Walter Rudin
2» CYCLE • AGRÉGATION
Analyse réelle
et complexe
Cours et exercices
3e édition
DUNOD

Analyse réelle
et complexe

Consultez nos catalogues
sur le Web...
Accueil Auteurs

Analyse réelle
et complexe
Cours et exercices
Walter Rudin
Professeur à l'université du Wisconsin (Madison)
Traduit de l'américain par
Jean Dhombres
Professeur à l'université de Nantes
DUNOD

L'édition originale de cet ouvrage a été publiée
aux États-Unis chez McGraw-Hill sous le titre
Real and Complex Analysis. Third Edition.
©McGraw-Hill, Inc., 1987
Ail rights reserved.
Ce pictogramme mérite une explication.
Son objet est d'alerter le lecteur sur la
menace que représente pour l'avenir de
l'écrit, particulièrement dans le
domaine de l'édition technique
et universitaire, le
développement massif du photoco-
pîllage.
Le Code de la propriété
intellectuelle du 1" juillet 1992 interdit
en effet expressément la
photocopie à usage collectif sans
autorisation des ayants droit. Or, cette pratique
s'est généralisée dans les établissements
d'enseignement supérieur, provoquant
une baisse brutale des achats de livres et
de revues, au point que la possibilité
même pour les auteurs de créer
des œuvres nouvelles et de les
faire éditer correctement est
aujourd'hui menacée.
Nous rappelons donc que toute
reproduction, partielle ou totale,
de la présente publication est
interdite sans autorisation du
Centre français d'exploitation du
droit de copie (CFC, 20 rue des Grands-
Augustins, 75006 Paris).
LEPH0TTOCOP1LAGE
TUE LE LIVRE
© Dunod, Paris, 1998 pour la traduction française
ISBN 2 10 004004 9
Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement
de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite selon le Code de la
propriété intellectuelle (Art L 122-4) et constitue une contrefaçon réprimée par le Code
pénal. • Seules sont autorisées (Art L 122-5) les copies ou reproductions strictement
réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, ainsi
que les analyses et courtes citations justifiées par le caractère critique, pédagogique ou
d'information de l'œuvre à laquelle elles sont incorporées, sous réserve, toutefois, du
respect des dispositions des articles L 122-10 à L 122-12 du même Code, relative à
la reproduction par reprographie.

TABLE DES MATIÈRES
préface XI
avertissement XIII
prologue. — La fonction exponentielle 1
chapitre premier. — Théorie abstraite de l'intégration 5
Notations de la théorie des ensembles et terminologie 6
Notion de mesurabilité 7
Fonctions étagées 14
Propriétés élémentaires des mesures 15
Arithmétique dans [0, <*>] 17
Intégration de fonctions positives 18
Intégration de fonctions complexes 22
Rôle des ensembles de mesure nulle 25
Exercices 29
Notes historiques et textes choisis 31
chapitre 2. — Mesures positives de Borel 43
Espaces vectoriels 43
Préliminaires topologiques 45
Théorème de représentation de Riesz 50
Propriétés de régularité des mesures de Borel 56
Mesure de Lebesgue 58
Propriétés de continuité des fonctions mesurables 63
Exercices 65
Notes historiques et textes choisis 69
chapitre 3. — Espaces V 77
Fonctions convexes et inégalités 77
Espaces U 80
Approximation par des fonctions continues 84
Exercices 85
Notes historiques et textes choisis 90
chapitre 4. — Théorie élémentaire des espaces de Hilbert 99
Produits scalaires et formes linéaires 99
Systèmes orthonormaux 104

VI
table des matières
Séries trigonométriques 109
Exercices 113
Notes historiques et textes choisis 116
chapitre 5. — Exemples des techniques d'utilisation des espaces de Banach 125
Espaces de Banach 125
Conséquences du théorème de Baire 126
Séries de Fourier de fonctions continues 130
Coefficients de Fourier des fonctions de L1 132
Le théorème de Hahn-Banach 133
Une approche abstraite de l'intégrale de Poisson 136
Exercices 139
Notes historiques et textes choisis 143
chapitre 6.—Mesures complexes 149
Variation totale 149
Absolue continuité 152
Conséquences du théorème de Radon-Nikodym 156
Formes linéaires bornées sur If 158
Théorème de représentation de Rîesz 160
Exercices 163
Notes historiques 165
chapitre 7. — Différentiation 169
Dérivées des mesures 169
Théorème fondamental du calcul 177
Applications différentiables 182
Exercices 187
Notes historiques et textes choisis 191
chapitre 8. — Intégration sur les espaces produits 199
Mesurabilité sur les produits cartésiens 199
Mesure produit 201
Théorème de Fubini 202
Complétion d'une mesure produit 205
Convolution 207
Fonctions de répartition 209
Exercices 211
Notes historiques et textes choisis 215
chapitre 9. — La transformation de Fourier 219
Propriétés formelles 219
Le théorème d'inversion 221
Le théorème de Plancherel 225
L'algèbre de Banach L1 229
Exercices 232
Notes historiques et textes choisis 235
chapitre 10. — Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes 241
Différentiation complexe 241

table des matières VII
Intégration sur des chemins 245
Le théorème local de Cauchy 248
La représentation en série entière 251
Le théorème de Timage ouverte 256
Le théorème global de Cauchy 259
Le calcul des résidus 265
Exercices 268
Notes historiques 272
chapitre 11. — Fonctions harmoniques 275
Les équations de Cauchy-Riemann 275
L'intégrale de Poisson 276
La propriété de la moyenne 280
Le comportement à la frontière des intégrales de Poisson 281
Théorèmes de représentation 286
Exercices 290
Notes historiques et textes choisis 294
chapitre 12. — Le principe du maximum 297
Introduction 297
Lemme de Schwarz 297
La méthode de Phragmen-Lindelôf 299
Un théorème d'interpolation 303
Une réciproque du théorème du maximum 305
Exercices 306
Notes historiques 308
chapitre 13. — Approximation par des fonctions rationnelles 310
Préparation 310
Le théorème de Runge 313
Le théorème de Mittag-Leffler 315
Domaines simplement connexes 316
Exercices 318
Notes historiques et textes choisis 320
chapitre 14. — Représentation conforme 326
Conservation des angles 326
Homographies 327
Familles normales 329
Le théorème de l'application conforme de Riemann 330
La classe S 332
Continuité à la frontière 335
Image conforme d'une couronne 337
Exercices 338
Notes historiques et textes choisis 344
chapitre 15. — Zéros des fonctions holomorphes 348
Produits infinis 348
Le théorème de factorisation de Weierstrass 351
Un théorème d'interpolation 354

VIII
table des matières
Formule de Jensen 356
Produits de Blaschke 358
Le théorème de Muntz-Szasz 361
Exercices 363
Notes historiques 367
chapitre 16. — Le prolongement analytique 369
Points réguliers et points singuliers 369
Prolongement le long d'une courbe 372
Le théorème de monodromie 375
Construction d'une fonction modulaire 376
Le théorème de Picard 379
Exercices 380
Notes historiques 383
chapitre 17. — Espaces H" 385
Fonctions sous-harmoniques 385
Les espaces Hp et N 387
Théorème de F. et M. Riesz 390
Théorèmes de factorisation 391
L'opérateur de déplacement 395
Fonctions conjuguées 398
Exercices 400
Notes historiques 403
chapitre 18. — Théorie élémentaire des algèbres de Banach 404
Introduction 404
Les éléments inversibles 405
Idéaux et homomorphismes 409
Applications 411
Exercices 415
Notes historiques 417
chapitre 19. — Transformées de Fourier holomorphes 418
Introduction 418
Deux théorèmes de Paley et Wiener 419
Classes quasi-analytiques 422
Le théorème de Denjoy-Carleman 425
Exercices 428
Notes historiques 430
chapitre 20. — Approximation uniforme par des polynômes 431
Introduction 431
Quelques lemmes 431
Théorème de Mergelyan 434
Exercices 437
Notes historiques 438

table des matières IX
annexe. — Théorème de maximalité de Hausdorff. 439
bibliographie 441
liste des symboles particuliers 446
index 447

PRÉFACE
En choisissant de mettre l'accent sur les connexions entre les différents domaines de
TAnalyse, ce livre présente les techniques de base et les théorèmes fondamentaux pouvant
constituer la matière d'une première année d'un cours avancé (licence ou maîtrise). Les deux
domaines traditionnellement disjoints de l'analyse réelle et de l'analyse complexe sont ici réunis,
et sont aussi abordées quelques-unes des idées qui fondent l'analyse fonctionnelle.
Voici quelques exemples de la manière dont ces liaisons sont démontrées et exploitées. Le
théorème de représentation de Riesz et le théorème de Hahn-Banach permettent de « deviner »
la formule intégrale de Poisson ; ils sont alors appariés pour la démonstration du théorème de
Runge, puis combinés au théorème de Blaschke sur les zéros des fonctions holomorphes
bornées afin d'aboutir au théorème de Muntz-Szasz sur l'approximation des fonctions sur un
intervalle. Que L2 soit un espace de Hilbert sert dans la preuve du théorème de Radon-
Nikodym ; ce théorème conduit à celui de différentiation des intégrales définies et, à son tour,
ce dernier fournit l'existence de limites radiales pour les fonctions harmoniques bornées. Les
théorèmes de Plancherel et de Cauchy se conjuguent pour donner le théorème de Paley et
Wiener, lequel est à son tour utilisé pour le théorème de Denjoy-Carleman sur les fonctions
indéfiniment différentiables sur l'axe réel. Le théorème du maximum fournit des informations
quant aux opérateurs linéaires sur les espaces LP.
Je n'ai pas cherché à indiquer la genèse de chaque rubrique dans la mesure où les résultats
sont classiques ; l'innovation provient d'un effet de présentation et des démonstrations
originales. Des références sont introduites par les Notes ; elles ne renvoient pas toujours aux sources
originales, mais plus souvent à des travaux récents où l'on pourra trouver des références plus
complètes. En aucun cas cependant une absence de référence ne saurait signifier une prétention
d'originalité de ma part.
Les connaissances requises pour l'utilisation de cet ouvrage se trouvent dans tout bon cours
d'initiation au calcul différentiel et intégral (maniement des opérations de la théorie des
ensembles, espaces métriques, continuité uniforme et convergence uniforme). Les sept premiers
chapitres de mon précédent ouvrage, les Principes de VAnalyse mathématique fournissent une
préparation suffisante1.
L'expérience tirée de la première édition établit qu'une étude des quinze premiers chapitres
occupe deux semestres d'une première année de second cycle, chapitres auxquels peuvent
s'ajouter un ou deux sujets choisis dans les cinq chapitres restants. Toutefois, les quinze
1. L'équivalent français pourrait être le livre de Jacques Dixmier, Cours de mathématiques du Vr cycle, 2 vol.,
Gauthier-Villars, Paris, 1967 ; ou celui de Jean Dieudonné, Fondements de l'Analyse, Gauthier-Villars, Paris, 1967
(N.d.t.).

XII
préface
premiers chapitres doivent être abordés dans Tordre indiqué, à l'exception du chapitre 9 que
l'on peut repousser à plus tard.
La différence la plus nette entre la troisième édition et les précédentes porte sur le tout
nouveau chapitre consacré à la différentiation. Les faits fondamentaux de la différentiation sont
désormais déduits de l'existence de points de Lebesgue, et celle-ci provient à son tour d'une
inégalité dite de type faible, satisfaite par les fonctions maximales pour les mesures sur les
espaces euclidiens. Cette façon de faire fournit des théorèmes puissants au prix d'un effort
minimal. Plus important encore est le fait que le lecteur peut ainsi se familiariser avec les fonctions
maximales qui prouvent toujours et de plus en plus leur utilité dans plusieurs domaines de
l'Analyse.
L'un d'entre eux est l'étude du comportement des intégrales de Poisson. Un autre concerne
les espaces VF. De sorte que de grandes parties des chapitres 11 et 17 ont été réécrites et sont
ainsi, du moins je l'espère, simplifiées.
Dans le but d'améliorer certaines questions de détail, j'ai également effectué plusieurs
changements mineurs. Par exemple, des parties du chapitre 4 ont été simplifiées. Les notions d'équi-
continuité et de convergence faible sont présentées avec plus de précision, et le comportement
à la frontière des applications conformes est étudié au moyen du théorème de Lindelôf sur les
valeurs asymptotiques des fonctions holomorphes bornées du disque.
Au cours des vingt dernières années, de nombreux collègues et étudiants m'ont fait part de
leurs commentaires sur le contenu de ce livre, et j'ai sincèrement apprécié leurs critiques dont
je me suis efforcé de tenir compte autant que faire se pouvait. En ce qui concerne la présente
édition, mes remerciements vont à Richard Rochberg pour quelques suggestions utiles de
dernière minute, et je remercie particulièrement Robert Burckel pour le soin avec lequel il a
minutieusement examiné tout le manuscrit.
Walter Rudin

AVERTISSEMENT
La troisième édition du livre de Walter Rudin comporte vingt chapitres d'un volume à peu
près égal, divisés en sections, les théorèmes étant numérotés par chapitre. Les notes historiques
rédigées par le traducteur reprennent les commentaires fournis dans l'édition originale,
généralement des références à des ouvrages classiques, ou à des articles spécialisés et courts dont
certains exercices sont tirés, voire à certains articles qui ont permis des améliorations aux
démonstrations des éditions antérieures de Real and Complex Analysis. Une histoire des
principales notions développées est en outre fournie, avec quelques références bibliographiques
complémentaires en fin de note. Il ne saurait s'agir d'une histoire des mathématiques, les
indications sont volontairement succinctes et toute biographie est omise ; il ne s'agit pas plus
d'ajouter des matériaux mathématiques qui n'ont pas été discutés dans le livre de Rudin.
Si viennent ensuite des extraits (aussi peu coupés que possible) de textes du xixe et surtout du
xxe siècle, au besoin traduits en français, ce n'est pas pour doubler les résultats du cours. On
entend offrir d'autres manières de faire, pour aider le lecteur à penser les objectifs des
mathématiques développées dans chaque chapitre. Il n'a pas été tenté de « corriger » certains de ces
textes afin de les mettre à l'unisson du style de rigueur et d'économie adopté par Rudin. A titre
d'exercice, le lecteur pourra s'y essayer. Quoique choisis d'un niveau analogue, ces textes
historiques ne sont pas des conséquences du cours et ils requièrent une attention propre ; en effet,
ils proviennent d'autres architectures mathématiques, quelquefois en pleine ébauche. Mais ces
textes ne disent pas toute l'histoire. Orthographe, ponctuation, et notations originales sont
conservées, sauf lorsqu'il y a risque de confusion ou d'incompréhension ; quelques notes
explicatives viennent en plus des notes originales. On a tenu à conserver toutes les références qui
figurent dans ces extraits afin de donner à voir une mathématique en train de se faire, et
quelquefois les hésitations quant aux choses les plus importantes (cependant, pour faciliter la
lecture, ces références sont complétées et standardisées, avec des renvois au livre de Rudin).
Une liste des symboles particuliers se trouve en fin d'ouvrage. Dans le texte, un nom entre
crochets, suivi d'une date, par exemple [Rudin, 1976], renvoie à la bibliographie générale (en
l'occurrence au livre de W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, paru dans sa troisième
édition en 1976). Une bibliographie « historique » fournit des titres de livres qui peuvent être
consultés sans plus de connaissances que le livre de Rudin n'en requiert ; la référence à cette
liste est celle des références ordinaires, le nom de l'auteur étant alors mis en italique (ainsi,
[Borel, 1898/1950]).
Jean Dhombres

PROLOGUE
LA FONCTION EXPONENTIELLE
C'est la fonction la plus importante en mathématiques. Elle est définie pour tout nombre
complexe z par la formule
exp(z) = x £r o)
n = 0
La série (1) est absolument convergente pour tout z, et est uniformément convergente sur tout
sous-ensemble borné du plan complexe. Il en résulte que la fonction exponentielle est continue.
L'absolue convergence justifie le calcul suivant,
Zo_ Y ^ — V -L V 71 * khn~k — V
n=0
Ce qui donne la formule importante d'addition
exp(a) exp(fc) = exp(a + £), (2)
valable pour tous nombres complexes a et b. Nous définissons le nombre e (un nombre réel)
comme étant exp (1), et nous remplacerons couramment exp(z) par l'habituelle notation plus
courte ez. Remarquons d'après (1) que exp(O) =1. ^
Théorème.
(a) pour tout nombre complexe z, on a ez * 0.
(b) la fonction exponentielle est sa propre dérivée : exp'(z) = exp(z).
(c) la restriction de la fonction exponentielle à l'axe réel est une fonction positive strictement
croissante et
ex oo quand x —> °°, ex—*0 quand x —»-<».
(d) il existe un nombre positif n tel que en,/2 = / et tel que é = 1 si et seulement si z/2m est
un entier relatif.
(e) la fonction exponentielle est périodique, de période 2m.
(/) l'application / —» e" est une surjection de l'axe réel sur le cercle unité.
(g) pour tout nombre complexe w * 0, il existe un nombre complexe z tel que w = ez.
Démonstration. — D'après (2), ée~z - e11 = e° = 1, ce qui entraîne (a). Puis,
exp-(z) = iim«P(z + *)-«PU) = exp(Z)lim "P^"1 = exp(z).

2
prologue
La première des égalités précédentes est une définition, la deuxième résulte de (2), et la
troisième de (1), ce qui démontre (b).
Il est clair, d'après (1), que la fonction exponentielle est strictement croissante sur l'axe réel
positif et que ex —> «> quand x —> «>. Les autres assertions de (c) résultent de l'égalité e*e~x = 1.
Pour tout nombre réel t, la série (1) montre que e~" est le conjugué de e1'. D'où
l jj|2 it it it -it //-// 0 -,
\e \ = e - e = e • e = e - e = 1,
c'est-à-dire
\eil\ = 1 (fréel). (3)
En d'autres termes, si t est réel, ea appartient au cercle unité. On définit cosf et sinf comme
étant les parties réelle et imaginaire de eil :
cosf = Re|>"], sinf = Im [*'"'] (fréel). (4)
En dérivant les deux termes de l'identité d'Euler
e" = cos f + / sinf, (5)
équivalente à (4), et en appliquant (b) on obtient :
cos' f + /sin'r = ielt = -sinf + /cosf,
de telle sorte que
cos' f = - sin t, sin' t = cos t. (6)
La série entière (1) fournit la représentation en série entière de cosf selon :
C0St = 1-2!+4!-6! + - • (?)
Pour t = 2, la série (7) est une série alternée dont le terme général décroît en valeur absolue
(à partir du second terme). Par suite, cos 2 est inférieur à la somme des trois premiers termes
de (7), où t = 2 ; c'est-à-dire cos 2 < - ^. Puisque cosO = 1 et la fonction cosinus, à valeurs
réelles, étant continue sur l'axe réel, il existe un plus petit nombre positif t0 pour lequel
cos t0 = 0 et l'on pose par définition
n = 2*0 (8)
Il résulte de (3) et de (5) que sin t0 = ±1. Puisque sin'f = cosf > 0 sur le segment [0, tQ]
et sin 0 = 0, on a sin t0 > 0, d'où sin îQ = 1, et ainsi
ni/2 . zn\
e = i. (9)
Par suite e7* = i2 - - 1, e2m= (-1)2 = 1, et e2™ = 1 pour tout entier relatif n. La relation (e)
s'en déduit immédiatement :
e = e e - e . (10)
Avec z = x + iy et y étant réels, ez = exeiy. D'où, \ez\ = ex. Si ez = 1, il faut que ex = 1,
de sorte que x = 0 ; pour prouver que y/27t doit être entier, il suffit d'après (10) de montrer que
eiy± 1 pour 0<y<2;r.
Supposons 0 < y < 2n et
eiy/A - u + iv (wetvréels). (11)
Puisque 0<^<-,onaw>0etv>0et aussi
eiy = (u + iv)4 = u - 6u2v2 + v4 + 4iuv(u2-v2). (12)

notes historiques
3
Le membre de droite de (12) ne peut être réel que si u2 = v2 ; comme u2 + v2 = 1, ceci se
produit seulement pour u2 = v2 = i , et ainsi (12) montre que eiy = -1 * 1, ce qui achève la
démonstration de (d).
Nous savons déjà que l'application t —> e" envoie tout nombre réel sur un nombre complexe
du cercle unité. Pour démontrer (/), soit w tel que |w| = 1 ; nous allons montrer que w = e"
pour au moins un réel f. Écrivons w = u + /v, u et v réels, et supposons d'abord u > 0 et v > 0.
Puisque u <1, la définition de k montre qu'il existe un nombre U 0 < t < ^, tel que cos t = u\
d'où sin2 f = 1 - u2 = v2 ; or pour 0 < / < - , sin t > 0, d'où sin r = v. On a ainsi w = eil.
Si m < 0 et v > 0, les conditions précédentes sont satisfaites par - iw. Donc - iw = e" pour au
<(' + ?l
moins un réel / et w = e v . Enfin, si v < 0, les deux cas précédents montrent que -w = elt
pour un f réel, d'où w - ei(,*n\ ce qui termine la démonstration de (f).
Si w * 0, posons a = pp Alors w = |w| a ; d'après (c), il existe un jc réel tel que \w\ = ex.
Puisque |a| = 1, (f) montre que a = eiy pour un y réel. D'où w = ex + iy, ce qui démontre la
dernière assertion du théorème.
Nous rencontrerons l'intégrale de (1 + x2)'1 prise sur tout l'axe réel. Pour l'évaluer, posons
cp(t) = -^-^ où te ]-^, ?[. D'après (6), = 1 + ç>2. Donc ç>est une fonction strictement
cos / 2* 2*
croissante de ]- ^, ^[ sur ]~°o, +<*>[ et nous obtenons :
dx _ r*/2 ff'(0<ft f*/2Wf-
J~ 1 +jc2 " J-«'2 1 + <p2(f) ~ ^
-Jl/2
NOTES HISTORIQUES
La fonction exponentielle fait une apparition relativement tardive dans les traités mathématiques. En
1748, dans son introduction à l'analyse des infinis, Leonhard Euler la définit par monotonie pour toutes
les valeurs réelles à partir d'abord des valeurs de a", pour n entier et a > 0, puis pour un nombre rationnel
n quelconque. Par une interprétation hardie de la dérivée de la fonction exponentielle à l'origine,
privilégiant pour simplifier e*, il déduit ensuite que cette dernière fonction s'obtient comme limite de ^1 +
lorsque l'entier n tend vers l'infini. Par une utilisation non moins hardie du développement du binôme de
Newton, il fournit le développement en série entière
exp(z) = £~
Toujours soucieux de données numériques, il calcule e avec vingt-quatre décimales
e = 2, 718281828459045323536028.

4
prologue
Passant aux valeurs complexes de la variable dans la série ci-dessus — c'est bien sûr la série (1) du
prologue —, Euler obtient les formules qui portent aujourd'hui son nom ; elles réduisent les fonctions trigonomé-
triques à la seule exponentielle, mais attestent la possible autonomie de l'analyse par rapport à la géométrie :
ex + ,} = ex(cosy + isiny) ;
cos y = ^(e'y + e~'y) ;
siny = ±:(e'y-e"y).
Accompagnée de l'importante surjection de l'axe réel sur le cercle unité grâce à la fonction
exponentielle, la construction purement analytique du nombre k que fournit le prologue apparaît dans les traités
mathématiques de la fin du xixc siècle. Dans leur présentation de la théorie des fonctions d'une variable
complexe [Saks, Zygmund, 1952], [Cartan, 1962], puis [Ahlfors, 2e édition, 1966, pp. 43-48] la reprennent,
affectant de ne dresser aucune figure.
Euler innovait aussi en construisant le logarithme d'un nombre positif par inversion de la fonction
exponentielle réelle qui est strictement croissante. Première fonction transcendante reconnue, le logarithme avait
été découvert par Napier au tout début du xviie siècle. Après l'invention du calcul intégral et à partir des
années 1690, le logarithme était présenté comme primitive de la fonction ^, et l'exponentielle de base e s'en
déduisait, constatée comme fonction égale à sa dérivée. Toutefois, en 1647, Grégoire de Saint-Vincent avait
su donner une définition géométrique de la fonction exponentielle de base quelconque en utilisant les aires
que l'hyperbole découpe dans un système de référence constitué par des parallèles à ses asymptotes.
RÉFÉRENCE
Leonhard Euler, Introduciio in analysin infinitorum, Lausanne, 1748 ; Leonhardi Euleri Opéra Omnia,
t. VIII, chap. VII (et t. IX), B.G. Teubner, Leipzig, 1922 et 1945 ; traduction française de J.B. Labey,
Introduction à l'Analyse infinitésimale, Paris, 1796 (réédition, Paris, ACL, 1985).

chapitre premier
THÉORIE ABSTRAITE DE L'INTÉGRATION
Vers la fin du xixe siècle, beaucoup de mathématiciens comprirent que l'intégrale de
Riemann, actuellement enseignée dès l'initiation aux mathématiques supérieures, devait être
remplacée par quelque autre type d'intégrale, tout à la fois plus souple, plus général et mieux
adapté aux passages à la limite. Les tentatives les plus notables sont dues à C. Jordan, E. Borel,
W.H. Young et H. Lebesgue. Ce dernier obtint la construction qui s'avéra la plus réussie.
En bref, l'idée essentielle est la suivante : l'intégrale de Riemann d'une fonction / sur un
intervalle [a, b] peut être approchée par des sommes de la forme
n
i = I
où Ex, E2yEn sont des intervalles disjoints dont la réunion est l'intervalle [a, b]. La longueur
de Et pour i variant de 1 à n est notée m(Et) et f. appartient à Er Lebesgue découvrit qu'on
obtiendrait une théorie tout à fait satisfaisante de l'intégration en autorisant les ensembles
précédents à appartenir à une classe plus vaste de sous-ensembles de la droite réelle, sous-
ensembles que nous allons appeler les « ensembles mesurables ». De même, on doit élargir la
classe des fonctions utilisées jusqu'aux fonctions dites « mesurables ». Du point de vue ensem-
bliste, les propriétés cruciales sont la stabilité de la mesurabilité par réunion et intersection
d'une famille dénombrable quelconque d'ensembles mesurables, ainsi que la stabilité par
passage au complémentaire. En outre, et c'est le plus important, la notion de « longueur »,
désormais appelée « mesure », peut être étendue à la nouvelle classe de telle sorte que pour
toute famille dénombrable {£■-} d'ensembles mesurables deux à deux disjoints
m(£, u£2uE3u ...) = m(Ex) + m(E2) + m(E3) + ...
On qualifie d'additivité dénombrable cette dernière propriété.
On utilise alors un procédé de complétion pour achever le passage de la théorie de
l'intégration de Riemann à celle de Lebesgue. L'importance de ce procédé, qui sera précisé par la suite,
est aussi grande, en Analyse, que la construction du système des nombres réels à partir des
nombres rationnels au moyen des suites de Cauchy.
Bien sûr, la mesure m ci-dessus est intimement liée à la géométrie de la droite réelle. Dans
ce chapitre, nous présentons une version abstraite (c'est-à-dire axiomatique) de l'intégrale de
Lebesgue, relative à une quelconque mesure dénombrablement additive sur un ensemble
quelconque. Les définitions précises sont fournies dans ce chapitre. En fait, la théorie abstraite ne
présente pas de difficultés plus grandes que la théorie particulière de la droite réelle, ce qui
montre que pour l'essentiel la théorie de l'intégration ne dépend pas de la géométrie (ou de la

6
théorie abstraite de l* intégration
topologie) de l'espace sous-jacent. Bien plus, on obtient ainsi un outil dont le domaine
d'application est beaucoup plus vaste. L'existence d'une classe assez importante de mesures,
notamment la mesure de Lebesgue, sera établie au chapitre 2.
NOTATIONS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
ET TERMINOLOGIE
1.1. Certains ensembles peuvent être décrits en exhibant leurs éléments. Ainsi {jc,, jc2, xn]
est l'ensemble dont les éléments sont jc,, jc2, xn et en particulier [x] désigne l'ensemble dont
l'unique élément est x. Plus fréquemment, un ensemble est défini à partir d'une propriété. Nous
écrivons
{x:P}
pour désigner l'ensemble des éléments x ayant la propriété P. L'ensemble vide est noté par
le symbole 0. Nous utiliserons de façon synonyme les mots collection, famille, classe, ou
ensemble.
Nous écrivons x g A pour dire que x est un élément de A, et, dans le cas contraire, nous
notons jce A. Si B est un sous-ensemble de A, c'est-à-dire si jcg B implique jcg A, nous
écrivons B c A . Les inclusions simultanées A a B et B a A signifient A = B. Si B c A et
toutefois A * B, on dit que B est un sous-ensemble propre de A. Notons l'inclusion 0 cz A pour
tout ensemble A.
A u fi et A n B désignent respectivement la réunion et l'intersection des ensembles A et B.
Si {Aa} est une collection d'ensembles décrite par un indice a qui parcourt un ensemble /,
nous écrivons
UA„ et nAa
as I ae I
pour la réunion et pour l'intersection des {Aa} :
Aa = {x : x g Aa pour au moins un a g /}
C\ Aa - {x : x g Aa pour tout a g /}.
Lorsque l'ensemble d'indices / est l'ensemble des entiers naturels, les notations familières sont
KjAn et C\An.
n= 1 «=1
Lorsque deux ensembles distincts de la collection { Aa} n'ont aucun élément commun, on dit
que { Aa} est une collection d'ensembles disjoints.
Nous écrivons A- B = {jc : xe A ; jc g B} et lorsque le contexte rend suffisamment clair
l'ensemble plus grand par rapport auquel on prend le complémentaire, nous notons ce dernier
par Ac.
Le produit cartésien A, x ... x An des ensembles A,, A2, An est l'ensemble des n-uplets
ordonnés (a,, an) où a, g A, pour / = 1, n.
La droite réelle, c'est-à-dire le système des nombres réels, est notée /?' et
Rk = Rl x ... x /?« (k facteurs).

notion de mesurabilité
7
La droite réelle achevée est l'ensemble Rx auquel on a adjoint deux symboles, ©o et - <*>, avec
l'ordre évident. Si-°o<a<fc<©o,le segment [a, b] et Y intervalle ]a,b[ sont définis par
[a, b] = {jc : a < x < b} ; ]a, b[ = {x : a < x < b}.
Nous écrivons en outre
[a, b[= {x : a<jc<fc};] a, b] = {x : a<x<b}.
Pour tout sous-ensemble E non vide de la droite réelle achevée, la borne inférieure et la borne
supérieure de E sont des éléments de [- <*>, »], notés respectivement sup E et inf E.
Quelquefois, mais seulement lorsque la borne supérieure de E est un élément de E, nous
notons max E pour sup E (et respectivement min E pour inf E).
Le symbole
/:X->y
signifie que/est une fonction (de façon synonyme, une application ou une transformation) de
l'ensemble X dans l'ensemble Y ; c'est dire que/attribue à chaque jc 6 X un élément / (jc)
appartenant à l'ensemble Y. Si A c X et B a Y, Y image de A et Y image inverse de fi sont les
ensembles définis par :
/(A) = {y : y =/(jc) pour au moins un jc dans A}
/"l(fi)= {jc:/(jc) e fi}.
Il faut se souvenir que f~] (fi) peut être vide quand bien même fi * 0.
Le domaine de/est X et Y image de /est/(X).
Si/(X) = y, on dit que/est une application de X swr F, ou une application surjective.
Pour tout y g Y, nous écrivons /_1 (y) à la place de f'1 ({y}). Lorsque ce dernier ensemble
possède au plus un point, la fonction est dite injective. Dans ce cas, f'] est une fonction, dont
le domaine est/(X) et l'image X.
Lorsque / : X —> [-00,00] et EczX, l'usage est de noter sup/(jc) plutôt que sup f(E).
Si / : X —» y et g: Y —» Z, la fonction composée go/:X —» Z est définie par
(gof)(x) = g(f(x)) (jcg X).
Si l'image de/appartient à la droite réelle (ou au plan complexe), on dit que/est une fonction
réelle ou à valeurs réelles (respectivement une fonction complexe ou à valeurs complexes). Pour
une fonction à valeurs complexes, dire « / > 0 » signifie que toutes les valeurs / (jc) de / sont
des nombres réels non négatifs.
NOTION DE MESURABILITÉ
La classe des fonctions mesurables joue un rôle prééminent en théorie de l'intégration. Elle
possède quelques propriétés de base en commun avec une autre famille importante de fonctions,
les fonctions continues. Il peut être utile de garder ces similitudes présentes à l'esprit. Notre
présentation est organisée de façon à mettre en évidence les analogies entre espace topologique,
ensemble ouvert, et fonction continue d'une part, espace mesurable, ensemble mesurable et
fonction mesurable d'autre part. Le lien entre ces notions apparaît plus clairement, semble-t-il,
lorsque la présentation est suffisamment abstraite et ceci justifie mieux notre approche du sujet
que la seule recherche de la généralité en soi.

8
théorie abstraite de l'intégration
1.2. Définition
(a) Une collection rde sous-ensembles d'un ensemble X constitue par définition une topolo-
gie sur X lorsque t satisfait les trois propriétés suivantes
(i) 0 e ret Xe r
(ii) Si V( e t pour i = 1,«, alors V,nV2 ... nV„e t
(iii) Si{Va} est une sous-collection arbitraire d'éléments appartenant à t (collection finie,
dénombrable ou non dénombrable), alors {jVae t.
a
(b) Si rest une topologie sur X, on dit que X est un espace topologique et les éléments
de t sont appelés les (ensembles) ouverts de X.
(c) Si X et Y sont des espaces topologiques et/une application de X dans Yy on dit que/est
continue lorsque f~l (V) est un ensemble ouvert dans X pour tout ouvert V de Y.
1.3. Définition
(a) Une famille 1% de sous-ensembles d'un ensemble X constitue une a-algèbre surX
lorsque W satisfait les trois propriétés suivantes
(i) X e W
(ii) Si A e cYYl, alors Ac e W où Ac désigne le complémentaire de A par rapport à l'ensemble X.
(iii) Si A = i^J An et si A„ e W pour tout n = 1, 2, alors A € W.
« = i
(b) Lorsque 171 est une a-algèbre sur X, on dit que X est un espace mesurable et les éléments
de TU sont appelés les ensembles mesurables de X.
(c) Lorsque X est un espace mesurable, Y est un espace topologique et/une application de X
dans K,/est dite mesurable dès que/"1 (V) est un ensemble mesurable pour tout V ouvert dans Y.
Il serait sans doute plus satisfaisant de réserver le terme « espace mesurable » au couple
ordonné (X, 9?Z) plutôt qu'au seul espace X. Ce dernier, après tout, ne change pas du fait que
l'on adopte une a-algèbre particulière. De façon analogue, un espace topologique est un couple
ordonné (X, t). Une attitude aussi minutieuse pour toute la mathématique rendrait la
terminologie fort lourde. Nous reprendrons d'ailleurs ces considérations en 1.21.
1.4. Commentaires sur la définition 1.2. — Les espaces topologiques les plus familiers sont
les espaces métriques. Nous supposons que le lecteur les connaît déjà, mais par souci
encyclopédique, nous allons donner les définitions fondamentales.
Un espace métrique est un ensemble X sur lequel est défini une fonction distance (ou
métrique) Q possédant les propriétés suivantes :
(a) 0 < Q(x, y)< 00 pour tous x et y dans X,
(b) Q(x, y) = 0 si et seulement si x = y,
(c) Q(x, y) = Q(y, x) pour tous x et y dans X,
(d) Q(x, y) < Q(x, z) + Q(z, y) pour tous x, y, z dans X.
La quatrième propriété est connue sous le nom d'inégalité triangulaire.
Si x e X et r > 0, la boule ouverte de centre x et de rayon r est l'ensemble { y e X : Q(x, y) < r}.

notion de mesurabilité
9
Sur un espace métrique X, la famille t des ensembles EaX qui sont obtenus comme réunion
(arbitraire) de boules ouvertes, constitue une topologie sur X. Il n'est pas difficile de le vérifier : la
propriété d'intersection tient à ce que si x e Bx n B2 où Bx et B2 sont des boules ouvertes, x est
centre d'une boule ouverte B encore incluse dans Bx n B2. Ce que nous laissons à titre d'exercice.
Par exemple, sur la droite réelle Z?1, un ensemble est ouvert si et seulement s'il est la réunion
d'intervalles ouverts ]a, b[. Dans le plan R2, les ouverts sont réunions de disques ouverts.
Un autre espace topologique que nous rencontrerons souvent est la droite réelle achevée
[- oo, oo] dont la topologie est définie par la description de ses ouverts qui sont les ensembles
]a, b[, [- °°, «[, ]a, <*>] et toute réunion de segments de ces trois types.
La définition de la continuité donnée au paragraphe 1.2 (c) est globale. Il est fréquemment
utile de définir une continuité locale. Définissons d'abord un voisinage d'un point x comme un
ensemble contenant un ouvert contenant le point x. Une application/de X dans X est dite
continue au point x0e Xsi à tout voisinage V de/(jt0) correspond un voisinage W de jc0 tel que
Pour les espaces métriques, cette définition locale de la continuité en un point est évidemment
équivalente à la définition classique utilisant £ et Ô et elle équivaut encore à l'implication
lim xn = x0 dans X entraîne lim/(jcn) =f(xQ) dans Y.
Comme on s'y attend, on peut facilement relier la définition globale et la définition locale de
la continuité :
1.5. Proposition. — Soient X et Y deux espaces topologiques. Une application f de X dans
Y est continue si et seulement si f est continue en chaque point de X.
Démonstration. — Lorsque/est continue et pour x0 e X, /-1( V) est un voisinage de jc0 pour
tout voisinage Vdef(xQ). Puisque f(f~x(V)) c V, on déduit la continuité de/en x0.
Lorsque/est continue en tout point de X, prenons un ouvert V dans Y. Tout point x
appartenant à/"' (V) possède un voisinage Wx tel que f(Wx) <z V. Ainsi, Wx <= /_1(V). Il s'ensuit que
/_1 (V) est une réunion d'ensembles ouverts, donc est lui-même un sous-ensemble ouvert. Ce
qui assure la continuité de la fonction /
1.6. Commentaires sur la définition 1.3. — Soit Wune a-algèbre sur un ensemble X. Grâce
aux propriétés de la définition (i) à (iii) 1.3 (a) nous pouvons déduire immédiatement les
résultats suivants.
(a) Puisque 0 = Xe, (i) et (ii) entraînent 0e TH.
(b) Posant An + 1 = A„+2 = ... = 0 dans (iii), nous constatons que Ax u ... u A„e W
si Ai e Tlt pour i = 1, n.
(c) Puisque
W est stable par intersection finie ou dénombrable.
(d) Puisque A- B = An B\ A-Be CM lorsque A e m et B e m.
Le préfixe a fait référence au fait que (iii) est licite pour les réunions dénombrables
d'ensembles de TU. Lorsque (iii) a seulement lieu pour les réunions finies, on dit que West une algèbre
d'ensembles.
f(W)c V .

10
théorie abstraite de l'intégration
1.7. Théorème
Soient Y et Z deux espaces topologiques et soit g : Y —» Z une application continue.
(a) Si X est un espace topologique, sif: X -> Y est continue, et si h = gof, la fonction
h : X —» Z est continue.
(b) Si X est un espace mesurable, sif: X —> Y est mesurable, et si h = gof, h : X —> Z est
mesurable.
En bref, les fonctions continues de fonctions continues sont continues, et de même les
fonctions continues de fonctions mesurables sont mesurables.
Démonstration. — Si V est ouvert dans Z, g"1 (V) est ouvert dans Y et
h~\V) = r\g~](V)).
Si / est continue, on déduit que h~\V) est ouvert, ce qui implique (a).
Si / est mesurable, on déduit que h'x( V) est mesurable, ce qui implique (b).
1.8. Théorème
Soient uetv deux fonctions mesurables et à valeurs réelles définies sur un espace mesurable X,
soit 0 une application continue, définie sur le plan F? et à valeurs dans un espace topologique Y.
On définit pour tout x dans X la fonction h par
h(x) = 0 («(jc), v(jc)).
Alors h : X —> Y est mesurable.
Démonstration. — Posons f(x) = (m(jc), v(x)). Alors / envoie X dans le plan, et puisque
h = 0of, le théorème 1.7. montre qu'il suffit d'établir la mesurabilité de /.
Désignons par R un rectangle ouvert du plan dont les côtés sont parallèles aux axes, c'est-à-
dire le produit cartésien de deux ouverts /, et 72. On vérifie
/-'(/?) = «■|(/,)nv-,(/2)f
donc que f~l(R) est mesurable grâce à l'hypothèse sur u et v. Tout ensemble ouvert V du plan
étant réunion dénombrable de tels rectangles R. et puisque
f-\v) = HCjr] = Cjr\Ri),
M = 1 S 1=1
on constate que /" ( V) est mesurable.
1.9. Soit X un espace mesurable. Les propositions suivantes proviennent des théorèmes 1.7.
et 1.8.
(a) Si f - u + iv, pour des fonctions mesurables réelles u et v sur X, la fonction f est une
fonction mesurable complexe sur X.
Cela résulte du théorème 1.8, avec 0{z) = z.
(b) Pour une fonction f = u + iv, mesurable sur un espace X et complexe, les fonctions u, v,
et \f \ sont des fonctions mesurables réelles.
Il suffit d'appliquer le théorème 1.7. avec g(z) = Re(z), ou bien Im(z), ou encore

notion de mesurabilité
11
(c) Pour des fonctions mesurables et complexes f et g, définies sur un espace mesurable X,
les fonctions f + g et fg sont également mesurables.
Pour des fonctions réelles, le résultat provient du théorème 1.8. grâce aux fonctions
t) = s +1 ou 0(s, t) = st .Le cas complexe provient alors de (a) et (b).
(d) Soit E un ensemble mesurable de X et posons
[\ si xe E
[0 si xë E
alors Xe es* une fonction mesurable.
Ce résultat est évident. La fonction %E est la fonction caractéristique de l'ensemble E et tout
au long de ce livre nous réservons la lettre X pour désigner les fonctions caractéristiques.
(e) Soit f une fonction mesurable complexe définie sur X. Il existe une fonction mesurable
complexe asurX telle que \o\ = 1 et f = a\f\.
Démonstration. — Posons E = {x : /(jc) = 0} et prenons pour ensemble Y\e plan complexe
privé de l'origine et muni de la topologie induite. Sur K, nous définissons la fonction <p (z) = A
et posons pour tout jc dans X,
cc(x) = <p(f(x)) + xE(x).
f(x)
Si jc € E, a(x) = 1, et si jc e £, a(jc) = ^ ^ . Puisque cp est continue sur Y et puisque E est
mesurable (le vérifier), la mesurabilité de a provient de (c), de (d) et du théorème 1.7.
Montrons maintenant que les a-algèbres existent à profusion.
1.10. Théorème
Soit % une collection quelconque de sous-ensemble s de X. Il existe une plus petite a-algèbre
W * dans X contenant la famille %
On dit quelquefois que W* est la a-algèbre engendrée par la famille ^.
Démonstration. — Appelons Q la famille des a-algèbres 711 dans X qui contiennent ^. Cette
famille Q ne peut être vide puisqu'elle contient la a-algèbre de tous les sous-ensembles de X.
Désignons par 77t* l'intersection de toutes les a-algèbres de Q. Il est bien clair que W* contient
^ et que est contenue dans toute a-algèbre contenant ^. Pour terminer la démonstration, il
suffit d'établir que 7/t* est elle-même une a-algèbre.
Si An appartient à W* pour n = 1, 2, ... et si Iflappartient à Q il est clair que An appartient
à W, donc que u A„ e 1% puisque Tri est une a-algèbre. Puisque u A„ e 911 pour tout W
dans Q on en déduit u An e TU*. Les deux autres propriétés nécessaires pour une a-algèbre
se vérifient de la même manière.
1.11. Ensembles boréliens. — Prenons pour X un espace topologique. Grâce au théorème 1.10.
il existe une plus petite a-algèbre m dans X qui contienne la famille des ouverts de X. Les sous-
ensembles de 93 sont appelés les boréliens de X.
En particulier, les fermés de X sont des boréliens puisque par définition ce sont les
complémentaires des ouverts de X. De même, les réunions dénombrables de fermés et les intersections
dénombrables d'ouverts constituent des boréliens fort importants, auxquels on a respectivement

12
théorie abstraite de l'intégration
donné à la suite de Hausdorff le nom de F a et Gs. Les lettres F et G sont utilisés pour désigner
respectivement les fermés et les ouverts ; a se rapporte à la réunion (Summe), Ô se rapporte à
l'intersection (Durchschniti). Par exemple, tout intervalle semi-ouvert [a, b[ est un Gs mais
également un Fa dans R].
Puisque 92 est une a-algèbre, nous pouvons considérer X comme un espace mesurable dont
les boréliens jouent le rôle des ensembles mesurables : de façon concise, nous considérons
l'espace mesurable (X, cfà). Pour une application continue/: X —> Y, où Y désigne un espace
topologique, il est évident que/"1 (V) appartient à 92 pour tout ouvert V dans Y. En d'autres
termes, toute application continue sur X est une fonction mesurable au sens de Borel
Lorsque Y est la droite réelle ou le plan complexe, les applications mesurables au sens de
Borel sont appelées fonctions ou applications boréliennes.
1.12. Théorème
Supposons que 17L soit une o-algèbre et désignons par Y un espace topologique, par f une
application de X dans Y.
(a) La collection Q de tous les sous-ensembles E de Y pour lesquels f~] (E) appartient à 171
est une a-algèbre dans Y.
(b) Pour une fonction f mesurable et un borélien E de Y, on a f\E) e lM .
(c) Lorsque Y = [- °°, °°] et /*(]#, 00]) e Ht pour tout nombre réel oc, alors f est une
fonction mesurable.
(d) Si f est mesurable, si Z est un espace topologique ; si g : Y —> Z est une application
borélienne, et si h = gof, alors h: Y Z est mesurable.
Démonstration. — (a) provient des relations
f\Y) = X, f~\Y-A) = X-f~\A),
et f-l(AlvA2v ...) f,(i4,)u/",(A2)u ...
Pour démontrer (b), on prend Q comme dans (a) ; la mesurabilité de / implique que Q
contient tous les ouverts de Y et comme Q est une a-algèbre, on déduit que G contient tous les
boréliens de l'espace Y.
Pour démontrer (c), on désigne par Q la collection de tous les sous-ensembles E de
[- oo, oo] tels que f~l(E)e 171. Choisissons un réel a, et an < a de sorte que an —> a lorsque
n —» oo. Puisque ]a„, oo] g Q pour chaque entier n, puisque (a) montre que 42est une
a-algèbre et puisque l'on a :
n = \ ,i=l
on voit que [- °°, ct[e 12]. Le même résultat prévaut pour ]a, fî[ = [- j3[ n ]a, <»].
Comme tout ouvert dans [-<*>, oo] est une réunion d'ensembles des types précédents, on constate
que 12 contient tous les ouverts de X, donc que / est mesurable.
Pour démontrer (d), soit un ouvert V czZ. Comme g~l (V) est un borélien de Y et h~l (V) =
Z"1 (g'' (V)) (b) établit que h~\V) g 171.
1.13. Définition. — Soit {a„} , une suite dans [- ©s oo] et posons
bk = sup{ak,ak + l,ak + 2, ...} (k = 1,2,3, ...)
(D

notion de mesurabilité
13
et
p = inf{fc„&2,*3, ...}. (2)
Nous appelons p la limite supérieure de la suite {an} et écrivons
P = lim sup an. (3)
n —>oo
On vérifie facilement les propriétés suivantes: tout d'abord bx>b2> ... ; de sorte que
bk-*$ lorsque /:-)~ ; ensuite il existe une sous-suite {an.} de {a„} telle que a„ —»
Plorsque / tend vers l'infini. D'ailleurs P est le plus grand nombre vers lequel puisse converger une
sous-suite.
De façon analogue, la limite inférieure s'obtient en échangeant sup et inf dans les relations
(1) et (2). Notons les relations
lim infa„ = lim sup(-û„). (4)
n —» <» n —> 00
Si la suite {an} converge, on a évidemment
lim supû„ = lim inf an = lim an. (5)
Supposons maintenant que {/„} soit une suite de fonctions définies sur un ensemble X et à
valeurs dans la droite réelle achevée [-«>, <*>]. Les fonctions sup fn et lim sup /„ sont définies
par
(sup/„)(*) = sup (/„(*)), (6)
lim sup= limsup (/„(*)). (7)
Si
/W = lim/. (jc),
où la limite est supposée exister pour tout x dans X, nous appellerons / la limite ponctuelle de
la suite {/„}.
1.14. Théorème
Si fn : X —> [- «j, 00] est une fonction mesurable pour n = 1, 2, 3, les fonctions g et h ci-
dessous sont mesurables.
g = sup/„ ; h = lim sup fn.
Démonstration. — Grâce aux relations g~\]a, °°]) = kj/*1 (]«» °°]) . le théorème 1.12.
n = 1
(c) entraîne la mesurabilité de g. Bien sûr, un résultat analogue vaut en remplaçant sup par inf
de sorte que la fonction
h = inf \ sup/, \ est mesurable
Corollaires
(a) La limite d'une suite ponctuellement convergente de fonctions mesurables complexes est
mesurable.

14
théorie abstraite de l'intégration
(b) Si f et g sont des fonctions mesurables à valeurs dans la droite réelle achevée, les
fonctions max {f, g] et min {f g] sont mesurables. En particulier les fonctions suivantes sont
mesurables lorsque f l'est :
f+ = max {/, 0} et /" = -min {/, 0}.
1.15. Les fonctions précédentes,/+(et /"), sont appelées partie positive (respectivement
partie négative) de la fonction /. On note que |/| =f++f~ tandis que / = /+- f est une
représentation standard de / comme différence de deux fonctions non-négatives. Cette
représentation possède une propriété minimale intéressante :
Proposition. — Sif- g - h, g>0 et h>0, alors f+<g etf< h.
Démonstration. — Les deux relations/< g et g > 0 impliquent manifestement max {/, 0} < g.
FONCTIONS ETAGEES
1.16. Définition. — Définie sur un espace mesurable, une fonction complexe dont l'image
est un sous-ensemble fini est dite fonction étagée. En particulier, il y a les fonctions étagées
non négatives, dont l'image est un sous-ensemble fini de [0, ~[. Nous excluons explicitement
des valeurs prises par une fonction étagée.
En notant par ax, c^, an les valeurs distinctes de la fonction étagée s et par A, l'ensemble
A. = {jc : s (jc) = sj, la fonction s s'écrit
n
i = 1
où Xa( désigne la fonction caractéristique de A. (cf. 1.9. (d)).
La fonction / est mesurable si et seulement si tous les ensembles A. sont mesurables.
1.17. Théorème
Soitf: X —> [0, oo] une fonction mesurable. Il existe des fonctions mesurables étagées sn
définies sur X, de sorte que
(a)0<sl<s2< ... </.
(b) Pour tout x dans X, sn (jc) —» /(jc) lorsque n —> oo.
Démonstration - Posons Sn = 2". À chaque entier positif n, et à chaque nombre réel r, il
correspond un unique entier k - kn (t) tel que k5n < t < (k + \)8n. On définit :
[ kn(t)bn si 0<r<n
[n si n<f<oo.
Chaque çn est une fonction borélienne sur [0, ©o],
t-8n<<pn(t)^t si0<r<n, (2),
0 < <ft < (p2... < t et % (t)—> t lorsque n —> oo, pour chaque t e [0, oo]. n s'ensuit que les
fonctions
** = %of
satisfont (a) et (b). Par le théorème 1.12. (d), elles sont mesurables.

propriétés élémentaires des mesures
15
PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DES MESURES
1.18. Définition
(a) Une mesure positive est une fonction définie sur une a-algèbre Ht, à valeurs dans [0, oo]
et qui possède la propriété d'additivité dénombrable. Ceci signifie que pour toute famille
dénombrable d'éléments disjoints de Won a :
Pour éliminer un cas trivial, nous supposerons que p(A)<oo pour au moins un élément A
(b) Un espace mesuré est un espace mesurable muni d'une mesure positive sur la a-algèbre
de ses ensembles mesurables.
(c) Une mesure complexe est une fonction définie sur une a-algèbre Ht, à valeurs complexes,
et qui possède la propriété d'additivité dénombrable.
Remarque : Fréquemment, on appelle seulement mesure ce qu'en mettant l'accent sur la positi-
vité nous convenons d'appeler mesure positive. Si p(E) = 0 pour tout sous-ensemble de Ht, p,
est une mesure positive d'après notre définition. La valeur oo est admise pour les mesures
positives, mais lorsque p est une mesure complexe, il reste entendu que p(E) est un nombre
complexe pour tout sous-ensemble de Ht. Les mesures réelles forment un sous-ensemble de
l'ensemble des mesures complexes.
1.19. Théorème.
Soit p une mesure positive sur une o-algèbre Ht On a :
(a) p{0) = 0.
(b) p(Ax u ... u An) - p(Ax) + ... + p(An) si A,, An sont des éléments deux à deux
disjoints de Ht.
(c) AdB implique p(A)<p(B) si A e Ht, Be Ht.
(d) p(An) -> p(A) lorsque n -» oo si A = kj An, An e Ht, et A, c A2 c: A3 c ... .
(e) p(An) -> p(A) lorsque n -> oo si A = C\An, An e Ht, Ax => A2 z> A3 z>
n = 1
et en supposant que p{Ax) ait une valeur finie.
Comme la démonstration nous en convaincra, ces propriétés, (c) mise à part, ont encore lieu
pour des mesures complexes ; (b) est connue sous le nom d'additivité finie ; (c) sous le nom de
monotonie de la mesure.
démonstration
(1)
de Ht.
n = 1
(a) On choisit A e Ht de sorte que jU(A) < oo, puis on choisit Ax-A et A2 = A3 = ... = 0
dans 1.18. (1).

16
théorie abstraite de l'intégration
(b) On choisit A„ + , = A„ + 2 = ... =0 dans 1.18. (1).
(c) Puisque B = Au (B -A) et An (B -A) = 0, l'étape (fc) fournit
li{B) = /i(A) + /i(fl-A)>^).
(rf) FaisonsBx =Al9 Bn-An-An_x pour = 2, 3, 4, ... Alors Bne W, BtnB} = 0 si
A„ = fl, u ... ufi„, et A = KJB,. Donc
» = i
n oo
/x(A„) = 5>(2»,) et n(A) = J^n(B,).
i= 1 1=1
L'étape (<i) s'en déduit maintenant par définition de la somme d'une série.
(e) Faisons C„ = Ax-An. Alors Cx a C2a C^a
H(CH) = fi(Ax)-fi(An),
A t - A = u C„, et (d) montre ainsi que
li{Ax)-ii(A) = /i(A, - A) = limju(Cn) = ^(A,)-lim/i(A„).
n —> oo n —» »
Ce qui implique (e).
1.20. Exemples. — La construction d'espaces mesurables intéressants n'est pas à portée de
la main. Toutefois, quelques exemples sans prétention peuvent immédiatement être fournis.
(a) Pour tout sous-ensemble E d'un ensemble X, on pose p(E) = °° lorsque E est infini, et
lorsque E est fini jx(E) = Card E (nombre des points de E). Cette mesure est la mesure de
dénombrement sur X.
(b) Fixons jc0 dans X et posons, pour tout sous-ensemble E de X, fl(E) =1 si xQ g E .
La mesure fi est appelée masse unité concentrée en xQ ou mesure de Dirac en xQ.
(c) Désignons par fi la mesure de dénombrement sur l'ensemble des entiers naturels :
{1,2,...} et posons An - {n, n + 1, ...}. L'intersection des An est vide mais /x(An) est infinie
pour tout n. Ceci montre que l'hypothèse
« n(Ax)< oo »
n'est pas superflue dans le théorème 1.19. (e).
1.21. Commentaire sur la terminologie. — Pour désigner un espace mesuré, on parle
fréquemment de triplet ordonné (X, W, fj) où X est un ensemble, Tri une a-algèbre sur X et fi
une mesure définie sur Tri. De la même manière, on parle de doublet ou couple ordonné (X, Tri)
pour désigner un espace mesurable. Cette façon d'écrire est logiquement correcte, parfois
commode, souvent superflue. Par exemple, dans (X, Tft), X n'est autre que le plus grand sous-
ensemble de Tri, donc la connaissance de Tïl permet d'obtenir X. De même, par définition une
mesure prend ses valeurs sur une (^algèbre et si nous connaissons une mesure, nous connaissons

ARITHMÉTIQUE DANS [0, oo]
17
la a-algèbre CM sur laquelle elle est définie, et encore l'ensemble X sur lequel TJt est une a-
algèbre.
Nous légitimons donc des expressions du type : « Soit fi une mesure », voire, si nous voulons
spécifier la a-algèbre Tïi ou l'ensemble X sous-jacent, nous dirons : « Soit \x une mesure sur
1YI » ou « Soit ji une mesure sur X ».
Par contre, quoique d'emploi courant l'expression « Soit X un espace mesuré » est
logiquement dénuée de sens puisqu'il faudrait mettre l'accent non sur l'espace, mais sur la mesure
(mais nous préférerons souvent suivre l'habitude mathématique plutôt que la seule logique).
Bien entendu, lorsque nous utilisons une telle expression, on connaît tacitement la a-algèbre
sur X sur laquelle est définie la mesure dont nous discutons de fait.
De même, un espace topologique est un couple ordonné (X, t) où t désigne une topologie sur
X et les éléments intéressants sont en rapport avec cette topologie, et non avec X. Cependant
tout le monde parle de l'espace topologique X.
Ce genre de conventions tacites est constant dans toute la mathématique. D'ailleurs la plupart
des systèmes mathématiques sont des ensembles dont certaines classes de sous-ensembles sont
distinguées, ou bien des opérations binaires, ou encore des relations (possédant certaines
propriétés), dont on peut, selon les besoins, dresser des listes, et ainsi décrire le système comme
un doublet ordonné, ou un triplet etc. La droite réelle par exemple peut être décrite comme le
quadruplet (R, +, •, <) ou +, •, et < satisfont les axiomes d'un corps ordonné archimédien et
complet. On ne risque rien à parier que bien peu de mathématiciens envisagent la droite réelle
comme un quadruplet ordonné !
ARITHMETIQUE DANS [0, oo]
1.22. Tout au long de la théorie de l'intégration, on rencontre inévitablement le symbole «>.
Une première raison est que nous souhaitons intégrer sur des ensembles de mesure infinie ;
après tout la droite réelle, a une longueur infinie. Une autre raison est que, même si l'on se
restreint aux fonctions à valeurs réelles, la limite supérieure d'une suite de fonctions positives,
ou la somme d'une série de fonctions à valeurs positives, peuvent atteindre la valeur °° en
certains points, et s'il fallait distinguer ces mauvais cas, on perdrait l'élégance des énoncés de
théorèmes 1.26. ou 1.27.
On convient de a + oo = oo + a - °° si 0 < a <
si 0 < a < oo
etae '0 si a = 0;
les sommes et les produits de nombres réels étant bien entendu comme à l'accoutumée.
Il peut sembler étrange de définir 0 • «> = 0. Toutefois, on pourra vérifier sans difficulté
que cette définition conserve, sans restriction, la commutativité, Vassociativité, et la distribu-
tivité des lois sur [0, <*>].
Par contre, les lois de simplification doivent être examinées plus soigneusement :
a + b = a + c entraîne b = c seulement lorsque a est fini, et ab = ac entraîne b = c seulement
lorsque 0 < a < «>.
Observons enfin que l'on dispose de la proposition souvent utile
Si 0<al<a2< ... et 0<bt<b2< et si a„-*a et bn—> b, alors anbn —» ab.

18
théorie abstraite de l'intégration
En liaison avec les théorèmes 1.17. et 1.14., nous notons que les sommes et les produits de
fonctions mesurables à valeurs dans [0, oo] sont mesurables.
INTÉGRATION DE FONCTIONS POSITIVES
Dans cette section, TYl désigne une a-algèbre et p une mesure positive sur 171.
1.23. Définition. — Lorsque s : X —» [0, oo[ est une fonction mesurable étagée, de la forme
n
s = X^Xv (1)
i = i
où a,, an sont les valeurs distinctes de s (cf Définition 1.16), et lorsque E est un élément
de 171, nous définissons
n
jsdp = ^oy^nE). (2)
E , = 1
Nous utilisons ici la convention 0 • ©o = 0, car il peut advenir que oc, = 0 pour un certain i
tandis que jU(A, n E) = oo.
Lorsque/: X —> [0, oo] est une fonction mesurable et que E appartient à 171, nous définissons
jfdp - snpjsdp, (3)
E E
la borne supérieure étant prise sur l'ensemble de toutes les fonctions mesurables étagées telles
que 0 < s </.
Le membre de gauche de (3) s'appelle l'intégrale de Lebesgue de / sur E par rapport à la
mesure p. Cette intégrale est un nombre dans [0, ©o].
Observons en utilisant les définitions (2) et (3) que nous disposons apparemment de deux
définitions de l'intégrale, à tout le moins lorsque / est une fonction étagée mesurable.
Cependant, les valeurs attribuées à l'intégrale sont évidemment les mêmes pour ces deux définitions,
puisque / est dans ce cas la plus grande des fonctions qui puisse advenir dans le membre de
droite de l'égalité (3).
1.24. Les propositions qui suivent sont des conséquences immédiates des définitions. Nous
supposerons que les ensembles et les fonctions advenant dans ces propositions sont
mesurables :
(a) Si 0</<g, on ajfdp< jg dp.
E E
(b) Si AclB etf> 0, alors jf dp < jf dp.
A B
(c) Sif>0 et si C est une constante, 0 < c < oo, on a
jcfdp = cjfdp.
E E

intégration de fonctions positives
19
(d) Sif(x) = 0 pour tout x e E, alors J/ dp = 0, même si p(E) = oo.
E
(e) Si p(E) = 0, alors J/ dp = 0, même sif(x) = oo pour tout xe E.
E
(f) Sif>0, alors jfdfi = jxJ' dfi.
E X
Ce dernier résultat montre que, sans diminuer la généralité de notre théorie, nous aurions pu
restreindre notre définition de l'intégrale au cas de l'intégration sur l'ensemble X tout entier.
Pour intégrer sur des sous-ensembles, la propriété (/) nous donne une définition possible. Ce
choix d'une définition reste donc une affaire de goût personnel.
On peut encore faire remarquer que tout sous-ensemble mesurable E d'un espace mesuré est
de façon naturelle un sous-espace mesuré : les sous-ensembles mesurables en sont les sous-
ensembles mesurables de X qui appartiennent à E, et la mesure reste inchangée sauf son
domaine de définition qui est plus petit. Ceci montre que nous pourrions définir l'intégration
sur tout espace mesurable X et que cela nous donnerait automatiquement l'intégration sur tout
sous-ensemble mesurable de tout espace mesuré.
1.25. Proposition. — Soient s et t deux fonction mesurables étagées non négatives définies
sur X. Pour tout E, élément de Ifi, en définissant
ç(E) = jsdp, (1)
E
(p est alors une mesure c)fL De plus
j(s + t)dp = js dp + jt dp. (2)
X XX
(Cette proposition sert de forme provisoire aux futurs théorèmes 1.27 et 1.29.)
Démonstration. — Prenons s comme à la définition 1.23 et pour £2,... une famille
dénombrable de sous-ensembles disjoints de IfYl. La propriété d'additivité dénombrable de p montre
que
q>(£) = £cyi(A,nE) = Xa,^>(A,n£r)
i = 1 i:= 1 r = l
« n oo
= X 5>,AiM,nEr) = 2>(£r).
r = 1 i=l r= 1
Puisque p(0) = 0, la mesure (p n'est pas identiquement égale à la valeur ©°.
Maintenant, prenons encore s comme précédemment et soient ... Pm les valeurs distinctes
de la fonction r où l'on a posé Bj= {x: t(x) = /?,}. Si Eu = A{ n B} alors
J(j + 04u = (al + Pj)iHElJ)
E..
jsdn+ jtdfi = (XiUlE^ + PjMEij).

20
théorie abstraite de l'intégration
Ainsi, (2) a lieu avec à la place de X. Puisque X est réunion disjointe des sous-ensembles
E(j (1 < i < n ; 1 <j < m), la première partie de notre proposition entraîne la validité de (2).
Nous en venons maintenant à la partie intéressante de la théorie. L'un de ses traits les plus
remarquables est la simplicité avec laquelle elle dispose des passages à la limite.
1.26. Théorème de convergence monotone de Lebesgue.
Soit {fn} une suite de fonctions mesurables sur X et supposons que
(a) 0 <f (jc) <f2 (x) < ... < oo pour tout xe X,
(b) /„ (jc) —» /(jc) pour tout x e X lorsque n —> oo.
La fonction f est une fonction mesurable et lorsque n —» oo
jfdp^jfdp.
x x
Démonstration. — Puisque jfndp< jfn + idp, il existe un nombre a g [0, oo] tel que
jf„ dp —>a lorsque n —> oo. (1)
x
Par le théorème 1.14, la fonction / est mesurable. Puisque fn <fi nous disposons de
jf„dp < jfdp pour tout n, et (1) implique
a<jfdp. (2)
x
Soit s une fonction étagée mesurable telle que 0 < s <f et soit c une constante, 0 < c < 1.
Définissons
En = {x :f„ (x) > cs(x)} (n = 1, 2, 2, ...). (3)
Chaque ensemble En est mesurable, £,c£2c...et X = u En. En effet, si /(jc) = 0 on a
x e E\ ; et si / (jc) >0, es (jc) </(jc) puisque c < 1 et par conséquent, xe En pour un n au
moins. De même
\fndp>\fndp>c\sdp (n = 1,2,2, ...). (4)
X En En
Faisons tendre n vers l'infini et à la dernière intégrale apparaissant dans (4) appliquons la
Proposition pour 1.25 pour (p(En) et le Théorème 1.19. (d). Il vient
a>c
X
js dp. (5)
Puisque l'inégalité (5) a lieu pour toute constante c < 1, nous déduisons
a > js dp, (6)
X
pour toute fonction étagée mesurable s qui vérifie 0 < s </. Ainsi
a>\fdp. (7)
x
Le théorème se déduit maintenant de (1), (2) et (7).

intégration de fonctions positives
21
1.27. Théorème
Si/n : X —> [0, oo] est mesurable pour n = 1, 2, 3 et
f(x) = (xe X), (D
. alors
ffdn= X J/. 41. (2)
X «= 1 X
Démonstration. — D'abord, comme pour le théorème 1.17 il existe des suites de fonctions
étagées mesurables {s',} et {j'/}» telles que s/—>/, et j'/ —»/2. Si s, = j'j + sV» on a
s,- -> /, + /2 et la conjonction de la Proposition 1.25 et du théorème de la convergence
monotone, montre que
J(/i+/2)^= Ifidp+jftdp. (3)
X XX
Définissons maintenant gN =f + ... +fN. La suite {gN} converge de façon monotone vers /
et, par récurrence sur (3), on a
jga dp = X J/- (4)
X n=l X
Une fois de plus, nous utilisons le théorème de la convergence monotone pour obtenir (2), ce
qui achève la démonstration.
En prenant pour p la mesure de dénombrement sur un ensemble dénombrable, on constate
que le théorème 1.27 affirme un résultat concernant une série double à termes non négatifs (on
peut bien sûr le retrouver par un raisonnement direct).
Corollaire. — Si ai} > 0 pour tout i et j = 1, 2, on a
XXfl(/= £5>r
i = i j = i y = i / = i
1.28. Lemme de Fatou. — Pour tout entier positif n, soitf : X —> [0, «>], une fonction
mesurable. On a
f (lim inf /„) dp< lim inf f /„ dp. (1)
x n^°° n-*~ X
Une inégalité stricte peut avoir lieu dans la relation (1), (cf. exercice n° 8).
Démonstration. — Définissons
gk(x)= inf/,(;c) (*= 1,2,3, ...;xeX). (2)
On a gk < fk, de sorte que
jgk dp<\fk dp (k = 1, 2,3, ...). (3)

22
théorie abstraite de l'intégration
On a aussi 0<g^< g2< ... et la mesurabilité de gk est obtenue par le théorème 1.14. En plus
d'après la définition 1.13 gk(x) -» lim inf /„ (jc) lorsque fc—»<*>. Le théorème de la COnVer-
fi —> °°
gence monotone assure que lorsque tend vers l'infini, le membre de gauche dans (3) tend vers
le membre de gauche de (1). Ce qui déduit (1) de (3).
1.29. Théorème
Soit f:X—> [0,00] une fonction mesurable et définissons
<p(E) = \fdp (Es Tri). (1)
E
Alors (p est une mesure sur Tri et
jgd(p=jgfdn (2)
X X
pour toute fonction mesurable g sur X dont l'image est dans [0, «>].
Démonstration. — Soient Ev E2, Ev ... des éléments disjoints de Wdont la réunion est E.
Observons que
XeÎ = (3)
et que
y= 1
Ç(E) = \zsfdp, ç(Ej) = jxs/dp. (4)
x x
Par le théorème 1.27, on déduit
q>(E) = $>(£)■ (5)
Puisque <p(0) = 0 , la relation (5) assure que <p est une mesure.
Ensuite, (1) établit que (2) a lieu pour toute g de la forme g = Xe et pour tout Es Tri. Donc
(2) est valable pour toute fonction étagée mesurable g, et le cas général provient du théorème
de la convergence monotone.
Remarque. — La deuxième assertion du théorème 1.29 s'écrit quelquefois sous la forme
d<p = f dp. (6)
Nous n'attribuons aucune signification intrinsèque aux symboles dcp et dp ; (6) signifie
seulement que (2) a lieu pour toute fonction mesurable g > 0.
Au chapitre 6 nous démontrerons une réciproque très importante du théorème 1.29, à savoir
le théorème de Radon-Nikodym.
INTÉGRATION DE FONCTIONS COMPLEXES
Comme précédemment, et tout au long de cette section, nous désignons par p une mesure
positive sur un espace mesurable arbitraire X.

intégration de fonctions complexes
23
1.30. Définition. — Par L1 (/x), nous désignons la famille de toutes les fonctions complexes
mesurables / sur X pour lesquelles
f\f\d(i«~.
X
Il faut remarquer que la mesurabilité de / implique celle de |/| comme il a été démontré à la
proposition 1.9 (b), ce qui prouve que l'intégrale ci-dessus a un sens.
Les éléments de L1 (//) sont appelés les fonctions intégrables au sens de Lebesgue (par rapport
à la mesure p) ou encore les fonctions sommables. Ce que signifie l'exposant 1 dans Lx {p)
apparaîtra clairement au chapitre 3.
1.31. Définition. — Pour tout / appartenant à L1 (/i), où/= u + iv et m et v sont des fonctions
réelles mesurables sur X, on définit pour tout ensemble mesurable E.
\f dp = ^u dp-ju~dp + ijv*dp-ijv~dp. (1)
E E E E E
Ici m+ et u sont les parties positive et négative de u telles que définies à la section 1.15 ; de
même v+ et v" quant à v. Ces quatre fonctions sont mesurables, réelles et non-négatives ; ce qui
assure l'existence des quatre intégrales de droite dans (1) d'après la définition 1.29. De plus,
comme u < \ u\ < \f \ etc., chacune de ces quatre intégrales a une valeur finie. Donc l'égalité (1)
définit l'intégrale de gauche en tant que nombre complexe.
Quelquefois, il paraît désirable de définir l'intégrale d'une fonction / dont l'image est dans
[- oo, -i- oo] par
jfdfi = jfdfi-jrdfi, (2)
E E E
à condition toutefois que l'une au moins des intégrales de droite soit finie. Le nombre
apparaissant à gauche dans (2) est alors un nombre dans [-«>, + °°].
1.32. Théorème
Sifet g sont dans L1 (p) et si a et fi sont des nombres complexes, on a af + pg e L1 (p) et
\(af + Pg)dp = a\fdp+pjgdp. (1)
X XX
Démonstration. — La mesurabilité de oçf+Pg provient de la Proposition 1.9 (c). Ce qui est
démontré en 1.24 et le théorème 1.27 impliquent
\\<xf + Pg\dp<\{\oc\\f\+\ft\g\)dp = \(x\\\f\dp+\ft\\g\dp<oo.
XX XX
Ainsi af + Pge Ll(p).
Pour démontrer (1), il est visiblement suffisant de démontrer
j(f + g)dp = jfdp + jgdp (2)
X XX
et
j(af)dp= ccjfdp, (3)
X X

24
théorie abstraite de l'intégration
puisque le cas général de (2) s'ensuivra dès que l'on aura prouvé (2) pour des fonctions/et g
réelles et appartenant à V(p).
Ceci admis, en posant h = / + g, on a
h+~h- = f-f-+g+-g\
ou encore
h+ + r + g~ = f+ + g+ + h'. (4)
Du théorème 1.27, on déduit
K+j/-+jg- = Jr+J^+J*-. (5)
et comme chacune des intégrales apparaissant dans (5) a une valeur finie, on déplace les termes
pour déduire (2).
La proposition 1.24 (c) quant à elle fournit (3) si a> 0. Cette même relation (3) est aisée pour
a=-l en utilisant des remarques comme (-w)+ = u . Le cas a= i est également facile.
Si/= u + iv, il vient
J(l/) = /(«-v) = J(-v) + IJII = -Jv + IJK = /(Jll + ljv) =
Adjoignant ces cas à (2), on obtient (3) pour tout nombre complexe a.
1.33. Théorème
Si fe Ll(p),ona \fdfi <\\f\dp.
x x
Démonstration. — Définissons z = jf dp. Comme z est un nombre complexe, il existe un
x
nombre complexe oc, tel que |a| = 1 et pour lequel az = |z|. Soit u la partie réelle de af. On
a «<|a/| = l/I.Donc
\fdp = a\fdp = \afdp= \udp <\\f\dp.
X X X X X
La troisième des égalités ci-dessus a bien lieu car, conséquence des précédentes, le nombre
jafdp est réel, donc est par définition l'intégrale de la partie réelle de af soit l'intégrale de u.
Terminons cette section par un autre théorème important de convergence.
1.34. Théorème de la convergence dominée de Lebesgue.
Soit [fn} une suite de fonctions complexes mesurables sur X telles que pour tout xe X,
f(x) = lim/„(*). (1)
n —» oo
S'il existe une fonction g e Ll(p) telle que
\fn(x)\<g(x) (n = 1,2,3,...;jcg X), (2)
f est alors une fonction dans Lx(p\ et
hmJl/.-/l^= 0, (3)

rôle des ensembles de mesure nulle
25
ainsi que
lim \f„dp = jfdfi. (4)
n °° X X
Démonstration. — Puisque |/| <g et comme / est une fonction mesurable, /e L\p). De
\f„ - f \ < 2g, le lemme de Fatou appliqué à la suite 2g - \fn - f \ fournit,
\ 2gdp < lim infJ(2g-|/„ - f\)d/i
x n~*°° x
= J2gdn + lim inf(-J|/„-/|d^
= f2g^-limsup \\f„-f\dn.
X X
Puisque J2g d\i a une valeur finie, on la retranche des deux membres pour obtenir
limsupj|/n-/|^<0. (5)
Si une suite de nombres non-négatifs ne converge pas vers 0, sa limite supérieure ne peut
qu'être positive. Par suite l'inégalité large (5) implique (3). A son tour, (4) provient de (3) par
application du théorème 1.33 à f„-f.
RÔLE DES ENSEMBLES DE MESURE NULLE
1.35. Définition. — Soit P une propriété qu'un point x peut posséder ou non. Par exemple,
P peut être la propriété «/(x) > 0 » pour une fonction donnée / ou encore être la propriété
« {fn (x)} converge » pour une suite donnée de fonctions [fn}.
Soit alors ji une mesure sur une a-algèbre Wet soit E e Tri. L'assertion « P a lieu presque
partout sur E » (que l'on abrège en écrivant « P a lieu p.p. sur E ») signifie qu'il existe un
Ne Ht tel que \i (N) = 0, et N d E de sorte que P a lieu en tout point de E- N. Bien entendu,
la notion de presque partout dépend fortement de la mesure et nous écrirons « [ji] p.p. » dès
que ce sera nécessaire.
Par exemple, si / et g sont des fonctions mesurables pour lesquelles
f*{x:f(x)*g(x)}) = 0, (D
on écrit que/= g [p] p.p. sur X. On peut aussi écrire f ~ g . Que ~ soit une relation
d'équivalence est de démonstration facile. La transitivité (c'est-à-dire / - g et g - h impliquent f ~ h)
est conséquence de ce que la réunion de deux ensembles de mesure nulle est également de
mesure nulle.
Pour / ~ g et pour tout Ee W, on a l'égalité des intégrales
\fdjl = \gdji. (2)
E E
Pour le voir, soit tV l'ensemble {x :f(x) * g(x)}. L'ensemble E est réunion des deux ensembles
disjoints E - N et E n N. Mais sur E - N, on a/= g tandis que fj.(E n N) = 0.
En général, les ensembles de mesure zéro sont négligeables en théorie de l'intégration. Il se
devrait que tout sous-ensemble d'un ensemble négligeable soit lui-même négligeable. Mais il

26
théorie abstraite de l'intégration
peut advenir qu'un N de Tri pour lequel fl(N) = 0 ait un sous-ensemble E n'appartenant pas
à Tri. Naturellement, on peut encore définir fi(E) = 0 dans un tel cas. Le problème est alors
de savoir si \i reste une mesure, c'est-à-dire si elle reste bien définie sur une a-algèbre. Il est
agréable de constater que la réponse est affirmative.
1.36. Théorème
Soit (X, TYU fJ) un espace mesuré et TU* la famille des sous-ensembles EczX pour lesquels
il existe des ensembles A et B de TU tels que AczEczB et p(B-A) = 0. Définissons
p(E) = fi(A) dans un tel cas. Tri* est une a-algèbre sur laquelle \x est une mesure.
Une mesure ainsi étendue est dite complète puisque tous les sous-ensembles des ensembles
de mesure nulle sont maintenant mesurables eu égard à cette mesure : la a-algèbre Tïl * est
appelée la complétion de TU pour p. Comme le théorème assure que toute mesure peut être
complétée, on pourra, dès qu'il apparaîtra utile de le faire, supposer que toute mesure donnée
à l'avance est complète. Ce faisant, on ne fait que se donner plus d'ensembles mesurables, et
donc plus de fonctions mesurables. La plupart des mesures que l'on rencontre habituellement
sont déjà complètes, mais il peut y avoir des exceptions : l'une d'entre elles surviendra lors de
la démonstration du théorème de Fubini au chapitre 7.
Démonstration. — Commençons par vérifier que p est convenablement définie pour tout
Ee Tri*. Soit A œEczB, A, et \i(B - A) = [i(B] - Ax). Au cours de la
démonstration, A et B seront toujours des éléments de CWL Puisque
A - A, œZs-A, <z B] - A,,
on a ii(A - A,) = 0, donc fi{A) = ji(A n A,). Pour la même raison,
//(A,) = /i(A, n A).
De fait, on peut conclure //(A,) = ju(A). Vérifions les trois propriétés de définition d'une
a-algèbre.
(i) Xe m et Wœ m*, donc X e m*.
(ii) Si A c E c B, on a Bc c c Af. Si E e CM*, Ec e Tri* puisque Ac - Bc = A1 n B =
A-B.
(iii) Si A{ c£(c5(, £ =u£, et A = uA,,5=u Bt, on a aussi AczEczB et
B~Aa(j(Bi-A)(zC}(Bi-Ai).
i i
Comme la réunion dénombrable d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle, on a
E e Tri* si Ex e crfl*. pour /= 1, 2, 3, ...
Enfin, si les £f sont disjoints à l'étape (iii), il en est de même des A( et on conclut
H(E) = ii(A) = 5>(^) = !>(£,).
i i
Ce qui prouve l'additivité dénombrable de fi sur Tïl*.

rôle des ensembles de mesure nulle
27
1.37. Que les fonctions égales presque partout ne puissent être distinguées par l'intégration
suggère une extension profitable de la définition de la mesurabilité d'une fonction. Pour une
fonction / définie sur Ee Hi, nous dirons qu'elle est mesurable sur X si jJi(E?) = 0 et si
f~\V) n E est mesurable pour tout ouvert V. En défini ssant/(;c) par 0 pour xe E1 ', on obtient
une fonction mesurable sur tout X au sens premier. S'il survient que la mesure fi soit complète,
on peut définir / sur E? de la façon la plus arbitraire et conserver toujours une fonction
mesurable. La valeur de l'intégrale de / sur tout sous-ensemble A e Ht ne dépend nullement des
valeurs de / sur ; par suite, on peut même ne pas spécifier du tout ces valeurs.
En beaucoup de situations, une telle attitude se présente naturellement. Ainsi une fonction / sur
la droite réelle peut n'être différentiable que presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue)
et cependant, sous certaines hypothèses, / demeure l'intégrale de sa dérivée : ceci sera discuté
au chapitre 8. Ou encore une suite [fn] de fonctions mesurables sur X peut ne converger que
presque partout : en adoptant notre nouvelle définition de la mesurabilité, la limite reste une
fonction mesurable sur X et l'on n'a pas à se restreindre au seul sous-ensemble sur lequel la
convergence a lieu.
Pour illustrer ceci, donnons à un corollaire au théorème de la convergence dominée de
Lebesgue une forme permettant les ensembles exceptionnels de mesure nulle.
1.38. Théorème
Soit [fn] une suite de fonctions mesurables et complexes définies presque partout sur X.
Supposons que
Ïjl/.l4i<~- œ
Alors la série
/(-*) = £/„(*) (2)
converge pour presque tout x, f e L (fi) et
\fdV= I \fndli. (3)
X n= 1 X
Démonstration. — Soit Sn l'ensemble sur lequel/, est définie, de sorte que fi(Sc„) = 0.
Définissons ç(x) - 2,|/M (x)|, pour tout xe S =n5r Alors jx(Sc) = 0.
D'après (1) et le théorème 1.27,
^(pdji<<x>. (4)
Si E = {x e S : (p(x) < <*>}, on déduit de (4) que H(EC) = 0. La série (2) converge absolument
pour tout jc e E et si/(x) est définie selon (2) pour xe £, on a |/(*)| ^ <p{x) sur £, c'est-à-
dire que / g L\iï) sur £, d'après (4). Si gn =f + ... +/„ on a alors |g„| < (p, gn(x) -» f (x)
pour tout jc g £ et le théorème 1.34 procure (3) où E remplace X. Ce qui est équivalent à (3),
puisque pi(E?) = 0.

28
théorie abstraite de l* intégration
Notons que, même si les/„ étaient définies en chaque point de X, (1) n'impliquerait que la
convergence presque partout de (2). Voici d'autres situations où l'on ne peut tirer une
conclusion que moyennant l'emploi du presque partout.
1.39. Théorème
(a) Supposons quef: X —> [0, <»] soit une fonction mesurable. Ee Ht et jfdji = 0. Dans
ce casf= 0 p.p. sur E. e
(b) Supposons que f e L\p) et jfdp = 0 pour tout Ee Hfl. Alors f = 0 p.p. sur X.
E
(c) Supposons que f e Lx(p) et
jfdn = \\f\dn.
X X
Il existe une constante a de sorte que af = |/| presque partout sur X.
Il convient de noter que (c) donne la condition d'égalité dans le théorème 1.33.
démonstration
(a) Si AN = Jjc g E :/(jc) > ^ j, n = 1, 2, 3, on a
±p{An)<\fdp<\fdp = 0,
1
\ E
de sorte que p(An) = 0. Comme {x g E :f(x) > 0} = u An, on déduit (a).
(b) Définissons/= u + iv et E = {x \u(x) > 0}. La partie réelle de J/dfi est ^u dp. De
E E
sorte que j«+ djl - 0, et (a) implique u+= 0 p.p. On conclut de même à la nullité presque
E
partout de w~, v+ et v".
(c) Examinons la démonstration du théorème 1.33. L'hypothèse faite implique que l'inégalité
dans la démonstration doit être une égalité. De sorte que j(\f \ -u)dp = 0. Puisque
|/| - u > 0, (a) montre que |/| = u p.p. Ce qui dit que la partie réelle de af vaut \af\ p.p., et
donc af = \af\ = \f\p.p., qui est bien le résultat cherché.
1.40. Théorème
Supposons p(X)<oof y e Lx(p)et prenons pour S un sous-ensemble fermé du plan
complexe. Supposons que les moyennes
A°{f) = ;è) !^
appartiennent à S pour tout Ee Ht tel que p(E) > 0. Dans ce cas /(jc) g S pour presque
tout x de X.

exercices
29
Démonstration. — Choisissons un disque fermé A (de centre a et de rayon r > 0), appartenant
au complémentaire de S. Puisque ce complémentaire F est une réunion dénombrable de tels
disques, il suffira de prouver que fJi(E) - 0 pour E = f~x(A).
Si nous avions jl(E)> 0, alors
\AE(f)-a\ = 1
me)
J(/-a)^<^J|/-a|^<^
ce qui est impossible, car AE (/)e S. Donc /!(£) = 0.
1.41. Théorème
Soit {Ek} une suite d'ensembles mesurables de X telle que
5>(Et)<~. (D
k = I
Presque tout x de X appartient à un nombre au plus fini de tels ensembles Ek.
Démonstration. — Soit A T ensemble des x qui appartiennent à une infinité de Ek. Il faut
montrer que ji{A) = 0. Définissons
*(*) = X (2)
k = 1
Pour chaque jc, chaque terme de la série est soit 1, soit 0. De sorte que jc g A si et seulement si
g(x) - oo. Grâce au théorème 1.27, l'intégrale g sur X est égale à la somme (1). Ainsi
g e Lx(jï) et g(x) < oo presque partout.
EXERCICES
1. Existe-t-il une a-algèbre infinie dénombrable ?
2. Démontrer l'analogue du théorème 1.8 avec n fonctions.
3. Démontrer la mesurabilité d'une fonction réelle/sur un espace mesurable X, telle que
{jc :/(jc) > r} est mesurable pour tout rationnel r.
4. Soient {an} et {bn} deux suites numériques dans [-oo,+oo]. Établir les deux résultats
suivants
(a) lim sup(-a„) = -lim inf a„.
n —*°o n —» oo
(b) lim sup(a„ + b„) < lim sup an + lim sup bn
n —» oo n —> oo n —> °°
sous la condition qu'aucune des sommes précédentes ne soit de la forme ©o - oo.
(c) Lorsque an < bn pour tout n, montrer que
lim inf an< lim inf b„.
Construire un exemple montrant que l'inégalité stricte peut avoir lieu dans (b).
5. (a) Soit /: X—> [-<*>, °°] et g: [-<*>, ~] deux fonctions mesurables. Montrer que les
ensembles {jc :/(jc) < #(jc)}, {jc :/(jc) = #(jc)} sont mesurables.

30
théorie abstraite de l'intégration
(b) Montrer que l'ensemble des points de convergence vers une limite finie d'une suite de
fonctions réelles mesurables est mesurable.
6. Soit X un ensemble non dénombrable et Ifi la famille des sous-ensembles E de X tels que
E ou E° soit au plus dénombrable. On définit p (E) par 0 dans le premier cas et par 1 dans le
second. Établir que West une cr-algèbre sur X et que p définit une mesure sur 7li. Décrire les
fonctions mesurables correspondantes et leurs intégrales.
7. Supposons que pour «= 1, 2, 3, ...,/„ : X —> [0, °°] soit mesurable et que /, >/2 > ...
>fn > ... > 0, et fn{x) —> /(jc) lorsque n tend vers l'infini pour tout jc dans X. Enfin, supposons
/, g L](p). Démontrer que
lim \fndp = jfdfi,
et établir que ce résultat n'est plus assuré lorsque la condition L (p) » est omise.
8. Prendre fn = %E si n est impair et /„ = 1 - %E si n est pair. Examiner ce que donne le
lemme de Fatou sur cet exemple.
9. Soit p une mesure positive sur X, /: X—» [0, oo] une fonction mesurable telle que
jf dp = c, où 0< c<oo et d une constante. Démontrer que
> si 0 < a < 1,
lim
Jiilog
i+i^a-
c si a = 1
0 si 1 < a < «
Indication : Si a > 1, les intégrants sont majorés par af. Si a < 1, on peut utiliser le lemme de
Fatou.
10. Supposons que {fn} soit une suite de fonctions mesurables bornées et à valeurs complexes
sur un espace mesurable X tel que p(X) < oo, qui converge uniformément sur X vers une
fonction /.
Montrer que
lim \fndp = \fdp,
X X
et que l'on ne peut supprimer l'hypothèse « p{X) < oo ».
11. Dans le théorème 1.41, établir la formule
A = n nEk.
n = 1 k = n
En déduire le théorème sans faire aucune référence à la théorie de l'intégration.
12. Supposons que / soit une fonction de L1 (p). Montrer que, pour chaque £ > 0, il existe un
8> 0, de sorte que J|/| dp < e dès que p(E)<8.
E
13. Montrer que la proposition 1.24 (c) reste valable lorsque l'on fait c = oo.

notes historiques
31
NOTES HISTORIQUES
C-algèbre, fonctions mesurables, mesures, fonctions étagées, intégrale obtenue par borne supérieure,
théorèmes de convergence et jusqu'à la mise en relation de la topologie et de la mesure manifestée par les
boréliens, l'ordre économique donné à la présentation de l'intégration abstraite est inspiré de celui trouvé
par Stanisaw Saks dans un livre en polonais1. Cet auteur réussissait à réunir deux branches de ce que l'on
appelait depuis le début du siècle la « théorie des fonctions réelles ». La première de ces branches avait
comme programme la classification des fonctions et des ensembles, et Saks la personnalisait par les noms
de René Baire et d'Emile Borel ; l'autre branche focalisait sur l'intégrale et le nom de Henri Lebesgue
s'imposait.
Sans aucun doute, de ce dernier en 1904 les Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions
primitives — sa thèse sobrement intitulée Intégrale, longueur, aire date de 1902 — marquent un tournant. Car
était acquise une généralisation efficace de l'intégrale dont, en utilisant un passage à la limite sur des
sommes discrètes2, Cauchy et Riemann avaient su donner une définition indépendante de la dérivation. Si
les théorèmes de convergence sont une plus-value, la création originale de l'intégrale par Lebesgue avait
d'abord comme objectif la résolution du problème que la construction de Cauchy-Riemann avait posé :
celui de la dérivation de l'intégrale, considérée comme une fonction de la borne supérieure d'intégration.
Lebesgue donne un nom, celui d'ensemble de mesure nulle, au phénomène que Riemann avait rencontré :
une fonction est intégrable au sens de Cauchy-Riemann si et seulement si l'ensemble de ses points de
discontinuité est de mesure nulle. Le concept d'ensemble de mesure nulle est le moteur de la théorie
nouvelle ; il dit ce que l'on peut négliger. Mais la dérivation reçoit aussitôt cet apport, et de la sorte est
effacée la distinction acquise au xixe siècle entre calcul différentiel et calcul intégral, distinction encore si
nette dans le traité d'Analyse de Camille Jordan. Dans son livre, Lebesgue démontre en dernier lieu la
dérivabilité presque partout d'une fonction monotone continue. Quoique ce résultat ne figure pas dans le
premier chapitre — il résulte des méthodes du chapitre 7 —, mais parce qu'il donne à voir le mouvement
de la pensée de Lebesgue, on pourra en lire au chapitre 7 la démonstration adaptée de celle donnée par
Frigyes Riesz en 1932.
Si ce n'est qu'un aspect des choses, c'est que le premier chapitre est issu d'une double histoire, celle de
la topologie et celle de l'intégrale, une histoire croisée tant il est rare qu'une théorie mathématique durable
puisse vivre isolément. Pourtant, par son succès dû en particulier à sa simplicité, la théorie de Lebesgue a
presque relégué au rayon des curiosités les efforts précédents, ceux de Darboux, Cantor, Peano, Dini,
Jordan, Borel et de bien d'autres. On le constate par le nom donné aux théorèmes majeurs de convergence :
même le lemme de Fatou, originalement fourni dans un mémoire de 1906, est postérieur à l'intégrale de
Lebesgue. Par contre, en topologie, la reconnaissance de la postérité remonte plus haut, et le nom de
théorème de Borel-Lebesgue pour désigner la caractérisation d'un compact à partir de recouvrements ouverts
est significatif, rappelant justement la part que Borel avait directement prise dans la nouvelle construction.
Une histoire a été écrite pour comprendre la genèse de la théorie de Lebesgue, les essais et surtout les
difficultés rencontrées dans la maîtrise des concepts aujourd'hui élémentaires de la théorie des ensembles
[Hawkins, 1978], et Lebesgue s'était déjà engagé dans une telle histoire en 1905 [référence ci-dessous].
Une autre histoire parcourt les mêmes origines, avec la constitution d'une théorie à part entière de la
mesure et de l'intégration, et son investissement en analyse harmonique dans la représentation des groupes
[Michel, 1992]. Enfin, une histoire générale de l'intégrale a été écrite à l'usage des mathématiciens [Pier,
1996]. Il n'existe malheureusement pas d'histoire générale de la topologie, mais seulement des histoires
partielles comme [Hirsch, 1978] ou [Dieudonné, 1994].
1. [Saks, 1933 et 1937] sont les adaptations en français et en anglais de cet ouvrage sorti en polonais en 1930.
2. Un recul historique est nécessaire car les notions de limite supérieure et limite inférieure de la section 1.13 sont
maîtrisées dans [Cauchy, 1821] (une telle référence en italique renvoit à la bibliographie historique).

32
théorie abstraite de l'intégration
Le concept de fonction d'ensembles, ou mesure, est antérieur à Lebesgue, provenant de l'étude
d'expressions du type V |/„| où la suite {/J désigne une partition d'un ensemble E de l'axe réel en intervalles

disjoints, et où la double barre indique la longueur de l'intervalle. En 1884, et dans le but d'étudier le
continu, Georg Cantor montre que tout ouvert 0 de R1 est réunion au plus dénombrable d'intervalles
ouverts disjoints. Quatorze années plus tard, Emile Borel investit ce résultat en désignant par m(C) la
mesure d'un ouvert 0 = u /„. Il invente ainsi les boréliens de R1 (section 1.11) auxquels il donne le nom
d'ensembles « mesurables ». Cette terminologie indique assez qu'il a abandonné l'attribution d'une mesure
à tout ensemble. Ce pas fut décisif. Dans le présent chapitre, la définition adoptée des boréliens est reprise
de [Hewitt, Ross, 1963], alors que [Halmos, 1950] les définit comme les ensembles du O-anneau engendré
par les espaces compacts. Une différence peut surgir avec le présent exposé dans le cas des espaces qui ne
sont pas O-compacts.
En 1901, Lebesgue prend pour mesure m{E) d'un ensemble E c [a, b], a < by la borne inférieure des
m(C) où l'ouvert 0 contient E ; il définit E comme ensemble mesurable lorsque l'égalité suivante est
satisfaite, m([a, b] - E) + m(E) = b - a . Il montrait qu'un ensemble mesurable en son sens est un borélien à
un ensemble de mesure nulle près (théorème 2.20). L'intégration abstraite, c'est-à-dire l'intégration sur un
espace topologique et non seulement sur /?' ou /?" pouvait alors s'établir ; elle présente l'avantage d'unifier
les théories à une ou plusieurs variables jusque-là bien séparées. Ainsi, Constantin Carathéodory introduit
en 1918 la notion de mesure extérieure, une fonction d'ensembles jU* partout définie : /i*(£) est la borne
inférieure de la somme des volumes des pavés (voir section 2.19) dont la réunion recouvre un
sous-ensemble E de Rn. Cette mesure extérieure est (7-sous-additive : la construction en est mémorisée par la première
étape de la démonstration du théorème 2.14. Un ensemble E est dit mesurable si pour tout ensemble A de
R" on dispose de /i*(A) = p*(A n Ef) + p*(A n E'), où E'désigne le complémentaire de E dans R".
La généralité du choix de A permet d'établir la (7-additivité de /X* sur les ensembles mesurables ainsi définis
(quatrième étape de la démonstration du théorème 2.14). La présentation de [Saks, 1932] a organisé tous
ces éléments, et on trouvera dans [Royden, 1963] une exploitation systématique de la mesure extérieure.
Stimulée par la considération des boréliens et des ensembles mesurables, la théorie de la mesure se
développe et elle suscite bien des familles d'ensembles autres que les a-algèbres, celles-ci étant aussi
appelées tribus. On appelle algèbre une famille d'ensembles, stable par réunions finies, intersections finies et
passage au complémentaire. Il y a les O-anneaux déjà mentionnés pour lesquels on suppose la stabilité par
réunion quelconque et par différence de deux ensembles, sans toutefois imposer que l'ensemble de base
appartienne au a-anneau. La définition de la mesurabilité devient plus contournée [Halmos, 1950, section
18], mais comme toutes les applications classiques rendent plus ou moins automatiquement mesurable
l'espace sur lequel on travaille, on comprend la préférence pour les O-algèbres. Comme un rappel de
l'origine cantorienne déjà signalée, des problèmes de cardinalité sont souvent posés pour les a-algèbres. On
trouvera dans [Hewitt, Stromberg, 1965, pp. 133-134] une preuve du fait que le cardinal d'une a-algèbre
engendrée par une famille au plus dénombrable est au plus celui du continu (voir section 2.11). Que ce
cardinal soit ou fini ou supérieur, voire égal à celui du continu, devrait être clair après l'exercice 1 du chapitre 2.
Dès le départ, et en vue de son intégrale, Lebesgue modifie la notion de sommes de Riemann. Dans une
note de 1901 (fournie ci-après), il indique l'échange entre les rôles de l'abscisse et de l'ordonnée. C'est
ce que retient la définition 1.23, par le truchement des fonctions étagées. Lebesgue décrira ce changement
dans un apologue rapporté par ses élèves : « Je dois payer une certaine somme ; je fouille dans mes poches
et j'en sors des pièces et des billets de différentes valeurs. Je les verse à mon créancier dans l'ordre où
elles se présentent jusqu'à atteindre le total de ma dette. C'est l'intégrale de Riemann. Mais je peux opérer
autrement. Ayant sorti tout mon argent, je réunis les billets de même valeur, les pièces semblables, et
j'effectue le paiement en donnant ensemble les signes monétaires de même valeur. C'est mon intégrale. »
Les théorèmes de convergence qu'il énonce sont d'autant mieux reçus qu'il retrouve des résultats
notamment établis par Osgood en termes de limites de fonctions numériques continues. Lebesgue leur
donne assez vite une grande simplicité d'expression : l'énoncé du théorème de la convergence dominée
1.34 date de 1910. À ce moment, si l'intégrale de Lebesgue est incontestablement adoptée, le monde
n = 1

notes historiques
33
mathématique la pense plus comme achevant une quête que comme ouvrant un nouveau monde
mathématique. Toutes les autres généralisations de l'intégrale partent de la réussite même de Lebesgue. Des
difficultés de maniement de la théorie n'en surgissent pas moins. En 1917, Souslin indique une erreur de
Lebesgue sur la projection d'ensembles mesurables (un extrait est donné au chapitre 8).
RÉFÉRENCES
[Cauchy, 1823, l'extrait cité est la leçon 21].
[Riemann, 1854/1873, extrait cité pp. 239-243].
C. Jordan, Cours d'Analyse de l'École polytechnique, Gauthier-Villars, Paris, tome 1 ; Calcul
différentiel, 1882 ; tome 2, Calcul intégral, 1883.
G. Cantor, Sur les ensembles infinis de points, Acta Mathematica, 2, 372-380, 1882, (extrait cité,
pp. 376-377).
G. Cantor, De la puissance des ensembles parfaits de points, Acta Mathematica, 4, 382-392, 1884,
(extrait cité, p. 382).
[Borel, 1898].
H. Lebesgue, Sur une généralisation de l'intégrale définie, séance du 29 avril, Comptes rendus Acad.
Se, 132, 1025-1028, 1901 ; Œuvres scientifiques, L'enseignement mathématique, Genève, t. 1, 197-200,
1972.
[Lebesgue, 1904].
H. Lebesgue, À propos de quelques travaux mathématiques récents (texte écrit en 1905),
L'Enseignement mathématique, 17, 1-48, 1971 ; Œuvres scientifiques, L'enseignement mathématique, Genève, t. 2,
395-442, 1972, avec des notes de G. Choquet.
P. Fatou, Séries trigonométriques et séries de Taylor, Acta Mathematica, 30, 355-400, 1906.
H. Lebesgue, Sur l'intégration des fonctions discontinues, Ann. Se. École Norm. Sup., 27, 361-450, 1910 ;
Œuvres scientifiques, Genève, L'enseignement mathématique, t. 2, 185-274, 1972.
M. Souslin, Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis, séance du 8 janvier,
Comptes rendus Acad. Se, 164, 1917 (texte fourni au chapitre 8).
[Carathéodory, 1918].
TEXTES
Cinq lectures sont proposées. En rappel, il y a la définition de l'intégrale définie que fournit Cauchy
en 1823 et le critère d'intégrabilité que donne Riemann en 1854. Puis est présenté un extrait d'un texte
de Cantor de 1882, où il envisage un ouvert de R] comme réunion dénombrable d'intervalles (texte suivi
d'une remarque de 1884). En dernier est fourni l'exposé initial et sans démonstration de l'intégrale de
Lebesgue, datant de 1901. Pourrait aussi figurer ici la démonstration du théorème de Lebesgue sur la dérivée
d'une fonction monotone telle que présentée dans [Riesz, Nagy, 1955, pp. 5-9], On la trouvera au
chapitre 7.
1. Intégrales définies, Leçons de calcul différentiel de Cauchy en 1823 (leçon 21). Supposons que, la
fonction y = f(x) étant continue par rapport à la variable x entre deux limites finies x = x0, x = X, on
désigne par jc,, x2...xn_, de nouvelles valeurs de jc interposées entre ces limites, et qui aillent toujours en
croissant ou en décroissant depuis la première limite jusqu'à la seconde. On pourra se servir de ces valeurs
pour diviser la différence X - xQ en éléments
X\ — JCq, -^2 — JC], JC3 — -^2» • • • » X — JCn_ ] ( 1 )

34
théorie abstraite de l'intégration
qui seront tous de même signe. Cela posé, concevons que l'on multiple chaque élément par la valeur de
/(jc) correspondante à l'origine de ce même élément, savoir, l'élément jc, -jc0 par/(jc0), l'élément jc2-x,
par/(jc,), &c, enfin l'élément X-xn_,, par/(*„_,) ; et soit
S = (xI-jc0)/(x0) + (x2-xl)/(x,) + ... + (Jf-xII_l)/(xJI_l) (2)
la somme des produits ainsi obtenus. La quantité S dépendra évidemment, 1 ° du nombre n des éléments
dans lesquels on aura divisé la différence X - jc0, 2 ° des valeurs mêmes de ces éléments, et par conséquent
du mode de division adopté. Or, il importe de remarquer que, si les valeurs numériques des éléments
deviennent très petites et le nombre n très considérable, le mode de division n'aura plus sur la valeur de
5 qu'une influence insensible. C'est effectivement ce que l'on peut démontrer, comme il suit.
Si l'on supposait tous les éléments de la différence X~xQ réduits à un seul qui serait cette différence
elle-même, on aurait simplement
S = (X-*o)/(x0). (3)
Lorsqu'au contraire on prend les expressions (1) pour éléments de la différence X-x0, la valeur de S,
déterminée dans ce cas par l'équation (2), est égale à la somme des éléments multipliée par une moyenne
entre les coefficients
f(x0)tf(xl\f(x2)t...,f(xn_l)
[voyez dans les préliminaires du Cours d'analyse, le corollaire du 3e. théor.1'1].
D'ailleurs, ces coefficients étant des valeurs particulières de l'expression
f[x0+eQ(X-x0)]
qui correspondent à des valeurs de 0 comprises entre zéro et l'unité, on prouvera, par des raisonnements
semblables à ceux dont nous avons fait usage dans la 7e leçon121, que la moyenne dont il s'agit est une autre
valeur de la même expression, correspondante à une valeur de 6 comprise entre les mêmes limites. On
pourra donc à l'équation (2) substituer la suivante
S = (X-xQ)f[x0+Q0(X-x0)] (4)
dans laquelle 6 sera un nombre inférieur à l'unité.
Pour passer du mode de division que nous venons de considérer à un autre dans lequel les valeurs
numériques des éléments de X - x0 soient encore plus petites, il suffira de partager chacune des
expressions (1) en de nouveaux éléments. Alors on devra remplacer, dans le second membre de l'équation (2),
le produit (x, - x0)/(x0) par une somme de produits semblables, à laquelle on pourra substituer une
expression de la forme
(*i - *o)/Uo + 0o(*i " *o)l
0Q étant un nombre inférieur à l'unité, attendu qu'il y aura entre cette somme et le produit (x, -jc0)/(x0)
une relation pareille à celle qui existe entre les valeurs de S fournies par les équations (4) et (3). Par la
même raison, on devra substituer au produit (x2 -x1)/(xl) une somme de termes qui pourra être présentée
sous la forme
(x2-x,)/[x, + 0|(x2-x,)]
[1. Cauchy, 1821]. [Cauchy y appelle moyenne entre plusieurs quantités données une nouvelle quantité comprise entre
la plus petite et la plus grande de celles que Ton considère].
[2. La référence renvoie à une explication du théorème des valeurs intermédiaires pour le cas de la dérivée d'une
fonction.]

notes historiques
35
0, désignant encore un nombre inférieur à l'unité. En continuant de la sorte, on finira par conclure que,
dans le nouveau mode de division, la valeur de S sera de la forme
S = (xl-x0)f[x0+60(xi-x0)] + (x2-xl)f[xi + 0](x2-x])] +... (5)
+ (X-xn_])f[xn_i + en_](X-xn_l)]
Si l'on fait dans cette dernière équation
fixo+Ooixi-Xo)] = f(x0)±£0, /[x. + e^-x,)] =/(*,)!£,,..., /[*„_,+ 0(I_,(*-Jt(l_i)]
= f(xn-1) ± £„_ i , on en tirera
S = {x]~x0)[f{x0)±eQ] + (xi-x0)[f(x,)±el] + ... (6)
+ (X-x„_i)[f(xn_])±£n_l]
puis, en développant les produits,
S = (x]-x0)f{x0) + (xl-x0)f{x}) + ... O)
+ (X-X„_l)f(xn_l)±E0(xl-X0)±£l{x2-Xl)±E„_l(X-X„_l)
Ajoutons que, si les éléments jc, - jc0, x2 - jc,, jc3 - jc2,..., X - xn ont des valeurs numériques très petites,
chacune des quantités ±e0, ±e,, ..., ±£n_, différera très peu de zéro, et que par suite il en sera de même de
la somme ±£0(*i -jc0), ±£!(jc2-jc,), ±£„_,(X-jc„_,), qui est équivalente au produit de X-xQ par une
moyenne entre ces diverses quantités. Cela posé, il résulte des équations (2) et (7) comparées entre elles
qu'on n'altérera pas sensiblement la valeur de S calculée pour un mode de division dans lequel les éléments
de la différence X - x0 ont des valeurs numériques très petites, si l'on passe à un second mode dans lequel
chacun de ces éléments se trouve subdivisé en plusieurs autres.
Concevons à présent que l'on considère à la fois deux modes de division de la différence X-x0, dans
chacun desquels les éléments de cette différence aient de très petites valeurs numériques. On pourra
comparer ces deux modes à un troisième, tellement choisi, que chaque élément, soit du premier, soit du
second mode, se trouve formé par la réunion de plusieurs éléments du troisième. Pour que cette condition
soit remplie, il suffira que toutes les valeurs de jc, interposées dans les deux premiers modes entre les
limites jc0, X, soient employées dans le troisième, et l'on prouvera que l'on altère très peu la valeur de S,
en passant du premier ou du second mode au troisième, par conséquent, en passant du premier au second.
Donc, lorsque les éléments de la différence X~xQ deviennent infiniment petits, le mode de division n'a
plus sur la valeur de S qu'une influence insensible ; et, si l'on fait décroître indéfiniment les valeurs
numériques de ces éléments, en augmentant leur nombre, la valeur de S finira par être sensiblement constante,
ou, en d'autres termes, elle finira par atteindre une certaine limite qui dépendra uniquement de la forme
de la fonction/(jc), et des valeurs extrêmes jc0, X attribuées à la variable jc. Cette limite est ce qu'on appelle
une intégrale définie.
Observons maintenant que, si l'on désigne par Ax = h = dx un accroissement fini attribué à la variable jc,
les différents termes dont se compose la valeur de S, tels que les produits (jc, -jc0)/(jc0), (jc, -jc0)/(jc,), &c.
seront tous compris dans la formule générale
hf(x) = f(x) dx (8)
de laquelle on les déduira l'un après l'autre, en posant d'abord jc = jc0, h = jc, - jc0, puis jc = jc,, h = jc2 - jc,,
etc. On peut donc énoncer que la quantité S est une somme de produits semblables à l'expression (8) ; ce
qu'on exprime quelquefois à l'aide de la caractéristique ^ en écrivant
5 = = %f(x)Ax. W
Quant à l'intégrale définie vers laquelle converge la quantité S, tandis que les éléments de la différence
X-x0 deviennent infiniment petits, on est convenu de la représenter par la notation JV(jc) ou JY(x) dx,
dans laquelle la lettre J substituée à la lettre ^ indique, non plus une somme de produits semblables
à l'expression (8), mais la limite d'une somme de cette espèce. De plus, comme la valeur de l'intégrale

36
théorie abstraite de l'intégration
définie que l'on considère dépend des valeurs extrêmes jc0, X attribuées à la variable jc, on est convenu de
placer ces deux valeurs, la première au-dessous, la seconde au-dessus de la lettre /, ou de les écrire à côté
de l'intégrale, que l'on désigne en conséquence par l'une des notations
\f(x)dx, \f(x)dx * , jf(x)dx
x = X
x = x0
(10)
La première de ces notations, imaginée par M. Fourier, est la plus simple111. Dans le cas particulier où
la fonction f(x) est remplacée par une quantité constante a, on trouve, quel que soit le mode de division
de la différence X - jc0, S = a (X - x0), et l'on en conclut
x
jadx= a(X-Xo). (11)
Si, dans cette dernière formule on pose a = 1, on en tirera
x
\dx = X-xQ (12)
*()
2. Sur la notion de l'intégrale définie, et sur l'étendue dans laquelle elle est applicable : l'exposé
de Riemann en 1854. L'incertitude qui règne encore sur quelques points fondamentaux de la théorie des
intégrales définies nous oblige à placer ici quelques remarques sur la notion de l'intégrale définie, et sur
la généralité dont elle est susceptible.
Et d'abord que doit-on entendre par /(jc) dx ? Pour répondre à cette question, prenons entre a et b
^a
une série de valeurs jc,, jc2, jcr_,, rangées par ordre de grandeur, depuis a jusqu'à b, et désignons pour
abréger jc, - a par <5,, jc2 - jc, par 82, ..., b - xn _, par 8„ ; soient, en outre, e. des nombres positifs plus petits
que l'unité. Il est clair que la valeur de la somme
5 = ôlf(xl + £,5,) + ô2f(x2 + £,5,) + ... + ônf(xn_, + enôn)
dépendra du choix des intervalles 8 et des fractions £. Si elle a la propriété, de quelque manière que les 8
et les £ puissent être choisis, de s'approcher indéfiniment d'une limite fixe A, quand les 8 tendent tous
vers zéro, cette limite s'appelle la valeur de l'intégrale définie /(jc) dx.
^a
Si la somme S ne tend vers aucune limite, la notation f(x) dx ne peut avoir aucune signification. On a
Ja
cependant cherché dans plusieurs cas à conserver à ce signe une définition précise, et parmi les
généralisations de la notion d'intégrale définie il en est une qui a reçu l'assentiment de tous les géomètres. Si la
fonction f(x) devient infinie quand son argument jc s'approche d'une valeur particulière c, comprise dans
l'intervalle (a, b), alors évidemment la somme S, quel que soit le degré de petitesse attribué aux <5, peut
prendre une valeur quelconque : elle n'a donc aucune limite et le signe /(jc) dx n'aurait, d'après ce qui
■'a
précède, aucune signification ; mais, si l'expression
f ">f{x)dx+ f f(x)dx
s'approche, lorsque cc{ et 0^ deviennent infiniment petits, d'une limite fixe, c'est cette limite que l'on
désigne par | f(x)dx . D'autres extensions, dues à Cauchy, de la définition de l'intégrale définie dans le
[1. La notation de l'intégrale définie qui sera retenue figure dans [Fourier, 1822]].

notes historiques
37
cas où cette définition ne découle pas des notions fondamentales qui précèdent, peuvent être commodes
pour certaines classes de recherches, mais elles ne sont pas généralement admises, et l'arbitraire qui
préside aux définitions de Cauchy suffirait seul à les empêcher d'être universellement acceptées.
§V. Recherchons maintenant l'étendue et la limite de la définition précédente, et posons-nous cette
question : dans quels cas une fonction est-elle susceptible d'intégration ? Dans quels cas ne l'est-elle pas ?
Considérons d'abord la définition de l'intégrale dans son sens le plus étroit, c'est-à-dire supposons que
la fonction ne devienne pas infinie, et que la somme S converge, quand tous les 8 tendent vers zéro.
Désignons la plus grande oscillation de la fonction entre a et jc,, c'est-à-dire la différence entre sa plus grande
et sa plus petite valeur dans cet intervalle par D, ; de même, les plus grandes oscillations entre jc, et jc2 par
D2,..., entre jcn_, et b par Dn ; alors la somme 5,£>, + 82D2 + ... + 8lPn doit devenir infiniment petite avec
les quantités 8. Supposons que la plus grande valeur que cette somme puisse prendre, quand tous les 8 sont
plus petits que d, soit A ; A sera alors une fonction de d, diminuant et devenant infiniment petite avec d.
Maintenant, si la somme totale des intervalles pour lesquels les oscillations sont plus grandes qu'une
quantité C'est s, la contribution de ces intervalles à la somme 8lD] + 82D2 + ... + 8fin sera évidemment égale
ou supérieure à os. On aura donc
os <8XDX + 82D2 + ... + Ô„Dn < A\ d'où s < ^
^ peut d'ailleurs, si C'est fixe et donné, être rendu infiniment petit par un choix convenable de d ; il en sera
donc de même de s, et l'on peut énoncer la proposition suivante :
Pour que la somme S converge, quand tous les 8 deviennent infiniment petits, il faut non seulement que
la fonction demeure finie, mais encore que la somme totale des intervalles pour lesquels les oscillations
sont plus grandes que g, quel que soit g, puisse être rendue infiniment petite par un choix convenable de d.
Cette proposition admet une réciproque :
Si la fonction f (x) est toujours finie, et si, par le décroissement indéfini de toutes les quantités 8, la
grandeur totale s des intervalles dans lesquels les oscillations de la fonction sont plus grandes qu 'une
quantité donnée g peut toujours être rendue infiniment petite, la somme S converge quand tous les 8
tendent vers zéro.
Car ces intervalles, dans lesquels les oscillations sont plus grandes que g, apportent à la somme
5,D, + 82D2 + ... + 8nDn une contribution plus petite que s multiplié par la plus grande oscillation de la
fonction entre a et b, oscillation qui est finie par hypothèse : les autres intervalles donnent dans la somme
une partie plus petite que g(b - a) ; on peut prendre évidemment g aussi petit qu'on le veut, et, alors, par
hypothèse, on peut déterminer la grandeur des intervalles, de telle manière que s soit aussi petit qu'on le
veut.
On peut donc rendre + 82D2 + ... + 8rpn aussi petit qu'on le veut, et, par suite, renfermer la somme
S entre des limites aussi rapprochées qu'on le voudra.
Nous avons donc trouvé les conditions qui sont nécessaires et suffisantes pour que la somme S converge,
quand les intervalles étendent vers zéro, et, par suite, pour qu'il puisse être question, dans le sens restreint,
de l'intégrale de la fonction/(jc) entre les limites a et b.
Si l'on étend, comme nous l'avons indiqué plus haut, la notion d'intégrale aux cas où la fonction devient
infinie, pour que l'intégration soit possible, il faudra encore que la seconde des conditions trouvées ci-
dessus soit satisfaite ; mais à la place de la première, à savoir que la fonction demeure toujours finie, il
faudra faire intervenir la suivante : que la fonction ne devienne infinie que lorsque son argument
s'approche de certaines valeurs particulières, et que l'on obtienne une valeur limite parfaitement déterminée,
quand les limites des intégrations s'approchent indéfiniment de ces valeurs pour lesquelles la fonction
devient infinie.
[L. Laugel, traducteur français du texte que Riemann écrivit 1854, et que Dedekind fit paraître en
allemand en 1867, rajoute une note explicative à partir d'une indication manuscrite de Riemann dans le but
de compléter la démonstration de la suffisance de l'évanouissement de A avec d. Il pourrait sembler
lorsque pour deux subdivisions différentes où les intervalles 8 et 8l sont plus petits que d, et où la différence,

38
théorie abstraite de l'intégration
par suite, entre les valeurs maxima et minima de la somme 5 (limite supérieure et inférieure) que nous
désignerons pour les deux subdivisions par S' et S", est plus petite qu'une grandeur donnée £, il pourrait
sembler dis-je, que les sommes S' et S" elles-mêmes puissent différer d'une quantité finie. Pour en
reconnaître l'impossibilité, formons une troisième subdivision 8 à laquelle corresponde la somme 5 en prenant
ensemble les deux subdivisions 8 et 8\ Comme maintenant chaque élément 8* est constitué par un
nombre entier d'éléments <5, alors, lorsque l'on considère une valeur quelconque de S, la somme des termes
de S, correspondant à ces éléments <5, est située entre la plus grande et la plus petite valeur de S" ; par
conséquent, S, 5', S" ne peuvent différer entre eux au plus que de £].
3. Continu et réunion dénombrable d'intervalles : l'expression de Cantor dans un texte daté du
premier septembre 1882. Dans leurs travaux sur certaines généralisations de théorèmes du calcul intégral,
M.M. Du Bois-Reymond et Harnack emploient des systèmes de points linéaires que l'on peut renfermer
dans un nombre fini d'intervalles, en sorte que la somme de tous les intervalles est plus petite qu'une
grandeur donnée à volonté.
Pour qu'un système de points linéaire jouisse de cette propriété, il faut évidemment qu'il ne soit
condensé dans toute l'étendue d'aucun intervalle, si petit qu'il soit ; cependant cette dernière condition ne
paraît pas suffisante pour qu'un système de points soit tel que nous venons de le dire. En revanche nous
pouvons démontrer le théorème suivant1'1.
Théorème VI. Un système de points linéaire p contenu dans un intervalle («, b) étant constitué de telle
sorte que son ensemble dérivé p soit susceptible d'être dénombré, on peut toujours renfermer p dans un
nombre fini d'intervalles, la somme de ces intervalles étant aussi petite que l'on voudra.
Dans la démonstration qui va suivre nous nous servirons des théorèmes auxiliaires ci-dessous, dont le
premier exprime une propriété connue des fonctions continues, et les deux autres sont le résultat de nos
considérations précédentes.
Théorème auxiliaire I. Une fonction continue ç(x) donnée dans un intervalle (c, d) de la variable
continue jc, et ayant à ses limites des valeurs inégales (p(c) et (p(d), prend une fois au moins une valeur y
comprise entre les limites (p(c) et (p(d).
Théorème auxiliaire IL Un nombre infini d'intervalles, dans une droite infinie, extérieurs l'un à l'autre,
et ne se rencontrant tout au plus qu'à leurs limites, est toujours susceptible d'être dénombré.
Théorème auxiliaire III. Si l'on a un ensemble de grandeurs, qui est de la première puissance : wp
m2, wy,on peut, dans tout intervalle proposé, trouver une grandeur v qui ne se rencontre pas parmi
ces grandeurs.
Démonstration du théorème VI. Prenons, pour simplifier, l'intervalle («, b), qui comprend p, de sorte
que a = 0, b = 1 ; on peut facilement, par une transformation, ramener le cas général à ce cas particulier.
p se trouve donc dans l'intervalle (0,1) ; la même chose est évidemment vraie pour p et pour le système
produit par la réunion des points de p et p et que nous désignerons par q.
On a
q = mipp)
Nous désignons ensuite par r le système de points compris dans l'intervalle (0,1) et qui est constitué
par les points restants dans cet intervalle après qu'on en a enlevé le système g, en sorte que :
(0,1) = Q + i? (1)
De ce que le système p est susceptible d'être dénombré, comme on l'a supposé, on tire d'abord les
conclusions suivantes :
1. p est aussi susceptible d'être dénombré, d'après le théorème II, par conséquent il en est de même de q.
2. p et par conséquent p1 ne sont condensés dans toute l'étendue d'aucun intervalle ; car si p était
condensé dans toute l'étendue de l'intervalle (i, k)y tous les points de cet intervalle appartiendraient à p
[1. Dans un espace topologique, l'ensemble dérivé p' d'un ensemble p est l'ensemble des points d'accumulation de
p (dits points-limites chez Cantor et « limit points » dans l'ouvrage de Rudin). Un espace est parfait si p = p],

notes historiques
39
et, d'après le théorème auxiliaire III, f ne pourrait pas être dénombré. Par conséquent q n'est condensé
dans toute l'étendue d'aucun intervalle. Les valeurs des coordonnées, qui correspondent aux points du
système q, susceptible d'être dénombré, peuvent être appelées
1*1,1*2, ...,mw ... (2)
Si maintenant nous considérons le système r, on peut montrer que les valeurs des coordonnées
correspondant à ses points sont situées respectivement dans l'intérieur d'une série infinie d'intervalles :
(c],di),(c2,d2),...,(cv,dv),... (3)
extérieurs l'un à l'autre et compris dans l'intervalle (0,1). Comme les valeurs intérieures à ces intervalles
appartiennent seules a des points du système r, il résulte de la relation (1) que les limites cv et dv de ces
intervalles correspondent à des points du système q, et par conséquent se présentent dans la série (2).
En effet, soit r un point de r, les points de q ne peuvent pas se rapprocher à l'infini de r, parce
qu'autrement r serait point-limite de p et par conséquent appartiendrait à q. Il doit maintenant y avoir à gauche
de r un point c et à droite de r un point d, tels qu'aucun point de q ne se trouve dans l'intervalle (c, d) et
que par contre il y ait en dehors de cet intervalle, des points de q aussi rapprochés qu'on le voudra de c
et de d, au cas où c et d ne sont pas des points isolés de q ; mais comme chaque point-limite de q
appartient à q, c et d, même dans le dernier cas, appartiennent aussi à Q. Les intervalles en nombre infini (c, d),
ainsi obtenus, sont tous, évidemment, extérieurs l'un à l'autre et forment par conséquent, d'après le
théorème auxiliaire II, un système susceptible d'être dénombré (3), ce qu'il fallait démontrer.
Puisque nous supposons cv < dv la grandeur de l'intervalle (cu, dv) est -dv- cv. La somme de toutes ces
grandeurs d'intervalles s'appellera o, en sorte que
= o (4)
M = 1
On voit a priori que 0< 1, parce que les intervalles sont tous extérieurs l'un à l'autre et sont contenus
dans l'intervalle (0,1). Si nous pouvions prouver que s = l, notre théorème VI serait démontré, comme on
peut s'en convaincre par une considération très simple se rattachant au sens des intervalles (c„ dj.
Toute notre démonstration se réduit donc à prouver que l'hypothèse <j< 1 conduit à une contradiction.
Pour cela nous définissons pour 0 < x <1, une fonction /(jc) comme il suit : qu'on additionne les grandeurs
de tous les intervalles {cv dv), tant que ces intervalles tombent dans les limites de l'intervalle (0, jc) et qu'on
pose cette somme =/(jc). (On convient de ne prendre dans cette somme, d'un intervalle (c„ dv) qui se
trouve, en partie, en dehors de (0, jc), que la partie correspondante qui tombe dans les limites de (0, jc).
On a évidemment : /(l) = o. Si de plus on établit que /(0) = 0, il s'ensuit facilement que/(jc) est une
fonction continue de x pour 0 < jc < 1.
En effet de la définition de /(jc) il résulte immédiatement que, si jc et jc + h sont deux valeurs distinctes
de l'intervalle (0,1), on a pour des valeurs positives de h : /(jc + h) -/(jc) > 0 et < h. De là on conclut la
continuité de/(jc).
On voit alors aussitôt, en revenant à la définition de /(jc), que, si jc et jc + h, sont deux valeurs distinctes
d'un seul et même intervalle partiel (cv, dv), on a/(jc + h) -/(jc) = h par conséquent aussi \ x + h-f(x + h) =
x-f(x).
Si donc on introduit la fonction (p(x) = x -/(jc), (p(x) sera aussi une fonction continue de jc qui change
sans diminuer de 0 à 1, si jc croît de 0 à /. Ce changement se fait de telle façon que, dans les limites d'un
des intervalles partiels (c^ dv), la fonction continue <p(jc) conserve une valeur constante.
De là résulte pour la fonction (p(x) cette propriété que toutes les valeurs qu'elle prend sont épuisées par
la série de valeurs :
<P(j"0, p(M <P(jU„), ■■• (5)
En effet jc peut être égalé à une des valeurs u, et dans ce cas nous avons : (p(x) = (p(un).
Ou bien x est une valeur comprise dans un des intervalles (c^ dv) ; dans ce cas, à cause de la constance
de <p(jc) dans un de ces intervalles, nous avons : <p(jc) = (p(cn) = ç(dn). Mais maintenant, comme nous
l'avons vu plus haut, les valeurs cvet dv, appartiennent également à la série (2), on a par exemple :
cv = ux.

40
théorie abstraite de l'intégration
Par conséquent on a aussi dans ce cas : <p(x) = <p{ux).
La série (5) comprend donc toutes les valeurs que peut prendre généralement (p(x).
Le système de valeurs, que peut prendre la fonction continue (p(x), est par conséquent susceptible d'être
dénombré.
Si maintenant 0< 1, et par suite 1 - O* distinct de zéro, la fonction continue (p(x), d'après le théorème
auxiliaire I prendrait au moins une fois toute valeur y entre 0 et 1 - a. Par conséquent, dans la série (5)
qui épuise toutes les valeurs prises par la fonction (p(x), comme on vient de le montrer, on trouverait tous
les nombres possibles de l'intervalle 1 - g, ce qui est en contradiction avec le théorème auxiliaire III. Il
ne reste donc que l'hypothèse 0= 1, ce qu'il fallait démontrer.
4. Commentaire dé Cantor dans une lettre adressée à l'éditeur d'Acte mathematica (publiée en
1884). ... Quant à mon théorème, qui exprime, que les ensembles parfaits de points ont tous la même
puissance, savoir la puissance du continu, je prétends le démontrer, en me bornant d'abord aux ensembles
parfaits linéaires1, comme il suit. Soit s un ensemble parfait de points quelconque, qui n'est condensé dans
vétendue d'aucun intervalle, si petit qu'il soit ; nous admettons, que 5 est contenu dans l'intervalle (0... 1),
dont les points extrêmes 0 et 1 appartiennent à s ; il est évident que tous les autres cas, dans lesquels
l'ensemble parfait n'est condensé dans l'étendue d'aucun intervalle, peuvent par projection être réduits à
celui-ci.
Or, il existe d'après mes considérations dans acta mathematica, tome 2, page 378, un nombre infini
d'intervalles distincts, tout à fait séparés l'un de l'autre, que nous nous représentons rangés suivant leurs
grandeurs, de sorte que les intervalles plus petits viennent après les plus grands ; nous les désignons, dans
cet ordre, par :
(a]...b]),(a2...b2),...,(av...bv),...; (1)
ils sont par rapport à l'ensemble s tels que dans l'intérieur de chacun ne tombe aucun point de s, tandis
que leurs points extrêmes av et bv en concurrence avec les autres points-limites de l'ensemble de points
{av, bv } appartiennent à 5 et le déterminent ; nous désignons par g l'un quelconque de ces autres points-
limites de {av, bv } par [g] leur ensemble ; nous avons :
s = {av} + {bv} + {g}. (2)
En outre la série (1) d'intervalles est telle que l'espace entre deux d'entre eux (av...bv) et (a^^bj en
contient toujours une infinité d'autres et que de plus, (ap...bp) étant un quelconque de ces intervalles, il y
en a d'autres de la même série (1) qui se rapprochent infiniment soit du point ap, soit du point bp ; car ap
et bp, comme appartenant comme points à l'ensemble parfait s, en sont aussi des points-limites.
Cela établi, je prends un ensemble de la première puissance quelconque :
Pi,p2, ...,pw (3)
ensemble de points distincts et placés tous dans l'intervalle (0, ...1) dans toute l'étendue duquel ils sont
condensés ; seulement je suppose que ces points extrêmes 0 et 1 ne se trouvent pas entre les pv. ...
Voici maintenant ce que j'avance : L'ensemble des points [pv] et l'ensemble d'intervalles (av...bv)
peuvent être associés avec un sens unique l'un à l'autre de sorte que, (av...bv) et (au...bu) étant deux
intervalles quelconques appartenant à la série (1), puis pk^ et pk^, étant les points correspondants de la série (3),
1. M. Bendixon invité par M. Cantor à essayer de prouver ce même théorème, en a communiqué une démonstration
à la séance du séminaire de l'université de Stockholm, le 21 Novembre 1883. Cette démonstration, qui a été trouvée sans
que l'auteur ait eu connaissance des recherches que M. Cantor veut bien me permettre de publier ici, a été présentée à
l'Académie royale des sciences de Stockholm, le 12 décembre 1883. Elle se trouve dans Bihang till Svenska Vetenskap-
sakademiens Handlingar La démonstration de M. Bendixon embrasse le cas d'un ensemble parfait de n dimensions
(l'éditeur).
[La postérité a retenu sous le nom de théorème de Cantor-Bendixon le fait que tout sous-ensemble de la droite réelle
s'écrive comme réunion disjointe d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble parfait.]

notes historiques
41
on a toujours le nombre pk plus petit ou plus grand que pk selon que dans le segment (0, 1)
l'intervalle (av...bv) est placé avant l'intervalle (a^..b^ ou après lui1.
5. Sur une généralisation de l'intégrale définie. Note de M. H. Lebesgue, présentée par M. Picard
(29 avril 1901). Dans le cas des fonctions continues, il y a identité entre les notions d'intégrale et de
fonction primitive. Riemann a défini l'intégrale de certaines fonctions discontinues, mais toutes les
fonctions dérivées ne sont pas intégrables, au sens de Riemann. Le problème de la recherche des fonctions
primitives n'est donc pas résolu par l'intégration, et l'on peut désirer une définition de l'intégrale
comprenant comme cas particulier celle de Riemann et permettant de résoudre le problème des fonctions
primitives2.
Pour définir l'intégrale d'une fonction continue croissante y(x) (a <x < b), on divise l'intervalle (a, b)
en intervalles partiels et l'on fait la somme des quantités obtenues en multipliant la longueur de chaque
intervalle partiel par l'une des valeurs de y quand x est dans cet intervalle. Si x est dans l'intervalle
(û/i û, + ,), y varie entre certaines limites m,, mi+l et réciproquement si y est entre mt, mi+],x est entre a{ et
ai+,. De sorte qu'au lieu de se donner la division de la variation de x, c'est-à-dire de se donner les nombres ap
on aurait pu se donner la division de la variation de y, c'est-à-dire les nombres m.. De là deux manières
de généraliser la notion d'intégrale. On sait que la première (se donner les at ) conduit à la définition
donnée par Riemann et aux définitions des intégrales par excès et par défaut données par M. Darboux.
Voyons la seconde.
Soit la fonction y comprise entre m et M. Donnons-nous
y = m, quand x fait partie d'un ensemble E0 \ mi_]<y<mi quand x fait partie d'un ensemble E.
Nous définirons plus loin les mesures Ag, À. de ces ensembles. Considérons l'une ou l'autre des deux
sommes
si, quand l'écart maximum entre deux mi consécutifs tend vers zéro, ces sommes tendent vers une même
limite indépendante des mt choisis, cette limite sera par définition l'intégrale des y qui sera dite intégrable.
Considérons un ensemble de points de (a, b) ; on peut d'une infinité de manières enfermer ces points
dans une infinité dénombrable d'intervalles ; la limite inférieure de la somme des longueurs de ces
intervalles est la mesure de l'ensemble. Un ensemble E est dit mesurable si sa mesure augmentée de celle de
l'ensemble des points ne faisant pas partie de E donne la mesure de (û, b)[i\ Voici deux propriétés de ces
ensembles : une infinité d'ensembles mesurables £",. étant donnée, l'ensemble des points qui font partie de
l'un au moins d'entre eux est mesurable ; si les £( n'ont deux à deux aucun point commun, la mesure de
l'ensemble obtenu est la somme des mesures L'ensemble des points communs à tous les E-t est
mesurable.
Il est naturel de considérer d'abord les fonctions telles que les ensembles qui figurent dans la définition
de l'intégrale soient mesurables. On trouve que : si une fonction limitée supérieurement en valeur absolue
est telle que, quels que soient A et B, l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles onaA<y<Best
mesurable, elle est intégrable par le procédé indiqué. Une telle fonction sera dite sommable. L'intégrale d'une
fonction sommable est comprise entre l'intégrale par défaut et l'intégrale par excès. De sorte que, si une
fonction intégrable au sens de Riemann est sommable, l'intégrale est la même avec les deux définitions.
Or, toute fonction intégrable au sens de Riemann est sommable, car l'ensemble de ses points de disconti-
1. Il ne s'agit donc pas ici de la place V et [i qu'occupent ces intervalles dans la série (1).
2. Ces deux conditions imposées a priori à toute généralisation de l'intégrale sont évidemment compatibles, car toute
fonction dérivée intégrable, au sens de Riemann, a pour intégrale une de ses fonctions primitives.
[3. Si l'on ajoute à ces ensembles des ensembles de mesures nulles convenablement choisis, on a des ensembles
mesurables au sens de [Borel, 1898].]
m = m0< m, < m2< ... < mi
<M = mp\

42 théorie abstraite de l'intégration
nuité est de mesure nulle, et l'on peut démontrer que si, en faisant abstraction d'un ensemble de valeurs
de x de mesure nulle, il reste un ensemble en chaque point duquel une fonction est continue, cette fonction
est sommable. Cette propriété permet de former immédiatement des fonctions non intégrables au sens de
Riemann et cependant sommables. Soient/(x) et (p(x) deux fonctions continues, (p(x) n'étant pas toujours
nulle ; une fonction qui ne diffère de/(x) qu'aux points d'un ensemble de mesure nulle partout dense et
qui en ces points est égale à/(jc) + (p(x) est sommable sans être intégrable au sens de Riemann. Exemple :
la fonction égale à 0 si jc irrationnel, égale à 1 si jc rationnel. Le procédé de formation qui précède montre
que l'ensemble des fonctions sommables a une puissance supérieure au continu. Voici deux propriétés des
fonctions de cet ensemble.
1° Si f et (p sont sommables, f + (p etf- (p le sont et l'intégrale de/ + (p est la somme des intégrales de
/ et de (p.
2° Si une suite de fonctions sommables a une limite, c'est une fonction sommable.
L'ensemble des fonctions sommables contient évidemment y = k et y = jc ; donc, d'après 1 °, il contient
tous les polynômes et comme, d'après 2 °, il contient toutes ses limites, il contient donc toutes les fonctions
continues, toutes les limites de fonctions continues, c'est-à-dire les fonctions de première classe (voir
R. Baire, Sur les fonctions de variables réelles, Annali di Matematica pura ed appt., 31,3 (1899), 1-123),
il contient toutes celles de seconde classe, etc.
En particulier, toute fonction dérivée E, limitée supérieurement en valeur absolue, étant de première
classe, est sommable et l'on peut démontrer que son intégrale, considérée comme fonction de sa limite
supérieure, est une de ses fonctions primitives.
Voici maintenant une application géométrique : si \f\, \<p'\, \ y/\ sont limitées supérieurement, la courbe
x =/(f), y = (p (t), z = y(t) a pour longueur l'intégrale de Jf2 + (p'2 + y/2. Si cp = y/ = 0, on a la
variation totale de la fonction / à variation limitée. Dans le cas où f, q>\ y/ n'existent pas, on peut obtenir un
théorème presque identique en remplaçant les dérivées par les nombres dérivés de Dini1.
[1. Le nombre dérivé de Dini supérieur à droite de / en x est défini par lim sup . Il y a donc quatre
nombres possibles, qui furent introduits par Dini en 1892.] x':~* *'x' :>x '

CHAPITRE 2
MESURES POSITIVES DE BOREL
ESPACES VECTORIELS
2.1. Définition. — Un espace vectoriel complexe (ou espace vectoriel sur le corps des
nombres complexes) est un ensemble V dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux
opérations, Y addition et la multiplication par un scalaire, lesquelles vérifient les propriétés
algébriques familières :
À chaque couple de vecteurs jc et y, on fait correspondre un vecteur jc + y, de sorte que
x + y = y + xet que x + (y + z) = (x + y) + zV contient un unique vecteur 0 (le vecteur nul ou
encore Y origine de V) tel que jc + 0 = jc pour tout élément jc dans V ; et à chaque jc e V
correspond un unique vecteur -jc tel que jc + (-jc) = 0.
À chaque couple (a, jc) où jc est un vecteur de V et a un scalaire (dans ce contexte un scalaire
signifie un nombre complexe), on associe un vecteur axe V de telle sorte que 1 jc = jc,
a(px) = (ap)x et, de plus, les deux lois distribuaves
a(x + y) = ax + ay, (a + P)x = ax + px 0)
sont satisfaites.
Une transformation linéaire (ou opérateur linéaire) d'un espace vectoriel V dans un espace
vectoriel Vl est une application A de Vdans V,, satisfaisant :
A(ax + py) = aA(x) + PA(y) (2)
pour tous jc et y appartenant à V et pour tous scalaires a et p. Dans le cas particulier où V, est
le corps des scalaires, c'est-à-dire le plus simple des espaces vectoriels non réduits à {0}, la
transformation linéaire A prend le nom de forme linéaire. Une forme linéaire est donc une
fonction, définie sur V et à valeurs complexes, qui vérifie (2).
Lorsque A est linéaire, on écrit souvent Ajc, en place de A (jc).
Naturellement, les définitions précédentes peuvent s'énoncer en prenant un corps quelconque
au lieu du corps des complexes. Sauf mention explicite d'une situation autre, tous les espaces
vectoriels intervenant dans ce livre seront des espaces vectoriels complexes. Il y a cependant
une exception notable : les espaces euclidiens /?* sont des espaces vectoriels sur le corps des
nombres réels.
2.2. L'intégrale comme forme linéaire. — L'Analyse fourmille d'espaces vectoriels et de
transformations linéaires, et il y a une relation particulièrement étroite entre l'intégration d'une
part, et les formes linéaires de l'autre.

44
mesures positives de borel
Par exemple, le théorème 1.32 établit que, pour toute mesure positive //, Ll(ji) est un espace
vectoriel et l'application.
f->jfdfi (1)
X
est une forme linéaire sur V(ji). De même, si g est une fonction mesurable et bornée arbitraire,
l'application
f->\fgdfi (2)
x
est une forme linéaire sur V{ji) ; qui plus est, nous montrerons au chapitre 6 qu'en un sens,
seules les formes linéaires sur V(p) définies par (2) sont intéressantes.
Un autre exemple est l'ensemble C de toutes les fonctions continues et à valeurs complexes
définies sur l'intervalle unité /= [0, 1]. La somme de deux fonctions continues est continue, et
de même est continue la fonction produit d'une fonction continue par un scalaire. C est donc
un espace vectoriel, et en posant
Af = (f(x)dfi (/g C), (3)
avec l'intégrale ordinaire de Riemann, on constate que A est une forme linéaire sur C. Mais
A possède une remarquable propriété supplémentaire : c'est une forme linéaire positive. Ceci
qui signifie Af> 0 dès que/> 0.
Construire la mesure de Lebesgue est une des tâches qu'il nous reste encore à accomplir.
Cette construction peut être fondée sur la forme linéaire (3), à partir de l'observation suivante.
Soit ]a, b[ c / un intervalle ouvert. Considérons la classe de toutes les fonctions f e C telles
que 0 </< 1 sur / et/(*) = 0 pour tout x n'appartenant pas à l'intervalle ]a, b[. Nous avons
Af<b-a pour toute fonction / considérée, et on peut même choisir / de sorte que Af soit
aussi voisin de b-a qu'on le désire. Ainsi, la longueur de l'intervalle ]a, b[, c'est-à-dire sa
mesure, est intimement liée aux valeurs de la forme A.
Prise d'un point de vue plus général, l'observation précédente, conduit au théorème
particulièrement important et remarquable de F. Riesz.
A chaque forme linéaire et positive A sur C est associée une mesure de Borel fi positive et
finie sur I de sorte que
Af = \fdn (/eC). (4)
(La réciproque de ce théorème est évidente : toute mesure de Borel ju positive et finie sur /
définit selon (4) une forme linéaire positive sur C.)
Naturellement, on a intérêt à remplacer le segment / par R\ Nous pourrons le faire en nous
restreignant aux fonctions continues sur R1 qui s'annulent en dehors d'un segment borné. (Ces
fonctions étant en particulier intégrables au sens de Riemann). Ensuite, compte tenu du rôle des
fonctions de plusieurs variables en analyse, nous passerons de Z?1 à Rn. Il se trouve que la
démonstration du théorème de Riesz reste valide, sans changement notable. De plus, il se trouve
que les propriétés euclidiennes de /P1 (existence de coordonnées, relations d'orthogonalité, etc)
ne jouent aucun rôle dans la démonstration. Elles n'apparaissent que si l'on y pense trop. Ce
que la démonstration utilise essentiellement sont certaines propriétés topologiques de R", ce qui
est d'autant plus naturel que nous considérons des fonctions continues. La propriété cruciale est
celle de compacité locale : tout point de Rn possède un voisinage dont la fermeture est
compacte.

préliminaires topologiques
45
Par conséquent, nous établirons le théorème de Riesz sous une forme très générale
(théorème 2.14). L'existence d'une mesure de Lebesgue apparaîtra comme un corollaire. Les
lecteurs qui désireraient étudier les cas plus concrets peuvent survoler la section suivante
concernant les préliminaires topologiques et notamment le lemme d'Urysohn qui en est le
résultat le plus intéressant (cf. exercice n° 3).
Sans perdre aucune des idées principales, ils remplaceront alors les espaces localement
compacts séparés par des espaces localement compacts métriques, voire par des espaces
euclidiens.
On se doit d'ajouter que des situations se présentent, notamment en théorie des probabilités,
pour lesquelles des mesures apparaissent sur des espaces dénués de topologie, ou encore sur
des espaces topologiques non localement compacts. Ainsi en est-il de la mesure dite de Wiener,
qui attribue une valeur numérique à certains sous-ensembles de fonctions continues. C'est
même un des outils de base dans l'étude du mouvement brownien. Mais de tels sujets ne seront
pas discutés dans le présent livre.
PRÉLIMINAIRES TOPOLOGIQUES
2.3. Définitions. — Soit X un espace topologique, tel que défini à la section 1.2.
(a) Un sous-ensemble E c X est fermé si son complémentaire E° est ouvert. (Ainsi, 0 et X
sont des fermés, les réunions finies de fermés sont des fermés, les intersections quelconques de
fermés sont des fermés).
(b) La fermeture Ë d'un sous-ensemble E cz X est le plus petit ensemble fermé de X
contenant E. (Quant à l'existence de cette fermeture, le raisonnement suivant suffit : si £2 désigne
la collection de tous les fermés de X contenant E, on constate que 12 n'est pas vide puisque
X e Q. La fermeture Ë est alors l'intersection de tous les éléments de Q).
(c) Un sous-ensemble K c X est compact si tout recouvrement ouvert de K contient un sous-
recouvrement fini. De façon explicite, soit [Va] une famille d'ensembles ouverts dont la
réunion contient K. Il existe une sous-collection finie de {Va} dont l'union contient encore K.
Si X lui-même est compact, on dit que X est un espace compact1
(d) Un voisinage d'un point p g X est un sous-ensemble ouvert de X qui contient p. (L'usage
de ce terme n'est pas tout à fait fixé : on utilise quelquefois l'expression "X voisinage de p"
pour désigner tout ensemble contenant un ouvert qui contient p.
(e) X est un espace séparé (ou de Hausdorff) lorsque l'on a la propriété suivante : Pour deux
points p g X, q e X et p * q, il existe un voisinage U de p et un voisinage V de q tel que
UnV = 0.
(f) X est localement compact si tout point de X possède un voisinage dont la fermeture est
compacte.
Naturellement, tout espace compact est localement compact.
Rappelons le théorème de Heine — Borel : les sous-ensembles compacts d'un espace
euclidien Rn sont précisément les sous-ensembles bornés et fermés ([Rudin, 1976],t théorème 2.41).
Il s'ensuit que Rn est un espace localement compact séparé. De même, tout espace métrique est
un espace séparé.
1. La tradition française appelle « espace compact » ce qui est appelé plus loin « espace compact de Hausdorff »
(N.d.t.).

46
mesures positives de borel
2.4. Théorème
Soit K un sous-espace compact et F un sous-ensemble fermé d'un espace topologique X. Si
F a K, F est également compact.
Démonstration. — Soit {Va} un recouvrement ouvert de F et posons W=FC. Puisque
kjv»
recouvre X, il existe une famille finie { Va } de sorte que
Donc FcVaiuVv..uVa;
Corollaire. — Si A a B et si la fermeture de B est compacte, il en est de même pour A.
2.5. Théorème
Soit X un espace séparé et K un sous-espace compact de X. Soit p e Kc. Il existe des
ensembles ouverts U et W tels que pe U, KczW et U nW = 0.
Démonstration. — Si qe K, comme X est séparé, il existe des ouverts disjoints Uq et Vq, de
sorte que p e Uqt q e Vq . Comme K est compact, il existe un nombre fini de points
qu ... qn g K tels que
n:cv(|u...uvv
Le théorème est démontré en prenant pour U et W les ouverts définis par,
U = c/9in...nL/v et W = Vq] u ... uV,.
Corollaires. — (a) Les sous-ensembles compacts d'un espace séparé sont fermés.
(b) Si F est fermé et si K est un espace compact dans un espace séparé, F n K est alors
compact.
Le corollaire (b) provient de (a) et du théorème 2.4.
2.6. Théorème
Soif {Ka} une famille de sous-ensembles compacts dans un espace séparé. Si O^a = 0.
il existe une sous-collection finie de [Ka] dont l'intersection est vide. a
Démonstration. — Définissons Ua - K„. Fixons un compact de {Ka}. Puisqu'il n'existe
aucun point de Kx appartenant à tout {Ua} est un recouvrement ouvert de Kv Par suite, pour
une certaine sous-collection finie { Ua } on a Kx c Ua u u Ua . Ce qui implique
kxnkax n ... n kun = 0.
2.7. Théorème
Soit U un ensemble ouvert dans un espace localement compact séparé X et K, K d U, un
ensemble compact. Il existe un ensemble ouvert V, dont la fermeture est compacte, tel que
KœVczVœU.

préliminaires topologiques
47
Démonstration. — Comme tout point de K possède un voisinage de fermeture compacte et
comme K est recouvert par une famille finie de tels voisinages, K est inclus dans un ensemble
ouvert G dont la fermeture est compacte. Si donc U = X, il suffit de prendre V = G.
Sinon, soit C le complémentaire de U dans X. Par le théorème 2.5, on dispose pour chaque
pe C d'un ensemble ouvert Wp tel que KczWp et p e Wp . Par suite {CnGn Wp} est une
collection de sous-ensembles compacts, indexés par p parcourant C et dont l'intersection est
vide. Le théorème 2.6 assure l'existence de n points pu p2, ... pn e C tels que
CnGnWP]n ...nWPn = 0.
L'ensemble défini par
V = GnWD n...nWD
possède les propriétés requises puisque
Vc:GnWP]n...nWPn.
2.8. Définition. — Soit / une fonction réelle (ou à valeurs dans la droite réelle achevée) définie
sur un espace topologique. Si l'ensemble
{jc : /(jc) > a}
est un sous-ensemble ouvert pour tout réel a, on dit que / est semi-continue inférieurement
(s.c.i.). Si l'ensemble
{x :f(x)<a}
est ouvert pour tout réel a, on dit que / est semi-continue supérieurement (s.c.s.).
Une fonction réelle est continue si et seulement si elle est simultanément semi-continue
inférieurement et supérieurement.
Les fonctions caractéristiques fournissent les exemples les plus simples de semi-continuité.
(a) La fonction caractéristique d'un ensemble ouvert est semi-continue inférieurement.
(b) La fonction caractéristique d'un ensemble fermé est semi-continue supérieurement.
La propriété suivante est conséquence presque immédiate des définitions.
(c) La borne supérieure d'une famille quelconque de fonctions semi-continues inférieurement
est elle-même semi-continue inférieurement. La borne inférieure d'une famille quelconque de
fonctions semi-continues supérieurement est elle-même semi-continue supérieurement.
2.9. Définition. — Le support d'une fonction / à valeurs complexes et définie sur un espace
topologique X, est la fermeture de l'ensemble
{jc :/(jc)*0}.
On note par Ct. (X) la famille de toutes les fonctions continues sur X dont le support est compact.
Il faut noter que CC(X) est un espace vectoriel. Ceci provient de deux faits :
(a) Le support de / + g est inclus dans la réunion du support de / et de celui de g. En outre,
une réunion finie d'ensembles compacts est également compacte.
(b) La somme de deux fonctions continues, le produit d'une fonction continue par un scalaire,
sont des fonctions continues.
(L'assertion et la démonstration du théorème 1.8 demeurent exactes si l'on remplace les mots
« fonction mesurable » par « fonction continue », « espace mesurable » par « espace topologique ».

48
mesures positives de borel
Il suffit de prendre &(s, t) = s + / ou &(s, t) = st pour prouver que la somme et le produit
de fonctions continues sont des fonctions continues.)
2.10. Théorème
Soient X et Y deux espaces topologiques et soitf: X —» Y une fonction continue. Si K est un
sous-ensemble compact de X, f(K) est compact.
Démonstration. — Si {Va} est un recouvrement ouvert def(K), {/^(VJ) réalise un
recouvrement ouvert de K et donc il existe ax, a^,an de sorte que K cz f~\va ) u ... u f~\va ).
Par suite /( K) c VBj u ... u VQn.
Corollaire. — L'image de toute fonction /g Cc(X) est un sous-ensemble compact du plan
complexe.
De fait, si K est le support de / e Cc (X), on a toujours f(X) c f(K) u {0} . Si X n'est pas
compact, alors 0 g f(X) ; mais il se peut que 0 n'appartienne pas à/(/Q comme on peut le voir
sur des exemples faciles.
2.11. Notation. — Dans ce chapitre, on fera usage des conventions suivantes. La notation
K<f (D
signifie que K est un sous-ensemble compact, que / e Cc (X), que 0 <fix) < 1 pour tout jc g X
et que/(jc) = 1 pour tout jc dans K.
La notation
f<V (2)
signifie que V est ouvert, / appartient à Cc (X), 0 </< 1 et enfin que le support de / est inclus
dans V.
La notation
K<f<V (3)
signifie que (1) et (2) ont lieu simultanément.
2.12. Lemme d'Urysohn. — Soit X un espace séparé localement compact, V un ouvert dans
X et K un ensemble compact inclus dans V. Il existe / g Cc (X) telle que
K<f<V d)
Exprimé en termes de fonctions caractéristiques, ce lemme atteste l'existence d'une fonction
continue f satisfaisant %K<f<xw. Bien sûr, il est facile de trouver des fonctions
semi-continues satisfaisant ces deux inégalités : il suffit de choisir %K ou %v.
Démonstration. — Posons r, = 0, r2 = 1 et que r3, r4, ... réalise une numérotation des
nombres rationnels de ]0, 1[. Grâce au théorème 2.7, on construit des ouverts V0, V,, tels que
V0 soit compact et pour lesquels
K c V, c V, <z V0 c V0 c V. (2)
Prenons n > 2 et supposons que Vr9 VFn ont été choisis de sorte que pour r{< rj9 on ait
Vr. c Vr.. Parmi les nombres r,, r2, r„, il y en a un, disons r,, qui est le plus grand parmi

préliminaires topologiques
49
ceux inférieurs à rn +Il en existe un autre, disons rp qui est le plus petit parmi ceux supérieurs
àrn+1. Utilisant à nouveau le théorème 2.7, on détermine Vr de sorte que
Ce processus peut être poursuivi et donne une collection {Vr] d'ouverts, un ouvert pour chaque
nombre rationnel de [0, 1], et ayant les propriétés suivantes : K a Vu Vq <z V ; chaque Vr est
compact et
s > r implique Vs cz Vr. (3)
Définissons
Jr si x e Vr, Jl si xe V5,
fr(x) = g,(x) = (4)
[0 ailleurs, [s ailleurs,
et
/ = sup/r, g = infg5. (5)
r s
Des remarques suivant la définition 2.8, on déduit que / est semi-continue inférieurement et
que g est semi-continue supérieurement. Il est clair que 0 </< 1 et que f(x) = 1 sur K tandis
que le support de / est inclus dans Vo- La démonstration est donc acquise si l'on montre que
/=*■
L'inégalité fr{x) > gs(x) n'est possible que pour r>s, xe Vr et x £ V5. Mais r > s implique
Vr c Vs et donc/, < gs pour tous r et s, de sorte que/ < g.
Supposons que/(x) <g(x) pour un certain x. On trouve alors des nombres rationnels r et s
de sorte que /(jc) < r < s < g (jc). Comme /(jc) < r, on déduit jc é Vr et comme g (x) > s, on
déduit xe Vs. L'implication (3) fournit une contradiction, et donc/=g.
2.13. Théorème
Soient Vv V2, Vn des sous-ensembles ouverts d'un espace localement compact séparé X et
K un sous-espace compact tel que
// existe des fonctions hi < Vi (i = 1, 2, n) telles que
h{{x) + ...+hn{x) = 1 (jcg K). (1)
C'est la relation (1) qui donne à la collection [hv h2,... hn) le nom de partition de l'unité de K,
subordonnée au recouvrement {V,, V2, ... V,,}.
Démonstration. — Grâce au théorème 2.7, tout xe K possède un voisinage Wx de fermeture
compacte : Wx cz V, pour un certain indice i, lequel dépend de jc. On trouve donc n points
jcp jc„ tels que WX[ u ... u WXn z> K. Si 1 < i < ny soit Hi la réunion des WXj qui sont inclus
dans V.. Grâce au lemme d'Urysohn, on construit des fonctions g,, telles que Hi < gf < V7..
Définissons alors
h2 = (1 -g\)g2
(2)
K = (i-g,)(i-s2).»(i-*-■)*..

50
mesures positives de borel
Il vient h{ < V,. Par récurrence, on vérifie aisément que
h]+h2+...+hn = l-(\-gl)(\-g2)...(l-gn). (3)
Comme K c //, u ... u H„, au moins une fonction gt satisfait g,(jc) = 1 en chacun des points
x de Par suite, (3) montre que (1) a bien lieu.
THÉORÈME DE REPRÉSENTATION DE RIESZ
2.14. Théorème
Soit X un espace séparé localement compact et soit A une forme linéaire positive sur CC(X).
Il existe une G-algèbre cYïlsur X, laquelle contient tous les boréliens de X et il existe une unique
mesure positive fl sur Ifl, qui représente A en ce sens que
(a) Af = jfdfi,
X
pour toute fonction f e CC(X).
En outre, cette mesure ji possède les propriétés supplémentaires
(b) fi (K) < oo pour tout compact K cz X.
(c) Pour tout Ee TYl, on a
H(E) = inf {//(V) :£cz V, V ouvert}.
(d) La relation
p{E) = sup {JJ.(K):K c E, K compact}
a lieu pour tout ouvert E et pour tout E e cYrl tel que jl (E) < oo.
(e) Si Ee cm, AœE et fi(E) = 0, alors A e Tri.
Par souci de clarification, il nous faut être plus explicite sur la signification de l'adjectif
« positive » qualifiant la forme A dans l'hypothèse. On suppose que A est une forme linéaire
sur l'espace vectoriel complexe Cc (X), et on ajoute comme propriété requise que Af soit un
nombre réel non négatif pour toute fonction / dont l'image est constituée de nombres réels non
négatifs ; en bref, si f(x) c [0, ~[, Af e [0, oo[.
Naturellement, c'est la propriété (a) qui présente le plus d'intérêt. Après avoir défini cïïl et p,
les propriétés (b), (c) et (d) seront établies au cours de la démonstration prouvant que West une
a-algèbre et que \i est dénombrablement additive. Nous verrons plus tard (cf. théorème 2.18)
que pour les espaces X « raisonnables », toute mesure de Borel satisfaisant (b) satisfait aussi (c)
et (d) et même que (d) a lieu pour tout Ee °ÏÏl. La dernière propriété (e) prouve simplement
que (X, Tri, jj) est un espace mesuré complet au sens du théorème 1.36.
Tout au long de la démonstration, la lettre K sera utilisée pour désigner un sous-espace
compact de X et V désignera un ouvert de X.
Commençons par établir l'unicité de \1. Si cette dernière satisfait (c) et (d), il est clair que p
est déterminée sur tout 9% par ses valeurs sur les ensembles compacts. Il suffit donc de prouver
jUj (tf) = ^ (K) pour tout K dès que ju, et \x\ sont des mesures satisfaisant les propriétés décrites
par le théorème. Fixons K et e>0. Par (b) et (c), on dispose d'un ouvert V z> K tel que
^(V) < ftffl + £. Par le lemme d'Urysohn, il existe / telle que K <f< V. Donc
M>(/0 = \%Kdpx<\fdiix = Af = \fdfi2
XX X

théorème de représentation de riesz
51
<JXv dp2 = p2{V)<p2(K) + e.
x
D'où //, (K) <fÀ2(K). Par symétrie des rôles de ju, et de fa, l'inégalité inverse s'en déduit et
l'unicité de \i est bien acquise.
Remarquons incidemment que le calcul effectué montre que (a) implique (b).
Construction de jl et de TYL
Pour tout ouvert V de X, définissons
H(V) = sup{A(/:/< V)}. (1)
Si V, c V2, puisqu'on prend une borne supérieure il est clair que (1) implique jU(V,) < jU(V2).
Donc pour un ouvert E de X, on a
li(E) = inf{/2(V):£cV, V ouvert}. (2)
Il est donc cohérent de définir fi (E) par la relation (2) cette fois pour tout EczX.
Bien que ji{E) vienne d'être défini pour tout sous-ensemble E c X, Il convient de remarquer
que la dénombrable additivité de \i ne sera prouvée que sur une a-algèbre particulière Tri sur X.
Soit TYlF la classe de tous les EczX qui satisfont aux deux conditions suivantes
ju(£)<°°,
et
fi(E) = sup{p(K) \KczE,K compact}. (3)
Enfin, soit Tri la classe de tous les EczX tels que E n K e TYlF pour tout compact K.
Démonstration assurant que jl et Tri ont les propriétés requises.
Il est évident que jj, est monotone, c'est-à-dire que ji(A)<ji{B) dès que A c B ; aussi
ju(£) = 0 implique Ee crflF et donc EeTYl. Par suite (e) est bien vérifiée. Par définition, il
en est de même de (c).
Puisque la démonstration des autres assertions est plutôt longue, il est avisé de la diviser en
plusieurs étapes.
Observons que la positivité de A implique la monotonie de A \f<g implique Af< Ag. Il
est clair en effet que Ag = Af+ A(g -f)ttg -f> 0. Cette monotonie sera utilisée à l'étape 2
et à l'étape 10.
lre étape. — Si E]t E2, ... sont des sous-ensembles arbitraires de X, on a
//u£,]<Xm(£,). (4)
Démonstration. — Montrons d'abord que
/z(V1uV2)<itx(VI)+i"(V2), (5)
pour deux ouverts V, et V2. Choisissons g< V, u V2- Grâce au théorème 2.13, existent des
fonctions hx et h2 telles que hi < Vi et hx (x) + h2(x) = 1 pour tout x appartenant au support de
g. De là hg < Vi et g = hlg + h2g. Par suite
Ag = A{hxg) + A(h2g)<p{Vx) + il(V2). (6)
Mais la relation (6) ayant lieu pour tout g <V, u V2, on en déduit (5).

52
mesures positives de borel
Si ji (£,) = oo pour un / au moins dans (4), cette dernière relation est triviale. Supposons donc
que pour tout /, ji (Et) < «>. Choisissons £ > 0. Grâce à (2), il existe des ouverts V, z> £, tels que
/i(V/)</x(£,) + 2-,e (i= 1,2,3,...).
Définissons V = \JVt et choisissons/< V. Comme / a un support compact, on voit que pour
i = I
un certain entier n /<V,u...uVw . Par récurrence appliquée à (5), on obtient donc
y\/<ju(V1u...u Vn)<jii(Vi)+...+p(Vn)<Jàp(Ei) + £.
Puisque cette inégalité est vraie pour tout/< Vet comme u £; cz V, il s'ensuit
fi(CjE]<p(V)<^p(Ei) + £i
ce qui établit (4) car £ est arbitraire.
2e étape. — Tout compact de X appartient à cïïlF et
li{K) = inf{Af(:K< /}.) (7)
Ce qui implique l'assertion (b) du théorème.
Démonstration. — Si K </, et 0 < a< 1, on définit Va = {x : f(x)> a}. Alors K c Va et
ag </dès que g < Va. Par suite
H(K)£fi(Va) = sup{Ag:g< Va}<a]A(f).
Si l'on fait tendre a vers 1, on peut conclure
li{K)<Af. (8)
Ainsi fi (K) < ©o. Puisque K satisfait évidemment (3), on déduit K g cïfiF.
Pour tout £> 0, il existe un ouvert V Z) K et /i(V) < + £• Le lemme d'Urysohn pourvoit
/tel que </< V. Ainsi
A/<^(V)<A*(/0 + £,
ce qui, comparé à (8), fournit (7).
3e étape. — Tout ensemble ouvert vérifie (3). Par suite, "rrlF contient tout ouvert V de X tel que
H(V) < oo.
Démonstration. — Pour un ouvert V de X, soit a un nombre réel tel que a<fi(V). Il existe
une fonction f< V telle que a < Af. Soit W un ouvert quelconque qui contient le support K de
la fonction /. On a aussi/< Wet donc Af < fÀ(W). Ainsi Af <jj(K). Nous avons ainsi exhibé
un compact K cz V tel que a < fi (K). De sorte que (3) a bien lieu pour V.
4e étape. — Soit E = {JE; où Ev E2, ... sont des ensembles deux à deux disjoints de c)flF. On a
H(E) = 5>(£/>- (9)
i = 1
De plus, si fl(E) < E appartient également à cYllF.

théorème de représentation de riesz
53
Démonstration. — Montrons d'abord que, pour des compacts disjoints K2, on dispose de
H(KtuK2) = p(Kx)+p(K2). (10)
Choisissons e>0. Le lemme d'Urysohn pourvoit / g Cc(X) telle que/(x) = 1 sur Kx,f(x) = 0
sur K2 et 0 </< 1. La deuxième étape établit l'existence d'une fonction g telle que
KxKjK2<g et Ag<fl(Kx u K2) + £.
On note que K] <fg et K2 < (1 -f)g. La linéarité de A permet de déduire de (8) que
H(K,) + ii{K2)<A{fg) + A{g-fg) = Ag<n(KxvK2) + £.
Comme e fut choisi arbitraire, (10) provient de la première étape.
Lorsque //(£) = «>, (9) provient de la première étape. Nous supposerons alors ju(£)<<*> et
choisissons £ > 0. Puisque Et g , il existe des compacts Hi tels que //, c £, et pour
lesquels
fi(Ht) > //(£,) - 2_/e (i = 1, 2, 3, ...). (11)
Définissant Kn = Hx u ... u Hn et appliquant une récurrence sur (10), on obtient
ME)>n(K„) = 5>(tf,)>5>(£,)-£- (12)
l = ] » = l
Puisque cette relation (12) vaut pour tout n et tout e> 0, le membre de gauche de (9) ne peut
être plus petit que celui de droite. Par suite (9) provient de la lre étape.
Mais si ji (£) < oo et e > 0, la relation (9) indique que pour un certain entier N
N
/i(£)<XM£,) + e. (13)
i = 1
Grâce à (12), //(£) < fi(KN) + 2e et ainsi E satisfait (3), donc E g IfYlp.
5e Étape. — 5/ ii g cïrlF et si £ > 0, il existe un compact K et un ouvert V tels que K c E cz V
etjl{V-K)<£.
Démonstration. — Nos définitions établissent l'existence de K c E et V z) E tels que
^(V)-!<//(£) <^(ff) + !-
Puisque V-tf est un ouvert, c'est un élément de Trtf. grâce à la troisième étape. L'étape 4,
quant à elle, fournit
fi(K) + n(V-K) = iHV)<fi{K) + e.
6e étape. — Si A g çÏYlF et Be TrtF, A-B, Au B et A n B appartiennent aussi à °WlF.
Démonstration. — Soit e > 0. Par la cinquième étape, il existe des ensembles K{ et V. tels que
Kx cz A cz V,, K2 cz B c V2 et ji (Vt - Kt) < e, pour i = 1, 2. Comme
A - B cz V, - K2 cz (V, - Kx) u (JC, - V2) u ( V2 - tf2),
la première étape fournit

54
mesures positives de borel
fi(A-B)£e+ii(Kl-V2) + e. (14)
Parce que Kx - V2 est un sous-ensemble compact de A -B, l'inégalité (14) indique que A - B
satisfait (3) et donc que A - B e TYlF.
Puisque A u B = (A - B) u B, on déduit de la quatrième étape que A u B e TYlF. Puisque
Ar\ B = A- (A- B), on déduit aussi AnBe TYlF.
7e Étape. — TYl est une a-algèbre sur X qui contient tous les boréliens.
Démonstration. — Soit K est un espace compact quelconque dans X.
Si A g Tri, de Ac n K = K- (A n K) on déduit que Ac n K est différence de deux
éléments de TYlF. Par suite Ac n K g TYlF et on peut conclure de A g TYl que Ac g TH.
Supposons ensuite que A = A,, où pour chaque i, A, g TYl. Définissons B} = A, n K, et
z = i
Bn = (AHnK)-(Blu...vBH_ï) (#1 = 2,3,4,...). (15)
Les {Bn} forment une suite d'éléments disjoints de TYlF grâce à la sixième étape et
AnK = l^J Bn. De la quatrième étape, on déduit que A n g Wf . Donc A g W.
n = 1
Finalement, si C est un fermé, l'ensemble C n ^ est compact et donc C nK g Wf . Par suite
Cg W. En particulier, Xe TH.
Nous avons donc démontré que TYl est une a-algèbre ; elle contient tous les fermés dans X.
Cette a-algèbre contient donc tous les boréliens dans X.
8e étape. — TYlF est précisément constituée des ensembles Ee TYl pour lesquels ju(E) < oo.
Ce résultat implique l'assertion (d) du théorème.
Démonstration. — Si £ g TYlF, les étapes 2 et 6 impliquent que E n K e TYlF pour tout
compact K, et donc E e TYl.
Réciproquement, soit E e TYl et ji (E) < oo. Choisissons £ > 0. Il existe un ouvert V z> E tel
que fi(V)<oom Les étapes 3 et 5 montrent qu'il existe un compact K cz V tel que p{V- K) < £.
Puisque E r\K e TYlF, il existe un compact H cz E n K tel que
H(En K)</i(H) + e.
Puisque E cz(E n K) u (V- K), on déduit que
/i(£) < /i(£ n K) + fi( V - K) < fi(H) + 2e,
ce qui montre que E e TYlF.
9e étape. — jU est une mesure sur TYl.
Démonstration. — Que ji soit dénombrablement additive sur TYl découle immédiatement des
étapes 4 et 8.
10e étape. — Pour tout f e CC(X) ; on a Af = ^fdfi.
x

théorème de représentation de riesz
55
Ce qui prouve (a), et termine la démonstration du théorème.
Démonstration. — Il suffit bien sûr de démontrer l'égalité intégrale pour les fonctions réelles /.
Il suffit même pour toute fonction / réelle de CC(X) de démontrer Y inégalité
Af*[fdV. (16)
En effet, une fois (16) acquise, la linéarité de A montre que
-Af = A(-f) <[(-/) dfi = -[ fd/i,
Cette nouvelle inégalité jointe à l'inégalité (16) montre que celle-ci est en fait une égalité.
Soit K le support d'une fonction réelle / de Cc (X) et soit [a, b] un segment contenant l'image
de / (cf. le Corollaire du théorème 2.10). Choisissons e> 0 et pour i = 1,2, n, choisissons
y. de sorte que yi - y,._ x < e et
y0<a< v, < ... <y„ = b. (17)
Définissons
Ei = {x: yi-l<f(x)<yi}nK (i = 1 n). (18)
Puisque / est continue, elle est également mesurable au sens de Borel et les Et sont donc des
boréliens disjoints dont la réunion est K. Il existe des ouverts V, z> Et tels que
p(Vi)<p(Ei) + ^ (ï=l,...,n), (19)
et pour lesquels/(x) <yi + £ pour tout x dans Vr Le théorème 2.13 fournit des fonctions hi < V.
n n
telles que ^ ht = 1 sur K. Par suite, / = ^ hj et la deuxième étape prouve que
i = 1 / = 1
( " \ «
p(K)<A 5> = 5>(/i,).
\i=i J i = i
Puisque hj< (y, + £)h{, et que yt-£< f(x) sur on a,
A/ = ^A(hlf)^Jé(yi^e)Aht
n n
= ^\a\+yl + e)Ah,-\a\JtAhl
i = 1 i = 1
n
< X(M+>>, + e)^(£,.) + ^-M|i(A-)
< X - «)A*(£/) + 2en(K) + - Y (\a\ + y, + e)
i = ] i=l
= jfdn + £[2ti(K) + \a\+b + E].
Puisque £ est arbitraire, la relation (16) est acquise et avec elle se termine la démonstration
du théorème.

56
mesures positives de borel
PROPRIÉTÉS DE RÉGULARITÉ DES MESURES DE BOREL
2.15. Définition. — Une mesure fi définie sur la a-algèbre de tous les boréliens dans un espace
séparé localement compact est dite mesure borélienne sur X. Si fi est positive, on dit que le
borélien EczX, est extérieurement régulier ou intérieurement régulier selon qu'il possède
respectivement les propriétés (c) ou (d) du théorème 2.14. Si tout borélien dans X est à la fois
extérieurement et intérieurement régulier, on dit que fi est régulière.
Dans notre démonstration du théorème de Riesz, la régularité extérieure de tout ensemble E
provient de la construction même. La régularité intérieure n'est cependant démontrée que pour les
ouverts, et pour ceux des Ee Tri tels que fi{E)< «>. Il se trouve que ce défaut est dans la nature
des choses. On ne peut prouver la régularité de fi sous les seules hypothèses du théorème 2.14 :
un exemple est décrit à l'exercice 17.
Toutefois, un léger renforcement des hypothèses va nous donner une mesure régulière comme
cela est montré au théorème 2.17. Si nous spécialisons un peu plus, le théorème 2.18 fait
disparaître tous ces problèmes de régularité.
2.16. Définition. — On dit qu'un sous-ensemble E d'un espace topologique est g-compact si E
est réunion dénombrable de sous-ensembles compacts.
Un sous-ensemble E dans un espace mesuré, (pour une mesure fi), est dit de mesure g-finie,
si E est réunion dénombrable d'ensembles E( tels que fi(E) < oo.
Par exemple, dans la situation du théorème 2.14, tout ensemble a-compact est de mesure a-finie.
Il est également facile de voir que, si £ g Tri et si E est de mesure a-finie, E est intérieurement
régulier.
2.17. Théorème
Soit X un espace séparé, localement compact et g-compact. Gardons pour cYYl et fi les
hypothèses du théorème 2.14. Dans ce cas, Tri et fi ont les propriétés suivantes :
(a) Si Ee TYl et £ > 0, il existe un fermé F et un ouvert V tels que F cz E cz V etfi(V~F)<£.
(b) fi est une mesure borélienne régulière sur X.
(c) Si Ee TYl, il existe des ensembles A et B tels que A est un Fa et B un Ga de sorte que
AczEczB etfi(B-A) = 0.
Comme corollaire de (c) on a que tout Ee TYl est la réunion d'un Fa et d'un ensemble de
mesure nulle.
Démonstration. — Soit X = Kxkj K2u ... où chaque Kn est compact. Soit Ee TYl et £> 0.
On a fi (Kn n E) < ©o et il existe des ouverts Vn z> K„ n E tels que
fi{Vn-{KnnE))<-^ (n= 1,2,3,...). (1)
2
Si V = u V„, on a V - E cz u ( Vn - (Kn n E)), et donc
fi(V-E)<£.
£
Si nous remplaçons E par £c, on trouve un ouvert E? tel que fi( W - E1 ) < - . Si F = W,
on a F cz E, et E - F - W - E°. Donc (a) s'en déduit.

propriétés de régularité des mesures de borel
57
Puisque F = u n £), tout fermé FczX est a-compact. De sorte que tout Ee Tri est
intérieurement régulier. Ce qui prouve (b).
Si nous utilisons (<z), avec £ = \ (j = 1, 2, 3, ... ), on obtient des ensembles fermés Fj et
des ouverts Vj tels que F, c £ c Vj et ji{V j - F}) <\ . Posons A = ufj et B = n Vj,.
Alors, A c £ c 5, A est un fi est un G5 et (B - A) = 0 puisque B-AcVr £, pour tout
j = 1, 2, 3, ... Ce qui prouve (c).
2.18. Théorème
Soit X un espace séparé localement compact sur lequel tout ouvert est o-compact. Soit X une
quelconque mesure positive de Borel sur X telle que X(K) < ©° pour tout compact K de X. Dans
ce cas, X est régulière.
Il faut noter que tout espace euclidien rk vérifie les conditions du théorème puisque tout
ouvert de rk est une réunion dénombrable de boules fermées.
Démonstration. — Posons Af = jfdX, pour tout / g Cc(X). Puisque X(K) < °o pour tout
x
compact K, A est une forme linéaire positive sur CC(X) et il existe une mesure régulière p
obéissant aux conclusions du théorème 2.17, telle que
\fdX = \fdp (/e C,(X)).
x x
Nous allons montrer que X = fi.
Soit V un ouvert dans X. Comme V = u Kj où les Kt sont des compacts pour i = 1, 2,
on choisit/ par le lemme d'Urysohn, de sorte que Kt<f< V. On pose gn = max (f,,/2, ...,/,).
Alors gn g Cc (X) et gn (x) converge en croissant vers Xv(x) en chaque point x e X. Grâce à (1),
et grâce au théorème de convergence monotone, on a
Soit maintenant un borélien £ dans X et choisissons £ > 0. Puisque pi satisfait les hypothèses
du théorème 2.17, il existe un fermé F et un ouvert V de sorte que F cz £ cz V et jii(V- F) <£.
En sorte que ^(V) <jll(F) + £ < [i (£) + £.
Puisque V-F est ouvert, (2) montre que X (V-F) < e, et donc h(V) < X(E) + e. En
conséquence
À(£)<À(V) = n{V)<n{E) + e
et
li(E)<n(V) = X(V)<X(E) + £t
de sorte que |A(£) - fi(E)\ < E pour tout £> 0. Au final X(E) = Jll(E).
On fournit à l'exercice 18 un espace compact séparé dont le complémentaire d'un certain
point n'est pas a-compact, et pour lequel la conclusion du théorème ci-dessus n'est pas vérifiée.

58
mesures positives de borel
MESURE DE LEBESGUE
2.19. Espaces euclidiens. — L'espace euclidien Rk de dimension k est l'ensemble des points
x = dont les coordonnées sont des nombres réels, muni des structures topologique et
algébrique suivantes :
Si x = ..., £k), y = (rjv ..rçk) et si a est un nombre réel, x + y et ax sont définis par
x + y = (ê, + tj„ ...,& +7/A),ar = (a£„...,a&). (1)
De cette manière, Rk est un espace vectoriel sur le corps des réels. Posant x-y = rj, et
1*1 = (x ■ x)2, l'inégalité de Schwarz d* • y| < \x\\y\) conduit à l'inégalité triangulaire
\x-y\£\x-z\ + \z-yl (2)
On dispose donc sur Rk d'une métrique en définissant la distance Q(x, y) = U-y|. Nous
supposons que ces faits sont familiers au lecteur, et ils seront démontrés sous une forme
beaucoup plus générale au chapitre 4.
Si E c Rk, et x g Rk, le translaté de E selon x est l'ensemble
E + x = {y + x : y e E}. (3)
Un ensemble de la forme
W = {x:a,<£<A,l</<*}, (4)
ou tout ensemble obtenu en remplaçant dans (4) un quelconque des (ou tous les) signes < par
<, s'appelle un pavé d'ordre k (ou /c-cellule). Son volume est défini par
k
vol(W) = n<A-«')- (5)
f = 1
Si l'on ne prend que les signes <, le pavé est un ouvert.
Si a g Rk et si 8> 0, l'ensemble
Q(a, S) = {x\at< £< a,■+ S, 1 </<k} (6)
est appelé la boîte d'amplitude 8 et de sommet a. Ici a = (ap ..., ock).
Pour n = 1,2, nous désignons par Pn l'ensemble des x e Rk dont les coordonnées sont
des multiples entiers de 2~". Par Qn, nous désignons la famille des boîtes d'amplitude 2~" et
dont le sommet est un point de Pn. Nous utiliserons les quatre propriétés suivantes de {Q},
dont les trois premières sont évidentes au premier coup d'oeil :
(a) Pour tout n fixé, tout point x de Rk appartient à une unique boîte de Qn.
(b) Si g' g Qn et Q" e Qr pour r < n, soit Q cz Q", soit Q' n gn = 0.
(c) Si g g £2r, le volume de Q vaut 2~rk ; et si n> r, l'ensemble Pn possède exactement 2(n~r)k
points dans Q.
(d) Tout ouvert non vide de Rk est une réunion dénombrable de boîtes disjointes appartenant
à Ctam.
n = 1
Démonstration de (d). — Si V est ouvert, tout x g V est inclus dans une boule ouverte incluse
elle-même dans V ; par suite jc g Q cz V pour une certaine boîte Q appartenant à un certain Qn.
En d'autres termes, V est réunion de toutes les boîtes incluses dans V et appartenant à £2n lorsque

mesure de lebesgue
59
n > 1. De cette famille de boîtes, on extrait celles qui appartiennent à £2l9 mais on élimine celles
des boîtes dans J23, qui sont incluses dans les boîtes déjà choisies dans Qy Des boîtes
restantes, on choisit celles de incluses dans V, et on élimine celles de Q3,124, qui
appartiennent aux boîtes sélectionnées de £22. En procédant ainsi successivement, grâce à (a) et (fc),
on constate la validité de (d).
2.20. Théorème
// existe une mesure m, positive et complète sur une o-algèbre Tri de Rk, qui possède les
propriétés suivantes :
(a) m(W) = vol (W) pour tout pavé W.
(b) TU contient tous les boréliens de R11 ; de façon plus précise, E g TYl si et seulement s'il existe
deux sous-ensembles A et B de /?* tels que A cz E a B, A est un Fa et B un Gd et m(B -A) = 0.
En outre, m est régulière.
(c) m est invariante par translation, c'est-à-dire
m(E + x) = m(E),
pour tout Ee TYl et tout x g Rk.
(d) Si /i est une mesure positive de Borel invariante par translation sur R11 et telle que
li(K) < oo pour tout compact, K, il existe une constante c telle que fi(E) = cm(E) pour tous
les boréliens E cz Rk.
(e) A tout opérateur linéaire T de /?* dans Rk correspond un nombre réel A(T) tel que
m(T(£» = A(T)m(E)
pour tout E e "TE. Lorsque T est une rotation, on a en particulier
m(T(E)) = m(E).
Les éléments de TYl sont les ensembles mesurables au sens de Lebesgue de /?* ; m est la
mesure de Lebesgue de R11. S'il s'avérait nécessaire, on écrirait mk à la place de m.
Démonstration. — Soit / une fonction à valeurs complexes définie sur /?* et dont le support
est compact. On pose
AJ = 2-"*£/U) (n = 1,2,3,...), (D
où Pn est défini à la section 2.19.
Supposons en plus que / soit réelle et donc dans C (/?*) et que W soit un pavé ouvert
contenant le support de /. Choisissons un e> 0. L'uniforme continuité de/([Rudin, 1976], Théorème
4.19) montre qu'il existe un entier N et deux fonctions g et h dont les supports sont dans W,
telles que
(i) g et h sont constantes sur toute boîte de QN.
(h)g<f<h.
et (iii) h-g<£.
Si n > N, la propriété 2.19 (c) montre que
ANg = A„g< A„f< Anh = ANh.
(2)

60
mesures positives de borel
Puisque les limites supérieure et inférieure de { A„f} diffèrent au plus d'une quantité £ vol (W),
et puisque e est arbitraire, on a bien montré l'existence de
Af = lim AJ (/g Cc(Rk))- (3)
n —» »
Vient immédiatement que A est une forme linéaire positive sur Cc (/?*). (En fait, A/est
précisément l'intégrale de Riemann de / sur Rk. La construction précédente a eu pour but d'éviter tout
recours à des théorèmes sur l'intégrale de Riemann pour des fonctions de plusieurs variables).
On définit alors m et Tri comme la mesure et la a-algèbre associées à A par le
théorème 2.14.
Puisque la mesure fournie par le théorème 2.14 est complète, et puisque Rk est a-compact, le
théorème 2.17 implique l'assertion (b) du théorème 2.20.
Pour établir (a), prenons pour W le pavé ouvert (signe <) décrit en 2.19 (4) et soit £", la boîte
union de toutes les boîtes de Qr dont la fermeture est incluse dans W. Nous choisissons fr de
sorte que Er < fr< W, et posons gr = max {/,, ...,fr}. Notre construction de A montre que
vol(£r) < Afr < Agr < vol(W) (4)
Faisant tendre r vers l'infini, vol(Er) tend vers vol(W). Puisque gr(x) converge vers Xw(x)
pour tout x g Rk, le théorème de convergence monotone prouve que
Agr = jgr dm^m(W) (5)
**
Ainsi m (W) = vol (W) pour tout pavé ouvert W et (a) s'en déduit, puisque tout pavé est
l'intersection d'une famille décroissante de pavés ouverts.
Les démonstrations de (c), (d) et (e) utiliseront l'observation suivante. Si À est une mesure
positive de Borel sur Rk et X(E) - m(E) pour toutes les boîtes E, la même égalité vaut pour tout
ouvert E (par la propriété 2.19 (d)) et donc pour tous les boréliens E (puisque A et m sont des
mesures régulières d'après le théorème 2.18).
Pour démontrer (c), on choisit x g R et on définit X(E) = m (E + jc). On voit clairement que
À est une mesure positive de Borel. Par (a), X(E) = m(E) pour toutes les boîtes, et donc
m(E + jc) = m (E) pour tout borélien E. Grâce à (b), la même égalité prévaut pour tout E de W.
Supposons ensuite que ji satisfasse les hypothèses de (d). Définissons c = [i (g0) où Q0 est
une boîte d'amplitude 1. Puisque QQ est la réunion de 2nk boîtes disjointes d'amplitude 2~", ces
boîtes se déduisant l'une de l'autre par translation, on a pour toute boîte Q d'amplitude 2"n,
2nkfi(Q) = fi(Qo) = m(Q0) = c2nkm(Q). (6)
La propriété 2.19(d) fournit alors p(E) = cm(E) pour tout ouvert E c Rk. Ce qui prouve (d).
Pour démontrer (e), posons T: Rk —> Rk un opérateur linéaire. Si l'image de Test un sous-
espace y de dimension inférieure à k, alors m(Y) = 0 et la conclusion indiquée dans (a) est vraie
avec A(T) = 0 .
Sinon, l'algèbre linéaire élémentaire indique que l'opérateur T est injectif de sur /?* et son
inverse est également un opérateur linéaire. De sorte que T est un homéomorphisme de /?* sur /?*,
et T(E) est borélien pour tout borélien E. On peut alors définir une mesure positive de Borel sur R11
par
p(E) = m(T(E)).
L'invariance de m par translation, jointe à la linéarité de 71, procure
fl(E + x) = m(T(E + x)) = m(T(E) + Tx) = m(T(E)) = p(E)

mesure de lebesgue
61
Ainsi p est aussi invariante par translation et (d) procure la première partie de l'assertion (e),
d'abord pour les boréliens et ensuite grâce à l'assertion (b) pour tous les E g cï7i.
Le calcul de A (7) requiert seulement de connaître m(T(E))/m(E) pour un seul E tel que
0 < m(E) < oo. Lorsque T est une rotation, si E est la boule unité de /?*, comme T(E) = E, on
déduit A(T)= 1.
2.21. Remarques. — En désignant par m la mesure de Lebesgue sur Rk, on a l'habitude de
noter V (Rk) au lieu de V (m). Si E est un sous-espace mesurable au sens de Lebesgue de Rk et
si m est restreinte aux sous-ensembles mesurables de E, on obtient naturellement un nouvel
espace mesuré. La phrase « f e L1 sur E » ou « f e L](E) » signifie que / est intégrable sur
cet espace mesuré.
Si k - 1, si / est l'un des ensembles ]a, b[, [a, b[, ]a, b] ou [a, b] et si /g iJil), on écrit
d'habitude
Puisque la mesure de Lebesgue d'un point est nulle, il n'y a pas lieu de préciser sur lequel de
ces quatre espaces mesurés l'on calcule l'intégrale.
Tout ce qui a été appris sur l'intégration dans un cours élémentaire d'analyse reste utile dans
le contexte présent, car si f est une fonction continue et à valeurs complexes sur [a> b], son
intégrale de Riemann et son intégrale de Lebesgue sur [a, b] coïncident Ceci est évident par
notre construction dès lors que f(a) =f(b) = 0 et si par définition f(x) = 0 pour jc < a ou x > b.
Le cas général s'en déduit aisément. En fait, ce résultat est également vrai pour toute fonction
intégrale au sens de Riemann sur [a, b]. Comme nous n'aurons pas l'occasion de discuter les
fonctions intégrables au sens de Riemann par la suite, nous omettons la démonstration et
donnons la référence du théorème 10.33 de [Rudin, 1976].
Deux questions naturelles peuvent déjà avoir été soulevées par certains lecteurs. Tout
ensemble mesurable au sens de Lebesgue est-il un borélien ? Tout sous-ensemble de Rk est-il
mesurable au sens de Lebesgue ? Même lorsque k = 1, aux deux questions la réponse est négative.
Pour trancher la première question, nous indiquerons brièvement un argument de cardinalité.
Soit c le cardinal du continu (celui de la droite réelle, ou de façon équivalente la famille des
sous-ensembles des entiers). On sait que Rk a une base dénombrable (constituée par exemple
des boules ouvertes dont le rayon est rationnel et le centre appartient à un sous-ensemble
dénombrable dense de /?*) et que c^k (famille de tous les boréliens de Rk) est la a-algèbre
engendrée par cette même base. De ceci résulte (nous ne donnons pas la preuve) que cfhk est de
cardinal égal à c. D'autre part, existent les ensembles de Cantor E dans R1 de mesure nulle (Exercice
5). Puisque la mesure de Lebesgue m est complète, chacun des 2e sous-ensembles de E est
mesurable au sens de Lebesgue. Mais de par l'inégalité stricte 2e >c, la plupart des sous-
ensembles de E ne sont pas boréliens.
Le théorème suivant répond à la deuxième question.
2.22. Théorème
Si A c Rlt et si tout sous-ensemble de A est mesurable au sens de Lebesgue, alors m (A) = 0.
au lieu de

62
mesures positives de borel
Corollaire. — Tout ensemble de mesure positive contient des sous-ensembles non mesurables.
Démonstration. — Elle utilise le fait que R] est un groupe (pour l'addition). Soit Q le sous-
groupe constitué par les nombres rationnels et soit E un sous-ensemble contenant exactement
un et un seul point de chaque classe d'équivalence1 déterminée par Q dans R\ (La preuve de
l'existence d'un tel ensemble E provient directement de l'axiome du choix). Dans ces
conditions E possède les propriétés suivantes :
(a) Si r et x sont des nombres rationnels distincts, {E + r) n (E + s) = 0.
(b) Pour tout jc g Z?1 il existe re Q et xe E + r.
Pour la démonstration de (a), supposons jcg (E + r) n (E + s). Dans ce cas, x=y+r=z+s
pour un y g E et un ze E, y*z. Puisque y-z-s-reQ, y et z sont dans la même classe
d'équivalence, ce qui contredit la construction de E.
Pour démontrer (b), si y est le point de E appartenant à la classe d'équivalence de jc, il suffit
de poser r = jc - y.
Fixons alors t g Q et définissons At = An (E + t). Par hypothèse, A{ est mesurable. Soit
K cz At un compact, et H l'union des translatés K + r, lorsque r parcourt Q n [0, 1 ]. Puisque
H est borné, sa mesure est finie. Puisque K c E + r, les sous-ensembles K + r sont deux à deux
disjoints. De sorte que m(H) = ^m(K + r). Mais m(K + r) = m(K). On ne peut qu'avoir
r
m(K) = 0. Comme cette égalité vaut pour tout compact K cz A,, on a m(A,) = 0.
Enfin, grâce à (b), A - u A,, t parcourant Q. La dénombrabilité de Q permet de conclure
m(A) = 0.
2.23. Déterminants. — Les facteurs scalaires D (T) intervenant dans la théorème 2.20 (e)
peuvent recevoir une interprétation algébrique par les déterminants.
Soit [ex, ...,ek] la base canonique de Rk, celle dont la i-ème coordonnée de e- est 1 si / = j, 0
k k
si i * j. Pour un opérateur linéaire T: R —» R
n
Tej = "£dyeh(i<j<k)
Le déterminant est par définition celui de la matrice [7] dont le coefficient atj est celui de la
ligne / et de la colonne j.
Nous prétendons que
A{T) = \detT\. (2)
Si T=T] 72, on voit clairement que A (T) = A(TX) A(T2). Le théorème de multiplication des
déterminants montre que la validité de (2) pour 7, et T2 entraîne encore celle de (2) pour
1. On peut préciser pour ceux des lecteurs non familiers avec l'algèbre des groupes. Posons x~y pour deux nombres
réels x et y si et seulement si x - y est rationnel. Il est évident que jc~jc , que jc~y implique y~x et x~y , y~z
impliquent x~z . Par suite ~ est une relation d'équivalence. Chaque classe d'équivalence définit un élément de ce qui
s'appelle le groupe quotient de R] par Q, car il est facile de définir une addition sur les classes d'équivalence et de vérifier
la structure de groupe.

propriétés de continuité des fonctions mesurables
63
T=T] T2. Comme tout opérateur linéaire T sur /?* est produit d'un nombre fini d'opérateurs de
l'un des trois types suivants, il suffit de valider (2) pour chacun de ces types.
(I) {Te} Tek) est une permutation de {ev ek\.
(II) Te} = aev Tei = ei pour / = 2,
(III) Tex=e{+ ev Tei = ei pour i = 2 ... k.
Soit Q le cube constitué des x = (£,, ..., Çk) pour 0 < ^ < 1 lorsque i = 1, ..., k
Si T est du type (I), la matrice [T] possède un unique 1 dans chaque ligne et dans chaque
colonne, et 0 partout ailleurs. De sorte que T=±\. En outre, T(Q) = Q, et donc
A{T) = 1 = |det7l.
Si Test du type (II), on a évidemment A (T) = \(x\ = |det T\.
Si Test du type (III), det T= 1 et T(Q) est l'ensemble des points e, dont les
coordonnées satisfont '
+ 1» 0<£< 1 si / ^ 2.
Prenant pour 5, l'ensemble des points de T(Q) pour lesquels £2 < 1 et pour 52 tous les autres
points de 7(0, on a pour réunion des ensembles disjoints 5, et S2 - e2
SiV(S2-e2)-Q.
De sorte que, A(T) - m(S, u (S2 - e2)) - m(Sx) + m(S2- e2) - m(Q) = 1. À nouveau,
nous obtenons bien A(T) = |det7|.
PROPRIÉTÉS DE CONTINUITÉ DES FONCTIONS MESURABLES
Le rôle joué par les fonctions continues a été si important dans notre construction des mesures
de Borel, et de la mesure de Lebesgue en particulier, qu'il serait raisonnable d'espérer quelques
relations intéressantes entre fonctions continues et fonctions mesurables. Nous donnons deux
théorèmes de cette sorte dans cette section.
Pour les deux, nous supposerons que fi est une mesure sur un espace localement compact
séparé X possédant les propriétés indiquées au théorème 2.14. Ainsi, fi peut être la mesure de
Lebesgue sur un Rk.
2.24. Théorème de Lusin
Soit f une fonction à valeurs complexes et mesurable sur X. Soit A un ensemble tel que
fi (A) < oo et en dehors duquel f est nulle. Pour tout e > 0, il existe g e CC(X) et
lHix:f(x)*g(x)})<e. (D
De plus, on peut modifier la fonction g de telle sorte que
sup|g(x)|£sup|/(x)|. (2)
xeX xe X
Démonstration. — Supposons d'abord que 0 </< 1 et que A soit un compact. Comme à la
démonstration du théorème 1.17, associons à / une suite et définissons r, = 5, et tn - sn -sn_x
pour n > 2. Ainsi 2"tn est la fonction caractéristique d'un sous-ensemble T„ cz A et
f(x) = (xe X). (3)
n = 1

64
mesures positives de borel
Prenons un ouvert V tel que A cz V où V est compact. Il existe des compacts Kn et des
ouverts Vn pour lesquels K„ c Tn cz Vn cz V et //( V„ - Kn) < 2~"e. Grâce au lemme d'Urysohn,
il existe des fonctions hn telles que Kn < hn < Vn. On définit
g(x) = J^M*) (xe X). (4)
n = 1
Puisque cette série converge uniformément, la fonction g est continue. De plus, le support de
g est inclus dans V. Comme 2~"hn (x) = tn (jc), sauf sur Vn-Kn on a /(jc) = g(jc) sauf sur
u ( Vn - Kn). Ce dernier ensemble a une mesure inférieure à e. Ainsi (1) a lieu pour A compact
et pour 0</< 1.
Il s'ensuit que (1) est encore valable pour A compact et pour une fonction mesurable bornée.
On se débarrasse aisément de l'hypothèse de compacité car, si ji(A) < «>, il existe un ensemble
compact inclus dans A tel que ji{A - K) est inférieur à tout nombre positif prescrit à l'avance.
Soit maintenant / une fonction à valeurs complexes et mesurable, et définissons
Bn = {x : |/(*)| >«}.OnanB„ = 0 , de sorte que ji{Bn) -> 0, en utilisant le théorème 1.19
(e). Puisque / coïncide avec la fonction bornée ( 1 -%B )/, sauf sur Bn, la relation (1) provient
du cas général.
En fin de compte, soit R = sup{|/(jc)| : jc e X} et définissons (p{z)-z pour |z| </?, et
(p(z) = R(z)/\z\ pour \z\ > La fonction cp est une application continue du plan complexe sur
le disque de rayon R. Lorsque g satisfait (1) et si l'on pose g, = (pog, la fonction g, satisfait (1)
et (2).
Corollaire. — Sous les hypothèses du théorème de Lus in, et avec \f \ < 1, il existe une suite
{gn} telle que gn e CC{X), \gn\ < 1 et
f(x) = lim gn{x) p.p. (5)
Démonstration. — Le théorème de Lusin assure qu'à tout n correspond une fonction
gn e CC(X) telle que |g„| < 1 et telle que fi(En)< 2~" si l'on désigne par En l'ensemble des jc
pour lesquels/(x) * g„(jc). Pour presque tout jc, il est bien exact que jc appartient à un nombre
au plus fini d'ensembles En (théorème 1.41). Pour un tel jc, et pour tout n suffisamment grand
f(x) = gn(x). Ce qui donne (5).
2.25. Théorème de Vitali-Carathéodory
Soit f un élément à valeurs réelles de V (jj) et soit e > 0. // existe deux fonctions u et v sur
X telles que u<f<v, où u est semi-continue supérieurement et bornée supérieurement, et v
semi-continue inférieurement et bornée inférieurement, de sorte que
j(v-u)dn<£. (1)
x
Démonstration. — Supposons d'abord que/> 0 et que / ne soit pas identiquement nulle.
Puisque / est la limite ponctuelle d'une suite croissante de fonctions étagées sn> elle est la somme
des fonctions étagées tn = sn-sn_l (on prend sQ = 0). Puisque tn est une combinaison linéaire de
fonctions caractéristiques, il existe des ensembles mesurables Ei (non nécessairement disjoints)
et des constantes c, de sorte que
f(x) = (xeX). (2)

exercices
65
Puisque
J/<fc = Xc,jU(E,), (3)
X i = I
la série du deuxième membre de (3) converge. Il existe des compacts K{ et des ouverts V. tels
que Kt cE(cV et
ct fi(Vt - K,) < 2"'-1e (/ = 1, 2, 3, ...). (4)
Définissons alors
N
1=1 1=1
où N est choisi de sorte que
<|- (6)
n + 1
La fonction v est alors semi-continue inférieurement et la fonction w est semi-continue
supérieurement. De plus, u </< v et
N
v-u = '£ci(Xv-XKi)+ Y,c'Xv,
1=1 n + ]
En sorte que (4) et (6) impliquent (1).
Dans le cas général, on écrit/=/* -/", et Ton définit comme ci-dessus w, et v, relativement à
/\ m2 et v2 relativement à/". Puis on pose u = u] - v2, v = v, - w2. Puisque -v2 est semi-continue
supérieurement et comme la somme de deux telles fonctions est aussi semi-continue
supérieurement (même énoncé pour le cas de la semi-continuité inférieure : assertions que nous laissons
à titre d'exercice), w et v ont les propriétés souhaitées.
EXERCICES
1. Soit {/„} une suite de fonctions réelles non négatives sur R1 et considérons les quatre
assertions suivantes :
(a) Si/, et/2 sont semi-continues supérieurement,/, + f2 Test aussi.
(b) Si/, et/2 sont semi-continues inférieurement,/, + f2 Test aussi.
(c) Si chaque / est semi-continue supérieurement, ]£/„ Test aussi.
i
(d) Si chaque / est semi-continue inférieurement, ^/„ l'est aussi.
i
Déterminer les assertions vraies et l'assertion fausse. Qu'advient-il si l'on omet le mot « non-
négatif » ? Que dire de la véracité de ces assertions si l'on remplace R] par un espace
topologique quelconque ?

66
mesures positives de borel
2. Soit / une fonction à valeurs complexes définie sur Z?1. On définit
<p(x,8) = sup{|/(s)-/(Ol :s,te ]x-ô,x+8[},
ç(x) = inf{ç(x, 8) : <5>0}.
Montrer que (p est semi-continue supérieurement et que / est continue en un point x si et
seulement si ç(x) = 0. Par conséquent, montrer que l'ensemble des points de continuité d'une
fonction quelconque à valeurs complexes est un Gs.
Formuler et démontrer une assertion semblable pour un espace topologique quelconque (au
lieu de fll).
3. Soit X un espace métrique pour une métrique Q. Pour tout ensemble E non vide de X on
définit
QE(x) = inf{e(x,y) : y e E}.
Montrer que QE est une fonction uniformément continue sur X. Si A et B sont des fermés disjoints
non vides de X, examiner en relation avec le lemme d'Urysohn ce que donne la fonction
4. En examinant la démonstration du théorème de Riesz, déduire les deux assertions
suivantes :
(a) Si E| cz V, et E2 cz V2 où V, et V2 sont deux ouverts disjoints,
fi{Ex u E2) = jU(£,) + jU(£2), même lorsque Ex et E2 n'appartiennent pas à W.
(b) Si Ee TYlp, on a E = Nu K2..., où {K;} est une famille dénombrable de
compacts deux à deux disjoints et fi(N) = 0.
Dans les exercices 5 à 8, m désigne la mesure de Lebesgue sur R1.
5. Soit E l'ensemble usuel de Cantor sur Rx (de trisections égales avec exclusions successives
de l'intervalle milieu). Montrer que m(E) = 0 alors même que E et Rx ont la même cardinalité.
6. Construire un espace compact K dans R1 totalement discontinu et tel que m(K) > 0.
(Totalement discontinu signifie que K ne peut avoir de sous-ensembles connexes non réduits à un
point).
Si v est semi-continue inférieurement et si v < Xk , montrer que v < 0. En déduire que Xk ne
peut être approximé par en-dessous, et au sens du théorème de Vitali-Carathéodory au moyen
de fonctions semi-continues inférieurement.
7. Soit 1 > e > 0. Construire un ouvert E c [0, 1 ], dense dans [0, 1] et tel que m (E) = e. (Dire
que A est dense dans B signifie que la fermeture de A contient B).
8. Construire un borélien E de l'axe réel tel que pour tout intervalle ouvert non vide /,
0<m(£n/)<m(/).
Est-il possible que m (E) < «> pour un tel ensemble ?
9. Construire une suite de fonctions continues fn sur [0, 1], avec 0<fn< 1, et telle que

exercices
67
sans toutefois que la suite {fn (x)} ne converge pour un x quelconque de [0, 1].
10. Si {/„} est une suite de fonctions continues sur [0, 1], avec 0 <fn < 1 et telle que pour tout
xe [0, 1 ], la suite fn(x) —> 0 lorsque «—>«>, montrer que
r1
lim /„ (x)dx = 0.
Essayer de faire la démonstration sans utiliser la théorie de la mesure et sans appel à un
théorème de l'intégration au sens de Lebesgue. (Cet exercice est destiné à vous impressionner par
la puissance de l'intégrale de Lebesgue. Une élégante démonstration en fut donnée par W. F.
Eberlein dans Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. X, pp. 357-360, 1957.)
11. Soit fi une mesure de Borel régulière sur un espace compact séparé X. Supposons
fi(X) = 1. Montrer qu'il existe un ensemble compact K c X, appelé le support de fi, et tel que
fi (K) = 1 mais fi (H) < 1 pour tout sous-ensemble compact propre de K.
Indication : Soit K l'intersection des compacts Ka tels que fi (Ka) = 1 ; montrez que chaque
ouvert V qui contient K contient aussi un Ka. On aura besoin de la régularité de fi : comparer
avec l'exercice 18. Montrer que K° est le plus grand ouvert de X dont la mesure soit nulle.
12. Montrer que tout compact de R] est le support d'une mesure borélienne.
13. Est-il vrai que tout compact de R1 est le support d'une fonction continue ? Si non, est-il
possible de décrire la classe des compacts de R1 qui sont des supports de fonctions continues ?
Cette description est-elle valable pour d'autres espaces topologiques ?
14. Si / est une fonction réelle et mesurable au sens de Lebesgue sur T?1, montrer qu'il existe
des fonctions boréliennes g et h telles que g(x) = h (x) presque partout relativement à m, et
g {x) <f(x)<h (x) pour tout xe Rk.
15. Il est facile de deviner les limites, lorsque n —> de
Justifier vos conjectures.
16. Pourquoi dans la démonstration du théorème 2.20 (e) a-t-on m (Y) = 0 ?
17. On définit une distance entre les points (jcp y,) et (x2, y2) du plan par
|y!-y2| six, =x2,
1 + \y\~yi\ six,^x2.
Montrer qu'il s'agit effectivement d'une métrique et que le plan ainsi métrisé X est
localement compact.
Si / e Cc(X), soient x,, xn, les valeurs de x telles que/(x, y) ï 0 pour au moins un y (il
n'y a qu'un nombre fini de tels x). Définissons
n
Af = Jiflf(xj,y)dy.

68
mesures positives de borel
Soit fi la mesure associée à A par le théorème 2.14. Si E est l'axe des jc, montrer que /i(£) - °°
bien que jli(K) = 0 pour tout compact K c E.
18. Cet exercice requiert une plus grande habileté en théorie des ensembles que les exercices
précédents. Soit X un ensemble non dénombrable et bien ordonné, ayant un dernier élément û)x,
de sorte que tout prédécesseur de œ] possède une famille au plus dénombrable de prédécesseurs.
(Pour la construction, on considère un ensemble bien ordonné qui possède des éléments
admettant une famille non dénombrable de prédécesseurs. Puis on prend pour œ] le premier de tels
éléments ; co] est appelé le premier ordinal non dénombrable). Pour a g X, on définit Pa [SJ
comme l'ensemble des prédécesseurs (postérieurs) à a, et on dit qu'un sous-ensemble de X est
ouvert s'il est de la forme Pa, ou 5^, ou Pan Sp ou une réunion de tels ensembles. Montrer
que X est un espace compact séparé.
Indication : Il n'existe pas d'ensemble bien ordonné possédant une suite infinie décroissante.
Montrer que le complémentaire du point a), est un ensemble ouvert non a-compact.
Montrer qu'à toute / g C(X) on peut faire correspondre una^û), de sorte que / soit constante
sur Sa.
19. Reprendre la démonstration du théorème 2.14 en supposant au lieu de la locale compacité
que X est compact (et même métrique compact). Quelles sont les simplifications que vous
pouvez trouver ?
20. Trouver des fonctions continues fn : 0, 1] [0, <*>[ telles que lorsque n —» oo /„(jc) —» 0,
pour tout jcg [0,1], | f„(x)dx —»0, mais sup/„ n'est pas dans L1 (ce qui montre que la
conclusion du théorème°de la convergence dominée peut être vraie, quand bien même une partie
des hypothèses n'est pas satisfaite).
21. Par un compact X et/: X —» ]-°°, +°°[ semi-continue supérieurement, montrons que /
atteint sa borne supérieure en un point au moins de X.
22. Soit (X, d), un espace métrique et/: X ]0, °°] une fonction s.ci, et f(p)<°° pour au
moins un p e X. On définit pour n > 1
Montrer que
(0 \gn(x)-gn(y)\<nd(x,y),
(ii) 0 < g] <g2 <...</,
(iii) Pour tout jc g X, g„(jc) —> /(jc) lorsque n —» °°.
Ainsi / est limite ponctuelle d'une suite croissante de fonctions continues (le contraire, peut-
on remarquer, est presque trivial).
23. Si V est un ouvert de Rk et \i une mesure positive et finie de Borel sur /?*, la fonction
x —> ji( V + jc) est-elle nécessairement continue ? s.c.i ? s.c.s ?
24. Une fonction en escalier est, par définition, combinaison linéaire de fonctions
caractéristique d'intervalles bornés de R\ Supposons / g L[(R]). Montrons qu'il existe une suite [gn]
de fonctions en escalier telle que
gn(x) = inf{f(p) + nd(x,p) : pe X}.

notes historiques
69
25. (i) Trouver la plus petite constante c telle que
log(l +e')<c + t (0<f <°o).
(ii) Est-il vrai que pour toute / à valeurs réelles de L1, il y a une limite lorsque n tend vers
l'infini pour
limi f'log[l +enfix)]dx
n Jo
Si celle-ci existe, quelle est sa valeur ?
Montrer que l'intersection de toute famille dénombrable [Kn] de compacts non dénombrables
de X n'est pas dénombrable.
Indication : Considérer les limites de suites dénombrables croissantes dans X dont
l'intersection avec chaque Kn contient un nombre infini de points.
Soit c)fl la famille de tous les EczX tels que E u { œ}} ou E?u {œ}} contient un ensemble
compact non dénombrable. Dans le premier cas, on pose X(E) = 1, et dans le second cas
X(E) = 0. Montrer que Ifïl est une a-algèbre contenant tous les boréliens de X. Cependant,
montrer que X est une mesure sur Tri non régulière (tout voisinage de <w, a pour mesure 1), que
X est une mesure sur W non régulière (tout voisinage de œ] a pour mesure l'unité), et que pour
tout/g C(X)
f((0,) = jfdX.
x
Décrire la mesure régulière fi que le théorème 2.14 associe à cette forme linéaire.
NOTES HISTORIQUES
La première formulation axiomatique des espaces vectoriels réels se trouve chez Peano en 1888 ; elle
est issue d'un processus long et bien peu régulier, au cours duquel intervint la mécanique (axiomatisation
de la composition des forces selon la règle du parallélogramme depuis le xvme siècle, tenseurs des
contraintes en élasticité au début du xixe siècle, électricité et magnétisme sous l'influence de Maxwell,
formalisation des nombres complexes et des quaternions comme corps algébriques (algèbre linéaire
associative), et bien sûr la longue manipulation des systèmes d'équations linéaires, les déterminants par
exemple remontant à Leibniz qui ne fit pas paraître son invention). Sous l'influence notamment de Fréchet en
1906, les espaces vectoriels trouvent leur illustration avec les espaces fonctionnels ; la théorie de
l'intégrale allait en donner de nombreux exemples grâce aux métriques qu'elle permettait de définir. Le cas de
la dimension finie ne sera pris en compte que plus tard et sous l'influence du cas infini ; c'est que joue la
théorie des équations intégrales qui donne l'occasion en 1909 à O. Toeplitz de montrer la généralité des
théorèmes de l'algèbre linéaire (corps de base quelconque, inutilité des déterminants). C'est bien parce
qu'il prenait en compte la dimension infinie que, sous le nom de fonctionnelles, Jacques Hadamard avait
eu l'idée de rechercher les formes linéaires continues de tels espaces et en parlant de coordonnées cova-
riantes il suggère une piste géométrique. En 1909, Frygies Riesz démontre le théorème 2.14 pour le cas
où X = [0, 1] et il fournit ainsi des fonctions d'ensembles cr-additives, donnant une justification concrète
aux exemples que Lebesgue construisait à partir de fonctions monotones. J. Radon étend ce théorème en
1913 aux compacts d'un espace euclidien, S. Banach en 1933 le donne dans le cas d'un espace métrique
compact et S. Kakutani en 1941 pour un espace compact. Cette recherche d'une généralité optimale est
caractéristique d'une histoire, celle de la version abstraite de l'intégration fournie au chapitre premier. En

70
mesures positives de borel
1940, A. D. Alexandroff fait usage du lemme d'Urysohn pour traiter en vue de l'intégration le cas des
espaces non compacts.
De ce dernier avait été publié en 1925 le résultat suivant de prolongement : si X est un espace
topologique normal, une fonction numérique continue définie sur un sous-espace fermé y de X, peut être
prolongée en une fonction numérique continue sur tout X. Du moins dans le cas d'un espace compact, ce
théorème n'est ici démontré qu'au chapitre 20 (théorème 20.4). Donnée par H. Tietze deux années plus
tôt, la définition d'un espace normal entrait dans un programme longtemps poursuivi de recherche des
conditions pour qu'une topologie soit métrisable, programme différent de celui de la généralité maximale.
D'ailleurs, les tenants de cette généralité déclaraient un peu vaines les recherches sur la métrisabilité. Il
est facile de voir qu'un espace métrisable est normal à partir de la définition suivante : un espace normal
est un espace topologique séparé X tel que pour tout couple a et b de fermés disjoints, il existe des ouverts
disjoints u et v pour lesquels a c u et b c v. Une autre façon d'énoncer le résultat de Paul Urysohn est
de dire que pour tout couple de fermés A et B disjoints, il existe une fonction continue sur X, nulle sur a
et égale à 1 sur b : c'est ce résultat que l'on peut facilement déduire de l'énoncé du lemme 2.12.
Encore que dans cet énoncé, il faille remarquer que l'on utilise une fonction à support compact, et donc
que l'on peut de fait travailler sur un compact, un tel compact étant nécessairement normal. La même
remarque vaut pour le théorème 20.4. Prendre tout l'espace X, lorsqu'il est supposé localement compact, est mal
indiqué car il ne s'agit pas toujours d'un espace normal. Jean Dieudonné, en 1944, introduisit la notion
d'espace paracompact, notion plus restrictive que celle d'espace normal. Il remarquait que dans un espace
normal, on ne peut associer une partition de l'unité (le théorème 2.13 fait comprendre la signification d'une
telle partition) qu'à certains recouvrements ouverts (ceux qui sont localement finis). Un paracompact est
défini comme un espace topologique séparé, tel qu'à tout recouvrement ouvert, on puisse associer un
recouvrement ouvert plus fin et localement fini. L'on s'attend à ce qu'un espace paracompact soit normal.
Mais qu'un espace métrisable soit paracompact, ainsi que le montre A.H. Stone en 1948, indique que pour
la constitution de cette topologie les idées n'allèrent pas des cas simples aux cas plus compliqués. La
métrique conduisant au contre-exemple de l'exercice 17 provient de Edwards et fut malencontreusement
omise dans [Rudin, 1962].
Au début de la théorie, le théorème de Lusin indiquait un lien étroit entre la théorie de la mesure d'une
part et la topologie envisagée comme recherche des propriétés de convergence : cela donna la première
motivation pour une théorie abstraite de l'intégration. Selon l'ambition de Lusin, ce théorème montrait
qu'une fonction mesurable ne diffère d'une fonction continue que sur un sous-ensemble dont la mesure
peut être choisie arbitrairement petite. C'est ce que Lusin appelle, dans son livre de 1915, une « petite
déformation », et en ce sens l'interprétation fonctionnelle est celle du théorème 2.251. En l'adaptant un
peu, on peut lire le théorème de Lusin comme une définition de la mesurabilité à partir de la seule notion
de fonction continue, et sans théorie de la mesure. Telle est l'autre particularisation de la théorie. En 1933,
dans sa théorie de l'intégrale, Stanisaw Saks énonçait effectivement le théorème de Lusin sous la forme
d'une caractérisation : « Pour qu'une fonction f(x) définie dans un ensemble mesurable borné e et partout
finie dans cet ensemble y soit mesurable, il faut et il suffit que pour tout e > o il existe un fermé F cz £ tel
que la fonction f(x) soit continue sur f et \e- f] < f. » Le choix d'une approche essentiellement
topologique de l'intégration devenait possible. C'est ce choix qu'adopta Bourbaki dans son intégration, en
portant l'attention sur les formes linéaires continues et leur prolongement selon la méthode de Daniell,
quant à elle expliquée en 1917. Le choix s'est trouvé particulièrement adapté à une extension vers la
théorie des distributions. Par le jeu sur l'ordre et les fonctions positives, cette façon de voir privilégie une
analyse réelle comme le montre l'intermédiaire des fonctions semi-continues (dont l'origine remonte à
Baire). Un tel traitement de l'intégration est aussi développé dans [Loomis, 1953] et plus amplement
encore dans [McShane, 1944].
Dans une autre démarche de particularisation de la théorie en vue de la rendre élémentaire, on a cherché
à atteindre la mesure de Lebesgue directement, sans passer par le théorème de Riesz qui a été le passage
1. Pour le théorème de Vitali-Carathéodory, voir [Saks, 1933, p. 88].

notes historiques
71
essentiel vers l'analyse fonctionnelle. C'est, par exemple, ce que firent [Titchmarsh, 1939], puis [Williamson,
1962], [Rudin, 1976], et [Wheeden, Zygmund, 1977]. Autant dire que plusieurs théories de l'intégration sont
possibles, sans parler des réécritures de l'intégration de Riemann dans une conception lebesguienne.
La démonstration originale du théorème de Lusin utilisait le théorème d'Egoroff, démontré en 1911
(voir texte ci-après) ; ce théorème établissait un lien qui fut recherché au siècle dernier entre la
convergence ponctuelle et la convergence uniforme, cette dernière étant impliquée par la première en dehors d'un
ensemble dont la mesure peut être choisie arbitrairement petite (exercice 16, chapitre 3). La théorie de
l'intégrale a rajouté de nouvelles convergences.
Dans le théorème d'Egoroff, une difficulté se présente si, au lieu d'une suite de fonctions
/„, n = 1, 2, 3,on prend une famille quelconque. À l'exercice 16, on adopte plus généralement/, où
te [0, 1 [, mais à la manière simple indiquée par W. Walker en 1977, on impose alors une régularité
puisque t —> f,(x) est continue. Ce genre de difficulté se rencontre aussi bien avec le théorème de Fubini
(chapitre 8). Tout un effort, où s'illustra l'École polonaise à partir de 1920, porta en théorie de l'intégration
comme en topologie à se débarrasser de la restriction à des suites de fonctions ou à des ensembles
dénombrables. On retrouve cette ambition avec la théorie des espaces de Hilbert, qui furent d'abord supposés
seulement séparables. Les résultats de ces efforts sont fournis dans [Bourbaki, 1974] ; ils sont aussi bien
dus au programme de généralité qu'au programme de métrisabilité. Les deux approches apparaissent donc
au final plus complémentaires qu'opposées.
Pour les ensembles non mesurables, et pour les pathologies associées, le travail de J. Von Neumann de
1929, à partir d'une mesure invariante relativement à la loi d'un groupe (section 2. 22), est très instructif.
Halmos lui a consacré un article dans un numéro spécial (en mai 1958) du Bulletin ofthe American Mathe-
matical Society où était commentée l'œuvre de von Neumann.
L'exercice 8 indique une situation sur les boréliens qui a des prolongements exposés par Kirk en 1972
et Cater en 1984.
L'origine de l'exercice 18 est chez Dieudonné, repris dans [Halmos, 1950, p. 231].
RÉFÉRENCES
G. Peano, Calcolo geometria secondo VAusdehnungslehre di Grassmann, preceduto dalle operazioni
délia logica deduttiva, Torino, 1888.
R. Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, 1905, 2e édition 1930 ; Œuvres scientifiques de Baire,
Gauthier-Villars, Paris, 95-327, 1990 (extrait ci-dessous).
M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Circolo Mat. Palermo, 22, 1-74, 1906.
F. Riesz, Sur les opérations fonctionnelles linéaires, Comptes Rendus Acad. Se. Paris, 149, 974-977,
1909. Œuvres complètes de F. Riesz, A. Csâszâr, Gauthier-Villars, Académie des sciences de Hongrie, t.
1, 200-202, 1960 (texte ci-dessous).
O. Toeplitz, Ueber die Auslôsung unendlichvieler linearer Gleichungen mit unendlichvielen Unbekann-
ten, Rend. Circolo Mat. Palermo, 28, 88-96, 1909.
D. Th. Egoroff, Sur les suites de fonctions mesurables, Comptes Rendus Acad. Se. Paris, 152, 244-246,
1911.
N. Lusin, Intégrale et série trigonométrique (thèse, en russe), Moscou, 1915.
H. Tietze, Uber Funktionen die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind, Journal fur die reine und
angewandte Math., 145, 9-14, 1915.
P.J. Daniell, A gênerai form of intégral, Annals ofMath., 19, 279-294, 1917-1918.
H. Weyl, Raum, Zeit, Materie, Berlin, 1921 ; trad. fr., Espace, temps, matière, Paris.
P. Urysohn, Zum Metrizationsproblem, Math. Annalen, 94, 309-315, 1925.
J. von Neumann, Zur allgemeinen Théorie des Masses, Fundamenta Mathematica, 13, 73-116, 1929.
[S. Saks, 1933]

72
mesures positives de borel
J. Dieudonné, Une généralisation des espaces compacts, Journal de Math. Pures et Appt., 9, 22, 65-76,
1944.
A.H. Stone, Paracompactness and product spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 14, 977-982, 1948.
R.E. Edwards, A theory of Radon measures on locally compact spaces, Acta Mathematica, 89, 160, 1953.
[N. Bourbaki, 1974]
R.B. Kirk, Sets which split families of measurable sets, Amer. Math. Monthly, 79, 884-886, october 1972.
F.S. Cater, A partition of the unit interval, Amer. Math. Monthly, 91, 564-566, november 1984.
TEXTES
Trois textes accompagnent ce chapitre : celui de Baire tiré de son livre de 1905 où il définit les fonctions
semi-continues, celui de Riesz de 1909 où il explique son théorème et celui d'Egoroff deux ans plus tard,
relatif également à son théorème.
1. Introduction des fonctions semi-continues par René Baire, au chapitre IV (Les fonctions d'une
variable) de Leçons sur les fonctions discontinues (1905).
1. — Définitions générales.
Les études précédentes sur les ensembles de points nous étaient indispensables pour étudier le rôle de
la distribution des points de discontinuité dans les propriétés des fonctions. Il est temps d'introduire des
notions nouvelles relatives à la continuité et à la discontinuité des fonctions les plus générales, notions qui
nous permettront, comme on le verra, d'établir les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une
fonction discontinue soit limite de fonctions continues.
Nous allons considérer pour le moment des fonctions d'une seule variable, et nous les supposerons
bornées.
Nous supposons la fonction f(x) définie pour toutes les valeurs de x de l'intervalle (a, b), c'est-à-dire
qu'à toute valeur de x satisfaisant aux conditions a < x < b correspond une valeur de /.
Soit un intervalle CD pris sur le segment PQ représentatif de la variable x.
P C A D Q
Les valeurs de la fonction aux points de CD forment un ensemble de nombres qui a une borne supérieure
M(f, CD) une borne inférieure m (f, CD), enfin une oscillation co(f, CD) = M(f, CD) -m(f,CD).
Considérons un point A du segment. Entourons A d'un intervalle CD de longueur 2p et ayant son milieu en A.
Supposons que l'on remplace p par un nombre p' plus petit. CD est remplacé par un intervalle plus petit.
Dans ces conditions, M (f, CD), que je désigne aussi par Mp, ne peut pas augmenter, mp ne peut pas
diminuer. On a donc Mp > Mp-, mp < wp , cop > cop.. Donnons à p une suite de valeurs p,, p2,..., pn,...
décroissantes et tendant vers 0. On obtient une suite de bornes supérieures M donnant lieu aux inégalités
A/P| > MP2 > ... > MPn, ... Ces nombres tendent vers une limite (qui est comme l'on sait, leur borne
inférieure) que je désigne par M (f, A) et que j'appelle le maximum de la fonction f au point A. Étant donné
un intervalle quelconque CD comprenant A à son intérieur, on reconnaît que si n est assez grand,
l'intervalle de milieu A et de longueur p est contenu dans CD, d'où résulte M(f, CD) > M pn> M(f, A). Ainsi
M {f, A) est la borne inférieure des nombres M (f, CD), CD étant un intervalle quelconque contenant M à
son intérieur.
Le nombre M(f,A) est caractérisé par la double propriété suivante :
1 ° Quel que soit le nombre e positif, on peut déterminer un intervalle CD auquel A est intérieur et en
tout point duquel on a / < M(f, A) + e.
2° Quel que soit le nombre e positif et quel que soit l'intervalle CD contenante intérieurement, il existe
dans CD un point A' tel que l'on a f(A') > M(f, A) - £.
On définit de la même façon m(f,A), minimum de f au point A. C'est la borne supérieure des
nombres m (f, CD), CD étant un intervalle quelconque auquel A est intérieur. On a évidemment
m(f, A) < M(f, A). Car m est au plus égal à / qui est lui-même au plus égal à M.

notes historiques
73
Dans le cas particulier où / est continue au point A, on a m(f, A) = M (f, A). D'une façon générale posons
Q)(f,A) = M(f, A) - m(f, A). On dira que co est l'oscillation de f au point A. On voit que 0) est positive ou
nulle. La continuité est caractérisée par Q)(f,A) = 0. Si, en un point A, Q) est positif, il y a discontinuité en
ce point.
Semi-continuité. Un cas moins particulier que la continuité est celui où l'on a seulement f(A) = M(f,A).
Dans le cas général, quel que soit £ > 0, on peut trouver un intervalle CD tel que, en tout point A' de cet
intervalle, on a f(A') < M(/, A) + £. Donc, dans cet intervalle, on a dans le cas actuel /(A') < /(A) + £.
Cette propriété est l'une des deux dont l'ensemble constitue la continuité. Nous dirons quef(A) est semi-
continue supérieurement au point A.
De même, si l'on zf(A) = m(f, A), et par suite, pour toute valeur positive de £, f(A') > M(f, A) - £ dans
un intervalle convenablement choisi, la fonction est dite semi-continue inférieurement au point A.
Si les deux propriétés ont lieu simultanément, la fonction est continue.
Une fonction sera dite semi-continue supérieurement ou inférieurement sur un intervalle si elle l'est en
tout point de l'intervalle.
Ces définitions étant posées, considérons le maximum M(f A) d'une fonction quelconque f (A) définie en
chaque point du segment PQ. M (f A) est une fonction définie en chaque point de PQ. Je désigne cette fonction par
<P(A).
Je dis que (p(A) est semi-continue supérieurement.
En effet, soient A un point de PQ, £ un nombre positif. Par définition de M(f,A), il est possible de
trouver un intervalle CD intérieur à PQ, de milieu A, tel que l'on ait A/(/, CD) < M(f, A) + £. Si A' est
un point quelconque intérieur à CD, on a, d'après la définition de M(f,A'), M{f, A') <M{f, CD). On
déduit de là M (f, A') < M (f, A) + eou
(p(A') < <p(A) + £.
Cette inégalité exprime la propriété de semi-continuité supérieure pour (p.
On montrerait de même que la fonction if/(A) = m(f,A) est semi-continue inférieurement.
La somme d'un nombre fini de fonctions semi-continues supérieurement en un point A est semi-
continue supérieurement au même point. Il suffit de vérifier le théorème dans le cas de deux fonctions f,, f2.
Par l'hypothèse, étant donné e> 0, on peut trouver des intervalles C}Dlt C2D2, entourant A, et tels que,
suivant que le point A' est dans C,D} ou C2D2, on a
/1(A')</1(A) + £
/2(A')</2(A) + £
Nous pouvons prendre un intervalle fini CD contenu dans chacun des précédents et contenant A à son
intérieur. Pour un point quelconque A' de CD, les inégalités précédentes sont vérifiées. On a donc
f^A') + f2(A')<fAA) + f2(A) + 2e
ce qui exprime la propriété énoncée.
Remarquons enfin que si / est semi-continue supérieurement, - / est semi-continue inférieurement, car
l'inégalité /(A') < /(A) + £se transforme en -/(A')>-/(A) - £. Ceci montre que les propriétés des
fonctions semi-continues supérieurement et inférieurement se correspondent deux à deux.
L'oscillation co(f,A) d'une fonction f définie sur un segment PQ est une fonction semi-continue
supérieurement ; en effet û)(f,A) est la somme des fonctions M(f,A) et-m(f,A) semi-continues supérieurement.
Si une fonction f définie sur PQ est semi-continue supérieurement, et si a est un nombre quelconque,
l'ensemble des points de PQ où l'on a f> aest fermé[X\
En effet, soit A() un point limite d'une suite de points Ap A2, A„, en chacun desquels on a
/(A„) > a. Dans tout intervalle auquel A0 est intérieur, il existe des points de la suite Ap A2, An,
donc des points où l'on a f> a. Donc, dans un tel intervalle, le maximum de la fonction est supérieur ou
égal à a. Il en est donc de même de M(f,A0). Or / est semi-continue supérieurement. Donc on a
M(f,A0) = f(AQ). Donc aussi /(A0) > a .
[1. On retrouve la définition 2.8.]

74
mesures positives de borel
En particulier, étant donnée une fonction /, l'ensemble des points où l'oscillation est supérieure ou égale
à un nombre positif a est un ensemble fermé.
2. Analyse mathématique. — Sur les opérations fonctionnelles linéaires. Note de M. Frédric Riesz,
présentée par M. Emile Picard. (Acad. des Se, 29 novembre 1909).
Pour définir ce qu'on entend par opération linéaire, il faut d'abord préciser le champ fonctionnel. Nous
considérons la totalité Q des fonctions réelles et continues entre deux nombres fixes, par exemple entre 0
et 1 ; pour cette classe, nous définissons la fonction limite par l'hypothèse de la convergence uniforme.
L'opération fonctionnelle A[f(x)] , faisant correspondre à chaque élément de Q un nombre réel
déterminé, sera dite continue, sif(x) étant limite desf(x), A(fé) tend vers A(f). Une opération distributive[,] et
continue est dite linéaire. On montre aisément qu'une telle opération est aussi bornée, c'est-à-dire qu'il
existe une constante MA telle que pour chaque élément f(x) l'on ait
\A[f(x)]\<MAxm&x-\f(x)\. (1)
les lin(x) étant des M. Hadamard avait démontré le fait remarquable que toute opération linéaire
A [/Ml est de la forme limn = oaj'Qkn(x)f(x)dx, les kn(x) étant des fonctions continues2. Dans la note
présente, nous allons développer une nouvelle expression analytique de l'opération linéaire, ne contenant
qu'une seule fonction génératrice.
Dans ce but, nous considérons l'intégrale généralisée
fQf(x)da(x) (2)
Rappelons brièvement la signification de cette expression. On y entend la limite de la somme
^\/(£0[ff(*i + i) - Of(jc,-)] , correspondant à une division de l'intervalle (0,1) en un nombre fini
d'intervalles partiels ; désigne un élément, d'ailleurs quelconque de l'intervalle (xp xt + }). Le passage à
la limite n'est assujetti qu'à la seule condition que la longueur des intervalles partiels tende uniformément
vers zéro3.
Nous n'avons pas besoin de développer les conditions les plus générales pour que l'intégrale (2) ait un
sens. Il nous suffit de remarquer que, la fonction f (x) étant supposée être continue, i'intégrale (2) existe
pour toute fonction a(x) à variation bornée, continue ou non. En ce cas, on a l'inégalité
(f(x)da(x)
< maximum de \f (x)\ x variation totale de a(x) (3)
Après ces préliminaires, étant donnée une opération linéaire A [/(*)] on définira la fonction A(x) par
l'égalité A(£) = A[f(x ; £)], où l'on désigne par f(x ; £) la fonction égale à x pour 0 < x < Ç, et à Ç,
pour Ç<x< 1. Or, en appliquant lUnégalité (1) à la fonction continue f(x) définie par les conditions
(x + X- \
1 ' + = sign [Ax.+ | -A(Xj)] ,f(x) linéaire dans chaque demi-intervalle, nous
parvenons à l'inégalité
A(xi)-2A[^^yA(xi+])
[1. Cela signifie que A est additive, A(f + g) = Af + Ag ; l'homogénéité se déduisant de l'hypothèse ajoutée de
continuité.]
2. J. Hadamard, Sur les opérations fonctionnelles, Comptes rendus Acad. Se, 9 février, 136, 351-354, 1903. Cf. aussi
M. Fréchet, Sur les opérations linéaires, Transactions Amer. Math. Soc, 5, 493-499, 1904.
3. Dans la littérature, cette notion d'intégrale remonte à Stieltjès, Recherches sur les fractions continues, Annales de
Toulouse, VIII, 1894. M. Jules Kônig voulut bien me communiquer qu'il s'en était servi bien plus tôt dans son cours,
mais il ne rédigea sur ce sujet qu'une seule Note, parue en hongrois : Mathemaîiskai ès Termeszettudomànyi Ertesitô,
1897.

notes historiques
75
Il en résulte que les nombres dérivés de la fonction A (x) existent et que ces dérivés constituent des
fonctions à variation bornée.
Maintenant nous définissons une fonction a (x) par les conditions suivantes : pour 0<x< 1 , -a(x) = un
de ces nombres dérivés, par exemple le nombre dérivé supérieur de droite ; a(0) = -A[n(x)] f n(x)
désignant la fonction de valeur constante l ; a(l) = 0. La fonction cc(x) étant à variation bornée, l'intégrale (2)
existe pour toute fonction continue f(x). Particulièrement si la fonction continue/(X) se forme d'un nombre
fini de traits linéaires, une légère transformation suffit déjà pour voir que l'intégrale (2) est égale à
A [/(*)]. En remarquant que chaque fonction continue est fonction limite de telles fonctions et en
s'appuyant sur l'inégalité (3) on conclut que le même fait subsiste pour toute fonction f(x). On a donc le
théorème :
Étant donnée l'opération linéaire A[/(*)], on peut déterminer la fonction à variation bornée (x(x),
telle que, quelle que soit la fonction continue f(x), on ait A [/(*)] = \0f(x)da(x).
Remarquons encore que la propriété exigée dans notre théorème ne détermine pas uniquement la
fonction a(x). On se rend compte de la nature de cette indétermination par le théorème suivant : Pour que
l'intégrale (2) s'annule pour chaque élément f(x) de Q, il faut et il suffit que la fonction à variation bornée
a(x) soit constante, sauf peut-être pour un ensemble dénombrable ne contenant pas les points 0, 1.
On peut aussi profiter de cette indétermination pour rendre a(x) telle que sa variation totale soit la plus petite
possible.
Dans cet ordre d'idées, nous sommes aussi arrivé à résoudre un problème bien intéressant, traité déjà,
dans des conditions plus spéciales, par M. Haar (Dissertation, Gôttingen, 1909). Voici notre résultat :
Soient A,(f), A2(f), A(f) des opérations linéaires, et soient af (x), ct2(x), a(x) leurs fonctions
génératrices ; nous les supposerons telles que leur variation totale soit la plus petite possible ; de plus,
nous supposons a,(0) = a2(0) = ... = a(0) = 0. Dans ces conditions, afin que pour tout élément f(x) de
Q la suite infinie des An (f) tende vers A (f), il faut et il suffit : 1° qu'on ait
2° que les variations totales des fonctions (Xn(x) ne dépassent pas toute borne finie.
Grâce à ce théorème, on peut tout à fait caractériser la fonction à deux variables qui intervient dans
l'expression analytique de la transformation fonctionnelle linéaire, faisant correspondre, d'une manière
distributive et continue, à chaque élément de Q, un élément déterminé de la même classe ou d'une autre
classe analogue. Par le même théorème on voit aisément comment notre expression est liée à celle de
M. Hadamard.
3. Analyse mathématique — Sur les suites de fonctions mesurables. Note de M. D-Th. Egoroff.
(Acad. Se, 30 janvier 1911, Comptes rendus)
Soit f (x),f2(x), ...,f„(x) une suite de fonctions mesurables que nous supposerons convergente et tendant
vers une fonction-limite f(x) pour tous les points x d'un intervalle AB, sauf peut-être les points d'un
ensemble de mesure nulle. U est bien connu111 que cette suite est en même temps convergente en mesure, c'est-
à-dire que m(n, £) désignant la mesure de l'ensemble des points pour lesquels \f(x) - /„(jc)| est supérieur
à un nombre positif e donné (aussi petit qu'on veut), on a
M. Lebesgue121 énonce une proposition analogue concernant la mesure p(n, e) de l'ensemble En de
points pour lesquels l'une au moins des différences /(jc)- fm(x), à partir de m = n, est supérieure
(ou égale) à e en valeur absolue. Cette proposition est une simple conséquence de la précédente
appliquée à une suite de fonctions Ri(x), R2(x),R„(x) dont j'emprunte l'idée à un Mémoire de
^a(x)dx = \ïm\*an(x)dx (0< £< 1), a(l) = lima„(l) ;
lim m(n, e) = 0
(4)
[1. Borel, 1998, p. 37], F. Riesz, Sur les suites de fonctions mesurables, Comptes rendus Acad. se, t. 148, p. 303. Voir
exercice 18, chap. 3.]
[2. Lebesgue, 1906, p. 10.1

76
mesures positives de borel
M. Weyl1 et qui sont définies par la condition que pour chaque valeur de jc, est égale2 à la limite
supérieure3 de la suite de nombres positifs
l/W-/„(*)!. l/W-/.ti(*)|....,|/W-/.+,U)|. ••■ (5)
Pour tous les points de l'intervalle AB on a évidemment
Si (jc) > R2(x) > ... > Rn(x) > R«+](x) > ... (6)
\f(x)-fm(x)\<RH(x)pourm = n,n+\,... _ (7)
Pour tous les points de convergence de la suite f,(x), f2(x) f„(x), ... la suite R\, /?2, ... est
aussi convergente, et l'on a, pour ces points, lim R„(x) = 0 .
L'ensemble En de points dont il est question est évidemment l'ensemble de points pour lesquels
Rn(x) = |/?„(jc) -0| >£, et par conséquent la mesure p{n, e) de cet ensemble tend vers zéro lorsque n
croît indéfiniment.
Soit maintenant une suite £p £,, ...,£„,... de nombres positifs décroissants et tels que limn = „£„ = 0 ;
soit d'autre part
rvl + rv2 + n3 + ... + nn + ... (8)
une série convergente à termes positifs. Considérons les ensembles E,-'0 de points pour lesquels
R„(x) > £j. La mesure p{n, £,) de l'ensemble tendant vers zéro lorsque n croît indéfiniment, on pourra,
pour chaque £,., choisir une valeur nt telle que fi(nit Considérons la suite d'ensembles
E, , E2 E, , ... et l'ensemble somme £,des ensembles Ei+] , ... de cette suite à partir d'une
certaine valeur i de l'indice. La mesure de Ei est au plus égale à la somme de mesures
[i(niy£j) + fi(ni+15£/ + j) + ... et par conséquent est moindre que le reste tvi+ \ + tvi + 2 + •■■ de la série (5). En
prenant /' suffisamment grand on a un ensemble Ë, de mesure 77 aussi petite qu'on veut. Pour tous les points
de l'intervalle AB n'appartenant pas à Ei la suite/j (x), f2(x), ...,fn(x) est uniformément convergente. On a
en effet pour ces points /cv(jc) < R„ +, (jc) < £,+ h ..., et, par conséquent, \f,„ - f\< £( + /> pour m>ni + p.
En prenant p assez grand on pourra faire toutes les différences /OT-/à partir de m = + moindres en
valeur absolue à tel nombre £ qu'on voudra, la suite £p £2, £3, ... convergeant vers zéro.
Nous avons donc démontré le théorème suivant :
Théorème. — Si l'on a une suite de fonctions mesurables convergente pour tous les points d'un
intervalle AB sauf peut-être les points d'un ensemble de mesure nulle, on pourra toujours enlever de
l'intervalle AB un ensemble de mesure 77 aussi petite qu'on voudra et tel que pour l'ensemble complémentaire
[de mesure = m(AB) - 77 ] la suite est uniformément convergente.
On peut dire que chaque suite convergente dans un intervalle est en général uniformément convergente
(wesentlich gleichmàssig, d'après M. Weyl) dans l'intervalle.
On voit sans peine que ce théorème est susceptible d'un grand nombre d'applications.
1. H. Weyl, Uber die Konvergenz von Reihen die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten, Mathematische Annalen,
t. 67, p. 225.
2. R„(x) est évidemment mesurable.
3. Pour un point de convergence, Rn(x) est évidemment égale à l'un des termes de la suite (2). [L'expression « limite
supérieure » doit s'entendre ici au sens de « borne supérieure de l'ensemble des termes de la suite ».]

CHAPITRE 3
ESPACES U
FONCTIONS CONVEXES ET INÉGALITÉS
Bien des inégalités parmi les plus usuelles de l'Analyse trouvent leur origine dans la notion
de convexité.
3.1. Définition. — Une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ]a, b[ où
-oo< a < b < +00 y est dite convexe si l'inégalité
<p(( 1 - X)x + Xy) < ( 1 - X)cp(x) + X<p(y) (1)
est vérifiée pour tous nombres x, y, X tels que a < x < b, a <y < b, 0< X< \.
En représentation graphique, cette condition signifie que pour* < t < y, le point (r, <p(t)) est
situé au-dessous de, ou sur la droite joignant les points (jc, <p(x)) et (y, (p{y)). L'inégalité (1)
équivaut encore à l'inégalité
(p(t)-(p(s) < (p(u)-cp(t) (2)
t- s u-t
pour tous a<s<t<u<b.
Joint à (2), le théorème de la moyenne, montre tout de suite qu'une fonction réelle et diffé-
rentiable <p est convexe dans ]a, b[ si et seulement si a < s < t entraîne qt(s) < qj(t) ; c'est-à-
dire si et seulement si la dérivée qf est une fonction monotone croissante.
Ainsi, la fonction exponentielle est convexe sur ]- 00, <»[.
3.2. Théorème
Si (p est convexe sur ]a, b[, cette fonction est continue sur ]a, b[.
Démonstration. — L'idée de la démonstration s'exprime plus aisément en langage
géométrique. Ceux qui ne trouveraient pas cette démonstration assez « rigoureuse » sont invités à la
traduire en termes d'epsilons et de deltas.
Supposons que a < s < x < y < t <b. Appelons S le point du plan (5, (p(s)) et faisons de
même avec x, y, r. Le point X est au-dessous de, ou sur la droite SY, donc Y est au-dessus de,
ou sur la droite SX. D'autre part, Y est au-dessous de, (ou sur) la droite XT. Il en résulte que
lorsque y —» jc , Y —» X c'est-à-dire que (p(y) —> <p(x). On raisonne de même pour les limites
à gauche, ce qui démontre la continuité de (p.

78
espaces lï
Remarquons que l'hypothèse « ]a, b[ est un intervalle ouvert » est essentielle. Par exemple,
si ç(x) = 0 sur [0, 1[ et q>(\) = 1, la fonction (p vérifie 3.1 (1) sur [0, 1], sans y être continue.
3.3. Théorème. (Inégalité de Jensen.)
Soit |l une mesure positive sur une G-algèbre SR sur un ensemble £2 telle que |i(X2)= 1. Soit f
une fonction à valeurs réelles, appartenant à L\\i), et telle que a <f(x) < b pour tout x 6 Q.
Si (p est une fonction convexe sur ]a, b[, on a l'inégalité
(Vof)dfi. (1)
Remarque. — Les cas a = - °°et b = oone sont pas exclus. Il se peut que (pof n'appartienne
pas hL\\i), auquel cas l'intégrale, comme la preuve le montrera, doit être entendue en un sens
plus général, celui décrit à la section 1.31, avec comme valeur + <*>.
Démonstration. — Posons t = J f dfi. On a a < t < b. Si fi est la borne supérieure de l'ensem-
n
ble des quotients de gauche de 3.1 (2), où a < s < t, P est alors inférieur ou égal à tous les
quotients de droite de 3.1 (2), pour tout u € ]t, b[. On en déduit que
<p(s)>(p(t) + f5(s-t) (a<s<b). (2)
D'où
<p(f(x))-cp(t)-P(f(x)-t)>0 (3)
pour tout xe Q. La fonction <p étant continue, (pof est mesurable. En intégrant les deux
membres de (3) par rapport à lu (1) résulte de notre choix de r et de l'hypothèse \i(£2) = 1.
Pour donner un exemple, soit ç(x) = e". La relation (1) devient alors
expUfdil Yïje'dfi. (4)
Si £2 est un ensemble fini, formé disons des points px, p2, pn, et si
la relation (4) devient
^({P/}) = J. f(Pi) = xi.
expj^Or, + ... + *„) J < + ... + ex*)9 (5)
pour tous X; réels. Posant y{ = e , nous obtenons l'inégalité familière entre les moyennes
arithmétique et géométrique de n nombres positifs :
i 1
{y\yi"-yn)n ^-(^i + yi + ••• (6)
En revenant à (4), ceci explique que l'on appelle souvent moyennes arithmétique et
géométrique de la fonction positive g, respectivement, les membres de droite et de gauche de
l'inégalité
exp j Jlog g dfi 1 < jg dji. (7)

fonctions convexes et inégalités
79
En prenant = a, > 0, avec ^ct, = 1 , on obtient au lieu de (6) l'inégalité
y"1 y?2-~ynn <cx]yl + a2y2+ ... + cxny„. (8)
Ce ne sont que quelques exemples pour donner idée de ce que peut le théorème 3.3.
Pour une réciproque, voir l'exercice 20.
3.4. Définition. — Si deux nombres positifs p et q vérifient p + q = pq, ce qui est équivalent à
p q
on dit que p et q forment un couple d'exposants conjugués. Il est clair que (1) entraîne
1 < p < oo et 1 < q < oo. Un cas particulier important est p = q = 2.
Quand p —» 1, alors q —» oo. C'est pourquoi l'on convient de dire que 1 et «> peuvent encore
être considérés comme des exposants conjugués. Bien des analystes écrivent p" pour l'exposant
conjugué de p, sans même le dire explicitement.
3.5. Théorème
Soient p et q des exposants conjugués avec 1 < p < oo. Soit X un espace mesuré, de mesure \L
Soient f et g des fonctions mesurables sur X, à valeurs dans [0, °°]. On a
J/gJ/i<|j/^JP||gV/xJ9 (1)
et
i 1 i
j J(/ + gfd^ < | J/V/l j" + \\g"d^. (2)
(1) est appelée l'inégalité de Hôlder, (2) l'inégalité de Minkowski. Pour p = q = 2, l'inégalité (1)
est connue sous le nom d'inégalité de Schwarz.
Démonstration. — Soient A et B les deux facteurs du membre de droite de (1). Si A = 0,/= 0 p.p.
(d'après le théorème 1.39) ; d'où fg = 0 p.p., et (1) est vérifiée. Si A > 0 et B = oo, (1) est encore
évidente. Il nous suffit donc de considérer le cas 0 < A < <*>, 0 < B < oo.
Posons
F = i G = l-
Ceci donne
JFpdn = jcfdn =1. (4)
X X
Pour xe X vérifiant 0 < F(x) < oo et 0 < G (x) < <», il existe des nombres réels s et t tels que
£ L 11
F(x) = ep, G(x) = eq. Comme - + - = 1, la convexité de la fonction exponentielle entraîne
P <l
i + L
ep q<p-]e5 + q-]e'. (5)
D'où pour tout xe X,
F(x)G{x) < p~xF(x)p + q~]G(x)q <6)

80
espaces lf
En intégrant (6), on obtient en utilisant (4)
JFGdjil<p~l +q~[ = 1.
(7)
x
En insérant (3) dans (7), on obtient (1).
On aurait aussi bien pu obtenir (6) comme cas particulier de l'inégalité 3.3 (8).
Pour démontrer (2), on écrit
(f+g)p = /•(/+*r5+*(/+g)
(8)
L'inégalité de Hôlder donne
(9)
Soit (9') l'inégalité (9) dans laquelle on a permuté les fonctions / et g. Comme (p - \)q=p,
l'addition de (9) et (9') donne
Il est clair que ceci suffit pour démontrer (2) dans le cas où le membre de gauche est positif
et celui de droite inférieur à l'infini. La convexité de la fonction f pour 0 < t < oo montre que
Par suite le membre de gauche de (2) est inférieur à l'infini, et (2) découle de (10) en divisant
par le premier facteur du membre de droite de (10), en gardant à l'esprit que 1 - - = - . Ce
qui achève la démonstration.
Il est quelquefois utile de connaître sous quelles conditions l'inégalité se transforme en une
égalité. Dans beaucoup de cas, on peut le savoir en examinant la démonstration de l'inégalité.
Par exemple, on a l'égalité dans (7) si et seulement si l'égalité a lieu dans (6) pour presque
tout jc . Par suite, « F9 = Gq p.p. » est une condition nécessaire et suffisante pour que en
supposant (4), l'égalité ait lieu dans (7). En revenant aux fonctions initiales / et g, on obtient alors
le résultat suivant :
En supposant A < <*> et Z? < on al 'égalité dans ( 1 ) si et seulement s'il existe deux constantes
a et fi, non toutes deux nulles, telles que <xfp= figq p.p.
Nous laissons à titre d'exercice la discussion analogue de l'égalité dans (2).
Elle a lieu dans (5) si et seulement si s = /.
Dans cette section, X sera un espace mesuré quelconque muni d'une mesure positive [L
3.6. Définition. — Pour 0 < p < et pour toute fonction mesurable à valeurs complexes
définie sur X, on pose
(10)
P
ESPACES U
ESPACES U
(D

espaces L
81
et on appelle LP{\\) l'ensemble de toutes les fonctions pour lesquelles
Il/Il, <<*>• (2)
ll/Hp s'appelle la norme Lp de /.
Si ji est la mesure de Lebesgue sur Rk, on écrit Lp(Rk) au lieu de comme à la
Section 2.21. Si |i est la mesure de dénombrement (définie par \i({a}) = 1 pour tout élément a
de A), on note habituellement l'espace U correspondant par lp(A\ ou simplement F (si A est
dénombrable). On peut considérer un élément de F comme une suite de nombres complexes
x = (£.) et
\\x\\p = jsi^rp.
3.7. Définition. — Supposons g : X —» [0, oo] mesurable. Soit S l'ensemble de tous les
nombres réels tels que
/i(s-l(]a;~])) = 0. (1)
Pour 5 = 0, posons p = °°. Pour 5*0, posons P = inf 5. Puisque
*"■(]&~1) = Û*~{lP + -,~]\ (2)
n = 1 V 71 /
et puisque la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles de mesure nulle est de mesure
nulle, on voit que p e S. On appelle P la borne supérieure essentielle de g.
Pour une fonction mesurable à valeurs complexes définie sur X, on définit H/IL comme étant
la borne supérieure essentielle de |/|, et on appelle L°° (fi) l'ensemble de toutes les fonctions
mesurables / pour lesquelles H/IL < oo. Les éléments de L°°(ju) sont parfois appelés les
fonctions mesurables essentiellement bornées sur X.
Il découle de cette définition que l'inégalité \f (x)\ < X a lieu p.p. si et seulement si X > H/IL.
Comme dans la définition 3.6, LT(Rk) désigne la classe de toutes les fonctions sur Rk
essentiellement bornées (relativement à la mesure de Lebesgue) et /°° (A) est la classe de toutes les
fonctions bornées sur A. (Dans ce dernier cas, « borné » à la même signification qu'«
essentiellement borné », puisque tout sous-ensemble non vide a une mesure positive).
3.8. Théorème
Soient p et q des exposants conjugués où 1 <p < °o. Si /e Lp(fX) et ge Lq(ju), alors
/«€ Ll(n) et
ll/gll, <II/IL llglL d)
Démonstration. — Pour 1 < p <~, (1) est tout simplement l'inégalité de Hôlder appliquée à
|/| et à |g|. Si p = oo, remarquons que
\f(x) g(x) | < H/IL |*(*)| (2)
est vérifiée p.p. ; en intégrant (2) on obtient (1). Si p = 1, alors q = ©o et l'on applique le même
raisonnement.
3.9. Théorème
Supposons 1 < p < oo et f g Lp(ji), g g Lp(jli). La fonction f + ge Lp(fi) et
llZ + sMII/l + UI,.
(D

82
espaces l
Démonstration. — Pour 1 < p < oo, ceci découle de l'inégalité de Minkowski, puisque
j\f + g\"dnïj{\f\ + \g\)pdn.
x x
Pour p = 1 ou p = ©o, (l) est une conséquence immédiate de l'inégalité \f + g| < \f \ + \g\.
3.10. Remarques. — Fixons /?, 1 < p < ©o. Si / e Z/(/i), et si a est un nombre complexe, il
est clair que af e Lp(ji). En fait
lla/l, = loi 11/11,. (D
Ceci, avec le théorème 3.9, montre que lf(ji\ est un espace vectoriel complexe.
Supposons que f g, h soient dans U (jï). En remplaçant / par f- g et g par g- h dans le
théorème 3.9, on obtient
ll/-^ll,<ll/-^llp + k-^llp. (2)
Ceci suggère l'introduction d'une métrique dans IfQÏ) en définissant la distance de / et g
comme étant ||/- g\\p. Appelons pour l'instant cette distance d(f, g). On a 0 < d(/", g) < oo,
d(f,f) = 0,d(f,g) = d(g,f), et (2) montre que l'inégalité triangulaire d(f,h)<d(f, g) + d(g, h)
est satisfaite. Pour définir un espace métrique, la seule propriété que devrait encore vérifier d
est que d(f, g) = 0 implique/= g. Ce n'est pas le cas puisque d(f, g) = Q signifie exactement
fM = g (x) pour presque tout x.
Écrivons f - g si et seulement si d(f,g) = 0. Il est clair qu'on définit ainsi une relation
d'équivalence dans lf(ji) qui partitionne Lf(p) en classes d'équivalence. Si F et G sont deux
classes d'équivalence, choisissons / e F, g e G et définissons d(F, G) = d(f, g) ; on remarque
que /-/, et g-g, implique
d(f,g) = d(fugl),
de sorte que la définition précédente est cohérente.
Avec cette définition, l'ensemble des classes d'équivalences constitue cette fois un espace
métrique. Il faut noter que cet ensemble est encore un espace vectoriel puisque / ~ fx et g - g,
impliquent / + g~/i+gi, ainsi que af~afx.
En considérant lf(ji) comme un espace métrique, l'espace dont on parle n'est pas un espace
dont les éléments sont des fonctions, mais un espace dont les éléments sont des classes
d'équivalence de fonctions. Cependant, pour la simplicité du langage, on relègue d'habitude cette
distinction à l'état de sous-entendu et l'on continue de parler de LFQi) comme d'un espace de
fonctions. Nous suivrons cette habitude.
Si {fn} est une suite de Lf(iï), si f e Lp(jU), et si lim ||/„ - f\\ = 0, on dit que [fn] converge
1 —> oo
vers f dans LP(fi) (ou que/„ converge vers / en moyenne d'ordre p, ou que {/„} est LT-
convergente vers /). Si pour tout e> 0 il existe un entier N tel que - fm\\ < e dès que n > N et
m>N, on dit que [fn] est une suite de Cauchy dans Lf(ji). Ces définitions sont exactement
celles que l'on prend dans tout espace métrique.
C'est un fait particulièrement important que Lp{jX) soit un espace métrique complet, c'est-à-
dire que toute suite de Cauchy de Lp(jï) converge vers un élément de IfQi).
3.11. Théorème
Pour 1 < p < oo et pour toute mesure positive jl, Lp (ji) est un espace métrique complet.

espaces Lr
83
Démonstration. — Supposons d'abord 1 <p < °°. Soit {/„} une suite de Cauchy dans Lf(ji).
Il existe une sous-suite {fnt }, n{ < n2 < ... telle que
|/„i + i-/„J<2-'' (1=1,2,3,...). (D
Posons
k
** = SIA+, - /«J - s = X |/«(+, - /«J • (2)
/ = i / = i
Puisque (1) est vérifiée, l'inégalité de Minkowski montre que ||g/t||p< 1 Pour 1. 2, 3, ...
De sorte que l'application du lemme de Fatou h {g?} donne \\g\\p < 1. En particulier, g(x) < °°
p.p., de sorte que la série
/-,W+I(/./tlW-/.,W) (3)
I = 1
est absolument convergente pour presque tout jcg E. Appelons sa somme /(jc) quand (3)
converge, et posons/(jc) = 0 sur l'ensemble restant qui est de mesure nulle. Puisque
k- 1
/«, + £(/*,.,,-/«,.) = /v (4)
on voit que
f(x) = lim /„.(*) p.p. (5)
Nous avons trouvé une fonction / qui est la limite simple p.p. de {/„.} ; il faut maintenant
démontrer que cette fonction est la limite de {/„} au sens de LP. Soit £> 0. Il existe N tel que
Wfn ~ fm\\p < £ Pour n> N et m> N. Pour tout m>N,\e lemme de Fatou montre donc que
J|/-/J'4i < limjnfjl/^-/^^^^. (6)
x ' x
L'inégalité (6) permet d'affirmer que f-fme Lp(ii), puis que / g Lp(fi) (en effet/= (f-fm) +/„),
et finalement que ||/ - fm\\p —> 0 quand m -» ~. Ce qui achève la démonstration pour 1 < p < «>.
Dans L°°(jï) la démonstration est beaucoup plus simple. Soit {fn} une suite de Cauchy de
LT(iï), soient Ak et Bmn les ensembles sur lesquels |/*(jt)| > ||/*IL et
|/«(^) - fmW\ > Wfn - /mlL- Soit E la réunion de ces ensembles, pour k,m,n= 1, 2, 3,... Alors
fj,{E) = 0 et sur le complémentaire de E la suite {fn} converge uniformément vers une fonction
bornée /. Posons /(jc) = 0 pour xe E. Alors / g L°°(//), et ||/„ - /fl^ —> 0 quand
La démonstration précédente contient un résultat qui vaut la peine d'être énoncé à part :
3.12. Théorème
Soit p un nombre tel que 1 <p<°° et soit [fn} une suite de Cauchy dans U (jj) possédant une
limite /. // existe une sous-suite de la suite {/„} qui converge ponctuellement presque partout
vers /.
Les fonctions étagées jouent un rôle intéressant sur Lp (fï).
3.13. Théorème
Soit S l'ensemble de toutes les fonctions étagées, mesurables, à valeurs complexes, définies
sur X et telles que
H({x:s(x)*0})<oo. (1)
Pour 1 < p < oot S est dense dans U (/i).

84
espaces l!
Démonstration. — D'abord il est clair que s c Lp(jj,). Supposons/> 0, / e Lp(fi), et
définissons {sn} comme au théorème 1.17. Puisque 0<sn<f sne Z/(jz), d'où sne s. Puisque
|/- sn\p < fp, le théorème de la convergence dominée montre que ||/- s„|| —> 0 quand n —»
Ainsi, / appartient à la fermeture de la s dans LP. Le cas général (/ complexe) se déduit de ce
cas particulier.
APPROXIMATION PAR DES FONCTIONS CONTINUES
Jusqu'à maintenant, nous avons considéré Lp(ji) sur un espace mesuré quelconque.
Supposons à présent que X soit un espace localement compact séparé, et que /i soit une mesure sur
une cr-algèbre Tri sut X, possédant les propriétés établies au théorème 2.14. Par exemple X peut
être Rk et jà la mesure de Lebesgue sur Rk.
Sous ces hypothèses, on a le théorème suivant, analogue au théorème 3.13.
3.14. Théorème
Pour 1 <p < oo, CC(X) est dense dans LP(ji).
Démonstration. — Définissons s comme au théorème 3.13. Pour se s et e>0, il existe
g e CC(X) telle que g(x) = s(x), sauf sur un ensemble de mesure inférieure à £, et |g| < |HL
(théorème de Lusin). D'où
\\g-s\\p<2eLp\\sL. (1)
Comme s est dense dans LP (^), ceci achève la démonstration.
3.15. Remarques. — Étudions en détail les relations entre les espaces LP (Rk) (les espaces LP
pour la mesure de Lebesgue de Rk) et l'espace Cc(Rk). Supposons la dimension k fixée.
Pour tout pe [ 1, o°], on peut définir sur Cc (Rk) une métrique associée à la distance ||/ - g\\p.
Remarquons que cette distance définit bien une métrique, sans qu'il soit nécessaire de passer
aux classes d'équivalence. En effet, si deux fonctions continues sur Rk ne sont pas identiques,
elles diffèrent sur un ouvert non vide V, avec m(V) > 0 puisque V contient un pavé. Ainsi, si
deux éléments de Cc(Rk) sont égales p.p., elles sont égales. Il n'est pas non plus sans intérêt de
noter que dans Cc (Rk) la borne supérieure essentielle est la même que la borne supérieure : pour
feCc(Rk).
H/IL = suP|/(x)|. (D
Pour 1 <p < oo, le théorème 3.14 dit que Cc(Rk) est dense dans LP(Rk) et le théorème 3.11
montre que LP (Rk) est complet. Ainsi LP (Rk) réalise une compléîion de Vespace métrique obtenu
en munissant Cc (Rk) de la métrique Lp.
Les cas p = 1 et p = 2 sont les plus intéressants. Énonçons une fois de plus, mais en d'autres
termes, le résultat précédent pour p = 1 et k = 1 ; cet énoncé montre que l'intégrale de Lebesgue
est, sans doute possible, la « bonne » généralisation de l'intégrale de Riemann :
5/ la distance entre deux fonctions continues f et g à support compact de R est définie par
l_Jf(t)-g(t)\dt, (2)
la compléîion de Vespace métrique ainsi défini est exactement Vensemble des fonctions intégrables
au sens de Lebesgue sur R], à condition d'identifier deux fonctions égales presque partout.

exercices
85
Bien entendu, tout espace métrique S admet une complétion S* dont les éléments peuvent être
définis abstraitement comme classes d'équivalence de suites de Cauchy de S (voir [Rudin, 1976,
p. 82] p. 82). L'important dans le cas présent est que les diverses complétions de Cc(Rk) au sens
d'une norme LP se révèlent être encore des espaces de fonctions sur Rk.
Le cas p = oo est différent des cas p < oo. La complétion de Cc (Rk) n 'est pas LT (Rk), mais
C0(Rk), l'espace de toutes les fonctions continues sur R11 qui s'annulent à l'infini », notion que
nous définirons bientôt à la Section 3.16. Puisque (1) montre que la norme LT coïncide avec la
norme définie par la borne supérieure sur Cc(/?*), l'affirmation précédente quant à C0(Rk) est
un cas particulier du théorème 3.17.
3.16. Définition. — On dit qu'une fonction / à valeurs complexes définie sur un espace
localement compact séparé X s'annule à l'infini si pour tout e > 0, il existe un sous-ensemble
compact K de X tel que |/(jc)| < e à l'extérieur de K.
L'ensemble de toutes les fonctions / continues sur X qui s'annulent à l'infini est appelé
C0(X).
Il est clair que CC(X) c C0(X\ et que les deux ensembles coïncident si X est compact. Dans
ce dernier cas, on écrit simplement C(X).
3.17. Théorème
Si X est un espace localement compact séparé, C0 (X) est la complétion de Cc (X) relativement
à la métrique provenant de la norme définie par la borne supérieure.
Il/H = sup|/(*)|. (1)
xe X
Démonstration. — Une vérification élémentaire assure que C0(X) satisfait les axiomes d'un
espace métrique si l'on prend ||/-g|| pour distance de / à g. Il faut montrer que (a) CC{X) est
dense dans C0 (X) et (b) C0 (X) est un espace métrique complet.
Étant donnés / g Cq(X) et £> 0, il existe un compact K tel que \f(x)\ < £ à l'extérieur de K.
Le lemme d'Urysohn nous fournit une fonction g g Cc (X) telle que 0 < g < 1 et g(x) = 1 sur
K. Posons h =fg. Alors h g Cc(X) et ||/-h\\ < e. Ce qui démontre (a).
Pour démontrer (b), prenons une suite de Cauchy {fn} dans C0(X), c'est-à-dire supposons que
[fn] converge uniformément. Sa limite simple / est donc continue. Pour tout £> 0, il existe n
£ £
tel que ||/„ - /|| < - et un compact K tel que |/„(*)| < ^ à l'extérieur de K. D'où \f(x)\ < £ à
l'extérieur de K, ce qui montre que / s'annule à l'infini. Ainsi CQ(X) est complet.
EXERCICES
1. Démontrer que la borne supérieure de toute famille de fonctions convexes sur ]a, b[ est
encore convexe sur ]a, b[ et que toute limite simple d'une suite de fonctions convexes est
convexe. Que peut-on dire d'une limite supérieure ou inférieure d'une suite de fonctions
convexes ?

86
espaces LF
2. Si (p est convexe sur ]a, b[ et si y/est convexe non décroissante sur l'image de (p, démontrer
que (po(p est convexe sur ]<z, b[. Pour (p> 0, montrer que la convexité de \og(p entraîne celle
de (p, la réciproque étant fausse.
3. Soit (p une fonction continue à valeurs réelles sur ]a, b[ telle que
pour tous jc, y e ]a,b[. Démontrer que <p est convexe. (Cette conclusion ne peut pas être
obtenue en omettant l'hypothèse de continuité.)
4. Soit / une fonction à valeurs complexes et mesurable sur X, fi une mesure positive sur X et
Soit E = {p :(p(p) <<*>}. Supposons ||/|L>0.
(a) Pour r<p<s, re E, se E, démontrer que p e E.
(b) Démontrer que log (p est convexe à l'intérieur de E et que <p est continue sur E.
(c) D'après (û), E est connexe. E est-il nécessairement ouvert ? fermé ? E peut-il être réduit
à un point ? E peut-il être n'importe quel sous-ensemble connexe de ]0, «>[ ?
(d) Pour r<p<s, démontrer que ||/||p < max(||/||r, ||/|| J. Montrer que ceci implique
l'inclusion Lr(fi)r^L5(fi)çzLp(fi).
(e) En supposant ||/||r < 00 pour unr<«>, démontrer que \\f\\p —> H/IL quand /? —> «>.
5. En plus des hypothèses de l'exercice 4, supposons [i(X)= 1.
(a) Démontrer que ||/||r < \\f\\s, pour 0 < r < s < °o.
(b) À quelles conditions peut-on avoir 0<r<s<°°et ||/||r = ||/||v < 00 ?
(c) Démontrer que Lr(jX) => Z/(jU) pour 0 < r < s. À quelles conditions ces deux espaces
contiennent-ils les mêmes fonctions ?
(d) En supposant ||/||r < 00 pour un r > 0, démontrer que
ou l'on pose exp (-°°) = 0.
6. Soit m la mesure de Lebesgue sur [0, 1] et ||/||p la norme correspondante. Trouver toutes
les fonctions O définies sur [0, +~[ telles que la relation
soit vérifiée pour toute fonction /, positive, mesurable et bornée. On démontrera d'abord que
c&(x) + (\-c)&(\) = 0(xc) (jc>0,0<c< 1).
Comparer à l'exercice 5 (d).
<P(P) =j\f\Pdfl = H/11; (0 </><-).
x
7. Pour certaines mesures, l'inégalité r < s entraîne Lr(fi) cz Ls(fi) ; pour d'autres, l'inclusion
est renversée ; et il y en a pour lesquelles U (fï) ne contient pas U (ji) pour r * s. Donner des
exemples de ces situations, et trouver des conditions sur ji pour que ces situations se produisent.

exercices
87
8. La fonction g étant une fonction positive sur ]0, 1[ telle que g(x) —> oo quand x —> 0, il
existe une fonction convexe h sur ]0, 1[ telle que h < g et h(x) —» oo quand x —» 0. Vrai ou
faux ? Le problème est-il changé si Ton remplace ]0, 1 [ par ]0, ~[ et x —> 0 par x —> oo ?
9. Supposons que / soit mesurable pour la mesure de Lebesgue sur ]0, 1 [, et ne soit pas
essentiellement bornée. D'après l'exercice 4 (e), \\f\\p —> oo quand p —> oo. \\f\\p peut-il tendre vers
l'infini arbitrairement lentement ? Plus précisément, est-il vrai que pour chaque fonction
positive 0 sur ]0, oo[ telle que &(p) —» °o quand p —» ©o , on puisse trouver une fonction / telle que
Il/Il/> —> °° quand p —> ©o, mais que ||/||p < <P(p) pour tout p suffisamment grand ?
10. Soient /„ e Z/(jU), pour n - 1, 2, 3, ..., ||/„ - /||p -> 0 et fn-*g p.p. quand n -> oo.
Quelle relation existe-t-il entre / et g ?
11. Supposons /i(i2) = 1, et soient / et g deux fonctions mesurables positives sur Q telles que
fg > 1. Démontrer que
J/4i- Jg4u>i.
12. Supposons jU(!2) = 1 et h : Q—» ]0, +oo[ mesurable. Si A = jhdjj., démontrer que
Vl +A2 < jj\ +h2dy. < 1 + A.
Si est la mesure de Lebesgue sur [0, 1 ] et si h est continue, avec h = /', les inégalités ci-
dessus ont une interprétation géométrique simple. A partir de ceci, émettre des hypothèses (pour
Q quelconque) sur les conditions que doit vérifier h pour avoir l'égalité dans l'une ou l'autre
des inégalités ci-dessus, et démontrer les résultats annoncés.
13. A quelles conditions portant sur / et g a-t-on l'égalité dans les conclusions des théorèmes 3.8
et 3.9 ? On pourra avoir à traiter séparément les cas p = 1 et p = ©o.
14. Soit 1 < p < oo, / g If = Z/(]0, + oo[), relativement à la mesure de Lebesgue, et
F(x) = -ff(t)dt (0<jc<oo).
x Jo
P
(a) Démontrer l'inégalité de Hardy HFll^-—qui assure que l'application / —» F
envoie LP dans LP.
(b) Démontrer qu'on a l'égalité seulement si/= 0 p.p.
(c) Démontrer qu'on ne peut pas remplacer ^ par une constante plus petite.
p- 1
(d) Pour/> 0 et / g L1, montrer que F ë L1.
Indications : (a) Supposer d'abord/> 0 et / g Ct.(]0, oo[). Une intégration par parties donne
\~Fp(x)dx = -p\~Fp-\x)xF(x)dx.
Remarquer que x F'= /- F, et appliquer l'inégalité de Hôlder à JFP~ ]fdx.En déduire le
-i
cas général, (c) Prendre, pour A assez grand f(x) = xp sur [1, A],f(x) = 0 ailleurs.

88
espaces l?
15. Soit [an ] une suite de nombres positifs. Démontrer que
r. n \
N - 1 v « = 1 J
P
pour 1 < p < oo.
Indication : Si an > an + ] utiliser l'exercice 14. Ce cas particulier entraîne le cas général.
16. Démontrer le théorème d'Egoroff : si /x(X) < oo, si [fn] est une suite de fonctions
complexes mesurables qui converge simplement en chaque point de X, et si £ > 0, il existe un ensemble
mesurable E czX avec \i(X-E)<£, tel que {/n} converge uniformément sur E. (On en conclut
qu'en définissant autrement les fn sur un ensemble de mesure arbitrairement petite, on peut
transformer une suite simplement convergente en une suite uniformément convergente ;
remarquer l'analogie avec le théorème de Lusin.)
Indication : Poser
S{n,k)= n\x:\Mx)-fj(x)\<-k
montrer que pour chaque jii(S(n, k)) —>\i (jc) lorsque n —» ©oet démontrer qu'il existe une
suite croissante {nk} telle que E = n S(nk, k) ait la propriété désirée.
Montrer que le résultat ne s'étend pas aux espaces c-finis.
Avec essentiellement la même démonstration, montrer que le théorème ne se généralise pas
au cas où la suite {/„} est remplacée par une famille \ft) où r parcourt les réels positifs. On fait
alors comme hypothèses pour tout jc g X,
(i) lim/,(*) = /(jc)
/->»
et
(ii) t —> ft(x) est continue.
17. (a) Si 0 < p < oo, posons y = max(l, 2pI). Montrer que
|a-pysy„(|a|' + |p7),
pour des nombres complexes quelconques a et fi.
(b) Soit |i une mesure positive sur X, 1 ^ p < ©°, / g Lp(ji), /„ g Lp(fi), f„(x) -> /(jc) p.p.,
et WfnWp —> ll/llp quand Démontrer qu'alors /im ||/-/JP = 0 en complétant les
deux preuves proposées ci-dessous.
(i) Par le théorème d'Egoroff, X= A u B de telle manière que jj/T < < 00 et /« /
uniformément sur B.
Le lemme de Fatou, appliqué à J|/»r, conduit à
B
lim sup \\fn\pdfi<£.
A
(ii) Poser hn = Yp(\f\p + \fn\P) - \f - fn\P, et utiliser le lemme de Fatou, comme dans la
démonstration du théorème 1.34.
(c) Montrer que la conclusion de (b) est fausse si l'on omet l'hypothèse il/ n\\p * \\J \\p , même
si fl(X) < oo.

exercices
89
18. Soit u. une mesure positive sur X. On dit qu'une suite {/„} de fonctions complexes et
mesurables sur X converge en mesure vers la fonction mesurable / si pour tout £> 0, il existe
Af tel que pour tout n > N
fi({x:\fn(x)-f(x)\ >£})<£.
(Cette notion est importante en théorie des probabilités.) En supposant \i(X) < °°, démontrer que
(a) Si /„ (x) f(x) p.p., fn -> / en mesure.
(b) Si /„ g Lp(fï) et || / - /„ || p -> 0, alors /„ -> / en mesure (ici 1 < p < -).
(c) Si /„ —> / en mesure, {fn} a une sous-suite qui converge vers / p.p.
Étudier les réciproques de (a) et (b). Que se passe-t-il pour (a), (b), et (c) lorsque |a(X> = oo,
par exemple si \i est la mesure de Lebesgue de R] ?
19. On définit l'image essentielle d'une fonction / g L°°Qi) comme l'ensemble Rf de tous les
nombres complexes w tels que
H([x:\fx-w\<£})>0
pour tout e > 0. Démontrer que /?7 est compact. Quelle relation existe-t-il entre Rf et le nombre
h/il ?
Soit A7 l'ensemble de toutes les moyennes —jj^ \fd\i où £ g W et |l(Zs) > 0.
Quelles relations y a-t-il entre Af et Rfl Af est-il toujours fermé ? Y a-t-il des mesures \i telles
que Af soit convexe pour tout / g LT(fi) ? Y a-t-il des mesures ji pour lesquelles Af ne soit pas
toujours convexe ?
Comment ces résultats sont-ils modifiés si LT(jJ) est remplacé par L (jj) (par exemple) ?
20. Soit <pune fonction réelle sur Z?1 telle que <pQ lf(x)dxj<j [(p(f)dx pour toute fonction
/ réelle, mesurable et bornée. Démontrer que q> est alors convexe.
21. Un espace métrique Y est appelé complétion de l'espace métrique X si X est dense dans
K et si Y est complet. À la section 31.5, on a parlé de « la » complétion d'un espace métrique.
Énoncer et démontrer un théorème d'unicité qui justifie cette terminologie.
22. Soit u. une mesure positive sur X, \x(X) < oo, f e LT(fX), H/IL > 0 et a„ = J \f\ndfx pour
n = 1, 2, 3, ... Démontrer que
lim ^ = ll/L.
23. Soit |i une mesure positive, / g Lp(fj), g e Lp(jj).
(a) Si 0 < p < 1, montrer que
jli/i"-igi1^< j\f-g\pdfi.
En déduire que D (/, g) = J |/ - g|p<i^ définit une métrique sur (fi) et que l'espace
métrique résultant est complet.
(b) Si 1 <p < oo et H/IL < /?, || g IL < R, montrer que
\\\f\p-\g\p\dfi<2PRp-[\\f-g\\'\

90
espaces lp
Indication : Montrer d'abord pour x > 0, y > 0, que
\x-y\p si 0<p< 1
I p p\ ^
\x -y | <
p\x-y\(xp~ +yp~ ) ^/ 1</?<<*>.
Remarquer que (a) et (b) prouvent la continuité de l'application / —> \f\p qui envoie Lp{jj)
dans Ll(fi).
24. Soit ji une mesure positive sur X et / : X —> ]0, <»[ telle que J/d^u = 1. Démontrer, pour
tout EczX avec 0 < p(£) <°°, que *
j(\ogf)dfi<fi(E) log-j^-.
Et montrer, lorsque 0<p< 1, que
25. Si / est une fonction positive et mesurable sur [0,1 ], lequel des deux nombres est le plus grand
lf{x)\ogf(x)dx ou \ lf(s)ds\l\ogf(t)dt7
0 j0 jq
NOTES HISTORIQUES
Paru en 1934 et consacré aux inégalités, le livre de Godfrey Hardy, John Littlewood et Gyorgi Pôlya a
influencé toute une génération de mathématiciens. Il reste aujourd'hui encore une référence. Il traite
d'inégalités devenues classiques par son effet, et donne des méthodes systématiques pour leur obtention ;
il envisage aussi bien les conditions d'égalité dans ces inégalités. Elles étaient connues pour la plupart, en
particulier celles qui permirent la théorie des espaces L . Ainsi, en 1889, Hôlder avait exposé une inégalité
portant sur une famille finie de nombres non négatifs av a2 an, et pour des nombres p et q supérieurs
x t i i^é.: a~ : : *■ . *■ _ i ti ~u*.
liés par la relation de conjugaison - + - =
P <7
Il obtenait
Dans le livre de 1934, non seulement il est indiqué une inégalité stricte (sauf si les a? et b? sont
proportionnels), mais en outre le cas 0 < p < 1 est envisagé, l'inégalité apparaissant alors dans le sens inverse.
On peut en dire autant du traitement de l'inégalité décrite par Hermann Minkowski en 1896.
Cauchy est apparemment le premier auteur à avoir envisagé les fonctions convexes comme moyen de
déduire des inégalités. Il partait d'une relation faible,
(p\ -^J ^ Y 2y , x, y e ]a, b[.
Moyennant sa continuité, il déduisait1 la convexité de la fonction <p :
<p((l -X)x + Xy)<(\ -\)ç(x) + \<p(y),a<x<b,a<y<b,0<\< 1.
(D
(2)
1. Ceci fait l'objet de l'exercice 3.

notes historiques
91
La continuité que Cauchy venait de définir était ce qui importait. Étudiée dans un article publié en 1906,
l'inégalité (1) définit les fonctions convexes au sens de Jensen ; certains auteurs comme Emil Artin parlent
plutôt de convexité faible. Les fonctions dites de Jensen sont celles pour lesquelles l'égalité a lieu dans (1).
Parce qu'elles ne sont pas mesurables au sens de Lebesgue, les fonctions convexes de Jensen non continues
possèdent des propriétés surprenantes, chacune donnant lieu à des critères de régularité du genre tout ou
rien, une propriété de borne suffisant, par exemple, à obtenir la plus grande régularité possible comme le
montrait Wacaw Sierpinski dans les années 20.
C'est beaucoup plus tôt, en 1910 et dans un article d'une cinquantaine de pages publié aux Mathema-
tische Annalen, que F. Riesz introduisit la théorie des espaces Lp, le cas p = 2 ayant été traité
précédemment (voir chapitre 4). L'intérêt de Riesz, celui de David Hilbert également, est alors pour la théorie des
équations intégrales. C'était l'aspect fonctionnel qui était considéré comme majeur, non la possible théorie
de la mesure. Riesz insiste sur le fait que Lp est un espace complet, un résultat que Fischer avait établi en
même temps ; Riesz établit en outre la dualité des espaces Lp et Lq (théorème 6.16). Le « réalisme » de la
convergence au sens Lp est exhibé par le théorème 3.12, et ainsi les espaces Lp apparaissent en position,
en quelque sorte intermédiaire entre convergence ponctuelle et convergence uniforme. C'est aussi une
partie de leur intérêt. De nombreux autres types de convergence ont été étudiés ; l'un particulièrement
important concerne la convergence en probabilité (exercice 18, [Halmos, 1950, chap. 9], et voir l'extrait
de Egoroff du chapitre 2).
Selon les espaces mesurés, et pour les différents exposants p, les espaces Lp sont différemment mais
précisément imbriqués les uns dans les autres, et leurs relations sont indiquées par des inégalités portant
sur les normes. Ces inégalités ont une version discrète lorsque la mesure p est portée par un ensemble fini.
De telles inégalités furent développées dans le livre de Hardy, Littlewood et Polya. Une étude simple est
due à A. Villani en 1985.
Ce sont donc des inégalités — et ceci est caractéristique de l'analyse fonctionnelle comme on le verra au
chapitre 5 — qui permettent de mieux analyser le sens de la convergence dans un espace Lp. L'exercice 17
est typique à cet égard, et montre le rôle du théorème d'Egoroff. La deuxième démonstration suggérée ((ii)
dans cet exercice) est due à W.P. Novingen, découverte également, comme le précise Rudin, par David Hall.
RÉFÉRENCES
[Cauchy, 1821]
O. Hôlder, Ûber einen Mittelwertsatz, Gottinger Nachrichten, 38-47, 1889.
H. Minkowski, Géométrie der Zahlen I, Leipzig, Teubner, 115-117, 1896.
J.L. W.V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes, Acta Math.,
30, 175-193, 1906.
F. Riesz, Untersuchungen uber Système integrierbarer Funktionen, Math. Annalen, 69, 449-497, 1910,
Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 441-489, 1960.
W. Sierpirfski, Sur les fonctions convexes mesurables, Fundamenta Mathematica, 1, 125-129, 1920.
E. Artin, Einfuhrung in die Théorie der Gammafunktion, Hamburger Math. Einzelschriften, 1 Heft,
1931 ; The Gamma Function, trad. M. Butler, Holt, Rinehart, Winston, 1964.
[Hardy, Littlewood, Pôlya, 1934].
W.P. Novinger, Mean convergence in Lp spaces, Proc. Am. Math. Soc, 34, 627-628, 1972.
A. Villani, Another note on the inclusion Lp<^Lq, Amer. Math. Monthly, 92, 485-487, 1985,
(voir traduction au chapitre 5).

92
espaces LP
TEXTES
Pour la déduction d'inégalités, on donne en lecture un extrait du texte de Jensen de 1906 sur les
fonctions convexes ; une traduction d'un texte de E. Artin sur la propriété de convexité logarithmique de la
fonction Gamma et enfin une autre traduction d'un passage du livre de Hardy, Littlewood, et Polya de
1934 sur l'inégalité des moyennes arithmétique et géométrique qui reproduit l'esprit du livre.
1- Les fonctions convexes de Jensen (1906). J'introduirai la définition suivante. Lorsqu'une fonction
(p(x), réelle, finie et uniforme, de la variable réelle x, satisfait dans un certain intervalle à l'inégalité
?W + ())W>2(|)(^) (1)
on dit que (p{x) est une fonction convexe dans cet intervalle. Si au contraire <p(x) satisfait à l'inégalité
9(X) + Ç(y)<2ç(^^ (2)
on dit que ç(x) est une fonction concave.
On suppose en outre que ces inégalités ne se réduisent pas constamment, dans l'intervalle donné, à
l'égalité (3)
<P(X) + <p(y) = 2(p(ï±ï^ (3)
dans, ce cas la fonction <p(x) est dite « linéaire » dans l'intervalle donné. Cette expression a été adoptée
parce que l'égalité (3) est satisfaite par ç(x) = a + bx.
Il ressort de ces définitions que les fonctions « linéaires » forment une transition de la classe des
fonctions convexes à celle des fonctions concaves, et qu'elles doivent être considérées comme des cas limites
communs aux deux classes.
6° Le calcul différentiel nous fournit un moyen général de décider si des fonctions qui peuvent être
différentiées sont convexes ou concaves. Si en effet f(x) est réelle et uniforme dans un certain intervalle,
et possède une deuxième dérivée déterminée, finie et continue, on aura, en vertu du théorème de Rolle
f(x) + f(y) - 2/(^) = {^)(f')(x'\
x1 étant un nombre intermédiaire entre x et y. Donc f(x) sera convexe tant que f'(x) sera positive, concave
tant que f'(x) sera négative. La signification géométrique de ce fait est évidente. En effet, si une fonction
convexe <jp(jc) est susceptible d'une représentation géométrique en coordonnées rectangulaires, l'équation
y = q>{x) définit une courbe, tournant sa convexité vers les v négatifs.
Remarque. Les trois inégalités suivantes :
<p(*)<p(y)>[(^)]2 , <p(x) positif;
<p(x) + <p(y) > 2<p(Jxy), jc et v positifs ;
ç{x)<p(y)>[(p(«Jxy)] , x et y positifs, <p(x) positif;
peuvent être ramenées à (1) par des substitutions simples, à savoir, respectivement :
\ogcp(x) = 0(x\(ex) = 0(x\\ogç(x) = 0(x).
2. Généralisation de l'inégalité (1).
Supposons que ç(x) soit une fonction convexe quelconque dans un intervalle donné, et que jc,, x2, xv ...
soient tous situés dans cet intervalle ou à ses limites. De (1), il suit que
, . , v ✓ x , fX\+X2\ ^ ^1+^4^^ a fX, + X2 + X-i+ Xa^
+ <p(x2) + <p(x,) + <p(x4) > 2<p(^y^J + 2ç)^^—4j > 4^-! ^-2 ^
et généralement, m étant un entier positif

notes historiques
93
2m / 2m ^
v=l V v=1 )
comme on le voit facilement par l'induction complète. Si alors n est un entier positif, et si l'on choisit
m tel que 2'" > n , on peut poser
_ _ _ JC, + x2 + ...xn
Xn + 1 — Xn + 2 — ■■■ — X2m ~ '
Et on trouve alors n
jc, + x2 + ...x„\ ^ „ fjc,+jc2 +
v = I
laquelle est une généralisation de l'inégalité (1), qui sert à définir les fonctions convexes.
Il est clair qu'une inégalité semblable s'applique aux fonctions concaves : il suffit de renverser le signe
d'inégalité. Pour les fonctions « linéaires » l'inégalité devient simplement une égalité.
Supposons maintenant que <p(x) est une fonction continue et convexe dans un certain intervalle. Nous
savons qu'il existe de telles fonctions par les exemples précédents. Soit encore n = «, + n2 + ...nm où tous
les rip sont des entiers positifs. Il résulte de (4), en choisissant les jc d'une manière convenable,
(p[z\(nix\ +n2*2+ ...nmxjj < ^{n]ç(xl) + n2(p(x2) + ...nmq>(x„))
niment, mais de telle sorte que
d'où il résultera
nx ax n2 a2 nm_l am_
lim — = —, lim— = —,..., lim =
n a n a n a
,. h_ , a, + flj + ...flM_i am
lim— = 1
n a a
et par suite, <p(jc) étant continue par hypothèse,
9(=^-> )<^^
a a
ce qui démontre le théorème suivant :
Lorsque (p(jc) est une fonction continue et convexe dans un intervalle donné, on aura l'inégalité
Y" avxv Y" avç(xv)
<p(=^ )É=^-! (5)
où jc,, jc2, représentent des nombres tous situés dans l'intervalle, et où av a2, sont des nombres
positifs, mais d'ailleurs quelconques.
Pour les fonctions concaves, le signe d'inégalité doit être renversé. Cette proposition est d'une telle
généralité, que peut-être toutes les inégalités connues entre les valeurs moyennes sont comprises comme
cas très particuliers.
3. Applications de la formule (5).
Dans ce qui suit, les nombres représentés par a, b, c, a, ft, y, ... seront supposés positifs. Posons
dans la formule (5) (p{x) = xp,p > 1, jc > 0, donc <p(jc) est convexe, comme on l'a vu. On aura

94
espaces LP
(6)
où tous les x sont positifs. L'inégalité (6) se réduit à une simple identité pour xx = x2 =
aussi valable pour p < 0, tandis qu'elle doit être renversée pour 0 < p < 1 . Pour al
retrouve un résultat donné auparavant par M. H. Simon1.
En faisant p = 2 et en remplaçant av par av, xv par —, on trouve
n n n
<5>A)2£5X5>2
v = 1 v = 1 v = 1
formule due à [Cauchy, 1821, p. 455], qui en donne d'ailleurs une démonstration toute différente.
Sur une certaine fonction convexe. Nous avons vu plus haut que Y" cv \x - xv\ est convexe dans
tout intervalle qui comprend au moins un des points jc,, jc2, ... Ceci peut servir à former une fonction
convexe dont les dérivées à droite et à gauche sont différentes en tous les points d'un ensemble
dénombrable réel, donné à l'avance.
Soit en effet c,, c2, ... une suite infinie de nombres positifs, xv jc2, ... une suite infinie de nombres réels
et bornés, et supposons la série ^Tcv convergente. Il résulte des recherches sur le principe de Cantor
concernant la condensation des singularités, qui sont exposées dans Dini-Luroth (Théorie der Funktionen
einer Verànderlichen reellen Grosse, §108) que la fonction f(x) = ^n c,.|jc-jck.| qui est convexe
comme nous avons vu plus haut a partout une dérivée unique, sauf aux points jc,, jc2, jc3 ... En ces points
la fonction a une fonction dérivée à droite et une autre à gauche, et l'on a af( + xv)-f(-xv) = 2cv.
Si, par exemple, pour l'ensemble (jcv) , on choisit les nombres rationnels de l'intervalle (0,1) dans un ordre
déterminé, f(x) sera convexe dans cet intervalle, et aura une dérivée finie en tous les points irrationnels,
tandis qu'aux points rationnels les fonctions dérivées à droite et à gauche diffèrent par un nombre positif.
En terminant je ne puis m'empêcher d'ajouter quelques remarques. Il me semble que la notion
« fonction convexe » est à peu près aussi fondamentale que celles-ci : « fonction positive », « fonction
croissante ». Si je ne me trompe pas en ceci, la notion devra trouver sa place dans les expositions
élémentaires de la théorie des fonctions réelles.
2. Convexité et fonction Gamma : la présentation de Emil Artin de 1931. [À partir de majorations de
la fonction à intégrer au voisinage de zéro et de l'infini Artin avait établi que T(x) = j"*''**'1 est bien
définie pour tout jc > 0 ].
Théorème. Une fonction /(jc) qui satisfait les trois conditions suivantes coïncide sur son domaine de
définition avec la fonction F :
(1) f(x+l) = xf(x),
(2) Le domaine de définition de /(jc) contient E = { jc : jc> 0} et f est logarithmiquement convexe sur E,
(3) f(\)= 1.
Démonstration : [Pour une fonction / définie sur un intervalle contenant £ et à valeurs dans £, être
logarithmiquement convexe signifie que la fonction log/est convexe. Si /(jc)/"(jc) - (f(x))2 > 0, et
/(jc) > 0 comme on le déduit aisément du théorème, la fonction log/ est convexe. Cette condition est
évidemment satisfaite par T(jc) qui est définie sur E et satisfait donc les conditions (1), (2) et (3) du
théorème. Ayant prouvé l'existence d'une telle fonction, reste à montrer son unicité].
... =xm. Elle reste
= a2 = ... = 1, on
1. H. Simon, Ueber einige Umgleichungen, Zeitschrift fiir Math, und Physik, t. 33, p. 57, 1888.

notes historiques
95
Soit /(jc) une fonction qui satisfasse les trois conditions du théorème. Pour tout , et tout entier
n > 1 , en appliquant successivement (1), on a/fjc + n) = (jc + n - \) (x + n - 2) ... (jc + 1) xf(x). Par
suite, les valeurs de / sur ]1, °°[ sont déterminées par celles de / sur ]0, 1]. En particulier f(n) = (n - 1) !
[ceci prouve que T(/i) = (n - 1) !]. Pour démontrer le théorème, il suffit alors de vérifier l'égalité
/(jc) = T(jc) pour tout jc g ]0, 1 ].
On exprime la convexité logarithmique en écrivant la croissance du quotient des différences calculé en
(-1 + n) et «, (jc + n) et n et (1 + n) et n où l'entier n > 1 et jc g ]0, 1 ]■ Soit
log/(- 1 + n) - log/(n) ^ log(/(* + ai) - log/(«) ^ log/( 1 + n) - log/(/i)
(-1+m)-aî (jc + rt)-rt (l+n)-«
Ce qui s'écrit encore avec f(n) = («-!)!
i / n ^ log/(jc + n)-\og(n~ 1) !
log(/z - 1 ) < °^ — — < logrt
jc
ou encore
log((« - 1 Y(n - 1 ) !) < log/(jc + n) < \og(nx(n - 1 )!).
Comme le logarithme est une fonction strictement croissante sur E, on a
(n- \)x(n- 1)! <f(x + n)<nx(n- 1) !
Grâce à la relation de récurrence sur/(jc + n) on a
(/i-l)'(n-l)! < - < fi'(n-l)!
(jc + az-1)(jc + aî-2)...(jc+1)jc yi ' (jc + n-1)(jc + «-2)...(jc+1)jc
jc + aî
(jc + aî)(jc + n - 1)...(jc+ 1)jc n
Valides pour tout n > 2 , ces inégalités demeurent si dans le membre de gauche on change n en (n + 1 ). Donc
nxn ! _ ft'tt! jc + k
(jC + A7)(jC+fl- 1)...(JC+ 1)JC ~ ' W ~ (jC + rt- 1)(JC + AI-2)...(JC + 1)JC AI
On précise autrement
n . nxn
^X)x + n~ (x + n){x + n- 1)...(jc + \)x~fM'
En faisant tendre n vers l'infini, on a
/(jc) = lim
nxn\
„-~(jc + h)(jc +n - 1)...(jc+ 1)jc
Puisque la fonction Tsatisfait les conditions (1), (2) et (3) du théorème, comme / elle satisfait aussi la
relation de récurrence pour jc g ]0, 1]. De ce fait, f et T coïncident sur ]0, 1] et donc partout. Ce qui
termine la démonstration.
En particulier, on obtient une formule due à Gauss,
l(x) ~ „™~(;c + w)(jc + ,ï_1)...(jc+1)jc'
la validité de cette relation étant facilement étendue à tout jc> 0 .
3. Le théorème des moyennes arithmétique et géométrique : ia présentation de Hardy, Littlewood et
Polya en 1934. [Notations : ^qa désigne _ \\aq désigne J"j<^'. les nombres a,, av an
i = 1
sont non négatifs, les p2, pn sont positifs, s4(a) = , YYlr\a)
n
pour r>0, q^(a) = (fl,...fl„)r]
Nous parvenons au théorème le plus fameux sur le sujet.

96
espaces l!
r™ . v i a, + a2 + + a„ .
Théorème : yal...a„< , a moins que les a ne soient égaux.
L'inégalité à prouver peut s'écrire sous l'une des deux formes
1 ^ />, + ...+/>„ ;
flï' <£<?a (2)
où selon l'usage ^ = 1 .
Ce théorème est tellement fondamental que nous proposons plusieurs démonstrations, de degré variable
de simplicité et de généralité. Des deux ici fournies, la première est tout à fait élémentaire. La deuxième
dépend du théorème 3 et donc, pour le moment, de la théorie des fonctions exponentielle et logarithme111.
Nous indiquerons plus tard comment rendre cette démonstration conforme aux canons121 adoptés en 1.7.
(i) [Cauchy, 1821, p. 375] et d'après les Éléments d'Euclide (livre II, prop. 5).
ffli+fl2y fat-ai}2 Jai+ai^2
à moins que ax = av De sorte que
n n n n < f°l + °2^3 + «4^ ^ fal + a2 + «3 + <*<
«I«2"3"4 —
2 A 2 J ~\ 4
l'inégalité survenant ici ou là à moins que al = a2 = a3 = a4. En itérant n fois l'argument, on obtient
(<xx + a2 + ... + a,„\2n
-..<( *—
aia2a3...a2n < ^ — -| , (3)
à moins que les a ne soient égaux. Ainsi (3) est l'inégalité (1) pour des poids /?, égaux à l'unité, et l'entier
n étant une puissance de 2.
Choisissons maintenant un entier n quelconque inférieur à 2". On pose = a,, b2 = a2, bn - an
i i i a, + a2+... + a,, . _ ... T ,
et 0M + 1 = b,l + 2 = ... = b.n - — = . On utilise (3) avec b pour obtenir
1 n
„m (bi+b2 + ...+b2„x>m (ns4 + (2m-n)é*y"
ou ala2a3...an < &4n,
à moins que tous les b et donc tous les a ne soient égaux. A donc été prouvé (1) pour des poids p égaux
à l'unité. Grâce au procédé expliqué à la section 2.2, on en déduit (1) pour des poids rationnel131.
Lorsque les poids ne sont pas rationnels, on peut les approcher par des rationnels, obtenir ( 1 ) en ce cas
et passer à la limite. Dans ce procédé, l'inégalité " < ", et le théorème n'est donc pas entièrement prouvé.
On peut achever la preuve comme suit. On écrit
qv = q\. + q"v(v = 1, 2, n) ,
où qv > 0, q" > 0 , et qv' est rationnel. De sorte que
sont rationnels avec r' + r" = 1 . Nous avons déjà démontré (1), avec « < » pour des p rationnels, et avec
« < » dans tous les autres cas. Donc
[1. Le théorème 3 indique que //mr_>0Wr(a) = <tf(a).]
[2. Les auteurs ont indiqué en introduction qu'ils ne donnent dans le chapitre II, ici traduit, que des preuves
élémentaires, sans passage à la limite, utilisation de la continuité ou de la dérivation. Mais plus loin, ils font dépendre la théorie
des inégalités de la théorie des fonctions d'une variable réelle, puis de la théorie de l'intégrale.]
[3. Par homogénéité, on peut supposer les poids p entiers et passer ainsi aux rationnels.

notes historiques
97
Une autre façon de terminer cette démonstration nous a été indiquée par R.E. A.C. Paley. Elle repose sur
le théorème1 6. De celui-ci, de la formule cïïlrs{a) = { Wv(ar)};, et de ce qui a été démontré jusqu'ici,
on a
s*(a) = cmi(a)>cm[(a) = m][^>^2{a^ = ^{a).
(ii) (O. Schlômilch, 1858)2
Par les théorèmes (3) et (6), on a
<stf(a) = mi(a)>m,(a)>m,(fl)> ... >m2_„(a)> limm2_„(a) = q^(a).
2 4 "_>0°
Cette démonstration très concise n'est pas aussi élémentaire que la précédente. Mais on observera que
n'est requis comme limite que le cas où les f tendent vers 0 selon la suite particulière 2 ".
1. Ce théorème indique lflr(a) < cYYViXà), r > 0 , à moins que les a ne soient tous égaux.
2. O. Schlolmich, Uber Mittelgrôssen verschiedenen Ordnung, Zeit.fur Math, und Physik, 3, 308-310, 1858.

CHAPITRE 4
THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES ESPACES
DE HILBERT
PRODUITS SCALAIRES ET FORMES LINÉAIRES
4.1. Définition. — Un espace vectoriel complexe H est appelé espace préhilbertien (ou
unitaire) lorsqu'à tout couple ordonné de vecteurs jc et y e H est associé un nombre complexe
(jc, y), appelé produit scalaire (ou produit intérieur) de jc et de y, vérifiant les axiomes suivants :
(a) (y, jc) = (jc, y). (La barre désigne l'opération de conjugaison complexe).
(b) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) si jc, y, z e H.
(c) (ojc, y) = a(jc, y) si jc, y e H xa est un scalaire.
(d) (x, x) >0 pour tout xe H.
(e) (jc, jc) = 0 seulement pour x = 0.
Voici quelques conséquences immédiates de ces axiomes :
(c) entraîne que (0, y) = 0 pour tout y e H.
(b) et (c) peuvent être réunis dans l'assertion : pour tout y e H, l'application x —» (jc, y) esf
wne forme linéaire sur H.
(a) et (c) montrent que (jc, ccy) = â(jc, y).
(a) et (b) entraînent la deuxième propriété de distributivité : (z, jc + y) = (z, x) + (z, y).
En vertu de (d), on peut définir ||jc||, la norme du vecteur jc e //, comme la racine carrée
positive ou nulle de (jc, jc). Ainsi
(f) Ml2 = (x,x).
4.2. L'inégalité de Schwarz. — Les propriétés 4.1 (a) à (d) entraînent \(x, y)| < ||jc|| ||y||
pour tous x et y e H.
Démonstration. — Posons A = ||jc||2, B = |(jc, y)| et C = ||y||2. Il existe un nombre complexe
a tel que \a\ = 1 et a (y, jc) = B. Pour tout réel r, on a alors
(jc- ray, x- ray) = (jc, jc) - ra(y, x) - rà(x, y) + r2(y, y). (1)

100
théorie élémentaire des espaces de hilbert
L'expression de gauche est réelle, positive ou nulle. D'où
A-2Br + Cr2>0 (2)
pour tout réel r. Si C = 0, on doit avoir B = 0, autrement (2) est fausse pour r positif assez grand.
Si C > 0, en prenant r = B/C dans (2) on obtient effectivement B2 < AC.
4.3. L'inégalité triangulaire. — Pour tous x et y e H, on a
\\x + y\\<\\x\\ + \\y\\.
Démonstration. — D'après l'inégalité de Schwarz
\\x + y\\2 = (x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y)
< ll-^M2 2(1-^1111^11 h^ll2 = Cll-^ll ||j^||>2.
4.4. Définition. — Il résulte de l'inégalité triangulaire que
\\x-z\\<\\x-y\\ + \\y-z\\ (x,y,zeH). (1)
Si nous définissons la distance entre jc et y comme étant ||jc - y||, tous les axiomes d'un espace
métrique sont satisfaits. C'est ici que l'on utilise pour la première fois l'axiome (e) de la
définition 4.1.
Ainsi H est maintenant un espace métrique. Si cet espace métrique est complet, c'est-à-dire,
si toute suite de Cauchy converge dans H, H est appelé espace de Hilbert.
Dans le reste du chapitre, la lettre H désignera un espace de Hilbert.
4.5. Exemples. — (a) Pour tout n fixé, l'ensemble des n-uplets x - (£,, ... Çn) où Çn
parcourent les nombres complexes, est un espace de Hilbert si, comme à l'accoutumée, l'on
définit composante à composante l'addition et la multiplication par un scalaire et si l'on pose
n
(x,y) = ^Çjrjj (y = (rj„ r/J).
(b) Si fi est une mesure positive, L2 (/i) est un espace de Hilbert, pour le produit scalaire
(/.*) = jfgdn.
X
À droite, la fonction à intégrer d'après le théorème 3.8, appartient à L1 (fi) de sorte que (f, g)
est bien défini. Remarquons que
11/11 = (/. fY = Jl/I>p =
Le théorème 3.11 montre que L2(fi) est complet, c'est donc bien un espace de Hilbert. (On
rappelle qu'on doit considérer L?(ji), comme un espace de classes d'équivalence de fonctions ;
c/les remarques faites à la Section 3.10.)
Pour H = L2 (ju), les inégalités 4.2. et 4.3 sont des cas particuliers des inégalités de Hôlder et
de Minkowski.
Remarquons que l'exemple (a) est un cas particulier de (b). Quelle est alors la mesure
correspondant à cet exemple ?

produits scalaires et formes linéaires
101
(c) L'espace vectoriel des fonctions continues à valeurs complexes sur [0, 1] est un espace
préhilbertien pour le produit scalaire suivant
mais ce n'est pas un espace de Hilbert.
4.6. Théorème
Pour tout y fixé dans H, les applications
jc->(jc, y), x->(y, x), jc->||jc||
sont des fonctions continues sur H.
Démonstration. — L'inégalité de Schwarz entraîne
qui montre que jc •-> (jc, y) est, en fait, uniformément continue ; de même pour jc —> (y, jc).
L'inégalité triangulaire ||jc,|| < ||jc, - jc2|| + ||jc2|| donne
pour tous jc, et jc2 e H. Ainsi jc —» ||jc|| est aussi uniformément continue.
4.7. Sous-espaces. — Un sous-ensemble M d'un espace vectoriel Vest appelé un sous-espace
de V si Af est lui-même un espace vectoriel, relativement à l'addition et à la multiplication par
un scalaire qui sont définies dans V. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un sous-
ensemble Af de V soit un sous-espace est que, pour tous jc, y g Af et tout scalaire a, jc + y g M
et axe M.
Dans le cadre d'un espace vectoriel, le mot « sous-espace » aura toujours cette signification.
Il arrivera, pour accentuer, que soit utilisé le terme « sous-espace vectoriel » au lieu de sous-
espace.
Par exemple, si V est l'espace vectoriel de toutes les fonctions à valeurs complexes sur un
ensemble S, l'ensemble des fonctions à valeurs complexes bornées sur S est un sous-espace de
V ; mais l'ensemble des / g V telles que |/(jc)| < 1 pour tout X g S n'en est pas un. Les seuls
sous-espaces de l'espace vectoriel réel /?3 sont : (a) R3 (b) les plans passant par l'origine 0, (c)
les droites passant par l'origine et (d) {0}.
Un sous-espace fermé M de H est un sous-espace fermé pour la topologie induite par la
métrique de H.
Si M est un sous-espace de H, ainsi en est-il de sa fermeture Af. Pour le prouver, choisissons
jc et y dans Af et un scalaire a. Il existe des suites {jcn} et [yn] d'éléments de M qui convergent
respectivement vers x et y. Il est alors facile de vérifier que jc„ + y„ et axn convergent vers jc + y
et ax respectivement. De sorte que jc + y g Af et axe M.
4.8. Ensembles convexes. — Un ensemble E d'un espace vectoriel V est dit convexe s'il
possède la propriété géométrique suivante : pour tous jc, y e E et 0 < t < 1, le point
z, = (\-t)x + ty
\(xl9y)-(x29y)\ = K^-^y^lljc-Jc.Hllyll,

102
théorie élémentaire des espaces de hilbert
est également dans E. Quand t décrit [0, 1], on voit que zt décrit un segment de droite dans V,
de x à y. La convexité exige que E contienne les segments joignant deux quelconques de ses
points.
Il est clair que tout sous-espace de V est convexe.
Par ailleurs, si E est convexe, il en est de même d'un quelconque de ses translatés
E + x = {y + x : ye E}.
4.9. Orthogonalité. — Lorsque pour jc et y g H, on a (jc, y) = 0, on dit que jc est orthogonal
à y, et l'on écrit parfois jc ± y . Puisque (jc, y) = 0 entraîne (y, jc) = 0, la relation ± est symétrique.
Notons jc1 l'ensemble de tous les y g H qui sont orthogonaux à jc ; si M est un sous-espace
de /Y, notons M± l'ensemble des éléments y g H qui sont orthogonaux à tous les x g M.
Remarquons que jc1 est un sous-espace de //, puisque x±y et jc±y' entraîne jc_L(y + y')
et jc _L (Xy. D'autre part, jc1 est exactement l'ensemble des points où s'annule la fonction
continue y —» (jc, y). Donc x1 est un sous-espace fermé de H.
Comme on a M1 = P\ jc1, M1 est une intersection de sous-espaces fermés et par suite M1 est
x 6 M
un sous-espace fermé de //.
4.10. Théorème
Towf sous-ensemble E non vide, fermé et convexe d'un espace de Hilbert H contient un
unique élément de norme minimum.
En d'autres termes, il existe un et un seul jc0 g E tel que ||jc0|| < ||jc|| pour tout jc g E.
Démonstration. — Par un calcul facile, utilisant seulement les propriétés cataloguées à la
définition 4.1, on obtient l'identité
h + yf + U-yt = 2|U||2 + 2W2 {x et ye H). (1)
Cette égalité est dite du parallélogramme. En effet, interprétant ||jc|| comme la longueur du
vecteur jc, l'identité (1) dit que la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est
égale à la somme des carrés de ses côtés, propriété bien connue en géométrie plane.
Soit 8 = inf{||jc|| : jc g E} . Pour tous jc et y g £, en appliquant (1) à ^jc et ^y on obtient
2 2J
^l2. (2)
\\\x-y\\2 = \\\42+l-\\y\
(jc + y)
Comme E est convexe, 1—rr11 e E. D'où
2
||jc-y||2<2||jcH2 + 2||y||2-452 (jc etyeE). (3)
Si de plus ||jc|| = ||y|| = S, (3) entraîne jc = y, ce qui démontre l'unicité dans le théorème 4.10.
Par définition de 5, il existe une suite {yn} dans E telle que ||yj —> 8 quand n —> oo.
Remplaçons jc et y dans (3) par yn et ym. Alors, quand n —» <» et m —> , le membre de droite de (3)
tendra vers zéro. Ce qui montre que {yn} est une suite de Cauchy. H étant complet, il existe
x0 e H tel que yn —> jc0 » c'est-à-dire ||y„ - jc0|| —> 0 quand n —> °o . Comme y„ g E et que E est
fermé, jc0 g E. Comme la norme est une fonction continue sur H (théorème 4.6), il en résulte que
Wl = lim||yj = 8.

produits scalaires et formes linéaires
103
4.11. Théorème
Soit Af un sous-espace fermé de H.
(a) Tout xe H se décompose d'une façon unique
x = Px + Qx
en une somme de Px e Af et Qx e Af1.
(b) Px et Qx sont les points les plus proches de x dans M et M1 respectivement
(c) Les applications P : H —» M et Q : H —» M sont linéaires
(d) H2 = \\Pxf + \\Qxf.
Corollaire. — Si M*H, il existe ye H, y * 0, tel que y±M.
Les applications P et Q sont appelées les projections orthogonales de H sur Af et Af1.
Démonstration. — Pour ce qui concerne l'unicité dans (a), supposons x' + y' = x" +y", où
jc', x" sont des vecteurs de Af et y', y" des vecteurs de Af1. On a
x' - jc" = y" - y'.
Puisque jc' - jc" g Af, y" - y' g Af1, et Af n Af1 = {0} (conséquence immédiate du fait que
(jc, jc) = 0 donne jc = 0), on a jc" = je', y" = y'.
Pour ce qui concerne l'existence de la décomposition, remarquons que l'ensemble
jc +Af = {jc + y : y g Af}
est à la fois fermé et convexe. Définissons Qx comme l'élément de plus petite norme de jc + Af.
Le théorème 4.10 en prouve l'existence.
Définissons Pjc = jc - Qjc.
Puisque gjc g jc + Af, alors Px g Af. Ainsi P envoie H dans Af.
Afin de démontrer que Q envoie H dans Af1, nous établissons Q(x,y) = 0 pour tout
y g Af. Supposons ||y|| = 1 , ce qui ne restreint pas la généralité, et posons z = Qx. La propriété
de minimum de Qx montre que
(z,z) = ||z||2<|k-ay||2 = (z-ay,z-ay)
pour tout scalaire a. Ce qui se simplifie en
0 < a- a(y, z) - â(z, y) + aa.
Avec a = (z, y), ceci donne 0 < -|(z, y)|2, de telle sorte que (z, y) = 0. Ainsi gjc g Af1.
Nous avons déjà vu que Px g Af. Si y g Af, il s'ensuit que
Wx-yf = \\Qx + (Px-y)\\2 = \\Qx\\2 + \\Px-y\\\
expression évidemment minimale lorsque y = Px.
Nous avons démontré (a) et (b). Si nous appliquons (a) à x, à y et à ax + j3y, nous obtenons
P(ax + Py) - aPx - flPy = aQx + fiQy - Q(ax + j3y).
Le membre de gauche est dans Af, celui de droite dans Af1. Chacun des deux est donc nul, et P
et Q sont linéaires.
Puisque Pjc ± Qx, (d) se déduit de (a).
Pour démontrer le corollaire, prenons xe H, xe M, et posons y = Qx. Comme Px e Af,
jc * Pjc, on a y = jc - Pjc * 0.

104
théorie élémentaire des espaces de hilbert
Nous avons déjà observé que x —» (x, y) est, pour tout y e H, une forme linéaire continue
sur //. C'est un fait particulièrement important que toutes les formes linéaires continues sur H
soient de ce type.
4.12. Théorème
Si L est une forme linéaire continue sur H, il existe un unique y e H tel que
Lx = (jc,y) (jcg H). (1)
Démonstration. — Si Lx = 0 pour tout jc, prenons y = 0. Sinon, soit
M = {x:Lx = 0}. (2)
La linéarité de L montre que M est un sous-espace. La continuité de L montre que M est fermé.
Comme Lx * 0 pour au moins un jc g Hy le théorème 4.11 montre que M1 n'est pas réduit à {0}.
De sorte qu'il existe z g M1 tel que ||z|| = 1 . On pose
u = (Lx)z-(Lz)x. (3)
Puisque Lu = (Lx) (Lz) - (Lz) (Lx) = 0, on a u g M. Donc (u, z) = 0. Ce qui donne
Ljc = (Lx)(z,z) = (Lz)(x,z). (4)
Ainsi ( 1 ) a lieu avec y = az, ou a = Lz .
L'unicité de y se démontre aisément, car si (jc, y) = (jc,y') pour tout xe H, soit
z = y - y ; alors (jc, z) = 0 pour tout jc g H, en particulier (z, z) = 0, d'où z = 0 .
SYSTEMES ORTHONORMAUX
4.13. Définitions. — Si V est un espace vectoriel, si jc1} jc* e V, et si c,, ck sont des
scalaires, alors c,jc, + ... c^jc* est appelé une combinaison linéaire de x,, ...,jcfc. L'ensemble
{x,, xk) est dit (linéairement) indépendant si et seulement si l'égalité c,x, + ... qx* = 0
entraîne = ... = ck = 0. Un sous-ensemble S de V est dit indépendant si tout sous-ensemble fini
de S est indépendant. L'ensemble [S] constitué par toutes les combinaisons linéaires de tous les
sous-ensembles finis de S (également appelé ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies
d'éléments de S) est évidemment un espace vectoriel ; [S] est le plus petit sous-espace vectoriel
de V qui contienne S, [S] est appelé Vespace engendré par 5, ou l'extension linéaire de 5.
Un ensemble de vecteurs ua d'un espace de Hilbert //, où a décrit un ensemble d'indices A,
est appelé ensemble (ou système) orthonormal s'il satisfait aux relations d'orthogonalité
(u^ Up) = 0 pour tout a* fi, exe A, et j3e A et s'il est normalisé, c'est-à-dire, si \\ua\\ = 1 pour
tout cl g A. En d'autres termes, {ua} est orthonormal si et seulement si
[1 si a = /3,
("a, Up) = < . (1)
[0 si a * p.
Si {ua :ae A} est orthonormé, on associe à tout x g H la fonction x à valeurs complexes
définie sur l'ensemble d'indices A par
x(cx) = (x, ua) (exe A). (2)
Les nombres x( a) sont parfois appelés les coefficients de Fourier de x, relativement au système
Kl-

systèmes orthonormaux
105
Pour débuter, voici quelques faits simples relatifs aux ensembles orthonormés finis.
4.14. Théorème
Soit {ua : ae A} un système orthonormal dans H et F un sous-ensemble fini de A. Soit MF
l'espace engendré par {ua :ae F}.
(a) Si (p est une fonction définie sur A, à valeurs complexes, nulle en dehors de F, il existe
un vecteur y e MF, de fait
y = X (1)
ae F
tel que y (a) = (p(a) pour tout ae M. En plus
\\y\\2 = X l^")l2- (2)
ae F
(b) Si xe H et
sF(x) = £ *(a)i<a, (3)
ae F
on a
\\x-SF(x)\\<\\x-sl (4)
pour tout se MFi à l'exception de s - sF(x) et
2>(a)|2<IH|2. (5)
Démonstration. — (a) est une conséquence immédiate des relations d'orthogonalité 4.13 (1).
Pour la démonstration de (b), écrivons sF à la place de sF(x), et remarquons sF(a) = x(a)
pour tout a e F. Ce qui revient à dire (x- sF) ±ua si ae F. De sorte que (x - sF) ± (sF - s)
pour tout s e MF. Donc
\\x-sf = \\(x-sF) + (sF~s)\\2 = llz-jjrf + Hjf-jH2. (6)
Ce qui fournit (4). Avec s = 0, (6) donne ||sF||2 < ||;t||2, à savoir (5), grâce à (2).
L'inégalité (4) établit que les « sommes partielles » sF(x) de la « série de Fourier »
^x(a)ua de x est Tunique meilleure approximation de x dans MF, pour la métrique induite
par la norme hilbertienne.
4.15. — Nous voulons éliminer la condition de finitude dans le théorème 4.15 afin d'obtenir
les théorèmes 4.17 et 4.18 sans même avoir à se restreindre à des systèmes seulement
dénombrables. A cet effet, il est préférable de préciser ce que signifie le symbole ^ ç(ct) lorsque a
parcourt un ensemble arbitraire A. «e a
Si l'on suppose 0 < (p(a) <<*> pour tout ae A, le symbole
S (D
ae A
désigne la borne supérieure de l'ensemble de toutes les sommes finies (p(a^) + ... + ç(an)
lorsque «j, ... an sont des éléments distincts de A.
Un instant de réflexion permet de comprendre que la somme (1) est précisément l'intégrale
de Lebesgue de ç pour la mesure de dénombrement fl sur A.

106
théorie élémentaire des espaces de hilbert
Dans ce cadre, l'habitude est de noter lp(A) pour £f(ji). Une fonction <p à valeurs complexes
et dont le domaine de définition est A, appartient à /2(A) si et seulement si
£ |<p(a)|2<oo. (2)
ae A
L'exemple 4.5 (b) montre que P{A) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
(<P> W) = X ?<a) V^a). (3)
ae A
Ici encore, la somme prise sur A n'est autre que l'intégrale de (p\j/ pour la mesure de
dénombrement. Il est à remarquer que (pïj/e /'(A) puisque (pet y sont dans /2(A).
Le théorème 3.13 indique que les fonctions çdont les valeurs sont nulles sauf sur un
ensemble fini de A sont denses dans P(A).
En plus, si q>e / (A), le sous-ensemble {ae A : <p(a)ï0} est au plus dénombrable. En
fait, si An est l'ensemble des a tels que \ç(a)\ > \ /n, le cardinal de An est au plus
X Ma)|2<«22>(«)|2-
ae An ae /\
Chaque AH («=1,2,...) est donc un ensemble fini.
Le lemme suivant sur les espaces métriques complets facilitera le passage des systèmes
orthonormaux finis à ceux qui sont infinis.
4.16. Lemme
Supposons que
(a) X et Y sont des espaces métriques, et Y est complet,
(b) f : x y est continue,
(c) X possède un sous-ensemble dense X0 sur lequel f est une isométrie, et
(d)f(XQ) est dense dans Y.
Dans ces conditions, f est une isométrie de X sur Y.
La conclusion majeure est celle qui dit que / envoie X sur Y tout entier.
Rappelons qu'une isométrie est simplement une application qui conserve les distances. Par
hypothèse donc, la distance de /(jc,) à/(jc2) dans Y est égale à celle entre jc, et jc2dans X, et ce
pour tous points jc,, jc2 de X0.
Démonstration. •— Puisque X0 est dense dans X, que / soit une isométrie sur X est
conséquence immédiate de la continuité de /.
Choisissons y g Y. Puisque f(XQ) est dense dans y, il existe une suite [x„] dans XQ telle que
/(*«) —» y lorsque n —> <*>. La suite [f(xn)} est donc de Cauchy dans Y. Comme / est une
isométrie sur X0, {jcJ aussi est une suite de Cauchy. Comme X est complet, cette suite [xn]
converge vers un x e X et la continuité de / établit /(jc) = lim/(jcn) = y.
4.17. Théorème
Soit {ua : ae A} un système orthonormal dans H, et P son extension linéaire.

systèmes orthonormaux
107
Pour tout xe H on a l'inégalité,
Xi*(«)i2<iwi2. (d
ae A
L'application jc —» Je est linéaire de H sur l2(A) et sa restriction à la fermeture P de P est une
isométrie de P sur /2(A).
Démonstration. — Puisque l'inégalité 4.14 (5) a lieu pour tout sous-ensemble fini F de A,
l'inégalité (1) est vraie. On l'appelle Y inégalité de BesseL
On peut définir / sur H par /(jc) = jc. L'inégalité (1) montre bien que / envoie H dans /2(A),
et la linéarité de / est évidente. Avec (1) appliqué à x - y, on obtient
\\f(y)-f(x)\\2 = Il5>-*ll2<lb-jc||,
qui prouve la continuité de /. Le théorème 4.14 (a) établit que / est une isométrie de P sur un
sous-espace dense de ^(A), constitué des fonctions dont le support est un sous-ensemble fini
F cz A . Du lemme 4.16 appliqué à X = P, X0 = P et Y = l2(A) provient le théorème. On
notera que P, comme fermé dans un espace métrique complet, est lui-même complet.
On connaît le fait que l'application jc —> Je transporte H sur l2(A) sous le nom de théorème
de Riesz-Fischer.
4.18. Théorème
Soit {ua : exe A} un système orthonormal dans H. Chacune des quatre conditions suivantes
sur {ua} implique les trois autres :
(i) {ua} est un système orthonormal maximal dans H.
(ii) L'ensemble P de toutes les combinaisons linéaires finies d'éléments de {ua} est dense
dans H.
(iii) Pour tout xe H, on a l'égalité
\\x\\2 = £ \x(a)\2.
ae A
(iv) Pour tous xeHfyeH,ona l'égalité
(x,y) = £ *(a) y(«).
ae A
Cette dernière formule est connue sous le nom d'identité de Parseval. Remarquons que jc et y
appartiennent à /2(A), ainsi xy est dans l\A), de sorte que la somme dans (iv) est bien définie.
Bien évidemment (iii) est un cas particulier de (iv) pour lequel jc = y.
Les systèmes orthonormés maximaux sont fréquemment appelés systèmes orthonormaux
complets ou bases orthonormales.
Démonstration. — Dire que {ua} est maximal signifie simplement qu'aucun vecteur de H ne
peut être adjoint à {ua} pour former un ensemble qui soit encore orthonormal. Ceci arrive
précisément quand il n'existe pas de jc * 0 dans H qui soit orthogonal1 à tous les ua.
Nous allons démontrer que (i) entraîne (ii) qui entraîne (iii) qui entraîne (iv) qui entraîne (i).
1. Un système possédant cette dernière propriété, qui est aussi la propriété (ii), est souvent dit total (N.d.t.).

108
théorie élémentaire des espaces de hilbert
Si P n'est pas dense dans //, sa fermeture P n'est donc pas H tout entier, et le corollaire du
théorème 4.11 fournit un vecteur non nul dans PL. Ce qui, si P n'est pas dense, contredit la
maximalité de {ua}, établissant que (i) implique (ii).
Si (ii) a lieu, grâce au théorème 4.17, il en est de même de (iii).
L'implication (iii)—> (iv) provient de l'identité hilbertienne, dont la démonstration est
facile, quelquefois connue sous le nom d'« identité polaire »,
4(x,y) = \\x + yf-\\X-y\\2 + i\\X + iyf-i\\X-iy\\2.
Elle exprime le produit scalaire à partir de la norme, et elle vaut aussi bien pour jc, y mises à
la place de jc, y dans la simple mesure où P(A) est également un espace de Hilbert (Voir
l'exercice 19 pour d'autres identités de ce type). On notera que les sommes dans (iii) et (iv) sont
respectivement \\x\\l et (Je, y).
Enfin si (i) n'a pas lieu, il existe u * 0 dans H tel que (u, ua) = 0 pour tout ae A. Si jc = y = w,
(x9y) = ||m||2>0, mais x(a) = 0 encore pour tout ae A, et donc (iv) n'a pas lieu, ce qui
termine la démonstration.
4.19. Isomorphismes. — Pour le dire de façon informelle, deux systèmes algébriques de
même nature sont dits isomorphes s'il existe une bijection de l'un sur l'autre qui conserve leurs
propriétés algébriques de définition. Par exemple, on peut se demander si deux groupes sont
isomorphes, ou si deux corps sont isomorphes. Deux espaces vectoriels sont isomorphes s'il
existe une application linéaire bijective de l'un sur l'autre. Les applications linéaires sont celles
qui préservent les concepts de définition d'un espace vectoriel, à savoir l'addition et la
multiplication scalaire.
De la même manière, deux espaces de Hilbert Hl et H2 sont isomorphes s'il existe une
bijection linéaire A de Hx sur //2, qui préserve aussi le produit scalaire : (Ajc, Ay) = (jc, y) pour
tous jc et y g Hx. Une telle application A est un isomorphisme de //, sur H2 ou plus
spécifiquement un isomorphisme d'espaces de Hilbert. Avec cette terminologie, les théorèmes 4.17 et
4.18 conduisent à l'énoncé suivant :
Si {ua: ae A} est un ensemble orthonormal maximal d'un espace de Hilbert //, et si
x(a) = (jc, ua), l'application x—>xest un isomorphisme d'espaces de Hilbert de H sur l2 (A).
On peut démontrer (nous ne le ferons pas) que l2 (A) et l2 (B) sont isomorphes si et seulement
si les ensembles A et B ont le même cardinal. Mais nous allons démontrer que tout espace de
Hilbert non trivial (c'est-à-dire non réduit a {0}) est isomorphe à un certain /2(A), en
démontrant qu'un tel espace contient une base orthonormale (théorème 4.22). La démonstration repose
sur une propriété des ensembles partiellement ordonnés qui est équivalente à l'axiome du choix.
4.20. Ensembles partiellement ordonnés. — Un ensemble 9> est dit partiellement ordonné
par une relation binaire < si
(a) a < b et b < c impliquent a < c.
(b) a<a pour tout a e
(c) a<b et b<a impliquent a = b.
Un sous-ensemble ^d'un ensemble partiellement ordonné ^ est dit totalement ordonné (ou
linéairement ordonné) si pour tout couple a, b e ^ on a ou bien a < b ou bien b < a.
Par exemple, l'ensemble des parties d'un ensemble est partiellement ordonné par la relation
d'inclusion.

séries trigonométriques
109
Pour donner un exemple plus précis, soit & l'ensemble de tous les ouverts du plan,
partiellement ordonné par la relation d'inclusion et soit l'ensemble de tous les disques ouverts de
centre 0. ^ est inclus dans ^, est totalement ordonné par l'inclusion et ^ est un sous-
ensemble totalement ordonné maximal de Ce qui signifie que si on adjoint à ^ un élément
de 9* n'appartenant pas à l'ensemble obtenu n'est plus totalement ordonné par l'inclusion.
4.21. Le théorème de maximalité de Hausdorff
Tout ensemble non vide partiellement ordonné contient un sous-ensemble totalement ordonné
maximal.
Ceci est une conséquence de l'axiome du choix, qui lui est d'ailleurs équivalente ; une autre
forme (très similaire) est connue sous le nom de lemme de Zorn. La démonstration en est
donnée en appendice.
Si H est maintenant un espace de Hilbert non trivial, il existe ue H avec ]|w|| = 1, de sorte
qu'existe un système orthonormal dans H non vide. L'existence d'un système orthonormal
maximal résulte par conséquent du théorème suivant.
4.22. Théorème
Tout système orthonormal B dans un espace de Hilbert H est contenu dans un système
orthonormal maximal dans H.
Démonstration. — Soit ^ la classe de tous les systèmes orthonormaux de H qui contiennent
B. La classe ^ est partiellement ordonnée par l'inclusion. Comme B e <3>, <3>*0. Donc &
contient une classe Q totalement ordonnée maximale. Soit S la réunion de tous les éléments de
Q. Il est clair que B c S. Montrons que S est un système orthonormal maximal :
Si m, et u2e , il existe A, et A2 e Q tels que u{ e Ax et u2e A2. Comme Q est totalement
ordonnée, A, cz A2 (ou A2 cz A,), de sorte que m, e A2 et u2e A2. Comme A2 est orthonormal,
(w,, u2) = 0 si m, ^ h2, (w,, u2) = 1 si u, = u2. Ainsi S est orthonormal.
Supposons que S ne soit pas maximal. S est alors un sous-ensemble propre d'un système
orthonormal S*. Il est évident que S* g Q et que S* contient tous les éléments de Q. On peut
donc adjoindre S* à Q en conservant un ordre total. Ce qui est contraire à la maximalité de Q.
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
4.23. Définitions. —• Soit T\t cercle unité du plan complexe, c'est-à-dire l'ensemble de tous
les nombres complexes de module 1. Si F est une fonction quelconque définie sur Tet si / est
définie sur Z?1 par
fit) = F(e\ (1)
/ est alors périodique de période 2n. Ce qui signifie que, pour tout réel r, on a/(r + In) =f(t).
Réciproquement, si / est une fonction sur R\ de période 2k, il existe une fonction F sur T
vérifiant (1). On peut ainsi identifier les fonctions définies sur Tavec les fonctions définies sur
Z?1 et de période 2k. Pour simplifier la notation, on écrira parfois fit) à la place de/(e"), même
si nous pensons à / comme étant définie sur T.
Avec ces conventions, définissons LP(T), pour 1 <p<°o, comme la famille de toutes les
(classes d'équivalence de) fonctions à valeurs complexes, mesurables au sens de Lebesgue, de

110
théorie élémentaire des espaces de hilbert
période 2k, définies sur R , pour lesquelles la norme
est finie.
En d'autres termes, nous considérons LPQï) où fi est la mesure de Lebesgue sur [0, 2k] (ou
sur T), divisée par 2k. LT (T) sera la famille de toutes les fonctions de période 2k appartenant
à LTiR1) et munie de la norme définie par la borne supérieure essentielle. Enfin, C(7) est la
famille de toutes les fonctions complexes continues sur T (ou pour le dire de manière
équivalente, de toutes les fonctions complexes continues de période 2k sur R1), munie de la norme
l/L = sup|/(0l- (3)
Le facteur dans (2) simplifie le formalisme que nous allons développer. Par exemple, la
norme LP de la fonction constante 1 est 1.
Un polynôme irigonométrique est une somme finie de la forme
N
fit) = a0+ £(an cos nt + b„ sin nt) (re/?1) (4)
n = 1
où aQ, a]y ...,aN et bx, ...,bN sont des nombres complexes. En tenant compte des identités
d'Euler, on peut écrire (4) sous la forme
N
f(t) = X cne'"' (5)
n = -N
qui est plus pratique à bien des égards. Il est clair que tout polynôme trigonométrique est de
période 2k.
Appelons Z l'ensemble des entiers (positifs, nul ou négatifs), et posons
unit) = einl (neZ). (6)
Si nous définissons le produit scalaire dans L2 (7) par
(/.S) = ^\'f{t)W)dU (7)
[remarquons que cette définition concorde avec (2)], un calcul facile montre que
" J = =- I e K dt = < (8)
2k J-k [0 si n± m.
Ainsi {un : ne Z} est un système orthonormal de L2iT) ; on lui donne habituellement le nom
de système trigonométrique. Nous allons maintenant démontrer que ce système est maximal, et
nous en déduirons des versions concrètes des théorèmes abstraits obtenus dans le cadre d'un
espace de Hilbert quelconque.
4.24. Le système trigonométrique est complet. — Le théorème 4.18 indique que pour
démontrer que le système trigonométrique est maximal (ou complet), il suffit de montrer que
l'ensemble de tous les polynômes trigonométriques est dense dans L2(7). Comme C(7) est
dense dans L2(T), d'après le théorème 3.14 (remarquons que Test compact), il suffit de montrer
que pour toute f e C(T) et pour tout e> 0, il existe un polynôme trigonométrique P tel que
\\f-P\\2<£. Comme ||g||2<llglL pour toute ge C(T), il suffit de montrer que ||/- P|U < £,
et c'est à une telle estimation que nous allons procéder maintenant.

séries trigonométriques
111
Supposons avoir des polynômes trigonométriques Ql9 Q2, Q3, ... satisfaisant les propriétés
suivantes
(a) C*(0^0 pour teR1.
(b) ± \*Qk(t)dt = 1.
(c) Si ï]k(8) = sup {Qk(t) : 8<\t\ < tt}, alors pour tout 8> 0,
lim Tjk(8) = 0.
Un autre moyen d'énoncer (i) est de dire que pour tout 5> 0, ô*(r)-> 0 uniformément sur
[- ;r- 8] u [5, tt].
A chaque / e C( T), on associe les fonctions Pk définies par
Pk{t) = ^ /(r-j) gt(5)& (* = 1,2,3,...). (1)
Si Ton remplace s par - s (et utilise le théorème 2.20 (e)), puis par s - r, la périodicité de / et
celle de Qk montrent qu'on ne change pas la valeur de l'intégrale. D'où
/%(') = ^ Jl f(s) QÀt-s)ds (*= 1,2,3,...). (2)
Chaque Qk étant un polynôme trigonométrique, Qk est de la forme
g*(0 = I amkein\ (3)
„=-Nk
et si l'on remplace t par r - s dans (3), puis substitue le résultat dans (2) on voit que chaque Pk
est un polynôme trigonométrique.
Donnons-nous e > 0. Comme / est uniformément continue sur T, il existe 8 > 0 tel que
1/(0 - f(s)\ < £ dès que \t - s\ < 8. D'après (b), on a
^(0-/(0 = ^r\KU(t-s)-f(t)}Qk(s)ds,
et (a) implique, pour tout r, que
\P*(t)-/(0| < 7- J *\f(t-s)- f(t)\ Qk(s) ds = A, + A2,
où A, est l'intégrale sur [-5, 5] et A2 l'intégrale sur [-K, -8] u [5, n\. En ce qui concerne A,,
l'intégrant est plus petit que eQk (s), de sorte que d'après (b) A, < e. Pour A2, on a Qk (s) < r\k (8),
d'où pour k suffisamment grand, et d'après (c)
a2 S 21/IL •!»(«)<£. (4)
Comme ces inégalités sont indépendantes de r, on a prouvé que
lim||/-/\||M = 0. (5)
k -> «s
Il reste à construire les On peut le faire de diverses manières. Voici un procédé simple.
Posons
^ , x H + cosA* ^
Qk(t) = ck\—r— , (6)

112
théorie élémentaire des espaces de hilbert
où Ton choisit ck de sorte que (b) soit vérifiée. Comme (a) est évident, il suffit de montrer (c).
Comme Qk est une fonction paire, (b) montre que
ck f«n + cos A* ^ ck f(\ + cosA* . . 2c*
Ck cn(l + cos A* c* rYl + cos A . ,
1 = - <fc > - sin t dt -
k h \ 2 ) nh\ 2 J
k(k+\)
La fonction Qk étant décroissante sur [0, k], il en résulte que
QM£QkWS*^(lïf*ï)k (0<ô<\t\<K). (7)
Puisque 1 + cos ô < 2 pour 0 < 5 < ceci implique (c).
Nous avons démontré l'important résultat suivant :
4.25. Théorème
Si f e C(T) et si £> 0 il existe un polynôme trigonométrique P tel que \f(t) - P(t)\ <E
pour tout réel t.
Fejér avait démontré en 1904 un résultat plus précis : les moyennes arithmétiques des sommes
partielles de la série de Fourier d'une fonction /g C{T) convergent uniformément vers /.
Pour une démonstration (tout à fait analogue à la précédente), voir le théorème 3.1 de [Katz-
nelson, 1968], ou de [Zygmund, 1959, vol. I, p. 89].
4.26. Séries de Fourier. — Pour tout / g L\T), on définit les coefficients de Fourier de f
par la formule
=^r\Kf^e~in'dt ("GZ>' U)
2k J-k
où, nous le rappelons, Z désigne l'ensemble de tous les entiers relatifs. On associe ainsi à toute
fonction / g L\T) une fonction / définie sur Z. La série de Fourier de / est
£/(«)«"", (2)
et ses sommes partielles sont
N
sN{t) = (W = 0,1,2,...). (3)
-N
Comme L (T) a L (7), on peut définir (1) pour toute fonction/de L2(T). En comparant les
définitions des sections 4.23 et 4.13, on peut maintenant énoncer à nouveau en termes concrets
les théorèmes 4.17 et 4.18.
Le théorème de Riesz-Fischer affirme que si [cn] est une suite de nombres complexes telle
que
k|2<~, (4)
il existe une / g L2(T) et
c« = Tl\*fWe~""dt ("e Z)' (5)
Le théorème de Parseval affirme que
X /(»)#ÔÔ = f Kf{t)J(f)dt, (6)
^ 2K J-n

exercices
113
pour toutes / et g g L (T) ; la série de gauche dans (6) converge absolument ; et si Ton choisit
sN comme dans (3) on a
\im\\f-sN\\2 = 0, (7)
puisqu'un cas particulier de (6) fournit
\\fsN\\l= Il/(")|2- (8)
\n\>N
Remarquons que (7) affirme que toute / g L2(T) est la limite au sens de L2 des sommes
partielles de sa série de Fourier ; c'est-à-dire, la série de Fourier de / converge vers / au sens
de L2. La convergence ponctuelle pose un problème plus délicat, comme nous le verrons au
chapitre 5.
Le théorème de Riesz-Fischer et le théorème de Parseval peuvent être résumés en disant que
l'application / —>/ est un isomorphisme d'espaces de Hilbert de L2(T) sur /2(Z).
La théorie des séries de Fourier de fonctions appartenant à d'autres espaces fonctionnels, par
exemple à L1 (T), est beaucoup plus difficile que pour L2(T) et nous en aborderons seulement
quelques aspects.
Observons que la pierre angulaire de la démonstration du théorème de Riesz-Fischer est le
fait que L2 soit complet. Ce fait est si bien reconnu que le nom de théorème de Riesz-Fischer
est quelquefois donné au théorème qui affirme que L2, ou même n'importe quel If, est complet.
EXERCICES
Dans cette volée d'exercices, H désigne toujours un espace de Hilbert.
1. Si M est un sous-ensemble fermé de //, démontrer que M = (M1)1. Peut-on établir une
propriété analogue pour les sous-espaces M qui ne sont pas nécessairement fermés ?
2. Soit [xn : n = 1, 2, 3, ...} un système linéairement indépendant de vecteurs de H.
Montrer que la construction suivante fournit un système orthonormal {un} tel que {jcp jc2, ..., xN}
et {w,, w2, uN } ont pour tout N la même extension linéaire.
On pose U] = J^jr et ayant h,, m2, un_on définit
On remarque que cette construction conduit, sans faire appel au principe de maximalité de
Hausdorff, à une démonstration de l'existence d'un système orthonormal maximal dans les
espaces de Hilbert séparables. (Un espace topologique est séparable s'il possède un sous-
ensemble dense dénombrable).
3. Montrer que Lf(T) est séparable pour 1 <p < oo, mais que LT(T) n'est pas séparable.
4. Montrer que H est séparable si et seulement si H contient un système orthonormal maximal
au plus dénombrable.

114
théorie élémentaire des espaces de hilbert
5. Si M = {jc : Lx = 0}, où L est une forme linéaire continue sur H, démontrer que ML est un
espace vectoriel de dimension 1 (à moins que M - H).
6. Soit {un} (n = 1, 2, 3 ...) un ensemble orthonormal dans H. Montrer que ceci fournit un
exemple d'ensemble fermé borné mais non compact. Soit Q l'ensemble de tous les jc g H de
la forme
x = Xe"""' ou lc«l -~*
i
Démontrer que Q est compact (Q est appelé le cube de Hilbert.)
Plus généralement, soit [8n] une suite de nombres positifs, et soit S l'ensemble de tous les
jc e H de la forme
x = Xe" M«' (ou lc«l
i
Démontrer que S est compact si et seulement si ^82 <~.
i
Démontrer que H n'est pas localement compact.
7. Supposons que [an] soit une suite de nombres positifs tels que S an bn < oo, pour tous bn > 0
vérifiant Z b? < oo. Démontrer que I a„2 < «>.
Suggestion : Si S a„ = ©o, on trouve des ensembles disjoints Ek(k= 1, 2, 3, ...) tels que
X«„2>i.
ne Ek
On définit bn de sorte que bn = ckan pour n g Ek. En choisissant convenablement les q., on a
Ianèn = «o, bien que S b2 <°°.
8. Si Hl et //2 sont deux espaces de Hilbert, démontrer que l'un d'eux est isomorphe à un
sous-espace de l'autre. (Remarquer que tout sous-espace fermé d'un espace de Hilbert est un
espace de Hilbert).
9. Soit A un sous-ensemble mesurable de [0, 2k]. Démontrer que
lim i cos nxdx = lim [sinAiJcdjc = 0.
A A
10. Soient nx < n2 < n3... des entiers positifs, et soit E l'ensemble de tous les jc g [0, 2k]
pour lesquels {sinn^x:} converge. Démontrer que m(E) = 0. (Indication : 2 sin2a= 1 - cos 2a,
de sorte que nkx —> ±-^= p.p. sur E, d'après l'exercice 9).
42
11. Trouver un sous-ensemble fermé E non vide de L2(T) qui ne contient pas d'élément dont
la norme soit minimale.

EXERCICES
115
12. Dans 4.24, on a montré que les constantes ck étaient telles que k lck soit borné. Donner
une estimation plus précise de l'intégrale correspondante et montrer que
i
0 < lïmk ck < «j.
13. Soit / une fonction continue de période 1 sur RK Démontrer que
N
lim ^ = (f(t)dt
n = 1
pour tout nombre réel irrationnel a. (Indication : le faire d'abord pour f(t) — exp (2mkt),
* = 0,±1,±2, ...)
14. Calculer
min f 1 |jc3 - a - bx - cx2\2 dx
a,b,c J-l
et trouver
max J 1 x3g(x) dx,
où g est soumise aux restrictions
j]]8(x)dx = \\xg(x)dx = \\x2g(x)dx = 0 ; (jg(x)\2= 1.
15. Calculer
f00 I 3 212 — x
min \x -a-bx-cx \ e dx.
a,b,c J0
Énoncer et résoudre le problème de maximum correspondant, comme à l'exercice 14.
16. Si jc0 e H et si M est un sous-espace vectoriel fermé de H, démontrer que
min{||x-^0|| '.xe M} = max{|(^05y)| 'y^ M1, \\y\\ = 1}.
17. Montrer qu'il existe une injection continue y de [0, 1] dans H telle que y(b) —> y(a) soit
orthogonal à y(d) —> y(c) pour tous 0<a<b<c<d< I. (/peut être appelée une « courbe à
accroissements orthogonaux »). (Indication : prendre H = L2, et considérer les fonctions
caractéristiques de certains sous-ensembles de [0, 1]).
18. Pour tout s e R1, te R1, on pose us(t) = eisl.
Soit X l'espace vectoriel complexe de toutes les combinaisons linéaires finies des fonctions
us. Si / g X et g e X, montrer qu'existe l'expression
(/,S) = lim -l ÇAf(t)JU)dt.
Montrer que ceci définit un produit scalaire sur X qui en fait un espace préhilbertien, dont la
complétion est un espace de Hilbert non séparable. Montrer aussi que {us : s e R]} est un
système orthonormal maximal dans H.
19. Pour tout entier positif Af, si l'on pose (O = e N , démontrer les relations d'orthogonalité

116
théorie élémentaire des espaces de hilbert
et les utiliser pour prouver que, pour N>3, les identités suivantes sont vraies sur tout espace
préhilbertien,
1 N .,
(x,y) = -2L\\x+œy\\ œ .
n = 1
On notera que pour N = 4, cette identité est l'identité polaire
4(x,y) = \\X + yf-\\X-yf + i\\X + iy\\2-i\\X-iyf.
Montrer également que l'on a l'égalité suivante de moyenne :
/ \ * C*'"'\\ . cb ||2 ce jn
2K J-k
NOTES HISTORIQUES
Exposée pour la première fois sous une forme abstraite par John von Neumann en 1929, quoique en
supposant en plus la séparabilité (base hilbertienne dénombrable), la théorie des espaces de Hilbert est
devenue courante, traitée dans les livres classiques de [Halmos, 1951], [Riesz, Nagy, 1955], [Bourbaki,
1954] ou [Dieudonné, 1967]. Elle fut très tôt investie par les physiciens pour les besoins de la mécanique
quantique, notamment avec l'ouvrage de [von Neumann, 1932] ; des exposés en sont ainsi orientés selon
les différentes branches de l'Analyse, analyse des opérateurs linéaires dans [Dunford, Schwartz, 1963], ou
[Malliavin, 1985], analyse harmonique dans [Loomis, 1953], algèbre d'opérateurs dans [Naimark, 1959]
ou [Chilov, Naimark, Raikov, 1971].
L'origine de ces espaces est indéniablement la réflexion de Hilbert vers les années 1906-1907 à
propos de la résolution des équations intégrales réalisée par I. Fredholm quelques années auparavant.
C'est en fait Emil Schmidt, un élève de Hilbert à Gôttingen, qui a orienté son maître vers une conception
géométrique (produit scalaire, orthogonalité, meilleure approximation), faisant apparaître les espaces l2
et L2 comme une extension naturelle en dimension infinie de l'espace euclidien, alors que Hilbert
adoptait un point de vue algébrique. Développée à l'exercice 2, la construction d'une base hilbertienne est,
à juste titre, connue sous le nom de procédé de Gram-Schmidt, rencontre d'un calcul numérique de
Gram et d'une méthode d'orthonormalisation de Schmidt. Se développent ainsi dans un cadre
fonctionnel et jusqu'au calcul numérique, les méthodes quadratiques qui ont leur origine chez Gauss et Legendre
(voir exercices 14 et 15).
Maurice Fréchet, Frigyes Riesz et Emil Fischer, trois jeunes mathématiciens, rivalisent pendant l'année
1907 dans leur exploitation des propriétés des espaces réels Z2 (/2(A) avec A dénombrable du chapitre 4)
et L2 (L2 [a, b]y avec la mesure de Lebesgue). Ils établissent l'isomorphisme de ces deux espaces (cas
particulier du résultat que suit le théorème 4.18), et caractérisent ainsi les formes linéaires continues (cas
particulier du théorème 4.12). Ils montrent que tous ces espaces sont complets. Fréchet démontre le résultat de
l'exercice 7. Von Neumann exploite cette isomorphie et définit l'espace de Hilbert abstrait. En 1935, John
von Neumann et Pascual Jordan établissent que tout espace vectoriel norme complexe dont chaque plan
(espace vectoriel complexe de dimension 2) est préhilbertien, est lui-même préhilbertien. En fait, ils
prouvent qu'une norme satisfaisant la relation (1) de la section 4.10 dérive d'un produit scalaire ([Aczél, Dhom-
bres, 1989, chap. 12]). Ce résultat apparaît comme une nouvelle preuve géométrique de la nécessité, sinon
de la réalité des espaces de Hilbert dont en 1932 von Neumann avait dressé la théorie au profit de la
mécanique quantique (voir texte ci-après).
En donnant le nom de Fourier aux coefficients d'un vecteur dans un système orthonormal de L2[a, b]
(section 4.13), Hilbert indique ajuste titre une longue filiation historique. Non seulement il faisait comprendre

NOTES HISTORIQUES
117
que le cadre le plus simple pour traiter des séries de Fourier est le cadre des espaces de Hilbert — il expliquait
ainsi l'inégalité de Bessel et l'égalité de Parseval qui étaient plus ou moins restées jusque-là des curiosités —
mais il réduisait d'autres développements en séries de fonctions orthogonales qui étaient apparues dans divers
contextes au cours du xixe siècle, notamment avec le problème différentiel de Sturm-Liouville.
Joseph Fourier n'est certes pas le premier à avoir constaté les relations d'orthogonalité (relations (8) de la
section 4.23) du système trigonométrique, Jean Bernoulli, Leonhard Euler, Jacques-Louis Lagrange l'avaient
fait avant lui au cours du xvii* siècle. Fourier explique dans sa Théorie Analytique de la Chaleur en 1822 que
ces relations fondent une représentation générale des fonctions périodiques. Dans la mesure où les coefficients
se calculent indépendamment les uns des autres (au contraire de la récurrence qui gouverne les coefficients
du développement en série entière), et au moyen de la seule intégrale. Toute théorie de l'intégration fournit
donc une théorie des séries de Fourier. Il est bien naturel que Lebesgue ait essayé la sienne sur ces séries, et
en particulier donné, en 1906, la démonstration adoptée ici pour le théorème 4.25.
La série de Fourier, et plus généralement les séries trigonométriques, ont fait l'objet d'un nombre
considérable de travaux dont le livre de Zygmund fait un bilan encyclopédique jusqu'aux années 60. Car si la
théorie hilbertienne en est relativement simple, toutes les questions sur ces séries ne peuvent pas se
résoudre à partir de cette théorie. Les espaces V s'avèrent utiles mais encore insuffisants (voir chapitre 7). Cette
situation est caractéristique : en 1829 Dirichlet devait ainsi faire preuve d'une grande rigueur analytique,
allant au-delà des techniques préparées par Cauchy, pour fournir un théorème de convergence uniforme
d'une série de Fourier. Ces séries contraignent donc les théories à se perfectionner. Plusieurs introductions
aux séries de Fourier sont moins impressionnantes que [Zygmund, 1959], par exemple les manuels
classiques de [Hardy, Rogosinski, 1950], de [Titchmarsh, 1939] ou de [Malliavin, 1985] ; des textes sont
rédigés dans un esprit d'analyse fonctionnelle, comme le livre de [Helson, 1983], ou celui de [Katznelson,
À partir de 1924, Harald Bohr, frère du physicien Niels Bohr, A.S. Besicovitch, Samuel Bochner,
Hermann Weyl, Norbert Wiener et Jean Favard développent une théorie des fonctions presque périodiques
dont un aspect est présenté à l'exercice 18. Le nom vient de ce qu'au lieu de la période usuelle d'une
fonction périodique, on a une famille bien répartie de pseudo-périodes, c'est-à-dire de nombres x pour
lesquels et pour tout jc, àg près, la fonction en x + T reprend la valeur en x. On peut montrer que ces
fonctions correspondent à des développements de la forme  e' où { A„} est une famille
dénombrable quelconque dans r]. Les xn sont les éléments du spectre de la fonction. Ces remarques lançaient une
analyse harmonique généralisée qui connut un développement considérable. Les fonctions
presque-périodiques offrent un exemple d'espace de Hilbert non séparable (base hilbertienne non dénombrable) ; dans
ce mouvement d'élimination de la particularité du dénombrable, la compréhension de l'espace de Hilbert
général ne viendra qu'après celle du cas séparable, d'abord seul jugé utile pour la mécanique quantique
(voir les exercices 2, 3, et 4).
[Fourier, 1822].
[Lebesgue, 1904, extrait, 107-109].
M. Fréchet, Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires, Comptes rendus Ac. Se,
24 juin 1907, 144, 1414-1416.
E. Fischer, Sur la convergence en moyenne, Comptes rendus Ac. Se, 29 avril 1907.
F. Riesz, Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables, Comptes
rendus Ac. Se, 24 juin 1907, 144, 1409-1414.
[Von Neumann, 1932].
A.S. Besicovitch, On generalized almost periodic functions, Proc. London Math. Soc, 2, 25, 495-512,
J. von Neumann, P. Jordan, On inner products in linear, metric spaces, Annals of Math., (2), 36, 719-
723, 1935.
1969].
RÉFÉRENCES
1926.

118
théorie élémentaire des espaces de hilbert
TEXTES
Sont proposés en lecture historique la démonstration par Lebesgue du théorème des isopérimètres ( 1904)
ainsi que des textes de Fischer et Riesz datant de 1907. Ce dernier explique la géométrie analytique de L2.
Le texte de von Neumann de 1932 explique magistralement l'objectif que peuvent représenter les espaces
de Hilbert pour la physique.
1. Théorème des isopérimètres. (D'après Lebesgue, 1904). Pour faire connaître une autre application
géométrique je vais démontrer, par la méthode de M. Hurwitz, l'inégalité qui constitue le théorème des
isopérimètres'11.
Soit C une courbe plane fermée sans points multiples, rectifiable, c'est-à-dire de longueur finie L ;
M. Jordan a démontré qu'une telle courbe partageait le plan en deux régions et que la région intérieure est
de celles qu'il a appelées quarrables et auxquelles on peut attacher une aire A. M. Jordan a montré de plus
que, de quelque façon qu'on exprime les points de C comme fonctions continues d'un paramètre, ces
coordonnées sont des fonctions à variation bornée de ce paramètre. Enfin, de quelque façon qu'une courbe
rectifiable Cx tende uniformément vers C, la longueur L de C, a une plus petite limite au moins égale à L,
et l'aire A, de C, a pour limite A. D'ailleurs, on peut toujours choisir C, de manière que L{ tende vers L
Ceci posé, exprimons les coordonnées des points de C en fonction de l'arc 5 de C compté à partir d'une
origine arbitraire et posons t = Nous aurons
x = \ ao+£(apcospt + fy sinpf),
les séries qui figurent dans x et dans v étant uniformément convergentes. Supposons d'abord que jc et y
aient partout des dérivées en t et que ces dérivées soient sommables ; nous aurons, puisqu'il s'agit de
fonctions périodiques,
- Yjtpbp cospt- pap sinpt)y
a t
^2 ~^(pfi,cospt-papsïnpt) ;
Nous allons calculer j**(jjft^f^*' i^ijti^f^* '
L2 = 2tf"£p\al + bl + aî + tf)
De ce calcul'21 nous
tirons
D'autre part, de la première des formules (M), nous déduirons
A = JJV^df = x%(appp-bpap)p.
Donc
L2-4;rA = 2^2^[(^p-ft)2 + (pa/,+Z?p)2 + (/72-l)(^ + ft2)].
Débarrassons-nous maintenant de l'hypothèse faite relativement à l'existence de ^ et ^ . En remar-
Jr dt dt
quant que x(t) et v(/) sont à nombres dérivés bornés et, par suite, ont des dérivées presque partout, on
pourrait vérifier que nos calculs sont corrects dans tous les cas ; mais les remarques qui suivent suffiront.
[i. Voir A. Hurwitz, Sur quelques applications géométriques des séries de Fourier, Annales de l'École normale
supérieure, 3, 19, 357-408, 1902.]
[2. Lebesgue utilise des calculs qui se déduisent de 4.26(6) et avec des changements faciles du théorème 9.2.]

notes historiques
119
Prenons une courbe C, qui tend vers C et dont la longueur L, tend vers L ; il est facile de construire
cette courbe de façon qu'elle soit de celles auxquelles s'appliquent les raisonnements précédents.
Alors les éléments affectés d'un indice 1 correspondant à C,, on a
L]-AnA, = 2;r2£[(pû1,p-/?1,p^
Le premier membre tend vers L2 -AkA quand C, tend vers C; la somme des k premiers termes du
second membre tend vers la somme correspondante relative à la courbe C, donc on a
L2 - AkA > 2* 2£[(/>aP ~ Pp)2 + (P<*p + bp)2 + (P2 ~ 1 +
et, par suite, L2 - AkA > 0, sauf peut-être si a, = /?„ b{ = -ct{, a2 = a3 = ... = b2 = b3 = .. .= = 0Cj = ... = 0,
auquel cas C est une circonférence et l'on a bien L2 = 4tfA.
Donc, pour toute courbe fermée sans point double, rectifiable et de longueur L, limitant une aire A, on a
L2-AnA>0
le signe = ne convenant qu 'au cas de la circonférence.
2. Analyse mathématique. — Sur la convergence en moyenne. Note présentée le 29 avril 1907 par M.
Ernst Fischer, présentée par M. Emile Picard. Le 11 mars, M. Riesz a présenté à l'Académie une Note
sur les systèmes orthogonaux de fonctions (Comptes-rendus, 18 mars 1907). J'étais arrivé au même
résultat et je l'ai démontré dans une conférence faite à la Société mathématique à Brunn, déjà le 5 mars.
Ainsi mon indépendance est évidente, mais la priorité de la publication revient à M. Riesz. Je me permets
de donner ici ma démonstration, différente de celle de M. Riesz : pour moi le théorème est un cas
particulier d'un théorème général sur la convergence en moyenne des séries.
Soit Q l'ensemble des fonctions réelles / d'une variable réelle jc telles que / et/2 soient sommables
[Lebesgue, 1904, p. 115] dans un intervalle fini (a, b). Le produit çy/ de deux fonctions de Q est toujours
sommable et l'on a
(iyVdxj <jydx$ydx, en
relation connue que l'on peut aussi écrire
Uw*]is[(W+ttW ™
Définitions I. Une suite/p/2, ... de fonctions appartenant à Q est dite convergente en moyenne si l'on a
Um„_fV--/J2*t=0
II. Elle converge en moyenne vers une fonction f de £2 si l'on a
lim._fV-/.)2^=0;
nous écrirons alors l'« équivalence » lim/,-/ , ce qui n'implique pas l'existence d'une limite au sens
ordinaire du mot. Chaque fonction de £2 ne différant de / que sur un ensemble de points de mesure nulle
(p. 106, loc. cit.) (nous appelons de telles fonctions "/ou « essentiellement égales » à /") jouit de la même
propriété relative à la suite fa et inversement.
THÉORÈME
Si une suite de fonctions appartenant à Q converge en moyenne, il existe dans Q une fonction f vers
laquelle elle converge en moyenne.
Démonstration. — Soit/p/2, ... une suite de fonctions de Q qui converge en moyenne. D'après (1)
et (2) les limites lim/,=eo f fndx= F(x), limrt=eo | f*dx= 6(x) existent et définissent des fonctions continues.
6(x) est monotone ; nous montrerons que F(x) est à variation bornée et que, de plus,
\ïm^\F(xn + hJ-F(xJ\ = 0 powr£/in = 0, (3)

120
théorie élémentaire des espaces de hilbert
en désignant par les (jc„, xn + hn)un système fini d'intervalles situés dans (a, b) sans points intérieurs
communs (n = 1, 2, ... ; hn > 0). En effet, d'après (1), on a
\F(x + h)- F(x)]2 <h[0(x + h)- 9(x)] pour h>0, (4)
d'où, en posant, hn-uln, 6(xn + hn) - 6(x„) = v2,
(^\F(xm + K) - F(jcrt)|]2 < C£unvn)2 < (£u2n)(£vl) < ^hn.0(b).
Soit /(jc) le nombre dérivé supérieur à droite de F(x) pour tous les points sur lesquels ce nombre est fini,
/(jc) = 0 pour les autres points (ensemble de mesure nulle)./(jc) et v(jc), déduite de la même manière de
0(jc), seront sommables (voir Lebesgue) et, puisque, en vertu de (4) f2 = v (sauf pour un ensemble de
mesure nulle),/2 est sommable, / dans Q. Or (3) nous assure (loc. cit., p. 123) que j fdx = F(x) ou
limn=00 f f,,dx= f fdx, et certaines transformations, simples mais importantes, des définitions I, II
montrent que/, converge en moyenne vers /.
Soit dans £2 un ensemble dénombrable <Pi(jc), <p2(x),... et soit Ja <pm<pndx = 0 pour m * n, J (pn dx = 1.
Si la série à termes constants non négatifs a] + a22 + ... converge, a{(p] + a2(p2 convergera en moyenne, et
le théorème démontré prouve l'existence d'une fonction <p de Q essentiellement déterminée, pour laquelle
(pWa^M + a2<p2(x) + ...
Or, d'après (1), on peut calculer les an par la méthode classique, donc
a„ = jhq><pndx
le théorème énoncé déjà par M. Riesz est démontré.
Parmi les solutions (p de (5) nous avons signalé une solution principale, ce qui est important pour
certaines applications ; pour la recherche des autres solutions, on se servira d'une autre application de notre
théorème général : que l'on peut toujours adjoindre \j/\{x), \j/2(x),... telles que <p,, ç)2, ...\\/v \ff2, ... soit un
ensemble complet.
3. Analyse mathématique. — Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions
sommables. Note de M. Frédéric Riesz, présentée par M. Emile Picard. Dans une conférence faite
à Gôttingen, à la Société mathématique, le 26 février de cette année, j'ai énoncé les résultats de mes
recherches sur des systèmes de fonctions sommables. Ensuite je communiquai les principaux de ces
résultats dans deux Notes publiées dans ces Comptes rendus (18 mars et 2 avril) et dans une Note, peu
différente, publiée dans les Gôttinger Nachrichten (1907, p. 116). J'avais l'intention de ne reprendre
le sujet que dans un Mémoire contenant les détails et plusieurs applications et qui paraîtra dans les
Maihemaîische Annalen. Cependant deux notes de M. Fischer parues récemment (le 13 et le 27 mai)
dans ces Comptes rendus et qui s'occupent de mes recherches me forcent de changer mon projet.
Le but de mes recherches était : « Approfondir la méthode des coordonnées appliquée à l'étude des
systèmes de fonctions sommables ». À qui revient le mérite d'avoir introduit la notion de coordonnée dans
la théorie des fonctions sommables ? Vraiment, il serait difficile de le dire. Ce qui est sûr, c'est qu'après
les résultats fondamentaux relatifs aux séries de Fourier, trouvés ces dernières années par plusieurs
géomètres et fondés la plupart sur ceux de M. Fejér, l'idée de représenter une fonction par ses constantes de
Fourier devait devenir très familière. De cette façon, on parvenait à représenter l'ensemble des fonctions
sommables sur un sous-ensemble de l'espace d'une infinité dénombrable de dimensions. Quel est ce sous-
ensemble ? Jusqu'à aujourd'hui on ne sait pas le dire.
Or, pour une classe plus spéciale, pour le système des fonctions sommables et de carré sommable, la
solution du problème ne comporte plus tant de difficultés. Pour cette classe, il existe un lien plus intime
entre la fonction et sa série de Fourier ou donc, entre la fonction et d'autres séries analogues, conséquence
du fait que ces séries sont les solutions de problèmes très simples d'approximation. Pour cette classe de
fonctions on peut définir une notion de distance et l'on peut fonder sur cette notion une théorie
géométrique des systèmes de fonctions, théorie qui ressemble à la géométrie synthétique. D'autre part, la notion de

notes historiques
121
distance peut aussi être définie d'une manière simple pour un sous-ensemble de points de notre espace ;
c'est pour l'ensemble des points dont la somme des carrés des coordonnées converge. Or, grâce au
théorème sur l'intégration du produit de deux fonctions représentées par leurs constantes de Fourier, le lien
entre ces deux notions de distance est très intime ; il permet de faire correspondre à cette géométrie
synthétique des fonctions une géométrie analytique. Ce parallélisme des deux théories ne devient complet que
par mon théorème d'existence qui assure que chaque point jouant un rôle dans cette géométrie analytique
peut être regardé comme image d'une fonction sommable de carré sommable. Alors, toute la géométrie de
notre sous-ensemble de points, géométrie qui peut être développée sans difficultés, se laisse traduire dans
une théorie des systèmes des fonctions sommables, de carré sommable. C'est pourquoi dans mes Notes je
n'ai plus insisté sur cette théorie, j'ai supprimé bien des résultats dont j'étais en possession, ne voulant les
publier que dans mon Mémoire.
Je le répète, c'était la théorie analytique que j'avais en vue. Au contraire, dans ses deux Notes
mentionnées ci-dessus M. Fischer développe, d'une manière très élégante, la théorie synthétique ; il retrouve, en
outre, le cas particulier, relatif à des fonctions définies dans un intervalle, de mon théorème fondamental.
11 me faut remarquer que les fondements de cette théorie, la notion de fonction limite basée sur la notion
de distance, se trouvent déjà dans ma Note : Sur les ensembles de fonctions {Comptes rendus,
12 novembre 1906) ; la convergence en moyenne d'une suite de fonctions vers une fonction, introduite par
M. Fischer, revient à cette notion de fonction limite.
Pour fixer mes résultats, conséquences immédiates de mon théorème, j'en énonce encore deux. Voici le
premier, intimement lié à certaines recherches de MM. Hadamard et Fréchet. Pour l'ensemble des
fonctions sommables, de carré sommable, j'appelle opération continue chaque opération faisant correspondre
à toute fonction / de l'ensemble un nombre U(f) et telle que, quand/„, converge en moyenne vers /, U (fn)
converge vers U (f). L'opération est dite linéaire si U(f^ +/2) = U (f{) + U (f2) et U (cj) = cil (f). Alors pour
chaque opération linéaire continue il existe une fonction k telle que la valeur de l'opération pour une
fonction quelconque / est donnée par l'intégrale du produit des fonctions / et k.
Le second résultat se rapporte à un problème posé et traité par M. Schmidt. Soit (P\{x), <p2(*)> — une suite
de fonctions continues, intégrales indéfinies des fonctions y/\(x), y/2(x),... sommables et de carré
sommable. Alors, pour que chaque fonction f(x) puisse être représentée par une série uniformément convergente
dont les nombres soient des agrégats linéaires des fonctions 1, <Pj(x), ç>2(*), il suffit qu'il n'existe pas
de fonction sommable de carré sommable, orthogonale en même temps à chaque fonction y/(x).
4. Équivalence des deux théories. L'espace de Hilbert selon John von Neumann en 1932. [L'auteur
a présenté la mécanique quantique des matrices à la Heisenberg (diagonalisation du hamiltonien, problème
dit discret) et celle des fonctions d'ondes à la Schrôdinger (équations différentielles, problème dit continu).
Dirac et Jordan avaient proposé une unification en utilisant les mesures dites aujourd'hui de Dirac, mais
cela ne satisfit pas von Neumann. Il justifiait alors l'introduction des espaces de Hilbert afin de comprendre
l'équivalence mathématique des deux théories démontée par Schrôdinger en 1926].
La méthode esquissée dans le paragraphe précédent consistait à établir une analogie entre l'espace
« discontinu » Z(= 1,2,...), des valeurs de l'indice v et l'espace de configuration, continu et à k
dimensions, du système mécanique considéré, k étant le nombre de degrés de liberté du système en
mécanique classique. On constate qu'il est impossible d'y arriver, sans forcer dans une certaine mesure la
rigueur mathématique, et cela n'est pas étonnant : les espaces Z et .fi sont réellement très différents
l'un de l'autre et toute tentative de les rapprocher doit nécessairement se heurter à de grosses
difficultés111.
Remarquons cependant que ce qui nous intéresse en réalité, ce n'est pas du tout d'établir un rapport
quelconque entre les espaces Z et Q eux-mêmes, mais de trouver les relations qui existent entre des fonctions
[1. Une telle unification fut entreprise, bien avant la mécanique quantique, par E.H. Moore, initiateur de ce que l'on a
appelé l'analyse générale.]

122
théorie élémentaire des espaces de hilbert
définies dans chacun de ces espaces ; pour préciser, il s'agit d'établir des rapports entre les suites jc,, x2, ...,
qui sont des fonctions dans Z, et les fonctions d'onde (p(qv qv ... qk) qui sont des fonctions dans Q. En
effet, les problèmes de la mécanique quantique font intervenir uniquement des suites et ces fonctions et
non les espaces Z et Q eux-mêmes.
Avant d'énoncer un théorème général dans ce sens précisons certaines conditions.
Dans la théorie de Schrôdinger, l'intégrale J—J |p(tfi»02. tf*)|2 dq]dq2 ... dqk joue un rôle très
important : elle doit être égale à l'unité si l'on veut pouvoir utiliser q> pour énoncer des propositions qui
aient une signification physique'11. D'un autre côté, dans la théorie des matrices, le vecteur jc,, jc2, joue
lui aussi un rôle capital'21. La théorie que Hilbert a donnée de ce type de problèmes de valeurs propres lui
impose également une condition, à savoir que la somme ^v | jcv.|2 soit toujours finie.
D'habitude, on admet même une condition de normalisation plus restrictive, à savoir ^ |jcv|2 = 1, pour
éliminer la solution banale jcv = 0.
Tout ceci nous indique que nous devons limiter nos considérations uniquement aux fonctions dans Z ou
dans Q, pour lesquelles \ xv\2 ou J...J \(p(q\,q2, ...qk)\2 dqydq2... dqk, sont des grandeurs finies ; en
effet, seulement dans ces cas, il nous sera possible, au moyen d'une multiplication par une constante
convenable de rendre la somme ^ ou l'intégrale J ••• J égales à l'unité — c'est-à-dire de normaliser la
solution dans le sens ordinaire de ce terme131.
Soient Fz et Fn l'ensemble des fonctions pour lesquelles respectivement | jcv|2 et J—JflIP(0i *ai* ^*)|2
dqxdq2... dqk ont des grandeurs finies. On a le théorème suivant141 (Fischer et Riesz) : Fz et Fa sont isomorphes.
Le sens précis de ce théorème est le suivant : il est possible d'établir une correspondance biunivoque
entre Fz et Fa — c'est-à-dire de faire correspondre à chaque suite jc,, jc2, ..., ayant une ^ I xv\2 finie, une
fonction (p(qv q2, ...qk) ayant une J—J IPfai»^» —<7*)|2 dq}dq2... dqk finie, et vice versa, de façon que
cette correspondance soit linéaire et qu'elle soit isométrique, c'est-à-dire qu'elle conserve les longueurs.
L'expression « conservation des longueurs » ou « correspondance isométrique » provient du fait que
l'on a l'habitude de considérer les jc,, jc2, ou les (p(qv q2, ...qk) comme étant des vecteurs dont les
« longueurs » sont par conséquent \xv\2 et \<p{q\, q2> — qk)\2dQ\dq2...dqk. En fait, la
condition revêt une forme plus large encore : on a
X*v>\, = £-JçK0i.tf2.?*)?<0i.02. - <lk)dq\dq2...dqk
jc,, x2, correspondant à <p(qv q2, ...qk) et y,, y2, correspondant à y(qv q2, ...qk) ; les deux membres
de cette égalité sont absolument convergents. A ce sujet, on peut observer qu'à première vue il serait
indiqué d'imposer la condition ^jcv = j ...j(p (q]t q2, ...qk)dq]dq2...dqk, ou quelque chose d'analogue,
c'est-à-dire de réaliser une analogie parfaite entre l'addition d'une part, et l'intégration de l'autre ; en y
regardant de plus près on constate cependant que cela est inutile, l'addition ^ et l'intégration
[1. (p est une fonction d'ondes dépendant de k variables dans l'espace des configurations. La méthode de Schrôdinger
consiste à déterminer (p comme solution propre d'un opérateur différentiel linéaire.]
[2. La diagonalisation de Thamiltonien (interprété matriciellement) fait aussi jouer les vecteurs propres d'un opérateur
linéaire.]
[3. Von Neumann fait remarquer que l'intégrale finie n'implique pas que (p soit partout bornée, et donne l'exemple de
l'atome d'hydrogène tel que traité par la méthode de Dirac]
[4. Von Neumann fait remarquer que Schrôdinger n'utilisait que l'équivalence de Fa avec un sous-ensemble de F.,
résultat prouvé par Hilbert en 1906 et publié aux Gôtt. Nachrichten. À vrai dire ce sous-ensemble est isomorphe à F,.]

notes historiques
123
J ...J ...dq]dq2...dqk ne portant, en mécanique quantique, que sur des expressions de la forme jcvyv et
f - f <P(<?i> o2y ...qk)V(qu q2, -qk) •
Nous n'examinerons pas davantage ici la manière dont on doit établir cette correspondance, parce que
de toute façon nous devons l'analyser en détail dans le chapitre suivant.
Pour l'instant, bornons-nous à mettre en relief la signification du fait qu'une telle correspondance existe
en tous les cas.
Les espaces Z et Q ont des structures très différentes, donc tout essai d'établir une relation quelconque entre
eux doit nécessairement conduire à des difficultés inextricables. Par contre Fz et Fa sont isomorphes, c'est-à-
dire ont des structures internes identiques, ce qui veut dire qu'ils représentent sous deux formes mathématiques
différentes les mêmes caractéristiques abstraites. La base analytique proprement dite de la théorie des matrices
et de la théorie des ondes est constituée précisément par ces F. et Fa et non par les espaces Z et Q eux-mêmes ;
le fait qu'ils sont isomorphes signifie donc que ces deux théories doivent toujours conduire aux mêmes
résultats numériques. Il en sera ainsi si l'isomorphie en question fait correspondre la matrice111
H = H(QuQ2,Qk\PuP2, ...Pk) à l'opérateur121 H = f/L, q2, ...qk ; r^-.^-, ... ^T")
V ZKidqi 2nioq2 2KioqkJ
La matrice H se déduit des matrices Qh P^i =1,2, ...k) par les mêmes opérations algébriques qui
permettent de calculer l'opérateur H à partir des opérateurs fonctionnels o,..., ...(/'= 1, 2, ...k) ; par
2 ki dq{
conséquent il suffira de montrer que la matrice Q, correspond à qt et Pt à J^—.^r-. Cela est évident parce
2 Ki dqi
que les matrices Qi et P,-(i =1,2, ...k) sont soumises uniquement aux « conditions de commutation »131 :
QmQn-QnQm = 0
P_mP_n-P_nK = 0
QmPn-PnQm = 0 si w * Yl et — si Ytl = «.(/m, tl = 1,2, ...).
2 Kl
Or ces conditions seront certainement remplies par les matrices qui correspondent aux g,..., et
2 Ki dq-
parce que les opérateurs fonctionnels qr..t ■•^"■J"-.' ont eux_mênies cette propriété141 qui n'est pas altérée
lorsqu'on passe à l'ensemble isomorphe Fz.
Les systèmes F. et Fa sont isomorphes et les deux mécaniques quantiques auxquelles ils servent de base
sont mathématiquement équivalentes. Par conséquent, si l'on cherche les propriétés communes aux deux
ensembles de fonctions Fz et Fa et si on les prend comme point de départ, on doit s'attendre à pouvoir
construire une discipline unique, réunissant les deux théories précédentes, indépendante des
caractéristiques particulières propres à chacune d'elles et ne présentant que les traits réellement essentiels de la
mécanique quantique.
[1. Tel est rhamiltonien matriciel de Heisenberg, avec des matrices infinies.1
[2. Tel est l'opérateur différentiel de Schrôdinger.]
[3. Ce sont les conditions de la théorie de Heisenberg, où h désigne la constante de Planck. À la dernière ligne / désigne
la matrice identité.]
[4. Von Neumann fournit le calcul des relations de commutation en termes de fonctions d'ondes :
jr- <ln-<P(<I\><l2, ■■•<?*)-<7„^-<P(<7i.<?2, ...qt)= 0 si n * m et ;^-.ç>.]
àqm àqm 2m

124
théorie élémentaire des espaces de hilbert
On appelle Fz l'« espace de Hilbert ». Il s'agit donc en premier lieu de chercher quelles sont les
propriétés internes structurales de l'espace de Hilbert, indépendantes des formes particulières Fz ou Fn qu'il peut
revêtir. Nous appellerons « espace abstrait de Hilbert » l'être mathématique défini par ces propriétés, qui
peut être identifié à Fz ou à Fa dans des cas particuliers concrets, mais qui est beaucoup plus commode à
manier directement dans le cas général1'1.
Nous allons décrire d'abord l'espace abstrait de Hilbert et ensuite démontrer avec toute la rigueur désirable que :
1° L'espace abstrait de Hilbert est complètement caractérisé par les propriétés que nous indiquerons plus
loin, c'est-à-dire qu'il n'est plus susceptible d'aucune autre interprétation essentiellement distincte de celle
que nous en aurons donnée plus haut ;
2° Aussi bien Fz que Fa jouissent des mêmes propriétés que l'espace abstrait de Hilbert.
De cette façon, nous aurons démontré rigoureusement les résultats que nous venons d'énoncer d'une
manière purement qualitative. Une fois ceci fait, nous utiliserons l'appareil mathématique ainsi obtenu
pour édifier la mécanique quantique.
[1. Von Neumann n'envisage donc comme espace de Hilbert abstrait que ce que nous appelons aujourd'hui un espace
de Hilbert séparable.]

chapitre 5
EXEMPLES DES TECHNIQUES D'UTILISATION
DES ESPACES DE BANACH
ESPACES DE BANACH
5.1. Au chapitre précédent, nous avons vu comment on peut mettre en relief certains faits
analytiques sur les séries trigonométriques à partir de considérations essentiellement
géométriques sur les espaces de Hilbert, telles que la convexité, les sous-espaces, l'orthogonalité, et la
propriété d'espace complet. Bien des problèmes d'analyse peuvent ainsi être abordés avec plus
de facilité quand ils sont placés dans un cadre abstrait, convenablement choisi. La théorie des
espaces de Hilbert n'est pas toujours adaptée, car l'orthogonalité est une propriété assez
particulière. La classe des espaces de Banach offre une plus grande variété. Dans ce chapitre, nous
exposons quelques-unes des propriétés fondamentales des espaces de Banach et les illustrons
en les appliquant à des problèmes concrets.
5.2. Définition. — Un espace vectoriel complexe est dit espace vectoriel norme si l'on a
associé à tout x g X un nombre réel positif ou nul appelé la norme de x, de sorte que
(a) \\x + y|| < \\x\\ + ||y|| pour tous x et y g X,
(b) \\ax\\ = |oc|||jc|| pour tous jcg X et tout scalaire a,
(c) ||;t|| = 0 entraîne jc = 0.
D'après (a), l'inégalité triangulaire est vérifiée
\\x-y\\<\\x-z\\+\\z-y\\ Uy,zG X).
Jointe à (b) (prendre a = 0, a = - 1 et à (c), cette inégalité montre que tout espace norme peut
être considéré comme un espace métrique, la distance entre x et y étant égale à ||jc-y||.
Un espace de Banach est un espace vectoriel norme complet pour la métrique définie par sa
norme.
Par exemple, tout espace de Hilbert est un espace de Banach. De même, pour 1
est un espace de Banach tout espace LP(\x) norme par (à condition d'identifier les
fonctions égales presque partout) et enfin C0(X) muni de la norme de la borne supérieure.
L'espace de Banach le plus simple est, bien sûr, le corps des complexes lui-même, norme
par |jc| = |x|.
On peut aussi bien parler d'espaces de Banach réels. La définition en est exactement analogue
avec comme scalaires les réels.

126
exemples des techniques d'utilisation des espaces de banach
5.3. Définition. — Considérons un opérateur linéaire A d'un espace vectoriel norme X dans
un espace vectoriel norme Y, et définissons sa norme par
||A| = sup {||Ax|| :*e X,H<1}. (D
Si || A|| <«>, y\ est un opérateur linéaire borné.
Dans (1), || jc|[ est la norme de x dans X, et ||Ajc|| est la norme de Ax dans Y. Il arrivera
fréquemment que plusieurs normes interviennent à la fois, et le contexte désignera celle dont il
est question.
Observons qu'on pourrait, sans changer la borne supérieure, se restreindre aux vecteurs de
norme un dans (1), c'est-à-dire aux éléments jc tels que ||jc|| = 1 puisque
||A(ax)|| = ||aAx||=|a|||ylx||. (2)
Observons aussi que || A\\ est le plus petit nombre pour lequel l'inégalité
l|A*||<||A|||W| (3)
est vérifiée pour tout xe X.
L'image géométrique suivante rend des services : A transforme la boule unité fermée de X,
c'est-à-dire l'ensemble
{jcgX:||jc||<1}, (4)
en un sous-ensemble de la boule fermée de y de centre 0 et de rayon ||A||.
Un cas particulièrement important s'obtient en prenant pour Y le corps des complexes ; on
parle alors de formes linéaires bornées.
5.4. Théorème
Pour un opérateur linéaire A d'un espace vectoriel norme X dans un espace vectoriel norme Y,
les trois conditions suivantes sont équivalentes :
(a) A est borné,
(b) A est continu,
(c) A est continu en un point de X.
Démonstration. — Comme \\A (jcj - jc2)|| < ||A|| ||jc, - jc2|| , il est clair que {a) implique {b) et
il est évident que (b) implique (c). Supposons A continue en x0. Pour chaque £>0, on peut
trouver 8>0 tel que ||jc-jc0|| < 5 entraîne || Ax - Ax0\\ < e. En d'autres termes, < S
entraîne
\\A(x0 + x)~ Ax0\\ <£.
Mais la linéarité de A montre que || Ajc|| < e. D'où || A\\ < s/S, et (c) implique (a).
CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DE BAIRE
5.5. La manière dont on exploite souvent le caractère complet d'un espace de Banach
tient au théorème suivant, valable sur les espaces métriques complets, mais qui fournit
aussi beaucoup d'applications en d'autres parties des mathématiques. Il conduit à deux des
trois plus importants théorèmes qui font que les espaces de Banach sont des outils utiles
en analyse : le théorème de Banach — Steinhaus et le théorème du graphe fermé. Le
troisième est le théorème de Hahn — Banach, pour lequel le caractère complet ne joue aucun
rôle.

conséquences du théorème de baire
127
5.6. Le théorème de Baire
Si X est un espace métrique complet, l'intersection de toute famille dénombrable de sous-
ensembles ouverts et denses dans X est dense dans X.
En particulier (excepté dans le cas trivial X = 0), l'intersection d'une telle famille n'est pas
vide. Tel est bien souvent le sens majeur du théorème.
Démonstration. — Soient V,, V2, V3, ... des ouverts denses dans X. Soit W un ouvert
quelconque dans X, il faut montrer que n V„ contient un point de W.
Soit Q la distance sur X ; écrivons
S(x,r) = {yeX:Q(x,y)<r} (1)
et soit S(x, r) la fermeture de S(X, r).
Remarque : dans certains cas, S(jc, r) ne contient pas tous les y vérifiant Q(x, y)^r
Comme V, est dense, W n V, est un ouvert non vide et l'on peut donc trouver x{ et r, tels que
S(jc„r,) cWn V, et 0<r,<l. (2)
Si n > 2 et xn_, et rn_{ sont choisis, la densité de Vn montre que V„ nS(xn_,, /-„_,) n'est
pas vide, et l'on peut donc trouver xn et rn tels que
5(xwrll)cV>n5(vi,r..,) et 0<rn<-, (3)
n
Par récurrence, ce procédé permet de construire une suite [xn} dans X. Si / > n et y > «, la
construction montre que jc, et Xj appartiennent tous les deux à S(xn9 /*„), de sorte que
2
£(jc„ xj) < 2r„ < - , et par suite [xn] est une suite de Cauchy. Comme X est complet, il existe
un point jc g X tel que x = lim jc„.
n —» ~
Comme jc,. appartient à l'ensemble fermé 5(jc„, rn) si i>n, il résulte que jc appartient à
chacun des S(xn9 r„), et (3) montre que jc appartient à chaque Vn. D'après (2), jc g W, ce qui
achève la démonstration.
Corollaire. — Dans un espace métrique complet, l'intersection de toute famille dénombrable
de Gs denses est encore un Gs dense.
Ceci résulte du théorème, puisque tout Gs est l'intersection d'une famille dénombrable d'ouverts,
et puisque la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
5.7. Le théorème de Baire est quelquefois appelé théorème des catégories pour la raison suivante.
Un ensemble E cz X est dit ensemble rare si sa fermeture E ne contient pas d'ouvert non vide
de X. Toute réunion dénombrable d'ensembles rares est appelé un ensemble de première catégorie* ;
tous les autres sous-ensembles de X sont dits de deuxième catégorie (selon la terminologie de Baire).
Le théorème 5.6 équivaut à dire qu'aucun espace métrique complet n'est de première catégorie.
Pour le voir, il suffit de passer aux complémentaires dans l'énoncé du théorème 5.6.
5.8. Le théorème de Banach-Steinhaus.
Soit X un espace de Banach, Y un espace vectoriel norme et { Aa] une famille d'opérateurs
linéaires bornés de X dans Y, où a décrit un ensemble d'indices A. Alors ou bien il existe
M < oo tel que
\\Aa\\<M (1)
1. On dit aussi ensemble maigre (N.d.t.).

128
exemples des techniques d'utilisation des espaces de banach
pour tout ae A, ou bien
sup ||Aax|| = oo (2)
ae A
pour tout x appartenant à un certain Gs dense dans X.
Géométriquement parlant, le théorème s'exprime comme suit : ou bien il existe une boule B
de Y (de rayon M et de centre O) telle que tout Aa envoie la boule unité de X dans B, ou bien
il existe x e X (et même, tout un Gs dense de ces jc) tel qu'aucune boule de Y ne contienne
Aajc pour tout a.
Ce théorème s'appelle parfois principe de la borne uniforme.
démonstration. — Posons
(p(x) = sup II Aax\\ (x e X) (3)
ae A
et soit
Vn = {x:<p(x)>n} (« = 1,2,3, ...) (4)
Puisque chaque opérateur Aa est continu et que la norme de Y est une fonction continue sur
Y (conséquence immédiate de l'inégalité triangulaire, comme dans la démonstration du
théorème 4.6), chaque fonction jc —> || Aajc|| est continue sur X. Donc (p est semi-continue
inférieurement, et chaque Vn est ouvert.
Si l'un de ces ensembles, disons VN n'était pas dense dans X, il existerait un jc0 g X et un
r > 0 tel que ||jc|| < r entraîne jc0 + jc e VN ce qui signifie <p(jc0 -f jc) < TV, ou
||Aa(jc0 + Jc)||<;V (5)
pour tout a g A et tout x tel que || jc|| < r. Comme jc = (x0 + jc) - jc0, on a
||Aax\\ < \\Aa(x0 + x)\\ + ||Aax4 < 2N, (6)
et par suite (1) est vérifiée avec M = 2N/r.
L'autre possibilité est que chaque Vn soit dense dans X. Dans ce cas, n Vn est un Gs dense
dans X d'après le théorème de Baire ; et comme <p(x) = pour tout jc g n V„, la
démonstration est terminée.
5.9. Le théorème de l'application ouverte
Soient U et V les boules unités ouvertes des deux espaces de Banach X et Y. A chaque
opérateur linéaire borné A de X sur Y correspond un 8> 0 tel que
A(U)Z)5V. (1)
Remarquer dans l'hypothèse le mot « sur ». Le symbole ôV représente l'ensemble
{Sy : y g V}, c'est-à-dire l'ensemble de tous les y g y tels que ||y|| < 8.
Il résulte de (1) et de la linéarité de A que l'image de toute boule ouverte de X centrée en jc0
contient, disons, une boule ouverte de Y centrée en Ajc0. Donc l'image de tout ouvert est un
ouvert. Ce qui justifie le nom du théorème.
Voici une autre manière d'énoncer (1) : pour tout y tel que \\y\\ < 8, il existe x avec \\x\\ < 1
tel que Ax = y.
Démonstration. — Étant donné y g y, il existe xe X tel que Ajc = y ; si |] jc|| < ky il en résulte
que y g A(kU). Ainsi Y est réunion des ensembles A(kU), pour k = 1, 2, 3 ... Comme Y est
complet, le théorème de Baire montre qu'il existe un ouvert non vide W dans la fermeture de
l'un des A(kU). Ceci signifie que tout point de West la limite d'une suite {Ajc,}, avec jc, e kU.
A partir de maintenant k et W sont fixés.

conséquences du théorème de baire
129
Choisissons y0 g W et rj>0 tel que y0 + ye W si ||y|| <î]. Pour tout y ainsi choisi, il
existe des suites {jc/} , {x"} dans kU telles que
A;c/-»y0, Ax" ->y0 + y (2)
En posant jc, = x" - jc,' , on a || jc,|| < 2k et Ajc,- —» y. Comme ceci est vérifié pour tout y tel que
||y|| < 77, la linéarité de A montre que le résultat suivant est vrai avec S= r\!2k :
À chaque y e Y et à chaque e>0, on peut associer xe X tel que
lUU^-'HI et \\y-Ax\\<e. (3)
C'est là presque la conclusion désirée, telle qu'elle a été énoncée juste avant le début de la
démonstration, or dans cet énoncé on a e = 0.
Fixons y e SV et e> 0. D'après (3), il existe jc,, avec ||jc,|| < 1 et
||y-Ajc,.||<±te. (4)
Supposons les jcp jc2, ... jcn déjà choisis de telle sorte que || jc,|| < —77- pour n > i > 1 et
Hy-Ajc,- ... -Axn\\<2-nÔ£. (5)
Utilisons (3), où y est remplacé par le vecteur du membre de gauche de (5), et e aménagé pour
obtenir un jc^j tel que (5) soit vérifiée avec n+1 au lieu de n, et
|jcw + 1||<2^ (*= 1,2,3,...). (6)
Si l'on pose sn = xx + jc2 + ... +jcn l'inégalité (6) montre que [sn] est une suite de Cauchy dans
X. Cet espace étant complet, il existe jc g X tel que s„ —» jc. L'inégalité ||jc,|| < 1, ajoutée avec
les inégalités (6), montrent que ||jc|| < 1 + £. Comme A est continu, Asn —> Ax. D'après (5),
Asn -» y. D'où Ajc = y.
Nous avons donc démontré que
A((l +£)£/) =><5V, (7)
ou pour tout e > 0,
A(U)z>( \ +eyiÔV. (8)
La réunion des ensembles à droite de (8) pour tous les e> 0 est SV. Ce qui démontre (1).
5.10. Théorème
Si X et Y sont des espaces de Banach et si A est un opérateur linéaire continu de X sur Y
qui est de plus bijectif, il existe 8>0 tel que
||At||><5|W| (xeX). (D
En d'autres termes, A-1 est un opérateur linéaire borné de Y sur X.
Démonstration. — Si 8 est choisi comme dans l'énoncé du théorème 5.9, la conclusion de ce
théorème, ajoutée au fait que A est maintenant bijective, montre que ||Ajc||<5 entraîne
||;c|| < 1. D'où ||jc|| > 1 entraîne ||Ar|| > 5, et (1) est démontrée.
L'opérateur A-1 est défini sur y par la propriété A"1 y = jc si y = Ajc.
Une vérification triviale montre la linéarité de A1, et (1) entraîne ||a_1| < \.
o

130
exemples des techniques d'utilisation des espaces de banach
SERIES DE FOURIER DE FONCTIONS CONTINUES
5.11. Un problème de convergence. — Est-il vrai que pour toute /g C(T) la série de
Fourier de f converge vers f(x) en tout point x ?
Rappelons que la n-ième somme partielle de la série de Fourier de / au point x est donnée par
sn{f;x)=±jy{t)Dn(x-t)dt (n = 0, 1, 2,...), (1)
où
D„{t)= £*'*'. (2)
k = - n
Ceci découle directement des formules 4.26 (1) et 4.26 (3).
Le problème est de savoir si
lim *,(/;*) = f(x) (3)
n -> oo
pour tout / g C(T) et pour tout réel jc. Nous avons vu à la section 4.26 que les sommes
partielles convergent bien vers / dans L2, et par conséquent le théorème 3.12 entraîne que toute
/ g L2(T) (et donc aussi toute / g C(T)) est la limite ponctuelle p.p. d'une sous-suite de la
suite des sommes partielles. Mais ceci ne répond pas à la question actuelle.
Nous allons voir que le théorème de Banach-Steinhaus répond négativement à cette question.
Posons
s*(f;x) = sup| j. (/;*)|. (4)
n
Prenons pour commencer jc = 0, et définissons
4,/= *„(/;0) (/g C(T);n= 1,2,3, ...). (5)
Nous savons que C(T) est un espace de Banach, relativement à la norme de la borne supérieure
notée ll/H«o. H résulte de (1) que chaque An est une forme linéaire continue sur C(T), de norme
\\A„\\<j-k \*\Dn(t)\dt = IIAJ,. (6)
Nous affirmons que
llAill ~~* 00 quand «—>«>. (7)
Ceci sera démontré en établissant que l'égalité est vérifiée dans (6) et que
Il Aj| ] -» 00 quand n -> 00. (8)
if zli
Multiplions (2) par e1 et par e 2 et faisons la soustraction des deux égalités obtenues ; on
obtient
sin(n+l/2);
n( ' sin(f/2) w
Comme |sinjt| < | jc| pour tout x réel, (9) montre que
un n 2 [' ■ f \\ dt 2 fi» + ("2>i* . dt
l|D„||,>-Jo sln(n + -Jt1 = -l Ismrl y
>- Ir f |sin t\dt = —.y
ce qui démontre (8).
1 4^1
k = 1

séries de fourier de fonctions continues
131
Ensuite, fixons n, et posons g (0 = 1 si Dn (f) > 0, g (r) = -1 si D„ (t) < 0. Il existe /, e C(T)
tel que - l<^<let fj(î) —> g{t) pour tout t, quand j —> oo. D'après le théorème de
convergence dominée,
lim A„(fj) = lim i- \* fj(-t)Dn(t)dt = i- C g(-t) Dn(t) dt = \\Dnl.
Ainsi, on a l'égalité dans (6) et (7) est démontrée.
Cette relation (7) étant vraie, le théorème de Banach-Steinhaus affirme maintenant que
s*(f\ 0) = oo pour toute / appartenant à un certain G5 dense dans C(T).
Nous n'avons choisi x = 0 que par commodité. Il est clair que le même résultat est valable
pour tout autre jc :
A chaque nombre réel x correspond un ensemble Ex cz C(T) qui est un Gs dense dans C(T),
tel que s*(f\x) = °o pour tout f e Ex.
En particulier, la série de Fourier de toute fonction / e Ex diverge au point jc, et nous
pouvons répondre négativement à la question posée (l'exercice 22 établit que la réponse est
positive si l'on remplace la simple continuité par une hypothèse de régularité plus forte).
Il est intéressant de remarquer que le résultat du théorème peut être amélioré en appliquant
encore la théorème de Baire. Prenons un ensemble dénombrable de points jc{, et soit E
l'intersection des ensembles correspondants Ex cz C(T). D'après le théorème de Baire, E est un Gs
dense dans C (7). Pour toute f e E,
**(/;■*,) = 00
en tout point jc,.
Pour chaque fonction f,s*(f; jc) est une fonction semi-continue inférieurement de jc, puisque (4)
la fait apparaître comme la borne supérieure d'une famille de fonctions continues. L'ensemble
{jc : s* (f\ jc) = o©} est donc un G5 de R] pour chaque /. En prenant les points jc, de sorte que
leur réunion soit dense dans [-n, +7t], on obtient le résultat suivant :
5.12. Théorème
// existe un ensemble EczC(T) qui est un Gs dense dans C(T) ayant la propriété suivante :
pour tout f e E, l'ensemble
Q/ = {x:s*(f;x) = ~}
est un Gs dense dans R].
L'intérêt de ce résultat est accru si nous réalisons que E, de même que chaque Qf, est un
ensemble non dénombrable, grâce au théorème suivant :
5.13. Théorème
Dans un espace métrique complet X sans points isolés, aucun ensemble dénombrable dense
n'est un G8.
Démonstration. — Soient xk les points d'un ensemble E dénombrable et dense dans X.
Supposons que E soit un Gs. Alors E = n Vn où tous les Vn sont denses et ouverts. Soit
Wn = Vn-(j{xk}.
k = I
Chaque Wn est encore un ouvert dense, mais n Wn = 0, ce qui contredit le théorème de Baire.

132
exemples des techniques d'utilisation des espaces de banach
Remarque. — Une légère modification dans la démonstration du théorème de Baire montre en fait
que lorsque X a la propriété de l'énoncé du théorème, tout Gs dense contient un ensemble parfait.
COEFFICIENTS DE FOURIER DES FONCTIONS DE V
5.14. Comme à la section 4.26, on associe à chaque / g Lx{T) une fonction / sur Z définie
par
/(") = YnVj{î)e~int dt {nSZ)' 0)
Il est aisé de montrer que /(«) —> 0 quand |n| —» <», pour toute / g L1. Car nous savons que
C(T) est dense dans V (T) (Théorème 3.14) et que les polynômes trigonométriques sont denses
dans C(T) (Théorème 4.25). Si £> 0 et / g Lx{T\ ceci nous dit qu'il existe une g g C(T) et
un polynôme trigonométrique P tels que ||/ - g\\, < e et ||g - PW^ < e. Comme
\\g-Ph<\\g-p\U
il s'ensuit que ||/-P\\x<2e ; et si \n\ est assez grand (selon P), alors
< ||/ -P\U< 2e. (2)
Ainsi f(n) —> 0 quand n —> ±°o. Ce résultat est connu sous le nom de lemme de Riemann-Lebesgue.
La question que nous désirons soulever est de savoir si l'inverse est vrai, c'est-à-dire : Si [an]
est une suite de nombres complexes telle que an —» 0 quand n —» ±<», existe-t-il une fonction
/g Lx(T) telle que /(n) = a„ pour tout « e Z ? En d'autres termes, a-t-on dans cette
situation un théorème analogue au théorème de Riesz-Fischer ?
On peut aisément répondre (négativement) à l'aide du théorème de l'application ouverte.
Soit cQ l'espace de toutes les fonctions complexes q> sur Z telles que (p(n)—»0 quand
n —> ±00, muni de la norme de la borne supérieure
IML = sup{|ç)(n)| : n g Z}. (3)
On voit facilement que c0 est un espace de Banach. En effet, si l'on pose ouvert tout sous-
ensemble de Z, Z est un espace localement compact séparé, et cQ n'est autre que c0(Z).
Le théorème suivant contient la réponse à notre question.
5.15. Théorème
L'application f —>f est une transformation linéaire, bornée, injective de L](T) dans (mais
non sur) cQ.
Démonstration. — Définissons A par Af - /.Il est clair que A est une transformation linéaire.
Nous venons de prouver que A envoie L\T) dans c0, et la formule 5.14 (1) montre que
\f(n)\ < ll/Hlt de sorte que ||A|| < 1. (En fait ||A|| = 1 ; pour le voir, prendre/= 1). Montrons
maintenant que A est injective. Supposons / g L](T) et f(n) = 0 pour tout ne Z. Alors
\nf(t)g(t)dt = 0 (1)
j-k
si g est un quelconque polynôme trigonométrique. D'après le théorème 4.25 et le théorème de
convergence dominée, (1) est vérifiée pour tout g e C(T). Appliquons une fois de plus le
théorème de convergence dominée, en même temps que le corollaire du théorème de Lusin, pour

le théorème de hahn-banach
133
conclure que (1) est vérifiée si g est la fonction caractéristique de n'importe quel ensemble
mesurable dans T. Le théorème 1.39 (b) montre alors que/= 0 p.p.
Si l'image de A était l'espace c0 tout entier, le théorème 5.10 impliquerait l'existence d'un
ô> 0 tel que pour tout /g Ll(T)9
ll/IUSII/ll,. (2)
Mais en choisissant Dn{T) tel que défini à la section 5.11, Dn e LX(T), \bn\oa = 1, pour
n = 1, 2, 3, ... et || D„ ||, —> oo quand n —» ©o. Par suite, il n'existe pas de S > 0 tel que les
inégalités suivantes soient vérifiées pour tout n,
\\Dn\l>ô\\Dnl. (3)
Ceci achève la démonstration.
LE THÉORÈME DE HAHN-BANACH
5.16. Théorème
Si M est un sous-espace d'un espace vectoriel norme X et si f est une forme linéaire bornée
sur M, f peut alors être prolongée en une forme linéaire bornée F sur X, de sorte que
\\F\\ = 11/11.
Remarquons que M n'a pas besoin d'être fermé.
Avant d'en venir à la démonstration, on doit faire quelques commentaires. D'abord, dire
(dans la situation la plus générale) qu'une fonction F est un prolongement de / lorsque le
domaine de définition de F contient celui de / et que F{x) = f(x) pour tout x dans le domaine
de définition de /. Deuxièmement, les normes ||F|| et ||/|| sont calculées relativement aux
domaines de définition de F et / ; de manière explicite
ll/H = sup{|/(jc)| :xgM,W<1}, ||F)| = sup{|F(jc)| : jc e X,||jc|<1}.
Le troisième commentaire concerne le corps des scalaires. Jusqu'à maintenant, tout a été
établi pour des scalaires complexes, mais on aurait pu remplacer le corps des complexes par le
corps des réels sans aucun changement des énoncés et des démonstrations. Le théorème de
Hahn-Banach est lui aussi vrai dans les deux cas. Néanmoins, il apparaît comme étant
essentiellement un théorème « réel ». Le fait que le cas complexe n'était encore été démontré lorsque
Banach écrivit son livre classique « Théorie des opérations linéaires » doit être la raison pour
laquelle seul le cas réel est considéré dans son travail.
Momentanément, il sera utile d'introduire une certaine terminologie. Rappelons que Vest un
espace vectoriel complexe (ou réel) si x + y g V pour jc et y g V, et si ax g V pour tous
nombres complexes (ou réels) a. Il en résulte trivialement que tout espace vectoriel complexe
est aussi un espace vectoriel réel. Une fonction complexe <p sur un espace vectoriel complexe V
est une forme linéaire complexe si pour tous x et y g V et tous nombres complexes a,
(p(x + y) = ç)(:c) + Ç)(y) et ç(ocx) = cx<p(x). (1)
Une fonction à valeurs réelles q> sur un espace vectoriel complexe (ou réel) V est une forme
linéaire réelle si (1) est vraie pour tous réels a.
Si u est la partie réelle d'une forme linéaire complexe /, c'est-à-dire, si u(x) est la partie réelle
du nombre complexe /(jc) pour tout jc g V, il est aisé de voir que u est une forme linéaire réelle.
On a les relations suivantes entre / et u :

134
exemples des techniques d* utilisation des espaces de banach
5.17. Proposition. — Soit V un espace vectoriel complexe.
(a) Si u est la partie réelle d'une forme linéaire complexe f sur V, alors
f(x) = u(x)-iu(ix) (xe V). (1)
(b) Si u est une forme linéaire réelle sur V et si f est définie par (1), alors f est une forme
linéaire complexe sur V.
(c) Si V est un espace vectoriel norme et si f et u sont liées par (1), alors \\f\\ = ||u||.
Démonstration. — Si a et p sont des nombres réels et z = cx+ i(i, la partie réelle de iz est -/?.
Ceci, pour tous nombres complexes z, donne l'identité
z = Rez-i Re(/z). (2)
Comme
Re(i/00) = Re/(îx) = u(ix), (3)
(1) résulte de (2) avec z =/(*).
Sous les hypothèses (b), il est clair que f(x + y) = f(x) +/(y) et que f(ax) = oçf(x) pour tout
réel a. Mais nous avons aussi
/(/jc) = u(ix)-iu(-x) = u(ix) + iu(x) = if(x), (4)
ce qui prouve que / est une forme linéaire complexe.
Comme |w(jc)| < |/(jc)|, on a < ||/||. D'autre part, à tout xe V correspond au moins un
nombre complexe a, |a| = 1, de sorte que a/(jc) = |/(jc)|. Alors
|/(jc)| = cxf(x) = f(ocx) = u(cxx) < \\u\\ • ||rxc|| = ||//|| • (5)
ce qui prouve que ||/|| <
5.18 Démonstration du théorème. 5.16 — Nous supposons d'abord que X est un espace
vectoriel norme réel et, par conséquent, que / est une forme linéaire bornée réelle sur M. Si
ll/H = 0, le prolongement cherché est F = 0. Ce cas mis à part, on peut, sans perte de généralité,
supposer que ||/|| = 1.
Choisissons x0 e X, x0 € M, et soit M, l'espace vectoriel engendré par M et jc0. Ainsi M, est
formé de tous les vecteurs de la forme jc + Ar0, où jc g M et À réel. Si nous définissons
/ (jc + Xx0) =/(jc) + Aa, où a est un réel fixé quelconque, il est trivial de vérifier qu'on obtient
un prolongement de / en une forme linéaire sur M,. Le problème est de choisir a de sorte que
la forme prolongée ait encore pour norme 1. Ce sera le cas pourvu que
\f(x) + ka\ < \x + AjcoII (x e M, X réel). (1)
Remplaçons jc par - Ax et divisons les deux membres de (1) par La condition devient alors
que
|/(x)-a|<||jc-Xo|| (xe M), (2)
c'est-à-dire que Ax < a< Bx pour tout jc g M, avec
A, = /(*)-||*-*o|| et ** = /(*) +II*-*o||. (3)
Il existe un tel a si tous les intervalles [Ax, Bx] ont un point commun, c'est-à-dire, si (et
seulement si) pour tout jc et y g M,
Ax<By. (4)
Mais
/(*) - f(y) = /(* -y)* h - y\\ < II* - *0|| + b - *J, (5)
et ainsi (4) découle de (3).

le théorème de hahn-banach
135
Nous avons maintenant démontré qu'il existe un prolongement/, de / sur Af}, préservant la
norme.
Soit ^ l'ensemble de tous les couples ordonnés (Af, /'), où Af est un sous-espace de X qui
contient M et où f est un prolongement linéaire réel de / à AT, avec ||/'|| = 1. Ordonnons
partiellement ^ en déclarant que (Af, f) < (Af', /") signifie Af c Af ' et /"(jc) = f(x) pour
tout jc g Af. Les axiomes d'ordre partiel sont évidemment satisfaits, ^ n'est pas vide puisqu'il
contient (Af,/), et ainsi le théorème de maximalité de Hausdorff affirme l'existence d'un sous-
ensemble 12 de ^ totalement ordonné maximal.
Soit 0 l'ensemble de tous les Af tels que (Af, /') g Q. Alors 0 est totalement ordonné par
l'inclusion, et par conséquent la réunion Af de tous les éléments de <2>est un sous-espace de X.
(Remarquer qu'en général la réunion de deux sous-espaces n'est pas un sous-espace. Un exemple
est celui de deux plans distincts passant par l'origine dans R3.) Si jc g Af, alors x g Af pour un
Af g O ; définissons F(jc) = f(x), où f est la fonction dans le couple (Af, f)eQ. Notre
définition de l'ordre partiel dans Q montre que, pour définir F(jc), l'on peut choisir n'importe
quel Af, pourvu qu'il contienne jc.
Il est maintenant aisé de vérifier que F est une forme linéaire sur Af, avec ||F|| = 1. Si Af
était un sous-espace propre de X, la première partie de la démonstration nous donnerait encore
un prolongement de F, ce qui serait en contradiction avec la maximalité de Q. Ainsi Af = X, et
la démonstration est achevée pour le cas des scalaires réels.
Si / est maintenant une forme linéaire complexe sur le sous-espace Af de l'espace vectoriel
norme complexe X, soit u la partie réelle de /. Utilisons le théorème de Hahn-Banach réel pour
prolonger u en une forme linéaire réelle U sur X, avec \\U\\ = et définissons
F(jc) = U(x)-iU(ix) (jcg X). (6)
D'après la proposition 5.17, F est un prolongement linéaire complexe de /, et
1*11 = Il Ml - M = ll/ll-
Ceci achève la démonstration.
Mentionnons deux importantes conséquences du théorème de Hahn-Banach.
5.19. Théorème
Soif Af un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel norme X, et soit x0 g X. Alors x0
appartient à la fermeture M de M si et seulement s'il n'existe pas déforme linéaire bornée f
sur X telle que /(jc) = 0 pour tout xe M tandis que f(x0) ï 0.
Démonstration. — Si x0 e M, si / est une forme linéaire bornée sur X, et si/(jc) = 0 pour tout
jc g Af, la continuité de / montre qu'on a aussi/(x0) = 0.
Inversement, supposons que x0ë Af. Alors il existe 5>0 tel que ||jc-jc0||>5 pour tout
xe M. Soit Af le sous-espace engendré par Af et jc0, et définissons/(jc + Àx0) = a si jc g Af et
si a est un scalaire. Comme
<5|a| <|a| ||jc0 +a_,jc| = ||â*0 + *|,
on voit que / est une forme linéaire sur Af dont la norme est au plus On a bien/(;c) = 0
sur Af,/(jc0) = 1. Le théorème de Hahn-Banach nous permet de prolonger cette forme /de Af
àX.

136
exemples des techniques d'utilisation des espaces de banach
5.20. Théorème
Si X est un espace vectoriel norme et si xQ g X, jc0 * 0, /*/ existe une forme linéaire bornée f
sur X, de norme 1, telle que f(x0) = ||jc0||.
Démonstration. — Soit M = {Àx0}, et définissons f(XxQ) = A||jc0||- Alors / est une forme
linéaire de norme 1 sur Af, et nous pouvons de nouveau appliquer le théorème de Hahn-Banach.
5.21. Remarques. — Si X est un espace vectoriel norme, soit X* l'ensemble de toutes les
formes linéaires bornées sur X. Si l'on définit de la manière évidente l'addition et la
multiplication par un scalaire, on voit aisément que X* est lui aussi un espace vectoriel norme. En fait,
X* est un espace de Banach ; ceci résulte du fait que le corps des scalaires est un espace
métrique complet. Nous laissons à titre d'exercice la démonstration de ces propriétés de X*.
Une des conséquences du théorème 5.20 est que X* n'est pas l'espace vectoriel trivial {0} si
X n'est pas lui-même cet espace. En fait, X* sépare les points surX. Ceci signifie que si x{ *x2
dans X, il existe une /g X* telle que/(jc,) */(jc2). Pour démontrer ceci, il suffit de prendre
x0 = x2 - xx dans le théorème 5.20.
Une autre conséquence est que, pour x e X,
sup {|/(jc)|:/g X*, ||/||=1}.
D'où, l'on déduit que pour * fixé appartenant à X, l'application / —> f(x) est une forme linéaire
bornée surX*, de norme ||jc||.
Cette dualité entre X et X* (qui est appelé « espace dual » de X) forme la base d'une grande
partie de la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse fonctionnelle.
UNE APPROCHE ABSTRAITE DE L'INTÉGRALE DE POISSON
5.22. Appliquer avec succès le théorème de Hahn-Banach à des problèmes concrets repose
bien entendu sur une connaissance des formes linéaires bornées sur l'espace vectoriel norme en
jeu. Jusqu'à maintenant, nous n'avons déterminé que les formes linéaires bornées sur un espace
de Hilbert (pour lequel il existe une démonstration beaucoup plus simple du théorème de Hahn-
Banach ; voir l'exercice 6) et nous connaissons les formes linéaires positives sur CC(X).
Nous allons maintenant décrire une situation générale dans laquelle ces dernières formes
interviennent naturellement.
Soit K un espace compact séparé, soit H un sous-ensemble compact de et soit A un sous-
espace de C(K) tel que 1 g A (1 est la fonction qui prend la valeur 1 pour tout jc g K ) et tel que
Il/Il* = ll/L (/eA). (1)
Ici nous utilisons la notation
ll/L = sup{|/(jc)| :jcg E}. (2)
A la suite de l'exemple étudié à la section prochaine, H est quelquefois appelé une frontière
de K, correspondant à l'espace A.
Si / g A et jc g A\ (1) dit que
\f(x)\ < ll/L. (3)
En particulier, si /(y) = 0 pour tout y g //, alors /(*) = 0 pour tout jcg K. D'où, si /, et
/2 g A et /i(y) = f2(y) pour tout y g /Y, alors/ =/2 ; pour le voir, poser/=/ -f2.

une approche abstraite de l'intégrale de poisson
137
Soit M l'ensemble de toutes les fonctions sur H qui sont des restrictions à H d'éléments de
A. Il est clair que M est un sous-espace de C(H). La remarque précédente montre que chaque
élément de M se prolonge de manière unique en un élément de A. Ainsi nous avons une bijec-
tion entre Af et A, qui par ailleurs préserve la norme, d'après (1). Par suite on peut, sans crainte
de confusion, utiliser la même lettre pour désigner un élément de A et sa restriction à H.
Fixons un point xe K. L'inégalité (3) montre que l'application / —> f(x) est une forme
linéaire bornée sur Af, de norme 1 (puisqu'on a l'égalité dans (3) si/= 1). D'après le théorème
de Hahn-Banach il existe une forme linéaire A sur C(//), de norme 1, telle que
A/ = /(x) (/e Af). (4)
Nous affirmons que les propriétés
Al = 1, ||A|| = 1 (5)
entraînent que A est une forme linéaire positive sur C(H).
Pour démontrer ceci, supposons / e C(H), 0 < / < 1, posons g = 2/ - 1 et posons encore
Ag = a+ ip, avec a et fi réels. Remarquons que -1 < g < 1, de sorte que \g + ir\2 < 1 + r2
pour tout réel r. Par suite (5) entraîne que
(p+r)2<\a+i(p+r)\2 = |A(g + /r)|2<l+r2. (6)
Ainsi, fi? + 2rp< \ pour tout réel r, d'où nécessairement j3 = 0. Comme ||g||w<l, on a
\a\ < 1 ; d'où
Af =^A(l+s) =i(l+a)>0. (7)
On peut maintenant appliquer le théorème 2.14. Il montre l'existence d'une mesure régulière
positive de Borel ^ sur H telle que
Af = jjdtix (feC(H)). (8)
En particulier, nous obtenons la formule de représentation
f(x) = JHfdnx (/eA). (9)
Nous venons de prouver qu'à chaque xe K correspond une mesure positive jix sur la
«frontière » H qui « représente » x, en ce sens que (9) est vérifiée pour tout f e A.
Remarquons que A détermine fix de manière unique ; mais il n'y a pas de raison de s'attendre
à avoir un prolongement de Hahn-Banach unique. Par suite, en général, nous ne pouvons pas
dire grand chose sur l'unicité des mesures représentatives. Cependant, sous des circonstances
particulières, nous obtiendrons l'unicité ; c'est ce que nous allons voir tout de suite.
5.23. Pour voir un exemple de la situation précédente, soit U = {z : |z| < 1} le disque unité
ouvert du plan complexe, posons K = U (le disque unité fermé), et prenons pour H la frontière
(topologique) T de U. Nous affirmons que tout polynôme /, c'est-à-dire toute fonction de la
forme
N
Hz) = ^anZ", (1)
n = 0
pour des nombres aQJ..., aN complexes, satisfait la relation
ll/L = 11/11 T- (2)
(Remarquons que, / étant continue, la borne supérieure de |/| sur U est la même que sur U.)

138
exemples des techniques d'utilisation des espaces de banach
En effet, comme U est compact, il existe z0 g U tel que |/(z0)l ^ Pour tout ze U.
Supposons z0e U. Alors
N
/(z) = 5>(z-*o)\ (3)
n = 0
et si 0 < r < 1 - \z0\, on obtient
£l*"lV" = Yn !'\f^*re"fde^ J_" |/(zo)|2 ^ = |*o|a.
n = 0
de sorte que bx = b2 = ... = bN = 0 ; c'est-à-dire, / est constante. Ainsi z0 e 7 pour tout
polynôme non constant /, et ceci prouve (2).
(Nous venons juste de démontrer un cas particulier du théorème du maximum ; nous verrons
plus loin que c'est là une importante propriété des fonctions holomorphes.)
5.24. L'intégrale de Poisson. — Soit A un sous-espace de C(D) (où D est comme ci-dessus,
le disque unité fermé, contenant tous les polynômes et tel que l'égalité
ll/L = ll/L (D
soit vérifiée pour toute f e A. Nous n'excluons pas la possibilité que A soit formé précisément
de tous les polynômes, mais A pourrait être un espace plus grand.
Le résultat général obtenu à la section 5.22 s'applique à A et montre qu'à chaque ze U
correspond une mesure de Borel positive jiz sur T telle que
Az) = jfdnz (/eA). (2)
T
(Ceci est aussi valable pour z g T, mais c'est trivial dans ce cas : }iz est simplement la masse
unité concentrée au point z.)
Fixons maintenant z e U et écrivons z = rei&, 0 < r < 1, 6 réel.
Si un (w) = w", alors un g A pour n = 0, 1, 2, ..., et (2) montre que
r"e'"e = \u„ d^ (« = 0,1,2,...). (3)
T
Comme u_n = û„ sur T, (3) conduit à
\undllz = rHein9 (/i = 0,±l,±2,...). (4)
T
Ceci nous suggère de considérer la fonction de variable réelle
P,(6-t) = f r'"le'"(8"') ('e *'>• (5)
n - -oo
puisque
±-K\yr(d-t)ein' dt = rHeine (n = 0, ±1, ±2, ...). (6)
Remarquons que la série (5) est majorée en module par la série géométrique convergente ^V"',
de sorte qu'il est légitime d'insérer la série dans l'intégrale (6) pour intégrer terme à terme, ce
qui donne (6). En comparant (4) et (6), on obtient
lfdfiz = Yn ÏJ(eil) Pr{6~î) dt (7)

EXERCICES
139
pour /= un, puis pour tout polynôme trigonométrique /, et, d'après le théorème 4.25, (7) est
encore vérifiée pour toute / g C(T). [Ceci montre que la mesure \iz était déterminée de manière
unique par (2). Pourquoi ?].
En particulier, (7) est vérifiée pour /g A, et alors (2) donne la représentation
W = T~rr JV(*") PrO-t) dt (/g A). (8)
La série (5) peut être sommée explicitement, puisqu'elle est la partie réelle de
i -"\" e" + z 1 -r2 + 2ir sin(d-t)
1 ) = = ~
\l-ze~T
Ainsi
1-r2
Pr(0-t) = 2. (9)
1 -2r cos(0-f) + r2 y ;
Voilà ce qu'on appelle le « noyau de Poisson ». Remarquons que Pr(9-t) > 0 si 0 < r < 1.
Énonçons maintenant ce que nous avons démontré :
5.25. Théorème
Soit A un espace vectoriel de fonctions continues à valeurs complexes définies sur le disque
unité fermé D. Si A contient tous les polynômes, et si pour toute /g A (où T est le cercle unité,
frontière de U)
SUP|/(Z)| = SUp 1/(2)1, (1)
on a alors la représentation intégrale de Poisson pour toute f g A et tout z g U
f(z) = j- T 1 o l~r' 2 /('")dt (z = re\ (2)
2* J-n l~2rcos(0-r) + r
EXERCICES
1. Soit X l'ensemble formé de deux points a et b, posons jU({a})=jU({£})=^, et soit If(jï)
l'espace LP réel associé. Identifier chaque fonction réelle / sur X par le point (f(a),f(b)) du
plan, et décrire les boules unités de Lp(jf), pour 0 < p < <*>. Remarquer qu'elles sont convexes
si et seulement si 1 < p < oo. pour quels p cette boule unité est-elle un carré ? Un cercle ? Si
H({a}) * fi({b}), en quoi la situation diffère-t-elle de la précédente ?
2. Démontrer que la boule unité, qu'elle soit ouverte ou fermée, est convexe dans tout espace
vectoriel norme.
3. Si 1 < p < oo, démontrer que la boule unité de LP (pï) est strictement convexe ; ceci signifie que si
11/11, = llgllp = 1, f*g, h = \(f + g),
alors ||/ï||/,< 1. (Géométriquement, la surface de la boule ne contient aucune ligne droite.)
Montrer que ceci est faux dans tout Lx(ji), dans tout L°°(jU), et dans tout C(X). (On laisse de
côté les cas triviaux, par exemple lorsque les espaces ne sont formés que d'un seul point.)

140
exemples des techniques d'utilisation des espaces de banach
4. Soit C l'espace de toutes les fonctions continues sur [0, 1], muni de la norme de la borne
supérieure. Soit Af l'ensemble de toutes les / g C pour lesquelles
Démontrer que Af est un sous-ensemble fermé convexe de C qui ne contient pas d'élément de
norme minimale.
5. Soit Af l'ensemble de toutes les / g L1 ([0, 1 ]), relativement à la mesure de Lebesgue, telle
que
Montrer que Af est un sous-ensemble fermé convexe de V ([0, l])qui contient une infinité
d'éléments de norme minimale. (Comparer ceci et l'exercice (4), avec le théorème 4.10.)
6. Soit / une forme linéaire bornée sur un sous-espace Af d'un espace de Hilbert H.
Démontrer que / admet un unique prolongement en une forme linéaire bornée sur H de même norme,
et que ce prolongement est nul sur Af1.
7. Construire une forme linéaire bornée sur un sous-espace d'un L1 (p) qui ait deux
prolongements distincts à L1(jj), linéaires et préservant la norme (et par suite une infinité).
8. Soit X un espace vectoriel norme, et soit X* son dual, comme il a été défini à la section
5.21, muni de la norme
(a) Démontrer que X* est un espace de Banach.
(b) Démontrer que l'application /—>/(*) est, pour tout xe X, une forme linéaire bornée
sur X*, de norme ||jc||. (Ceci fournit une injection naturelle de X dans son « bidual » X**,
l'espace dual de X*).
(c) Démontrer que { ||jcJ } est borné si {xn} est une suite dans X telle que la suite {/(*„)} soit
bornée pour toute / g X*.
9. Soient c0, ll et T les espaces de Banach formés de toutes les suites complexes *={£.},
i = 1, 2, 3,définis comme suit :
jcg Z1 si et seulement si ||jc|| t = <°°.
xe /°° si et seulement si ||jc|| ^ = sup|£| < <*>.
c0 est le sous-espace de T formé de tous les xe C pour lesquels —>0 quand / —> <*>.
Démontrer les quatre énoncés suivants
(a) Si y = {77,} g lx et Ax = ^£,7?/ pour tout x de c0, alors A est une forme linéaire
bornée sur c0, et ||A|| = \\y\\x. De plus tout Ae (C0)* s'obtient de cette manière. En bref
[Plus précisément, ces deux espaces ne sont pas égaux ; l'énoncé (a) explicite un
isomorphisme isométrique d'espaces vectoriels normes].
(b) Avec la même signification, montrer (Z1)* = /".
(c) Chaque y e Z1 fournit une forme linéaire bornée sur f°, comme en (a). Toutefois, ceci ne
fournit pas tout (/")*, puisque (/")* contient des formes linéaires non triviales nulles sur tout c0.
(d) cQ et Z1 sont séparables, mais /°° ne l'est pas.
11/11 = sup{|/(*)| :|M|<1}.
(C0)* = /1.

exercices
141
10. Si X converge pour toute suite {<!;,} telle que ^, —» 0 quand démontrer que
2,kl<°°-
11. Pour 0 < a< 1, soit Lip a l'espace de toutes les fonctions à valeurs complexes définies
sur [a, b] pour lesquelles
Démontrer que Lip a est un espace de Banach pour la norme ||/|| = \f(a)\+Mf ; et aussi pour
ll/H - M{ + sup |/(*)|. (On dit que les éléments de Lip a satisfont une condition de Lipschitz
X
d'ordre a).
12. Soit K un triangle du plan (à deux dimensions), et H l'ensemble des sommets de K. Soit
A l'ensemble de toutes les fonctions réelles / sur K, de la forme
f(x,y) = ax + Py + y (a, P,et y réels).
Montrer qu'à chaque (jc0, y0) e K est associée une unique mesure // sur H telle que
/(*o, yo) = \f djl.
H
(Comparer avec la section 5.22.)
Remplacer K par un carré, et soit de nouveau H l'ensemble de ses sommets, et A comme ci-
dessus. Montrer qu'à chaque point de K correspond toujours une mesure sur //, avec ladite
propriété, mais qu'il n'y a plus unicité.
Peut-on, en extrapolant, obtenir un théorème plus général ? (Penser à d'autres figures, à des
espaces de dimension plus grande.)
13. Soit {/„} une suite de fonctions continues complexes sur un espace métrique complet non
vide X, telle que /(jc) = lim/„(jc) existe, en tant que nombre complexe, pour tout jc g X.
(a) Montrer qu'il existe un ouvert V * 0 et un entier Af tel que |/„(jc)| < N pour tout xe V
et«= 1,2, 3,...
(b) Si £> 0, montrer qu'il existe un ouvert V * 0 et un entier N tel que |/(jc) -/„(jc)| < £
pour xe Vetn>N.
(Indication pour (b) : Pour N = 1, 2, 3, poser
An = {x:\fm(x)-fn(x)\<e si m>N,n>N}.
Puisque X = K^J AN, au moins un AN a un intérieur vide).
14. Soit C l'espace de toutes les fonctions continues réelles sur /= [0, 1] muni de la norme
de la borne supérieure. Soit Xn le sous-ensemble de C des / pour lesquelles il existe te / tel
que |/(s) - f(t)\ < n \s -1\ pour tout sel. Fixer n et prouver que chaque ouvert de C contient
un ouvert qui ne rencontre pas Xn. (Chaque fonction f e C peut être uniformément approchée
par une fonction g en zigzag avec de très grandes pentes, et si ||g - h\\ est petit, h ê X„). Montrer
que ceci implique l'existence d'un Gs dense dans C qui est seulement constitué de fonctions
nulle part différentiables.

142
exemples des techniques d'utilisation des espaces de banach
15. Soit A — (atJ) une matrice infinie à coefficients complexes, où i,j = 0, 1,2, .... On associe,
grâce à A, à toute suite {Sj} une suite {o;}, définie par
Oi = ^auSj (i = 1,2,3, ...),
y = o
pourvu que cette série converge.
Démontrer que A transforme toute suite convergente {Sj} en une suite {oi} convergeant vers
la même limite si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :
(a) lim<2/y = 0 pour tout j.
(b)
7 = 0
(c) lim Y av = 1.
7 = 0
Le procédé faisant passer de {sj} à {o;} est appelé une méthode de sommation. Voici deux
exemples :
t^-t si 0 </</,
0
SI 1<j,
et ai}, = (1 -r,) r/, 0<ri<l, r,->l.
Démontrer que ces deux matrices transforment aussi certaines suites divergentes, {Sj} (et même
non bornées) en suites convergentes {o;}.
16. Soient X et Y deux espaces de Banach, et soit A un opérateur linéaire de X dans Y ayant
la propriété suivante : pour toute suite {xn} dans X pour laquelle x = lim xn et y = lim Ajc„
existent, on a y = Ax. Démontrer que A est continue.
C'est ce que l'on appelle le théorème « du graphe fermé ». (Indication : soit X 0 Y
l'ensemble de tous les couples ordonnés (jc, y), jc e X et y g y, avec l'addition et la multiplication par
un scalaire définies composante à composante. Démontrer que X 0 Y est un espace de Banach
pour ||(jc, y)|| = ||jc|| + ||y||. Le graphe G de A est le sous-ensemble de X 0 y formé des couples
(jc, Ajc), jc e X. Remarquer que notre hypothèse dit que G est fermé ; G est donc un espace de
Banach. Remarquer que (jc, Ajc) —> jc est continue, injective, et linéaire et envoie G sur X.
Remarquer qu'il existe des applications non linéaires (de R] sur R\ par exemple) dont le
graphe est fermé, bien qu'elles ne soient pas continues : /(jc) = - si jc * 0,/(0) = 0.
17. Si p est une mesure positive, chaque / e LT(fi) définit un opérateur de multiplication
Nfj de L2(fi) dans L2(/z), tel que Mf(g) =fg. Démontrer que \\Mf\\ < ||/|l. Pour quelles mesures
ju est-il vrai que \\Mf\\ = ||/||M pour toute / e L°°(ju) ? Pour quelles / e L~(jU) l'opérateur Mf
envoie-t-il L2(fi) sur L2(jï) ?
18. Soit { An} une suite d'opérateurs linéaires bornés d'un espace vectoriel norme X dans un
espace de Banach Y, supposons ||A„|| < M < oo pour tout «, et supposons qu'il existe un ensem-

notes historiques
143
ble dense EczX tel que {A„;t} converge pour tout xe E. Démontrer que {A„jc} converge
pour tout xe X.
19. Si sn est la n-ième somme partielle de la série de Fourier d'une fonction fe C(T),
démontrer que sn /log n -» 0 uniformément, quand n —> «>, pour toute / e C(T). C'est-à-dire
démontrer que
n -> - log n
Réciproquement, si h/log n—»0, démontrer qu'il existe une fe C(T) telle que la suite
{sn(f\ 0) IXn] ne soit pas bornée. (Indication: appliquer le raisonnement de l'exercice 18 et
celui de la section 5.11, en trouvant une meilleure estimation pour ||Z)J,).
20. (a) Existe-t-il une suite de fonctions continues positives sur R\ telle que ifn(x)} ne soit
pas bornée si et seulement si x est un nombre rationnel ?
(b) Remplacer « rationnel » par « irrationnel » dans la question (a).
(c) Remplacer « [fn (x)} ne soit pas bornée » par « fn(x) —> oo lorsque n —> oo » dans la
question (a) et dans la question (b) ?
21. Soit E cz R] un ensemble mesurable et m(E) = 0. Est-il nécessaire qu'existe un translaté
E + x n'intersectant pas E ? Est-il nécessaire qu'existe un homéomorphisme h de R] sur R* tel
que h (E) n'intersecte pas E ?
22. Soit f e C(T) et / e Lip a pour un certain a > 0 (Voir exercice 11.) Démontrer que la
série de Fourier de / converge vers/(x) en complétant le schéma démonstratif qui suit. Il suffit
de considérer le cas x = 0,/(O) = 0. La différence entre les sommes partielles sn(f\ 0) et les
intégrales
1 f«/(0sinnf
K J V t
tendent vers 0 lorsque n —> oo. La fonction appartient à LX(T). Appliquer le lemme de
Riemann-Lebesgue. Un raisonnement plus soigneux montre que la convergence est en fait
uniforme sur T.
NOTES HISTORIQUES
La Théorie des opérations linéaires de Stefan Banach, livre publié en 1932 à Varsovie, marque d'une
part la maturité d'une théorie, celle des espaces de Banach dont l'étude avait commencé dans les années
1920, précisément sous l'effet de l'école polonaise et dont les exemples étaient les espaces U introduits
par Riesz en 1910. D'autre part, le livre présente un programme pour le futur : Banach indique les
questions ouvertes qui lui paraissent importantes, et elles vont occuper les spécialistes de l'analyse
fonctionnelle au moins jusqu'au début des années 1970. L'exposé que l'on trouve au chapitre 5 était donc déjà
offert dans le livre de Banach, avec aussi bien ses applications comme la question de la convergence de
la série de Fourier d'une fonction continue (section 5.11).

144
exemples des techniques d'utilisation des espaces de banach
Des présentations plus systématiques de la théorie des espaces de Banach figurent dans des ouvrages
devenus classiques, comme [Riesz, Nagy, 1955], [Hille, Phillips, 1957], ou des encyclopédies comme
[Dunford, Schwartz, 1958], voire des ouvrages non moins classiques mais orientés vers des champs plus
spécialisés comme [Loomis, 1953], ou [Rudin, 1973].
Si la définition d'un espace vectoriel norme complet apparaît pour la première fois chez Banach, et si
on y trouve aussi bien la caractérisation de la continuité d'un opérateur linéaire sur des espaces normes au
moyen d'une inégalité, le travail avait été préparé en 1906 par Fréchet (espaces métriques complets) et
Hilbert (espaces /2). Banach montre que la théorie a pour objectif l'obtention d'inégalités pour disposer de
la continuité et parce que celle-ci permet une théorie fonctionnelle de l'approximation qui généralise en
dimension infinie celle qui fait passer des rationnels aux réels. Il indique comment remplacer en termes
de normes et de majoration les propriétés des limites, et c'est ceci qui changea notablement la façon de
travailler en Analyse. Deux théorèmes résument ces propriétés, le théorème de Banach-Steinhaus et celui
de l'application ouverte (ou du graphe fermé).
Tous les deux dépendent du théorème de Baire qui peut être considéré comme le pendant analytique du
théorème ensembliste de Cantor (exprimant qu'un continu n'est pas dénombrable), ce que signale Banach
qui, en faisant resurgir le théorème relativement oublié de Baire, le place en position fondamentale ; il
signale la démonstration de l'existence d'une fonction continue sur R1 et nulle part dérivable (exercice 14,
qui suit grosso modo l'exposé de Banach) : l'idée est de mesurer topologiquement dans l'ensemble des
fonctions continues la taille de l'ensemble des fonctions dérivables en un point au moins. Tout comme
Cantor prouvait l'existence d'un nombre transcendant en vérifiant que la taille ensembliste (le cardinal)
des nombres algébriques était inférieure à la taille ensembliste des nombres réels. Le théorème de Baire
est donc à la base d'une analogie des démonstrations sur la taille, qu'elle soit définie topologiquement, à
la façon de la théorie des ensembles, ou à la façon de la théorie de la mesure. Cette analogie est exploitée
dans [Oxtoby, 1971], livre qui donne à lire une bonne partie de l'histoire de l'Analyse au xxc siècle.
Comme elles l'avaient été pour Lebesgue, les séries de Fourier furent une aubaine pour Banach, car au
moyen des normes, il expliquait les comportements singuliers de la convergence de ces séries. L'exemple
de l'estimation de la norme V du noyau de Dirichlet (c'est ainsi que l'on appelle la fonction
D„(t) = (intervenant en 5.11) est typique. Les séries de Fourier restent un des lieux majeurs
sin -
de la théorie des espaces de Banach, les estimations étant devenues de plus en plus sophistiquées. Ainsi
Lennart Carleson a démontré en 1966 —résultat qui lui valut la médaille Field — que l'ensemble des
points où la série de Fourier d'une fonction de Û(T) diverge est nécessairement de mesure nulle. En
particulier, l'ensemble des points de divergence de la série de Fourier d'une fonction continue, qui peut être
un Gs dense, est néanmoins de mesure nulle. La démonstration un peu simplifiée a été étendue par R. A.
Hunt aux fonctions de LP(T) (p> 1). Une démonstration relativement accessible, utilisant les fonctions
maximales, est fournie avec un exposé concis de ces problèmes de convergence dans [Katznelson, 1968,
chap. 2].
Le théorème de Hahn-Banach permet la définition d'un ensemble frontière relativement à un espace de
fonctions continues, et donc la théorie des mesures représentatives, celle esquissée à la section 5.22 pour
le cas de l'intégrale de Poisson. Richard Arens et I.M. Singer ont donné une explication de ces mesures
représentatives en 1954 ; on en trouvera des exposés assez complets dans [Gamelin, 1969] et [Wheeden,
Zygmund, 1977]. Une conséquence du théorème de Hahn-Banach permet le théorème de séparation des
convexes fermés qui joue un rôle primordial en théorie de l'optimisation.
Une utilisation élégante du théorème du graphe fermé a permis à L. Hôrmander de prouver un résultat
de régularité pour les équations aux dérivées partielles, généralisant le lemme de Weyl concernant la
régularité C" du laplacien.

notes historiques
145
RÉFÉRENCES
[Lebesgue, 1906]
[Baire, 1906]
[Banach, 1932]
L. Carleson, Convergence and Growth of partial sums of Fourier séries, Acta Math., 116,135-157, 1966.
R. Arens, Singer, Proc. Amer. Math. Soc, 5, 735-745, 1954.
[Zygmund, 1958].
O.G. J0rsboe, L. Mejlbro, The Carleson-Hunt theorem on Fourier séries, Lecture Notes, 911, Springer,
1982.
TEXTES
Le premier texte est l'exposé par Baire en 1905 du théorème qui porte aujourd'hui son nom ; vient ensuite
le court texte de Villani, traduit en français, sur les relations entre les espaces LP.
1. Baire expose une méthode et travaille à partir de l'ensemble de Cantor dans les Leçons sur les
fonctions discontinues, 1906, pp. 78-80. [PQ désigne un segment de l'axe réel]. Plaçons-nous au point de
vue de la répartition des points de discontinuité. Nous avons vu, comme conséquence de la définition des
fonctions, ponctuellement discontinues, que, (O étant l'oscillation en chaque point d'une telle fonction, a
un nombre positif quelconque, l'ensemble des points où l'on a co > a est non dense, cette propriété
pouvant même servir de définition aux fonctions ponctuellement discontinues. Soit G l'ensemble de tous
les points de discontinuité de la fonction considérée. On peut le considérer comme engendré de la façon
suivante : donnons-nous une suite de nombres positifs ax, c2, <Jn, ...tendant vers 0. Désignons par
Gn l'ensemble des points de PQ où l'on a 0) > o„. Nous définissons ainsi une suite d'ensembles fermés
G,, G2, G„, ...dont chacun est non dense dans PQ. Je dis que l'ensemble G des points de discontinuité
est la réunion de tous les ensembles G,, G2, G„, En effet, tout point de chacun de ces ensembles
est un point de discontinuité et, par suite, appartient à G. Inversement, tout point de G appartient à l'un de
ces ensembles. Car, étant donné un point A de G, l'oscillation en ce point a une certaine valeur positive
co. Il y a un nombre av < co. A fait partie de Gv.
Nous sommes conduits ainsi à une notion nouvelle sur les ensembles.
Nous dirons qu'un ensemble est de première catégorie dans un intervalle PQ, s'il est constitué par la
réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles dont chacun est non dense dans PQ. Les ensembles de
points qui ne sont pas de première catégorie sont dits de deuxième catégorie.
Donnons quelques propriétés des ensembles de première catégorie.
La réunion d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'ensembles de première catégorie est de
première catégorie.
Car un ensemble de première catégorie est constitué par une infinité dénombrable d'ensembles non
denses. Or, la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables d'éléments est encore un
ensemble dénombrable de ces éléments. Donc, la réunion d'un ensemble dénombrable d'ensembles de
première catégorie constitue une infinité dénombrable d'ensembles non denses. C'est donc un ensemble
de première catégorie.
Je dis que si G est un ensemble de première catégorie sur un segment PQ, il y a dans toute portion de
PQ des points qui n 'appartiennent pas à G.
Car G est formé d'une infinité dénombrable d'ensembles non denses G,, G2, GM, Soit ab un
intervalle pris sur PQ. L'ensemble G, étant non dense dans PQ, il est possible de déterminer dans ab une
portion a]b] ne contenant aucun point de G,. De même, dans a]bl il est possible de déterminer une portion
a2b2 ne contenant aucun point de G2, et ainsi de suite. Nous formons une suite d'intervalles axbv a2b2,
...anbn, ... dont chacun est contenu dans le précédent, et tels que anbn ne contient aucun point de Gp G2,

146
exemples des techniques d'utilisation des espaces de banach
..., Gn, ... Il existe un point A appartenant à tous ces intervalles. Ce point n'appartient pas à G, puisqu'il
ne peut appartenir à aucun des ensembles Gp G2, Gn, ... La proposition est donc démontrée. On voit
que l'ensemble E - G des points de PQ qui n'appartiennent pas à G est dense sur toute partie de PQ. On
voit en outre que l'ensemble E n'est pas de première catégorie par rapport à lui-même ; il est donc de
seconde catégorie, ainsi que E - G .
Tout ensemble dénombrable est de première catégorie. C'est, en effet, la réunion d'une infinité
dénombrable d'ensembles dont chacun est composé d'un élément, et est par suite non dense.
Proposons-nous de former un ensemble de première catégorie qui ne soit pas dénombrable et qui de plus
soit dense dans le segment [0,1]. Nous procéderons de la façon suivante : nous plaçons sur [0,1]. L'ensem-
ble parfait non dense G, dont les points ont des abscisses de la forme ^ — les nombres an étant tous
égaux à zéro ou à deux1^. Nous considérons les intervalles contigus à G, ; dans chacun de ces intervalles
contigus, nous plaçons un ensemble ayant par rapport à cet intervalle la position de G, par rapport à [0,1].
Désignons par G2 l'ensemble total, y compris G,. On reconnaît que G2 est parfait et non dense. Dans
chaque intervalle contigu à G2, opérons comme dans les intervalles contigus à G,. Soit G3 l'ensemble total
des points obtenus après cette opération. Nous continuons indéfiniment. Soit G l'ensemble constitué par
la réunion de G,, G2, G„, ... L'ensemble G est de première catégorie. Je dis qu'il est dense. Car,
pour Gt la plus grande longueur d'un intervalle contigu est i , pour G2 est ; pour G„ c'est —n. Cette
3 3
longueur tend donc vers zéro. Donc, pour toute portion de l'intervalle [0,1], il est possible de trouver n
assez grand pour que Gn y possède des points. L'ensemble G est donc dense.
2. Sur l'inclusion Lp(p) cz Lq((i), d'après Alfonso Villani. (12, s4, p) désigne un espace mesuré, pour
une mesure positive p\ et pour tout pe ]0, °°[, LP (p) désigne l'espace des fonctions réelles s4-
mesurables sur Q telles que \\f\\p < °° . L'objectif est de caractériser les espaces (Q, p) pour lesquels
on a Lp(p)czL\p).
Lemme. Soient p, q e [1, °°[, la relation d'inclusion Lp{ji) cz Lq(fi) implique que l'application
d'inclusion soit continue.
Si fn —> f dans Lp, d'après le théorème 3.12, la suite {/„} possède une sous-suite convergeant
presque partout vers /. Le résultat énoncé par le lemme se déduit facilement du théorème du graphe fermé
(exercice 16 du chapitre 5).
Remarque : Avec la même démonstration, le lemme vaut aussi lorsque p, q e ]0, <»[, quoique Lp(p) ne
soit pas un espace norme lorsque 0 < p < 1.
Soit £>4Q la famille des A e sA de mesure strictement positive. On a :
Théorème 1. Sont équivalentes les conditions suivantes sur un espace mesuré (Q> &4, p).
(I) Lp(p) c Lq(p) pour un couple p, qe ]0, <*>[ où p<q,
(3) Lp{p) cz Lq(p) pour tous les couples p, q e ]0, «>[ où p<q
Démonstration. (1) -> (2). Puisque Lp(p) cz Lq(p) implique Lp\p) c Lq,(p) pour tous t e ]0, °o[,
on peut supposer p>\.En sorte que Lp(p) et Lq(p) sont des espaces normes. Du lemme, on déduit
l'existence d'une constante positive k telle que ||/||^ < k\\f\\p pour tout fe Lp(p). En particulier,
1 1 Pt
{H(E)}g < {fl{E)}p . En sorte que pour tout E e £*( avec 0 < p(E) < oo, p(E) > . Ce qui donne (2).
[1. Il s'agit de l'ensemble diadique de Cantor, examiné à la section 7.16.]

notes historiques
147
(2) -> (3). Soit / e Lp{p) et posons En = {\f\ > «}, n = 1, 2, ... Grâce à l'inégalité de éebicev,
/i(£„)-> 0 lorsque n -» °°. De sorte que la condition (2) fournit un indice n0 pour lequel jl(En) = 0
1/1
pour tout «>/i(), c'est-à-dire — < 1 p p • [p] , d'où puisque p < q, / e L^i/l) ce qui implique
Lp(p) c Lq(p) pour tout e [p, °°] ■
(3)->(l) Évident.
Théorème 2. Sont équivalentes les conditions suivantes sur un espace mesuré (Q, stf> u).
(1) Lp(p)z>Lq{p) pour un couple pt qe ]0, ~[ où p<q,
(2) sup p(E)<°°,
(3) Lp{p) o Lq(p) pour tous les couples p, q e ]0, °°[ ou p<q .
Démonstration. — ( 1 ) —» (2). Comme pour le théorème 1, on peut supposer p > 1 , de sorte que le
lemme 1 fournit une constante positive k telle que \\f\\p < k\\f\\q pour tout / e Lq(u). En sorte que pour
(2) -> (3). Soit / e Lq(p) et posons En = < < |/| < - >, n = 1, 2, ... Ainsi pour ces mêmes entiers,
p(En) < (n + 1 )q\ \f\qdp<°°. Grâce à la condition (2), et comme les En sont disjoints, on a
Ee s4<
tout E e £A, p(E) < kp~q. Ce qui donne (2).
j p(En) < oo. Pour p < q , on calcule
n= 1 " n= 1
(3)->(l) Évident.

chapitre 6
MESURES COMPLEXES
VARIATION TOTALE
6.1. Introduction. — Soit Tri une a-algèbre définie sur un ensemble X. Une collection
dénombrable {£,} d'éléments de West une partition de E si EtnEj = 0 pour j et si
E = u£,-.
Une mesure complexe \i sur Tïl est une fonction à valeurs complexes telle que
= |>(£,) (£eW) (1)
i= 1
pour toute partition {£,} de E.
Il faut observer que la convergence de la série dans le second membre de (1) fait maintenant
partie des hypothèses (par opposition au cas des mesures positives où cette série est soit
divergente vers + oo, soit convergente). De plus, comme la réunion des Ei ne change pas si Ton
modifie la numérotation des indices, tout réarrangement de la série (1) est encore affirmé
convergent. Cela entraîne la convergence absolue de cette série (1) ([Rudin, 1976], théorème
3.56).
Cherchons maintenant une mesure positive A qui domine une mesure complexe donnée |Lt
sur TYl, en ce sens que \ fi(E)\ < X(E) pour tout Ee Tri et en tâchant de prendre A la plus petite
possible. Une telle mesure A, si elle existe, doit satisfaire
X(E) = £A(£^f>(E,)|. (2)
i=i i= i
pour toute partition {£.} de tout ensemble Ee Tri. Par suite, A (E) est au moins égal à la borne
supérieure des sommes de droite dans (2), borne supérieure prise sur l'ensemble des partitions
possibles de E. Ce qui suggère de définir une fonction d'ensembles \ju\ sur Tri selon
|/i|(£) = sup (Ee W), (3)
i = i
la borne supérieure étant prise sur l'ensemble des partitions {£,} de E.
Cette notation n'est peut-être pas la meilleure mais elle est traditionnelle. Il faut noter que
\fi\(E) > \/i(E)\ mais en général |^| (E) n'est pas égal à |/x(E)|.
Il se trouve, comme on va le montrer, que est en fait une mesure, en sorte que le problème
de la recherche de A a bien une solution. La discussion qui a mené à la définition (3) montre
clairement que \fl\ est même la solution minimale de ce problème, en ce sens que toute autre
solution A vérifie A(E) > |^l(£) pour tout Ee TH.

150
mesures complexes
La fonction d'ensemble est appelée la variation totale de |i ou quelquefois, pour éviter un
malentendu, la mesure de variation totale de jll En effet, l'expression « variation totale de |x » est
elle aussi fréquemment utilisée pour désigner le nombre \fi\(X).
Si \i est une mesure positive, on a bien sûr |ju| = ji.
Outre le fait d'être une mesure, possède une autre propriété inattendue: \fi\(X) <<*>.
Comme fi(E) < \fi\ (E) < (X), ceci prouve que toute mesure complexe |i sur une quelconque
a-algèbre est bornée : ou encore, si l'image de |i appartient au plan complexe, elle est incluse
dans un certain disque de rayon fini. Cette propriété, démontrée au théorème 6.4, s'énonce
quelquefois en disant que |i est à variation bornée.
6.2. Théorème
La variation totale d'une mesure complexe ji sur cYïl est une mesure positive sur W.
Démonstration. — Soit {£,} une partition de Ee Tri, et soient ti des nombres réels tels que
ti < . On associe à chaque Et une partition [Au] de sorte que
2>(A,,)|>f, (/= 1,2,3,...). (1)
j
Puisque {A-} (i,j = 1, 2, ...) est une partition de E, on a
2>£5>(A(,)|£ (2)
l ». j
Prenant la borne supérieure du membre de gauche de (2) parmi tous les choix possibles de {fj,
on constate l'inégalité
El/ikE^lAiKE). (3)
Pour établir l'inégalité contraire, on considère une partition {A,} de E. Alors, pour tout j fixé,
{Aj n E;} réalise une partition de Ay et, pour tout i fixé, {A, n £,} réalise une partition de E
Donc
5>(A,)| = X 5>(j*,nfi,)
y 7 «
y »
= X5>(A,nE,)|£5>l(E.-). (4)
Puisque (4) a lieu pour toute partition {Aj} de £, on obtient
M (£)<^>| (£,). (5)
Ce qui, par (3) et (5), montre que est dénombrablement additive.
Observons que le corollaire du théorème 1.27. fut utilisé aussi bien pour (2) que pour (4).
Le théorème 6.4 assure trivialement que |^| n'est pas identiquement «>, mais on peut le voir
directement maintenant puisque |ju|(0) = 0.
6.3. Lemme. — Pour des nombres complexes z{, z2, il existe un sous-ensemble S de
{1, 2, Af} tel que
N
1

variation totale
151
=
-iO
>Re
S(6)
S(6)
Démonstration. — On écrit zk = \zk\e et pour - n< 6 < n, on adopte pour S (G) T ensemble
des entiers k (1 < k < N) pour lesquels cos ( ak - 0) > 0. Ainsi, utilisant cos+f = max {cos t, 0 },
(X= cos+(ak-0).
On a 0O qui rend maximale la dernière somme, et on prend S = S(0O). Le maximum est au
moins aussi grand que la valeur moyenne de ladite somme sur [- tt, +k] , cette valeur moyenne
N
valant i \zk\ puisque pour tout a,
* = i
1
6.4. Théorème
Toute mesure complexe sur X vérifie,
lMl(*)<~.
Démonstration. — Supposons d'abord que (E) = °° pour un certain Ee et posons
r =*(l+|ji(E)|).
Comme évidemment > r, il existe une partition {£.} de £ et un entier N tels que
i = N
5>Œ)|>*.
i = l
Le lemme 6.3, avec z, = //(£,■), permet de conclure à l'existence d'un A cz £ (réunion de
certains des ensembles E( ) pour lequel
\i*a)\>It>i.
k
On pose = E ~ A, et on vérifie
\fi(B)\ = \p(E)-rtA)\Z\v(A)\-\ii(E)\>l-\ti(E)\= 1. (5)
k
On a donc partitionné E en deux ensembles disjoints A et B, où |/x(A)| > 1 et |/i(#)l > 1-
Grâce au théorème 6.2, au moins l'un des deux |jU(A)| ou |/i(#)| est infini.
Supposons enfin (X) = <», et partitionnons Xen A, et comme cela vient d'être fait
pour £, de sorte que \fi(A])\> l, \ii\(Bx) = <*>. À nouveau partitionnons B, en A2 et £2, de sorte
que |^/(A2)| > 1, |ju| (B2) = 00• Par récurrence, on obtient une famille dénombrable (infinie) et
disjointe {AJ, où |/i(Af-)| > 1 pour tout i. L'additivité dénombrable de fi implique
M(UA) = 5>(A,).
Mais cette série ne peut pas converger puisque jx(A,) ne tend pas vers 0 lorsque i —» ©o . Cette
contradiction même montre que \fi\ (X) < <».

152
mesures complexes
6.5. Si |i et A sont des mesures complexes sur la même a-algèbre TYl, on définit u:+ A et,
selon la manière usuelle c|i, pour tout scalaire c :
(fl + *)(£). +
(c„,«E, = c„(E, *» (,)
Il est alors trivial de vérifier que |i + A et c|i sont des mesures complexes. Ainsi, la famille de
toutes les mesures complexes sur TYl forme un espace vectoriel. Posant
M = MW. (2)
il est facile de vérifier tous les axiomes d'un espace vectoriel norme.
6.6. Variations positive et négative. — Spécialisons-nous au cas d'une mesure réelle fi sur
une a-algèbre Tri. On appelle souvent mesures signées de telles mesures. On définit comme
ci-dessus, puis on définit aussi
Avec ces définitions, et \f sont toutes les deux des mesures positives sur Tri et elles sont
bornées grâce au théorème 6.4. De plus
fi = p+-fi~, W = A*+ + M~- (2)
Les mesures |i+ et u~ sont appelées respectivement les variations positive et négative de |i La
représentation de |! comme différence de deux mesures positives n+ et U7 s'appelle la
décomposition de Jordan de \l Parmi toutes les représentations de \i comme différence de deux mesures
positives, la décomposition de Jordan possède une certaine propriété minimale, comme on
l'établira dans un corollaire du théorème 6.14.
ABSOLUE CONTINUITÉ
6.7. Définitions. — Soit |i une mesure positive sur une a-algèbre TYl et soit X une mesure
arbitraire sur TYl, X pouvant être positive ou complexe. (Rappelons qu'une mesure complexe a
son image dans le plan complexe, tandis qu'une mesure positive selon notre définition peut
inclure + oo comme mesure d'un ensemble, ce qui interdit de considérer les mesures positives
comme cas particulier des mesures complexes).
Si X(E) = 0 pour tout Ee TYl tel que ju(£) = 0, nous disons que X est absolument
continue par rapport à ji, et écrivons
A<cju. (1)
S'il existe un ensemble A g W tel que X(E) = X(AnE) pour tout Ee W, on dit que X
est portée par A. Ceci équivaut à l'hypothèse X (E) = 0 pour tout E tel que En A = 0.
Soient À,et X^ deux mesures sur TYl et supposons qu'il existe deux ensembles disjoints A et
B tels que A, soit portée par A et Xl soit portée par B. On dit que A, et A^ sont mutuellement
singulières, et on écrit
A.1A2. (2)
Voici quelques propriétés élémentaires de ces notions.
6.8. Proposition. — Supposons que ll A, Xx et Aj soient des mesures sur une G-algèbre TYl,
|x étant positive.
(a) Si X est portée par A, il en est de même de \X\.

absolue continuité
153
(b) Si A, J_ X2, alors \ A,| J_ | À,2|.
(c) Si Xx±.\l et À^ln, alors A, _L X2 1 /i.
(d) Si et ?^ alors Xx + A2 «: ^.
(e)SiX<^fl, alors |A| <*:/i.
(f) Si A, <c /x et XiL\i, alors A, -L A2.
(g) Si X<k ji et XL 11, alors A = 0.
Démonstration. — (a) Si ZsnA = 0 et si est une partition quelconque de E, on a
A (£,) = 0 pour tout y, donc |A| (£) = 0.
(b) provient immédiatement de (a).
(c) Il existe deux ensembles disjoints A{ et 5, tels que At est portée par Ax et Jipar Bx, et de
même il existe deux ensembles disjoints A2 et B2 tels que A^ est portée par A2 et |i par B2. Par
suite, À, + A2 est portée par A = A, u A2,11 est portée par 5 = Z?! n Z?2, et A n B = 0.
(J) est évident.
(e) Supposons [i(E) = 0 et soit {Ej} une partition de E. On a |i(£^) = 0 et puisque X <k fi,
X(Ej) = 0 pour tout j. Par suite, X 1^(^)1 = 0, ce qui implique |A|(£) = 0.
(f) Puisque A2 -L /i, il existe un ensemble A tel que ]X(A) = 0 et par lequel A^ est portée.
Puisque Xx «: /i, A, (£) = 0 pour tout £ c A . Ainsi, A, est portée par le complémentaire de A.
(g) Grâce à (/), T hypothèse dans (g) implique A± A et ceci induit nécessairement A = 0.
Nous en venons maintenant au théorème principal sur l'absolue continuité. De fait, c'est
probablement le théorème le plus important de la théorie de la mesure. Comme son énoncé
implique des mesures cr-finis, le lemme suivant en fournit les propriétés significatives.
6.9. Lemme
Si Jii est une mesure positive G-finie sur une o-algèbre Tri sur un ensemble X, il existe une
fonction w e Lx(ii) telle que 0 < w (x) < 1 pour tout x g X.
Démonstration. — Rappelons que \i est a-finie lorsque X est la réunion d'une famille
dénombrable d'ensembles En g TYl (n = 1, 2, 3, ...) et fi(E„) est fini pour chaque n. On pose
wn(x) = 0 si x g X-En et si jc g En
,,11
2" 1 +//(£„)
La fonction w = possède les propriétés requises.
1
Ce que pointe le lemme est le remplacement possible de /i par une mesure finie ]i
(précisément dji = w dji) dont les ensembles de mesure nulle sont exactement ceux de \i.
6.10. Théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym
Soit \i une mesure positive G-finie sur un o-algèbre TYl sur un ensemble X, et soit X une
mesure complexe sur Tri.
(a) Il existe un couple unique de mesures complexes Xa et Xs sur TYl telles que
X- A0 + A,, A0«c fl, A, 1/1. (1)

154
mesures complexes
Si X est positive et finie, Xa et Xs le sont aussi et Xa-LXs.
(b) Il existe un unique élément h e lx(jï) tel que pour tout E e Ifl
Xa(E) = \Ehdii (2)
Le couple (Xa9 Xs) s'appelle la décomposition de Lebesgue de X relative à ji. L'unicité de
la décomposition se voit facilement car si (X'ai Xs) est un autre couple satisfaisant (1), on a
Xa-Xa = X,-X„ (3)
Xa - Xa «: fi et Xs - Xs 1 \i. En utilisant 6.8 (c), 6.8 (d) et 6.8 (g), on voit que les deux
membres de (3) sont nuls.
L'existence de la décomposition est la partie réellement intéressante de (a).
L'énoncé (b) est connu sous le nom de théorème de Radon-Nikodym. À nouveau, l'unicité
de h provient immédiatement du théorème 1.39 (b). En outre, si h est une fonction quelconque
de l\ji) , l'intégrale (2) définit une mesure sur TYl (théorème 1.29), mesure qui est bien sûr
absolument continue par rapport à \i. Ce que pointe essentiellement le théorème de Radon-
Nikodym est la réciproque : Toute X telle que X \i (c'est-à-dire X = Xa ) s'obtient de cette
façon.
La fonction h survenant dans (2) est connue sous le nom de dérivée de Radon-Nikodym de
Xa par rapport à ji. Comme on l'a remarqué après le théorème 1.29, on peut exprimer (2) sous
la forme dXa = hd\i, ou même h - dXa/d\i.
L'idée de la démonstration suivante, qui fournit d'un coup les deux théorèmes, est due à von
Neumann.
Démonstration. — Supposons d'abord que X soit une mesure positive bornée sur TYl.
Associons la fonction w à ji comme au lemme 6.9 et posons d(p = dX + wdji. La mesure <p est
une mesure positive et bornée sur Ifi. La définition de la somme de deux mesures montre que
pour / = Xe
\x fd<P = lx fdX+ \x fw * (4)
Par suite, l'égalité vaut pour une fonction étagée /, et donc pour une fonction mesurable non
négative /. Si / g l2((p), l'inégalité de Schwarz implique
|£/^|<Jj/|^<Jj/|^<|jj/|2^ {(p(X)}W2.
Puisque (p(X) < l'application
/->f fdX, (5)
est bien une forme linéaire bornée sur l2(ç).
Mais nous savons que toute forme linéaire bornée sur un espace de Hilbert H est fournie par
le produit scalaire avec un certain élément de H. Ici donc, il existe g g L2(jU) telle que
jxfdX=\xfgd(p (/gL2(ç>)). (6)
Il faut observer comment nous avons utilisé la propriété de l2(<p) d'être complet pour
garantir l'existence de la fonction g. Il faut aussi observer que g, bien définie comme élément de
l2((p), n'est déterminée que presque partout par rapport à (p en tant que fonction définie
ponctuellement sur X.

absolue continuité
155
Faisons / = Xe dans (6) pour un quelconque Ee cïrl tel que (p(E)>0. Le membre de
gauche de (6) est A(£) et, puisque 0 < A< <p, on a
Par suite, en utilisant le théorème 1.40, g(x) e [0, 1] pour presque tout x (par rapport à <p).
Nous pouvons donc supposer 0 < g(x) < 1 pour tout x e X, sans que (6) en soit affecté, et
écrivons (6) à nouveau sous la forme
jx(\-g)f<a = [fgwdfi. (8)
Si nous définissons
A = {x:0<g(x)<\}, B = {x:g(x)= 1}, (9)
et pour tout Ee CM, les mesures Afl et A5 par
Xa(E) = A(A n E), A,(£) = A(fl n E).
Si nous faisons / = Xb dans (8), le membre de gauche est nul, et celui de droite vaut f w dfi.
Puisque w(x) > 0 pour tout jc, on conclut ji(B) - 0. Par suite, ks J_ jU.
Puisque g est bornée, (8) a lieu si, pour n = 1, 2, et E e W, nous remplaçons / par
(l+£+...+g")X£,
Pour de telles fonctions /, (8) devient
lE(\-gn^)dX= jE g(\+g+...+gn)w dp. (11)
En chaque point de B, g(x) = 1 et donc l-g"+I(;c) = 0. En chaque point de A,
g"+1(jc)—»0 de façon monotone. Par suite, le membre de gauche de (11) converge vers
A(A n E) = Aa(£) lorsque n tend vers l'infini.
Les intégrants à droite de la relation (11) croissent de façon monotone vers une fonction
mesurable non négative h et le théorème de la convergence monotone assure que les intégrales
tendent vers f h dfi lorsque n —> oo.
je
On a ainsi démontré que (2) a lieu pour tout Ee TJi. Avec E = X, on voit que h e L\fi),
puisque Aa(X) < oo.
Enfin, (2) montre que Xa <sc ji et la démonstration est achevée pour une mesure positive
bornée.
Si A est maintenant une mesure complexe sur °ÏÏl, on a A = A, + /A2, où A, et A2 sont des
mesures réelles, et aux variations positive et négative de chaque A, (/ = 1, 2) on peut
appliquer le traitement précédent.
Si A et fi sont toutes les deux positives et a-finies, ressentiel du théorème 6.10 reste vrai. On
peut écrire alors X =uXfl où ji(Xn)<oo et A(XJ < », pour n = 1, 2, .... La décomposition
de Lebesgue des mesures A sur E n Xn nous donne encore une décomposition de Lebesgue de A,
et on obtient encore une fonction h qui satisfait l'équation 6.10 (2). Toutefois, il n'est plus vrai que
h e Ll(fi) bien que h appartienne « localement àL](//) », c'est-à-dire j h dfi<oo pour tout n.
Enfin, si nous voulons échapper à l'hypothèse de c-finitude, on rencontre des cas où les deux
théorèmes sont inexacts. Par exemple, prenons pour ji la mesure de Lebesgue sur ]0, 1 [ et

156
mesures complexes
pour X la mesure de dénombrement sur la <7-algèbre des ensembles mesurables au sens de
Lebesgue sur ]0, 1 [. La mesure k n'a pas de décomposition de Lebesgue relative à ji et, bien
que la mesure \i soit bornée et \i<siX, il n'existe pas de fonction h s L\ji) telle que
dji = h dX. Nous omettons la démonstration qui est aisée.
Le théorème suivant explique la raison de l'emploi du mot « continuité » qui est utilisée dans
la relation X<£ fi.
6.11. Théorème
Supposons que X et ji soient deux mesures sur une o-algèbre TYl, la mesure m étant positive
et X étant une mesure complexe. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
(a) X «: /i.
(b) A chaque £ > 0, il correspond un 8 > 0 tel que pour tout E g TYl avec jll (E) < S on a
\UE)\<e.
La propriété (b) sert quelquefois de définition à l'absolue continuité. Toutefois, (a)
n'implique pas (b) lorsque X est une mesure positive non bornée. Ainsi, on peut prendre pour ji la
mesure de Lebesgue sur ]0, 1[ et définir pour tout ensemble mesurable de Lebesgue E c ]0, 1 [
X(E) = j* f1 dt.
E
Démonstration. — Supposons que (b) ait lieu. Si jU(£) = 0, on a jj(E) < s pour tout s> 0 et
donc \X(E)\ < £ pour tout £ > 0. Par suite X(E) = 0. Ce qui montre que (b) implique (a).
Supposons que (b) n'ait pas lieu. Il existe donc un £>0 et des ensembles Ene TYl
(n - 1, 2, 3, ...) tels que jii(En) < 2~n, mais pour lesquels \X(E„)\>£. Dans ce cas, \X\(En)>£.
Définissons
An = UEh A = HA, (D
i = n n = 1
On a (i(A„) < 2~"+ ', A„ 3 An +et ainsi le théorème 1.19 (c) montre que n(A) = 0, mais
puisque |A|(A„)>|A|(£„)
\M(A) = lim |A|(A„)>£>0.
Il s'ensuit que nous ne pouvons pas avoir |X| « et grâce à la proposition 6.8 (e) (a) n'a
pas lieu.
CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DE RADON-NIKODYM
6.12. Théorème
Soit fi une mesure complexe sur une o-algèbre TYl sur X. Il existe une fonction mesurable h
telle que \h(x)\ = 1 pour tout xe X et
d\i = hd\jn\. (1)
Par analogie avec la représentation d'un nombre complexe comme produit de sa valeur
absolue et d'un nombre complexe de module 1, l'équation (1) s'appelle quelquefois la
représentation polaire (ou la décomposition polaire) de fi.

conséquences du théorème de radon-nikodym
157
Démonstration. — La relation fi « | /j\ est triviale et le théorème de Radon-Nikodym assure
l'existence d'une certaine fonction h e L'd/xl) qui satisfasse (1).
Soit Ar = {x : \h(x)\ < r}, où r est un nombre positif r, et soit {Ej} une partition de Ar. On a
5>(£,)| = S \hd\fi\ <Ydr\li\(Ej) = r\fi\(Ar),
j J Ej j
de sorte que |/*|(A,.) < r|//|(A,.). Si r<l, ceci implique |//|(Ar) = 0. Ainsi \h\ > 1 presque
partout relativement à |^|.
D'un autre côté, si \f4(E) > 0, la relation (1) implique
JjMA<i
On peut donc utiliser le théorème 1.40 (où le disque unité du plan complexe remplace S), et en
conclure que \h\ < 1 presque partout.
Soit B = {x g X : \h(x)\ * 1}. Nous avons vu que |/i|(£) = 0 et en redéfinissant h sur B
de sorte que h(x) = 1 sur cet ensemble, on obtient la fonction h requise.
Soit \i une mesure positive sur Tïl et g g L\jï). De plus, posons
6.13. Théorème
e positive sur 1
A(E) = jgdy, (Ee W). (0
E
On a
\M(E) = j\g\dfi (Ee W). (2)
E
Démonstration. — Par le théorème 6.12, il existe une fonction h, de valeur absolue 1 et telle
que dX = hd\X\. Par hypothèse, dX = gdji. Donc
hd\X\ = gdfi.
Ce qui fournit d\X\ = hg dfi. (Comparer avec le théorème 1.29.)
Puisque | X\ > 0 et ji > 0, il s'ensuit que hg > 0 p.p. [/i], de sorte que hg = \g\ presque partout
relativement à fi.
6.14. Théorème de décomposition de Hahn
Soit fl une mesure réelle sur une o-algèbre cYYl sur un ensemble X. Il existe deux ensembles
A et B de Tri tels que Au B = X, An B = 0 et tels que les variations positive et négative \J?
et \f de fi satisfassent
ji\E) = n(AnE), ji'(E) = -/i(BnE) (Ee W). (1)
En d'autres termes, X est la réunion de deux sous-ensembles mesurables disjoints qui sont
tels que « A porte toute la masse positive de jU » (puisque (1) implique que n(E) > 0 si EaA)
et « B porte toute la masse négative de \i » (puisque \i(E) < 0 si EczB).
Le couple (A, B) est appelé la décomposition de Hahn de X induite par /x.
Démonstration. — Le théorème 6.12 indique djj, = hd\fi\ où \h\ = 1. Puisque fi est une
mesure réelle, la fonction h est réelle (presque partout relativement à |^| et par conséquent
partout, quitte à redéfinir h sur un ensemble de mesure zéro). Donc h = ±\ . Définissons
A = {*:*(*)= 1}. B = {*:*(*) = -!}. (2)

158
mesures complexes
Puisque y? = + fi) et puisque
1 \h sur A,
2 [0 sur B,
nous en déduisons pour tout Ee Tri
li\E) =l-j(l+h)d\n\= | hd\li\=fi(EnA). (4)
£ En A
Enfin, de ji{E) = ji(E n A) + }i(E n B) et de ^ = fi+- ff, nous déduisons la deuxième
moitié de (1) de la première.
Corollaire. — Si ji - A, - X^où Xl et Aj sont des mesures positives, on a A, > /z+ et X^ > //".
C'est la propriété minimale de la décomposition de Jordan dont il a été question à la section 6.6.
Démonstration. — Puisque ji < Xv nous disposons de
p{E) = jx(EnA)<Xl(EnA)<X](E).
FORMES LINÉAIRES BORNÉES SUR Lp
6.15. Soit fi une mesure positive et supposons 1 < p < ©o, tandis que q est l'exposant conjugué
de p. L'inégalité de Hôlder (théorème 3.8) montre que si g g Lq(ji), la forme &g définie par
X
est une forme linéaire continue sur LfQi), dont la norme n'excède pas \\g\\q. La question se pose
naturellement de savoir si toutes les formes linéaires et continues sur LP (fi) ont cette forme, et
si la représentation est unique.
Pour p = ©o, l'exercice 13 montre que la réponse est négative : V(m) n'épuise pas toutes les
formes linéaires et continues sur L°°(m). Pour 1 <p < oo, la réponse est positive. Cette réponse
est également positive pour p= 1, à condition d'éviter certaines pathologies de théorie de la
mesure. Pour des espaces de mesure cr-finie, il n'y a pas de difficulté et nous nous restreindrons
à ce cas.
6.16. Théorème
Supposons 1 < p < oo et que fl soit une mesure positive o-finie sur X. Soit O une forme
linéaire bornée sur LP. Il existe une unique fonction g appartenant à Lq(\\), où q est Vexposant
conjugué de p, de sorte que
®(f)=\fgdfi (feLPW). (1)
Jx
De plus, lorsque O et g sont reliées par (1), on a
m = \\g\L (2)
En d'autres termes, sous les conditions du théorème, Lq([i) est isométriquement isomorphe à
l'espace dual de LP(\\).

formes linéaires bornées sur iP
159
Démonstration. — L'unicité de g est facile car si g et g' satisfont (1), l'intégrale de g - g1 sur
tout ensemble mesurable E de mesure finie est nulle (on le voit en prenant f -Xe et la c-finitude
de ji implique alors que g - g' = 0 p.p.
Ensuite, si la relation (1) est exacte, par l'inégalité de Hôlder
11 ne reste donc qu'à assurer l'existence de g, puis l'égalité dans (3). Si || 0|| = 0, (1) et (2) ont
lieu avec g = 0. Donc, supposons || &\\ > 0.
On considère d'abord le cas fi(X)<°o.
Pour tout ensemble mesurable £ c X, on définit
m) = &(%E).
Puisque O est linéaire et puisque Xaub = Xa + Xb dès que A et B sont des sous-ensembles
disjoints, on constate l'additivité de A. La dénombrable additivité se démontre en prenant
pour E une réunion dénombrable d'ensembles mesurables disjoints En en définissant
Ak = E] u ... u Ek et en notant que
\\XE-XAklP = [l*(E-Ak)]Up -> 0 (k -> oo). (4)
La continuité de O montre alors que X(Ak) —» X(E), de sorte que À est une mesure complexe.
(On a utilisé dans (4) le fait que p < II est aussi clair que X(E) = 0 dès que [i (E) = 0 puisque
\\Xe\\p = 0- Ainsi X « /z, et le théorème de Radon-Nikodym établit l'existence d'une fonction
g e Ll(fï) telle que, pour tout ensemble mesurable £ c X, on ait
= f*4i = fzrfd/x. (5)
Par linéarité, il s'ensuit que
0{f) = J fgdii (6)
a lieu pour toute fonction mesurable étagée /, et de là pour toute fonction f s L" (jJ) puisque
toute telle fonction est une limite uniforme de fonctions étagées/^
On observe que la convergence uniforme de/) vers / implique ||/,- f\\p->0 et donc que
® (fi) & (f) lorsque /-»«>.
Nous désirons maintenant en conclure que g e Lq(fi) et que (2) est exacte. Il vaut mieux
diviser la démonstration en deux cas :
1er cas. p = 1. Dans ce cas, la relation (5) indique que pour tout E g W,
|£||<M-|jfel, = Wn-iKE).
, E
Grâce au théorème 1.40, on a |g(jc)
<||0|| p.p., de sorte que ||g|L < || &\
2ème cas. 1 <p < oo. Il existe une fonction mesurable a, \a\ = 1, telle que ag = |g|
(Proposition 1.9 (e)). Définissons En = {x : |g(jc)| < n] et / = XEn\g\q~ ^- Alors,\f\p = \g\q sur£n,
/ g L°°(/i), et la relation (6) procure
ljg\" du = ffg du =#(/)< Il 4>||| Jjg|« dfj
de sorte que
J^X^I^r^^ i*r (n = 1,2,3,...). (7)
Par application du théorème de la convergence monotone à (7), nous obtenons \\g\\q < \\&\\.

160
mesures complexes
Ainsi (2) a lieu et g g Lq(jX). Il s'ensuit que les deux membres de (6) sont des formes
continues sur Z/(£i)> eHes coïncident sur le sous-ensemble LT(ft) qui est dense dans Lp(jj). Par suite,
ces deux formes sont égales sur Lp(ji) et ceci termine la démonstration du cas J/(X) < oo.
Dans le cas //(X) = ©o, mais avec fi ex-finie, on choisit w e 0(jï) comme dans le lemme
6.9. Alors d jl = w djl est une mesure finie sur cÏÏl et
F^wUpF (8)
est une isométrie de Lp(fi) sur Lp(fi), puisque w(x) > 0 pour tout jc e X.
Ainsi
*F(F) = 0(wUpF) (9)
définit une forme linéaire bornée W sur Lp(ji), telle que ||*F|| = ||<P||.
La première partie de la démonstration montre l'existence de G g Lq(ji) telle que
*F(F) = f F G djl (F g //(£)). (10)
Jx
Posons g = wUpG (si p = 1, g = G). Alors, si p > 1
\x\g\"d^ = \x\G\*dïi= iiït = mq. en)
tandis que si p = 1,
||g|L = IGIL = ll-PII = |*||.
Ainsi (2) a lieu et puisque Gdjl= wxlpgdji,ovi2i enfin pour tout / g Lp(/i),
*(/) = Y(w]fpf) = lxW-"pfGd£i= \jgdn (12)
6.17. Remarque. — Avec p-q-2 nous avons déjà rencontré un cas particulier du théorème
6.16. De fait, la démonstration du cas général est basée sur ce cas particulier, puisque c'est
grâce à la connaissance des formes linéaires bornées de L2(/i) que nous avons pu démontrer le
théorème de Radon-Nikodym qui, à son tour, est la clef de voûte de la démonstration du
théorème 6.16. Le cas particulier, p = 2 repose sur le fait que Û(fJ) est complet, c'est-à-dire que
L2(/x) est un espace de Hilbert, et sur le fait que les formes linéaires bornées sur un tel espace
sont fournies par les produits scalaires.
Venons-en à une version complexe du théorème 2.14.
THÉORÈME DE REPRÉSENTATION DE RIESZ
6.18. — Soit X un espace séparé localement compact. Le théorème 2.14 donne une caracté-
risation des formes linéaires positives de CC(X). Nous pouvons maintenant caractériser toutes
les formes linéaires bornées 0 sur CC(X). Puisque CC(X) est un sous-espace dense de C0(X),
quant à la norme de la borne supérieure, toute forme 0 se prolonge de façon unique à tout
C0(X). Par suite, nous pouvons très bien commencer par supposer que nous travaillons sur
l'espace de Banach C0(X).
Soit fi une mesure de Borel complexe. Le théorème 6.12 établit l'existence d'une fonction
borélienne complexe h, avec \h\ = 1, telle que dfi = hd\ji\. Par suite, on peut raisonnablement
définir l'intégrale par rapport à la mesure complexe jlx en utilisant la formule
jfdn= jfhdn (d
La relation J %EdfJl = jl{E) est un cas particulier de (1 ). Ainsi, dès que et À sont des mesures
complexes sur TrV et que E g °ÏÏl,

théorème de représentation de riesz
161
\Xe d(n + A) = + A)(E) = fi(E) + HE) = \xe dfi + \xE dX. (2)
Ceci conduit à la formule additive
J /£/(/£ +A) = J /<//!+[ /<tt, (3)
qui vaut (par exemple) pour toute fonction / mesurable bornée.
Nous dirons qu'une mesure de Borel complexe |i sur X est régulière lorsque est régulière
au sens de la définition 2.15.
Si \i est une mesure de Borel complexe sur X, l'application
/->/ fàli (4)
Jx
est visiblement une forme linéaire bornée sur C0(X), dont la norme ne dépasse pas |//|(X). C'est
le théorème de Riesz qui va nous prouver que toutes les formes linéaires continues sur C0 (X)
s'obtiennent ainsi.
6.19. Théorème
Toute forme linéaire bornée 0 sur CQ (X), où X est un espace séparé localement compact,
est représentée par une unique mesure de Borel, complexe et régulière fi, en ce sens que pour
tout f g C0(X) on a
*(/) = ijdfi. (1)
De plus, la norme de 0 est la variation totale de p,
11*11 = M(X). (2)
Démonstration. — Commençons par régler le problème d'unicité. Soit [i une mesure de Borel,
complexe et régulière sur X, et supposons J/d/i = 0 pour tout / g C0(X). Du théorème 6.12,
on déduit l'existence d'une fonction borélienne h, avec \h\ = 1 et telle que dfi - hd\fi\. Pour
toute suite [fn} dans C0 (X), on a alors
|/i|(X) = \{h-h)h d\v\ < \\h-fn\ d\iil (3)
et puisque CC(X) est dense dans L\\fi\) (théorème 3.14), on peut choisir \fn) de sorte que la
dernière expression dans (3) tende vers 0 lorsque n —» °°. Ainsi |//|(X) = 0 et |i= 0. Comme
il est facile de voir que la différence de deux mesures de Borel, complexes et régulières, est
également régulière, on a montré qu'à chaque O correspond au plus une \l
Soit maintenant 0 une forme linéaire bornée sur C0(X). Supposons \\0\\ = 1, ce qui est
possible sans perte de généralité. Nous allons construire une forme linéaire positive A sur
Ct. (X) de sorte que
|0(/)|<A(|/|)< H/ll (/g C,(X)), (4)
où l/ll est utilisée au sens de norme de la borne supérieure.
Cette forme A une fois trouvée, on l'associera à une mesure de Borel positive, comme au
théorème 2.14. La conclusion de ce théorème montre que A est régulière si A(X) < oo. Comme
A(X) = {supA/:0</<l,/e CC(X)}
et puisque | A/| < 1 si ||/|| < 1, on voit bien que A(X) < 1.
De (4), nous déduisons aussi
|*(/)|<A(|/|) = f \f\dX= ll/H, (/e CC(X))- (5)
Jx

162
mesures complexes
où la dernière norme est celle de L](X). Ainsi, 0 est une forme linéaire sur CC(X) de norme
au plus 1, par rapport à la norme LX(X) sur CC(X). On peut donc étendre 0 en une forme
linéaire sur L1 ( A), sans augmentation de la norme, et le théorème 6.16, pour le cas/? = 1, fournit
une fonction borélienne g, avec |g| < 1, telle que
®(f)=ïfgdX (feCc(X)). (6)
Jx
Chaque membre de l'égalité (6) est une forme linéaire continue sur C0(X) et CC(X) est dense
dans C0(X). Par suite, cette relation (6) est valable pour toute f e C0(X) et nous obtenons la
représentation (1) avec dfx - gdX.
Puisque ||<P|| = 1, la relation (6) montre que
f |*| <U>sup {|0(/)| : fe C0(X), ||/|| < 1} = 1. (7)
Nous savons par ailleurs que A(X) < 1 et que |g| < 1. Ces faits ne sont compatibles que si
A(X) = 1 et |g| = 1 p.p. [A]. Ainsi, d\ii\ = \g\dX = dX d'après le théorème 6.13, et
Wx) = HX) = i = M, (8)
ce qui prouve (2).
Finalement, tout repose sur l'existence d'une forme linéaire positive A satisfaisant (4). Si
/ e CC+(X) [ce qui désigne la famille des fonctions non-négatives de CC(X)], on définit
Af = sup {\0(h)\ :he CC(X), \h\<f}. (9)
Ainsi Af > 0, et A satisfait (4). En outre, 0 < fx < f2 implique A/, < Af2 et A(cf) = cAf si
c'est une constante positive. Il faut montrer que
A(f + g) = Af + Ag (/et g e C;(X)), (10)
puis on doit étendre A en une forme linéaire Cc (X) tout entier.
Fixons f et g dans CC+(X). Pour tout £>0, il existe h{ et h2 e CC(X) de sorte que
1/1,1 </, \h2\<g et
Af < \0(ht)\ + e, Ag<\0(h2)\ + e. (11)
Il existe des nombres complexes a,, |a,-| = 1 tels que a,0(/i,) = |^(/ï,)| pour / = 1, 2.
Ainsi
A/ + Ag< {0(^)1 + |<P(M+ 2e
= 0(a]h] + a2h2) + 2e
<A(|/i1| + |/i2|) + 2e
<A(f + g) + 2e,
de sorte que l'inégalité > a lieu dans (10).
Ensuite, on détermine h e CC(X) sous l'unique condition \h\ </ + g. On définit
V = {x : f(x) + g(x) > 0} et de même
h](x)= f(^(x) g(x)h(x)
f(x) + g(x) f(x) + g(x)
h,(x) = h2(x) = 0 (xe V). (12)
Il est clair que h{ est continue en tout point de V. Si xQ€ Vu h(x0) - 0. Puisque h est continue,
et |/ii(x)| < \ h(x)\ pour tout jcg X, on déduit que jc0 est un point de continuité de h}. Ainsi
h\ g Cc (X), et le même résultat prévaut pour h2.
Puisque hx + h2 = h et </, \h2\ <g, on a
|4>(/0l = |<P(^) + <P(M^l^i)l + l*(M^>V + ^.

exercices
163
Donc A(f + g) < Af + Ag, ce qui prouve (10).
Si maintenant / est une fonction réelle, / e Cc(X), on a 2/+ = |/| +/ de sorte que
/+ g Cc(X). De même, /" g Cc+(X) et puisque/=/+ -/", il est naturel de poser
Af = Af-Af- (/e Cc(X\f réelle) (13)
et
A(u + iv) = Au + iAv. (14)
Des manipulations algébriques simples, du genre de celles utilisées lors de la démonstration du
théorème 1.32, montrent que la forme étendue A est linéaire sur Cc (X).
Ceci termine la démonstration.
EXERCICES
1. Si fi est une mesure complexe sur la cr-algèbre °ïïlet si Ee W, on définit
ME) = sup5>(E,)|,
la borne supérieure étant prise sur toutes les partitions finies {£,.} de E. Est-il exact que
A = N ?
2. Établir que l'exemple fourni à la fin de la section 6.10 possède les propriétés requises.
3. Montrer que l'espace vectoriel M(X) des mesures de Borel, régulières et complexes sur un
espace séparé localement compact X, forme un espace de Banach pour la norme \\fi\\ = |ju|(X).
(Indication : comparer avec l'exercice n° 8, chapitre 5.) (que la différence de deux mesures de
M (X) soit encore dans M(X) a été utilisé au premier paragraphe de la démonstration du
théorème 6.19. En donner une démonstration.)
4. Supposons 1 < p < oo et prenons pour q l'exposant conjugué de p. Supposons que fi soit
une mesure cr-finie et que g soit une fonction mesurable telle que fge L1 (fi) pour toute
fonction fe Lp(fi). Montrer que ge Lq(fi).
5. Considérons un ensemble X réduit à deux points a et b. On définit fi({a}) = 1,
fi({b}) = ji(X) = oo et /i(0) = 0. Est-il exact, pour cette mesure, que LT(p) soit le dual de L1 (jj) ?
6. En supposant 1 <p <ooy montrer que Lq(ji) est l'espace dual de Lp(ji), même si fi n'est pas
cr-finie. (Comme d'habitude, q est l'exposant conjugué de p).
7. Soit fi une mesure de Borel complexe sur [0, 2^[ (ou sur le cercle unité T). On définit les
coefficients de Fourier de fi par
ft(n) = je~inldfi(t) (« = 0,±1,±2,...).
Si l'on suppose que fl(n) —» 0 lorsque n —» +©o, en déduire que (i(n) —> 0 lorsque n -» -oo
Indication : l'hypothèse tient aussi avec fdfi au lieu de djl, où / est un polynôme
trigonométrique, et par suite si / est continue, et donc encore si / est une fonction borélienne quelconque,
donc si djl est remplacée par d \ ji\.
8. Avec la terminologie de l'exercice n° 7, trouver toutes les mesures fi telles que fi. soit
périodique et de période k (c'est-à-dire fi(n + k) = fi(n) pour tout n où k est bien sûr un entier).

164
mesures complexes
9. Soit {gn} une suite de fonctions continues positives sur /= [0, 1], et \i une mesure positive
de Borel sur /, telles que
(i) \\mgn(x) = Op.p. [m],
(ii) Jg„ dm = 1 pour tout n,
i
(iii) lim jfgn dm = jfdfi pour toute fe C(/).
En résulte-t-il que jx J_ m ?
10. Soit (X, Tri, /x) un espace mesuré et ji une mesure positive. Un sous-ensemble 0 cz L\n)
est uniformément intégrable si à chaque £>0 correspond un 5>0 de sorte que, pour tout
li(E) < 5 et tout / g 0, on ait
< e.
(a) Démontrer que tout sous-ensemble fini de L1 (ji) est uniformément intégrable.
(b) Démontrer le théorème suivant de convergence de Vitali : Si (i) \i (X) < «>, (ii) \fn} est
uniformément intégrable, (iii) f„(x) —» /(jc) p.p., lorsque et (iv) |/(jc)| < °° p.p., alors
la fonction fe L](fi) et
lim \\fn-f\d\i = 0.
ji
Suggestion : utiliser le théorème d'Egoroff.
(c) Montrer que (b) est inexacte si fi est la mesure de Lebesgue sur ]-<*>, +«>[, quand bien
même {||/J } serait supposée bornée. On ne peut donc retirer l'hypothèse (c) dans (b).
(d) Montrer que dans (b) l'hypothèse (iv) est redondante pour certaines mesures \i (comme
la mesure de Lebesgue sur un intervalle borné), mais qu'il existe des mesures finies pour
lesquelles l'omission de (iv) rendrait (b) inexacte.
(e) Montrer que le théorème de Vitali implique le théorème de la convergence dominée, pour
des espaces de mesure finie. Construire un exemple pour lequel s'applique le théorème de Vitali
quoique les hypothèses du théorème de Lebesgue ne soient pas satisfaites.
(f) Construire une suite {/„}, disons sur [0, 1], telle que /„(jc) —> 0 pour tout x, J/n —» 0, mais
{/J n'est pas uniformément intégrable (pour la mesure de Lebesgue).
(g) Toutefois, la réciproque suivante du théorème de Vitali est exacte.
Si /i(X)<oo, fne L\n) et si pour tout Ee Tri lim \f„dfi existe, la suite {/„} est alors
n —» o» *
E
uniformément lim \fndfi, intégrable.
On le prouvera en mettant au point le schéma démonstratif suivant.
On définit p(A, B) = J \%a - Xb\ à\i. En ce cas, (Tri, p) est un espace métrique complet
(modula les ensembles de mesure nulle), et pour tout n, E —» J/„ djl est continue.
E

notes historiques
165
Si £> 0, il existe E0, 5, N (Exercice 13, chapitre 5) tels que
\{fn~f»)dll
<e si p(E,E0)<8i n>N.
(*)
Si /i(A) < 5, (*) a lieu avec B = EQ -A et C = EQ u A à la place de E et 2e à la place de e.
Appliquer maintenant (a) à {/,,/2 : il existe 5' > 0 tel que
jf.dfi
<3e si ii(A)<8\ n= 1,2,3,...
11. Soit /i est une mesure positive sur x telle que jj, (x) < «>, fn e pour n = 1, 2, 3,...,
f„(x) -> /(x) p.p. et enfin qu'existent p > 1 et C < ~ de sorte que j\fn\p d\i<C pour tout n.
x
Démontrer que
lim f|/-/J dfi = 0
x
Indication : {/„} est uniformément intégrable.
12. Soit cYYl la famille de tous les ensembles E de l'intervalle unité [0, 1] tels que soit E, soit
son complément est au plus dénombrable. Soit ji la mesure de dénombrement sur cette a-algèbre.
Si g (x) = x pour 0 < jc < 1, montrer que cette fonction g n'est pas cïïlrmesurable, quoique
l'application
/->5>/(jc) = \fgdn
ait un sens pour toute / g L!(/i), et définisse une forme linéaire bornée sur L1 (/x). Ainsi', dans
ce cas, (L1)* * L°°.
13. Soit L°° = L°°(m), où m est la mesure de Lebesgue sur / = [0, 1], Montrer qu'il existe une
forme linéaire bornée A non identiquement nulle sur L00, nulle sur C(I) ; en déduire qu'il
n'existe pas de g g Ll(m) telle que pour toute / g LT,
Af = \fg dm
Ainsi (L°°)*?tLI.
NOTES HISTORIQUES
Le passage aux nombres complexes est rarement immédiat en Analyse, et on a intérêt à placer
directement une théorie dans le cadre complexe. S'il n'est plus utile aujourd'hui de distinguer une
analyse réelle d'une analyse complexe, car il n'y a pas une plus grande régularité de cette dernière
par rapport à la première, certaines techniques n'en restent pas moins réelles ou complexes, et elles
rivalisent.
Les situations de généralisation au cas complexe peuvent largement différer d'un cas à l'autre. Dans son
Cours d'Analyse de 1821, Cauchy faisait d'abord une théorie réelle des séries entières, puis il reprenait
entièrement une théorie pour le cas complexe : il rencontrait en effet la difficulté d'une définition de la

166
mesures complexes
puissance complexe d'un nombre complexe et malgré son parti pris de passage aux séries entières, se
contentait de définir (1 + z)° pour un exposant a réel, Abel eut bien des difficultés à passer au cas a
complexe.
De même le théorème de Hahn-Banach, et donc la théorie des espaces de Banach, fut-elle pendant
plusieurs années une analyse seulement réelle, faute d'une preuve dans le cadre complexe. Cette preuve
relève pourtant d'un artifice, ou plutôt d'une remarque structurelle : une forme linéaire complexe est
déterminée en fait par sa partie réelle (section 5.17). Aussi, le passage réussi aux nombres complexes n'est-il
guère enrichissant. On le voit bien pour le théorème de représentation des formes linéaires sur le cas
réel étant analogue mutatis mutandis au cas complexe, tant pour l'énoncé que pour la preuve. Si la théorie
de la mesure à valeurs complexes introduit de nouvelles notions, comme celle de variation totale, les
démonstrations relatives au théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym ne gagnent guère en concision à être
réduites au cas réel.
II convient alors de remarquer que les mesures complexes ne constituent pas véritablement une extension
des mesures positives ; on devrait plutôt signaler que le passage du cas positif au cas réel est le plus
intéressant, du même genre en tout cas que celui du cas positif au cas complexe. Le privilège du positif est
encore notable dans le cas de la décomposition de Lebesgue qui reste donnée par rapport à une mesure
seulement positive. Dernier exemple, le théorème de Riesz donnant les formes continues sur CC{X)
s'énonce comme l'analogue exact du cas positif. La démonstration pourtant n'est pas une simple adaptation
du cas positif (section 2.14). D'une part, parce que disposant du théorème de décomposition de Lebesgue,
on peut définir l'intégrale pour |i complexe sans avoir à refaire une théorie de l'intégration pour de telles
mesures (en utilisant le théorème 6.12). Une telle théorie est néanmoins possible et a été faite.
D'autre part, la technique de réduction du cas complexe au cas positif possède son jeu propre, qui n'est
pas simple utilisation du module. On le voit bien avec le rôle de L dans la démonstration de 6.19. On peut
d'ailleurs faire ressortir une partie du fonctionnement de la preuve en posant y/ (/) = f fg dX qui est une
forme linéaire sur CC(X). En prenant la même norme Ll(A) sur CC(X), on constate = 1 = \f/(\).
Par la représentation intégrale de y/, on voit alors que y/ est une forme positive. Ce qui donne
g = î p. p.[À,] .Si O était encore une forme linéaire sur CC(X), espace cette fois muni de la norme de
la borne supérieure, et vérifiait ||d>|| = 1 = 0(1), on aurait encore la positivité de 0. Ce résultat qui
paraît évident — il l'est si on se restreint au cas réel — a plusieurs fois été redémontré dans le cas
complexe au cours de ce siècle, et toujours avec la surprise qu'il ne soit pas mieux connu.
C'est dans une note de la fin de ses Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives de
1904 que Lebesgue introduit le concept d'absolue continuité pour une fonction d'une variable réelle
(section 7.17), auquel Vitali donne presque aussitôt son nom. En renforçant la condition de continuité
uniforme, Lebesgue cherchait à établir une condition nécessaire pour qu'une fonction se présente comme
une « intégrale indéfinie » : « Il faut que sa variation totale dans une famille en nombre fini ou infini
dénombrable d'intervalles de longueur totale tende vers 0 avec L. » Six ans plus tard, dans un article
intitulé « Sur l'intégration des fonctions continues », Lebesgue passe à l'absolue continuité des fonctions de
plusieurs variables et donc à l'absolue continuité des mesures (fonctions d'ensemble). Ce n'est pourtant
pas la définition 6.7. Dans ce même article, qui marque un tournant dans la théorie de l'intégration,
Lebesgue établit qu'une fonction à variation bornée sur /?' (voir la section 7.19) est somme d'une fonction
absolument continue et d'une fonction singulière (de dérivée presque partout nulle). Trois ans plus tard, en
1913, J. Radon au terme d'une longue étude sur R" où joue un principe de correspondance (tïbertràgungs-
prinzip) évoqué un peu auparavant par F. Riesz et qui est l'absolue continuité d'une mesure (au sens de la
définition 6.7), donne le résultat 6.10 (b). En 1930, O. Nikodym fournit à ce théorème sa forme 6.10, avec
l'interprétation de l'absolue continuité par le théorème 6.11. Dix ans plus tard, dans un article consacré
aux anneaux d'opérateurs, John von Neumann fournit une démonstration remarquable d'analyse
fonctionnelle, dans la mesure où la théorie des espaces de Hilbert intervient par la représentation des formes
linéaires continues [von Neumann, 1940, pp. 124-130]. Aussitôt, Jean Dieudonné propose une version abstraite
et c'est la démonstration donnée dans ce chapitre.
x

notes historiques
167
Déduite ici de la théorie de Radon-Nikodym, la décomposition de Hahn avait précédemment été établie
en 1905 dans un autre cadre, celui d'une intégration conçue comme prolongement de formes linéaires qui
aboutissait à l'intégrale de Daniell en 1917-1918.
Si Riesz avait déjà établi en 1910 le théorème de dualité des espaces Lp(\ < p < °°), ce n'est qu'à partir
des années 20 que ces espaces furent utilisés pour établir plus généralement la dualité dans les espaces de
Banach abstraits, notamment le résultat (B*)* = B, où * désigne le dual topologique et norme d'un espace
de Banach B, c'est-à-dire l'espace vectoriel norme de ses formes linéaires continues.
A ce titre, on a beaucoup étudié les exceptions, notamment le fait que (L")* soit différent de L1 (exercice
13, [Saks, 1937, p. 36], ou [Halmos, 1950, p. 131]). Un article de J.T. Schwartz fait le point de la situation
qui est encore simplifiée dans un article de 1963 de H.W. Ellis et D.O. Snow. De même furent étudiés les
cas où (L1)* n'est pas LT (l'énoncé du théorème 6.16 est en effet restreint au cas d'une mesure o'-finie ;
voir [Dunford, Schwartz, 1958]. Par contre, même lorsque la mesure n'est pas O'-finie, on a toujours
(If)* = U ; voir [Loomis, 1953, p. 43].
La convergence dans U a fait l'objet de plusieurs théorèmes. L'exercice 10 en donne quelques-uns (pour
10 (g), voir [Zygmund, 1958, vol. 1, p. 167].
Dans le lemme 6.3, la constante 1/p est la meilleure possible. Voir un article de R.P. Kaufman et
N.W. Rickert de 1966 et une simplification par W.W. Bledsoe.
Conviennent aussi à la section 6.19 les références données au chapitre 2 pour le théorème de Riesz.
RÉFÉRENCES
{Lebesgue, 1904].
G. Vitali, Sulle funzioni integrali, Atti Accad. Se. Torino, 40, 1904-1905.
H. Hahn, Ùber die Fundamentalsatz der Integralrechnung, Monatsheft fUr Math, und Physik, Wien, 16,
161-166, 1905.
H. Lebesgue, Sur l'intégration des fonctions discontinues, Annales Se. Ecole normale Supérieure, (3),
27, 1910 ; Œuvres scientifiques, vol. 2.
F. Riesz, Untersuchungen iiber Système integrierbarer Funktionen, Math. Annalen, 69, 449-497, 1910 ;
Œuvres, vol. 1.
J. Radon, Théorie und Anwendungen der Absolute additiven Mengenfunktionen, Sitzungsberichte der
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Wien, 122, II a, 1913.
J. von Neumann, On rings of operators, III, Annals of Mathematics, 41, 94-161, 1940.
J. Dieudonné, Sur le théorème de Radon-Nikodym, Annals of Mathematics, 42, n° 1, 547-555, 1941.
J.T. Schwartz, A note on the space Lp*, Proc. Amer. Math. Soc, 2, 270-275, 1951.
H.W. Ellis, D.O. Snow, Canadian Math. Bull., 6, 211-229, 1963.
R.P. Kaufman, N.N Rickert, An inequality concerning measures, Bull. Amer. Math. Soc, 72, 672-676,
1966.
W.W. Bledsoe, An inequality about complex numbers, Amer. Math. Monthly, 11, 180-182, 1970.

CHAPITRE 7
DIFFÉRENTIATION
Le rôle réciproque de l'intégration et de la dérivation est appris lors des premiers pas en
Calcul — on désigne ainsi le calcul différentiel et intégral. Pour une large part, cette relation
essentielle est maintenue avec l'intégrale de Lebesgue. Nous allons voir que quelques-uns des
faits les plus importants concernant tant la différentiation des intégrales que l'intégration des
dérivées peuvent maintenant être acquis au moindre coût si l'on commence par étudier les
dérivées des mesures et les fonctions maximales qui leur sont associées. Le théorème de Radon-
Nikodym et la décomposition de Lebesgue joueront alors un rôle majeur.
DERIVEES DES MESURES
Afin de motiver les définitions à venir, nous commençons par un théorème simple. Nous en
donnons une démonstration, bien que les théorèmes ultérieurs l'impliquent.
7.1. Théorème
Soit \i une mesure de Borel complexe sur R1 et
f(x) = (xe (1)
Pour tout x e R] et tout nombre complexe A, les deux énoncés suivants sont équivalents :
(a) f est différentiable au point x et f(x) = A .
(b) A tout e>0, correspond un 8> 0 tel que pour tout intervalle ouvert I contenant x et de
longueur plus petite que 8
\m(I)
Ici, m désigne la mesure de Lebesgue sur Rx.
-A
<£. (2)
Démonstration. — Remplaçons \i par /i - Aw, en la restreignant à un segment contenant x
(de sorte que la nouvelle mesure soit finie). On ne perd donc rien à supposer A = 0.
Si /'(jc) = 0 et £>0, il existe 5>0 tel que pour \t-x\ < 8,
\f(t)-f(x)\<e\t-x\.
Supposons jc e /, / = ]s, t [, et t - s < 8. Choisissons s„ tel que jc> s} > s2 > ..., sn —» s . On a
|/i(hn'[)| = 1/(0-/M* 1/(0-fW\+\f(x)-f(Sn)\
<£(t-x) + £(X-S„)= £(t-Sn)<£m(I),

170
différentiation
et comme / = LJdX* fD> il vient \fi(I)\ ^ £m(I). Ainsi (a) entraîne (b).
Supposons maintenant que (b) soit vérifiée avec A = 0, choisissons e > 0, et prenons S
selon (b). Si s < x < t et t - s < fi, pour tout n assez grand on a
Comme [s, t[ = n ]s - -, t[ et comme
n
4'-M )H'~'+«)-
lime
f(t)-f(s) = /i([M[),
il s'ensuit que
1/(0-/(5)1 *£|f-*l (s<x<t<s + S). (3)
Si (b) est vérifiée, on a fi ({jc}) = 0, où {jc} est l'ensemble réduit à jc. Donc / est continue en jc.
Par suite, soit s, soit t peut être remplacé dans (3) par jc, et on conclut f(x) = 0.
7.2. Définitions. — Le théorème 7.1 suggère que la dérivée de fl en jc pourrait être définie
comme la limite des quotients fi(I)/m(I) quand les intervalles / se rétrécissent jusqu'à ne
plus contenir que jc. On pourrait adapter convenablement une définition analogue à plusieurs
variables, c'est-à-dire lorsque Rk remplace R].
En conséquence, fixons une dimension k et notons B(x, r) la boule ouverte de centre jc g Rk
et de rayon r > 0,
B(x9r) = {ysRk: |y-jc|<r}. (1)
Comme à la section 2.19, la notation de la valeur absolue désigne ici encore la métrique
euclidienne. À toute mesure complexe de Borel fi sur Rk, nous associons les quotients
m(fi(jc, r))
où m = mk est la mesure de Lebesgue sur Rk. En chaque point jc g Rk où cette limite existe,
nous définissons la dérivée symétrique de fl en jc par
(D/i)(x) = \ïm(Qrfi)(x). (3)
Pour étudier Dfi, nous utiliserons la fonction maximale M fi. Elle est définie pour fi > 0 par
(Mfi)(x) = sup (Qrfi)(x). (4)
0< r<°o
Par définition, la fonction maximale d'une mesure complexe de Borel est celle de sa variation
totale | fi\.
Une fonction maximale M fi : Rk —> [0, °o] est semi-continue inférieurement, et donc est
mesurable. Pour le voir, supposons fi>0, choisissons A>0, formons E= {jcg/?* :
(Mfi)(x) > À} et prenons jc g E. Il existe ainsi un r > 0 de sorte que pour un certain t > r,
fl(B(x,r)) = tm(B(x,r)). (5)
Il existe 8 > 0 tel que
(r+fi)* </■*£■ (6)
Si |y - jc| < 8, on constate B(y, r+8)z> B(x, r), de sorte que
fi(B(y, r+8))> fi(B(xy r)) > tm(B(x, r)) = t
r -k
r+8
>Xm(B(y,r+8)).
m(B(y,r+8))

dérivées des mesures
171
Ainsi B(x, S) cz E. Ce qui montre que E est un ouvert.
Un premier lemme de recouvrement est utile pour la preuve de notre premier objectif, à savoir
le « théorème maximal » 7.4.
7.3. Lemme. — Lorsque W est l'union d'une famille finie de boules ouvertes B(xh r,), 1 <
i< N, il existe un ensemble S cz { 1, ..., N} tel que
(a) Pour i e S, les boules B(xh r,) sont disjointes,
(b) WcU£(*,,3r,),
ie S
(c) /n(WO<3'5>(B(jc,,r,)).
je S
Démonstration. — On ordonne les boules B( - B(xh r,) suivant les rayons décroissants
r, > r2> ...rN. On pose /, = 1. On élimine toutes les Bj qui intersectent Bt . Soit Bt la
première des boules restantes Bj, s'il y en a. On élimine à nouveau toutes les Bj, pour j > i2,
qui intersectent #,2. Et soit B^ la première des boules restantes, etc., jusqu'à épuisement. Ce
procédé s'arrête au bout d'un nombre fini d'étapes, et fournit S = {/„ i2,...}.
On a évidemment (a). Toute boule éliminée Bj est incluse dans B(xh 3r,) pour au moins
un indice ie 5, dans la mesure où pour r'<r, si B(x\ r') intersecte B(x, r), on a
B(x\ r') c B(x, 3r). Ce qui prouve (b), tandis que (c) provient de (b) puisque dans Rk,
m(B(x,3r)) = 3*m((jc, r)).
En gros, le théorème suivant énonce que la fonction maximale ne peut pas être trop grande sur
un grand ensemble.
7.4. Théorème
Pour une mesure complexe de Borel fJ. sur Rk et un nombre positif X,
w{M//>A}<3/:A-1||^l|. (1)
On a posé ||/x|| = \ji\(Rk) et le membre de gauche de (1) est une abréviation remplaçant
l'expression plus encombrante
m({x g Rk : (Mju)(;c) > X}). (2)
Nous simplifierons souvent les notations de cette manière.
Démonstration. — On fixe fi et X. Soit K un compact inclus dans l'ouvert {Nji> X} . Tout
point xe K est centre d'une boule ouverte B pour laquelle
\fi\(B)>Xm(B).
Une réunion finie de telles boules recouvre K et le lemme 7.3 en fournit une famille disjointe,
disons {B]9 Bn}y telle que
m(K) < 3<5>(B,) < 3*À-'5>I(*,) ^ 3'r'U/xll.
1 1
La dernière inégalité a joué du fait que les Bh i = 1, n, soient disjointes.
On déduit alors ( 1 ) en prenant la borne supérieure sur tous les compacts K cz {Af// > X}.

172
différentiation
7.5. L'espace L1 faible. — Sife Ll(Rk) et X > 0, on a
m{\f\>X}<X-l\\f\\, (D
En effet, posant E = {|/| > X}, on calcule
Xm{E)<\\f\dm<^ \f\dm = ||/||,. (2)
En conséquence, est dite appartenir à l'espace L1 faible toute fonction mesurable / pour
laquelle
Am{|/|>A} (3)
est une fonction bornée de X sur ]0, «»[.
De cette façon, V faible contient L\ et est plus grand puisque tout simplement il contient la
fonction 1/jc sur ]0, 1[.
À chaque / e L1 (/?*), on associe la fonction maximale Mf : Rk —> [0, «>], en posant
(MfKx) = sup —L- f |/| du. (4)
o<r<- m(tfr) JB(JC,?
[On a écrit £r, au lieu de B(x> r), dans la mesure où m(B(x, r)) ne dépend que du rayon r.] Si
l'on identifie / à la mesure |i fournie par d\i =fdm, la définition (4) coïncide avec celle déjà
posée pour M\l Le théorème 7.4. indique donc que « l'opérateur maximal » M envoie V sur L1
faible, et la constante bornant cette application (à savoir 3*) ne dépend que de la dimension de /?*.
Pour toute fe L*(Rk) et tout X > 0,
m{M/>A}<3*r1||/||l. (5)
7.6. Points de Lebesgue. — On appelle point de Lebesgue de f e Lx(Rk), tout point x e Rk
pour lequel
r-o m(Br) JBUr)
A titre d'exemple, la relation (1) prévaut en tout point de continuité de /. De façon générale,
(1) indique que les moyennes de |/ -/(jc)| sont petites sur de petites boules centrées en x. De
sorte que les points de Lebesgue de / sont ceux des points de Rk autour desquels en moyenne
/ ne varie pas trop.
Il est peu intuitif que toute f e L puisse posséder des points de Lebesgue. Le remarquable
théorème suivant montre qu'il y en a toujours (Voir aussi l'exercice 23).
7.7. Théorème
Presque tous les points xe Rk sont des points de Lebesgue d'une f e Ll(Rk).
Démonstration. — On définit pour xe Rk et r>0,
m(Br)
et
(Tf)(x) = lim sup(7V/)(x). (2)
Nous allons prouver que Tf= 0 p.p.[m].

dérivées des mesures
173
Choisissons p 0 et n un entier positif. Le théorème 3.14 fournit g s C(Rk) telle que
11/ - #111 < - • Posons h=f- g. Puisque g est continue, Tg = 0. Comme
n
Tr(h)(x)<^— f |*|dfi + |*(*)l. (3)
on a
Th<M(h) + \h\. (4)
Puisque Trf< Trg + Trhy on en déduit
Tf<M(h) + \h\. (5)
De sorte que
{Tf>2y}cz{Mh>y}v{\h\>y}. (6)
Appelons E(y, n) la réunion des ensembles indiqués dans le membre de droite de (6). Puisque
< - , le théorème 7.4 et l'inégalité 7.5 (1) montrent que
n
miE(y,n))sV-±ll. (7)
yn
Comme le membre de gauche de (6) ne dépend pas de n,
{ 7/> 2?} en £(>>,")• (8)
n = 1
Mais l'intersection à droite dans (8) a pour mesure 0, de sorte que {Tf> 2y] est lui-même de
mesure nulle. La mesure de Lebesgue étant complète, cet ensemble est encore mesurable au
sens de Lebesgue, et de mesure nulle. Comme ces résultats sont valables pour tout y positif, on
déduit Tf=0p.p.[m].
Pour un coût minimal, le théorème 7.7 fournit d'intéressantes informations sur des sujets tels que
(a) la différentiation des mesures absolument continues ;
(b) la différentiation lorsqu'on utilise des ensembles autres que des boules ;
(c) la différentiation des intégrales indéfinies dans R1 ;
(d) la densité métrique des ensembles mesurables.
Nous allons les discuter.
7.8. Théorème
Pour toute mesure complexe de Borel jh sur /?*, absolument continue par rapport à la mesure
de Lebesgue m sur /?* et dont on note par f la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à m, on
a D\i = /p.p. [m], et pour tout borélien E cz Rk,
ME) = f (Dtfdm. (1)
JE
En d'autres termes, la dérivée de Radon-Nikodym peut aussi s'obtenir comme limite des
quotients qr[l
Démonstration. — Le théorème de Radon-Nikodym énonce que (1) est vraie, si l'on remplace
D\i par /. En tout point jc de Lebesgue de /, on vérifie
m = iim 1 f fdm = lim l*Wx>rl. (2)
jk ' r-»o m{Br) W.r) r->o m(B(x, r))

174
différentiation
Ainsi (jc) existe et vaut /(jc) en tout point de Lebesgue de /, et donc presque partout par
rapport à la mesure de Lebesgue m.
7.9. Ensembles de rétrécissement convenable. — Soit x g /?*. Une suite {£,} de boréliens
dans Rk rétrécit convenablement sur x s'il existe un a> 0 possédant les propriétés suivantes :
Il existe une suite de boules ouverte*#(;t, r,), où lim r, = 0, telle que pour i = 1, 2 on a
l'inclusion EiczB(x, r^ et
m(£,)>a.m(5Ur()). (1)
On observera que l'appartenance de x à Ei n'est pas requise, ni même l'appartenance à la
fermeture de La condition (1) est la version quantifiée de l'idée selon laquelle chaque £, doit
occuper une part substantielle d'un certain voisinage sphérique de x. Ainsi, une suite filtrante
de pavés d'ordre k dont le côté le plus long est au plus 1 000 fois la longueur du plus petit, et
dont la longueur de ce plus grand côté tend vers 0, rétrécit-elle convenablement. Mais une suite
filtrante de rectangles de R2 dont les côtés ont pour longueur respectivement j et -j-2 ne rétrécit
pas convenablement. '
7.10. Théorème
Si l'on associe à chaque x g Rk une suite qui rétrécit convenablement sur x, et si
/g L1 (/?*), on a en tout point de Lebesgue de f, c'est-à-dire p.p.[m],
f(x) = lim 1 f fdm. (1)
i-»oo m^L^x)) JEjix)
Démonstration. — Soit x un point de Lebesgue de / et désignons par a(jc) et B (x, r) la constante
et les boules ouvertes associées à la suite {£,(*)}. Puisque E,(jc) cz B(x, r,), on a
—tttt^tt f \f-f(x)\dm < —— -- f \f-f(x)\dm.
w(E,(jc)) JE]MU Jy " m(B(x,ri)) h{x,ri)XJ Jxn
Puisque x est un point de Lebesgue de f. et r, —> 0, le membre de droite converge vers 0 lorsque
i: —> ©o. Donc aussi celui de gauche, ce qui prouve (1).
Observons qu'aucune relation n'est présupposée entre {Et(x)} et {£,00} lorsque jc et y sont
des points distincts.
Observons aussi que le théorème 7.10 conduit à une forme plus forte du théorème 7.8, mais
nous omettons les détails de la preuve.
7.11. Théorème
Si / g L\R]) et
E(x) = J fdm (-oo<jc<oo),
on a F(x) = /(jc) en tout point x de Lebesgue de f et donc p.p.[m].
(Telle est la première moitié facile du théorème fondamental du Calcul envisagé dans son
extension au cas de l'intégrale de Lebesgue.)
Démonstration. — Soit {5,} une suite de nombres positifs convergeant vers 0. Le théorème
7.10, où E,(jc) = [jc, jc + Si\, montre que la dérivée à droite de F(jc) existe en tout point jc de
Lebesgue de /, et qu'en de tels points elle vaut/(jc). En prenant cette fois £,(jc) = [jc - 5„ jc] ,
on obtient le même résultat pour la dérivée à gauche de F en jc.

dérivées des mesures
175
7.12. La densité métrique. — Soit E un ensemble mesurable de Rk. On définit la densité
métrique de £ en xe Rk par
lim w(£n*(*' r» (1)
r->o m(B(x, r))
du moins, bien sûr, si cette limite existe.
En prenant pour / la fonction caractéristique de £, et en appliquant les théorèmes 7.8 ou 7.10,
on voit que la densité métrique de E vaut 1 en presque tous les points de E, et 0 en presque
tous les points du complémentaire de E.
Voici une conséquence plutôt surprenante de ce résultat, que Ton devra comparer à l'exercice
8 du chapitre 2.
Pour tout 1 > e> 0, il n'existe pas d'ensemble EczR1 qui satisfasse pour tout segment /,
m(Enl) ,
e< , ' < 1 (2)
m(I)
Ayant réglé la différentiation des mesures absolument continues par rapport à la mesure de
Lebesgue, nous pouvons nous tourner du côté des mesures singulières.
7.13. Théorème
À chaque x e Rk, associons une suite {Ei (x)} qui rétrécisse convenablement sur x. Si JLL est
une mesure complexe de Borel et fi±m, on a
lim Sft^ = 0 pp[m]- (1)
Démonstration. — Le théorème de décomposition de Jordan montre qu'il suffit, pour
prouver (1), de faire l'hypothèse supplémentaire fi > 0. Dans ce cas, en raisonnant comme pour
la démonstration du théorème 7.10, on a
q(jç)Ai(E,(jt)) H(Et(x)) /i(B(*,r,))
m(Ei(x)) m{B{x, r,)) m(B(x,r,)) *
De sorte que (1) est conséquence du cas particulier
(Dfi)(x) = 0 p.p.[m], (2)
dont il reste maintenant à fournir la preuve.
La dérivée supérieure Dfi est définie par
(D//)(jc) = lim
sup (Qrfi)(x)
(xeRk). (3)
Il s'agit d'une fonction borélienne dans la mesure où la quantité entre crochets décroît lorsque
n croît et, pour chaque n, est une fonction s.ci. comme le montre le raisonnement adopté à la
section 7.2.
Choisissons A > 0 et e > 0. Puisque ji L m, la mesure |x est portée par un ensemble dont la
mesure de Lebesgue est nulle. La régularité de n (théorème 2.18) fournit un compact avec
m(/0 = 0, et n(K)>\\f4-e.
Pour tout borélien EczRk, définissons fii(E) = jn(K n £), et = u.- jx,. Ainsi ||/x2|| < £ et
pour tout x en dehors de K,
(Dn)(x) = (Dfi2)(x)<(Mfi2)(x). (4)

176
différentiation
Donc
{Dfi>X] czKu {Mfi2 > A}, (5)
de sorte que le théorème 7.4 prouve
m{D[i > A} < 3*A" V2|| < 3*A"'e. (6)
Puisque (6) prévaut pour tout £>0 et tout A>0, on en déduit D^i=0 p.p.[m], ce qui
donne (2).
On peut regrouper les théorèmes 7.10 et 7.13 de la manière suivante :
7.14. Théorème
Soit associée à chaque point xe R1 une suite {E(x)} qui rétrécisse convenablement surx,
et soit |l une mesure complexe de Borel sur R*. Soit d\i=fdm+dni la décomposition de
Lebesgue de [i par rapport à m. On a
v li(Ei(x))
111X1 Z(F(tK = f(X) P'P-W'
En particulier, \iLm si et seulement si (D\i)(x) = 0 p.p.[m].
Le résultat suivant fait un fort contraste avec le théorème 7.13.
7.15. Théorème
Pour une mesure positive de Borel \i sur /?* telle que flLm,
(Dfl)(x) = oo p.p.[tf. (1)
Démonstration. — Il existe un borélien SczR* tel que m(5) = 0 et |i(/c*-S) = 0, et des
ouverts V} => S tels que m( VJ ) < \ pour j= 1, 2, 3,
Pour N = 1,2,3..., prenons pour EN l'ensemble des jc de 5 auxquels correspondent des rayons
r. = ré(x), où lim ri = 0, pour lesquels
iu(5(jc,rl))<A/w(S(jc, r,)). (2)
La relation (1) a lieu pour tout jc e 5- uEN.
Fixons N et j pour le moment. Chaque point jc g En est centre d'une boule Bx a Vy pour
laquelle (2) prévaut. Soit fix la boule ouverte de centre jc dont le rayon est le tiers de celui de Bx.
La réunion de toutes ces boules fix est un ouvert Wj N, qui contient EN et est contenu dans Vy.
On a en fait
fi(WlN)<3k j. (3)
Pour le voir, soit K cz Wjt N un compact. Il est recouvert par un nombre fini de fix. Le
lemme 7.3 fournit donc un sous-ensemble fini FczEN avec les propriétés suivantes :
(a) {Bx : jc 6 F} est une famille disjointe,
Q>)K<zVBx.
xe F

théorème fondamental du calcul
177
Ainsi,
fi(K)<^fi(Bx)<N^m(Bx)
xe F xe F
= 3kNy£m(Px)<3kNm(Vj)<3k ^-
xe F 3
Ce qui prouve bien (3).
Posons maintenant QN = O Wjt N . En ce cas, t,N cz&N, QN est un Gs, jLL(On) = 0 et
j
(D//)(jc) = ©o en chaque point x de S - \^j£2N .
n
THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL
7.16. Ce théorème concerne des fonctions définies sur un intervalle compact dans R\ mais il
se présente en deux parties. La première énonce en gros que la dérivée d'une intégrale indéfinie
d'une fonction est cette même fonction. Ce sera précisé au théorème 7.11. La deuxième partie
va dans l'autre sens : on récupère la fonction originale en intégrant sa dérivée. De façon précise
f(x)-f(a) = \Xf\t)dî (a<x<b). (1)
La version élémentaire de ce théorème suppose la différentiabilité de / en chaque point de [a, b],
et la continuité de la dérivée /'. La preuve de (1) est alors facile.
C'est en essayant de généraliser (1) dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue que des
questions du type suivant viennent naturellement :
Suffit-il de supposer que /' e L\ au lieu de /' continue ?
Si / est continue et différentiable presque partout sur [a, b], la relation (1) a-t-elle encore lieu ?
Avant de démontrer un quelconque résultat positif, deux exemples indiquent la façon dont
(1) peut ne pas avoir lieu.
2 1
(a) Prenons f(x) = x sin — si jc * 0 et/(0) = 0. La fonction / est partout différentiable, mais
JC
(\f\t)\dt = ~, (2)
et donc /' é L1.
Si dans (1) (en mettant [0,1] à la place de [a, b]\ nous interprétons l'intégrale comme limite,
lorsque £-» 0, de l'intégrale sur [e, 1], la relation (1) vaut encore pour cette fonction /.
Des cas plus compliqués peuvent survenir pour lesquels un tel passage à la limite ne répare
rien. Des procédures d'intégration, dues à Denjoy et Perron (voir [McShane, 1944)] et [Saks,
1932]), ont été conçues pour que (1) ait lieu dès que / est différentiable en chaque point. Mais
ces procédures n'assurent pas l'intégrabilité de |/| à partir de celle de /, et elles ne jouent donc
pas un rôle important en analyse.
(b) Si l'on suppose / continue sur [a, b],f différentiable presque partout sur [a, et /' g L1
sur [a, b], est-il vrai que (1) ait lieu ?
La réponse est non.
Choisissons {8n} de sorte que 1 = 50>5i>52>... et 8n^0. Posons E0=[0, 1] et
construisons par récurrence un ensemble En comme la réunion de 2" segments fermés disjoints,
chacun de longueur 2~"ôn. Si l'on ôte un intervalle au centre de chacun de ces 2" segments de
sorte que les 2"+l segments restants aient chacun une longueur 2~(n + 1)<5„ + {(ce qui est possible

178
différentiation
puisque 8n+i<8„) alors En+i est la réunion de ces 2n+l segments. Ainsi E, =)£2:d ••,
m(En) = 8n, et si Ton prend
n = 1
cet ensemble est compact, de mesure nulle. (En fait, E est parfait). On pose
gn = Sn-]xEn et fn(x) = j*gn{t)dt (n = 0, 1, 2, ..■). (4)
Alors /„(0) = 0,/„(1) = 1, et chaque /„ est une fonction monotone, constante sur chaque
intervalle du complémentaire de En. Si / est l'un des 2" segments dont la réunion est En, alors
[gn(t)dt = [gn^(t)dt = 2"\ (5)
De (5), on déduit
= fnW (xe En) (6)
et
\fn{x)-fn + M\<\\gn-gn+\<2-n + x (xs En). (7)
Ainsi {/„} converge uniformément vers une fonction continue monotone /, telle que
/(O) = 0, /( 1 ) = 1 et f\x) = 0 pour tout x £ E. Puisque m(E) = 0, on a /' = 0 p.p.
Ainsi (1) n'a pas lieu.
Si 8n - , l'ensemble E est Y ensemble triadique de Cantor.
Ayant vu ce qui pouvait ne pas marcher, supposons maintenant /' e L1 et (1) valide. Une
mesure /z existe alors, définie par dfi = fdm. Puisque /*« w, le théorème 6.11 montre qu'il
correspond à chaque e > 0 un 8> 0 de sorte que \fi\(E) < e dès que E est une réunion
d'intervalles disjoints dont la longueur totale est inférieure à 8. Puisque /(y) - f(x) = jx (]jc, y[) si
a < x < y < b, l'absolue continuité de / — elle est définie ci-dessous — est nécessaire pour (1).
Le théorème 7.20 montre que cette condition nécessaire est aussi suffisante.
7.17. Définition. — Une fonction à valeurs complexes, définie sur un segment / = [a, b],
est dite absolument continue sur / (en bref, / est AC sur I) si à tout e > 0 correspond un 8> 0
de sorte que pour tout n, et toute famille disjointe d'intervalles ]«,, /?,[, ]a2, j32[..., ]a„, /?„[
dans / dont les longueurs satisfont
n
2 (A-«<)<«.
i = 1
on ait
n
S l/(A) -/(«,)!<£• d)
/ = 1
En faisant seulement n = 1 dans la définition précédente, on voit que / est continue.
Dans le théorème qui suit, l'implication (b) —» (c) est probablement la plus intéressante. Que
(a) —» (c) sans que l'on ait besoin de supposer la continuité de / est l'information contenue
dans le théorème 7.20.
7.18. Théorème
Soit /= [a, b] et f : I —> R] une fonction continue non décroissante. Chacun des énoncés
ci-dessous implique les deux autres

théorème fondamental du calcul
179
(a) festACsurl
(b) Vimage par f d'un ensemble de mesure nulle est de mesure nulle
(c) / est presque partout différentiable sur /, appartient à L1 et
f(x)-f(a) = ff'(t)dt (cx<x<b). (1)
a
On aura observé que pour les fonctions envisagées à l'exemple 7.16 (b) l'image d'un certain
espace compact de mesure nulle est le segment unité tout entier.
L'exercice 12 sert de complément au théorème 7.18.
Démonstration. — Nous établirons (a) -> (b) -> (c) -> (a).
W désigne la a-algèbre des ensembles mesurables au sens de Lebesgue de R1.
Si / est AC sur /, et si l'on prend E cz I tel que E e TYl et m(E) = 0, on doit montrer que
f(E) e Tri et m(/(E)) = 0. Il n'y a aucune perte de généralité à supposer que ni a, ni b
n'appartiennent à E.
On choisit e> 0, et par la définition 7.17 appliquée à /, on lui fait correspondre un ô> 0. Il
existe un ouvert V, m( V) < S et E cz V cz I, V étant la réunion d'intervalles disjoints ]ah /},[.
Ainsi £(A - ty) <S et le choix de S fournit
]T|/(A)-/(a,)| <e. (2)
[La définition 7.17 a certes été donnée avec des sommes finies, mais (2) est alors vraie pour
toutes les sommes partielles finies de cette série éventuellement infinie, et ainsi (2) est vraie
pour la somme de toute la série.]
Puisque E cz V, on a /(E) cz [/(«,-), /(A)] et la mesure de Lebesgue de cette réunion
est la somme figurant à gauche dans l'inégalité (2). Donc, /(E) est un borélien dont la mesure
est aussi petite que l'on veut. La mesure de Lebesgue étant complète, f(E)ecÏÏl et
m (f(E)) = 0.
Ainsi est démontrée (a) —> (b).
Supposons que (b) soit vraie. On définit la fonction injective g par
*(*) = * + /(*) (a<x<b). (3)
Si l'image par / d'un intervalle de longueur Vf a pour longueur r/', l'image par g de ce même
intervalle a pour longueur rj + rf. Donc on en déduit aisément que g satisfait à son tour (b).
Si Eczl et Ee Tri, le théorème 2.20 assure que E = E, u£"0, avec m(E0) = 0 et E,
étant un Fa. Ainsi Ex est réunion dénombrables de compacts, et il en est alors de même pour
g(E,), grâce à la continuité de g. Comme g satisfait (b), m(g(E0)) = 0. Or,
g(E) = g(El)ug(E0) et ainsi g(E) e W.
On peut alors définir
/x(E) = m(g(E)) (Ec/,Ee W). (4)
Ainsi, g étant injective — c'est la raison pour laquelle on l'a préférée à / — à des ensembles
disjoints dans / correspondent par g des images disjointes. L'additivité dénombrable de m
montre donc que JlI est une mesure positive et bornée sur TYl. En outre, fl « m, puisque g
satisfait (b). Le théorème de Radon-Nikodym fournit h g Ll(m) telle que
djl - hdm. (5)

180
différentiation
Si E = [a, jc] , on a g(E) - [g(a), g(x)] et (5) permet d'écrire
g(x)-g(x) = m(g(E)) = H(E) = f hdm = \xh(t)dt.
JE Ja
Utilisant maintenant (3), on déduit
f(x) - fia) = f [h(t ) - 1 ] dt (a<x<b). (6)
Ainsi, d'après le théorème 7.11, f'(x) = h(x)-\ p.p.[m].
On a ainsi prouvé (b) -» (c).
La discussion menée avant la définition 7.17 a montré l'implication (c) —» (a).
7.19. Théorème
Soit f : /—>/?' une fonction AC où I - [a,b]. On définit
N
F(x) = sup ?,)-/((D
; = 1
où la borne supérieure est prise sur tous les entiers N, et tous les choix possibles de {f,} tels que
a = r0<fi < ••• <tN = x. (2)
Les fonctions F, F + /, F - f sont non décroissantes et AC sur I.
[F est ce que l'on appelle la fonction de variation totale de /. Pour une quelconque fonction à
valeurs complexes définie sur /, qu'elle soit ou non AC, on dit qu'elle est à variation bornée
sur / lorsque F{b) < °o. Et F(b) est alors la variation totale de / sur /. L'exercice 13 traite de
ces fonctions à variation bornée.]
Démonstration. — Si (2) a lieu et jc < y < b, on a
N
F(y) > \f(y) - + X |/(f,) - fit,., )|. (3)
i — 1
Donc
F(y) > f(y) - f(x) + F(x) et F(y) > f(x) - f{y) + F(x). (4)
Ce qui prouve la non décroissance de F, F + / et F - f.
La somme de deux fonctions AC étant aussi AC, reste seulement à démontrer que F est A C
sur /.Si ] a, j8[ cz /, on a
n
F(/3)-F(a) = sup £1/(0 (5)
i
où la borne supérieure est prise sur tous les {r,} satisfaisant a = r0 < ... < /„ = j3. On
observera que = P-CX.
Choisissons £ > 0, associons lui un £> 0 par la définition 7.17 appliquée à / et des
intervalles disjoints \ap cz I, tels que - o,) < 8. À chacun des ]cc7, j3y[, on applique (5). Il
vient, d'après notre choix de e,
X(F(ft) -F(«,))<£. (6)
y
De sorte que F est A C sur /.
Notre objectif principal est désormais atteint.

théorème fondamental du calcul
181
7.20. Théorème
Définie sur I = [a, b], une fonction AC à valeurs complexes est différentiable presque
partout sur I, /'g L](m), et
f(x)-f(a) = \xf'{t)dt (a<x<b). (1)
Ja
Démonstration. — Il suffit bien sûr de faire la démonstration pour une fonction / réelle. Si F
est la fonction de variation totale, comme au théorème 7.19, on peut définir
fi = \(F + f),fi = \(F-f)> &
et leur appliquer l'implication (a) —> (c) du théorème 7.18. Mais
/ = /i-/2 (3)
ce qui fournit (1).
Par une toute autre méthode démonstrative, et sous des hypothèses différentes, un autre
théorème obtient encore la relation (1).
7.21. Théorème
Pour une fonction f : [a,b]—> Rx, différentiable en tout point de [a, b], et dont la dérivée
/' g L1 sur [a, b], on a
nx)-f(a) = \Xf\t)dt (a<x<b). (1)
Ja
Observons que la différentiabilité est ici supposée en tout point de [a, b].
Démonstration. — Il est suffisamment clair qu'il suffit de prouver le cas x = b. On choisit
e> 0. Le théorème 2.25 fournit une fonction s.c.i. g sur [a, b] telle que g > /' et
f bg{t)dt<\bf'(t)dt + e. (2)
J a J a
Certes, le théorème 2.25 ne donne que g>f \ mais grâce à m([a, ^])<co, il est possible
d'ajouter une constante suffisamment petite à g sans changer (2). Pour tout r) > 0, on pose
Fr,(x) = fait) dt-f(x) + f(a) + îl(x-a) (a<x<b). (3)
Gardons rj fixe pour le moment. Grâce à la semi-continuité inférieure de g et à g(x) > f(x),
à chaque xe [a,b[ correspond un 8X > 0 tel que pour tout r g ]x, x + 8X[,
g(t)>f'(x) et f{t\~jx{x)<f\x) + r]. (4)
Pour de tels t, on a donc
F^-F^x) = fg(5)^-[/(0-/W] + r?(r-^)
J X
> (t - x)f'(x) - (t - x)[f\x) + 7]] + î](t -x) = 0.
De Fn (a) = 0, et de la continuité de F„, on déduit un dernier point x e [a, b] pour lequel
Fn{x) - 0. Si x < b, le calcul précédent implique FT1(t)>0 pour t e ]x, b]. Dans tous les cas,
F^ (b) > 0. Mais ceci vaut pour tout 7] > 0, de sorte que (2) et (3) fournissent maintenant.
f(b)-f(a)< ibg(t)dt <\bf(t)dt + e, (5)
Ja Ja

182
différentiation
et du fait que e soit arbitraire, on conclut
f{b)-f{a)<\bf{t)dt. (6)
Ja
Lorsque / satisfait les hypothèses du théorème, il en va de même pour -/, de sorte que (6) a
encore lieu en remplaçant / par -/, et les deux inégalités conjointes donnent (1).
APPLICATIONS DIFFERENTIABLES
7.22. Définition. — Soit V un ouvert de /c\ T une application de V dans Rk et jc g V. S'il
existe un opérateur linéaire A sur Rk (c'est-à-dire, comme à la définition 2.1, une application
linéaire de Rk dans /?*), tel que
iim \nx+h)-nx)-Ah\ = 0 (1)
a->o \h\
(où bien sûr h g Rk ), on dit que T est différentiable en jc, et on définit
T(jc) = A. (2)
On appelle dérivée de 7 en jc l'opérateur linéaire 7"(jc). (On voit facilement qu'il existe au plus
un opérateur linéaire A qui puisse satisfaire les requis précédents, de sorte qu'il est légitime de
parler de la dérivée de 7). On utilise fréquemment aussi l'adjectif différentiel pour désigner r'(jc).
Ce que la relation (1) signale, est l'approximation de la différence T(x + h)- T(x) par une
fonction linéaire de /i, à savoir T\x)h.
Puisque tout nombre réel a définit un opérateur linéaire sur R] (par l'application h —> ah),
la définition de T(x) coïncide avec la définition usuelle lorsque k - 1.
Pour tout opérateur linéaire A : Rk—>Rk, le théorème 2.20 (e) fournit un nombre A (A) tel
que pour tout ensemble mesurable E<zRk,
m(A(E)) = A(A)m(E). (3)
Puisque
A'(jc) = A (xeRk) (4)
et puisque toute application différentiable T peut localement être approchée par une application
linéaire à laquelle on ajoute une constante, on peut conjecturer que pour des ensembles E
convenables, proches de jc, on ait
2^~A(tm). (5)
m(E)
C'est ce que montrera le théorème 7.24, et ce qui motive le théorème 7.26.
Rappelons que A (A) = |det A| comme cela a été démontré à la section 2.33. Pour une
application T différentiable en jc, le déterminant de r'(jc) porte le nom de jacobien de T en jc, et est
noté 7r(jc). Ainsi
A(r(jc» = |yr(jc)|. (6)
Si le lemme suivant paraît évident d'un point de vue géométrique, sa démonstration n'en
dépend pas moins du théorème du point fixe de Brouwer. On peut alors éviter ce théorème en
imposant de plus fortes conditions sur F, par exemple en supposant que F soit une application
ouverte. Ce serait cependant imposer des hypothèses trop fortes pour le théorème 7.26.
7.23. Lemme. — Soit S = {jc : |jc| = 1} la sphère unité dans /?*, qui est aussi la frontière
de la boule unité ouverte B = B (0, 1 ).

applications différenti ab les
183
Si F :B —> Rk est continue, si 0 < £ < 1, et si pour tout x e S,
\F(x)-x\<e, (1)
on a /(£)=> fl(0, 1 -£) .
Démonstration. — Pour obtenir une contradiction, supposons qu'un point a de Z?(0, 1 - £)
ne soit pas dans f(b). La relation (1) procure \F(x)\ > \ - £ pour xe S, donc a n'appartient
pas à F(S) et donc pour tout xe a ï F(jc). Ce qui permet de définir une application
continue G B -^B par
G(x) = ^4,- (2)
\a-F(x)\
Pour x g S, (x, x) = |;c|2 = 1, de sorte que
(x,a-F(x)) = + (*,*-F(x))-1 <|a|+e-l <0. (3)
Ce qui prouve (jc, G(jc)) < 0, et donc jc * G(jc).
Si jc g fi, évidemment jc * G(jc) puisque G(jc) g S.
De sorte que l'application G n'a pas de point fixe dans G , ce qui contredit le théorème de
Brouwer, qui précisément établit que toute fonction continue de B dans B possède au moins
un tel point fixe1.
7.24. Théorème
Si
(a) V est un ouvert de /?*,
(b) T : V —» Rk est continue,
(c) T est différentiable en un certain point jc g V,
on a
lim mW?l\?K AV'W). (1)
r->o m((x, r))
Démonstration. — On peut, sans perte de généralité, supposer jc = 0 et 7(jc) = 0. On pose A = T (0).
On utilisera la propriété élémentaire d'un opérateur linéaire sur un espace vectoriel de
dimension finie : un opérateur linéaire A défini sur Rk est injectif si et seulement si son image est Rk
tout entier. En ce cas, l'inverse A"1 de A est encore linéaire.
En conséquence, la preuve peut être divisée en deux cas :
1er cas : A est injectif. On définit
F(x) = A']T(x) (xeV). (2)
Alors F(O) = A~xT(0) - A_1A = /, l'opération identité. On va prouver que
iim aam^iM = i. o)
r^o m(B(0, r))
Puisque 7\jc) = AF(jc), grâce à 7.22 (3), on dispose pour toute boule B, de
m(T(B)) = m(A(F(B))) = A(A)m(F(B)). (4)
De telle sorte que (3) procurera le résultat attendu.
1. On trouve aux pages 38-40 de Dimension Theory de Hurewicz et Wallman, une preuve élémentaire du théorème
de Brouwer (Princeton University Press, 1948) (N.d.t.).

184
différentiation
Choisissons £>0. Puisque F(O) - O et F%(Q) = /, il existe ô>0 tel que 0<\x\<5
implique
\F(x)-x\<e\x\. (5)
On affirme que pour 0 < r < 5, on dispose des inclusions suivantes,
B(0, (1 - e)r) c F(B(0, r)) cz B(0, (1 + e)r). (6)
La première des inclusions résulte en effet du lemme 7.23, avec B(0,r) remplaçant B(0, 1),
dans la mesure où |F(x)-x| <er pour tout x tel que |jc| = r. La seconde des inclusions
provient directement de (5), puisque \F(x)\ < ( 1 + £)|jc|. Il est clair que (6) induit
dont résulte (3).
2ème cas : A n 'est pas injectif. Dans ce cas, A applique Rk sur un espace de dimension inférieure,
et donc sur un ensemble de mesure nulle. À e > O donné correspond un rj > O tel que
m(En) < e, où En est l'ensemble des points de Rk dont la distance à A (B(0, 1 )) est inférieure
à r\. Puisque A = T\0), il existe un S> O tel que |jc| < S implique
\T(x)-Ax\<ri\x\. (8)
Si r< 5, T(B(0, r)) est alors inclus dans l'ensemble E constitué des points dont la distance
à A (B(09 r)) est inférieure à rjr. Notre choix de T] montre que m(E) <erk. Donc
m{T(B{Oir)))<erk (0<r<8). (9)
Puisque r - m^^' r}\, la relation (9) fournit
m(B(0, 1))
*amlTiïm'?? = 0> (10)
m(B(Of r))
ce qui prouve (1), dans la mesure où A(T\0)) = A{A) = 0
7.25. Lemme. — Soit EczRk, m(E) = 0 et soit T une application de E dans /?* telle que
pour tout xe E, lorsque y tend vers x dans E, on ait
lim sup — r^<oo. (1)
\y-x\
Alors m(T(E)) = 0.
Démonstration. — Pour des entiers positifs donnés n et p, on pose F - Fnp où F„ p est
l'ensemble des xe E tels que pour tout y e B^x, i £, on ait
\T(y)-T(x)\<n\y-x\. (2)
On choisit £> o. Puisque m(F) = 0, on peut recouvrir F par des boules B; = B(xh r,-) où
Xj e F, r, < de sorte que ^w(fi,) < £. (En effet, on recouvre F par un ouvert W de mesure
assez petite, et on décompose Wen boîtes disjointes de diamètre assez petit, comme à la section
2.19, et on inclut chaque boîte qui intersecte F par une boule dont le centre est à la fois dans
la boîte et dans F).

applications différenti ab les
185
Pour xe F n Bh ÏXj - x\ < r,< - et Xj g F. Donc
P
Inxd-nxftïn^-xlKnr,, (3)
de sorte que T(FnBj) c B(T(x^), nrt). Ainsi
T(F)cz\jB(T(xi\nri). (4)
La mesure de la réunion vaut au plus
Jwfl(rW,BrJ = n*£m(*,)<n*e. (5)
i i
La mesure de Lebesgue étant complète, et e arbitraire, il s'ensuit que T(F) est mesurable et
m(T(F)) = 0.
Pour terminer la démonstration, il suffit d'observer que E est réunion dénombrable des [Fn p].
Un cas particulier du lemme mérite un énoncé séparé.
Si V est un ouvert de Rk et T : V —> Rk une application différentiable en chaque point de V,
un ensemble de mesure nulle de V est transformé en un ensemble de mesure nulle de Rk.
Nous arrivons au théorème du changement de variables.
7.26. Théorème
Si l'on suppose que
k k
(0 X<z V c R , V est un ouvert, T: V -> R continue,
(ii) X est mesurable au sens de Lebesgue, T est injective sur X, et T différentiable en chaque
point de X,
(iii)m(T(V-X)) = 0.
Alors, en posant Y = T(X), pour toute fonction mesurable f: Rk —> [0, <*>], on a
jfdm = j(foT)\JT\dm. (1)
Y X
Le cas X = V est sans doute le plus intéressant. Quant à la condition (iii), pour une
application 7qui satisfait les hypothèses du lemme 7.25 sur V- X elle a lieu, par exemple, dès que
m(V-X) = 0.
Quelques éléments de la démonstration sont repris de celle de l'implication (b) —> (c) du
théorème 7.18.
Dans cette démonstration, il s'avère important de faire la distinction entre sous-ensembles
boréliens et sous-ensembles mesurables au sens de Lebesgue.
La a-algèbre des ensembles mesurables au sens de Lebesgue est notée Tri.
Démonstration. — Trois étapes scandent la démonstration :
(I) Si E g W et E c V, alors T(E) g Tri.
(II) Pour tout E g m, m(T(EnX)) = jXEUAdm.
x
(III) Pour tout A g m,
\xAdm= j(XAoT)\JT\dm.
Y X

186
différentiation
Si E0e TTi^EoCzV et m(EQ) = 0, on a m(T(E0-X)) = 0 d'après (III) et m(T(E0 n X)) = 0
d'après le lemme 7.25. Donc m(T(E0)) = 0. Si E{ cz V est un Fff, E] est cr-compact, puisque T
est continue, et T(EX) est également cr-compact. Donc T(EX) e W.
(I) est alors acquis puisque d'après le théorème 2.20 tout E e W est réunion d'un Fa et d'un
ensemble de mesure nulle.
Pour démontrer (II), on prend pour n un entier positif et on définit
Vn = {xe V:\T(x)\<n},XH = XnV„. (2)
Grâce à (I), on peut définir pour tout EeTYl,
lin(E) = m(T(EnXn)). (3)
Par l'injectivité de T sur Xn, l'additivité dénombrable de m montre que jin est une mesure sur
Hi. Ainsi jin est bornée (c'est pour cela que l'on a momentanément remplacé X par Xn) et une
nouvelle utilisation du lemme 7.25 donne fin « m. Le théorème 7.8 nous indique que (Djj,n)(x)
existe p.p. [m], Dfin e Lx(m) et pour tout EeTYl,
lln(E) = \(Dfln)dm. (4)
E
Nous prétendons maintenant que pour tout jc g Xn,
(D^)(jc) - \JT(x)\. (5)
Pour le voir, on choisit jc cz Xn et puisque Vn est ouvert, avec un r suffisamment petit,
B(x, r) czVr. Puisque Vn - Xn cz V - X, l'hypothèse (iii) nous permet de remplacer Xn par Vn
dans (3), sans modifier fin(E). Ainsi, pour r > 0 assez petit,
//„(/?(*, r)) = m(7(fi(jc,r))). (6)
En divisant les deux membres de (6) par m(B(x, r)), et grâce au théorème 7.24 et à la formule
7.22 (6), on obtient (5).
Parce que (3) fournit jin (E) = fin(E n XJ, de (3), (4) et (5) on déduit
m(T(EnXn)) = \ XE^Adm {Ee m). (7)
Une application du théorème de la convergence monotone à (7), lorsque permet
d'obtenir (II).
Pour débuter la démonstration de (III) on commence par prendre pour A un borélien de Rk,
et on pose
E = T~\A) = {jcg V : 7\jc)e A}. (8)
Ainsi Xe = Xa°T. Puisque Xa est une fonction borélienne, et T continue, Xe est borélienne
(théorème 1.12), de sorte que Ee Tri. De plus,
T(EnX) = An Y. (9)
Cette relation, par (II), implique
jXAdm = m[T(E n X)) = j(%AoT)\JT\dm. (10)
Enfin, si N g IfYl et m(N) = 0, il existe un borélien Ad N tel que m(A) = 0. Pour un tel A,
(10) montre que(XaoT)\Jt\ = 0 p.p. [m]. Comme 0 < Xn < Xa , les deux intégrales dans (10)
sont nulles lorsque l'on remplace A par N. Mais tout ensemble mesurable au sens de Lebesgue

exercices
187
est réunion disjointe d'un borélien et d'un ensemble de mesure nulle, de sorte que (10) a lieu
pour tout A e Ce qui prouve (III).
(III) obtenu, on voit clairement que (1) a lieu pour toute fonction étagée, mesurable au sens
de Lebesgue. Une nouvelle utilisation du théorème de la convergence monotone de Lebesgue
termine la démonstration.
Observons que nous n'avons pas prouvé que f o Test mesurable au sens de Lebesgue pour
toute fonction / mesurable au sens de Lebesgue, car ceci peut ne pas avoir lieu (exercice 8). La
preuve établit seulement la mesurabilité, au sens de Lebesgue, du produit (/ o T)\JT\.
Un cas particulier du théorème s'énonce de la façon suivante.
Lorsque q> : [a, b] —» [«, j3] est AC, monotone, (p(a) - a, <p (b) = /}, etf> 0 est mesurable
au sens de Lebesgue, on a
fjO)dt = fjfaxfjqtWdx.
Pour déduire ce résultat du théorème 7.26, on pose V = ]a, b[,T=<pctQ la réunion des
intervalles maximaux sur lesquels (p est constante (si de telles intervalles existent) et on prend pour
X l'ensemble des x e V-Çï pour lesquels <p\x) existe, et est finie.
EXERCICES
1. Si f e L](Rk) montrer que |/(jc)| < (Mf)(x) en tout point de Lebesgue de /.
2. Pour 5>0, on appelle 1(8) l'intervalle +8[ de R]. Soient a et /3 donnés, avec
0<cx<p< 1. Construire un ensemble mesurable Ee R\ de telle sorte que les limites
inférieure et supérieure des quotients
m(EnI(8))
28
soient respectivement a et /?, lorsque 8—> 0. (Comparer à la section 7.12).
3. Soit E un ensemble mesurable de R1 ayant des périodes arbitrairement petites. C'est-à-dire,
supposons qu'il existe des nombres positifs p., qui convergent vers O lorsque i —> <», et tels que
E + Pi = E (î= 1,2,3,...).
Montrer que ou bien E, ou bien son complémentaire, a une mesure nulle.
Indication. Choisir ae /?', et pour x>a poser F(x) = m(En [a, jc])). Montrer que si
a + Pi < x < y, F(x + p,) - F(jc - pi) = F(y + /?,) - F(y - pt). Qu'en déduit-on pour F'(jc)
lorsque m(E) > 0).
4. Appelons t une période de la fonction / sur Z?1 lorsque /(jc + t) = /(jc) pour tout xe R1.
Soit / une fonction réelle, définie sur R\ mesurable au sens de Lebesgue, possédant deux
périodes s et t telles que s/t soit irrationnel. Démontrer qu'il existe une constante c telle que/(jc) = c
p.p., sans que / soit nécessairement constante (Indication : utiliser l'exercice 3 en prenant pour
E les ensembles {/> À}).
5. Si A c R] et B cz R\ posons A + B = {a + b : ae A, b e B}. Supposons m(A) > 0 et
m(B) > 0. Démontrer que A+B contient un intervalle, en complétant le schéma démonstratif
suivant.

188
différentiation
Il existe des points a0, bQ où A et B ont une densité métrique égale à 1. On pose c0 = a0 + b0 et
S > 0. Pour tout £, positif ou négatif, on définit Be comme l'ensemble de tous les c0 + e - b pour
lesquels b e B et \b - bQ\ < S. Ainsi B£ cz [a0 + e- S, a0 + £+ S]. En choisissant
convenablement 5, et | e| suffisamment petit, on déduit que A rencontre B£, de sorte que
A + 5d]c0-ê0)c0 + e0[ pour un £q> 0.
Soit C l'ensemble triadique de Cantor, montrer que C + C est un segment bien que m(Q = 0.
(Voir aussi l'exercice 19 du chapitre 9).
6. Soit G un sous-groupe de R1 (pour l'addition), G*/?1 et supposons G mesurable au sens
de Lebesgue. Démontrer que m (G) = 0.
Indication : on peut utiliser l'exercice 5.
7. Construire sur R] une fonction monotone qui n'est constante sur aucun intervalle bien que
/'(*) = 0 p.p.
8. Soit V=]a, b[, un intervalle borné de R1. On choisit des intervalles Wn cz V de manière que
leur réunion W soit dense dans V et que l'ensemble K= V- W satisfasse m(K) > 0. On prend
des fonctions continues çn telles que q>n (x) = 0 en dehors de Wn, et 0 > <pn (x) < 2~n dans Wn. On
pose q> = 2 p„ et on définit
r(jc) = f'çKOdr (a<x<b).
J a
Démontrer les énoncés suivants :
(a) T remplit les conditions du théorème 7.26 où X = V.
(b) T est continue, T(x) = 0 sur K, m (T(K)) = 0.
(c) Si E n'est pas un sous-ensemble mesurable de K (voir théorème 2.21) et A = T(E), la
fonction %A est mesurable au sens de Lebesgue, mais %A oTne l'est pas.
(d) On peut choisir les q>n de sorte que T soit un homéomorphisme indéfiniment différentiable
de V sur un intervalle de R\ sans que la conclusion de (c) ne cesse d'être vraie.
9. Soit 0 < a < 1. On choisit t tel que ta = 2. Ainsi t > 2 et la construction de l'exemple (b) à la
section 7.16 peut s'effectuer avec Ôn = 0j . Montrer que sur [0, 1] la fonction / ainsi construite
appartient à Lip a.
10. Si / g Lip 1 sur [a, b]y montrer que / est absolument continue et /' e LT.
11. Supposons 1 <p < ©o, / absolument continue sur [a, b], /' e Lp et a = -, où q est le
conjugué de p. Montrer que / g Lip a.
12. Soit (p = [a, b] —> R1 une fonction non décroissante.
(a) Montrer qu'il existe sur [a, b] une fonction non décroissante /, continue à gauche, telle
que {f^(p} soit au plus dénombrable [la continuité à gauche signifie : si a < x < b et e > 0, il
existe 8> 0 et \f(x) - f(x -1)\ < e dès que 0 < t < 8\.

exercices
189
(b) En imitation de la démonstration du théorème 7.18, montrer qu'il existe une mesure
positive de Borel \i sur [a, b] telle que pour a<x<b,
fW-f(a) = /i([a,x]).
(c) Déduire de (b) que f\x) existe p.p. [m], /' g L\m) et pour a<x<bt
f(x)-f(a) = \Xf\t)dt + s(x),
a
où s(x) est une fonction non-décroissante, et s\x) = 0 p.p. [m].
(d) Montrer que fi J_ m si et seulement si f\x) = 0 p.p. [m], et /x «: m si et seulement si /
est AC sur [a, b].
(e) Montrer que <p\x) = f'(x) p.p. [m].
13. Soit VB la famille des fonctions/définies sur [a, b], et à variation bornée sur [a, b] (selon
la définition donnée après le théorème 7.19). Démontrer les énoncés suivants :
(a) Toute fonction monotone bornée sur [a, b] est VB.
(b) Si / g VB est réelle, il existe deux fonctions monotones fx et/2 telles que/=/, - fv
(Indication : on fera comme pour la preuve du théorème 7.19).
(c) Si / g VB est continue à gauche, on peut choisir/, et/2 dans (b) de sorte qu'elles soient
aussi continues à gauche.
(d) Si / g VB est continue à gauche, une mesure de Borel |i sur [a, b] existe telle que pour
tout a<x<b,
f(x)-f(a) = tl([a,x]).
Montrer que fi <c m si et seulement si / est AC sur [a, b].
(e) Toute f e VB est différentiable p.p. [m], et /' e Lx(m).
14. Montrer que le produit de deux fonctions absolument continues sur [a, b] est absolument
continu. Utiliser ceci pour en déduire un théorème d'intégration par parties.
15. Construire une fonction monotone sur R1 dont la dérivée existe en tout point et est finie,
mais telle que /' ne soit pas continue sur R].
16. Soit E a [a, b], m(E) = 0. Construire une fonction absolument continue et monotone /
sur [a, b] telle que /'(*) = +°° pour tout x g E.
Indication : EczC\V„,Vn ouvert, m(V„) <2~". Considérer la somme des fonctions
caractéristiques de ces ensembles.
17. Soit {fi„} une suite de mesures de Borel positives sur /?* et
H(E) = 2>(£)-
n = \
On suppose }i(Rk) < <*>. Démontrer que jiest une mesure de Borel. Quelle est la relation entre
la décomposition de Borel de et celle de |x ?
Montrer que
(Dil)(x) = ^(DUnKx) p.p.[m].
n = 1
En déduire des théorèmes analogues relatifs à des suites {/„} de fonctions positives non
décroissantes sur Z?1 et à leur somme / = ^/„.

190
différentiation
18. En prenant cpQ(t) = 1 sur [0, 1[, <p0(t) = -1 sur [1, 2[, et prolongeant <p0 en une
fonction sur R] de période 2, on définit q>n( t) = (pQ(2nt\ n = 1, 2, 3, ...
Si l'on suppose ^|c„|2 < °°, montrer que la série
^cnÇn(t), (*)
n = l
converge pour presque tout t.
On peut interpréter en termes de probabilité en disant que la série £(±c„) converge avec la
probabilité 1.
Suggestion : {<p„} est une famille orthonormale sur [0, 1], de sorte que (*) est la série de
Fourier d'une fonction /g L2. Si a = j.2~N, b = (j + \).2~N, a < t < b et sN = c{ <px + • • • + c„(p„,
pour n > A/, on a alors
sN(t) =
et la dernière intégrale converge vers fdm lorsque n —> °°. Montrer que (*) converge vers
•'a
/(r) presque partout aux points de Lebesgue de /.
19. En supposant / continue sur R\f(x) > 0 si 0 < x < 1 et/(jc) = 0 ailleurs, on définit
hc(x) = sup [ncf(nx) : n = 1, 2, 3, ...}.
Montrer que
(a) hce L\Rl) si0<c< 1,
(b) h] appartient à V faible, mais n'appartient pas à V(R]),
(c) hc n'appartient pas à L1 faible si o 1.
20. (a) Pour tout ensemble E cz R2, par définition la frontière dE de E est la fermeture de E
à laquelle on a ôté l'intérieur de E. Montrer que E est mesurable au sens de Lebesgue dès que
m(3E) = 0.
(b) Lorsque E est la réunion d'une famille (éventuellement non dénombrable) de disques
fermés dans R2 dont le rayon est au plus 1, en utilisant (a) montrer que E est mesurable au sens
de Lebesgue.
(c) Montrer que la conclusion de (b) reste valide sans faire d'hypothèse sur les rayons.
(d) Montrer que certaines réunions de disques fermés de rayon 1 ne sont pas boréliens (voir
la section 2.21).
(e) Peut-on, dans ce qui précède, remplacer les disques par des triangles, des rectangles, des
polygones arbitraires ? Quelle est la propriété géométrique adéquate ?
21. Si / est une fonction réelle sur [0, 1] et si
7(0 = f+ i/(f),
par définition, la longueur du graphe de / est la variation totale de / sur [0, 1]. Montrer que
cette longueur est finie si et seulement si / g VB (voir exercice 13). En déduire que cette
longueur du graphe de /, si / est absolument continue, vaut
f1 Vi + iao]2^.

notes historiques
191
22. (a) En supposant que simultanément / et sa fonction maximale Mf appartiennent à L1 (/?2),
montrer que/(jc) = 0 p.p. [m].
Indication : À toute ge Lx(Rk) correspond une constante c = c(g)>0 telle que, pour |jc|
assez grand,
(Mg)(x)>c\x\-k.
(b) On prend f(x) = jc_1(logjc)~2 pour 0<jc<^ et /(jc) = 0 ailleurs sur R1. Ainsi
fe L1 (/?'). Montrer que
(Mf)(x)>\2x\og(2x)\-] [0<x<\y
fi
de sorte que Mf(x)dx = ©o.
Jo
23. Donnée à la section 7.6, la définition des points de Lebesgue porte sur une fonction
intégrable particulière, et non sur la classe d'équivalence d'une telle fonction (dont il est question
à la section 3.10). Toutefois, pour une telle classe d'équivalence Fe L1 (/?*), on peut appeler
un point xe Rk point de Lebesgue de F s'il existe un nombre complexe, que nous désignons
par (SF) (jc), tel que pour f e F (et dès lors pour toute f e F),
lim "77^ J \f~(SF)(x)\dm = 0.
B{x.r)
On prendra (SF)(x) = 0 en tout point xe Rk qui n'est pas un point de Lebesgue de F.
Prouver l'énoncé suivant : si / g F et si jc est un point de Lebesgue de /, c'est encore un
point de Lebesgue de F et /(jc) = (SF)(x). Donc S F e F.
De sorte que S « sélectionne » un élément de F dont l'ensemble des points de Lebesgue est
maximal.
NOTES HISTORIQUES
C'est par un article commun publié en 1930 par George Hardy et John Littlewood dans Acta
Mathematica, revue éditée à Stockholm, qu'est intervenue la notion de fonction maximale. Elle a pris une
importance croissante, et c'est par son intermédiaire que la théorie de la dérivation des mesures est présentée
dans ce chapitre. Des démonstrations des théorèmes 8.18, 11.25 (b) et 17.11 sont déjà fournies dans cet
article pionnier.
La dérivabilité des intégrales, puis celle des mesures, a été la préoccupation majeure de tous ceux qui
ont cherché une définition de l'intégrale indépendante de la dérivation. En effet, toute définition de
l'intégrale autre que celle par simple primitive (en inversion de la dérivée) pose de fait la question de la dérivée
de l'intégrale. Ainsi, Augustin-Louis Cauchy exposa-t-îl clairement en 1823, à partir de la définition de
l'intégrale par borne supérieure de sommes de Riemann, que l'intégration était l'opération inverse de la
dérivation [Cauchy, 1823], Dans le cas d'une fonction continue / : [a, b] —» R\ il avançait et démontrait
donc le théorème fondamental du Calcul
-du.-
dx
- = /(*),*e [a,b]. {l)

192
différentiation
Bernard Riemann montrait que l'intégrabilité d'une fonction sur un segment ne requiert pas la
continuité, et caractérisait cette intégrabilité par un résultat exprimable de façon simple grâce à la théorie de
Lebesgue : l'ensemble des points de discontinuité de la fonction est de mesure nulle. Ce résultat même
établissait que (1) ne peut être exact en toute généralité. Le théorème 7.11 donne la meilleure version
possible de (1) dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue. Il est démontré par d'autres méthodes dans
[Lebesgue, 1904], et contient bien sûr la version de Cauchy du théorème fondamental du Calcul ; la généralisation
au cas d'une mesure sur R1 (théorème 7.1) est encore due à Lebesgue.
L'efficacité de la méthode des fonctions maximales est rendue notable lorsqu'on passe au cas de
fonctions de plusieurs variables, à partir de la notion d'ensembles rétrécissants convenablement (théorème
7.10) ; elle généralise le cas des voisinages filtrants d'un point de Rk sous forme de boules ou de cubes.
En fait, on avait d'abord interprété à une seule variable le succès des fonctions maximales, retenant surtout
l'inégalité de Hardy (exercices 14 du chapitre 3 et 8), c'est-à-dire un jeu de changements de variables en
calcul intégral, et donc moins l'idée de l'espace V faible que l'inégalité suivante (section 7.5) :
Pourtant, en 1939, Norbert Wiener obtenait le lemme de recouvrement 7.3 pour des boules disjointes, à
partir duquel les fonctions maximales sont aisément abordables. Il inaugurait une série de résultats de
recouvrement dont ceux non publiés de W. Hurewicz vers 1950, qui ont permis d'obtenir des résultats très
fins pour la différentiation, résultats exposés dans [Stein, 1970]. Une présentation d'ensemble se trouve
dans [Wheeden, Zygmund, 1977], tandis que deux ans plus tôt [Guzman, 1975] donnait un traitement
encyclopédique de ces théorèmes de recouvrement.
Bien avant Lebesgue, l'intérêt d'un autre théorème fondamental du Calcul dans le cas d'une seule
variable était apparu, une deuxième face des relations entre intégration et dérivation, à savoir
Le théorème 7.21 donne une version possible de ce théorème dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue,
mais on doit supposer la différentiabilité partout de la fonction / (en fait, on n'utilise avec la continuité de
/ que la dérivabilité à droite de /, et l'intégrabilité de cette dérivée à droite). En 1937, H. Kestelman
fournissait (2) sous des hypothèses plus faibles [H. Kestelman, 1937, théorèmes 260-264] ; quarante ans
plus tard quelques raffinements furent obtenus d'une manière assez simple par P.L. Walker.
L'attention fut cependant attirée, en vue du second théorème fondamental du Calcul, par une
amélioration des conditions de continuité de /, au plus près de la dérivabilité. Nous avons déjà vu (chapitre 6)
que l'idée d'une fonction absolument continue provenait de Lebesgue. Bien plus tôt, Camille Jordan
avait défini les fonctions à variation bornée, les obtenant comme différence de deux fonctions
monotones (exercice 13). Lebesgue démontrait la dérivabilité presque partout d'une fonction monotone,
donc aussi celle d'une fonction à variation bornée ([Lebesgue, 1904], et exercice 12). Riesz et Nagy,
en 1952, donnaient une version élémentaire du résultat de Lebesgue, et considéraient ce résultat comme
ayant été le véritable point de départ de la théorie. Une démonstration encore plus simple fut fournie
par D. Austin en 1965.
Le théorème du changement de variable dans une intégrale est sans aucun doute le plus ancien résultat
de la théorie puisqu'il est fourni par Leibniz sous le nom de théorème de transmutation. Le théorème 7.26
donne à plusieurs variables un des meilleurs résultats dans le cadre de la théorie de l'intégration de
Lebesgue : la version donnée est inspirée d'un article de D. Varberg publié en 1971.
Georg Cantor a inventé l'ensemble triadique qui désormais porte son nom. Il constitue un des premiers
fractals imaginés par un mathématicien (section 7.16). Cet ensemble est à la fois particulier pour la théorie
des ensembles (il a même cardinal que R]), la théorie de la mesure (il est de mesure nulle) et la topologie
(il est totalement discontinu). Cependant, cet ensemble est en quelques sortes typique en ce sens que l'on
peut montrer que tout espace compact métrique en est une image continue (voir le texte sur la compacité
du cube de Hilbert).
m{Mf>l}<j\\fl.
(2)

notes historiques
193
On voit donc naturellement intervenir l'ensemble de Cantor, en particulier lorsqu'il s'agit de montrer
que la « taille » de A + B est nettement plus grande que celle respectivement de A et de B, lorsque A et B
sont deux sous-ensembles de /?'. Ainsi, la somme de deux ensembles de Cantor contient un segment, un
résultat qui paraît plus normal lorsque A et B sont des ensembles de mesure non nulle (exercice 5 ; une
preuve élémentaire est fournie dans K. Stromberg en 1972).
Les fonctions orthogonales intervenant dans l'exercice 18 sont appelées les fonctions de Rademacher.
Plusieurs résultats les concernant sont fournis dans [Zygmund, 1959, chap. 5].
RÉFÉRENCES
G.H. Hardy, J.E. Littlewood, A maximal theorem with function-theoretic application, Acta Math., 54,
81-116, 1930.
H. Kestelman, Modem Theory of Intégration, Oxford University Press, New York, 1937.
N. Wiener, The ergodic theorem, Duke Math. Journ., 5, 1-18, 1939.
D. Austin, A géométrie proof of the Lebesgue différentiation theorem, Proc. Amer. Math. Soc, 16, 220-
221, 1965.
D. Varberg, Change of variables in multiple intégrais, Amer. Math. Monthly, 78, 42-45, 1971.
K. Stromberg, An elementary proof of Steinhaus's theorem, Proc. Amer. Math. Soc, 36, 308, 1972.
P.L. Walker, On Lebesgue intégrale derivatives, Amer. Math. Monthly, 84, 287-288, 1977.
TEXTES
On trouvera ci-dessous la démonstration, publiée en premières pages du livre de [Riesz, Nagy, 1952],
du théorème de Lebesgue sur la dérivée d'une fonction monotone. C'est à peu près celle que donnait Riesz
en 1932. Vient ensuite une traduction aménagée d'un article de Sidney A. Morris « Une preuve élémentaire
de la compacité du cube de Hibert ».
1. Théorème de Lebesgue sur la dérivée d'une fonction monotone d'après Riesz et Nagy (1952).
Passons à la classe des fonctions monotones. On doit à Lebesgue le théorème suivant, un des plus frappants
et des plus importants de l'Analyse réelle :
Théorème. Toute fonction monotone /(jc) admet une dérivée finie et déterminée en tout point jc, sauf
peut-être aux points x d'un ensemble de mesure nulle, ou comme on dit encore, presque partout.
Nous indiquerons le sens de ces expressions tout à l'heure. Ajoutons que Lebesgue a établi son
théorème, d'ailleurs sous l'hypothèse additionnelle de la continuité de /(jc), en 1904 dans la première édition
de son livre sur l'intégration, à la fin du dernier chapitre, comme dernière conséquence de la théorie
entière. Cependant, ni l'idée de l'intégrale, ni celle de la mesure n'interviennent dans l'énoncé du
théorème. En effet, l'idée d'ensemble de mesure nulle ne dépend pas essentiellement de la théorie générale de
la mesure, et les propriétés principales de ces ensembles s'établissent en quelques mots.
Par ensemble de mesure nulle, on entend d'après Lebesgue les ensembles des valeurs jc qu'on peut
enfermer en un nombre fini ou en une suite dénombrable d'intervalles de manière que leur longueur
totale, c'est-à-dire la somme de leurs longueurs, soit arbitrairement petite. Il découle immédiatement de
cette définition que tout sous-ensemble d'un tel ensemble est aussi de mesure nulle. Il en est de même
quant à la réunion d'un nombre fini ou d'une suite dénombrable de tels ensembles ; en effet, on n'aura
qu'à enfermer ces ensembles respectivement en des systèmes d'intervalles dont la longueur totale ne
dépasse pas ^ ; la longueur totale de tous ces intervalles, enfermant la réunion de nos ensembles, ne
dépassera pas alors la quantité e. En particulier, chaque ensemble fini ou dénombrable de valeurs jc est
de mesure nulle.
Quelquefois il sera avantageux de présenter notre définition sous la forme suivante. L'ensemble e est de
mesure nulle, si l'on peut l'enfermer dans une suite d'intervalles de longueur totale finie de sorte que tout

194
différentiation
point de E soit intérieur à une infinité de ces intervalles. Les deux définitions sont équivalentes. En effet,
la seconde implique la première, puisque quand tous les points de E appartiennent à une infinité
d'intervalles de longueur totale finie, on pourra diminuer cette longueur totale à volonté en supprimant un nombre
fini d'intervalles. Inversement, quand E est de mesure nulle selon la première définition, on n'aura qu'à
l'enfermer successivement en des systèmes d'intervalles dont la longueur totale reste respectivement
inférieure à ^, et s'il était nécessaire, à élargir les intervalles à gauche et à droite par exemple en redoublant
leurs longueurs ; la réunion de tous ces systèmes satisfera alors aux exigences de la seconde définition.
Le terme « presque partout » (en abréviation p.p.) est utilisé pour dire que le fait en question subsiste
partout, sauf peut-être en tous les points d'un ensemble de mesure nulle.
Avant de démontrer le théorème fondamental de Lebesgue, montrons d'abord que, dans une certaine
direction, il donne le maximum et ne pourra être perfectionné. En effet, étant donné un ensemble E de
mesure nulle, nous allons construire une fonction croissante qui n'admet pas de dérivée finie aux points
de E (à vrai dire, notre fonction admet en ces points une dérivée infinie). À cet effet, on n'aura qu'à
enfermer E en des intervalles au sens de la seconde définition et qu'à poser /(jc) égale à la somme des
longueurs des intervalles ou des segments d'intervalles situés à gauche du point jc ; la fonction ainsi définie
jouira évidemment de la propriété exigée.
3. Démonstration du théorème de Lebesgue
Nous allons démontrer la dérivabilité presque partout des fonctions monotones et cela sans nous reporter
à la théorie de l'intégration. Les premières démonstrations qui tiennent compte de pareille indépendance,
sont dues à Faber et G. C. Young et W. H. Young111.
Pour la commodité du langage nous supposerons d'abord qu'il s'agisse d'une fonction continue et
monotone et nous indiquerons seulement à la fin les modifications, d'ailleurs presque évidentes, qu'on aura
à faire pour lever l'hypothèse de la continuité.
La démonstration sera fondée sur un théorème auxiliaire que voici :
Lemme121. Soit g(jc) une fonction continue, définie dans l'intervalle a < jc < b, et soit E l'ensemble des
points x intérieurs à cet intervalle et tels qu'il existe un £ situé à droite de jc, de sorte que g{Ç)>g{x).
L'ensemble E est alors ou bien vide ou bien est un ensemble ouvert, c'est-à-dire qu'il se décompose en
un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles ouverts et disjoints (ak, bk), et l'on a pour tous
ces intervalles g(ak) < g(bk).
Pour démontrer ce lemme, observons d'abord que l'ensemble E est ouvert puisque si £>jc0 et
g(£) >g(;c0), alors, à cause de la continuité, les relations £>jc0, g(Ç)>g(x) restent valables lorsque x
varie dans le voisinage du point jc0. Cela étant, soit {aky bk) l'un quelconque des intervalles ouverts dont se
compose E ; alors le point bk n'appartiendra pas à cet ensemble. Soit jc un point intermédiaire entre ak et
bk ; nous allons prouver que g(x) <g(bk) ; l'inégalité à démontrer s'ensuivra en faisant tendre jc vers ak.
À cet effet, soit, entre jc et bk, le point le plus proche de ce dernier pour lequel g(x}) > g(x) ; nous avons
à montrer que jc, coïncide avec bk. Or, s'il n'en était pas ainsi, les points ^ qui correspondent à jc, par
l'hypothèse du théorème devraient être situés au-delà de bk et, comme de plus bk n'appartient pas à
l'ensemble £, on aurait g(xx) < g(£i) < g(bk) < #(jc,), ce qui implique contradiction.
On peut d'ailleurs montrer et le lecteur s'en rendra aisément compte qu'on a précisément g(ak ) = g(bk),
sauf peut-être si ak = a. Cependant ce fait est sans conséquence pour l'application qui suit.
Cela étant, soit /(jc) une fonction continue et monotone pour a < x < b ; pour fixer les idées, nous la
supposons non décroissante. Pour examiner la dérivabilité de /(x), nous allons comparer ses nombres
dérivés. Comme on sait, on appelle nombres dérivés supérieur et inférieur à droite et on désigne
respectivement par Ad et Xd la plus grande et la plus petite des limites du rapport (/(jc + h) -/(jc)) pour h > 0,
[1. G. Faber, Uber stetige Funktionen II, Math. Annalen, 69 372-433, 1910 ; G.C. Young, W.H. Young, On the
existence of a differential coefficient, Proc. London Math. Soc. (2), 9, 1911J.
[1. F. Riesz, Sur l'existence de la dérivée des fonctions monotones et sur quelques problèmes qui s'y rattachent, Acta
Se. Szeged, 5, 208-221, 1932.]

notes historiques
195
h -» 0 et on définit d'une manière analogue les nombres dérivés à gauche Ag et Xg. Des valeurs infinies
sont admises. Une dérivée finie et déterminée existe en tout point x ou les quatre nombres dérivés ont la
même valeur finie.
Pour démontrer le théorème de Lebesgue, on n'aura qu'à prouver que l'on a presque partout :
l°Arf<oo ;
2° Ad<XH.
En effet, en appliquant 2° à la fonction -/(-x), il résulte que l'on a aussi p.p. Ag < Xd, et en combinant
cela avec 1° et 2°, on obtient
A,<A,<A,<A,<oo ;
donc ce sont précisément les signes d'égalité qui doivent être valables, ce qu'il fallait démontrer.
Pour vérifier l'assertion 1°, c'est-à-dire que l'ensemble £„, des points x pour lesquels Ad = °°, est de
mesure nulle, observons que cet ensemble est compris dans l'ensemble Ec pour lequel Ad> C,Cdésignant
une quantité choisie aussi grande qu'on voudra. Or la relation Ad>C implique l'existence d'un | > x, tel
que f(Ç^~f(x} > c c'est-à-dire que
où l'on a posé g{x) - /(jc) - Cjc. Donc, l'ensemble Ec est emboîté dans les intervalles (akt bk) de notre
théorème auxiliaire, et d'après ce théorème on a f(bk) - Cbk> f(ak)Cak, c'est-à-dire que
C(bk - ak) < f(bk) - f{ak). Cela donne, par addition,
C£(fc - ak) < £[/(*,) - f(ak)] < f(b) - /(fl),
ce qui montre que, pour C suffisamment grand, la longueur totale des intervalles E„ sera aussi petite que
l'on voudra. C'est-à-dire que l'ensemble est de mesure nulle.
La seconde assertion se vérifie par un raisonnement analogue mais répété alternativement sous deux
formes différentes. Soient c < C deux quantités positives. Formons d'abord la fonction g{x) = /(-jc) + ex
et soit JjT le système des intervalles qui y correspondent par notre théorème auxiliaire ou plutôt celui de
leurs symétriques par rapport à l'origine ; alors, pour des raisons analogues à celles de tout à l'heure,
renfermera tous les jc pour lesquels Xg < c. Soit de plus le système formé des intervalles (akh bkl) qui
correspondent à la fonction g(x) = /(jc) - C(x), mais considérée séparément à l'intérieur de chaque
intervalle (ak, bk).On aura alors pour ces intervalles
f(bk) - /(fl*) < C(bk - ak), C(bkl - akl) < f(bkl) - f(akl)
et il s'ensuit que
c£ < v2 < v, < c£
2 1
c'est-à-dire que < ^.J^» où l'on a désigné par ^ , ^ la longueur totale des deux systèmes
d'intervalles et par V,, V2 les sommes des variations respectives de la fonction /(jc).
En répétant les deux procédés alternativement, on obtiendra une suite ^ , ^ ,... de systèmes
d'intervalles, chacun emboîté dans les précédents et l'on aura d'une façon générale ^ < .11 s'ensuit
que
Or, les points x pour lesquels on a simultanément Ad > C et Xg < c, sont évidemment compris dans tous
les systèmes ; c'est-à-dire qu'ils forment un ensemble EcC de mesure nulle. Enfin, chaque point jc tel
que Ad > Xg appartient à de tels ensembles, et l'on peut même supposer que c et C sont des nombres

196
différentiation
rationnels, pour la seule raison que, entre deux nombres réels différents, on peut toujours intercaler deux
nombres rationnels. C'est-à-dire que, en formant les ensembles EcC pour tous les couples rationnels, leur
réunion E* contiendra tous les x pour lesquels Ad > Xg. Mais d'autre part, il n'y a qu'une infinité
dénombrable de couples rationnels ; donc l'ensemble E* est la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles
de mesure nulle et par conséquent E* et, à plus forte raison, l'ensemble envisagé qui y est compris, seront
eux-mêmes de mesure nulle.
2. Une preuve élémentaire de la compacité du cube de Hilbert111 par Sidney A. Morris
Le cube de Hilbert est définie comme le produit d'une famille dénombrable {/„ : n = 1, 2,...} de copies
homéomorphes du segment unité [0, 1]. Qu'il s'agisse d'un compact résulte, bien sûr, du théorème de
Tychonoff assurant que tout produit de compacts est compact. Notre preuve de la compacité du cube de
Hilbert est d'une nature bien différente de celles habituelles pour le théorème de Tychonoff. Nous la
qualifions de preuve élémentaire, dans la mesure où tout étudiant moyen en topologie peut facilement la
comprendre et parce qu'elle évite l'axiome de choix à condition de certaines précautions d'écriture. Voici
cette approche.
On définit l'ensemble triadique de Cantor G comme il est usuel121 ; c'est un sous-ensemble fermé, donc
compact de [0, 1]. On observe aussi que tout point de G s'écrit, d'une manière unique, sous la forme
où, pour tout n > 1, a„ e {0, 2}. Pour tout n > 1, on définit An = {0, 2}, espace discret à deux éléments 0
et 2. On vérifie aisément que l'application <j> de l'espace produit TT^„ sur G définie par
est une homéomorphie[31.
Donnons maintenant deux lemmes dont les démonstrations sont quasiment immédiates.
Lemme 1. Soit pout tout n > 1 un espace Gn homéomorphe à l'espace de Cantor G. L'espace produit
T~T G„ est encore homéomorphe à G.
Ce lemme provient du fait que le produit dénombrable d'un produit dénombrable de copies homéomorphes
de (0, 2} est homéomorphe à un produit dénombrable de telles copies. (Rien dans cette assertion ne tient
à {0, 2} et ceci vaut pour tout espace topologique).
[1. Ce texte donne la solution d'un exercice de [Bourbaki, 1950].]
[2. Voir 7.16]
[3. Ce résultat utilise la topologie produit : une base d'ouverts est constituée par le produit de tous les An à l'exception
d'un nombre fini d'entiers où l'on choisit {0} ou {2}.]
n = 1
n = l
n = 1

notes historiques
197
Lemme 2. Il existe une application continue *Fde l'espace de Cantor g sur [0, 1],
Ce deuxième lemme provient du fait que l'application 0: J"j4„ —> [0, 1] définie par
n = 1
est à la fois continue et surjective. L'application requise par le lemme est alors f = 0 o <j>~\ Nous
pouvons maintenant démontrer le résultat principal.
Théorème : le cube de hilbert est compact.
démonstration. En prenant gn et in comme ci-dessus, grâce au lemme 2, il existe pout tout n > 1 une
application continue *Prt de gn sur /„. Il existe donc une application *Fde \\gn dans J^A, . définie par
n = I n = 1
f((g„ «2,....«.....)) = cr,{g,). ^(ft).».. (*.)....)■
Or on vérifie aisément la continuité et la surjectivité. Pour éviter l'utilisation de l'axiome du choix, une
précaution est requise dans la preuve de surjectivité. Soit (jc,, jc2, jc„,...) e Y\^n ' ^n 0DServant 9ue» (0
n = l
chaque gn hérite de l'ordre naturel sur [0,1], (ii) chaque gn est un fermé de [0, 1], (iii) chaque *Fn: g„ —» /„
est surjective, on peut alors appeler gn le plus petit élément de gn tel que x¥n (gn) = xn. En sorte que
f((S„S2, .-.,*„,...)) = (*„a;2, ...,*„,...).
Le lemme 1 apprend que J"jG„ est homéomorphe à l'espace de Cantor, donc compact. En tant qu'image
n = 1
continue d'un compact, le cube de Hilbert Y\?» est * son tour comPact-
n = ]
L'approche ci-dessus expliquée présente plusieurs avantages. L'espace de Cantor n'est pas introduit
comme une curiosité, mais comme un outil. Il n'y a maintenant plus qu'un léger effort à faire pour prouver
que le cube d'ordre «, [0, 1 ] x ... x [0, 1 ] est l'image continue de [0, 1] ; de cette manière les courbes que
remplissent l'espace surviennent de façon naturelle. Un autre avantage, certes subjectif, provient du fait
qu'il paraît raisonnable de passer quelque temps sur les produits dénombrables avant d'aller aux produits
non dénombrables. Enfin, on peut démontrer que tout espace métrique compact est homéomorphe à un
sous-ensemble du cube de Hilbert, et on en déduira que tout produit dénombrable d'espaces métriques
compacts est compact, aussi bien que tout espace métrique compact est l'image d'un sous esapace fermé
de l'espace de Cantor.

CHAPITRE 8
INTÉGRATION SUR LES ESPACES PRODUITS
Ce chapitre est consacré à la démonstration et à la discussion du théorème de Fubini relatif
à l'intégration des fonctions de deux variables. On commence par présenter le théorème sous
une forme abstraite.
MESURABILITÉ SUR LES PRODUITS CARTÉSIENS
8.1. Définitions. — Soient X et y deux ensembles. Leur produit cartésien X x Y est l'ensemble
de tous les couples ordonnés (jc, y) où jc g X et y e Y. Si A c X et B cz Y, il s'ensuit que
Ax B cz X x Y. Nous appellerons rectangle dans X x Y tout ensemble de la forme A x B.
Supposons maintenant que (X, S) et (Y, soient deux espaces mesurables. Rappelons que
cela signifie que S est une a-algèbre sur X et 7 une cr-algèbre sur Y.
Un rectangle mesurable désigne tout ensemble de la forme Ax B où A g S et B e %.
On dit que Q e %, la classe des ensembles élémentaires, si Q - /?, u ... u R„, où chacun
des Rj est un rectangle mesurable et /?, nRj = 0 pour / * j,
S x % est définie comme étant la plus petite a-algèbre sur X x Y qui contienne tous les
rectangles mesurables.
Une classe monotone TYl est une famille d'ensembles qui possède les propriétés suivantes :
Si A,e W,fl,e W,i4,czAl + i,fl,z>£, + 1 pour i = 1, 2, 3,..., et si l'on pose.
A = U4 B = C\Bh (1)
I = ] 1=1
alors, A e TU et Be TH.
Si £cXxy,jceX et ve Y, on définit
Ex = {y : u y) ^ £}, = {* :(jc, y) e £}. (2)
On appelle Ex et Ey respectivement la section selon x et la section selon y. Il faut noter que
ExczY et Ey czX.
8.2. Théorème
Si Ee S x %, pour tout x dans X et tout y dans Yf chaque section Exe ¥ et Ey e S.
Démonstration. — Soit £2 la famille de tous les Ee Sx% tels que Exe 7 pour tout
jc e X. Si E = A x B, on a Ex = B si jc g A, Ex = 0 si jc £ A. Par suite, tout rectangle

200
intégration sur les espaces produits
mesurable appartient à Q. Mais comme ^ est une a-algèbre les trois énoncés suivants sont
exacts et entraînent que Q est une a-algèbre, donc que Q - S x %' :
(a) XxYe Q.
(b) Si Ee 12, on a (E°)x = (£Jc,donc Ec e Q.
(c) Si E{e Q (i = 1,2,3,...) et E - u£,, alors £x = u(Ei)x> donc
La démonstration est analogue quant à Ey.
8.3. Théorème
Sx y est la plus petite classe monotone contenant tous les ensembles élémentaires.
Démonstration. — Soit Wla plus petite classe monotone contenant classe dont l'existence
se démontre par un raisonnement identique à celui du théorème 1.10. Puisque Sx est une
classe monotone, on a Tri cz S x <3.
Les identités
(Ai x £i) n (A2 xB2) = (Ax n A2) x (Bx n B2),
(A]xBl)-(A2xB2) = [(A,-A2)xBl]u[(A]nA2)x(Bl-B2)]
montrent que l'intersection de deux rectangles mesurables est un rectangle mesurable, tandis
que leur différence est la réunion de deux rectangles mesurables disjoints, c'est-à-dire est un
ensemble élémentaire. Si P e 7 et Qe ^, il s'ensuit aisément que P c\Qe% et
P-Qe %. Puisque
PkjQ = (P-Q)uQ
et puisque (P-Q)nQ = 0, on a aussi PuQe
Pour tout ensemble P cz X x Y, définissons Q (P) comme la classe de tous les Q cz X x Y,
tels que P-Qe TYl, Q-Pe WetPugG Tri. Les propriétés suivantes sont évidentes :
(a) Q e Q(P) si et seulement si P g Q(Q).
(b) Puisque West une classe monotone, il en est de même de O(P).
Fixons P g Nos remarques précédentes concernant % montrent que Q e £2(P) dès que
Q g donc que ^ cz Q(P) et maintenant (b) implique TYlczQ(P).
Fixons ensuite Qe TH. Nous venons de voir que Qe Q(P) dès que P e . Grâce à (a),
P e Q(Q) et donc cz Q(Q). Utilisant (b) une fois de plus, nous obtenons Triez Q(Q).
Résumons : Si P e TU et Qe Tri, P-Qe Tri et Pu Qe Tri.
Il s'ensuit que Tri est une a-algèbre dans X x Y. En effet :
(i) XxYe ^doncXxye TH.
(ii) Si Qe TYl, puisque la différence de deux éléments quelconques de TYl est dans TYl,
Qc g TYl.
(iii) Si Pi g TYl pour i = 1, 2, 3, ... et P = u Pit posons
Qn = />,u/>2u...u/V
Puisque West stable pour les réunions finies, Q„ e TYl.
Puisque Q„ cz Qn + x et P = u Qn et comme TYl est une classe monotone, on a P g TYl.

mesure produit
201
Ainsi West une a-algèbre, ^czTrlcz Sx^ et, par définition, Sx^ est la plus petite
a-algèbre contenant Donc Tri = Sx % .
8.4. Définition. — À toute fonction / sur X x Y, et à tout jc g X, nous associons la fonction
fx définie sur y par fx(y) = f(x, y).
De même, si y g y, est la fonction définie sur X par fy(x) = /(jc, y).
Puisque nous avons affaire à trois a-algèbres, S, % et Sx ^, nous indiquerons dorénavant,
par souci de clarté, à laquelle de ces a-algèbres le mot « mesurable » se rapporte.
8.5. Théorème
Soit f une fonction sur XxY mesurable relativement à S x
(a) Pour tout x e X, fx est mesurable relativement à %
(b) Pour tout y e Y, fy est mesurable relativement à S.
Démonstration. — Ainsi Q g S x %, et pour tout ouvert V7, on définit
Q = {(Jc,y):/(jc,y)g V}.
Qx = {> :/x(y)e V}.
Le théorème 8.2. indique Qx e 7, ce qui démontre (a). La preuve de (b) est analogue.
MESURE PRODUIT
8.6. Théorème
Soient (X, S, fl) et (Y, % X) deux espaces mesurés a-finis. Supposons Qe Sx ¥. Pour tout
xe X et y g Y, posons,
<p{X) = À(e„), w(y) = my)- (d
La fonction <p est alors mesurable relativement à S et la fonction y/est mesurable relativement
à De plus
f cpdfi = f y/dX. (2)
Jx Jy
Remarques. De façon plus explicite, les hypothèses faites sur les espaces mesurés sont les
suivantes : les mesures fi et X sont positives, respectivement sur S et ^ ; X est la réunion d'une
famille dénombrable d'ensembles disjoints Xn tels que fi(Xn) < <*>, et Y est la réunion
dénombrable d'ensembles disjoints Ym tels que X(Ym) < o°.
Le théorème 8.2 donne un sens aux définitions (1). Puisque
A(QX) = jYXQ(x,y)dMy) (xe X), (3)
et, en considérant l'intégrale analogue pour ji(Qy), on peut écrire la conclusion (2) sous la
forme
jxdfi(x)jYXQ(x, y) dX(y) = J^A(y)J^ô(jc, y) dfi(x). (4)
Démonstration. — Soit Q la classe de tous les Qe Sx% pour lesquels la conclusion du
théorème est vraie. On assure que Q possède les quatre propriétés suivantes :

202
intégration sur les espaces produits
(a) Tout rectangle mesurable appartient à Q.
(b) Si Q]czQ2cz ..., chaque g, appartenant à £2, et si g = u g,, on a g e £2.
(c) Si Qi est une famille dénombrable disjointe d'ensembles de et si g = u g,, on a
ge 12.
(J) Si /x(A) < oo et < oo, si A x B zd g, => Q2 zd g3 z>..., si g = n g, où g, g 12
pour i = 1, 2,..., on a g g Q.
Lorsque g = Ax B où A g S et B e ?,ona
X(QX) = A(fl)^U) et //(gv) = f*A)zB(y). (5)
Par suite, chacune des intégrales de (2) vaut fi(A) X(B), Ce qui justifie l'énoncé (a).
Pour prouver (/?), appelons <pt et ^ les fonctions associées à g,, à la manière dont <p et y/
sont associées par (1) à g. L'additivité dénombrable de fl et de X montre que
q>i(x) -> (p(x), y/fo) -> y/(y) (i -» oo), (6)
et la convergence est obtenue de façon monotone croissante en chaque point. Comme çÉ et y/j
sont supposées satisfaire la conclusion du théorème, l'assertion (b) provient du théorème de la
convergence monotone.
L'énoncé (c) est évident pour une réunion finie d'ensembles disjoints puisque la fonction
caractéristique de la réunion d'ensembles disjoints est la somme des fonctions caractéristiques
de ces ensembles. Le cas général de (c) provient alors de (b).
L'assertion (d) est de démonstration analogue à celle de (b), à ceci près que l'on utilise le
théorème de la convergence dominée de Lebesgue au lieu du théorème de la convergence
monotone. Ceci est justifié puisque fi(A)< ©o et X(B)< oo .
Définissons maintenant
Qmn = Qn(XnxYm) (in,n= 1,2,3,...) (7)
et par TYl désignons la classe de tous les g g S x % tels que Qmn g Q pour tous les choix
possibles de m et n. Dans ce cas, (b) et (d) montrent que TYl est une classe monotone, tandis
que (a) et (c) montrent ^ cz TYl. Comme TYl cz S x V, le théorème 8.3 implique TYl = S x <3.
Ainsi Qmn g Q pour tout g g S x et pour tous choix de m et n. Puisque g est la réunion
des ensembles Qmn et puisque ces ensembles sont disjoints, on déduit de (c) que g g Q. Ce
qui termine la démonstration.
8.7. Définition. — Si (X, S,fi) et (X, 7, À) sont définis comme au théorème 8.6 et si
g g S x ¥, on pose
(fl x A)(g) = f HQX) dfi(x) = f fi(Qy) dX(y). (1)
L'égalité des intégrales de (1) provient du théorème 8.6. On appelle fl x X le produit des
mesures fl et X. De fait, fix X est effectivement une mesure, c'est-à-dire est dénombrable ment addi-
tive sur S x ¥, comme on le voit tout de suite à partir du théorème 1.27.
Observons aussi que fixX est cr-finie.
THÉORÈME DE FUBINI
8.8. Théorème
Soient (X, S, fi) et (Y, % X) deux espaces mesurés a-finis. Soit f une fonction sur XxY
mesurable relativement à S x ¥.

théorème de fubini
203
(a) Si 0 < / < oo et si l'on pose
(p(x) = f fxdk% yr(y) = f fdn (xe X, y e K), (1)
la fonction (p est alors mesurable relativement à S et la fonction y/ est mesurable relativement
à De plus
f çdft= f /d(/ixA)= f ydX. (2)
(b) Si f est une fonction à valeurs complexes et si l'on pose
<P*(x) = f |/L</Âet f ç*dn<oo, (3)
Jy Jx
dans ce cas, / g L (fi x A).
(c) Si f e L\fiX X), fxe LX(X) pour presque tout jc g X et fy e Ll(fi) pour presque tout y ;
les fonctions (p et y/définies presque partout par les relations (1) appartiennent respectivement
à L\jl) et à L\X). Enfin, la relation (2) est exacte.
Remarques. La première et la dernière intégrale de (2) peuvent aussi s'écrire sous la forme plus
usuelle
f dfi(x)\ f(x, y) dX(y) = J dUy) J /(*, y) dfi(x). (4)
JX Jy Jy
Ce sont ce qu'on appelle les « intégrales itérées » de /. L'intégrale intermédiaire dans (2) est
fréquemment appelée V intégrale double de f.
La conjonction de (b) et (c) fournit un résultat souvent utile : si f est mesurable relativement
à Sx ? et si
fxdv(x)jY\f(x9y)\dl(y)<oof (5)
les deux intégrales itérées (4) sont alors finies et égales.
En d'autres termes, « l'ordre des intégrations peut être interverti » pour des fonctions
mesurables relativement à Sx^, dès que / >0 ou encore dès que l'une des intégrales itérées de
|/| est finie.
Démonstration. — On considère d'abord l'énoncé (a). Grâce au théorème 8.5, (p et y/ sont
correctement définies par (1). Supposons Qe Sx^ et / = Xq. Grâce à la définition 8.7, la
relation (2) est exactement la conclusion du théorème 8.6. Par suite, (a) est vraie pour toutes
les fonctions non-négatives, étagées et mesurables relativement à S x %. Dans le cas général,
il existe une suite de telles fonctions sn, telle que 0 < 5, < 52 < ... et sn( jc, y) —> /( jc, y) en tout
point de X x Y. En associant (p„ à sn à la manière dont on associe ç à /, nous obtenons
f cpn dfi = J s„ d(fixX) (n= 1,2,3,...). (6)
Jx JX*Y
Le théorème de la convergence monotone, appliqué à (y, % A), montre que cp„(x) croît vers
<p(x) lorsque «->~ et ce en tout point jc g X. Le théorème de la convergence monotone,
appliqué à nouveau aux deux intégrales dans (6), permet d'obtenir la première des égalités (2).
La seconde de ces égalités s'obtient en échangeant les rôles de jc et de y. Ceci termine la
démonstration de (a).
Utilisant (a) pour |/|, on constate l'exactitude de (b).
Visiblement, pour démontrer (c) il suffit de considérer les fonctions réelles f e Ll(fi x k) car
le cas complexe s'en déduit. Si / est réelle, (a) vaut pour /+ et pour Soient (px et q>2 les

204
intégration sur les espaces produits
fonctions respectivement associées à /+ et /" à la manière dont par (1) on associe <p} à /.
Puisque /€ L\jixX), puisque /+< |/|, et en utilisant (a) pour /\ on voit que <px e L\fi).
De même, (p2 e L1(/j). Mais on a
fx = (/*),-(/"),- (7)
Par suite, fx e L1 (X) pour tout x tel que <p, (jc) < «> et <p2(x) < ©o. Cette condition est vraie
presque partout en jc puisque (px et <p2 sont dans L\fï) et pour de tels jc nous disposons de
<p(x) = ç>,(jc) - <p2(x). Par suite, <pe Ll(ja). La relation (2) est maintenant validée lorsque
et /+ ou lorsque (p2 et /" remplacent respectivement ç> et /. En soustrayant les équations qui
s'en déduisent, on obtient la première moitié de (c). L'autre moitié se prouve de la même
manière, en remplaçant £ et (p par fy et (p.
8.9. Contre-exemples. — Les trois exemples suivants sont destinés à montrer qu'on ne peut
se dispenser des diverses hypothèses faites dans les théorèmes 8.6 et 8.8.
(a) Soit X = Y = [0, 1], et prenons pour fi = X la mesure de Lebesgue sur [0, 1]. Choisissons
{ôn} de sorte que 0 = 5, < ô2 < ôn—> 1 et pour tout n = 1, 2, 3, prenons pour gn une
fonction réelle continue dont le support soit inclus dans ]ôn,8n + x[, en imposant en plus
[[gn(x)dx = 1. On définit
f(x,y) = ^[g„(x)-gn+l(x)]gn(y)
n = !
Il faut noter qu'en chaque point (jc, y), un terme au plus de cette somme diffère de zéro, ce qui
évite tout ennui de convergence quant à la définition de /. Par un calcul facile, on trouve
Vdx\]f(x,y)dy= 1*0 = VdyÇf(x,y)dxi
de sorte que le théorème de Fubini tombe en défaut, bien que chacune des intégrales itérées
existe sur cet exemple. Il faut noter la continuité de / sauf au point (1, 1), et le défaut :
Vdx\l\nx,y)\dy=~.
Jo Jq
(b) Soit X = Y = [0, 1], jn la mesure de Lebesgue sur [0, 1] et À la mesure de dénombrement
sur Y. On pose /(jc, y) = 1 si jc = y et /(jc, y) = 0 si jc * y. Dans ce cas pour tous jc et y dans
[0, 1],
j /(jc, y) dfl(x) =0, f /(jc, y) dX(y) = 1.
JX JY
De sorte que
f dX(y)\ f(x,y)dfi(x) = 0*1 =j dfi(x)ï f(xty)dX(y).
Jy Jx JX JY
Cette fois-ci, l'échec provient du fait que A n'est pas une mesure cr-finie.
On observera que la fonction / est mesurable relativement à S x ¥ , où £ désigne la famille
des ensembles mesurables au sens de Lebesgue sur [0, 1 ] et ^ la famille des sous-ensembles de
[0, 1]. Pour le voir, on note que / = %D où D est la diagonale du carré unité. Pour tout w, on
définit
\Ll1 zi
n n
h =
puis
Q„ = (/,x/,)u(/2x/2)u ... u(/„x/„).

complétion d'une mesure produit
205
Dans ce cas, Qn est une réunion finie de rectangles mesurables, et D =nQn.
(c) Dans les exemples (a) et (b)9 l'échec du théorème de Fubini provient de ce que soit la
fonction, soit l'espace, sont « trop grands ». Considérons maintenant le rôle joué par
l'hypothèse de mesurabilité de / quant à la a-algèbre S x ^.
Pour préciser la question, supposons que fi(X) = X(Y) = 1, 0</< 1 (ce qui élimine
l'aspect « trop grand »). Supposons que fx soit mesurable relativement à ^et que/7 soit
mesurable relativement à S9 ce pour tous x et y. Supposons aussi que (p soit mesurable relativement
à S et que y/ soit mesurable relativement à ^ où <p et \ff sont définies selon 8.8 (1). On a
0<ç><let0<yf<l. Chacune des intégrales itérées est finie. (Il faut noter que la mesure
produit n'intervient pas dans la définition des intégrales itérées). S'ensuit-il que les deux
intégrales itérées de / sont égales ?
La réponse est négative, ce qui peut surprendre.
Voici un exemple, dû à Sierpinski : on prend
(X9S9fi) = (Y,%X) = [0, 1]
pour la mesure de Lebesgue. La construction va dépendre de l'hypothèse du continu. En effet,
une conséquence de cette hypothèse est l'existence d'une application injective j du segment
unité [0, 1] sur un ensemble bien ordonné Wde sorte que, pour chaque x e [0, 1] ,y (x) possède
au plus une famille dénombrable d'antérieurs dans W. Admettant ce point, définissons par Q
l'ensemble des (jc, y) du carré unité tels que j(x) soit antérieur à j(y) dans W. Pour tout
jcg [0,1], Qx contient tous les points de [0, 1] sauf une famille dénombrable; pour tout
y g [0, 1], Qy contient au plus une famille dénombrable de points de [0, 1]. Si / = xG, les
fonctions / et fy sont boréliennes et pour tous jc et y
<p(x) = f 7(jr, y)dy = 1, y/(y) = f '/(*, y)dx = 0
•'o Jo
De là
\]dxVf(x9y)dy = 1*0 =VdyVf{xiy)dx.
Jo Jo Jo Jo
COMPLÉTION D'UNE MESURE PRODUIT
8.10. Lorsque (X, S, \i) et (Y9 ^, X) sont des espaces mesurés complets, il n'est pas sûr que
(X x Y9 Sx % jx x X) soit lui-même complet. Il n'y a rien de pathologique dans un tel
phénomène. Supposons qu'il existe Ae S9 A * 0 et fi(A) = 0 et supposons qu'il existe B cz Y de
sorte que Bë V. Alors AxBczAxY et (fixX)(AxY) = 0 mais A x B £ Sx9 (comme
on le déduit du théorème 8.2).
Par exemple, si /x = X = mx (mesure de Lebesgue sur /?'), il suffit de prendre pour A un
point et pour B un quelconque ensemble non-mesurable de R\ Le produit mxxmX9 n'est donc
pas une mesure complète et en particulier m, x/n, ne coïncide pas avec m2 puisque cette
dernière mesure est complète. Cependant, m2 est la complétée de mxxmx.Ce résultat se
généralise à une dimension quelconque.
8.11. Théorème
Soit mk la mesure de Lebesgue sur /?*. Si k = r + s où r> 1 et s > 1, la mesure mk est la
complétée de la mesure mr x ms.

206
intégration sur les espaces produits
Démonstration. — Soient sur /?* respectivement cfàk et Trî^ les a-algèbres de tous les boréliens
et de tous les ensembles mesurables au sens de Lebesgue. Nous montrerons d'abord que
%ctrxt5c^. (1)
Chaque pavé d'ordre k appartient à 9rtr x cïïi5 et la a-algèbre engendrée par ces pavés est 93*.
Par suite 93* <z Tri, x TYl,. Ensuite, supposons Ee TYl,. et F g Tri,. Il est facile de voir, par le
théorème 2.20 (b), que, simultanément ExR5 et RrxF appartiennent à TYl^. Il en est ainsi
pour l'intersection Ex F. Par suite, ^x^cl^.
Choisissons Q g TYlr x Tri,. Puisque Q g TYl^, on trouve des ensembles P, et P2 de c^k tels
que PidQcz P2 tt mk(P2- P\) = 0 . Mais mk et mr x ms sont invariantes par translation et
assignent le même volume à chaque pavé. Par suite, grâce au théorème 2.20 (d) ces deux
mesures coïncident sur 93*. En particulier,
(mrxm5)(Q-Px)<(mrxm5)(P2-Px) = mk(P2-Px) = 0
et par suite
(mrxms)(Q) = (mrxm5)(Px) = mk(Px) = mk(Q).
De sorte que mr x m5 coïncide avec mk sur TYlr x TYl,.
Il s'ensuit que cYYlk est la a-algèbre complétée de TYlr x TYls relativement à mrxm5 et c'est
ce que dit le théorème.
Concluons cette section par une autre version du théorème de Fubini, dont l'intérêt provient
du théorème 8.11.
8.12. Théorème
Soient (X, S, \i) et (Y, % X) des espaces mesurés a-finis et complets. Soit (Sx^)* la
complétée de S x % relativement à la mesure fix X. Soit f une fonction sur XxY mesurable
relativement à (Sx^y. Toutes les conclusions du théorème 8.8. sont exactes, à la seule différence
près suivante :
La mesurabilité relativement à % de fx ne peut être assurée que presque partout en xe X,
de sorte que (p(x) n'est définie que presque partout par rapport à [i grâce à 8.8 (1). Un énoncé
analogue vaut pour f et y/.
La démonstration repose sur les deux lemmes suivants :
Lemme 1. — Soit v une mesure positive sur une a-algèbre 3K et SJJV la complétée de 3JÎ
relativement à v. Soit f une fonction mesurable relativement à // existe une fonction g,
mesurable relativement à telle que g = f presque partout relativement à v.
(Un cas particulier intéressant est celui où v est la mesure de Lebesgue sur /?* et SJR la classe
des boréliens de Rk.)
Lemme 2. — Soit h une fonction sur XxY, mesurable relativement à (Sx ^)* et telle que
h = 0 presque partout relativement à fix X. Pour presque tout x e X, on a h(x, y) = 0 pour
presque tout y e Y. En particulier, hx est mesurable relativement à Vpour presque tout xe X.
Un énoncé analogue vaut pour hy.
Si l'on suppose démontrés ces deux lemmes, la démonstration du théorème est facile. Soit /
la fonction donnée dans cet énoncé. Le lemme 1, avec v = fix À, montre que f-g + h où
h = 0 p.p. [fi x X] et où g est mesurable relativement à <£x ^. Le théorème 8.8 s'applique à
g. Le lemme 2 montre que/t = gx p.p. [X] pour presque tout jc, et/y= gy p.p. pour presque

convolution
207
tout y. Par suite, les deux intégrales itérées de /, et également l'intégrale double de /, coïncident
avec les correspondants pour g. Ce qui termine la démonstration du théorème.
Démonstration du lemme 1. — Supposons que / soit mesurable relativement à SK* et/> 0. Il
existe des fonctions étagées mesurables relativement à W telles que 0 = s0 < s, < s2 <
sn(x) -> /(*) pour tout x e X lorsque n -> «>. Donc / = ^(sn + x - sn). Puisque sn + l-s„ est
combinaison linéaire finie des fonctions caractéristiques, on déduit l'existence des constantes
c, > 0, et d'ensembles Ete Wl* tels que
/(•*) = 5>,X£,to (xe X).
i = 1
La définition de W (théorème 1.36) permet l'existence d'ensembles A{e 2ft, /?, e 9K tels que
Ai c Ei c Bi et v (Bi - A,) = 0. On définit
g(x) = £cx*.00 (xe X).
i= 1
La fonction g est alors mesurable relativement à Wl et g (x) = f(x\ sauf peut-être pour
xe {J(Ei-Ai)cz\<J(Bi-Ai). Puisque pour chaque i, v(fi,-y4/) = 0 , on déduit g =f
p.p. [v]. Le cas général d'une fonction /, réelle ou complexe, s'en déduit.
Démonstration du lemme 2. — Soit P l'ensemble de tous les points de XxY pour lesquels
h(x, y) ± 0. Soit P e (Sx?)* et (ju x X)(P) = 0. Il existe donc Q e Sx V tel que P cz Q et
(fi x A)(g) = 0. Grâce au théorème (6)
\k(Qx) dfi(x) = 0. (1)
X
Soit N l'ensemble des points jc e X pour lesquels X(QX) > 0. Il résulte de (1) que uj(A0 = 0.
Pour tout xi N,X(QX) = 0. Puisque PxczQx et puisque (Y, % A) est un espace mesuré
complet, tout sous-ensemble de Px appartient à ^ si jc e A/. Si y g Px, on a hx(y) = 0. Ainsi, on
constate que pour tout jc é A/, la fonction hx est mesurable relativement à ^et hx(y) - 0 p.p. [A].
CONVOLUTION
8.13. Il advient quelquefois que pour prouver qu'un ensemble n'est pas vide, on puisse
montrer qu'il est en fait grand. Le mot « grand » peut naturellement faire appel à des propriétés
bien différentes. L'une d'entre elles, peu élaborée, est celle de cardinalité. Un bon exemple est
celui de la démonstration familière de l'existence de nombres transcendants. Partant du fait
qu'il n'existe qu'une infinité dénombrable de nombres algébriques et l'opposant au fait que
l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable, on déduit que l'ensemble des nombres
transcendants n'est pas vide. De même, les applications du théorème de Baire reposent sur une
notion topologique de grandeur: un Gô dense est un «grand» sous-ensemble d'un espace
métrique complet. Un troisième type de grandeur dépend de la théorie de la mesure : on peut
chercher à montrer qu'un sous-ensemble d'un espace mesuré n'est pas vide en montrant qu'il
a une mesure positive, ou mieux encore, que son complémentaire a une mesure nulle. Le
théorème de Fubini apparaît fréquemment dans ce genre de raisonnements.

208 intégration sur les espaces produits
Considérons par exemple f et g dans Ll(Rl), et supposons /> 0, g > 0 pour commencer.
Considérons alors l'intégrale
HX) = S~_J(x-t)g(t) dt (-oo<*<oo). (!)
Pour tout x fixé, l'intégrant dans (1) est une fonction mesurable dont l'image appartient à
[0, «>], de sorte que h (x) est bien définie par (1) et satisfait 0 < h(x) < oo.
Existe-t-il un x pour lequel h(x) < oo ? H faut noter que l'intégrant dans (1) est le produit de
deux fonctions de V et un tel produit n'appartient pas toujours à V.
(Par exemple, si f(x) = g(x) = pour 0<x< 1, et 0 ailleurs). Le théorème de Fubini
Jx
va nous permettre de répondre affirmativement à la question posée et, de fait, nous allons
montrer que h g L\Rx), c'est-à-dire que h(x) < oo p.p.
8.14. Théorème
Supposons / g L](Rl) et g e Ll(Rl). On a pour presque tout x,
fjf(x-y)g(y)\ dy <oo.
Pour de tels x, on définit
h(x) = fj(x-y)g(y) dy.
Dans ces conditions, h g Ll(R]), et
NI 11/1111*1 „
où
11/111 = jjf(x)\dx.
La fonction h est appelée convolution de / et de g, et elle est notée h=f*g
Démonstration. — Il existe des fonctions boréliennes/0 et g0 telles que/0 =/p.p. et gQ = g p.p.
Pour tout x9 les intégrales (1) et (2) restent inchangées si l'on remplace / par/0 et g par g0. Par
suite, on peut d'emblée supposer / et g boréliennes.
Pour pouvoir utiliser le théorème de Fubini, nous devons d'abord établir que la fonction F
définie par
F(x,y) = f(x-y)g(y) (5)
est une fonction borélienne sur R2.
Définissons Q : R2 -> R1 et y/: R2 -> R1 selon
(p(x,y) = x-y, y(x,y) = y. (6)
Alors f(x-y) = (fo (p)(x, y) et g(y) = (go yf)(xt y). Puisque <p et y/ sont boréliennes, le
théorème 1.12 (d) établit que fo (pet go y/ sont des fonctions boréliennes sur R2. Leur produit
l'est également.
Observons maintenant que
f~ dy\~ \F(x9y)\dx = r\g(y)\dy f" \f(x-y)\ dx = ||/IUIglL (7)
• — oo • — oo » — oo » — oo
(1)
(2)
(3)
(4)

fonctions de répartition
209
puisque pour tout y g R1 et grâce à l'invariance par translation de la mesure de Lebesgue
l~Jf{x-y)\dx = mi. (8)
Ainsi, Fe L\R2) et le théorème de Fubini montre que l'intégrale (2) existe pour presque
tout xe R'. En outre, h e Finalement, grâce à (7),
Wl, = JJh(x)\dx<iyx JjF(x,y)\dy
= \~Jy ljF(x,y)\dx = \\fh \\g\U.
Ce qui fournit (3), et termine la démonstration.
La convolution jouera un rôle important au chapitre 9.
FONCTIONS DE RÉPARTITION
8.15. Définition. — Soit fi une mesure positive a-finie, relativement à une a-algèbre TYl
sur un ensemble X, et/: X —» [0, oo] une fonction mesurable. On appelle fonction de répartition
de / la fonction qui à tout te [0, ~[ attribue le nombre,
/*{/>'} = H({xeX:f{x)>t}). (1)
Une telle fonction de répartition est évidemment monotone en t (non croissante), et derechef
mesurable au sens de Borel.
L'introduction des fonctions de répartition tient en particulier au fait que l'on peut ainsi
remplacer des intégrales portant sur l'ensemble X par des intégrales sur [0, »[, Ainsi la formule commode
f fdfi = [m/i{f>t}dt9 (2)
Jx Jo
n'est qu'un cas particulier du théorème que nous allons démontrer (faire (pif) = t). De ce
théorème on déduira, pour une fonction de Z/\ l'appartenance à LP de la fonction maximale, celle
introduite au chapitre 7.
8.16 Théorème
Soit (X, TYU \i) un espace mesuré où \i est positive et o-finie. Pour toute f: X —» [0, oo]
mesurable, et pour toute fonction (p: [0, oo] —» [0, ©o], monotone, absolument continue sur [0, T]
pour tout T < oo et telle que (p(0) = 0, (p(t) —> (p(°°) lorsque t —> oo, on a
f ((pof) dfi = \~tl{f>t}(p\t)dt. (1)
Jx Jo
Démonstration. — Appelons E l'ensemble des couples (jc, t) e X x [0, oo[ où/(jc) > t.
Lorsque la fonction / est étagée, E est réunion finie de rectangles mesurables, donc est mesurable.
En approchant / de façon standard par des fonctions étagées (théorème 1.17), la mesurabilité
de E est acquise dans le cas général. Comme à la section 8.1, on peut poser
Ex = {xe X :(x,t)e E}. (0<f<oo). (2)
La fonction de répartition de / n'est autre que
fi(E') - J àfi(x). (3)
x

210
intégration sur les espaces produits
Grâce au théorème de Fubini, le membre de droite dans (1) vaut
ffi(E') (p\î) dt = f dtl(x) f Xe (*, t) <p\t) dt. (A)
Pour tout xe X, Xe (x, t) = 1 si t < /(x), et 0 si r >/(*). Grâce au théorème 7.20, et aux
conditions faites sur <p, l'intégrale f y£ (x, t) <p\t) dt vaut
f/(V(0 dt = ¥>(/(*))• (5)
La conjonction de (4) et (5) donne (1)
8.17. Rappelons (théorème 7.4) que la fonction maximale Mféc f appartient à l'espace L1
faible, dès que / g Ll(Rk). On dispose aussi de l'estimation banale lorsque / e LT(Rk\
IIm/L<||/L. (D
Une technique due à Marcinkiewicz rend possible une « interpolation » entre ces deux résultats
extrêmes, et prouve le théorème suivant dû à Hardy et Littlewood (théorème qui devient faux
pour p = 1, voir exercice 22 du chapitre 7).
8.18 Théorème
Mf g Lp(Rk) lorsque 1 < p < oo, / g Lp(Rk).
Démonstration. — De ce que Mf = Af(|/|), il n'y a aucune perte de généralité à supposer
/> 0. Le théorème 7.4 indique l'existence d'une constante A, qui ne dépend que de la
dimension /c, telle que pour toute g e L1 (/?*),
m{Mg>t}<l\\gl. (D
Ici, et dans toute la démonstration, m = mk, la mesure de Lebesgue sur Rk.
Choisissons une constante c, 0 < c < 1, que l'on précisera ultérieurement afin de rendre
minimal un majorant. Pour tout te ]0, oo[? écrivons / comme une somme
f = g, + ht (2)
où
\f(x) si f(x)>ct
glM = i V"' ■ %V\'/\ (3)
[0 si f(x) <ct. w
Ainsi, 0 < h, (x) < et pour tout x e Rk, et hfe LT, Mh, < et et
Mf < M g, + Mh, < Mgt + et. (4)
Si pour un jc, (Mf) (x) > r, on voit que
(Mgt)(x)>(l-c)t. (5)
Posant Et = {f> et], (5), (1) et (3) fournissent
m {Mf > t} < m {Mgt > ( 1 - c)t} < II* ||, = J/ dm.
On peut utiliser le théorème 8.16, avec X = /?*, \i = m, (p(t)-fy 1 <p < ©o, pour déduire le
calcul
j(Mf)pdm = p^m{Mf>t}tp-]dt<y^^tp-2dtjEfdm

exercices
211
1 -C
f fdm\r1dt^-^( -[ fdm.
Ce qui suffit à prouver le théorème. Mais on peut améliorer la constante en choisissant c de
j 1
telle sorte que la dernière expression soit minimale. Cela a lieu lorsque c = - = -, l'expo-
p q
sant conjugué de p. Pour cette constante c particulière,
1
p-\
Ci- = [1 + _L_Y~,<£,,
i
et le calcul précédent fournit, avec Cp = (Aepq)p,
\\Mf\\p<Cp H/Il,. (6)
On notera que Cr —> 1 lorsque p —> ©o, ce qui s'accorde à la formule 8.17 (1), et que Cp —> oo
lorsque p —> 1.
EXERCICES
1. Donner un exemple de classe monotone W sur R\ qui bien que R1 e cYrl et Rx - A e Ifi
pour tout Ae Tri, ne soit cependant pas une cr-algèbre.
2. Supposons que / soit une fonction non-négative et mesurable au sens de Lebesgue sur RK
Soit Aif) Y ensemble sous-jacent à /, c'est-à-dire l'ensemble des points (x, y) e R2 tels que
0<y </(*).
(a) Est-il vrai que A if) soit mesurable au sens de Lebesgue sur R2 ?
(b) En cas de réponse affirmative à (a), l'intégrale de / sur R1 est-elle égale à la mesure de
Aif)l
(c) Le graphe de / est-il un sous-ensemble mesurable de R2 ?
(d) En cas de réponse affirmative à (c), la mesure du graphe de / est-elle nulle ?
3. Donner un exemple d'une fonction positive et continue / dans le carré unité de R2, dont
l'intégrale, relativement à la mesure de Lebesgue, soit finie, mais telle que (p(x) (avec la
notation de théorème 8.8) soit infinie pour certains x e ]0, 1 [.
4. Supposons 1 </?<oo, fe L\R]) et ge LPiR]).
(a) En calquant la démonstration du théorème 8.14, montrer que l'intégrale qui définit
(/ * #)(*) existe presque partout, que / * g e LP(RX) et que
\\f*g\\P < ii/ii ,1*11,.
(b) Montrer que l'égalité peut avoir lieu dans (a) si p = 1 et si p = oo, et en donner les
conditions.
(c) Si 1 <p < oo et si l'égalité a lieu dans (a), montrer que/= 0 p.p. ou g = 0 p.p.
(d) Si 1 <p < oo et e> 0, montrer qu'il existe f e Ll(R]) et g e LP(R]) telles que
!/**!,> O-Oll/ll
i ll£ll/>-

212
intégration sur les espaces produits
5. Soit M l'espace de Banach de toutes les mesures complexes boréliennes sur R]. La norme
sur M est \\fi\\ = \fi\(Rl). À chaque borélien EczR1, on associe l'ensemble
Ei = {(x,y) :x + ye E}czR2.
Si fi et A g M, on définit leur convolution par la fonction d'ensemble suivante
(A**À)(£) = (//xA)(£2),
pour tout borélien E de R1 et lorsque fi x A est donnée par la définition 8.7.
(a) Montrer que jU*Ag Af et H^Afl < \\fi\\ ||A||.
(b) Montrer que fi * A est l'unique mesure ve M telle que pour toute fonction / g C0(/?1),
lorsque les intégrales sont prises sur tout R\ on ait
\fdv = jjf(x + y) dfi(x) dX(y).
(c) Montrer que l'opération de convolution est commutative, associative et distributive par
rapport à l'addition.
(d) Établir, pour tout fi et A e M et tout borélien E la relation
(fi*X)(E) = jfi(E-t) dX(t).
Ici
E-i = {x-t : jcg E}.
(e) On dit que fi est discrète si est portée par un ensemble dénombrable. On dit que fi est
continue si fi({x}) = 0 pour tout point jc de R]. Soit m la mesure de Lebesgue de /?' (noter que
më M). Montrer que fi * X est discrète si fi et A sont toutes les deux discrètes. Montrer que
fi * A est continue si fi est continue et si A g M, et montrer que fi * A« m si fi« m.
(f) Si djU =/dm et dA = g dm où / et g sont dans L1 (Z?1), montrer que d(fi * A) = (/ * g) dm.
(g) Les propriétés (a) et (c) établissent que l'espace de Banach est ce qu'on appelle une
algèbre de Banach commutative. Montrer que (e) et (/) impliquent que l'ensemble des mesures
discrètes de M est une sous-algèbre de M, que les mesures continues forment un idéal de M, et
que les mesures absolument continues (relativement à m) constituent un idéal de M isomorphe
(en tant qu'algèbre) à L](R]).
(h) Montrer que h possède une unité, c'est-à-dire qu'il existe un ôe M tel que S*fi = fi
pour toute fie M.
(i) Deux propriétés de R] seulement ont été utilisées dans cette discussion : R1 est un groupe
commutatif (pour l'addition) et il existe une mesure borélienne invariante par translation sur/?1,
non identiquement nulle et de valeur finie sur les sous-ensembles compacts de R1. Montrer à
condition de formuler correctement les définitions que de tels résultats ont encore lieu si R1 est
remplacé par Rk ou par T (cercle unité) ou encore par Tk (tore de dimension k, c'est-à-dire le
produit cartésien de k copies de T).
6. (Coordonnées polaires dans Rk). Soit Sk_, la sphère unité de Rk, c'est-à-dire l'ensemble des
ue Rk dont la distance à l'origine vaut 1. Montrer que tout jc g Rk, sauf jc = 0, possède une
représentation unique sous la forme jc = ruy où r est un nombre réel positif et ue Sk_x. Ainsi,
Rk - {0} peut être considéré comme le produit cartésien ]0, <*>[ x Sk_
Soit mk la mesure de Lebesgue sur R11. On définit une mesure 0"^, sur de la façon
suivante : si A cz Sk_, et si A est un borélien, on définit A comme l'ensemble de points r m, où
0<r<l et u g A. Puis on pose

exercices
213
Montrer que la relation
\fdmk = frk~ldr f f(ru) da^OO
R
est vraie pour toute fonction borélienne positive sur Rk. Vérifier que ceci coïncide avec les
résultats familiers pour k = 2 et k = 3.
Suggestion. Si 0 < r, < r2, et si A est un ouvert de Sk_x, on considère E comme l'ensemble
des ru où r, < r < r2, et w g A. Vérifier que la relation est exacte pour la fonction caractéristique
de E. Prolonger aux boréliens de Rk.
7. Soient (X, s, fl) et (Y, % X) deux espaces mesurés CT-finis et supposons que y/ soit une
mesure sur s x ^ telle que, pour tout A e s et B e ^, on ait
y/(AxB) = fi(A) X(B).
Montrer que y/(E) - (fix X)(E) pour tout Ee sx^.
8. (a) Supposons que / soit une fonction réelle sur R2 telle que chaque section/^ soit
mesurable au sens de Borel, et chaque section/7 soit continue. Montrer que / est mesurable au sens
de Borel sur R2. (On notera le contraste entre ce résultat et l'exemple 8.9 (c)).
(b) Supposons que g soit une fonction définie sur Rk et à valeurs réelles, continue en chaque
variable séparément. Plus explicitement, pour chaque choix jc}, xk, l'application
*i —> #(■*]> x2> xk) est continue, etc. En déduire que g est une fonction borélienne.
Indication : Si ——— = 1 < jc < a{= - , on définit
n n
/nU y) = -^L/^^^ + fZ^zi/^^).
ai-ai_x
9. Supposons que E soit un sous-ensemble dense de R1 et / une fonction à valeurs réelles sur
R2 de sorte que, (a)f(x) est mesurable au sens de Lebesgue pour tout jc g E, et (b)f est continue
pour presque tout y g R1. Montrer que / est une fonction mesurable au sens de Lebesgue sur R2.
10. Soit / une fonction définie sur R2 et à valeurs réelles telle quefx soit mesurable pour tout
x ttf continue pour chaque y. Soit g : R] —» Z?1 une fonction mesurable au sens de Lebesgue
et posons h (y) = f(g (y), y). Montrer que h est mesurable au sens de Lebesgue sur Z?1.
Indication : on peut définir/, comme à l'exercice 8, et hn(y) =fn(g(y), y). Montrer que hn est
mesurable pour chaque n et hn(y) —> h(y).
11. Soit c9Sk la cr-algèbre de tous les boréliens de Rk. Montrer que ^n+m = x c^>n. Cet
exercice est à relier au théorème 8.14.
12. En utilisant le théorème de Fubini et l'égalité
- = fe~xtdt (jc>0),
jc Jo
montrer que
rA sinjc , n
lim dx - -.
A -» °° Jo JC 2

214
intégration sur les espaces produits
13. Pour une mesure complexe fl relativement à une a-algèbre °ÏÏl, montrer que tout EczTrl
possède un sous-ensemble A tel que
n
Suggestion : Il existe une fonction réelle mesurable 6 telle que dfi = e10 d\fi\. Soiti4a le sous-
ensemble de E où cos (0- a) > 0. Montrer que
Re[e-iafi(Aa)} = Jcos+(0-a) d\fi\,
E
et intégrer par rapport à a (comme au lemme 6.3).
Par un exemple, montrer que - est la meilleure constante possible dans cette inégalité.
k
14. Compléter la preuve ci-dessous de l'inégalité de Hardy (chap. 3, exercice 14). On suppose
/> 0 sur ]0, oo[, / g Lp, 1 <p < oo, et
X Jq
dt.
Écrire xF(x) = f f(t) ta t a dt, pour 0 < a< -, utiliser l'inégalité de Hôlder afin d'obtenir
1
Y
un majorant de F(x)p et intégrer pour écrire
JV(*) dx<(\-aq)x-p(<xp)-x\~fp(t) dt.
Jo Jo
Montrer qu'un choix optimal de «fournit
15. On pose <p(t) = 1 - cos r, si 0 < t < 2tt, q>(f) = 0 pour tous les autres nombres réels /. Pour
- ©o < ^ < oo, on définit
f(x) = 1, g(x) = (p\x), h(x) = f^ç(t) dt.
Sur les convolutions de ces fonctions, vérifier les énoncés suivants
(i) (/ * g)(x) = 0 Pour t°ut x.
(ii) (g*/i)(jc) = (q> *ç)(x)>0 sur ]0,4n[.
(iii) Donc (/ *g) *h = 0, alors que f *(g *h) est une constante positive.
Pourtant, grâce au théorème de Fubini (Exercice 5 (c)), la convolution est de fait associative.
Qu'est-ce qui n'a pas fonctionné ici ?
16. Pour/> 0, démontrer un analogue de l'inégalité de Minkowski
il ... -J
J [J/(jc, y) dX(y)J dfl(x) p < j[jfp(x9 y) dfl(x
p dk(y).
Fournir les hypothèses nécessaires (on trouvera de nombreux prolongements sur ce thème dans [9]).

notes historiques
215
NOTES HISTORIQUES
Dans le cadre de la théorie de Lebesgue, le théorème de Fubini (section 8.8) donne le résultat le plus
satisfaisant sur les intégrales doubles (ou itérées). En 1827, Cauchy avait indiqué pour le cas d'une
fonction non bornée à deux variables, que les deux façons de calculer une intégrale double pouvaient ne pas
conduire au même résultat ; K.J. Thomae dans un article de 1878 signalait que, même pour des fonctions
bornées, l'un des calculs pouvait avoir un sens et l'autre aucun ; Paul du Bois-Reymond, en 1883,
établissait que T intégrale double pouvait avoir un sens sans même que les intégrales itérées en aient un. Ces
contre-exemples sont grosso modo les deux premiers de la section 8.9, le troisième étant dû à Sierpiriski
en 1920, dans le premier numéro de la revue polonaise Fundamenta Mathematica, si riche pour la
topologie naissante, la logique et l'analyse fonctionnelle. Sierpinski publiait d'ailleurs dans ce même numéro
un article où il exhibait au moyen de l'axiome du choix, mais sans avoir besoin de l'hypothèse du continu,
un ensemble E du plan, non mesurable au sens de Lebesgue et ayant au plus deux points d'intersection
avec une horizontale ou une verticale. De telle sorte que la fonction caractéristique / de E n'est pas
mesurable au sens de Lebesgue, mais toutes ses sections fx ou/v sont cependant semi-continues supérieurement
(fonctions caractéristiques d'ensembles ayant au plus deux éléments). Cela montrait, a posteriori, la
finesse du théorème de Fubini, et la régularité qu'il gouverne pour le passage au produit. C'est ce que
Lebesgue envisageait dès 1905, dans un article apparemment oublié par la suite (exercice 8 (b)). Si elle
n'entraîne pas, contrairement à ce que Cauchy pensait, la continuité de /, la continuité de chaque section
d'une fonction / permet du moins d'assurer que / est une fonction borélienne.
Vers 1890, parmi les résultats positifs d'intégration sur le produit, et avec l'intégrale de Riemann, la
tentative consistait à exprimer l'intégrale double par égalité aux intégrales itérées, en imposant une
restriction sur le domaine dans l'espace produit, par exemple en le limitant par une courbe simple coupée en un
nombre fini de points par les parallèles aux ordonnées ou aux abscisses. Charles de la Vallée Poussin donna
ainsi en 1892 une extension de l'intégrale de Riemann à deux variables pour des fonctions non bornées.
Lebesgue rencontre aussi bien la difficulté de la non mesurabilité de fx ou de/v, même lorsque/(jc, y) est
mesurable ; il se trompa d'ailleurs sur la projection d'ensembles mesurables ainsi que Souslin le fit
remarquer, mais en 1917 seulement. Plusieurs tentatives furent donc faites auparavant pour trouver le cas à deux
variables ; en 1907 Guido Fubini comprend comment traiter le jeu du presque partout, et il démontre le
théorème 8.8, lorsque (X, S, m) et (Y, % /) sont des segments munis de la mesure de Lebesgue. Il utilise
— comme aujourd'hui— le théorème de la convergence monotone. Du coup, l'intégrale de Lebesgue
devient incontournable aux yeux des mathématiciens et ainsi s'impose en calcul intégral, quelques années
seulement après sa présentation.
Plusieurs autres preuves du théorème de Fubini sont apportées, et corrigent d'ailleurs une erreur de Fubini
lui-même. La présentation de ce théorème au chapitre 8 suit les idées de [Saks, 1932] et [Halmos, 1950],
notamment avec l'introduction d'une classe monotone pour gérer la classe des ensembles élémentaires, et
avec la technique de démonstration qui consiste à partir du résultat souhaité. En 1937, H. Kestelman a, dans
le cadre de l'intégrale de Lebesgue, envisagé une présentation de l'intégrale au moyen de la mesure des
ensembles sous-jacents (exercice 2), c'est-à-dire à partir de l'aire sous une courbe, et donc en passant
directement à deux dimensions.
La convolution est une opération assez ancienne puisqu'elle figure chez Poisson en 1817, et préside à
la démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass (1885). Elle n'a pourtant pris un sens
structural qu'avec le développement de l'analyse harmonique, c'est-à-dire avec la représentation des groupes,
dans les années 1925, autour de Hermann Weyl notamment. Elle est un outil majeur dans le livre d'André
Weil sur Y Intégration dans les groupes topologiques et ses applications et le théorème de Fubini y apparaît
comme lui convenant très bien (théorème 8.14).
La fonction de répartition doit son introduction à G.H. Hardy et J.E. Littlewood qui, grâce aux fonctions
maximales, démontrent en 1930 le théorème 8.18, y compris le cas p= 1 pour lequel est alors introduit
l'espace L1 faible. La démonstration ici donnée du théorème 8.18 n'est qu'une adaptation particulière des
théorèmes d'interpolation dus à Marcinkiewicz, théorèmes qui correspondent bien à l'idée ayant fait naître

216
intégration sur les espaces produits
les espaces If chez Riesz afin de disposer de normes intermédiaires. Ces théorèmes sont largement expliqués,
avec en plus un point de vue historique au chapitre 12 de [Zygmund, 1959], ainsi que dans [Stein, 1970].
RÉFÉRENCES
K.J. Thomae, Uber bestimmte Intégrale, Zeitschrift fur Math, und Phys.y 23, 67-68, 1878.
P. du Bois Reymond, Uber das Doppelintegral, Journal fur die reine und angewandîe Math., 94, 273-
290, 1883.
K. Weierstrass, Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannten willkurlichen Funktionen einem reel-
lem Veranderlichen, Sitz. kônig. Preuss. Akad. zu Berlin, 633-640, 1885 ; 789-806 ; trad. fr. E. Picard.
C. de la Vallée Poussin, Sur la convergence des intégrales définies, Journal de Math. Pures et Appt.,
(4), 8, 421-467, 1892.
G. Fubini, Sugli integrali multipli, Rend, délia R. Accad. dei Lincei, (5), 16, 608-614, 1907.
W. Sierpiiiski, Sur les rapports entre l'existence des intégrales doubles, Fundamenta Math., 1, 142-147,
1920.
W. Sierpiiiski, Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement, Fundamenta
Math., 1, 112-115, 1920.
H. Lebesgue Sur les fonctions représentables analytiquement, Journal de mathématiques pures et
appliquées, (6), 1, 201, 1905.
TEXTE
L'extrait qui suit est une note aux comptes-rendus de l'Académie des Sciences où Souslin montre en
1917 les difficultés rencontrées avec les espaces mesurables dans un espace produit.
Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfînis. Note aux comptes-rendus
de M. Souslin, présentée par J. Hadamard.
Je me propose ici d'obtenir une propriété caractéristique pour les ensembles mesurables B et
indépendante des nombres transfînis. C'est M. N. Lusin qui m'a guidé dans mes recherches et c'est à lui tout
d'abord que je dois des résultats l'idée ci-dessous.
1. Théorie générale. — Considérons un système S d'intervalles fermés désignés par la notation
générale Sn „ n , les entiers k, nv n2,..., nk prenant toutes les valeurs entières positives :
S = ônn n .
n\n2-nk
Les intervalles du système S forment évidemment une infinité énumérable.
Nous posons maintenant les définitions suivantes. Nous dirons qu'un point x appartient au système S
s'il existe une suite d'entiers positifs a,, c^,..., ak,... telle que le point x est contenu dans tous les intervalles
ôa, Ôala2,...ak>— La réunion de tous les points x appartenant au système S constitue l'ensemble E
qui est parfaitement déterminé par le système S. Nous dirons que E appartient au système S ; le système
S sera appelé système déterminant de l'ensemble E.
Nous appellerons ensemble (A) tout ensemble de points qui admet un système déterminant.
Tout système déterminant S est déterminé par une infinité énumérable de conditions ; par conséquent,
l'ensemble de tous les ensembles (A) a la puissance du continu.
2. On trouve immédiatement, pour les ensembles (A), les trois lemmes suivants :
Lemme 1. — Tout intervalle (a, b) est un ensemble (A).
Lemme 2. — Soit Ex, E2,... une infinité énumérable d'ensembles (A), leur ensemble-somme E = E, + E2 +...
est un ensemble (A ).
Lemme 3. — Soit £,, E2,... une infinité énumérable d'ensembles (A), leur partie commune E = Ex- E2
est un ensemble (A).

notes historiques
217
De là, le théorème fondamental suivant :
Théorème 1. — Tout ensemble mesurable B est un ensemble (A).
Nous avons donc une méthode régulière et uniforme permettant de définir, sans nombres transfinis, tout
ensemble de points mesurable B.
3. Une première question se pose avant toutes autres :
Tout ensemble (A) est-il ensemble mesurable B ?
On s'assure immédiatement que la question est délicate : s'il existe un exemple d'ensemble (A) qui n'est
pas un ensemble mesurable B, il doit être trouvé sans l'axiome de M. Zermelo (le Principe du Choix
arbitraire), car toute application de cet axiome à la recherche d'un exemple quelconque amène toujours à une
classe d'exemples dont la puissance (= C0) est supérieure à celle du continu ; or la classe de tous les
ensembles (A) a la puissance (= c) du continu.
La question posée admet une solution précise et négative : nous avons trouvé, sans utiliser l'axiome de
M. Zermelo et les nombres transfînis, un ensemble (A) tel que son complémentaire relativement à
l'intervalle (0, 1) n'est pas un ensemble (A). Cet ensemble ne peut pas être mesurable B, car l'ensemble
complémentaire le serait aussi, ce qui conduirait à une contradiction au théorème I. D'où le théorème suivant :
Théorème II. — // existe un ensemble bien défini (au sens logique et précis du mot défini) qui n'est pas
un ensemble mesurable B.
Enfin, on peut démontrer le théorème suivant qui caractérise les ensembles mesurable B :
Théorème III. — Si l'ensemble E et son complémentaire CE sont tous deux des ensembles (A), ils sont
mesurables B.
4. Applications géométriques. — Soit E un ensemble (A) situé sur l'axe des jc dont un système
déterminant est S = {ôn „ „ } . Prenons sur l'axe des y les intervalles dn „ „ définis par les inégalités
■i = k » = k
\r 1 ^ ^ 1 ^1
> < y < + >
.» = l J J ii = 1 J
Soit DH „ Hk le rectangle ayant ses côtés parallèles aux axes des coordonnées et dont les projections sur
les axes des jc et des y sont respectivement Sn H „ et d„ n a. Nous appellerons le rectangle Dn „2_„k à k
indices rectangle de rang k. Tous les rectangles de rang k forment une infinité énumérable et sont deux à
deux sans points communs ; le rectangle D„ H „ „ est contenu dans le rectangle /)rt|„2..rtjk.
Désignons par Qk l'ensemble de points formé par la réunion de tous les rectangles de rang k ; l'ensemble
Qk +1 est contenu dans Qk, donc
Q,>Q2> ...>Qk> ...
Désignons par Q la partie commune à tous les ensembles Qk,
Il est bien évident que Q est un ensemble mesurable B de classe < 1. L'ensemble donné E est
évidemment la projection orthogonale de Q sur l'axe des x. Donc :
Théorème IV. — Tout ensemble (A) est la projection orthogonale d'un ensemble mesurable B de classe
< 1.
En vertu du théorème I, nous avons :
Théorème IV. — Tout ensemble linéaire mesurable B est une projection orthogonale d'un ensemble
mesurable B de classe < l.
De même, d'après le théorème II, nous avons :
Théorème V. — // existe, dans le plan, un ensemble mesurable B de classe J, tel que sa projection
orthogonale sur l'axe des x est un ensemble non mesurable B.
La projection d'un ensemble mesurable B n'est donc pas toujours mesurable B, contrairement à ce que
suppose M. Lebesgue (1) dans la démonstration de son théorème sur les fonctions implicites ; cette
démonstration doit, par suite, être modifiée.

218
intégration sur les espaces produits
Toutes les définitions de cette Note sont valables pour les ensembles dans l'espace à n dimensions, ce
qui revient au
Théorème. — Si E est un ensemble (A), sa projection l'est aussi.
La somme des termes avec rpour s = k, k + 1,... n est plus petite en valeur absolue que 4. En remarquant
que :
2mt+l-(As-Ak) = (s-k)Xk2ny
2
2mk+ 1
(As-x) = sin2"*** l(Ak-x)
(As-x)<As~Ak.] = (s-k+l)A^-r<(s-k+ 1) —,
Zn +1 n
nous voyons que la somme des premiers membres de (7) pour s = k, k + 1,... n est égale en valeur absolue à
Kn
sin—k-—{Ak-x)
1
tu 1
= * sin-(/lv - jc)
1
. 2mk + 1 . .
sin—£■—(As-x)
Ainsi pour chaque point jc de ok l'intégrale (4) est plus grande que
• 2m,+ 1
sin—-—(Ak-x)
en valeur absolue.
Soit En l'ensemble de tous les points jc, situés dans les segments ok, avec n-k> Jn , tels que la
condition suivante est remplie :
• 2mk + 1, A
sin—-—(Ak-x)
1
On peut voir que pour chaque point de £„, situé dans ak, la somme partielle de la série de Fourier ^„(jc),
avec l'indice mky est plus grande que Nn - 5 = Mn.
On peut démontrer sans peine que lim Mes En = 2n.

CHAPITRE 9
LA TRANSFORMATION DE FOURIER
PROPRIÉTÉS FORMELLES
9.1. Définitions. — Dans ce chapitre, nous abandonnons la notation précédente et utilisons
la lettre m, non pour désigner la mesure de Lebesgue sur R\ mais la division de celle-ci par
Jln. Cette convention simplifie l'écriture de formules comme celles du théorème d'inversion
et du théorème de Plancherel. Par conséquent, nous notons
f f(x)dm(x) = -p= f f(x)dx, (D
où dx désigne la mesure de Lebesgue ordinaire. De même nous définissons :
Il/Il, = jj ~Jf(x)\pdm(x)^/P (1 </><oo), (2)
(/**)(*) = fj(x-y)g(y)dm(y) (xe Z?1), (3)
et
f(t) = fj(x)e-ixtdm(x) (te R1). (4)
Tout au long du chapitre, nous écrivons LP au lieu de Lf(Rx), et C0 désigne l'espace des
fonctions continues sur R\ nulles à l'infini.
L'intégrale (4) est bien définie pour tout nombre réel t lorsque / appartient à l'espace V. La
fonction / est appelée la transformée de Fourier de f. L'expression « transformée de Fourier »
est également utilisée pour désigner Y application qui envoie / sur /.
Les propriétés formelles énumérées par le théorème 9.2 correspondent étroitement avec
l'invariance par translation de m et avec le fait que pour tout a réel l'application x —> eax est
un caractère du groupe additif R\ Par définition, une fonction <p est un caractère de R] lorsque
|<p(f)l = 1 et pour tous nombres réels s et L
<p(s + t) = ç(s)(p(t). (5)
En d'autres termes, q> doit être un homomorphisme du groupe additif R1 dans le groupe
multiplicatif des nombres complexes de module 1.
Nous verrons plus tard, avec la démonstration du théorème 9.23, que tout caractère continu de
R] est une exponentielle.
9.2. Théorème
Soient f une fonction de L\ et a, X deux nombres réels.

220
la transformation de fourier
(a) Si g(x) = f(x)eiax, on a g(t) = fit-a).
(b) Si g(x) = f(x-cc), on a g(t) = f (î)e~iat
(c)Si ge L] eth=f*g,ona h(î) = f(t)g(t).
Ainsi, la transformée de Fourier échange la multiplication par un caractère et la translation.
Elle remplace la convolution par le produit ordinaire.
(d) Si g(x) = fï^x~), on a g(t) = f (t).
(e) Si g(x) = fix/X) etX>0,ona g(t) = Xf(Xt).
(f) Si g(x) = -ixf(x) et si g e L1, f est alors différentiable et /'(f) = g(t).
Démonstration. — (a), (b), (d) et (e) s'obtiennent par substitution directe dans la formule 9.1 (4).
La démonstration de (c) est une application du théorème de Fubini, et du théorème 8.14 pour
ce qui concerne la mesurabilité.
h(t) = fjitxdm(x)j~J(x-y)g(y)dm(y)
= J_" dm(y)\~J(x-y)e-it{x-y)dm(x)
- \ g(y)e"ty àm(y)j f(x)e~ltx dm(x)
= g(t)f(t).
On notera la manière dont intervient l'invariance par translation de la mesure m.
Pour démontrer (/), on écrit
f(s)-f(t) = f" f(x)e-i*'ç(X9S_t)€[m(x) (5^r), (O
S - t J-oo
où ç(x, u) = (e~txu -\)/u. Puisque \ç(x, u)\ < \x \ pour tout nombre réel non nul m, et puisque
(p(x, u) —> - ix lorsque u —» 0, le théorème de la convergence dominée de Lebesgue s'applique
à ( 1 ) lorsque s tend vers t et nous pouvons conclure
f{t) = -ij~jfix)e~ix' dmix). (2)
9.3. Remarques. — ia) Dans la démonstration précédente, l'emploi du théorème de la
convergence dominée ne semble pas légitime dans la mesure où ce théorème utilise seulement
des suites dénombrables de fonctions. Toutefois, il nous permet de conclure que pour toute suite
{sn} convergeant vers t
Hm f(sn)-m = _if xf(x)e--' dm(ty
s„-t J—
Ceci signifie exactement
Hm /(J)-Z(O = -iC Xf{x)e-ixtdmit).
S -> l S — t J-oo
Nous rencontrerons d'autres situations analogues et leur appliquerons les théorèmes de
convergence sans autre commentaire.

le théorème d'inversion
221
(b) Le théorème 9.2 (b) indique que la transformée de Fourier de
f(x+a)-f(x)
a
est
iat !
ht)e—^~
J a
Ceci suggère qu'un analogue du théorème 9.2 (/) devrait être exact sous certaines conditions :
en fait que la transformée de Fourier de /' soit itf(t). Grâce à une intégration par parties, ce
résultat s'obtient facilement dès que / et /' sont dans V et que / est l'intégrale indéfinie de
/'. De tels résultats sont laissés à titre d'exercice. C'est parce que la transformation de Fourier
remplace la différentiation par une multiplication par ti, qu'elle est un outil utile dans l'étude
des équations différentielles.
LE THÉORÈME D'INVERSION
9.4. — Nous venons de voir que certaines opérations sur les fonctions se transposent
agréablement en d'autres par la transformation de Fourier. Cette dernière est d'autant plus utile et
digne d'intérêt qu'il est possible de revenir de la transformée à la fonction originelle, c'est-à-
dire qu'il existe une formule d'inversion.
Par analogie avec la théorie des séries de Fourier, cherchons à imaginer quelle pourrait être
une telle formule d'inversion. Lorsque
I r71
cn = Yn\ f(x)einx dx ("G z)> (1)
la formule d'inversion est du type
/M = %cnein\ (2)
Une condition de validité de (2), au sens de la convergence dans L2(T), est l'appartenance de / à
ce même espace L2(T). Nous savons également que (2) peut ne pas converger en chaque point jc,
même lorsque / est une fonction continue. Supposons que / appartienne à L\T), que ses
coefficients de Fourier soient donc donnés par ( 1 ), et imposons que
Xkl<~. o)
Posons
g(x) = t,cneim\ (4)
Grâce à (3), la série (4) converge uniformément, et la fonction g est donc continue. Ses
coefficients de Fourier se calculent aisément :
Yn \l8(x)e~ikX dx = tk U t c"e>"YkX dx
U = -oo j
= i cn±rrei^'dX = ck. (5)

222
la transformation de fourier
Ainsi, les fonctions f et g admettent les mêmes coefficients de Fourier. Ce qui implique
T égalité de / et g presque partout, de sorte que la série de Fourier de / converge presque partout
vers/(*).
Dans le cadre des transformées de Fourier, les hypothèses analogues étant l'appartenance de
/ et de / à l'espace L\ on peut espérer cette fois une formule du type
f(x) = fj(t)eitxdm(t). (6)
Lorsque / appartient à L\ l'intégrale de droite dans (6) est bien définie et nous la notons g (x).
Cependant, si nous essayons de reproduire la démonstration faite en (5), nous tombons sur une
intégrale non convergente
f ei{'-s)xdx. (7)
Ainsi, même sous l'hypothèse forte de l'appartenance de / à l'espace L1, et parce que (6) est
exacte une démonstration de cette formule doit utiliser une voie détournée.
[Il faut mentionner que la formule (6) peut avoir un sens sans que / appartienne à l'espace
L\ à condition de définir cette intégrale comme la limite lorsque A tend vers l'infini des
intégrales sur [-A, + A]. (De façon similaire, une série peut converger sans être absolument
convergente). Nous n'envisageons pas de telles situations.]
9.5. Théorème
Pour toute fonction f définie sur R1 et tout nombre réel y e Rlt on définit la translatée f de
f par
fy(x) = f(x-y) (xe Rx). (1)
Lorsque 1 <p <<*>, et pour f e Lp, l'application
(2)
est une application uniformément continue de R] dans U(Rl).
Démonstration. — Choisissons e> 0. Puisque / appartient à l'espace Z/\ grâce au théorème
3.14, il existe une fonction continue g dont le support est inclus dans l'intervalle borné [-A, +A]
et telle que
ll/-*ll„<e.
L'uniforme continuité de g assure l'existence d'un nombre Se [0,A] et tel que |$-/|<5
implique
-\_
\g(s)-g(t)\<(3A)pe.
Lorsque \s -1\ < 5, on vérifie
f \g(x -s)- g(x - t)\pdx < (3A)~]ep(2A + 8) < e",
et ainsi \\gs-g,\\p< t.
Les normes U, prises par rapport à la mesure de Lebesgue, sont invariantes par translation :
||/h, = ||/Jp. Ainsi, dès que|s-f|< 5,
II/,-// Wp^Wfs-gsWp + Us-gMp + Wgt-fMp
= ll(/-^llp + ll*,-^llp + l|(*-/)it<3£.
Ce qui termine la démonstration.

le théorème d'inversion
223
9.6. Théorème
Lorsque f e L\ f e C0 et
Il/Il-s ii/ii,- d)
Démonstration. — L'inégalité (1) est évidente sur 9.1 (4). Lorsque tn -> /, on a
\htn)-m\<\jf(x)\ I*-"-'-*-"*| <m*), (2)
et comme la fonction à intégrer est bornée par 2|/(jc)| et tend vers 0 pour tout jc, lorsque n tend
vers Tinfini, grâce au théorème de la convergence dominée de Lebesgue f(tn) -»/(f). Ainsi, /
est une fonction continue.
Puisque ^ = -1,9.1 (4) fournit
f(t) = -fj(x)e-itix + 7lA)dm(x) = -]\f(x-K/t) e~i,x dm(x). (3)
Donc
2/(0 = /_"_{/(*) - /(* - y)J e-,u dm(x), (4)
de sorte que
2\f{t)\<\\f-fn/t\\u (5)
expression qui, grâce au théorème 9.5, tend vers 0 lorsque t tend vers l'infini positif ou l'infini
négatif.
9.7. Un couple de fonctions auxiliaires. — Dans la démonstration du théorème d'inversion,
il est commode de disposer d'une fonction positive H dont la transformée de Fourier est positive
et d'intégrale aisément calculable. Entre les nombreux choix possibles, nous avons pris un cas
lié aux fonctions harmoniques du demi-plan (voir l'exercice 25, Chap 11)
Posons
H(t) = e'Ul (I)
et définissons
hK(x) = J" H(Xt)ei,x dm{t) (A>0). (2)
Un calcul simple fournit
= A W
Vtf A2 + jc2
et en particulier
\~Jik{x) dm{x) = 1. (4)
On notera 0 <//(/) < 1 et H(Xt) 1 lorsque X -> 0.
9.8. Proposition. — Lorsque / e L]f on a
(/ * hx)(x) = f^H(Xt)f(t)eixl dm(t).
Démonstration. — Il s'agit d'une simple application du théorème de Fubini.
(/ * hx)(x) = j" f(x-y) dm{y)^H{Xt)elty dm(t)

224
la transformation de fourier
= J" H{Xt) dm(t)fj(x-y)e"y dm(y)
= J" ff(Af) dm(t)j~J(y)e"lx-y) dm{y)
= J~//(Af)/(f)'" dm(t).
9.9. Théorème
Lorsque g appartient à L°° et est continue en un certain point x, on a
lim(g *hx){x) = g(x). (1)
A->0
Démonstration. — En tenant compte de la relation 9.7 (4), on peut écrire
U*WW-gW = jjg(x-y)-g(x)] hx(y)dm(y)
= j~Jg(x-y)-g(x)]
= j" [g(x-Xs)-g(x)] h^s) dm(s).
La dernière fonction à intégrer est majorée par 2||g||0O h^s) et lorsque X tend vers 0 elle
converge vers 0, en chaque point s. Par suite, (1) résulte du théorème de la convergence dominée.
9.10. Théorème
Lorsque 1 < p < oo et lorsque f e Lp, on a
lim n/.^-zh, = 0. (D
Seuls les cas p = 1 et p = 2 nous serviront, mais il n'y a aucune difficulté supplémentaire
à démontrer le cas général.
Démonstration. — Puisque hk g Lq, où q est l'exposant conjugué de p, la fonction / * hx(x)
est définie pour tout x. (En fait, / * hx est continue, voir l'exercice 8). D'après 9.7 (4),
(f*hx){x)-f(x) = j~J/(*-y)-/(*)] hx(y)dm(y) (2)
et l'inégalité de Jensen (théorème 3.3) fournit
|(/ * hx)(x) - f(x)\p < J_" \f(x - y) - f(x)\p hx(y) dm(y). (3)
Il reste à intégrer (3) par rapport à x et à appliquer le théorème de Fubini :
||/* hx-f\\pp < j_~J|/,-/||; hx(y) dm(y). (4)
En posant g(y) = ||/v-/||p> on voit grâce au théorème 9.5 que g est une fonction bornée et
continue et g(0) = 0 . Par conséquent, le membre de droite dans (4) tend vers 0 lorsque X tend
vers 0, grâce au théorème 9.9.
9.11. Théorème d'inversion
5/ / appartient à L\ de même que f, et si
g(x) = j~J(t) eix: dm(t) (xeR]), (D

le théorème de plancherel
225
alors g appartient à CQ et /(jc) = g(jc) presque partout.
Démonstration. — Grâce à la proposition 9.8.
(/ * hx)(x) = j^H(Xt)f(t)eix' dm(t). (2)
Par le théorème de la convergence dominée, pour tout jc dans Z?1, le membre de droite de (2)
converge vers g(jc) puisque la fonction à intégrer reste bornée par |/(f)l et que H (ht) —> 1
lorsque À —> 0.
En combinant les théorèmes 9.10 et 3.12, on est assuré de l'existence d'une suite {À„} telle
que A„ —> 0 et
lim(/ * hx )(jc) = /(jc) presque partout. (1)
Donc /(jc) = g(x) presque partout. Le théorème 9.6 assure que g appartient à l'espace C0.
9.12. Théorème d'unicité
Si f appartient à L1 et si f (t) = 0 pour tout t dans R], la fonction /(jc) est nulle presque
partout.
Démonstration. — Puisque / = 0, / est dans L1, et le résultat provient du théorème
d'inversion.
LE THÉORÈME DE PLANCHEREL
Puisque la mesure de Lebesgue de R] est infinie, l'espace L2 n'est pas inclus dans L1, et la
définition de la transformée de Fourier par la formule 9.1 (4) n'est pas directement applicable à
toute fonction / de L2. Toutefois, cette définition convient lorsque / appartient à L1 n L2 et il
se trouve que / appartient aussi à L2. De fait ||/||2 = 1/ Il 2. Cette isométrie de L1 n L2 dans
L2 se prolonge en une isométrie de L2 sur L2, et le prolongement permet de définir la
transformée de Fourier (quelquefois appelée la transformée de Planchereï) pour toute fonction /
dans L2. La théorie au sens L2 qui en résulte est bien plus symétrique que la théorie au sens
L\ puisque dans L2, les fonctions / et / jouent exactement le même rôle.
9.13. Théorème
À chaque fonction f de L2, on peut associer une fonction f de L2 de sorte que les propriétés
suivantes soient satisfaites :
(a) Lorsque f appartient à L1 O L2, / est la transformée de Fourier de f.
(b) Pour tout f dans L2, on a \\f ||2 = ||/||2.
(c) L'application f —>/ est un isomorphisme d'espaces de Hilbert de L2 sur L2.
(d) Entre f et f existent les relations symétriques suivantes :
En posant çA(t) = f(x)e~ixt dm(x) et y/A (x) = f (t)eixt dm(t),
lim 1^-/||2 = 0 et lim||^-/||2 = 0.

226
la transformation de fourier
Note : Puisque L1 n L2 est un sous-espace dense de L2, les propriétés (a) et (b) déterminent de
façon unique la correspondance entre / et /. La propriété (d) peut constituer un théorème
d'inversion au sens de L2.
Démonstration. — Notre premier objectif est la démonstration de la relation
= ||/||2 (/GL'nL2). (1)
Nous choisissons / dans L nL et définissons /(jc) = /(-jc), ainsi que g = f */. On
écrit
g(x) = iy(x-y)f(^) dm(y) = j_y(jc + y)/(7) dm(y), (2)
ou encore
g(x) = (/_,,/), (3)
expression dans laquelle le produit scalaire est pris au sens de l'espace de Hilbert L2, et comme
au théorème 9.5 f_x désigne la translatée de la fonction /. Ce dernier théorème indique
d'ailleurs que jc —> f_x est une application continue de Rx dans L2, ce qui implique la
continuité de la fonction g en tenant compte de la continuité du produit scalaire (théorème 4.6).
L'inégalité de Schwarz établit l'inégalité
lg(*)|S||/_,||2||/||2 = ||/||22 _ (4)
de sorte que g est une fonction bornée. De plus, g appartient à l'espace L1 puisque / et / sont
des éléments de l'espace L1
L'appartenance de g à l'espace L1 permet l'application de la proposition 9.8 :
(g * Aa)(0) = j~_H(At)g(t) dm(t). (5)
La continuité de la fonction g, puisque cette fonction est bornée, permet l'application du
théorème 9.9 :
lim(g*/iA)(0) = g(0) = ll/H2. (6)
A->0
Le théorème 9.2 (d) montre que \\g\\ = \f \ > 0 et le théorème de la convergence monotone
appliqué à la fonction H (ht), laquelle croît vers 1 lorsque À tend vers 0, fournit
lim f~ H(h) g(t) dm(t) - f~ |/(r)|2 dm(t). ™
Enfin (5), (6) et (7) établissent l'appartenance de / à L2, en donnant la relation (1).
Cette relation (1) constitue le nœud de la démonstration du théorème de Plancherel.
Si l'on désigne par Y l'espace de toutes les transformées de Fourier / des fonctions
/g L1 n L2, on constate grâce à (1) que y cz L2. Nous voulons montrer que Y est dense dans
L2, autrement dit que Y1 = {0}.
Pour tout a réel, et tout A > 0, les fonctions jc —» e,axH(Xx) appartiennent à L1 n L2. Leurs
transformées de Fourier,
hK(a-t) = J~ eiaxH(lx) e~ixt dm(x) («)•
appartiennent donc à y. Si w g L2 et w g Y1, on a pour tout a réel,
(hx*w)(a)= J" hx(a-t) w(t)dm(t)= 0. (9)

le théorème de plancherel
227
Le théorème 9.10 indique alors w = 0 et ainsi Y est dense dans L2.
Introduisons provisoirement la notation Of pour /. Avec ce qui a été démontré jusqu'ici,
0 est une isométrie au sens L2 d'un sous-espace dense de L2, en fait L1 n L2, sur un autre,
en fait Y. Un raisonnement élémentaire utilisant des suites de Cauchy (voir par exemple le
lemme 4.16) montre que O peut se prolonger en une isométrie & de Û sur L2. Écrivant /
pour désigner &f, on déduit les propriétés (a) et (b)
La propriété (c) se déduit de (b), comme lors de la preuve du théorème 4.18. La formule de
Parseval
J+J7<*) *W dm(x) = J y (r) 1(7) dm(î) (10)
est donc valable pour tous / et g dans L2.
Pour démontrer (d), si kA désigne la fonction caractéristique de [- A, kAf g L1 n L2
dès que / g L2, et
9a = (**/)"■ (H)
Puisque ||/- kAf\\2 —> 0 lorsque A —> oo, de (fc) on déduit encore lorsque A —» ~
|/-<pj2 = |</-*a/)l2->0. (12)
La deuxième partie de (d) se démontre de même
9.14. Théorème
Lorsque f g L2 et f g L1, on a presque partout
f(x) = j*~f(t)eix'dm(t).
Démonstration. — Il s'agit d'un corollaire du théorème 9.13 (d).
9.15. Remarque. — La formule 9.1 (4) définit / (r) sans ambiguïté en chaque point t lorsque
/ appartient à l'espace L1. Lorsque / appartient à l'espace L2, / se définit comme un élément
de l'espace de Hilbert L2, mais en tant que fonction ponctuelle de t on ne dispose que d'une
définition pour presque tout r. II y a là une différence importante entre le cas L1 et le cas L2
pour la transformée de Fourier. Pour le problème que nous allons maintenant résoudre,
l'ambiguïté sur / (/) en tant que fonction définie ponctuellement provoque quelque difficulté.
9.16. Sous-espaces de L2 invariants par translation. — Un sous espace M de L2 est dit
invariant par translation lorsque fae M pour tout nombre réel a dès que / g M . On a posé
ici fa{x) = f(x - a). Les translations ont déjà joué un rôle important dans notre étude de la
transformée de Fourier. Nous posons maintenant un problème dont la solution illustre une
utilisation possible du théorème de Plancherel (D'autres applications seront données au
chapitre 19). Le problème posé est le suivant :
Décrire tous les sous-espaces fermés de L2 invariants par translation.
Désignons par M l'image par transformée de Fourier d'un sous-espace fermé M invariant
par translation dans l'espace L2. Puisque cette transformée est une isométrie, le sous-espace
M est évidemment fermé. Ayant prouvé (théorème 9.2) lorsque / est dans l'espace L1 que la
transformée de Fourier de la fonction fa est la fonction f ea, où ea(t) = e~ta\ on prolonge
ce résultat à l'espace L2 grâce au théorème 9.13 (d). On en déduit que pour tout nombre réel
a l'espace M est invariant par la multiplication par ea.

228
la transformation de fourier
Soit E un sous-ensemble mesurable quelconque de R\ L'espace M des fonctions <p
appartenant à L2 et s'annulant presque partout sur E constitue certainement un sous-espace de L2
invariant par multiplication par tous les ea (puisque \ ea\ = 1, (peae L2 lorsque (pe L2). En
outre, l'espace Àf est fermé. Pour démontrer ce point, il suffit de remarquer que <p appartient
à M si et seulement si ç est orthogonale à toute \f/ qui s'annule presque partout sur le
complémentaire de E.
On peut conjecturer que les sous-espaces Af cherchés sont tous obtenus de cette manière à
partir d'un sous-ensemble E convenable. Pour le démontrer, à tout sous-espace A/, fermé et
invariant par translation dans l'espace L2, il faut associer un sous-ensemble E de l'axe réel de
sorte que / g M si et seulement / = 0 presque partout sur E. La façon la plus simple est
d'associer à chaque élément f de M l'ensemble Ef des points de R] en lesquels / s'annule,
puis de définir E comme l'intersection de tous ces sous-ensembles Ef lorsque / parcourt Af.
Cette approche rencontre une difficulté majeure, car chaque sous-ensemble Ef est seulement
défini à un sous-ensemble de mesure nulle près. Certes lorsqu'on a une famille dénombrable
de sous-ensembles définis à un sous-ensemble de mesure nulle près, l'intersection est encore
définie à un sous-ensemble de mesure nulle près. Cependant, l'existence d'une infinité non
dénombrable de / dans M nous empêche de contrôler les sous-ensembles de mesure nulle dans
l'intersection r\Ef.
Cette difficulté disparaît tout à fait si nous considérons nos fonctions comme des éléments
de l'espace de Hilbert L2, plutôt que des fonctions ponctuellement définies.
Nous allons maintenant démontrer la conjecture faite. Soit M l'image par la transformée de
Fourier d'un sous-espace Af de L2, fermé et invariant par translation. Appelons P la projection
orthogonale de L2 sur le sous-espace M (théorème 4.11). À tout / dans L2, on associe un
unique élément Pf g M de sorte que f-Pf soit orthogonale à Af. Donc
f-PflPg (fetgeL2). (1)
Puisque M est un espace invariant par la multiplication par ea, nous avons en plus
f-Pf±(Pg)ea (/etgG L\ae /?'). (2)
En reprenant la définition du produit scalaire sur L2, on déduit l'équivalence de la relation (2)
avec
Jl(f-Pf)P~ge_adm = 0 (/etge L2,ae R1). (3)
Ce qui signifie que la transformée de Fourier de la fonction
(f-Pf) ' Pg (4)
est nulle. Cependant cette fonction (4) est le produit de deux fonctions appartenant à L2, donc
est un élément de L1. Le théorème d'unicité relatif à la transformée de Fourier implique la
nullité presque partout de la fonction (4). Bien entendu, ceci reste valable en remplaçant Pg
par Pg . De sorte que
fPg = (Pf)-(Pg) (/etgG L2). (5)
En échangeant les rôles de / et g, la relation (5) fournit
fPg = gPf (/etgGL2). (6)
Choisissons pour g une fonction positive dans L2 ; par exemple prenons g(r) =
Définissons
f« - ^

l*algèbre de banach l1
229
Comme (Pg)(t) n'est définie que presque partout, adoptons une détermination quelconque
dans (7). La relation (6) devient alors
Pf=(pf (/eL2). (8)
Lorsque / est dans M, alors Pf = /. Ce qui implique P2 = P, dont on déduit que (p2 = <p
puisque
cp2.g = (p.Pg = P2g = Pg = <p.g. (9)
Par suite, (p vaut 0 ou 1 presque partout. Si nous définissons E comme le sous-ensemble de
tous les t tels que <p(r) = 0, dans la mesure où / appartient à M si et seulement si
f = Pf = (pf, M est exactement l'ensemble des fonctions / g L2 et nulles presque partout
sur E.
Nous déduisons la solution du problème posé :
9.17. Théorème
Associons à tout sous-espace mesurable E de l'axe réel l'ensemble ME de toutes les
fonctions f de L2, nulles presque partout sur E. L'espace ME est un sous-espace fermé de L2,
invariant par translation. Tout sous-espace fermé invariant par translation dans L2 est un ME
pour un certain E et MA = MB si et seulement si
m((A-B)u(B-A)) = 0.
On établit sans peine ce dernier point d'unicité, laissant les détails au lecteur.
Le problème qui vient de nous intéresser peut naturellement être posé pour d'autres espaces
fonctionnels. Il a été minutieusement étudié pour l'espace L1. Les résultats actuellement connus
montrent que la situation est infiniment plus compliquée que celle de l'espace L2.
L'ALGÈBRE DE BANACH L1
9.18. Définition. — Un espace de Banach A est une algèbre de Banach pour une
multiplication définie sur A lorsque celle-ci satisfait l'inégalité
|Uy||<H| ||y|| (x et y g A), (1)
est associative x(yz) = (xy)z, est distributive
x(y + z) = xy + xz, (y + z)x - yx + zx (x, y, et z e A), (2)
et pour un scalaire X quelconque vérifie la relation
(ax)y = x(ay) = a(xy). (3)
9.19. Exemples. — (a) Soit A = C(X), où X est un espace compact séparé, muni de la norme
de la convergence uniforme et de la multiplication ponctuelle des fonctions : (fg)(x) = f(x)g(x).
Il s'agit d'une algèbre commutative de Banach if g = &/), avec unité (la fonction constante 1).
(b) C0(Rl) est une algèbre commutative de Banach sans unité, c'est-à-dire sans élément u tel
que w/=/pour tout élément / dans l'algèbre C0(Rl).
(c) L'ensemble de tous les opérateurs linéaires sur Rk (ou encore sur un espace de Banach
quelconque en ajoutant la continuité), pour la norme d'opérateurs obtenue à la définition 5.3 et
pour la loi additive et la loi multiplicative définies selon :
(A + B)(x) = Ax + Bx, (AB)x = A(Bx),
constitue une algèbre de Banach non commutative (sauf pour k = 1), avec unité.

230
la transformation de fourier
(d) I) est une algèbre de Banach pour la multiplication définie par la convolution. Puisque
n/*gii,< ii/ii, y „
l'inégalité concernant la norme est visiblement satisfaite. L'associativité peut être vérifiée
directement par application du théorème de Fubini, mais on peut procéder comme suit. La
transformée de Fourier de/*g est /• g, et nous savons que l'application /—>/ est injective sur
L1. Pour tout t appartenant à R\ on a grâce à l'associativité de la multiplication usuelle des
nombres complexes
f(t)[g(t)h(t)] = [/(0g(r)] h(t).
On déduit/ * (g * h) = (f * g) * h.
De la même façon on vérifie immédiatement la commutativité / * g = g */. Enfin, les autres
hypothèses de la définition 9.18 sont facilement satisfaites pour l'espace L\
Ainsi, v est une algèbre commutative de Banach. La transformation de Fourier réalise un
isomorphisme algébrique de v dans C0. De sorte qu'il n'existe pas de fonction / g L1 telle que
/= 1, et L1 ne possède donc pas d'élément unité.
9.20. Homomorphismes complexes. — Sur une algèbre de Banach A, les fonctions
complexes les plus importantes sont les homomorphismes de A dans le corps des nombres complexes.
Ce sont, de façon précise, les formes linéaires qui conservent la multiplication, c'est-à-dire les
fonctions (p telles que pour tous x et y dans A et tous scalaires a et p.
(p(œc + Py) = a<p(x) + p(p(y), cp(xy) = <p(x)ç(y).
Dans cette définition, on ne fait aucune hypothèse de borne ou de continuité, et il est intéressant
de noter que ce serait superflu.
9.21. Théorème
Un homomorphisme complexe défini sur une algèbre de Banach A est une forme linéaire
continue dont la norme est 1 au plus.
Démonstration. — Supposons, par l'absurde, qu'il existe un élément jc0 dans A tel que
|çK*o)| > ||*o||- Posons À= (p(xQ) et x = -y . On a ||jc|| < 1, ainsi que <p(x) = 1.
Puisque < ||jc|r et < 1 les éléments
sn = - x- x2 - ... -x" (1)
constituent une suite de Cauchy dans l'algèbre de Banach A, donc convergent vers un élément
y de A. On constate facilement que x + sn=xsn, de telle sorte que
x + y = xy. (2)
Donc (p(x) + <p(y) = ç(x) cpiy\ ce qui est impossible puisque cp(x) = 1.
9.22. Les homomorphismes complexes de L1. — Supposons que q> soit un homomorphisme
complexe de l'algèbre L1, c'est-à-dire une forme linéaire satisfaisant en outre la relation
<Pif*g) = Ç(f)ç(g) (/etge L1). (1)
D'après le théorème 9.21, cette forme est de norme au plus égale à 1. Le théorème 6.16 apprend
qu'il existe un élément p dans L°°, de sorte que
9(f) = j~jwp(x) dm(x) (fe L1). (2)

l'algèbre de banach l}
231
La relation (1) convenablement exploitée nous donne un renseignement sur p. D'une part
<p(f*g) = f(f*g)(x)p(x)dm(x)
= \~J(x) dm(x) fj(x-y)g(y) dm(y)
= l~j(y)dm(x)iyy(x)P(x)dm(x)
= j~j(y)(P(fy)dm(y). (3)
D'autre part
(p(f)Ç(g) = Ç(f)j\g{y)P(y)dm(y). (4)
Supposons maintenant que (p ne soit pas identiquement nulle. Fixons / e L1 de sorte que (pif)
ne soit pas nul. Puisque pour toute g dans L1, la dernière intégrale dans la relation (3) est égale
au membre de droite de (4), le théorème d'unicité du théorème 6.16 montre que presque partout
en y on a
<p(f)P(y) = <?>(/,)• (5)
Cependant y —» fy est une application continue de R] dans V comme nous l'avons vu au
théorème 9.5. En outre (p est continue sur L1. Par conséquent, le membre de droite de (5) est
une fonction continue de y et on peut supposer, quitte à modifier P sur un ensemble de mesure
nulle ce qui ne change pas (2), que P est aussi une fonction continue. En remplaçant y par x + y,
puis / par fx dans (5), on déduit
V(f)P(x + y) = (p(fx+y) = çdfjy) = <P(fx)P(y) = 9(f)P(x)P(y),
de sorte que
P(x + y) = P(x)P(y) (jcetye /?'). (6)
Puisque p n'est pas identiquement nulle, la relation (6) implique j3(0) = 1 et la continuité de la
fonction p entraîne l'existence d'un nombre S > 0 tel que
\5p(y) dy = c*0. (7)
Alors
cp(x) = \Ôp(y)P(x)dy = \Sp(y + x)dy = \X + Ôp(y)dy. (8)
J0 J0 Jx
Puisque P est une fonction continue, la dernière intégrale est une fonction différentiable en jc
et (8) établit que P est elle-même différentiable. En différentiant par rapport à y dans la relation
(6), puis en faisant y = 0, on calcule
P\x) = AP(x), A = p(0). (9)
Par conséquent, la dérivée de p(x)e~Ax est nulle, et puisque /3(0) = 1, nous obtenons
P(x) = eAx. (10)
Mais la fonction P est une fonction bornée sur R1. Ce qui impose que A soit un nombre
imaginaire pur, et nous concluons qu'il existe un nombre r dans R1 tel que
P(x) = e'itx (11)
Nous arrivons ainsi à la transformée de Fourier :

232
la transformation de fourier
9.23. Théorème
À tout homomorphisme complexe (p non identiquement nul de Valgèbre V correspond un
unique nombre réel t tel que <p(f) = f(t)
Ce qui précède démontre l'existence de t. Quant à l'unicité, elle provient de la remarque
suivante : si s * t, il existe une fonction / dans L1 telle que f(s) * f(t) comme on peut le voir
en prenant pour/(x) une translatée convenable de la fonction eM.
EXERCICES
1. Si f e L\/> 0, montrer que pour tout y *0, on a |/(y)| </(0).
2. Calculer la transformée de Fourier de la fonction caractéristique d'un intervalle. Pour
n = 1, 2, 3, soit gn la fonction caractéristique de [-n, +n] et h la fonction caractéristique de
[-1, +1], Calculer explicitement la convolution gn * /z, dont le graphe est linéaire par morceaux.
Montrer que gn * h est la transformée de Fourier d'une fonction fn appartenant à L1, laquelle vaut
à une constante multiplicative près,
f , v _ sin x sin nx
Jn\X) ~~ 2 *
X
Montrer que || i —> <», et en conclure que l'application / —> / envoie l) dans un sous-espace
propre de C0.
Toutefois, on montrera que l'image de V est un sous-ensemble dense dans C0.
3. Trouver lorsque X est une constante positive,
çA sin Ar ilx , , x
hm e dt (-°o<jc<oo).
A-><~ J-A t
4. Donner des exemples de fonctions fsL2, telles que / g L1 et /e L1. Dans quelles
circonstances une telle situation peut-elle se produire ?
5. Lorsque / est dans L1 et J \tf (t)\dm(t) < +«>, montrer que / coïncide presque partout avec
une fonction différentiable dont la dérivée est donnée par
ifjfU) eixtdm(t).
6. Supposons que / soit dans L1, et admette presque partout une dérivée, laquelle appartienne
également à L1. Peut-on en déduire que la transformée de Fourier de /' est tif(t) ?
7. Désignons par 5 la classe de toutes les fonctions / définies sur R] et possédant la propriété
suivante : / est indéfiniment dérivable et pour tous m et n entiers naturels positifs ou nuls, il
existe des nombres Am„(f) <» de sorte que
\xnDmf(x)\<Amn(f) (xe Z?1).
D représente ici l'opérateur ordinaire de dérivation.
Montrer que la transformée de Fourier est une bijection de S sur S.
Donner des exemples de fonctions appartenant à S.

exercices
233
8. Si p et q sont des exposants conjugués, /g Lp , g g Lq et h =/ * g, montrer que / * g est
uniformément continue. En plus, si 1 < p < oo, h e C0, mais ce résultat cesse d'être exact pour
certaines fonctions / g L1 et g g l°°.
9. Supposons que / soit une fonction appartenant à U pour 1 < p < oo et posons
g(x) = f'/(O*.
En déduire que g appartient à l'espace C0. Que peut-on dire sur g lorsque / g lt ?
10. Appelons C°° la classe des fonctions, définies sur R\ à valeurs complexes et indéfiniment
différentiables. Appelons C~ la classe des fonctions de C°° dont le support est compact.
Montrer que C~ n'est pas réduite à la seule fonction nulle.
Appelons la classe des fonctions / qui appartiennent à V localement, c'est-à-dire telles
que / soit mesurable et J|/|*ftn soit finie pour tout intervalle borné /.
Lorsque / g L\oc et g g Cc°°, montrer que/ * g appartient à C°°.
Établir l'existence de suites {gj dans C7 telles que lorsque n tend vers l'infini, et pour toute
fonction / appartenant à l\
ll/*s„-/ll->o.
(Comparer avec le théorème 9.10). Montrer que l'on peut choisir la suite {gj de sorte que pour
toute fonction / appartenant à Lj^ , (f*g„)(x) —> f(x) presque partout. De fait, pour une suite
convenable {gn}, la convergence a lieu en tout point jc en lequel / est la dérivée de son intégrale
indéfinie.
Montrer que (f*hx)(x) -»/(jc) presque partout lorsque / g l\ pour X tendant vers 0, et
que (f * hx)(x) e C°° bien que hx ne possède pas un support compact (hx a été définie à la
section 9.7).
11. Donner des conditions sur / et/ou sur / qui valident les arguments formels suivants. Si
(p(t) = Yn \[j{x)e'i,X<ix
et
F(x) = £ /(* + 2**)f
* = -oo
F est une fonction périodique, de période 2tc, et son «-ème coefficient de Fourier est <p(n). Ce
qui donne F(jc) = ^(p(n)einx. En particulier
X f(2kx) = £ <p{n).
Plus généralement
£ f(kP) = a £ <p(na) si a>0,j3>0,a/î = 2tt. (*)
k = -oo /l = -oo
Que donne cette relation (*) lorsque a tend vers 0 dans le membre de droite (en se restreignant
à des fonctions convenables bien sûr). Cela est-il conforme au théorème d'inversion ?
[La formule (*) est connue sous le nom de formule sommatoire de Poisson.]

234
la transformation de fourier
12. Prendre /(jc) = e dans l'exercice 1 et en déduire l'identité
e +1 1 cc
e - 1 " „ = a + «
13. Si 0 < c < ©o, on définit fc(x) = exp (-ex2).
(a) Calculer fc (Indication : si (p- fc, une intégration par parties fournit 2c(p\t) + f<p (0 = 0).
(fc) Montrer qu'il existe une (et une seule) constante c telle que fc = fc
(c) Montrer que fa *fb = yfc ; en déduire explicitement /et c en fonction de a et de b.
(d) Si l'on fait/=/c dans l'exercice 11, quelle identité obtient-on ?
14. La transformée d'une fonction / appartenant à V(Rk) peut être définie selon
f(y) = \f(x)e-ixydmk(x) (yg R\
où jc • y = ^<fj, rç, avec x = (£,, et y = (r/p r/J et lorsque m* désigne la mesure de
Lebesgue sur Rk divisée par le facteur (2n)kl1 pour des raisons de commodité. Dans ce cadre,
démontrer le théorème d'inversion et le théorème de Plancherel, ainsi que l'analogue du
théorème 9.23.
15. Soit / g Lx(Rk) et A un opérateur linéaire sur Rk. En posant g (x) =/(Ajc), relier la
transformée de Fourier de g à celle de /. Si l'on suppose / invariante par les rotations, c'est-à-dire
ne dépendant que de la distance euclidienne de x à l'origine, montrer qu'il en va de même pour
la transformée de Fourier / de /.
16. Sur l'espace /?*, le laplacien d'une fonction / est donné par
7=1 dxJ
lorsque les dérivées partielles existent. Quelle relation existe-t-il entre / et g si l'on prend
g = Af, et si l'on suppose que toutes les conditions d'intégrabilité sont satisfaites ? Il est clair
que le laplacien commute avec les translations de Rk. Montrer qu'il commute également avec
les rotations, c'est-à-dire que
A(foA) = (Af)oA,
dès que / possède des dérivées partielles continues du second ordre et lorsque A désigne une
rotation autour de l'origine dans Rk (On pourra montrer qu'il suffit d'obtenir ce résultat sous la
condition supplémentaire que / possède un support compact).
17. Montrer que tout caractère de Z?1, mesurable au sens de Lebesgue, est nécessairement
continu. Faire de même pour les caractères de /?*. (On pourra adapter une partie de la
démonstration du théorème 9.23.) Comparer avec l'exercice 18.
18. À l'aide du théorème de maximalité de Hausdorff, montrer l'existence de fonctions /,
réelles et discontinues, telles que
/(jc + y) = /(jc)+/(y) (x,ye /?'). (1)

notes historiques
235
Montrer que si l'équation fonctionnelle (1) a lieu, et si / est mesurable au sens de Lebesgue,
/ est alors continue.
Montrer que si l'équation fonctionnelle (1) a lieu, et que le graphe dé / n'est pas dense dans
le plan, / est alors continue.
Trouver toutes les fonctions continues satisfaisant l'équation fonctionnelle (1).
19. Soient A et B deux sous-ensembles mesurables de Rx dont la mesure soit finie et
strictement positive. Montrer que la convolution Xa * Xb est continue, et non identiquement nulle.
En déduire que A + B contient alors un intervalle.
(Une preuve différente a été suggérée à l'exercice 5 du chapitre 7).
NOTES HISTORIQUES
C'est en 1822 que Joseph Fourier, afin de fournir le mouvement de propagation de la chaleur dans un
solide indéfini, a publié son invention de la transformée intégrale qui porte désormais son nom. Il disposait
en fait depuis 1807 des séries éponymes, et c'est par analogie avec ces séries, selon ce qui est expliqué au
début de la section 9.4, qu'il découvrit la formule d'inversion de l'intégrale. Il vit immédiatement l'avantage
de la transformée pour la résolution des équations linéaires aux dérivées partielles : « la fonction acquiert
en quelque sorte, par cette transformation, toutes les propriétés des quantités trigonométriques ; les diffé-
rentiations, les intégrations et la sommation des suites s'appliquent ainsi à des fonctions générales de la
même manière qu'aux fonctions trigonométriques ou exponentielles ». Ce sont les propriétés données par
le théorème 9.2, et on peut dire sans exagération que Fourier a prévu le fonctionnement de la transformée
de Fourier sur les distributions tempérées.
Fourier ne tente pas une démonstration de la formule d'inversion ; quoiqu'il rencontre l'intégrale (7)
de la section 9.4. Il lui donne un sens formel, nous dirions aujourd'hui qu'il la fait agir comme distribution
sur des fonctions. Il se justifie par l'effectivité numérique du résultat, pour la chaleur : « ce procédé ...
contient une démonstration complète des résultats ... en sorte qu'il n'est nullement nécessaire de les
vérifier par d'autres calculs ».
En affinant des outils d'analyse mis en place par Cauchy en 1821, Dirichlet donne en 1829 un traitement
précis de la convergence des séries de Fourier, traitement qui peut servir pour l'intégrale de Fourier et son
inversion parce qu'il donne des conditions pour la validité de la formule.
Hm [7(*)^ dx = f/(0).
Formule que Henri Poincaré préfère, à la fin du xixe siècle, écrire sous la forme
lim f "/(* + v) + /(*-y) sinAy = f(x + e) + f(x- e)
a->~ J0 n y 2
Dans la seconde moitié du xixc siècle, divers auteurs améliorent ou précisent le théorème d'inversion,
selon les techniques qui se succèdent quant aux fonctions (fonction à variation bornée) ou sur la
généralisation de l'intégrale de Riemann. Henri Lebesgue voit dans les séries de Fourier un lieu majeur où
appliquer les résultats de convergence de son intégrale ; il publie en 1906 ses Leçons sur les séries
trigonométriques, mais n'évoque pas en tant que telle l'intégrale de Fourier, quoiqu'il reprenne la formule
sommatoire de Poisson (exercice 11). Cinq ans plus tard, Plancherel donne le théorème qui exprime
l'intégrale de Fourier dans le cadre de L2 (/?').

236
la transformation de fourier
La démonstration du théorème d'inversion 9.5, qui est minutieusement économe des techniques en jeu,
montre bien le rôle qu'a pu jouer Lebesgue puisque cette démonstration est basée sur les théorèmes de
convergence, le théorème de Fubini et la mise en forme algorithmique de l'approximation d'une fonction
par convolution. Cette dernière technique avait été repensée par Lebesgue, qui donnait une valeur
fonctionnelle au théorème d'approximation uniforme des fonctions continues par des polynômes, démontré par
Karl Weierstrass en 1885.
En liant intimement séries de Fourier et intégrale de Fourier, ce qui n'a pas été compris sur le fond,
Fourier préparait le développement spectaculaire de ce qui s'appelle l'analyse harmonique, c'est-à-dire la
compréhension du rôle d'une mesure invariante sur un groupe abélien localement compact et le caractère
algébrique des propriétés en jeu qui disent la structure sous-jacente du groupe : le résultat de représentation
des homomorphismes de l'algèbre de Banach V, ou algèbre du groupe R1 (théorème 9.23), fait comprendre
l'importance de l'intégrale de Fourier. Norbert Wiener, en 1936, montra comment des théorèmes fins
d'analyse (théorèmes taubériens) pouvaient trouver leur interprétation structurale algébrique (il travaillait
alors avec l'algèbre /' (Z) du groupe Z). Tout ceci est prolongé au chapitre 18 par l'étude des algèbres de
Banach, et ce qu'on appelle la théorie algébrique de l'intégrale. Les références classiques sont [Loomis,
1953], [Naimark, 1959], et [Rudin, 1962]. Dans ce dernier ouvrage au chapitre 7, on trouvera une
description de certains des espaces invariants de l'espace L\ tandis que la référence classique pour les espaces
invariants dans L2 est [Helson, 1964]. [Pier, 1990] donne une histoire très documentée de l'analyse
harmonique.
Une autre introduction brève à l'intégrale de Fourier est donnée par [Zygmund, 1959, chapitre 16]. Une
preuve différente du théorème de Plancherel se trouve dans [Wiener, 1933].
RÉFÉRENCES
J. Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, Paris, F. Didot, 1822 ; Oeuvres de J. Fourier, Paris,
Gauthier-Villars, vol. 1, Paris, 1888.
P.G. Lejeune Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une
fonction arbitraire entre des limites données, Journ. reine und angew. Math., 4, 157-169, 1829.
H. Poincaré, Théorie analytique de la propagation de la chaleur, C. Carré / C. Naud, Paris, 1895.
M. Plancherel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales
définies, Circolo Mat. di Palermo, 30, 289-335, 1910.
N. Wiener, Generalized harmonie analysis, Acta Math., 55, 117-258, 1930.
TEXTE
L'extrait proposé est issu d'un texte de Emil Artin sur la caractérisation de la fonction Gamma au moyen
d'équations fonctionnelles.
Caractérisation de T(x) par des équations fonctionnelles, d'après Emil Artin.
[La fonction T est définie pour jc> 0 par T(x) = j^e~'tx~ldt, certaines propriétés en sont examinées
p. 110 et suivantes.
Trois équations fonctionnelles au moins sont satisfaites par la fonction T, l'équation
f(jc+ 1) = xr(x), (D*

notes historiques
237
l'équation de multiplication
et la formule d'Euler
rwr(i-^) = -i- (2)'
sinrcjc
Dans quelle mesure la fonction T est-elle déterminée par l'une de ces équations ou une combinaison de
celles-ci ?
Supposons d'abord que/soit une fonction arbitraire et désignons par cp le quotient f/T. Si/satisfait en
outre (1)' ou (2)' ou (3)', alors (p satisfera évidemment
*(jr+l) = <p(x), 0)
<p(x)<p(\-x) = 1. (2)
^M'-^M^) = «*>• (3)
Si de plus/satisfait, comme T, l'équation de Legendre
rg)r('-±I) = r<*> (4y
alors (p satisfera
^yi^r) = (4)
A partir de maintenant, et par souci de simplicité, nous supposerons que / satisfait ( 1 )', donc que la
fonction (p est périodique et de période 1 (équation ( 1 )). Nous supposerons en outre que / mais aussi <p,
sont continues pour tout x > 0. De ( 1 ) résulte que la continuité de (p pour jc > 0 implique la continuité à
l'origine, et en tous les entiers négatifs à condition de définir <p convenablement en ces valeurs. Si les
équations (2) et (3) sont valides, elles le sont par continuité pour tout x.
En supposant de plus que fix) reste toujours positive lorsque jc est positif, le logarithme de (p(x) devient
continu. En désignant par g(x) = log (p(x), cette fonction satisfait les équations fonctionnelles suivantes, en
plus deg(x+\) = g(x)
■©♦■^--♦«pt1)-**
g(x) = -g(l-x), (6)
Que / ait une dérivée seconde continue, et il en est de même pour (p. A cette hypothèse sur (p, ajoutons
l'équation (4). On a démontré que (p doit être constante, et d'ailleurs égale à 1, soit/Oc) = T(jc).
Théorème 1. — La fonction Gamma est V unique solution deux fois continuement différentiable de (4'),
positive pour x positif
Ce théorème souligne l'importance de l'équation de Legendre. L'étape suivante consiste à se libérer de
la condition de régularité sur / (dérivée seconde continue) et la remplacer par la seule continuité de la
dérivée première.
Commençons par une première observation. L'équation (5) donne une famille infinie d'équations
fonctionnelles, chacune correspondant à un entier p. Cependant ces équations ne sont pas toutes indépendantes.

238
la transformation de fourier
Supposons par exemple que (5) ait lieu pour g avec deux entiers p, et p2. En faisant jouer (5) avec pp mais
jc + k
pour la valeur de la variable, on obtient
Pi
pi -1
^ fx + k + ip2\ fx + k
i = 0
On somme alors en k variant de 0 à p2 - 1. A droite on obtient g, puisque g satisfait (5) pour p2. Comme
k + ip2 parcourt tous les entiers de 0 à p,p2 - 1, on déduit
~ \P\P2)
j = 0
Ce qui n'est autre que (5) pour le produit p, p2.
En gardant ceci à l'esprit, supposons que (7) soit satisfaite par g. L'équation (5) est alors vraie pour tous
les entiers p de la forme 2", et donc pour des valeurs aussi grandes que l'on veut de p. Alors généralement,
si (5) est satisfaite pour un certain entier p, elle est aussi satisfaite pour les puissances de cet entier, et donc
pour certaines valeurs arbitrairement grandes de p.
Prenons la dérivée de (5),
Divisons l'axe réel positif en segments de longueur - , en commençant à l'origine. Dans le membre de
P
gauche de (8), la variable tombe dans l'un des p segments consécutifs. Nous avons donc, grâce à la
périodicité de g' (période 1), une valeur de la fonction dans chacun de ces intervalles dans [0,1]. Or (8) est
satisfaite pour certaines valeurs de p arbitrairement grandes. Lorsque p tend vers l'infini, le membre de
gauche de (8) converge vers l'intégrale,
\gl(x)dx = g(\)-g(0) = 0.
0
Ce qui implique à son tour que pour tout jc, g'(x) = 0. Aussi g est une constante, dont la valeur ne peut
qu'être nulle puisque g satisfait une équation (5) pour un certain p. On a donc démontré le théorème
suivant.
Théorème 2. — La fonction Gamma est Punique fonction continuement différentiable, positive pour les
valeurs positives de la variable, satisfaisant (1)' et (4*) pour un certain entier p > L
On pourrait être tenté de conjecturer la suffisance de l'hypothèse de continuité pour la validité du
théorème. Qu'il n'en puisse être ainsi se voit avec la fonction
g(x) = £isin(2n7i;;c). (9)
Cette fonction g est continue, puisque la série dans (9) converge uniformément ; elle est périodique et
de période 1 et il n'est pas difficile de voir qu'elle satisfait en outre (7) ; elle n'est ni identiquement nulle,
m constante \ g(0) = 0, £^j= 2) '
Si l'on imposait la seule continuité, quelles autres propriétés faudrait-il ajouter pour valider le
théorème 2 ? Adopter l'équation (6) ne serait pas suffisant : car la fonction (9) la satisfait aussi. Adopter
un nombre fini d'équations du type (5) ne conviendrait pas plus, car des contre-exemples du type (9) sont
constructibles. Qu'adviendrait-il si l'on admettait (5) pour toutes les valeurs de p ? En conclusion des
propriétés de la fonction Gamma, et à partir des séries de Fourier montrons que cette propriété suffit.

notes historiques
239
Supposons donc que g soit continue, périodique de période 1 et satisfasse (5) pour tous les entiers p. En
remplaçant x par px, on déduit de (5)
g(x) + g[x + ^+... + g[x + £^j= g(px). (10)
Si cY est le coefficient de Fourier d'ordre v de g(x)
cv = ^g(x)e~2invxdx,
o
2itt»— / m\ p — \ 2inv-
alors cve p est celui de la translatée g\x + — , et > cve p est le coefficient de Fourier
d'ordre v du nombre de gauche de (10). Cette expression se réduit à zéro lorsque v n'est pas divisible par
p et à pcv si v est divisible par p. De même, la série de Fourier de la dilatée g(px) est
^ Ce x
Grâce à l'unicité de la série de Fourier d'une fonction continue, on déduit pour tout entier relatif v,
Pcvp = <V
En particulier, faisant v = 1, - 1, et 0, on calcule
cp = -, c - — etc0 = 0.
P P
L'équation fonctionnelle (5) étant supposée satisfaite par g pour tout entier p > 1, on déduit que la série
de Fourier de g est
1 C j 2iizvx . C-\ 2m
V^1 t'i 2/nvjr . 2invx
> — e + —e
v v
V = 1
La fonction g étant réelle, on a donc avec des coefficients a et b réels
^^sin27tvjc + ^cos2tivjcJ.
V = I
Or on peut représenter aisément la fonction H définie par
rr/ x v1 sin2rcv;t
v = 1
et on calcule
. ,~ . x v« c0s271vjc
-log(2sin7t^) = > .
v= 1
La fonction H est bornée, mais - log (2 sin nx) ne l'est pas. Ce qui contraint la nullité de b lorsque g
est continue. Mais, quant à elle, la fonction H n'est pas continue, et cette fois a = 0. On a donc établi le
théorème suivant :
Théorème 3. — La fonction Gamma est la seule fonction continue, positive pour les valeurs positives
de la variable, satisfaisant Véquation fonctionnelle (J)' et l'équation fonctionnelle (3') pour toutes les
valeurs entières de p.

CHAPITRE 10
PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES
DES FONCTIONS HOLOMORPHES
DIFFÉRENTIATION COMPLEXE
Nous allons maintenant étudier des fonctions à valeurs complexes, définies sur des sous-
ensembles du plan complexe. Il sera utile d'adopter certaines notations communes que nous
maintiendrons tout au long de ce livre.
10.1. Définitions. — Si r > 0 et si a est un nombre complexe,
D(a;r) = {z:\z-a\<r} (1)
est le disque ouvert de centre a et de rayon r. D(a ; r) en est la fermeture, et
D\a\ r) = {z : 0< \z-a\ <r} (2)
est le disque épointé de centre a et de rayon r.
Dans un espace topologique X, un ensemble E est dit non connexe lorsque E est réunion de
deux ensembles non vides A et B de sorte que
An B = 0 = Ac\B. (3)
Pour de tels A et 5, si V et W désignent respectivement les complémentaires de A et B, on a
A cz W et B c V. Donc
EczVuW,EnV*0,Er\W*0JEnV r\W = 0. (4)
Réciproquement, si des ouverts V et W sont tels que (4) ait lieu, en prenant A = E n W,
B = E n V, on constate facilement que E est non connexe.
Lorsque E est fermé, et non connexe, (3) montre que E est réunion de deux fermés non vides
disjoints, dans la mesure où l'hypothèse AczAvBetAnB = 0 fournit A = A.
Lorsque E est ouvert, et non connexe, (4) montre que E est réunion de deux ouverts non vides
disjoints, à savoir E n V et E n W.
Tout ensemble réduit à un point est évidemment connexe (c'est-à-dire n'est pas non connexe).
Pour un x e E, la famille &x des ensembles connexes de E contenant jc n'est donc pas vide. La
réunion de tous les ensembles de &x est, comme on le voit facilement, connexe, et c'est un
ensemble connexe maximal dans E. De tels ensembles sont appelés les composantes (connexes)
de £. Deux composantes distinctes de E sont donc disjointes, et E est la réunion de ses
composantes.

242
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
-/'Uo>
<e (pour tout zg D' (z0\8)). (2)
Par définition, un domaine est un ouvert non vide connexe du plan complexe. Comme tout
ouvert fl de ce plan est réunion de disques, chaque disque étant connexe, toute composante de
fl est ouverte. Tout ouvert du plan est donc une réunion de domaines disjoints. Par fl, on
désignera désormais un ouvert du plan.
10.2. Définition. — Soit / une fonction complexe définie sur fl. Si z0 g fl et si
lim MzlM (1)
z -* z0 z-zo
z*zq
existe nous la noterons /'(Zo) et l'appellerons la dérivée de / en z0. Si /'(Zo) existe pour tout
z0 e fl, nous dirons que / est holomorphe (ou analytique) sur fl. La classe de toutes les
fonctions holomorphes sur fl sera notée //(fl).
Pour être tout à fait explicite, f'(z0) existe si à tout £ > 0 correspond un ô> 0 tel que
| f(z)-f(zo)
z-zq
Ainsi /'(zo) est un nombre complexe, obtenu comme une limite de quotients de nombres
complexes. Remarquons que puisque / est une application de fl dans /?2, la définition 7.22
associe à de telles applications une autre sorte de dérivée, à savoir un opérateur linéaire sur R2.
Dans le cas présent, si (2) est vérifiée, cet opérateur linéaire se révèle être la multiplication par
/'(Zo) (en regardant R2 comme le corps des complexes). Nous laissons cette vérification au
lecteur.
10.3. Remarques. — Si / g H(£2) et g g //(fl), alors/ + g et/g appartiennent aussi à //(fl),
de sorte que //(fl) est un anneau sur lequel les règles usuelles de différentiation s'appliquent.
Plus intéressant est le fait que la composée de deux fonctions holomorphes soit holomorphe :
si f g //(fl), si /(fl) cz fl„ si g g H(Q^),etsih~gofy alors h g //(fl), et h' peut se
calculer par la règle de composition
h'(zo) = g'(/Uo))/*(Zo) (Zoé A). (D
Pour le démontrer, choisissons z0 e fl, et posons w0 = /(z0)- On a
f(z) - /(zo) = L/Xzo) + e(z)](z - zo), (2)
g(w)-g(w0) = [g,(w0) + f](w)](w-w0)J (3)
où e(z) —» 0 quand z —> Zo et t)(w) —> 0 quand w —> w0. Posons w =/(z), et substituons (2) dans
(3) : si z * z0
*(z)"*(Zo) = [g'tfUo)) + r](f(z))W(zo) + e(z)]. (4)
Z-Z0
La différentiabilité de / entraîne la continuité de / en z0- Par suite, (1) résulte de (4).
10.4. Exemples. — Pour n = 0, 1,2, la fonction f est holomorphe sur tout le plan, et de
même est holomorphe tout polynôme en z. On vérifie aisément que 1/z est holomorphe sur
{z : z * 0). Puis en utilisant g (w) = 1/w dans le théorème sur les fonctions composées, on déduit
que si/, et/2 sont dans //(fl) et si Aq est un ouvert de fl sur lequel f2 n'a pas de zéro, alors
/,//2e //(fl0).
Un autre exemple d'une fonction holomorphe sur tout le plan (de telles fonctions sont
appelées entières) est la fonction exponentielle définie à l'occasion du prologue. En effet nous avons

différentiation complexe
243
vu que T exponentielle est différentiable partout, au sens de la définition 10.2, et que
exp'(z) = exp(z) pour tout z complexe.
10.5. Séries entières. — De la théorie des séries entières nous ne supposerons connu qu'un
seul fait, à savoir qu'à chaque série entière
2>„(z-a)" (d
n = 0
correspond un nombre R g [0, °o] tel que pour tout r<R la série converge absolument et
uniformément dans D(a ; r) et diverge si z £ D(a ;/?). Le « rayon de convergence » R est
donné par le critère de Cauchy
4 = limsup|c,J|,/\ (2)
a n -> oo
Une fonction / définie dans fl est représentable (ou développable) en série entière dans fl
si à tout disque D(a ; r) c fl correspond une série (1) qui, pour tout z g D(a ; r) converge
vers f(z).
10.6. Théorème
Si f est représentable en série entière dans Q alors f e //(fl) et /' est également
représentable en série entière dans fl En fait, si l'on a pour z e D(a ; r)
/(z) = £c„ (d
« = 0
pour z g D (fl ; r), on a aussi
f\z) = j^ncn(z-ar\ (2)
Démonstration. — Si la série (1) converge dans D(a ; r), le critère de Cauchy montre que la
série (2) y converge aussi. Prenons, sans perdre de généralité, a = 0 et notons par g(z) la somme
de la série (2). Fixons w g D (a ; r), et choisissons p tel que |w| < p < r. Si z * w, on a
/(z)-/(hQ
z - w
z
. z - w
L'expression entre crochets est nulle si n - 1, et si n > 2 vaut
n- l
(z-w)2,*w z
(3)
(4)
Si | z | < p, le module de la somme dans (4) est inférieur à
n-2
*(,!-l)p"
d'où
f(z)-f(w)
z-w
g(w)
s|z-w|
EXlCnlP""2-
(5)
(6)
Comme p < r, la dernière série converge. Le terme de gauche de (6) tend donc vers 0 quand
z -> w. C'est-à-dire f'(w) = g(w). Ce qui achève la démonstration.

244
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
Corollaire. — La fonction /' satisfaisant les mêmes hypothèses que f, le théorème précédant
peut s'appliquer à /'. Il en résulte que f a des dérivées de tous les ordres, que chaque dérivée
est représentable en série entière dans Q et que si (1) a lieu, on a aussi
fik\z) = ;T>(n-l)...(n-*+l)c„(z-û)"-\ (7)
Donc la relation (I) implique
k\ck = f\a) (k = 0,1,2,3,...), (8)
de sorte que pour tout ae Q, il existe une unique suite {cn} pour laquelle (I) ait lieu.
Nous allons maintenant décrire un procédé de construction de fonctions développables en
série entière. Nous rencontrerons plus loin des cas particuliers qui s'avéreront importants.
10.7. Théorème
Soit fi une mesure complexe (finie) sur un espace mesurable X, ç une fonction complexe
mesurable sur X, £2 un ouvert du plan qui ne rencontre pas (p(X), et posons
™-{^ «*°>-
La fonction f est développable en série entière dans Q.
Démonstration. — Soit D (a ; r) c Q. Comme pour tout zeD(a;r)et tout Çe X,
z-a
\<p{Ç)-a\
pour tout z fixé dans D(a; r) la série géométrique
V (z-a)n _ 1
<^<1, (2)
(3)
„r0(<?>(o-ûr+l ^o-z
converge uniformément sur X. La série (3) peut être substituée dans l'intégrale (1), et/(z) peut
donc être calculée par interversion des signes somme et intégrale. D'où
f(z) = ^cAz-ay (zeD(a;r)) (4)
o
où l'on a posé
C" = /^l^ (-0,1,2,...). (5)
Remarque : Pour tout D (a ; r) cz Q, la convergence de la série (4) dans D(a; r) est une
conséquence de la démonstration. Mais nous pouvons aussi la déduire de (5), puisque l'intégrale est
majorable,
|c„|<!4^ (« = 0,1,2,...). (6)
r

intégration sur des chemins
245
INTÉGRATION SUR DES CHEMINS
Notre premier et principal objectif dans ce chapitre est d'établir la réciproque du
théorème 10.6 : toute /g H (G) est représentable en série entière dans Q. Pour y parvenir, la
voie la plus rapide est le théorème de Cauchy qui fournit une représentation intégrale
importante des fonctions holomorphes. Dans cette section nous allons développer la théorie de
l'intégration requise. Nous le ferons aussi simplement que possible en la considérant purement et
simplement comme un outil utile pour la recherche des propriétés des fonctions holomorphes.
10.8. Définitions. — Si X est un espace topologique, une courbe y dans X est une application
continue d'un segment compact [a, p] cz R dans X ; ici a< p. Nous appelons [a, p\ le segment
du paramétrage de y et nous notons par y* l'image de y. Ainsi, y est une application, et y* est
l'ensemble des points y(t), pour a<t< p.
Si le point initial y(a) de y coïncide avec son point final y(/3), nous disons que y est une
courbe fermée.
Un chemin est une courbe dans le plan, continuement différentiable par morceaux. De façon
plus explicite, un chemin dont le segment de paramétrage est [a, /?], est une fonction ycontinue
et à valeurs complexes, définie sur [a, p] et vérifiant les propriétés suivantes : Il existe un
nombre fini de points sp a = s0< s] < ... <sn = P, et pour j= 1, ..., n la restriction de y à chaque
intervalle j,-] a une dérivée continue sur [s,.,,, ; cependant, aux points s,, ..^sn_l les
dérivées à gauche et à droite de y peuvent différer.
Un chemin fermé est une courbe fermée qui est aussi un chemin.
Supposons maintenant que ysoit un chemin, et que / soit une fonction continue sur y*.
L'intégrale de / sur y est définie comme une intégrale sur le segment du paramétrage [ex, p\ de y:
J/ = \m dZ = jV(rco) r\t)dt. (i)
r y
Soit (p une application bijective et continuement différentiable d'un segment [a,, j3j sur
[a, p\, telle que (p(ax) = a, <p(P^) - p, et posons y = yo ç. Ainsi y est un chemin dont le
segment du paramétrage est [a,, j8,] ; l'intégrale de / sur y vaut
f'7(7i<0) no dt = f 7(y(^(0))Y(ô(0) <p'(0 a = fVw*)) rw
de sorte que le « changement de paramétrage » n'a pas modifié l'intégrale sur le chemin,
J/U) dz = \f(z)dz. (2)
Y, Y
Chaque fois que (2) a lieu pour deux chemins y et y (et pour toute f), nous considérerons y
et y comme équivalents.
Il est commode de pouvoir remplacer un chemin par un chemin équivalent, c'est-à-dire, de
choisir le segment du paramétrage à notre gré. Par exemple, si le point final de y, coïncide avec
le point initial de y2, nous pouvons choisir les segments du paramétrage de sorte que y et y2 se
raccordent pour former un seul chemin y, ayant la propriété
J/= J/+J/ (3)
y y, y2
pour toute / continue sur y* = y* u yf.

246
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
En plus, supposons que [0, 1] soit le segment du paramétrage d'un chemin y, et prenons
y(r) = y(l - r), 0 < t < 1. Nous appelons y le chemin opposé à y, pour la raison suivante : pour
toute / continue sur yf = y*, nous avons
j7<7i<0)yi'(0<fr = " (f(ï(l-t))Y(\-t)dt = - (f(Y(s))Y(s)ds,
de sorte que
\f = -J/- (4)
r, r
D'après (1), nous obtenons l'inégalité
J/(z)dz <||/ILjV(0l<fr, (5)
Y
où ll/H^ est la borne supérieure de |/| sur y*, où la dernière intégrale dans (5) est par définition
la longueur de y
10.9. Cas particuliers
(a) Si a est un nombre complexe et r > 0, le chemin défini par
y(f) = a + relt (0<t<2n) (1)
est le cercle orienté positivement, de centre a et de rayon r ; on a
J/(z) * = ir j*"f(a + r«")e'* dO, (2)
y
et la longueur de y est lier, comme il fallait s'y attendre.
(b) Si a et b sont des complexes, le chemin y donné par
y(0 = a + (b-a)t (0 < r < 1) (3)
est le segment orienté [a, b] ; sa longueur est \b - a\, et
J f(z)dz = (b-a)ff[a + (b-a)t]dt. (4)
[a,b] °
Si l'on définit
/x a(B-t) + b(t- a) , ^ ^ Q,
YiO) = (a<t<P),
(5)
nous obtenons un chemin équivalent, que nous noterons encore [a, b]. Le chemin opposé à
[a, b] est [b, a].
(c) Soit (a, b, c) un triplet de nombres complexes, et
A = A(a, b, c)
le triangle de sommets a, b, c (A est le plus petit ensemble convexe qui contienne a, b, c), et
pour toute / continue sur la frontière de A définissons l'intégrale
\f = J /+ J /+ J /■ <6>
[a,b] [b,c] [c,a]
Nous pouvons ou bien considérer (6) comme la définition du membre de gauche, ou bien encore,
nous pouvons considérer dA comme le chemin obtenu en joignant [a, b] à [b, c] et [b, c] à [c, a],
comme indiqué dans la définition 10.8., auquel cas la relation (6) est de démonstration aisée.

intégration sur des chemins
247
Si l'on effectue une permutation circulaire sur (a, b, c), la relation (6) montre que le membre
de gauche de (6) n'est pas affecté. Si (a, b, c) est remplacé par (a, c, b), le membre de gauche
de (6) est changé en son opposé.
Nous en venons à un théorème qui joue un rôle très important dans la théorie des fonctions.
10.10. Théorème
Soit y un chemin fermé, £2 le complémentaire de y* (relativement au plan complexe), et
définissons
y ^
La fonction lndy est une fonction à valeurs entières sur £2, constante sur chaque composante
connexe de £2, nulle sur la composante connexe non bornée de £1
Indy(z) est l'indice de z pour (le chemin) y. On notera que y* est compact, donc contenu dans
un disque borné D dont le complémentaire Dc est connexe. Par suite, Dc est inclus dans l'une
des composantes de £2. Ceci montre que £2 a une et une seule composante non bornée.
Démonstration. — Soit [a, p] le segment du paramétrage de yet fixons ze £2. On a
Indy(z) = ± ï'-jfip-ds. (2)
1 2m Ja y(s)-z
Comme w/2ni est un entier si et seulement si ew - 1, la première assertion du théorème, à
savoir que Indy(z) est un entier, est équivalente à l'assertion q>(fi) = 1, où l'on a posé
<p(t) = expJ£ j£p^*J (ol<t<p). (3)
La différentiation de (3) établit pour te [a, /?],
<pjj) = no
9(0 HO-z
excepté peut-être sur un ensemble fini S où yn'est pas différentiable. Par conséquent, <p/(y- z)
est une fonction continue sur [a, P], dont la dérivée est nulle sur [a, p] - S. Comme S est fini,
la fonction <pl(y- z) est une constante sur [a, P]. Comme ç(a) = 1, on obtient la relation
*(/) = $S^ (ct<t<P). (5)
Si l'on fait jouer maintenant l'hypothèse selon laquelle y est un chemin fermé, soit
y(P) = y(a), (5) montre que (p(p) = 1, et ceci, comme nous l'avons déjà observé, entraîne que
Indy (z) est un entier.
Avec le théorème 10.7., (1) montre que Indye H(£2). L'image d'un ensemble connexe par
une application continue étant connexe ([26], théorème 4.22), et Indy étant une fonction à
valeurs entières, Indy se trouve être constante sur chaque composante connexe de £2.
Finalement, (2) montre que |lndx(z)|<l si |z| est suffisamment grand. Ceci entraîne
Indy (z) = 0 sur la composante non bornée de £2.
Remarque : Si X(t) désigne l'intégrale dans (3), la démonstration précédente montre que
27rlndy(z) est l'accroissement total de la partie imaginaire de A(f), quand t croît de ak p. C'est
aussi l'accroissement de l'argument de y(t)-z. (Nous n'avons pas défini «l'argument» et
nous n'en aurons pas besoin). Si nous divisons cet accroissement par 2k, nous obtenons « le

248
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
nombre de fois où /tourne autour de z », et ceci explique pourquoi le terme « nombre de tours »
est fréquemment employé pour désigner l'indice. Une des qualités de la démonstration
précédente est d'établir les principales propriétés de l'indice sans référence à la notion d'argument
d'un nombre complexe, ce dernier étant une fonction multivoque.
10.11. Théorème
Si y est le cercle orienté positivement de centre a et de rayon r, on a
1 si \z~a\ < r,
[0 si \z-a\>r.
lndY(z) =
Démonstration. — Nous prenons /comme à la section 10.9. (a). D'après le théorème 10.10.,
il suffit de calculer Indy(a), et 10.9. (2) montre que cet indice vaut
1 r dz r r2* ,-, -i ,-, .
-—. = — (re ) e dt = 1.
2m j z-a 2k h
Y
LE THÉORÈME LOCAL DE CAUCHY
Il y a plusieurs formes au théorème de Cauchy. Toutes affirment que si /est un chemin fermé
dans £2, et si /et £2 satisfont certaines conditions topologiques, l'intégrale le long de /de toute
fe H (£2) est nulle. Tout d'abord, nous établirons une version simple de ce fait
(théorème 10.14.), bien suffisante pour de nombreuses applications. Nous établirons plus loin
une forme plus générale et plus globale.
10.12. Théorème
Soient F e H (£2) et F' une fonction continue sur £1 Pour tout chemin fermé y dans £2,
\F\z)dz = 0.
Y
Démonstration. — Si [a, )3] est le segment du paramétrage de /, puisque y(/3) = /(a), un
résultat fondamental d'Analyse élémentaire montre que
\F\z)dz = jv(y(0)/(o* = F(y(p))-F(y(a)) = 0.
Y
Corollaire. — Puisque pour tout entier n*-\, z" est la dérivée de zn + i/(n +1),
jzn dz = 0
r
pour tout chemin fermé y si n = 0, 1, 2, 3, ..., et pour les chemins fermés y pour lesquels 0 é y*
si n = -2, -3, ...
Le cas n = -1 a été traité au théorème 10.10.
10.13. Théorème de Cauchy pour un triangle
Soit A un triangle fermé, inclus dans un ouvert £2 du plan. Soit p e £2 et soit f une fonction
continue sur £2 telle que f e H(£2- {p}). On a

le théorème local de cauchy
249
)f(z)dz = 0. (1)
dA
Pour la définition de dA, voir la section 10.9. (c). Nous verrons plus loin que notre hypothèse
implique en fait que / e H(Q), c'est-à-dire que le point exceptionnel p n'est pas vraiment
exceptionnel. Cependant, la formulation ci-dessus du théorème sera utile dans la démonstration
de la formule de Cauchy elle-même.
Démonstration. — Nous supposons d'abord que p ê A. Soient a, b, et c les sommets de A,
a\b\ c' les milieux de [b, c], [c, a], et [a, b], respectivement. Considérons les quatre triangles
Aj formés par les triplets
{a,c\b'}, {b,a\c'}, {c,b\a*}, {a\b\d}. (2)
Si J désigne la valeur de l'intégrale (1), il résulte de 10.9. (6) que
4
j = Ij* m dz. o)
La valeur absolue d'au moins une des intégrales du membre de droite de (3) est au moins \ J/4\.
Appelons Ax le triangle correspondant, et répétons le raisonnement sur Ax au lieu de A, et ainsi
de suite. Est ainsi engendrée une suite de triangles An tels que A => Ax z> A2 =>, ... la longueur
de dAn étant 2""L, où L désigne la longueur de dA. En outre
1/1*4"
J f(z) dz
(n= 1,2,3,...). (4)
Il existe un point (unique) Zq commun aux triangles An. Comme A est compact, z0 e A, et / est
différentiable en z0.
Donnons-nous e > 0. Il existe un r > 0 tel que pour \z - zQ\ < r
\f(z) - f(Zo) - f '(Zo){z - zo)\ £e\z-Zol &
et il existe un n tel que \z - z0\ < r pour tout ze An. Pour cet entier n, on a aussi \z - z0\ * 2~nL
pour tout z g A„. D'après le corollaire du théorème 10.12., il vient
\f(z)dz = J[/(z)-/Uo)-/'Uo)U-2o)]^ (6)
De sorte que (5) entraîne
' ' f(z) dz
I
2
<£(2-"L)2. (7)
L'inégalité (4) montre alors que |7| < eL . D'où J- 0 si p e A.
Supposons ensuite que p soit un sommet de A, par exemple a. Si a, b, c sont alignés, la
relation (1) est triviale pour toute / continue. Sinon, choisissons des points jcg [a, b] et
y € [a,c], tous les deux voisins de a, et observons que l'intégrale de / sur dA est la somme
des intégrales sur les frontières des triangles {a, x, y], {x, b, y], et [b, c, y}. Les deux dernières
intégrales sont nulles, puisque ces triangles ne contiennent pas p. Par suite, l'intégrale sur dA
est la somme des intégrales sur [a, x], [x, y], et [y, a], et comme ces intervalles peuvent être
rendus arbitrairement petits et que / est bornée sur A, nous obtenons de nouveau (1).
Finalement, si p est un point arbitraire de A, on utilise le résultat précédent pour [a, b, p},
{b, c, p], et {c, a, p], ce qui termine la démonstration.

250
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
10.14. Théorème de Cauchy pour un ensemble convexe
Soit £2 un ouvert convexe, p g £2, f continue sur £2, et / g H(£2- {p}). On a pour tout
chemin fermé y dans £2,
J/(z) dz = 0. (1)
y
Démonstration. — Fixons a g £2. Pour tout z e £2, comme £2 est convexe, £2 contient le
segment d'extrémités a et z. De sorte que nous pouvons définir
F(z) = J M)d^ (zefl). (2)
Pour tout z et z0e £2, le triangle de sommets a, Zq, et z est inclus dans 12; d'après le
théorème 10.13., F(z)-F(z0) est donc l'intégrale de / sur [Zq, z]. Fixant z^ nous obtenons si
Z*Zq
F{z)~F{Zo)-f(z0) = — f [/(«)-/(zo)W£ (3)
Z-Zo Z-Z0 J
Étant donné e> 0, la continuité de / en Zq montre qu'il existe un ô> 0 tel que !/(£)-/(z0)| < £
si | l; - zo| < 5. Le module du membre de gauche de (3) est donc inférieur à e dès que |z - z0| < S.
Ceci démontre / = F', et le résultat désiré découle du théorème 10.12.
10.15. Formule de Cauchy pour un ensemble convexe
Soit y un chemin fermé dans un ouvert convexe £2, et soit / g H (£2). Si z € £2 et si zë y*,
on a
/(z)-Indr(z) = ^. jÇ&dl (D
Le cas le plus intéressant est évidemment le cas où Indy(z) = 1.
Démonstration. — Fixons z vérifiant les conditions ci-dessus, et définissons
8(0 = \ Ç-z (2)
f'(z) si Ç = z.
La fonction g satisfait alors les hypothèses du théorème 10.14. D'où
à J«(Ô * = 0. (3)
Si nous substituons (2) dans (3), nous obtenons (1).
En prenant pour y un cercle, le théorème concernant le développement en série entière des
fonctions holomorphes est une conséquence facile du théorème 10.15.
10.16. Théorème
Pour tout ouvert £2 du plan, toute f s H(£2) est développable en série entière dans £2.

la représentation en série entière
251
Démonstration. — Soient f e H(£2) et D(a, R) c R. Si /est un cercle orienté positivement de
centre a et de rayon r < R, la convexité de D(a ; R) nous permet d'appliquer le théorème 10.15.
D'après le théorème 10.11, nous obtenons
f(z) =±j&SldÇ (zeD(a;r)). (1)
Y '
Mais nous pouvons alors appliquer le théorème 10.7., avec X = [0, 2k], Q(t) = y(f) = a + reh
et dfi(i) = f(y(t))Y(t)dt, et nous concluerons qu'il existe une suite {Cn} telle que
/(z) = ^cn(z-ay (ze D(fl ;r)). (2)
n = 0
L'unicité de {cn} (voir le corollaire du théorème 10.6.) montre que l'on obtient la même série
entière pour tout r < R (dans la mesure où a est fixé). La représentation (2) vaut donc pour tout
z g D(a ; R), ce qui termine la démonstration.
Corollaire. — Si f e H(Q\ alors f g H(Q).
Démonstration. — Il suffit de combiner les théorèmes 10.6. et 10.16.
Le théorème de Cauchy a une réciproque utile :
10.17. Théorème de Morera
Soit f une fonction continue complexe sur un ouvert Q telle que pour tout triangle fermé
AczQ,
\f(z)dz = 0.
Alors fe H(Q).
Démonstration. — Soit V un ouvert convexe de Q. Comme pour la démonstration du
théorème 10.14., nous pouvons construire F g H(V) telle que F' = /. Les dérivées des
fonctions holomorphes étant holomorphes (corollaire du théorème 10.16.), pour tout ouvert convexe
VczQ, nous avons fe H(V), d'où fe H{Q).
LA REPRÉSENTATION EN SÉRIE ENTIÈRE
Le fait que toute fonction holomorphe soit localement la somme d'une série entière
convergente a un grand nombre de conséquences intéressantes. Quelques-unes sont développées dans
cette section.
10.18. Théorème
Soit Q un domaine et soit f e H(Q). Posons
Z(f) = {a e£2 :/(<*) = 0}. (1)
Alors ou bien Z(f) = Q ou bien Z(f) n'a pas de point d'accumulation dans Q. Dans ce dernier
cas, à chaque ae Z(f) correspond un entier positif unique m = m (a), tel que
/(z) = (z-a)mg(z) (zefl). (2)

252
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
où g e H (£2) et g (a) * 0. De plus, Zif) est au plus dénombrable.
(On rappelle qu'un domaine est un ouvert connexe).
L'entier m est appelé l'ordre du zéro de / au point a. Il est clair que Zif) = £2 si et seulement
si / est identiquement nulle dans £2. L'ensemble Zif) s'appelle l'ensemble des zéros de /. On
a bien sûr des résultats analogues pour l'ensemble des a-points de /, c'est-à-dire l'ensemble
des zéros de /- a, où a désigne un nombre complexe quelconque.
Démonstration. — Soit A l'ensemble de tous les points d'accumulation de Zif) dans £2.
Comme / est continue, AczZ(f).
Fixons a g Zif), et choisissons r > 0 de sorte que D(a ; r) cz£2. D'après le théorème 10.16.,
f(z) = Xc.(z-fl>" D(a;r)). (3)
n = 0
Il y a seulement deux possibilités. Ou bien tous les cn sont nuls, auquel cas D(a ; r) c A et a
est un point intérieur de A, ou bien il y a un plus petit entier m (nécessairement positif, puisque
f(a) - 0) tel que cm * 0. Dans ce cas, définissons
g(z) = izea-{a}), (4)
\cm (z = a).
Ainsi (2) est vraie. Il est clair que g e H(Q- {a}) I Mais (3) indique
g(z) = ^cm + k(z-a)k (zeD(a;r)). (5)
k = 0
D'où g e HiD(a ; r)), et donc g e H(£2).
En outre, g (a) * 0, et la continuité de g montre qu'il existe un voisinage de a sur lequel g ne
s'annule pas. Ainsi d'après (2), a est un point isolé de Zif).
Si a g A, c'est nécessairement le premier cas qui se produit. Donc A est ouvert. Si B = £2-A,
il est clair d'après la définition de A comme ensemble de points d'accumulation, que B est
ouvert. En sorte que £2 est la réunion des ouverts disjoints A et B. Comme Q est connexe, ou
bien A = £2, auquel cas Zif) = £2, ou bien A = 0. Dans ce dernier cas, Zif) a au plus un nombre
fini de points dans chaque sous-ensemble compact de £2, et puisque Q est cr-compact, Zif) est
au plus dénombrable.
Corollaire. — Si f et g sont des fonctions holomorphes sur un domaine £2 et sif(z) = g (z) pour
tout z dans un ensemble qui possède un point d'accumulation dans £2, on a alors f(z) = g(z)
pour tout z g £2.
En d'autres termes, une fonction holomorphe sur un domaine £2 est déterminée par ses
valeurs sur tout ensemble qui possède un point d'accumulation dans £2. Ceci est un important
théorème d'unicité.
Remarque: le théorème est en défaut si nous oublions l'hypothèse de connexité de £2. Si
£2 = £20 u £2}, où £2^ et £2x sont deux ouverts disjoints, il suffît de poser/= 0 sur £2q et/ = 1 sur £2x.
10.19. Définition. — Si a g £2 et / g H(£2- {a}), on dit que / a une singularité isolée au
point a. Si / peut être définie en a de sorte que la fonction prolongée soit holomorphe sur £2,
on dit que la singularité est artificielle.

la représentation en série entière
253
10.20. Théorème
Soit f e H{£2- {a}) et supposons f bornée sur D'(a ; r) pour un r> 0. La fonction f a une
singularité artificielle en a.
Rappelons que D'(a ; r) = {z : 0 < z - a < r].
Démonstration. — Définissons h (a) = 0, et h (z) = (z - a)2f(z) sur £2 - {a}, la fonction / étant
bornée, h1 (a) = 0. La fonction h étant évidemment différentiable en tout autre point de Q
nous avons h e H(£2), et
h(z) = %cn(z-a)n (ze D(a;r)).
n = 2
Nous obtenons l'extension holomorphe désirée de / en posant/(a) = c2, car alors
/te) = y£cn + 2(z-a)n (ze D(a;r)).
n = 0
10.21. Théorème
Si a g Q et si f e H(£2- {a}), l'un des trois cas suivants doit se produire :
(a) f a une singularité artificielle en a ;
(b) il existe des nombres complexes c,,---, cm, où m est un entier positif et cm * 0, tels que
i(z-a)
ait une singularité artificielle en a ;
(c) si r > 0 et D(a ; r) c £2, Vimage f(D'(a ; r)) est dense dans le plan complexe.
Dans le cas (b), on dit que / a un pôle d'ordre mena. La. fonction
m
Xe*
k= 1
qui est polynôme en (z - tf)"1, est appelée la partie principale de / en a. Il est clair dans cette
situation que |/(z)| —> 00 quand z —» a.
Dans le cas (c), on dit que / a une singularité essentielle en a. Il est équivalent à (c) de dire
qu'à chaque nombre complexe w correspond une suite {z„} telle que z„ —> a et f(zn) —> w
quand
Démonstration. — Supposons que (c) n'ait pas lieu. Il existe alors r > 0, S> 0, et un nombre
complexe w, tels que |/(z)-w| > 8 dans D'(a ; r). Écrivons D pour D(a ; r) et D' pour
Df(a ; r). Définissons
= 77"T (ze D'). (1)
/te)-w
On a g g H(D') et |g| < 1/5. D'après le théorème 10.20., g se prolonge en une fonction
holomorphe dans D.
Si g(a) *0, (1) montre que pour un p> 0 la fonction/est bornée dans D\a ; p). Et donc
l'assertion (a) est vraie, d'après le théorème 10.20.
Si g a un zéro d'ordre m > 1 en a, le théorème 10.18 montre que
g(z) = te-a)mg,(z) (ze £>), (2)

254
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
où g, g H(D) et gx(a)*Q. En plus d'après (1), g, n'a pas de zéro dans D\ Posons h - 1/g,
dans D. On a h g H(D), h n'a pas de zéro dans D et
f(z) -w = (z- aYm h(z) (ze D'). (3)
Mais h a un développement de la forme
Hz) = ^bAz-a)" (ze D), (4)
m = 0
où Z?0 / 0. Maintenant (3) montre que (b) est vraie, avec ck-bm_k, k = 1,..., m.
Ceci termine la démonstration.
Nous allons maintenant exploiter le fait que la restriction à un cercle de centre a d'une série
entière Ic„(z~ a)n est une série trigonométrique.
10.22. Théorème
Si f est définie par
f(z) = j^cn(z-a)n (ze D(a ; R)) 0)
n = 0
et si 0 < r < R, on a
î|c"|V" = rnOfia + re'e^de-
n = 0
Démonstration. — On part de
/(a + r*'a) = Xc„rVn*. (3)
« = o
Pour r < R, la série (3) converge uniformément sur [-71, +71]. D'où
C" r" = Tn Cf(a + (n = 0, 1, 2, ■■•), (4)
et (2) peut se voir comme un cas particulier de la formule de Parseval.
Voici quelques conséquences :
10.23. Théorème de Liouville
Toute fonction entière bornée est constante.
Rappelons qu'une fonction est entière si elle est holomorphe sur tout le plan.
Démonstration. — Supposons / entière, \f (z)\ < M pour tout z, et f(z) = ]£c„ z" pour tout z.
D'après le théorème 10.22.,
ï|c„|V"<M2
n = 0
pour tout r, ce qui n'est possible que si cn = 0 pour tout n > 1.
10.24. Théorème du maximum
Soient Q un domaine, f e H(Q) et D(a, r)czQ où r> 0. Alors
\f(a)\ < max |/( a + reie)\. (1)
Dans (1) l'égalité a lieu si et seulement si f est constante sur Q.

la représentation en série entière
255
Par conséquent, à moins que /ne soit constante, |/| ne possède pas de maximum local en un
quelconque point de Q.
Démonstration. — Supposons \f(a + re'e)\ < \f(a)\ pour tout 0. Avec les notations du
théorème 10.22., on déduit que
X|c„|V"<|/(a)|2 = |c0|2.
n = 0
Donc c, = c2 = ... = 0, ce qui donne f(z) = f(a) sur D(a ; r). Le domaine Q étant connexe, le
théorème 10.18 montre que / est constante sur £2.
Corollaire. — Avec les mêmes hypothèses, si f ne s'annule pas dans D(a ; r),
|/(a)|>min \f(a + reie)\. (2)
Démonstration. — Sif (a + re'e) = 0 pour un certain 0, la relation (2) est évidente. Autrement,
il existe un domaine £2q, contenant D(a ; r) sur lequel / ne s'annule pas. On peut donc appliquer
(l)à 1//, et en déduire (2).
10.25. Théorème
Soit n un entier positif, et
P(z) - zn + an_xzn~^ + ••• + axz + aQ,
où les Oq, a{, anA sont des nombres complexes. Le polynôme P a précisément n zéros dans
le plan.
Bien sûr, on compte les zéros selon leur multiplicité : un zéro d'ordre m, par exemple, est
compté comme m zéros. Ce théorème contient le fait que le corps des nombres complexes est
algébriquement clos, c'est-à-dire que tout polynôme non constant, et à coefficients complexes,
possède au moins un zéro complexe.
Démonstration. — On choisit r> 1 + 2|a0| + |a,| + ... + |a„_,. En sorte que
\P(reie)\ >|P(0)| (O<0<2tt).
Si P ne possédait aucun zéro, la fonction /= MP serait entière et pour tout 0 satisferait
i/(0)l > f(ree)-> ce qui contredit le théorème du maximum. Donc pour un zx, on a P(zx) = 0.
Par conséquent il existe un polynôme Q, de degré n-\, tel que P(z) = (z - zx) Q(z). La
démonstration se termine alors par récurrence sur le degré n.
10.26. Théorème (estimations de Cauchy)
Si f e H(D(a ; R) et \f(z)\ < M pour tout z e D(a ; R), on a
\fin\a)\<^(n= 1,2,3,..-). (D
R
Démonstration. — Pour tout r < R, chaque terme de la série 10.22. (2) est majoré par M2.
Si nous prenons a = 0, R = l,/(z) = z", alors M = l./^O) = n\, et l'on voit que les
estimations (1) ne peuvent pas être améliorées.

256
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
10.27. Définition. — Une suite de fonctions {fj} définies sur £2 converge vers f
uniformément sur les sous-ensembles compacts de Q si h chaque compact K cz Q et à chaque £ > 0
correspond un entier N = N(K, e), tel que |/y(z) - /(z)| < s pour tout z e K si j > N.
Par exemple, la suite {zn} converge vers 0 uniformément sur les sous-ensembles compacts
de D(0 ; 1), mais la convergence n'est pas uniforme dans D(0 ; 1).
C'est la convergence uniforme sur les sous-ensembles compacts qui intervient le plus
naturellement à propos des opérations de limite sur les fonctions holomorphes. Le terme de
« convergence presque uniforme » est parfois utilisé pour cette notion.
10.28. Théorème
Soient fjt H (£2), pour j = 1, 2, 3, -, et supposons que f} —> f uniformément sur les sous-
ensembles compacts de £1 Alors f e H(£2), et /}—>/' uniformément sur les sous-ensembles
compacts de £1
Démonstration. — Puisque la convergence est uniforme sur tout disque compact inclus dans
£2, f est continue. Soit à un triangle dans £2. Puisque A est compact, d'après le théorème de
Cauchy
\f(z)dz = \imjfj(z)dz = 0.
dA J^°°dA
Le théorème de Morera montre que / e H(£2).
Soit K un compact, Kcz£2. Il existe un r>0 tel que la réunion E des disques fermés
D(z ; r), pour tout ze K, soit un sous-ensemble compact de £2. En appliquant le
théorème 10.26. à f - fj, on a
\f\z)-fj(z)\<r''\\f-fj\\E izeK),
où ||/||£ désigne la borne supérieure de |/| sur E. Comme fj—>f uniformément sur E, il
résulte que /' - fj—>0 uniformément sur K.
Corollaire. — Sous les mêmes hypothèses, quand j —» ~, —» f{n) uniformément sur tout
compact K cz£2 et pour tout entier positif n.
Il faut comparer ce résultat avec la situation analogue sur l'axe réel, où une suite de fonctions
indéfiniment différentiables peut converger uniformément vers une fonction nulle part
différentiable !
LE THÉORÈME DE L'IMAGE OUVERTE
Si / g H(£2) lorsque £2 est un domaine, ou bien f(£2) est aussi un domaine, ou c'est un
point.
Cette propriété importante des fonctions holomorphes sera démontrée, en plus amples détails,
au théorème 10.32.

le théorème de l'image ouverte
257
10.29. Lemme. — Si f e H (£2), la fonction g définie sur £2 x £2 par
\f(z)-f(w)
g(z, w) = <
si w # z
z-w
/'(z) si w = z,
e.yf «rce fonction continue sur £2x £2.
Démonstration. — Il n'y a qu'aux points (z, w) e £2x£2 de la forme z = w que la continuité
de g peut poser un problème.
Choisissons a e £2 et £>0. Il existe r>0 tel que D(a ; r)cz£2, et ~ / (^)l < f Pour
tout f € D(a ; r). Pour z et w dans D(a ; r), si
Ç(t) = (l-0z + fw,
g D(û ; r) pour 0 < t < 1 et
g(z,w)-g(a,a) = /'[/'(CU))-/^)]*.
Le module de la fonction à intégrer est < e pour tout t. Donc |g(z, w) - g (a, a)\ < e. Ce qui
prouve la continuité de g en (a, a).
10.30. Théorème
Soit (p g H(£2), zQ e £2 et ç)'(zo) * 0. // ex/rte mm voisinage ouvert V de Zq tel que
(a) q> est injective sur V
(b) W = <p(V) est un ouvert, et
(c) si Y : W^> V est définie par *F(ç(z)) = z, alors ^e H(W).
Ainsi ç : V —» W possède une fonction inverse holomorphe.
Démonstration. — Le lemme 10.29., en remplaçant / par (p, montre que £2 contient un
voisinage ouvert Vde z0 tel que si zx e V et z2 e V,
\(p(z])-<p(z2)\>^\<p\z0)\\z[-z2\. O)
Ce qui prouve (a), et en plus fournit
(p'(z)*0 (zeV). (2)
Pour démontrer (b), on prend a g V et on choisit r > 0 de sorte que D(a ; r) cz V. Grâce à
(1), il existe une constante o 0 pour laquelle
\<p(a + reie) -ç(a)\ > 2c (-tt< 0< w). (3)
Si Ae D(<p(a); c), puisque \X-<p(a)\ <c, (3) implique
min |A- ç>(a + ree)\ > c. (4)
D'après le corollaire du théorème 10.24., il faut que A - (p possède un zéro dans D (a ; r). Donc
pour un certain z g D(a ; r) c V, on a A = <p(z).
Ce qui prouve D(p(a);c)c<p(V). Mais comme a est un point quelconque de V, on déduit
que <p(V) est ouvert.
Pour démontrer (c), on prend wx e W = <p( V). Il existe un unique Z] e V tel que
(p(Z\) = Wj. Si w g W et f (h>) = z g V, on a
*F(w)- ^(w,) z-z,
vv-w, <p(z)-<P(Zi)
(5)

258
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
Grâce à (1), z —> Z\ lorsque w—>w^ De sorte que (2) implique *F'(w) = ——-. Ainsi
«pG H(W).
10.31. Définition. — Pour m = 1,2,3,..., la « w-ième fonction puissance » z -» zm est notée nm.
Tout w^O est nm(z) pour exactement m valeurs distinctes de z. Si w - re6, r>0,
Km (z) = w si et seulement si
z-rme , k = 1,..., m.
On note aussi que chaque ;rm est une application ouverte : si V est un ouvert ne contenant
pas l'origine, le théorème 10.30. montre que 7Tm(V) est aussi un ouvert. Par ailleurs
7Tm(D(0;r))=D(0;rm).
La composition d'applications ouvertes est évidemment une application ouverte. En
particulier, grâce au théorème 10.30., nmo (p est ouverte si cp1 ne s'annule pas. Le théorème suivant,
qui est la version détaillée du théorème de l'image ouverte mentionnée avant le lemme 10.29.,
énonce une réciproque : toute fonction holomorphe non constante sur un domaine est
localement de la forme nmo (p, à une constante additive près.
10.32. Théorème
Soient £2 un domaine, f e H (£2), f non constante, z0e £2, et w0 = /(Zo)- Soit m l'ordre
du zéro de la fonction f- w0 en Zq.
Il existe un voisinage ouvert V de Zq, V cz Q, et il existe (ps H(V), tels que
(a) f(z) = wQ+[(p{zW pour tout ze V,
(b) ç1 n 'a aucun zéro dans V, et (p est une application inversible de V sur un disque D (0 ; r).
Ainsi / - w0 = nm o <p sur V. Ainsi / est une application telle que tout point image dans
£'(wo * r™) provient exactement de m points de V- {z0} ; en outre chaque u>0 g f{Q) est un
point intérieur de f(£2). Ainsi f(£2) est un ouvert.
Démonstration. — On ne perd aucune généralité en supposant que Q est un voisinage
convexe de Zq, suffisamment petit pour que f(z) * w0 si z g £2- {z0}. Ainsi, pour une certaine
fonction g g H(£2) ne s'annulant pas sur £2, on a
f(z)-w0 = (z-z0)mg(z) (ze £2). (1)
Donc gVg g H(£2). Grâce au théorème 10.14., il existe h g H(£2) et gVg = h \ La dérivée
de la fonction g exp (- h) est nulle. Quitte à modifier h en lui ajoutant une constante, on déduit
g = exp (h). On définit
cp(z) = (z-zo)exp^ (ze £2). (2)
m
Pour tout ze £2, on obtient bien (a).
En outre, (p(z0) = 0 et (p\zo) * 0. Le théorème 10.30. fournit alors l'existence d'un ouvert V
satisfaisant (b). Ce qui termine la démonstration.
Bien que contenu dans les résultats précédents, le théorème suivant mérite d'être
explicitement énoncé.

le théorème global de cauchy
259
10.33. Théorème
Soient Q un domaine, f e H(Q) et supposons f injective sur Q. Pour tout ze Q, f\z)^0
et l'inverse de f est holomorphe.
Démonstration. — Si /'(Zo) valait 0 en un certain Zo g Q, les hypothèses du théorème 10.32.
seraient satisfaites pour un certain entier m > 1, de sorte que / ferait provenir un point image
de m points distincts dans un certain voisinage pointé de zQ, ce qui contredit l'injectivité de /.
La deuxième partie résulte du théorème 10.30. (c).
On notera que la réciproque du théorème 10.33. est inexacte comme on le constate avec
f(z) = ez, puisque pour tout z complexe /'(z)*0, mais / n'est pas injective sur le plan
complexe.
LE THÉORÈME GLOBAL DE CAUCHY
Avant d'énoncer et de prouver ce théorème, destiné à éliminer la restriction de convexité sur
le domaine imposée dans l'énoncé du théorème 10.14., il convient d'enrichir quelque peu l'outil
d'intégration qui nous fut jusqu'ici suffisant. Pour l'essentiel, il s'agit de ne plus se restreindre
à des intégrales sur de simples chemins, mais de considérer des « sommes » finies de chemins.
Un exemple simple a déjà été vu à la section 10.9. (c).
10.34. Chaînes et cycles
Soient y, y, des chemins dans le plan, où K = yf u ... u y*. Chaque y génère une
forme linéaire y, sur l'espace vectoriel C(K) par la formule
Yi(f) = jf(z)dz. (1)
ri
On définit
r= y, + ... + y„ (2)
De manière explicite = yx(f) + ... + /„(/) pour toute fe C(K). La relation (2)
suggère l'introduction d'une « somme formelle »
r= y, + ... + y„, (3)
et la définition
\f(z)dz =r(/). (4)
r
De sorte que (3) désigne simplement une abréviation de l'écriture
jf(z) dz = X J/(z) * (/e (5)
r , = i Yi
En cette somme (5) sert de définition au membre de gauche.
Ainsi définis, les objets F sont des chaînes. Lorsque chacun des y dans (3) est un chemin
fermé, r est un cycle. Lorsque chacun des y dans (3) est un chemin dans un ouvert Q, r est
une chaîne dans X2.

260
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
Avec (3) on définit aussi
T* = yf u...uy*. (6)
U indice de a par rapport à 7", où Test un cycle et ae T*, est par définition, comme pour
le théorème 10.10.
1 r dz
™^ = Tn{f-a (7)
La relation (3) donne évidemment
n
Indr(a) = £lndr(a). (8)
i = 1
Si Ton remplace tout y dans (3) par le chemin opposé (voir section 10.8.), la chaîne ainsi
construite est désignée par - JT. Ainsi
J/(z) dz = -\f(z) dz (/e C(r*)). (9)
-r r
En particulier, lorsque T est un cycle et a e F*, Ind_ r (a) = - Indr (a).
On peut simplement additionner ou soustraire les chaînes en additionnant ou soustrayant les
fonctionnelles correspondantes. Énoncer r = T, + T2 signifie que pour tout f e C(Tf u r*),
J/(z) dz = jf(z) dz + J/(z) (10)
r r, r2
Enfin, on notera qu'une chaîne peut être représentée de plusieurs manières comme somme
de chemins. Dire en effet que
y,+y2+...+ y„ = <5, + <S2+...+<5*
signifie seulement que pour toute / continue sur yf u ... u y* u5f u ... u
n k
I \f(z)dz = X J/(z)<fe.
En particulier, un cycle peut très bien être représenté comme somme de chemins non fermés.
10.35. Théorème de Cauchy
Soit f g H (H), où Q est un ouvert quelconque du plan. Pour tout cycle V dans Q tel que
Indr(a) = 0 pour tout a n 'appartenant pas à ( 1 )
on a
/(z).Indr(z) = ^ f ^ dw pour ze G-T*, (2)
2 Kl J W — Z
et
\f(z) dz = 0. (3)
r
Lorsque F0 et F, sont des cycles dans Q tels que
Indice) = Indice) pour tout a n'appartenant pas à Q, (4)
on a
J/(z) dz = jf(z) dz. (5)

le théorème global de cauchy
261
jl f tl>l
2m Jp w-z
Démonstration. — D'après le lemrne 10.29., est contenue sur £2 x £2 la fonction g définie sur
£2x £2 par
IfM-f(z)
g(z,w) =
On peut alors définir
si wïz
w-z (6)
f\z) si w = z.
h(z) = J*(z,w) dw (ze fl). (7)
Lorsque z e 12- r*, la formule de Cauchy (2) équivaut évidemment à l'énoncé
fc(z) = 0. (8)
Pour démontrer (8), commençons par prouver que h e if(fl). On peut rappeler que g est
uniformément continue sur tout sous-ensemble compact de fl x fl. Si z e £2, z„ g £2 et
zn —» z, on en déduit que g(z„, w) —> g(z, w) uniformément sur T* (c'est un sous-ensemble
compact de £2), et donc h(zn) —» fc (z). Ce qui prouve la continuité de sur fl. Soit A un triangle
fermé dans £2, on a
Jfc(z)<fe = jfjg(z,w)</zW (9)
, 27T/ vs
<9d r v<?4
Pour tout w g 12, z —> g(z, w) est holomorphe sur £2 puisque la singularité en z = w est
artificielle. L'intégrale intérieure du membre de droite dans (9) est donc nulle pour tout w g r*. Le
théorème de Morera conclut alors que fc g H(£2).
Désignons ensuite par £2X l'ensemble des nombres complexes z é F* pour lesquels
Indr(z) = 0 et définissons
Si ze flnflh la définition même de £2X montre clairement que fc, (z) = fc (z). De sorte qu'il
existe une fonction ç g H(£2u £2x) dont la restriction à {2 est fc, et dont la restriction à £2X est fcP
Notre hypothèse (1) assure que flt contient le complémentaire de £2. Ainsi la fonction (p est
une fonction entière. Par ailleurs, fl, contient aussi la composante connexe non bornée du
complémentaire de T* puisque Indr(z) = 0 sur cette composante. De sorte que
lim<p(z) = limfc^z) = 0.
kl -» *> |z| -» -
Le théorème de Liouville assure donc que <p(z) = 0 pour tout z. Ce qui prouve (8), et donc (2).
Pour déduire (3) de (2), on choisit as £2- T* et on définit F(z) = (z - a)f(z). Alors, parce
que F (a) = 0, on a
Enfin, (5) se déduit de (4) en appliquant (3) au cycle r= Tx- ro. Ce qui termine la preuve.
10.36. Remarques
(a) Pour un chemin fermé /dans un domaine convexe £2, et pour ae £2, l'application du
théorème 10.14 à /(z) = (z - ce)1 montre que Indy(a) = 0. L'hypothèse (1) du théorème 10.35
est donc satisfaite pour tout cycle dans £2, si £2 est convexe. Ce qui montre que le
théorème 10.35 généralise les théorèmes 10.14 et 10.15.

262
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
(b) La dernière partie du théorème 10.35 indique à quelles conditions l'intégration sur un
cycle peut être remplacée par l'intégration sur un autre cycle sans changer la valeur de
l'intégrale. À titre d'exemple, soit Q le plan duquel on a ôté trois disques fermés disjoints Dv D2et
D3. Si T, y,, y2, y3 sont des cercles positivement orientés dans Q de sorte que r entoure
Dx u D2 u D3 et y entoure D, mais non D} (j i), on a alors pour toute / g H(Q)
3
\f(z) <fe = £ jf(z) dz.
r , = i n
(c) Afin de pouvoir utiliser le théorème 10.35, il semble souhaitable de disposer d'une
méthode efficace pour calculer l'indice d'un point par rapport à un chemin fermé. Tel est l'effet
du théorème suivant pour tous les chemins que l'on rencontre dans la pratique. En gros, il
indique que l'indice augmente d'une unité quand on traverse le chemin de la droite vers la gauche.
Puisque l'on se souvient que Indy (a) = 0 lorsque a appartient à la composante connexe non
bornée du complémentaire W de y*, on voit comment l'on peut successivement calculer
lndY(a) dans toutes les autres composantes, du moins si W n'a qu'un nombre fini de
composantes connexes et /ne parcourt aucun arc plus d'une fois.
10.37. Théorème
Soit y un chemin fermé du plan, dont le segment du paramétrage soit [ce, p]. Soient des
nombres complexes, a et b, \b\ = r>0et(X<u<v<p tels que
(i) y(u) = a-b, /(v) = a + b
(ii) | y(s) - a \ < r si et seulement si u < s < v,
(iii) | y(s) - a | = r si et seulement si s - u ou s - v.
Supposons de plus que D(a ; r)-/* soit la réunion de deux domaines, D+ et D_, ainsi
dénotés de sorte que a + bi g D+ et a- bi g D-.On a, si z g D+ et w e D_,
lndy(z) = 1 +Indy(w).
Parce que /(r) traverse D (a ; r) de a - b à a + b, D_ est « à droite » et D+ est « à gauche » du
chemin.
Démonstration. — Pour simplifier l'écriture, on reparamètre /de sorte que u = 0 et v = n. On
définit
-be"
(0<s<2n)
C(s)
{0<s<n)
y(2n-s)
(k<s<2k)
y(s)
(0<s<7t)
C{s)
(k<s<2k)
(a<s<0 ou k<s<p)
[C(s)
(0<s<k)
m =
g(s) =
h(s) =
Puisque y(0) = C(0) et y(k) = C(k), f,geth sont des chemins fermés.
Si E<zD(a ; r), \Ç-a\ = r et Çë E, alors E est contenu dans le disque D(2a- Ç ; 2r)
lequel ne contient pas Ç On applique ceci à E = g*, Ç=a-bi, pour voir (à partir de la

le théorème global de cauchy
263
remarque 10.36 (a)) que lndg (a - b) = 0. Comme D_ est connexe, et que D_ n'intersecte pas
g*, on déduit que
Ind^(w) = 0 si we D_. (1)
Le même raisonnement montre que
lndf(z) = 0 si ze D+. (2)
On peut conclure que
Indy(z) = IndA(z) = lndh(w)
= Indc(w) + Indy(w) = 1+Indy(w).
En effet, la première des égalités provient de (2) puisque h = / + /. La seconde vient de ce
que z et w sont dans D(a ; r) ; un ensemble connexe qui n'intersecte pas h*. La troisième
provient de (1), puisque h + g = C + /la quatrième est une conséquence du théorème 10.11. Ce
qui termine la démonstration.
Nous abordons une discussion brève d'un autre concept topologique qui intervient avec le
théorème de Cauchy.
10.38. Homotopie. — Soient y0 et yx deux courbes fermées dans un espace topologique X, de
même segment du paramétrage /= [0, 1]. On dit que y0 et yx sont X-homotopes s'il existe une
application continue H définie sur le carré unité I2 = / x / et à valeurs dans X telle que pour
tous s g I et te /,
H(s90) = y0(j),ff(j, 1) = 7i(*).tf<0,0 = H(l,t). (1)
On pose yt(s) = H (s, f). Ainsi, (1) définit une famille à un paramètre de courbes fermées y dans
X qui connecte yQ et yx. Le sens intuitif est que y0 peut dans X être continuement déformée en yv
Si y0 est X-homotope à l'application constante y, (où yf est constitué d'un seul point), on dit
que y0 est d'homotopie nulle dans X. Si X est connexe, et si toute courbe fermée est d'homotopie
nulle dans X, on dit que X est simplement connexe.
Par exemple, tout domaine convexe Q est simplement connexe. En effet, soit yQ une courbe
fermée dans Q, choisissons zx g £2 et définissons
H(s,t) = (l-07o(j) + 'Zi (0<5<l,0<f<l). (2)
Le théorème 10.40 établira que la condition (4) du théorème 10.35 est satisfaite dès que ro
et rx sont des chemins fermés fl-homotopes. Comme cas particulier, on notera que la condition
(I) du théorème 10.35 est satisfaite pour tout chemin fermé r dans C2 si Q est simplement
connexe.
10.39. Lemme. — Si yQ et yx sont des chemins fermés dont le segment du paramétrage est
[0, 1], 5i a est un nombre complexe et si
\ïi(s)-Ms)\<\a-Ms)\ (0<5<1) (1)
alors
Indyn(a) = Indy(cx).

264
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
Démonstration. — La condition (1) impose à la fois a g Yo et a e yi. On peut alors définir
Yi-a
Y = -, et
Yo-a
l! = J^__J^. (2)
Y Y\-<* Yo-<*
En outre, (1) fournit |1 - y| < 1. En sorte que y* c: D( 1 ; 1 ). Ce qui fixe lndr(0) = 0.
L'intégration de (2) sur [0, 1] donne alors le résultat annoncé.
10.40. Théorème
Lorsque F0 et F, sont Q-homotopes dans un domaine Q et a £ Q, on a
Indri(a) = Indro(a). (1)
Démonstration. — Il existe par définition une fonction continue H = I2 —> X2 telle que
H(st0) = r0(s),H(s, 1) = r{(s),H(0,t) = H(\,t). (2)
La compacité de I entraîne celle de H(I2). De sorte qu'existe e > 0 tel que
\a-H(s,t)\>2e si (s,t)e I2. (3)
L'uniforme continuité assure l'existence d'un entier positif n tel que
\H(s,t)-H{s,,t1)\<e si \s-s'\ + \t- f'| <-• (4)
On définit alors pour /- 1 <ns<i et / = 1, les chemins fermés polygonaux y0, /„
selon
yk(s) = H(-,-\ns+l-i) + H(—,-\i-ns). (5)
\n nj \ n nj
Grâce à (4) et (5),
k
yk(s)-H\ s,n
<e (* = 0,...,/! ;0<5<1). (6)
En particulier, en faisant k = 0, puis k = n,
| y0(j) - r0(s) | < e, 17«(^) - r{ (s) | < £. (7)
Grâce à (6) et à (3),
\a-yk(s)\>e (fc = 0,...,n,0<s<l). (8)
D'autre part, (4) et (5) donnent à leur tour
17*-i(*) - n(j)| < e (k = 1, n ; 0 < s < 1 ). (9)
On déduit alors de (7), (8) et (9), par (n + 2) utilisations du lemme 10.39 que a a le même
indice par rapport à tous les chemins r0, y0, yl9/„, . Ce qui prouve le théorème.
Remarque : Si dans la démonstration précédente l'on pose rt(s) = H (s, r), toute courbe r,
est fermée, mais elle n'est pas nécessairement un chemin dans la mesure où H n'a pas été
supposée différentiable. C'est pour cette raison qu'il a fallu introduire les chemins yk. Une
façon autre (et peut-être plus satisfaisante) est d'étendre la définition d'un indice aux courbes
fermées. Cette procédure est esquissée à l'exercice 28.

le calcul des résidus
265
LE CALCUL DES RÉSIDUS
10.41. Définition. — Une fonction / est méromorphe sur un ouvert £2 s'il existe un
ensemble A cz £2 tel que
(a) A n'a pas de point d'accumulation dans £2,
Q>)feH{Q-A)t
(c) chaque point de A est un pôle pour /.
On n'exclut pas la possibilité A = 0 . De sorte que toute / g H(£2) est méromorphe sur £2.
Puisqu'aucun sous-ensemble compact de £2 ne contient une infinité de points de A,
l'hypothèse (a) montre que A est au plus dénombrable.
Par / et A comme ci-dessus, et pour a s A , si
Q(z) = j^ck(z-ayk, (d
k = 1
désigne la partie principale de / en a, à la manière dont elle a été définie au théorème 10.21
(c'est-à-dire si / - Q présente une singularité artificielle en a), on appelle résidu de f en a le
nombre c,, et on note
c, = Rés(/;fl). (2)
Lorsque F est un cycle et a e F*, l'expression (1) conduit à
f Q(z) dz = cr Indr(ii) = Rés(g ; a) • Indr (a). (3)
2m Jr
Ce résultat très particulier du théorème suivant servira pour la démonstration.
10.42. Le théorème des résidus
Soit f une fonction méromorphe sur £2 et A V ensemble des pôles de f dans £2. Si F est un
cycle dans £2- A, tel que
Indr (a) = 0 pour tout ae £2, (1)
alors
jZ7t \m dz= X Rés(/;<0 • Indr(fl) (2)
ae A
Démonstration. — Soit B = {a g A : Indr(a) * 0} et soit W le complémentaire de F*. En
ce cas, Indr(z) est constant sur chaque composante connexe V de W. Lorsque V n'est pas
borné, ou lorsque V intersecte le complémentaire de £2, la relation (1) contraint Indr (z) = 0
pour tout ze V. Dans la mesure où A n'a pas de point d'accumulation dans £2, on déduit que
B est un ensemble fini.
Quoique formellement infinie, de fait la somme intervenant dans (2) est finie.
Soient au an les points de B, et Ql9Qn les parties principales de / en a,, an.
Posons g = /- (Q, + ... + Q„). (Si fi = 0, ce qui n'est pas impossible, alors g = f).
Posons aussi £20 = X2- (A - B).

266
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
Puisque g a une singularité artificielle en a„ an, le théorème 10.35 appliqué à la fonction
g et à Touvert fl0, donne
f g(z) dz = 0. (3)
Donc, puisque / et Qk ont le même résidu en ak, on obtient (2) selon
j /W*=Î57.f Qk(z)dz= SRés (Qh\ak) IndrU)-
k=\ k=\
Nous conclurons ce chapitre par deux applications typiques du théorème des résidus. La
première concerne les zéros des fonctions holomorphes, et la seconde fournit l'estimation d'une
intégrale particulière.
10.43. Théorème
Soit y un chemin fermé dans un domaine fl pour lequel Indy(a) = 0 dès que ae fl.
Supposons en outre Indy (a) = 0 ou = 1 pour tout ae Q-y*, et soit fl, l'ensemble des a
pour lesquels Indy (a) = 1.
Pour f e //(fl), soit Nf le nombre de zéros de f dans flt, chacun compté avec son ordre
de multiplicité.
(a) Si f e //(fl) et si f n'a aucun zéro sur y* on a avec r = f o y,
"' = àJr^*=Ind'-(0)- (1)
(b) Si g e //(fl) et
\f(z) - g(z)\ < \f(z)\ pour tout z e y*, (2)
alors Ng = Nf.
La partie (b) est généralement connue sous le nom de théorème de Rouché. Elle indique que
deux fonctions holomorphes ont le même nombre de zéros dans fl,, dès que ces fonctions sont
suffisamment voisines sur la frontière de fl,, à la façon dont ceci est spécifié par (2).
f '
Démonstration. — La fonction ç = y est néromorphe sur fl. Si ae Q et f possède un
zéro d'ordre m = m(a) en a, on écrit f(z) = (z-a)mh(z) où h et \/h sont des fonctions
holomorphes dans un certain voisinage ouvert V de a. Dans V - [a],
f(z) z-a h(z)
De sorte que
Rés (<p \a) = m(a). (4)
Soit A = [a e : f(a) = 0] .En combinant nos hypothèses sur l'indice de y au théorème
des résidus, on obtient
y ae A ae A

le calcul des résidus
267
Ce qui prouve la première partie de (1). La deuxième partie est affaire de calcul direct, et on
prend [0, 2n\ comme segment du paramétrage de 7.
2m Jr z 2m Jo i(s)
ds
2m h fWs))y(S)dS 2«iJr/(z)
Ensuite, la relation (2) montre que g n'a aucun zéro sur 7*. De sorte que (1) a lieu si l'on
remplace / par g. Posons T0 = g o 7. De (1), (2) et du lemme 10.39, on déduit
Ng = lndro(0) = lndr(0) = Nf.
10.44. Problème. — Pour un t réel, trouver lorsque A —> °° la limite de
+* sin xjxtj (1)
f sin x txtfa
J-a x
SOLUTION. — Puisque la fonction ^^etzt est entière, par le théorème de Cauchy son inté-
z
grale sur [- A, +A] est égale à celle sur le chemin rA ; ce chemin va de - A à -1 suivant l'axe
réel, de -1 à 1 suivant la moitié inférieure du cercle unité et de 1 à A suivant l'axe réel à
nouveau. Parce que rA évite l'origine, nous pouvons utiliser l'identité
2. . 12 -iz
/sinz = e -e ,
pour voir que (1) veut <pA(t + 1) - çA(t - 1 ), où
1<P*M = L — àz. (2)
On complète rA en un chemin fermé de deux façons. D'abord en utilisant le demi-cercle allant
de A à -Ai et à - A ; ensuite en utilisant le demi-cercle allant de A à Ai et à -A. La fonction
isz
— possède un seul pôle, en z = 0, et son résidu vaut 1. Il s'ensuit que
-<M*) = ^ \°exp(isAeie)de, (3)
ltpA(s) = 1 -± f "exp (iW) d6. (4)
k 2K* o
On note que
|exp (isAee)\ - exp (-As sinO).
Dans la mesure où s et sin 6 ont le même signe, cette expression est strictement inférieure à 1
et converge vers 0 lorsque A —> ©o. Le théorème de la convergence dominée indique alors que
l'intégrale (3) converge vers 0 lorsque s < 0, et que lorsque s > 0 l'intégrale (4) converge aussi
vers 0. Donc
[ k si s > 0
\im<f>A(s) = \ (5)
0 s15<0.
et
1 , x , 1

268
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
En utilisant (5) avec s = t + 1 et avec s = t - 1, on obtient
r r a sin x ux , j k
hm e dx = \
A^~J-A X [0
[A sïnxjtx j„_\K si -1 < f < 1 ^
si \t\ < 1.
Puisque çA(0) = ^, dans (6) lorsque t = ±1, la limite vaut ^.
On aura noté que (6) fournit la transformée de Fourier de À titre d'exercice, on véri-
x
fiera le résultat du théorème d'inversion.
EXERCICES
1. Le fait suivant a été tacitement utilisé dans ce chapitre : si A et B sont des sous-ensembles
disjoints du plan, si A est compact et si B est fermé, il existe ô> 0 tel que | a- fî\ > ô pour
tout a g A et P g B . Démontrer ceci pour un espace métrique quelconque, et non pour le seul
plan.
2. Soit / une fonction entière telle que dans toute série entière
f(z) = J^cn(z-a)\
n = 0
au moins l'un des coefficients est nul. Montrer que / est un polynôme.
Indication: n\cn = f(n\a).
3. Supposons que / et g soient des fonctions entières, et que < \g(z)\ pour tout z.
Quelle conclusion peut-on en tirer ?
4. Supposons que / soit une fonction entière, et que pour tout
\f(z)\<A+B\z\k
où A, B et k sont des nombres positifs. Démontrer que / doit être un polynôme.
5. Soit {/„} une suite uniformément bornée de fonctions holomorphes sur £2 telle que
{fn (z)} converge pour tout z g £2. Démontrer que la convergence est uniforme sur tout sous-
ensemble compact de £2.
Indication : appliquer le théorème de la convergence dominée à la formule de Cauchy avec
fn f m •
6. Il existe un domaine £2 tel que exp (£2) = D(l ; 1). Montrer que exp est injective sur £2,
mais qu'il y a plusieurs tels £2. Fixons-en un, et définissons log z, lorsque \z- 1| < 1, comme
le nombre w g £2 pour lequel ew = z. Démontrer que log'(z) = 1/z. Déterminer les
coefficients an du développement en série
Z n = 0
puis les coefficients cn du développement
n = 0
Dans quels autres disques du plan peut-on faire ceci ?

exercices
269
7. Pour / e H(Q), la formule de Cauchy pour les dérivées de / s'écrit, sous certaines
conditions relatives à z et à T comme
Fournir ces conditions et prouver la formule.
8. Soient P et Q des polynômes, le degré de Q dépassant celui de P d'au moins deux unités.
Supposons que la fonction rationnelle R = P/Q n'ait aucun pôle sur l'axe réel. Démontrer que
l'intégrale de R sur ]-<*>, + °o[ est égale à 2m fois la somme des résidus de R dans le demi
plan supérieur. [Remplacer l'intégrale sur [- A, A] par une intégrale sur un demi-cercle
convenable, et appliquer le théorème des résidus]. Quel est l'énoncé analogue pour le demi-plan
inférieur ? Utiliser cette méthode pour calculer
J~l+*4
itx
9. Calculer, par la méthode décrite à l'exercice 8, l'intégrale - dx pour t réel. Véri-
j-~ 1 +x
fier la réponse à l'aide du théorème d'inversion des transformées de Fourier.
10. Soit 7 le cercle positivement orienté de centre 0 et de rayon 1 ; calculer
2m Jy z4
11. Soit a un nombre complexe et \a\ * 1. En intégrant (z - a)~\z- 1/a) 1 Ie l°ng du
cercle unité, calculer l'intégrale
r** dO
1 -2acos0+ ex2
12. Pour un nombre réel t quelconque, calculer
13. Calculer
f~7^ (n = 2,3,4,...).
Jo 1 + x
[Pour n pair, on peut utiliser la méthode de l'exercice 8. Cependant, on peut choisir un chemin
différent qui simplifie le calcul et qui soit aussi valable pour n impair : on va de 0 à R puis à
R exp (2m/n) pour revenir à 0.]
Réponse : - sin - •
n n
14. Soient Qx et £22 des domaines plans, / et g des fonctions complexes non constantes
définies sur fl, et X22 respectivement, et f(Qx)<zQ2. Posons h = g o f. Si / et g sont
holomorphes, nous savons que h est holomorphe. Supposons que nous sachions que f et h soient
holomorphes. Peut-on conclure quelque chose sur g ? Que se passe-t-il si nous savons que g et
h sont holomorphes ?

270
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
15. Soit £2 un domaine, cpe H(£2). Supposons que <p' n'ait pas de zéro dans £2,
f e h(<p(£2)), g = / o q>, zQ e X2, et vv0 = ç(zq). Montrer que si / a un zéro d'ordre m en
w0, g possède aussi un zéro d'ordre m en z0. Comment ce résultat se modifie-t-il si <p' possède
un zéro d'ordre k en zc ?
16. Soient \i une mesure complexe sur un espace mesuré X, £2 un ouvert du plan, q> une
fonction bornée sur £2xX telle que ç>(z, t) soit pour tout ze £2 une fonction mesurable (en
la variable t) et pour tout t e X une fonction holomorphe sur £2. Définissons pour z g £2,
f(z) = f <p(z,t)dti(t).
Jx
Démontrer que / g h(£2).
Indication : montrer qu'à tout compact K cz £2 correspond une constante M < «> telle que
<p(z, t)-(p(zQj t)
Z-Zq
<M (zet z0e K, te X).
17. Déterminer les domaines sur lesquels les fonctions suivantes sont définies et
holomorphes :
f{z) = j 'tTT/ 8(z) = [~-^-2 dt, h(z) = f1 -il «û.
Jo 1 -i- tz Jo i +1 J-i 1 + r
Indication : utiliser l'exercice 16, ou combiner l'utilisation du théorème de Morera à celle du
théorème de Fubini.
18. Soient / g H(£2), D(a ; r) cz £2, et y le cercle positivement orienté de centre a de rayon
r. Supposons que / n'ait pas de zéros sur y* . Pour p = 0, l'intégrale
i r/'(z),/>
2m I
2xi hfiz)Z dZ
donne le nombre de zéros de / dans D(a ; r). Quelle est pour p = 1, 2, 3, ... la valeur de cette
intégrale (en fonction des zéros de f) ? Que devient la réponse si l'on remplace zp par une
fonction cp e H(£2) ?
19. Soient / g H(U\ g e H(U) et U le disque unité ouvert. Supposons que ni / ni g n'aient
de zéros dans U. Si l'on a
trouver une autre relation simple entre / et g.
20. Soit £2 un domaine, et /„ g H(£2) pour n = 1, 2, 3,... aucune des fonctions /„ n'ayant
de zéro dans £2, et {/„} convergeant vers / uniformément sur les sous-ensembles compacts
de £2. Démontrer que, ou bien / n'a pas de zéro dans £2, ou bien /(z) = 0 pour tout ze £2.
Si £2 est un domaine qui contient tous les fn(£2), montrer que f(£2) cz£2' lorsque / n'est
pas une fonction constante.
21. Soit £2 un domaine contenant le disque unité fermé, / g h(£2) et |/(z)| < 1 si |z| = 1.
Combien de points fixes la fonction / doit-elle posséder dans le disque ? Autrement dit,
combien de solutions doit avoir l'équation /(z) = z dans le disque ?
22. Soit £2 un domaine contenant le disque unité fermé, /g h(£2), |/(z)| >2 si |z| = 1,
et /(O) = 1. Faut-il que / ait un zéro dans le disque unité ?

exercices
271
23. Posons pour n = 1, 2, 3, ..., P„(z) = 1 +z/l! + ...+z7n!, et Qn(z) = P„(z)- 1. Que
peut-on dire de la localisation des zéros de />„ et Qn pour les grandes valeurs de « ? Répondre
aussi précisément que possible.
24. Démontrer la forme générale du théorème de Rouché. Soit £2 l'intérieur d'un compact K
du plan et supposons / et g continues sur K, holomorphes sur A. Si \f(z) - g(z)\ <\f(z)\ pour
tout z e K- Q, f et g ont le même nombre de zéros dans £2.
25. Soit A l'anneau {z : r, < |z| < r2} où rx et r2 sont des nombres positifs donnés,
(a) Établir la validité de la formule de Cauchy
(b) Grâce à (a), montrer que l'on peut décomposer toute /g H (A) en une somme de deux
fonctions / = /, + f2, où fx est holomorphe en dehors de D(0 ; rx) et f2 g H(D(0 ; r2)).
Cette décomposition est unique si l'on impose /i(z) —» 0 lorsque |z| —> oo.
(c) Utiliser la décomposition précédente pour associer à chaque / g H (A) sa série de Laurent,
qui converge vers / dans A. Montrer qu'une seule telle série existe pour chaque /. Montrer
qu'elle converge uniformément sur les compacts de A.
(d) Si / g H(A), et si / est bornée sur A, en déduire que les composantes /, et f2 le sont aussi.
(e) Que peut-on généraliser de ce qui précède au cas r, =0, (ou r2 - °°, ou aux deux cas
réunis) ?
(f) Que peut-on généraliser de ce qui précède à des domaines délimités par un nombre fini
(supérieur à 2) de cercles ?
26. On demande de développer la fonction
en série de la forme z" •
Combien de telles séries peut-on trouver ? Dans quel domaine chacune d'entre elles est-elle
valide ? Donner explicitement le coefficient cn de chaque développement.
27. Soit £2 une bande horizontale du plan, déterminée par les inégalités a<y <b par
exemple. Soit / g H(£2) et f(z + 1 ) = f(z) pour tout z g £2. Démontrer que / possède dans £2 un
développement de Fourier
sous les conditions suivantes.
/g H(A),
rx + £<\z\ <r2-£, et
Y](t) = (r]+e)e-i',y2(t) = (r2-£)eit
(0<t<2K).
qui pour tout e > 0, converge uniformément dans {z: a + £<y<b- £}.

272
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
(Indication : l'application z —> e n,z transforme / en une fonction sur un anneau.)
Trouver les formules intégrales à partir desquelles on peut calculer les coefficients cn pour
la fonction /.
28. Soit r une courbe fermée du plan dont le segment du paramétrage est [0, 2tc], Soit
ae T*. On approche uniformément r par des polynômes trigonométriques r„. Montrer que
Indr (a) = lndrm(a) lorsque m et n sont assez grands. La valeur commune est posée par
définition égale à Indr(a). Montrer que le résultat ne dépend pas du choix de rn. Démontrer
alors la validité du lemme 10.39 pour les courbes fermées et l'utiliser pour fournir une autre
démonstration du théorème 10.40.
29. On définit
Montrer que f(z) = z si \z\ < 1 et que f(z) = - si |z| > 1.
z
Ainsi / n'est pas holomorphe sur le disque unité, alors que l'intégrand est une fonction
holomorphe en z. On notera le contraste entre ceci et la réunion du théorème 10.7 et de l'exercice 16.
Suggestion : Calculer séparément pour r< \z\ et pour |z| < r l'intégrale sous l'intégrale.
30. Soit Q le plan auquel on a ôté deux points. Montrer que certains chemins fermés r dans
Q satisfont l'hypothèse (1) du théorème 10.35 sans être d'homotopie nulle dans £2.
Les mathématiciens du xvni* siècle travaillaient sans gêne apparente aussi bien avec des variables réelles
qu'avec des variables complexes, quoique rencontrant des difficultés avec des fonctions comme les
logarithmes ; de fait la notion de domaine de définition d'une fonction n'a pris un sens et une importance
qu'avec Fourier et Cauchy dans les années 1820. Le Mémoire sur les intégrales définies prises entre des
limites imaginaires signale en 1825 le début de la théorie des fonctions d'une variable complexe. Cauchy
ne développe guère : il introduit le résidu en un point d'une fonction (le mot intervient en 1826 dans ses
Exercices de mathématiques), explicite l'intégration sur un chemin du plan complexe et évalue plusieurs
intégrales selon une version simple de 10.42 qu'il avait dès 1814 (par exemple, la relation (6) de 10.44 et
plusieurs autres liées à l'intégrale de Fourier). Gauss avait lui aussi prouvé en 1811 qu'une intégrale ne
dépend pas du chemin d'intégration, mais il ne publia pas, alors que Cauchy poursuivit systématiquement
ses recherches sur ce qu'il appelle le Calcul des limites, l'approfondissant sans cesse : représentation par
une intégrale et souplesse de cette représentation, développement en série entière, etc. Des proches de
Cauchy, par exemple Laurent (en 1843, il a les résultats de l'exercice 25 déjà connus de Weierstrass depuis
1841), Liouville, et à nouveau Cauchy lui-même améliorent la théorie. En 1875, dans une deuxième édition
de leur traité qui a tant fait pour la fixation de la théorie, Briot et Bouquet adoptent le nom aujourd'hui
retenu de fonctions holomorphes (ainsi considérées par l'étymologie comme des fonctions entières, ce qui
était encore le nom des polynômes à l'époque) ; Cauchy avait, quant à lui, proposé l'expression de fonction
monodrome pour indiquer la propriété (5) de 10.35, de fonction monogène pour indiquer une solution de
NOTES HISTORIQUES

notes historiques
273
l'équation de Cauchy-Riemann ((« dérivée indépendante du déplacement »), théorème 11.2), et de fonction
synectique pour la réunion des deux propriétés.
Fin 1844, investissant le problème de la classification des fonctions transcendantes, Liouville est capable
de montrer que seules les constantes sont des fonctions entières doublement périodiques, car il s'agit de
fonctions entières bornées. Cauchy voit l'analogie avec ses propres résultats et il déduit effectivement le
théorème 10.23, puis il en offre différentes preuves : Liouville ne publiera pas son propre travail. Le
théorème qui n'en est pas moins dit de Liouville, offre une preuve rapide du théorème fondamental de l'algèbre
(théorème 10.25). Simplement énoncé par Descartes (1637), ce théorème avait reçu diverses
démonstrations de nature essentiellement algébrique (Euler, Lagrange, et une très économique par Laplace en 1795,
[Dhombres, 1992]) ; Gauss pourvoyait à partir de 1799 plusieurs preuves mais il utilisait des propriétés
topologiques des courbes planes. En 1806, Robert Argand donnait une preuve simple et tout à fait
différente, simplement basée sur la représentation géométrique des nombres complexes parce que visualisant
la possibilité de tourner autour d'un point du plan ; Cauchy la corrigeait en 1817 en introduisant un
raisonnement par l'absurde (point où est atteint un extrémum). On trouve généralement cette preuve dans les
livres d'Analyse, ainsi dans [Rudin, 1976, p. 170]. D'autres preuves proviendront de la théorie des algèbres
de Banach (voir chapitre 18). En 1850, en étudiant les fonctions algébriques, Puiseux parvient à donner un
développement en série (non entière) d'une fonction inverse qui permet de valider la vieille preuve de
d'Alembert(1746).
C'est aussi bien Cauchy qui introduit en 1855 le compteur logarithmique, c'est-à-dire qui obtient la
relation (1) du théorème 10.43, généralisée d'ailleurs au cas des fonctions méromorphes.
La théorie des fonctions holomorphes devint un classique de l'enseignement ; elle passa même dans
l'enseignement pour les ingénieurs à la fin du xixe siècle. La résistance fut d'abord nette, cette théorie
paraissant trop abstraite. Au xxc siècle, le mouvement contraire se produisit au profit des fonctions
complexes et la résistance se tournant contre la nouvelle théorie des fonctions d'une variable réelle, supposée trop
abstraite. De nombreux traités, à différents niveaux, furent consacrés aux fonctions d'une variable
complexe. Par exemple [Cartan, 1961], [Ahlfors, 3e éd. 1978], [Carathéodory, 1954], [Hille, 1959/1962],
[Saks, Zygmund, 1952], [Titchmarsh, 1939], [Burckel, 1979]. Bien des points ont fait l'objet de
généralisations, de prolongements, etc., avant d'arriver à la présentation particulièrement élégante et économique
d'aujourd'hui.
L'intégration complexe peut être généralisée à des courbes rectifiables arbitraires, comme on le voit
dans [Hille, 1959, vol. 1, appendice C]. Si [Saks, Zygmund, 1952] adoptent le concept d'indice
topologique (théorème 10.10), celui-ci n'est utilisé systématiquement que dans [Ahlfors, 1978, p. 93] et c'est la
preuve de cet auteur qui est adoptée ici. La plupart des preuves de la représentation en série entière des
fonctions holomorphes sont comme en 10.16, et aussi bien celles qui montrent que fe H(Q) entraîne
/' g H(Q) ; elles utilisent donc la formule de représentation intégrale de Cauchy. Pourtant, sans faire
appel à l'intégration, on peut utiliser directement un indice des tours [Whyburn, 1964].
La façon dont a évolué cette théorie est caractérisée par le théorème dit local de Cauchy (10.14) : en 1825,
pour prouver la nullité de l'intégrale, Cauchy a besoin de supposer que la fonction /'(z) elle-même est
continue, et son chemin d'intégration n'est pas général. En 1884, E. Goursat travaille directement sur
l'intégrale, adoptant ainsi le deuxième regard de Cauchy qui aperçoit que sa théorie peut être libérée de la
dérivée sur le champ complexe : Goursat divise le domaine d'intégration en carrés. Bientôt il voit que seule
l'existence de /'(z) lui est utile ; A. Pringsheim révise la preuve de Goursat, utilise des triangles comme
en 10.13, et approche le chemin d'intégration par des polygones.
La preuve de 10.30 b est celle de [Narasimhan, 1971],
Le théorème de l'image ouverte, et le fait que Z(/) soit un ensemble discret, sont des propriétés
topologiques de la famille des fonctions holomorphes non constantes ; elles caractérisent cette famille à un
homéomorphisme près (théorème de Stoïlov, [Whyburn, 1964, chap. 8]). Ces considérations d'analyse
marquent l'effort de la topologie pour remplacer la théorie des fonctions analytiques.
La démonstration ici donnée du théorème de Cauchy global, remarquablement simple et élémentaire,
est due à John D. Dixon en 1971. Chez [Ahlfors, 1978] et [Cartan, 1961], la démonstration repose sur la
théorie des différentielles exactes. Dans la première édition du livre de Rudin, comme dans [Saks, Zygmund,

274
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
1952, p. 177] la démonstration se faisait à partir du théorème de Runge (chapitre 15). L'inconvénient était
de devoir se limiter à un domaine simplement connexe.
RÉFÉRENCES
K.F. Gauss, Lettre à Bessel de 1811, Werke, t. 4, 34-45, 1881.
AL. Cauchy, Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires, Paris, de Bure,
1825 ; Œuvres complètes, Gauthier-Villars, série 2, vol. 15, Paris, 41-89, 1974 ; reproduction de l'original
de 1825, ACL- éditions, Paris, 1987.
A.L. Cauchy, Rapport sur un Mémoire de M. Laurent qui a pour titre : Extension du théorème de
M. Cauchy relatif à la convergence du développement d'une fonction suivant les puissances ascendantes
de la variable, Comptes rendus Acad. Se, 17, 338, 1843 ; Œuvres complètes, Gauthier-Villars, série I,
vol. 8, Paris, 115-117, 1890.
J. Liouville, Remarques relatives 1° à des lignes géodésiques, 2° à des fonctions doublement périodiques
à l'occasion d'une note de M. Chasles, Comptes rendus Acad. Se. 19, 1261-1263, 1844.
A. Cauchy, Mémoire sur quelques propositions fondamentales du calcul des résidus et sur la théorie des
intégrales singulières, Comptes rendus Acad. Se, 19, 1337, 16déc. 1844 ; Œuvres complètes, Gauthier-
Villars, série 1, vol. 8, Paris, 366-375, 1890.
A. Cauchy, Sur les compteurs logarithmiques, Comptes rendus Acad. Se, 40, 1855, 1009, Œuvres
complètes, Gauthier-Villars, série 1, vol. 12, Paris, 285-292, 1900.
V. Puiseux, Recherches sur les fonctions algébriques, Journal de Math, pures et appt., 1,15, 365-480,
1850.
M. Briot, M. Bouquet, Théorie des fonctions doublement périodiques, Gauthier-Villars, Paris, 1859 ;
2e édition, idem, 1875.
E. Goursat, Démonstration du théorème de Cauchy, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite, Acta
math., 14, 197-200, 1884.
A. Pringsheim, Ueber den Goursat'schen Beweis des Cauchy'schen Integralsatzes, Trans. Amer. Math.
Soc, 2, 413-421, 1901.
S. Stoïlov, Leçons sur les principes topologiques de la théorie des fonctions analytiques, Paris,
Gauthier-Villars, 1956 (Oeuvres, Acad. des Sciences de Roumanie, 1964).

CHAPITRE 11
FONCTIONS HARMONIQUES
LES EQUATIONS DE CAUCHY-RIEMANN
11.1. Les opérateurs d et d. — Soit / une fonction définie sur un ouvert £2 du plan et
à valeurs complexes. Considérons / comme une application de £2 dans R2, et supposons
que / ait une différentielle en un point z0 de £2, au sens de la définition 7.22. Pour
simplifier, nous supposerons z0 =f(zQ) = 0. L'hypothèse de différentiabilité équivaut à l'existence
de deux nombres complexes a et fi (les dérivées partielles de / par rapport à et à y en
z0 = 0) tels que
/(z) = ax + Py + rj(z)z (z = x + /y), (1)
où Tj(z) —» 0 lorsque z —> 0.
Comme 2x = z + z et 2iy = z - z, (1) peut s'écrire sous une autre forme
-, v a-iB cc+iB- , x
f(z) = ~2Z+^2Z + 7?(Z)Z* ( }
Ce qui suggère l'introduction des deux opérateurs différentiels
En sorte que (2) se lise maintenant
û5> = (#)(0) + (â/)(0).? + 77(z) (z*0). (4)
z z
Pour un z réel, z / z = 1 ; et pour un z imaginaire pur, z / z = -L Ainsi /(z) / z possède
une limite en 0 si et seulement si (df)(0) = 0 . Nous disposons de la caractérisation suivante
des fonctions holomorphes :
11.2. Théorème
Soit f une fonction complexe sur £2 qui possède une différentielle en tout point de Q. La
fonction f e H(£2) si et seulement si Véquation de Cauchy-Riemann
(df)(z) = 0 (1)
est vérifiée pour tout z e £2. Dans ce cas, on a
f\z) = {df){z) (zeC2). (2)
Lorsque /= u + iv, où u et v sont réels, (1) fournit deux équations

276
fonctions harmoniques
pour lesquelles les indices indiquent la variable par rapport à laquelle se fait la différentiation.
Ce sont là les équations de Cauchy-Riemann qui doivent être vérifiées par les parties réelle et
imaginaire d'une fonction holomorphe.
11.3. Le laplacien
Soit / une fonction définie sur un ouvert £2 du plan et à valeurs complexes, telle que/w et
f existent en chaque point de £2. Le laplacien de / est défini par
A/ = /„ + /„. (D
Si / est continue sur £2, et si en chaque point de £2,
Af = 0, (2)
on dit que / est harmonique sur £2.
Comme le laplacien d'une fonction à valeurs réelles est réel (s'il existe), il est évident qu'une
fonction à valeurs complexes est harmonique sur £2 si et seulement si à la fois sa partie réelle
et sa partie imaginaire sont harmoniques sur £2,
On notera, sif^ =f , que
Df = 4ddf. (3)
Et^ - fyx a lieu dès que / possède des dérivées partielles d'ordre deux continues.
Si / est holomorphe, alors df = 0 et / a des dérivées partielles continues de tous ordres, de
sorte que (3) montre que :
11.4. Théorème
Les fonctions holomorphes sont harmoniques.
Nous allons maintenant nous tourner vers une représentation intégrale des fonctions
harmoniques, proche de la formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes. Cette représentation
montrera, entre autres, que toute fonction réelle harmonique est localement la partie réelle d'une
fonction holomorphe, et elle renseignera sur le comportement à la frontière de certaines classes
de fonctions holomorphes définies sur des disques ouverts.
L'INTEGRALE DE POISSON
11.5. Le noyau de Poisson. — On appelle ainsi la fonction
pr(t) = ^Tr'V'" (0<r<l, t réel).
(D
On peut considérer Pr(f) comme fonction de deux variables r et t, ou comme une famille
indexée par r de fonctions de t.
Si z = re6 (0 < r < 1, 6 réel), un calcul simple déjà envisagé à la section 5.24, montre que
PXO-t) = Re
De (1), nous déduisons
1
Le -z-
\-rL
\-2rcos(0~t) + r
±jyr(t)dt =1 (0<r<l).
De (2), découle Pr(t) > 0, Pr(t) = Pr(-t), ainsi que
Pr(t)<Pr(S) (0<6<\t\ïx),
(2)
(3)
(4)

l'intégrale de poisson
277
et
limPr(<5) = 0 (0<<5<;r). (5)
Ces propriétés rappellent celles des polynômes trigonométriques Qk (r) discutées à la section
4.24.
À partir de maintenant, on notera U le disque unité ouvert. Le cercle unité, qui est la frontière
de U dans le plan complexe, sera noté T.
Quand il sera utile de le faire, on identifiera les espaces If(T) et C(T) aux espaces
correspondants de fonctions de période In sur R\ comme à la section 4.23.
On peut aussi considérer Pr(0-1) comme fonction de z = ree et e". En ce cas (2) devient
pour ze U, e"e T,
\e -z\
11.6. L'intégrale de Poisson. — Soit / e Ll(T). On pose
F^ = TZ-\*pr(0-t)f(t)dt. (1)
in J-x
La fonction F ainsi définie sur U est l'intégrale de Poisson de f. Nous abrégerons parfois la
relation (1) en écrivant
F = P[fl (2)
Si / est réelle, la formule 11.5 (2) montre que P [f] est la partie réelle de
- r —, (3)
qui est d'après le théorème 10.7, une fonction holomorphe de z = ree. Ainsi P [f] est une
fonction harmonique sur U. Comme les combinaisons linéaires (à coefficients constants) de
fonctions harmoniques sont encore harmoniques, nous avons démontré le :
11.7. Théorème
Pour toute / g L](T), l'intégrale de Poisson P[f] est harmonique sur U.
Le théorème suivant montre que les intégrales de Poisson de fonctions continues se
comportent particulièrement bien au voisinage de la frontière de U.
11.8. Théorème
Soit f e C(T) et soit Hf la fonction définie sur le disque unité fermé U par
(Hf){re'e) = \JV (1)
[P[f](re'9) si 0<r< 1,
alors Hfe C(U).
Démonstration. — Puisque PrH(t) > 0, la formule 11.5 (3) montre que pour chaque g e (7),
\P[g](rei6)\ < \\g\\T (0<r<l), (2)
de sorte que
|ff,llD = lgll7 («eC(r». (3)

278
fonctions harmoniques
(Ici encore, comme à la section 5.22, ||g||£ désigne la borne supérieure de la fonction \g\ sur E).
Si g est un polynôme trigonométrique,
g(e")= fc„eM, (4)
n = -N
de 11.5 (1) on déduit
N
(Hg)(reie)= Xc„r"V"fl, (5)
n = -N
de sorte que H g e C(U).
Enfin, existent des polynômes trigonométriques gk tels que ||g*-/||7- —>0 lorsque k—»«>
(voir la section 4.24). Grâce à (3), lorsque k —» °o,
\\Hgk-Hf\\a =jH(gk-f)\\a^0. _ (6)
Ce qui indique que les fonctions Hgk e C(U) convergent vers Hf uniformément sur U. De
sorte que Hfe C(U).
Nota : ce théorème fournit la solution d'un problème aux limites (le problème de Dirichleî) :
une fonction continue / étant donnée sur T, on demande de trouver une fonction harmonique F
sur U « dont les valeurs limites sont / ». Au moyen de l'intégrale de Poisson de /, le théorème
met en évidence une solution et établit plus précisément la relation qui existe entre / et F. Le
théorème d'unicité qui correspond à ce théorème d'existence est contenu dans le résultat suivant.
11.9. Théorème
Soit u une fonction réelle et continue sur le disque unité fermé U, harmonique sur U. Alors,
u est (dans U) l'intégrale de Poisson de sa restriction àT, et u est la partie réelle de la fonction
holomorphe
Lit J-n e11 _ ^
Démonstration. — Le théorème 10.7 montre que fe H(U). Si w, =Ref l'intégrale (1)
montre que ux est l'intégrale de Poisson des valeurs de u sur la frontière, et le théorème sera
établi dès que nous aurons montré que u-uv
Posons h-u-uv La fonction h est continue sur U (on applique le théorème 11.8 à ux),
harmonique sur U, et h = 0 sur T. Supposons (ce qui va conduire à une contradiction) que
h (z0) > 0 pour un z0 e U • Choisissons e de sorte que 0 < e < h(z0), et définissons
g(z) = h(z) + e\z\2 (ze U). (2)
On a g(z0) > h(zo) > £. Comme ge C(U) et g = £ sur T, il existe un point z, g U où g possède
un maximum local. En ce point z,, on a nécessairement g^ < 0 et gyy < 0. Mais (2) montre que
le laplacien de g est 4£> 0, ce qui fournit une contradiction.
Ainsi u - w, < 0. Le même raisonnement montre que u - ux > 0. Donc u = w, et la
démonstration est achevée.
11.10. — Jusqu'à maintenant, nous n'avons considéré que le disque unité D(0 ; 1). Il est clair
par un simple changement de variables que l'étude précédente peut être étendue à des disques
arbitraires. Nous nous contenterons donc de résumer quelques-uns des résultats :

l'intégrale de poisson
279
Si u est une fonction réelle continue sur la frontière du disque D (a ; /?), et si u est définie
dans D(a\R) par l'intégrale de Poisson
u(a + reie) = ± [* —, -—- -Ma + Reu)dt (0<r</?), (1)
In*-* R2-2Rrcos(0-t) + r
u est alors continue sur D(a ; R) et est harmonique sur D (a ; R).
Si u est harmonique (et réelle) sur un ouvert £2 et si D(a ; R) a £2, u vérifie (1) dans
D(a ; R) et il existe une fonction holomorphe / définie dans D(a ; R) dont la partie réelle
est u. Cette fonction / est définie de manière unique, à une constante imaginaire pure près. Car
si deux fonctions, holomorphes dans la même région, ont la même partie réelle, leur différence
doit être constante (corollaire du théorème de l'application ouverte ou des équations de Cauchy-
Riemann).
Nous pouvons résumer ceci en disant que toute fonction réelle harmonique est localement la
partie réelle d'une fonction holomorphe.
Par conséquent, toute fonction harmonique possède des dérivées partielles continues de tous
les ordres.
L'intégrale de Poisson fournit aussi des renseignements sur les suites de fonctions harmoniques :
11.11. Théorème de Harnack
Soit {un} une suite de fonctions harmoniques sur un domaine £2.
(a) Si un-*u uniformément sur les sous-ensembles compacts de £2, u est harmonique sur £2.
(b) Si ux< w2 ^ «3 •••» ou bien {un} converge uniformément sur les sous-ensembles compacts
de £2, ou bien un(z) —» °° pour tout ze Q.
Démonstration. — Pour démontrer (a), supposons D(a ; R)cz£2y et remplaçons u par un
dans l'intégrale de Poisson 11.10 (1). Comme u„—>u uniformément sur la frontière de
D(a ; R), on conclut que u elle-même vérifie 11.10 (1) dans D(a ; R).
Pour la démonstration de (b), nous pouvons supposer m, >0. (Sinon, on remplace un par
un — U\). Posons u = sup un et soit A = {ze £2: u(z)<°°}> et B = Q-A. Choisissons
D(a\ R) c £2. Pour 0 < r < R, le noyau de Poisson vérifie les inégalités
R-r < R2-r2 < R + r
^ + r ~ R2 - 2r/?cos(0- t) + r ~ R ~ r
Donc
R — r / \ ^ , , ie. ^ R + r / x
——un(a)<un(a + re )<-—un(a).
a + r a — r
Les mêmes inégalités sont valables avec u au lieu de un. Il en résulte que, ou bien u(z) = 00
pour tout z e D(a ; R), ou bien u(z) < 00 pour tout z e D(a ; R).
Ainsi, A et B sont tous les deux ouverts ; et comme £2 est connexe, ou bien A = 0 (auquel
cas il n'y a rien à démontrer) ou bien A = £2. Dans ce dernier cas, le théorème de la
convergence monotone montre que la formule de Poisson est vérifiée par u dans tout disque de £2.
Donc, u est harmonique sur £2. Chaque fois qu'une suite de fonctions continues converge de
façon monotone vers une limite continue, la convergence est uniforme sur les compacts (lemme
de Dini, [Rudin, 1976, théorème 7.13]). Ceci achève la démonstration.

280
fonctions harmoniques
LA PROPRIÉTÉ DE LA MOYENNE
11.12. Définition. — On dit qu'une fonction continue u sur un ouvert £2 a la propriété de la
moyenne si à tout z e £2 correspond une suite { r„} telle que rn > 0, rn —» 0 quand n —> «>, et
u(z) =^-Tu(z + rneil)dt (n= 1,2,3,...). (D
En d'autres termes, w(z) doit être égale à la valeur moyenne de u sur les cercles de rayon rn
et de centre z.
On notera que la formule de Poisson 11.10 (1) montre que (1) a lieu pour toute fonction
harmonique m, et pour tout r tel que D(z ; r)a£2. Ainsi, les fonctions harmoniques ont une
propriété de la moyenne bien plus forte que celle que nous venons de définir. Le théorème
suivant peut donc surprendre :
11.13. Théorème
Si une fonction continue ua la propriété de la moyenne sur un ouvert £2, alors u est
harmonique sur £2.
Démonstration. — Il suffit de démontrer ce théorème pour une fonction réelle. Choisissons
D(a ; R) cz£2. L'intégrale de Poisson procure une fonction continue h sur D(a ; /?), qui est
harmonique sur D(a ; R) et qui coïncide avec u sur la frontière de D(a ; R). Posons
v = u - h, et soit m = sup { v(z) : z g D (a ; R)}. Supposons m > 0, et soit E l'ensemble des
z e D(a ; R) tels que v(z) = m. Comme v = 0 sur la frontière de D(a ; R), E est un sous-
ensemble compact de D(a ; /?). Il existe donc Zq^ E tel que pour tout ze E,
\z0-a\ >\z-a\.
Pour tout r assez petit, un demi-cercle au moins de centre z0 et de rayon r se trouve à l'extérieur
de E, de sorte que les valeurs moyennes correspondantes de v sont toutes inférieures à
m = v(z0). Mais v a la propriété de la moyenne, et nous avons une contradiction. Ainsi m = 0,
et v<0. Le même raisonnement s'applique à -v. Donc v = 0, et u = h dans D(a ; R).
Comme nous avions pris pour D(a ; R) un disque fermé arbitraire dans Q, u est harmonique
dans il.
Le théorème 11.13 conduit à un théorème de symétrie pour les fonctions holomorphes. Nous
appelons demi-plan supérieur 77+ l'ensemble des z = x + iy où y > 0 ; et demi-plan inférieur
n~ l'ensemble des z dont la partie imaginaire est négative.
11.14. Théorème (Principe de symétrie de Schwarz)
Supposons que L soit un intervalle de Vaxe réel, que Q+ soit un domaine dans 77+, et que
tout t e L soit le centre d'un disque ouvert D, tel que 77+n D, soit inclus dans £2 +. Soit £2~
l'image par symétrie de £2 + :
£2' = {z:ze I2+}. (1)
Soit f = u + iv une fonction holomorphe sur £2+, et supposons pour toute suite {z„} dans
£2 + qui converge vers un point de L que
limv(zj = 0. (2)
// existe une fonction F, holomorphe dans 12+u Lu £2~, telle que F(z) = f(z) dans £2* ;
cette fonction F satisfait la relation
F(z) = F(z) (ze £2+vLv£2). (3)

le comportement à la frontière des intégrales de poisson
281
Le théorème affirme que / peut être prolongée en une fonction holomorphe dans une région
symétrique par rapport à Taxe réel, et (3) exprime que la fonction F préserve cette symétrie.
On remarquera que l'hypothèse de continuité (2) ne porte que sur la partie imaginaire de/
Démonstration. — Posons £2 = Q+v Lv £2~ et prolongeons v à £2 en définissant v(z) = 0
pour ze L et v(z) = -v(z) pour ze £2~. On voit immédiatement que v est continue et
possède la propriété de la moyenne dans 12, de sorte que, d'après le théorème 11.13., v est
harmonique dans Q.
La fonction v est localement la partie imaginaire d'une fonction holomorphe. Ceci signifie
qu'à chaque disque Dt correspond une /, e H(Dt) telle que Im /, = v. Chaque /, est
déterminée par v à une constante additive réelle près. Si cette constante est choisie de sorte que
ft(z) = /(z) pour un z e D, n 774, puisque / - /, est constante dans le domaine D, n 77 \
l'égalité sera encore vraie pour tout z g D, n 77+. Nous supposons que les fonctions /, sont
ainsi choisies.
Puisque v = 0 sur L, le développement de f, selon les puissances de z -1 n'a que des
coefficients réels, de sorte que toutes les dérivées de /, sont réelles au point t. Il en résulte que :
Mi) = 7Xz) (ze Dt). (4)
Supposons ensuite que Dsn D,*0. Alors /, = / = /, dans D,nD,n/7*; et comme
Dj n D, est connexe, le théorème 10.18 montre que
(5)
(6)
/,(z) --
= /,(z)
(ze D,nDs).
Il est donc cohérent de définir
7(z)
pour zs £2 +
F(z) = •
/,(z)
pour z 6 D,
.7îï)
pour z e £2'
et il reste à montrer que F est holomorphe dans Q~. Si D(a ; r) cz Q , on a D(a ; r) cz Q et
pour tout z e D(a ; r)
f(z) = Xc„(z-â)\ (7)
n = 0
Donc
F(z) = £cn(z-fl)" (ze D(a;r)). (8)
n = 0
Ce qui achève la démonstration.
LE COMPORTEMENT À LA FRONTIÈRE
DES INTÉGRALES DE POISSON
11.15. — Notre prochain objectif est de trouver les analogues de théorème 11.8 pour les
intégrales de Poisson d'une fonction de Lp(77 ou d'une mesure sur T.
À toute fonction u sur U, on associe une famille de fonctions {uj définies sur 7, par l'écriture
ur(eiB) = u(re") (0<r<l). (1)
Puisque ur est en fait la restriction de u au cercle de centre O et de rayon r, nous avons déplacé
le domaine de définition de ur vers T.

282
fonctions harmoniques
En utilisant cette terminologie, on peut réécrire le théorème 11.8 sous la forme suivante :
Si f e C(T) et F = P[f], alors Fr-> f uniformément sur T lorsque r-> 1.
En d'autre termes
lim||Fr-/||„ = 0, (2)
ce qui implique bien sûr qu'en tout point de T,
hmFr(ei6) = f(ei0). (3)
r-> 1
Pour ce qui concerne (2), nous allons voir (théorème 11.16) que la convergence en norme
s'obtient aussi facilement dans Lp. Mais au lieu de nous restreindre aux seules limites radiales
(comme en (3)), nous étudierons aussi les limites non tangentielles des intégrales de Poisson,
relatives à des fonctions de Lp ou à des mesures. La théorie de la différentiation développée au
chapitre 7 joue alors un rôle essentiel dans cette étude.
11.16. Théorème
Si 1 < p < oot f G Lp(T) et u = P[f],
on a
\\ur\\p< (0<r<l). (D
Si 1 < p < °°, on a
lim|k-/||„ = 0. (2)
r -> 1
Démonstration. — Si on applique l'inégalité de Jensen (ou celle de Hôlder) à
on trouve
\uAeie)\r<±l*Jft\rPr(0-t)dt. (4)
En intégrant (4) par rapport à 0 sur [-7T, +7t], et en utilisant le théorème de Fubini, on obtient
bien(l).
On notera que la famille 11.5 (3) a été utilisée deux fois dans ce raisonnement.
Pour démontrer (2), on choisit £>0 et g e C(T) de telle sorte que ||g - f\p < e (théorème 3.14).
On pose v=/>[g]. Alors
"r-f = <«,-V,) + (vr-g) + (g-/). (5)
Grâce à (1), \\ur -vr\\p = |(M-v)i.||/,<||/-^||p<e. De sorte que pour tout r< 1.
\\ur-f\\p<2e+\\vr-g\\p.
De plus, ||vr-g||p < IK-gl... Et d'après le théorème 11.8, la dernière norme tend vers 0 lorsque
r-> 1. Ce qui prouve (2).
11.17. Intégrale de Poisson d'une mesure. — Lorsque /i est une mesure complexe sur 71,
pour remplacer l'intégration sur T par celle sur un segment de longueur 2n de R\ on doit en
fait prendre un segment semi-ouvert, afin de tenir compte de l'éventuelle présence de masses
ponctuelles de la mesure ji. Afin d'éviter cet inconvénient (mineur il est vrai), on maintiendra
pour ce qui suit l'intégration sur le cercle T, et on écrira l'intégrale de Poisson u = P[d/j] d'une
mesure ji sous la forme
u(z) = f P&e^dfiie») (ze U) (D

le comportement à la frontière des intégrales de poisson
283
1-7 2
où P(z, e ) = , . 1 ' comme à la formule 11.5 (6).
On peut sans changement refaire le raisonnement qui a conduit au théorème 11.7 dans le cas
des intégrales de Poisson d'une mesure.
Ainsi, définie par (1) la fonction u est harmonique sur U.
Si l'on pose ||//|| = |/x|(r), la formule analogue à celle de la première partie du théorème
11.16 est:
\\ul=^\u(re^)\de<m\. (2)
Pour le voir, il suffit de remplacer \i par dans (1), d'appliquer le théorème de Fubini, et
d'utiliser la formule 11.15 (3).
11.18. Domaines d'approche. — Pour 0< a < 1, on définit £2a comme la réunion de tous les
disques D(0;a) et tous les segments qui joignent z=l aux points de D(0;a).
En d'autres termes, Qa est le plus petit ensemble convexe ouvert qui contienne D(0; a) et ait
1 sur sa frontière. Au voisinage de 1, Qa est un angle, divisé en deux par le rayon de U qui se
termine en 1, et d'ouverture 20 où a=sinO. Une courbe qui atteint 1 et reste dans £2a ne peut
pas y être tangente à T. C'est pourquoi l'on dit que Qa est un domaine d'approche non tangen-
tielle de sommet 1.
Le domaine Qa augmente lorsque cc croît. La réunion de tous les Qa est U, et l'intersection
est le rayon [0,1[.
Par rotation de Qa, le domaine d'approche non tangentielle de sommet elt est noté elt£2a.
11.19. Fonctions maximales. — Si 0<a < 1, et pour une fonction u complexe définie sur
U, sa fonction maximale non tangentielle Na est définie sur T par
(Nau)(eil) = sup{\u(z)\ :ze e"Qa}. (1)
De façon analogue, la fonction maximale radiale de u est
(Mradu)(ei{) = sup{\u(re^)\ :0<r< 1}. (2)
Lorsque u est continue, et pour un nombre positif X, pour chacune des ces fonctions
maximales, l'ensemble des points où elle est inférieure ou égale à À est un fermé de T. De sorte que
Nau et Mradu sont des fonctions semi-continues inférieurement sur T. En particulier, ces
fonctions y sont mesurables.
De façon évidente, Mradu<Nau, et ces dernières fonctions croissent avec a. Le
théorème 11.20 indiquera que la taille de Nau est à son tour contrôlée par la fonction maximale
M/i qui a été définie à la section 7.2 (en prenant k = 1). Les notations seront toutefois simplifiées
si nous remplaçons la mesure de Lebesgue ordinaire m sur T par o = ^. En sorte que T est
une mesure positive de Borel sur T, invariante par rotation, et normalisée par z(T) = 1.
Ce faisant, Mfx se définit maintenant par
(Mfi)(e«) = ™Plj£^.
La borne supérieure est prise sur tous les arcs ouverts IœT dont le centre est en e6, y compris
T lui même (qui n'est évidemment pas un arc).
De façon similaire, la dérivée Djl d'une mesure T devient
{D„Ke») = lim^n

284
fonctions harmoniques
linW) \T\f-fe'e\d° = o
lorsque la limite est prise pour les arcs {I}, / c T qui vont en se réduisant à leur centre ëe. De
même, e,flest un point de Lebesgue de fe L](T) si
J_
'</)■
où {I} est la même que pour (4).
En écrivant dji = fdo+dfJLs la décomposition de Lebesgue d'une mesure de Borel complexe
sur 7, où / e V(T) et \is±c, les théorèmes 7.4, 7.7 et 7.14 affirment que
a{Af/i>A}<|||/x||, (6)
que presque tout point T est un point de Lebesgue de/et que D\i-f Dfis= 0 p.p.[o\.
Nous allons voir maintenant que pour toute mesure de Borel complexe fl sur T les fonctions
maximales non tangentielles et radiales sont contrôlées par M\i. En fait, dès que Tune de ces
fonctions est finie en un point de T, les autres le sont au même point. On pourra le voir en
combinant le théorème 11.20 et l'exercice 19.
11.20. Théorème
Soit 0< ot< 1. // existe une constante ca> 0 ayant la propriété suivante : si jl est une mesure
finie et positive de Borel, et u - P[dfï\ son intégrale de Poisson, en chaque point e9e T on a
les inégalités
ca(Nau)(eie) < (Mradu)(e") < 0)
Démonstration. — Nous prouverons (1) pour 0=0. Le cas général en provient par rotation
en utilisant le cas particulier 6=0, mais avec la mesure fiJ(E)=fi(eeE).
Puisque u(z) = \T^{z, e^dfiie1'), la première inégalité dans (1) se déduira de
caP(z,eil)<P(\z\,eif), (2)
si l'on montre que (2) est valable pour tout z e Qa et tout e'e T. Grâce à la formule 11.5 (6),
l'inégalité (2) équivaut à
cakir-r|2<|e,7-z|2 (3)
lorsque r = \z\. . _ .
Par définition de ^—^ y est bornée par une constante que nous appelons ya. Donc
\eil-r\ <\eil-z\ + \z-r\
<\eit-z\ + ya(\-r)<(\+ya)\eit-z\.
Et ainsi, on a (3) en posant ca=(l + ya)'2. Ce qui prouve la première partie de (1).
Pour la seconde partie, il faut établir
jrPXt)d^(elt) < (Mfl)( 1 ) (0 < r < 1 ). (4)
On fixe r, on choisit des arcs ouverts IjCzT, centrés en 1, emboîtés /, c 72... c /„_ „ et on
pose In = T. Pour l^j^n, soit Xj la fonction caractéristique de 7; et h} le plus grand entier positif
tel que hjxj<Pr sur T. On pose
n
* = E<Wi)Xy (5)
j= i
où hn+l =0. Puisque Pr(t) est une fonction paire de f, décroissante lorsque t croît de 0 à n, on a
hj- hj+l**0, K=hj sur 7;-7y_, (on prend alors 7O = 0) et K^Pr. La définition de M\i montre que
li(Ij)<(M„)(l)o(Ij). (6)

le comportement à la frontière des intégrales de poisson
285
En posant M= (Afyi)(l), on a donc
n n
7=1 j=l
= M$TKdcs < MJTPrdo = M. (?)
Enfin, en choisissant les arcs /. de telle sorte que leurs extrémités réalisent un partition assez
fine de T, on obtient des fonctions en escalier K convergeant vers Pr uniformément sur T. Ainsi
(4) provient de (7).
11.21. Limites non tangentielles. — Une fonction F, définie sur £/, a une limite non
tangentielle X en e6 si pour tout a< 1, et pour toute suite {z,} qui converge vers etd et reste dans e^Q^
on a
lim F(Zj) = X.
j —» oo
11.22. Théorème
Soit fl une mesure de Borel positive sur T et {Dfi)(ee)=0 pour un certain 0. L'intégrale de
Poisson u = P[djX\ a 0 comme limite non tangentielle en eld.
Démonstration. — Par définition, supposer (Dfi)(e6)=0t c'est avoir
lim tfffl = 0 (D
T(7)
lorsque les arcs ouverts 7 cz T vont en se réduisant à leur centre e10. Choisissons £>0. L'un de
ces arcs, disons 70, est suffisamment petit pour que pour tout 7cz 70 de centre e6, on ait
//(/)< ea(7). (2)
Soit la restriction de \i à 70. Posons \ix et soit u{ l'intégrale de Poisson de \i{ (i=0,l).
Supposons que z, converge vers ee dans le domaine ee£2a. En ce cas, z7 reste à une distance
positive de T-I0. Dans
uidj) = L , P(zPe")dfi(e») (3)
la fonction à intégrer converge vers 0 lorsque j —» °°, et ce uniformément sur T-IQ. Donc
limMl(z,) = 0. (4)
L'inégalité (2) jointe au théorème 11.2 montre que
Ca(Nau0)(e19) < (Mn0)(e") < e. (5)
Dans e^Qff on a w0(z) ^ (Njio)(e10). De sorte que (5) implique
lim sup u0(Zj) <—. (6)
j->°° ca
Puisque u = uQ + ul9 et puisque e est quelconque, (4) et (6) fournissent
\imu(Zj) = 0.
j —» oo
11.23. Théorème
Sife L\T), l'intégrale de Poisson P\f\ a une limite non tangentielle f (e 6 ) en chaque point
de Lebesgue ee de f.

286
fonctions harmoniques
Démonstration. — Soit ë9 un point de Lebesgue de/. Quitte à soustraire une constante à/,
on peut supposer sans perte de généralité que / (ë9)=0. Alors, lorsque les arcs ouverts / c T
vont en se réduisant vers leur centre ë6,
Um^r)lMlda=0- (1)
On définit une mesure de Borel \i sur T par
fi(E) = jE\f\da. (2)
La relation (1) exprime que (Dfï)(ë9)=0. Donc, par le théorème 11.22, P[djj] a une limite non
tangentielle nulle en ëe. Il en est de même pour P\f] puisque
\P[f]\<P[\f\] = P[dlï\. (3)
Conjointement les deux théorèmes précédents fournissent :
11.24. Théorème
Si dfJ,=fd<J+dlls est la décomposition de Lebesgue d'une mesure de Borel jl sur T, où f e
L\T) et Hs-Lt, l'intégrale de Poisson P[dfi] a une limite non tangentielle f (ë6) sur T presque
partout.
Démonstration. — On applique le théorème 11.22 aux variations positives et négatives des
parties réelles et imaginaires de jis, et le théorème 11.23 à/.
Voici une autre conséquence du théorème 11.20.
11.25. Théorème
Pour 0<cif<l et l<p<°°, des constantes A(a,p)<<*> existent, avec les propriétés
suivantes :
(a) Si fl est une mesure de Borel complexe sur T, et si u=P[dfi], on a
o{Nau>X}<^^\\fi\\ (0<A<oo).
(b) Si 1 </?<oo,/G Lp(T)etu = P[f],ona
\\Nau\\p<A(a,p)\\f\\p-
Démonstration. — Elle résulte des théorèmes 11.20, théorème 7.4 et de l'inégalité (7) de la
démonstration du théorème 8.18.
Ainsi, les fonctions non tangentielles maximales Nau appartiennent à l'espace L1 faible
lorsque u=P[dfi], et pour p>\ lorsque u = P[f] où/g LP(T), elles appartiennent à LP(T). Ce
dernier résultat peut être considéré comme une forme améliorée de la première partie du
théorème 11.16.
THÉORÈMES DE REPRÉSENTATION
11.26. Comment peut-on assurer ou démentir qu'une fonction harmonique u sur U soit une
intégrale de Poisson ? Les théorèmes précédents (11.16 à 11.25) dressent un certain nombre de
conditions nécessaires. Il s'avère que la plus simple de ces conditions - la famille {uT : 0^r< 1}

théorèmes de représentation
287
est bornée dans If - est également une condition suffisante. En particulier, que 1 soit bornée
lorsque r -» 1 assure l'existence de limites non tangentielles presque partout sur 7, du moins
dès que nous aurons vu, par le théorème 11.30, que u peut se représenter comme l'intégrale de
Poisson d'une mesure.
Cette mesure sera appelée la "limite faible" des fonctions ur. La convergence faible est un
sujet important de l'analyse fonctionnelle. Nous l'aborderons en utilisant un autre concept
important, l'équicontinuité, que nous retrouverons plus tard à propos des "familles normales"
de fonctions holomorphes.
11.27. Définitions. — Soit ^ une famille de fonctions à valeurs complexes sur un espace
métrique X pour une distance p.
On dit que ^ est équiconîinue si à tout e>0 correspond un 8>0 tel que |/(jc) - f(y)\ < £ pour
tout/e % et pour tout couple de points x,y satisfaisant p(x,y) < 8. (En particulier/g ^ est donc
uniformément continue.)
On dit que ^ est bornée ponctuellement si à tout xe X correspond un M(x) < °° tel que
f(x)\ < M(x) pour tout/g
11.28. Théorème (Arzela - Ascoli)
Soit ^ une famille bornée ponctuellement et équiconîinue de fonctions à valeurs complexes
sur un espace métrique X, et supposons que X contienne un sous-ensemble dénombrable dense
dans E.
Toute suite [fn] dans % possède une sous-suite uniformément convergente sur tout sous-
ensemble compact de X.
Démonstration. — Appelons jcp jc2, jc3, ... , une énumération des points de ^et SQ l'ensemble
des entiers positifs. Soit k>\ et Sk_} cz S0 supposé construit. Puisque [fn(xk) : n e SkA} est une
suite bornée de nombres complexes, on peut en extraire une sous-suite convergente. De sorte
qu'existe Sk czSk_x, et \imfn(xk) existe lorsque n —> oo dans Sk.
Par récurrence, on construit des ensembles infinis SQ zz> Sx r> S2 ... pour lesquels pour tout
l^j^k, lim fn(xp existe lorsque n —> oo dans Sk.
Soit rk le kème terme de Sk (au sens de l'ordre naturel sur les entiers positifs) et posons
5= {r1? r2, r3, ...}.
Pour chaque k, au plus (fc-1) termes de S n'appartiennent pas à Sk. (La construction de S à partir
de {Sk} est ce que l'on appelle le procédé diagonal.)
Soit alors K cz X un compact et £ > 0. L'équicontinuité fournit un S> 0 tel que p(p, q)<8
entraîne \fn(p) -/„(<7)| < £, pour tout n. Recouvrons K par des boules ouvertes B}, ... , BM de
rayon 8/2. La densité de E dans X montre qu'existent des points Pt e Bi n E pour 1 *£i^M.
Puisque px e E, lim fn (Pt) existe lorsque n —> oo dans S. De sorte qu'existe un entier N tel que
pour i= 1, M, si m>/V, n>N, m et n étant dans 5, on ait
\f»(Pt)-MPi)\<e.
Pour finir, choisissons jcg K. Pour un certain i, jcg Bi et p(*,/?,)<& Le choix de 8 et Af
montre que pour m>N, n>N, me S et n e S,
\fm(x)-fn(x)\ < \fm(x)-fm(Pi)\ + \fm(Pi)-fn(Pi)\ + \fn(Pi)-fÀx)\
<£+£+£= 3£.

288
fonctions harmoniques
11.29. Théorème
Soit
(a) X un espace de Banach séparable
(b) {An} une suite déformes linéaires surX
(c) sup IAJ = M < oo
Il existe une sous-suite {A„} telle que pour tout xs X la limite suivante existe,
Ax = limAn.jc. 0)
I —> oo 1
De plus, A est une forme linéaire et \\An\\ < M.
(Dans cette situation, A est la limite faible de{ A„ } ; voir exercice 18.)
Démonstration. — Dire que X est séparable signifie, par définition, que X possède un sous-
ensemble dénombrable dense. Les inégalités
|Anx\ < M\\x\\, |A,*' - Anx"\ < M\\x' - x"\\,
indiquent que {An} est bornée ponctuellement et équicontinue. Comme chaque point de X est
un compact, le théorème 11.28 fournit une sous-suite {A„.} de sorte que {A„ x} converge en
chaque point xe X lorsque / —> oo. Pour terminer, il suffit de définir A par (1). On voit
clairement que A est linéaire et que || Aj < M.
Pour les applications qui vont suivre, signalons que C(T) et If(T) (pour 1 ^p<oo) sont des
espaces de Banach séparables. En effet, les polynômes trigonométriques forment dans tous les
cas une famille dense, et il est même possible de se restreindre aux polynômes trigonométriques
dont les coefficients appartiennent à un sous-ensemble donné, dénombrable et dense, du corps
des nombres complexes.
11.30. Théorème
Soit u une fonction harmonique sur U, 1 ^p^oo et
rup\u\p = M<oo, (1)
Qo-<]
(a) Si p= 1, il existe une unique mesure de Borel complexe \i sur T telle que u=P[djj].
(b) Si p>\, il existe une unique fonction f e lf(T) telle que u=P[f].
(c) Toute fonction harmonique positive sur U est l'intégrale de Poisson d'une unique mesure
de Borel positive sur T.
Démonstration. — Commençons par supposer p=\. On définit les formes linéaires Ar sur
C(T) par
Ag = f gurdo (0<r< 1). (2)
D'après (1), ||Ar|| < M. Les théorèmes 11.29 et 6.19 pourvoient une mesure m sur T, \\fi\\ < M,
et une suite r} —> 1, telles que pour toute g e C(T), on ait
lim f gurdr = f g dfi. (3)
y —» oo J 1 J Jt
On pose hj(z)=u(rj z). Chaque fonction hj est harmonique sur U, continue sur U ; chacune est
donc l'intégrale de Poisson de sa restriction à T (théorème 11.9). On choisit ze U et on utilise
(3) pour
g(e") = P(z,eif). (4)

théorèmes de représentation
289
Comme hj(ë') = ur{e"), on a
u(z) = lim«(r;z) = lim/iy(z)
j J
= limf Pi^e^hXe^doie*1)
j Jt
= f P(z,eit)dfi(eit) = P[d/i](z).
jT
Si 1 <p on prend pour q l'exposant conjugué de p. L'espace Lq(T) est séparable. On
définit alors AT comme en (2), mais pour toute g e Lq(T). On a encore \\Ar\\ < Af. Les théorèmes
11.29 et 6.16 cette fois permettent de déduire l'existence de/6 LP(T)9 \\f\\p < M, de telle sorte
que (3) ait lieu pour tout g e l?(T), fda remplaçant d\i. La fin de la démonstration se conduit
comme pour le cas p= 1.
Nous avons ainsi prouvé les énoncés d'existence dans (a) et (b). Pour l'unicité, il suffit de
montrer que P[dfj]=0 implique fi=0.
Soit/e C(T) et posons u=P[f]y v=P[dfi]. Du théorème de Fubini, et de la relation
symétrique P(rëe, ë')=P(rë\ ëe), on déduit
\urd\i = \TVrfdo (0<r<l). (5)
Lorsque v=0, bien sûr vr=0 et puisque ur —> / uniformément, lorsque r —> 1, on conclut dès
lors si P[dfi\=0 que pour toute fe C(7),
f fdfi = 0. (6)
Le théorème 6.19 (6) montre que fi=0.
Enfin, (c) est un corollaire de (a). En effet, u>0 implique (1) avecp=l car la propriété de la
moyenne d'une fonction harmonique fournit
\ \uJida = \urdc = u(0) (0<r< 1). (7)
Les formes linéaires AT dans la preuve de (a) sont désormais positives, ce qui force ji^O.
11.31. Du fait que les fonctions holomorphes sur U y sont harmoniques, tous les résultats
qui précèdent (dont les plus notables sont les théorèmes 11.16, 11.24, 11.25 et 11.30)
s'appliquent à ces fonctions. Cette remarque conduit à l'étude des espaces tf qui sera entreprise au
chapitre 17.
Pour le moment, nous ne donnerons qu'une application aux fonctions de l'espace PT. Par
définition, cet espace est celui de toutes les fonctions holomorphes et bornées sur La norme
de la borne supérieure
ll/IL = sup{|/(z)| :ze U]
fait de H°° un espace de Banach.
Comme précédemmen t, L°°(T) est l'espace (de toutes les classes d'équivalence) de fonctions
essentiellement bornées sur T, espace norme par la norme de la borne supérieure essentielle pour
la mesure de Lebesgue. Pour g e L°°(T), HglL désigne la borne supérieure essentielle de
11.32. Théorème
À chaque fe PT correspond une fonction f* e L°°(7), définie presque partout sur T par
f*(ei9) = \\mf(rei9).
On a p égalité \\fh = ll/IL-
Sif*(é ) = 0 pour presque tout ë d'un arc I czT, alors f(z) = 0 pour tout ze U.
(Nous obtiendrons plus loin un énoncé considérablement plus fort, avec le théorème 15.19.
Voir aussi le théorème 17.18 et la section 17.19.)

290
fonctions harmoniques
Démonstration. — Grâce au théorème 11.30, on dispose d'une unique g e LT(T) telle que
/ = P[g]- Grâce au théorème 11.23, la relation (1) a lieu avec /* = g. L'inégalité
||/IL^ ||/*|U provient du théorème 11.16 (1) et l'égalité contraire est évidente.
En particulier, si /* = 0 p.p., ||/*||~ = 0 et donc H/L = 0, soit f = 0.
Soit n un entier positif tel que la longueur de / dépasse 2n/n et soit a = exp {2ni/n}.
Posons
n
F(z) = n/(«*«) (zeU). (9)
k = 1
Comme Fe H°° et F* = 0 p.p. sur T, on a F(z) = 0 pour tout z e (/.Si Z(/*), l'ensemble des
zéros de / dans U, était au plus dénombrable, il en serait de même pour Z (F), puisque Z(F) est
la réunion de n ensembles, déduits par rotations à partir de Z(f). Mais Z(F) = U. Donc d'après
le théorème 10.18,/= 0.
EXERCICES
1. Soient w et v deux fonctions réelles harmoniques sur un domaine £2. À quelles conditions
uv est-elle harmonique ? (Remarquer que la réponse dépend fortement du fait que les fonctions
considérées sont réelles.) Montrer que u2 ne peut être harmonique sur £2 que si u est constante.
Pour quelles / e H(£2), \f\2 est-elle harmonique ?
2. Soit / une fonction complexe sur un domaine £2, f et / étant toutes deux harmoniques sur
£2. Démontrer que / ou / est holomorphe sur £2.
3. Si u est une fonction harmonique sur un domaine £2, que peut-on dire de l'ensemble des
points tels que le gradient de u soit nul ? (C'est l'ensemble sur lequel ux = u = 0.)
4. Montrer que toute dérivée partielle d'une fonction harmonique est harmonique.
Vérifier, par un calcul direct, que pour t fixé Pr(6-t) est une fonction harmonique de ré .
En déduire (sans introduire de fonctions holomorphes) que l'intégrale de Poisson P[dfi] de
toute mesure de Borel finie fl sur T est harmonique sur U en montrant que toute dérivée partielle
de P[djj] est égale à l'intégrale de la dérivée partielle correspondante du noyau.
5. Soit / g H(£2) ne s'annulant pas dans £2. Démontrer que Log|/| est harmonique sur £2
en calculant son laplacien. Y-a-t-il une manière plus simple de le montrer ?
6. Soit /g H(U), où U désigne le disque ouvert unité, et supposons / injective sur £2,
£2 =f(U) et f(z) = £cn z . Montrer que l'aire de £2 est donnée par
^n\cn\2.
n = I
Indication : le jacobien de / est |/i2.
7. (a)Si fe H(£2),f(z) * 0 pour ze £2 et-°°<a<°°,

exercices
291
montrer que
4d/ia) = oM/r2!/'!2,
en établissant la formule
dd(wo(ff)) = (<po|/|2). |/'|2,
où y/ est deux fois différentiable sur ]0, °o[ et
<p(t) = r^"(0 +V'(0.
(b) En supposant que / e H(Q) et prenant pour 0 une fonction complexe définie sur f(£2)
et ayant des dérivées partielles du second ordre continues, montrer que
A[<Po/] = l(A0)of]. |/f.
Vérifier que ce résultat se réduit au résultat (a) lorsque &(w) = <Ê(|h>|).
8. Soient £2 un domaine, fn e H(£2) pour n = 1, 2, 3,un la partie réelle de/„, et supposons
que [un] converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de Q, et que {fn(z)}
converge pour au moins un ze Q. Démontrer que [fn} converge uniformément sur les sous-
ensembles compacts de Q.
9. Soit u une fonction mesurable au sens de Lebesgue sur un domaine X2, et appartenant
localement à L\ Ceci signifie que l'intégrale de | u | sur tout sous-ensemble compact de Q est finie.
Démontrer que u est harmonique si elle satisfait la forme suivante de la propriété de valeur
moyenne :
u(a) = — f f u(x,y) dx dy
D {a ; r)
dès que D(a ; r) cz Q.
10. Soient / = [a, b] un segment de l'axe réel, (p une fonction continue sur 7, et
/w-à^* <"">■
Montrer que
lim[/(x + ie)-/(jc-ie)] (e>0)
£-»0
existe pour tout réel jc, et exprimer cette limite en fonction de (p.
Comment le résultat est-il modifié si l'on suppose seulement que (p € L1 ? Qu'arrive-t-il alors
aux points jc en lesquels (p a une limite à droite et une limite à gauche ?
11. Soient / = [a, b], Q un domaine, I czQ, f continue sur X2, et f e H(Q-Î). Démontrer
qu'en fait f e H(G).
Remplacer / par d'autres ensembles pour lesquels la conclusion reste inchangée.
12. (Inégalités de Harnack). Soient Q un domaine, K un sous-ensemble compact de X2,
z0 e Démontrer qu'il existe des nombres positifs a et P (qui dépendent de z, AT, et £2) tels
que pour toute fonction harmonique positive u dans Q et pour tout ze K
au(zo)<u(z)<Pu(zo).
Si {un) est une suite de fonctions harmoniques positives sur Q et si un(z0) —> 0, décrire le
comportement de {un} ailleurs sur Même question si un(zo) —> °°. Montrer que l'hypothèse
de positivité est essentielle pour ces résultats.

292
fonctions harmoniques
13. Soit u une fonction harmonique positive sur U et u(0) = 1. Majorer et minorer du mieux
possible m (1/2).
14. Pour quels couples de droites Lp existe-t-il des fonctions harmoniques réelles sur tout
le plan, nulles en tous les points de Lx u L2, mais non identiquement nulles ?
15. Supposons que u soit une fonction harmonique positive sur et pour tout ëe*\,
u(rë9) —> 0 quand r —> 1. Démontrer qu'il existe une constante c telle que
16. Voici un exemple de fonction harmonique sur U, qui n'est pas identiquement nulle mais
dont toutes les limites radiales sont nulles :
Montrer que cette fonction u n'est l'intégrale de Poisson d'aucune mesure sur T et qu'elle n'est
pas la différence de deux fonctions harmoniques positives sur £/.
17. Soit 0 l'ensemble des fonctions harmoniques positives u sur U telles que u(0)= 1.
Montrer que 0 est un ensemble convexe et en trouver les points extrémaux. (Un point x d'un
ensemble convexe 0 est appelé point extrémal de 0 si on ne peut pas trouver de segment
contenant x dont les extrémités sont dans 0 et sont différentes de x.)
Indication : si C est l'ensemble convexe des mesures de Borel positives sur 7, de variation
totale 1, montrer que les points extrémaux de C sont exactement les mesures de Dirac,
concentrées en un point de T.
18. Soit X* le dual d'un espace de Banach X. On dit qu'une suite {A„} dans X* converge
faiblement vers Ae X* si, pour tout jc e X, A„jc —> Ax quand n —» <». On remarquera que la
convergence selon la norme de X entraîne la convergence faible. (Voir l'exercice 8 du
chapitre 5.) La réciproque est fausse. Par exemple, les fonctionnelles /->/(«) sur L2 (T) tendent
vers 0 faiblement (d'après l'inégalité de Bessel), mais chacune a pour norme 1.
Montrer que la suite {|| A„ ||} doit être bornée lorsque { A„} converge faiblement.
19. (a) Montrer que 8Pr (8) > 1 si 8 = 1 - r.
(b) Si /i > 0, u = P [djl] et Is cz I (arc centré en 1 et de longueur 25), montrer que
V(Is)<8u(\-8).
(Mfx)(\)<7t(Mradti)(\).
(c) En outre, si \i J_ w, montrer que
u{reie)-><*> p.p. [/i].
Indication : on peut utiliser le théorème 7.5.
20. Soit EczT, m (E) = 0. Montrer qu'il existe / g //~, avec/(0) = 1, telle que pour chaque
e e E,
u(rëe) = cPr(0).
Donc
Mm f(rëe) = 0.
r-> 1
Suggestion : Construire une fonction s.c.i y e L\T), \j/> 0 et y/= +«> en chaque point de E. Il
existe une fonction holomorphe g dont la partie réelle est P[y/]. Poser/= 1/g.

exercices
293
21. Soient feH(U),ge H(U) définies par f(z) = exp ^ et g(z) = (1 - z) exp {-/(z)}.
Montrer que pour tout ë9 e 7\
g*(é?'e) = lim g (r*'*)
r-> 1
et g* g C(71), mais sans que g appartienne à H°°.
Suggestion : On choisit s et définit
t + is - 1 ,~ .
r + is + 1
Pour certaines valeurs de s, \g (z,)\ -> °° lorsque t —> oo.
22. Soit une fonction u harmonique sur U et {ur ; 0 < r < 1} un sous-ensemble uniformément
intégrable de Lx (T). (Voir l'exercice 10 du chapitre 6). Modifier la démonstration du
théorème 11.30 pour établir u = P[f], /e Ll(T).
23. On pose 8n = 2~" et on définit pour ze U,
«(z) = Jjn-\P(z,eB',)-P(z,e'ie'')}.
n = 1
Montrer que u est l'intégrale de Poisson d'une mesure sur T9 que u(x) = 0 si -1 < x < 1, mais
que
m(1 -£+*'£)
n'est pas bornée lorsque e décroît vers 0. (Ainsi u a une limite radiale, mais aucune limite
tangentielle en 1.)
Indication : Si e = sin 0 est suffisamment petit et z = 1 - £ + /e, on a P(z, e'*) - P(z, e"'e) > -.
24. Soit £>n(r) le noyau de Dirichlet, défini à la section 5.11. On définit le noyau de Fejér par
Kn = ^rî(D0 + D1 + ...+DJ.
2 >
N?
k tt\ - I •1 ~ cos Nt < r m
K"-M ~ N l-cosf ~Ln (0>
et
JL„ rfT < 2.
r
Utiliser ces inégalités pour démontrer que les moyennes arithmétiques
S0 + S, + ...+SN
Cn = nT~\
des sommes partielles de la série de Fourier d'une fonction / g L\T) convergent vers/(é?<fl)
en chaque point de Lebesgue de /. (Montrer que sup (crN) est majorée par Mf et procéder comme
pour la preuve du théorème 11.23.)
25. Si 1 <p<oo et fe LP(Rl), montrer que (/ * hk)(x) est une fonction harmonique de
x + iX sur le demi-plan supérieur (hk est définie à la section 9.7 : ceci est le noyau de Poisson
du demi-plan).
On pose LN (t) = min \N, -^-=1 Montrer que
v Nt J

294
fonctions harmoniques
NOTES HISTORIQUES
Les fonctions harmoniques ont un passé nettement plus ancien que les fonctions holomorphes ; Laplace
introduisit la fonction potentiel comme fonction harmonique dans les années 1775 afin de résoudre le
problème des figures d'équilibre d'une masse fluide en mouvement de rotation autour d'un axe, résolvant
T équation du laplacien par la méthode des fonctions orthogonales, généralisant ainsi les polynômes de
Legendre. Fourier retrouvait cette équation pour la théorie de la propagation de la chaleur dans le cas d'un
équilibre thermique, et pour sa résolution introduisait les séries et les intégrales qui portent son nom. Poisson,
et Gauss fournissaient l'équation complète du potentiel, dont George Green en 1828, puis William Thomson
(Lord Kelvin) indiquaient l'utilité en électricité et en magnétisme, Green introduisant par un raisonnement
heuristique les fonctions qui portent son nom. L'équation du potentiel a ainsi son histoire propre tout au
long du xixe siècle, bénéficiant de nombreux apports (principe de Dirichlet pour la résolution du problème
de Dirichlet (théorème 11.8), principe du balayage de Poincaré, etc.). La théorie du potentiel a aussi
bénéficié de la rencontre avec les fonctions holomorphes qui est l'objet du chapitre 11, avec la représentation
intégrale qui en est issue et l'association d'une fonction holomorphe à une fonction sur la frontière d'un
domaine et donc les théorèmes de passage à la limite. Sur les fonctions harmoniques, les références
générales sont [Ahlfors, 1978, chapitre 5], et [Nehari, 1934, chapitre 1].
Le principe de réflexion de H.A. Schwarz a d'abord été inventé pour résoudre des problèmes de
représentation conforme (chapitre 14) de domaines polygonaux [Hille, 1959, section 17.6]. Des résultats plus
étendus sont présentés par leur auteur dans [Carathéodory, 1954, vol. 2, pp. 88-92], et dans un article
de 1946-1947 référencé ci-dessous.
Les propriétés limites des sections 11.20 et 11.25 résultent de l'article de Hardy et Littlewood (1930)
où sont introduites les fonctions maximales. La démonstration de la seconde inégalité du théorème 11.20
est celle de [Garnett, 1981, p. 23]. Pour la section 11.23, les premiers résultats de ce type furent donnés
en 1906 dans l'article de Fatou. Cet article représenta la première utilisation dans le domaine complexe de
la théorie de l'intégrale de Lebesgue.
La partie (c) de la section 11.30 est due à Herglotz en 1911.
W. Ramey et D. Ulrich ont suggéré à Rudin l'exercice 14.
RÉFÉRENCES
P. Fatou, Séries trigonométriques et séries de Taylor, Acta Math., 30, 335-400, 1906.
Herglotz, Leipziger Berichte, 63, 501-511, 1911.
G.H. Hardy, J. E. Littlewood, A maximal theorem with fonction - theoretic applications, Acta Math.,
54, 81-116, 1930.
C. Carathéodory, Zum Schwarzschen Spiegelungsprinzip, Comment. Math. Helv., 19,263-278, 1946-1947.
TEXTES
On donne ici un extrait issu d'un texte de R. Salem et J.P. Kahane (1963) sur les mesures de Hausdorff.
Mesures et dimension de Hausdorff
2. Soit h(i) une fonction continue croissante de t(t>0), telle que ft(0) = 0; dans la suite, on prendra
souvent h(t) = ta, 0<a< 1. Pour tout p> 0, considérons un recouvrement du compact E de /?' par des
intervalles ouverts Ai(i= 1,2,...) de longueur \A( | inférieure ou égale à p, et considérons la somme
2>(KI). (d

notes historiques
295
Quand (p étant fixé) les A( varient de toutes les manières possibles, l'expression (1) admet une borne
inférieure, soit Hp. Visiblement, Hp croît quand p décroît ; elle admet donc une limite (éventuellement infinie)
quand p tend vers zéro, que nous appellerons la h-mesure de E et désignerons par H~H(E). Cette
définition d'une mesure dépendant d'une fonction déterminante h(t) est due à Hausdorff. Indiquons en
quelques propriétés.
Si E est réunion de deux compacts disjoints £, et £2, et si p ne dépasse pas la distance entre £, et £2,
tout recouvrement { A-t } de £(|41 < p) est décomposable en un recouvrement de et un recouvrement
de E2 ; on a donc
Hp(E) = Hp(E,) + Hp(E2),
d'où
H(E) = H(E{) + H(E2). (2)
En particulier, si E est décomposable en v portions égales, chacune de ces portions a pour /i-mesure
-H(E).
v
Supposons 0 < H(E) < «>, la fc-mesure de l'intersection E n ]- °°, f] est une fonction de t croissante (au
sens large) qui détermine une répartition de masses sur la droite ; nous continuerons à appeler /i-mesure,
ou h-mesure sur £, cette répartition de masses.
[...]
3. Si h(t) = ta (0 < a< 1), la /ï-mesure d'un compact E s'appelle encore mesure dans la dimension ce, et
nous la noterons #"(£). Voici la propriété essentielle de cette mesure —et la justification du terme de
dimension — : si deux ensembles sont homothétiques dans le rapport £, le rapport de leurs mesures est E?.
Soit en effet E* un homothétique de E dans le rapport Ç. L'homothétie amenant E sur £" ; fait
correspondre à tout recouvrement de E par des intervalles A{ un recouvrement de E' par des intervalles A\ et
5>r = r Ii4,r
d'où immédiatement, d'après la définition,
Ha(E') = ÇaHa(E). (3)
[...]
4. Soit maintenant h} (t) et h2(t) deux fonctions déterminantes, et supposons
MO = 0(/i2(0) quand f->0.
Cherchons à comparer //, (E) et H2 (E), E désignant un compact quelconque.
Pour 0 < t < p, on a hx (t) < £ph2 (f), avec limep = 0. Si {At} est un recouvrement de E par des
intervalles de longueur <p, on a donc ^T/i,(|4 |) < £p^/i2(|A |) et» en prenant les bornes inférieures,
//p>1<e„//p,2.D'où
H, = 0 ■ H2 (4)
dans le sens que l'un nécessairement des cas non grisés sur le tableau suivant est réalisé
H2
nul
fini non nul
infini
nul
fini non nul
infini

296
fonctions harmoniques
L'application la plus importante consiste encore à prendre h (t) = ta. D'après (8), est une fonction
décroissante de a, et la borne supérieure des a tels que H°(E) = «> coïncide avec la borne inférieure des
a tels que Ha(E) = 0 ; cette borne commune s'appelle la dimension de Hausdorff dt E, et nous la noterons
cc(E).
Ainsi, 0 < a(E) < 1. Si 0 < a(E) < 1, on a le tableau de variation :
a | 0
o(Ê)
1
H«(E)j
OO j
0
La mesure dans la dimension a(E) peut être infinie, finie non nulle, ou nulle, ainsi qu'on s'en assure par
des exemples. Mais le tableau indique que, si pour une valeur de a, l'on a 0 < H°(E) < <», alors a(E) = a.
[...]
5. Voici, pour tous les compacts, une interprétation simple de la dimension de Hausdorff.
Théorème II. — La dimension de Hausdorff d'un compact E est la borne supérieure des p > 0 tels qu'il
existe une mesure positive dp * 0, portée par E, dont la primitive soit lipschitzienne d'ordre p.
Rappelons que la fonction p(x) est dite lipschitzienne d'ordre P (fie Ap) si son module de continuité
(O^t) = sup \p(x')-p(x)\
x,x'\\x-x'\£t
satisfait û)p(r) = 0(r*) quand f-»0.
Le théorème II résulte à simple vue du suivant.
Théorème III. — Soit h(t) une fonction déterminante telle que h(2t) < 2h(t). Pour avoir H(E)> 0, il
faut et suffit que E porte une mesure positive dp * 0, dont la primitive satisfasse û)p(r) = Q(h(t)) (t —> 0).

CHAPITRE 12
LE PRINCIPE DU MAXIMUM
INTRODUCTION
12.1. Le théorème du maximum (10.24) affirme que les constantes sont les seules fonctions
holomorphes sur un domaine Q dont la valeur absolue possède un maximum local en un point
Si Végalité a lieu en un point ze Q, f est alors constante.
(Le membre de droite de (1) est la borne supérieure de |/| sur la frontière dK de K.)
En effet, si \f(z)\ > ll/L* en un point z e ^2, le maximum de |/| sur K (nécessairement
atteint en un point de K puisque K est compact) est en fait atteint en un point de Q, de sorte
que d'après le théorème 10.24, / est constante.
L'égalité = ||/1U Qui fait partie du théorème 11.32, implique quant à elle,
On peut donc dire (en gros) que |/(z)| ne dépasse pas la borne supérieure des valeurs de / sur
la frontière, ce qui est un énoncé analogue à (1). Mais cette fois, le fait pour / d'être bornée
sur U suffit ; nous n'avons pas besoin de la continuité sur U.
Ce chapitre contient d'autres généralisations du théorème du maximum, et quelques
applications remarquables, et il se termine par un théorème qui montre que la propriété du maximum
caractérise « presque » les fonctions holomorphes.
Tel est le nom donné d'habitude au théorème suivant. Nous utilisons les notations de la
section 11.31.
de Q.
\m\ = 1/1
{zeUJe H~(U)).
(2)
LE LEMME DE SCHWARZ
12.2. Théorème
et
Soit fe H°°, ||/L< 1, et /(O) = O.Ona
1/(2)1 * k\
I/'(0)|<1.
(D
(2)

298
le principe du maximum
Si l'égalité a lieu dans (1) pour un ze U - {0}, ou si l'égalité a lieu dans (2), nécessairement
f(z) = Xz, X étant une constante telle que |À| = 1.
En langage géométrique, l'hypothèse affirme que / est une application holomorphe de U dans
U qui laisse fixe l'origine ; en particulier la conclusion, ou bien / est une rotation ou bien /
rapproche chaque point de l'origine.
Démonstration. — Comme /(O) = 0, f(z)/z présente une singularité artificielle en z = 0,
et il existe g e H(U) telle que f(z) = zg(z)>
Si ze U et \z\ <r< 1, on a
\g{z)\< max\fiLlA<\.
En faisant tendre r vers 1, on voit que \g(z)\ ^ 1 pour tout ze U. Ce qui fournit (1). Puisque
/'(O) = g(0), la relation (2) s'en déduit.
Si \g(z)\ = 1 pour un z e t/, une nouvelle application du théorème du maximum montre que
g est une constante.
C'est à l'aide d'applications particulières de U sur U que l'on peut obtenir bien des variantes
du lemme de Schwarz :
12.3. Définition. — Pour tout ae U, définissons
z-a
1 ~az
12.4. Théorème
Soit ae U. La fonction (pa est une bijection qui applique T sur Tt U sur U, et a en 0. La
fonction réciproque de (pa est q>_a. On a
ç'a{0)= \-\a\\ ç,'B(a) = —J_. (1)
1 — I «|
Démonstration. — ça est une fonction holomorphe sur tout le plan, mis à part un pôle en
\/a qui est à l'extérieur de U. Une simple substitution montre que
V-a(<Pa(z)) = Z. (2)
Ainsi, q>a est bijective et (p_a en est la réciproque. Comme, pour t réel,
"-a
\e -a}. = 1 (3)
|l -aelt\ U'lt-a\
(z et z ont la même valeur absolue), <pa applique T dans T ; il en est de même pour (p_a ; donc
(pa(T) = T. Il résulte maintenant du théorème du maximum que (pa(U) c U, et en
considérant de nouveau <p_a, on obtient en fait (pa(U) = U.
12.5. Un problème d'extrémum. — Soient a et p des nombres complexes, \a\ < 1, et
\P\ < 1. Quelle peut être la taille possible de lorsque f est soumise aux conditions
fe H", ll/L S 1, et f{a) = j9?
Pour résoudre ce problème, posons
g = (ppofo(p_a. (1)

la méthode de phragmen-lindelof
299
Comme ç_a et <p$ appliquent U sur Ut on voit que ge H" et ||g|l< 1 ; on voit aussi
g(0) = 0. Le passage de / à g a réduit notre problème au lemme de Schwarz, qui donne
|g'(0)l < 1. D'après (1), par dérivation d'une fonction composée,
*'(0) = 9tfi(P)ft(a)<pt_a(0). (2)
En utilisant les équations 12.4 (1), on obtient l'inégalité
]ria)\<LzlËl (3)
l-|a|2
Ceci résout notre problème, puisque l'égalité est possible dans (3). Ce qui arrive si et
seulement si |g'(0)l = 1, auquel cas g est une rotation (théorème 12.2). De sorte que
f(z) = <P^(X<pa(z)) (ze U) (4)
pour une constante X telle que |A| = 1.
Nous devons insister sur un trait remarquable de la solution. Nous n'avons pas imposé de
conditions de régularité (telles que la continuité sur U, par exemple) sur le comportement de /
au voisinage de la frontière de U. Néanmoins, il se révèle que les fonctions / qui maximisent
|/'(o0l sous ^s conditions restrictives indiquées sont, en fait, des fonctions rationnelles. Il faut
remarquer aussi que ces fonctions extrémales appliquent U sur U (et non pas seulement U dans
U), et sont bijectives. Cette observation peut servir de motivation pour la démonstration du
théorème de l'application de Riemann au chapitre 14.
Pour l'instant, nous nous contenterons de montrer comment ce problème d'extrémum peut
être utilisé pour caractériser les applications holomorphes bijectives de U sur U.
12.6. Théorème
Soit f e H(U), f bijective, f(U) = U, ae U, et f(a) = 0. // existe une constante X,
|A| = 1, telle que
f(z) = Xq>a{z) (ze U). (1)
En d'autres termes, on obtient / en composant l'application ça avec une rotation.
Démonstration. — Soit g la fonction réciproque de définie par g(f(z)) = z,ze U.
Comme la fonction / est bijective, d'après le théorème 10.34, /' n'a pas de zéro dans U, de
sorte que g e H(U). D'après la règle de dérivation d'une fonction composée.
g'(0)/'(a) =1. (2)
La résolution du problème 12.5 (inégalité (3)), appliquée à / puis à g, fournit les inégalités
\f'(a)\<—i—2, |g'(0)|<l-|«|2. (3)
l-|a|
D'après (2), les inégalités (3) sont en fait des égalités. Comme nous l'avons déjà vu dans le
problème précédent (avec /ï = 0 ), ceci contraint / à être de la forme (1).
LA METHODE DE PHRAGMEN-LINDELOF
12.7. Pour un domaine borné 12, nous avons vu à la section 12.1 que si / est continue sur la
fermeture de 12, et si f e H(Q), le théorème du maximum entraîne
ll/L=ll/IU. (D
Pour un domaine non borné, cette égalité n'a plus lieu.

300
le principe du maximum
À titre d'exemple prenons
£2 = jz = x + fy :-|<y<!J; (2)
£2 est la bande limitée par les droites parallèles y = ±- ; sa frontière d£2 est la réunion de
ces deux droites. Posons
f(z) = exp (exp (z)). (3)
Pour x réel, puisque exp ((ni)/2) = /,
/(x±!) = exp(±iV) (4)
de sorte que \f(z)\ = 1 pour z e d£2. Mais /(jc) -» «> très rapidement quand x -> le long
de Taxe positif réel (qui est inclus dans £2).
« Très » est le mot clé dans la phrase précédente. Une méthode développée par Phragmen et
Lindelôf permet de démontrer des théorèmes du type suivant : si / e H(£2) et si |/| < g, où
g(z) —> 00 « lentement », quand z —> 00 dans £2 (ce que « lentement » veut dire dépend
justement du domaine £2), la fonction / est en fait bornée dans £2, et ceci, d'après le théorème du
maximum, entraîne d'ordinaire d'autres conclusions encore sur /.
Plutôt que de décrire la méthode par un théorème qui recouvrirait un grand nombre de
situations, nous allons voir comment il fonctionne dans deux cas. Dans les deux cas, £2 sera une
bande. Dans le premier cas, nous supposerons / bornée, et le théorème améliorera la borne ;
dans le deuxième, nous imposerons à / une condition de croissance qui excluera la fonction (3)
seulement. En vue d'autres applications, £2 sera une bande verticale dans le théorème 12.8.
Mentionnons d'abord un autre exemple du même tonneau : soit f une fonction entière
vérifiant pour tout z
l/(z)l<l + |z|,/2. (5)
La fonction f est alors constante.
Ceci découle immédiatement de l'estimation de Cauchy en 10.26, puisqu'elle montre
/(n)(0) = 0 pour n = 1,2,3,...
12.8. Théorème
Soient
£2 = {x + iy : a £2 = {jc + iy : a < x < b}, (1)
/ continue sur £2, f e H (£2), \f(z)\< B pour tout ze £2 et B<<*> une constante donnée. Si
M(x) = sup {|/(jc + /y)| :-oo< v<oo} (a<x<b) (2)
on a en fait
M(xf~a < M(a)b~x M(b)x~a (a<x<b). (3)
Nota : La relation (3) établit que l'inégalité \f\<B peut être remplacée par |/|<
max (M(a), M(b)), de sorte que |/| ne dépasse pas dans £2 la borne supérieure de |/| sur la
frontière de £2.
Si nous appliquons le théorème à des bandes délimitées par les droites jc = a et x = /?, où
a< a</J<fc, la conclusion du théorème peut être énoncée de la manière suivante :
Corollaire. — Sous les hypothèses du théorème, Log M est une fonction convexe sur ]a,b[.

la méthode de phragmen-lindelof
301
Démonstration. — Nous supposons d'abord que M(a) = M(b) = 1. Dans ce cas, nous
devons démontrer \f(z)\ < 1 pour tout ze Q.
Pour tout e > 0, définissons une fonction auxiliaire
h^ = îti^j w
Comme Re {1 +e(z-a)} = 1 + e(x-a)> 1 sur fl, on a |/i£| < 1 dans 12, de sorte que
\f(z)h£{z)\<\ (zedQ). (5)
D'autre part, 11 +e{z-a) \ >e\y \, de sorte que
\f(z)h£(z)\<z^ (z = x + iyeG). (6)
Soit /? le rectangle que découpent dans fl les droites y = ±B/e. D'après (5) et (6),
\fhe | < 1 sur dR, d'après le théorème du maximum \fh£ | < 1 sur /?. Mais (6) montre que
| fhE | < 1 sur le reste de fl. Ainsi | /(z) hE (z) \ < 1 pour tout z e fl et tout e > 0 . Si nous
choisissons ze et faisons tendre e vers 0, nous obtenons le résultat cherché : /(z)| ^ 1.
Venons-en maintenant au cas général. Posons
g(z) = M(af-z){b-a) M(bf-)ib-'\ (7)
où, pour M > 0 et w complexe, Mw est défini par
Mw = exp (w Log M), (8)
et où Log M est réel. La fonction g est alors entière, g n'a pas de zéro, et 1 /g est bornée sur fl,
+ = M(a), |g(* + i>0l = A#<*). (9)
Ainsi \f/g\ vérifie les hypothèses antérieures. Donc \f/g\ ^ 1 dans fl, ce qui donne (3).
(Voir exercice 7.)
12.9. Théorème
Soient,
Q = \x + iy:\y\<f>, i2 = \x + iy:\y\<^\. (1)
Soit une fonction f, continue sur fl, f e //(fl), et supposons qu'il existe des constantes a<\,
A < oo, telles que
\f(z)\ <exp {A exp (a|x|)} (z = x + iy g fl), (2)
< 1 (-oo<JC<oo). (3)
Alors |/(z)| < 1 powr tout ze fl.
Remarquer que la conclusion est fausse si a= 1, comme le montre l'exemple de la fonction
exp (exp z).
Démonstration. — Choisissons la constante fi > 0 telle que a < fi < 1. Pour e > 0, définissons
he(z) = exp{- + (4)
Pour z e fl, puisque |/?| < 1 avec ô = cos(/ta/2) > 0, on a
Re [e* + s-*] = (e* + e"*) cosj3y > S(ePx + (5)

302
le principe du maximum
Donc
\he(z)\ < exp {-eS(ePx + e~Px)} < 1 (ze£2). (6)
Il en résulte que \fh£\<\ sur <?.Q et
\f(z)he(z)\ <exp {AeaW-£oV* + 0} (zefl). <7)
Choisissons e > 0. Comme £(5 > 0 et /? > a, l'exposant dans (7) tend vers - °© quand x —> ± .
Il existe donc un x0 tel que le membre de droite de (7) soit plus petit que 1 pour tout x > xQ.
Comme \fhE\ < 1 sur la frontière du rectangle dont les sommets sont ± x0± (m/2), le
théorème du maximum montre qu'en fait \fhe\ < 1 sur ce rectangle. Ainsi, pour tout e > 0, \fhe\ < 1
en tout point de Q. Quand £^ 0, he(z) —> 1 pour tout z, et nous en concluons que < 1
pour tout z e £2.
Voici une application différente de la même méthode, dont il sera fait usage à l'occasion de
la démonstration du théorème 14.18.
12.10. Théorème de Lindelôf
Soit r une courbe dont le segment de paramétrage est [0, 1], et telle que \r(t)\ < 1 pour
t>i, r(i) = i.
Lorsque g g H°° et
lim g(r(t)) = L, (1)
t -> i
la fonction g possède une limite radiale L en 1.
(Par l'exercice 14 du chapitre 14, on verra que g en fait n'a pas de limite tangentielle en 1.)
Démonstration. — On suppose, sans perte de généralité, que |g| < 1 et L = 0. Soit £> 0 un
nombre donné. Il existe f0 < 1 tel que, en posant r0 = Rer(f0), on ait pour t0 < t < 1,
\g(r(t))\<£ et Rer(0>r0>^. (2)
On choisit r, r0 < r < 1.
On définit h sur Q = D(0 ; 1) n D(2r ; 1) par
h(z) = g(z)J(F)g(2r-z)g(2r-z). (3)
Alors h g H(£2) et \h\ < 1. Nous prétendons que
h(£2) < e. (4)
S'il en est bien ainsi, comme h(r) = |g(r)|4, on déduit effectivement la conclusion du théorème.
Pour démontrer (4), on pose £, = J"([f„ 1]), où tx est le plus grand t pour lequel
Re r(t) = r, et E2 le symétrique de Ex, par rapport à l'axe réel. On prend pour E la réunion
de Ex u E2 avec son symétrique par rapport à la droite x = r. Les relations (2) et (3) fournissent
\h(z)\<e si zGfln£. (5)
Choisissons c> 0 pour définir pour z g Q
K(z) = h(z)(\-z)c(2r-\-z)\ (6)
et
MO = K(2r-\) = 0.
Si K désigne la réunion de E et des composantes bornées du complémentaire de E, cet ensemble
K est compact, hc est continue sur K, holomorphe sur l'intérieur de K, et (5) montre que \hc\ < £
sur la frontière de K. La construction de E établit que re K, et ainsi le théorème du maximum
fournit \hc(r)\ < £.
En faisant tendre c vers 0, on déduit (4).

un théorème d* interpolation
303
UN THEOREME D'INTERPOLATION
12.11. Le théorème de convexité 12.8 peut parfois être utilisé pour démontrer que certaines
applications linéaires sont bornées relativement à certaines normes Lf. Plutôt que de discuter
ceci en toute généralité, étudions un cas particulier de ce genre.
Soient Xun espace mesurable, jj.une mesure positive, et soit { y/n}. (n = 1, 2, 3, ...) un
ensemble orthonormal de fonctions de L2 (ju). Rappelons que ceci signifie :
f _ f 1 si m = «,
I Wn¥mdfi = \ (1)
Jx [0 si m*n.
Supposons en outre que {y/n} soit une suite bornée dans L°°(fi) : il existe donc un M < oo tel que
| y/n(x)\ <M (n = 1, 2, 3, ... ; x g X). (2)
Ainsi, pour toute / g Lp(jU), avec 1 < p < 2, les intégrales
/<") = f fWndfi (n= 1,2,3,...) (3)
Jx
existent et définissent une fonction / sur l'ensemble des entiers positifs.
Deux théorèmes très faciles interviennent maintenant : pour / g L](fi), la relation (2) donne
\\f\l<M\\f\\t, (4)
et pour / g L2(jU), l'inégalité de Bessel donne
Il/ll2<ll/l|2, (5)
lorsque les normes sont définies selon l'usage par :
M, = [[\f\'dn]l/P, Il/Il, = Pl/WIT. ll/L = sup |/(«)|. (6)
J n
Comme (1, °°) et (2,2) sont des couples d'exposants conjugués, on peut conjecturer que ||/ \\q
est finie pour toute /g lf(fï) si 1 </?<2, q = p/(p- 1). Ceci est effectivement vrai et peut
être prouvé par « interpolation » entre les cas précédents évidents p = 1 et p = 2.
12.12. Théorème de Hausdorff-Young
Avec les hypothèses ci-dessust r inégalité
\\J \\q
est vérifiée si 1 < p < 2 et si / g Lp([l).
< M{2-p)/p\\f\\n (1)
Démonstration. — Démontrons d'abord une formulation affaiblie du théorème.
Fixons p, 1 <p<2. Soit / une fonction étagée à valeurs complexes telle que = 1 ;
soient bx, bv bN des nombres complexes tels que £|fc„|'' = 1. Notre objectif est l'inégalité
11 K f(n)
<Mi2-p)/p. (2)
\n= 1 I
Posons F = \f\p, et B„ = \bn\p. Il existe alors une fonction <p et des nombres complexes
/3„j32, ...,/?„ tels que
/ = FWp(p, M = 1, f Fdfi = 1, (3)
Jx
et
N
b„ = BY%, |A| = 1. XB» = L W

304
le principe du maximum
En utilisant ces relations et la définition de f(n) donnée à la section 12.11, on obtient
YJbJ{n)= 5X"A,J Fw"cpvndn.
Remplaçons maintenant 1 lp par z dans (5), et définissons pour tout nombre complexe z
O(z) = j^BznPnjxFz(pij/„ dii.
(5)
(6)
Rappelons que A1 = exp (z Log A) si A > 0 ; si A = 0, convenons que A1 = 0. En tant que fonction
étagée, et puisque F > 0, et Bn > 0, on voit que 0 est une combinaison linéaire finie de telles
exponentielles, de sorte que pour tous a et b finis 0 est une fonction entière bornée sur
{z:a<Re(z)<fc}.
Prenons a = 1/2 et b = 1, estimons 0 sur les bords de cette bande, et appliquons ensuite le
théorème 12.8 pour estimer 0(\/p).
Pour - oo <y < oo, définissons
cAy) = f FW2Fiy(pxif„dn. (7)
L'inégalité de Bessel donne
12
Z\cn(y)\2<jy/2F*(p\2dn = \\F\dn = 1,
puis l'inégalité de Schwarz montre que
2 2
< 1.
Puisque Hi/zJ^À/, l'estimation
\0( \ +iy)\ <M (-oo<y<°o)
découle trivialement de (3), (4) et (6).
On déduit maintenant de (9), (10), et du théorème 12.8 que
\0(x+iy)\ <M2x~] Q<jc<1,-oo<3,<<
Avec x = 11p et y = 0, ceci comme attendu donne l'inégalité (2).
On peut maintenant terminer aisément la démonstration. Remarquons d'abord que
XI/(n)l' ï = sup
(8)
(9)
(10)
(H)
(12)
la borne supérieure étant prise sur tous les [bv bN] tels que ^\b„\p = 1. En effet, la norme
Lq d'une fonction quelconque sur un espace mesurable est égale à sa norme en tant que forme
linéaire sur Lp. Donc (2) montre que pour toute fonction complexe étagée f e Lp (/J.)
(13)
Si maintenant / g Lp (jU), il existe des fonctions étagées fi telles que - f\p -> 0 lorsque
j —> oo. Ainsi, parce que \j/„ g Z/(/j), fj(n)—>f(n) pour tout «.
Puisque (13) est vérifiée pour tout fj, elle l'est aussi pour /. Comme N était arbitraire, nous
obtenons finalement (1).

une réciproque du théorème du maximum
305
UNE RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DU MAXIMUM
Nous en arrivons au théorème auquel nous avons fait allusion dans l'introduction du présent
chapitre.
La lettre j désignera la fonction identité : j (z) = z.
La fonction qui associe le nombre 1 à tout ze U sera notée 1.
12.13. Théorème
Soit M un espace vectoriel de fonctions continues à valeurs complexes sur le disque unité
fermé D, ayant les propriétés suivantes :
(a) 1 g M.
(b) Si / g M y on a aussi jfeM.
(c)Si fe M, on a \\f\\v = \\f\\T.
Toute f e M est alors holomorphe sur U.
On remarquera que (c) est une forme affaiblie du principe du maximum ; (c) affirme
seulement que le maximum absolu de |/| sur D est atteint en un point de la frontière T, mais n'exclut
pas a priori l'existence d'un maximum local de |/| dans U.
Démonstration. — D'après (à) et (b), M contient tous les polynômes. En ajoutant ceci à (c),
on voit que M satisfait les hypothèses du théorème 5.25. Ainsi, toute f e M est harmonique
sur U. Nous allons nous servir de (b) pour montrer que toute f e M satisfait en fait l'équation
de Cauchy-Riemann.
Soient d et d les opérateurs différentiels introduits à la section 11.1. La règle de
différentiation d'un produit donne
(dd)(fg) = / ■ (ddg) + (df) ■ (dg) + Cdf) ■ (dg) + (ddf) ■ g.
Choisissons f e M, et prenons g = j. Ainsi fjeM. Donc f et fj sont harmoniques, d'où
ddf = 0 et (dd)(fj) = 0. D'autre part, df = 0 et dj = 1. L'identité ci-dessus se réduit par
conséquent à df = 0. Et donc /g H(U).
Ce résultat peut servir pour la démonstration suivante.
12.14. Théorème de Radô
Soient f e C( U), QV ensemble des ze U pour lesquels f(z) ïOet supposons f holomorphe
sur fl. Alors f est holomorphe sur U.
En particulier, le théorème affirme que U - fl est au plus dénombrable, sauf si fl = 0.
Démonstration. — Supposons A* 0. On démontre d'abord que fl est dense dans U. Sinon,
il existe ae Q et fieU-Q tels que 2|/î-a\ < 1 -On choisit n de sorte que
2"|/( a)\ > H/ll T. Pour z g fl , on définit h (z) = (z- fi) ~n f(z). Si z e U n <?fl, on a f(z) = 0,
donc h(z) = 0. Si z g T n dil, alors
|*(z)l< (1-Ij3rn) 11/11, <l<*-/?r l/(a)| = \h(a)\.
Ce qui contredit le théorème du maximum.
Ainsi fl est dense dans U.

306
le principe du maximum
Soit maintenant M l'espace vectoriel de toutes les g e C(U), holomorphes sur 12.
Choisissons g e M. Pour n = 1, 2, 3, ...,fgn -0 sur Un d£2. Pour tout ae 12, le théorème du
maximum implique alors
|/(a)|\g(a)\n<\\fg%a = Il/g1r<||/||r \\g\\nr .
En prenant les racines n-ièmes, et faisant tendre n —> <*>, on voit que pour tout ae
| g(a) | < || g 1T. Puisque Q est dense dans £/, on a ||g|| v = ||g||r.
Dès lors M satisfait les hypothèses du théorème 12.13. Puisque f e M, la fonction / est
holomorphe sur U.
EXERCICES
1. Soit A un triangle équilatéral fermé du plan dont les sommets sont a, b, d, c. Calculer
max (\z - a\\z - b\\z - c| ) lorsque z parcourt A.
2. Soit / e H(T1*), où 77+ est le demi-plan supérieur, et |/| < 1. Majorer |/'(/)|. Trouver les
fonctions extrémales. (Comparer avec la discussion de la section 12.5.)
3. Soit / e H(Q). Sous quelles conditions |/| peut-elle avoir un minimum local dans Q ?
4. (a) Soit Q un domaine, D un disque, De f e H(Q), f non constante, et |/| non
constante sur la frontière de D. Démontrer que / a au moins un zéro dans D.
(b) Trouver toutes les fonctions entières / telles que \f (z)\ = 1 pour \z I = 1.
5. Soit Q un domaine, {fn} une suite de fonctions continues sur £2, holomorphes sur Q et
supposons que {/„} converge uniformément sur la frontière de 12. Montrer que fn converge
uniformément sur Q.
6. Soient / e H(Q), r un cycle dans Q tel que Indr (a) = 0 pour tout ae Q, |/( Ç)\ < 1 pour
tout Çe H, et Indr(z) * 0. Montrer que \ f(z)\ < 1-
7. On a tacitement supposé lors de la démonstration du théorème 12.8. que M(a)>0 et
M (b) > 0. Montrer que le théorème est exact si M (à) = 0 et qu'alors f(z) - 0 pour tout f e Q.
8. Si 0 < Rx < R2 < oo, notons A (/?,, R2) l'anneau
{z : ^<|z|<i?2}.
Il existe une bande verticale que la fonction exponentielle envoie sur A(/?,, R2). Utiliser ceci
pour démontrer le théorème des trois cercles d'Hadamard : si / e H(A(RU /?2)), si
M(r) = max|/(re'fl)| (/?1<r</?2),
e
et si /?! < a < r < b < R2, on a
(En d'autres termes, Log M(r) est une fonction convexe de Log r.) Pour quelles fonctions /
a-t-on l'égalité ?

exercices
307
9. Soit 77 le demi-plan ouvert de droite dans le plan complexe (ze H si et seulement si
Rez>0). Supposons / continue sur la fermeture de 77 (Rez>0), / e 77(77), et supposons
qu'existent deux constantes A < oo et a< 1 telles que pour tout ze n.
\f(z)\<Acxp(\z\a).
Supposons de plus \f(iy)\ < 1 pour tout y réel. Démontrer que |/(z)| < 1 dans 77.
Montrer que la conclusion est fausse si a = 1.
Comment doit-on modifier le résultat si Ton remplace 77 par un domaine borné par deux
demi-droites issues de l'origine et ne faisant pas un angle égal à n ?
10. Soit 77 le demi-plan ouvert de droite. Soient f e 77(77), \f(z)\ < 1 pour z € 77 et a,
Log\f(rëa)\
- < a< - telles que
2 2 M
■ —» - oo si r —> oo.
r
Montrer que/= 0.
Indication : définir gn(z) = f(z) en\ n= 1, 2, 3, ... Appliquer l'exercice 9 aux deux régions
angulaires définies par - ^ < 0 < a, a<0< ^. Conclure que chaque gn est bornée dans 77 et
donc pour tout n que \gn\< 1 dans 77.
11. Soient Tla frontière d'un domaine non borné £2, f e 77(12), / continue sur 12u T, et
deux constantes B < °° et M < oo telles que |/| < M sur Tet |/| < B dans £2. Démontrer qu'en
fait on a alors \ f\< M dans £2.
Suggestion : montrer que l'on ne perd aucune généralité en supposant U n£2 = 0. Choisir
Zo e £2, n un entier assez grand, et V un grand disque de centre 0, et appliquer le théorème du
maximum à la fonction/"(z)lz sur la composante connexe de V n £2 qui contient z0.
12. Soit / une fonction entière. S'il existe une application continue /de [0, 1[ dans le plan
complexe telle que /(/)—> °° et f(y(t)) —» a quand t —> 1, nous dirons que a est une valeur
asymptotique de /. (Dans le plan complexe, « y(r) -» oo quand t 1 » signifie qu'à tout 7? < oo
correspond un tR < 1 tel que |/(r)| > R si tR < t < 1.) Démontrer que toute fonction entière non
constante a l'oo comme valeur asymptotique.
Suggestion : soit En = {z : |/(z)| >«}. Chaque composante connexe de En est non bornée
(démonstration ?) et d'après l'exercice 11 contient une composante connexe de EM+,.
13. Montrer que la fonction exponentielle possède exactement deux valeurs asymptotiques :
0 et oo. Qu'en est-il pour les fonctions sinus et cosinus ? (Ces fonctions sin z et cos z sont
définies, pour tout complexe z, par
iz - iz iz , - iz
e -e e + e \
sinz = ———» cosz = •>
14. Si / est entière et si a n'est pas dans l'image de /, démontrer que a est une valeur
asymptotique de /, à moins que / ne soit constante.
15. Soit / e H(£2). Démontrer qu'il existe une suite {zn} dans U telle que |z„| —» 1 et que
{f(zn)} soit bornée.

308
le principe du maximum
16. Soit fl un domaine borné, / g H(Q). Pour toute suite {z„} dans fl qui converge vers un
point t de la frontière de fl, nous supposons que,
limsup|/(zn)|<M.
n —> e»
Démontrer que |/(z)| < M pour tout z g fl.
17. Soit 0 l'ensemble des / g H( U) telles que 0 < |/(z)| < 1 pour z g U. Soit <PC
l'ensemble des f e 0 pour lesquelles /(O) = c. On définit
Af(c) = sup{|/'(0)| :/e <*>c} ; M = sup{|/'(0)| :/e O}.
Calculer M et Af (c) pour 0 < c < 1. Trouver une fonction / de 0 pour laquelle /' ( 0 ) = M, ou
montrer qu'il n'en existe pas.
Suggestion : Log/envoie LV sur le demi-plan de gauche. Composer Log/avec une application
convenable envoyant ce demi-plan sur U. Appliquer le lemme de Schwarz.
NOTES HISTORIQUES
L'estimation du module des fonctions holomorphes a joué un grand rôle dès le début de la théorie de
Cauchy, dans la mesure où ce dernier insistait tant sur les inégalités, gage de la rigueur mathématique.
Le lemme 12.2 apparut en 1869 à l'occasion d'un article de H.A. Schwarz consacré à la représentation
conforme. Edvard Phragmén mettait en place sa méthode de majoration en 1904, et quatre ans plus tard
Lindelôf la généralisait, et l'utilisait pour la résolution du problème de Dirichlet (F. et R. Nevanlinna, utilisant
en 1922 des fonctions de Green, généralisaient la méthode de Phragmén-Lindelôf dans une autre direction).
Pour d'autres exemples de la méthode de Phragmén-Lindelôf, voir [Titchmarsh, 1939, pp. 176-186].
Ces méthodes d'une variable complexe trouvaient une issue en variable réelle avec le premier théorème
d'interpolation pour les séries trigonométriques dû à W.H. Young en 1912, où il est démontré pour
q = 2,4,6, puis pour tous les q > 2 par F. Hausdorff en 1923 et étendu la même année par F. Riesz à
tous les systèmes orthonormaux uniformément bornés. Son frère, Marcel Riesz, déduisait en 1926 cette
même extension d'un théorème général d'interpolation. Treize années plus tard, O. Thorin replaçait la
démonstration de ce théorème d'interpolation dans le cadre des méthodes de la variable complexe. Les
sections 12.11 et 12.12 suivent l'adaptation, due en 1950 à Calderôn et Zygmund, de l'idée de Thorin.
L'encyclopédie de [Zygmund, 1959, chapitre 12] fournit les références et les discussions relatives à
beaucoup d'autres théorèmes d'interpolation.
La réciproque ici démontrée du théorème du maximum est légèrement aménagée par rapport à celle
parue en 1953.
La démonstration ici adoptée du théorème 12.14 est pour l'essentiel celle de R. Kaufman en 1967. Un
résultat plus fort a été obtenu Tannée suivante par E.I. Stout.
RÉFÉRENCES
H. A. Schwarz, Zur théorie der Abbildung, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, vol. 2, 108-132,
Springer, Berlin, 1890.
E. Phragmén, Sur une extension d'un théorème classique de la théorie des fonctions, Acta Math.,
28, 351-368, 1904.

notes historiques
309
E. Lindelôf, Mémoire sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions monogènes et sur quelques
propriétés nouvelles de ces fonctions dans le voisinage d'un point singulier essentiel, Acta Societatis
Scientiarum Fennicœ, 35, 7, 1908.
R. Kaufman, A Theorem of Radô, Math. Ann., 169, 282, 1967.
E.L. Stout, A generalization of a Theorem of Radô, Math. Ann., 177, 339-340, 1968.

CHAPITRE 13
APPROXIMATION
PAR DES FONCTIONS RATIONNELLES
PRÉPARATION
13.1. La sphère de Riemann. — Pour l'étude des fonctions holomorphes, il est souvent
commode de compactifier le plan complexe en lui adjoignant un nouveau point, appelé °°.
L'ensemble ainsi créé S2 (la sphère de Riemann, réunion de R2 et de {°°}) est muni d'une
topologie de la manière suivante. Pour tout r>0, soit D'(°°\r) l'ensemble des nombres
complexes z tels que \z \ > r, et posons D(©° ; r) = D'(<» ; r) u {«>}. Déclarons qu'un sous-
ensemble de S2 est ouvert si et seulement si il est la réunion de disques D(a ; r), où les a sont
des points arbitraires de S2 et les r des nombres positifs arbitraires. Sur 52 - {<*>}, ceci donne
bien sûr la topologie habituelle du plan. Il est facile de voir que 52 est homéomorphe à une
sphère (d'où l'appellation). En fait, on peut construire de manière explicite un homéomor-
phisme (p de S2 sur la sphère unité de R3 : posons (p(°°) = (0,0, 1) et pour tout nombre
complexe re'9 nous prenons
, ie, (2r cos0 2r sinO r2- \ \ /i\
<p(re ) = — , — , - ■ UJ
V r2+ 1 r2+ 1 r + 1/
Nous laissons au lecteur le soin de construire la figure géométrique qui correspond à (1).
Si / est holomorphe sur D'(oo ; r), on dit que / a une singularité isolée à l'infini. La nature
de cette singularité est la même que celle que possède en 0 la fonction /, définie sur
D'(0; 1/r) par/(z) = /(1/z).
De sorte que si / est bornée sur D' («> ; r), lim/(z) existe nécessairement et est un nombre
complexe (comme nous le voyons en appliquant le théorème 10.20. à /). On définit /(°°)
comme étant cette limite, et l'on obtient ainsi une fonction sur D(«> ; r) qui est qualifiée
d'holomorphe. On notera que cette holomorphie est définie à partir du comportement de / au
voisinage de 0, et non à partir d'une différentiabilité de / à l'infini.
Si / a un pôle d'ordre m en 0, on dit que / a un pôle d'ordre m à l'infini ; la partie principale
de / à l'infini est donc un polynôme ordinaire de degré m (voir le théorème 10.21), et en
retranchant ce polynôme de /, on obtient une fonction ayant une singularité artificielle à l'infini.
Enfin, si / a une singularité essentielle en 0, on dit que / a une singularité essentielle à
l'infini. Par exemple, toute fonction entière qui n'est pas un polynôme a une singularité
essentielle à l'infini.

préparation
311
Plus loin dans ce chapitre, nous rencontrerons la condition « S - £2 est connexe », qui
concerne un ouvert £2 du plan. On remarquera que cette condition n'est pas équivalente à la
condition : « le complémentaire de £2 dans le plan est connexe ». Par exemple, si £2 se
compose des z = x + iy tels que 0<y< 1, le complémentaire de £2 relativement au plan a
deux composantes connexes, et pourtant S2 - £2 est connexe.
13.2. Fonctions rationnelles. — Une fonction rationnelle / est, par définition, le quotient
de deux polynômes P et Q : / = P/Q . Il résulte du théorème 10.25 que tout polynôme non
constant est un produit de facteurs du premier degré. Nous pouvons supposer que P et Q n'ont
pas en commun un ou de tels facteurs. La fonction / a donc un pôle en chaque zéro de Q (le
pôle de / a l'ordre même du zéro de Q). En soustrayant les parties principales correspondantes,
on obtient une fonction rationnelle dont la seule singularité est à l'infini, et qui est par
conséquent un polynôme.
Ainsi, toute fonction rationnelle / = P/Q a une représentation de la forme
k
f{z) = A0(z)+JàAj((z-aj)-]) (1)
y -1
où les A0, A,, Ak sont des polynômes, les A,, A2, Ak n'ont pas de terme constant, et les
a,, ...,ak sont les zéros distincts de Q ; l'écriture (1) est appelée la décomposition de f en
fractions élémentaires.
Venons-en à quelques considérations topologiques. Nous savons que tout ouvert du plan est
réunion dénombrable de compacts (de disques fermés, par exemple). Cependant, il sera
commode de disposer de quelques propriétés supplémentaires que ces compacts satisfont :
13.3. Théorème
Tout ouvert £2 du plan est la réunion d'une suite {Kn}, n = 1, 2, 3, ..., de compacts tels que
(a) Kn est inclus dans l'intérieur de Kn+i pour n = 1, 2, 3, ... .
(b) Tout sous-ensemble compact de £2 est inclus dans l'un des Kn.
(c) Toute composante connexe de S2 - Kn contient une composante de S - £2, pour
n - 1, 2, 3, ...
La propriété (c) signifie grosso modo que K„ n'a pas de trous autres que ceux qu'il est obligé
d'avoir en raison des trous de £2. On remarquera qu'on ne suppose pas £2 connexe. L'intérieur
d'un ensemble E est, par définition, le plus grand sous-ensemble ouvert de E.
Démonstration. — Pour n = 1,2, 3,posons
Vn = D(oo,«)u KJD(a;-] (1)
ae n \ n J
et posons Kn = S2 - Vn. (Bien sûr, tout a dans (1) est * oo) le sous-ensemble K„ est un fermé
borné (donc compact) de £2 et £2 = u Kn. Si z e Kn et r = nx - (w + on vérifie
aisément que D(z ; r)cz Kn + ]. Ceci donne (a). L'ouvert £2 est donc la réunion des intérieurs W„
de Kn.Si K est un sous-ensemble compact de £2, alors ^c^u-^u^ pour un N, et donc
KdKN.
Enfin, chacun des disques de (1) rencontre 52 - £2 ; chaque disque est connexe ; donc chaque
composante de Vn rencontre 52 - £2 ; comme V„ =) 52 - £2, aucune composante de S2 - £2 ne
peut rencontrer deux composantes de Vn. Ceci donne (c).

312
approximation par des fonctions rationnelles
13.4. Ensembles de segments orientés. — Soit O une famille finie de segments orientés du
plan. Pour chaque point p, soit m,(p) respectivement mF(p) le nombre des segments de O
qui ont p pour point initial (respectivement final). Si pour tout p, on a m,(p) = mE(p), on dira
que 0 est équilibrée.
A partir d'une famille équilibrée (non vide), on peut réaliser la construction suivante.
On choisit y, = [flo*^]]6 On suppose k> 1 et on suppose aussi que des éléments
distincts yh de 0 ont été choisis de sorte que y = [a,-_i, a,-], pour \<i<k. Si
ak = a0, on s'arrête. Si ak * a0, et si exactement r des segments y„ y* ont a* comme point
final, alors (r - 1 ) de ces segments ont ak comme point initial ; de sorte que puisque la famille
0 est équilibrée, il existe dans 0 au moins un segment, que nous notons yk, dont le point
initial est ak. Mais 0 étant une famille finie, on doit nécessairement aboutir à a0, par exemple
à la n-ième étape.
Ainsi y,, y„ se suivent dans cet ordre pour former un chemin fermé.
Par ailleurs, les éléments restants de 0 constituent encore une famille équilibrée, avec
laquelle on peut à nouveau réaliser la construction précédente. Finalement, on peut numéroter
les éléments de 0 en telle façon que l'on dispose d'un nombre fini de chemins fermés. La
somme de tous ces chemins est un cycle. On a donc atteint le résultat suivant.
Si 0 = { yb y„} est une famille équilibrée de segments orientés, en posant
r= y, + ... + yn,
on a un cycle r.
13.5. Théorème
Si K est un sous-ensemble compact d'un ouvert non vide du plan £2, il existe un cycle r
dans £2 - K tel que pour toute f e H(£2) et tout z e K, on a la formule de Cauchy
-Lfûfi^ (d
Démonstration. — Dans la mesure où K est compact et Q ouvert, il existe 77 > 0 tel que la
distance d'un point de K à un point extérieur à £2 soit au moins 277. Construisons dans le plan
une grille de lignes horizontales et verticales de sorte que la distance séparant deux lignes
voisines et parallèles soit 77. Soient g,, Qm les carrés (pavés d'ordre 2), de côté 77, constitués
par la grille et qui rencontrent K. Alors Qr c £2 pour r - 1, 2, 3, ..., m.
Si ar est le centre de Qr et si ar + b est l'un de ses sommets, appelons yrk le segment orienté
ork = [ar+ikb,ar + ik + lb], (2)
et définissons
dQr = Yrl+7r2 + Y.3+Yr4 (' = 1, ...,m). (3)
Il est alors facile de voir (par exemple, soit comme un cas particulier du théorème 10.37, soit
à partir des théorèmes 10.11 et 10.40) que
1 si «esta l'intérieur de Qr,
0 si a n'est pas dans Qr.
Soit Z la famille de tous les yrk( 1 < r < m, 1 < k < 4).
Cette famille est visiblement équilibrée. Éliminons de Z les éléments dont l'opposé (voir
section 10.8) appartient également à Z. La famille 0 de tous les membres restants de Z est
encore équilibrée. Soit r le cycle que l'on construit à partir de 0 comme indiqué à la
section 13.4.

le théorème de runge
313
Si le bord E d'un certain Qr intersecte K, les deux carrés qui ont E comme frontière
intersectent aussi K. De sorte que I contient deux segments orientés, opposés l'un à l'autre, dont
l'image est E. Ces segments ne peuvent appartenir à O. Ainsi r est un cycle dans Q-K.
La construction même de O à partir de Z montre que si a n'appartient pas à la frontière
d'un gr,ona
m
Indr(a) = ^Ind^a). (5)
r = !
De sorte que (4) fournit
f 1 si a est à l'intérieur d'un Qr,
Indr(a) = (6)
l 0 si a n'appartient à aucun Qr.
Pour ze K, z £ T* et z est un point adhèrent à l'intérieur d'un certain Qr. Puisque chacun
des deux membres de (6) est constant sur chaque composante connexe du complémentaire de
T*, de (6) on déduit
t . , v f 1 si ze K
Indr(z) = \ (7)
10 si z & fl.
Le théorème de Cauchy 10.35 fournit alors (1).
LE THÉORÈME DE RUNGE
Le principal objectif de cette section est le théorème 13.9. Nous commençons par une version
légèrement différente pour laquelle l'accent est mis sur l'approximation uniforme sur un
compact.
13.6. Théorème
Soient K un compact du plan et {(Xj} un ensemble qui contient un point dans chaque
composante de S2 -K. Si fl est ouvert, A3 K, f e //(fl) et £> 0, // existe une fonction rationnelle
R, dont tous les pôles appartiennent à l'ensemble prescrit {ay}, de telle sorte que, pour tout
ze K, on ait
\f(z)-R(z)\<e. (D
On remarquera que S2 - K possède au plus un ensemble dénombrable de composantes. On
remarquera aussi que le point prescrit dans la composante non bornée, de S2 - K peut très bien
être infini ; en fait, ceci se révèle être le choix le plus intéressant.
Démonstration. — Considérons l'espace de Banach C(K) des fonctions continues complexes
sur K, pour la norme de la borne supérieure. Soit M le sous-espace de C(K) constitué par les
restrictions à K des fonctions rationnelles dont tous les pôles sont dans {0Cj}. Le théorème
affirme que / appartient à la fermeture de M. D'après le théorème 5.19 (conséquence du
théorème de Hahn-Banach), ceci revient à dire que toute forme linéaire bornée sur C(K) qui
s'annule sur M, s'annule aussi en /, le théorème de représentation de Riesz (6.19) établit donc
que nous devons démontrer l'assertion suivante :
Soit jU une mesure de Borel complexe sur K telle que pour toute fonction rationnelle R dont
les pôles sont dans l'ensemble
f Rd{i = 0 (2)
et soit fe //(fl).

314
approximation par des fonctions rationnelles
On a
f fdn = 0. (3)
Supposons donc que [i satisfasse (2). Définissons
n(z) =f«î (zeS2-K). (4)
Jk Ç-Z
D'après le théorème 10.7 (où Ton fait X = K, <p{Ç) = f ), la fonction h e /7(S2 - K).
Soit V. la composante de S2 - K qui contienne a}, et supposons D(a} ; r) cz VJ . Si a, * ©o et
si z est fixé dans D(ay ; r), uniformément pour £e , on a
i ,im y (5)
A chacune des fonctions du membre de droite de (5) on peut appliquer (2). Donc h (z) = 0 pour
tout ze D((Xj ; r). Ce qui d'après le théorème d'unicité 10.18 implique h(z) = 0 pour tout
ze Vj.
Si aj = °°, on remplace (5) par
J- = -lim 'T (fe tf,|z|>r). (6)
A nouveau, on a /i (z) = 0 dans £>(<*>, r), donc dans V,. En utilisant (2), nous venons de démontrer
h(z) = 0 (zeS2-/0. (7)
Choisissons maintenant, comme au théorème 13.5, un cycle r dans £2-K, intégrons la
représentation intégrale de Cauchy de / par rapport à One application du théorème de Fubini
(légitime puisqu'il s'agit de mesures de Borel et de fonctions continues sur des compacts),
combinée avec (7), donne
h h 12m Jr w - Ç
2Ki Jr h w-Ç
lui
: J f(w)h(w)dw = 0.
La dernière égalité tient au fait que F* cz £2- K où h s'annule.
Ainsi (3) est vérifiée, et la démonstration est terminée.
Le cas particulier suivant présente un intérêt particulier.
13.7. Théorème
Soient K un compact du plan, S2 - K étant connexe, et f e H(£2), où £2 est un ouvert cor
nant K. Il existe une suite {Pn} de polynômes telle que Pn(z) —» f(z) uniformément sur K.
Démonstration. — Puisque S2 - K a maintenant une seule composante, il nous suffit d'un
point oij pour pouvoir appliquer le théorème 13.6, et nous pouvons prendre a} = «>.
13.8. Remarque. — Le résultat précédent est faux pour tout compact K du plan tel que
S2 - K ne soit pas connexe. Car, dans ce cas, S2 - K a une composante bornée V.
Choisissons ae V, posons / (z) = (z - a)~1, et m = max {\z - a\ : ze K}. Soit P un polynôme tel que

le théorème de mittag-leffler
315
\P(z) - f{z)\ < - pour tout ze K. Alors
m
\(z-a)P(z)-\\<l (zeK). (1)
En particulier, (1) est vérifiée si z est sur la frontière de V; comme la fermeture de V est
compacte, le théorème du maximum montre que ( 1 ) est vérifiée pour tout ze V ; en prenant
z = a, on obtient 1 < 1. L'approximation uniforme n'est donc pas possible.
Le même raisonnement montre qu'on ne peut se passer d'aucun ay dans le théorème 13.6.
Nous allons maintenant appliquer les théorèmes d'approximation précédents à
l'approximation sur des ouverts. Remarquons bien le fait que K n'a pas été supposé connexe dans les
théorèmes 13.6 et 13.7 et que fl ne sera pas supposé connexe dans le théorème qui suit.
13.9. Théorème
Soient fl un ouvert du plan, A un ensemble qui a un point dans chaque composante de
S2 - fl , et supposons f e //(fl). Il existe alors une suite {Rn} de fonctions rationnelles dont
les pôles sont dans A, telle que R„-> f uniformément sur les sous-ensembles compacts de fl.
Dans le cas particulier où S2 - fl est connexe, on peut prendre A - {oo} et obtenir ainsi des
polynômes Pn tels que Pn—>f uniformément sur les sous-ensembles compacts de fl.
On remarquera que S' - fl peut avoir un ensemble non dénombrable de composantes ; par
exemple, on peut avoir 52 - fl = {<»} u C, où C est un ensemble de Cantor.
Démonstration. — Choisissons une suite de compacts Kn de fl, avec les propriétés spécifiées
au théorème 13.3. Fixons n pour le moment. Comme chaque composante de S2 - Kn contient
une composante de 52 - fl, chaque composante de S2 -Kn contient un point de A, et le
théorème 13.6 nous fournit une fonction rationnelle Rn dont les pôles sont dans A, et telle que
\Rn(z)-f(z)\<1- (ze Kn). (1)
Prenons maintenant pour K un compact inclus dans fl. Il existe un N tel que K cz Kn pour tout
n>NA\ résulte de ( 1 ) que
\Rn(z)-f(z)\<1- (ze K,n> N), (2)
ce qui termine la démonstration.
LE THÉORÈME DE MITTAG-LEFFLER
Le théorème de Runge va maintenant être mis à profit pour démontrer que l'on peut construire
des fonctions méromorphes dont les pôles sont prescrits.
13.10. Théorème
Soient fl un ouvert du plan, A cz fl, A n'ayant aucun point d'accumulation dans fl.
Supposons qu'à chaque ae A on ait associé un entier positif m(a) et une fonction rationnelle
m{a)
Pa(z) = ^c,a(z-ayj.
j = 1
// existe une fonction méromorphe f sur fl telle qu'en chaque point ae A la partie principale
soit Pa et f n'a aucun autre pôle dans fl.

316
approximation par des fonctions rationnelles
Démonstration. — On choisit comme au théorème 13.3 une suite {Kn} de compacts dans £2.
Pour n = 1, 2, 3, ..., le compact Kn appartient à l'intérieur de Kn+] ; tout compact de £2 est inclus
dans un Kn, et toute composante de S2-Kn contient une composante de S2-£2. On pose
A, = A n K]y et pour n = 2, 3, 4, An = An (Kn - Kn_x). Puisque A„ c tf„ et puisque A
ne possède aucun point d'accumulation dans £2 (et donc pas plus dans #n), chacun des An est
un ensemble fini. On pose
QÀz) = X pa(z) (n= 1,2,3,...). (1)
Chacun des An étant fini, chaque fonction Qn est une fonction rationnelle. Les pôles de Qn sont
dans Kn - KnX pour n > 2. En particulier, <2„ est holomorphe sur un ouvert qui contient Kn_v Du
théorème 13.6, on déduit l'existence d'une fonction rationnelle Rn dont tous les pôles sont dans
S2 - £2 et telle que
\Rn(z)-Qn(z)\<2-n (ze Kn_{). (2)
Nous prétendons alors que la fonction suivante possède les propriétés requises :
a
/(z) = G,(z) + X (G.(z) - *.(z)) (z e fl). (3)
n = 2
On choisit N. Sur KN, on a
rt = 2 N+1
Grâce à (2), chaque terme de la dernière somme intervenant dans (4) est inférieur à 2~n sur KN ;
cette dernière série converge donc uniformément sur KN. Dans la mesure où chacun des pôles
d'un Rn quelconque n'appartient pas à £2, la fonction
/-(&+ +G*)>
est holomorphe sur l'intérieur de KN. De sorte que / a exactement les parties principales
prescrites sur l'intérieur de KN, et donc sur £2 puisque N est arbitraire.
DOMAINES SIMPLEMENT CONNEXES
Afin d'illustrer leur rôle dans la théorie des fonctions holomorphes, nous allons résumer
quelques-unes des propriétés des domaines simplement connexes (voir la section 10.38). Parmi les
propriétés données ci-dessous, (a) et (b) sont des propriétés de £2 que l'on peut qualifier de
propriétés topologiques internes ; (c) et (d) sont relatives à la façon dont £2 est immergé dans 52 ;
(e) et (h) sont des propriétés de caractère analytique ; et (j) est un énoncé algébrique concernant
l'anneau H(£2). Le théorème 14.8, dit de l'application conforme de Riemann, est une autre
propriété très importante des domaines simplement connexes. Au point que nous l'utiliserons
pour démontrer que (j) —> (a).
13.11. Théorème
(a) £2 est homéomorphe au disque unité U.
(b) £2 est simplement connexe.
(c) Indr(a) = 0 pour tout chemin fermé y dans £2 et pour tout ae S - £2.
(d) S2 - £2 est connexe.

domaines simplement connexes
317
(e) Toute f e H (£2) peut être approchée uniformément sur les compacts de £2 par des
polynômes.
(f) Pour toute f e H (£2) et tout chemin fermé y dans £2,
J/(z) dz = 0.
r
(g) À chaque / g H (£2) correspond une F g H (£2) telle que F1 = f.
(h) Si feH(£2)et\/fe H(£2), il existe g g H(£2) telle que f = exp (g),
(j) Si feH(£2)et\/fe H(£2), il existe (pe H(£2) telle quef= (p2.
L'assertion (h) énonce que / a un « logarithme holomorphe » g sur £2 ; (j) affirme que / a
une « racine carrée holomorphe » (p dans £2 ; et (/) affirme que le théorème de Cauchy est vrai
pour tout chemin fermé dans un domaine simplement connexe.
Au chapitre 16, nous verrons que le théorème de monodromie fournit une autre
caractérisation d'un domaine simplement connexe.
Démonstration. — (a) implique (b). Dire que £2 est homéomorphe à U signifie qu'il existe
une bijection continue y/de £2 sur U dont l'inverse yT1 est également continue. Si y est une
courbe fermée dans £2, dont le segment du paramétrage est / = [0, 1], posons
H(s,t) = y/-l(ty/(y(s))).
Ainsi H : I2 £2 est continue ; H (s, 0)=yr~l (0) est constante ; H (s, 1) = y(s) ; et 7/(0, t) =
//(l, t) puisque y(0) = y(l). De sorte que £2 est simplement connexe.
(b) implique (c). Si (b) a lieu, et si y est un chemin fermé dans £2, grâce à la définition d'un
domaine simplement connexe, y est I2-homotope à un chemin constant. De sorte qu'on a (c)
grâce au théorème 10.40.
(c) implique (d). Supposons l'énoncé (d) faux. Ainsi S - £2 est un sous-ensemble fermé de
S2 non connexe. Comme on l'a vu à la section 10.1, il existe deux fermés non vides disjoints
HetK dont la réunion est S2 - £2. Soit H celui qui contient oo. Soit W le complémentaire de H
dans le plan. Ainsi W = £2u K. Comme K est compact, le théorème 13.5 (où l'on fait/= 1)
montre qu'il existe un cycle /"dans W-K = £2, tel que pour tout ze K, Indr(z) = L Puisque
Kï 0, cela montre que (c) n'a pas lieu.
(d) implique (e). Ceci fait partie du théorème 13.9.
(e) implique (f).On choisit / g H(£2), et soit y un chemin fermé dans £2. On prend des
polynômes Pn qui convergent vers /, uniformément sur y*. Puisque pour tout «, J P„ (z) dz = 0,
on en déduit que (f) a lieu. y
(f) implique (g). Supposons (f) vraie, fixons z0 g £2, et posons en notant r(z) un chemin
quelconque dans £2 allant de Zq à z.
F(z) =| f(Ç)dÇ (ze£2). (1)
ru)
Ceci définit une fonction F sur £2. Car si FJ (z) est un autre chemin de Zq à z (dans £2), T continué
par l'opposé de T, est un chemin fermé dans £2, et l'intégrale de / le long de ce chemin est 0. De
sorte que (1) n'est pas changée si T(z) est remplacé par /"J (z). Vérifions maintenant que F' = /.
Choisissons ae £2.l\ existe r > 0 tel que D(a ; r) c: £2. Pour ze D(a ; r) on peut calculer F(z)
en intégrant / le long d'un chemin F(a), suivi du segment [a, z]. Donc, pour ze D\a ; r),
F(z)-F(a) = J_
z-a z-
- j M) dÇ (2)

318
approximation par des fonctions rationnelles
Comme dans la démonstration du théorème 10.14 la continuité de / en a implique alors
F\a) = f(a).
(g) implique (h). Si f e H(£2) et ne s'annule pas dans 12, on a /'// e H(£2), et (g) implique
qu'il existe une g g H(£2) telle que g' = / '//. On peut ajouter une constante à g, de sorte
que exp {g(z0)} =f(zQ) pour un z0 g 12. Notre choix de g montre que la dérivée 6tfe~8 est 0
dans 12, donc/<?~* est constante (puisque £2 est connexe), et il s'ensuit que/ = e8.
(j) implique (a). Si £2 est le plan tout entier, £2 est homéomorphe à U : il suffit d'envoyer z
sur z/(\+\z\).
Si £2 est un sous-domaine propre du plan satisfaisant (j), il existe bien un homéomorphisme
holomorphe de £2 sur U (une application conforme). Cet énoncé est précisément le théorème
de l'application conforme de Riemann, principal objectif du chapitre suivant. La démonstration
du théorème 13.11 sera donc complète dès que le théorème de Riemann aura été démontré.
(Voir la note qui fait suite à l'énoncé du théorème 14.8.)
Le fait que (h) soit vraie pour tout domaine simplement connexe entraîne la conséquence
suivante (qui peut aussi se démontrer par des moyens presque élémentaires) :
13.12. Théorème
Si f g H (£2), où £2 est un ouvert du plan, et si f ne s'annule pas dans £2, la fonction Log |/|
est alors harmonique sur £1
Démonstration. — A chaque disque Dcz£2 correspond une fonction g g H(D) telle que
f=eg dans D. Si u = Re g, u est harmonique sur D, et |/| = eu. Ainsi Log |/| est harmonique
sur tout disque inclus dans £2, et ceci fournit la conclusion désirée.
1. Démontrer que toute fonction méromorphe sur S2 est une fonction rationnelle.
2. Soit £2 = {z : \z\ < 1 et \2z - 1| > 1}, et soit / g H(£2).
(a) Doit-il exister une suite de polynômes Pn tels que /*„ —» / uniformément sur tous les sous-
ensembles compacts de £2 ?
(b) Doit-il exister une telle suite qui converge uniformément vers / dans £2 ?
(c) La réponse à (b) doit-elle être modifiée si l'on exige davantage de /, à savoir que / soit
holomorphe dans un certain ouvert contenant la fermeture de £2 ?
3. Existe-t-il une suite de polynômes Pn tels que /^(0)=1 pour «=1,2,3,..., mais
Pn (z) —> 0 pour tout z * 0 quand n —> oo ?
4. Existe-t-il une suite de polynômes Pn tels que
(h) implique (/)• D'après (h),f- e8. Il suffit de poser (p = exp -g .
EXERCICES
lim Pn(z) = 0
si
si
lmz>0,
z est réel,
-1
si
lmz<0?

exercices
319
5. Pour n = 1, 2, 3, soit An un disque fermé dans £/, et soit Ln un arc (une image
homéomorphe de [0, 1]) dans U - An qui rencontre tout rayon de U. Il existe des polynômes Pn qui
sont très petits sur An et plus ou moins arbitraires sur Ln. Montrer que {An}y et {Pn}
peuvent être choisis de telle sorte que la série/= HPn définisse une fonction /g H(U) qui
n'ait de limite radiale en aucun point de T. En d'autres termes, Y\mf(ree) n'existe pour aucun
0réel.
6. Voici une autre construction d'une telle fonction. Soit {nk} une suite d'entiers telle que
nx > 1 et nk+, > 2knk. Définissons
Démontrer que la série converge si |z| < 1 et qu'il existe une constante o 0 et que pour tout z,
Indication : pour de tels z, le m-ième terme de la série définissant h(z) est nettement supérieur
à la somme de tous les autres.
Ainsi h n'a pas de limites radiales finies.
Démontrer aussi que h doit avoir une infinité de zéros dans U. (Comparer avec l'exercice 5
du chapitre 12.) En fait, démontrer qu'à tout complexe «correspond une infinité de z e U pour
lesquels h(z) = oc.
7. Montrer que dans le théorème 13.9, on n'a pas besoin de supposer que A rencontre chaque
composante de 52 - fl. Il suffit de supposer que la fermeture de A rencontre chaque composante
8. Pour le cas où fl est le plan tout entier, démontrer le théorème de Mittag-Leffler
directement, sans faire appel au théorème de Runge.
9. Soient fl un domaine simplement connexe, / g //(fl), / ne s'annulant pas dans 12, et n
un entier positif. Démontrer qu'il existe g g //(fl) telle que gn =/.
10. Soit fl un domaine, / e //(fl) et / * 0. Démontrer que / possède un logarithme
holomorphe dans fl si et seulement si pour tout entier positif n, la fonction / a une racine même
holomorphe dans fl.
11. Soient /„ g H(£2) (n = 1, 2, ...), / une fonction complexe sur fl, et /(z) = lim/n (z)
pour tout z g fl. Démontrer que fl possède un sous-ensemble ouvert dense V sur lequel / est
holomorphe.
Indication : poser (p = sup |/„|. Utiliser le théorème de Baire pour démontrer que tout disque
inclus dans fl contient un disque sur lequel q> est bornée. Appliquer l'exercice 5 du chapitre 10.
[En général, V* fl. Comparer avec les exercices 3 et 4].
Hz) = £5V"-

320
approximation par des fonctions rationnelles
NOTES HISTORIQUES
En 1885, alors que Karl Weierstrass donnait son théorème d'approximation d'une fonction continue sur
un intervalle par des polynômes, un théorème généralement rangé dans la catégorie des théorèmes
d'analyse réelle, Karl Runge publiait le sien sur l'approximation d'une fonction holomorphe par des
fonctions rationnelles. La preuve originale est proche de celle que l'on trouve dans [Saks, Zygmund, 1952,
pp. 171-177]. La preuve donnée ici, d'analyse fonctionnelle, semble avoir été connue de plusieurs
analystes qui ont probablement dû indépendamment la redémontrer ; Rudin indique qu'elle lui a été
communiquée par L.A. Rubel. Dans [Hille, vol. II, 1962, pp. 299-308], est étudiée la façon dont l'approximation
s'obtient lorsque le degré de la fonction rationnelle est fixé.
Une autre méthode pour les exercices 5 et 6 est fournie par D.G. Cantor.
RÉFÉRENCES
K. Runge, Zur Théorie der eindentigen analytischen Functionen, Acta Math., 6, 229-244, 1885.
D.G. Cantor, A simple construction of analytic functions without radial limits, Proc. Amer. Math. Soc.
15, 335-336, 1964.
TEXTE
Le texte proposé est le premier chapitre de « Leçons sur les propriétés extrémales et la meilleure
approximation des fonctions analytiques d'une variable réelle », de Serge Bernstein, Paris, Gauthier-
Villars, 1924.
Propriétés extrémales sur un segment fini des polynômes et d'autres fonctions dépendant d'un
nombre donné de paramètres.
1. Systèmes de fonctions de Tchebyscheff. — Nous dirons que les fonctions % (x), <p, (x), ..., <pn (x),
bornées et continues sur un segment fini ou infini E, forment un système de Tchebyscheff (système T) sur
ce segment, si une équation de la forme
Fn(x) = a0<p0(x) + ...+ançn(x), (1)
où tous les coefficients a0, a{, an ne sont pas nuls à la fois, admet au plus n racines sur le segment
donné en considérant comme double une racine, où la fonction Fn(x) ne change pas de signe au passage
par cette racine intérieure1. Il est nécessaire, pour qu'il en soit ainsi, que le déterminant
<p0(x), <p,(x), (pn(x)
|<Po(*i), <Pi(*i), <P„(*i)
D(x) =
<Po(Xn)> <P\(Xn), (P„(X„)
A0<p0(x)+ ...+An<pn(x)
(2)
ne puisse s'annuler pour aucune valeur x de l'intervalle E différente de jc,, x2, xn et qu'il change de
signe au passage par ces valeurs.
1. Dans le cas où les deux extrémités de E sont considérées comme deux points distincts, il doit être possible, en outre,
de construire une fonction Fn(x) qui s'annule en changeant de signe seulement en a - 1 points arbitrairement donnés
de E.

notes historiques
321
Exemples. — 1 ° Les fonctions 1, x, x2 x" forment un système T sur tout segment fini. — 2° Les
i "
ix x
fonctions , ,forment un système T sur tout segment, où la fonction R(x), supposée
R(x) R(x) R{x)
bornée et continue, ne s'annule pas. Si R(x) est un polynôme de degré n qui n'a pas de racines réelles, les
fonctions considérées forment un système T sur tout l'axe réel, à condition de ne pas distinguer les points
+ oo et -o». — 3° Les fonctions I, cosjc, sinx, coswjc, sin/ut forment un système Tdans l'intervalle
(0, 2n) à condition de ne pas distinguer les extrémités : 0 et 2ti ; en effet, par le changement de variables
t = tang ^, on transforme
F(x) = a0 + a{cosx + b^inx + ••• +fl„cos nx + bnsinnx
P (t)
en une fraction rationnelle —— , où P~ (f) est un polynôme de degré 2n en /, et, par conséquent, sous
(1+r2)"
la réserve faite plus haut, F(x) = 0 admet au plus 2n racines.
Les systèmes T jouissent de propriétés remarquables bien connues1 qui résultent uniquement de leur
définition donnée au début et que nous rappelons brièvement.
2. Théorèmes généraux
Nous appellerons les expressions Fn(x), données par la formule (1), polynômes généralisés du système
T considéré. Soit à présent /(x) une fonction bornée et continue sur le segment E. On dit que Pn (x) est un
polynôme d'approximation généralisé def(x) sur le segment E, si parmi tous les polynômes Fn(x) le
polynôme Pn {x) jouit de la propriété que le maximum de \f(x) - P„(x)\ sur E est le plus petit possible.
Théorème fondamental. — Toute fonction bornée et continue f(x) admet un polynôme unique
d'approximation Pn(x) de la nature indiquée ; la condition nécessaire et suffisante pour que Pn(x) soit un
polynôme d'approximation, est que le nombre de points, où la différence f (x)- Pn {x) atteint son maximum
avec des signes opposés, soit au moins égal à n + 2.
L'existence du polynôme Pn(x) résulte du fait qu'il dépend d'un nombre limité de paramètres bornés
supérieurement en valeur absolue grâce à ce que le déterminant D (x), donné par (2), est différent de zéro,
lorsque les nombres x,xt, ...,xn sont distincts [car les coefficients d'un polynôme Q„(x) sont des fonctions
bornées des valeurs que Q„(x) prend en n + 1 points distincts fixes donnés arbitrairement].
D'autre part, s'il existe un polynôme Pn(x) pour lequel le maximum M de la différence /(*)- Pn(x) est
atteint avec des signes opposés en n + 2 points au moins, on ne pourra trouver d'autre polynôme Q„(x) de
même nature pour lequel on ait constamment \f{x) - Qn (x)\ < M, car cela exigerait que le polynôme
UM-Pn{x)]-[f(x)-Qn(x)] = Qn(x)-Pn(x),
soit en n + 2 points successifs de signes contraires et, par conséquent, s'annule en ai + 1 points
contrairement à la définition des systèmes T. Au contraire, si le nombre de points, où l'écart maximum M est atteint
avec des signes opposés, était inférieur à n + 2, on pourrrait décomposer le segment E en n + 1 intervalles,
dans chacun desquels on a successivement l'une des deux inégalités
- M < f(x) -P„(x)<M-a ou M> f(x) -P„(x)>-M + a,
a étant un nombre positif assez petit ; par conséquent, en construisant2 un polynôme Fn(x) du système
considéré ayant pour zéros les n points communs à deux intervalles, on voit que Fn (x) prendra successi-
1. Voir, en particulier, Tchebyscheff. Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative
des fonctions {Œuvres. 1.1) : de la Vallée Poussin. Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle : S
Bernstein, Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues {Mémoires publiés par l'Académie de
Belgique, 1912).
2. Dans le cas où les écarts maxima seraient atteints aux deux bords de E (considérés comme distincts), le nombre
des points d'écarts étant n-2h, le segment E devra être décomposé en n intervalles : Fn {x) devra avoir pour racines
seulement les n - 1 points frontières des n intervalles du segment E {voir la remarque au bas de la page 328).

322
approximation par des fonctions rationnelles
vement des signes contraires dans ces intervalles, et par conséquent, en choisissant convenablement le
facteur À, on aura certainement pour toute valeur de x du segment E
le polynôme Pn(x) ne serait donc pas un polynôme d'approximation, de sorte que la conditions énoncée
pour que Pn (x) soit un polynôme d'approximation est aussi nécessaire. Cela prouve également que le
polynôme d'approximation est unique, car s'il en existait deux : P„(x) et nn(x), ceux-ci ne pourraient pas avoir
n + 2 points d'écart communs, où P„(x) = kn(x), (sans être identiques), mais alors qn(x) = *
serait aussi un polynôme d'approximation [qui ne fournirait pas une approximation moins bonne que Pn (x)
et 7c„(jc)] pour lequel le maximum de la différence f(x) -qn{x) serait atteint en un nombre de points
inférieur à n + 2.
Le maximum M de \f(x) - P„(x)\, où P„(x) est le polynôme d'approximation généralisé de la fonction
/(jc) sur le segment E, est appelé meilleure approximation de/(jc) au moyen du système de fonctions
considéré.
M. de la Vallée Poussin a démontré, au sujet de la valeur de cette meilleure approximation, la
proposition importante suivante :
Si la différence f{x) - Fn(x), où Fn (jc) est un polynôme généralisé du système T donné, prend en n + 2
points consécutifs jcp jc2, Jcn + 2 des valeurs de signes contraires A,, toutes ces valeurs A, ne peuvent être
en même temps supérieures, en valeur absolue, à la meilleure approximation M de /(jc) au moyen du
système T considéré.
En effet, si l'on avait, quel que soit i, M< \X-t \, cela exigerait que le polynôme généralisé
soit de signes alternés aux n + 2 points jc,, jc2, jc„ + 2.
Dans la suite nous aurons à étudier des problèmes, où au lieu de considérer l'ensemble de tous les
polynômes généralisés Fn (jc) du système donné nous n'envisagerons que ceux de ces polynômes qui satisfont
encore à certaines conditions supplémentaires. Il importe de signaler dès à présent un cas important, où
les théorèmes que nous venons d'établir s'appliquent sans modification essentielle.
Supposons que les fonctions <p0(jc), <p, (jc), (pn(x) forment un système de Tchebyscheff non seulement
sur le segment E, mais encore dans un domaine Ex, comprenant E à son intérieur. Envisageons alors tous
les polynômes Fn (x) qui satisfont à la condition supplémentaire que
où av a2, ak sont k points déterminés de £, n'appartenant pas au segment E, et Av A2, Ak sont k
nombres donnés. Il est aisé de voir que la différence entre deux polynômes de cette nature ne pourra avoir
plus de n - k racines sur E sans être identiquement nulle. Par conséquent, par les mêmes raisonnements
que plus haut, nous obtenons les propositions suivantes :
Généralisation de théorème fondamental. — Parmi les polynômes Fn(x) considérés, il existe un
polynôme unique Pn (jc) tel que le maximum de |/(jc) - P„(x)\ sur le segment E soit le plus petit possible :
la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme Pn (jc) jouisse de cette propriété est qu 'il existe
au moins n-k + 2 points successifs, où la différence f (x) - P„(x) prend sa valeur absolue maxima avec
des signes alternés.
Généralisation du théorème de M. de la Vallée Poussin. — Si Fn (x) est un polynôme de la classe
considérée, tel que la différence /(jc) - F„(jc) prend en n-k + 2 points successifs de E des valeurs
de signes opposés À,, kn _k + 2, il ne peut exister de polynôme Pn{x) satisfaisant aux mêmes conditions
et qui jouisse en outre de la propriété que sur tout le segment E
\f(x)-P„(x)-XFn(x)\<M;
P„(x)-F„(x) = [f(x)-Fn(x)]-[f(x)-Pn(x)}
|/M-/>„W|<| A,-1
(i= 1,2,...,
n-k + 2).

notes historiques
323
3. Polynômes de Tchebyscheff s'écartant le moins possible de zéro sur un segment donné. —
Considérons le polynôme de degré n
Lcosn arc cos* = ^[(jc + Jx2 - 1 ) + (jc - Jx2 - 1) ] (3)
kiz
qui, en n + 1 points du segment (-1, +1), cos—, où k = 0, 1, ...,n, reçoit avec des signes alternés sa
valeur absolue maxima.
En vertu des théorèmes qui précèdent, nous voyons immédiatement que ce polynôme donne la solution
des deux problèmes suivants résolus par Tchebyscheff :
Premier problème. — Déterminer entre tous les polynômes de degré n
fn(x) = xn + Plxn-1 + ...+/>„, (4)
où pvpv -,pn sont des nombres quelconques, celui qui s'écarte le moins possible de zéro sur le segment
(- 1, + 1 ), ainsi que la valeur de cet écart. En posant L = —-, on voit que le polynôme (3) a le coefficient
2"
de jc" égal à t et, par conséquent, il fournit la solution, car, d'après ce qui précède,
Pn-1 = -(Pi*"'1 + ■..+/>*)
sera le polynôme d'approximation de degré n - 1 de jc", lorsque l'écart maximum de /„ = jc" -P„.\ sera
atteint en n + 1 point du segment (+1,-1) avec des signes opposés.
Ainsi, un polynôme de la forme (4) ne peut rester constammant inférieur à : sur le segment (-1, + 1).
2" ~
De même, le polynôme
h" x — a
rcosrt arc cos—— (5)
2"-1 h
sera celui des polynômes de la forme (4) qui s'écarte le moins possible de zéro dans l'intervalle (a - h,
a + h), de sorte qu'aucun polynôme de degré n
fn(x) = x' + p,*""1 + ...+/>„
ne peut rester dans un intervalle de longueur 2h inférieur en valeur absolue à -^—^, et le seul polynôme
pour lequel cette valeur ne soit pas dépassée est le polynôme (5), où a est le milieu du segment considéré.
Deuxième problème. — Déterminer le polynôme de degré n qui s'écarte le moins possible de zéro sur
le segment (-1, + 1 ) parmi ceux qui prennent une valeur déterminée M en un point réel donné d extérieur
au segment*.
D'après le théorème fondamental généralisé, le polynôme cherché devra atteindre sa valeur absolue
maxima en n + 1 points du segment (- 1, + 1 ) avec des signes alternés. Par conséquent, le polynôme
cherché sera
2Afcosrt arccosjc
(d + Jd2-\)" + (d- Jd2-\ )"
de sorte qu'aucun polynôme de degré rt, prenant la valeur M en d, ne pourra rester constamment inférieur
en valeur absolue à
L = rr- ™ (7)
(d+Jd 2-l) +(d-Jd2-\)
sur le segment (-1, + 1).
Donc réciproquement, si un polynôme de degré n reste inférieur ou égal à L en valeur absolue sur le
segment (-1, + 1 ), il ne pourra dépasser la valeur
M = ±[(d+Ja^\)\(d-JaT^\)n] (8)
1. Voir Tchebyscheff, Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro (Œuvres, t. II).

324
approximation par des fonctions rationnelles
au point d, et cette valeur sera atteinte effectivement par le polynôme L cos n arc cos x seulement.
De même, si l'on remplace le segment (-1, + 1) par (a - h, a + h) et le point extérieur d par a + d, on
devra remplacer le polynôme (6) par
2Mh cos n arccos——
(d + Jd2-h2)" + {d- Jd2-h2)" (9>
de sorte que
2Mh"
(10)
(d + Jd2-h2)" + (d- Jd2-h2)n
Remarquons que, si n est très grand et si nous supposons pour fixer les idées d > 0, on a l'égalité
asymptotique
2 M h"
(d+Jd2-h2)"
qu'il est utile d'exprimer en langage géométrique :
(H)
où R est le rapport de la somme des axes de l'ellipse passant par le point donné et ayant pour foyers les
extrémités du segment considéré, à la longueur de ce segment lui-même.
Arrêtons-nous ici sur une application importante du premier problème. A cet effet, démontrons d'abord
le théorème suivant :
Théorème. — Si l'on a deux fonctions f(x) et <p(x), dont les dérivées d'ordre n + 1 satisfont sur un
segment déterminé AB à la condition
0</W<?W, (13)
leurs meilleures approximations En[f(x)] et En[ <p(x)] par des polynômes ordinaires de degré n sur ce
segment satisfont à l'inégalité
En[f(x)]<En[<p{x)l (14)
En effet, si Pn (x) est le polynôme d'approximation de/(x), la différence f{x) - Pn(x) qui a au moins
n + 1 racines sur le segment considéré ne peut en avoir davantage du moment que sa dérivée d'ordre n + 1
est positive, et, en vertu du théorème de Budan et Fourier, le signe de f(x) - Pn(x) sera également positif
à l'extrémité (droite) B du segment. D'ailleurs, les extrémités A et B sont des points d'écart maximum de
f(x) - Pn(x) car /'(•*) - P'n(x) ne peut avoir plus de n racines. D'autres part, en admettant, contrairement
à ce que nous voulons démontrer, que le maximum de la différence |(p(x) - Q„(x)\, où Qn(x) est le polynôme
d'approximation de <p(x), soit inférieur à E„ [f(x)], il en résulterait qu'aux n + 2 points où
\f{x)-Pn(x)\ = En[f(x)],
la fonction
FM = f(x)-Pn(x)-ç(x) + Qn(x)
aurait le signe de f(x) - P„(x) ; elle aurait donc exactement n + 1 racines, puisqu'elle ne peut en avoir
plus à cause de F{n+l)(x) < 0, et en vertu du même théorème de Fourier, F{x) serait négative à l'extrémité
B, ce qui est en contradiction avec le fait qu'elle doit y prendre le même signe que f(x) - Pn(x). Il est
également impossible d'admettre que En[ f(x) ] = En[ <p(x) ], car il en résulterait, d'après ce qui précède,
(1+A)£„[/W] < En[f(x) + l<p(x)] < {\+X)En[(p(x)],
donc
En[f(x)] + ?i(p(x) = (l+X)En[f{x)]
= (l+À.)En[(p{x)] = En[f(x)] + lEn[(p{x)],
quel que soit le nombre positif À ; or,
|/(jc) - lq>(x) - P„(x) - AGn(Jt)| < En f(x) + XE„ <p(x),

notes historiques
325
de sorte que P„(x) - ÂQn(x) serait le polynôme d'approximation de f(x) + Aç>(jc), ce qui exigerait que
tous les n + 2 points où les maxima de \f(x) - Pn(x)\ et de \(p(x) - Qn(x)\ sont atteints soient les mêmes,
mais alors la fonction F(x) aurait n racines doubles, et cela est impossible puisque F{n + ])(x) < 0. Le
théorème est ainsi démontré.
Corollaire. — Si |/(rt+,)wl < <p(n+ï\x), on a
En[f(x)]<2En[(p(x)l (15)
En effet,
E{ 2 ]+E[ 2 ]<2*.w*>]-
En utilisant la solution du premier problème, nous obtenons ainsi les deux propositions suivantes :
Si sur un segment de longueur 2h, on a
0<N<f<n + ])(x)<M,
on a aussi
—-[-j <£n/W<^_Tyiy . (16)
Si l'on a seulement |/(n + n(*)l <M , on a aussi
4M fhV+[ (17)
En[f(x)]< -
(n+ \y.\2J
De l'inégalité (16) nous concluons, en particulier, que si sur un segment de longueur 2h
f{n+])(x)>N>0,
il existe nécessairement des points sur ce segment, où
2N fh\n

CHAPITRE 14
REPRÉSENTATION CONFORME
CONSERVATION DES ANGLES
14.1. Définition. — Tout nombre complexe détermine une direction à partir de
T origine, elle est définie par le point du cercle unité ;
M* = rff- (d
Soit / une application définie sur un domaine fi et à valeurs dans le plan, z0 e fi, et
supposons que zQ ait un voisinage pointé D\zo ; r)czfi sur lequel f(z)ï f(z0). On dit que /
conserve les angles en Zq si
lim e'ieA[f(z0 + reie)-f(z0)] (r>0) (2)
r->0
existe et est indépendante de d.
Dans un langage moins précis, la condition signifie que pour deux rayons quelconques L et
L", issus de z0, l'angle que leurs images f(L) et /(L") font en f(z0) est le même que celui
fait par L et L", (du point de vue de la taille et de l'orientation).
La propriété de conserver les angles en tout point d'un domaine est caractéristique des
fonctions holomorphes dont la dérivée ne s'annule pas dans ce domaine. Tel est un corollaire du
théorème 14.2 et telle est la raison pour laquelle on appelle applications conformes les fonctions
holomorphes à dérivée ne s'annulant pas.
14.2. Théorème
Soit un domaine fi du plan. Si /'(Zo) existe en un point z0 e fi et si f\zo) * 0, l'application
f conserve les angles en z& Réciproquement, si la différentielle de f existe et n 'est pas nulle en z&
et si f conserve les angles en Z& alors f\Zo) existe et n'est pas nulle.
Ici, comme d'habitude, f\z0) = lim [/(z) - f(z0)]/(z - z0). La différentielle de / en z0 est
une application linéaire L de R2 dans R2 telle que, en posant Zq = (x0, y0), on ait
f(x0 + x, y0 + y) = f(x0, y0) + L(x, y) + (x2 + y2)W2rf(x, y), (1)
où 77(jc, y) —» 0 quand x —> 0 et y —» 0, comme pour la définition 8.22.
Démonstration. — Prenons pour simplifier z0 = f(zQ) = 0. Si /'(O) = a ï 0, on voit
immédiatement que
•""^"^'■'-M-H <"°>-

homographies
327
De sorte que / conserve les angles en 0. Réciproquement, si la différentielle de / existe en 0 et
n'est pas nulle, en prenant pour a et P des complexes qui ne sont pas tous les deux nuls, on
peut alors écrire (1) sous la forme
/(z) = az + Pz+\z\il(z) (3)
où r/(z) -» 0 quand z —> 0. Si, de plus, / conserve les angles en 0, alors
lim e-ieA[f(rei6)] = * + ™ (4)
\a+Pe |
existe et est indépendante de 0. Nous pouvons exclure les 0 pour lesquels le dénominateur de
(4) est nul ; il y en a au plus deux dans [0, 2/r[. Pour tous les autres 0, nous concluons que
a+ pe~2,e est situé sur un rayon fixé passant par 0, ce qui n'est possible que si P=0. Donc
a*0, et (3) implique /'(0) = a.
Remarque : aucune fonction holomorphe ne conserve les angles en un point où sa dérivée
est nulle. Nous en omettons la démonstration qui est facile. Cependant, la différentielle d'une
application peut être nulle en un point où les angles sont conservés. Exemple : f(z) = \z\ z,
en z0 = 0.
HOMOGRAPHIES
14,3. Si a, b,cetd sont des nombres complexes tels que ad-bc* 0, par définition
l'application
az + b /1X
z -> j (1)
cz + d
est une transformation homographique. Avec des conventions évidentes concernant le point oo.
Il est pratique de considérer (1) comme une application de la sphère S2 dans S2. Par exemple,
- die est transformé en °o et °° est transformé en aie, si c * 0. Il est alors aisé de voir que toute
homographie est une bijection de S2 sur S2. De plus, une telle homographie s'obtient en
composant des applications des quatre types suivants :
(a) Translations : z —> z + b.
(b) Rotations : z—>az \a\ = 1.
(c) Homothéties : z —> rz, r > 0.
(d) Inversion : z —> 1/z.
Si c = 0 dans (1), la composition est évidente. Si c * 0, elle découle de l'identité
az + b _ a + A ^ _ bc-ad ^)
cz + d c cz + d' c
Les trois premiers types transforment évidemment les droites en droites et les cercles en
cercles. Ceci est faux pour le type (d). Mais si nous appelons % la famille des droites et des
cercles, cette famille ^ est alors conservée par (d), et nous déduisons donc un important résultat,
7 est conservée par toute homographie. (En considérant ^ comme une famille de sous-ensembles
de S2, par l'intermédiaire de la projection stéréographique 13.1 (1), on peut remarquer que ¥ se
compose des cercles de S2 ; nous n'utiliserons pas cette propriété de ^et ne la démontrons pas.)
Il est tout-à-fait facile de démontrer que ^ est conservée par inversion. Par la géométrie
analytique élémentaire, on voit que tout élément de ^ a pour équation
azz + Pz + Pz + Y = 0f (3)

328
représentation conforme
où a et /sont des constantes réelles et p une constante complexe, pourvu que pp > ay. Si a* 0,
(3) définit un cercle ; a = 0 fournit les droites. Le changement de z en 1/z transforme (3) en
a + pz + Pz + yzz = 0> W
qui est une équation du même type.
Soient a, b, et c des nombres complexes distincts. Il existe une homographie qui envoie le
triplet (a, b, c) sur (0, 1, °°), à savoir,
**> = fh~c\{ra\- (5)
(b-a)(z-c)
Une telle homographie est unique. Car si ç(a) = 0, nous devons avoir z - a au numérateur ;
si (p(c) = oo, nous devons avoir z - c au dénominateur ; et si cp(b) = 1, nous obtenons (5). Si
a ou b ou c est oo, on peut aisément écrire des formules analogues à (5). En composant (5) par
la réciproque d'une transformation du même type, on obtient le résultat suivant :
Étant donnés deux triplets [a, bt c] et {a\ b\ c'} de S2, il existe une et une seule homographie
qui transforme a en a\ b en b\ et c en c\
(Bien sûr, on suppose ici que a * b, a * c, et b * c ; et de même pour a\ b\ et c').
Nous en concluons que tout cercle peut être transformé en tout cercle par une homographie.
Plus intéressant est le fait que tout cercle peut être transformé en toute droite (si oo est alors
considéré comme un point de la droite). Ainsi tout disque ouvert peut être appliqué sur tout
demi-plan ouvert par une transformation conforme.
Etudions plus en détail Tune de ces homographies :
(P(z) = (6)
L'application <p envoie (- 1,0, 1) sur (0, 1, oo) ; r intervalle ]- 1, 1[ est transformé en tout l'axe
réel positif. Puisque le cercle unité T passe par - 1 et par 1, q>(T) est une droite passant par
cp(~ 1 ) = 0. Comme T fait un angle droit avec l'axe réel en -1, <p{T) fait un angle droit avec
l'axe réel en 0. Ainsi cp(T) est l'axe imaginaire. Comme <p(0) = 1, (p est une application
conforme bijective du disque unité ouvert sur le demi-plan ouvert de droite.
Le rôle des homographies dans la théorie des applications conformes est également illustré
par le théorème 12.6.
14.4. — Les homographies rendent possible la traduction de théorèmes concernant le
comportement des fonctions holomorphes au voisinage d'une droite en des théorèmes
concernant leur comportement au voisinage d'un arc de cercle. Nous nous contenterons d'illustrer la
méthode par une discussion informelle du principe de réflexion.
Soit Q un domaine inclus dans borné en partie par un arc L du cercle unité, et soit /
continue sur ^2, holomorphe sur 12, et réelle sur L. La fonction
V(z) = (1)
z + i
applique le demi-plan supérieur sur U. Si g =/o y/, le théorème 11.17 fournit une extension
holomorphe G de g, et alors F=Go y/~] fournit une extension holomorphe F de f qui avec
z* = 1 /z satisfait la relation
/(z*) = FÏz). (2)
La dernière assertion résulte d'une propriété de y/: si w= y/(z) et si wl = y/(z), on vérifie
facilement par le calcul que wx = w*.
Les exercices 2 à 5 fournissent d'autres applications de cette technique.

familles normales
329
FAMILLES NORMALES
Le théorème de l'application conforme de Riemann va être démontré en considérant cette
application comme solution d'un certain problème d'extrémum. L'existence de la solution
repose sur une propriété très utile de compacité de certaines familles de fonctions holomorphes
que nous formulons maintenant.
14.5. Définition. — Supposons ^czH(£2), pour un domaine £2. On dira que ^ est une
famille normale si toute suite d'éléments de 7 contient une sous-suite qui converge
uniformément sur les sous-ensembles compacts de £2. On n'exige pas que la fonction limite appartienne
à 7.
(Parfois on adopte une définition plus large, en exigeant simplement que toute suite de 9 ou
bien converge ou bien tende vers l'infini, et ce uniformément sur les sous-ensembles compacts
de £2. Ce qui est bien adapté pour traiter de fonctions méromorphes.)
14.6. Théorème
Supposons H(£2) et % uniformément bornée sur tout compact inclus dans le domaine £2.
La famille ¥ est normale.
Démonstration. — L'hypothèse signifie qu'à tout compact Kcz£2 correspond un nombre
M(K) < oo tel que |/(z)| < M(K) pour toute / g 7 et tout ze K.
Soit {Kn} une suite de compacts dont la réunion est £2, telle que Kn soit inclus dans l'intérieur
de Kn+l ; une telle suite a été construite au théorème 13.3. Il existe alors des nombres positifs
Sn tels que
D(z;2Sn)czKn+] (ze Kn). (1)
Considérons deux points z' et z" de Kn, tels que Iz'-z'l < Ôn, soit /le cercle positivement
orienté de centre z' et de rayon 25n, et évaluons |/(z') -f(z")\ par la formule de Cauchy.
Comme
_J 1_ z'-z"
ç-zf c-z" (c-z'xc-o'
on a
/^)-/(0=^fr(g_/{g_0^, (2)
et comme \Ç-zl\ = 2ôn et |£-z"| > Sn pour tout Çe y*, (2) fournit l'inégalité
\fM-f(zl\<¥y^\z'-znL (3)
valable pour toute f e % et tous z" et z" e Kn, pourvu que \zx - z"| < Ôn.
C'est là le point crucial de la démonstration : nous avons démontré, pour tout Kn, que les
restrictions des éléments de ^ à Kn forment une famille équicontinue.
Si fj e ^, avec j = 1, 2, 3, le théorème 11.28. montre qu'il existe des ensembles infinis
Sn d'entiers, S, z) S2 => 53 =) ..., tels que {fj} converge uniformément sur Kn lorsque j —> °° dans
Sn. Le procédé diagonal fournit un ensemble infini S tel que lorsque j dans S [fj], la suite
{fj} converge uniformément sur tout Kn, et donc sur tout compact K cz £2.

330
représentation conforme
LE THÉORÈME DE L'APPLICATION CONFORME DE RIEMANN
14.7. Équivalence conforme. — Nous dirons que deux domaines £2X et £22 son*
conformément équivalents s'il existe une application (pe H(QX) qui soit une bijection de 12, sur Q2.
(<p(X2|) = Q2) donc s'il existe une bijection conforme de Qx sur Q2. Dans ces conditions, la
réciproque de l'application cpest holomorphe sur Q2 (théorème 10.33) et est donc une
application conforme de Q2 sur Qx.
Il en résulte que deux domaines conformément équivalents sont homéomorphes. Mais il
existe une relation beaucoup plus importante entre deux domaines conformément équivalents :
si (p est comme ci-dessus, / —» / o (p est une bijection de H(Q2), sur H(£2X) qui conserve la
somme et le produit, c'est-à-dire, qui est un isomorphisme d'anneau de H(£22) sur H(QX).
Lorsque Qx a une structure simple, des problèmes portant sur H(Q2) peuvent être transformés en
problèmes sur H(QX), et à l'aide de <p, les solutions peuvent être rapportées à H(£22).
L'exemple d'application le plus fréquent dépend du théorème de l'application conforme de Riemann
(où Q2 est le disque unité 60 ; pour tout sous-domaine propre et simplement connexe du plan,
il réduit l'étude de H(£2) à celle de H(U). Bien sûr, pour expliciter les solutions de ces
problèmes, il peut être nécessaire d'avoir des informations précises sur l'application conforme utilisée.
14.8. Théorème
Tout domaine simplement connexe du plan (autre que le plan lui-même) est conformément
équivalent au disque unité ouvert U.
Remarque : D'après le théorème de Liouville, le cas du plan doit évidemment être exclu.
Ainsi, le plan n'est pas conformément équivalent à U bien que les deux régions soient
homéomorphes.
La seule propriété des domaines simplement connexes qui sera utilisée dans la démonstration
est que toute fonction holomorphe qui ne s'annule pas dans un tel domaine y possède une racine
carrée holomorphe. Ceci fournira la conclusion « (j) implique (a)» du théorème 13.11 et
complétera ainsi la démonstration de ce théorème.
Démonstration. — Soit Q un domaine simplement connexe du plan et soit vv0 un nombre
complexe n'appartenant pas à Q. Soit Z la classe de toutes les y/e H(£ï) qui sont injectives
dans Q et qui appliquent Q dans U. Nous avons à démontrer que l'une de ces y/ envoie Q
sur U.
Démontrons d'abord que X n'est pas vide. Comme Q est simplement connexe, il existe une
cpe H(Q) telle que (p2(z) = z-w0dans jŒ.Si <p(z\) = <p(z2), on a aussi <p2(z\) = <p2{z2),
donc z, = z2 ; ainsi ç> est injective. Le même raisonnement montre qu'il n'existe pas deux points
zx et z2 de Q tels que (p(z\) = - (p(z2). Comme <pest une application ouverte, (p(Q) contient
un disque D (a ; r), avec 0 < r < \a\. Par conséquent, le disque D (- a ; r) ne rencontre pas (p(£2)
et en posant y/ = r/((p + a), on voit que y/e Z.
L'étape suivante consiste à montrer que si y/e Z, si yf(£2) ne recouvre pas U tout entier,
et si Zq e Q, il existe alors une y/x e E telle que
|tf(Zo)|>|V(Zo)|.
Il sera utile de se servir des fonctions <pa définies par
/ x z-oc

le théorème de l'application conforme de riemann
331
Pour cc e £/, (pa est une bijection de U sur U ; sa réciproque est (p_a (théorème 12.4).
Supposons y/e X, ae c/, et ae y/(£2). On a (pa o y/e Z et (pao y/ n'a pas de zéros dans
£2 ; il existe donc g e H(£2) telle que g2 = <p0 o y/. On voit que g est injective (comme dans
la démonstration de Z g 0), donc g e Z ; et si y/x = (ppo g, où P = g(z0), il s'ensuit que
i^i g Z. Avec la notation w2 = s(w), nous disposons maintenant de
V = <P-a o * o g = (j0_a o 5 o çlj o 1^.
Comme y/, (z0) = 0» la dérivation d'une fonction composée donne
(zo) = F(0) (zo),
où F = ç>_0 o s o . On a F(L/) c U et F n'est pas injective dans U. D'après le lemme de
Schwarz (voir la section 12.5), |F'(0)| < 1 ; et |y'(z0)| < \y/\ (z0)|- (On notera que y'(zo)* °>
car ^ est injective dans 12.)
Fixons z0 e £2, et posons
= sup {|y'(z0)| : y/e Z}.
Ce qui précède rend évident que toute h g Z powr laquelle |/i'(z0)| = ^ appliquera £2 sur U.
Il ne nous reste donc plus qu'à démontrer l'existence d'une telle h.
Comme | y/(z) \ < 1 pour tout y/e Z, et z g £2, le théorème 14.6 montre que Z est une famille
normale. La définition de rf montre qu'il existe une suite { y/n} dans Z telle que | y/„ (zo)| —> rç*
et, comme la famille Z est normale, nous pouvons extraire une sous-suite (pour simplifier encore
notée { y/n}) qui converge, uniformément sur les sous-ensembles compacts de £2, vers une limite
ne H(£2). D'après le théorème 10.28, | /i'(z0) | = rç- Comme Z * 0, rj > 0 et donc h n'est pas
constante. Comme y/n{£2) cz U, pour n = 1, 2, 3, on a h(£2) czD, mais le théorème de
l'application ouverte montre qu'en fait h(£2) cz U.
De sorte qu'il ne reste plus qu'à montrer que h est injective. Soient Z\ et z2 deux points
distincts de £2 ; posons a = h(z\) et cx„ = y/n(z\) pour n = 1, 2, 3, ... ; et soit D un disque
fermé inclus dans £2 et de centre z2, tel que Z\ € D et tel que h-a n'ait pas de zéro sur la
frontière de D. Ceci est possible, puisque les zéros de h - a n'ont pas de point limite dans £2.
Les fonctions y/n - an convergent uniformément sur D vers h - a ; puisqu'elles sont injecti-
ves et ont un zéro en zj, elles n'ont pas de zéro dans D ; il résulte maintenant du théorème de
Rouché que h - a n'a pas de zéro dans D et en particulier Ji(z2) ^h(z\).
Ainsi h e L, et la démonstration est achevée.
Une démonstration plus constructive est esquissée à l'exercice 26.
14.9. Remarques. — La démonstration précédente montre aussi que /i(z0) = 0. Car si
h(z0) = P et j3* 0, on a <pfi o h e Z, et
o A)'(zo)| = Wt(P)h\Zo)\ = 'j^^l>l*,(zo)|.
Il est intéressant d'observer que bien que h ait été obtenue en maximisant |y'(zo)| pour
y/e Z, h maximise aussi l/^zo)! si l'on permet à / de parcourir la classe de toutes les
fonctions holomorphes de £2 dans U (qui ne sont pas nécessairement injécrives). Car lorsque / est
une telle fonction, g = / o h~x applique U dans U, et donc |g'(0)| < 1, l'égalité ayant lieu si
et seulement si g est une rotation (d'après le lemme de Schwarz), et la règle de dérivation des
fonctions composées pourvoit le résultat suivant :
Si fe H(£2),f(£2)czU, et z0e £2, on a |/'(z0)| ^ |^'(z0)|- On a l'égalité si et seulement
si f(z) = A/i(z) pour une constante X vérifiant \ X\ - 1.

332
représentation conforme
LA CLASSE S
14.10. Définition. — S est la classe des f e H(U) qui sont injectives et qui vérifient
/(0) = 0, /'(())= 1. (1)
Ainsi toute / € <^aun développement en série de la forme :
f(z) = z+5>„zn (ze U). (2)
n = 2
La classe S n'est pas fermée pour l'addition ni pour la multiplication, mais elle a beaucoup
d'autres propriétés intéressantes. Dans cette section, nous allons en développer quelques-unes.
Le théorème 14.15 servira pour la démonstration du théorème de Mergelyan, au chapitre 20.
14.11. Exemple. — Si |a| < 1, la fonction fa où
n = 1
est un élément de S.
Car si fa(z) = /a(w), on a (z - w)( 1 - a2 zw) = 0, et le second facteur n'est pas nul si | z\
et |w| sont strictement inférieurs à 1.
Lorsque | a | = 1, fa est dite fonction de Kœbe. Nous laissons au lecteur la recherche de
domaine fa(U) «
14.12. Théorème
(a) Si fe S,\a\ = 1, et g(z) = af(az),onag<= S.
(b) Si f e S, il existe g e S telle que
g\z) = f(z2) (ze U). (d
Démonstration. — (a) est évident. Pour démontrer (b), écrivons f(z) = z<p(z). On a
<p g H(U), <p(0) = 1, et puisque / n'a pas de zéro dans U - {0}, q> n'a pas de zéro dans U. Il
existe donc une h e H(U) avec h(0) = 1, h2(z) = <p(z). Posons
g(z) = zh(z2) (zeU). (2)
2 2 2 2 2 2 2
On a g (z) - z h (z) - z <p(z ) - f(z ), de sorte que (1) est vérifiée. Il est clair que
g(0) = 0 et que g\0) = 1. Il nous faut démontrer que g est injective.
Supposons zetwG U etg(z) = g(w). Comme / est injective, (1) implique z2 = w2. Donc
ou bien z = w (ce que nous voulons démontrer), ou bien z = -w. Dans ce dernier cas, (2)
montre que g(z) = -g(w) ; il en résulte que g(z) = g(w) = 0, et comme g n'a pas de zéro
dans U - {0}, on a z = w = 0.
14.13. Théorème
Pour Fe H(U- {0}), F injective sur U et
F(z) = ^+X°un (ze l/), (d
n = 0
on dispose de
^nla^îX. (2)
= 1

la classe S
333
Pour des raisons qui deviendront claires dans la démonstration, ce théorème s'appelle
d'habitude théorème de l'aire.
Démonstration. — Le choix de a0 n'a évidemment aucune importance, aussi choisirons-nous
a0 = 0. Ni les hypothèses ni la conclusion ne sont changées si nous remplaçons F(z) par
ÀF(Az)(|À| = 1). De sorte que nous pouvons supposer a, réel.
Pour 0<r<l, posons Ur - {z :\z\ < r}, Cr = {z : |z| = r}, et Vr = {z : r <\z\< 1}.
Ainsi F(Ur) est un voisinage de ©o (d'après le théorème de l'application ouverte appliquée à
1/F) : puisque F est injective, les ensembles F(Ur), F(Cr) et F(Vr) sont disjoints. Écrivons
F(z) = i + a,z + <p(z) (ze £/),
F = u + iv, et
1
B = - - axr.
r
Avec z = re , nous obtenons
u = A cos 0 + Re (p et v = -B sin 0 + Im ç.
Divisons les équations (5) par A et B respectivement, élevons au carré, et additionnons :
(3)
(4)
(5)
u2 v2 t 2COS0,, f RecpV 2sin0T (Im <p
— + — = 1 + —:— Re<p+ I —r — Im<p+ [ T
,\2
Az ^ A 'U J 5 ^ B
D'après (3), la fonction (p a un zéro d'ordre 2 au moins à l'origine. En tenant compte de (4),
il s'ensuit qu'il existe un 77 > 0 tel que, pour tout r assez petit,
(r = re ).
2 2
m v . j
— + — < 1 + r/r
A £2
(6)
Ceci veut dire que F(Cr) est à l'intérieur de l'ellipse Er dont les demi-axes sont A J\ + r/r
et Z?Vl + et qui donc délimite une aire
;rAfi(l + rçr3) = TT^ + a^i-^rjo -h 77r3) < ^( 1 + r)r3).
(7)
Comme F(Cr) est à l'intérieur de Fr,ona Er cz U(Cr) ; donc F(Vr) est à l'intérieur de Fr,
et l'aire de F(Vr) est inférieure ou égale à (7). Les équations de Cauchy-Riemann montrent que
le jacobien de l'application (x, y) —» (w, v) est |F'|2. Le théorème 7.26 fournit alors le résultat
suivant :
|2
^(l + 7/r3)>JJ|Fl:
r 1 r 2t
-te + 2Jiant e
n-\ i(h-1)0
</0
= 2;rJ1 r3 + 5>2|a,l2'2
(8)
En divisant (8) par n, puis en soustrayant r 2 des deux côtés, nous obtenons pour tout r
suffisamment petit et pour tout entier positif N,

334
représentation conforme
5>|a„|2(l-r2")<l + r>r. (9)
n = 1
Faisons tendre r vers 0 dans (9), puis N vers l'infini. On obtient (2).
Corollaire. — Sous les mêmes hypothèses, \ax \ < 1.
On voit que cette majoration est la meilleure possible en prenant comme fonction injective sur
U la fonction F(z) = (1/z) + «z, pour \a\ = 1.
14.14. Théorème
Si /g S, et si
/(z) = z + ^anz\
,a(a)\a2\<2et (b) f(U) => D (o ; ±).
L'énoncé (b) signifie que f(U) contient tous les w tels que |w| < ^ .
Démonstration. — D'après le théorème 14.12, il existe g g S telle que g2(z) = f(z2). Si
G = l/g, le théorème 14.13 s'applique à G, ce qui donne (a). Comme
f(z2) = z2(l+a2z2 + ...),
on a
et donc
( 1 2 ^
g(z) = z 1 + ~«2z + ... ,
V 2 J
G(z) = - 1 -7za2z + ... = - - —z + ... .
z\ 2 7 z 2
Le corollaire du théorème 14.13 fournit maintenant \a2 \ < 2.
Pour démontrer (b), supposons w e /(£/). Définissons
h(z) = z—77^7—
1 -f(z)/w
On a /z g H(U), h injective, et
h(z) = (z + a2z2+...)(l + ^+...)= z + ^2 + ^y+...,
de sorte que h s S. Appliquons (a) à h : on a \a2 + ( 1 /w)\ < 2, et comme \a2\ < 2, on obtient
finalement \l/w\ <4. Ainsi |w| >^ pour tout we /(£/).
Ce qui achève la démonstration.
L'exemple 14.11 montre que (a) aussi bien que (b) sont les meilleurs résultats possibles.
De plus, pour a^O donnée, on peut trouver des fonctions entières /, avec /(O) = 0,
/'(O) = 1, ne prenant pas la valeur a. Par exemple
/(z) = a(\-e-z/a).
Bien sûr, aucune fonction de ce genre ne peut être injective sur U si \cx\ < ^.

continuité à la frontière
335
14.15. Théorème
Supposons F e H(U - {0}), F injective sur U et supposons que F possède un pôle d'ordre
1 en z = 0, de résidu 1. Si wx et w2 n'appartiennent pas à F(U), on a nécessairement
| w, - w2\ ^ 4.
Démonstration. — Si / = \/(F- w,), on a / e S, donc f(U) z> D(0 ; 1/4), de sorte que
l'image de U par F- w, contient tous les w tels que | w| > 4. Comme wx - w2 n'est pas dans
cette image, on a | w2 - w>, | < 4.
Remarquons que cette inégalité est elle aussi la meilleure possible : si F(z) = z"1 + z, F(U)
ne contient pas les points 2, -2. En fait le complémentaire de F(U) est précisément l'intervalle
[-2, 2] de l'axe réel.
CONTINUITÉ À LA FRONTIÈRE
Sous certaines conditions, toute application conforme d'un domaine du plan simplement
connexe £2 sur U peut être prolongée en un homéomorphisme de sa fermeture £2 sur U. La
nature de la frontière de £2 joue ici un rôle décisif.
14.16. Définition. — Un point j3 de la frontière d'un domaine plan simplement connexe 12
sera appelé un point frontière simple de £2 si p a la propriété suivante : à toute suite { an}
dans £2 telle que a„ —» p lorsque n —» «>, correspond une courbe y, ayant pour intervalle de
paramétrage [0, 1], et une suite {t„}, 0<tx< t2, tn —> 1, telle que y(t„) = a„(n = 1, 2, ...) et
y(t)e £2 pour 0<f < 1.
En d'autres termes, il existe une courbe dans £2 qui passe par tous les points a„ et qui se
termine en p.
14.17. Exemples. — Puisque les exemples de points frontières simples sont évidents,
examinons des cas de points frontières, non simples.
Si £2 est U - {x : 0 < jc < 1}, £2 est simplement connexe ; et si 0 < P< 1, p est un point
frontière de £2 qui n'est pas simple.
Pour prendre un exemple plus compliqué, soit £20 l'intérieur du carré de sommets
0, 1, i, 1 + i. Enlevons de £2Q les intervalles
_2n 2n+ n '] l2n +1 n' 2n +1 J
Le domaine £2 obtenu est simplement connexe. Lorsque 0 < y < 1, iy est un point frontière
qui n'est pas simple.
14.18. Théorème
Soit £2 un domaine borné simplement connexe du plan, et soit f une application conforme
de £2 sur U.
(a) Si P est un point frontière simple de £2, f admet alors un prolongement continu à
£2 U {P}. Pour ce prolongement, \f(P)\ = 1.
(b) Si p] et p2 sont deux points frontières simples de £2 et si f est prolongée à
Quip^uip^ comme en (a), on a /()3,) */(j32).

336
representation conforme
Démonstration. — Soit g la fonction réciproque de /. Alors g e H(U), d'après le
théorème 10.34, g(U) = £2, g est injective, et g g //°°, puisque £2 est borné.
Supposons que (a) soit faux. Il existe ainsi une suite {a„} dans £2 telle que a„ —> P,
f(oc2n)—^wh f((X2» + \)—>w2 et wx*w2. Choisissons y comme à la définition 14.16, et
posons T(r) = /(/(r)), pour 0 < t < 1. Posons Kr = g(D(0 ; r)) pour 0 < r< 1. Alors tfr est
un sous-ensemble compact de £2. Comme y(t) —» j3 lorsque r—> 1, il existe un r* < 1 (qui
dépend de r) tel que y(t) ë Kr si r*<f<l. Ainsi \T(t)\>r si t*<t<\. C'est-à-dire
| r(t) | —» 1 lorsque f —> 1. Comme F(r2n) —> u>i et r(f2n +1) —> w2, on a aussi = |w2| = 1.
Il en résulte maintenant que l'un des deux arcs ouverts J dont la réunion est
r-({w,}u{w2}) a la propriété que tout rayon de U qui aboutit en un point de J rencontre
l'image de r sur un ensemble qui a un point d'accumulation sur T. Remarquer que
g(F(r)) = y(t) pour 0 < t < 1 et que g a des limites radiales p.p. sur T, puisque g e /T. Donc
\img(relt) = j3 (p.p. sur J), (1)
puisque g(F(f)) —> /? quand t —> 1. D'après le théorème 11.22, appliqué à g - (1) montre
que g est constante. Mais g est injective dans [/, et nous avons une contradiction. Ainsi
W\ = w2, et (a) est démontrée.
Supposons que (b) soit faux. En multipliant / par une constante convenable de module 1,
nous avons p{*p2, mais f(P\) = f(Pi) = 1.
Comme j3, et p2 sont des points frontières simples de Q, il existe des courbes y, avec pour
intervalle de paramétrage [0,1], telles que y,([0, 1 [) c Q pour i = 1 et 2 et //(l) = Posons
^(0 = /(7/(0). Alors r,([0f l[)cl/, et r,(l) = T2(l) = -1. Comme g(rt(t)) = 7,(0
sur [0, 1[, on a
lims(r,(0) = A 0"= U2). (2)
Le théorème 12.10 implique donc que la limite radiale de g en / est px aussi bien que j32-
Ce qui est impossible si /J, * p2.
14.19. Théorème
Lorsque £2 est un domaine borné et simplement connexe du plan, et lorsque tout point
frontière de £2 est simple, toute application conforme de £2 sur U peut se prolonger en une homéo-
morphie de £2 sur U.
Démonstration. — Supposons / g H(£2),f{£2) = U, et/injective. D'après le théorème 14.18,
nous pouvons prolonger / en une application de £2 dans D telle que f(ccn)—>f(z) pour toute
suite {an} de £2 convergeant vers z. Si {zn} est une suite de £2 convergeant vers z, il existe
des points ane £2 tels que |an-z„| < \/n et que \f(a„)-f(z„)\ < \/n. Ainsi, an->z„.
D'où f(an) -> /(z), et ceci montre que /(z„) -> /(z).
Nous avons maintenant démontré que le prolongement de / est continu sur £2. Et aussi
U cz f(£2) czO. La compacité de D entraîne celle de /(Q). Donc fip) = 0.
Le théorème 14.18 (b) montre que / est injective sur £2. Comme toute application continue
et injective sur un compact possède une application réciproque continue ([Rudin, 1976,
théorème 4.17]), la démonstration est terminée.
14.20. Remarques. — (a) Le théorème précédent a un corollaire purement topologique :
lorsque tout point frontière d'un domaine plan borné simplement connexe £2 est simple, la
frontière de £2 est une courbe de Jordan, et £2 est homéomorphe à 0.

image conforme d'une couronne
337
(Par définition, une courbe de Jordan est l'image homéomorphe du cercle unité.)
La réciproque est vraie, mais nous ne la démontrerons pas : si la frontière de Q est une courbe
de Jordan, tout point frontière de Q est alors simple.
(b) Supposons que / soit comme dans le théorème 14.19, que a, b, c, soient des points frontières
distincts de £2> et que A, B, C, soient des points distincts de T. Il existe une homographie <p qui
transforme le triplet (/(a), /(£), /(c)) en (A, B, Q, supposons que l'orientation de (A, B, Q soit
la même que celle de (fia), f(b), f(c)) ; alors ç(U) = U, et la fonction g = <po f est un
homéomorphisme de Q sur U qui est holomorphe sur Q et qui transforme (a, b, c) en (A, B, Q.
Il résulte de la section 14.3 que ces conditions déterminent g de manière unique.
(c) Le théorème 14.19, et aussi la remarque (b) ci-dessus, s'étendent sans difficulté à des
domaines simplement connexes Q de la sphère de Riemann, dont tous les points frontières sont
simples, pourvu que S2 - Q ait un intérieur non vide. Car alors une homographie nous ramène
au cas de domaines Q bornés du plan. De la même manière, U peut être remplacé, par exemple,
par un demi-plan.
(d) Plus généralement, si fx et f2 envoient 12, et Q2 sur (/, comme dans le théorème 14.19,
alors / = f~\ o fx est un homéomorphisme de Q\ sur Q2i qui est holomorphe sur £2{.
IMAGE CONFORME D'UNE COURONNE
14.21. — Il résulte du théorème de l'application conforme de Riemann que deux domaines
propres quelconques du plan, simplement connexes, sont conformément équivalents, puisque
chacun d'eux est conformément équivalent au disque unité. C'est là une propriété très
spécifique des domaines simplement connexes. On peut se demander si elle s'étend à un cas
légèrement plus compliqué, c'est-à-dire, si deux couronnes sont conformément équivalentes. La
réponse est négative.
Pour 0 < r < R, soit
A(r,J?) = {z:r<\z\<R}, (1)
la couronne de petit rayon r et de grand rayon R. Si À > 0, l'application z —» Xz envoie A(r, R)
sur A(Ar, A/?). Donc A(r, R) et A(ru Rx) sont conformément équivalentes si R/r = R\/r]m
Le fait surprenant est que cette condition est aussi nécessaire :
14.22. Théorème
A(r,, Rx) et A(r2, R2) sont conformément équivalentes si et seulement si R\/rx = R2/r2.
Démonstration. — Supposons sans perte de généralité, r, = r2 = 1. Posons
A, = A(l,/c,),A2 = A(l,/?2)
et supposons qu'il existe / e H(AX) telle que / soit injective et que f(A])=A2.
Soit K le cercle de centre 0 et de rayon r = J~R2. Puisque/"1 : A2 —» A,, est aussi une
fonction holomorphe,/"1 (K) est compact. Donc pour un e> 0,
A(l, 1 +e)nf~l(K) = 0. (2)
Ainsi V=/(A(1, 1 + e)) est un sous-ensemble connexe de A2 qui n'intersecte pas K, tel que
V c A( 1, r) ou V c A(r, R2). Dans ce dernier cas on remplace / par R2/f De sorte qu'on peut
supposer V cz A( 1, r). Si 1 < |z„| < 1 + e, et |z„| -> 1, on a f(zn) e V et {/(z„)}n'a pas de point

338
représentation conforme
d'accumulation dans A2 (puisque/-1 est continue). Donc |/(z„)| —> 1 . De la même façon, on
voit que |/(zn)| -> R2 lorsque \zn\ -> /?,.
On définit alors
a = !S«*2 (3)
log /?,
et
"(z) = log|/(z)|-2alog|z| _(zg A,). (4)
Soit d l'un des opérateurs de Cauchy-Riemann. Puisque df = 0 et df = /', la règle de
dérivation d'un produit fournit
«9(2 logl/l) = <9(log(//)) = /'//, (5)
de sorte que
(da)(z) = 4tT"- (6)
/(z) z
Ainsi w est une fonction harmonique sur A, qui, grâce au premier paragraphe de cette
démonstration x prolonge en une fonction continue sur Ai, et est nulle sur la fonction de A,. Puisque les
fonctions harmoniques non constantes n'ont pas de minimum ou de maximum local, on conclut
u = 0. Ainsi
Ç^ = ? (zeA,). (7)
/(z) z
On pose /(r) = jR~\e" (-K<t<n) et r=foy Comme par la démonstration du
théorème 10.43, (7) procure
a = h\j%d> = ™^- (8)
Ainsi a est un entier. Grâce à (3), a> 0. Grâce à (7), la dérivée de z~af(z) est nulle sur A,.
Ainsi/(z) = cza. Puisque / est injective sur A1? a - 1. Donc R2-Rv
EXERCICES
1. Trouver des conditions nécessaires et suffisantes portant sur les nombres complexes a, b, c, d
pour que l'homographie z—> (az + b)/(cz + d) transforme le demi-plan supérieur sur lui-même.
2. Au théorème 11.1 les hypothèses étaient, sous forme simplifiée, Q c 77+ L est sur l'axe
réel, et Im/(z)—»0 lorsque z—» L. Utiliser ce théorème pour établir des théorèmes de
réflexion analogues sous les hypothèses suivantes :
(a) X2 c 77+, L est sur l'axe réel, |/(z)| —> 1 quand z—>L.
(b) QczU, LczT, |/(z)| -> 1 quand z->L.
(c) QaU, Le 7, Im/(z) ->0 quand z -> L.
Dans le cas (fc), lorsque / a un zéro en a g £2, montrer que le prolongement a un pôle en 1 la.
Quelles propriétés analogues à celle-ci retrouve-t-on dans le cas (a) et le cas (c) ?
3. Soit R une fonction rationnelle telle que \R(z)\ = 1 si |z| = I. Démontrer que R est de la
forme

exercices
339
où c est une constante, m un entier, et a,, ak des nombres complexes tels que cxn^0 et
|a„| * 1. Remarquer que chacun des facteurs ci-dessus a pour valeur absolue 1 si |z| = 1.
4. Obtenir une description analogue des fonctions rationnelles qui sont positives sur 71.
Indication : une telle fonction doit avoir le même nombre de zéros que de pôles dans U.
Considérer des produits de facteurs de la forme
(z - op(l -âz)
(z-PXl-Pz)
où|«|<let|j3|<l.
5. Soit / un polynôme trigonométrique,
n
f(d) = £
k = -n
avec f(0) > 0 pour tout 9 réel. Démontrer qu'il existe un polynôme P(z) = cQ + c,z + ... + cnz"
tel que
f(6) = \P(eie)\2 (0réel).
Indication : appliquer l'exercice 4 à la fonction rationnelle X akzk. Le résultat est-il encore
valable sous l'hypothèse/(O) > 0 ?
6. Trouver les points fixes de l'application q>a (définition 12.3). Existe-t-il une droite
invariante par <pa ?
7. Trouver tous les nombres complexes a pour lesquels fa est injective dans U, où
Décrire fa(U) dans chaque cas.
8. Soit/(z) = z + (1/z). Décrire les familles d'ellipses et d'hyperboles qui sont les images par
/ des cercles de centre 0 et des rayons passant par 0.
9. (a) Soit i2={z:-l<Rez<l}. Trouver une formule explicite pour la bijection conforme
de Q sur U qui transforme 0 en 0, et telle que /'(O) > 0. Calculer /'(O).
(b) Remarquer que l'application réciproque de l'application construite en (a) possède une partie
réelle bornée dans (/, tandis que sa partie imaginaire n'est pas bornée. Montrer que ceci implique
l'existence d'une fonction continue réelle u sur U, harmonique sur U et dont la conjuguée
harmonique v n'est pas bornée dans U. (v est la fonction qui rend u + iv holomorphe sur U ; on peut
déterminer v de manière unique par la condition v(0) = 0.)
(c) Soit g g H{U), |Re g\ < 1 sur U et g(0) = 0. Montrer que
i , m. i . 2 . 1 + r
\g(re )|<- log— •
Indication : voir l'exercice 10.
(d) Soit Q la bande qui intervient pour le théorème 12.9. On choisit un point a+ iP de 12.
Soit h une application bijective conforme de Q sur Q qui envoie a + iP sur 0. Montrer que
1

340
représentation conforme
10. Soient / et g des applications holomorphes de U sur £2, f étant injective, f(U) = £2 et
/(0) = g(0). Montrer
g(D(0;r))</(D(0;r)) (0<r<l).
11. Soit £2 la moitié supérieure du disque unité U. Trouver l'application conforme / de £2 sur
U qui envoie {-1,0,1} sur {-1,-/, 1). Trouver z e £2 tel que /(z) = 0. Trouver /Qj-
Indication : f- (p o s o ^, où ç> et i/f sont des homographies et s (A) = À2.
12. Soit J2 est un domaine convexe, / e H(£2), et /'(z) > 0 pour tout z g 12. Démontrer
que / est injective dans £2. Le résultat est-il changé sous l'hypothèse affaiblie, Re/'(z)^0?
(Exclure le cas trivial / = constante.) Montrer par un exemple que « convexe » ne peut pas être
remplacé par « simplement convexe ».
13. Soit £2 un domaine, /„ g H(£2) pour n = 1, 2, 3, chaque fn est injective dans £2, et
fn-*f uniformément sur les sous-ensembles compacts de £2. Démontrer que / est ou bien
constante, ou bien injective dans £2. Montrer que les deux cas peuvent se produire.
14. Soit £2= {x + iy : -1 <y < 1}, fe H(£2), \ f\ < 1 et f(x) -» 0 lorsque x -> oo.
Démontrer que
lim/(jc + /y) = 0 (- 1 <y< 1),
et que le passage à la limite est uniforme si y est limité à un intervalle [-a, a] à a< 1.
Indication : considérer la suite {/,}, où/,(z) = z + n, dans le carré |jc| < 1, |y| < 1.
Quelle information ce théorème apporte-t-il sur le comportement d'une fonction ge H°° près
d'un point frontière de U pour lequel la limite radiale de g existe ?
15. Soit ^la famille de toutes les fonctions f e H(U) telles que Re/> 0 et/(0) = 1. Montrer
que ^ est une famille normale. Peut-on omettre la condition « /(O) = 1 » ? Peut-elle être
remplacée par « |/(0)| < 1 » ?
16. Soit ^ la classe de toutes les / g H(U) pour lesquelles
JJ \f(z)\2dxdy<\.
u
Est-ce une famille normale ?
17. Soit £2 un domaine, /„ g H(£2) pour n = 1, 2, 3, ...,/„-» / uniformément sur les sous-
ensembles compacts de £2, f est injective sur £2. En résulte-t-il qu'à tout compact Ka£2
corresponde un entier N(K) tel que /„ soit injective sur K pour tout n > N{K) ? Donner une
preuve ou un contrexemple.
18. Soit £2 un domaine simplement connexe, z0 e i2, et soient / et g des applications
conformes bijectives de £2 sur U qui transforment z0 en 0. Quelle relation existe-t-il entre / et g ?
Répondre à la même question lorsque /(zq) = g (z0) = a pour un a g U.
19. Trouver un homéomorphisme de U sur U qui ne puisse pas être prolongé en une fonction
continue sur U.

exercices
341
20. Si / g S (définition 14.10) et si n est un entier positif, démontrer qu'il existe g e S telle
que gn(z) =f(f) pour tout ze U.
21. Trouver toutes les / g S telles que (a) f(U) z> U, (b) f(U) 3 Z7, (c) \ar\ = r.
22. Soit / une bijection conforme de U sur un carré de centre 0, avec /(O) = 0. Démontrer
que f(iz) = if(z). Si f(z) = Icnz", démontrer que cn = 0 lorsque n - 1 n'est pas multiple de 4.
Généraliser en remplaçant le carré par d'autres domaines simplement connexes invariants par
des rotations.
23. Soit £2 un domaine borné dont la frontière consiste en deux cercles sans point commun.
Démontrer qu'il existe une bijection conforme de £2 sur un anneau. (Ceci est vrai pour tout
domaine £2 tel que S2 - £2 ait exactement deux composantes connexes, chacune d'elles
contenant plus d'un point, mais ce cas plus général est plus difficile à étudier.)
24. Compléter la démonstration suivante du théorème 14.22. Supposons 1 <R2<R] et soit /
une bijection conforme de A(l, Rx) sur A(l, /?2). Définissons fx =/et/n =/o/n_P Une sous-
suite de [fn] converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de A(\,R{) vers une
fonction g. Montrer que l'image de g ne peut contenir un ouvert non vide (par le théorème des
trois cercles, par exemple). D'autre part, montrer que g ne peut être constante sur le cercle
{z : kl2 = Ri}. Donc / ne peut exister.
25. Voici encore une autre démonstration du théorème 14.22. Si / est comme à la
notion 14.22, on peut en se servant plusieurs fois du principe de réflexion prolonger / en une
fonction entière telle que |/(z)| = 1 pour tout \ z\ = 1. Ceci entraîne/(z) = af, où \a\ = 1 et
n est entier. Compléter cette preuve.
26. Une itération de la deuxième étape de la démonstration du théorème 14.8 conduit à une
démonstration (due à Koebe) du théorème de l'application conforme de Riemann, constructive
en ce sens qu'elle ne fait pas appel à la théorie des familles normales et par suite ne repose pas
sur l'existence d'une sous-suite non précisée. Pour la dernière étape de la démonstration, il est
commode de supposer que £2 a la propriété (h) du théorème 13.11. Alors tout domaine
conformément'équivalent à £2 satisfera (g). Rappelons aussi que, de manière évidente, (h), entraîne (/).
D'après la première étape du théorème 14.8 nous pouvons supposer, sans perte de généralité,
que 0 g £2, £2czU, et £2ïU. Posons £2=£2Q. La démonstration consiste à construire des
régions £2X, £2j, £23, ... et des fonctionsf{,f2,fv de sorte qutfn(£2n_l) = £2n et que les
fonctions fn o/n_, o ... o/2 o/, convergent vers une application conforme de £2 sur U. Compléter la
preuve fournie par le schéma suivant.
(a) Supposons £2n_l construit, soit rn le plus grand nombre tel que D(0 ; rn) cz£2n_u soit an
un point frontière de £2n_x avec \an\ = rn, choisissons fin de sorte que j32 = -zn et posons
Fn = <P-an O S O (p_pn.
(Les notations sont les mêmes que dans la démonstration du théorème 14.8.) Montrer que Fn
possède une fonction réciproque holomorphe Gn sur £2n_et posons fn = Xn Gn avec A„ = |c|/c
et c = G^(0). (Cette fn est l'application de Koebe associée à £2n_x. Remarquer que/n est une
fonction élémentaire. Elle se compose seulement de deux homographies et d'une racine carrée.)
(b) Calculer /; (0) = ( 1 + rn)/lJ7n > 1.

342
représentation conforme
(c) Posons y/0(z) -z et V„(z) =f„(yfn_i (z) ). Montrer que y/n est une bijection de Q sur une
région X2„ c U, que { y/„ (0)} est bornée et que
et par conséquent rn —> 1 quand n —» oo.
(d) Écrire (z) = zhn(z), pour z g X2, et montrer que | hn\ < \hn + J. Appliquer le théorème de
Harnack et l'exercice 18 du chapitre 11 à {log j hn\} pour démontrer que {yfn} converge
uniformément sur les sous-ensembles compacts de 12, et montrer que lim y/n est une bijection de Q
sur U.
27. Démontrer que ^ (1 - rn)2 < oo, où {rn} est la suite qui intervient à l'exercice 26.
Indication : » = i
1+r = 1+(l-/0
ijr ijr
28. Supposons qu'à l'exercice 26 nous choisissons an g U - £2n_ „ sans imposer la condition
| an | = rn. Par exemple, imposons seulement la condition
|a„|<(l+rJ/2.
La suite {y/n} obtenue convergera-t-elle encore vers l'application désirée ?
29. Soit Q un domaine borné, a g £2, / e H(Q), f(£2) cz 12, etf(a) = a.
(a) Posons/, =/et/„ =/o/„_ „ calculer f'n (a), et montrer que I/; (a)\ < 1.
(fc) Si /'(«) = 1, démontrer que/(z) = z pour tout z g 12. (Indication : si
/(z) = z + cm(z-af + ...,
calculer le coefficient de (z - a)m dans le développement de fn (z))
(c) Lorsque |/'(o)l = 1» montrer que / est injective etf(£2) = Q (Indication : si y = f'(a),
il existe des entiers rce—>°° tels que y£ —> 1 et /„ —»g. Ainsi g'(^) = 1. g(Q)^Q (par
l'exercice 20, chapitre 10), donc g (z) = z par (fc). Utiliser g pour tirer les conclusions souhaitées
sur/.
30. Soit A l'ensemble des homographies.
Si {a, P, 7, 5} est un quadruplet ordonné de nombres complexes distincts, son bi rapport est
défini comme étant
[aBY8] = {a-^-8)-
1 ,P'Y' J (a-5)(/-/ï)
Si l'un de ces nombres est infini, la définition est modifiée de manière évidente par continuité.
Même chose si a coïncide avec j3, ou 7, ou ô.
(a) Si (p(z) = [z, oc, p, y\ montrer que (pg A et que (p envoie {a, p, 7} sur (0, 1, 00}.
(fc) Montrer que l'équation [w, a, fc, c] = {z, oc, j8, 7} peut être résolue sous la forme w = (p(z) ;
alors q?g A envoie {a, /?, 7} sur {a, fc, c}.
(c) Si <p g A, montrer que
ç>(r).ç><5)] = [a, A y, S].

exercices
343
(d) Montrer que [a, P, y S\ est réel si et seulement si les quatre points sont sur un même
cercle ou sur une même droite.
(e) Deux points z et z* sont dits symétriques par rapport au cercle (ou à la ligne droite) C
passant par a, p, et 7si [z*, oc, p, y\ est le complexe conjugué de [z, oc, p, y\. Si C est le cercle
unité, trouver une relation géométrique simple entre z et z*. Même question si C est une droite.
if) Supposons z et z* symétriques par rapport à C. Montrer que pour toute (pe A, <p(z) et
<p(z*) sont symétriques par rapport à (p(C).
31. (a) Montrer que A (voir exercice 30) est un groupe, pour la loi de composition des
applications, c'est-à-dire, si (p e A et y/e A, montrer que (po y/e A et que la réciproque (p~1 de (p
appartient à A. Montrer que A n'est pas commutatif.
(b) Montrer que tout élément de A (autre que l'identité) possède un ou bien deux points fixes
sur S2. [Un point fixe de (p est un point a tel que (p(a) = a.]
(c) Deux applications (p et y>\ e A sont dites conjuguées s'il existe y/e A telle que
çx = y/ o (po y/. Démontrer que toute application ce A qui a un point fixe unique est conjuguée
de l'application z —> A + z. Démontrer que toute (pe A qui a deux points fixes distincts est
conjuguée de l'application z —> ocz, où a est un nombre complexe. Dans quelle mesure, a est-
il déterminé par (p ?
(d) Soit a un nombre complexe. Montrer qu'à chaque (pe A qui a a comme unique point
fixe correspond un P tel que
<p(z) - a z-a
Soit Ga l'ensemble de ces (p et de l'application identique. Démontrer que Ga est un sous-
groupe de A et que Ga est isomorphe au groupe additif des nombres complexes.
(e) Soient a et p deux nombres complexes distincts, et soit Gap l'ensemble des (pe A qui
ont a et p pour points fixes. Montrer que toute (p e Gap est donnée par
(P(z)-a = z-a
ç(z)-p r z-p
où 7est un nombre complexe. Montrer que Ga p est un sous-groupe de A, isomorphe au groupe
multiplicatif des nombres complexes non nuls.
(f) Si (p est comme dans (d) ou (e), quels sont les cercles C pour lesquels <p(C) = C ? Donner
la réponse en fonction des paramètres a, p et y
32. Pour z e U,z2±l,on définit
f(z) = exp ji log
en choisissant comme branche du logarithme celle où log 1 = 0. Décrire f(E) lorsque E est
(a) U,
(b) la moitié supérieure de T,
(c) la moitié inférieure de T,
(d) un arc circulaire quelconque (dans U) de -1 à 1,
(e) le rayon [0, 1],
if) un disque quelconque {z : \z - r\ < 1 - r} où 0 < r < 1.
(g) une courbe quelconque dans U qui tend vers 1

344
représentation conforme
33. Lorsque q>a est comme à la définition 12.3, montrer que
(«) i \\<P'a\2dm = 1
u
Ici m désigne la mesure de Lebesgue de R2.
NOTES HISTORIQUES
La représentation conforme a été un sujet typique des mathématiques dites appliquées au xixc siècle,
pour la réalisation des cartes, mais aussi pour l'hydraulique. Une référence générale est [Nehari, 1952],
un ouvrage où de très nombreux exemples de telles représentations sont fournis avec précision. La
théorie est évidemment marquée par le théorème de Riemann, que ce dernier exposa dans sa dissertation
inaugurale de Gôttingen en 1854 dans le cadre général d'une théorie des surfaces qui changeait, en la
géométrisant nettement, la théorie des fonctions holomorphes de Cauchy. La démonstration était basée
sur le principe de Dirichlet, selon lequel il existe une solution au problème de minimisation d'une
intégrale double.
Weierstrass fit remarquer que l'existence d'un minimum pour l'intégrale ne prouvait pas que ce
minimum fût effectivement atteint pour une fonction particulière. David Hilbert en 1909 reprit cette
démonstration par le principe de Dirichlet, qui fit l'objet de la thèse de Richard Courant en 1910. Entre temps, et
sous différentes conditions sur le domaine et sa frontière, Cari Neumann, H.A. Schwartz et Henri Poincaré
résolvaient le problème de Dirichlet (exposé ici par le théorème 11.8), et ipso facto prouvaient le théorème
de Riemann pour des domaines bornés par des courbes analytiques par morceaux.
Paul Koebe en 1908 utilisa des méthodes de théorie des fonctions, résolvant le cas d'un domaine
simplement connexe à l'intérieur du disque unité dont la frontière est successivement repoussée sur celle du cercle
au moyen de transformations élémentaires basées sur l'extraction de la racine carrée. Due à Koebe, la
démonstration proposée à l'exercice 26 date de 1915, et dans cet article il considérait aussi des domaines
doublement connexes. Le comportement à la frontière des transformations conformes fut étudié par
Carathéodory en 1913, et le théorème de la section 14.19 y fut prouvé pour des domaines bordés par une
courbe de Jordan, de même qu'intervenait la notion de bouts finis. Voir aussi [Carathéodory, vol. II,
pp. 88-107].
Les familles normales de fonctions holomorphes de la section 14.5 furent introduites dès 1907 par Paul
Montel, qui y revint à plusieurs reprises, résumant par un livre en 1927 (voir aussi [Hille, chapitre 15]). Il
est typique de cette séparation de l'analyse réelle et complexe que le terme « normal » soit resté, alors que
le mot compact aurait pu être adopté, ce mot ayant été introduit d'ailleurs un an avant l'article de Montel
et au profit des espaces topologiques par Fréchet. En tout cas, on comprend le sens de l'intervention de
telles familles s'il s'agit, dans le style du principe de Dirichlet, de minimiser certaines fonctionnelles pour
être sûr que le minimum sera effectivement atteint.
Les fonctions holomorphes injectives (fonctions univalentes), et la classe S ont fait l'objet de multiples
études. En 1914, T.H. Gronwall prouva le théorème 14.13 et deux ans plus tard Ludwig Bieberbach énonça
une conjecture fameuse, \an\ < n pour tout n > 2. C'est dire qu'on en sait beaucoup plus que l'inégalité
\a2\ < 2 fournie à la section 14.14, et prouvée cette fois par Bieberbach. Si de plus \an\ = n pour un n > 2,
c'est que / est une des fonctions de Koebe de l'exemple 14.11. Jean Dieudonné prouva la conjecture de
Bieberbach en 1931 pour le cas de fonctions de 5 ayant des coefficients réels. En 1985, Louis de Branges
prouvait la conjecture dans toute sa généralité.

notes historiques
345
Les fonctions rationnelles ont fait l'objet de multiples études. On trouvera plus de détails dans
[Ahlfors, 1978, pp. 22-35], [Hille, 1962, pp. 46-57] et dans un livre de L.R. Ford de 1929.
La preuve de l'exercice est due à Y.N. Moschovakis.
RÉFÉRENCES
P. Koebe, Abhandlungen zur Théorie der konformen Abbildung, Jour, fur reine und angewandte Math.,
145, 177-223, 1915.
P. Montel, Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leurs applications, Gauthier-
Villars, Paris, 1927.
L.R. Ford, Automorphic Functions, McGraw-Hill, New York, 1929.
L. de Branges, A proof of the Bieberbach conjecture, Acta Math., 154, 137-152, 1985.
TEXTE
Riemann explique le théorème de l'application conforme111.
Pour l'éclaircissement de nos théorèmes généraux, il ne sera pas sans utilité d'exposer en détail un
exemple de leur application.
L'application indiquée dans le paragraphe précédent, bien qu'atteignant le but prochain envisagé dans
la déduction des théorèmes, n'est cependant encore que particulière. En effet, lorsque la dépendance est
régie par un nombre fini de ces opérations sur les grandeurs qui y sont regardées comme opérations
élémentaires, la fonction contient seulement un nombre fini de paramètres quant à la forme d'un système
de conditions, relatives au contour et aux discontinuités, indépendantes entre elles, et suffisant pour
déterminer la fonction, ce fait a pour conséquence que parmi ces conditions il ne peut s'en présenter aucunes
susceptibles d'être déterminées arbitrairement en chaque point le long d'une ligne. Pour le but actuellement
envisagé, il semble donc plus approprié de choisir, non un exemple tendant à ces circonstances, mais
beaucoup plutôt un exemple où la fonction de la variable complexe dépend d'une fonction arbitraire.
Pour faire saisir la question d'une manière nette et claire, nous allons présenter cet exemple sous la
forme géométrique dont on a fait usage à la fin du § XIX. Il s'agit alors dans cet exemple de rechercher
la possibilité d'opérer une représentation connexe et semblable en ses plus petites parties d'une surface
donnée, représentation dont la forme est donnée ; nous entendons, en parlant ainsi, que l'on donne la
courbe du lieu géométrique de chaque point d'encadrement de la représentation, la même courbe pour tous
ces points, et que l'on donne en outre le sens de la direction de l'encadrement ainsi que les points de
ramification. Nous nous en tiendrons à la solution de ce problème au cas où, à chaque point d'une surface,
correspond un point unique de l'autre, et où les surfaces sont simplement connexes, cas où la solution est
renfermée dans le théorème suivant :
Deux surfaces planes, simplement connexes données, peuvent toujours être rapportées l'une à l'autre,
de telle sorte qu'à chaque point de l'une corresponde un point unique de Vautre dont la position varie
d'une manière continue avec celle du premier, et de telle sorte que les plus petites parties correspondantes
des surfaces soient semblables ; de plus, pour UN point de l'intérieur et pour UN point de l'encadrement
de la surface, les points correspondants de l'autre surface peuvent être donnés quelconques ; mais alors
la correspondance est déterminée par cela même pour tous les points.
Lorsque deux surfaces 7 et R sont rapportées sur une troisième S, de telle sorte qu'entre les plus petites
parties correspondantes de T et S et de R et S il y ait similitude, par cela même il existe une correspondance
entre les surfaces T et R, où le même fait a évidemment lieu.
[1. [Riemann, 1854/1898]].

346
représentation conforme
Le problème de la représentation de deux surfaces quelconques l'une sur l'autre, de telle sorte que la
similitude soit conservée dans leurs plus petites parties, est donc ramené à celui-ci : représenter chaque
surface quelconque sur une même surface déterminée de sorte qu'il y ait similitude en les plus petites
parties.
Ainsi, pour démontrer notre théorème, si nous décrivons sur le plan fl, du point w = 0 comme centre, un
cercle K de rayon 1, il suffira seulement de démontrer ceci : une surface simplement connexe quelconque
T recouvrant A, peut être toujours représentée sur le cercle K d'une manière connexe, la similitude étant
conservée dans les plus petites parties, et cela d'une façon unique, en opérant de telle sorte qu'au centre
du cercle corresponde un point donné quelconque O0 à l'intérieur de T, et à un point donné quelconque de
la circonférence un point donné quelconque O ' sur l'encadrement de T.
Distinguons les désignations déterminées de la grandeur z et du point Q relatives aux points O0 et 0\
en leur attribuant l'indice ou l'accent correspondant, et décrivons sur 7 du point O0 comme centre un cercle
quelconque 0, qui ne s'étend pas jusqu'à l'encadrement de 7 et ne renferme aucun point de ramification.
Introduisons des coordonnées polaires en posant z-z0 = req"; l'on aura, pour la fonction log(z-Zo),
log(z-Zo) = logr+<p/.
La partie réelle varie donc dans tout le cercle d'une manière continue, hormis au point où elle devient
infinie. Quant à la partie imaginaire, lorsque parmi les valeurs possibles de ç l'on choisit partout la valeur
positive la plus petite, elle prend le long du rayon où z - Zq prend des valeurs réelles positives, d'un côté
la valeur 0, de l'autre 2n \ mais d'ailleurs en tous les autres points elle varie d'une manière continue. Ce
rayon peut être évidemment remplacé par une ligne quelconque / menée du centre à la circonférence, de
telle sorte que la fonction log(z-Zo), lorsque le point 0 traverse cette ligne du bord négatif (c'est-à-dire
où p est négatif, § VIII) au bord positif, éprouve une brusque diminution de valeur 2m ; mais d'ailleurs
elle varie avec la position de 0 d'une manière continue sur le cercle 0 tout entier.
Prenons maintenant la fonction complexe a + pi de x, y égale dans le cercle 0 à log (z-Zq)\ mais, en
dehors du cercle, la ligne / étant prolongée d'une manière quelconque jusqu'au contour de 7, choisissons-
la comme il suit :
1° Sur la circonférence de 0, égale à log(z -Zq), sur le contour de 7, imaginaire pure ;
2° À la traversée du bord négatif au bord positif de la ligne /, elle devra varier de - 2m ; mais, dans tout
autre cas, pour une variation infiniment petite du lieu, elle devra varier d'une grandeur infiniment petite
de même ordre ; ces fixations 1 0 et 2 ° sont toujours possibles.
Ceci posé, l'intégrale
relativement à 0, a une valeur nulle ; relativement à toute la partie restante de la surface 7, elle a une valeur
finie. Par conséquent, a + pi par l'adjonction d'une fonction continue de x, y, purement imaginaire sur le
contour et déterminée à un reste près constant purement imaginaire, peut être transformée en une fonction
t = m + ni de z. La partie réelle m de cette fonction sera égale à 0 sur le contour, à - <» au point O0, et
partout ailleurs sur Telle variera d'une manière continue.
Pour chaque valeur a de m située entre 0 et - oo, la surface 7 est donc partagée par une ligne où m = a,
d'une part, en parties où m < a qui renferment à leur intérieur le point O0 et, d'autre part, en parties où
m > a dont l'encadrement est formé en partie par le contour de 7, en partie par des lignes où m = a.
L'ordre de connexion de la surface 7 ou bien ne sera pas diminué par cette décomposition, ou bien le
sera ; comme cet ordre est égal à - 1, la surface sera donc décomposée soit en deux morceaux d'ordres de
connexion 0 et - 1, soit en plus de deux morceaux. Mais cette dernière circonstance est impossible, car,
dans un de ces morceaux : au moins, la partie réelle m devrait être partout finie et continue et constante
en toutes les parties de l'encadrement, et, par suite, devrait avoir soit une valeur constante en une portion
de surface, soit une valeur maxima ou bien minima en un endroit quelconque, c'est-à-dire en un point ou
le long d'une ligne, ce qui est contraire au § XI, proposition III. Les points où m est constant forment, par
conséquent, des lignes partout simples, qui se ferment et qui forment chacune l'encadrement d'un morceau
renfermant le point O0, et où m décroît nécessairement vers l'intérieur. Il s'ensuit que pour un circuit positif

notes historiques
347
(où s croît, d'après le § VIII) la grandeur n, tant qu'elle est continue, est toujours croissante, et, par
conséquent, puisqu'elle éprouve une variation brusque1 de -2k seulement quand on passe du bord négatif au
bord positif de la ligne /, elle sera alors égale une fois à chaque valeur comprise entre 0 et 2k, abstraction
faite d'un multiple de 2k.
Posons maintenant e1 = w, em et n seront alors les coordonnées polaires du point Q relativement au centre
du cercle K pris comme origine.
Mais l'ensemble des points Q forme évidemment une surface S recouvrant K partout simplement. Le
point Q0 de celle-ci tombe au centre du cercle, mais le point Q' peut, par l'entremise de la constante dont
on peut encore disposer dans la fonction n, être porté en un point donné quelconque de la circonférence.
C.Q.F.D.
Au cas où le point O0 est un point de ramification d'ordre (n - 1), Ton arrive au but cherché par des
conclusions tout analogues en remplaçant seulement log(z - Zrd par - log {z - z0) » et le traitement ultérieur
n
serait aisément complété à l'aide du § XIV.
§ XXII.
L'extension complète des recherches du paragraphe précédent au cas plus général où, à un point unique
d'une surface, correspondent plusieurs points de l'autre et où Ton ne présuppose pas que les surfaces aient
une connexion simple, sera laissée de côté ici, d'autant plus qu'au point de vue géométrique toute notre
étude eût pu être présentée sous forme plus générale. La restriction de nos considérations à des surfaces
planes, unies sauf exception en des points isolés, n'est pas essentielle. Bien plus, le problème de la
représentation d'une surface donnée quelconque sur une autre donnée quelconque, en conservant la similitude
dans les plus petites parties, peut être traité d'une manière tout analogue. Nous nous contenterons, à ce
sujet, de renvoyer le lecteur aux deux Mémoires de Gauss, celui cité au § III et celui intitulé : Disquisitiones
générales circa superficies curvas (article 13)121.
1. Puisque la ligne / mène d'un point intérieur du morceau à un point extérieur, il faut, lorsqu'elle en coupe plusieurs
fois l'encadrement, qu'elle traverse de l'intérieur à l'extérieur une fois de plus que de l'extérieur à l'intérieur, la somme
des variations brusques de n pendant un circuit positif est donc toujours égale à — 2k.
[2. [Gauss, 1813]].

CHAPITRE 15
ZÉROS DES FONCTIONS HOLOMORPHES
PRODUITS INFINIS
15.1. Jusqu'à présent, nous n'avons rencontré qu'un seul résultat concernant l'ensemble Z(f)
des zéros d'une fonction holomorphe non constante / sur un domaine £2 ; il indique que Z(/)
ne possède pas de point d'accumulation dans £2. Nous verrons que l'on ne peut rien dire de
plus en général au sujet de Z(/), si du moins Ton n'impose aucune autre condition sur /. En
effet, le théorème de Weierstrass (théorème 15.11) assure que tout sous-ensemble A a £2 et
sans point d'accumulation dans £2, est un Z(/) pour au moins une fonction /g H(£2).
Lorsque A = {aj, pour construire une telle fonction /, il est naturel de choisir des fonctions
/„ g H(£2) en sorte que/„ ne possède qu'un zéro, en an précisément, et de considérer la limite
lorsque n tend vers l'infini des produits
Pn - f]fl9 fn'
On doit aménager la suite [pn] de sorte qu'elle converge bien vers une fonction de H(£2) et de
sorte que la fonction limite / ne soit pas nulle en dehors des points assignés de la suite {an}.
Il est donc souhaitable de commencer par une étude des propriétés générales des produits
infinis.
15.2. Définition. — Soit {un} une suite de nombres complexes
pn = (1+ii1)(1+h2)...(1+iiii), (1)
telle que p = lim p„ existe. Nous écrivons ainsi
P = no+o- (2)
n = 1
Les pn sont les produits partiels du produit infini (2). Lorsque la suite {pn} est convergente,
nous disons que le produit infini (2) converge.
Pour l'étude de la convergence d'une série infinie La,, est significative la façon plus ou moins
rapide dont les an tendent vers 0. De façon analogue, pour l'étude des produits infinis l'intérêt
se focalise sur la proximité des facteurs au nombre 1. Nous prenons en compte cette remarque
en adoptant la notation ci-dessus : 1 + un est proche de 1 lorsque un est proche de 0.
15.3. Lemme. — Pour des nombres complexes u,, u^ si Von définit
Pn = no+io, pmN = n<i+H)' (i)
n = 1 n = 1

produits infinis
349
on dispose de
/?;<exp Cl "il + (2)
et de
\pN-\\<p*N-\. (3)
Démonstration. — Pour x > 0, l'inégalité 1 + x < e* est une conséquence immédiate du
développement en série entière de e*. En remplaçant x par | u ,|, | u2\, -.| uN\, puis en multipliant les
inégalités obtenues, on obtient la relation (2). Pour N = 1, la relation (3) est évidente. Le cas
général provient d'une récurrence. Pour k= 1, N - 1, on écrit
= PaO +"*+i)-1 = (Pk- 1)(1 +w*+i) + "a + i>
de sorte que si (3) a lieu avec k à la place de Af, on a bien
I/>*+i-i|^(p*-1)(1 + I"*+iI) + I"a+iI =
15.4. Théorème
Soit {un} une suite de fonctions définies sur un ensemble S, bornées et à valeurs complexes,
telle que £|m„(s)| converge uniformément sur S. Le produit
= na+«„(*)) (d
n = 1
converge uniformément sur S, et fis0) = 0 en un point sQ de S si et seulement si unisQ) = - 1
pour un certain entier n.
De plus, si [nx, n2, n3, ...} est une permutation quelconque de {1, 2, 3, ...} on a également
fis) = f[ (1+^(5)) (s s S). (2)
* = i
Démonstration. — Grâce à l'hypothèse, X | est bornée sur 5, et si pN désigne le A/-ième
produit partiel de (1), le lemme 15.3 établit l'existence d'une constante C<°o telle que
\pN(s)\<C pour tout N et pour tout s.
Choisissons e, où 0 <e< 1/2. Il existe un entier A/0 tel que
XI «-MI <* S). (3)
n = nq
Soit {rtj, n2, n3, ...} une permutation de {1, 2, 3 ...}. Si N > NQ et si M est assez grand pour que
{1,2, ...,N}cz{nun2, ...,«„}, (4)
on a, en notant par qMis) le produit partiel à l'ordre M de (2)
qM - Pn = /?*{n(1 + u») ~ ^ (5)
Les nombres nk qui interviennent dans (5) sont tous distincts et supérieurs à N0. Le lemme 15.3
et la relation (3) montrent que
\qM-pN\<\pN\ie£-\)<2\Pn\e<2Ce. (6)
Lorsque nk = kik= 1, 2, 3, ...), alors qM - pM et (6) indique que {pN} converge uniformément
vers une fonction limite /. De plus (6) indique
\pM-pNo\<2\p„o\£ iM>N0), (7)
de sorte que \pM\ > ( 1 - 2e) |pNJ^. Donc
|/(5)| >(l-2£)|pivo(5)| (5 6 5), (8)

350
zéros des fonctions holomorphes
relation qui montre que f(s) = 0 si et seulement si pnq(s) = 0 .
En définitive, la relation (6) indique que {qM} converge vers la même limite que \pN).
15.5. Théorème
Soit un une suite où0<un<\. On dispose de l'équivalence :
PJ ( 1 - wn) > 0 si et seulement si X M« < °°-
n = 1 n = 1
Démonstration. — Si pN = ( 1 - m,) ... ( 1 - uN), on a bien px>p2> pN > 0, c'est-à-dire
que la limite p de pN existe lorsque N tend vers l'infini. Si Ih„ < °°, le théorème 15.4 implique
p > 0. D'autre part
N
p<pN = f|(l -m„)<exp {-w,-m2- ...
et si Zw„ = oo cette dernière expression converge vers 0 lorsque N tend vers l'infini.
Nous ferons un fréquent usage de la conséquence suivante du théorème 15.4.
15.6. Théorème
Soit {/„} e H (£2) pour n = 1,2, ... On suppose qu'aucune fonction fn ne soit identiquement
nulle sur une quelconque composante connexe de Q et de plus que la suite
£ii-/,(z)i (d
converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de Q. Le produit infini
/u) = n/„(z) (2)
n = 1
converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de Q. Donc f appartient à H(Q).
De plus nous disposons de
m(f\z) = j^mifn'iZ) (ze Q), (3)
n = 1
oùm(f\z) est par définition l'ordre du zéro de la fonction f au point z [en convenant de
prendre m(f\z) = 0 lorsque f(z) ne s'annule pas au point z].
Démonstration. — La première partie provient directement du théorème 15.4. Quant à la
seconde partie, on observe d'abord grâce à (1) que tout point z de Q possède un voisinage V
à l'intérieur duquel un nombre au plus fini de fonctions fn admettent un zéro. On place en
premier ces facteurs dans le produit infini. La produit des autres facteurs ne possède aucun zéro
dans le voisinage V d'après le théorème 15.4, ce qui donne (3). Incidemment, nous constatons
qu'un nombre au plus fini de termes dans la série (3) peut être positif pour un point z donné
de £2.

le théorème de factorisation de weierstrass
351
LE THEOREME DE FACTORISATION DE WEIERSTRASS
15.7. Définition. — Posons E0(z) = 1 - z et pour tout entier p non nul
Ep(z) = (l-z)exp + ... + ^J.
Ces fonctions, introduites par Weierstrass, sont quelquefois connues sous le nom de facteurs
élémentaires. Leur unique zéro est en z = 1. Leur utilité tient au fait que ces facteurs sont voisins
de 1 lorsque |z| < 1 etp suffisamment grand, bien que Ep(\) = 0.
15.8. Lemme. — Pour \ z\ < 1 et p = 0, 1, 2, ..on a
\\-Ep(z)\<\zr\
Démonstration. — Pour p = 0, le résultat est évident. Pour p > 1, un calcul direct montre que
r 2 P
-E\{z) = z'exp z + | + ... + l
De sorte que - Ep possède un zéro d'ordre p en z = 0, tandis que les coefficients du
développement de - Ep en série entière sont des nombres réels non négatifs. Puisque
1-Ep(z) = - f Ep(w)dw,
1 - Ep admet un zéro d'ordre p + 1 au point z = 0, et si
<p(z) =
\-Ep(z)
zp+]
la série <p(z) = ^anzn a des coefficients an >0. Donc |<p(z)| ^ <p(l) = 1 lorsque |z| ^ 1. Ce
qui termine la démonstration du lemme.
15.9. Théorème
Soit [z„] une suite de nombres complexes, où z„ * 0 et \zn\ tend vers Vinfini lorsque n tend
vers Vinfini. Soit [pn] une suite d'entiers non négatifs telle que pour tout nombre positif r on
ait en posant rn = |z„|
<-• (d
, r., i
n = 1
Le produit infini
' z
pu = FKliJ (2)
n = 1
définit alors une fonction entière P qui possède un zéro en chaque point zn et ne possède aucun
autre zéro dans le plan complexe.
Plus précisément, si a intervient m fois dans la suite {z„}, la fonction P possède un zéro
d'ordre m au point cl
La condition (I) est toujours satisfaite lorsque par exemple l'on prend pn = n - 1.
Démonstration. — Pour tout r, sauf pour un nombre fini d'entiers, on a rn > 2r et par suite
r/r„< 1/2 ; la relation (1) est donc satisfaite en prenant 1 + pn = n.

352
zéros des fonctions holomorphes
Fixons maintenant r. Lorsque \z\ ^ r, dès que rn > r le lemme 15.8 montre que
Cette inégalité est donc valable sauf au plus pour un nombre fini d'entiers n. De (1), on déduit
maintenant que la série
i
n = 1
converge uniformément sur tous les sous-ensembles compacts du plan. Le théorème 15.6
fournit la conclusion souhaitée.
Remarque. Pour certaines suites {rn}, la relation ( 1 ) est satisfaite en prenant pour {pn} une suite
constante. Il y a intérêt à choisir cette constante aussi petite que possible ; la fonction ainsi
construite selon (2) est appelée produit canonique associé à {zn}. Par exemple, si Z — < °°, nous
pouvons choisir pn = 0 et le produit canonique s'écrit simplement
n = 1
Si Z— = oo, mais z\ < + le produit canonique devient
rn rn
Les produits canoniques jouent un rôle très intéressant dans l'étude des fonctions entières
d'ordre fini (pour les définitions adéquates, voir l'exercice 2).
Nous pouvons énoncer maintenant le théorème de factorisation de Weierstrass.
15.10. Théorème
Soit f une fonction entière pour laquelle /(O) * 0, et soit z,, z2> • •■» la suite des zéros de f,
chacun compté avec son ordre de multiplicité. Il existe une fonction entière g et une suite
d'entiers non négatifs {pn} et
m = e^f[Epj^y (1)
fl = l
Remarque : (a) Lorsque / possède un zéro d'ordre k en z = 0, ce qui précède s'applique à la
fonction f(z)/zk.
(b) La factorisation (1) n'est pas unique : une unicité peut être établie pour des fonctions /
dont les zéros satisfont la condition requise pour la convergence d'un produit canonique.
Démonstration. — Soit P le produit utilisé au théorème 15.9, construit à partir des zéros de
la fonction /. La fonction f/P ne possède que des singularités artificielles dans le plan
complexe, donc est une fonction entière. Puisque f/P ne possède aucun zéro sur ce même plan,
qui est simplement connexe, pour une certaine fonction entière g on a f/P = eg'.
La démonstration du théorème 15.9 s'adapte facilement au cas d'un sous-ensemble ouvert.

le théorème de factorisation de weierstrass
353
15.11. Théorème
Soit £2 un sous-ensemble ouvert de S2 ne coïncidant pas avec S2. Supposons que A soit un
sous-ensemble de £2 ne possédant pas de point d'accumulation dans £2. Supposons qu'à chaque
point a de A, on associe un entier positif m (oc). Il existe une fonction f appartenant à H (£2) dont
tous les zéros sont dans A et qui possède un zéro d'ordre m (a) en chaque point a de A.
Démonstration. — La démonstration se trouve simplifiée, sans perte de généralité, si l'on
suppose que <» appartient à £2, sans appartenir à A (puisque, s'il n'en n'est pas ainsi, une
transformation homographique nous place alors dans cette situation). Ainsi S2-£2 est un sous-
ensemble compact du plan complexe et ©o n'est pas un point d'accumulation de A.
Lorsque A est fini, il suffit de prendre pour / une fonction rationnelle.
Lorsque A est infini, A est un ensemble dénombrable (sinon il y aurait un point
d'accumulation dans £2). Soit {an} une suite dont tous les termes sont dans A de telle façon que chaque
élément de A soit écrit un nombre de fois égal à m (a). À chaque an dans A on associe un point
pn de S2 - £2 de telle sorte que \fin - ocn\ < \p- an\ pour tout P<z:S2-£2, ce qui est possible
grâce à la compacité de S2 - £2. Donc, lorsque n tend vers l'infini ;
possède les propriétés désirées.
Posons rn = 2\an - P„\. Soit K un sous-ensemble compact de £2. Puisque rn tend vers 0, il
existe un entier N tel que | z - pn \ > rn pour tout z appartenant à K et tout n>N. Donc
Ceci, d'après le théorème 15.6, termine la démonstration.
Comme conséquence, on peut maintenant obtenir une caractérisation des fonctions méromor-
phes (voir la définition donnée en 10.41).
15.12. Théorème
Toute fonction méromorphe sur un ouvert du plan complexe est le quotient de deux fonctions
holomorphes sur £2.
La réciproque est évidente : si g et h appartiennent à H(£2) et si h n'est identiquement nulle
sur aucune composante connexe de £2, la fonction g/h est méromorphe sur Q.
Démonstration. — Supposons que / soit une fonction méromorphe sur £2 et soit A l'ensemble
des pôles de la fonction /. Pour chaque a appartenant à A, on note m (a) l'ordre de multiplicité
de ce pôle de /. Grâce au théorème 15.11, il existe une fonction h g H(£2) telle que h possède
un zéro de multiplicité m (ce) en chaque point a de A et telle que h ne possède aucun autre zéro.
Posons alors g =fh. Les singularités de g aux points de A sont artificielles, de sorte que l'on
peut prolonger g en une fonction de H(£2). Visiblement / = g/h sur £2- A.
IA,-a„|->0,
car autrement A posséderait un point d'accumulation dans Q. Nous prétendons que
Z-Pn 2
ce qui grâce au lemme 15.8, implique

354
zéros des fonctions holomorphes
UN THÉORÈME D'INTERPOLATION
Le théorème de Mittag-Leffler se conjugue avec le théorème de Weierstrass 15.11 pour fournir
une solution au problème suivant : pouvons-nous choisir arbitrairement un sous-ensemble A cz £2,
sans point d'accumulation dans £2, et trouver une fonction /g H(£2) possédant des valeurs
données à l'avance en chaque point de A ? La réponse est affirmative. De fait, nous pouvons
même faire mieux et imposer la valeur d'un nombre fini de dérivées en chaque point de A.
15.13. Théorème
Soit £2 un ensemble ouvert du plan complexe et A cz £2 un sous-ensemble sans point
d'accumulation dans £2. À chaque ae A on associe un entier non négatif m (a) et, pour 0 < n < m( a),
des nombres complexes wna. Il existe une fonction f g H(£2) telle que
f{n\a) = ,i!wfl,a (ae A,Q<n<m(a)). (1)
Démonstration. — Grâce au théorème 15.11, on construit g e H(£2) dont les seuls zéros
appartiennent à A et de sorte que g ait un zéro de multiplicité m( a) + 1 en chaque point a g A .
On prétend qu'il est possible d'associer à chaque a g A une fonction Pa de la forme
1 + m(a)
PAZ) = X CJ.a(Z-aYJ (2)
telle que gPa possède, dans un certain disque centré en a, un développement convergent en
série entière
g(z)Pa(z) = w0,a+ wua(z-a) + ... +wm(a),a(z-a)m(a)+ ... (3)
Pour simplifier l'écriture, on prend a = 0 et m(a) = m, omettant l'indice a. Pour z voisin
de 0, on a avec bx ï 0,
g(z) = bxz + b2z +... (4)
Avec
P(z) = c]Z-]+...+cm + ]z-m-\ (5)
on a
g(z)P(z) = (cm+{+cmz+...+clzm)(b]+b2z + b,z2 +...). (6)
Les coefficients bn sont donnés, et nous désirons choisir les coefficients cn de sorte que
g(z)P(z) = w0 + w,z+ ... + wmzm+ ... (7)
En comparant les coefficients de 1, z, z" dans (6) et (7), puisque bx *0, on résout
successivement les équations qui en résultent pour cm + 1, cmi c,.
De cette façon, on obtient les Pa souhaités. Le théorème de Mittag-Leffler fournit alors une
fonction h, méromorphe sur £2, dont les parties principales sont précisément ces Pa. Formons
/ = hg , on obtient alors une fonction ayant les propriétés requises.
La solution de ce problème d'interpolation peut être mise à profit pour trouver la structure
de certains idéaux de l'anneau H(£2) qui sont engendrés par un nombre fini de fonctions.
15.14. Définition. — U idéal [gh g2, gn] engendré par les fonctions g,, g2, g„ g H (£2)
est l'ensemble des fonctions de la forme ^fig,, où /, g H(£2) pour i = 1, n . Un idéal
principal est celui engendré par une seule fonction. On notera que [ 1 ] = H(£2).

un théorème d'interpolation
355
Pour /g H(£2), ae Q et lorsque / n'est pas identiquement nulle dans un voisinage de a,
on note m(f ; a) l'ordre du zéro de / en a. Comme lors du théorème 15.6, on prend m(f ; a) = 0
si /(a)*0.
15.15. Théorème
Tout idéal de H (£2) engendré par un nombre fini de fonctions est principal
De façon plus explicite, si gu gn g H(£2), il existe des fonctions g, /,, /i, g H(£2) telles
que
g = et g, = htg (1 </<«).
z = i
Démonstration. — On supposera que £2 est un domaine, afin d'éviter le tracas de fonctions
non identiquement nulles quoique nulles sur certaines composantes connexes de £2. Dès que
démontré pour un domaine quelconque, le théorème peut servir pour chaque composante
connexe d'un ouvert arbitraire £2, ce qui fournit le théorème général. Les détails sont laissés à
titre d'exercice.
Appelons P(n) la proposition suivante.
Si gi> g„ 6 H (£2), si aucune g, n'est identiquement nulle, et aucun point de £2 n'est un
zéro pour tous les g,, on a [g„ g„] = [1].
P(\) est trivialement vraie. Supposons n>\ et P(n-\) vraie. Choisissons gu
g„ g H(£2) sans zéro commun. Grâce au théorème de Weierstrass 15.11, il existe (pe H(£2) et
m((p; a) = min {m(g, ; a) : 1 <i<n - 1} (ag £2). (1)
Les fonctions = g/ç (1 <i<n - 1) appartiennent à H(Q) et n'ont aucun zéro commun
dans £2. Puisque l'on a P(n- 1), [/„ fn.x] - [ 1 ]. En sorte que
[gu ....= l9fgn]- (2)
De plus, le choix de <p assure gn(cx) ï 0 en tout point de A = {ae £2 : (p(o0 = 0}. Ainsi,
du théorème 15.13 on déduit l'existence de h g H(£2) telle que
m(l-hgn ; a) >m(<p ; a) (ae £2). (3)
On obtient cette fonction h par un choix convenable des valeurs assignées à h{k)(a) pour
ae A et 0<k<m(q> ; a).
(3) indique que ( 1 - hg„)/(p n'a que des singularités artificielles. Ainsi, pour un / g H(£2)
convenable,
1 = hgK + fq>. (4)
Grâce à (2) et (4), 1g [g„ ...,gj.
Nous avons montré que P(n - 1) implique P(n). De sorte que pour tout n, P(n) est vraie.
Enfin, supposons G], Gn e H(£2) et aucune G, identiquement nulle (ce qui ne fait perdre
aucune généralité). Une nouvelle application du théorème 5.11 montre que (pe H(£2) où pour
tout ae £2 m((p; a) = min (G, ; a). On pose g, = G/(p. Ainsi g, g H(£2), et les fonctions
g,, ...,g„ n'ont aucun zéro commun dans £2. Grâce à P(n), [g1} ...,g„] = [1] et donc
[Gx, GJ = [(p]. Ce qui termine la démonstration.

356
zéros des fonctions holomorphes
FORMULE DE JENSEN
15.16. Comme nous l'avons vu avec le théorème 15.11, la localisation des zéros d'une
fonction holomorphe sur un domaine Q n'est astreinte à aucune autre condition que celle évidente
qui concerne l'absence de points d'accumulation dans Q. La situation est bien différente si l'on
remplace H(£2) par certains sous-ensembles définis par des conditions de croissance. Dans ces
cas, la distribution des zéros doit satisfaire certaines conditions quantitatives. La plupart de tels
théorèmes reposent sur la formule de Jensen (théorème 15.18). Nous l'appliquerons alors à
certaines classes de fonctions entières et à certains sous-ensembles de H(U).
Le lemme qui vient va nous permettre l'application du théorème de Cauchy quant à
l'évaluation d'une certaine intégrale définie.
15.17.Lemme. — ^- f^logll-ei6\d0 = 0.
Démonstration. — Soit Q = {z : Re z< 1}. Puisque 1 - z*0 sur Q, et puisque Q est
simplement connexe, il existe une fonction h e H(Q) telle que, pour tout z dans Q, on ait
exp {h(z)} = 1 -z.
Cette fonction h est déterminée de façon unique si l'on impose h(0) = 0. Puisque
Re (1 -z)>0 sur 12, on a
Re A(z) = log|l-z|, \lm h(z)\<% (ze 12). (1)
Pour S > 0 assez petit, on définit le chemin r
r(î) = e" (8<t<2n-8), (2)
et y l'arc de cercle dont le centre est 1 et qui va de e'6 à e~,s tout en restant dans U. Dans ce cas
--[îaJ,*wf]-
La dernière égalité provient du théorème de Cauchy. On notera que h(0) = 0 .
La longueur de y est moindre que ko, de sorte que (1) assure que la valeur absolue de la
dernière intégrale dans (3) est inférieure à C8 logl ^, pour une certaine constante C. Ceci
procure le résultat si l'on fait tendre 8 vers 0.
15.18. Théorème
Soient Q = D(0 ; R), f e H(Q), /(O) * 0, 0<r<R, et on note a,, aN les zéros de f
appartenant à D(0 ; r), rangés avec leur ordre de multiplicité. On a
l/(°)lrïdn = txAht J_*,logl/(r'")l d6\ (1)
Cette formule est connue sous le nom de formule de Jensen. L'hypothèse /(O) * 0 ne peut
être gênante dans les applications puisque, si / a un zéro d'ordre k en 0, il suffira d'appliquer
cette formule à f(z)/zk.

formule de jensen
357
Démonstration. — Numérotons les points a} de sorte que a„ am appartiennent à
D(0 ; r) et que | am + {| = ... = | aN\ = r. (Bien entendu, on peut avoir m = N ou m = 0).
Définissons
m 2 - N
n = I n = m + 1
La fonction g g H(D) où D = D(0 ; r + e) pour un certain e> 0. La fonction g n'a pas de
0 dans D, de sorte que log|g| est une fonction harmonique sur D (théorème 13.12) et ainsi
log|g(0)| =±r\"log\g(reIB)\dO. 0)
Grâce à (2), on a
m
l*(0)l = 1/(0)1 nnrr (4)
n = I
Pour 1 <n<m, les facteurs de (2) ont un module égal à 1 si \z\ = r. Si an = re'0", pour
m < n < N, il s'ensuit que
logls(re''9)| = log|/(re/s)|- £ log|l-/""H (5)
n = m+ 1
Le lemme 15.17 montre alors que l'intégrale dans (3) ne change pas si l'on remplace g par /.
Par comparaison avec (4), il vient (1).
La formule de Jensen procure une inégalité où interviennent les valeurs frontières des
fonctions holomorphes bornées sur U (Rappelons que la famille de telles fonctions a été notée H°°).
15.19. Théorème
Soit une fonction non identiquement nulle f e H°°. On définit
Mft =hi" l°i\f(re")\d0 (0<r<l) (1)
27T J-*
et en appelant f* la limite radiale de f comme au théorème 11.32,
,"*(/) =^J_7logl/*(^)l^- (2)
On a
flr(f)*fiÀf) si 0<r<s<l, (3)
HÀf) -> log|/(0)| lorsque r -> 0, (4)
et
^(/)<M*(/) si 0<r<l, (5)
Une conséquence est notable : on peut choisir r de sorte que f(z) * 0 pour \z\ = r ; en ce cas
Mr(/) est un nombre réel (fini), comme l'est /i*(/) grâce à (5). Ainsi log|/*|e LX(T) et
f*(e'9) ï 0 presque partout sur T.
Démonstration. — Il existe un entier m > 0 tel que f(z) = zmg(z), g e H°° et g(0) * 0. On
applique la formule de Jensen 15.18(l)àgau lieu de /. Le membre de gauche ne peut
évidemment pas décroître lorsque r croît. Ainsi jUr(g) <//5(g) si r < s. Puisque

358
zéros des fonctions holomorphes
(3) est démontrée.
Supposons maintenant, sans perte de généralité, que |/| < 1 . On écrit fr(e'e) pour /(re10).
Ainsi /r->/(0) lorsque r—»0 et /r->/* p.p. lorsque r-> 1. Puisque log( 1/|/,|) >0,
conjugué à (3), le lemme de Fatou deux fois appliqué fournit (4) et (5).
15.20. Zéros des fonctions entières. — Soit / une fonction entière. On définit
M(r) = sup\f{rei9)\ (0<r <<*>), (1)
e
et n (r) désigne le nombre de zéros de / appartenant à D(0 ; r). Par souci de simplicité, on
suppose /(O) = 1. La formule de Jensen procure
1
M(2r)>exp U- JMog\f(2reie)\d0
2k
n{2r) * n{r) ~
-n fan fa*".
où [an] désigne la suite des zéros de / préalablement numérotée pour que |a,| <|a2| ^ ••■
Donc
«(r)log2<logM(2r). (2)
Ainsi, la rapidité avec laquelle n(r) croît avec r, c'est-à-dire la densité des zéros de /, est
contrôlée par la croissance de M(r). Supposons, pour envisager un cas concret, que pour des r
assez grands, on ait l'estimation
M(r)<exp {Ar*}, (3)
où A et k sont des nombres positifs donnés. La relation (2) conduit à
limsup!2I£(£)<*. (4)
r->°° logr
Par exemple, pour un entier positif k et pour
f(z)=l-ez\ (5)
on en déduit que n (r) vaut à peu près n~ lkrk, de sorte que
lim !^L(I> = k. (6)
r^oo logr
Ceci montre qu'il n'est pas possible d'améliorer l'estimation donnée en (4).
PRODUITS DE BLASCHKE
La formule de Jensen rend possible la détermination explicite des conditions que doivent
satisfaire les zéros d'une fonction non constante / g H°°.
15.21. Théorème
Soit [ an} une suite dans U telle que an * 0 et
JT(l-|<*n|)<~. (D
n = 1

produits de blaschke
359
Pour un entier k non négatif, et
(2)
la fonction B g H°° et elle ne possède pas d'autres zéros que les points an (outre l'origine si
k>0).
Cette fonction B est appelée un produit de Blaschke. On notera que certains des an peuvent
être répétés, ce qui fournit un zéro multiple pour B en ce point. On notera encore que chaque
facteur de (2) a une valeur absolue égale à 1 sur T.
Le terme « produit de Blaschke » pourra être utilisé pour le cas d'un nombre fini de facteurs,
et éventuellement s'il n'y a pas de facteur du tout en posant B(z) = L
Démonstration. — Pour |z| < r, le n-ième terme de la série,
ccn-z \an
vaut
+ \a„ \z
(1
1 - anz an
|a„|)<|^(l-|an|).
\(\-anz)an\
Grâce au théorème 15.6, B g H(U) et B n'a pas d'autres zéros que ceux prescrits. Puisque
chaque facteur de (2) a une valeur absolue inférieure à 1 dans U, on en déduit \B(z)\ < 1, ce
qui termine la démonstration.
15.22. Le théorème précédent a montré que
X(l-|a»l)<°° (1)
n = l
est une condition suffisante pour l'existence d'une fonction / g //°° dont l'ensemble de zéros
{ccn} est prescrit. Cette condition se trouve être nécessaire : Les zéros d'une fonction non
identiquement nulle appartenant à H™ satisfont la relation (1). Il s'agit d'un cas particulier du
théorème 15.23. Il est intéressant de noter que cette condition est également nécessaire pour une
classe plus générale de fonctions, classe que nous allons maintenant décrire.
Pour tout nombre réel f, on définit log+f = log t si t > 1, et log+r = 0 si t< 1. On appelle
N (en référence à Nevanlinna) la classe des fonctions / g H( U) telles que
sup f* Iog+|/(r«")|</e<-o. (2)
0<r<l £7CJ-n
Il est clair que H~czN. Il faut noter que (2) impose une restriction sur la croissance de |/(z)|
lorsque \z\ —» 1, tandis que l'hypothèse de borne sur les intégrales
f \og\f(re")\de (3)
n'en implique aucune. Par exemple, (3) est indépendant de r si/= eg pour une fonction
quelconque g e H(U). De fait, (3) peut rester petite tandis que log|/| prendra des valeurs
négatives grandes en valeurs absolues, aussi bien que de grandes valeurs positives, tandis que
log+|/| > 0. On discutera plus longuement la classe N au chapitre 17.
15.23. Théorème
Soient fsN une fonction non identiquement nulle dans U, et ax, a2, les zéros de f,
numérotés selon leur multiplicité. On a

360
zéros des fonctions holomorphes
£(l-|a«l)<°° (D
n = 1
(On suppose tacitement que / possède une infinité de zéros dans U car autrement la somme
précédente (1) étant finie, il n'y a rien à démontrer. On suppose aussi |an| <
Démonstration. — Lorsque / possède un zéro d'ordre m à l'origine et en posant
g(z) = z~mf(z), la fonction g s N et elle possède les mêmes zéros que /, l'origine mise à
part. On peut donc supposer sans perdre de généralité que /(O) * 0. Soit n (r) le nombre des
zéros de / dans D(0 ; r). Fixons k et choisissons r< 1 de sorte que n(r)>k. La formule de
Jensen
1/(0)1 H j£| = exp j± rjog|/(«'e)| dej (2)
implique
n |f] * exp {^LV°g+ |/(re'e)| de\ (3)
L'hypothèse / g A/ équivaut à l'existence d'une constante C<<*>, qui pour tout r tel que
0 < r < 1 dépasse le membre de droite dans (3). On déduit
n|a„|>C-'|/(0)|r\ (4)
n = l
L'inégalité reste vraie pour tout Je lorsque r —> 1. De là
f[\an\>C '1/(0)1 >0. (5)
n = 1
Le théorème 15.5. montre que (5) implique (1).
Corollaire. — Si f g H°° (voire même si f g N) et si OL^cx^, ... sont les zéros de f dans U,
la relation Z(l-|oc„|) = °° implique que f(z) = 0 pour tout ze U.
Une fonction holomorphe bornée et non constante sur U ne peut par exemple avoir un zéro
en chacun des points (n - \ )/n (n = 1, 2, ...).
Nous concluons cette section par un théorème décrivant le comportement d'un produit de
Blaschke au voisinage de la frontière de U. Rappelons que B, en tant qu'élément de //",
possède des limites radiales B*(e'e) en presque tous les points de T.
15.24. Théorème
Pour un produit de Blaschke B, \B*(ei9)\ = 1 p.p. et
lim^-f \og\B(reie)\dO = 0. (1)
Démonstration. — L'existence même d'une limite provient du fait que comme fonction de r
l'intégrale est monotone. Soit B (z) comme au théorème 15.21 et définissons
w = nr^-- (2)

le théorème de muntz-szasz
361
Puisque log (\B/BN\) est une fonction continue sur un ouvert contenant Ty la limite (1) reste
inchangée si Ton remplace B par BN. Appliquant le théorème 15.19 à BN, on déduit alors
log |£?„(0)| <lim f* log \B(reie)\ dO < ±- f* log d0<0. O)
Lorsque A/—le premier terme dans (3) tend vers zéro. Ceci procure (1) et montre que
| log|#*| = 0. Puisque log \b*\ <0 p.p., le théorème 1.39 (a) implique à son tour que
log \b*\ =0 p.p.
LE THÉORÈME DE MÙNTZ-SZASZ
15.25. Un théorème classique de Weierstrass [Rudin, 1976, théorème 7.24] établit la densité
des polynômes dans C(/), lorsque cet espace des fonctions continues et à valeurs complexes
définies sur le segment [0, 1] est muni de la norme de la borne supérieure. En d'autres termes,
la famille de toutes les combinaisons linéaires des fonctions
\,t,t\t\... (d
est dense dans C(/). On dit quelquefois que les fonctions (1) engendrent C(7).
Ceci suggère une question : Avec 0<Â,<À2<A3< sous quelles hypothèses est-il vrai
que les fonctions
\,t\t\t\ ... (2)
engendrent C(7) ?
Il se trouve que la réponse à cette question est très naturellement liée au problème de la
répartition des zéros d'une fonction holomorphe bornée dans le demi-plan (ou dans un disque,
puisque les deux domaines se déduisent l'un de l'autre par une application conforme). La réponse,
d'une simplicité étonnante, est que les fonctions (2) engendrent C(I) si et seulement si
Il/A, = oo.
De fait, la démonstration fournit une conclusion encore plus précise.
15.26. Théorème
Soit 0 < À] < A2 < ... et désignons par X la fermeture dans C(f) de l'ensemble des
combinaisons linéaires des fonctions
l,f\f\f\ ...
(a) Si iJ- = 00, ona* = C(7).
K
(b) Si Z y- < et si X ë {Xn\ X ï 0, l'ensemble X ne contient pas la fonction t1.
Démonstration. — Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach (théorème 5.19), une
fonction <pe C(7) n'appartient pas à X si et seulement s'il existe une forme linéaire continue
sur C(7), ne s'annulant pas en (p, mais nulle sur tout X. Comme toute forme linéaire continue
sur C(I) s'obtient par intégration par rapport à une mesure de Borel complexe sur/, l'assertion
(a) est conséquence de la proposition suivante :
Si Z j- = 00 et si |x est une mesure de Borel complexe sur I telle que
A,„

362
zéros des fonctions holomorphes
JY" dfi(t) = 0 (n = 1,2,3, ...), (1)
on a aussi
JY dfi(t) = 0 (k= 1,2,3, ...). (2)
En effet, cette proposition une fois acquise, la remarque précédente établit que f\ pour tout
k > 1, appartient à X et donc, puisque 1 e X tous les polynômes appartiennent à X. Le théorème
de Weierstrass permet de conclure X = C(I).
Supposons donc que (1) soit vérifiée. La nullité en 0 des fonctions à intégrer dans (1) et (2)
nous permet sans risque de supposer que fi est portée par ]0, 1]. Associons à fl la fonction
/(z) = lftzdv(t). (3)
Pour t> 0, on a par définition f = exp (z log t). Nous prétendons que / est holomorphe dans
le demi-plan de droite. La continuité de / est facile à vérifier et on peut ensuite utiliser le
théorème de Morera. De plus, si z = x + iyf x > 0 et 0 < t < 1, on a | îz\ = tx < 1 . Ainsi / est bornée
dans ce demi-plan de droite. La relation (1) énonce/(AJ = 0 pour «=1,2,... Définissons
g(z) = /(y^£) (zeU). (4)
La fonction g g H°° et g(cxn) = 0, où l'on a posé an = (A„ - 1 )/(A„ + 1 ). Un calcul
élémentaire montre que E(l - \an\) = <» si El/A„ = «>. Le corollaire du théorème 15.23 nous
enseigne alors que g (z) = 0 pour tout z g C/, et par suite/= 0. En particulier/(/c) = 0 pour k = 1,2,
ce qui est la relation (2). Nous avons donc établi la partie (a) du théorème.
Pour démontrer (b), il suffit de construire une mesure fl sur / de sorte que (3) définisse une
fonction / holomorphe dans le demi-plan Re z > - 1 (n'importe quel nombre négatif
conviendrait), qui soit égale à 0 en 0, A,, A^ ... et qui ne possède pas d'autres zéros dans ce demi-plan.
En effet, la forme linéaire associée à cette mesure sera nulle sur X, mais non nulle sur toute
fonction r1 où A * 0 et A £ {AJ.
On commence par construire une fonction / ayant les zéros désirés, puis on montrera que /
peut être représentée sous la forme (3). On définit
De l'égalité
-z 2z + 2
1
2 + A„ + z 2 + A„ + z
on déduit que le produit infini (5) converge uniformément sur tout compact ne contenant aucun
des points - A„ - 2. La fonction / est donc méromorphe sur le plan complexe, ayant ses pôles
en - 2 et - A„ - 2 et ses zéros en 0, A,, Aj, ... De plus, chaque facteur du produit infini dans (5)
est en module inférieur à 1 dès que Re z > - L Donc |/(z)| < 1 si Re z > - 1. Le facteur (2 + z)3
est destiné à assurer que la restriction de / à la droite Re z = - 1 appartient à L1.
Fixons z de sorte que Re z > - 1, et envisageons la formule de Cauchy relative à /(z), selon
un chemin d'intégration empruntant le demi-cercle de centre - 1 et de rayon R > 1 + |z|, allant
de - 1 - iR à - 1 + iR en passant par - 1 + /?, et poursuivi par le segment rectiligne entre - 1 + i/î
et - 1 - iR. L'intégrale sur le demi-cercle s'annule lorsque /?—>«>, de sorte qu'il nous reste
/(*)= -^r^T^^ (Rez>-1). (6)
2k - 1 + is - z

exercices
363
Mais
t 1 . = \lrhdt (Rez> - 1). (7)
1 + Z - IS JQ
Par suite, on peut réécrire (6) sous la forme
/( z) = tz j^. /(- 1 + is)e~ "108 '<isj dt. (8)
L'interversion des signes d'intégrations est légitime car si l'intégrand dans (8) est remplacé par
son module, l'intégrale est finie.
Posons g (s) = /(- 1 + is). L'intégrale intermédiaire dans (8) n'est autre que g (log t) où g
désigne la transformée de Fourier de g. Il s'agit bien d'une fonction bornée et continue sur
]0, 1]. Par suite, en posant dji(t) = g (log t) dt, on obtient une mesure procurant la
représentation de / sous la forme (3).
Ce qui termine la démonstration.
15.27. Remarque. — Chaque fois que {\,tl\t\ ...} engendre C(/), le théorème établit
qu'il est possible de retirer une sous-famille infinie de fonctions r* et la famille restante
engendre encore C(f). En particulier, C(ï) ne contient aucun sous-ensemble minimal de la forme
envisagée. Ceci contraste fortement avec le comportement des ensembles orthonormaux dans
le cas d'un espace de Hilbert. En cette occurrence, si l'on retire un élément d'un ensemble
orthonormal, l'espace engendré est nécessairement plus petit. Il en est de même lorsque
{l,f\ r*2, ...} n'engendre pas C(/). Retirer un élément diminue l'espace engendré (comme
cela se déduit du théorème 15.26 (b)).
EXERCICES
1. Soient \an) et {bn} deux suites de nombres complexes telles que JL\an - bn\ < ©o . Sur quels
ensembles le produit suivant
n = I
converge-t-il uniformément ?
Où ce produit définit-il une fonction holomorphe ?
2. Soient / une fonction entière, A un nombre positif, et supposons que l'inégalité
|/(z)|<exp ((|z|)A)
ait lieu pour |z| assez grand. (De telles fonctions sont dites d'ordre fini. La borne inférieure des
A qui la satisfont s'appelle l'ordre de f). Si /(z) = Zanzn, montrer que l'on a pour n assez
grand,
Envisager la fonction (z*) pour k = 1, 2, ... pour vérifier si la borne précédente quant aux \an\
est proche de la meilleure possible.
3. Déterminer tous les nombres complexes z tels que exp (exp (z)) = 1. Les représenter dans le
plan complexe. Montrer qu'il n'existe aucune fonction entière d'ordre fini (exercice n° 2) ayant
un zéro en chacun de ces points (exception faite bien sûr de la fonction identiquement nulle).

364
ZÉROS DES FONCTIONS HOLOMORPHES
4. Montrer que la fonction
€ + €
7TCOt KZ = Ki
a en chaque entier un pôle simple de résidu égal à 1. Il en est de même pour la fonction
z n = ]Z -n n=N z n
Montrer que les deux fonctions sont périodiques \f(z + 1) =/(z)], que leur différence est une
fonction entière bornée, donc constante, et qu'en fait cette constante est nulle puisque l'on a
lim f(iy) = - 2/ f = - ni.
y->~ Jo 1 + r
On obtient ainsi une décomposition en fractions rationnelles élémentaires selon
1 ^ 2z
K COt/TZ = - + 2^
7 w 2 2
z , z -n
(Comparer avec l'exercice n° 12, chap. 9). En remarquant que K où n cotKz = (gVg)(z) où
g(z) = sinkz, en déduire la représentation
5. Soit k un entier positif et [zn] une suite de nombres complexes telle que I|z„|
Posons
n = 1
(cf. définition 15.7). Que peut-on dire sur la rapidité de croissance de
M(r) = max|/(n?'e)|?
6. Soit / une fonction entière,/(O) * 0 et |/(z)| < exp (\z\p) pour |z| assez grand. On note
{zn} la suite des zéros de / comptés suivant leur ordre de multiplicité. Montrer que
'L\zn\"p~e<°° pour tout e> 0. (Comparer avec la section 15.20).
7. Soit / une fonction entière telle que f(J~n) = 0 pour n = 1, 2, .... Soit a une constante
positive telle que \f(z)\ = exp (|z|a) pour \z\ assez grand. Pour quelles valeurs de a a-t-on
f(z) = 0 pour tout z ? [On considérera sin(;rz2)].
8. Soit {zn} une suite de nombres complexes distincts et non nuls, telle que zn —>00 lorsque
n —» ©o. Soit {mn} une suite de nombres entiers positifs. Soit g une fonction méromorphe sur le
plan complexe, ayant des pôles simples dont les résidus sont mn aux points zn et ne possédant
aucun autre pôle. Si z e {z„}, appelons y(z) un chemin quelconque, allant de 0 à z et qui ne
passe par aucun des points z„. On définit
/(z) = exp|j^*(0£/fj-
Montrer, bien que l'intégrale elle-même en dépende, que/(z) est indépendante du choix de
/(z) et que / est holomorphe dans le complémentaire de {z„}, que / possède une singularité
artificielle en chacun des points zn et que le prolongement de / possède un zéro d'ordre mn en z„.

exercices
365
Par suite, le théorème d'existence contenu dans le théorème 15.9 peut se déduire du théorème
de Mittag-Leffler.
9. Supposons 0<a<letO</J<l. Soient / e H(U), f(U)czU et/(0) = a. Combien de
zéros / peut-elle avoir dans un disque D(0 ; j3) ? Quelle est la réponse dans les cas suivants
(a)«4 P=\; (*)«=}. 0=1;
(c)a=|, P=\; W« = mô> P = T07
10. Pour N= 1, 2, 3, on définit gN(z) = JT ( 1 - ^ ]• Montrer que l'idéal engendré par
la suite {gN} dans l'anneau des fonctions entières n'est pas principal.
11. Sous quelles conditions portant sur une suite de nombres réels yn, existe-t-il une fonction
holomorphe bornée dans le demi-plan ouvert de droite, fonction non identiquement nulle et
ayant un zéro en chacun des points 1 + iyn ? En particulier, ceci peut-il survenir si (a) yn = log n,
(b)yn = J~nAc)yn = nAd)yn = n2l
12. Supposons 0 < | an\ < 1 et I( 1 - | an\ ) < oo. On désigne par B le produit de Blaschke dont
les zéros sont les an. Soit E l'ensemble de tous les points l/â„ et soit Q le complémentaire
de la fermeture de E. Montrer que le produit converge de fait uniformément sur tout sous-
ensemble compact de Q de sorte que B e H(Q) et que B possède un pôle en chaque point de
E. (Ce résultat est particulièrement intéressant lorsque Q est connexe).
13. Prenons cc„ = 1 - n 2 pour n > 1 et définissons le produit de Blaschke dont les zéros
sont aux points an. Montrer que lim B(r) = 0. (Il est entendu que 0 < r < 1).
Plus précisément, montrer que pour aN_,<r<aw,ona l'estimation
'B<->'< nff£<riT^-<2e->
14. Montrer qu'il existe une suite {an} où 0 < an < 1, qui tend vers 1 suffisamment vite pour
que le produit de Blaschke dont les zéros sont les points an puisse satisfaire la condition
lim sup \B(r)\ = 1.
Montrer alors que B n'a pas de limite radiale en z = 1.
15. Soit <p une homographie qui applique U sur U. Pour tout ze U,on définit Y orbite de z selon
(p comme étant l'ensemble {<p„(z)}, où <pQ(z) = z, et <pn(z) = (p(çn-)(z)), n = 1, 2, 3,... On
élimine le cas <p{z) = z.
(a) Pour quelles (p est-il vrai que les orbites selon cp satisfont la condition de Blaschke
£(1 - |pn(z)|)<0°- (La réponse dépend en partie de la localisation des points fixes de (p. Il
peut y avoir soit un point fixe dans soit un point fixe sur 7, soit deux points fixes sur T. Dans
les deux derniers cas, il y a avantage à remplacer le problème par le cas du demi-plan supérieur,
par exemple, et de considérer sur ce demi-plan les homographies qui laissent fixe le point oo
seulement, ou laissent fixes 0 et le point ©o).

366
zéros des fonctions holomorphes
(b) Pour quelles <p existe-t-il une fonction non constante / g //°°, invariante par q>, c'est-à-
dire qui satisfasse f(ç(z)) = f(z) pour tout ze U ?
16. Soient |a,| <|a2| - ••• < 1 et n(r) le nombre de termes dans la suite {a}) tels que
| (Xj\ < r. Montrer que l'on a
fn(r)dr = ]T(l-|a,|).
17. Si B(z) = ECjtZ* est un produit de Blaschke ayant au moins un zéro en dehors de
l'origine, est-il possible d'avoir ck > 0 pour k = 0, 1, 2, ... ?
18. Supposons que B soit un produit de Blaschke dont tous les zéros appartiennent à
l'intervalle ]0, 1[. Posons
f(z) = (z-l)2B(z).
Montrer que la dérivée de / est bornée sur U.
19. On pose f(z) = exp [- (1 +z)/(l-z)]. Avec les notations du théorème 15.19, établir,
quoique f e H°°, l'inégalité
lim ji2</)< W).
r -> 1
On notera le contraste avec le théorème 15.24.
20. Supposons kx > ^ > ... et À„ —> 0 dans le théorème de Mùntz-Szasz. Quelle est la
conclusion du théorème sous ces conditions ?
21. Démontrer un analogue du théorème de Mùntz-Szasz lorsque L2(I) remplace C(/).
22. Définissons fn(t) = î"e~l pour 0 < t < <*> et n = 0, 1, 2, ... Montrer que l'ensemble des
combinaisons linéaires finies des fonctions fn est dense dans l'espace L2 [0, ©o].
Indication : si g g L2[0, °°] est orthogonale à chacune des fonctions fn, et si l'on a
F(z) = fV2 ~g(t)dt (Rez>0),
toutes les dérivées de F s'annulent alors en z = 1. On considérera F(l + /y).
23. Soient *2z> V, f g H(Q), \f(eie)\ > 3 pour tout 6 réel ; /(O) = 0, et A„ A2, A„ les
zéros de l-/dans U, comptés selon leurs multiplicités. Démontrer que
|A] A2 ... XN\ <
Suggestion : Considérer B/(l - f) pour un produit de Blaschke convenable.

notes historiques
367
NOTES HISTORIQUES
La fonction Gamma est le premier succès de la détermination d'une fonction analytique à partir des
valeurs prises en une infinité de points, en l'occurrence l'ensemble des entiers naturels : F(« + 1) = n!. A
partir de 1729, Euler parvenait à exprimer la factorielle d'un nombre entier sous des formes qui ne requièrent
pas une valeur entière pour w. En 1781, il calculait r(n + 1) = I v e~x dx et donc f(z) = \ °v~1 e~x dx,
des pôles apparaissant aux entiers négatifs ; Legendre et Gauss poursuivaient l'étude des relations
fonctionnelles. Disparaissait cependant de la sorte la signification concrète de la fonction factorielle : vers
1860, Betti retrouvait le concret en envisageant le produit infini
prouvant en gros le théorème 15.4, une idée que partageaient Briot et Bouquet, les successeurs français de
Cauchy. Karl Weierstrass, relisant Euler et Gauss, fournissait en 1876 et en utilisant les facteurs primaires,
le théorème de factorisation qui porte son nom (15.10) : il pensait ainsi donner une conclusion (Abschluss) à
la théorie des fonctions univoques ayant un nombre fini de singularités essentielles. C'est d'ailleurs dans cet
article qu'il énonçait le résultat 10.21, que l'on connaît quelquefois sous le nom de théorème de Weierstrass-
Casorati, puisque Casorati l'avait discuté avec Weierstrass dès 1864, l'incluant dans son livre de 1868.
Si Euler en 1743 montrait que la fonction sinz ne possède que les seuls zéros ±nn, où n parcourt les
entiers, et en déduisait le produit infini, Weierstrass prouve que sinz est nécessairement de la forme
le produit infini étant étendu à tous les entiers relatifs à l'exception de 0. Puis en égalant les dérivées secondes
des logarithmes des deux membres de la relation, il montre que e'^ = 1. On peut aussi appliquer, pour
prouver cette réduction, un théorème de Jacques Hadamard sur la croissance des fonctions entières. De nombreux
travaux ont déterminé les conditions de résolution du problème d'interpolation (15.13) selon la classe de
fonctions entières considérées. Il y a ainsi le livre de Emile Borel de 1900, mais aussi des ouvrages plus
récents comme [Boas, 1954, chap. 2], [Saks, Zygmund, 1952, chap. 7], [Titchmarsh, 1939, chap. 8].
La forme prise par le problème de l'interpolation en 15.15, avec l'étude des idéaux de H(Q), relève
d'une tout autre tendance, de nature algébrique, qui tient à David Hilbert.
Le théorème de Weierstrass de 1885 de densité des polynômes dans l'ensemble des fonctions continues
sur un compact de R" muni de la norme de la borne supérieure, sans doute parce qu'il était démontré de
façon contournée, n'a pas été compris tout de suite comme inaugurant un type de recherches qui prendront
le nom d'analyse fonctionnelle et de théorie de l'approximation. Une démonstration se trouve dans [Rudin,
1976, th. 7.26], mais on peut aisément adapter à cette recherche la démonstration du théorème 4.25.
Plusieurs écoles mathématiques se grefferont en tout cas sur ce résultat de Weierstrass. L'une conduisant
à l'étude systématique des espaces de fonctions continues sur un espace compact, et de leurs sous-algèbres
denses (théorème de Stone de 1937, et la même année, résultat de E. Cech), puis l'étude des algèbres
normées (chapitre 17). L'autre voie, tout aussi riche, a été celle de l'approximation des fonctions
continues, tant du point de vue théorique que du point de vue numérique. C'est dans cette voie que Miintz a
donné le théorème 15.26, sous sa forme de condition nécessaire et suffisante. L'année suivante, Szasz en
simplifiait la preuve et ajoutait entre autres la partie (b). Ce résultat est repris dans [Paley, Wiener, 1934,
chap. 2], et la même année en 1943, par P. Erdôs et J.A. Clarkson d'une part, et L. Schwartz d'autre part.
[Gauss, 18131.
K. Weierstrass, Zur théorie der eindeutigen analytischen Funktionen, Abh. kônig. Akad. des Wiss. Berlin,
1876, 11-60 ; trad. fr. E. Picard, Annales Se. Ec. Normale Sup., (2) 8, 111-150, 1879.
RÉFÉRENCES

368
zéros des fonctions holomorphes
F. Casorati, Theorica délie funzioni di variabili complesse, Pavia, 1868.
E. Borel, Leçons sur les fonctions entières, Gauthier-Villars, Paris, 1900.
O. Szasz, Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Agregate von Potenzen, Math.
Annalen, 11, 482-496, 1915-1916.
Ch. H. Muntz, Uber den Approximationssatz von Weierstrass, Math. Abh. H.A. Schwartz gewidmet,
Berlin, 303-312, 1914.
J.A. Clarkson, P. Erdôs, Approximation by polynomials, Duke Math. Journal, 10, 5-11, 1943.
L. Schwartz, Etude des sommes d'exponentielles réelles, Hermann, Paris, 1943, chap. 2. ; Etude des
sommes d'exponentielles, Paris, Hermann, 2e édition, 1959.

CHAPITRE 16
LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE
Dans ce chapitre, nous nous occuperons de problèmes issus de la fréquente possibilité de
prolonger à un domaine plus grand des fonctions définies et holomorphes sur un domaine
donné. Le théorème 10.18 montre que ce prolongement est déterminé de manière unique par la
fonction donnée. Le procédé d'extension est appelé le prolongement analytique. Il conduit de
façon très naturelle à considérer des fonctions définies sur des surfaces de Riemann plutôt que
sur des domaines plans. Cette technique permet de remplacer des « fonctions multivoques »
(comme la racine carrée ou le logarithme) par des fonctions ordinaires. Cependant un traitement
systématique des surfaces de Riemann nous entraînerait trop loin et nous restreindrons l'étude
à des domaines plans.
POINTS RÉGULIERS ET POINTS SINGULIERS
16.1. Définition. — Soient D un disque ouvert, / g H(D), et p un point frontière de D. Le
point P est dit point régulier de / s'il existe un disque Dx de centre P et une fonction g g //(D, )
telle que g (z) =f(z) pour tout z g DnDx. Tout point frontière de D qui n'est pas régulier est
dit point singulier de /.
Il est clair, d'après la définition, que l'ensemble des points réguliers de / est un sous-ensemble
ouvert (qui peut être vide) de la frontière de D.
Dans les théorèmes qui vont suivre, sans perte de généralité nous prendrons pour D le disque
unité U.
16.2. Théorème
Soit / g H(U) dont le développement en série entière
fiz) = 5>Y (ze U) (1)
n = 0
a pour rayon de convergence l'unité. La fonction f possède au moins un point singulier sur le
cercle unité T.
Démonstration. — Supposons, au contraire, que tout point de T soit un point régulier de /.
La compacité de T entraîne qu'il existe des disques ouverts D,, ...,Dn, et des fonctions
gj g H(Dj) telles que le centre de chaque D} soit sur 7, que T cz Dx u ... u D„, et que pour
j = 1,2,gj(z)=f(z) sur DjnU.

370
le prolongement analytique
Si D, n Dj^0 et si = Dt n Dj n U, alors * 0 (puisque les centres des D- sont sur 7),
et g, =/= gj sur VV. Comme D, n Dy est connexe, il résulte du théorème 10.18 que gi = gj sur
D, n D,. Nous pouvons donc définir une fonction h sur Q = £7 u D, u D2 u ... u D„ par
A(z) = {/(° ^ (2)
[g,(z) (ze D,).
Comme 12 z> U et comme 12 est ouvert, il existe e > 0 tel que le disque D(0 ; 1 + £) c /2.
Mais h e H(Q) et h(z) est donnée par la série (1) dans U. Un appel au théorème 10.16 établit
que le rayon de convergence de (1) est au moins 1 + e, contrairement à notre hypothèse.
16.3. Définition. — Si / g H(U) et si tout point de Test un point singulier de /, on dit alors
que Test la.frontière naturelle de /. En ce cas, / ne possède aucun prolongement holomorphe
à un quelconque domaine contenant strictement U.
16.4. Remarque. — Il est très facile de voir qu'il existe une / e H(U) pour laquelle T soit
une frontière naturelle. En fait, si Q est n'importe quel domaine, il est facile de trouver une /
appartenant à H(Q) qui n'a pas de prolongement holomorphe à un domaine plus grand. Pour
voir ceci, soit A un ensemble dénombrable quelconque dans X2 qui n'ait pas de point
d'accumulation dans Q mais tel que tout point frontière de Q soit un point d'accumulation de A.
Appliquons le théorème 15.11 pour obtenir une fonction / g H(Q) nulle en tout point de A, mais
non identiquement nulle. Si g g H(Qx), où Qx est un domaine qui contienne strictement J2, et
si g =/sur £2, les zéros de g auraient un point d'accumulation dans 12,, et nous disposerions donc
d'une contradiction.
Un exemple simple et explicite est donné par
f(z) = = z + z2 + z4 + z8+... (ze u). (D
« = 0
Cette / satisfait l'équation fonctionnelle
f(z2) = /(z)-z, (2)
Il en découle (les détails sont laissés au lecteur) que / est non bornée sur tout rayon de U qui
a pour extrémité exp (2kik 12"), où k et n sont des entiers positifs. Ces points forment un sous-
ensemble dense de T ; et comme l'ensemble des points singuliers de / est fermé, / admet T
pour frontière naturelle.
Ce n'est pas un hasard si cet exemple provient d'un développement en série entière possédant
de larges lacunes (c'est-à-dire ayant beaucoup de coefficients nuls). L'exemple est juste un cas
particulier du théorème 16.6, dû à Hadamard, et que nous déduirons du théorème suivant
d'Ostrowski.
16.5. Théorème
Soient A, pk, et qk des entiers positifs,
P\<Pi<P3< ....
et
Xqk>(l+\)pk (k= 1,2,3,...). (1)
Supposons que la série entière
f(z) = Y^anzn (2)

points réguliers et points singuliers
371
ait pour rayon de convergence l'unité et que an = 0 dès que Pk<n<qk pour un quelconque
entier k. Si sp {z) est la pième somme partielle de (2), et si p est un point régulier de f sur T, la
suite {sPk(z)} converge sur un certain voisinage de p.
On notera que la suite {sp (z)} elle-même ne peut converger en aucun point extérieur à U. La
condition (1) de lacunarité assure donc l'existence d'une sous-suite qui converge dans un
voisinage de j8, donc en des points extérieurs à U. Ce phénomène est appelé surconvergence.
Démonstration. — Avec g(z) =/(/fe), la fonction g satisfait aussi la condition de lacunarité.
Donc, sans perte de généralité, nous pouvons supposer P = 1. La fonction / possède ainsi un
prolongement holomorphe sur un domaine Q contenant U u { 1}. Posons
(p(w) = !(^+^') (3)
et pour tout w tel que <p(w) e 12, définissons F(w) = f((p(w)). Si |w| < 1, mais 1,
puisque |1 +w| < 2, on a |ç>(w)| < 1. De plus, <p(l)= 1. Il en résulte qu'il existe £>0 tel que
<p (D(0 ; 1 + e)) cz 12. On notera que le domaine (p(D(0 ; 1 + e)) contient le point 1. La série
F(w) = £ bm wm (4)
/» = 0
converge si |w| < 1 + e.
La plus grande et la plus petite puissance de w dans [(p(w) ]" ont pour exposants (À + \)n et foi.
Ainsi, d'après (1), le plus grand exposant dans [(p(w)]Pk est inférieur au plus petit exposant de
[<P(w)]**' Comme on a
F(w) = ^aAçWr (M<1), (5)
n = 0
la condition de lacunarité satisfaite par les [an} implique
î«„[<P(w)r= ^ bmwm (* = 1,2,3, ...). (6)
n = 0 m = 0
Pour tout |w| < 1 + £, le membre de droite de (6) converge, quand k —> oo. Donc {sPk(z)}
converge pour tout z g ç(D(0 ; 1 + e)). Ce qui est la conclusion souhaitée.
Remarque : en fait, {sPk(z)} converge uniformément sur un voisinage de p. Le lecteur pourra
le vérifier en examinant au plus près la démonstration précédente.
16.6. Théorème
Soient X un entier positif, [pk} une suite d'entiers positifs telle que
pk^>[\+-^pk (ft= 1,2,3,...), (D
et supposons que la série
f(z) = j^ckzPk (2)
k = 1
ait 1 pour rayon de convergence. T est alors frontière naturelle de la fonction f.
Démonstration. — La sous-suite {sPk} du théorème 16.5 coïncide maintenant (aux répétitions
près) avec la suite complète des sommes partielles de (2). Cette dernière ne peut converger en

372
le prolongement analytique
aucun point extérieur à U ; donc le théorème 16.5 implique qu'aucun point de T ne peut être
régulier pour /.
16.7. Exemple. — Posons an = 1 lorsque n est une puissance de 2, et an = 0 sinon. Posons
T)n = exp(- Jn), et définissons
n = 0
Comme
lim sup|aw7]J1/n =1, (2)
le rayon de convergence de (1) est 1. D'après le théorème d'Hadamard (16.6), / admet T
comme frontière naturelle. Néanmoins, le développement en série de chaque dérivée de /,
/'"OO = 5>(n-l)...(n-*+l)a„77„Z"-\ (3)
n = k
converge uniformément sur le disque unité fermé. Chaqueest donc uniformément continue
sur U, et la restriction de / à T est indéfiniment dérivable en tant que fonction de 6, bien que
T soit la frontière naturelle de /.
De manière tout à fait frappante, cet exemple montre que la présence de singularités, au sens
de la définition 16.1, n'entraîne pas la présence de discontinuités ou (pour parler de façon plus
vague) n'entraîne pas un manque de « régularité ».
Il semble tout naturel de placer ici un théorème pour lequel la continuité exclut l'existence
de singularités.
16.8. Théorème
Soient Q un domaine et L une droite ou un arc de cercle. Supposons que Q-L soit la réunion
de deux domaines Qx et Q2, que f soit continue sur Q, et holomorphe sur Qx et sur La
fonction f est alors holomorphe sur Q.
Démonstration. — L'utilisation des homographies montre qu'il suffit d'envisager le cas où L
est une droite. D'après le théorème de Morera, il suffit de montrer que l'intégrale de / sur la
frontière dA est nulle pour tout triangle A inclus dans Q. Le théorème de Cauchy montre que
l'intégrale de / est nulle sur tout chemin fermé /dans A n Qx, ou dans A n £22. La continuité
de / montre que ce résultat est encore vrai si une partie de /est dans L, et l'intégrale de / sur
dA est la somme d'au plus deux tels termes.
PROLONGEMENT LE LONG D'UNE COURBE
16.9. Définitions. — Un élément fonctionnel est un couple ordonné (f, D), où D désigne un
disque ouvert et /g H(D). Deux éléments fonctionnels (fQ, D0) et (f{, D,) sont des
prolongements directs l'un de l'autre si les deux conditions suivantes sont vérifiées : DQ n Dx * 0, et
fQ(z) =f (z) pour tout z g D0 n Dx. Dans ce cas nous écrivons
(/o.A,)~(/„D,). (D
Une chaîne est une suite finie ^ de disques, disons ^ = {£>0, D,,D„}, telle que
Di_x n D, * 0 pour i = 1, n. Si (fQ, D0) est donné et s'il existe des éléments (£, D,.) tels que

prolongement le long d'une courbe
373
(//-i» A-i) ~ (/» A) pour i=l,...,/i, alors (fn,Dn) est dit prolongement analytique de
(fQ, D0) le long de On remarquera que/„ est déterminée de manière unique par/0 et ^(si le
prolongement existe). Pour le voir, supposons (1) vérifiée, et supposons (1) aussi vérifiée avec
g, à la place de /,. Alors g, =/0 =/, sur DQ n D, ; et comme D, est connexe, on a g, =/2 sur Dx.
L'unicité de/n se démontre alors par récurrence sur le nombre de termes de
Si (/„, Dn ) est le prolongement de (f0, D0) le long de % et si Dnn D0 * 0, il n'est pas
obligatoirement vrai que (/0, D0) ~ (/„, D„) ; en d'autres termes, la relation ~ n'est pas transitive.
L'exemple le plus simple de ce comportement est fourni par la fonction racine carrée : soient
D0, D, et D2 des disques de rayon 1, de centres 1, y, /, où / = 1. Choisissons f e H(Dj) de
telle sorte que fj = z et que (/0, DQ) - (/,, Dx) et (/,, D,) ~ (/2, D2). Sur D0 n D2 on a
fi = -fo*U
Par définition, une chaîne ^= {D0,Dn} recouvre une courbe /dont l'intervalle du
paramétrage est [0, 1] s'il existe des nombres 0 = sQ < s, < ... < sn = 1 tels que y(0) soit le centre de
D0, 7(1) soit le centre de Dn, et
7(bf,5l + 1])cD, (i = 0,...,,i-1). (2)
Si (/0, D0) peut être prolongé le long de (fn, Dn ), on appelle (fn, Dn ) un prolongement
analytique de (f0, D0) le long de /(l'unicité sera prouvée avec le théorème 16.11) ; on dit alors que
(/0, DQ) admet un prolongement analytique le long de y.
Bien que la relation (1) ne soit pas transitive, elle vérifie une forme restreinte de transitivité.
Elle donne la clé du théorème 16.11.
16.10. Proposition. — Supposons D0nDxnD2* 0, (D0, /0) ~ (D,, /,), et (D,, /, ) ~
(D2, /2). En ce cas, (D0, /0) ~ (D2, /2).
Démonstration. — Par hypothèse,/0 =/, dans D0 n D, et/, =/2 dans Dx n D2. Donc/0 = f2
dans l'ouvert non vide DonDyn D2. Comme/0 et/2 sont holomorphes sur DQ n D2 et que
DQ n D2 est connexe, il en résulte quefQ =/2 sur D0 n D2.
16.11. Théorème
Si (f, D) est un élément fonctionnel et si y est une courbe qui commence au centre de D,
Vêlement (fi D) admet au plus un prolongement analytique le long de y.
Voici un énoncé plus explicite de ce qu'affirme le théorème : si la courbe y est recouverte
par les chaînes^, = {A0, A,,AJ et% = {B0,Bxy ...,£J, oùA0 = fl0 = D, si if, D) peut être
prolongé analytiquement le long de en un élément fonctionnel (g„, An) et si (f, D) peut être
analytiquement prolongé le long de % en (hn, Bn), alors gm = hn sur Am n Bn.
Comme, par hypothèse, Am et Bn sont des disques de même centre y(l), il en résulte que gm
et hn ont le même développement en série en puissances de z - y(l), et nous pouvons aussi bien
remplacer Am et Bn par le plus grand des deux. Avec cette convention, la conclusion est : gm = hn.
Démonstration. — Soient S^, et % comme ci-dessus. Il existe des nombres
0 = s0<sx < ...<sm = 1 = sm+x
et 0 = a0<ax< ...<cn = 1 = cr„+, tels que
y(k,5l+I])cA,, y([o>cr, + 1])c£„ (0 < i < m, 0 < j < n) (D
Il existe des éléments fonctionnels (g„ A,) ~ (gJ + „ Al +,) et (hj9 Bj) ~ (hj+], Bj+i), pour
0 < i < m - 1 et 0 <j < n - 1. Ici g0 = h0 =/.

374
le prolongement analytique
Nous prétendons que si 0<i<m et 0<j<n, et si [s{, si+l] rencontre [o), 0)+i], on a
(g,. A,)-(/*,, By).
Supposons qu'il existe des couples (/, 7) pour lesquels ceci serait faux. L'un d'entre eux
réalise un minimum pour 1 + y. On a évidemment i +y > 0. Supposons 5,. > cr. On a / > 1, et
comme [s,, rencontre [a,-, oj+1], on constate
Y(Sj)e A,-_, nAinBj. (2)
La minimalité de i+y montre (g,_ „ A,_ 1) ~ (hj, Bj) ; et comme (g,_,, A,-_ 0 - (g„ A,), la
proposition 16.10 entraîne (g,, A,) - (hj, Bj). Ce qui contredit notre hypothèse. L'hypothèse
st < Oj est exclue de la même manière.
Ainsi notre affirmation est établie. En particulier, elle est valable pour le couple (m, n), et
c'est ce qu'il fallait démontrer.
16.12. Définition. — Soient a et p des points d'un espace topologique X et (p une application
continue du carré unité I2 = 7x7 (où 7 = [0, 1]) dans X, telle que (p(0, t) = a et <p(l, t) = j3 pour
tout r e 7. On dit que les courbes yt définies par
y, (s) = <P(M) (Je 7,fe 7) (1)
forment une famille de courbes {yx} à paramètre de a à fi dans X.
Nous parvenons à une propriété très importante du prolongement analytique :
16.13. Théorème
Supposons que {yt}(0<t< 1) soit une famille de courbes à un paramètre de a à p, que
D soit un disque de centre a, et que Vêlement fonctionnel (f,D) admette un prolongement
analytique le long de chaque y, en un élément (g„ Dt). On a g, = go-
La dernière égalité doit être interprétée comme au théorème 16.11 :
<Si,/>i)~(So. A)),
et D0 et Dx sont des disques de même centre à savoir p.
Démonstration. — Fixons t g 7. Il existe une chaîne ^ = {A0, An} qui recouvre y,, avec
A0 = D, et telle que (g,, Dt) soit obtenue comme prolongement analytique de (/, D) le long
de Il existe des nombres 0 = s0 < ... < sn = 1 tels que
Ei = fldj,, j,+ i])cA, (/ = 0,1,..., ,2-1). (1)
Il existe e> 0, inférieur à la distance d'un quelconque des compacts Et au complémentaire du
disque ouvert correspondant A,. La continuité uniforme de q> sur 72 (voir la définition 16.12)
montre qu'il existe S> 0 tel que
\ït(s)-yu(s)\<e si sel, ue I, \u-t\<8. (2)
Supposons que u satisfasse ces conditions. La relation (2) montre que °& recouvre yu et par
conséquent le théorème 16.11 montre que g, et gu sont toute deux obtenues par prolongement
de (/, D) le long de cette même chaîne Donc g, = gu.
Ainsi, chaque tel est recouvert par un segment J, tel que gu = g, pour tout ue InJt.
Comme 7 est compact, 7 est recouvert par un nombre fini de J, ; et comme 7 est connexe, on
voit en un nombre fini d'étapes que gx = g0.
La rubrique suivante fournit un fait topologique intuitivement évident.

le théorème de monodromie
375
16.14. Théorème
Soient T0 et T, deux courbes dans un espace topologique X, de point initial commun a et
de point final commun p. Lorsque X est simplement connexe, il existe une famille de courbes
{/,} à un paramètre (0 < t < 1) de a à P dans X telle que y0 = T0 et yx = T,.
Démonstration. — Soit [0, k] l'intervalle du paramétrage de T0 et T,. La définition
|ro(,) (o<s<k) (1)
[^(2*-*) (k<s<2n),
est celle d'une courbe fermée dans X. Cet espace X étant simplement connexe, T est homotope
à 0 dans X. Il existe donc une fonction continue H : [0, 2tt] x [0, 1] —> X telle que
H(s,0) = r(s), H(s,\) = es X, H(0,t) = H(2n,t). (2)
Si 0 : U —> X est définie par
&(reiQ) = H(Q, 1-r) (0 < r < 1, 0 < Q< 2k),
les relations (2) montrent que O est continue. On pose
y (0) = 0[(\/-t)eie+te~iQ] (0<0<k,0<t<\).
Puisque ®(e*) = H(9,0) = r(0), il vient
7,(0) =0(1) = T(0)= a (0<r<l),
7, (n) = <2>(-l) = r(/r) = P (0<r<l),
7o(0) =<2>(e,e) = r(6)= r0(0) (0<6<k),
et
7, (0) =tf>(e-'e) =0(^/{2;r-0)) = r(2/r-0)= r,(0) (O<0<;r).
Ce qui termine la démonstration.
LE THÉORÈME DE MONODROMIE
Les considérations précédentes ont prouvé pour l'essentiel le théorème suivant
16.15. Théorème
Soient 12 un domaine simplement connexe, (/, D) un élément fonctionnel, D cz Q, (f, D)
pouvant être analytiquement prolongé sur toute courbe dans £2 qui débute au centre de D. //
existe g e H(Q) pour laquelle g(z) = f(z) pour tout z g D.
Démonstration. — Soient T0 et T, deux courbes dans £2, partant du centre a de D et
aboutissant à un certain point Pe Q. Des théorèmes 16.13 et 16.14, on déduit que le prolongement
analytique de (f,D) le long de r0 et de rx conduit au même élément fonctionnel ( gp, Dp), où
Dp est un disque de centre p.
Si Dp rencontre Dp, on peut alors obtenir (gp9 Dp ) en prolongeant d'abord (/, D) à j3,
puis selon la ligne droite de P à /},. Ce qui montre gp = gp sur Dp n Dp.
U y a cohérence de la définition
g(z) = gp(z) (ze Dp),
ce qui fournit le prolongement holomorphe souhaité pour /.

376
le prolongement analytique
16.16. Remarque. — Soient il un domaine plan, w g £2 et D un disque dans Q. Puisque
D est simplement connexe, il existe /e H(D) et exp [/(z)] = z-h>. On notera que
f(z) = (z-w)1 sur D, et que cette dernière fonction est holomorphe sur tout X2. Ce qui
montre que (/, D) peut se prolonger analytiquement le long de tout chemin y dans Q dont le
point initial est le centre a de D : si y va de a à /?, si Dp = D(fi\ r)czQ, si
r, = 7+tAz] (zeD,) (D
et si
= f +/(a) (zeD,), (2)
l'élément (gp.Dp) est un prolongement de (/, D) selon y.
On notera que g'p(z) = (z-vv)-1 sur D^.
Supposons alors qu'existe g e 77(J2) telle que /(z) = g(z) sur D. On a g'(z) = (z - vv)'1
pour tout z de £2. Si F est un chemin fermé dans Q, on en déduit
Indr(w) =^-l g\z)dz= 0. (3)
On conclut, à l'aide du théorème 13.11, que le théorème de monodromie fait défaut dans tout
domaine plan non simplement connexe.
CONSTRUCTION D'UNE FONCTION MODULAIRE
16.17. Le groupe modulaire. — C'est l'ensemble G des homographies cp de la forme
cz + d
où a, b, c, et d sont des entiers tels que ad-bc = 1.
Comme a, b, c, et d sont réels, chaque (pe G applique l'axe réel sur lui-même (excepté
pour oo). La partie imaginaire de <p(i) est (c2 + d1) 1 > 0. Donc si J7+ est le demi-plan
supérieur ouvert,
<p(/7+) = /T ((pe G), (2)
Si (p est donnée par (1), on a
-i, x dw-b
(p (w) = — , (3)
-cw + a WJ
de sorte que ç~le G. De même (po y/e G si (pe G et y/e G.
Ainsi, G est un groupe pour la loi de composition des applications. Tenant compte de (2), on
visualise habituellement G comme un groupe de transformations sur 77+.
Les transformations z -> z + 1 (a = b = d = 1, c = 0) et z -» -1/z (fl = d = 0, = -1,
c = 1) appartiennent à G. En fait, elles engendrent G (c'est-à-dire qu'il n'existe pas de sous-
groupe propre de G qui contienne ces deux transformations). On peut le démontrer par la même
méthode que celle qui sera utilisée pour le théorème 16.19 (c).
Une fonction modulaire est une fonction holomorphe (ou méromorphe) / sur 77+ qui est
invariante sous l'action de G, ou au moins celle d'un sous-groupe non trivial F de G. Ceci signifie
que / o q> = / pour toute (pe T.

construction d'une fonction modulaire
377
16.18. Un sous-groupe. — Nous prendrons pour F le groupe engendré par o et t, où
o(z) = ^-p t(z) = z + 2. (0
Un de nos objectifs est la construction d'une certaine fonction À qui soit invariante sous
l'action de F et qui conduise à une démonstration rapide du théorème de Picard. En fait, ce
sont les propriétés de l'application À qui sont importantes dans cette démonstration, et non son
invariance, et on peut donner une construction plus rapide (utilisant seulement le théorème de
l'application conforme de Riemann et le principe de réflexion). Mais il est instructif d'étudier
en termes géométriques l'action de F sur TJ+ et nous suivrons cette voie.
Soit Q l'ensemble des z où z = x + iy, qui satisfont les quatre conditions suivantes :
y>0, -1<*<1, |2z+l|>l, |2z-l|>l. (2)
Q est limité par les verticales x = -1 et jc = 1 et par deux demi-cercles de rayon 1/2, de
centres -1/2 et 1/2. L'ensemble Q contient ceux de ses points frontière qui appartiennent à la
moitié gauche de /7+. Q ne contient pas de point de l'axe réel.
Nous prétendons que Q est un domaine fondamental de F. Cette expression signifie que les
énoncés (a) et (b) du théorème suivant sont vrais.
16.19. Théorème
Soient r et Q comme ci-dessus.
(a) Si (px et (p2e F et si q>{ ± (p2, on a (P\(Q) n q>2(Q) = 0.
(b) u (P(Q) = n\
<pe r
(c) F contient toutes les homographies (pe G de la forme.
, x az + b (\)
cz + d
pour lesquelles a et d sont des entiers impairs, b et c des entiers pairs.
Démonstration. — Soit Ft l'ensemble des (pe G décrites en (c). Il est aisé de vérifier que
F, est un sous-groupe de G. Comme ce F, et t g F„ il en résulte Fez F,. Pour montrer que
F = F,, c'est-à-dire pour démontrer (c), il suffit de démontrer (af) et (b), où (a') est l'énoncé
obtenu en remplaçant F par F, dans (a). Car si (a') et (b) sont vrais, il est clair que F ne peut
être un sous-ensemble propre de F,.
Nous aurons besoin de la relation
lm <piz) = JîLL- (2)
\cz + d\
qui est valable pour toute (pe G donnée par (1). La démonstration de (2) n'est qu'une affaire
de calcul direct, et repose sur la relation ad-bc- 1.
Démontrons maintenant (a '). Supposons et (p2e F,, ç>, * (p2 et définissons q> = ç~\ o (p2.
Si ze (P](Q) n (p2(Q), on a q>~\ (z)e Qn (p(Q). Il suffit donc de montrer, si (pe TY et si (p
n'est pas la transformation identité, que
Qn(p(Q) = 0. (3)
La démonstration de (3) se répartit en trois cas
Si c = 0 dans (1), on a ad= 1, et comme a et d sont entiers, on a a = d = ±\. Donc
(p(z) = z + 2n pour un entier n / 0, et la description de Q rend évidente la relation (3).

378
le prolongement analytique
Si c = 2d, on a c = ± 2 et d = ± 1 (car ab - dc = 1 ). Ainsi <p(z) = <r(z) + 2m, où m est un entier.
De ce que o(Q) c 25q, 0 on déduit (3).
Si c * 0 et c*2d, nous prétendons que |cz + d| > 1 pour tout ze Q. Sinon, le disque
D\- -, r-r ] intersecterait La description de <2 montre que si a * - ^ est un nombre réel tel
V c \c\J 2
que si D (a ; r) intersecte Q, au moins l'un des points -1,0, 1 appartient à D (a ; r). De sorte
que \cw + d\<l lorsque w = -1, w = 0, ou w= 1. Pour de tels w, cw + d est un entier impair
dont la valeur absolue ne peut être moindre que l'unité. De sorte que \cz + d\> \ et il résulte
maintenant de (2) que Im (p(z) < Im z pour tout ze Q. S'il était vrai que pour un z g Q, on ait
(p(z) e le même raisonnement s'appliquerait à <p~1 et montrerait
Imz = Im<p-,(<p(z))<Im<p(z). (4)
Cette contradiction démontre (3).
De sorte que (a ') est prouvée.
Pour démontrer (fc), soit z la réunion des ensembles (p(Q), pour (pe T. Il est clair que
s cz 77+. De plus, s contient les ensembles f (0, pour n - 0, ± 1, ±2, ... où r"(z) = z + 2n.
Comme o envoie le cercle |2z + 1| = 1 sur le cercle |2z - 1| = 1, on voit que z contient tout
z g TI+ qui satisfait chacune des inégalités
|2z-(2ro+l)|>l (m = 0,±l,±2, ...). (5)
Fixons w g 77+. Comme Im w > 0, il n'existe qu'un nombre fini de couples d'entiers c et d
tels que \cw + d\ soit inférieur à une borne donnée à l'avance, et nous pouvons choisir (p0e T
telle que \cw + d\ soit minimum. D'après (2), ceci signifie que
Im<p(w)<Imp0(w) ((pe T). (6)
Posons z = (p0 (w). Dans ce cas (6) devient
Im<p(z)<Imz ((pe r)- (7)
Appliquons (7) à (p - ox~n et à (p - a~ T~". Comme
= 2^tt <*-,T->w = --iSërr (8)
il résulte de (2) et de (7) que
|2z-4«+1| > 1, |2z-4n-l|>l, (n = 0, ±1, ±2, ...). (9)
Ainsi z satisfait (5), donc z g Z ; et comme w = (pô\z) et <Po 1 e r on a w e I.
Ceci achève la démonstration.
Le théorème suivant résume quelques-unes des propriétés de la fonction modulaire À qui a
été mentionnée à la section 16.18 et qui sera utilisée pour le théorème 16.22.
16.20. Théorème
Si r ei Q sont comme décrits à la section 16.18, il existe une fonction Xe H(TI*) telle que
(a) Xo (p = Xpour tout (pe T.

le théorème de picard
379
(b) A est injective sur Q.
(c) L'image Q de À, (qui est la même que A(Q), d'après (a)), est le domaine formé par tous
les nombres complexes différents de 0 et de 1.
(d) Xa l'axe réel comme frontière naturelle.
Démonstration. — Soit QQ la moitié droite de Q. Plus précisément, QQ comprend tous les
ze II* tels que
0<Rez<l, |2z-l|>l. (1)
D'après le théorème 14.19 (et les remarques 14.20), il existe une fonction continue h sur QQ
qui est injective sur Q0, holomorphe sur QQy et telle que h(QQ) = n+y h(0) = 0> h(l)= 1 et
h(oo) = oo. Le principe de réflexion (théorème 11.17) montre que la formule
h(-x + iy) = h(x + iy) (2)
prolonge h en une fonction continue sur la fermeture Q de Q ; c'est une application conforme
de l'intérieur de Q sur le plan complexe diminué de l'axe réel non négatif. On voit aussi que h
est injective sur g, que h (Q) est le domaine £2 décrit en (c), que
h(- l+i» = h(\ +i» = h(T(- 1 +») (0<y<oo), (3)
et que
Comme la fonction h est réelle sur la frontière de Q, (3) et (4) se déduisent de (2) et des
définitions de o et r.
Définissons maintenant la fonction A :
A(z) = h((p\z)) (ze (p(Q),(pe r). (5)
D'après le théorème 16.19, tout z e 77+ appartient à (p(Q) pour une et une seule (pe T. Ainsi
(5) définit A(z) pour ze /7+, et l'on voit immédiatement que A possède les propriétés (a) à (c),
et que A est holomorphe sur l'intérieur de chacun des ensembles (p(Q).
Il résulte de (3) et de (4) que A est continue sur Q u r \Q) u <j1(Q), donc sur un ouvert v
qui contient Q. Le théorème 16.8 montre maintenant que A est holomorphe sur V. Comme /7+
est recouvert par la réunion des ensembles (p(V), (pe T, et comme Ao (p = A, on en conclut
Ae H(FI*).
Enfin, l'ensemble des nombres q> (0) = bld est dense sur l'axe réel. Si A pouvait être
prolongée analytiquement sur un domaine contenant strictement /7\ les zéros de A auraient un point
d'accumulation dans cette région, ce qui est impossible puisque A n'est pas constante.
LE THÉORÈME DE PICARD
16.21. Ce que l'on appelle le « petit théorème de Picard » affirme que toute fonction entière
qui n'est pas constante prend toute valeur, sauf peut-être une. Tel est le théorème démontré ci-
dessous. Il en existe une version plus forte : toute fonction entière qui n'est pas un polynôme
atteint chaque valeur une infinité de fois, avec de nouveau une exception possible. L'exemple
f(z) = exp(z), qui ne prend pas la valeur 0, montre qu'une telle exception peut se produire.
Ce dernier théorème est en fait vrai sous forme locale. Si f a une singularité isolée en un point
z et si f ne prend pas deux valeurs dans un voisinage donné de z, z est alors une singularité

380
le prolongement analytique
artificielle ou un pôle de f. Appelé « grand théorème de Picard », il s'agit d'une amélioration
remarquable du théorème de Weierstrass (théorème 10.21) qui affirme simplement que l'image
de tout voisinage de z0 est dense dans le plan si / possède une singularité essentielle en Zq. Nous
ne le démontrerons pas ici.
16.22. Théorème
Une fonction entière f telle qu'il existe deux nombres complexes distincts a et /J qui
n'appartiennent pas à l'image de f est une constante.
Démonstration. — Sans perte de généralité, nous supposons a = 0 et j3 = 1 ; sinon, on
remplace / par (f - ex)/(fi - a). En sorte que / transforme le plan en le domaine Q décrit au
théorème 16.20.
À tout disque D, cz Q est associé un domaine V! cz TI* (en fait, il y a une infinité de tels
domaines V,, un pour chaque (p e r) tel que A soit injective sur V, et que X(VX) = Dx. Chacun
de ces V, rencontre au plus deux des domaines <p(Q). Correspondant à chaque choix de V,, il
existe une fonction y/x g H(Dx) telle que y/x (Az) = z pour tout z e VV
Si D2 est un autre disque inclus dans 12, et si Dxr\D2 = 0, on peut choisir un domaine
correspondant V2 tel que V, n V2*0. Les éléments fonctionnels (\j/x,Dx) et (y/2,D2) seront
alors des prolongements analytiques directs l'un de l'autre. On remarquera que yfj(Dj) cz n*.
Comme l'image de / est incluse dans 12, il existe un disque A0 de centre 0 tel que/(A0) soit
inclus dans un disque D0 lui-même inclus dans 12. Choisissons y/0 g H(D0) comme ci-dessus
et posons g(z) = %(f(z)) pour z e A0. Soit / une courbe quelconque du plan qui parte de 0.
L'image de/o y est un sous-ensemble compact de 12. Donc / peut être recouverte par une
chaîne de disques A0, An, en sorte que chaque (A,) soit inclus dans un disque Di inclus dans
Q, et l'on peut choisir \fft g H(Dt) de sorte que (y/;, D) soit un prolongement analytique direct
de (y._ Dt_,), pour i = 1, Ceci donne un prolongement analytique de l'élément
fonctionnel (g, A0) le long de la chaîne {A0, AJ ; on remarquera que y/nofa. une partie imaginaire
positive.
Comme (g, A0) admet un prolongement analytique selon n'importe quelle courbe du plan et
comme le plan est simplement connexe, le théorème de monodromie entraîne que g se prolonge
en une fonction entière. De plus, l'image de g est incluse dans 77+. Ainsi (g-i)/(g + i) est
bornée, donc constante d'après le théorème de Liouville. Ceci montre que g est constante, et
comme y/0 était injective sur/(A0) et que A0 était un ouvert non vide, on en conclut que / est
constante.
EXERCICES
1. Supposons/(z) = S anz, an > 0, avec un rayon de convergence de la série égal à 1. Démontrer
que / possède une singularité en z = 1. Indication : développer / suivant les puissances de
z - 1/2. Si 1 était un point régulier de /, la nouvelle série convergerait en un x > 1.
Qu'impliquerait ceci pour la série initiale ?
2. Soient (/, D) et (g, D) deux éléments fonctionnels, P un polynôme à deux variables, et
P(f> g) = 0 sur D. Supposons que / et g puissent être prolongées analytiquement le long d'une
courbe /respectivement en/, et g,. Démontrer que P (fx, g,) = 0. Étendre ce résultat à plus de

exercices
381
deux fonctions. Existe-t-il un tel théorème pour une classe de fonctions dépassant la classe des
polynômes ?
3. Soit fl un domaine simplement connexe, et u une fonction réelle harmonique sur fl.
Démontrer qu'il existe une / e H(£2) telle que u = Re/. Montrer que ceci est en défaut dans
tout domaine qui n'est pas simplement connexe.
4. Soit X le carré unité fermé dans le plan, / une fonction complexe continue sur X n'ayant
pas de zéro sur X. Démontrer qu'il existe une fonction g continue sur X telle que/= exp (g).
Pour quelles classes d'ensembles X (autres que le carré ci-dessus) ceci est-il encore vrai ?
5. Démontrer que les transformations z —» z + 1 et z —» - - engendrent tout le groupe
modulaire G. Soit R l'ensemble des z = x + iy tels que |jc| < 1/2, y > 0, et |z| > 1, plus les points
d'accumulation pour lesquels jc < 0. Démontrer que R est un domaine fondamental de G.
6. Démontrer que G est également engendré par les transformations (p et y/, où
/x 1 /x z-\
<p(z) = --' y/(z) = —— •
Montrer que cp a pour période 2, et que y/ a pour période 3.
7. Trouver la relation entre la composition des homographies et la multiplication des
matrices. Essayer d'utiliser ceci pour construire une démonstration algébrique du théorème 16.19 (c)
ou de la première partie de l'exercice 5.
8. Soit E un compact de l'axe réel, dont la mesure de Lebesgue soit positive, et soit 12 le
complémentaire de E dans le plan. Définissons
f(z) = f t^- (ze fl).
Répondre aux questions suivantes :
(a) f est-elle constante ?
(b) f peut-elle être prolongée en une fonction entière ?
(c) zf(z) a-t-elle une limite quand z tend vers l'infini ? Si oui, quelle est-elle ?
(d) f possède-t-elle une racine carrée holomorphe sur fl ?
(e) La partie réelle de / est-elle bornée sur fl ?
(/) La partie imaginaire de / est-elle bornée sur fl ?
[Si la réponse est oui dans (e) ou (/), donner une borne.]
(g) Que vaut J/(z) dz lorsque y est un cercle orienté positivement contenant E en son
r
intérieur ?
(h) Existe-t-il une fonction holomorphe bornée (p dans fl qui ne soit pas constante ?
9. Vérifier vos réponses à l'exercice 8 sur le cas particulier
E = [-1,1].

382
le prolongement analytique
10. Appelons artificiel un compact E du plan s'il n'existe pas de fonction holomorphe bornée
non constante sur le complémentaire de E.
(a) Démontrer que tout ensemble dénombrable est artificiel.
(b) Si E est un compact de l'axe réel, et si m(E) = 0 ; démontrer que E est artificiel.
(Indication : E peut être entouré par des courbes de longueur totale arbitrairement petite.
Appliquer la formule de Cauchy, comme à l'exercice 25 du chapitre 10)
(c) Supposons E artificiel, £2 un domaine, Ecz£2, f e H(£2- E), et / bornée. Démontrer que
/ peut être prolongée en une fonction holomorphe sur £2.
(d) Formuler et démontrer une proposition analogue à la partie (b) pour des ensembles E qui
n'appartiennent plus nécessairement à l'axe réel.
(e) Démontrer qu'aucun sous-ensemble compact connexe du plan (ayant plus d'un point)
n'est artificiel.
11. Pour tout nombre positif oc, soit ra le chemin dont l'intervalle du paramétrage est ]-<*>, +<*>[,
défini par
t-ni (-oo <t<-a),
ra(t)
Kit , ^ ^ x
a + — (-cc<t< a),
a
t + ni (a<t<oo).
Soit Qa, la composante connexe du complémentaire de T* qui contient l'origine, et définissons
2m J w - z
ra
Démontrer que/^ est un prolongement analytique de/a si a< p. Démontrer qu'il existe donc
une fonction entière / dont la restriction à £2a est/a. Démontrer que pour tout e'9* 1.
\imf(rei9) = 0.
r —» oo
(Ici, comme d'habitude, r est positif et 0 réel). Démontrer que / n'est pas constante.
[Indication : considérer /(r).] Si
g = f exp(-/),
démontrer que pour tout e9
\img(re,e) = 0.
r —» oo
Montrer qu'il existe une fonction entière h telle que
fl si z = 0,
hmn(nz) - {
0 si z±0.
12. Supposons
Trouver les domaines sur lesquels convergent les deux séries. Montrer que ceci illustre le
théorème 16.5. Trouver le point singulier de / qui soit le plus proche de l'origine.

notes historiques
383
13. Soit fl = [z ; - < |z | < 2. Pour « = 1, 2, 3 soit Xn l'ensemble de toutes les / e /7(fl)
qui sont dérivées n-ièmes d'une fonction g e //(fl). (En d'autres termes, Xn est l'image de //(fl)
par l'opérateur différentiel D").
(a) Montrer que /g X, si et seulement si jf(z) dz = 0, où y est le cercle unité orienté
positivement, y
(b) Montrer que / g Xn pour tout n si et seulement si / est prolongeable en une fonction
holomorphe sur D (0 ; 2).
14. Soient fl un domaine, p g fl, R < «>. Soit ¥ la famille de toutes les fonctions / g //(fl)
telles que \f(p) \ ^ /?,/(fl) ne contenant ni 0, ni 1. Montrer que ^est une famille normale.
15. Montrer comment le théorème 16.2 peut conduire à une démonstration très simple d'un
cas particulier du théorème de monodromie (16.15), lorsque fl et D sont des disques
concentriques. En conjuguant ce cas particulier au théorème de Riemann de l'application conforme,
démontrer le théorème 16.15 sous la forme générale qui est celle énoncée.
NOTES HISTORIQUES
Le prolongement analytique d'une fonction d'une variable complexe est une notion utilisée très tôt ;
Gauss en jouait déjà pour la fonction Gamma. Weierstrass est indéniablement celui qui posa avec rigueur
les règles d'une théorie. Différentes familles d'espaces compacts artificiels (exercice 10) sont discutées
dans un article de Ahlfors et Beurling. Le théorème de monodromie résulte d'une réflexion qui est
essentiellement d'ordre topologique ; la présente démonstration a été conçue pour pouvoir s'appliquer sans
changement au cas des fonctions de plusieurs variables complexes. Une démonstration plus simple joue
du fait qu'un domaine plan simplement connexe est homéomorphe à un convexe (en fait au disque
unité U). En dimension supérieure cependant, existent des domaines ouverts simplement connexes qui ne
sont pas homéomorphes à un convexe.
Par leur signification géométrique, les surfaces de Riemann ont constitué une théorie rivale en
quelque sorte de la théorie des fonctions de Weierstrass. Quoiqu'elle date en première édition de 1913,
la référence classique pour ces surfaces est [Weyl, 1964]. Il existe de nombreuses autres références,
[Ahlfors, 1978, chap. 6], [Hille, 1962, chap. 10], [Saks, Zygmund, 1952, chap. 6] et [Titchmarsh, 1939,
chap. 8].
Le comportement des séries de Taylor lacunaires a depuis longtemps fait l'objet d'études, car ces séries
donnent des contre-exemples à des comportements réguliers trop facilement acceptés comme naturels pour
les fonctions holomorphes (voir la remarque 16.4). Jacques Hadamard lançait le genre en 1898 ; la
démonstration du théorème de Hadamard est ici donnée à partir d'un théorème d'Ostrowski qu'il publia
en 1926. Un bilan de ces séries lacunaires est dressé par J.P. Kahane en 1964.
Après une série de notes en suédois, Mittag-Leffler qui avait suivi les cours de Weierstrass à Berlin
en 1875, proposa en 1884 une démonstration de l'existence d'une fonction méromorphe dont les parties
principales sont prescrites (théorème 13.10). Le cas d'une singularité essentielle paraissait réglé par le
théorème de Weierstrass-Casorati (théorème 10.21 (c)), jusqu'à ce qu'intervienne un mathématicien de
vingt-trois ans, Emile Picard. Dans une note aux Comptes-rendus de VAcadémie des sciences de Paris,
utilisant des propriétés techniques des fonctions elliptiques modulaires, il montrait qu'une fonction
entière non constante évite au plus une valeur dans le plan complexe. L'année suivante, il montrait que

384
le prolongement analytique
s'il y a au moins deux valeurs distinctes qui ne sont prises qu'un nombre fini de fois, la fonction entière
est nécessairement un polynôme, et une fonction méromorphe évitant trois valeurs complexes est une
constante. Emile Borel donnait en 1896 une démonstration plus simple du théorème de Picard, puis
Edmund Landau en 1904. Mais Constantin Carathéodory faisait voir l'année suivante que la fonction
modulaire dont il avait fait l'économie était pourtant celle qui minimisait le problème extrémal envisagé
par Landau. André Bloch prouvait en 1924 l'existence d'une constante c telle qu'une fonction
holomorphe sur le disque unité, avec |/'(0)l > 1, a une image contenant le disque D(0 ; c). On trouve une
démonstration du « grand théorème de Picard » au moyen des fonctions modulaires dans R. Nevanlina
et [Carathéodory, 1954]. Des preuves dites élémentaires sont dans [Titchmarsh, 1939, pp. 277-284] et
dans [Saks, Zygmund, 1952, chap. 7].
Les fonctions modulaires ont une histoire riche. Voir pour une présentation de la théorie, [Hille, 1962,
chap. 13], [Saks, Zygmund, 1952, chap. 29], et [Carathéodory, 1954, partie 7].
RÉFÉRENCES
G. Mittag-Leffler, Sur la représentation analytique des fonctions monogènes..., Acta Math., 4, 1-79, 1884.
E. Picard, Sur une propriété des fonctions entières, Comptes rendus Acad. Se. Paris, 88, 1024-1027, 1879.
A. Ostrowski, On représentation of analytical functions by power séries, Journal of the London Math.
Soc, 1, 251-263, 1926.
Ahlfors, Beurling, Conformai invariants and function-theoretic null-sets, Acta Math., 83,101-129, 1950.
J.P. Kahane, Lacunary Taylor séries and Fourier séries, Bull. Amer. Math. Soc, 70, 199-213, 1964.

CHAPITRE 17
ESPACES Hp
Ce chapitre est consacré à l'étude de certains sous-espaces de H(U) définis par certaines
conditions de croissance ; tous, en fait, sont inclus dans la classe N qui a été définie au chapitre 15. Ces
espaces Hp (ainsi dénommés en référence à G. H. Hardy) ont un grand nombre de propriétés
intéressantes, en ce qui concerne les problèmes de factorisation, les valeurs frontières et les
représentations du type de Cauchy à partir de mesures sur la frontière de U. Nous fournirons seulement
quelques réussites remarquables, comme le théorème de F. et M. Riesz, sur les mesures ji dont
les coefficients de Fourier fi(n) s'annulent pour n < 0, la classification de Beurling des espaces
invariants de H2 et enfin le théorème de M. Riesz sur les fonctions conjuguées.
Pour aborder le sujet, il est pratique d'utiliser les fonctions sous-harmoniques, et nous
commençons par un bref aperçu de leurs propriétés.
17.1. Définition. — Une fonction u, définie sur un ouvert Q du plan, est dite sous
harmonique, lorsque les quatre propriétés suivantes sont satisfaites :
(a) - oo < u (z) < °° pour tout ze Q.
(b) u est semi-continue supérieurement sur Q.
(c) Pour tout D(a ; r) cz Q, on a
(d) Aucune des intégrales de (c) n'est égale à - °°.
On notera que les intégrales qui apparaissent en (c) existent toujours, et ne sont pas + oo
puisque, grâce à (a) et (b), la fonction u est bornée supérieurement sur tout compact K czQ.
(Démonstration : Si Kn est l'ensemble des ze K pour lesquels w(z)>/i,ona Kz> Kx z> K2z^...
de sorte que ou bien Kn = 0 pour un certain n, ou n Kn*0, auquel cas u (z) = 00 pour au
moins un ze K.) Par suite, (d) établit que la fonction à intégrer dans (c), appartient à L1 (7).
Toute fonction harmonique et à valeurs réelles est visiblement sous-harmonique.
17.2. Théorème
Si u est sous-harmonique sur Q, et si q> est une fonction continue, croissante et convexe sur
R\ la fonction composée (pou est sous-harmonique.
FONCTIONS SOUS-HARMONIQUES

386
espaces HP
[Pour que (pou soit définie en tous les points de fl, on pose ç)(-°°) = lim (p(x) lorsque
x —> — 00 .]
Démonstration. — D'abord, (po u est semi-continue supérieurement puisque (pest croissante
et continue. Ensuite, si D (a ; r) cz fl, on dispose de
La première de ces inégalités est vraie parce que (p est croissante et que u est sous-harmonique.
La deuxième provient de la convexité de (p grâce au théorème 3.3.
17.3, Théorème
Lorsque fl est un domaine, et lorsque f e //(fl) n'est pas identiquement nulle, la fonction
log l/l est sous-harmonique sur fl, de même que log+ |/| et \f\p si 0 <p < «>.
Démonstration. — Il est entendu que log|/(z)| = - ~ si/(z) = 0. Par suite, log |/| est semi-
continue supérieurement sur fl ; le théorème 15.19 implique que log |/| est sous-harmonique.
Les autres assertions en dérivent si nous appliquons le théorème 17.2 en prenant log |/| à la
place de u et
17.4. Théorème
Soient u une fonction sous-harmonique continue sur fl, K un sous-ensemble compact de il,
h une fonction continue sur K, et à valeurs réelles, harmonique sur V, intérieur de K, et telle
que u(z)<h (z) en tous les points frontières de K. On a u (z) ^ h (z) pour tout ze K.
Ce théorème justifie le terme « sous-harmonique ». La continuité de u n'est pas nécessaire
pour la validité de ce théorème, mais comme nous n'aurons pas besoin du cas général, nous le
laissons à titre d'exercice.
Démonstration. — On définit ux - u - h et on suppose, en vue d'obtenir une contradiction,
que w,(z)>0 pour un certain z de V. La continuité de w, sur K entraîne que w, atteint son
maximum m sur K. Puisque w, < 0 sur la frontière de K, l'ensemble E = {ze k : w,(z) = m}
est un sous-ensemble compact non vide de V. Soit z0 un point frontière de E. Pour un certain
r > 0, on a D (z0 ; r) cz V, mais un certain arc de la frontière de D(z0 ; r) appartient au
complémentaire de E. Par suite
ce qui signifie que ux n'est pas sous-harmonique sur V. Cependant, u est sous-harmonique et de
même u - h grâce à la propriété de la valeur moyenne des fonctions harmoniques. Ceci fournit
la contradiction attendue.
17.5. Théorème
Soit u une fonction continue et sous-harmonique sur U, et définissons
(p(t) = max (0, t) ou
9(0 = e».
(0<r< 1).
(D
Si r, < r2, on a m(rx)< m(r2).

les espaces HP et N
387
Démonstration. — Soit h une fonction continue sur D(0 ; r2), qui coïncide avec w sur la frontière
de D(0 ; r2) et soit harmonique sur D(0 ; r2). Grâce au théorème 17.4, u < h sur D(0 ; r2). Donc
«W^J* h(rxeie)d6 = h(Q) = ±- l* h(r2eiB) dQ = m(r2).
LES ESPACES /Y' ET A/
17.6. Notation. — Comme aux sections 11.15 et 11.19, lorsque / est une fonction continue
sur l/, on définit fr sur T selon,
fr(eie) = f(reie) (0<r<l). (1)
On note a la mesure de Lebesgue sur T, normalisée en sorte que a(T) = 1. Pour cette raison,
les normes If référeront aux If (a). On note :
ll/X = Jjrl/rr«top (0<P<~), (2)
||/r|U = sup|/(re''8)|. (3)
e
et on introduit aussi
ll/rllo = exp f \og \fr\da. (4)
17.7. Définition. — Si / g H(U) et 0 <p < oo, on pose
II/IIp = sup{||/J/7:0<r<l}.
Si 0 <p < oo, Hp est la classe de toutes les / g H(U) telles que ||/||p < °° (On remarquera
que cette définition coïncide avec celle précédemment introduite dans le cas p = ©o).
La classe N est celle de toutes les f e H(U) telles que ||/||0 < °°-
Il est évident que si 0 < s < p <oo, H°° a Hp cz Hs cz N.
17.8. Remarques. — (a) Lorsque p < les théorèmes 17.3 et 17.5 prouvent que ||/r||p est
une fonction non décroissante de r, pour toute f e H(U) ; lorsque /? = °°, la même assertion
est une conséquence du théorème du maximum. De sorte que
H/Il, = lim H/,!,. (1)
r -> 1
(b) Pour 1 <p < ©o, Il/H^ satisfait l'inégalité triangulaire, de sorte que Hp est un espace
vectoriel norme. Pour le voir, on note que l'inégalité de Minkowski pourvoit, si 0 < r < 1,
ll(/+*)J, = ll/,+*,MI/,fl, + ll*J,.
Lorsque r—> 1, il vient
11/+«M II/»,+ 11*11,. (3)
(c) De fait, Hp est un espace de Banach lorsque 1 < p < °°. Pour démontrer que Hp est
complet, on se donne une suite de Cauchy {/J dans Hp et |z| < r < R < 1. On applique la
formule de Cauchy kfn - fm en intégrant sur un cercle de rayon R et de centre 0. On obtient les
inégalités
(R - r)\fn(z) - fm(z)\ * I (fn ~ fJR II, * Il (L ~ fJR ||, * \\fn ~ fm\\p,

388
espaces HF
et nous en concluons que {fn} converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de U
vers une fonction / g H(U). Soit e donné, il existe m tel que ||/„ - fm\\p < e pour tout n > m,
puis, pour tout r < 1,
K/-/JJ, = Hm ||(/,,-/Jr||p<£ (4)
Ce qui fournit |/- fm\\p —>0 lorsque m —» oo.
(d) Pour p < 1, Z/' est encore un espace vectoriel, mais l'inégalité triangulaire n'est plus
satisfaite par
Nous avons constaté au théorème 15.23 que les zéros de toute fonction f e N satisfont la
condition de Blaschke L( 1 - | an \ ) < <*>. Par suite, il en est de même pour toute fonction dans Hp.
Il est intéressant de noter que les zéros d'une fonction quelconque / g Hp peuvent être
éliminés sans accroissement de \\f\\p.
17.9. Théorème
Soient fsN, f^OetBle produit de Blaschke construit sur les zéros de /. Définissons
g = f/B . Dans ce cas, g e N et \\g\\Q = ||/||0.
De plus, si fsHp,onageHp et = |/|, (0 <p <
Démonstration. — On note d'abord que
\g(z)\>\f(z)\ (zeU). (1)
En fait, une inégalité stricte a lieu pour tout ze U, à. moins que / n'ait pas de zéro dans U,
auquel cas B - 1 et g =/.
Si s et r sont des nombres réels non négatifs, l'inégalité
log+(sO<log+s + log+f (2)
est exacte puisque le membre de gauche est nul si ^f < 1, et vaut log s + log t si st > 1. Puisque
\g\ = la relation (2) donne
log+|g|<log+|/| + log^. (3)
Mais le théorème 15.24 fournit à partir de (3) la relation ||g||0^ ll/llo et puisque (1) a lieu, on
adefeitlldo = ll/IL
Supposons maintenant que / g Hp pour un certain p > 0. Soit Bn le produit fini de Blaschke
formé à partir des n premiers zéros de /. (Ces zéros sont numérotés selon un certain ordre en
raison de leur multiplicité.) Posons g„ = f/B„. Pour tout n, \Bn(re'e)\ 1 uniformément
lorsque r —> 1. Par suite, \\gn\\p = \\f\\p. Lorsque n —> oo, |gn| croît vers de sorte que grâce au
théorème de la convergence monotone
||*r||, = limlK*.),!], (0<r<l). (4)
n —» oo
Pour tous r< 1, le membre de droite de (4) est au plus Si nous faisons tendre r vers 1,
nous obtenons < ||/||p. L'égalité provient maintenant de (1), comme auparavant.
17.10. Théorème
Soient 0 < p < oo, f e HP, f ^0, et B le produit de Blaschke formé sur les zéros de f. Il existe
une fonction sans zéro he H telle que
2
f = Bhp. c)

les espaces Hp et N
389
En particulier, toute /g H1 est un produit
f = gh (2)
où les deux facteurs appartiennent à H2.
Démonstration. — Par le théorème 17.9, la fonction f/Be Hp ; en fait \\f/B\\p = \\f\\p.
Puisque f/B ne s'annule pas sur U, et puisque U est simplement connexe, il existe (pe H(U)
telle que exp ((p) = f/B (théorème 13.11). On pose h - exp . Ainsi h g H(U) et
V 2 j
|/z|2 = | f/B\p, de sorte que h e H2, et (1) ait lieu.
En fait, ml = ii/ii;.
Pour obtenir (2), on écrit (1) sous la forme / = (Bh) • h.
On peut maintenant prouver sans peine quelques-unes des plus importantes propriétés des
espaces Hp.
17.11. Théorème
SoitO<p<oo et f e Hp.
(a) Pour tout a<\, les fonctions maximales non tangentielles Naf appartiennent à LP(T) ;
(b) Les limites non tangentielles f\e'9) existent p.p sur T et f e LP(T) ;
(c) lim |/-/r|p = 0,
r —> 1
et(d) \\f'\\„ = h/h,.
Si f e H , la fonction f est aussi bien l'intégrale de Cauchy que l'intégrale de Poisson de f*.
Démonstration. — On commence par démontrer (a) et (b) lorsque p > 1. Puisque les fonctions
holomorphes sont harmoniques, le théorème 11.30 (b) montre que toute f e Hp est l'intégrale
de Poisson d'une fonction (désignons la par /* ) de LP(T). Donc Nafe LP{T), grâce au
théorème 11.25 (b), et par le théorème 11.23 f(ee) est la limite non tangentielle de / en
presque tout point e'9 e T.
Si 0 <p < 1, et si / g Hp, on utilise la factorisation
/ = Bh2/p (1)
fournie par le théorème 17.10, où B est un produit de Blaschke, /ie H2, et h ne s'annule pas
sur U. Puisque |/| <\h\2/p sur U, on déduit que
(Npf)p<(Nah)2,
de sorte que A/«/g Lp(T) puisque Nah e LP(T).
De la même façon, l'existence de B*, et celle de h*, presque partout sur T, implique que les
limites non tangentielles de / (désignons les par / ) existent presque partout. Évidemment,
|/*| <Na f dès que /* existe. En sorte que /* g Lp(T).
Ce qui prouve (a) et (b), lorsque 0 < p < «>.
Puisque f r —> f* p.p. et \fr\ < Na f, le théorème de la convergence dominée procure (c).
Si p > \,{d) provient de (c) grâce à l'inégalité triangulaire. Pour p < 1, on utilise l'exercice 24
du chapitre 3 pour déduire (d) de (c).

390
espaces HP
Enfin, si /g H\ r< 1 et/r(z) =/(rz), on a fr g //^D^O ; ^Jj, et/r peut être représentée
dans U par la formule de Cauchy.
^4r^ (3)
et par la formule de Poisson
f'M = 'P(z,e")fr(e")dt. (4)
2K
Pour tout z g £/, ||l - e~"z| et P(z, elt) sont des fonctions bornées sur T. Le cas p = 1 de (c)
conduit alors, à partir de (3) et (4) à
2k j-* i _ e "z
et
= hr T nz*eil)f\e9)dt. (6)
L'espace //r est caractérisé d'une manière particulièrement simple grâce aux coefficients de
la série entière.
17.12. Théorème
Soit fe H(U) et
/(z) = j^anz'\
n =0
La fonction f e H2 si et seulement si ^ \an\2 < <*>.
o
Démonstration. — Appliqué à/r, avec r< 1, le théorème de Parseval fournit
£ |a„|2 = lim f>„|V" = «m J\f,\2do = U/ll2.
r-> 1 r-)l '
THEOREME DE F. ET M. RIESZ
17.13. Théorème
Soit fl une mesure de Borel complexe sur le cercle unité T telle que
je-intdfi(t) = 0 (n = -1,-2,-3,...), (1)
T
La mesure jl est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.
Démonstration. — Posons/= P[dfi]. D'après la section 11.17, la fonction / satisfait
H/J^ Ml (0<r<l). (2)
En prenant z = re , de
P(z,e") = J^rMe"9e-'", (3)

théorèmes de factorisation
391
comme à la section 11.5, l'hypothèse (1) revient à dire la nullité des coefficients de Fourier
/2(n) pour tous les n < 0, et conduit à la série entière,
/U) = 5>(»)z" (zeU). (4)
o
De (4) et (2), on déduit fe H\ Ainsi, par le théorème 17.11, f=P\f*] où /* g L](T).
L'unicité de la représentation intégrale de Poisson (théorème 11.30) établit maintenant que
dfi = /* do.
La leçon remarquable de ce théorème est de déduire l'absolue continuité d'une mesure d'une
condition apparemment indépendante, à savoir la nullité de la moitié de ses coefficients de
Fourier. Au cours des années récentes, ce théorème fut étendu dans bien des directions.
THÉORÈMES DE FACTORISATION
Nous savons déjà, par le théorème 17.9, que toute fonction f e Hp (sauf/= 0) peut se
factoriser en un produit de Blaschke et une fonction g e Hp sans zéro dans U. Il existe en outre une
factorisation d'une nature plus subtile. En gros, elle concerne la rapidité avec laquelle g tend
vers 0 selon certains rayons.
17.14. Définition. — Une fonction intérieure est une fonction M g H°° telle que |M*| = 1
p.p. sur T. A l'habitude, M* désigne la fonction obtenue à partir des limites radiales de M).
Si (p est une fonction mesurable positive sur T telle que log ç e L.\T), et si pour tout ze U
on a
Q(z) = cexpjJ- f logç>(*") (O
{1K J-n e -z J
la fonction Q est dite fonction extérieure. Ici, c est une constante telle que \c\ = 1.
Le théorème 15.24 montre que tout produit de Blaschke est une fonction intérieure, mais il
existe d'autres types de fonctions intérieures. Le théorème suivant en donne une description.
17.15. Théorème
Soient c une constante telle que \c\ = 1, B un produit de Blaschke, jll une mesure de Borel
positive et finie sur T, singulière par rapport à la mesure de Lebesgue. On pose
M(z) = cB(z)exp|-J^ ^ 4i(r)j (ze U). (1)
La fonction M est une fonction intérieure et toute fonction intérieure peut s'obtenir de cette
façon.
Démonstration. — Si (1) définit M et g - MIB, la fonction log \g \ est l'intégrale de Poisson de
-djl et donc log|g | < 0, de sorte que g e H°°. Il en est de même pour M. De plus, Djl = 0 p.p.
puisque ji est une mesure singulière (théorème 7.13) et, par suite, les limites radiales de log|g |
sont nulles p.p. (théorème 11.22). De \ B*\ = 1 p.p., on déduit que M est une fonction
intérieure.

392
espaces HP
Réciproquement, soit B le produit de Blaschke construit à partir des zéros d'une fonction
intérieure donnée M, et définissons g = MIB. La fonction log|g| est harmonique sur U. Les
théorèmes 15.24 et 17.9 montrent que | g \ < 1 sur U et \g *| = 1 p.p. sur T. Ainsi log | g \ < 0.
Nous concluons, d'après le théorème 11.30, que log|g | est l'intégrale de Poisson de -d\i, pour
une certaine mesure positive fl sur T. Puisque log \ g *| = 0 p.p. sur T, on a Djj. = 0 p.p. sur T,
c'est-à-dire que fi est singulière. Enfin, loglg | est la partie réelle de
h(z) = - f 4^
j-k e -z
Ce résultat implique g = c exp(/i) pour une certaine constante c telle que \c\ = 1. Par suite,
M est de la forme (1).
Ce qui termine la démonstration.
L'exemple le plus simple d'une fonction intérieure qui ne soit pas un produit de Blaschke est
le suivant : on fait c = 1, B = 1 et on prend pour \i la mesure de Dirac en t = 0 dans (1). On a
M(z) = exp
fonction qui tend vers 0 très rapidement le long du rayon qui se termine en z = 1.
17.16. Théorème
Soit Q une fonction extérieure, reliée à (p par la définition 17.14. On a
(a) log | g | est l'intégrale de Poisson de log (p.
(b) lim| Q(reie)\ = (p(eie) p.p. sur T.
r-> I
(c) Qe Hp si et seulement si (pe LP(T). Dans ce cas, on a \\Q\\P = || (p\\p .
Démonstration. — (a) se déduit à première vue de la définition et (a) implique l'égalité des
limites radiales de log|g| à log q>, presque partout sur T; ce qui prouve (b). Si Q g Hp, le
lemme de Fatou procure ||g ^ llôllp» de sorte que grâce à (b), \\(p\\p£\\Q\\p.
Réciproquement, si q>e LP(T), on a
\Q(rei9f = expj^ f_Pr(0-t)\og(pr{e")dt
<±-Ç Pr(0-t)(pr(eu)dt,
en utilisant l'inégalité situant réciproquement les moyennes arithmétiques et géométrique
(théorème 3.3). En intégrant la dernière inégalité en 0, on trouve \\Q\\P ^ || (p\\p si p < °°. Le cas
p = oo est évident.
17.17. Théorème
Supposons Q < p<°o, f e Hp sans être la fonction identiquement nulle. On a
log|/*| e L}(T) et la fonction extérieure
QM) = exp£ log |/* ^J (1)
appartient à ff. Il existe une fonction intérieure Mf telle que
f = MfQf (2)

théorèmes de factorisation
393
De plus
log|/(0)| 5^- f log |/* (<?")| dt. (3)
L'égalité a lieu dans (3) si et seulement si Mf est une constante.
Les fonctions Mf et Qf sont respectivement appelées les facteurs intérieur et extérieur de / ;
2/ne dépend que des valeurs frontières de |/|.
Démonstration. — Nous supposerons d'abord / e Hx. Si B est le produit de Blaschke formé
sur les zéros de / et si g -flBy le théorème 17.9 montre que g e H1. Puisque \g *| = ||/ *||
p.p. sur 71, il suffit de démontrer le théorème lorsque g remplace /.
Supposons donc que / ne s'annule pas sur U et que/(0) = 1. La fonction log|/| étant
harmonique dans £/, avec |/(0)| = 0, et puisque log = log+ - log~, la propriété de valeur moyenne
des fonctions harmoniques fournit pour 0 < r < 1.
-î- f log'|/(r«'»)| d6=±f log+|/(re'e)| d6< ||/||0< ||/|,. (4)
Le lemme de Fatou implique alors que log + | / * | et log ~ | / * | appartiennent toutes deux à L1 (T)
et il en est de même pour log | / * |.
Ceci montre que la définition (1) a un sens. Par le théorème 17.16, Qfe H]. On a aussi
| QJ\ = \f *| ^0 p.p., puisque log |/*| g LX(T). Si nous pouvons établir la relation
|/(z)|<|2/(z)| (ze U), (5)
la fonction f/Qf sera intérieure et nous en déduirons la factorisation (2).
Puisque log 12/1 est l'intégrale de Poisson de log \f *|, la relation (5) équivaut à l'inégalité
log|/|</>[log|/*|], (6)
que nous devons maintenant démontrer. Nous gardons les notations du chapitre 11 : P [h] est
donc l'intégrale de Poisson de la fonction h g Ll(T).
Pour |*| < 1 et 0 < R < 1, on définit/^(z) = f(Rz). Prenons z dans U. On a
log|/*(z)| = P[\og+\fR\](z)-P[\og\fR\](Zy (7)
Puisque |log+w - log+v| < \ u + v\ pour tous les nombres réels m et v et puisquell/^ - /*||, —> 0
lorsque R —» 1 (théorème 17.11), la première intégrale de Poisson dans (7) converge vers
^[log+|/*|] lorsque R —> 1. Le lemme de Fatou donne alors
P[log"|/*|]<lim inf P[log'\fR\] = P[log+|/*|]-log|/|, (8)
R -> 1
ce qui est bien l'inégalité (6).
Nous avons donc établi la factorisation (2). Si l'on pose z = 0 dans (5), on obtient (3) ; l'égalité
survient dans (3) si et seulement si |/(0)| = 12/(0)1, c'est-à-dire si et seulement si 1^(0)1 = 1.
Puisque §Mf\„ = 1, une telle occasion se présente seulement lorsque Mf est une constante.
Ceci termine la démonstration du cas p = 1.
Si 1 <p < ©o, comme Hp c fi\ il reste seulement à montrer que Qf e Hp. Mais si / g Hp, on
a |/*| g LP(T) grâce au lemme de Fatou. Par suite, Qf e Hp par le théorème 17.16 (c).
Le théorème 17.10 réduit le cas p < 1 au cas p = 2.
Le fait que log|/*| g L\T) a une conséquence que nous avons déjà utilisée dans la
démonstration et qui mérite mention à part entière.

394
espaces HF
17.18. Théorème
Si pour 0 <p < oo la fonction f g Hp, mais n'est pas identiquement nulle, en presque tous
les points de T on a f*(ee) * 0.
Démonstration. — Si /* = 0, on a log|/*| = - oo et si ceci survient sur un ensemble de
mesure positive, on a alors
r iogi/v')i = -~.
Il faut observer que le théorème 17.18 impose une restriction d'ordre quantitatif quant à la
localisation des zéros des limites radiales d'une fonction / de tf. À l'intérieur de U, les zéros
sont aussi soumis à une restriction d'ordre quantitatif par la condition de Blaschke.
Comme d'habitude, on peut reformuler le résultat ci-dessus concernant les zéros en un
théorème d'unicité.
Si / g Hp, g g Hp et f*(e'e) = g*(e'6) sur un sous-ensemble de T dont la mesure de
Lebesgue est positive, on a f(z) = g(z) pour tout ze U.
17.19. — Jetons un coup d'oeil à la classe N, dans le but de déterminer ce qu'il demeure vrai
de ces théorèmes 17.17 et 17.18. Si / g N et / ^ 0, on peut diviser / par un produit de
Blaschke et obtenir un quotient g ne s'annulant pas sur U et appartenant à N (théorème 17.9). Donc
log|g| est harmonique et, puisque l'on a
|log|*|| = 2 1og+|g|-log|s| (1)
et
7fcj'jog\g(reie)\ d9 = log|«(0)| (2)
on déduit que log|g| satisfait les hypothèses du théorème 11.30 et est donc l'intégrale de
Poisson de la mesure réelle /i. Ainsi
f(z) - cB(z) exp j ^(0J, (3)
où c est une constante telle que \c\ = 1 et où B est un produit de Blaschke.
Il faut observer la façon dont l'hypothèse d'existence d'une borne des intégrales de log* |g|
(qui est une façon quantitative de dire que \g\ n'est pas trop proche de + oo) implique à son tour
une borne pour les intégrales de log~|g| (qui est une façon quantitative de dire que \g\ ne
s'approche pas trop de 0 en trop d'endroits).
Si /i est une mesure négative, le facteur exponentiel dans (3) appartient à H°°. On applique
alors la décomposition de Jordan pour obtenir :
À chaque f e N correspondent deux fonctions b, et b2 de H°° telles que b2 ne s'annule pas dans
Uet / = bx/b2.
Puisque 62* * 0 P-P-> il s'ensuit que / a des limites radiales finies p.p. On a aussi /* * 0 p.p.
La fonction log|/*| appartient-elle à Ll(T) ? La réponse est oui et la démonstration est la
même que celle donnée au théorème 17.17.
Toutefois, l'inégalité (3) de ce théorème 17.17 n'est plus toujours satisfaite comme on le voit
par exemple avec

l'opérateur de déplacement
395
f(z) = exp (4)
puisque ||/||0 = e, \f*\ = \ p.p. et
log|/(0)| = 1>0 = ^ J\log|/*(*'')|<fr. (5)
L'OPÉRATEUR DE DÉPLACEMENT
17.20. Sous-espaces invariants. — Considérons un opérateur linéaire borné 5 sur un espace
de Banach X, c'est-à-dire une application linéaire bornée de X dans X. Un sous-espace fermé Y
de X est un sous-espace invariant de S ou 5-invariant si 5( Y) cz Y. Les sous-espaces invariants
de S sont précisément ceux qui contiennent leur image par S.
Connaître les sous-espaces invariants d'un opérateur S aide à concevoir son mode d'action.
(Ceci est un principe général — et donc assez vague : dans l'étude d'une quelconque
transformation, il est utile de savoir ce que la transformation conserve). Par exemple, si S est un
opérateur linéaire sur un espace vectoriel de dimension n qui possède n vecteurs propres linéairement
indépendants jc,, jc2, jc„, chaque espace vectoriel à une dimension engendré par chacun des xé
est invariant par S. Pour décrire S, on obtient un schéma très simple en se plaçant sur la base
de X fournie par {jc,, ...,jc„}.
Nous allons décrire les sous-espaces invariants de Y opérateur de déplacement S sur l2.
Rappelons que l2 désigne l'espace des suites complexes
pour lesquelles
W = {ïl&l2}'^-. (2)
U = 0 J
L'opérateur de déplacement S envoie un élément jc g /\ donné sous la forme (1), sur l'élément
Sx = {0. •••}• (3)
S est bien sûr un opérateur linéaire et borné sur l2 et \\S\\ = 1.
Quelques sous-espaces S-invariants apparaissent à première vue : pour tout k > 0, l'ensemble
Yk des jc g l2 dont les k premières coordonnées sont nulles est un 5-invariant
Pour en trouver d'autres, on peut utiliser l'isomorphisme d'espaces de Hilbert entre l2 et H2
qui transforme l'opérateur de déplacement S en un opérateur de multiplication sur H\ L'
avantage est d'obtenir un opérateur qui est d'analyse plus facile (tenant compte de la structure riche
de H2 comme espace de fonctions holomorphes) que l'opérateur original sur l'espace de suites /.
À chaque xe l2 fourni par (1), on associe la fonction
fiz) = ë&z" (ze U). (4)
n =0
Grâce au théorème 17.10, ceci définit une correspondance linéaire et injective de l2 sur H2. Si
y = {r]n}, g(z) = X^z" (5)
n = 0
et si le produit intérieur dans H est défini par
(/,£) = Ij^sHe19) d0, (6)

396
espaces HF
le théorème de Parseval montre que (f, g) = (x, y). Nous disposons donc d'un isomorphisme
d'espaces de Hilbert entre l2 et H2. L'opérateur de déplacement S devient un opérateur de
multiplication, sur H2 encore noté S :
(Sf)(z) = zf(z) (fe H2,ze U). (7)
Les sous-espaces S-invariants que nous avions précédemment notés Yk correspondent aux
espaces de fonctions possédant un zéro d'ordre au moins k à l'origine. Voilà un indice. Pour
tout ensemble fini {a,.,.,at}c[/, l'espace Y de toutes les fonctions f e H2 telles que
/( a, ) = ... = /( ak) = 0 est invariant par S. Si B est le produit de Blaschke fini construit sur
ces zéros en a{, ak, f e Y si et seulement si f/B g H2. Par suite, Y = BH2.
Ce résultat suggère que les produits de Blaschke infinis donneront aussi des sous-espaces
invariants. Ou encore, plus généralement, que l'on peut remplacer les produits de Blaschke par
des fonctions intérieures arbitraires (p. Il n'est pas difficile de montrer en effet que <pH2 est un
sous-espace fermé invariant par S de H2. C'est un résultat beaucoup plus profond que de
montrer que tout sous-espace fermé invariant par S est de la forme décrite.
17.21. Théorème de Beurling
(a) Pour toute fonction intérieure (p, l'espace
<pH2 = {(pf:fe H2} (1)
est un sous-espace de H2, fermé et invariant par S.
(b) Si q>{ et (p2 sont des fonctions intérieures et si (pxH = (p2H , la fonction (px/(p2 est une
constante.
(c) Tout sous-espace fermé Y de H2, autre que {0} et S-invariant contient une fonction
intérieure (p de telle sorte que Y = (pH2.
Démonstration. — H2 est un espace de Hilbert pour la norme
11/1,2=[h rj/*<«'8>i2 M'f- (2)
Si cp est une fonction intérieure, on a \<p*\ = 1 p.p. L'application / —> (pf est donc une
isométrie de H2 dans H2. En tant qu'isométrie, son image est un sous-espace fermé de H2. [Pour
la démonstration, on remarque que si (pfn —> g dans H2, la suite {(pfn} est de Cauchy et, par
suite, il en est de même pour \fn}. Donc/n converge vers / dans H2 et g = (pf e H2].
L'invariance par S de (pM2 est triviale puisque z - (pf = (p - zf. Par suite (a) est vérifiée.
Si (pxIi2 = (p2H2, on a (px = <p2/pour une certaine fonction / de H2 et donc (p\/(p2 g H2. De
même, (p2/(p{e H2. Définissons ç=(P]/(p2 et h = (p + (\/(p). Puisque he H2 et puisque
\<p*\ = 1 p.p. sur T, la fonction h* est une fonction réelle presque partout sur T. Mais alors, h
étant l'intégrale de Poisson de h* se trouve également être réelle sur U, ce qui implique que h
est une fonction constante. Il en est de même pour (p, ce qui démontre (b).
La démonstration de (c) utilisera une méthode inaugurée par Helson et Lowdenslager. Soit Y
un sous-espace fermé de T/2, non réduit à {0} et invariant par 5. Il existe un plus petit entier k
tel que Y contienne une fonction / de la forme
f(z) = ^cnz\ ck = 1. (3)
n = k
Par suite, / e Y où zY désigne l'ensemble des g de la forme g(z) = zf(z) où f e Y. On en
déduit que zY est un sous-espace fermé propre de y (fermé puisque vaut le même raisonnement

l'opérateur de déplacement
397
que dans la démonstration de (a)). Il existe dans Y un vecteur non nul orthogonal à zY
(théorème 4.11).
Il existe donc cpe Y telle que \\(p\\2 = 1 et (pl.zY. On a aussi (p±z"Y pour n = 1, 2
Grâce à la définition du produit scalaire sur H2 (cf. 17.20. (6)), ceci signifie
-l \"\(p*(eie)\2e-in6d6=0 (,2=1,2,3,...). (4)
Ces relations sont conservées si l'on remplace chaque membre de gauche par son expression
conjuguée, c'est-à-dire si l'on change n en - n dans (4). Ainsi tous les coefficients de Fourier
de la fonction | (p*\2 e Ll(T) sont nuls, sauf celui correspondant à n = 0, qui vaut 1. On en
déduit | (p*\ = 1 p.p. sur T puisque les fonctions de L1 sont caractérisées presque partout par
leurs coefficients de Fourier (théorème5.15). Mais (pe H2, de sorte que (p est l'intégrale de
Poisson de (p* et ainsi |<p| < 1. Ainsi (p est une fonction intérieure.
Puisque (pe Y et puisque y est invariant par 5, on a (pz" e Y pour n = 0, 1, 2,.... Par suite,
(pP g Y pour tout polynôme P. Mais les polynômes sont denses dans H2 (par le théorème de
Parseval, les sommes partielles de la série entière d'une quelconque fonction f de H2
convergent vers / au sens de la norme H2). Puisque Y est fermé et | (p\ < 1, on en déduit que q>H2cz Y.
Nous devons montrer que l'inclusion n'est pas propre. Puisque (pH2 est fermé, il suffit de
montrer que les hypothèses he Y et h ± q>H2 impliquent h = 0.
Si h J. (pH2, ona /il (pz" pour n - 0, 1, ou encore
^ [" h*(eiQ)(p*(eiQ)e-inQ dO = 0 (n = 0, 1,2,...). (5)
Si h g Y, on a zh g zY avec n = 1, 2, et le choix de (p montre que zh _L (p ou encore
f* h*(ei9)(p*(eiB)e'ine dd= 0 (n =-1,-2,-3, ...). (6)
Comme tous les coefficients de Fourier de h*(p* sont nuls, cette fonction est presque partout
nulle sur T et comme |<p*| = 1 presque partout, on a bien h* = 0 presque partout. C'est-à-
dire h = 0 et la démonstration est achevée.
17.22. Remarque. — En tenant compte des deux théorèmes 17.15 et 17.21, on note que les
sous-espaces fermés 5-invariants sont caractérisés par les données suivantes : une suite de
nombre complexe { an} (peut-être finie, voire vide) telle que Z( 1 -1 a„ |) < 0 et | an \ < 1 et une
mesure de Borel positive fl sur 7, singulière par rapport à la mesure de Lebesgue de T (de sorte
que Dfi - Op.p.). Il est facile de trouver (et nous le laissons à titre d'exercice) des conditions
portant sur {a„} et sur fi qui assurent qu'un sous-espace fermé invariant par S en contient un
autre. L'ensemble partiellement ordonné de tous les sous-espaces fermés invariants par 5
présente donc une structure extrêmement compliquée, bien plus compliquée que ne le laissait
penser la définition très simple de l'opérateur de déplacement sur l2.
Terminons cette section en donnant une conséquence aisée du théorème 17.21 qui dépend de
la factorisation décrite au théorème 17.17.
17.23. Théorème
Soient M f le facteur intérieur d'une fonction f e H2 et Y le plus petit sous-espace fermé de
H2, invariant par S et qui contienne f. On a
Y = MfH2. (1)
En particulier, Y = H2 si et seulement si f est une fonction extérieure.

398
espaces HP
Démonstration. — Soit / = MfQf la factorisation de / en facteurs intérieur et extérieur. Il
est clair que / g MfH2. Puisque MfH2 est fermé et invariant par 5, on a Y cz MfH2.
D'autre part, le théorème 17.21 montre qu'il existe une fonction intérieure (p telle que
Y = (pH2. Puisque /g Y, il existe une fonction h = MhQh e H2 telle que
MfQf = (pMhQh. (2)
Puisque les fonctions intérieures ont un module égal à 1 presque partout sur T, la relation (2)
implique Qf = Qh et donc Mf = (pMh e Y. Par conséquent, Y doit contenir le plus petit sous-
espace fermé invariant par S qui contienne Mf. Ainsi MfH2 cz Y, et la démonstration est achevée.
Il peut être intéressant de résumer ces résultats à partir de deux questions auxquelles les
théorèmes précédents répondent :
— / étant une fonction donnée de H2, quelles sont les fonctions g de H2 qui peuvent être
approchées en norme H2 par des fonctions de la forme fP, lorsque P parcourt les polynômes ?
La réponse est : ce sont les fonctions g telles que g/Mf e H2.
— Pour quelles fonctions / dans H2 l'ensemble {fP} est-il dense dans H2 ? La réponse est :
ce sont précisément les fonctions / telles que
log|/(0)| f + "log|/*(e")| dt.
FONCTIONS CONJUGUÉES
17.24. Formulation du problème. — Toute fonction harmonique réelle u sur le disque unité
U est la partie réelle d'une unique fonction / g H(U) telle que /(O) = w(0). Si / = u + /v,
cette dernière condition peut encore s'écrire v(0) = 0. La fonction v s'appelle la fonction
conjuguée harmonique de u ou tout simplement la fonction conjuguée de u.
Supposons alors que u satisfasse pour un certain /?.
sup lkll„<~. (i)
r< 1
Peut-on en déduire la même inégalité (1) si l'on remplace m par v ?
La question équivaut à celle de savoir si / g Hp ?
Donnée par M. Riesz, la réponse est affirmative lorsque 1 < p < oo. Elle est négative pour
p = 1 et p = o© (voir l'exercice 24). La formulation précise du résultat est fournie par le
théorème 17.26.
Rappelons, lorsque 1 < p < o°, que toute fonction harmonique qui vérifie (1) est l'intégrale
de Poisson d'une fonction u * g Lp(T) (théorème 11.30). Aussi, le théorème 11.11 suggère une
reformulation du problème.
Lorsque 1 < p < oo, si l'on associe à chaque h g Lp(T) la fonction holomorphe
= i f e-îr1 h^dt <ze (2)
2n J-k e -z
toutes ces fonctions \f/h appartiennent-elles à Hp ?
L'exercice 25 répond à d'autres aspects de ce problème.
7t 1
17.25 Lemme. — Si \<p<2, 8 = -, a = et B = a\ 1 + a), on a
1 + p cos o
1 < p(cos (p)p - acos pcp

fonctions conjuguées
399
Démonstration. — Si 5< \<p\ < -, le membre de droite de (1) n'est pas moindre que
-acos pcp>-acos pô = acos 5=1,
et dépasse donc, si | (p\ < 5, )3(cos 8)p - a = 1.
17.26. Théorème
À chaque p tel que 1 < p < °°, correspond une constante Ap < oo et pour toute f g Lp(T), on
a l'inégalité
\\¥h\\p<Ap\\h\\p. (1)
De façon plus explicite, les conclusions sont que les fonctions y/h (définies à la
section 17.24) appartiennent à Hp et avec do - la mesure de Lebesgue normalisée sur 7,
on a
j\(y/h)r\pdo < App\\h\p do (0<r<l). (2)
T T
On notera qu'il n'est pas requis pour ce théorème que h soit une fonction réelle, et le résultat
indique que y/ : Lp —> H p est un opérateur linéaire borné.
Démonstration. — On suppose d'abord 1 < p < 2, h g Lp(T), h > 0, h é 0 et on désigne par
u la partie réelle de / = y/h. La formule 11.5 (2) montre que u = P [h], donc u > 0 sur U.
Puisque U est simplement connexe et puisque / ne s'annule pas sur U, il existe g g H( U) et g = fpt
g(0) > 0. De plus, u = |/| cos (p, où (p est une fonction réelle sur U satisfaisant | (p\ < ^.
Si a = ap et p = sont des constantes prises comme au lemme 17.25, il vient pour
0<r< 1,
\\fr\pdo < Pj(ur)p do-ccj\f\pcos(p(pr)do. (3)
T T T
On notera que |f\pcosp(p = Reg. La propriété de la moyenne des fonctions harmoniques
montre donc que la dernière intégrale dans (3) est égale à Re g(0) > 0. Donc, puisque
u =P[h] fournit KII^II/iH,,
\\fr\Pdo < pjhpdo (0<r<l). (4)
T T
Ainsi, si h e LP(T) et h > 0, on a
Whls^'M,- (5)
Lorsque h est une fonction (complexe) arbitraire de LP(T), le résultat précédent s'applique
aux parties positives et négatives des parties réelle et imaginaire de h.
Ce qui prouve (2), lorsque 1 < p < 2 avec Ap = 4/?1/p.
Pour terminer la démonstration, on considère le cas 2 < p < «> et soit w g Lq(T) où q est
l'exposant conjugué de p. On pose w(ee) = w(e~l6). À partir du théorème de Fubini, un
calcul simple montre que pour toute h e LP(T) on a
$(y/h)rûdo = J(y/w)r  d<j (0<r<l). (6)
T T

400
espaces HF
Puisque q < 2, on dispose de l'inégalité (2) où w et q remplacent respectivement h et /?, de
sorte que (6) conduit à
j(\j/h)rwdo
<Aq\\w\L\\h\\p-
(7)
On laisse w parcourir la boule unité de Lq(T) et on prend la borne supérieure du membre de
gauche dans (7) pour obtenir
y/P r y/P
J|(Y*)rr daj <A,| j\h\p rfaj (0<r<l). (8)
Nous avons donc à nouveau démontré (2) et constaté que Ap < Aq (Prenant alors la plus petite
des valeurs possibles de Ap et Aq, ce dernier calcul peut être pris à l'envers, de sorte que nous
obtenons l'égalité Ap - Aq.)
EXERCICES
1. Démontrer les théorèmes 17.4 et 17.5 pour des fonctions sous-harmoniques semi-continues
supérieurement.
2. Prouver que log (1 + |/|) est sous-harmonique sur 12 lorsque / g H(Q) .
3. Soit 0< p<<*> et f e H(Q). Montrer que / g Hp si et seulement s'il existe une fonction
harmonique w sur U telle que \f(z)\p ^ u(z) pour tout f e U. Montrer que s'il existe un tel
majorant harmonique u de \f\p, il existe alors au moins un plus petit majorant harmonique.
On le note uf. (De façon explicite, \f\p <uf et uf est harmonique ; si |/|p<w et si u est
harmonique, on a nécessairement uf < u.) Montrer que = (uf(0))l/p. (Indication.
Considérer les fonctions harmoniques dans D(0 ; /?), pour R < 1, dont les valeurs frontières sont
puis faire tendre R vers 1).
4. Démontrer de même que / g N si et seulement si log+|/| possède un majorant
harmonique sur U.
5. Soient / g Hp, q>e H(U) et <p(U) c U. A-t-on / o (pe Hp ? Répondre à la même
question en remplaçant Hp par N.
6. Si 0 < r < s < oo, montrer que Hs est un sous-ensemble propre de Hr.
7. Montrer que H°° est un sous-ensemble propre de l'intersection de tous les Hp pour
lesquels p<°°.
8. Lorsque fe H] et /* g Lp(T), montrer que /g Hp.
9. Soit / g H(U) et supposons que f(U) ne soit pas dense dans le plan. En déduire que /
possède des limites radiales en presque tous les points de T.
10. Fixons ae U. Montrer que l'application / —» f(a) est une forme linéaire bornée sur H2.
Puisque H2 est un espace de Hilbert, cette forme est représentée par le produit scalaire avec
une certaine fonction g e H2. Déterminer g.

exercices
401
11.Fixons ae U. Quelle est la valeur maximum de \f,(a)\ si ||/||2^ 1 ? Déterminer les
fonctions réalisant le maximum. Faire de même quant à f{n)(a).
12. Soit p > 1, / e Hp et supposons /* à valeurs réelles presque partout sur T. Montrer que
/ est alors une fonction constante. Montrer que ce résultat est faux pour tout p < 1.
13. Soit / g H(U) et supposons qu'il existe M < oo telle que / envoie tout cercle de rayon
r < 1 et de centre 0 sur une courbe yr dont la longueur soit M au plus. Montrer que / possède
un prolongement continu à U et que la restriction de / à T est absolument continue.
14. Soit fi une mesure de Borel complexe sur T telle que
\eintdfi(t) = 0 (/!= 1,2,3, ...).
T
Montrer, si fi n'est pas nulle, que son support est exactement T.
15. Soit K un sous-ensemble compact propre de T. Montrer que toute fonction continue sur
K peut être uniformément approchée par des polynômes. (Indication : utiliser l'exercice 14).
16. Terminer la démonstration du théorème 17.17 pour le cas 0 < p < 1.
17. Soit (p une fonction intérieure non constante et ne s'annulant pas sur U.
(a) Montrer que l/<pg Hp si /?>0.
(b) Établir qu'il existe au moins un e9e T tel que \\m(p (re9) = 0. (Indication: log |<p|
est une fonction harmonique négative). r_> 1
18. Soit (p une fonction intérieure non constante, |a|<l, et ae <p(U). Montrer que
hm(p(ree) = a pour au moins un e'9e T.
r -» I
19. Si l'on suppose que / et 1// appartiennent toutes les deux à H \ montrer que / est une
fonction extérieure.
20. Soit f e H1 et Re (f(z)) >0 pour tout ze U. Montrer que / est une fonction
extérieure.
21. Montrer que / g N si et seulement si / = g/h, où g et h sont dans H°° et h ne s'annule
pas sur U.
22. Démontrer la réciproque suivante du théorème 15.24 :
Si fe H(U) et si
lim f* |log|/(re'0)|| dd= 0, (*)
la fonction / est alors un produit de Blaschke. (Indication : la relation (*) implique
lim f* log+|/(re'0)| d0= 0.
Puisque log+1 f\ > 0, des théorèmes 17.3 et 17.5 on déduit log+ \f \ = 0, et donc | f\ < 1. On
écrit alors / = Bg où g n'a pas de zéros, |g| < 1 et (*) a lieu pour \/g mis à la place de /.

402
espaces HP
Par le premier raisonnement, on trouve
< 1 . Donc \g\ = 1.
23. Trouver les conditions mentionnées à la section 17.22.
24. L'application conforme de U sur une bande verticale montre que le théorème de M. Riesz
sur les fonctions conjuguées ne peut s'étendre au cas p = °°. En déduire qu'il ne peut
également s'étendre au cas p = 1.
25. Soit 1 < p < oo. Associons à toute fonction fe LP(T) la suite de ses coefficients de
Fourier
= if f(*')e-iH,dt (n = 0,±l,±2,...).
Déduire du théorème 17.26 les assertions suivantes :
(a) à chaque / e LP(T) correspond une fonction g e LP(T) telle que g (ai) = / (ai) pour
tout n>0, mais telle que g(n) = 0 pour tout n<0. De fait, il existe une constante C, ne
dépendant que de p, pour laquelle
11*1, se ii/n,.
L'application / —» g est ainsi une projection linéaire bornée de LP(T) sur LP(T). La série de
Fourier de g s'obtient à partir de celle de / en éliminant les termes pour lesquels n < 0.
(b) Montrer que ce même résultat a lieu si l'on élimine tous les termes n < k, où k est un
entier donné quelconque.
(c) Déduire de (b) que les sommes partielles s„ de la série de Fourier d'une fonction
/g Lp(T) constituent une suite bornée dans LP(T). En déduire précisément que l'on a
limJ/-*X= 0.
(d) Si f e LP(T), et si l'on pose
F(z) = X/(n)z",
n = 0
montrer que F e Hp et que tout F e Hp peut s'obtenir de cette façon. On peut donc considérer
la projection définie en (a) comme une application de LP(T) sur Hp.
26. Fournir une démonstration beaucoup plus simple du théorème 17.26 lorsque p = 2.
Déterminer la meilleure constante A 2 possible.
27. Soit f(z) = X anz" une foncti°n définie sur U, et Z| an\ < °°. Montrer que, pour tout 6 :
n = 0
f'|/W)| </r<«».
28. Démontrer la validité des assertions suivantes lorsque {nk} désigne une suite d'entiers
positifs qui tend vers oo suffisamment vite. Si l'on pose

notes historiques
403
on a \f(z) \ >nk/(\0k) pour tout z tel que 1 - — < |z| < 1 -
nk 2nk
Donc pour tout 0
f\r(re»)\ dr
alors que
lim f\f(re'e)\dr
existe et est finie pour presque tout 0.
Donner une interprétation géométrique à partir des longueurs des images par / des rayons dans U.
29. Utiliser le théorème 17.11 afin d'obtenir la caractérisation suivante des valeurs frontières
des fonctions de Hp (pour 1 < p < °°).
Une fonction g g Lp(T) est /* p.p d'une fonction / g Hp si et seulement si pour tout entier
négatif n,
5/>•'>«""* "°-
NOTES HISTORIQUES
Une référence désormais classique pour la théorie des espaces de Hardy est [Hoffman, 1962], où le choix a
été de traiter le cas du disque unité, mais les démonstrations sont ainsi présentées pour pouvoir s'adapter à
d'autres situations. Il y a en tout cas correspondance biunivoque avec le cas des fonctions holomorphes dans
le demi-plan supérieur qui était le cadre adopté originellement par Hardy. D'autres références sont [Zygmund,
chapitre 7]. Il y a une riche production sur les espaces de Hardy, des généralisations à des situations de groupes
dans [Rudin, 1962, chapitre 8], et des monographies comme [Duren, 1970], [Garnett, 1981] et [Koosis, 1980].
Pour un traitement systématique des fonctions sous-harmoniques définies à la section 17.1, voir [Radô,
1937].
Le théorème des frères Riesz de la section 17.13 a reçu une autre démonstration dans [Hoffman, 1962] et chez
Helson et Lowdenslager en 1958. Une preuve extrêmement simple a été trouvée par B.K. 0ksendal en 1971.
La terminologie des fonctions intérieure et extérieure a été proposée par Beurling en 1949. Des
développements ultérieurs sont fournis dans [Helson, 1964].
La preuve ici fournie des théorèmes sur les fonctions conjuguées est celle due à A.P. Calderôn en 1950
(voir aussi [Zygmund, 1959, vol. 1, pp. 252-262]. La preuve initiale est due à Marcel Riesz.
L'exercice 3 donne les éléments d'une définition des espaces if en d'autres domaines.
RÉFÉRENCES
H. Helson, D. Lowdenslager, Prédiction theory and Fourier séries in several variables, Acta Math, 99,
165-202, 1958.
B.K. Oksendal, A short proof of the F. and M. Riesz theorem, Proc. Amer. Math. Soc, 30, 204, 1971.
Beurling, On two problems concerning linear transformations in Hilbert spaces, Acta Math, 81,239-255,1949.
A.P. Calderôn, On theorems of M. Riesz ans Zygmund, Proc. Amer. Math. Soc, 1, 533-535, 1950.

CHAPITRE 18
THÉORIE ÉLÉMENTAIRE
DES ALGÈBRES DE BANACH
INTRODUCTION
18.1. Définitions. — Une algèbre complexe est un espace vectoriel A sur le corps des
complexes et une multiplication associative et distributive sur A, c'est-à-dire satisfaisant pour
je, y, et z g A
x(yz) = (xy)z, (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz, (1)
et qui est liée à la multiplication scalaire pour jc et y g A , et a scalaire par la propriété
cx(xy) = x(cxy) = (ax)y. (2)
S'il existe une norme définie sur A qui fait de A un espace vectoriel norme et qui de plus
satisfait l'inégalité suivante quant à la multiplication
IMUIUIIMI (xetyeA), (3)
alors A est dite une algèbre complexe normée. Si, de plus, A est un espace métrique complet
pour cette norme, c'est-à-dire si A est un espace de Banach, on dit que A une algèbre de
Banach.
L'inégalité (3) fait de la multiplication une opération continue. Ainsi, si xn —> x et y„ —> y,
alors xnyn —» xy, ce qui provient de (3) et de l'identité
xnyn -xy = (xn - x)yn + x(yn - y). (4)
Nous n'exigeons pas que A soit commutative (c'est-à-dire xy = yx pour tous jc et y g A) et A
ne le sera pas, sauf mention explicite.
Cependant, nous supposerons que A possède un élément unité. C'est un élément e tel que
xe = ex = jc (jcg A). (5)
On voit aisément qu'il en existe au plus un (e' = e'e = e) et d'après (3), > 1.
Nous ferons l'hypothèse supplémentaire,
M = 1- (6)
Un élément jc g A sera dit inversible si jc possède un inverse dans A, c'est-à-dire s'il existe
un élément jc" 1 e A tel que
jc~ lx = jcjc~ 1 = e. (7)
De nouveau, on voit aisément que tout élément de A admet au plus un inverse.
Si jc et y sont inversibles dans A, il en est de même pour jc" 1 et jcy, puisque (jcy)~1 = y~ 1jc~ 1.
Les éléments inversibles forment donc un groupe pour la multiplication.

les éléments inversibles
405
Le spectre d'un élément de A est l'ensemble des nombres complexes À tels que x - Àe ne soit
pas inversible. Nous noterons le spectre de x par <t(jc).
18.2. — La théorie des algèbres de Banach joue simultanément de propriétés algébriques et
de propriétés topologiques. Nous avons déjà vu un exemple de ce jeu avec le théorème 9.21, et
nous en verrons d'autres. Il existe aussi d'étroites relations entre les algèbres de Banach et les
fonctions holomorphes : la démonstration la plus facile du fait fondamental que ct(jc) n'est
jamais vide repose sur le théorème de Liouville qui concerne les fonctions entières, et la formule
du rayon spectral découle naturellement de théorèmes sur les développements en série. C'est là
une raison pour restreindre notre attention aux algèbres de Banach complexes. La théorie des
algèbres de Banach réelles (dont nous ne donnons pas la définition qui est évidente) n'est pas
aussi satisfaisante.
LES ÉLÉMENTS INVERSIBLES
Dans cette section, A sera une algèbre de Banach complexe avec élément unité e (ou unitaire),
et G l'ensemble des éléments inversibles de A.
18.3. Théorème
Si xe A et si \\x\\ < 1, alors e + xe G
(e + xyx = £(- 1)V, (1)
n = 0
et
||(e + x)-'_e + ,||<_Wj_. (2)
Démonstration. — L'inégalité 18.1 (3) montre que ||jc"! < ||jc||\ En posant
sN = e-x + x - ... +(-1) x , (3)
on voit que \sN\ est une suite de Cauchy dans A, et la série (1) converge (au sens de la norme
de A) vers un élément y e A. Comme la multiplication est continue et
(e + x)sN = e + (- 1)Y+1 = sN(e + x), (4)
on voit (e + x)y = e = y(e + x). Ceci procure (1) et (2) résulte de
18.4. Théorème
Supposons xe G, \\x~x\\ = 1/a, he A, et \h\ = /5<a. Alors x + he G, et
\{x + hTy-x~x +x-xhx-*\<^r& (1)
Démonstration. — || jc"" xh\\ < p/a< 1, donc d'après le théorème 18.3 e + x~xheG; et
comme x + h = jc {e + jc" '/z), on a jc + h e G et
(jc + fc)"1 = (e + x~xhyxx~x. (2)

406
théorie élémentaire des algèbres de banach
Ainsi
(jc + h)~ 1 - jc" 1 + jc" lhx~ 1 = [(e + jc" xh)~ 1 - e + jc" ]h] jc" (3)
et T inégalité (1) résulte du théorème 18.3, où jc" xh remplace jc.
Corollaire 1. — G est un ouvert, et Vapplication jc —» jc" 1 est un homéomorphisme de G sur G
En effet, si jc e G et si —> 0, (1) montre que ||(jc + h)~1 - jc" x\\ -» 0. Ainsi jc —> jc" 1 est
continue ; il est clair que cette application envoie G sur G, et comme elle est sa propre inverse,
c'est un homéomorphisme.
Corollaire 2. — L'application jc —» jc" 1 est différentiable. Sa différentielle en un point x de G
est Vopérateur linéaire qui transforme he A en - jc" xhx~ x.
Ceci peut aussi être tiré de (1). Remarquons que la notion de différentielle d'une application a un
sens dans tout espace vectoriel norme, et pas seulement dans /c* comme lors de la définition 8.22.
Si A est commutative, la différentielle ci-dessus transforme h en - jc" 2h, ce qui s'accorde avec
la dérivée ~z2 de la fonction holomorphe z"1.
Corollaire 3. — Pour tout xe A, le spectre a(x) est compact, et \X\ < ||jc|| si X e a(x).
En effet, si |À| > ||jc||, d'après le théorème 18.3, e - X~ x e G, et la même chose est vraie
pour x - Xe = - k(e - À" lx) ; donc X e a(jc). Pour démontrer que <7(jc) est fermé, observons
que (a) Xe o(x) si et seulement si x-Xe£ G ; (b) le complémentaire de G est un sous-
ensemble fermé de A, d'après le corollaire 1 ; et (c) l'application X —» jc - Xe est une application
continue du plan complexe dans A.
18.5. Théorème
Soit 0 une forme linéaire bornée sur A, x un élément de A, et définissons
f(X) = 0[(x-Xeyl] (A* ct(jc)). (1)
La fonction f est holomorphe sur le complémentaire de <J(x), et f(X)—>0 quand X^>°o.
Démonstration. — Soit â e <j(x) et appliquons le théorème 18.4 où jc - Xe remplace jc et (à - ji)e
remplace h. On voit qu'existe une constante C, qui dépend de jc et de X, telle que pour tout ji
assez voisin de X,
||(jc — fie)~ 1 — (jc — Xe)~ 1 + (X-fi)(x-Xe)'2|| <C\fi-X\2. (2)
Ainsi quand fl —> X,
(x - \ie)~ ' ~ (■* ~ —> (jc — Ae)"2, (3)
fl — A
et appliquant O aux deux membres de (3), la continuité et la linéarité de O montrent que
fW-{a)^0[(x-Xey2]. (4)
fl — a
De sorte que / est différentiable, et par suite holomorphe, à l'extérieur de o(x). Enfin, lorsque
X—> «5, on a, grâce à la continuité de l'application qui fait passer d'un élément de G à son
inverse,
Xf(X) = 0[X(x-Xe)~]] = O
X-e) (5)

les éléments inversibles
407
18.6. Théorème
Pour tout jc g a, le spectre G(x) est un compact non vide.
Démonstration. — Nous savons déjà que a(jc) est compact. Soit jcga,etAoéCT(jc). Puisque
(x - Ao^)~1 * 0, le théorème de Hahn-Banach assure qu'existe une forme linéaire bornée 0 sur A
telle que /(Aq) * 0, / étant définie comme au théorème 18.5. Si 0"(jc) était vide, le théorème 18.5
entraînerait que / est une fonction entière tendant vers 0 quand A —> <*>, et le théorème de Liouville
montrerait que / est identiquement nulle, d'où une contradiction. Donc ct(jc) n'est pas vide.
18.7. Théorème (Gelfand-Mazur)
Une algèbre de Banach unitaire et dans laquelle tout élément non nul est inversible, est
isométriquement isomorphe au corps des complexes.
Une algèbre telle que tout élément non nul est inversible est appelée une algèbre de division.
La commutativité de A ne fait pas partie des hypothèses, mais bien de la conclusion.
Démonstration. — Si jcg a et si Xx-tX>i, au moins l'un des deux éléments x—>Xxe et
jc - X^e est inversible puisqu'ils ne peuvent pas être tous les deux nuls. Il résulte alors du
théorème 18.6 que pour tout jc g a le spectre ct(jc) est réduit à un point, disons A(jc). L'élément
jc — A(jc) n'étant pas inversible, il doit être nul, donc jc = A(jc)e. Par conséquent, l'application
jc —» X(x) est un isomorphisme de a sur le corps des complexes ; c'est aussi une isométrie
puisque |A(jc)| = ||A(jc)e|| = ||jc|| pour tout jcg a.
18.8. Définition. — Pour tout jc g a, le rayon spectral Q(x) de jc est le rayon du plus petit
disque fermé centré à l'origine qui contienne ct(jc) (on l'appelle aussi quelquefois la norme
spectrale de x ; voir l'exercice 14) :
Q(x) = sup{|A| : A g o(x)}.
18.9. Théorème (formule du rayon spectral)
Pour tout jc g A,
lim|jcT/n = e(jc). (1)
n —» °o
(L'existence de la limite fait partie de la conclusion.)
Démonstration. — Soit jc g A, soit n un entier positif, A un nombre complexe, et supposons
A" é ct(jc"). On a
(jcn-A"éO = (jc-AéO(jcn-, + Ajcn"2+...+An-1e). (2)
Multiplions les deux membres par (jcn - Xne) 1. On voit que x- Xe est inversible, donc A € c(x).
Ainsi, si A g o~(jc), pour n = 1, 2, 3, A" g a(xn)y le corollaire 3 du théorème 18.4 montre
que | Xn | < f jc" ||, et par conséquent | A| < || jc" ||1 ". Ceci donne l'inégalité
e(jc)<lim inf Ijri1"". (3)
n -> «o
À son tour si |À,| > ||jc||, il est facile de vérifier que
(Ae-jc^A""^ = e. (4)
n = 0

408
théorie élémentaire des algèbres de banach
La série ci-dessus représente - (jc - Xe) 1. Soit 0 une forme linéaire bornée sur A et définissons
/ comme au théorème 18.5. D'après (4), le développement
/(A) = -2<P0c")A~"~\ (5)
n = 0
est valable pour tout X tel que > ||jc||. D'après le théorème 18.5, / est holomorphe à
l'extérieur de a(jt), donc dans l'ensemble { A : | A| > Q(x)}. Il en résulte que le développement en
série (5) converge si | X\ > Q(x). En particulier, pour toute forme linéaire bornée 0 sur A,
sup |0(A"V)|<oo (|A|>e(jc)). (6)
n
D'après le théorème de Hahn-Banach, (section 5.21), la norme de tout élément de A est la
même que sa norme en tant que forme linéaire continue sur l'espace dual de A. Comme (6) est
vraie pour toute 0, on peut maintenant appliquer la théorème de Banach-Steinhaus et conclure
qu'à chaque X vérifiant | X\ > g(jc), correspond un nombre réel C(X) tel que
|U"V||<C(A) (n= 1,2,3,...). (7)
En multipliant (7) par |X\" et en prenant les racines mêmes, on obtient pour \X\> Q(x),
Ijcir^UI [C(X)]Wn (n= 1,2,3,...). (8)
Et donc
lim sup \\xn\\]/n<Q(x). (9)
Le théorème résulte de (3) et (9).
18.10. Remarques. — (a) Qu'un élément de A soit inversible ou non est une propriété
purement algébrique ; ainsi le spectre de jc et le rayon spectral de jc ne dépendent que de la structure
algébrique de A, et d'aucune considération métrique (ou topologique). Par contre, dans l'énoncé
du théorème 18.9 la limite dépend des propriétés métriques de A. C'est un des aspects
remarquables de ce théorème : il affirme l'égalité de deux quantités dont les origines sont tout à fait
distinctes.
(b) L'algèbre A peut être une sous-algèbre d'une algèbre de Banach B plus grande (voir
l'exemple suivant), et alors il peut très bien arriver qu'un jc g A ne soit pas inversible dans A,
mais le soit dans B. Le spectre de jc dépend donc de l'algèbre ; avec des notations évidentes, on
a l'inclusion oA (jc) z> gb (x), et elle peut être stricte. Cependant, le rayon spectral de x est le
même dans A ou dans B, puisque le théorème 18.9 montre qu'il peut être exprimé d'après les
propriétés métriques des puissances de jc, qui sont indépendantes de tout ce qui se passe à
l'extérieur de A.
18.11. Exemple. — Soit C(T) l'algèbre des fonctions complexes continues sur le cercle unité
T (pour l'addition et la multiplication ponctuelles et pour la norme de la borne supérieure), et
soit A l'ensemble des / g C(T) qui peuvent être prolongées en une fonction F holomorphe sur
U et continue sur la fermeture du disque unité U. On voit facilement que A est une sous-algèbre
de C(T). Si /„ g A et si [fn} converge uniformément sur T, le théorème du maximum contraint
la suite associée {Fn} à converger uniformément sur la fermeture de U. Ceci montre que A est
une sous-algèbre fermée de C(7), et donc A est, elle aussi, une algèbre de Banach.
Définissons la fonction/0 par f0(e'd) = e'e. Alors F0(z) = z. Le spectre de/0 comme élément
de A est le disque unité fermé ; mais dans C(T) le spectre de/0 est seulement le cercle unité.
En accord avec le théorème 18.9, les deux rayons spectraux coïncident.

idéaux et homomorphismes
409
IDÉAUX ET HOMOMORPHISMES
À partir de maintenant, nous ne nous occuperons que d'algèbres commutatives.
18.12. Définition. — Un sous-ensemble / d'une algèbre complexe commutative A est un
idéal si (a) I est un sous-espace vectoriel de A et si (b) xy g I pour tous x e A et y e I. Si
/ * A, / est un idéal propre. Un idéal maximal est un idéal propre qui n'est contenu dans aucun
idéal propre plus grand. On remarquera qu'aucun idéal propre ne contient d'élément inversible.
Si B est une autre algèbre complexe, une application <p de A dans B est appelée un
homomorphisme si (p est une application linéaire qui préserve la multiplication : (p(xy) = (p(x)ç(y)
pour tous jc et y e A. Le noyau de <p est l'ensemble des jc g A tels que <p(jc) = 0. On vérifiera
trivialement que le noyau d'un homomorphisme est un idéal. Pour la réciproque, voir la
section 18.14.
18.13. Théorème
Si A est une algèbre complexe commutative unitaire, tout idéal propre de A est contenu dans
un idéal maximal. Si, de plus, A est une algèbre de Banach, tout idéal maximal de A est fermé.
Démonstration. — La première partie est une conséquence presque immédiate du principe de
maximalité de Hausdorff (et est valable dans tout anneau commutatif avec élément unité). Soit
/ un idéal propre de A. Par la relation d'inclusion, ordonnons partiellement la famille 9> des
idéaux propres de A contenant /, et soit Af la réunion des idéaux d'une sous-famille ^ de &
totalement ordonnée maximale. Alors M est un idéal (étant la réunion d'une famille totalement
ordonnée d'idéaux), / cz M, et M* A ; car aucun élément de 9> ne contient l'élément unité de
A. La maximalité de ^ entraîne que M est un idéal maximal de A.
Si A est une algèbre de Banach, la fermeture M de M est encore un idéal (nous laissons la
démonstration au lecteur). Comme M ne contient pas d'élément inversible de A et comme
l'ensemble des éléments inversibles de A est ouvert, on a M * A, et la maximalité de M montre
alors que M - M. Ce qui termine la démonstration.
18.14. Espaces quotients et algèbres quotients. — Soit J un sous-espace d'un espace
vectoriel A, et associons à chaque x g A la classe
<p(jc) = jc + 7 = {jc + y :ye J}. (1)
Si jc, - jc2 g J, <p(xx) = ç(x2). Si jc, - jc2 e J, <p(jc,) n <p(jc2) = 0. L'ensemble de toutes les
classes de J est noté AU ; c'est un espace vectoriel si nous définissons pour jc et y g A et À
scalaire
<p(x) + (p(y) = ç(x + y), a(p(x) = cp(ÀJc). (2)
Comme J est un espace vectoriel, les opérations (2) sont bien définies ; effectivement si
(p(x) - (p(x') et si (p(y) = (p(y'), alors
<p(x) + q>(y) = <pU') + ç>(y'), X<p(x) = X<p(x'). (3)
D'autre part, il est clair que (p est une application linéaire de A sur AIJ ; l'élément zéro de AIJ
est <p(0) = y.
Supposons maintenant que A ne soit plus simplement un espace vectoriel mais une algèbre
commutative et que J soit un idéal propre de A. Si jc 1 - jc g J et si y ' - y g J, l'identité
x'y'-xy = {x,-x)y, + x(y,-y), (4)

410
THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES ALGÈBRES DE BANACH
montre que jc'y' - xy g 7. On peut donc définir de manière cohérente la multiplication dans
AU selon :
(P(x)ç(y) = <p(xy) (x et y g A). (5)
On vérifie alors facilement que A U est une algèbre, et (p un homomorphisme de A sur A /7 dont
le noyau est J.
Si A possède un élément unité e, (p(e) est l'élément unité de AU, et AU est un corps si et
seulement si J est un idéal maximal.
Pour le voir, soit jc g A et x ë J, et posons
/ = {ax + y : ae. A, y g J}. (6)
Alors, / est un idéal de A qui contient J strictement, puisque jc g /. Si J est maximal, / = A, donc
ax + y = e pour un a g A et un v e 7, donc (p(a)(p(x) = (p(e) ; ce qui veut dire que tout élément
non nul de AU est inversible, donc que A / / est un corps. Si J n'est pas maximal, on peut choisir jc
comme ci-dessus de sorte que A, donc e ë /, et alors ç(x) n'est pas inversible dans Al J.
18.15. Normes quotients. — Soit A un espace vectoriel norme, J un sous-espace fermé de A,
et <p(jc) = jc + 7, comme ci-dessus. Définissons
\\(p{x)\\ = inf{||jc + y||:yG/}. (1)
On remarquera que ||<p(jc) || est la borne inférieure de la norme des éléments de la classe de jc ;
c'est aussi la distance de jc à J. La norme définie dans A IJ par (1) s'appelle norme quotient de
AU. Elle possède les propriétés suivantes :
(a) AU est un espace vectoriel norme.
(b) Si A est un espace de Banach, AU en est un aussi.
(c) Si A est une algèbre de Banach commutative et J un idéal propre fermé, A/J est une
algèbre de Banach commutative.
Ces propriétés se vérifient facilement :
Si jc g J, ||<p(jc) || = 0. Si jc e J, le fait que J soit fermé implique ||<p(jc) || > 0. Il est clair que
|| A<p(jc)|| = | A| || <p(jc)||. Si JCj et jc2 g A et si e> 0, existent y, et y2 g J tels que
k + y/||<||ç>U)|| + e (/= 1,2). (2)
Donc
\\cix, + x2)\\ < ||jc, + x2 + y, + y2|| < ||ç>(*,)|| + ||çK*2)|| + (3)
qui donne l'inégalité triangulaire et démontre (a).
Supposons l'espace A complet et soit {(p(xn)} une suite de Cauchy dans AU. Il existe une
sous-suite pour laquelle
\\ç(xm)-<p(xHiJ\\<2-1 (i= 1,2,3,...), (4)
et il existe des éléments z{ tels que z,- - xn, g J et || z, - z, + i || < 2~'. Ainsi {z,} est une suite de
Cauchy dans A ; et comme A est complet, il existe z g A tel que || z, - z || —> 0. Il en résulte que
ç(xn.) converge vers (p(z) dans AU. Mais si une suite de Cauchy possède une sous-suite
convergente, la suite elle-même converge. Ainsi AU est complet, et (b) est démontré.
Pour démontrer (c), choisissons JCj et x2 g A et e > 0, et choisissons y, et y2 g J de sorte que
(2) soit vérifiée. Remarquons que (jc, + y,)(jc2 + y2) g jcjJc2 -i- J, de sorte que
^(x,^)!! <||(x, +yl)(x2 + y2)|| <||x, +y,|| ||x2 + y2||. (5)

applications
411
Mais (2) entraîne
H^Cjc,^)!! ^H^Cjc,)!! (6)
Enfin, si e est l'élément unité de A, prenons xx ë J et x2 = e dans (6) ; ceci donne \\ç (e)\\ > 1.
Mais ee ç(e), et la définition de la norme quotient montre que ||<p(e)|| < = 1- D'où
|(<p(£)|| = 1, ce qui termine la démonstration.
18.16. Après ces préliminaires, nous pouvons maintenant démontrer quelques-uns des points
fondamentaux concernant les algèbres de Banach commutatives avec élément unité. Associons
à A l'ensemble A des homomorphismes sur A à valeurs complexes, c'est-à-dire les
homomorphismes de A sur le corps des complexes, ou, avec une terminologie différente, les formes
linéaires multiplicatives sur A qui ne sont pas identiquement nulles. Comme auparavant, o~(jc)
désigne le spectre de l'élément jc g A, et Q(x) le rayon spectral de x.
On a les relations suivantes.
18.17. Théorème.
(a) Tout idéal maximal M de A est le noyau d'un ne A.
(b) X e c (jc) si et seulement si h(x) = X pour un ne A
(c) jc est inversible dans A si et seulement si /t (jc) * 0 pour tout he A
(d) h(x) e ct(jc) pour tout xe A et tout he A.
(e) \h(x)\< Q(x) < ||jc|| pour tout xe A et tout he A.
Démonstration. — Si M est un idéal maximal de A, A/M est alors un corps ; et comme
M est fermé (théorème 18.13), A/M est une algèbre de Banach. D'après le théorème 18.7
il existe un isomorphisme j de A/M sur le corps des complexes. Si h =j o <p, où (p est
l'homomorphisme de A sur A/M dont le noyau est M, h e A et le noyau de h est M. Ce qui
démontre (a).
Si À g G (jc), l'élément x - Xe n'est pas inversible ; donc l'ensemble des éléments (jc - Xe)y,
où y g A est un idéal propre de A, qui est contenu dans un idéal maximal (théorème 18.13), et
(a) montre qu'il existe un h e A tel que h (jc - Xe) = 0. Comme h(e)=l, ceci donne h (x) = X.
D'autre part, si X ë a (jc), il existe y g A tel que (jc - Xe)y = e. Il s'ensuit que h (x - Xe) h(y)=l
pour tout h g A, de sorte que (h (jc) - X) h (y) = 1 et h (jc) # X. Ce qui démontre (b).
Comme jc est inversible si et seulement si 0 g ct(jc), (c) résulte de (b).
Enfin, (d) et (e) sont des conséquences immédiates de (b).
On remarquera que (e) montre que la norme de h9 en tant que forme linéaire, est au plus 1.
En particulier, toute he A est continue. Ceci avait déjà été démontré au théorème9.21.
APPLICATIONS
Nous donnons maintenant quelques exemples de théorèmes dont les énoncés quoique ne
comportant pas de concepts algébriques, peuvent être démontrés par des techniques d'algèbres
de Banach.

412
théorie élémentaire des algèbres de banach
18.18. Théorème
Soit A (U) Vensemble des fonctions continues sur la fermeture U du disque unité ouvert U
et dont les restrictions à U sont holomorphes. Supposons que /,, ...,/„ soient des éléments de
A(U) tels que pour tout ze U
|/i(z)| + ... + |/„(z)|>0. (1)
// existe des fonctions gu ...,gne A(U) telles que
n
=1 (ze U). (2)
l = I
Démonstration. — Dans la mesure où les sommes, les produits et les limites uniformes de
fonctions holomorphes sont holomorphes, A (U) est une algèbre de Banach pour la norme de la
borne supérieure. L'ensemble J des fonctions , où les g, sont des éléments quelconques
de A(U), est un idéal de A(U). Nous avons à démontrer que J contient l'élément unité 1 de
A(U). D'après le théorème 18.13 ceci se produit si et seulement si J n'est inclus dans aucun
idéal maximal de A (U). D'après le théorème 18.17 (a) il suffit de démontrer qu'il n'existe pas
d'homomorphisme d'algèbre h de A (U) sur le corps des complexes tel que h(ft) = 0 pour tout
i(l <i<n).
Avant de déterminer ces homomorphismes, remarquons que les polynômes forment un sous-
ensemble dense de A (U). Pour le voir, supposons f e A(U) et e> 0 ; comme / est
uniformément continue sur U, il existe r < 1 tel que \f(z) - f(rz) \ < £ pour tout z g U ; le
développement de f(rz) en puissances de z converge si et seulement si |rz|<l, donc converge
uniformément pour ze U vers /(rz), ce qui donne l'approximation désirée.
Soit alors h un homomorphisme complexe de A (U). Posons /0(z) = z, évidemment fQ e A(U).
Il est aussi évident que cr(/0) = U. On pose h(f0) = a. D'après le théorème 18.17 (d), de U.
Donc h(fo ) = a" = fl (a), pour n = 1, 2, 3, ..., et donc h(P) = P( a) pour tout polynôme
P. Comme h est continu et parce que l'ensemble des polynômes est dense dans A(U), il résulte
que h(f) = /(a) pour toute fe A(U).
Notre hypothèse (1) fournit |/,(a)|>0 pour au moins un indice /, \<i<n. Ainsi,
Nous avons démontré qu'à chaque he A correspond au moins l'une des fonctions données /,■
de sorte que h(fi) * 0, et ceci, comme nous l'avons remarqué ci-dessus, suffit pour démontrer le
théorème.
Remarque : Au cours de la démonstration précédente, nous avons en plus déterminé tous les
idéaux maximaux de A(U), puisque chacun d'eux est le noyau d'un he A : si ae U et si
Ma est l'ensemble des f e A(U) telles que f(a) = 0, alors Ma est un idéal maximal de
A(U), et tous les idéaux maximaux de A(U) sont obtenus de cette façon.
A(U) est souvent appelée l'algèbre du disque.
18.19. Les restrictions des éléments de A(U) au cercle unité T forment une sous-algèbre
fermée de C(T). C'est l'algèbre A de l'exemple 18.11. En fait, A est une sous-algèbre
maximale de C(T). De manière plus explicite, ji A cz B cz C(T) et si B est une sous-algèbre fermée
dans C(T), alors B = A ou B = C(T).

applications
413
Il est facile de voir (on comparera avec l'exercice 29 du chapitre 17) que A est précisément
formée des f s C(T) pour lesquelles
f(n) = ±l*j(ei6)e-in9dS= 0 (/i = - 1, - 2,-3, ...).
(D
Le théorème de maximalité mentionné ci-dessus peut donc être énoncé comme un théorème
d'approximation :
18.20. Théorème
Supposons que ge C(T) et que g(n)*0 pour un n < 0. Alors à chaque f e C(T) et à tout
e > 0 correspondent des polynômes
PAe") = "f*.,.*'" (« = 0....,a0 (D
* = 0
tels que
f(ei9)-j^P„(eie)g\eie)<e (ei9 b T). (2)
Démonstration. — Soit B la fermeture dans C = CÇT) de l'ensemble des fonctions de la forme
£(3)
n = 0
Le théorème affirme que B - C. Supposons B*C.
L'ensemble des fonctions (3) (on remarquera que l'entier N n'est pas fixé) est une algèbre
complexe. Sa fermeture B est une algèbre de Banach qui contient la fonction/0, où f0 (e6) = e10.
L'hypothèse B * C entraîne l//0 e B, car autrement B contiendrait /o pour tous les entiers
relatifs n, donc B contiendrait tous les polynômes trigonométriques ; et comme les
polynômes trigonométriques sont denses dans C (théorème 4.25), on aurait B - C.
Ainsi/0 n'est pas inversible dans B. D'après le théorème 18.17, il existe un homomorphisme
complexe h de B tel que h (f0) = 0. Tout homomorphisme non nul sur le corps des complexes
vérifie h(\) < 1 et Ià"1! < 1 donc |Â| < 1 ; et comme h(fQ) = 0, on a aussi
h(fo) = [h(f0)]n = 0 </i= 1,2,3,...). (4)
Nous savons aussi que h est une forme linéaire sur B, de norme 1 au plus. Le théorème de
Hahn-Banach prolonge h en une forme linéaire sur C (encore notée h), de même norme. Comme
h(\) = 1, et \\h\\ < 1, le raisonnement de la section 5.22 montre que h est une forme linéaire
positive sur C. En particulier, h if) est un nombre réel pour toute / réelle ; donc h(f) = h(f).
Comme / "o" est le nombre complexe conjugué de /o, il en résulte que (4) est aussi valable
pour n = -1, - 2, - 3, ... Ainsi pour tout entier relatif,
M/o) = \\ si " = °' (5)
[0 si n * 0.
Les polynômes trigonométriques étant denses dans C, il existe une seule forme linéaire
bornée sur C qui satisfasse (5). De sorte que h est donnée par la formule
h(f) = yk d6 </g c>-
(6)

414
théorie élémentaire des algèbres de banach
Si n désigne maintenant un entier positif, gfl e B ; et comme h est une forme multiplicative
sur B, (6) donne, d'après (5),
g(-n) = yk \j(eie)eine dQ = h(gfn0) = h(g)h(fn0) = 0. (7)
Ce qui contredit l'hypothèse du théorème.
Nous terminerons avec un théorème dû à Wiener.
18.21. Théorème
Supposons
et f(e'e) * 0 pour tout réel & Alors
7±T = irnein6 avec il7„|<~. (2)
Démonstration. — Soit A l'espace des fonctions complexes / sur le cercle unité qui satisfont
(1), espace équipé de la norme
11/11= fl c„\. (3)
Il est clair que A est un espace de Banach. En fait, A est isométriquement isomorphe à Z1,
l'espace des fonctions complexes définies sur les entiers naturels et intégrables pour la mesure
de dénombrement. Mais A est aussi une algèbre de Banach commutative, avec la multiplication
ponctuelle. Car si g e A et si g(etô) = S bnetne, alors
et donc
ll/sll = XXe-'** ^XlMXk-'l = Il/Il-11*11. <5>
n k k n
La fonction 1 est l'unité de l'algèbre A, et || 11| = 1.
Posons comme ci-dessus f^e6) = ee. Alors /0e A, l/f0e A, et ||/o|| = 1 pour n = 0,
± 1, ± 2, .... Si h est un homomorphisme quelconque de A sur le corps des complexes et
h(f0) = a, le fait que || h\\ < 1 entraîne que
|r| = |^(/S)|<||/01| = 1 (n = 0,±l,±2f...). (6)
Nécessairement \a\ = 1. En d'autres termes, à tout h correspond un point e'a e T tel que
h(f0) = eia et
h(fl) = eina = flWa) (n = 0f± 1,±2,...). (7)
Si / est donnée par (1), alors / = Ec„ fl ; cette série converge dans A ; et comme h est une
forme linéaire continue sur A, nous concluons de (7) que
h(f) = f(eia) (fe A). (8)
L'hypothèse selon laquelle / ne s'annule en aucun point de T exprime par conséquent que /
n'appartient pas au noyau d'un quelconque homomorphisme complexe de A, et le théorème 18.17
entraîne l'inversibilité de / dans A. C'est précisément ce qu'affirme le théorème.

exercices
415
EXERCICES
1. Soit B(X) T algèbre des opérateurs linéaires bornés sur un espace de Banach X, avec
(A]+A2)(x) = A]X + A2x, (A{A2)(x) = At(A2x)9 \\A\\ = sup^>
si A, Àx et A2 e B(X). Démontrer que B(X) est une algèbre de Banach.
2. Soit n un entier positif, X l'espace des n-uplets de nombres complexes z2... zn) (espace
norme comme on voudra, du moment que les axiomes d'un espace vectoriel norme soient
satisfaits), et B(X) comme à l'exercice 1 °. Démontrer que le spectre de tout élément de B(X)
consiste en n nombres complexes au plus. Quels sont-ils ?
3. Prenons X-Û (-«>, °°), supposons çe L°°(-ooi oo), et soit M l'opérateur de
multiplication qui transforme / g L2 en qtf. Montrer que M est un opérateur linéaire borné sur L2 et que
le spectre de M est égal à l'image essentielle de ç (chapitre 3, exercice 19).
4. Quel est le spectre de l'opérateur de translation sur l2 ? (Voir le théorème 17.20 pour une
définition).
5. Démontrer que la fermeture d'un idéal dans une algèbre de Banach est encore un idéal.
6. Si X est un espace compact séparé, trouver tous les idéaux maximaux de C(X).
7. Soit A une algèbre de Banach commutative unitaire, engendrée par un seul élément jc. Ceci
signifie que les polynômes en jc sont denses dans A. Démontrer que le complémentaire de ct(jc)
est un sous-ensemble connexe du plan. (Indication : Si A £ ct(jc), existent des polynômes Pn tels
que Pn(x) —> (jc - Xe)~1 dans A. Démontrer que Pn(z) —» (z - A)~1 uniformément sur <7(jc)).
8. Supposons Ici <°°,/(z)= ]Tcnz", |/(z)|>0 pour tout z g U, et \/f(z) = £fl„z" •
0 0 0
Démontrer que ^\an \ < «>.
o
9. Démontrer qu'un sous-espace vectoriel fermé de l'algèbre de Banach L1 (R1) (voir
section 9.19) est invariant par translation si et seulement si c'est un idéal.
10. Montrer que L1 (T) est une algèbre de Banach commutative (sans élément unité) pour la
multiplication définie par
</.*)(') = ^: ff(t-s)g(s)ds.
Trouver, comme au théorème 9.23, tous les homomorphismes complexes de L1 (T). Si E est un
ensemble d'entiers et si IE est l'ensemble des / g Lx(T) telles que f(n) = 0 pour tout ne E,
démontrer que IE est un idéal fermé de L1 (7), et que tout idéal fermé de L1 (T) est ainsi obtenu.
11. Le résolvant R(X, jc) d'un élément x d'une algèbre de Banach avec élément unité est
défini comme
R(Kx) = (Ae-jc)"1

416
théorie élémentaire des algèbres de banach
pour tout X complexe pour lequel cet inverse existe. Démontrer l'identité
R(Kx)-R(^x) = (fi-X)R(X)R(fi)
et l'utiliser pour fournir une démonstration autre du théorème 18.5.
12. Soit A une algèbre de Banach commutative unitaire. Le radical de A est défini comme
l'intersection de tous les idéaux maximaux de A. Démontrer au sujet d'un élément x que les
trois énoncés suivants sont équivalents :
(a) x appartient au radical de A.
(b) limier" = 0.
(c) h (jc) = 0 pour tout homomorphisme complexe de A.
13. Trouver un élément x dans une algèbre de Banach A (par exemple, un opérateur linéaire
borné sur un espace de Hilbert) tel que jc" * 0 pour tout n > 0, mais tel que lim || jc" | = 0.
n -* oo
14. Soit A une algèbre de Banach commutative unitaire, et soit A l'ensemble des
homomorphismes complexes de A, comme à la section 18.16. Associons à chaque xs A une fonction x
sur A par la formule
x(h) = h(x) (he A).
La fonction jc est appelée la transformée de Gelfand de jc.
Démontrer que l'application jc —>jc est un homomorphisme de A sur une algèbre A de
fonctions complexes sur A, avec la multiplication ponctuelle. Sous quelle condition portant sur A
cet homomorphisme est-il un isomorphisme ? (Voir l'exercice 12.)
Démontrer que le rayon spectral Q (jc) est égal à
\\x\L = sup{|jc(/0| :heA}.
Démontrer que l'image de la fonction jc est exactement le spectre o~(jc).
15. Si A est une algèbre de Banach commutative sans élément unité, soit A, l'algèbre des
couples (jc, X) avec jc e A et A complexe ; l'addition et la multiplication sont définies de la
manière « évidente » et || (jc, À)|| = ||jc|| + | X\. Démontrer que A{ est une algèbre commutative
unitaire et que l'application jc -» (jc, 0) est un isomorphisme isométrique de A sur un idéal
maximal de AP C'est la manière standard de plonger une algèbre sans unité dans une algèbre unitaire.
16. Montrer que H°° est une algèbre de Banach commutative unitaire pour la norme de la
borne supérieure et avec l'addition et la multiplication ponctuelles. Pour tout |a| < 1,
l'application / —> f(a) est un homomorphisme complexe de Démontrer qu'il doit y en avoir
d'autres.
17. Montrer que l'ensemble des fonctions (z - 1 )2/, où / e H°°, est un idéal de H°° qui n'est
pas fermé.
Indication : |(1 -z)2(l + e- z)"1 - (1 - z)| < e si |z| < 1, £>0.
18. Soit <p une fonction intérieure. Démontrer que {(pf : f e H°°} est un idéal fermé de //°°.
En d'autres termes, montrer que si [fn} est une suite dans H°° telle que <pfn —» g uniformément
sur U, alors g/<pe H°°.

notes historiques
417
NOTES HISTORIQUES
Voilà bien un domaine qui ne manque pas de références générales, telles que [Loomis, 1953], [Naimark,
1959] ou [Rickart, 1960], et même pour certains aspects [Hille, Phillips, 1957]. Une histoire partielle en
est donnée dans [Pier, 1996]. L'article pionnier est celui de Norbert Wiener en 1930, dont on retrouvera
l'essentiel dans [Wiener, 1933, p. 91], avec la démonstration du théorème 18.21. La théorie des algèbres
de Banach fut d'abord exposée par Gelfand en 1941, et elle donna lieu à une floraison d'articles de ce que
l'on peut appeler l'école russe.
Section après section, on peut signaler les démonstrations plus simples qui furent proposées. Ainsi, pour
la section 18.18, la démonstration élémentaire est due à P.J. Cohen en 1961 ; pour la section 18.20 le
théorème original est dû à Wermer en 1953, et la démonstration du texte est celle de Hoffman et Singer (voir
[Hoffman, 1962, pp. 93-94], livre qui contient aussi une preuve extrêmement courte due à P.J. Cohen
(référence déjà citée)). Pour la section 18.21, le théorème taubérien, la preuve ici donnée est essentiellement
celle due à Gelfand, et elle marquait le succès de sa théorie organisée à partir de la démonstration originale
de Wiener.
Dans l'exercice 14, l'ensemble A peut être muni d'une topologie qui en fait un espace compact séparé
pour laquelle la fonction x est continue. L'application jc —^ Je est un homomorphisme de A dans C(A).
Cette représentation de A comme algèbre de fonctions continues est un des outils les plus importants pour
l'étude des algèbres de Banach.

CHAPITRE 19
TRANSFORMÉES
DE FOURIER HOLOMORPHES
INTRODUCTION
19.1. Au chapitre 9, la transformée de Fourier d'une fonction / définie sur Rx a été considérée
comme une fonction /, également définie sur R1. Il est souvent possible de prolonger / en une
fonction holomorphe sur un certain domaine du plan complexe. Par exemple, si f(t) = e'1'1, la
fonction f(x) = (1 + x2) est une fonction rationnelle. Cette extension ne devrait pas trop
surprendre. Pour tout réel r, le noyau etz est une fonction entière en z, et on peut espérer que des
conditions convenables sur / assurent Tholomorphie de / sur certains domaines.
Nous décrirons deux familles de fonctions holomorphes construite de cette manière.
Pour la première famille, on part d'une fonction F de L2 oo) qui s'annule sur fj[ (c'est-
à-dire / g L2(0, + «j)), et l'on pose, en désignant par Tl+ l'ensemble des z = x + iy et y > 0,
f(z) = \°°F(t)eitz dt (ze 77+). (1)
Size 77+,|e"z| = e~ty, ce qui montre que l'intégrale (1) existe au sens de l'intégrale de Lebesgue.
Si Im z > S > 0, Im zn > 8 et z„ —> z, le théorème de la convergence dominée montre, puisque
la fonction à intégrer est majorée par la fonction 4 exp (-2ôt) qui appartient à L1 et tend vers 0
pour tout t > 0, que
lim | | txp(itZn) - c\p(itz)\2dt = 0.
L'inégalité de Schwarz établit la continuité de / sur 17+. Les théorèmes de Fubini et de Cauchy
établissent jf(z) dz = 0 pour tout chemin fermé y dans TI+. Le théorème de Morera prouve
y
alors fe H(n+).
Réécrivons (1) sous la forme
/<* + !» = [">(0*"V"drf (2)
et considérons y comme fixée. Utilisons le théorème de Plancherel pour obtenir pour tout y > 0
h fj/(*+<>)i2^ = J>(oiv2»<& <\y(tiïdt. o)
(On notera que nos notations diffèrent de celles du chapitre 9. Dans ce chapitre, la mesure sous-
jacente était la mesure de Lebesgue divisée par le facteur Jlk. Ici, nous utilisons la seule mesure
de Lebesgue, ce qui rend compte du facteur -l apparaissant dans (3). On a montré
2k

deux théorèmes de paley et wiener
419
(a) Toute fonction f de la forme (1) est holomorphe sur 77 +, et ses restrictions aux droites
horizontales de n* constituent un sous-ensemble borné de L2 (- °°, + oo).
La deuxième famille est celle de toutes les / de la forme
f(z) = \A F(t)eitzdt (4)
où 0<A<oo et Fe L2(-A, + A). Ces fonctions / sont entières (même démonstration que
précédemment) et satisfont la condition de croissance
|/(z)| < \F(t)\ t*> dt < eAM \F(t)\ dt. (5)
Si C désigne la dernière intégrale, on a C < o© et (5) implique
\f(z)\<CeMzl. (6)
(Des fonctions entières satisfaisant une inégalité (6) sont dites de type exponentiel). Ainsi :
(b) Toute fonction f de la forme (4) est une fonction entière qui vérifie (6) et dont la
restriction à l'axe réel appartient à L2 (par le théorème de Plancherel).
Il est remarquable que les réciproques des résultats (a) et (b) soient exactes. Tel est le contenu
des théorèmes 19.2 et 19.3.
DEUX THÉORÈMES DE PALEY ET WIENER
19.2. Théorème
Soient fe //(/7+) et
SUP hr f\f(x + iy)\2dx = C<oo. (1)
Il existe F e L2(0, °°) telle que
f(z) = \~F(t)eitzdt (ze 77+) (2)
et
f°°|F(0|2^ = C. (3)
Remarque. La fonction F que nous recherchons doit posséder la propriété suivante : f(x + iy)
est la transformée de Fourier de F(t) e~yl (où y est considérée comme une constante positive).
Si nous utilisons la formule d'inversion (que ceci soit justifié ou non, notre propos est de
motiver la démonstration qui suit), la fonction F souhaitée devra être de la forme.
F(t) = e,y ■ ± J_" f(x + iy) e'"' dx = ± J/(z) e'"' dz. (4)
La dernière intégrale est prise sur une droite horizontale de TI+ et si le raisonnement est correct,
la valeur de cette intégrale ne doit pas dépendre du choix d'une telle droite particulière. Ce qui
suggère un appel au théorème de Cauchy.
Démonstration. — Choisissons y tel que 0<y<oo. Pour tout a>0, on définit Ta comme le
chemin rectangulaire dont les sommets sont ± a +1 et ± a + iy. Grâce au théorème de Cauchy, on a
\f(z)e~itzdz = 0. (5)

420
transformées de fourier holomorphes
Considérons seulement les valeurs réelles de t. Soit <P(p) l'intégrale de f(z) e~llz sur un
segment vertical allant de p+ i à p+ iy (j3 réel). Définissons / = [y, 1] si y < 1 et /= [1, y] si
I < y. On a
I*(j3)|2 = $f(P+iu)e-i,{p+iu) du2<\\f{P+iu)\2du\elludu. (6)
/ / /
Définissons
HP) = j\f(P+iu)\2du. (7)
Par le théorème de Fubini, la relation (1) montre
^ \^A(P)dp<Cm(I). (8)
II existe donc une suite {a}} telle que a, —» <» et
A(aj) + A(-aj)^>0 0'->~). (9)
Grâce à (6), cela entraîne
0((Xj)->O, <P(-a7)-»0 lorsque (10)
On notera que cette limite a lieu pour tout t et que la suite {} ne dépend pas de la variable t.
On définit
gj(y, ') = Yk i-'a.f{x + iy)e'"X (11}
On déduit alors de (5) et (10) que
\im[e,ygj(y, t)-e'gj{\, t)] = 0 (-«<,< oo). (12)
Écrivons^, (x) au lieu def(x + iy). Par hypothèse, la fonction fy g L2(- oo, oo) et en désignant
par fy la transformée de Fourier de f le théorème de Plancherel établit que
Hm f \fy(t)-gj(y, t)\2dt = 0. (13)
j —> oo J -oo
Une sous-suite de {gy(y, t)} converge donc ponctuellement vers fy(t) pour presque tout /
(théorème 3.12). En définissant
^(0 = e'fx(t) (14)
il s'ensuit, grâce à (12), l'égalité
F(t) = etyfy(t). (15)
Il faut noter que y n'intervient pas dans (14) et que (15) a lieu pour tout y g ]0, oo[. Appliqué
à (15), le théorème de Plancherel donne
J_" e'2" \F(t)\2 dt = |/v (Ol2 dt = ij £ |/v (xf dx < C. (16)
Si l'on fait tendre y vers l'infini, (16) montre que F(t) = 0 p.p. sur ]-oo, 0[.
Si l'on fait tendre y vers 0, (16) montre que
\~\F(t)\2 dt<C. (17)
L'appartenance pour y > 0 de fy à L1 provient de (15). Par suite, le théorème 9.14 procure
f>(x) = çfy (t)e™ dt (18)

deux théorèmes de paley et wiener
421
ou encore
f(z) = \mF(t)e-yieitxdt = f"F(t)ei!zdt (ze 77+). (19)
Jo Jo
C'est la relation (2), et (3) provient maintenant de (17) et de la formule 19.1 (3).
19.3. Théorème
Soient A et C deux constantes positives, et soit f une fonction entière telle que, pour tout z,
\Az)\<CeMzl. (1)
Supposons aussi
\~Jf{xfdx<~. (2)
// existe une fonction Fe L2(-A, A) telle que pour tout z,
/(z) = F(t)eindt. (3)
J-A
Démonstration. — Pour £>0 et tout x réel, on définit fe(x) = f(x)e~e]A. Nous allons
montrer que
lim f~ f£(x)e~i,xdx = 0 (t réel, 11\ > A). (4)
Puisque \\f£ - f\\2 —> 0 lorsque e —> 0, le théorème de Plancherel indique que la transformée
de Fourier de fe converge vers la transformée de Fourier F de / au sens L2 (Plus exactement, vers
la restriction de / à l'axe réel). Par suite, (4) impliquera la nullité de F en dehors de [-A,+A ] et
le théorème 9.14 indique la validité de l'égalité (3) pour presque tout z. Comme chaque membre
de (3) définit une fonction entière, cette égalité (3) a en fait lieu pour tout nombre complexe z.
Ainsi (4) démontre le théorème.
Pour tout nombre réel a, on prend pour i"a le chemin
ra(s) = seia, 0<j<oo, (5)
et on définit
na = {w : Re(weia)>A}. (6)
Pour w g 77a, on pose
^«(w) = f f(z)e~wz dz = e'a \ f(seia) exp(-wsea) ds. (7)
Grâce à (1) et (5), on voit que le module de l'intégrand est majoré par
Cexp{-[Re(we'a)-A] j}.
Comme à la section 19.1, on en déduit que Oa est holomorphe sur le demi-plan 77a.
Cependant, on a plus lorsque a = 0 et a = n. De fait, on a
*o(w) = f f(x)e~wzdx (Ren>>0), (8)
Jo
&kW = -J° f(x)e~wx dx (Re w<0). (9)
Grâce à (2), les fonctions 0O et &n sont holomorphes sur les demi-plans indiqués.
L'intérêt des fonctions 0a en vue de (4) repose sur la relation, de démonstration facile,
\mfe(x)e'itxdx = 0o(e+it)-0x(- e+it) (r réel). (10)

422
TRANSFORMÉES DE FOURIER HOLOMORPHES
Par suite, on doit montrer, dès que t > A ou t < -A, que le membre de droite de (10) tend vers 0
lorsque e —» 0.
On le fera en établissant que deux quelconques des fonctions &a coïncident sur T intersection
de leurs domaines de définition, c'est-à-dire qu'elles se prolongent analytiquement
mutuellement. Ceci fait, on pourra remplacer &0 et &n par &„/2 dans la relation (10) pour t < -A, et par
si r > A. Il est alors évident que la différence tend vers 0 avec £.
Ainsi, supposons 0</?-a<7ret définissons
a+B B-a ~
y - rj = COS ^-y- >0. (11)
Pour w = | w | e~iy, on a
Rt(weia) = r)\w\ = Re(w,/3). (12)
De sorte que we TJan TJp dès que |w| >A/r\. On considère l'intégrale
jf(z)e-wzdz (13)
r
prise sur l'arc circulaire r fourni par r(t) = re", a<t < j3. De
Re(-vvz) = -\w\ r cos(f-/) <-\w\rr], (14)
on constate que le module de l'intégrand dans (13) ne dépasse pas
Cexp{(A-|w|77)r}.
Si | w | >A/r), il s'ensuit que (13) tend vers 0 lorsque r —> <*>.
Appliquons dès lors le théorème de Cauchy. L'intégrale de/(z) e~wz sur le segment [0, refi]
est égale à la somme de (13) et de l'intégrale sur [0, reia]. Mais (13) tend vers 0 lorsque r —» «>,
et par suite on peut conclure que <Pa(w) = &p(w) dès que w = Iwle"* et \w\ >A/t). Par
suite, le théorème 10.18 montre que Oa et &p coïncident sur l'intersection de leurs deux demi-
plans de définition.
Ceci termine la démonstration.
19.4. Remarque. — Chacune des démonstrations précédentes repose sur une utilisation
typique du théorème de Cauchy. Pour le théorème 19.2, on a remplacé l'intégration sur une droite
horizontale par l'intégration sur une autre afin d'établir l'indépendance de 19.2 (15) quant à y.
Pour le théorème 19.3, en remplaçant un rayon par un autre, on a pu réaliser le prolongement
analytique, ce qui établit que chacune des &a est la restriction d'une unique fonction 0,
holomorphe sur le complémentaire du segment [-An A. ].
La famille des fonctions décrites au théorème 19.2 est l'analogue, relativement au demi-plan,
de la famille H2 qui a été discutée au chapitre 17. Nous allons faire usage du théorème 19.3
pour la démonstration du théorème de Denjoy-Carleman (théorème 19.11).
CLASSES QUASI-ANALYTIQUES
19.5. Lorsque £2 est un domaine et z0 g J2, toute / g H(Q) est déterminée de façon unique
par les nombres /(Zq), /'(zq), f"(z0) ... D'autre part, il existe des fonctions sur/?1, indéfiniment
différentiables et non identiquement nulles, mais s'annulant sur tout un intervalle. Une propriété
d'unicité est donc possédée par les fonctions holomorphes mais est inexacte sur C°° (la famille
de toutes les fonctions indéfiniment différentiables et à valeurs complexes sur Z?1).

classes quasi-analytiques
423
Lorsque f e H(Q), la croissance de {|/n(zo)|} est gouvernée par le théorème 10.26. Il est
alors raisonnable de se demander si la propriété d'unicité ci-dessus a lieu pour des sous-familles
convenables de C°° pour lesquelles la croissance des dérivées est soumise à certaines
restrictions. C'est ce qui motive les définitions suivantes, la réponse à la question étant fournie par le
théorème 19.11.
19.6. Les classes. C{Mn}. — Soit M0, Af,, ... une suite de nombres positifs. On définit avec
C{Mn] la famille de toutes les /e C°° qui satisfont des inégalités de la forme
\\Dnf\l<PfB}Mn (« = 0,1,2,...). (1)
Ici D°/=/et D"/désigne pour n > 1 la dérivée d'ordre n de / ; la norme utilisée est la norme
de la borne supérieure sur /c1 ; fif et Bf sont des constantes positives (qui dépendent de /, mais
ne dépendent pas de n).
Lorsque / satisfait (1), on a
•™»ïp{!^l"} (2)
De sorte que fiyest une quantité bien plus significative que fir Toutefois, à omettre /^dans (1),
le cas n = 0 fournirait < Af0 qui est une restriction indésirable. L'introduction de ^fait de
C {Mn} un espace vectoriel.
Tout espace C{Mn] est invariant par les transformations affines. De façon plus explicite,
soit /g C{Mn} et posons g(x) -f(ax + b). La fonction g satisfait (1) avec fi = fif et Bg = aBf.
Nous maintiendrons par la suite deux hypothèses sur les suites {Mn}
M0 = 1. (3)
M2n<Mn_{Mn + x (n = 1,2,3, ...). (4)
Cette dernière hypothèse (4) peut être exprimée sous une autre forme : {log Mn} est une suite
convexe.
Ces hypothèses simplifieront un peu notre travail sans faire perdre aucune généralité.
[On peut montrer, mais nous ne le ferons pas, que toute classe C [Mn} coïncide avec une
classe C{Mn} pour laquelle la suite {Mn} satisfait (3) et (4)].
Le résultat suivant illustre l'utilité de (3) et (4).
19.7. Théorème
Toute classe C{Mn) est une algèbre pour la multiplication ponctuelle des fonctions.
Démonstration. — Soient / et g g C{Mn] et )3/, Bf, Pg et Bg les constantes correspondantes. La
règle de dérivation d'un produit de fonctions s'écrit en prenant
j) (n-j)l j\
D\fg) = X .}(DJf)-(D*-'g). (D
Par suite
\D"(fg)\ < pfp£ (ny/B'i-JMJMl,.J. (2)
j = Q j
La convexité de {logAf„}, jointe à M0 = 1, montre que M}Mn_j<Mn pour 0<j<n. Grâce à
la formule du binôme de Newton, à partir de (2) on obtient

424
transformées de fourier holomorphes
\\Dm{fg)\\-ZPfPjLBf + Bg)mMm (n = 0,1,2, ...), (3)
de sorte que fge C{M„}.
19.8. Définition. — Une classe C {Mn} est dite quasi-analytique si les conditions
fe C{M„}, (Dn/)(0) = 0 (pour n = 0,1,2, ...) (D
impliquent/(x) = 0 pour tout xe R1.
Bien entendu, le contenu de la définition ne change pas si Ton remplace (Dnf)(0) par
(D"f) (jc0) en un point x0 quelconque.
Les classes quasi-analytiques sont celles qui possèdent la propriété d'unicité mentionnée à la
section 19.6. L'une de ces classes est très intimement liée aux fonctions holomorphes.
19.9. Théorème
La classe C{ n !} est celle de toutes les fonctions f ayant la propriété suivante : à chaque f
correspond un 8>0 et f est prolongeable en une fonction holomorphe bornée dans la bande
|Im z\ < ô.
Par suite, C{ n !} est une classe quasi-analytique.
Démonstration. — Soit / e H(Q) et < P pour tout z e Q où Q désigne l'ensemble
des z - x + iy tels que |y| < Ô. Il découle du théorème 10.26 que pour tout x réel on dispose
de
\Dnf(x)\»<p8-nn\ (11 = 0,1,2, ...). (D
Par suite, la restriction de / à l'axe réel appartient donc à C{ n !}.
Réciproquement, supposons que / soit définie sur l'axe réel et appartienne à C{ n\). En
d'autres termes
\\Dnf\\00<PBnn\ (n = 0, 1,2, ...). (2)
Nous prétendons que la représentation en série entière
f(x)= flDr&a) . (3)
n î
n = 0
vaut pour tout jc g R1 dès que a-B~x <x<a + B~{. Comme on le voit à partir de la formule
de Taylor
f(x) ="^(-^^(x~a)J+—^—l\x-tr\D"f)(t)dt, (4)
formule qui s'obtient en itérant une intégration par parties. Grâce à (2), le dernier terme de (4),
(le « reste »), est majoré par
nPB"
\\x-t)n-xdt
= p\B(x-a)\n. (5)
Si \B(x - a)\ < 1, ce reste tend vers 0 lorsque n —> oo et par suite l'écriture (3) est acquise sous
les conditions requises.
Dans (3), on peut maintenant remplacer x par un nombre complexe z tel que \z-a\< l/B.
On définit ainsi une fonction Fa, holomorphe sur le disque de centre a et de rayon MB. En
outre, Fa(x) = /(x) pour les valeurs réelles de x telles que |jc-o| < \/B. Par conséquent, les
différentes fonctions Fa sont des prolongements analytiques mutuels et constituent un
prolongement holomorphe F de la fonction / dans la bande |y| < \/B.

le théorème de denjoy-carleman
425
Si 0 < ô< MB et z = a + iy où \y\ < <5, on a
|FU)| = |F.(z)| = X^2Î
1 -AS*
n = 0
Ce qui montre que F est bornée dans la bande \y\ < S et termine la démonstration du théorème.
19.10. Théorème
La classe C{Mn] est quasi-analytique si et seulement si elle ne contient aucune fonction non
identiquement nulle de support compact
Démonstration. — Si la classe C{Mn] est quasi-analytique et si fe C{M„} et de support
compact, / et toutes ses dérivées s'annulent en un point au moins, et par suite /(jc) = 0 pour tout jc.
Supposons que C{Mn] ne soit pas une classe quasi-analytique. Il existe alors fe C{Mn}
telle que (Dnf)(0) = 0 pour n = 0, 1, 2, ... et pour un certain jc0 on a/(jc0)*0. On peut
supposer jc0 > 0. En posant g (jc) =f(x) pour jc > 0 et g (jc) = 0 pour jc < 0, la fonction g
appartient encore à C{Mn}. On définit alors h (jc) = g (jc) g (2jc0-jc). Grâce au théorème 19.7, la
fonction h e C{Mn}. De plus, h(x) = 0 pour jc < 0 et pour jc > 2jc0. Mais h(x0) = /2(jc0) * 0.
Par suite, la fonction h est un élément non identiquement nul de C {Mn} et de support compact.
Nous sommes maintenant prêts pour le théorème fondamental concernant les classes quasi-
analytiques.
LE THÉORÈME DE DENJOY-CARLEMAN
19.11. Théorème
On suppose M0 = 1, M2 < MnA Mn+l pour n = 1, 2, 3, ... et pour x > 0 on pose
°° n n
n = 0
Chacune des cinq conditions suivantes implique les quatre autres.
(a) C{Mn) n'est pas une classe quasi-analytique.
1 + jc'
- 1
M,
n
Remarque. Lorsque Mn tend très rapidement vers l'infini avec n, la fonction Q(x) tend très
lentement vers l'infini avec jc. Ainsi, chacune des cinq conditions dit, à sa manière, que Mn tend
rapidement vers l'infini. On notera aussi que Q(x) > 1 et #(jc) > 1. Les intégrales dans (b) et (c)

426
transformées de fourier holomorphes
sont ainsi toujours définies. Il peut arriver que Q(x) = °° pour un certain x < Dans ce cas,
l'intégrale (b) vaut + oo, et le théorème dit que C {Afn} est quasi-analytique.
Si Af„ = n!, comme Af,,., IMn = l/n, la condition (e) n'est pas réalisée et donc, grâce au
théorème, C{ n !} est quasi-analytique, ce qui est en accord avec le théorème 19.9.
Démonstration : (a) implique (b). — Supposons que C{Mn] ne soit pas analytique. Il existe
donc une fonction non triviale et de support compact dans C {AfJ (théorème 19.10). Un
changement affine de variables procure une fonction F de C {Af„} avec lim supj ^ ^i- i < \
«->- [ M„ J 2
et dont le support est inclus dans le segment [0, A], de sorte que
\\DnF\l<2-nMn (n = 0,1,2, ...), (D
et que F ne soit pas identiquement nulle. On définit
f(z) = \AF{t)eindt (2)
La fonction / est donc entière. Si Im z > 0, le module de la fonction à intégrer dans (2) est
|F(f)l au plus. Par suite, / est bornée dans le demi-plan supérieur, et donc g est bornée dans le
disque unité ouvert U. De plus, g est continue sur U, sauf au point w = - 1. Puisque d'après le
théorème d'unicité sur les transformées de Fourier, / n'est pas identiquement nulle, g ne l'est
pas non plus. Le théorème 15.19 assure à son tour
^ \* \og\g(el9)\d0>-oo. (4)
Lorsque x = i( 1 - ei6)/( 1 + eiô) = tg (0/2), on a dd = 2( 1 + *V dx et (4) équivaut à
± n iogi/(jt)i-^>-oo. (5)
D'autre part, puisque F et toutes ses dérivées s'annulent en 0 et en A, une intégration répétée
par parties de (2) fournit
f(z) = (iz)-n\A(DnF)(t)eindt (z*0). (6)
Il provient de (1) et de (6) que
\xnf(x)\<2~nAMn (x réel, n = 0, 1,2, ...). (7)
Donc, en observant que Q (x) > 1 pour x > 0 :
\f(x)\<Q(x)\f(x)\ = f ^§^<2A (x>0), (8)
n = 0
de sorte que (5) et (8) impliquent la validité de (b)
Démonstration : (b) implique (c). — il suffit de noter q(x) < Q(x).
Démonstration: (c) implique (d). — Posons an = Mxn/n. Puisque M0 = 1 et puisque
M\ < Mn _ j Af „ + !, on vérifie facilement an < an+I, pour n > 0. Si x > ean, on a x"/A/w > e", de sorte que
log^(jc)>log^->log^n = n. (9)

le théorème de denjoy-carleman
427
Donc, pour tout A/,
e\~ \ogq(x)^>eYn c"*1 x~2dx + e t (N + \)x'2dx
n = 1
N
= 5>[--—1+—= y-
n - ! n = 1
(10)
Ceci montre que (c) implique (d).
Démonstration : (d) implique (e). — Posons
M
k = ^r ("=1,2,3, ...)•
On a A, > > A3 > et si an = Mx/n comme ci-dessus, il vient
(ankiï*Mn-*.xki ... k = 1.
Donc Xn < \/an et la convergence de £( \/an) implique celle de LXn.
(H)
(12)
Démonstration : (e) implique (a). — L'hypothèse maintenant faite est IA„<<*>, où Xn est
donnée par (11). Nous prétendons que la fonction
Hz)
sin zY tt sm ^z
X„z
n
(13)
est une fonction entière de type exponentiel, non identiquement nulle, et qui satisfait les
inégalités
\xkf(x)\<Mk[^^^ (x réel, * = 0, 1,2, ...). (14)
Notons d'abord que 1 - z 1 sin z possède un zéro à l'origine. Par suite, il existe une constante B
telle que
sin z|
Il s'ensuit que
de sorte que la série
1 -
sin X„z
Xnz
<B\z\
<BXn\z\
sin Xnz
(\z\<\).
X„z
(15)
(16)
(17)
converge uniformément sur tout ensemble compact. (À noter que 1 /Xn —> oo lorsque n —> oo
puisque E„<«>). Le produit infini (13) définit donc une fonction entière non identiquement
nulle.
Ensuite, l'identité
sin z 1 r1 nz
montre que \z ' sin z\ ^ e!>1, si z = x + iy. Par suite
\f(z)\<eAU\ avec A=2+^Xn.
(18)
(19)
Pour x réel, on a | sin x\ < \ x\ et | sin jc| ^ 1. Par suite

428
transformées de fourier holomorphes
\/nx)\<\/\(^)2fl\^
<(!ÎLiJ(Al...At)-' =Mk(™^j (20)
Cela fournit (14), et en intégrant (14) on obtient
- P \xkf(x)\dx<Mk (k = 0,1,2, ...). (21)
Nous avons ainsi démontré que / vérifie les hypothèses du théorème 19.3. La transformée de
Fourier de /,
F{t) = yk \~j{x)extxdx (r réel) (22)
est donc une fonction de support compact, non identiquement nulle, (21) montre que F e C°°
et en appliquant plusieurs fois de suite le théorème 9.2 (/ ) on trouve
(DkF)(t) = ± J_J- ix)kf(x)e-ilxdx. (23)
Par suite, ^ Mk grâce à (21), ce qui montre Fe C{Mn}.
Par suite, C{Mn} n'est pas quasi-analytique et la démonstration est achevée.
EXERCICES
1. Soit / une fonction entière de type exponentiel et
<P(y) = j~Jf(x + iy)\2dx.
Montrer que, ou bien ç(y) = 00 pour tout y réel, ou <p(y) < 00 pour tout y réel. Montrer que
/= 0 si (p est à variation bornée.
2. Soit / une fonction entière de type exponentiel dont les restrictions à deux droites non
parallèles appartiennent à L2. Montrer que/= 0.
3. Soit / une fonction entière de type exponentiel dont les restrictions à deux droites non
parallèles soient bornées. Montrer que / est une constante. (On utilisera l'exercice n° 9 du chapitre 12).
4. Soit / une fonction entière, |/(z)| < C exp (A \z\) et f(z) = î<anzn. On définit
•M = i 4s-
n = 0
Montrer que cette série converge pour |w| > A, que
f(z) = &(w)ewzdw
lorsque T(r) = (A + e)elt, 0<f<2/r et que 0 est la fonction apparue à l'occasion de la
démonstration du théorème 19.3. (Voir aussi la section 19.4.).
5. Supposons que / satisfasse les hypothèses du théorème 19.2. Montrer que la formule de
Cauchy suivante est exacte, où z = x + iy :

exercices
429
Montrer que
f*(x) = lim f(x+iy)
.y->0
existe pour presque tout x. Quelle est la relation entre /* et la fonction F apparue au théorème
19.2 ? La relation (*) est-elle exacte avec £ = 0 et avec /* à la place de / sous le signe somme ?
6. Supposons (pe L2(- oo, + oo) et cp> 0. Montrer qu'il existe une / et |/| = (p telle que la
transformée de Fourier de / s'annule sur une demi-droite si et seulement si
P log<p(*)-^-2>-oo.
J-~ 1 + x
Suggestion : on considère /*, comme à l'exercice 5, où/= exp (u + iv) et
= lP : 72 2 log<p(t)dt.
(x-t) +y
7. Soit / une fonction à valeurs complexes définie sur un sous-ensemble fermé E du plan.
Montrer que les deux conditions suivantes sur / sont équivalentes :
(a) Il existe un ouvert Q z> E et une fonction F g H(Q) telle que F(z) = f(z) pour tout z g F.
(b) À chaque as E correspond un voisinage Va de a et une fonction Fa g H(Va) telle que
Fa(z) = f(z) sur Va n F. (On a prouvé un cas particulier de ce résultat au théorème 19.9.).
8. Montrer que C {n\} = C {n}.
9. Montrer qu'il existe des classes quasi-analytiques plus grandes que C{ n\}.
10. Posons Xn = Mn_xIMn, comme pour la démonstration du théorème 19.11. Choisissons
g0e Cc(/?') et définissons
gn(x) = (2A.)-1 \Kxgn^x-t)dt (n =1,2,3, ...).
Prouver directement (sans utiliser les transformées de Fourier ou les fonctions holomorphes)
que g = lim g„ est une fonction qui démontre l'implication (e) —> (a) du théorème 19.11. (On
choisira une quelconque gQ convenable).
11. Trouver une formule explicite pour une fonction ç>g C~, de support [-2, + 2] et telle
que q>(x) = 1 si - 1 < x < 1.
12. Montrer qu'à chaque suite [an] de nombres complexes correspond une fonction / g C°°
telle que (d"/)(0) = an pourn = 0, 1,2 ...
Suggestion : si <pest choisie comme à l'exercice 11, si /}„ = ajn\, si gn(x) = j3„ x" (p(x), et si
fn(x) = K"gn(XnX) = P„ X>(AnJf),
on a Id'/JI^ < 2" " pour k = 0, n - 1, pourvu que Xn soit assez grand. Prendre / = z/„.
13. Construire une fonction / g C°° telle que la série entière
^ n\

430
transformées de fourier holomorphes
ait un rayon de convergence 0 en tout a g R1.
Suggestion : Définir
f(x) = 2*cke ,
k = 1
où {ck} et {À.k} sont des suites de nombres positifs, choisies de telle sorte que Lc*AÎ<°° pour
n = 0, 1, 2 ... et que le terme c„A„ s'accroisse très rapidement et soit beaucoup plus grand que
la somme de tous les autres termes de la série Ec*Xnk.
Par exemple, on prend ck = A*-* et on choisit {Xk} telle que
A*>2£c,-A* et kk>k2k.
j= i
14. Supposons C{Mn} quasi-analytique, fe C{Mn} et f(x) = 0 pour une infinité de
xe [0, 1 ]. Que peut-on en dire ?
15. Soit X l'espace vectoriel constitué par toutes les fonctions entières satisfaisant
|/(z)| < Ce*'2' pour une constante C< «>, et dont les restrictions à l'axe réel appartiennent à
L2. On associe à chaque / e X sa restriction aux entiers. Montrer que / —>{/(«)} est une
application linéaire injective de X sur l2.
16. Soit / une fonction mesurable sur ]- <*>, + o©[ telle que |/(jc)| < e~ Ul pour tout jc. Montrer
que la transformée de Fourier de / ne peut avoir de support compact, à moins que f(x) = 0 p.p.
NOTES HISTORIQUES
Pour les sections 19.2 et 19.3, voir [Paley, Wiener, 1934, pp. 1-13], et [Boas, 1954] pour les fonctions
de type exponentiel.
Pour une plus longue introduction aux classes de fonctions de la section 19.5, voir le livre de
Mandelbrojt de 1935.
Dans [Paley, Wiener, 1934], la démonstration de la section 19.21 est plutôt basée sur le théorème 19.2
que sur 19.3.
A l'exercice 4, la fonction F est appelée la transformée de Borel de /, voir [Boas, 1954, chapitre 5].
La preuve ici suggérée pour l'exercice 12 du théorème de Borel de 1895 est due à H. Mirkil en 1956.
RÉFÉRENCES
H. Mirkil, Différentiable fonctions, formai powerseries and moments, Proc. Amer. Math. Soc, 1, 650-652,
1956.
S. Mandelbrojt, Séries de Fourier et classes quasi-analytiques, Gauthier-Villars, Paris, 1935.

CHAPITRE 20
APPROXIMATION UNIFORME
PAR DES POLYNÔMES
INTRODUCTION
20.1. Soit K° l'intérieur d'un sous-ensemble compact K du plan complexe. (Par définition,
Kv est la réunion de tous les disques ouverts inclus dans K ; naturellement K peut être vide
sans que K le soit). Désignons par P(K) l'ensemble des fonctions définies sur K et limites
uniformes de polynômes en z.
Comment caractériser les fonctions de P(K) ?
Deux conditions nécessaires viennent immédiatement à l'esprit : si f e P(K), on a / g C(K)
et/g H(K°).
La question se pose de la suffisance de telles conditions. La réponse est négative dès que K
sépare le plan, c'est-à-dire lorsque le complémentaire de K n'est pas connexe. Nous avons déjà
vu ce résultat à la section 13.8. D'autre part, si K est un segment de l'axe réel (auquel cas
K° = 0), le théorème d'approximation de Weierstrass assure que
P(K) = C(K).
De sorte que la réponse est positive pour un tel segment K. Le théorème de Runge va également
dans cette direction puisqu'il établit que pour des compacts K ne séparant pas le plan, P(K)
contient au moins ceux des / g C(K) ayant un prolongement analytique sur un ouvert X2 z> K.
Dans ce chapitre, nous allons démontrer le théorème de Mergelyan, qui établit, sans aucune
condition superflue, que la condition nécessaire ci-dessus se trouve être suffisante lorsque K ne
sépare pas le plan.
Les éléments principaux de la démonstration sont : le théorème d'extension de Tietze, un
procédé de régularisation qui fait intervenir la convolution, le théorème de Runge, et le
lemme 20.2 dont la démonstration dépend des propriétés de la classe S introduite au chapitre 14.
QUELQUES LEMMES
20.2. Lemme. — Soit D un disque ouvert de rayon r > 0 et Ea D. On suppose E compact
et connexe, et Q = S2 - E également connexe. De plus, le diamètre de E est r au moins. Il
existe une fonction g € H(Q) et une constante b, possédant les propriétés suivantes : si
Q(Ç,z) = g(z) + (Ç-b)g2(z), (1)

432
approximation uniforme par des polynômes
les inégalités (2) et (3) sont valables pour tout z e Q et tout Çe D,
r
G(£z)- r,
z-ç\
; '000'- (3)
lz-CI3
Rappelons que la sphère de Riemann est notée 5 et que le diamètre d'un ensemble E est la
borne supérieure des nombres \z\ -Zi\ lorsque Z\ et z2 parcourent E.
Démonstration. — Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que le centre de D est
choisi à l'origine. De sorte que D = D(0 ; r).
L'implication (d) —> (b) du théorème 13.Il indique que Q est simplement connexe (noter
oo g Q). Grâce au théorème de Riemann, il existe une application conforme F de U sur £2, telle
que F(0) = oo. F possède un développement de la forme
F(w) = -+ Y cnwn (we U). (4)
n = 0
On définit avec F~] pour désigner l'application inverse de F, envoyant Q sur U :
g(z) = ±F-\z) (zeQ). (5)
Nous définissons aussi
b = ±fz8(z)dz, (6)
r
où F désigne le cercle orienté positivement de centre 0 et de rayon r.
Par (4), on peut appliquer le théorème 14.14 à F/a. Il indique que le diamètre du
complémentaire de (F/a)(U) est 4 au plus. De sorte que diam < 4\a\. Puisque diam E > r, on déduit
\a\>r-. (7)
Puisque g est une application conforme de Q sur D(0 ; l/|tf|), la relation (7) implique
\g(z)\<* (ze£2). (8)
Comme F est un chemin de 12, dont la longueur vaut 2/rr, la relation (6) donne
\b\<4r. (9)
Si £g D, on a | Ç\ < r, de sorte que (1), (8) et (9) fournissent
lôl<4 + 5rfi6^iog. (10)
r \r2 J r
Ce qui démontre (2).
Choisissons £e D.
Si z = F(w), on a zg(z) = wF(w)/a, et puisque wF(vv)—»<z lorsque w^O, on a
—> 1 lorsque z —» °°. Par suite, g possède un développement de la forme
(z-0 (z-Ç)
Soit F0 un cercle assez grand de centre 0. La relation (11) fournit, en utilisant le théorème de
Cauchy,

quelques lemmes
433
A2(0 = J(*-OsU)A = b-Ç. (12)
En substituant cette valeur de ^(Ç) dans (11), on voit ensuite d'après (1) que la fonction
<P(z) = \Q(z,0 -?\{z-tf (13)
est bornée lorsque z —> °°. Par suite, <p a une singularité artificielle à l'infini. Si ze £2n D,
on a | z - CI < 2r, de sorte que (2) et (13) procurent
|<Kz)|<8r3|Ô(£z)i+4r2< lOOOr2. (14)
Le théorème du maximum montre que cette inégalité (14) est exacte pour tout ze Q. Ce qui
prouve (3).
20.3. Lemme. — Soit f e C'C(R2), l'espace des fonctions continuement différentiables sur
le plan complexe et à support compact. Posons
On dispose alors de la «formule de Cauchy » suivante
f(z)=-^l(^^d^dT1 (C=É+ir,). (2)
R1
Démonstration. — On peut déduire cette formule du théorème de Green. Cependant, il existe
une démonstration directe et simple :
Posons cp(r, 0) = f(z + ree) pour r>0 et G réel. Si Ç = z + re'e, la règle de dérivation
donne
Le membre de droite de (2) est donc égal à la limite, lorsque e —> 0, de
i r Ç*fd^jJ^dedr (4)
2k h Jo Vdr rdO J
Pour tout r > 0, la fonction q> est périodique et de période 2k. L'intégrale de ^ vaut donc
0 et par suite (4) devient
2k h Je or 2K Jq
Lorsque e—> 0, <p(£, 6) -> f(z) uniformément, ce qui procure (2).
Parce qu'il s'agit d'une conséquence presque directe de ce lemme, nous établirons le
théorème de l'extension de Tietze dans l'environnement même du lemme d'Urysohn.
20.4. Le théorème d'extension de Tietze
Soient K un sous-espace compact d'un espace localement compact séparé X, et f e C(K).
Il existe une fonction F e CV(X) telle que F(x) = f(x) pour tout xe K.
(Comme dans la démonstration du théorème de Lusin, il est possible de s'organiser de sorte
que \\F\\X = 1/1,.)

434
approximation uniforme par des polynômes
Démonstration. — Supposons la fonction / réelle, et -1 < / < 1. Soit W un ouvert de
fermeture compacte tel que K czW. Définissons
K* = j*e K:f(x)>^ K~ = \xe K : f(x) <-ij. (1)
Les ensembles K* et K~ sont des sous-espaces compacts disjoints de W. Par le lemme
d'Urysohn, il existe /, g Cc(X) telle que f\(x) = i sur fx(x) = - i sur et
-1 < f(x)< | pour tout a: g X. Enfin, le support de /, est inclus dans W. Ainsi on a
iZ-Zj^surtf, l/J <| sur X. (2)
On répète cette construction en remplaçant f-f\ remplace /. Il existe f2 g Cc(X), de
support inclus dans W, telle que
l/-/,-/2|<(^)2sur^ |/2| < | ■ | sur X. (3)
De cette façon, on construit des fonctions fn g CC(X), de supports inclus dans W, et telles que
|/-/,-...-/„|<[?jsur^ |/„|< I sur X. (4)
Définissons F = /j + f2 + ... Grâce à (4), cette série converge vers la fonction / sur K et elle
converge uniformément sur X, donc définit une fonction continue F dont le support est inclus
dans W.
THÉORÈME DE MERGELYAN
20.5. Théorème
Soit K un espace compact du plan complexe dont le complémentaire est connexe. Soit f une
fonction continue et à valeurs complexes sur K> holomorphe sur Vintérieur de K et soit £ > 0.
// existe un polynôme P tel que \ f(z) - P(z) \ < £ pour tout ze K.
Lorsque l'intérieur de est vide, une partie de l'hypothèse est automatiquement satisfaite, et
la conclusion vaut pour toute / g C(K). On notera que K n'est pas nécessairement connexe.
Démonstration. — Par le théorème d'extension de Tietze, la fonction / peut être prolongée
en une fonction continue et à support compact sur tout le plan. On choisit un tel prolongement
que l'on désigne encore par /.
Pour tout Ô> 0, désignons par œ(S) la borne supérieure des nombres
l/(Z2)-/(z,)l
où Z\ et Z2 sont des nombres complexes tels que \z\ -z2\ ^ S. Puisque / est uniformément
continue, on a
Mmco(S) = 0. (1)
5-» 0
À partir de maintenant, ô est fixé. Nous allons montrer l'existence d'un polynôme P tel que
\f(z)-P(z)\<lOO00œ(8) (ze K). (2)

théorème de mergelyan
435
Ce qui d'après (1) démontrera le théorème.
Not
on ait
Notre premier objectif est la construction d'une fonction 0 e C(! (R2) telle que, pour tout z,
\f(z)-0(z)\<co(ô), (3)
|(5*)(Z)|<2^, (4)
o
et
0{z) = _I nî*iQdçdri (f=5 + iî,)f (5)
71 j j l z
X '
où l'on désigne par X l'ensemble des points du support de 0 dont la distance au
complémentaire de K ne dépasse pas S. (Par suite, X ne contient pas de point « intérieur éloigné » de la
frontière de K).
On construit 0 par la convolution de / avec une fonction régulière A. On pose a(r) = 0 si
r > ô et
a(r) = Mi4)2 (0<-r<-5)- (6)
On définit pour tout nombre complexe z
Mz) = o(lzl) (7)
Il est clair que A e C'c (R2). Nous prétendons que
JjA = 1, (8)
R2
jjâa=0, (9)
m-wA <'<»
R2
On ajuste les constantes de (6) pour assurer l'égalité (8). (Faire le calcul de cette intégrale en
coordonnées polaires). La relation (9) est exacte puisque A a un support compact. Pour calculer
(10), on exprime dA en coordonnées polaires, comme dans la démonstration du lemme 20.3,
et on note que dA/dQ = 0, et |<?A/<?r| = -a\r).
On définit maintenant
*<z) = j\f(z-0 MOdÇdT! = \\A{z-Ç) M)à^dr). (11)
R1 R2
Puisque / et A ont un support compact, il en est ainsi de <P. Puisque
*(z)-/(z) = jj[/(z-0-/(z)l A{Ç)d!;dT) (12)
R2
et puisque A{Ç) = 0 pour \Ç\ > 8, la relation (3) provient de (8). Puisque A e C[.(R2), les
quotients des différences de A convergent uniformément vers les dérivées partielles
correspondantes de A.
Par suite, on peut dériver sous le signe somme la dernière expression dans (11) pour obtenir
(3*)(z) = jjCdAXz-OfiOdÇdT]
R2
= jj/(z-0 (dA) (QdÇdTj

436
approximation uniforme par des polynômes
= jflf(z-Q-f(z)](dA)(Ç)dÇdîl. (13)
R2
La dernière égalité utilise (9). Les relations (10) et (13) fournissent (4). En écrivant (13) où 0X
et 0y sont mis pour d0, on constate que 0 a des dérivées partielles continues. Par suite, le
lemme 20.3 s'applique à 0 et (5) en proviendra, à condition de montrer que d0 = 0 sur G,
où G désigne l'ensemble des ze K dont la distance au complémentaire de K dépasse 8. On
le fera en montrant que
®(z) = f(z) (ze G). (14)
Il faut noter que df = 0 sur G, grâce à l'holomorphie de / (rappelons que d est l'opérateur
de Cauchy-Riemann défini à la section 11.1). Si maintenant ze G, pour tout Ç tel que | Ç\ < 5,
z - Ç est dans l'intérieur de K. En utilisant la première des égalités de (11), la propriété de
valeur moyenne des fonctions harmoniques nous procure, pour tout ze G.
0(z) = \*a(r)rdr \2"f(z-reie)d0
= 2Kf(z)j*a(r)r dr = f(z) J J A = f(z) 05)
R2
Nous avons donc démontré (3), (4) et (5).
Par la définition de X, on voit que X est compact et donc que X peut être recouvert par un
nombre fini de disques ouverts DD„ de rayon 25, et dont les centres n'appartiennent
pas à K. Puisque S2 - K est connexe, le centre de chaque D, peut être joint à l'°o par un
chemin polygonal situé dans S2-K. Il s'ensuit que chaque D} contient un compact connexe
Ej, de diamètre 28 au moins, pour lequel S2 - Ej soit connexe et K n Ej = 0.
Appliquons maintenant le lemme 20.2, avec r = 28. Il existe des fonctions gj g H(S2 - Ej)
et des constantes bj pour lesquelles les inégalités
|G,<£ (16)
et
G,(£z)-jtç
< 4000^
ont lieu pour tout z ë Ej et tout Çe Djy si
Qj(£z) = gj(z) + (Ç-bj)g2(z). 08)
Soit 12 le complémentaire de £, u ... u En : c'est un ouvert qui contient K.
Posons X, = XnD, et X, = XnDj-(Xi u ... uXy_,) pour 2<j<n. On définit
et
1
De
= i JJ<5*>(0 ^ ^ (z e *2). (20)
F^ = i-KlJ(d0)(Ç)Qj(Çz)d^dr1, (21)
et de la relation (18), on déduit que F est une combinaison linéaire finie des fonctions gj et gj.
Par suite Fe H(£2).

exercices
437
Grâce à (20), (9) et (5), on a
X
R(^z)-—r
dÇdî] (ze 12). (22)
Il faut observer que les inégalités (16) et (17) restent valables en remplaçant g7 par/? si £e X
et z e Q. En effet, si Çe X, Çe Xj pour un certain j, et donc R(Ç, z) = Qj(Ç z) pour tous
les z e ^2.
Fixons maintenant z g £2 et définissons £ = z + . Lorsque p < 45, on donne une
estimation de la fonction à intégrer dans (22) en utilisant (16). On utilise (17) lorsque 45 < Q. On
voit alors que l'intégrale dans (22) est inférieure à la somme de
2*j"(^ + ±)e<*e = 808*5 (23)
Q dQ = 2000*5. (24)
et
■ 400052
Q3
Par suite, (22) fournit
\F(z)-&(z)\<6(Mo)(ô) (ze Q). (25)
Puisque Fe H(Q), KczQ et S2 - K est connexe, le théorème de Runge montre que F
s'approche uniformément sur K par des polynômes. Donc (3) et (25) montrent que (2) peut être
satisfaite, ce qui termine la démonstration.
Un aspect peu usuel de la démonstration mérite d'être souligné. Nous devions montrer que
la fonction de départ / appartient au sous-espace fermé P(K) dans C(K). (En utilisant la
terminologie de la section 20.1). Notre première étape fut d'approcher / par 0. Mais cette étape
nous fait sortir de P(K), car 0 a été construite de sorte qu'en général il ne s'agit pas d'une
fonction holomorphe à l'intérieur de K. Par suite O est à une certaine distance positive de
P(K). Toutefois, la relation (25) montre que cette distance est inférieure à un multiple constant
de û)(5). [De fait, une fois le théorème démontré, nous savons par (3) que cette distance est
(û(8) au plus, précision apportée sur 6000 Cfl(5)]. Pour démontrer (25), on utilise l'inégalité (4)
et le fait que 90 = 0 sur G. Comme les fonctions holomorphes <p se caractérisent par d(p = 0,
on peut considérer que (4) assure que 0 n'est pas loin d'être holomorphe, et cette interprétation
est confirmée par (25).
EXERCICES
1. Étendre le théorème de Mergelyan au cas où S2 - K possède un nombre fini de
composantes. Démontrer que toute fonction f e C(K), qui est holomorphe à l'intérieur de K, peut
être approchée uniformément sur K par des fonctions rationnelles.
2, Montrer que le résultat de l'exercice n° 1 ne peut être étendu à des compacts K arbitraires
du plan complexe, comme on le constate en vérifiant les détails techniques de l'exemple suivant :
On supposera que pour n = 1, 2, 3, D„ = D(an, rn) sont des disques ouverts disjoints
dans U dont la réunion Vest dense dans U, et tels que 2r„ < <» . Faire K = U -V. Définir par
r et y„ les chemins
r(t) = e", yn(t) = an + rnel\ pour 0<r<2*.

438
approximation uniforme par des polynômes
On définit
L(f) = jf(z) dz- X jf(z) dz (/g C(K)).
r « = > yn
Montrer que L est une forme linéaire bornée sur C(K) et que L(R) = 0 pour toute fonction
rationnelle R dont les pôles sont hors de K. Montrer qu'il existe / g C(K) pour laquelle
L(/)*0.
3, Montrer que la fonction g construite lors de la démonstration du lemme 20.2 a la plus petite
norme de la borne supérieure parmi toutes les fonctions / g H(Q) telles que zf(z) -» 1
lorsque z —> °° (Ce qui motive la démonstration du lemme).
Montrer aussi que b = c0 dans cette démonstration et que l'on peut donc remplacer
l'inégalité |6|<4rpar|b|<r.De fait, b appartient à l'enveloppe convexe de E.
NOTES HISTORIQUES
Le théorème 20.5 est en fait le théorème 1.4 du travail publié par S.N. Mergelyan en 1952. Une version
d'analyse fonctionnelle, à partir de considérations de théorie de la mesure a été donnée par L. Carleson
en 1964.
RÉFÉRENCES
N.S. Mergelyan. Uniform approximation to functions of a complex variables, Vspehi Mat. Nauk (NS.), 7,
n° 2 (48), 31-122, 1952 ; Amer. Math. Soc. translation, n° 101, 1954.
L. Carleson, Math. Scandinavica, 15, 167-175, 1964.

ANNEXE
THÉORÈME DE MAXIMALITÉ DE HAUSDORFF
Nous allons d'abord démontrer un lemme qui, combiné à l'axiome du choix, conduit à une
démonstration presque instantanée du théorème 4.21.
Si ^ est une famille d'ensembles et si 0cz^, nous dirons que 0 est une sous-chaîne de ^
dès que <Pest totalement ordonnée par la relation d'inclusion (au sens des ensembles). De façon
explicite, ceci signifie que si A g 0 et B e 0, on a ou bien A cz B, ou bien B cz A. La réunion
de tous les éléments 0 s'appellera la réunion de 0
Lemme. — Soit ^ une famille non vide de sous-ensembles d'un ensemble X telle que la réunion
de toute sous-chaîne de ^appartienne à % Soit g une fonction qui associe à chaque Ae ^ un
ensemble g(A)e ^ de sorte que A cz g(A) et que g (A)-A se compose d'au plus un élément.
Alors, il existe A g 9 pour lequel g (A) = A.
Démonstration. — Fixons A0e ^. Une sous-famille ^' de ^ sera appelée une « tour » si (I7'
possède les trois propriétés suivantes :
(a) A0 g
(b) La réunion de toute sous-chaîne de ^' appartient à
(c) Si A g il en est de même pour g (A).
Il existe au moins une tour. Car si ^, est la famille de tous les A g ^ tels que A0 cz A, ^ est
bien une tour. Soit ^0 l'intersection de toutes les tours. ^0 est également une tour (la vérification
est triviale), mais aucune sous-famille propre de % n'est une tour. Par ailleurs, A0 cz A si
A g L'idée de la démonstration est de montrer que % est une sous-chaîne de
Soit F la famille de tous les C e % tels que tout A g ^0 satisfasse ou bien A cz C, ou bien
CczA.
Pour tout Ce T, soit 0(Q la famille des A e 70 tels °iue °u °ien A c C ou bien g(C) cz A.
Les propriétés (a) et (b) sont évidemment satisfaites par F et par chaque 0(C). Fixons
Ce T, et supposons que A g 0(C). Nous voulons démontrer que g(A)e 0(C). Si
A g 0(C), il y a trois possibilités : ou bien A cz C et A * C, ou bien A = C, ou bien g(C)czA.
Si A est un sous-ensemble propre de C, C ne peut être un sous-ensemble propre de g (A),
autrement g (A) - A contiendrait au moins deux éléments. Comme C g F, il s'ensuit que g(A) cz C.
Si A = C, alors g (A) = g(C). Si g(C) cz A, on a aussi g(C) cz g(A), puisque A cz g(A). Ainsi
g(A) g <P(C), et nous avons démontré que 0(C) est une tour. La minimalité de ^fQ entraîne
maintenant que 0(C) = %, pour tout C e T.

440
annexe
En d'autres termes, si A g % et C g T, alors ou bien A cz C ou bien g(C) c A. Mais ceci
veut dire que g(C) g T. Donc Test une tour, et la minimalité de % montre que T= Il
résulte maintenant de la définition de F que % est totalement ordonnée.
Soit A la réunion de tous les ensembles de %. Comme % satisfait (b), A g %. D'après (c),
g(A) g Comme A est le plus grand élément de % et comme A cz g(A), il en résulte que
A = g (A).
Définition. — Une fonction de choix sur un ensemble X, est une fonction qui associe à tout
sous-ensemble non vide E de X, un élément de E : f(E) g E.
Pour parler plus vaguement, / « choisit » un élément dans chaque sous-ensemble non vide
deX.
L'axiome du choix. — Pour tout ensemble, il existe une fonction de choix.
Théorème de maximalité de Hausdorff
Tout ensemble non vide P, partiellement ordonné, contient un sous-ensemble maximal
totalement ordonné.
Démonstration. — Soit la famille de tous les sous-ensembles totalement ordonnés de P.
Comme tout sous-ensemble de P formé d'un seul élément est totalement ordonné, ^ n'est pas
vide. Il faut remarquer que la réunion de toute chaîne d'ensembles totalement ordonnés est
totalement ordonnée.
Soit / une fonction de choix pour P. Si A g %, soit A* l'ensemble des x appartenant au
complémentaire de A et tels que A u {jc} g %. Si A* *0, posons g (A) = A u {/(A*)}. Si
A* = 0, posons g (A) = A.
D'après le lemme, A * = 0 pour au moins un A g 7, et un tel A est bien un élément
maximal de ^.

BIBLIOGRAPHIE
L.V. Ahlfors
S. Banach
R.P. Boas
N. Bourbaki
N. Bourbaki
R.B. Burckel
H. Cartan
C. Carathéodory
J. Dieudonné
N. Dunford,
J.T. Schwartz
P.L. Duren
T.W. Gamelin
J.B. Garnett
M. de Guzman
P.R. Halmos
P.R. Halmos
P.R. Halmos, G
J.E. Littlewood
G. Pôlya
G. Hardy,
W.W. Rogosinski
H. Helson
H. Helson
E. Hewitt,
K.A. Ross
Complex Analysis, An introduction to the theory of analytic fonctions of
one complex variable, 3e édition, McGraw-Hill, New York, 1978 (lrc éd.,
1953).
Théorie des Opérations Linéaires, Monografje Matematyczne, vol. 1,
Varsovie, 1932.
Entire Functions, Académie Press, New York, 1954.
Éléments de mathématiques. Intégration, ch. 1 à 9, Paris, Hermann, 1965-1969.
Éléments de mathématiques. Topologie, ch. 1 à 10, Paris, Hermann,
1971-1974.
An Introduction to Classical Complex Analysis, Birkhàuser Verlag, Baie,
1979.
Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs
variables complexes, Paris, Hermann, 1961.
Theory of Functions of a Complex Variable, Chelsea Publishing
Company, New York, 1954.
Éléments d'Analyse, Leçons 1 à 9, Gauthier-Villars, Paris, 1968-1982.
Linear Operators, Interscience Publ., vol. 1, New York, 1958.
Theory ofHp Spaces, Académie Press, New York, 1970.
Uniform Algebras, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969.
Bounded Analytic Functions, Académie Press, New York, 1981.
Differentiation of Intégrais inR", Lecture Notes in Math., n° 481, Sprin-
ger Verlag, Berlin, 1975.
Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity,
Chelsea Publ, New York, 1951.
Measure Theory, D. Van Nostrand Company Inc., Princeton, 1950.
Hardy,
Naive Set Theory, D. Van Nostrand Company Inc., Princeton, 1960.
Inequalities, Cambridge University Press, New York, 1934.
Fourier Séries, Cambridge Tracts, n° 38, Londres, 1950.
Lectures on Invariant Subspaces, Académie Press, New York, 1964.
Harmonie Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, Reading,
Mass. 1983.
Abstract Harmonie Analysis, Springer Verlag, vol. 1, Berlin, 1963.

442
bibliographie
E. Hewitt,
K. Stromberg
E. Hille
E. Hille,
R.S. Phillips
K. Hoffman
J.P. Kahane,
J. Ondieux
Y. Katznelson
H. Kestelman
P. Koosis
L.H. Loomis
P. Malliavin
E.J. McShane
M.A. N ai mark
R. Narasimhan
Z. Nehari
J.C. Oxtoby
R.E.A.C. Paley,
N. Wiener
T. Radô
CE. Rickart
F. Riesz,
Sz. B. Nagy
H.L. Royden
W. Rudin
W. Rudin
W. Rudin
S. Saks
S. Saks,
A. Zygmund
G. Springer
Real and Abstract Analysis, Springer Verlag, New York, 1965.
Analytic Functions Theory, Ginn and Company, Boston, vol. 1,
vol. 2, 1962.
1959:
Functional Analysis and Semigroups, Amer. Math. Soc. Coll. Publ.,
n°31, Providence, 1957.
Banach Spaces of Analytic Functions, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
1962.
Séries de Fourier et ondelettes, Cassini, Paris, 1997.
An Introduction to Harmonie Analysis, John Wiley and Sons, New York,
1968.
Modem Théories of Intégration, Oxford University Press, New York,
1937.
Lectures on Hp Spaces, London Math. Soc. Lecture Notes, n° 40,
Cambridge Univ. Press, Londres, 1980.
An Introduction to Abstract Harmonie Analysis, Van Nostrand,
Princeton, 1953.
Intégration et probabilités. Analyse de Fourier et analyse spectrale,
Masson, Paris, 1982.
Intégration, Princeton University Press, Princeton, 1944.
Normed rings, Erven P. Noordhoff, NV, Groningen, Netherlands, 1959.
Several Complex Variables, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1971.
Conformai Mappings, McGraw-Hill, New York, 1952.
Measure and Category, Springer Verlag, New York, 1971.
Fourier Transforms in the Complex Domain, Amer. Math. Soc. Coll.
Publ., n° 19, 1934.
Subharmonic Functions, Eergeb. Math., vol. 50, Berlin, 1937.
General theory of Banach Algebras, Van Nostrand, Princeton, 1960.
Leçons d'Analyse Fonctionnelle, Akadémiai Kiadô, Budapest, lre éd.
1952 ; 3e édition Gauthier-Villars, 1955.
Real Analysis, The Macmillan Company, New York, 1963.
Principles od Mathematical Analysis, 3e édition, McGraw-Hill, New
York, 1976.
Fourier Analysis on Croups, Interscience Publ., New York, 1963.
Functional Analysis, McGraw-Hill, New York, 1973.
Théorie de l'Intégrale, Monografje Matematyczne, vol. 2, Varsovie,
1933 ; Theory of the Intégral, Varsovie, vol. 7, 1937 ; réédition, Hafner,
New York.
Analytic functions, Monografje Matematyczne, vol. 28, Varsovie, 1952 ;
Fonctions analytiques, traduction française, Masson, Paris, 1970.
Introduction to Riemann Surfaces, Addison-Wesley, Reading, 1957.

bibliographie
443
E.M. Stein
E.M. Stein,
G. Weiss
E.L. Stout
E.C. Titchmarsh
H. Weyl
R.L. Wheeden,
A. Zygmund
N. Wiener
G.T. Whyburn
J.H. Williamson
A. Zygmund
Singular Intégrais and Differentiability Properties of Functions,
Princeton Univ. Press, Princeton, 1971.
Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton Univer-
sity Press, Princeton, 1970.
The Theory of Uniform Algebras, Bogden and Quigley, Tanytown-on-
Hudson, 1971.
The Theory of Functions, Oxford University Press, Fair Lawn, 2e éd., 1939.
Die Idée der Riemannschen Flàche, Berlin, 1913 ; 3e éd., Teubner,
Stuttgart, 1955 ; The Concept of a Riemann Surfaces, Addison-Wesley,
Reading, 3è éd., 1964.
Measure and Intégral, Marcel Dekker, New York, 1977.
The Fourier Intégral and Certain ofits Applications, Cambridge
University Press, 1933 ; réédité par Dover Publications, New York.
Topological Analysis, Princeton Univ. Press, Princeton, 1964.
Lebesgue Intégration, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1962.
Trigonométrie Séries, Cambridge University Press, 2e éd., Cambridge,
2 vol., 1959.
Bibliographie historique
J. Aczél,
J. Dhombres
R.L. Baire
E. Borel
H. Bohr
C. Carathéodory
A.L. Cauchy
P.J. Daniell
G. Cantor,
P. Du Bois-Reymond
Functional Equations in several variables, Cambridge Univ. Press, 1989.
Leçons sur les fonctions discontinues, Paris, Gauthier-Villars, 1905.
Leçons sur la théorie des fonctions, Paris, Gauthier-Villars, lrc éd., 1898 ;
4e éd., idem, 1950.
Fastperiodischen Funktionen, Berlin, 1932.
Vorlesungen uber réelle Funktionen, Leipzig, 1918.
Mass und Intégral und ihre Algehaiserung, Berkhausen, 1956.
Cours d'Analyse de VÉcole royale polytechnique. Analyse algébrique,
Paris, Debure, 1821 ; Œuvres complètes, Gauthier-Villars, série 2, vol. 3,
Paris, 1897 ; réédition, ACL, Paris, 1987.
Résumé des Leçons sur le Calcul Infinitésimal, Paris, Debure, 1823 ;
Œuvres complètes, Gauthier-Villars, série 2, vol. 4, Paris, 1899 ;
reproduction de l'original, ACL-éditions, Paris, 1987.
Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires,
Paris, Debure, 1825 ; Œuvres complètes, Gauthier-Villars, série 2, vol. 15,
Paris, 1897 ; reproduction de l'original, ACL-éditions, Paris, 1987.
A gênerai form of the Intégral, Annals of Mathematics, (2), 19, 279-294,
1918.
Gesammelte Abhandlungen, J. Springer, Berlin, 1932.

444
bibliographie
Untersuchungen uber die Convergenz und Divergenz der Fourier'schen
Darstellungsformeln, MunchenAkh. Abh., 12, 2, 1-1°2, 1876.
C. de la Vallée-Poussin
Cours d'Analyse Infinitésimale, vol. 1, Louvain et Paris, 1903.
Intégrales de Lebesgue, fonctions d'ensemble, classes de Baire, Paris, 1916.
U. Dini Série di Fourier e altre rappresentazioni analitiche délie funzioni di una
variabile reale, Pisa, E.T. Nistri, 1880.
P. G. Lejeune-Dirichlet
Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter
une fonction arbitraire entre des limites données, Journal fiir die reine
und angewandte Math., 4, 157-169, 1829.
Séries trigonométriques et séries de Taylor, Acta Mathematica, 30, 335-
400, 1906.
Théorie Analytique de la Chaleur, Paris, F. Didot, 1822 ; Œuvres de
Fourier, Paris, Gauthier-Villars, t. 1, 1898 ; reproduction de l'original J.
Gabay, Paris, 1988.
Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à
l'analyse générale, Gauthier-Villars, Paris, 1928.
Disquisitiones générales circa seriem infïnitam, Comm. soc. reg. se, Gotti-
gensis recentiores, 2, 1813 ; Werke, Gôttingen, t. 3, 123-162, 1866.
Divergent Séries, Oxford, Clarendon Press, 1949.
Grundziige der Mengenlehre, Leipzig, 1914.
Grundzuge einer allgemeinen Théorie der linearen Integralgleichungen,
Leipzig-Berlin, 1912.
The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier
Séries, 2e éd., 2 vol., Cambridge University Press, 1926-27.
Zur Théorie der trigonometrischen Reihen, Math. Annalen, 24, 181-216,
1884.
Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, Paris, Gauthier-Villars,
lreéd., 3 vol., 1882-1887.
Intégrale, longueur, aire, Ann. Math. Pures et Appl., (3), 7, 31-129,
1902 ; Œuvres, vol. 1, Genève, 1975.
Leçons sur la théorie de l'intégration et la recherche des fonctions
primitives, Paris, Gauthier-Villars, 1904.
Leçons sur les séries trigonométriques professées au Collège de France,
Paris, Gauthier-Villars, 1906 ; nouveau tirage, Paris, Blanchard, 1975.
Sur la mesure des grandeurs, Genève, 1956 ; Œuvres, vol. 1, Genève,
1975 ; nouveau tirage, Blanchard, Paris.
De explicatione per séries trigonometricas instuenda functionum unius
variabilis arbitrarium..., Journal fur die reine und angewandte Math., 63,
296-308, 1864, trad. fr. P. Montel, Recherches sur le développement en
séries trigonométriques d'une variable et principalement de celles qui,
dans un intervalle fini, admettent une infinité de maxima et de minima,
Acta Mathematica, 36, 281-295, 1912.
Non uniform convergence and the intégration of séries term by term,
Amer. Journ. Math., 19, 155-190, 1897.
P. Fatou
J. Fourier
M. Fréchet
K. Gauss
G. H. Hardy
F. Hausdorff
D. Hilbert
E. W. Hobson
O. Holder
C. Jordan
H. Lebesgue
R. Lipschitz
W. Osgood

bibliographie
445
Traité d'Analyse, Paris, Gauthier-Villars, 1891 ; 4e éd., idem, 1941.
Uber die Darstelbarkheit einer Funktion durch eine trigonometrische
Reihe, trad. fr. L. Laugel, Œuvres mathématiques de Riemann, Paris,
vol. 1, 1-53, 1898.
Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues, Paris, 1913.
Recherches sur les fractions continues, Annales de la Faculté des
Sciences de Toulouse, 8, 1-122, 1887.
Notes on Intégration, I-IV, Proc. Nat. Acad. Se, USA, 34, 1948.
Linear Transformations in Hilbert Spaces, Amer. Math. Soc. Publ. Coll., 1932.
The Haar Intégral, trad. du portugais, Princeton, 1965.
Mathematische Grundlagen der Quantum Mechanik, Berlin, 1932 ; trad.
fr. A. Proca, Les fondements mathématiques de la mécanique quantique,
Paris, 1947 ; réédition J. Gabay, Paris, 1990.
L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Paris,
Hermann, 1940.
Géométrie Intégration Theory, Princeton, 1956.
On the gênerai theory of intégration, Phil. Trans., 204, 221-252, 1905.
Histoire des mathématiques
The development of function spaces with particular références to their
origins in intégral équation theory, Arch. Hist. Ex. Se, 3, 1-96, 1966.
Éléments d'histoire des mathématiques, Paris, Hermann, 2e éd., 1969.
The History of the Calculus and its Conceptual Development, 2e éd.,
Dover, New York, 1959.
Les idéalités mathématiques, Paris, 1968.
Nombre, mesure et continu. Epistémologie et histoire, Nathan, Paris, 1978.
Leçons de mathématiques. École normale de Van III, Laplace, Lagrange,
Monge, Paris, Gauthier-Villars, 1992.
History of Functional Analysis, Nath-Holland, Amsterdam, 1981.
Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, Paris, 1978.
Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, Paris, Gauthier-
Villars, Leipzig, B.G. Teubner, 1904-1916 ; réédition J. Gabay, Paris.
Lebesgue's Theory of Intégration. Its Origins and Development, Chelsea,
New York, 2e éd., 1979.
Scènes form the history of real Functions, transi. R. Cooke, Berkhâuser
Verlag, Bâle, 1991.
Harmonie Analysis as the Exploitation of Symmetry, a Historical Survey,
Rice University Studies, n° 64, 1978.
The Genesis of Point Set Topology, Macmillan, New York, 1964.
Constitution de la théorie moderne de l'intégration, Vrin, Paris, 1992.
Histoire de l'intégration. Vingt-cinq siècles de mathématiques, Masson,
Paris, 1996.
Development of Mathematics, 1900-1950.
L'Évolution de la notion d'intégrale depuis Lebesgue, Annales Inst
Fourier, 1, 29-42, 1949.

LISTE DES SYMBOLES PARTICULIERS
ET DES ABRÉVIATIONS1
exp (z)
1
T
8
8
Xe
11
lim sup
13
lim inf
13
a/"
14
LlQl)
23
p.p.
25
E
45
CC(X)
47
K<f<V
48
mF
51
m, mk
59
A(T)
59, 182
V (/?*), V (E)
61
il/il,, ll/il
80, 81
Lp(H\Lp(Rk), F
81
LJil\ L„ (#), c
81
c0w, cm
85
(*v), tu ii
99
x±y, Afx
102
104
109
lf{T), C(T)
109, 110
Z
110
/(«)
112
132
ll/l
136
137
138
149
152
A«//
152
A, ±
152
£>'
199
/„/ 200
/i x A 203
f*8 208
jU *A 212
Dp 170
Tr V(f) 172
T'(x) 182
A(A) 182
/<0 219
C00, C; 233
D(a ; r), ZT(û ; r), D(a ; r) 241
■T2 242
H (G) 242
7, 7* 245
dA 246
251
/2=_/x/ 263
<9, 5 275
P(f) 277
77 \ 77" 280
P[dfi] 282
/*(*") 289
//" 289
(pa(z) 298
S2 310
S 332
Ep(z) 351
log+r 359
N 359
(UDo)~(fi,D}) 372
r),//" 388
Af/f g, 392
C[M„] 423
/'(/Q 431
Ct: (/?2) 433
L Les symboles usuels de la théorie des ensembles sont décrits pages 15 et 16 et ne sont pas repris ici. On indique la
première page d'occurrence du symbole, car on y trouve la définition.

INDEX ALPHABÉTIQUE DES MATIÈRES
ET DES AUTEURS
A
Additivité dénombrable, 15
Ahlfors, L. V., 383
Aire (théorème de 1') 333
Algèbre 404
de mesures 212
d'ensembles 9
complexe 404
Artificielle (singularité) 252
Application 6
continue 9
injective 7
ouverte 128, 257, 258
(voir aussi fonction)
Arens, R., 144
Associativité 229
Austin, D., 192
Axiome du choix 440
B
Baire (théorème de) 127
Banach, S., 133
(algèbre de) 229, 404
Banach (espace de) 125
Banach-Steinhaus (théorème de) 127, 129,408
Beurling, A., 384, 385
(théorème de) 330, 396
Bieberbach (conjecture de) 344
Blaschke (produit de) 358, 365, 366, 388, 394
Boîte 58
Borel, E., 5, 31
(mesure de) 56
(transformation de) 31
Borélien 11
Borélienne (fonction) 11, 176, 189
Bornée (essentielle) 81
(Forme linéaire) 126, 158, 161
(transformation linéaire) 126
(variation) 150, 180, 189
Boule 8
C
Calderon, A. P., 403
Cantor, D. G., 320
(ensemble de) 178
Caractère 219
Carathéodory, C, 64, 70
Carleson, L., 438
Catégories (théorème des), 127
Cauchy, A., 272
(formule de) 250, 312, 389, 390, 433
(suite de) 82
(théorème de) 248, 250, 305, 356, 419
(estimation des) 255
Chaîne 373, 439
Changement de variables 185
Chemin 245
Classe 6
Cohen, P. J., 417
Collection 6
Commutative (algèbre) 404
Commutativité 17, 404
Compact 45
Complémentaire 6
Complétion d'un espace mesurable 26, 205
d'un espace métrique 84, 89
Composante 241
Connexe 241
Continuité 7
fonction continue 7
forme linéaire continue 104, 126
mesure continue 187
Convergence uniforme 256

448
index alphabétique des matières et des auteurs
dominée 24
dansLp 81
en mesure 89
monotone 20
presque uniforme 14
sur les sous-ensembles compacts 256
faible 288, 292
Convexe (fonction) 77
suite 423
ensemble 101
Théorème de convexité 300
Convolution 207, 208, 212, 230
Corps 404
des complexes 407
Cosinus 2, 318
Courbe 245
à accroissements orthogonaux 115
Couronne 337
D
Daniell, P. J., 70
Décomposition de Jordan 152
Denjoy, A., 177
Denjoy-Carleman (théorème de) 425
Dense 67
Densité 175,213
Dérivée 241
d'une transformée de Fourier 220
d'une fonction à variation bornée 89
d'une intégrale 174
d'une mesure 169
symétrique 170
d'une transformation 182
Déterminant 62
Diagonalisation 287
Diamètre 171
Dieudonné, J., 70
Différentiable (transformation) 182, 406
Différentielle 182, 406
Dirichlet (problème de) 278
Disque 8, 241
Discrète (mesure) 212
Distributivité 17, 229
Domaine 404
(limite à) 189
Dual 136, 140, 158
E
Eberlein, W. F., 67
Edwards, R. E„ 70
Egoroff (théorème d') 88
Élémentaire (facteur) 351
Ellipse 333
Ellis, H. W., 167
Ensemble 6
borélien 12
fermé 12
compact 46
connexe 241
convexe 101
dense 67
vide 6
G* 12
mesurable, 6
ouvert, 12
partiellement ordonné 108
strictement convexe 139
totalement discontinu 66
totalement ordonné 109
Entière (fonction) 242, 358, 421
Équations de Cauchy-Riemann 275
Équicontinue (famille) 287
Équivalence (classes d') 82
chemins équivalents 245
Équivalence conforme 330
Espace de Banach 125, 387
compact 45
métrique complet 82
dual 136, 140, 158
séparé (Hausdorff) 45
de Hilbert 100
muni d'un produit scalaire 99
localement compact 45
mesurable 7
métrique 8
vectoriel norme 125
séparable 113
topologique 7
vectoriel 43
vectoriel complexe 43
Essentielle (singularité) 253, 310
Euclidien (espace) 44, 58
Euler (identité d') 2, 3
Exponentielle (fonction) 1, 242
Exponentiel (type) 419, 427, 428
Exposants conjugués 79
Extrémale (fonction) 298
Extrémal (point) 292

index alphabétique des matières et des auteurs
449
F
Facteur élémentaire 351
Faible (convergence) 287, 292
Factorisation 352, 388, 393
Famille 6
à un paramètre 374
Fatou, P., 294
(lemme de) 21, 83, 358, 393
(théorème de) 289
Fermé (ensemble) 12,251
(théorème du graphe) 142
(chemin) 245
(courbe) 245
(sous-espace) 101
Fermeture 45
Finie (additivité) 15
Fixe (point) 183, 288, 439
Fonction 7
absolument continue 178
analytique 242
de Borel 12
bornée 81
à variation bornée 180
continue 7
convexe 77
entière 242, 358, 421
essentiellement bornée 81
exponentielle 1
de type exponentiel 419, 427, 428
harmonique 276
holomorphe 242
intégrable au sens de Lebesgue 23
continue à gauche 188
localement intégrable 233
semi-continue inférieurement 47
mesurable 7, 27
méromorphe 265
modulaire 376
monotone 176
normalisée 104
nulle part différentiable 141
rationnelle 311
étagée 83
singulière 177
sous-harmonique 385
sommable 23
semi-continue supérieurement 47
analytique 242
conjuguée 398
de choix 440
Ford, L. R., 345
Forme bornée 126
surC0 161
linéaire complexe 134
continue 126
sur un espace de Hilbert 104
surZ/7 158
linéaire 43
multiplicative 230, 411
positive 44
linéaire réelle 134
Formule d'addition 1
Fourier (coefficients de) 104, 112
(série de) 105, 112
(transformée de) 219, 418
Frontière 280, 297, 335
Fubini (théorème de) 202, 206, 215
G
G, 12
Gauche (fonction continue à) 189
(limite à) 189
Gelfand, I. M. 417
Gelfand-Mazur (théorème de) 407
Gelfand (transformation de) 416
Géométrique (moyenne) 78
Goursat, E. 273
Graphe 142,211
Green (théorème de) 433
Grégoire de Saint-Vincent 4
H
Hadamard, J., 306, 370
Hahn-Banach (théorème de) 133, 135,313,
361,407
Hahn (décomposition de) 157
Halmos, P. R., 71
Hardy, G. H., 210
Harmonique (conjugué) 398
(fonction) 242
(majorant) 400
Harnack (théorème de) 279
Hausdorff (théorème de maximalité de) 109,
135, 234, 409, 439
(axiome de séparation de) 45
(espace de) 45
Hausdorff-Young (théorème de) 303
Heine-Borel (théorème de) 45
Helson, H., 396

450
index alphabétique des matières et des auteurs
Herglotz, G., 294
Hilbert (cube de) 114
(espace de) 100
(isomorphisme de) 108
Hoffman, K.417
Hôlder (inégalité de) 79, 81
Homographie 327
Homomorphisme 219, 230, 411
Homotopie 263
Hypothèse de Bieberbach 344
du continu 205
I
Idéal 354
Image 7
Image essentielle 89, 415
Indéfinie (intégrale) 173
Indépendant (ensemble) 104
Indice d'une courbe 264, 272
d'un chemin 247
Inégalité de Bessel 107
(limite) 13
Inférieur (demi-plan) 280
Inférieure (borne) 7
Inférieurement (fonction semi-continue) 170
Infini (produit) 348
Initial (point) 245
Intégrale 18, 23
double 203
Intégration 22
d'une dérivée 179, 181
sur un ensemble mesurable 19
par parties 189
sur un chemin 245
par rapport à une mesure complexe 160
Intérieur 311
(fonction) 391
Interpolation 210, 303
Intersection 7
Intervalle 7
Invariant (sous-espace) 227, 395
Inverse (image) 7
(application) 7, 257
Inversion 327
(formule d') 221
(théorème d') 221
Inversible (élément) 405
(opérateur) 183
Isolée (singularité) 252
Isométrie 106
Isomorphisme 108, 225
Itérée (intégrale) 203
J
Jacobien 182
Jensen (formule de) 356
(inégalité de) 78
Jordan, C, 5
(courbe de) 336
(décomposition de) 152
k
Kahane, J. P., 383
Koebe (application de) 332, 344
L
Lacunaire (série) 383
Laplace (équation de) 276
Laplacien 234, 276
Laurent (série de) 271
Lebesgue, H. J. 5, 20,31
(décomposition de) 154
(fonction intégrable au sens de) 23
(intégrale de) 18
(ensemble mesurable au sens de) 59
Limite ponctuelle 13
en moyenne 82
de fonctions mesurables 13
en mesure 89
Linéaire (combinaison) 104
(indépendance) 104
Linéairement (ensemble linéairement
ordonné) 108
Liouville (théorème de) 254, 262, 407
Lipschitz (condition de) 144
Localement compact 45
intégrable 233
Logarithme 317
Longueur 190, 246
Lowdenslager, D., 396
Lusin (théorème de) 63
M
Mandelbrojt, S., 430
Maximal (idéal) 409, 411
(ensemble orthonormé) 107
(sous-algèbre) 412
(théorème de maximalité) 109, 439
Maximum (théorème du) 138, 254

index alphabétique des matières et des auteurs
451
Mergelyan (théorème de) 434
Méromorphe (fonction) 265, 353
Mesurable (fonction) 7, 27
(ensemble) 8
(espace) 8
Mesure 15
absolument continue 152
à variation bornée 149
de Borel 56
complète 26
complexe 15, 149
finie, 153
continue 212
de variation totale bornée 150
discrète 212
de Lebesgue 58
positive 15
réelle 15, 152
régulière 56
cr-finie 56, 153
signée 152
singulière 152
invariante par translation 59
Métrique 8
(densité) 175
(espace) 8
Minkowski (inégalité de) 79, 214
Mirkil, H., 430
Mittag-Leffler (théorème de) 315
Modulaire (fonction) 376
(groupe) 376
Montel P., 344
Monotone (classe) 199
(théorème de convergence) 20
Monotonie 15, 51
Morera (théorème de) 251
Moschovakis, Y. N., 345
Moyenne 28
arithmétique 78, 112
Multiplication (opérateur de) 142, 396
Multiplicative (inégalité) 404
(forme linéaire) 411
Multiplicité d'un zéro 252
Muntz-Szasz (théorème de) 361, 366
N
Napier, J., 4
Naturelle (frontière) 370, 379
Négative (partie) 14
(variation) 152
Neumann, J. von, 154, 166
Nevanlinna, R., 359
Newton, L, 3
Non mesurable (ensemble) 62, 188, 205
Normale (famille) 329
Normalisée (fonction) 104
Norme 81, 99, 125, 126
(prolongement préservant la) 135
Norme (espace vectoriel) 125
Normée (algèbre) 404
Noyau 409
Nulle part
dense (ensemble rare) 127
différentiable (fonction) 141
O
Opposé (chemin) 245
Orbite 365
Ordinal 68
Ordre d'une fonction entière 363
d'un pôle 253
d'un zéro 252
Orienté (segment) 246
Orthogonale (projection) 103, 396
Orthogonalité 102
(relations d') 104
Orthonormée (base) 107
(ensemble) 104
Ostrowski, A., 370
Ouverte (boule) 8
(recouvrement ouvert) 45
(théorème de l'application) 128, 256, 258
Ouvert (ensemble) 7
p
Paley-Wiener (théorèmes de) 419, 421
Parallélogramme (loi du) 102
Paramètre (intervalle de) 245
Parseval (identité de) 107, 112, 227, 254
Partielle (dérivée) 275
Partiel (produit) 348
Partielle (somme partielle d'une série de Fourier)
105, 112, 130, 402
Partiellement (ordonné) 108
Partition (d'un ensemble) 149
(de l'unité) 49
Périodique 1, 109, 115, 187
Perron, O., 177

452
index alphabétique des matières et des auteurs
Phragmén-Lindelôf (méthode de) 299
Picard E. (théorème de) 379
Plancherai (théorème de) 225, 420
(transformée de) 225
Poisson (intégrale de) 138, 139, 276, 277, 282,
293
(noyau de) 139, 276
(formule de sommation de) 233
Polaires (coordonnées) 212
Représentation polaire d'une mesure 156
Pôle 253, 310
Polynôme 137
Ponctuelle (limite) 13
Positive (forme linéaire) 44, 50, 136
(mesure) 15
(partie) 14
(variation) 152
Positivement (cercle orienté) 246
Première catégorie 127
Presque partout 25
Principale (partie) 253
Produit cartésien 6, 199
Produit (mesure) 202
Projection 103
Prolongement 133
(théorème de) 133, 252
analytique 372, 422, 424
Q
Quasi-analytique (classe) 425
Quotient (algèbre) 409
(norme) 410
(espace) 409
R
Racine carrée 317
Radiale (limite) 282
Radical 416
Radon-Nikodym (dérivée de) 153, 173
(théorème de) 153, 173
Rationnelle (fonction) 311
Rayon de convergence 243
Réelle (droite) 6
Réelle linéaire (forme) 133
(mesure) 15
Réflexion (principe de) 280
Régulière (mesure de Borel) 56
Régulier (point) 369
Représentable en série entière 243
Représentation (théorèmes de) 50, 104, 161
Réunion 5
Résidu 265
(théorème des) 265
Résolvant 415
Restriction 137
Riemann (intégrale de) 5, 44
(théorème de l'application conforme de) 330,
341
(sphère de) 310
Riemann-Lebesgue (lemme de) 132
Riesz, F. 45, 69, 390, 403
Riesz, M. 390, 398, 403
Riesz (théorème de représentation de) 44, 50,
160
Riesz-Fischer (théorème de) 107, 113
Rotation 327
(invariance par) 59, 234
Rouché (théorème de) 266, 271
Rubel, L. A., 320
Runge (théorème de) 313, 315, 431
S
Saks, S., 32
Scalaire 43
(produit) 99
Schwartz, J. T., 167
Schwarz, H. A., 294
(inégalité de) 58, 79, 100
(lemme de) 297
(principe de réflexion de) 280
Seconde catégorie 127
Section 199
Segment 7
Séparable (espace) 113, 288
Série de Fourier absolument convergente 413
signée (mesure) 152
Sierpinski, W. 205,215
a-algèbre 8, 56
CT-compact (ensemble) 56
(T-finie (mesure) 56
Simple (point frontière) 335
Simplement connexe 263, 316
Singularité essentielle 253, 310
Singer, I. M. 144
Singulière (fonction) 177
(mesure) 152
Singulier (point) 369
Sinus 2, 307, 364
Snow, D. O., 167
Sommable (fonction) 23

index alphabétique des matières et des auteurs
453
Sommation (méthode de) 142
Sous-additivité 69
chaine 439
harmonique (fonction) 385
ensemble 5
espace 101
Spectrale (norme) 407
Spectral (rayon) 407
Spectre 405
Stoïlov (théorème de) 274
Strictement (ensemble strictement convexe) 139
(limite) 13
Supérieurement (fonction semi-continue
supérieurement) 47
Supérieure (borne) 7
Support 47, 67
Surconvergence 371
Symétrique (dérivée) 170
Szasz, O., 367
T
Taubérien (théorème) 417
Taylor (formule de) 424
Thorin, G. O., 308
Tietze (théorème de prolongement de) 433
Topologie 8
Topologique (espace) 7
Totale (variation) 150, 180
Totalement discontinu 66
ordonné 109
Tour 439
Transcendant (nombre) 207
Transformation affine 423
linéaire bornée 126
différentiable 182
linéaire 43
homographique 327
Transitivité 373
Translation 222
(invariance par) 59
(mesure invariante par) 59
(sous-espace invariant par) 227
Triangle 246
(inégalité triangulaire) 8, 58, 100
Trigonométrique (polynôme) 110
Trigonométrique (système) 110
Trois cercles (théorème des) 306
U
Unicité (théorèmes d') 225, 289
Uniforme (absolue continuité) 152
continuité 59
convergence 14, 256
Unitaire (espace) 99
Unité (boule) 126
(cercle) 2
(disque) 138
(masse) 16
(vecteur) 126
Urysohn (lemme de) 48, 70
V
Valeur asymptotique 307
Variation bornée (mesure à) 149
Variation totale, 150
Vectoriel (espace) 43
Vitali-Carathéodory (théorème de) 64, 70
Vitali (théorème de recouvrement de) 166
(théorème de) 164
Voisinage 9, 45
Volume 58
Von Neumann, J., 154, 166
W
Weierstrass, K., 351, 380
(théorème d'approximation de) 361, 380
(théorème de factorisation de) 351
Wermer, J., 417
Wiener, N., 414, 417, 419
Y
Young, W. H., 308
Z
Zéro (ensemble de) 252
Zorn (lemme de) 109
Zygmund, A., 308

Photocomposition : Nord Compo
59650 Villeneuve-d'Ascq

044004 - (II) - (1) - OSB 80° - NOC - MPN
Achevé d'imprimer sur les presses de la
SNEL S.A.
Rue Saint-Vincent 12 - B-4020 Liège
tél. 32(0)4 344 65 60 - fax 32(0)4 341 48 41
avril 2001 -20847
Dépôt légal: avril 2001
Dépôt légal de la 1rc édition : septembre 1998

SCIENCES SUP
Walter Rudin
ANALYSE RÉELLE
ET COMPLEXE
Cours et exercices
Devenu un classique, cet ouvrage présente les techniques de base et les
théorèmes fondamentaux pour un cours de second cycle. L'accent est
mis sur les profondes connexions reliant les domaines
traditionnellement disjoints de l'analyse : sont ainsi réunies l'analyse réelle et
l'analyse complexe. Le livre aborde également quelques-unes des idées
qui fondent l'analyse fonctionnelle.
Cette troisième édition contient un nouveau chapitre consacré à la
différentiation, et il permet au lecteur de se familiariser avec les
fonctions maximales. Les notions d'équicontinuité et de convergence
sont présentées avec plus de précision, ainsi que le comportement à la
frontière des applications conformes étudiées par le moyen du
théorème de Lindelôf sur les valeurs asymptotiques des fonctions
holomorphes bornées dans un disque.
Cette traduction propose en fin de chaque chapitre, à la suite des
exercices d'application, des notes historiques rédigées par le traducteur,
souvent accompagnées de textes anciens. Ces ajouts permettent au
lecteur de mieux appréhender le développement de l'analyse.
WALTER RUDIN
est professeur à l'université
du Wisconsin (Madison).
sciences de la nature
et de la vie
http://www.dunod.com
Vf
DUNOD