, en reportant dans (1), on déduit (cf. :p V, 1°)
M(t) U' = le 3t y,
soit
t 1 e 2t 1
-+- 1 u
2 4
t 3 1 e 2t u = te2 t
2 4 0 .
-t -2 0 u 0
SOLUTIONS
333
on obtient le système suivant :
{ ( + ! ) u' + Il' + e2fll' = te 2f
'241 2 3 ,
) ( t 3 ) , + ' + 2f' 0
, "2 - 4 u 1 112 e lIJ = ,
'. - tll - 2U2 = o.
Les deux premières equations donnent
u =ï te 2t , soit III = G - ) e 2t + Cte = u(t) + Â.» avec I/(t) = (i- ) e 2t ,
., t , t 2 2 t A l ,
pUiS 1I 2 = - "2" 1 = - '2e entralne que on a
112 = v(t) + À 2 ,
avec
( ) 2t 2 - 2t + 1 " f
V 1 = - 8 e- ·
Enfin,
3 3
u = 4e-2tll = 4 t => 113 = w(t) + À 3 ,
avec
3t 2
w(t) = 8-.
On obtient donc la solution particulière suivante :
/'-
X = M(t) U(t), où U(t) = (lI(t), v(t), w(t)),
c'est -à-dire
t 1 e 2t t 1
-+- 1 ---
2 4 2 4
'X- = e 3f t 3 e 2t 212- 2t+ 1
2 4 1 8
3
-t -2 0 -t 2 e- 2f
8
Le calcul de ce produit donne alors
1 -- ( 3 t 3 )
lx = -t 2 + --- e 3t
, 8 4 16 '
) y ( t2 - + 11 6 ) e 3t ,
r ( t 1 )
\ z = - 4 + 4 e 3t .
On remarque que cette solution se déduit de la solution trouvée par la première
métho e en ajoutant le vecteur :6 e 3t (1, 1, 0), qui est une solution de l'équation
homogene.
334 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
10. V.S.
1° A X(t) = (x(t),y(t)), faisons correspondre Z(t) = (x(t),y(t), z(t), u(t))eJR.4,
avec z(t) = x' (t) et u(t) = y' (t). On a alors
u,
15
-"4 u + e2t
U ' -
- . -y -z
dZ -
<=> -=AZ+e 2t Z
dt 0,
dZ -
Pour integrer cette equation il suffit de dé rminer la solution génerale de dt = AZ,
puis de chercher une solution particulière Z, sous la forme
.-.. --
Z(t) = e 2t (tZ 1 + Zo),
x' = .
,
y = .
z
(8) <=>
z' = x .
si
Zo = (0, 0, 1, 0).
(où Zl et Zo sont des constantes e JR.4) en procédant par identification.
Remarquons qu'un système fondamental de solutions de l'équation homogène
dZ -
dt = AZ sera composé de quatre solutions Zi(t) (i = 1, 2, 3, 4), donc
4 _........
(3) Z(t) = ÀiZi(t) + Z(t),
i= 1
où les À i sont des constantes réelles.
A Z(t) = (x, y, x', y') correspond X(t) = (x, y).
- A Zi(t) = (Xf, Yh xi, yi) correspond Xi (t) = (Xi' Yi).
.-.. -... .-.............. /'"... -....-.. .-..
- A Z(t) = (x, y, x', y') correspond X(t) = (x, y).
Donc, on a l'équivalence suivante:
n _........
(3) <=> X(t) = ÀiXi(t) + X(t)
i=l
qui détermine la solution générale de (8).
Les calclùs ne seront pas développes ici.
2° Le système (8) peut s'écrire
(4) X" + BX' + CX = e 2t Y o ,
où
x = (x(t), y(t)),
( o! )
B= 4
1 0
et
c = (- :).
Il existe donc des solutions de l'équation homogène associée à (4) sous la forme
X = e rt V, où V = (a, b) est une constante appartenant a JR.2, c'est-a-dire
x = erta et Y = ertb.
SOLUTIONS
335
a) Déterminons la sol ution générale de l'équation homogène associée à (5).
Par identification, on obtient
! 15
a(r 2 -1)+b 4 r=0,
ar+ b(r 2 + 1) = O.
On aura donc des solutions non nulles pour
r 2 - 1 15
-r =0
4
,
r r 2 + 1
c'est-à-dire
i i .
rI = 2, r2 = -2, r3 = - et r4 = --
2 2
A rI correspond la solution X I (t) = e 2t V I , où VI = (5, -2).
A r2 correspond la solution X 2 (t) = e- 2t V 2 , où V 2 = (5,2).
.t
A r3 correspond la solution X 3 (t) = e 2 V 3 , où V 3 = (3, -2i).
_.t _
A r4 = r3 correspond la solution X 4 (t) = X 3 (t) = e- 2 V 4 , avecV 4 = V 3 = (3,2i).
Dans (C21a solution générale X(t) = (x(t), y(t)) du système homogène associé à (8)
est donc de la forme
4
X(t) = ÀiXi(t),
i= l
où les À i sont des constantes appartenant a (C.
Pour obtenir la solution générale dans JR.2, il suffit de substituer 9t e X 3 (t) et JX 3 (t)
a X 3 (t) et X 4 (t) = X 3 (t); on obtient alors
X(t) = ,uI X l(t) + tt2 X 2(t) + ,u3 'eX3(t)+ Jl4 JX 3 (t).
Calcul de 1Re X 3 et JX 3 (t).
On a
X 3 (t) = (cos +iSin ) (W 1 + iW 2 ),
si l'on pose
W 1 = (3, 0)
et
W 2 = (0, -2).
Donc
iD t. t
J1.e X 3(t) = cos 2 W I - sm 2 W 2 ,
JX 3 (t) = sin W 1 + cos W 2 .
.............
b) Il reste à déterminer une solution particulière X de (5) c'est-à-dire de (4).
Cette solution particulière doit être de la forme
X( t) = ert(tX I + Xo)
(Xl et Xo sont des constantes réelles) puisque 2 est racine simple du polynôme carac-
téristique !f(À). Elle s'obtient par identification.
336
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
(2) => x" = - y(3) - y',
15
(1) => (5) (_y(3) - y') + 4 Y ' - x = e 2t .
En dérivant (5) et compte tenu de (2), on obtient
(6) y(4)_ 15 y" _y = _ 2e2t.
4
3° a)
b) L' quat on caractéristique associée à (6), y4_ y2-1 = 0, admet pour racines
1 1
2, - 2, "2' - 2.. La solution générale de l'équation homogène associée a (4) est donc
y(t) = Â.]e 2t + Â. 2 e- 1t + Â.3 cos 4 + Â.3 sin i.
2 étant racine simple de l'équation caractéristique, (4) admet une solution parti-
culière de la forme kte 2t . Par identification on obtient k = - 127"
Finalement, (4) admet pour solution générale
'] 2t '] -2t '] t '] . t 2 2t
y(t) = ILl e + 1L2e + 1L3 cos 2: + 1L4 sIn 2: - 17 te .
c) x(t) se déduit alors de (1).
10. VI.1..
L'équation caractéristique s'écrit
r 3 - 2r 2 + r- 2 = 0,
d'où
(r - 2) (r 2 + 1) = 0,
soit
rI = 2,
r2 = i et r3 = - i.
La solution générale de l'équation homogène, sous forme réelle, est donc
y = Ae 2x + B sin x + c cos x.
Cherchons une solution particulière u, de l'équation
e ix
(E) y"" - 2y" + y' - 2y = 2i .
Puisque i est solution de l'équation caractéristique, nous chercherons u sous la
forme U = Axe ix , alors on a
u' = A(l + ix) e ix , u" = À(2i - x)e ix et u'" = A ( - 3 - ix) e ix .
En reportant ces valeurs dans (E) on obtient
'] = 2+i
IL 20.
SOLUTIONS
337
( 2 + . 2 - . )
1 . 1. ...".
Donc, W-e,x+W-e-'x x st solutlo partlcullere de l'equatlon
c'est-à-dire, sous forme réelle (5 cos x - 10 sin x) x.
D'où la solution générale:
y = Ae 2x + Bsin x+ C cos x+ ;0 (2 cos x- sin x).
proposée,
10. VI.2.
L'équation caractéristique s'écrit
r 4 +5r 2 +4=0, soit
(r 2 + 1) (r 2 + 4) = 0
d'où les quatre racines suivantes :
r = :t: i et
r = :L- 2i.
La solution générale de l'équation homogene sous forme réel1e est donc
y = A cos x + B sin x + C cos 2x + D sin 2x,
on obtiendra une solution particulière de l'équation complète sous la forme
Il = À cos 3x puisque le premier membre ne fait intervenir que des dérivées d'ordre
pair. Donc
À [3 4 - 5 X 3 2 + 4] = 1,
soit
1
À = 40 "
d"oit l'on déduit la solution générale.
1 O. VI.3.
La solution générale de l'équation homogène est
y = Ae 2x + (Bx+ C)e x .
On suppose maintenant que A, B et C sont des fonctions de x; alors on a
y' = A' e 2X + (B' x + C')e X + 2Ae 2x + (Bx + C + B)e X
et
y" = 2A' e 2X + (B'x + B' + C')e X + 4Ae 2X + (Bx + 2B + C)e X ,
en tenant compte de la condition
(1) A' e 2x + (B'x + C')e X = O.
338 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
De même, en pos t
(2)
2A'e 2X + (B'x+ B' + C')e X = 0,
il vient
y"V = 4A' e 2x + (B' x + 2B' + C')e X + 8Ae 2x + (Bx + 3B + C)e X
et en reportant dans l'équation complète, on obtient l'équation
1 4
(3) 4A'e 2X + (B'x+ 2B' + C')e X = -(2x- 5) Log Ixl- 2--'
x x
d'où le système définissant A', B' et C'
1 A'eX+B'x+ C' = 0,
2A' eX + B' x + B' + C' = 0,
e- X e- X
4A'e X + B'x+ 2B' + C' = -e- X (2x- 5) Log Ixl- - 4-.
x x
Des deux premières équations, on tire
B' = - A'e x
et
C' = (x- l)e X A'
et de la troisième
e- X 4
A' eX = - e- X (2x - 5) Log Ixl- 2 - - e- x ,
x x
soit
e- 2X 4
A' = - e- 2X (2x- 5) Log I x l - -- -e- 2x .
x 2 x
Calcu 1 de A.
Calculons f e-2X(5- 2x) Log Ixldx, en intégrant par parties et en remarquant que
l'on a
f(5- 2x)e- 2X dx = (x- 2)e- 2x + Ge.
Alors
f e- 2X (5 - 2x) Log Ixldx = (x- 2)e- 2X Log Ixl- f (1- ) e- 2x dx
1 f e-2X
= (x- 2)e- 2X Log Ixl +2 e - 2X + 2 x dx ,
d'où
A = (x- 2)e- 2X Log Ixl + e-2X - f e2 + ) e- 2x dx,
soit, enfin,
1 1
A = (x-2)e-2XLoglxl+"2e-2X+xe-2X+Cte,
ou
A = u(x)+Ao.
SOLUTIONS
339
Calcul de B.
On a
B' = (2x - 5)e- X Log Ixl + ( :2 + ) e- x ,
on en déduit
f (2x- 5)e- X dx = (3- 2x)e- x + Ge.
Donc
f (2x - 5)e- X Log Ixl = (3 - 2x)e- X Log Ixl- f G - 2 ) e-xdx
= (3 - 2x)e- X Log Ixl- 2e- x - 3 f e: x dx.
On en conclut que
B = (3 - 2x)e- X Log Ixl- 2e- x + f ( :2 + ) e-xdx,
ou
1
B = (3 - 2x)e- X Log Ixl- 2e- x - - e- x + Cte,
x
soit, enfin,
B = v (x) + Bo.
Calcu 1 de C.
On a
C' = B' + xexA',
mais on sait que
C = B+ f xfiXA'dx;
e- x
xexA' = x(5 - 2x)e- X Log Ixl- - - 4e- x ,
x
donc
donc
f xfiXA' dx = f x(5 - 2x)e- X Log Ixldx- I e: x dx+ 4e- x .
Comme on a
f x(5 - 2x)e- X Log Ixldx = (2x 2 - X - 1) e- x Log Ixl- f ( 2x - 1 - )e- x dx,
on obtient
f xexA' = (2x 2 - X - l)e- X Log Ixl + 4e- X + fO- 2x)e- X dx,
soit
f xexA' dx = (2x 2 - x-l)e-XLoglxl + (2x+ 5)e- x .
340 EQUATIONS DIFFERENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
Finalement, on obtient
1
C = (2x 2 - 3x + 2)e- X Log 1 xl + (2x + 3)e- X - -e- x + Cte,
x
soit, enfin,
c = w(x) + Co.
D'ou la solution generale
y = Aoe 2x + (Box + Co)e x + YI'
avec
YI = e 2X u(x) + [xv(x) + w(x)]e x .
On obtient, toutes reductions faites,
5
YI = x Log Ixl + 2:
et tinalemen t
5
Y = Aoe 2x + (Box + Co)e X + x Log Ixi + 2..
(On verifie imn1ediatenlent que YI est bien solution particuliere de l"equation.
Une methode d'identification a partir de y = (ax+b) Log x+c aurait evidemment
reussi beaucoup plus rapidement, mais encore faut-il connaitre d'avance la forme
d'une solution particuliere!)
.
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