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Автор: Smirnov V.
Теги: mathematiques en français mathématiques supérieures manuel de mathématiques
Год: 1969
Текст
V.SMIRNIV COURS DE MATHEMATIQUES SUPERIEURES —ia
ÉDITIONS MIR
B. H. CM0PUOB KypC BMCIDEH MATEMATHKH TOM H3flATfiJll>CTBO «HAyKA» MOCKUA
V. SMIRNOV COURS de MATHÉMATIQUES SUPÉRIEURES tome I EDITIONS MIR . MOSCOU ♦ 1969
Table des matières INTRODUCTION 9 CHAPITRE PltEMIElt. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET TH#OIWE DBS UMITUS 1-1. Grandeurs variables H M-l. La grandeur et sa mesure {11). 1-1-2. Le nombre (12), 1-1-3. Les grandeurs «instantes et variables (14). 1-1-4, Inler- vallc (15), 1-1-5. Notion de fonction (16). 1-1-6, Procédé analytique pour exprimer une dépendance fonctionnelle (18). 1-1-7. Fonctions implicites (20), 1-1-8. Tables des fonctions (20), 1-1-9. Procédé graphique de représentation des nombres (21). 1-1-10. Les coordonnées (23). 1-1-11. Graphique cl équation d'une courbe. (25). 1-1-12. Fonction linéaire (27). 1-1-13, Accroissement. Propriété fondamentale de la fonction linéaire (28). 1-1-14. Graphique du mouvement uniforme (HO). T-l-15. Formule» empirique» (32). 1-1-16, Parabole du second degré (33). 1-1-17. Parabole du troisième degré (36). 1-1-18. Loi do proportionna- lité inverse (37). 1-1-10. Fonction g *- ax" (39). 1-1-20. Fonctions inverses (41). 1-1-21. Fonctions niullîvoques (42). 1-1-22. Fonctions exponentielle et, logarithmique (45). 1-1-23. Fonctions trigonométi'iques (ou circulaires) (48), 1-1-24. Fonctions trigonométTÎques (ou circulaires) inverses (52). 1-2. Théorie des limites. Fonctions continues f>S T-2-1. Variable ordonnée (53). 1-2-2. Infiniment petits (S6). 1-2-3. Limite d'une grandeur variable (61), 1-2-4. Théorèmes fondamentaux (60). T-2-5. Infiniment grands (68). 1-2-6, Variables monotones (69). (-2-7. Critère de Cauchy d'existence d'une limite (71). 1-2-8. Variation simultanée de deux grandeurs variables liées par une relation fonctionnelle (75), l-2-9< Exemples (79). 1-2-10. Continuité des fonctions (80). 1-2-11, Proprié- Lés des fonctions continues (83), 1-2-12. Comparaison des infiniment petits et des infiniment grands (87). 1-2-13. Exemples (88). 1-2-14, Lo nombre s (90). 1-2-15. Propositions nen démontrées (94). 1-2-10. Les noBilires réels (95). 1-2-17. Opérations sur les nombres réels (98). 1-2-18. Bornes d'un ensemble de nombres. Existence de bornes (100). 1-2-19. Propriétés des fonctions continues (102). 1-2-20. Continuité des fonctions élémentaires (105). CHAPITRE II, NOTION DR DÉK1VÉE. APPLICATIONS 11-1. Dérivée et différentielle du premier ordre. 10(1 H-1-1. Notion do dérivéo (109), [1-1-2, Signification géométrique de la dérivée J1H). 11-1-3- Dérivées (les fonctions simples (114). H-1-4. Déri vces des fonctions de fonction et des fonctions inverses (117). II-1-5. Table des dérivées des fonctions et exemples (122). n-1-0. Notion do différentielle (124). 11-1-7. Quelques équations différentielles (127). 11-1-8. Estimation des or- iwirs (123).
TAULE DBS MATIÈRES U-2. Dérivées et différentielles d'ordre supérieur 131 11-2-1. Dérivées d'ordre supérieur (131). 11-2-2. Interprétation mécanique de la dérivée seconde (133). II-2-3. Différentielles d'ordre supérieur (135). II-2-4. Différences des fonctions (136). II-3. Application do la notion de dérivée à l'étude d'une fonction 138 II-3-1. Critères de croîssanoe et de décroissanco d'une fonction (138). II-3-2. Maxima et minima des fonctions (142). II-3-3. Construction de graphiques (147). II-3-4. Plus grande et plus petite valeur d'uno fonction (150). II-3-5. Théorème de Fermât (157). 11-3-6. Théorème de Rolle (158). II-3-7. Formule do La- grange (159). II-3-8. Formule de Cauchy (162). H-3-9. Calcul des expressions indéterminées (163). IT-3-10. Diverses formes d'indétermination (165). 11-4. Fonctions do deux variables 168 11-4-1. Notions fondamentales (168). 11-4-2. Dérivées partielles et différentielle totale d'une fonction de deux variables indépendantes (170). II-4-3. Dérivées des fonctions composéos et des fonctions implicites (173). II-5. Applications géométriques de la notion de dérivée 175 11-5-1. Différentielle à un arc (175). II-5-2. Convexité, concavité, courbure (177). II-5-3. Asymptotes (180). II-5-4. Construction do courbes (183). 11-5-5. Définition paramétrique d'une courbe (185). II-5-6. Equation de Van der Waals (189). H-5-7. Points singuliers des courbes (191). II-5-8. Eléments d'une courbe (195). 11-5-9. La chaînelto (197). II-5-10. La cycloïdo (198). II-5-H. Epicycloïdes ot hypocycloïdes (200). 11-5-12. Développante du cerclo (203). II-5-13. Courbes en coordonnées polaires (204). II-5-14. Spirales (206). 11-5-15. Cissoïdes ot cardioïde (207). I.I-5-16. Ovale do Cassini et lemnisente (209). CHAPITJfiB 111. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS 1II-1. Problèmes fondamentaux du calcul intégral et intégrale indéfinie 211 MI-1-1. Notion d'intégrale indéfinie (211). III-1-2. L'intégrale définie commo limite d'uno sommo (215). II1-1-3. Relation entre les intégrales définie et indéfinieJ22l). III-1-4. Propriétés de l'intégrale indéfinie (226). II1-1-5. Table des intégrales les plus simples (227). IIt-1-6. Règle d'intégration par parties (228). III-1-7. Intégration par changement de varialilos. Exemples (229). 1II-1-8. Exemples d'équations différentielles du premier ordre (234). UI-2. Propriétés des intégrales définies 230 ri 1-2-1. Propriétés fondamentales dos intégrales définies (236). IU-2-2. Théorème de In moyenne (240). III-2-3. Existence de la fonction primitive (243). III-2-4. Cas des fonctions discontinues sous le signe d'Intégrale (245). II1-2-5. Limites d'intégration Infinies. (249). II1-2-6. Changement de variable pour une intégrale définie (250). III-2-7. Intégration par partioe (252). 111-3. Compléments sur la notion d'intégrale définie 254 III-3-1. Calcul des surfaces (254). II1-3-2. Aire d'un secteur (257). IIf-3-3. Longueur d'un arc (259). III-3-4. Calcul deî volumes des corps à partir de leur section transversale (267). III-3-5. Volume d'un corps de révolution (269). III-3-6. Aire d'un corps de révolution (270). " III-3-7. Détermination des centres de gravité. Théorèmes de Guldin (274). III-3-8. Calcul approché dos intégrales définies; formules des rectangles et des trapèzes (278).
TADLE DBS MATI&RES 7 1II-3-9. Formule dos tangentes et formule de Poncolol (280). III-3-10. Formule de Simpson (281). III-3-11. Calcul d'une intégrale définio avec une borne supérieure variable (280). III-3-12. Méthodes graphiques (286). III-3-13. Aires des courbes S oscillations rapides (290). II1-4. Données complémentaires sur les intégrales définies 291 IH-4-1. Notions preliminaires (201). III-4-2. Découpage d'un intervalle et formation de diverses sommes (293). IIM-3, Fonctions iiilégrablos (296). UI-4-4. Propriétés des fonctions inlégra- bks (300). CHAPITRE 3V. UBS SÈMES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS IV-1. Notions sur la théorie des séries infinies 305 iV-1-1. Notion de série infinie (305). IV-1-2. Propriétés des séries infinies (son). IV-1-3. Séries à termes positifs. Critères de convergence (309). IV-i-4. Critères de Gauchy et de d'Alcmbert (311). IV-1-5. Critère intégral de convergence do Cauchy (314). IV-l-fi. Séries alternées (316). IV-1-7. Séries absolument conve)£cn- tes (318). IV-1-8. Critère général de convergence (321). 1V-2. Formule de Taylor et applications 322 1V-2-1. Formule de ïaylor (322). IV-2-2. Différentes formes de la formule de Taylor (326). IV-2-3. Séries de Taylor et de Mac- laurin (327). IV-2-4. Développement de ex. (328). 1V-2-5. Développement de sin x et de cos x (330). IV-2-Û. Binôme de Newton (331). IV-2-7. Développement de In (1 + x) (337). IV-2-8. Développement de arc tg x (341), IV-2-9, Formules approcliéus (343). lv-2-10. Maxinia, minima et points d'inflexion (345). IV-2-11. Calcu! des expressions Indéterminées (346). 1V-3. Compléments à ia théorie des séries 348 IV-3-1. Propriétés des séries absolument convergentes (348). IV-3-2. Produit do séries absolument convergentes (350). IV-3-3. Critère de Kummer (351). IV-3-4. Critère de Gauss (353). IV-3-5. La série liypergéométrique (355). 1V-3-C. Séries doubles (357). 1V-3-7. Séries à-termes variables. Séries uniformément convergentes (362), 1V-3-8. Suites uniformément convergentes des fonctions (365). IV-3-9. Propriétés des suites uniformément convergentes (367). IV-3-10. Propriétés des séries uniformément convergentes (371). IV-3-11. Critères de convergence uniforme (372). 1V-3-12. Séries entières. Rayon de convergence (374). IV-3-13. Deuxième théorème d'Abel (375). IV-3-14. Différcntia- tion et intégration d'une série entière (370). CHAPITRE V, PONCTIONS DE .PLUSIEURS VAIllABLffiS V-l. Dérivées et différentielles do fonctions 380 V-l-1. Notions fondamentales (380). V-l-2. Le passago à la limite (381). V-1-3. Dérivées pnrtielles et différentielle totale du premier ordre (384). V-l-4. Fonctions homogènes (386). V-l-5. Les dérivées partielles d'ordre supérieur (387). V-l-6. Les différentielles d'ordre supérieur (380). V-1-7. Fonetions implicites (392). V-l-8. Exemple (394). V-l-9. Existenco des fonctions implicites (390). V-l-10. Courbes dans l'espace et surfaces (398).
8 TABLB DES MATIERES V-2. Formule de Taylof, maxima ot minima d'une Jonction de plusieurs variables 402 V-2-1, Généralisation de la formule du Taylor «u cas d'une fonction do plusieurs variables indépendante: (402), V-2-2. Conditions nécessaires d'existence Uesmaxima elminima d'une fonction (404). V-2-3. Etude du maximum et du minimum d'une fonction do doux variables indépendantes (405). V-2-4, Exemples (4U()). Y-2-5. Remarques supplémentaires sur la recherche nVa maxima ot des minima d'une fonction (410). V-2-fi. Lu plus grande ot la plus petite valeur d'une fonction (412). V-2-7. Minima et mexima relatifs (413). V-2-8. Remarques complémentaires (4101. V-2-!). Exemples (418). CHAPITRE Vi. NOMBUES COMPLEXES, l'ONUIÎMEOTS DE L'AI-OfCBRE SUPÉUIEtHIE ET INTÉGKA.TION DES FO.VCTCONS VI-l. Los nombres complexes 422 VI-1-1. Les nombres complexes (422). VI-1-2. Addition ut soustraction de nombres complexes (425). Vl-l-3. Multiplication de nombres complexes (427). VI-1-4- Division des «ombres complexes. (420). V7-1-5. Puissance d'un nombre complexe (430). Vl-1-fi. Extraction du racine d'un nombre complexe (433). Vl-1-7. Fonction exponentielle (435), VH-8, Fonctions Irigononiétriquos ot hyperboliques (437). VI-i-9. La chaînette (442). VM-10. Logarithme d'un «ombré complexe (446), VI-1-11, Grandeurs sinusoïdales ot diagrammes vectoriels (447). Vf-1-12. Exemples (450)- Vf-l-i3. Courbes (infinies sous forme complexe (453). Vl-1-14- Roprésentatïon d'une oscillation harmonique sous forme complexe (455). Vl-2. Propriétés fondamentales des polynômes entiers et calcul de lours racines 45G VI-2-1, Equation algébrique (45«). VI-2-2. Décomposition d'un polynômi) ou produit de facteurs (458). Vl-2-3. Kacities multiple? (4G0). VI-2-4. Kègle de Honier (4(>2). Vl-2-5. Le plus grand commun diviseur (464). VI-2-0. Polynômes réels (4(55). Vl-2-7. Relations entre racines et coefficients d'une équation (466). VI-2-8 Equation du troisième degré (467). Vi-2-9. Solution sous forme trigonomélrique d'une équation du troisième degré (470). Vl-2-10. Méthode itérative (473). VI-2-1 i. Procédé de Newton (478). VI-2-12. Méthode (l'interpolation simple (479). Vl-3, Intégration des fonctions ''81 VI-3-1. Déonmpositiim d'une fraction rationnello ou éléments simples (481). VI-3-2. Intégration d'une fraction rationnelle (484). VI-3-3. Intégrale d'expressions conU'nnnt des radicaux (486). VI-3-4. Intégrales du type C R (x, "yW2 -h )« + c) dx (487). VI-3-5. Intégrales du type V B (sin x, ces x) tlx (491). VI-3-(î. Intégrales du type \ e"x [p (^) 00s bx + Q {*) sin bx] dx (492). INDEX . . 11)5
INTRODUCTION Dans le tome I du Cours de mathématiques supérieures en cinq volumes que nous avons entièrement révisé sont exposées les base-s de l'analyse mathématique. Nous avons jugé utile, vu quo dans les tomes suivants nous rencontrerons souvent des questions d'analyse moderne suffisamment complexes, d'insérer à la fin du § 2 (chapitre ),), «près la théorie des limites, l'exposé de la théorie des nombres irrationnels et son application à la démonstration do» critères d'existence de la limite et des propriétés des fonctions continues. Nous y donnons aussi la définition rigoureuse et l'élude des fonctions élémentaires. Au chapitre V, consacré aux fonctions de plusieurs variahles, nous donnons la démonstration de l'existence dos fonction? implicites. L'exposé est conduit de telle manière que la partie on gros caractères peut êtro lue indépendamment. Nous avons rapporté eu petits caractères les exemples, certaines questions complémentaires, tout le développement théorique que nous avons mentionné plus haut, ainsi que les derniers paragraphes du chapitre IV dont le contenu est d'un niveau théorique nettement supérieur. Ce manuel est destiné aux élèves des Facultés de physique et de mathématiques, ainsi qu'à ceux des écoles techniques supérieures. V. Smirnoo
Chapitre premier DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES 1-1. Grandeurs variables I-f-1. La grandeur et sa mesure. L'analyse mathématique trouve sa signification fondamentale dans plusieurs sciences et, notamment, dans les sciences naturelles et la technique. A rencontre des autres sciences qui s'intéressont chacune à un aspect déterminé du monde qui nous entoure, les mathématiques touchent aux propriétés les plus générales qui se rapportent à tous les phénomènes accessibles à la recherche scientifique. L'une des notions fondamentales est la notion de grandeur et de mesure. Le trait caractéristique de la grandeur réside dans le fait qu'elle peut être mesurée, c'est-à-dire par un moyen ou un autre comparée à une grandeur déterminée du même ordre, prise comme unité de mesure. Le processus de comparaison dépend des caractéristiques de la grandeur recherchée et s'appelle la mesure. On obtient un nombre, qui exprimo le rapport de la grandeur étudiée à celle prise comme unité de mesure. Toute loi de la nature nous donne un rapport entre des grandeurs, ou, plus exactement, entre les chiffres exprimant ces grandeurs. Les chiffres et les différents rapports qui existent entre eux font justement l'objet de la recherche mathématique, indépendamment du caractèce concret des grandeurs ou des lois qui nous ont amenés à ces nombres et rapports. Ainsi, à toute grandeur correspond le nombre qui la mesure. Mais ce nombre dépend essentiellement de l'unité, prise pour la mesure, ou échelle. Lorsque cette unité augmente, le nombre qui mesure la grandeur considérée diminue ot, inversement, ce nombre va grandir lorsque l'unité diminuera. Le choix de l'échelle est conditionné par le caractère do la grandeur recherchée et par les circonstances dans lesquelles a lieu la mesure. La grandeur do l'échelle pour la mesure d'une soûle et môme grandeur peut varier dans les plus larges limites: par exemple, pour la mesure de la longueur dans les recherches optiques de précision, on prend comme unité de longueur l'angstrôm (un dix-millionième de millimètre, 10"' rom); en astronomie on utilise une
\Z CH. t. DEPENDANCE FONCTIOXWBH.E I3T THÉORIE DES WMIÏKS uni lé de mesure appelée année-lumière, c'est-à-dire la distance parcourue par la lumière pendant un ai» (en uriff seconde la lumière- parcourt environ 300 000 km). 1-1-2. Le nombre. Le nombre que l'on obtient comme résultat de la mesure pont être entier {si l'unité est contenue un nombre entier de fuis dans la grandeur considérée), fractionnaire ou rationnel (s'il existe une autre unité de mesure qui soit contenue un nombre entier de fois aussi bien dans la grandeur mesurée que dans l'unité choisie auparavant, en un mot, lorsque la grandeur mesurée est commensurable avec l'unité de mesure) et enfin, le nombre peut être irrationnel, (lorsqu'il n'existe pas de mesure commune, c'est-à-dire- lorsque la grandeur donnée est incommensurable avec l'unité démesure). Ainsi, par exemple, on démontre en géométrie élémentaire que la diagonale du carré est incommensurable avec son côté, do sorte que, si l'on veut mesurer la diagonale du carré en ayant pris comme «nilé de mesure son côté, le nombre Y2 obtenu en faisant la mesure, sera irrationnel. Le nombre it qui mesure la circonférence quand on prend lo diamètre comme unité de mesure, est aussi irrationnel. Pour éclaircir la notion de nombre irrationnel, il est commode* d'utiliser les fractions décimales. Tout nombre rationnel, comme ou le sait de l'arithmétique, peut être rcprésenlô ou bien sous forme de fraction décimale finie ou bien sous forme do fraction décimale/ infinie, et dans ce dernier cas ia fraction infinie sera périodique. Ainsi, par exemple, en divisant le numéroteur par le dénominateur suivant la loi de la division des fractions décimales, on obtient: -^- = 0,151515 ... = 0, (15), -^- = 0,2777 ... = 0,2 (7). Réciproquement, on montre en arithmétique que toute fraction décimale périodique représente un nombre rationnel. Quand on mesure une grandeur incommensurable avec l'unité choisie,, ou peut d'abord établir combien de fois l'unité orttière est contenue dans la grandeur mesurée, puis combien de fois un. dixième d'unilé est contenu dans le reste obtenu de la grandeur, ensuite combien do fois un centième d'unité est contenu dans le nouveau reste et ainsi de suite. Grâce à cette méthode, quand on mesurera une grandeur incommensurable avec l'unité choisie, on obtiendra une cerlairio fraction décimale infinie «on périodique. A chaque nombre irrationnel correspond une fraction infinie et, inversement, à chaque fraction décimale infinie non périodique enrrespond un certain nombre irrationnel. Si on no laisse à cette fraction décimale infinie que les premières décimales, on obtient,
1-1. GRANDEURS YAK1ABLES une valeur approximative par défaut du nombre irrationnel que représente cette fraction. Ainsi, par exemple, si l'on extrait la racine carrée suivant la règle habituelle jusqu'à la troisième décimale; on obtiendra : 1^2 = 1,414 ... Les nombres 1,414 et 1,415 seront les valeurs approchées par défaut cl par excès de \^2 avec «ne précision d'un millième. Eu utilisant les décimales on peut comparer les nombres irrationnels les ujrs aux autres et aux nombres rationnels. Dans beaucoup do cas on doit considérer des grandeurs do signes différents : positifs et négatifs (température supérieure et inférieure à 0°, etc.) Ces grandeurs sont exprimées respectivement par des nombres positifs ot négatifs. Si a et b sont des nombres positifs et si a > b, on aura — a < —b. Tout nombre positif, y compris zéro, est plus grand que tout nombre négatif. Tons les nombres rationnels et irrationnels se répartissent suivant un ordre déterminé d'après leur grandeur. Tous ces nombres forment l'ensemble des nombres rêe.ls. Notons un cas lié à la représentation dos nombres réels par les fractions décimales. A. la place d'uno fraction décimale finie quel- touque on peut écrire une fraction décimale infinie de période neuf. Ainsi, par exemple: 3,10 = 3,1599... Si on n'utilise pas de fraction décimale finie, on obtient une correspondance biunivoqiio exacte entre les nombres réels et les fractions décimales infinies, c'est- à-diro qu'à tout nombre réel correspond une fraction décimale infinie déterminée (ou un nombre entier), et à toute fraction décimale infinie correspond un nomhro réel déterminé. Aux nombres négatifs correspondent dos fractions décimales infinies (ou dos nombres entiers) avec un signe moins devant. Dans le domaine des nombres réels ou peut effectuer les quatre principales opérations, sauf la division par zéro. La racine de degré impair d'un nombre réel quelconque possède toujours une valeur déterminée. La racine de degré pair d'un nombre positif a doux.valeurs qui ne diffèrent que par leur signe. La racine de degré pair d'un nombre réel négatif n'a pas de sons dans le domaine des nombres réels. La racine d'un quelconque degré de zéro n'a qu'une seule valeur: zéro. Nous exposerons au paragraphe II-2-16I une théorie rigoureuse des nombres réels et des opérations effectuées sur oux. On appelle valeur arithmétique ou absolue du nombre a, le nombre a lui-m6mo, si a est un nombre positif ou égal à zéro, et le nombre —-a, si a est un nombre négatif. La valeur absolue du nombre a est désignée par le symbole | a |. de sorte que | a \ = a, si a>0, et, ] a | = — a, si a <C0, Ainsi, par exemple, | 5 | '= 5 et | — 5 | -= = 5 et do façon générale | a | = | — a |. On voit aisément que la valeur
l'i CH-. T. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE JOBS LIMITES absolue de la somme | a + 6 | ne sera égale à la somme des valeurs absolues des termes, c'est-à-dire à | a ] 4- 1*1, que dans le cas où les termes sont de même signe; quand les signes des termes sont différents, | a + 6 | < I a I + I M> de sorte que darjrs tous les cas |a + 6|<|o| + |6|. Ainsi, par exemple, pour a = —3 et b = —7 nous avons le signe d'égalité, et pour a — 3 ot b = —7 nous avons | 3 + (—7) | = = 4 et | 3 | + | —7 | =10, c'est-à-dire le signe d'inégalité. Il est facile de constater exactement de la même façon que |a-6|>|«[-|6|, si l'on considère que | a j ^> \ b |. Pour \ a \ < \ b \ l'inégalité est aussi valable parce que à gauche il y a une valeur positive et à droite, une valeur négative. La valeur absolue du produit d'un nombre quelconque de facteurs est égale au produit des valeurs absolues de ces facteurs et la valeur absolue du quotient (le diviseur est non nul) est égale au quotient des valeurs absolues du dividende et du diviseur, c'est-à- dire |abc|-|a|.|*|.|e| et [-2-|=-[f]-. 1-1-3. Les grandeurs constantes et variables, Les grandeurs étudiées en mathématiques se divisent en deux classes : les grandeurs constantes et les grandeurs variables. On appelle grandeur constante une grandeur qui, dans une étude donnée, conserve une seule et même valeur inchangée. Ainsi, un nombre déterminé lui correspond pour une unité de mesure donnée. On appolle grandeur variable celle qui. pour une raison ou une autre, peut prendre différentes valeurs au cours de l'étude donnée. Apres ces précisions il est clair que la notion de grandeur cons;- tante et variable est conditionnée dans une grande mesure et dépend des circonstances dans lesquels est étudie un phénomène donné. Une seule et même grandeur, qui, dans certaines conditions, aurait pu être1 considérée comme constante, dans d'autres conditions peut être variable et inversement. Ainsi, par exemple, lors de l'évaluation du poids d'un corps, il est important de savoir si la pesée s'effectue dans no seul et même lieu de la surface de la Terre ou dans différents lieux : si l'évaluation a lieu dans un seul et même lieu, l'accélération de la force de pesanteur, dont dépend le poids, restera constante et la différence de poids e.ntre différents corps dépendra seulement de leur masse;
1-1. GRAKDEURS "VABIABUKS 15 si l'évaluation s'effectue en différents lieux do la surface de la Terre, l'accélération de la force de pesanteur ne peut être considérée comme constante, étant donné qu'elle dépend de la force centrifuge de la rotation de la Terre; c'est pour cela qu'un seul et même corps pèse moins à l'équateur qu'au pôle, ce qu'on peut constater si la pesée a lieu à l'aide do balances à ressorts, et non à levier. De même on peut considérer que lors des calculs techniques approximatifs, la longueur des poutres employées dans la construction est une grandeur constante ; par contre, quand pour des calculs plus précis, on prend en considération l'action de la température, la longueur des barres est variable, ce qui, évidemment,! complique de façon considérable tous les calculs. 1-1-4. Intervalle. Le caractère de la variation d'une grandeur variable peut être des plus divers. Une grandeur variable peut prendre ou bien toutes les valeurs réelles possibles sans aucune restriction (par exemple le temps î rapporté à un moment initial déterminé, peut prendre toutes les valeurs possibles, aussi bien positives que négatives), ou bien ses valeurs sont limitées par certaines inégalités (par exemple la température absolue 2™ qui doit être' supérieure à —273 °C) ; enfin une grandeur variable ne peut prendre que certaines valeurs, et non pas toutes les valeurs possibles (valeurs seulement entières — le nombre d'habitants d'une ville donnée, le nombre de molécules dans un volume donné d'un ga2 — ou seulement commensurables avec une unité donnée, etc.). Montrons comment varient certaines grandeurs variables parmi les plus répandues dans les recherches théoriques et dans la pratique. Si une grandeur variable x peut prendre toutes les valeurs réelles satisfaisant à la condition a ^ x -^ 6, où a et b sont des nombres réels donnés, on dit que x varie dans l'intervalle (a, b). Un tel intervalle, bornes comprises, est appelé intervalle fermé. Si x peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle (a, b) excepté ses bornes, c'est-à-dire si a < x < b, alors on dit que x varie à V'intérieur de V intervalle (a, 6). Un tel intervalle avec ses bornes cxçlties est un intervalle ouvert. Le domaine de variation de x peut être également un intervalle, fermé d'un côté et ouvert de l'autre: a -<; x < b on a <ix-^ b. Si le domaine de variation do x est déterminé pan l'inégalité a <1 ;r, on dit que x varie dans l'intervalle (œ, -i-oo) qui est fermé à gaucho et ouvert à droite. Exactement de la môme façon, l'inégalité x <; b définit d'inlervallc (—oo, b) ouvert à gauche et fermé .î droite. Si x peut prendre n'importe quelles valeurs réelles, on dit que x varie dans l'intervalle (—oo, +oo) ouvert des deux côtés. Dans ce qui suit, nous désignerons toujours par (a, b) un intervalle fermé. Souvent, on le désigne par 1«, b]. L'exclusion d'un
10 C]I. I. DÉPENDANCE l»CWCTIO:r«.'BI,L,li ET 1AÊOSIXE DES LIMITES extrémité d'un intervalle, ou des deux, ne sera effectuée que sous réserve spéciale. 1-1-5. Notion de fonction. Le plus souvent dans les applications ou a affaire non pas à une grandeur variable mais à plusieurs à la fois. Prenons par exemple 1 kg d'air. Les grandeurs variables déterminant son état seront : la pression p (kg/m*) à laquelle il est soumis, lo volume v (m3) qu'il occupe, sa température t fC). Supposons un instant (jue 1« température de l'air reste égale à 0 "G; le nombre t est dans ce cas une constante égale à zéro. Seuls p et v restent variables. Si on modifie la pression p. le volume v sera également modifié, par exemple si l'on comprime l'air, le volume va diminuer. Ou pout modifier la pression p à volonté (tout au moins dans les limites accessibles à la technique), c'est pourquoi ou peut appeler p une variable indépendante. Selon la pression, le gaz doit, évidemment, occuper un volume entièrement déterminé; par conséquent, il doit exister une loi qui permette de trouver, pour chaque valeur de p, la valeur correspondante de v. Cette loi est bien connue — c'est la loi de Boyle-Afariotte, qui dit que le volume occupé par un gaz à température constante est inversement proportionnel à la pression. ILn appliquant cotte loi à notre kilogramme d'air, on peut trouver une relation entre t> et p sous forme do l'équation: ^273.29,27 P La grandeur variable v sera dans ce cas une fonction de la variable indépendante p. En faisaut abstraction do cet exemple particulier, on peut dire que du point de vue théorique ce qui est caractéristique pour une variable indépendante c'est l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre, et on peut lui donner arbitrairement n'importe quelle valeur de cet ensemble de valeurs possibles. Ainsi, par exemple, un intervalle quelconque (a, 6) ou une partie de cet intervalle peut servir d'ensemble de valeurs de la variable indépendante x, c'est-à-dire qu'une variable indépendante x peut, par exemple, prendre n'importe quelles valeurs satisfaisant à l'inégalité a.^x^b ou à l'inégalité- a < x < b. Il peut arriver que x prenne n'importe quelles valeurs entières, etc. Dans l'exemple étudié plus haut, p jouait le rôle d'une variable indépendante, et le volume v était fonction de p. Donnons maintenant une définition de la fonction. D é f i n i L i o il. Une grandeur y est dite Jonction, de la variable iii- dépendante de x. si à n' Importe quelle valeur déterminée de x (prise dans Vensemble de ses valeurs possibles) correspond une valeur déterminée de y. Si,, par exemple, y est une fonction de x, définie dans l'intervalle (a, b), cela signifie qu'à n'importe quelle valeur de x do cet intervalle correspond une valeur déterminée de y.
I-t. ORANDUURS VARIABLES 17 La question de savoir laquelle des deux, grandeurs, a; on y, doit être considérée comme variable indépendante, est souvent une question de commodité. Dans notre exemple nous aurions pi», en changeant à notre gré le volume v et en déterminant chaque fois la pression p, considérer que v est la variable indépendante, et la-.pression p iule fonction de v En résolvant par rapport à p l'équation écrite plus haut, nous obtiendrons la formule qui exprime p en fonction de la variable indépendante: 273-29,27 p z—• Co qui a été dit pour deux variables s'étend sans peine au cas d'un nombre quelconque» de variables, et nous pouvons ici également distinguer les variables indépendantes des variables dépendantes ou fonctions. Revenons à notre exemple: supposons que la température t n'est plus 0 °C, mais peut varier, La loi de Boyle-Mariotte doit être dans ce cas remplacée par colle plus complexe, do Clapeyron: pv = 29,27 (273 + t), qui montre que dans l'étude de l'état d'un gaz, on ne peut changer librement que deux dos grandeurs p, v et t, et que la troisième sera entièrement déterminée, si on donne les valeurs des deux premières. On peut prendre comme variables indépendantes, par exemple, p et t. v en sera alors fonction : 29,27(273 + !) '-= -P • ou encore, on peut considérer comme variables indépendantes v et t, et p sera fonction de ces deux variables. Prenons un autre exemple. La surface S d'un triangle s'exprime en fonction de la longueur de ses côtés a, b, c par la formule : S = Vp(p-a)(p-b)(p~c% où p est le demi-périmètre du triangle: a + b-\-c P" ï • On peut changer librement les côtés a, b, c, à la condition toutefois que chaque côté soit plus petit que la somme, des deux autres. Ainsi les variables a, b, c seront des variables Indépendantes limitées par des Inégalités, S sera fonction de ces variables. On peut de la même façon prendre arbitrairement deux côtés, par exemple a et b, et la surface S du triangle ; et utilisant la formule : S = -jT-a&sinC, 2—281
18 CH. I. DEPENDANCES FONCTIONNELLE ET THEORIE DES WMITBS où C est l'angle compris entre les côtes a, b, on peut calculer C. Ici les grandeurs a, à, S seront les variables indépendantes, C sera fonction do ces variables. Les variables a, b, S doivent être limitées par l'inégalité: sinC=^<l. Il faut noter que dans cet exemple, nous obtenons pour C deux valeurs suivant que nous prenons pour C l'angle aigu ou obtus ayant le même sinus: Nous arrivons ici à la notion de fonction multiforme dont nous parlerons plus en détail par la suite. 1-1-6. Procédé analytique pour exprimer une dépendance fonctionnelle. Toute loi de la nature alliant des phénomènes établit une relation fonctionnelle entre des grandeurs. 1,1 existe de nombreux moyens pour exprimer les relations fonctionnelles, mais trois procédés sont d'une très grande importance : 1) le, procédé analytique, 2} le procédé des tables, 3) le procédé graphique \>u géométrique. On dit qu'une relation fonctionnelle existe entre les grandeurs ou, plus simplement, qu'wze fonction est exprimée analytiquemenl, si ces grandeurs sont liées entre elles par des équations dans lesquelles elles figurent, en subissant différentes opérations mathématiques : addition, soustraction, division, calcul logarithmique, etc. On arrive toujours à une représentation analytique lorsqu'on étudie la question sous l'angle théorique, c'est-à-dire qu'ayant,posé les hypothèses principales, nous passons à l'analyse mathématique et obtenons le résultat à l'aide d'une formule mathématique. S) l'on a l'expression concrète d'une fonction (c'est-à-dire d'une vario'ble dépendante) à l'aide d'opérations mathématiques sur d'autres variajbles,[ indépendantes, on dit alors que la fonction est donnée analytiqucment d'une façon explicite. On peut prendre comme exemple dp fonction explicite l'expression du volume d'un gaz v à température constante en fonction de )a pression (fonction explicite d'une variable indépendante) : ' 273-29,27 y = .— P on la [formule de la surface S d'un triangle en fonction de ses côtés: S=Vp{P-a){p-b)(p-e) (fonction explicite de trois variables indépendantes). Relevons encore un exemple de forme explicite de fonction d'une variable
I-I. GRANDEURS VARIABLES 19 indépendante x: y = 2x»—-ix-\-7. (1) Il est souvent difficile ou même impossible de donnes la formule qui exprime une fonction au moyen de variables indépendantes, c'est pourquoi on écrit simplement: ¥-?(*)• Cette notation signifie que y est une fonction do la yariable indépendante x et que / est la représentation symbolique de la dépendance de y par rapport à x. A la place do /, on peut évidemment employer d'autres lettres. Si on étudie différentes fonctions de x, on doit employer différentes lettres pour la notation symbolique de 3a dépendance de x: • f{x), F{x), <p(a;), etc. On utilise cette notation symbolique non seulement dans le cas où la fonction est exprimée analytiqucment, mais aussi dans le cas général d'une dépendance fonctionnelle, que nous avons définie on [1-1-51. On utilise également ceito notation abrégée pour les fonctions de plusieurs variables indépendantes: v=>F(x, y, s), où v est fonction des variables x, y, z. Nous obtiendrons une valeur particulière d'une fonction, en attribuant aux variables indépendantes dos valeurs particulières et en effectuant les opérations, indiquées par les signes {, F, . . . Ainsi, par exemple, la valeur particulière de la fonction (1) pour x = y, sera : ^2-(T-r-3-T+7=6- En généra], ou exprime la valeur particulière d'une fonction / (x), pour x = x0, Par / (½). Il en est do même pour les fonctions de plusieurs variables. Il ne faut pas confondre la notion générale de fonction qui a été donnée en [1-1-51 avec la notion d'expression analytique de y par x. Dans la définition générale d'une fonction, on parle d'une certaine loi, selon laquelle à n'importe quelle valeur de la variable x, prise parmi les valeurs possibles, correspond une valeur déterminée de y. C'est pourquoi on ne propose aucune expression analytique (formule) de y au, moyen de x. Remarquons encore que Ton peut définir une fonction par dif-- férentes expressions analytiques dans différents intervalles de va- 2*
20 CH. I. DÉPENDANCE SONGTIOHNELLE ET THÉORIE DBS LIMITES riation de la variable indépendante x. Ainsi, par exemple, nous pouvons définir la fonction y dans l'intervalle (0, 3) de la façon suivante : y = x + 5 pour 0 ■< x <; 2 et y = 11 — 2x pour 2 < x •< <J 3. A toute valeur do a de l'intervalle (0, 3) correspond une valeur déterminée de y, ce qui est conforme à la définition de la fonction. 1-1-7. Fonctions implicites. Une fonction est dite implicite si l'on a non pas une expression analytique directe de cette fonction au moyen de variables indépendantes, mais une équation qui relie sa valeur aux valeurs des variables indépendantes. Ainsi, par exemple, si la grandeur variable y est liée à une grandeur variable x par l'équation: yt—x^^O, * y est Une fonction implicite de la variable indépendante x; d'un autre côté, on peut considérer x également comme fonction implicite de la variable indépendante y. La fonction implicite v de plusieurs variables indépendantes x, y, z , . . est définie de façon générale par l'équation ; .F(a:, y, z, ..., v)=>0. On pourra calculer les valeurs de cette fonction seulement lorsque l'on aura résolu l'équation par rapport à v et, par cela même, représenté v sous forme d'une fonction explicite de x, y, z... : t> = q>(a:, y, z, ...). Dans l'exemple cité plus haut, y est exprimée en fonction de x suivant la formule: Cependant, pour obtenir les différentes propriétés de la fonction v il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation et il arrive souvent qu'on étudie la fonction implicite d'après l'équation par laquelle elle est définie, sans la résoudre. Par exemple, le volume d'un gaz v est une fonction implicite de la pression p et de la température t, définie par l'équation : pv=-R(273-H). L'angle C compris entre les côtés a et b du triangle de surface 5 est une fonction implicite de œ, b et S, définie par l'équation: kbsmC = 2S. 1-1-8. Tables des fonctions. On utilise le procédé analytique pour représenter les fonctions en majeure partie dans les rochcrches théoriques, lorsqu'on a affaire à des lois générales. Dans la pratique,
1-1, GRANDEURS VARIABLES 21 lorsqu'il faut, on fait, calculer les nombreuses valeurs particulières de différentes fonctions, le procédé analytique de représentation s'avère souvent peu commodo, car 11 nécessite dans chaque cas que l'on fasse tous les calculs. Pour éviter cela, on calcule les valeurs particulières des fonctions les pins courantes pour un grand nombre de valeurs particulières des variables indépendantes, et on établit des tables. Telles sont, par exemple, les tables de valeurs des fonctions 1 y— 1 y^=3?, —, y x, tue, -j-jta;3, lgI0a:, lgI0sinx, etc., que l'on utilise constamment dans la pratique. 11 existe d'autres tables de fonctions plus complexes, qui sont également d'une grande utilité : les tables des fonctions de Bessel, des fonctions elliptiques, etc. Il existe aussi des tables pour les fonctions de plusieurs variables, dont la table de multiplication nous offre l'exemple Je plus simple, c'est-à-dire une table des valeurs de la fonction z = xy pour différentes valeurs entières de x et de y. On a parfois à calculer les valeurs des fonctions pour des valeurs particulières des variables indépendantes qui no figurent pas dans les tables, et dont on ne trouve que des valeurs voisines; pour qu'il soit poasible d'utiliser les tables dans ce cas, il existe diverses régla? d'interpolation; l'une de ces règles est utilisée dans l'enseignement secondaire: cello que l'on emploie pour les tables de logarithmes (parties proportionnelles). Les tables ont une grande valeur, puisqu'elles permettent d'exprimer des fonctions dont l'expression analytique ne nous est pas connue ; c'est ce qui arrive quand on effectue une expérience. Toute recherche expérimentale a pour but de nous dévoiler les relations fonctionnelles qui nous sont inconnues, et le résultat de toute expérience s'exprime sons forme à'une table, reliant entre elles les valeurs correspondantes des grandeurs cherchées dans cette expérience. 1-1-9. Procédé graphique de représentation des nombres. En passant à l'étude du moyen graphique de représenter une relation fonctionnelle, on commencera par le cas de la représentation graphique d'une variable. Tout nombre x peut être représenté par un certain segment. Pour cela il suffit, lorsqu'on s'est entendu une fois pour toutes sur le choix de l'unité de longueur, de construire le segment dont la longueur est précisément égale au nombre donné x. Ainsi, toute grandeur peut être non seulement exprimée par un nombre, mais aussi représentée géométriquement par im segment. Pour pouvoir représenter de la même façon les nombres négatifs, on convient de reportei' lés segments sur une seule et même ligne
22 CH. 1. BEPENDANCE JONCTIONNEIiLB ET THEORIE DES MMITES droite, en indiquant en outre le sens de celle-ci. (fig. 1). On conviendra plus loin de désigner chaque segment par le signe AB, où l'on appellera le point A l'origine, et B l'extrémité du segment. Si le sens de A à B coïncide avec celui de la droite, le segment représente un nombre positif; si le sens de A à B est opposé à celui de la droite, le segment représentera un nombre négatif (AtBi sur B, _ A, A + B , 0 AU} Fig. 1 Fig. 2 la fig.. i). La valeur absolue du nombre étudié s'exprime par la longueur du segment qui le représente, indépendamment du sens. On désignera la longueur du segment ÂB par | AB | ; si le segment AB représente un nombre x, on écrira simplement x^AB, \x\ = \I5\. On peut convenir une fois pour toutes de situer l'origine de tous les segments en un point O de la droite, choisi au préalable. Alors, tout segment ÔÂ~ et, bien entendu, le nombre x qu'il représente, sera entièrement défini par le point A, extrémité du segment (fig. 2). Réciproquement, étant donné le nombre x, on peut définir la valeur et le sens du segment OA et, bien entendu, son extrémité A ; x = 0 correspond au point O (origine). Ainsi, si l'on donne un sens à la droite X'X (axé) et si l'on désigne sur celte droite un point fixe 0 {origine), à chaque nombre réel x correspondra un point déterminé A de cette droite, tel que le segment OA est mesuré par le nombre x. Réciproquement, à chaque point A de l'axe correspondra un nombre réel x bien déterminé, mesurant le segment VA. Ce nombre x s'appelle l'abscisse du point A ; s'il faut indiquer que le point A possède une abscisse x, on écrit A (x). Si je nombre x varie, le point A qui le représente se déplace lo long do l'axe. La notion d'intervalle, établie ci-dessus, devient tout à fait évidente dans le cas d'une telle représentation graphique du- nombre x, à savoir : si x varie dans l'intervalle a ^ x ■<; b, le point correspondant sur l'axe X'X se trouvera sur le segment dont les extrémités ont pour abscisses a et b. Si on se limitait aux seuls nombres rationnels, aucune abscisse ne correspondrait au point A si le segment VA était incommensurable avec l'unité employée, autrement dit, les nombres rationnels
1-i. GRANDEURS VARIABLES 23 seuls n'occupent pas tous les points de la droite. Pour y remédier, il faut faire appel aux nombres irrationnels. Dans la représentation graphique d'une variable on se base sur la condition que nous venons de poser: à tout point de l'axe X'X correspond un nombre réel déterminé et, réciproquement, à tout «ombre réel correspond un point déterminé do l'axe X'X. Prenons sur l'axe X'X 2 points:_le point A, d'abscisse xt et le point Aï d'abscisse .1¾. Au segment OAt correspondra le nombre «,, et au segment UIZ< le nombre x2. Il n'est pas difficile de montrer, en B £-• t frt l_ "*" w~î : SE-— ±-.-£- :_:z_d : " jz i t:.^ ___ r W -<?—- u I s 3 Fig. 3 examinant les positions possibles des points Ai et Az qu'au segment Â^Âî correspondra le nombre (½ — xt) et quo la longueur de eu segincut sera égale à la valeur absolue de la différence (x^ — xi) : | Â~ÏÂ~i\ = |«2—*tl- Si par exemple, xi = —3 et a;2 = 7, le point Ai se trouve à gauche de 0, à une distance égale à 3, et le point At se trouve à droite de 0 à une distance égale à 7. Le segment AiA2 aura pour longueur 10, et sera dirigé comme l'axe X'X, c'est-à-dire qu'il lui correspondra le nombre 10 = 7 — (—3) = 3¾ — xt. Nous proposons au lecteur d'analyser les antres positions possibles dos points Ai et Az. 1-1-10. Les coordonnées. On a vu ci-dessus que la position d'un point sur l'axe X'X peut être .définie par un nombre réel x. Montrons maintenant un procédé analogue pour définir la position d'un point dans un plan. r Menons sur le plan deux axes perpendiculaires X'X et Y Y et prenons comme origine sur chacun d'eux leur point d'intersection 0 (fig. 3). Les directions positives sont indiquées sur les axes par des flèches. Aux points de l'axe X'X correspondent des nombres réels que l'on note par la lettre s. Aux points de l'axe Y'Y correspondent
24 CB. I. DBPENDANCE FONCTIONNELLE ET THBORIB DES LIMITES do même des nombres réels que l'on notera par la lettre y. Soient des valeurs déterminées x et y, on a des points déterminés A et B sur les axes X'X et Y'Y; connaissant les points A et B, on peut construire le point M, intersection do droites parallèles aux axes et menées par les points A et B. A chaque couple de valeurs de grandeurs x, y correspond une position entièrement déterminée du point M sur le plan. Réciproquement, à chaque point M du plan correspond un couple de valeurs entièrement déterminé des grandeurs x, y, correspondant aux points d'intersection A, B des droites menées par le point M parallèlement aux axes, avec les axes X'X et Y'Y. Etant données les directions des axes X'X et Y'Y indignées sur la fig. 'à, ii faut considérer x positif si le point A se trouve à droite, et négatif s'il se trouve à gauche du point 0; y sera positif si le point B se trouve au-dessus de 0, négatif s'il se trouve an-dessous. Les grandeurs x, y, déterminant la position du point M sur le plan et déterminées à leur tour par la position du point M, sont appelées coordonnées du point M, On appelle les axes X'X et Y'Y axes des coordonnées-, le plan du dessin, plan des coordonnées XOY ; le point 0, origine des coordonnées, La grandeur x s'appelle l'abscisse, et y l'ordonnée du point M. Pour indiquer un point M par ses coordonnées, on écrit : M(x, y). Le procédé de représentation est dit procédé des coordonnées orthogonales. On peut représenter les signes des coordonnées du point M suivant ses différentes positions, dans les différents quadrants définis par les axos de coordonnées (I-IV) {fig. 3) au moyen lie la table suivante: M x y i + + il - + m - - IV + — 11 est évident que les coordonnées x, y du point M sont égales à la distance du point M aux axes des coordonnées, avec les signes correspondants- Notons que les points de l'axe X'X ont les coordonnées {x, 0), et les points de l'axe Y'Y, les coordonnées (0, y). L'origine des coordonnées 0 a les coordonnées (0, 0).
I-i. GBANDBURS VARIABLES 25 1-1-11. Graphique et équation d'une courte. Revenons aux grandeurs a; et y que représente le point M. Admettons que x et y sont liés par une dépendance fonctionnelle; cela signifie que, en faisant varier à notre gré x (ou y), nous obtiendrons chaque fois une valeur correspondante de y (ou x). A chaque couple de valeurs de x ou y correspond une position déterminée du point M sur le plan XOY ; si ces valeurs varient, le point M se déplacera sur le plan et décrira par son mouvement une certaine courbe (fig. 4) qui s'appelle re- ,1 -*•*&& -^"--^ t- ~i °~ JT-tt* sp ► Jr Fig. 4 présenlalion graphique (ou, plus simplement, graphique ou diagramme) de la dépendance fonctionnelle considérée. Si la relation est posée analyliquement par une équation do la forme explicite : ou de la forme implicite: l'équation s'appelle équation de la courbe, ot la courbe, graphique de l'équation ou graphique de la jonction. La courbe ot son équation sont les différents moyens d'exprimer une seule et même relation fonctionnelle, c'est-à-dire que tous les points dont les coordonnées vérifient l'équation de la courbe se trouvent sur cette courbe, et, réciproquement, les coordonnées de tous les points se trouvant sur la courbe, satisfont à son équation. Si l'on donne l'équation de la courbe, on peut, on utilisant uno fouille de papier quadrillé, construire de façon plus ou moins précise la courbe elle-même (on peut, plus exactement, construire le nombre que l'on veut de points se trouvant sur cotte courbe) ; plus on construira de points, plus précise eu sera la forme de courbe; un tel procédé s'appelle construction par points de la courbe. Le choix de Véchelle a une importance primordiale dans la construction des courbes; pour cela on peut choisir différentes échelles quand on construit x et y. Quand on a dos échelles, identiques pour
26 CfJ. I. DEPENDANCE ÏONCTIONKELr,!î ET THBOIUE DES LIMITES x et y, le plan est assimilé à la feuille de papier quadrillé en carrés; quand on a différentes échelles, le plan est quadrillé en rectangles. Dans la suite on supposera que les échelles pour x et y sont Identiques sauf réserve spéciale. Ou recommande ici au lecteur de construire à l'aide de points quelques graphiques de fonctions très simples, en changeant les échelles pour x et y. Les notions, exposées pins haut, de coordonnées du point M, d'équation de la courbe et de graphique de l'équation établissent un lien étroit entre l'algèbre et la géométrie. D'un côté, nous avons Ja possibilité de représenter et d'étudier des relations analytiques par un moyen géométrique direct, de l'autro, il s'avère possible de ramener la résolution de questions géométriques à des opérations purement algébriques, co qui est le but de la géométrie analytique. Etant donné leur importance, nous formulerons une fois encore les principes de base de la géométrie analytique. Si l'on trace dans le plan deux axos de coordonnées, à chaque point du plan correspondra un couple de nombres réels, abscisse et ordonnée de ce point ; et réciproquement, à chaque couple de nombres correspondra un point déterminé du plan, ayant le premier nombre pour abscisse, le deuxième pour ordonnée. A la courbe du plan correspond une relation fonctionnelle entre x et y ou, ce qui revient du même, une équation contenant les variables x et y, qui est vérifiée si et seulement si à la place de x et y on met les coordonnées a" un quelconque des poi7its de la courbe. Réciproquement, à l'équation contenant les deux variables x et y correspond une courbe, composée par les points du plan, dont les coordonnées, substituées à x et y dans l'équation, vérifient l'équation. Nous considérerons par la suite les principaux exemples des graphiques de fonctions, et maintenant nous exposerons certaines considérations d'ordre général. Soit donnée une équation explicite : y = / (x), où / (x) est une fonction univoque (ou uniforme) définie, par exemple, sur l'intervalle (a, b), c'est-à-dire une fonction telle qu'à chaque x de (a, b) correspond une valeur bien déterminée de / (x) ; le graphique de la dépendance fonctionnelle donnée so compose dos points (x, y) obtenus de la manière indiquée. La perpendiculaire à l'axe OX menée par un point arbitraire do cet axe, dont l'abscisse -appartient à {a, b), rencontrera le graphiquo en un seul point (f (x) est univoquo). Dans le cas de l'équation F {x, y) ~ 0 sous forme implicite tout so complique. Il peut arriver qu'aucun point ne correspond h l'équation. Gela a lieu par exemple pour l'équation d* + y8 + 3 = 0, car pour toutes valeurs réelles de x et y le premier membre est positif. Il est évident qu'à l'équation (x — 3)3 -j- + (y — 5)2 = 0 correspond un seul point (3, 5). La construction de la courbe s'effectue automatiquement dans Ios instruments enregistreurs; la variable x représente en général le temps, et y la grandeur
M. GRANDEURS VARIABLES 27 dont la variation au cours du temps nous intéresse, par oxomplo ia pression baro* métrique (barographe), la température (thermojrraphe). L'indicateur nui enregistre la relation entro le volume et la pression du gaz, contenu dans Je cylindre d'un moteur à vapeur ou d'un moteur à gaz, a une grande importance. 1-1-12. Fonction linéaire. La plus simple des fonctions, qui possède en même temps des applications très importantes, est le binôme du premier degré. y^ax+b, (2) où a et b sont dos nombres donnés. Elle s'appelle fonction linéaire. Nous verrons que la courbe do cette fonction est une droite. Etudions d'abord le cas où le nombre b est égal à zéro. Dans ce cas, la fonction (2) aura la forme: y = ax. (3) Elle exprime le fait que la variable y est directement proportionnelle à la variable x; le nombre a s'appelle coefficient do proportionnalité. Les valeurs a; = 0, j/ = 0 satisfont à l'équation (3), c'est-à-dire que la courbe correspondant à cette équation passe par l'origine des coordonnées 0. Si nous regardons le plan (fig. 5) nous voyons que l'équation (3) exprime la propriété géométrique suivante de la courho considérée; quel que soit le point M que nous avons choisi sur la courbe, le rapport de l'ordonnée y — NM de ce point et de sou abscisse x — ON est une grandeur constante a. Etant donné que, d'autre part, ce rapport est égal à la tangente de l'angle a formé par le segment OM et l'axe OX, il est évident que le lieu géométrique des points AT ost une droite- qui passe par L'origine des coordonnées 0 en faisant un angle a (ou n -j- a) avec l'axo OX. On mesure a à partir de l'axe OX, jusqu'à la droite, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. En même temps on découvre une signification géométrique importante du coefficient a dans l'équation (3) : a est la tangente de l'angle a que forme la droite, correspondant à cette équation, avec l'axe OX, c'est pourquoi a s'appelle coefficient angulaire de la droite. Remarquons que si a est un nombre négatif, l'angle a sera oblus et la droite correspondante sera située comme l'indique la fig. 6. Venons-en maintenant au cas général d'une fonction linéaire, et plus spécialement à l'équation (2). Les ordonnées y de la courbe de cette équation se distinguent des ordonnées correspondantes de la courbe de l'équation (3) par le terme constant b. Ainsi, on obtient la courbe de l'équation (2) si on déplace la courbe de l'équation (3), représentée sur la fig. 5 (lorsque a > 0) parallèlement à l'axe OY du segment b: vers le haut, si b est oositit, et vers le bas,
28 GH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEOÏUE DES LIMITES si b est négatif. Ainsi on obtient une droite parallèle à la droite initiale et découpant sur l'axe OY lo segment OMa = b (fig. 7). Ainsi, la courbe représentative de la fonction (2) est une ligne droite dont le coefficient a est égal à la tangente de l'angle formé par cette *.M -*-.* Fig. 5 y Fig. 6 -»~* droite et l'axe OX, et le terme libre b est égal au segment découpé par cette droite sur l'axe OY, à partir de 0. On appelle parfois le coefficient a simplement pente de la droite, et 6 ordonnée à l'origine de cette droite. Réciproquement, si l'on a «ne droite quelconque L, non parallèle à l'axe OY, il n'est pas difficile d'écrire l'équation de la forme (2) correspondant à cette droite. D'après ce qui précède, il suffît de prendre le coefficient a Égal à la tangente de l'angle de cette droite avec l'axe OX, et b égal au segment découpé par cotte drrtito sur l'axe OY. Notons un cas particulier qui présente une certaine originalité. Si a — 0, l'équation (2) nous donne, quel que soit £'. V = b, (2,) c'est-à-dire qu'on ohtient une « fonction » de x telle que, pout toutes les valeurs de x, elle conserve une seule et même valeur de 6. Il n'est pas difficile de constater que la courbe de l'équation (2i) sera une droite parallèle à l'axe OX et se trouvant à rine distance | b | de cet axe (vers le haut si b > 0 et vers le bas si h <; 0). Pour ne pas faire de réserves spéciales, nous dirons que l'équation (2j) définit également une fonction de x. 1-1-13. Accroissement. Propriété fondamentale de la fonction linéaire. Etablissons une nouvelle notion importante que l'on rencontre souvent dans l'étude d'une relation fonctionnelle. M0 S o v /v*- b b x X l i/ ax 1 , Kg- 7
1-1. eaANDBURS VARIABLES 29 On appelle accroissement d'une grandeur variable Indépendante x, lorsqu'on passe de la valeur initiale xt à la valeur finale x%, la différence entre les valeurs finale et initiale: x2 —xt. On appelle accroissement coirespondant de la fonction y = f (x) la différence entre les valeurs finale et initiale de la fonction : ^-^1 = /(^2)-/(3¾). On note souvent ces accroissements ainsi : Ax = zi—xi, Ay = y2—yl. Remarquons que l'accroissement peut être une grandeur aussi bien positive que négative, si bien que la grandeur ayant reçu un « accroissement » no doit pas obligatoirement augmenter. Fig. 8 Notons qu'il faut considérer la notation Ax comme une entité indissoluble pour définir l'accroissement do x. Examinons le cas de la fonction linéaire: i/2 = a#2-)-& et yt = axy + b. En retranchant ternie à terme, on obtient: ^-1/1 = 11(3-2-3:4) (4) ou Ay = aAx. Cette égalité montre que la fonction linéaire y — ax + b est telle que l'accroissement de la fonction (y2 — yt) est proportionnel à l'accroissement de la variable indépendante (4¾ — xt), et que le coefficient de proportionnalité est égal à a, c'est-à-dire au coefficient angulaire., ou à la pente de la courbe représentative de la fonction. Si nous examinons la courbe elle-même (fig. 8), à l'accroissement de la variable indépendante correspond le sogment MtP — Ax = — X2. — ai et à l'accroissement de la fonction correspond le segment PM-s, = Ay = ys — yt, et la formule (4) résulte directement do l'examen du triangle MiPM2.
30 GH. 1. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES Supposons maintenant qu'une fonction possède la propriété que nous avons indiquée ci-dessus, d'avoir un accroissement de la fonction proportionnel à l'accroissement do la variable indépendante, propriété exprimée par la formule (4). De cette formule il résulte que ou yi~ax% + {yi~axi). Nous considérons que les valeurs initiales des variables %i et yt. sont définies et nous noterons la différence (t/i — azi) par la lettrejè : y^axz + b. Etant donné que nous pouvons prendre n'importe quelles valeurs finales des variables x2 et y2, nous pouvons à la place des lettres x2 ol yz é-crire simplement les lettres x et y, et l'égalité précédente so transforme en : y = ax+b, c'est-à-dire que toute fonction dont l'accroissement est proportionnel à celui de la variable est une fonction linéaire y = ax -j- 6, où a est le coefficient de proportionnalité. Ainsi, la fonction linéaire et sa courbe, la ligne droite, peuvent représenter toute loi de la nature dans laquelle U y a proportionnalité entre les accroissements des grandeurs examinées, ce qui arrive très souvent, 1-1-14. Graphique du mouvement uniforme. L'application la plus important*, qui donne une interprétation mécanique de l'équation de la dreilo et de ses coefficients, est le graphique du mouvement uniforme. Si un point P se déplace suivant une certaine trajectoire, sa position est définie par la distance, évaluée sur la trajectoire d'un côté ou de l'autre, d'un point donné A de cette trajectoire jusqu'au point P. Cette distance, c'est-à-dire l'arc AP, est le chemin çarcouru ctt on le note par ia lettre s, s pouvant être positif ou négatif-, on considère ios valeurs de s positives d'un côte du point origine A, et négatives do l'autre côté. Le chemin parcouru s est une fonction du temps i ; en prenant l comme variable indépendante, on peut construire la courbe du mouvement, c'est-à-dire que la courbe de ia relation fonctionnelle (fig. 9) *=■/(<) ne doit pas être confondue avec ia trajectoire elle-même. Le mouvement est uniforme si l'espace, parcouru par ie point dans uu intervalle de tompa quelconque, est proportionnel à cet intervalle, autrement dit, si le rapport s%—sl As t2~tt AT do l'espace parcouru dans l'intervalle de temps de <, à (2, à cet intervalle d temps, est une grandeur constante que l'on appelle vitesse et que l'on note v
1-1. GHAND75URS VARIABLES 31 D'après ce qui a été dit plus haut, l'équation du mouvement uniforme est du type ; s — vt-\-s0; le diagramme lui-même est une droite dont h coefficient angulaire est égal à la vitesse du mouvement ', l'ordonnée initiale s0 est ta valeur de s pour t = 0. Fig. 9 Fig. 10 Sut la fig. 10 on a représenté io diagramme du mouvement du poiut P, qui s'est déplacé avec une vitesse constante i>i dans la direction positivo à partir du momont 0 jusqu'au moment t, (l'angle avec l'axe t est aigu), ensuite à «ne vitesse toujours constante mais plus grande, v2, dans la même direction (l'angle est Fig. 11 aigu mais plus ouvert) jusqu'au moment t2, et ensuite à une vitesse vs constanto mais négative (dans la direction opposée, l'angle étant obtus) jusqu'à sa position initiale. Lorsqu'on a de nombreux points qui se déplacent le long (l'une seule et même trajectoire (par exemple quand en établit 1 horaire des trains ou
32 011. T. DflPBNDANCE FONCTIONNELLE BT THÉORIE DES LIMITES dos tramways) un procédé graphique de ce genre est pratique pour définir les rencontres des points en mouvement, et en général, pour représenter tout mouvement (Kg. 11). 1-1-15. Formules empiriques. La simplicité de construction de la droite H do la loi qui l'exprime, loi de proportionnalité de l'accroissement de la fonction et do la variable indépendante, fait du graphique un procédé tout à fait commode peur trouver les formates empiriques, cVst-à-dire les formules qui découlent directement dos données de l'expérience, sans étude théorique spéciale. _ On représente graphiquement les données obtenues à partir des expériences, sur une fouille de papier millimétré; on trouvera une série do points et si l'on 1,1 1,3 4,2 V < Ift 3,8 V 3j<—i—i—i—i—i—i—i—t—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—j 0 OS 1,0 IJ5 2,0 Piff. 12 ■désire obtenir une formule empirique approximative pour la relation fonctionnelle étudiée, sous forme de fonction linéaire, il reste à mener la droite qui, si elle ne passe pas par tous les points construits (ce qui n'est, bien sûr. presque jamais possible), passe du moins entre ces points do telle sorte qu'un nombre identique de points se trouve de chaque côté de la droite et qu'Us se trouvent tous assez proches d'elle. Dans les calculs d'erreurs et dans les opérations de contrôle, on étudie dos moyens plus précis pour construire la droite Indiquée et pour évaluer l'erreur commise en faisant une représentation approximative. Mais dans les recherches moins précises auxquelles on a affaire dans la technique, la construction d'une droite empirique se fait tout simplement à l'aide de la « ficelle tendue 9, dout le nom indique bien en quoi cela consiste. Ayant construit la droite à l'aide d'une mesure directe, définissons son équation: y^=ax '\-b, qui donno la formule empirique cherchée. Quand on a obtonu cotte formule, il ne faut pas perdre de vue quo les écbollos sont très souvent différentes pour les grandeurs x et y, c'est-à-dire qu'une seule et mime longueur, reportée sur les axes OX et OY, représente des nombres différents. Dans ce cas, lo coefficient angulaire a ne sora pas égal à la tangente de l'anglo formé par la droite et l'axe OX, mais s'en différenciera par un facteur, égal à; la valeur numérlquo du rapport entre ïes unités do longueur, prisos pour représenter les grandeurs x et y. o
I-i. ORANHISURS VARIABLES 33 Exemple (fig. 12). X V 0,212 3,721 0,451 3,779 0,330 3,870 0,708 3,910 0,901 4,009 1,120 4,089 1,341 4,150 1,520 4,201 1,738 4,269 1,871 4,350 llépon se: jr*î0.375si:-f3.65 (Ici et par la suite, nous représenterons par le signe =& une égalité approximative.) 1-1-16. Parabole du second degré. La fonction linéaire y — ax+b est un cas particulier de fonction entière du ne degré ou de polynôme du ne degré: y = aaxn + ajs"-1 + ...+an.ix+a„, dont le cas le plus simple, après la fonction linéaire, est le trinôme du second degré (n = 2) : y = ax* + bx + c ; la courbe de cette fonction est la parabole du second degré ou plus simplement la parabole. Pour l'instant, on étudiera le cas le plus simple de parabolo: y = ax*. (5) Celte courbe peut êlre construite sans peine point par point. Sur la fig. 13 sont représentées les courbes y = a? (» = 1) et y = —s2 (a — —1). La courbe correspondant à l'équation (5) est située entièrement au-dessus de l'axe OX, lorsque a > 0 et au-dessous de celui- ci lorsque a < 0. L'ordonnée de cette courbe croît en valeur absolue, lorsque x croît en valeur absolue, et cela d'autant plus rapidement qu'est plus grande la valeur absolue a. Sur la fig. 14 est représentée une série de courbes de la fonction (5) pour différentes valeurs de a, qiii sont indiquées sur les paraboles correspondantes. L'équation (5) contient seulement œ3, et c'est pourquoi elle no varie pas lorsque» devient {-—x), c'est-à-dire que si un point (x, y) est situé sur la parabole (5), le point (—x, y) est aussi situé sur cette même parabole. Il apparaît que les deux points, (x, y) et (—x, y), sont symétriques par rapport à l'axe OY. Ainsi, si l'on fait tourner la partie droite du plan de 180° autour de l'axe OY et si on la fait 3—-281
I 34 CM. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEOlUE DES LIMITBS coïncider avec la partie gauche, la portion de parabole située adroite de l'axe OY coïncidera avec la portion de parabole située à gaucho Fig. 13 Fig. 14 de cet axe. Autrement dit. l'axe OY est l'axe de symétrie de la. parabole (5). L'origine des coordonnées se trouve êlro le point le plus bas de la courbe pour a > 0, et le plus élevé pour a < 0, et s'appelle sommet de la parabole. Le coefHciont a est entièrement déliai si l'on donne un point Mq fa, y9) de la parabole, distinct de son semmot, étant donné qu'on a: XD à la suite de quoi l'équation do la parabelo (5) aura la forme: Il existe un procédé graphique très simple pour construira un nombre quelconque n do points do la parabole à partir du sommet, do l'axe do symétrie et d'un quelconque do ses pointa M0> distinct du sommet. Divisons l'abscisse el l'ordonnoo d un point donné Af0 (xo, Uo) en » parties égales (Eig. 15) et monons des rayons par l'origine des coordonnées vers les points qui partagent
1-1. GRANDEURS VARIABLES 35 rordonncc. L'intoraeclion de cos rayons avec les droites, laonéos p«r les points qui partagent l'abscisse parallèlement à l'axe OY, donne les points do lu parabole. En effet, pnr construolion, on a (fig. 15): re—1 , »—1 *. = *o — * V =Vo —-. Vf -*-—ss—»• C—5ï—J -«nvJ c'est-Mire on venu de (G), le point jtfi (¾. m) «si situé également sur la parabole La démonstration est identique pour les autres points. 0 1 2 3 15 6 1 -z / ■ 1 3» 4i -t Éff1 *J 3 2 •V 0 -/', \y ,2: tà / > f/ ^c^ / s* t j 1 f i f ■y —_ / 2 Flg. 16 Fig. 15 Si l'on a deux fonctions : y=/t(«) et y=/2(2) isl. les courbes correspondantes, les coordonnées des points d'intersection de ces courbes vérifient. les deux équations, c'est-à-dire que les abscisses de ces points d'intersection sont racines de l'équation^ Il est facile d'utiliser celle démonstration pour résoudre de façon approcheo une équation du second degré. Si l'on construit sur une feuille de papier millimétré, le pins soigneusement possible, la parabole y-*». (6,). ou peut considérer les racines de l'équation du second degré: x* = px -j- q, (7) comme les abscisses des pointe d'intersection do la parabole (6i) et de la droite y — px + q, si bien que l'on a la solution de l'équation (7) on trouvant ces points d'intersection. Sur la fig. 16, on a 3*
36 CH, I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES -m-t/s-ifi-iM-i-2 h représenté 3 cas: lorsqu'on a 2 points, lorsqu'il y en a un seul (la droite est tangente à la parabole) et lorsqu'il n'y on a aucun. 1-1-17. Parabole du troisième degré. Le graphique du polynôme du troisième degré y = ax? -|- bx? + ex + d est appelé parabole du troisième degré. On considérera cette courbe dans Je cas le plus simple y = ax3. (8) Pour a positif, les signes de x et y sont identiques et pour a négatif, ils sont opposés. Dans le premier cas, la courbe est située dans les 1er et 3° quadrants et dans lo second cas dans les 2e et 4e quadrants. Sur la fig. 17 on a représenté L'allure de cette courbe pour différentes valeurs de a. Si l'on change simultanément x et y eu (—x) et (~y), les deux membres de l'équation (8) changent de signe, et l'équation ne change pas de sens, c'est-à-dire que si le point (x, y) se trouve sur la courbe (8), le point (—.r, — y) se trouve aussi sur cette courbe. Il apparaît que les points {x, y) et (—a;, —y) sont symétriques par rapport à l'origine O, c'est-à-dire que le segment qui les relie est divisé en doux par l'origine O. Il s'ensuit que toute corde de la courbe (8), passant par l'origine des coordonnées O, est coupée en deux parties égales par l'origine. On dit encore que l'origine des coordonnées O est h centre de la courbe (8). Remarquons encore un cas particulier de la parabole du 3e degré : *-X Fig. 17 y = ax3 -|- ex. (9) Le second membre de cette équation est la somme de deux termes, et par suite, pour construire cotte courbe, il suffit de mener la droite y*=cx (10) et de prendre sur le graphique la somme des ordonnées correspondantes des courbes (8) et (10). Les différents aspects que peut prendre
1-1. GRANDEUIIS VARIABLES 37 la courbe (9) (lorsque a <== 1, et que c a différentes valeurs) sont représentés sur la fig. 18. Si 1 ' on construit la courbe : on obtiendra un procédé graphique commode pour obtenir (avec une faible précision) Us racines de l'équation du 3S degré 3?=pX"\-qt étant donné que les racines de cette équation ne sont rien d'autre que les abscisses des pointe d'intersection de la courbe avec In droite y = px+q. La fig. 19 montre qu'il peut y avoir un, deux ou trois points d'intersection, mais un au moins de laçon certaine, c'est-à-dire que l'équation dp 3° degré a, au moins, une racine réelle. On démontrera cela rigoureusement j>ar la suite. Fig. 18 Fig. 19 l-i-18. Loi de proportionnalité inverse. La relation fonctionnelle »Hr (il) exprime la loi de proportionnalité inverse entre les variables x et y. Lorsque x croît un certain nombre de fois, y diminue un nombre égal de fois. Lorsque m >• 0, les variables x et y ont un môme signe, c'est-à-dire que la courbe est située dans lo premier et le troisième
38 CH. I. DÉPENDANCE SONCTIONNEIjLE ET THÉORIE DBS LIMITES quadrant, el lorsque m< 0, elle est dans le deuxième et le quatrième quadrant. Lorsque x est près de zéro, la fraction — est grande en valeur absolue. Réciproquement, pour les grandes valeurs de x, la fraction — est petite en valeur absolue. La construction directe de cette courbe point par point nous conduit à la fig. 20, sur laquelle sont représentées les courbes (11) pour les différentes valeurs de m; les courbes correspondant au cas où m > 0, sont tracées on ligne coiitiinio; dans le cas où m < 0, Fig. 20 Fig. 21 elles sont tracées en pointillé, ot pour chaque courbe on indique la valeur correspondante de m. On voit que chacune des courbes construites, qui s'appellent hyperboles équilatères, possède des brandies infimes qui tendent vers les axes do coordonnées OX et OY loisque l'abscisse x ou l'ordonnée y du point sur la branche considérée croît indéfiniment. Ces droites sont les asymptotes do l'hyperbole. Le coefficient m dans l'équation (11) eat défini, si l'on donne un point quelconque M0 (x0, ya) de la courbe étudiée, vu que et l'équation (11) peut être mise sous la forme: xy = x0i/0, (12) De là le procédé graphique pour construire un nombre quelconque de points d'une hyperbole équilatère, si l'on donne ses asymptotes et un quelcpnquo de ses points Afo (i», ijo). Prenons le» asymptotes comme axes de coordonnées, menons
I-i. GRANDEURS VARIAMES 39 par l'origine dos coordonnées des rayons quelconques OPt, OPi, . . . et marquons les points d'intersection de ces rayons avec les droites y = y0 et x = 3¾. Menons par los points (un point sur deux) situés sur un mêm« rayon d«s droites parallèles aux axos des coordonnées; nous obtiendrons ù l'intersection de ces droites des points de l'hyperbole (tjg. 21). Cela résulte do la similitude dos triangles OIÎQ, et OSPt: W, ÔÏÏ Vi __ yo OS ~ SQ, °U X" *l ' c'est-à-dire que le point Mt {x,, y,) se trouve sur la courbe (12). 1-1-19. Fonction y — axn. Les fonctions y = ax, y = ax-, y = ai? et y = —, que nous avons étudiées ci-dessus, sont des cas particuliers do la fonction de la forme: V = axn, (13) où a el n sont des constantes quelconques. La fonction (13) est généralement appelée fonction puissance. Pour construire la courbe, ky fans 2 & i on se limitera aux valeurs positives de x et au cas où a■ = 1. Sur les lift. 22 et 23 on a représenté les courbes correspondant »«x différentes valeurs de n. Pour toutes les valeurs de n, l'équation y — xn donne y = 1 pour x— 1, c'est-à-dire que toutes les courbes passent par le point (1,1). Pour les valeurs positives de n, quand x">l, les courbes croissent d'autant plus que la valeur de 71 est plus grande (fig. 22). Pour les valeurs négatives de n (fig. 23) la fonction y = = a^1 équivaut à une fraction. Par exemple, à la place de y = ar2,
40 OH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITÉS on peut écrire i/ = — ■ Dans ces cas, lorsque x croît, les valeurs de y décroissent. Bernarquons que lorsque n est fractionnaire et possède mi dénominateur pair on considère la valeur du radical comme positive; par exemple pour t. > 0, on considère x2 = Y~â: comme positif. Les deux constantes a et n qui figurent dans l'équation (13), sont définies si l'on donne doux pointa do la courbe Mt {xlt y,) et Mz (x2, y2) de sorte que L'on a yj=aîj, y^asfy; (14) on divisant une équation par l'autre, on élimine a: Ht .,.( *i \" v2 v ** ; ' ensuite, un prenant 1« logarithme, on trouve » jnji — Injte . lu ^1—In 3¾ ayant oulenu », on obtiendra a de n'importe laquelle des équatioas f14i. Le procédé graphique pour construire un nombre quelconque de points de in courbe (13) à partir do ses points M, (*t. y,) et Mz fa, Vi) est représenté FijJ. 24 sur la fig. 24. Menons par le point 0 deux rayons quelconques faisant des angles a et j$ avec l'axe OX et avec l'axe OY\ par des poim.s donnés Mt et jtfj, menons les perpendiculaires aux axes de coordonnées jusqu'à leur intorseo- tion avec les rayons aux peints St, S2; Tt, T% fit avec lus axes aux points Qit Qi\ Jis< Ri- ^ar le point #j, menons HtT, parallèlement à JhT2 ot par le point Si menons S«Q3 parallèlement à SjQ2. En menant enfin par Ts et Q3 les droites parallèle? respectivement aux axes OX et OY, on obtiendra à leur intersection le point Ms (»3, us) de la courbo. Vu la similitude des triangles, on obtient
1-1. GRANDEURS VARIABLES 4-1 en oîîot: c'est-à-dire V3 =—^-, ou bien —2-=—^. d'où et on peut de même démontrer que: On tire de l'équation (14): (0.¾2 / ^ r » ï3 -S- = °(-H = Ba:3' c'esl^à-dire q-ue le point (z8, y3) esl bien sit-ué sur la courbe (13), ce qu'il [allait démontrer. I-i-20. Fonctions inverses. Introduisons, pour étudier les fonctions élémentaires que nous examinerons, une nouvelle notion : la notion de fonction inverse. Comme nous l'avons déjà rappelé [I-i-5], pour étudier la dépendance fonctionnolle entre les variables x et y. nous avons la possibilité de choisir la variable indépendante, et nous le faisons selon dos considérations d'ordre purement pratique. Soit une fonction y — f (x), où x joue le rôle d'une variable indépendante. La fonction définie par la même relation fonctionnelle y — f (x), quand on considère y comme variable indépendante et x comme variable dépendante £=q> (y), est appelée fonction inverse de la fonction donnée f (x), alors que cette dernière est souvent appelée fonction directe. Comme les notations pour les variables ne jouent pas de rôle important, en représentant dans les deux cas la variable indépendante par la lettre x, on peut dire que <p (x) sera la fonction inverse de la fonction / (x). Ainsi, par exemple, si l'on a les fonctions y — ax + b, y — xn, les fonctions inverses seront 2/=—^-. y=/x. Le calcul de la fonction inverse à partir de l'équation de la fonction initiale s'appelle inversion.
42 CH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES Soit la courbe représentative de la fonction y = f (x) où i est arbitraire. Il est facile do constater que cette courbe peut servir également de représentation à la fonction inverse x = <p (y). Effectivement, les deux équations y = / (x), et x — <p (y) donnent une seule et même relation fonctionnelle entre x et y. En reportant sur l'axe OX, à partir de l'origine 0, le segment correspondant an nombre x, et en menant de l'extrémité de ce segment la perpendiculaire à l'axe OX jusqu'à l'intersection avec la courbe représentative, on obtient, en prenant la longueur de cette perpendiculaire avec le signe correspondant, la valeur de y, correspondant à la valeur choisie pour x. Pour la fonction inverse, x = q> (y), on doit seulement reporter la valeur donnée de y sur l'axe OY, à partir de l'origine 0, et mener par l'extrémité de ce segment la perpendiculaire à l'axe OY jusqu'à l'intersection avec la courbe représentative. La longueur de celte perpendiculaire nous donne, avec le signe correspondant, la valeur de x, qui correspond à îa valeur choisie pour y. Ici apparaît un inconvénient: dans le premier cas, la variable indépendante x est reportée sur un seul axe, l'axe OX, et dans le second cas, la variable indépendante y est reportée sur l'autre axe. sur l'axe OY. Autrement dit, lorsqu'on passe de la fonction y — ~ f (a-) à la fonction inverse x = <p {y), on peut garder la même courbe représentative, mais on se rappellera que lois de ce passage, l'axe des valeurs de la variable indépendante devient l'axe des valeurs de la fonction, et réciproquement. Pour éluder cette difficulté, on doit faire tourner le plan en bloc, de façon que les axes OX et OY changent de place. Poux cela il suffit évidemment de faire tourner le plan de la figure en même temps que la courbe représentative, de 180° autour de la bissectrice du premier quadrant de coordonnées. Lorsqu'on fait tourner le plan, les axes changent de place, et il faut alors écrire la fonction inverse x = <p (y) sous la forme habituelle y = <f (x). Ainsi, si une fonction y = f (x) est donnée graphiquement, il suffit pour obtenir la courbe représentative de la fonction inverse y = q> (x) de faire tourner le plan de 180° autour de la bissectrice du premier quadrant. Sur la fig. 25, la courbe représentative de la fonction est tracée on trait plein, et la courbe de la fonction inverse est tracée en pointillé. On a tracé également en pointillé la bissectrice du premier quadrant, bissectrice autour de laquelle il faut faire tourner tout le plan de la figure, pour obtenir une courbe en pointillé à partir do la courbe en trait plein. 1-1-21. Fonctions multivoques. Dans tous les graphiques des fonctions élémentaires que nous avons vus ci-dessus, les droites perpendiculaires à l'axe OX ne coupaient pas la courbe eu plus d'un point, et, dans la plupart des cas, elles la coupaient effectivement
1-1, GRANDEURS VARIABLES 43 en un point. Cela signifie que pour une fonction définie par cette courbe, à une valeur donnée de x correspond une seule valeur bien déterminée de y. On dit encore de cette fonction qu'elle est univoque (ou uniforme). Si les droites, perpendiculaires à. l'axe OX, coupent la courbe en plusieurs points, cela signifie qu'à une valeur donnée de x correspon- y* — • s \ — s' ^. s \ y \ \ y r 0/ \ - \ s, 1 +*0l* y ,/ '#/ 7 y r/f / ■ "J y f 1 Ffg. 25 Fig. 26 dent plusieurs valeurs de y. De telles fonctions sont appelées mul- tivoques (ou mullijarmes). On a déjà mentionné les fonctions mul- tïvoques plus haut [1-1-51. Si la fonction y — f (x) est univoque, la fonction inverse y — — <p [x) peut être multivoque. On le voit par exemple sur la fig. 25. Analysons plus en détail un cas élémentaire. Sur la fig. 13, la courbe de la fonction y — a? est représentée en ligne continue. Si l'on fait tourner la figure de 180° autour de la bissectrice du premier quadrant, on obtient la courbe de la fonction inverse y = Vx (fig. 26). Etudions-la de plus près. Pour les valeurs négatives de x (à gauche de l'axe OY)t les droites perpendiculaires à l'axe OX ne coupent pas du tout la courbe, c'est-à-dire que la fonction y = Y x n'est pas définie pour a; < 0. Cola correspond au fait quo la racine carrée d'un nombre négatif ne possède pas de valeurs réelles. Réciproquement, pour n'importe quelle valeur positive de x, la droite perpendiculaire à l'axe OX coupe la courbe en deux points, c'est-à-dire que pour une valeur positive donnée de x, ou a deux ordonnées de la courbo : MN et M~Ni. La première ordonnée donno pour y une certaine valeur positive, et la deuxième donne une valeur négative ayant même valeur absolue. Cela correspond au fait que la racine carrée
/A CH. 1. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES d'un nombre positif possède deux valeurs, égales en valeur absolue et do signe contraire. On voit également d'après la figure que pour x = 0, on a une seule valeur y = 0. Ainsi, la fonction y ■= ]/".r est définie pour x ^. 0, possède deux valeurs pour ,r > 0 et une pour x ^-0. Hemarqnons que nous pouvons rendre notre fonction y *-r ]/~^ nnivoque, en prenant seulement une partie de la courbe de la fig. 2G. Prenons, par exemple, seulement la partie-de la courbe qui se trouve dans le premier quadrant (fig. 27). Cola revient à ne considérer que *~X *-x Fig. 27 Fig. 28 les valeurs positives d'une racine carrée. Notons également que la partie do la courbe représentative de la fonction y = Yx ropi'ésentée sur la fig. 27, vient de la partie do la courbe de la fonction y = x% (v. fig. 13), qui est située à droite do l'axe OY. On a déjà représenté sur la fig. 22 la partie de la courbe de la fonction qui se trouve dans le premier quadrant : i y = Vâ ou y — x ' Occupons-nous maintenant du cas où l'inverse d'une fonction uiûvoque est une fonction qui est aussi univoque. Pour cela, nous allons introduire une nouvelle notion. La fonction y — f (x) est croissante, si l'accroissement de la variable indépendante x entraîne un accroissement correspondant de y, c'est-à-dire si de V inégalité x2 > xt il résulte que f fe) > / (xi), Etant donné la disposition des axes OX et OY, à l'accroissement do x correspond un déplacement à droite Le long de l'axe OX, et à l'accroissement de y correspond un déplacement vers le baut le long de l'axe OY, Le trait caractéristique de la courbe d'une fonction croissante réside dans le fait que, suivant le mouvement le long de la courbe du côté des valeurs croissantes do x (à droite), on se déplaco également du côté des valeurs croissantes de ;/ (vers le haut).
1-1, Q-K.AKDEURS VARIABLES 45 Considérons la couche représentative d'une fonction croissante univoque quelconque, définie dans l'intervalle a <; x ^. b (fig. 28). Soit / (a) = c et / (b) = d; il est évident que c<zd, puisque la fonction est croissante, Si Ton prend une valeur quelconque de y dans l'intervalle c < y ■< d et que l'on mène à partir du point correspondant la perpendiculaire à l'axe OY, cette perpendiculaire rencontrera notre courbe en un point, c'est-à-dire qu'à chaque valeur de y de l'intervalle c ^ y <J <î correspond une valeur bien déterminée de x. Autrement dit, une fonction, inverse d'une fonction croissante, sera univoque. Il est facile de constater sur la courbe que cette fonction inverse sera également croissante. D'une façon analogue, la fonction y = / (x) est dite décroissante, si lors de l'accroissement de la variable indépendante x, les valeurs correspondantes de y décroissent, c'est-à-dire s'il résulte de l'inégalité .r2 ;> xi que f fa) > / (¾). On peut affirmer, comme plus haut, que la fonction, inverse de la fonction décroissante, sera une fonction univoque décroissante. Notons encore un cas important. Dans tous les raisonnements nous supposons toujours que la courbe représentative de la fonction est une courbe continue. Ce fait est équivalent à une propriété analytique de la fonction / (z), la continuité de cette fonction. Une définition mathématique rigoureuse do la continuité d'une fonction et une étude des fonctions continues seront données au paragraphe 2. Le but du présent paragraphe est de faire connaissance de notions fondamentales, dont l'étude systématique sera faite dans les chapitres suivants. En co qui concerne la terminologie, remarquons que lorsqu'on parle d'une fonction sans se référer à ses valeurs multiples, c'est que l'on suppose toujours qu'il s'agit d'une fonction univoque. 1-1-22. Fonctions exponentielle et logarithmique. Revenons maintenant à l'étude de fonctions élémentaires. Une fonction exponentielle est définie par l'égalité; y = ax, (15) où l'on considère que a est un nombre positif donné (différent de l'unité). Pour une valeur positive entière de œ la valeur de a* est évidente. Pour une valeur positive fractionnaire de x, l'expression a" est définie comme la racine a i = y/Hp ; dans le cas où q est pair, on convient de prendre une valeur positive du radical. Sans entrer pour le moment dans une étude plus approfondie dos valeurs de aK lorsque x est irrationnel, notons seulement que nous obtiendrons des valeurs approximatives de ax, lorsque x est irrationnel, de plus en plus précises, si l'on remplace la valeur irrationnelle de x par ses valeurs
iti CU. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DBS WJÏÏTES approchées comme il a été indiqué plus haut [I-1-2J. Par exemple, al = a, «''««"Vô", ffi''«I = 1<,vrârH, ... seront des valeurs approximatives de a ^, où comme on le sait: j/2 = 1,414213 ... Le calcul de a* lorsque x est négatif se ramène au calcul de ax lorsque x est positif puisque: a~x = ^ qui détermine le degré de l'expo- comnie saut négatif toujours yWfitfiWiHiVPtf y-a* y<f y-? On a convenu Fig. 29 ci-dessus do considérer positifs les radicaux dans l'expression <z« = v'av', il s'ensuit que la fonction a*, pour n'importe quelles valeurs réelles de x, est toujours positive. En outre, on peut démontrer — ce sur quoi nous ne nous attarderons pas — que pour a > 1, la fonction ax est croissante, et que pour 0 < a <C 1 elle est décroissante. On fera une étude plus approfondie de cotte fonction plus loin [1-2-20], Sur la fig. 29 on a donné les courbes représentatives de la fonction (15) pour différentes valeurs de a. Notons certaines particularités de ces courbes sur la fig. 29. Avant tout, on a, pour une valeur quelconque de a =£ 0, a0 = 1, d'où il résulte que, pour une valeur quelconque de a, la courbe de la fonction (15) passe par le point y = 1 sur l'axe OY, c'est-à-dire par le point dont les coordonnées sont x =0, y = 1. Sia > i, la courbe va de gaucho à droite (du coté dos valeurs croissantes de x) eu s'éle- vant indéfiniment; et dans son mouvement vers la gauche la courbe se rapproche indéfiniment de l'axe OX, sans le toucher. Lorsque a ■< 1, la disposition de la courbe par rapport aux axes sera différente. Dans son mouvement vers la droite, la courbe se rapproche indéfhumoiit de l'axe OX, et dans son mouvement vers la gauche, elle croît indéfiniment. Etant donné que ax est toujours positif, la courbe, bien entendu, est toujours située au-dessus de l'axe OX. .Remarquons encore, que l'on peut obtenir la courbe de la fonction y = [—] à partir de la courbe do Ja fonction y — à", en faisant tourner la figure de 180° autour de l'axe OY. Cela résulte directement de ce que, par cette rotation, x devient (~x) et ar* = ( —) .
t-î. GRANDEURS VAIHABLES 47 Remarqiions encore que, si a = 1, y — ix, el. pour chaque valeur de x on a y = 1 (1-1-12]. J7ne fonction logarithmique est définie par l'équation y = lg0a:. (16) Par définition dos logarithmes, la fonction (16) sera inverse do la fonction (15). On peut, de cotte façon, obtenir la courbe de la fonction logarithmique (fig. 30) à partir de la courbe exponentielle en. Fig. 30 Fig. 31 faisant tourner les courbes do la fig. 29 de 180° autour de la bissectrice du premier quadrant. Vu l'accroissement do la fonction (15) lorsque a >■1, la fonction inverse (16) sera également une fonction de x croissante uniforme et, par là, la fonction (16) ne sera déterminée, comme on le voit sur la fig. 29, que pour x > 0 (les nombres négatifs n'ayant pas de logarithmes). Toutes les courbes de la fig. 30, correspondant à de différentes valours de a, coupent l'axe OX au point x — 1. Cela correspond au. fait que le logarithme de l'unité est égal à zéro pour n'importe quel radical. Sur la fig. 31, on a représenté pour plus de clarté une seule courbe de la fonction (16) pour a> 1. A la notion de la fonction logarithmique sont étroitement liées les notions d'ëdielle logarithmique ot la théories de la règle à calcul. On appelle échelle logarithmique une échelle, portée sur une droite donnée, telle quo la longueur des divisions ne correspond pas au nomliro indiqué sur la division, mais à sen logarithme, de hase 10 généralement (lig. 32). De sorte que, sj_sur une division de l'échelle se trouve un nomhro s, la longueur du segment lx est égale non pas à x, mais à lg;0 x. La longueur d'un segment entre deux points de l'échelle, repérés par x et y, sera égale à (fig. 32): ï^—ïï=:|g10!/ —Ig10j5 = lglo-L ;
48 OU. I, DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES pour obtenir le logarithme du produit xy, il suflit d'ajouter au .segment isc le segment Hï/, Étant donné que le segment obtenu de cette façon sera égal à: lgio z-MgiOÏ = lgio (*#)• Ainsi, avec une échelle logarithmique, on peut ramener la multiplication et la division do» nombres à l'addition ot la soustraction de segments sur l'éch<;lle, i 'l'i'iil'i'l'i'Pfi Ii|i|i|'I'IH'|i|i|i|'v|' 6 7 "W'I'I rrr. S I ,j. f.i.i.cn xy Fig, 32 ce qui so réalise dans la pratique à l'aide de deux échelles identiques, dont l'une peut glisser contre l'autre (fig. 32 et 33). C'est sur ce principe qu'est constituée récliellc logarithmique. l'I'l'l'i'l'l'r'i'l'l / 2 +4+W4+ lihlililif' b+ ff, l 8. S 7 .S 9 1 1.4X1 ytx Fig, 33 Pour les calculs, on umploie souvent du papier logarithmique qui so présente sous la forme d'une feuille réglée, où les points de division sur les axes OX ot OY correspondent non pas à l'écholle usuelfe, mais à l'écheilo logarithmique. 1-1-23. Fonctions trigonométriqués (ou circulaires). Nous nous arrêterons seulement à quatre fonctions trigonométi'iques ionda- men taies : i/=sina;, y — cosx, y^tgx, y = cotgx, où nous exprimerons la variable indépendante en radians, c'est-à-dire que nous prendrons comme unité" d'angle, l'angle au centre te] qu'il corresponde à un arc do cercle, égal en longueur à un rayon. Fig. 34 La courbe de la fonction y — sin x est représentée sur la fig. 34. Grâce à la formule: cosa; = sin (x -|--|-)
1-1. QRANOEURS VARIABLES 49 il e3t évident qu'on peut obtenir la courbe représentative de la fonction y — cos x (fig. 35) à partir de la courbe de la fonction y ~ sin x simplement en déplaçant la courbe sur la gaucho le long de l'axe OX d'un segment -~. Fig. 35 Sur la fig. 36, on a représenté la courbe de la fonction y — tg x. La. courbe est composée d'une suite de branches infinies semblables. Chaque branche est située dans une bande de largeur ji, et se présente sous la forme d'une fonction croissante de x. Enfin, sur la fig. 37, est représentée la courbe de la fonction y = cotg x, qui est constituée également de branches infinies. Les courbes dos fonctions y — sin x et y — cos x, par translation d'un segment 2it le long de l'axe OX vers la droite ou vers la gauche, coïncident, ce qui correspond au fait que les fonctions sin x et cos x ont une période 2rc, c'est-à-dire que : sin (x £ 2it) = sin x et cos {x ± 2ji) = cos x pour tout x. Les courbes des fonctions y — tg x et y = cotg x coïncident exactement de la même façon, quand elles se déplacent d'un sogment ji le long de l'axe OX. Les courbes représentatives des fonctions: y = A$\nax, y = Aaa&ax (4>0, a>0) (17) sont semblables aux courbes des fonctions y = sin x, et y = cos x. Pour obtenir, par exemple, la courbe représentative do la première fonction (17) à partir de la courbe y — sin x, il faut multiplier les longueurs de toutes les ordonnées de cette dernière courbe par A, c(j changer l'échelle de l'axe OX, de façon que le point d'abscisse x coïncide avec le point d'abscisse —. Les fonctions (17) sont égale- ment périodiques, mais de période —. 4-281
50 CH, 1. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES Les courbes représentatives des fonctions plus compliquées: y = A sin (ax+b), y = Acos{ax+b), (18) que l'on appelle courbes harmoniques simples se déduisent des courbes des fonctions (17) par une translation à gauche le long de l'axe OX, Fig. 36 Fig, 37 d'un segmont — (on suppose b positif). Les fonctions (18) sont égale- ment de période — . Les courbes des fonctions de la forme : y = Ai sin atx + 2?t cos a^ + A^ sin azx + B2 cos a2x, qui sont une somme de plusieurs termes du type (17), peuvent être construites, par exemple, si l'on additionne les ordonnées des courbes
1-1. GRANDEURS VARIABLES 61 de chacun des termes. Les courbes ainsi obtenues sont généralement appelées courbes harmoniques composées. La fig. 38 représente la construction de la courbe de la fonction : y = 1 sin x + cos 2.x. Remarquons ici que la fonction : y^AisinaiX + BiCOsaiX (19) peut être mise sous la forme (18) et représente une oscillation harmonique simple. Fig. 38 En effet, posons: Vai+Bî Vaî+bi lT ' Nous avons évidemment : Ai = mA, Bt = nA (20) et en outre, ma + re»s=l, |m|<l, [n|<l, et, comme on le sait en trigonométrie, on peut toujours trouver un angle bit tel qiie cos bt = m, sin 64 = n. (21) En remplaçant dans la fonction (19) les expressions de At et Bi données par (20) et en utilisant les égalités (21), nous obtenons i y — A (cos bi ■ sin atx -f- sin bt • cos atx), c'est-à-dire y = A sin (aiX + bt). 4*
52 CE. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIR DUS LIMITES 1-1-24. Fonctions trigonométriques (ou circulaires) inverses. On obtient ces fonctions en inversant les fonctions trigonométriques: y^sinx, oosx, tga:, cotga; et on les désigne respectivement par les symboles: y = arc sin a;, arc cosa:, arc tgœ, are cotga;, ce qui n'est autre chose qu'une abréviation pour désigner les expressions ; l'angle (ou l'arc) dont le sinus, le cosinus, la tangente ou la cotangente est respectivement égal à x. Considérons la fonction y = are sin a;. (22) La courbe représentative de cette fonction, (fig. 39) se déduit de la courbe représentative de la fonction y = sin x, selon la règle indiquée [1-1-20]. Cette courbe est entièrement située dans une bande verticale de largeur 2, s'appuyant sur le segment —1 <^ a:-^ -|- 1 Fig. 39 Fig. 40 Fig. 41 de l'axe OX, c'est-à-diro que la fonction (22) n'est détermince que dans l'intervalle —i ^. x .^ + 1. De plus, elle est équivalente à la fonction sin y = x et, comme on le montre en trigonométrie, pour une valeur donnée de a;, on obtient un ensemble infini de valeurs pour l'angle y. Sur la courbe, nous voyons en effet que les droites
1-2. THÉORIE DES LIMITES. JONCTIONS CONTINUES 53 perpendiculaires à l'axe OX en des points de l'intervalle —>\ -< £-<; < + 1 ont avec la courbe une infinité de points communs, c'est-à-dire que la fonction (22) est une fonction inultivoque. On voit sur la fig. 39 que la fonction (22) deviendra univoque, si au lieu de prendre toute la courbe, on se limite à la partie de celle-ci, figurée en trait gras, partie qui correspond aux valeurs do l'angle y toiles que sin y = x, qui se trouvent dans l'intervalle; —5-,-S-* Les fig. 40 et 41 donnent les courbes représentatives des fonctions y = arc cos x et y = arc tg x ; on y a fait figurer en trait gras les parties de la courbe qu'il faut considérer pour que la fonction soit univoque (on laisse au lecteur le soin de tracer la courbe représentative de arc cotg x). Remarquons ici que les fonctions y — arc tg x et y — arc cotg x sont définies pour toutes les valeurs réelles de x. En notant sur la figure l'intervalle de variation de y qui correspond à la partie en trait gras de la courbe, nous obtenons une table d'intervalles dans lesquels les fonctions deviennent univoques: y Inégalités pour y arc sinx —2<y<T aro cos x 0<y<« arc tgx —t<»<t arc cotgœ 0<ï<n 11 est facile de montrer que les fonctions ainsi définies, qui s'appellent valeurs principales des fonctions circulaires, vérifient les relations : arc sin x + arc cos x = -^-, arc tg[a:+are cotg x=~ . (23) 1-2. Théorie des limites. Fonctions continues 1-2-1. Variable ordonnée. Lorsque nous parlions d'une variable indépendante x, ce qui nous importait c'était l'ensemble des valeurs que pouvait prendre x. Par exemple, ce pouvait être l'ensemble des valeurs satisfaisant à l'inégalité 0 ^ x <; 1. Maintenant, nous allons examiner une grandeur variable x prenant successivement un ensemble infini de valeurs, c'est-à-dire que ce qui nous importe maintenant, ce n'est pas seulement l'ensemble des valeurs de a;, mais aussi l'ordre dans lequel elle prend ces valeurs. D'une façon plus précise, faisons les hypothèses suivantes: 1) si x' et x" sont deux valeurs de la variable x, il est possible d'eu distinguer une première et une seconde, de façon que, si a;' précède x" et x" précède x",
54 aa. i. dBpendance fonctionnelle et théorie des limites alors af précède x" ; 2) aucune des valeurs de x n'est la dernière, c'est-à-dire que, quelle que soit la valeur de x considérée, il existe une infinité de valeurs qui la suivent. Une telle variable est appelée variable ordonnée. Par la suite, pour abréger, nous l'appellerons simplemont grandeur variable. Comme d'habitude, sans tenir compte de la signification concrète de la grandeur (longueur, poids, etc.) nous désignerons par le terme « grandeur variable ordonnée » ou simplement « grandeur variable », toute suite infinie de ses valeurs. Un cas particulier important de variable ordonnée est celui où il est possible d'indexer la suite tout entière de ses valeurs (la première, la seconde, la troisième, etc.) : %1\ *^3i #31 ■ • • î *E»i • • • i de sorte que des deux valeurs xp et xq la valeur conséquente est celle qui possède l'indice le plus élevé. En qualité d'exemple supposons que le terme général de la suite x„ est déterminé par la formule x„ = ^ (n = 1, 2, 3, . . .), de sorte que la suite est de la forme J_ ± ± A- M) Soit ensuite xn = 0,11 ... 1, autrement dit, 2„ est une fraction décimale dont la partie entière est égale à zéro, et qui comporte n unités après la virgule; nous obtenons la suite » 0,1 ; 0,11 ; 0,111, .... 0,11 ... 1, ... (2) Insérant entre deux nombres de la suite (1) le nombre zéro, nous obtenons une nouvelle suite -g". 0, -g-, 0, -g-, 0, -jg-, ..., (3) poui laquelle xt =■ -r-, x2 = 0, x3 = -r, xk — 0, x$ = -g-, etc, Parmi les valeurs de cette variable on rencontre des valeurs égales, précisément Xj, = 0 quand p est pair. Notons que la variable (1) est décroissante, c'est-à-dire que chacune de ses valeurs est inférieure à toutes les valeurs antécédentes et que la variable (2) est croissante, c'est-à-dire que chacune de ses valeurs est supérieure à toutes les valeurs antécédentes. La variable (3) n'est ni croissante, ni décroissante. Indiquons maintenant des exemples de variable ordonnée dont on ne pont indexer les valeurs. Supposons que la variable x prend toutes los différentes valeurs vérifiant l'inégalité a — & -< x < a,
1-2, THEORIB DBS I/TMITKS. FONCTIONS CONTINUES 55 où a et k sont dos nombres quelconques et k > 0. On estime alors que de deux valeurs x' et x" la valeur conséquente est la plus grande. Autrement dit, la variable x croît en prenant toutes les valeurs de l'intervalle a — k -^ x < a, fermé à gauche et ouvert à droite. Elle prend n'importe quelle valeur plus petite que a de cet intervalle, mais ne prend pas la valeur a. La première valeur de cette variable est la valeur x = a. — A, mais l'tndexation des autres valeurs de la variable n'est plus possible. Si nous posons que la variable croissante satisfait non pas à l'inégalité a — k ^ x ■< a, mais à l'inégalité a — k <L x < a, il n'y aura alors plus de première valeur do la variable x. Exactement de la même façon, on peut considérer une variable décroissante x sur l'intervalle a<Z.x*Ca + k ou sur l'intervalle a < x < a -j- k. Indiquons maintenant un exemple analogue aux précédents, mais pour lequel la variable n'est ni croissante, ni décroissante. La variable x prend toutes les diverses valeurs vérifiant l'inégalité a — k ^ x jÇ a + k, sauf la valeur x — a. Si x" et x" sont deux valeurs distinctes de x pour lesquelles les valeurs absolues des différences \x' — a | et | x" — a \ sont différentes, on adopte pour valeur conséquente celle pour laquelle cette valeur ahsolue est plus petite (celle qui est plus proche de a sur l'axe OX), et si x' — a et x" — a ne diffèrent que par leur signe (x' et *" sont à égale distance de a, mais se trouvent sur l'axe OX de différents côtés de a), on estime que la valeur conséquente est colle pour laquelle la différence mentionnée est négative (celle qui sur l'axe OX est située à gauche de a). Dans cet exemple, la variable x s'approche do a sur l'intervalle a — k < ^.x-^a + k des deux côtés, prenant toutes les valeurs sauta; la première valeur de la variable est x — a + k, la seconde x = a — — ft, et l'indexation ne peut être conduite plus loin. Si au lieu de l'intervalle a — k < x ^ a + k on prend l'intervalle a — k < <C x < a + k en conservant la définition précédente de l'ordre de variation de x, il devient alors impossihle d'indiquer la première valeur de x. Dans ce qui suit nous rencontrerons fréquemment des grandeurs variables, liées par une dépendance fonctionnelle. Supposons que la variable x soit une fonction de la variable i. Introduisons alors la notation x (t). Soit t une certaine variable ordonnée. Gela crée un ordonnancement des valeurs de x (t) ; précisément, si t' et t" appartiennent à la suite des valeurs de t et si t' est antécédent à t", alors nous estimons que parmi les valeurs de x (t) la valent x (?) précède x (t°). Dans co qui suit nous rencontrerons principalement les cas où. parmi les valeurs de la variable ordonnée t il n'y a pas de valeurs égales. Toutefois, x (t) peut prendre des valeurs égales pour différents t. Il est naturel de dire que la variable ordonnée t ordonne la variable * (t) ou que t est une variable ordonnant la variable
56 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DBS LIMITES x (t). Notons quo pour la variable indexée xt, x%, xs, ■ . . le rôle de t est dévolu à l'indice 1,2,3,.... autrement dit, t prend successivement les valeurs 1, 2, 3, . . . et par cela mBine numérote les valeurs de la variable x. La question se pose des opérations effectuées sur les variables ordonnées. Si, par exemple, x et y sont des variables ordonnées, alors on ne saurait dire sans accord préliminaire ce que signifie la somme x + y ou le produit xy, car x, comme y, est susceptible de prendre une quantité infinie de valeurs, et il reste à savoir quelles valeurs de x et de y on doit ajouter ou multiplier, pour obtenir la nouvelle variable x + y ou xy. Si x et ysont des variables indexées et «i, x2, ... et t/i, y2, . . . les valeurs successives de x et y, la somme x -f- y est déterminée comme la variable ordonnée prenant ]a suite de valeurs a;, + ?i, xz + yz, x3-{-y3,... Dans le cas général, pour la définition de l'opération effectuée sur les variables ordonnées, il faut qu'elles possèdent une même variable, les ordonnant. Supposons que les variables x et y soient des fonctions x (t) et y (t) d'une même variable ordonnée t qui ordonne x (t) et y (t). La somme de x et y est alors définie en tant que variable ordonnée x (t) + y (t) qui est ordonnée par la même variable t. Pour les phénomènes se déroulant dans le temps, la succession de valeurs de la grandeur variable peut être naturellement établie par leur ordonnancement dans le temps, et l'on utilise fréquemment le schéma du temps en se servant des expressions « avant » et « après » au lieu des valeurs « antécédente » et « conséquente ». Le présent paragraphe est principalement consacré à la théorie dos limites qui constitue la base de l'analyse mathématique moderne. On considère dans cette théorie certains cas essentiels de variation des grandeurs. 1-2-2. .Infiniment petits. A chaque valeur de la grandeur variable x correspond un point K sur l'axe numérique OX, d'ahscisse x, et la variation do x se traduira par le déplacement du point K sur l'axe OX. Supposons que toutes les diverses positions du point K lors de la variation de x restent à l'intérieur d'un certain intervalle fini de l'axe OX. 11 est équivalent de supposer que la louguour du segment Ô~K où 0 est l'origine des coordonnées sur l'axe OX reste inférieure à un nombre positif donné M. Dans ce cas, la grandeur £ est dite bornée; compte tenu de ce que la longueur du segment OK est | m |, nous pouvons donner la définition suivante. Définition. Une variable x est dite bornée s'il existe un nombre positif M tel que, pour toute valeur de la variable x, on ait \x\<M.
1-2. THEORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 57 Gomme exemple de grandeur bornée, on peut donner sin i où ( est une variable ordonnée quelconque. Dans ce cas M est un nombre arbitraire supérieur à l'unité. Considérons maintenant le cas où le point K, dans ses mouvements successifs, se rapproche indéfiniment de Porigine des coordonnées. Plus précisément, supposons que le point K, au cours de sa variation successive, pénètre à l'intérieur d'un segment S'S de l'axe OX et dont le milieu est 0, segment aussi petit que l'on veut, donné à l'avance, et que le point K reste, au cours de ses déplacements ultérieurs, à l'intérieur de ce segment. Dans ce cas, on dit que la grandeur x tend vers zéro ou que c'est un infiniment petit. Désignons par 2e la longueur du segment S'S où e est un nombre positif quelconque donné. Si le point K se trouve à l'intérieur de 57¾. la longueur de OK <. e, et réciproquement, si la longueur de OK < e, le point K se trouve à l'intérieur de S'S. Nous pouvons donc donner la définition suivante. Définition. Une variable m tend vers zéro ou est un infiniment petit, si pour tout nombre positif donné e il existe une valeur de x telle que toutes les valeurs suivantes satisfont il l'inégalité 1 x |< 8. Compte tenu de l'importance de la notion d'infiniment petit, nous donnerons une autre formulation de la même définition. Définition. On dit qu'une grandeur x tend vers zéro ou est infiniment petite si \ x | lors des variations successives de x devient et reste inférieur a tout nombre e petit positif donné à l'avance. Par « grandeur infiniment petite » nous entendons le caractère décrit plus haut do la variation d'une grandeur variable, et il ne faut pas confondre la notion de grandeur infiniment petite avec la notion souvent utilisée dans la pratique de grandeur très petite. Supposons que pour mesurer la longueur d'une parcelle quelconque, nous ayons trouvé mille mètres, avec un certain reste que nous considérons comme très petit par rapport à la dimension totale et que nous négligeons. La longueur de ce reste est définie par un nombre positif déterminé et l'expression « infiniment petit » ne peut ê(:re, évidemment, utilisée ici. Si nous avions trouvé la même longueur, dans une mesure beaucoup plus précise, nous ne l'aurions pas considérée comme très petite et nous en aurions tenu compte. Nous voyons donc que la notion de grandeur petite est une notion relative, liée aux conditions pratiques de la mesure. Supposons qu'une grandeur variable x prenne successivement les valeurs : Xj, X^t £3, ..., xni .. • et soit e un nombre positif quelconque donné. Pour nous assurer que x est un infiniment petit, nous devons démontrer que \x„ | est infé-
58 CH. I. DEPENDANCE! FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES rieur à s, à partir d'une certaine valeur de l'indice », autrement dil nous devons démontrer l'existence d'un nombre entier N tel que |xn |<8 pour n>N, Ce nombre N dépend de e. Considérons comme exemple d'infiniment petit la grandeur qui prend successivement les valeurs g, q\ q\ ...,qn, ...(0<ff<l). (4) Nous devons vérifier l'inégalité <?n<e ou rclg,0g<lgioS (0<e<l). Compte tenu de ce que lgi0 q est négatif, nous pouvons mettre l'inégalité précédente sous la forme: puisque lorsqu'on divise par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité ; par conséquent, nous pouvons prendre pour N le plus grand nombre entier contenu dans la fraction tgI0 s : Igio #• Ainsi, la grandeur considérée ou, comme on dit généralement, la suite (4) tend vers zéro. Si dans la suite (4) nous remplaçons q par (—g), la seule différence sera que dans les termes d'exposant impair apparaîtra le signe moins, et les valeurs absolues des termes de cette suite resteront les mêmes; c'est pourquoi nous aurons encore une grandeur infiniment petite. Si la grandeur x est un infiniment petit (x tend vers 0), on écrit généralement comme suit: lim x = 0, ou, pour la variable indexée: lim xa = 0. Dans les démonstrations ultérieures, à part lo premier théorème, nous conduirons la démonstration pour les variables indexées. Dans le premier théorème la démonstration sera conduite non seulement pour les variables indexées, mais aussi dans le cas général. DonDons deux propriétés des infinim'ut petits. 1. La somme de plusieurs (d'un nom i donne) infiniment petits est aussi un infiniment petit. Considérons, par exemple, la somme w = x + y + 2 de trois infiniment petits, et supposons que les variables sont indexées. Soient xt, H> xît ... l y„ j?2t 2/3, ... ; z4, z2, zs, ... les valeurs successives de x, y et z. Pour w nous obtenons les valeurs successives : Wi^x, + j/i-f-«ii u>i = xi + yî + z2, ^3=^ + ^3 + ^1---
1-2. THEORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 59 Soit s un nombre quelconque positif donné. Compte, tenu do ce gue x, y et z sont infiniment petits, nous pouvons affirmer qu'il existe un nombre Nit tel que \xn I < -g- pour n > Nt ; un nom lire iVî, tel que | yn | < -|- pour n > N2 ; un nombre Ns, tel que | ï„ | < <-£■ pour rc > W3. Si nous désignons par N le plus grand des trois nombres Nt, N2, N3, nous aurons : IXX-g-' \yn\<~, |zn|<-|- pour n>N, et, par conséquent, \wn\<\xn\ + \yn[ + \zrll<:-Y+-Y + -j pour n>N, c'est-à-dire [wn | < e pour n > TV, d'où il résulte que u> est un infiniment petit. Considérons maintenant le cas général quand x, y, 7, sont des fonctions x ((), y (t), z (t) d'une même variable ordonnante* et w(t) — •= x (t) + y (£) + z (t). Prenant en considération le fait que x, y, s sont des infiniment petits, nous pouvons affirmer: il existe une valeur t = t' telle que \ x (t) I < 4- pour toutes les valeurs conséquentes de t ; il existe une telle valeur t = t" que | y {¢) I < 4- pour toutes les valeurs conséquentes de t; il existe une valeur t" telle que | z {t) I < -5- pont toutes les valeurs conséquentes de t. Désignant par t(, celle des valeurs t', t", t" de la variable * telle que les doux autres lui soient antécédentes ou coïncident avec elle, nous pouvons affirmer que |*(0l<-§-' l»(*)l<T- lzWI<T pour toutes les valeurs do t conséquentes à £0, c'est pourquoi |u>(f)l<|a*(0l + IM*)l + K(<)i<-!-+T + T=E; | w (t) | < e pour toutes les valeurs de t conséquentes à i0, autrement dit, w est un infiniment petit. 2. Le produit d'une grandeur bornée par un infiniment petit est un infiniment petit. Considérons le produit de deux variables indexées xy: où x est une grandeur bornée, et y un infiniment petit. Par définition,
fiO CH, I, DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THfiORIE DES LIMITES il existe un nombre positif M tel que | xn | < M quel que soit n; il existe un N tel que | yn | <jj pour n > N, Nous voyons donc que: c'est-à-dire I a:„j/n | < e pour n >• N, d'où il résulte que le produit xy est un infiniment petit. On remarquera que cette dernière propriété est à plus forte raison valabio, si x = C est une grandeur constante. Le rôle du nombre M peut alors être rempli par n'importe quel nombre plus grand que | C |, autrement dit, le produit d'une grandeur constante par un infiniment petit est un infiniment petit. En particulier, si x est un infiniment petit, alors (—x) est aussi un infiniment petit. Vu l'importance fondamentale de la notion d'infiniment petit pour la suite de notre exposé, nous nous arrêterons encore sur cette notion et présenterons certaines remarques complémentaires. Estimant que 0 < g < 1, insérons entre deux termes de la suite (4) le nombre zéro. Nous obtenons la suite q, 0, q\ 0, q\ 0... On voit aisément que cette variable aussi tend vers zéro, tout en prônant ia valeur zéro un nombre infini de fois. Cela ne contredit pas la définition d'une grandeur tendant vers zéro. Supposons que toutes les valeurs conséquentes de la « variable » sont égaies à zéro. Pour la variable numérotée cela signifie que xn — 0 pour tout n, et dans lo cas de x (t), où t est une variable ordonnée, cela signifie que x (t) = 0 pour toutes les valeurs de t. Une telle « variable » est en fait une grandeur constante, mais elle satisfait formellement à la définition d'un infiniment petit. Par exemple, pour la variaMe numérotée (x„ = 0 pour tout n) | xn | < e pour tout e positif donné, quel que soit n. Si x„ = C pour tous les n et C est un nombre différent de zéro, une toile suite n'est rien d'autre qu'un infiniment petit. Reprenons les trois exemples de la variable ordonnée de [î-2-1] dans lesquels on ne peut indexer la variable et posons dans ces exemples a = 0. La première est une variable croissante prenant toutes les valeurs do l'intervalle —k <J x < 0. Pour un e > 0 donné pour toutes les valeurs de cette variable conséquentes à la valeur x = —. c, si s -^ k, nous avons | x | < s. Si s > &, alors | x \ <L e pour toutes les valeurs de x. Ainsi, x tend vers zéro (à partir des valeurs plus petites que zéro). Exactement de la même façon x tend vers zéro dans les deux autres cas : quand x est une variable décroissante prenant toutes les valeurs de l'intervalle 0 <, x <^ k, et quand x prend toutes les valeurs (distinctes) de l'intervalle —k ^ x < + k excepté x = 0 pour le cas de l'ordonnancement des valeurs défini en [1-2-1]. Pour une variable x tendant vers zéro de la manière indi-
I-ï. THEORIE DES LIMITES. PONCTIONS CONTINUES 61 quée plus haut, introduisons des notations spéciales: dans le premier cas, nous écrirons: x->- — 0 (x tend vers zéro à partir des valeurs plus petites que zéro); dans le second cas, x -*■ -+- 0 (x tend vers zéro a partir des valeurs plus grandes que zéro) ; dans le troisième cas, x -*• ± 0 {x tend vers zéro des deux côtés). Il existe, bien entendu, une infinité de manières suivant lesquelles la variable x indexée ou non indexée est susceptible de tendre vers zéro. Dans tous ces cas nous écrirons x—y 0. Dans les trois cas que nous avons précisés le zéro est affecté de signes. La particularité caractéristique du premier de ces trois cas réside dans le fait que x, en croissant, prend toutes les valeurs inférieures à zéro et suffisamment proches de zéro. Dans le second cas le même caractère de variation de x est lié à la décroissance de x. Dans le troisième cas x prend toutes les valeurs suffisamment proches de zéro, aussi bien plus grandes que plus petites, excepté la valeupr zéro. De deux valeurs x' et x" non également distantes de zéro (autrement dit \xr | ^ | x" |), on estime que la valeur conséquente est celle qui est plus proche de zéro, et de deux valeurs également distantes de zéro \x" = — af) on estime que la valeur conséquente est la valeur négative. Formulons encore une remarque. Il découle de la définition d'un infiniment petit que lors de la démonstration du fait que la variable x est un infiniment petit, il suffit de considérer uniquement les valeurs de x conséquentes à une certaine valeur déterminée x = Xq, cette valeur Xo pouvant être choisie arbitrairement. Ceci étant, il est utile d'ajouter, dans la théorie des limites, un complément à la définition d'une grandeur bornée: il est inutile d'exiger que l'inégalité | y | < M soit satisfaite pour toutes les valeurs de y ; il suffît de donner la définition plus générale suivante : Définition. Une grandeur y est dite bornée, s'il existe un nombre positif M et une valeur de ya tels que toutes les valeurs suivantes satisfont à l'inégalité \ y | < M. Avec cette définition d'une grandeur bornée, la démonstration de la seconde propriété des infiniment petits reste inchangée. Pour une variable indexée, la seconde définition d'une grandeur bornée entraine la première, de sorte que cette seconde définition n'est pas plus générale. En effet, si | xn \ <. M pour n > TV, en désignant par M' le plus grand des nombres: \xt\, \xi\, ... \xtf\ et Af, nous pouvons affirmer que | xn | < M' + 1 pour tout n. 1-2-3. Limite d'une grandeur variable. Nous avons dit qu'une grandeur variable est infiniment petite, si le point K qui lui correspond et qui se déplace le long de l'axe OX, possède la propriété sui-
02 CH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES vante: la longueur du segment OK lors de la variation de K devient et reste inférieure à tout nombre positif donné e. Supposons maintenant que cotte propriété est valable non pour le segment OK, mais pour le segment AK, où A est un point déterminé de l'axe OX, d'abscisse a (fig. 42). Dans ce cas, l'intervalle S'S de longueur 2s aura son milieu non à l'origine des coordonnées, mais au point A d'abscisse x — a, et le point K au cours de son déplacement devra pénétrer à l'intérieur de cet intervalle et y rester durant son mouvement ultérieur. Dans ce cas, on dit qne le nombre constant a est la limite de la variable x, ou que la variable x tend vers a. S' A K S o ^—jj-^-j, ^x o-fV " 1 a+£ Fig. 42 Considérant que la longueur du segment AK est | x — a \ [1-1-9], on peut donner la définition suivante: Définition. On appelle limite d'une variable x un nombre a tel que la différence x — a est une grandeur infiniment petite. Notons que a — x est aussi un infiniment petit. En tenant compte de la définition d'une grandeur infiniment petite, on peut donner la définition de la limite a de la façon suivante: Définition. On appelle limite d'une variable x un nombre a qui a la propriété suivante: pour n'importe quel nombre e positif donné il existe une valeur de la variable x telle que l'inégalité | x — a | < e {ou, ce qui revient au même, \ a — x | < e) est vraie pour toutes les valeurs suivantes de x. Dans le cas d'un ensemble indexé xt, 3>z, x3, ... pour tout nombre e donné positif il faut établir l'existence d'un «ombre entier positif N tel que | 2,, — a | < e (ou \ a — xa I < e) pour n>N. Si a est la limite de x (x tend vers a), on écrit: Iim:r = a, ou x—> a. Dans le cas d'une variable indexée: «j, x2, x3, ... on dit également que a est la limite de la suite indiquée (la suite tend vers a) et on écrit: lim xn = a, ou x^ —*■ a.
1-2. THEORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 63 Attirons l'attention sur certaines. circonstances qui découlent de la définition de la limite et que nous n'allons pas démontrer ici. 1. Une grandeur variable ne peut tendre vers deux limites différentes, autrement dit, ou bien elle ne possède pas de limite, ou bien elle possède une limite déterminée. 2. Une grandeur variable dont la limite est égale à zéro est un infiniment petit et inversement, tout infiniment petit a une limite égale à zéro. 3. Si deux variables xn et yn {n = 1, 2, 3, . . .) ou x (t) et y (l) ont pour limites a et b et vérifient au cours de leur variation successive les inégalités xn ^ yn (n = 1, 2, 3, . . .) ou x (0=¾y (t), alors a <J b. Notons que si les variables vérifient l'inégalité xn < ya, on peut obtenir l'égalité de leuv limite, autrement dit a^b. 4. Si les trois variables Xj,, y„, zn vérifient l'inégalité xn ^ yn ^ -éj z„,, et si xn et zn tendent vers une même limite a, la variable yn tend également vers cette limite a. L'existence de la limite a pour la variable x est équivalente à co que la différence x — a = a soit un infiniment petit, et cola de sorte que l'ordonnancement de a est déterminé par l'ordonnancement de x. Pour une variable indexée: xn — a — a„. Il en découle que! 5. L'existence de la limite a de la variable x est équivalente à ce que x peut être représenté sous forme de la somme du, nombre a et d'un infiniment petit, c'est-à-dire que x = a + a ou xn = a + a„, oà a ou (¾ sont des Infiniment petits. 6. Lors de la détermination de la limite a de la variable x il suffit de considérer uniquement les valeurs de x conséquentes à une certaine valeur déterminée x = x0 ', cette dernière valeur peut être choisie arbitrairement, autrement dit, on peut ne pas accorder d'attention aux valeurs de x antécédentes h x0. 7. Si la suite xit xZt x3, . . . tend vers a, alors n'importe quelle sous-suite infinie partielle xni, a^,», xna, . . . extraite de la suite initiale tend également vers a. Dans la sous-suite partielle les indices nu «2, n3, ... forment mie suite croissante d'entiers positifs, Pour une variable x non indexée tendant vers a, une propriété analogue a lieu sous une certaine réserve. Supposons que nous avons éliminé de la suite des valeurs de x certaines de ses valeurs (on quantité finie ou infinie), mais cela de telle façon que pour toute valeur fixée x = Xo la suite restante des valeurs de x contient les valeurs pour lesquelles x — xa est une valeur antécédente. Alors la suite restante de valeurs est, si l'on conserve l'ordonnancement primitif des valeurs, une variable ordonnée tendant vers a. Prenons comme exemple la variable indexée a:, = 0,1, a^ = 0,ll œ„ = 0,ll ... \ ...
64 CH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES et démontrons que sa limite est égale à -jp. Ecrivons la différence: 111 1 1 - — Xi ânn ■>•••' "5 xn" 9 ' ~ 90 ' 9 a 900 ' ' - * ' 9 "™ ~~ 9-101 » ■ ■ ■ L'inégalité ôtît™ < c est équivalente à l'inégalité suivante: 9.10">4- ou »>lg,0-|—lg»9, et on peut prendre pour N le nombre entier le plus grand, contenu 1 1 dans la différence lgî0 — — lgi0 9 (on considère e < ~). Etudions maintenant la somme des n premiers termes d'une progression géométrique décroissant indéfiniment: Sn-b+bg + bf+... + bf+ (0<|S|<1). Comme on le sait, et en donnant à n les valeurs 1, 2, 3, . . ., on obtiendra la suite "Ji U2, «3> • ■ ■ A partir de l'expression Sn, on a _± c * « !_<, *n— 1_j 3 • Le second membre est le produit du facteur constant j— par le (acteur infiniment petit g" [1-2-2]. Compte tenu de la deuxième propriété des infiniment petits [1-2-2], la différence j— Sn est une grandeur, infiniment petite et, par conséquent, le nomhre j—-• est la limite de la suite Sit S2, ... Bevenons à la variable non indexée x du paragraphe 11-2-1], définie par les inégalités a — k <1 a: <a ou a < x -< a ■+• k, ou a — fc -^ x ^ a + k, sauf pour x = a, avec la suite des valeurs de x indiquée en [1-2-1], Cette variable x possède, comme on le voit, une limite dans les trois cas, égale à a, et on indiquera les trois cas de variation de la variahle x, de la façon suivante: x-^-a — 0; x-*-a+0; œ-»-œ±0 [cf. 1-2-2]. Notons que cette désignation n'est pas liée à la grandeur du nomhre positif k, car, comme on a indiqué ci-dessus, en définissant une limito, on peut ne pas tenir compte des valeurs qui précèdent une valeur quelconque de x. Faisons encore quelques remarques et citons des exemples. La « variable » ordonnée x dont toutes les valeurs sont égales au nombre a, satisfait à la définition d'une grandeur tendant vers a.
1-2, THEORIE DES LIMITES, PONCTIONS CONTINUES 65 Par exemple, pour la variable indexée (xn = a pour tout n) | xu — a | = 0 est plus petit que tout nombre positif e fixé à l'avance pour tout n [cf. 1-2-2], Cette façon de considérer une grandeur constante comme un cas particulier de grandeur variable nous sera commode par la suite. Notons encore que si la variable x possède une limite, par exemple a, alors | x—a | < 8 pour un e>0 donné, à partir d'une certaine valeur de x, et par conséquent nous aurons | x \ < | a | + e, autrement dit, x est une grandeur bornée (remarque [1-2-2]). Une grandeur variable peut, comme nous l'avons noté, ne pas avoir de limite. Prenons par exemple lavariablo indexée %i — 0,1, x2 = 0,11, x3 — 0,111, . . ., dont la limite est -g-, et la variable y, = -£-, j/a = -gj, y3 = -p, . . ., dont la limite est le nombre zéro. 1 1 La variable indexée z( = 0,1, zB = -^, z3 = 0,11. z4 = -^, z6 — 0,111, Ze = ~23, • • • n'a pas de limite. La suite de ses valeurs successives z,, z3, z5, ... a pour limite -g- et la suite de ses valeurs z2) ^4. zB ,. . . a pour limite 0. 1 1 Prenons la suite indiquée plus haut j/i = y, «/2 = -55, \)3 — A = -jj, . . ., dont la limite est zéro et insérons entre chaque couple de ses termes les nombres 1, -5-.-p. • • •> qui sont deux fois plus grands que les précédents. Celle dernière suite tend aussi vers zéro. Nous obtenons une suite tendant vers zéro : J_ i i 1 1 1 2 ' ' 22 ' 2 ' 2» ' 22 ' " ' Les termes de cette suite, tout en s'approchant indéfiniment de zéro à partir des valeurs positives, ne décroissent pas toujours : le second est plus grand que le premier, le quatrième est plus grand que le troisième, etc. Considérons la variable non indexée qui, dcïcroissaiit sur l'intervalle (1 •< x -sj 5), tend vers l'unité, autrement dit x-> 1+0. Si nous excluons les valeurs de x vérifiant la condition 3 < x .< 4, l'ensemble restant des valeurs de x pour un même ordonnancement (décroissance) tendra aussi vers l'unité. Si nous excluons les valeurs de x vérifiant la condition 1 < x .< 2, alors on conservant l'ordre initial (décroissance) l'ensemble restant sera ordonné mais tendra non pas vers l'unité mais vers deux. Si nons excluons les valeurs de x vérifiant la condition 1 < x < 2, l'ensemble restant des valeurs de x pour l'ordonnancement initial (décroissance) ne sera pas ordonne 5—281
06 CB. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES car il aura pour dernière valeur x — 2. Cet exemple se rapporte à la remarque que nous avons faite plus haut sur l'élimination des valeurs d'une variable ordonnée non indexée. 1-2-4. Théorèmes fondamentaux. Les théorèmes que nous citerons par la suite concerneront les variables indexées. Dans le cas général, la démonstration est tout à fait analogue [cf. 1-2-21. 1. Si les termes de la somme algébrique d'un nombre fini de varia' blés possèdent des limites, leur somme possède également une limite, et celle limite est égale à la somme des limites de ces termes. Etudions la somme algébrique x — y + z, et supposons que les variables indexées x„, yn et zn (rc = 1, 2, 3, . . .) tendent respectivement vers les limites a, b et c. On a donc : 3Cn = a-\rOn, 7/n = &+pB, zn=c + yn, où an, p„ et yn sont des infiniment petits. Pour les valeurs successives de la somme x — y + z on aura xn — yn+Zn = (a + an)—(b-\-pn)-\r{c-\-ytt) = = (a-l> + c) + (an-fln + yn). La première parenthèse du second membre de cette égalité est une grandeur constante, et la deuxième un infiniment petit 11-2-2], D'où [1-2-3] : En — Vn + zrt -*■ a — b -f c, c'est-à-dire lim (x — y + z) = a — b + c = lim a: — lim y + lim z. 2. Si les facteurs du produit de plusieurs variables int des limites, alors le produit aura une limite et cette limite sera égale au produit des limites des facteurs. Considérons le produit de deux facteurs xy et supposons que les variables indexées xn, yn (n = 1, 2, 3, . . .) ont les limites a et b. En vertu de cela nous avons Xn = a + On, yn = b + pn., où an et p„ sont des infiniment petits. Pour les valeurs successives du produit xnyn nous avons XnVn, = (a + «„) (b + &) = ab -j- (œp„ + ba„, + c „p„). La somme entre parenthèses dans le second membre est une somme d'infiniment petits. En effet, les deux premiers termes sont les produits des constantes a et b par dos infiniment petits, ot dans le troisième terme le premier facteur a„ —>~ 0 est de ce fait une grandeur hornée, et le second facteur P„ est un infiniment petit. Ainsi dans le second membre le premier terme ab est une constante et
1-2. THEORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 67 le second (onIre parenthèses) est un infiniment petit II-2-2J. Par conséquent, xnyn -*■ ab, autrement dit, lim (xy) = ab=° lim x ■ lim y. 'à. Si le dividende et le diviseur sont des variables possédant uiu limite et que la limite du diviseur soit différente de zéro, le quotient possède également une limite, et cette limite est égale au quotient des limites du dividende et du diviseur. Etudions le rapport — et supposons que les grandeurs xn et yn (« = 1, 2, 3, . . .) tendent respectivement vers les limites a et b, et que 6^0. Démontrons que la différence — -*■ ~. Pour cela, Un ° il suffit de démontrer que la différence —- -=- est un infiniment Vn o petit. On a. par hypothèse: *n = « + a»i« !/n = *+P\i, où an el fS„ sont des grandeurs infiniment petites. D'où : Lo dénominateur do la fraction de la partie droite se compose de deux facteurs et en vertu des deux précédents théorèmes tend vers 6". Par conséquent, à partir d'une certaine valeur de n, le dénorni- 6a 1 nateur sera supérieur à -=- (6 =^= 0), et la fraction ., ■ . sera cornas % ' o \y~rpn) o prise, à partir de la valeur spécifiée de n, entre zéro et -5-3-, c'est-à-dire sera une grandeur bornée. La grandeur (Sa„—aprt) est un infiniment petit. Ainsi, la différence — — y est un infiniment petit. Par conséquent, — -+- 4-, autrement dit, Vn. b lim— = -r = -rr— (limu^O). Notons certains corollaires des théorèmes démontrés. Si x tend vers la limite a, la variable bxh, où b est une constante et h un entier positif, tendra, en vert» du théorème 2, vers la limite bak. Gonsidérons le polynôme / (x) = a&m + atx™-1 +...+ ahxm-R +...+ am.ix + am, où les coefficients œft sont constants. Appliquant le théorème 1 et, utilisant la remarque que nous venons de faire, on peut affirmer que quand x->~ a, ce polynôme tendra vers la limite : 11m /(*) = / (a) = a0œm + œii™"1 + ■ ■ ■ + ^™"* + ... + <W-t<* + am. 5»
(58 CH, I. DEPENDANCE FONCTIONNJSIXJS .ET THEORIE DBS LIMITES On peut, do la même façon, affirmer que lorsque x varie de la façon que nous venons d'indiquer, la fraction rationnelle <t> fVi <= ai>gm+ et*"-' + ■ ■ ■ + am-i"-!r % ^ w boXp+iia:ii-i .(..,. + &„_,*+ fv tendra vers la limite: si M* + V"1 + ■ • ■ + Via -t- 6P :jfc 0. Toutes ces propositions sont vraies, quelle que soit la manière dont x tend vers la limite a. Au lien de polynômes, ordonnés suivant les puissances d'une seule variable, nons aurions pu, bien entendu, étudier dos polynômes, ordonnés suivant les puissances de plusieurs variables tendant vers une limite. Ainsi, par exemple, pour des variablos indexées, si lim xn — a et lim tln — = b, on a : li m (*l + x„yn + yl) = a"+ai + 2>». 1-2-5. Infiniment grands. Si une grandeur variable x tend vers une limite, elle est bornée, comme nous l'avons vu. Nous allons étudier quelques cas do variation de grandeurs bornées. Gomme précédemment, nous étudierons simultanément la grandeur x et le point K correspondant, qui se déplace sur l'axe OX. Supposons que le point K se déplace de telle façon que, aussi grande que soit la longueur du segment T'T dont le milieu est à l'origine des coordonnées, le point K au cours de son déplacement se trouvera en dohors de ce segment et y restera lors de son mouvement ultérieur. Dans co cas, on dit quo x est une grandeur infiniment grande, ou bien une grandeur qui tend vers l'infini. Soit 2M la longueur du segment T'T. En tenant compte de ce que la longueur du segment OK, est | x |, on peut donner la définition suivante: On dit qu'une grandeur te est infiniment grande, ou tend vers l'infini, si \ x \, lorsque x varie, devient et reste supérieure à un nombre positif donné M. Autrement dit: une grandeur x est infiniment grande, si elle remplit la condition suivanle : pour tout nombre positif donné M il existe une valeur de la variable x, telle que l'inégalité \ x \~> M est observée pour toutes les valeurs suivantes de x. En particulier, si une grandeur infiniment grande x reste constamment positive à partir d'une certaine valeur déterminée (le point. K est à droite du point 0), on dit qno x tend vers plus l'infini (+oo). De même, si une grandeur x reste négative (le point K est à gauche du point 0), on dit que x tend vers moins l'infini (—«=).
1-2. THÉOHIÏi DBS UMITES. JONCTIONS CONTINUES 69 Pour désigner une grandeur infiniment grande, on utilise les symboles suivants ; lim x = oo, lim x = + oo, lim x — — oo. An lien de lima; = oo, on peut, évidemment, écrire lim [ x | = = + oo. Le terme « infiniment grand » n'est employé que pour formulei la propriété indiquée ci-dessus de variation d'une grandeur variable x, et ii faut distinguer ici, comme pour les grandeurs infiniment petites, la notion de grandeur infiniment grande de la notion de grandeur très grande. Si, par exemple, la grandeur x prend successivement les valeurs 1, 2, 3, . . ., on a évidemment lim x = -j- oo. Si ses valeurs successives sont: —1, —2, —3, . . ., on a : lim x = — oo,- et enfin, si ces valeurs sont: —1, 2, —3, 4, . . . nous pouvons écrire lim x = oo. Etudions encore, comme exemple, la grandeur prenant successivement- les valeurs: q, g", ..., g", ... (ff>i), (5) et soit M > 1 un nombre quelconque donné- L'inégalité qa >■ M est équivalente à: et, par conséquent, si JV* est le nombre entier le plus grand contenu dans la fraction Igt0 M : lg10 g, on aura: 5>">ii/ pour n>N, c'est-à-dire que la variable considérée tend vers + °°. Si dans la suite (5), on remplace g par (—g), seuls changent les signes des puissances impaires de q. Les valeurs absolues des termes de la suite restent les mômes, de sorte que pour les valeurs négatives de g supérieures à l'unité en valeur absolue la suite (5) tend vers l'infini. Ear la suite, lorsque nous dirons qu'une grandeur variable tend vers 11116 limite, nous sous-entendrons que cette limite est finie. On dit parfois qu'une grandeur variable tend vers une « limite infinie », en parlant d'une grandeur infiniment grande. Des définitions précédentes, il résulte que: si une variable x tend vers zéro, la variable—, où m est une constante donnée différente de zéro, tend vers l'infini, et si x tend vers l'infini, —tend vers zéro, 1-2-6. Variables monotones. En étudiant une grandeur variabfe, nous sommes souvent dans l'impossibilité de trouver sa limite, mais ce qui nous importe, c'est de savoir si cette limite existe, autremeni
70 CH, 1. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE ÛES LIMITES dit, si la variable tend vers une limite. Donnons un critère important d'existence de la limite. Supposons qu'une variable x croît constamment (plus précisément, qu'elle ne décroît jamais), ou .bien qu'elle décroît constamment (plus précisément, qu'elle ne croît jamais). Dans le premier cas, chaque valeur de cette variable n'est pas inférieuro à toutes les valeurs précédentes, ni supérieure à toutes les valeurs suivantes. Dans le second cas, elle n'est pas supérieure aux valeurs précédentes, ni jamais inférieure aux valeurs suivantes. Dans ces cas, on dit que la grandeur varie de façon monotone. Le point correspondant K sur l'axe OX se déplacera alors dans une seule direction, positive si la variable croît, et négative si elle Fig. 43 décroît. Il est certain que seules deux possibilités peuvent se présenter: ou bien le point K s'éloigne indéfiniment sur la droite («-> -*• + oo ou — oo) ou bien le point K se rapproche indéfiniment d'un point déterminé A (fig. 43), c'est-à-dire que la variables tend vers une limite. Si l'on sait que la grandeur x varie do façon monotone, et que, de plus, elle est bornée, il est évident que K ne peut pas s'éloigner iudéfinimont, et on peut affirmer que x tend vers une limite. Cette considération intuitive n'est pas mie démonstration. On donnera une démonstration rigoureuse par la suite. On formule habituellement le critère d'existence d'une limite de la façon suivante: si une grandeur variable est bornée et varie de façon monotone, elle tend vers une limite. Eludions comme exemple la suite: «i = -j-> M2 = -2T' a3=3T' ■■■• "n=:Tf ••• > (6) où x est un nombre positif donné. On a: «n = «n-i ~ ■ (7) Pour n > x, la fraction— sera inférieure à l'unité el il, < zi„_{, que la variable «n,àparth- d'une certaine valeur, diminuera continûment lorsque n croîtra, en restant supérieure à zéro. D'après ie * Le symbole n! est l'abréviation de la notation du produit 1-2-3...-n et s'appelle «factorielle n».
1-2. THÉORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 71 critère d'existence d'une limito, cette variable tendra vers une limite déterminée u. Nous allons dans l'égalité (7) faire croître indéfiniment le nombre entier n. Nous obtiendrons comme limite: m = m-0, ou w = 0, c'est-à-dire lim -^-= 0. (8) Si, dans la suite (6), nous remplaçons x par (—x), seulB changent de signe les termes d'exposant n impair, et cette suite tendra vers zéro comme auparavant, c'est-à-dire que l'égalité (8) est vérifiée pour n'importe quelle valeur donnée de x aussi bien positive que négative. Nous avons, dans cet exemple, calculé u, nous étant assurés auparavant que cette'limite existe. Si nous ne l'avions pas fait, la méthode que nous avons appliquée aurait pu nous conduire à un résultat erroné. Examinons par exemple la suite : Ui — q, u2 = q\ ,.., u„ = <?n, ... (g>l). On a, de toute évidence : Nous ne nous occuperons pas de l'existence de la limite un; nous U désignerons par la lettre u. Passant à la limite, il vient: u<=uq, c'est-à-dire u(i — ç) = 0, et, par suite, u = 0. Mais cela n'est pas vrai, car pour q >■ 1, comme on le sait, lim qn = + oo [1-2-5]. 1-2-7. Critère de Cauchy d'existence d'une limite. Le critère d'existence d'une limite énoncé en [1-2-61 est une condition suffisante mais non nécessaire d'existence d'une limite, étant donné qu'une variable [1-2-3] peut tendre vers une limite, même si elle ne varie pas de façon monotone. Le mathématicien français Cauchy a donné la condition nécessaire ot suffisante d'existence d'une limite que nous allons énoncer maintenant. Si une limite est connue, elle a la propriété caractéristique suivante : à partir d'une certaine valeur de la variable, la valeur absolue de la différence entre la limite et la variable est inférieure à un b quelconque positif donné. D'après le critère de Cauchy, pour que la limite existe, il faut et 11 suffit que, à partir d'une certaine Valeur de la variable, la différence entre deux valeurs successives quelconques de la variable soit inférieure àiii e positif quelconque donné. Donnons une formulation précise de ce critère. Critère de Cauchy. Pour qu' une variable x ait une limite, il faut et il suffit que pour tout nombre e positif donné il existe une
72 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DBS LIMITES valeur de x telle que pour n'importe quelles valeurs successives x' el z', Vinégalité | x — /|<e soit vérifiée. Supposons que nous ayons une variable indexée Xf, xZl ..., xn, ,., D'après le critère de Cauchy, la condition nécessaire et suffisante d'existence d'une limite, pour cetto suite, est la suivante: pour Fig. 44 un e positif quelconque donné il existe un N (qui dépend de e) tel que |xm — xn|<;8, si m et »>#. (9) Le fait qiie cette condition est nécessaire se justifie aisément. Si notre suite possède une limite a, on écrira xm — xn = (xm — a) + -\- (a — xn), d'où il résulte: \xm — xn\<\xm — a\Jr \a — xn\. Mais d'apvès la définition d'une limite, il existe un N, tel que | xm — a | < y et | a — xn J < -g-, si m et n > N, et par suite, I «m — 3» I < e> si m et n > N. Bref, si les valeurs de x deviennent aussi voisines que possible de a, elles deviennent aussi voisines que possihle entre elles-m&mes. Sans donner pour le moment une démonstration rigoureuse pour prouver que le critère de Cauchy donne une condition suffisante, nous allons l'illustror (fig. 44). Soit Ms un point de l'axe des coordonnées, correspondant au nombi'o x,. Supposons remplie la condition (9). D'après cette condition, il existe «ne valeur N — Ni, telle que | xs — xNi | < 1, lorsquo s>Nit c'est-à-dire que tous les points M, se trouvent, pour s>JV|, à l'intérieur du segment AiAu dont ia longueur est égale à deux et dont le milieu se trouve au point d'abscisse arjvf De môme, il existe une valeur JV = iV2 telle que \x4~ œjv2|<y, pour s>i\rs.,
i-2. THEORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUESj 73-, et l'on pout estimer que N2 ~^-Ni. II découle de ce qui vient d'être dit que tous les points x, pour s >■ N^ sont contenus dans le segment /, dont la longueur est égale à l'unité et dont lo milieu est lo point d'abscisse 3¾. D'autre part, tous ces points doivent se trouver à l'intérieur du segment A\Au d'où il ressort que les segments / et ZjÂi doivent posséder une partie commune. Soit A^Az cette partie commune. En vertu do ce que nous avons dit plus haut pour s > Nz les points M, doivent se trouver â l'intérieur du segment A'2A2. De même il existe une valeur JV" — N3^- iV2 telle que- |a;, — xk3 I <-s- pour s>> Nt. Comme précédemment, coiistmisons- le segment A'SA3 dont la longueur n'est pas supérieure à y et qui appartient au segment A'^AZ', tous les points M, pour s>N3 se trouveront à l'intérieur de ce segment. En supposant que e = -y-,. -F-, ...,—,.. ., nous obtiendrons une série de segments A'nAn, dont chacun est contenu dans le précédent, et dont la longueur tond' vers zéro. Il est évident que les extrémités de ces segments tendront vers un seul et même point A, et que le nombre a, correspondant à ce point, sera la limite de la quantité variable x, étant donné qu'il résulte de la construction indiquée ci-dessus, que pour une valeur suffisamment grande de s, tous les points M, seront aussi proches que possible du point A, Comme exemple d'application du critère de Cauchy, étudions l'équation- de Kepler, qui sert à décrire le mouvement d'une planète sur son orbite. Cette équation est de la tonne: *=gsïn*-t-a, où « et 5 sont des nombres donnés, dont le second est compris entre zéro cl l'unité, et où a: est l'ïnoennue. Prenons un nombre quelconque 3¾ et construisons la suite de nombres: xl = qsinïe+fli xz=qs'mxi-\~a, ..., *n=3sin»n_i-Ha, Xx+i^qsiitXn+a, ... Kn retranchant membre à membre la première égalité de la scoondo noua- obtiendrons: xz-~2j = g(siD «i—sin s0)=a2gsin ■ ■» - cos g . En considérant que ] sina | < |a | et | cos a | < 1, nous obtiendrons: 1 xz-xt\ <2g Lgt-'T" Ug | Xi-X„ |. (io> On peut obtenir également de la môme façon l'inégalité suivante: 1*3— SîKî-l*!!—*lli ou bien, en" utilisant l'inégalité (10), [xa— %|<!"|«r *0|.
-fa CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THËOArE DES LIMITES En continuant los mêmes calculs, nous obtiendrons peur chaque R l'Inégalité: l'.ti-JSikî4!"!-*»!. («) Etudions maintenant la différence xm — xn, en considérant peur préoiser •que m> n: *m—Xn — xm — xm-l + *:m-i~xm~i! + :':m-2—:':m-3 f-• ■. + *n+i — zn- En utilisant l'inégalité (11) et la formule donnant la somme des ternies •d'une progression géométrique, nous aurons: lx,n—xn K| xm —3m-il + | «M-i—ïm-ïl-r- + \*m-2—*m-3\-\ h\xn+l — *n\< l'ouï' un accroissement Illimité de n, le facteur g" tond vers zéro [1-2-2} ; le facteur | x{ — xq | est constant: la fraction—r^ est toujours comprise -entre zéro et ,_ , c'est-à-dire qu'elle est bornée, car pour n > n, qm'n est •compris entre zéro et l'uuité. Ainsi, pour un accroissement illimité de n. et pour m > n quolconque, la différence xm — xn tend vers zéro, et la condition (9) est satisfaite. On peut, d'après la condition de Cauchy, affirmer qu'il oxiste aine limite: Uin*n = £. Dans légalité nous donnerons à n un accroissement illimité. En utilisant le fait que lire sin x„= = sin | pour lim x^ = |, ce que nous démontrerons dans [l-2-10|, nous obUen- •drons comme limite: |=Ss£n|+«, (12) ■c'est-à-dire quo la limite | de la variable xn est une racine dû l'équation de Kepler. Pour construire la suite xn nous partons d'un n'ombre quelconque x0. Nous montrerons cependant que l'équation de Kepler ne peut avoir deux racines différentes, c'est-à-dire que lim x„ ue dépend pas du choix de x0 et est égulo à l'unique racine de l'équation de Kepler. Supposons qu'en plus de la racine 1 quo nous avons trouvée, elle possède une autre racine gj, et démontrons que 1< = £. Nous avons alors par hypothèse •outre (12): gt = <rsin£j+a. En retranchant membre à membre l'équation (12) de cette équation, nous -obtiendrons : li-|=? (sin 5,-sin |)=2? sinii=i cos iiii-, d'où, came précédemment: |51-||<2jjsin-^^|. Mais | sin a | ■< |a | peur tout anglo a, ot cbUo dernière inégalité donne : IIj-IKîIIi-II. q étant compris entre zéro et 1, l'inégalité précédente n'est vérifiée que pour 1 it — I I — 0, c'est-à-dire £i = £ et, par conséquent, l'équation de Kepler m'a qu une seule racine.
1-2. THEORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 75 1-2-8. Variation simultanée de deux grandeurs variables liées par une relation fonctionnelle. Soit une fonction y — j (x) définie sur un certain ensemble de valeurs de x, par exemple dans un certain intervalle. Utilisant les valeurs de x de l'ensemble mentionné, nous pouvons construire divers ensembles ordonnés de valeurs de la variable x, et nous obtiendrons alors les ensembles ordonnés correspondants des valeurs do la variable y — f (x) [1-2-11. La variable ordonnée x sert à ordonner / (x). Nous considérerons dans ce paragraphe un cas particulier important de ce processus. Soit une fonction / (x) définie sur un certain segment contenant Le point x = c. Choisissant un nombre positif k suffisamment petit, nous pouvons estimer que par cela même la fonction / (x) est définie sur l'intervalle c — /c<a: <; c -\- k. Considérons trois cas d'ordonnancement des valeurs do * : x ->• c — 0, x -*• c + 0, x ->• c ± 0 et la variable ordonnée/ (a;) correspondant à ces cas. Supposons que dans le premier cas la variable ait uno limite. Désignons-la par la lettre A t. Dans ce cas on écrit: lim f(x)=Ai. (13) X-*£— 0 Exactement de la même façon dans le second cas en présence d'une limite (désignons-la par la lettre An), on écrit : lim f(x)=Az. (14) 3C-*C+0 On désigne souvent les limites (13) et (14) par les symboles f (c — 0) et / (c +0), de sorte que lim f(x) = f(c~0), lim f(x) = f(c + 0). Notons que ce senties limites do / (x) quand x tend vers c de la gauche et de la droite. Dans le troisième cas, x tend vers c des deux côtés et l'existence de la limite lim f{x) = B (15) x-m:±0 est évidemment équivalente à ceci; les limites (13) et (14) existent et sont égales {Ai = Az). Dans ce cas, B = Ai — A2, Il ne faut pas confondre les symboles f (c — 0) et / (c + 0) avec / (c), autrement dit, avec la valeur de / (x) pour x = c. Dans ce qui précède nous ne nous sommes aucunement servis de cotte valeur et au cours de notre exposé précédent / (x) peut ne pas être déterminée pour x = c. Si la fonction est déterminée pour x = c et / (c — 0) = f (c + 0) = / (c), autrement dit, lim f(x) = f(c), x-n:±0 on dit alors que la fonction est continue pour x = c (au point c). Utilisant la définition de la limite pour x et f (x), on peut aisément
76 OH. 1, DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DBS LIMITES indiquer les conditions équivalentes à l'existence des limites (13), (14) et (15). L'existence de ta limite (13) est évidemment équivalente au fait'que / (x) devient arbitrairement proche de AL quand x s'approche suffisamment du point c, tout en restant inférieur à c. Plus exactement, (13) est équivalent à ceci: pour tout nombre positif donné e 11 existe un nombre positif r\ tel quo \f(x)~ ^i|<e, si 0<c-a;<ifi. (13,) t] dépend alors du choix do e. Exactement do la même façon, (14) est équivalent à ceci : pour tout nombre positif donné s il existe un nombre positif n tel que \f(x)-A2\<e, si 0<x~c<i], (14t) et (15) est équivalent à co qui suit: pour tout nombre positif donné e il existe un nombre positif % tel que: \f(x)— B|<s, si \x-c\<r\. (15t) Notons encore ce fait évident : si la limite (15) existe, alors f (x) a la limite B quelle que soit la loi de la tendance de la variable ordonnée x vers c. Une remarque analogue est valable également pour les limites (13) et (14) quand x tend vers c de la gauche et de la droite. Par la suite nous considérerons en détail la notion de continuité et les propriétés des fonctions continues. Nous nous arrêterons aux cas où x ou / (x) tendent vers l'infini [1-2-5], On peut aisément étendre les définitions précédentes à ces cas également. II n'est pas difficile, par exemple, de voir que X-4C-Q x ° liai tg 2:=+00, liai tgi=—00. Supposons que / (x) est déterminée pour tous les x suffisamment grands et que la variable ordonnée x tend d'une manière arbitraire vers +00 [1-2-5]. Alors / (x) est aussi une variable ordonnée et peut avoir une limite finie: ' lim /(z) = ,l. (16) Cela est équivalent à ce qui suit: pour tout nombre positif s donné il existe un nombre M, tel que: [/(2:)—^|<e, si x>M. (16,) En particulier, l'ordonnancement de x peut consister en ce que x augmente indéfiniment, en prenant des valeurs réelles de plus en plus grandes. On peut considérer do mémo le cas où x -*■ — 00,
1-2. THEORIE DBS LIMITES. S^N'CTIONS CONTINUES 77 Si / (x) est déterminée poux tous les x, suffisamment grands en valeur absolue, et que la variable ordonnée x tend vers oo [1-2-5], il se peut qu'existe la limite finie, pareillement au cas précédent: lim f (x) = A. Cela est équivalent à ce qui suit: pour tout nombre positif donné b il existe un nombre positif M, tel que: \f(x)-A]<l&, si \x\>M. En particulier, x peut tendre vers l'infini, en prenant des valeurs toutes dislînctos suifisamment grandes en valeur absolue. On peut les ordonner de même que nous l'avons fait en [1-2-1] pour la variable non indexée x, vérifiant la condition a — k ^ x ■< a + k (excepté x = a), Notons que pour la variable indexée «t, x2, x3, . . ., possédant la limite a, on écrit souvent au lieu de lim x„ =a lim xn — a. Dans co cas, n -y oo signifie que n augmente, on pre- n*y oo riant toutes les valeurs entières positives. On peut parier également de limites infinies de / (a:). En particulier, lim f(x)= — oo signifie que pour tout nombre négatif donné ML il existe un nombre M, tel que / (x) < Mu si x ~> M. D'une manière analogue, on peut définir d'autres cas de limite infinie. Il n'est pas difficile de démontrer les égalités suivantes: lim a:3= + oo, lim a:3= — oo, lim— = 0, ]ima^=+oo, 2-±- ,. 3x+5 .. x ~ a;2 „ hm*njrr = iim i—,0- Etudions encore un exemple pbysique. Supposons que nous faisons chauffer un corps solide, et soit /0 sa température initiale. Sous l'effet de la chaleur, la température du corps va s'élever jusqu'à ce qu'elle atteigne le point de fusion. Si l'on continue de chauffer,
78 CH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES la température restera invariable jusqu'à ce que le corps passe entièrement à l'état liquide, et que recommence à s'élever la température du liquide formé. Une situation analogue se présente lors dn passage de l'état liquide à l'état gazeux. Nous considérerons que la quantité Q de chaleur communiquée à ce corps est une fonction de la tempéra- cr o\ '7 t, Fig. 45 Fig. 46 ture. Sur la fig. 45 on a représenté la courbe de cette fonction, la température est portée sur l'axe horizontal, et la quantité de chaleur absorbée sur l'axe vertical. Soit t\ la température à laquelle le corps commence à passer à l'état liquide, et ts la température à laquelle le liquide passo à l'état gazeux. Il est évident que: lim Ç = ord. ÂB et lim <? = ord. M. t-»ll-0 l-^l-H La grandeur du segment BC donne la chaleur latente de fusion, et la grandeur du segment ËF donne la chaleur latente de vaporisation. SI les limites / (c — 0) et f (c -\- 0} existent et sont différentes, la différence f (c + 0) — / (c — 0) est le saut de la fonction f (x) pour x = c (au point x = c), La fonction y = arc tg—=—a, pour x = c, un saut égal à n. La fonction Q (t) qoo nous venons d'étudier a, au point de fusion t — t\, un saut égal à la chaleur latente de fusion. En déterminant la limite / (x) pour x tendant vers c, nous avons considéré que x tend vers c sans jamais se confondre avec lui. Cette réserve est essentielle, car la valeur de / (x) pour x = c n'existe pas toujours, ou bien n'a rien de commun avec les valeurs de / (x) pour les valeurs de x voisines de c. Ainsi, par exemple, la fonction Q(t) n'est pas déterminée pour t = t,. (: ~t-t
1-2. THÉORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 7g> Etudions encore un exemple pour éclaircir ceci. Supposons que,, dans l'intervalle (—1, +1). la fonction est définie de la façon, suivante: y^x+1 pour —l<ar-<0; y = x—{ pour 0<a;<l; y = 0 pour œ = 0. On a reproduit sur la fig. 46 la courbe représentative de cette fonction, qui se compose de deux segmeiits de droites, à l'exclusion desextrémités (pour x — 0), et d'un point particulier, l'origine des coordonnées. Dans ce cas nous aurons : lim/(a;) = l, lim / (a;) = - î, /(0)=0. x-*—0 *-*-j-0 1-2-9. Exemples. 1. On sait que pour tout x est vérifiée l'inég-ali- té | sin x | -^ | x | et que le signe d'égalité n'a lieu qno pour x = 0. Rappelons quo la variable x est alors exprimée en radians. Il découle de ce que nous venons de dire que pour tout nombre positif donné 8 nous avons | sin x \ < e, si | x \ < 6, autrement dit, lim sina;=0. K-l-jfcft 2. Nous avons encore : autrement dit, 0<1 — cos xt£~, d'où il découle que [1-2-31 lim cosa: = l. 3. Considérons le rapport sin x Cette fonction est déterminée pour tous les x sauf x = 0, car pour x = 0 le numérateur et le dénominateur s'annulent et la fraction n'a plus de sens. Etudions la variation de y quand x->~ ± 0. Quand le signe de x varie, la grandeur y ne varie pas, de sorte qu'il suffit de supposer que x -*• + 0. Montrons que y ->• 1 quand a;-»- + 0. Nous obtiendrons la même limite quand x-*- — 0. Notons que nous ne pouvons utiliser le théorème sur la limite du rapport car le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro quand a;-*- + 0.
SO Cn. I- DEPENDANCE FONCTIONNEI/DE ET THEORIE DES LIMITES Nous considérerons x comme l'angle au centre d'un cercle de rayon unité (fig. 47). Prenant en considération le fait que surf. &AOB < < surf, secteur AOB < surf. /\AOC, nous obtenons: 1 . 1 1 (°<*<f). •d'où en divisant par -g-s'11*! nous obtenons : *<: - i , "~cos a OU 1 > >>cosa;. (17) Mais cosa:—»1 quand x~> + 0, d'oui ,. 3111 .r , lim =1 et, en vertu de ce que nous avons dit plus haut, Pig. 47 ,. sin x . lim =1. Déterminons pour ce cas le nombre t|, qui entre dans la condition (15,). .Retranchant de un' les trois parties de l'inégalité (17), nous obtenons 0<1_ËE£<1. ■d'où il découle que (0<*<i), 1 <8, si 1 — cos x < e. Mais, comme nous l'avons déjà vu plus haut, 1 — cos x <-5-, et il suffit de choisir -5-<e, c'est-à-dire j x \ < <\T2z. Ainsi, dans le cas présent, |/2e peut jouer le rôle du nombre T|. 1-2-10. Continuité des fonctions. Donnons encore une fois la définition de ta continuité d'une fonction au point x = c, lorsque cette fonction est déterminée en ce point et dans son voisinage à gauche et à droite. Définition. La fonction f (x) définie pour x = c et pour toutes les valeurs de x, suffisamment proches de c, est dite continue pour x = c (au point c), si la limite de f (x) existe pour x -*• c ± 0 et si cette limite est égale à f (c): lim /(*)=/(«). x-*c±Q (18)
1-2. THÉORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES Si Rappelons qu'il revient au mémo de dire que : les limites f (c—0) et f (c -\- 0) à gauche et à droite existent, et ces limites sont égales entre elles et égales à f (c), autrement dit, f (c — 0) = / {c + 0) = / (c). Il découle de [1-2-81 que cette définition équivaut également à ce qui suit : pour un nombre quelconque positif donné e, il existe un nombre positif x\, tel que |/(z)—/(c)|<e pour \x—c|<u. (19) Nul besoin de spécifier que x ^ c, car / [x) — / (c) = 0 pour x = c. Nous pouvons le formuler autrement ainsi : f (x) — / (c) —»- 0 pour x — c -*■ ± 0. La différence x — c est l'accroissement de la variable indépendante, et la différence / (x) — / (c) l'accroissement correspondant de la fonction, c'est pourquoi la définition donnée de la continuité d'une fonction est souvent ainsi formulée : Une fonction est dite continue en un point x = c, si à un accroissement infiniment petit de la variable indépendante (à partir d'une valeur initiale x = c) correspond un accroissement infiniment petit de la fonction. Remarquons que la propriété de continuité, exprimée par l'équation (18), permet de trouver la limite d'une fonction, en remplaçant la variable indépendante par sa limite. Nous voyons, d'après les formules citées [1-2-41, qu'un polynôme entier en x et le quotient de tels polynômes, c'est-à-dire une fonction rationnelle de x, sont des fonctions continues pour n'importe quelle valeur de x-, sauf les -valeurs pour lesquelles le dénominateur de la fonction rationnelle s'annule. La fonction y — b sera, de toute évidence, continue, cette fonction gardant la même valeur pour toutes les valeurs de x [1-1-121. Toutes les fonctions élémentaires que nous avons étudiées dans le premier chapitro (fonctions puissance, exponentielle, Jogarithmi- que, trigonométriques et circulaires inverses) sont continues pour tontes les valeurs do x pour lesquelles elles existent, sauf les valeurs pour lesquelles elles tendent vers l'infini. Ainsi, par exemple, lgio x est une fonction continua de x pour toutes les valeurs positives de xy tg x est une fonction continue de x pour toutes les valeurs de x, sauf les valeurs * = (2fc+ 1)-5-, où k est un entier quelconque. Notons encore la fonction uv où u et v sont des fonctions continues de x, où l'on suppose que u ne prend pas de valeurs négatives. Dans les ouvrages mathématiques russes elle est appelée fonction puissance-exponentielle, (N.R.). Elle a aussi la propriété de continuité, excepté pour les valeurs de x pour lesquelles u et v sont simultanément égaux à zéro, ou bien pour u — 0 et u < 0. 0—281
82 OH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THfiOME DBS LIMITES 11 faudrait démontrer de façon rigoureuse l'affirmation que nous avons faite sur la continuité des fonctions élémentaires, niais noua l'adopterons sans démonstration. Par la suite nous considérerons cette question plus en détail. Démontrons uniquement la continuité de la fonction sin x pour tout x — c, en utilisant la définition (19). Nous avons [cf. 1-2-7]: siit x— sin c = 2 sin —=— cos 2 *"" 2 ' d'où il découle : I - -loi' x — C M X-\-C | ^„1 , £ —C | jsina;—sinc| = 2 sin—s— cos—«— <2 sm—=— ■ Mais jsina|<|a| pour tout angle a et, par conséquent, ( sin a;—sinc|<|a;—c|. Pour avoir | sin x — sin c | < e, où e est un nombre positif donné, il suffit d'estimer que | x — c \ <£ e, autrement dit, le nombre s peut jouer le r&ie de i\ dans la définition (19). Il n'est pas difficile de démontrer que la somme ou le produit d'un nombre entier fini quelconque de fonctions continues est également une fonction continue ; cela est valable également pour le quotient de deux fonctions continues, sauf pour les valeurs de la variable indépendante pour lesquelles le dénominateur tend vers zéro. Etudions un cas particulier seulement. Supposons que les fonctions cp (x) et t|3 (x) sont continues pour x = a et que t|> (a) =^ 0. Formons Ja fonction : /(z)-^M. En utilisant le théorème de la limite d'un quotient, on obtiendra : iim<p(a} ce qui prouve ia continuité du quotient / (x) pour x = a. Voici un exemple très simple. Etant donné que y = sin x est une fonction continue de a;, y = b sin x, où b est une constante, sera également une fonction continue, puisqu'elle est le produit des fonctions continues y = b (voir plus haut) et y — sin x. Revenons maintenant à la fonction y = . Pour x = 0, cette fonction n'est pas définie, mais nous savons que lim y = 1. «-►±0 C'est pourquoi, si nous supposons que y = 1 pour x = 0, y sera une fonction continue au point x = 0.
1-2. THÉORIE DES UMITES. FONCTIONS CONTINUES 83 Cette façon de trouver la limite d'une fonction, lorsque x tend vers un point 0¾ elle n'est pas définie, s'appelle calcul d'expressions indéterminées et la H mile elle-même, si elle existe, s'appelle parfois la vraie valeur de la fonction au point où elle n'est pas définie. Nous aurons par la suite beaucoup d'exemples où nous aurons à lever l'indétermination. 1-2-11. Propriétés des fonctions continues. Nous avons défini pins haut la continuité d'une fonction pour une valeur donnée de .r. Supposons maintenant (rue la fonction est définie sur un intervalle borné a < x <1 b. Si elle est continue pour n'importe quelle valeur de x de cet intervalle, on dit qu'elle est continue dans l'intervalle {a, b). Remarquons ici que la continuité de la fonction aux bornes de l'intervalle x ~ a et x = b s'exprime: lim /(*) = f(o), lim f(x) = f(b). K-to-fO SC-tb— 0 Toutes les fonctions continues possèdent les propriétés suivantes : 1. Si une fonction } (x) est continue dans l'intervalle (a-, b), il existe dans cet intervalle au moins une valeur de x pour laquelle f (x) prend sa plus grande valeur, et au moins une valeur de x pour laquelle la fonction prend sa plus petite valeur. 2. Si la fonction f (x) est continue dans l'intervalle (a, b), tandis que f (a) — m et f (b) — n, et si k est un nombre quelconque compris entre m et n. il existe dans l'intervalle (a, b) au moins une valeur de x pour laquelle f (œ) est égale à k; en particulier, si f {a) et f (b) sont de signes différents, il existe à l'intérieur de l'intervalle (a, b) au inoins une valeur de x pour laquelle f (x) s'annule. Ces deux propriétés deviennent tout à fait évidentes, si l'on considère que, lorsqu'une fonction est continue, sa courbe représentative se présentera sous forme d'une courbe continue. Cette considération ne peut, bien entendu, servir de démonstration. La notion de courbe continue, évidente à première vue, s'avère extrêmement, complexe si l'on fait une étude plus poussée. La démonstration rigoureuse des deux propriétés énoncées, ainsi que de la suivante, est basée sur la théorie des nombres irrationnels. Nous admettrons ces propriétés sans démonstration. Dans les derniers alinéas du présent paragraphe, nous dégagerons les bases de la théorie des nombres irrationnels et le lien entre cette théorie et la théorie des limites, et les propriétés des fonctions continues. Notons que l'on peut formuler la deuxième propriété des fonctions continues de la façon suivante : lorsque x varie do façon continue de a à b, la fonction continue / (x) passe an moins une fois par tons les nombres qui se trouvent entre / (a) et / (b). 6»
84 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES Sur les fig. 48 et 49 cm a tracé la courbe représentative d'une fonction, continue dans l'intervalle (a, b), où / (a) < 0 et / (6) > 0. Sur la fig. 48, la courbe coupe une seule fois Taxe OX. et pour la valeur correspondante do x, la fonction / (x) s'annule. Dans le cas de la fig. 49, il n'y aura pas une mais trois valeurs de ce genre. +-X Fie. 48 Nous1 allons passer maintenant à la troisième propriété des fonctions continues, qui apparaît moins évidente crue les deux précédentes. 3. Si une fonction / (x) est continue dans l'intervalle (a, b) et si x ~ xa est une valeur déterminée de x dans cet intervalle, d'après la convention (19) en II-2-10J {en remplaçant c par xq), pour n'importe quel 8 positif donné, il existe un T], dépendant évidemment de c, tel que \t{x) — /(zo)|<8, si \x — a;0|<n, où nous considérerons x, bien entendu, comme appartenant à l'intervalle (œ, 6). (Si, par exemple, xq = a, x sera obligatoirement supérieur à o, el si x0 = b. x < b.) Mais le nombre r\ peut ne pas dépendre seulement de e, mais aussi de la valeur de x = x0 de l'intervalle (a, b) que nous examinons. La troisième propriété des fonctions continues réside dans le fait que pour un c quelconque donné, il existe vti seul et même t\ pour toutes les valeurs xo ^e l'intervalle (a, b). Autrement dit, si f (x) est continue dans l'intervalle (o, 6), pour e positif quelconque donné il existe un nombre T| positif, tel que \f(x")-f(x') |< 8 (20) pour n'importe quelle valeur x' et x" de l'intervalle (a, b) vérifiant
1-2. THEORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 85. l'inégalité \x"-x'\<ii\. (21) Ou appelle cotte propriété la continuité uniforme. Ainsi, si une fonction etst continue dans l'intervalle (a, b), elle est uniformément continue dans cet intervalle. Remarquons encore une fois que nous avons supposé la fonction / (x) continue non seulement pour toutes les valeurs do x se trouvant dans l'intervalle (a, b) mais aussi pour les valeurs x — a et x = b. Nous allons préciser les propriétés de continuité uniforme par un exemple. D'abord, écrivons les inégalités précédentes sous une autre forme, en remplaçant ia lettre x" par x, et x" par (x + h). Ici x" — x' = h représente l'accroissement do la variable indépendante et / (a: + fe) — / (a;) représente l'accroissement correspondant de la fonction. On écrit la propriété de continuité uniforme de la façou suivante : |/(a:-4-fe)-/(ar)|<8, si \h\<Lr\, où x et (x + h) sont deux points quelconques de l'intervalle (a, b). Etudions comme exemple la fonction Dans ce cas nous avons ; i{x+h)—f (s) = (:t + h)s—ï2 = 2xft+fe2. Pour touto valeur donnée do x, l'expression {2xh + A1), exprimant l'accroissement do notre fonction, tend évidemment vers iséro si l'accroissement de la variable, indépendante tend vers zéro. Cela confirme une nouvelle fois (1-2-10] quo la fonction choisie est continua pour toute valeur de x. Par là même elle sera continue, par exemple, dans lMUtcrvallo —!<«-<: 2. Démontrons qu'elle sera uniformément continue dans cet intervalle, U nous faut vérifier l'inégalité \2xh+ht\<e (22) par mi choix correspondant du uombre u. dans l'inégalité | h | <i|, en outre, x ot (x -f- h) doivent appartenir à l'intervalle (—1, 2). On a 1 2seft+ A2 1 < 121¾ |+fc*=2 | * | ( h | + h*. Mais la plus grande valeur do | x | dans l'intervalle^—1, 2) est égale à doux, ot c'est pourquoi ou peut remplacer l'inégalité précédente par une autre, plus forto : On considérera, en tout cas. que | h | <C 1. Dans ce cas, ft3 < | h |, et on peut transcrire l'inégalité précédente sous la forme: |2a*+ft*|<d|ft| + |fc| ou |2zfc+fc=|<5|H
86 Cit. ]. DÉPENDANCE ÏOKCTIONNELIJÎ ET THÉORIE DES LIMITES Il est certain que l'inégalité (22) sera satisfaite, si nous exigeons que | h \ vérifie la condition 5 | A | <; e. Ainsi, h doit satisfaire aux deux Inégalités: |fe|<l et |fe|<|-. On peut prendre à la place du nombre n le plus petit des deux nombres i et -p-. Pour les petites valeurs de e (précisément quand e < 5), on doit prendre r\ = -=- , et il ust évident en tout cas que n sera, pour ? donné, le même pour toutes les valeurs do x de l'intervalle (—1, 2). Les propriétés indiquées ne sont plus valables dans le cas de fonctions discontinues ou de (onctions continues seulement à V Intérieur d'un intervalle. Etudions la fonction représentée sur la fig. 46. Elle est définie dans l'intervalle (—1, -f-1) et présente une discontinuité pour z=0. Parmi ses valeurs, il y en a qui sont aussi voisines que possible de l'unité, mais elle ne prend pas de valeur éxalc à l'unité, ni de valeurs supérieures à l'unité. Ainsi, parmi les valeurs de cette fonction, iln'ya pas de plu3 grande valeur. Dotnème, iln'yapas, parmi ces valeurs, de plus petite valeur. La fonction élémentaire y = x ne prend pas dans l'intervalle (0, 1) ni do plus grande valeur ni de plus petite valow. Si l'on considère cette fonction dans l'intervalle fermé (0, i), elle atteindra sa plus petite valeur pour x — 0 et sa plus grande valeur pour œ=l. Etudions encore la fonction /(2) = sin—, continue dans l'intervalle 0<x <^1, ouvert x 1 i à gauclie. Lorsque * tond vers zéro, l'aTgumciit — croît indéfiniment, et sin — oscille outre (—1) et (+1) et n'a pas de limite pour œ-i- -\-0. Montrons que la fonction étudiée n'est pas uniformément continue dans l'intervalle 1 2 0<i <1. Examinons deux valeurs: x'=—- et x" <=-r,—t-t?— , où n est nn (in-f-l) n ua nombre entier positif. Elles appartiennent toutes deux à i'intervallc mentionné quel quo soit n. Nous avons; /(«')=sinnn=0, f{x")^sm f 2nn -\-~\ — 1. Ainsi : 2 1 /(ï")-/(s') = 1 et «*—»'=T7 (■•î«+l)n nn P» , - . - (21), il résulte que | / (x") — f (x) | <; 1 ; cela résulte du choix de a — i dans la formule (20). \ Prenons la fonctien / (x) — x sin—. Pour «-»—{-0, le premier facteur x 1 tond vers zéro, et ie second sin — ne dépasse pas l'unité en valeur absolue, et c'est pourquoi [1-2-81 / (x) -*■ 0 pour x -+ _|-0. Pour x — 0, lo second facteur n'a pas do son$. mais si nous complétons la définition de notre fonction, ou posant / (0) = 0, c'est-à-dire si nous considérons que / (x) = x sia — pour 0 < <; x •< 1 et1 (0) = 0, nous obtiendrons alors une fonction continue dans Via-
1-2. THEORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 87 1 1 tervalUs terme (0, 1). Los fonctions sin — et x sin — sonl, comme on le voit, x x continues pour n'Importe quelle valeur de x différente de zéro. 1-2-12. Comparaison des infiniment petits et des infiniment grands. Dans co qui suit nous désignerons par les lettres a et p des variables ordonnées, possédant une même variable d'ordonnancement (l'indice n ou la variable t), de sorte que nous pouvons effectuer des opérations élémentaires sur ces variables. Si a et B sont deux variables tendant vers zéro, le théorème de o la limite d'un quotient n'est pas applicable à leur quotient £• et sans recherches supplémentaires nous ne saurons rien dire à propos de T existence d'nne limite de ce quotient. Nons estimerons que les variables a et fi, qui tendent vers zéro, ne prennent pas la valeur zéro au cours de leur variation. Si lo rapport — tend vers une limite finie œ, différente de zéro, le rapport-g- tend aussi vers nne limite finie —, différente do zéro. On dit dans ce cas que a et 6 sont des Infiniment petits du même ordre. Si la limite du rapport— est égale à zéro, on dit que 6 est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à a, et que a est un infiniment petit d'ordre inférieur par rapport à 6. Si le rapport-^- tend vers l'infini, -2- tend vers zéro, c'est-à-dire que p1 est d'ordre inférieur par rapport à a, et que a est d'ordre supérieur par rapport à p\ Il est facile de montrer que si. « et p sont des infiniment petits du même ordre et y un infiniment petit d'un ordre supérieur par rapport à et, y sera également un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à (3. Par hypothèse— ->• 0 et le rapport -g- a une limite fi- Die non nulle. De l'égalité -2-=X. -2-, d'après le théorème sur la limite du produit, il résulte que X->-0 et notre affirmation est démontrée. Un cas particulier important est celui des infiniment petits du. même ordre. Si -^- -»-1 (et. dans ce cas —tond aussi vers 1), les infiniment petits a et p sont équivalents. De l'égalité ^-^- — -f- —1 il résulte que l'équivalence de a et p entraîne que la différence P — a est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à a. De l'égalité ■ a" — 1 — Tj- il résulte de même que l'équivalence entraîne que (J — a est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à p.
88 CH- I- ttÊPENDAÎs'CE FONCTIONNELLE ET THSORIH DES LIMITES a Si le rapport -^j-, où Je est un nombre positif constant, tend vers une limite finie, non nulle, on dit que p est un infiniment petit d'ordre k par rapport à a. Si -^- -> c, où c est un nombre no» nul, alors -jjjj;—»- 1, c'est-à-dire que p et ca* sont dos infiniment petits équivalents, et par suite la différence v *= P — cafe est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à p (ou par rapport à a*). Si l'on, prend a pour infiniment petit principal, l'égalité p = cah + y, où y est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à «', représente la différence entre l'infiniment petit p et l'infiniment petit cnk (d'ordre inférieur pai' rapport à a) de sorte que le reste y est «m infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à p (ou par rapport à ak). On compare deux infiniment grands u et v de façon analogue. Si — teDd vers une limite finie, non mille, on dit que u et v sont dos infiniinent grands du même ordre. Si — -*- 0, alors— ->oo.Dans u v ce cas, on dit que v est un infiniment grand d'ordre inférieur par rapport à «, et que u est un infiniment grand d'ordre supérieur par rapport à v. Si 77-»-4« otL dit que les infiniment grands sont équivalents. Si —j-, où /c est un nombre positif constant, a une limite finie, non nulle, on dit que v est un infiniment grand d'ordre k par rapport.à u. Tout ce qui a été dit plus haut des infiniment petits reste valable pour les infiniment grands. Remarquons encore que, si le rapport — ou — no possède pas de limite, on dit que les infiniment petits ou les infiniment grands ne sont pas comparables. I-2-i3. Exemples. 1. Nous avons vu plus haut quo lim 5*^=1, *->0 * c'est-à-dire que Sin x et x sent des infiniment petits équivalents, et par suite, la différence sin x —■ x est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à x. Nous verrons plus loin quo cotte différence est équivalente à —-g- x3, c'est- à-dire qu'elle est un infiniment petit du troisième ordre par rapport à x. 2. Montrons quo la différence 1 — cos x est un infiniment petit du second; ordre par rapport à x. En effet, à l'aide d'une formule trigonométriquo bie»
1-2. THÉORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES &> connue et des transformations élémentaires, il vient: , 2sin*|- , / sîn|- 1 — oos a: 2 1/ 2 a* 2 Si œ->-0, alors a = — tend aussi vers zéro, et, comme nous l'avons montre t sin-rr .. 2 .. sui a , lim = i]m = 1. 2 et par suite, .. 1—C03Z 1 c'est-à-dire quo, on effet, 1 — cos x est un infiniment petit du second ordrer par rapport à x. 3. De la formule ■\/i+x—i*= .,—L— il résulte: 1/ï+i—1 » Vl + x+1 d'où „_ Vï+^-i . 1 lim ■■ = 7t > C'est-à-dire que VI -(-a — 1 et a; sont des infiniment petits du même ordre, et ~]/t + a; — 1 est équivalent à -gx. 4. Démontrons qu'un polynôme de degré m est un infiniment grandi d'ordre m par rapport à x. En effet: aBx"> + gia"-t-i- ■. ■ + am-tx+ «m lim ——5= ■iîïï (-+-5-+-+5^+^)- o0. Il n'est pas difficile de voir quo deux polynSmes de mémo degré sont, pour*-*- <»,, des infiniment grands du mémo ordre. Leur rapport n pour limite le rapport des coefficients des termes de degré le plus élevé. Pai exemple: S+A-J- J^ 7-^-+2,+4 = ^ TTT-r-T •
•30 CH. T. DEPENDANCE FO NCTIONWELLB ET THÉORIE DES LIMITES SI les degrés de deux polynômes sont différants, pour x -*- oo, celui d'entre •eux dont le degré est plus élevé, sera un infiniment grand d'ordre supérieur par rapport à l'autre. 1*2-14. Le nombre e. Etudions un exemple do variable important pour la suite, soit lu variable qui prend les -valeurs : (*+•!)■. ■où n croît en prenant des valeurs entières positives, et tend ainsi ■vers +00. En appliquant la formule du binômo de Newton, on «obtiendra: . , »(»-!) ("--2)... (n—fc-H) 1 . . + •••+ Fi ^+---+ ■ n(n—l)(n—2) ..-2-1 1 "■" b! n" ~ -i + i+f(i-4-)+À(i-i)(i-l) + - + +*(*-4)M)-(*-^) + - + Cette somme contient (n + 1) termes positifs. Lorsque le nombre «entier n croît, d'uno paît le nombre de termes croît, et, d'autre part, chacun des termes croît également, car dans l'expression -du terme général * M ne varie pas, mais les différences qui se trouvent entre parenthèses croissent avec n. Nous voyons ainsi qno la variable étudiée •croît avec re, et pour s'assurer do l'existence d'une limite de cette variable, il suffit de démontrer qu'elle est bornée. * Le produit (1 1 11 1 ... Il ) est obtenu à partir do la fraction "^ ' ' ""* - , si on divise par n chacun des k facteurs -du numérateur, en tenant compte de ce que le nombre des facteurs n du dénominateur est aussi égal à k.
1-2. THÉORIE DES LIMITES. PONCTIONS CONTINUES 91 Remplaçons dans l'expression du terme général chacune des différences notées par l'unité et tous les facteurs entrant dans Al, à partir de 3, par 2. Le ternie général augmente, et nous aurons, en appliquant la formule de la somme des termes d'une progression géométrique : (1+7^1 + 1+^+.-+^+...+^- = 1 + —r-=3—2^r<3> c'est-à-dire que la variable (1-)—J est bornée. Nous noterons la limite de cette variable par la lettre e: lim [1-1—) =e (n est un entier positif). (23) II est évident mie cette limite ne peut être supérieure à 3. Dans ta formule (23) l'entier n peut, évidemment, tendre vers +oo de n'importe quelle façon. Nous allons démontrer maintenant que l'expression (1 -) 1 tendra vers la même limite e, si x tend vers -foo, en prenant n'importe quelles valeurs. Soit n l'entier le plus grand contenu dans x, c'est-à-dire que »<«<» + l. Le nombre n tend vers -|-oo en même temps que x. Prenant en considération que si la .base positive supérieure à l'unité augmente, ainsi que l'exposant de la puissance, la puissance elle-môme augmente. On peut écrire : (i+^r<(^r<(^r- <«> Mais en tenant compte de (23) : \2Zn±t) e = T = fi et hm (M -r = lim —. ^—'— „.,+«, \ ■ b+i; „_*+,„ /1H i_\ ja.c+4r-j5.[(*+èr(«+i)]-'- Ainsi, les termes extrêmes de l'inégalité (24) tendent vers une limite e et c'est pourquoi le ternie intermédiaire doit aussi tendre
92 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET -THÉORIE DBS LIMITES vers cette limite, autrement dit: lim (l + ±Y=e. (25) Etudions maintenant le cas où x tend vers —oo. Introduisons à la place de x une nouvelle variable y, posant On voit d'après la dornièrc égalité que lorsque x tend vers —oo, y tend vers +00. En faisant dans l'expression (i -\ j le changement de variables, et en tenant compte de l'égalité (25), nous obtiendrons: lim (l-|-i)*= lim (_=L)-*-»= lim (i±l)l+^ -^[(^Tr^+f)]-1-- Si x tend vers 00, quel que soit son signe, c'est-à-dire | x | -*• —v- -\- 00, il résulte de ce qui précède que dans ce cas aussi Mm (1+ 1)*-*. (26) Nous indiquerons par la suite un moyen commode pour calculer le nombre e avec la précision que l'on désire. Ce nombre est irrationnel et en allant jusqu'à la septième décimale on a e==2,7182818 ... 11 n'est pas difficile de trouver maintenant la limite de l'expression [ 1 -) J, où h est un nombre donné. En xitilisant la continuité de la fonction puissance, nous obtiendrons : s(i^r-si[(«+|)!]*=is[(i+7)"]"-'". où l'on a désigné par la lettre y le quotient -j-, qui tend vers l'infini en même temps que x. On rencontre des expressions <le type [l -|—- J dans la théorie des intérêts composés. Supposons qu'il y a chaque année capitalisation des intérêts. Si on prête un capital a pour un intérêt annuel p, au bout de la première année on a : «(! + &),
1-2. THEORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 93 OU k=swô; au bout de la deuxième année il sera de a(l + A)«, et au bout de m années il sera : a (1 + k)m. Supposons maintenant qu'il y ait capitalisation des intérêts au bout de — partie de l'année. Dans ce cas, le nombre ft est divisé n par n car le pourcentage p est calculé sur un an, et le «ombre d'intervalles de temps est multiplié par n, et au bout de in années le capital deviendra; «(*+£)' n-*oo \ '* ' 7WOO «- * ' -* Admettons, enfin, que n croisse indéfiniment, c'est-à-dire qu'il ■y a capitalisation au bout d'intervalles de temps de plus en plus brefs et, à la limite, la capitalisation se fera continûment. Au bout de m années, le capital sera: ."'., '"ï"T —*km- n->oo <- V. n / J Prenons le nombre e comme base de logarithmes. On les appelle logarithmes naturels et habituellement on les désigne simplement par le signe In sans indiquer la base. Lorsque la variable x tend vers zéro dans l'expression —K "£■■«■ , le numérateur et le dénominateur tendent vers 2éro. Pour lever l'indétermination, introduisons la variable y, en posant 1 1 x=—, c'est-à-dire tf=—. V x Pour x tondant vers 0, y tend vers l'infini. En introduisant cette nouvelle variable et on utilisant la continuité do la fonction In x pour x > 0 et la formule (26), nous obtiendrons: lim'i&tS-.limïlnfl + i) =liin In (l+-Mw = lne= 1. On voit ici la Taison qui a fait choisir e comme base des logarithmes. De même que lors de la mesure en radians des angles, la vraie valeur de l'expression ^-^- pour x = 0 ost égale à l'unité, dans le cas des logarithmes naturels, la vraie valeur de l'expression n * ~^x' pour x = 0 est aussi égale à l'unité.
94 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES De la définition des logarithmes, il résulte la relation suivante r En prenant le logarithme de cette expression: lnN^lgaN-ljxa, ou lga /V = .ln N-^ . Ce rapport exprime le logarithme du nombre TV pour n'importe quelle base a en fonction de son logarithme naturel. Le facteur M = s— est le module du système de logarithmes de base a, et pour a — 10 il est, en allant jusqu'à la septième décimale: M = 0,4342945... 1-2-15. Propositions non démontrées. Dans l'exposé delà théorie' des limites nous n'avons pas démontré plusieurs propositions, à savoir l'existence d'une limite pour une variable monotone bornée [I-2-6J,. la condition nécessaire et suffisante d'existence d'une limite (critère de Caùchy [T-2-7] et les trois propriétés dos fonctions continues sur un intervalle fermé [1-2-11J. La démonstration de ces propositions est basée sur la théorie des nombres réels et de leurs opérations. Les paragraphes suivants seront consacrés à l'exposé de cette- théorie et à la démonstration des propositions indiquées ci-dessus. Introduisons une nouvelle notion et formulons mie nouvelle- proposition qui sera démontrée plus bas. Si nous avons un ensemble composé d'un nombre fini de nombres réels (par exemple, nous avons mille nombres réels), parmi eux il y on aura un qui sera le plus grand et un qui sera le plus petit. Si nous avons un ensemble' infini de nombres réels et même s'ils sont tels qu'ils appartiennent à un intervalle défini, il n'y aura toutefois pas toujours parmi ces- nombres, un nombre qui soit le plus petit et un qui soit le plus grand. Si. par exemple, nous étudions l'ensemble de tous les nombres réels compris entre 0 et 1, à l'exclusion des nombres 0 et 1 eux-mêmes, il n'y aura pas dans cet ensemble de nombre qui soit le plus petit ni de nombre qui soit lo plus grand. Quel que soit Je- nomJbre, voisin do l'unité, mais inférieur à elle, que nous ayons- pris, il y aura un autre nombre entre le nombre choisi et l'unité. Dans l'exemple donné, les nombres 0 et 1 qui n'appartiennent pas à l'ensemble choisi, possèdent par rapport à cet ensemble In propriété suivante: il n'y a pas dans l'ensemble de nombre plus grand' que l'unité, mais pour tout nombre positif donné e il y a des nombres supérieurs à (1 — e). De même, il n'y a pas dans l'ensemble dénombre inférieur à zéro, mais pour n'importe quel nombre positif donné c il y a des nombres inférieurs à (0 ■+■ c). On appelle ces nombres 0 et 1 les bornes supérieure et inférieure de l'ensemble- des nombres réels considéré.
1-2. THEORIE DES UMITES. PONCTIONS CONTINUES 95. Passons maintenant au cas général. Soit un certain ensemble E de nombres réels. On dit qu'il est borné supérieurement s'H existe un nombre M tel que tous les nombres appartenant à E ne sont pas supérieurs à M. De même, on dit qu'un ensemble est borné infêrieurement s'il existe un nombre m. tel quo tous les nombres appartenant à l'ensemble E ne sont pas inférieurs à m. Si l'ensemble est borné supérieurement et infêrieurement, on dit simplement qu'il est borné. Définition. On appelle borne supérieure d'un ensemble E le nombre |ï (s'il existe) tel gue, parmi les nombres appartenant à E, il n'y en a. pas qui soient supérieurs à (3, mais pour tout nombre positif donné e il y a des nombres supérieurs à (P — s). On appelle borne inférieure de l'ensemble E le. nombre a (s'il existe) tel gue, parmi les nombres appartenant « E, il n'y a pas de nombre inférieur à a, mais pour tout nombre positif donné e, il y a des nombres inférieurs à (a + e). Si l'ensemble E n'est pas borné supérieurement, c'est-à-dire s'il existe des nombres dans E qui soient supérieurs à n'importe quel' nombre donné, alors l'ensemble ne peut avoir de borne supérieure. De même, si l'ensemble E n'est pas borné infêrieurement, il ne peut avoir do borne inférieure. Si parmi les nombres de l'ensemble, il y en a un qui est le plus grand, il est, de toute évidence, la borne, supérieure de l'ensemble. De même, si, parmi les nombres de l'ensemble, il y en a un qui est le plus petit, c'est lui qui est la borne- inférieure de l'ensemble E. Or, comme nous l'avons vu, parmi les nombres d'un ensemble infini il no s'en trouve pas toujours un qui soit le plus polit ou le plus grand. On peut démontrer toutefois que dans un ensemble borné supérieurement, il y a toujours une borne supérieure, et dans un ensemble borné infêrieurement, il y a toujours une borne inférieure. Remarquons encore qu'il résulte de la définition que les bornes supérieure et inférieure sont uniques. Nous utiliserons souvent par la suite les propositions exposées dans le présent paragraphe. Au cours d'une première lecture, on peut laisser sans les lire les paragraphes suivants, imprimés en petits caractères. 1-2-16. Les nombres réels. Nous commencerons par L'exposé do la théorie des nombres réels. Considérons l'ensemble de tous les nombres rationnels, entiers et fractionnaires, positifs ot négatifs. On peut se représenter ces nombres rationnels disposés suivant un ordre croissant. Si a et b sent deux nombres rationnels quelconques distincts, on peut placer entre eux autant de nombres rationnels qu'on veut. Soit a <; 5, introduisons un nombre rationnel positif r = —— , où n est un entier positif quelconque Les nombres rationnols a +■ r, a + 2r, . . . . . ., a + (n— 1) r se trouvent entro a et b, et vu l'arbitraire dans le choix du nombre entier positif n, on voit quo la proposition est démontrée. Nous appellerons coupure dans le domaine des nombres rationnels toute division de ces nombres en deux classes telles que n'importe quel nombre d'une classe (de la première) soit plus petit que n importe quel nombre de l'autre
96 CH. J. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THJË0R1B DES LIMITES dusse {de la deuxième). Il est alors évident que, si un nombre so trouve dans la première classo, tout nombro qui lui est inférieur se trouve aussi dans k première classe, et si un nombro se trouve dans la seconde classe, tout nombre qui lui est supérieur se trouve aussi dans la douzième classo. Supposons qu'il y ait parmi les nombres do la première classe, un nombre qui soit le plus grand. Geai et tint, on peut, vu la propriété de l'ensemble des nombres ivtionnels que nous avons mentionnée, affirmer que parmi les nombres de la seconde classe, il n'y a pas do nombre le plus petit. De même, si parm les nombres de la seconde classe, il y «n a un qui soit le plus petit, il n'y en a pas parmi les nombres de la première classe qui soit le plus grand. On parlera de coupure de première espèce, si parmi les nombres de la première classe il y «n a un qui soit le plus grand, ou si parmi les nombres de la seconde classe il y en a un qui soit le plus petit. Il ost facile de construire de telles coupures. Prônons un nombre rationnel quelconque b et rangeons dans la première classe tous les nombres rationnels inférieurs à b, dons la seconde classe, tous les nombres rationnels supérieurs à b ; quant au nombre 6 lui-même, mottons-le soit dans la première classe (il sera alors le plus grand), soit dans la seconde (il sera alors le plus petit). En prenant peur 6 tous les nombres rationnels possibles, nous obtiendrons toutes les coupures possibles de première espèce. Nous dirons qu'une telle coupure de première espèce définit le nombre rationnel b qui est le plus grand dans la première classe ou le plus petit dans la seconde. Mais il existe aussi des coupures de seconde- espèce, pour lesquelles il n'y a pas dans la première classe do nombre lu plus grand, et dans la seconde, de nombre lo plus petit. Donnons un exemple. Rangeons dans la première classo tous les nombres rationnels négatifs, zéro et tous les nombres rationnels positifs ■dont lo carré est inférieur à deux, et dans la seconde classe rangoons tous les nombres rationnels positifs dont le carré est supérieur à deux. Commo il n'existe pas de nombre rationnel dont le carré soit égal à deux, tous les nombres ration- nuls se trouvent classés, ot nous aurons une coupure. Montrons que dans la première classe, il n'y a pas de nombre le plus grand. Pour cela il suffit de montrer que si le nombro a appartient à la première classe, il y a des nombres supérieurs à a. qui appartiennent aussi à la première classe. Si a est négatif ou nul, cela •est évident; supposons que a > 0. Etant donné la composition de la première •classe, a2 < 2. Introduisons un nombre rationnel positif r ™ 2 — a' ot démontrons qu'on peut définir un nombro rationnel positif s, assez petit pour qne {a ■(- a) appartienne aussi à la première classe, c'est-à-diro toi que l'on ait l'inégalité; 2 —(a + a:)2>0, ou r —2ax~ 22>0, ■c'est-à-dire qu'il s'agit de trouvor un nombre rationnel positif qui vérifie l'inégalité x' + 2ax < r. Supposant x < 1, nous avons ai* <. x, et, par conséquent, a1 -*- 2ax < x + 2a» = (2a + 1) x, c'est-à-dire qu'il nous suffira de satisfaire à l'inégalité (2a + 1) x ■< r\ de cette façon, œost défini par les deux inégalités: x<i 8t *<5^FÏ- ■On peut, évidemment, trouver autant do nombres rationnels positifs x que l'on veut, qui vérifient ces deux inégalités. On peut, de même, démontrer que dans la seconde classe de la coupure construite il n'y a pas de nombre le plus petit. Nous avons donc donné vin exemple de coupure "de seconde espèce. Le point fondamental de la théorie est la convention suivante: en considère que toute coupure de seconde espèce définit un nouvel objet — le nombre irrationnel. Les différentes coupures de seconde espèce définissent différents nombres irrationnels, ïl n'est pas difficile do supposer que l'exemple do coupure do seconde espèce donné plus baut, définit le nombre Irrationnel que l'on note habituellement T/ÎT
1-2. THfiORIE DES LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 97 On peut disposer tous les nombres irrationnels introduits avec des nombres rationnels rangés par ordre croissant qui sera représenté intuitivement pour nous par les pointa de Taxe orienté OX. Si a est un nombre irrationnel, nous noterons par 1 (a) et II (a) la première et la seconde classe de la coupure qui définit lo nombre irrationnel a. Nous considérons lo nombro a plus grand que n'importe quel nombre de I (a) et_plus petit que n'importe quel nombre de II (a). Ainsi n'importe quel nombro irrationnel peut Être comparé à n'importe quel nombre rationnel. Il reste à définir les notions de plus grand ot plus petit pour deux nombres irrationnels quelconques différents a et p. Comme « et p sont différents, les classes I (a) et I (p) ne coïncident pas et l'une des classes est contenu» dans l'autre. Supposons que I (a) est compris dans I (p), c'est-à-dire que chaque nombre de I (as) appartient à I (P), mais qu'il y a des nombres de I (ji) qui appartiennent à II (a). Ici nous considérerons, par définition, a <. p. Ainsi, l'ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels, c'est-à-dire l'ensemble de tous les nombres réels est ordonné. Il est iacile alors, on utilisant les définitions données plus haut, de démontrer que, si a, b et c sont des nombres réols, a <r 6 et b <. e, donc a <z c. Notons avant tout une conséquence dos définitions données. Soit a. un nombre Irrationnel. Comme il n'y a pas dans la classe I (a) de nombro le plus grand, et dans In classe II (a), de nombre le plus petit, il n'en est que plus évident que l'on peut placer entro a et n'imnorte quel nombre rationnel a, autant de nombres rationnels que l'on veut. Soit, maintenant, a < p doux nombres irrationnels distincts. Une partie des nombres rationnels de I (P) entre dans II (a), d'où il résulte immédiatement que l'on peut également placer entre a et P autant de nombres rationnels que l'on veut, c'est-à-dire que, de façon générale, on peut placer entre deux nombres réels distincts autant de nombres rationnels que Von veut. Nous niions passer maintenant à la démonstration du théorème fondamental de la théorie des nombres irrationnols. Etudions l'ensemble de tons les nombres réels et faisons dans cet ensemble une coupure quelconque, c'est-à-dire rfipartissons tous les nombres réels (non seulement rationnels, mais aussi irrationnels) on deux classes I et II de façon que n'importe quel nombre de I sont inférieur à n'importe quel nombre de II. Montrons que dans ce cas, il y aura obligatoirement soit un nombre le plus grand dans la classe I, soit un nombre le plus petit dans la classa II (l'un exclut l'autre, comme plus haut pour la coupure dans la domaine des nombres rationnels). Pour cela, nous noterons par I' 1 ensemble des nombres rationnels de I, et par II' l'ensemble des nombres rationnels de II. Les classes (I',ID déterminent une certaine coupure dans lo domaine des nombres rationnels, ot cette coupure définit un nombre réel a (rationnel ou irrationnel). Admettons pour plus de clarté, que ce nombre a appartient à la classe I suivant la disposition en deux classes des nombres réels, mentionnée plus haut. Montrons que a doit être le nombre le plus grand de la classe I. En fait, s'il n'en était pas ainsi, il existerait dans la classe T un nombre réol p plus grand que a. Prenons un nombre rationnel r situé entre a et p, c'est-à-dire que a < r < p. Il doit appartenir à la classe I, et par suite, à la classe I*. Ainsi, dans la première classe de coupure (!', II') définissant les nombres a, û se trouve un nombre r plus grand que a. C'est impossible et, par conséquent, il est faux de dire que a n'est pas le nombre le plus grand de la classa I. On peut montrer, de la même façon, quo si a se trouve dans la classe II, il doit être le plus petit nombre. Ainsi, nous avons démontré le théorème suivant : Théorème fondamental. Lorsqu'il y a une coupure dans le domaine des nombres réels, il faut obligatoirement soit que la première classe renferme le nombre le plus grand, soit que la seconde classe renferme le nombre le plus petit. 7^281
98 CH. I. DÉPENDANCE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES Il est facile de donner à tous les raisonnements de ce paragraphe un sens géométrique simple. Nous considérons d'abord sur l'axe OX les points d'abscisse rationnelle seulement. A une coupure dans le domaine des nombres rationnels, correspond la séparation de la droite OX en deux demi-droitos. Si la coupure a lieu en un point d'abscisse rationnelle, ou a affaire à une coupure de première espèce auquel cas l'abscisse du point où a lieu la coupure, se rattache elle- môme soit à la première soit à la soconde classe. Si la coupure s'effectue on un point auquel ne correspond pas une abscisse rationnelle, on a une coupure du type II définissant un nombre irrationnel qui est pris pour abscisse du point où se produit la coupure. Lorsque ces points ont des abscisses irrationnelles, toute section de la droite se produit alors en un point d'abscisse réelle. Ceci n'est qu'une illustration géométrique, mais no démontre non. Il n'est pas difficile, en utilisant la définition du nombre irrationnel a, do former une fraction décimale infinie correspondant à ce nombre (1-1-2]. Tout segment fini de cette fraction doit appartenir à I(a), mais si nous augmentons d une unité le dernier chiffre de co segment, le nombre rationnel correspondant deit se trouver dans II (a). 1-2-17. Opérations sur les nombres réels. La théorie des nombres irrationnels, outre les définitions déjà données et le théorème fondamental, comprend la définition dos opérations effectuées sur les nombres irrationnels et l'étude des propriétés de ces opérations. Dans la définition des opérations, nous serons guidés par les coupures dans le domaine des nombres rationnels, et, dans la mesure où ces coupures définissent non soulement les nombres irrationnels, mais aussi les nombres rationnels (coupures do première espèce), la définition des opérations pourra de façon générale servir à tous les nombres réels, mais dans le cas des nombres rationnels les définitions seront équivalentes aux définitions habituelles. Dans ce paragraphe nous nous limiterons a des indications générales. Faisons une remarque préalablement. Soit a un nombre réol. Prônons un nombre r (petit) rationnel positif quelconque, puis un nombre rationnel a do \{a) et formons la progression arithmétique: a, a-f-r, a-f-2r, ..., a-\-nr, ... Pour n grand, les nombres (o + ur) entrent dans II (a) et par suite, il existera un nombre entier positif k tel que [a + (¾ — 1) r] appartient à 1 (a) ut (a + kr) appartient à II (a), c'est-à-dire: Remarque. Dans une coupure quelconque de nombres rationnels ii existe dans les différentes classes des nombres qui diffèrent d'un nombre rationnel positif donné r, aussi petit soit-il. Passons maintenant a la définition de l'addition. Soient a et S deux nombres réels. Seït a un nombre quelconque de I (a), a' de II (a), b de I (p) et 6' de II (P). Etablissons toutes les sommes possibles (a 4- 6) et (a' + b'). Dans tous les cas, on a: a + b <L a' + b'. Etablissons une nouvelle coupure do nombres rationnols, en reportant dans la seconde classe tous les nombres rationnels supérieurs à tous les (a + b), et en reportant dans la première classe tous les autres nombres rationnels. Dans co cas, tout nombre do la première classe est inférieur à tout ncmbro du la seconde classe, tous les nombres (a + b) sent dans la première classe et tous les nombres (a' -\- h') dans la seconde classe. La nouvelle coupure établie définit un coTtaîn nombre réel que nous appellerons la somme (a + fi). Ce nombre est évidemment plus grand ou égal a tous les (o + b) et plus potit ou égal à tous les (a' + b'). Eu considérant que, eu conformité avoc la remarque que nous avons faite ci-dessus, les nombres a ot a', ainsi que b. ot b', peuvent se différencier l'un de l'autre par un nombre rationnel queicenque positif petit, il n'est pas difficile de montrer qu'il ne peut exis-
1-2. THÉORIE DBS LIMITES. PONCTIONS CONTINUES 99 ter qu'un seul nombre qui "vérifie les inégalités notées ci-dessus. On vérifie directement que l'addition satisfait aux lois habituelles dos nombres rationnels: a+P=P + a, (« + P)-r-7=<*+(B-f-7>. a+0=a. Par exemple, pour obtenir (p + a), il nous faut composer à la place des sommes (a + b) et (a' + b'), lê3 sommes (fc + a) et {b' + a'), mais ces sommes coïncident avec les précédentes, étant donné la commutativité dé l'addition des nombres rationnels. Soit a un nombro réel. Déterminons le nombre (—a) par la coupm-e suivante : reportons dans la première classe tous les nombres rationnels de la ciasso Il (a) en changeant les signes, et dans la seconde classe, tous les nombres de I (a) en changeant les signes. On obtient ainsi, en {ait, une coupure dans le domaine des nombres rationnels, et pour le nombre (—a), ce qui est facile à vérifier, nous avons: —(— a) = a, a + (—a) = 0. II n'est pas difficile de voir que, si a >■ 0, (—et.) <C 0, et réciproquement. Nous appellerons valenr absolue du nombre a, différent de zéro, celui des deux nombres a et (—a) qui est supérieur à zéro. Nous désignerons comme auparavant, la valeur absolue du nombre a par le symbole | a [. Passons maintenant à la multiplication. Soit a et p deux nombres réels positifs, c'est-à-diro que a > 0 et P > 0. Soit o un nombre positif quelconque dû I (a), soit b un nombre positif quelconque de I (P), soit a' et b' des nombres quelconques de II (a) et II (p) (ils sont déjà nécessairement positifs). Etablissons uno nouvelle coupure, en mettant dans la seconde classe tous les nombres rationnels supérieurs à tous les produits ai, et dans la première classe, tous les autres nombres rationnels. Tous les ab tombent dans la première classe et tous les a'b' dans la seconde classe. La nouvelle coupure définit un certain nombre réel, que nous appellerons le produit a#. Ce nombro est supérieur ou égal à tous les ao et ne dépasse pas tous les a'b', et seul ce nombre réel satisfait a ces inégalités. Si un seul des nombres a, p ou les deux à la fois sont négatifs, nous ramènerons la multiplication au cas précédent, en introduisant dans la définition de la multiplication la règle habitueilo des signes, c'est-à-dire que nous supposons que ap = ± | a 1 | B |, où nous prenons le signe (+) si les nombres a et p sont tous les deux inférieurs à zéro, et le signe (—) si l'un des nombres est supérieur à zéro et l'autre inférieur à zéro. Pour la multiplication par zéro, nous prônons la définition : a -0 = 0 -a = 0. les lois fondamentales do la multiplication se vérifient immédiatement ; «0=fta, (op)Y = o(Pï). a(P+-y)=ccp+aY, et le produit de plusieurs facteurs peut être égal à zéro si, et seulement si, l'un des facteurs au moins est nul. La soustraction est définie comme étant l'opération inverse de l'addition, c'est-à-dire que a — p = x est équivalent à x + p = a. En ajoutant (—p) aux deux membres de cette égalité, nous obtiendrons, en tenant compte des propriétés de l'addition que nous venons de mentionner: x = a ■+- (—p), c^st- û-dire que la différence doit obligatoirement être déterminée par cette formule, et la soustraction se ramène à I addition. Il reste à vérifier que l'expression obtenue pour x satisfait bien à la condition x + p ■= a, mais cela résulte directement des propriétés de l'addition. Notons que l'inégalité o > p est équivalente à a — p > 0. Avant do passer à la division, nous définirons le nombre inverse d'un nombre donné, Si a est un nombre rationnel non nul, le, 7»
100 CM. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THSORIB DES LIMITES nombre — est son inverse. Soit a un nombre réel non nul. Soit d'abord a >-0 et soit o' un nombre quelconque de II («) (ce nombre est rationnol et positif). Déterminons le nombre inverse do o, par la coupure suivante: mettons dans la première classe tous les nombres négatifs, zéro et les nombres-y, ol dans la seconde classe, tous les autres nombres. Soit un nombre quelconque positif ci qui appartient à la première classe de la nouvelle coupure. Cela signifie que c-i = —r, où ai est de la classe II (a). Prônons un nombre quelconque rationnel positif c2 <;«i. On peut le mettre sous la forme c2 = —,, où ai. est rationnel et oi > a[, c'est-à-dire que ai appartient aussi à II (a). Autrement dit, si un nombre positif quelconque appartient à la première classe de la nouvelle coupure, tout nombre rationnel positif qui lui est inférieur appartient aussi à cette première classe. Tous les nombres négatifs et zéro on font partie également par définition. On voit quo noua avons donné la coupure déterminant le nombre Inverso de a en observant la condition suivante: un nombre quelconque do la deuxième classe est plus grand que tout nombre de la première classe Nous \ noterons ce nombre inverse do a, par le symbole — 1 1 Si n<.0. nous définirons le nombre Inverse par la formule: — = — .—: . a \a\ En utilisant la définition de la multiplication, nous avons: a— = i- a Passons maintenant à la division. C'est l'opération iaverse do la multiplication, c'est-à-dire que a : B = x ost égal à xf> = a, et, comme pour la soustraction, il n'est pas difficile de montrer quo si fi ^ 0, on a un quotient unique: s =■ a- -*■ et, ainsi, la division se ramène à une multiplication. La division par zéro est impossible. L'élévation à une puissance ontiere positive so ramène à une multiplication. L'extraction de racine est définio comme étant l'opération Inverse de l'élévation à uno puissance. Soit a un nombre réel pesitif et n un nombre entier quelconque supérieur à l'unité. Faisons la coupure suivante des nombres rationnels: mettons dans la première classe tous les nombres négatifs, zéro et tous les nombres positifs, dont la puissance n est inférieure à a, et dans la seconde classa, tous les autres nombres. En utilisant la définition de la multiplicatiou, il n'est pus difficile de montrer que le nombre positif B, défini par cette coupure, vérlfio la condition B" = a, c'est-à-dire que B est la valeur arithmétique de la racine yra. Si »est pair, (—fi) sera la seconde valeur. La racine d'une puissance impaire d'un nombre réel négatif se définit de façon analogue (une seule réponse). On parlera plus loin, plus en détail, de la fonction exponentielle. Notons eucore un résultat important: une fois vérifiées les lois fondamentales des opérations, toutes les règles et identités de l'algèbre seront vérifiées si Von désigne des nombres réels par les lettres. 1.2-18. Bornes d'un ensemble de nombres. Existence de bornes. Démontrons maintenant le théorème des bornes d'un ensemble de nombres réels, que nous avons formulé au paragraphe [1-2-15], Théorème. Si an ensemble E de nombres réels est borné supérieurement, il a une borne supérieure, et si E est. borné inférieuremeni, il a une borne inférieure.
1-2. THfiORIB DES UMITBS. ÏONCTIONS CONTINUES 101 Lfmitons-nous à la démonstration de la première partie du théorème. Par hypothèse, tous les nombres de E sont inférieurs à un certain nombre M. Faisons la coupure suivante des nombres réels: mettons dans la seconde classo tous les nombres supérieurs à tous les nombres de E, et dans la première tous les autres nombres réels. Bans la seconde classe entreront, par exemple, tous les nombres (M + p), où p !> 0, et dans la première classe entreront, par exemple, tous les nombres de E. Soit P un nombre réel, déterminé par la coupure ainsi obtenus. D'après lo théorème fondamental du [1-2-1(5], il sera le plus grand dans la première classe et le plus petit dans la seconde. Montrons que i» est précisément la borne supérieure de E. [1 n'y a pas de nombres plus grands que p dans E, étant donné que tous les nombres de E sont dans la première classe. Ensuite, il existe sûrement des nombres de E plus grands que (p — e) pour tout e positif, car s'il n'y avait pas do tels nombres, le nombre ({$—s-j serait supérieur à tous les nombres de E et devrait être dans la deuxième classo, or en réalité, il est inférieur a p et se trouve dans ia première classe. Lo théorèmo est ainsi vérifié. Il ost évident que si p appartient à E, il sera plus grand de tous les nombres do E. Démontrons maintenant l'existence d'une limite pour une variable bornée monotone JI-2-6J. Supposons quo la variable s croît indéfiniment ou, en tout cas, no décroît jamais, c'est-a-dire qu'aucune de ses valeurs n'est inférieure à une valeur précédente. Supposons en outro que x est borné, c'est-à-dire qu'il existe un nombre M tel quo toutes les valisurs de x sont inférieures à M. Etudions i'ensomble de toutes les valeurs de x. D'après le théorème énoncé il existe une horne supérieure p pour cet ensemble. Démontrons que B est bien une limite de x. Soit e un nombre positif quelconque. D'après la définition da la borne supérieure, on trouvera une valeur de x plus grande que (P — e). Commo x est monotone, toutes los valeurs suivantes do x seront aussi supérieures à (p — s), mais, d'un autre côté, elles ne peuvent Otre supérioures a P, et comme s est arbitraire nous voyons que p=slim x. On peut de la même façon étudier le oas d'une variable décroissante. Avant de passer à la démonstration du critère de Cauchy LI-2-7] démontrons un théorème que nous allons utiliser. Théorème. Soit une suite d'intervalles finis; (ai, &i), (o2, hh •••> («m àn), ... où chaque intervalle est compris dans le précèdent, c'est-à-dire que ûn+i >- an et in+^ < bn, les longueurs de ces intervalles tendent vers zéro, c'esl-à-dir* que (b\ — 0^) -*■ 0. Les bornes des intervalles an et 6^ tendent vers une limite commune lorsque n croît. D'après I hypothèse du théorème, nous avons: si •< «s •< ... et, en outre, "n ■< *i P0UT tnu* »■ Ainsi, la suito af, a2, sera monotone et bornée, et c'est pourquoi elle aura une limite: an -f a. De l'hypothèse (S,-%)->0 il résulte que (¼ = (¾ + e„, ou e„ -*■ 0 et, par conséquent, (¾ a une limito, elle aussi égale à a. Passons maintenant à la démonstration du critère de Cauchy. Nous nous limiterons au cas d'une variable dont on peut indexer les valeurs: *i, *2> - • •, «n, • • • (27) Il faut montrer que la condition nécessaire et suffisante d'existence d'une limite de la suite (27) est que pour tout e positif donné, il oxiste un indice If, tel que : \xm—%|<e pour mein^-If. (28) Montrons que cotte condition est suffisante, c'est-à-dire que, lorsque cette condition est remplie, la suito (27) possède une limite. Il résulte de nos raisonnements précédents [1-2-7], que si la condition est remplie, ou paut
102 CH. I. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES construire la suitB d'intervalles: (°1, &t), (¾. 62), ••-, («fi, bh), ... avec les propriétés suivantes: chaque terme est compris dans lo précédent, les longueurs .(¾ — %) tendent vers zéro, et à tout intervalle (¾. 6¾) correspond tm nombre entier positif K/, toi que tous les ss poux s > iV* appartiennent à ("a. &*)• Ces intervalles (ah, JA) sont les segments A'hAj, du paragraphe [1-2-7]. D'après le théorème énoncé plus haut, on a la limito comme: lim <%= lim 6ft = o. (20) Montrons quo a est bien la limite de la suite (27). Soit un nombre 6 positif donné. D'après l'équation (29), il existe un nombre entier positif l, toi que (ai, 6() et tous les intervalles suivants se trouvent! l'intérieur de l'intervalle (a — s, a + a). Il en résulte que tous les nombres xe, eux aussi, pour s > Ni, appartiennent à cet intervalle, c'ost-à-dire que | a — xt\ < e pour s > Ni. Etant donné le caractère arbitraire de e, nous voyons quo a est la limite do la suite (27), et l'on a' prouvé que la condition (28) ost suffisante. Nous avions déjà prouve que ia condition est nécessaire H-2-7]. La démonstration vaut aussi pour une variable non indexée. 1-2-19. Propriétés des fonctions continues. En passant à la démonstration des propriétés des fonctions continues que nous avons exposées ci-dessus [1-2-11], nous commencerons par la démonstration d'un théorème auxiliaire. Théorème I. Si f (x) est continue dans VIntervalle (a, b), et si l'on donne un nombre positif quelconque e, on peut diviser cet intervalle en un nombre fini de nouveaux intervalles de telle façon que \ f (¾) — / (x\) | < e, si Xi et z2 appartiennent h un seul et même nouvel intervalle. Nous allons faire la démonstration en raisonnant par l'absurde. Supposons quo le théorème est faux. Admettons qu'il soit impossible de diviser (a, 6) en différentes parties de la façon que nous avons indiquée. Divisons notre intervalle en deux parties par un point situé au milieu de l'intervalle : la, ■ ~X- ) et f 7" , b ). Si le théorème était vrai pour chacun de cea deux intervalles, il serait valable pour l'intervalle (a, 5) tout entier. Ainsi, nous devons considérer que l'un au moins des deux intervalles obtenus ne peut pas être divisé de la façon indiquée dans le théorème. Prenons la partie de l'intervalle pour laquelle le théorème n'est pas vérifié, et divisena-lo à nouveau cd deux parties égales. Comme plus haut, pour au moins une des deux nouvelles moitiés, lo théorème n'est pas valable. Prenons cette moitié, divisons-la à uouvoau en deux, etc. Nous obtenons ainsi uno suite d'intervalles : (a, b), (o,, 61). (°2> h) («n. &n). •••, dent chaque terme est la moitié du précèdent, de sorte quo la longueur (6^ — o„), égale à -=jj- , tend vers zéro lorsque n croît. En outre, pour tout intervalle (a„, bp), lo théorème n'est pas valable, c'est-à-dire qu'il est impossible de diviser aucun (a„, bn) en de nouveaux intervalles de façon que I / fe) — / (ai) 1 < e, si ii et 3¾ appartiennent à un soûl et mémo intervalle nouvoau. Montrons que 0 est absurde. Suivant le théorème du paragraphe [1-2-18], an ot fy, possèdent une limito commune: liinan — Hiki D„ = a, (30)
1-2. THEORIE DBS LIMITES. IfONCTIONS CONTINUES 103 Cette limite, comme tous les nombres n„ et bn, appartient à l'intervalle (a, b). Supposons d'abord quo a. ost à l'intérieur de (o, 6). Par hypothèse, / (a:) ost continue pour x — a., et par conséquent 11-2-10], pour uu nombre g donné 0 existe un nombre n tel que pour tous les x de l'intervalle (a — t\, a + T|) •on a l'inégalité: 1/<<*)-/<*>l< y- (31) Si Xi et Xi sont deux valeurs quelconques de l'intervalle (a — r\, a -f- *n>, nous avons : / (¾) - / (*i) = / (*a)- / («) T / (*)- / (*i), d'oO : l/W-iWI«l/(*!)-|(«)l+l/(a)-/WI, et d'après l'inégalité (31) : l/(*2)-/(*i)|<y+y. e'est-à-dire l/(^)-/(*i)l<e (32) pour tout Xi et «a de l'intervalle (a — i), a -S- T|). Mais d'après (30), 11 existera uu intorvallo (ai, bt) appartenant à l'intervalle (a —t\, a -r T|ï. C'est pourquoi l'inégalité (S2) sera vérifiée à plus forte raison pour tout xt et s2 de 1 intervalle (a;, bi), c'est-à-dire quo pour l'intervalle (aj, fc;), le théorème est valable même si 1 intervalle n'est pas divisa on parties. Cela est en contradiction, comme nous l'avons vu ci-dessus, avec le fait que pour tout intervalle ("m bn) le théorème n'est pas valable. On a ainsi démontré le théorème, si o est intérieur à l'intervalle (o, b). Si o coïncide, par exemple, avec la borne gauche de l'intervalle, c'est-a-dtre si a = a, la démonstration sera la même, mais à. la place de l'intervalle (a — i\, a + il), il faudra prendre l'intervalle (a, a + r\). Passons maintenant à la démonstration de la troisième propriété du paragraphe [1-2-11]. Théorème II. Si f {x) est continue dans l'intervalle (a, 6), elle est uniformément continue dans cet intervalle, c'est-à-dire que pour tout 6 positif donné, il existe un nombre positif r\ tel que | / (x") — f (s') | -C, e pour toutes valeurs de x' et x" de (a, b) vérifiant l'inégalité | x° — x' | < tj. D'après le théorème I, nous pouvons diviser (a, b) en un nombre fini de nouveaux intervalles de façon que | / (¾) — / (x,) | <c y, si xi et a2 appartiennent à un même intervalle nouveau. Soit n la longueur du plus court de ces nouveaux intervalles. Montrons que notre théorème est valable précisément pour ce nombre t\. En effet, si s' et x" sont deux valeurs de (a, b) vérifiant 1 inégalité | s" — x' | < »i ou bien x' et x" appartiennent à un seul et mémo intervalle nouveau, ou bien ils se trouvent dans deux nouveaux intervalles oonti- gus. Dans le premier cas, quand nous construisons de nouveaux intervalles, nous avons | / {x")— f (x') |<y, et o fortiori | / (x") — / (x') (< s. En passant au deuxième cas, nous désignerons par y le point commun des deux Intervalles contigns auxquels appartiennent »' et x". Dans le cas considéré, nous pouvons écrire: /(*">-/(*') = /(*")-/(?> + / (?>-/(*'),
104 OH. î. DEPENDANCE FONCTIONNELLE ET THEORIE DES LIMITES c'est-à-dire IIM-/('')kllM-/{y) -/(*')!. m Mais l/^HIVlK-j et l/(v)-/(*')l<|-, (3'«) comme les points x" et 7, ainsi que y et a', se trouvent dans un même intervalle nouveau. Les (33) et (34) nous donnent | / (x"} — j (x1) | < s, et le théorème est démontré. Le théorèmo I nous conduit également au corollaire suivant: Corollaire. Une jonction continue dans l'intervalle (a, b) est bornée supérieurement et intérieurement, c'est-à-dire qu'elle est simplement bornés dans cet intervalle. Autrement dit, il existe un nombre M tel que pour Ulules les valeurs do » de (o, b), on a l'inégalité | /(x)|<M. En effet, prenons e0 .> 0, ot soit no le nombre des intervalles nouveaux qui doivent diviser (a, 6) pour vérifier le théorème I pour la valeur choisie e = e0. Pour n'importe quel coup!» de points appartenant tous deux à un même intervalle nouveau, nous avons | / (xA — f (x,) J < r0- D'où il résulte directement que pour un x quelconque de l'intervalle (a, 6), nous avons l/W-/WI< »oEo. c'est-à-dire que tontes les valeurs de / (x) sont comprises entro f (a) — n0sB et / (a)-\-no8B. Dana la mesure où l'ensemble des valeurs do / (2) dans l'intervalle (a, b) est borné supérieurement et intérieurement, il possède une borne supérieure «t une borne inférieure [1-2-18]. Désignons la première par 6, et la seconde par a. Démontrons à présent la première propriété du paragraphe [i-2-li j. Théorùmo III. Une fonction continue dans l'intervalle (a, b) atteint dans cet intervalle sa plus grande et sa plus petite valeur. Nous allons démontrer que dans l'intorvallo (a, b) il existe une valeur de x pour laquelle f (x) est égale à p\ et- une valeur y pour laquelle / (x) est égale à ce. Mous nous bornerons a la démonstration do la première affirmation et nous raisonnerons i>ar l'absurde. Supposons que / (¢) n'est égale à p pour aucun x de (o, b) (car conséquent, elle est toujours inférieure à fi). Formons une nouvelle fonction: Comme le <lénommateurJ ne s'annule pas, la nouvelle fonction sera égaloment continue dans l'intorvaile («, 6) (1-2-10]. D'autre part, il résulte de la définition de In borne supérieure que pour e > 0 arbitraire, il existe pour a < x ^ b des valeurs de / (x) situées entre (P — e) et p. Dans ce cas: 0<p — /(»)< e et tp (*)>— . Etant donné que l'on peut prendre s aussi petit que l'on veut, on voit que la fonction ep (x), continue dans l'intervalle (a, 6), est bornée supérieurement, ce qui contredit le corollaire cité plus haut du théorème I. Démontrons enfin la deuxième propriété du paragraphe [1-2-11]. Supposons que / {x) est oontinue dans l'intervalle (a, 6) et soit h un nombre quelconque situé entre / (a) et / (6). Pour fixer las idées, supposons que / (») < fc <. f (&)• Formons uno nouvelle fonction F (■*)=((*)-*, continue dans i'intetvalle (o, 6). Ses valeurs aux bornes do l'intervalle seront js» = /(o)-ft<0; *■(&)=/(&)-* >0,
1-2. THEORIE DBS LIMITES. PONCTIONS CONTINUES 1Q5 c'csl-à-dire que les valeurs de F (x) aux bornes de l'intervalle sont de signes contraires. Si nous démontrons qu'à l'intérieur de (a, b) ii y a une valeur x0 pour laquelle F (x0) — 0, dans co cas / (xa) — fc = 0, c'est-à-diro quo / (in) = fc, et la second© propriété sera démontrée. Il suffit donc de démontrer le théorème suivant : Théorème IV. Si } (x) est continue dans l'intervalle (a, b) et si f (a) et f (b) sont de signes différents, il existe h l'intérieur de l'intervalle au moms une valeur de xq pour laquelle f (x0) = 0. Raisonnons par l'absurde, comme pour lo théorème III. Admettons que / (x) ne s'annule nulle part dans l'intervalle (a, 6). Dans ce cas, la nouvell» fonction sera également continue dans l'intervalle (o, 6) (1-2-10). Soit un nombre- quelconque e > 0. En vertu du théorèmo I, nous pouvons placer à l'intérieur do l'Intervalle (o, 6) un nombre fini de points, de sorto que, on ajoutant à ces points les extrémités de l'intervalle, la différence des valeurs de / (x), pour doux quelconques do ces points situés côte à côte, est inférieure on valeur absolue à 8. En considérant que / (o) et / (b) sont de signes différents, nous pouvons affirmer qu'il existe deux points voisins Si et g2 pour lesquels les velours de / (s) sont de signes différents. D'une part / (|() et / (§s) sont de signes différents et, d'autro part, | / (g2) — / (|i) | < e. Mais si la valeur absolue de la différence de doux nombres réels de signes contraires est inférieure à e, chacun- de ces nombres est inférieur à e en valeur absolue, c'ost-à-dire, par exemple, I / (6i) I <. 8- Mais alors, d'après (35), |cp (|,) | > —, et étant donné que l'on peut prendre e aussi petit quo l'on veut, la fonction f (x) continue dans l'intervalle (a, b) n'est pas bornéo dans cot intervalle, ce qui est absurde. L& théorème est ainsi démontré. T-2-20. Continuité des fonctions élémentaires. Nous avons déjà montré- la continuité du polynôme et de la fonction rationnelle [1-2-101. Etudions maintenant la fonction puissance y=a* (a>0), <36) oit nous considérerons, pour fixer les idées, que a > 1. Cette fonction est définie pour toutes les voleurs rationnelles positivos do x. Pour les valeurs négatives de x, ello est définie par la formule: •*«~B. (37) et, en outre, o° = 1. Ainsi, elle est définie pour toutes les valeurs rationnelles do x. On connaît également par l'algèbre les règles d'addition et de soustraction des indices lors de la multiplication et do la division. Si x est un nombre positif rationnel —, nous aurons: où lejradical est considéré comme arithmétique. Il est évident que ai>:>l, et il résulte de la définition de In racine que ax ;> 1 pour x > 0 (définitions du paragraphe [1-2-171). Do (37) il résulte quo 0 < a* < 1 pour x < 0. Montrons maintenant que 0¾ > b*i, si x2 > zj, c'est-à-dire que a" est une fane-
106 CH. I. DÉPENDANCE TONCTIONNELLE ET THEORIE DBS LIMITES lion croissante. En effet, s»»_a*i=a« („*a-*i_ 1), où % — xt ~> 0 et, par conséquent, les deux facteurs du second membre sont positifs. Montrons encore que a^-t- 1, si x-r 0, en prenant des valeurs rationnelles. Supposons d'abord que x ->- 0, par toutes les valeurs rationnelles, en décroissant (à droite). Dans ce cas ax décroît, mais reste supérieur à l'unité et, par conséquent, possède une limite, que nous désignerons par l. Lorsque x varie d'une façon qu'on a déjà notée, la variable 2x tond aussi à droite vers zéro suivant toutes les valeurs rationnelles. Nous avons donc: a2*=(0*)ît ■et en passant à la limite, nous obtiendrons : 2 = 2', ou l (£-1)=0, c'esl-à-dire que 2 = 1 ou 2=0. Mais le deuxième cas est impossible étant donné que a* p> 1. Ainsi ax -»- i, si a; -*■ 0 à droite. Il résulte de (37) que ce ■sera la même limite également lorsque ï^-0 à gauche. Ainsi, de façon générale ax —■ 1, si x -*■ 0, en prenant des valeurs rationnelles. D'où il résulte que, si x, prenant des valeurs rationnelles, tond vers une limite rationnelle à, alors «"-►A En effet: La différence (x — b) tend vers zéro et (ax~b — 1), comme on l'a démontré, 'tend aussi vors zéro. Définissons maintenant la fonction (36) pour les valeurs irrationnelles •de x. Soit a un nombre irrationnel, I (ce) et II (ce) la première et la seconde classe de la coupure dans le domaine des nombres rationnels définissant a. Supposons que z^-«, en croissant ot passant par tous les nombres rationnels de 1 (a). La variable «* croît mais reste bornée, et elle est précisément inférieure à as°, où x" est un nombre quelconque de II (a). Ainsi, lorsque x varie de cette façon, la variable ax possède une limite que nous noterons, pour le moment, par L. De même si x ->■ a en décroissant et passant par tous les nombres rationnels de 11 (ce), a" possède également une limite. Montrons que cette limite est aussi égale à L. Soit x' de I (ce) et *" de II (ce). Nous avons: a*"-.a»!'=a11' (o«"-*'-l) < L (a*"-*'-l), c'est-à-dire : 0< b*"—a*" < L (a*'-*'—1). l'our x' ot x", voisins de a, la différence {x" — x') est aussi voisine que l'on veut de zéro, et d'après cette inégalité, on peut dire la même chose de la différence (a*" — a*'), d'où la coïncidence dos limites. Nous prenons par définition «a égal à la limite L, c'est-à-dire que aa est la limite vers laquelle tend ax lorsque z-r-a suivant des valeurs rationnelles. Maintenant la fonction (36) est définie pour toutes les valeurs réelles de x. D'après ce qui a été dit plus haut, il est facile de démontrer que ce sera une fonction croissante, c'est-à-dire que a*a 5> axi , si x, et Zz sont des nombres réels quelconques vérifiant l'inégalité xz > xt. Au cours de la démonstration, il faut considérer séparément le cas où Xi et xz sont tous les doux irrationnels de celui où un ■des deux seulement est rationne!. Il reste encore à démontrer que la fonction sera continue pour chaque valeur réelle de x. Il faut d'abord démontrer quo a* -*-1 lorsque x -+ 0, cas où toutes los valeurs réelles de x sont permises. •On peut démontrer cela exactement de la même manière que pour les valeurs
1-2. THEORIE DBS LIMITES. FONCTIONS CONTINUES 107 rationnelles do x. Ensuite, comme ci-dessus, en utilisant la formule: aK—a«=o° (o*-°-l), nous pouvons démontrer que ax -+- aa lorsque x-i-a, ce qui montre quO ax est continu pour toute valeur réelle de *. Il n'est pas difficile de vérifier quo toutes les propriétés fondamentales d'uno .fonction puissance sont vraies pour tous les exposants réels. Soit par exemple a et p deux nombres irrationnels, et soit x -»• a et y -*■ (5, où » et y sont des variables, qui, lorsqu'elles varient prennent simultanément des valeurs rationnelles. Pour les exposants rationnels, nous avons: En passant à la limite et en utilisant la continuité démontrée de la fonction puissance, nous obtiendrons la même propriété pour les indices irrationnels: Démontrons encore la loi de multiplication des exposants lois do l'élévation de puissance (0^=0=8. Si B = n est un nombre entier positif, la formule que nous avons écrite résulte directement de la règle d'addition des exposants lors de la multiplication. Si ft = —est un nombre rationnel positif, nons aurons: (^=1/(^=1^ = 0 «. Four ies nombres rationnels négatifs, cette loi résulte directement de la formule (37), Supposons maintenant que p est irrationnel, et admettons que ies nombres rationnels r tendent vois (j. Nous avons, suivant ce qui a été démontré ci-dsssus : (a«)r=a«r. En passant à la limite et en utilisant la continuité de la fonction puissance, où nous prenons à gauche aa pour base, nous obtiendrons (a°)& = a0*. Avant de passer à la fonction logarithmique, faisons quelques remarques sur les fonctions inverses, dont nous avons déjà parlé brièvement dans l'introduction [1-1-20]. Si y = f {se) est une fonction croissante continue dans l'intervalle (a, 6), où f (a) = A et f (b) «= B, d'après la seconde propriété des fonctions continues, lorsque x croît do a vers b en passant par toutes les valeurs réelles, / (x) croîtra de A vers B, en passant par toutes ies valeurs intermédiaires. Ainsi à chaque valeur de y de l'intervalle (A, B) correspondra un x déterminé de (a, b), et la fonction inverse x = q> {y) sera uniformo ot croissante. Si x = xq se trouve à l'intérieur de (a, b), y» = } (x0) et que s parcoure le petit intervalle (x0 — s, x„ + s), alors, y parcourra un intervalle (i/o — T|i, y0 + T]a). En désignant par 8 le plus petit des deux nombres positifs T|i et r\2, nous pouvons affirmer que ai y appartient à l'intervalle Wo — 8. 'Jo + ôj représentant une partie seulement de l'intervalle (yn -— %, Uo + %)> ha valeurs correspondantes de x appartiennent a fortiori à l'intervalle (œ0 - e, i, + e), c'est-à-dire que | <P {y) — <p (va) 1 <. s, à condition que \y — y0 | < S. Etant donne que s est arbitraire, cela montre la continuité de la fonction s = <p (y) au point y => pq- Si œ0 coïncide par exemple avec la borne a, ii faut prendre, dans les raisonnements précédonts, au lieu de (xp— s, x„ + s) l'intervalle (x0t a:0 4- e). De façon analogue, on peut examiner le cas d'une fonction continue décroissante / (x).
108 CH. I. DEPENDANCB FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES LIMITES Revenons à la fonction (36). Du moment que a > 1, on a a = 1 4- fr, où b > 0, et la formule du hinflmo de Newton nous donne pour « entier positif >i: on=(l + 5)'>>l-(-ni, d'où l'on voit que ax croît indéfiniment en mime temps que x. De plus, il résuite do (87) que o*-^-0 lorsque x -i oo. En tenant compte de ce qui a déjà été dit au sujet des fonctions inverses, nous pouvons affirmer que la fonction *=lg0y, '38> qui est la fonction inverse de (36), sera une fonction univoque croissant continûment lorsque y > 0. On obtient ies mêmes résultats dans le cas où 0 < a <; 1 ; mais les fonctions (36) et (38) seront décroissantes. Introduisons maintenant une nouvelle notion, calle de jonction de fonction. Soit y = / (x) une fonction continue dans l'intervalle a <e •< 6; ses valeurs appartiennent à l'Intervalle (c, d). Supposons, do plus, que z = i' (y) est une fonction continue dans l'intervalle e < y < d. En désignant par y la fonction de s, mentionnée plus haut, nous obtenons une fonction de fonction de x: dans cet intervalle. En effet, à un accroissement infiniment petit do x oorrea pond un accroissement infiniment petit de y, du fait de la continuité de / (z): mais à un accroissement infiniment petit de y correspond un accroissement infiniment petit de z, du fait de la continuité de F (y). Examinons maintenant la fonction puissance z=x» (39) avec nn exposant & réel quelconque, et nous considérerons la variable x comme positive. Des raisonnements concernant la fonction puissance, il résulte que la fonction (38) a uno valeur déterminée pour tout x positif. En utilisant la définition des logarithmes et en prenant par exemple le logarithme népérien nous pouvons écriro au lieu de (39): z = eb,n*. Posant y = 6 in x et z = e", nous pouvons considérer cette fonction comme une fonction do fonction de x, et la continuité des fonctions exponentielle et logarithmique nous assure la continuité de 1» fonction (39) pour tout x > 0. Nous avons démontré [1-2-101 ia continuité de la fonction sin x pour toutes les valeurs de x. On démontre de même la continuité de la fonction cos x pour tout x. Des formules sin x cos x cos z H s»n x résuite [I-2-10| la continuité do tg x et cotg x pour tont x n'annnlant pas les dénominateurs. La fonction y = sin z est une fonction continue croissante dans l'intervalle ( —"ô"' T ) ' ^n ntî''sont ce qni a été dit des fonctions inverses, nous pouvons affirmer que la détermination principale de la fonction x— are sin y sera une fonction continue croissante dans l'intervalle —1 < y ^ 1. On démontre de façon analogue la continuité des antres fonctions circulaires inverses.
Chapitre II NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS H-l. Dérivée et différentielle du premier ordre II-i-1. Notion de dérivée. Soit un point se déplaçant sur une droite orientée. L'espace s parcouru par lui, évalué à partir d'un point donné de la droite, choisi comme origine, est évidemment une fonction du temps t » = /(*). telle qu'à chaque valeur du temps t correspond une valeur déterminée de s. Donnons à i un accroissement Ai; au nouveau temps t -\- Ai correspondra le trajet * + As. Si le mouvement du. point est uniforme, l'accroissement de trajet est proportionnel a l'accrois- As sèment de temps et dans ce cas le rapport .— représente la vitesse constante du mouvement. Dans le cas général, ce rapport dépend aussi bien du temps t, que de l'accroissement Ai, et exprime la vitesse moyenne du mouvement au cours de l'intervalle de temps compris entre t et i + Ai. Cette vitesse moyenne est la vitesse d'un point imaginaire qui, animé d'un mouvement uniforme, parcourt le trajet As pendant le temps Ai. Nous aurons, par exemple, dans le cas d'un mouvement uniformément accéléré S=*jgt2 + V0t et -47= ïi gî + Vo+^gAt. L'approximation qui consiste à assimiler le mouvement du point considéré pendant la temps Ai à un mouvement uniforme sera d'autant meilleure que l'intervalle Ai sera plus petit, et la limite du rapport—tt-j quand Ai tendra vers zéro, définira la vitesse v à l'instant donné t : ,. As i>= lrm ~r~ .
110 CH. II. NOTION DE DËMVËE. APPLICATIONS Ainsi, dans le cas d'un mouvement uniformément accéléré v= lim -ff = lim (gt+»o + -?gAt) =gt + v0. La vitesse v, comme l'espace parcouru s, est une fonction du- temps t; cette fonction s'appelle la dérivée par rapport au temps de la fonction / (t) ; la vitesse apparaît donc comme la dérivée de l'espace parcouru par rapport au temps. Supposons qu'un certain produit participe à une réaction chimique. La quantité x de ce produit, entrée en réaction à l'instant t, est une fonction du temps. A un accroissement At du temps correspondra un accroissement Ax de la quantité de produit réagis- santé x et le rapport -r- exprimera la vitesse moyenne de la réaction chimique au cours de l'intervalle de temps Ai; la limite de ce rapport, lorsque Ai tendra vers zéro, exprimera la vitesse de la réaction chimique à V instant donné t. .Faisons maintenant abstraction des exemples et doutions une définition générale de la dérivée. Supposons que la fonction y = — / (x) est définie pour une certaine valeur fixée de x et pour toutes les valeurs qui lui sont suffisamment proches, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de la forme x + h, où h est un nombre arbitraire- positif ou négatif suffisamment petit en valeur absolue. On appelle habituellement la valeur h l'accroissement de la variable indépendante x. Au lieu de ¾ on écrit souvent Ax. L'accroissement correspondant do la fonction sera : Ay=*f(x + h)-f(x). Formons le rapport de ces accroissements ; by f(x+k)-f(x) .. te ~ h " ^' Ce rapport est déterminé pour toutes les valeurs de h, suffisamment petites en valeur absolue, c'est-à-dire dans un intervalle —ft^fe^ ■.< -I- k excepté h = 0. Comme x est fixé, le rapport (1) ne dépend que de h. Définition, Si le rapport (1) a une limite (finie) quand h tend vers zéro (h ->- ±0), cette limite est appelée la dérivée de la jonction f (x) pour un x donné. En d'autres termes, on appelle dérivée de la fonction donnée / (x) pour une valeur donnée de x la limite du rapport ^ de l'accroissement Ay de la fonction à l'accroissement Ax de la variahle indépendante, quand ce dernier tend vers zéro (Aa;->- ± 0), si la limite
II-l. DÉRIVÉE ET DIFFERENTIELLE DU PREMIER ORDRE H{ susmentionnée existe. La dérivée est notée y' ou /' (x) : y' = f (x) = hm -r^- = lu» ---1- '■■ - L'opératioD du calcul de la dérivée est appelée la dérivation dt la fonction. La fraction (1) peut no pas avoir de limite quand h-*-±ù et alors la dérivée n'existe pas pour cette valeur donnée de x. L'existence de la limite f (x) est équivalente à ce qui suit [1-2-8] : pour tout nombre donné e > 0, il existe un nombre rj >• 0 tel que | fç+hj-fi*) _f (a!)|<e| si |fc|<T) rt&^o. En supposant que la dérivée existe, nous pouvons écrire /f+^-/w„fw+p, où p -»- 0 quand 7î -*• ± 0. Nous avons ensuite : f(x + h)-f(x) = [f(x) + P]h, d'où il découle que / (a; + h) — f (x) ->• 0 quand fe -»- ± 0, autrement dit, si pour une certaine valeur de x la dérivée f (x) existe, alors- la fonction f (x) est continue pour cette valeur de x. La réciproque n'est pas vraie, autrement dit, de la continuité do la fonction pour un x donne il ne découle pas l'existence de la dérivée. Attirons l'attention sur le fait que lors de la recherche de Ja dérivée d'une fonction continue, nous avons une fraction (1) dont le numérateur et le dénominateur tendent veis zéro, mais le dénominateur h ne prend pas la valeur zéro. Notons un cas particulier. Si y = ex, le numérateur de la fraction est c (x + h) — ex = ch et toute la fraction est égale à c, autrement dit, ne dépend pas de h. Sa limite pour h -»- ± 0 est aussi égale à c. Pour une valeur fixée de x, les valeurs de / (x) et /' (x) sont des nombres. Si la fonction et sa dérivée existent pour tous les a; à l'intérieur d'un certain intervalle, /' (x) est une fonction de a; à l'intérieur de cet intervalle. Dans le cas considéré plus haut / (x) = ex- la dérivée /' (x) est égale au nombre c pour tous les x. II-1-2. Signification géométrique de la dérivée. Pour établir la signification géométrique de la dérivée, on se reporte à la représentation graphique de la fonction y — f (x). Soit M un point de la courbe représentative de coordonnées (x, y). Soit N un point voisin de la courbe représentative de coordonnées (x + àx, y + ày).
112 CH. II. NOTION BE DÉRIVÉE. APPLICATIONS Si on figure les ordonnées MtM et NiN de ces deux points, et si on mène par M une droite parallèle à J'axe OX, on a évidemment ici. fig. 50) : MP=MJfi = Ax, MÏM=y, Î^N = y + Ay, PN=Ay. (2) ï.e rapport — représente la valeur de la tangente do l'angle <xt, que fait la sécante MN avec la direction positive de l'axe OX. Lorsque Ax tend vers zéro, le point N, se déplaçant sur la courbe, Fig. 50 Fig. 51 tendra vers le point M; la position limite de la sécante MN sera la tangente MT à la courbe au point M et par conséquent la. dérivée /' (a;) sera égale à la tangente de l'angle a, formé par la tangente à la courbe au point M {x, y) et la direction positive de l'axe OX, c'est- à-dire égale au coefficient angulaire de cette tangente. Lorsqu'on évalue les intervalles d'après les formules (2), il y a lieu de tenir compte des signes et de remarquer que les accroissements Ax et Ay peuvent être aussi bien positifs que négatifs. Le point N de la courbe peut tendra vers M de n'importe quel côté. Sur la fig. 50 nous avons donné à la tangente un sens déterminé. Si nous lui avions conféré le sens contraire, cela aurait modifié l'angle a d'une valeur n et n'aurait pas influé sur la valeur do la tangente de cet angle. Nous reviendrons encore par la suite à cette question de l'orientation de la tangente, mais maintenant elle est sans importance pour nous. Nous voyons ainsi que l'existence de la dérivée est liée à l'existence de la tangente à la courbe correspondant à l'équation y = / (x), et le coefficient angulaire de la tangente tg a = /' (x) doit être fini. En d'autres termes, la tangente ne doit pas être parallèle à l'axe OY. Dans ce dernier cas, a = -s- ou a = -g-, et la tangente de cet angle est infinie. Une courbe continue peut en certains points ne pas avoir de tangente du tout, ou avoir une tangente parallèle à l'axo OY (fig. 51),
11-1. DÉRIVÉE ET DIMTEHENTIELLE DU PREMIER ORDRE H3 et pour les valeurs correspondantes de x la fonction / (x) n'a pas de dérivée. Il peut y avoir un nombre arbitrairement grand de points exceptionnels de ce genre sur la courbe. On démontre également qu'il existe des fonctions continues qui n'ont pas de dérivée pour aucune valeur de x. La courbe correspondant à cette fonction n'est pas concevable pour nos représentations géométriques. Arrêtons-nous un peu plus en détail aux cag représentés sur la fig. 51. Introduisons tout d'abord la notion de dérivée à droite ot à gauche. Supposons que h tend vers zéro non d'une manière arbitraire, mais, par valeurs négatives, ou par valeurs positives, autrement dit, h -*- — 0 ou h -»• 4- 0. Si le rapport (1) a dans ce cas une limite (finie), on la désigne usuellement par le symbole f (x — 0) ou, respectivement,/' (x + 0) et ou l'appelle dérivée à gauche ou, respectivement, dérivée à droite. L'existence delà dérivée/' (a:) est équivalente à l'existence et l'égalité des dérivées /' (x — 0) et /' (x + 0). Alors f (*) = f (x - 0) = f (x 4- 0). Si les dérivées f (x — 0) et /' (a; + 0) existent et sont différentes, cela correspond au cas où au point correspondant x existent à droite et à gauche dos tangentes non parallèles à l'axe OY (positions limites de la sécante), mais ces tangentes sont différentes, autrement dit, elles ne forment pas une droite passant par le point d'abscisse x. Ce cas est représenté par le point Mj sur la fig. 51. Aux points M2 et Mz le rapport (1) tend vers l'infini qnand & -+• — 0 on h -*• 4- 0. Attirons l'attention sur lo signe de cet infini. Pour les points N situés sur la courbe à gauche du point Af2, la grandeur h < 0 et / (x + h) — f (x) < 0 pour les h suffisamment proches do zéro, car l'ordonnée à gauche est inférieure à l'ordonnée du point Mi. Ainsi, dans ce cas, le rapport (1) est positif et quand h -*• — 0, il tend vers (+°°) (la tangente à gauche est parallèle à l'axe OY). A droite de M2 la grandeur h > 0 et. comme auparavant, / (x 4- h) — / (x) <. 0, autrement dit, le rapport (1) est négatif et tend vers (—oo) quand h~>- + 0. Passons au point. M3. Ici à gauche h < 0 et / (x + h) — / (x) < 0, et à droite h > 0 et / (x 4- h) — f (x) > 0, autrement dit, à droite et à gauche- le rapport (1) est positif et tend vers (+oo) quand h ->■ — 0 ot quand fe-s- + 0. autrement dit. dans ce cas, le rapport (1) tend vers (4-oo) quand h -*■ ± 0. Notons que lors de la définition de la dérivée nous avons exigé que le rapport (1) tende vers une limite finie quand h-*- ± 0. Si cette limite est égale à (+°°) ou (—oo) quand h—>-± 0, nous ne disons pas toutefois que pour la valeur correspondante de x existe une dérivée égale à (4-oo) ou (—oo). II peut également, exister sur la courbe y — f (x) des points où les dérivées /' (x — 0) et /' (a; 4- 0) n'existent pas. Une courbe de 8-ïBl
UA CH. II. NOTION DIS DÉK.IVSE. APPLICATIONS ce genre est représentée sur ia fig. 52. Elle no possède pas les dérivées mentionnées au point x = c. Si une fonction continue est donnée uniquement sur l'intervalle (a, 6), nous no pouvons former pour x — a que la dérivée à droite /' (a + 0) et pour x = b que la dérivée à gauche /' (b — 0). Quand on dit que / (») possède sur V intervalle fermé (a. 6) une dérivée f {x), cette dérivée doit être comprise dans le sens usuel en tout point intérieur de cet """" intervalle, msiis aux extrémités de cet intervalle uniquement dans le sons indiqué. Si / (x) est déterminée dans un intervalle (A, B) plus large que {a, b), autrement dit, A < a et B > b et possède à l'intérieur de (A, B) une dérivée usuelle /' (x), elle sera à plus tlC) -*~X Fig. 52 forte raison une dérivée dans le sens indiqué sur l'intervalle (a. b). ÏI-i-3. Dérivées des fonctions simples. A partir de la définition on voit que, pour déterminer la dérivée il faut former l'accroissement de la fonction, le diviser par l'accroissement correspondant de la variable indépendante et chercher la limite de ce rapport quand l'accroissement de la variable indépendante tend vers zéro. Appliquons cette règle à quelques fonctions simples. I. y = b (constante) (T-l-12]. k-t 0 'l Fl-f 0 c'est-à-dire que la dérivée d'une constante est nulle. II. y — xu (n — «ombre entier positif). , . ,.„ „ xn-|- «/M»-» :- " Cft~iJ ftV-2 |.... + fc»—*» y => hm - '-. = Lm -, = = lim fn*»-* -t-a("~4W-~2+ . . . +/^-^=/1^-1. En particulier, pour y ■— x, y' = 1,. On généralisera ci-dessous cette règle do dérivation des fonctions puissance aux valeurs quelconques de l'exposant n.
ll-t. DÊRtVÉF. IÏT DIFFfiRUXTiËLLE £>U PRBHHÎJI ORDRE JJ5 III. y = Silfl X. . , , .> . 2cos (s+-^-) sin-^- , ,. sin(a: !~h)— suiz ,. \ ' 2 ) l » =]im 1 r = lim — ■ r =■ a-mi h h-e * . h SHl-y = 1ÏD1 COS ( X-\~-7T-) r — OOSX, fc-Xi V 2 I ± 2 . fe h smT puisque pour -y tendant vers zéro, —r— tend vers 1 [1-2-9]. "2" IV. y = co$x. h = Jim — ff = Dm r . h I h \ Sln~2~ --lit* («+T)_5-_-8Jn*. 2 V. y=lri3;(x>0). z ,. In (x -A) —In* ,. \. if ^ X puisque pour h -*■ 0, la variable a = — tend également vers zéro, et Jïii±2i-h i (1-2-14]. VI. y = eu («), où c est une constante et u (x) une fonction de .«. y = lim i-f —' = c hm ^ ' — — eu (x), fi-i-0 " ft-»0 " c'est-à-dire que la- dérivée du produit d'une constante par une variable est égale au. produit de cette constante par la dérivée du /acteur variable ou, en d'autres termes, on peut extraire un facteur constant du signe de dérivation. S*
«6 CH. II. NOTION DE DJËRtVfiE. APPLICATIONS VU. jr-lg,,». Comme ou l la règle VI, il vient : * Comme ou le sait, lgax=)na:'^ [1-2-14). Eu appliquant J i_ X ' il! « VIII. Pour l'étude de la dérivée de la somme de plusieurs fonctions, on se limitera a trois termes: y = u (x) -j- v (x) + w (x), y' = lim 1»(g+ft)+" («+»)-! «»(J-ffc)]~t» (»)+■> W+wWI = /i->0 h _]im ['C+tl-'W I »(»+*)—«>(*) . »(if fe)-|-m(j)-| _ 1,-+0 L A "*" h "r A J = u' (ic) + »' (a;) -j- w' (x), c'est-à-dire que la dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. IX. Examinons maintenant la dérivée du produit de deux fonctions : y = u{x)-v{x), / _ jjm a (x + h) v (x + h)~u (x) i> (x) fc-»0 h En ajoutant et en retranchant au numérateur la grandeur u (x + h) v (x), il vient v' = lim " (g4-fc) » (g+ft)—u (s+ft) g (s)-l-u (a+A) » («)—u (a) » (g) V h->o h = ,. . , .. vtx-^-h)—» (x) , ,. . , ii(.i-t-ft) — u(x) = lim m (a + h) K ,' — + l>m v (x) ^ ' i-J- = = it {«) t>' (x)-\-v(x) u' (x), autrement dit, dans le cas de deux facteurs, on a montré que la dérivée du produit est égale à la somme des produits des dérivées de chacun des facteurs par les autres. Montrons maintenant que cette règle s'applique au cas de trois facteurs, faisant deux groupes de facteurs, comportant respectivement un et deux facteurs de un, et un appliquant cette règle au cas de deux facteurs: y = u (x) v (x) w (x), y' = {[u (x) v (x)) w (x)}' = [u (x) v (x)] w' (x) + w (x) [b (x) v («.))' = = u (x) v (x) w' (x) + u (x) v' (x) le (x) -\-u' (x) v (x) w (s).
11-«. DBRIVBEET DIFFERENTIELLE DU PREMIER ORDRE H7 En utilisant ia méthode bien connue de l'induction mathématique, il n'est pas difficile d'étendre cette règle au cas d'au nombre fini quelconque de facteurs. X. Maintenant, soit y un quotient: v v (x) ' u (x 4- II) M (s) / = iim v<*+\ "(z) - _ .. i ulx-\-h) olx)—v (x-\-h)u(x) a™ »(*)»(*+/»> '' En ajoutant et en retranchant au numérateur de la deuxième fraction le produit u (x) v (x), on a, en tenant compte do la continuité de la fonction v (x) : / _ jim 1 K(xi-h) v (x) — u(x) v (x)-\-u (x)v (x)—v(x-'-h)u(x) _ _ u' (x) r; (i) — b' (x) u (x) l» (*)]* c'est-à-dire que Za dérivée d'une fraction (quotient) est égale au produit de la dérivée du numérateur par le dénominateur moins le produit de la dérivée du dénominateur par le numérateur, le tout divisé par le carré du dénominateur. XL y=tgx. , _ /slttse\' (sin x)' cos x—(eos x)' sin x __ oos'a-t-Sm'rc 1 ^ ~ \ cosï j — cosS i — cosa 2 eus* s ' XII. y = cotgs. , /coss S' ?/ — UiniJ — (cos x)' sin z—(sin x)' cos g — siîfi x—cos2 œ sin2 a; sin2 x ' Lorsqu'on a établi les règles VI, VIII, JX et X, on a supposé que les fonctions u {x), v {x) et w (x) avaient des dérivées, et on a démontré l'existence de la dérivée de la fonction y. II-f-4. Dérivées des fonctions de fonction et des fonctions inverses. Rappelons d'abord la définition d'une fonction de fonction [1-2-20]. Soit y — f (x) une fonction continue dans un intervalle quelconque a -sj x -sg b et telle que les valeurs de la fonction appartiennent à 1*Intervalle c-<. y ■< d. Soit z = F (y) une fonction continue dans l'intervalle c ^ y -^. d. Considérant y comme la fonction
118 CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS susmentionnée de x, nous obtiendrons une fonction de fonction do x: * = F(y)-F(f(x)). On dit que celte fonction dépend de x par l'intermédiaire de y. Il n'est pas difficile de voir que cette fonction sera continue dans l'intervalle o<a'<i. En effet, à un accroissement infiniment petit de x correspond un accroissement infiniment petit de y, puisque la fonction / (x) est continue, et à l'accroissement infiniment petit de y correspond un accroissement infiniment petit de z, la fonction F {y) étant continue. Il y a lieu de faire une remarque avant de passer à rétablissement de la règle de dérivation d'une fonction de fonction. Cette remarque est la suivante. Si z = F (y) a une dérivée pour y <= ya, nous pouvons écrire d'après [II-l-l): Az = F{y0+Ay)-F(Vo) = \F'(y0) + a.]Ay, (3) où In variable a est la fonction de Ay, déterminée pour tout Ay suffisamment proche, mais différent de zéro, et a->-0 si Ay -*■ 0, sans jamais devenir nul. L'égalité (3) reste valable pour Aj/ = 0 avec n'importe quel a, parce que pour Ay = 0 et Az = 0. D'après ce qui précède, il est naturel de poser a = 0 pour Ay = 0. D'après cette proposition on peut supposer que dans la formule (3), a -*- 0 si Ai/—>-0 de n'importe quelle façon, même si Ay preud la valeur fcéro. Donnons maintenant le théorème de la dérivation d'une fonction de fonction. Théorème. Si y = f (x) a une dérivée f [xs) au point, x =■- x0 et si z = F (y) a une dérivée F' (y0) au point y0 = / (x0), la fonction de fonction F {/ (x)) a au point x — x0 une dérivée égale au produit Soit Ax l'accroissement non nul que l'on donne à la valeur x0 de la variable indépendantes, et Ay = / (xa -f Ax) — f (xa), l'accroissement correspondant de la variable y (qui peut être nui). Soit maintenant Az = F (y0 -\- Az/) —F (yB). La dérivée par rapport à x de la fonction de fonction z = F (f (x)) pour tout x ~ x0 est évidemment égale à la limite, si elle existe, du rapport — pour Aa;->-0. Divisons les doux membres de l'égalité (3) par Az: &-!*• <»> + «]■£■■ Lorsque Ax -*■ 0, Ay -+■ 0 par suite de la continuité de la fonction y=zf(z) au point x = £<,, et, comme nous l'avons indiqué plus haut, a->-0. Le rapport ■— tend vers la dérivée /' (xt). Si, dans
11-1. DfiJtiVEE ET DIÏ'PÊRENTIEI.LE DU PREMIER ORDRE H9 l'égalité inscrite plus haut, on passe à la limite, il vient: AX-.C *X ce qui prouve le théorème que nous avons énoncé. Remarquons que la continuité de / (or) pour x — Xq découle de l'hypothèse de l'existence de la dérivée f (xa) lll-l-l]. Le théorème qui vient d'ôtre démontré peut être onoDcé sous la forme suivante de règle de dérivation des fonctions do fonction : la dérivée d'une fonction de fonction est égale au produit de la dérivée par rapport à la variable intermédiaire par la dérivée de la variable intermédiaire par rapport à la variable indépendante : *i = *'(»)/'(*)■ Passons à la règle de dérivation des fonctions Inverses. Si y — f (x) est continue et croissnnte dans l'intervalle (a, b) (c'est-à-dire qu'aux plus grandes valeurs de x correspondent les valeurs plus grandes de y) avec A — f (a) et B = / (b), comme nous le savons déjà d'après ï 1-1-211 et 11-2-201, il existe une fonction inverse x — ç {y) univequo continue et croissante dans l'intervalle (A. B). Eu raison de cette croissance, si Ax ^=- 0, Ay =/± 0 et inversement ; en raison de cotte continuité, si Aar^-0, Ay —>-0 et inversement. (Le cas des fonctions décroissantes se traite exactement de la môme façon.) T h é o r è m e. Si / (x) a une dérivée f (xa) différente de zéro au peint x$, la fonction inverse q> (y) a au point y<, ■— f (a:0) une dérivée Si l'on désigne pat Aar et Ay les accroissements correspondants de x et de y, c'ost-à-dire : Ax = y(y0 + Ay) — (p(tf0), Ay = f (^.,, +Ax)~f(x0), et si l'on tient compte du fait qu'ils sont tous les deux différents do zéro, on peut écrire: Ax _ 1 Ay ~ Ay Ai Comme on a vu plus haut, Ax et Ay tendent vers zéro simultanément, et l'expression précédente admet (4) comme limite. Le théorème qui vient d'être démontré peut être énoncé sous la forme suivante de règle de dérivation des fonctions inverses: la dérivée de la fonction inverse d'une fonction est égale à F unité divisée par la dérivée de la fonction initiale au point considéré.
120 CH. II. NOTION DE DBlUVfiE. APPLICATIONS L'interprétation géométrique do cette règle de dérivation est simple U-1-21J. Les fonctions x = <p (y) et y — f (x) ont la même courbe représentative dans le plan XOY. à ceci près que pour la l'onction x ■-— qi (y) l'axe sur lequel est portée la variable indépendante est l'axe OY, et non { y plus l'axe OX (fig. 53). Si l'on mène la tangen- U^k te MT Ci revenaiit à la signification gôomé- .AfY trique de la dérivée, il vieut TX r(x) = tg(OX,MT) = tgcc, <-ç'(y) = ig(OY,MT) = tg$, Fig. 53 les angles « et p étant comptés positivement sur la fig. 53. Mais il est évidont que P = ~— œ et, par conséquent, tgf} = -^, c'est-à-dire <p'W = -i_. Si x — (p (y) est la fonction inverse do y — f (x), on peut évidemment considérer, réciproquement, la fonction y =*- / (x) comme l'inverse de x — <p (y). Appliquons In règle de dérivation des fonctions inverses à l'exemple suivant: Xlir. y - ax (a > 0). La fonction inverse est dans ce cas: ar=cp(y) = nj„y, et d'après VII, d'où nous tirons en appliquant la règle de dérivation des fonctions inverses: y'=—r-rr= V In a on tax)' = <l*lna. Dans le cas particulier où a = e, il vient: La formule obtenue jointe à la règle de dérivation des fonctions do fonction nous permettra de calculer les dérivées de ia fonction puissance. XIV. y = £n (»>0; n nombre quelconque réel). Pour tout x > 0, cette fonction est définie et a une valeur positive [1-1-19}.
n-1. DERIVEE ET DIFFERENTIELLE DU PREMIER ORDRE J2I En utilisant la définition des logarithmes, on peut représenter cette fonction sous la forme d'une fonction de fonction : y~xn = e'llnx. En dérivant selon la règle de dérivation des fonctions de fonction, il vient: y' -^ enlaxJL—xn JL — n^-l, Ce résultat peut être étendu simplement au cas des valeurs négatives de x, si seulement pour ces valeurs la fonction existe, par- exemple dans le cas de y = a;*-'3 = Y~x. Appliquons maintenant la règle de dérivation des fonctions inverses à la détermination des dérivées des fonctions circulaires inverses. XV. y = arc sin ^. Nous considérons 1 a détermination principale U-l-24] de cette fonction, c'est-à-dire l'arc compris dans l'intervalle (—y , +-V) . Cotte fonction peut être considérée conuno la fonction inverse de- la fonction x = sin y, et d'après la règle de dérivation des fonctions- inverses, il vient : *„ «'s 2/ VI—sin2 y >'l-*2 en choisissant la racine positive, puisque cos y est positif dans l'intervalle (—"J' t)" ^n ^exxi ^enït de 1& même façon: (arecoso^-y^bf , où l'on prend en compte la détermination principale de la fonction arc cos a, c'est-à-dire l'arc compris dans l'intervalle (0, n). XVI. y = arc tg x. La détermination principale d'arc tg x correspond à l'intervalle ( — T' ■?") ' efc ^1^ fonction peut être considérée comme- l'inverse de la fonction x = tg y ; par conséquent : ,_ 1 1 2 _ 1 1 y"~ x'y -_l_-cos V-\+itfy -1 + ^ ■ eu»2;/ On obtiendra de la même façon : (arc cotg x)' =-^-^ .
122 cu. «1. NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS XVII. Examinons encore la dérivation des fonctions du type y — u', où u ot v sont des fonctions do x. Nous pouvons écrire y — evlau, et. en appliquant la règle de dérivation des fonctions de fonction, il vient: y' = é°^^.(v\uu)'. Si nous appliquons maintenant la règle de dérivation d'un produit de fondions et dérivons In u comme une fonction, de fonction de x. nous obtiendrons finalement: ou if =*eviaa(v' lnu+-^u'\ y' — u" w/ In u+—u'\ . II-1-5. Table dos dérivées des fonctions et exemples. Rappelions dans nno table toutes les règles de dérivation que nous avons établies. 1. (c)'-0. 2. (eu)' — eu . 3. («j-j-«2+ ... T»«)' = »l + «i+... -|-i4. 4. (zitW2. . .Un.)' = M,jU2»3...Un+U1U^Uj.. .«„+. . .+UtU2Us. . .U'n. 5/ ri \ ' u'i>—L>'u G. (£")' =■ n*n_l et (*)' -=* 1. 8. (ex)'=-«*et(ax)' = axlii«. 9. (sinx)' = cosa:. 10. (cos#)' =—sîna;. 12. (cotg*)'--^. 13. (arc sin #)' = ■ 14. (nrc cosa;)' = — 1 yu^
11-1. DÉRIVÉE ET DlFFfiRJSNTlSLLi! DO PHJÎMJBR ORDftlî 15. (arc tgx)'=^-i. 36. (arccotgx)'= — j-ç^ , 17. (u'>Y = vu<'-iu' + uvljiUD'. 18. y'x=yi-u.'x (y dépend de x par l'intermédiaire de u). 19. x'„=A- . Appliquons maintonanl ces règles à quelques exemples: 1. y = afl—Sx'+7x—i.<i. L'application des règles 3, 6 et 2 conduit à : y'^3ïa — 6s+7. *''°F3 --x ■2/2 y X' L'application de la règle 6 conduit ù : 5 .2,-5. A 3*f- as* 3. j=£in2:r. On pose u ■=- siii x, el l'app lieu lion des règles 18, 6 el 9 donno; y' — 2u - u' = 2 si n s cos a:—sin 2s. 4. i/ = sin(i2). On pose u = je8, et l'application des mêmes règles conduit a; ^'--cosiiai'=2icos (x2). 5. ï = iii(*-i-y«ï + l). En posant d'abord «=-*-)- l/"»" -|^ 1, puis u = s2 -)- 1 et en appli ensuite deux fois la règle 18, ainsi que los réglas 7, 3 et 6: y' ='—h— («+ V^TÏ)' =^rr^== U + (V^Tï)' I - = 7 [h .1 (¾2 -1-1)-1 = s+y«ï+iL 2 y ««-m J ^a-i-y^+ï'i1"1" y^Tï)~ x r-j/gg-l 1 1 ï-fl/l' |-1 "J/j:2 + l V«2 + l «•"-(stî)"'
124 CH, II. NOTION DE DÊR1VËE. .APPLICATIONS Posons u—-x—r-; et appliquons les règles 18, (S et 5: JjT'-f- 1 ,__ / x \n-l f x \' I x \n-l 2X-<-\ — 2x " ~n \Sx+\) Ue-M/ nVix+l) CZx4-lp ~ (2, *-M)"+1 " 7. i/ = z». Par application de la règle 17, il vient: y' = **-!- s + a* tn * — z* (1 + la i). 8. La fonction y est donnée par l'équation : comme fonction implicite do as. Calculer ia dérivée y. Si l'on résolvait l'équation donnée par rapport à y, on obtiendrait y = / {s). tion donnée par rapport à ¢, en considérant que y est une fonction de a-, donnée par cotte équation, on doit trouver zéro: -S- + -5Ï-Ï-0. d ou ir---^. Dans ce cas, comme on peut lo voir, y' ne s'ox prime pas seulement en fonction do x imita aussi en fonction de ». Cependant, il n'a pas fallu, pour calculer ia dérivée, chercher à résoudre léquntion (5) par rapport à y, c'est-à-dire trouver nno expression explicite do la fonction. Comme un lt: sait d'après la géométrie analytique, l'expression 15) est l'équation do l'ellipse et l'expression tronvée pour y' représente lo coefficient anginoiro de la tangente à cette ellipse au point uo coordonnées (x, y), II-1-6, Notion do différentielle. Soit àx l'accroissement arbitraire de la variable indépendante que nous considérerons maintenant comme indépendante de x. Nous l'appellerons différentielle de Invariable Indépendante et nous récrirons àx ou dx. Cette expression n'indique nullement un produit de d par x, mais est lo symbole pour désigner une quantité arbitraire ne dépendant pas de x. On appelle différentielle d'une fonction le produit de sa dérivée par la différentielle de la variable indépendante. La différentielle d'une fonction y = f(x) ost désignée par le symbole dy ou df (x) : di=df(x) = f{x)âx. (fi) A partir de cette formule on peut exprimer la dérivée sous forme du rapport de deux différentielles:
II-1. D8R1V8E BT DIÏSfiRENTlKtl.E BU PREMIER ORDRE 125 Kg. 54 Soulignons que la différentielle dx d'une variable indépendante, faisant partie de la définition do la différentielle d'une fonction et de la formule (6), peut prendre des valeurs tout à fait arbitraires. En fixant une valeur quelconque de dx, nous obtenons, d'après la formule (0), la valeur correspondante de ây, pour "un x -donné. Si nous considérons dx comme un accroissement de la variable indépendante x, il faut que non seulement x, mais aussi x-\- dx appartiennent à l'intervalle sur lequel la fonction a été définie. Cependant, même alors, la différentielle de la fonction dy ne coïncide pas, sauf cas exceptionnels, avec l'accroissement de la fonction correspondant à l'accroissement dx de la variable indépendante. Pour saisir la différence qui existe entre ces deux grandeurs nous allons examiner la courbe représentative de la fonction. Soit, sur cette courbe, un point M (x, y) et un autre point N. Traçons une tangente MT, les ordonnées correspondant aux points M' et TV et la droite MP parallèle à OX (cf. fig. 54). Nous aurons alors : MP = M\Ni-àx (ou dx), PN = Ay (accroissement de y), /\ tgPAf <? = /'(*), d'où /\ _ dy = f (x)dx = MP tg PMQ = PQ. La différentielle de la fonction est représentée par le segment PQ. qui n'est pas identique au segment PN qui correspond à l'accroissement de la fonction. Le segment PQ représente l'accroissement que nous aurions obtenu si, dans l'intervalle (x, x + dx) nous avions remplacé l'arc de courbe MN par le segment MQ de la tangente, c'est-à-dire si nous avions estimé que dans cet intervalle, l'accroissement de la fonction est proportionnel à l'accroissement de la variable indépendante, et que le coefficient de proportionnalité ■est égal au coefficient angulaire de la tangente MT ou, ce qui revient au même, à la dérivée f (x). La différence entre la différentielle et l'accroissement est représentée par le segment NQ. Montrons que si Ax tend vers zéro, cette différence est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à Ax [1-2-12].
120 CH. II. NOTION DE Dfi RIVÉE. APPLICATIONS La limite du rapport -^ est la dérivée, c'est pourquoi [1-2-3] : £-/•<*> + •. où s est un infini mont petit simultanément avec Ax. Celte égalité nous donne: Ay = /' («) Aœ-f-sA* ou ce qui montre que la différence entre dy et Ay est égale à ( — e-Ax). Le rapport entre (—vAx) et Ax, égal à (—e), tend vers 0 en moitié temps que Ai, c'est-à-dire que la différence entre dy et Ai/ est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à àx. Remarquons que le signe de cette différence peut être quelconque. Sur notre figure, aussi bien Ax que cette différence sont positifs. La formule (6) donne la règle du calcul do la différentielle d'une fonction. Appliquons-la à quelques cas particuliers. I. Soit c une constante, alors dc = {c)' dx = 0.dx = 0, c'est-à-dire que la différentielle d'une constante est nulle. II. d\cu(x)] — {cu(z)]' dx = cu' (x) dx = cdu(x), c'est-à-dire qu'uw facteur constant peut être sorti du symbole de diffé* reniiation. III. d\u(x) + v(x) + w(x)] = lufr) + v{x) + u>(x)]'dx= — !'<' {x) + °' {x) + w' (*)] dx = u' (x) dx + v' (x) dx + w' (x) dx = = du (x) •+■ di> {te) + dw (a ), c'est-à-dire que la différentielle d'une somme est égale à la somme des différentielles de chacun des termes. IV. d \u (x) v (x) w (x)] = u (x) v (x) w (x)J ' dx — = v {x) w (x) u' (x) dx ■ |- u (x) w (x) i/ (x) dx-j-u (x) v (x) w' (x) dx = = v{x) w (x) du (x) -f u (x) w (x) dv (;r) -f- u (x) v (x) dw(z), c'est-à-dire que la différentielle d'un produit est égale à la. somme, de produits de la différentielle de chacun des facteurs par tous les autres facteurs. Ou n'a mentionné ici que le cas de trois facteurs. Mais la même déduction est également valable pour n'importe quel nombre fini
1)-1. DÉRIVÉE ET DIl']?EltKNT]EI,IJK BU PREMIER ORDRE )27 de facteurs. _ v (a) <fo (a:) —fi (x) dv (x) ["{Al2 c'est-à-dire que la différentielle W un rapport (d'une fraction) est égale à la différence entre le produit de la différentielle du numérateur par le dénominateur et le produit de la différentielle du dénominateur par le numérateur, le tout divisé par le carré du dénominateur. VI. Etudions le cas d'une fonction de fonction y = /(it), où u est fonction de x. Déterminons dy, en supposant que y dépend de x : [dy = y'xdx = f (u)• u'xdx = /' (u) du, c'est-à-dire que la différentielle d'une fonction de fonction se présente sous la même forme que si la fonction intermédiaire était la variable indépendante. Elndions un cas particulier afin de comparer l'accroissement de la fonction à sa différentielle. Soit la fonction: j, = / (a) = *3+2aï-|-&H-10 et étudions son accroissement /(2,01)-/ (2) = 2,013+2-2,0^-1-4.2,01 + 10—(23-1-2-22+4-2-i 10). Les calculs donnent la valeur Suivante de l'accroissement : hy = f (2,01)- /(2)=0,240801. II est incomparablement plus simple d'évaluer la différentielle do la fonction. Dans lo cas présent, dx = 2,01 — 2 = 0,01 ot la différentielle do la fonction sera: dy = (3s2+4r+4)d3;=:(3.23+4-2-1 4)-0,01 = 0,21. En faisant la comparaison, nous voyons qu'il y a coïncidence entre dy ot Arj au millième près. 11.1-7. Quelques équations différentielles. Mous avons montré qu'on remplaçant l'accroissement de la fonction dans l'intervalle (x, x -I- dx) pur sa différentielle, nous appliquons la loi de proportionnalité directe entre les accroissements de la fonction ot ceux de la variable indépendante avec un coefficient de proportionnalité correspondant, et que cette substitution engendre une erreur qui est un infiniment petit d'ordre supérieur à d*. C'est sur ce fait qu'est basé remploi de l'analyse des infiniment petits pour i'étude des phénomènes naturels. En observant un certain processus, on s'efforce do lo diviser en éléments petits et on applique à chacun d'eux lit règle do proportionnalité directe. A la limite on obtient ainsi une équation représentant une relation entra une variable indépendante, une fonction ot lours différentielles (ou dérivées). On appelle cette équation équation différentielle, correspondant an processus considéré. Obtenir la fonction à partir do l'équation différentielle c'est intégrer l'équation différentielle.
128 CH. II. NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS Ainsi, en utilisant l'analyse des infiniment petits pour étudier une loi de la nature, il faut formor l'équation différentielle de la loi considérée et l'intégrer. Ce dernier problème est en général beaucoup plus difficile quo le premier et noua en parlerons dans la suite. Dans les exemples suivants nous allons rechercher les équations différentielles correspondant à certains phénomènes simples de la nature, 3. Formule barométrique, La pression atmosphérique p, calculée pour une unité de la surface, est évidemment une fonction de l'altitude h. Examinons une colonne cylindrique varticale d'air de section égale à l'unité. Considérons doux sections A et At du cylindre, respectivement définies par les bautours A et h -j- -j- dh. Lorsque l'on passe de la section A à la section Àiy la pression p diminue (si dit > 0) d'une grandeur égale au poids d'air contenu dans la partie du cylindre entre A etAt. Si dh ust petit, on peut considérer de façon approchée que la densité d'air p dans cette partie du cylindre est une constante. La surface de la section do la colonne A Ai est égale à l'unité et sa hauteur est dh, son volume est donc dh et son poids p dh. Ainsi la diminution de p (lorsque dh > 0) est égale ù p dh: dp=~pdh. D'après la loi de Boyle-Mariotto la densité p est proportionnelle à la pression p t p=ep (où c ost une constante), «t nous avons l'équation différentielle suivante: dp= —cpdh ou -j~-——cp. S. Réactions chimiques du premier ordre. Soit uno substance de masse a qui ontre dans une réaction chimique. Soit s. la masse qui est déjà entrée en réaction à l'instant, t. Il est évident que x est une fonction de t. Pour certaines réactions on peut considérer de façon approchée, que la quantité do matière dx qui enln> eu réaction entre les instants t et t -j- dt, pour dt petit, est proportionnelle a di et à la quantité de matière qui n a pas encore réagi à l'instant t: dx dx~c(a—x)dt ou ~-—c(a—x). Transformons cette équation différentielle, on introduisant au lieu de x la fonction y — a — x, oïl y représente la masse qui n'a pas encore réagi à l'instant t. En tenant compte de co que a ust une constante, nous avons: dy _ dx ~âi dt • <!t l'équation différentielle d'uno réaction chimique du premier ordre peut être mise sous la forme : dy S. Loi du refroidissement. Supposons qu'un corps chauffé à une température élevée est plongé dans un milieu ayant «ne température constante de 0". Lors du refroidissement, la températuro 0 du corps sera une fonction du temps t mesuré à partir do l'instant où le corps est plongé dans le milieu. La quantité de chaleur dQ porduo par lo corps pendant l'Intervalle de temps dt sera considérée, de façon approchée, comme proportionnelle à la durée dt et à la différence entre la température du corps et du milieu ambiant à l'instant t (loi du refroidissement de
Il-t. DËBIVBE ET DIFM!RBrJTIEM.S: DU PREJHER ORDRE 129 Newton). On peut alors écrire: dQ=c$ dt (où ct est une constante). Si ft est la chaleur spécifique du corps, dQ=>—kdQ, où nous avons mis le signe <—) car dB dans le cas considéré est négatif (la température baisse). En comparant ces deux expressions de dQ, nous obtenons: c est une constante, si nous considérons k comme une constante. Los équations différentielles obtenues ont une forme identique. Elles montrent toutes que la dérivée est proportionnelle à la fonction même avec un coefficient de proportionnalité négatif (—c). Nous avons montré [1-2-14] qu'un capital a placé pendant un temps t à un taux k et dont l'intérêt est capitalisé devient: y=aeM. (7) En calculant la dérivée, nous obtenons : y'^ah^'^ku, (8) c'est-à-diro que dans ce cas, nous obtenons encore que la dérivée est proportionnelle â la fonction, grâce à quoi on appelle cette propriété loi des iniérUs composés, Dans la Suite nous montrerons que la fonction (7) donne toutes les solutions de l'équation différentielle (8) pour une valeur arbitraire de la constante a, à la place de laquelle nous écrirons C. De la sorte les solutions de nos équations peuvent être mises sous la forme (on remplaçant k par —c) : p(A)=Ce-^, u(t)=Ce-«, Ô(0 = Ce-«, (9) où C est une constante. Déterminons maintenant la signification physique de C dans chacune des formules précédentes. En faisant dans la premièrefonuule A=0, il vient: où po est la pression atmosphérique pour h =• 0, c'est-à-diro à la surface do la terre. Dans le deuxième cas pour t — 0 on a c'est-à-dire que C est la masso qui n'est pas entrée en réaction à l'instant initial, ot nous l'avons notée d'abord avec la lettre a. Enfin, on faisant t <=* 0 dans La troisième» des formules (0), on voit que C est la température initiale S0 du corps au moment où on Io plonge dans le milieu. Et de la sorte il vient : P(fc>=Po«-c\ y(t) = o»-e', 6{t)=90e-t!'. (tO) II-1-8. Estimation des erreurs. Lorsque l'on détermine pratiquement Ou que l'on calcule de façon approchée une grandeur x, on fait une erreur àx qui est l'erreur absolue de l'observation ou du calcul. Elle ne caractérise pas la précision de l'observation. Par exemple, une erreur de 1 cm environ lors de la mesnro des dimensions d'une chambre est pratiquement tolérablè, tandis que la même erreur sur la distance de deux objets voisins (par exemple, la dis- 9—281
130 CB, II. K0T10N DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS tance entre la chandelle et l'écran du photomètre) représente une grande erreur. C'est pourquoi on introduit en outro la notion d'erreur relative, qui est égale IAx I — do l'erreur absolue à la valeur de la grandeur mesuréo. Supposons maintenant qu'une gTandeur y est définie par l'équaLion y ■= ■= / [s). L'errear âx entraînera une errour ày Pour des valeurs petites de àx on pout remplacer ày approximativement par la différentielle dy. de aorte que l'erreur relative sur u s oxprime par: ÈL\ Exemples. 1. L'intensité du courant, i est définie, comme on sait, a l'aide d'une boussole dos tangentes d'après la formule: i = etg<p. Soit dtç l'erreur sur la mesure de l'angle q> : ,. c , di c . 2 . ii — —s—diù, —-——5 dm = . dm, cos*(p T t cos3 ijp-c tg ijp sin 2(p T d'où on voit quo l'erreur relative \~ sera d'autant plus petite lors de la inesuro de t, quo ip sera plus voisin do 6Sf. 2. Examinons le produit un: ,, . , . , d (utf) du dv d(ui;)^v du+itdv, —i—-= f , 4 ' ut/ U ' V d'où : I à(uv) I | du_\ I dv I | «w | I » | | i> I ' c'est-â-dire quo l'erreur relative sur un produit n'est pas plus grande que In somme des erreurs relatives sur les différents facteurs. On a la même règle pour un quotient car: dv 3. Examinons la formule de la surface d'un cercle: Q = nr*, dQ^Znrdr, —£- = ô—=2 , v Q .tra r c'est-à-dire que l'erreur relative commise lors de la détermination de la surface d'un cercle, d'après la formule ci-dessus, est égale ou double de l'erreur relative sur le rayon. V u V V du iv " u v ' du—u !>2 V u V dv < du u
II-2. EflRIVaJÏS ET Dfï'FÊRENTIEI.I.ES D'ORDRE SUPÉRIEUR (3-J A. Supposons qu'un angle «p est défini par le k>garilhm« de son sinus ot de sa tangente. D'après les règles de diffcrentiation, on a: , ,■ » cos q> d<v , ., , . dtp d (lg10 s»i ç) =lri i0,siri ^ • à (lgi0 tg f)= imo.tg.p.oos^ ' d'où dy= .ln^° f. d(lgiosinq>), dq>=laH)-sina.cosç<l(lg10tgq>). (U) Supposons que lors de la détermination de ]gltl sin ç et do lgio Ig q> on ait fait la même erreur (cette erreur dépond du nomme de décimales de la table de logarithmes utilisêo). La première des formules (11) donne pour d<\> uno valeur plus grande es valeur absolue quo la secondo (14), car si dans la première formule, on divise la iO.sin ip par cos ip, dans la seconde on le multiplie par cos qs, et | cos (pi < i. De sorte que pour calculer l'angle, il est plus avantageux d'utiliser los tables de lg,o Ig q>. 13-2. Dérivées et différentielles d'ordre supérieur IÏ-2-1. Dérivées d'ordre supérieur. Nous savons que la dérivée /' (x) de la fonction y = / (x) ost aussi une fonctiou de x. En la dérivant, nous obtenons une nouvelle fonction ç[ui est la dérivée seconde ou celle du second ordre de la fonction initiale / (x), et que nous désignons par: y", ou f{x). En dérivant la dérivée seconde, nous obtenons la dérivée du troisième ordre : y", ou /"(*)- Ainsi, par dérivation, on peut obtenir une dérivée de n'importe quel, n" ordre, yn ou bien f (x). Examinons quelques exemples. 1. y = eax, 2/' = ae"*, y" = a'efx, ..., y«n' = aVx. 2. y = (ax+bf, y,=*ak(aa; + b)h-1, y"=a>Jù (A-1) (ax + &)*-», ..., ^ = 0^(^-1)(4-2) ... (k—n + ï){az + bf-n. 3. Nous savons que: (sinœ)' = cosa; = sin (#+-£-) t (cos*)' = — sin#=cos ^--).-5-^ , c'est-à-dire que dériver sin x et cos x revient à ajouter -^- à l'argument, d'où: (sin*)-=[8iii(*+T)I",sil,(* + 2T),(*+T)'=^(^+2¾ ' 9*
132 CH. II. NOTION DE DEBrVEE. APPLICATIONS et en général : (sin»),m = sin (a+w-sM et (cosa;)(n,=cos (s+^-f-) • 5. Considérons la somme de fonctions: y = u -f " + u>. En appliquant la règle de dérivation des sommes et en considérant que les dérivées correspondantes de u,, v, w existent, on obtient : y' = u' + v' + w', y"=u"+v"+u/, ..., y(n) = um + v'r,)+w<n>, c'est-à-dire que la dérivée de n'importe quel ordre d'une somme est égale à la somme des dérivées du même ordre. Ainsi: y^xt—^+lx+lO; y' = 'ix2—8x + 7, y" = 6x—8; if=6, yt*> = 0 et, plus généralement, j/<n, = 0 si «>3. De la même façon on peut montrer que la dérivée n" d'un polynôme de degré m est nulle pourvu que n> m. Examinons maintenant le produit de deux fonctions y = uv. En utilisant les règles de dérivation des produits et des sommes, on obtient : y' = u'v-\-uv', y" = u"d + u'v' + u'v' + uv' = u"v + 2u'v'.+ Uv", y" = u"v + u"v' +2u'v' + 2u'v" + u'v" + uv" = = u'v + Zu'v' + 3u'v" -f uv". On notera la loi suivante de composition des dérivées: pour obtenir la dérivée n' du produit uv il faut développer {u + v)a suivant la formule du binôme de Newton et dans le développement obtenu, remplacer les exposants de u et v par des indices de dérivation, et il foui remplacer les termes avec des exposants nuls (u° — v" = 1) faisant partie des membres du développement extrêmes par les fonctions elles- mêmes. Cette règle est la règle de Leibniz, et on l'écrit sous forme symbolique : ym> = {u + v)m. Démontrons la validité de cette règle, en faisant une démonstration par récurrence. Supposons que cette règle est vraie pour la
n-2. msri'vBes et dipudrentieliiES d'ordre supérieur 133 dérivée d'ordre n, c'est-à-dire que: y<"> = (a + u)(n> = u<n>v+ ~ uin-»v' + "■(n~— zi<fl-3V + ... .. . + n(n~l)..^n-k+i)^w ,„,*> + . ., + „„(«.. (!} Pour obtenir î/(n+1>t il faut dériver cette somme par rapport à x. Le produit itcn*li>u(ft' deviendra, dans le membre général de la somme, d'après la règle de dérivation du produit, la somme um~k*° i/*' + _|_ um-tov{h+i>_ Mais sous forme symbolique cette somme peut s'écrire: «""V (« + »). En effet, en ouvrant les parenthèses et en changeant les exposants en indices de dérivation, on obtient la somme: Nous voyons ainsi que pour obtenir j/(n+1> il faut multiplier symboliquement tous les termes de la somme (1), et par conséquent la somme elle-même, par (u + v), et par suite : ym+i> ^ (M + vyv .(^ + 1,)=,(^ + £,)<»+!>. Nous avons montré que si la règle de Leibniz est vérifiée pour un n quelconque, olle est valable également pour (ra + 1). Mais nous avons déjà vu qu'elle est valable pour »=1, 2, 3, et par suite pour toutes les valeurs de n. Examinons comme exempte : ï=e*(3sa—1) et cherchons y<wo> : ion ^nn.oft j,U00) = (e*)(100> (3^-1)+^ (^)(09) (3*2_l)' + i^^ (e*)lS6) (3,.3^).+ + 10t'-29398 (eX)""' P*2-1)" + • ■ ■ + ex(3^-1)<100). Toutes les dérivées d'un polynôme du 2° degré sont identiquement nulles à partir de la troisième et par aiHonrs, (e*)w = ex, d'où: y(W)^e* (3ar2_l) + lO0e*.6œ+4 95De*.6=e* (3r>+G00a:+29 699). II-2-2. Interprétation mécanique de la dérivée seconde. Examinons le mouvement rectiligne d'un point: où t est le temps et s la distance calculée à partir d'un point de la droite. En dérivant une fois par rapport au temps, on obtient la
134 CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS vitesse du mouvement : Formons la dérivée seconde, qui représente la limite du rapport ~s lorsque Ai tend vers zéro. Le rapport ~ caractérise la rapidité avec laquelle varie la vitesse pendant un intervalle de temps &t, et donne 1*accroissement moyen dans cet intervalle de temps. Et la limite de ce rapport lorsque At tend vers zéro doane l'accélération w à l'instant t du mouvement considéré : Supposons que f (t) est un polynôme du second degré: s = oiî-(-û{-(-c, VT=2at-\-b, io = 2a, c'est-à-dire que l'accélération w est une constante et le coefficient a = y w. En faisant t — 0 il vient b — v0, c'est-à-dire que le coefficient b est égal à la vitesse initiale, et c = s$. c'est-à-dire que c csL égal à la distance à l'instant t = 0 du point à l'origine des coordonnées sur la droite. En remplaçant a, b et c par leurs valeurs dans s on obtient la formule pour le mouvement uniformément accéléré {w >■ 0) ou uniformément ralenti (w < C) : s =-^-wtz-TV<,t-\- s0. En général, en connaissant la loi de variation de .?, on peut, en dérivant deux fois par rapport à t, déterminer l'accélération w et par suite la force / produisant le mouvement car d'après la deuxième loi de Newton / — mw, où m est la masse du point on mouvement rectiligne. On démontre en mécanique, dans le cas d'un mouvement curviligne, que /" (f) n'est que la projection du vecteur accélération sur la tangente à la trajectoire. Examinons le cas du mouvement oscillatoire harmonique d'un point M lorsque la distance s de ce point à un point fixe 0 sur la droite où se déplace M est définie par ; s = asin ( —£-f-»j , où l'amplitude a. la période des oscillations t et la phase <o sont des constantes. Déterminons par différenciation la vitesse v et la force / : B„i2LcoB(-|i£ + H»), /-«w = in^m . /23t.. \ kv?m = ^-asm ^—i + a)J= ^-s.
11.2. DÉRIVÉES ET "niFFÊRENTIELLES D'OIUJRE SUPÉRIEUR {35 c'est-à-dire que l'inLonsité de la force est proportionnelle à la longueur OM et dirigée en sons inverse. En. d'autres termes, la force est toujours dirigée de M vers 0, et elle est proportionnelle à la distance séparant ces deux points. 11-2-3. Différentielles d'ordre supérieur. Introduisons maintenant la notion de différentielles d'ordre supérieur d'une fonction y — f (x). Sa différentielle dy = /' (x) dx est évidemment une fonction de x, mais il ne faut pas oublier que la différentielle de la variable indépendante dx est déjà indépendante de x 111-1-61, et doit être extraite lors des difîérentiations successives et considérée comme un facteur constant. Considérant dy comme fonction de x, on peut former la différentielle de cette fonction que Ton appellera différentielle du deuxième ordre de la fonction initiale / (x) et que l'on désignera par les symboles dzy ou d*f (x) : d*y =^d(dy) = [f (x)dx]' dx=f (x)dx*. En différentiant la fonction de x ainsi obtenue, on a la différentielle du troisième ordre: d3y = d (d*y) = If (x) dx2]' dx - f(x) dx3 ■et en prenant les différentielles successives on arrive à la notion de différentielle d'ordre n de la fonction / (s),Jet on obtient: dnf(x), on d"y = fw (x) dxn. (2) Cette formule permet de représenter] lajdérivée du] n" ordre sous forme de rapport: /<n'(*)=-f£. (3) Examinons maintenant le cas d'une fonction de fonction y = f (u), ■où u est une fonction d'une certaine variable indépendante. Nous savons UI-f-6] que la différentielle dn premier ordre de cette fonction est de la même forme que si u était une variable indépendante : dy = /' (u) du. En. calculant les différentielles d'ordre supérieur nous obtenons des formules différant de (2) car nous ne pouvons plus considérer du, comme une grandeur constante, u n'étant pas une variable indépendante. Ainsi, par exemple, pour les différentielles du deuxième ■ordre nous aurons : d«y = d [f (u) du]=dud [f (u.)] -f /' (u.) d (du) = f(u)dui + f (u) d^,
136 CH. II. NOTION DE DâMvfiE. APPLICATIONS qui Contient le terme supplémentaire /' (u) d?u en plus par rapport à (2). Si u est une variable indépendante, du est une constante et d*u = 0. Supposons maintenant que u est une fonction linéaire de la variable indépendante t: u = at-±b. Alors du = a dt, c'est-à-dire que du est de nouveau constant, c'est pourquoi les différentielles d'ordre supérieur d'une fonction de fonction seront d'après (2) : dnf{u) = f^(u)dun, c'est-à-dire que l'expression (2) pour les différentielles d'ordre supë~ rieur est valable lorsque x est une variable indépendante ou une fonc~ tion linéaire d'une variable indépendante. II-2-4. Différences des fonctions. Soit A l'accroissement de la variable indépendante. L'accroissement correspondant de la fonction y = f (x) sera : &V~f(x + h)-f(x). (4) On l'appelle différence du premier ordre de la fonction / (x). Cette différence est elle-même une fonction de x, et on peut trouver la différence de cette nouvelle fonction en calculant ses valeurs pour x + A et pour x et en retranchant la deuxième valeur de la première. Cette différence s'appelle différence du second ordre de la fonction initiale / (x) et on la désigne par le symbole A2y. Il est facile d'exprimer A2jy au moyen des valeurs de / (x) : Aaî/ = A (Ay) = [/ (* + 2A) -/ (x + A)] - [f (.r + h) _/ (*)] = -/(* +24)-2/(*+*) +/(s). (5) Cette différence du deuxième ordre est également une fonction de x et en cherchant la différence de cette fonotion on obtient une différence du troisième ordre &.3y de la fonction initiale / (x). En remplaçant dans le second membre de (5) x par x + A et en retranchant du résultat obtenu le second membre de (5), on aura pour à3y: A»y = [/(ar-t-3ft)-2/(»-(.2ft)-r./(»+A)] — -r/(* + 2A)-2/(* + A)+/(*)]-= = f{x + 3A) -3/ (x + 2k) + 3/(^ + A) —/ (x). De sorte qu'on peut déterminer succesivement les différences de n'importe quel ordre, et la différence du n" ordre A<n>#, étant
II-2. DERIVEES ET D1SPERENTIBLI.B9 D'ORDRE SUPERIEUR 137 exprimée par les valeurs de la fonction f(x), sera de la forme: try = t(x+*h)~*-f{x + Z=ïh.)+ 'l"~ii f(x + Z=2h)- ... ... + (-l)hn(n-ih-j;}n~k+i)f(x + J^kh)+ ... +(-177 (s). (6> Nous avons déjà vu que cette formule est vraie pour n = 1, 2 et 3. Pour le démontrer dans toute sa généralité, il faut montrer, comme on le fait d'habitude, que si elle est vraie pour n elle est encore vraie pour n + 1. Notons que pour calculer àny, il faut connaître (n + 1) valeurs de / (x) pour les valeurs x, x + hY x + 2h, . . ., x + nk de la variable. Ces valeurs de la variable for- mont une progression arithmétique avec la différence h, ou, comme on dit, sont des valeurs équidistantes. Pour les valeurs petites de h = dx, la différence Ay diffère peu de la différentielle dy. De même, les différences d'ordre supérieur donneront des valeurs approchées des différentielles de l'ordre correspondant, et réciproquement. Si, par exemple, la fonction est donnée par une table pour des valeurs équidistantes de la variable, nous ne pouvons pas calculer la valeur exacte des différentes dérivées de la fonction, car nous ne connaissons pas sa forme analytique, mais au lieu de la formule exacte (3) nous pouvons obtenir une valeur approchée des dérivées, en calculant le rapport -~ . Formons par exemple la table des différences et des différentielles de la fonction y — a? dans l'intervalle (2, 3) en prenant &x = h = 0,l. X 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 3,6 2,7 2,8 2,9 3 y 8,000 9,261 10,648 12,167 13,824 15,625 17,576 19,683 21,952 24,389 27.000 &V 1,261 1,387 1,519 1,657 1,801 1,951 2,107 2,269 2,437 2,611 b?y 0,126 0,132 0.138 0,U4 0,150 0,156 0,162 0,168 0,174 &3V 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 A*y 0 0 0 0 0 0 0 dy = = 3x2dx 1,200 1,323 1,452 1,587 1,728 1,875 2,028 2,187 2,352 2,523 d*y = = fa #ts 0,120 0,126 0,132 0,138 0,144 0,150 0,156 0,162 0,168 â3y= =6dx« 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,008 0,006 0,006 dty = 0 0 0 0 0 0 0 0
138 CH, II. NOTION DE DÊRIVJ5B. APPLICATIONS Pour former cette taMe, on a calculé les valeurs successives <le y = a?. En effectuant les soustractions d'après (4), on en a obtenu les valeurs de Ai/, à partir desquelles, par soustractions également, on a obtenu les valeurs de A2i/, etc. Un tel calcul successif des différences est évidemment plus simple que l'utilisation de la formule (6). Les différentielles s'obtiennent grâce aux formules connues indiquées en haut de la table et il faut poser dx = h = 01l. Comparons la valeur exacte et la valeur approchée do la dérivée seconde y" pour x = 2. Dans l'exemple étudié y" = 6a; ot y" = 12 pour x <= 2. De façon approchée cetto dérivée s'exprime au moyen du l'apport —:J- et pour z = 2 nous avons : 0,126 ,„ R W = 12.6. Si f(x) est un polynôme en x\ y = f(x)^a0xm + a^"'"1 + a^* + ... -f-Om-tx+am, on calculant' Ai/ au moyen de la formule (4) nous obtenons pour Ay un. polynôme entier de degré m — 1, dont le terme de degré le plus élevé sera marine"1*1* ce que l'on pourra vérifier aisément. De sorte que dans le cas y = s?, Ai/ sera'un polynôme du deuxième ■degré en x, Asy un polynôme du premier degré, A3y sera une constante et A4i/ sera nul (voir table). A titre d'exercice le lecteur pourra démontrer que les valeurs de <Py retarderont d'un degré par rapport à à2y ce que l'on peut voir sur la table. II-3. Application de la notion de dérivée à l'étude d'une fonction Ii-1-3. Critères de croissance et de décroissance d'une fonction. IL» connaissance de la dérivée permet d'étudier les différentes propriétés d'une fonction. Nous commencerons par la question la plus simple, mais la plus fondamentale, à savoir le problème de la croissance et de la décroissance d'une fonction. La fonction f (x) est dite croissante dans un intervalle si aux plus grandes valeurs de la variable indépendante corresponde-nt les plus grandes valeurs de la fonction, c'ost-à-dire si : f{x + h) — f(x)>0 pour &>0. Par contre, si nous avons f{x + h) — f{x)<0 pour A>0, la fonction sera dite décroissante.
II-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DERIVEE 139 Fig. 55 Si nous examinons la courbe représentative de la fonction, les intervalles de croissance correspondront aux parties de la courbe pour lesquelles aux plus grandes abscisses correspondent les plus grandes ordonnées. Si nous orientons comme sur la fig. 55 l'axe OX vers la droite et l'axe OY vers le haut, aux intervalles de croissance de la fonction correspondront les partie* de la courbe telles que lorsqu'on se déplace le long de la courbe vers la droite dans le sens des abscisses croissantes, ou monte. Au contraire, les intervalles de décroissance correspondent à des parties de la courbe dirigées vers le bas lorsqu'on se déplace le long de la courbe vers la droite. Sur la fig. 55 la partie AB de la courbe correspond à l'intervalle de croissance et la partieBC à l'intervalle de décroissance. Il est clair, sur le graphique, que sur la première partie la tangente forme avec la direction de l'axe OX un angle «, compté à partir de l'axe OX jusqu'à la tangente à la courbe, et qui a une tangente positive. Mais la tangente de cet angle est justement égale à la dérivée première f (x). Par contre, sur la partie BC la direction de la tangente forme avec la direction OX va angle a' au quatrième quadrant dont la tangente est négative, c'est-à-dire que dans le cas présent, /' (a;) sera négative. En comparant les résultats obtenus, nous aboutissons à la règle suivante : les intervalles où f (x) Z> 0 sont des intervalles de croissance de la fonction, tandis que les intervalles où f (r) < 0 sont des intervalles de décroissance de la fonction. Nous avons trouvé cette règle en utilisant les courbes représentatives ; dans la suite nous eu donnerons une démonstration analytique rigoureuse. Pour l'instant, nous appliquerons cette règle à quelques exemples. 1. Démontrons l'inégalité 5»n * > x ■ „ pour x > 0. Pour cela, formons la différence: f(x) = smx— ^x—5p) . Calculons la dérivée /' (x) ; f (œ) = eoS:r — 1-)—5_=~2—'(i—oos^) = -4-»--f-»[(f)'-(*T)']-
140 CH. II. NOTION DE DËRIVSE. APPLICATIONS En tenant compte de ce que la valeur absolue de l'arc est plus grande que le sinus, on peut affirmer que f'(x)>0 dans l'intervalle (0, 4-°°)» e'est-è-dire que dans cet intervalle f(x) croît, mais /(0) est égale à zéro, c'est pourquoi: f(x)=3sinx—(x—~\ >0 pour »>0, c'est-à-dire que: x3 sin x > x—jr- pour x > 0. 2. Ds mSme on peut démontrer que : a:>ln(l + a;) pour œ>0. Formons la différence f(x) = x-]n(i + x) d'où Il résulte de cette expression que pour s>0, /'(;t)>0, c'est-à-dire) que f(x) croît dans l'intervalle (0, -f-co) mais f (0) = 0, par conséquent: f{x) = x—ln(l + ï)>0 pour i>0, c'est-à-dire que: i>ln(i+œ) pour s>0. 3. Examinons l'équation de Kepler dont nous avons déjà parlé II-2-7): x=qsinx+a (0<5<1). Nous pouvons la mettre sous la forme f(x) — z~g sin x—o=0. En calcula nt la dérivée /' (x), il vient : f (x) = l~qcosx. En tenant compte de ce que le produit q cos x est en valeur absolue inférieur à l'unité puisque par hypothèse q est compris entre zéro et un, on peut affirmer que /' [x) > 0 pour toutes valeurs de x, c'est pourquoi / (x) croît dans l'intervalle (—oo, +oo) et par suite no peut pas être nul plus d'une fois, c'est-à-dire que l'équation do Kepler n'a pas plus d'une racine réelle. Si la constante a est un multiple de n, c'est-a-dire que a = ksi où k est un entior, eu faisant x =» ksi, nous aurons / (ftn) = 0 et x = ksi sera l'unique- racine do l'équation de Kepler. Si a n'est pas un multiple de n, on peut trouver un entier k tel que: An<a<(i + 1) Jt. En faisant z = ftjt et (A-j-l)n, on obtient: y(te)=.An—«<0, / (k+îsi) = (k+i) »—o > 0.
JI-3. APPLICATION DE LA NOTION BB DBWVBB 141 Mais si / (fat) et f (h + In) sont de signes contraires, / (s) doit s'annuler dans l'intervalle (fat, k + In) [1-2-111, c'est-à-diro quo dans cet intervalle doit se trouver la racine unique de L'équation de Koplor. 4. Examinons l'équation: / (1)=338-25iS4.60s+15=0. Formons la dérivée /' (*) et égalons-la à zéro : f'{x) = l5x* —75s* -)-60= 15 (si—532+4)=0. En résolvant cette équation bicarrée nous obtenons que /' [x) ost nulle pour: k=—2, —1, +1 et +2 de sorte qu'on peut diviser l'intervalle (— oo, +00) en cinq parties; (-00, -2), (-2, -1), (-1, 1), (1, 2), (2, +00), dans lesquelles /' (s) garde un signe constant, c'est pourquoi / (x) varie de façon monotone, c'est-a-dire qu'eue croît ou décroît et ne peut pas, par conséquent, avoir plus d'une racine dans chacun de ces intervalles. Si aux extrémités de l'un de ces intorvallcs / (x) a des signes contraires, l'équation / (x) = 0 ji une racine dans cet intervalle, et si les signes sont les mêmes, il n'y a pas de racines dans cet intervalle. De sorto quo, pour déterminer lo nombre de racines de l'équation, il reste à déterminer le signe de / (z) aux extrémités -de chacun des cinq intervalles. Pour déterminer le signe de / (x) pour x = ± 00, mettons / (x) sous la forme: ... . („ 25 60 . 15 \ Lorsque x tend vers (—00), / (x) tend vers (—00) car x1 tond vers (—00) et l'expression entre parenthèses tend vers 3. De la même façon, on voit que si j: tend vers (+00), / (¢) tond vers (+00). En remplaçant x successivement par —2, —1, 1 et 2, on obtient la tabla suivante: X /(*) —00 — —2 — —1 - 1 + 2 + +œ + Il s'avère que / (x) n'a des signes différents qu'aux extrémités do l'intervalle (—1, +1) et par suite l'équation considérée n'a qu'une racine réelle comprise dans cet intervalle. Nous avons défini ci-dessus la croissance et la décroissance •d'une fonction dans un intervalle. On dit parfois qu'une fonction ■croît ou décroît au point x = x0. Cela signifie que la fonction croît ■en x — x0 si / (x) < / (½) lorsque x < a;0 et /(»)>/ (xa) lorsque œ >- œo ; ce faisant on considère que x est voisin de a;0. On définit -de façon analogue la décroissance d'une fonction en un point. De la notion de dérivée résulte la condition suffisante pour qu'une îonc- -tion. croisse ou décroisse au point «„, à savoir si f (½) ~> 0, la Jonction croît au point #<,, et si/' (½) -< 0, la fonction décroît en ce
142 CH. II. NOTION DE DBRIVEE. APPLICATIONS point. En effet, si, par exemple, /' (x0) > 0, la relation J(go+ft)-/fo) h qui a pour limite /' (a;0), sera positive pour tout h suffisamment petit en valeur absolue, c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur seront de même signe. Autrement dit: / (x0 + h) — — f (¾) > 0 pour h > 0 et / (#o -f A) — / (xB) < 0 pour h < 0,. cc qui montre la croissance au point xQ. II-3-2. Maxima et minjma des fonctions. Revenons à l'examen, do la courbe représentative d'une certaine fonction / (x) (fig. 56). Sur cette courbe nous avons une succession d'intervalles do croissance et do décroissance de la fonction. L'arc AM\ correspond à un intervalle de croissance. L'arc suivant. M\MZ correspond à un intervalle de- décroissance. Le suivant, MzMs, correspond à nouveau a un intervalle de croissance, etc. Les points de la courbe qui séparent les intervalles de croissance et de décroissance sont des sommets do la courbe. Considérons par exemple le- sommet Mi. L'ordonnée de ce sommet est plus grande que toutes les ordonnées de la courbe suffisamment voisines décolle qu'on considère et situées soit à. gauclie soit à droite de celle-ci. On dit. qu'à un tel sommet correspond un maximum de la fonction / (x). Ceci nous conduit à la définition analytique générale suivante : la fonction f (x) admet un maximum au- point x — x\ si sa valeur f (xy) en ce point est plus grande que toutes ses valeurs aux points voisins, c'est-à-dire si l'accroissement de la fonction f(xi±h) — f(xi) est négatif pour tout h positif ou négatif, suffisamment petit en valeur absolue.. Examinons maintenant le sommet M2. L'ordonnée de cesommet est, au contraire, plus petite que les ordonnées voisines, situées aussi bien à gauclie qu'à droite, et on dit qu'à ce sommet correspond un minimum de la fonction ; la définition analytique sera : la fonction f (x) admet un minimum au point x — xz si pour tout h positif ou négatif dont la valeur absolut eM suffisamment petite, ta. condition /(**+*)-/(*i)>0 est vérifiée. Fig. 5G
11-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DERIVEE J43 m /^ f'(x)>a Il résulte du graphique qu'aussi bien aux sommets correspondant aux. maxima de la fonction qu'à ceux correspondant aux minhna, la tangente est parallèle à l'axe OX, c'est-à-dire que son coefficient aDgulaire /' (x) est nul. On suppose, certainement, que la tangente- et, donc, la dérivée existent. Mais il se peut que la tangente soit parallèle à l'axe OX sans qu'on soit à vu» sommet. Ainsi par exemple sur la fig. 57 dous avons un point M de la courbe qui n'est pas un sommet ot où la tangente est tout de même parallèle à i'axo OX. Supposons que /' (x) s'annule pour x — xa, c'est-à-dire qu'au point correspoadant de la courbe la tangente est parallèle à l'axe- OX. Examinons le signe do /' (x) pour des valeurs de x voisines de xa. Considérons les y. ff^g trois cas suivants : ï. Pour les valeurs de x plus petites que x<, et suffisamment proches de xa, f (x) est positive, taudis que pour les valeurs de x plus grandes mais suffisamment proches de x0, f (x) est négative, c'est-à-dire que lorsque x passe p. _„ par .-Ko, /' (x) s'annule en devenant négative, g' après avoir été positive. Dans ce cas à gauche de x = x0 nous avons un intervalle où la fonction est croissante, et à droite un intervalle où elle est décroissante, c'est-à-dire que pour la valeur x — x0 on a un sommet de la courbe correspondant à un maximum de la fonction / (x) (fig. 56). II. Pour des valeurs de x plus petites que x0, f (x) est négative, et pour les valeurs de x plus grandes que x0, f {x) est positive, c'est-à-dire que lorsque /' (x) passe par 0, elle progresse des valeurs négatives aux positives. Dans ce cas à gauche do x = xB on a un intervalle de décroissance tandis qu'à droite, un intervalle de croissance, c'est-à-dire que pour la valeur x = xq on a un sommet de la courbo correspondant à un minimum de la fonction (v. fig. 56). III. Pour des valeurs de x aussi bien plus petites que plus grandes que x0, f (x) garde un signe constant. Supposons par exemple- que /' (x) est positive. Dans ce cas le point correspondant de la courbe se trouve sur une partie croissante de la courhe et n'est pas un sommet (fig. 57). Ce qui vient d'être dit nous conduit, à la règle suivante: pour trouver les valeurs de x pour lesquelles / (x) passe par un maximum ou un minimum : 1) il faut calculer f {x) ; 2) il faut trouver les valeurs de x pour lesquelles f (x) s'annule,, c'est-à-dire résoudre Véquation f (x) = 0; 3} il faut étudier les changements de signe de f (x) lorsqu'elle passe par ces valeurs d'après le schéma suivant :
144 CH. II. NOTION nE nBHlVBB, APPLICATIONS S /'(*) x0—h. + — + ~~ *o 0 0 0 0 xa+h + + ~~ /w maximum minimum croît décroît Les notations xa —h et xa + h dans la table montrent qu'il faut déterminer le signe de /' (x) pour des valeurs de x plus petites et plus grandes que xo, mais assez proches, de sorte qu'il faut considérer h comme un nombre positif assez petit. On suppose que /' (x0) = 0, cependant pour tout x suffisamment proche de Xq, mais différent de Xç, f (x) n'est pas nulle. Revenons au cas de la fig. 57. La tangente au point M d'abscisse »o se trouve de part et d'autre de la courbe au voisinage de ce point, Dans ce cas, /' (.3¾) = 0 et f (x) ~> 0 pour tout x proche mais différent de x0, et toute la portion de courbe contenant le point xo est croissante, bien que f (Xo) = 0. Parfois au lieu d'utiliser le procédé exposé pour déterminer les maxima, on en utilise un autre : la fonction f (x) admet un maximum au point x = xt, si la valeur de f (xt) en ce point n'est pas inférieure à ses valeurs aux points voisins, c'est-à-dire si l'accroissement de la fonction f (a;t -f- A) — / (x\) ^ 0 pour tout h, aussi bien positif que négatif, suffisamment petit en valeur absolue. De façon analogue le minimum au point x2 peut être défini par l'inégalité f (a;2 -\- h) — — / (¾) ^- 0. Si, en outre, la fonction a une dérivée au point du maximum ou du minimum, cette dérivée doit s'annuler, comme au cas ci-dessus. Exemple. Soit à cherche; les maxima et les minima de la fonction /(ï) = (ï—1)3 (z— 2)3. Calculons la dérivée première: f'(x)=-2(x-i)(x—2P+3 (s —1)»(»—2)» = ={s-l)(s—2)»(5ï—7) = 5(*-l)(œ-2)* (<=~g-) • 7 Il est évident alors quo f (x) devient nulle pour les valeurs xi = 1, Œs=-ë- , i3 =■ 2 de la variable indépendante. Examinons ces différentes valeurs. Pour x =t i, le facteur {x — 2)2 ost positif, tandis qae (x =•) est négatif. Pour toutos les valeurs de x aussi bien
11-3. APPLICATION ttn LA KOTJON DE DJSIUVÉE 145 plus petites que plus grandes que 1, mais suffisamment proches de cette valeur, les signes de ces facteurs ne changeront pas, et le produit de ces deux facteurs sera sûrement négatif pour toutes les valeurs de x suffisamment proches de 1. Examinons finalement le dernier facteur (a — 1) qui s'annulo justement pom x = 1. Si x <; 1, il est négatif, tandis que si x ~> 1, il est positif. De sorte que le produit entier, c'eat-à-dire f (x), est positif pour x < 1 et négatif pour x ~> 1, d'où il résulte qu'à la valeurs = 1 correspond un maximum de la fonction / (r). En faisant x = 1 dans / (x), nous obtenons la valeur du maximum, c'est-à-dire l'ordonnée qui ccu-respoud au sommet de la courbe /(1) = 02.(-1)3=0. En raisonnant d'une manière analogue pour les autros valeurs x7 — y et x3 = 2, nous obtenons la table suivante: £ /'(*> /:w i—h + croît 1 0 0 max. 1-ffc - ï-> — décroît 7 T 0 108 3125 min. i+* + 2—h + 2 0 2-1-/1 + croît Par la méthode d'étude dos maxima et des miulmà que tious venons d'exposer, il est assea difficile de déterminer le signe de /' {x) poui- les valeurs de x plus petites et plus grandes que la valeur considérée. Cela est vrai surtout pour des exemples compliquas. Dans de nombreux cas on pont éluder cotte difficulté en introduisant la dérivée seconde f {x). Supposons que nous voulons étudier ce qui se passe pour x = xo, où /' \x0) = 0. Portons cette valeur x = x„ dans l'expression de /" {x), et supposons que nous ayons obtenu une valeur positive, c'est-à-dire /" (x0) > 0. Si on prend /' (x) pour fonction initiale, /" (x) sera sa dérivée et le fait que cette dérivée soit positive au point x — x0 montre que /' (x) est croissante au point correspondant, c'est-à-dire quo /' (x) qui est nullo pour x = 0¾ doit passer des valeurs négatives aux valeurs positives. De sorte, que si f" (xq) est positive au point x — Xf,, la fonction f (x) admettra un minimum. De même on peut montrer que si f" (xe) est négative au point x = x-t,, la fonction f (x) admet un maximum. Si, enfin, on faisant x = x<, dans/" (x), on obtient zéro, c'est-à-dire/" (œ0) = 0, la dérivée seconde ne permet pas d'étudier la fonction an point x — x-o et il faut passer à l'étude directe du signe de /' (x), Nous obtenons ainsi le schéma représenté sur la table suivante : 10-281
lili CH. II. NOTION DE KÊIUVSE. APPLICATIONS X »0 /'(*) 0 r<4 + 0 /(*) maximum minimum «as douteux Des raisonnements que nous avons exposés il résulte que, lorsque la dérivée seconde existe, la condition nécessaire pour qu'il y ait mi maximum est l'inégalité /" (x) -^ 0, tandis que la condition nécessaire pour qu'il y ait un minimum est l'inégalité f" (z)>0. Nous pouvons alors définir le maximum par la condition / fa + h) — — / fa) ^ 0, et le minimum est défini par la condition / (xz -)- h) — — / fa) ~*2- 0> ce que nous avons déjà noté. E x e m p 1 e. On cherche les maxima et les minima de la fonction /(ï) = sinŒ+coss. Cotte fonction a une périodo de 2n, c'est-à-dire qu'elle ne change pas de valeur si on remplace x par x+ 2n, II suffit donc d'étudier x dans l'intervalle (0, 2n). Formons les dérivées premières et secondes : /' (ï)=cos x—sïn», /" (ï)= —sin«—coss. En annulant la dérivéo première nous obtenons l'équation: coax— sinz=0, soit tg»=l. Les raclnoe de cette équation dans l'intervalle (0, 2n) sont: Jt 5ji *i = X et *a=—• Examinons ces valours d'après le signe de /* {x): f { JL} = _sin -|—cos -2- = -"1/2< 0 ; maximum / (-^-) = ~\/ï; r^j = -sin-|L-cos-~=V2>0; minimum /(-f") = -V2. Pour finir, examinons un fait qui se produit parfois, lorsqu'on cherche les maxima et les minima d'une fonction. Il peut arriver que la courbe représentative de la fonction comporte des points pour lesquels la tangente ou bien n'existe pas, ou bien est parallèle à l'axe OY (îig. 58). Aux points du premier type, la dérivée /' fa n'existe pas, tandis qu'aux points du second type, elle sera infinie,
11-3. APPLICATIONS IJE LA NOTION DE DERIVEE 147 y*. car le coefficient angulaire d'une droite parallèle à OY est infini. Mais on voit sur le graphique qu'en de tels points on peut avoir des maxima ou dos minima de la fonction. De sorte que nous devons compléter la règle de recherche des maxima et des minima de la manière suivante : te maximum et le minimum de la jonction f (x) peut se 'rencontrer non seulement aux points pour lesquels /' (x) est nulle, mais aussi aux points oà f (x) n'existe pas ou bien où elle est infinie. L'examen, de ces derniers points doit s'effectuer suivant le premier schéma exposé ci-dessus : il faut déterminer le signe de f (x) pour des valeurs de x plus petites et plus grandes que la valeur considérée. Jusqu'ici nous n'avons étudié que le cas le plus simple d'une fonction continue / (x) avec une dérivée continué possédant un nombre fini de zéros dans l'intervalle considéré. Dans la dernière remarque l'absence de la dérivée est admise aussi dans un nombre fini de points. En général, le but du présent paragraphe et dos deux suivants est de servir d'introduction représentative à l'étude des propriétés des fonctions. Par la suite, nous reviendrons à un exposé analytique rigoureux. E xemp le. On cherche les maxima ot les minima de la fonction: / (¢) = (3:-1) f3>. La dérivée première est : -*~X Fig. 58 )>{*)-■ V ' Zfx 3 2 Elle est nulle pour x—-~ ot devient infinie pour œ=0. Examinons cette dernière valeur : le numérateur est négatif pour x = 0 ot quel que soit x au voisinage de x = 0. Le dénominateur est négatif pour x <; 0 et positif pour x > 0. Donc, la fraction sera positive pour les valeurs négatives de œet au voisinage de x => 0 ot négative pour les valeurs positives de x, c'est-à-dire que pour x = 0 nous avons le maximum /(0)=0. Au point « = -r nous aurons le minimum: /(4)=-4fï=-l^- II-3-3. Construction de graphiques. La recherche des maxima et des minima de la fonction/ (x) facilite considérablement la construction de la courbe représentative de la fonction. Montrons à l'aide de quelques exemples comment construire le graphique d'une fonction. 10*
■ma CH. ri. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS 1. Soit à construire la courbe représentative de la fonction • y = (2-1)2(:,:-2)3, Que nous avons examinée au paragraphe précédent. Nous avons deux sommets do cotte courbo : un maximum (1, 0) et un minimum (■=-)— ôtôe 1 • Notons ces points sur le graphique. Il est commode de repérer aussi les intersections de la courbe avec les axes. Pour x = 0 nous avons y j/ = —8. C'est-à-dire que la courbe coupe OY au point y == — 8. * ■ En faisant y nul, il vient: (¢-1)2 (£—2)3 = 0, qui nous donne les intersections de la courbe avec 1 axe OX. Pour x = i, nous avons déjà vu quo nous avons un sommet, tandis que pour x = 2, comme nous l'avons déjà va au paragraphe précédent, on n'a pas un sommet mais dans un point correspondant du graphique la tangente est parallèle à l'axe OX. La courbe cherchée est représentée sur la îig. 59. 2. Traçons la courbe -a* *-/f 2/=e Sa dérivéo première est : y' = — 2xe~**. Fig. 59 En annulant y', on obtient x = 0 qui, on le voit aisément, correspond à un Sommet (maximum) dont l'ordonnée est y = i. Ce point est aussi l'intersection do la courbe avec l'axe OY. lîn annulant y, on obtient l'équation c"*2 = 0, qui n'a pas de racines, c'ost-à-dïie que la courbe no coupe pas J'axe OX. Notons de plus que lorsque x tond vers f+oo) ou vers (—oo), Fig. 60 t,5 ST* l'exposant de e-*1 tend vers (—oo) et l'expression tend vers zéro, c'est-à-dire que lorsqu'on s'éloigne indéfiniment à droite ou à gauche, la courbe tend indéfiniment vers OX. ta courbe qui correspond à toutes ces données ost représentée sur la fig. 60. 3. Construisons la courbe y = «-«=sin6a; (a>0),
II-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DÉRIVÉE 1¾¾ qui représente une oscillation amortie. Le facteur sin bx n'est pas ; supérieur à 1 en valeur absolue, et la courbe sora comprise entre les deux courbes v=e-ux et ,j—_e-axA Lorsque x tend vers (4. 00,) le facteur e~ax tend vers ïéro, donc, le produit e-ax gfn jyX ton(j aussi vers zéro, c'estrà-dire que, losqu'on s'éloigrio indéfiniment à droite, Ja courbe so rapproche a l'infini de l'axe OX. Les intersections do la courbe avec l'axe OX s'obtiennent en résolvant l'équation sin 02:=0, c'«s,t-à-dîre qu'elles seront ; ,., x = -j-(k entier). Calculons la dérivée première: y' = —ae~axsin bx-\-be~ax cos bx= e~ax [b co.sbx—a sin bx). Mais l'expression entre parenthèses peut être, comme on sait, mise sous la forme : oeos bx— a sin bx^K sin(fix+qpo), ou K et q>o sont des constantes. En annulant la dérivée première, on obtient l'équation: sin (bx + ¢0) = 0, qui donne: iz-|-(po = A;:ii, c'est-à-dire x =—^22 (fc entier). (1) Quand x passe par ces valeurs, sin (bx -)- qp0) ebangera ebaquo fois do signe. Il en est évidemment de même pour la dérivée y' car: j/' = K's-'»Sin(6a;-l-tpl)), et le facteur e-«* ne change pas de signe. Donc, à ces racines correspondent à tour de rôle des maxlma et des mîuima de la fonction. Si on n'a pas le facteur exponentiel e~ax, on ae trouve on présence de la sinusoïde y=sinox, et les abscisses de ses sommets s'obtiennent à partir de l'équation: cos 6i=0, c'est-à-dire x=(2k~l)n {h ent.er) {U) Nous voyons ainsi que le facteur exponentiel non seulement diminue l'amplitude des oscillations mais déplace aussi les abscisses des sommets de la courbe. En comparant (1) et (li), il est facile do voir que ce déplacement est constant, et qu'il a pour valeur { —çî^Tr]- Sur la fig. 61 on a représenté une oscillation amortio pour a = 1 el 6 = 2jt. Les sommets ne se trouvent pas sur les courbes en pointillé, représentant-Mes équations ^ = ± e~ax, ce qui est dû au déplacemfent dos sommets dont nous avons déjà parlé.
150 CH. II. NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS 4. Construisons la courbe: y=- x3~Sx 6 Calculons les doux premières dérivées : ï'=- x*—l i y"=*x En annulant la dérivée première, on obtient les racines œi= 1 ot x% = — 1. En portant ces valeurs dans la dérivée seconde, on voit qu'à la première racine y,ex&o2œ *-X Fig. 61 Fig. 02 correspond un minimum tandis qu'à la seconde correspond un maximum. En portant ces valeurs dans l'expression pour y, on trouve les sommois correspondants du la conrbo: (-'■« ■ 0--4) En faisant x = 0, on a y = 0, c'est-à-dirc que la courbe passe par l'origine des coordonnées. Enfin, en faisant y = 0, on trouve en plus de x = 0 encore deux racines: x = ± ~\/'i, c'ost-à-diro qu'en définitive, la courbe coupera les axes de coordonnées aux points (0, 0), {YW, °)> (—V3» 0). Ajoutons que si l'on remplace simultanément x par {—x) et y par (—y), les deux mombres de l'équation do la courue changent seulement de sigue, c'est-à-dire que l'origine des coordonnées est un centre do symétrie pour la courbe (fig. G2). II-3-4. Plus grande et plus petite valeur d'une fonction. Examinons les valeurs de la fonction / (s) quand la variable indépendante
11-3. APPLICATION DB LA NOTION DE BEIUVBE 151 x prend ses valeurs dans l'intervalle (¢, 6), c'est-à-dire que a ^ œ-gj 6, et cherchons la plus grande et la plus petite valeur de cette fonction. Sous celte condition, la fonction / (x) passera par mie plus grande et plus petite valeur [T-2-11!, c'est-à-dire quele graphique do cette fonction aura dans l'intervalle considéré une ordonnée la plus grande et une ordonnée la plus petite. D'après les règles déjà énoncées, lions pourrons trouver les maxima et les minima de la fonction se trouvant à l'intérieur de l'intei'vallo (o, 6). Si la fonction f (x) a son ordonnée la plus grande dans cet intervalle, cette ordonnée coïncidera évidemment avec le maximum le plus ta plus grande valeur Fig. 63 Fig. G4 grand de la fonction dans l'intervalle (¢, b). Mais il peut arriver que l'ordonnée la plus grande ne se trouve pas dans rinlei'valle, mais à l'une de ses extrémités x = a ou x = b. C'est pourquoi, pour trouver, par exemple, la valeur la plus grande de la Ionction, il ne suffit pas de comparer tous ses maxima dans l'intervalle et d'en choisir le plus grand, mais il faut tenir compte, en plus, des valeurs de la fonction aux extrémités de l'intervalle. De môme, pour déterminer la plus petite valeur de la fonction, il faut prendre tous ses minima situés dans l'intervalle, et les valeurs extrêmes de la fonction pour x = a et x = b. Notcns que les maxima et les minima peuvent ne pas exister, tandis qu'il existera toujours pour une fonction continue la plus grande et la plus petite valeur dans un intervalle fini (a, b). VoyoDS quelques cas particuliers où la recherche de la plus gi'ande et la plus petite valeur s'effectue le plus simplement. Si, par exemple, la fonction, f (x) croît dans l'intervallo (¢, b), alors pour x = a elle prendra la plus petite valeur et pour x — b la plus grande valeur. Ce sera l'inverse dans le cas d'une fonction décroissante. Si la fonction passe par un maximum dans l'intervalle et n'a pas de minimum, ce maximum unique donne la plus grande valeur do la fonction (fig. 63), ce qui fait que dans ce cas il n'est pas nécessaire de chercher les valeurs de la fonction aux extrémités del'inter- valle. De même, si la fonction a un minimum dans l'intervalle et
152 CH. II. NOTION DE DËRIVIÎE. APPLICATIONS .aucun maximum, alors co minimum unique correspond à la plus petite valeur de la fonotioD. Les propriétés qui viennent d'être indiquées auront lieu dans les premiers des quatre problèmes ci- dessous. 1. On se donne un segment de longueur l. On demande de le diviser en deux parties telles que la surlace du rectangle construit à partir de ces longueurs soit la plus grande. Soit x la longueur d'une des parties ; l'autre sera (I — x). En tenant compte de ce que la surface du rectangle est égale au produit des côtés voisins, on voit que io problème se ramène à trouver les valeurs de x pour lesquelles la fonction: atteint sa plus grande valeur dans l'intervalle (0, i) de variation de x. Calculons les deux premières dérivées: /'(*)=t(I — x)~ x=l— 2x, f(x)=> — 2<0. iSn annulant la dérivée première on trouve l'unique valeur x = y qui correspond â un maximum, car /" (x) est constamment négative. Ainsi, la surface sera la plus grande dans le cas d'un carré de côté -j. 2. On retranche d'un cercle de rayon H un secteur, et avec la partie restante on forme un cône. Déterminer l'angle au centre du secteur retranché pour que le volume du cône soit le plus grand possible. Prenons pour variable indépendante x, non l'angle au centro du secteur découpé, mais son complément à 2n, c'est-à-dire l'angle au centre du secteur restait. Pour des valeurs do x proehos de 0 et de Za, le volume du cône sera voisin do 0, ot il est évident que dans l'intervalle (0, 2x) on aura une valeur de x pour laquelle ce volume sera maximum. En formant- le cône avec le secteur restant (fig. 64) on obtiendra un cône dont la génératrice est égale à Ji, la circonférence de la base sera égale il Rx, Ht lu rayon r — —— ot la hauteur: ■/--B^vi^. k=y »- Le volnmo du cône sera : v ' 3 W An 24ji2 * i'our chercher la plus grande valeur de cette fonction nous pouvons ne pas ras w tenir compte du facteur constant ^y—^. Le produit restant *" '\/4m,* — x1 est positif ot, per conséquent, passera par sa valeur la plus grande pour les mêmes valeurs de x que son carré. Ainsi nous pouvons examiner la fonction.- dans l'intervalle (0, 2.i).
IX-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DÉRIVÉE 15» Calculons la dérivée première: Elle existe pour toute valeur de x. En l'annulant on obtient trois racines: ai = 0, *2=-2;r]/ -|, *,=2bJ/ -|. Les deux premières valeurs ne sont pas dans l'intervalle (0, 2jt). Il ne reste que la valeur x3 = 2re l/ ^. qui se trouve dans l'Intervalle, mais nous avons vu que la plus grande valeur dens cet Intervalle existe, et, par conséquent, sans étudier cette valeni de x3, on peut affirmer qu'elle correspond à la valeur maximum du volume du cône. 3. La droite L partage le vlan en deux parties (milieux) i et II, Un point se déplace dans le milieu. I avec la vitesse Vi et dans le milieu II avec la vitesse v%. Quelle trajectoire doit prendre ce point pour passer le plus vite possible du point A du milieu t au point B du 'milieu Ht SoitvlAj et BBi les perpendiculaires a la droite i issues des points A et/3. Introduisons les notations suivantes : AA, BB. Afii = e, Fig. 65 et sur L on mesurera les abscissesj dans le sens A~ÏBi (fig. 65). H est évident que dans le milieu I aussi bien que dans le milieu //, la trajectoire du point doit ôtro rcctilignc, mais le trajet AB ne sera pas on général le pli!» court. Aiusi le « trajet le plus court » sera formé do deux segments de droite AM et MIS, et le point M doit se trouver sur L. Prenons pour variable indépendante a: l'abscisse du point M : x = AiM. Le temps t nécessaire pour parcourir le chemin le plus court sera: = /00 = AM , MB _ v2 ~Va* + x* "1 + y 62 "2 -*)« dans l'intervalle (—oo, -j-oo), Calculons les deux premières dérivées: f 00 = ^Vo'-r»' «2y6»+(o—z)2 * /*(*) = • b* »!(«»+*«)"/» »j[ia+(e- z)3]3/i Los deux dérivées oxistent pour tontes les valeurs de x, et /• (x) est toujours positive. Par suite, /' (z) croît dans l'intervalle (—oo, +oo) et ne s'annule pas plus d'une fois.
-154 CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS Mais /'(0) _£__<o -et ■d'où l'équation /' (s) = 0 a une Taeine unique zo entre 0 et c, qui correspond à l'unique minimum de / (z) car /° (e) > 0. Les abscisses 0 et c correspondent aux points At et B,, ut le point M cherché doit donc se trouver entre A i et Bt •ce quo l'on aurait pu obtenir à partir de considérations géométriques élémentaires. Explicitons la signification géométrique de la solution obtenue. Désignons par œ et p les angles formés par les segments A M et BM avec la perpendiculaire à i au point M. L'abscisse a: du point M cherché doit être telle que /' (x) = 0, c'est-à-diro qu'elle doit vérifier l'équation: c—x ■qui peut être mise sous la forme: At M MB, •soit '■ sin œ viAM v2BM sinB ,„ . , ,. sin a ■= — , o'cst-i-dirii „,„ „■ — o2 sin p Le « trajet le plus court » sera celui pour lequol lo rapport des sinus des angles ■a et P sera égal au rapport des vitesses dans les milieux / et //. Ce. résultat nous donne la loi connue do la réfraction de la lumière et, par conséquent, la réfraction de la lumière s'effectue comme si le rayon lumineux choisissait le. « trajet le plus court » pour passer d'un milieu dans un autre. 4. Supposons qu'on étudie expérimentalement une grondeur x et que n mesures, faites avec le même sein, donnent les n valeurs: ai, a2, ..., aft, qui sont différentes étant donné l'imprécision des instruments. La « valeur la plus probable » de x sera colle pour laquelle la somme des carres des erreurs sera la plus faible. De sorte que la recherche de cette valeur revient à rechercher la valeur do x qui minimise la fonction: fW^ix-ti)* H*-*2)2 !-... + (*-%)* «dans l'intervalle (—oo, -)-oo). Calculons les deux premières dérivas : /' (s) = 2(«-a,)-f-2(*-a2) [ r-2(z-a„)- ./" M=2-r-2-| +2^2n>0.
II-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DBR1VBE 155 En annulaul la dérivée première, nous obtenons la valeur unique °l + "2+ ■ • ■ + an à laquelle correspond lo minimum, étant donné que la dérivée seconde est positive. Do sorte que la « valeur la plus probable» de x est la moyenne arithmétique des valeurs obtenues expérimentalement. 5. Trouver la plus courte distance d'un point M à un cercle. Fig. 66 Fig. 67 Prenions pour origine des coordonnées le contre 0 du cercle et pour axe OX la droite OM. Soit OM — a et soit R le rayon du cercle. L'équation du cercle sera et la distance du point M de coordonnées (a, 0) à un point quelconque du cercle sera •\/[x-a)*+yK Cherchons la valeur minimum du carré do cette distance, En remplaçant ji2 par sa valeur R2 — x2, nous obtiendrons, à partir de l'équation du cercle, une fonction f (x) = (x~a)3 + (R^-X^) = -2ax+a^+RK où la variable indépendante x varie dans l'intervallo (— R •< x •< R). Comme la dérivée première /'(i)=-2o est négative pour tout x, la fonction / (x) décroît et donc passe par sa valeur la plus potito pour x = R a rcxtrémité droite de l'intervalle. La distance la pi u« courte sera donc 'PM (fig. 66). 6. Inscrire dans un cône circulaire donne un cylindre tel que sa surjace totale soit la plue grande possible. Soit R et H le rayon de la basu et la hauteur du cône,ot r et k, le raymi delà base et la hauteur du cylindre. La fonction dont on cherche la plus grande valotir sera dans ce- cas S = Znr*-*-2nrh. Les grandeurs variables r et * sont liées entre elles car lo cylindre doit être inscrit dans ic cône donné. Il résulte de la similitude des triangles AlfO et AMN (fig. 67): MN J)D . h H ~ÂN ~IB soa ~r=7-7î'
136 RIT. il. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS d'où t, B n En remplaçant h pat sa valour dans S: 5 = 2n[r2+rff(l-^-)]. Do sorte que iî est une fonction do la aoulo variable indépendanto r qui peut varier dans l'intervalle 0 ■</■•< if. Calculons les deux premières dérivées dS * in , z, 2r „\ (PS , I. H\ En annulant -4—, on obtient pour r l'unique valeur BR (Z> 2(K—R) " Pour que cette voleur soit dans l'intervalle (0, R), il faut que !°<TV^IÇ el T<ïï^<n- <3> La première inégalité est équivalente à: H doit être plus grand que ïi. En multipliant les deus termes do la deuxième inégalité par la grandeur positive 2(11—/?), il vient *<-f-. Si cette condition est vérifiée, -j-j- est négatif et à la valeur (2) correspond le maximum unique de la fonction iî qui est la valeur la plus grande de la surface du cylindre. Cette valeur peut être obtenuo facilement en portant la valeur (2) de r dans S. Supposons maintenant que la valeur (2) n'est pas dans l'intervalle (0, H), c'est-à-dire que l'une des inégalités (3) n'est pas vérifiée. Deux cas sont alors possibles ; o u bien H •< fi ou bien H > ïi, mais fi ;> — . Ces deux cas sont caractérisés par la condition ff<.2fi. (4> Transformons l'expression de -3—: dS dr = 2jt {ir+JI —|- ff) -J^{{2R-Il) r+H (fl-r)]. A Ç On voit que si (4) est vérifié, -y->0 pour 0<r<.R, c'est^à-diro la fonction iî croît dans l'intervallo (0, fi) «t atteint sa valeur la plus grande pour r*=R. Pour cette valeur de r il est évident quo k=0, et la solution peut être considérée comme un cylindre écrasé dont la base coïncide avec celle du cfine et dont la surface est 2x1?*.
11-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DÉRIVÉE 157 11-3-5. Théorème de Fermât. Nous avons déjà exposé, on partant de considérations do géométrie élémentaire, des méthodes pour étudier la croissance et la décroissance des fonctions, trouver leurs maxima et minima, ainsi que leurs plus grandes et plus petites valeurs. Nous allons maintenant passer à l'exposé analytique rigoureux de certains théorèmes et formules qui nous donneront une démonstration analytique de la validité des règles déjà données, et qui permettront une étude plus détaillée des fonctions. Dans cet exposé nous examinerons toutes les conditions qui doivent être satisfaites pour que tels ou tels théorèmes et formules soient applicables. Théorème de Fermât. Si la fonction f (ai) est continue dans l'intervalle (a, b), a une dérivée en tout point de cet intervalle et si en un point x = c de cet intervalle elle a sa valeur la plus grande {ou la plus petite), la dérivée première est nulle en ce point, c'est-à-dire que f (c) = 0. Ainsi, supposons pour fixer les idées que / (c) soit la plus grande valeur de la fonction. Pour la plus petite valeur la démonstration est analogue. Par hypothèse, x = c est dans l'intervalle et la différence [f (c + h) — f (c)] sera Dégative, ou eu tout cas elle ne sera pas positive pour tout h positif ou négatif : /(e + ft)-/(c)<0. Formons le rapport f(c + h)~f[cï h Le numérateur est négatif ou nul, d'où: f(c + h)-f<c)<0 pour A>()t f (.+»)-/w>0 pour h<0 Lepoint x = c est situé dans l'intervalle où, par hypothèse, la dérivée existe, c'est-à-dire que la fraction écrite tend vers une limite déterminée, f (c), lorsque h tend vers 0 de n'importe quelle manière. Supposons d'abord que h tende vers fcéro par valeur positive. Alors «n passant à la limite, la première des inégalités (5) donne f<e)<0. De même, en passant à la limite, h tendant vers zéro, la deuxième ■des inégalités (5) donne f(c)>0. En comparant ces inégalités, il vient r (9)-o. (5)
158 CH. II. NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS 11-3-6. Théorème de Rolle. Si une jonction f (x), continue dans l'intervalle (a, b), a une dérivée en tout point de l'intervalle et si les valeurs de la fonction aux extrémités de l'intervalle sont égales, c'est- à-dire 'si f (a) = / (6), alors il existe dans cet intervalle au moins un point x = c pour lequel la dérivée s'annule, c'est-à-dire tel que f (c) = 0. Une fonction continue / (x) doit passer dans cet intervalle par sa valeur la plus petite m et sa valeur la plus grande M. Si ces. valeurs sont égales, c'est-à-dire si m = M, il en résulte qae la. fonction est constante dans tout l'intervalle et a la valeur m (ou M). Mais on sait que la dérivée d'une constante est nulle et dans ce cas; simple la dérivée serait nulle en tout point de l'intervalle. Revenant au cas général, nous pouvons donc mM considérer que m < M. Comme les- valeurs de la fonction aux extrémités- ;B de l'intervalle sont égales par liypo- J i | thèse, c'est-à-dire que f(a)=f(b), \a \c \t l'un au moins des nombres m et M *" est différent de la valeur de la fonction aux extrémités. Supposons par exemple- g' que ce soit M, c'est-à-dire que la fonction n'a pas sa valeur la plus-- grande aux extrémités, mais en un point de l'intervalle. Soit x — c- ce point. D'après le théorème de Fermât, nous aurons en ce point /' (x) = 0, ce qui démontre le théorème de Rolle. Dans_ le cas particulier où f (à) = f (b) = 0, on peut formuler le théorème de Rolle brièvement de la manière suivante: entre' deux racines de la fonction il y a au moins une racine de la dérivée- première. Le théorème do Rolle a une signification géométrique simple. Par hypothèse f (a) = f (b), c'ost-à-dire que les ordonnées de 1¾ courbe y = / (x), correspondant aux extrémités de l'intervalle, sont égales et dans cet intervalle la dérivée existe, c'est-à-dire que- la courbe admet une tangente. Le théorème de Rolle dit que dans, cet intervalle il y aura alors au moins un point où la dérivée sera nulle, c'est-à-dire où la tangente sera parallèle à l'axe OX (Kg. 68). R e m a r q u e. Si la condition du théorème de Rolle concernant, l'existence d'une dérivée f (x) n'est pas vérifiée en tous les points- de l'intervalle, le théorème peut être faux. Ainsi, par exemple, la fonction f{x) = i~yTxz est continue dans l'intervalle (-—1, -\-i) et / (—1) = / (1) = 0,» mais la dérivée fto — -ïk
II-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DÉRIVÉE " 1 159» ne s'annule pas dans l'intervalle. Ceci a lieu parce que/' (x) n'existe- pas (devient infinie) pour x = 0 (fig. 69). Un autre exemple est donné par la courbe représentée sur la fig. 70. Dans ce cas nous avons une courbe y — f (x), pour laquelle / (¢) = / (6) = 0. Toutefois, on voit d'après la représentation graphique de la courbe que la tangente ne peut pas être pai-allèle à l'axe OX dans l'intervalle- (¢, 6), c'est-à-dire que /' (x) ne s'annule pas. Ceci a lieu parce que la courbe a au point x — a deux tangentes différentes, à gauche- —X wr Fig. 69 Fig. 70 et à droite do ce point, donc en ce point il n'y a pas de dérivée définie, et la condition du théorème de Rolle imposant l'existence- d'une dérivée en tout point de l'intervalle n'est pas remplie. II-3-7. Formule de Lagrange. Supposons que la fonction / (x} est continue dans l'intervalle (¢, b) et admet une dérivée en tout point intérieur de cet intervalle mais que la condition f (a) = f (b)< du théorème de Rolle peut ne pas être vérifiée. Formons la fonction F(x) = f(x)+kc, où % est une constante que nous déterminerons de façon que la fonction F (x) vérifie la condition susmentionnée du théorème de Rolle,. c'est-à-dire que F{a) = F{b) soit f{a) + \a = f(b) + %b, d'où Hb)-1(a) *.= ■ 6 —a Appliquons maintenant à F (x) le théorème de Rolle. Nous pouvons affirmer qu'entre a et b il existe un point x = c pour leqiiel F'(c) = f'(c) + X = Q (a<c<b),
^OQ Cil. II. NOTIOïî ME DÉRIVÉE. APPLICATIONS ti'où en remplaçant % par sa valeur : CeHo dernière égalité peut être mise sous la forme : f(b)-f(a) = (b~a)f'(c). Cette égalité s'appelle formule de Lagrange. La valeur de c est «omprise entre a et b, c'est pourquoi le rapport t^- = 0 est compris entre 0 et 1, et on peut poser c = a + B(b—a) (O<0<1), «t la formule de Lagrange; peut être mise sous la forme : f(b)-f(a) = (b-a)f'la + 0(b-a)] (O<0<1). En posant b = a + h, on obtient: f(a+h)—f (a) = hf (a + 0¾). La formule de Lagrange donne l'expression exacte de l'accroissement f (b) — / (a) de la fonction / (x), c'est pourquoi on l'appelle formule de? accroissements finis. Nous savons que la dérivée d'une constante est nulle. On peut déduire de la formule de Lagrange la propriété inverse : si la dérivée f (x) est nulle en tout point de l'intervalle (a, b), la fonction f (x). est constante dans cet intervalle. Prenons une valeur quelconque de x dans l'intervalle (a, b) et appliquons la formule de Lagrange à l'intervalle (a, x). On obtient: f{x)-f{a) = (x-a)f{l) {a<l<x); mais par hypothèso /'(g) = 0, et par conséquent: /(»)—/ (¢) = 0, c'est-à-dire f(x)=f{a) = Cl\ i Nous savons seulement de la valeur c qui entre dans la formule de Lagrange qu'elle est comprise entre a et b, c'est pourquoi la formule de Lagrange ne permet pas un calcul exact de l'accroissement de la fonction au moyen de la dérivée, mais elle permet d'évaluer l'erreur que nous faisons en remplaçant l'accroissement de la fonction par sa différentielle. Exemple. Soit La dérivée sera /'(*) =—r4în = — (M = 0,43420...), ' ' ' x In 10 a:
II-3. APPLICATION Wï \s,\ KOTIOX DE ÏÏÉIUYÊB ICI ot la foranilo do Lagrange nous donne Igio("+A)-Igi0a=A a^h (0<0<1) soit M Ieio(a+fe) = lgio«-|-A^rQ^- Eu remplaçant l'accroissement par la différentielle, nous obtenons In formule approchée Igio(a+fc)-IgiOa = A—. Igio (<H-A) = lgio«-rfc-2-- En comparant cette égalité approchée avec l'équation exacte obtenue par In formule de Lagrange, »ons voyons quo l'erreur aéra M M QhW h—— h- 8 A o(a+6ft) • En faisant a — 100 et ft — 1, on obtient l'égalité approchée M Ig10101 = lg,0 100 -1-^ = 2.00434 ... avec mie erreur de BAf 100 (100-f-8) (o<e<«. En remplaçant dans le numérateur 6 par 1 et dans le dénominateur par zéro, on augmente la valeur de la fraction et on peut dire que l'erreur sur la valeur calculée de lgiU 101 est inffaiou.ro à ^ï-0,00004... Mettons la formule de Lagrange sous la forme: w-zm=r{c) {a<c<b). En examinant la courbe y = / (x) (fig. 71), on voit que la relation /<*)-/(«) =^= £2b b-a. AC « donne le coefficient angulaire do la corde AB, ot que /' (c) donne celui de la tangente en un certain point M de l'arc AB de la courl)e. Do porte que la formule de Lagrange est équivalente à l'affirmation suivante: sur Varc de courbe il existe un point où te tangente est parallèle à la corde. Un cas particulier de cette propriété est celui où la corde est parallèle à l'axe OX, c'est-à-dire que f (a) =f(b): on a alors le théorème do Rolle. Remarque. Les critères de croissance et de décroissance d'une courbe que nous avons établis à partir de la représentation H—2SI
162 CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS graphique, résultent directement de la formule de Lagrange. En effet, supposons que dans un certain intervalle la dérivée première /' (x) est positive et soit x et x -\- h deux points de cet intervalle. On voit à partir de la formule de Lagrange f(x + h)-f(x)=hf(x+Qh) (0<G<1) que pour h positif la différence qui figure au premier membre est positive car les deux facteurs du produit situé à droite sont dans ce cas positifs. De sorte qu'en supposant que la dérivée est positive dans un certain intervalle, nous avons : /(* + *)-/<*) >0, c'est-à-dire que la fonction croît dans cet intervalle. D'une façon analogue, lecritère de décroissance résulte de la formule citée. Notons ici que les raisonnements faits Fig> 71 ' lors de la démonstration du théorème de Fermât restent valables dans le cas où la fonction n'atteint pas forcément sa plus grande et sa plus petite valeur au point considéré mais admet simplement un maximum ou un minimum. Ces raisonnements nous montrent que pour de tels points la dérivée première, si elle existe, doit être nulle. JI-3-8. Formule de Caucby. Supposons que / (x) et cp (x) sont des fonctions continues dans l'intervalle (¢, 6), possédant une dérivée en chaque point de cet intervalle et que, de plus, cp' (x) ne s'annule pas dans cet intervalle. En appliquant la formule de Lagrange à la fonction cp (x), il vient: <p{6)—«p(a) = (ô—a)<p'(ci) (a<d<l)); mais par hypothèse cp'(¢0=^0, donc cp(6) —cp (¢)^0. Formons la fonction F (x) -/(ï)+Vp(*), où ?. est une constante que nous prendrons telle que l'on ait : F(a) = F(b), c'est-à-dire / (fl) + Vp <a) «/(*) +top (t), d'où %=. <p(61 — <p(a)
II-3. APPLICATION DE LA KOTCOM DE DERIVEE 163 Pour un tel choix de % le théorème de Rolle s'applique à F (x) et il existe une valeur x = c telle que F(c) = /'(c) + acp'(c) = 0 (a<c<&). Cette équation nous donne -£§-=-* (ç'(«)^o). d'où, en remplaçant % par sa valeur, /<»)-/(«) /'t«-H>tf—)i f0<:e<:« fe> aoit ou: /fa + ft)-/fg) ^ /'(a + Wi) (p (o-)-/j) — Ç (O) (f/ (O + 0fe) ' qui est la formule de Cauchy. En faisant dans cette formule cp (x) — x, nous aurons <p/ (x) = 1 et la formule sera: f(b)-f(a)~(b-a)f'{c), c'ost-à-dire que nous avons obtenu la formule de Lagrange, comme, cas particulier do la formule de Cauchy. II-3-9. Calcul des expressions indéterminées. Supposons que- les fonctions cp (x) et i\> (x) sont continues pour a < x <! a + fc, où le. est un nombre positif, qu'elles possèdent des dérivées continues et que oj)' (x) n'est pas nulle pour les valeurs choisies pour x. Supposons de plus que lim <p (x) = 0 et lim i|> (x) — 0 pour x -*■ a -\- 0 [1-2-2]. En supposant que cp (o) = t|> (¢) = 0, nous aurons des fonctions continues jusqu'à x = a, c'est-à-dire pour a ^ x ^ a + k. On ne peut pas appliquer le théorème de la limite d'un rapport à <p (x)/ty (x) pour x ->- o + 0 car pour x = a il représente une détermination de type -h- • Indiquons un moyeu pour lever l'indétermination, c'est- à-dire un moyen de trouver la limite de (p (j;)/ip (x) pour x -»- a -\- 0. Démontrons d'abord le théorème auxiliaire suivant: si avec les hypothèses faites ci-dessus, le rapport cp' (x)/i\>' (x) tend vers une limite b lorsque x tend vers a + 0, le rapport cp {x)lip (x) des fonctions tend vers la même limite. En tenant compte de ce que cp (a) = ty (à) = 0, et en utilisant la formule de Cauchy [II-3-8], il vient: (p(i)_ <p(g)-(p(a) _¥(î) ,* comuri<? enfre „ „t -v ,7> 1))(2)- (1)(^-1)3(0) ~ ^7¾ ^ compris entre a et s). (7). (1«
1(54 OH. II. NOTION DE DDRIVBE. APPLICATIONS Remarquons qu'avec les hypothèses faites sur cp (x) et %ï> (x), nous avons le droit d'appliquer la formule de Cauehy. Si x tend vers a -f- 0, % compris entre a et a; et dépendant de x tendra vers a. Alors, par hypothèse, le deuxième membre de (7) tendra vers la limite h et le rapport t4-t tendra vers la même limite. Il est à noter que cette limite peut être infinie. De sorte que nous avons la règle: Lorsque Von cherche la limite du rapport î-fe dans le cas d'une indétermination du type -rr, on peut remplacer le rapport des fonctions par celui de leurs dérivées et chercher la limite de ce nouveau rapport. Cette règle a été trouvée par le mathématicien français L'Hospital et porte généralement son nom. Si le rapport des dérivées %,,{ conduit aussi à une indétermi- nation du type -^-, et si les fonctions q>' (x) et ty' (x) vérifient les conditions que nous avons formulées ci-dessus pour q> (œ) et i\> (x), on peut appliquer la règle de L'Hospital également au rapport £77¾ , etc. Nous avons considéré le cas où a < x << a -+- k. On peut examiner do mémo le cas a — k ^ x < ¢, c'est-à-dire x -*■ a —• 0. Dans les exemples suivants la limite ne dépend pas de ce que x tend vors a à gauche ou à droite, et nous écrivons x-*- a. Nous avons examiné le cas où x tend vers une limite finie a. Cette règle est aussi valable pour le cas où x tend vers 00. Nous ne nous arrêterons pas sur la démonstration de ce fait. Appliquons la règle de L'Hospital à quelques exemples. 1. hm v—■—- "=hm -5—-r--— — n ; a-*0 x sc-*o 1 „ ,. x—sin a; ,. 1—cosx ,. sin x cosz 1" 2. lin» = =l»a - „ -—=lim-F—=lim—^- = -^-, x-o *3 xm.0 3*s x-,o dx x-*o 6 6 c'est-à-dire que x — sin x est un infiniment petit du troisième ordre en x. . ,. x—œcosa: ,. 1 — crtsï + zsln x 3. lun : -=lim- -. ■ = X-,0 X—S11LX ^..p 1— COStt sins—«in sf+œcos œ .. 2 cosïtCosi—xsin œ „ =lim : ! = hm —— — 6. x-,0 sm x x-,.0 cos x Le résultai de cet exemple fournit uno méthode très pratique pour rectifier un arc de cercle.
11-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DERIVEE 165 Examinons un corclo do rayon unltû. Pouiuxo OX prenons un des diamètres de ce cercle, et pour axe OY, la tangente au cercle à l'extrémité de ce diamètre (Kg. 72). Prônons un are OM, et soit ON un segment de l'axe OY dont la longueur est égale à l'arc OM. Traçons la droite NM. Soit P son point d'intersection avoc l'axo OX. Soit u la longueur de l'arc OM (le rayon étant pris pour unité). L'Équation do la droite NM par segments est: -5-... £-1, OP ' u. Pour calculer la longueur du segment OP notons quo le point M de coordonnée:; z=OÇ = t — cosu, y=*QM=sinu.. ss trouve sur NM. Ces coordonnes doïvont vérifior l'équation 1 —cos« . sïn» d'où OP OP^- L'oxeinplc 3 montre que pour OP ->■'& on a u ■ P de OX tendra vers le point D dont la distance à L'origine des coordonnées sera cigale à 3 lois le rayon du cercle. D'où une méthode simple pour rectifier de façon approchée un arc do cercle. Pour rectifier l'arc OM il tant Îiortor à partir do 0 le segment OD dont la ongueur ost égale à trois fois le rayon du cercle et tracer la droite DM. Le segment ON, formé par cette droite sur OY donne une valeur approchée de la longueur de l'arc OM. Cotte méthode donne de très bons résultats, un particulier pour les arcs petits. Mais môme pour un arc (igalà-7j- l'erreur relative est d'environ 5 %. - 0, c'est-à-dire quo lo point Fig. 72 II-3-10. Diverses formes d'indétermination. Le théorème- démontré an paragraphe [II-3-9] reste valable dans le cas d'indétermination du type —. Ci-dessous, sans distinguer si x tend vers a à gauche ou à droite, nous écrirons brièvement s-va. Soit deux fonctions continues q> (x) et i|) {x) tendant vers (-j-oo) ou (—oo). Soit 1 Im <p (x) = li m \p (») = + oo (8) et ^«"iw (9) Montrons que le rapport |-S tend vers la môme^limite 6 ; ce faisant nous supposerons quo ^' (x) n'est pas nullG~ponr les valeurs de x proches de a.
106 CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS Examinons deux valeurs de la variable indépendante x et a;0, proches de a et toiles que x soit compris entre xB et a. D'après la formule de Cauchy nous aurons Mais par ailleurs, Notons que d'après (8) q> (x) et i]> (a;) ne sont pas nulles pour des valeurs de x proches de ¢, En comparant ces deux expressions, on obtient (p (X) (f (a) (p' (|) soit <P<*)_y'(S) W») /40^ cp(s) où | est compris entre a; et 3¾ et, par conséquent, entre a et x^. Prenons 0¾ suffisamment proche de a. Alors, d'après (9), nous pouvons considérer que le premier facteur du second membre de (10) différera infiniment peu de b pour tout x compris entre xa et a. Fixant ainsi la valeur 3¾. faisons tendre x vers a. Alors, d'après (8), le second facteur du second membre de (10) tendra vers l'unité, c'est pourquoi on peut dire que le rapport q> (x^i^x) du premier membre de (10) pour x voisin de a sera aussi peu différent que l'on veut de b, c'est- à-dire Km IIS = 6. Il résulte du théorème qu'on vient de démontrer que la règle de L'Hospital s'applique également pour lever des indéterminations du type 2 . Voyons encore quelques types d'indétermination. Examinons le produit <p (x) i]> (x), et soit Hm<j>(a:)=0 et limita:) = oo.
II-3. APPLICATION DE LA NOTION DE DERIVEE 167 On aura une indétermination- du type 0- oo. On peut la mettre facilement sous la forme q- ou — : Examinons enfin l'expjession q> (»)*(*>, où lim if (x) es 1 et lim ty (œ) = oo. On a une indétermination du type 1". Examinons le logarithme de la fonction considérée: lu l«P (*)*"*! = *(*)l«q>(*), qui se ramène à une indétermination du type 0-oo. En levant cette indétermination, c'est-à-dire en trouvant la limite du logarithme de l'expression donnée, nous connaîtrons la limite de l'expression elle-même. De la même façon on lève les indéterminations du type oo° ot 0°, Examinons les exemples suivants: 1. lim = Km —r-= h00- X-f+w X K-t+oo * Ê G fi lim —s-= lim ~x— = Hm -n-=+oo. x-»~H» % «-»-+00 *>x *-*-+«i ** De même on peut voir que lo rapport e^/xn tond vors l'infini pour x -*■ -»■ + oo, si n est positif, c'est-à-dire que la fonction, exponentielle e* croit plan vite que toute putssance positive de x, lorsque x tend vers rtnjlnl, J_ 2.7, lim J"= lim ■—*;- lim ^=0 (n>0), c'est-à-dire que In x croît moins vite que toute puissance positive de x. i_ 3. lim î"1iiï= lim -^-= lim x =*~ lim — -0 (n>0). i-H-0 x-^+0 _1_ *->+0 _Z^L *-»+0 n a» œn+i 4. Cherchons la limite do x* lorsque a; tend vors 0 par valeur positive. En prenant le logarithme, On a une indétermination du type O.oo.Cetto indétermination, comme on l'a vu dans l'exemple 3, donne zéro à la limite et Uni s«=l.
168 CH, ]I. NOTION DK DERIVEE. APPLICATIONS 5. Cherchons la limite du rapport: x-\-sinx lim ■ Le numérateur et le dénominateur de ce rapport tendent vers l'infini. En remplaçant (règle do L'HoapItal) lo rapport des fonctions par celui de leurs dérivées, il vient lim ■— X-K* 1 Mais 1 -(- ces z no tend pas vers une limite lorsque x croît indéfiniment car cos z oscille sans cesse entre (+1) et (—1), cependant il est facile de voir que le rapport luï-rnGmo tendra vers Ja limite iIm^±^Si^llm(d+!i£f)=1. Ainsi dans c<s cas on peut lever Vindétermination mais la règle de L'Hos- pital no dorme rion. Ce résultat ne contredit pas le théorème qu'on vient de démontrer car il affirmait seulement que si lo rapport des dérivées tend vers ut») limite, le rapport des fonctions tend vers cette mfimo limite, mais la réciproque n'est pas vraie. 6. Examinons encoro dos indéterminations du type (oo ± oo). Elles s« ramènent généralement au type -jr- . Par exemple, lim [—.—. ;—r,\ =tim x-,o \amx x + x*J j^.0 x-\-z2—sin x (x -f- xi) sin * ' Cette dornière expression présente uno indétermination du type -jp . JSn lovant cotte indétermination par le moyen déjà indiqué, on obtient : HmfJ m-1. II-4. Fonctions do deux variables II-4-1. Notions fondamentales. Jusqu'ici nous avons considéré les fonctions d'une variable indépendante. Examinons maintenant une fonction de deux variables indépendantes u = / (x, y). Pour déterminer les valeurs particulières d'une telle fonction on doit se donner les valeurs des variables indépendantes x = x0, y = Vo- A chaque couple de valeurs de x et y correspond un point Mo (%, ya) situé sur le plan de coordonnées et au lieu de parier de la valeur de la fonction pour x = x0, y — y0, on peut parler de la valeur de la fonction au point AT0 (£o> ya) du plan. La fonction peut être définie dans tout le plan ou seulement dans une de ses parties, dans un domaine» Si / {x, y) est un polynôme entier en
11-4. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES 169 x el y, par exemple u = f{x, 3/) = ^+^ + ^-2^+3^ + 7, on peut considérer que cette formule définit une fonction sur tout le plan. La formule u=|/l-(^ + ya) définit une fonction à l'intérieur du cercle a? + y2 = 1 dont le centre est à l'origine des coordonnées et dont le rayon est égal à l'unité, aussi bien que s»ir la circonférence elle-même où u = 0. L'analogue de l'intervalle dans le plan est le domaine défini par les inégalités Oi<»-^it, a^-^y 4^.b2. C'est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes et dont la frontière fait partie du domaine. Les inégalités ot <c x <c b\ et a2 <. î/ < b2 définissent seulement les points situés à l'intérieur dn rectangle. Si la frontière du domaine fait partie du domaine, on dit qu'il est fermé. Si elle n'en fait pas partie, on dit qu'il est ouvert (cf. 11-1-41). Définissons la notion do limite d'une fonction / (x, y) de deux variables (cf. fl-2-8)). Supposons que la fonction est définie en tout point M (x, y) suffisamment proche de Mo (a. b). Définition. On dû que le nombre A est la limite de f (.r, y) lorsque M (x, y) tend vors Mo (a, b), et on écrit Vimf(x,y)=A, ou lim f{x,y)—A, si pour tout e positif donné il existe un r\ positif tel que M—/(». y)|<e. ** \x — a\<m et \y — b\<r\. On suppose que le couple de valeurs x = o, y = b est exclu {M ne coïncide pas avec Mo). Si le point Mo est sur la frontière du domaine où / (x, y) est définie, M tendant vers Mo doit appartenir à ce domaine. Soit une suite indexée de points Mn (xn, yti) tendant vers Mo (fli b), c'est-à-dire une suite telle que los xn aient pour limite a et les yn aient pour limite b. On peut démontrer que si la suite do nombres un = f (xn, yn) pour toute suite de points MT, (¢,,, yn) a «ne seule limite A, alors A est la limite de / (x, y) lorsque M (x, y) tend vers M0 (a, b) au sens de la définition donnée ci- dessus. Supposons que / (x, y) est définie aux points Mo (a, b) et dans tous les points voisins de Mo (a, b) (cf. 11-2-8]). Définition. La fonction f (x, y) est dite continue au point M0 (a, b) si ]\mf(x,y) = f(a,b), ou lim f(x, y) = f(a, b). x-*a M-+Ma
170 CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS Une fonction est dite continué dans un domaine si elle est continue en tout point de ce domaine. Ainsi la fonction u — ]fl — x* — y3 est continue dans le cercle où elle est définie. On peut aussi en dire qu'elle reste continue si on joint au cercle sa frontière, c'est-à-dire la circonférence sur laquelle u = 0, Soit B un domaine fermé et fini dans un plan et / (x, y), une fonction continue dans B (continue à l'intérieur de B et jusqu'à la frontière de B). Une telle fonction a des propriétés analogues aux propriétés des fonctions d'une variable indépendante continues sur un intervalle fermé et fini [1-2-11]. Le procédé pour démontrer ces propriétés est dans l'essentiel le même que dans f 1-2-19]. Nous nous bornerons à en formuler les résultats. 1. La fonction f (x, y) est uniformément continue dans B, c'est- à-dire que pour tout nombre positif s donné, il existe un nombre positif ï| tel que |/(*î,ys!)-7(Si, yi)l<e. si (x±, y,) et (xz, yz) appartiennent à B et si \x2~xl\<i), \yz—yt\<t\- 2. La fonction f (x, y) est bornée dans B, c'est-à-dire qu'il existe un nombre positif M tel que \ f (x, y) \ <; M pour tout (x, y) appartenant à B. 3. La fonction f (x, y) passe par sa valeur la plus grande et la plus petite dans B. Indiquons un corollaire de la définition de la continuité de la fonction. Si / {x, y) est continue au point (o, b) et si y = è, la fonction / (x, b) d'une variable indépendante x est continue pour x = o, De même, / (o, y) est continue pour y = 6. II-4-2. Dérivées partielles et différentielle totale d'une fonction de deux variables indépendantes. Supposons que la fonction u = = / (x, y) est telle que y reste constant et seul x varie, c'est-à-dire que u devient une fonction de x seulement, et on peut calculer son accroissement et sa dérivée, Soit àxu l'accroissement de u, lorsque y reste constant et que x croît de Ax : àxu = f(x + àx, y) — f(x, y). La dérivée s'obtient en cherchant la limite Jim *£Œ ito fO^rti-ftoiO AI-++0 "S At-»*0 ax
11-4. PONCTIONS DU DEUX VARUBLBS 171 La dérivée ainsi obtenue en supposant que y reste constant est la dérivée partielle de la fonction u, par rapport à x, et on utilise la notation : du ou /i(ar, y), ou -r- dx du Notons que j- n'est pas une fraction mais un symbole désignant une^dérivée partielle. Si / (x, y) a une dérivée partielle par rapport à x, elle est une fonction continue de x pour un y constant donné. De même on peut définir l'accroissement A„u et la dérivée partielle de u par rapport à y calculée en supposant que x reste constant: Si par exemple, u = x2-r-y\ alors dv ,,„ du 0 Sx ' dy * Examinons l'équation de Clapeyron p»=RT. A l'aido de cette équation on peut définir l'une des grandeurs p, v et T en fonction des deux autres qui doivent alors être considérées comme des variables indépendantes. Nous obtenons la table suivante: Variables indépendantes Fonctions Dérivées partielles T, p _ RT "~ P dv R ST = p ' dv RT dp- p* r, v RT dp R dT *~ v ' Op _ RT dv »2 p, v R dT v 3p~ R ' dT p dv ~~ R D'où la relation du dT dp . dT dp dv ~ Si dans lo premier membre on effectue la simplification, on aurait (+1), ot non (—1). Mais dans cette égalité les dérivées partielles sont calculées avec
■172 OH. II. NOTION DE DERIVEE. -APPLICATIONS dus hypothèses différentes: pour •==■ on suppose p constant; 37' . , pour -g— on suppose » constant ; pour -~- on suppose T constant. C'est pourquoi on ne peut pas faire cette simplification. Désignons par Au l'accroissement total de la fonction obtenu lorsque x et y varient simultanément : Aa=f(x + Ax, y + Ay) — I (x, y). En ajoutant et en retranchant 1(x,y + Ay), il vient Au = lf(x + Ax, y+Ay)-f(x, y + Ay)]+[f(x,y + Ay)-f(x,y)}. Le premier terme représente l'accroissement de u pour la valeur constante (y |- Ay) de la variable y, tandis que le second représente l1 accroissement de u pour la valeur constante x. Supposons que / (x, y) est définie dans un certain domaine B, que le point (x, y) se trouve à l'intérieur de B et que Ax et Ay ont été choisis tellement petits par leur valeur absolue qu'un rectangle au centre (a;, y) et à la longueur des côtés égale à 2 I Ax j et 2 | Ay \ est situé également à l'intérieur dei?. Supposons en outre crue/ (x, y) a des dérivées partielles à l'intérieur de B. En appliquant la formule de Lagrange à chacun de ces accroissements faisant partie de Au, ce qu'on peut faire parce que dans chaque cas, une seule variable indépendante varie, il vient : ' Au = f'x(x + $Ax, y + Ay) Ax + f'v(x, y + Q^y) Ay, où 0 et 0t sont compris entre zéro et un. En supposant continues les dérivées partielles y et y, nous pouvons dire que lorsque àx et Ay tendent vers zéro, le coefficient do Aa; tendra vers f'x (x, y) tandis que le coefl'icient de Ay tendra vers f'u (x. y), c'est pourquoi Au = \fx(x, y) + e| Ax + [f'y (x, y) + e,) Ay ou Ai4=/i(ar, y)Ax+f'!l(x, y) Ay + eAx + e^y, (1) où b et e, sont infiniment petits en ruGme temps que Ax- et Ay. Celte formule est analogue à: Ay = y'Ax + e,Ax, que nous avons démontré dans le cas d'une fonction de variable indépendante [11-1-6L Les produits sAx et SiAj/ seront des infiniment petits d'oi'dre supérieur par rapport à Ax et Ay.
EI-4, FONCTIONS EB DEUX VAIUABL15S 173 Rappelons que dans les raisonnements précédents nous avons supposé non seulement l'existence mais aussi la continuité des dérivées partielles '■£- et -^ dans un certain domaine contenant le point (*> y)- Remplaçons dans la somme des deux premiers termes du second membre de (1), Ax et A^ par des nombres arbitraires dx et dy (différentielles des variables indépendantes). Ainsi on obtient: du = fx(x, y)dx + f'y {x, y) dy, ou du^^dx + ^dy, (2) qui porte le nom de différentielle totale de la fonction u [11-1-6]. Etant donné les propriétés déjà indiquées de e.àx et de e.[ky, on peut dire que pour lespetites valeurs de | dx \ et | dy \ la dlffêrenlielle totale du. est une valeur approchée de Vac-crovssemenl total Au qui correspond aux accrolisemenls dx et dy des variables indépendantes [ÏM-61. Par ailleurs, il est évident que les produits -^ dx et ~ dy donnent une valeur approchée des accroissements Axu et Ayu et, donc, pour des accroissements petits des variables indépendantes, l'accroissement total de la fonction est approximativement égal à la somme de ses accroissements partiels Au du-— àxU-j- AyU. L'égalité (2) exprime une propriété importante d'une fonction de plusieurs variables indépendantes que l'on peut appeler la propriété de « superposition des petites actions ». Les effets conjugués de plusieurs actions petites Ax et Ay peuvent être remplacés avec une précision suffisante par la somme des effets de chacun d'eux. IÏ-4-3. Dérivées des fonctions composées et des fonctions implicites. Supposons maintenant que la fonction u — f (x, y) dépende par l'intermédiaire de x et de y d'une variable indépendante t, c'est-à-dire supposons que x et y ne soient pas des variables indépendantes mais des fonctions de la variable indépendante t et calculons la dérivée -£ de u par rapport à t. Si la variable indépendante t subit un accroissement Ai, les fonctions x et y subiront un accroissement Ax et Ay et u, un accroissement Au : Au — f(x + Ax, y + Ay)—f{x, y).
174 CH. Iï. NOTION DE DBRIVfiB. APPLICATIONS Nous avons vu 111-4-2) que l'accroissement peut être mis sous la forme Azi = f'x(x + QAx, y + Ay) &x + fv (x, y + 0jAy) Ay. Divisons les deux membres de cette égalité ,par At: ■g— /i (x + QAx, y + Ay) ±L + /' (x, y + etA,j) ^ • Nous avons supposé que x et y admettent une dérivée par rapport à t et donc seront, à plus forte raison, des fonctions continues de t. C'est pourquoi lorsque At tend vers zéro, Ax et Ay tendent également vers zéro vu la continuité supposée de j- et de y , l'équation écrite deviendra en passant à la limite Cotte égalité exprime la règle de différeniiation d'une fonction composée de plusieurs variables. Supposons, en particulier, que la variable x joue le rôle de la variable indépendante t, c'est-à-dire que la fonction u^=f(x, y) dépeud d'une variable indépendante x directement et par l'intermédiaire de la variable y qui est une fonction de x. Etant donné Ht que j^ = 1, nous obtenons en tenant compte de (3); £-£(*.»)+A <*,¥)|p (4) La dérivée -r~ est appelée te dérivée totale de u par rapport à x par opposition à la dérivée partielle fx {x, y). La règle de différentiation des fonctions de fonction s'applique pour trouver te dérivée d'une fonction implicite. Supposons que l'équation F(x,y) = 0 (5) définisse y comme fonction implicite de x ayant la dérivée y' = <p'(x). En faisant y — cp (x) dans (5), nous devrions obtenir l'identité 0 = 0 car y — <p (x) est une solution de l'équation (5). Nous voyons de la sorte que la constante nulle doit être considérée comme une fonction de fonction de x qui dépend de x directement et par l'intermédiaire de y = cp (x).
II-5. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES BE DËRIVfiE 175 La dérivée par rapport à x do cette constante doit être nulle ; en appliquant la règle (4) nous obtenons: F's(x, y)+F-y(x, y)y'^0, d'où P'xfa v) y ~~ P'v(*, y)- L'expression, ainsi obtenue, pour y' peut receler aussi bien x que y, et si on veut obtenir l'expression de y' uniquement en fonction de la variable indépendante x, il faudra résoudre l'équation (5) par rapport à y. 11-5. Applications géométriques de la notion de dérivée II-5-1. Différentielle d'un arc. On montrera en calcul intégral comment trouver la longueur d'un arc de courbe, on obtiendra l'expression de la différentielle de la longueur d'un arc et l'on démontrera que le rapport d'une corde à son arc tend vers l'unité, lorsque les deux extrémités de l'arc so rapprochent indéfiniment pour former un point. Soit une courbe y = f (x) donnée et nous allons chercher la longueur d'un arc de la courbe mesuré dans un certain sens à partir d'un point A donné de la courbe (fig. 73). Soit s la longueur de l'arc AM joignant le point A au point variable M. La grandeur s de même que l'ordonnée y est fonction de l'abscisse x du point M. Si le sens AM coïncide avec l'orientation choisie sur la courbe, on a {> 0, et dans le cas contraire s <. 0. Soit M (x, y) et N (x + + Aa;, y -h &.y) deux points de la courbe et soit As la différence de longueur des arcs AN et AM, c'est-à-dire l'accroissement delà longueur de l'arc lorsqu'on passe de M en N. La valeur absolue de As est la longueur de l'arc MN prise avec lo signe (+). On voit sur le triangle rectangle *■* Fig. 73 d'où ou bien {MNf = Aa? + Ay*, {MN)* , /Ay\3 As» ~ a "r { Ax ) (-54'(fc)'-^ (£-)'■
176 CH. Il- NOTION Tili IJÉRVVÉE. APPUCATIOKS La tangente MT, si elle existe, est la position limite de la sécante MN lorsque N tend vers M le long de la courbe, c'ost-à-dire lorsque Az->- ± 0. En passant à la limite dans l'égalité précédente (on suppose l'axistence de la tangente) et en tenant compte de ce que, d'après ce qui a déjà été dit, \-t— ) -*■ 1, nous avons: soit £-±VT+?*. (i) Nous devons prendre le signe (-|-) si s croît avec x et le signe (—) si s décroît lorsque x croît. Pour préciser supposons que nous sommes dans le premier cas (représenté sur la fig. 73). Il résulte de (1) que ds=V l + y'*d» ou, comme j/' = ^t, ds=Vdx* + dy», c'est-à-dire d&^dstP + dy*. (2) Si le radical est considéré comme positif, on obtient la valeur arithmétique de ds. La formule (2) est, au fond, une autre expression de (1). Comme nous verrons par la suite, elle est très pratique. On étudiera plus en détail la longueur de l'arc au paragraphe [1II-3-31. Le paramètre naturel pour déterminer les positions du point M sur la courbe est la longueur s de l'arc A M. On peut prendre cette grandeur s pour variable indépendante et les coordonnées (x, y) de M seront des fonctions de s: z-'P(s). »=*(*)■ Nous parlerons plus en détail des courbes données sous forme paramétrique au paragraphe 111-5-51. Nous allons expliciter la signification géométrique des dérivées de x et de y par rapport à s. Supposons que le point N est disposé de telle façon que le sens de l'arc MN coïncide avec le sens pris sur la courbe, c'est-à-dire que As > 0. Lorsque N tend vers M, la direction de la sécante MN donne à la limite la direction déterminée do la tangente au point M. Cette direction de la tangente sera dite sens positif de la tangente. Elle dépend du sens positif de la courbe. Soit at l'angle formé par MN avec le sens positif de l'axe OX. L'accroissement Ai de l'abscisse x est la projection du segment MN sur l'axe OX, par suite:
U-5. APPLICATIONS <H50MSTIUQO.ES DE IjEfUVEB 177 et dans cette égalité MN est considéré comme positif. En divisant les deux membros de cette égalité par la longueur de l'arc MN soit As, nous avons A* As » Par hypothèse. As > 0, c'est pourquoi lorsque N tend vers M, le rapport l^Aa;2 -f ày^/às tend vers (-M) et l'angle qt tond vers l'angle a formé par le sens positif de la tangente MT avec le sons positif de l'axe OX. A la limite l'équation devient cos es = ds (3) (4) De même, en projetant MN sur l'axe W, il vient 81IKX-.&.. os 11-5-2. Convexité, concavité, courbure. On a représenté sur les fig. 74 et 75 des cas de convexité et de concavité de courbes tournées du côté des ordonnées positives. Une même courbe y = / (x) peut, bien sûr, être formée de parties convexes comme de parties concaves (fig. 76). Les points, qui sépa- + X -*-x Fig. 74 Fig. 75 rent tes parties convexes d'une courbe des parties concaves, sont des points d'inflexion. Si l'on se déplace sur une courbe dans le sens des x croissant et si l'on considère les variations de l'angle a formé par Ja tangente et le sens positif de l'axe OX, on voit (fig. 76) que sur les parties convexes cet angle décroît tandis que sur les parties concaves il croît, tg a, c'est-à-dire /' (x), présentera la même variation car lorsque a croît (décroît), tg a lui aussi croît (décroît). Mais les intervalles où /' (a) décroît sont ceux où la dérivée de cette fonction est négative, c'est-à-dire où /" (x) < 0 et les intervalles où /' (x) croît sont ceux où f" (x) > 0. Nous avons ainsi le théorème : La courbe présente une convexité vers les ordonnées positives dans les intervalles où, f" (x) < 0 et une concavité dans les intervalles où f" (x) >• 0. Les points d'inflexion sont ceux où, f (x) change de signe, 12-2SI
178 0H' H. NOTION DE DÉRIVÉE. APPLICATIONS A partir de ce théorème, en raisonnant comme nous l'avons déjà fait [II-3-2J, nous obtenons la règle pour trouver les points d'inflexion. Pour trouver les points d'inflexion d'une courbe, il faut trouver les valeurs de x pour lesquelles f (x) s'annule ou n'existe pas et étudier le-i changements de signe de f (x) lorsque x passe par ces valeurs, en utilisant la table suivante : /"(*) point d'inflexion + - concave convexo a. Convexe concave pas de point d'inflexion - - convexe + + concave La représentation la plus naturelle de la déformation d'une courbe s'obtient en examinant les variations do l'angle a compris entre la tangente et l'axe OX lorsqu'on se déplace le long de la y,i r^j Convexe 7là Concave Infttgttw Figf. 76 Fig. 77 courbe. De deux arcs de courbe de même longueur As la plus incurvée sera celle dont la tangente tournera le plus, c'est-à-dire celle pour laquelle l'accroissement Aot sera le plus grand. Ces considérations nous conduisent à la notion de courbure moyenne de As et de courbure en un point donné : la courbure moyenne de l'arc As est la valeur absolue du rapport de l'angle A<x compris entre les tangentes aux extrémités de l'arc à la longueur as de l'arc. La limite de ce rapport lorsque As tend vers zéro est la courbure de la courbe au point considéré (fit 77)- De sorte que la courbure C s'écrit: C = âa. Mais tgcc est la dérivée première y', donc a = arctgî/',
U-6. APPL1CAT10KS GEOMETRIQUES DES DÊRIVBE |7g d'où en diîférentiant par rapport à a; la fonction de fonction arc tg y' i Mais nous venons de démontrer que ds=±:yi + jj'idx. En divisant dot. par ds, on obtient l'expression définitive de la courbure : Sur les parties convexes il faut prendre le signe (—) tandis que sur les parties concaves il faut prendre le signe (+) ; ainsi C sera toujours positif. Aux poiDts de la courbe où soit i/ soit y" n'existent pas, il n'y a pas non plus de courbure. Au voisinage des points où y" s'annule la courbure devient nulle et la courbe tend vers une droite. Ceci se produira par exemple au voisinage des points d'inflexion. Supposons que les coordonnées x, y des points de la courbe s'expriment au moyen de la longueur de l'arc s. Dans ce cas, nous avons vu que : dx . àjl cosa = T~, sin a = -r~. as ds L'angle a sera aussi une fonction de s, et en dérivant par rapport à s les égalités écrites, nous avons : . dot d3x da. dhj — sin a ~v—= -j-s-> cosa—7— = -3-5-. ds as* ' ds ds* En élevant au carré et en additionnant ces deux égalités, il vient: \ ds) \ds* ) ~T~\dsZ ) ' d'où L'inverse delà courbure de C : -g s'appelle le rayon de courbure. D'où pour le rayon de courbure R on aura, en vertu de (5), l'expres- 12»
180 CH. ÏI. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS si on suivante i soit a-ljLLj:^, (6) ff= * 9t on prend la valeur positive de la racine. Dans le cas d'une droite y est un polynôme du premier degré en x et, par conséquent, y" est Identiquement mille, c'est-à-dire v * Fig. 78 Fig. 79 que tout le long de la. droite la courbure est nulle et le rayon de courbure est infini. Dans le cas d'un cercle do rayon r il est évident que (fig. 78) : As = rAa et R=lim-r^ = r, c'est-à-dire que le rayon de courbure est constant tout le long du cercle. Par la suite nous verrons que seul le cercle présente cette propriété. Notons que les variations du rayon de courbure no sont pas aussi sensibles que celles delà tangente. Examinons une ligne formée d'un segment de droite A fi et d'un arc de cercle BC tangent au segment au point B (fig. 79). SmAB le rayon do courbure est infini, sur BC il est égal au rayon r du cercle, et au puinl ti il présente une discontinuité, alors que la direction de la tangente varie de façon continue. On explique ainsi les secousses des wagons dans les virages. Supposons que la vitesse v des wagons reste constante. On soit do la mécanique que la force sera dirigée suivant la normale à la trajectoire et que son intensité sera m —, où m eat la niasse du corps en mouvement et R le rayon de courbure de la trajectoire. On voit alors qu'aux points où 11 y a discontinuité du rayon de courbure il y aura discontinuité de la force, d'où apparition de secousses. II-5-3. Asymptotes. Passons maintenant à l'étude des branches injinies des courbes où l'une des coordonnées x on y ou les deux ensemble croissent indéfiniment. L'hyperbole et la parabole nous donnent des exemples de courbes à branches infinies.
11-6. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES BB DaRrVBB J81 L'asymptote d'une courbe à branche infinie est une droite telle que la distance des points de la courbe a la droite tend vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment sur la branche infinie. Montrons d'abord comment trouver les asymptotes d'une courbe qui sont parallèles à l'axe OY. L'équation d'une telle asymptote doit être de la forme x = c, où c est une constante; dans ce cas en se déplaçant sur la branche infinie x doit tendre vers c, ot y vers l'infini (fîg. 80). Nous ob tenons ainsi la règle suivante : Toutes les asymptotes de la courbe parallèles à l'axe OY peuvent être obtenues en trouvant les valeurs x = = c telles que lorsqu'on s'en approche, f (x) tende vers l'infini. Pour déterminer comment la courbe est disposée par rapport à l'asymptote il faut déterminer le signe de f(x) lorsque x tend vers c à droite et à gauche. Passons maintenant à la recherche d'asymptotes non parallèles à l'axe OY. Dans ce cas l'équation de l'asymptote doit être de la forme il = «l + 6, Umffâ"'*'! ilimftx)=+m ri«oo\ lur. Umtlz)-o°\ lU/7ifii)'-i Fjg. 80 où \ et t[ sont les coordonnées de l'asymptote tandis que x, y sont celles du. point courant de la courbe. Soit w l'angle compris entre l'asymptote et le sens positif de l'axe OX. Soit MK la distance du point de la courbe à l'asymptote et MKt la différence des ordonnées de la courbe et de l'asymptote pour une même valeur de l'abscisse x (fig. 81). On voit sur le triangle rectangle que i**iHJ§r(-**). donc, la condition \imMK=Q peut être remplacée par HmAf ^, = 0. (7) Dans le cas où l'asymptote n'est pas parallèle à l'axe OY, en se déplaçant sur la branche infinie correspondante, x tend vers l'infini,
182 CH. II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS En tenant compte de ce que MKt est la différence des ordonnées de la courbe et de l'asymptote pour une même abscisse, on peut mettre la condition (V) sous la forme: lim\f(x) — ax—b] = 0, (8) d'où les valeurs de a et de b. *~X Fig. 81 Fig. 82 La condition (8) peut être mise sons la forme: mn^riM-a-i-uo. Mais le premier facteur x tend vers l'infini, c'est pourquoi 1' expression entre crochets doit tendre vers zéro : hm i-i-i— o — — — lim -Li-i- — « = 0, c'est-à-dire a = iim /<*) Ayant trouvé ¢, on peut obtenir 6 à partir de la condition principale (8) qui peut être mise sous la forme : b = \im\f(x)— ax\. X-*ao Ainsi, pour que la courbe ait une asymptote non parallèle à l'axe OY, il faut et il suffit que lorsque l'on se déplace sur la branche infinie x croisse indéfiniment et qu'existent les limites: fl = limiIïL. b=lim[f(x)-ax), et alors Vêqualion de l'asymptote sera: tl = o| + /;.
11.». APPLICATIONS GBOMfiTRIQUES DE DBR1TEË 183 Pour étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote, il faut étudier séparément le cas où x tend vers (+°°), et celui où il tend vers (—oo), et dans chaque cas il faut déterminer le signe de la différence /(*)_(«r + 6). Si clic est positive, la courbe est au-dessus de l'asymptote; si ello est négative, la courbe est au-dessous de l'asymptote. Si cette différence ne garde pas un signe constant lorsque x croît indéfiniment, la courbe oscille autour de l'asymptote (fig. 82). II-5-4. Construction de eourbes. Indiquons maintenant la manière de procéder pour construire la courbe représentative de la fonction de façon plus complète que l'exposé que nous avons déjà fait III-3-3). Il faut : a) déterminer l'intervalle de variation de la variable indépendante x ; b) déterminer les points où la courbe coupe les axes de coordonnées; c) déterminer les sommets de la courbe; d) déterminer la convexité, la concavité et les points d'inflexion de la courbe ; e) déterminer les asymptotes à la courbe; f) déterminer éventuellement la symétrie de la courbe par rapport aux axes de coordonnées. Pour obtenir un tracé plus précis de la courbe, il est utile, en plus, de calculer les coordonnées d'un certain nombre de points de la courbe, ce qui est facile à réaliser à partir de l'équation. 1. Traçons la courbe représentative de («-3)» y=- {x-i) ■ a) x varie dans l'intervalle (— oo, -f oo). 9 b) Si x =■ 0, on a y = — -r-; si y = 0, on a x — 'i, c'est-à-dire que la courbe coupe les axea de coordonnées aux points I 0, — -r I et (3, 0). c) Calculons les deux premières dérivées ' W4(i-l)a ' ' ( ' (i-1)» • En appliquant la règle habituelle, nous aurons les sommets: ud minimum (3, 0) et un maximum (—1, —2),
18<i CH. II, .NOTION DE DBRIVÉB. APPLICATIONS d) 0« volt à partir de l'expression île la dérivée seconde qu'elle est positive pour x > 1 et négative pour x <_ i. c'est-à-diro que dans l'intervalle (1, oo) la courbe est concave ot dans l'intervalle (—00, 1) convexe. II n'y a pas de point d'inflexion car /" {x) no change do sigue que pour x = i et cotte valeur correspond à une asymptote parallèle à l'axe OY, ainsi que nous allons le voir. 0) Pour x — i h devient infini et la courbe e pour asymptote *=t. Cherchons maintenant les asymptotes qui ne sont pas parallèles à l'axe OY: _ 3 ^ M)' , «^ iim ~ Yi—= lim 9 , .. r(*-3)« x~\ ,, -5s + 9 .. ^ x 5 *-»L4(* —1) 4j ^»„ 4(x—1) se-.ooWjL^M « c'esl-iwliro que l'asymptote sera: 1 5 Nous laisserons au lecteur ie soin de chercher la disposition de ta courbe par rapport à l'asymptote. f) Il n'y a pas do symétrie. Eu reportant tous les résultats obtonus ou aura la courbe (fig. 83). 2. Etudions les courbes: j, = o(sS—x*){5a?-x*), 2^=0(03-s3)3, (c<0), qui donnent ta forme d'une poutre pesante déformée sous l'action de son poids La promièro équation correspond au cas où les extrémités peuvent tourner librement, tandis que la seconde correspond au cas où elles sont fixées. La longueur de la poutre est 2a, l'origine clés coordonnées est au milieu et t'axe OY est la verticale dirigée vers le haut. a) II est évident que seul l'intervalle do variation de x (—a, +a) nous intéresse. b) En supposant x = 0, on a y = 5 ca* et j/i = ca*. c'est-à-dire que dans le premier cas la flèche de la poutre est 5 fois plus grande que dans ie second. Pour x = ± a, y — y, — 0, ce qui correspond aux extrémités. c) Calculons les dérivées y'=— Acx(3a* — x*), y"=* — i2<i(a* — x3), y;= —Acx (a2—z2), vl= —ic (¢3-33,-2). Dans les deux cas dans l'intervalle (—<z, +a) il y aura un minimum pour x — 0 qui correspond au fléchissement du milieu de la poutre que nous avons mentionné plus haut. d) Dans le promier cas, y" > 0 dans l'intervalle (—e, +a), c'est-à-dire que la poutre présente une concavité orientée vers le haut. Dans le deuxième
II-6. APPLICATIONS OEOMETR1QUES DE nERlVEE 185 cas ul s'annule pour x — ±a/"l/3 et change de signe, c'est-à-dire que les points correspondants sont 1ns points d'inflexion de la poutre. e) Il n'y a paa de branches infinie». f) Dana les deux cas l'équation ne change pas si on remplace x par (—x), c'est-à-dire qm dans les deux cas la courbe est symétrique par rapport à i'axo 0 Y. Sur la fig. 84 on a représenté les deux courbes. Pour simplifier nous avons pris a — 1, c — — i; en fait, la longueur de la poutre est uetablemcnt plus -/ « \ ° -1 -2 \'3 V -S 0 - - < 1. Fig. 83 Flg. 84 grande que sa flèche, c'est-à-dire que a est beaucoup plus grand que c et I» forme de la courbe sera quelque peu différente (laquelle?). Nous proposons au lecteur de chercher les points d'inflexion de la courbe- et de comparer avec la fig. 60 où on a représenté le graphique de cette fonc tion. II-5-5. Définition paramétrique d'une courbe. En recherchant l'équation du lieu géométrique des points ayant une propriété donnée, il n'est pas toujours commode, ou même possible, d'exprimer cette propriété directement, sous forme d'une relation liant les coordonnées x, y du point courant. Dana de tels cas, il est pratique d'introduire une troisième variable, auxiliaire, au moyen de laquelle on peut exprimer séparément l'abscisse x et l'ordonnée' y de tout point du lieu géométrique. L'ensemble des deux équations ainsi obtenue » = «P(*). 1/ = ^(0 <9> peut servir pour construire et étudier la courbe, car pour chaque- valeur de t il définit la position du point correspondant de la courbe. Un tel moyen de se donner une courbe est dit paramétrique,. et la variable auxiliaire t le paramètre. Pour obtenir L'équation
486 CH. II. NOTION DE DfilUV.BE. APPLICATIONS de la courbe sous la forme habituelle (implicite ou explicite) d'une relation entre x et y, il faut éliminer te paramètre t des équations (9), ce que l'on peut faire, par exemple, en résolvant Tune des équations par rapport à t et en portant la valeur ainsi obtenue dans l'autre. On rencontre souvent les courbes données en. coordonnées paramétriques en mécanique, lorsqu'on étudie la trajectoire d'un point •en mouvement et dont la position dépend du temps t, de sorte que les coordonnées sont des fonctions de t. En déterminant ces fonctions, nous avons la trajectoire sous forme paramétrique. Ainsi, par exemple, l'équation paramétrique d'un cercle de rayon r, dont le centre est en (r-a, yo), sera x=xa+rcost, y = y0 + rs'mt, (10) ■que l'on peut mettre sous la forme : x—z0=rco&t, y~y0 = rs'wt. En élevant au carré et en additionnant les deux équations membre à membre, nous éliminons le paramètre t et obtenons l'équation (habituelle du cercle: (x-x0)* + (y-y0)*=rK De même, il est évident que z = acost, y = bsiut (tl) ■est l'équatiou paramétrique de l'ellipse 0ï T bî — Supposons que y, en tant que fonction de x, est définie par les "formules paramétriques (9). L'accroissement At du paramètre entraîne les accroissements ■correspondants &.x et &.y et, en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction -r^ par At, on obtient l'expression suivante pour ûa dérivée de y par rapport à x: M •soit iy it' (t) ,„. & 7f ■ l"J
11-5. APPLICATIONS aeoMflTRIQUES DE DaRIVÉE |87 formons la dérivée seconde de y par rapport à x : m En appliquant les règles de différentiation d'un rapport UI-1-6], il vient: ... _ âtydx—Pxdy ,,o> y -"" (ite)3 ' [™> Mais d'après (9) : dx = tp'(t)dt, d*x = <p"(t)dt', dy = V(t)dt, d*y = ty"(t)dt*. En portant ces valeurs dans (13) après simplification par dt3, il vient ..»_ y (0^(0-^(0^(0 M/v y ww ■ ( ' Remarquons que l'expression (13) de y" diffère de celle donnée par (3) 1H-2-3J (pour n = 2): car cette dernière est obtenue en supposant que x est une variable indépendante, tandis que dans le cas do la représentation paramétrique (9) c'est t /rui est la variable indépendante. Si x est une variable indépendante, dx est considéré comme constant [II-1-6], c'est- à-dire ne dépendant pas do x, et d*x = d (dx) = 0 est la différentielle d'une constante. Alors la formule (13) se transforme en (15). Pouvant déterminer y' et y", nous pouvons trouver la direction de la tangente à la courbe, la convexité ou la concavité, etc. Comme exempta prenons la courbe représentative de l'équation *3+ï3—Saxy^O (a>0), <16) qui est appelée « iollum de Descartes». Introduisons le paramètre variable t te) que V=tx, (17) ot examinons les points d'intersection de la droite (17) dont le coefficient angulaire t est variable avec la courbe (16). En remplaçant y par te dans (1G), après simplification par œ2, il vient: 3at i+t* ' et (17) nous donne alors ;
[88 CH. II. NOTION DK DERIVEE. APPLICATIONS On a ainsi l'équation paramétrique du fotium de Descaries. Calculons les dérivées de i cl j par rapport ù t: Ga x\ =3a y', =3o (1 + *3) —StH (1-M3)2 d + «3)2 (!+«»)* ' (18> Pour étudier les variations de x et de y divisons l'intervalle (— oo, -)- oo) dans lequel t varie on parties telles que xi et yt gardent un signe constant dans chaque partie et no deviennent pas infinis. Pour cela il faut considérer les valeurs: f=-l, 0,-|=- et f% pour lesquelles ces dérivées s'annulent ou deviennent infinies. Les signes de x't et yt dans ces intervalles s'obtiennent facilement à l'aide des formules (18); en calculant les valeurs de x et y aux bornes des intervalles nous obtenons la tabie ci-dessous: Intervalle t (-co, -1) (-1, 0) ('■w) Wt- >'t) (v-T, +co) x'i + + _L- - - v\ - - + + - x croît de 0 à +co croît de —co à 0 croît de 0 à \rAa. décroît de yrîâ à \r2a décroît de \rïn à 0 if décroît de 0 à —oo décroît de +oa à 0 croît de Û à yr2â croit du y la a y «a décroît de >'4a à 0 mule : D'ofi la conrbt; représentée sur la Kg. 85. Pour calculer If coefficient angulaire de la tangente nous avons la tor- Vj_ t, [2-t3) (19>
II-S. APPLICATIONS OEOMÉTRlQOES DE DUKIVJiE (89 Notons que x et y 3'aunulcnt pour ; «= 0 et t = oo et, comme on voit d'après la représentation, la courbe se coupe elle-même à l'origine des coordonnées. La formule (19) nous donne . = 0 pour t = 0, ,. i(2 — t3) .. = lim—£: i-=.lim (-H» ol.ï _|«1 ' «H 2 (t-'3) "'^(è-O =oo pour *=co, ^ 0 2 *-* c'est-à-dire quo les doux branches qui se coupent mutuellement à l'origine sont tangentes l'uno à l'axe OX, l'autre à OY. pjg> 55 Lorsque t tend vers (—1), x et y tendent vers l'infini et la courbe a une branche Infinie. Déterminons l'asymptote: le coefficient angulaire de l'asymptote ost égal h .. y .. 3«i'(l+t3) , lim •-= Iim „-,'.'..■ = —1, *_*«. * t._i 3at (1 + 2S) b= lim (jr4-a;)= hm —, .'., = 11m ,_>_iw i-_t 1-MS ;—1 6a2_f3a=_ 3i* "' c'est-à-dire quo l'équation de l'asymptote sera : y=—x—a oh z-|-îr-.|-a = 0. II-5-6. Equation de Van dor Waals. Si on considère qu'un gaz vérifie exactement les lois de Boylc-Mariolte ot de Gay-Lussac, on obtient la relation suivante entre la pression du gaz p, son volume v et sa température absolue T: pv^-IÎT, où Jî est une constante^ égale pour tous les gaz si on étudie une « moléctile- gratnmo » du gaz, c'est-à-dire un poids do gaz égal à son poids moléculaire. Les gaz réels n'obéissent pas exactement à cette relation, et Van dor Waals a donné une autre formule qui décrit do façon plus précise lo phénomène. Cette formule est de la forme : (p+pr)o>-*>=w, où a et 6 sont des constantes positives qui dépendent de la nature du gaz. En résolvant l'équation par rapport à p, il vient: _ HT a_ P v — b t-« (20) Etudions la relation entre p et t; en considérant que T est constant, c'est- à-dire le cas des variations isothermiques du gaz. Calculons la dérivée première de p par rapport à v. àp_ HT Zb t r2a(o-b)* „1 de (p_6)a"l" a» (H_6)2 L v3 J (21)
■190 CH. FI. NOTION DE DÉRIVËE. .APPLICATIC» Nous n'oiaminerons que les valeurs de v supérieures ù 4. En ce qui concerne le sons physique de cette condition et les courbes que nous obtiendrons, le le&lftur devra se reporter à un cours de physique. En annulant cette dérivée, il vient frC-»)' -JT-Q. (22) Etudions les variations du premier membre de cette équation lorsque v varie de 6 à (-J-oo), pour cela calculons sa dérivée par rapport à y, en tenant compte de ce que, par hypothèse, RT est constant: r 2a (g—jpg y „ 2(y^b)v*~Zv*(v—6)» 2a (v~6) (v—36) L JS J -*" 55 Jï ' d'où on voit que cette dérivée est positive si b < v< 34 et négative pour v > 36, c'est-A-dîro que le premier membre de (22) croît dans l'intervalle (6, 36) et décroît lorsque v continue à croître, c'est pourquoi, pour o — 36, il admet un maximum égal à Par substitution directe on voit que pour «=6etu=-|-oolo premier membre de (22) deviont (—HT) et, par conséquent, il est négatif. Si le maximum est aussi négatif, c'est-à-dire si le premier membre de (22) est toujours négatif, et dans ce cas on voit sur (21) •p est toujours i Par contre, si que -p est toujours négatif, c'est-à-dire que p décroît lorsque v croît. le premier membre de (22) admet un maximum positif pour v = 36, et l'équation (22) a une racine tu dans l'intervalle (6, 36), et l'autre racine 1¾ dans l'intervalle (36, -(-00). Lorsque v passe par la valeur vlt le premier membre de (22), et par suite —•-, passe dos valeurs négatives aux valours positives, c'est-h-dire qu'à cette valeur do v correspond un minimum de p. On voit de même qu'à la valeur de y =■ y2 correspond un maximum de p. Si enfin «•-&. (*) le maximum do premier membre do l'équation (22) est nul et les valeurs de v = »i et de v = v2 coïncident et ont pour valeur commune v = 36. Lorsqu'on passe par cotte valeur, le premier membre de (22) et -~ restent négatifs, c'est- à-dire que » décroît continûment avec la croissance de v, et au point v = 36 correspond le point d'inflexion C de la courbe. Au point d'inflexion de coordon-
[1-6. APPLICATIONS GEOMETRIQUES DE DERIVEE 191) nées v = i>c et p—pc Correspond la température rc déterminée à partir de- la condition (23). Ces valeurs sont ditos critiques (respectivement: volume- critique, pression critique et température critique); sur la fig. 86 on a représenté- la forme des courbes correspondant aux trois cas considérés. II-5-7. Points singuliers des courbes. Considérons l'équation d'une courbe, donnée sous forme implicite : P(x, 1/)^0. (24) Le coefficient angulaire de la tan- ?;ente à cetto courbe ost défini par la ormiile [II-4-3J : Jjfc. S) (25) où (»■, y) sent les coordonnées du point de tangence, examinons le cas particulier où F (x, y) est un polynôme entier en «-. et y. Danscecas la courbe (24) ost dite algébrique. Las dérivées partielles Fx {x, y) ot Fy (x, y) auront dea valeurs définies, si on remplace x et y par les coordonnées d'un point quelconque Ht do la courbe (24), et l'équation (25) nous définit le coefficient angulaire de la tangente dans tous les cas sauf lorsque les dérivées partielles F'x (z, y) et F'y {x, y) s'annulent au point de coordonnées (x, y). Un tel point M est appelé point singulier de la courbe (24). Un point singulier de la courbe algébrique (24) est un point qui l'équation (24) et les équations Fig. 86 Pour l'ellipse *■;(*, y) = 0, F'v{x, y) = 0. X* y* vérifie- (26): la condition (26) donne x = y = 0 mais le point (0, 0) n'est pas sur l'ellipse, c'est pourquoi on dira quo l'ellipso n'a pas de point singulier. Il on est dt c'est pourquoi on dira quo l'ellipso même de l'hyperbole et de la parabole. Bans le cas du folium do Descartes: de- les conditions (26) deviennent: 3x2—3aï = 0 et 3y3~ 3az = 8, et on voit quo le point (0, 0) est un point singulier de la courbe. En étudiant le fnlium de Descartes nous avons montré que In courbe se coupe elle-même à- l'origine des coordonnées et que les deux branches de la courbe qui se coupent
102 CH, II. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS en ce point y ont des tangentes distinctes: pour l'une des branches la tangent* ■est OX tandis que pour l'autre c'est OY. On appelle point nodal d'une courbe un point singulier où les différentes branches de la courbe qui se coupent ont des tangentes distinctes. De la sorte l'origine des coordonnera est un point nodal pour le folium de Ocscartes. Montrons sur des exemples quelques typos de points singuliers des courbes algébriques. 1. Examinons la courbe y*—a*3 = 0 (o>0), <jul porte le nom de parabole semi-cubique, II est facile do voir que les coordonnées (0, 0) annulent le premier membre de cotte relation et ses dérivées partielles par rapport à s et y. Il en résulta que l'origine des coordonnées est un point singulier pour cette courbe. Pour «tudior la forme de la courbe au voisinage de ce point singulier construisons •celte courbe. Son équation sous formo explicite sera: f/ = =b Vax*. Pour construire la courbe il suffit d'étudier la partie qui correspond au eigne (+) car la partie correspondant au signe {—) sera symétrique à la premiure partie par rapport a l'axe OX. 11 résulte de l'équation que x nu peut être négatif ■et que lorsque x croît de 0 à (-(- oo), y croît aussi do 0 à {+ oa). Déterminons les doux premières dérivées: Pour x = 0 on a aussi y' ■= 0 ; si on tient compte aussi do ce que x ne peut tendre vers zéro que par valeurs positives, on peut dire quo l'axe Oa sera tangout à la courbe à droite à l'origine do coordonnées. De plus ou voit que pour la partie étudiée de la courbe y" garde un signe constant (+) dans l'intervalle {0, +oo), c'est-à-dire que la concavité de la partie de la courbe étudiée est tournée vers les ordonnées positives. Sur la fig. 87 on a représenté la courbe étudiée (pour a = 1). A l'origine on a deux branches de courbe; elles ont une même tangente au point de tangence ■et sont situées de part et d'autre de leur tangente commune au voisinage du poini singulier (dans le cas examiné, partout). Un tel point singulier s'appelle point de rehaussement de première espèce. 2. examinons la courbe: {y —x2)Z — ¢5 = 0. 11 est facile de vérifier que l'origine des coordonnées est un point singulier ■do la courbo. L'équation de la courbe sous forme explicite sera: y — x* ± T/P. On voit que x peut varier do 0 à (-)- oo). Calculons les deux premières dérivées: if' = 2*±|-VP, tf"=2±^Vî, et étudions séparément les doux branches correspondant respectivement aux signes (-I-) et (—).
11-6. APPLICATIONS QEOMKTBIQDE8 DE DERIVgE 193 Notons tout d'abord q«e dans les doux cas pour x = 0 et y' = 0, comme dans l'exemple précédent, l'axe OX sera tangent aux deux branches de Ja courbe à droite. En étudiant los deux branches de la courbe de la manière habituelle, on obtient les résultats suivants : sur la première branche » croît de 0 à (-f- oo) lorsque x croît de 0 à (+oo) et la courbe est concave; la deuxième brancha a un soramot (maximum) pour x =» — , un point d'inflexion pour x = ^ et la courbe cnupo l'axe OX pour x = i. Ceci étant, on pout tracer la courbe représentée sur la fig. 88. 225 *-X Fig. 87 Fig. 88 A Vorigine des coordonnées se rencontrent sans se continuer deux branches de la courbe, elles ont en ce point «ne tangente commune et sont situées du même côté de la tangente au voisinage du point singulier. On appelle un tel point un point de rebrouuement de deuxième espèce. 3. Etudions la courbe y*—x* ;-3:6=0. L'origine est un point singulier de la courbe. Sous forme explicite l'équation de la courbe sera: y = ±x3 Vl — z\ L'équation sous formo implicite ne contient que des puissances paires de x cl y, c'est pourquoi les axes de coordonnées seront des axes de symétrie de la courbe et il suffit d'étudier la partie de la courbe correspondant aux valeurs positives de x et de y. Tl résulte do l'équation de la courbe sous forme explicite que x peut varier do (—1) à (+1). Bornons-nous à calculer la dérivée première: (/' = g (2 — 3i°) Pour x = 0 on a y = y' —■ 0, c'est-à-dire qu'à l'origine la tangente coïncide avec l'axe OX, et pour x = 1 on s y = 0 et y' = oo, c'est-à-dire qu'au point (1, 0) la tangonte est parallèle à l'axe OY. Avec .les méthodes habituell s on trouvera que la courbe a. \m sommet pour -x •= l/ -5-. En tenant compte de ce 13-281
194 CH. II. NOTION DE DÉRIVÉE, APPLICATIONS qui a déjà été dit et en particulier de la symétrie de la courbe, on aura la courbe représentée sur la fig. 89. A l'origine les deux branches de la courbe correspondant *~X aux signes (+) et (—) devant le radical sont tangentes l'une à l'autre. Un tel point singulier s'appelle point de tangence. 4. Examinons la courbe y* — ^(Z —1) = 0. L'origine est un point singulier. L'équation explicite de la courbe sera y=± 1/^(3-1). En remarquant que le terme sous le radical no peut pas êtrenégatif, on en déduit que soit x — 0, Boit x > !■ Pour x = 0 on a y — 0. Examinons la branclie de S 1 3 2 t 0 -1 -2 -3 -* > ■ f/ ■ A/ *~*i 2 3 if ' Fig. 91 la courbe qui. correspond au signe (+). Loisque x croît de 1 à (+<») y croît de 0 à (-)-°°). On voit d'après l'expression de la dérivée première 3x—2 <[ue pour x = 1, y' devient infini, c'est-à-dire qu'au point (1,0) la tangente est parallèle à l'axe OY. Ln douxiêmo branclw de la courbe correspondant au signo (—) sera symétrique de la brandie étudiée par rapport à l'axe OX. On obtient ainsi la courbe représentée sur la flg. 90. Dans lo cas considéré les coordon-
II-5. APPLICATIONS &60MÉTRIQOES nB DÉRIVÉE (95 nées (lo l'origine 0 (0, Û) vérifient l'équation de la courbe, mais dans son iol- sinage, il n'a a pas d'autres points de la courbe. Vans ce cas le point singulier est un point isolé. Avec les typos de points singuliers quo nous venons d'examiner nous avoua épuisé tous les cas possibles de points singuliers do courbes algébriques, mais il peut arriver qu'en un certain point d'une courbe algébrique coïncident plusieurs types de points singuliers, do mémo type ou de types différents. Les courbes non algébriques sont dites transcendantes. Nous proposons au lecteur do montrer qu'à l'équation y — x\nx correspond la courbe représentée sur la tig. 91. L'origine des coordonnées est un point d'arrêt de la courio. II-5-8. Eléments d'une courbe. Donnons les principales formules liées à la notion de tangente et de courbure d'une courbe, et introduisons quelques notions nouvelles. Si l'équation de la courbe est de la forme »-/(*). (27) le coefficient angulaire de la tangente est la dérivée /' (x) de y par rapport à a: et l'équation de la tangente peut être mise sous la forme: Y-y = y'(X-x) (/ = /'(*)), (28) où (a;, y) sont les coordonnées du point de tangence, tandis quo {X, Y) sont les coordonnées da point courant de la tangente. La. normale à la courbe au point {x, y) de la courbe est une droite passant par ce point et perpendiculaire à la tangente en ce point. On montre en géométrie analytique que les coefficients angulaires de droites perpendiculaires sont inverses en valeur et do signes opposés, c'est- à-dire que le coefficient angulaire de la normale seca ( r ) , et l'équation de la normale peut s'écriro on (X-x) + y'(Y-y) = 0. (29) Soit M un point quelconque de la courbe, T et N les points d'intersection de la tangente et de la normale à la courbe au point M avec l'axe OX. Soit Q le pied de la perpendiculaire menée du point M sur l'axe OX (fig. 92), Les segments QT et QN portés par l'axe OX sont appelés la sous-tangente et la sous-normale à la courbe au point M. Les nombres déterminés qui correspondent à ces segments sont positifs ou négatifs suivant l'orientation des segments 13*
198 CH. II. NOTION nE DÉRTVEE. APPLICATIONS aiir l'axe OX. Les longueurs des segments MT et MN s'appellent la longueur de latangente et la longueur de la normale à la courbe au point M. On les considérera ici toujours comme positives, L'abscisse du point Q de l'axe OX est égale, évidemment, à l'abscisse x de M. Les points T et N sont les points d'intersection de la tangente ot do la normale avec l'axe OX et pour déterminer les abscisses de ces points il faut faire Y = 0 dans les équations de la tangente et de la normale et résoudre les équations ainsi obtenues par rapport à X. Nous obtiendrons ainsi pour l'abscisse de T: (x—M et pour celle A& N: (x + yy')- Il est maintenant facile de déterminer la sous-tangente et la sous-normale : QT = Of~ÔQ^x ^-x= ^-, 1 _ _ y y \ (30) QN=-ON-OQ = xj-yy' — x=rjy'. ) Maintenant, on peut obtenir la longueur de la tangente et de la normale à partir des triangles rectangles MOT et MON : \MT 1M N | = Y M Qi + QN* <= Vy* + yY* = ± y V^ + '/'■ (31) et il faut choisir les signes (=)=) de façon à ce que les expressions du second membre soient positives. Rappelons encore la formule du layon de courbure d'une courbe [11-5-21: fl-±! (32) Désignant par n la longueur de la normale, nous obtenons à partir de la deuxième formule (31): et en portant cette valeur de ]/l +y'2 dans (32), nous aurons l'expression suivante du rayon de courbure : * = =*£-< _ (3¾) Si la courbe est donnée sous forme paramétrique z = <P(*)> ? = ■*(*).
II-5. APPLICATIONS GEOMETRIQUES DE WÎRrVEE 197 les deux premières dérivées y' et y" de xj par rapport à x s'écrivent [II-5-5] : ■ ^ dy ^ >[>'(*), dx q)'(i) ' 2/ „ dïu dx—d*x du _ ip" (<) <p' (<)—V II) ty (i) " — dx* ' ftp' (0|* (33) En particulier, en portant ces valeurs dans la formule (32), nous obtenons l'expression du rayon de courbure pour le cas considéré: (34) 0--,..(^-1½^ _, {l<P'WP-Hf ft)l2la" . , ds ^ d*rjdx—d2xdy "^ ty" (t) <f'U)—y" (t)y'{t) — da ' où. a est l'angle formé par la tangente avec l'axe OX. Si la courbe est donnée sons forme implicite, F (x, j/) = 0, d'après (25), on aura pour la tangente l'équation F'x(x, y)(X-x)+F-v(x, y)(Y-y) = 0. (35) II.5-0. La chaînette. On appelle chaînette la courbe qui pour un choix convenable des axes de coordonnées peut se mettre sona la forme: ■f=y(«M *") (o>0). Cette courbe représente la position d'équilibre d'un fil homogène pesant suspendu à ses deux extrémités. On peut construire facilemont cette courbe en utilisant les règles indiquées [11-5—4{ et on l'a représentée sur la fig. 93, Calculons les deux premières dérivées de y. d'où j,-^(ea_ff-a), |f--è-(^ + r-)-^ (/-g") j.f-j"—2-j-t " (e°+g «f i + »'B-l + - 4 " 4 - "= 4 --«*• En portant cette expression de (1 + y'1) dans la deuxième formule (31), on obtient la longueur de la normale à la courbe:
198 Cil. II. NOTION DE DfiRÏVËK. APPLICATIONS et on portant l'expression de n et y" dans (32r), il vient : yias _VZ „ c'ost-à-dire que fe rajon ife courbure d'une chatnelu est égal à la longueur de la normale MN. Pour * = 0 l'ordonnée y prend sa plus petite valeur y ™= a et ]o point X correspondant est fe sommet. Sur la fig. 93 on a représenté on plus quelques lignes auxiliaires dont nous aurons besoin par la auito. Si on remplace s par (—%), l'équation de la chaînette n'est pas modifiée, c'est-à-diro que l'axe OY est un axo de symétrie de la chaînette icr sur une mouvement par un II-S-10. La cyeloïde. Soit un cercle de rayon a. qui roulo saris glisai droite immobile. Le lieu géométrique décrit lors d'un toi mouvemei ])i>int M fixé sur le cercle s'appelle une cyeloïde. Prenons pour axe OX la droite sur laquelle roulo le cerole ; pour origine des coordonnées prenons la position initiale du point M, lorsqu'il est le point Fig. 94 do tungence du cercle avec l'axe OX ot soit t l'angle dont a tourné le cercle. Soit do plus C !o centre du cercle, N le point de tangenco du cercle avec l'axe OX dans une certaine position, Q Le pied de la perpendiculaire abaissée du Point M sur l'axe OX et II le pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur le diamotro NNt du cercla (fig. 94). Etant donné l'absence de glissement, on a et on peut exprimer les coordonnées du point M qui décrit la cyeloïde au moyen du paramètre l = NCM : a;=GÇ = CW —QN = at — a sin t=*a (<—sin (). tj=QM^WC—RC = a. — aco3t = a{i^cos'l), Ce qui donne la représentation paramétrique do la ejeloïdo. Notons tout d'abord qu'il suffit d'étudier les variations de t dans l'intervalle (0, 2n) qui correspond à une rotation complète du cercle, Après une rotation complète le point M coïncide à nouvoau avec le point de contact 0' du cercle avec l'axe OX mais avec une translation ÔS7 =• 2jta, La partie de courbe obtenue au-delà sera identique à l'arc 00' avec translation de cet arc de 2na
ii-5. applications GB0M8TBKÎUBS de rjEiirvEE 199 à droite, etc. Calculons les deux premières dérivées de s et y par rapport & t: -.a(\— cos*), -—=iJ>'(0=<2Sin«, 1 = osinf, -t-|- = i1)*(0 = ocos«. J -, T }■ (36) Le coefficient angulaire de la tangente en vertu do la première des formulas (33) : . ^ 2sinTrcosT7 , a s»n t 2 2 . t Cette formule donne un moyen simple de construire la tangente à la cycloïde. Joigaons le point Nt au point JW" de la courbe. L'angle MNiN est un angle inscrit correspondant à l'arc NM= t et il est égal à -^-, On obtient à partir du triangle rectangle RMlfi (fig. 94): BMN 1=^-^, tg J?M^1=tg(i—i]=cotg^-. En comparant cette oxnrossion aveo celle de y', on voit que la droite MNi est la tangente à la cycloïde, o'est-à-dire que: Pour construire la tangente à la cycloïde au point M de celle-ci, il suffit de joindre ce point à l'extrémité Ni du diamètre du cercle roulant dont Vautre extrémité est h point de tangenec du cercle avec l'axe OX. La droite MN joignant lo point M à l'autre extrémité du diamètre cité oi-dessus est perpendiculaire à la droite MNt car l'angle NiMN, interceptant un demi-cercle est un angle droit et on peut affirmer quo MN est la normale à la cycloïde. La longueur de la normale n = MN s'obtient directement à partir du triangle rectangle A\MN: n=2asin-jj- , Le rayon de courbure de la cycloïde s'obtient à l'aide de la formule (34) et des expressions (30) ; ^ [a*(l—cosq'H-g^alnat]"/'» a (2—2 cos f)3/s _ = a cos t-a (1 — cos t) — asiu iosin t~ cos*— i = a-23/Hl—cost)I/a=4asin-g. . Dans cotte dernière expression nous n'avons laissé que le signe (-)-), car pour la première branche de la cycloïde test dans l'intervalle (0, 2re) et sin ~g ne peut pas être négatif. En comparant cette expression avec celle de la normale n, nous avons li— = 2n, c'est-a-dire que le rayon de courbure de la cycloïde est égal au double de la normale (AiC^ sur la fig. 94).
200 CH. II. NOTION DE DEKlVEE. APPLICATIONS Si le point M qui décrivait la oyoloïde n'était pas sur le cercla mais à l'intérieur ou à l'extérieur du cerclo, alors au cours do la rotation il décrirait une cycloide raccourcie ou allongée (parfois on donne à ces deux courtes le nom de trockotde). Soit A la distance CM du point AT au centre du cercle roulant, les autres notations restant inchangées. Examinons d'abord lo cas. où h < a, c'est-à-dire Fig. 96 Fig. 97 le cas où le point M est à l'intérieur du cercle (fig. 95). On voit sur la figure que x = 0(5== OW— QJY"= at—h sin t, y = QM=NC-~ flC = a—fteosi. Dans le cas où h > s les équations seront les mêmes mais la oouibe aura a forme indiquée sur ^la fig. 96. U-541. Epicycioïdes et hypocycloïdes. Si le cercle sur la circonférence duquel est fiïô le point M roule non sur la droite OX, mais sur un cercle immobile, on obtient deux classes do courbes importantes: les êpicycloides si le cercle roulant est extérieur et les hypocycloïdes s'il est intérieur à l'immobile. Donnons l'équation de Vépicycloïde. Plaçons l'origine des coordonnées 0 au contre du cercle Immobile. L'aite OX sera dirigé suivant la droite joignant 0 au point X qui est la position initiale du point M, lorsque les doux cercles sont tangents en ce point. Soit] a le rayon du cercle mobile et b celui du cercle immobile, et prenons pour paramètre t l'angle formé par l'axe OX avec le rayon ON du carole fixe mené au point de tangence des cercles, lorsque le cercle mobile a tourné de l'angle <j>. = NCM (tig. 97). Etant donné quo le roulement du cercle se produit sans glissement, on peut écrire arc KN = &rc NM, c'est-à-dire: bt bt = a<f, Ç = — •
11-5. APPLICATIONS GfiOMBTRlQtlES DE DERIVEE On voit m»r la figure que 20t œ=OQ = Oi+£<? = OC cos KOi fob— CM cos SMC^ = (a -(- b) cos i — o cos (H- <p) => (a+ 6) cos i — a cos a-{- 6 U = QM = LC—XC=OCsin KOC-CMsin SMC = = (o+6)sin < — (isin(i-|-(p) = (o + 6)âini—asln^t- t. (37> La oourbe.est formée d'une série d'arcs Identiques qui correspondent à une- rotation complète du cerclo tnobilo, c'est-à-dire a uno augmentation de l'angle (p de 2n et de l'angle t de —j—. Donc, les extrémités de ces arcs correspondent .aux valeurs : 2a rt ian /Œ°' ~t"' ~ ' 2pan '~T~' Pour que nons puissions revenir au point initial de la courbe K, il faut et il suffit qu'une extrémité d'un des arcs coïncide avec K, c'est-à-dire qu'il existe tiers p 2pan des nombres entiers p et g qui vérifient la condition: _ -=2r?«, c'est-à-dire qu'au point R correspond un certain nombre de rotations complètes autour du point O. La condition précédente peut encore s'écrire: -£. .£. b" p - De tels nombres pat q existeront si, et seulement si, a et b sont des segments- commensurables, sinon )o rapport -r- est un nombre irrationnel qui ne peut pas êtro égal au rapport do deux entiers. Il en résulte que l'epicycloïde est une courbe fermée si, et seulement sir les rayons des cercles mobile et, fixe sont des multiples d'une même longueur, sinon la courbe n'est' pas fermée et, partant du point K, elle ne peut jamais y revenir. Cette remarque s'applique également & l'hypocycloïàe (fig. 98) dont l'équation peut être obtenue a partir do celle de l'epicycloïde en remplaçant a par (-a): a = (6—a) eost y = (6—o)sin* , b — a ■> 4-o cos 1, I . b — a ( — nsin t. I a > (38> Indiquons quelques cas particulière. Supposons que dans le cas de l'epicycloïde 6 = o, c «st-à-dire que les rayons des cercles mobile et fixe sont égaux-
202 CH. II. NOTION DE DEKrVÉE. APPLICATIONS Nous obtiendrons dans ce cas une courbe formée d'une seule branche (fig. 99) «t en faisant 6 = « datts les équations (37), noua obtenons les équations de cette courbe : œ=2a cos l—a cos 2/, y=2asin i — asinil. Cotte courbe s'appolla une cardioïde. Déterminons la distance r des points M (x, y) do cette courbe au point K do coordonnées (o, 0), et pour cola mettons sous une forme plus commode Jos expressions do (x — a) et (le y : x—a=2o cos t—a (cos* t-— sin2 t)—a=2a cost—2a cos* i=2acos(l — cosr), j/=2o sin f—2a sin «cosi = 2osin t (1—cosr). d'où r=|KF| = V{ï-tt)2 f »»= = ~\/Aa.i cos2 t (1 — cos t)2+4aZ sin2 « (1—cos t)3 = 2a (1 — cos t). Los grandeurs (« — a) et y sont las projections du segment KM sur les xos OX ot oy mais on voit dans les expressions écrites quo (x — a) et y sont Fig. 99 «gulos au produit de la longueur du segment KM respectivement par cos t et sin t, c'est pourquoi nous voyous que KM forme un angle l avec la direction positive de l'axe OX, c'est-à-dire qu'il est parallèle un rayon ON. Ce résultat sera utilisé pour déduire la règle de construction do la tangente à Ja cardioïde. Introduisons l'angle 9 = a ■— t formé par le segment KM avec la direction négative de l'axe OX. Pour r nous obtenons alors; /•■=2a(l !-eosfl). C'est l'équation en coordonnées polaires de la cardioïde et nous Étudierons cotte courbe plus ei> détail lorsque nous parlerons des coordonnées polaires.
ïl-5. APPLICATIONS GEOMETRIQUES DE DERIVEE 203 Indiquons maîateuant quelques hypocycloïdes particulières. En faisant 6 ■= = ïa dans (38), il vient ï = 2ocosi = 6cos«, ï=0, ■c'est-à-dire que si le rayon du cercle fixe est double de celui du cercle mobilo, le point M se déplace sur un diamètre du oerclo fixe. Fîg. 100 Fig. 101 Supposons maintenant que b=4a. Dans ce cas l'iiypoeycloïdo sera formée de quatre branches (fig. 100) et on appelle cette courbe une astroïde. Pour b = 4a les équations (38) deviennent a: ^. 3a cos (+ac,os 3/ = 3a cos t fa (4 cos8*—3 cos t)—4a cos3 / = 6cos3 (, y=3asini—asin3t = 3a sini — a(3sin J—4sii\3 0 = 4asins «~6sin8i. Elevant les deux équations à la puissance 2/3 et on les additionnant membro à membre on climinc le paramètre fet obtient l'équation implicite de l'osiroïde II-5-12. Développante du cercle. On appelle développante d'un cercle la courbe décrite par l'extrémité M d'un fil souple qui so déroule progressivement à partir d'un cercle fixe de rayou a, de sorte qu'au point K, où le fil quitte le cercle, Il reste toujours tangent au cercle (fig. 101). En prenant pour paramètre l'angle ( formé par la direction positive de l'axe OX avec le rayon passant par lo point K et en tenant compte do ce que KM = AK = al, on obtient l'équation de la développante d'un cercle sous forme paramétrique : 2 = ProJox OM =» ProJox Ôïï-f ProJoA' RM=a cos < Raisin ¢, y — 'StoioY Ô3ï=ProJoy ÔK + Proj'oy Ô7=a sin l — al cos i, En utilisant la première des formules (33), on obtient le coefficient angulaire de la tangente , acoBt—aco3t-\-atsïnt , — asinf-)-osin« (-ateosi *»
204 CH. El. NOTION DE DERIVEE. APPLICATIONS Lo coefficient angulaire de la normale à la développante du cercle sera donc égal à -cotg(=tg(t---i.) , d'où il résulte que la droite MK sera la normale à la développante du cercle. On "verra par la suite que cette propriété est vraio pour les développantes do toutes les courbes. II-5-13. Courbes en coordonnées polaires. La position d'un point M du plan (fig. 102) peut être définie au moyen des coordonnées polaires' 1) la distance r de ce point à un certain point O (pôle) et 2) l'angle 9 formé par la direction du segment OM avec une n M o/ke V 's/ -*- tll g x ' '(Ll Fig. 102 Fig. 103 direction donnée (L) {axe polaire). On appelle souvent r le rayon vecteur et G l'angle polaire. Si on prend l'axe polaire pour OX le polo pour l'origine des coordonnées, il est évident crue (fig. 103) : £ = rcos0, i/ = rsin0. (39) A iino position donnée du point M correspond une valeur positive do r et un ensemble infini de valeurs de 9 qui diffèrent d'un multiple entier de 2n. Si M coïncide avec O, r = 0 et 9 est indéfini. Toute relation fonctionnelle de forme r = / (9) (explicite) ou F (r, 9) = 0 (implicite) définit une courbe dans le système de- coordonnées polaires. Dans le cas le plus fréquent on a des équations explicites: r-/(6). (40>. Dans la suite, nous aurons des valeurs do r non seulement positives, mais aussi négatives. Si à une valeur de 9 correspond un r négatif, on conviendra de porter cette valeur r dans la direction opposée à celle définie par la valeur de 8. Eu considérant que pour une courbe donnée r est fonction de 6, nous voyons que les équations (39) donnent une représentation paramétrique de cette courbe, et que x et y dépendent du paramètre 6 directement et par l'intermédiaire de r ; c'est pourquoi nous pouvons utiliser les formules (33) et (34) [II-5-8], En désignant par a l'angle
11-5. AVPLICAT10XS GEOMETRIQUES DE DÉRIVÉE 205 formé par la tangente avec l'axe OX, on aura en utilisant la première des formules (33) : tga = j/' = ^|±^H|, s " r cosB—r smfl ou r' désigne la dérivée do r par rapport à 0. Introduisons l'angle |x compris entre les directions positives du rayon vecteur et la tangente à la courbe (fig. 104). Nous avons : d'où. u-=a — 0, cos ji = cos a cos 6 -|- sin a sin 0, sin^^sinacosÔ — cos a sin 8. En dérivant les équations (39) par rapport à s et en tenant compte de ce que -i- et -r sont respectivement égaux à cos a et sin a, il vient : Fig. 104 n dr , n dQ - • û dr cos a ~ cos 6 -j r sin 6 4- , sin a = sin o -g-- -rcos6#-. En portant ces valeurs de cos a et de sin a dans les expressions écrites pour cos (i et sin fi, on obtient : d'où dr . rdd r<M=, r = r dd (41) (41,) Il résulte de (39) que dx «= cos 0 dr — r sin 9 dô, dy = sin 0 dr + r cos 9 i8, d'où ds = l/(ifa5) + (^)2 = V(drf + rs (de)s, (42) et l'ég-alîté a = |i+8 donue en divisant numérateur et dénominateur par dô; „■ ds. Udrp + tajdW]1'* _. (rt + r")1'* 1+"S¥
208 CH. II. NOTION DE BfilïrVÉB. APPLICATIONS De la formule (41t) il résulte quo du li-arclg^, ^ = l + (*)' -|-r'i où. r' et r" sont les deux premières dérivées do r par rapport à 0. En portant les expressions obtenues des dérivées dans la formule précédente, on obtient pour le rayon de courbure". n (r'+i-'»)3/» (43) + ï 11-5-11¾. Spirales. Nous examinerons trois types de spirales: la Spirale d'Arcltimôde : r = a0, la spirale hyperbolique: r9=a, (o>0, 6>0), la spirale logarithmique : r = bé^. La spirale à"A rckimide est représentée sur la fig. 105. La courbe en pointillé correspond à la partit) de ia courbe pour laquelle 0 < 0. Les valeurs négatives Fig. 106 de 0 donnent de* valeurs négatives pour r, et il faut les porter dans une- direction opposée à celle définie par la valeur do 0. Tout rayon vecteur rencontre la courbe un nombre infini de fois, et la distance entro deux points d'intersection successifs est une constante égale à 2art. Ceci résulte de ce quo la direction d'un rayon vecteur correspondant à une certaine valeur donnée de 8 ne cliangv pas, si 8 augmente de 2ît, 4n, .... tandis que la longueur du r qui est détonninéo par l'équation r = »0, augmentera do 2<ot, 4<nt, . . . La spirale hyperbolique est représentée sur la fig. 106. En supposant 8 > 0, examinons co que devient la courbe lorsque © tend vois zéro. L'équation a r=TT montro que r tend alors vers l'infini. Soit M un point de la courbe correspondant h une valeur suffisamment petite de 8 ; abaissons la perpendiculaire MQ à l'axe polaire X. On volt sur le triangle rectangle MOQ (fig. 100) quo QM = rsln 6=—j:— ,
11-6. APPLICATIONS GEOMETRIQUES DE DÉR1VÊK 207 ot lorsque 0 tend vers zéro : limQjlif = lim a _ =a. e->c e-*o o Ainsi, la distance du point M à l'axe polaire tend vers a lorsque 0 tend vers zéro, ot la courbe aura uue asymptote LK parallèle à l'axe polaire et distante de a de cet axe. On voit que r n'est nul pour aucuns valeur finie de 0, seulement il tend vers zéro lorsque 6 tond vers l'infini. Gontrairomont au cas de la spirale d'Archimède, la courbe tondra indéfiniment vers le pèle 0, s'enroulant autour de ce peint, sans jamais passer par lui. Un toi point est appelé généralement point asymptote de la courbe. La spirale logarithmique est représentée sur la fig. 107. Pour 0 = 0, r = b et lorsquo 0 tend vers (+ oo), r tond aussi vers (-}- oo), ot lorsque fl tend vers (— oo), r tend vers zéro sans jamais devenir nul. Dans le cas considéré r'^abe"9 et tgli=^r=—, °r r' a c'est-à-dire que le rayon vecteur forme aveu la tangente à la spirale logarithmique un angle constant p,. JT-5-15. Cissoïdes et eardioïde. Construisons un cercle de diamètre OA —2s (tig. 108) ; du point O do la circonférence menons des rayons vecteurs et sur chacun d'eux portons une longueur constante h = DM depuis le point d'intersection I> de cette droite avec Ta circonférence. Le lieu géomélriquo dos points M est ap])olé généralement cissoïde. En remarquant que Ô0=2acosO et ÔM = r, on a l'équation de la cissoïde: r=2acos 8 )-h. Si h > 2a, cetto équation ne donne pour r que dos valeurs positives, et on a la courbe (tig. 109). Si h <z 2a, r peut prendra dos valeurs uégatives et ¾osltives, et on a la courbe (fig. 110). Au point O la courbe se coupe olle-même. nfiii pour h = 2a l'équation de la cissoïde devient r = 2a(l + cos8), c'est-à-dire quo l'on a une eardioïde [H-5-11] qui n'est pas disposée de la même façon qu'au paragraphe [II-5-11] (fig. 111). Pour 0 — n on a r = 0, c'est- à-dire que la courbe passe par le point O. Déterminons les deux premières dérivées de r par Tapport à 6: r' — — 2asin0, r"=— 2a cos 0. Calculons tgp,: r 2s(14-cos8) .8 , / n , 0 \ tgE-TT- -2.«ln0—-"^y-MT+Tj ' c'est-à-dire quo:
W-ff -*- o M^mM Fig. 107 Fig. 108 Fig. Ill
II-5, APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE DERIVEE 209 On a déjà montré [II-5-11) que Ja cardioïde peut être considérée comme uue courbe décrite par un peint fixé sur un cercle roulant sur lo cercle susmentionné de diamètre OA = 2a, lo diamètre du cercle mobile étant égal à celui du cercle fixe. Soit C lo centre du cercle fixe, M un point de la cardioïde, A' le point de taiigence du cercle mobile avec le corcle fixe ot /V/Vj le diamètre du cercle, mobile (fig. 111). Nous avons déjà vu [11-5-11] que les droites OM ot CNi /\ sont parallèles*, c'est-à-dire que ACN — B, et, par conséquent. L'angle.W/V,Ar qui est inscrit sur l'are NM est égal à-3-—^-, ol enfin l'anglo formé par les directions OM ot NtM est égal a : donc jV,jl-f est la tangente à la cardioïdo au point M. D'où la régie: Pour construire la tangents à la cardioïde au point M, il suffit de /oindre ce point à l'extrêm-lté Ni du diamètre du cercle mobile dont Vautre extrémité se trouve au point de tangence du cercle mobile avec le cercle fixe ; 'la normale sera portée par la droite MN. La règle obtenue ci-dessus pour construire une tangente à une cardioïde s'obtient simplement nu moyen (le considérations cinématiqnes. On sait que tout mouvement dans un plan d'un système indéformable peut se ramener ;'i chaque instant donné à uno rotation autour d'un point fixe (contre instantané de rotation) et, généralement, co point vailo aw cours du temps. Dans le cas de la rotation indiquée sur In l'ig. 111, lo centre, instantané de rotation est le point de contant A: du cercle mobile avec, lo cercle fixe, ot, par conséquont, la vitesse du point mobile M, qui est, orientée suivant la tangente h lu cardioïde, (Mit perpendiculaire an rayon NM qui est une normale à la cardioïde. et la droite A'tM perpendiculaire au rayon NM est une tangente à la cardioïdo. De ces considérations il résulte que la règle citée de construction d'une tangente reste valablo nour toute courbe obtenue en faisant rouler sans glissement un cercle sur une courbe fixe. 11-5-16. Ovale de Cassini et lemnlBtato. L'ovale de Cassini est le lieu géo- métriqne des points M dont lo produit des distances à doux points fixes Fv ot k\ est constant: Fi.M-FzM = bK Soit 2« = FiF-2', orientons l'axo polaire suivant /¾ et plaçons lo pfilo 0 au milieu du segment FiF2. On voit sur les triangles OMt\ ot OMF2 (fig. 112) que: /•'jjlfa.-^-r a*-r-'iar cos 0, F^M'--=^^+a*—2arcon 0. En portant ces valeurs dans l'équation des ovales, en en l'élovant au carré, il vient après simplification: r<—&iV» cos 20 f- o* — 6« = 0, don r* = aa cos 20 ± Vo-' eus» 20— {a" — fr4). Les cas correspondant à «2 < bz et o2 :> i3 sont représentés sur la fig. 112. Si a-i ~j> 62, la courbe est formée de deux courbes fermées. Nous examinerons *' Eu [11-5-11] cesdcuxdroitesétaientdésigiiécspar KMel OA', (v. fig. 99). 14-281
210 CH. II. NOTION DE DBBIVJÉE. APPLICATIONS plus en détail le cas important où a3 ■= b8. La courbe correspondante est la lemnUcate dont l'équation sora ra = 2a2cos2e. Cette équation ne donne pour r des valeurs réelles que si cos 28 >• 0, c'est- à-dire lorsque 0 est dans l'un des intervalles: et r est nul pour M) ■(").(¥.*)• » 3« 5ji 7ji T' 4 ' 4 ' T 11 est facile alors de construire la courbe (fig-. 113). Au point 0 la courbe se coupe elle-même et les droites pointillées sont les tangentes aux deux branches do la courbo se coupant au point 0. En dérivant Fig. 112 Fig. 113 les deux membres do l'équation, de la lemniscalo par rapport à 6, il vient: 2a*sin 20 2rr'=—4o2sln26, soit r' = —- d'où IgU-TT-- 2o2 si 2aB cos 20 , „„ . / n , na \ u=£ 1-20. Passant des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes, oit a (39): j«=îM j1, cos0 = ~, siïiO——. 1 " r r L'équation de la lemniscale j«ut s'écrira ainsi : rs=2a2(cos=e—sin2â), en y portant les expressions précédentes, on aura l'équation de la lem- niscalu on coordonnées orthogonales : xi |-!/a = 2aa (^a~^) , soit (*= f ^ = 2^(^-^), d'où 11 résulte que la lenmiscate est une courbe algébrique de quatrième degré.
Chapitre in NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS 1II-1. Problèmes fondamentaux du calcul intégral et intégrale indéfinie JII-1-i. Notion, d'intégral* indéfinie. Un des problèmes fondamentaux du calcul différentiel est celui de la recherche de In dérivée on de la différentielle d'une fonction donnée. Le premier problème fondamental du calcul intégral est. le problème inverse: la recherche d'une fonction connaissant sa dérivée ou sa différentielle. Soit doilnée la dérivée ' ¥'-=/(*) ou la différentielle dy — f{x)dx d'une fonction inconnue y. Une fonction F (x) gui a pour dérivée la fonction donnée f (x) ou pour différentielle l'expression f (x) dx est appelée fonction primitive de la fonction donnée f (x). Si, par exemple, alors une .fonction primitive sera, par exemple, F (œ) = -^-a;3. En effet, Admettons que nous avons trouvé une primitive quelconque F (x) d'une fonction donnée / (x), qui possède / (a;) conime dérivée; c'est-à-dire satisfait à la relation ]!■»=/f». Gomme la dérivée d'une constante arbitraire C est nulle, nous avons aussi : ifW + CY-F-M-ffr),
212 CB. III. NOTION D'INTfiaBALE ET APPLICATIONS c'est-à-diro qu'avec- F (x) toute fonction F (x) + C est aussi une primitive do / (x). De là il résulte qne si Je problème de la recherche d'une fonction primitive possède au moins une solution, alors il possède une infinité d'autres solutions, différant de celle-ci d'une constante additive arbitraire. On peut, cependant, montrer que do cotte façon toutes les solutions du problème sont englobées, à savoir: Si F (x) est une fonction primitive quelconque de- la fonction donnée / (a), alors n'importe quelle fonction primitive se présente sous la forme : F(x) + C, où C est une constante arbitraire. En effet, soit F, (x) une fonction arbitraire qui a pour dérivée /(a?). Nous avons: F'l(x)=f(x). D'autre part, considérons la fonction étudiée F (x) qui possède f(x) comme dérivée, c'ost-à-dire : F'{x) = f(x). Un retranchant cette égalité de la précédento, il vient: Fi (*) - F (x) - [F, (x) - F (x))' = 0, d'où, on vertu du théorème connu fII-3-71, Ft(„)-F(x) = C, où C est une constante: ce qu'il fallait démontrer. Le résultat obtenu précédemment pont encore être formulé ainsi: si les dérivées (ou différentielles) de deux fonctions sont identiques, alors ces fonctions ne différent que d'une constante additive. L'expression la plus générale de la fonction primitive est aussi appelée intégrale indéfinie d'une fonction donnée f (x) ou, d'une différentielle donnée / (x) dx ; elle est désignée, par le symbole : tandis que la fonction f (x) s'appelle fonction à intégrer, et f (x) dx expression à intégrer. Ayant trouvé une fonction primitive quelconque F (x), en vertu, do ce qui a été démontré plus haut, nous pouvons écrire: ^f(x)dx = Ffr)+C, où C est iine constante arbitraire.
1I1-I. PROBLÈMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTÉGRAL 213 Donnons une interprétation mécanique et géométrique de L'intégrale indéfinie. Supposons connue Ja loi de la dépendance analytique de la vitesse en fonction du temps: » = /(*) et que l'on doit trouver l'expression du chemin s en fonction du temps. Gomme la vitesse du mouvement d'un point sur une trajec- ds tu ire donnée est la dérivée -jr du chemin par rapport au temps, le problème se ramène à la recherche d'une primitive do la fonction donnée / (t), c'est-à-dire: s= ? f(t)dt. Nous obtenons une infinité de solutions, différant d'une constante additive. Cette incertitude de la réponse est due au fait que nous n'avons pas fixé l'origine à partir de laquelle nous calculons le chemin s. Si, par exemple, v = gt + va (mouvement uniformément accéléré), nous ohtenons pour s l'expression : s = ^gti-\-vat + C (1) Eu effet, il n'est pas difficile de vérifier que la dérivée de l'expression (1) par rapport à t coïncide avec î'expression précitée v = = gt + "o- Si nous convenons de compter s à partir d'un certain point, qui correspond à la valeur t = 0, c'est-à-dire si nous convenons de compter s — 0 pour t — 0, alors nous devrons avoir dans la formule (1) la constante C = 0, 'Dans les raisonnements précédents nous avons désigné la variable in dépend ante non par x, mais par t, ce qui, à vrai dire, n'a pas une grande importance. Passons maintenant à une interprétation géométrique du problème de ]a recherche d'une fonction primitive. La relation y' — f (x) montre que le graphique de ia fonction primitive cherchée ou, comme on dit, la courbe intégrale est une courbe, dont la tangente pour n'importe quelle valeur de x possède nue direction donnée, de coefficient angulaire égal à: »' = /(*)• (2) En d'autres termes, pour uno valeur quelconque de la variable indépendante x la relation (2) donne la direction de la tangente à la courbe, et on demande de trouver cette courbe. Une courho intégrale étant ainsi tracée, toutes les courbes que nous obtenons on la déplaçant d'un segment quelconque parallèlement à l'axe OY,
214 OHi III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS posséderont poiir une même valeur do x des tangentes parallèles de mèino coefficient angulaire \f — f (x) (fig. 114) que la courbe de départ. La translation mentionnée équivaut à ajouter aux ordonnées de la courbe la constante additive C, et l'équation générale des courbes, répondant an problème, sera : y-F{x)+C. (3) C'est pourquoi pour déterminer complètement la position de la courbe intégrale cherchée, c'est-à-dire l'expression de la fonction primitive cherchée, il faut se donner encore un point quelconque. Fig. 114 Fig. 115 par lequel devra passer la courbe intégrale, mettons le point d'intersection de cette courbe avec une droite quelconque parallèle à l'axe OY. Cetlo manière de donner la courbe équivaut a fixor la valeur initiale y0 de la fonction cherchée y = F (x), qu'elle doit prendre pour la valeur donnée x = xa. Reportant ces valeurs initiales dans l'équation (3) nous obtenons une équation pour déterminer In constante arbitraire C: y0 = F(x<>)+C, et enfin la fonction primitive, satisfaisant à la condition initiale imposée, se présenter» sous la forme : tj = F{z) + [ya-F(x0)\. Avant d'éclaircir les propriétés de l'intégrale indéfinie et les procédés de recherches de la fonction primitive, nous exposerons îo deuxième problème fondamental du calcul intégral, et montrerons ses liens avec la formulation de notre premier problème, celui. de la recherche de la fonction primitive.
II-l. PROBLÈMES BONDAMBNTAUX DU CALCUL INTEGRAI, 215 Pour la suite de notre exposé une nouvelle notion sera essentielle, la notion d'intégrale définie. Pour parvenir naturellement à cette nouvelle notion, nous partirons de la représentation intuitive d'aire. Elle nous servira également pour élucider la liaison entre les notions d'intégrale définie et de fonction primitive. Ainsi les raisonnements des deux paragraphes suivants basés sur la représentation intuitive d'aire ne constituent pas une démonstration rigoureuse de faits nouveaux. Le schéma rigoureux de la construction logique de l'édifice du calcul intégral est indiqué à la fin de [III-1-31. 11 est entièrement exposé à la lin du présent chapitre. I1I-1-2. L'intégrale définie comme limite d'une somme. Traçons sur le plan XOY la courbe représentative de la fonction / (x), en admettant qu'elle se présente comme une courbe continue, entièrement située au-dessus de l'axe OX, c'est-à-dire que Mutes les ordonnées de cette courbe sont positives. Examinons l'aire Sab, limitéo par l'axe OX, par la courbe et les deux ordonnées a>= a et x — b (fig. 115), et essayons de trouver la grandeur do cette aire. Découpons l'intervalle (a, b) en n parties définies par les points: a=xn<xl<«z< .,. <a;ft_1<iKft< .. . <.xn-i<xn = b. L'aire S0& apparaît décomposée en n bandes verticales, dont la &**»>e a une base de longueur (xh — xh-t). Désignons respectivement par mh et Mk la plus petite et la plus grande valeur de la fonction / (œ) dans l'intervalle {xh-i, xh), c'est-à-dire la plus petite et la plus grande ordonnée de notre courbe dans cet intervalle. L'aire de la bande est comprise entre les aires des deux rectangles de môme base (*v-i, Xh) (Qg- 116) et de hauteur mk et Mh. Ces deux rectangles sont des rectangles intérieurs et extérieurs pour la ktëme bande. De cette façon la grandeur de l'aire de la &iême bande est comprise entre l'aire des deux rectangles cités, c'est-à-dive entre les deux nombres : mj,(a*—*k-i) et Mh(xh—xk.i), c'est pourquoi l'aire Sat tout entière est comprise entre les sommes des aires de tels rectangles intérieurs et extérieurs, c'est-à-dire que l'aire iS„s est comprise entre les sommes: sn — ml(xi—x0)-\-m!,(xî~xl)+... +m.ft(^ — xk-i)+ ... + + rtln-i {Xn-i — œ„-s) + m„ (zn — ;«„_, ), (4) Sn**Mt («i —*o)-MMara—*i)+ • • • + Mn («h — «*-i)+ • • • + + Mn-i (*„-, — :ç,_a) + Mn (xn—*„_,).
216 CH. III. NOTION D'JNTËMîStE ET APPLICATIONet iï?h>E De cette façon, nous avons l'inégalité: (5) Construisons maintenant, au lieu des rectangles intérieurs et extérieure pour chacniio des bandes, tni rectangle moyen quelconque, en conservant, coinme précédemment, pour base (xh — Xj,-t} et on prenant comme hauteur nue ordonnée quelconque / &/,) de notre r -*-x Fig. 116 courbe, correspondant à un point quelconque £ft du segment (a;,,-!, xh) (fig. 117). Considérons la somme des aires de ces rectangles moyens: Sn = / (Ei) («i -*.) + / (¾) (½ - *i) -I- + ...+/(!„_,) (.^-, ■.+/Œ*)foi-*»-i) + -*«-2)+/(£»)(*»-*»-i)- (6) Elle est, de môme que l'aire Sa^ comprise entre les sommes des aires des rectangles intérieurs et extérieurs, c'est-à-dire que nous aurons l'inégalité î„<5;<5„. (7) Augmentons maintenant indéfiniment le nombre n de divisions du segment (¢, b) de façon que simultanément la plus grande des différences {xk — .r;,._t) tende vers zéro. Comme par hypothèse / (x) est une fonction continue, la différence (Mh — m.f) entre ses plus grande ot plus petite valeurs sur le segment (a;ft_i, xh) tendra vers zéro par réduction continue de la longueur de co segment, indépendamment do sa situation sur le segment de baso (¢, b) (continuité do la fonction [1-2-11]). De la même façon, si nous désignons par ea la plus grande des différences : (Mi—nii), (Afa—m2) (Mk—mh), ..., (Af„_i —mn-i),(Mn—m„), d'après le raisonnement précédent, au cours du passage à la limite précité, le nombre en tendra vers zéro. Déterminons maintenant
IIM. PROBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTÉGRAL 217 la différence entre la somme des aires des rectangles extéreurs- et la somme des aires des rectangles intérieurs: Sn~-sK = (Ml—mi)(xi--x0) + {M2~mz)(x!l—x1)-\-...+ + (Mh—mk) (rk—£ft_,) .|- ... 4-(Mn—mn) (xn—xn-,)> d'où, remplaçant toutes les différences (Afft — m.k) par le plus grand e„, et se rappelant que toutes les différences (xh — Xk-i) sont positives, on a : Sn — Sn.<en(.*i — Xo) + &n fe — *i) + ■ • ■'+««(** —^*-i)+ ■ ■■ + -£■ en (^li — #n-i) ^ c'est-à-dire : «S»—Sn<enl(.Zi~x0) + (^2 — ^1)+ .. .+ (*fc~**-,)+...+ + (%-tfn-i)] = 8„(.*„ — z„) = c„ (& —¢). Nous pouvons écrire de cette façon : 0<Sn—sn<eu(b—a), c'est-à-dire lin»(5„~*B)=0. (8) D'autre part, pour tout n, nous avions: Sn<Sab<Sn (9) et la grandeur de l'aire Sab est un nombre déterminé. Des formules (8) et (9) il résulte immédiatement que la grandeur de l'aire Sab- apparaît comme la limite commune de sn et Sn, c'est-à-dire des aires des rectangles extérieurs et intérieurs : lim sn = lim 5» = £„&. Puisque, d'autre part, la somme des rectangles moyens S„, comme- nous ravions vu, est comprise entre sa et Sn, elle doit aussi tendra vers l'airo Sai>, autrement dit: lim Sn = Soft- Cette somme S'n apparaît plus générale que les sommes sn et Snr car ponr la calculer nous pouvons choisir arbitrairement |ft dan» le segment (afc-i, :¾). et, on particulier, nous pouvons prendra / (§ft) égal à la plus petite ordonnée mh ou à la plus grande ordonnée- Mh. Lors d'un tel choix la somme S'n se transformo en sommes s„, et S„.
218 OH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS Les raisonnements précédents nous conduisent à la proposition : Si une fonction f (x) est continue sur un segment (a, b) et si, ayant découpé ce segment en n parties selon les points: tt=a^o<«i<«2< •■■ <tfft-i<:K/,<...<xn-i<z«.= b, et ayant désigné par x = 1¾ une valeur quelconque du, segment (»>_i, œft), nous calculons la valeur correspondante f (|j,) de la fonction et composons la somme * S /(¾) (**-*-i), (10) alors lorsque le nombre de divisions du segment n croît indéfiniment, la plus grande des différences (:¾—£a_i). tendant vers zéro, cette somme tend vers une limite finie. Cette limite est égale à l'aire, limitée par l'axe OX, la courbe représentative de la fonction f (x) ■et les deux ordonnées x =• o, x — b. La Hmile précitée est appelée intégrale définie de la fonction / (a), prise pour les valeurs de a; comprises entre la borne inférieure x = a et h borne supérieure x = b ; on la désigne par le symbole suivant : Remarquons que l'existen56, de la limite I de la somme (10) lorsque la phis grande des différences (xh — £ft_i) tend vers zéro, ■revient a l'affirmation suivante: pour tout nombre positif donné e il existe un nombre positif t|, tel que \I- 2 /(l*)(a*-**-i)l<«. fc=wl <mcl que soit la modo de découpage et de choix des points £4 dans le segment (a;ft_i, xk), si seulement la plus grande des différences (positives) xh — xh-i < n. Cette limite / est une intégrale définie. Notons que l'ensemble des valeurs des sommes (10) pour tous les découpages de l'intervalle (¢, b) et pour tout choix de %h, no peut être ordonné de sorte que s'élabore une variable ordonnée. La limite de la sommo ne doit êlre comprise que dans le sens indiqué plus haut (à l'aide des nombres s et t]). Plus haut nous avons supposé que la courbe représentative de la fonction / (x), se trouve entièrement au-dessus de l'axe OX, * Le symbole 2 / fi») (xk—xh-i) est la notation abrégfio (1b la somino (G).
III-l. PllOBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTEGRAL 219 c'est-à-dire que toutes les ordonnées de cette courbe sont positives. Considérons maintenant le cas plus général, où certaines parties de la courbe se trouvent au-dessus do l'axe OX, et d'autres au-dessous (fig. 118). Si dans ce cas nous composons la somme (6), alors les termes / (§*) (xh — Zh-i)> correspondant aux parties de la courbe se trouvant sous l'axe OX, seront négatifs, puisque la différence (xh — Xk-t) est positive et l'ordonnée / (|ft) négative. Après passage à la limite on obtient une intégrale définie, qui introduira ies aires, se trouvant au-dessus de l'axo OX avec le signe (+) et celles situées sous l'axo OX avec le signe (—), c'est-à-dire que dans le cas général V intégrale définie donnera la somme algébrique des aires, comprises entre l'axe OX, -^ la courbe de la fonction f (x) et les ordonnées x = a et x = b. Les aires situées au-dessus de l'axe OX seront alors affectées du signe positif, et celles situées au-dessous de Vaxe OX du signe négatif. Commo nous le verrons par la suite, nous sommes conduit à la recherche de la limite d'une somme de la forme (6) non seulement dans In question du calcul do l'aire, mais aussi dans de nombreux autres problèmes des sciences naturelles des plus divers. Citons seulement un exemple. Soit un point M quelconque se déplaçant sur l'axe OX de l'abscisse x = aà. l'abscisse x = b suc loqnel s'exerce une force quelconque T, dirigée aussi suivant l'axe OX. Si la force Test constante, alors le travail qu'elle accomplit dans le déplacement du point de la position x — a à la position x = b, se représente par le produit II = T (b — a), c'est-à-dire par le produit de la grandeur de la force par le chemin parcouru par le point. Si la force T est variable, la formule écrite n'est plus valable. Supposons que la grandeur de la force déponde de la position du point sur l'axe OX, c'est-à-dire soit une fonction de l'abscisse du point T = / {x). Pour calculer le travail de la force dans ce cas, découpons tout le chemin par des points successifs, en parties: a=xa<.Xi_<Zxz<i .. .<.Xh~j<.xh-< . ■ ■ <xa-i<.xn = b
220 CH. 1U- HOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS et considérons une de ces parties (a^-i, xk). Avec une erreur minime d'autant plus petite qu'est petite la longueur (¾ — Xh-\) nous pouvons admettre que la force, qui agissait sur le point dans son déplacement do xh-i à xk, est constante et coïncide avec la valeur de celle force / (|ft) en un certain point |ft de l'intervalle (.T/i-i, 3¾). De sorte que pour le travail sur l'élément (xh-U xh) nous obtenons l'expression approchée et pour le travail global doiis aurons l'expression approchée de la forme : £~ 2 /(&0(*n-*»-i). Avec l'accroissement infini du nombre do divisions n et la diminution infinie do la plus grande des différences {xk — xk-i) nous obtenons à la limite une intégrale définie, donnant la grandeur exacte du travail cherché : R=Vf(x)âx. Laissant de côté les interprétations géométriques ou mécaniques, nous pouvons maintenant élahlir le concept d'intégrale définie de la fonction / (x) sur le segment a <; x -<! b comme la limite d'une somme de la forme (6). Le deuxième problème fondamental du calcul intégral est l'étude des propriétés de l'intégrale définie, et avant tout son évaluation. Si / {x) est une fonction donnée, et x = a et x = b deux nombres donnés, alors l'intégrale définie \ / (x) cte est un certain nombre déterminé. "Le symbole \ se présente comme la lettre stylisée S et doit rappeler la somme qui, lors du passage à la limite, donnait la grandeur de l'intégrale définie. L'oxprossion sous le signe intégral / (x) dx doit rappeler l'aspect des termes de cetto somme, et plus précisément /(1^)(¾ — xk-i). La lettre x, figurant sous le signe de l'intégrale définie, s'appelle habituellement variable d'intégration. Remarquons à propos de cette lettre une circonstance importante. La valeur do l'intégrale, comme nous l'avons déjà mentionné, est un nombre déterminé ne dépendant pas, bien entendu, de la désignation de la variable d'intégration x, et nous pouvons, dans l'intégrale définie, désigner la variable d'intégration par n'importe quelle lettre. Cola n'aura, évidemment, aucune influence sur la valeur de l'Intégrale, qui dépend seulement des or-
111-i. PROBLÈMES FONDAMENTAUX DU CA1XCTL INTÉGRAL 221 données de la courbe / (x) et des bornes d'intégration a et b. Ainsi la désignation de la variable indépendante ne joue aucun rôle, c'est- à-diro, par exemple : Le deuxième problème du calcul intégral qui ost le calcul de F intégrale définie se présente à première vue comme le problème assez complexe de l'établissement d'une somme de la forme (t>) puis du passage à la limite. Remarquons que dans le passage à la limite, le iiombro de termes dans la somme mentionnée croîtra indéfiniment, et que chacun d'entre eux tendra vers zéro. En outre, à première vue, ce deuxième problème du calcul intégral n'a rien de commun avec lo premier problème de la recherche de la fonction primitive d'une fonction donnée / (x). Dans lo paragraphe .suivant nous montrerons que les deux problèmes sont étroitement liés l'un à l'autre et que le calcul de l'intégrale définie \ / (x) dx s'accomplit très simplement, si la fonction primitive de / (x) est connue. 111-1-3. Relation entre les intégrales définie et indéfinie. Considérons de nouveau Faire Sab, limitée par l'axe OX, la courbe représentative de la fonction / (x) et las ordonnées x — a et x = b. Fig. 11!) Considérons simultanément une portion de cette aire, limitée par ['ordonnée de gauche x = a et une ordonnée mobile arbitraire correspondant à une valeur variable de x (fig. 119). La grandeur de cette aire Sax dépendra évidemment de l'endroit où nous placerons l'ordonnée de droite, c'est-à-dire sera fonction de #. Cette grandeur sera représentée par une intégrale définie de la fonction /(ff), prise do la borne inférieure a- à la borne supérieure ». Puisque la lettre x est utilisée pour la désignation de la borne supérieure, nous pouvons, pour éviter tonte confusion, désigner la variable d'intégration par une autre lettre, notamment, par la lettre t. De cette façon, nous pouvons écrire: Sax=lXJ(l)dl. (11)
222 CH. IÏ1. NOTION D'1NTB(JKA1,E ET APPLICATIONS Ici nous avons une intégrale définie avec une borne supérieur» variable œ, dont la valeur est, évidemment, fonction de cette bomo. Montrons que cette fonction est l'une des fonctions primitives de / (x). Pour calculer la dérivée de cette fonction, considérons, d'abord un accroissement de celle-ci àSaxt correspondant à un accroissement A» de la variable indépendante x. Evidemment,, nous avons (fig. 120) : A5as = aire PfiQQi.. Désignons par m et M, respectivement, La plus petite et la plus grande des ordonnées de laf courbe / (x) dans l'intervalle (x, x + A«). La figure curviligne PiPQQi tracée à grande échelle sur la fig. 420 est située entièrement à l'intérieur du rectangle de hauteur M et de base Az, et contiendra le rectangle de hauteur m cl de même base, de sorte que: m ùsx < àSax < M A*, ou, en divisant par Aœ : A^ Ax -<M. Quand Ax tend vers zéro, les deux grandeurs m et M, en verttt de la continuité de la fonction / (œ), tendent vers la même limite,, l'ordonnée p\p = / (x) de la courbe au point x, par suite lim Aï ■-/(*), ce que nous voulions montrer. Ce résultat étant acquis, nous pouvons formulor la règle suivante: une intégrale définie avec une borne supérieure variable l'jwa est une fonction de cette borne supérieure, et dont la dérivée est égale à la valeur de fonction à intégrer f (x) pour cette borne supérieure. Autrement dit, l'intégrale définie avec une borne supérieure variable est une fonction primitive de la fonction à intégrer. Ayant établi le lien entre les concepts d'intégrales définie et indéfinie, montrons maintenant, de quelle façon on peut calculer
Ill-i. PROBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTEGRAL 22$ la grandeur de l'intégrale définie si on connaît une fonction primitive quelconque F (x) pour / (x): Comme nous l'avons montré, l'intégrale définie avec une borne- supérieure variable est aussi une fonction primitive pour / (x)h et en vertu de [III-l-l] nous pouvons écrire: Yj(t)dt = F(x) + C, (12> où C est une constante arbitraire. Pour la détermination do ccllo- constante nous remarquons que si dans la surfaco Sax l'ordonnée- de droite coïncide avec celle de gauche, c'est-à-dire si x =a, alors, l'aire devient, évidemment, nulle, le premier membre de la formule (12) est donc nul pour x = a. Par conséquent, l'identité pour x = a donne : 0 = F(a)-\-C, c'est-à-dire C^—F.(a). Reportant la valeur trouvée de C dans (12), nous obtenons: {*Bi(t)àt = F{x)-F(a). .Enfin, supposant ici x=b, nous aurons: ^"j{t)dt*=F(b)-F{a) ou ^J(x)(h;=F(b)-F(a). (13) Dans ce qui suit nous désignerons la différence du type [/"(è) — — F (a)] par le symbole F(z)$. Nous parvenons, de cette façon, à la règle suivante exprimant la valeur de l'intégrale définie par celle do la fonction primitive: l'intégrale définie est égale à la différence des valeurs de la fonction primitive de la fonction à intégrer pour les bornes supérieure et inférieure d'intégration. La règle ainsi formulée montre que la recherche de la fonction primitive, c'est-à-dire la solution du premier problème du calcul intégral, nous conduit au deuxième problème, celui du calcul de l'intégrale définie, ot nous délivre, de cette façon, pour le calcul de- l'intégrale définie, des opérations complexes de formation do la somme (6) et de passage à la lîmile. A titra (î'oxomplc cherchons l'intégrale définie: Ç'^Ar.
224 H. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS 1 Lu fonction -^z3 1HI-1-11 est une fonction primitive de ss, Utilisant la règle démontrée, nous antons : l i 1 |t 1 l l 0 6 0 3 3 3 Si, saus îitilisor la fonction primitive, nous avions calculé directement l'intégrale définie, immédiatement a partir de sa définition comme limite d'une sommo, alors nous aurions été conduit à un calcul bien plus complexe, crut nous reproduisons succinctement. Découpons lo sogmont (0, 1) en n parties égales par les points: 0< — < i-< .,.< ÎL^i<; i. b b ^ n ^ Dans co cas nous avons les n segments suivants: (--4-).(4-.4).(4--2-) fiM- la longueur de chacun d'eux étant égale à —. Pour former la somme {(i) adoptons l'extrémité gauche do l'intervalle en qualité cle |&, o'ost-à-diro: - „ . 1 t 2 „ B-l 51 = 0. 52 = -. ê»=-7p ■■■> «« 5~- 'foutus les différences x/,—*a„i= —, et remarquant que los valeurs de la fonction à intégrer / (x) = x* pour les extrémités gauches seront: / (Si) =-0, / = (&> = -*,/<i3)—^r. •••, /(Sa) =^-^, nous pouvons écrire : fi ., ..„ rn i . 1 1 . 22 1 , (n-l)2 1 -] ,. 12 + 2S-| ,..+(«—I)3 .... — lmt — ! ^>-± - . (14) Pour lo calcul de la somme, placée dans le numérateur, écrivons los égalités évidentes suivantes : (1-1-1)3 =-H 3-1-I-3-12 |-13 (t f-2)3^ 1 + 8-2-1 3-2*+23 (l-î-3)3 = l + 3.3+3.32-, 33 l-l + (n —l)ls=-l-|-S(n — l)|-3(n — l)a-)-(n —1)3
XH-l. PROBLÈMES FONDAMENTAUX. DU CALCUL INTËGRAL 225 Pat regroupement, nous obtenons : 23-|-33+...+ns = (rc-l) + 3|lH-2+...+(n-l)] + + 3 [^+22+... + (n-l)>]+lH23+.-+(n—l)3- Effeciuant les réductions qui s'imposent et uti lisant la formule de la somme d'une progression arithmétique, nous pouvons écrire: re»-(n-l) + a "C-1» .1-3118+2^+3^ + ...+(B-l^l+t, d'où 1,+2,+3=+ ... + („_1)a=^_ÎL^^MîL=lLfczA2. Reportant l'expression obtenue dans (14), nous obtenons : PI ,, .. n (n —I) (2>i—1) 1 .. /, 1 \ /„ 1 \ 2 1 Jt) n->co 6»1 6 n-K» V » / V. « I <> 3 Ayant expliqué les problèmes fondamentaux du calcul intégral et le lien entre eux, nous consacrerons le paragraphe suivant à l'examen plus approfondi du premier problème du calcul intégral, à savoir celui de l'étude des propriétés de l'intégrale indéfinie et de son calcul. Nos raisonnements précédents sur l'intégrale définie étaient basés sur des considérations purement géométriques, à savoir l'examen des aires Sab et Sax. En particulier, la démonstration d'un fait fondamental, celni que la somme (6) possède une limite, découlait de l'hypothèse que pour chaque courbe continue il existe un .nombre mesurant l'aire Sab. Malgré l'évidence d'une telle hypothèse, elle n'est pas rigoureusement fondée et la seule méthode rigoureuse du point de vue mathématique serait la voie inverse: ne s'appuyant pas sur l'interprétation géométrique, démontrer directement par une voie analytique l'existence de la limite de la somme S: n et prendre ensuite celle-ci comme définition de l'aire Sab. Cette démonstration nous la donnerons à la fin du présent chapitre avec des hypothèses relatives à la fonction / (»), plus générales que sa continuité. Remarquons encore que l'interprétation géométrique paraissait être également un point essentiel de la démonstration de cette pro- position fondamentale, que sous réserve de la continuité de la Jonction à intégrer, la dérivée de l'intégrale définie par rapport à la borne supérieure est égale à la valeur de la fonction sous le signe d'intégration pour la borne supérieure. Dans le paragraphe suivant du présent chapitre nous donnerons la démonstration analytique 15—281
220 CH. 111. NOTION D'INTEOBALE ET APPLICATIONS rigoureuse de cette proposition. Associée à la démonstration de l'existence de l'intégrale définie d'une fonction continue, elle permet d'affirmé! que chaque fonction continué possède une fonction primitive, c'est-à-dire une intégrale indéfinie. Plus loin nous mettrons en évidence les propriétés fondamentales de l'intégrale indéfinie, et nous considérerons que nous avons affaire seulement aux fonctions continues. Pour l'exposé des propriétés de l'intégrale définie nous démontrerons rigoureusement la formule fondamentale (13). De celte façon, le fait de l'existence de la limite d'une somme (10) pour une fonction / [x) continue demeurera le seul fait non prouvé. Cette démonstration, comme nous l'avons déjà dit, sera faite à la fin du chapitre. I1I-1-4. Propriétés de l'intégrale indéfinie. Dans [III-l-lJ nous avons vu que deux fonction!? primitives pour une seule et même fonction ne diffèrent que d'une constante additive. Cela nous conduit à la première propriété de l'intégrale indéfinie: I. Si deux fonctions ou deux différentielles sont identiques, alors leurs intégrales indéfinies peuvent différer seulement d'une constante additive. Kéciproquement, pour prouver que deux fonctions diffèrent d'une constante additive, il suffit de démontrer que leurs dérivées (ou leurs différentielles) sont identiques. Les propriétés suivantes II ot III découlent immédiatement de la notion d'intégrale indéfinie en tant que fonction primitive, c'est-à-dire que l'intégrale indéfinie \f{x)dx est une fonction telle que sa dérivée par rapport h x est égale à la fonction à intégrer f (x), ou que sa différentielle est égale a l'expression f (x)dx sous le signe d'intégration. II. La dérivée de V intégrale indéfinie est égale à la fonction à intégrer, et la différentielle est égale à l'expression sous le signe d'intégration : (î/(»)dr)^ = /(«), d\if(x)df = f(x)dx. (15) III. Simultanément avec (15) nous avons: J F'{x)dx^F(x)+C, et nous pouvons encore écrire cette formule comme [II-1-6I : ldF(x)-F(x) + C, (16)
TII-1. PROBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTKORAL 227 qui, compte tenu de II, donne la propriété: placés côte à côte les signes d et \ , s'ils se suivent dans un ordre quelconque, se détruisent réciproquement, à condition de convenir de négliger la constante- arbitraire dans l'égalité parmi les intégrales indéfinies. IV. On peut sortir un facteur constant de sous le signe d'intégration : X Af(x)dx = A { j(x)âx + C*. (17) V. L'intégrale d'une somme algébrique est égale à la somme algébrique des intégrales de chacun des termes : \ (u + v—w) dx = \ uch-+ \ v dx — X wdx + C. (18) Il n'est pas difficile de contrôler l'exactitude des formules (17) et (18), en dérivant les deux membres et en s'assurant de l'identité des dérivées obtenues. Par exemple pour l'égalité (17) : (\Af(x)dx)' = Af(x). (A \ f(x)dx + Cy = A (^ f(x)dx}' = Af(x). III-1-5. Table des intégrales les plus simples. Pour dresser cette table, il suffit de lire dans l'ordre inverse la tatale [JI-1-5J des dérivées les plus usuelles, de laquelle nous tirons: S jj dx=x + C, 2-7TI+1 s *£—la]x\ + C, Ja*dc—,^ + C, ^exdx = ex-{-C, \ sina;da;= —coss + C, \ cos^dar = sina; +C, Sâx C dx * Parfois on n'écrit pas la constante auditive arbitraire après l'intégrale Indéfinie, sous-entendant que l'intégrale indéfinie comprend déjà un tel torme. L'égalité (17) dans ce cas sera: Ç Af (x) dx— A X 1 (x) dx. 15*
228 CH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS Pour vérifier ce tableau il suffit d'établir que la dérivée du second membre de l'égalité est identique à la fonction à intégrer du premier membre. En général, sachant que telle fonction a pour dérivée une fonction donnée / (x), nous connaissons par là même son intégrale indéfinie. Mais généralement, même dans les cas lés plus simples, les fonctions données ne se trouvent pas dans la table des dérivées, ce qui rend le problème du calcul intégral beaucoup plus difficile que le problème du calcul différentiel. Tout consiste à ramener l'intégTale donnée à d'autres, qui soient contenues dans la table des intégrales immédiates, ainsi que des propriétés IV, V de [III-1-4J. CetLe transformation exige de l'habitude et de la pratique cL s'allège par l'emploi des règles fondamentales du calcul intégral exposées ci-dessous. 111-1-6. Règle d'intégration par parties. Nous savons que si u, v sont deux fonctions arbitraires de x avec des dérivées continues, alors d'après [11-1-6] : d (uv) =a u dv -\- v du ou udv = d(uv)— vdu. En vertu des propriétés I, V ot III, nous déduisons que: \ u dv = \ [d (uv) — v du] + C = \ d (uv) — \ v du + C — *=uv — \ vdu-{-C, d'où l'on tire la formule d'intégration par parties: \ udv=iuv—\ vdu. (19) Elle remplace le calcul de l'intégrale \ u dv par le calcul de l'intégrale \ v du, cette dernière pouvant se trouver être plus simple. Exomp 1 es. 1. \ In xdx. l'osant : nous avons : , dx du = , v = x, X ot d'après (19) : \ \nxdx=xlnx— \ x—-\-C — xlnx~x-\-C.
JIM. PROBLÈMES FONDAMENTAUX DU CALCUL, INTEGRAL 229 En pratique il n'y a pas lien d'inscrire ces transformations particulières ; to)ites ces opérations s'effectuent, si possible, mentalement: 2. ? c*x<>dx= Ç aVd*=? X sfide'^x^é'— { e*dx*=3?é*—Z Ç e*xdx, \ Bxxdx—\ xdét&= xe^ — \ exdx~ exx—ffx, qui donne enfin : Ç e*i? (/« = «*(»"—2x+2)f C. 3. V sinï-î3^K= \ %3slnxdx=* \ x$d(—cosa:) = = — z'cos x— \ (—cos s) <fa3 = —29 cos se 4-3 \ z2cosz dx = = — z3cosa;-|-3 \ x1dsinx= — x3cosï+3xasin «— —3 \ sinsda;2= — n? cos a; + 3a;2 sin s— 6 \ xsinœ<iï= = —s'cosz-fSi2 sjnz—6 \ xd(—eosx) = = — z3cosz + 3x2 sinœ-)-6xcoss — 6 \ cosa;ds = = — x3 cos ï-{-3x3 sin i-5--6k cos x—6sini + C La méthode, développée dans ces exemples, est employée surtout pour le calcul des intégrales du type : \ «Va, î smbxxmdx, Ç coabxxmdx, où m est un nombre entier positif quelconque : il faut, seulement veiller à ce qu'au cours des opérations successives, le degt'é de x s'abaisse, jusqu'à ce qu'il devienne nul. ÏII-1-7. Intégration par changement de variables. Exemples. On peut souvent simplifier l'intégrale \ / (¢) dx, en introduisant au lieu de x une nouvelle variable t, en posant * = q>(*). (20) La règle du changement de variable dans l'intégrale indéfinie d'après la formule (20) revient tout simplement à remplacer dans cette intégrale l'expression sous le signe somme en fonction de la nouvelle variable t : ^ f(x)dx*=^ f[<p(t)]y'(t)dt + C. (21)
230 CH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS Pour la démonstration, en vertu de la propriété I IIII-1-4I il nous faut établir que les différentielles des membres de gauche et de droite do la formule (21) coïncident, Prenant les différentielles, nous avons : d(^ /(z)<te) *=f(x)dx=f[<p(t)]<f>'(t)dt, d([ /t<P(«)!>'(0<«)==/[cp(i)]<P'(*)<**. Souvent on emploie au lieu do (20) la substitution inverse: * = T|)(a:) et ty' (z) dx = dt. Exemples. 1. \ (ax+b)™ dx (pour m=£ — 1). Pour simplifier l'intégrale, posons : as-|-6 = i, adx=dt, dx — , a et opérant cette substitution dans l'intégrale donnée, nous trouvons : Ç (.»+trfe-JL t,- at~± -gJi+ c^-L (-+>>"■" +c. J a J o m-f-1 a m-fl 2. f -i*—L g -g-^-Ljni+C^ ln <» + »> +C. J as-f-b a J i « o P *f —ï {substitution «= — J = arotg—-+c 4. \ -^r\ — a=arrt«ifl [-(7. J yaî_aa**\ " Four le calcul de celte intégrale nous emploierons la substitution d'Euler, t il sera parlé plus bas de " ' "'" '"' » - - ■- ■■ i-t-t. . — présente ici d'après la formule dont il sera parlé plus bas de façon plus détaillée. La nouvolle variable ( se - ■ • ■ â'i ' ' ■
Hl-i. PROBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCOI, INTÉGRAL 231 Pour la détermination de x et dx, éîovons au carré : Reportant l'ensemble dans l'intégrale donnée, nous avons: P dx _ p 2t i_ (*■-[■ a _ J V^+Z~ù t*+a" 2 fi- dt~ = ? ■y-^lnt + C^lnfa + VâîTôif C- 6. L'intégrale p dx i x*-aï se calcule à l'aide d'un procédé particulier, que nous étudierons par la suilc, à savoir, à l'aide du développement de la jonction à intégrer en fraâtions simples. Développant le dénominateur do la fonction à intégrer en facteurs: ¢2-112 = (3:-0) (s-J-a), nous la présentons sous L'aspect d'une sommo de tractions plus simples: 1 A . B x^—«" x—o x-\-a Pour la détermination des constantes A et B, réduisons au même déuo minatour, ce qui donne l'identité: 1 = /4 (x+a)+J)[x —a)=(A+B)x-\-a(A— B), qui doit avoir Heu pour toutes les valeurs de x. Cette identité sera vérifiée, ai nous définissons A et B a partir des conditions a(A—B)=*l, A+B = 0, A=~Bs=-^-. De cette façon, nous avons : 1 _ 1 r li 11 k2 — o2 2a \_x~a x-\-a J ' p dx 1 |"P dx P dx ~\ _ J 2*»—a2 ""2â"Lj a—a ~ à *+« J — 7. Les intégrales d'aspect plus général mx-^-n x%-{-px-{-q P mx -*- n , S • ■ -■ ■ dx
232 CH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS se réduisent à celles qui ont déjà été étudiées plus tôt, lorsque le dénominateur de la fonction à intégrer est] décomposé en carrés parfaits. Nous avons: Posons alors : ! + ,» + „_ (, + i)8 + «-f. z+JL=*t, x=t—£-, dx — dt, 2 2 ' ce qui donne : mx + n—m [f—^-j + n^At-j-B, où nous avons posé A^m et i?=n——$-• Posant, enfin, où on doit prendre le signe (+) ou (—) selon lo premier membre de^cetto égalité, avec a considéré comme positii ; noua pouvons transcrire l'intégrale jponnée sous Ja forme: P mx+n .,_. p Al+B ,. ,, p tdt , „ p d< La premièro de ces intégrales se calcule facilement, si l'on pose: (2±a« = z, 2idl=-dt, ce qui donne: P tdt 1 P dz 1 , , 1 . ,,„ „. I ir^—z l -r=Tln:,=T.ln(^±^). La dcuxièino intégrale possède l'aspect, examiné dans les exemples 3(-f) et 6(-). 8. Les intégrales du la forme ~\/z%-\-px-\-q dx exomple se réduisent à celles qui ont été étudiées plus haut avec le mémo procédé de * its. Utilis ' • ' ' " igrale < mx-{-n . P Ai-\-B «I IDHUlWUb <» »-c,|Vfl L[UJ U**V DW Otuuicvd U1IU UttU, ttï«i M3 WOUIO Jfll la décomposition en carrés parfaits. Utilisant les symboles de 1 (7), nous pouvons transcrire l'intégrale donnée sous la forme : .—, — dx=* \ —- ■ - dt- Vxz-i-px+q ù yt*+b La premièro de ces intégrales se calcule à l'aido de la substitution : t» + 6=î», 2tdt = 2zdz, laquelle donne:
111-t. PROBLÈMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTÉGEAL 233 La deuxième intégrale a été déjà étudiée dans Voxemplo 5 et est égale a ln(( + Y? + b). U. Avec le procédé analogue do la décomposition eu carres parfaits, on peut transformer l'intégrale mx \-n dx 'Vq+px—mfl sous l'aspect : A' l yl*-t*+Bt l yJL* ' et nous avons : a l'aide de la substitution oa—i3 = aa. La deuxième intégrale a été étudiée dans l'exemple 4. 10. I -s- (x —-sin x eos x) f- C. 1 ^aln*xd*=l!-ïp*ïdx= ±-(x-±a\n2x)+C= =-*- (i-sim ? cm*zdx=*[ i+c°s2x dx=-^(x+-Lsin2x\+C il. L'întégralo Ç yïâ~+ârfz so présente sous une forme déjà étudiée à l'aida de l'intégration par parties : ^ yx*+âdx=xyxZ+a—Ç x-dYx*+â = Ajoutant et soustrayant a dans le numérateur do la fonction à intégrer do la dernière intégrale, nous trauscrivons l'égalité précédente sous la forme : ? l/i!+«iii=jypfj_t Yx^+âdx + a \ JZs-r , d'où enfin : î y^S+ï <& = -|- [a: VÏ2+« + a In (x +1/^2+^)) + (7.
234 CH. III. NOTIOK D'INTÉORALBIET APPLICATIONS 111-1-8. Exemples d'équations différentielles du premier ordre. Au paragraphe [11-1-7 J nous avons examiné les équations différentielles les plus simples. L'équation différentielle la plus générale du premier ordre a l'aspect suivant: *(*,U, y')=o- C'est une relation, liant la variable indépendante x, la fonctien inconnue y et sa dérivéo première y'. On peut généralemenl résoudre cette équation par rapport à y' et l'écrire sous la forme: «'=/(*. y), où / (x, y) est une fonction connue de x et y. Ne considérant pas cette équation dans lo cas général, ce qui sera fait dans le deuxième tome, nous nous arrêterons seulement à quelques exemples les plus simples. Equation aux variables séparées,— cas où la fonction / (x, y) se présente sous la forme d'un rapport do deux fonctions, dont l'une dépend seulement de x et l'autre seulement de y: ir'-iîS-. (22) y fin) * Se rappelant que y' — -¥■ , nous pouvons écrire'cette équation sous la forme : iff{y)dy = <f{x)dx, >j de sorte qu'au premier membre de l'équation n'apparaisse cjue la lettre x et au deuxième membre seulement la lettre y; cette transformation s'appelle séparation des variables. Comme frt> te) *=- <î W (ff) dV< <P (*) àx=d V <p (x) dx, en vertu de la propriété 1 [HI-1-4J nous obtenons: \ *te)*=jt <$(x)dx+C, (23) d'où on peut, on prenant les intégrales, déterminer la fonction cherchée y. Exemples. 1. Réactions chimiques du leT ordre. Désignant par a la Quantité do matière, existant au départ d'une réaction, et par x la quantité e matière, outrée on réaction au moment t, nous avons [11-1-7J l'équation: -§ = *(<:-*), (24) où c est la constante de réaction. De plus nous avons la condition: * 1,=0 = 0. [(25) Séparant les variables, nous trouvons : dx ,. — cdl, a—x ou, en intégrant: $-—-=$ odt+Cti -In (a—x) = ct + Clt où Ct est une constante arbitraire. D'où nous extrayons: a—» = e-ïf-Cl = Ce-'",
Ill-i. PROBLEMES FONDAMENTAUX DU CALCUL INTEGRAL 235 où C—e~Cl est aussi une constante arbitraire. On peut la déterminer ?i partir de la condition (25), on vertu de laquelle l'égalité précédente pour t = 0 denno a = = C, soit finalement : i = a(l — e~c'). 2. Réactions chimiques du 2" ordre. Soit deux substances se trouvant dans une solution, dont les quantités au début de la réaction ont pour expression en molécules-grammes a et b. Admettons qu'au moment t entrent en réaction des quantités égales de chaque substanco, que nous désignerons par x, do sorto que les quantités de substances qui restent sont a — x et 6 —- x. D'après la loi fondamentale des réactions chimiques du deuxième ordre la vitesse de la réaction ost proportionnelle aux produits de ces quantités restantes, c'est-à-dire: _f.=fc(o_ x)(b—x). Il faut intégrer cotte équation avec la condition initiale -"|/=o Séparant les variables, nous avons : dx =0. («—x) (b—as) ou, en intégrant P dx (a—x) (b—x) ■=kdt, — kt + Ci, (2R) où Cj est une constante arbitraire. Pour le calcul do l'intégrale du premier memhre, nous appliquerons la méthode de la décomposition en fractions simples (exemple B) IH1-1-7] : (a—x) (b — x) a — x r 6 — x ' i=A (b—x)±£(a — x) = — (A±B)x + {Ab + Ba), qu i donne : ~{A + B) = 0; Ab+Ba = t, d'où 'A Û=~l—, 6— a de sorte que : P dx 1 r P dx P dx *1 1 b — x J (b—x) {b—x) ~ b—a Ld «—x ù b—x J —" 6—a a — x Substituant dans (26) nous avons : ln.6~* =(b~a)lct + (b—a)C1, b-x. = Ce<f>-")M, a—x où C =5 e"1-a)°i. La fonction cherchée x s'en déduit sans aucune difficulté.
23G CH. 111. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS A'ohs proposons au lcctour d'analyser le cas particulier où a — b, quand les formules précédentes perdent leur sens. 3. Trouver toutes les courbes, coupant sous un angle constant donné les rayons vecteurs, issus de Vorlgtne des coordonnées * (fig. 121). Soit M (r, y) un point de la courbo cherchée. D'après la ligure nous avons : co = «—f), v'-Z- tga—tg0 " x ig. = tg(«-e,- i+tgatg¥=7-^7T • *-x Désignant pour la commodité du calcul tg o^-L et, en supprimant les dénominateurs, écrivons l'équation différentielle obtenue sous la tonne: x-\-yy' = tt,(y'x—y) ou, multipliant les deux membres par dx: x dx-\-y dy = a(x dy—y dx). (27) Cotte équation s'intègre très simplement, en passant dos coordonnées rectangulaires x, y aux polaires r, 8 on prenant l'axe OX comme gxo polaire et l'origine des coordonnées 0 comme pôle. Nous avons lU-5-18): Fig. 121 ce qui donne: x'dx-i-y dy=r dr, dd = ^-fya=rr2, 8 = arc_tg-^-, 1 _y xdy—ydx y* a x ~ x* -f-i/3 1+-3F L'équation (27) s'écrit par suite sous la forme: rdr = arsdd ou — adO- r En intégrant, nous eu déduisons: lnr—oO+Cj, c.-h-d. r = CeaB, OÙ C=eCl. Les courbes obtenues s'appellent spiral03 logarithmiques. HI-2. Propriétés des intégrales définies III-2-1. Propriétés fondamentales des intégrales définies. Nous avons vu que l'intégrale définie (1) I=^f(x)dj;, «<£, * D'uno façon générale, par anglti entre deux conrbos on désigne l'angle entre leurs tangentes, issues au point d'intersection dos courbes.
III-2. PROPRIETES DBS INTEGRALES DfiFINlES 237 où (a, b) est un intervalle fini et / (x), fonction continue dans cet intervalle, est la limite des sommes du type [111-1-21: n J*/(ar)de-Iim2 /(&»)(3fc-*»_,). (2) Cette limite doit être comprise de la manière suivante: pour tout 8 positif fixé à l'avance il existe un nombre positif t\ tel que: n pour tout choix des points gj dans les intervalles (jt%-i, 3¾) et pour tout découpage, si la pliis grande des différences (positives) «h — *fe_, < *)■ En un mot, l'intégrale (1) est la limite des sommes (2) pour tout choix de 1s et toute manière suivant laquelle la plus grande des différences x^ — zft_, tend vers jéro. Notons qu'alors le nombre des termes dans la somme (2) augmente indéfiniment. Rigoureusement parlant, la définition de la limite mentionnée (2) doit être comprise comme nous l'avons déjà indiqué plus haut (avec l'aide de e et r\). A la fin du chapitre nous démontrerons l'existence de la limite susmentionnée des sommes (2) pour les fonctions continues et certaines classes de fonctions discontinues. Par la suite, sauf indication spéciale, nous estimerons que la fonction à intégrer est continue sur l'intervalle d'intégration. Nous avons supposé que la borne Inférieure a de l'intégrale est plus petite que la borne supérieure 6. Si a = b, alors il résulte de l'interprétation de l'intégrale en tant que surface qu'il est naturel d'estimer que J/(*)«te«0. (3) Cette égalité est la définition de l'intégrale pour le cas où la borne supérieure est égale à la borne inférieure. Pour a > b on adopte la définition suivante: $*/(*)&=-$[/(*) «fa. (4) Dans l'intégrale figurant au second membre la borne inférieure 6 est plus petite que la borne supérieure a et l'intégrale peut être comprise de la manière usuelle, comme indiqué plus haut. Si nous avions construit pour l'intégrale du premier membre la somme (2), nous aurions obtenu pour elle (a. > 6) : a = œ0>a:1>ar2> ... >»*_,>»*> ... >z„_, >»„ = &,
238 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS et toutes les différences (¾ — œft_i) sont négatives. Si nous passons à l'intégrale figurant au second membre de l'égalité (4), autrement dit, si nous estimons que a est la borne supérieure et b la borne inférieure, il faudra compter les points intermédiaires ^¾ dans l'ordre inverse et toutes les différences dans la somme (2) changeront de signe. Ces considérations plaident naturellement en faveur de la définition (4) dans le cas où a > 6. Notons l'égalité évidente r<fe=£ldr = i-«. (5) En effet, comme la fonction a intégrer est égale à l'unité pour tout x, alors ^Ac=lim[(arJ — «)-| (x2—xt) + (x3—*a)-|- .., -f + (^7,-1-¾^) + (b—Xn.i)\. Mais la somme figurant entre crochets est égale à la constante (6 - a). Passons maintenant à l'énoncé et à la démonstration des propriétés de l'intégrale définie. Les deux premières sont les définitions exprimées par les égalités (3) et (4). I. L'intégrale définie avec des bornes inférieure et supérieure identiques a une valeur nulle. II. Par permutation des bornes supérieure ei inférieure l'intégrale définie conserve, sa valeur absolue et change seulement de signe '. J/(«) <**=-.£/(*)«&:. III. La grandeur de Vintégrale définie ne dépend pas de la désignation de la variable d'intégration: Ceci avait été déjà mis en évidence dans [III-1-2], IV. Soit la série de nombres a> b, c, , k, l, disposés dans un ordre quelconque, alors ^/(j$to-£/(*)«fc+J*/(*)d* + ... +J[/(*)<te. (6) Il suffit d'établir cette formule pour le cas do trois nombres a, b, c, après quoi il n'est pas difficile d'étendre la démonstration à un nombre quelconque de termes.
JII-2. MOPRlETfiS DES INTÉGRALES DEFINIES 23!) Montrons-le d'abord, pour a<6<c. Do la définition il résulte que n J*/(*)«Zj: = limS /(Ei)(Ki-ï|-i). et que cette limite est unique quelle que soit la façon dont on découpe en intervalles le segment (¢, c), sous réserve que la plus grande des différences (s,- — xt.i) tende vers zéro. Nous pouvons convenir do découper le segment (a, c) de façon que le point 6, se trouvant entre a et c, apparaisse à chaque fois comme un des poinLs du découpage. Alors la somme S /(El)(*I-*!-l) se décompose en deux sommes du même type, avec la seule différence, que pour établir l'une nous découperons en intervalles le segment (a, h) et pour établir l'autre — le segment (6, c), et que, dans les deux cas, la plus grande des différences (#; — xt-i) tende vers zéro. Ces deux sommes tendent respectivement vers: et nous obtenons enfin en choisissant un ordre fixé quelconque du découpage et des pointa fixés |j n ce qu'il fallait démontrer. Supposons maintenant que b se trouve en dehors du segment (a, c), par exemple a<c<ô. D'après la démonstration nous pouvons écrire maintenant : $*/(ï)<fc«$'/(ir)<te+J/(*)**, d'où ^ /X*) dx^fj (x) dx- J* / (x) dx. Et en vertu de la propriété II, nous avons : -£/(*) *»-£/(*) «fa, c'est-à-dire de nouveau : J* f(x)dx=lbJ(x)dx+ Il f (x) dx.
240 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS De façon analogue, on peut examiner tous les autres cas possibles de disposition des points. V. On peut extraire un facteur multiplicatif constant de sous le signe d'intégrale définie, c'est-à-dire \b Af(x)dx = AV'f(x)dx, en effet, n J'il/(*)<fa = lImS 4/(g,)(*»-*_,)- n = A lim 2 / (&) te - *»-i) = A II f (x) dx. (=1 VI. L'intégrale définie d'une somme algébrique est égale à la somme algébrique des intégrales définies' de chacun de ses termes, en effet, par exemple n Il [/ (*) - <ï> («)1 à* - lim 2 1/ (&) - <P (601X n n X (s, -«!.,)= lim 2 /(ij)(*'î-*i-i)-lim2 * (£0 (** - «i-O = 1=1 i=l = \ f(x)dx— \ (p(z)diir. III-2-2. Théorème de la moyenne. VII. SI sur le segment (a, b) les fonctions f (x) et cp (x) satisfont à la condition ; /(*)<<p(a), a<z<è, (7) alors J*/(ï)«te<J*<p{aO«far (6>o), (8) on, plus brièvement, o» p«id intégrer les inégalités. Etablissons la différence: J* cp (x) dx-fj (x) dx = ^ [cp (x) - f (x)] dx = -lim 2 fo(Èi)-/(£i)](*i-*i-i). Bu vertu de l'inégalité (7), les termes sous le signe somme sont positifs ou, du moins, non négatifs. Par conséquent, on peut
111-2. PïiOI'Jflrê'I'ËS DES INTÉGRALES DSMNIES 241 en dire autant de la somme et de sa limite, ce qui conduit a l'inégalité (8). Donnons encore une explication géométrique de ce qui a él.é dit. Admettons d'abord que les doux courbes se trouvenl au-dessus de l'axe OX (fig. 122). Alors la figure, limitée par la courbe y = / (x), l'axe OX et les ordonnées x = a et x — b, se trouve entièrement à l'intérieur de la figure analogue, limitée Fis. 122 à la courbe y — <p (#), c'est pourquoi l'aire de Ja première figure ne dépasse pas l'aire de la deuxième, c'est-à-dire ? f(x)dx<i \ <p(x)dx. Le cas général d'un arrangement de courbes données placées de Façon quelconque par rapport à l'axe OX et vérifiant la condition (7) se ramène au cas précédent, par une translation verticale suffisante du graphique pour que les deux courbes se trouvent au-dessus de l'axe OX ; cette translation ajoute à ebacuno des fonctions / (x) et <p (x) une seule et même grandeur constante c. 11 est facile de démontrer que si dans (7) il y a lo signe <, alors dans (8) il y a le signe <. Rappelons que les fonctions / (x) et <p (*) sont considérées comme étant continues. Corollaire. SI sur le segment (a, b) |/(t)K»(t)<Jf, (9) alors If/(z)dz|<f <p(z)<te<Jtf(ô-«), l»a, {10) En effet, les conditions (9) sont équivalentes aux suivantes: - M < - q> f» </ (») < Ç (x) < +M. lin intégrant ces inégalités entre les bornes a h b (propriété Vil) et en appliquant (T>) nous obtenons: — M (b—a) < — ^9 (*> •**< Ht (*) **<• ^9 0) â*< M (6—a), qui est équivalent aux inégalités (10). 10-28)
242 CH, III. NOTION D'INTBGBALE ET APPLICATIONS Posant q> (x) = | / (z) |, nous tirons de (10) l'inégalité importante: |J'/(ï)dï|<J'|/(*)|dï, (10,) qui se présente comme la généralisation au cas de l'intégrale de la propriété connue pour une somme: la valeur absolue d'une somme de termes est plus petite ou égale à la somme des valeurs absolues des termes. Dans la formule inscrite, lo sigue d'égalité a lieu, comme il n'est pas difficile de le voir, seulement dans le cas où / (x) ne change pas de signe sur le segment (¢, b). De la propriété VII découle un théorème très important : Théorème de la moyenne. 5/ une fonction (p (x) conserve un signe constant sur le segment (a, b), alors $'/(*)q>(*)àe = /(Ê)$*q>(*)«te, (11) où î; est une valeur quelconque, appartenant au segment {a, b). Pour préciser nous considérerons <p (x) ^> 0 sur le segment (a, b) et désignerons par m et M respectivement la plus petite et la plus grande des valeurs de / (x) sur le segment (a, b). De sorte que w</(z)<M (les deux signes d'égalité peuvent avoir lieu en même temps, seulement quand / (x) est une constante) et <p (x) >■ 0, alors my (x) < / (x) cp (x) < Mq> (x), et en vertu de la propriété VII, considérant que b > ¢, m\ cp(a;)cte<\ f(x) cp(z) (te<Af \ tp(x)dx. Il en résulte qu'il existe un certain nombre P, vérifiant l'inégalité m < P < M, tel que §*/(x) <p [x) âx^P^y (x) àx, (12) Gomme la fonction / (x) est continue, elle possède sur le segment (a, b) toutes les valeurs, comprises entre la plus petite m et la plus grande M, et parmi elles la valeur P [1-2-11]. Par conséquent, il existe une telle valeur £ à l'intérieur du segment (¢, b), pour laquelle f(É)=*P, ce qui démontre la formule (11). Si cp (x) <; 0 sur le segment (¢, b) alors — <p (x) >- 0 sur le segment (a, b). En appliquant le théorème qui a été démontré, nous
111-2. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES nfiUNlES 243 obtenons: $*/(*)[-9(*)!**-/(9 $*[-¥<*)] «tes sortant le signe (—) de sous le signe d'intégration et multipliant les deux membres par (—1) nous retrouverons la formule (11). De même, pour b < a, la formule : J/(*)ç(») <te = /(E)$°q>(*)cfe. résulte de ce qui précède. Permutant dans les deux membres les bornes d'intégration ot onillipliant par (—1) nous retrouvons la formule (11), qui a été démontrée, de cette façon, dans toute sa généralité, Flg, 123 En particulier, en posant q> (x) — 1, nous obtenons l'Important cas particulier du théorime de la moyenne: lbgf(x)dx = fa)lbadx = f(t)(b-a). (13) La valeur de l'intégrale définie est égale au produit de la longueur du segment d'intégration par la valeur de la fonction à intégrer pour une certaine valeur de la variable indépendante prise sur te segment. Si a> b, il faut prendre cette longueur avec le signe (—). La proposition géométrique équivalente est que, si on considère l'aire limitée par une courbe quelconque, l'axe OX et les deux ordonnées x — a, x = b, on peut toujours trouver un rectangle ayant la même surface, de môme base (b — ¢) et dont la hauteur est égale à V une des ordonnées de la courbe sur le segment (a, b) (fig. 123). Il n'est pas difficile de montrer que le nombre g, entrant dans la formule (11) ou (13), peut toujours être considéré comme se trouvant à l'intérieur du segment (¢, b). III-2-3. Existence de la fonction primitive. VIII. Si la borne supérieure de l'intégrale définie est une grandeur variable, alors la dérivée de l'intégrale par rapport à la borne supérieure est égale à la valeur de la fonction à intégrer pour cette borne supérieure. 16»
244 CH. III. NOTION D'INTfiGRALE ET APPLICATIONS Remarquons que la grandeur de l'intégrale pour une fonction à intégrer donnée dépend des homes d'intégration a et b. Considérons l'intégrale llWdt ayant une limite inférieure constante a et une borne supérieure variable x, avec une variable d'intégration que nous désignons par la lettre t pour la distinguer de la borne supérieure x. La valeur de cette intégrale sera une fonction de la home supérieure x: F(x) = ^J(t)dt, (14) et il faut montrer que Pour la démonstration, nous calculerons la dérivée de la fonction F {x) à partir de la définition de la dérivée lll-l-ll: dF(z) = lim J>(x+k)-F{x) Nous avons : F(x+h) = lx+hf(t)dt~lxJ(t)dt + lx+l'f(t)dt (en vertu de la propriété IV), d'où F(x+k)=F(x) + H+hf(l)dt, et F (o) = ^/(i)d< = 0. Utilisant (13), nous avons: F(* + A)-*(s)-$^/(t)d* = /(6)fc, où h peut être aussi bien positif que négatif, si o< x < b; ft> 0 pour x = a et h < 0 pour œ = b. Le nombre | appartient à l1 intervalle dont les extrémités sont x et x -j- h de sorte que si h tend vers zéro, alors | tendra vers a: et / (1) vers / (a;) en vertu de la continuité de cette fonction. 11 découle immédiatement de cotte dernière formule que F (z) est une fonction continue pour a <1 x ■< f),- autrement
111-2. PROPRIÉTÉS DES INTEGRALES DEFINIES 245 dit, l'intégrale définie considérée comme une fonction de sa borne supérieure est une fonction continue dans l'intervalle {a, b). Divisant les deux parties de cotte dernière formule par h: P {x+k)—P (*)_;(t) et faisant tendre h vers zéro (h -»- + 0 pour x = a ot h —r — 0 pour x = b), nous obtenons: F'(s) =-^ = lira/(£) = /(*). Nous avons déjà parlé de la définition de la dérivée aux extrémités d'un intervalle fermé an paragraphe ITI-1-21- Des raisonnements précédents, il résulte aussi que: IX. Toute fonction continue f (x) possède une fonction primitive ou une intégrale indéfinie. La fonction (14) est la fonction primitive de / (x), qui s'annule pour x == a. Si Ft (x) est une des expressions de la fonction primitive, comme nous avons vu dans [I1I-Î-3I : lbJ(x)dx = F1(b)~Fl(a). (15) in-2-4. Cas des fonctions discontinues sous le signe d'intégrale. Dans tous les raisotiuements qui ont précédé, il a été supposé que la fonction à intégrer / (x) était continue sur tout l'intervalle d'intégration (a, b). Introduisons maintenant le concept d'intégrale pour des fonctions discontinues quelconques. Si dans l'intervalle (a, b) se trouve un point c, pour lequel la fonction à intégrer f (x) possède une discontinuité, mais tes intégrales ^~e / (x) dx, ^+b„ / (*) dx (a < 6) tendent vers des limites déterminées, quand les nombres positifs e' et «* tendent vers zéro, ces limites s'appellent intégrales définies de la fonction f (x), prises respectivement entre les bornes (a, c) et (c, b), c'est-à- diro: Vf(x)dx= lim \c *'f(x)dx, \ /te)cfe= lim \ f(x)dx, si ces limites existent. Nous obtenons dans ce cas : ^baf(x)dx = ^J{x)dx+^'ff{x)Ae.
246 CH. ni. NOTION D'INTJÎGRAJUE ET APPLICATIONS La fonction F (x) définie par la formule (14) possède, comme il n'est pas difficile de le voir, les propriétés suivantes: F'(x) = / {x) pour tous les points (a, b), excepté x— c, et F (x) est continue dans tout l'intervalle (a, b), y compris x = c. Si le point c coïncido avec l'une des extrémités de l'intervalle (a, 6) il faut considérer au lieu des deux, seulement une dos limites : Jim \ f(x)dx Ou lim \ ~ef(x)dz. Enfin, s'il n'y a pas un mais plusieurs points de discontinuité dans l'intervalle (a, b), il faut découper l'intervalle en parties, dans chacune desquelles il n'y a qu'un point de discontinuité. Compte tenu de la convention ci-dessus sur le sens du symbole, la propriété IX et la formule (15) ^J(x)iz = Fi(b)-Fi(a) auront probablement lieu, si F\ (x) =/ (x) pour tous les points (a, b), hormis x = c, et Ft (x) est continué dans tout l'intervalle (a, b) y compris x = c. Il suffit de le démontrer dans le cas d'un point de discontinuité c à l'intérieur de l'intervalle (a, b) ; car le cas de plusieurs points de discontinuité ainsi que le cas ou c = a ou 6, sont étudiés de façon analogue. Comme dans les intervalles (a, c — e'), (c + e", b) la fonction f {x) est continue, la formule (15) est donc valable ici, et nous avons: ^e~1' f(x)dx=> F, (c- b')—^ (a), H+tJ(x)dx = Ft(b)-Ft(c+ <>")■ En vertu de la discontinuité de Fv (x) nous pouvons écrire : V:f(x)dx= lim IF, (c - e')-F,(a)]= ^,((:)-.^,((1), \ V (x) dx -. lim \Ft (b) - F, (c + e")] = F, (&) - Ft (c), c'est-à-dire = [Ft (c) - F, (a)} + [Ft (b) - F, (c)] « F, (6) - 2?, (a), ce qu'il fallait démontrer.
1.11-2. PROPRIETES DES INTEGRALES DBMME8 347 Bu. point de vue géométrique, ce cas se rencontro quand la courbo j/ = / (z) possède une discontinuité en un point c, mais de façon que la surface de la courbe existe tout do même. Considérons, par exemple, le graphique de la fonction, définie de la façon suivante : 1 /(*) = /(*) = * -+-. pour 0<z<2, pour 2<i<3 (fig. 124). L'airo délimitée par cette courbe, l'axe OX, l'ordonnée x = 0 et l'ordonnée variable x^xi, est une fonction continue dex, bien quo la fonction / (x) présente une discontinuité pour i = 2. D'autre part, il n'est pas difficile de trouver une fonction primitive pour / (x), qui soit continue sur tout le segment (0, 3). Cela sera, par exempta, la fonction Fl (r), présentant la forme suivante: "& * „ pour 0<r<42, 'iW—T+ 2 x% pour 2<ï<3. EFfcctivoinont, on différentiant, on se convainc que sur le segment (0, 2) et F\ (x) ~ x sur le pjg. J24 segment (2, 3). Los deux expressions de Fi (x) écrites ci-dessus donnent pour x = 2 une seule et même valeur 2, qui assure la continuité de Fs(x). L'aire, délimitée par notre courbe, l'axe OX et les ordonnées x «= 0, x — 3, est représentée par la formule: ^/ [x) dx= £*/(») dz+^fix) dx=Fi (3)-F, (0) = ce dont il n'est pas difficile de se convaincre en considérant la figure. Considérons encore la fonction y = x~*'3 (fig. 125). Elle présente une branche infinie pour x = 0, mais sa fonction primitive Zx1!* reste continue pour cette valeur de x, c'est pourquoi nous pouvons écrire : J^^fe-faM^-e; en d'autres termes, quoique la courbe considérée pour x voisine de zéro s'éloigne à l'infini, elle possède néanmoins une aire véritablement définie entre les ordonnées x = — 1 et x — 1. 1 / 1 \ Pour la fonction -5 la fonction primitive I j devient infinie pour x =■ 0, la formule (15) est inapplicable pour cette fonction dans le cas, où le point 0 se trouve a l'intérieur du segment (a, 6) ; la courbe -5 dans cet intervalle ne possède pas d'aire finie.
248 CH. -III. NOTION D'INTEGBALE ET APPLICATIONS Notons que dans certains cas les intégrales des fonctions discontinues dans un intervalle fini (¢, 6) ont aussi un sens découlant immédiatement de la notion de limite des sommes indiquées au début de (III-2-1I. Cela sera le cas par exemple quand / (x) aura un nombre fini de points de discontinuité sur l'intervalle (a, b) et est bornée sur cet intervalle, autrement dit, il existe un nombre positif M te) que | / (x) \ < M pour tous les x de (a, b). Les valeurs aux points de discontinuité n'influent pas sur la valeur de l'intégrale. Nous en parlerons dans IIII-4-31. Si par contre la fonction / (œ) n'est pas bornée, c'esl-à-dire si | / (x) | prend des valeurs arbitrairement grandes, il n'est plus possible de définir directement l'intégrale en tant que limite d'une somme. Cela a.lieu pour l'exemple correspondant à la fig. 125. Il est ici nécessaire de définir l'intégrale comme une intégrale sur un intervalle raccourci en passant ensuite à la limite 2 2 i \ x 3dx— lim \ d — i e'-+-0 v—i x 3 dx-\- lim \ C-++0 "8" x 3 dx. De telles intégrales sont usuellement appelées intégrales impropres. A Pour la fonction -= il n'existe pas de limite finie lim \ —=-&:= -\-<x>. De toiles intégrales sont dites divergentes. L'intégrale mentionnée plus haut de a;-3'» est dite convergente car les limites indiquées plus baul existent quand &'-*■ — 0 et e" -*■ + 0.
I1I-2. PEOPRIffiTBS DES IN'Ï'BÛHALES DEFINIES 249 Dans le paragraphe suivant nous allons considérer les intégrales impropres sur un intervalle infini. Dans ce dernier cas il n'est pas possible de définir directement l'intégrale en tant que limite de somme et l'intégrale est foncièrement impropre. III-2-5. Limites d'intégration infinies. On peut étendre ies- raisonnements précédents au cas du segment infini, et poser Ç+c°/te)&s= lim C/(ï)dr, (16) do b->.+oo oa T f(x)dx= lim Vffâdx; (17V si ces limites existent. Cette condition est effectivement remplie, si la fonction primitive Ft (x) tend vers des limites finies, quand x tend vers (+00) ou (—00). Désignant simplement ces limites par Ft {+00,) et Ft (—00), nous aurons: s: 1 /(*)<&= lim [Fl(b)-Fl(a)] = Fi(+oo)~Fl{a), (18> b Ux)dx=lim [F^^-F^a)]^F, (b)~F,(~00), (19) ^f(x)dx=^a_atf(x)ax+^f(x)dx = Fl( + oo)-Fl(-<x>), (20) ce qui apparaît commo une généralisalion de la formule (15) au cas d'un segment infini. Souvent on écrit la relation (16) sous la forme J-/(*)«fc-limj*/(*)&, Du point de vue géométrique, quand la condition précédente est remplie, nous pouvons dire que la branche infinie de la courbe y = f (x) qui correspond à x -*■ ± 00 a une .surface. Si les limites (16) et (17) existent alors on dit que Ios intégrales correspondantes convergent ou que ce sont des intégrales convergentes. Dans le cas contraire on dit que les intégrales divergent. Exemple. La courbe U = tt\—â> s'éloignant à 1* infini pour x — ± 00,. limite cependant avec l'axe OX une aire finie (fig. 12(i), Celle que )_~arctg*|_ = T- (--g-J-n.
:250 CH. m. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS Pour le calcul de cotte Intégrale 11 convient de se rappeler que pour la fonction arc tg x il ne faut pas prendre n'importe quelle détermination de cette fonction a plusieurs déterminations, mais précisément celle définie dans [M-24], Fig. 126 ipour laquelle on avait retenu une détermination unique, c'est-à-dire entre (—5-) et I 4--5-1 •, dans le cas contrairo la formule qui précède perd son sens. III-2-6. Changement de variable pour une intégrale définie. Soit / (x) une fonction continue dans l'intervalle (a, 0), ou même dans l'intervalle plus large (A, B), dont il sera question ci-dessous. Soit aussi la fonction q> (t) univoque, continue qui possède une dérivée continue <p'(/) dans l'intervalle (a, P), de sorte que: <f(a) = a et <p(P) = &. (21) Posons encore que les valeurs <p {t) pour les variations de t dans l'inlorvalle (a, p) ne sortent pas de l'intervalle (a, b) ou du plus grand intervalle (A, B), dans lequel / [x) est continue, La fonction ■composée / [<p (t)] est alors une fonction continue de t dans l'intor- valle (a, 6). Avec les hypothèses choisies, si on introduit au lieu de x la ■nouvelle variable d'intégration /: *-<?(*). (22) •l'intégrale définie so présente sous la formule: 5*/<*)d*-2/fo(*)]q.'(*)«B. (23) Introduisons au lieu des intégrales envisagées, les intégrales avec bornes variables : F (*) = J" / (y) dy, V (*) = £ / [<p («)] <p' (z) dz
III-2. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES DEFINIES 251 En vertu de (22) F (x) est une fonction composée de t : F(x) = F[<(!(t)]^lli<)f(y)dy. Calculant sa dérivéo d'après la règle de différenl.iation dos fonctions composées, nous avons : dF (r) _ âF (x) dx àt dx di ' el en vertu do la propriété VITI [I1I-2-3), et de la formule (22), il résulte que : d'où T^-/(*)«P'(*)-/[«P(*)]«P'(«)- Calculons maintenant la dérivée de la fonction *¥({)• En vertu de la propriété VIII et dos hypothèses que nous avons énoncées, nous avons: T^-/l<P (01 ¥'(*)- Les fonctions ¥ (t) et F (x), considérées comme fonctions de ï, possèdent, de cette façon, des dérivées égales dans l'intervalle (a, p), et d'après [III-1-4J elles ne peuvent différer que d'une constante additionnelle, mais pour t = a nous avons : z = tp(a) = a, ^{2:)1(=8 = ^(0) = 0, V{a)«0, parce que ces deux fonctions sont égales pour t = oc ; elles le sont par suite pour toutes les valeurs de t dans l'intervalle (a, B). En particulier, pour t = B nous avons: ce qu'il fallait démontrer. Bien souvent à la place de la substitution (22): a: = tp (t) on emploie la substitution inverso t = y(x). (24) Alors les bornes a ol B se définissent d'emblée d'après les formules : a = ij>(œ), B = i],(6),
252 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE KT APPLICATIONS mais il faut ici garder à l'esprit que V expression: (22), que nous obtenons pour x, si nous résolvons Véquation (24) relativement à x, doit satisfaire, à toutes les conditions indiquées plus haut, en particulier, la fonction <p (t) doit êtrt! une fonction vjnivoque de t. Si <p (t) ne remplit pas cette condition, la formule (23) peut se trouver en défaut. Introduisant dans l'intégrale à la place do x la nouvelle variable indépendante t d'après la formule dans la partie droite de lu forjllule (23), nous obtenons l'intégrale avec les bornes uniques -}-l, -4-1, égale, par conséquent, à %6ro, co qui n'est pas possible. La faute se produit par ce que l'expression x donnée par t: est une fonction multivoque. E x o m p 1 0. La fonction / (œ) s'appelle fonction paire de x, si / (—s) = >= / (x), ot fonction impaire, si / (—x) = — / (x). Par exemple, cos x est une fonction paire ot sln # une fonction impaire. Montrons que ^!(x)dx^2<\jJ(x)dx, si f (x) est paire, et \ /(*)d*=0, e)—a si 1 (x) est impaire. Décomposons l'intégrale en doux [TI1-2-1, IV] ; ^ / (x) dx= ^ f (x) dx |- Yg f (*) dx. Daais la première intégrale, effectuons le changement de variable x= = — t et appliquons les propriétés II et III [111-2-1] : d'ofj, en reportant dans la formule précédente : Si / (x) est une fonction paire, alors la somme (/ f—a) -[- / (2)] est égale à 2/ (x), et si / (x) ost impaire, alors cette somme est égale à zéro, co qui piouve notre affirmation. IIÏ-2-7. Intégration par parties. La formule d'intégration par parties [1II-1-6J pour des intégrales définies peut être écrite sous la forme : \ u(x)de(x) = u(x)v(x)\ —\ v(x)du(x). (25)
III-2, PKOPHIÉTÉS «ES INTÉGBALEB DÉFINIES 263 Effectivement, en intégrant terme à terme l'identité [I1I-1-6] u(x) dv (x) = d {U.(x) v (x)\ — v (x) du (x), nous oïjtenons \ u (x) dv (v) — \ d [«.(«) v (x)\ — \ v (x) du- (x) et en vertu do la propriété IX [III-2-3] : ce qui donne la îormulo (25). On considère, bien sûr, que u(x) ot v(x) possèdent des dérivées continues dans l'intervalle (a, b). Exemple. Calculons les Intégrales prt/2 pu/2 \ sln" x dx, \ cos" x dx. l'osons /tt= \ sin" x ds. lCn intégrant par parties, nous avons : pn/2 pn/2 /,i=\ siun-1»sinKAt= — \ sinn-iarf cosa-- |it/2 pu/2 = —«in1*-1 x cos x\ 4-\ <n—1)sîiin_2ïO0SS'COS j;rfs= prc/2 pJT/2 — {n—1) \ sînn-aicosîïdx = (n—1) \ sln1'-»! (1 —sin2K>dJ; — pjr/2 P^t/2 = (n—i)\ sin«-îœrfar—(n— 1) \ sin» *d*=(n —1) /„_2—(n-l)/re, c'est-à-dïro /„=--(n-l)/„_2-(»-1)/n, d'où, en résolvant par rapport à J„ : /n=^/n-2- (2C) Cette formule s'appello formule de récurrence, car cîlo conduit lo calcul do l'intégrale In à une intégrale semblable, mais avec un indice plus faible (n ~- 2). Distinguons maintenant deux cas, selon que a est un nombre pair ou impair. 1. n = 2fc (pair). Nous avons en vertu do (26) : _2fe—1 r (afe-1)(2ft-3) T _ _(2fc-l)(2A-3)...31r '2h--2JT'2h-2~ 2A-(2*-2) ih-1 2fc(2fc-2)...4-2 '••
gM CM, III. NOTION D'JM'ËGHALE ET APPLICATIONS et puisque finalement _ (24 —i)(2k — 3) ... 3-1 n 24 2*(2fc-2) ...4.2 2 ■ 2. n=2ft+l (impair). Nous obtenons do la même façon que précédemment : 2k <2k~ 2)...4.2 , ^+1=(24 + 1)(2^-1) ..75.3711 et donc L'intégrale fii/Z . , iir/2 . /i=\ s\Tixdx=— Gosa!!,, =1, , 2/:(2k-2] ...4.2 (2ft«l 1)(24-1)... 5-3' d'où, ayant posé fn'2 \ cos"^ ) voie, m e, ayant i \ cos"jrds=\ Sin" \-r,—x\ dx. peut se calculor par la mémo voie, mais aussi plus simplement, en la réduisant à la forme précédente, ayant remarqué on effet que. et par application do la formule (23) et de la propriété II [IIT-2-1] nous avons ; ' C09n x dx — — \ gin" t dt =m \ sin." t dt. 0 tJn/2 «)0 Regroupant les résultats obtenus, nous pouvons écrire: III-3. Compléments sur la notion d'intégrale définie ni-3-1. Calcul des surfaces. Nous passons à l'application de la notion d'intégrale définie au calcul des surfaces, des volumes et des longueurs des arcs. Nous utiliserons alors pour beaucoup les considérations concvètes. Nous donnerons une définition exacte dos surfaces et des volumes de divers points de vue, dans les tomes suivants. Dans JIIJ-1-2] nous avons vu que la surface, limitée à une courbo donnée y = / (x), l'axe OX et deux ordonnées x = o et
II1-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE DEFINIE 25& x = b, se représentait par l'intégrale définie Hf(x)dx (a<zb). Cette intégrale, comme nous l'avons vu, donne la somme algébrique des surfaces dans laquelle chaque surface située sous l'axe OX porte le signe (—). Fig. 127 Flg. 128 Pour obtenir la somme de ces aires au sens habituel il faut calculer [l\fi*)\dx. Ainsi la somme des aires hachurées sur la fig, 127 est égale àr fyWdx-gfWdx+fywdx-llttoâx+^tWdx. L'aire, comprise entre les deux courbes : V=f{x), y = <?(x) (1) et les deux ordonnées : x = a, x = b, dans le cas, où, l'une des courbes est au-dessus de l'autre, c'est'à-dtre- quand /(s)><p(a:) dans l'intervalle (a, b), s'exprime par l'intégrale définie lllf(x)-<f(x))dx. (2) Admettons d'abord que les deux courbes sont au-dessus de l'axe OX. On voit immédiatement sur la fig, 128 que l'aire cherchée S esl égale à la différence des aires, limitées par les courbes données et l'axe OX : S = Ta / ^ ^ ~ II(p ^ dT = IIf/ (œ) - ^(a:)1 dx' ce qu'il fallait démontrer.
256 CH. III. NOTION D'INTËGlULlS ET APPLICATIONS Le cas général de n'importe quelle disposition des courbes par •rapport à l'axe OX se ramène au cas précédent en translatant l'axe OX vers le bas, d'une certaine grandeur do façon que les deux courbes apparaissent au-dossus de l'axe OX ; cette translation est équivalente à l'addition aux deux fonctions/ (x) et tp (x) d'une seule et même constante, tandis que la différence f(x) — <p (x) reste sans changement. Nous proposons à titre d'oxercice de montrer, que si deux courbes données se coupent de façon qu'une courbe soit une partie en dessous, et une partie au-dessus de l'autre, alors la somme des aires comprises entre chacune d'elles et les ordonnées x — a, x — b, est égale à fjf(x)-<p(x)\dx. (3) On appelle souvent le calcul de l'intégrale définie une quadrature. Cela tient à ce que les aires, comme il a été montré ci-dessus, sont obtenues par le calcul d'une intégrale définie. Exemples. 1. L'aire, limitée par la parabole du second degré est égale ù g = axi-\- bx "|-o, l'axe OX ot deux ordonnées, la distance entre lesquelles est égale à h, est oyais à j(3i + Vz-\-'>yo). (4) «ù Vt et jf2 représentent les deux ordonnées extrêmes de la courbe, et s/0 l'ordonnée, correspondant a l'abscisse équidistante dos deux extrémités. Pour cela, on suppose que la courbe est au-dessus de l'axe OX. Pour la démonstration de la formule (4) nous pouvons, sans restreindra la généralité, <liro que l'ordonnée extrême de gauche est confondue avec l'axe OY (fiff. 129), vu qu'une translation de louto la figure parallèlement à l'axe OX ne mooifio ni la grandeur de l'aire considérée ni la disposition réciproque des ordonnées extrêmes et moyenne, ni les grandeurs de ces ordonnées. Avec ces hypothèses, admettant que l'équation do la parabole se présenta sous la forme: y=ax^+bx+c, nous exprimons l'aire cherchés S sous l'aspect de l'intégrale définie: S = ^(ax^ + bx-\-c)dx^a-^-^b~ + cx\^ Avec nos notations nous avons: 1 1 ya => ai2 -f- bx |- ù | ft = -p-ofta-(- —6A-!-c, IH^ax* \-bx-\-c\x=a—o, yi=axî-i-bx-i-c]x—it^=ahz-{-bk-'l c. Fig. 129
III-3. COMl'LÉMEKTS SUR I,A NOTION D'INTEGRALE DÉKtNIE 257 d'où il résulte; »l + !/z+^0=2oA2-|-3&fc fOe, ce qui prouve notre affirmation. 2. Aire de ]'eI]ipso. L'ellipse, dont l'équation est .214- »1-1 est symétrique par rapport aux axes de coordonnées, par conséquenl son aire cherchéû £ est égale h quatre fois l'aire de la partie de I'ollipso, qui se trouve dans le premier quadrant, c'est-à-dire A =4^ «te (fig. 130). Au lieu do déterminer y a partir do l'équation de l'ellipse et do porter l'oxpresslon obtenue dans la Fonction à intégrer, nous utiliserons la représentation paramétrique do l'ellipse: £ = acost, y = 6sin/, (5) et introduirons au lieu de x la nouvelle "' variable t; y s'exprime alors directement à partir de la deuxième dos égalités (5). Quand x varie de 0 à a, « varie do -g- 0, et comme toutes les conditions de la règle du changement de variables àHI-2-fil dans ce cas sont remplies, alors po po pjr/2 J=4\ bsin.td(aeost)=—4ab\ sinaidi=4a& \ sinztrf*. êit/2 Jk/2 eu D'après la formule (27) [111-2-7] pour k = 1, nous avons: P*/2 . » ^ . Ire n J0 2 2 4' d'ofi nous trouvons enfin : S = nab. (8) Pour « = b, quand l'ellipse se iTansformo on un cercle do rayon a, nous obtenons l'expression connue ara2 pour l'aire du cercle. i(. Calculer l'aire, comprise entre les deux courbes Les courbes données (fig. 131) se coupent en doux points (0, 0), (I, 1), les coordonnées quo nous obtenons satisfaisant ensemble les équations de ces courbes. Commo dans l'intervalle {0, 1) nous avons: alors l'aire cherchée S en vertu do (2) s'exprime par la formule : III-3-2. Aire d'un secteur. L'aire d'un secteur, lim iUe à la courb dont l'équation en coordonnées polaires est: ^ = /(0), (7) 17—281
258 CH. III. NOTION D'INTÊCRALE 1ST APPLICATIONS et à doux rayons vecteurs 0 = a, 0 = p, (8) issus de l'origine et d'angles a et p par rapport à l'axe polaire, s'exprime par la formule: Pour obtenir la formule (9) décomposons l'aire envisagée (fig. 132) en petits éléments, en partageant l'anglo compris outre les deux rayons vecteurs (8) en n parlios. Considérons l'aire d'un de ces Fig. 131 Fig. 132 petits soctexirs, limitée par les rayons 0 et 0 -+- A 9. Ayant désigné par AS son aire, par m et M la plus petite et la plus grande valeur de la fonction r — / (G) dans l'intervalle (fl, 0 -+- A G), nous voyons quo AS est comprise entre les aires des deux secteurs circulaires de même ouverture AG, mais de rayons m et M, c'est-à-dire ^■m*AQ<AS^±M*àQ, et par conséquent, ayant désigné par P un nombre quelconque, intermédiaire entre m et M, nous pouvons écrire: AS^-ji^AG. Comme la fonction / (8) continue dans l'intervalle (0, 6 + A0), prend toutes les valeurs comprises entre m et M, d&os cet intervalle il se trouve sûrement une certaine valeur 0', pour laquelle
I1I-S. COMPLÉMENTS SUH LA NOT1 ON D'INTÉGRALE DEFINIE 259 et alors AS=,±\f(B')fAQ. (10) Si maintenant nous augmentons le nombre de secteurs élémentaires AiÇ de sorte que la plus grande des valeurs AO tende vers zéro, et si nous nous rappelions de ce qui a été dit on [TJI-1-21, nous obtenons à la limite : ce qu'il fallait démontrer. Nous remarquons que l'idée fondamentale de la démonstration citée do la formule (9) réside en transformation de l'aire du secteur A6' en l'aire d'iui secteur circulaire dont l'ouverture est A6 et le rayon / (6'). Ayant pris à la place de l'expression rigoureuse (10) celle approximative : A5 = yraA0, où r ^ f (0") et 6" est une valeur quelconque de l'intervalle (0, 0 -f- A6), pour l'aire de ce secteur, nous obtenons à la limite le même résultat : i;«n24[/(0")pA6=24-r"de. (11) Pour cette raison l'expression à intégrer dans la formule (11) reçoit l'interprétation géométrique simple : y r3 dO est l'expression approximative de l'aire du secteur élémentaire d'ouverture dQ et par conséquent s'appelle simplement aire élémentaire en coordonnées polaires. 15 x o m p 1 e. Trouver l'airo limitée par la courbo fwméo r=cos3B («>0). Cette courbe, dont la construction par pointe ne présente aucune difficulté, usl représentée sur la fig. 133 et s'appelle rosace à trois branches. L'aire complote qu'elle limito est égale au sextuple do l'aire do la partie hachurée, correspondant aux variations de 0 et 0 à 4p (le sorte que d'après la formule (9) nous avons: J- 6 J*''6 1 «■ cos* 30 dO -«» g/B oos* 39 d (8» - «« $** cos* i*-^. IU-3-3. Longueur d'un arc. Soit l'arc Ali d'une courbe quelconque. Inscrivons à l'intérieur une ligne brisée (fig. 134) et augmentons le nombre do côtés, de façon que la plus grande des longueurs 17»
2B0 CH. III. NOTION JD'INTIÎGKA&E ET APPLICATIONS des côtés tende vers zéro. Si avec cela le périmètre de la ligne brisée tend vers une limite finie, ne dépendant pas de la façon dont Fig. 133 les segments ont été inscrits, alors l'arc est recUfiable, et la limite mentionnée s'appelle longueur de cet arc. La môme définition de la longueur d'un arc est valable également pour une courbe fermée. Soit une courbe donnée par l'équation explicite y = / (x), et avec elle les valeurs x— a et x^= b (fl<b) qui correspondent aux points A et B, et supposons que / (x) possède une dérivée continue dans l'intervalle <i■< x<g 6, auquel correspond VvtaAB. Nous allons montrer que dans ces conditions l'arc AB est rectifiable et que sa longueur s'exprime par une intégrale définie. . . . JWn_i B la ligne brisée inscrite, aux som- eorrespondent les valeras y, Û M, Mit, t'9 «g. 134 Soient AMtMi mets de laquelle œ = œ0<.r(<js< ... <;xn^i<Xn^=l>, et désignons y,- = / («,-). Se remémorant la formule donnant la longueur d'un segment en géométrie analytique, nous obtenons
H1-3. COMPLEMENTS SUB LA NOTION D'INTÉGlULEiMMME 2fil pour le périmètre de la ligne brisée la formule suivante : Utilisant la formule des accroissements finis / (*0- / (*«-i) = /' (El) (*l -*l-i) {*i-i < S." < *i). nous obtenons pour la longueur individuelle du côté de La Ligne brisée l'expression dans laquelle nous voyons que, pour que Je plus grand des côtés tende vers zéro, il faut et il suffit que la plus grande des différences {xt — x-,-i) tende vers zéro. Pour le périmètre de la ligne brisée nous obtenons l'expression n p=2 yi+/'a{Ei>(*i-*«-i). qui effectivement possède une limite, égale à l'intégrale JVH.f(ï)fc Do celle façon, la longueur l de l'arc AB s'exprime par la formule I=$'/l + /'*0)«fa. (12) Soit af < x" deux valeurs quelconques de l'intervalle (a, 6), et M' et ilf" les points correspondants sur l'arc AB. Appliquant le tliéorènie de la moyenne, nous obtenons pour la longueur l' de l'arc M'M": i'=l^yi-rr^)dx^y±-\-r2(iù (**-*') (*'<:£,<*")■ Pour la longueur do la corde M'M", utilisant la formule des accroissements finis, nous obtenons la formule : M'M"=VV'- *T + [/ (»*) -1 (3')ls = =Vi + f*&3(*"-*') (*'<E2<*'). D'où il vient : MW_ TA+/'»(& '' Vl-?-/'2(li) "
262 CH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS Si les points M' et M" tendent vers le point M d'abscisse x, alors x' et x" -*- x, donc |t et |z —>- x, et de la dernière formule nous obtenons: M'M" , -P **■ C'est ce que nous avons utilisé en [II-5-1]. Supposons maintenant la courbe donnée sous forme paramétrique x = y(t), y = *(*), avec les points A et B auxquels correspondent les valeurs t = a ot t = p (a < ($), Nous supposerons qu'aux valeurs t de l'intervalle a <^ <J p correspondent les points de la courbe AB. de sorte qu'à des valeurs distinctes de t correspondent des points distincts de la courbe, qu'elle-même ne so coupe pas en faisant une boucle (fig. 134). Entin nous supposerons que dans l'intervalle a-s^-Cft existent les dérivées continues q>'(Z) et i]>'(<)- Soit, comme pins haut, AMtM,. . . ■ Mn-tB la ligne biïséo inscrite et t0 — a < <4 < l2 < . . . < tn-t -< tn — p les valeurs correspondantes du paramètre t. Pour le périmôU'e de la ligne brisée nous obtenons l'expression : j»=£ Kï«p (*/>—q> (*•-!)]"+i* (*i)—+(«*-i)l» ou, on appliquant la formule des accroissements finis, n p = 2 W2(Ti)+i|>'2(t;)(*i-*!-i) <*i-i<:ti ens<d). (ri) On peut montrer que pour que le plus grand des côtés de la ligne brisée tende vers zéro il fant et il suffit à ce que la plus grande des différences (lt — tt-i) tende vers xéro. Cela peut être démontré sans supposer l'existence des dérivées ip'(f) et p'(t). L'expression (13) se distingue de la somme, donnant à la limite l'intégrale faV<f>'*{t)+V2(t)dl, (14) car les arguments tt et x'i sont différents. Faisons apparaître la somme qui à la limite donne l'intégrale (14). Afin de pouvoir démontrer que la somme (13) tend aussi vers une limite (14), il faut montrer
1II-3. COMPLÉMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE MÎTlNrE 263 que la différence p-î=S [y <p'2 (¾)+i>'a (tî> - y <p'* (ti>+^ (¾)] (t, - «i-,) tend vers zéro. En multipliant et. divisant par la grandenr conjuguée du facteur contenant les radicaux, nous obtenons: p-i=2 1>' (•»)+<!>' Ci) XM>'(TO-ip'(T(-)](fi-it-i). Comme [il»' (t,) +1))' (t,-)1 < yip'M^ + f'Mtî) t y T'" (ti> + *'2(ti>. alors n |j>-«|<S If'WJ-fWICi-'M)- Les nombres xj et xî appartiennent à l'intervalle (ti-i, tt) et en vertu de la continuité uniforme de il)'(2) dans l'intervalle a <; t <J p, on peut affirmer qne la plus grande des grandeurs 1 t[î' (t'4) — i|5' (x;) j, que nous désignerons par Ô, tend vers zéro, si la plus grande des différences (f; — <j_i) tend vers zéro. Mais de la formule précédente il résulte que |p-«r|<S fi(*i-tj-i)-6S (*i-*t.i>-6(P-*>. t=l i=l d'où, évidemment, p—q-t-O. De cette façon la somme (13), exprimant le périmètre de la ligne brisée inscrite, tend vers l'intégrale (14), c'est-à-dire: l = V^Vi('* (t)+ty*(t)dt. (15) Cette formule pour la longueur l s'établit de façon identique pour le cas d'une courbe avec boucle. Pour le montrer, il suffit, par exemple, de décomposer la boucle de la courbe en deux parties sans boucle, pour chacune d'elles d'appliquer la formule (16) et d'ajouter les valeurs l obtenues. De même si une courbe quelconque L est composée d'un nombre fini de courbes Lh, chacune d'entre elles possédant une représentation paramétrique satisfaisant aux conditions mentionnées plus haut, en calculant par la formule (15) la longueur de chacune des courbes L\ et composant ces longueurs nous obtenons la longueur de la courbe L.
264 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIOXS Considérons la valeur variable t de l'intervalle (a, p), à laquelle correspond le point variable M de l'arc AB. La longueur de l'arc AM sera une fonction de t et sera représentée par la formule: s(t)=^aV^{t) + ^(t)dt. (16) Utilisant la règle de différentîalion de l'intégrale par rapport à la borne supérieure, nous obtenons -£ = /*"»(*> + *'•(*>. (17) c'est-à-dire ds = yrp'a(*) + i|!'s(f) dt, d'où, en se rappelant que nous obtenons la formule pour la différentielle de l'arc [11-5-11: et la formule (15) peut ôtre, sans que la variable d'intégration soit précisée, écrite sous l'aspect : -E*-Kww. Los bornes (.4) et (B) désignent les points initial et final de la ligne. Si tp'2 {t) + ij),i! (t) > 0 pour tout t pris dans l'intervalle (a, P), alors, conformément à (17), nous obtenons la dérivée du paramètre t par rapport à s: dt __ 1 ds -|/V*(t)+i|)'S(o ' La présence des dérivées continues qp'(îJ) ot ip'(t) ave* la eondî- Uon <p'2 (t) + i}i' 3(f) >• 0 nous garantit une tangente se modifiant de façon continue le long de AB. Si la courhe est donnée en coordonnées polaires par l'équation r = /(9), alors, en introduisant les coordonnées rectangulaires x et y, liées aux coordonnées polaires r et 6 par les relations: a;=rcos0, j = rsin6 (18) [II-5-13], nous pouvons considérer ces équations comme la donnée paramétrique de la courbe avec le paramètre 6.
Hl-3. COMPLEMENTS SUR LA. NOTION D'INTÉGRALE DeECNIG 26S Nous avons donc: dx = cos 0 dr — r sin 0 dB, dy — sin G dr -{- r cos 0 dQ, dx* -j- dy* = (dtf + r* (dB)2, d'où ds= V(dxf + (dy)" = V(dr)* + r"- (dd)*, (19), et si aux points A et B correspondent" les valeurs a et 6 de l'ongle- polaire 8 (Kg. 135), alors la formule (15) nous donne: -ti/^W* <20> *-L cm L'expression pour ds (19), qui s'appelle différentielle de Varc en coordonnées polaires, peut s'obtenir directement à partir de la figure, en remplaçant l'arc infiniment petit MM' par sa corde et on calculant cette Fi8-13S dernière comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle MNM', dont les côtés MN et NM' sont approximativement égaux respectivement à r d& et dr. Exemples. 1. La longueur do l'aro s de la parabole y ■= »a, mesurée- à partir du sommet (0, 0) au point variable d'abscisse x, s'exprime d'après la formule (12) par l'Intégrale: <s=jî*yi + y'a*e=Ç*Vl+4>cte=-M**yïT^<'* (nous avons posé t = 2x). En vertu, de l'exemple ld [111-1-7], nous avons: ? yti^dt^—U yï+tï+\a(t+yî+^)\+c. Reportant ce résultat dans (21), nous obtenons sans difficulté: s=-^te VïT^-l-li) (2s+VÏ+4^)]. 2. La longueur do l'ellipse a* ^ b* *■• on raison de sa symétrie par rapport aux axes do coordonnées, est égale à quatre- fois la longueur de la partie qui so trouvo dans le premier quadrant. Eu représentant l'ellipse au moyen dos équations paramétriques x=«cos<, p = 6sint
2lit> CH, III. MOTION D'INTESKALE ET APPLICATIONS et on remarquant qu'aux points A et B correspondent les valeurs du paramètre 0 «t -jj-, nous obtonons pour la longueur l cherchée l'expression suivante résultant de la formule (15) : Z = 4 V"* -\/aZsWt+bVGo&tdi. (22) La fonction primairo no pouvant pas être exprimée à l'aide de fonctions ■élémentaires, punr l'intégrale définie inscrite on ne peut donner qu'un moyen du calcul approximatif, qui sera produit plus bas. 3- La longueur de l'arc de la spirale logarithmique r=Ceal> |I 1-5-14 J, comprise entre les rayons -vecteurs 6 = a, 0 = p. on vertu de (20) s'eipriino par l'intégrale : i. Dans 111-5-9J nous avons considéré la chaînette; soit M (x, y) un point quelconque de celte courbe. Calculons la longueur de l'arc A M (fig. 93). So rappelant l'expression do (1 -}- y'2), nous obtenons, îi partir de [11-5-8]: AM-= C* VÏTF5 A*= T-~dx=Y T («"t «"> <** = Y Ie" -«"") = "S'' d'où oï-|-(are^W)ï=e2 ]-e.*y'* = à* (1-"-?'*) = »*, c'est-à-dire que la longueur de l'arc A M est égale au cSté du triangle rectangle, dont l'hypoténuse est égale à l'ordonnée du point M, et dont l'autre côté «st égal à a. Nous obtonons, de cette façon, lu règle suivante pour établir la longueur do l'arc AM : Du sommet A d'ans chaînette, comme centre, il faut décrire une circonférence avec un rayon, égal a l'ordonnée du. point M ; le segment OQ sur l'as-e OX de l'origine des coordonnées 0 au point d'intersection 0 de l'axe OX avec la circonférence mentionnée sera la rectification de Tare AM (fig. 93). Dans les formules précédentes, pour le choix des signes, nous nous sommes laissé guider pur lo (ait que pour les points, se trouvant dans la partie droite do la uliafnotUi, y' possédait le signe (-)-), 5. lJoiir la oycloïdo, considérée en (11-5-101, nous définissons la longueur do l'arc l da labranche OC (fig, !)4) et l'aire iS', limitée par cette brandie et l'axe OX; l = §2" V[«P' (*)Ia4-hf Wla«f(= V* Vaa(l—cos/^-t-^siiia*dl•** ^ a V* 1/ii-2cos« dt = a ^ |/ 4sin8 -j dt = ^2o\ sin.-Tdt = 2a — 2cos— ^8<i,
3IÏ-3. COMPLEMENTS StfB LA NOTIOK D'INTÉGRALE DEPI'NIE 267 c'est-à-dira que la langueur de l'arc d'une branche de cyclolde est égale à quatre fois le diamètre de la roulante; £*=V i/d:t=\ i|>(l)<p'(*)*=a' \ (i-cost)2tf< = = «2 V* (i—2 cos i+cos2 «) di = 2nes—2a* [sin /1^-1- 2. t _|_ J. sin 2i = 2ji«2+ko* = ans*, c'ost-à-diro que l'aire, limitée à un arc de cycloïde et sa base rectlligae, sur laquelle se déplace la roulante, est égale à trois fois l'atre de la roulante. Lors du calcul do l, pour l'extraction de la racinol/ 4 sin* -y , nous devons prondro la valeur arithmétique de la racine, ce que nous avons fait parco que dans la variation de t do 0 à 2n la fonction sin -g. est positive. 6. La cardioïdo, considérée dans [11-5-15], est symétrique par rapport à l'axe polaire (fig. 111), c'est pourquoi pour le calcul de sa longueur l if suffit do calculer la longueur de l'arc pour los variations do 0 dans l'intorvallo (0, x), et do doubler lo r&ultat obtenu: 2 = 2 Ç^yrï+r'» <i0 = 2 ^^02(1 + 003 9)24-4^8^949 = =8a^"cos■jdQ^Sa ("2sin-7fT= 16a, c'est-à-dire que la langueur de tare de cardioïde est huit fols plus grande que U diamètre de la roulante {ou de la basé), Ï1I-3-4. Calcul des volumes des corps à partir de leur section transversale. Le calcul du volume (l'un corps donné se ramène aussi an calcul d'une intégrale déîinie, si nous avons la possibilité de Fig. 130 définir Taire des sections transversales du corps, perpendiculaires à une direction donnée. Nous désignerons par V le volume d'un corps donné (fig. 136) et supposerons que les aires de toutes les sections transversales du corps par les plans perpendiculaires à une direction donnée, que
2G8 CH. III. NOTION D'INTËGE.4LE 13T APPLICATIONS nous prendrons pour l'axe OX, nous sont connues- Chaque section transversale se définit par l'abscisse x de son point d'intersection avec l'axe OX, c'est pourquoi l'aire de cette section transversale sera une fonction de x, que nous désignerons par S (x) ot que nous considérerons comme connue. Soit encoro a et b les abscisses des sections extrêmes du corps. Pour calculer le volume V nous le décomposerons eu éléments r»ngés par sections transversales, commençant en x = a et se terminant en x = b ; considérons un de ces éléments AV, fourni par les sections d'abscisses x ot x + Ax. Remplaçons le volume AV par le volume Pife». 137 Fig. 13S d'un cylindre droit, dont la hauteur est égale à Ax, et dont la base . coïncide avec la section transversale de notre corps, correspondant à l'abscisse w (fig, 137). Le volume d'un tel oylindro s'exprimera par le produit <S' (x) Ax, et de cotte façon, nous obtiendrons l'expression approchée suivante pour notre volume V; y\S{x)Ax, où la sommation est étendue à tous les éléments dont est formé notre corps à partir des sections transversales. À la limite, quand le nombre d'éléments croît indéfiniment et que le plus grand d'entre les Ax tend vers zéro, la somme ci-dessus se transforme en une intégrale définie, laquelle donne la valeur exacte du volume V, ce qui conduit à la proposition suivante: Si pour un corps donné on connaît toutes ses sections transversales par des plans, perpendiculaires à une direction quelconque donnée, choisie comme axe OX, le volume du corps V s'exprime par la formule: V = ^ttS(x)dx, (28) où S (?) coïncide avec l'aire de la section transversale d'abscisse x, a et b étant les abscisses des sections extrêmes du corps.
UI-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTËSBALE nEFItflE 2l>9 13 x 0 m () 1 o. Volume d'un 1 secteur de cylindre », isolé d'un demi-cylinilro circulaire droit parjin plan, passant par un diamètre do sn baso (fig, 138). Prenant k> diamètre AB comme axe OX, et te point A comme origino des coordonnées, nous désignerons le rayon do la baso du cylindre par r, l'angle, formé par la section supérieuro de ce secteur avec sa base, par a,, La section transversale, perpendiculaire au diamètre AB, présente l'aspect d'un triangle rectangle PQR, et son aire s'exprime par la formule: S (*)=^ PQ-QR =-j'g aJQ2. Puis, d'après la propriétô connue do la circonférence, lo segment PQ est la moyenne géométrique des segmentsXP, ~PB de diamètre TA, c'est pourquoi : ot finalement, i Appliquaut la formule (23) pour lo volume V cherché, nous obtenons: 8 .9W^=|tg« $o .0r-*)i,-Ttg« (r«»-T) |0 = si l'on introduit la «hauteur» du secteur fc = r tga. 1II-3-5. Volume d'an corps de révolution. Dans le cas où lo corps considéré s'obtient par révolution d'une courbe donnée y — f (x) Fig. 1ÎS9 Fig. MO «utour d'un axe OX, ses sections transversales seront des cercles <do rayon y (fig. 139), c'est pourquoi: $(*) = «»»,
270 CH, 111. NOÏION IVINTËGHALE ET APPLICATIONS c'esl-à-dire que le volume d'un corps, engendré par la l'évolution autour d'un axe OX d'une partie de la courbe ¥ = /<*), comprise entre les ordonnées x = a, x — b, s'exprime par la formule : 7= 5*«^ de. (24) Ex oui pie. Volume d'un ellipsoïde do révolution. l'ar la révolution de l'ellipse autour du grand axe on engendre un corps, appelé ellipsoïde allongé de révolu lion (fig. 140). Les bornos de la valeur do l'abscisse x dans le cas considéré seront (—a) et (.fa) ot la formule (2d) donne donc: (23) Exactement de la mémo manière, nous pourrons calculer le volume do l'ellipsoïde aplati de révolution, qui s'obtient par révolution do noire ellipse autour du petit nxo. 11 faut seulement échanger une à une les lettres x, y, a al b, ce (lui donne : faplati H^H^1-*)*-?*"- (2fi> Duns le cas où a = b, les deux ellipsoïdes se transforment eu une sphère de rayon a, dont le volume est égal à-s-n«3. III-3-G. Aire d'un corps de révolution. L'aire d'un corps engendré par la révolution d'une courbe donnée d'un plan XOY autour d'un axe OX est la limite vers laquelle tend la surface d'un corps, obtenu par la révolution autour du même axe d'une ligne brisée inscrite dans la courbe donnée, quand le nombre de côtés de cette ligne croît indéfiniment et que la plus grande des longueurs des côtés iend vers zéro (fig. 141). SI cette révolution concerne la partie de la courbe, comprise entre les points A et B, alors l'aire F du corps de révolution s'exprime par la formule : *~x Fig. Ml F = IZ^yds, (27) oh ds est la différentielle de l'arc de la courbe donnée, c'est-à-dire
■111-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE DEFINIE 271 Dans cette formule la courbe peut être donnée comme on veut, soit sous forme explicite, soit sous forme paramétrique; les symboles (A) et (B) montrent qu'il faut intégrer entre ces bornes pour la variable indépendante, qui correspondent aux points donnés de la courbe A et B. Nous supposerons que l'équation de la courbe est donnée sous forme paramétrique, et que le rôle du paramètre est joué par la longueur s de la courbe, comptée à partir du point A, et nous désignerons par l la longueur do toute la courbe AB, Cette courbe, évidemment, est supposée reclïfiable. Nous avons x = q> (s), 1/ = 1)) (s). Décomposons, comme toujours, l'intervalle (0, l) en faisant varier s sur les tronçons d'intervalle 0 = s0< Si < s2< ... < Sn-i< s„ = l. Supposons qu'à la valeur s = si correspond le point Mt de la courbe, et bien sûr que Ma coïncide avec A et Mn avec B. Nous désignerons pnv q, la longueur du segment Mi-tMi, par As( la longueur du chemin Mt^Mi et nous poserons j/j = i|) (st). Utilisant la formule pour l'aire d'un cône tronqué, nous trouvons la formule suivante pour la surface, engendrée par la révolution de la ligne brisée AMiM2 . . . Mn.iB: f=i ou n n Soit Ô la plus grande des valeurs absolues (yi — yt-i). En vertu de la continuité uniforme de la fonction 1)) (s) dans l'intervalle 0 <; s <; l la grandeur ô tend vers zéro, si la plus grande des différences (sj — si-i) tend vers zéro. Mais nous avons : |S (yi-ïi-i)«fi<ôS Qt<àl, <-=i f=i d'où il résulte que le deuxième terme dans l'expression Q tend vers zéro. Nous examinerons le premier terme, que nous pouvons écrire sous la forme: n n n 2n 2 yi~iqt — 2n 2 Vt-i^i — 2n 2 V1-1 (As* — Si)- i=( i=f j=l Nous allons montrer que le terme à soustraire dans cette expression tend vers zéro. Pour cela, remarquons que- la fonction y = rj> (s),
272 CH. m. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS ■continue dans l'intervalle (0, Z), est bornée et, par conséquent, -qu'il existe un nombre positif m, tel que | #;_, | <; m pour tout i. J3onc : n tï n 12 ïi-i(à*i—«f)l«S m(Asi—qf) = m(l— S ¢.)- Si la plus grande des différences (s; — Sj.J tend vers zéro, alors la plus grande des longueurs des cordes çj tend vers zéro, et le périmètre de la ligne brisée Inscrite tend vers la longueur de l'arc: n 2 qi~*l, d'où n 2*2 JK-i(às;—3i)-»0. De cotte façon, dans l'expression Q il ne reste à examiner que Je terme n n 2n2 y<-jAsi = 2jtS itifsi-jjfs,— sj-,). La limite de cette somme nous conduit à l'intégrale (27). C'est ainsi que nous obtenons cette formule. Si la. courbe est donnée sous forme paramétrique en fonction d'un paramètre quelconque t, nous ■avons alors 1111-8-3] ; /7 = î" 2« i|> (t) yy*(*)+*'*(*) dt • (28i) cJcc ■et dans le cas de l'équation explicite y = / (x) de la ligne AB: J-S*2tf(*)Vl+ f«(*)<fe. (2¾) Exemple. Surface d'un ellipsoïde de révolution, allongé et apluti. Onsidôrons d'abord la surface d'un ollipsoïde allongé. Appliquant la terminologie de l'exemple [IJT-3-5], d'après la formule (28), nous nvens : ^llo,«« = 2l[ l"_a <J T/î+F5 <?*=2n ^ VWTÛfP? «?*■ Do réquation do l'ellipse nous tirons: d'où
ÏII-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE DÉFINIE 273 Introduisant ici l'expression de l'excentricité de l'ellipse „ a2 —&2 8-^= s » a2 nous avons (voir exemple 1111-2-8]) : En intégrant pur parties, noua avons (voir exemple 11 [111-1-7]): d'où et finalement § Vl-s3<fr= y|*1/l-ia-(-arcslnt], '«1.«* =2*«> [VH=P+ -^5.] • (29) Cette formule convient à la limite également pour e = 0, c'est-à-dire quand 6 = o, et que l'ellipsoïde se transforme en une sphère do rayon a. Dans co cas l'expression qui se trouve entre parenthèses est indéterminée; en calculant celle-ci J1I-3-9], nous avons 1 Poursuivons maintenant pour l'eilipsoïde aplati de révolution. Transposant les lettres x et y, a et S, nous trouvons: ^aplati =2" \ _b TA8 +■(«*')» dy, où x est considéré cojnmo uno fonction de y- Do l'équation do l'ellipse nous tirons r d'où 18-281
274 Cïï. III, NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS gg 08 = —LtK P + ln(T+]/p)J = 6 6 et finalement r.puH-aw.+^intfî+Si. (30) IH-3-7. Détermination des centres de gravité. Théorèmes de Guldin. Soit un système donné de ra points matériels: M\{zi> Vi). Mz(x2, yù, ..., Mn(xn, yn), dont les masses sont égales respectivement à : mu mz, .,., nin, alors le point, dont les coordonnées xG, yB satisfont aux conditions: n n et où Af représente la masse totale du système n s'appelle centre de gravité du système G. Pour déterminer le centre de gravité on peut, de la façon que l'on veut, grouper les points du système, en les divisant en systèmes particuliers, de sorte que, pour calculer les coordonnées du centre de gravité Q de tout le système, on remplace tout le groupe de points, composait un tel système particulier, par un seul point, plus précisément son centre de gravité, affecté d'une masse, égale à la somme des masses des points le composant. Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ce principe général, laquelle ne présente pas de difficulté et peut facilement être effectuée sur des exemples de systèmes particuliers les plus simples, avec trois, quatre, etc., points. Plus loin, nous aurons affaire non à des systèmes de points, mais au cas où la masse occupe entièrement une figure plane quelconque (domaine) ou une longueur.
UI-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTËGHALE DfiMKIB 275 Pour simplifier nous nous limiterons à la seule considération de corps homogènes, dont nous prendrons la densité égale à l'unité, de sorte que la masse d'une telle figure soit égale à sa longueur, s'il s'agit d'une ligne, et à sa surface, s'il s'agit d'un domaine plan. Soit d'ahord à définir le centre de gravité d'un arc de courbe AB (fig. 142), dont la longueur est s. Selon le principe général précédent, divisons l'arc AB en n petits éléments As. Le centre do gravité de tout ce système peut se calculer, en remplaçant chacun do ces Fig. 142 Fig. M3 éléments par un seul point, le centre de gravité de l'élément considéré, ayant concentré en lui toute la masse de l'élément Arn = As *. Considérons un de tels éléments As et désignons les coordonnées de ses extrémités par (x, y), (x -f- Ax, y + Ay) ; désignons ensuite les coordonnées de son centre de gravité par (x, y). Avec une réduction suffisante de l'élément As, nous pouvons considérer que le point {œ, y) est aussi peu éloigné que l'on veut du point \x, y). D'après les formules (31), nous avons, comme dans'[II1-3-4]: Ma:G = s£(} = 2 x^m=^i ^As = lim2 s As= \ zds, (32) Mya = s¥a=^yAm = ^yàs = ht(LYiyAs*=^yds, (33) d'où, ayant calculé s par la formule: nous définissons les coordonnées du centre de gravité G. Des formules (32) et (33) découle le théorème important: Théorème I de Guldin. L'aire d'une surface, engendrée par la révolution d'un arc d'une courbe, plane donnée autour d'un. axe quelconque, se trouvant dans son plan et ne la traversant pas, est * Le contre de gravité do chaque élément, généralement parlant no so situe pas sur la courbe, quoiqu'il soit d'autant plus près d'ullo qup l'élément est petit, ce qui est montré schémaliquemont sur la fig. 142. 18*
276 CH. III. NOTION D'INTJÊGRALE ET APPLICATIONS égale au produit de la longueur de l'arc générateur par la longueur du chemin, décrit dans cette révolution par le centre de gravité de l'arc. En effet, ayant pris l'axe de révolution comme axe OX, pour la surface F du corps, décrit par la révolution de l'arc AB, nous avons (27) [III-3-6] : F = 2n\ yds = 2nj/a-s [en vertu de (33)], ce qu'il fallait démontrer. Considérons maintenant un domaine plan quelconque 5 (dont nous désignerons aussi l'aire par 5). Admettons pour simplifier que ce domaine (fig. 143) est limité par deux courbes, dont nous désignerons les ordonnées par ï/i = /i<a:), #2=/2(a:). Suivant le principe général, rappelé au début de ce paragraphe, décomposons la figure en n tranches verticales AS par des droites parallèles à l'axe OY. Pour calculer les coordonnées dti centre de gravité G de la figure, nous pouvons remplacer chacune do ces tranches par son contre de gravité, ayant concentré en lui la masse des tranches Ara = AS. Considérons une de ces tranches; désignons par x et. x + Ax les ahscisses des droites MiMz et M'^M'^ la limitant, par x, y les coordonnées du centre de gravité. En diminuant suffisamment la tranche, c'est-à-dire en diminuant sa largeur Ax, le point (x, y) se tiendra aussi peu éloigné que l'on voudra du milieu P du segment de droite MyM2, en conséquence de quoi nous pouvons écrire les égalités approchées: Ensuite, la masse Am de la tranche, égale à son aire AS, peut être assimilée à l'aire d'un rectangle de base Ax et de hauteur, différant aussi peu que l'on voudra de la longueur du segment MÎM~Z = = \!ï — Dii c'est-à-dire Am-~(yg—y^Ax. Appliquant la formule (31), nous pouvons écrire: Afa;c =t&rc = 2 * A'rc=lim2 iz(& —ï/i)l Aa: = §nx(2/2—jrt) ifo, (34) M2,c = S2,c=22,ATO = lim2 (M+JLl} (yt-Vi) Ax = = Hm 2 [4-foï-ri>] A*=SI-J M-fi)**- (35) De la formule (35) découle :
aiI-S. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE DEFINIE 277 Théorème JI do G u I d î n. Le volume d'un corps, engendré par la révolution d'une figure plane autour d'un axe quelconque, situé dans son plan et ne la traversant pas, est égal au produit de l'aire de la figure génératrice par la longueur du, chemin, décrit par son centre de gravité dans la révolution. En effet, prenant l'axe de révolution pour axe OX, il n'est pas difficile de remarquer que le volume d'un corps quelconque do révolution V est égal à la différence des volumes des corps, engendrés par la révolution de la .courbe 3¾ cl. de la courbe y±, et c'est pourquoi, en rapprochant (24) 1III-3-5] : V — n^ayldx-~n^ayldx^si^a{yl—yl)dx — 2mja'S, en vertu de (35), ce qu'il fallait démontrer. Les deux théorèmes de Guldin obtenus sont fort utiles pour déterminer l'aire et le volume des figures de révolution, lorsqu'on connaît la disposition du centre de gravité de la figure en rotation, et vice versa, lors de la détermination du centre de gravité d'une figure lorsqu'on connaît lo volume ou l'aire de la figure de révolution engendrée par elle. Exemplos. 1. Trouver le volume V d'un anneau (tore), engendré par la rûvolulion d'un cercle de rayon r (fig, 144) autour d'un axo, se trouvant dans Fig. 144 son plan à une distance a. de aon centre (avec r < a, c'est-à-dire que l'axe de révolution ne coupe pas la circonférence), Lo centre de gravité du cercle en rotation se trouve, bien sûr, en son centre, ot par conséquent la longueur du chemin, décrit par lo centre de gravité dans la rotation, est égale à 2jia, L'aire de la figura en rotation est égale à nr\ et pur conséquent d après le théorème II de Guldin nous avons: f'=iira-2na=2ii2orî. (36) 2. Trouver la superficie F du tore, examine dans l'exemple 1. La longueur de la circonférence en rotation est égale à 2nr; le centro de gravité comme précédemment coïncide avec le centre de la circonférence, c'est pourquoi on vertu du théorème I do Guldin nous avons: .F=2ra-.2jta=4ji2ar. (37)
278 CH. III, NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS 3. Trouver le contre de gravité G d'un demi-cercle do rayon a. Prenons la base du domi-corclo comme axe OX et dirigeons l'axo OY perpendioulairement a OX, àpartir do contre (fig. 145) ; on vertu de la symétrie delà figure par rapport à l'axe OY, il est clair que le centre de gravité G se trouve sur l'axe OY. 11 reste soulomeEti à trouver yG, Dans co but, appliquons le théorème II de Guldin. Le corps, engendré par la révolution du demi-cSTclc autour de l'axo OX, est uno sphère de rayon a, et son volume est égal à -n-nœ3. L'aire S do la figure en o rotation est égalo à -%- a*, c'est pourquoi : 4 , ji , „ 4 « 4. Trouver le centre de gravité G' d'une demi-circonférence do rayon a. Choisissant les axes de coordonnées, comme dans l'oxemple précédent, nous voyons de *,. ,,r nouveau que le centre cherché G' se trouve i îg. i«j sur ]>ax0 QYt de sorto qu'il reste à trouver y0.. Appliquant le théorème I de Guldin et ayant remarqué que l'aire F du corps de révolution dans ce cas est égale à 4 na1, que la longuour s — na, noua obtenons: 4 Jio2 = nu .2ît#c-, tfG. = 2 — . Comme il fallait s'y attendre, le contre de gravité de la demi-circonférence se trouve plus près d'elle que le centre do gravité du domi-corcle qu'ello délimite- HI-3-8. Calcul approché des intégrales définies; formules des rectangles et des trapèzes. Lecaloul des intégrales définlospar la formule fondnnientalo (15) [111-2^3] àl'aido delnfonotion primitive n'est pas toujours possible, dosorto quo,_mêm«i si la fonction primitive existe, quand la fonction à intégrer est continue, (jlle no peut cependant être en fait, et de loin, toujours trouvée, et même alorq, quand on pout la trouver, elle possèdo presque toujours un aspect comploxo et peu pratique pour le calcul. C'est pourquoi les méthodes do caloul approché des intégrales définies ont une grande importance. La plus grande partie d'entre elles repose sur l'interprétation de l'intégrale définie comme aire et comme limite d'une somme: n Dans tputo la suite nous conviendrons une fois pour toutes do diviser l'in- tervallo (a, b) en n parties égala; nous désignerons la longueur de chaque partie par h, de sorte quo: /i = —"Z.—, »f = a-|-j'fc (-r0=-a; xn^a+tih-=b). Nous désignerons plus loin par m la valour do la fonction à intégrer y =» ■=/{*) pour x = Xi (i=0, 1, ..., n):
III-3. COMPLEMENTS SUE I,A NOTION D'INTEGRALE DffiPJNIB 279 Noua considérerons ces grandours comme connuos; elles peuvent être obtenues par un calcul direct si la îonction / (s) est donnée sous tormd analytique, ou s'ostimer directement à partir do la figure, si elle est représentée graphiquement. Posant dans la somme du second membre {38) |; = Sj_j ou i(, nous obtiendrons les deux formules approchées des rectangles: b — a 1 n j(x) issu- ~ ■ [yi+tf2+...+ !?«]• (40) (41) où le signe (=») signifie égalité approchée. Plus grand sera le nombre n, c est-à-dire plus petit le nombre h, plus ces formules seront exactes et à la limite, pour n ~>- oo et h -*■ 0, elles donneront la grandeur exacte de l'intégrale définie. De cotte façon, tes erreurs des formules (40) et (41) tendent vers zéro lorsque le nombre des ordonnées croît. Pour une valeur donnée, donc, du nombre des ordonnées, la limite supérieure do l'erreur se détermine le plus simplement dans »i»j 1 i l i i 4yyM ^ ii i ii _j i i_ oe^o a> a> 3j av 2s &t xt * Fig. 146 le cas où la fonction donnée / {x) est monotone dans l'intervalle (a, b) (fig, 146). Dans ce cas il apparaît immédiatement à partir do la figure, que l'erreur do chacune des formules (40) et (41) ne dépasse pas la sommB des aires dos rectangles hachurés, c'est-à-dire ne dépasse pas Paire du rectangle de hase ~—=fe et n <lo hauteur, égale à la somme dos hauteurs yn — g0 des rectangles hachurés, c'est-à-dire la grandeur -~{Vn—Vo)- (42) Les formules de3 rectangles introduisent au lieu do l'expression exacte de l'aire de la courbe y =• f [x) son expression approchée, l'aire de la ligne brisée en paliers, construite a partir dos segments horizontaux ot verticauxi délimitant les rectangles. Nous obtiendrons les autres expressions approchées, si au lieu d'une ligne brisée en paliers nous prenons d'autres lignes, qui diffèrent suffisamment pou de la courbe donnée ; plus la ligne auxiliaire sera proche do la couibe y = f {x), plus petite sera l'erreur que nous commettons, en prenant comme grandeur de l'aire celle limitée à cette ligno auxiliaire. Ainsi, par exemple, si nous remplaçons une courbe donnée par uno ligne brisée Inscrite dans elle, dont les ordonnées pour x — zj coïncidont avec les ordonnées de la courbe donnée (fig. 147), en d'autres tennos, si noys remplaçons
280 ch. m. notion d'Integkau: kt applications l'airo considérée par la somme des aires des trapèzes inscrits on elle, alors nous Obtiendrons la formule approchée des trapèzes: $><..**[■**&■+■ >Jl+!/2 b~a 2a r*o + 2ïi-l-2»2+. ■■4 yu-l + Vn a ]- -»»]• (43) IIT-3-0. Formule des tungentes ot formule de Poncclel. Doublons maintenant lo nombre de divisions, en partageant chaoune dos divisions par moitié. Nous obtenons ainsi 2n divisions (fig. 148). *0i xi/i*=a+y . *M-i/a=a+(i+y)A' •••> auxquelles correspondront los ordonnées : tfoi 0i/2. Si, •.., ffj, ?£+!/,, -••, Un (nous appellerons les ordonnées j/„, jj, . . ., yn ordonnées entières, et les ordonnées y,/2, y3/2, .... u„-i/2 /factionnaires). A l'extrémité de chaque ordonnée fractionnaire menons la tangente jusqu'à Son interseclion avec les deux ordonnées ontiÈrss voisines et remplaçons l'airo donnée par la somme des aires des trapèzes construits do cette fuçon. La formule approchée, obtenue par cette voie, s'appelle formule des tangentes; * /(ï)4i»= -=-?- i!Ji/s-r- .¾ 1¾¾ +yVt+ — +yn-vt\=«i- (/l/j) Fig. 148 Considérons simultanément avec les trapèzes, circonscrits précédemment, les trapèzes insertis, que nous obtenons, en reliant avec les cordes les_ extrémités dos ordonnéos impaires voisines; ajoutons-Iour encoro les doux trapèzes limitrophes, formés avec les cordes, roliant les extrémités des ordonnées jr0 et tfi/2' Vn-~1/2 Bt Wi- Nous désignons la somme d«s aires dos trapèzes obtenus par b — a I* yp+ffn Vi/s+'Jn-i/2 2n L 2 2 r-2!/u,+ %Ja/,+ '»/,- •+2»«-i/,]- Si la courbe y = / (a) dantf l'intervalle (a, b) ne possède pas du points d'inflexion, c'est-à-dire si elle est seulement convexe ou seulement concave, alors l'aire S de la courbe est comprise ontre les aires Oi et Ci, et il est naturel de pren- dro comme expression approchée pour S la moyenne arithmétique -J-g—? t C0
111-3. COMPLÉMENTS SUR LA KOTION D'INTEGRALE DEFINIE 281 qui donne la formule de Poncelet : Il n'est pas difficile de voir que l'erreur de cotte formule avec l'hypothèse- faite sur l'allure de la courbe ne dépasse pas la valeur absolue 01 — <?Z j gi/s+ffn-i/a Uo+yn \ b—a , et l'expression, se trouvant entre parenthèses, est égale, comme il n'est pas- difficile de le montrer à partir de la propriété do la base moyenne des trapèzes, au segment do l'ordonnée moyenne, isolé par les cordes reliant ontro- elles les oxtrémités des ordonnées limites entières et des ordonnées limites- fractionnaires. IIf-3-10. Formule de Simpson. Conservant la subdivision précédons en nombre pair de parties, remplaçons la courbe donnée par une succession d'arcs de paraboles du deuxième degré, passant par les extrémités de chacune des trois- ordonnées : «ï. ïi/2i Vi '> ut, ïa/j. us. ; ■ • ■ ; yn-v Vn-i/? vn- Calculant l'aire de chacune dos figures curvilignes obtenues de cette manière par la formulo (4) [HI-3-1], nous obtenons la formule approchée de Simpson: ^ f (x) dx«s-gj— [ya+i'A^+Zyi -|-hjih \-2y2 | f +2yn_,+4y„_i/2+-yn]. (-47) Nous ne nous arrêterons pas ici sur l'erreur de cotte formulo, et égalomont sur l'erreur de la formule des trapèzes. Remorquons, on général, que l'expression de l'erreur sous la forme d'une formule définie a plutôt uao valqur théorique que pratique parce que babiluolloment ollo donne uno limite par trop grossière. A propos do la construction précédente, remarquons qu'avec le choix correspondant à a, b ùt û dans la parabole y = ai2 -f- bx + c, on peut toujours l'obliger à passer par trois points donnés d'abscisses différentes d'un plan. tin pratique pour la précision du résultat, la connaissance de l'allure de la courbe est sssontielle, et au voisinage des points, où la courbe change d'aspect plus ou moins rapidement il faut faire le calcul avec une plus «rende précision, ot pour cela il est nécessaire d'Introduire do plus petites subdivisions de l'intervalle. Do toute façon il est utile avant le calcul do su faire une idée mémo approximative do l'allure do la courbe. Dans le cas du Calcul approché le schéma de la succession des opérations est toujours essentiel. Afin d'en donner uno présentation ot aussi de comparer la précision obtenue avec les diverses formules approchées mises eu évidence- plus haut nous traitorons les exemples suivants: P3I/2 1. ^=^ sinxdx^i, r=10, ^^=0,157 079 63, ^=^=0,078539 81, i^?=0,02617994
282 pH. in. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS Vi Vi Va Ifi n i/o Vl ÏS Vf) 2, Sin 9° sin 18° sin 27° sin 36° sin 45° sin 54° sin 03° sin 72° sin 81° 0,1564345 0,3090170 0,453 9905 0,587 7853 0,707106¾ 0,8090170 0,8910065 0,951 oses 0,987 6883 5,8531024 Si Vi/a Vs/2 yVa «V, »»/« V»h ÏJ3/a »15/, »»/* Vie/Z S* - atn 4°,5 sin 13°,5 sin 22°,5 sin 31=,5 sin 40°,5 sin 49°,5 sin 58°, 5 sin 07°,5 sin 76°,5 sin 85°,5 0,0784591 0,2334454 0,382 6834 0,522 4986 0,6494180 0,7604060 0,8526/.02 0,923 8795 0,972 3699 0,9969173 6,3727474 Vo sin 0° sin 90° 0,000.0000 i,ooo;oooo Formule des rectangles par défaut 5,8531024, 0,0000000 in g n 0,767 3861 1,1961198 2 5,8531024 In S £=0,9194080 1,903 5059 Formule des rectangles par excès Si 5,853 1024 1,000 0000 In S , 6 — a In n 0,8358873 1,1961198 2 6,8531024 In J JT^ 1,076 5828 0,032 0071
III-3. COMPLEMENTS SUR LA NOTION D'INTEGRALE DEFINIE 283 Formule des tangentes Formule des trapèzes lu 2* n 0,8043267 ï, 1961198 ^2, 11,706 2048 1,000 0000 In 2 . 6— a ,Q~2r 1,1040158 2,8950899 la S 0,0004465 ^¾ 1,001 0290 S 2 12,7062048 ln-S Ï.9991057 ^.¾0,997 9480 Formule de Poncelet 2¾ — (ya+yio) -T <»'/»+"W 12,7454948 0,2500000 -0,208 8441 * S , 6-'a 1«-r— 2» 1,104 7H1 2,8950898 12,726 6507 In S Jsk 0,999 5487 1,9998039 Formule de Simpson *2i «2» 00 + IrtO 11,7062048 25,490 989« 1,0000000 .«"2 . b—a ln-y— Ca 1,582 0314 2,417 9685 38,1971944 \aS S** 1,000 0000 1,999 9099 2. ^=^^^4^-^=4-^2=0.^21982613. Jo 1-M* 8 n = 10, 6—g 1 &—a 1 2n =i0' 6n ~60' * Celte formule scia établie dans lo deuxième tome.
2*4 Cil. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS Vf n U3 ï* Va 'Je V7 y» ?9 2« 0,0943665 0,1753092 0,240 7012 0,200 0623 0,3243721 0,345 590» 0,3561203 0,3584005 0,354 6154 2,539 5503 y*H ïs/« tfs/s »v» V*H Vn/3 Vl3/, i'is/s ï»/2 >Jlt/t s, 0,0486685 0,136 6865 0,2100175 0,267 3538 0,308 9926 0,3364722 0,352 0389 0,3581540 0,357 1470 0,3510273 2,7265583 Uia 0,0000000 0,346 5736 Formule de Poncelgt Formule de Simpson 2¾ -çk/o+yto) . 1 , \ 5,4531160 0,086 0434 —0,0993239 2¾ <2* yo+Vn 5,0791006 10,906 2332 0,346 5736 5,439 8361 16,331 9074 ^ÎS*0'2'19918 £=4^1^0.272198 46- uO *-J 3. J=Ç'-^- = ln 2=0,693147 18. n=20, 6—a_ 1 6 — o_ 1 *2» 40' ~6n~~120'
III-3. COMPLÉMENTS SUR LA NOTION D'INTÉGRALE DEFINIE 285 Ul n n >ji Vu •Je Ift Vs Ï6 via Vu Vi2 013 VU VU y%% Vil 'Jta Ï1B S. 0,0523810 0,900 0909 0,8695653 0,833 3333 0,800 0000 0,769 2307 0,740 7407 0,7142857 0,089 6552 0,666 6667 0,6451613 0,625 0000 0,606 0606 0,588 2353 0,5714287 0,555 5556 0,340 5405 0,526 3146 0,512 8205 13,110 6606 »i/» »Vs »V» 'Jv* V>/z »»/« ïl3/2 "15/î »"/» "">/! »31/3 !fz3/2 fcs/j "»/« 02B/2 y3i/3 »3.1/2 Ï3S/2 ^'/2 ^89/4 s* 0,975 6097 0,9302326 0,888 8889 0,8510038 0,816 3200 0,7843135 0,754 7169 0,727 2727 0,7017543 0,677 9661 0,0557377 Û,6349i07 0,6153846 0,597 0149 0,597 7101 0,5033804 0,547 9451 0,533 3333 0,519 4808 0,5063291 13,8013816 Formule des trapeziis Vu Ï20 1,000 0000 0,500 0000 *2« soi- (/20 2 26,2321332 1,5000000 27,732 1332 0,093 303 33
286 CH. III. NOTION D'INTËGHAXB ET APPÏJCATIONS Formule de Poncelet 2 27,727 2785 J=~2«*0,693 181 96 Formule de Simpson 22, ■^U/O + Vi!)) -|(»v.+W 27,722 7632 0,375 0000 -0,3704847 *s« 4¾ »0+ feo 26,2321832 55,445 5264 0,5000000 2 83,177 6596 IIT-3-11. Calcul d'une intégrale définie avec une borne Supérieure- variable. Dans beaucoup de problèmes on est amené à calculer les valeurs des intégrales définies: '<*»-£/M dx ayant une borne supérieure variablo. Ayant établi la formule des trapèzes (43), on peut montrer le moyen suivant pour obtenir des valeurs approchées do cette intégralo, en fait, non pour toutes les valeurs de x, mais seulement pour celles, qui ont servi à subdiviser l'intervalle (a, b) en parties, c'est-à-dire: F (a). F{Xi), Fte) F{xh) F {*„.& F {b). D'après la formule (43) nous avons: F{xk)^hhfix)c,^H[J^+...+ 2 ]■ '«^W + Y^fe f-Ws+i). (48> <49> Cette formule donne la possibilité, ayant calculé la valeur de F (¾). de- poursuivra jusqu'à la valeur suivante F (xn.t) — F {xk + h). Il est possible do disposer ce calcul selon le schéma, présenté p. 289. 111-3-12. Méthodes graphiques. Ces calculs peuvent être faits graphiquement, si la représentation de la courbe y = f (x) est donnée; nous obtiendrons- ainsi la construction du graphique de la courbe intégrale : y=^XJ{x)dx=F(x) à partir de la représentation de la courbe (50)
> > fc s a - A» 11 e — " Il i + II 24 *5? -¾ ."> * 1 — -L + ■ •* Wl -~. ^ -* ^ I + * ï * 1 -IN "S- m + « -¾ J2- ** ** ^1« * •-■ + ««IN ; 4- ■ CT + ff & + X 4- 5* + # + J? o » + ^ "f- ■? 4- » + ê1 4- ff X ■*- & + <r + ^ ; ■r -i- i •m « M *# rf> tO »i 2¾ »i Sa =¾ 5» ; + + + + + + ° cr* -S? -S? ^f ■* ' fn S3* 24 5& î3» 24 Il II II II II II -< ,n es «* « «o 03 «ia 'O 03 *» *9 1 © « ci x»» «» 10 » ; m 1¾ 2S fe Ï3i 24 24 1 ■« *S -¾ -<5 •< Jî W P5 *P »0 ¢0 ■h + + + + -h ; ej ej <a ej « « O *■' C"4 W> KJl IT5 CS
288 CIT. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS Avant tout, si nous avons nn nombre suffisant de divisions, nous pouvons prendre approximativement T" 2 =Ï»-Va' <51> c'est-à-diro si la représentation do la courbe (50) est tracée, alors les grandeurs Fig. 149 -~ sont obtenues immédiatement à partir de la fig. 149, eu tant qu'ordonnées de la courte pour , 2A-1 , **-!/,=*+—2—*- Notons sur l'axe OY les points : ^tfoi/,), Ai<!fs/J' A3(Va/.). ■■■> Ah (ïn-ï/s). Sur l'axe OX ù gauche d» point 0 construisons le segment OP égal à l'unité. Portons les rayons: PA„ PAZ, PAS, ..., PAh, et par les points Me, JW4, M^, . . . leurs parallèles, do sorte que MtM±\\PA„ M^zHPAz, M.JH3\\PA3, ... Los points jW0, M,, jlfs, . . . seront dos points de la courbe intégrale approchée do la chercliéc, ainsi qu'il n'est pas difficile de s'en assurer J partir de la figure et cela, «n vertu de l'égalité approchée (51) et do la formule (48), s'écrit: , yi<.~i + 'jh xkMh~htel/3+,jt/ti-... -r-ïA_Vî)= h (-^i- )-*-(**)• La construction qui vient d'être montrée est pratiquée dans les cas, où l'échelle pour la fonction F{x) coïncide av«c l'échelle pour / (s).
III-3. COMPLÉMENTS SUR LA NOTION D'INT£GHALT3 DÉFINIE 289 Si l'échelle sort de l'épure, la construction subsiste quand même avec la seule différence, que le segment OP possède non uno longueur unité mais l, qui est égale a" rapport de l'échelle pour F (x) et de l'Échelle pour / {x). La construction graphique approchée do l'intégrale répétée CD (*)=^*(^/(*)<**) est établie par la formulo des rectangles j(40) [Il£-3-8]. Posons, comme précédemment, que F(x)^J(x)dx. Considérant seulement lea valeurs xq. 2j, x2, . . ., x„, . . . do la variable indépondanle x, nous avons d'après la formule (40) l'égalité approohée: F (x,) s= Ky6, F[xz)fah(ya+yi) F(¾) s= A {'j0 + n-t- ■ • ■ T-ÏA-l). Xj, X, Xa Xj Tig. 150 Appliquant la même formule pour la fonction <D (¢), nous avons: « ta,) = h [F (x0) + F (Xi) + ... + F (**_,)] s= ^^lvo-i-(yo-\-Vii+...+(yo+yi-\----+yh-ù]- (52) D'où découla la_ construction suivante do l'ordonnée <t>(xk) <flg, 150): ayant construit le point P, comme précédemment, nous reportons sur l'axe OY les segments: ~-Vu BzJi3=yz, .... #*-itffc=!ft-i, .- Traçant les rayons : PSU PBZ, PB3, .... PJBk, construisons les points : en menant Mç, My, M2, .,,, Mk. ... , M^M^PBi, MtMzWPBz, M^MS || PS3. ... Ces points seront les points de la courbe approchée cherchée, tracée, loulo- fois, à l'échelle constante (1 : h), car de cette construction il est clair que: xiM^hy,,, x2iW2=ftyo+ft(yo+ïi), -• • » xkMk=ky0-f-h (y0+'ji)-r ... + h(yo+ïi-i- l-»A-i)«= <D(2fc) en vertu de (52). SI la longueur OP n'est pas égale h l'unité, mais à 7, la courbe construite donne l'ordonnée de la courbe Q> (x), modifiée dans lo rapport (1: Ih). la—28j
290 CH. HI. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS Il conviant do noter que malgré la commodité des constructions étudiées, leur précision n'est pas grande, et on no peut les employer que pour la comparaison do calculs assez grossiers. III-3-13. Aires des oourbos à oscillations rapides. Plus haut [III-3-10] il a été montré quo pour le choix heureux des diverses formules approchée?, pour lo calcul de l'intégrais définie, il convient do partager la courbe, dont l'airo est à définir, on parties, dans chacune desquelles olle est monotone. Cette exigence est toujours difficile pour les courbes, so conduisant irrégu- lierumont, possédant beaucoup d'oscillations vers le haut et le bas, Pour Fig. 151 la définition des aires de ces courbes d'après les règles précédentes il convient d'introduire beaucoup de subdivisions, ce qui compliquerait considérablement les calculs. Dans de tels cas il est utile d'appliquer uns autre méthode, notamment on partageant l'aire en bandelettes, parallèles non pas à l'axe OY mais à l'axe OX; ppur la détermination approchée de l'aire de la courbe, représentée sur la fig. 151, portons sur l'axe Or la plus petite et la plus grande des ordonnées a et P do la courbe et partageons l'Intervalle (œ, P) en n parties selon les points: Ho—<*-. vî y,-t< yi, •••. «n-i, ifn=$- Portant par les joints de division les droites parallèles ù l'axe OX, nous partageons toute l'aire on bandelettes, composées de parties séparées ; pour l'expression approximative de l'aire do la ie bandeletto. nous pouvons prendre le produit de sa baso (yi — m.i) par la somme des longueurs Jj des segments d'une droite quelconque ï = 1i (yi-i<1j<!rt), compris ji l'intérieur do l'aire examinée; cette somme peut être rapidement déterminée d'après la figure. Ayant désigné cette somme par îj nous obtenons pour l'aire cherchée 6' l'oxpression approchée do la forme : Vo{!>~-«) +(Vl—Vo)li-Ki/a—M 'z A b(yn—!fn-i) In,
II1-4. DONNEES COMPLÉMENTAIRES SUE LES INTEGRALES DEFINIES 201 laquelle sera d'autant plus précise que le nombre de divisions sera plus grand et quo les fluctuations de la courbe seront plus brusques. Le développement dans les règles do l'idée fondamentale do cette méthode conduit au concept d'intégrale do Lebosgue, qui est considérablement plus générât quo le concept d'intégrale de Riomann exposé [I1I-2-1, III-4-3J. HI-4. Données complémentaires sur les intégrales définies HI-4-1. Notions préliminaires. Les derniers paragraphes du présent chapitre seront consacrés à. une sérieuse étude analytique du concept d'intégrale, et dans le paragraphe suivant nous montrerons l'existence de la limite définie pour la somme de la forme: n et non seulement dans le cas d'une fonction continue. Pour cela* il nous faut introduire quelques nouveaux concepts, liés à l'étude dès fonctions discontinues. Soit la fonction / (x) définie dans un certain intervalle fini (a, 6). Nous examinerons seulement les fonctions bornées, c'est-à-dire les fonctions, dont les valeurs dans l'intervalle mentionné restent en valeur absolue plus petites qu'un nombre défini positif, c'est-à-dire que la fonction, f {x) est bornée dans l'intervalle (a, b), s'il existe un nombre positif B, tel que pour tout x de l'intervalle: mentionné nous ayons: l/WI<«- Si la fonction / {x) est continue, alors, comme nous l'avons déjà mentionné [1-2-11], elle atteint dans cet intervalle la plus grande et la plus petite valeur et, par suite, bien sûr, est bornée. Au contraire, les fonctions discontinues peuvent être aussi bien bornées que non bornées. Plus loin, nous examinerons seulement les fonctions discontinues bornées. Supposons, par exemple, que la fonction / (x) ait .une représentation graphique, reproduite sur la fig. 152. An point x = c nous avons une rupture dans la continuité de la fonction, et la valeur de la fonction en ce môme point x = c, c'est-à-dire / (c), doit être déterminée au moyen d'une hypothèse supplémentaire. Aux autres points de l'intervalle, y compris les extrémités a et b, la fonction est continue. En outre, en ce qui concerne la manière dont la variable x tend vers la valeur x = c à partir des valeurs inférieures, c'est-à-dire à gauche, l'ordonnée / (x) tend vers une limite définie, représentée géométriquement par le segment NMi- De même, en ce qui concerne la manière dont x tend vers c à partir des valeurs supérieures, c'est-à-dire à droite, / {x) tend aussi- 19fc
292 CH. III. NOTION D'INTEGHALE ET APPLICATIONS vers une limite définie, représentée par ]e segment NM%, mais cette dernière limite diffère de la limite à gauche mentionnée plus haut. On désigne habituellement la limite mentionnée à gauche par le symbole / (c — 0), et la limite à droite par le symbole / (c + 0) [1-2-8], Cette rupture la plus simple de la continuité de la fonction pour laquelle existent des limites extrêmes définies soit à gauche, soit à droite, s'appelle discontinuité du premier ordre. La valeur de la fonction en ce même point x — c, c'est-à-dire / (c), différera, généralement, aussi bien de / (c — 0) que de / (c -j- 0) et devra être l NJ m -»-* Fig. 152 Fig. 153 déterminée par une information complémentaire. Si la fonction est continue dans l'intervalle (a, b) y compris les extrémités, à l'excop- tion'd'un nombre fini de points, pour lesquels elle possède des discontinuités du premier ordre, le graphique d'une fonction se compose d'un nombre fini de courbes, continues jusqu'à leurs extrémités, et de points isolés aux endroits de ruptuce de continuité (fig. 153). Une telle fonction, malgré sa discontinuité, sera, évidemment, bornée dans tout l'intervalle. Bien entendu, des fonctions avec des discontinuités plus complexes pourront être bornées. Plus loin, nous examinerons fréquemment les ensembles de toutes les valeurs, que n'importe quelle fonction / (z) prend dans un intervalle donné de variation de la variable indépendante. Si la fonction prise est bornée dans l'intervalle examiné, alors l'ensemble de ses valeurs dans cet intervalle est limité vers le haut et vors le bas, c'est pourquoi cet ensemble possède toujours des bornes, supérieure et inférieure [1-2-15]. Si, par exemple, / (x) ost continue dans l'intervalle considéré (fermé), alors, comme on le sait [1-2-11], elle atteint dans cet intervalle la plus grande et la plus petite valeur. Dans le cas présent, ces valeurs de la fonction seroat les bornes supérieure et inférieure des valeurs de la fonction / (.*) dans l'intervalle examiné. Considérons un autre exemple : si la fonction / (x) est une fonction croissante, alors elle possède la plus grande valeur à l'extrémité droite de l'intervalle et la plus petite valeur à l'extrémité
MI-4. DONNEES COMPLEMENTAIRES SUR LES INTEGRALES DfiWNIES 293 gauche. Ces valeurs, de même que dans le cas précédent, seront les bornes supérieure et inférieure des valeurs de / (x). Dans les deux exemples examinés les bornes de la fonction apparaissaient elles-mêmes comme des valeurs particulières de la fonction, c'est-à-dire qu'elles appartenaient elles-mêmes à l'ensemble examiné des valeurs de la fonction. Dans les cas plus complexes d'une fonction discontinue les bornes de la fonction peuvent ne pas apparaître elles-mêmes comme des valeurs de la fonction, c'est-à-dire peuvent ne pas appartenir à l'ensemble des valeurs de la fonction. Soit m la borne inférieure de l'ensemble des valeurs de la fonction bornée / (x) dans un intervalle fini quelconque (a, b) et M leur borne supérieure, Prenons un nouvel intervalle (a', V), qui apparaisse comme une partie du précédent intervalle (a, b). Soient m! et M' les bornes inférieure et supérieure do l'ensemble des valeurs de f (x) dans le nouvel intervalle (a',b'). Gomme l'ensemble des valeurs de / (x) dans l'intervalle (a', b') se trouve parmi les valeurs de / (x) de l'intervalle plus large (a, b), on peut affirmer que m' ^ m et M' ^ M, c'est-à-dire que : L e m m e 1. Si on substitue à un intervalle quelconque une partie de cet intervalle, alors la borne supérieure des valeurs de la fonction f (x) ne peut augmenter, ni la borne inférieure diminuer. I1I-4-2. Découpage d'un intervalle et formation de diverses sommes. Soit un intervalle fini (a, b) découpé en un nombre fini de parties par les valeurs intermédiaires de x : a = i0<*)<«2< ... <Xh-i<Zk<i ■■ • <zre-i <•£« = &• (1) Nous désignerons ce découpage par une seule lettre Ô; les valeurs x^ sont appelées les points de division de 6. Pour divers découpages le nombre d'intervalles partiels et les points de divisions sont, eu général, différents. Désignons la longueur des intervalles partiels pour le découpage (1) par: 6¾ = x^ —œj-j {A = 1, 2, ... . . ., n). Soit / (x) une fonction bornée donnée sur l'intervalle (a, b). Ecrivons la somme correspondant au découpage 6 (1) dont la limite, si elle existe, donne l'intégrale définie de f (x) sur l'intervalle {a, b): 0(6,60-2 /(&)«*• <2) ftn=i Elle dépend de ô et du choix des points |ft. Considérons l'ensemble des valeurs de / (x) dans l'intervalle (xh-i, xh). Comtno / (œ) est bornée, cet ensemble est aussi borné. Désignons par mh la borno inférieure et par M\ la borno supérieure des valeurs de / (x) dans
294 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS l'intervalle (xt,~i, xh) (k = 1, 2, , . ., n) et remplaçons dans les termes de la somme (2) / (|ft) par m;, et par Mft. Nous obtenons deux sommes ne dépendant que du découpage 6 de l'intervalle (a, b) : s (0) = S m„Ôfc; 5(6) = 2 MA. (3) 11 découle immédiatement de la définition de m^ et M^ que Wfc</(S*)<MS, d'où, comme 6¾ est positif, nous tirons s(ô)<a(Ô,£ft)«S(ô). (4) Soit encore, comme plus haut, m et M les bornes inférieure et supérieure de / (x) sur tout l'intervalle (a, b). Utilisant le lemme 1, on voit aisément que les inégalités m<roft<Mft<JW, ft=l, 2 n, (5) sont vérifiées et qu'en outre, évidemment, 2 6/1=2 (Xh—xk-i) — b — a. Multipliant les inégalités (5) par les nombres positifs 6¾ et sommant sur k de k = 1 jusqu'à k = n, nous obtenons m (6 —œ)<s (6)<M (6 —a), m (b—œ)<5 (ô)<M (6—a), autrement du, l'ensemble des valeurs s (ô) et 5 (ô) pour tous les découpages possibles ô est borné inférieurement et supérieurement. Désignons par la lettre i la borne supérieure de l'ensemble des valeurs de s (ô) et par la lettre I la borne inférieure des valeurs S (ô) pour tous les découpages possibles ô : sfi<£, S6>I. (6) Notons que la différence non négative M — m est d'habitude appelée Voscillation de la fonction f (x) sur l'intervalle (a, b). La différence Mk — mk est l'oscillation de la fonction / (x) sur l'intervalle (xh-i, xk). Introduisons maintenant certaines notions nouvelles. Nous appellerons le découpage ô' de l'intervallo («, b) prolongement du découpage 6, si chaque point de division de 6 est un point de division de ô'', aulrement dit, ô' est obtenu à partir de ô en ajoutant de nouveaux points de division (si ô' n'est pas identique à ô). Si ôj et Ô2 sont deux découpages, nous désignerons comme leur produit
BJI-4. DONNEES COMPLÉMENTAIRES SUR LES 1KTÊ01ULES DÉ UNIES 295 le découpage de {a, b) dont les points de division s'obtiennent en réunissant les points de division de ôj et de ô2. Nous désignerons le produit des découpages par Ôiô2. Cotte notion peut être appliquée également au cas de plusieurs facteurs. Le découpage ôiôî est évidemment un prolongement du découpage ô( comme du découpage ô2. L e m in e 2. Si le découpage ô' est le prolongement du découpage ô, alors s (ô) < s (6') et S (ô) > S (6'). Quand nous passons de Ô à ô', chacun dos intervalles (*»_i, xh) de la subdivision ô peut être scindé en plusieurs parties. Posons par exemple que cet intervalle se scinde en trois parties (a^-i,ak), («a. Pfc) et (P»7 £*) de longueurs respectives 8JJ1 = ak — xh-u ôj," = P*-a* 6Jf> = a:A-§ft> et soit MJ?>, Mp, M',? les bornes supérieures de l'ensemble des valeurs de f (x) dans les intervalles précités. En vertu du lemme 1: Mft\ Mff et Mf> < Mh, et la somme ÔT + 6J? + 6?> = 6„ = afc - aA_j. Le terme Mftôj, de la somme 5 (ô) lors du passage à ô' est remplacé par la somme de trois termes: et, en vertu de ce qui a été dit plus haut, M W + Wfijf + M W « Mh (Ôp + Ôjf» + ôj?') = MA, autrement dit, quand on passe de ô à 6', chaque terme Mjfin de la somme est soit remplacé par une somme finie, qui est inférieuro ou'égale à Mtfik> soit reste inchangé. Il en découle précisément que' S (S) ;> S (6'). Exactement de la même façon on démontre que s (ô) <£j s (ô') et le lemme est démontré. Prenant en considération que mh <J Mk et ôft sont positifs on voit aisément que pour un même ô nous avons s (ô) <gj S (S). Montrons que cette même inégalité a lieu également pour n'importe quels découpages. L e m m e 3. Si ôj et ô2 sont deux découpages, alors s (ôj) <J S (ô2). Considérons le produit Siô2 des découpages ôt et ô2. Comme ôjôs est le prolongement de ôt et 62. il découle du lemme 2 que s (ôiôz) Jt- > s (ôj) et S (ôiô2) < S (ô2) et, utilisant l'inégalité s (ô,62) < <£ S (é|ô2), nous obtenons s (ôi) -^ S (ô2). Le lemme est démontré. 11 découle immédiatement de ce lemme que la borne supérieure i de l'ensemble des valeurs s (ô) pour tous les découpages possibles ô et la borne inférieure I de S (ô) vérifient les inégalités sXÔ)<i</<5|(6). J(7) Occupons-nous maintenant^,des sommes 0"{ô, g„) qui vérifient lesjnégalités (4). Pour un découpage fixé ô en vertu de la définition de mh et M), on peut pour tout k choisir £& de sorte que / (|4)
290 CFT. III. NOTION D'INTEGHALE ET APPLICATIONS soit aussi près que l'on veut de Mk ou même (en certains cas) coïncide avec Mh, autrement dit, on peut choisir |A de sorte que la somme a (6, |A) soit arbitrairement proche de S (ô) et même en certains cas que a (ô, %&) coïncide avec S (ô). D'autre part en vertu de (4), <J {6, |ft) ,^: S (ô). Il en découle que S (ô) est la borne supérîeuro des valeurs de a (ô, |ft) pour tous les choix possibles de 5¾. On démontre d'une manière analogue que s (ô) est la borne inférieure des valeurs de <j {6, £;,), autrement dit, a lieu: L e m m e 4. Pour un découpage fixé ô la grandeur s (ô) est la borne inférieure des valeurs de <j(ô, |ft) pour tous les choix possibles de gft, et S (6) est la borne supérieure de l'ensemble des valeurs de O" (Ô, %h) pour les mêmes conditions. IU-4I-3. Fonctions intégrables. Indiquons maintenant la condition nécessaire et suffisante do l'existence de l'intégrale d'une fonction bornée / (x) ou, comme il est admis de dire, la condition nécessaire et suffisante d'intégrahilifcé de f (x). Nous désignerons par la snite par u, (ô) la plus grande des longueurs des intervalles partiels entrant dans la subdivision ô. Théorème. Une condition nécessaire et suffisante d'intégrabi- lité de- la fonction bornée f {x) sur un intervalle fini (a, b) est que la différence S (Ô)-s (6) = 2 (Jlfk-m»)ôfc (S) tende vers zéro quand u, (Ô) tend vers zéro. En d'auti'es termes, cette condition, que nous appellerons la condition A, consiste en ce qui suit: pour tout nombre positif donné e, il existe un nombre positif n tel que la différence: 6'(ô)-s(6)<:8, si u.(ô)<*i, soit non négative. La condition est suffisante. Supposons que la condition A du théorème soifc vérifiée, autrement dit, S (ô) — — s (ô) -+- 0 quand u, (ô) -*-0. Alors il découle de (7) que /. = I et que s (ô) et S (6) tendent vers / quand u, (S) -»- 0. Il en découle, compte tenu de (4), quo la somme <r (ô, 1^) tend vers / pour- u, (ô) -»- 0 et pour tout choix de |ft. Plus exactement, | / — a (6, §*) | < e quand p, (ô) <-n, et n >0 est déterminé par la valeur donnée de e > 0. Ainsi nous avons démoutré que / (x) est intêgrable et que lo nombre / est la valeur de l'intégrale. La condition À est donc suffisante. La condition est nécessaire. Supposons que / (x) soit iittégrable. Démontrons quo la condition A est remplie. Désignons par /0 la valeur de l'intégrale de / (x). Par définition nous
tII-4. DONNEES COMPLEIWENTAIItES SUR MSS IXTfiGRALES DÊMNIES 2Q7 aurons alors: pour tout e >-0 il existe un nombre n >0 tel que |o(6,Ê„)-/0|<-f-, si |»(fi)<T) (9) pour n'importe quel choix de |ft. En vertu du lemme 4, pour tout ô fixé il est possible d'effectuer le choix de §& = sft et is = iL de sorte que la{6,K)-»(fi)|<| et |a(ô,rft)-S(6)l<T- (10> Nous pouvons écrire 5(8)-»(6) = [J(«)-o(6,Ëk)] + [a(Ô,S)-/0] + + I/i-a(ô,K)]+Iff(6,6y-»(% d'où, en vertu de (9) et (10), nous obtenons pour |x(ô)<t] |5(ô)-S(ô)|<|5(Ô)-cr(ô,|s)H-|a(Ô,iJ)-/„| + + !/.-«»(«, Ei)| + |o(«,5i)-«(6)l<-ï-+T + |- + -T=e. autrement dit, | S (ô) — s (ô)| < e quand jj, (ô) < n, ce en quoi consiste la condition A. La condition est donc nécessaire, Remarque 1, Il découle de la démonstration du fait que la condition A est suffisante que i = I quand la condition A est remplie, et que dans ce cas la valeur de l'intégrale est égale à /. C est pourquoi il découle du fait que la condition A est nécessaire que l'égalité i = / est une condition nécessaire do l'intégrabilité. Remarque 2. On peut montrer que pour toute fonction bornée / (x) nous aurons : s (ô) ->■ i et S (ô) ->■ / quand u. (ô) -*■ 0. 11 en découle que sii = /, alors (S (ô) — s (ô)) -»- 0 quand \x (ô) -»- 0, et par conséquent l'égalité i = I est non seulement nécessaire, mais aussi suffisante do l'intégrabilité de j (x). I. Si / (x) est continue sur l'intervalle fermé (a, &), elle est uniformément continue sur cet intervalle. En outre, sur chacun des intervalles (£4-1, Xh) elle atteint sa plus petite valeur mj et sa plus grande valeur Mk. En vertu de la continuité uniforme de / (x) pour tout e >.0 donné, il existe un n >0, tel que O <; Mk — mh < < ^ , si p (Ô) < n. Alors n n n 0<2 (Afk-«*)6»<2 rbô*-î=ïS 6"=^(ô-œ)=«. ft^l fe»l ft=i
298 CH. IJI. NOTION D'INTËGRALE ET APPLICATIONS autrement dit, 5 (ô) — s (ô)< e, si u.(ô)<t]. Ainsi, la condition A est remplie et, par conséquent, toute fonction continue est intêgrable. II. Supposons maintenant que la fonction bornée f(x) possède un nombre fini de points de discontinuité. Pour fixer les idées nous supposerons que / (x) possède un point de discontinuité x = c situé à l'intérieur de (a, b). Notons avant tout que les différences Mt — m* sur chaque intervalle partiel ne dépassent pas l'oscillation M — m de la fonction sur l'intervalle (a, b) tout entier: Mh—mk<M—m, ft='l, 2, ..., ». (11) Soit un nombre positif donné e. Isolons le point c du segment (a, b) à l'aide d'un petit intervalle fixé (ait bi) (fig. 154) tel que a < œt < < c < b; < 6 et 6i — œt < e. Sur les intervalles fermés (a, «i) O O O u — O a a, c ù, d Fig. 154 et (6, l)±) la fonction / (x) est continue et par conséquent uniforme- mont continue. C'est pourquoi pour chacun de ces deux intervalles il existe un nombre n tel que \f (x") —f (x') | < e, si x' et x" appartiennent à (a, «i) ou (fej, b) et | x" — x | < n. Les nombres n peuvent s'avérer différents pour (a, at) et (bu b), mais si nous choisissons le plus petit de ces deux nombres n, il sera valable pour les deux intervalles. Soit ô" un découpage arbitraire de (a, b) tel que le u. (6) qui lui correspond est plus petit que les nombres n et e: h(ô)<t| et u.(ô)<e, (12) autrement dit, est plus petit que le plus petit de ces deux nombres n et . Evaluons la somme (8), correspondant à un tel ô et constituée de termes non négatifs. Divisons les intervalles (xk~i, xh) appartenant à ô en deux classes. Nous rapporterons à la première classe ceux qui.font intégralement partie de (<z, <zj) ou (6lt b) et à la deuxième classe les autres intervalles partiels de ô. Ce seront les intervalles (Xfc-i, xh) qui soit appartiennent à (%, fcj), soit ont avec cet intervalle une partie commune. La somme des longueurs blt des intervalles de la première classe est évidemment inférieure à (6 — a), et cette somme pour les intervalles de la seconde classe est inférieure à 3e. Cela découle de l'inégalité b> — at < e, de la deuxième inégalité (12) et du fait que le nombre des intervalles de ô recouvrant partiellement (ait bt) est au plus égal à deux.
111-4. DONNÉES COMPLÉMENTAIRES SUR I.ES INtflGRALKS DÉFINIES 299 Ensuite pour les intervalles de la première classe en vertu de la continuité de / (x) sur (a, ai) et (6j, b) de la première inégalité (12) et de la définition du nombre t] nous avons Mj — mu < e. Pour les intervalles de la seconde classe nous utiliserons l'inégalité (11). Ainsi, nous avons pour la somme sur les intervalle» de la première classe : S(Mft—m.ft)ôfc<eSôk<e(6-.a) î i et pour les intervalles de la seconde classe: 2 (Mk — mh) ôft < (M - m) S ô* < (M—m) 3e. En définitive, ^={Mk-mk)6h<B[(b-a,) + 3{M-m)], (13) si (i (ô) vérifie les inégalités (12). Les crochets du second membre de (13) est un nombre déterminé et en prenant en considération la possibilité de choisir arbitrairement le nombre positif b nous pouvons affirmer que la condition A est remplie, autrement dit que toute fonction bornée f (x) possédant un nombre fini de points de discontinuité est intégràble. III. Considérons le cas où / (x) est une fonction monotone bornée sur le segment fini (a, b). Pour îixer les idées nous supposerons que f (x) n'est pas décroissante, c'est-à-dire crue /(ci) •< / (cz), si c, < c2. Alors sur chaque intervalle (xk-i, xk) nous avons mj, = f (^a-i) et Mh = f (xk). Il en découle que S(ô)-s(Ô)=2] (Af»-m»)«»-2 [/(**)-/(**-«)] h- Mais ôft<u.(ô) et les différences f(xk)—f(zh-i) ne sont pas négatives ; par conséquent, S (fi)-»(«)<|» (8) S [/(*»)-/(**-!)]■ Considérant que | l/(*k)-/(«*-,)l»I/(a!i)-/(a)] + + [/(*ï)-««i)]+--.+[/(6)-/(«^)l«/(*)-/(a). nous obtenons S(ô)-s<Ô)<[/<6)-/(«)]n(Ô),
300 «T. m. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS d'où il découle que 6'(Ô)-S(ô)<e> Si HW< ;(»)!/(a) PO« /<&)>/(a). Si /(/>) —/(°)i alors /(¾) est constante. Donc, toute fonction bornée et monotone est une fonction inté- grable. Remarquons que la fonction monotone peut avoir une quantité innombrable de points de discontinuité, de sorte que le cas (III) n'était pas entièroment compris dans le cas (II). Comme exemple, nous pouvons prendre la fonction, égale à zéro pour 0 -s^ x < — , égale à -g- pour y < a: <-*-> égale à -*-pour j^ï<t, etc-. et enfin égale à 1 pour .¾ = 1. Avec cette fonction non décroissante, nous aurons pour les points de discontinuité dans l'intervalle (0,1) les valeurs _ i _2_ _1 4 T~ 2 ' 3 ' 4 * "5"' ••• Nous nous rappelons à ce sujet qu'une fonction monotone et bornée doit posséder en chaque point de discontinuité x =■ c. les limites / (c — 0) et f (c + 0). Cela découle immédiatement de l'existence de la limite d'une suite monotone et bornée de nombres II-2-61. Pour obtenir les conditions d'intégrabilité nous avons toujours supposé / (s) bornée. On peut démontrer que cette condition apparaît ne pas ôtre une condition nécessaire d'intégrabilité, autrement dit d'existence d'une limite définie de la somme (2). Si cette condition de limitation n'est pas remplie, on peut dans certains cas. définir l'intégrale de / (x) dans l'intervalle (a, b), mais non connno une limite do somme (2). Dans ce cas l'intégrale est dito impropre. Les bases de l'étude do l'intégrale impropre ont été exposées [III-2-4J. Cela sera étudié en détail dans lo deuxième tome. Si l'intervalle d'intégration (a, b) n'est pas fermé à l'une ou aux deux extrémités, alors le concept d'intégrale définie dans un tel intervalle ne conduit pas immédiatement à la limite d'une somme de type (2). Dans ce cas, nous avons aussi une intégrale impropre (cf. [IIÎ-2-5] et le deuxième tome). III-4-4. Propriétés des fonctions intégrables. Utilisant la condition nécessaire et suffisante énoncée plus haut, il n'est pas difficile de faire apparaître les propriétés fondamentales des fonctions intégrables. I. Si f (x) est intégrable dans V intervalle (a, b) et si nous remplaçons arbitrairement les valeurs f (x) d'un nombre fini de points de (a, b).
1II-4. DONNEES COMPLÉMENTAIRES SUH 1053 INTÉGRALES DÉ1HN1ES 301 alors la nouvelle fonction sera aussi intégrable dans (a, b) et la grandeur de l'intégrale qui en résulte ne sera pas modifiée. Limitons-nous à la considération de l'exemple particulier, où nous avons changé la valeur de / te) en un seul point, par exemple au point as = a. La nouvelle fonction cp te) coïncidera partout .avec / (x), sauf pour x = a, avec <p (a) de valeur arbitraire. Soit m et M les bornes inférieure et supérieure de / (x) dans; (a, b). La borne inférieure de cp (x) sera, évidemment, plus grande ou égale à m, si <p (a) >■ m, et sera cp (a) si y (a) < m. De même, la borne supérieure de <p (x) sera plus petite ou égale à M, si cp (a) <J M et sera cp (a) si cp (a) > M. Comparant la somme (12) pour / (x) et cp (x), nous remarquons que la différence peut être. seulement dans le premier terme (pour h = 1). Mais ce premier terme, évidemment, pour / (x) et cp (x) tend vers zéro, puisque ôj -*■ 0 et que (Mi — mi) est borné. La somme des termes restants, sauf le premier, naturellement, tend aussi vers 2éro, parce que / te) ost intégrable et que toute la somme (8) pour / (x) doit tendre vers zéro. L'intégrabûité de cp (x) est démontrée. La coïncidence des valeurs de l'intégrale pour / (x) et <p (x) est évidente, car pour l'établissement des sommes (2) nous pouvons toujours considérer g, différent de a, et les valeurs / (x) et cp (x) en tous ces points, excepté pour x — a, coïncident. II. Si f te) est intégrable dans l'intervalle (a, b), alors elle est intégrable dans n'importe quel intervalle (c, d), constituant une partie de (a, b). Cela découle aisément du fait que la somme (8) composée de termes non négatifs n'est pas supérieure pour l'intervalle (c, d) à cette somme pour (a, b) à condition que dans cette dernière somme x = c et x — d sont des points de division. Comme / (x) est intégrable sur (a, b), la somme (8) pour (a, b) tond vers zéro lorsque (.i (ô) -> 0 pour tous les points de division. C'est pourquoi, à plus forte raison, la somme pour (c, d) tend vers zéro, si (i (ô) -*- 0 pour les intervalles partiels de (c, d), autrement dit, / (x) est intégrable sur (c, d). Remarçuons que c peujt coïncider avec a et d peut coïncider avec b. On démontre exactement comme dans [III-2-1Î l'égalité: llf(x)dx = leJ (x) dx + £ / te) dx (a < c < b), III. Si f (x) est intégrable dans (a, b) alors cf (x), pour n'importe quelle constante c, est aussi intégrable dans (a, b). Considérant, par exemple, c >0, on peut affirmer1 que pour la fonction cf (x) il fant remplacer les anciens mk et Mh par cm^ et cMk- La somme (8) acquiert seulement le facteur c et tendra
302 CH. III. NOTION D'INTEGRALE ET APPLICATIONS comme précédemment vers zéro. La propriété V de [ItI-2-1], naturellement, se conserve et se démontre comme d'habitude. IV. Si fi (x) et /2 (x) sont des fonctions intégrables dans (a, b), leur somme est aussi tntégrable sur (a, b). Soient m.k, M'k, ml, M\ les bornes' inférieures et supérieures de /i (x) et /2 (x) dans l'intervalle (xh-u xk)- De cette façon, toutes les valeurs de /i (x) dans l'intervalle (x),-i, x^) sont supérieures ou égales à mi, et toutes les valeurs de /, (x) sont de même supérieures ou égales à m"k. D'où cp (x) >- m'k -f- m^ dans l'intervalle (xk-u xh). De la même façon, on démontre que <p (x) ^ M h 4- Mu dans l'intervalle (Xh-i, arA). Désignant par mj et Mh les bornes inférieure et supérieure de cp (x) dans l'intervalle (xh-i, Xk)t nous avons donc '. Wft >m'k + m"k et Mh <M'k + M"k, d'où il résulte l'inégalité : Mh— mh^(Mh + M"h)~ (m'k + mi), c'est-à-dire Mh—mn<(M'k—m'k) + {M'k-mrk). Etablissant la somme (8) pour cp (x), nous obtenons : 0<'^{Mh-mll)àh<'Z_ (MÂ-TOfc)ôft+^ {Ml-mD&k. Les deux sommes du second membre tendent vers zéro pour u (6) -»- 0 car les fonctions /( (x) et fi (x) sont supposées intégrables. Par conséquent, la somme (8) pour <p (x), c'est-à-dire la somme | ^Mk-rn^ô,,, tend à plus forte raison vers zévo, c'est-à-dire quo <p (x) est aussi intégrable, La démonstration s'étend facilement au cas de la somme algébrique d'un nombre fini de termes. La propriété VI de (111-2-1( se démontre comme précédemment. Par analogie avec ce qui précède, on démontre les propriétés suivantes : V. Le produit ft (x) /a (x) de deux fonctions Intégrables dans (a, b) sera aussi une fonction intégrable sur (a, b). VI. Si f {x) est intégrable dans (a, b) et si les bornes inférieure et supérieure m et M de la fonction f (x) sur (a, b) sont d'un seul et même signe, alors —-. est une fonction intégrable sur (<z, b).
11I-S. DONNÉES COMPLEMENTAIRES SDR LES INTEGRALES DÉFINIES 303 VII. Si f (x) est intégrable sur (a, b), alors sa valeur absolue | / (x) | est aussi une fonction intégrable dans (a, b). L'inégalité (10) de [III-2-2] peut être démontrée, comme plus haut. La propriété VII de [1II-2-2] apparaît également juste, si / (*) et <p (x) sont dos fonctions intégrables. Le théorème de la moyenne s'énonce ainsi: Si f (x) et q> (x) sont intégrables dans l'intervalle (a, b) et si (p (x) conserve le mime signe dans cet intervalle, alors ^/(a;)<p(a;)cte = n^(f>(a;), où (i est un certain nombre, satisfaisant à l'inégalité m <J [i <J M, m et M étant les bornes inférieure et supérieure de f (x) dans {a,b). En particulier, \ f(x)dx — ^,(b — a). La démonstration sera semblable à celle faite plus haut EIII-2-21. Utilisant cette formule, il n'est pas difficile d'établir que F(x) = \*f{t)dt est une fonction continue de x, et F' (x) = / (x) pour toutes les \aleurs de x, où f (x) est continue. Etablissons enfin la formule fondamentale du calcul intégral pour les fonctions intégrables. Soit Ft (x) une fonction continue dans l'intervalle (a, b) telle que pour mie valeur quelconque de x » l'intérieur de l'intervalle (a, b) il existe une dérivée F[ (x) = / (x) où / (x) est une fonction intégrable dans (a, b). Dans ces conditions, on a la formule essentielle l"j(x)dx^.F1(b)-Fi{a). Découpant l'intervalle en parties et prenant dans chaque partie (£),_!, Xfr) la formule des accroissements finis [II-3-7], nous pouvons écrire •. *ite)-*i(*M)-*;(»)«»-/(&0«A (*k-i<&i<afc). (14) Ensuite, sommant sur A et gardant à l'esprit que (III de [111-4^31) : |^ ^ [Ft (xk) - Ft (*^)] = F1(b)~Fl (a), nous obtenons : *i(fc)-*i(a)=2 /(!»)«*• ft=.i
304 CH. III. NOTION D'INTÉGRALE ET APPLICATIONS Cette égalité est vraie pour n'importe quel découpage de l'intervalle (a, b) en parties vu le choix particulier des points g/„ défini par la formule des accroissements finis (14). Passant à la limite, nous obtenons à la place de la somme l'intégrale : ^, (6)-.¾ («)-£/(*)<fe, ce qu'il fallait démontrer. Remarquons que pour la détermination de l'intégrale les valeurs de f (a;) aux extrémités de l'intervalle (a, b) ne jouent aucun tôle, en vertu de la propriété I du présent paragraphe.
Chapitre IV LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS IV-l. Notions sur la théorie des séries infinies IV-1-1. Notion de série infinie. Soituno suite infinie de nombres: Mj, U2, U3, . . . , M», . . . (1) En écrivant la sommo des n premiers termes do la suite s« = !i1 + w2+ .... + !%, (2) nous obtenons une nouvelle suite infinie de nombres : Sj> S21 ■ - « t £711 ■ - » Si cette suite tend vers une limite (finie) s=lims„, n-+oo on dit que la série infinie «! + u2+... + «„ + ... (3) converge et a une somme s telle que : 5=^ + 1^+...+^,+ .., (4) Si s„ ne tend pas vers une limite, on dit que la série infinie (3) diverge. Autrement dit, la série infinie (3) est convergente si la somme de ses n premiers termes tend vers une limite lorsque n croît indéfiniment par tous ses nombres entiers etpositifs, et cette limite s'appelle la somme de la série considérée. On. peut parler de somme d'une série que dans le cas où la série converge, et alors la somme des n premiers termes de la série s„ est une expression approchée do la somme s. L'erreur r„ commise en faisant cette approximation est donnée par la différence rn t= s— snt qui s'appelle reste de la série. Il est évidont que la reste rn est à son tour la somme d'une série infinie qui ost obtenue à partir de la série (1) en supprimant les n 20-281
30() CH. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES premiers termes ^1=1^+1 + ^+2+ • • • +«71+/.+ • •. La valeur exacte de cette erreur reste inconnue dans la plupart des cas et c'est pourquoi son estimation approchée est très importante. Le cas le plus simple de série infinie est donné par la progression géométrique: a+aq + aqi+ . .. + aqn~1+. .. (a^O). (5) Examinons plus particulièrement les cas où : I«I<1. Iel>i. ? = *> ?=-i- Nous savons [1-2-3] que pour | q [ < 1 la progression géométrique a une somme finale s= -—- et c'est pourquoi on a une série convergente, en effet: sn = a + aq+...+aqn'l=a~^1 , a. a— aqn ai/' 1—q 1—g 1—8 et s — sn -s- 0 lorsque n -*■ oo, car q" -y 0 lorsque | q | < 1 11-2-2], Pour | ? | ;>1 il résulte de l'expression de sn que sn -> oo lorsque n -»- oo, car q" -*■ oo pour [ q | >-l [1-2-5]. Pour q = 1 nous avons s„ = an et il est évident que sa -*- oo également. Ainsi pour j g | :> 1 et g = 1 la progression géométrique diverge. Pour q = — 1 nous avons la série : a—a-\-a — a+ ... La somme s„ des n premiers termes est nulle si n est pair, mais elle est égale à a si « est impair, autrement dit la série ne tend pas vers une limite, elle diverge; toutefois, contrairement aux cas précédents, pour toute valeur de n cette somme reste finie, car elle ne prend que les valeurs 0 et a. Si la valeur absolue de la grandeur sn, somme des n premiers termes de la série (3) tend, vers l'infini lorsque n croît indéfiniment, on dit que la série (1) est strlctemeut divergente. Par la suite, en parlant de la série strictement divergente, nous mettrons pour simplifier, série divergente. rV-i-2. Propriétés des séries infinies. Les séries infinies convergentes jouissent de certaines propriétés qui permettent de les traiter ccrtnme s'il s'agissait de sommes finies. I. Si la série "i + «ï+---+!'n+ ■•• a une somme s, la série aut+auii+ ...+au„+ ..., (6)
1V-1. NOTIONS SUR LA THÉORIE DES SËIUES INÏIN'IES 307 obtenue à partir de la série précédente en multipliant tous les termes par un même nombre a, a une somme as, car la somme art des n premiers termes de la série (6) est cr„ = au, + auz -+-... + aun = asn, et c'est pourquoi iinfi 0"„ = Mm asn = a liin s„ = as. II. Les séries convergentes peuvent être additionnées ou soustraites terme à terme, c'est-à-dire que si Von a W1 + W2+ ■■■+«»+ ■■.=*, vt+vz+...+vn+...=o, alors la série fa ±vt) + (us ±v*)+ ... +{un ±vn)+ ■■• (7) converge également et sa som,me est égale à s ± <j, car la somme des n premiers termes est ; ("L ± V|) + ("2 ± f2) + • • - + ("n ± »n) =¾ ± <Jn- Les autres propriétés de la somme toiles que la commutativité, les règles de multiplication de deux sommes l'une par l'autre, etc., appliquées aux séries infinies, seront étudiées un peu plus tard, au paragraphe [IV-3Î. Notons pour l'instant qu'elles ne sont pas valables pour toutes les séries. Il est évident que la commutativité est valable pour toute série convergente, c'est-à-dire que Ton peut regrouper n'importe quels termes voisins. Ceci revient à ne prendre que des ensembles s„fc an lieu de tous les sn (n = i, 2, 3, . . .), ce qui ne change pas la limite « [1-2-31. III. La propriété de converger ou de diverger d'une série ne sera pas perturbée si Von retranche ou si Von ajoute quelques termes au début de la série. En effet, examinons deux séries: "1 + »2-f »*+»»+ ■ ■ ■> «3+ "4-1-% +"■()+■ ■• La deuxième série est obtenue e,n retranchant deux termes à la première. Si l'on désigna par sn la somme dos n premiers termes de la première série et si l'on désigne par a„ la somme des n premiers termes de la seconde série, il est évident que nous avons: 0„-2 = sa— (u, + u2), s,t = an-2 -~ (u, + u2), et si 11-+00, on a également (n — 2) -*■ <». D'où il résulto que si sn a une limite, a„-a a également une limite et réciproquement- 20*
308 CH. IV. LES SB1U.ES. APPLICATIONS AOX CALCULS APPROCHÉS Ces limites s et a, c'est-à-dire les sommes des deux séries considérées, seront de toute évidence différentes, en effet on aura: a = s—(ui + "2). IV. Le terme général un d'une série convergente tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment: lim«re = 0, (8) car 51 est évident que nn = $n — Sn-j, et si la série converge et a pour somme s, on a ]ims„_l=Iimsn = s, d'où lim un = lim s„ — lim .«„_, = s— s •-= 0. De sorte que la condition (8) est une condition nécessaire de convergence d'une série mais ce n'est pas une condition suffisante : en effet, le terme général d'une série peut tendre vers zéro et celle-ci peut diverger malgré tout. Exemple. Soit la série harmonique n=t Nous avons : 1 un — — —>■ 0 lorsque n —> co. II est toutefois facile de montrer quo la somme des » premiers termes do la série (9) croît indéfiniment. Pour cola regroupons les différents termes en ensembles de 1, 2, 4, 8, ... termes on partant du second * + (T)+(T+T)^(T+-+4-)+(T+-+i) + -- de sorte que dans le ft**mo groupe on aura 2^-1 termes. Si dans chaque groupe on remplace tous les termes par le dernier qui ost le plu? petit d« groupe,? on obtiendra la série i4-4-+4-2+T-*+i-8+-=l+-s-+4-+-- (i0> dont la somme des n premiers termes est égale à [1 -f- -x- (re — 1)1 et tend évidemment vers (-{-oo), En prenant un nombre suffisamment élevé de termes dans la série (9) nous pouvons obtenir un nombre quelconque de groupes n et la somme de ces termes sera encore plus grande quo [1 quo pour la série (9) on a bien sn -+- -f-oo. 1 de ces termes sera encore plus grande quo [1 -f- -ç- (n — 1)], ce qui montre bien
rV-1. NOTIONS SUR LA THÉORIE DBS SÉRIES INFINIES 30S> IV-1-3. Séries à termes positifs. Critères de convergence. Les séries dont les termes sont des nombres positifs (non négatifs) uif u2, %,..-, un, .,. > 0 présentent un intérêt particulier. Nous allons établir pour ces séries des critères de convergence et de divergence. 1. Une série dont les termes sont positifs ne peut être que convergente ou strictement divergente', pour une série de ce type nous devons avoir: soit sn —■» s soit ,¾.—> -f- oo Pour qu'une série à termes posttifs soit convergente il faut et il suffit que la somme sn de ses premiers termes reste inférieure à une certaine valeur constante A ne dépendant pas de n et ceci quel que soit n. En effet, pour une telle série la somme s„ ne décroît pas lorsque n croît, car alors de nouveaux termes positifs (non négatifs) s'ajoutent à la somme et tout co que nous avons montré repose sur les propriétés que nous avons déjà examinées des variables croissantes [1-2-63. Pour déterminer si une série à termes positifs est convergente ou divergente il est souvent utile do les comparer avec d'autres séries, plus simples, et tout particulièrement avec la progession géométrique. Pour cola nous allons établir le critère: 2. Si chacun des termes d'une série à termes positifs, ut + uz + u3+ ... + u„+..., (11) est à partir d'un certain terme plus petit que le terme correspondant d'une série convergente Vi+vz + vB+ ,..+vn+..., (12) alors la série (11) converge également. Si par contre chacun des termes de la série (11), à partir d'une certaine valeur de n, est plus grand que le terme correspondant d'une série divergente (12) dont les termes sont positifs, alors la série (11) diverge elle aussi. Supposons tout d'abord que notis avons: itn<vn, (13) et que la série (12) converge. Sans limiter la généralité nous pouvons considérer que cette inégalité est vérifiée pour toutes les valeurs de n en excluant, si besoin est, ceux des premiers ternies pour lesquels cette inégalité n'est pas vérifiée (propriété 1TI jlV-1-21). Désignons par s„ la somme des n premiers termes de la série (11), et par o^ la somme analogue pour la série (12), nous avons en tenant compte de (13) ; Sti^Un-
310 CH, IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES Mais la série (12) est convergente par hypothèse et en désignant par o" ïa somme de la série (12), nous avons: et c'est pourquoi nous uvons : s„.<0, d'où, en tenant compte de 1, on déduit la convergence de la séria (11). Supposons vérifiée l'inégalité un>vn. (14) Il est évident que nous avons *n>o-„; (15) mais la série (12) diverge maintenant et la somme de ses n premiers termes un peut être rendue plus grande que tout nombre arbitrairement grand donné d'avance ; étant donné l'inégalité (15), la grandeur sn a la même propriété, c'est-à-dire que lasérie(ll) va également diverger. Remarque. 11 résulte de la convergence (ou de la divergence) de la série (12) que la série : toi -\-kv2+ to3 + ... + kvn + ..., (où A- est un nombre positif constant quelconque) est également convergente (divergente). En effet, il résulte de la convergence de la série 2i>„ que la série 2to„ ost aussi convergente (cf. I IlV-1-2]).. Inversement, si 2un diverge, la série Hkvn doit également être divergente, car si elle était convergente, en multipliant ses termes par -j-, on trouverait que la série 2,vn converge à cause de I IIV-1-21. De ce qui a été dit il résulte que: La série (11) converge si u»«Ckvn, (16) si la série 2t>„ est convergente et si k est un nombre positif quelconque; la série (11) diverge si iire>/w», (17) et si la série 2i>„ est divergente. En comparant la série donnée avec la progression géométrique nous obtiendrons deux des principaux critères do convergence des séries à termes positifs.
•IV-I. NOTIONS SUR LA THÉOBIE DES SÉRIES INJPINïËS 3] | IV-1-4. Critères de Cauchy et de d'Alciubcrt. 3. Critère de C a u c h y. Si le terme général d'une série positive i(ll): ul + u2 + u3+. ..+un+ ..., vérifie « partir d'un certain n l'inégalité Vû~n<q<l, (18) où q ne dépend pas de n, alors la série converge. Si, par contre, à partir d'une certaine valeur nous avons K>1, (19) la série (11) diverge. Sans nuire à la généralité de notre démonstration, nous pouvons admettre que les inégalités (18) et (19) sont vérifiées pour toutes les valeurs de n (cf. propriété III IIV-1-2]). Si l'inégalité (18) est vérifiée, alors c'est-à-diro que le terme général de la série donnée n'est pas plus grand que le terme correspondant d'une progression géométrique infinie décroissante, c'est pourquoi en tenant compte do 2 on voit que la série sera convergente. Dans le cas (19) nous aurons: «*>1. et la .série (11) dont le terme général ne tend pas vers zéro (il est plus grand que l'unité) ne saurait être convergente (propriété IV JIV-1-2]). 4. Critère de d* Al e m b e r t. Si le rapport du terme d'une série avec le terme gui le précède —2- vérifie à partir d'une certaine valeur de n l'inégalité <2<1, (20) «71-i où q ne dépend pas de n, la série (11) converge. Si, par contre, à partir d'une certaine valeur de n nous avons ->1, (21) alors la série considérée diverge. Supposons comme ci-dessus que les inégalités (20) ou (21) soient vérifiées pour toutes les valeurs de n, dans le cas de (20) nous avons «n<"n-J<7. «»-l<tfti-2?> ^11-2 < un-3q, ..., «2<Ujg, d'où, eu multipliant ces inégalités terme à terme et en simplifiant
312 CI3. IV. LES SËBIES, .APPLICATIONS AUX. CALCULS APPROCHÉS c'est-à-dire que les termes de la série sont plus petits que ceux de la progression géométrique décroissante u,+ulq-\-uiq2+ |-»1?n-i+... (0<ff<l), et en vertu de 2 la série (11) converge. Dans le cas (21) : ïij < % < «s < ... < Un-i <«„<..., c'est-à-dire que les termes do la série ne décroissent pas au fur ot à mesure que l'on s'éloigne du début, par suite u„ ne tend pas vers zéro lorsque n. —y oo et la série ne peut en aucun cas converger (cf. propriété IV [IV-1-2]). Corollaire. Si, lorsque n croît indéfiniment: soit Vw^. soit -^2_ (22) tend vers une limite finie r, la série î*l + «2 + «3-] + un+ ... converge si r < 1 et diverge dans le cas où on a r > 1. Examinons d'abord le cas où r ■< 1, Prenons un nombre 8 suffisamment petit pour que l'on ait encore r + e<l. Pour les grandes valeurs de n la grandeur TA*» ou -^5- ne dif- «n-t férera de sa limite r que d'une quantité qui ne sera pas plus grande que e, c'est-à-dire qu'à partir d'une certaine valeur assez grande de n nous aurons r — e<Vi^,<r-f-e<:i (23,) soit r-s<-^-<r-t-s<l. (2¾) Utilisant les critères do Caucliy et de d'Alembert dans le cas où g = r + s <; 1 d'après (23)) ou (23a), nous pouvons conclure immédiatement que la série considérée converge. De façon analogue on peut démontrer la divergence do la série lorsque r > 1 ou si l'une au moins des expressions (22) tend vers (+oo). exemples. 1. Considérons la série : 1±£(.£l.^ £ 1-.. = ^ — (24) '' ihl-2' 1-2.3... n1 2j n\- {dt) n=0
IV-J. NOTIONS SUIl LA THÉORIE DES SEMES_INt-1NIES 313 En utilisant le critère do d'Alemhert on trouve : xn xn~l ««+i=^J. «» = („_!)) - Jiïï+l^i-^O lorsque n —±œ, un n c'est pourquoi la série converge pour toutes les valours finies da x (à condition qu'elles soient positives). 2. Considérons la série Dans ce cas nous avons : 2 £• <* œn a.«-t u^ n — i n J n — i u„_i n et c'est pourquoi d'après le critei'e do d'Alomberl, lft série converge lorsque 0 <. x < 1 et diverge si x > 1. 3. Considérons la série 2 r"sin»Ba (r>0). (2B> mal En utilisant le critère de Cauchy, il vient: un = r™ sill2 na, >'1% = r y sin2 na < r, et c'est pourquoi la série considérée converge certainement si r <T J. Lo critei'e de d'Alembort ne donne rion dans ce cas. car la relation : un r sin na V «„_i~rLsi«»(»—1)»J ne tend vers aucune limite ot ne reste même pas toujours soit plus petite que l'unité, soit plus grande ou égale ft l'unité. Kn fait on peut montrer que lo critère de Ciiucliy «st plus puissant quu eolul do d'Alembort, c'est-a-diro qu'il peut être employé dans tous les cas où lo critère de d'Alembort est applicable, mais aussi dans certains sulres cas où celui-oi n'est pas utilisable. Par contre, l'utilisation du critère db Ctiuchy est plus difficile, ce que l'on voit aisément sur les exemples d'utilisation qui ont été exposés ci-dessus. Notons de plus qu'il y a des cas où le critère do Cauchy de mOme quo celui do d'Alembort no pouvont être employés, C'est on particulier lo cas lorsque nous avons ï<^ et -ïa „1, c'ost-à-diro lorsque r = 1, Nous avons alors affaire au cas douteux et il faut résoudre d'une autre façon le problème do la convergence ou de la divergence do la sério. Ainsi, par exemple dans le cas de la série harmonique 2 n
314 CH. IV. LES SfiMBS, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES qui comme nous l'avons vu dans [IV-1-2] est divergente, nous avons —=— M. yT£_J, -— -*L\ et du celte façon on voit que le problème do la convergence ou do la divergence de la série harmonique ne peut pas être tranché à l'aide des critères de Cauchy ou do d'Alembert. Per ailleurs, nous montrerons dans la euitc quo la séria S ±-*+i+\+ù+~ n=l ost une série convergente. Mais dans ce cas nous avons aussi : c'est-à-diro qu'on essayant d'utiliser les critères de Cauchy ou de d'Alembert, nous avons également un cas douteux. 1V-1-5. Critère intégral de convergence de Cauchy. Supposons que les termes de la série donnée : ui + !t2 + u3+. ..+«„+... (27) soient positifs et non croissants, c'est-à-dire que nous ayons «i>«S> ■••>"n>"n+l>- .. >0. (28) Représentons graphiquement les termes de la série en. reportant sur l'axe des abscisses la variable indépendante n qui pour l'instant ne prend que des valeurs entières et sur l'axe des ordonnées les valeurs correspondantes de 1½ (cf. fig. 155). Il est toujours possible de trouver une [onction continue y — f (x) qui pour les valeurs entières de x = n prenne SillIPIPlî justement les valeurs zt„ ; pour cela /""/" jr "^ssis 's x *1 suffit de faire passer une courbe continue par tous les points obtenus ; Plg-155 ce faisant nous considérerons que la fonction y = / (x) n'est pas croissante. Avec une telle représentation graphique la somme des n premiers termes de la série considérée __________ sa = ui + u2-\-ui+ . ..+1½ *_11 est essentiel de noter dans les calculs précédents que si l'on pose 1 11 x~— • °n a x—*Q et — In— = x In x—>0 JIl-3-10|. D'où en prenant le loga- n/T rithine de l'expression "l/ — on Voit qu'elle tend vers l'unité
1V-1. NOTIONS SUR LA THEORIE DES SERIES INMNIES 315 est la somme des surfaces des rectangles « extérieurs » qui comprend la surface limitée par la courbe y= f (a:), l'axe OX et les ordonnées « = 1 et * = n + 1, c'est pourquoi nous pouvons écrire S„>jJ"+1/»<**• (29) Par ailleurs, cette surface contient tous les rectangles « intérieurs i> dont la somme des surfaces est égale à "2+"3+"4+ ... +Wn+j = s«+< — «i. (30) et c'est pourquoi nous avons Sn+I — "i<§" f{x)dx. (31) Ces inégalités conduisent au critèro suivant. 5. Critère intégral de C a u c h y. La série (27) «i + «ï + u3-r ... +un+ ..-, «« = /(«). dont les termes sont positifs et ne croissent pas avec n, converge ou diverge, suivant que l'intégrale /=^/(«)dz (32) possède une valeur finie ou égale à l'infini. Rappelons ici que / (a;) doit décroître lorsque x croît. Supposons d'abord que l'intégrale I possède une valeur finie, c'est-à-dire que la courbe y —f (x) ait une surface finie [III-2-5], Comme / (x) est positif, ?"+i /(,v) dx<\°° f(x) dx, et c'est pourquoi, d'après la formule (31) : s» <C sn+, <; u, -f- 7, c'est-à-dire que la somme sn reste bornée pour toutes les valeurs de n, et la série (27), d'après le critère I (IV-1-31, convergera. Soit maintenant I = oo, c'est-à-dire que l'intégrale $"+1 j{x)âx, lorsque n croît, peut être rendue plus grande que tout nombre N donné d'avance. Alors, d'après la formule (29), la somme sn peut aussi être rendue supérieure à N, c'est-à-dire que la série (27) divergera. On peut démontrer de façon analogue que le reste de la série (27) n'est pas plus grand que l'intégrale
316 GH. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES Remarque. En appliquant le critère de Cauchy h l'intégrale (32), on peut remplacer la borne inférieure, égale à l'unité, par un nombre quelconque a, plus grand que l'unité, étant donné que les intégrales à la borne inférieure égale à l'unité et àa convergent ou divergent sim-ultanément [Jll-2-5). Exemples. 1. Soit la série harmonique S 4- Nous avons: n et c'est pourquoi on peut poser que : alors m =4 ; , P1» dx , °» /= \ =ln r.\ Ci * 1 et i'inlégralo liivorge, étant donné que In x -*■ -f oo lorsquo x -*■ -f-oo; celte série, comme nous le savons déjà, est divergente. 2. Soit la série plus générale S w' (33) où p est un nombre quelconque, supérieur à. zéro (pour p < 0, la série est évidemment, divergente). Nous avons ioi : /M =-^-- f<*)' (1 |eo 1-p |l C^ lna: , Ri p = l. D'où il est clair que l'intégrale diverge si p •< 1, et qu'elle convergo et est égale à ——; , si p > 1. En effet, dans le dernier cas, l'exposant 1 — p < 0, x1"'' — 1 = -rpj -»- 0 pour x ->- -j- oo, et, par conséquent ; 1 *i-*r - 1 d i—p ii i—p p—i Pur conséqtmt, d'après le critère do Caucby, la série (33) convergera, si p > 1, et divergera si p <L1, IV-1-6. Séries alternées. En passant aux séries ayant dos termes quelconques, nous éludicrons d'abord les séries alternées, dont les
IV-1. NOTIONS SUH LA THEORIE DBS SERIES INMNIES 317 termes sont alternativement positifs et négatifs. Il est préférable d'écrire ces séries non pas comme précédemment, mais sous la forme : "i —"2 + "3—"4 - - ■ ± "nTUn+i ■•-. (34) où les nombres Uj, Kj, U3, . . . , Uni ... ; sojit considérés comme positifs *. On peut démontrer, pour les séries alternées, la proposition suivante : Pour qu'une série alternée converge, il suffit que les valeurs absolues de ses termes décroissent et tendent vers zéro lorsque n croît. Le reste d'une telle série ne dépasse pas, en valeur absolue, la valeur absolue du premier des termes rejelés. Etudions d'abord les sommes d'un nombre pair do ternies d'une série : Sfr — Ui — U2+U3—U4+ - • • +"2»-l—"za- Etant donné que par hypothèse les valeurs absolues des termes de la série décroissent (il vaut mieux dire qu'elles ne croissent pas) lorsque n croît, de façon généralo: »&>"&+! et Uin+i — Ufcv^X), c'est, pourquoi s2n+2 = sza + (^a+i — ^211+2) > Sîn, c'est-à-dire que la variable s2n n'est pas décroissante. D'autre part, nous avons : s2n = »i — (u2— u3)— (w4 — u5)— .. . — (u2„_a— u2n_i) — Uj;,,< ult car toutes les différences entre parenthèses ne sont pas négatives, c'est-à-dire que la variable s2n reste bornée pour toutes les valeurs de n. D'où il résulte que lorsque n croît indéfiniment, s2n tend vers une limite finie [1-2-61 que nous noterons par s: lim s^ = s. Ensuite, nous avons : S2n+i=S27t-t-U3»i+i—>*j lorsque n—*-oo, étant donné que par hypothèse «2„+i -*- 0. Nous voyons de cette façon que, comme la somme d'un nombre pair, la somme d'un nombro impair de termes de la série (34) tend vers une seule et même limite s, c'est-à-dire que la série (34) est convergente et a pour somme s. * Nous considérons que le premier tormo do la sério est positif; s'il csl négatif, la séri» s'écrit sous la fonno: —«i + "a — «3-(-"4—•■•
318 CH. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES 11 reste encore à évaluer le reste r„ de la série. Nous avons: fil— ± "n+1 T "re+2 ± M/i+a T "«+4 ± • • • Il faut prendre simultanément les signes supérieurs ou inférieurs. Autrement dit: fn = àz ("n+l — M)i+ï + Wn+3 — un+i + • ■ • )i d'où, en raisonnant comme précédemment, nous avons: 1^1^(^/.+1-^+2)+(^/1+3-^+4)+ •• ■ = = ^+1—(^+2—un+s) — ("ft+4—W«+s)— - ■ • <^+ii ce qu'il fallait démontrer. 11 résulte de la formule : rn=± [("/i+i — «n+a) + («ft+3 — »»■«) +-..], dans les crochets de laquelle se trouvent, des grandeurs qui ne sont pas négatives, que le signe rn est le même que celui qu'il faut prendre devant les crochets, c'est-à-dire qu'il coïncide avec le signe ±wK+i- Ainsi, dans les conditions énoncées dans le théorème, le reste d'une série alternée a le même signe que celui du premier terme rejeté. liitraple, La série est une série alternée, dont la valour absolue des termes décroît indéfiniment lorsque n -*■ 00, et c'est pourquoi 0U0 converge. Nous verrons plus loin que sa somme est égale à lu 2. Cependant, pour calculer effectivement In 2, cette série ne convient pas, étant donné quo pour quo ie reste soit infôrleur à 0,0001, il faut prendre 10 000 de ses termes: |rnl<T^"^O,0001; n>10000 Ainsi cotte série, bien que convergente, converge tris lentement: pour utiliser de telles séries dans la pratique il faut d'abord les transformer de façon à les faire converger plus vile. IV-1-7. Séries absolument convergentes. Du nombre d'autres séries à termes quelconques nous ne considérerons ici que les séries absolument convergenl.es. La série "l + «2+"3+ •• • + «11 + •• • (35) converge, si la série, formée des valeurs absolues des termes de la série considérée, converge, c'est-à-dire si la série |«il + KI + |«»|+.-.+l»»l + ... (36> converge.
IV-i. NOTIONS SUH LA THEORIE DES SBRlBS INFINÏES 319 On appelle de telles séries séries absolument convergentes. Supposons donc que la série (36) converge, et que: ^ = -2-(1^1 + Un), Wn = -%(\un\ — U„). Les deux nombres vn et wn sont certainement non négatifs, étant donné que, de toute évidence: _(Un, si u„»0, fO, si h„>0, ^"10 si un<0, ^"tliinl, si h»<0. D'autre part, aussi bien y„ que u>n ne sont pas plus grands que | un |, c'est-à-dire que le terme général de la série convergeute (3(5), et c'est pourquoi, d'après le critère 2 de convergence des séries à termes positifs [IV-1-3], les deux séries: n=I n=l convergeront. Etant donné que nous avons : la série OO CO DO PO (K> 00 obtenue en soustrayant terme à terme la série 2! ">» àe la série 2 "n [IV-1-2], convergera également. Les séries convergentes, ayant des termes positifs, représentent lin cas particulier de séries absolument convergentes, dont les critères de convergence sont obtenus directement à partir des critères de convergence des séries à termes positifs. Les critères de convergence 1 à 5, déduits aux paragraphes [IV-1-3], IIV-1-41, [IV-1-5] pour les séries à termes positifs, s'appliquent aussi aux séries ayant des termes quelconques, à condition toutefois de. remplacer partout u„ par | un |. A cette condition, les critères de divergence 3 et 4 et leur corollaire restent valables [IV-1-4]. En particulier, il faut, dans les énoncés des critères de Cauohy et de d'Alembert, remplacer: VuZ et JÈL. par Vû^î et J-^l. Ainsi» par exemple, *i -^- <ff<l, c'est-à-dire si J"n*,< < q < 1, d'apns le critère de d'Alcmbert [IV-1-4], la série ayant
320 CH. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS ÀPPBOCHES des termes positils (3fi) converge et, par conséquent, la série (35) est absolument convergente. Si -^-h> 1, c'est-à-dire \un [>| un-i\, alors, lorsque n croît, les termes «„ ne décroissent pas en valeur absolue, c'ost pourquoi ils ne peuvent pas tendre vers zéro, et la série (35) diverge. D'où i] résulte, comme dans le corollaire de [1V-1-4I, que si gente ; si -^- I "n-i -^- —*-r<l, la série (35) est absolument conver- r>1, la série (35) diverge. Il o jn a r q ù e. Notons que si les termes d'une série (35) ne sont pas, en valeur absolue, plus grands que certains nombres positifs | Un | <J aa, et que la série at~\-az-\-.. .0^-^-... formée de ces nombres converge, alors la. série (36) converge a fortiori (ÎV-I-SJ, ^est-à-dire que la série (35) est absolument convergente. Exemples. 1. La séria (exemple [IV-1-4]) ■^-1 x71 Zs "ïïl *st absolument convergente pour toutos les valeurs finies de x, aussi bien positives que négatives, étant donné que: I "tm-i I _ Ix 1 ?0 I "n I n ipour toutes les valeurs finies do x. 2. La série w SX71 Wl •est absolument convergente pour | x | < l et diverge pour | x | >• 1, car: I "« I. "—1 1 1 1 1 I "n-l | n 3. La série 2 r*sfqn« n=I •est absolument coiivorgonto pour | r | < 1, étant donné que pour elloi ^K7T=ï/|r« H si.ina| <^|TF=I r| < 1. Il faut remarquer que toute série convergente n'est pas, et de loin, absolument convorgente, c'est-à-dire qu'elle reste convergente, si on remplace chaque .terme de la série par sa valeur absolue. Ainsi, par exemple, la série alternée lit ^T+T-T^-'
JV-i. NOTIONS SUR LA THÉORIE DBS SBKIIÎS INFINIES 321 comme nous l'avons vu, est convergente ; si on romplace chacun do ses tannes par sa valeur absolue, on obtiendra la série divergente Imrmonicrue '. 111 1+â+T+T+- Les séries absolument convergentes ont de remarquables propriétés, qui sont exposées au paragraphe IV-3. Ainsi, elles seules possèdent la propriété des sommes finies: l'indépendance de la valeur de la somme de l'ordre des termes la composant. IV-1-8. Critère général de convergence. Pour conclure le présent paragraphe rappelons la condition nécessaire et suffisante pour que la série Ui+K2 + U3-j- ...+«„+... converge.. Cette convergence est, par hypotlièse, équivalente à l'existence) d'une limite de la série Sj, S%, S3, ..■!$«..., où s„ est la somme de n premiers termes de la série. Mais pour que cette limite existe, il faut que soit satisfaite la condition nécessaire et suffisante de Cauchy [1-2-7] : pour" un e positif quelconque donné, il existe un N tel que: }sn — S„|<8 pour tous m et n plus grands que JV. Supposons, pour préciser, que m > n, et soit m = n + p, où p est un entier positif quelconque. En remarquant alors que : sm — s„ = »re+p—Sn = (U! + U2+ . ..+un + un+i+... +un+p) — — («l+«2+-..+«n) = «»+l + «n+3+ . ■•+"«+?! on peut énoncer le critère général de convergence d'une série. 'Pour qu'une série infinie "l + «Z + «3+..-+M>iH converge, il faut et il suffit que pour un e positif quelconque donné d'avance, il existe un nombre N tel que pour tout ra > N et pour tout p positif, on ait l'inégalité', lun-n-rUn+zl -i-un+p]<e, c'est-à-dire que la somme d'un nombre quelconque de termes successifs d'une série, commençant par m„+1, reste en valeur absolue inférieure à e, si n > N. Il faut remarquer que, malgré l'importance théorique incontestable de ce critère général de convergence d'une série, son utilisation pratique est souvent difficile. 21-281
322 CH. IV. LES SÊUIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES IV-2. Formnle de Taylor et applications IV-2-1. Formnle de Taylor. Etudions le polynôme de degré n: / (x) = «o-f- atx-+ a^ + ... + anxn ; donnons à a; un accroissement h et calculons la valeur correspondante de la fonction / {x + h). On peut évidemment développer cette valeur suivant les puissances de h, en développant les différentes puissances de {x + h) d'après la formule du binôme de Newton. Les coefficients des différentes puissances de h seront des polynômes dépendant de x: f(.v + h) = A0(x) + hAi(x) + h?Az(x)+...-\- + h*Ah(x)+...+hnAll(z), (1) et il reste seulement à déterminer les polynômes: A0(x), At{x), ...,An(x). Pour cela, nous allons changer les notations et écrire dans l'identité (1) a, au lieu de x, et au lieu de x + h, simplement x. On a alors h=x—* a, et à la place de (1), nous aurons: f(x)^A0(a) + (x — a)Al(a)+(x — afAi(a)+...+ + (x-a)k An(a)-\-... +(x-a)nAn(a). (2) Pour déterminer A0 (a), supposons que dans la présente identité on a x — a, d'où : Pour détorminer A± (a), nous allons dériver l'identité (2) par rapport à a; et nous supposerons ensuite que x = a: f(x)^l-A1(a) + 2(x-a)A2(a.)+...+k(x~a,)k-1Ah(a) + + ...-\-n(x-a)^A7i(a), /'(a)«l.A,(«). En dérivant encore une fois par rapport à x et en supposant ensuite que x = a, nous obtiendrons Az (a) : f (x) = 2■ 1A2 (a) +... + k (k-1) (x -af^Ah (a) + + . .. + n{n — i)(x — a)*-*An(a), f (a) = 2-iAz(a).
IV-2. FORMULE DE TAYLOB ET APPLICATIONS 323 En dérivant k fois et en supposant ensuite que x=a, nous obtiendrons : /<*>(») = *(*—1)... 2-îAk(a)+...+n(n—l)... ...(n-k + Wx-a^Ania), f*>(a)-k\ Ak(a). Ainsi, nous avons : ;M«)=/(«Mi(«0=4x-' At(a)-Jffi A\W=^-Tf\— i • • •^An\fl)=- »1 * après quoi, la formule (2) sera de la forme: + ...+^(,-.^...+^-(.-.)-. (3) Cette formule n'est vraie que dans le cas où f {x) est un polynôme dont le degré n'est pas supérieur à n, ot elle donne le développement d'un tel polynôme suivant les puissances de la différence (x — a). Soit / (x) n'est pas un polynôme, mais une fonction quelconque déterminée à l'intérieur d'un certain intervalle / et possédant des dérivées continues jusqu'à l'ordre (» + 1) inclus. Supposons que la valeur de x — a se trouve à l'intérieur de/. Par la suite, nous considérerons x comme appartenant à /. Nous noterons par Rn (x) la différence entre / (x) et le second membre de la formule (3), autrement dit, nous supposerons que: + J^L(x_a)n+Rn{s)% (4) En dérivant successivement cette identité, nous obtiendrons : /'(*)-f(a) + il («_a)+;..+ + 7^^-^+^^)- 1" (n-2) f«> («) = /(«) (a) + /?(»> (x). +1¾ (*-<-*+*«(*). (4.) 2i»
324 CH. IV. LES S BRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHAS En faisant x = a dans (4) et dans les dernières équations, nous trouvons : Rn (a) = 0, R'n (a) = 0, ..., R™ (œ) = 0. (5) En dérivant la dernière des égalités (4j) encore une fois, nous trouverons : flS^f*)-/1**-1^*). (6) A partir des relations (5) et (6), nous obtiendrons sans peine l'expression de Rn (x), étant donné que d'après la formule fonda- . mentale du calcul intégral: Rn(a>)—Rn{a)=l*aRn(t)dt, d'où, en considérant (5) et en intégrant par parties, nous^tirons; Rn {x) = J* R'n {t) dt = - J" R'n (t) d(x -t) = ^-R'n(t)(x-t)^+^*aR^(t)(x-t)dt = Pour préciser les transformations que nous avons effectuées, notons ce qui suit. La variable d'intégration étant désignée par la lettre t, x sous le signe intégral doit être considérée comme une constante, et la différentielle de x comme nulle, c'est pourquoi on a, par exemple: et de façon générale : ftl ftl v ' (ft—1) i De même, l'expression
ttV-Z. FORMULE DE TAYLOB ET APPLICATIONS 325 s'annule, car lorsque t ■= x, le facteur (x — t)h est égal à zéro, et d'après (5) avec la substitution t = a, R^ (a) est nul. Ainsi, nous obtenons une formule très importante: Formule de Taylor. Toute fonction f {x) ayant à l'Intérieur d'un intervalle, contenant le point x = a, des dérivées continues jusqu'à l'ordre (n + ï) inclus, peut être, pour toutes les valeurs de x comprises à l'intérieur de cet intervalle, développée en série des puissances de (x — a) : + (x-arf^M + Rn(x), (7) où le reste flrt (x) est de la forme ; Rn(x)^lXJ^Ht)(x-trdt. (8) Très souvent dans les applications, on rencontre une autre forme du reste, que l'on obtient directement à partir de l'équation (8), à l'aide du théorème de la moyenne [III-2-21. Sous le signe somme, dans le second membre de la formule (8), la fonction (x — t)n conserve son signe, et c'est pourquoi, d'après le théorème de la moyenne, nous avons: *»(*)~^D*-^^[-(-^II] ■ En substituant les bornes supérieure et inférieure, nous obtiendrons : (s—t)tH-l 1« (g—a)«+l n + 1 lo^ »+1 ' car pour t = x, l'expression que nous avons écrite s'annule. En mettant cela dans la formule précédente, nous aurons: où % est une valeur moyenne située entre a et x. Cette forme du reste s'appelle forme de Lagrange. Et la formule de Taylor avec le terme sous la forme de Lagrange devient: fto-J(a) + (*-a)i$l- + <*-a)« ^-+...+ + (,-.,-^ + (,-.^^ <7«> (£ est entre a et x).
326 CH. IV. LES SÊHIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS IV-2-2. Différentes formes de la formule de Taylor. Pour n =s 0, nous obtenons, à partir de (7,), la formule des accroissements finis de Lagrange déjà démontrée [II-3-7] : /(*)-/(*)-=(*-«)f (6); la formule de Taylor est ainsi une généralisation directe de la formule des accroissements finis. Passons aux notations précédentes et écrivons a; à la place de a, et x + & à la place de x ; la formule de Taylor est alors sous la forme : /(.+»,-/W-J^+JSÎ^+...+BÇfa+jt(,),- (10) étant donné qu'avec les nouvelles notations, il faut remplacer (x — a) par h. La valeur (g), située avec les notations précédentes entre a ot x, sera située entre x et (x + h), et on peut la désigner ■ par (x + 9&), où. 0 < 6 < 1. D'après (9), le reste dans la formule (10) peut ainsi être écrit sous la forme: fl.W-.yi '7^ (Q<9<1). (11) Le premier membre de la formule (10) est l'accroissement Ay de la fonction y = f (x), correspondant à l'accroissement ou, ce qui revient au même, à la différentielle h de la variable indépendante. Nous rappelant les expressions pour les différentielles dos ordres supérieurs [II-2-3], nous avons: dy = y'dx = f'(x)h, â?y~y"(dx)* = r(x)h\ ..., â*y = ;/(»> (dx)n = /(") (x) hn, d'où A„ a« , d*y ,_ , ^"y , d*+hj i ... A^-Tr+TT+" -+TT+ (S+ÏÏT|ï+e<.' ( ' et, dans ce cas, le symbole ri"*1? [ (n-|-i)l |x+8ft exprime le résultat do la substitution dans l'expression j .?-, de la somme x -\- &h à la place do x. Sous celte forme, la formule de Taylor est particulièrement intéressante lorsque l'accroissement h do la variable indépendante est une grandeur infiniment petite. La formule (12) donne alors la possibilité d'extraire de l'accroissement de la fonction Ay les termes infiniment petits des différents ordres on h.
IV-2. FORMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS 327 Dans le cas particulier où la valeur initiale a de la variable indépendante est zéro, la formule de ïaylor (7) prend la forme: /(,)=/(0) + ^+^+...+^+^)-(13) où et g, situé entre zéro et x, peut être exprimé par 9*, où 9 est un nombre vérifiant l'inégalité 0 < 6 <C î. La formule (13) s'appelle formule de Maclaiirin. IV-2-3. Séries de Taylor et de Maclaurin. Si / (x) a des dérivées de tout ordre pour x = a et des x proches à a, on peut écrire la formule de Taylor pour n'importe quelle valour de n. Mettons la formule de Taylor sous la forme: /<œ)-S„+l (*) = £„(*), où c'est-à-dire que Sn+i (x) est la somme des {n + 1) premiers termes de la série infinie: /W + («-«)^+...+(*-.)^+... Si, pour une certaine valeur de x et lors de l'accroissement illimité de n: lira Rn (*) = 0, (15) d'après ce qui a été dit au paragraphe [IV-1-1], la série infinie converge pour la valeur mentionnée de x, et sa somme est égale à / (;t). On obtient ainsi le développement de la fonction f (x) en série de puissances infinie de Taylor: /(*) = /(a) + (z_a)i^+...+(*-œ)«q^>+... (1(5) en série de puissances de (x — a). Par la suite nous rencontrerons toujours le cas où la condition (15) est remplie non pas pour certaines valeurs de x, mais pour tous les x d'un certain intervalle. De même la formule de Maclaurin nous donne, si la condition (15) est remplie, la décomposition de f (x) en série de Maclaurin /C)-/(0)+»^p-+...+^qp+... (17)
328 CH- IV. LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS L'évaluation de JR„(x) a une grande importance pour le calcul approché des valeurs de la fonction / (z) à l'aide de sa décomposition en série, de puissances. Appliquons les considérations précédentes au développement et au calcul approché de fonctions très simples. IV-2-4. Développement de e"1. Nous avon3 a Vaut tout /(*) = «*, f (*)-«* /W (*)»«» c'est pourqnoi /(0)=/' (0) =...=/<*> (0) = 1, et la formule de Maclaurin avec le reste (14) donne: Noua avons vu (exemple du paragraphe [IV-1-4]) que la série oo 2j n! est absolument convergente pour toutes les valonrs finies de a, et c'est pourquoi, pour tout x, nous avons : is+Tp--*°p<"« »-*•«>. étant donné que cette expression est le terme général d'une suite convergente*. D'antre part, le facteur e°* dans l'expression du terme restant ne dépasse pas ex pour x > 0 ni l'unité pour x < 0, et c'est pourquoi le reste tend vers zéro pour toutes les valeurs de £, et nous obtiendrons: ** = l+fr+£+...+-£+-.. (18) qui est vrai pour toutes les valeurs de x. En particulier, pour x = 1, nous obtenons pour e une expression commode pour calculer e à n'importe quel degré de précision : e=i+Tr+4r+--- + ^+--- Bn utilisant cette formule, nous calculerons le nombre e avec si* décimales. Si noua prenons approximativement : ,^2+-^+...+^, Cf. également l'exemple 11-2-10].
IV-2. KOHMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS 32«. l'erreur sera alors : 1 il 1 r i i "i ^l+(n+2)! + (»+1)1 L1+»+2 + (n+2)(n+3) +•■•}' < (n-l-1)! \}'*"Z+ï + i«+i)*+"'\ (n+l)l 1 n !n n+1 où l'on a mis le signe «) parce que dans le dénominateur les facteurs (n + 2), (n + 3), (n -f- 4), ... sont remplacés par un nombre plus petit (n, 4- 1) et toutes les fractions ont ainsi augmente. On peut ainsi trouver les limites suivantes, entre lesquelles est compris le nombre e : 2+Tr+-+Tr<«<2+^+...+^+-^. Si nous désirons obtenir une valeur approchée pour e, qui no s'éloigne pas de plus de 0,000 001 de la véritable valeur, supposons que n = 10 ; nous aurons alors : e~2+Tr+irr+-"-hsT' i et l'erreur n'excédera pas 10110 < 3-10-s. Dans celto formule, on calcule les deux premiers termes do façon précise; les huit autres doivent être calculés avec sept décimales, car ainsi l'erreur sur chaque terme n'est pas- supérieure à 0,5 unité de la soptième décimale, c'est-à-dire 0,5-10-', et l'erreur tout entière n'excède pas : 10-7-0,5-8=4-10-', c'est-à-dire quatre unités de la septième décimale, et c'est pourquoi l'erreur totale no dépassera pas on valeur absolue 4,310-'. Nous avons: 2=2,000000 •^-=1=0,500000 Tr=2T3=0'1C6666 Tr=3Ï4=0'041666 -51- = 415=^008333 Ti-5Tê=0'001388 ^■=677=0,000168 157=^=0,000 024 ■9T=8T§=°'000002 W=9TÏ<r0'000000 0 (exact) 0 (exact) 7 {par excès) 7 (par excès) 3 (pajr défaut) 9 {par excès) 4 (par défaut) 8 (par défaut) 8 (par excès) 3 (par excès) e K=Z,718»818 La valeur de e avec 12 décimales est 2,718 281.828 459.
330 Cit. IV. LES SEHIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHBS IV-2-5. Développement de sin x et de cos x. Nous avons JII-2-1] : f{x) = siax, /'(*) = sin [x + %■) , ...,/W (*) = sin {« + *-£■) ' d'où : /(0)=o, /'(o)=i, r(0)=o, r (0)=-1 /(2»»)(0) = 0, /««H-1»(0) = (-1)'", après quoi la formule (13) donne: , ^+3 • fa , (2n+3) jcT Dans le reste, le facteur =—r-âVi t comme nous l'avons vu ci- dessus, tend vers zéro pour n -v oo, mais la valeur absolue du sinus n'est pas plus grande que l'unité et, par conséquent, le reste tend vers zéro pour toutes valeurs finies de x, c'est-à-dire que le développement sins =ï_w + __...+L_i___+... (19) est valable pour toutes les valeurs de x. On peut prouver de façon analogue que le développement cosg = 1-TT+4T~---^ (2»)i +••■ (2°) est valable />owr toutes /es valeurs de x. Les séries (19) et (20) sont commodes pour le calcul des valeurs des fonctions de sin x et cos x pour des valeurs petites de l'angle x. Pour toutes les valeurs de x, aussi bien positives que négatives, ce sont des séries à termes alternés, de sorte que, si nous avions pris un nombre de termes toi que les suivants décroissent, l'erreur no dépasserait pas en valeur absolue le premier des termes rejetës [1V-4-6J. Pour les grandes valeurs de x, les séries (19) et (20) convergent également, mais lentement, et ne sont pas commodes pour le calcul. Sur la fig. 156 on a représenté la disposition de la courbe réelle de sin x et des approximations dos trois premiers ordres:
IV-2. FORMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS 331 Plus on aura de termes dans la formule approchée, et plus grand sera l'intervalle où la courbe approchée sera proche de la P 0 t5 #?^5 40 * X5' Kig. 150 courbe exacte. Remarquons qne dans toutes les formules écrites, l'angle x est exprimé en unité d'arc, c'est-à-dire en radians (1-2-9). Exemple. Calculer sin 10° à 10-B près. En premier lieu, convertissons en radians la mesure en degrés arclo°=W-10=T^0'17- En nous arrêtant à La formule approchée: ,31 3t 1 / it \3 slnT8-^!F" llg-j ' nous faisons une orrour n'excédant pas ïJ5.(0^).<4.io-.(^.<o,a). Dans le second membre de la formule précédente —rg- il fautcalculorcha- que lormo avec six décimales, parce qu'alors l'erreur globale no sore pas supérieure à 2-0,5- 10-°+4-lÛ-»=5.10-3. Avec cette précision nous avons: ^- = 0,174 533, -i {—} 3 = 0,000 886, sin -^- = 0,173 647, dont les quatre premières décimales sont exactes. IV-2-6. Binôme de Newton. Nous avons ici en considérant x > — 1, c'est-à-dire 1 + x > 0: / (x) = (H- x)m, f(x) = m(i+ x)m-\ .... /W(a) = m(m--1)... (m— k+i)(i+x)m-h, 7(0) = 1, f {0) = m, .. .,fW{0)=m(m—i)... (m-h + i).
332 CIî. IV, LES SBRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPBOCHES où m. est un nombre réel quelcopque, dé sorte que la formule (13) nous donne: (1+^-.= 1+.^ + -^=11^+...+ + m(m-i).^(m-n + i) x» + Rn{x)) (21) où le membre restant peut être défini d'après la formule (8), pour a = 0; En considérant que dans le cas présent : /<n+D (t) = m (m -1)... (m - n) (1 + t)m-n~\ nons pouvons écrire : Rn{x) = "fr"-^-•("-") J*{x_t)n(1 + ^—idf. (22) En appliquant à cette intégrale le théorème de la moyenne (13) du paragraphe [III-2-2], et en désignant par Qx, où 0<G<1, la valeur de / située entre 0 et a; et faisant parti du théorème de la moyenne que nous venons de mentionner, nous obtiendrons: i?n (s) = m{m-i). (m-n) ^ _ ^.., j + g^-n-j P* M = 2*n (ïrêH1 H-fer1^- (23) («t—l)(m — 2)... (w-n)„n /_ir±ïn/ = ni Si Rn —y 0, la série l+«.J+»U|plt«i+...+ ^-1)-^0--.+1) g»+... (24) doit être convergente [IV-1-1J. Nous avons: u„j.j I I râ—1 + 1 I i r ^s±i.|=| _ii-*|->|a!| pour a-^oo, c'est pourquoi la série est absolument convergente pour | a | < 1 et diverge pour | x [ >• 1 [IV-1-7]. Bien que la série (24) converge pour | x | <C 1, il n'est pas certain que dans ce cas sa somme soit égale à (1 + x)m, et il faut encore démontrer que Rn (x) ->• 0 pour \x | < 1. Le facteur (to-1) (m-2)...(m—n) n dans l'expression (23) pour i?„ (x) sera le terme général de la série convergente (24), dans laquelle m est remplacé par (m — 1), et c'est pourquoi [IV-1-1], il tendra vers zéro pour n -»■ oo.
IV-2. FORMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS 333 Le facteur f ~B V n'est pas supérieur à l'unité pour toutes les valeurs de n. En effet, dans le cas étudié, — 1 < x < + i, c'est pourquoi on aura aussi bien pour les valeurs positives que pour les valeurs négatives de x: 0 < 1 — 9 < 1 + 6a;, d'où °<-Sf<* - »<(-sr<^ Le dernier facteur mx (1 + to)m-ï est également borné, étant donné que le nombre (1 + 6») est situé entre 1 et 1 + a ot que mx (1 + Sa:)™-1 est situé entre les limites mx et mx (1 + x)m-* qui ne dépendent pas de n. D'après ce qui a été dit, il est clair que i?„ (x), grâce â la formule (23), est un produit de trois facteurs dont l'un tend vers zéro, et les deux autres restent bornés lorsque n croît indéfiniment, c'est pourquoi Rn(x)—9-0 pour n—>oo. Ainsi, le développement (1+3:)- = 1+-^ + ^^=11^+...+ + Bt(m-l).^.(m-n + l)a;»+ _ (2g) «sfc valable pour toutes les valeurs de x vérifiant la condition \x\<i. Lorsque l'indice m est un nombre entier et positif, la série (25) se termine par le terme B = met devient la formule élémentaire du binôme de Newton. De façon générale, le développement (25) donne une généralisation du binéme de Newton pour un indice quelconque m. On a quelques cas particuliers du binôme: T±- = i+x+x*+x*+...+x« + ..., (26) )0+ï = l+±x-^x*+^x'-l±±x>+..., (27) ' 1 'h ilSx* ^3-5^ I ^3,5,7^ (281 ,-1 2 ^2.4 2.4-631 +2.4-6-8^ ■■' ^a> Notons que la fonction (1 + x)m a des valeurs positives pour lont x >■ — 1 [II-1-19), [1-2-20], c'est-à-dire que la somme de la série (24) est positive pour — 1 < x < + 1. En particulier, la série (27) donne, par exemple, dans cet intervalle la valeur positive de j/i + x. Exemples. 1. Extraction de racines. La formule (25) est particulière- racmt pratique pour extraire desracines avec n'importe quel degré de précision. Soit à extraire la racine de degré m d'un nombre entier A. On peut toujours
334 CH. IV, LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES trouver un nombre entier a tel que la puissance m de a soit aussi proche quo l'on veut de A, do sorte qu'en mettant A — a™-f-6, où | 6 | < am, nous ayons: Etant donné quol-^j < 1, on remplaçant -^ par x, nous pouvons cal- m/ F culer 1/ 1-)—— suivant la formule dulrinômede Newton, et la série sera d'autant plus convergente que la valeur absolue du rapport considéré sera plus petite. Calculons par exemple p 1000 à 10"5 près. Nous avons : $/1035=^1024-24 = 4 (l-.-|g),/s = L 5 128 5 10U28J 5 10 15 \ 1M) y Arrêtons-nous sur ces termes et évaluons l'erreur, en mettant dans la formule (23): Le facteur I , ■ a 1 , comme nous l'avons déjà vu, est compris entre zéro et un. Lo facteur (l+Oa:)™-1 sera: (»-»Ar<('~A)^-(sr<(tr-(fî)4<(4)#' étant donné que y 5^5^-3' .Finalement à partir de la formule (23), nous obtiendrons : /,|^'l<ï^'4"'4-T'T(ïlâ)4<2'0'2'0'8-0'G,2,8"(0,03)4<5,10"7- Il faut faire le calcul dos termes restants avec six décimales, étant donné (jue l'erreur globalo no dépassera pas alors: 4-3-0,5-10-e+5.10-7=G,5-10-«< 10-6. On peut ordonner lo calcul de la façon suivante : 1=0,2 iTîH'08 vwlr»m X ^ = 0,023 4375X0,2=0,004 687 X (ï28)2=°-000549X0,08=0,000044 X (î|g)3 = 0.000013X0,048=0,000001 0,004 732 1-0,004 732=0,995268 X4
IV-2. FORMULE DE l'AYLOR ET APPLICATIONS 335 2. Calcul approché de la longueur d'une ellipse. Au paragraphe [111-3-3], on a obtenu l'expression suivante pour la longueur l d'une ellipse dont les doux demi-axes sont a et 6: i = 4^" Vo2sin»«+4ïcos*«(J« = 4o C" y sia2«+^cos2 t dt [formule (22)]. En introduisant dans l'étude l'excentricité e de l'ellipse: nous obtonons : a2_ft2 fcï e2_ — -»=1— e2, pxr/2 j 2 = 4o \ l/i—e^co^tàt. (29) Jo il est impossible de calculer exactement cette intégrale mais on peut lu calculer avec lo degré do précision que l'on voudra, en mettant la foncliun à intégrer sous ferme de série de puissances do e * l/i—e?co&l=l— 4- kzces» l+ 2 \m .. 's« ces4 i— i (4-1) (4-2) -1.2-8 ^^+..- 1 1 1 1 — -^ B2 COS4 * — -=■ 8« COS« t— Tjje6 COS« < + -ff; 3t où l'erreur i?3l si on l'évalue d'après la formulo (23) pourn=3, vérifie l'inégalité: i. L A 1. 2' 2'2'2 „ - / 1—0 „ 2 2 2 2. - / 1 — 0 \8 , étant donné que : X(l-ee*cos>oK|^S, <3°> et (i_9 \3 l_0e2cOS3|,j <1 i-i -i (1—Oe4cosa«)2 <(1— E3cos2i) s. * Ce développement est évidemment possible, puisquo pour l'ellipso b < 1, c'ost pourquoi lo terme —e* cos4 * qui jouo ici le rôle de x dans la formulo du binôme do Newton, est inférieur ù l'uislté en valeur absolue.
336 CH. IV. LES SBRIEE, applications aux calculs approches En portant cette expression dans (29) pour l, en intégrant et en se rappelant 1a formule (27) de [111-2-7], nous trouvons: ^lTaosStdt+î7s*dth2na b-h'-r^-à^ ■ <31> où, d'après la formule (lOj) (1II-2-2J et d'après l'inégalité (30), I 2 pJi/2 „.1^5 B8 2 (W2 . . | H t)a | 32 T/ïZTp ai Jo 175 e8 0,05k8 La formula (31) est commodo pour calculer la longueur de l'ullipse surtout pour les petites valeurs do l'excentricité. En se basant sur cette formule, on peut trouver une construction géométrique simple de la longueur approchée do l'ellipse ou on a seulement des circonférences. Nous désignerons par l, et h respectivement les moyennes arithmétique «t géométrique des domi-axes de l'ellipse: (i=^±, z2=ysî ot nous comparerons la longueur l de L'ollipso avec les longueurs 2nli, 2nîj ■des deux cercles de rayons ^ ot h. En remarquant que: h=ayî=&, ï+*=|.[i+y(-rp], y^=0{,-rrp, «t en développant en séries au moyen de la formule du binôme do Newton, nous obtiendrons sans peine les expressions suivantes: 2n;1=2nB[l-i82-lsi-ie8+p1], (32) 2^2=2JW [l—ie8-|B4-îlB»+p2] , (33) où les erreurs Pi et Pz évaluées d'après la formule (23) vérifient les inégalités: ,„i^5 e» . . ^ 77 E8 IPll<32VÎr?, !P2l<5Ï2(1_eî)8/<' D'où il est clair que pourune excentricité petito, lorsqu'on peut négliger les ■degrés élevés de e devant e2, on peut prendre pour la longueur de l'ellipse, la. longueur de n'importe laquelle des deux circonférences dont les rayons sont égaux aux moyennes arithmétique ou géométrique des deux demi-axes. Si on désire une plus grande précision, on établira l'expression: œ-2nïi + p.2n^ (34) en choisissant les facteurs et ot 8 de façon qu'un plus grand nombre de termes coïncident dans les expressions (31) et (34). Etant donné que les deux premiers termes de chacune des expressions (31), (32), (33) coïncident, on doit avoir avant tout; a+p=l.
n-2. FORMULE DE TAYLOR ET APPUCATIONS 387 En égalant les coefficients de a1 dans les expressions (3f) et (34), nous obtenons: â+H-â ou 4«+6^3- En résolvant les doux équations obtenues par rapport à a et p\ nous aurons : 3 „ 1 En portant ces valeurs dans (34), nous avons: a-2nlt + (i-2xl2=2a. fi-Z,—l-i8j = = 2™ ^-^^-35^+1^-4-¾) * (35) c'est-à-dire une les ternies coïncident non souioment avec e», mais aussi avec e", ot la différence entre (31) et (35) n'apparaît qu'avec les termes en eB. En considérant les évaluations trouvées ci-dessus pour p, p,, (>t, et en tenant compte do ce que : 1 1 ^ 1 iZi.l 3 IL Ls-nL yïrriâ e ^-^/^ i-e»' 2>2 +33' a"*1 512' 2 <"*' nous pouvons finalement dire; avecune erreur ne dépassant pas, J_ a, on pew* prendre pour longueur âe Veîlipse de demi-axes a et h et d'excentricité e fo eir- conférence de rayon r tel que ; l.V-2-7. Développement de In (1 + as) *. On peut obtenir ce développement à partir de la théorie générale, mois lions utiliserons un autre moyen qui est très commode dans de nombreux cas. Nous exprimerons In (1 + x) sous forme d'une intégrale définie. Nous avons, do tonte évidence, pour x > — 1 : $^ = ln(i + *)f=In(l + *)-lnl = ln(l + *>. c'est-à-dire que : Mais on. a l'identité: * La fonction In x ne peut être développée eu série de puissances de -x, car pour x = 0, elle et ses dérivées présentent «ne discontinuité ol tendent vers l'infini.
338 CH. IV. LES SfiEIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS que Ton obtient directement en divisant l'unité par 1-f-f et en s'arrôtant lorsque te reste est ( —l)™*". De sorte que: in<i+*>-S"îîï=S;[i-*+*,-*,+---+(-1)^^+ +-4tï-J d' = a:-y+T-T+ ■ ■ - + -^—+fl-(*>« ^) = (-1)^¾½. (36) La série pour laquelle = -^-1^1-^1^1 pour n—>oo, est cei'lainomonfc divergente pour | x [ > 1 (corollaire de [IV-1-4]) et c'est pourquoi if faut étudier seulement le cas : | x | < 1, * = ± i. Le cas de a; = — 1 doit être également rejeté, car, pour x = — 4, la fonction In (1 + x) tend vers l'infini. Ainsi, il ne resto que les cas où : 1) | x | < l, et 2) z = 1. Dans le cas 1), en appliquant à l'expression (36) pour R„ (x} la théorème do la moyenne {III-2-2J, et en considérant que C ne change pas de signe lorsque t varie de 0 à a;, nous avons : *»m~^K«"*=tS8ÏKt (°<e<1>' (37> d'où, étant donné la condition 1«|<1, on obtient): I *»(*>!<-sir rps- Le facteur ■.-, „ dans le second membre de l'inégalité précédente reste borné pour toutes les valeurs de n, car il est compris entre les limites 1 et v-r—, qui ne dépendent pas do ra, et c'est pour- 1 + 2: quoi pour les valeurs étudiées de x Rn (x) —> 0 pour n —> oo. Nous obtiendrons le même résultat dans le cas 2), lorsque x = 1. La même formule (37) pour x = 1 donne : l*.(*>l--4r-nhr<TiT
I-V-2, FORMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS 339 c'est-à-dire que de nouveau: i?n(l)—»■ 0 pour n —s-00. Ainsi, le développement : 111(1+*)«*--îr+^- •••+( , +-■■ (38) a lieu pour toutes les valeurs de x qui satisfont aux inégalités: —1<*<+1. (39) En particulier pour x = i, nous avons l'égalité: . ,,2-1-4.+4.-...+^+..., que nous avons déjà citée (1V-1*61. La formule (38) ne convient pas directement pour calculer les logarithmes, car on suppose que x vériîie les inégalités (39) et, de plus, la série dans le second membre ne 'converge pas assez vite. On peut la mettre sous une forme plus commode pour le calcul. Pour cela, mettons dans l'égalité : 3& X3 ln(l+*) = a—2" + -g—-■• (—s) à la place de x, ce qui donne: In (1 -x)- -*—Ç. —Ç- ... (| x|< 1), et, nous soustrayons membre à membre. Nous obtiendrons : in4Ér=2(*+4r+4+...)<i*]<i). En supposant que : l+* _!+.£._.•+£., x = ^-, (40) 'a n 2a 4-z v ' 1—a: ' o a ' 2a-\-z ' bous avons ,„ a + s J ■ , 1 z3 , '1 s" "1 lnT~ = il7a-^ + T' {2a + ï)S +T,"(2a + i)6 + " ' " J • OU ln(a + Z) = lna + 2[.24i+4-12^+...]. (41) Cette formule convient pour toutes les valeurs positives de a et de z, car *= —%— est alors compris entre zéro et un. Elle convient d'autant plus au calcul que la fraction „ * est plus petite, ou que (ce qui revient au même) z est plus petit par rapport à a. 22»
340 CH. IV, LUS SÈMES, APPLICATIONS AUX 0AW1U1S APPHOCK8S La formule (41J est très utile pour caicnler les logarithmes. Bien qu'en réalité la table deslogarilhmcsn'aîtpas été calculée à l'aldo do séries qui, ù l'époqno daNoper et delîriggs, n'étaiontpasoncoroconnucs, la formule (41), cependant, peut être utilisée pour la vérification et lo calcul rapide de la tahlo do logarithmes. Supposons que dans (41), z =■ 1, et prenons successivement; a — 15, 24, 80; nous obtiendrons: inl^in^f^f^-t-...]^, In25-In M«2 [^+-^+. ..] = M. tn81-lnao = 2[îâI+ff4j+...]-iM, où les séries t', Q, Il convergent très vite. Ces égalités nous donnent les équations '- 41n2—ln3—]ii5 = 2/\ — 3 ln2—lu3 f 21ii5=2Ç, —Un.2-MIn3-ln5 = 2» pour définir les valeurs de In 2, lu 3, In 5. En résolvant eus équations, nous trouverons sans peine : ln2 = 14.P-M0ÇI- 67?, ln3=-22P-|-luQ+10fi, ln5 = 32/'+2<i(?-|-«rt. Les lugaritlimos ainsi obtenus seront les logarithmtfs naturels; giâco à eux:, nelus trouverons lo module M dos logarithmes de base, 10 ; .W=-j~jô-=.<Vi342fl<H819 ..., ce que sachant nous pouvons passor des logarithmes naturels aux logarithmes décimaux suivant la formule; Igjoœ^Mhia;. De façon analogue, utilisant les développements en facteurs: «= 241» -100.23.3, a + * = 2401 = 74. «= 9800 = 100.2-7», » |-*= 0801=^. 11», rt = 123 200 = 100-2^.7-11, a f s=-123 201 ^3"-132, «== 2600^100-2-13, a + i--= 2601 = 3=-173, «*=■■ 28899 = 82-13*.19, a \-s= 28900 = 100-173, nous calculerons : In 7, laU, In 13, ... Lorsque nous aurons déterminé les logarithmes de nombres simples, nous déterminerons sans l'aide des séries, mais soulemont à l'aide d'additions et do nuiltiplicatiwïS de facteurs entiers, les logarithmes des nombres composés que 1 on peut toujours développer en factours simples.
IV-2. FORMULE DE TAYLOIl ET APPLICATIONS 34J 1V-2-8. Développement de arc tg x. Nous procéderons ici coiiimo pour le développement de 1« (1 -|- x). Nous avons: d arc tg t=j^. Nous obtenons en intégrant : V T+W~ uc tg t\l= arc tg x~ aic tg ° — ai'c le x' où arc tga\ comme dans l'exemple du paragraplie [1)1-2-51, a une très grande importance. Nous avons donc : -^--1-+-^---+( L-1 +*»<*>■ ^(*)=(-irî:5S- <42) La série pour laquelle la relation : a:2 —> #2 pour n —*■ oc | «n_i I 2b —1 diverge certaiiiemenl pour a;2 > 1 ; c'est pourquoi il suffit que nous noua limitions au cas a-2 <J 1, c'est-à-dire: -1<*<+1. (43) En considérant d'abord 0<a.'<;i, nous obtiendrons à partie de la formule (42), d'après VJI IIIÏ-2-2! : car il csL âvitJent quo I /2" Si a: < 0, en introduisant à la place de t une nouvelle variable, t = — x, nous obtiendrons
342 CH. IV. LES SÊHIES, APPLICATIONS .AUX CALCULS APPROCHES Ici, la borne supérieure [—x) est positive, c'est pourquoi l'évaluation donnée plus haut pour | Rn {x) | est encore valable, c'est-à- dire que le développement: are tg»=»—%- + ■%-- ••■+' 4»-î +"■ (**> est justifié pour toutes les valeurs de x gui ne dépassent pas l'unité en valeur absolue. En particulier, pour x — i, nous obtenons: . . « j 1 , 1 arctgl=T = l—3-+-5----. Cette suite, en raison de sa lente convergence, ne convient pas pourcalculcr Jt. La suito (44) convorge d'autant plus vile que x est petit. Supposons, par exemple, que x—-r- st <p=arc tg-=-. Nous avons : . 0 5 5 25 C ' 120 »**-—»;--ïïT' 1 144 Etant donné que tg4<j> diffère peu de l'unité, l'angle 4qi diffère peu do -7-. Introduisons cette petite différence i|>=4<p— -7-, -7-=4^)-11). De là, nous concluons que tg4«p-tg^- tgH>=tg ^4q>-^-)=- r 113 1 + tg4«p-tg-^- ce qui donne : , . 120 239 * 1+w -^- = 4ip - ¢=4 arc tg -g—arc tg -^- L5 S 5» + 5 5« 7 5? ^""J L239 '"J
1V-2. FOBMULB DE TAYLOR ET APPLICATIONS 343 Les deux suites entre crochots sont à termes alternésfIV-1-6], c'est pourquoi, on nous limitant dans chacune d'elles aux„ termes écrits, nous ferons uûo erreur qui ne dépassera pas: W+W<°'5-,°"' Si nous voulons obtenir ai avec une précision de l'ordre do 10-*, nous calculerons les termes avec sept décimales, car alors l'erreur dans ta définition do — ne dépassera pas: 4-4-0,5-10-7+0,5-10-' + 0,5-10-0<2-10-8, mais l'erreur sur rt no dépassera pas 8-iO-8. Nous ferons le calcul suivant le schéma suivant: g=0,2000000 ^4-=0,000064 0 5-55 +0,200 0640 5^3 = 0,002666 7 »•5* ^— = 0,0000018 —0,002 668 5 ^ 0,197395 5 * 4 _ 0,789 5820 "239"~ -0,0041841 „0,785397 9 x 4 lias, 141 591 6 La valeur du nombre n avec huit décimales est 3,141 591 05. On peut obtenir pour | x | ■< 1 lo développement : arcsina;=-;—I— - 1 2 1 x* , 1-3 z& 1-3-5 ... (2n—1) *2»+> "+ 2-4 5 + •" + 2-4-6 ... 2n "2rë+ï -f... (45) IV-2-9. Formules approchées. La série de Maclaurin, lorsqu'elle converge, permet de calculer de façon approchée la fonction / (x), en la remplaçant par un nombre îini de termes du développement: /(0) + »/'(0) , *T(0) 1! 21 + -. Plus x est petit, moins il faut prendre de termes dans ce développement pour le calcul de / (os) avec une précision voulue. Si x est très petit, on peut so limiter aux deux promiers termes on rejetant tous I.es autres. Ainsi on obtient une formule approchée tris simple pour f (x), qui, pour les valeurs petites de x, peut souvent remplacer une expression exacte très complexe de / (x).
3/,4 CH. IV. LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCVLS APPROCHÉS Donnons les formules approchées pour les fonctions les plus importantes : \fA+xœ 1-r— , sinisii, ———-ail—— , cosœRsl — 4r . (1-|- a:)"»; l-j-/w, tg#p»a:, «* «; 1 + x In ff, lii(l-f-a;)«a;. . En utilisant ces formules pour les valeurs do x voisines de zéro (positives et négatives) on peut simplifier considérablement des expressions complexes. Exemples. / y , m \n I. , '» V A I m I tt ^ * I n » 2- ,n>/rTf=~"ï"ln<i_*)_4-ill(14-*»'*'—É-*—5— *' a. Déterminer l'accroissement du volume d'un corps que l'on chauffe (dilatation en volume), lorsqu'on connaît lo coefficient de dilatation lincairo a. Si uno des jnesuros linéaires du corps est 1$ pour C, lorsqu'on chauffe jusqu'à !■", elle soin I = î(,(l+at). oc. coefficient de (Ululation, est pour la plupart des corps une grandeur très petito (■< 10^E). Etant donné que les voluinus so comportent curtuno des cubes dos dimensions liiiéairos, nous pouvons écrire : » = (i + at)» , {i +e/)^„û(1.H "» 1 c'est-à-diro quo lo nombre 3a nous domio le coefficient do dilatation en volume. 3'pur la densité p, qui est inversement proportionnelle au volume, nc>us trouverons une relation analogue Toutes ces formules approchées coiiviciment, naturellement, pour des valeurs de x suffisamment petites, et comme dans te cas contraire olles duvionnent imprécises, il faut prendre les termes suivants du développement.
IT-2. FORMULE DIS TAYLOR ET APPLICATIONS 345 IV-2-10. Maxima, miniraa et pointa d'inflexion. La for- mule de Taylor permet de compléter la règle au moyen de laquelle on trouve le maximum et le minimum d'une fonction, règlo donnée au paragraphe III-3-2]. Dans la suite, nous considérerons que / (*) a des dérivées continues jusqu'à l'ordre n au point x = x0 el nu voisinage de ce point. Si pour :« = ,¾ les (« — 1) premières dérivées de la fonction f (#) s'annulent: fW=fW=...=/,n-"W=o, où, la dérivée n,ime de /(") (xa) est différente de zéro, la valeur x0 correspond au sommet de la courbe, si n, c'est-à-dire si l'ordre de la première dérivée ne s'annulant pas, est un nombre pair : si /(nJ (¾) < 0, on a un maximum, si /(n) (3¾) > 0, on a un minimum ; et si n est un nombre impair, la valeur xa correspond non pas à un sommet, mais à un point d'inflexion. Pour cette démonstration, il faut étudier les différences; f(x0 + h)—/(s0) et /(zo—&)—/Oo), où h est vu nombre positif suffisamment petit. D'après In définition du maximum et du. minimum [I'L-3-2], il y aura un maximum au point xK si ces deux différences sont inférieures à zéro, et il y aura un minimum si elles sont toutes deux supérieures à mvo. Si ces deux différences sont de signe différent pour des h positifs aussi petits que l'on veut, il u'y aura pas pour .-Ko ni do maximum ni do minimum. On peut calculer ces différences par la formule do Taylor, si on met x0 au lieu do a et ±& au lieu do h * : /(*d+A)"=/(*o)+-î5-/'(^)+...+^^-^^(^.) + + -^/("WGA), /(^)-/(^--^-/-(3.)+...+ '-g^r f,n"i)^ '- + {zzirj^fW{Xg_Qih) (0<e<l et 0<0,<1). Par hypothèse: /' (¾) = f (*„) = ... = /0-» fo) = 0, /<"> (¾) ^ 0 ; * Nous prenons le reste du type de Lngrange ; lo nombre 6 se trouvant ciiire zûro ot unité n'ust pas lo même pour (+¾.) ot (—'0, c'est pourquoi nous avons écrit 9, dans la seconde formule.
346 CH. IV. LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS c'ost-à-dire : / <*,+*)-/ W = -^-/"" (** + »), Comme nous avons supposé que /<,l) (a;) est continue, pour h positif suffisamment petit les facteurs /(fl)(so-f-Gft) et /(B)(xe-GiA) sont de même signe; leur signe est notamment celui du nombre /"" fao) qui est différent de zéro. Nous avons vu que le point xa ne peut être sommet que lorsque les deux différences / (½ ± h) — f (xK) sont de même signe, et d'après ce que nous venons do dire, cela ne peut se produire que si n est pair, car alors les deux expressions / (x0 ^ h) — / (xe) seroat do même signe ; dans le cas contraire, oà n est impair, les facteurs hn et (—l)nhn seront de signes différents, ot les différences que nous éludions seront également de signes différents. Supposons maintenant que n est pair; le signe commun des différences / (x0 ± &) — / (x„) est- le même que le signe de /(n> (xe). Si /""(^o) <. 0, alors / (x0±h) — / (x0) < 0, et nous avons un maximum ; et si fm(xa) > 0, / (x0 ± h) — / (x0) > 0, et nous avons un minimum. Si n est un nombre impair, dans tous les cas ra^>3; pour la dérivée seconde f («) nous obtenons à partir de la formule de Taylor l'expression: ^(^ + ^^^^ + ^ f <*«>-*) -■t~sr2jr,/w (*o-flaft), d'où, en raisonnant comme précédemment, on voit qu'étant donné que {n — 2) est impair, la fonction f (jp), en s'annulant pour x — Xq, change de signe, c'est-à-dire que la valeur x0 correspond à un point d'inflexion [1I-5-2L ce qu'il fallait démontrer. IV-2-11. Calcul des expressions indéterminées. Soit le rapport de fonctions: <p (g) <jui s'annulent toutes les deux pour x—a. Pour lever l'indétermination do l'expression ,.<P(s) 1
IV-2. FOBMULE DE TAYLOR ET APPLICATIONS 3« pour <p (a) — ty (a) — 0, nous développons lo numératour et le dénominateur en série de Taylor: , . / > ,, , , (x—o)2q>°(a) . . {x —t]»«i»i(j} (a-c)«»i<p"'*i>(S1) "^ (« + !)! ■ / \ / \ n/ \ i (a —a)*it*<a) , , (s—a)" 1|>»" (fl) , (n+l)l ot, après avoir divisé le numérateur ot lo dénominateur par une certaine puissance de (a; — a), on iait x — a. Exemples. . ,. i—cos2a: ,. r 2 ^ 24 ^ ; 1. Iiin^=—;—s—= lim — «• «•*-!-»» -0 (^+^+^+...)^.^,: 2-1**1-... 4 = lim -jj ç= -g- . *-0jL.|"l+... 9 2 r-ç-^-r--- La même méthode peut être utile pour lover des indéterminations d'autres types. Examinons un exemple. 2. lim(fi*—5iï+l-a;). .Nous avons ici une indétermination de type (oo — oo). Nous avons: "{['-(4:à)]'"-}- Pour dos s suffisamment grands on valeur absolue, la différence (- ^ j tend vors zéro, ot nous pouvons appliquor la formule du binôme do Nowton (25), 1 / 5 1 \ pour m=Tr, eu remplaçant x par— I 5) : L1 lr-^jj -i-T\^-^)+—si—U_^J + '"
348 CH, IV. LES saniES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS lin reportant cotto valeur dans l'expression ontro accolades el en retranchant un, nous «Mtondrons ■. ^( —ru3^) '<-■■•• où tous les termes qui n'ont pus été écrits contieiinont uniquement des puissances négatives do x, c'est-à-dire qu'à la limite pour .r -> oo, elles sont nulles, eL par suite : lim (f ¢3-5^^1-^)=—|. La possibilité de passer à la limite dans lus séries infinies, que nous avons utilisées dans co paragraphe, peut, facilement être justifiée, et nous n'insisterons pas Ift-dessus. IV-3. Compléments à la théorie des séries IY-3-1. Propriétés des séries absolument convergentes. La notion de série absolument convergente, a été exposée au paragraphe [1V-1-7J. Maintenant nous allons nous an'êter à des propriétés plus importantes. La somme d'une série absolument convergente ne dépend pas de Vordre de ses termes. Démontrons cotte affirmation d'abord pour les séries à tonnes non négatifs qui, comme nou« le savons [IV-1-3J, peuvent ou être convergentes (donc, on particulier, absolument convergentes) ou bien divergentes. Ainsi, soit une série convergente à termes positifs («on négatifs); Wj >-Ui + u3—... 1-Kn-l-..- (1) Soit .¾ la somme de ses n premiers termes, et s sa somme. Nous avons évidemment : sn < s. En plaçant les termes de la sério (1) de la manière qu'on voudra, on obtiendra une autre distribution des termes ,'t laquelle correspondra la série vt |- a2 -\-1¾ -r ■ ■ ■ -I - "n -I-. • •, (2) composée dos mîmes termes quo (1), mais dans un autre ordre, (te,sorte que chaque tonno de la sério (1) possède, un numéro déterminé dans la série (2) et réciproquement. Soit a„ la somme do n promiocs termes de la sério (2). Pour toute valeur de n, on peut trouver un nombre m aussi grand quo possible tel que tous les tennis entrant dans la somme c„ entrent dans sm, o'ost pourquoi °n ^¾ sm <^ St Ou a ainsi démontré l'existence du nombre constant s, ne dépondant pus de n, tel que pour toutes les valeurs do », nous avons ; d'oïl [IV-t-ijj lu convergence de la série (2). Soit O sa somma, il est évident quo: a-- lim <Tn<s.
1Y-3. COMPLÉMENTS j\ X,A THEORIE DES SEMES 349 En transposant dans les raisonnements précédents les séries (i) ot (2) nous démontrerons do la mémo façon que : «<o-, et des inégalités a-sjs, s¢¢.0, il résulte que: Voyons maintenant dos séries ayant des termes quolconques. lilaiit donné qui? par hypothèse la série (1) est absolument convergente, la sério à termes positifs l«il-l-l«âH- —+KI+ S l»»l <3> converse et, d'après ce qui a été démontré, sa somme s' ne dépond pas de l'nrilrc des termes. D'autre part, les deux séries 2 {(Kl-»»)- S 7(1^1-^ <c£. [1V--1-7]) ont également des termes positifs et convergent également, car lo terme général do chaouno d'ollcs ne dépasse pas | u„ |, c'est-à-diro le terme général de la série convergonto (S). D'après ce qui a été démontre, chacune d'elles no dépend pas de l'ordre des tonnes; leur différence qui coïncide avec la sommo do la sério (1), ne dépondra pas non plus de l'ordre des termes, et c'ost ce qu'il fallait démontrer. Corollaire. Dans une série absolument convergente, on peut grouper les membres de n'importe quelle manière, et tes ranger ensuite par groupes, car si un tel groupement change l'ordre des membres, la somme de la série n'est pas modifiée. Remarque. SI l'on extrait d'une sério absolument convergente une suite quelconque de termes, la série obtenue par ce moyen sera aussi absolument convergente, etautdonné qu'on extrait une sitito do termes do la sério (3) qui a des termes positifs, ce qui no change pas, de toute évidence, la convergence do cotlo série. En particulier, les séries composées séparément do termes positifs ot négatifs d'uno sério convergente seront convergentes. Nous noterons par s' la sommo <io la sério composée dos termes positifs, et par (—.s") la sommo do la sério composée des termes négatifs. Lorsque a croît indéfiniment, la somme % des « premiers termes do toute la série contiendra autant de termes que possiblo des deux séries, et nous obtiendrons évidemment à la limite; s = lim sfi = s'~s". il n'est pas difficile do démontrer que lorsqu'une série n'est pas absolument convergente, les séries composées do ses termes positifs ot négatifs sont divergentes. Ainsi, par exemple, pour la série qui n'est pas absolument convergente 11V-1-7] les séries et __1 i i î 2 4 6 8'"
350 GH. ÏV. LE8 SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPBOCHÉS divergent. La somme des n premiers membres de la première sério tend vers (-f-oo) ot cello de la seconde série vers (—00) pour a croissant indéfiniment. [Sn utilisant la propriété déjà indiquée .Riemann a démontré qu'en changeant d'une façou requise l'ordre des termes d'une série non absolument convergente, on lient rondro sa somme égalo à n'importe quel nombre. Ainsi, la notion do série absolument convergente est équivalente a la notion de sério dont la sommo ne dépend pas de l'ordre des termes. Remarquons encore que si, dans une sério convergente quelconque (qui n'est pas obligatoirement absolument convergento), nous changeons de place un nombre fini do termes, les sommes des n premiers termes % resteront les mêmes pour toutes les valeurs de n suffisamment grandes, c'est-à-dire que la convergence do la série est conservée, ot la somme de la série restera ce qu'elfe était avant. Le raisonnement et les résultats précédents demeurent aussi dans lo cas 01I on déplace un nombre infini de termes. IV-3-2. Produits de séries absolument convergentes. Pour multiplier deux séries infinies absolument convergentes, on peut appliquer la règle de multiplication des sommes finies: le produit est égal à la somme de la série que nous obtenons, si chaque terme d'une série est multiplié par chaque terme de la seconde, et que l'on additionne les produits obtenus. L'ordre des membres est Indiffèrent, car la série ainsi obtenue sera également absolument convergente. Soient les séries absolument convergentes ; s-=u,4-k2-| |-a»-| ,\ a=ff,+tf2| \-v„-\ / Etudions d'abord lo cas particulier où elles ont toutes doux des termes positifs, et lorsque la multiplication s'effectue dans l'ordre suivant: -+ulvn+u1!vn_l+...-\-unvl-i (5) Démontrons avant tout que la série (S), dont tous les termes sont également positifs, converge, ot ensuite que sa somme S est égale a sa. Nous désignerons par Sa la somme do n premiers termes do la série (5). On pout toujours choisir un nombre m aussi grand quo l'on veut pour que tous los termes,'entrant dans 6' , ontrent aussi duns lo produit des sommes: Sm = «i + K2+ ..--I-Bjbi Oui =^1+1¾+--.+ltei c'est-a-dire pour que l'on ait Sn <smam, c'est-à-dire: Sn<™, (8) car sm < s, tfm -< a, d'où la convergence de l.t série (5) (IV-1-3). Soit .y la somme do la sério (5), nous avons, à partir de l'Inégalité (6)t .?= 11m ■?»<«». Etudions à préscntle produit s„<V po«r n donné, on peut évidemment trou- vor un nombre m aussi grand quo l'on veut pour que tous los termes onlrant dans les sommes sn ot on figurent dans la sommo Sm ; nous obtiendrons alors : c'est pourquoi, a la limite, pour n—>co iWn—>»<£. (7) Cette inégalité, en tenant compte do (G), donne ,9 -= sff, ce qu'il fallait démontrer.
IV-S. COMPLEMENTS A LA THEORIE DES SÉRIES 351 Soient maintenant des séries (4) absolument convergentes, mais ayant des termes quelconques. Les séries à termes positifs convergent donc: et l«il + l«2l + ---+l«nl+--- l»lH-|»2l + -.- + KI+---. c'est pourquoi, d'après ce qui vient d'êtro démontré, la série !«il|vi| + |«all"il-r-|will»8l h I «211 »2 l-h -• - 4- , ,,\ + l"lll"nH l-l«»ll«i|-|---- convergo également. On voit que la sério (5), composée d'après la règlo précédente, sera absolument convergente dans ce cas. Soit maintenant: oj, aâ, ..., a'n, ... ; «;, «s, ..., a"n b[, &â 6^, ... ; 6J, 65, ..., 6^,.,. respectivement les termes positifs des séries (4) et les valeurs absolues des termes négatifs. Nous savons (remarque de [1V-3-11), que les séries composées par ces termes convergent ; supposons que : »'-2 «;.«'-2 *;-s"=2 <.°*«2 »;■ m n=l «=1 n=i nt»l Comme on le sait ([1V-3-1]), nous avons: s — s'~ s", 0=0'—a". On a démontré qu'on peut multiplier ontro elles. Corme à terme, los séries (8) ayant des larmes positifs; la somme dos produits des séries s'a', s"ts", —s'a", —s"a' contient justement los termes qui figurèrent dans la sério (5), et seulement oux, c'est pourquoi nous avons: S = i'a' + s',a"—s'o''--,;»a'=(s'—s") (o-'—a")=sa, ce qu'il fallait démontrer. Exemple. La série I + 5+5Ï + .,. _}_gn-i+ .,. =_i_ est absolument convergente pour | g | < i, c'est pourquoi: .-^3.= (1+5+...+51--1 + ...)(1 + 5 + ...+5^1+..0,= = 1 + 25+85*+... + «5*-!+... IV-3-3. Critère de Kummcr, Les critères de Cauchy et de d'Alembert do convergonce et de divergence des séries [IV-1-4) sont, malgré lour importance pratique, des critères très particuliers, et on ne peut pas les appliquer dans de nombreux cas relativement simples. Le critère ononcé ci-dessous a un intérêt beaucoup plus général. Critère do Ruminer. Une série à termes positifs U| + «2 + .---f"n + .., (9) converge s'il existe une suite de nombres positifs et,, a2, ...,0^,,...1 tels que, à partir d'une certaine valeur de n, on ait toujours h^2—o„+1>a>0, (10)
3,¾ Cil. IV. LES 8ï5H!ESt APPLICATIONS ATJX CALCULS APPROGHÉS vît ce t;jii un certain nombre positif ne dépendant pas de n; la série (9) divérgûi si /iouf las mêmes valeurs de n on a: a»-^2-- an+1<0, (11) El ■ diverge. O-n Sans limiter In généralité de l'exposé, nous pouvons considérer que les conditions du thfjoroiuo sont satisfaites, déjà à partir do n — 1. Supposons d'abord (|uo soit vérifiée la condition (10). Nous «n conclurons, en supposant que » = = 1, 2, a, cCjU] — a2«2>au2, 0^2-33¾ >aa3 ctn-i"n-i—«n«n > »«n. <l*i>îi. on additionnant tonitv ù lonue et en réduisant les termes semblables, nous Mm venins : et («ïH ;• k„) < aiUi—antin < diiii. Nous voyons par là ([uo la série (8) qui a des termes positifs dont la nomme clos n premiers Lorrues, à l'exception de «,, reste inférieure au nombre constant —Jïi-, qui ne dépond pas in n, converge jlV-1-3]. Supposons maintenant que la condition (11) est vérifiée. Elle nous donne: 1 Un terinos de la série divergente; c'rst-à-iliro que lo rapport -5±1 n'est pas inférioiir au rapport correspondant des La divergence do la série (9) résultera du lomiue des séries à termes positifs: Complément au critèro cl 0 d'A 1 e m b c r t. Si à partir d'une certaine valeur de n, le rapport nti ne dépasse pas le rapport eorrespon- un dtmt de tlJfi des termes d'une série convergente >}n 2 >'„, (12) In série co 21 «n (13) n=l convergera aussi. SI le rapport -n+l reste non inférieur au rapport corres- un pondant des termes de la série divergente (12), la série (13) divergera aussi.
IY-3. COMPLEMENTS À LA THEORIE DBS SERIES 353 En effet, soit d'abord: «n »n ' où la série (12) converge. Nous avons successivement: «n-t "n-l ' "n-z -b-2 ' ' " ' «i l>i * d'où, en multipliant, nous trouvons: ' -2-^-2-, OU Kn<—i-fn- Uj 1/f 1/j 0o l'inégalité précédente et de La remarque du paragraphe (1V-1-3] [pour & — —\ il résulte la convergenco de la série (13). On peut démontrer de façon analogue la dtvorgonca'de cette série dans lo cas où ^2£* >-2±i et où la série (12) diverge. IV-3-4. Critère de Gauss. Le critère deGauss a des applications très importantes *, Si dans une série à termes positifs (9) : H + uz-\-...+un+..., le rapport —-0- peut être mis sous la forme : Jf2--1-I_.il LÏ_rt %i"+ « rn»' où p>l et [d»|<„, (14) e( si A ne dépend pas de n, c'est'à-dire que la grandeur <oa reste bornée, alors la série (<J) converge, si u. > 1, et diverge, si u. <Ç 1. Démarquons que dans tous tes cas où ce critère est applicable, on no peut pas utiliser le critère de d'Alembert [IV-1-4], On obtlont la formule (14) en développant le rapport —— suivant les puissances de —, c'est-à-dire en déga- Mn+i n goant les termes de différents ordres do petitesse par rapport à — , certainement si c'est possible. Passons à la démonstration et étudions séparément les cas suivants: 1) u- =jfc 1 et 2) p. = 1. Dans lo cas 1) nous supposons dans le critère de Kuminer a-^ = n, et nous remarquerons que o„ > 0, et que la série T) — diverge (IIV-1-21). Nous avons, évidemment, dans ce cas: SI fi>l, nous aurons à partir d'une certaine valeur de n: "n1— £-!.+(>a >0, un+l * Il s'agit en fait d'une généralisation du crltèro qui a été effectivement établi par Gauss.
354 C1I> IV. l/ES SÉRIES, APPIJ.CATIONS AUX CALCULS APPROCHES où et est un nombro positif quelconque, infoiieur à u. — 1, et la série (9) sera convergente Si |.i < 1, nous aurons à partir d'une certaine valeur do n: <*n :72 ct>i+i<0, c'est-à-dire que la série (0) sera divergente [IV-3-3]. Dan»le cas 2), nous avons: "n _4 , i. = ^n un+i r n "r «P ' Supposons que dans le crltèro de Kummor ot„ => n In n et formons la série : S~=Si^' ™ où l'on peut commencer la sommation à partir d'un nombre entier positif quelconque n, puisque les premiers termes n'influent pas sur la convergence [lV-1-1 ]. Démontrons la divergence de cette série, en utilisant le critère intégral de Cauchy [IV-1-5]. Nous devons démontrer que l'intégrale diverge: S - dx , Mais nous avona : Jailns ,)a lnx dîna* et la fonction In (In x) croît Indéfiniment en même temps que x, c'est-à-dire que l'intégrale écrite ci-dessus diveTge réellement, et c'est pourquoi la série (15) diverge aussi. Formons maintenant la différence 0¾ — ctn+n en utilisant (14) : <*»^-<*»+l=n 0+^+^) ln»-(«f 1)1u(b [-1)= = (»+1) In n f ^'"r-C+D la (»+l) = = ^+(,,+^(-1-^). (16J Lo factour «„ i-esto lorno paT hypothèse, et le rapport v_1 tend vers zéro lorsque n -»• oo, puisque, par hypothèse, f — 1 > 0, et lu n croît plus leu- temont que n'importe quelle puissance positive do n (exemple 2 du paragraphe- [11-3-101). SI l'on poso , .=» — x< alors s-»- 0 et lo deuxième terme du second membre sera; c'osl-à-diro qu'il tondra vors (—1) [1-2-141. Nous voyons ainsi q-uu dans lo cas considéré, la série V, — dlvergo et que [ou,—2—«n+tl -»-—1 P»uf ^-1 <*n \ "«4-1 /
IY-3. COMPLEMENTS A LA THÉORIE DES SERIES 355 n -•- oo, et c'est pourquoi pour des valeurs suffisamment grandes do n, on aura': an-^2—«n+1<0, c'est-a-dîre que la série (9) sera dîvorgento [1V-3-3], ce qu'il fallait démontrer. Les critères de convergence énoncés plus haut peuvent être appliqués à des séiies ayant des termes quelconques, si l'on remplace 1¾ par [ 1¾ ]. Mais dans ce cas, ils permettent seulement de dire si la série donnée est absolument convergente on pas. On pourra généralement obtenir à partir d'eux la condition de convergence absolue, mais pas de divergence, puisque nous savons qu'une série peut ne pas être absolument convergente et cependant ne pas Stre divergente [IV't-îl. Nous obtenons ainsi : Complément au critère do G a u s s . la série Kj + u2H h«n + -" (") ayant des termes çjueloonques, pour laquelle 1^-1-1 + -^+¾. <«> I«b+i 1 ' n n" où p > 1 et [ (¾ | < A, sera absolument convergente pour |i >■ 1. Il n'est pas difficile de montrer qu'elle divergera pour n < 0. Nous avons, en effet, dans ce cas, en considérant que <b„ est borné : ■$=î^0> 4+^ — 1 P«« - — «. c'est pourquoi, à partir d'une certaine valeur de n, d'après la'condition p, < 0: <1, et I Jfn_ I «n+iI c'csi-ù-dire qu'à partir de cette valeur do n, les termes de la série croissent an valeur absolue, et le terme général do ta série 1¾ ne peut tendre vers zéro pour n -*- 00, c'ost-à-diro que la séïio (17) sera divergente. IV-3-5. La série hypergéométrique. Appliquons les considérations générales précédentes à ce qu on appelle la série hypergéométrique ou série âe Gauss: ri:: C y 1) Il °P il a(»+DP»+l) ., , i (a, p, v, *)-1 + 57^*-\ 2Tv(v+l) x +■*• + a(a+l)...(a + it-l)p(pj-l) ... (p-M-l) "!?(v ~i)-..(v-t-»—i; ■'''•' c^ Certaines fonctions, que l'on rencontro dans les applications, conduisent à cas séries. Il est facile, en substituant directement Ss nombres et, p, et y, do vérifier, par exemple, les égalités suivantes: F(\, p, fï; *) = t.|_*.!-i2..1-...+3:1+...=-_!_ 1 — 3! P{-m, p, p; a)-(l-,-*)' ^(g,P,P;-x)-l |B=0-1" (1 ■'•«). (20) 23*
356 cm. îv. les afiniES, applications aux calculs approches Pour étudier la convergence de la série (19), formons le rapport du terme précédent avec le suivant c'est-à-dire que suivant JIV-1-4], la série (19) converge pour | x | < 1 et diverge pour | x | > 1. Seuls restent los cas où : 1) x = 1 et 2) x = —1. Remarquons encore que pour les valeurs suffisamment grandes de n, les facteurs (q -|- n), (p -f- n) et (y -f. n) seront positifs, de sorte que pour x—1 tous les termes de la série ont un même signe pour les valeurs de n suffisamment grandes, et pour x ~ — 1 on obtient une série à termes alternés pour les grandes valeurs de n. Dans le premier cas, nous avons, en développant suivant une formule de progression (en considérant n suffisamment grand)eten multipliant terme à terme les séries absolument convergentes obtenues [1V-3-2] ; «n+i («+b)(P + ») /1+_«\ (l+JL) -(*+*) (*+*)(A+S-S+---)* ^-1+5-5+-)-1+^=^- «2 où la grandeur 0¾ reste bornée. Ensuite, dans le cas considéré, après avoir rejeté on nombre suffisamment grand des premiers termes dans la série : *■(«, P,y. 1)=1+-^-1-...+ q(q+l)...(q+B—l)p(p+l)...(p+n-l) "" »IV{Y+1)-■■(?+»-!) nous obtiendrons une série ayant dos termes de même signe ; on appliquant le critère de Gauss, nous trouvons qne pour : y— a—p + i>l, c'est-à-dire y—q—P>0, la série est afcoEu/nsttf convergente et que pour ?—a—p + l<l, c'ost-à-diro y—a—p<0, elle est divergente. Dans le second cas, pour œ= — 1, nous obtenons une série à termes alternés à partir d'un certain terme: »P q(q+l)P(p+l) i'V"1" 21y(?+l) --t , B q(q+l)...(q+n-l)P(p+l)...(P+n-l) 1 ' »I?(V+l)...(r + n-D "t""* Nous avons ici, comme avant : I »t [._, , y—a—g + 1 <%
IV-». COMPLÉMENTS À LA. THÉORIE DES SERIES 357 c'est pourquoi, en appliquant le complément du critère de Gauss, nous obtenons que pour! 7—a—p+i>t, c'est-à-dire 7—et—p>0, il y a convergence et que pour 7—a—P + 1<0, c'est-à-dire 7—et —p< — 1, la série diverge. Au cas où: Y-a~P=-l, on peut démontrer que le terme général do la série tend vers une limite différente de zéro, c'ost-à-dlre que la série sera divergente [IV-1-2]. Enfin dans lo cas où: -l<V-«-P<0, on peut démontrer que les valonrs absolues dos termes do la série tendent vers ?.éro pour n ->- oo, en décroissant, c'est-à-dire [IV-1-6] que la série sera convergente, mais pas absolument convergente. Nous n'insisterons pas sur la démonstration de ces deux dernières affirmations. En appliquant cela au développement du binôme ; (1 + K)m=! +ZL *+2L£|pi) a2+... +»fe=*^j£L=»±i) »»+..., que l'on obtient à partir de (19) (p = y arbitraire) en remplaçant a par (—m) et x par (—s), et qui, commo nous le savons, converge pour | x | < 1 et diverge pour | x | ~> i, nous obtiendrons comme série: une série absolument convergente pour n&>0, si x=—1, une série divergente pour m<0, si £*=-— 1, une série absolument convergente pour m >-0, si 2=1, une série pas absolument convergente pour —l<m<0, si i = l, une série divergente pour nt< — 1, si *=1, une série devenant polynôme pour m—un nombre entier !>0. Nous démontrerons plus loin |IV-3-13] que si la série d'un binôme converge pour x= ± i, sa somme sera égale à (1 ± i)m, c'est-à-dire respectivement a 2m ou 0. Notons que dans ce qui précède, nous avons considéré et, p et y différents de zéro et d'un nombre positif entier. C'est important pour 7 puisque dans le cas contraîro, les termes de la série perdent leur sens (lo dénominateur s'annule), ot si a ou p sont nuls ou sont un nombre entier négatif, la série est interrompue et devient une somme finie. IV-3-6, Séries doubles. Etudions un tableau rectangulaire des nombres, limité en haut ot à gauche, mais allant vers l'Infini à droite et en bas: 12 3 ... n i 2 H m "11 «21 "31 «m| "ia «22 «32 *na «13 ■•• «23 ••■ "33 ■•■ uft(3 . . «in -■■ »2n «în ... ■ ltrnn
358 CH. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS Il contient une infinité do lignes, dont les numéros sont indiqués par le jîfomior indice, et de colonnes dont les nombres sont donnés par le second indice do la lettre n. Ainsi, utk signifie un nombie situé à l'intersection do la ligne £ avec la colonne k du tableau. Supposons d'abord Que tous les nombres u|„ sont positifs. Pour définir la notion de somme de tous les nombres du tableau (22), indiquons dans lo plan de la figure des points de coordonnées entières positives M ({, k) et menons une série do courbes : w, C-2» •• m £n» ■ -■, qui coupent les axes ds coordonnées dans le premier quadrant des coordonnées, et qui no sont astreintes qu'à la condition suivante : chaque point M doit tomber, pour n suffisamment grand, à l'intérieur de la surface (O limitée par la courbe Cn et les axes de coordonnées (fig. 157), ol la surface (C„) doit se o o o o o o Fis. 187 Fig. 158 trouver à l'intérieur do (Cni.t). Formons la somme iS» de tous les nombres u^, correspondant aux points qui se trouvent à l'intérieur do la surface (C„). Lorsque n croît, cette somme croîtra de toute évidence, c'est pourquoi doux cas seulement Îisuvont se présenter : ou bien 1) la somme Sn reste bornée pour toutes les va- eurs de n, et il existe alors une limite finie : llm.?re = s. ou bien 2) la somme Sa croîtra indéfiniment lorsque n croît. Dans le cas 1), on dit que la série double (23) (, A=l converge et possède une somme S. Dans le cas 2), la série double (23) est dite divergente. La somme de la série convergente (23), qui a des termes positifs, ne dépend pas du procédé de sommation, c^est-à-dire du choix des courbes C„, et peut être obtenue également par la sommation de la série en lignes ou en colonnes: ■*-2 <2"«»)-2 (S »»). m c'est-à-dire par le calcul de lu somme de tous les termes do chaque ligne (ou de chaque colonne) du tabloftu, et ensuite par l'addition des sommes obtenues. Ea effet, construisons un autre système quelconque de courbes Ci, Ci, ....
IV-3. COMPLÉMENTS X LA THEORIE DES SËRIBS 359 . . ., Cn, , . ., ayant la même propriété que Cj, Cj, . . -, Cn, . . . Nous noierons par Sn la somme de tous les nombres du tableau correspondant aux points tombant à l'intérieur de la surface (Cn)- Pour n donné, on peut toujours choisi)- m aussi grand que l'on veut pour que la surface (Cn)soit à l'Intérieur de (Cm), et alors: c'est-à-diro que, d'après ce qui précède, il existe uno limite finie: 5Î-+0O En intervertissant les rôles dos courbes C„ et Cn, nous démontrerons do mémo que: ce qui n'est possible qu'à la condition que Od peut obtenir la somme de la série double (23), môino on prenant pour Cn des lignes brisées constituées par des segments de courbes (flg. 158): i = const, ft=const. Nous obtiendrons ainsi une sommation on « carrés» : S="lI-H"i2 + K22+K2tH----+("in-|-K2H +"»»+Krt, n-l-r-- ---|-Krti)4-- •- En effectuant la sommation en « diagonales», nous obtiendrons: ■f = K|t h(«i2 + "2l) + ("i3+u22 + «3l) + 1" ("» + «2. B-H +unl) + ■ ■ ■ (25) Pour démontrer les formules (24), notons avant tout que la somme d'un nombro quelconque de termes du tableau (22) est inférieure à S, c'est pourquoi la sommo des termes se trouvant dans n'importe quelle ligne ou n'importe quelle colonne est toujours inférieure à S également, d'où la convergence de chacune des séries: OO CXI De plus nous avons pour toutes valeurs finies des nombres m eb n: *i-Ni-i-.---r«m=2j (S »*)<*• (26) En effet, nous étudierons seulement les m premières lignes du tableau (22). En prenant les éléments da p premières colonnes, nous avons, do toute évidence, p m 1.,¾ "*)<'■ D'après la règle d'addltloii des séries I1V-1-2I, nous avons: oo m -p m 7=1 ILi p-m» &=i i=.l puisque l'expression dont on prend la limite, n'est pas supérieure à S.
300 CK- IV. I.ES SÉIUI3S, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS On démontre de la même façon la deuxième inégalité (26). Les inégalités (26) montrent que tes deux séries : S (S »«*)-£ «-*'< S (S-'O-S/*-"' 1=1 ft=l 1=1 fc=*l i=( ft*»l convorgent et ont des sommes no dépassant pas S, c'est-à-dire: or'<J et <r"<i?. D'autro part, il est clair que si l'on choisit arbitrairement le système de courbes Cr, tous les ternes entrant dans la composition de la somme Sr outreront dans la composition, dus deux sommes : 5i + sâ+'"-Mm. sï + sSH +«m, < pour m suffisamment grand, c'est-à-dlro que Sr<'i-\---.+*m<°'. J,<«5-1-... f«"„<o', c'est pourquoi aussi dans la limite S= limii"r<a' et S^a". r-*oc Etant donné que a' < S et a" < S, cela n'est possible qu'à condition quo l'on ait: o'=a"=S, co qu'il fallait démontrer. Dans les séries doubles ayant des termes quelconques, nous ne nous arrêterons que sur les séries absolument convergentes, c'est-à-dire sur les séries pour lesquelles la série double, composée de valeurs absolues S I m I. converge. En appliquant dos raisonnements somblables à ceux do [IV-1-7]. on peut démontrer qu'il existe pour ces séries aussi une somme: »-» Hi *=1 TîUi fet qui ne dépend pas non plus du moyen de sommation, et qui peut, en partionlior, être obtenue en sommant par lignes et par colonnes, R omarque. Beaucoup de propriétés des séries simples absolument convergentes s'étendent aux séries doubles absolument convergentes; en particulier la remarque de (IV-1-7) : si chaque terme'd'une série double ne dépasse pas en valeur absolue le terme d'une série double convergente ayant des termes positifs, la série donnée est absolument convergente. Où même on peut étendre la propriété 2) du paragraphe [IV-1-3J. Exemple. 1. La série 2. .t4t <*> i, fc-=i
IV-3. COMPLÉMENTS A LA TII1ÎORIB D1ÎS SÉRIES Stf converge pour ct>l, P> 1, car en sommant en carrés, nous avons: où A et B désignent la somme des séries : OQ PO convergentes pour <x>l, P>1 [1V-1-5]. 2. La série 2 TTiV (20) converge pour a > 2 et diverge pour a < 2, puisque, en effectuant la sommation ou diagonales, nous avons; ^=-^+^1-.+(-1)-^=^0-4-)+...+-^(1-¾. (i \ i 1 1 d'aboTd-=•, c'est-à-dire le plus petit nombre, puis 1, c'est-à-dire le plus grand nombre, nous trouvons: T [iCT + • ' ■ -""^r] < *»< i^î+ ' ■ ' +^T • —-—r pour a > 2 ot sa divergence n=i pour a •< 2 démontrent ce que nous avons dît. 3. Si a et c sont positifs et Jr— ae <C 0, /a série oo ~ " (30) i, ftt=l converge pour f >le( diverge pour p < 1. Soit d'abord 6 >• 0. Etant donné que, de toute évidence : en désignant par At le plus petit dos nombres a et c, par Az le plus grand des nombres a, i et e, nous avons: 2/MA < ai* -| 26s fc -j- ck* < /12 (i + ft)2, d'dfi, en nous limitant nu cas qui nous intéresse /> > 0, nous obtenons : 1 1 1 1 1 Âg (i + fc)a» (oi2+26ift-(-cfta)» ^ (24,)'' j/>fcP ' ce qui, d'après les exemples 1 et 2 et la remarque faite ci-dessus, montra qu'il y a convergence pour p > 1 et divergence pour p<i, ot dans 1 1 ce cas, il faut remarquer que les facteurs — et „. ne dépendent pas de i et de fc.
382 CM. IV. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APP-ROCHtiS Soit maintenant 6<0. En désignant par Aa le plus grand desjiombres a, ■c, | i |, d'après l'inégalité évidente: {T/Ô7)2 + ("V/c&)a>2 Yacik: 2(b+l/Tc)lk^,aii+2bik+^<Aa{i+k)K •où i + ~|/oe > °- puisque par hypothèse | i | < "]/a~c. La démonstration so 'Continue comme dans le cas où 5 > 0. IV-B-7. Séries à termes variables. Séries uniformément convergentes. -Les formules de Taylor et de Maclaurin donnent des exemples do séries dont'les termes dépendent d'une variable *. Dans la suite de ce cours, nous rencontrerons les séries trlgonamélrlques do la forme suivante : oa 2 (¾ cos nx+ bn sln nx), n=i dont les termes dépendent non seulement de n, mais de la variable x, et qui sont très importantes. Nous nous intéresserons pour l'instant, de façon générale, aux séries dont 3es tenues sont variables et qui dépendent d'une variable indépendante x. Supposons que nous ayons une suite infinie de fonctions: «i (*h «2(4. M*). •■■> «n («), ■••, (31) ■définies dans l'intervalle (o, b), Composons-on une série: «4 (z) + «2(*)+U3(*) + ...-}-«„(*)+... (32) Elle pout converger pour certaines valeurs de x sur (a, 4) et diverger pour d'autres. La somme de n premiors termes sur la série (32) s„ (#) est, évidemment, fonction de x. En ce qui concerne les valeurs de * pour lesquelles la série (32) -converge, nous pouvons parler de sa somme s(x) et do son reste rn{x) — s(x) — — $n (x). Alors 5(4=11015,,(1). (33) n-t-oo St la, série (32) converge peur tout x de (o, b), c'esl-à-dire pour a -sj x .< 6, •ort dit qu'elle converge sur l'intervalle (a, i), Slla série (32) converge sur l'intervalle (o, 6) et a pour somme s (.t), cela vout -dire que pour chaque valeur donnée do x sur (a, b), en se donnant arbitrairement le nombre positif e, on pout trouver un nombre N tel que pour toutes les valeurs » > .V, nous ayons | rn (x) | < e pour n > AT, eu IV dépendra du choix do e. Il fauteopendant remarquer que N dépendra, en général, aussi de la valeur choisie pour x, c'est-à-dire qu'il pout avoir différentes valeurs pour un s donné mais pour (les valeurs différentes de x sur l'intervalle (o, b), et nous le noterons par tf [x). Si pour un e positif quelconque donné, on peut trouver un nombre N ne dépendant pas de x, tel que pour toute valeur de x sur l'intervalle (a, 6), soit vérifiée l'inégalité |rn(i)|<« (34) pour tout n > N, on dit que la série (32) est uniformément convergente sur l'Intervalle (a, 6), Eludions, par exemple, la série: i t 1 i ï-H (*+*)(*+2) (1+2)(2 + 3) '•' {x+n-ï) (x+n) (35) ■dans laquelle x varie dans l'intervalle (0, a), où a est un nombre quelconque positif donné.
IV-3. COMUL£MKN*L'S A LA THÉORIE DES SÉRIES 383 11 est facile de voir que l'on peut écrire la série sous la forme: _! ( _J i_\ _ M L.\ _ _ ( 1 U\ _. x + 1 \x + l x+Z) \x+Z x+3) "' \x+n — i x+n) "' de sorte que dans le cas donné 1 sn (*) ^r-T—, » ■« (*) li»1 sn {x) = 0, et si nous voulons que il suffit de prendre ar-f-rc n> — — z=N&). (37) Si maintenant nous voulons que l'inégalité (38) soit vérifiée pour toutes les valcui's de x dans l'intervalle (0, o), à condition que n > N no dépende pas de la valeur prise pour x, il suffit do poser N ——^ N {x), car alors l'inégalité (37), ol avec elle l'inégalité (36), seront certainement vérifiées pour toutes les valeurs de a; de l'intorvalle (0, a) à condition que n > N. La série (35) sera ainsi uniformément convergente dans l'intervalle (0, o). Toute série n'est pas uniformément convergente, puisqu'on no peut cas trouver pour toute série un nombre N indépendant de x, qui ne soit pas inférieur à tous les N (x) sur l'intervalle (a, 6), Eludions, par exemple, dans l'intervalle 0<a: ■< 1, la série: x+x {x—1) 4 x" {x—1) +... + i"-i (i—1)+ ... (38) La somme des n premiers termes sera: sn {x) = x-\- (i2— x) -f (is— x") -4 f (in — ar"-1), c'est-à-dire : Sji(aO = s"i et, suivant p-2-2] s{x)= llms„ (z) = 0 pour 0<œ<l n-x» Ct 7¾ (*)=s(ar) — sn(z)=— xn pour 0-<a<L Pour * = 1, nous avons, en faisant x — 1 dans (38), la série 1-1-0+0-1 c'twl-à-dir» que: s„(a:) = l, s(s) = lim s„(s:) = l, rn {x) = s (ï) — sn {x) = 0 Tï-K» pour « = 1 et pour n quelconque. La série (38) converge dans tout l'intorvalle 0 -< x ^ l,mais dans cet intervalle la convergence n'est pas uniforme. En otfot, puisque rn (x) = — xn pour 0 < x ■< 1, si nous voulons que l'inég"'"-*
364 CH. IV, LES SIÎRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES (34) | rn (x) | < e soit vérifiée, nous devons avoir ss* < e, c'est-à-dire n In x < < lu e ou bien, en divisant par un nombre négatif In x, nous obtenons: .In s •^ Inœ Ainsi, dans cet exemple N {x) = -.— et ne peut pas être remplacé par un nombre plus petit. Lorsque x tend vers i, In x tend vers aéro, la fonction N {x) croît indéfiniment, et il n'est pas possible de trouver une valeur do N telle que l'inégalité {34) soit vérifiée pour n > JV dans tout l'intervalle (0,1). Ainsi, bien que la série (38) converge dens tout l'intervalle (0,1), ot on particulier pour a; = f, elle converge de pins en plus lentement quand x tend vers 1 ; pour calculer avec une précision suffisante la somme de la sério, il faudra prendre d'autant plus de termes que z est plus proche de l'unité. Remarquons cependant que pour x =• i, la sério ne comporte qu'un terme. Donnons maintenant une définition équivalente de la convergence uniforme. Nous avons donné [1V-1-8I la condition nécossairo et suffisante pour qu'une sério converge. Dans le cas considéré, ello est formulée comme suit : pour que la sério (32) soit convergente dans l'intervalle (a, b), pour e positif quelconque donné ot x quelconque de (a, b), il faut et il suffit qu'il existe mi nombre jV tel qite: I «n+i (*) + "»+2 (x)-\ h "ni- p (s) !< e (39) pour n > N et p entier positif quelconque. Ce N pour e donné pont dépendre encore du choix dax. Si pour s positif quelconque donné, Il existe un seul et même nombre N pour tous les x de (a, 6) tel que pour n >■ N et pour p quelconque entier positif, la condition (39) soit vérifiée, on dit que la série (32) converge Uniformément dans P Intervalle (a, 6). H tant montrer que cotte nonvello définition de la convergence uniforme est équivalente à la définition précédente, c'est-à-dire quo si une série converge uniformément avec la définition précédente, elle converge uniformément avec cotto iionvolle définition, et réciproquement. Supposons d'abord qu'une série converge uniformément avec la définition précédente, c'est-à-dire que I Tn [x) | <, e pour n > /f, où a;est une valeur quelconque de l'intervalle (a, b), Ot où N ne dépend pas dex. Nous avons évidemment: «n+l ix)+«n+2 (x) + l-«n+x> (^) = ¾ (») — r„+p (x) (-10) et, par conséquent, I «n+i (*) +•«»+* (x) + ■.. H-w„+p (x) |< | rn {x) | +1 rn+p (*) |, co qui, pour n > N et, par suite, pour n + p > N, donne : l"n-t-i (»)+"n+2(*)-l |-«n+Jp (*) l< 2s. (41) Etant donné l'arbitraire sur le choix de e, nous voyons qne la série converge uniformément au sens do la nouvelle définition. Supposons à présent que la série converge uniformément au sens do la nouvelle définition, c'est-à-diro que l'inégalité (30) est vérifiée pour » > JV no dépendant pas do x, pour p entier positif quelconquo ot pour a; quolconque sur l'Intervalle (o, 6). La série converge donc, et nous pouvons écrire: r» (x) = K),+t (i)-f «n+2 (x) + ... = lim [k„+1 {x) + an+2 (i)-) +aB+x) (x)\, ou tenant compte de l'inégalité (39), pour p ->- oo, nous obtenons à la limite | r„ {x)\ < 8 ponr n'j> N, c ost-à-diro que de la nouvelle définition de la convergence uniforme, étant donné l'arbitraire du choix de e, résulte la précédente, vX l'équivalence dos deux définitions est démontrée.
rV-3. COMPLEMENTS À LA THÉORIE DES SÉRIES 365 Remarquons que dans la première définition de la convergence uniforme (34), nous utilisons rn {x), et nous supposons par là quo la sérié converge. La seconde définition do la convergence uniforme (39) inclut la mémo propriété de la convergence d'une série. 1V-3-8. Suites uniformément convergentes des (onctions. La suite de fonctions : si{x), S2<s), ..., sn{x), ..., (42) que nous avons étudiée ci-dessus, était définie à J'aide do la série (32) ; sn (x) désignait la somme des n premiers termes de la série. Mais on peut étudier la suite (42) en olle-mÊme, en considérant qu'olle est donnée, et on peut construire à partir d'elle une série dont la somme des n première termes est le niiov> termo de la suito sn (x). Les termes de cotte série sont définis d'après les formules: "l(*) = »i(*)i ^2(^)=^^)-^(^). ■•■! un(x)-=sn{x)—%,_!(!), ... (43) La suite (42) est très souvent beaucoup plus simple que ia suite (43), comme c'était le cas dans les exemples étudies. Nous en arrivons ainsi aux notions do suite convergente et uniformément convergente des fonctions. Si l'on donne la suite de fonctions (42) : siO5). *i(*)i •••, Snfz). •••, définies dans l'Intervalle (a, b), et si, pour chaque valeur de x dans cet intervalle, il existe une limite: s(x) = lim sn(x), (44) on dit que la suite (42) est convergente dans l'intervalle (a, 6), et la fonction s{x) s'appelle fonction limite de la suite (42). Si, de plus, pour un s posilif quelconque donné à l'avance, il existe un nombre N ne dépendant pas de x, tel que l'inégalité I »(*)-«»(*)!< « (45) soit vérifiée pour toutes les valeurs n > N dans tout l'intervalle (a, 6), on dit alors que la suite (42) est uniformément convergente dans l'intervalle (a,4). On peut remplacer la condition (45) par une condition équivalente : l%(«)--%WK« (46) pour m et n >■ N. La condition de convergence uniforme de la suite (42) est équivalente à la condition de convergence uniforme de In série: ^(x)-\-ui(x)+... + un{x) + ..., (47) où (43): tl(x) = s1(x), u2(x)==s2(a;)— sy{x) Un{x)-sn{x) — «„_,(»), ... On peut démontrer l'équivalence dos conditions (45) et (40) on étudi ant la convergence^ uniforme des suites, exactement de la même façon quo plus haut, lorsqu'on a établi l'équivalenco dos conditions (35) et (30) pour les séries infinies. Remarquons encore que, de la convergence uniforme de $, {x) dans l'intervallo (a, b), résulte directement la convergence uniforme dans n'importe quelle partie do (a, 6). La notion do convergence uniforme des suites peut aussi être interprétée géométriquement. Si nous représentons graphiquement les fonctions s {x) et
OU. IV. LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS fn (x) pour différentes valeurs do », pour une suite uniformément convergente* le plus grand Intervalle de l'ordonnéo contenue entre les courbes sn (x) et s (x) Fig. 159 Fig. 180 doit tondre vers zéro, lorsque n-><» pour tous les x de (n, b) ; jour une suite convergeant non uniformément, cotte condition ne sera pas vérifiée. 0.S 1,0 1,5 Fig. 161 Ce cas est représenté sur loa fig- 159 et 160, tracées pour los exemples étudiés plus haut *: % tà =ïT^ ' "n (*'=in Dans le cas do la Kg. 160, la fonction limite s [x) est représentée grap h i- quomont par lo segment (0,1) do l'axoCJf.à l'exception du point 1, et par le point isolé de coordonnées (1,1). II est vrai que dans le dernier exemple, la fonction limite * (x) n'est pas discontinue. Mais il est faollo de donner un exemple de suite convorgente, dont la fonction limitoestcontimio mais qui copondant converge non uniformément. I.o suite (fig. 161), par exemple, a cette propriété: s„ (x) -. 'l + n2*2 (0<*<o). (48) * Pour plus do netteté, ïes fig. 159 et KSO sont construites avec des échelles différentes pour x et y.
IV-.1. COMPLÉMENTS À LA THEORIE DBS SERIES 367" Nous avons, de toute évidence, pour x sjfc 0 : 1 + ** ni n* ^ 1 1 et pourra -*- oo, le premier lacteur de dt'oite-—*■ 0, et le second tend vers— , c'est-à-dire quo sn (x) -»• 0 pour x :#0. Pour .-5=0 il est êvidont quo sn (0) — O' pour tout re, et, par suite, pour tous les x de (0, a), où a- est un nombre positif:. s(*)= lim sn(x) = 0. Copondantla différence maxlmaloontre les ordonnées des courbes s„ (x)oi« (x)< qui, danslecas6tud£é,seréduitàrordonnéedelacourbesn (m), puisque s (x)~ 0, sera -=-1 et correspondra à la valeur x= — J . Puisqu'elle ne tond pas vers zéro- pour n -> oo, la suito (48) no sera pas uniformément convergente dans l'tntcrvallo- (0, a) ; en effet, si nous voulons avoir: en résolvant par rapport à n l'inégalité du second degré: 0<i—~ n+as*»8 et en considérant que e est suffisamment petit, nous obtiendrons: ^^[l + VÏ1^!"-^)- Cotte fonction croît indéfiniment pour x -»- 0, ce qui Conditionne la fait, que la suito ne convorgo pas uniformément. Remarquons enfin quo. les fig. 160 et 161 montrent que la suito x71 converge uniformément dans l'Intervalle (0, g) où ij est un nombre positif quelconque, Inférieur à l'unité, et que la suite t 5-5 convorgo uniformément dans l'intervalle- (q, a) où 0 <Z g <Z a, ce qu'il est facile do montrer par un calcul direct. IV-3-9. Propriétés des suites uniformément convergentes. 1. La jonction limite d'une suite de jonctions continues convergeant uniformément dans Vintervalle {a, b) est également continue. Soit: s, {x), .¾ (x), ,.., *„(*), ... une suite de fonctions continues dans l'Intervalle (a, b), et soit: s(i)= lim sn {x) îl-+a> sa foncliou limito. Il nous faut démontrer que, quel quo soit e positif, aussi petit que l'on veut, donné à l'avance, on peut trouver un nombre 6 toi quo l'on ait Ii-a-11}: ]s(*f h) — s[x)\<t., si |M<Ô, (4ft
3G8 CH. Iv. LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES à condition que les nombres x et x -f- h soient situés dans l'intervalle (a, b). Nous pouvons écrire pour n quelconque : ■\s(x {-11)-3(2)1 = = | [s (œ+*)-«■„ (*4 A)i + [sn {x+h)-sn (*)]-H% {*)—si»J | < <]s(i+fe)-s„ (z+A) | + |s (*)-»„ («) |+| sn(x+h)-sn(x) |. D'après la définition de la convergence uniforme, nous pouvons choisir « assez grand pour que Von ait, dans tout l'intervalle (a, À), et en particulier pout lus valeurs x et * -j- ft : \*(x+h)-Sn(s+K>\<±, \s(x)-Sn(z)]<j. Ayant ainsi choisi n, étant donna la continuité de la fonction s„ {x) jr-2-11), nous pouvons trouver un nombre 6 tel que l'on ail : K(*--"-*)-M*)l<|-, si |A|<ô. 32n comparant toutes ces inégalités, on obtient l'inégalité (49). kSi une suite de fonctions converge non uniformément, la fonction limite peut ne pas être continue; la suite s" Sans l'intervalle (0,1) peut servir d'exum- pk\ On ne peut cependant affirmer le contraire, et, pour une suite convergeant non uniformément, la fonction limite peut être continue, par exemplo, pour la -suito : 1-|-««*«.■ ■1. Si »lW. Mz), ■■■ %(z), ••■ «si une suite de fonctions continues dans l'tntervalle {a, b), convergeant uniformément, et (a, p) un intervalle quelconque inclus dans (a, b) : ou bien : ?P % (x) dx -> Ç P s (x) dx (50) lim \ s„ {x) (?œ= \ lim sK [x) dx. (51) 5/ fes limites d'Intégration sont variables, par exemple jî=s, la suite de fondions ; ?*%(*)<" («=1,2,3,...) (52) ôa converge également uniformément dans l'intervalle (a, !>)■ Ce procédé s'appelle passage à lu limite sous le signe somme. Remarquons, avant tout, que d'après la propriété i) la fonction limite •s U'i est. également continue. Etudions maintenant la différence : f * s (x) dx- ^*s„ (?) <fc- ^ (S (*)-»„ <*)] <fc.
IV-3. COMPLEMENTS À LA THÉORIE DES SÉRIES 309 En se donnant 6, nous pouvons, vu les propriétés do la convergence uniforme, trouver un nombro If tel que pour toutes les valeurs de n > N, dans tout l'Intervalle (a, b), nous ayons: I s (*) — sn {x) 1 < e, c'est pourquoi [JH-2-2], (10j) : I ?S [s (*)-»„(!)] dx I < ^ | s (¢)-½ (x) | dz< ?" s<?*=,g (P—oc) <8 (<>-a). Ainsi, nous avons, pour tout intervalle (a, p) compris dans (a, o) ; I PS PB I \ s{x)dx—\ sn(x)âx <e{6—o) pour n> N. Le deuxième membre de l'inégalité ne dépond pas de a ot 0 et tond vere zéro, si e -*• 0. Etant donné lo choix arbitraire de e, nous pouvons cjnoncer Fig. 162 le résultat de la façon suivante: pour e4 quelconque positif donné, il existe un N ne dépendant pas de a et fj, tel que : Se pp I s(*)dx—\ sn{x)dx <e| <x dct | pour n >'W, De là résulte directement la formule (50). En supposaut que f) = x et en considérant que N ne dépend pas de (5, nous verrons que la suite (52) con- vorg* uniformément pour tout x do (a, b). Pour des suites convergeant non uniformément, ce théorème peut ne pas être vrai. Soit par exemple; Sn <S) = BM-'*X3 (0<!T<1) (fig. 162). Il est facile de démontrer, en traitant séparément les cas où x > 0 ot x — 0, que pour tout x de l'intervalle (0, l) : %(*)—*0 pour n—»-oo, 24-28(
370 CH IV. LES SÉRIES, APPLICATIONS AUX CALCDLS APPHOCHËS de sorts qu'ici s {x) •=• 0. Cette suite no peut cependant pas être uniformément convergente, puisque l'ordonnés la plus grande do la courbe y «- % (x) ou, ce qui revient au mômo, la valeur la plus grande de la différence sn {x) — — i (x), que l'on obtient pour x -= . .^ , cr«îl indéfiniment pour n -+ ao. y'Jin D'autre part, nous avons: $;„W*-B$;,.—dï=-|^|;=|.(i_e-n)^i, alors que : Ç s(ï)d* = 0. 3. Si les jonctions de la mite '. ont des dérivées continues '. dans l'intervalle {a, b), et que la suite Sn (x) converge unijormément vers une fonction limite a(x), tandis que la suite sn (x) converge vers ans jonction limite s(x), alors % (x) aussi converge unijormément et ou bien d lim s,t (s) Co procédé s'appelle passage à la limite sous le signe de dérivation. Soit ce une constante quelconque, x une valeur variable dans l'intervalle (a, b). D'après la propriété 2), nous avons: 1 Mais: im \ $'n {x) âx= \ a (x) dx* i: »ô (1) <**=sn (*)—*» (a) ~* s (*)—* (O)t et c'est pourquoi, la formule précédente donne ; s(*)—s(ct) = \ o{x)dx. En différenllant cette égalité et en utilisant les propriétés connues de l'intégrale (propriété VU) [IIJ-2-2J, nous avons: ce qu'il fallait démontrer. Tl reste à démontrer la convergence uniforme do la suite % (x). Nous avons:
IY-3. COMi'LËMBNTS À LA THEORIE uf'.S SERIES 371 La snile sn (a) converge et ne contient pas x. La suite V «â (x) dx converge uniformément d'après la propriété 2). Do là résulte ta convergence uniforme de s„ (s), puisqu'il résulte directement do la définition du la convergence uniforme que la somme de doux suiles uniformément convergentes est aussi une suile uniformément convergente. 00 plus, toute suite convergente dont les tonnes jie contiennent pas x, comme par oxomple sn (a), répond à la définition d'une suite uniformément eonvorgcnle. Remarquons encore que nous avons démontré que sn {x) dans tout l'intervalle (a. b) converge uniformément en utilisant seulement la convergence uniforme de s'„ (x) et la convergence de s„ (et), ot par suite, lorsqu'on énonce la dernière propriété, il suffit d'exiger la convergence de % (x) au point x -=» et. Il en résulte, comme nous l'avons <Sôjà dit, la convergence uniforme de s„ (x) dans tout l'intervalle (a, b). 1V-S-10. Propriétés des Béries uniformément convergentes. Si, dans les raisonnements précédents, nous considérons % {x) comme la somme de n premiers termes d'nne série donnée: «i {x)-f k2 (z)-f ..,-f ure(*)-| , et s (x) lu somme de la série tout entière, nous obtiendrons des propriétés analogues pour lus séries à termes variables, i. Si les termes de la série «i (x) f w» (*)+•■ ■ -Mn (*)■+ ■,. <S5) sont des fonctions continues dans l'Intervalle («» 6) et la sérié converge uniformément, alors sa somme s {x) est une fonction continue dans l'intervalle {a, b). 2. Si les termes de la série (55) sont des jonctions continues dans l'inlerial- le (a. 6) et la série converge uniformément, on peut Vintégrer terme à terme entre les homes que l'on veut et, p situées dans l'intervalle (a, b), c'est-à-dire oa eâ la S "» (*> dx ~ S II "» <*> iz- ,5B) Si les bornes d'intégration sont variables, par exemple P — i, la série obtenue en intégrant chaque terme X ul{x)âx-\ f* i<a(«)*ï«4--.-H-^*«n(*)A:+---i (57) a Jet Ja converge unifonnément elle aussi dans Vtntervalle {a, 6). 3. Si la série (55) converge dans Vintervalle (a, 6) ei ses termes ont des dérivées continues u[ {x), * . . , u'n (*)j - . ., dans Vlntervalle (û, b)t alors que la série fermée des dérivées "i (*)+*«(*)+-■ ■+«;(*)+-", converge uniformément dans Vlntervatle (a, 6), alors la série donnée converge uniformément elle aussi et en peut la dériver terme à terme, c'est-à-dire 24*
372 CH. IV. LES SEMES. APPLICATIONS AUX CALCULS APPR0WIIÏ8 Lorsqu'on a obtenu ces propositions à partir des théorèmes (IV-3-8I, il faut considérer que Us propriétés indiquées dans les propositions sont valables, comme nous Jo savons déjà, dans le cas d'un nombre fini de termes. Ainsi, par exemple, si les termes de la série u^ (x) sont des fonctions continues, les jonctions: *»(*) = «1 (*) -î "2 W -!-•■■ + "n (*) sont ausst continues quel que soit n (I-2-J0J. IV-3-1 i. Critères de convergence uniforme. Enonçons uuolquos eond itions suffisantes de convergence uniforme. La série de fondions définies dans ïintervalle (a, b) : «j(*)+«2(*H-■■-+«/.(*H ••■> converge uniformément dans r intervalle (a, b), si tune ries conditions suironles est vérifiée: (À) On peut trouver une suite de constantes pos/tiiv* Mt, M2, . .., Mny ... telles que. I «n ix) K Mi dans l'tnterl-nlln (a, b) (59) el que la vérle Mi + M2+.,.-\-Mn-\-.. (60) converge (c r i t è r e de Weierstrass). (B) Les fonctions un (*) peuvent Ure mises ions In forme : «»(*) = «n"»(*)i (PI) oà ai, sa, ... «n, ■•• sont des constantes tclU^s que In eZrle a1+a2+...4-an+... («2) converge; et Us fonctions »i(x), ..., vn(z), ... étant toutes non négatives, restent inférieures à un nombre AI constant positif el pour toute valeur de r dans l'intervalle {a, b) ; i?l {x) > ï>a (i) > ... > vn (x) > ..., 0 < vn (x) < M (68) (critère d'Aboi). Démonstrntîon (A). Puisque lu -Orif (00) coitvorgc, on peut, pour un e donnû, trouver »m nombre N tel que pour tout n > A' i;l. pour lous les p. nous ayons IlV-f-8] : Mn+ihMn+2-\---- 'r^nt-p<-^-- d'après les inégalités (59) et l»»tiM H |-«n+J)(*)l<itffn.i I- ■■• tMh-/,0\ d'où [IV-3-7J il découle que la série (55) converge iinlfontif-meiit. Démonstration (J3). Supposons ([iio: 0p = «n+iT«B-«-| +«b+7> (P = l, 2, - • •), d'où «n+j^ai ei an+ft=.a,';— a^„, (h > i).
IV-3. COMPLEMENTS A LA THEORIE DES SERIES 373 Evaluons l'expression: "n+l (*) + Kn+2 (1) -|- h«n+p (*) = = «n+l"n+j (1) + "!x+2"b+2 (z) + h »B+p»n+j> (z). En remplaçant ici les n„+s par leurs expressions a'k et en réunissant les termes ayant dos 0¾ identiques, nous obtiendrons: ffB+iî're+i M + «n+2ure+Z (*) + h un+p»n+p («) = =0>»+i («J + Cs—oi) fn+2 (*) + h(°~p-°~p_i) "n+p (*) = = «î K+l (*) — "«+2 (*)!+■■■ H-°~p_| ["rc+p-l (*) —»»+)> (2)] + V»+* (*>■ En considérant quo on+p {x) et toutes les différences ifo-f-ft-s (x) — vn+!t (x) sont non négatives par hypothèse, nous pouvons écrire: l»IH4<*H +Bn+Jl(*)l< < I °1 I f»n+l (1) — "n+a (*)1 -I- ■ ■ ■ f I "p-i | I^n+jJ-i (») — «»+p (s)] + | 0p I "n+p (*), ou, en désignant par o* la plus grande des valeurs absolues I <*î |, | oj |, . . , .... |o>l «ra-H (*)-)-••■ +«n+p (*) | < <<f' M%+i (*)—"u+aWl'l-- ■ • + ["b+p-i (a) —un+p(«)] + "n+j) (œ)} nous obtenons en simplifiait : l «n+i (*)+••> +»n+p («) I <o'»n+i (*}. (64) De la définition de 0¾ compte tenu do la convergence de la série (02) il résulte que pour tout s positif donné, il existe nn N tel que pour n > JV et pour tout k, nous avons: |0fc|<:"F'etdone a'<'W- Un considérant encore que, par hypothèse, 0 < vn+p (x) < M, nous obtenons d'après (G4) ; I "n+tte) H l-"n+jp (*) 1< e pour n > JV et p quelconque). Puisque N ne dépond pas de *, il en résulte que la série (55) converge uniformément dans l'Intervalle (a, b). Exemples. 1. Les séries n=i n=J convergent uniformément dans tout l'intorvalle puisque pour tout », noU3 avons, I cos nx 1 1 I sin nx I 1 | nP | ** n» ' | n» | ^ n* ' -5 est convergente pour p > 1 J1V-1-5J (critèro de Welerstrass), ce 2. Si la série 2 an converge, la série 11=1 S * <66< »1=1
374 CH. IV. LE8 SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES converge uniformément dans l'intervalle {0 j£ x </) pour tout l puisque, eu supposant ici que: nous satisfaisons à toutes les conditions du critère d'Aboi. IV-3-12. Séries untières. Hayon de convergence. Les séries entières sont tin exemple très important d'application de la théorie des séries à termi» varialites, exposée ci-dessus; 11 s'agit des séries de la forme; «0+01*+«!**+ ... +anx*+ ... , (67) 3ue nous avons déjà rencontrées dans l'élude de la formule de Maclaurin. L'étu- e détaillée des propriétés de ces séries concerne lu théorie des fonctions d'une variable complexe, c'est pourquoi nous no démontrerons ici que les propriétés fondamentales. Premier théorème d'A bel. Si la série entière (67J converge pour la valeur x —• g, elle est absolument convergente pour toutes les valeurs de x pour lesquelles UKIsl- f68) Réciproquement, rf elle diverge pour x =• |, elle diverge pour toutes les valeurs de x pour lesquelles l*|>IS| = r. (69) Soit la série ; «o + ail+ogiH--.- + 0^+-.. . qui converge; sachant que le terme général d'une série convergente tend vers zéro, c'est-à-dire que Ong" —* 0 pour n —> co, on peut trouver une constante M telle que pour toutes les valeurs de n, nous ayons : Donnons maintenant à x une valeur quelconque vérifiant lu condition (68) et supposons que : ,-|f|<i. Nous avons de toute évidence : I °n*H I -| a*!" p- I «nr 11 j |" « Mqn. c'est-à-dire que le terme général do la série (67), pour la valeur de x considérée, ne dépasse pas en valeur absolue la tétine général d'une progression géométrique décroissant indéfiniment, c'est pourquoi la série (67) est absolument conyergon- te [IV-1-71. La seconde partie du théorème est évidente, car, si la série (67) convergeait pour une valour de x vérifiant la condition (69), ello devrait, d'après ce qui vient d'être démontré, converger pour tout \ pour lequel | g J < | x [, ce qui est contraire aux hypothèses,
IV-3. COMPLEMENTS A LA THEORIE DES SERIES 375 Conséquence. Il existe un nombre R entièrement défini, que Von appelle rayon de convergence de la série (67) et qui possède les propriétés suivantes : la série (67) est absolument convergente pour | x|< R, la série (07) diverge pour | x | > R. En particulier, on peut avoir R = 0, alors la série (67) diverge pour toutes les valeurs de x différentes de zéro, ou bien R = oo, et alors la série (67) convorgo pour toutes lus valeurs de x. Laissant de côté Jo preiaior cas, nous étudierons une valeur positivu do x => g telle que la série (67) converge. Cotte valeur existe certainement s'il existe des valeurs x =£ 0 pour lesquelles la série (G7) converge. Si l'on donne un accroissement au nombre g, deux cas seuloment peuvent se présenter: ou bien la série (67) restera toujours convergente pour i = g, même lorsque g croît indéfiniment; nous avons alors, de toute évidence, R — oo; ou bien il y aura un nombre constant A toi (rao pour toutes les valours de g <; A, In série (f!7) converge, mais pour g> A, la série devient divergente. L'existence do ce nombre A est tout a fait évidente, puisque d'après le premier théorème d'Abel, si la série devient divergente pour une valeur quelconque de g, elle divergera pour toutes les valoure supérieures. On peut démontrer Oo façon rigoureuse l'oxistenco du nombre A en utilisant la théorie des nombres irrationnels. Il est évident que ce nombre A sera le rayon de convergence R de la série (67). Démontrons l'existence de R. Divisons les nombres réels en deux classes de la façon suivunlo: motions dans la première classe tous lus nombres négatifs, zéro et les nombres positifs g tels que la série (67) converge pour |i |™ g, et dans la deuxième classe tous les autres nombres réels. D'après le théorème ■mi « élu démontré, tout nombre de la première classe est inférieur à tout nombre do la seconde classe, c'est-à-dire que nous avons effectué une coupure dans le domaine des nombres réels, c'est pourquoi il y a ou bien dans la première r1 lasso un nombre le plus grand, ou bien dans la seconde un nombre le plus petit 11-2-18], Il n'est pas diflicllo de voir que c'est ce nombre qui sera le rayon de convergence R du la série. Si tous les nombres entrent dans la première classe, il faut considérer que R = oo. IV-3-13. Deuxième théorème d'Abel. Si R est le rayon de convergence de lu série (67}, la série converge non seulement absolument, mais aussi uniformément dans n'importe quel intervalle («., b) situé entièrement à l'intérieur d'un inter' mile (—R, +.H), c'est-à-dire pour lequel — i?<a<fe<.H. SI la série converge également pour x = R ou x = — R, elle sera également uniformément convergente dans un intervalle (a, R) ou (—R, b). Remarquons avant tout que nous pouvons, sans restreindre la généralité, considérer que R — 1, en introduisant à la place do x une nouvelle variable indépendante t définie par la formule x=Rt, après quoi la sério (b'7) devient une série entière par rapport à (, et l'intervalle (—i?, -fi?) devient (—1, i). Si R =• 1, la série (67), d'après la définition du rayon de convergence, sera absolument convergente pour toute valeur x = g, pour laquelle / g | < 1. Etudions maintenant an intervalle quelconque (a, b) situé a l'intérieur de (— R, -j. R), de sorto que -!<0<i<l.
37(5 CH. IV. LBS SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHÉS Prenons pour S ud nombre quelconque situé a l'intérieur de (-1, 1), mais supéS en vaW absolue l | • | et | b |. Pour tout x do l'intervalle «., 6), nous avons1. laax*[<\inç.nU et puisque la sdrio cuuvurgo absolument ot que ses tormes no aSponÇjmt uns do ?' J*,^1^(¾. a'aprù? le critôri) do Woioratratra, coiwergu unUoiinuinont dans 1 inWJrvoue A'dmottonit mnsnlonant qua la s^rïo (67) converge aussi pour x «=■ 1, c'eat-à- tUro quu lu série <Hi+o1-|-ai!+... + fln+ ... converge. En supposant que i*(z) = *\ noua pouvons appliquer à la série (67) le critère d'Abel, qui démontrera que cette série converge uniformément dans tout l'intervalle (a, 1), où a est un nombre quelconque supérîour à —1. Le cas, où la série (67) converge pour x = — i, revient au cas précédent, si l'on remplace a par (— x). .Noua noterons la somme de la série (67) par / (x). Elle n'existe, bien entendu, que pour les valeursde x pour lesquelles in série converge. Soit R le rayon do convergence de ia série. En tenant compte de la convergence uniforme de la série dans tout l'intervalle (a, 6) pour lequel —M<a<b<X, (70) et do la propriété i) de [1V-3-10), on peut affirmer que la somme de la série f (x) est uns fonction continue dans chacun des intervalles (a, h) indiqués. On dit encore quo / (x) est continue dans Vintercalle (—H, +H). Nous verrons plus loin que cette fonction possède autant do dérivées que l'on veut à l'intérieur do l'Intervalle (—R, -\-R). Si la sério (67) converge aussi pour as = R, puisqu'elle convorge uniformément dans tout l'intorvalie (a, R), ou a>—R, f (x) sera une fonction continue dans cet intervalle, et, en particulier, / {/?) sera la limite do / (¢) lorsque x tond vers li à gaucho [1-2-11]: /(*)= Ira /(«). (71) x-tR—O De môme pour la convergence de la série pour x —■ — R. Nous avons vu ci-dessus que io développement du biufimo de Newton [IV-a-fi]. (1+^,1+.^.,+ ^-^ , ... possède un rayon do convergence R = 1, et duns certains cas il convorge pour jc = ± I. D'après ce qiil vient d'être démontré, on peut affirmer que si, par exemple, la série converge pour x = 1, sa somme est aiors égale à: lira (l-j-s)"'^'". IV-3-14. DfNérenllaUûn et] intégration d'une série entière. Soit R lu rayon de convergence de la série a„ ■■r-ajs+fljœï |-... ï-e„z'H-. -. (72)
IV-3. COMPLEMENTS À fcA THBORIB DBS SfiBIES 377 Bn l'intégrant termo à tonne de 0 à x oten la différontfani, nousobtiendrons- deux autres séries entières: ^+^^-+^^+- <»> al + Zais+Za^-\-...-i.nanxn-i ■{-.., (74) Démontrons qu'elles ont le mémo rayon de convergence /?. Pour citla, il faut démontrer qu'elles convergent si | x | < H, ot divergent si | x | > R. D'après ce qui a été démontré, la série (72) coiiverge uniformément dans tout l'intervaUo (—R„ +Rt), ou 0 <c Rt <-fl, ot d'après la propriété 2) dtt jlV-3-10], ou peut l'intégrer terme à termo dans cot intervalle de 0 a *. c'est-à- dire qu'on peut affirmer quo la série (73) converge pour tout x pour lequel | x | < < H et qu alors la somme de la sério (73) est égala à : $*/(*)**, où / (x) est la somme de lu série (72). Montrons maintenant que ia série (74) converge également si | x \ < il. Prenons le même x, choisissons un nombre 9 situé entra \x | ot R, c'est-à-dire qno l*Ks<4 (75) et .supposons que s Nous obtenons pour les termes de la série (74) l'évaluation l«anS"-i| = Uanê»-f^r4l' I € b I et d'après ce qni précède : \narf>*-l]<Znq*-l y|a»S»|. En appliquant» la série 2 k?""1 1« critère do d'Alembcrt, il est facile do démontrer qu'elle converge pour 0 < j <; 1, et par conséquent |iV-l-2|: nqn~l—>Ç> pour n—><x>, (76). c'est pourquoi, pour tontes les valours suffisamment grandes de n : |»o»*n-M<l«»ïBl- Mais d'après (73), la sério 5¾ 5" converge absolument, c'est pourquoi la série (74) converge ahsolumont die aussi pour la valeur do * que l'on a choisie. Ainsi les donx séries (73) et (74) convergent si | x ) < H, c'est-à-dire quo lorsqu'on intègre terme à tonne et que l'on différent!» une série entière, son rayon do convergence ne pent diminuer. Mais il en résulte directement qu'il ne peut pas non plus augmenter. En uEfet, si par exemplo le rayon do convergence dola série (73) était R', et R' > R, on differontianl i« série (73), nous obtiendrions la série (72), et son rayon do conveigenco ne serait pas inférieur a R', mais, par hypothèse, il est égal à /?, et alors R < R'. Ainsi les séries (73) ot (74) ont la même rayon de convergence que la série (72). En différt-'iiliant ta série (74) encore une fois, nous obtiendrons, d'après ce qui a été démontré, la. série entière ; 2aa-/-3.2fl3* f4-3o4a:8-f ... -h" (»—1) an3""ï |
378 GH. IV, LES SERIES, APPLICATIONS AUX CALCULS APPROCHES avec le mémo rayon de convergence It, etc. Nous aurons le même résultat en intégrant encore une fois terme à ternie 1h série (73) do 0 à x. Toutes lus séries obtenues par différentiation et intégration terme à lorme de 0 à x convergent uniformément dans tout l'intervalle (a, b), pour lequel l'inégalité (70) est vérifiai!. Ayant on mémoire les propriétés 2) ot 3) de [1V-3-101, nous pouvons finalement énoncer le résultat suivant: La somme de la série entière a0~\-uiX + a^+... ■|-<tBa»+ .... (77) ■dont le rayon de convergence est égal à R, est une fonction continue à l'intérieur de Vintermlle (—R, -j-R), c'esl-à-dire pour — R < x < 4. R, possédant à l'Intérieur de cet intervalle des dérivie-i de tous ordres. Ces dérivées peuvent être obtenues par différentialion terme à terme de lu série (77). On peut également procéder à l'intégration successive terme a terme de 0 à x pour — /î < x < 4- R par intégration terme à terme de la série (77). La diffêren- ttation et l'intégration terme à terme d'une série entière ne changent pas son rayon de convergence. Notons que l'intervalle (—R, -\-h) peut aussi aire un intervalle ouvert (— oo, 4- oo), autrement dit, tout ce que nous venons d'énoncer est valable pour le cas ou le rayon de convergence de la série (77) est égal à ». En supposant que: / (x) = aa-\- ayx f Ojj;2 4-..,-7- anxn [■■..., (78) /' (x) = oj-f Za^x ■] + nanxn~l+ ..., /»(ar)=2a2 |-6a3*4-.. . + n (n-1) «„**-»+ .. •. -nous obtenons : /<«> (a.) = n [ an + tn + i) „ ... 3.2an+Iï |-..., d'où il résulte que pour ¢=0 ; .../m. ai=m, fl2=4f «.-^p.- En mettant ces expressions pour a0, "u "a. • • •. <r„ dans (78), nous obtiendrons; l(x^f{0)+^r^ÇM+...+^l&+...{-R<x<+R), c'est-à-dire quu la série entière coïncide avec le développement de sa propre somme suivant la formule de Maelaurin. La théorie exposée des séries entières s'étend sans peine aux .séries entières do la forme: ao+fli (x—a) -(-¾ (ï-n)a •)-...+"« (*—B)n + ■ • - <79J Partout la différence (x — a) jouera le rôlo do x. Le rayon de convergence R de la série (79) s'obtient en imposant que la série converge pour | x — a \< R et diverge pour | x — a \ > /î, Si l'on note par / (x) la somme de la sério (79) dans l'intervalle -R<x—a<R, (80) on obtient pour les coefficients an l'expression: 0(, = /(0), <H = -pj-, ..., an=
IV-3. COMPLEMENTS À LA THEORIE DES SERIES 379 c'est-à-dire que la série (79) coïncide dam l'intervalle (80) avec, le développement de sa somme en série de Taylor. Nous reviendrons à la théorie dos séries entières dans Ee troisième tome lors de l'exposé de la théorie des fonctions d'une variable complexe. Comme exemple, il est proposé de déduira de la théorie des séries entières les développements des fonctions In (i-\-x), arc (g x, arc sin x, un notant que: w-i:&< dx arc tg x = )ol + ss' ?x dx arcsiD.x=\ . , cl d'étudier le champ d'application des développements obtenus.
Chapitre V FONCTIONS DE PLUSIEURS VABIAJ3LES V-l. Dérivées et différentielles <le fonctions V-J-i. Notions fondamentales. Dans le paragraphe [11-41 consacré aux fonctions de deux variables, nous avons commencé l'exposé des notions fondamentales concernant ces fonctions. Maintenant nous allons nous occuper des fonctions de plusieurs variables et plus particulièrement de la notion de limite. Nous considérons qu'une fonction / (x, y) est définie dans tout le plan ou dans un certain domaine. De telle sorte qu'à chaque point (x, y) de ce domaine correspond une valeur définie / (x, y). Si on n'examine que les points situés à l'intérieur du domaine, ou dira qu'il est ouvert. Si l'on tient compte également des frontières, on dira que le domaine est fermé. De façoji analogue, si on introduit dans l'espace un système do coordonnées roctiligne et orthogonal OX, OY, OZ, on pourra parler du point M de l'espace de coordonnées («, y, z) au lieu des trois nombres (x, y, z). Admettons que la fonction. / {x, y, z) esi définie dans tout l'espace ou dans un domaine de l'espace qui peut être ouvert ou fermé. Dans les cas les plus simples les limites du domaine (il peut y en avoir plusieurs) seront des surfaces. Ainsi par exemple les inégalités définissent un parallélépipède rectangle fermé dont les arête» sont parallèles aux axes de coordonnées. Les inégalités: a,<*<:aa, W<.y<.bv Ci<z<c2 définissent un parallélépipède ouvert. L'inégalité: (*-«)H të-6)2 + (z-c)*<ra définit une sphère fermée de centrera, b, c) et de rayon r. Si on supprime le signe égal et qu'on ne laisse que le signe «C. on obtient une sphère ouverte. La notion de limite et do continuité, pour une fonction de trois variables, est définie exactement de la même façon que colle utilisée 111-4-11 pour une fonction do deux variables
V-l. DERIVEES ET DlïI'BWKNTJlîLLES Du* FONCTIONS 3gf Pour les fonctions f (xt, .ra, . . ., xn) de plusieurs variables, si. n > 3, on perd l'aspect géométrique de l'espace, cependant même dans ce cas, on conserve souvent la terminologie géométrique. La suite des n nombres entiers (xit x-À, . , ., xn) s'appelle un point. L'ensemble de tous ces points forme un espace à n dimensions. Les domaines d'un loi espaco sont définis par des inégalités. Ainsi, par exemple, les inégalités c1<œ1<cZ,, c3<a;a<rf!., ..., c„ <#„<<2„, définissent un parallélépipède à n dimensions, L'inégalité définit une sphère à n dimensions. On appelle voisinage du. point (</,, «2, . . ., a^} l'ensemble des points définis par l'inégalité ci-dessus pour une valeur donnée de r ou par les inégalités | xh — a h |< <! p (k — 1, 2, . . ., n), où p est un certain nombre positif. Si la fonction /(¾. xz, . . ., xn) est définie au voisinage du point («i, «a, . . ., a„), on dit que / (xt, xz, . . ., xn) tend vers une limite A lorsque le point M fa, xz, . . ., x„) tend vers le point Ma (at, «2, . , ., an) et on note lim /(¾ x2, ..., xn) = A, ou encore lim f(xt,xz, .,,, x„) = A, si pour tout nombre positif donné e il existe un nombre positif t| sel que^ | A — / fa, xz, . . ., xn) \ < e, si | ak — xh | < t) pour k = 1, 2, . . ., n, et on considère que le point M fa, xz, . . ., zn) ne coïncide pas avec le point Af„ (ai, a%, . . ., an). Si / fa, a;», . . . . . ., a:J est définie au point M0 (alt a2, ■ ■ ., a„), la conlitmité en ce point est définie par l'égalité [cf. 11-4-1): limf(x!!xz *») = /(«!, a» a„). *k->"k Les propriétés des fonctions continues dans un domaine fermé qui ont été indiquées tII-4-1] restent valables. Gomme dans le cas des fonctions d'une variable [1-2-101, les affirmations sur la continuité de la somme du produit ot du quotient des fonctions continues restent valables. En ce qui concerne le quotient, elles restent valables lorsque le dénominateur n'est pas nul au point (th, az, . . ., a^). V'l-2. Le passage à la limite. Arrêtons-nous plus longuement h la notion de limite en sd bornant au cas d'uno fonction de deux variables. S'il existe un« Limite : l\mf(x, </)*=A, (1) *—a
882 «J. V. PONCTIONS DE PLUSIEURS VAHIADLBS nous dirons (ju'il existe une limite par rapport aux deux variables. Nous savons que cela signifie JII-4-1] que/ (x, y) tend vers la limite A, quelle que soit la façon dont lo point M (x, y) tend vers M„ (a, b). En particulier: lim /(«, fc)=j4 et liui /(«,») = A. Ci) Dans lo premier cas M (x, y) tend vers M<, (a, i) suivant une droite parallèle à l'axe OX, et dans le second cas suivant une droite parallèle à l'axe OY. Notons que l'existence dos limites (2) et do leur égalité n'entraînent pas obligatoirement l'existence de la limite (1). A titre d'exemple examinons la fonction et posons a —0 et b^*Q. Nous avons: lim /(*, 0) = lim-^prs- = liraO = 0 et lim/(0. y> = 0, tandis que ia limite (i) n'existe pas dans ce cas. Eu effet, posant-— ■= tgee, nous pouvons écrire notre fonction sous la forme: ><»■ ^=-^TF=TT^"=,3ina00Sœ- (3) Si le point M (x, y) tend vers le point M (0, 0) suivant une droite passant par l'origino et faisant rai angle a0 avec l'axe OX, la fonction l (x, y) exprimée par la formule (3) reste constante et sa valeur dépend du choix de a„, d'où i) résulte que la limite (1) n'existe pas dans le cas considéré. Notons que la formule (3) no définit pas la fonction au point même M (0, 0). En plus du passage à la limite (i) on peut encore examiner des limites multiples correspondant au passage à la limite d'abord par rapport à x, y restant constant et différent de 6, puis en faisant varier y, soit inversement: lim [lim/(x, y)] ou lim [lim /(s, y)]. (4) x-*a y->b y^b x-*a Il peut arriver que les deux limites multiples existent mais sont différentes. Ainsi, par exemple, pour la fonction on vérifiera facilement que: lim (lim f (x, Ji)l = 1, tirn [lim f (x, y)] = —1. Mais on a le théorème -, Théorème. Si on a une limite par rapport aux deux variables (1) et si pour tout x, suffisamment proche, mais différent de a, on a lit limite : lim f{x, y) = ç(*), (5) on a une limite multiple (4) égale à A, e'est-à-dire : lim <p (£) = .4. (6)
V-l. DBBrVBES ET DIIfKËHENTlELLES DB FONCTIONS 383 Il résulte do l'existence do la limite (1) f11—4-11 que pour tout » positif donné il existo i] positif tel que \A~f(x, U)\<z lorsque \x—a\<r\ ot \y—b\<r\, (7) de plus, (x, y) est différent de (a, b). Donnons-nous x différent do a toi que l'on ait | x — a | <-n. Bu tenant complu de (S) et on passant dans l'inégalité' (7) à la limite par rapport à y, nous obtenons: \A—ç (ar)K« lorsque | a;—o ] < T] et x^fea, d'où, étant donna l'arbitraire sur e, un obtient l'égalité (6). H e m a r q u e. De la même façon, si nous supposons qu'il existe Ja iimilo (1) ot quu pour tout y suffisamment proche do b el différent do b, il existe une limite: lim/(ar, p) = i|>(ff), alors il existe une deuxième limite multiple (4) égale à A, c'est-à-dire: liimj>(y)=.d. Si la limite (I) existe et si elie est égale à / (a, b), c'ost-n-diro si A <= f (a, b), la fonction / (x, y) est continue au point (o, b), ou, comme un dit. elle est continue par rapport aux deux variables au point (a, b). Et d'après (2) : limi(x, 6) = /(o, b), lim/(fl, ff) = /(a, 6), x-+a y~>b c'est-à-dire que la fonction est continue par rapport à chaque variable prise isolément au point (o, 6) comme nous l'avons déjamontré [11-4-ij. Par contre, la continuité par rapport à chacune des variables n'ontraîno pas la continuité par rapport aux deux variables. En effet, définissons la fonction par la formule (3) on dehors de l'origino des coordonnées et posons que /(0,0)=0. Comme nous l'avons déjà dit, nous avons lien /(y, 0)=0 ot lim /(0, y)=0, ar-j-0 y-*0 c'est-à-dire que la fonction est continue par rapport à chacune des variables au point (0, 0). Mais elle n'est pas continue par rapport aux deux variables, car, comme nous l'avons déjà vu, il n'existe pas de limite définie do / (œ, y) lorsque M (x, y) tend vers .W0 (0, 0). Si / (x, y) a dans un certain domaine contonont le point (x, y) des dérivées partielles, on a comme on l'a déjà montré [11-4-2] 1(x+&.x, H-Atf)-/(*. y) = /;(* + 8Aa!, y + &v)Lx+fv{x, j + 9,Ay)Àff (0<0 et 8^1). Supposons que les dérivées partielles soient bornées dansIedomaineConsidérê, c'est-à-dire que leur valeur absoluo ne soit pas plus grande qu'un certa innombre M. La formule devient alors: |/(*-r-Ai, y-\-ày)-f(x, y) |< AT (| A»| + | Aff I), et le second membre de cette inégalité tend vers zéro lorsque Ax -*■ 0 et Au -»- 0, d'où: lim /(z-f-Aa, ff + AjO = /(z, y), Ax-*Q Al/-»0
384 CH. V. PONCTIONS DE PLUSIEURS VAIUABLES c'est-à-dire si / (x, y) a des dérivées partielles bornées dans un certain domaine, elle est continue à l intérieur de ce domaine. La fonction (3) avec la condition supplémentaire / (0, 0) = 0 est nulle sur tout l'axe OX et sur tout l'axe OY, ainsi qu'au point Mo (0, 0) elle a, évidemment, des dérivées partielles nulles. Aux autres points elle posséda aussi des dérivées partielles: c'est-à-diro qu'elle a des dérivées partiolles dans tout le plan. Cependant nous avons déjà vu qu'elle n'est pas continuo au point (0, 0). Ceci s'expliqua par la fait que les dérivées partielles peuvent prendre des valeurs aussi grandes qujon veut an valeur absolue lorsque le point (x, y) tend vers l'origine des coordonnées, V-l-3. Dérivées partielles et différentielle totale du premier ordre. En [11-4-21 nous avons introduit la notion de dérivées partielles et de différentielle totale d'une fonction de deux variables. Ces notions peuvent être généralisées au cas de fonctions d'un nombre quelconque de variables, Par exemple, examinons la fonction de quatre variables w=f(x,y,z, l). La dérivée partielle do cette fonction par rapport à x sera la limite lim /fc 1-¾. tr, ». *>-/(*. V, s. <) h-*±0 ll si ello existe et pour désigner cette dérivée partielle on utilise les symboles : f*(x,y,t,t) soit M '£ soit -^-. De façon analogue on définit les dérivées partielles par rapport aux antres variables. On appelle différentielle totale do In fonction la somme de ses différentielles partielles : dw =*2Ldx\-£-dy+£-d* f 4£àt, àx ' dy J ' ilz ' àt où dx, dy, dz, dt sont les différentielles des variables indépendantes (grandeurs arbitraires île dépendant pas de x, y, z, l). La différentielle est la partie principale de l'accroissement de la fonction : hw=/(«+dx, y + dy, z-\-dz, t i-dt)-~f(x, y, z, t), à savoir (cf. II-4-2) : Ait" = dw + e, dx j- ea dy -{- e3 dz -!- b4 dt, où e,, sa. 8a, et tendent vers zéro en même temps que dx, dy, dz, dt, et e« supposant que la fonction w a des dérivées partielles continues dans un certain domaine contenant le point (x, y, z, t).
V-l. DERIVEES ET DIFFÉBRNTIB1.UÎS DE FONCTIONS 385 De la même façon on peut généraliser la règle de diîférentiation des fonctions de fonction. Supposons par exemple que x, y et z ne soient pas des variables indépendantes, mais des fonctions de la variable indépendante t. La fonction w dépendra dans ce cas de t aussi bien directement que pai l'intermédiaire de x, y, z et la dérivée totale de w par rapport à t s'écrira : dw dw_ . dw_ dx_ , 3w dy_ , jto_dz_ .„ dt ** dt ~*~ dx dt + Bu d-t ~T~ Ûz di ' ( ' Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de cette règle, car c'est la répétition pure et simple de ce qui a déjà été exposé 111-4-3], Si les variables x, y, z dépendent en plus de t d'autres variables indopendantes, il faut remplacer --jf-, -j? , ■£ dans le second membre de l'équation (8) par les dérivées partielles -^,-1,^. Dans ce cas la fonction w, elle aussi, dépendra en plus de t des autres variables indépendantes et dans le premier membre de (8) il faudra également remplacer -rr- par -_y - Mais cette dérivée partielle est différente de la dérivée partielle -gr- qui est dans le second membre de (8) et est calculée seulement dans le cas on w dépend directement de t. Pour la distinguer des autres, on représente parfois cette dérivée partielle entre parenthèses. De sorte que dans le cas considéré l'équation (8) devient: HT ~ { et )+ Sx ot + dg at + as at " w Dans le cas d'une fonction d'une seule variable nous avons vu que l'expression de sa différentielle du premier ordre ne dépend pas du choix de la variable indépendante [II-1-6I. Montrons que cette propriété reste vraie dans le cas d'une fonction de plusieurs variables. Examinons, pour fixer les idées, le cas d'une fonction de deux variables z = ç(x, y). Supposons que x et y sont des fonctions des variables indépendantes u et v. D'après la règle de différentiation des fonctions de fonction, noxis avons $z fc_dz_ i dz_]>y_ 2l 3z dx . dz dy_ du. ~ dx du' dy du ' do ~ Sx Ov ' dy àb ' La différentielle totale de la fonction est par définition:
386 CIt- V. PONCTIONS DE PLUSIEURS VAHIABLKS En reportant les expressions des dérivées partielles, il vient : Mais les expressions placées entre''parentlièses sont les différentielles totales de x et y, et nous pouvons écrire: dz—-j- ffe -j- -3- dy, c'est-à-dire que la différentielle d'une fonction de fonction s écrit de la même façon que dans le cas oà les variables son.t ivdépendantes. Cette propriété permet de généraliser la règle d'obtention de la différentielle d'une somme ou d'un produit au cas de fonctions do plusieurs variables: d(u-\- v)~du-\-dv, d(iw)~vdu + udv, d — = " ■—£■—, où u et v sont des fonctions de plusieurs variables indépendantes. En effet, en utilisant la propriété que nous venons de démontrer nous pouvons écrire par exemple : dW-ZJUpdu+îMto-vdu + ud». V-l-4. Fonctions homogènes. Donnons la définition d'une fonction homogène de plusieurs variables: une fonction de plusieurs variables est appelée fonction homogène de ces variables de degré m, si en multipliant ces variables par une grandeur arbitraire t la fonction se trouve multipliée par tm, autrement dit, si l'identité f (tx, ty) = tmf (x, y) ou / (tx, ty, tz) = f'f (x, y, z) (10) est vérifiée pour toutes les valeurs admissibles des variables x, y, z, t. Le nombre m, peut être tout nombre réel fixé. Si, par exemple, m = y, alors im = V~t et t doit être positif. Supposons que la fonction f {x, y) exprime un volume quelconque., que x et y soient les longueurs de lignes quelconques et que dans l'expression de la fonction en plus de ces longueurs, figurent des nombres abstraits. La multiplication do x et y par t (nombre positif) revient à réduiry l'échelle de t fois (pour t >■ 1 ou bien à l'augmenter pour t < 1) et il est évident que dans ces conditions la fonction / {x, y) exprimant le volume doit ôtre multipliée par ia, c'est-à-dire que, dans le cas considéré, la fonction / (x, y) est une fonction homogène du troisième degré. Ainsi, par exemple, ]o volume d'un côno s'exprime au moyen du rayon de sa base x et de sa hauteur y par la A formule v — -^nzPy. Cette fonction sera homogène du troisième
V-l. DSRIvSES ET DIFFERENTIELLES DE FONCTIONS 387 degré pour tous les x, y et t réels, de même que tout polynôme homogène du troisième degré enxety, c'est-à-dire un polynôme dontchaque terme estjtel que la somme des exposants de x et y soit égale à trois: / {x, y) = axs + bxay + cxy2 -f dy*. Les fractions x*+yZ ' aa + ï2 ¢2+^2 sont des fonctions homogènes de degré respectivement égal à 1, 0 et (—1). Notons que f {x, y) = Va? + #a, où le radical est supposé arithmétique, sera une fonction homogène du premier degré pour tous x et y réels et pour tout t > 0. En effet V{txf+(tyf= t i/Pqpp; et les deux radicaux sont supposés positifs. En différentiant l'identité (10) par rapport à t et en appliquant la règle de différentiation des fonctions composées, on obtient xf'u (u, v) + yfv (u, v) = mtm~lf (x, y), où u = tx ot v = ly. En posant i = l, on obtient : xt's(x,y) + yf'y(x,y) = mf(xty), (11) ce qui exprime le théorème d'E u 1 e r sur les fonctions homogènes •. La somme des produits des dérivées partielles d'une fonction homogène par les variables correspondantes est égale au produit de la fonction elle-même par son degré d'homogénéité. Au cours de la démonstration, nous supposons, évidemment, que la fonction / {x, y) possède des dérivées continues partielles pour les valeurs correspondantes des variables que nous avons utilisées dans cette opération. Si m = 0, en posant dans l'identité <10) t = —, nous obtenons: X /(*.¥)-/(*.-£) °u /(*,»,*) = /(!, 4,-i), c'est-à-diro qu'une fond'ion homogène de degré zéro est une fonction des rapports de toutes les variables, sauf l'une, d'entre elles, envers cèpe dernière variable. Souvent, on nomme la fonction homogène de degré zéro tout simplement fonction homogène. V-l-5. Les dérivées partielles d'ordre supérieur. Les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables sont à leur tour des fonctions des mêmes variables dont nous pouvons calculer les dérivées partielles. De la sorte nous obtenons des dérivées partielles du 25*
388 CH. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES second ordre de la fonction initiale qui seront elles-mêmes des fonctions des mêmes variables et dont la dérivation nous permettra d'obtenir les dérivées partielles du troisième ordre de la fonction initiale, etc. Ainsi, par exemple, dans le cas d'une fonction de deux variables u = f {x, y), en dérivant chacune des dérivées partielles jr^-Ê- encore une fois par rapport à x et à y, nous obtenons quatre dérivées secondes que l'on notei fxt (*, y), il* (x, y), fVx (x, y), & (x, y), soit : 3*t(x, y) S*f{x, u) a8/(», v) a8/fr, y) 3z« ' dxdy ' dyBx ' dg* ' soit enfin : g*u g'a a'u a'u 3*3 ' dxdy ' dy$x ' dy* ' Les dérivées /iu (a, y) et fyx {x, y) ne diffèrent que par l'ordre des dérivations. Dans le premier cas la dérivation s'effectuera d'abord par rapport à x puis par rapport à y, tandis que cet ordre est inversé dans le second cas. Montrons que ces deux dérivées sont identiques, c'est-à-dire que le résultat d'une dérivation ne dépend pas de l'ordre de dérivation. Composons l'expression : a=f(x+h, y + k)—f(x + h, y) — f {x, y + k)+f(x,y). En posant: <p(œ. y)=f(?+h, y)—f(z, y), on peut mettre <a sous la forme : tù^lf(x+h, y + k)-j(z, y + k)]-\f(x + h, y)-f(x, j)] = = q>(», S+ft) — (f(x, y). En appliquant deux fois la formule de Lagrange [II-3-7I, nous obtenons : co = ftq>; (», y + 84fc) = k [f'v {x + h, y + fyfc) — f'v (x, y + BJt)] *» Les symboles 6, quel que soit leur indice, désignent des nombres compris entre 0 et 1. On désigne par f'v (x + h, y + fyfc) la dérivée partielle de / (x, y) par rapport à y, lorsque x devient x + h et y devient y + 6i&- Des notations identiques sont utilisées pour les autres dérivées partielles. De la même façon, en posant: t> (*, y) = f (*. V + *)—/ (*. y).
V-l. DÊKTVEES ET DIFFÉRENTIELLES DE PONCTIONS 389 on peut écrire : co=[/(* + ft, y + k)-f{x+k,y)] —'[/(*, y + k)—f(x, y)] = = q(x+h, y) — q(x, y) = hy'x(x + Q3h, y) = -=ft[/i(*+9A &+*)—/i(*+esft, »)i=ft%(*4-Ô3fc. »-f-e«*). En comparant les deux expressions obtenues pour w, nous avons : hkf"vx (x + B2fc, y + 9jft) = &&/^ (*+B3A, j + 84ft), soit: fvx (x+b2a, 9+e4ft) = £w (»+a3h, y+e4&). En supposant la continuité des dérivées secondes et en faisant tendre A et & vers zéro, on obtient: /«*(*. 9)=£»(*. y)- C<! raisonnement nous conduit au théorème suivant: T 11 é o t è m e. Si f {xt y) a dans un domaine quelconque des dérivées continues flx (x, y) et f"xtt {x, y), en tous les points de ce domaine ces dérivées sont égales. Examinons maintenant deux dérivées du troisième ordre: fx'v(z,y) ^ /l£ («>»)> qui ne diffèrent que par l'ordre de dérivation. En tenant compte de ce que, comme nous venons de le démontrer, le résultat de deux dérivations successives ne dépend pas de l'ordre des dérivations, on peut écrire: c'ost-à-dire que dans ce cas aussi le résultat d'une dérivation ne dépend pas de l'ordre des dérivations. On peut étendre sans aucune difficulté cotte propriété aux dérivées de n'importe quel ordre et à des fonctions quoi que soit le nombre de variables et nous pouvons énoncer le théorème général: le résultat de la dérivation ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les opérations. Notons que pour démontrer ce théorème nous avons utilisé en plus de V existence des dérivées leur continuité dans un certain domaine. Dans la suite nous supposerons toujours la continuité des dérivées dont nous aurons à parler, et en vertu du théorème démontré pour les dérivées d'ordre supérieur, il suffit seulement d'indiquer l'ordre n de la dérivée, les variables par rapport auxquelles on dérive et le nombre de dérivations par rapport à chacune des variables. Ainsi, par exemple, dans le cas d'une fonction w = / {x, y, z, t)
SSO Cil. V. TOfcCTIONS DE PLUSIEURS VARIA6LBS on utilise les notations: anf{x, y, z, 1> 3¾ • qui montrent que la dérivée considérée est du rc1*"»6 ordre et qtto l'on, dérive œ fois par rapport à x, B fois par rapport à y, y fois par rapport à s, et 6 fois par rapport à t. V-l-6. lies différentielles d'ordre supérieur. La différentielle totale du. d'une fonction de plusieurs variables est â-son tour une fonction des mêmes variables et nous pouvons définir la différentielle totale de cette dernière fonction. De la sorte nous obtiendrons la différentielle du deuxième ordre d*u de la fonction initial'o u qiii sera ello-mëmo fonction des mémos variables, et sa différentielie totale sera la différentielle du troisième ordre d3u de la fonction initiale «,, eto. Examinons plus en détail le eas de la foaction u — f (x, y) do deux variables x et y et supposons que les variables x et y sont dos variables indépendantes.. Par définition: ^ = ^^+^¼. (12) En calculant d^u nous tiendrons compte de ce que los différentielles dx et dy des variables indépendantes doivent être considérées comme des constantes, et paE conséguerit on peut les sortir de sous le signe de différenciation : dx ' " dy En calculant exactement do la.même façon d3a, il viont: Ces expressions de d?u et cPu, nous conduisent à la formtile symbolique suivante pour une différentielle de n'importe quel ordre:
V-l. Dem\ÉES ET DIFFERENTIELLES DE PONCTIONS 391 Cette formule s'explique de la façon suivante: il faiit élever à la puissance n l'expression entre parenthèse» en utilisant la formule du binôme de Newton, après quoi il faut considérer les exposants de ^- et ^~ comme indicateurs do l'ordre de dérivations par rapport àiot'àï de la fonction /. Nous avons vérifié la formule (13) pour n égal à 1, 2 et 3. Pour la démontrer complètement, il faut utiliser la méthode habituelle de passage de n à (n + 1)- Supposons que la formule.(13) soit valable pour une certaine valeur do n. Calculons la différentielle d'ordre (i. + 1) : ^.^-^^+^^-(^+-^)^ où par le symbole nous désignons généralement : ^.ta^ — dy. En tenant compte de ce que pour dnu nous avons supposé que la formule (13) est vérifiée, nous pouvons écrire: c'est-à-dire que la formule est démontrée aussi pour d'nlu. La formule (13) peut ôtre facilement généralisée au cas d'une fonction d'un nombro quelconque de variables indépendantes. Nous savons [V-l-3] que la formule (13) n'est pas valable uniquement dans le cas où x et y sont des variables indépendantes. Mais pour obtenir l'expression de deu il est indispensable de considérer que dx et dy sont des constantes et la formule (13) n'est valable que dans les cas où. l'on peut considérer dx et dy comme dos constantes. Cela sera vrai ai x et y sont des variables indépendantes. Supposons maintenant quezet ^soient des fonctions linéaires 'de variables indépendantes ! et {: x = <tz -\- bt + c, y = oiz +£,£ -|-c,, où les coefficients et les termes indépendants sont des constantes. Nous avons alors pour dx et dy les expressions: dx = a dz -(- b dt, dy = a,dz-{- J!>, dt.
392 CH. V. FONCTIONS DE PLUSIEUBS VARIABLES Mais dz et dt qui sont des différentielles de variables indépendantes sont constantes, par suite on peut considérer quedx dt dy sont constants, c'est pourquoi on peut affirmer que la formule symbolique (13) est vraie aussi bien lorsque x et y sont des variables indépendantes que lorsqu'ils sont des fonctions linéaires {polynômes entiers de 1er degré) de variables indépendantes. Si dx et dy ne peuvent pas être considérés comme constants, la formule (13) ne sera plus vraie. Examinons l'expression de d*u dans ce cas général aussi. En calculant: *(*%**) « '(^*) nous ne pouvons plus extraire dx et dy de la différentielle comme nous l'avons fait ci-dessus, mais nous devons appliquer la formule de difféfentiation d'un produit [V-l-3]. Nous obtenons de cette façon: tfu^dxd^^ + dydV^ + V^d'x+ïl^dty. La somme des deux premiers termes du second membre de cette égalité nous donne l'expression que nous avons obtenue ci-dessus ponr d^u et finalement nous obtenons: + >J!%Jù*x+W%]ù*v, (i4) c'est-à-dire que dans le cas général considéré l'expression de deu contient des termes complémentaires dépendant de d2x et de d*y. V-l-7;. Fonctions implicites. Donnons maintenant les règles de dérivation des fonctions implicites. Nous supposerons que les équations écrites définissent effectivement une certaine fonction ayant dès dérivées correspondantes. Nous le démontrerons sous certaines' conditions IV-1-9]. Si y est une fonction implicite de x: F(x,y) = 0, (15) la dérivée première y' de cette équation, comme on sait, est définie par réqiiation II 1-4-3] : Fk(x,y) + F'Az,y)y' = 0. (16) L'équation (16) a été obtenue en supposant dans l'égalité (15) que y est une fonction de x et en dérivant les deux parties de cette équation ; par rapport & x. En faisant de môme avec (16) nous obtiendrons, une équation définissant la dérivée seconde y" : F"x, (*, y) + Wly (*. y) y' + F"v* (x, y)y'*+ Fy (x, y) y" = 0. (17)
•V-i. DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES DE FONCTIONS 393 Ea dérivant encore une fois par rapport à x on obtient une équation définissant la dérivée troisième y", etc. Notons que daas les équations ainsi obtenues le coefficient des dérivées cherchées de la fonction implicite sera toujours le même, à savoir F'y {x, y), c'est pourquoi si pour certaines valeurs de x et de y vérifiant l'équation (15) ce coefficient n'est pas nul, le précédé indiqué ci-dessus donnera des valeurs définies des dérivées de n'importe quel ordre de la fonction implicite. Ce faisant on suppose évidemment l'existence de dérivées partielles du premier membre de l'équation (15). Examinons maintenant une équation de trois variables: Œ(». V> z)—0. Une telle équation définit z comme fonction implicite des variables indépendantes x et y et si on remplace z justement par cette fonction de t. et y dans le premier membre de cette équation, celui-ci deviendra identiquement nul. De sorte qu'en dérivant le premier membre de celte équation par rapport aux variables indépendantes x et y, en supposant que z est fonction de x et y, nous devons obtenir 0 : <b'x(x, y, z) + Q>'1(x, y, z)zi = 0, ®'v(,x, y, z) + 0't(x, y, z)zv=Q. On peut obtenir à partir de ces équations les dérivées partielles du premier ordre z'x et z^. En dérivant la première des relations écrites encore une fois par rapport à x, nous obtiendrons une équation définissant la dérivée partielle zâs, etc. Dans toutes les équations obtonues le coefficient de la dérivée cherchée sera <t>i (x, y, z). Examinons maintenant lo système d'équations: q>(x, y, z)*=0, i|)(», y, z) = 0. (17,) Nous considérerons que ce système définit;/ et z comme des fonctions implicites de x. En dérivant les deux équations du système par rapport à x, en supposant que y et z sont des fonctions de x, nous obtenons un système d'équations du premier degré pour définir les dérivées y' et z' de y et z par rapport à x : <pi(z, y-, z) + tp'v(x, y, z)-y'+y'i(x, y, z).z' = 0, Vx(x, y,z) + yv(x, y, z)-y'+ty't(x, y,z}-z' = 0. En dérivant encore une fois ces relations par rapport à x, nous obtenons un système d'équations qui définit les dérivées secondes y" et z". En dérivant encore une fois par rapport à x, nous obtenons un système d'équations définissant y" et a", etc.
394 Cit. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS X'AIUABLES Les dérivées du nlime ordre y"" et zln' seront obtenues à partir d'un système du type: cpy{ar, y, z) • y^ + & (x, y, z)-zln>+A = 0, ^»(*> U> z)-y™+Vz (*. y, z)-z<n>+£=0, où A et B sont des expressions qui ne contiennent que des dérivées d'ordre inférieur à n. Un tel système ne donnera une solution définie unique, comme il est bien connu en algèbre élémentaire, que si In condition iïj(x, y, z).i>'z{x, y, z) — <pz(x, y, z)-i)>û(*, y, z)=i£0 est vérifiée. Pour toutes Jcs valeurs de x, y et z vérifiant le système (17,) et qui vérifient aussi cette condition, le procédé exposé ci-dessus donnera des valeurs bien définies des dérivées. Si on a un système de m équations avec (m + n) variables, il définit en généra] m variables comme fonctions implicites des n variables restantes, et les dérivées de Ges fonctions'implicites peuvent ôtre obtenues grâce au procédo exposé ci-dessus: dérivation successive des équations par rapport aux variables indépendantes. V-l-8. tvxomplo. Examinons à litre d'exemple l'équation: oa^-r-6j/»feï* = i, (18) <[ul définit z en tant que Jonction (Je x et de y. En dérivant par rapport à r et y, nous obtonons ; ¢¢4-0^=0,- (19) et by f-«-^ = 0, (19|) (l'on .•__ _5f_ Z' = —^- * cz ' y a En dérivant la relation (19) par rapport à x et g et celle (19|) par rapport à y, on obtient : d'où: **2 = -a£ 1-1-14,.=0, oz^ ha* bf-crf+czz^Q, , 0.W ■ ,n a-«-c cz cz '■*>/ 2 c2za ' z" =0, XII ' «c22+a2ia c=z» bi~e*ÏÏ bct*+b*y*
V-t. DUKIvEES ET DiFFÏSniINTÏELïiES DE PONCTIONS 395 Montrons maintenant un autro moyen de calculer les dérivera partielles en utilisant la différentielle totalo d'une fonction. Démontrons avant tout un théorème auxiliaire. Supposons quo nous ayons pu obtenir, d'uno façon ou d'une, autre, l'expression de la différentielle totalo dz d'une fonction de deux variables indépendantes x et y sous la formo: dz — pdx-\-qây, 13'autrc part nous savons que : dz = z'xdx t-z'ydy. ■En comparant ces deux formules, i] vient : pdx f-vdy — z^dx+z^dy. Mais dz ut dy, qui sont des différentielles de variables indépendantes, sont, des grandeurs arbitraires. En supposant que dx = 1 et dy = 0, ou bien que dr. = 0 et dy — 1, on obtiont: p=*z'x et 9=¾¾. D'nù st la différentielle totale d'une fonction z des deux variables indépendantes x et y peut être mise sous la forme: dz — pdx-j-q dy, on a p => zx et q = zy, Co théorème est valable pour une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes. On peut montrer exactement de la même, façon qua si la différentielle du deuxième ordre peut Stre mise sous la forme; d*z=r dx*+2s dxdy+t dy*, alors r = zxz, » = "si/, ' = zif- , Bovonons maintenant à l'exemple considéré. Au lieu de définir les dérivées du premier membre de la relation (18) par rapport à x et y, calculons sa diffé- rentieUe on tonant compte de ce que 1 expression de la première différentielle no dépend pas du choix dos variables indépendantes [V-i-3] : axdx+bydy \-czdz^Q., (20) d'où: , ax , by <&„ — dx- 2- dy, cz cz et donc en. vertu du théorème que nous avons démontré: • — ax (it ' — % x cz u~~ cz Calculons maintenant la différentielle du premier membre de la relation (20) an tenant compte de ce que dx et dy doivent être considérés comme des constantes : a dx* + 6 dy* + c dz2 j~cz d2z = 0, suit : *»*= —2-dx*--*-dff"-4-*' = —h à&-~dy*- 02 CZ Z OZ CZ -±(J^dx+*LdyY~ z V cz ^ cz ' ) ~-aC* tf ^-2^1 d* »-£*±gg. dg*. (1¾3 c3z" C2Za
396 Cil. V. FONCTIONS DB PLUSIEURS VARIABMÎS et par suite: , _ acz*-\-gixl „ abxy „ h;*' + &V De la sorte, en calculant la différentïolle d'un ordre quelconque, nous obtenons toutes les dérivées partielles de l'ordre correspondant. V-l-9. Existence des fonctions implicites. Nos raisonnements avaient un caractère formel. Nous avons supposé dans tous los cas qu'une équation ou un système d'équations définissent de façon implicite une certaine fonction ayant une dérivée. Maintenant démontrons le théorème fondamental d'existence des fonctions implicites. Examinons l'équation F(x, y) = 0 (21) et indiquons les conditions pour lesquelles elle définit de façon unique y en tant que fonction continue de x ayant une dérivée. Théorème. Sott x = x0 et y = y„ une solution de (2(), c'est-à-dire que : F(x0, Vo) = 0; (22) supposons que F (x, y) et ses dérivées partielles du premier ordre par rapport àx et y sont des fonctions continues pour toutes les valeurs de x et de y suffisamment proches de x„ et y0 et supposons enfin que la dérivée partielle Fy (x,y) nesoitpas nulle pour x <= »<, et y «= y0. Dans ces conditions il existe une fonction définie y (x), pour tout x suffisamment proche de xq, qui vérifie l'équation (21), qui mit continue, possède une dérivée et vérifie la condition y (x0) = yc- Supposons pour fixer les idées que F'v (x, y) > 0 pour x «=» xq, y — y„. Comme nous avons supposé que cette dérivée est continue, elle sera positive pour toutes valeurs x et y suffisamment voisines de xa et do y0, c'est-à-dire qu'il existe un nombre positif l tel que F (x, y) et ses dérivées partielles sont continues et que F'v(x, y) >0 (23) pour tout x et y satisfaisant aux conditions: |s~*0|<J, |B-tt,|«l. (24) De plus, la fonction F (x0, y) d'une variable y devient nullo pour y — y<, (22), et c'est une fonction croissante de y dans l'intervalle (yt> — l, Vo + ') en. vertu de (23) et de (24). De sorte que les nombres F (a0. ffo—') et p (*<>. Un + *> seront de signe différent, le premier sera négatif tandis que le second sera positif. En tenant compte de la continuité de F (x, y) nous pouvons affirmer [11-4-11 quo F (x, y0 — l) sera négatif et F [x, y0 + l) sora positif pour tout x suffisamment proche de x0> c'est-à-dire qu'il existe un nombre positif h tel que: F(*. Uo—lXO et F (x, y0-\-l) >0 (25) pour | x — xa | < l,. Désignons par m le plus petit des deus nombres : l et l,. En tenant compte de (24) ot de (25), nous pouvons affirmer que les inégalités (23) et (25) sont vérifiées si x ot y vérifient les inégalités: la—»0|<m, |y-tf6|<». @6) SI nous prenons un x quelconque situé dans l'intervalle Ixa — m, i, 4. m), c]ost-à-d£re vérifiant la première des inéquations (26), F (x, y) en tant que fonction de y sora, en vertu de (23), une fonction croissante dans l'intervalle (i/t, — l, Vo -t- 9 et, en vertu de (25), sera de signe contraire aux extrémités de cet intervalle. Par suite, ellodeviondra nullo pour une valeur déterminée unique de y
V-l.DÔRIVlîBS ET DIFFÉRENTIELLES DE FONCTIONS 397 dans cet intervalle. En particulier, si x = z0, d'après (22) cette valeur y sera y — y0. Nous avons démontré de la sorte l'existence sur l'intervalle (20 — "», xa -|_ m) d'une fonction définie y (x) qui est solution de l'équation (21) et satisfait la condition y (20) *™ ïo. Autrement dit, il résulta des considérations ci-deasua que pour tout * donné dans l'intervalle (20 — m, xa + m), l'équation (21) a une seule racine dans l'intervalle (j0 — '. Va + <*)■ Montrons maintenant que la fonction obtenue y (x) sera continue pour * =* ■» ïj. En effet, pour tout e donné petit et positif F {x0, y0 — e) et F (x0, y0 -f- -f. s) seront de signe contraire [cf. (25)1 et par conséquent il existera un n positif tel que F (x, y0 — e) et F (x, y„ + s) seront de signe contraire si | x — x,, | < < t|, autrement dit, pour | 2 — 20 | < n la racine de (21), c'est-à-dire la valeur de la fonction trouvée y (x), vérifie la condition \ y — y0 I < *, ce lui prouve la continuité de y {x) pour x = x0. Prouvons maintenant l'existence do la dérivée y (x) pour x = x„. Soit Ai "- j — iD et soit Ap = ff — y0 l'accroissement correspondant de y. Il en résulte que x «■ *„ -f- As et y = y0 4- Ay vérifient l'équation (21), c'est-à-dire que f («„ -f As, yt 4. A») =0, et 6?après (22) on peut écrire: F (id + Aï, ïo + Ay)—f (¾. yo) = 0- Bn tenant compte do la continuité des dérivées partielles, on peut écrire cette égalité ainsi |IE-4-2|: lFi„ (*0> ÎTo) + eil A* + [^, (*6. »o) + «*1 A» = 0, (27) où C) et «2-t-O si &x et A^-i-Oet où nous avons désigné par F^ (xt, y0) et F[ro (*o, ffo) les valeurs des dérivées partielles pour x «=■ 2„ et ï = y„. De la continuité que nous avons démontrée ci-dessus il résulte que A^ -►• 0, si Aa ->- 0. L'équation (27) nous donne : Ag *V*o- Vt>) + ei Air p'vi,^< »o) + 82 ' en passant à la limite lorsque A* —*■ 0 nous obtenons: ,, . ^io fo» »o) 'i/o 1*0' Vol Nous avons démontré la continuité et l'existence de la dérivée de la fonction y (x) seulement pour x = x0. Si nous prenons une autre valeur quelconque de a prise dans l'intervalle (z„ — m, »p + »*) ot 1» valeur correspondant* de y dans l'intervalle (jm —2, y0 + l), valeur qui ost racine de l'équation (21), toutes les conditions de notre théorème sont vérifiées pour ce couple de valeurs x, y, et d'après ce qui a été démontré y (2) sera continue et aura une dérivée nour la valeur choisio de x dans l'intervalle déjà mentionné. De la même façon que ci-dessus on pout formuler et démontrer le théorème d'existence de la fonction implicite z (2, y) définie par l'équation: ©(2, y, z)=0. Examinons maintenant le système: ip (*,.», r)=0, ip (2,0.2)=0, (28j définissant y et z comme fonctions de x. Dans ce cas on a le théorème : Théorème. Soit x ■= 20. y = ?o, z ■= z„ une solution du système (28), supposons que tp (x,y,2), ¢(2, y, z) et leurs dérivées partielles du premier ordre
398 CH. V. FONCTIONS DE. PI/USIEUBS VARIABLES. sont des fonctions continues de (x, y, 2) pour toutes les valeurs de ces variables suffisamment proches de (xq, y6, z0) et supposons que l'expression f'u fo B, «) % (s. V, *) — <Pi (*• y, s) % (*. V, *i ne sott pas nulle pour x ■=» x0, y •= y0, z =■ «0. vdfors pour toute valeur de x suffisamment proche de xa II existe un système défini de deuc fonctions y (x) et z (x) vérifiant les équations (28) continues, ayanl des dérivées du premier ordre et satisfaisant à la condition y (x6) =■ y0, z (x0) = zc. Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ce théorème. Au Loine 111 nous étudiorons le cas général d'un nombre quelconque de fonctions à un nombre quelconquo de variables. V-l-iO. Courbes dans l'espace et surfaces. Commençons par indiquer certains faits connus en géométrie analytique. Soit un espace à trois dimensions rapporté à dos axes rectilignes perpendiculaires OX, OY, OZ, de sorte quo chaque point est déterminé par les coordonnées œ, y, z. Soit a, b, c un ensemble ordonné de nombres dont l'un au moins est différent de zéro. Il lui correspond deux directions opposées dans l'espace dont les cosinus directeurs (les cosinus des angles formés par ces directions avec les axes OX, OY, OZ) sont proportionnels aux nombres {a, b, c). Les cosinus mentionnés s'expriment par les formules cos<x= , cosB = -_—- , Le choix du signe du radical (supérieur ou inférieur) détermine l'une des deux directions opposées. Soient deux ensembles ordonnés de trois nombres (a, b, c) et (a,, bi, c,). L'égalité aflj + bbi -(- cc{ = 0 exprime la. condition d'orthogoitalité des directions qui leur correspondent. On sait en géométrie analytique qu'à toute équation de trois variables : F(x,y,*)-0. (29) ou sous forme explicite: « = /(*,»), (30) correspond Su général une surface dans l'espace rapporté à des-axes de coordonnées normaux OX, OY, OZ. Une ligne dans l'espace peut être considérée comme l'intersection do deux surfaces et par suite peut être définie par l'ensemble des
V-l. DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES DK FONCTIONS 39g deux équations: Fl(x, y, «)=0, Ft(x, y, z)-0. (31) Autrement on peut définir une courbe sous forme paramétrique nu moyen des équations: * = <p(*). y = i$(t), z = a>(t). (32) La longueur de l'arc d'une courbe, de même que dans le cas d'u/ie courbe plane, est définie comme la limite do la longueur dos segments des lignes brisées inscrites dans cet arc lorsque chacun de ces segments tend vers zéro. Des raisonnements que nous ne reproduirons pas, car ils sont absolument analogues à ceux que nous avons faits [H'I-3-3] dans le cas d'une courbe plane, montrent que la longueur d'un tel arc s'exprime au moyen d'une intégrale définie P(M») (»ii> V{ds)* + ldyr+(d*r = $J W* (*) + ip (0 + <a'a (t) dt, (33) où fj et tz sont les valeurs du paramètre t qui correspondent aux extrémités Mt et M2 de l'arc et la différentielle de l'arc s'écrit : ds = V(dx)*+(dy)*+ (dz)\ (34) Si c'est la longueur de l'arc s de la courbe qui jouo le rôle du paramètre t, en prenant pour origine un point bien défini de la courbe, on peut montrer, de la même façon que dans le cas de la courbe plane III-5-1], que les dérivées ~, -r-, 4- sont égales aux cosinus directeurs de la tangente à la courbe, c'est-à-dire qu'ils sont égaux aux cosinus des angles formés par la direction positive de cette tangente avec les axes de c-oordonnées. D'après (32) et'(33), nous obtenons pour ces cosinus les formules: q>' (t) cos g: = —_ . -, T w ' =■ ± Vf'2 (') + *'!(0 + B'il(() cosp^- -■— -$'(<L- .. , i f3T,} (ù'It) cos v ■= ■ ■ drVcp'2(i)+i()'=(0+to'2(S) en choisissant le signe du radical en conformité avec la direction de la tangente. Ci-dessus nous avons supposé que les fonctions (32) ont des dérivées continues dont l'une nu moins n'est pas nulle.
400 CH. V. PONCTIONS DE PLUSIEUBS VARIABLES De la sorte, les cosinus directeurs de la tangente à la courbe au point {x, y, z) sont proportionnels à q>' (t), i]/ (t), a>' (t) ou à dx, dy, dz, et l'équation de la tangente peut être mise sous la forme: ^L^ dy dz ' *5b" soit : X~x _ Y—y _ Z~z ,„p f'm ~rm ~«'w * l *' Introduisons maintenant une notion nouvelle: la notion de plan tangent à une snrface: F{x,y,z) = Q. (37) Soit M0 (»0, #„, z„) un point quelconque de cette surface et L une ligne (32) de la surface passant par le point M^, aussi bien que pour un certain t — ta nous avons x0 = <p (/0), y„ — ty (ï0), z0 = m (<„). Supposons que la fonction (37) possède au point M0 et à son voisinage des dérivées partielles continues par rapport à x, y et z dont l'une au moins est différente de zéro. Que les fonctions (32) aient la propriété analogue pour t = {g au voisinage de cette valeur également. Comme L est sur la surface (37), en rapportant (32) dans le premier membre de l'équation (37), nous obtiendrons l'égalité par rapport à t. En dérivant cette égalité par rapport a t, nous aurons Fx(x, y, z)<p'(t) + Fv(x, y, z)V(t)+Ft(x, y, z)a'(t) = 0, où il faut substituer à x, y, z les fonctions (32), et au point M0 Fx {xo, y<* z0) <J>' (ta) +FV (s0, Va, «o> ty' M + F, (x0, y0, z0) <b' (f0) => 0. (38) Nous avons vu que cp' (£„), i}/ (f„), »' (te) sont proportionnels aux cosinus directeurs de la tangente à la ligne L au point M0 et l'égalité (38) montre que la tangente à toute ligne L située sur la surface (37) et passant par le point M9 est perpendiculaire à une certaine direction déterminée ne dépendant pas du choix de L, dont les cosinus directeurs sont proportionnels aux nombres Fx (x0, ya, z0), Fv (xa, y0, z0), Fz (xa, yB, z0). Nous voyons de la sorte que los tangentes au point Ma à toutes les lignes situées sur la surface et passant par le point M0 sont sur un seul et même plan. Cette surface s'appelle plan tangent à la surface (37) au point M„. Elle passe, évidemment, par le point Ma. Soit A(X— xa) + B {Y ~-yB)+ 0^-2,,)=0 (39) l'équation de ce plan. On sait de la géométrie analytique que les coefficients A, B, C doivent être proportionnels aux cosinus directeurs de la normale à cette surface, c'est-à-dire que dans le
"V-l. DERIVEES ET PIFFfiP.ENTIET.T,F,S DB FONCTIONS 401 cas présent, ils sont proportionnels à Fx (x0, y„, z0), Fy (x0, y0, z0), Fi (^o. Vo> zo) ! P81 îa suite, au lieu du point MB (z„, y„, z0) nous emploierons la notation générale du poiat M (x, y, z). Ainsi, A, B et C doivent être proportionnels à F'x {x, y, z), F'v (#, y, z), F'z (x, y, z) et, par conséquent, l'équation du plan tangent à la surface peut être mise finalement sous la forme : F'x(x, y, z)(X-x) + F'v(x, y, z)(Y-y) + +Fi(x,y,z)(Z-z) = 0, (40) où X, Y, Z sont les coordonnées du point courant du plan tangent et x, y, z sont les coordonnées du point de contact M. La normale au plan tangent passant par le point de contact M s'appelle normale à la surface. Ses cosinus directeurs sont proportionnels, comme nous venons de le voir, aux dérivées partielles Fk {x, y, z), F'v (*, y, z), F'z (x, y, z) et, par conséquent, l'équation de la normale sera ; *-'.. — *"-» *=* (41) Si la surface est donnée par une équation explicite: z=/ (œ, y), l'équation (37) sera de la forme : F{x, y, z)=f(x, y) — z = 0, et, par conséquent, F'x {z, y, z) = /i (*•, y), F'y {x, y, z) = f'„ (x, y), F'x {x, y, z) = — 1. En désignant, comme d'habitude, les dérivées partielles f'x (x, y) et f\, (#, y) par les symboles p et q, on obtient l'éqnation du plan tangent P(X-x) + q(Y~y)-(Z-z) = 0 (42) et de la normale à la surface £z±=Z=JL = 1zjL. (43) Pour l'ellipsoïde aa ~ 62 r o2 — * l'équation du plan langent en un certain point do eolui-ci (x, y, z) sera: soit: a* yy *Z . . s» g» s» «« + J! + c» ~ aa + i>2 + «a '" 2B-281
402 CH. "V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Le second membro de cetto équation est égale à l'imité car les coordonnées du point do contact (x, y, z) doivent vérifier l'équation do l'ellipsoïde et en fin de compte l'équation an plan tangent sera: V-2. Formule de Taylor, maxlma et minima d'une fonction de plusieurs variables V-2-1, Généralisation de la formule de Taylor au cas d'une fonction de plusieurs variables indépendantes. Pour simplifier les notations limitons-nous au cas d'une fonction / (x, y) de deux variables indépendantes. La formule de Taylor donne le développement de / (a + h, b +fc) en série de puissances de h et k qui sont les accroissements des variables indépendantes [IV-2-21. Introduisons une nouvelle variable indépendante t en posant: x=a + ht, y — b+kt. (i) Nous obtenons de la sorto une fonction d'une variable indépendante t: cp (*)■=/(*, ») = /(o + ftt, b + kl), avec ; <p(0)=/(a, 6) et q>(i)=/(a + ft, 6+¾). (2) En utilisant la formule dû Maclaurin avec le reste deLagran- ge, on a [IV-2-2] : ¢(1)^(0) + ^+1^+...+^+ + *$§■«><'<*• & Exprimons maintenant les dérivées qp<p> (0) et (p*"1"1) (6) au moyen de la fonction / (ar, y). Il résulte de (1) que x et y sont des fonctions linéaires d'une variable indépendante t et dx — h dt, dy^k dt. Nous pouvons donc utiliser la formule symbolique pour définir la différontielle de n'importe quel ordre de la fonction <p (t) [V-l-6]l dM0= (^+^)^/(*, D-ih-k+k^Hx, y)dfl. d'où
V-2. FORMULE DE TAYLOR. MAXIMA ET MINIHA D'UNE FONCTION 403 Pour t = 0 nous avons x = a et y = 6, pour t = 8 nous avons a; = a + 9ft et y = b + Oft, d'où : ^,(0)=(^+/^)^/(., 8,-(^+^/(,, rt Ijg, q^d(8)- (*£+*^.)<n+1)/(a+efe, i+eft). En portant ces expressions dans la formule (3) et en tenant compte de (2), on obtient finalement la formule de Taylor: f(a + h, b + k)~f{a,b)+[h^-+k-^r)f(a,b) + +-é-(*-£-+*^r/(«.*)+-+^(*À+*ir/(«.»»+ En remplaçant dans cette formule a par a; et & par y et en désignant les accroissements h et k des variables indépendantes par dtc et iff, et l'accroissement de la fonction, c'est-à-dire / {x + dx, y~\-dy)—f(x, y), par A/ (s, j/), on peut mettre la formule sous la forme: A/(«, ») = «»/(., ») + ^2i.+ ...+^g^ + , r^'/(»,y)1 TL (»+l)l -U+etis" Le second membre de cette formtile contient les différentielles des différents ordres de la fonction / {x, y) et dans le reste on a in- dicpié les valeurs des variables indépendantes qu'il faut introduire dans les dérivées dû (71 + i)ieme ordre qui figurent dans ce terme. Comme dans les cas dune fonction d'une variable indépendante, la formule de Maclaurin qui donne le développement de la fonction / (x, y) en série de puissances do x, y s'obtient a partir de la formule de Taylor (4) si on pose: <t = 0, 6 = 0; h = x, k^y. En obtenant la formule (4) nous avons supposé que la fonction f (x, y) avait, des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre (rc+1) dans un certain domaine ouvert contenant le segment de droite 26*
404 cir. v. fonctions de plusieurs variables joignant les points {a, b) et (a + h, b + k). Lorsque t varie do 0 à 1, le point variable x — a •+- ht, y — b + kt décrit co segment. Pour n = 0 on obtient la formule des accroissements finis : f(a + h, b + k)—f(a, b) = hf„(a + Bh, b+Qk)+kfh{a + Qh, b + Qk). Il en résulte comme en [II-3-7] que si dans un certain domaine, les dérivées partielles du premier ordre sont partout nulles, la fonction est constante à Vintérieur de ce domaine. V-2-2. Conditions nécessaires d'existence des maxima et minima d'une fonction. Supposons que lafonction / {x, y) est continue au point (a, b) et dans son voisinage. Comme dans le cas d'une variable indépendante nous dirons que la fonction f {x, y) de deux variables indépendantes atteint un maximum au point {a, b), si la valeur de f {a, b) n'est pas plus petite que les valeurs de la fonction aux points voisins, c'ost-à-dire : Af=f(a + n,b+k)—f(a,b)<0, (5) pour tout h et k suffisamment petits en valeur absolue. De la même façon nous dirons que la fonction f (x, y) atteint un minimum pour x = a et y = b, si Af^f{a + h,b+k)-f{a,b)>0 (5t) pour toutes les valeurs h et It suffisamment petites en valeur absolue. Ainsi, soit x = a, y = b les valeurs des variables indépendantes pour lesquelles la fonction / (*, y) atteint le maximum ou le minimum. Examinons la fonction f(x, b) de la variable indépendante x; par définition, elle doit atteindre le maximum ou le minimum pour x = a, c'est pourquoi sa dérivée par rapport à x pour ï = u doit être nulle ou bien elle ne doit pas exister [II-3-2I. A l'aide d'un raisonnement identique on vérifiera que la fonction dérivée / (a, y) par rapport à y doit être nulle ou ne pas exister au point y = b. Ainsi nous obtenons la condition nécessaire d'existence d'un maximum ou d'un minimum: la fonction f (x, y) de deux variables indépendantes peut passer par un maximum ou un minimum seulement pour les valeurs de x et y pour lesquelles les dérivées partielles du premier ordre ' '*' v' et ' *f ' y> sont nulles ou n'existent pas. En faisant varier seulement x ou y on peut affirmer, selon [II-3-2], que lorsqu'il existe des dérivées du second ordre, la condition nécessaire pour qu'il existe un maximum est . „'■ ■ < 0 et 3 '^'y' .< 0, et la condition nécessaire pour qu'il y ait un minimum est vt > 0 et o*n*,v) > 0
V-2. FOBMULE DE TAYLOB, MAXIMA ET MINJMA D'UNE PONCTION 405 Les raisonnements précédents restent valables dans le cas d'une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Nous pouvons alors énoncer la règle: Une fonction de plusieurs variables indépendantes passe par un maximum, ou, un minimum seulement pour les valeurs des variables indépendantes pour lesquelles les dérivées partielles du premier ordre sont nulles ou n'existent pas. Dans la suite nous nous limiterons à l'étude du cas où les dérivées indiquées existent. La différentielle du premier ordre est égale à la somme des produits des dérivées partielles par rapport aux variables indépendantes par les différentielles des variables indépendantes correspondantes [V-l-3], et nous pouvons dire que pour les valeurs des variables indépendantes pour lesquelles la fonction a un maximum ou un minimum, sa différentielle du premier ordre doit être nulle. Cette formulation de la condition nécessaire est commode car l'expression de la différentielle du premier ordre ne dépend pas du choix des variables 1V-1-3]. En annulant les dérivées partielles du premier ordre, nous obtenons un système d'équations à partir duquel on détermine les valeurs des variables indépendantes pour lesquelles la fonction peut passer par un maximum ou un minimum. Pour résoudre complètement cette question il faut encore examiner les valeurs obtenues pour décider si la fonction passe effectivement, pour ces valeurs des variables indépendantes, par un maximum ou un minimum, et si oui, s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum. Au paragraphe suivant nous montrerons comment on effectue cette recherche dans le cas de deux variables indépendantes. V-2-3. Etude du maximum et du minimum d'une fonction de deux variables indépendantes. SoLt le système d'équations: Df (», y) _ n & (*< y) .. n /fi\ ftrj u' % u' w exprimant les conditions nécessaires pour maximum ou minimum, nous donne les valeurs x = a et 5 = i> à étudier. Supposons que / {x, y) a des dérivées partielles continues jusqu'au deuxième ordre au point (a, b) et au voisinage de ce point. D'après la formule de Taylor (4) pour n — 2 nous avons: + -2TL 8x* h +2 dxdy 'tAH %5—*_Ua+BA- j/=6-f-8*
406 CH. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES En tenant compte de ce que x — a et y — b sont solutions du système (6), nous pouvons écrire cette égalité sous la forme: A/ = /(a + A, b+k)-f(a, i) = Posons ; r—Yh?-\-k?, fe = rcos«, /c = rsina. Pour des valeurs absolues petites de h et k, r sera petit et réciproquement, et les conditions h et k->0 d'une part et r~>0 d'autre part sont équivalentes. La formule (7) peut alors s'écrire : A/«4 [^^+2-¾¾^cos.sinaH- + ^-^1^-- W En tenant compte de la continuité des dérivées du second ordre et en considérant que h et k, ou, ce qui revient au même, r sont des infiniment petits, nous pouvons affirmer que les dérivées dans le second membre de la formule (8), calculées pour les valeurs de a-\- 6h, b -f- 0¾ qui diffèrent d'un infiniment petit de a et b, diffèrent elles- mêmes d'un infiniment petit des nombres a"/(a, b) _ . e*Ha,b) R PU*,b) „ c'est pourquoi on peut remplacer dans le terme entre crochets de (8) les coefficients des cos2 ce, cos a sin a et sins a respectivement par A + s„ 2B + Ez, C-I-Bj, où e(, ea, 83 deviennent des grandeurs infiniment petites en même temps que h et k (ou que r). On peut alors écrire la formule (8) sous la forme: A/=^-[4cosaa-(-2Bsinacosa+Csinaa+eJ, (9) où e = 6! cosa a -f- 2e2 cos a. sin a+es sin* a est un infiniment petit en même temps que h et k (ou que r). De la définition du maximum et du minimum il résulte que si le second membre de (9), pour toutes les valeurs suffisamment petites de r, est négatif, les valeurs x — a et y — b définissent un maximum de la fonction/ (ar, y) ; s'il est positif, on a un minimum de la fonction;
V-=. FOBMULE DE TAYLOB. MAX1MA ET MINIMA D'UNE PONCTION 407 si enfin pour les valeurs de r arbitrairement petites le second membre de (9) peut être aussi bien négatif que positif, il n'y a ni maximum, ni minimum correspondant au point .r = a, y = h. Lorsqu'on examine le signe du second membre de l'égalité (9), on peut rencontrer les quatre cas suivants: I. Si le trinôme ^4cossa-|-25sinacosa+Csiiiaa (10) 11 "est jamais nul quelle que soit la valeur de a, en tant que fonction continue de a il conserve un signe constant [II-2-31. Supposons qu'il est positif. Dans l'intervalle (0, 2n) cette fonction continue passe par sa valeur la plus petite (positive) m. Etant donné la périodicité do cos a et de sin ce, cette valeur la plus petite de m aura lieu pour toute valeur de ce. La grandeur | e j pour toutes les valeurs suffisamment petites de r est plus petite que m, et alors le signe du second membre derégalité(9)estdéfinipar le signe du trinôme(lO), c'est-à- dire qu'il sera positif et dans ce cas nous aurons un minimum. II. Supposons maintenant que le trinôme (10) ne soit jamais nul, quelle que soit la valeur de aet qu'il soit toujours négatif. Supposons que m est la plus petite valeur (négative) de ce trinôme dans l'intervalle (0, 2jï) de variation de ce. La grandeur | s | pour des valeurs suffisamment petites de r est plus petite que m, alors le second membre de l'égalité (9) sera toujours négatif, c'est-à-dire que dans ce cas nous aurons un maximum. III. Supposons ensuite que le trinôme (10) change de signe, que pour a =alt il soit positif et égal à +mt et que pour a = az il est négatif et égal à —m2. Pour toutes les valeurs suffisamment petites de r, | e | sera plus petit que mt et roa. Pour de telles valeurs de r et pour a = «i on a2 le second membre de l'égalité (9) aura un signe défini par le signe du trinôme (10), c'est-à-dire qu'il sera positif pour a = a( et négatif pour a = a2. De la sorte que dans le cas considéré le second membre de l'égalité (9) peut être aussi bien positif que négatif "pour des. valeurs arbitrairement petites de r, c'est-à-dire que dans ce cas nous n'aurons ni maximum, ni minimum. IV. Supposons enfin que le trinôme (10) qui conserve un signe constant puisse s'annuler pour certaines valeurs de ce. Dans ce cas, sans examiner davantage le signe de e, nous ne pouvons tirer aucune conclusion quant au signe du second membre de l'égalité (9), et ce cas reste douteux dans notre étude. Ainsi tout a été réduit à l'examen du signe du trinôme (10) lorsque a varie et nous indiquerons des critères simples permettant de vérifier auquel des quatre cas nous avons affaire. a) Supposons tout d'abord que A g£= 0. Mettons le trinôme (10) sous la forme: (A cos g + B sin «)a4-MC—B') sin' et ,.,,
408 CH. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS YABIABLES Si AC — .02 est positif, le numérateur de la fraction écrite est la somme de deux termes positifs qui ne peuvent pas s'annuler simultanément. En effet, le second terme s'annule seulement si sin a = 0, mais alors cos a — ± 1 et le premier terme devient A2 ^ 0. De sorte que dans le cas considéré le signe de (11) est le môme que celui de A et, par suite, pour A > 0 nous aurons le cas (I), c'est-à- dire un minimum et pour A < 0 on a le cas (II), c'est-à-dire un maximum. b) Supposons encore que A ^= 0, mais que AC—B2 soit négatif. Le numérateur de la fraction (11) sera positif si sin a. = 0 et négatif pour cotga = — - , c'est pourquoi dans les conditions indiquées nous aurons le cas (III), c'est-à-dire qu'on n'aura ni maximum ni minimum. c) Si pour A ^ 0 nous avons AC — J3a = 0, le numérateur de la fraction (11) se réduit au premier terme et, étant toujours positif, devient nul pour cotg a = — -j, c'est-à-dire que dans ces conditions nous avons le cas douteux (IV). d) Supposons maintenant que .4=0 mais que fi 9^ 0, le trinôme (10) peut alors s'écrire: sin a (25 cos a+ Csin et). Pour les valeurs de a proches de zéro, l'expression entre parenthèses garde un signe constant identique à celui de B et le terme sin a a un signe différent suivant que a est plus grand ou plus petit que zéro, c'est- à-diro qu'on a le cas (III) où il n'y a ni maximum ni minimum. e) Supposons enfin que A = B = 0. Alors le trinôme (10) se réduit au seul terme C stna a et, par conséquent, peut s'annuler sans changer de signe, c'est-à-dire qu'on a le cas douteux. En tenant compte de ce que dans le cas d on a AC — J3* < 0 et dans le cas e nous avons AC — B2 = 0, on peut énoncer la règle suivante: pour obtenir les maxima et les minima à Vintérieur d'un domaine en supposant que la fonction/(x, y) y soit continue et possède des dérives continues du second ordre, il faut écrire les dérivées partielles f'x fa y) et f'v (x, y) et résoudre le système d'équations: /i(*, </) = 0, fu(x, y) = 0. Soit %=a, y = b une solution quelconque de ce système. En posant: jfii («, b) A mi (a, V) _ „ a»/(a, b) _„ Sa* ' daOb ~Ji' iM* ~" ' on détermine la solution d'après le schéma suivant: AC-IJî A + + 1 min. | max. — ni min. ni uiax. 0 cas douloux
"V-2. POBMULE DE TAYLOR, MAXIHA ET MtNIMA D'UNE PONCTION 409 V-3-4. Exemples. 1. Examinons uno surface z = / (x, y). L'équation du plan tangent sera [V-l-10]: p(X-x)+q(Y-,j)-(Z~z) = 0, où p et y représentent les dérivées partielles /i (x, g) et }'v (x, y). Si pour certaines valeurs x = a et y •= b la fonction z passe par un maximum ou un minimum, la point correspondant est un sommet de là surface : en un tel point le plan tangent doit être parallèle au plan XY, c'est-à-dire que les dérivées partielles p et q doivent s'annuler et la surface doit être située d'un côté du plan tangent, au voisinage du point de contact (fig. 103). Mais il Fig. 163 peut arriver quo p et q s'annulent en un certain point, c'est-à-diro que lo plan tangent soit parallèle au plan X Y mais la surface au voisinage de ce point est située des deux côtés du plan tangent, et dans ce cas pour des valeurs définies de x et do y la fonction z ne passera ni par un maximum ni par un minimum. Indiquons encore une éventualité qui peut avoir lieu dans le cas que nous avons appelé douteux au paragraphe précédent. Supposons que pour x — a, y=b lo plan tangent est parallèle au plan XY et la surface est situés d'un côté du plan tangent mais a on commun avec lui une ligne passant par le point de contact. Dans ce cas la différence: /(a+ft, b+k)-f(a,b), no changeant pas de signe pour dos valeurs absolues de h et k suffisamment petites, pourra s'annuler, bien que h ou k ne soient pas nuls. Il est facile de réaliser ce cas, en s'iuiaginant par exemplo un cylindre.dont l'axe est parallelo au plan XY. Dans ce cas on dit aussi que la fonction / (x, y) a un maximum ou un minimum pour x — a et y — b [V-2-2]. La surface est un paraboloïde hyperbolique. En annulant les dérivéos partielles de z par rapport à z et à y on obtient x = y =■ 0, et le plan tangent à la surface- Fig. 164
410 CH. V. PONCTIONS DR PLUSIEURS VARIABLES à l'origino dos coordonnées coïncidera avec le plan XY. Considérons les dérivées partiellos du second ordre : dH 1 3'z Ô352 — ~aS~> fagy —U» IPz i_ par conséquent, nous avons: ^-^=--S5r<0' c'est-à-dire que pour x = y = 0 la fonction z n'a ni maximum ni minimum et nu voisinage de l'origine des coordonnées la surface est disposée de part et 4'autre du plan tangent (fig. 164). 2. Sur uns surface on se donna n points Mt (a<, bt) U = 1, 2, . . ., n). On cherche lo point M tel que la somme des produits des nombres positifs donnés nu par le carte des distances du point M anx points Mi soit minimum. Soit (x, y) los coordonnées dn point M cherché. La somme considérée sera : n Ëln annulant les dérivées partielles a'x et w'u, il vient: j.-_ mlai+m2a2-\ -)~TOnan n>ifei + Bt?>2-r ■ ■ - + Mn^n ,j2\ On peut facilement vérifier que dans le cas considéré A ot AC — Jï8 seront positifs ot quo, par conséquent, un minimum w correspondra effectivement aux valeurs trouvées do x ot y. Ce minimum est la valeur la plus petito de v> dans lo plan (x, y) car u> -*■ + <x> lorsqn'on éloigne indéfiniment lo point (z, y). Si les points Mt sont des points matériels de masse mt, la formule (12) ■définit les coordonnées du centre de gravité pour U système des points M%. V-2-5. Remarques supplémentaires sur la recherche des miniifla et des niaxima d'une fonction. Les raisonnements précédents peuvent se généraliser au cas d'un plus grand nombre de variables indépendantes. Soit une fonction ■do trois variables indépendantes / (x, y, z). Pour trouver les valeurs des variables indépondantespour losquellescette fonction passe par un maximum ou un minimum, nous dovons résoudre un système de trois équations avec trois inconnues (V-2-2J: /i(*, W. 2) = 0, fy(x, y,z)=Q, fz(x, y, z)=0. (13) Soit x= a, y = fc, z — c une des solutions du système. Exposons brièvement lo moyen d'étudier ces valeurs. La formule de Taylor nous donne l'accroissement d'uno fonction sous forme d'une sommo de polynômes homogènes développés suivant lus puissances dos accroissements des variables indépendantes; Af=h & 1-* 55 +l ai + +-i-(»i+*-i:+.i-)w/(..».*+-.f +-FRÏÏ (^+^+^)^^+^ >+e*.«+eo (0<e<«. (14)
V-2. FORMULE BB TAYLOR, MAXIMA ET MINIMA D'UNE FONCTION 411 Los valeurs a = a, j = ft, z= g vérifient les équations (13). Par suite: h df(a, 6, c) , k 3/(a, b,c) 3/(a, ft, ¢) Q Si l'ensemble des termes du second ordre par rapport à h, k, l Mk-w+ki+l-i-r^^ (15) s'unuulo seulement pour h — k — l = 0, lo signe du second membre do (14) pour h, k, l suffisamment potits on valeur absolue est le même quo colui do (15), ot si co signe est (-)-) , / (a, 6, e) est nn minimum de la fonction / (z, y, z), ai c'est (—•),' nous avons un maximum. Si l'expression (15) peut avoir des signes différents, / (a, b, c) n'est ni un maximum, ni un minimum de la fonction, Si enfin l'expression (15), sans changer de signe, s'annnlo pour certaines valeurs do h, k, l différentes de k — k = ( = 0, on a le cas douteux et il faut étudier dans le. second membre de (14) des termes qui ont un degré supérieur à deux en h, h et l. Effectuons l'examen complet do co cas douteux dans l'exemple particulier de deux variables indépendantes: u=aa—2xy-\-y*-^-x3-\-y*. Les valeurs x = y = 0 rendent nulles les dérivées partielles — et j- . De plus, nous avons: ,,_ *» I -9 h a*« I 9 r &<* I , 1/^=0 ipû &=0 c'ost-à-dire que nous sommes dans lo cas douteuxi Une particularité caractéristique de ce cas ast quo i'euscmblo des termes dn second degré dans l'expression de la fonction u ost un carra parfait et nous ponvons écrire « = (*-tf)2+(*8+&'3). Pour x = y — 0, u devient nul. Pour examiner le signe de u pour x ut y voisins do zéro, introduisons les coordonnées polaires: x=rcosa, p=rsina. En remplaçant x et y par leurs valeurs, il vient : u^r^ [(cosœ—sinœ)3+r(cos;'a-|-sin3 a)]. Pour touto valeur deadansl'intervallo(0,2jî), différente de -j- et de -j-: cos« — sin et =£ 0, ot pour toute valeur de « on peut choisir un r„ positif tel que pour r < r0 l'ox- prossion entre crochets soit positive. Si a = -^, l'expression restera positive, 5ît mais pour a=—r- elle devient négative et, par ooEséqaent, pour x — y = 0 la fonction u n'aura ni maximum ni minimum. Examinons maintenant la fonction: u=(y—x^—xt.
412 OH. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VATUABLES Il est facllo de vérifier que pour x — y =■ 0 les dérivées partielles — et j- s'annulent et que nous sommes dans le cas douteux. En prenant x arbitrairement petit ot on posant « ■- x3 on voit que la fonction u devient (—a6) et son signe dépendra de celui de x, c'est-à-dire que pour x — y = 0 la fonction ne passera ni par un maximum ni par un minimum. Introduisant les coordonnées polaires nous obtenons: u=ri (sin* a—2r cosa a sin a+^ cos* a—r3 cos° a), et on voit que pour tonto valeur de a y compris a "= 0 et n, on pent trouver nn ra positif tel que u 2> 0 ponc r <C r0l c'est-à-dïro qne sur tonte demi-droite issue *~X Fig. 1G5 de l'origine, la fonction «soit positive au voisinage de l'origine. Cepondant cola n'entraîne pas que l'origine soit unminimum où u.= 0 car on no pent pas trouver un ra qui soit le même pour toutes les valenrs do a. Nous avons tracé la conrbe (y — x2)- — i6 =0 |II-5-7J et nons avons vn qn'elle a nn point de rebroussement du denxième ordre à l'origine ot que le premier membre de cette éqnation est négatif au voisinage de l'origine pour les points situés dans la région hachurée do la fig. 165 qui se tronve ontro les doux branches de la courbo. V-2-C. Lu plus grande et la plus petite valeur d'nne fonction. Supposons que l'on vonf lie chercher la valenr la pins grande d'nne fonction / (s, y) donnée dans un certain domaine. La méthode exposéo [V-2-3I nous permet de tronvar tons les maxhna à V intérieur do ce domaine, c'est-à-dire les points dn domaine où la fonction n'est pas moins grande qn'aux points voisins. Ponr tronver la plus grande valour de la fonction il faut tenir compte des valonrs de la fonction aux limites (contours) du domaine considéré et comparer ses maxima sitnés A l'intérieur du domaine avec ses valenrs snr les contonrs. La plus grande de tontes ces valours sera celle la plus grande de la fonction dans le domaine donné. On obtient do façon analogno la plus petite valeur de la fonction dans 1b domaine. Pour expliciter ces notions nous allons traiter nn exemple. Dans le plan on se donne le triangle OAB (fig. 166) formé par les axes OX, OY et la droite x-\-y—1 = 0. (IG) On eeiU trouver le point de ce triangle pour lequel la somme des earrês des distances du point, aux sommets du triangle soit ta plus petite. En tenant compte do ce qne les sommets A et B ont pour coordonnées (1, 0) et (0, 1), nous pouvons écrire cette sonimo dos carrés dos distances du point variable (x, y) aux sommets du triangle: 2.= 2^ + 2^ + (1-1)^-1-(0-1)2.
V-2. FORMULE DE TAYLOR, MAXIMA ET MINIMA D'UNE FONCTION 413 En annulant les dérivées partielles du premier ordre», jioiis obtenons x = ■=■ 'J = 1/s et '1 6st facile de montrée que la valeur correspondante de la fonction z =* 4/a est le minimum. Examinons maintenant les valours de z sur lo contour du triangle. Pour examiner la valeur de z sur lo côté OA il suffît do poser y = 0 dans l'expression de z: z=2ïS-|-(œ—1)2+1, et x varie dans l'intervalle (0, 1). En faisant comme on [II-3-4J, on voit quo la plus petite valeur de z sur OA est 5/gau point C pour lequel x—1/}. De même, sur OB z passera par la plus petite valeur '/s au point D pour lequel y — '/a- Pour examiner les valeurs de z sur lo côté AB il suffit do poser y = 1 —x dans l'expression (16) de z: z = 3ï2 + 3(a:—l)s, et x varie dans l'intervalle (0, 1). Dans ce cas la valeur minimum de z sera 3/2 et si) trouve au point E ^our lequel x — y = l/j. Nous obtonons ainsi la tabla <îos valeurs les plus petites possibles de la fonction: ?. y z 1 1 8' 3 4 3 !•» 5 3 «•S 5 3 1 1 2' 5 3 2 On voit sur cotte table que la plus petite valeur z = </3 sera atteinte au point (Va; Va)- Le problème posé pout être également résolu pour tout 4riangle et lo point cherché est lo centre de gravité du triangle. V-2-7. Minima et maxima relatifs. Jusqu'à présent nous examinions les maxima et les minima d'une fonction en supposant que Jes "variables dont dépendaitla fonction étaient indépendantes. Dans de tels cas les maxima et les minima sont dits absolus. Passons maintenant à l'examen du cas où les variablas dont dépend ]a fonction sont liées par certaines relations. Dans de tels cas les maxima et les minima sont dits relatifs. Cherchons) les maxima et les minima do la fonction : •de (m + n) variables xt qui sont liées par n relations: <P*(»i. «Z, --.i*m» *m+li ■ .-,*»iw) = 0 (17) (i = l, 2, ...,n). Dans la suite pour abréger les notations nous n'écrirons pas les ■arguments des fonctions. En résolvant les n relations (17) relatives à n variables, par exemple: œ>n+l> œm+2, ••• i £rn+nt
414 CH. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES nous los exprimerons au moyen dos m variables indépendantes ■Pi» "^Zy ' • • » ^m ! en portant ces expressions dans la fonction /, nous obtenons une fonction de m variables indépendantes, c'est-à-dire qu'on est ramené à chercher des maxima et des miniina absolus. Mais une telle solution du système (17) est souvent difficile et parfois même impraticable, et nous indiquerons un autre moyen: celui des multiplicateurs de Lagrange. Supposons qu'en un point M (x^ xz, . . ., iB+„) la fonction / passe par un maximum ou un minimum relatif. En supposant l'existence de dérivées au point M, on peut affirmer que la différentielle totale de / doit s'annuler au point M [V-2-2] : m-fn s=l D'autre part, en différentiant (17), on obtient au point M les n égalités suivantes: m-f-n Multiplions ces équations par des coefficients qui sont pour l'instant indéterminés: et les additionnons terme à terme entre elles et avec la relation (18) : m-fn a (^+^-5-+^.-8-+---+^-6-)^=0- <19> Définissons ces n multiplicateurs de façon à ce que les coefficients des n différentielles des variables dépendantes soient nuls, c'est-à-dire que nous allons obtenir les \, Xit . . ., Xn à partir de n égalités: -£■+»* S-+*. 4S-+- -+»--S-0 (20> (s = TO-f 1, rn-\-2, ...,m-t-n),
"V-2, FOKMULE DE TAYI.OB, MAX1STA ET MINIMA D'UNE VONCTIOiV 415 Alors, dans le premier membre de la relation (19), il ne restera que des termes contenant les différentielles des variables indépendantes: dxu âx2, ..., âxm, c'est-à-dire : 2 (-fr+^-£-+^+---+*.-S-)*.-o. (2i> Mais les différentielles dxit dx^, . . ., dxm des variables indépendantes sont des grandeurs arbitraires. En égalant l'une d'elles à 1 et les autres à 0, il résulte de l'égalité (21) que tous les coefficients de cette égalité doivent être nuls [V-l-81, c'est-à-dire que: ^+^+^+-+^¾^0 (.-1.2.....-). (22) Il faut tenir compte du fait que dans toutes les formules précédentes, depuis (18), les variables xe sont remplacées par les coordonnées du point M où, par hypothèse, / passe par un maximum ou un minimum relatif. En particulier, cela concerne les équations (20) à partir desquelles on doit déterminer a.4, a.2, . . ., a.„. De sorte que les équations (22), (20) et (17) expriment la condition nécessaire pour qu'au, point (xu xz, . . ., xn+n) on soit en un maximum ou un minimum relatif. Les équations (22), (20) et (17) nous fournissent (m -(- In) équations pour déterminer (m + n) variables xt et n multiplicateurs a.*. On voit, d'après le système (22) et (20), que pour obtenir les valeurs des variables xa pour lesquelles la fonction f passe par un maximum ou un minimum relatifs, il faut annuler les dérivées partielles par rapport à tous les xs de la fonction O définie par la relation : <D = /+A.i<Pi + A.aq>a+ \-K<fn, en considérant que a,1? X2, . . ., Xn sont constants et leur adjoindre les n équations de liaison (17). Au paragraphe suivant, nous exposerons brièvement le problème des conditions suffisantes. Notons que lors de l'obtention de la règle indiquée, nous avons supposé non seulement l'existence do dérivées des fonctions /et <ft, mais aussi la possibilité de déterminor les multiplicateurs Xu X.2, . . . ...,¾^ à partir de l'équation (20), C'est pourquoi la règle indiquée peut ne pas donner certaines valeurs de (a;,, z2, . . ., xm+n) pour lesquelles on a un maximum ou un minimum relatif. Nous allons expliquer maintenant plus en détail cette circonstance dans les cas les plus simples el nous perfectionnerons la théorie.
416 CH, V. PONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES V-2-8. Remarques complémentaires. Soit à chercher losmaxinia et rainînia relatifs d'une fonction / (x, y) avec une condition supplémentaire: q>(«, if) = 0, (23) «t supposons, par exemple, que l'on passe par le maximum rolatîf au point (x„, j/„) ot que ç («„> ffo) = °. Supposons que <f> (x, y) a des dérivées partielles •continues du premier ordre au point (x„, yt) et à son voisinage et quo de plus: 5>io (¾. ffo) «h 0. (24) Alors l'équaticn (23) définit do façon «nique au voisinage de x = xa la fonction # => û) (*) continue, ainsi quo sa dérivée continue et telle que yt, = ûi (¾) 1V-1-7). En portant y ■= a> (a:) dans la fonction / (a, y), on peut affirmer que ■la fonction / [x, e> (x)\ d'une variable « doit passer par un maximum pour x = — x„ et. par suite, que sa différentielle totale par rapport 5 x doit s'annuler pour a- = x0, c'ost-à-dirû: /i0(*0> ^,) + /^(3¾. !/o)0>'(«o)=0. En portant ^=0)(¾) dans (23) et en différentlant par rapport h x on obtient •au point (z0, y<,) [11-4-31: En multipliant cotte équation par?, et en l'ajoutant terme à terme à la précédente, il vient : ,En calculant \ 5 partirde la condition /S/o+Xfppo^Oi ce qui est possible, d'o- jii-ôs (M), nous aurons /i„-)-^,,= 0, c'est-à-dire qu'on a los deux équations: ^. + ^,-0:^, + ^-0, (25) •auxquelles il faut ajouter l'équation <j> (*o> ïo) =» 0, co qui justifie la raétliodo des multiplicateurs. Si la condition (24) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire ai <pirç (xo, Jo) = P niais si çl0 (x0, y0) ^ 0, on pout répéter tous les raisonnements précédents on intervertissant les rôles de x et de y. Si au point (%, So) nous avons : ¢^(¾. !/o) = 0 et <Py0(a0, ffo)=0, (26) ■nous ne pouvons pas prouver quo le point (x0, yo) peut ôtro obtenu au rnoyon do la méthode des multlplicatoars. Les égalités (26) montrent quo le point (¾. y„) est un point singulier de la courba (23) [11-5-7]. Donnons maintenant un exemple d'un problème pour lequel les conditions (20) sont vérifiées au minimum relatif. Cherchons la distance minimum entre le point (—1, 0) et les points situés sur la parabolesemi-enbique y* — x3 =» 0 (v. fig. 87) III-5-7]. Ainsi on cherche le minimum do la fonction / = (x -f- l)a-(-i/a avec comme conditioni|> = y2 — — j^ = 0. 11 est évident par la géométrie que le minimum est atteint au point (0, û"> situé sur la parabole semi-cubique ot étant un point singulier. Lamétbode dos multiplicateurs nous donne les deux équations: 2(3-1-1)-3^=0, 2y+2%y=0. En faisant x — 0, y =• 0 la première équation donne une égalité absurde 2 = 0 et la deuxième est vérifiée pour tout X.. Dans co cas, la méthode des multiplicateurs no nous donnera pas lo point (0, 0) où on a un minimum relatif. De façon analogue, on peut montrer que si au point (x<t, y<» z<>) la fonction jpasso par un maximum ou un minimum avec uno condition complémentaire
V-2. FORMULE DE TAYLOR, MAXIMA ET MINIMA D'UNE PONCTION 417 »p (a:, y, z) = 0 et si l'uno au moins des dérivées partielles du premier ordre de la fonction ij> n'est pas nulle an point (*o. y0. z0), ce point peut ëtro ohlonu au moyen dos multiplicateurs. Dus raisonnements analogues s'appliquent aux cas plus généraux, «nais il faut tenir compte du théorème, des fonctions implicitos pour les systèmes d'équations dolil nous avons parié [V-I-7I. Supposons par exemple que la fonction / (4!, j/, s) passe par uu maximum relatif au point (r0, y0, z£) avec deux conditions oomplémeiitaites : <P(œ> y, *)-Û, i|> (*.!/. 3)=0, (27) avec les hypothèses habituelles d'existence et de continuité dite dérivées et si nous avons: <f>'vo(xo> Vo, ^0)^,,(^07 I/o, ^0)-^,,(¾. !/o> H)%0(*o> So, zo)=pO. (28) Alors les équations (27) définissent de façon unique les fonctions: y = ùi, (z) et z = û>2 (x) telles que i/o = e>i teo) et z0 = o)2 teO- En portant ces fonctions dans la fonction /, ou obtient une fonction de * seulemont qui passe par un maximum pour x — x0. d'où il résulte: /io^O' »o. *o)+ ^,,(¾. y<)> *o) <"i (¾)+ /^(2¾. ?o> 20)^2(^0) = 0. IÎ11 portant ces fonctions dans (27) et en dérivant par rapport à a; au point (x0, y0, z0), on obtient: "Pio + vio™1^ 1-^0^(^0) = 0, %0-\-Vvlp'i (^0)-(-^5(^0)=0. Multiplions ces équations par \t et %2 et ajoutons-les à la précédento, il vient : (£, + ^0+^)-1-(^.+^1¾. +^'J + (/i.+ ^i<p;„-)-?.^.) = 0. (29) En tenant compte de (28), on poul affirmer qu'à partir des deux équations: ^0+^0 + ^0=0- /;„+^o+M>;o=0 (30) nous pouvons obtenir À, et ?.s ot l'équation (29) nous amène alors à l'égalité: /i„+^i„+^*i„=°. (31) ce qui justifie l'application de la méthode des multiplicateurs dans le cas considéré. Il faut ajoulor aux équations (30) ot (31) : fixa, i/o, zo)=0 et ty(xei y0, 20) = 0. Au lieu de la condition (28) on pourrait imposer une condition analogue en dérivant par rapport à œ0 ot y„ ou x„ ot tu au lieu de y0 et z0- Mais si en plus de l'expression qui figure dans ie premier membre de (28) les deux autres expressions analogues obtenues en dérivant par rapport à *o et Ho ou à x„ ut z0 sont nulles, on ne peut plus justifier la méthode des multiplicateurs pour le point (z0l y„, zo). On peut montrer que dans tous les cas qui seront examinés au paragraphe suivant, 0« ne pourra pas se trouver dans une telle situation. Ainsi dans l'exemple 1, on a une condition complémentaire (32) et dans le premier membre de cette condition l'un au moine des nombres A, S, C n'est pas nul, SiC ^ 0, par exemple, la dérivée du premier membro de (32) par repport à z est égale à C et, par suite, olle est non nulle en tout point (z, y, z). Ceci montre que dans le cas considéré, toute réponse doit être obtenue par la méthode des multiplicateurs. Donnons maintenant quelques indications sur les conditions suffisantes concernant lesmaximaetles minima relatifs, ennous limitant au cas où nous avons deux variables indépendantes. Nous cherchons les maxima ot les minima relatifs do la fonction / (x, y, z) avec la condition complémentaire <p (z, y, z) =» *= 0. Formons la fonction ¢ = /-)- k<p. Supposons qu'en annulant ses dérivées 27-281
418 CH. V. FONCTIOMS DE PLUSIEURS VARIABLES premières par rapport à *, y et z et en tenant compte do la condition supplémentaire, nous ayons obtenu x — *0, y = y0, s = H et à, = &.„. Nous devons examiner los valeurs obtenuoa des variables, c'est-à-dire déterminer le signe do la différence f (x, y, z) ^—f (x0, y0, z0) pour tout (a:, y, z) suffisamment proche do (r0, y0, z0) ot vérifiant la condition <p (ar, y, s) = 0. Introduisons Ja fonction: *(*. V, *) = /0. y, *)+*dT'(*. ». *)■ De la condition <p («, y, z) = 0 11 résulte que l'on peut examiner la différence ij> (a, y, 2) — ifi (i0, LTo. 2<i) au lieu de / (x, y, z) — f («<,, p0> *o). Les déri- véos partielles du premier ordre de la fonction i|> (a, y, g) au point (at0, y0, z0) sont nulles par hypothèses. En développant la dernière différence en série de Taylor et en sa limitant aux tccmes ayant des dérivées secondes, on obtient uno équation du type [V-2-5J: if(*i V, *) —*(*0t W> «)"aiidï2-r-œj2dy2 |-i33ds5 f -\-2atîdx dy -\~2uisdx dsJr2ai3dy dz 4- •.., où on a désigné par a;& les valeurs correspondantes des dérivées partielles du second ordre do la fonction 1|> (x, y, 2) au point {xe, ya, z0) et par dx, dy, ds les accroissements des variables. Supposons que <pz0 (x0, ya, z0) 7* 0, de sorte que la condition donne z = <ù (x, y) et z0 = ta (at0, j/0). Il résulte de la condition que : <P'X(X> »• *)rfœ-r-"P;,(s. tf. *)<*» +«Pi(*. y. z)dz=Q. En faisant a — xa, y — y0, 2 — *o, on exprime dz en fonction de dx et de dy: q£ô (*a. go, *o) y'^^o, m. =¾) î_ %o<xo. i/o. *o) Z fz0(z0' Po. 5o) d"' En remplaçant dz par sa valeur dans le développement et bd regroupant, il vient : \J)(x, y, z) — <J>(20, j/0, zd=iAdx*+2Bdxd-g + Cdy*+... On pout maintenant utiliser los résultats de [V-2-3I. Ainsi, par exemple, si A C — B1 > 0 et A > 0, au point (20, ïo< zo) 'a fonction / (a, j/, z) passe par un minimum relatif. Il résulte dos raisonnements exposés au paragraphe [V-2-3] que pour justifier la règle indiquée, il surfit do»supposor que les fonctions f {x, y, z) ot <p (x, y, z) ont au point (x0, y0, z0) et dans son voisinage des dérivées continues jusqu'au second ordre. Nous ne nous étendrons pas davantage sur le problème des conditions suffisantes du maximum et du minimum relatifs. Ce qui a été essentiel dans les raisonnements précédents, c'est la substitution à / (x, y, z) — / (x0, y0, »„) de la différence 1{> (a:, y, z) — ij> {xa. Va, ,zo) aont ',es dérivées premièrOs sont nulles au point do, y0, z0),ainsi que le fait que la différentielle dz de la variable liée est définie par une équation du premier degré ou dx, dy, différentielles des variables indépendantes. On peut oxamîner de façon analogue les conditions suffisantes pour un nombre quelconque de variables et de liaisons. V-2-i). Exemples. 1,0b cherche la plus courte distance du point (a, b, c) à la surface Ax+&y + Cz+D=0. (32) Le carré do la distanco du point donné (a, b. c) au point courant (x, y, z) est: r» = (*-«)« + (j,_6)S.| ■ (z-e)i. (33)
V-2. FORMULE DE TAYLOlî, MAXIMA ET MINIMA D'UNE FONCTION ^ip, Dans lo eus présent les coordonnées (x, jr, z) doivent vérifier l'équnlîou (32) (lo point doit se trouver sur la surface). Cherchons le minimum de l'expression (33) avec la condition (32). On forme la fonctiun: d) = (a:-a)2 4-(y-6)3 + (2-c)2-f->,l(/1i + i3lf f C* f D). En annulant ses dérivées partielles par rapport à x, y, z, nous obtenons: «=a-4-M. B = »-4-AiB, s = o —4-AiC (34) £* it tt En portant ces valeurs dans (32) on peut obtenir X, : •ijAa+Bb+Co^D) Nous avons obtenu l'unique solution, et- cunimo une valeur minimum doit exister, les valeurs obtenues des variables doivent lui correspondre. En portant les valeurs (34) dans (38), on obtient l'expression du carré de la distance du point à la surface : rJ=~M (A* + B* + C*), où X, est défini par la formule (35). 2. Développer un nombre posîltf donné a suiiwrU trois cojnposantes positives x, y, z, tellss*qiie l*expression: 2mff"zî> (36) sait la plus grande possible (m, n, p sont des nombres positifs donnés). Cherchons le maximum de (36) avec comme condition complémentaire: x+y+s=.a. (37) Au lieu du maximum de (36) on peut chercher le maximum df son logarithme: mlnz-r-ttln ï-rplns. Formons la fonction : d)=«]a»4 nln y + p In z j-?,, (z-J y \-z~a). En annulant ses dérivées partielles : P l, ' et la relation (37) nous donne : %\ ' AJ Af . m Ml p * n o'est-à-diro : m+n-l-p ' m-\-n-\ p m-\-n-, p £2 (38) et les valeurs obtenues des variables sont des nombres positifs. On peut montrer tiu'avec tes conditions imposées (36) on doit avoir un maximum, et l'unicité de Ja solution montre, commo pour l'exomplo 1, quo les valeurs trouvées des variables donnent la valeur maximum à 1 expression (3(i). Les formules (38) montrent quo pour résouaro lo problemo, il faut diviser a en trois parties proportionnelles aux exposants m, n et p. Nous allons maintenant examiner dans les deux exemples suivants les conditions suffisantes par la méthode exposée au paragraphe précédent. 27*
420 CH. "V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 3. On conducteur de longueur l0 se divise à l'une de ses extrémités en k conducteurs de longueur ls (s = 1, 2, , . -, le) et l'intensité du courant dans les dlffireniesparttesduconducleurest i0,itt • . ., tf,. On se demande quelle section q0, <jj, . . ., qh II fo-ut donner aux différentes parties du conducteur afin qu'avec la différence de potentiel E donné pour les circuits (J0) lt), (la, h) ■ • '• Co. Wi o'J consomme la plus petite quantité de matière première V pour construire le circuit (f ig. 167). Soit c la résistance du fil dont la longuour et la section sont égales à l'unité (rosistivïté). La fonction V desvariablns qo,qi,. • .,% donton cherche la plus petite valeur sera: v=h°o + k<H + - •■+'*%• tin tenant compte de la différence de potentiel donné E, on peut écrire 4 relations Fig. 167 Formons la fonction ; V </o <ls ! (*=1, 2, ...,*)- En annulant les dérivées partielles de <1> par rapport à ?oi îii • obtient : ^-¾5^ I-** + •••-+*fc)-0, ï (39) • -,«*> on '«■ Xsclsis (s = l, 2, ....A)- (40) La condition (39) nous donne i *i'i _ ?z'a _ _ _ hth _ R Iqjq , ?i ïa ~ ' " ' îft e ?o en désignant par o la valour commune de ces rappeits, on pout écrire -. „ !^« t, L'équation (40) nous donne : -1, V 2: ,ft), 0-=> c «0 (41) IL'n portant Ces expressions das ?»6 dans la première des équations (40), il vient : îî-f(ft+ft!-.- + iS'*) soit: 1o~- Vk (^1 + ^2+---+¾¾) E l0t0 c «0
V-2. FORMULE DK TAYLOB, MAX1MA ET MINIMA B'DXB PONCTION 421 d'cù finalement: En portant cette valeur de ï0 dan» les rolations (41), nous obtenons pour _çW"/._i foio \ , , „ ,. ^ \ y*oCî»i+*bH—+¾1¾) ' Do sorte- que les conditions nécessaires pour quo l'on ait un maximum et un minimum <îo V nous donnent on sysLSme unique de valeurs positives pour ?oi ïn - - -i î»i mais pour des raisons physiques il est, évident que jpour un choix donné des sections on doit avoir la plus petite quaiuilé de matière première, ot ou peut allirmer quo les valeurs obtenues de ga, îi> ?z> • - -. % nous donnent des .solutions du problème.
Chapitre VI NOMBRES COMPLEXES, FONDEMENTS DE L'ALGÈBRE SUPÉRIEURE ET INTÉGRATION DES FONCTIONS VI-l. Les nombres complexes VI-1-1- Iajs nombres i^mplexes. Si oit SB limite aux soûls nombHSS réels, on sait, qu'il n'est, pas toujours possible d'extraire la racine 3'un nombre; la racine de degré pair d'un nombre négatif n'existe pas dans le domaine des nombres réels. C'est pourquoi Uno équation du second degré a coefficients réels n'a pas toujours de racines réelles. Ceci coitdttit, naturellement, à une généralisation do la notion de nombre, à l'introduction de nouveaux nombres, d'une espèce pins générale et dont les nombres réels présentent un cas particulier. Il est important do définir ces nombres et les opérations qu'on petit leur faire subir de sorte que toutes les règles principales connues pour les nombres réels restent valables pour les nouveaux «ombres. C'est une chose possible, comme nous le verrons par la suite. En plus de. l'impossibilité d'oxtraire des racines, dos considérations géométriques simples conduisent à une généralisation naturelle do la notion de nombres. Nous utiliserons ces considérations géométriques comme fil directeur pour généraliser la notion de nombre. Nous savons que tout nombre réel peut être roprésenté graphiquement sur tin axe donné OX, soit comme un segment sur cet axe, soit comme un point de cet axe, si on convient de placer l'origine de tous les segments à l'origine des coordonnées; iuversemeut, on peut associer à tout segment ou à tout point de l'axe OX un nombre réel défini. Si maintenant, au lieu de ne considérer que l'axe OC, nous examinerons le plan tout entier rapporté aux axes de coordonnées OX, OY, généralisant la notion do nombre, nous pourrons associer à chaque vecteur ou à chaque point du plan un certain nombre que nous appollorons complexe. Si on convient do no pas distinguer les vecteurs de même longueur ot de direction identique, on peut associer nu nombre réel non seulement à tout vecteur de l'axe OX mais, plus généralement, à tout vecteur parallèle à OX. En particulier, au vecteur dont lo sens coïncide
"VI-1. LES NOMBBBS COMPLEXES 423 avec la direction, positive de l'axe OX et de longueur unité correspond le nombre réel unité. Àssocionslesymbolei appelé unité imaginaire au vecteurdelongucur unité dont la direction coïncide avec la direction positive do l'axe OY. —*■ Tout vecteur MN du plan peut être représenté comme somme de —> —> deux vecteurs MP et PN parallèles aux v axes de coordonnées (fig. 168). On îait correspondre au vecteur MP parallèle à l'axe OX un nombre réel a. Et faisons correspondre au vecteur PN parallèle à l'axo OY le symbole bt, où 6 est un nombre réel dont la valeur absolue est égale à la longueur du vecteur PN ol qui sera positif si la Fig. 168 direction de PN coïncide avec la direction positive do l'axe OY "et négatif s'il est opposé à la direction positive de l'axe OY. De sorte qu'il est logique d'associer au vecteur MN le nombre complexe a + bt. Notons que le signe (+) dans l'expression a -\- bi n'est pas uu signe d'opération. Il faut considérer cette expression comme un symbole unique servant à désigner le nombre complexe. Noua reviendrons à l'examen do ce signe après avoir défini l'addition des nombres complexes. Los nombres réels a et b représentent évidemment les grandeurs des projections du vecteur MN sur los axes de coordonnées. Traçons à partir de l'origine des coordonnées le vecteur OA (fig. 168) ayant môme longueur et même orientation que lo vecteur MN. L'extrémité A de co vecteur aura pour coordonnées (o, b) et on peut associer au point A le même nombre complexe a 4- bi qu'aux vecteurs MN et OA. Ainsi, à chaque vecteur du plan (à chaque point du plan) correspond un nambre complexe a -\- bi. Les nombres réels a et b sont égaux aux projections du. vecteur considéré sur les axes de coordonnées (aux coordonnées du point considéré). En donnant dans l'expression a -\- bt toutes les valeurs réelles possibles aux symboles a et b, nous obtiendrons un ensemble de nombres complexes; on dira que a est la partie réelle et que bi est la partie imaginaire du nombre complexe.
424 CH. Vr. NOMBRES COMPLEXES, l'OÎN'DEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE Dans le cas particulier d'un vecteur parallèle à l'axe OX lé nombre complexe coïncide avec sa partio réelle : a + Oi^a. (1) De sorto quo le nombre réel a est un cas particulier de nombre complexe. La notion d'égalité de deux nombres complexes découle de l'interprétation géométrique. Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont mêmes longueurs et même orientation, e'esl-à-dire s'ils ont des projections identiques sur les axes de coordonnées, c'est pourquoi on dira que deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, leurs parties réelles sont égales ainsi que leurs parties imaginaires, c'est-à-dire que la condition d'égalité de deux nombres complexes a1-\-bli=^ai-\-bzi sera équivalente à ¢1=^2, &j = 62. (2) En particulier, a-)-bi = Q est équivalent à o = 0, 6 = 0. Au lieu de définir le vecteur MN par ses projections a et b sur les axes de coordonnées, on peut le définir par deux autres grandeurs, à savoir, la longueur r et l'angle <p, que forme la direction de MN avec la direction positive do l'axe OX{îig. 168). Si nous considérons qwe le nombre complexe a + bi correspond au point de coordonnées (a, b), alors r et <p seront les coordonnées polaires de ce point. On sait qu'on a alors les relations a = rcos(p, 6=rsincp, r = Va* + bt, cos<p=y^' s'm(f=yïkw' <P=arcts4-j (4 Le nombre positif r est le module et <p l'argument du nombre complexo a + bi. L'argumeut n'est défiui qu'à un multiple de 2it près, car tout vecteur MN coïncidera avec lui-même si on le fait tourner un nombre quelconque do fois autour du point M dans un sens ou dans l'autre. Dans le cas où r = 0 le nombre complexe est nul et son argument est complètement indéterminé. La condition pour que deux nombres complexes soient égaux est évidemment que leurs modules soient égaux et que leurs arguments ne différent que d'un multiple entier de 2re. Un nombre entier a un argument égal à 2fcit, s'il est positif, et égal à (2¾ + 1) m s'il est négatif, où k est un entier quelconque. Si la partie réelle d'nn nombre complexe est nulle, il est de la forme. M et on dit qu'il est imaginaire pur. Le vecteur qni correspond à un tel nombre est un vecteur parallèle à l'axe OY ot l'argument d'un
VI-1. LUS NOMBRES COMPLEXES 425 nombre imaginaire pur bi est égal à (-g- + 2Jcn,\ , si 6 > 0 et à (3it/2 + 2&jt), si b < 0. Lo module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue. Pour représenter le module du nombre a + bi on l'écrit entre doux traits verticaux : \a+bi\ = V^+¥. Dans ce qui suit nous désignerons souvent un nombre complexe au moyen d'une lettre. Si a. est un nombre complexe, on désignera son module par | a, |. En tenant compte do l'expression (3) pour a el b on peut écrire l'expression d'un, nombre complexe au moyen de son module et de son argument sous la forme : r(cosqH-fsinq>). Dans ce cas on dit que le nombre complexe a été mis sous forme trigonométrique. VU-2. Addition et soustraction de nombres complexes. La somme de vecteurs est égale an vecteur qui ferme le polygone formé par les vecteurs composants. Si on tient compte de co quo la projection du vecteur qui fermo le polygone est égale à la somme des projections des vecteurs composants, on a la définition suivante de l'addition des nombres complexes : (tt( + M) + (<*2+ M H -I- («b -h M = = (tt[-f-tt2+.., -t-an)-(-(&i-rA+...+&„)£. (4) On voit sans difficulté que la somme de nombres complexes ne dépend pas de l'ordre des composantes (commutativité) et que los coni posantes peuvent être regroupées (associativité) car les sommes de nombres réels ah et bk jouissent do ces propriétés. Nous avons déjà vu que le nombre complexe a + 0£ est identique au nombre réel a. De même le nombre 0 + bi peut se mettre simplement sous la forme bi (nombre imaginaire pur). En utilisant la définition de l'addition nous pouvons dire quo le nombre complexe a + bi est la somme du nombre réel a. et du nombre imaginaire pur bi, c'est-à-dire que a + bi = (a + ûi) + (0 + bi). La soustraction se définit comme l'opération inverso de l'addition, c'est-à-dire que la différence x + y i=(a( + 6j l) — (¾ + b2i) est_définie à partir de la condition : (£ + 2/0 + (^ + ¾) = ai + hi,
426 CH. YI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE soit en tenant compte de (4) et de (2) : x -\- a2 = at ; y + 62 = b\, c'est-à-dire que x = av — az, y = bt — b2 et en îin de compte on trouve la relation : (¾ + bii)—(a2 + &2î") = («i — <h) + (!>i — h) t. (5) La soustraction d'un nombre complexe (a2 -f- b2i), ainsi que nous l'avons vu, est équivalente à l'addition des sombres complexes ">'¥/' V"''"''''"'""'^ \a,w,.ii,) Pig. 169 y\ 0 «y Sa, Pig. 170 («! + bii) et {— «2 — bit). Ceci correspond à ce qui suit : la soustrac* lion de vecteurs se réduit à. l'addition d'un vecteur avec un vectevr de longueur égale et opposé à celui que l'on veut retrancher. Examinons le vecteur A{Ax dont l'origine est au point Ai auquel correspond le nombre complexe a2 + bzi et dont l'extrémité est nu point Ai auquel correspond le nombre complexe a.t -\- b^. Ce vecteur représente évidemment la différence du vecteur OAi et OAe {tïg. 169) et par suite on peut lui Taire correspondre lo nombre complexe («■i — <h) + (l>i — h)<; égal à la différence des nombres complexes correspondant à son extrémité et fi son origine. Etablissons maintenant les propriétés du module de la somme et de la différence de deux nombres complexes. En tenant compte de ce que le module d'un nombre complexe est égal à la longueur du vecteur qui lui correspond et de ce qu'un côté du triangle est plus petit que la somme de deux autres, nous obtenons (fig. 170} I ai+«al«|ai| + |«2|. cl, on n'aura l'égalité que lorsque les vecteurs correspondant aux. nombres complexes ce» et os2 ont mOmo orientation, c'est-à-dire lorsque les arguments de ces nombres sont égaux ou ne diffèront que d'un
VI-1. I.ES NOMBRES COMPLEXES 427 multiple entier de 2ït. La propriété que nous venons d'établir reste vraie dans le cas d'un nombre quelconque de composantes: I «1+«a + ... -f- <*n | < I «, | +1 a21 + ... +1 c% |, •c'est-à-dire que le module d'une somme est plus petit ou- égal à la somme des modules des termes, et Végalité n'a lieu que dans le cas oà les arguments des termes sont égaux ou. ne diffèrent que d'un multiple entier de 2it. En tenant compte de ce que le côté du triangle est plus grand que la différence des deux autres côtés, on a Ioj + ObI^KI —|«a|. c'est-à-dire que le module d'une somme de deux termes est plus grand ou égal à la différence des modules de ces deux termes. On anra l'égalité seulement lorsque les vecteurs associés seront d'orientation opposée. La soustraction do vecteurs et do nombres complexes revient, ■comme nous l'avons déjà vu, à une addition, et nous aurons pour le module de la différence de deux nombres complexes, comme pour le module de la somme, les relations (fig. 170) : |ai| — |«*l<l«i--œî|<lail + l«î|- YI-i-3. Multiplication de nombres complexes. Nous définirons le produit de deux nombres complexes de la m&mo façon que lo produit de deux nombres réels : le produit est considéré comme un nombre formé d'un multiplicande alors que le multiplicateur est pris pour unité. Le vecteur correspondant au nombre complexe de modiile r et d'argument <p peut être obtenu à partir du vecteur unité dont la longueur est égale à l'unité et dont la direction coïncide avec la direction positivedel'axe0.sr(«.l'allongeantderfois et en le faisant tourner dans le sens positif de l'angle (p. Lo produit d'un certain vecteur ai parle vecteur <t2 sera le vecteur obtenu en appliquant au vecteur ai l'allongement indiqué ci-dessus et la rotation à l'aide desquels le vecteur a2 peut être obtenu à partir an vecteur unité; h ce dernier correspond alors, évidemment, une unité réelle. SI (ri, q>()et(r2, <p2) sont les modules et les arguments des nombres complexes qiii correspondent aux vecteurs a1 et «2, au produit de ces deux vecteurs correspondra un nombre complexe de module 7-^2 et d'argument (q)t + q>2). Nous obtenons ainsi la définition suivante du produit de deux nombres complexes: Le produit de deux nombres complexes est un nombre complexe tel que son module soit égal au produit des modules des facteurs et son argument à la somme de leurs arguments.
428 CU. VI. N0MU1U2S COMPLEXES, FONDEM. DE X.'ALGÈBBE SUPERIEURE De sorte que si le nombre complexe est donne" sous forme tri- goneméUique, on a rt (cos (pi + i sin tfi() • r2 (cos <p2 + i sin q>2) = = ?ya [cos (qi,-fcpa)-fi sin (<p, -f <p2)]. (6) Donnons maintenant la règle de formation du produit dans le cas où les nombres complexes ne sont pas donnés sous forme trigo- iiométrique ; (a,-|-6,i)(aa+V) = a: + ^J- En se. servant de la notation utilisée ci-dessus pour les modules cl les arguments des facteurs, on peut écrire : «i = r4 cos q>j, i] = r4 sin q)i, a2 = r2 cos q>2, 62 = r2 sin <p2 ; d'après la définition, du produit (6) : x = nr%cos (qi! + q>2), y = r,?-2 sin (tp, + q>2), d'où r = r(r2 (cos <p( cos <p2—sin qpi sin (p2) = — r( cos tfi • ;'acos <p2 — r( sin çp( • r2 sin q>2 = «i«2 — &!&2, y = >y2 (sin (p( cos (p2 -(- cos q>, sin <p2) = r( sin q>i • rz cos q>2 -f -)• r4 cos (Pjl • î-2 sin <p2 = b^ -f a162, ot finalement nous obtenons : («i + &»0 (¾ + ''2O — (ai«2 — ^1¾) + (6l02 + ai ftz) ^ • (7) Si &i = &2 — 0, les facteurs sont des nombres réols ai et a2 et le produH se réduit au produit a^ de ces deux, nombres. Si ai = o2 =* — 0 et si &| = 6S = i, l'égalité (7) nous donne }.£ = î2= —1, c'ftht-à-diro que le carré Je l'unité imaginaire est égal à (—1). Ei> calculant successivement les puissances entières positives de i, il vient: ia=—1, !s=—», »*=1, i3=i, ie=—1,... et en général pour tout k positif entier: t4ll=1t e4*+1 = f, iih^=— i, i*-''+î>=—i. La règle de multiplication définie par l'égalité (7) peut être formulée di» la manière suivante: fcs nombres complexes peuvent être multipliés comme des polynômes sous forme littérale en posant i2=—1. Si a est le nombre complexe a -f ii, on appellera complexe conjugué de c. le nombre a — bi et on le désignera par ET. D'après In formule (3) on a : |a|" = aa + 4*.
VI-1. LES NOMBRES COMPLEXES /j2« Mais il résulte de (7) que : («fui) {a — W) = a8+&2, et, par conséquent, | a p = (o +■ M) (a — ii) = aa, c'est-à-diro que fe produit de deux nombres conjugués complexes est égal au carré du module de chacun d'eux. Donnons encore des formules évidentes: a+a. = 2a, a — a = 2bi. (8) Il résulte des formules (4) et (7) que l'addition et la multiplication des nombres complexes sont commutatives, c'est-à-dire que l'ordre des termes ou facteurs n'influe pas sur le résultat. 11 est également facile de vérifier que les règles d'associativitd et de distributivité sont valables, elles s'expriment par les formules: (a1+as.)-fa3 = a, + (a2-fa3)) (0^2)113 = ^(1¾¾). (ai-|-a2)P = alp-|-aap. Nous laisserons au lecteur le soin de vérifier que ces formules sont vraies. Notons enfin que le produit de plusieurs facteurs aura un module égal au produit des modules des facteurs et un argument égal à la somme des arguments des facteurs. De sorte que le produit de- nombres complexes sera nul si, et seulement si, l'un des facteurs au moins est nul. VI-1-4. Division des nombres complexes. La division des nombres complexes so définit comme l'opération inverse de la multiplication. De sorte que si (rt. q>i> et (r2, q>2) sont les modules el les arguments du dividende et du diviseur, il est facile do voir que la division a un résultat défini, si le diviseur n'est pas nul, et que le module du quotient sera rjrt et son argument sera (tp, — q>2). En écrivant la division sous forme de fraction, on peut écrire: •/ T ■ ■ ■ = — [C°S (<Pi — <Pa) H-1 sin (<p, — ¢,)1. /9) r2(eos<p2-( fsuitp2) r2 " ' Ainsi, le module du quotient est égal au quotient des modules du dividende et du diviseur, et l'argument du quotient est égal à la diffêr rente des arguments du dividende et du diviseur. Si r2 =• 0, la formule (9) n'a plus de sens. Si lo dividende et le diviseur sont donnés non pas sous forme trigonométrique, mais sous la forme ai + bti et a2 + £>2i, nous obtiendrons, si nous exprimons les modules et les arguments par <?!, a2, bi, bi dans la formule (9), l'expression suivante pour lo quotient : «i + ty — «5 + 43 t~ «8 + &î ''
/l30 CH, "VI NOMBRES COMPLEXES, PONDEM. DE L'ALGEBRE SUPËBIEUBE que Ton peul obtenir directement, si l'on considère i comme un terme irrationnel et si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur par le nombre complexe, conjugué du dénominateur, de façon à éliminer i du dénominateur: "i + Si* _ ("î + MCa—&s0 _ (^2 + 61^)+(^2-^2) * ««+**' «! + »ï 4+51 ' et finalement : °i+ M __ a^+Ma . i»iaz—¢1¾ , Mnv «2 +M «i+61 i_ fl§ + 61 '• llU' Nous avons déjà indiqué [VT-1-31, que les lois de cominulalivilé, d'associativité et de distributivité restent vraies pour l'addition et la multiplication des nombres complexes, c'est pourquoi, dans les expressions contenant des nombres complexes, toutes les transformations qui découlent do ces lois et que l'on utilise pour les nombres réels restent valables. Par exemple la mise en facteurs, l'ouverture des parenthèses, la formule du binôme de Ncwlon dans le cas d'un exposant positif entier, les formules des progressions, ele. Notons encore une propriété importante des expressions contenant des nombres complexes, liés par les signes des quatre opérations élémentaires. Il résulte directement des formules (4), (5), (7) et (10) que si dans une somme, une différence, un produit et un quotient, nous remplaçons tous les nombres par leurs conjugués, les résultats des opérations sont également remplacés par leurs conjugués. Ainsi par exemple, si nous remplaçons dans la formule (7), 6, et &2 par (—bt) et (—62) nous obtiendrons: (rt, — bit) (ft2 — b2i) = (aia2— &A) — (M2 + ^1¾) i- Cette propriété sera, bien entendu, valable, pour toute expression contenant des nombres complexes liés par les signes des quatre opérations élémentaires. VI-1-5. Puissance d'un nombre complexe. Si nous appliquons la formule (6) dans le cas de n facteurs égaux, nous obtenons la règle permettant d'élever un nombre complexe à une puissance positive entière: [r (cos q> 4- i sin <p}]" = r" (cos wp 4- i sin mp), (11) c'esl-à-dirc que pour élever un nombre complexe à une puissance entière positive, il faut élever son module a cette puissance etmultiplier son argument par l'exposant de la puissance. En supposant que dans la formule (11) r = 1, nous obtenons la formule de Moivre (cos (p -|- i sin <p)B = cos nq> 4- i sin rcq>. (12/
■Vl-t. LES NOMBRES COMPLEXES 431 Exemples. 1. Si nous développons le premier membre de l'égalité (12) d'après la formule du binBmode Nowlon, et si nous égalons los parties réelles et imaginaicos d'après la condition (2), nous obtiendrons des expressions pour cos n<j> ot sin n<p en fonction des puissances do cos <p et do sin <p * ; cos«<p=cosn <p—(2 )cos,1_3(jisini(p-)- +( î ) cos»-"(p sur»<y f 1-(— 1)" ( S,,, ) cos"-2" <p sin*" (f f n ,,(-1)2 sin»<p (n est pair) 4. ...J-' n-l <W> *(—1) 2 n cos<p sin"~]<p (n ost impair); sln nif = ( " ) cos""1 çsïn(p—( " ) cos'1-' <p sin3 <p+ ( 5 ) cos'1-5 <p sln6 <p— + (-1)" (fk+i ) cos"-W'-iç sin^'+i <p -| ... -| n-3 *(—1) a rseos ipsitt"-1 <p (n est pair) *(—1) 2 sin"<p (r est impair). En particulier, pour » = 3, la formule (12) aura, après ouverture des paren- tliôses, In forme : cos5<p +3icos2<psin<p—.Scosif sin2<p—îshis<j>=cos3(p-|'< sin 3q>, d'où cos 3<p = cos3 (p—3 cos <p sin2 <p, sin 3q>=3 cosa <p sin ç—sin3 <f>. 2. Faisons la somme des expressions : ^a=l-j-rco3<p-j-r2cos2<|i —.-. |-ru_1cos(rt—l) <p, Z?„=r sin <j>4-r2 sin 2<H -fr"-' sin (rt— 1) q>. Supposons que : z=r(cos(p-| i sin (p) et formons le nombro complexe : ^n+Bnt = 14 r (cos 9 fi sin <p) -f r' (cos 2qj-|-t sin 2<p)-f ' • • • f -f ru~i|oos(«— 1) (f-f isin (n—l)<p]. Utilisons l'égalité (11) et la formule de in somme d'une progression géométrique: ^+^1 "' ' " ■••*'* i — z l-rfcosç-f-tslnip) _ (1 —r" cos nsp—1>" sin »9 "~ (1—rcostp)—Jrsin qi ' * Nous désignons par le symbole ( j le nombre de combinaisons de n élémouts pris m à m, eVst-à-dire: /n\_ »(» —1) ...(n —m |-i) _ "I '"v 1-2... m )?i!(n—m) \
432 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE I/ALOEBRE SUPERIEURE Si nous multiplions le numérateur et le dénominateur do la dornière fraction par la grandeur (1 — r oos q>) -)- ir sin <p, conjuguée complexe do dénominateur, nous obtiomirons : . . „ [(1—r"cQ3rtq>)—trnsin nqp] |(1 — rcos tp)-|-fr sin <p] ^n + 'ni= (1 —rcosip)* + r*sill»ip = (1 — r"cosrtip) (1—rcosq)) l-r"'1"1 sin (pain n<|) , ~~ ra—2rcqsç+l i (l~r"coSracp)j'sin y—(1 —rcosip) rn siiinqp ._ + r^—2rnoS(p+l l~ r"*1 eosfn—1) <p—rncosnip—rcosip f-1 . = r*~2r cosç-f-l "^ rn*i gin (ra— t) <p—rTC sin nip |- r sin (p + r^—2rcosç + l Si nous égalisons los parties réolles et imaginaires d'aprôs la condition (2), nous aurons : Ai=i + rcos(p-j-j"2cos2<}i-j l-i^-'cosfn—1) <p = _ r"** C(>s (g — 1) qp—rn cos n<p — r cos <p+1 — r«—2rcos<p-fl B„ = r sin <p+r1 sln 2<p + |- r»-1 sïti (n—1) <p = r^sin (n— 1) q>—r" sin/np-l-rsinip — ra—2rcos<p-(-t En considérant que ta vatour absolue «lu «ombee îéol r est inléiïooit) à 1, ot en faisant croître n indéfiniment, nous obtiendrons à la limite de la somme des séries infinios: .. , t ... i — r oos <p n l + rcosq) + ^cos^.|-...^r2_2reosq^1, ï rsmip + rasm2(p h"- = -3—«, , , , ■ Dans los expressions do yln et do I3n faisons r =■ 1, nous obtiendrons alors: os<p l-cos2ç-(-...+ cos(n— 1) ip =.- 2sin-~-sin (n——1 ç ■{-2 sin'-'-^- , „ , , , ,. cos(b—1) n>—cosimb—cosip+1 l + cosip-|-oos2q) + ...+6os(ii-l}<p= 2(1-cos y) -LZ- = <P 4sin2-|- / 1 \ . q> . rtif- (»—1) q? sm Irt—y) <p-fsin-j- sin—g-cos g lp m 2 sin -j" 3in 2 (150 Nous obtiendrons de mémo : nç , (n—1) qp sin —g- sin - 2 sinqH-sln2qH H-sin (n—1) ç= —. (1¾) sinT
VI-1. LUS NOMBRES COMPLEXES /,33 Vi-1-6. Extraction do, racine d'un nombre complexe. On appelle racine nam" d'un ntmbre complexe un nombre complexe dont la puissance n est égale au nombre sous le signe du radical. Ainsi, l'égalité y r {cos <p -(- i sin <p) — p (cos i|> -f-i sîn ip) est équivalente à l'égal!tu pn (cos n.i|) + i sin nip) = r (cos <p -f- i sîn <p). Mais les modules de nombres complexes égaux doivent ôtre égaux, ol; les arguments ne peuvent différer que d'un multiple entier de 2,n, c'est-à-dire que pn = r, 7c\|) = «p-f 2Âni, d'où : P=/r, ¢ = -^—-, où l/ rtsst la valeur arithmétique de la racino et k un nombre entier quelconque. Nous obtenons ainsi: Vr{CMV + tBlnV)-y7(«» g*2**. +isinilpi), (16) c'est-à-dire que pour extraire la racine d'un nombre complexe, il faut extraire la. racine de son module et diviser l'argument par l'exposant. Dans la formule (16), le nombre k peut prendre toutes les valeurs entières possibles; on peut cependant démontrer qu'il n'y aura que n valeurs différentes de la racine, et qu'elles correspondront aux valeurs: ft = 0, 1,2 (« —1). (17) Pour démontrer cela, remarquons que les seconds membres dans la formule (16) seront différents pour les deux valeurs k = ki ot k = fc2, alors que les arguments ïi—!^ et - — ne différeront pas d'un multiple entier de 2ji, et ils seront identiques, si les arguments en question diffèrent d'un multiple entier de 2ît. Mais la différence Qtt — kz) de deux nombres de la série (17) sera inférieure en valeur absolue à n, c'est pourquoi la différence qp + 2/ttît q>-j-2fc2Ji _ ^-¾ , a n n ne peut pas être un mulliple entier de 2n, c'est-à-dire qu'à n valeurs A; de la série (17) correspondent n valeurs distinctes de la racine. 28—281
434 011. VI. NOMBRES COMPLEXES, l'ONDKM. DJB L'ALOEBltB SUPERIEURE Soit maintenant &2 un nombre entier (positif ou négatif) qui ne figure pas dans la somme (17). Nous pouvons le mettre sous la forme : où q est un nombre entier, et kt un des nombres de la série (17), c'est pourquoi : »P + 2^" 9+2M _ j - n -■+ **9< c'est-à-dire qu'à la valeur &a correspond la même valeur de la racine qu'à la valeur /C| figurant dans la série (17). Ainsi, la racine nltm" d'un nombre complexe possède n valeurs différentes. Un cas particulier fait exception à cette règle. C'est le cas où le nombre sous le signe du radical est égal à zéro, c'est-à-dire où r = 0. Dans ce cas, toutes les valeurs indiquées plus haut sont égales à zéro. Exemples, i. Déterminons toutes les valeurs de f^i. Le module de i n 2 est égal 5 1, et son argument à 4r, c'est pourquoi : Vi=T/ cos-ir+isin-w- =cos——g \- 4j--+-2/ot + £sin g (4 = 0,1,2). Nous obtenons ies trois valeurs suivantes pour ^i: n . . n yS . i 5ît . Su ~\/l , 1 cos-jp-risin-g-^—jf—r~2~i, cos —g-■+■ i sin-g- — ——g—""-s; '• cos -5—r i S'U-jj- = —(■ 2. Eludions toutes ios valeurs de y^T, c'est-à-dire toutes les solutions du binôme : î"=1. Le moduio de 1 est égal à 1, et l'argument à zéro, o'est pourquoi: tir— nr : 2fcît , 2fot y 1 -s^-y cos0+i smO = cos— j-fsin •• (4 = 0, 1, 2, ...,«—!). Désignons par la lettre e la valeur de cette racine que l'on obtient pour k = - i: 2n . 2ît e=»cos —£~~ri Bin-^~ ■ D'après la formule do Moivre: 2kx , , 2/fîl e" = cos—-— -rfsiti—— ,
VI-1. LISS NOMBRES COMPLEXES 435 c'est-à-dire que toutes los racines do l'équation zn — 1 sont de la forma: e* </c=0, 1, 2 n-1), et on doit alors considérer que 8° = 1. Etudions maintenant le binôme do la forme: Introduisons à la place do z une nouvelle inconnue u, en supposant que «.— - t = » j/ a , où îTi est une valeur do la racine niimt do a. En substituant l'expression de i dans l'équation donnée, nous obtiendrons pour u l'équation: ««=1. D'où l'on voit que toutes les racines du l'équation) 2n = a peuvent être mises sous la forme: pTe* (fc=0, i, 2 n—1), où y^a est une dos » valeurs de cotte racine, et où b'' prend toutes les valeurs do la racîno nKm<! de i. Vt-1-7. Fonction exponentielle. Nous avons étudié précédemment la fonction exponentielle ex, dans le cas d'un exposant réel x. Etendons maintenant la notion de fonction exponentielle au cas d'un exposant complexe quelconque. La fonction ex, avec un exposant réel, peut être présentée sous forme d'une série [IV-2-4] : Définissons par une série analogue une fonction exponentielle d'exposant purement imaginaire, c'est-à-dire supposons que : e 1+ 11 + 2! + 31 ^'" Si nous séparons les termes réels des termes imaginaires, nous aurons : e \x 2i h4i 6i i ■•■; + + !ll! 3 ! h 51 7 1 ' ' • ' J ' d'où, nous rappelant les développements en série de cos y et de sin y [1V-2-5I, nous avons: ¢^ = 008^+i;sinsf. (18) Cette formule définit la fonction exponentielle d'un exposant imaginaire pur. Si npus remplaçons y 'pai (—y) x e"v'=;Cosff— tsiny ' "' (19) 28»
436 CH. "VI. NOMBRES COMPLEXES, TONDENT. DE L'ALQEBKE SUPERIEURE et si nous résolvons (18) et (19) par: rapport à cos y et sin y, nous obtiendrons les formules d'Etiler, qui expriment les fonctions tri- gonométrîques au moyen de louclions exponentielles d'exposant imaginaire pur: etfi -l«-!à , evi—e-yi cosy = X , smy = a . (20) La formule (18) donne la nouvelle forme exponentielle d'un nombre complexe ayant un. module r et un argument <p: r (cos tp + i sin <p) = rev1. Définissons une fonction exponentielle d'exposant complexe quelconque x -\- yi par la formule : e*+»* = ^.6^ = e*(eosy + isini/), (21) c'est-5-dire que le module du nombre e*-M sera considéré comme égal à ex, et l'argument égal à y. Il est facile d'étendre au cas des exposants complexes la règle d'addition des exposants de ta multiplication. Soit z = x -\- yi et 2, = *i -\- y,i : e:.e'i= e* (COs y -(-s ain y)-e*i (cos #t-f i sin y,), ou, si nous appliquons la règle de multiplication des «ombres complexes IV] -1-31, e■ e*1 = e*+*> [cos (y -f- y, ) -|- s sin (y + y,)]. Mais l'expression qui se trouve dans le second inembre de cette égalité est, par définition (21): e<ï+xi)+(jH-vi)i, c'est-à-dire a»+*i. La règle de soustraction des exposants lors de la division _£_ = e*-»i peut ÔU'o directement vérifiée, si l'on mull.jplio le quotient par le diviseur. Dans le cas où n est un entier positif, nous aurons.- (<r)" = ey ...e* = onï. n [OU Si non» utilisons les formules d'Euler, nous pourrons exprimer n'importe quelio puissance positive entière do sin ç ot do cos ip, ainsi que le produit do ces puissances, sous la forme d'une somme do termes ne
"Vl-1, LES NOMBRES COMPLEXES /ffl contenant que la première puissance du sinus on du cosinus dos arcs multiples: rin» 9= ' .im{m ' ■ cos^y^ ' ^ ' - (22) Si nous développons les seconds membres de ces égalités d'après la formule du binôme de Newton, en les multipliant et en ramenant les fonctions exponentiel les dans les développements obtenus à des fonctions trigonométriquos, selon les formules (18) et (19), nous obtenons l'expression recherchée. Exemples. 1. («•H+e-"»1)* ,««* , -Se2"* , 6 , /le-2*1 , -4<pi 1B 16 T 16 T 16 ^ 16 n 16 " 1 aW-j-t-W 1 e2<pi + e-i<ei £_ "8 2 +2 2 '" 8 ~ 'ai 1 = -jj + J cos 2<(>+-g- cos 4<p. 2. sin4 <pcos3<p=.- jg ^-.- ïg '- = — 128 ~ _ (eW_3e2^ + 38-a<|.£_e-61pi)(e(pt_e-((,l) — 128 _ eTl<_8S»l_3g8<HH.38*t + 3c-0i_ae-W-«-50« + t-7<l>« ~ 128 — = "64 cos ç—gj-cos:^-— cos 5ç—^00.5 7^. Ilemarquons ici que toute puissance ontièro do cos <p et tonte- puissance paire de sin q> sont des fonctions paires de u>, c'est-à-dire qu'elles ne changent pas fie valeur lorsqu'on remplace <[> par (—cp), et l'expression do ces fonctions pai- i-os de cp ne contiendra que les cosinus dos arcs multiples. Si donc une /onction est une fonction impairs do <r-, c'ost-à-dire si cette fonction change do signe lorsqu'on remplace cp par (—<(•), commo cela se fora par exemple dans le cas d'une puissance impaire de sin cp, le développement de cette fonction ne contiendra que les sinus des arcs multîplos, et il n'y aura certainement pas de terme libre dans ce développement. Mous étudierons cela pins en détail dans l'exposé (les séries trigonométriquos. VU-8. Fonctions trïgonométriquea et hyperboliques. Nous n'avons jusqu'ici étudié les fonctions trigonométnques que dans le cas d'un argument réel. Définissons les fonctions trigonométriqncs, pour un argument complexe quelconque z, au moyen dos formules d'Exiler: «zl+e-zi . 8i<_«-zl cos 2 = U , sinz=i ... - , 2 2c ■
438 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGÈBRE SUPERIEURE les expressions des seconds membres ayant alors pour z complexe quelconque un sens, que l'on a indiqué IVI-1-7]. Il est facile, en utilisant ces formules et los propriétés fondamentales d'une fonction exponentielle, de vérifier l'exactitude dos formules de trigonométrie dans le cas d'un argument complexe. Nous préposons au lecteur, comme exercice, de démontrer, par exemple, les relations: Sin* Z + 005*2= 1, sin (z 4-Zj) =sin z cos 2(-)- cos 2 sin zu cos (z -f- 2j) = ces z cos 24 — sin z sin zt. Les fonctions tg z et cotg z sont définies par les formules: sin 2 1 e2i_fi-«* i ctei — i tgz = COSZ i ezi^_e-zi t e2zt_t_l ' COtg 2 = ^ = i ^l±Tl = i ifîi+1 . sin z e2(__e-il £2zt_i Introduisons maiLtenant tes fondions hyperboliques. Le sinus et le cosinus hyperboliques se définissent selon les formules: shz ——~t— — -—^ , cri2=cost2=—^ , t, shz e*—e~z e" —i ti» z = chz e2-t-e-2 e"-|-l * Il est facile, on utilisant ces formules, de vérifier, par exemple, les relations suivantes: ch22 —sh2z=l, sh (zs ± zz) = sh Zi ch z2 ± ch 2j sh z2, ch (zj ± z2) = ch zt ch 22 -t sh z, sh zz, sh 2z = 2 sh z ch z, ch 23 = 0^2 + 8^ 2, tn <S2 = i . .-r-a—, Cth<SZ = .. .. . 1-j-th3* ' 2cthz Nous avons donc introduit une trigonométrie hyperbolique avec des formules analogues aux formules de la trigonométrie du cercle habituelle. Si nous remplaçons dans les formules de la trigonométrie ordinaire sin z par i sh z, et cos z par ch z, nous obtiendrons les formules correspondantes de la trigonométrie hyperbolique. Ce fait (23)
VU'. LES NOMBRES COMPLEXES 439 découle directement des formules qui définissent les fouctions hyperboliques. En utilisant cette, indication, il est facile d'obtenir les formules suivantes de réduction d'une somme de fonctions hyperboliques à la forme logarithmique: sh2I-r-sh22 = 23h-îi±S-ch-a=^-, 1 sh Zl-sh zz = 2 sh-ïi~2-ch -^±£2. , ch z, + ch z2 = 2 ch il£5. oh -^p-, ch Zl - ch 22 = 2 sh ii±£S. Bh ii^ÏL. (24) Etudions maintenant les fonctions hyperboliques pour des valeurs réelles de l'argument: shx = - th£ = 2 ch» = ctha: = 2 La courbe de la fonction # = cha est une chaînette [I1-5-9I, dont nous ferons l'étude plus en détail lVl-1-9]. Les courbes des fonctions ch a;, sh x, th ar, cth x sont représentées sur la fig. 171, Si nous dérivons directement, nous obtiendrons pour les dérivées les expressions suivantes : dx à tliœ = ch», i dx = sha:1 1 dz Ch32! ' De là, nous obtenons la table d'intégrales: \ shxdx = chx -j-C, \ ckxdx — shx-\-C, L'appellation elle-même de « fonctions hyperboliques » est la conséquence de ce que les fonctions ch t et sh t jouent, dans la repré-
440 CIT. VI. XOMBHBS COMPLEXES, EONDEM. DE lAALGBBIU! SOPEniEUliB Fig. 171 sentation paramétrique de l'hyperbole équilatère x" — i/8 = «*t le même rôle que les fonctions cos t et sini pour le cercle ^ + ^=02. La représentation paramétrique du cercle est : .r = flCos<, y = asint, et pour une hyperbole équilatère x = acht, y = aslit, comme il est facile de le constater à l'aide de la relation : ch2t— sh3i = l. La valeur géométrique du paramètre t dans les deux cas, pour le cercle et pour l'hyperbole, est identique. Si nous désignons par S Fig. 172 Fig. 173 l'aire du secteur AOM (fig. 172) ot par S0 l'aire d« cercle tout entier (S0 — na2), nous aurons: Admettons maintenant que S désigne l'aire d'uo secteur analogue de l'hyperbole équilatère (fig. 173). Nous avons: S = surf. OMN— surî. AMN=^xy — [j<& =
Vl-i. LRS NOMBRES COMPLEXES /,/ll Ba calculant l'intégrale d'après la formule de [I1I-1-7J, nous trou- s: S = yx V"&=&- j [x VW=tf-a* In (x + V-ï5^)]* = vons: ■T-^Jf+ /5=^) ■ Aï [a„bi 1 »-,«• Fig, 174 Si maintenant nous supposons, en désignant à nouveau par S0 l'aire du cercle, que: nous trouverons; sans peine que: d'où, en additionnant terme à terme et en multipliant par -|- ; c'est-à-dire qtie nous trouvons biea la représentation paramétrique d'une hyperbole équilatère.
/,42 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGBBRB 8UPBIUEURE VI-1-9. La chaînette. Examinons la courbe d'un fil pesant homogène, suspendu par ses extrémités Ai et Aj. (fig. 174). Dans le plan de cotte courbe, menons un axe OX horizontalement et un axe OY verticalement vers le haut. Examinons les éléments MM, — ds au fil. Sur chacun d'eux agissent los tensions T et Ts des autres jparties du fil et le poids de l'élément. Les tonsions sont appliquées aux ©xtremités M et Mt de l'élément et dirigées suivant des tangentes (T suivant la direction négative de la tangente, ot r, suivant la direction positive). Nous pouvons prendre le poids proportionnel à la longueur de l'élément : dp = p ds, où () est la donsité linéaire du fil (poids do l'unité de longueur courante). Pour qu'il y ail équilibre, il faut ot il suffit que la somme des projections des forces, exerçant une action sur l'élément, aussi bien horizontalement que vertioalement, soit égale à zéro. Puisque la projection du poids de l'élément ds -suivant la direction horizontale est nulle, les composantes horizontales des forces T et T, doivent 8lre égales et de aignos contraires. Nous désignerons par Ta leur composante) horizontale. Ensuite, nous obtenons, à partir de la figure, pour les composantes verticales des tonsions respectivement les expressions: —T0tga=—TeV' et Tets(a.+da)^Ta(.y' + dy'), où da est l'accroissement de l'angle a formé par la tangente avec l'axe OX, lorsqu'on se déplace de M en Mlt ot dy' l'accroissement correspondant du coefficient angulaire de la tangente, c'est-à-dire do la grandeur tg a. En annulant la somme des projections T, Tl et du poids p ds sur l'axe OY, nous obtiendrons: ToUj' + dy'ï-Toy'-pds^G, c'est-a-dire T0dy' = pd$, ce que l'on peut écrire aussi : T<,dy' = Pyi + y'*dx. (25) Les variables se séparent [III-1-8J: dy' dx , , Ta ■■ , - ——— i ou fc =—-, yi+y'2 * p remarquons que k est uno constante directement proportionnelle à la composante horizontale de la tension et inversement proportionnelle à la densité linéaire du fil. Intégrons l'équation obtenue: in(y+yï+F*)=^i, d'où: t * =ï'+yi+ï'î; pour définir y', introduisons la grandeur Inverse : _*+£} k 1 y'+Vi + y'* En retranchant membre àmombre cette égalité de la précédente, nous trouvons: x+Ci x+Cx
•VI-1. LES NOMBRES COMPLEXES 443 Si nous intégrons encore une fols, nous obtiendrons l'équation de la courbe du fil cherchée :. -I-Cî—j(« fç+C, *+Ci + « )• (26) tes constantes arbitraires Ct et C2 sont définies par la condition quo la courbe passe par' les points At (a„ ty) at A 2 (a2, fc2). Cependant, ce n'est pas l'équation <ie la courbe elle-même, qui présente le plus d'intérêt dans les applications <c'estrft-dire los constantes Ci et Ci), mais le rapport ontra les distances horizontale et verticale des points d'attache et la longueur de l'arc AiA^. Si nous étudions la relation de ces trois grandeurs, nous pouvons, bien entendu, effectuer une translation des axes de coordonnées. Si nous plaçons l'origine au point (—C,j — <72), nous pouvons fairo dans l'équation (26) Ct = ** cî — 0, et remplacer cette expression par une autre plus simplo: j, = |(8ft+e"ft, = ich|., (26,) d'où il est évident que la courbe est une chaînette. Supposons, avec les axes do coordonnées que l'on a choisis, quo le point d'attache At ait pour coordonnées (at, &,), et Aï (a2, frj). Si nous désignons par (, h. s les distances horizontale et verticale des points d'attaeho et la longueur du fil, nous aurons : l^az—alt k=b2~bl^k (ch -2p—ch --0 , H"y^dH°i/1+ahaTd*= D'après los formules (24) nous trouvons: h=2k SU J*±£L sh -?»=2fc sb ' * 3+p. , .^sh^Lch^l ,94,11 _Lpii JSifi. ^ftsh^-ch 2fc , d'où, en tenant compte de la première relation (23), cequi nous donne la relation entre l, h et s, que nous chorehions. Nous pouvons l'écrire sous cette autre forale: sh~ J_ 2fc 2k _ y&-h* l (27) Si l'on donne les points d'attache et la lpngueur du fil, las grandeurs l, h et s sont connues, et nous obtenons une équation définissant le paramètre k, ou, si la densité linéaire du fil p est également connue, l'équation (27) peut également
MA CH. -VI, NOMBRES COMPLEXES, PONDEM. DE L'ALOÈBRE SUPERIHURE servir à définir la composante horizontale de tension T„, Pour condenser les notations, posons: 24 -ê' l =c- L'équation (27) deviendra : ^-. m Nous rappelant le développement d'une fonction exponentielle on une série de puissance [rV-2-4], nous trouverons: shg tS-e-S |2 64 jo_ , g 2| "*" 31 "*" 5! ^ 7! "r-"' d'où nous voyons que lorsque £ croît de 0 S -f- oo, le rapport croît également de 1 à + m. Par conséquent, pour toute valeur donnée c > i, l'équation (27,) possède uno seule racine positive que l'on peut calculer en utilisant des tables de fonctions hyperboliques. Los grandeurs données l, h H s doivont alors vérifier la condition: v^~h*.^l ou »■»>&»-H», { qui est évidonto a partir de la représentation géométrique, puisque "l/W-h P est unecorde de AtA*, et s un arc do la chaînette entre ces mêmes points. Soit, par exempté; s = 100 m, J = 50 m, ft=20 m, p = 20 kg/m, nous obtiendrons : e=0,02 V10 000 - 400 = 0,8. V F= 1,96 et nous trouverons dans les tables hyperboliques lu racine de l'équation (27f) : ^i=2'15' d'où : ^ = ^ = -^ = 5^-20 = 232 kg. Supposons que les points d'attache se trouvent à la même hauteur. Suivons In floche du fii / (fig. 175): i i I i_ Si nous développons la fonction exponentielle en série, nous obtiendrons: f=^rwF+~iT~^w+--- (28) Do même, nous aurons pouT s — AiA^ [formule (27) pour h = 0\: i l_ s=2*siIir=fc(« -« )=J + -3r-2sTp-+-Gr^rïr+-- P»)
VJ-1. LES NOMBRES COMPLEXES <M5 Nous limitant dans la série (28) à un seul terme, nous définirons de iaçon upprochéc Du développement de (29) déduisons le» doux premiers tennos, et portons-les dans l'oppression nue nous avons trouvée pour k: ""'+ÏT- *-x *~x Fig. 175 Fig- 1"6 Si nous dtfférenlîons ce rapport, nous obtiendrons la relation entre Fallongc- nmiil du jil et l'accroissement de la fticlie: . i6 m .. zi , &sKz— j—, ou df as -tôt-as. Nous avons obtenu l'équation (25), un adrutottunt que lu pesauteor agit sur chaque élément de fil, proportionnellement à la longueur de l'élément. Dans certains cas. par exemple dans l'étude des cftblos de ponts, il faut considérer quo lo poids est proportionnel ù la longueur non de l'élément lui-même, mois de sa projection sur l'axe horizontiil. Cela arrive lorsque la charge du tablier est si grande, devant Je poids du câble, quo l'on peut négliger ce dernier. Dans ce -rus, nous aurons à lu place de l'équation (25): ■d'uù : y' = -£-x |-C, et 2î'o X2 + Cixi-C2, c'est-à-dire que la courbe sera une parabole. Supposons que les extrémités du fil A t et A 2 se trouvent à la même hauteur, et plaçons l'origine des coordonnées au sommet de la parabole (fig. 170), do .sorte que son équation sera: y = a*2 (-*)
446 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, JPONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE Déterminons, commo ci-dessus, la longueur de la portée 2 •= AtAs et de la flèche f •=> OA. Nous obtiendrons à partir de l'équation de la parabole /=a—, d'où a=-jf- Calculons la longueur de l'aro AtA2 égale au double de l'arc 0>12: i D'après la formule du binôme de Newton, nous avons: et, en intégrant, nous trouvons pour s le développement : * = I+-g.aïP—ij-a*I«+... Remplaçons a par l'expression que nous avons trouvée pins haut, il vient; '-Hitf)^-*(flV..--i[M4 *-**+■■■]. où e= -j-. Si nous nous limitons dans ce développement aux deux premiers termes, nous obtiendrons la formule approchée : qui coïncide avec la formule de la chaînette. VI-1-10. Logarithme d'un nombre complexe. On appelle logarithme naturel d'un nombre complexe r (cos q> + i sin op) la puissance à laquelle II faut élever e pour obtenir le logarithme du nombre. En désignant par In le logarithme naturel, nous pouvons dire que l'égalité In [r (cos q> + i sin q>)J = x -\-yi est équivalente à : ex*yi <= r (cos q> + i sin q>). On peut écrire ainsi cette dernière égalité : e* (cos y -|- i sia y) = r (cos q> + i sin çp), d'où, en comparant les modules et les arguments, nous obtiendrons; e:c = r, y=tp + 2kn (ft = 0, ± 1, ±2, ...), c'est-à-dire : s = lnr et z-r-j/£ = lnr-|-((p-|-2£jt) i et finalement : lu [r (cos op ~|- i s-in (p)] = In r + (q> -|- 2&rt) î, (30}
VI-J. 3DES NOMBRES COMPLEXES 447 c'est-à-dire que le logarithme naturel d'un nombre complexe est égal à un nombre complexe dont la partie réelle est le logarithme ordinaire du module, et la partie imaginaire est le produit de i par une des valeurs: de l'argument. Nous voyons ainsi que le logarithme naturel d'un nombre quelconque possède, une quantité infinie de valeurs. La seule exception est zéro, qui n'a pas de logarithme. Si nous imposons à l'argument de vérifier l'inégalité : — Jt< q><|Jt, nous obtiendrons ce que l'on appelle la valeur principale du logarithme. Pour distinguer la valeur principale d'un logarithme de sa- valeur générale, donnée par la formule (30), on emploie pour désigner- la valeur principale lg au lieu de In, de sorte que: lglr (cos<p-t-isin<p)l = lgr-j-<pi, (31). où —Jt<;<p<Jt. Déterminons à l'aide du logarithme la puissance complexe d'un nombre complexe quelconque. Si « et v sont deux nombres complexes, et que a^tO, nous supposerons que : Notons que In w, et donc uv, ont, en général, une quantité infinie- de valeurs. Exemples. 1, Le module i est égal à t et l'argument à-5-, c'est pourquoi ; lni=(JL+2kn)i (k=0, ± 1, ±2, ...)• 2. Déterminons i' : lW«"-.-Œ+w") (ft=0,±i,±2,...). VI-1-ii. Grandeurs sinusoïdales et diagrammes veetoriela. Signalons, l'utilisation des grandeurs complexes pour l'étude dos oscillations harmoniques. Etudions le courant variablo dont l'intensité /' a, A chaque instant, dans tout le circuit, la même valeur qu'on peut définir par la formule ; / = 7mSîn(<i)» + q>), (32) où t est le temps, et jm, a> ot <p sont dos constantes. La constante /m qne nous considérerons comme positive, s'appelle amplitude ; la constante <o s'appelle pulsation et est liée à la période T par la relation : la constante tp est appelée phase du courant alternatif. Le courant dont 1 Intensité est définie par la formule (32) est dit sinusoïdal.. Ce qui vient d'être dit est valable également pour la tension : w=t>msin {û>i+9(), (33>
448 CH. Vt NOMBKES COMPLEXES, FONDBM. DE L'ALGSBRB SUPSBIEUBE et nous étudierons plus loin l'intensité et la tension du courant qui varient selon lu loi sinusoïdale définie par les formules (32) et (S3). Il existe une représentation géométrique simple des grandeurs sinusoïdales do môme fréquence. Menons par un point 0 du plan un rayon que Dous ferons tournor à une vitesse angulaire <o dans le sens dos aiguilles d'une montre; nous appellerons co rayon axe des temps. Admettons que la position initiale do l'axe des temps pour t — 0 coïncide jivoc l'use OX. Construisons un vecteur OA (fig. 177) de longueur/„, qui forme Fig. 177 l'angle <p avec la position initiale de l'axe dos temps (rappelons que nous considérons la direction inverse de celle des aiguilles d'une montre, comme direction positive pour mesurer des angles). A l'instant t, le vecteur OA formera un angle (<p -f- k>0 avec l'axe des temps qui uura tourné d'un angle a>f, la projection du vecteur OA dans une direction perpendiculaire à l'axe des temps et olitenuo par une rotation de cette projection d'un angle -^ en sons inverse des aiguilles d'une montre, ou, en un mot, In longueur, prise avec le signe ConvoûaWe, <le la perpendiculaire menée, do l'extrémité du vecteur OA sur l'axe des tomps nous donne, comme 4iii le voit, la grandeur ;=;rasin((»t-l-(p). Pour représenter une autre grandeur sinusoïdale de morne période : 51 faudra tracer un vecteur do longueur )m formant avec lo premier vecteur l'angle: ¢=91-<p. Ainsi, nous pouvons représenter, à l'aide dos vecteurs fixes du plan, dos scandeurs sinusoïdales do mémo fréquence. La longueur do chaque vecteur donne l'amplitude do la grandonr correspondante, et l'angle situé entre doux vecteurs est la différence do phase des grandeurs correspondant à ces vecteurs. Les vecteurs ainsi construits donnent ce qu'on appollc le diagramme vectoriel du systèmo do grandeurs sinusoïdales do mémo périodo. La somme géométrique do plusieurs vecteurs d'nu diagramme vectoriel correspondra, d'après le tneorème sur la projection de la résultante, à une grandeur siniKiui'dalo de mémo période égale à la samme des grandeurs sinusoïdales qui correspondent aux vecteurs à additionner.
Vl-i, LES NOMBRES COMPLEXES 449 En utilisant la définition donnée do la multiplication [Vl-1-3], on peut Conférer aux opérations sur les diagrammes vectoriels une forme analytique pratique. Par la 3uite, nous désignerons les vecteurs par les mêmes lettres, mais en caractères gras. Nous considérerons le produit d'un vecteur j par un nombre complexe re''4 comme égal au vecteur que Ion obtient à partir du vecteur j en multipliant sa longueur par r et en le faisant tourner d'un angle <p, c'est-à-dire que nous considérerons que le produit re^ j s'obtient d'aprèslarègledonnéodans [VI-l-3)de la multiplication d'un nombre complexe, représentant le vecteur j, par un nombre complexe r»**. Si on écrit le nombre complexe re®* sous la forma (a + bi), on peut représenter le produit sous la forme d'une somme de deux vecteurs: (a-rbt)i=ai-\-bii, le premior terme étant un vecteur parallèle au vecteur j, ot le second un vecteur perpendiculaire au vecteur j. Nous pouvons, on projetant un vecteur jt quelconque suivant deux directions perpendiculaires, Ib représenter sous la ferme; il =■ "j-h «J = (" + '»)}. On a alors j a -f. bl | égal au rapport des longueurs des vecteurs de j et j4, et l'argument du nombre (a 4. bi) est l'angle formd par la vecteur jj et lo vecteur j. Cet angie donne la différence de phaso des grandeurs correspondantes aux vecteurs ji et j. Introduisons la notion de valeur quadratique moyenne d'une grandeur sinusoïdale (32), que nous désignerons par le symbole M (;s). Elle est définie par l'équation: Si nous intégrons l'expression /2=^5^(^-1-^) = -- />,_1 /^cos2((ût f <p) entre les limites 0 et T ■= , nous obtiendrons: tu •in. M [/*)=■- /■.- [-L fmsln2 (^+<r)]o& .=4 ,V La racino carrée de la valeur quadratique moyonne est la valeur efficace d'une grandeur: Dans la pratique, quand on construit des diagrammes vectoriels, on prend habituellement In longueur du vecteur égale non pas 5 l'amplitude, mais à la valeur efficace de la grandeur, o'cst-à-dire que l'on diminue les longueurs des vecteurs, par rapport à la construction exposée ci-dessus, dans le rapport i ; ~V'l, Si nous différontions la formule (32), nous obtiendrons: -X=û);„iCO3(0)< + (p)=û)?mSin [fût f q) f-^.\ ,
450 CH. VI. NOMBBBS COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE c'est-à-dire quo la dérivée de •— ne diffère de j qu'en ce que l'amplitude est multipliée par u> et que la phase augmente de -5-. On écrira la relation entre ces grandeurs vectorielles ainsi: -|f-=<û£i- (34) Si nous intégrons la formule (32) et négligeons la constante arbitraire, co ui est nécessaire si nous voulons obtenir également une grandeur sinusoîdnlo e même période, nous avons: Y f it = — — jm cos {<ùt+<p) =— /m sin \at -|- 9 —|-J , d'oi\ it résulte * : VI-1-12. Exemples. 1. Etudions un circuit de courant alternatif, formé successivement: d'une résistance B, d'une self-induction £ et d'une capacité C. Si nous désignons par v la tension et par / l'intensité du courant, nous aurons la relation, employée en physique : l —*i+*-$-+Trlt«. Limitons-nous pour le moment aux phénomènes permanents, et en particulier au cas où la tension et l'intensité du courant sont des grandeurs sinusoïdales de même période. On peut écrire l'équation précédente sous une iorme vectorielle, en introduisant à la place do v et / Us vecteurs tension et intensité du courant v ot j. y^ni+L§+^lia.t; nous rappelant les formules (34) et (35), nous trouverons à partir de là: v=Bi + *Lli-r-~i*=(Ii-\-ui)i*=Q, (36) où: u=<b£-^, t,=R-\-ui. (37) La rotation obtenue ontro les vecteurs tension ot intensité a la forme de l'habituelle loi d'Ohm, avec cottu différence qu'à la place de la résistance entre ici un facteur complexe £ appelé résistance apparente du circuit ou impédance et qui est composé de la somme de trois « résistances » : résistance ohmtque (./?), impédance de la self-induction {(ùLi) et impédance de la capacité (t-tït) . * Lo symbole —-désigne le vecteur correspondant à la grandeur sinusoïdale ~jj- , et le symbole \ j dt lo vecteur correspondant à \ /' dt.
VT-1. LES NOMBRES COMPLEXES <151 La formula (36) donne en plus la décomposition du vecteur v on deux composantes : JRI dans la direction de j, et uij dans la direction perpendiculaire à j. Lu première s'appelle composante active, et la deuxième, la composante réactive de la tension. Ces termes deviendront clairs si nous calculons la puissance moyemie W du courant de notre circuit, qui est définie comme la moyenne arithmétique sur toulo la période à partir de la puissance instantanée de vf: "^T"!!*'"'^=—^-jj1sinM + <pi) »in(<ot |-<|>g)<K; <fi désigne ici la pbase do tension, cp2 lu pbase do l'intensité, de sorte que: » = !>msill<lflf + q>i), /=/'mSin(»J + (p8). Nous trouverons sans peine: lo "mlrn ^=¾^ ^ [coBfoi-<Fg)-cos<;2<»»-f-%)]<» = -cosfo—tp2) = "c.///e//cos((Pi—(fj). (38) Ainsi, on obtient la plus grando puissance moyenne en valeur absolue lorsque les phases de lu tension ot de l'intensité coïncident ou diffèrent do zi; on obtient la plus petite puissance (nulle), lorsque ces phases diffèrent do ~ . Lorsqu'on établit l'oxpression de W, la composante réactive rt(j du vecteur v donne une puissance Moyonne égale à zéro, pulsquo le vecteur uij est perpendiculaire au vecteur j, c'est-à-dire que pour lui eus (œl — ij>2) — 0, ot l'on n'obtient la puissance moyenne, qui se transforme on chaleur suivant la loi de Joule, qu'à partir d» la composante activo (« do travail »). On pout écriro le rapport (3fi) sous la forme suivante: 1 3=Tv=nv, OU 11 = eu : J=ffV + ft2V. On appelle lo facteur complexe t| la conductibilité apparente du, circuit; il est égal à l'inverse de l'impédance. La formule précédente donne lo développement du vecteur intensité du courant on composantes active et réactive (dans la direction de v et perpendiculairement à lui), 2. Les règles fondamentales pour calculer la résistance d'ml circuit complexe parcouru par un courant continu, dans loquel Us résistances sont en série ou en parallèle, ont été tirées des lois d'Ohm ut de Kïrchhoff ; elles restent valables pour les circuits parcourus par un courant sinusoïdal alternatif à l'état, de régime permanent, si nous convenons seulement de remplacer les valeurs instantanées de la tension et do l'intensité par les vecteurs correspondants, et les résistances ohmiques par des impédances. Ainsi, si les résistances apparentes sont incluses en série dans le circuit : £l=#l f-*i'. £2=%+a#, ■■■■ les vecteurs tension ot intensité seront liés par les relalions: v = Ç'J. "û £'=Çi-r-&+..., (39) c'est-à-dire que lorsque les impédances sont en série, elles s'ajoutent. Par contre, si les impédances sont en parallèle, no«s obtiendrons la relation: y-t'U cù ■£.=-*.+£+.... m 29*
452 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, PONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE c'ost-â-diro que lorsque les conductibilités apparentes sont en parallèle, elles s'additionnent. La construction graphique de l'impédance, lorsque les impédances £i> Sa, • • ■! sont eu série, se ramène à la construction géométrique de la somme des vecteurs qui représentent ces nombres complexes. Indiquons la construction dan9 lo cas où deux impédances Zi ot £2 sont on parallèle. Nous avons, d'après la règle précédante : £*=■ Çi+£a "ËPR* ' En admettant que: 5*=p«01, ?i=Pi«8ji. Ç^Pz^-1, £i + &=Po«eoi, nous aurons: P^ P1P2 0 = 6,+62-8,,. Cela nous amène à lu construction géométrique suivante (fig. 178) *. Trouvons Fig. 178 Fig. 170 d'abord la somme Ç, +%z =* OC; construisons ensuite &A OD, qui est semblable à ACOB, en faisant tourner £\COB jusqu'en C'OB', et menons la droite AD parallèle %~CrB''. De la similitude des triangles, nous obtenons: OD- --ÔÂ-^Er, c'est-à-dire p=-Hi£2. OC Po 0=82-80 (e«=o). co qu'il fallait démontrer, 3. Etudions les oscillations couplées de deux circuits liés par mutuelle Induction (fig. 179). Admettons que nt et jt désignent la force électromotrioo externe et 1 intensité du courant dans le circuit /, et que h désigne l'intensité du courant dans le circuit /7 (sans force électromotrice externe); R)t Rit L}, £2, Ci, Ci soront respectivement les résistances, les coefficients de self-induction et les capacités de ces circuits, M les coefficients d'induction mutuelle des circuits / ot //. * Sur la figure, nous avoas, pour simplifior, dirigé l'axe OX suivant le vecteur £j co qui nous amène à supposer que 8L = 0. Dans lo cas général, il suffit de tourner l'axe OX d'un angle 0! danslo sens dos aiguilles d'une montre.
VI-1. LES NOMBRES COMPLEXES /l53 Nous avons les rapports ; *.=*./. + *.-&+*#+-£$/.*, Si nous étudions le phénomène ù l'état de régime permanent, an cours duquel la tension et l'intensité varient selon la (»1 sinusoïdale de fréquence égale, no«s pouvons mettre cos équations sous forme vcctoriello: où Ci et £2 sont les Impédances des circuits I et //. En résolvant par rapport & ji et ja, nous obtiendrons sans peine: i £2 ,, , _ <oM« ,1_ £»Ç2+fl*«itfa »' ,2 ÇiÇg-f-œW» v" En mettant la première équation sous la forme ; «Ain * ' Vl nous pouvons diro <iuo la présence du circuit // modifie l'impédance £ du cir- cuit / d un tonne : —5— . £2 VI-i-13. Courbes définies sous forme complexe. Si l'on convient de représenter les nombres réols par des pointa sur un axo OX, la variation do la variable réello revient à uu déplacement do point correspondant sur l'axo OX. De même pour une variable complexe, £ = % -(- yt, cola revient au déplacement d'un point dans le plan XOY. 11 est surtout intéressant d'étudier le cas où la variable £ décrit, lors de sa variation, une certaine courbe; ce cas se présente lorsquo les parties réelle et imaginaire, c'est-à-dire les coordonnées x et y, sont fonctions d'un paramètro u que nous considérerons comme réel: * = 9i(»)i tf=9a(«). (4i) Nous écrirons alors simplement : £ = /(»), où /(k) = <Pi(u)-H<I>2(k)> et nous appellerons cette équation équation de la courba considérée (41) sous forme complexe. Les équations (44) donnent une représentation paramétrique de la ccurbe en coordonnées orthogonales. Nous passerons aux coordonnées polaires, si nous écrivons la variable £ sons forme exponentielle : £>=pe8£, p = «|>i(u), 0 = 11¾ (u), Dans ectto expression, le facteur p n'est pas autre chose que 1 £ 1 et le facteur « qui, dans le cas où £ est réel (8 = 0 ou n), coïncide aveo le « signe si (±1), est un vecteur de longuour unité et se note à l'aide du symbole:
4S4 Cil. VI, NOMDRBS COMPLEXES, FOKDFM. DE L'ALOJSliBE SUPERIEURE Les diagrammes vectoriels conduisent à l'étude des équations des courbes sous forme complexe. Si nous considérons dans la relation: le vecteur intensité j comme constant, mais que nous fassions varier l'une- des constantes du circuit, l'impédance £ ut lu vecteur v varieront; l'extrémité de ce vecteur y décrit une courbe appelée diagramme de la tension; quand on aura couslrull celte courbe, on aura une représentation claire de la variation du vecteur v. Le point £ décrit également une courbe (diagramme d'impédance), qui ne se différenciera du diagramme de tension que par le choix de l'échelle (on prendra le vecteur j pour unité). Etudions maintenant les équations do quelques courbes simples. 1. L'équation d'une droite passant par un point donné £o — £o + Vof et formant un anglo o: avec l'axe OX: S = M-r-«*°4, lo paramètre « désigne la distance de £„ à £. 2. L'équation d'une circonférence dont le contre est au point Çj cl do rayon r : £=>&■!-ré*. 3. Une ellipse dont le cenlro ost à l'origine des coordonnées, et dont los demi-axos sont o et b; le grand axe étant orienté suivant l'axe OX a, sous ferme complexe, l'équation [VI-i-8]: £=* (-t/i=acoS!i+4i siii «=—ï—«ui+- ~ •-«* 2^2 ' Si )» grand axe forme un anglo qi0 avoc l'axo OX, l'équation do l'ellipse sera de la forme : t=.,V[±£L,u+±^i.-.«]. Dans lo cas général, lorsque le centre de l'ellipse so trouve au point Ç0 et que logeand axe forme un angle avoc l'axe OX, l'ellipse aura pour équation : SI b — a, cette équation devient l'équation du cercle do rayon a : où- (<Po + «) es', comme u, un paramètre réel. Si b = 0, nous obtiendrons le segment du droite : C^Co 1-^^+^=¾^^. t-fc-r-».*', formant un anglo <f0 avec l'axo OX, de longueur 'la, et dont le centre est au point Ç0 car lo paramètre v = a cas u est réol, comme u, mais no peut prendre que des valeurs comprises entre (—a) et (-{-a). Si nous considérons les cas du corclo et du segment de droite comme des cas limites do l'ellipse obtonus lorsque le demi-petit axe devient égal au grand ou s'aitnulo, nous pouvons alors dire do façon générale que l'équation £=&-i-/mu£+(!*-"*, m où Ç0, u,!, u,2 sont des nombres complexes quelconques, représente toujours Véquation d'une ellipse.
■VI-1. LES NOMBRES COMPLEXES 455 nous avons: En effet, si nous supposons que: m-»i«^, m»-^w. -5^=^ -S^-eo. nous pouvons écrire l'équation (42) sous la forme : £ = &4-M1«<u+8»'f+Jtfî*-<,'-<''l)1=&1+«,Po,[Afie'tt+8«'t+W4»-<"+flo»i|, d'où l'on voit nue la courbe étudiée est bien une ellipse dont le contre est au point £01 dont les demi-axes sont (Mt ± Mz), et dont le grand axe forme avec l'axe OX l'angle 90, c'ost-â-dire qu'il a pour direction la Bissectrice do l'angle formé par les vecteurs \i, ot u.s. P°ur J"a = 0, l'ellipse se transforme en ciiton- férisrice, pour Mt =• Mlt en segment de droite. 4. Les courbes dont l'équation sous forme complexe a l'aspect suivant: Ç=v«*», (43) où v et y sont des constantes complexes arbitraires, s'emploient très souvent pour l'étude des phénomènes du courant alternatif dans les circuits à distribution continue clés résistances, des capacités et de la self-induction. Posons v = ffie%*t y *=■ o + bi ot en passant aux coordonnées polaires, c'est-à-dire : p=iV>a«, 9=6«+%, d'où a ±4 "»e p=JVeb (iV^Nye b ), c'est-à-dire que la courbe étudiée est une spirale logarithmique (fig. 180, correspondant au cas -g- > 0). Nous pouvons obtenir des courbes plus compliquées du type: £=V£<! ' +v2e z -f-...+vse ■ , si nous construisons les « composantes de la spirale » : 51=v,er* , fe^v^ K , ..., ga=v4«'' et si nous calculons pour chaque valeur de « la somme géométrique des valeurs correspondantes de £4, £-, ...,?, (Kg- 181). VI-1-14. Représentation d'une oscillation harmonique sous forme complexe. L'oscillation harmonique amortie est exprimée à l'aide de la formule : z=Ae~el sin ((ot-fcpo), (44) où A et e sont des constantes positives. Introduisons la grandeur complexe: I-J^-tÏ^»»»*. ^-1^^ *>\ (45) et finalement :
458 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, PONDBM. DE L'ALGÈBRE SUPERIEURE La partie réelle do cette grandeur complexe coïncide avec l'expression (44). Nous pouvons, ainsi, représenter une oscillation harmonique amortie quelconque, comme la partis réelle d'une expression complexe de la .forme : où a et p sont des nombres complexes. Dans lo cas de la formule (45): a=:Ae\ ° 2' et P=<o-|-et". Dans le cas d'ime oscillation harmoniqne pure sans amortissement, ë=0, et p Fig. 180 Fig. 181 sera nn nombre réel. L'expression (45) ponr Ç coïncide avec l'expression (43) ponr: v = /4e^ 2' , y=(û>-|-Ëi) i — —e-f-û>i et u = t. On voit de là que lorsque t varie, lo point t, décrit une spirale logarithmique, l'angle polaire 8 étant alors une fonction linéaire dn temps t : 0 = <ai+<po—^ ' c'est-à-dire que lo rayon vecteur tourne, del'origine des coordonnées an'point Ç, antonr de l'origine avec nns vitesse angnlaiie a> constante._ La projectloa du point Ç snr l'axe OX offeetne des oscillations amorties (44). Si s = 0, le point t, tourne suivant un cercle p = A> et «a projection snr l'axe OX tourne suivant la loi des oscillations harmoniques non amorties: ZK=Aa\n(tat + <p!>). VI-2. Propriétés fondameutales des polynômes entiers et calcul de leurs racines VI-2-1. Equation algébrique. Nous étudierons dans ce paragraphe le polynôme entier: / (z)=aazn + a,zn-* -f-... + ahz*-h + ... + a„^z+On,
VI-2. PKOPRIÉTfiS FONDAMENTALES DES POLYNOMES ENTIERS 457 où a0, at, . . . , a-h, ■ ■ • i an sont des nombres complexes donnés et z une variable complexe, le coefficient a. pouvant ôtre considéré comme différent de zéro. On connaît (algèbre élémentaire) les opérations fondamentales sur les polynômes. Nous ne rappellerons que le cas do la division. Si / (z) ot tp (z) sont denx polynômes et si le degré de <p (z) n'est pas supérieure au degré de/(z), nous pouvons représenter / (z) sous la forme : /(z) = <p(z).Ç<z)+i?(z), où. Q (z) et R (z) sont également des polynômes, le degré de R (z) étant infériotire au degré de q> (z). On dit que les polynômes Q (z) et R (z) sont, respectivement, le quotient et le reste lors de la division de / (z) par <p (z). Le quotient et le reste sont des polynômes entièrement définis, de sorte que la représentation de / (z) sous la forme indiquée ci-dessus en fonction do tp (z) est unique. On appelle racines du polynôme les valeurs de z pour lesquelles le polynôme est égal à zéro. Ainsi, les racines de f (z) sont les racines de l'équation : /(2)=aaoZB + «I3n-«+ ...+ahzn-"+ ...+a„.t« + «j, = 0. (1) On dit que cette équation est une équation algébrique de degré n. Si Pou. divise / (z) par le binôme (z — a), le quotient Q (z) sera un polynôme de degré (n — 1) ayant a0 pour coefficient du terme de plus haut degré, et le reste R ne contiendra pas z. D'après la propriété fondamentale de la division, on a l'identité: f(z) = (z-a)Q(z)+R. Si nous mettons dans cette identité z = a, nous obtiendrons: R-f(a), c'est-à-dire que le resté obtenu par la division du polynôme f (z) par (z — a) est égal à f (a) (théorème de Bézout). En particulier, pour que le polynôme / (z) soit divisible par (z — a) sans que l'on ait de reste, il faut et il suffit que : f(a) = 0, c'est-à-dire que pour que le polynôme soit divisible par le binôme (z — a), sans qu'il y ait de reste, il faut et il suffit que z — a soit une racine de ce polynôme. Ainsi, si nous connaissons la racine z = a du polynôme / (z), nous pouvons extraire de ce polynôme le facteur (z — a) : /(*)-(«-a)/,(*),
458 CH. YI, NOMBRES COMPLEXES, L'ONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE où: fi (Z) = V-1 + M"'2 + • • . + K-tf + Vl (¾ = Ûo)- Chercher les autres racines revient à résoudre l'équation: ioz1-1 + 6,zn-! + ■ • ■ + W H- &»-i = 0 do degi'é (« — 1). Nous devons répondre pour la suite de cet exposé à la question suivante : est-ce que toute équation algébrique possède des racines? Dans le cas d'une équation non algébrique on peut répondre par la négative. Ainsi, par exemple, l'équation: e* = 0(z = af+ji) ne possède aucune racine, puisque le module ex du premier membre n'est égal à zéro pour aucune valeur de %. Mais dans le cas d'une équation algébrique, on donnera à la question précédente une réponse affirmative, qui s'exprime par le théorème fondamental do l'a 1 g è b r e: toute équation algébrique possède, au niolns, une racine. Nous admettrons ici ce théorème sans démonstration. Nous on ferons la démonstration dans lo tome III, dans l'exposé de la théorio des fonctions d'une variable complexe. Vl-2-2. Décomposition d'un polynôme en produit de facteurs. Tout polynôme / (z) = a„zn + ai*"-1 + • • • + a»-iZ + «„ (2) possède, d'après le théorème fondamental, une racine z = z,, et, par conséquent, il est divisible par (z — zj), et nous pouvons écrire 1VI-2-1J: /(2) = (Z-Z,)(ao2»-'+...). Le second facteur du produit dans le deuxième membre de cette égalité possède, d'après le théorème fondamental précité, la racine z = z2, et par conséquent est divisible par (z — z2), donc nous pouvons écrire: / (2) = (z-z,) (z-zt) (w™+...). Si nous continuons ainsi à extraire les facteurs du premier degré, nous obtiendrons finalement la mise en facteurs suivante dans / (z) : / (z) = a„ (3 — z,) (z — za) ... (z — s„), (3) c'est-à-dire que Von peut mettre tout polynôme de degré n sous forme d'un produit de {n + 1) facteurs, dont l'un est égal au coefficient de la plus grande puissance, les autres étant des binômes du premier degré de la forme (z — a).
M-2. PnOl'BIfi'1'28 FONDAMENTALES DES POLYNOMES ENTIERS 459 Lorsqu'on fait z = zs (s = 1, 2, . . . , re), un an moins des facteurs de (3) est égal à zéro, c'est-à-dire que les valeurs z = zs sont les racines de f (z). Tonte valeur de z, différente des z5, ne peut pas être une racine de / (z), puisque pour cette valeur de z aucun des facteurs de (3) ne deviendra égal à zéro. Si tous les nombres z„ sont différents, / (z) a n racines distinctes. S'il y a parmi les nombres zs des nombres identiques, le nombre des racines distinctes de / (z) sera inférieur à n. Nous pouvons ainsi énoncer le théorème: un polynôme de degré n (ou une équation algébrique de degré n) ne peut avoir plus de n racines distinctes. Conséquence directe de ce théorème: si on sait qu'un polynôme, dont le degré n'est pas supérieur à n, possède plus de n racines distinctes, tous les coefficients de ce polynôme et le terme libre sont égaux à zéro, c'est-à-dire que ce polynôme est identiquement nul. Supposons que les valeurs de deux polynômes /( (z) et /2 (z), dont le degré n'est pas supérieur à n, coïncident pour plus de n valeurs distinctes de z. Leur différence /1 (z) — /2 (z) est un polynôme de degré non supérieur à n, ayant plus de n racines distiuctes, et par conséquent cette différence est identiquement nulle, et fL (z) et /2 (z) ont des coefficients identiques. Si les valeurs de deux polynômes de degré non supérieur à n coïncident pour plus de n valeurs distinctes de z, tous les coefficients de ces polynômes et les termes constants sont égaux, c'est-à-dire que ces polynômes sont identiques. Cette propriété des polynômes est à la base de la méthode dite des coefficients indéterminés, qne nous utiliserons par la suite. Le principe de cette méthode est qu'il résulte de l'identité de doux polynômes que les coefficients des termes ayant le même degré z sont égaux. Nous avons obtenu la mise en facteurs (3) en plaçant les facteurs du premior degré du polynôme/ (z) dans un ordre déterminé. Démontrons maintenant que la forme définitive du développement en produit de facteurs ne dépend pas de la façon dont nous les avons extraits, c'est-à-dire que le polynôme ne peut être mis que sous une forme de produits de facteurs du. type (S). Supposons qu'eu plus de la mise en facteurs (3), on ait la mise en facteurs : /(z) = i„(z~zl)(z—zt) ... (z — z'„). (30 Si nous comparons ces deux produits de facteurs, nous pouvons écrire identiquement: ao(z — zi)(z~zz) ■■■ (z — z„) = b0(z—z;)(z~z'3) ... (z—z'n).
460 OH, VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDES!. DE L'ALGEBRE SUPÉRIEURE Le premier membre de cette identité s'annule pour z ■= zt; par suite, il doit en être de môme pour le second membre, c'est-à-dire qu'au moins un des facteurs en zi doit être égal à z(. On peut, par exemple, considérer que z'x — zt. En divisant les deux membres de l'identité écrite par (z—zj), nous obtiendrons l'égalité: a0{z—z2)... {z~zn) = b0(z — z'a}... (z—z'n), vérifiée pour toutes les valeurs de z, sauf, peut-être, z = z(. Mais, d'après l'affirmation ci-dessus, cette égalité doit être également uue identité. Nous démontrerons, en raisonnant comme ci-dessus, que z'z = z2, etc., et, enfin, que ba = o0, c'est-à-diro que la mise en facteurs (3() doit coïncider avec la mise eu facteurs {3). VI-2-3. Racines multiples. 11 peut y avoir, comme nous l'avons déjà dit, des nombres identiques parmi les zs entrant dans le produit do facteurs (3). En groupant dans ce produit les facteurs identiques, nous pouvons écrire le produit sous la forme: / (2) = n„ (z - z/1 (z - z2f*... (z - zmfm, (4) où les nombres Zj, s2, ..., z„ sont distincts et &i-|-ft2+ ...+km = n. (5) Si l'on a dans ce produit un facteur (z — zs)\ ou appelle la racine z = z, racine d'ordre ks et, de façon générale, on appelle la racine z — a du polynôme f (z) racine d'ordre k, si / (z) est divisible par (z — a)'1 et n'est pas divisible par (z — a)',+1. Démontrons maintenant un autre critère permettant de déterminer si une racine quelconque est une racine multiple. Utilisons la formule de Taylor. Remarquons d'abord quo nous pouvons déterminer les dérivées du polynôme / (z) à l'aide des formules que nous avons employées dans le cas d une variable réelle: /(?} = ((0z"+(i,z"-'+. • ■ + «*«"-* + ... -î-a^iz+a*; /' (z) = raa0z"-' + (« -1) aizn-a +...-(. (n _ ft) a^"-*-1 + ... + a„-t ; /"(z) = k(R- l)a0zn-îJ-(rt-l)(?i_2)o,z"-8+... ... +(n — /c)(n — k—1)ahz"-''~a-| +2-la*-2. La formulo de Taylor /w=/(«)f£fr/'W+iïir^r(«) + --- ...+^/<''>(«H-... + ^/<«>(") (6)
VI-2. J>nOPBIÉTÊS FONDAMENTALES DES POLYNOMES ENTIEng /t61 est une identité algébrique élémentaire, contenant les symboles a et z, vérifce non seulement pour les valeurs réelles, mais aussi pour les valeurs complexes do ces symboles. Donnons maintenant la condition pour que z = a soit une racine d'ordre k de / (z). Ecrivons (6) sous la forme : Le polynôme qui se trouve dans le second crochet a u» degré iiiïérieur au degré de (z — a)'1, et de là on voit [VI-2-11 que le premier crochet est le quotient, et le second lo reste de la division de / (2) par (z — a)h. Pour que / (z) soit divisible par (z — a)k, il faut et il suffit que ce reste soit identiquement nul. Si nous le considérons comme un polyuôme de la variable (z — a), nous obtenons la condition suivante: / (tt) = /'<*) = ..,=/<*-!> («) = 0. (7) Nous devons y ajouter la condition : /W(o)=jfcO, (8) car si f'1" (a) = 0, / (z) serait divisible non seulement par (z — a)k mais aussi par (z — a)'m. Ainsi, les conditions (7) et (8) sont nécessaires et suffisantes pour que z = a soit une racine d'ordre k du polynôme f (z). Supposons que i|)(z) = /' (z), par suite : il>'(z) = f (z), i|>" (*) = /"'(2), .... i)><»-'-'(z) = /<<"(2). Si z = a est une racine d'ordre k du polynôme / (z), d'après (7) et (8) : t|)(a) = i|)'(o)=...=i|)<''-2>(tt) = 0 et ip-"(tt)=5t0, c'est-à-dire que z = a sera une racine d'ordre (k — 1) de 1)) (2) ou, ce qui revient au même, de /' (z), c'est-à-dire que la racine d'ordre k d'un polynôme est une racine d'ordre (A — 1) de la dérivée de ce polynôme. Si nous appliquons successivement cette propriété, nous verrous qu'elle sera racine d'ordre (k — 2) de la dérivée seconde, racine d'ordre (k — 3) pour la dérivée troisième, etc., enfin racine d'ordre un, ou comme on dit, racine simple pour la (k — 1)«">« dérivée. Ainsi, si nous avons pour f(z) facteurs: le développement on produit de / (z) = «„ [z - z,)"1 (z - «,)*»...(»- ïm)1*, (9) nous aurons pour /' (z) : /'{s) = (z-Zl)''1_i (z-zs)"»-1 ... (z-zm)"»'-'o)(z), (10)
402 CH. "VI. NOMBllGS COMPLEXES. lfONDEM. DE Ï/ALGEBRE SOPBRÏEURB où to (z) est un polynôme n'ayant pas de" racines communes avec/ (z). VI-2-4. Règle de Horner. Indiquons maintenant une rêglo commode dans la pratique pour calculer les valeurs de / (2) et de ses dérivées, pour une valeur donnée z = a. Supposons quo l'on ait, en divisant / (z) par (z—a), un quotient /1 (z) et un reste rj ; on divisant /1 (z) par (z—a), un quotient /2{z) et un reste rz, etc. : /(*) = («-») ^(ïj + r,, r, = /(«), /,(2) = ^-0)/2(3) + ^, r2=/,(a), /2 (z) = (*— *) /a (z) + r3, rs=/2 (o). Ecrivons la formule (6) sous la forme: /w-/w+fr-« [i^+^(,-fl)+... +<çp <*-«)-] . Si nous comparons cette formule à la première égalité écrite ci-dessus, nous obtiendrons : ^-^^^ + ... + ^^.1-/(^. En faisant 1» même clioso avec /j(z), nous trouverons: et, plus gûiiérulement : r^J^p (*=!. 2....,«). Supposons maintenant que: / (z) = nos™ + a,z»-i + ... + fl„_i*+a». /,(«)=6oï"-l (-ti^-^H iL&B-2*+frn-l. ^1 = ^. et montrons comment on calcule los coefficients du quotient bs et le leste fy,. Si nous ouvrons les paroiitlièses et que nous groupons les tormos de même puissance en z, nous obtiendrons l'identité: Oozn + ai211"1 r"-+Œn-iz + a« = = (*-«) (fcozn_1 + MM + • • - + K-& + fen-i) 4- i-n = = 60î"+(*i— M) *™-1+(6î—M) *"~2H— + — (fcn-l —*/i-2«) « + (*» —6n-i«)> et si nous comparons les coefficients do degré identfquo de z: a0 — 1>0, m — bi~btfi, «2 = 62—*1«. ■■■! a»-l = *n-J —6n-2°> <i'où ''0'~ «U. *1 = *>0a t-«l. *2~frl" :-¾. •••> &n-i = &/l-!!'1 +an-i.
VI-2. PBOPBIÉTËS FONDAMENTALES DBS POLYNOMES BNTIEB5 463 Ces égalités donnent la possibilité de déterminer successivement les grandeurs b„. Ce mûrnc, si nous désignons le quotient et le reste de la division /j (2) par (1 - a) : h («) = eflî''-*+ «!*«-»+ ... +Cn_3z4-c„_2 ; c„_i = r2> nous aurons; ^71-1 = 1^1-20 |-6n-i—r2> c'est-à-dire que l'on calcnlo successivement Je3 coefficients ct à l'aide de 6», comme bg à l'aide ds as. Cotte méthode de calcul s'appelle rôglo ou algorithme de Horncr *. En fM là) appliquant cette règlo, nous obtiendrons les grandeurs - . f . Donnons un schéma des calculs, qui «l'a pas besoin d'être expliqué: ao> ali «2. a3t • + ï>oa. bla' V*i • 6n-20 an ftn. ^0^ °0» &li tfQÛ, fl^a, 6s, 0n-3a, 6n = ''l=/(a) fo=tto> c2l «3. en-l=»-4 = /'(a) -]- ./no «2 mo — a0 «i0~ /"" (<■) h -'•u-i /<"-=» (g) (ft-2) 1 ^1=^ = /çi-D (a) (B-1) l Exemple. Trouver les valeurs de la fonction : / (2) = zB -f 2z* - 2za - 25z +100 et de ses dérivéos pour z = —5. * On appelle de façon généralo algorithme une règlo donnant l'ordre dans lequel il faut effectuer des opérations mathématiques pour obtenir un résultat cherché.
4½ CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, PONDEM. DE L'ALOEBSB SUPÉRIEURE «=~S 2, —0, —2, —25, 100 —5, 15, —75, 385, —1800 -3, 15, -77, 360 -5, 40, —275, 1760 -1700=/(-5) —8, -5, 55, —352 65, —600 2120= /' (-5) 11 -13, -5, 120 90 -18 — 953= /"(-5) 21 210 = /'"(-5) 3! —23 = /<lV>(-5) 4! /<V)(-5) 51 V1.-2-5. Le plus grand commun diviseur. Eludions deux poly nômes/i {z) et/2 (z). Chacun d'eux a une mise en facteurs déterminée de la forme (3). On appelle le plus grand commun diviseur D (z) de ces deux polynômes, 1b produit de tous los facteurs binômes de la forme (z — a) entrant aussi bien dans la mise en facteurs de /t (z) que dans celle do /2 (z), ces facteurs communs étant pris avec un exposant égal au plus petit des exposants, avoc lequel ils entrent dans los mises eu facteurs de /j (z) et de /2 (z). Les facteurs constants n"e jouent aucun lôle dans l'établissement du plus grand commun diviseur. Ainsi, le plus grand commun diviseur de deux polynômes est un polynôme dont los racines sont communes à ces deux polynômes, d'ordre égal au plus petit des doux ordres avec lesquels ils entrent dans ces polynômes. Si des polynômes donnés n'ont pas de racines communes, on dit qu'ils sont premiers entre eux. On peut, comme précédemment, déterminer le plus grand commun diviseur de quelques polynômes. Pour établir le plus grand commun diviseur par la méthode indi-" quée ci-dessus, il faut avoir une mise des polynômes donnés en facteurs du premier degré. Mais on trouve la mise en facteurs (3) en résolvant l'équation / (z) = 0, ce qui est un dos problèmes fondamentaux de l'algèbre. On peut cependant, comme cela se fait en arithmétique pour le plus grand commun diviseur des nombres entiers, indiquer un autre
VT-2, PROPBIÉTES FONDAMENTALES DES POLYNOMES ENTIERS 465 procédé pour trouver le plus grand commun, diviseur qui ne nécessite pas la mise en facteurs, le procédé de la division successive. Supposons donc que le degré de /i (z) ne soit pas inférieur à celui de f2 (z). Divisons le premier polynôme par le second, puis divisons le second polynôme /2 (z) par le reste, obtenu lors de la première division, divisons ce premier reste par le reste obtenu lors de la deuxième division, etc., jusqu'à ce que nous arrivions à une division donnant un reste nul. Le dernier reste, différent de zéro, est le plus grand commun diviseur des deux polynômes donnés. Si ce reste ne contient pas z, les polynômes seront premiers entre eux. Ainsi, on trouve le plus grand commun diviseur en divisant des polynômes, ordonnés suivant les degrés décroissants d'une variable. En divisant /4 (z) et /2 (z) par D (z), nous obtiendrons des polynômes premiers entre eux, L'un d'eux ou les deux peuvent ne pas contenir z. En comparant les produits de facteurs (9) et (10), nous voyons que le plus grand commun diviseur D (z) du polynôme / (z) et de sa dérivée /' (z) sera : D (z) = (z - z,)*1-1 (z- z,)ftï-â ... (z - zmf™~1, où nous laissons de côté le facteur constant, ce qui est sans importance. En divisant / (z) par D (z), nous obtiendrons: ~UÎL = a0(z — z1){z—z2) ... {z — zm), c'est-à-dire qu'en divisant le polynôme f (z) par le plus grand commun diviseur de f (z) et de f (z), on obtient un polynôme ayant toutes ses racines simples et coïncidant avec les différentes racines de f (z). Si / (z) et /' (z) sont premiers entre eux, / (z) a toutes ses racines simples, et réciproquement. VI-2-6. Polynômes réels. Etudions maintenant un polynôme ayant des coefficients réels: / (z) = a02n + ajz*-1 -|- ... + an-iZ + am et supposons que ce polynôme ait une racine complexe multiple z — a + bi (6 =£ 0) d'ordre k, c'est-à-dire: /(o-f-W) = /'(«+W)=---=/(k"i'(« + *i) = 0, f(a + bi) = A+Bi =5^=0. Remplaçons maintenant dans l'exprossion / (a + bi) et dans les dérivées toutes les grandeurs par les grandeurs conjuguées. Dans cette transformation, les coefficients a3, en tant que nombres réels, restent les mêmes, et seul (a + bi) devient (a — bi), c'est-à-dire que lo polynôme / (z) reste le môme, mais on mettra à la place de 30-251
466 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDBM. CE L'ALOEBBE SUPÉRIEURE z = a -+- bi, z — a — 6t. Après qu'on a remplacé les nombres complexes par leurs conjugués, comme on le sait d'après [VI-1-4], le résultat général lui-même, c'est-à-dire les valeurs du polynôme, devient le conjugué. Nous obtiendrons ainsi: f{a-bi) = f'(a-bï)=...=f&-i)(a-bi) = 0, /"(a—bi) = A-Bi=£0, c'est-à-dire que si le polynôme à coefficients réels a une racine complexe multiple z = a + bi (b =f= 0) d''ordre k, il doit avoir également une racine conjuguée z = a — bi du même ordre- Ainsi, les racines complexes du polynôme / (z) à coefficients réels sont réparties par couples de racines conjuguées. Supposons que la variable z ne prenne que des valeurs réelles, et désignons-la par la lettre x. D'après la formule (3) : /(»•) = ««(s—Zi){x — z2) ... {x — zn). Si parmi les racines de z il y en a d'imaginaires, les facteurs correspondants seront aussi imaginaires. En multipliant deux par deux les facteurs correspondant à un couple de racines conjuguées complexes, nous obtiendrons: [x~(a+bi)]lx — (a — M)] = [{z—a) — bi][(x — a) + bi] = = {x — af + b* = x*+px+q, où: p=—2a, q = a?-\-bi (fc=^0). Ainsi, un couple de racines conjuguées complexes, donne un facteur réel du second degré, et nous pouvons énoncer la proposition suivante: un polynôme ayant des coefficients réels se décompose, en facteurs réels du premier et du second degré. Cette mise en facteurs est de la forme: / (x) = a„{x-s,)*1 (s-s/»... {x-xrfr (x* + Pix + 3l)!l X-"* X (sa + p& + q2)'* ... (r4 + p,x + q,)\ (i 1) où xt, x2, . . . , xr sont des racines réelles de / {x) d'ordre klt kît . . . . . . , ftr et les facteurs du second degré viennent de couples de racines conjuguées complexes d'ordre lu l2, . . . , lt. VI-2-7. Relations entre racines et coefficients d'une équation. Soit, comme ci-dessus, glt z2, . . - , zn les racines de l'équation: o0z" + a1z"-, + - - • +an-ia + att=0. D'après la formule (3), nous avons l'identité : aitzn + alzn-1+ ... -|-an-iZ-l-a» = ao(z —zj)(z—Z2) ... (z—zn).
VI-2. PROPBIETfiS FONDAMBNTAI/ESIDES POLYNOMES ENTIEBS 467 Si nous appliquons au second membre la formule d'algèbre élémentaire de multiplication des binômes ne différant que par leur second terme, nous pouvons mettre l'identité précédente sous la forme: a0zn-\-al2n-1+ ... +0,,2^+ ... +a„,= = aa\zn-Slzn-1+ 5^"-*+ ... +{-l)ft5,lZn-* + ... +(_l)»S„], où jSj, désigne la somme de tous les produits possibles des nombres z, (s = 1, 2, ...,«) de k facteurs chacun. Si nous comparons les coefficients de degré identique en z, nous obtiendrons: *.--^A--^....A-<-tf-2- *.-<-!>"■£. ou, si nous développons: * «i-r-«2.+ ...-î-2i» =--^-, ZiZî-\-Z2H + . . . +Z,,_1Ztt='--Ê- «0 «0 (12) ZlZ2 .. . Z» = ( —1)" Ces formules sont la généralisation des propriétés connues des racines d'une equatioa du second degré dans le cas d'une équation de degré quelconque. Elles donnent, entre autres, la possibilité d'établir l'équation lorsqu'on connaît ses racines. VI-2-8. Equation au troisième degré. Nous n'étudierons pas en détail la question du calcul effectif des racines d'équations algébriques. Ce point est développé dans les manuels de calcul approximatif. Nous nous arrêterons seulement sur le cas d'une équation du troisième degré et nous indiquerons également quelques méthodes de calcul qui seront utiles par la suite. Commençons par l'étude d'une équation du troisième degré: »°+«i»' + «s» + «s=-0. (13) Remplaçons y par une nouvelle inconnue œ, en supposant que: y=œ-f-a. En le substituant dans le premier membre de l'équation (13), nous obtiendrons l'équation: a:3 + (3cs-i-ai) sa + (3aa + 2flia+fl2) a+tcsa + aiaa + aj.es+a3) = 0. Si nous supposons que a = — -J-, le terme contenant œa est éliminé et, par conséquent, la substitution: °i »—T ramène l'équation (13) à la forme: /(4=z3 + ps+,=0, (14) 30*
468 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE 1,'ALGEBBE SUPBB1ETJBE qui ne contient pas de terme en x1. Si p et g sont réels, l'équation (14) peut avoir ses trois racines réelles, ou bien une racine réelle et deux racines conjuguées complexes [VI-2-6J. Pour savoir dans quel cas on se trouve, calculons la dérivée première du premier membre de l'équation: /'&;)= 3a*+p. Si p > 0, f (x) > 0, et / (z) croît continûment et n'aura qu'une racine réello car lorsque x passe de — oo à + », la fonction / (x) chango de signe (do négative elle devient positive). Supposons maintenant que p <. (X La fonction / (x), comme il est facile de le voir, passera par un maximum pour x = = — T/ —-s- etparunmiiiimumpourŒ='j/ —£■. Bn remplaçant x par ses valeurs dans l'expression de fonction / (a), nous obtiendrons respectivement pour le maximum at le minimum do cette fonction: Si ces doux valeurs sont de même signe, c'est-à-dire si : ou : f+£>°' (15.) l'équation n'a qu'une racine réelle, comprise soit dans l'intervalle 1 — <», — y — ■§■) soit dans l'mtervallo i+y "■§■• + °°) ■ Si le maximum de / (a) que nous venons de voir est positif, et le minimum négatif, c'est-à-dire si: -T+#<°> (1¾ /(-«•), f^—y-^, /(+j/_£), /(+«) auront respectivement les sïgnos (—), (+), (—), (-f-) et l'équation (14) aura trois racines réelles. Remarquons, de plus, que pour p > 0, la condition (15i) est certaiuement vérifiée. Nous proposons au lecteur de démontror que dans la cas: l'équation (14) a une racine multiple ± y —-£- et la racine -S-, où nous considérons que p =f= 0, et il résulte de (153) que p < 0. Pour p = 0 et q =£ 0 nous avens rinégallté (15i), et l'équation (14) prend la forme xa + q = 0, c'est-à-dire quei-*^ —q, d'où il résulte que l'équation (14) aune seule racine réelle IVI-1-6]. Pour p =» q = 0, l'équation (14) sera: x^—0, et aura la racioo triple x = 0. Nous avons rassemblé les résultats ohtenus dans la table suivante :
■VI-2. PROPBIfiTfiS FONDAMENTALES DES POt/STNÔMBS BSNTIBUS 469 x*-\-px -f-g=o 5i+P!>o 4 +27-^u 4 h27^ 4 h27 u Une racine réelle et deux racines conjuguées complexes Trois racinas réelles différentes Trois racines réelles dont l'une est multiple On a représente sur la fig. 182 la courbe de la fonction: y = aP-i-pz + q 4"^27J ' Dans le CaS (15^' " racine double correspond un point où la courbe est tangente à Vaxo OX. Cherchons maintenant la formule qui exprime les racines do l'équation (14) en fonotion de ses cuefficients. Cette formule n'est pas valable pour les calculs pratiques, ut dans le paragraphe suivant nous donnerons un procodé pratique commo" de pour calculer les racines, en utilisant les Jonctions trlgonométrîques. Remplaçons les inconnues x par deux nouvelles inconnues u et v, en supposant que: x — u+v. (16) En portant ces valeurs dans l'équation (14), il vient : (u+v)* + p&+»)+q=ù, US-f-B3 + («-f-B)(3Kl)-t-p)+g = 0. (17) Nous imposerons aux inconnues « ot v la condition suivante: 3w+p = 0, l'équation (17) nous donne alors: It8_j_y3= g. Nous avons été ainsi amenés à résoudre deux équations: *~X ub=—.£., u&-|-»3=— q. (18) Fig. 182 En élevant au cube les doux membres de la première équation, nous avons i u3va— —=- , u3-j-va= — q,
470 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDBM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE et, par conséquent, u3 et u3 sont les racines de l'équation du second degré: c'est-à-dire «»+«*-.jf-0, V T+F -^27 * |/ Y K ~+27 imont, d'après la formule (16), nous trouverons: ,3 (19) Cette formule qui résout l'équation cubique (14) s'appelle formule de Cardan, du nom d'un mathématicien italien du XVI8 siècle. Désignons en abrégé par R, et /fa les expressions sous la signe de racine cubique dans la formule (20): Chaque racine_ cubique possède trois valeurs différentes IV1-1-6J, de sorte que la formule précédente donnera, en général, neuf valeurs distinctes de x, et trois d'entre elles seulement seront racines de l'équation (14). Nous avons obtenu des valeurs parasites de x du fait que nous avions élevé la première des eauations (18) au troisième degré. Seules peuvent nous convenir les valeurs pour lesquelles u et u sont liées par la première relation de (18), c'est-à-dire que nous devons prendre dans la formule (20) seulement les valeurs des racines cubiques dont le produit est égal à (—£■) . Désignons par la lettre e l'une dos valeurs do la racine cubique de 1: 2rt , . . 2rt l.T/3, e=cos-g-+, sn. -g-= -^+-¾- '• ea=cos-j-+i-sin-^-=—y y~ i, et soit ff 11, et ^J?2 dos valeurs quelconques des racines vérifiant la condition que nous avons vue plus haut. En les multipliant par e et sa, nous obtiendrons les trois valeurs de la racine fVI-1-6]. Comme es => 1, nous obtiendrons l'expression suivante pour los Tacines do l'équation (14), en considérant p et q comme des nombres complexes quelconques : Xl = f¥i+fHi, x2=efBT+s*-^, x3=&*fÏÏi+&fR2. (21) VI-2-9. Solution sous terme trigonomé trique d'une équation du troisième degré. Supposons que les coefficients p et g de 1 équation(14) soient des nombres réels. La formule de Cardan, comme nous l'avons déjà dit, ne convient pas pour calculer les racines, ot nous donnerons des formules plus pratiques. Etudions séparément quatre cas. ■*■+*<»■ Il en résulte que p < 0. Les expressions Jï, et J?2 de la formule (20) seront ima- ginair s mais, malgré cela, les trois raciaos de l'équation seront, comme on 1«
"VI-2. PBOPBIÉTÉS FONDAMENTALES DBS POLYNÔMES ENTIEBS 471 sait, réelles [VI-2-8]. Supposons que: - |- ± y -f+ -^ = -|- ± i y —Ç—^j = t (cos <p ± / sin q>), d'où [VI-1-2] : r=]/-^-, cos *=--£. (22) D'après la formule de Cardan, nous avons : ,v~ I <P+2ftît . , . <p-f-2fcïi\ . i=fr (cosi^-g j-tsm-i—=—1 + -Î-Vrlcos2—g »sin-°^—1 (k=0, 1, 2). En prenant dans les deux termes des valeurs égales pour k, nous obtiendrons comme produit de ces membres un nombre positif ; l^T5——£ . Nous aurons finalement : x= 1 fr cos t±2£L (ft=0, 1, 2), (23) où r et <p sont définis par la formule (22), et il n'est pas difficile alors de démon* trer que, si nous prenons différents <p vérifiant la seconde équation (22),-nous obtiendrons un ensemble de racines, idontiquo à celui obtenu à partir de la formule (23). H. -4-+-2T>0 et >p<0- L'équation (14) a une seule racine réelle et deux racines conjuguées complexes (VI-2-8), et il en résulte que : 27*^ 4 ' Introduisons l'angle auxiliaire <o, en supposant que: Cela nous donnera : a puisque d'après (24i) : En introduisant enfin l'angle <p défini par la formule 2 tg<P = )Ag-f-. (24a)
472 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGEBBB SUPgBIETJBE nous obtiendrons l'expression suivante poui la racine réelle : »,—y -f (tg»+6otg?)=—JJJ3- £ sTnâT" • <25l> Nous proposons au lecteur de démontrer, en utilisant la formule (21). que les racines imaginaires seront do la forme : sin2<p 3 ± i y — pcotg 2ep. (252) m- -4-+lr>0 et p>0' Dans co cas, l'expression (14) aura, comme précédemment, nno seule racine réelle et deux racines conjuguées complexes, l/ |^ peut alors être indifféremment inférieur ot supérieur A -f-1 > et nous introduirons à la placo de la formule (24,) l'ongle <» de façon suivants: Cela donne : V+Vtt-V'^i-YiVï- [/ -t-> x+-2T=^ -^r^KjK 00t8 2- Bu introduisant un nouvel angle <p selon la formule : tg<P=]/lgf, (262) nous aurons finalement: *!=]/-|(tg(f—cotg<p) = -2j/|-cotg2<p. (27,) Les racines imaginaires «çront : L'équation (14) a nne racine multiple et, dans ce cas, comme dans le cas où p = 0, la résolution de l'équation ne présente aucune difficulté. Nous pouvons, en utilisant les formules trigonométriquss, calculer à l'aide d'uno tablo de logarithmes les racines d'une équation cutique avec une très grande précision.
Vl-2, PROPRIETES FONDAMENTALES DES POLYNÔMES ENTIERS 473 Exemple. 1. as»-|-9a!»+23*~|-14=0. En supposant que x = y — 3, motions l'équation sous la tonne: y*-Ay-i=0, ot cette équation possède trois racines réelles (VI-2-8|. Les formules (22) donnent cos <p, ot en trouvant l'angle <p lui-même, nous déterminons los racines selon les formules (23): cosqp" ' 7. ; lg cos 9 = 1,51156 q)=Tl°2'5r»" -f-SMO'39-; T'^'^MS'^O'SB'; -£±^21=263°40'59" lg T7f =0,36350 lg!,, =0,32529; lg (-^) = 0,26970 ; lg {-u3) =1.40501 »1 = 2,1149; vi=—1,8608; y3=-0,2541 %=>-0,8851; œ2=—4,8608; a3= — 3,2541 Exemple 2. 3:3-32+5=0. Définissons l'anglo <o à l'aide de la formulo (24() ot l'angle a a l'aide de la formule (24a), ut calculons ensuite les racines [cf. (25i) et (25a) 1 : lgsinû)=ï,(i0208; cû=23°S4'11''; -^-= 11^7'20" igtgcp = 1,77318; ç=30°40'31"; 2q> = 61°21'02" lg-^V-= 0,05672; .* =1,11305 lg V3Pcotg2cp = 1,97602; V^cotB2cp = 0,94628 zt=— 2,2790; xz, i3 = 1,1395±0,94628i VI-2-10. Méthode itérative. Dans de nombreux ces, lorsqu'on a une valeur approchée x„ d'une racine cherchés 5 avec une faible précision, il est commode d'améliorer cette valeur approchée de la racine. Le procédé d'itëralicn ou procède des approximations successives est un des moyens que l'on emploie pour
-474 CH. Vï. NOMBBES COMPLEXES. FONDHM. DE 1/ALGEBRE SUPEBIEtJRE préciser la valeur approchée d'uno racine. Ce procédé, comme on le verra par la suite, est valable non seulement pour les équations algébriques, mais aussi pour les équations transcendantes. Supposons que nous écrivions l'équation : sous la forme : /(*)-0 (28) (39) /t (x) étant telle que l'équation /i(2)=m possède pour tout m réel une seule racine réelle qu'il est facile do calculer avec une très grande précision. Le calcul de la racine de l'équation (29) à l'aide d'ité- ■jr-SW Xf J£j £ -.7^ ^2 "*n Fig. 184 *~X ration cousiste à substituer la valeur approchée xa de la racine cherchée dans le deuxième membre de l'équation (29) pour déterminer une deuxième approximation Xi de la racine cherchée de l'équation : /1(2)=/2(¾). En substituant s( dans le second membre de (29) pour l'approximation suivante œ2. on résout l'équation /j (x) =■ /2 fa), etc. On détermine ainsi une suite de valeurs: «o» «1. 3¾. • •-.*». ..., (30) /1(^1) = /2(¾). /1(^2) = /2(^1). ■■- /1(^) = /2(^-1), - (31) Il est facile de montrer la signification géométrique dos approximations obtenues. La racine cherchée est l'abscisse du point d'intersection des courbes: y = /i(») (32i) et V=/a(*). (3¾) On a représenté sur les tig. 183 ot 184 ces deux courbes; dans le cas de la fig. 183, les dérivées f\ (a) et f's (x) sont de même signe au point d'intersection,
YI-2. PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DBS POLYNÔMES ENTIERS 475 y°X't$ Fig. 185 et dans le cas de la fig. 184, elles sont do signes contraires, et dans les doux cas: m ® i< i/i(i)i- Aux égalités (31) correspond la construction suivanto: menons la droite x =ï0 parallèle à Taxe OY, jusqu'à son intorsoetion au point (x0, t/o) avoc la courbe (322); menons par ce point d'intersection la droite y — Va parallèle à l'axe OX, jusqu'à son intersection au point (*!, j/„) avec la courbe (32j) ; menons alors par le point (Œj, y<,) la droite x = xv parallelo à l'axe OY, jusqu'à son intersection avec la courba (322) au point (œ„ y,); par ce dernier point, menons la droito y — yt jusqu'à son intersection avec la courbe (32() au point (x», ffj), etc. Los abscisses des points d'intersection nous donnent la suite (30). Si l'on prend la première approximation suffisamment près de ç, cette suite, comme on le voit sur la figura, tend vers une limite §, et, dans le cas où /,' (S) et fi (§) sont do mémo signe, on obtient une ligne brisée on escalier, tendant vers g (fig. 183) ; ot st fi (|) et /â (1) sont de signes diïféronts, cette ligne brisée tond vers 5, en ayant la forme d'uno spirale (fig. 184). Nous ne donne rons pas de conditions ni de démonstration rigoureuse do ce que la suite (30) tend vers uno limite g. On peut dans de nombreux cas le constater directement à l'aido de la figure. Le procédé indiqué est particulièrement commode pour les applications dans Io cas où l'équation (29) a la forme: x-=fz(x). Soit | la racine de cette équation, dont la valeur approchée: ^=•5 + 6 nous est connue. La suite des approximations successives sera: ^1 = /2(3¾). xz—h(xij,..., :%=M*b_i), ... Un peut démontrer qu'effectivement :¾ ->■ % pour n -*■ 00, si la fonction /j (x) possède une dérivée fi (x) qui vérifie la condition : 1 «(*)!<«<! dans l'intervalle Exemple 1. Etudions l'équation : 2:6-1-0,2=0. (33) Ses racines réellessont les abscisses des points d'Intersection des lignes (fig. 185) : y=»s, (34i) y=x+0,Z, (3½) et commo on le voit sur la fig. 185, l'équation (33) possède une racino positive et deux racines négatives. Aux points d'intersection A et B correspondant à la racine positive et à la racine négative plus grande en valeur absolue, le coefficient angulaire de la droite {3¾) est inférieur en valeur absolue au aoefficient angulaire do la tangonte à la courbe (34j), c'est-à-dire que lorsqu'on calcule ces racines par
476 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, PONDBM. DE L'ALGEBRE SUPERIEURE itérations successives on doit représenter l'équation (33) sous la forme : En prenant pour approximation du premier ordre dans le calcul de la racine positive «o = 1, nous obtiendrons la table (I). y^+0,2 s, = 1,037 ^2=1,0434 »3=1,0445 z4=1,04472 Zn + 0,2 1,2 1,237 1,2434 1,2445 La valeur xi donne la racine cherchée u la cinqnièmo décimale près. Pour calculer la racine négative, plus grande en valeur absolue, nous prendrons comme approximation du premier ordre x„ = —1 et obtiendrons la table (11). Vxn+Ù,ï ¢(=-0,956 z2= — 0,9456 a:3=— 0,9430 *4=-0,9423 xs 0,94214 ar0=— 0,94210 Zn+0,2 -0,8 -0,756 —0,7456 —0,7430 —0,7423 —0,74214 Au point C, auquel correspond la racine négative, la plus petite en valeur absoluo, le coefficient angulaire do la tangente à la courbe (34,) est inférieure à 1 en valeur absoluo, et, par conséquent, lorsqu'on effectua les itérations, il faut présenter l'équation (33) sous la forme : 3f=3!"S— 0,2. En prenant pour approximation du premier ordre xa = 0, nous avons : 4-o,2 *( = —0,2 s2=—0,20032 X5 —0 —0,00032 Dans les trois cas, l'approximation de la racine s'est faîte suivant une ligne en oscalior, commo on la représenté sur la fig. 183, co qui n'est pas difficile S démontrer d'après la fig. 185, ot dans les trois cas, les approximations ar„ tendent, lorsque n croît, vers la racine cherchée, en variant de façon monotone.
YI-2. PROPRIETES FONDAMENTALES DBS POLYNÔMES ENTIERS 477 Exemple 2. jr=tg3. (35) Les racines de cette équation sont les abscisses des points d'intersection des" lignes (fig. 186) ? = *• ï = tgï, iïL, comme on le voit d'après la fig. 186, l'équation possède une raclno dans chaque intervalle : [(2^-1)-^-, (2n + l)|-], n = 0, ±1, ±2, ... Pour les racines positives, on aura l'égalité approchée: 0,,^(21.+ 1)^-, où nous désignerons par 0¾ la racine positive de degré n de l'équation (35). *-X Fig. 186 3ît Calculons laracinedn voisine de -s- . Pour appliquer la tnéthodo i écrivons l'équation (35) sous la forme: œ=arc tgi et prenons comme approximation du premier ordre ^0=-5-. térative,
478 CH, VI, NOMBRES COMPLEXES, tfONDEH. DE L'ALGÈBRE SUPERIEURE Lorsqu'on calcule la suite des approximations: s„=arçtga;n_1, il faut toujours prendre une valeur d'arc tg contenue dans le troisième quadrant. En utilisant les tables de logarithmes et en exprimant les arcs en radians, nous obtiendrons '. 20=4.7124, ¢2=4,4933, xt=4,5033, ¢3=4,4935. VI-2-ii. Procédé de Newton. La méthode itérative, indiquée sur les fîg. 183 et 184, consiste à approcher de la racine cherchée, suivant dos droites parallèles Fig. 188 aux axes de coordonnées. Noos allons maintenant montrer d'autres procédés d'itération dans lesquels on utilise également des droites obliques par rapport aux axes de coordonnées. La procédé de Newton en est tu. Soit x'0 et x0 deux vaiours approchées de la racine % de l'équation: (36) /<*)=0, et supposons que cette équation no possède dans l'intervalle (ij, x0) qu' seule racine 5. Sur les fig. 187 et 188, on a représenté graphiquement la cour , uno courbe : &-=/(!)• Les abscisses des points N et P sont les valeurs approchées ij et z„ de la racine §, qui est l'abscisse du point A. Par le point P on mèno la tangente PC, a ia courbe, et du point d'intersection Ç, de cette tangente avec l'axe des abscisses, on a mené l'ordonnée Q$ de la courbe ; du point Q, on mène la tangente QRt à la droite, et du point fl, est menée l'ordonnée IisR de la courbe, etc. Les points Pit Qlt R{, . . ., comme on le voit sur la figuïo, tendent vers le point A, de sorto que leurs abscisses x0, xi, «s, . . . sont des approximations successives do la racine |. Donnons la formule gui exprime x„ en fonction de xn.t. L'équation de la tangente PQ{ sera : Y-f(zo) = f'(x0){X-ze)-
VÏ-3. MROPRIÊTSS FONDAMENTALES DES POLYNOMES ENTIERS 0& En Faisant Y = 0, nous trouverons l'abscisse du point Qi : n-JM. . (37> et, plus généralement : n = l, 2. 3 (38) / (*n-l) /' (*»-j) ' Nous voyons que les xn sont effectivement des approximations de la racine S- simplement en regardant la figure qui ost tracée dans lo cas où / (x) est monotone ot reste convexe (ou concave) dans l'intervalle (x^, x<,), autrement dit, lorsque Fig. 189 Fig. 100 /' (x) et /" (x) conservent leur sigho dans cet intervalle (II-3-1, 11-5-2]. Nous no ferons pas de démonstration analytique rigoureuse do cela. Remarquons que si nous avions appliqué le procédé de Newton non pas- à l'extrémité x0, mais à l'extrémité x\, nous n'aurions pas obtenu d'approximation de la racine, comme 1« montre la tangente tracée en pointillé. Dans le cas de la fig. 188, la courbe est concave du côté des ordonnées positives, c'ost-à-dtre que /" (x) > 0, et il faut appliquer lo procédé do Newton, comme nous le voyons, à l'extrémité où {{x) > 0. Il résulte do la fig. 187 que pour /" (2) < 0, il faut appliquer le procédé do Newton 0 l'extrémité où l'ordonné» f {x) < O. Nous arrivons ainsi a la règle suivante: st ]' (x) et /* (x) ne sont pas nulles dans tintervalle (xi, a0), et que les ordonnées f (xi) et f (x0) soient de signes différents, nous obtiendrons, en appliquant le procédé de Newton à Vextrêmitl de l'intervalle où les signes de f (x) et f" (x) sont les mêmes, des approximations successives de la racine unique de l'équation (36) contenue dans V intervalle (x'0, x0). VI-2-12. Méthode d'interpolation simple. Exposons un autre procédé de calcul approché d'uno racine. Menons une droite par les extrémités N et P d'un arc de courbe. L'abscisse de l'intersection B do cette droite avec l'axe des abscisses donnera une valeur approchée do la racine (fig. 189). Soit, comme précédemment, x'0 et xt> les abscisses des extrémités de l'intervalle. L'équation de la droite NP sera: X de Y~f(x0) -*o En supposant que V = 0, nous trouverons l'abscisse du point B : fl"o}—/rt) '
480 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGÈBRE SUPfiRIEUBE soit : 0 /(*»)-/«) ■ (39) soit encore : , (»o—»l'i)/(gQ> 0 /(*o)-/(»S) " Remplacer un arc do courbe par un segment do la droite passant par les extrémités de cet arc do courbe revient à remplacer la fonction / (x) dans l'intervalle considéré par un polyaôme du premier degré ayant les mêmes valeurs extrêmes que / (a:), ou, ce qui revient au même, c'est supposer que dans l'intervalle considéra les variations do / (x) sont proportionnelles aux variations de x. Ce procédé, que l'on appelle couramment interpolation, linéaire, est utilisé par exomple, lorsqu'on se sort de tables logarithmiques. Lo procôdé de calcul d'une racine quo nous avons cité s'appelle aussi parfois règle de la fausse supposition. Si on utilise simultanément la méthode d'interpolation linéaire et la méthode de Newton, on peut rapprocher les deux limites x'0 et x0 do la racino |. Supposons, par exemple, que les signes de / («) et de /" {x) coïncident à l'extrémité de x0, de sorte qu'il faut appliquer la méthode do Newton justement en ce point. En appliquant les deux procédés, nous obtiendrons deux nouvelles valeurs approchées (fig, 190) : _,_xàf(x0) — xof(xj) Xl^=XB /(*o)-/W) /(iq) /' (*o) ' On peut à nouveau appliquer aux valeurs approchées de x[ et xt les mêmes formules et en obtiendra les nouvelles valeurs: /(si). ** t{*ù-ti*'ù Nous obtiendrons ainsi deux séries de valeurs ; *ôi x[, x',, ..., x'n ... Ct Xq, Su *2i ..., xn, ..., approchant la racine g à gauche et à droite. Si dans les valeurs x'n et xn les premières décimales coïncident, on aura la mémo précision pour La racine g qui est contenue entre xn et xn. Exemple. L'équation / (x) = x* — 2—0,2 = 0, que nous avons étudiée dans l'exemple 1 du [VI-2-10], possède une racino positive dans l'intervalle i < x < 1,1, et dans cet intervalle: /'(s) = 5z*—1 et f{œ) = 20*a ne changent pas de signo. Nous pouvons ainsi supposer quo : xi = i; xo=i,i.
VI-8. INTEQRAÏ30N DES FONCTIONS 481 Calculons les valeurs de la fonction / (z) : /(1) = -0,2, /(1,1)=0,31051, d'où l'on voit qu'à l'extrémité de droite (x„ — 1,1), / (a) et /" (x) ont le même signe (-)-) et, par conséquent, il faut utiliser la méthode de Newton en ce point. Calculons d'abord la valeur de f (x) à l'extrémité de droite : /'(1,1) =6,3205. D'après les formules (37) et (39), nous aurons: , , 0,1-0,2, , n„. ai=1+u^ïÔM = 1'039' ^ = ^-6732Ô5=1'051- Calculons pour l'approximation suivante : /(1,039^=-0,0282, /(1,051) = 0,0313, /'(1,051) = 5,1005, d'où , tnon , 0,012-0,0282 _, A„en za= 1,039-1 ^-55^- = 1,04469, ^=1'0S1-5S^1'04487' ce qui donne la valuur de la racine avec une précision à deux unités près à la quatrième décimale [VI-2-101: 1,04469 <|< 1,04487. VI-3. Intégration des fonctions VI-3-1. Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples. Nous avons donné une série de méthodes pour calculer les intégrales indéfinies. Nous allons, dans ce paragraphe, compléter ces indications et leur donner un caractère plus systématique. La première question sera celle de l'intégration d une fraction ration- nelle, c'est-à-dire du quotient de deux polynômes. Avant de résoudre cette question, nous établirons la formule qui représente une fonction rationnelle sous forme d'une somme de plusieurs fractions plus simples. Cette représentation s'appelle décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples. Soit la fraction rationnelle IM. Si c'est une fraction irrégulière, c'est-à-dire si le degré de son numérateur n'est pas inférieur à celui du dénominateur, nous pouvons, en divisant, obtenir la partie entière; le polynôme Q (x) et représenter la fraction sous la forme: «A 3i— 281
482 CH. VI. NOMBBES COMPLEXES, FONDËM. DE VALGEBRE SUPERIEURE où SS est une fraction régulière dont le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. Nous considérerons, de plus, cette fraction comme irréductible, c'est-à-dire que nous considérerons que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux iVI-2-5]. Soit x = a la racine du dénominateur d'ordre k: /(*)-(*-a)"/i(«) et A(a)^0. Démontrons que l'on peut représenter la fraction par la somme: q>(») „_ A | q>t(g) «j\ où A est une constante et le deuxième terme du second membre est une fraction régulière. Formons la différence: <p(g) A _ q>(a) —Afi(x) (x—a)h ft {x) (x—a)'' (x — a)'' /( (x) et déterminons la constante A de manière que le numérateur de la fraction du second membre soit divisible par {x — a) [VI-2-1] : (p(a) — Af1(a) = Q, d'où A = jfâ (/, «0*0). On peut, avec une telle valeur de A, simplifier la fraction précédente par {x — a), et on arrivera ainsi à l'identité (2). Bile montre que nous pouvons, en éliminant le terme du type rj", que l'on appelle fraction simple, abaisser le degré du facteur (x — a), entrant dans le dénominateur, d'une unité au moins. Supposons que le dénominateur puisse être développé en produit de facteurs : / (x) = (x - a,)"1 (s - a2f* ...(*- am?m. Nous n'écrivons pas le facteur constant puisqu'il peut être reporté au numérateur. Nous obtiendrons, en appliquant successivement la règle Indiquée ci-dessus, la décomposition de la fraction rationnelle régulière en éléments simples: 41* 4?-, 4» 4TO) 4m> t 4"' -) «a-—| ^r1- -, 4-... H — . (3) /«._/._.\"»n ' tr~„^.\l>m-l ' x — a™ v ' (*-am)h« (^-a^1""-
Vr-3. INTÉGRATION DES FONCTIONS <Î83 Indiquons maintenant des méthodes pour déterminer les coefficients du deuxième membre de l'identité précédente. En chassant le dénominateur, nous arriverons à l'identité de deux polynômes, et en égalant leurs coefficients correspondants, nous obtiendrons im système d'équations du premier degré pour déterminer les coefficients cherchés. Cette méthode, comme nous l'avons déjà dit IVI-2-2], s'appelle la méthode des coefficients indéterminés. On peut s'y prendre différemment, en donnant par exemple dans l'identité des polynômes précédente différentes valeurs particulières à la variable x. On peut encore utiliser cette méthode de substitution, si on différentie au préalable un nombre quelconque do fois l'identité précédente. On peut démontrer — mais nous ne nous y arrêterons pas — que le développement (3) est unique, c'est-à-dire que ses coefficients oat une valeur parfaitement définie qui ne dépend pas de la méthode de décomposition. Nous donnerons plus loin des exemples d'application de ces méthodes de détermination des coefficients inconnus d'une décomposition. Dana le oas de polynômes q> (x) et / (œ) réels, le deuxième membre de l'identité (3) peut quand même contenir des termes imaginaires provenant de racines imaginaires du dénominateur. Nous citerons une autre décomposition d'une fraction rationnelle qui ne présente pas cet inconvénient, mais nous nous limiterons au cas où le dénominateur de la fraction n'a qne des racines simples, puisque ce cas est le plus important dans les applications. Il est facile de démontrer qu'au couple de racines conjuguées complexes du dénominateur œ = a ± bi correspondra une somme de fractions simples: Aj\-Bl A—Bi x — a—bt ' x—tt-f-ii" En réduisant ce3 fractions au morne dénominateur, nous obtiendrons une fraction simple de la forme: Ainsi, dans le cas considéré, la fraction rationnelle réelle se décompose en fractions réelles simples: I (x) x — <"i * — a2 r ■ • • ~r x — flj_ T M,x-\-Nt M&+Ns i_Ës£±£»_ //v où l'on a, sur la première ligne, les fractions correspondant aux racines réelles du dénominateur, et sur la seconde ligne, les fractions correspondant aux couples de racines conjuguées complexes. 31*
484 CH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE I/ALGÊBHH SUPERIEURE VI-3-2. Intégration d'une traction rationnelle. L'intégration d'une fraction rationnelle se ramène, d'après la formule (1), à l'intégration d'un polynôme, ce qui donnera un nouveau polynôme, et à l'intégration d'une fraction rationnelle, ce que nous allons étudier maintenant. Si le dénominateur d'une fraction ne possède que des racines simples, elle se ramène, d'après la formule (4), à des intégrales de deux types: U A ■—ùc = A\ji{&—{t)-\~C „. P -g±!L-dx. A l'aide de ce qui a été dit [III-1-7J, nous obtiendrons une solution du type: Ainsi, l'intégrale est exprimée par des logarithmes et des arcs tangentes. Etudions maintenant le cas où le dénominateur d'une fraction rationnelle régulière contient des racines multiples. Considérons la décomposition (3). Les nombres imaginaires que l'on peut y rencontrer, ne joueront qu'un rôle d'intermédiaire dans les calculs, et disparaîtront dans le résultat final. En intégrant des fractions simples dont le dénominateur est de degré supérieur au premier, nous obtiendrons également une fraction rationnelle: La somme des fractions obtenues après intégration nous donnora la. partie algébrique de l'intégrale qui, réduite au môme dénominateur, sera évidemment une fraction régulière de la forme: tù(x) (z-o/l-1 {x-aà1*-1 ... {*-Bm)km-1 ' Le numérateur a (#) est un polynôme dont le degré est au moins d'une unité inférieur à celui du dénominateur, et le dénominateur est le plus grand commun diviseur D {x) du dénominateur de la fraction à intégrer f {x) et de sa dérivée première f {x) [VI-2-5]. La somme des fractions à intégrer restantes: An | A2> , ■ 4m)
Vl-3. INTÉGRATION DES FONCTIONS fei réduite au mémo dénominateur, sera une fraction régulière de la forme: t»i (») (s— fl|)(ï—az)... («-%)' où Mi {x) est un polynôme de degré inférieur d'au moins une unité à celui du dénominateur, lequel est le quotient Dt (x) de la division de / (x) par D {x). De la sorte, nous obtenons la formule d'Ostro- gradski-JJermite : Los polynômes Z3 (a;) et Dt {x) peuvent être obtenus sans qu'on connaisse les racines do / (x) [VÏ-2-5]. Indiquons maintenant comment déterminer les coefficients des polynômes co {x) et tût (a;) quo nous pouvons considérer d'un degré inférieur d'une unité à celui do leurs dénominateurs raspectifs. En différentiant l'égalité (5), on élimine le signe somme. En éliminant les dénominateurs, on aura l'Identité de deux polynômes et en utilisant la méthode des coefficients indéterminés, ou de la substitution, nous pourrons obtenir les coefficients do a> (œ) et de a>i (x). La formule d'Ostrogradski-Hermite nous permet donc d'obtenir la partie algébrique de l'intégrale d'uno fraction rationnelle régulière, même lorsque les racines du dénominateur ne sont pas connues. Le dénominateur de la fraction situéo sous le signe intégrale dans le second membre de l'égalité (5) ne contient que des racines simples et, en décomposant cette fraction, nous pourrons calculer cette intégrale qui, comme nous l'avons déjà vu, sera exprimée au moyen de logarithmes oC d'arcs tangentes. Pour effectuer cette dernière opération, nous avons besoin de connaître les racines de Dt (x). Exemple. D'après la formule d'Oatrogradski-IiormHo, p dz. gaff-t-frc-Hy i P 6ga+ea-)-T| ^ En différentiant par rapport à x : 1 _(2as-|-p) (¢3-)-1)-Zf(ax* + $x+y) ôx"+sx+r\ (*3 (-1)3 (¢3+1)= '" it3-fl et, on éliminant les dénominatours, nous avons: I = (2a2 + F5) (s' + l)—3ia (o^H-pi+v) + (8a*+sa-f-Ji) (z'+l). En comparant les coefficients de x6, on obtient 6 = 0, puis en comparant ceux de x1, ou obtient v = 0. En faisant f = ô = 0 dans l'identité et on comparant les coefficients des autres degrés, nous aurons: e— a = 0, n—2f}^0, 2a+e = 0, p-|-n = l, d'où finalement : 32-281
486 OH. VI. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALGEBRE SUPERIEUR» et par suite: P dx x , 2 P dx ,) (i»+l)*- 3(2*4-1) 3 i z3+l ' On calcule cette dernière intégrale en décomposant la fraction en éléments sîmplus : 1 _ A Ms + N zs + i a+l+a;a—x-|-l ' En éliminant le dénominateur: l = J4(2î_x + l)-(-(Afï+JV) (x -1-1). ■= —i, on de r8 et les termes constants : En supposant que x— —i, on obtient a=-ô-. el en comparant les coefficients *=-T- *-T' d'où i» + i 3(1 + 1) 3(x*-a + l)' Finalement, on obtient : P g» _1_ P ds 1 P x — 2 _ ^+1^3 Jïfi 3^aS-2+l " ■g-ln(*hl)-^.ln(*«-*+l) + -^arctg^=i+C, d'«û l jpx^i-Tn^fT)-+Tln<*+1)--5-1»««,-*+1) I- VI-3-3. Intégrale d'expressions contenant des radieaux. Etudions encore certains autres types d'intégrales qui se ramènent à dos intégrales de fraction rationnelle. 1. L'intégrale: où R est une fonction rationnelle do sos arguments, c'est-à-dire le quotient de polynômes de ces arguments et X, ji, ... sont des nombres rationnels. Soit m le dénominateur commun de ces tractions. Introduisons une nouvello variable t: ax*~b.-=tm cx + d dx Il est évident que x, -y- et les oxpressions / ax+b \* / ax+b \P- \ cx+d } ' \ ex + d j
VI-3. INTEGRATION DES FONCTIONS 487 seront des fonctions rationnelles de t et que l'intégrale (6) se ramènera à l'intégrale de fraction rationnelle. 2. Différentielle de binôme. Les intégrales de différentielles de binôme se ramènent dans certains cas à l'intégrale (6) : [xm(a-\-bxn)T'dx, (7) où m, n et p sont des nombres rationnels. I Posons x = t" : Ç xm («+bxny dz^f^t* ~ (a+bty dt. Si p ou^2-±- sont des nombres entiers, l'intégrale obtenue sera une intégrale de la forme (6). De l'égalité évidente il résulte que dans le cas où ^~— +p est un nombre entier, I'int& grale (7) se ramène aussi à la forme (6). Il existe un, théorème de Tchébychev d'après lequel les trois cas cités épuisent tous les cas où l'intégrale de la différentielle d'un binôme s'exprime sous forme de fonctions élémentaires. VI-3-4. Intégrales du type K li, (oc, Vax^+bx + e) dx. Les intégrales du type: jj R {x, Vaz*+bz + c)dz, (8) où R est une fonction rationnelle de ses arguments, se ramènent aux intégrales de fraction rationnelle grâce à la substitution d'Eulur. Dans le cas où a > 0, on peut utiliser la première substitution d'Euler-. ■j/os8 + bx + c = t — V~âx-. En élevant les deux membres de cette égalité au carré et en résolvant par rapport à x, nous obtiendrons: 2iyâ+b ' d'où nons voyons que x, g- et Y ax' ■+■ bx + c seront des fonctions rationnelles de t, et, par conséquent, l'intégrale (8) se ramènera à nne intégrale de fraction rationnelle. 32*
488 CH. \r. NOMBRES COMPLEXES, FONDEM. DE L'ALCiÈBKE SUPERIEURE Dans le cas où c >0, ou peut utiliser la deuxième substitution d'Euler: y «a;2 -|- bx-\-c = tx -\- Yc Le lecteur pourra le vérifier. Dans le cas où a < 0, le trinôme («za -f bx + c) doit avoir des racines réelles x-, et x2 car dans le cas contraire il serait négatif pour toute valeur réelle de x, ot "j/oa:2 ■+- bx + c serait imaginaire. Dans le cas où il y aurait dos racines réelles du trinôme cité, l'intégrale (8) se ramènerait à une intégrale de fraction rationnelle en utilisant la troisième substitution d'Euler: Ya(x — x,)(x — xi) = t(x — x2). Le lecteur pourra le vérifier. Les substitutions d'Euler conduisent la plupart du temps à des calculs compliques, c'est pourquoi nous allons indiquer une autre méthode de calcul do l'intégrale (8). Désignons pour simplifier les notations: y = Yax2-\- bx+c. Toute puissance positive paire de y représente un polynôme en x, et il n'est pas difficile de ramener la fonction à intégrer à la forme : Rlr „■>=, "iW-KWii •"(*' »>= ,»3(*)+<M*) y' où ws {x) est un polynôme de x. En éliminant l'irrationnel dans le dénominateur ot en effectuant des transformations élémentaires, nous pouvons mettre l'expression précédente sous la forme : "»« (s) "s (*) V Le premier terme est une fraction rationnelle que nous savons déjà intégrer. En extrayant de la fraction SlMla partie entière G>g (ar) et en décomposant la fraction irréductible en fractions plus simples, nous arriverons aux intégrales de la forme: 2^> ta (9) (10) et dx j {x—a)ri'\/axi-;bx-\-o où fp (x) est un polynôme de x. En outre nous supposons que le polynôme ws (x) n'a que des racines réelles.
Vl-3. INTEGRATION DES FOrîCTtONS 489 Avant de passer à l'examen des intégrales (9) et (10) notons deux cas particuliers simples de l'intégrale (9): dx l P dx dx . x 2 , „ ...,. \ —, ■■■ = \ .. =aicsm— i-C (12) J y_,.+*,+,, j yf^^y La formule (11) n'est pas difficile à obtenir si l'on utilise la première substitution d'Exiler. L'intégrale (12) a déjà été étudiée précédemment 1111-1-71. Pour calculer l'intégrale (9) il est commode d'utiliser la formule: l v-+%+. *-*M^+*H..+x l ysrfc- (13) où ty (x) est un polynôme de degré infériour d'une unité à. celui de i|) (x) et X est une constante. Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de la formule (13). En différenciant la relation (13) et en chassant le dénominateur, nous obtiendrons une identité de deux polynômes, d'où nous pourrons déterminer les coefficients des polynômes ij) (x) et la constante X. L'intégrale (10) se ramène à wne inlégrale (9) grâce à la su1>h- tilution: 1 x.— a = ~r • Exomple. dx P x—']/x2 — x fl . » L- dx = x \.-\/xi—x-\ 1 d x—î — dx- (x — i) y*» —*-|-l , . P xi — x±-l — x-w lalix—i) — \ . ■ ( r " ' J (x—l)-\/x* — x |-1 Or: c'est pourquoi : x* —x-\-i , i x—i ' x—:
490 OH. VI. NOMBRES COMPLEXES, KONDEM. DE L'ALGEBRE SUPËRIfiUBE D'après la formule (13) : àx ~\/x*—x-\-l ' 2i = a(2x—1)+2¾.. En dîfférentiant cette relation et en chassant le dénominateur, nous obtloudron3 l'identité : d'où: -=-1. *-jj-. «t, par conséquent, d'aproa la formule (11) : iïn posant ; t nous obtiendrons : +yg+rFT).rc—1« (^+4+/^+(-L-+i)+c= = — in(ar+l fSVi'-i i-l)-|-In (x— 1)+C, finalement : Ç /*_ = *-lAs--2+l-lln(a~l+V**-*+l) + + In (* -f 1 + 2 }/&— x+i+C. L'intégrale (8) ost un eus particulier de l'intégrale abàliennc, qui est de la forme ; S* (x, y)dx, (14) où R est une fonction rationnelle do sus arguments et y est une fonction algébrique de x , c'est-à-dire une fonction de x, qui est définie par l'équation: / '*, 50=0, (15) dont le premier membre ost un polytiSmo entier en x et y. Si y^yPV), où P {x) ost un polynôme du troisième ou du quatrième dogré en x, l'intégrale filiâlienne (14) sera une Intégrais elliptique. Nous nous occuperons de ces intégrales dans le troisième tomo. Cette dernière intégralo, sans parler de l'intégralo abélienne générale, ne s'ezprirne pas au moyen de fonctions élémentaires. Si le degré du polyn3mo P (x) ost plus élevé que 4, l'intégrale (14) s'appellera hyper- elliptique.
VI-3. INTEGRATION DES FONCTIONS 491 Si la relation (15) qui exprime y comme une fonction algébrique de x possède la propriété que x et y peuvent être exprimés sous forme de fonctions rationnelles à l'aido du paramètre auxiliaire 1, il est évident que l'intégrale abélienne (14) so ramène à l'intégrale de fraction rationnelle. Dans lo cas cité, la courbe algébrique représentative de la relation (15) s'appelle courbe unicursale. En por- ticulier, les substitutions d'Bulor servent à montrer que la courbe: est unicursale. VI-3-5. Intégrales du type \ It {sin se, cos *) rt*. L'intégrale du type: \ R (sin œ, cos x) dx, (16) où R est. une fonction rationnelle de ses arguments, se ramène a une intégrale de fraction rationnelle, si on introduit une nouvelle variable : * = tgf. En effet, d'après les formules connues de la trigonométrie, nous avons: 2i i — *2 sidj= j , .„ , cosœ = - et par ailleurs : x = L arc tg t, dx = . a , d'où il découle directement notre affirmation. Indiquons maintenant quelques cas particuliers où les calculs peuvent être simplifiés. 1. Supposons que R (sin», cos») ne varie pas si l'on remplace sin a: et cos» respectivement par (— sin a:) et (—cos»), c'est-à-dire supposons que JR (sin», cos») ait une période égale à n. Coninio sin»=cos2tg», R (sin », cos ») apparaît comme une fonction rationnelle de cos x et tg », ne variant pas lorsqu'on remplace cos» par (—cos a;), c'est-à-dire ne contenant que des puissances paires de cos»: iï(sin», cos») = Ri(cos!'x, tgx). Dans ce cas, pour ramener l'intégrale (16) à une intégrale de fraction rationnelle, il suffit de poser: t = tgx. En effet, nous aurons : dx = . , ,, , COS2 X = - l+*s' """ "~ l+Tir-
•492 CM. VJ. NOMBHIsS COMFLISXIÎS. FONDEM. DE L'ALGÈBBE SUPJÎIUETjnF, Ainsi, si R (sir» *\ cos x) ne change pas quand on remplace sin x et cos x respectivement par (—sin x) et (—cos x), l'intégrale (10) se ramène à une intégrale de fraction rationnelle en posant t — 1,g œ. 2, Supposons maintenant que R (sin x, cos x) ne change que de signe quand on remplace sin x par (—shi a:). La fonction 7Î fSLH a, cos x) Bill X restera dans ce cas constante, c'est-à-dire qu'elle ne contiendra que des puissances paires de sin», et il s'ensuit que: R(ns'mz, cosa;) = iïj (sinaj;, cos g)-sin£. En faisant i = c.osar, nous obtiendrons: § R (sina:, cos x) àx= — [ Hl (1 —1\ t) dt, c'est-à-dire que si H (sin x, cos x) ne change que de signe lorsque «in» devient (—sin»), l'intégrale (16) se ramène à- une intégrale de fraction rationnelle au moyen de la. substitution t = cos x. 3. De mejne il est facile de montrer que si R (sin a:, cos x), quand on remplace cos x par (—cos x), ne. change que de signe, l'intégrale (16) se ramène à une intégrale de fraction rationnelle à Vaide de la substitution t — sin x. Vl-3-fi. Intégrales du type Ç e"x [/» (x) cos hx + Q {x) sin &a] rlx. L'intégrale du type: ^fiaj:ip(£)£to, (17) où <p (x) est un polynôme de » de degré n, en intégrant par parties, se ramène à: § e<"q> (r) d« = 4" e"*? (*) ~ y § «" V (x) <&• De cette manière, sortant de l'intégrale le ternie formé du pro- duil de eax par un polynôme de degré n, nous pouvons abaisser le degré du polynôme à intégrer d'une imité. En continuant de la même manière à intégrer par parties et en tenant compte de ce que: l<fi*dx = 4-(^-1 C, nous obtiendrons : § aOJCq> (x) dx --= e*xi|; (r) -(- C, (18) oïl 1JJ (x) est un polynôme du même degré n que q> (x), c'est-à-dire que l intégrale du produit de la fonction exponentielle e"* par le polynôme de degré n a également la forme de ce produit.
Vl-3. INTÉGRATION DES PONCTIONS 493 En différentiant la relation (18) et en divisant les deux parties de l'identité obtenue pai' eax, nous pouvons déterminer les coefficients du polynôme i(! (x) an moyen do coofficienls indéterminés. Eludions maintenant l'intégrale d'une forme pins générale: ? eox \P (,ï) cos bx + Q (x) sin fa| ilx, (19) où. P (x) ot Q (x) .sont dus polynômes en x. Soit n lo degré le plus élevé de ces deux polynômes. En introduisant, en tant que moyen auxiliaire, les grandeurs complexes, nous pouvons ramener l'intégrale (19) à l'intégrale (17), en remplaçant cos bx et sin hx par lenrs valeurs obtenues d'après les formules d'Euler IVI-1-7] : ebxlA.e-lixi _ f toi _ ,,-tai cos hx = tj , sin bx = rn , nous obtiendrons : Ç ea* | P {x) cos bx -f Q (x) sin bx] tlx = _ f e(a+M)x q, (;,;) (Jj. j. f ela-bï)X [pf (œ) ^, où <p (x) et tp( (:r) sont des polynômes de degré inférieur ou égal à n. En appliquant la formule (18) : ? e« \P (x) cos bx -|- <? (*) sin bx] dx = où i|) (x) o!; % (jp) sont des polynômes de degré inférieur' ou. égal à n et en remplaçant: t,±i«i _ cos fa _j_ ; s}„ bXi nous avons en définitive: ? eBV (P (;e) cos bx\-Q (x) sin /uj rZ* = =■ eax ( fl (z) cos te -H 5 (x) sin &r] |- 6', (20) où i? (a:) et S {x) sont des polynômes de degré non supérieur à n. De cette façon, nous voyons que l'intégrale (19) a. une expression de la même forme que la fonction à intégrer, en outre les degrés des polynômes dans l'intégrale doivent être ch-oisis égaux au plus grand des degrés des polynômes se trouvant dans la fonction à intégrer. En différentiant la relation (20), en simplifiant l'identité obtenue par en* et en égalant les coefficients des termes semblables de forme x' cos bx et x' sin bx (s = 0, 1, 2, . . . , n) se trouvant dans le premier et le second membre, nous obtiendrons un système d'équations du premier degré, servant à déterminer les coefficients des polynômes R (x) et S (x). Remarquons par ailleurs qno si cos bx ou sin bx no rentre pas sous le signe de l'intégrale, dans le second
494 CH. VT. NOMBRES COMPLEXES, PONDBM. DE L'ALGÈBRE SUPÉIUEUBE membre de la formule on .doit obligatoirement écrire les deux fonctions trigonométriques en tenant compte de la règle citée plus haut de la détermination des degrés des polynômes R (x) et S (%). Les intégrales de la forme: \ e" <p (z) sin (a,x+ bt) sin (0^ + 62) ... ... cos (c{x + dj) cos (czx + d2) ... dx se ramènent directement aux intégrales de la forme (19). En effet, en utilisant les formules de trigonométrie bien connues qui expriment la somme et la différence des sinus et dos cosinus sous la forme d'un produit, on peut, inversement, exprimer le produit do deux fonctions trigonométriques citées pins haut sous forme de somme et de différence de sinus et de cosinus. En appliquant un certain nombre de fois cette transformation, nous pouvons ramener à un seul le nombre de facteurs trigonométriques sous le signe d'intégration, et de cette façon nous obtiendrons une intégrale de la forme (19). Exemple. D'après la formule (20): ea*sin bxdx=a<&(A cos fce+fisin bx) + C. En différentSant et en simplifiant par e"*t sin bx^(aA-\-bB) cos bx + (—bA-\-aB) sin bx, d'où î 11/1 + 65=0, — bA-\-aB = it c'osl-à-dîre i A- b g- a a*+b* ' «a.|-l>* ■ et finalement e°* sin bx dx= ens ( „ f,- cos 6* 4- „ f , - sia bx\ +-C. (21) V a*-\-bA a*4-b2 I
INDEX Aboi, critère d' 372 —, théorèmes d' 374—375 Abscisse 23—24 Accroissement total 173 — d'une lojiction 30 — — d'une variable 29 — — de plusieurs variables 174 Aire d'un corps de révolution 270 D'Alombert, critère de 311, 352 Angle polaire 204 Arc rectifiablo 2C0 Argument du nombre complexe 424 AstrOÏde 203 Asymptote 38, 183 Axe 22 — polaire 204 Bézout, théorème de 457 Bornes des ensembles de nombres (supérieure, inférieure) 100 Calcul approché de l'intégrale délinie 270—290 — —, égalité 33 — —, solution d'équations 473—481 Calcul des oppressions indéterminées 83, 166—168, 346 Cardioïde 207, 209, 267 Cauchy, critère d'existence d'une limite (le 72 — , critères de convergence d'une série de 311, 315, 321 —, formule 163 Centre d'une courbe 36 Centre de gravité d'un arc 275 — d'une figure plane 277 — d'un systèmo de points 410 Chaînette 198, 266, 442 Changement de variable 230, 250 Changement de variable trigonométri- que 491 Cisaoïdo 207 Coefficient angulaire d'ntio droite 27 Concavité et convexité 177 Continuité uniforme d'une fonction 85, 170 Convergence uniforme d'une série 302 d'une suite 365 Coordonnées 23 — polaires 204 Cosinus 48, 115, 330 Cotnngente 48, 117 Coupure dons ie domaine des nombres rationnels 96 Courbo algébrique 191 Courbes harmoniques 51 Courbe intégrale 213 Courbes polytropiques 39 Courbes transcendantes 195 Courbe unlcursale 491 Courbure 179 Critères de convergenco d'une série 309-321, 351-400 Critère intégral do convergence de Cauchy 314—316 Cycloîde 198, 266, 2R7 Définition paramétrique d'une courbe 185 Dépendance (relation) fonctionnelle 18 Dérivation 113 —, intégrale par rapport à la berne supérieure 243 Dérivation, règlos 122, 392—394 Dérivée 110, 115—117, 122—124 • — à droite 113 — à gauche 113 — d'une fonction implicite 173, 392
496 INDEX Dérivée d'ordre supérieur 131, 387 — partiollo 170, 384, 387 —, règles du calcul 114—124, 187 — totale 174, 385 Développant!) du cercle 203 Diagramme vectoriel 447 Différences des fonctions 136—137 Différontintion, règles 187 — — d'une série entière 376 — — uniformément convergente 371 Différentielle 124 —, application au calcul approché 130 — d'un »rc 175, 265, 399 —, interprétation géométrique 125 — d'ordre supérieur 135—136 — totale 173, 384, 890 Diviseur commun dos p«lynômes> (te plus grand) 464 ' Domaine fermé (ouvert) île la définition d'une fonction J70, 380 Droite tangente 112, 178, 195 E (nombre 90 —, calcul approché 329 Echelle logarithmique 47 Ellipse 257. 265, 335, 454 Ellipsoïde 270, 272, 273, 402 Ensemble de nombres borné supérieurement, inférieiiroment 95 Tîpicycloïdo 200 Equation algébrique 450—458 — d'une courhe 25 — cuMquo 467, 470 — différentielle 127, 234 — polaire d'une courbe 204 — d'une surface 398 Errent1 absoluo 129 — relative 130 Eu 1er, formules d' 43C —, substitution d' 487 —, théorèmo d' 387 Expressions indéterminées 103—168, 346 Expression a intégrer 212 Fermât, théorème de 157 Foliun» do Descartes 187, 191 Fonction 16 — algébrique 490 — bornée 170, 291 — composée 108, 109. 174 — continue 45, 76, 8i—8«, 102—108, 170 Fonction croissante 45, 139, 142 — déoroissanto 45, 139, 142 — discontinue sous le signe d'intégration 245 — ontioie B3 — homogène 386 — hyperbolique 437—439 — impaire 252 — implicite 20, 174, 392, 396 — intégrablo 296—304 — a intégrer 212 — inverse 41, 108, 119 Fonctions circulaires inverses 52, 121 —, valeur principale 53 Fonction linéaire 27—29 — logarithmique 47, 107 — mutlivoque 18, 42 — primitive 211, 223 — puissance (,y=oa:',)_ 39, 40, 81 — puissance-exponentielle 81 Fonctions trigonomélriques 48—51 — décomposition 327 Fonction univoque 20, 43 Formule des accroissements Finis 460 Formules approchées 343 Formulo de Cardan 470 Formules empiriques 32 Formule! d'Ûstrogradski-Hermito 485 — dos rectangles 278 — de récurrence 253 — des tangentes 280 — do la valeur moyenne d'une intégrale 242—243 Frnctiou rationnelle, décomposition en éléments simples 481 Gauss, critère de 353, 355 Gauss, série de 355 Géométrio analytique 26 Grandeur coiistaiilo 14 Grandeurs sinusoïdales 447 Graphique do la fonction 25, 183—185 Guldin, théorèmes de 274, 277 Horncr, règle de 462 Hyperbole 38 Hypocycloïdes 200 Infiniment grands 68 — pisl.it» 56 —, comparaison 87
INDEX 407 Infiniment petits, équivalence 87 —, ordre 87—88 —, propriétés 58-59 Intégrale aboli un no 490 — définie 215, 221, 23B—254 — —, calcul approché 278 — — calculée à l'aide d'une fonction primitive 223 — — propriétés 230 — —, par rapporta l'intégrale indéfinie 221 théorème de la moyenne 242—243 — elliptique 490 — hypereiliptique 490 — indéfinie 223, 226 intégration de différentielles de binôme 487 — d'expressions irrationnelle 232— 233, 486—487 trigonomélriqucs ot exponentielles 491—494 — îles tractions rationnelles 230—231, 484—486 — par parties 228, 252 —, règles 22«—227 — d'une série entière 376 — d'rmo série uniformément convergente 371 Interpolation 479 Intervalle ouvert, fermé 15 Kepler, équation do 73—74, 141 Kummer, critère de convergence d'une série de 35't Lngraiigo, moyon des multiplicateurs de 414 —, forme du reste de la sério de Taylor 325 —, formule 160 Leibniz, règle do 133 Lemniscate 210 Limite d'une grandeur variable 61 — fonction 75 de plusiours variables 170 multiple 382 L'Hospital, règle de 1GG-170 Logarithme naturel 93—94 Longueur d'un arc 259—265, 399 — a'une normale 196 — — tangente 196 Maclauiin, série de 327 —, formule tle 327 Maximum et minimum absolu 413— —414 relatif: 413—414 , régies d'obtention 144 d'une fonction 142—148, 345 — — de plusieurs variables 404—406 Méthode des coefficients indéterminés 483 — d'hiterpolulion simple 479 — itérative 473, 478 — do substitution 483 — des tangentes 478 Module d'un uombre comploxo 424 — du système do logarithmes 94 Moivre, formule do 430 Newton, procédé de 478 N'ombre complexe 422 — conjugué 429 entier 12 fractionnaire 12 irrationnel 12. 97 opérations 425—435 rationnel 12 , forme exponentielle 43C , forme trigonométrïque 425 Nombres réels, opérations 13, 96 Normale à une courbe 195 — à une surface 401 Ordonnée 24 — à l'origine 28 Origine 22 — dos coordonnées 23 Oscillations amorties 149 Oscillation de la {onction 294 — harmonique 51 — sous forme complexe 455 Ovale de Cassini 209 Papier logarithmique 48 Parabole 34, 256, 265 — de troisième degré 35 — semi-cubique 192 Paraboloïde hyperbolique 409 Paramètre 185 Partie imaginaire, réelle 425 Plan des coordonnées 24
49» INDEX Plan tangent 400 Point d'arrêt de la courbe 195 — asymptote 207 — d'inflexion 177—178, 345 — isolé d'une courbe 195 — nodal d'une courbe 192 »-de rebronssemeot 193 Points singuliers d'une coorba 191 Point do tangence 194 Pâle 204 Polynôme 33, 456—468 Poncelet, formule de 281 Procédé analytique cour exprimer une dépendance fonctionnelle 18 — des approximations successives 473 — graphique pour exprimer une dépendance fonctionnelle 21 — obtenir los racines d'une équation 37 Procédé du tables pour représontor dos fonctions 20 Progression géométrique 306 Sériés harmoniques 308, 316 — hypergéométriques 355 — infinies 305 — de Maclaurin 327 — da Taylor 327 — trigonométriques uniformément convergentes 362 Simpson, formule de 281 Sinus 48 Somme d'uno série 305 Sous-normale 195 Sous-tangonte 195 Spirales 206 Spirale d'Arohhnède 206 — hyperbolique 206 — logarithmique 207, 266, 455 Substitution d'Euler 487, 488 Suite 58 — de fonctions 365—371 — uniformément convergente 365 Surface 254—259 — d'un corps do révolution 270 Quadrature 256 Racines multiples d'un polynôme 460-461 Racine d'un polynôme 457 Rayon do courbure £80, 196, 197, 206 — de convergence 375 Rayon vocleur 204 Règle h calcul 48 — de la fausse supposition 480 Représentation graphique 25 P.este dans la formule de Taylor 325 — d'une série 305, 318 ftolle, théorème de 158 Rosace à trais branches 259 Rupture de lu continuité des fonctions 292 Saut de la fonction 78 Séries absolument convergentes 318» 343, 349 — alternées 316 — binomiales 331 — convergentes 305, 332 — divergentes 306 — doubles 357 — entières 374, 376—379 Tangente 48, 117 Taylor, formule de 325 —, série do 327, 402 Théorème fondamental do l'algèbre 458 Tore 277 Trinôme du second degré 33 Trocboïde 200 Un'té imaginaire 423 Valeur arithmétique ou absolue 13 — d'une fonction (la plus grande ot la plus petite) 150, 152, 157, 170, 412 Variable 14 — bornée 56 — indépendante 16 — d'intégration 220 — monotone 70 — ordonnée 54 Voisinage 381 Volume d'nn corps 267—269 Vraie valeur de la fonction 83 Weierstrass, critère de 372
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