/
Текст
MIODRAG SEKULO С . .
profesor Gradevinskog iIk
dlpl. 1Dz.
а teta u Be,ogradu
METOD
KONACNIH
ELEMENATA
IRO »GRADEVINSKA KNJIGA
BEOGRAD, 1988. «
М.Секулович
Метод
кон,еЧНЬIХ
элементов
Перевод с сербскоrо
Ю.Н.3уева
Под редакцией
д-ра теХН. наук, проф.
В.Ш. Бар6акадэе
Москва Стройиздат 1993
УДК 624.04
Секулович М. Метод конечных элементов/Пер. с серб. Ю.Н. Зуева; fIод
ред. в.ш. Барбакадзе.
М.: Стройиздат, 1993.......... 664 с.: ил. ...... Перевод изд.
Metod konacnih elemenata/Miodrag Sekulovic, 1988.
ISBN 5
274
01755..X.
Изложены основные ПРИНЦИПLl конечных элементов (МКЭ) применительно к решению широко
ro Kpyra задач строительной механики. Даны альтернативные подходы построения матриц жесткости
по методу сил, перемещений и смешанному методу ДЛЯ стержневых, плоских и пространственных
систем. Наряду с традиционным подходом к расчету плит рассмотрены осноВы..... теории Рейснера и
предложены пути ее реализации с использованием ЭВМ.
ДЛЯ научных и инженерно
технических работников наУЧНО
ИСCJIедовательски.х и проектны.х oo
raнизаций.
Табл., ИЛ.:, список лит.
экз.
330200000о ...... 449
С ..... ...... ...... ..... ..... ...... ..... ...... ...... 10- 92
047(01) ......93
ISBN 86
395
0126
X (СРЮ}
@ Miodrag Sekulovic, 1988
ISBN 5
274
01755
X (Рф)
@ Перевод на русский язык
Ю.Н. Зуев, 1993
@ Предисловие В.Ш. Барбакадзе,
1993
ВВЕДЕНИЕ
1.РА3ВИТИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ)
Метод конечных элемеН:IОВ (МКЭ) относится к COBpeМCHНbIM методам численноro анализа. Пер
вое ею применение, связано с расчетом ин.женерн.ых конструкций. По аналоrии с расчетом рамы, из..
вестным в статике конструкций,. решал ась проблема ПJlоскоro напряжения. Начиная с этоro первоro
применеlJИЯ, о КО1'ором. можно сказать, что. оно возНИКJIО интуитивно, без использования творческой
базы, МКЭ в течение KOpoTKOro времени развился в самостоятельную область науки, получившую
широкое распространецие в
шении rpаничных задач матемаnц:и,. физики и особенно механики
сплоШНОЙ среды.. Бытрое разви1'ие МКЭ шло наряду с nporpeCCOM современной компьютерной Tex
ники и .ее примецением в различных областя.х. науки и ин
енерной практики.
Основная идея так называемой .физической дискретизаЩlИ сплошной среды. на которой базиру
ется МКЭ, почти столь же древнеro происхожде!{ия, Ka
и стремление человека заменить трудно pe
шаемые прООЛем.Ь1 оолее простыми. По, этому принциny еще 2000 лет назад решались некоторые за..
дачи reoметpиI!I
например, опред
ление объема или поверхност.,. Kpyra на основе деления ero на
меньшие части лраJlИЛЬНОЙ формы.
rреческий математик и физик Архимед определил число tr, т .е. rpаницы,. в которых нцодится
ero чи
ленное зцачение таким образом,. чтобы KO
ТYP у Kpyra был аппроксимирован вписанным или
соответств(}нно вписанным мноroуroльник.ом с конечным числом сторон. С увеличением числа сторон
мно.roуroльпика или с укорочением их длины уменьшалось и различие между rpаницами, в которых
находилось число 1r , а ТОЧhОСТЬ ero численноro значения увеличивалась.
ПриБЛИЗl:Iтельно в то же время подобным образом в древнем Еrипте бьши вычислены объемы
пирамиды и сферической пове
хности, а в Китае доказана известная пирамида Пифаroра. Наряду с
этим решалисъ такие фундаментальные вопросы, как точность решения, верхняя и нижняя rpаницы
аппроксимации, монотонность и скорость конверreнции и друrиe, имеющие и теперь дЛЯ МКЭ весь..
ма актуальное значение.
МКЭ получил свое развитие в середине нынешнеro века. В начальной фазе он развивался по
двум независимым один от друroro путям
вначале инженерному, а затем математическому. Слож
ные пространственные конструкции в инженерных расчетах заменялись простыми, состоявшими из
стержней, рассчитанных по известныM методам статики линейных опор. От математиков требовали
решений определенных rpaничных задач, которые решались с помощью дискретных моделей с при
менением вариационных способов.
Два подхода
инженерный и математический позднее СЛИJIись в один общий, что имело or
ромное значение для дальнейшеro быстроro развития и ШJ1роКОro применения МКЭ. Метод физиче..
ской дискретизации сплошной среды первым применил Хреникофф в 1941 r. при решении плоской
задачи теории упруroсти с помощью заменяемых рамочных систем (framework method). Эта работа
Хреникоффа подтолкнула Maк..reHp
Ньюмарка и Крона к. дальнейше.ftriУ исследованию основной
идеи и определению reометрических и тополоrических свойств дискретной структуры. Однако, He
смотря на то, что решение прООлем в области двумерной сплошной среды с помощью предложенноro
метода С80ДИЛОСЬ к известным методам статики линейных систем, этот способ не сразу подучил дол
жное применение, так как не был roтов к расчету с использованием классических вычислительных
средств. Поэтому с точки зрения ero дальнейшеro совершенствовaJtия и развития наступил почти дe
сятилетний перерыв.
Быстрое развитие почти всех видов инженерных конструкций (особенно в авиации, rде необхо
димы Мl1нимальная масса. и одновременно значительная rpузоподъемность и высокая надежность)
требовало более точных расчетов, которые не моrли быть обеспечены в рамках существующих MeTO
дов, используя классические вычислительные средства.
Методы сил и деформации, как два основных метода расчета напряженно"деформированнoro co
стояния 8- статике линейных опор, получают особое значение в- связи с переводом их в матричную
6
форму, отвечающую применению счетно
выIислительн
1x маU1ИН. В расчете конструкции самолета
Леви в 1947 r. первым применил метод сил р матричной форме. Вслед за этим появились работы
ЛанreфQрса, Ланra и Бисплинrxоффа, Вэле и Лансинщ, в KOTQPblX был матрично сформулирован Me
тод сил и показаны ВОЗМОЖflОСТИ использования КОМПJ»ютеров в .конкретных расчетах.
После этих первых работ ПQЯВИЛИСЬ исследоваНIfЯ Арrириса и ero сотрудников, в которых дана
общая матричная формулировка метода сил на базе-фундаментальных энерreтических принципов тe
ории упруrocти. Определена матрица флексибильности, с помощью которой устанаWIивается связь
между деформированными и статическими величинами. Несмотря на то, что эта работа OCHOBЫBa
лась на методе сил, в ней указано. и на возможность выбора деформативных величин
aK основных
неизвестных.
Введено понятие матрицы жесткости, которая
рмулировалась не непосредственно, как это
принято, а инверсией матрицы флексибильности. Работы Арrириса и ero сотрудников, оnyбликован
ные в период 1954
1966 IТ., представляют исходную позицию для общей матричной ФQРМУJlИРОВ
ки известных методов статики ;линейных конструкций и начала проrpeсса в pactteтax конструкций с
применением вычислительных машин.
Матричная концепция основных методов статики линейных опор вместе с обобщением значения
матриц флексибильности и жесткости быстро была перенесена на расчет поверхностных и простран
ственных опор. Первая работа, в которой былa изложена современная концепция МКЭ, относится к
1956 r. Американские исследователи Тарнер, Клоуr, Мартин и ТОЦП, разрабатывая один из проектов
известной авиакомпании Боинr с целью анализа плоскоro напряженноro состояния, ввели элемент
треуroльноro вида, для котороro сформулировали матрицу жесткости и вектор наrpужения в узлах.
Название
метод конечных элементов ввел в 1960 т. Клоуr.
В период 1960
1965 IТ. опубликованы работы, в которых используются конечные элементы
простой формы для решения различных инженерных проблем. Здесь приводятся некоторые работы,
отличающиеся выбором решения, и в то же время первые в своей области. В области изrиба,плит
это работы Мелоша, Пдини и Клоуra, Ландера, Тошера и Мартина. В области тонких оболочек
работы rрина, Строме и Вейкеля, Мелоша, rрафтона и Строме, в области пространственных про
блем
Арrириса, rалпаreра, ПОДJIОМ и Бипларда.
Для развития МКЭ особое значение имели вариационные принципы механики сплошной среды
и математические методы, которые развивались на основе этих принципов. Формулирование МКЭ,
исходя из вариационных ПрИНЦИIIОВ, означало появление не только значительно общеro подхода, но
и начало серьезной разработки этоro метода на математической основе.
Курант первым попьпался решить одну rpaничную задачу
кручение стержня CeH
BeнaHa
произвольноro поперечноro сечения по принципу деления рассматриваемоro домена на поддомены.
Поперечное сечение стержня Курант разделил на малые элементы треуroльной формы, а решение
искал в рамках вариационноro метода Ритца. Хотя эта работа и имела OrpoMHoe значение, ибо пред
вещала значительное расширение возможностей применения этоro метода, однако почти 10 лет она
оставалась единственной. Лишь в период 1950
1958 IТ. повились работы Поли, rерша и Вайнбер
repa, rде подобным подходом решались определенные rpaничные задачи.
В начале 1960 r. приблизительно в то же самое время, коrда была предложена так называемая
прямая или С111(lтич.еская 1СОнцепцuя МКЭ, появились работы Уайт и Фридрикса, в которых coдep
жался поиск решения частичных дифференциальных уравнений в дифференцированной форме с
треуroлъной сеткой на основе вариационных принципов. В период 1960
1965 IТ. бьто олубликова
НО несколько работ, исходной основой которых были вариационные принципы. Наиболее значитель
ные среди них работы Мак
Лейа, Мелоша, Беселинна, Фраейиса де Веубеке, Джонеса и Пиана.
На базе экстремальных принципов потенциальной и комплементарной ЭlIерrии дискретной
структуры Фраейис де Веубеке вводит понятие нижней и верхней rpаниц аппроксимации по МКЭ.
Исходя из вариационноro принципа Хеллинreр
Рейсснера, Джонес приходит к смешанной модели
МКЭ, в котором OCHoBНbIe неизвестные частично статические, а частично деформированные величи
ны. В работе по дальнейшему обобщению этих исследований принимали участие мноrие aвTopbI,
среди которых особое место занимают работы Пиана.
В период 1965
1970 IТ. знаменательны те работы, в которых рассматриваются вопросы точно
сти аппроксимации и конверreнции решений по МКЭ. В это время была напечатана и первая MOHO
rpафия о МКЭ 3енкевича и Ченra, в которой основательно раскрыта основа метода и расширены об..
ласти ero применения практически для всех задач механики сплс;>шной среды, знающих вариацион
ную формулировку.
С развитием этой теории были созданы математические данные для введения и выбора интерпо
ляционных функций, предстаWIЯЮЩие основу концепции МКЭ. В отдельных доменах за С1UШ.йн.-фУН
KЦиu принимают полиномы n
ro ряда с непрерывными производными до n
I. ряда-как семейств про
стейши.х функций, с помощью которых обеспечивается нормальная аппроксимация и континуитет
между поддоменами.
Математическая теория конечных элементов появилась в семидесятых roдax. В то время наряду
7
со статьями в научных журналах свет увидели и несколько моноrpафий, посвященных математиче..
ским основам МКЭ. Среди них особенно необходимо остановиться на трудах Одена, который внес
значительный вклад в теорию МКЭ. Он ввел целый ряд обобщений и теорем, расширил область их
применения на MHoroMepHoe и Эвклидово пространство, а также их использование в области нели..
нейноro <али3а. Наряду с различными вариационными подходами как исходной основы, Оден с5ра..
тил внимание и на друrие возможности, связанные с балансом энерrии, что очень важно для реше
пия термомеханических проблем. Кроме TOro, им введены некоторые обобщения в reометрии элемен
тов в связи С выбором системы местных координат, интерполяционными функциями и основными
неизвестными величинами.
Хотя развитие МКЭ не замедлялось в течение последних 25 лет, можно сказать, что сильный
толчок к ero широкому применению в различных областях произошел в 1 965 r. С тех пор и до насто..
ящеro времени ежеroдно публикуются сотни научных работ. Состоялось большое число научных
симпозиумов и конференций, посвященных отдельным инженерным и друrим проблемам. В качестве
иллюстрации темпов развития МКЭ может служить диаrpамма, показывающая рост числа опуБЛАКО
ванных раоот в этой области с 1960 по 1975 IТ. '
500
а
I
, I
, I
/
1)
I v
J
/
, I
",
..........
1250
1000
....
о
LO
:. 750
о
5
s
';1"
250
1960
1965
1970
J rод
1975
ИССJlедования по МКЭ, опубликованньtе в период 1960.....1975 rr.
Период последних десяти лет особенно характерен для развития и применения МКЭ в таких об..
ластях нелинейной механики сплошной среды, как reометрическая и материальная нединейность,
динамика конструкций, термодинамика, механика Флуидов, оптимизация конструкций и др. Все эти
области находятся в центре внимания мноrиx издателей в различных частях мира
поэтому уровень
развития и применения МКЭ во мноrих странах весьма высок. Разработаны общие проrpам
мы для современной электронно"вычислительной техники, успешно применяемые в решении конк..
ретпых задач.
2.0СНОВА МКЭ
Основные зависимости между reoметрическими и физическими величинами в механике СПJIОШ"
ной среды выводятся на элементе дифференциально малых размер<>в. Зависимости между средними
8
значениями этих величин, предполаraя их непрерывность, распре>страняются. с бесконечно малых
элементов на всю рассматриваемую область. Таким образом пояаляютсSl диффереНЦИ8JJЬные ypaBHe
ния обычные или частичные, интеrpальные или интеrpaло
дифференциальные, которше с cooтвeTCТ
вуюr.цими контурными и инициальными условиями определяют в математическом смысле соответст..
ВУЮ1.цую rpa.ничную задачу. К сожалению, очень мало rpa.ничных задач, для которых: MOryт найтись
решения в закрытой форме. Поэтому ведется поиск их приблизительных решений.. Существует MHO
жество способов и методов численноro анализа, с помощью КОТОРЫХ,решения этих задач сводятся к
алreбраическим, т .е. к решениями соответствующих дискретных систем.
Метод конечных элементов относится к методу дискретною анализа. В отличие от остальных
численных меroдов, основывающихся на математической дискретизации уравнений rpаничных пр<>
блем, МКЭ базируется на физической дискретизации рассматриваемоro домена. Вместо элементов
дифференцир<>ванно малых размер<>в основу всех исследований состааляет часть домена конечных
размеров
поддомен или конечный элемент. По этой причине основные уравнения, с помощью KO
торых описывается состояние в отдельных элементах, яаляются обычными алreбраическими вместо
дифференциальных или интеrpальных.
С тоЧlCИ зрения физической интерпретации это означает, что рассматриваемый домен как
сплошная среда с бесконечно мноrими степенями свободы заменяется дискретной моделью Связанных
между собой конечных элементов с конечным числом степеней свободы. ПОСКOJIЪку число дисlCрет
ных моделей для одной rpаничной прООлемы неоrpa.ниченно велико, то основная задача заключается
в том, чтобы выбрать ту модель, которая лучше всею аппр<>ксимирует соответствующую rpa.ничную
проблему. Хотя и нет точных критериев, обеспечивающих выоор наилучшей дискретной модели, что
в оольшей мере относится к инженерной интуиции и профессиональному опыту, теор
SI конечных
элементов, как и примеры ее применения в анализе м расчете проблем, позволяет ответить на этот
весьма важный вопрос.
Сущность аппроксимации сплошной среды по МКЭ состоит' в следующем:
рассматриваемый домен СПJIошной среды с. помощью
ражаемых линий или поверхностей дe
лится на определенное число поддоменов конечных размеров. Отдельные подцомены называются lClr '
нечны.ми элементами, и
семейство со вcero домена..... системой или сеткой конеч.ных эле
женmoв;
предполаraется, что конечные элементы соединяю.,ся между собой в к()Нечном числе roчек, KO
торые находятся на контуре элемента и называются У3JlO8ыми тачками или УЗJUlJttи;
состояние в каждом элементе (например, поле перемещения, деформации, напряжения, распр<>
странение температуры) рассматривается с помощью интерполяционных функций и коне,чноro числа
пара метров в узлах, представляющих основные неизвестные величины в мкэ;
для анализа и расчета системы конечных элементов действительны все принципы и способы,
действующие в классической дискретной системе.
Все эти вопросы будут рассмотрены далее.
3. Р А3ЛИЧНЫЕ ВИДЫ МКЭ
По способу исполнения и формулировки основных уравнений МКЭ или уравнений ДЛЯ отдель
иых кон
чных элементов различают четыре основных вида мкэ: прямой, вариационный, резидуума
и энерreтическоro баланса.
Прямой Memoд аналоrичен методу деформации в расчете линейных опор. Еro используют при
решении относительно простых прООлем, он удобен четким reометрическо
механическим значением
отдельных шаroв аппроксимации.
Вариационный м.етод основан на принципе стационарности функционала. В прООлематике Me
ханики твердоro тела функционал обычно является потенциальной, соответственно комментарной
энерrией системы или формулируется на базе этих двух энерmй (Хеллинreр
Рейонер, Ху
Вашизи).
В отличие от прямоro метода, который можно применить только к элементам совсем простоro вида,
вариационный метод одинаково успешно применяется как к элементам простоro, так и сложно
ro видов.
М етод резидуума (метод BecoBoro резидуума) представляет собой общий вид аппроксимации по
МКЭ, базирующийся на дифференциальных уравнениях рассматриваемой задачи. Этот метод приме
няют при решении таких задач, у которых трудно сформулировать функционал или оно вообще OT
сутствует.
М етод энерzеmичесlCOZО ба.ланса основан на балансе различных ВИД()В энерrии, еro примеЮlЮТ в
термостатическом и термодцнамическом анализах сrшошной среды.
В механике твердых деформир<>ванных тел из приведенных видов МКЭ особое место принадле
жит методам вариационному и резидуума, которые в применяемой области представляют два комп
лемеllтарных метода одинаковой точности. ВариационныЙ метод находит шир<>кое !,рименение, так
9
как выражения в функционале обычно имеют низший ряд производной по сравнению с пр<>изводной
в соответствущем дифференциональном уравнении эадачи, который позволяет выбирать интерполя
ционные функции из шир<>кою семейства простых функций. Вариационный вид МКЭ выведен из
клас-сическоro метода Ритца, .3 метод резидуума из классическоro метода Бубнова
rалеркина. В
принципе, из друПfX вариационных методов, как и из метода резидуума, также можно вывести COOT
ветствующие виды МКЭ. Однако их применяют значительно реже.
В отличие от классических вариационных методов, в которых выбор интерполяционных ФУНК
ций зависит от конфиryрации рассматриваемой задачи, в МКЭ этоro не происходит, так как интер
поляционные функции определяются исключительно в рамках отдельных конечных элементов. Ин
терполяционные функции
семейство независимых между собой фУКIIЦИЙ, к()Торые принимаются
за элемент, так что их значения вместе со всеми остальными элементами, кр<>ме элементов, к KOТO
рым ОНИ относятся, идентично равны нулю.В этом состоит основное различие между МКЭ и класси
ческими методами Рэйлей
Ритца и Бубнова
rалеркина, в которых интерполяционные функции при
нимаютсSl для вееro домена.
В расчете инженерных конструкций по мкэ аналоrично с расчетом методами статики KOHCТ
рукций за основные неизвестные принимают: кинематические величины (перемещения, ПJIOИЗ80дные
перемещений, компоненты деформаций и др.), статические величины (внутренние силы, компонен
ты напряжения и др.) или смешанные кинетические и статические величины. В зависимости от спо
соба выоора основных неизвестных в узлах различают три основных вида мкэ: метод деформаций,
метод сил и смешанный или rибридный метод.
MeтoiJ iJeфoРAUЩUU с основными неизвестными кинематическими (деформированными) вели
чинами применяlOТСЯ чаще. Однако при решении некоторых прООлем напряженно--деформационноro
анализа удобен как .м.eтoiJ сил, так и СN;ешанный или zибридный метод, в которых за основные He
известные приниМ8ЮТ статические, соответственно частично статические, а частично кинематические
величины.
В вариационной формулировке МКЭ исходят из метода деформации и метода сил. Если началь
ный Функционал выведен на основе этих двух методов, то получают смешанный или rибридный Me
тод, в rpaницах KOT0P<>ro существует MHOro различных моделей.
Точность решения перемещений по методу деформации отмечают всеrда с нижней, а решения
по методу сил
с верхней стор<>ны. В то же время точность решения по смешанному или rибридно
му методу может быть с той и с друroй стор<>ны.
4.КОНЦЕПЦИЯ АлrОРИТМА МКЭ
Анализ и решение прОблемы механики сплошной среды по МК3 вcerдa сводятся к так называе
мому процесс у "шаz за UШ20М" (Step Ьу step process), который имеет оrpoмное практическое значе
ние для использеваниSl ЭВМ В целях эффективноro расчеtа. В этом процессе, который можно пред
ставить как ПJ)<>CТОЙ алroритм, выделяют следующие шеств важнейших шаroв: дискретизацию
сплошной среды; выоор интерПОЛЯЦИОНtfы.х функций; вычисление характеристик элементов; форми
рование уравнений для сетки конечных элементов; решение системы уравнений; расчет нужных воз
действий.
особенно важны первые три из шести шаroв. Сп6соо дискретизации, выоор вида элементов и об
щеro числа элементов зависит как от природы решаемой прООлемы, так и от необходимой точности
требуемоro решения. Наряду с числом и видом элементов важен и выбор узлов, OCHOBHblX неизвест
ных в НЦХ и интерполяционных функций. С помощью последних определяют поле переменных каж
доro элемента. От их выбора непосредственно зависит и контиНуитет, на rpаницах между отдельными
элементами, а тем самым
точность аппрОксимации. переменныe в элементе MOryT быть скаляр
ной, векторной или тензорной величинами.
Характеристики ()ТДельных элементов определяются независимо от сетки элементов, как единоro
целоro. Так, например, в напряженно
деформационнем анализе конструкций основные зависимости
между статическими и деформироваlПlЫМИ величинами устанавливаются для каждою элемента, MaT
рица жесткости формируетсSl автономно для ()Тдельных элементов, а О()ТОМ на их базе
матрица
для всей системы в целом. ПОСICOJIьку reoмеТРИJl элемеНТОJr достаточно проста, то практически это оз
начает, что комплекснаsr прООлема разбиваеТСJl на несколько простых. Характеристики элементов,
матрицы жесткости, векторы наrpужения и друroe вычислsпoт чаще всею с помощью вариационных
принципов на основе принятой reoметрии элеменroв J( соответствующих интеРП()JIЯЦИОННЫХ Функ
ций. Эти расчеты в основном производятся С применением способа численной интеrpaЦИI;f.
Последние три шат, имеющие большое значение для практических расчетов, приспесабливают
к автоматическому ре)Киму эвм. в этой области ведутся исследования, поиск более экономичных
решений с меньшим расходом счетноro времени ЭВМ. это прежде веет относится к действиям, СВЯ
занным с решением оольших систем алreбраических уравнений, особенно в области нелинейноro
анализа, который сводится к решению ряда линейных систем алreбраических уравнений.
10
fлава!
OCHOBHbIE УРАВНЕНИЯ
ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ упрyrОСТИ
1.1. МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
Обозначение и способ выражения основных величин. На рис. 1.1 nоказана
область д, оrраниченная контуром 8. В части контура
даны контурные УCJIо
вия по силам, а в части S и ........ контурные условия по перемещениям. На тело
действуют как внешние силы, повеРХН9Стное наrружение р в части контура 8(1 и
объемное наrружение F в области Д. Составляющие поверхностных сил Р Х' РУ'
Pz в направлении осей х, у, z как составляющие вектора р
РТ==[Рх Ру pJ
(1.1)
составляющие объемных сил РХ' Ру' Fz как составляющие вектора Р:
FТ == [Fх Ру Fz] ;
( 1.2)
z
б)
р
azz
,у
х
IIC. 1.1. Ооласть D, оrранllченная контуре>м S = S + S u (a)u составляющие
женlIЯ (6) тенз-ора напри..
11
а составляющие перемещения в любой точке тела и, v, w в направлении оси х, у,
z показаВIiI как составляющие вектора и:
uT::[u V w].
( 1.3)
.Тензор ,деформаций
e
x Еху E xz
е.. ==
Y)' E)'Z
IJ
симметl). е а
с учетом ero симметрии имеет только -шесть различающихся между собой состав..
ляющих и может, быть Пр.едставлен как вектор
,Т == [Ехх Е:уу &z% 2 е Ау 2 &YI: 2 &xJ.
(1.4)
Подобным же образом теНЗ0Р напряжения
О'хх аху a
z
а., == (1)", a
!
а)
симмеТR 0'=
может быть представлен как вектор ,6 :
оТ == lахх а уу О"а аху ayz аи,].
(] .5)
ВерXf1ИЙ индекс Т, который появляется в предыдущих выражениях, 0б0зна
чает травспозицию вектора.
Связь
между деформацией и перемещением. Связь между составляющими
тензора и составляющими вектора перемещения дана в выражениях
1
E:ij =' 2 (u", j +- U j . i) } <1.6)
соответственно:
Ехх == U, х }
Е: хУ о=..!.. (u.)' + у. J ;
2
С уу == У, '1 )
Cy.z==
(v.z+w.,);
t zz == W, z
)
1
e xz .==........... (u, z + w, х) )
2
rде индекс за запятой вместе с осноьным обозначением показывает дифференцирование, например,
U'х = -Й и Т.д. Зависимости (1..6) с учетом выражение (1.3) и (1.4) MOryT быть представлены в MaT
ричнои форме
Е :.:::: Lu I
(1.7)
rде L
матрица
оператор
12
д/дх О О
О д/ду О
О О %z ( 1.8)
L==
д/ду д/дх О
О д/дz д/ду
д/дz О д/дх
Наряду с тензором деформации t ij вводится и тензор ротации CAJ ij:
"'0 6)12 6)13
6)1. == 6)21 О (&)23
...6) 31 (&)32 О...
составляющие KOТOporo приведены в зависимости от перемещения
1
(а)а ) ==
(u й J
U j й).
2.' ·
(1.9)
Поскольку 6J ij является косос
метричным тензором (bl ij = .........БJц), он может
быть показан как вектор, KOТOpьm имеет только три составляющие
1
6), ==
erij (a)ji )
2
(1.1 О)
rде erij
псевдотензор, составляющие KOTOporo + 1, соответственно
1 для случая парных или co
ответственно непарных пермутаций чисел 1, 2, 3, имеющих индексы т, i, j.
У словия: Х8мпатибиJlЬНОСТИ деформаЦИЙ. Составляющие тензора деформа--
ции -не DJlЯЮТCЯ взаимонезависимыми, а должны выполнять условия компати"
БИJIЬВОСТИ Сен..Венана:
' I . k + e" k " .
ik " .
е" . " k == D
J 'J J.I . +-J J .1 ,
(1.11)
COOТBettТBeHHo в развернутом виде:
Ехх.
у+Еуу,хх
2
ху,ху==Ю j
}'yp +Ezz, yy.......2Eyz,)'z ==0 ;
Ео хх+Ехх zz
2f;u 'xz==O ) .
. . ,
(1.12)
Ехх, yz+E xz . xx
Exy, xz
Exz. X
:=::O:
Eyy.xz+t:xz, уу
Еуz.ху----Еух. yz==O;
Ezz,xy + Ех y.zz
Ex
.z y
Eyz. xz == о.
Уравнение (1.11), как и выражения (1.12), можно представить в матричной
форме
Lt Е==О)
(1.13)
rдe L 1 ....... матрица
оператор:
13
д 2 ; д у 2 д 2 /д х '}. О
2 д'2/дхду () О 1
о д 2 / дz 2 д 2 /д у 2 О
2 д 2 /дудz О I
L 1 == 1 д 2 /дz 2 О д'2/дх 2 О О
2 д 2 /дхдz fj (1.14)
д 2 /дудz О О
д 2 /дхду д 2 / д х '2
д 2 /дхду
I О д'J./дхдz О ..... д 2 / дzду
д 2 /дхду д 2 / д у 2
l О о д 2 /дхду д 2 / дz 2
д 2 /дхду
д 2 /дудz
у словия равновесия внешних и внутренних сил. Эти условия, действующие
на элементе дифференциально малых размеров (СМ. рис. 1.1), записаны следую
щим образом:
O"IJ.J + Fl==O 7
( 1.15)
соответственно в развернутом виде:
О'хх,х+О'ху, y+O'xz.z + F х==о i
О'ух, x+r.ryy, y+O'yZ,Z + F у==О;
O'zx x+O',ty y+azz z+ Fz==O '.
, , .
Уравнения (1.15) с учетом выражений (1.5) MOryT быть представлены в мат'
ричной форме:
L2 CJ + F ==O,
СР. е б '"
, j .. R "
rде L2
матрица
оператор
.... д /дх
L 2 == О
О
о
д/ду
О
о
о
д/дz
д/ду о д/д
lд/дх д/дz О
-
О д {ду д /дх....
(1 . 1 '7
,
..
Из сравнения выражений (1.8) и (1.17) следует, что
L2==LT)
"1 1\.
'
\, у, .' jl о, i
rде индекс Т обозначает транспозицию матрицы.
Условия равновесия между внутренними и внешними силами в той части
контура, rде контурные условия заданы по силам, даны в уравнениях Коши:
О'IJЛJ==Рl
( 1.19)
соответственно:
O'xxl+O'xym+O'xzn==px ;
ayx/+O'yym +О'пП::=; ру ;
14
t1 zx J +aZym+azzD == Р& ,
rдe А j ([, т, n)
напраWIяющие косинусов уrлов, которые- нормаль n в точках контурной поверхно
ети замыкают с осями Х, у, Z респективно.
Уравнения (1.19) MOryT быть выражены как
Ga......p==O)
(1.20)
"де G
матрица, элементы ее
косинусы уrлов
---/ о о т О n
G== О m О 1 n О (1.21)
О О n О m 1
.....
flри сравнении выражений (1.17) и (1..21) леrко установить, что матрицу G
можно получить через матрицу L 2 , если на место символа дифференциалов по
коор-{(инатам подставить косинусы уrлов нормали с соответствующими осями KO
ординат.
В части контура S и ....... rеометрические контурные условия:
U:=:U :
/==V :
(1.22)
.w
w== w
MOryT 5ыть кратко представлены как
I'W
1\1 == iU
(1.23)
rде и
зектор заданных перемещений.
Связь между напряжением и деформацией. Общая
pMa структурных
уравнений, как и связь между составляющими напряжения и составляющими
деформаций для упруroro материала, дана в выражении
':
'j=::Dijkl Ekl )
( 1.24)
--которое представляет обобщение известноro закона rYKa. Выражение (1.24) с
учетом ;>авенств (1.4) и (1.5) можно выразить как
(f==I)E j
rде
I d! 1 d 12 dl
t
I d 22 d 2З
d зз
[)=:
(2.25)
имметрично
"""
d 14 d 1S 0.61
d 24
d: б
025
d Э4 d зs d Эб I (1.26 )
д 44 d 4S d 4б
d S5 d Sб
d бб
симметричная матрица, именуемая .матрицей жесткости .материала.
15
С учетом свойств симметрии из всех 36 коэффициентов матрицы Д только
21 взаиморазличаются. Зависимость (1.25) можно представить и в обратном по
рядке:
E==D
l а==Со)
(1.27)
rде С
матрица, называемая .матрицей Флексибuльности .материала.
Для тела со свойством ортотропии, как и со свойством симметрии по OTHO
mению к трем между собой нормальным плоскостям, число взаиморазличных
коэффициентов в матрице Д сводится к девяти. Таким образом матрица
--d 11 d 12 d 1З О О О
d 22 d 2З О О О
dзз О О О (1.28 )
D==
d44 О О
d S5 О
симметрично d 66 --
в случае однородных изотропных тел элементы матриц D и С MOryT быть
представлены с помощью коэффициентов Ламе j(
fC :
"'л + 2{J. л л о о О'"
л-+- 2{J. л О о о
л + 2{J. о О о ( 1.29)
D==
(J. О О
(J. О
...симметрично tL...
или соответственно коэффициентов Юнrа ......... Е и Пуассона......... V:
2(1
v)
1
2v
2 ')
2'1
1
2v
2(1
v)
1 ..... 2 v
1
2v
2v
}......2у
2(1.....v)
1
2')
D== Е
2 (1 + '1)
l симметрично
16
о о °1
о о о
(1.30)
О О О
1 О О
1 О
1
r l
v
v О О О
1 I 1
v О О О
1 О О О
c==
I
Е 2 (1 + v) О О
,.
2(1+v) о
симметричнО' 2(1+v)
при известных связях м
жду этими коэффициентами:
л== Еу . I1-==G== · Е
(1+v)(t....2v)' 2(1+v)'
(1.31)
соответственно:
Е == IL (3 л+ 211-) ,
Л+tL
л
'1==
2 (л+ fL)
(1.32)
Дифференциальные уравнения. При описании состояний напряжения и дe
формации как неизвестных величин появляются: три составляющие вектора пе
ремещений и, шесть состав.ляющих вектора деформации f и шесть составляю
щих вектора напряжения
. в сумме......... 15 неизвестных величин, являющихся
функциями координат точек.
Матричные уравнения (1.7), (1.16) и (1.25) представляют собой систему из
15 уравнений с 15
ю неизвестными. Эти уравнения, из которых девять диффе
ренциальных и шесть алrебраических, представляющих в уравнениях (1.20) и
(1.23) условия на контуре, полностью определяют состояния напряжения и дe
формаций в упруroм теле. Однако дифференциальные уравнения линейной Teo
рии упруrocти не остаются в данном виде, а исключением (элиминацией) опре
деленноro числа неизвестных сводятся к OДHOMY
ДBYM основным видам: Ламе,
rде неизвестны компоненты перемещения, или Белтрам.........Микхелл, в котором
неизвестны компоненты напряжения.
Если условие равновесия (1.16) и условия на контуре (1.20) с помощью
уравнений (1.7) и (1.25) будут представлены через nеремещение, то получают
вид уравнения Ламе:
1 1
Llu. + е . +
P.==o
I 1 2 ,. l'
V fJ.
i == 1, 2, 3 j
(1.33)
соответственно
1
1
4п+ Le+
F==O
1
2v (J. ,
rде
1 О О д/дх О
4 == Ll 13 ==
1 О ; L == д/ду
о
о
.
)
(1.34)
симмет
1
симметрично д/дz
17
e=:u,x+V,y+W,z)
6. == д 2 /дх 2 + д 2 /д у 2 + д 2 /дz 2
Эти выражения с условиями на контуре:
( 2 2 \1 ) 1 ·
и,х+ е 1+(u,y+v'x)m+(u,z+w,x)n== PX)
1 2v
(v, х + и, у)1 + ( 2 v, + e ) m + (w, у + v, z) n Ру ;
1 2v
( 1.35)
( 2" ) 1
(w'x+u,z)l+(w,y -J-.v,z)m+ 2w'z+' e n== pz
1 2y IL
представляют полную систему уравнений с неизвестными компонентами BeKTO
ра перемещения.
Если условия компатибю"'IЬНОСТИ (1.12) выраЗИ'fЬ через компоненты напряже
ния, то получим дифференциальные уравнения теории упруroсти типа Белт
рам.......... Митчелла:
1 "
LlO'ij + (1kk. ij == 3 jj Fk. k (F i . j + Fj, i),
)-+\1 ] \I
(1.36)
соответственно:
1 \I
АО'хх + , O"kk. хх == (F х. х + Fy. у +, Fz.z) 2 F х. х ,
1+\1 l v
1 v ..
Ila yy + O'kk. уу == (F x , х + Fy, у + Fz, z) 2 Fy, у I
I-1" l v
( 1.37)
1
L\a;a + crkk, zz == (Р х, х'+ Fy. у + Fz, 7.) 2 Fz. Z I
1.+v 1 'J
Аб](у + 1 1 akk,](y (Р х, у --r Ру, ,,) ;
+"
Аа ух + 1 1 akk'Yi& == (Р у , z + Fz, У) ;
+v
1 .
D.a xz + 1 a kk , хх "" (F х, х + F х. z),
+"
Gkk == О'хх + а уу + O'zz.
в случае, если объемные силы равны нулю, то уравнение (1.36) становится
однородным:
1
t!a+ L O"kk==O )
l+v
(1.38 )
18
rде
1 О О О
o о
1
4==4 Iб==А 1 О
1
симметрично
о О.....
О О
О О
О О
1 О
J
(1.39)
L==
...... д 2 / дх!. О О О О О
д 2 /д у 2 О О О О
д 2 /дz 2 О О О
д 2 /дхду О О
д 2 /дудz О
симметрично д2/дхдz
в этих уравнениях неизвестны компоненты вектора r5 .
1.2. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА
в предшествующе:м: изложении дана математическая фор
лули:ровка проблем
теории упруroсти как смежных проблем, T.
'B форме дифферецциальных ypaB
нений и соответствующих условий на контуре. Проблемы теории упруroсти ТОЧ
но так же MOryT выражаться и вариационной Формулировкой
На основаНИI
сбщ'Их вариаl
ИОННЫХ принципов и соответственно принципов
об энерmи получаются вариационные уравн'ения,.
имеЮlцие форму Функциона
ла, тое. интеrральны
уравнения.. Эти две формулировки проблем теории YIIPYro
сти посредством .ц:и:фф
ренциа<п:Ъ!-IЫХ уравнений и функционал:а эквивалентны,
так что от одноro из них можно пер
йти к друroму. Таким образом решение Ka
кой
либо смежной задачи становится эквивалентным решению соответствующей
вариационной задачи и наоборот.
Вариационная постановка проблем теории упруrocти часто имеет известное
преимущество перед формулировкой в форме дифференциальных уравнений. На
основе энерrетическоro подхода и вариационных принципов появились методы и
приемы. для получеНIIЯ приблизительных решений, мноrие из которых С успехом
применяются при решении смежных задач.
Принципы виртуальной работы и комплементарной виртуальной работы.
Эти два принципа, соответствующие принципам виртуальных перемещений и
виртуальных сил (напряжения), определяют два основных вариационных прин
ципа механики сплошной среды. Под понятием виртуальных перемещений под--
разумеваются возможно бесконечное малые перемещения, которые непрерывны
в функции координат точек тела и равны нулю RO всех тех точках контура, в
которых заданы контурные условия по перемещениям.
Принцип виртуальной работы, утверждающий, что сумма действия всех
внешних и внутренних сил при любом виртуальном перемещении точек тела
19
fl'ui' на которое эта система сил воздействует, равна нулю, можно выразить
уравнением
J Р ; и; dv + J Р; и; ds == J Gij e:jj dv )
V Srr V
(1.41 )
.
в котором:
J F j 3 Uj dv + J Р; О Uj ds;:: о Rs )
v S
(1.42)
J (1.. O€.. dv == 8 R
JJ 1) u
V
действие внешних и внутренних ,сил респект:ивно. Выражения (2.42), учитывая
зависимости (2.1 2.5), MOryT представляться как:
oRs== J FT 8 u dv+ J рТ 3п dS J
v Sa
(1.43)
8 Rl1::= J оТ 8е dv ,
v
а выражение (1.41) в виде
Jp8odv+ J рТ uds J aT Edv.
V Sa V
( 1.44 )
с помощью матричноro уравнения (1.44), применяя вспомоrательные урав--
нения:
1
8е.. == ( 8 u. j + 8 u. . ) u D )
IJ 2 .. J' 1
(1.45)
8 Uj == О )
па Su )
определяется принцип виртуальной работн.
Начиная от виртуальных сил, под которыми подразумевается возможное co
стояние сил (напряжение), отвечающее условиям равновесия во всех точках Te
ла, и статические KOHrypHble условия во всех ero точках, rде они заданы по си
лам, т.е. 06условливают:
(OO"iJ), J+ 8F i==O ;
( crjj) Лi == oPJ ;
uD;
па SO"
( 1.46)
При этом формулируется принцип виртуальной комплементар'ной работы
J u j 8F j dv+ J u j 8p j ds=-= J e: jj 8G jj dv)
V . s V
( 1.47)
20
соответственно в матричном виде
J о Т О F dv + J п Т О р ds == J ЕТ а а dv J
V S V
( 1.48)
rде
Ас == J о Т F dv + J вт 3 р ds::=: J €T 8 а dv ·
v s v
( 1.49)
Комплементарная виртуальная работа выражена через внешние и COOTBeTCT
венно внутренние силы. Если преЦ!lОЛОЖИТЬ, что колебание (измерение) объем
ных сил 6 F = О" а с учетом, что 6 р = о в части контура, rде контурные усло
вия заданы по силам, то уравнение (1.48) будет иметь вид
J ЕТ 3 а dv ..... f u т 8 р ds u == О )
v Su
(1.50)
а с помощью вспомоrателъных уравнений:
(8 Й IJ), J==O )
8Рl==О)
uD;
па 50"
( 1.51 )
определяется принцип комплементарноro действия (работы) (рис. 1.2).
Е
Рис. 1.2. Деформационная и к:Ьмплементарная <Дополнительная) работы
На основании принципов о виртуальной работе (воздействии) и комплемен
тарной виртуальной работе формулируются экстремальные принципы о потен"":
циальной энерrии и комплементарной энерrии тела.
Принцип минимума потенциальной энерrии. Функционал Лаrранжа. По за
кону о сохранении энерrии воздействию внешних сил отвечает изменение потен
циальной, кинетической и тепловой энерrn:и тела. Если предположить, что в
процесс е деформации количество тепловой энерrии не изменяется и речь Y eT о
статических наrрузках, вследствие которых точки тела в ходе деформации не
получают ускорения, то действие внешних сил равно изменению потенциальной
энерrии тела. Это изменение энерrии называется nоmенциальной энерzuей дe
формации или деформационным воздействием (действием, работоц).
21
На основании (1.42) о действии внутренних сил fl R и при виртуальных пере
мещениях 9 u выражение специфичноro изменения потенциальной энерmи
8 A:=: 8R"tl==cJ'IJ8EIJ )
соответственно
A T
,,==O' аЕ.
(1.52)
Если в выражении (1.52) на место б поставить
a==D€,
получаются выражения:
A(E);; ETDE ;
2
А (Е)=== ! ETDEdv
2 ,
v
( 1.53)
с помощью которых показаны специфическая потенциальная энерmя деформа
ции (специфическое деформационное действие) и потенциальная энерmя дефор
мации (деформационное действие) на все тело объемом У. Потенциальная энер
rnя деформаци;и, описанная выражением (1.53), в случае адиабатических и изо
термических процессов представляет потенциал напряжения. Таким образом cy
ществует связь:
дА
<rjJ ro;;: .
deq
При наличии консервативных сил объемные и поверхностные
обладают потенциалом. По этой причине существуют зависимости:
Р.== oU p
д Па
дU
р J == ...... р
dUj
силы также
(1.55)
rде и р, и р потенциалы объемных и поверхностных сил.
Тоща действие внешних сил, объемных и поверхностных равны потенциалу
силы с отрицательным знаком, т.е.
"3U==3U.+3U p " JFfЗUidv J Pi 3u f ds
v s.,
(1.56)
соответственно
u == .... f FTu dv.... J рТ u ds.
V 'а
( 1.57)
v22
Общая потенциальная энерrия тела П равна сумме потенциальной энерrии
деформации и потенциалу сил
П==А+U,
( 1.58)
соответственно
п== J ETDEdv J FTUdv J pTods.
V V Sa
(1.59)
Выражение (1.59), с помощью KOTOpOro потенциальная энерrия показана как
функция деформационных величин, дополнительными уравнениями
1
Е' ] == ( U. . + U J ' 1 ' )
I 2 1, J '}
u D}
(1.60)
U j == Uj ,
па Su
представляет функционал Лаrранжа, показанный в матричной форме. Заменой
(1.7) на (1.53) и (1.59) выражения потенциальной энерrии деформации и всей
потенциальной энерrии тела можно записать в виде:
A(u)==J ( OTLTDLO)dV;
v
п(u)== J ( UTLTDLO FТU)dV J pTods.
v Sa
(1.61 )
При наличии начальных деформаций эти выражения принимают вид:
А (п).. J ( UTLTDLU UTLTD€o)dV
v
П ( u ) == J ( / UTLTDU UTLDE ......FТU ) dV r fjTuds
2 о 0<)
8JI
V Sa
(1.62)
rде
т [ О О 2 0 ]
Ео == Ехх €yy. .. Ezx.....
(1.63)
вектор начальной деформации.
На основании принципа виртуальных перемещений о ТОМ, что сумма дейст
вия внешних и внутренних сил какой то уравновешенной системы при вирту
алЬНОМ перемещении равна нулю, следует положение о стационарном значении
общей потенциальной энерrии системы
\
8П==&А+3U==О .
( 1.64)
23
Объемные и поверхностные силы не зависят от перемещения, а в выражении
(1.59) последние появляются как линейные функции, т.е.
8П==8А.
(1.65)
Изменением выражения (1.53) при учете симметрии матрицы D получается
3А== J (+ (3€TD€+€TD3€)dv== J 3€TD€dv== J aT3€dv)
V V V
(1.66 )
а затем
82 А J 8а Т 3Е dv :::: J 8€T D 3€ dv.
v v
(1.67)
Поскольку матрица D положительно определена, на основании выражения
(1.67) следует доказательство
3 2 A==3 2 1I >0 }
( 1.68)
т.е., что фУНIЩионал П имет минимум.
Можно установить, что для поля перемещения и, v, w, отвечающеro reoMeт..
рическим KoHTypHым условиям на Su' для KOТOporo потенциальная энерmя сис..
Teмы равна минимуму, соответствует поле напряжения, отвечающее условиям
равновесия. При этом перемещевия и, v, w являются действительными. Посколь--
ку потенциальная энерmя при действительных перемещениях равна минимуму,
можно сделать вывод, что для каждою поля перемещения, блаroдаря которому
приближается поле действительных перемещений, соответствующая потенциаль--
ная энерmя будет больше действительной, т.е.
Il apr . Пеaz. ·
(1.69)
На базе этоro положения в rлаве о конверreнции реmений МКЭ будет пока...
зано, что перемещения, происходящие при использовании потенциалЫfОЙ энер'"
mи как функционала, всеrда меньше, чем действительные перемещения.
Принцип минимума комплементарной энерrии. Функционал Ка<:тильяно.
Аналоmчно выражению (1.52) изменение специфичной комплементарной энер
mи деформации представлено выражением
8Л с =€Т&cr.
(1.70)
Если в этом выражении на место € поставить
Е==СО
получатся выражения, аналоmчные уравнению (2.53):
i\(a) аТС о ;
Ас:(а)== J oTCadv )
v
(1.71)
24
с помощью которых определяется специфическая комплементарная энерrия дe
формации и комплементарная энерrия деформации тела объемом У. Комплемен
тарная энерrия деформации (1.71), которая в случае адиабатических изотерми
ческих процессов равна отрицательному термодинамическому потенциалу rибб
са, представляет потенциал деформации
"дА
с
€H == .
д (1..
I t
(1.72)
Поскольку комnлеI\1ентарное деЙствие внешних сил по выражению ( .50)
предстаВJIено выражением
!uTpds)
5u
то общая комплементарная энерmя системы
п с == J аТС а dv .r gTpds
v 5u
(1.73)
дана как сумма комплементарной энерrии, деформации и потенциала контурных
(пассивных) сил в части контура Su' rде контурные условия заданы по переме
щениям. Выражение (1.73), с помощью KOTOporo комплементарная энерmя пока
зана как функция статических величин, вместе с дополнительными уравнения
ми:
LT a+F==O ,
(1.. Л. == Р .
1) J 1}
u D,
(1.74)
па Sa
представляет функционал Кастильяно. Можно установить, что он существует
всеrда, коrда существует и функционал (1.59).
В случае, если имеются и начальные деформации Е о' выражение комnле
ментарной энерrии будет
п с == J (+aTca+aTEo)dV J iiTpds.
v O
( 1.75)
На основании принципа о комплементарном виртуальном действии (1.50)
следует, что функционал П с имеет стационарное значение
8П с , о.
На основании подобных сравнений, как и в случае потенциальной энерrии,
можно установить
02 П/::>О t
.'
так что и комплементарная энеР:rlIЯ имеет минимум. Полю напряжения, отвеча
ющему условиям равновесия и условиям на контуре S(j (1.74) как имеющему
минимум функционала (1.73), соответствует поле перемещения (деформация),
/
25
которое О1 вечает условиям компати6ильности (1.11), а это значит, что напряже
ния O'iJ .......... действительные. Поскольку комплементарная энерrия при действи
тельных напряжениях равна минимуму, можно сделать вывод, что для каждоro
поля напряжения, с помощью KOTOpOro приближается поле действительных Ha
пряжений, соответствующая комплементарная энерmя будет больше действи
тельной, т.е.
П С apr. П С egz.
(1.76)
На основании этоro положения будет установлено, что перемещения, вычис
ляемые по МКЭ, применяя условия о минимуме функционала комплементарной
энерrии, всеrда больше, чем действительные перемещения. Как будет показано
далее, принцип о минимуме комплементарной энерrии значительно важнее
принципа о минимуме потенциальной энерrии, потому что поле напряжения как
основных неизвестных должно отвечать дифференциальным уравнениям paBHO
весия и условиям на контуре Sa . Ввиду этоro )вместо напряжения в функциона
ле (1.73) часто используются функции напряжения, которые автоматически OT
вечают условиям равновесия, а при их аппроксимации возникают условия, подо
бные тем, что и при перемещениях в функционале (1.59).
Принцип стационарности функционала Хеллинrера Рейсенера. Функцио
нал потенциальной энерrnи зависит от перемещений, функционал комплемен
тарной энерrии от напряжения. Эти функционалы имеют минимумы при Ba
риациях перемещений или кинетическоro поля в одном и соответственно при Ba
риации напряжения или статическоro поля в друroм случае. В отличие от BЫ
шеназванных функционал Хеллинrера Рейсснера зависит от перемещений {и
напряжения как независимых друr от друrа величин, т.е.
fI R == П R (U j , O'ij)
,
j, j == 1, 2, 3.
(1.77)
Функционал Хеллинreра Рейсснера можно представить следующим Bыpa
жением:
П R == J [ ан (U i , j + Uj, i) Ас (аiд F i U j ] dv
v
J Pi u i ds J Pi (Uj ид ds /
sa Su .
(1.78 )
соответственно, с учетом TOro, что
1 .
А ( а.. ) == е;.. (1..
с IJ 2 IJ 1)'
1
€"== (Ur "I u. . )
JJ 2 &, J J. J )
в матричной форме
П R == J (aTE +aTca FTu) dv J pTuds J pT(u ii)ds.
v s Su
а
(1.79)
26
Парциальной интеrрацией первоro интеrрАла в выражении (1.78) альтерна
тивное выражение для функционала будет
П R == f [Ас (ан) + (О'н, j + Fд иа d\-' J (О'о ) j pJ U i ds
v s
а
J PiUi ds ;
Su
( 1.80)
в матричной форме
П R == J [ оТ С 0+ о Т (LT о + F)] dv
v
J u T (G а......р) ds J рТ iids (р == G а).
Sa Su
(1.81 )
Если поле напряжения избирается так, что удовлетворены условия paBHOBe
сия и статические условия на контуре Sa , то это выражение сокращается и име
ет вид
ПR== J +OTCOdV J pTuds. 0.82)
v Su
Вариационный принцип Хеллинrера Рейсснера
ПR ==0)
( 1.83)
в котором подразумевается вариация по перемещениям и напряжениям, не при
водит ни к максимуму, ни к минимуму, а только к стационарному значению
функционала п. Коrда в МКЭ используется этот принцип, то поля напряжения
перемещения в каждом элементе аппроксимируются как независимые. Напряже
ния G jj и перемещения пi (i = 1, 2, З), функционал П R для которых имеет CTa
ционарное значение, представляют действительные напряжения и действитель
ные перемещения.
Принцип стационарноrо фУНIЩионала Ху Вашизи. Функционал Xy Ba
шизи, который часто называют общим, зависит от перемещений, деформаций и
напряжения:
П W П W (U j , E:jj' O'jj),
.. 1 ., 3
1, J == ,...., ·
(1.84 )
Для этоro функционала обязательно положение о стационарности
ПW == О)
( 1.85)
при этом подразумевается вариация на всех трех полях: перемещения, деформа
ции и напряжения, которые предполаrаются взаимонезависимыми. Функционал
ху........ Ватизи можно представить выражением
П W == [ {А (e jj ) F i u i Gij [e;j (u;, j + Uj, i) ]} dv
.... J Pi u j ds J Pi (Ui Ui) ds
sa Su
(1.86)
27
или
п w == J I
ETD€
CJT(E
LU)
FтU]dV
JpTUd
V s
а
J рТ(u
ii)ds==П(D, €)
f pT(u
u)ds.
Su Su
ВыражеНИЯ 1 для потенциальной и комплементарной энеprии представляют
два. основных функционала, первый из которых зависит от пер ем еще ни я, BTO
рой
от напряжения. На их' основании можно вывести такие смешанные функ
ционaлы, как Хеллинrера
Рейссенера и Ху--Ваmиэи, зависящие от перемеще
ния и напряжения, а также от перемещения деформаций и напряжения. Коrда
определяют аппроксимативные решения на основе положений (f минимуме, так
же как и о стационарности
тих функционалов, то первые (П i и П е ) должны от....
вечать дополнительным уравнениям (1.60) как по перемещениям, так Н' по Ha
пряжениям (1.74), в то время как к друrим (П R и ПW> не ставятся никакие до....
полнительные условия.
(1.87)
1
30 МЕТОДЬI АППРОКСИМАЦИИ
Проблемы линейной упруroсти, как об этом уже roворилось, описываются с
помощью дифференциальных. уравнений и соответствующих условий на контуре
ИЛИ' в вариационном виде в форме функционала. Хотя решения этих проблем в
математическом смысле трактуются как однозначные, поиск аналитических ре--
шений смежных проблем представляе'"i' трудную" а зачастую и нерешимую зада
чу о Это особенно относится к проблема м нелинейной механики сплошной среды,
которые в математическом смысле значительно более комплексные' в отличие от
проблем классической теории упруrocти.
По этой причине для определения решений этих проблем используются при
близительныe или аппроксимативные методы. Среди них особое практическое
значение имеют те, в которых в качестве отправноro пункта применяют предпо
.,1Jожение о решении в форме аппроксимативных или пробных функций. Общая
форма TaKoro аппроксимативноro решения u для отдельной функции u (X i ) MO
жет быть представлена в форме ряда
м
u .
См Фm )
т==1
( 1.88)
rде Ф
сбор выбранных линейно независимых функций Фm(Х j )' существующих в области Д + s;
(т = '1,2,...М); С т
неизвестные параметры, константы или функции, которые необходимо опре..
делить.
ВыражеIiие (1.88), данное для скалярной функции, можно применить и для
любой векторной или тензорной величины. В этом случае для любоro компонен--
та вектора или тензора вводится соответствующая зависимость формы (1.88) от
аппроксимативных функций Фт. Для этоro требуется, чтобы они были непре
рывными и до необходимоro ряда дифференциабилъными и удовлетворяли опре
деленным условиям на контуре.
Более близкие условия в связи с аппроксимативными функциями ставятся в
зависимости от рассматриваемых проблемы и метода, которые применяют для
нахождения решения. Все аппроксимативные функции, которые можно приме
нять для решения какой
либо проблемы, установленной дифференциальным
уравнением BTOpOro ряда, записываются в две основные rруппы [1]:
28
....
допустимые, отвечающие rеометрическим условиям на контуре и до BTOpOro
ряда, являющиеся дифференциабильными в области Д;
сравнимые, отвечающие rеометрическим и статическим условиям на контуре
и также до BTOpOro ряда, являющиеся дифференциабильными в области д.
Наибольшеё число аппроксимативных методов, основывающихся на предпо
ложении о решении формы (1.88), можно разделить на две основные rруппы: Ba
риационные и резидуума.
В вариационных методах точное решение u(X i ) дает предельное значени:е co
ответствующему Функционалу проблемы I(u). Коrда в функционале I(и) вместо
'И вносится ero приблизительное значение и, представленное выражением (1.88),
то получают новый функционал 1 = I(и).
Если к функционалу 1 применяются экстремальные (предельные) принципы,
то получают систему уравнений, из которых определяют неизвестные параметры
С т (т = 1,2,...М) в аппроксимативном решении. Из вариационных больше Bce
ro используют методы Ритца, Канторовича, Треффтца.
В отличие от вариационных методов, которые основываются на положении
об экстремальных характеристиках функционала, методы резидуума основыва...
ются на ошибке или отклонении аппроксимативноro решения от точноro реше
ния дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение для зависимо
меняющейся величины и в области D + S в общем случае можно представить как
функциональную зависимость формы:
L(u)=f)
( 1.89)
rде U = u(xi) неизвестные; f(Xi) известные функции, в то время как L дифференциалы"fый
оператор функций u(xi)'
В методе резидуума отклонение или резидуум
. R=f L(ii).
(1.90)
При этом требуется, чтобы ero значение было минимальным или оставалось
меньшим от заранее выбранноro малоro значения Е .
Часто вместо caMoro отклонения вводится так называемая весовая функция
от1СЛонения Wf (R), rде W вес или весовая функция, отвечающая условию
минимума, а функция 'f (R) принимается такой, чтобы 'f (R) = О, коrда R = О
и соответственно, коrда аппроксимативное решение и равно точному решению и.
По весовым функциям W, с помощью которых обеспечивается минимизация OT
клонения, методы резидуума часто называют методами GecoBozo резидуума.
В зависимости от TOro, как определяется отклонение, различают три rруппы
метода резидуума: по отношению к дифференциальному уравнению, по отноше
нию к контурным условиям и по отношению к инициальным условиям пробле
мы.
На практике все эти три рез иду ума не встречаются одновременно. Обычно
два из них идентично равны нулю, а для TpeTbero требуется условие минимума,
хотя есть случаи, коrда только один из них идентично равен нулю. В проблемах
напряженно дифференциальноro анализа и стабильности конструкций при CTa
тических наrрузках, в которых не возникают инициальные условия, в зависимо
сти от выбора аппроксимативных функций метод резидуума можно применить в
одном из трех следующих случаях:
классическом, коrда выполняются условия на контуре, а не дифференциаль
ное уравнение проблемы;
контурном, коrда не выполняются условия на контуре, но исполняется диф
ференциальное уравнение во всех точках области (домена);
29
смешанном, коrда не выполнены ни контурные условия, ни дифференциаль
ное уравнение области (домена).
Для классическоro метода резидуума, применяемоro чаще, условие мин.иму
1'a q }ормулируется в общем виде:
fWq:,(R)dD=O.
,,'
D
(1.91)
110добным способом ero формулируют и в друrих двух случаях, но инте:rра
ЦИЮ проводят по S, соответственно D + s. Из методов резидуума чаще Bcero при
меняют методы Бубнова rалеркина, Колокации, наименьших квадратов, а TaK
же метод моментов. Наиболее полное представление о различных видах методов
резидуума дано в публикации Финслаисона.
Метод Ритца. Решение допускается в виде выражения (1.88):
u == 2: С т Фm )
m
rде c iп неизвестные коэффициенты (т = 1,2,...М); Фт известные функции из ряда разреши
мых функций., чаще Bcero полиномы или триroнометрические функции.
Применяя крайниii принцип к функционалу I(u), т.е.
t (С т ) == О
,
дС т
m == 1, 2. .. . м \
I
(1.92)
получают систему ал.rебраи:ческих уравнений.. в которых неизвестные коэq>фи
циенты 'Сп!.
В проблемах л:инейноro напряженно деформационноro анализа Функционал
I(C т ) квадратная форма коэффициента С , а выражения (1.92) ОДНОБре
менные линейные алrебраические уравнения. 'а)УНКЦИИ Фm известны, их п:ри
нимают заранее с расчетом, что отвечает rеометрическим контурным УСЛ:ОВИЯМ.
Что касается друrих У<:lIОВИЙ, то выбор функций Фт произволен. Однако Ka
чество решения в большей степени зависит именно от выбора функций Ф т- j{o
рошо, если функция Фm помимо rеометрических отвечает и ста'тичеСI<ИМ KOH
турным ус..1I0ВИЯМ И своей формой качественно отвеЧает точному решению. Поэ
тому при решении практических задач важно качественное познание при роды
решения во избежания выбора функций, которые по своей форме представляют
rрубое отклонение от точноro решения. В отношении конверrенции решения
приroдны, если они отвечают условиям:
J Ф . Ф . dD = О.. == { 1 )
J J JJ О
D )
I==J,
1 -r- J.
(1.93)
в этом случае функции Ф i представляют полную или комплексную систему
функций. Существует доказательство, что метод аппроксимации Ритца ЯВJJ:яется
конверrеитным процессом.
Так, например для одномерной проблемы в области a b можно установить,
.., .J
чтодеиствительно
ь
ljm r [ и (х) i C k Фk (Х' Т dx O.
n " k=l
( 1.94 )
30
р р
1/2
1/2
х
..... v=O
У,хх=о
v=O
у,хх=О
1
y,v
PIIC. 1.3. Линейная опора, свободно опирающаяся на краях
Метод Ритца, кроме одномерных, применяется и при решении двумерных и
трехмерных проблем. В зависимости от этоro функции ФтU В выражении (1.88)
зависят от двух или трех apryMeHTOB. Проиллюстрируем метод Ритца двумя про
стыми примерами линейных опор (рис. 1.3), rде показана линейная опора, CBO
бодно лежащая на краях и равномерно наrруженная 110 всей длине, а также с
концентрированной силой в середине пролета.
Для определения перемещения опоры v(x) по методу Ритца исходят из ФУН
кционала потенциальной энерrии (1.59), который для случая стержня под Ha
rрузкой
1 1
П = J I (v, хх)2 dx J рvdХ РV(2).
О О
(1.95)
Условия на контуре
1 { V == О
х == О,
v'xx==O
(1.96 )
будут выпол:нены, если в выражении (1.88) решение будет представлено в форме
() . n1tX
v х == Сп SJП .
n 1
( 1.97)
Принимая только первый член ряда (1.97) и учитывая, что:
v (//2) == С 1 ,
п 2 . 1с Х
У, =c l Sln '
хх /2 1
31
заменой (1.97) на (1.95) получается:
Ц2 /
П f ЕI 2 it 4 ( . 1t Х ) 2 J т: х
= Cl sln dx pC l sin dx Pc ==
2 /4 1 1]
о о
EI -;t4 2 2 р Z
С) Cl PCJ'
413 1t
(1.98)
Пользуясь положением о минимуме потенциальной энерrии, получается
дП =O CI = 213 ( Р+ 2 Pl ) )
дС l EI1t 4
соответственно
v (х) = 2 [3 ( Р + 2 Р/ ) sin 1t х .
ЕI 7:4 т= 1
(1.99)
Для перемещения в середине пролета опоры из (1.99) для случая концентри
рованной наrрузки Р следует:
. PJ3
V (112 == О , 9855 ;
48 ЕI
( Pl3 )
48 EI ;
для случая равномерно распред ленной наrрузки Р:
v (1/2) = 1 ,0039 5 р1 4 ;
384 ЕI
( 5 p1 4 )
384 EI ·
Из сравнения этих результатов с точными решениями, которые даны в скоб
ках, видно, что точность аппроксимативноro решения с только одним членом ря
да достаточна..
При определении изrnбающеro момента по выражению
2/ ( 2 P/ ) . 7tX
М = ET y = p Sln
\ хх I /
.., -...
7:" .
(1.100)
в середине пролета для случая концентрированной наrрузки получается:
м == 2/ те == 0,2026 Р/:
..... .
,.
(O 250 Pl) ;
соответственно:
4Р/2
М== ==O,129p/:!:
....3
'..
(0,125 p12) ......
для случая равномерно размещенной наrрузки.
Из сравнения этих результатов с точными решениями видно, что разница в
случае равномерной наrрузки мала, в то время как в случае концентрированной
силы....... значительна. Это является следствием качественноro различия, прояв
32
р
PIIC. 1.4. Дllarрамма моментов IIзrllба
тпощеrocя во втором случае между функцией, с помощью которой возникают
аппроксимированные моменты сmба и линии действительных моментов
(рис. 1.4).
Пример указывает на одно общее свойство, характерное для метода Ритца.
Korдa исходят из функционала потенциальной энерrии, перемещения как oc
новные неизвестныe всеrда определены с большей точностью, чем MOMeHT и
друrие влияния выведенных величин, которые определяются через перемеще
иия (рис. 1.5).
р
у=о х
----..
У,Х = О м=о
1 т=о
у,У
PIIC. 1.5. конcoJlыlя оп()ра под деЙСТВllем равн()мерн() распредеJlеllНОЙ иarрузm
Решение предполаrается в форме мноroчлена (полинома):
V(X) с т х ш + 1 .
1D=1
Если принимается только первый член ряда v = CIx 2 , то rеометрические ус..
лония в конце Х = О ---- нормальные, но они не удовлетворяют статическим ус..
ловиям В конце Х = 1. В случае, коrда v = CIx 2 , V,xx = 2Сl)выражение для по..
тенциальной энерmи (1.95) будет иметь вид
1 I
' J EI J 13
п= 2.4cidx РСIх2dх==2сiЕи РСJз.
о о
зз
Вариацией этою выражения Cl и применением положения о минимуме полу
Чается
p/J
4 ЕИс! .... == о 1
3
соответственно:
р/2
С
) J 2 ЕI )
1
P J2
V (х) = х 2 .
12 Е'
(1.101)
Для х = 1, т .е. в конце консоли перемещение
/4
V ( /) Р ·
, 12 EI- ,
( р/4 )
8 EI )
что по отношению к точному решению представляет значительное отклонение.
Если в качестве аппроксимативноro решения взять два члена ряда
. v (х) == с 1 х 2 + С 2 х 3 )
([.'102)
то выражение (1.95) принимает вид
I I
П == т J (2 С 1 + 6C z X)Z dx p J ( 1 x 2 +c z х 3 ) dx==
О - О
EI ( С 13 С /4 )
== (4 ст 1+ 12 С 1 С 2 + 12 C 1 3 }..... Р ......L.. +.....L... .
2 3 4
Вариацией этоro ,выражения и применепием положения о минимуме получа
ется
[ 2 3 / ][ Сl ] Р/ [ //З ] o
з 1 6 /2 С 2 ЕI [2/8 )
ОТ.куда:
5 р/2
С
1 24 EI '
р/
С 2 ==....... 12 EI '
а затем по выражению (1.102):
5 Р /2
у(х)== х 2
24EI
рl 3
х.
12EI
(1.103)
34
Леrко устаIIОВИТЬ, что с помощью выражения (1.103) получается точное зна
чеlIIIе проr:иба для конца опоры (СМ. РИС. 1.5). Между тем ы11fснтьII I!ЗrIlба
J\:1 ( x ) == Elv, == 512p р/ Х
хх ] 2 2
достаточно отличаются от точных значений (рис. 1.6), что является последстви
ем несоrласованности исходящеro решения уравнения (1.102) со статическими
условиями на краю х = 1.
(1.104)
р/l
2
5 pz 2
12
..;. .... л
..... ;, "'::
; .... '1." ;;+..
s
,; <" '.f.'..r.
.. /
х
1
pZ2
.........
] 2 .
PIIC. 1.6. Дllarрамма момента IIзrиба
Исходя из общей формы решения (1.88) на основании двух предыдущих
примеров производят пределенное обобщение метода Ритца при условии ero
применения к функционалу Лаrранжа в случае изrиба стержня. Если в выраже
нии (1.95) на место v(x) и V'XX поставить
v(х)==2: С iФi ;
i
v (х), хх == C i Фi. хх J
1
то получается
I I
II == r Е ! (2 С ; Фi ххУ dX J р 2: Ci Фi dx Pj 2 C i Фi ,
2 .' i i
. 1
О О
( 1.1 05)
8:,)
соответственно
I I
п== tt(Ci Cj J ЕIф;,хФ;.хРХtСi[I (РФ;dХ+Рj)dХ):
о о
(1.106)
с введением обоэиалеВИЙ
J EI Фi. х Фi. х dx== K jj ,
J рфjdх+Рi==Qj
( 1.1 07)
выражение (1.106) для потенциальной энерmи стержня запишется в виде
П== K..c.c. Q .c..
2 4 IJ J J 1 J
I J J
(1.108)
с использованием положения о минимуме функционала (1.108)
д П == О,
дс n о ,
получается система одновременных алrебраических уравнений:
m==I.2...M
(1.109)
(2: Kjmc j + к..,; Cj) Qm== О.
2 i j
Поскольку i и j индексы, по которым ведется суммирование, можно счи
тать i = j, так что
'К. c......... Q == О ·
1т I m .J
i
(1.110)
соответственно в матричной форме
к с........ Q == о )
(1.111)
rде К матрица коэффициента K im ; Q вектор общих сил, определяемый соrласно (1.107); С
вектор неизвестных пара метров С i'
Матрица К называется .матрицей коэффициента жесткости, а на основе
(1.107) можно сделать вывод, что ова симметрична: Кц = K ji .
Выражение (1.108), с помощью KOТOporo потенциальная эверmя стержня как
система с бесконечно мнолmми степенями свободы показана с использованием
конечноro числа параметров, и выражение (1.110), из KOTOporo выводятся неиз
вестные параметры, по своей структуре характерны и для любой друroй статиче...
ской проблемы. Соответствующие уравнения МКЭ дЛЯ элемента любой формы,
как это будет показано далее, имеют формально ту же форму, что и' уравнения
(1.108), (1.110) и соответственно уравнение (1.111).
Если требуется с той же или большей точностью определить СЩIы в сечени..
ях, чем перемещения, необходимо вместо потенциальной энерmи начать с фун"
кционала комплементарной энерmи или от смешанвоro функционала. На при..
36
:
р
1
112
х
.,..
1/2
у,У
Рис. 1.7. Лllllейиая ДВУСТОрС>lIне закрепленная ()п()ра
мере, показанном на рис. 1.7, метод Ритца будет проиллюстрирован, исходя из
функционала Хеллинreра........; Рейссенера.
С учетом симметрии, опоры и наrрузки и 'ДЛЯ простоты за начало координат
принята середина -опоры.
Моменты изmба м и- перемещение V аппроксимируются с помощью MHOro..
члена (полинома) в следующей <lюрме:
М == С) Х + С 2 J
v == С Э (x2 12 /4).
(1.112)
Контурные условия:
х == о \v. х == О )
(1.113)
{ W == о
х == 1/2
w, х == О
выбором решения (1.1 12} удовлетворены.
Исходя из функционала хеллинreра........Рейсснера для стержня (см. рис. 1.7)
как одномерной проблемы в рамках классической теории и не принимая во вии"
мание воздействие трансверсальныx сил, получим
П R == J( (1 z (1 2 ) dv Pv.
х х 2Е х
v
(1.114)
Поскольку:
е х == YY, х:< ,
м
(1х == 1 у )
37
м == Elv) хх ,
( 1.115f
то заменой (1.115) на (1.114) выражение для функциона П R запишется в виде
J[ 1 ( му ) 2 Му ]
ПR== 2Е 1 +I(УУ,хх) dv Pv==
v
== ....... J ( м 2 + М v ) У 2 dv....... Pv .
2 EI2 l' хх
v
Если интеrрал объема заменить интеrралом поверхности сечения F и длины
стерж я, то, педставивJ y 2 dF = /, предшествующее выражение будет
I
ПR== J ( 2 2I +MV,xx)dX PV==
о
1/2'
х:: ....... 2 J ( М2 + М У, хх ) dx....... Pv.
.2EI
о
(1.116)
Заменяя выражения для М и v из уравнения (1.116), функционал П R полу
чит конечную форму
/'"
.. .
J [ (с х + с )2 ] P14
ПR== 2 J 2 +4СЗ(Сlх+с.,)(Зх2 / /4) dх с з .
I 2 EI · 16
о
(1.117)
Вариацией выражения (1.117) по ci (i = 1,2, З):
П R == П R (с 1 , С 2 ' с з ) )
дП R ==0 i == 1, 2, 3
дс! )
получается система уравнений:
/ 3 EI/2 с; О
2
/ (1.118)
1 О С 2 ::: О
4
р
1 О О С З
2 .
Из этою следует:
р
с 1 == ....... 2 )
Р/
С 2 == )
8
р
с == )
3 12 EI/
(1.119)
38
затем из равенства (1.112):
м Р/ ....... Рх
8 2)
'р ( ., l ) 2
V == 12' EI/ Х......... 4 ·
(1.120)
в выражении (1.120) момент М отвечает точному решению, в то время как
перемещение v представляет приблизительное (точное решение......... мноroчлен
TpeTbero ряда). Однако значение перемещеиия х == О соrласно (1.120j отвечает
точному решению
P/3
v(O) = 192 EI .
Как видно из данноro примера, коrда исходные от функциоиала Хеллииre
ра.......Рейсснера моменты и перемещения аппроксимируются между собой неизве...
стными функциями, результаты по моментам перемещений, полученные подо...
БныM образом, имеют приблизительно ту же точность. Между тем матрица KO
эффициента с неизвестными параметрами и (1.118) не симметрична и поло:жи
тельно не определена в отличце от матриц жесткости ИЛИ флексибильност , ко..
торые всеrда симметричны и положительно вычислены.
Метод rалеркина. Для предельной задачи, которая определена дифференци"
альным уравнением формы (1.89)
L [и (Хi)] f(хд = о
, и соответствующими усл виями на контуре, в общем случае аппроксимативное
решение принимается в форме ряда (1.88):
ii (хд :: L С т Фm (хд.
m
МетОД rалеркина опирается на классическую форму резидуума (1.91) так,
что формируется различие между точным и аппроксимативным решениями
уравнения (1.89):
ер (R) == R == L [и (X j )] f(хд )
(1.121)
а для функции веса W(Xi) принимаются аппроксимативные функции из (1.88).
Таким образом, общее выражение (1.91) имеет вид
!W(хдRdD==О,
D
соответственно
(1.122)
f {L[u (хд] f(Хi)} Фk (х;) dD == О )
D
( 1.123)
а после замены (1.88) на (1.123) получаем
J {L[m 1 С т Фт] f } Фk dD = О,
D
k == 1, 2 . . . п.
(1.124)
39
Выражением (1.124) определена система алreбраических уравнений, из КОТО--
рых можно вычислить неизвестные параметры C п1 (т = 1,2,..., п) в аппроксима--
тивном решении равенства (1.88). В отличие от метода Ритца, применяемоro для
аппроксимативноro решения вариационных проблем, метод rалеркина использу"
T дЛЯ аппроксимативноro решения дифференциальных уравнений предельных
проблем. Метод fалеркина имеет более широкое применение, хотя в механике
твердых деформирующихся тел оба метода эквиваленты, так как дают результа..
ты одинаковой точности.
Исходя из уравнения (1.33) и функционала (1.59) , с помощью которых
сформулированы проблемы линейной теории упруrocти, можно показать, что
выбирая одинаковые функции аппроксимации по Ритцу и rалеркину, получают
те же коэффициенты С т (т = 1, 2,..., п), а значит и одинаковые реluения про..
блем.
Наряду с тем, что метод fалеркина носит более общий характер, обычно он
и более прост в применении. Однако в общем плане требоваlJИЯ выбора аппрок..
симатив'ных функций более CTpom по методу fалеркина, чем Ритца. Для полу--
чения решений, конверmрующих к точному решению по методу fалеркина, не..
обходнмо, чтобы аппроксимативные функции отвечали rеометрическим и стати..
ческим контурным условиям, т.е. были из класса сравнительных функций.
При использовании метода Ритца достаточно, чт.обы аппроксимативные Фун--
кции отвечали reoметрическим условиям на контуре, т.е. Были из класса разре--
mающих функций. Это непосредственное следствие различия в математической
формулировке проблемы. В вариационной формулировке производные функций
в функционале ниже в ряду, чем производные функций в дифференциальных
уравнениях,так же, как и в соответствующей предельной проблеме.
rлава2
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МКЭ
rлавный принцип, заложенный в основе мкэ, как уже было сказано в вве..
дении, заключается в делении рассматриваемоro домена или тела на конечное
число поддоменов и соответственно элементов для TOro, чтобы, анализируя от..
дельные элементы, связанные друr с друroм, прийти к анализу целоro. Такой
аналитический подход .......... от частноro к общ
му, от индивидуальною к универ..
сальному, известный как индуктивный метод, широко при меняется во мноrnх
областях науки. Сталкиваясь с инженерныии и друmми проблемами, 'при невоз--
можности получения общих решений в закрытом виде индуктивный метод имеет
особое значение.
В рамках МКЭ рассматриваемый домен
своею рода ,непрерывный физиче"'!"
ский меДlfум;}
заменяется большим числоМ' малых частей конечных размеров,
связанных между собой в определенном числе точек. Таким образом континуум
для бесконечно мноrих степеней свободы заменяется .дискретной системой с ко..
иечным числом степеней свободьr и исследуется с помощью методов дис
кретнoro
анализа.
В математической формулировк
,это означает, что рассматриваемая ПРОQле..
ма переводится из области анализа в область алreбры. Метод конечных элемен..
тов можно понимать как метод численною анализа, в рамках KOТOporo опреде--
ляется способ перевода континуальных физических систем в дискретные или
способ форм
ирования системы алrебраических уравнений, с помощы() которых
аnпроксимируется определенная контурная задача.
Поскольку этот способ не является исключительным; то и формулировка
мкэ не представляется единой. Существуют различныe варианты МКЭ', кота....
рые по сути одинаковы, но различаются лишь формальнЪ1М
подходом. Как уже
roворилось, существуют четыре основных вида мкэ; известные каЖt, пpsмой ме...
тод, вариационный метод, метод резидуума и метода балаиШl.)Эиер
\"
2.1. ВАРИАЦИОННАЯ ФУРМУЛИРОВКА
Для представления МКЭ больше Bcero подходит прямой:
блаroдаря
своей простоте и очевидному физическому значению\ О'l'делънblX\ DaroВ в форму..
лировке. По' этой причине ero принимают за ИСХОДН)ПQ) ос;иов.У' Ве интерпретации
мкэ. Это иллюстрируются примерами линейных систем
С1'а'ШIКе конструкций,
конечные элементы в которых являются стеРЖНЯМИ 1 сиcr.ем.. Они представляют
собой ПpQCТые конечные элементы, для которых все C1lаtI'Ич
и деформацион--
иые зависимости можно вывести непосредственно прямым И,У'l'ем.
Поскольку стержни действительно СВЯ.З3}JЫ межд,у собой дискретно, а не KOH
тинуально)МКЭ в линейных системах сводится к матриqной формулировке ме--
тода деформации, с помощью KOTOpo
В рамках данной теории MOryT быть по....
41
лучены точные решения. Способ прямоro определения основных зависимостей
стержня невозможно просто перенеcrи на двумерные и трехмерные элементы,
которые значительно сложнее по виду и способу связи. По этой причине прямая
формулировка МКЭ, хотя и весьма проста, тем не менее не носит характера об
щеro Meт дa, который можно применить в сложных MHoroMepHblx задачах.
Вариационная формулировка МКЭ основана на вариационных принципах
механики сплощной среды. Она общая с широким полем применения, поэтому
ее можно считать основной формулировкой в МКЭ. В механике твердоro дефор
мирующеro тела основными вариационными принципами считаются: принцип
минимума потенциальной энерrии; принцип минимума комплементарной энер
тии; вариационный принцип Рейсснера.
На основе каждоro из этих принципов, различающихся между собой при pe
шении задач по способу выбора основных неизвестных величин, можно сформу"
лировать соответствующий вид МКЭ. Если принимается принцип минимума по..
тенциальной энерmи, то в качестве основных неизвестных берутся кинематиче
ские (деформационные) величины. Если исходят из принципа минимума комп
лементарной энерrии, то основные неизвестные статические величины, а в
вариационном принципе Рейсснера...... частично статические или кинематиче
ские.
Таким образом полу;чают три основных вида вариационной формулировки
МКЭ, известные как методы деформации, сил и смешанный или rибридный. Ba
риационный принцип Рейсснера выведен из первых двух принциnов. Подобным
образом можно вывести и друrие смешанные принципы (Ху--Ваmизи и др.). Если
исходная позиция одии из смешанных вариационных принципов :а МКЭ, то
можно получить различные смешанные или mбридные модели.
Метод деформации. На рис. 2.1 показан домен Д упруroй сплошной среды,
.оrраниченной контуром S так, что в части контура S а заданы контурные усло
вия по силам, а в части Su ....... контрольные условия по перемещениям. В области
Д действуют объемные силы Р(Р Х ' Ру' Fz), а на контуре Sa ....... поверхностные
силы Р(РХ' РУ' Pz).
z
Sa
..........:..;... D....." . ,
l!i ij:: :I!I: \I::::I;\i\ r :::.: F
.'...".... ..... ..' ......... ду. .' ...............
. { l ;; :}:: :::::::: :::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::::::::':"
.....-; ..:. ..... . .... .. . .... ..
. .......-; \.... ..-:t. \ .
S . :. {\ : : S\\\\\ \
u · . . . \\ \ \.
8. .... У
х
Рис. 2.1. Область континуума и внешние воздействия
42
Для перемещения u в области Д предполаrается, что функции координат
u = и(х, у, z) непрерывны, соответственно:
и==и (x у, z) »
у==у (х.. у, z),
w===w (х, у, z).
(2.1)
Задача теории упруrocти при формулировании проблемы по перемещениям
или по методу деформации состоит в определении функций перемещения по вы--
ражениям (2.1), которые удовлетворяют условиям равновесия и УСЛОВИЯМ на
контуре, т.е. дифференциальныM уравнениям (1.33) и контурным условиям
(1.35). rраничная задача, сформулированная таким образом, в кинематическом
смысле представляет систему с бесконечным числом степеней свободы. Задача,
следовательно, заключается в том, чтобы определить реmение этой rраничной
проблемы с помощью соответствующей дискретной системы с конечным числом
степеней свободы или решения соответствующей системы алreбраических урав--
нений. Рассматриваемый домен Д деЛится на конечное число малых частей .........
конечных элементов, связанных между собой в определенном числе точек......... уз--
лах (рис. 2.2).
z
у
у
Рис. 2.2. Cerкa к()нечных элемеНТ()в
Если предположить, что перемещеНШI в любой из точек конечноro элемента
МО'КНО выразить в зависим и от перемещевий в узлах, то задача определения
поля пере:мещения: в области Д СВОДИТСЯ К вычислению перемещений в узлах
(ЧliICJIО перемещеняй узлов ........ конечно).
Перемещения узлов в области Д и: на контуре S а определяются системой
уравнений, которые представлShОТ условия равновесия узлов и континуитета в
узлах, а также условия на контуре S а. Эти уравнении MoryT формироваться на
основе принципа виртуальных перемещений ИЛИ на основе вариационноro прин--
ципа минимума потенциальной энерrnи. Еслк известно поле перемещения, то не...
трудно получить поле деформации и поле напряжения.
43
В этом кратком изложении передан смысл решения rраничных задач теории
упруrocти методом деформации в рамках МКЭ. Основной подход такой же, как
и при расчете линейных систем по методу деформации в статике конструкций.
Качест о и точность аппроксимации по МКЭ в основном зависят от качества ап
u ,
проксимации перемещении в конечных элементах, а таюке их зависимости от
., перемещений в узлах. Если эта зависимость точная, то и решения по МКЭ в
u
рамках даннои теории MOryT считаться точными.
': : Анализ элементов. На рис. 2.3 показан конечны и элемент, выделенный из
, . системы элементов, изображенных на рис. 2.2. Для упрощеяия элемент дан как
,Рис. 2.3. К()нечиый элемент, выдJlенныый из -системы (ceТIOl) к()нечных ЭJlементов /
двумерный, оrраниченный прямолинейными контурами. Это не сужает область
рассмотрения, 'которая характерна для одномерных 11 MHoroMepHbIx элементов с
прямыми и кривыми 'КО УJ!а и. rеометрия и тополdrml элементов 'дал будут
предметом специалЬною рассмотрения.
. На элементе отмечено определенное число точек на контуре, называемых
y3.JlDsы.N.u тОЧiкаiМU. ИJlИ просто узлами. Последние-, обозначены рядом чисел
1,2;,...k....1(, rде К ....... . общее число узлов. Эти узлы назывютсяя внешними узлами
.ДЛЯ 110Ю, Ч'r.обы.-отличать их от узлов, принятых В элем ите и на.зываемых вHyт
ренними. Общее rЧИСЛО "внутренних узлов обозначено R.
, . в y ax .элемен!fа tВ качестве основных неизвестных величин принимаются
парамerpы пе,1ем еRИЙ, под которыми подразумеваются перемещения в обоб "
. -щенном 4:MЫCJ1 1I'.е. '\составляющие перемещений,. производные составляющих
перемещений, И'х омбииации и т.по Число параметров nеремещений в узлах за
ВИСИТ от приpoдllI рассматриваемой проблемы. Например, в трехмерных задачах
. каждом узле аз параметры п.еремещений принимаются три составляющих (и,
v, w), в двумернык ........ ,две (и, v), при изrибе пластин ....... не менее трех (w, Qx =
W,y' Qy = ....... w,x "Т..д.
Параметры перемещения в узлах часто называют степенями свободы по
44 .
аналоrии со значениями, Koтopыe эти величи,НЫ имеют в статике линейныx сис
тем. Если в каждом узле принято S параметров перемещения, то элемент имеет
SxК внешних и SxR внутренних степеней свободы.
параметры перемещения в'узле k (k = 1,2,...Ю MOryT выражаться как co
ставляющие вектора Qk. Таким образом для пространственныx задач
u
qk == V
(2.1 )
W.
.... .... k
;-
для плоских задач
Чk==[:]k
(2.2)
и т.п.
параметры перемещения во всех внешних узлах элемента выражаются с по
мощью вектора q
q т == [ч 1 fI2 · · · qk · · · чкJ
(2.3)
составляющие которою ......... векторы перемеще ий qk (k = 1,2...К) в отдельных
узлах.
параметры перемещений внешних узлов представля ют OCHoBHl?le неизвест
ные вмичины элемента. Наряду с ними в качестве неизвестиыx появляются и
параметры перем щений внутренних узлов, если элемент имеет внутренние yr
лы. параметры перемещений внутренних уrлов выражаются с помощью вектора
r
r T == [r 1 . . . rs · · . rsJ
(2.4)
составляющие которою....... векторы перемещений в отдельных внутре них УЗJI3Х,
т .е. для пространственныx задач
т
rs ==[u V ], .
(2.5)
соответственно .ДЛЯ ПЯООКIfХ задач
-"
т .
rs == [и v]
(2.6)
Параметры- перемещений внутренних уrлов не являются основными неизве
стныии велиуинами, '1IХ вводят для TOro, чтобы лучше провести аппроксимацию
поля перемещений, а также деформаций в элементе.
Перемещения в произволъной точке кон чноro элемента выражаются в зави
симости от napaMe:rpoB перемещений в узлах. Эти зависимости устанавливаются
с помощью интерполяционных функций. Способ, с помощью которою может ус--
тановиться связь между полями перемещений в элементе и параметрами пере
мещений в' узлах, соответственно способ, которым принимаются интерполяци
oHHыe функции) будет детально рассмотрен в следующей rлаве..
Ради понимания основной идеи этот способ проиллIOcтрирован на примере
простоro элемента прямоуroльноro вида." узлы элемента (рис. 2.4) ........... в вершинах
прямоyroльника с двумя неизвестныии (и, v) в каждом узле. В системе местных
45
у, v
4(О,Ь) З( а,Ь )
\
" . т r.Ь'М>. :
...; , -х;' : i
'0"0 :::.". v
; , , ;
;" :.
:
"-
; <:
; )
ь , '!"- ;.: ;.:-
4cJ )s
" 0'0;.
;...0:
" 7. ?-
'*. ' , А
, '
... А.'. J N ,.
:--.':" .' :; ;;1
" ::;:-;;:.), .. Х, U
,.:.;. > /} ....х
" , Л""""... ... , ;.... (
"' '. ," ,; ' ..:;X M' :' " "*
1(0,0) 2( а ,О)
а
Рис. 2.4. прямоyrоJlыIйй ЭJlемент с Y3JIaMII в верmИllах и центре тяжеCТII ЭJlемента
координат (Х, у) с началом координат в узле 1 место узлов определено коорди"
натами Х;, у; (1 = 1, 2, 3, 4).
Предполаrается, что составляющие перемещений (и, v) в элементе ....... непре..
рывные функции координат точек, Таким образом они выражаются следующим
способом:
U== l +СХ2Х+ ЗУ+СХ4ХУ ;
V== 1+ 2Х+ ЗУ+ 4ХУ ,
(207)
соответственно
о==АCI )
rде
, [1 х У ху О О О J)
А==
о О о о 1 х у
uT==[u \,] aT==[Xl. . . (1.4 1 · · · 4]'
(2.8)
(2.9)
в выра;кении (2.7) o\,i и /3; (1 = 1,' 2, 3, 4) ....... коэффициенты, которые необ--
ходимо определить. Число их равно числу степеней свободы элемента. Вектор
перемещений в узлах элемента q имеет восемь составляющих:
ЧТ== [иl vl...... t.!4 ""4].
(2.1 О)
Если выражение (2.8) ПрИl\JIеняется к точкам в вершинах, СОБпаДЗIОЩИХ с уз--
ламп элемента, то получим
q==C )
(2.11 )
46
1:
....1 О О О О О О О....
О О О О 1 О О О
1 а О О О О О О
О О О О 1 а О О , \о
с== о' о
1 n Ь аЬ О О
О О О О а Ь аЬ
1 О Ь О О О О О
О О о. о 1 О Ь О
Из уравнения (2.11) следует:
a==C lq, det.C*O)
rде
..... 1 О О О О О О О
lJa О lfa О О О О О
ljb О О О О О ljb О
1 (аЬ О 1 jab О lfab О lfab О
c 1 ==
О 1 О О О О О О
О lja О l/а о о о о
о l/b О О О О О l/Ь
О 1 jab О Ijab О lJab О 1 jab....
Введением уравнения (2.13) в равенство (2.8) получим
ц==А q q ,
rде
А ==AC l
q ,
соответственно
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
А ==[(1 )(l YJ) О (l 1J) О 1)
q l о (1 )(I .'i) О (I "Ij) О
== х / а 1) == у /Ь ,
о (1 ) 1j о ]
1} о (1 )"1}
матрица, с помощыо которой станавливается связь между перемещениями в
элементе и перемещениями в узлах эле ента.. Элементы этой матрицы ИН
терполяционныe функции, поэтому и Матрица Ао называется матрицей ипmep
"
47
nоляцuо1t1tых функций. Аналоrично уравнению (2.15), если в элементе имеются
и внутренние узлы, получим уравнение
в==А, r ,
(2.17)
с помощью KOTOporo выражается зависимость между перемещениями в элементе
и перемещениями ВО внутренних узлах элемента.
Поскольку параметры перемещений внутренних узлов иrpают роль вспомо--
rательных величин, то интерполяционные функции, представляющие элементы
матрицы А, Вhlбираются таким образом, чтобы улучшить аппроксимацию пере..
мещений в элементе, но не влиять на условия в контуре, т.е. они отвечают од"
нородным условиям В контуре элемента. У прямоуroльноro элемента с одним
только внутренним узлом в центре тяжести прямоуroльника (рис. 2.4) с неизве..
стными параметрами перемещений и с , V C ' у которых вектор перемещений
r [ Uc ]
Vc "
(2.18)
Для элементов матрицы А, например, MOryT быть приняты функции вида
. '7tX . 1tX
sln Sln -
а Ь
о
А==
r
(2.19)
о
. 1tX . тry
sln sln
а Ь
или
Ar == [ 7J (1 o ) (1 1J) , о ]
(1 ) (1 1) ·
{2.20)
Связь между перемещениями в элементе и параметрами перемещений в уз...
лах для элемента с внешними и внутренними Yrлами соrласно (2.15) и (2.17)
им общий вид
u==Aq q+Ar r== [Aq Ar] [- ] ·
(2.21)
Наиболее простую матрицу интерполяционных функций прямоуroльноro
элемента получают с помощью общих координат прямым путем. Для этоro необ..
ходимо условие реryлярности матрицы С (С = О), что происходит не всеrда.
Но, несмотря на это, данный способ определения матрицы интерполяционных
функций не отвечает сложным элементам с большим числом степеней свободы,
поэтому ее находят друрим путем (см. rл. З). Однако важно отметить, что связь
48
между изменением какой..либо функции в элементе и ее Зliачениями в узлах
элемента Bcerдa имеет вид
ф (х, у. z) == N k (х, у, z) фk == [N 1 , N 2 . . . N k . . . ,N K ] .....фt....
ф2
.
фk
(2.22)
/..... фК ..... )
rде N k (Х, у, z:) соответствующие интерполяционные функции, которые отвечают узлу k; ф"
значение функции в уЗJIе k.
Под функцией Ф (х, у, z) подразумевается любая, скалярная функция, со..
ставляющая перемещений, производная перемещений или некоторые друmе ве..
ли:чины:, приняты е за неизвестные. Кроме тою, функция Ф (х, у, z) может быть
векторной или тензорной величиной, так что общий вид зависимости (2.22) при
векторе всех перемещений в точках элемента и может выражаться следующим
способом:
u==N Ч}
I
(2.23)
rде N матрица интерполяционных функций; q вектор параметров перемещеиий в УЗJI3Х эле
мента..
Для случая пространственных зада1l уравнение (2.23) в развернутом виде
выrядитT при перемещениях соответственно иl' и2' из следующим образом:
U 1 N I1 . N 1k . N tK ql 1
U 2 N 21 N 2k N 2K q2 1
N. H N Зk N 3K qJ 1
U)
ql k
Q.2k
Q3k
(2.24)
qlK
q2K
.,..qзк - )
rде qlk' Q2k' qЗk составляющие перемещений в УЗJIе k в направлениях х, у.,- z (k,j = 1, 2...Ю.
- ...
Уравнением (2.21) или (2.23) определено поле перемещения в элементе в за..
висимости от перемещения в узлах.
49
Если известно поле перемещений, ТО :леrко получить поле деформаций. В об..
щем случае, составляющие деформаций в произвольной точке элемента
Е==Ео+Е ,
(2.25)
rде t о вектор начальных деформаций; t вектор деформаций, зависящих от наrpужений и на..
nряжений.
Начальные деформации чаще Bcero являются результатом термическоro воз..
действия, Tak что MOryT быть определены по выражению
(EO)i j ==8 ij rtt)
rде J.,, коэффициент термическоro расширения; 5ц символ Кронекера:
(2.26)
8.. == { l, i == j
lJ О '--+-
, 1.., J.
Составляющие деформаций в зависимости от составляющих перемещений
получаются соrласно их определению дифференцированием выражения (2.21)
или применением соотвеТСТRУК)IЦей матрицы оператора над матрицей-интерпо..
ляционных функций. Таким образом, для вектора деформации
Е == Bq q + Br r == [ВЧ Br] [ : ] ,
(2.27)
rде
Bq==LAq)
Br==LAr.
(2.28 )
в выражении (2.28) L ....... матрица оператор, которая различна к разным про..
блемам. Так, например, для трехмерных за ач линейной теории упрyrocти мат..
рица
д/дх О О
О д/ду О
L== О О' д/дz '}
д/ду д/дх О
о д/дz д/ду
д/дz О д/дх
в то время как для плоских проблем
.... дjдх
О
L== О д/ду
д/ду дjдх
50
(Dункционал потенциальной энерrии конечноro элемента соrласно paBeHCT
вам (1.59) и (2.25)
П == J + € T D € dv J FТ u d\" J рТ u ds ==
V V Sa
== J +€TDEdv+ J E D€od\' J +€TDEodV
v V v
J DEdv J FTUdv J pTuds.
v v 50
(2.29)
Поскольку п скаляр, то и произведения во всех членах правой части ypaB
нения (2.29) должны быть скаляры. С учетом этоro и симметрии матрицы Д
E OE €T оЕ:н ,
так что вместо выражения (2.29) можно записать
п== J ETD€dv J ETDEodv+ J +E DEodV
V V V
! FТи dv J pTuds.
V Sa
(2.30)
Подставив уравнение (2.21) и (2.27) в выражение (2.30), потенциальная
энерmя будет
п == J [+ {Bq q + Br r)T D (Bq q + Brr) (Bqq + Br r)T.D Ео
V
yr(Aqq+Arr)]dV J pT(AqQ+Arr)ds++ J DEodv.
S V
(2.31)
После умножения произведений под знаком интеrрала и их упорядочения
выражение (2.31) принимает вид
n (qT kqq q + чТ k qr r + , Т k rq q + , Т k rr ') qT Qq , Т Qr + Со, (2.32)
2
rде
k Qq == J B DBq dv i
v
(2.33)
1k qr == J B DБ r dv .
v
51
J т '
k rq == В, DBq dv ,
v
, k rr == J в; DBr dv (
v
(3.33)
Qq== J Fdv+ JB DEodv+ J A pds .
V V sa
f T J T f T'
Qr== Ar Fdv+ Br DEodv+ Ar pds
V V sa
I r т
СО == ......... Ео D Еь d v .
2 '-
v
Поскольку в (2.32) все члены скаляры, то, пользуясъ определенными
формальными трансформациями, это выражение можно упростить. Если второй
член выражения
чТ kqrr == (чт kqr r)T == rT r q )
(2.34 )
то, подставив
k qr == J B DBr dv
V
и соответственно.
т J т
k qr == В, DBq dv == k rq
v
в выражение <2.34), получим
чТ k qr r == r T k rq Ч.
(2.35)
', Выражение потенциальной Эйерmи элемента (2.32); ";,УЧИ1'ывая уравнение
. (2 .; }) flринимает вид
....' ..
П== qЧС qq q+rTkrqq + rTkrrr QJ q Q; r+ Со.
2, ' 2
(2.36)
-
Это выражение состоит из шести членов, из которых три первых представля
ют внутреннюю энерmю дефор аl ИИ, данную как квадратную форму неизвест
ных перемещений q и r в узлах элемента, а три остальных члёна потенциаль
ную энерmю' известных внешних воздействий. В функционале потенциальной
'энерmи (2.36) неизвестные......... векторы q и r, составляющие которых являются
параметрами перемещений внешних и внутренних узлов элемента. Поскольку
параметры перемещений внутренних узлов'''':''''' не основные неизвестные величи
НЫ, то необходимо исключить вектор. из дальнейших рассмотрений. Вариацией
выражения (2.36) по r T и перемещением положения о стационарности Функцио
нала п получим
52
П, r T == krqq + krrl Qr =='0 1
соответственно
r == k;; I(Qr ..... k rq qЭ.
(2.37)
Подставив (2.37) в (2.36)" ПQЛУЧИМ
1 I - Т
П==2qТkqqq qТ (k rr )Tkrqq Qqq
Q: k;;1 k rq q + Q; k;;1 (Qr k rq ,)
2
q т k:Ч k;;1 (Qr q ,) Q'J k;;1 (Qr k rq ,) + Со.
2
(2.38)
Поскольку
k k T'
rr == rr I
( k J ) T k 1
rr сс I
(2.39)
то QT k;;1 k q q == == чТ k (k )"'l Qr .
Выраже ние (2.38) после упорядочения принимает вид
1
П==/""""'qТkq QТq+С )
2
(2.40)
rде
k == kqq k k rr 1 k rq ;
Q==Qq k k;;lQr ,
, l' т 1 .
с :=.с о Qr k cr Qr.
.2
(2.41)
Если в элементе нет внутренltИ,Х уrлов, что является частым случаем, то вы..
ражения (2.41) редуцируются и nринимают вид:
< k == kqq == J ВТ DB dv J
V
Q Qq== fNTFdv+ JNTpds+ ]BTD€odv)
V SCf V
С == СО.
(2.42)
53
в выражениях (2.41) и (2.42) k .......... матрица жесткости элемента; Q ........ вектор
сил в узлах элемента, которые эквивалентны внешним воздействиям. Вектор Q
включает в себя воздействия объемных сил в элементе, поверхностных сил на
контуре элемента и начальных деформаций.
Уравнения системы :конечных элементов. Потенциальная энерrия системы
конечных элементов может выражаться как сумма потенциальных энерrий OT
дельных конечных элементов. Таким способом, исходя из выражения (2.40), по
тенциальная энерrия системы конечных элементов
M ( l т )
П == 2 2 qe ke Че ..... Qe Че + Се
е=l ,
(2.43)
rдe е суммирование по элементам; М общее число элементов.
Выражение под знаком суммирования представляет потенциальную энерrию
элемента е. Выражение (2.43) можно выразить в матричном виде
1 м
П== qТКq QТq+ 2: Се
2 e 1 )
(2.44 )
rде
r: l ] r К 1
q 1 e K ==I
l M l
Ке
1 r I
Q == I e
t Mj
(2.45)
..
K {
Векторы q и Q, как и матрица К, составлены из соответствующих векторов,
матриц жесткости отдельных элементов. Матрица К представляет собой rлобаль
ную матрицу жесткости системы несвязанных между <;обой элементов. Однако
последние связаны в узлах, поэтому перемещения в оДном узле тождественны
для всех элементов, находящихся в нем. Кроме TOro, анализ отдельных элемен..
тов производится В местной системе координат, которые, как правило, неодина
ковы для разных элементов. Для сведения к совместной основе вводится ,универ"
сальная система координат, по отноmению к которой привязывается к месту сис
тема местных координат (рис. 2.5). '
В универсальной координатной системе узлы отмечены определенным рядом
с числами 1, 2... N, rде N ........ общее число узлов системы. Если все перемещения
и общие силы в узлах по отношению к универсальной системе координат обоз.,.
начитъ qn И Qn при п = l э 2...N, то тоrда перемещения и силы всех узлов в уни
v * Q *
версальнои системе координат можно выразить векторами q и :
qi
Qi
q* == q
Q* == Q
(2.46)
*
q N ......
....QN 0808
54
)
х
у
(Хе
х
PIIC. 2.5. У Ill1версалыlя 11 Jlокалыlя CllcтeMbl КООрДИllar
Таким способом введены два типа векторов, первый из которых....... q и Q OT
б " ,,* Q *
вечает системе несвязанных между со ои элементов, второи ....... q И ....... систе
ме конечных элементов, которые в узлах связаны друr с друroм. Очевидно, что
векторы q и Q более высшеro ряда, чем q* и Q*. Однако, поскольку оба типа
этих векторов относятся к одной и той же системе элементов и УЗЛОR, то лоrич
но предположить, что между ними существует определенная зависимость. Эту
, *
зависимость вектора перемещения q системы местных координат и вектора q
универсальной системы координат можно выразить уравнением
...
q==Jq* >
(2.47)
rде J матрица трансформации вектора q, составляющие KOTOporo пре;ставляют собой пара метры
перемещения в узлах элементов в местной системе координат, в вектор q . Составляющие последнеro
ЯWIЯются параметрами перемещения в универсальной системе координат.
с помощью матрицы J трансформируется вектор больших в вектор меньших
размеров, поэтому она всеrда остается прямоyroльной. Матрица J называется
универсальной кинематической .матрицей или матрицей связи элементов. Ec
ли оси .локальных координатн х систем параллельны осям унцверсальной KOOp
динатной, системы, то элементы матрицы J ....... нули и единицы.
Если этоro нет, то элементы матрицы J ....... нули и косинусы или COOTBeтCT
венно синусы уrлов между осями локальной и универсальной координатных сис
тем. Однако матрица и тоrда может свестись на единичную прямоуroльную MaT
рицу, если предварительно провести трансформацию MecTныx координатных сис
тем каждоro элемента в систему, которм параллельна универсальной.
Структуру матрицы J можно проиллюстрировать на простом примере Bcero
из двух Tpeyro.lfbHblx элементов (рис. 2.6). В локальных координатных системах
х, у узлы отмечены i, j, k, в универСальных....... 1, 2., З, 4. Предполаrается, что'
локальныe координатные системы параллельны универсальным Х, У. Векторы
55
t y
у
[]
j
х
х
PIIC. 2.6. Jl[pllмep С двумя треyrоJlыIми э.nе,..еm8М1I
параметров перемещения в узлах для элементов 1 и 2, как несвязанные q и как
БО U *
связанные между со и q , следующие:
ч: 1 -r :; 1
I I
qj
q . ч: I
ч* l :;] ,
t : ]
их связь между собой:
q == Jq*..
Соответственно
I 1 О О () ч.'
Чi . J
t .
Cfj О 1 О О "2
I .
qk О О О I 4з
2 .
qi О 1 О О q4
q; О О 1 ;1
2 о О о )
qk
(2.48)
(2..49)
(2.50)
rде 1 единичная матрица второй степени.
Как видно, матрицу J составляют блоки единичных и нулевых матриц. В об
щем случае, коrда локальные координатные системы не параллельны универ
сальным, вместо субматрицы в матрице появляется матрица Т, элементы кото...
рой........ коэффициенты трансформации локальных координат в универсальные.
56
Предшествующие наблюдения структуры матрицы J на ПросТQМ примере Bcero с
двумя конечными элементами нетрудно обобщить и для большею числа элемен
тов. '
Леrко заметить, что каждому' блоку вектора q соответствует блок вида
матрицы J, а каждому блоку вектора q* ........ блок rpуппа матрицы J. Блок вид
матрицы J имеет обозначения узлов иа элементе и соответствеано в векторе q, а
блок rруппа ........ обозначения узлов в системе элементов, а также в векторе q*.
Таким образом с помощью блока J ij , который представляет собой сечение блока
вида i и блока..rруrtпы J, устанавливают непосредственную СВSlзь между пара--
метрами перемещения в узле i (в векторе q) иесвязанных элементов и парамет
рами. перемещения в узле J (в векторе q*), связанны'. ме.?КдУ собой конечных
элементов (рис. 2.7). На этом основании можно сделать ВЫВОД, Ч1'о матрица I
,-составлена из блоков Jii
J..== { I
IJ О
. .
I==J
'. . )
J 7' J
(2.51 )
rде 1; О единица и ноль матрицы ряда Pxs; Р; S число степеней свободы в узлах i и j.
'-
q*
j
qi....
J iJ
.
PIIC. 2.7. Схема значеllllЯ mн мarичесlCОЙ мarpицы i
Подставляя уравнение (2.49) в выажеииеe (2.44), потенциальная эиерmя си
стемы элементов будет
1
П == ч*ТК* Ч .....q*TQ* + Се
2 е )
(2.52)
rдe
K*==JT K J
'J
(2.53)
Q*==JYQ
соответственно матрица жесткости системы конечных элементов и вектор всех сИJI в узлах СИС1'е
мы.
Матрица жесткости системы элементов, взаимосвязанных в узлах К, KOТO
рая получается соrласно (2.53), если матрица жесткости не связанных элементов
51
JT
к
J
к.
.
.
=
(8х 12)
(12х12)
( 12х8)
(8х8)
Рис; 2.8. CX Ma значений ПрС>изведеllИЯ jf кl
умножается слева на lT и справа на J. В действительности, произведение JTKl
означает сжатие матрицы К, которое в качестве примера двух треуroЛЬНhlХ эле
ментов показано на рис. 2.8.
Матрица жесткости системы конечных элементов симметрична. Кроме TOro,
большое число ее элементов равно нулю, а элементы, отличны:е от нуля, сrруп
пированы около rлавной диаroнали в виде ленты (рис. 2.9).
Рис. 2.9. Ширина ленты мarpицы жесткости системы
Ленточный вид матрицы К появляется потому, что в одном узле связывает
ся значительно меньше элементов от их общеro числа и на одном элементе Ha
ходится значительно меньше узлов от общеro числа узлов системы. Ширина
ленты зависит от максимальной разности числа узлов (по обозначениям в уни
версальной системе) на одном элементе и числа степеней свободы в узле. Если
максимальную разность между узлами на одном ,элементе обозначить т, а число
степеней свободы в узле S, то ширина ленты
b==(m+I)S.
(2.54 )
Поскольку ширина ленты влияет на эффективность решения системы ypaB
ненм, то ее минимизация, зависящая от способа обозначения узлов в системе
конечн х элементов, представляет особое практическое начение.
МаТi)ица жесткости системы, точно так же, как матрица жесткости элемен
та, сииryлярна. Это значит, что из системы уравнений, которая получается из
выражения (2.52) для q*T, невозможно определить вектор перемещения q 'пока
не будет проведена модификация этой системы. При определении перемещений
в узлах системы необходимо име ь ввиду перемещения в узлах на контуре Su' с
помощью которых определяется положение системы как жесткою тела в про..
cтpallcTBe.
58
Исключение известных параметров. В векторе q* Bcerдa есть определенное
число составляющих, которые известны. Это параМёТрЫ перемещен:ий в узлах на
контуре Su' rде контурные условия заданы по перемещен:иям. По ЭТОЙ причине
общее число неизвестных в векторе q* и общее число степеней свободы систе fы
конечных элементов уменьшается на число заданных пара метров перемсщсний в
узлах на контуре Su. Порядок действий, по которому из вектора перемещений
исключается определенное число параметров перемещений, называется 1COHдeH
сацией системы уравнений. Исключение известных перемещений из системы
уравнений представляет специфический вид конденсации всей системы ypaBHe
ний. Если неизвестные составляющие в векторе q* об значить ql' а известные
Q2, то вектор
q* [:;] )
(2.55)
а потенциальная энерrия
А . .
Ql ==Ql+ P
(2.56 )
А . .
Q2==Q2+ R J
rде Q}, Q2 векторы всех сил в узлах, отвечающие векторам всех перемещений Ql и Q2'
В векторе Ql наряду с общими силами Ql' соответствующими внешним B03
действиям в элементе (наrружение и начальные деформации), существуют KOH
центрированные, действующие в узлах системы. В векторе Q2 наряду с силами
Q2 имеются и реакции опоры (поддержки), таким образом:
1 ·
п == [ql
2
ч; ] [ К:' К:2 ] [ q: ] .... [ч;
К 2 1 К 22 Ч2
q;] [ Q ] + с
А. 2: О)
Ql n
(2.57)
rде Р вектор концентрированных сил, заданных в узлах системы; R вектор реакций в узлах на
контуре S "'
ut
Составляющие вектора Р и R относятся к у"иверсальнои системе координат.
После упорядочения выражения (2.56) и, принимая во нимание симметрию
атрицы К (K 12 = K 21 ), выражение получит следу щий вид:
1 I I .т К .. .т К . · 1. .т К . ·
== 2 q l 11 q I + q I J 2 q2 + 2 Ч2 22 q2
.т А . .... .
ЧI Q2 Ч2 Т Q2 + 2: СП.
n
(2.58)
Варьируя выражение для потенциальной энерrии (2.58) по вектору неизвест
ных параметров перемещения Q*r и применяя положение о минимуме
д 11
== о
д qi T )
59
получим., ВЬlpttж.евие"
1" ...
, А
К "::, - К . · Q . О
t 1 Ч, * j 2;.:ftз,. 1 .:;.: J
(2.59-)
предсТавлSlЮ систему алreбраичщВж урав ений., ИЗ которой м.оЖиci/
", ... -.11.1-' . С.
наИТ . N;етры перемещ } .'- _.,
; Jt"-tl";; j..;:....., о;> r. :--..I';"".F .Ji
qi --=- Ki 1 :-(-Q Kii q2).; .
.........
"
;1...
... ;t.. "'.;:o.tJ J
(2.60)... .
Еслв. оп енht. параметры перемехцеиий' В, узлах системы, то проблема
прак ски -РеШена. Составляющие перемещеltiШ и. деформаций в отдельных
точках опреДeJI$ИОТС.С помощью выраженИЙ f2 2З) и (2.27). Общие силы R в"уз--
лах на контуре Su' представляющие реакции поддержки при условии определе...
ния вектора Ql' МОЖНО вычислить по выражению
R К . · К . · Q .
== 21 q I + 22 q2 2 )
(2.61 )
которое получается из второй rруппы уравнений (2.56), представляющих усло...
вия равновесия в узлах на контуре sll и вариацией выражения (2.58) для q*T.
При этом способе определения вектора параметров перемещения необходимо
провести перecrраивание системы уравнений'J т.е. изменить последовательность,
а также умеиъши.ть число уравнений. Таким образом нарушается ленточная
crpYKтypa ма1рицн жесткости системы и образуется дополнительная работа для
создания пp0rp8ммы на ЭВМ при вычислении. решения. По этой причине стре...
мятся, чтобы сиcreма уравнений рещалась в первоначальном виде
К . . Q A.
q
-
(2.62)
без трансформаций, меняющих порядок и число уравнений.
Существ некоторые действия, с помощью которых ПО этому привципу
решается система уравнений, успешно применяющихсsr в рамках большоro числа
общих проrрамм мкэ.
Fеометрическое значение матрицы жесткости элементов. Потенциальная
эверrия конечною элемента, подверrнутоro внешним воздействиям, представле--
на выражением (2.40). Оно выведено для свободноro элемента, независимоro ОТ
системы конечных элементов. Если элемент рассматривается как часть, выде..
ленная из системы,. то Torдa в ею уrлах необходимо ввести воздействие внутрен--
них СИЛ связи, с помощью которых заменяется влияние остальных элементов на
рассматриваемый элемент.
Если формируется вектор R общих сил свяЗи, соответствуюЩИЙ вектору об..
щих перемещений q для элемента, Torдa работа сил R на перемещеНШI может
бьпь выражена как произведение RT q. Если в выражение (2.40) подставить и
работу сил связи t ТО потенциальная энерmя элемента будет
1
п == qTkq QT q RT ч+ с.
2
(2.63)
Варьируя это выражение для qT и применяя положение о минимуме
П, чт==о,
( .64 )
получим систему уравнений
kq Q==R }
(2.65)
60
С' помощью которой устанавливается непосредствениая связь между общими' си..
ламп и общими перемещениями В узлах элемента. Из этой системы уравнений
при известном векторе общих перемещений- м()жио 9пределить BeKТQp общих
сил R. \ Однако И ЭТОЙ системы уравнений нель найти вектор общ'Ч' переме--
щеНИЙ f/, ecJIИ lIЗаестeif, вектор общих' сил R,.. Щ)(кo.zrЬ«у матрица k : cииryЛ,StR--. " '
-ИЩI-, переМещ 7эммента'l(ак J_n1IO>.т а. Jlстем:ой' y:pa в.
". И l' еи 'L." ; ,,' .', ' , . "'. '."' ! :.' .:':0.;...;. .' - '.,.' ,
.I..&81t ......... .. "" '" 4 ........ ... ." .,
', . Если преДПQ, ожИть, что вектор, общих СИJf . вследствие внешних' воздействий
, l
В. элементе Q равен нулю, то полу1ЩМ выражеlЩе . . - _
kq==R)
,-
(2.66)
\.
,:
,..:
на основании ,KOTOporo МОЖНО определить reoметрическо..статическое значение
коэффициента матрицы жесткости э-лемента. Поскольку элементы вектора q ----
векторы перемещеиий в отдельных узлах, то можно сделать вывод, что матрица
k имеет блоковскую структуру, так что систему уравнений (2.66) в развернутом
виде можно представить как
k 11
k 1 j ... kJ k
qJ
R.
k i I
l kl
k..
IJ
(2.67>
k ik qj R. )
I
kkJ qk RkJ
kkj
rде блок матрицы
.> k;j J вТ DBj dv.
v
(2.68)
Если предположить, что в векторе q все элементы, кроме элемента Qj't равны
нулю, то система у авиений (2.67) редуцируется к системе уравнений
kl J QJ==RI't
i l, 2...k
(2.69)
ИЛИ В развернутом виде
k .'
l'
. . .
k :j 5 ...
IS
k ij
I
U.
J
:: 1
k .l
lJ
k fjs ...
k
1)
s
и.
J
R:
(2.70)
, . . .
k S k ss
ij · · · ij
l fJ
.
l k '
R
61
r:r , (lIu.}IОЖlI f, ЧТО Uj = 1, а все остальныIe составляющие вектора qj равны
11У.J Ю, :' -Д3 НЗ системы уравнени { (2.70) следует, что
" ls l
Kij == R i .
(2.71)
I ;. ']снове равенства (2.71) 10ЖНО сделать ВЫВОД, что элемент k ij матрицы
жесткости k представляет общую силу в узле и в направлении [, вследствие еди
ничноrо перемещения в узле j в направлении s, причем все остальные общие пе
ремещения в узлах элемента равны нулю (рис. 2.10).
s
.. \ . .. . f 1'1.\ .. ... о: .,.. ..
1
Рис. 2.10. rеометрическое и стarич ское значение элементов мarpицы жесткOCТll
Поскольку матрица Д симметрична, то на основе в ражения (2.68) следует,
что матрица жесткости элемента также симметрична, а на основании показанно--
ro rеометрично статическоro значения ее элементов вытекает, что эта особен--
ность матрицы k непосредственно является следствием закономерности Бетти о
взаимности.
Трансформация матрицы жесткости элементов. Анализ элементов леrче
всеro осуществляется в блаroприятно выбранной локальной системе координат.
Локальные координатные си(Темы отдельных элементов обычно не совпадают с
универсальной системой координат. При образовании универсаль ой матрицы
жесткости или системы уравнений для системы элементов необходимо провести
траllсформацию с ло:k:альных на универсальную систему координат. Сnязь между
перемещениями в локальной и универсальной системах координат в произволь--
ной ТОЧ1(е элемента можно показать с помощью выражения
10J=='o,
(2.72)
rде индексы L относятся к локальной, q к универсальной системам' координат; t квадратная
матрица трансформации ряда S, S число степеней совбоды в рассматриваемой точке.
Так, например, для точки в плоскости с двумя степенями свободы векторы Uz
и U q (рис. 2.11) имеют по две составляющие:
о, [ ] \ U a [ ] ;
(2.73)
62
!
/ У
л = cosct р. = sina
х
х
u
PIIc. 2.11. ТрансформацllЯ из локальной в УНllвеpcaJlЬиyIO систему ко'ординar
матрица t второй степени:
t== [ t J1
t 21
t 12 ] ( Л
t 22 :.= (.L
])
(2.74)
а ее элементы косинусы или синусы уrла между осями х и х.
Используя выражение (2.72), связь между пара метрами перемещений в ло
калъной и универсальной системах координат для узлов элемента можно Bыpa
зить в виде
qt ==Т qg )
(2.75)
rде
t
T I
t
(2.76)
t
Она представляет матрицу трансформации, в которой t....... число подматриц,
равное числу узлов элемента. Подставив (2.75) в условие равновесия элемента
(2.62), получим
kTq.==Qt.
(2.77)
Если левую и правую стороны уравнения (2.77) умножить на те, то
,kQI==Qa )
(2.78)
rдe
k==TTkT )
QI==TTQ/
(2.79)
63
трансформированная матрица жесткости и трансформир<>ванный вектор оБЩИХ сИJl конечноrc
элемента.
Матраца трансформации общих сил получается путем транспозиции матри
цы трансформации общих перемещений, поэтому эти трансформации перемеще
ний и сил как ков'ьюrационныx векторов называются 1COHmpzpaiJueHтaмu
трансформации.
На основе положения об инвариантности работы при трансформации коорди
нат следует
т т
q. Q.==ч, Q, ·
Соответственно:
ч; Q.== q TTTQg'
(2.80)
(2.81 )
О1'куда
ТIТ==I )
(2.82)
rдe I единичная квадратная матрица.
С учетом определения обратной матрицы на основании выражения (2.82)
ТТ==T 1)
(2.83)
что составляет положение об ортоroнальности матрицы трансформаций.
. Синry JlJlрИОСТЬ матрицы жесткости. Установлено, что она .......... си метрична
(k ij = !.ii>. Наряду с этой особенностью матрица жесткости имеет еще одно важ
ное своиство она 'Bcerдa синry.дярна. Если предположить, что конечный эле
мент перемещается как жесткое тело, тоща состаВЛSlЮщие деформаций равны
нулю (Е = О), а перемещения узлов элемента отJ"Iичны от нуля (q = О). По
скольку вектор сил в узлах paBeH нулю, то система ураввений (2.65) становится
однородной, т.е.
k ч==О.
Эта система уравнений может JlМeть решение, отличное от нуля (q = О>,
только в случае, если матрица k ........ синryлярная' или paHr матрицы k меньше ее
степени. Можно показать, что paHr матрицы k меJlЬше числа степеней свободы
элемента. Если перемещеиию элемента как упруroму телу воспрепятствованно.(О
paнr матрицы и число степеней свободы элемента paBны, а поэтому только в
таком случае матрица жесткости элемента не cинryлярна.
При анализе элементов, особен"о таких cJIoжных, как криволинейные, опре..
деление чиc.na и формы перемещеllИЙ элемента как упруroro тела не Bcerдa пpcr
сто. Поэтому здесь будет показан способ решения проблемы, Korдa матрица жес..
ткости ,известна. Поскольку в матрице жесткости заключаются перемещения
элемента цк упрyroro тела, то в системе (2.84) существует линейная зависи
мость одною числа уравнеНИЙ от ОС'rзльных.
В reoметрической интерпретации систему из п числа уравнеНИЙ МОЖIIО tчи
та1Ъ как систему п",вектора с п составляющими. Если по крайней мере два из
этих векторов кoJIинейны' то между векторами существует линейная зависи
мость. Для TOro чтобы утвердить существование такой зависимости, необходимо
трансформировать их в BeKтopы' которые совпадают с rлавныии направлениями,
а это значит матрицу жесткости следует траНСфоРtdировать в диаroнальную фор
64
му. Тоrда число элементов на rлавн:ой диаroнзли, значения которых равны HY
ЛЮ, представляет число зависимых уравнений системы или ЧИCJIО колинейных
векторов.
Сведения о диаroнал.ьной форl\fе hfатрицы k, как известно, достиrаются опре
делением свойственных! значений и векторов матрицы k. Состапл:яется xapaK
терное уравне:ние
det (k (UI) ==0 ,
(2.85)
представляющее полином р степени, rде р ........ общ е число степеней свободы эле
мента. Решением xapaKTepHoro уравнения получают корни CV 1 , 6)2." u:p, которые
представляют свойственные значения матрицы k, а затем соответствующие свой
BeH:Hыe векторы d i , которые отвечаIОТ уравнениям
kdi==Ыl d l.
.:....с.......
(2.86)
Свойственные векторы ортоroнальны между собой, так что
d ( k d. == { <а> i i == j
J О i t' j.
Если из вектора d i (i = 1, 2, ... р) формируется квадратная матрица r (01'
02,". Ор) = степени и умножается на нее левая и правая стороны матрицы k, то
получают так называемую .модальную матрицу 1CecтKocти элемента
(2.87)
,.
k==r'lКr) (2.88)
которая с учетом выражения (2.87) является ди:аroнальной.
На ОСliоваНliИ этоro fdОЖНО сделать следухощий вывод: число ненулевых чле
иов модальной 1:атрицы равно числу зависимых уравнений в системе (2.66);
число нулей rлавной диаroнали модальной матрицы жесткости элемента равно
числу степеней свободы элемента как упруroro тела. Свойственные векторы, ОТ--
вечаIощие ЭТIIМ элементам матрицы, описывают формы перемещений элемента
как ynpyroro 'I'ела.
Предыдущие наблюдения ИЛЛlOCтрируются на примере аксиально напряжен--
коro стержня. l\1атрица жесткости этоro элемента
k=: [ 1
1
1 ] EF
.,
1 L
а соответствующее характерное уравнение соrласно выражению (2.85):
2ЕР
(.)2 (.) == о
L
и:м:еет корни
2EF
{Уl == о, 6)2 == L-.
1 По определению автора.
65
ПQCкольку формируется матрица нормированных свойственных векторов
r == /2 [ ] }
то соrласио (2.88) получим модальную матрицу жесткости аксиально напряжен--
HOro стержня:
k== [ о 2]'
которая имеет один нуль на rлавной диаroнали.
Ца основании этоro можно заIЧ!ЮЧИТЬ, что аксиальный стержень имеет одну
степень свободhl как упpyroе тело, а йа 6elювaнии COQТветствующеro свойствен--
HOro вектора видно, что это ...... перемещение в аксиальном напра:влеиии сr.r ерж..
ня, как целоro. .
Прямое определение матрицы жесткости системы. :-Вычисление такой мат..
рицы по выражению (2.53) принципиально не представляет никакой трудности.
Однако, поскольку речь идет о произведении матриц, которые MOryт иметь ВЫСО"
кую степень, такой способ определения матр!fЦЫ жесткости системы весьма до"
por, а дЛЯ ЭВМ с малой памятью часто невозможен.
С учетом CТPY TYPЫ матрицы j произведение JT Kj приводит ТОЛЬКО К фор..
мальным трансформациям, т.е. к сжатию и размещению эдемен ов в матрице К.
В то же время элементы матрицы жесткости системы образуются из элементов
матриц жесткости отдельных элементов их постановкой на соответствующее ме..
сто в матрице системы, которое указыает на возможность тоro, что матрица
жесткости системы формируется прямо, без посредничества rлоба.льной кинема...
тической матрицы J. Существует мною практических действий прямоro форми..
роваиия матрицы жесткости системы. В данной работе приведено одно из таких
действий.
Если наряду с вектором параметров перемещений в )'злах в rлобальной сис--
теме q- (Nxl) формируются вектор общих сил в узлах Q (Nxl) и матрица жест..
кости Ке (Nxl) каждоro элемента, rдe N ---- общее число степеней свободы систе..
мы, то потенциальная энерmя системы
п == I пе==J.. 2: q TK:CJ 2: q TQ:
с== I 2 с е
"" J..iJ.T [ (К:ч Q:> ] .
2 с::l
(2.89)
Вариацией этоro выражения и применением положения о минимуме получа..
eТC5I
3 'П 3 q.T [( к:) ,* L Q:] ==: о ) ,
е с
соответственно
( K:) q. == 1: Q:.
е е
(2.9{)
66
Сравним 8ыажен:ийй: (2.90) и (2.62):
к. == к; 1
е
(2.91 )
Q.=! Q:.
На ОСIIОвании выражеШu1 (2.91) можно j*tК)ПО'qИТЬ, что матрица жесткости
к- и В Й\)Р общих СИJI Q* получаютсSl а результ-ате CJlожемия Мl!ТРИЦН Ке и век...
тора Ое длJt ОТдельньtх' элеt.relt'tOв, если t>1Пi предварительно будут вьtраж ны
знаками узлов в rлобальн()й системе координат. Формирование матрицы жестко...
сти подобным образом схематически изображено длй сиСТемы из шести элемен...
ТО8 на рис. 2.12. На eM показан способ формирования матрицы жесткости:С и
eKТOpa общих сJtЛ. Q. в узлах системы, Т.е. способы формирования условий рав",
ИОllесия 11 отделЬНЫХ узлах. На основании этой схемы леrко полуЧить аиaJtИти",
ческое выражение условий равновесия.
Например, дли первых четырех узлов данной системы элементов условия
равновесия:
, . 1 '. 2 ) . · 2 - -. - ( · . К .2 ) · К .2 · Q - t Q . 2.
(Кll+Кl1 ql+ К I2q2+ К lэqэ+ К14+ 14 Ч4+ Isqs== 1 + 2 f
*2. .2. .2 * '.2 · Q .2.
К2IЧt+К22q2+ K 24 Q.+K2sQs== 2 t
· I · ( · I . .3 ) . · I .. К . э * Q .. Q ).
K lql+ К З+КЗЭ qЗ+ К Э4q..+ Э6q,== 3+ з .
... *2\" .2 * -1. ( .1 - *2 и. 4 ) ·
(К4I+ К4.,Чl+К42Ч2+ К4эqэ+ 1(44+ K44+.l'.44 Ч4+
.... .4. v .. 4. · t · 2. Q - 4
+ lЧsqs+ K.,Q,+ IЧ8qа==Q4 +Q.. + 4)'
I
rдe- верхний имдеicС предстаВJIЯет обозначение элемента. .,.
На рис. 2.12 видна ленточная форма матрицы жесткости системы, mирина
которой по выражеНltю (2.54):
(2.92)
Ь==(4+ 1). 2== 10)
так как максимальная разность межДу узлами одноro элемента т = 4. Леrко
можно проверить, что способ, которым отмечены узлы на рис. 2.12, aeT наи...
меньшую шириltу ленты.
сп()со() формирования матрицы жесткости системы, nроиллюстрироваllНЬtЙ
примером с шестью элементами, можs:о обобщить до произволъноro числа эле...
ментов и свести к aлroрmму, который более Bcero подходит для выработки про..
rpзммы ЭВМ. Весь порядок действий можно разделить на следующие ocHoBныe
mаrи:
формируетси, квадратная нулевая, матрица степени NxN и нулевой вектор
creпt8И Nxl, rдe' N ---- число crепеней свободы системы;
начинается с. nepBoro конечною элемента, трайсформируетсJt ero матрица
жесткости и вектор общих сил в узлах из локальной в универсальную коорди"
натнуlO систему;
ПроВОДJlТсSl операции, необходимые для тoro, чтобы исключить внутренние
степени свободы элементов;
полыуяtь вепосредственной корреспонденцией между знаками узлов в .до...
кальной И универсальной системах. осуществляется внедрение 1'рансформирован"
ной матрицы' жесткости элемента в соответст8ующие позиции матрицы жестко...
81
з
.
ее .... . ,'.:.:.:::
; : Q) : . : :: ; : :: : : :;; ; ;.;: ;; 1
t'I 9
1 .
6
:.....: :.: : ';<" :. .: (::::/ :"::.... :.:::- : '. :.::: '.' .'
. .':'" '.::: ....:. :.,' .' :.. е,. . .
.. ... .
. .....
........... '. ......" (О
.. .., ... ............
. . ." :. ...::.: :::(.:'.:: }:..... :': . :».. ..... 5
. .
4
.
7
'.
fJ 10
а
. ::':.: ':'.. :.:: ::":.:'. .. . ;'.::<:::
.:.:.:: : i:';.: ::;:::: :.:::: \(.: : :.::(
.'. '::':: :: ::":'Т: .:. . ::;:::::>; ':::
: " :: .' '. . .: ......: '::>'"
. " ", . : " : :.:.::..
. .....
. j.' . .
;;i;!:i' ': ;;i!:; ::!!:::::::;:::.:::: .;:; ::::;..::.:": ::::::": :.':. :.::: ::'i:' . ,.:
i: .'. ....
. ....
. . . .
.'
. ..... ...
. ...... .
2 fi ....
... .
а
5
Kf
к;
к:
, 8С ...
&. АА
ii .
I
1:2 . I -
а",: AiВ ...
1\. It\f)
.. Ie
8. 181&
. .
+
,.
.
CII 1.
I I ..
+
к:
.
8
к:
+
- ""1
O ..
О8 fi
ео tJi
8 181
..1 -
к:
+
.. '
O IGIO
ов IG
ort O
.. fiiD I ."
+
Qi Qi Q Q: Q: Q:
+
q* =
К*
Q*
q*=
* *
Рис. 2.12. Схема формирования мarpицы К И вектора Q
СТl' систеМrl. Те же действия осуп ествляются С трансформированным вектором
оБIЦИХ сил В узлах систе fЫ; ,
предыдущее действие повторяется по порядку для всех элементов системы.
Порядок формироваIIИЯ системы уравнений, с помощью которых использует..
ся решение пробле:м:ы по I.IКЭ, подобен способу, применяемому в анализе и рас..
чете линейных опор по методу деформации. Наряду со сходством методов МКЭ
68
и деформации линейных систем имеются и существенные различия. По методу
дефоРlvfации в рамках теории линейных опор получаются' точные реmения, а по
fdетоду МКЭ ......... только приближенные
Поле перемещений в конечном элементе в общем случае можно описать
только приблизительно, а в случае стержня ......... точно. Суммированные силы Б
узлах конечноro элемента означают эквивалентные силы поделеIiНЫХ наrрузок
элемента, а условия равновесия узлов означают интеrральный вид у овий paB
НОБесия элемента, при этом условия равновесия ЛШlейных систем........... точны. Yc
ЛОБ ИЯ на контуре Su по МКЭ также в общем случае MOryT быть lIриемлемы
только приблизительно, в то время как контурные условия в методе деформаций
л нейных опор соблюдены точно.
Примеры. Предшествующий материал далее проиллюстрирован двумя простыми приме:РЕМ /
расчета линейных систем.
Узлы 1 и 2 (рис. 2.13) расположены на краях стержня с параметрами перемещений Vl' tfl и
v2' f2' так что элемент имеет вeero четыре степени свободы.
р ЙШШНЙЙШШШШШШШЙЙйiЙt IНЙЙЙЙ ffIiЁ :ЁЕЁf.ШЁIШЕШl ЙЁЁ$$1fIIШЙШ lfЕJilljЙflIIfiЁЙЁ'
1
'Р!
VJ2
х
Рис. 2.130 Элемент прямоrо стержня, подэерженныi изrибу
Вектор параметров перемещений в узлах элемента, исходя из этоro, имеет четыре СОС'7:а2J1Я:Ю
ЩИХ, два перемещения и два вращения:
qT == [V 1 Ч>1 V 2 fPJ-
Поскольку элемент имеет четыре степени свободы, перемещение v (х) может выражатьсs.:: :;; фор..
ме полинома с чеТЫРЬМ!i суммированными координатами:
v == «1 ,1". « 2 х -f. (1з х 2 + (Х4 х 3 )
{2. ;;3)
соответственно
v==AfI.,
<2.94)
rде
А == [1
х х 2
х 3 ] ]
3 (Х4]'
(:: Sj
а Т == [ 1
(Х 2
Уroл наклона к упруroй линии "(х) дан как ПроИ380дная перемещений v (Х), Т.е.
dv 2
q> == == «2 + 2 (;(3 Х + " (Х4 Х )
дх
(2.96)
69
так qтo реремещения v и вращений 'Рва краях стержня, а также в узлах 1 И 2 МОЖНО выразить как
q-=СtI)
rдe
c r () о о
1 О О
.
t / 12 13
1 2/ 3/2
'<2 97)
(2.98)
Из предыдущей системы уравнений можно определить вектор суммир<>ванных (общих) коорди
нат:
« :sr;; С"' 1 q >
rдe
c ' r о о о 1.
1 О О
[ 3//2 .... 2/1 3/12. 1// j "-
2/13 ] 11'1. ... 2//& I/{l
Пос.пе ЭТОЮ сorласпо (2.94)
v:!:[l Х х 2 х 3 ] 1 О О О 1 r::
о I О О
==Nq
"""" 3/1"- 211 3/1% ll/ j [У 2 )
211' 111 ..... 2/ lЭ 1/1: tp2
rдe
(2.99)
(2.100)
./
(2.101)
N =; Аса (1 ...... 3 (xfl)'- + 2 (1./1)3, х..... 2 х 2 /1 + x 3 /1 2 J
3 (xflf ..... 2 (х/ 1)3 , х 2/1 + х Э /1'J)
(2.102)
........ матр.tЩ3 вид mlTepnOJl o!l1Ц.Q( ФУНКЦИЙ, е ЦО ОЩЬЮ которых устаНОВJIеИ8 непосредственная
f;IJ$lЭЬ между пе.юмещеlUf9IOl V (Х) Q д.ооой из 'Ючек 0<;.. стержня и перемещений и вращениями на
еro Kpa_ СВЯЭЬ ДI1JЩ1'IЦИИ Е. и nеремещепИJI v а рамках uaССI1Чес:кой теории стержНJI преДСТ8W1ена
Bb.1pa)J( lЦfeM
d 1 v
е == y dx :;: YY, X )
(2.103)
Ta что СОfласЖ) ураJJненшо (2,28):
d
B:Ip: B q == LN == у N == ..... у N"
- dx2 }
(2.104)
70
соотвеtсТвен!Ю
[ б х 4" х б х 2 . Х ]
B y /2 + 12/3, 7+6 'f; '; I 12 1 ,/+6 / ·
(2.105)
Поскольку
a==ЬE ...: Ё 1
rдe Е .;..... моДуль ynруrocти, 1'0 по выражению (2.68) Для мафицы жеСncОСтИ элемента:
(2.106)
1 ,
k '='Ё f (ВТ В) оу=Е] (В Т В) dx J у2 d.y=EI J ВТ В ах=
v о F 'о
1 '
=Ei/
е
6
+ 12
12 13
-.:... 4 ,Х
+ (5 ..:...:....
I l
l X".
1t1. ( 3
2 х
--- ----- + 6
'']..
1 I "
( ,6.," х --=- '4 ,." : ' , х
+ t2 ., + 6 :. j2 ,
12 ./3 i .{1. " 12 []
...:. 2 х ,
' ' + 6 li ] dx
1 "'" 1 у2 d"
F
4 .
В == в
.у
--Зб х*
...-. + ) 44 1.44 .......
14 ,. '
24 . х . х
84 +7
1) 14 JS
16 зt)х 2 . Х
. + ".. 48 .-.
Р --,. 1:J
36 ")(2 Х
.-... i44 +14
/4 1" ,1'
24 х х 2
. 13 + 84 1';;';" 72 1-'
36 х х 2
144 + 144
'4 Р l'
i2 . -'< , x
'60 +1
i' /4 '
8 / Х ',w.",i
Э6 +-'9
12 13 (4
I
... EI J
о
симмеtрично
j 2 , х . )(
+'60 72
t 3 /4 t
4 . х . х 2
....... 24 -+- 36
/i 13 14
"Х \
После проведения интефации И Э"амеиы rpаниц матриu:ы жесткости СТержня пояУчtеtCst
12 61 12 61
k == EI 412 6' 212 (2.107)
13 J2 6'
CHMмeTplAHO 41:l
71
Вектор суммированных сил в узлах соrласно выражению (2.42) для случая разномерно распре
деленноro наrpужения
'"
I 1 1.... i
Q "" J NТ р dx "" Р J NT dx .рl J 1 3 2 + 2
о о . о
х
===
I
d pl
1
2
1
/
12
1
2
1
/
12
(2.108)
1 ( 2 2 + l,
3 2 2 3
J
I ( 2 + 3)
их rpафическое выражение дано на рис. 2.14.
В статике 'Конструкций, как известно, матрица жесткости стержня получается, исходя из ее reo
метрическоro и статическоro значений, друrим способом. Элементы матрицы жесткости стержня оп
I
ределяются как реакции опор двусторонне закрепленноro стержня, вследствие единичных CYMMl1po"
ванных (перемещений и вращений) еro краев (рис. 2.15).
Таким образом, первая rpуппа матрицы k формируется из реакций опор, которые соответствуют
перемещению Vl = 1, вторая соответственно вращению p 1 = 1, третью перемещению V2 =
1, а четвертую вращению ер 2 = 1. Как видно, матрица жесткости стержня, полученная первым
или вторым способом, идентична. Это зависит от способа вьrooра интерполяционных функций. По..
следние в матрице Н, представляющие полиномы rермите первоro вида, совпадают с уравнениями
упруrиx линий стержня,вследствие единичных суммированных перемещений ero краев. При друroм
каком..либс ыборе интерполяционных функций и узлов на элементе, как например в случае ИЗОl1а
раметрической формулировки, получается матрица жесткости, отличающаяся от так называемой
1CJШсси r tеской матрицы жесткости стер%сня.
Формирование -;истемы уравнений, а также матрицы жесткости и вектора суммированных сил
показано ДЛЯ опоры на рис. 2.16. Она разделена на четыре конечных элемента длиной l, но с учетом
симметрии достаточно понаблюдать только за одной половиной ОПОРЬJ с двумя элементами.
Связь ме>кду вектором Q не связанных элементов и вектором Q элементов, связанных в узлах,
соrласно выражению (2.50) имеет вид
rv r V l ....
1
I 1 1
q>1 ер!
1 1
V2 V 2
!;
1
j 1
'92 'Р2
2 1
У2 V З
2 1
({)2 q>з...
2 1
УЗ
2 1
..... tp z ,
....
72
1
pl
2
1
pl
2
1
12 pl2
1
....... pl2
12
Рис. 2.14.. Суммированные СИЛЫ на краях стержня
'Рl , М 1
'Р2 ) М2
У 1 ' т 1
У 1 == 1 3 2 + 2 ;3
v2==I( 2 2 З)
,/ 7 1'"1) 9)
\ "". .. "'.
vз==3 2 З
v4=:1( 2+ .3:\ ;::;x-il
6EI
[2 \
Рис.. 2.15. rеометрическое 11 стamческое значение элемент()в мarpllЦЫ жесткости стерх3iИ
73
2 3
1'.'1 ......r .. J." lt. !.v'" ..... ,... ::.4':.;.{.... J.. ........ ....
1
1
1.
L
Рис. .16. СимметрИЧНа& . , (.c.ц Аин ij,IIы,' ЭJI. меl!I И)
При эт м aTpJ;W.3 и_ KTOp Q це СQЯ НН э ементов следу щие:.
....
12 6/ -:--- 1 2 61
6/ 4/:! 6/ 2/2
12 6" 12 61
EI-
K==
13
61
2/2 6]'
41 _
Q==
1,/2 .
/
12
1/2
1
l р/
12 ·
1/2
/
12
1/2
1
/
12
12 6/ J2 61
6/ 4/;2 (j/ 2/2
1'" 6/ 12 6/
. ..,
6/
211 6/
4/2
Матрица жесткости системы и B ,qp C;Y:M пPQ:Qaнl;lbIX СJ1Л в УЗЛах соrласно выражеНJ1 (2.53)
получают вид .
12 6./ 12 6/ 1/21
2/:- 1
6/ 41 6/ 12/
К* ==-- EI .... J 2 61 24 О 12' 6/' t
Q*=== 'p/+R,.
/З 61 2/2- О 8/ 6 I 2/ О
12 6/ 12 61 1/2
бl 2/2- 6/ 4 { 1
12'
....
74
.
Поскольку в векторе q известны две составляющие, то neремещение Vl = О и вращеШtе ., Э !с
О. При этом система уравнений
.
K*q* == Q*
трансформируется соrласно (2.55) таfИМ образом, что первыми выписываютси неизвестные, а
затем известные составляющие в векторе q :
.... ---1 ...
4/2 6/ 212 О 6/ О tf>1 12/ О
6/ 24 о 12 12 6/ V z I О
2/2 О 8/2 6/ 6/ 2/2 !()z О О
О 12 ы 12 О 161 1 р/" О
. V З +
2 ЕС
_.._......... .._.._...... - -_......-.._ ............ ................ ...-........ ....._............ - ..-.. .......-- ....... .........-.........-...............-... ..--.......
6/ J2 6/ О 12 О I R..
V ж 2
О 6/ 2(2 61 О 4/2 I R Э1
!Рз 12 / .
..... ..... ....
Решением системы Klllll ::; Ql соответственно
...' .... , / ....
4/2 6/ 21 z О ,
12
24 О 12 V z I ,Р [3
==-
симметрично 81 Z 61 <F2 О ,EI
12 I 1
'у .
; 3 2
....
получаются неизвестные перемещениsr и вращении в узлах:
r l
, V'z
: tpz.
V З .
J
..... .....
1
3
"
l
. 8 ! Р А3-
==
Jr Е'
I
: б
10 '
1
3
r
24
19
L
264& L3'
,L
f r. 'ЕТ)
38:4
L
384
.....
"'
З .тем, соrласно выражению (2.61) реакции опоры:
r RIIJ 6./ 12 6/ О .....8 p r ]Рl
3
'lR З1 J о 6/ 2/2 6 / l li lj
8 )
11
6
/
3
-R 11 2 + 1
р/== jPL )
R З1 21 l +L
rде R 11 вертикальная сила в узле 1; R 31 момент l ба в узле 3.
Для друroro примера взята рама в плоскости, reометрические характеристики которой и Harpy
жение показаны на рис. 2.17.
Обозначения элементов и узлов системы с локальными и универсальными координатными сис
темами представлены на рис. 2.18. С учетом TOro, что стержни подвержены изrибу и аксиальному
р= PI
р
'-.
: 1 ; ;: ;1 :1: =; :;;: ;: : ;: : :.
1, F
F 12
T"' h 2
I
2
I
Т
Рис. 2.17. Симметричная плоская рама
Iy,v
y y2
ф
I x 2 ,U 2
fIJ
X,U
Рис. 2.18. Параметры перемещений в узлах
76
напряжению в узлах на краях стержня,принимаются по три параметра перемещений и, v, u f, таким
образом элемент имеет шесть степеней свободы. Вектор параметра перемещения элемента, исходя из
этом, имеет шесть составляющих, четыре перемещения и два вращения, которые размещ ны следу
ющим образом:
qT==:[u.
v
1
tpl
U 2 У 2 rr1 ]
l'" 2
Матрица жесткости элемента, которой охвачены аксиальное напряжение и изrиб стержня:
----ВF о о EF О О
I 1
J 2 EI 6EI О 12 Е[ 6Е[
/3 /2 [3 /2
4EI О 6 EI 2EI
l 12 1
k==
ЕР О О
1
симметрично 12 Е[ 6Е[
[3 [2
4Ef
1
На основе ЭТОI'O выражения для стержня 1 (/1 = 2/, F /1 = 12) и стержня 2 получим:
.... 6 у 2 /2 О О 6 у 2 { 2 () О
зV2 3 I О 3v'2 3/
2 у2/2 о 31 у 2[2 EI t
k l ==
6 VfТi О О /3 I
симмеТDИЧНО 3-J2 31
А
2 ф /2
...... I 2 12 О О 12/2 U О ......
12 6/ О 12 6/
4/2 .0 6/ 2/2 ЕI
k 2 :::;
12/2 О О 13 .
симметрично 12 61
4/2
77
Поскольку ЛОКалЬнаSJ Qистема ДЛЯ элемента 1 не СОВIIа.цает с универсальн()й .({QOРДJ:lнаТI:IОЙ СИС'fе"
мой, неоохоДйМО- В.ЬЩОJ@ИТЬ тра сфор ацию матрицы k I . Матр..ца ...рансфор ации парам;етро пере
мещен из докалЬНО,Й в уu:иверса.цЬНУЮ систему коордицат им т вид
р.
.....р
Т=
I
t
1
,
t
1 ,
... , . ...
, д #А
1
У,У
х;;и
.,
= COICt
IJ. = SiM
.ТраJiCФОРМ»РОЩЦlная. матрица по выражению (2.79), цосле подстанов((и в матрицу Т Ha мес1'О
)..= J'I. == 2/ 2
...... 3 У2 ....
y ( 1 ) 3 (p ) з /1 (' 1) 3(2k )
з:' 2 P 2 I 3 f2 /1+ . ' 1
2 z;
3 Y2(e+ ) v2 <H (12 ) з V2 (12+t) 3 J/1
l li
"), . 2 2
""f
2 J I2 " - зV2 3 V2 /) [
1 1 ЕI
kl: 2 ")
...
). .
з V 2 {'/L T !.. ) ( )) з. V2
JV . tr . l
. , '.2' : 2
с щтрич <» з.V2(р+ } ) з(2
l
.... .2 t. р ....,
'$
Поскольку локальная система координат элемента 2 сов,дает с универсальной системой, то
матрицу жесткости элемента 2 не c eдyeT трансформировать (k = k 2 ) .
Матgица fесткости системы k образуется внесением на соответствующие ПОЗИЦИИ элементов
матриц k 1 и k , их суммированием, коrда на той же позиции появятся элементы обеих матриц:
1 v2 (1' -1' ) )t'l (1' ) 3VZ: 3 V2 (/1 + ; ) 3 V1 (/J ) 3 V2 О
' ' О О
2 2
J V2 (11 + + ) 3V2 3 V2 (/J T) з V 2 ( Jl + ) 3 v1
t ' CJ О О
2 2
(2 V2/1) ЗV'2 3V2 ( V"2) 1: О
/ l О О
2 2
к.< :а ! 3 Vl (/1 + ) + 12 Р 3 V1(/' ) JV1 12 f% О О
I .
2
3 V2 (1: ++)-+ 12 3 V2 о 11 61
симметрично /-+ 61
2
2 V 2 /1 + 4 11 О 61 21 :
11 f1 () О
12 61
tf{l -
Подобным же образом получает.ся вектор суммированных сил в узлах системы,. причем Ql =: О,
так как Эfемент 1 не имеет наrpyж-ения а концентрир<>ванная сила Р вводится как составляющая
вектора Q в узле 2 в направлении У:
О, О
О О
О О
О О
( Pl+P) 1.5
л p"I+R.
Q*a:: 1 1
pI2 .........[
I.2 12
О О
I O.5
pl
2
1 1" 1
12 1:' .-
... 10
79/
3 u * * * *
аменои в матрице К и векторе Q , 1 = 4 и трансформацией системы уравнений К Q :;: Q co
rласно неизвестным, а также известным величинам в BeKTOp параметров перемещений получается
система уравнений
..... 262.004 65.761 8.485 () r 70.0<» 65.761 8.485 192. О'" "'U:1 .... r .5 ... .....0
65.761 82.004 lS.S1S 12. I 65.763 70.004 8.48' О 24. I V2 О
8.485 15.5 t S 109.255 24. I 8.485 8.485 22.627 О 32. tl>2 о.ЗЗ О
О 12 24 12. 1 О о о о 24. VJ o.' о
EI I p/+
70.004 6S.761 8.485 О I 70.004 65.761 8.48' О О U 1 = О RJI
13 I
6S.761 70,(Ю4 8.485 01 65.76 t 70.004 8.485 о О V 1 О R l1
I 3.485 8.48 22.621 О I 8.48J 8.485 45.255 О О q)1 О R zз
J92 О О 01 о о о 192. О U З I L о i R 31
.... О 24. 32. 24. r о о о о 64..... .._./ ) ..... 0.33..... LR 33....
Решением системы уравнений (2.59), которые D этом случае представляют систему нз четырех
линейных алreбраических уравнений с четырьмя неизвестными:
.... ...... .....
262.004 65.761 8.485 О LJ О
..
Е) 82.004 15.515 12. V 1.5
1 pl
== l 0.333
J3 I simetri no ]09.255 24. <Р2
12. Lvз O.5
L
получаются значения неизвестных пара метров перемеlцений в узлах системы
U 2 ....
0.0118
У 2 0.0432 ni'
t"
...... )
(j>2 0.0294 ЕI
'У О.14З6
3....
а затем соrласно равенству (2.61) реакции опоры
R1l1 r 70.004 65.761 8.485 О 0.01181 r о
R 12 65.761 70.004 8.485 О 0.0432 О
R 1з 8.485 8.485 22.627 О 0.0294 pl О )
R З1 192. О О О 0.1436 О
R О 24. 32. 24. О.ЗЗЗ
.... 3 3 ..... .....
80
R 1 t
R33
-E
---
R З1
Рис. 2.19. Диarрамма перемещения u и :момент изrиба lУ!
соответственно
.......R 1l r 2.264 ....
.R)2 2.000
R 1з O.1981 р/,
,
R з ! 2.265
R 1.136/
..... 3 З ....
[Iолученные значени.1I парамеТРОБ перемещения, реаКllИИ опоры, диаrpаммы перемещений и
!Ol'.1eHTa изrиба ПОК8заны на рис. 2.19.
Модифицированный вариационный принцип. Му льтипликаторы Лаrранжз.
Ранее было рассказано о функционалах, с помощью которых формулируются oc
новные 'вариационные принципы механики сплошной среды. В этой rлаве, OT
правная точка котороЙ Функционал потенциальной энерrии, изложен метод
.J:еформации. При. этом Функционал п(.t) для системы'конечных элементов был
точно таКИI\ff же, как и для Bcero рассматриваемоrо домена в целом.
Таким образом есть предположение, что существует полный континуитет на
rраницах между отдельными элементами. Однако это не всеrда так. Поле пере
fещения (напряжения) часто аппроксимируется с помощью тех IПРОСТЫХ Функ
ПИЙ, которые необходимы для обеспечения полноro континуитета на rраницах
fежду элементами. В таких случаях основные функционалы, характерные для
сплошной среды, должны модифицироваться для соответствия дискретной CTPYK
туре" Следовательно, им дается дополнительная часть, с помощью которой усло
BI континуитета выполняются не точно, а приближенно.
81
Рис. 2.20. КОIl1!ИUyИ'l'eТ двр JlемеИ'Юв
На рис. 2.20 покаэаJlЫ два конечных элемента а и Ь с оБЩИМ контуром Sab'
на KOТOI?OM не обеспечен контиtl;УИТет перемещений,. так что
u 1a ) U{b) =1= Q.
(2.110)
Для этих элементов (IЩОСКИХ) преДПQлarается, что необходим roлько конти--
нуитет перемеП'.еuий, а не И,Х ПРОИЗВОД:JIЫХ (СО континуитет).
Поскольку' выбор интерполяционных функЦИЙ не обеспечивает континуитет
перемещений, то ВhIПQл.нения УCJ,lовий (2.110) можно достичь в среднем вдоль
ero контура Sad' а не с ТОЧН ТЬЮ ВО всех о.чках контура следующим способом:
J (U(a) U(b») л ds =:: О )
Sab
(2.111)
rде jt мультипликаrор, У ВJ'IЙ Лa.rpанжа по выражению (2.11 О).
Для к аждоro. контура можно написать по одН,ому уравнению формы (2.111).
Если пере ещения точек на контуре выразить в зависи;мости ОТ параметров пе-
ремеЩСJlИiJ в узла.Х тоrда условия (2.111) ДЛЯ системы конечных элементов бу..
ду,т
Н'== A!€O' *;
.. )
2'.112)
PД .I).. ве т-ор па аме:тpQВ JJа.,r,pщtжа:; € . маТRJ1Ц3 коэффициента дополнитеЛЬНJ»1Х условий (усло
ВИ , КОН11;t.liYитета) па к.QПТУI? между эдемертами;, Q BelVTOp суммы псреr.reще;ний в, узлах.
:IJo1еIJциальн-ая- энерщ я JfCтeMbl коне:чuJ)IX элемeuтов, в ЭТОМ случае
l'
II == [1 ,. Н:':: 4: 'f::*. ч* q-;.''f, Q. *' + ХТ € q * .
, 2 ,
(2.1153.).
функционал. на,зьшае-тся модuфuu,uрованн bl.М.. ФУН1С.и,uонадом, п()тенци
'tЩ>ноii, ЭRерFИИ ; _
Иар амеТR ЛЦ;r аJfжа'Jl-. i имеют определенное, ФИзичеСКQе значение. Ею
можно. ПОЛУ,ЧИТIY., если ИДТИ; от ВЫI? :жеиИЯ/'ПQТeНЦИШIl: НОЙ энерrии сплошной ере...
82,..
ДЫ и предцоложить, O на контуре Sи не выподнены УСЛОВИ5( перемещений
(и ; и). Тоrда I .
П{u. 6)== J (JTedv JF.dV J pT.ds+ J)'ЧU U)ds
v v З '"
(2.114)
:Qариацией выражения (2.114) цо б (ц) .i " цр"ме"п в nоложен:ие о ero ста--
ЦИQнаРНОСТ:Q, получается:
ЗП m == J CJ.TaEdv JtT3u f pT uds
V V Sa
J(U Q)&),ds+ !-ЛТ&uds=:Q.
ц s.ц
(2.115)
Пер ыi член правой СТQроНь. ll:ыра ения (2.11$) при црименении фор улы
fp:цна может ТI,ЩНСфорМR аты; в следующую фор у
1 qT 3e.dv == 1 рТ 3 uds+ J рТ а uds J (ОО)Т udv
V SO' $. V
rдe ('1" == CI 1j" например для случая плоских задаt{ (.') == [Q':x, х" 'tx ,- у, а'У'1 у., ау, :<J" 31JT=---
[ u, 3У] и так дал е npOCTpa CTвeHНЫX и Д УfИX задач.
(2.11б)
ПодстаНОВI<;ОЙ (2.116) в (2.11 ') ПМУЧIi:М
J (о' F)T 3 u dv + J рТ 3 u ds,+ f рТ 8 u ds .
v 8.0 Su
J р т 3 u ds J (о о) 8'А ds J л3 u ds == О.
80 Su Su
(2.117)-
ПОСКQЛЬКУ оА 1: о и ВU т о" из <2..117) неlJ:осредctВ. е . нио следу :
Q ....-о:- F О
p p==()
.........о==о
р...... А == Q
u V
па S(J'
па Su
na $ц..
(2.118)
ПервЪJ три ура;JJвеIЦНI (2.118) п дcr-аlWlЮ'l УQIQВИЯ; равновесия в области
Д, а также <;'fаТИ'l.,ес ц€ и reO eTpJI ecKae на :к.ОUТУJ)ах So. и S . ПOCJ1ед ам ypa
н-ением в JЩражении (2'.118) onределеНQ qщз. кое эиачеl(ие па метров Лаr--.
p,aH a.. В этоц едучае OIЩ представдяlO наrруже ия Н; ОИ,'tуре, :«.oтopl>le ЭКВИ--
',aдeHT В У .НИМ c aД M. Кажд му С !М.NИРОВ IUЮ У n:ерем щению на КОН1'У--
p Цi ОТJJ.е,чает етат чесl{иt nара,Метр, . i' П0дQБJ;Ц» ж:е Qбразом МОЖSQ y( a.o-
ВИ зца , ще' рцметtюВ. Лаrран)((;а Q д.llЯ: Д;p,y,ЦtX Ч; е» orpa чеQЯ.. Лара
Ла;Fp .. а по CВC) MY> э 'teItJ; 1() J;JCefAЗ ОIl!l)IQi'и:рова g;сь, осflQвиыии неиэ...
Вectи:ы и; В J1.иqи аМUt eтQЯ1ЦJf;МJt p,SJДoм.
.3
Так, например, если поставить условие континуитета по силам (напряжени
ям), то параметры Лаrранжа означают перемещения (деФормации). Таким же
способом, так как определен модифицированный функционал потенциальной
энерrии, MOryT быть вычислены и остальные модифицированные функционалы:
11т == 11.+ H n )
n
(2.119)
rде П основной функционал; Н п дополнительный:
Но == J Л i (Фi(а) Фi(Ь» ds J
s
(2. ] 20)
зависящий от функционала Ф, находящеroся под знаком интеrрала.
Для разных функционалов существуют и различные задачи, также как и
подынтеrральные выражения в (2.120) различны.
Определение решения задачи в форме вариационной формулировки чаще
Bcero сводится к поиску условноro или оrраниченноro экстремума соответствую
щеro функционала. Модифицированные функционалы неизбежны во всех вари
антах смешанных (rибридных) моделей и методов силы и часто появляются и в
методе деформации. По этой причине мультипликатор Лаrранжа в МКЭ имеет
важное значение. Модифицированные функционалы зависят от основных неиз
вестных и параметров Лаrранжа . Так, например, модифицированный функци
онал потенциальной энерrии П т = П nl (u,А ). Основные неизвестные' в функ
ционале и параметре Jl определяются на основании принципа стационарности
функционала, при этом вариация проводится по параметрам основных неизвест
ных величин и параметрамД.
Например вариацией выражения (2.113) для модифицированной потенциаль
ной энерrии системы по q* иjt, при меняя принцип стационарности, получается
система алrебраических уравнений:
[ К* СТ ] r q ] == [ Q ]
с о lA o
(2.121)
с неизвестным вектором q всех перемещений в узлах системы и вектором Jt па
раметров Лаrранжа на контурах между элементаt И.
Система уравнений (2.121) по своей форме характерна для всех IОДИфИЦИ
рованных функционалов. Нижний правый блок :м:атрицы системы всеrда MaT
рица НУJlевая. Такая ее структура не отвечает практическому определению pe
шения, а поэтому следует помнить об этом при выборе алroритма и проrраммы
решения систе ,fЫ уравнений.
Метод сил. Ввиду своей простоте и универсальности метод деформации все
чаще применяется в мкэ. Число работ, посвященных ЭТОl\lIУ методу, несравнимо
больше, по сравнению с работами по всем остальным видам МКЭ. Почти все об
щие проrраммы расчета конструкций по МКЭ также основаны на методе дефор
маций. Однако наряду с этим для решения некоторых проблем (пластины, обо
лочки и т.п.) выroдно рименять метод сил. Формулировка метода сил аналоrич
на формулировке метода деформации.
В качестве основных 'неизвестных в элемента и ero узлах в методе сил при
нимаются статические силы или напряжения. Поле сил (напряжений) аппрокси
мируется с помощью интерполяционных функций. Предполаrается, что выпол
нены условия равновесия в элементах и узлах и на rраницах l.4ежду элементами.
Чаще Bcero обеспечены ТОЛЬКО первые две предпосылки равновесие в эле
ментах и в узлах, в то же время это не относится к континуитету напряжения
84
на rраницах между отдельными элементами. Обычно это условие обеспечивает
ся с помощью мультипликатора Лаrранжа. В зависимости от способа выполнения
этоro условия различают две основные модели равновесия, известные как .мe
тод сил u zuбрuдная (статцчеСlCая) .модель мкз.
lv1етод сил базируется на вариационном принципе минимума комплементар
ной энерrии. Исходную основу представляет функционал
п с == JCjjk!(1jj(1kldV J piujds== J +aTCadv J pTiids)
v Su V Su
(2.122)
rде С ijkl теНЗ0р составляющих упруroсти; d ij теНЗ0Р напряжения.
Все они отвечают условиям равновесия в элементе и статическим контурным
условиям на контуре Sб, т.е.
O'lJ,J+ Fl ==0 ;
Рl ==alJ nJ t
u D f
(2.123)
па Sa.
в методе сил не требуется выбором интерполяционных функций для аппрок
симации поля напряжения обеспечить их континуитет на rраницах между
элементами, не требуется также равновесие внутренних сил БО всех точках меж
контура. Однако необходимо выполнение условий равновесия на межконтурах в
и:нrтеrральном смысле, т.е. обеспечение равновесия контурных сил как равнодей
ствующей соответствующих напряжений для каждоro межконтура отдельно.
Если результирующие силы в части cOBMecTHoro контура а и Ь (рис. 2.21) OT
метить с T i , то
Ti==O'IJnJ )
.
(2.124)
fде п j косинусы уrлов нормали с осями Х j"
Тоrда условия равновесия внутренних сил для этой части контура можно
выразить уравнением
тfa) (s) + тfb) (s) == О,
i== 1, 2, 3.
(2.125)
Рис. 2.21. Равнодействующие внутренних сил на контуре элемента
85
УраВllения (2.125) означают ДQПQ.,1нительные условия, обеспечить которые
ДОЛЖНЫ поле напряжений в функционале (2.122). Это условие вводится в основ..
ной Функцпонал комплементарной энерrии с ПОМОЩЬЮ мультипликаторов Лаr--
раижа А ;
\ \
f Лj (118) (s)+ 1f'> (8}) ds == ( J Лj 11 а ) (8) ds). + (f тfb) (s) dS)b
S S S
i == t, 2, з.
(2.126)
Если уравнения вида (2.126) выражаются для контуров всех конечных эле..
ментов, то модифацироваиный функционал комплементарной энерmи системы
элементов будет
пс== J Сijldаij(fkldv JЛIТldS J pju1ds}
Ve Se Sue
(2.127)
rде Se ...... поверхность <объем) отдельнщ элементов.
) В функциоиале (2.127) независимо меняющиеся величины.......... напряжения
6 ij му ЛЬТ:tI;пл.каторы jI i. Поскольку.it. i параметры Лаrранжа представляют
перемещения ui, в ТОЧI<ах межконтуров элементов функционал (2.127) имеет
вид
П С == {! + C jjkl (fij Gkl dv f Т ; u j ds J Р; и; ds ] ==
Ve Se Sue
== (! - a1' C cr dv J ТI'o ds J рТа dS)-
v. S. SUC-
(2.128)
Необходимо" чтобы напряжения в элементе удовлетворяли условWIМ равно...
весия 12.123), Koтopыe представляют систему неоднородных дифференциальных
уравнений. С учетом этоro напряжения в элементе выражаются В виде суммы
двух частей: первой, отвечающ й одиородному решению, уравнений (2.123) и
второй, цредстаВJJяющей некое частиое решение этих уравнений.
Первая часть решения anпро.ксимируется с ПОМОЩЬЮ избравных функЦИЙ
(полиномов), в которых появляетсSl определенное ЧИСЛО иеизвестных парамет...
ров, в то время как втораи часть решения известна.
Таким образом,. напряжения MOryT Rыражат&ся в следующей матричной фор....
ме:
(J==c:rII+ao==Pfl+P'o o )
(2.129)
rде Р ......,. ма'l'рица функция координат;.fl------ вектор, неизвестных пара метров <общие координаты); РО
и ,)Ь ...... извеСТИJ>Iе' величины, которые определяют как частное решение уравнений раввовесия
Например для треуroльноro элемента с узлами в вершинах уrлов напряже...
пия в элементе MorYT выража1'ЬСЯ как непрерывные ФУНКЦИИ координат х, у с
ПОМОЩЬЮ ПОЛИ.80м.а первой степени:
86
aX== 1+ 2 + 3 у ;
aY== 4+ 5 X+ 6 У )
1';(y== 7+ 8 X+ 9 У .,
(2.130)
так что соrласно ( ,.129):
... 1
G- x х У
О'н == а у ........ 1 х У
,..
Io ху .
.....
..... 1 ....
2
(2.131)
1 х у
8
..... 9
Предполаrается, что в eMeHTe, действует только вертикалы:lяя оставлЯ19"',
щая объемных сил Ру = Ео = cons1, тоrда условия раВНО С 5It:
ах, х + Тху, у==О
Тху, у+ау, у== F о.
( .1 32)
1 Си ема уvавнений им ет MHOro час ны.х ,.Рfщен й, н прим р, ,5х = О, 6у =
= 2.. yF O' 1 ху = :тхFо или б х =,: О, y = Yf.o, (#ху =: О, так что частное решение
можно выразить как
'а х О
1 Fo
c:r о == (J-y . у
2
ТХУ Х
O
или
о
00 == у F о .
О
( .1 33)
Векторы суммарных сил ( апряже.ний) и суммарных п ре14 щений: в узлах
элемента отмечены, как и paH;hJДe, Q и q. В качестве ОСIЮ нJ:iX неизв,естных в
методе сил NOryT ПРИlUfматься составля,ощие векторов Q или Л. Связь м жду.JJ
и Q можно установить тем же способом, что и связь между параметрами d.., и
век;тором q в методе деформации. Для дальнейmеro pa-СС Qтрения, как осповные.
неизвестные, оста В lI Я ЮТ составляющие векторар. r
1--
Равнодействующую внутренних сил вдоль какоro либо контура между двумя
элементами можно выразить в заВИСИ 10СТИ ОТ суммарных сил в узлах Б форме:
1" == ФQ )
т == T j )
(2.134)
rде Ф (х, у) матрица коэффициента reометрии элементов.
Например, в части контура между узлами 1 и 2 для треуroльноro элемента
(СМ9 рис. 2.31) заВИСИldОСТЬ (2.134) выrлядит следующим образом:
[ : ] == s s О ..... Q х 1 ......
1 О
112 112 QX2 (2.135)
S s )
О О 1 112 QYl
/12
QY2
..... .....
так что элементы матрицы Ф представляют интеРПОЛЯЦИОНflые функции для
контуров }....... 2 треуroльника (рис. 2.22).
з
'1 .
.:..," : . .' .::' ::. :: :..: ::.:;":.;:iI:;:..\. . ..
':: ." .. '. :. : . .: '. .....: ":'.; : ;:":::\'\:::'/\';. .
. .. .. ....::. :: :.. : :.._ .. .... .е.. е. :....
. . '.: .... ........:..;...: 2
1
s
112
Рис. 2.22. rеометриqеское значение матрицы Ф
в то же время силы Т ' на контуре можно получить через составляющие Ha
пряжения на KOHTYP в зависимости от параметра .fi в следующей форме:
T===R +Ro o .)
(2.136)
rде .Р.. и RO матрицы, аналоrичные соответствующим матрицам P i и РО только для контура эле
мента.
f:1a основании выражении (2.134) и (2.136) можно установить непосредствен
ную зависимость между силами Q и параметра.}.3, как OCHOBHbJ.X неизвестных Be
личин:
Q == GT +. GJ o j
rде
GT == ф 1 R.
(2.137)
88
На основании равенства работы суммированных сил Q на суммированных
перемещениях q в узлах элемента с работой результирующих сил T i на сумми
рованных перемещениях Ui следует
QT q == J Т. и. ds
J. )
S
(2.138)
соответственно с учетом выражения (2.134):
.QTq==QT J ФТu(s)ds)
s
(2.139)
" откуда
q == J фТ u (s) ds )
s
)..
(2.140)
rде S домен интеrрации (S, = Su + S + sc).
в выражении (2.140) фf транспортированная матрица интерполяционных функций вдоль
контура элемента; u(s) вектор суммированных перемещений на контурах элемента, отвечающих
силам T i .
ПОkI<ОЛЬКУ соrласно выражению (2.140) суммированные перемещения q оп
ределены чер fieре f€IЦ ни ентре :контура как средние перемещения через
и:нтеrрал центра тяжести, то следует, что сохранение в узлах эл емента контину
итета перемещений q не rарантирует ero в любой точке контура. После подста
новки выражений (2.129), (2.137) и (2.138) в равенство (2.128) получается:
п с == 2: ( TH + THo o T Gq+ST q + Bn\). . . GA.4t)..
с 2 1/
rде
I-I == J рт СР dv ,
У С
Но == J рТ CI> О dv ,
У С
(2.142)
ST == G o I
1 T IJ t т )
Bn == 2" o \ РО СР dv o'
У С
Вариацией выражения (2.142) по q и /5 и применением ПРИНJ.J ипа стационар
ности модифицированноro функционала комплементарной энерrии получают
следующие системы уравнений:
i 1 Ho [Зо Gq . О
2: ( T G ST) oq == о.
е
(2.143)
(2.144)
На основании анализа системы уравнений (2.144) можно заключить, что ec
ли число парамеТРОБ в векторе;З системы элементов меньше, чем чи:сло СУММИ
рованных перемещений в векторе q, то из системы уравнений (2.144) в общем
случае нельзя определить решение для J3. Без уrлубления в детальный анализ
89
условий сущесТвоваииst репiе ия, предc'rавленныx в работах [24] и [27], МQЖНО
констатировать: еми М общее число параметро:й напряжения ft, N общее
число суммированных перемещений вектора q; а Ь...;.:.;. число степеней свобоДЫ
сист мьt конечных элементов как упруroro тела, то для существования решения
уравнении (2.143) .144) необходимо условие М N L.
С выражения (2.141) для кОМItлементарной энерmи система может перейти
К выражению (2.52) ДЛЯ потенциальной энерm , кот()рое получено в рамках Me
тода деформации. Если из выражения (2.143) fi перейдет в зависимОСТь от q те
(I==H 1 (Gq Hof4o)
(2.145)
Ii подстановкой в уравнение (2.1,41) получается
1
II ==.;- тчЧ{q QT q +С П
(2.146)
rде:
K==GTiI 1 G
Q==GTH l Ht1 o+S :
С 1 т Н Т Н , 1 у",' . В
Ii == 2 Ре о по (ао n."
У раiJнение (2.146) по фОрме такое же, как It урайнение (2.52), только лишь
матрица жесткости К, вектор суммированны х сил в узлах Q и постоянная Сп В
выражении (2.141) rtолучены}JруrимM aюroбом, исходя из аппроксимации полей
напряжения вм есТо полей перемещений. Дальtlейший порядок определения He
известных суммированных перемещений в векторе q во всем такой же, как и в
методе деформации.
(2.147)
Прим р. Рассмотренный метод сил показан на примере изrиба стержня (рис. 2.23).
ПОSlВJIяющиеся моменты и поперечные силы вдоль оси стержня предпо-лаraю'l'СЯ линейными, а
соrласно выражению (2.129)
м == [1
х] [::] == Р I
х
м
;)
@ "t +
т till т
:* .:.....:-;:.
' ;- "'''.,
."' .. '8..
1
Yt V
Рис. 2.23. Элемент стержня, п()двержеНII()fО изrибу
90
затем
Т == [О
1] [::] == Р' ·
На основании этих выражений и уравнения (2.136) связь между силами на контуре Т и пара...
метром fi следующая:
IТ...... о I [ l ]
Т== М. 1 О 2 ==RP.
Т 2 О 1
М 2 l l
с друroй стор<>ны, поскольку силы на контуре Т и суммированные силы в уЗJIах Q в этом слу"
чае такие же, то связь между ними соrласно (2.134) имеет вид
Т==ФQ==IQ)
rде / единичная матрица четвертой степени.
Поскольку Ф = /, то на основании выражения (2.137) следует: оТ = R, а из уравнений
(2.142):
I
Н == r [ 1 ] [1
EI J х
о
/ [ 6
х dx ==
] 6 EI 3 1
3/ ] ;
212
H l == EI [ 4/2
/3 6/
6/ ] ,
12
Наконец, по выражению (2.147) для матрицы жесткости стержня
EI--- О 1 [ 412 61] [ О 1 О 1] ,
k==
/3 1 О 6/ 12 1 О 1 I J
О 1
1 l
.....1 2 61 12 6/
EI 4/2 61 2/2
. k==
/3 12 61
симметрично 4/2
Функция напряжения. Вместо параметра напряжения, а также суммирован..
ныx сил в узлах элемента как основных неизвестных величин в методе сил мож"
НО использовать функции напряжения. Это особенно выroдно при решении ило..
ских проблем теории упруrocти, поскольку связи между напряжением и функ..
91
цией напряжения Аира ПРОСТЫ. Если оставить без внимания воздействие объем
ных сил, эти связи можно записать в виде:
О'х==ф, уу ,
О'у==ф, ХХ I
't'ху== ф, ху.
(2.148)
" Если значения функции напряжения в узлах элемента обозначить вектором
Ф:
ф т == [ф 1 · · · Фк] )
(2.149)
rде К число узлов, тоrда связь между функцией Ф (х, у) в любой точке элемента и ее значениями
в узлах можно выразить с помощью интерполяционных функций, Т.е.
ф (х, y)==N Ф,
(2.150)
rде
N == [N 1
N 2 · .. N K ]
(2.151)
матрица вида интерполяционных функций Nk (х, у), k = 1,2,...K.
Дифференцированием выражения (2.150) по (2.148) получается связь между
напряжением в элементе и параметрами функции напряжения в узлах
а===N"Ф)
(2.152)
rде
а" <}>, уу
а== 4). х х .
а у
I
1" "у <1>, ху
N } ... N k ... N K
. уу , уу . уу
(2.153)
N " == N N N
t,xx..' k,xx..' К,хх
N J ... N k ... N K
, ' ху , y , ху
Подставив уравнение (2.152) в выражение
А 1 J т d
C 2 а Са v )
v
для комплементарной энерrии деформации получается
А == ФТfФ
с ') )
...
(2.154)
rде
f ==.!' (N"}l' CN" 11dЛ dV == hdA.
А
(2.155)
92
С помощью выражения (2.155) определяется матрица флексибильности эле
мента таким же способом, как и матрица жесткости элемента через выражение
(2.42) .
[Iорядок формирования уравнений метода сил во всем такой же, как и в Me
тоде деформации. Это следствие статико кинематической аналоrии или двойст
BeHHoro принципа упруroсти, о чем изложено далее.
Смешанный метод базируется на вариационном принципе Хеллинrе
ра Рейсснера. В отличие от функционала потенциальной энерrии, зависящеro
от перемещений, и функционала комплементарной энерrии, зависящеro от Ha
пряжения, функционал Хеллинrера Рейсснера является функцией и перемеще
ния и напряжения. Этот функционал, записанный в выражении (1.78):
П R == J ( Ас (O"j1) + + O"jj (11;, j + Uj, д Р; U j ] dv
v
.! Р i tJ i ds J Р i (и i ид ds )
Sa Su
MeeT свойство стационарности. Для поля перемещений Ui и поля напряжений
б ij предполаrается, что они между собой независимы. В каждом конечном, эле
менте их аппроксимация осуществляется с помощью независимых между собой
интерполяционных функций. При этом имеет место континуитет или степень
континуитета перемещений и напряжения на контурах между элементами. По
скольку второй член в функционале П R произведение напряжения и ПроИ3
водной перемещения, определенность функционала зависит непосредственно от
вычисления этоro произведения. Ради упрощения анализа это произ;ведение BЫ
ражается в развернутой форме для случая двумерных задач. Если п направ
ление нормали, s направление касательной к контуру между двумя элемента
lYIИ, то выражение в развернутом виде:
.! [Q"n Un,n +. O'ns (U n ,$;'- U s . n) 1 (js U . J dA.
А
Если предположить, что перемещения u имеют дисконтинуитет на контуре,
то тоrда их дифференцирование по п приводит к дельта функции. Интеrрал
(2.156) определен только в том случае, если существует континуитет напряже
ния на контуре. Однако, если перемещения континуальны, то интеrрал (2.156)
вычислен и в случае дисконтинуитета напряжения. Поэтому в случае плоских
проблем для определения функционала П R необходимо выполнить по крайней
ме}?е одно из следующих четырех условий на контурах между элементами: KOH
тинуитет нормальных и движущихся напряжений; континуитет нормальных Ha
v v v
пряжснии И танrенциалъных перемещении; континуитет перемещении в направ
лении нормали и движущихся напряжений; континуитет нормальных и TaHreH
циальных перемещений.
Подобным анализом можно прийти к заключению, что в случае трехмерных
проблем существует восемь ВОЗ lожностей континуитета напряжения и переме
щеНJIЙ, поскольку в этом случае появляются по две составляющих напряжений
сдвиrа и танrенциальных перемещений. '
Условия континуитета обычно обеспечиваются на контурах элемента через
параметры Лаrранжа. Таки л образом исходный функционал П R модифицирует
ся и получается:
П Rm == {! [Ас (O"jj) + O"jj (П j , j + Uj, д F\ \1;] dv
V
(2.156)
93
J PiUids J Pi(Ui Ui)dS HI}::
Sa е Sue
== J ( о'1'Са+О Т Е tT,,) dv f аТр ds+.r (u ,u)1'1'ds.
v 8 S
(2 157)
дополнительный член Н п за.иеит от вида КОИТIfНУйТетз в выражении
(2.157). у Д8умерных задач, например,
Hn == J T i Ui (8) ds, T i == (1ij nj (2.1$8)
Se
...... для случая континуитета напряжен:мй;
иn==о
(2.159>
........ для случая континуитета нормальных и танreН1(Иальных перемещений.
Напряжения и nеремещения в kаждом kойечном элементе выражают в завм..
СИМОС1И парам:етров напряжения fi и перемещения q в узлах элемента следу..
ющим образом:
a:::::P J
u==Nq-4Е==Вq .,
(2.160)
При этом nредполаrаетсЯ t что напряжения удовлетворяют условиям равНОlе-
сия в элементе. После подстанов:км (2.160) в (2.157) ФуltКЦIIОНал П Rm становит...
ся функцией napaMeTpoBfl и q, з, nримен.stSl nринциn стационарности; получает-
ся система уравнений, из которых оnределstlOТC.sI BeKTopbI}:J и q.
В случае, коrда на контурах между элементами существует континуитет пе"
ремещений (Н n = О), ПОДставляя (2.160) в (2.157), получается
1
)I Rm == Z ..... р" н + рТ Gq ..... Sr q )
с 2
(2.161)
rде
н := J рТ СР dv J
У.
G == J рТ В dv )
V e
ST == J NT (s) T ds .J
а N(s) представляет собой значеНие матрицы N .на КОНТуре.
Этот вариант смешанноro метода отвечает так назыаемойй статической
2uбрuдной .моделu, которую можно сформулировать на основе Функционалз ком..
плементарной энерrии. Поскольку в этом случае необходим континуитет пере..
мещений, этот вид CMemaHHOro метода Не имеет особоro практическоro значе..
ния, так как при этом можно примеЩfТЬ компатибильную модель метода дефор...
мации.
94
Коrда исходят из выражений для МQдифицирова8НОro функционала Хеллин
reра.......Рейсснера по выражениям (2 157) и (2.158), то получается вариант' CMe
mаиноro метода, известНОro как дефор.маЦUОkн.О luбрuдная .мoiН!ль, которую
можно вывести из функцйонала потенциальной эиерmи.
Jl[ример. Для иллюстрации смешанноro метода опять взят стер:жень, также как и в случае MeTO
да сил. За параметры сил fi принимаютсSl моменты на крап М 1 и М 2' ПреДnОJtаraеtGS'I ЛИlteйНое из..
менениt момента вдоль оси стержня:
М=[I , ] [::}=p )
х
== .
I
За параметры пере--меще--иий принимаются перемещения и sращения на краях СТ'ержня. Йзмене
иие перемещений в):(оль оси стержня "арактеризуется tlблиномамЙ ермите:
,,== [1 3 2 + 2 3; ( .... 2 2 + 3) /f
3 ;2 2 31 ( 2+ J)/] r V1
!
, "...
: I
.... ...
=: Aq )
так что
I
L(A) ==В==р [ 6+ 12 , ( 4+ б )/, 6 12 , ( 2 + 6 H].
Матрицы Н и G определяются соrласно (2.162) =
I
I J [ 1 ] .....
н Ei [1 <;,
о
.... ] 1. ,.. I 1 2
; U '
6 ЕI I
1 ] .
2 )
н J 2 l [ : ] ;
I I
G == J рТ В dx =о + J С ] [ 6 + 12 , ( 4 + 6 ) 1, 6 12 ,
о о
( 2 + 6 ) /] d =о ..!... ( I
1 1
I
О
J
I
О ] '
/ '
95
а затем матрицы жесткости:
.... I
k GT Н I G 2 EI /
/3 1
о
.....
...... 1 2 6/ 12
ЕI 4/2 61
k
/3 12
симметрично
1....
О [
l
1
6 1 ......
2/2
61
4/2
/ I
О I
О ] '
I 1
1 1
2 1
rибридные модели. Существуют различные модели мкэ: смешанные и rиб
ридные. Объединяет эти модели то, что у них основные статические и дефор . а
ционные неизвестные смешанные 3 разъединяет ......... ИД и способ фОр tУJfирова
иия континуитета на контурах мелсду элемента?\{и. Все Пiбридные модели можно
подеЛIIТЬ на две оснОвные rруппы: базирующиеся на поле напряжения ИJIИ фун
кционале комrт...лсментарной энерrии и базирующиеся на поле перемещения (дe
формацl'!И) или функционале потенциальной энерrии. Первые называются cтa
т!!ческо zuбрuдны.мu, а вторые ....... дефор.мацuоlt1l zuбрuдJ-tЫ.мu модеЛЯif.fU МI(Э.
В статическо rибридных моделях перемещения на rраницах между элемента
МИ, которые не удовлетворяют условиям континуитета, аппроксимируются с по
мощью интерполяционных функций вдоль контура и параметров перемещеиий в
узлах
U(s)==Nsq)
(2.163)
так что по (2.138) и (2.139) для суммированных сил получается
Q == J N s q ds.
s
(2.164)
Выражение модифицированноro функционала комплементарной энерrии oc
тается формально тем же, что и выражение (2.141), только матрицы G, а о 1:
вектор S определены выражеНИЯfdИ:
G == I RN ds
. s ,
S
G o == J RoNsds':
S
т J
s == o G o ТТ N s ds.
Sac
(2.165
у деформационных rибридных моделей, базирrющихся на поле перемеще
ний, исхоным моментом является модифицированный функционал потенциаль
ной энерrии. Поле перемещения в отдельных элементах аППРОКСИ fируется с по
мощью интерполяционных функций, которые не обеспечивают континуитет пе
96
ремещений на контурах, поэтому в Функционал вводят мультипликаторы Лаr
ранжа, представляющие равнодействующие внутренних сил на контуре:
П == [! ( D jjkl E:jj E: I F j U j ) dv J Tj u j ds J Т; u j ds.
V Sue S
(2.166 )
Силы T i на контурах элементов аппроксимируются с помощью суммирован
ных -СИЛ В узлах
Т==ФQ)
(2.167)
rдe Ф матрица интеРПОЛЯЦl10ННЫХ функций контуров элементов.
На основе равенства работы этих и суммированных сил в узлах элементов
QT q == J T i ll j ds
S
(2.168)
следует:
q==.r Фu(s)ds)
s
т.е. континуитет перемещений на контурах обеспечен интеrрально для отдель
ных контуров, а не точно во всех точках контура.
(2.169)
принцип виртуальной работы
принцип минимума Потенциальной
зНерrии, метод деформации
моди фицироваtlный принциn
потенциальной работы, метод
АефО 1М au v. 'v д орми роввнн Ы8
rибридные модели
обобщенный приНЦИП Ху -Вашизи
модифицированный обобщенный
принцип Ху Вашизи
принцип'Хелпинrера Рейсснерс
смешанный метод
модифицированный при-нцип
Хелnинrера РеЙСНера
смешанные модели
принцип минимума дополнитель ..
НО-Й знерrии, метод сил
модифицированный принцип
дополнитепьной знерrии,
метод c п, статич ские
rибридные модели
принцип дополНительной
виртуальной работы
модифицированный ПриНЦИП AQ-'"
полнительной виртуальной работы
PIIC. 2.24. Осн()вные ВЗРIl8ЦlIонные ПРIIНЦIIПЫ 11 их М()ДllфIlUЦИЯ ПРlIменIIТeJIЬН() к дискреmым
CllcтeM8M
97
Резюмируя изложенное, можно сделать вывод, что вариационные принципы
механики сплошной среды представляют собой широкую исходную базу для раз
вития математической формулировки и интерпретации решений по f\1КЭ. На oc
нове каждоro из трех основных вариационных принципов механики сплошной
среды развит соответствующий вид МКЭ. В рамках каждоro из них возможно
дальнейшее разrраничеиие и развитие отдельных моделей, удобных для 'решения
отде.r:ьных проблем. На рис. 2.24 показаны основные вариационные принципы
механики сплошной среды, их модификация для применения к дискретным сис
темам и основные МОД,ели МКЭ, основывающиеся на этих принципах.
2.2. ПРЯМОЙ МЕТОД
Общие положения. Общая концепция МКЭ изложена в рамках вариацион
ной формулировки. Прямой метод представлен кратко, имея целью как
fОЖНО
полнее подчеркнуть физический смысл аппроксимации по МК3, которая деталь
но изложена в предыдущей rлавс. И, хотя применение этоro метода оrраничено
простым и элементами, в нем лучше Bcero можно обнаружить основные СБойства
МКЭ, которые весьма существенны для всех видов аппроксимации ..по 11КЭ. Из
статики линейных опор известны зависимости между силами и перемещениями
на краях аксиально напряженноro стержня (рис. 2.25). Они будут
[
J
Er [
:
] [::]
(2.170)
N 1, u. 1. 2 N 2 , U2 X,U
... ,
...
. 1
. :;\i.
)
PIIC. 2.25. Элемент стержня, подверженный аксиальному наrружению
",.. .....
.. ::
..
-'
относителыtо стержня, подверж
нноro изrибу (рис. 2.26),
/
, , .
> /
"'Т .... '-'12
61 12
6 1 ...... .... v .....
1 1
M 1 EI 4/2 61 2/2
l (2.171)
i
..
Т 2 " /3 12 6/ У 2
М 2 симметрично 4/2 'Р2
...... .... ..... ......
Зависимости (2.17(J)'.и (2.171) MOryT выражаться 8 матричной форме сжато.
Так, вектор сил
R===kq ')
(2.172)
rде k
матрица жесткости стержня с известным reометрическо"статическим значением ее элемен
тон; q
вектор перемещений в узлах стержня.
98
М 2 , ch
1
ХI
т 1 ,Vl
y,v
Рис. 2.26. Элемент стержня, п()дверженный поперечному наrружению
Уравнение (2.172), с помощью KOTOpOro выражена связь между силами и пе...
ре lещениями на краях стержня, качественно является Te 1 же самым и для эле...
ментов какой...либо друroй стороны. И тоrда R означает вектор суммированных
сил, а q вектор суммированных перемещений в узлах элемента, в то время
как k"'матрица жесткости элемента, т.е.
..... R .....
t
R 2
r k tl .. .kJj.. .k. n ....
# k 21 ... k 2j .'. .k 2n
....
q,
q1
R.
I
k. ...k.....k.
J 1 I] J n
q== )
qj
(2.173)
R==
k==
..... R n
k 1 . · .k " · .k
n ЛJ nn
..., ....
..... q n
rде n число степеней свободы элемента; элементы матрицы k коэффициенты жесткости конеч
HOro элемента со значением, аналоrичным тому значению, которое имеют в матрице жесткости стер'"
жня.
Е'сли в векторе q составляющая Qj =; 1, а qk = О для каждеro k r j, то со...
rласно (2.172) и (2.173) k ij = R i . На рис. 2.27 покззан треуroльный элем ент с
узлами в вершинах треуroльника, у KOTOporo задано единичное перемещение в
узле 1 11 направлении силы R 1 , а все остальные перемещения в уздах равны ну...
.1:Ю.
Силы R i (i = 1, 2... 6), как реакции в узлах, представляют собой элементы
первой rруппы в матрице жесткости k, т.е.
R==ktt J
(2.174)
дe
R=== [R 1 R2.... R6]T ')
I t == [k 11, k 21 · · k б l]T t.
(2.175)
в действительности, Rl = k 11 .......... сила, которая вызывает перемещение ql =
1 и реактивные силы R 2 = k 21 , R з = k з1 . R6 = k 61 так, что вектор rруппы k il
99
R'l
R 2
R,
_. 1
..,
q. = 1
R,
2t =
Рис. 2.27. rе()метричесх()-стarичесхое значени ЭJlементов мarpицы жесткости K ij
(l = 1, 2...6) матрицы k представляет систему уравновешенных сил на элементе.
Подобную статическую интерпретацию можно дать и остальным rруппам матри"
цы k.
Определение матрицы жесткости элемента. С учетом reометрическоro и
статическоro значений ее элементов эту матрицу можно получить при определе"
нии реакции опор в узлах элемента,вследствие единичных суммированных пере..
мещений qi (i = 1, 2... п), rде п ....... число суммированных перемещений и соот"
ветственно степеней свободы элемента. Однако такой 'способ получения матрицы
жесткости, который отвечает стер?J(НЮ, остальным конечным элементам, в том
числе и треуroльному (см. рис. 2.27), как очень простому, не подходит, посколь"
КУ сводится К решению мноroкрзтно статически неопределенной задачи. По этой
причине ДЛ-'l определения матрицы жесткости элемента используется вариацион
ный метод ...... как общий, отвечающий и простым и сложным элементам.
Для простых элементов С относительно малым числом с...тепеней свободы мат..
рицу жесткости элемента можно п учить И прямым методом. Определение мат..
рицы жесткости по этому методу состоит в непосредственном использовании
трех основных rрупп уравнений теории упруrocти: равновесия, связи деформа"
ЦИЙ 11 перемещений и структурных уравнений. Перемещение в элементе как не..
прерывные функции координат выражаются в зависимости от параметра а, чис..
ло KOТOporo равно числу степеней свободы элемента. т.е.
u :::::= А сх ,
(2.176)
соответственно, в зависимости от суммированных перемещений в узлах в форме
u==Nq)
(2.177)
rде N матрица интерполяционных функций.
'..
Составляющ е деформаций получаются дифференцированием перемещений
€==B СХ==В Ч
а ,
(2.178,
100
rде
Ba==LA)
B==LN)
L матрица оператор связи между деформациями и перемещениями.
(2.179)
Пользуясь структурными уравнениями (2.27) и (2.178), напряжения d также
MoryT быть выражены в зависимости от параметра а, как и от перемещений в
узлах q:
a==DBaCl==DВq==Sq )
(2.180)
rде S = DB матрица напряжения элемента.
Суммированные силы, как концентрированные силы в узлах элемента, кото...
рые эквивалентны составляющим напряжениям вдоль контура элемента, можно
выразить в общем виде
R==Fa}
(2.181)
rдe F прямоуroльная матрица с числом п вида и т трупп (n число суммированных сил, т
число составляющих в векторе напряжения), зависящая от reoме:трии элемента.
Подставив (2.180) в (2.181), получается
R==kq ,
(2.182)
rдe
k==FS==FDB
(2.183)
матрица жесткости элемента.
По выражению (2.183) матрица жесткости- получается как произведение
трех матриц, с помощью которых представлены ,три упомянутые rруппы уравне...
ний теории упруrocти: В ........ матрица связи д рмаций и суммированных пере...
мещений; д......... матрица сТруктурных уравнений;. р......... матрица связи суммиро...
ванных сил и напряжений, соответственно условий равновесия.
Этот СПОСQб получения матрицы жесткости. элемента показан на двух приме...
рах.
Аксиально напряженный стержень. Изменение перемещений в элементе вы...
ражается в виде -!lинейной функции вдоль оси стержня
u == «1 + (12 Х == [1
х] [ ::)
(2.184)
Если это выражение записывается для х .... ОIИ Х ... 1, то получается:
[::J==[ ] [:]==С«
(2.185)
101
откуда
[ ОС! ] == [ 1 О ] [ иl ] == C Jq.
(;(2 1 1 1 u 2
(2.186)
П дстцвив (2.186) в (2.184), получается
u==[l
J[::J [Nl N 2 ] [::]==NQ,
(2.187)
Вектор деформации сводится к дилатации ВДОЛЬ оси, т.е.
E==и,,,==+[ 1 1][::]==Вq)
(2.188)
а вектор выражения
tr==EE== [ 1 1] [:J ==Sq.
(2.189)
Если поверхность поперечноro сечения стержня обозначить 'F, то СВЯЗЬ меж...
ду суммированными силами на краях и напряжениями в элементе имеет вид
[::] == F [ : ] tr x == F а.
(2.190)
/
В заключение, матрица жесткости стержня соrЩlСНО (2.183):
/
k == F [ : ] [ 1
1 ] == EF [ 1 1 ] .
1 1 1
(2.191)
Треуrольный элемент. Вторым примером для иллюстрации применения ПРЯ7
MOro метода определения матрицы жесткости взят треуroлъный элемент с nЛО...
ским напряженным состоянием, который в !рамках вариационной формулировки
детально изложен в rл. 4. Силы и перемещения в узлах элемента постоянной
толщины h с узлами в вершинах треуroльника показаны на рис. 2.28.
Изменение перемещений в элементе можно показать как линейную функ...
ЦИЮ координат х и у:
U==OCl + ОС 2 Х + ОС 3} )
(Y== 1 + 2Х+ ЗУ).
(2.192)
Если выражение (2.192) записать для узлов треуroльника, то
r 1
u 1 х. Уl <Х 1
1 Х 2 У2 == Au C'I ) (2.193)
U2 <Х 2
U З 1 х з Уз ОСз
102
1t,y, У1
R 21 ,V2.
у,У
1
X.U
2 R 2X , U2
Рис. 2.28. Перемещения и силы в узлах треуrольноrо элемента
а затем, произведя инверсию этоro выражения и подставив в выражение (2.192),
получим
u==NtUl+N2U2+Nзuз :>
(2.194)
rдe
1
N. == ( а. + Ь. х + с. у)
I 2.6. · 1 .)
a i == Xj Yk Xk Yj b j == Yj Yk Cj == x k Xj :1
(2.195)
1 Х. Yi
I
2 == 1 Х. . k == 1, 2, з.
J Yj 1, J:
1 x k Yk
'fаким же образом выражается и изменение перемещений v, T.e
v==N 1 vl+N 2 V2+ N з v з '
Выражение можно записать сжато:
[ ]==[ 1 О N 2 О N э О ] Ul N
N 1 О N 2 О q.
N з V 1
и 2
V 2
U З
.... V 3
(2.196)
103
Исходя из выражения связи деформации и перемещений плоской задачи тео...
рии упруrocти, получим:
Ex==U,x I
Ey==V,y ;
Yxy==U,y+V,x (
Связи между (:оставляющими деформаций и перемещений в узлах элемента
'по выражению (2.178) можнО выразить матрицей В, т.е.
N 1 ,x О N 2 ,x О N 3,J( О
В== О N),y О N 2 ,y О N з ,у
N 1 ,y NJ,x N 2 ,y N 2 ,x N з ,у N з ,х
Ь 1 О Ь 2 О Ь з О
1 О О О (2.197)
== С 1 С 2 С 3 )
2d
c 1 Ь 1 С 2 Ь 2 С 3 Ь з
а связь между составляющими деформаций и составляющими напряжения..........
матрицей д, т.е.
....1 v О
о== Е v 1 О (2.198)
"
1 v2 О О 1 v
2
Чтобы определить матрицу жесткости элемента, необходимо сформировать
матрицу Р, с помощью которой устанавливается связь сил в узлах элемента и
напряжения в элементе. Предполаrается, что составляющие напряжения в эле...
менте........ постоянные, а поэтому .они выражены, как показано на рис. 2.29. Силы
в узлах элемента, которые эквивалентны напряжениям вдоль сторон треуroльни--
ка, определяются по принципу принадлежащих наrружений. Нормальные напря...
жения и напряжение сдвиrа вдоль сторон треуroлъника заменены равнодейству"
ющими в направлении осей х и у,в центрах сторон (см. рис. 2.29), а затем они
равномерно распределены на отдельные узлы. Таким образом получается
Rx I .... ....у2 Уз О х з Х 2 (ТХ
R Y1 О Х 3 Х 2 У2 УЗ (ту
R== R X2 h
== УЗ Уl О Xt Х З 't' ==FOt
2 ..... х у .... (2.199)
R Y2 О Xt Х з Уз YI
R XJ YJ Y2 О Х 2 Х I
R О Х 2 X 1 YI у2.....
..... у 3 .... ....
104
1 ......,..........щ.......'...NhYNN 1fТ"! .. rllJЛ . Т ....' ...,....,....,.'.N.. T '...... I
: : ;; ; ; ; ; ; ; ; ;;; ; ;: : : :: -о y: : : : . : ; ; ; ; ; ; ; ; ;; ; ; щ ;
11'
1 1I lllIIi i}I lш 1Il lш I_шl iI }l1 Illi i i l l l щ iii 1 l1
Оу
3,
h r т х у (х 2 Х 1 ) + (]х (У 2' ..... У. 1')' lj
h r T XY (Уз У2)' + Оу (Х2 хз)l
h {ау (хз XJ) 1xy (уз ......Уl)]
)1 f ох, (у:) у 1 ) т х у (х 3- ...... Х 1 ) 1
Ь(а х (Уз Y2)+Txy(X2 Хз)1
2
1,. Ео у ' (;Х2' ХI) + Тху (YI У2)}
PIIC. 2.29. Размещени.е напряжения Иs эквиваленmые C Ы в узлах элемента
с учетом обозначений в выражении (2.195) матрица F получает вид
"'Ь О с
I ..
О с Ь 1
.
h Ь 2
F== О С 2 , (2.200)
2
О С 2 Ь2'
Ь з О с
3
О С ) Ь .
..... з....
105
при этом по структуре она отвечает матрице В. Подставив (2.200), (2.198) и
(2.197) в (2..18З)\получается матрица жесткости треуroльноro элемента, которая
подобным способом бьта выведена в 1965 r. Тарнером, КlIOyroM, Топпом и Map
тином [1 48]:
симметрично
л х 2 : '\ :: 1
Уз 1 23 : Л2 ХЗ2 . УЗ Лt "з Х2З : v Х З ЛI Х'2 ! Лl Х23 1
., . + . : : + : + : : y
._ _ _____ _ _ _J______ ._____ _ ._______!_____ _ __ Х2 У2 ! Х2 Х2! УЗ 1
: 2 :.. ..--..--...-------..--:..............--..---............... ;.---------...............-..-----......--
! Х23 ).. УЗ 1 v ХЗ2 }.1 ХЗ i Х З ХЗ2 ЛI УЗ ! i Х2З
: . ... + : + ..... : . ... : .......л
1 Х2 УЗ Х2 i Х2 Х2 i Х2 У) Х2 i ! у
--. - --- -- ---- ---------:------ --- -------- ---2-- ---- -r--- ------- -------------', ..---- -------. -.;- -----.- --
, Лt Х · '\ : '\
! ! + 1 Л 2 Х З i : , ! v
1 Х2 Х2 Уз! Х2 : Уз I
-------- -- ----------- - - ___о' ---- - - -2-- - - ------------;-- ------------- -- -- ----- ---
! Х З ЛI УЗ ! хз
, + - , )'1
t. . _ _ _____ _ _ ___), _ н_ __ ________ _____x. _
.
i }.I Х2
: , ' ... ..
------_'!.. -- --- _: -----------
:
1 Х 2
,
! уз
, (2.201)
Eh
k
2 (1 y2)
о
rде
Х., === Х. х.
'J 1 J)
у ij == У i У j )
'\ j +v
,....].
2
(2.202)
) v
)..j== )
2
Резюмируя предшествующие высказывания, можно сделать вывод, что пря
мой способ получения матрицы жесткости состоит из шести следующих OCHOB
ных шаroв, а именно, из: выбора изменения перемещений в элементе в зависи
мости от координатных точек; обозначения перемещений в элементе в зависимо
сти от перемещений в узлах; установления связи между составляющими дефор
маций и перемещениями в узлах; установления связи между напряжением и дe
формациями; определения сил н узлах элемента как эквивалентноro наrружения
напряжением вдоль контура sлемента; комбинации результатов предыдущих
шаroв (1-----5) и определения матрицы жесткости эJIемента.
Формирование матрицы жесткости системы элементов. Система уравнений,
с помощью которых установлена прямая связь между сила IИ R и перемещения
ми q в узлах одноro конечноro элемента в развернутом виде, имеет вид:
R I == k 11 q 1 + · · · + k 1 j qj + · · · k 1 n qn
R . == k . q · · . +. k.. q . + · · . +, k. 1;1 ,
I 11 1" IJ J In П i
R == k q ,+ · · · k . q . + . · · .l-- k nn qn
n . 111 1 nJ ,J . )
(2.203)
rде qj (j = 1,2...п) суммированные перемещения; R i (i = 1,2,...п) суммированные силы в уз
лах элемента; п число степеней свободы элемента.
с помощью этих уравнениЙ при условии, если они выражаются для всех
элементов!/ леrко 1-dОЖНО вызести уравнения для системы конечных Э.,ТIемеНТQВ.
Уравнения такой системы получают как aJfrебраическую комбинацию уравнений
106
у
q,
2
. .
Рис. 2.30. Образование условий равновесия в узле i
(2.203) для отдельных элементов при соответствии их условиям равновесия и
компатибильности перемещений qi (i = 1,2,...п) в узлах системы элементов.
В качестве иллюстрации этих действий послужит представленная система из
четырех элементов на рис. 2.30, для которой составлены уравнения, отвечающие
условиям равновесия в направлении х в общем для всех четырех элементов уз
ла. Для обобщения данная степень свободы обозначена qi.
Предполаrается, что уравнения (2.203) для отдельных элементов выражены
в-системе универсальных координат Х, -о: Соответственно выполнены необходи
мые трансформации из локальных в универсальную систему координат, посколь
ку локальные системы; не параллельны универсальной. Предполаrается также,
что в общем узле в направлении оси Х действует внешняя сила Qi. У словне paB
новесия внешних и внутренних сил, действующих в у,зле 6 в направлении оси
Х, сводится к уравнению
I 2 3 4
Qi === R i + R i i-- R'i -1 R i )
(2.204 )
rде R i внутренняя сила ,в узле и ДЛЯ элемента 1, а также для остальных сил с воздействием на
узел в направлении, прqТИВОПОЛО)f<НОМ от направления, которое имеют силы, принадлежащие эле
менту.
Если внутренние силы R i (k = 1, 2, 3, 4) выражаются по (2.203) в зависи
мости от перемещений в узлах уравнений (2.204), то получается
QI ==. (k i qi J + k: 1 q +- . · . +kfl1 q l) +
..L (k q? + k з qi + . . · + k; 11 q i 1) +
+ (kfi q t + k f 5 q + . · · + kt 11 q 1) + .
, ( k 4 4 k 4 4 k 4 4 )
I 1 i qi +1 I f q J + . . . + i 11 q 11 ..
(2.205)
Пользуясь условиями компатибильности перемещений в 'узлах, т.е.
t 2 3 4
q i == qi ==. qi == qi )
107
уравнение (2.205) сводится к следующему окончательному виду:
Qi==Kiiqi+Kilql+Ki2q:! ... +K il1 qll)
(2.206 )
rде
К k l, k 2 . k 3 + k 4 ·
ii == ii"" ii" ii ii 1
I 4 '.
K ii == k. 1 + kil f
1 2
Ki == k i2 + k i2 I
123 4
К i 11 == k i 11 + k i 11 + k 1 11 + k i 11 ·
(2.207)
Уравнение (2.206) представляет собой универсальное уравнение системы, а
коэффициенты Kik (k = 1,2,...11)...... коэффициенты универсальной матрицы
жесткости системы. Это уравнение <lюрмируется подобным же образом и для лю..
бой друroй системы конечныx элементов. Для каждой степени свободы системы
кон чных элементов можно записать по одному уравнению вида (2.206), так что
получается систе!dа из N уравнений с N неизвестными' Qj (j = 1,2,...М и Qi
(i = 1,2...М свободными членами, rде N...... число степеней свободы системы
элементов Коэффициенты вместе с неизвестными qj являются элементами уни'"
версалънои матрицы жесткости системы.
Способ <lюрмирования уравнения .(2:206) указывает на возможность автома...
тическоro <lюрмирования системы уранений,. а :rакже матрицы жесткости сиете...
мы. Каждый коэффициент в _ атрице "жесткости элемента K ii отмечает я двумя
индексами, из которых первыи означает суммированную силу, авторои ........ сте..
пень свободы. Образуется квадратная>-нулевая.матрица степени N, rде N ....... чис..
ло степеней свободы системы. ТаКИМ образом, rpуппы матрицы отвечают степе...
ням свободы, а видЫ...... уравнениям.
В матрицу вносятся коэффициенты матриц жесткОСТи для отдельн-ых конеч..
ных элементов на позицию, отвечающую. обозначениям этих коэффицие тов.
Если при этом в одной и той же позиции 'ока утся коэффициенты 'из различных
элементов, то проводится их суммироеавие 'И. получается сооТветствующий эле..
мент матрицы жесткости системы. Этот способ <lюрмирования универсальной
матрицы жесткости показан иа рис. 2.31.
Прямой метод имеет недостатки, касаЮJЦИеся нахождения матрицы жестко..
сти элемента. По выражению (2.183) это определение, как произведение трех
матриц, оrpаничено случаем прост.ых элементов.: У сложных элементов достаточ'"
но трудно найти матрицу F или установить связь напряжения на контуре и сил
в узлах элемента. I\iатриЦа F определяется независимо от матрицы .8, в резуль--
тате чеro Пр0изведеиие этих двух матриц с матрицей Д по выражению (2.183)
не прийодит к симметричной матрице, что противоречит одному из основных
свойств матрицы жесткости.
Матрица жесткости элемента, определяемая по выражению (2.183), будет
симметрична только при условии F = ВТ. Это значит, что матрицу F в общем
- случае нельзя вычислить независимо от деформаций.
Второй недостаток прямоro метода состоит в невозможности установления
уровня континуитета перемещений и их производных, а также компатибильно--
сти на rраницах элемента. :-ТреТий недостаток касается трактовки поделенноro
наrружения в элементе, на.чальных деформаций, а также их перевода в эквива--
лентные наrружения в узлах. Ввиду этоro у прямоro метода в МКЭ скромные
лимитированные возможности, но, в сущности, .он имеет значение для понима..
ния основной концепции мкэ.
108
qi
qj
RI
qN
R.
1
RN
(N,N)
Рис. 2.31. Прямое образование мarpицы жеCТICОСТИ cllcтeMbl
Связь матрицы жесткости и матрицы флексибилности. Связь суммирован--
НЫХ сил R и суммированных перемещений q в узлах элемента дана с помощью
матрицы жесткости элемента (2.172). Альтернативная форма этих зависимостей,
т.е. с-вязь между суммированными перемещениями и суммированными силами,
представлена с помощью матрицы флексибилности. Поскольку матрица жестко..
сти К синryлярна, то матрицу флексибилности нельзя определить инверсией
матрицы жесткости. По этой причине понятие матрицы флексибилности имеет
смысл только для' элементов- (системы элементов) с опора-ми, т.е. для- тех эле..
ментов, позиция которых в пространстве определена.
Матрицу флексибильности МОЖНО найти только для кинемащчески уСТОЙчи..
во опирающеrocя элемента, поскольку в п}ЮТИВном случае, вследствие заданно..
ro иаrруж:ения появляются бесконечно большие перемещени.Sl элемента как жес..
TKOro тела. Кинематически устойчивые элементы внешне MOryт быть статически
определены или статически неопределены. Матрица флексибилности в МКЭ в
основном устанавливается для статически определимой системы, так как в слу"
чае статически неопреДeJIИМОЙ системы она не roдится для ко бинирования с
матрицами флексибилности осталЬНЫХ элементов при представлении компЛекс
ных структур.
Поскольку для одною элемента можно принять MHOro различных статически
определимыx (основных) систем то следует, что в нахождении матрицы флекси"
билности может быть столько способов, сколько есть статически определИМЫХ
систем. Так, наприм р, для стержня (СМ. рис. 2.26) имеются две возможности:
свободное опирание стержня на обоих краях, коrда
[ (()J ] / [ 2
(()2 == 6 ЕI 1
]( J;
(2.208)
консольное опирание стержня на правом краю, коrда
[ У 1 ] . I ( 212 3 1 ][ Тl ]
1fI, == 6 EI 3 I 6 М,,
(2.209)
\
109
f .
3
f
lk
2 f
s
, .
..............
..............
::::::::::::: :::::::::: :::::
'f S
,::i?i!:?::( :::::!::,:,:
.. .; '"
_ t 1) 1 .. ' ... ..
Рис. 2.32. Перемещения и силы в свобоДНЫХ и опирающихся узлах треyrольноrо элемента
На рис. 2.32 показан элемент треуroльной формы с опорами в узлах 1 и 2.
Если. .СИЛЫ и перемещения в свободных узлах обозначить индексом f, а в
'.. ;). ", .,
опорных уз , ? то выражение связи сил и перемещений имеет вид
[ Rr ] == [ kt'f kf' ] [ Qf' J )
Rs k sf kss qs
(2.21 О)
rде
К Х2 Rx 1 и 2 и !
Rt' == R хз R == К Х2 qt' U З qs == У 1 . (2.211)
s
Ry3 Ry 1 /' V З У'2
Поскольку составляющие ве{{тора qs = О, то из (2.210) получается система
уравнений:
[ ! ] ;::;; [ f! ] [qr] J (2.212)
Rs k sf
которая имеет две независимые части, разделенные nунктирной линией (2.212),
так что следует:
qt == kr;,' Rr == fR f . )
(2.21 З)
rде f = kff матрица флексибилности элемента.
Способ получения матрицы флексибилнQCТИ, показанный на рис. 2.32, мож
но обобщить, перенеся ero на любой элемент.
110
Матрицу флексибилъности можно получить через матрицу жесткости. Это
достиrается тем, что из последней исключаются ВIЩЫ и rруппы, соответствую
щие составляющим сил и перемещений в опорных узлах, а потом проводится
инверсия уже редуцированной матрицы жесткости.
Существует возможность и обратноro порядка действии: если известна MaT
рица флексибилности, ТО можно получить матрицу жесткости элемента. Если
элемент опирается так, что представляет собой внешне, статиче ки определимую
систему, то lIа основе условия равновесия можно получить связь между peaK
цией и внешними силами в узлах элемента:
Rs == ЕНс )
(2.214)
rде Е матрица условия равновесия.
Из уравнения (2.213) 'следует:
Rf == { 1 qf == kCt Qf' k ff == f 1 j
а после подстановки (2.215) в (2.214) получается:
Rs ==- Er 1 qf == kscQf )
(2 215)
(2.216)
rде
k t EC J
.
(2.217)
Выражениями (2.215) и (2.217) определены два блока матрицы k. Для полу
чения двух оставшихся блоков k fs и kss используется принцип, заключающийся.
в том, что работа ;внешних сил Rf на перемещениях qf равна работе реакций Rs
на перемещениях qs' т.е.
т l'
K qs == Rr {)1. (2.218)
Транспозицией уравнений (2.2]6) и подстановкой в (2.218) получается
R f ==- k;f qs == k fs qs (2.219)
а соrласно (2.217)
k == ( I Е Т
CS .
(2.220)
Подставляя (2.219) в (2.214) и учитывая (2 220), получается
Rs == Ekf qs :;: Ef 1 ЕТ qs == kss qs )
(2.221)
rде
k s == Ef 1 ЕТ..
(2.222)
Подстановкой вырах{ений (2 215), (2.217), (2.220) и (2.222) для отдеJ ЬНЫХ
блоков матрицы k в обтцее выражение (2.210) получается матрица )кесткости
111
элемента с помощью матрицы ФлексибилнQCТИ f и матрицы равновесия Е эле
мента следующим способом:
[ C
1 f
1 ЕТ }
k == EC
J EC
! ЕТ · (2.223)
Выражение (2.223) представляет собой общую форму трансформации матри"
цы флексибильвости в матрицу жесткости. элемента, в которую включены и пе
ремещения элемента жак жесткою тела.
1.3. МЕТОД РЕЗИДУУМА
Общие положения. Если какая
то задача выражена функционалом се стаци
онарным значением, то ее решение, как было показано, всеrда может быть по--
лучено в рамках вариационной формулировки мкэ. Однако для тех проблем, в
которых Функционал неосуществим, вариационная формулировка мкэ непри--
менима.
В таких случаях используются друrие методы аппроксимации, среди которых
чаще Bcero
метод резидуума, для KOТOporo исходную основу представляют
дифференциальные уравнения задачи. Если при .определении решения по клас
сическому методу резидуума раздели
ь рассматриваемый домен на поддомены,
то
cKoMыe функции аппроксимируют в поддоменах, учитывая при этом условия
континуитета на rраницах между поддоменами, тоrда получается резидуальная
JФормулировка мкэ.
Принимая во внимание то, что имеется немало различных методов резидуу
ма, можно развить MHOro различных вариантов мкэ. Однако применяют в ос..
новном только тот вид мкэ, который формулируется на основе метода rалерки--
нз. В rл. 1 показано, что решение rраничной задачи, определенной в домене Д
по методу rалеркина, ФОрмrлируется выражением
fwjRdD==-О, (2.224)
D
rде wi
функция веса; R
резидуум или разность между аппроксимативным и точным решениями
в рассматриваемом домене
R == L (и)
f.
(2.225)
Аппроксимативное решение предполаrается в форме ряда
u =:: 2: С т Фm .
m )
(2'.226)
а функции веса те же самые, что и аппроксимативные функции (W i = Фi).
Предыдущие рассмотрения можно применять к любо
у домену, а поэтому и к
поддомену, а также к конечному элементу. Если функции в элементе аnпрокси--
мируют обычным способом, то с помощью интерполяционных функций и пара--
метров в узлах получается выражение
n
А
е
U == L N k qk == Nq
k==1 )
(2.227)
112
аналоmчное выражению (2.226). Аппроксимативные функции в выражении
(2.226) отвечают интерполяционным функциям в уравнении (2.227), а коэффи
циенты C w параметра:м основных неизвестных в узлах Qт. Поэтому выраже
ние (2.224), если оно дано для одноro конечноro элемента, имеет вид
JNk[L(u) fJdv==O ")
v
(2.228)
rде V ебьем элемента.
Уравнения вида (2.228) MOryT быть составлены для каждоro конечноro эле
мента, а на их основе получено уравнение для Bcero домена, т.е. система конеч..
ных элементов.
Интерполяционные функции N k (! = 1,2...n) должны быть выбраны. так,
чтобы они удовлетворяли УСЛОВИЯМ континуитета на rраницах элементов. JLпя
экзистенции решения необходим континуитет функции и ее производных до ря
да, который на один меньше, чем ряд высшей произвольной под знаком интеrра..
ла в выражении (2.228). Поскольку в дифференциальном операторе L обычно
появляются производныe Bblcmero ряда от производных в соответствующем, фун
кционале (в задачах, имеющих функционал) , то можно сделать вывод, что Tpe
бования континуитета в этом случае значительно строже, чем в вариационной
формулировке.
В этом заключается и одна из основных трудностей применения метода pe
зидуума, потому что очень сложно путем выбора простых интерполяционных
функций обеспечить континуитет производных выше nepBOro ряда. Подстанов--
кой (2.227) в (2.228) получается
.r N I11 [ L ( N k qk ) С ] dv == О
v k=l
(111 === 1, 2... n) ")
(2.229)
соответственно
11 n
2 L J {Nm[L(Nk)]qk NmfJdv==O.
m==lk==lV
(2.230)
ВыражеНJ{е (2.230) представляется в матричной форме в виде
kq Q==O )
(2.231)
в котором элементы матрицы k и вектора Q определены выражениями:
k mk ==.( N m L(N k ) dv j
v
QJJ1 == J N Л1 f dv.
v
(2.232)
Выражением (2.231) даны уравнения конечноro элемента формально :в том
же виде, что и в вариационной формулировке. Матрица жесткости элемента и
вектор свободных членов, которые получаются по (2..232), вычислены так же,
как и в вариационной формулировке. Однако выражение (2.232) не roдится для
определения матрицы k, поскольку в операторе L часто появляются производные
113
BblCOKOro ряда. По этой причине ПрОБОДИТСЯ трансформация исходноro выраже
ния (2.228) таким образом, что для матрицы k получается простейшее выраже
нне из уравнения (2.232). Пользуясь частичной интеrрацией, первый лен в BЫ
ражении (2.228) в общем случае может иметь вид
.rNL(u)dv Jo fL)(N)L 2 (u)dv)
v v
(2.233)
rде 1 О значение интеrpала на контуре.
Под новым интеrралом обобщены дифференциальные операторы L 1 и L 2 ни
зmеro ряда по сравнению с оператором L в исходном выражении.
Блаroдаря тоЙ трансформации получим выражение для матрицы жесткости,
которое' в общем случае символично можно представить следующим способом:
k == J [L 1 (N)]T L 2 (N) (1 у.
v
Практический порядок действий для определения матрицы k этим способом
будет покаЗa:R на простых примераiX. Если известна матрица жесткости k и BeK
тор суммированных сил в узлах элемента, то дальнейший ход получения матри
цы жесткости системы, исключение известных пара lетров перемещений в уЗJIах
на контуре и определение вектора неизвестных величин в уrлах системы во всем
проводится точно так же, как и в вариационном методе.
(2.234 )
Пример. Аксиально напряженный стержнь. На рис. 2.33 показан стержень длиной l с узлами
на краях, paBHoMep'lo наrруженный наrpужением р в направлении оси стержня.
1 Р "
R t ,Ul .... R 2 , и2
4It < -< < < 'Х, U
:;.. > :> -
1
1.0
Рис. 2.33. Стержень, испытывающий равномерно распределенное осевое наrpужение. Интерполя
ционные ФУНКЦИИ
Дифференциальное уравнение этой задачи
EFu,xx p==O ,
(2.235)
как известно, имеет решение в закрытой форме. Для получения аппроксимативноro решения по Me
тоду резидуума для перемеlцения \l предполаrается:
2
lJ ::=: L N k U k ]
k=:l
rде N k (k = 1, 2) интерполяционные функции; и 1 и2 соотвеТСТВУlощие леремещения в узлах
(см. рис. 2.33). '
114
Подстановкой (2.235) в '(2.228) получается:
/ /
r J
J N k (EFu, хх) dx == N k Р dx,
о о
k==1,2.
(2.236)
Применяя частичную интеrpацию, выражение левой части уравнения трансформируется так,
что уравнение (2.234) имеет вид
1 1
EF j(Nko;lt)U,x dx == JNkpdx+NkEFufXI
о о
(2.237)
Подставляя на место и и u ,Х
2
U == L N m U m
т==1
..
(
А 2
L' , х == L N т, х U m
J
nt I
выражение (2.237) будет
1 2 /
EF J N k , х 2: N m , х и т dx J N k Р dx + EFN k U, х I .
о rn l О
Соответственно
I /
EF .r N k . х (N. х q) dx + .f N k Р dx EFN k и. х I/
о -о
. EFN k , Х /n J
(2.238)
rде J
N == [N J N7.J
q == [ q 1 ] =' r U J ] ,
q2 L U 2
Выражение правой стороны уравнения (2.238) предстаВJ1яет аксиальные силы на краях стерж..
ня. Например, для k = 1 (поскольку для х = О, N 1 = 1 и для х = " N 1 = О) получается
EPO х/о = Rl и так же подобно для k = 2, ЕРu' x/l = R2' С учетом этоro значения выражение
(2.23lS$ МО)КНО выразить в матричной форме: '
kq Q== R )
(2.239)
rде
1 /
k == EF r ( dN ) T dN dx :--= EF J NT N dx'
d d ,Х ,Х '
. х х
о о
1
(kik ==- EF.f N j , xNk. х dx) ;
()
(2.240)
115
/
Q==!r [ JdX J
R [=;] ·
Подставив выражение (2.240) на место интерполяционных функций:
х
Nl:::::1
1
1
N J . J: == i )
(2.241 )
N "
2
1
1
N 2 . Х==! ",
для матрицы жесткости и вектора наrpужений в узлах получаются известные выражения
k== [ ]
Q == Pl [ l ]
2 ] I
(2.242)
Пример. Изrllб стержЩl. В качестве следующеro примера взят стержень, подверженный изrибу
(см. рис. 2.13), для котороro ранее в рамках вариационной формулировки 'выведены матрица жест
кости и вектор суммированных сил в узлах. Дифференциальное уравнение, с помощью котороro оп
ределяется напряженно деформационное состояние стержня, в данном случае имеет вид
d 4 v
EI p==O.
dx 4
(2.243)
Аппроксимативное решение для перемещения V принимается в форме
А 4
V== Niqi
. 1 .,1
_=
(2.244)
rде N i (i = 1...4) интерполяционные функции вида полинома rермите:
N 1 == J _. 3 2 f-- 2 3
N 2 == 1 ( 2 2 -1 3)
NJ==З 2 2 3 ;
N..==/( 2+ 3), ==x/I
(2.245)
qi параметры перемещений в узлах 1 1-1 2 на краях стержня (Vl' f l' v2' .р 2).
Подстановкой уравнения (2.243) ,,8 выражение (2.228) получается
I I
ЕI J N j ( : ) dx == J pN j dx,
о о
i== 1, 2.
(2.246)
116
После двух частичных интеrpаций левой части уравнения (2.246) можно привести к виду
')-
1 1 .
J d 2 N. d2v J dN. d 2 v i d 3 v"',
Е' 1 . dx == pN i dx + EI ............... EIN. ,
dx 2 dx 2 dx dx 2 О I dx 3 О
О О
Соответственно после подстановки выражения (2.244):
(J l d2N. ( d2N ) } J ' dN. ( d2V ) '
EI dx q == pNjdx== EI
dx 2 dx 2 dx dx 2 О
О О
( d 3 V ) 1
Е IN j:""""""" .
dx 2 О
(2.247)
Можно показать, что члены правой части уравнения (2.247) представляют суммированные силы
на аях стержня. Так, например, для i = 1 с учетом тоro, что соrласно (2.245) для х = О, N 1 =
1, '= О, а для х = 1, N 1 = О, tI Н, = о выражение правой части уравнения (2.247) становится
-х ах
.d 3 v
EI dX: 3 10 == TJ
и представляет поперечную (:илу в узле 1. Для i = 2 по уравнению (2.245) для х = о, Ni = о,
= 1, а для х = 1, N2 = О и d/Vk О правая часть уранения (2.247) становится:
dx
d 2 v
EI I == м
dx 2 О 1
И представляет момент изrиба в узле 1. Подобным же образом можно показать, что для i, = 3 и i =
4 получают значения поперечных сил и момент в узле 2.
Выражение (2.247) с учетом указанноro значения членов ero правой части можно выразить еле..
дующей матричной формой:
kq Q==R
/
(2.248)
rде
I
k=:El f{ d 2 N ) T d2N dx ;
dx 2 dx 2
О
I
Q::Jp
О
(2.249)
N 1
N 2
N)
N 4
dx
j
R==
Т 1
М.
Т 2
М 2
Двойным дифференцированием выражения (2.245) по х получим
( d 2 N ) T ==
dx2 /2
6 + 12
( 4 + {) ) /
6 12
( 2 + 6 )/
..
(2.250)
117
Подставив (2.250) в (2.249), после проведенной интеrpации и замены rpаниц получим
12 6/ 12 6/ f /2
k == EI 4/2 61 2/2 Q == р/ 1/ J 2 (2.251 )
.'
/-' 12 6/ 1/2
симметрично 4/2 1/] 2
Выражения (2.251) ДЛЯ матрицы жесткости стержня и вектора СУММ,ированных наrpужений в
узлах Q, полученные этим путем, идентичны выражениям (2.107) и (2.108), которые вычислены ва..
риационным методом. В обоих случаях взяты те же интерполяционные функции.
Пример. Свободное кручение. В этом примере метод резидуума показан на проблеме чистоro
кручения по Сент..Венану, KOrдa состояние напряжения в плоскости определяется дифференцирован
\
ным уравнением Пуассона:
ДF С О
д 2 д 2
( А == д х + д у2 ) ,
(2.252)
rде F функция напряжения F = Р(х, у); с постоянная.
Функция напряжения F в произвольной точке элемента аппроксимируется с помощью интерно..
ляционных функций Ni(x, у), i = 1,2...k, rде k число узлов или параметра Фi' которое представ..
ляет значение функций р(х, у) в узлах, т.е. .
к
F (х, у) == 2 N j (х, у) <Pi == N«I).
i == I
(2.253)
Подставив уравнение (2.252) в (2.228) ) получим
.1 (L\ F С) N j (1 Л == О.
л
(2.254)
Используя теорему rрина в плоскости, первый член выражения (2.254) можно записать следую..
щим образом:
J f ( д F д F ) J ( д F д N j д F д N i )
LlFNjdA:= N j Л +[1. ds I dA,
" д х д у д х () х д у д У
х. s А
(2.255)
rде S означает контур области; ,t, J'A косинусы нормали на контуре s по направлению к соот"
ветствующим осям х и у: ,) = cos(n, х) ,/1. = cos(n, у).
Подставив (2.255) в (2.254) и учитывая равенство (2.253), получим
fФ fо t fс )
(2.256)
rде
( J[( t) N, ) T д N ( д N ) T д N ] ..
+ <.IA
() х д х () у () у ,
л
(2.257)
соответственно матрица флексибилности и векторы свободных членов в узлах элемента.
118
r . [ oF дF ]
(о== ) Nl "л
+ p.
dS ;
() х () у
.
(е == .!' N I С dЛ
л
На основании предыдущих примеров видно, что методы резидуума (rалеркина) и вариацион
ный метод (Ритца) в МКЭ при одном и том же выборе элементов и интерполяционных функций
приводят к одинаКО
D!М результатам, что находится в соответствии с известной эквивалентностью
формулировок вари
ционной и rpаничных задач теории упруroсти. Однако блаroдаря своей простоте
МКЭ, базирующийся на вариационном принципе в решении проблем механики твердых деформиру
ющихся тел и расчете инженерных конструкций, имеет несомненное преимущество перед методом
резидуума. I
2.4. О точности и КОИВЕРТЕНЦИИ РЕШЕНИЙ ПО МК3
Общие положения. Решения, получаемые по МКЭ, представляют в общем
приближенные или аппроксимативные решения. Как и всеrда, коrда идет речь о
приближенных решениях, ставится вопрос об их точности, устойчивости и KOH
верrенции. Кроме TOro, с практической точки зрения важно знать точность pe
шений, которая соответствует заданной надежности.
Под понятием точности здесь подразумевается близость приближенноro pe
шения к точному или отступление приближенноro от точноro решения, в то Bpe
мя как под устойчивостью имеется в виду устойчивость в численном и расчет
ном процессах при определении решения. Понятие конверrеНI
ИИ решения aHa
лоrично значению, которое оно имеет в обычных итеративных (часто повторяе
мых) действиях, rде результаты "предыдущеro" используются как исходная oc
нова для получения "следующеro" реmения. Если различие между следующими
друr за друroм решениями суксессивно (последовательно повторяющееся) YMeHЬ
шается, то действие является конверrирующим.
Вывод о конверrенции МКЭ делается на основе анализа результатов в зави
симости от изменения таких определенных парамеТРОБ, как величина и число
конечных элементов или ЧИСIО членов или интерполяционных функций в при
ближенном решении.
На рис. 2.34 (см. список литература п. 20 к rл. 2, 3) дается схематическое
изображение проблем точности, устоЙчивости и конверrенции решений по МКЭ
в системе координат, rде абсцисса
число параметров (элементов или итера
ций), а ордината
полученное решение. Доказательством конверrенции реше...
пия практически является ответ и на вопрос об ero устоЙчивости, поскольку, как
правило, для KOHBepreHTHoro решения численный способ устойчив. Из рис. 2.34
очевидно, что с увеличением числа элементов разность между точным и прибли
)1AeHHbI
1 решениями у KOHBepreHTHblX способов уменьшается, а у диверreнтных
(расходящихся) ....... увеличивается.
Ошибки в МКЭ по своей природе 1dOrYT быть двоякими; ошибки дискретиза...
ции, представляющие разность между реальной rеометрией тела и ero аппрокси",
lациеЙ системоЙ конечных элементов; ОПlибки интерполяционных функций,
представляющие разность между действительным полем неизвестных фУНКI
ИЙ и
их аппроксимацией с помощью полинома. Ошибки дискретизации уменьшаются
с увеличением числа конечных элементов и соответственно с уменьшением их
значения они стремятся к нулю, коrда ,значение элемента стремится к нулю.
ОIlIибки дискретизации уменьшаются и с ПРИ?vlенением криволинейных элемен
119
w
S
:J:
w
3
w
о..
ДИВЕРrентно
. · . · · . · · · · · · · · · · · · · · · 8. _.е ....8.........8...............-.8........;$.'.8,.0....... . ........ е.. .......... '.' .... ..... е. .,е. е...е
:. :.:.:.:.:.:. :.:.:.:.:.:.:.: .:.:.:.:.:. :.:.... .:_............ .'.. ......... е..... '. е....... '.' ......... ...... е..... ..'. е.......... .'... '.'.. .', ........
нижняя rРАНИЦА
ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ
Рис. 2.34. Точнос1Ъ решения по МКЭ
тов, С помощью которых лучше аппроксимируется rеометрия тела, оrраниченна
н правильными контурами.
у слови я комплектности и конформности. Для интерполяционных функций
обычно принимаются полиномы. Система независимых между собой функций
Фт В полиноме комплектная или полная, если ряд:
м
2: « т ФI11 )
m
(2.258)
rде d пl постоянные, стремящиеся к некоей конечной величине /, коrда М стремится к бесконеч
ности. Соответственно, система функций Фпl' т = 1, 2...11 ПОЛН8Я, если произвольная функция MO
жет точно аппроксимировать с помощью конечноro рядаrol- l1l Ф 111' для KOTOporo действительно:
м
lim (Хт Фm f
m==1
(2.259)
m .
Ряд в форме полинома, зависящий' от одноro или мноrих apryMeHToB, с бес
конечным множеством членов всеrда является в предшествующем смысле к-омп
лектным или полным.
Поскольку в конкретных решениях всеrда берется полином с конечным чис
лом члено:t3, представление поля переменных в элементе конечных размеров с
помощью полинома может быть только аппроксимативным, которое означает,
что появляется ошибка интерполяционных функций. Условия для заранее BЫ
бранноro числа членов ряда, коrда эта ошибка стремится к нулю, MorYT быть
обеспечены лишь уменьшением значения конечноro элемента. У полинома u ==
l.rJ.nz xl1l и всех ero производных первые eHЫ постоянны, так что с уменьшением
значения элемента сохраняется конечное значение ФУ1lКЦ:ЦИ и ее производных, а
120
тем' самым и .конечное значение функциона.Ла 1 (и), о котором можно сказать,
что он стремится к точному значению I(u).
На этом основании формулируется так называемый критерий полноты или
комплектности, который rласит: для конверreнции решения необходимо, чтобы
переменная и все ее производные, появляющиеся в функционале, для каждоro
конечною элемента стремились к точным значениям, коrда элемент становится
бесконечно малой величиной. На основании этою принципа следует, что для ап
проксим ции функции обязательно принимается полином, ряд которою по MeHЬ
шей мере равен ряду наивысшей производной в функционале проблемы. Конеч
но, если принимается полный полином наивысшею ряда из ряда, который мини
мально необходим, то следует ожидать лучшую аппроксимацию и, значит, MeHЬ
mую ошибку.
Критерий комплектности является существенным для точности аппроксима
ЦИИ ,полей функций в отдельных конечных элементах. Однако они не включают
условия на rраницах между элементами, которые существенны для качества об
щей аппроксимации в рассматриваемой области (домене). По этой причине на..
ряду с критерием комплектности формулируется и критерий компатибильности
или конформности, который rласит: для коиверrенции решения по МКЭ необхо
димо, чтобы элементы были конформными, а это значит, что переменныe и их
производные до ряда т...... 1 (включительно и т 1), rде т ......... ряд наивысшей
производной в функционале, должны быть непрерывны (континуитивны) на
всех rраницах между элементами.
Условия конформности в этом виде сформулировали Базел, Чеиr, Б. Ирон и
о. Зенкевич [2] в 1966 r., а Е. Оливейра {2З] в 1968 r. вывел, что условия KOM
плектности и конформности достаточны для онверreнции вариационной форму..
лировки Ритца в мкэ. На основании этих критериев и. Оден [21] определил
услов ия, которые необхолимы для монотонной конверreнции формулировки Рит
ца в мкэ.
В вариационной формулировке, которая исходит от функционала потенци
альной энерrии (метод деформации), критерий комплектности обычно определя"
ется: следующими двумя позициями:
перемещения в элементе должны быть описаны так, чтобы в себе содержать
перемещение элемента как жесткоro тела и чтобы при таких перемещениях в
элементе не появлялись деформации;
аппроксимация перемещений в элементе должна быть такой, чтобы обеспе..
чить состояние постоянной деформации элемента.
Можно ПQказать, что эти два условия содержатся в общем критерии комп"
лектности. Например)для плоской задачи теории упруrocти, поскольку в функ..
ционале появляются только производные первоro ряда, перемещения u и v мож
но аппроксимировать полиномом по меньшей мере первоro ряда:
U==tXl + СХ 2 Х +«ЗУ ;
V== l + 2Х+ ЗУ.
(2.260)
Критерий комплектности удовлетворен, поскольку u и v показаны с по..
мощью полных полиномов первоro ряда. Перемещения элемента как жесткою
тела обеспечены постоянными 1 иfi 1. Составляющие (компоненты) деформа--
ции, поскольку их получают как первые производ ые перемещений, также по...
стоянны ( Jlз иd. з + '/з2) во всех точках элемента.
Критерий комплектности имеет более обобщающее значение, чем условие о
постоянных перемещениях и деформациях элемента. Если, например, полино..
мы, с помощью которых аппроксимируются перемещения, вместо декартовых
121
представить в системе криволинейных координат (оболочки и др.), то тоrда по
стоянные части полиномов и их производные не отвечают ни перемещениям
элемента как жесткоro тела, ни постоянным деформациям.
На основании критериев, необ.хо-димых для конверrенции, можно бьто бы
делать вывод, что элементы, которые не подходят под эти критерии, не MorYT
использоваться в МКЭ. Наоборот, имеются случаи, коrда неконформные элемен
ты дают результаты высокой точности, быстро конверrирующие к точному реюе
нию, так что иноrда эти элементы, как наиболее простые, имеют преимущество
перед подобными конформными элементами. о. Зенкевич [40] в определенных
случаях эти элементы рекомендует как самые лучшие в практических целях.
Однако в некоторых случаях с учетом возможности значительноro отступления
ОТ точноro решения необходимо соблюдать осторожность в применении HeKOH
формных элементов. Б. Иронс [12] показал, что снеконформными элементыми,
удовлетворяющими так называемый patch test, получают KOHBepreHTHble реше
ния.
В общем случае для конверrенции решения с неконформными конечными
элементами нет доказательства. И тоrда, коrда решения с этими элементами
конверrируют к точным решеНJfЯМ, конверrенция не всеrда монотонна. Для раз
личной плоскости сетки конечных элементов получают решения, коrда HeKOTO
рые из них находятся по отношению к точному решеНИIО или с верхней или с
нижней стороны (см. rл. 7).
Часто возникает вопрос, с какой точностью по МКЭ решена какая либо за
дача на практике? Ответ на иеro в общем СЛУЧ,ае дать неВОЗI ОЖНО. Тем не Me
нее представления о точност получеННОI'О решения, а также о степени отступ
ления по отношению к точному решению можно получить одним из следующих
двух способов:
если с настоящей (или подобной) системоЙ конечных элементов, с которой
решена реальная задача, решается похожая параллельная задача, имеющая и
аналитическое решение. С точностью, с которой решена naраллельная задача,
можно считать, что решена и реальная задача; .
для проблем, о которых известно, что в формулировке МКЭ монотонно KOH
BepreHTHbl, можно найти MHoroKpaTHoe решение с различной плотностью сетки
конечных элементов. На основании экстраполяции этих решений можно опреде
лить точность решения, а также отступление от точных решений. На практике в
основном используется второй способ, поскольку для мноrих реальных проблем,
которые решаются, трудно найти соответствующую параллельную задачу, имею
щую аналитическое решение. ,
I-Iижняя и ве хняя rраницы аппроксимации. Если на статическую систему
без начальных деформаций в точке i действует концентрированная сила Pj, при
лаrаемая постепенно, так что ее интенсивность растет от О к ri' то тоrда BHYT
ренняя энерrия истемы равна работе силы Р; на перемещения о. i
1
A== P.8. )
2 1 I
(2.261)
а потенциал внешних сил
U== P18f.
(2.262)
Потенциальная энерrия системы, как сумма внешних и внутренних сил
I J 2
Пр == А + U == "2 Pj ; == "2 Pj f j ; ) <2.263)
rде fи перемещение в направлении 6, вследствие единственной силы Р i
122
8.
fH== .
р.
I
(2.264 )
Выражением (2.263) показано точное значение потенциальной энерrии сис
темы, которая отвечает апnроксимативному решению по МКЭ дЛЯ той же Ha
:rрузки Р i:
) 1 2
(Пр apr. == "2 Pj ( c) apr.
(2.265)
Поскольку потенциальная энерmя для точноro решения является минималь
ной, то следует
(П p)apr (Пр)еgz .
(2.265)
Соответственно с учетом выражений (2.263) и (2.265):
(f'i)apr. (t"ii)egL .
На основании неравенства (2.266) можно сделать вывод, что аппроксиматив",
u. Ф
ные реmения для перемещении при отсчитывании. от ункционала потенциаль
ной энерrии (метод деформации) всеrда меньше или ,больше Bcero равны точным
решениям. ,Поскольку перемещения /u отвечают диаroнальным членам в матри--
це флексибилности (rибкости), то следует, что КОЭффИI иенты в матрице флек
сибильности (rибкости) аппроксимаТИВНОI1> решения меньше действительных, а
коэффициенты матрицы жесткости больше, чем действительные значения.
Выражением (2.266) определяется так называемая нижняя :rраница решения.
Вместо потенциальной энерrии, как исходноro начала, для рассмотрения можно
взять комплемеНJарную (резервную). Если предположить, что перемещения сис
темы на контуре Su равны нулю, то для случая действия силы Р ; комплементар...
ная энерrия системы
(2.266)
1
П ==А == p.o.
с с 2 I ..
(2.267)
Поскольку комплементарная энерrия в случае точноro решения равна мини
МУМУ, то
( Ac)apr. (Ac)eSL ·
(2.268)
Соответственно
P i (одарс. P i (8деgz.
или, учитывая (2.264);
(fiдарr. (fii)egz.
(2.269)
На основании неравенства (2.266) можно сделать вывод, что аппроксиматив--
ные решения для перемещений, коrда исходная Функционал комплементар
ной энерrии (метод сил), всеrда больше или равны точным решениям. Коэффи...
пиенты в матрице флексибильности, являющиеся аппроксимативными решения--
123
ми, больше, чем действительные, а коэффициенты в матрице жесткости......
меньше, чем действительные значения. Выражением (2.269) определяется так
называемая верхняя rраница решения.
В МКЭ нижняя и верхняя rраницы решений имеют особое значение в прак
тике. Если одна конверrирующая задача решается в шаrах так, что увеличива
ется число конечных элементов, то тоrда к точному решению по методу дефор
v v
мации подступают с нижнеи стороны, а по методы сил ...... с верхнеи 'стороны
(рис. 2.35).
w
S
:J:
w
:J
w
:Е
w
о..
w
с::
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ
Рис. 2.35. Сх()Димость реmения П() мкэ. Верхняя и нижняя rраницы решения
Korдa одна проблема решается методами деформации и сил, то тоща опреде
ЛЯlOТся нижняя и верхняя rраницы ее решения, между которыми наверняка Ha
ходится точное решение.
Предыдущие выводы сделаны прй допущении, что речь идет о конформных
элементах. В общем случае для неконформных конечных элементов неизвестно
заранее, дают ли они решения, которые выше или ниже точных начений.
Обычно системы с неконформными элементами менее жестки, чем системы с
конформными элементами, ибо у первых на rраницах между элементами не BЫ
полнены все условия непрерывности (континуитета), что иноrда может привести
к более быстрой конверreнции, чем у конформных элементов.
Тест качественных значений. Для точности и скорости конверrенции реmе
ний по МКЭ весьма существенно, чтобы интерполяционными функциями ыли
охвачены перемещения элемента как жесткоro тела. Коrда речь идет о простых
элементах, то это условие обычно не представляет никакой проблемы, посколь
КУ ero в;ыполняют с помощью интерполяционных функций в форме полинома.
124
Однако у таких сложных элементов, как тонкие оболочки, это условие создает
определенные трудности.
Для проверки выполнения этою условия применяется так называемый тест
качественных значений для матрицы жесткости элемента. Если предполаrается,
что вектор общих сил пропорционален вектору общих перемещений в уrлах эле--
мента, то основное матричное уравнение конечноro элемента можно показать в
следующей форме:
kq==Q==)\Q, (2.270)
rде Л фактор ПРОJ10РЦИОНальности.
. Уравнением (2.270) определяется задача качественны значений матрицы k.
Если провести стандартизацию качественных векторов,
.r { J, i==j (2.271)
qi q. == 8.. ==
J IJ () . . ")
, I / J
то на основании (2.270)
т
).i2 Чi kqi-= 2 Aj
(2.272)
rде A i внутренняя энерrия де рмации.
Подстановкой ii ='" 2 выражение (2.272) переходит в известное уравнение
свободных вибраций с единичной матрицей масс
(k w2I)q==O.
(2.273)
Уравнением (2.272) определено значение качественных корней матрицы k.
Численно они равны двукратному значению внутренней энерrии'деформации,
появляющейся при перемещениях элемента, которые совпадают с соответствую--
щей качественной формой.
Поскольку энерmя деформации всеrда положительна, то отсюда следует, что
все качественные значения матрицы k больше или равны нулю. Нулю равны те
качеС',I'венные значения, отвечающие формам перемещений, при которых отсут--
ствует энерmя деформации, а это перемещения элемента как жесткоro тела.
По этой причине матрица жесткости элемента должна иметь по меньшей мере
только качественных корней, равных нулю, сколько степеней свободы имеет
элемент как жесткое тело.
Поскольку существует MHOro нулевых корней из числа степеней свободы
элемента как жесткоro тела, то существуют и так называемые формы нулевой
внутренней энерrии. На рис. 2.36 показан прямоуroльный элемент с узлами в
вершинах и центрах сторон, который имеет одну такую форму.
Качественные значения, отличающиеся: от нуля, получают для перемеще--
ний, отв чающих степеням свободы, с помощью которых описывается деформа--
ция элемента.
Для примера взят прямоуroдъный элемент в плоскости, обладающей восемью
степенями свободы, по две в каждом узле. Поскольку этот элемент имеет три
степени свободы как жесткое тело в плоскости (два поступательных движения и
одну ротацию), три качественных значения матрицы жесткости равны нулю, а
пять остальных, так KaJ( не существует нулевых форм энерmи, отличаются от
нуля.
На рис. 2.37 показаны виды nеремещений, отвечающие качественным значе"
ни ям , от.личным от нуля. Тест качественных значений матрицы жесткости эле--
125
Рис. 2.36. Характерная форма элемеш8, при которой внутренняя энерrия равна нулю
Л 1 -== 1,92308
Л 2 == 0,76923
.... .... ..
...... .........
.. ........ ....
.. .... ....
........ .. .... ..
.. .. ..
'".. ..... ..... ...... ....
.. ...... ..
J
Л 3 ==0:76923
А4 == 0,57692
л s -==О,57692
.:... ." .. :....
.' .
.. .... ..
"... . ....
.. .
Рис. 2.37. Характерные формы прямоyrольноrо элемешз с восемью степенями свободы
мента весьма важен для понимания существенных свойств элемента, что особен
но характерно для сложных элементов.
Наряду с проверкой охватывает ли поле перемещений и перемещения эле
мента как жесткоro тела на основании качественных значений матрицы жестко
сти для различных элементов можно судить о том, с каким из этих элементов
можно получить и б льшую точность. Поскольку с конформными элементами по
методу деформации получаются всеrда меньшие перемещения, чем от действи
тельных, то значит, что конформные элементы всеrда более жесткие, чем долж
ны быть в действительности. По этой причине с двумя конформными элемента
ми различной жесткости большую точность получают от TOro элемента, который
имеет меньшую жесткост . Элементу с наименьшей жесткостью отвечают наи
меньшие качественные значения и соответственно са:м:ый низкий след матрицы
жесткости.
126
rлаваЗ
элЕмЕнтыI И интЕрподяционныIE
ФУНКЦИИ
3.1. ЭЛЕМЕI-IТЫ
Один из важнейших ?\10ментов применения МКЭ
выбор элементов и ИН
терполяционных функций, с помощью которых аппроксимируется поле перемен
ных в элементах. Каждый конечный элемент характеризуется ero формой, чис
лом и видом узлов, числом и видом неизвестных в определенных узлах, а также
видом интерполяционных функций. Без любоro из этих сведени'й конечный эле
мент определен не полностью. С учетом их формы элементы MorYT быть с пря
молинейными или плоскими, криволинейными или кривыми контурами. Прямо
линейные и криволинейные элементы бывают одномерными или линейными,
двумерными или п.lIОСКИМИ, трехмерны:м:и: или пространственными.
Одномерный конечный элемент
часть прямой или кривой линии. Число
узлов на элементе переменно (рис. 3.1), что обязательно и для !3сех остальных
конечных элементов.
1
ом
2 х
12 :,.
3 2
.....
.;.'.
3 4 2
а
1)
1
tt
.
Рис. 3.1. Линейные конечные элементы
в решении одномерных задач механики непрерывной среды МКЭ не находит
большоro применения, потому что существуют друmе аналитические и числен
ные методы решения обыкновеНН
IХ дифференциальных уравнений, с помощью
которых выводятся эти проблемы. Однако одномерные конечные элементы ши
роко применяются в расчетах таких плоских и пространственных конструкций,
как пластины и оболочки, rде линейные опоры появляются, как проroны, ребра
и крайние балки.
ДвУJ..tерные элементы чаще Bcero бывают треуroльной и четырехуroльной
форм (рис. 3.2). ПрямоуroЛI)НЫЙ элемен'т, стороны KOTOpOro параллельны осям
универсальной системы координат, является самым простым для при
енения, но
не roдным для аппроксимации областей, оrраниченных криволинейными KOHTY
127
Рис. 3.2. ПЛоские конечные элементы
..
I
I
Рис. 3.3. ПЛоские конечные элементы
рами. С треуroльными элементами возможна хорошая аппроксимация rеометрш
области с кривыми контурами. Четырехуroльный элемент может быть сФОрму
лирован непосредственно или как комбинация двух четырех треуroльников.
Отдельные двумерные элементы, которые в действительности трехмерные
не MOryT быть описаны с помощью двух независимо меняющихся apryMeHToB
это аксиально симметричные (осесимметричные) или кольцевые элемент.:i
{рис. 3.3). Их применяют в задачах, которые имеют осевую симметрию в rec
метрии и внешних влияниях.
128
.::iliiIIIЫШllllllllllllllllllllliIIIIIШlllllllllllll i 1111::'
i i ii i i ii i i j i li; i i i i i ii i i ii i i j i i i i i i i i ! i i ,
::: : : : :: : : : : 1: : : : : : : : ::: : :: : :::: ::: : : : : : : : : :: :::::: :
'. ..... .::::1:::::.... '.' ......... ......... .... ....
j:i:i: :kitj$+##i;;:
. .;r. . . . . . . · . . .... '" . . . . . . . . .
: . . . . : : : : : : : : : : : : :: : :: : :::: : : : :: :: : : : :: : : ::: :::: ::: :
Рис. 3.4. Пространетвенные конечные элементы
Рис. 3.5. Криволинейные конечные элементы
Для TpexMepHoro анализа и расчета применяются элементы форм тетраэдра
и призмы (рис. 3.4). Для хорошей аппроксимации reометрии тела с кривыми
контурами часто бывает необходимо принять сетку с большим числом конечных
элементов с плоскими сторонами. Это приводит К объемной численной работе,
особенно в пространственных проблемах. Для TOro чтобь избежать этоro, при
меняются криволинейные конечные элементы (рис. 3.5).
Наряду с формой каждый элемент характеризуется числом и позицией уз
ЛОВ. Последние обычно размещаются В таких характерных точках элемента,
как края линейных элементов, вершины треуroльников или четырехуroльников
для треуroльноro или четырехуroльноro элемента и т.п. Для двух элементов oд
ной формы число УЗЛОВ и их позиций относительно одна друroй MorYT быть раз
ЛИЧНЫ. У злы MOryT быть внешними и внутренними.
Во внешних узлах элемент связан с соседними, в то время как внутренние
129
узлы принадлежат только одному элементу и нет связи с друrими элементами.
Так, например, у линейною элемента крайние узлы как правило внешние, а yr
лы, находящиеся между крайними, внутренние. Однако, если подобный лиНей....
ный элемент связан с двумерными элементами по всей длине, то тоrда все Y3
лы
внешние.
За основные неизвестные в узлах принимаются параметры, обычно цpeДCTaB
ляющие значения функции или ее производные в узлах,
OTopыe вместе с ин..
терполяционными функциями делают возможным описать состояние в элементе
(например поле перемещений, напряжения, распространение температуры и
т.п.). Эти параметры, представляющие основные неизвестные в МКЭ, часто Ha
зывают степенями свободы по аналоrии с соответствующим понятием в теории
конструкций, коrда за параметры принимаются перемещения или их производ
ные в уrлах.
Степени свободы MOryT быть внешними и внутренними в зависимости от ви
да узла, которому принадлежат. Число внешних степеней свободы одноro эле
мента равно сумме чисел степеней свободы во внешних узлах. Аналоrично этому
число внутренних степеней свободы равно сумме степеней свободы во внутрен--
них узлах. Последние вводятся для у.цучmения качества аппроксимации поля
изменчивых в элементе. Параметры в них не носят характера основных неизве--
стных, но из уравнений, в которых появляются, их исключают с помощью энер
rетических рассматриваний. Таким образом, в конечной (:истеме уравнений ос..
новными неизвестными остаются только параметры во внешних узлах.
3.2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Общие LПОНЯТИЯ. Функции, с помощью которых определяется поле меняю--
щихся в элементе, называются интерполяционны.ми функциями, функциями
формы или аппроксиматuвными. С помощью интерполяционных функций уста--
навливается непосредственная связь между значениями функции в любой точке
элемента и основных неизвестных параметров в узлах. Значение функции :в
произвольной точке интерполируется между ее значениями в узлах, а оттуда и
происходит название интерполяционная функция. С помощью этих функций
определено только качественное изменение функции в элементе, т.е. только по
форме, в то время как интенсивность изменения определена значениями п'ара
метров в узлах, а поэтому оправданно и название
функция формы. С интер
поляционными функциями чаще .Bcero аппроксимируется, но и не точно onисы
вается действительное поле изменчивых в элементе, поэтому целенаправлено и
название
аппроксu.матuвная функция.
От выбора интерполяционных функций зависит выполнение континуитета
между отдельными элементами. Удовлетворены или нет условия континуитета, а
также компатибильности на rраницах между отдельными элементами, последние
MOryT быть компат
бильны и некомпатибильны или КОНфОрМilЫ и некомформны.
Существуют различные степени континуитета. Континуитет функции
CO
континуитет, континуитет функции и первыIx производных функций ........ cl--KOH
тинуитет, как и вообще континуитет функции и производной до т...ряда ........ С" С
континуитет. В МКЭ дЛЯ различных задач требуется различная степень конти
нуитета. Например, для плоской задачи теории упруroсти достаточен сО
конти
нуитет, в то время как для излучения иэrиба ПЛастины необходим сl"'I<ОНТИНуи
тет. Элементы с высшей степенью континуитета дают более точные решения,
чем имеющие низшую степень, но и определить их значительно Сложнее. Общая
форма зависимости между значением функции в одной из точек элемента. и oc
новными неизвестными в узлах элемента может выражаться линейной формой
130
4) == Z N i qi == Nq)
i
(3.1 )
I'де N ма..-рица, элементы котороЙ tfнтерполяцнонные функции; Q eKTOp, элементы KOTOpo
ro основные неиЗ,вестные 8 узлах.
ИнтеРПОJlяционные ФУНКЦИИ зависят от координат точек и координат у лов.
В действительности, интерполяционные функции ........... это функции независимых
apryMeHTo8 (вместо" координа:r х, у, z MorYT быть приняты и друrие) и К9<>рдинат
узлов.. Для их определения существует два пути: с ПО ОЩhЮ универсальных KO
ординат и непосредственным выбором.
О способе универсальных координат на примере прямоуroльноro элемента
рассказано в rл. 2. При этом, как и вообще в подобных выражениях, коэффици"
енты rL i , число которых равнялось чиClIУ ОСНО8НЫХ неизвестных, представляют
собой универсальные координаты. И хотя этот порядок действий прост, еro нель
зя при знать общим способом, поскольку трудно применить к элементам сложной
формы. В рамках этоro подхода необходимо вычислять элементы матрицы С и
инверсную ей матрицу c 1, что требует определенноro расхода времени работы
ЭВМ.
Кроме тою, в неизвестнЬ!х случ;аях при определенной ориентации и позиции
элемента может случиться, что матрица С синryлярна, тоrда исключается
возможность применения этоro цути ддя выполнения интерполяционных функ
ций. По этой причине применяется второй путь, который состоит в непосредст"
венном выборе интерполяционных функций для отдельных уздов элемента. Для
выбора этих ФУНI<ЦИЙ важно выявить их свойство, которое вытекает из ypaBHe
ния (3.1), Т..е. ТО, что функция N i (i = 1.,2,...п) для узла i имеет значение 1 в
з
1
3
2
Рис. 3.6. Интерполяционные функции узлов 4 и 5
131
узле i и нуль во всех остальных узлах. Кроме TOro, природа интерполяционных
функций вдоль контура элемента определена числом узлов и требованиями KOH
тинуитета на rраницах между элементами.
На рис. 3.6 показан аксонометрический вид интерполяционных функций для
узлов 4 и 5 прямоуroльноro элемента с шестью узлами.
От интерполяционных функций требуется обеспечить хорошую аппроксима
цию в элементе и континуитет между ними. Этими свойствами обладают поли
номы, которые используются в основном как интерполяционные функции. Cy
ществуют три основные семейств
функций в форме полинома, которые приме
няются в МКЭ. Это полиномы Лаrранжа, функции Serendipi1y и полиномы rep
мите.
3.3. ПОЛИНОМЫ КАК ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
в одномерном анализе полином РIl(х) имеет общий вид
11
Р (х):...:
(Х. Xi
n
I
i == [)
(3.2)
"
rде п
число, определяющее степень полинома; ol.
i
коэффициенты, которые называются leHepa
лuзuрованными пap
tel1lpaMи или унuверсал.ЬНbl
tll координаl1шми.
Полином п..ro ряда Рll(Х' у), который зависит от двух apryMeHToB, имеет об
щий вид:
П1
РП (х, у)
2: a. i x j yk,
i = t
j+k
n)
(3.3)
rде 11
общее число членов полинома:
I
m ==
(n + 1) (п
2).
2 .
(3.4)
Полином считается полным или комплектным, если содержит все коэффици"
енты от 1 до т. Так, например, для п = 1 и п = 2, следует:
11 === 1. m --== 3 Р I (Х, у )
I + (Х 2 Х + с1. 3 У
п-==2, т==6 Р2 (х, Y)
=(Xl +(Х2Х+ОС3У +(Х4ХУ+fXsх2+(Хбу2.
(3.5)
Для выражения двухмерных полиномов используется схема в виде треуroль..
ника Паскаля (рис. з. 7).
Полином п..ro ряда Р1l (х, у, z), зависящий от трех apryMeHToB, имеет общий
вид
m
р ( Х У Z ) == " н. X i У j Z l
11 ", .
U\ol
,
I == I
(3.6)
rде общее число членов ряда
I . '"
t 11 ==
(п + 1) (11 +
) ( 11 -+ 3).
(. ,
(3.7)
132
t
/'\
li /Х\ /}\
2 ху у2
/\ /\ /.\
)(,3 х2у ху2 уЗ
/ \ / \ / \ / \.
1. х 4 х 3 у х'2у1 y) у4
/ \Х4!\3{\ !\ч( \
/У\з{\/\
/\ Х
Рис. 3.7. Изображение двумерных п()линомов С ПОМОЩЬЮ yroльник.а Паскаля
Для п = 1 и п = 2 следует:
11 == ), m =-=4 Р 1 ==tX 1 + tX 2 X --1- (J: зУ tX4 Z
n==2, m== 10 P2==CXl +СХ2Х ОСЗУ+СХ4z t (Хsху
+сх 6 х 2 + (X7YZ + (XsXZ + (Xgy2 + (х J o z 2 .
(3.8)
Для выражения трехмерных полиномов используется схема в форме тетраэд
ра (рис. 3..8).
Ряд полинома, который необходимо выбрать. для TOro, чтобы представлять
поле изменчивых в элементе, зависит от числа степеней свободы последнеro.
Друrими словами, число неизвестных коэффициентов в полиноме равно числу
основных неизвестных в узлах, которые находятся в распоряжении для их опре
деления. Так, например, для выражения функции в треуroльном элементе с уз
лами в вершинах и центрах сторон можно выбрать полином с шестью универ
"'
сальными координатами
ф (х, у) ==сх 1 +«2X+CX3Y+tX4XY+OCSX2+oc,y2.
(3.9)
Шесть значений функции в уrлах треуroльника (Ф}...Ф б ) достаточны для
определения коэффициентаcL. 1 ..-о4>. Универсальные координатЫ i ....... независи
мые между собой параметры (коэффициенты) , определяющие интенсивность
функции Ф, форма которой вычислена рЯДОМ полинома. В МКЭ при использова
нии полиномов как интерполяционных функций удобно, если число универсаль
ных координат равно числу внешних степеней свободы. Однако, как это позднее
будет сказано, при использовании полных полиномов для элементов различной
формы число универсальных координат больше, чем число внешних степеней
свободы, а для их определения необходимо применять внутренние узлы. Изли--
тек универсальных координат тоrда определяется с помощью энерreтических
рассмотрений способом, который называется конденсацией системы.
В качестве интерполяциониых функций можно использовать и иеполиые по
lЗЗ
'4х
4
Рис. 3.8. Изооражение трехмерных ПОJlИНОМОВ с помощью тетраэдра Паскаля
линомы, т.е. те, в которых отсутствуют отдельные члены. Однако от таких поли...
номов требуется, чтобы в рамках элемента они оставались инвариантными в от...
ноmении трансформации из одной системы декартовых координат в друryю. Это
значит, что необходимо считаться с тем, какие члены MOryT быть опущены. Это
свойство zео.метрической изотропии имеют полные полиномы. Нельзя
ожидать хорошей аппроксимации функций в элементе от полиномов, не имею...
щих свойства изотропии.
. Полиномы Лаrранжа. Функция Ф(Х), как известно, может аппроксимиро",
вать с помощью полинома ряда т и значения функции Фl' Ф2... Ф т в ряду диск...
ретных точек Xl' Х2...Х,п следующим способом: '
... П1
(1) (х) == L L i (х) (1). )
i:1
(3.1 О)
rде Li(x) полиномы Лаrpанжа, определяющиеся выражением
L j (х) == 'ii ' · х XJ == (х Х.) (Х . .. Х 2 ). · · (х Хт+l) .
j::1 j i Xi Xj (Xj"'::"X 1 )... (Xi Xm+l)
(3.11 )
Выражение <3.11) имеет значение Lj(x) 1 и Li(x) = О для Х = Xi' COOT
ветственно Х = X j , причем i = j. На рис. 3.9 показана аппроксимация функции
Ф (Х) с помощью полиномов Лаrранжа четвертоro ряда.
Полиномы Li(x) Лаrранжа, которые называются и интерполяционными Kcr
эффициентами Лаrранжа, в выражении (3.1 О) иrрают роль интерполяционных
функций I
LI (x)==Nt (х).
(3.12
134
-- -- _..-----
Х 1
Х З
Х 4
Х 2
]
$(,,)
/-' ф(х)
х
L 1 (х)
L 2 (x)
L3 ("')
1
L4 (х)
PIIC. 3.9. АППРОКСIIМация ФУНКЦIIII !(х) С П()М()ЩЬЮ П()ЛIIН()М()В Лarраюка четвеpror() порядu
Если выражения (3.10) и (3.11) применяются к элементу прямоуroльной
формы (рис. 3.1 О), то для сторон }........ 2 и з........4 можно записать:
ФI 2==LI (Х)Фl-t L2 (Х)Ф2;
Ф3 '4== L. (х) Фз+ L 2 (х) Ф4 )
rде
L1(x)== X2 X ·
х 2 ...........х.
х Х.
L 2 (х) ==
Х 2 Х I
(3.13)
(3.14)
135
3(х з у з)
4(х 4 у 4 )
1
.$
, J . " ',,, < '} 1.;, \
2(Х 2 У 2)
l(Х,У,)
L.
1
Рис. 3.10. Jl[олин()мы Лаrранжа nepвor() порядка ДJIЯ ЭJlемента прям()yr льной формы
Подобным же образом можно записать для направления у:
( . L 1 (у) Фl 2+ L 2 (у) i З 4.
(3.15)
Введя (3.13) в (3.15), получим
Ф (х, y)==Ll (х) Ll (у) Фl + L2 (х) L'l (у) Ф2+
+L t (х)L2(у)фз+ L 2(х)L2 (У)Ф4. (3.16)
Из сравнения выражений (3.10) и (3.16) следует, что интерполяционные
функции для прямоуroльника:
N 1 (х, у)== L 1 (х) L 1 (у) ;
N2 (х, y)==L2 (х) Ll (у) ;
N 3 (x, y)==Ll (х) L2 (у)
N 4 (х, y)==L2 (х) L 2 (у) I
(3.17)
rде L i (i = 1...4) полиномы первоro ряда Лаrpанжа, определенные выражением (3.14).
Выражения (3.17) можно обобщить для любоro двумерноro элемента, так чтс
интерполяционные функции вида полиномов Лаrранжа в общем случае
N K == Фij == Lf' (х) Ц (у»)
(3.18
rде т и n степени полинома с учетом соответственно apry eHToB х и у.
136
k
1
Рис. 3.11. П()линомы Лаrранжа высшеrо порядка
На рис. 3.11 показана функция вида для прямоуroльноro элемента в узле k.
Применение полиномов Лаrранжа высшей степени как интерполяционных
функций приводит к необходимости введения большеro числа внутренних.уЗЛОВ,
что создает определенные трудности в процессе их исключения. Пом мо этоro
полиномы Лаrранжа не обеспечивают rеометрическую изотропию, кроме случая,
коrда то же число узлов в направлении х и у у двумерных соответствует направ
лениям х, у и z у трехмерных элементов. Первый из указанных недостатков
отклоняется введением функции.
Serendipity элементы. Эти элементы, имеющие только внешние узлы и: COOT
ветствующие интерполяционные функции ввели в МКЭ А. Эрrатоудис, Б. Иронс
и о. Зенкевич [39]. Интерполяционные функции некомплектные полиномы,
подобные полиномам Лаrранжа представляют собой функции, КO'IO.орые COOTBeT
ствуют отдельным узлам и имеют значение 1, в то время как их значения во
всех остальных узлах нуль.
На рис. 3.12 показаны три такие функции для прямоуroльноro. элемента с
квадратным изменением функции в направлении х и у. В отл.ичие от ирямо
уroльноro элемента с функциями Serendipity (см. рис. 3.12)" который имеет BO
семь внешних узлов, соответствующий элемент с полиномамtИ ЛЗ'r жа имеет
еще и один внутренний, лежащий в центре тяжести прямоуroльника.. Функции
формы этоI'O элемента показаны на рис. 3.13.
На рис.3.14,а, используя треуroльник Паскаля, показано различие между
аппроксимацией поля функции в треуroльном элементе с ПОМО функции
Serendipity (заштрихованная часть) и полиномов Лаrранжа второю ряда. На
рис" 3,14,в это обобщено для полинома п ro РЯД3 t соответственно для прямо
уroльноro элемента с п УЗ!lами.
Полиномы rермите. Полиномы Лаrранжа и функции Serendipity в основном
обеспечивают континуитет функции' на rраницах между соседними элемента...
137
4
1
J
]
з
I S 2
Рис. 3.12. Инreрпо.лЯЦIIОlIные ФУНIЩIIИ класса ФУНIЩIIЙ Serendipity для УЗJlОВ 1, 5, 8
4 7 3
1
5
2
4
7
3
1
5
2
3
1
4
2
PIIC. 3.13. ИнтеРПОJlяционные ФУНКЦИИ lCJIасса полиномов Лarранжа ДJIЯ уз.лов 1 J 5, 8
138
лдrРАНЖ
а)
"
:;.
: ..:: ..
. <
.
.
".. '/' ;
<-) .. )t
1
б)
х"у ху'2
/ Ух у 2 \
SERENDIPITY
.. .. '."
t :-" "
...... " ... " ,::.
. ;' . : . : . 'F ,М,;:
:" "!. /.;.,' .., ""'..-п--..
1
xnyn
РИС. 3.14. Схема ииreРПОJlЯЦИII с пом()щью фушщий Serendipity и 'полин()Мов Лarранжа
ЩI ........... со континуитет. Однако, если необходимо обеспечить и континуитет про..
изводной, тоrда в узлах, как основные неизвестные, наряду со значением функ..
ции. вводятся и значеНИ51 производной, а интерполяционные функции принима
ются В форме полиномов rермите. Полином rермите п ro ряда нп(х) является
полиномом 2п + 1 степени. Так, например, полиномы rермите первоro ряда
нl (х) В действительности........... полиномы третьей степени по х. ,
Для примера рассмотрим линейный элемент- с узлами на ero краях. За неиз..
вестные в узлах примем значения функций Фl И Ф2 и первые производные ФI,х
И Ф2х (рис. 3.15).
Подобно тому, как в случае полинома Лаrpанжа, значение функции в пlIO"
извольной точке элемента 1 можно вырЗзить 'в зависимоСти 'от параметров на кра..
ях
I 1 f I 1
Ф _ НОIФl+НIIФl х+Н 2Ф2+НI2ф х==Nt)
N [н l J t J ]
== 01, HJ1 НО2, Н12
Фl
Ф== .
rдe
.
(3.19)
(3.20)
Ф2.Х
матрица интерполяционных функций и вектор неизвестных в узлах.
139
1 2-
D 'J -
-.;.. Х
Ф. Ф2,
1
А
Фt.х ф
.
PIIC. 3.15. ЛllllеЙIIЫЙ эл
м
нт С узлами на краях элемеllТЗ
(РИС. 3..1 б. ?ИmeРПОJUlЦИ()Нllые ФУНЩИII
pMЫ П()ЛИIIОМОВ
ермите перsоrо п()рядка
tИнтерполяциоииые .ФУiНК'ЦИИ, 'полиномы rермите первоro ряда даны в Bыpa
жеииях:
H
l == 1
З'
+2
3 ;
H1J
I'
(
....1)2
;
нА.2 == 3
2 ..... 2 .
3 ;
(3.21)
H
2 ==1.
2(
1),
х
==
. )
I
а их диаlpаммы показаны на рис. 3.16.
3.4. ЕСТЕСТВЕННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Общие ПОJlOжеНИJl. ИитеРПОJlяционные функции ....... . функции координат тcr
чек, которые измер
я в универсальной или локальной системе координат. Б
первом и втором случаях мноrие значения координат зависят от значения ЭJlе
мента и лимитировзны ТOJlЬKO еro контуром.
Однако полезно ввести систему координат, мноroчисленные значения KOТO
рой измеНЯI01CЯ в точно установленных rраницах и являются независимыми 01
элемента. Система локальных координат, мноroчисленные значения которой из
меняются в пределах 0.......1 или ..........1.......1) называется системой естественных Klr
ординат. rлавное свойство последних состоит в том, ЧТО они линейно меняютс
140
между О и 1 (соответственно, от .......1 до 1). Таким образом в системе естествен..
u
ных координат место произвольнои точки может выражаться в зависимости от
координат узлов. Естественно, координаты можно применять для линейны,' дву"
Mepныx и трехмерных элементов различной формы. В п"мерном rиперпростран"
стве естественные координаты назывютсяя барuцентрuчны.мu или весов ы.м. и.
Здесь будут показаны естественные координаты для основных эле ентов только
до трех размеров
Основное преимущество естественных координат перед системой Декарта со..
стоит в том, что интерполяционные функции становяТся значительно проще- и
u u
вычисление определенных интеrралов элемента всеrда сводится к тои же самои
простой аналитической форме. Кроме тою, естественные координаты иrрают ре..
тающую роль в развитии криволинейных элементов. Обозначим их L i (1 =
1 ,2...п), rде t ...... соотвeТt;твующий узел, в котором координата L i имеет значение
1, то время, как в остальных узлах она равна нулю.
Естественные :координаты линейных элементов. Место произвольной точки
М на линейном элементе в универсальной системе координат ох определено ко..
ординатой х, значения которой изменяются между Xl и Х2 (рис. 3.17). Место
точки М можно найти и координатами 11 и t 2 в локальных системах коорди
нат, которые связаны с узлами 1 и 2, причем It 1 совпадает с х, в то время, как
t 2 ор еНТИfOвано в против положном от х направлении. Связь между коордииа..
тами , 1 и J 2 и координатои х дана в выражениях:
1 ==X Xl
(3.22)
2 ==х2........ х .
Если координаты f 1 и f 2 будут поделены по длине элемента, то получаются
стандартизирова е
L 1 (х) == Х 2 Х t
,
Х 2 Х 1
X Xl
L 2 (Х) == )
. х x
2 t
о
Х,
х.
м
(3.23)
Х 2 '1.
х
L 1 (х)
1
L 2 (x)
Рис. 3.17. Естественные ICоорДIIНarы Jlинейн()ro ЭJlем нта
. .
х
I
Е2
1
141
которые представляют собой естественные координаты для прямолинейноro эле..
мента с узлами на краях элемента" Из выражения (3.23) непосредственно следу"
ет, что для Х = Xl координаты Ll (х) И (х) берутся значения 1. и О, а ДJlЯ, Х =
Х2 ...... значения О и 1. Это означает, что естественные КООРДинаты Ll и ........
функции универсальной координаты х и координат узлов Xl и Х2, имеют череДУIi6
ющиеся значения 1 в одном и О ........ в друroм узле элемента. Поскольку в универ..
сальной системе координат существует толь о одна координата, то очевидно, что
Ll (х) и (х) не являются независимыми меЖду собой. Между ними существует
зависимость
Ll (X)+,L2 (х):: 1.
(3.24 )
Место точки М определяется с помощью естественных кооминат:
x==L. (х) х} +L2 (х) Х2.
(3.25)
Выражение (3.25) точно такое же, как и выражение (3.15) для ивтерполяци..
oHныx функций, поэтому можно записать:
cl)==Ll (х) Фl +L2 (х) Ф2.
(3.26)
При дифференцировании функции Ф необходимо иметь ввиду, что Ф ==
Ф(х), так что
/
/
dф' oL a oL 2
dx =Ф'Ll дх + Ф'L2 д х )
(3.27)
rде
oL 1 1
............... == -
д х Х 2 .... х.
,
дL 2 1
==
д х х 2 ........ х.
(3.28 )
При вычислении элемента матрицы жесткости под Зllаком иитсrpaла появля"
ются произведения формы L 1 (x) (x)dx, которые можно получить в закрытом
виде соrласно выражению
J L1 (х) IJ (х) dx == «! I (Х 2 x l ).
(<< + + 1)1
(3.29)
Двумерные ЭJJементы. На рис. 3.18 Показан элемент формы треуroльника.
Для rеометрическоro рассмотре ния введены ДВе системы координат универ..
сальная (Х, у) и ЛОКaJIьная, косоуro.1lьная (f, '/;). Сиcrема локалЬНЫХ координат
связана с элементом в узле 3, так что напраJ)J1еНIIЯ ero осей i совпадает со
сторонами треуroльиика, КОТОрые nересекзются в узле З..
Место ПРОИЗВОЛЬ)fОЙ точки Р в треуroлыmке по отношению к системе оху
определено вектором места
r==хi+у.j==хз i+УзJ+ еl +Yj е2 ·
(3.30)
Если на место координат f .1t ввести ста8Дартизированны:е координаm:
L t ==........) L 2 == ....... . )
/31 /j2
142
Е
о i
Рис. 3.18. ЭлемеllТ треyr() ьной фс>рмы
то первое выражение будет иметь вид
r=:x) i+уз J+/31 Lt е. + /32 L2 е2.
(3.31 )
Если в это выражение на место 131 е} и 1з2е2 подставить:
1)1 еl ==(х 1 ХЗ) i+(y 1 Уз) j )
/32 е2==(Х2 ХЗ) i+(Y2 Yi) j )
то получим
r=={Ll Хl +L2 x2+(1........Lt L2) хз]i+
+ [Ll у 1 + L2 у 2 +(1........ L 1...... L 2 ) у 3] J .
(3.32)
Отсюда следует непосредственная связь между координатами х, у и Ll и :
X:;=Ll Xl+ L 2 Х2+ L з Х3 )
y==LJ Уl +L2 У1.+ L э Уэ )
(3.33)
rде L3 значение, находящееся в малых скобках выражения (3.32), т.е.
Lз== 1 Ll.....L2.
(3.34 )
Уравнения (3.33) и (3.34) МОЖНО записать сжато в матричном виде
х X 1 Х, Х З L 1
У Уl \" Уз L 2 ) <3.35)
.. ..
1 1 1 L
143
а их инверсную форму, как
L} а 1 Ь 1 С 1 1
L 1 Ь 2 (3.36)
а 2 С 2 х )
2
L з 3 Ь з с з У
J
rде введенные обозначения:
Х 1 Х 2 Х З а i == Xj у" X k У j
1
Уl у" Уз b i ==Yj Yk (3.37)
2 ..
1 1, 1 Cj==Xk j'
Значение Д предста ляет собой поверхность треуroльника с вершинами в уз..
лах 1, 2, З, а индексы i, j, k ....... циклические пермутации чисел 1, 2 и з. Уравне...
ния (3.36) с учетом (3.37) MOryT выражаться CJlедующим образом:
L I ·
I(X'Y)==
.:l ,
2 "
L 2 (x, y)==
.1 t
L 3
l(X,y)== )
.:l
rде введенные обозначения i (i = 1, 2, 3):
I х у
1
1 == 1 Х 2 У2
..
1 Х 3 Уз
1 Х 1 Yl
1 1
.:l х у t
...
2
I Х З Уз
1 x 1 УI
I
== 1 Х, У1 )
,
. 2
1 х У
(3.38)
(3.39)
представляют собой поверхности треуroльников, которые формирует точка Р(х
у) с веРIIIJIнами треyroльника. Последние имеют обозначение пporивоположнол:
узлаt\m' т = 1, 2, 3 (рис. 3.19).
144
//3(0,0,])
/
f.:j
/
/
/2(0.1.0)
.
/
/
/
у
/
/
/
Q) /
'- /
"
"" / '--
\!:I / ',/
/ ,/,
/ ",
,
L 2 ==O
/
/
/
/
/
,.
/
/
/
/
1(1.0.0)
/
х
PIIC. 3.19. Естественные коорДIIНarы треуr()льн()r() ЗJlемента
Из выражения (3.38) вытекает следующее: естественные координаты L i пред
ставляют собой отношение поверхности треуroльника противоположноro узла i и
общей поверхности элемента. По этому свойству естественные координаты L i
(1 = 1, 2, З) называются поверхностн ми координатами. Их изменение элемен
та ......... линейное и развивается между О и 1. Поэтому естественные координаты L i
можно считать как интерполяционные функции для линейной интерполяции в
треуroльнике, т.е. N i = L i . На рис. 3.20 показаны диаrраммы координат Li(x, у),
1 = 1, 2, 3.
2
Lэ(Х;У)
3
1
1
. i f
1
2
1
1
2
Рис. 3.20. АlCс()н()меТРllческое изооражеНllе естественных' коорДlIнar
145
Из трех поверхностных координат L i (i = 1, 2, 3) только две независимы
между собой, в то время как зависимость третьей от первых двух представлена
выражением (3.34). Производные функции Ф = Ф [L i ] по координатам х и у с
учетом выражения (3.36) имеют вид:
Ф 3 дL j I .
[ (LдJ.х == ф, Li д == 2 А b j Ф,Li t
Й::аl Х U i
[ф (L j )], у ==.f ф, Li д д L == 2 1л С ! Ф.Lj ;
1=1 У I
(3.40)
1 -
Ф == '" Ь'С jФ . Lj '.
, ху 2 2 t t 1 · LI ,
1
(' == , Ьо Ь. (" L o . .
l' , х х 2 А2 t t I JI' , I .J"
Поверхность дифференциально малоro элемента поверхности треуroлъника в
системе координат L i имеет вид
dF==d d"1) sinO===113 123 sil10 dL. dL2
== /32 hdL1 dL2==2 dLl dL2.
(3.41 )
Интеrрал <1 уикции ф (L i ) ПО поверхности треуroлъника с учетом выражений
(3.34), (3.41) и тою, что координаты L i изменяются линейно от О до 1:
t 1 L2
J ф(Li)dF==2 J [] ф(L 1 , L 2 )dL 1 !dL 2 .
А О О
(3.42)
в случае, кorда подынеrральнаяя функция появляются координаты L i пер
вой и второй степени, из выражения (3.42) следует:
J LjdF== '
f ,
L. L.dF:;: )
I J J2
(3.43)
f L dF==
6 ·
Значение интеrрала формы (3.43) можно получить в закрытом виде для ЭКС
поненты высшей степени по следующей общей -форму де:
J ц IJ LI dF == «! ! у! 2
(а.+ +y+2) )
(3.44 )
которая развернута в виде т.абл. 3.1.
146
Таблица 3.1.
1 J 11 (i У А
/a.fiy == L. L2 L3 dF t::
dF В
- - , -
«+ +y « у д 8
- - - -
о о о о I t 1
1 l О О I 3
2 2 О О , 2 12
2 I I О I 12
3 3 О О 6 60
3 2 1 О' 2 60
3 1 1 1 1 60
4 4 О О 12\ 180
I
4 3 1 О 3 180
4 2 2 О 2 180
4 2 1 1 1 180
I
5 5 О О 60 1260
S 4 1 О 12 1260
5 3 2 О 6 1260
5 3 1 1 3 1260
5 2 2 1 2 1260
6 6 О О 180 5040
6 S 1 О 30 5040
6 4 2 О 12 5040
6 4 1 I 6 S040
6 3 3 О 9 5040
6 3 2 I 3 5040
6 2 2 2 1 5040
Четырехуrольный элемент Для четырехуroльноro элемента не roДится систе
ма поверхностных координат, которая применяется в элементах 1'реуroльноro
вида. По этой пр чиие новая сист ма ествениых координат ( и 1), .которая
применяется в rpаиицах между......} + 1. Таким образом в системе ecтeCТBeH
ных координат 1, tz, определяется квадратный элемент единичных полусторон,
на который перkнимается четырехуroлъный элемент произвольной величины и
формы из системы универсальных координат X у (рис. 3.21).
.147
4(JЦY4)
у
3(ХэУэ)
1( 1, 1)
2(1 , 1)
2(Х2У2)
х
PIIC. 3.21. EcтectвellHble коордlIнаты четырехуr()льн()r() элемента
Связь между универсальными и естественными координатами, устанавливае--
мую с помощью функций трансформации (пересьемки), выражается в виде
[; ] [ I О Lz О L3 О L4 J Х 1
L 1 О L 2 О L3 О Уl ,
(3.45)
Х 4
У4
rде Li (i = 1, 2, 3, 4) функции трансформации, ДЛЯ получения которых исходную позицию
связь между УlIиверсальными и естественными координатами записывают в виде
Х ==(Х I +(X2 +«3"t)+(%4 1) #
(3.4-б)
Соответственно:
Х:А CI)
rде
А == [1, , 1), , 1J])
а Т ==[(%l . . . (%4].
(3.47)
Если уравнение (3.46) записать для вершин четырехуroльника (х
= 't i' i = 1... 4), то
Х ==Е CI
Xi.J=J,t=
,
(3.48)
148
или соответственно в развернутой форме
rXa .... ---] 1 I l --(Х.
Х 2 1 l I (t2
Х З I 1 (хэ
Х 1 1 1 . 1 ..... ..... (Х..
..
.... ..... .....
Если 'из выражения (3.48) исключитьcL, как = .в..1х, и ввести уравнение
(3.46), то
х AE 1 Х ==.[L. L 2 LJ L 4 ] ....х.... ,
Х 2
(3.49)
Х.\
Х 4
..... ....
rде E 1 инверсная матрица Е:
1 I I 1.....
1 l 1 1 I
E I == )
4 l l 1 I
1 -------1 1 )
. E
Li' i = 1...4 функция трансформации, которую получают умножением вектора А на матрицу .
1.
1
LJ == (1 ) (1 -1l) ·
4 )
L 2 == (l + ) (1 1) ·
4 ,
L3 == (1 + ) (l + 1) ·
4 f
(3.50)
I
L 4 == (1 ) (1 + ФfJ) .
4
149
)
На основании выражений ( .45) и (3.50) уравнения для связи между уни
версальными и локальными координатами можно записать в форме:
4 .
х == LI X j r
i =r I
(3.51)
..
у = L j Уё )
1*"1
rде
L j = (l + j)( I + 'l)'YJi).
i == J, 2, З, 4.
(3.52)
Соответствующие инверсные ,зависимости ДЛЯ t и b в функции от х и у не
просты, а поэтому обычно их не устанавливают, а при.'Ьычислении COOTBeTCТBY
ющих выражений используют численный способ. Об этом способе и вообще о
численной интеrрации при определении характеристик отдельных элементов бу
дет рассказано в rлаве об изо пара метрических элементах.
Трехмерные элементы. По аналоrии с поверхностными координатами для
треуroльноro элемента вводятся объемные координаты для элемента формы TeT
раэдра (рис. 3.22).
4(0.0)0,1)
z
,
I
P(x,y,z)
---
"
",'" ........"..-
,, ---
,-- IJ ,
,
3(0,0,1,0)
(
2(0,1,0,0)
х
PIIC. 3.22. Естественные координаты элемента, имеющеr() форму тетраэдра
Связь между универсальными координатами х, ,у, z и объемными координа
тами L i (i = 1, 2, 3, 4) следующая:
х.==L4IХt+.I4 х +Lзхз+L4Х4 ;
у==L 1 Уl+L 2 У2+ L зуз+ L 4У4 ·
(3.53)
z=== L I I I + L 2 L2 + L3Z3 + L4Z4.
150
Из этих уравнений можно получить инверсные зависимости
1 i == 1, 2, 3, 4 ) (3.54)
L. == (а. + Ь. х+с. y d. z)
I 6У I I I l'
rде
....) Х 1 У. ZI
1 1 Х 2 У2 Z2
v==
6 1 Х З Уз Z3
1 х. У. Z4
Х 2 У2 Z2 1 У2 Z2 (3.55)
31 == . Ь 1 == 1
х з Уз Z3 Уз Z3 ,
Х 4 У4 Z4 У4 Z4
Х 2 1 Z2 Х 2 У2 1
Cl== Х З 1 Z4 d 1 == Х 3 УЗ 1 .
х. 1 z. Х 4 У4
Остальные коэффициенты получаются циклической пермутацией индексов
1, 2, З, 4. Объемные координаты получают из выражения:
T == V V i , · 1 2 3 4
.&JJ 1== , , , ·
(3.56 )
в выражении (3.55) коэффициенты ai' b i , Ci и d i ...... софакторы детерминанты
четвертоro ряда, поэтому необходимо помнить об их знаке и способе обозначе..
иия узлов в элементе. Знаки в выражении (3.55) имеют значение для правой де...
картовой координатной системы и нумерации узлов 1, 2, З, 4 в направлении,
противоположном движению '..Jзсовой стрелки. Аналоrично выражениям (3.40) и
(3.44) сответствующие уравнения для дифференцирования и иитеrрации в сиете...
ме объемных координат: ·
4 дL. 1
Ф'а== 2: Ф'Li д 1 == 6 V b i Ф, Li }
1..1 Х 1
4 д 1
Ф,f2:Ф'Li == ZСiФ'Li )
1 ду 6 V i'
4 dL 1 1
Ф, z == 2: Ф, LI............... == 2: d i Ф Li
i..l ду 6 V i )
(3. 7)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J Li IД LI z..: dV"" «! ! 1! 8! 6 V .
(t&+ +r+31 З)!
v
(3.58)
151
Значения -соrласно выражению (3.57) ВhIЧислены и показаны в табл. 3.2.
Таблица 3.2
I J '% ri у d А
I'Xr Y8 ==- L. L2 L3 L4 V =
v в
v
C(+ +y+8 {J. '( 8 А В
.
О () О О О О I
I I О О О I 4
2 2 o О о 2 20
2 I 1 О О I 20
3 3 О О О 6 120
3 2 1 О О 2 120
3 I I I О ) 120
4 4 О О О 24 840
4 3 1 О О 6 840
4 2 2 О О 4 840
4 2 I I О 2 840
4 I I I I I 840
'5 5 О О О 60 3360
5 4 I О О 12 3360
5 3 2 О О 6 3360
5 3 4 I О 3 3360
5 2 2 1 О 2 3360
5 2 1 I I 1 3360
6 6 О О О 360 30240
6 5 1 О О 60 30240
6 4 2 О О 24 30240
6 4 I I () 12 30240
6 3 3 () о 18 30240
6 3 2 I О 6 30240
6 3 I 1 I 3 30240
6 2 2 2 О 4 20340
6 2 2 I 2 30240
Для пространственноro элемента формы rексаэдра систему естественных ко..
ординат вводят таким образом, как и для элементов формы четырехуroльника.
На рис. 3.23 показан элемент формы reксаэдра в системах универсальных коор"
динат х, у, z и естественных координат f ' It ' i ·
Связь между универсальными коор):(инатами и координатами узлов дана в
выражениях:
8
Х == L: L i Х i )
i =- 1
152
у== 2 LiYi
i==1 )
(3.59)
8
Z == L Lj Zj )
i= I
rде
1
LI == 8" (1 +
i)( 1 + 'r)"ljj)(l +
j») i == .1. '.. · 8.
(3.60)
4
z
J
"
1
17
PIIC. 3.23. Естественные координаrы элемента, имеющеrо форму rексаэдра
3.5. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ Функции НЕКОТОРЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ В СИСТЕМЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ КООРДИНАТ
Линейный элемен'r с тремя узлами. Интерполяционные функции для линей...
HOro элемента с узлами на краях даны в выражении (3.24), а их диаrраммы по...
153
казаны на рис. 3.17. Для линейных элементов с тремя узлами (рис. 3.24) интер
поляционные функции имеют вид:
I
N'==2 L(I L);
. 1 .
N., == L ( I -+, L)
- 2
Nз==1 L2.
(3.61 )
1
" 3
2
L= l
,L=O
L=l
PIIC. 3.24. Квадратные IIнтеРПОЛЯЦlIонные фУНКЦИИ ДЛЯ линейноrо элемента
ТреуrОJIЪНИК с узлами в вершинах и центрах сторон треуrолъника. Квад
ратная интерполяция. Для элемента формы треуroльника с узлами в ero верши
нах интерполяционные функции естественные поверхностные координаты
N i = L i (i = 1, 2, 3), а их диаrраммы показаны на рис. 3.20. С помощью этих
функций обеспечивается линейная интерполяция. Для элемента формы Tpey
roльника с шестью узлами, расположенными в вершинах и центрах сторон, ин
терполяционные функции являются полиномами BTOporo ряда. На рис. 3.25
представлены места узлов и их координаты в системе L i . .
Изменение функции Ф(L i ) выражается с помощью полинома BTOporo ряда
ф (Lд =: (11 + «2 L 1 + (1з L 2 + (14 Li +. O:s L 1 L 2 --I 0:6 L == LT (1.
(3.62)
Если ypaBHeH e (3.62) записать для всех узлов треуroльника, то получим си
стему из шести уравнений:
фе==С CI )
(3.63)
)-
154
1
1 L. L3
) 1 О О
2 О 1 О
3 О О 1
4 1/2 1/2 О
5 О 1/2 .1 /2
6 1/2 О 1/2
у
2
х
PIIC. 3.25. Треуroльный элемент с узлами в верШIIНах и серединах
откуд:а
cx==c 1 фс. (3.64 )
В этих уравнениях фе обозначает вектор, элементы KOТOporo.......... значения
функции в узлах ФI' Ф2... Ф 6; J..r--.- вектор коэффициентаoll... ' а матрица С и
ее инверсная матрица C I:
1 1 О 1 О О
1 О 1 () ()
1 О О О О О
с==
1 1/2 1/2 J /4 1/4 1/4
1 О 1/2 О О 1/4
1 1/2 () J /4 () О (3.65)
.... О О 1 О О О....
l U 3 U U 4
О l з О 4 О ..
c I ==
2 О 2 О О 4
О О 4 4 4 4
О 2 2 О 4 О
с введением (3.64) в (3.62), учитывая (3.65) и (3.34), получим
( (Ll)==LT c I ( C ::=J NФС )
(3.66)
rде N i = [N i ], (i = 1...6) матрица интерполяционных функций:
155
N 1 ==L 1 (2Ll 1) ·
1
N2==L 2 (2L2 1) t
N3==L3 (2Lз 1).
N 4 ==4L 1 L 2 '
I
N s ==4L2L3 ;
N 6 ==4L 3 L 1 o
3
1
(3.67)
3
2
l
4
2
Рис. 3.26. Квадртные ИlIТерп()ляци()нные функции УЗJI()В 1 И 4
Диаrpаммы характерных функций N 1 И N 4 показаны на рис. 3.26.
Кубическая интерполяция. Обозначения узлов, находящихся в вершинах, в
точках третьей длины сторон и центре тяжести треуroльника, даны на рис. 3.27.
Для получения интерполяционных функций исходной позицией является
у
1
з
, ,//
, ",.
ХI0
/ "
// ,
4
s
х
PIIC. 3.27. Треуrольный элемент с кубическ()й интерп()ляцией
156
комплектный полином Лаrранжа TpeTbero ряда, имеющий 1 О членов. Выражение
для интерполяции функции Ф(L i ) (i = 1, 2, 3) в таком элементе имеет форму
10
ф::::: 2: N j фi == Nфе ,
i == J
(3.68)
rде
) .
Nlс:: Ll(ЗLl 1)(3LI 2) t
2
N2 +L2(3L2 1)(3Lз 2) ;
I ·
N з == L3 (3 L3 1) (3 LJ 2) t
2
9 ·
N 4 == L. L 2 (3 L 1 1) ,
2
9 ·
Ns== LIL2(3L2 1) ,
2
9 ·
Nб== L2 L3 (3 L2 1),
2 ,
9 ) .
N, == 2 L 2 L3 (3 L3 1 I
N 8 == !. L3 L 1 (3 L3 1);
2
9 1 ·
N 9 :::: L3 L 1 (3 L 1 ) f
2
N 10 == 27 LJ L 2 L3.
Треуrольник с узлами в вершинах и центре тяжести. Обозначения и место
узлов показаны на рис. 3.28. Наряду со значением функции Фi во внешних уз..
лах за неизвестные принимаются первые производные Фi,х и Фi,у (i = 1, 2, 3), а
во внутреннем узле, находящемся в центре тяжести, только значение функции.
Аппроксимация функции в элементе, показанная на рис. 3.28, имеет форму
ф==NtФl+ N 2ФJ,х+N З ФI, )'
+N 4 Ф2+ N SФ2,х+N Б Ф2. у+ N,фз
N8ФЗ, х+Ngфз, у+N 1о Ф4 )
(3.70)
rде
')
N. Li{Ll+3 L2+3 L.\) 7 LtL2 L з ;
(3.71)
157
,', фа, Фl, х, )i, )', Ф4
i == 1, 2, 3
з
\
'2
Рис. 3.28. ТреУF()ЛЬИЫЙ элемент с узламlt в вершинах в центре тяжесТII треyrОЛЬНII:ка
.
N 2 == Li (с3..... С2 LЗ)+(С2 С3) LI L 2 L3 ,
2 ·
N з == L. (Ь 2 L3 Ь з L2)+(ЬЗ ' Ь 2 ) L. L2 L3 ,
N 4 == L (L2+З L3 + 3 L ,) 7 L. L2 L3
2 ·
N s == L2(Ct Lз сз LI)-+ (СЗ Cl) Lt L 2 L3 t
2 ·
N6 L 2 (Ь з LI ы L.,)+(h l Ь.\) L) L 2 L3,
2 ·
N 7 == L з (L з +3L t +3 L2) 7 LI L 2 L3 t
.
N s == Lj (с:! LI C, 1"'2)+(CI (2) LI L 2 L3,
.,
N == L3 ( l LI Ь 2 L.)+(b:? b l > Ll L2 L3
N JO ::::: 27 L 1 L 2 L.\.. '
Коэффициенты ai' b i , С; (i = 1, 2, З) определены выражениями (3.37).
Прямоуrольные элементы. Для прямоуroльноro элемента с узлами в верmи
нах <рис. 3.29) интерполяция функции Ф <1, "t) имеет форму
(Р ( , ):::::.. N 1(1) 1 + N 2<1)2 + N з(1) 3+ N 4Ф4 ) (3.72)
rде интерполяционные функции N i даны выражениями:
1
N 1 == .......... (1 + 1)( 1 + Yj1) .)
4
,
i;:::: 1, 2, З, 4,
(3.73)
и представляют билинейную интерполяцию.
158
. }
[9
l 2
PIIC. 3.29. Прямоyrольный элемент с билинейной интерполяцией
7 6 S
-[94
J 2 J
.:- : ,
-:,.;:, '- ' \\ \
:"'\'\\ '
, \. .)', 11 . i
:/J/:I,Щ), 1"
. :" ('.-.// //1
. :-. 1 ;!
" \ .
, ; ) ;;
Рис. 3.30. Прямоyr()льный элемент Serendipity С квсщрarной интерполяЦией
Для прямоуroльноro элемента с узлами в вершинах и центрах сторон
(рис. 3.30) в выражении (3.72) сумма идет от 1 до 8, а интерполяционные функ
ции определены выражениями:
1
N 1 == (1 + i) (1 + "1)YJд ( i + 1)1); ..... 1),
4
i == J, 2, З, 4 ·
,
I
N j ... 2 (1 2) (1 + YJYJд,
i 5, 7 ·
(3.74)
1
N j ="2 (1 YJ!) (1 + ttд,
i = 6, 8 .
159
"1 : 1 ; 1 \ \\ [ ( ) I
6,.,/Дl .......' ) '
l' "f(f.l
" ........,'"
. --'"-,. . : : ,
'i;/i *.=f- \ \
:i (/ : 'i. - . } ,I ':'
. ' 'I:l: ' )) ' \ . \ ; .:
чl,. 11. .!.
. \" \\ , J .
t I' \.\\, ' I'IJ
::. \ l :: =- :,
PIIC. 3.31. Прямоyr()льный ЭJlемент Лаrранжа с квадрarн()й IIнтерп()ляцией
4
10
11
9
з
....
1 I
8
12
· 7
1
5
6
2
Рис. 3.32. ПрямоyroJlЬНЫЙ элемент Serendipity с кубической интерп()ляцlreЙ
Для прямоуroльноro элемента с 12..ю узлами (рис. 3.32) интерполяционные
функции имеют вид:
Nl = (l + 1) (1 +'1)'1)1) [ 10+9 ( 2+'1)2)),
32
Nl == (1 + 1) (1 '1)2) (1 +9'1)'1)1),
32 .
i == 1, 2, З, 4
i==7, 8, 11, 12
(3.75)
Nl == (1 + YjYj 1) (1 ;2) (1 +9; 1),
32
i==5, 6, 9, 10.
Интерполяционные функции, представленные выражениями (3.73), (3.74) и
(3.75), относятся к классу функций. ,
160
3.6. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Общие положения. На основе предшествующею рассмотрения элементов и
интерполяционных функций можно сделать ВЫВОДt что интерполяционные функ..
ции даны в простых выражениях при нахождении в системе естественных коор"
динат для элементов такой простой формы, как треуroльник или квадрат, тетра..
эдр или куб. Поскольку выбор и определение элементов и интерполяционных
фУНКЦИЙ является одним из важнейших maroB в МКЭ t тот фаКТ t что ,ДЛЯ эле..
ментов простой формы используются простые и интерполяционные ФУНКЦИИ t
указывает на преимущественное применение этих элементов.
Однако для аппроксимации кривоro KOHTYPHOro тела сеткой конечных эле..
ментов часто бывает необходимо принимать большое число элементов простой
формы, оrраниченное плоскими контурами. С увеличением числа элементов воз..
растает и численная работа t ПрИ этом иноrда не достиrается необходимая точ"
ность, особенно у элементов с большим числом степеней свободы. Для тою что..
бы исключить этот недостаТОК t вводятсSl элементы с кривыми (криволинейным))
контурами, так называемые криволинейные конечные элементы. С криволиней..
иыии элементами соответствующей формы успешно может аппроксимировать
любая кривая контура. С введением их можkо существенно уменьшить общее
число элемеНТОВ t а тем самым и общее число неизвестных в системе уравнений.
Для трехмерных задаЧ t rде об,щее число неизвестных реryлярно веЛИКО t это
уменьшение может иметь особое значение. Между тем описание rеометрии этих
элементов в отличие от элементов npocтoro вида не совсем простое. По этой
причине используется второй ПУТЬ t который -основывается на ворможности уста..
новления непосредственной связи Me
y reoметрией криволинейноro и соответ"
ствующеro прямолинейноro по форме простоro элемента.
Основная идеЯ t на которой базируется введение криволинейноro элемента t
заложена
в возможности отображения (пересъемки) элемента t оrраниченноro
кривыми сторонами или линиями универсальной системы координат, к элеме:hТУ
простой формы, оrраниченноro плоскими сторонами или прямыми линиями В си..
стеме естественных координат и наоборот. Поэтому основанием для введения
криволинейных элементов служат рассмотрения элементов формы треуroльника
(тетраэдра) и прямоуroльника (параллелепипs-ца) в системе локальных коорди"
нат L 1
Lз (L 1
LзL4) t соответственно f ''t (J, 'Z t
).
в системе локальных координат, reометрия элемента и интерполяционные
фУНКЦИИ, как это показаНО t определяются просто, а после этоro проводится их
трансформация в систему универсальных координат. Координаты f ' 'l t
ИЛИ
Ll...L4 трансформируются в сети криволинейных координат на криволинейном
элементе в систему универсальных координат. При этом подразумеваетСЯ t что
существует связь между универсальными и локальными координатаМИ t которую
можно выразить в виде
-
.... .... ...
... ....
L 1
Х Х
у ==F 11 или У ==ф
L2 ,(3.7'6)
v L
z ....'-... z .3
.... ... .... ....
1
.... 4 ...
с помощью этих формул определяется взаимно однозначное отображение TO
чек из области (элемента) в системе локальных координат в соответствующей
области (элементе) в ,систему универсал-ьных координат (рис. 3.З3).
В системе локальных естественных координат reометрия элемента, как это
161
ЛОКАЛЬНЫЕ
КООРДИНАТЫ
11
З( ....1 , 1 )
2(1 , J)
4( ...1 , I )
I( I , l)
J'
ОSUl.Ие КООРДИНАТЫ
1" "
I
'/
., I
" I
'..,...........
I ---- .................
I
J
,1
I
f .
Е
Рис. 3.33. ПереВОД 113 ЛОUJIЬН()Й В общую систему коорДlIнar
162
видно, определяе'ОСя ,координатами ero УЗЛОВ. Координаты любой точки элемента
MOryT быть выражены с помощью координат узлов и-соответствующих интерnо'"
ляционных функций:
k
Х == 2: F j ( , ,' t) х 1 .
i= I
k
У == F 1 ( , 1). ) у 1 ;
1
(3.77) .
, k I
i == F J ( , 1J, ) Z I )
I
rде k ЧИСЛ() УЗЛОВ злемеН1'а.
J ' \ ...
ECJIМ дЛЯ аппроксимации reoметрии элемента пр нять те же узлы И, интерnо,...
ляционllыe функции, что и ДЛSJ аппроксим Ции nOJI.sI OC OBHЫX йеизsестных в
эл менте, т.е.
Fl ( , t l;)== Nl ( , , ),
i I, 2. . . k
I
(3.78)
то такие элементы назьtваются uзоnараметрuчесlCUМU.
Если для описаНИЯ reoметрии элемента ПРИНЯТЬ больmее число узлов, чем
ДЛЯ аппроксимации функции, то такие элементы называются cyпepпapa.мeтpи
чесICU.мu. Если число узлов ДЛЯ аппроксимации функции больше, чем число уа..
лов для аппроксимации reометрии, то такие элементы наЗЫ:8аются субпара.мет
рuчесlCUМU (рис. 3.34).
ИЗОПДРАМЕТ ·
РИЧЕСКИЕ
СУПЕРПАРАМЕТ. СУ6ПАРАМЕТ-
РИЧЕСКИЕ ричеСКИЕ
.о rеОМЕТРМЯ
..... ФУНКЦИЯ
Рис. 3.34. И3()параметрllчеспrе, суперпарамеТРllчесlCИ 11 субпарамеТРllчеСКllе элем irrы
Поскольку ПОЛИ1l0МЫ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ как интерполйЦИоиные функции, МОЖНО
сказать, что в случае изопараметрических элементов reометрия элементов и по..
лей основных неизвecrных в элементе (фУНКЦИЯ, производные функции) апп..
роксимируется полиномами тoro же рца. В случае суперпараметрических эле..
ментов reoметрия ОЩlсывается полиномам:и .blcmero разряда, а у субпараметри"
ческих элементов полиномами более ,низшеro ряда, чем, полиномы, с ПО..
МОЩЬЮ {Coтopьtx аппроксимируettя поле ocHoBныx неизвестных. Из этих трех ка..
теroрий криволинейиыx элементов наибольшее применение нахо.цят изопарамет..
рические элементы. Суперпараметрические и субпараметрические элементы по
163
лучили известное применение при анализе и расчете оболочки. Все дальнейшие
рассмотрения будут относиться только к изопараметрическим элементам.
Изопараметрические элементы представляют собой весьма общую и широко
применяемую в МКЭ концепцию. Идею о введении криволинейных локальных
координат в описании reoметрии элементов первым применил в 1961 r. п. Теш,
Korдa ввел криволинейный элемент формы четырехуroльника. HeMHoro позже
эта идея была обобщена и применена для различных элементов Б. Иронсом,
о. Зенкевичем и А. Эрrатоудусом.
Изопараметрические элементы получили широкое применение в анализе од..
номерных, двумерных и трехмерных задач механики континуума. Наблюдения
линейною элемента в системе естественных координат и четырехуroльнике с уз..
лами в вершинах, который отображается квадратом, представляют простейшие
примеры изопараметрических элементов с пр.имолинейныии контурами. общем
случае изопараметрические элементы ........ криволинейны.
Способ вычисления основных характеристик изопараметрических элементов,
матрицы жесткости и вектора наrружения в узлах формально тот же atМЫЙ, что
И для :классических элементов. Различие состоит только лишь в том, что у изо
параметрических элементов появляется операция трансформации локальных KO
ординат .в универсзльны.. Это приводит к более сложным подынтеr{fa.1lьныM
функциям, так что элементы матрицы жесткости определяются численно. Bыpa
жение матрицы жесткости и вектора наrружения элемента имеет общую форму:
k== J BTDBdV ;
v
Q== JNTFdV+ JNTpdS}
v Scr
rде N матрицы интерполяционных функций; В матрицы, которые получаются после тою, как
с матрицей N проведена соответствующая дифференциальнаи операция.
Задача определения матрицы жесткости и вектор наrружения элемента в
случае изопараметрических элементов сводятся к вычислению интеrрала подын
теrpальной функции и ее производны,, дaHныx в системе локальных координат
по объему (площади) криволинейноro элемента в системе универсальных KOOjr
динат. при этом интеrpал формы можно рассчитать по формуле
J F (ф, ф, х ф, у . · .) dV)
v
(3.79}
rдe
ф== N i ( , 1), t)фi.
i
(3.80 '
Для вычисления этоro интеrрала необходимо провести две трансформаЦIff
Первое........ следует выполнить трансформацию с определением ПРОИЗВQДНОЙ фун
кции В системе универсальныx координат, поскольку функция дана в систем;
локальных координат о Второе ........ поскольку интеrрация относится к объему кри-
волинейноro элемента, то это необходимо иметь в виду при ее вычислении в c -
стеме локальных координат.
164
Исходя из известной связи производных какой..либо функции в ДВУХ систе
мах координат (локальных j, tz ' и универсальных х, у, z):
(. · .),(==Х, (. · .),.+У, (. · .),у+', (. · .) Z
для производных функций вида N i можно записать
--N --
i,
Х,
У, ..
У, '1)
У,
Z, ... --N i, х -- --N i. х __ ,
Z, 7) N i . у == J N i . у }
Z, t; ... __N i . z ... ...N i . z J
(3.81)
N i . 71
Х. 71
... N i, r; ... ..... Х, r:
rде J матрица трансформации
Х, У. Е. Z,
J== х . т, У. 'f) Z.1) .
Х , t: У. r. z
.... , t: ....
(3.82)
Если B fecтo Х, у и z соrласно (3.77)' и (3.78) в (3.82) подставить:
Х ==.2: N. ХI ;
i '
Y== NtYt
z== .N171 J
(3.83)
то для матрицы J получается эксплицитное выражение в системе локальныx ко..
ординат:
.... N. х. N. f. у. N. .z. ....
1, I 1, 1 1. I
J== Ni. x i N i .1) Yi Ni,1)Zi
N. с х. N. су. N. r. z.
... '. I 1. . '. 1....
....N,. N 2 , Е. . · · · Nk.1; ... .... (3.84)
х. YI ,Z.
N 1 ,7) N 2 .7) · · · · .N k ,71 Х 2 У2 Z2
N N 2 , r. · · . · N k . ....
... I.
....x k Yk Zk....
Производные интерполяционных функций в системе универсальных коорди"
нат можно-получить инверсией выражения (3.81)
--N. ....
1. Х
....N. ....
1,
==J l N. .
1,71
__ N i, t...
(3.85)
N).y
N.
... 1, Z ....
165
Иитеrpaция по объему криволинейноro элемента в системе универсальных
координат переводится известным способом с помощью детерМИнантной матрицы
Якобиана в иитеrpацшо в системе локальныХ координат, т .е.
d V ==dxdydz==det · J d d YJ d t.
(3.86)
Подстановкой (3.85) и (3.86) в (3.79) вычисление интеrрала в системе уни
версальных координат сводится к вычислению соответствующеro интеrpала в си
стеме локальных естественных координат, которые изменяются в rpаиицах от
1 до 1, ЧТО значительно проще. Таким образом элементы матрицы жестко
сти ........ интеrpзлы формы:
+1 +1 +1
k == J J J F ( , '1j, ) d d 1) « )
I ...1 I
(3.87)
F==BTDB det. J I J
которые определяются ОДНИМ из способов численной иrтеrрации, поскольку noд
ынтеrрзльная матрица функции F, как правило, является усложненной для экс
плицитной интеrpации. После применения метода численной интеrрации, О чем
будет сказано далее, для элементов матрицы k получается
k == «'.k F.. 1c (3.88)
"" t 1) IJ)
IJ
rде Fijk коэффицие ы матрицы F ДЛЯ значений соответственно координат f i' 1 j' k; d.ijk KO
эффициенты численнои интеrpации.
Подобным образом, как и элементы матрицы k, определяются численным
методом и элементы вектора Q.
При применении изопараметрических элементов используются две системы
координат: специальные , 1), и уииверсальиыe х, у, z. В системе ecтecтвeH
ных координат определяются интерполяционныe функции, а потом основные
характеристики изопараметрическоro элемента, матрица жесткости и векторы
сил в узлах. С учетом тoro, что сущест ует однозначная связь Между локальны
ми (естественными) И универсальными (Декарта) координат , расчет xapaKTe
ристик изопараметрических элементов проводится на соответствующем элементе
простой формы в системе естественных координат. Для существования взаимной
однозначной связи между естественными и универсальными координатами необ
ходимо условие, чтобы детерминант матрицы трансформации J был отличен от
нуля. Вьmолнение этоro условия можно рассмотреть на простой изопараметриче
ской модели ........ квадрате, который билинейными трансформациями переводится
в четырехуroльник (см. рис. 3.21). Связь между универсальными и локальными
координатами устанавливается с помощью интерполяционных функЦИЙ, которые
на основании уравнения (3.51) можно выразить следующим образом:
]
х ( . 1)) == 4"" [(I ) (l 1)) х J +(1 + ) (1 1)) Х:!+
+(1 + ) (1 +11) хз+(1 ) (1 + ) Х4] ;
1
у ( , "1) == [(1 ) (1 1) YI +(1 + ) (1 1) У2+
4
+(1 + ) (1 +1) Уз+( l ) (1 +11) У4.]
(3.89)
166
Детерминант матрицы I имеет вид:
dct [J] ==
Х,
Х, 1)
у,
У, 'IJ
1 ...... х 1 + Х 2 + х 3 х.. + ll A --- у I + у 2 + У 3 ..... У 4 + 11 в
==
4 Хl +'ХЗ+Х4+ А УI---У2+.УЗ+У4+ В'}
rде
А==Хl Х2+ХЗ Х4 ;
в == у 1 ....... У 2 + у 3 ...... У 4.
(3.90 )
Из выражения (3.90) можно сделать вывод, что детерминант J линейная
функция координат , I't (поскольку билинейные произведения АВ f IJ, устраня--
ются). На OM осно'ании следует, что детерминант не будет нулем ни в одной
точке элемента, если ero значения во всех вершинах четырехуroJIьника тoro же
знака. По этой причине необходимо исследовать значение детерминанта в вер--
шинах. Если в выражение (3.90) на место f и '1, поставить 1, то получается
значение детерминанта в узле 1:
J ( ) ,.......1)==(X2 XI) (Y4 Y 1) (Y2 Yl) (X4 Xl).
(3.91)
Выражение (3.91) представляет собой значение произведения векторов а и Ь
(рис. 3.35), которое можно выразить как а Ь sin 8, rде 8 ........ внутренний уroл
з
а)
у
3
2
4
1
а
2
1
х
Рис. 3.35. ОДИ()ЗIl8ЧIIЫЙ и мноrООll8ЧНЫЙ переВ()ды
узла 1. Выражение BeKтopHoro произведения положительное, если уroл 8 < С80 0 .
К такому же выводу можно прийти и в отношении остальных узлов, а также
вершин четырехуroльника.
..
На основании вышеизложенноro Можно сделать вывод, что детерминант J не
может стать нулем при условии, что все внутренние уrлы четырехуroльника
меньше 1800 и если четырехуroльник выпуклый. В четырехуroльниках, имею--
щих по крайней мере один уroл больше 1800 (рис. 3.35,в), детерминант TpaHC
формации J обязательно имеет нуль в какой..либо точке элемента, а реryлярноro
167
4
, 71
з
'-
..
1
17
..
.,.
4
1
з
6 i < 1800 (i == 1,2,3,4)
PIIC. 3.36. ЭJlемеиты С ОДНОЗШlЧIIЫМ переоодом
однозначноro направления между естественными и универсальными координата
ми не существует. ,
На основании этоro может покаэаться, что для
иквадратной интерполяции
необходимо и достаточно условие, чтобы dem J 1= о и уrлы в вершинах были бы
меньше 1800, а также "средние" узлы находились бы в рамках средней трети
длины стороны (рис. 3.36).
3.7. ЧИСЛЕННАЯ ИНТЕrPАЦИЯ
в рамках изопараметрической формулировки и применения сложных эле
ментов в МКЭ при вычислении матрицы жесткости и вектора узловых сил появ
ляются подынтеrральные функции, которые не подходят для интеrрации в за
крытом виде. По этой причине применяется один из способов численной инте
рации. Для интеrрации функций, зависящих от одноro apryMeHTa, чаще Bcero
исполь
ют метод НьюТоНа........rотеса. По этому методу значение интеrрала функ
ции f (1) в интервале ......1.........1 (рис. 3.37) вычисляется, как сумма произведениt
коэффициента интеrрации и значения функций в дискретных точках i = 1,2....
которые выбираются на эквидистанционном расстоянии.6, т.е.
+1
1 == J f (
) d
==
I Wif.(
i).
'
168
I
f )
f(....I)
>
> .
k; '
<: ;: '-
... ....
.. '
:о.. .....
f . :: . , t .. , , . . ,
:*:i .
,... ,>.;.>; :;;:;:
, ,
;, t J ..
" ,; :< ; .3;:
;:,' "
I
1° Щ
,
(+1)
::S" ..
...1
+)
Рис. 3.37. Мeroд ЧИCJIевн()й интеrpaции НltюroНа.... отеса
Коэффициенты интеrрации (веса) определяются при условии, что функция
аппроксимируется полиномом, который образуетсsr через выбранные точки, .а
поверхность высчитывается точно. Для п = 2 получается образец, отвечающий
трапецеидальному правилу
I==f( I)+f( f 1) j
для п =. 3 по правилу Симпсона
1 == [f( I)+4f(О) f--f(.1 1)]
3
и т .д.
Друrим численным способом, имеющим широкое пр именение, являеТС9,jме..
ТОД faycca, КОТОРЫЙ от предьщущеro отличается тем, что дискретные точки. не
принимаются заранее на одинаковом расстоянии; а ИХ место определяется>тзким
образом, что получается самая высокая точность интеrрации. Друmми..слQВ3МИ,
в методе raycca неизвестными являются и координаты, которыми.. онр..едeJJЯется'
место дискретных точек и коэффициенты численной интerpации:
Значение интеrрала высчитывается из выражения'
\
\
\
\
+1
1 == J C( ) d ==! I Wl.f( }.
.....1
Поскольку принимается- n дискретных точек, существует 2п, неиавестиъж (fi
I i' i = 1 ,2...п), так что для аппроксимации- ФУИКЦИИ4 1(1). ВВОДIRСЯ1 и<tлlfВOМ
яда 2п......l и проводится иитеrрация в KBaдpaTypa . Система. одиввремениых
равненИй для определения 2п неизвестныx не' проста ЛЯ. peIIIe-иия\ Reльзуясь
I звестными математическими трансформациями, можно- покaзa:rь, ЧIO решение
получается эксплицитно в форме ПОЛИИОМО& ЛaFраижз.,. ИQ9'DОМУ Э'FfЭqt' акхоо час..
то называется .методом rаусса......ла.zраНжа.
Иллюстрацией этоro метода служит функция I(1}.. д- нее неооходимо оп..
ределить интеrрал в rpаницах от ......1 ДО + 1 с ПО ЪЮ двух 'I'OЧeК численной
ИRтеrрации (1 и 11), которые находятся на линии 1,. определены .%,. но иеизвест..
ны (рис. 3.38).
169
t( )
,
I
I
I
((--.) f t{i)
I
I
I
.
1 _ l' II
...1 О +1
а I
Рис. 3.38. M Т()д численной интеrрации raycca с двух Т()чек
ФУНКЦ"'dЯ может аппроксимироваться полиномом Tpeтьero ряда (2п.......l), т.е.
r ( )==«O+«l +«2 2+(t3 3)
так что интеrрал 1 после непосредственной интеrрации
+1
1 == J ( ) d ==2«o+ «2-
...1
Зltачение этоro интеrрала МОЖНО, определить и численным способом, т.е.
1 ==!. Wt f( t)==W Ес.(......а)+с( +а)}==
i
== v! (<<о + «1 а 1 ct. 2 а. 2 + tX 3 ,1. 3 t- ОСО ........ ot J а +« 2 а 2......... (1:] 81.3 )
===2 w {(Xo+Ot а 2 ).
Неизвестные коэффициенты, появляющиеся в этих выражениях, определя
ются, предполаrая, что различие L\ между интеrрwroи, определеинJiМ непосред
ствениой интеrрацией и числениыM способом, будет мииималЬИЫМ
А == 1 1 == 2 [ ( СХО + + it z ) w (<<о + ctz а.2) J
Из условия о минимуме следует:
д 1 t
==O l w==O w== ,
д
о
11,
д /дrJ.,. == o а 2 == U a =- V == 0.57735:,
, 3 3
170
так что численное значение интеrрала будет
1== I · f ( o,57735)+ t · f (+0.51735).
Если применяется ТОЛЬКО одна точка численной иитеrрации, то ФУНКЦИЯ
л ) может апnроксимироватъся полиномом nepBoro ряда, Т.е.
f( ):=:tXO+tXl ,
так что:
+1
1 == J C( ) d == 2«0 ;
I
I==Wl f( I)==wr( a)==w (<<O+tXl «).
. <
Различие между ТОЧНЫМ и приближенвым значениями иитerрала
6.==I I==2 (XO W (<ХО+ОСl rJ.,).
Из условия, предполаrающеro, что различие 4 будет мииимальным, получа...
ется:
д4 ==0, , w==2
д«о
д
== О, а == О f
дОС 1
а затем численное значение цтеrрала 1 = 2/(0). '
В табл. 3.3 даны з чения коордии т точек и коэффициенТЫ численной ив...
теrрации метода ивтеrрации по rayccy с большим ЧИC.1lОМ точек.
Таблица 33
+1
J f( ) d == W i f (3i)
1 J
n
:f: а.
.
W.
I
J
о
0.57735 02691 89626
0.77459 66692 414ИЗ
0.00000 00000 00000
0.86113 63115 94053
0.33998 10435 84856
0.90617 98459 38664
0.53846 93101 05683
0.00000 00000 00000
2.00000 00000 00000
I . ООООО 00000 00000
0.55555 55555 55556
().ООООО 00000 00000
0.34785 48451 37454
0.65214 51548 62546
0.23692 68850 56189
0.47862 86704 9'9366'
0.56888 88888 8S889
2
3
4
5
171
rлава4
ДВУМЕРНЬIЕ ,ПРОБЛЕМЬI
Общие положения. В предлаrаемой работе ПОД двумерными проблемами Teo
рии упруrocти. подразумевается плоское напряженное состояние и плоское дe
формационное состояние. Общая теория МКЭ при применении к плоским про
блемам ,теории упруrocти становится значительно проще. Поскольку все reoMeт
,ричес:кие и :физические. вмJfчины зависят только от двух apryMeHТOB, то леrко
интерпретировать мех-аническйй СМ
СЛ отдельных шаroв в формулировке про
. блемы.
. Bce
варианты'МКЭ, изложенные в рамках общей теории, можно применять
к плоским. проблемам. ОднаК(j рассмотрения упрощаются, еслм: принимается Me
тод деформации. ,По этой причине в настоящей rnaBe метод деформации oтpa
жен детально с двумя основныии элементами треуroльной и четырехуroльной
форм. . Метод сил ноказан только на одной простой модели, 11 которой основным
полем;,неизвестн.ых в элементе считается функция напряжения Айри. "-
,Прииимая
во внимание -то, что большое число инженерных проблем в MaTe
матической формулировке сводится к области двумерноro анализа, приведен
способ
расчета -напряжения .и деформации ряда характерных инженерных
объектов.
4.
L
6CНOB-HЫE УРАВНЕНИЯ
-
OCICoe, напряженное состояние. Тело .находится в плоском напряженном
.cecroянии, если векторы ВНВIПВИХ и -внутренних сил во всех ero точках располо
жены"в плоскостях, ,которые параллельны ОДНОЙ плоскости, назыаемойй средней.
На "рис.,4.1 в ,средней 'плоскости х, у даны ОСНОВНЬ1е обозначения и конвенции
ПОJЮЖИlJельн:ы.х -знаков -reoметрических и ста
ических величии. ,
Вектор ,перемещения -В произвольной точке тела имеет составляющие u и v,
которые 'ИВllЯЮТСЯ функциями -координат х и у:
- \t
. .u( «., :.y
_,
(4.1)
-'V;=v(к, у}.
СостЗВJlQющие .о
иы.сил
a единицу толщины РХ и Ру' а составля
ие
виеmиих иафу.ж.еиии
Р х и Ру. Составляющие напряжения и деформаЦйй, oт
личные .ОТ -иул.., п.p.eдC'I'.3влеиы векторами Фи-Е:
[ tU J [ '" J
)х *",
(J == .(1", f Е .::=
·
'"t' ку _ '( KV
(4.2)
172
р
0'1
у
Тку
Х,tI
h
d X
Рис. 4.1. OCII()BlIbl r ()метрllчеСDlе 11 стarичеСDlе веЛIIЧИНЫ
у CJlовия равновесия даны в уравнениях:
r; X Х + тх}о, у+ F х===О ,-
Тху, х + a ,y + F у==О.
(4.3)
в части OHTypa, rде KO TYPHыe условия заданы по силам, должны быть
удовлетворенJ;i условия Коши:
рх==ах cos (11, Х)+Тху cos (11, у)
py==Tx . cos (11" Х)+'I'J у cos (11, у) J
(4.4)
rде n напряжение нормали контура с положительным направлением от контура.
Связь между состаВЛЯЮЩИ fИ деформации и перемещений дана в уравнениях
Е ==I.JU)
(4.5)
rде
[ д/д Х О ]
L= О д/д у i _=[:].
д/д у д/дх
(4.6)
При этом условие Сен--8енана о компатибильности деформаций имеет вид:
Е., уу +8" хх.......у ХУ. ху==О .
(4.7)
173
Исходя из общей связи между тензорами деформаций и напряжения, KOТO
рые для упруrиx тел даны в виде
Eij :;:::: C ijkj G'kl ,
для случая плоскою напряжения или плоской деформации ортотропиых тел, на..
правления ортотропии у которых совпадают с осями Х, у, z, полу ается
f E'" I r е: 1 f c ll ...... 14
l t: y J :; 1 t j + l ' · · ,
Ez t z ..,
УХУ y Сllмметрично С 4 ..:
ах,
ау
a z
'"t' ху
(4.8)
в вь.ражении (4.8) составляющие деформации с нулевым индексом представ
Л ЮТ начальиыe деформадии температурных или дpymx внешних яиий, а
элементы матрицы Сц (i, j = 1...4) коэффициенты упруrocти. В случае одно..
родных тел с характеристикой трехосной ортотропии выражение (4.8) принимает
вид
Еу
1 VXy vxz
О,
Е" 'Е Ez
у
1 VZy
Еу Ez О
E О
1
t"
ах
(1."
ау
(1.у
+t
)
(4.9)
Ez
(Jz
«.
Уху симметр но
а ху
Тху
()
880t 0IIII8 .....
... ....
rдe Е ........ модуль Юнra; " коэффициент Пуассона; t температура; oir---- коэффициент т рмиче
-скоro ,расwиренuя. Иидексы укаЗЫВ8lQI cOO't&et-ствующее направление.
< ПОСI<;()JIЫУ в случае, nЛОСК()ro иапрsvкениоro СОСТОЯНИЯ 6 % = О,. то выражение
(4.9) принимает вид
.... .... 1
')
E; xy
Ех Еу
1
е у ......
Е
)'
о
ах
ос х
о
ау + t. ау )
(4.10)
1
УХУ симметрично G "r XY
fII08I\ ...... Х у ....
о
соответствеИlIO
с:=;Со tt (1..
(4 1-1)
14
Уравнения (4.10) МОЖНО представить и в инверсионном виде
..... Ех " ХУ Ех
О'х О
I 'У;у" r n V;y
ау Ех О
n ( I n 'Y y)
l' ху симметрично G Xy .....
Ех t ОС х
&у t ОСу
n == Ех/Еу
(4.12)
УХУ
ИЛИ кратко
(I==О (E t «).
(4.13)
.
ДлЙ' изотропных тел, у каюрах:
Ех.::: Е}'== Е ;
VX}t . V ;
G.y=-G:: . Е ·
2 (1 +-'1)
( 4.14)
«х == !Ху==СХ ее
Выражения (4.8) и (4.9) приобретают вид:
е v о- O' J
х
I
Еу v I О О'у + (х t 1
Е I
У. у О О 2 (1 + "1) l' х у (} (4.15)
йх I "1 О е I
.
"у Е V О 2у ;E«t I
.
I '12 О О 1 . v } "1'2- О
l' "У , 2 Уху
При ИСКJПOчении напряжения или перемещеНИЙ получаются дифферевциаль---
ине уравнения перемещений:
л J + "1 Fx,
L.\ U + (u _ + v У ) Х 4""""'" == О
I .., ,А " G \
(4.16)
1 f. "1 F
v + 1 v (u, х + У, у), у + =: О )
соответственно для напряжений
(ljx+Ij).) (I + v)(Fx, х + F У, у) =-=0.
( 4.17)
175
Если составляющие силы РХ и Ру выразить через потенциал сил и:
Fx==U.. х:,
Fy==U,y,
(4.18)
а напряжения 6 х и 4 у с помощью функции напряжения Айри и потенциала сил
в виде:
ах==Фt)')'+ u ;
о,==ф')')f+ U )
(4.19)
то вместо дифференциальною уравнения (4'.17) получаем биrармоничное урав..
нение
Мф+(l....v)L\u==О,
( 4.20)
в котором неизвестной является функция напряжения Ф(х, у).
Плоска5.1 деформация. Здесь составляющие деформации € Х' -И у ху не рав"
Hы нулю, а остальные ...... равны. Связь между составляющими дeqюрмации и пе..
ремещений представлены уравнениями (4.5) Если в матричное уравнение (4.9)
подставить е % = О, то получим
аа==у_ах+ Уа.,а..,......... EaCX:at.
(4.21)
Подставив (4.21) в (4.9), связи деформаций и напряжений в случае плоской
деформации получат вид
... -- ....
1 .
VXy О «'
&х О'х х'
E
I О + t. «' (4.22)
Еу fly )
Е; у
I О
Уху симметрично УХУ
О ху
... ...
rдe
Е ' Ех ,
х..... t
1 Ех у: х
Ez
Еу
У ух + V zx vr.y Е
z
2 Еу
I VZ'E
z
Е ' ..... Еу
У"'" 1
Еу 2
I v zy
Ez
(4.23)
У '1Х ==
,
t1 х == t1 х + Vzx t1 l
)
,
,
t1 у == «у + V zy Z.
176
Если речь идет о изотропных телах, то с введением обозначений:
" Е
Е. == Е у == Е' == ·
I y2
,
,
v ху == V
v
I v \
(4.24)
, Е.
Оху:: о==
2(I+v)
, ,
«х==«у==«' «(I+v)
выражение (4.22) становится
1 .
v ,
е х . О. ах «х
Е. Е.х
. t (4.25)
y О + t.
е у 8 , ау «, .
Е, Е у
О О 1 О
У., Тху
G
дифференцизльныe уравнения по перемещениям u и v имеют вид:
А 1 ) РХ О .
u + (u . + v У Х + == f
1.....2" ,А ,. G
l:;. v + 1 (u ]с + v У ), У + Ру == О )
1.....2" ' , G
(4.26)
а по напряжениям
1
l:;. (а" + ау) + I (Fx. х + Fy. у) ==0
....."
(4.27)
с контурными условиями:.
РХ==С1Х cos (п, Х)+Тх)' cos (п, у) ;
р}'==Оу cos (n, У)+Тх, cos (п, х).
(4.2&>
Дифференциальное уравнение (4.27) с учетом выражеНИЙ (4.18) и (4.19)
можно перевести в альтернативную форму
ААф+ 1 2v AU==OJ
I ......"
(4.29)
rде Ф(х, у) неизвестная функции напряжения.
177
Из сравнения coorueТСТ1iyIOЩИХ выраж.ений ПJЮCкero. напряжений и плоской
деформации, например ураввеИИЙ (4.15) и (4.22), (4.[6) и (4.26) и друrих)мож--
НО сделать Bывд,, что от выражений плоскою напряжен'ия можно перейти к со--
ответствующим уравнениям плоской деформации, если в них на место коэффи--
циента Е, v и d.- подставить Е, v' и d.'. Последние определены выражениями
(4.24). Это't Bывдд будет использован в формулировке мкэ. Все рассмотрения
будут oтHeceны к плоскому напряженйЮ, а для решения проблемы ПЛОСКОЙ де--
формации вместо Е, v и rJ- необходимо подставить только Е, v' иd-'.
4.2. МЕТОД ДЕФОРМАЦИИ
Треуrольный элемент с узлами
вершинах треyroльнИ1tа. треyro.льиый эле--
мент, приведеиный на рис. 4.2, с узлами 1, 2, 3, находящимися в вершинах тре--
уroльвика, показав так, что
eKcы 1, 2, 3 следуют в направлении против ДИН--
жения часовой стрелки.
1
у
х 2
Рис. 4.2. ТреyroльНЫЙ элемент с У3JIами в верШИIl8Х
в качестве ОСНОВНЫХ неизвестных в узлах принимаются составляющие пере--
мещевий и и v, так что в узле t вектор неизвестныx
[ о. J
Чi ==
J
У а
(4.30)
а вектор перемещений во всех узлах треyroльиика
q
[::J'
(4.31)
коиечный элемент формы -треyroльника с узлами в вершинах йМеет шесть
внешних степеней свободы ...... по два в каждом УЗJIе. ДМ составляющих переме--
118
щений u и v в элементе можно предположить линейные изменения или в виде
полинома с шестью и еизвестныии коэффициентами, т.е.:
U== tX l+ 0t 2 Х +«ЭУ ;
V== .+ 2Х+ ЗУ.
(4.32)
I
УравиеНИSI (4.32) MOryT бнть выражены в матричной форме:
_==А«) .
rде
u==[:J;
[1 х-у О О о],
А= 1 '
О О О J х
CI Т == (<<1 (', 2 \
«2 «) зl ·
(4.33)
(4.34 )
Если уравнение (4.33) дано для точек х, у, совпадающих с узлами 1, 2, 3, то
[ I Х. у i
qj "" о о' о
; J}
соответственно
Ч==СCI J
(4.35)
<>
rде
1 Х 1 Yt О О О
О О О 1 Ха У,
I Х 2 У2 О О О (4.36)
с==
О о о I Х 2 У2
1 Х .} У) О О О
О О О 1 х з УЗ
Из уравнения (4.35> можно опреДeJIИТЬ неизвестные КОэффlЩИеНТЫ i и)1i
(i = 1, 2, 3) в зависимости от перемещеНИЙ в узлах, т.е.
CI==:2C I q ),
(4.37)
rдe c 1 обратная матрица
119
а, О 32 О 3", О
Ь. О Ь.. О Ь з О
1 с, О С 2 О С) О ( 4.38)
c I == 2
О а. О а 2 О аз
О Ь, o b z О Ь з
О C 1 О С 2 О С З
в выражении (4.38) детерминант l-IЗТРИЦЫ С имеет вид
I х, у,
2А:: 1 Х 2 У2 )
I х з Уз
(4.39)
который равен ДВОЙНОЙ поверхности треуroльника 1, 2, 3, а учитывая аl' 81' Cl,
выражения БУДУ1':
Rl :::Х2 уз хз Y2.
Ь. ==У2 УЗ
(4.40)
Cl ==ХЗ Х2.
Остальные коэффициенты в матрице c l получаются циклической пермута..
цией индексов 1, 2, 3.
Подставив (4.37) в (4.33) .и учитывая матрицу (4.38), получим
I! х у О О О] I а. О 82 О а О U.
о== 3 ,
О О О I х У 2 1 О Ь 2 О Ь) О V.
С 1 О С 2 О С) О U:!
О а. О 82 О аз v 1
О Ь 1 О Ь 2 {) Ь З U З
О С. О С 2 О С 3 V Э
соответственно
.0 == [ al + Ь. х +С 1 у О а 2 + b z х +С 2 у о
2 d О 31 + Ь 1 Х + С 1 У О а 2 + Ь 2 х + С 2 У .
аз+Ьзх+сэу О J
о аз + Ь з х + с з у
U.
. (4.41)
v
1
u з
v 3 ....
180
Выражение (4.41) кратко можно представить в виде
u==Nq )
(4.42)
rде N матрица интерполяционных функций
[ N.
N==
О
о N О
2
N. О N 2
3 эJ
( 4.43)
с элементами
1
N.::: ( a. + Ь. х+с. у)
I 2 I I l'
i==1,2,З.
(4.44)
Как видно, функции N i представляют линейную интерполяцию поля переме
щеflИЙ. Подставив (4.42) в (4.5) и учитывая (4.43), устанавливается связь между
составляющими деформаций в любой точке элемента и перемещеНИЙ в узлах:
,д/д у
о
д/д У
д/дх
[:1
N.
N 3.....
д/дх
€ О
о
N 2 О N з
О N 2 О
О.....
q.
q2 )
(4.45)
· ..... Qз
соответственно
€==Вq )
(4.46)
rдe
....
Ь. О Ь 2 О Ь, О
1
В == 2 d 'о С. О С 2 О С Э
..... с Ь I С 2 Ь 2 С J 1') 3.....
(4.47)
матрица, получаемая в результате дифференцирования по отношению к выражению (4.45): В =
lJV.
Поскольку элементы матрицы В постоянны, то следует, что составляющие
деформации элементе также постоянны. По этой причине треуroльный эле
мент с узлами' в верШинах называется элементом с постоянными деформациями
(ЭПД/С Sn.
Исходя из выражения для определения матрицы жесткости треуroльноro э:ле..
мента с постоянной толщиной k получается:
k == JBTDBdV == h JBT ОВ dxdy== h d ВТ ОВ.
V F
(4.48 )
Ма1'.рица Д = [d;], с помощью кО'Ж'орой устанавливается связь между cocтaB
ляющими напряжение и деформаций, представлена выражениями (4.12) для op
181
тоroнальных или соответственно (4.15) для изотропиыx тел. И в ТОМ и в дру--
M случаях она выrлядит следующим образом:
....d o 0'2 О
(4.49)
)) ;:; <.121 (12'- ()
О О d 3)....
...
в целях более простоro вычисления элементов матрицы К, которая может
декомпоноваться k--блоком рsща 2х2,
...
k l1 k l2 k JЗ
k::c k 21 'k 22 k 2З .
k)l k З2 k
. 3 J...
Матрица В будет
(4.50)
8::=(81
82
B ] )
(4.51 )
rде
"'Ь. О
I
1
B i == 2 О Cj
...Ci b i ... i == 1, 2, з.
(4.52)
Таким образом,
k,.:: BtDB j h &. i, J 8== 1,2, 3.
_ _' ,
(4.53)
Подставив (4.52) и (4.49) в (4.53), после выполнения умножения получим
k.. == [ b i dll b j + C i d зз С; b i d 12 с; + C i d эз bj ] .
1) 4.1 Ci d 21 b j + b i d=,з С) c i d 22 Cj_ + b i d 33 b j
(4.54)
в случае плоскою l.Iапряженноro состояния, коrда матрица Д дана выраже--
иием (4.15) вместо (4.54>, получим
k.. == ЕЬ [ b i bj + C'.i Cj
1) 4 ( 1 '/2 ) '} С. Ь. + g Ь. С.
1 J . 1 J
I Ь. с. + Q с ь. ] 1 '1
1 J &J I J . Q ==
, t" .
С. с. + Q Ь. Ь. 2
1 J tI . J
( 4.55)
Силы в узлах)вследствие внешвеro наrружеиия можно определить из выра--
жения
Q==.(NTFdV+ j'NfpdS.
v s
182
Таким обраЗОМ,вследствие объемных сил РХ и Ру имеем
N 1 О
О N 1
Q == J NT [=:] h dxdy == h J N 2 О [=: ] dxdy. (4.56)
О N 2
N з О
О N
)
При РХ = const и Ру = const из выражения (4.,$6) для сил узла получим
Qi == [ F Х ] h J Ni dxdy == [ F.Jt ] ,Ь / .. (ai + b i Х + C j у) dxdy.
Ру Fy .... , "
F
(4.57)
Если координаты х и у измеряются по отношению к центру тяжести треу"
roльника, поскольку
r j '
) х dxdy ==. у dxdy == О )
}-' f'
(4.58 )
то выражение (4.57) будет
Qi== [ QX ] == З.i [ Fx ] == [ Fx ] .
Q" 2 F у 3 F у
, . -
\
Из выражения (4.58) следует вывод, что общие объемные силы в элементе в
направлении осей х и у делят я равномерно на три силы в узлах, направленные
по осям х и у. Напряжения ВЫЧИСЛЯЮТ по выражению (4.13)
«==D (E tcx)==DBq Dt CI==Hq tD (х
( 4.59)
I'JJe
}'
. d ll Ь 1 d J 1 С 1 d 11 Ь 2 d 12 С 2 d 11 Ь з ,d l2 С )
Н== .
d 21 Ь J d 22 С 1 d 21 Ь 2 d 22 С 2 d 21 Ь) d 22 С)
..... 33 С) d зз Ь. d зз С 2 d зз Ь 2 d эз С З . d зз Ь з ... '
(4.60)
Треyroльный элемент с узлами в вершинах треуroльиика прост и удобен для
практических расчетов. Изменения перемещений в элементе ...... линейные, в то
время как деформации и напряжения...... постоянные. НепрерlJlВНОСТЬ перемеще
ний на rpаницах между отдельными элементами обеспечена, но не существует
непрерывность (континуитет) деформаций. Коrда речь идет о проблемах с рез..
ким и изменениями деформаций или напряжений, необходимо применять эле..
менты малых размеров или большее. число элементов, 'Что является основным
недостатком этоro метода.
183
Пример. Консол ная опора (рис. 4.3) испытывает равномерно распределенное наrpужение Р по
высоте Н. на свободном краю опоры. Сеткой конечных элементов, показанных на рис. 4.3, необходи
мо определить перемещения и и v в ее узлах, а также реакции в местах опирания.
p
t х
. -::' ф >-.:)'
..):- ..
.. ,;,:
. ,; .. ..; ... ..
< ,
, у,
L= 12."0
4
l2 p
10
h
:.;,
,!'
00
II
:I:
1
J) =......
з
"t'
с
.
Рис. 4.3. f'e()MeтplUl опоры и сетка конечных ЭJIемеНТО8 J(ОНСОJlЬНОЙ ()п()ры
в этой сетке находится 12 треуroльных элементов, которые всеrда имеют одну из двух позиций
(рис. 4.4).
Исходя из выражения (4.55) с учетом (4.40), для матрицы жесткости этих элементов:
Ь 2 О b2 'J аЬ О vab
Ь 2 ab b2 ' ab О
k l == ЕЬ Ь 2 + а 2 ab(y+ ) а 2 vab
.
4 4 (1 у 2 ) а 2 + Ь 2 ab a2
a2 О
..... имметрично а 2
184
... а 2 О О ab a2 ab
а 2 'J аЬ О уаЬ a2
k lI == ЕЬ Ь 2 О b2 уаЬ
4 (1 ,,2) Ь 2 ab b2
\ Ь 2 + a2 ab(yJ+ )
симметрично а 2 + Ь 2
в конкретном при мере ДЛЯ i = 1/3, J3 = 1/3, а = Ь получим:
3 О 3 1 О l""
I 1 1 l О
k I ::: 3ЕЬ 4 2 1 1
16 4 1 .....3
1 О
.... симметрично 3
....
1 О О 1 l 1....
\
3 ....1 О 1 3
k ll == 3ЕЬ 3 О з 1
16 1 1 ......1
4 ....2
симметрично 4
....
Матрица жесткости системы конечных элементов на рис. 4.3 имеет следующую структуру:
""'К 1 1 К 12 О К 1 .. К 15
К 2! К 22 К 2Э О K 2s К 26
О К Э2 К эз О К эs К Э6
К... О О К44 К.. 5 О К 41 К48
K S1 K S2 О KS4 К, 5 К, 6 К57 KS8 KS9
К'2 3 О 5 Кб 6 О О К б9 .
К==
К74 О О К77 К78 О К 710 К 711
К84 K 8S О К8? Каа К89 О К а11 K I12
К'5 К'6 О К'8 К'9 О О К, 12
\ K 1Q7 О О К 10 10 КАО 11 О
К В7 К 118 О K 11 10 Kltll КВ 12
K J28 К 129 О K I2 11 К) 2 12.....
185
у :1
bl== b Сl ==0
Х Ь 2 ==Ь C2== a
J
а 2 ьз==о сз==а
у
1")
1-
3
. .", .
...о
х
ь 1 ==0
Ь 2 ==Ь
ьз=== ь
Cl== a
С2==О
1
а
сз==а
Рис. 4.4. Место ЭJlемеитов в сетке lCонечных элементов
Элемецты (блоки) этой матрицы tюлyчаются сложением матриц жесткости элементов способом,
КОТОРЫЙ описан выражением (2.17). Так, например, для блока К44 имеем
К, s :::; K I + K 2! + K ) + K + K 7 + K 8} ==
==[ ]+[ ] [ ]+[ ]+[ ]+[ ] Зl ==
== 3 ЕЬ [ 16 ..... 4 ]
16 ....4 16.
После вы:исления всех блоков K ij О, j = 1...12) в матрице системы получим следующую сис
тему уравнении:
I fIt · I
,.. >. ,.. ,.. '"
IC .с 8с : Q с> О с> Q Q с> С С с> с> с> О О О О С
r А: А: "':
I
+
I с!с . . I
с' Q Q О Q Q Q с> О Q Q Q Q Q Q Q О N () о N
I I
с. .с
\с) Ш
I ('f")
u
1
.
. о О ... ... ... ....
:i ... .. >" '"' ,." ... >... v'e '" . 10 ..... ... . > 01 01 ... ... ... ...
I > :::s :J >I;::S :::s > :::s > ;:;s > :::s =' > :::s > =' > :s > ,
186
I cf') .ql
N .... .... ....
I 1
N cw') .... ...
I I I
N N N .... N 00 .... f"\
J I I I j
N N .... .... QO N .... ....
I I I I J
.... .... N . ...
I I
.... N .... ......
I I I
N ... ... N \о N 00 ... ....
I 1 I I
N tII\ ... N N 00 N ....
l I I I I
м N М \о .о N \с N М ,...
М I I I .... I I I
I
м \о N М N \о N N \о М N
1 J I .... I I I I
. м 00 м \о .... .... ,..,
i.... J I I
.
. 00 N N М м .... N
:м I I I I
(" ... I м со
j ... r-8 \о I .... ....
I : I
. \
.
N cf'\ . 00 r-'
.
I I ... , ("'8 N I м ...
.
. I I
.
.
.
м N : м \о
N f :м \о "I:t \о I N М N
" . I I J I
.
\о М . М М
.
М . М \о \о N N
J . I
I :м ..... I I I
: 1
.
.... : с'" 8 QO М r-I
I .... .
i I .
м .... М N М f"'\ N
I 100 I I I .... I
_.. ....... ..е_ .................... .. .. .......... .........................-.... - .. .... ... .. .........-. .......-- ...............
.
.... м N . . ..... .....
.
I I !
..... -..:t М м .....
I I
..... м М 00 ..... м f"8 М {"'8
I I I I
.... . ..... 00 1'" ..... ..... \о "8 М
i I I
..... м .... .... t"8
I I
.... м м r-I
I I
Система уравнений сетки конечных элементов написана так, что в первую очередь ПОЯWlяются
I уравнения для узлов, в которых известны перемещения, а затем для узлов, в которых необходимо оп
ределить перемещения. Решением этой системы уравнений (K 2 2 q 2 = Q2) получим значения пере"
мещений в свободных узлах:
187
Узел Ehu/p Ehv /р
4 16.220 20.548
5 0.384 ..... 17.520
6 15.387 J9.685
7 25:777 51.552
8 0.139 49.348
9 25.146 49.221
10 29.296 89.1 58
I I 0.432 87.344
12 28.218 86.728
После этою из первой rpуппы уравнений определяются реакции опоры:
--R x1 1 3 1 2
RYI I 1 2
R 2 3 .....6 2 2
== О
R Y2 16' 2 .....2 2
R хз з I
R 1 I
__ у3...
\. 4,..
J2
-- R .... I 1.902
х'
R Y1 0.674
R X2 0.005
.... Р
R Y2 0.944
R хэ 12.159
R 6.388
у3 ... --
.... ... 16.220....
..... 20.548
0.384
р
17.520
J 5.387
J 8.685
..--.............. .. -_.._..
....
Из сравнения полученных результатов с точным решением [4] для вертикальноro перемещения
в узле 11 на свободном конце консоли
v== 4P ( ) 3 +(4+Sv) Р ( !. ) == 134.80..E.
ЕЬ н 2 ЕЬ H Eh
'(Р==Нр)
видно, что полученное решение в достаточной мере отклоняется от точною. Это значит, что для по
лучения УДОWlетворительноro точною решении необходимо принять значительно оольшее число эле
ментов.
Треуrольиый элемент с узлами в вершинах и серединах СТОроlf. Элемент в
форме треуroльника с шестью узлами, размещенными в вершинах и серединах
188
сторон треуroльн ка, имеет 12 степеней свободы, по два в каждом узле. Основ...
ными неизвестными являются составляющие перемещений в узлах u и v, на..
правлениые к осям Х, у (рис. 4.5).
1
U2
у
2
Рис. 4.5. ТреyroJlЬНЫЙ ЭJlемент с 12 ью степеними сJЮOOды
Составляющие перемещений в узлах элемента MOryт быть выражены с по..
мощью вектора
..... [ 0_ ]
q== ,
V n
(4.61)
rде
-U 1
...
У,
О N ;::: · } v n ;::: ·
.
(4.62)
....U .... y
Вектор перемещения q, в котором в, первую очередь, расставлены составля..
ющие перемещений и, а затем v для всех узлов элемента, введен для удобства
ради упрощения операций, необходимыx при формировании матрицы жесткости.
Позже этот вектор трансформируется в вектор q, в котором состаВJlЯющие пере..
мещений в узлах расставлены обычныM порядком и, vi (t = 1,2...6) с помощью
матрицы r, т.е.
q == r q)
( 4.63)
189
1 О О О О О О О О О О О
О О 1 О О 0'0 О О о-о о
· 000010000000
000000100000
000000001000
О О О О О О О О О О 1 О
r== о 1 О О О О О О О О О О
О О О 1 О О О О О О О О
О О О О О 1 О О О О О О
000000010000
00.-0000-000100
О О О О О О О О o o о I
.... .
(4.64 )
Вектор перемещений в произвольной точке треуroльника
u [:J'
(4.65)
а ero связь с вектором перемещения q имеет вид
u==Nq )
(4.66)
rде N ...... матрица интерполяционных функций
fN- О ] ... l Nl N2 N з N 4 N, N, О О О О О О I
N == Lo -N == о о о о о о N. N 2 N э N. N, N6 .
Интерполяционные функции Н; (1 == 1...6) даны в выражениях (3.67), а их
характерные диаrpаммы показаны на рис. 3.26.
Составляющие деформаций определяются с помощью составляющих переме--
щений соrласно:
.
t" == u, х == N, Li L i . х U N ,
Cy==V,y==N,Li Li,y 'а i
Уху = u, у + v." =- N. Li (L i , у u n :+- L i , х ,...),
( 4.68)
Так каК из выражеии (3.40):
1
L. == Ь.
1, Х 2 t ,
L = С . I 1 2 3
i У 1 . ==. . .
· 2 ' 7
190
и щюизводиые Nатрицы N по координатам L i :
,....
N. La 4 L. 1 О О 4L 2 О 4LJ
N.L z О 4 L 2 1 О 4LI 4LJ О :;:: Ч') (4.69)
.... N. L.. О О 4Lj.......t О 4L 2 4 L I
!!1"18
то уравнения (4.68) можно редета ить так:
I LT l Y ·
Е" == 2 v "n,
I ·
ty== eT'l'Yn I
2А
"' ( == ( eT 'Уа +hТЧ'v )
ху 2 А n А
(4.70)
IJ)IИ сжато
c== r :1'\Y :тчr [ :])
2d
.... с т 'У Ь т 'У ...
(4.71)
{'де
Ь.... cll
I
Ь== Ь 2 с== С 2
Ь 3.... СэJ
(4.72)
векторы, элементы которых определяют по выражению (4.40).
Выражение (4.71) представляет собой известную форму связи деформации и
перемещений в узлах
Е == B q )
(4.73)
rде
Ь Т '1' О
I
B;;;:: О сТ'У.
,2А
...сТ'У Ь Т '!'....
(4.74)
191
Подставив (4.69) и (4.72) в (4.74), после трансформации равенства (4.63)
матрица В получается в эксплицитном (открытом) виде:
.
1 I bl(4L. 1) О b2(4Ll l) О b.J(4L) I) О 4(b.L 2 +b 2 L 1 )1
В.... 2А о cl(4LI I) О l(4L.! 1) О )(4L) I) О !
cl(4LI 1) bl(4LI I, c (4L2 1) Ь2(4L t)сз(4Lj 1) bJ(4L) 1) 4(c.!L 1 +C t L 2 )i
! о 4 (Ь.. L + Ь 2 L..) О 4 (Ь) L. +: Ь. L.\) о ]
14 (Са L l +C 2 L 1 ) О 4 (с) L2+C L з ) О 4 (с.. LI +C 1 L з )
: 4 (Ь. Ll + b l L,) 4 (с) Ll +C l L) 4 (Ь) L + b l L) 4 (с) L. -t с. L..) 4 (Ь) L. + Ь, L)
.
(4.75)
в отличие от матрицы В у ЭПД (элементов с постоянными деформациями),
у которых все элементы посто янны , элементы матрицы (4.75) ...... линейныe фун'"
I кции координат L i (i = 1, 2, 3). По этой причине 'треуroлъный элемент 'с узлами
в вершинах и серединах сторон часто называют ЭJlементом с линейнЫми дефор'"
мзциями (ЭЛД).
'Если в выражение (4.48) на место Д и В .подсrавить их значения соrласно
уравнениям (4.49) и (4.75), то получается выражение для матрицы жесткости
элд. о'тдельныe интеrpалы, появляющиеся в этом выражении, имеют следую...
щие значения:
. .,..
J (4 L j J)2 dF == . .
F
J(4Li 1)(4Lj l)dF== /3 iif:j;
F · )
(4.76)
J (4 L i 1) L i dF == / 3 ·
F
.
r (4 L. 1 ) L. dF == О
. J I
F
. .
I ;t J .
При этом матрицу жесткости элемента можно получить непосредственной
интеrрацией и выразить в форме
K [ А В ]
4 ВТ С )
rде
192
А
--- -- - .-..--------------i ----- --- - ---- - -- ---- - ---- ----------- --------- --- ------ ------- - ------- --- -- - --------.------ -------------- ------- .--------------------,
: ; 1 ; l J : J
d Ь 2 _ d 2! (d. z -+ d) ). ! 3 (dll Ь. b z + i 3 (d.2 Ь. Ь 2 + 3 (d.. Ь. Ь з + i (d. 2 Ь. 8) +
.. I 3)81: 8 Ь I I : 3
: . .. 1: :
I I d I d Ь) d ) I
! !+ )J lal) : з аl z + ))8.8) ;+d))8.b))
- --...- --- --.-..- _.....--:.... ....... .... -----------..-----;--------------- -----.... -..--...: --....... ........ -- ---... -- ...---...-- ----- ,'" ------ --- ._...._ - .........--.....-i- .....--------- ---------...... ____е
: : 1 : 1 I 1 : 1
i d 2 d b 2i 3 (dZI 8. Ь 2 т i 3 (dZ18.1!.!+ i з (d21 8. Ь э + I (dll.a. 8з+
! 22 8. + 33 1I ! ! i 3
! ! -+ d J Ь. 82) ! + d J Ь. Ь 2 ) ! t- d J ) Ь. 8з) ! +d)J Ь. b J )
... ... __.... ...____ ..___. ______,__ ....... ...._....._______........ ____.. _.......... .............._____.........___________...____;___ -е _______ _..______________ _!'___..___________....___________
: i : t : I
, . I I
! d Ь 2 d 2 i i (d ll b z Ь) + i (d l :! b z 8) +
· + а ' d d) Ь I 3 I 3
! 11 2 ) 2 : ( 11 1 З) а 2 2 . :
j j ! + d J3 8 I а)) ; + d 33 а 2 b )
: ----- - - --- - - -- - --- - ---- -- ,- -- -- - ----- ---i ---- i----. ----- -------i- - i - - ---- ....---;--- --
! 3 (d z . 82 Ь, + I 3 (d zJ 82 8! +
d l 8 2 2 + d . p ь2 2 : I d Ь 8 ) : + d Ь Ь )
.. .. ; - ..) 2 3 ; .') 2 J
. :
: 2 2:
! d 11 b)+d)Ja) i (d. 2 +d,)J)a) Ь)
. .
,
симметрично
.. ........ ............ -...... .... ..---.-.. ----.......----............--........--........----.... --........-..---------.-.--.------ ----
. I
: 2 2!
i d.. Ь.) + d)J а) ! (d. 2 + d)J) 8) Ь)
. .
, I
, I
...-.... -..... ---.... ---- -----.. ... ---- i------.------------.. .. ---..
,
: 2 2
i d 22 а з + d JЗ Ь)
.
:
4 2 2
К, f "з[d ll (2 Ь. Ь J + Ь. Ь:+ Ь: Ь , + bi)+dзз( а,+а1 + 2 а. а , + а. а 2 ») ;
4
к, 10 == (d J2 (2 Ь 1 8) + Ь 1 &2 + Ь 2 8з + Ь 2 а 2 ) + d эз (а 2 Ь э + а 2 Ь 2 + 2 а 1 Ь) + 81 Ь 2 )] ·
3
к, ..::.! [d.. (Ь. Ь З + bl + 2 Ь: Ь З + Ь 2 Ь.)+d зз (2 а з + а 2 а. + а. а з +al») ·
3 J
.2 =а : [d 12 (Ь. 8з + b.8t + 2 Ь 2 а з + Ь 2 8д + d зз (282 Ь З + 82 Ь. + 8. Ь З + &. Ь.»)
К. 9 .. [d 2t (8.: Ь З +&1 Ь 2 + 2 &. Ь З + 8. Ь 2 ) +d зз (2 Ь. 8) + Ь. 82 + Ь: 8з + b 2 1iJ»)
4 2 . 2 ·
К. .0 =-3 [d. 2 ( &3 + &2 + 28. а з + &.&.:) + d зз (2 Ь. Ь) + Ь. Ь 2 + Ь. Ь з + 1>2)] I
к.. ...... [d 21 (2 &.: Ь з + &2 Ь. + а. Ь) + 8. Ь.) + d зз (Ь. 8з + 'Ь. 8. + 2 Ь 2 8) + Ь 2 а.)] i
к.. .2== ; [d22(2a2a3+ala2+a.a)+a )+d33(2b2b)+b.b2+b;b)+bl)] (
193
194
,...
I
I
f
-f-
,+
+-
J
,..
,...
"'о
......,.,
....
,.,.,
""о
+
"'.
--
..с
"'.
:=
JII8'
.
&i
ci
-а
+
.tJ
J:J
"....
J:J ...
.
.J:j
".
.tJ
...
N
N
"о
.....,
1
"'.
t'<8
Q
<:>
,...
....
«,а
,.,
"'.
-а
+
....
-с
+
"tJ
......"
Ir')
"'о
......."
i
I .
'r
+' I t +
..
..... "*' ... ,.... ..........
.&J "" ....
..... t'CS "". ... .с
J:j .... .... J:j t#"", со .
се .... ..t:J Q С .... .... .t:J
t#"". ,.., t#"", .... ,,". N и)
" ..., -Q . "'Q ff'O "'о
........ "'с ........ -с ......." 1:) "--" -Q
Ir') + Iff") + jf""; ,. I ..
+ 1 - +
..
.... ....... : . ".... r& ,.,
...., м
,.... J:J N ". .;t:J t#"". .tJ
.J:J ,.. N .l:J ". :с
<::> Q ,.... "'. Jj ,.., ,...
.... ", ,... ".. ". N ".
"'о "'о .... "'о ". -о f'f')
'-'" "Q ......" -о .....",. "'о ...." "'о
i + !t') 'I t t". I i +
I Т' I
+ I +
...
I
t#"", ff'O "... ;-. rl
./:) .... .о "', .о ,.. .с "'1
N c';j f"8 ". ".
"g N CI:S r. ..о ". t#"".
О С .. J:,
... "" N f"', .... ,., ".
-о ,.., -а rr. "о "", -'о И',
........". "'о ......" "'о "'о -......; "'о
I t IM 1- It"; ..l... ' . -t-
I I I I
,+ .f-. +
N ;-... N .... "... "...
,.., t'd ,... «1 ('Ij
<с....... J:j .... .с ..... .D ,., .о
I . cd JS' .l:J N ,...
N са t'I N N .о <::> с
""'" ..... ,... t#"". ", r.. t#"".
"'о tr. "'о .... -о И'. "'о
"'о ......" ......" "о ...." -о
I I- IM + I + IM i
I
+. .t I +
N -- ",..... ..... ........ ... ,....
.D ',... ....
.... .... ,.., r&
.D ... = .J:J ,.., = t'. С .......
.... .D .D '....,1
.... "". М "", "". ,.., "".
"'о '*', -Q t#"". "'о ". "'о '*'.
......" "'о ......" "'о ......,., "'о ....." -о
I + IM i 1м i Itf; +
I
It
=
.
!
I
I I
I .
I i .. .....
: 1" ... 1?
- J,.J I I "! }
. t I ' -о H '"
1", -- -_._, ш I_ _'___________ __I ш. .ш._I. ._.. .- .-I.- . _. . --- - _ш:_ 3
i t ; i I,s:; + I
1 I _ I I _ , i f I
I 1.. "' :t.. :
I ..; : ! .J -о +:
" i {... - + ..[
: ! · .,; Q....i
I , I I .о _,
I i I 00 I + + i
I : :. t
I -- - ---- -- ! -- - --- - -- ---..... i'- -""""" --------.-' I ---- ------ -.- ----- i ... --------, , -.1
'а .
. . I .
: ! i & + i
! i ! I ... i
I i - i ' 1 · "+", !
I t + .D I
I : : i :! ." '-:: f]r I
i i - 1 :l ' +
: : \.. t I N ..., ....,
I t :, ... I · " +.с'
, ,. "о :
: : I ..... " ;
. t t 1 . J:j.
i r f ! l + +i
: . I : t
. ..-. ......................---.... ... ...__.......-........----..._.......I - ......__...----_____.. _. & ....____..______..__.. .....----I
: I : ·
i t i + i
! ! ;" i
: i .с + !
: I .ё "',., :
, ",""Cl J :
I . + NN t
I I · M '"' !
I I -J ! +...1
: : -о c.tl
: 1 ....... N ",f"t '" I
t : ....., _,
: : i l tr) + + i
. . I I
: : I
I ------- ---- ----.! -------------------------- , ----............---...------.
': /
f ! +
r + I CI"
I &о CI i .
, ....D. +
-о :: -1;. i
+... + "1 ...
... .D" t ...
.D ,.., !
.D 'Т :. " f'f"j
! .
I
.--..--..------...----. .....-- . ..-..._----- ...--...---------
.
.
.
"'о
"-"
+
м'"
'"' нм
'"' .с
"о +
-+- "
"......J:J
М--
CI .D
+ +
о
Q..
1-4
со
5
+ i
.,r :
,
.JS мн .
+ :
,
М-- "" ,,",... i
.D '" .
....." ." + i
.. ... ..
1? .
..'" I .
.. .
.
. .
,
.t + +- I
I
,
n
V
195
4 .
I4 10 ==3 (d 12 + d зз ) [2 (Ь) аз + Ь ;! а 2 ) + Ь з а 2 + Ь 2 аз] ,
Il" 4 2 .. 2 ·
""9 11 ==3 [d l1 (Ь э + Ь) Ь 1 + Ь 2 Ь) + 2 Ь 2 Ь 1 )+ d)З (аз + аз а. + аз + 2 ад] I
К, 12 == [d t2 (Ь з аз + Ь з а,-+ Ь 2 аз + 2 Ь :! а 1 ) + d jз (аз Ь З + аз b l + а 2 Ь з + 2 а 2 Ь 1 )] ;
К 10 11 == : [d 21 (аз Ь З + аз Ь 1 + а :! Ь З + 2 а 2 Ь 1 ) + d зз (Ь З аз + Ь з а 1 + Ь ;! аз + 2 Ь 2 а,)] ;
К 10 12 == : [d 22 (a + аз а 1 + а ;! аз + 2 а :! а 1 ) + d ээ (b + Ь з Ь 1 +'Ь 2 Ь з + 2 Ь 2 b l ») ;
4
К.. 12 == (d J2 + d зз ) (2 Ь ! а. + Ь 1 а] + Ь] 8. +. 2 Ь з .8 з ).
3
Вектор Q сил в узлах, которые эквивалентны внешним воздействиям в треу"
roльнике, определяется по выраже1lИЮ (2.42). Так, например, в случае объем...
ных сил при наличии только вертикальной составляющей, отвечающей rравита...
ционной наrpузке, которая равна объемlЮМу весу v и постоянна по поверхности
треуroльника, для вектора Q получим
QXI ....L 1 (2 L, 1) О ... О ...
Qy, о L. 1 (2 L 1 I ) О
Q"2 L:?(2L2 1) () О
QY2 О L 2 (2 L 2 1) О
Qx L.,(2LJ I) О О
Qy" == h .r о LJ (2 LJ 1) [ ]dF 'Yh О . (4.78 )
"-
Q"4 ' 4 LJ L 1 О 3 О
QY4 () 4 l 1 1"'1 I .
Ox 4 L! L., О О
Qy () 4 L 1 LJ I .
Q).б 4 L, L., О О
.... QY6 О 4 L. L.1 I .
Из выражения (4.78) следует, что силы объемной вертикальной аrрузки эк..
вивален ны силам в узлах в центрах сторон, равных между собой, а сумма их
равна весу конечноro элемента. Подобным же образом можно определять силы в
узлах, которые эквивалентны начальным деформациям.
Прямоуrольный элемент с узлами в вершинах является одним из простей..
ших элементов, который применяется для двумерною анализа. Этот элемент с
196
восемью степенями свободы ...... по две в каждом узле в анализ плоских проблем
первым ввел д. Арrирис. На рис. 4.6 показан прямоуroльный элемент со сторо':'
нами 2а х 2в и обозначениями узлов и конценци:ей положительныx перемеще--
ний и силы В узлах.
1\
4 y,7I 3
Ь x,f
.
....
ь
j а I а 2
r
4
j
V,}, QyJ \
Uз, "хЗ
У4 , Оу4
U4, ОХ 4
u 1 ) О" I
'$i"" ,.:", 3
4 !? :; i:'<f' , \;.
. y ::: h> 'Ai:', < < ;;' , ' u 1 t О!' i
2-
У1 , Qy 1
1 О
V" l'
Рис. 4.6. прям()yroJlыIйй ЭJI м иr с 8 ью стеП lПIми сlюooды
Поскольку элемент имеет восемь степеней свободы, изменения перемещеиий
u и v в элементе можно отразить с помощью полинома, имеющею четыре общие
координаты вида (2.7), а затем после исключения общих координат установить
связь между перемещениями s элементе и перемещениями в узлах в виде (2.15).
Oд aKO рассмотрение этою элемента самое простое в системе естественных
координат f ' . Тоща связь между перемещениями u и v в элементе и переме..
щеииями в узлах устанавливается путем йнтерпол ционных функций, представ..
ленных выражением (3.73):
[ N 1
u==Nq О
о
N.
N 2 О N) О N 4
О N 2 О N) О
о ] "'u.---
N 4 . V, )
(4.79)
u..
v..
rдe интерполяционнwе функции
I
N i == 4 (1 + ;;1)(1 + '1J'1Jд, i == 1, 2, 3, 4.
( 4.80)
Связь между составляющими деформаций и перемещений в узлах дана через
матрицу В:
д/дх О
В== О . д/ду
...д/ду дlдх
r N1 . X о N 2 ,x О Nэ,х О N..,x О ... ,
N == О N." О N 2 ,y О Nэ,у О N..,y'
...N 1,1 NJ,x N 2 ,y N 2 ,x N э,у N ),х N.." N 4 ,x...
(4.81)
197
Дифференцированием функций N i по х и у, косвенно через t и , подставив
в выраженИе (4.81), ДfUI матрицы В получим:
1
..... ------ (1 .. ...) .. .
.
I
(I. 1) О
.
I
..... (1 f 11) ,1
.
I
.. . ....... (1 ; .,,) О
. '
в.1 о (I .. ) . - --- b l (1 + ). . . (1 i U I
4 _ Ь 'Ь
(t - . ( ';'(1--11) --}(I" f(l 1i) -i (1 . ) . CI ."4) (1 .;»
I .
L (1 н (.)
Ъ
.
1
.. (1 : 1;)
.
(4.82)
Матрицу жесткости элемента в случае nлоскоro напряжеиноro СОСТОЯНИЯ,
Korдa Д представлеио выражением (4.15) соrласно уравнению (4 48), можно леr--
ко получить в ЭКСПЛИЦИТНОМ виде:
,..,. + I '.... .... I I...J..... i 12.. t ,....'
.', I J I J I .,
+2(1.......20 +.,) ....(I . 1....2(1...',. ..CI.. ). 1--1('." ....1(1..... 12(1"".
.. .. .. '- .. - ...J... -- L -- ... -1....... ... f -&.... - .... ... - .... '7"'! .... ..
I .+ t 12-.. ... .... t .--.. + -
J I J I . I
J 2(1""''''.'''2 . 3 у) I.....I(I....,}.... --2'(& + '....(1.......... I .....'"i{J ...Jv) +(' "8 a
L. __.... _ , __ _ ...... __ ... .1. __ ......... -- ..... ... ..... ......, ......... -
4.. .+ I .2.... t .... 1. I ...2......
I t J. I 1)' 1,
. +2{1...... .........(1...) .....1.(1.......) .....(I....l.).( ....(1..".. I (I"'.
L ..... . ..!.. ... J. .... ... ,... 2 .... 1... .. ___ . !.....
..... 1....4.+ I ...2.
I ' 1 i. tJ I .
L + 2 (t... .... %(,.-1 -.). ... (I... ...a : 2 (1 +.. I ....(1 .). . .,
. ...............1. .L.... ...... ..... ...... .... ......, .... ....
,....... I ..., I
1, I J
I +,2(1.......). (1+v) I ..(1.......) -- (I...)
12 t 2
.L. ... ... ..... ..... -i ....... .... ......
...+ 14...... .
CllММCtpачно t I J J
.2(....v). ' (1--)'" .....2(1......-.
L ...... ......J. 2 ........ ............ __
t 4 -;' + 1 I
I .2(1....). I..!.(I.."
2
. '............. ... ... ...
,.8+
J. + u..:;v)..!....
k-.. .. .
' (1... w')
(4.83)
198
у прямоуroльноro элемента с узлами в вершинах обеспечен континуитет пе..
ремещений .Б элементе и на контурах между элементами. Изменение дилатации
f х является линейным по отношению к У, но постоянным по отношению к х.
ДЛя дилатации f: у имеет силу обратное: линейuая по отношению к х; и по
стоянная по отношению к у, в то время как СКQльж:еlfИе ху ......... линейное с
учетом х и у.
Хотя этот элемент весьма проет и дает удовлетвОРИТeJIьиые результаты, он
имеет недостаток, касающийся исполнения услов.ий равновесия. Если выражения
для iIеремещений (4.79) подставитъ в ОДнородные дифференциальные уравнения
равновесия (4.16), то получим:
I+v .
(у 1 ..... V 2 + v э V .) == о f
4(I v)
(4.84)
I+v
( U U 2 1-- U U ) == о
4 (1 v) I 3 4 1
Последние MOryT быть выполнены при условии иl = и4' ,и2 = из, Vl = V4 и
V2 = VЗ. В общем случае уравнения (4.84) не MOryT быть выполнены, так как
отступление этих уравнений от НУЛЯ t пропорционально деформации сдвиrа.. Для
устранения этоro неДостатка о. Зенкевич и Ченr lЗ] п едложили расширить
интерполяционные полиномы еще на два члена: d.sx и.,/Зsу2:
... .,, ' . _ " . .,...
( ) 2 ·
U Х, у := «, '+ «2 х + «3 У + «'4 ху + «" х ,
'-
( 4 .85)
',.
v(x, у)== A + 2 х+ 3 у+ 4 ху+ 5 у2.
... .!,,
"'......
Дополнитель ые общие координатыJ.. s иfis, которые больше числа восьми
степеней свободы элемента, определяются таким образом, что однородные диф '1 V
ференцизльные уравнения равновесия будут удовлетворены. J
в вариационной формулировке эти величины определяются из условия cтa
ционарности потенциальной энерmи (dП / doLs = О и dЛ / = О) или введе-
нием дополнительноro узла, например в центре тяжести элемента, перемещения
KOТOporo исключаются из системы уравнений способом конденсаци Матрица
жесткости этоro элемента, получаемая таким же способом, как и в пр(Щыдущем
случае, имеет следующий эксплицитиый вид: '
, I
l' (,.,'\
'.... \, I <' . ' _ ,
; j
,< "-
1
"
199
,.-.....
\с)
00
.
......."
"
-----.... I ...... .. : ....-..--.- --- ...... .. .......
: --.
, l'
. I
. :
i :
: +!
i м !
: <i
{: I i
. .
. - - ! !. ------: .---.--
: :
м:; ! ""'!
."!I'\I . ....
: +1
I : : :
I · .-
.. 1 : :
1. · I
! ! < !
U: - ! I
: :
---щ. -Ш -i ------
+!
:
I -<!
i
!
lJ.4
I
=
+
<
I
I
: i
: , '
CQ: I
I : , '
: tl..i
Ui I i
\: :
I I
.0-.--- o._o . __
=
+
.
,
. -...----..
,
,
,
I
!
=.
I !
! (.t..
U i I
..........---.
, ...
!
! =
: I
:
!
__.I--------
.
.
:
=:
I i
... .
I :
м1
U!
I !
=
I
I
u
I
I
I
t5
=
u
.........
d1 ! --- _. . ;S-i ---
+: +:
. .
. .
. .
. I
. .
": Lt.. :
<! ..,.!
: .
----: -----;"--'"':-
: ,:
: I
: CQ i
, :
: +:
: ti :
I < .
: !
i i
-.-. . - .----
.
:
CQ!
+.
..
I
<
I
I
<
I
о
==
Е-4
Q)
=
u
I
I
м
U
.
,
,
I
I
.
I
,
,
I
I
:
I i
I
---- - i------
м
=,
+
I
,
,
I
t<:
<1
,
I
М
=
+
м
<
u.
I
CQ
+
(J
.с
UJ
п
200
,....
...
I
....
......."
Q
00
....
rдe
30у 2
А=60 + ; 8==22.5(1.....");
I v
с== 30 30 ,,2 . D == 22.5 (1 +,,) ;
1 '.'
( 4.87)
F == 22.5 (1 3 ,,).
Решения, которые получаются с этим элементом, значительно быстрее кон..
верmруют к точным решениям, чем решения с предЫДущим элементом.
Пример. К рассм()трению ВЗЯТ тот же пример-, чт() и на рис. 4.3, ceТICa конечных, элементов KO
т()роro показана на рис. 4.7. Се>rласио выражению (4:83) ДЛЯ матрицы жестхости
....s.333 2. ..... 3.333- О 2.666 2. O:666, о-
S.Э33 О 0.66 2. 2.666- О з.зза 1
5.333 2. 0.666 О 2. 2..
ЕЬ s.з)) а з..ЗЗЗ 2. 2 666' '..
ke8 10.666 '.33) 2. .... 3.333,
5'.333 О' a :
I
симмеТРИЧНQ, ".3-3 .......2:.
,. ).].)
201
6 9 12
Ф @ <IO
00
11
2 5 8 11
N
CD Ф CD
1 4 7 JO
Зх4=12
Рис. 4.7. К()НС()JlЬНаи ооора. Сетка lC()нечных ЭJlем IIТOВ
Матрица жесткости системы конечных элементов (см. рис. 4.7) имеет следующую ,структуру:
rк. 1a К. 2 О K J4 К I ,
К 21 К 22 К 2э К 24 К 2' К2'
О Kj2 Кээ О К Э5 К и
К 41 К" 2 О К. 4 К.$ О - К47 К.I
K S1 K$ Кsз к'54 K,s; К" К" к." K's9
IC.2 К 6! О К,, К. О К" К"
K
К,. К 7' О К 71 К 7 . О К 710 К 711
Ка.. К'5 К" K 7 1<.. К., К.. О K aJ8 К а12
к" к" О к... К" о tl1 K't2
K J f)7 К,О, О K JolO Кнн 8 О
K Jt7 Kt.. K aJ9 K J . tJO К. 111 К II12
K J2 . К I29 О К 1 %I t К 1212
При вычислении известным способом элементов этой матрицы с пом()щью матрицы жесткости
<>тдельных элементов п()лучим систему уравнений
202
*
+
се
Iш
. . . . .:- . . . . . . . .. . . . . .. . ... - 1
I
I :1, z , r .. I , , , I . - 1: J
- - , .. , , ,. , . . ,
r . . . .
I ! 5 I
.. .
, I . . . . . . J .. f'i
...
... !
... "
I .. I . . . .- .... ..
.. ! ! 5 J =1
---
t . . .. .. , . I . . I
! .. ! J I !
.
I I I . & .. . . .
! ! 1 :; 5
. .. I . . . . I . .
:= !
..; 5 .. !
I . I .. . . I . . .
.. ! ! S I !
J I . . . . I . . . .. t . о
! q ! tII\
.. М --
... tIt ..
I I I . . . . о t " t
... ... . . - .
. ! ! !
{.. ... !
.. ., =t ..
: I i " I . ...
I! . . . " . .. I . - , I
... ! q 1:1 ! ! !
. .а
I I J J о I " . .. . J .. I f
ос .. .. ... . . I
! ! ! I ! -
. ! ..
!. ...
.-. 1 . . . .. . . . . . I
}=1 J == := !
1-- .. ,.( ..
= I .. I .. . . .. . .: . . . I . I t
! I I
.. !i . ..
, . . ,- . . I о о . .. . . .
! .. 1 .... I ! :t
.., ..;
. f I .:. . .. - . . о t .. I .'
. '" 51 ! ! '" !
... .. ..
. I ., .. I i о I ;:; .. I J
. . .. о . . - .
! ! . !
.. .j::; ... ..
. .. ., .. .
I I I I .. I .. , . J I
. .. ... о . .. о .
I I !
. .. ! s! ... ...
. о " I . -1- . . . о о , .
""' ! I ...
... ... ..
...; .... '"
10 '"'! ..
, о I ... О .:.. . .. . . . t о I !
-....- .............-..-........ ...... ........ ....
'"" !
... " ...:
.-. .,: I
. о . I I . .. .. . . о
t
I ...
ff\ . . ...
.. ... -'
о о . о -' · i. . I .. I .
... .... ! !
... ! 71..
..; = ..
. ! . .. . I о .- . f
.
. ! ! 1.
&.. ..
. , i .
.. . .. . .- I о . f
... ! ! " !
... .
" .. . I . .!. . I
!... 1
... : ...
... :... .. ..
r .. . . - . ; t . I I
,
203
Решая эту систему уравнений, получим перемещения В свободных узлах сетки:
УЗЕЛ Ehujp I Ehv jp
4 25.801 25.905
5 О 21 .342
6 25.80 1 25.908
7 42..052 69.012
8 0.008 67.527
'9 42.041 69.021
10 47.525 124.182
I 1 0.006 123.415
1,2 '-1 47.4g4 124.073
Пoc.iIе. этоro. определяют I реакции 'опоры:
ц.Хl ..... 3 . 3 3 О 2.66 2. О О 25.801....
R .> ,о .0..66 2. 2.66 -о О 25.905
.yl,>
, -ц.х2 .1 2..66 2. 6..66 ,о ..... 2.66 2. О
....... I О
R .J 0..66 2. 2 ,6{) -о 1.33 2. 2.66 i ..... 21 .342
у2 !
Rx э iO ,о .2.66 ., з.зз О 25.801
.. .
R ,О О 2. 2.66 О 0.66 1 25.908
... ' \ Р
..,.......J )
J2
RX1 12.064....
Ry.. . З.716
R«2 .0
р .
R 0.<) I О
R«3 12.064
R 3.716
... у.э
Как ВИДНО, полученные результаты перемещений в узлах значительно ближе к точным значени
ям, чем те, которые были получены с помощью эпд с тем же общим числом степеней свободы
204
Элементы высшеrо ряда. Наряду с элементами треуroльной и четырехуroль
ной форм с постоянным И линейны:M изменениями полей деформации в анализе
'плоских проблем примеияются и более сложные элементы, у которых изменение
деформации в элементе квадратное, кубическое или еще более BHCOKOro ряда. У
этих элемеНТОJl ряд полинома, используемый для интерполяцио ых функций, с
помощью которых аппроксимируется поле перемещения, также увеличивается, а
вместе с ним возрастает и число степеней свободы элемента.
Из класса треуroльных элементов применяются элементы с квадратным и
кубическим изменениями поля деформации. У элемента с квадратным измене
ни ем составляющих деформаЦИЙ для интерполяционной функции, с помощью
v
которых аппроксимируются перемещения и и v, используется полныи полином
Tpeтbero ряда с десятью общими координатами, так что элемент имеет в целом
20 степеней свободы.
Соблюдая условия компатибильности на контурах между элементами, пара
метры перемещений, отвечающие этим степеням свободы, обычно принимаются
одним из двух способов, показанных на рис. 4.8. В обоих случаях элементы име
3
о U, V
2 U, У, U'Xt U", V,x, У,у
Рис. 4.8. TpeyroJlbHы эJl м 1Iты с 20-ью стеП IIJIМИ сJЮOOды
ют по две внутренних, степени свободы. В первом случае элемент имеет десять
узлов, которые размещены в вершинах, в третьих частях сторон и центре тяже
сти треуroльника с двумя степенями свободы. Интерполяционные функции апп
роксимации перемещений и и v в этом эле:tdенте представлены выражениями
(3.69) .
Во втором случае элемент имеет четыре узла, три внешних в вершинах тре..
уroльника с шестью степенями свободы и один внутренний, с двумя степенями
свободы. Интерполяционные функции этоro элемента даны в выражениях (3.71).
у элемента с кубическим изменением составляющих деформаций за интер
поляционные функции принимается полный полином четвертоro пор.идка с lS ю
общими координатами, так что элемент имеет в целом 30 степеней свободы, ко..
торы е используются также одним из двух способов, показанных на рис. 4.9.
В обоих r.лучаях элементы имеют по шесть В1Iутренних степеней свободы. :о-
первом СЛУ1(ае в каждом узле по две степени свободы, а во втором в вершин
ных узлах ПО шесть, а во всех остальных по две степени свободы.
Подобным образом, как и в случае с элементами треуroльной формы, вво"
205
ЭЛЕМЕНТ
А
200
Таблица 3.1
ЧИСЛО
неИЗВЕСТНЫЕ стеПЕНЕЙ ПОРЯДОК
8 УЗЛАХ СВО60ДЫ ПОЛИНОМА
U, V
6
U, V 12
I
2
18 + 3
U, V + 2 ВНУТР.
u, V
1.1. у U. у ]8+2 3
V. х V. х
8 2
U, v ИЛИНЕАно
u. V
u. x u. Y 24 4
V. х v. Y
U, V
U t Х U. '1 u xy 32 rЕР'''ИТЕ
У, х V. у V ху
.,
8 ..
u, v 6ИЛИНЕЙНО
U, V 16
tl, V 12
и, v l6 (18)
U, V
\1. х 11.. У U. х у 3 2
v, х V.. у V.. ху
4
2
4
rЕРМИТЕ
3
3
о U,V 2
@ U, V, U ,х , U ,у, V'X' У,у
Рис. 4.9. Tpeyr()JlbHble ЭJlемеllТЫ с ЗО ью степеНЯМII свободы
4 7 3 4 10 9 3 4 3
. .
I 1 8
8 46
12 7
..... . .
1 5 2 J 5 6 2 1 2
. U,V
@ Ц, У, и,х t V,x , U,y, V'1 -
Рис. 4.10. Прямоуr()JIьные эЛемеlПЫ Bwcmero порядка
ДЯТСЯ э-лементы четыехуroльнойй формы с квадратным И кубическим измене..
нием деформаций в элементе, которые показаны на рис. 4.1О..
для ЭТИ.Х элементов с 16..ю или соответственно 24"10 ст пенями свободы ин..
терполяционные функции представлены выражениями (3.74) лиоо (3.75). В таб
л е дан обзор элементов, которые чаще Bcero используются при напряженно..
деформированном анализе плоских проблем.
Сравнение численных решений. На рис. 4.11 показаао сравненце реЗУJIьта..
тов расчета перемещеНИЙ для края консольной опоры в зависимости от числа
степеней свободы, которые получены с помощью трех различных видов конеч..
ных элементов.
Для концеитрированноro наrружения Р предполаrается,. что переиосится ПО
ВЫСQте опоры, как сила сдвиrа, m-еJlЯЮщаяся по закону КВ.адратной нарабоJI . На
рисунке ВИДН.О, что быстрее всею коиверmруют к точному решению ....... реmению
с помощью элд ....... элеменn?в с линейной деформацией, а затем....... с помощью
2,Q,7
прямоуroльноro элемента. Отмечено также, что существует значительное разли..
чие между решениями с ЭПД (СТ) с элементами с постоянной деформацией
и с ЭЛД с элементами с линейной де4юрмацией, даже и у очень тонкой -сет..
ки, как и при большом числе элементов. С элементами с линейной деформацией
(ЭЛД) получается решение, БJlИзкое к точному, а с элементами с постоянной
деформацией <ЭРД) ...... решения, которые значительно ОТКЛОНЯЮТСЯ от точною.
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ (1.939)
2
- -- ------- ---
...--------..............
J .5
Р=10
N
6
0.5
Е = ЗО.I06 кН/м
h = 0,2 m
." = 0.16
ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
16
5'0
100
150
200
Рис. 4..1. Сх()Димость реmения ДJIЯ перемещения на сlЮOOдн()м краю
ЧИСЛО
ЧИСЛО СТЕпеНЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТ СЕТКА ЭЛЕМЕНТОВ СВОБОДЫ mт
3хl 6 J6 0.593
6х2 24 42 1.087
12 х4 95 130 ] 0606
О 3xl 3 16 I .076
6х2 12 42 1.596
12х 4 48 130 1.834
3 х I 6 42 ) .886
6.><2 24 130 1.929
12 х 4 96 450 J .939
.., ......
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ J .939
208
12х!
.:-:... :. ::; х 1(
;J : 'f.: ; -
', :::
"." ;..;. <. j :C; :-; .:.
; .; . - ,..;:{/? ;. ;..
:. ;:.: >- :-::: " . ;: "
;.
v у1
::: .. -J
" "+ :t
- ,:- ..; .;.,;,
,. *
а
ь= 0.25
6х2
::::f f:
- ,
а
Ь = 1.0
4х3
а
Ь = 2.25
Зх4
а
...=4 0
Ь ·
2х6
а
-ь= 9.0
/
PIIC. 4.12. CeТJ(ll J{()иечных элемеllТOВ с раз.личным СOOПI()шеИllем cropoH а/в
Выводы, получаемые из сравнительных результатов расчета с помощью трех
предыдщихx элементов, можно обобщить и на остальные элементы. При этом и
том же общем числе степеней своБОДJ]l решения с более сложными эле:r.lентами,
как qравило, точнее, чем решения с простыми элементами. Друmми словами, с
" увеличением ряда полинома в интерполяционных функциях или соответственно
числа степеней свободы элемента возрастает и точность решения.
Сложные элементы реryлярно имеют внутренние узлы, которые необходимо
исключать. Ширина ленты матрицы системы больше, это приводит К увеличе..
нию работы ЭВМ, что при решении комплексных задач имеет особое значение.
Кроме тoro, в контуре неправильноro вида необходимо применять Э.lIементы ма...
лых размеров, что в известном смысле оrраничивает применение прямоливей..
209
w
1.5
w
с:
с:
>-
...
u
...
О
0.5
ТQЧНОЕ PEЦJEH.,E
-
2.25
4
а/Ь
9
PIIC. 4.13. ЗавllСИМОСТЬ скоросп JC()нверrеllЦlIИ реmенlIЯ or с()()ТНоmен:ия значений сторон элемента
ных элементов высшеro ряда. Поэтому выбор оптимальноro элемента зависит от
решаемой проблемы, необходимой точнос'fИ и стоимости решения.
Наряду с выбором вида элемента на точность решения влияет и соотношение
основных размеров элементов, например, соотношение сторон треуroльноro или
четырехуroлъноro элемент
. Это особенно видно по результатам расчета KOH
сольной опоры на рис. 4.12, который проведен по пяти сеткам треуroльных и
прямоуroльных элемеl{ТОВ с раЗЛИЧНЫМ соотношением сторон (а/ ь = 0.25, 1,
2.25, 4, 9), показанНhIХ на рис. 4.\3..
4.3. МЕТОД СИЛ
в анализе плоских проб,лем метод сил применяется значительно меньше, чем
весьма проСтой метод деформации. Однако, кorда поиск решения ведется в раМ....
ках упруroпластическоro анализа ц коэффициенты матрицы упруrocти находят
ся в прямой зависимости от напряжения, то удобен для применения и метод сил.
В отношении выбора основных неизвестных последний имеет два варванта: co
ставляющие напряжения или функции напряжения с ее производными.
Коrда за основные параметры принимается функция напряжения С ее произ
водными, то получаются выражения, аналоrичные соответствующим выражени
ям метода деформации, поэтому посл
дний JJариан'Х' считается более приемле
мым, чем ТОТ, в котором основные параметры
составляющие напряжений.
Исходя из выражения (4.19) и опустив объемные сИ.1Ц
, вектор н:апряжения
.... Ф. уу ....
G ==, Ф == ф" .,
. ХХ I
...
Ф. ху.....
(4.88)
21;0,
Подставав (4.88) в (4.13), выражение для комплементарной энерmи будет:
П С '=: J crTCodV J uTpdS==
v Su
== J Ф"ТСФ"dV J gTpdS;
v 5о
( 4.89)
rде первый член представляет собой комплементарную энерrию деформации, а второй потенциал
см на контуре S u при заданных перемещениях и.
Если перемещения на контуре Su paBНhI нулю, то выражение для комиле..
ментарной энерrии сокращается и получается:
П С . J ф"ТСф"dV.
v
I
(4.90)
Выражением (4.89) или (4.90) пред ставлен функционал комплементарной
энерmи, служащий исходной основой формулировки Meтo a сил. В качестве
модификации последнеro принимается элемент прямоyroльнои формы с узлами в
вершинах (рис. 4.14) как простейший.
41 У
з-
ь
х
>
1
а
2
PIIC. 4.14. Прямоyr()льный ЭJlемент С 16 ью степенями СВободы
Поскольку напряжения G х' G у и 1;у даны как производные функции напря..
жения Айэра, для обеспечения постоянноro поля напряжения в элементе необхо..
димо квадратное изменение функции напряжения. В то же время для TOro, что..
бы выполнить условие равновесия на rpaницах между элементами, необходим
континуитет функции напряжения и ее первой производной Ф на всех контурах
элемента, т.е. необходим с1"континуитет. Для получения этоro в ачестве ос..
новных неизвестных в узлах элемента прииимаются Ф, Ф,х' Ф,у И Ф,ху. Таким
образом, по аналоmи со значением в методе деформации элемент имеет 16 сте--
пеней свободы по четыре в каждом узле.
211
Вектор основных статических параметров в узлах элемента можно предста..
вить в виде
Ф;==[ФI Ф 2 Ф З Ф 4J,
(4.91)
rдe
,., l'
Фi == [Ф Ф. х Q).y Ф. xy]j.
(4.92)
Поле функции напряжения Ф(х,у) в элементе аппроксимируется с помощью
интерполяционных функций в зависимости от основных параметров в узлах,
учитывая континуитет c 1 на контурах между элементами. В общем случае эта
зависимость имеет вид
ф (х, у) == N ( , 1)Фе ')
(4.93)
rде N<{,'b) матрица тип интерПОЛЯЦИQННЫХ функций, имеющая четыре подматрицы
N( ,"'1)==[N1, N 2 , N з , N 4 ],.
(4.94 )
Каждая из них имеет по четыре элемента так же, как и каждый элемент
вектора Ф е имеет по четыре составляющих. Ввиду TOro, что необходим с1.. кон ..
тинуитет для образования интерполяционных функций, используют полиномы
rермите:
N I ( )== 1 3 2+2 J
N 2 ( )==a ( 2, 2+ .') :
(4.95)
Nз ( )==3 2 2 3 ·
I
N 4 ( ) == а ( 3 2),
х
r
.
а
с помощью последних леrко получить соответствующие выражения для на..
правления у, если в них вместо t подставить 'l и вместо а Ь. Интерполяцион
ные функции как элементы матрицы N i в выражении (4.94) получаются как
произведение полинома rермите для направлений х и у:
Nfk==NI ( ) Nk (1), i, k== 1, 2, 3, 4.
(4.96 )
Выражением (4.96) определено 16 интерполяционных функций, с помощью
которых по отношению к уравнению (4.93) установлена непосредственная связь
между функцией напряжения Ф(х,у) и параметром напряженной функции в уз..
лах элемента, так что каждому параметру или степени свободы соответствует
интерполяционная функция.
После определения связи между функцией напряжения и параметрами в уз..
212
лах выражения (4.93) и, учитывая уравнение (4.88), для вектора напряжения
получается
(1==
N. yy
N,xx Ф: == НФ е )
N,xy
(4.97)
rде N,xx' N yy ' N,xy матрицы вида ряда lx16, которые получают двойным дифференцированием
матрицы Nrx,y).
Подстановкой (4.97) в (4.89) комплементарная энерrия де4юрмации элемен
та будет
1 АТ А
Ilс::: Фе fФе'
2
( 4.98)
rде
f == J НТСНЬ dF.
F
(4.99)
В этом выражении h представляет толщину элемента, а F ero поверх
ность.
Выражением (4.99) определена матрица флексибилности элементов. С уче
том извесТной аналоrии между однородными дифференциальными уравнениями
рановесия изrиба пластин (коrда они даны через перемещения w) и условиями
компатибильности плоской проблемы теории упруrocти (коrда они выражены че
рез напряженные функции ф) матрица флексибилности плоской проблемы опре
делена таким же способом, как и матрица жесткости изrиба пластин. Различие
состоит лишь в том, что в случае матрицы жесткости на месте С в выражении
(4.89) появляется матрица материальных постоянных D. Об этой аналоrии будет
рассказано в rл. 7.
Выбором интерполяционных функций в виде полиномов rермите обеспечи
ваетсSl континуитет нормальных и ПОllЗУЩИХ напряжений вдоль всех контуров
между элементами. Однако, коrда на контуре задано наrружение, то' для испол
нения условий необходимы дополнительные уравнения. На рис. 4.15 показан
прямоуroльный элемент, в котором на контуре, совпадающем с направлением х,
заданы наrружения ру(х) и t(x).
С учетом выражения (4.88) для любой т чки этоro контура
Ф,хх == Ру (х).
(4.100)
Двойной интеrрацией этoro выражения, принимая во внимание значение
функции и ее производных в узлах элемента, получается
а
Ф . ф . =::.. f ру (х) dx ) .
,Х& ,Х'.
О
(4.101)
а х
Фj Фi . xi а == J ( r (\, (х) (tx) (Ix.
о ()
213
.-
а
1(х)
Рис. 4.15. НОРМАЛЬное Ру(Х) и Т8l1rеllЦlla1lЬНОО t(X) нarружеllllЯ иа коиrype ЭJlемеllТа
Таким же образом, ИСХОДЯ из св зи /';:' ху =
rраницах O..........Q получается
.......ф ,ХУ' интеrрацией вдоль х в
а
ф,Уi Ф'Уi == J t (х) dx.
о
(4.102)
Кроме тою, для узлов i и j действительно:
, . .
Тху == (Ф,]()')i ;
(4.103)
Тху == (Ф,ху)j.
Уравнения (4.101).......(4.103) представляют собой систему из пяти дополни
тельных уравнений, с помощью которых показаиы статические условия на KOH
туре, параллельныe оси х, по которой заданы условия по силам. В ЭТИХ уравне'"
ниях неизвестиыe ....... значения ФУНКЦИЙ И ее производных в узлах; коэффициен",
ты с неизвестными и свободными членами при них, зависящие от наrружения,
определяются выражениями (4.101) и (4.102).
Для каждоro контура элементов, на котором задано наrpужение, можно на..
писать по ПЯТЬ уравнений, подобных предыдущим уравнениям. Однако, посколь"
ку смешанные производные в узлах для ДВУХ соседних перпендикулярных друr к
дрyry контуров тождественны, то в каждом узле появляются вместо пяти по че..
тыре дополнительных условия. Таким образом в целом для Элемента получают
16 дополнительных уравнений, которые MOryT быть представлены в виде
А
ЕФе Ре==О
)
(4.104)
rде Е, Р ...... соответственно матрица коэффициента и вектор свобоДНЫХ членов, элементы КОТОРЫХ оп
ределяются соrласно выражениям (4.1 О 1), (4.102), кorда они показаны для всех четырех сторон эле
мента.
214
. Таким образом для матрицы Е и вектора р будет:
О 1 О О О 1 О О О О О G О О О О'"
1 ,a О О 1 О О О О О О О О О О О
О О 1 О О О 1 О О О О О О О О О
О О О 1 О О О О О О О О О О О О
О О О О О О l О О О 1 О О О О О
О О О О 1 О b О 1 () О О О О О О
О О О О О О 1 О О О l О О О О О .
О О О О О О О 1 О О О О О О О О ) (4.105)
Е=
о О о о о о о о о 1 О О О 1 О О
() О О О О О О О 1 О О О 1 a О О
О О О О О О О О О О 1 О О О 1 О
О О О О О О О О О О О 1 О О О О
О О l О О О О О О О О О О О 1 О
1 О b О О О О О О О О О 1 О О О
О О 1 О О О О О О О О О О О l О
() О О О О О О О О О О О О О О 1
..... 3
J p (х) d х
о
а '(
J J' Ру (х) dx 2
О О
I
. ......
а I
f t(x)dX
о
t,
I
Ь
j' Рх'(у) dy
о
р== ь у
.r J Рх (у) dy2
О О
. ......
ь I
J t (у) dy ..::.:
о
( t.
J
Ь
J Рх (у) dy
о
а у
J .! Рх (у) dy2
О О
2t
ь
J t(y)dy
о
t k
а
J Ру (х)dx
о
3 :t
J J ру (х)dx 2
О О
а
J t(x)dx
о
..... t .
I
Уравнения (4.104) достаточны для точноro описания KoHTypныx условий по
u
силам, если только нормальное наrpужение вдоль контура меняется линеино, а
по TaнreHcy ......... следуя закону квадратной параболы. В каждом втором случае с
помощью уравнений (4.104) условие на контуре выполнено приблизительно, т.е.
в среднем для вcero контура в интеrральном смысле.
Универсальные уравнения, с помощью которых описываеся поведение свете--
мы конечных элементов, получаются на основе уравнений для отдельных эле--
-ментов, учитывая дополнительные уравнения, с помощью которых определяются
оrраничения на контуре 86. Порядок формирования этих уравнений во всем та--
кой же, как и в методе деформации. Соответственно этому выражение для ком--
плементарной энерrии деформации будет
П"== ФТFФ ,
с 2
(4 106)
rде F rлобальная матрицы флексибильности CI:ICTeMbI, которая получается из выражения
м
р.. == [.
') L., IJ.
е=:1
(4.107)
Подобным же образом из дополнительных уравнений (4.104) ДЛЯ отдельных
элементов формируются выражения для всей системы элементов:
А
ЕФ Р==-О.
(4.108)
Имеется 16т этих уравнений, rдe т ......... число элементов с заданным Harpy--
ж ени ем по контуру. На основании выражений (2.113) и (4.108) формируется
модифицированный функционал комплементарной энерrии
А
п с == фТ Fф......л Т Р+ фТ ЕТ Л)
(4.109)
rде Jt вектор параметров Лаrpанжа, С помощью которых вводятся условия на контуре S 6 .
216
Применяя положение о неизменности функционала (4.109), получают систе
му уравнений
[: :Т] [ ] [:1
из которой определяIOТСЯ значения функции напряжения и ее производные в уз
лах сетки, а также значения параметров Лаrpанжа. После этоro по (4.88) 9ЫЧИС
ляют напряжение в элементе.
Свободное кручение стеРЖНЯ. Свободное или чистое (CeH BeHaH) кручение
стержня (рис. 4.16) представляет собой специальный случай двумерноro анализа
сплошной среды. В математической формулировке эта проблема описывается
дифференциальным уравнением BТOPQro ряда
ф,хх + ф,уу + 2 Gf' == О
(4.111)
с условием на контуре
ф,у/ ф,х m ==ф.s==о.
(4.112)
в этих уравнениях Ф ........ функция напряжения Прандтля; G модуль сдви
ra; 'Р........ уroл кручения (f' = d.,pl dz); 1, т ........ косинусы уrла нормали на коиту
ре соответственно с осями ;,:t И у.
Из условий (4.112) следует, что функция Ф на контуре S имеет постоянное
значение. В случае односвязной области, соответственно со мноrими сечениями
стержня она может Быть принята равной нулю.
Напряжение сдвиrа f: ZX. zY. и момент кручения Mt представлены в зависи
мости -от функции напряжения Ф В следующих выражениях:
"t' y == Ф.у ·
,
l' 7У == Ф. х "
(4.113)
Mt == 2 J Ф (х, у) dxdy.
F
В вариационной формулировке, которая эквивалентна уравнениям (4.111) и
(4.112), проблема свободноro кручения описывается функционалом комплемен
тарной энерrии
Не == J ' ]Ф k + ф у) 5 G фqi'] dxdy;)
2G
F
(4.114)
rде первый член предстаWIяет внутреннюю комплементарную энерrию деформации
/ J ' 2 2 1 / - 2 2
A == ("t'zx + T Ly ) dx dy ==............... (ф,х + ф,у) dxdy )
20 20,
F F
(4.115)
а второй конмлементарную энерmю али работу внешних сал
I
u c == ! Mt ер' dz == 21 J ф(х, y)q/ dxdy.
о F
(4.116)
217
у
у
х
dy
1= cos(n, х) = ds 40000
dx
m=cos(n,y) =..... ds
Рис. 4.16. Стержень ПОJIН()ro поперечнC>rO сечения, п()дверженный м()ментам кручения на краях
ПР" примеliении МКЭ в реmе"ии проблем свободноro кручения по выраже..
нию (4.114) за основные неизвестныe в узлах элемента принимаются значения
функции напряжения Ф е , а СВSlзь между функцией Ф(х,у) в элементе и значе..
нием функции в узлах устанавливается через интерПОJ1яционные функции
I
ф(х, y)==N (х, у) Фее
(4.117)
Дифференцированием выражения (4.117) по х и у получим:
Ф.х == N,x Ф е :
(4.118)
ф,f == N,y Ф е )
а затем подстановкой в функционале (4.114) для 1 = 1 будем иметь
.... AT [( I J т . т ) ] "
ПС 2 Ф е G (N,xN'x+N.yN)y) dydx Ф е '"
F
2 <р' ф ( J NТ dXdY) ""
F
1 т А ...
==2 Ф fеФ. ФеРе}
(4.119)
218
f l ! т т d'
е == G (N,xN,x + N,y N,y) dx у t
F
(4.120)
Ре==2<р' fNT dxdy.
F
,
Для реmения проблемы MOFyT применяться конечные элементы различною
вида и с различным числом степеней свобоДЫ, которые используются в ДВYMep
ном анализе. Самым простым является треуroльник с узлами в вершинах в цe
лом с тремя степенями своБОДЫ, в котором изменение функции напряжения ........
линейное, а напряжение сдвиrа ........ постоянное. Функции вида даны выражением
(4.44):
1
N. == ( a + Ь. x+c y) j == l ' 2 ' 2
1 2d I I l' ,
поэтому для элементов матрицы флексибильности fe и векторе Ре по уравнению
(4.120) получается: _ .
е 1 ·
f q .. .:::: ( Ь. Ь. + с. с. )
40 I J 1 J ,
(4.121)
е 2 ' А
Pi =:
3
Коrда определены матрица fe и векторы Ре для отдельиых конеЧиых.элемен
ТОИ, то дальнейший порядок, связанный с образованием уравнений системы KO
вечных элементов и поиском решения, известен. При этом необходимо иметь в
виду, что значение функции в узлах на контуре равно нулю.
Прнм р. Для квадратноro стержня поперечноro сечения (рис. 4.17), подверrшеrocя свободному
кручению, необходимо определить изменение напряженной ФУНJЩии и напряжения сдвиra по сече
нИIO. Поскольку это сечение имеет четые оси симметрии, достаточно рассмотреть только одну вocь
з '
I
2
q
----
1.0
Рис. 4.17. Кручение стерЖШI uaдpamoro поп речиоro сеченИJI
219
мую сечения, обозначенную на рис. 4.17. В первой, весьма rpубой аппр<>ксимации, ПРИllимается
только один конечный элемент. Матрица флексибильности f и вектор р по выражению (4.121) имеет
вид
1
'== 4
... 2 2
Ь. + С. Ь 1 Ь 2 + С) С 2
Ь 2 2
2+С2
симметрично
Ь 1 Ь э + С 1 с э .... ...... 0.5
Ь 2 Ь з + с 2 'С э == ......0.5
b + c О
....... о. 5 О ...
I O.5 )
0.5 0.5
........
2 G fP'
р== I
3
I
Поскольку напряженная функция в узлах 2 и 3 равна нулю, то из системы уравнений:
0.5 O.5 О .... ..... ф .... ... ] '.0
I 2 G q/
0.5 J .0 0.5 О 1.0
3
О .5 0.5 О t .0
..... ..... ....
получим
4
Фl== GL\ '
3 )
а затем по выражению (4.44)
2 \,-'
Ф (х. у) 3 (а; + Ь ; Х + С ; у) G <Р',
следует вывод о линейном изменении функции Ф, показанной на рис. 4.18.
В следующей аппроксимации эта задача решена с сеткой из четырех конечных элементов, пока
занной на рис. 4.19. Матрицы флексибильности элементов и вектор свободных членов по выражению
(4.121) :
0.5 ....... о. 5 О 1.0
(1 == '2 == '4 == O.5 1.0 0.5 р== 2 G <p' 1.0
, .
з
о ....... о. 5 0.5 1.0
-- ....
0.5 О ...... о. 5---
fЗ (
О 0.5 ....... О . 5
....... о. 5 O.5 1.0
...
220
PIIC. 4.18. ФУНЩИJI напpRЖения ПOJIyЧеНII811 с П()М()ЩЬЮ тoJlыс) ()ДII()r() элем нта кд (С 81)
у
6
tn
N
с;
5
v)
N
d
х
1
2
3
0.25 0.25
,.
Рис. 4.19. Ceтu из четырех КОllеЧIIЫХ ЭJlемеllТOВ
221
Коrда с ПОМОЩЬЮ матриц fi и вектора Pi для отделЬНЫХ элементов образуется матрица F и Bex
тор р для систеМЫ элементов, то получается система уравнений
.... 0.5 O.5 О О О О ... Фl 1
O.S 2.0 0.5 1.0 О О Ф2 3
О O.5 1.0 О O.5 О О 2 G 4,' 1
.
з
о 1.O О 2.0 t.O О Ф.. 3
О О O.5 1.0 2.0 0.5 О 3
О О О О O.5 0.5... О 1
Соответственно
.... 0.5 0.5 О ..... .... ф I ...1....
2 G Ll,'
O.5 2.0 1.0 Ф2 3
.... ,
3
О 1.0 2.0 Ф 4 .... 3
....
PIIC. 4.20. Фуищия вапрюкеllИЯ, пе>лучеНН8Jt с ПОМ()ЩЬЮ четырех ЭJlемеllТOВ кд (CS1)
222
откуда
ф ... ....1.875
I 2 G q>' I
Ф2 == 3 l .375 t
... ф4.... .....1.0625
Соответствующее изменение функции напряжения Ф(х,у) для одной восьмой сечения показано
на рис. 4.20.
С целью сравнения точности чifсленноro решений эта же задача решена и с помощью треуroль..
HOro элемента с шестью степенями свободы и узлами в вершинах и серединах сторон треуroльника.
При использований только одноro Takoro элеменtа получается точно ,такое же елое число степеней
свободы, как на рис. 4.19. Исходя из выражения (3.67)1 для интерполяционных функций в системе
естественных поверхностных координат по выражению (4.120) ДЛЯ матрицы флексибилности и век..
тора свободных членов получим:
....1/2 1/6 О . 2/3
). 1/6 ........ 2 / з
I
f== 1/2 О
8/3
симметрично
о о ....
2/З о
2/З '()
о 4/ЗI
/
8;3 4/3
8/3....
2G '
p q>
з
...0.....
о
о
1
1
J
1
откуда, учитыIая,' что Ф2 = Ф3 = Ф5 = О, следует
l/2 2/3 О .... , .... ф I .... ...0....
2/з 8/3 ...... 4/ з Ф. 2 G ,' I
==- )
з
о 4/З 8/3__ .... Ф6 1
...
соответственно
..... Ф 1 ... 1.80
2 G d<p'
Ф. ....... 1.35 ,
'3
Ф6 1.05 ...
223
1
.
0.17
0.15
0.16
ТОЧНОЕ
РЕШЕНИЕ
3
6 9 25
ЧИСЛО СТЕпеНЕЙ СВОБОДЫ
21
Рис. 4.21. К()lIверrенция (сх()Димость) ЧИCJIеllll()ro pemelllUl AJUI фунщии иапряжеlllUl в цеиrpe тя
жести uaдpamor() c-ечеlllUl
На рис. 4.21 показана скорость конверreнции к точному ,решению функции напряжения в цeнт
ре тяжести сечеlJИЯ в зависимости от числа степеней свободы треуroльных элементов с линейным
квадратным изменениями функции напряжения. Из рис. 4.21 очевидно, что при том же числе степе
ней свободы элемент с квадратным ИЗ
lенением дает более точное решение, а также, что численные
решения находится выше точноro решения.
\
4.4. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МКЭ в РАСЧЕТАХ
конструкции
Мноrие ииженеРНЬ1е конструкции различноro назначения или части этих
u u u
конструкции под воздеиствием внешних ВЛИЯНИИ находятся в СОСТОЯНИИ ПЛОСК<r
ro напряж-ения или плоской деформации. Это дает возможность свести их расчет
в рамки ABYMepHoro анализа. Однако, принимая вышизложенноеe во внимание.
следует сказать, что редки случаи, Korдa решения для напряженно"деформиpcr
ванноro состояния этих конструКЦИЙ можно получить в закрытом виде. Обычне
Рec;uIьная reoметрия и условия опирания конструкций таковы, чТо в анализе ОИЕ
не MOryT быть внесеиы точно, а только прибилизительно. По этой причине He
минуемы численные решения. свышe 20 лет МКЭ весьма успешно npименяетс
в решении проблем этоro типа в рамках линейноro и иелинейноro анализов. В
последующих примерах отражены реЗУllЪтаты расчета напряжения и деформа
ций для некоторых характерных проблем строителъноro конструироваllИЯ.
Ба.л:ка..стен:ка. На рис. 4.22 по
азана консольная балка--стенка размером
6х12хО,2т, которая наrpужена линейной наrpузкой на свободном краю. Для pac
чета взята сетка прямоуroльных конечных элементов 9х13 в целом с 216..ю cтe
пенями свободы.
На рис. 4.23 дана сетка конечных элементов после деформации, на
рис. 4.24 .......... распределение нормальных в движущихся напряжеНИЙ в вертикаль
ных и roризонтзльных сечениях балки--стенки; на рис. 4.25 приведеiIы rлавныe
нормальные напряжения, а на рис. 4.26 .......... линии одинаковых направлений rлав
ных напряжений.
224
8
IS" 101 107 101 108 110 111 112 11J 114 115 t l'
.. " ее е. .. .. .. tJ " .. ..
'J .4 IS " .7 .. .. 100 101 1102 'А
,1 7. 71 ,. " ,. ,. .. .. ... .1 ..
7. 80 11 1I 13 8. .1 i. 17 l' 1. 10
.
.. .1 11 ., М .. .. ., .. .. ,. ,. '1
.7 .. .. 70 71 71 , 74 15 ,. ,7
4. м " .. ') '4 .. 10 11 .. .. ..
' 54 55 II 57 58 5. 10 11 .2 .3 .4
3t )8 J8 .- ., 41 41 4. .. ... 4' 48
"
L 40 41 42 43 44 45 4. 47 41 4. 50 51
}
1I " l' .. 1. . 1. 31 11 а. . .
, 27 lа 21 и 31 32 33 34 5 31 37 38
!
.1 .. .. ... ., .. .. - ., 11 11 ..
,. l' 1. l' l' 1. 20 I1 12 23 24 25
, I 1 1 4 , , , . I ,. " ..
[v
L:. 2 3 4 5 . 7 . . 10 11 1I
.... .-
12
Рис. 4.22. Нarружеllllе и сетка к()lIечIIых элементов к()II00лыI)йй балки-стеllКИ
...... -..-- J...... ,...... r.....
i ...... f..... .f..... Т....
li
.... ...... Т..... t...... r...... t...... 1 ,......
. ......
. i T'.. '
,
...... ....... ...... ...... ...... .
...... ...... ....... . .. ....
..... ....... ....... ...... .. .......
....... ....... ....... .......
....... -...... ...... .. .......
....... ....... -..... .......
..... ....... .. ...... .......
....---. ....... .......
.. ..... .......
.....--1 ......... ......1 .t
i . . .
. .
. ...! .. . ......, J .
. 1 I .....1
. . i
. . . 1
....... .. ..... .&.......&... ......t.......-....L.......t.......i......... .......1
",
1'4
t
.,
,.
! 1 кН/м
!
!
!
!
15
12
3.
21
IJ
PIIC. 4.23. ДефорМllроВанн8SI reoMeтplUl ()поры Прll и тах = 0,937 мм, У тах = 2,442 мм
Стены с отверстиями. I1х очень часто применяют в строительстве в качестве
v v
основных конструктивных элементов для принятия roризонтальныx воздеиствии,
ветра и землетрясений (рис. 4.27). При анализе и расчете rлавной конструктив..
ной системы объекта Э'IIИ стены обычно вводятся aK заменяющие рамочные 000"
ры, что для универсальноro поведения КОНСТРУКТИDНОЙ системы объекта доста..
точно точно. Однако расчет локальных воздействий, как и концентрация напря..
жения около отверстия, такими расчетами не охвачены. Для расчета балки..стен"
ки, ПQказанной на рИСА 4.27, применена сетка прямоуroлъных конечных элемен..
тов с билинейной аппроксимацией тел перемещения. Деформированная reoMeт..
рия стены показана на рис. 4.28, а напряженность и распределение rлавных нор..
225
а) == IIW[П :111 j IHI 1". 1111
t:::::: I ,он
D!ИIII 1-
111
\.
, 1
111 [111411
ШI "* 11f.J .1
J;;i.:..J;;: ;:: ,...
lН 11:t !t6ВПttНII III &H1
Мах о == 4084 · 600 кН.м.... 2
б)
F WJ
Е
111
t: р'
w
L t
'"'
F ""Ч. ;t
't 1........ =
5L 'Ч;;t
..........
Мах tJ == 703 · 530 кН.м.... 2
8)
Мах "'х)'== 774 · 540 кИ.м 2
PIIC. 4.24. Диarраммы нормальных ШUIряжений х(а) , у<б) и напряжений СДВllrа ху(в)
... . ........ ...... .... .... .... .
. ..
............. ............ ......-.. ....... ........ ....... "- ... ....
........ " "- ...... , -w.. , --.. х
, ох. х х х х )(
.J' ,Jf Х J( Х Х Х Х Х Х Х )(
,/ .,к" .к х .х х х
.....,... .".,.. ...". "". It
. :.... .......... ...... ..... ...... ... .
... ....
РИС. 4.25. rJlUHble нормальные напряжеНIIЯ при Мах 1 = 41197.900 МПа
226
а)
б)
в)
PIIC. 4.26. Интерп()ляционные KplIBble (ИЗОICJIIIIIЫ) rлавных lIапряжеиий: б- 1 (a),t!2 (6), пр yrJle
6 1 (в)
мальных напряжений на' рис. 4.29. Траектории rлавныx напряжений видны
из рис. 4.30. Области концентрации напряжения 01 ио 2 ясно выражены при yr..
лах отверстия в балке стенке.
Расчет локальных напряжений в конструкции В8итовоrо моста. Анализ ли..
нейной системы дает достаточно точное представление о rлобалъном напряжении
и деформации конструкции МОСТОВ типа фермы с косыми расчалками. Однако в
местах крепления тросов к пилону и ферме, особенно у мостов большой шири..
ны, появляется значительная концентрация напряжения. Последнее необходимо
учитывать при определении размеров этих весьма чувствительных мест конет..
рукций.
На рис. 4.31 показана диспозиция моста им. 23 октября в Новом Саде и
фраrмент места, в котором косые расчалки крепятся к пилону. Боковая стенка
227
10 1< Н/М
1J..ltf"#J.:<<- '> ; ::. :'$: ;':i r .t:?.: :f :* : { : ' l1* w*?: f: ;,
;
"
р
w
\А
.
U'I
.
I
I
ах 0.25-2 I 61t 0.25 · 1.5 , 2 I 1.5 j 2 f I.S I
I I I I I I
00
"
р
....
.
N
0\
"
р
tl
.
i:
PIIC. 4.27. Нarружеllllе 11 сетка конечных элемеllТOВ балКII стенки с orверстияМII
;-. ;- : -; . ;- - . '.
I . - . ." t. t- . -l. -l- .1 ; , 'Т -. . ".
: : .- о I -, . . -. " .
о о . -
о .- +. . r' . :-. + !. о i i .т .. .: t : о I о о - -. ... :
I , I . , : -: .. I I : о ; .. . .. .
.- -. I . . -. - .
.. .. .. I I I О О -+. , f- о i I . о I " . . .. I I : I о I I о - -. .. i
:.. :.. +.- :-. ,:, о о о -t- -+ - wal. I о о : .-. .. ' -. I . О о I : о ; -. . -. .
о I о . . : о : -, о . . .-
. - . . , - .. " + '- :- . о , 1 .:. F-r- -.- I : о : . '; . -. о I О о О : о i т - : -т ; -: -: : -1 1 I
о . I о .. .. . о о . О : : -. -, -t I о . I I -+
.. . - -.- о I . -. - I . о .&
- -- , .. . , I : I ! :'- . +.. , I о . ; I '!'- - .- -.- -i- I о I О t I -r -: -+ . -1. I i . f ;
" -- о . . I : I ..- ..:. :- . . .
- - о I . .' . . I I О . -t -1 I I . : . . -: .. .,
-- . -- '. . --- '- . " ... о о о о о ,- .- .- .. I I : I I ; I 'j- -.- -.' :..:..... + t . I ;
- -- '-. : .- I . I " .. I I -:- .: .l.
.-. .. . о . . --- о I О : . I ,. +- ,1 I I . -.-
.
-.- .-. '.- -. , - -. . . I . о - . ... t.... f-- . : I , I I . .- , :- о : i I . :
.'- -. I : . о , -- . '- о . О ! . . .- I
... .-- .'. . - -- . . I .- . ,-- . I I : . . .- ,1.
-. , -- '.- --- -- . .-. о I .- -- -- -- о 1._ . I . 1 I .т-- j_. .. .- . i i 1. о .1
- .- --- '- о .... . '- ..- I : r . t-. :- .. .:-
. --- -. " . о о
.; - .: . . -. " . -- --- о о : , i ; I -- :- . ;- . о о о ;
.-: .- . ' '. '- - -- I .-- О
. о -- - о . -- -. .. -- - I . . .-- .-- - 11. .
--.. . . ..L ...: ..... : : о I i -. -.: __ ._-: j , : -. .-. -_о ..- 1 I -,--"---:._-.-- I о О : .
: I -- - , - --- -- I . :
о : : : wa.., .-. ...:. ..1 '-- --',... ..-...... 1 J 1 . -
I :
: . i ..... J · . I I · --.11 .... -- : I J -.-.--. .-......
i I .-. 6.. .:....:_..! 1 : .-.:---:.-....-......1 I f . .-- .. -.. -..
: о о ! '- ."1 -- , I 1 I ,-..:.... -.-
о '--
t I . -.. .........."...., : I '.' .-- -.
о I I : -- _. -. I -: ----."-.-... -..
I I -. . --. -.- --- ...
,
о i i : : .. -- -.f _е: --1 - .. ; - - '-
. - ... --
. , о о : о : _. _о: --f _о: -- :
, , о -. -. -. ' --
I . --f -- r .-; I
о : -.4 . -. _' :
.
--j f --+ .-! -- о о : о :
_о. . --+ . --
. . - - .. I О - ; -.1 I
. -. - .- , I - -4 _О. ..; --. I :
I о --.. -,
--- -_о ....... '. -.. r -- f I I -- , -.1
...... : : ..- .. . . --о --: . --l --: :
.... - .. _о. --
....... I I о : - - --: -.: _е; : I " . . , о . : !, J
' ..... : -.: -4 :
'- -- '- : о I ..._ --. _о. -.. - -t -
....: j , о --4 - -. , о . i -- , --4 , о ! 1 1 .. i ... : - .1 J_ J
----: . ' .. , , ' '.
о -'. -..:.. . о : о '-. , " ....! о : о . . . .: : , . ; - .
.
-: .. : . -J ! J. ; : ! : - . '. ---i о I -. -. -j о I i , , ; 1 r 0j -. -т f--l , -i. .i. .! : :
" : -- .. .1. , i . . .. -. -. О: _ : -j -.
. I
i -.... -; . --+ , о I , i r -: .... .- -, о : о I ': ,; - .- , : I , i . .: . . j о. . . -i- .1- .1- J. . :
, ..., I . -:.. -1 о : о . - ..- -1_ о : I о -. - .1.
-. -. о i , о , .. о -.- ,
-.... ." '. 1. ":'-..!...!...! " ! ! , , О!",", _. ..... : : : I о ':'0-. .;-._' о о I : : l.'.- '--'---:' ' l ,r .J,'.
о ' о . ' "- -, - о , о i J i- '---.-...""': I 1 1 I I -т-- _0"1-o-l- ..... ·
, ' .
. ,
..... . .! : i -:---:"-:.--.---.-.-. : I ; :" -т-'- --. --:-. -.......--., 1 (']- :
- .......- .:....!. , J : : .-.i---i- j---:_--:_.J I , 1 : (--;--'(--,--. - ;
.. А.... ...1...:., о ': (..ТО.....--- ... ._- .. f I :
_. .... "-..а. ...:.. . I I · : .r .- .е..__. ---.-..... ·
. .......... ..................l....! ..1...1 i ; - :
.
.
-.
,
-i
.
.
. - . ,-... . , .
.... .........
PIIC. 4.28. ДеформированllЯ rеометрии опоры при U пШХ = 0,273 мм, V тax = 0,05 мм
228
... ... ... ... ... .. .. - ... . . . . . . .. . . . . - . . . . . . . . . . . .
... ... ... ... ... .. .. -. , .. ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...... ....... ....... ..... ..... ..... .... .... .... -. .... .. ... .... .. .. ... .. .. "- .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... ...,
. "- "- . ..... '. '. '. ..... .... ... ... ... .... .... .. , . .. ... .. , . . . . . . . . . . - .. . . . . . . .
"- "- ..... ..... "- '- '. "- '. .... " ... ... .. ... .. , .,. ... .. .. .. . . . . . . .. . . . . . - . . . . . .
. ... " ". ".. '-. ... ". , , ... ... ... .. "- уа ,., '" .,. .. ... .. . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . .. .
IC JC Х 1( '" , , , .. ... . . -. у. ,., .. .. , ... ... . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . .. .
" " l' !t !It 'с \ , \ , . . .,. ,с у. 'IC .. .. '. '. '\ . , . . . . . . .. .. .. , . . . . . . .
1..... . ..... --- .IfI1' l1f .. , \ \ , . , I '1 " . .. .. .... "- .. " " . . . , f . . .. .. ... .. , . . . . . .
.... .. . . ;, \ \ \ . ! 1/ " . .. .. ... ... ... .. . . f , . . . ... .. 'It. , . . . . .
\ '. " It / I \ '- , . . I \ .. .. .. . ,
\ \. I / \ '. "- <1 I , .. .. ... . .
, \ )( 1 \ 1t IC , . , . . . .
\ 1t )( "- " , . " . . . . .. . . .
. х "- Х х . . 8t Х .. , . . . . . .
, "- \ , <1 " " , . . . . .. .
I / 11 " , , , " - , . , . . . .
I / ,. . , \ I .,. . , \ I , . . . .
.... .... . "'" ." 1..... )( . . . \ , ... . ... ... ... ,Х . ... - . , \ \ . . . ... . ... ... . . . . . .
IC . N .- /' ,,.. '" :< ..,. ... ... . + t: " , .. .. . tI : .. ... . . , . . . . . - .- . . . . . . .
; ..- 1..-- .111 i.... .'" " .... ... ... .. ... + ... ". ". .,. 61' , . ... .. . . . . . . . . . . . . . . . .
t....... H L.A'" ". ,- ... ... .... .... .. .. .. .ItI' .. .. , 11' , . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . .
.... ... ... ... .. .... .. .. .... .. .. .. , '" ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...; ..... .. ... ... -. 10.... ... j.... .... ..... .. . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . .
Рис. 4.29. rлавllые н()рмальные напряженlIЯ при М тах
а)
= 862-260 МПа
229
б)
.
о
PIIC. 4.30. TpaeIcr()plIlI папряжеНIIЯ I (а) и 2(6)
а)
2х60 351 2:<60
v)
'" в)
, () tJI!'.
\ ,.
МПа/м
r'
"'
(;::$
0\'
v)
f'1
- .
"
..""
.....'
\.J'
N
3.0+3.5
8 = 10 мм
3.245
PIIC. 4.31. ДIIСП()ЗIIЦИЯ (а) моста 11М. 23 Октября в Новом Саде (6); часть пилона в месте соеДИllе
пия тяr (6); веprикальный железный ЛIIСТ с нarружением в ф<>рме".r (в)
230
у
х
PIIC. 4.32. Сетка J{()нечных элементов с числом ЭJlемеfП'()В 300, ЧИCJI()М узлов БЗ7
а)
.х
б)
fI1
'ХУ
/ ; #
,
",
t9 ' /у
е....
тахох 097,4 МПа тахау- 178,8 МПа max 1'ху. 44,S МП.
PIIC. 4.33. Диarраммы напряжеllИЙ ВДOJIЬ !lИIIИII нarружеllllЯ CJleBa (а) и справа (6) or линии внесе-
11М нarрузDl
пилона рассматривается как плита, напряженная в своей IШОСКОСТИ силами, ко..
торые переносятся с опор roловок анкера в виде линейной нarрузки, изменяю..
щейся по закону квадратной параболы. Из конструкции выделена часть боковой
стенки в зоне анкерования. Значение ее соответствует област , в которой прояв"
ляются rлавные локальные напряжения, возникающие B результате крепления
кабеля. Предполаrается, что боковая стенка вдоль вертикальных rраней полно...
стью свободна. Таким образом опускается воздействие поясов пилона, участие
которою невелико, поскольку в той зоне они ослаблены отверстиями для кабеля.
Сетка конечных элементов, принятая для расчета, приведена на рис. 4.32, а
диаrраммы напряжения вдоль линий опирания l1редставлены на рис. 4.33.
231
Насыпная плотина. На рис. 4.34 показаны поперечный профиль насынойй
ПЛОТИНЫ и сетка конечных элементов, которая применяется при расчетах напря
жения и деформаций,. возникших вследствие собственной ТЯЖести и rидростати
k 'Ek [МПе) , Vk 'Yk [I<Н/М 3 ]
1 sooo 1 0,20
2 80 0,30 18,5
3 500 I O,2S 22,S
2
3
1
Рис. 4.34. НасЫПllаи rравитацllОIlНаи ПJIОТИIlа. CeТIUI конеЧIIЫХ ЭJlеменroв
PIIC. 4.35. ДеформацllЯ IIJIOПIНЫ ,вследствие действия максимальной mдростarической нarрузm
232
PIIC. 4.36. r лавllые напряженlIЯ в корпусе ПЛOl'llIlЫ 11 rpyнтe П()Д ПJI()ТIIной
ческою давления. ПЛотина сооружена трехслойной, состоящей из трех видов ма..
териала, основные reометрические данные о Koтopых приведены на рис. 4.34.
При расчете плотины учитывалось и воздействие rpYHTa под плотиной. Сетка
конечных элементов развита в rрунте ДО rлубины, которая приблизителъно рав--
на высоте плотины. Напряженно--деформационный анализ объекта TaKoro ти--
па ......... комплексный. Обычно ero проводят в рамках нелинейной теории.
Не пытаясь вникнуть rлубже в природу AaHHOro явления, проиллюстрируем
способ расчета напряжения и деформаций в rpYHTe и плотине по мкэ.
Предполаrается, что плоско--деформационное состояние плотины и rpYIOa,
как и линейные связи между напряжением и деформацией, считаются первым
maroM и в более строrих анализах, а вместе с тем этоro обычно достаточно для
рассматриваемой области, исключая места, rдe происходит превы:шение расчет--
ных напряжений по отношению к действительно возможным, т.е. допустимым
напряжениям.
На рис. 4.35 доказано деформированное положение плотины под действием--
rидростатической наrрузки, а на рис. 4.36 ......... интенсивность и поток rлавны:х на--
пряжений в плотине и rpYHTe под ней.
Применение rpаничных элементов. При расчете rравитационных плотин и
друrиx подобных объектов, связанных с rPYHToM, необходимо принимать во вни--
мание взаимодействие объекта и rpYHTa, поскольку состояние напряжения и де--
формаций, как и всей безопасности объекта, зависит от последнеro. В этих СЛУ"
чаях объект и rpYHT рассматриваются как одно целое в рамках единой расчетной
модели. Вопрос о rpаницах, которые очерчивают исследуемый rpYНT и плотину,
обычно остается открытым. В конкретных случаях эта проблема решается на ос..
иове опыта и интуиции.
2ЗЗ
I
Так, например, в rравитационных плотинах принято, что сетка конечных
элементов развивается в rpyнтe от rлубины 0,8 до Н, rде Н ......... высота плотины,
а с боковых сторон ДО одной mирины плотины в основании, что, конечно, зави
сит от свойств rpYHTa и друrиx обстоятельств. На задуманном таким образом
контуре в rpYHTe, в узлах сетки обычно принимаются однородные контурные yc
ловия перемещений. Korдa именно так развивается сетка конечных элементов с
учетом соответствующих сведений о reoметрии, механических свойствах матери
ала и наrрузке, дальнейший расчет проводится обычным способом. Однако как с
теоретической, так и с практической точек зрения остаются две проблемы. Пер
вая относится к выбору caMoro контура, вторая ........ к физическому объему сетки
конечн:ых элементов, т.е. к экономичности расчета. Эти проБJlемы можно pe
шить с помощью так называемых rраничных элементов и комбинаций их с KO
нечными элементами [7].
Сущность этою способа, который приводится здесь в качестве одною общею
примера, состоит в применении решения к полуплоскости, которое можно полу
чить В закрытой форме как контурное условие при решении данной проблемы.
На рис. 4.37 показан рассматриваемый объект как структура 1 и rpYHT, cooт
ветственно полуплоскость как структура 11. Если взаимодействие объекта и
rpYHTa, которые, как предполаrается, находятся в состоянии плоской деформа
ции, заменяется нормальным танrенциальным наrружением, проявляющимся
вдоль линии контакта, то эти две структуры можно рассматривать как независи
мые между собой. Однако зависимость существует и заключается она в неизве
стной наrрузке в месте их контакта, для определения которой необходимо ис
пользовать условия комnатибилъности перемещений объекта и rpYHTa.
I l 3
р
р .....)
у
х
.' 2 3 p .
........ .. . . . . . . . .. '," .. с r р. . R. е JI .с .. J,. ,
i i ! ii f:il1 ii1iil ti lш ш ii litш
Рис. 4.37. НopMaJIЪныe и тaнreнциальные нarружения в месте lC()нтакта объекта и rpyнтa
234
в соответствии с обычным способом уравнения МКЭ дЛЯ структуры 1 MOryT
быть представлены в виде:
[ JI t2 J L :11 == r Ql 1
21 2. 2 ... Q2 .... ,
(4.122
rде
u 1 .... ,
'.
IIP+ 1
.... Ql х ...
Ql )'
Qp+ I х'"
Qp+ I у
V p + 1
О 1 == О, 02 == Ql == J Q2==
у.
I
О р U n Qpx Qnx
v ... ' а ..:. Q ру ... ... Q оу
..... р...
(4.123)
векторы неизвестных перемещений и узловых СИЛ в полной системе координат: u l' Ql ...... в узлах,
находящихся на общем контуре, и2' Q2 в узлах, принадлежащих только' структуре 11.
Составляющие вектора Ql' предстаВЛЯI()щие концентрированные СИЛЫ в уз...
лах на общем контуре, зависят от нормальноro и танreнциальноro наrружений
на этом контуре, которые неизвестны. Если предполаrается определенный способ
изменения этой наrрузки между отдельными узлами, например линейное изме...
1
2
з
р
Рис. 4..38.. АппроlCСНМацllЯ I(()нтури()rо пarружениSf
235
нение, как на .рис. 4.38, то можно установить .непосредственную связь между со--
ставлЯlOЩИМИ вектора Ql и'ординатами наrрузки в 'узлах формы
Ql==Ap,
{4.124)
rдe А ...... квадратная матрица ряда 2рх2р; 'р вектор, .саставлияющие .KOTOporo ЯВJlЯЮТСЯ .значениями
(ординатами) нормальных и танreнциальньис ,наrpузок в узлах.
П дставив (4.124) в 4:и2), получим-систему .из.двух уравнений:
К 11 Ut+Ku В2==Ар ,
,
К 21 Ul+ K 22 U 2== Q2 ,
(4.125)
в которой имеются 2п--неиз-вестные перемещения в узлах и 2р неизвестные
значения реактивных' наrpузок.. Для TOro чтобы получить решение иеизвестны,,
необходимо составить еще 2р уравнений. Их можно получить рассмотрением
второй структуры. Исходя ИЗ решения о перемещениях полуплоскости ввиду
действия урвнения концентрированной СИЛЫ Р, действующей на контуре, и при--
меняя теорию комплексныx функций, получим в закрытом виде:
р ,
и== (1 +v)(1 2v) za X O l
2Е
р
u== (I+v)(1 2v)
2Е
.
X O.
(4.126)
2Р d
v == (1 'J2)/11 .
1tE Х
к
у
PIIC. 4'.39. ЛlIнейноо IIзменение нarр енlIЯ между Уз"'18Ми на к()шуре
236
. Для произво.льно распределенной по контуру наrрузки, предполаrая ее ли..
нейное применение от узла к узлу (рис. 4.39) и используя принцип суперпози..
ЦИИ, получим:
(1 +'/)(1 2v) J
U k ' == · е р . t
I 2 Е I
Vki ==
2(1 'J2)CPi [ d I
'n (n+ 1)2/0 I п+ 11 +n 2 /п I n I
7tE с 2
+(n 1)2Jnlп 11+312}
(4.127)
На основании этих выражеНИЙ можно следующим образом установить непос...
редственную связь между перемещениями в узлах l,Ia контуре полуплоскости и
ординатами нормзльныx танreнцизльныx наrpузок:
u == 'р ,
(4.128)
rде и вектор с roризонтальными и вертикальными перемещениями в узлах контура; F матрица
важных ФУНКЦИЙ, к()Торая вычисляется по (4.127); р вектор ординат танreнциальных и нормаль
IIЫХ наrpузок в Узлах.
Таких уравнений имеется 2р, так что вместе с выражением (4.122) они
представляIOТ собой полную систему 2(п + р) уравнеНИЙ с Таким же числом не..
извест х в ней.
После приведения в порядок систем уравнений (4.122) и (4.128) их можно
оформить в следующем виде:
[ K J1 +КIJ К12 ] [ UI ] = [ О ] ,
К 21 К 22 Н 2 Q2
(4.129)
rдe
KII==AF 1
(4. 13Q)
.... матрица жесткости структуры 11, в данном случае полуплоскости.
В системе (4.130) матрица Kll может считаться матрицей жесткости одною
бесконе 1 IНО больmоro элемента, заменяющей целую структуру 11 (полупло...
скость), которая в определенном числе точек связана с конечными элементами,
находящимися на rpaнице структуры 1 и называющимися zранuчнЬLМU эле.мен
тами.
237
.50.
о
:Е о а 14000 МП.
0=0.167
Рис. 4.40. rравитационнав ПJIотина высотой 60 М. Сепа конечных ЭJlеменroв в ПJIOТИне 11 rpyнтe
( ) МКЕ; ( ) lCонечны и rраиичны ЭJlем нты
Из системы уравнений (4.129) МОЖНО определить перемещения в узлах, а
затем обычным способом и остальные статические и деформационные воздейст..
вия. Для иллюстрации этоro способа приведены результаты расчета rравитаци"
ОННОЙ плотины, находящейся под mдростатической нarpузкой и действием соб..
ствеиной тяжести.
С целью сравнения результатов расчет проведен обычным способом с сеткой
конечных элементов, которая показана на рис. 4.40. Применяется сетка из 140
треуroльных конечных элементов с узлами в вершинах и серединах сторон; кои..
струкция плотины разделена на 37 эле,ментов, а ОСТЗJIl,ные конечные элементы
принадле ат rрунту.
238
а х
_...---"" _ е........
tt1I"""" - .. ..-
,,'
10
С
:i
..
Ь
..
""'"'"
оа
N
r-:....:
\CJ i'
...
,,
0\ ...
..00
NN
.... ...
..- . ....-,
".1'
f'\
88
... ...
Рис. 4.41. Диarраммы нормальных танreнциaJIьных напряжений в месте к()вrапа ПЛOl'ИНЫ и rpyнтa
во втором случае, используй rpaничныe элементы, сеткой конечНЫХ элемеи..
ТОВ охвачена КОНСТРУКЦИЯ плотивы и ТОl{ЬКО один р.sщ элементов. . rруите (СМ о
рис. 4.40). Таким образом, система имеет Bcero 61 ковечный элемент.
На рис. 4.41 показаны нормальные и танreнциaJIьныe напряжения в шве
ФУIIДзмента, полученныe вышеописаННЫМИ способами. Различия составлsпoт ме,..
нее 5%. Результаты, полученные с применением rравичиыx элементов 1 более
точные, а расчет более Бьlcтрый. в конкретном примере: время работы ЭВМ в
первом случае составило 4' и 20", 80 втором....... ТОЛЬКО l' и 30".
239
fЛ8ваS
TPEXMEPHLIE ПРОБЛЕМЪI
.
5.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Анализ трехмерных проблем теории упруrocти по МКЭ сводятся к простому
расширению рассматриваемых двумерных проблем путем введения еще одноro
HOBOro размера. Таким образом, вместо Э.,ТIементов треуroльной и прямоуroльной
форм ,как самых простых)в двумерном анализе появляются тетраэдр и rексаэдр
как основные формы элементов в трехмерном анализе. Хотя с формальной точки
зрения речь IfДeT о простом обобщении наблюдений, изложенных в предыдщейй
rлаве, однако в практическом применении МКЭ в области TpexMepHoro анализа
возникают серьезные дополнительные трудности. Их относят прежде Bcero к
значительному увеличению объема работы. В связи с этим они влияют на Tex
нические возможности при определении решения и на экономичность получен
HOro решения.
По сравнению с двумерными проблемами число степеней свободы в TpeXMep
Hых, полаrая неизменным качество аппроксимации, возрастает несравнимо. Рез
кое увеличение степеней свободы в той же мере приводи'r к возрастанию числа
входных данных для описания проблемы, возрастанию объема выходных резуль
татов и.. числа уравнений, а также. к увеличению ширины ленты в матрице сис
темы, которую необходимо решить.
Так, например, если в напряженно..деформационном анализе одной плоской
проблемы применяется сетка 10хl0 в 100 узлов, то общее число уравнений pe
mаемой системы
около 200, при этом ширина ленты, исходя из выражения
(2.54), ....... 20. У эквивалентной трехмерной проблемы появляются 1000 узлов,
соответственно около 3000 уравнений с шириной ленты 300. Для больших сеток
увеличивается и неблаroприятное соотношение. Например, если принимается
сетка 30х30, что для плоской проблемы часто и нужно, д.а и реально осуществи
мо, то тоrда число уравнений составляет уже около 1800, ширцна ленты 60, а Б
случае пространственной проблемы ....... около 81000 уравнений с шириной ленты
2700. Часто и это становится весьма серьезной задачей для возможносТей боль
ших вычислительных систем.
Следует иметь в виду и то, что реальную конструкцию, представленную сис
темой пространственных конечных элементов, зна1JИТельно труднее наблюдать
визуально, чем в случае плоских проблем. С учетом низкоro уровня аnпрокси
мации поля основных неизвестных применение пpoctых пространственных эле
ментов неминуемо ведет к ещ
большему числу элементов. В связи с этим пре
имущество, которое часто эти элементы имеют перед CJlожными элементами нЕ.
основе их единства" в этом случае не имеет значения по сравнению с плоски
n:
проблемами.
В области TpexMepHoro анализа преимущество обычно оказывается на CTOpo
не сложных элементов с большим числом степеней свободы, которые HaMHOf(
240
сложнее для описания, но при этом дают возможность получить решения со зна..
чительно меньшим числом уравнений. По этой причине больше находит приме...
нение изопараметрическая концепция МКЭ, в которой те же интерполяционные
функции используются для аппроксимации ОСНОВНЫХ неизвестных и reометрии
элемента.
При расчете пространственных проблем теории конструкций В основном при..
меняется метод деформации, поскольку при выборе интерполяционных функций
для перемещений достаточно СО"континуитета. Методы сил и смешанный ис..
пользуются редко, так как при выборе интерполяционных функций ставятся бо..
лее строrИе условия. Например, для применения метода сил с функцией напря..
жения как основной неизвестной необходим С1"континуитет, что в этом конк..
ретном случае обеспечить нелеrко.
5.2. ЭЛЕМЕНТЫ
Тетраэдр с узлами в вершинах. Самый простой трехмерный элемент имеет
форму тетраэдра с линейным изменением поля перемещения. У злы расположены
в ero вершинах, а основные параметры являются составляющими перемещения,
так что элемент имеет Bcero 4хЗ = 12 степеней свободы. С учетом линейноro
изменения перемещений состояние деформации в элементе ....... постоянно, а поэ...
тому он ана.,т) оrичеи CST элементу, который применяется в двумерном анализе.
На рис. 5. показан элемент в форме тетраэдра, у KOТOpOro вектор ОСНОВ{lЫХ не..
известных в уrлах
qT == [q1 q2 q) Ч4] )
( (5.1)
rде
u
qi == V
(5.2)
W L
i == 1, 2, З, 4 ')
и, У, W составляющие вектора перемещений в напрамении осей х, у, Z.
4
t
3
2
Рис. 5.1. ЭJlемент формы reтраэдра 12-ью степенями свООоды
241
Вектор перемещевий в элементе имеет три составляющие
u
в== v }
w
(5.3)
которые являются непрерывыыии функциями координат точек:
U== l +«2 Х+Ж3 Y+ 1X 4 Z ;
V;;: 1 + 2 X+ 3 Y+ 4l
W==Yt +"(2 х+уз У+У4 Z I
(5.4)
соответственно
в==А (1.
,(5.5)
Если выражения (5.4) представить для точек в вершинах тетраэдра, то уста...
навливается прямая связь между перемещениями в узлах и универсальным ко....
ординатами d,1...-rl 4 , так что после ввода в уравнение (5.5) и исключения векто"
ра rL., получается:
t
u== (al + Ь 1 х 1 Cl y+d j Z)U 1 +
6У
+ (а 2 + Ь 2 х+ С 2 у+ d 2 z) U 2 +
+(аз Ьзх+сзу+d)z)u)+
+ (а.. + Ь.. х + С 4 У + d 4 z) u. ,
(5.6)
rде V M ЭJlеме:;-,!l; Qi' b i , ci' d i (i = 1, 2, 3, 4) коэффициенты, которые определены выра..
жениями ff.55). 1 .) ·
Составляющие перемещений v и w определяются также с помощыо выраже...
ния (5.6), только лишь на место перемещения И; необходимо поставить Vi' СООТ--
ветственно wl (i = 1, 2, З, 4). По этой причине связь между перемещениями в
элементе и параметрами перемещений в ro узлах можно выразить в матричной
форме следующим способом:
u==[IN 1 IN 2 INз IN 4 }q)
(5.7)
rде 1 t;;диничная матрица третьею ряда;
1
N. =: ( a. + ь. х+с. у + d. z)
I 6У 1 а 1 I
i::: 1, 2, З, 4
(5.8)
242
......... функции формы, с помощью которых проводят линейную интерполяцию пе..
ремещений.
С помощью интерполяционных функций (5.8) и с учетом их линейноro из...
менения обеспечивается континуитет перемещений на контурах между отдель"
ными элементами.
Если определено поле перемещений, то составляющие деформации можно
установить по выражению
"...
Ех U. х
Еу У,у
еж ..... W.7- == Lu ) (5.9)
Уху U.y+V. x
..
Yyl. V,r.+W,y
... у zx ___ W, х + u, L..l.
соответственно, учитывяя выражение (5.7)
..... .....
q.
Е == Bq == [В) 82 8) 11..] q2 )
Чj
q4
..... .....
(5.10)
rде
---N f, Х О О .....Ь . О О
I
О Nj,y О О с. О
I
В.== О О N j,.z 1 О d.
О (5.11 )
I I
6У
N j . y N j , х О с. Ь. О
I I
О N j , z Ni,y О О. с.
I I
N. 'о N. d. О b j ..... i == 1 t 2, 3, 4.
..... 1, Z I , х..... ..... I
Из выражения (5.11) видно, что элементы матрицы В ......... постоянны, а это
значит, чТо и все состав.пяющие деформации в элементе постоянны. Такой эле'"
мент называется mеmраэдрОJ.t с постоянными деформациями.
Связь напряжения и деформации в общем случае при наличии начальных
деформаций Е о и начальных напряжений 6 о дана в выражении
(J==D (t: €o)+ao.
(5.12)
f
243
Для случая с однородными изотропными телами и термическими влияниями
матрица Д и вектор О представлены выражением
'1 '1
I v 1 ....:: v
'1
1 y
о== Е(1 v)
(1 +'1)(1.......2'1)
J 2v
2 (1 v)
(5.1 З)
I 2 '1
2(1 v)
симметрично
I 2 '1
2 (1 v)...
-Е r == [ос IX (1 О () О]
rде Е ...... модуль упруrocти; ,, коэффициент Пуассона; t ..... интенсивность температуры;
эффициент термическоro расширения.
Структура матрицы Д в общем случае представлена выражением (1.26).
Матрицу жесткости и вектор сил в узлах элемента соrласно уравнению
(2.42) можно получить 11 эксплицитной форме, поскольку деформации, появляю"
щиеся 'в подынтеrральных выражениях ....... ПОСТОЯНIlЫ. Общий блок k ij (t, j = 1,
2, З, 4), который имеет ряд ЗхЗ матрицы k, вычисляется по выражению:
KO
k.. == вТ , . ОН. V
J '
i, j l, 2 3,4
(5.14 )
rде V <>бьем элемента.
Тетраэдр с линейным изменением деформаций. Для аппроксимации переме..
щенJPi в предварительно рассматриваемом тетраэдре с узлами в вершинах при..
менялись полные полиномы первоro ряда с четырьмя универсальными коорди..
натами. Первый высший уровень аппроксимации ... если д.,1fЯ интерполяционных
функций выберут полные полиномы BТOporo ряда с десятью универсальныи ко..
ординатами. Таким образом получается тетраэдр с десятью узлами, т.е. Bcero 30
степеней свободы по три в каждом уrлу (рис. 5.2). Для описания этоro элемента
самой удобной является система естественных объемных координат L i (t = 1, 2,
З, 4).
244
4
КООРДИНАТЫ УЗЛОВ
з
УЗЕЛ L. L] L3 L4
1 I О О ,О
2 О I О О
3 О О I О
4 О О О I
5 1/2 t /2 О О
6 О 1/2 1/2 О
1 1/2 О 1/2 О
8 1/2 О О 1/2
9 О 1/2 () 1/2
10 О О 1/2 t /2
z
у
Рис. 5.2. ЭJlемеllТ фС>рмы reтpаэдра с 30-ью степенями своООды
Связи между перемещениями в ПРОИЗВOJIЪной точке элемента и узлах даны
обычным способом:
10
fI
u==' N.u.
L- I I I
i = 1
)0
"
v=="N.v.
I I t
i = 1
(5.15)
10
W === , N. w.
I . 1
i= 1
rдe N i (; = 1, 2...10) интерполяционные функции, которые в системе естественных координат
представлены выражениями:
Nt==LI (2 Ll ))
N 2 ==L2 (2 L2 1);
N з ==L з (2 Lз I)
N 4 ==L4 (2 L4 1)
N s ==4 L I 1.'2 .
N 6 ==4 L 2 L3.
,
N 7 ==4 L3 LI ;
Ns==4 L. L4
N 9 -==4 L 2 L4 .,
N 10 ==4 L3 L4 .
/
(5.16 )
245
Составляющие деформаций получаются по (5.9) дифференцированием Bыpa
жения перемещений:
x ....N О О ... а \f О О
х
Е,. () N. у О О b\t U
u q..
с- О О N. z О О с\lf
"'z == Bq (5.17)
v qv
N. у N. х О 6У b\lr a\lf О )
УХУ
\'1 qw
YYZ О N. z N. y О с\lf b\lf
У zx ...... N О T'\l, х .... c\(f О a\lr
.... . l
rде
....4L, I () О О ' 4 L 2 О 4 L3 4 L4 О О
О 4 L I () О 4 LJ 4 LJ О О 4 L4 О
0/== 2 )
О О 4L ] о о 4 L 2 4 L: О О 4 L4
J
О О О 4 L I О О О 4 Ll 4 L 2 4 L3
4
а := [а I (\4] " ....
a z а U. v 1 W.
3 ,
u 2 У 2 W 2 (5.18)
Ь == [h, Ь 2 h3 h ] \. ,
qtl == . qv == . qw==
.
4 .
С == [с. С- 2 С 3 С 4 ] ,. ... U t А ..... ... V I О .... W
, .... I ()
Поскольку элементы матрицы 0/ являются линейными функциями координат
Li' то поле деформаций в элементе аппроксимируется линейными функциями. В
этом случае элемент обычно обозначают как LSTh........ элемент или тетраэдр с
линейными деформациями. Если обозначена связь между векторами деформации
и пара метров перемещеНИЙ в узлах выражения ,(5.17), то дальнейший порядок
определения матрицы жесткости элемеН1а и вектора сил в узлах подобен пред"
mествующему случаю с тетраэдром с постоянными деформациями (CSTh).
Элементы высшеro ряда формы тетраэдра. Наряду CSTh и LSТh элемента"
ми с постоянными и соответственно с линейными деформациями применяются
элементы формы тетраэдра с высшей степенью аппроксимации поля перемеще..
ний или деформаций. Поскольку для аппрокс.имации перемещений LSТh....эле..
мента взят полный полином второю ряда с десятью членами, то первый следую..
щей высmей степенью аппроксимации является полный полином TpeTbero ряда,
который, как тетраэдр Паскаля (см. рис. 3.8), имеет 20 членов.
Таким образом, составляющие перемещений и, v, w выражеются в форме
U==rx.l +«2 Х+ОСЗ У+ ОС 4 Z+OCs х 2 + ОС 6 ху+
+ОС7 XZ+OC8 y2+ocg YZ+(XIO Z2+ 11 х 2 у+
+rx.12 х 2 Z+ OC 13 x 2+(t14 XYZ+CXI5 XZ 2 +(X16 у 2 z+
+OC17 yz2+<X18 х2. YZ+ct19 ху2 Z+CX20 xyz2 a
(5.19)
246
4
1
о и, У, w
@ U: У, W: и: Х , и,у, и:-7. 4
V. X V,y, V'Z'
W'X ' W 'у, \V,Z
4
3
Рис. 5.3. ЭJlемеllТЫ фС>рмы тетраэдра с 6О ью степенями свободы
4
1
2
а)
о
и, У, W
@)
uvwu U U
, , , ,Х J ,у, ,Z,
У.. х , V,y, У,2.
W,x, W'f" W"l
4
з
3
..
2
Ь)
PIIC. 5.4. ЭJlемеlПЫ формы тетраэдра с 48 ью степеНЯМII свободы
247
PIIC. 5.5. СуперэлемеllТ фС>рмы rексаздра
Так как в полиноме формы (5.19) для каждой составляющей перемещений
появляется по 20 универсальных координат, то понятно, что элемент в целом
имеет Зх20 = 60 степеней свободы. Выбор узлов или соответственно степеней
свободы проводится в этом случае одним из двух способов, представленных на
рис. 5.3. .
В первом случае (рис. 5.3,а) узлы находятся в вершинах, в третьих частях
образующихся и центрах тяжести тетраэдра с тремя степенями свободы (и, v, w)
в каждом узле.
Во втором случае (рис. 5.3,6) узлы выбраны в верmИIlах и центрах сторон
тетраэдра, а за основные параметры вершинных узлов приняты перемещения и
их первые производные, в то время как в узлах в центрах сторон как параметры
появляются только перемещения. В обоих случаях элементы имеют по 60 степе..
ней свободы. Наряду с ними часто применяются и элементы формы тетраэдра с
48..ю степенями свободы (рис. 5.4), у которых в качестве интерполяционныx
функций используются неполные полиномы третьею ряда.
В конкретных случаях при расчетах пространственных конструкций доста..
точно трудно определять и визуально наблюдать сетки конечных элементов в
форме тетраэдра. По этой причине часто применяется сетка прямоуroлъных reK'"
саэдрских элементов в качестве суперэлементов, составленных из определенноro
числа тетраэдров.
При обозначении сетки суперэлемента для заданноro числа тетраэдров в
рамках проrраммы ДЛ. ЭВМ сетка тетраэдра образуется автоматически. На
рис. 5.5 показан один из таких суперэлементов, состоЯЩИЙ из пяти тетраэдров.
Элементы формы прямоуrольноrо параллелепипеда. В rруппе reксаэдрских
элементов самым простым является элемент формы прямоуroльноro параллеле..
пипеда с узлами в вершинах (рис. 5.6). За основные параметры в ero узлах при.-
няты составляюшие перемеmений и, v, w, так что элемент имеет 24 степени CB9
248
2с
Рис. 5.6. Прямоyr()JIЬНЫЙ параллеJIеПllпед с 24-мя степенями свободы
боды, по три в каждом узле. Исходный для аппроксимации поля перемеще
ний ...... полином формы
U==«l +«2 Х+«3 У+ ОС 4 z+<xs ХУ+ ОС 6 YZ+ CX 7 ZX+OCS xyz <t
(5.20)
Коrда обычным способом с помощью параметров перемещений в узлах иск
лючаются универсальные координаты i' то получаются интерполяционные
функции .
1
N k ( . "'1. Q == 8 (1 + k)(l + "'I"'Ik)(1 + I:k)' k 1, 2 ... 8 )
(5.21)
с помощью которых устанавливается связь между перемещения и в точках эле
мента и перемещениями в узлах. Изменение перемещений в ЭТОМ случае .......... ли
нейное.
На рис. 5.7 показан элемент формы прямоуroльноro параллелепипеда с 20--ю
узлами, который в случае трехмерных проблем имеет 60 степеней свободы.
Рис. 5.7. ПрямоyrОJIЬНЫЙ параллеJlепипед с БО-ью степенями свободы
249
интерполяционныe ФУНКЦИИ этоro элемента MOryT быть получены, если из
менение перемещений представить в форме полинома:
U==rtl +(12 Х+Otз Y+ Ot 4 z+a.s ХУ+ ОС 6 YZ+OC1 zx+
+ОС8 xyz +<Х9 X 2 + Ot lO у2 +ОСl1 z2+ ftl2 х 2 у+а.13 х 2 z+
+OC14 у2 X+«lS у2 Z+<X16 z2 X+C't17 z2 Y+fX18 х 2 yz+
+Ot19 ху2 Z+ OC 20 xyz2===u(2),
(5.22)
с 20 ю универсальными координатами.
Изображением уравнений (5.22) для узлов элемента после исключения
(i = 1, 2...20) для интерполяционных фУНКЦИЙ получаются:
i
J
N k ( , 1), ) == (1 + ) (1 + 1111k) (! + k) ( k + 11k + k 2)
8
(5.23)
......... ДЛЯ узлов в yr ax паралллелепипеда;
соответственно
/
1
N k ( , 11, t) == (1 .:.. 2) (1 + k) (1 + k)
4
k == О, "I1k == :f: 1, k == :f: 1
(5.24)
......... для узлов в центрах кромок Элемента. Изменение перемещений в этом эле
менте квадратное.
подоБныM способом определяется элемент с кубическим изменением переме
щений (рис. 5.8), имеющий 32 узла, которые распределены по уrлам и D точках
Рис. 5.8. Прямоуroльный параллеJlепипед с 96..ью степенями свободы
250
третьей кромки параллелепипеда.\ Таким образом этот элемент в трехмерном
анализе имеет 96 степеней свободы, в каждом узле по три. Исходя из поли
нома
U:::;:U(2)+ CX 21 Х 3 + СХ 22 У}+«23 Z3+«24 х 3 Y+ tX 2S х 3 z+
+ 26 у3 X+tX27 у3 Z+«28 z3 X+tX29 z3 у+
+(130 х 3 YZ+«31 уЗ Х2+«32 z3 ух
(5.25)
для интерполяционных функций получается:
1
N k ( . , t) == (1 + k) (1 + "t)"tJt) (1 + ?:k) [9 ( 2 +.,,2 + 2)..... 19]
64
(5.26 )
.......... для узлов в уrлах;
соответственно
9
N k ( , У), ) == 64 (1 2)( 1 + 9 k)( I + '1J'1Jk) (1.+ .)
( k == + +, Y)k == :!: 1, l::k == .:!:--l )
(5.27)
для узлов в точках третьей кромки элемента.
Элементы формы параллелепипеда, показанные на рис. 5.6 5.8, имеют
только внешние узлы. С целью аппроксимации поля перемещений примен.ядись
неполные полиномы первоro, BTOporo и TpeTbero РЯДОВ. Так что эти элементы по
своей природе относятся к семейству элементов. Однако в качестве интерполя--
ционных функциЙ пространственных элементов формы параллелепипеда MOry.T
применяться полиномы Лаrранжа. Тоrда в общем случае интерполяционные
функции имеют вид
N k ( : 1), ) == L ( ) Lj (1)) Lf ( )
(5.28 )
: k обозначение узла с координатами S ;'1;' ([; индексы т, n, р ряд полинома с учеТОl\l f ,rz,
Элементы с интерполяционными функциями в форме полиномов Лаrранжа
(см. rл. З) имеют наряду со внешними еще и внутренние узлы, что, в свою Qче
редь, неблаroприятно, поскольку их необходимо исключать до формирования ко...
нечной системы уравнений. На рис. 5.9 приведены два элемента, отвечающие
квадратным или соответственно кубическим полиномам Лаrpанжа. Первый из
них имеет 21 узлов и 81 степень свободы, второй соответственно 64 и 192.
Наряду с полинома?fIf Лаrpанжа как интерполяционные функции можно
применять и полиномы rермите. Общий вид интерполяционных функций тоща
следующий:
N ( , , == N1 ( ) NJ (1)) Nk ( ) )
(5.29)
rде Ni( )' Nj( ) и Nk<Q полиномы rермите первоro вида, которые получены из выражения
<4.21).
251
\.
Рис. 5.9. Jl[рям()yr()льные п анствеИllые элемеmы типа Лarранжа
Если в качестве интерполяционныx функций используются полиномы rep
мите, то за основные параметры узлов принимаются перемещения и их первые
производные. На рис. 5.10 показан один такой элемент с восемью узлами и 96 ю
степенями свободы по 12 в каждом узле.
Элементы в виде reксаэдра просты и 'удобны для дискретизации тела сеткой
конечных элементов, если тела оrраничены правильными nЛОСКИI\fИ контурами.
Между тем, коrда речь идет о телах неправильной формы, оrраниченных кривы
ми поверхностями, для аппроксимации reoметрии тела необходимо большое чис..
ло элементов. Это весьма неблаroприятно, поскольку пространственные элемен..
ты как правило имеют большое число степеней свободы. По этой причине доста..
точно часто используют криволинейные изопараметрические элементы, с по..
U,V,W
U,x U" U'Z
V'X У" V'Z
W,'I W'y W'7.
Рис. 5.10. Jl[рямоyr()льиый ПрОСТР8llственный элемеm типа rермите
252
Рис. 5.11. Квадрarная (а) и JCY6l1ческая (6) IIнтерПОJlЯЦIIИ, П()JlIIНОМЫ rермиre (в) трехмерных изо
параметрических ЭJlементов
мощью которых лучше и значительно экономичнее решаются вышеописанные
проблемы.
На рис. 5.11 ПQказаны три изопараметрических элемента, которые коррес--
пондируются с элементами с плоскими сторонами на рис. 5.7 5.10 .
Возможность выбора простых трехмерных элементов, очевидно, значительно
больше, чем в случае двумерных элементов. Наряду с уже представленными
элементами достаточно часто примеьяются элементы формы трехсторонней
призмы, которые MOryT иметь как различное число узлов, так и степеней свобо--
ды. Интерполяционные функции для всех элементов полиномы Лаrранжа и
соответственно функции типа Serendipity элементов.
В таблице представлены элементы, которые применяются в области трехмер--
HOro напряженно--деформационноro анали-за конструкций.
253
ЭЛЕМЕНТ
ОСНОВНЫЕ
НЕИЗВЕСТНЫЕ
и, V, W
U, V, W
и, У, W
o U, V, W
и, V, 'У/
o и, v, w
U, х и, у и, Z
v,x v'Y V'Z
W, х W, у W, z
U, V, W
U,X u'Y U'Z
V,x v'Y V,Z
W, х W, у W, z
U, V, W
U, V, W
и, V, W
П, У, W
U, V" W
Таблица
ЧИСЛО ЧИСЛО РЯД
УЗЛОВ СТЕПЕНЕЙ ПОЛИНОМ
СВОБОДЫ
4
10
20
16
20
32
27
64
12
30
60
8
60
48
4
48
8
24
60
96
81
192
1
2
з
з
3
НЕПОЛНЫЙ
3
НЕПОЛНЫЙ
1
2
3
НЕПОЛНЫЙ
2
з
U, У, W
о,х U'y U,z
У,Х У'У V'Z
W,,, W, у W, z
U, У., W
U, У, W
U, V, W
U, У, W
и, У, W
и,х U'Y U,z
У,Х У'У v,z
W, х W, У W, z
I
и, У, W
и, V, W
U, V, W
и, У, W
Окончание таблицы
8
96
10
30
20
60
20
'60
32
96
8
96
6
18
IS
45
26
78
18
S4
3
rЕРМИТЕ
2
3
2
3
3
rЕРМИТЕ
1
2
3
2
rлава6
РОТАЦИОННО..СИММЕТРИЧНЪIЕ ТЕЛА
Тела, которые образуются в результате ротации плоской области около c:
ной оси (оси ротации), называются poтaциOHHЫJ,f,и или осесu.м.метрuчнblМU. П:
скольку подобные тела часто встречаются в различных инженерных KOHCTPYКn=
ях, необходимо отдельно рассмотреть состояния напряжения и деформаций,
также их определение мкэ.
Если внешние воздействия...... наrрузки, температура и друте, как и yc."!:
вия опирания симметричны по отношению к оси ротации, что встречается дocт
точно часто, то все рассмотрения в связи с ЭТИМ относятся к области двумернс:--
анализа. Тоrда математическая формулировка становиttя очень схожей с фс;
му лировкой плоской проблемы теории упруrocти.
Аппроксимация ротационно симметричных тел с сеткой конечных элемент::
проводится с помощью элементов, имеющих симметрию по отношению к оси p:
тации. Конечные элементы представляют собой кольца с пост-оянными попере
ными (радиальными) сечениями, которые MOryT "меть различную форму. В к.:-
честве поперечных сечений колец обычно принимаются простые формы: тре:-
roдьник, прямоуroльник или какая то друrая форма конечиоro элемента, отвечz
ющеro двумерному анализу (рис. 6.1).
;j -
. :; .} : *1..
.. .':i. ..
Рис. 6.1. К()неЧllые элементы для анализа осесимметричных проблем
256
6.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
rеометрическому опи
нИIO, как и для друrих рассмотрений ротационно"сим"
метричныx тел, отвечает использование цилиндрической координатной системы
т, z, . На рис. 6.2 в системе этих координат показаны составляющие вектора
перемещений, тензоров деформаций и напряжений с конвекцией их положи..
тельныx направлений.
у
v
z
"'2
Рис. 6.2. OCH()BllЫe стarичесхие и хинемarичесхие веЛИЧIIНЫ
Связь между составляющими деформаций и составляющими перемещений
можно выразить матричным уравнением
€:=Lu,
(6.1)
rдe
е , д/де О О
e z () О д/дz
\1
ев . I/r 1 д
C.
,L== О в== v
r дО t
w (6.2)
1rt. д/дz О д/дr ..... --
д/дO 1
1ro
+дlдr о
е r
Yze О д/дz
д/дО J
r
...... соответственно вектор деформаций, матрица--операТ()р и вектор перемещений.
257
Связь между составляющими напряжения и составляющими деформациЙ в
случае изотропных упрymх тел дана в выражении
cr==Dc.
(6 З.)
rде
(J == 0'0
"D== Е
(l+v)(1 2v)
1 " v
v 1 "
v v
v
G r
G z
v
1.....'1
1',z
1 v
2
(6.4)
1'r8
1 "
2
1'Z8
I v
2
-..,;
вектор напряжения и матрица коэффициента упруrocти соответственно.
Условия равновесия представлены уравнениями:
1 Gr 0'8 '
(J r, r + т r 8, 6 + l' а, z + + F r == О ,
r r
1 't' rz f
(J 2., Z. + "t' i' z, r + l' z О. О + + F z == О ,
r r
I 2"t'f)r
0'0, 0+ 1'0 '. r + 't'z о. z + + F 8 == о.
r r
(6.5)
в случае ротационно"симметричных внешних воздействий все reометриче
ско..статические величины становятся инвариантными по от:воmению к коорди
нате В. Кроме тoro" составляющая перемещений в направлении касательной кВ
линии v и составляющие тензора деформаций rro и r ZO' соответственно напря
жений t;.., и T z8 , paBны нулю. Таким образом, вектор перемещений и деформа
ций е и вектор напряжения t1 можно записать следующим образом:
J .1. -- ....zJ J. --
'D 'э [:]==n
zD ==.0 7"!1 ==1 (6.6)
.:.
Jl) J э
258
а матрица L и Д:
01"[ о
L == О dft) z
Ifr О
d/oz d/or
t
"
'l
"
(6.7)
I
v
v
Е
D==
(1 + '1) (1 .... 2 ,,)
1....'1
симметрично
I
2v
2
...
Уравиеви.я (6.5), представляющие условия равновесия, получат JJИД:
ar
a. .
a r . r +
r
.& +
+ f r ::;:; О \
r
(6.8)
'Т,
F
fJ z . z + 1",-., +
+ z = о.
r
При наличии начальных деформаций или начальных н.апряж.ений' уравнение
(6.3) будет:
cr ::;:: D (.
.0) + а о " (6.9)
О'" о
&r а,
.0=
t)
&
О
ее
о
.... у '
....
00==
a
о
ао
о
.
.. rz__
<6.10)
6.2. ЭЛЕМЕНТЫ
элементы' применяемыe в осесимметричныx телах, представляют собой из..
BecI'HOe обобщение дByMepныx элементов. Последние имеют форму кольца С по
стояниым поперечныM сечением различною вида. В целях упрощения рассмот;-
рим элемент, поперечное сечение которою является треуroльником с узлами в
верИIИВах. Подобным же образом можно вывести соответствующие выражения
ДJlSI более сложных элементов
в форме ,треуroльника с большим числом уз"
лов, четырехуroльвика или изопараметрических элементов.
На рис. 6.3 показан элемент с треуroльным сечением, лежащий в nлоскоссти
т, z с УЗJIами в вершинах треуroльника. В действительности, цоскольку элемент
259
Z, W
з
1
2
X,U
Рис. 6.3. Поперечное сечение кольцевоro элемента с шестью creпеНSlМИ свободы
представляет собой круroвое KOJIЬЦO, радиальное сечение котороro треуroльвик,
узJIы элемента становятся узловыми круrами с центрами, ле.жащими на оси ро"
тации.
Для составтпощих перемещеИИЙ в плоскости оп этоro элемента, как извеет..
во, предполаrается линейное изменение в зависимости от координат r и z. Связь
между перемещениями в произвольной точке элемента и перемещенШlМИ в уз..
лах будет, как и ранее
u==Nq )
(6.11)
rдe
u == [ : ] N == [ I
qT::[U 1
о
N.
N 2
О
о
N 2
N э
О
о ] It
N '
3
W 3 ]
(6.12)
W,
U 2
W 2
U Э
....... соответственн() вект()р перемещевий, матрица интеРП()Л5lЦИОННЫХ функций и вектор перемещенitй
в узпах элемента.
иитерполя:циониыe функции данн в соотв етств ии с выражением (4.43):
I
N i ==.............. (а ё + b j r + С ё Z)f
2L.\
i == 1, 2, 3)
(6.13)
rдe
l r. Z. а. == r 2 Z) r э Z2 :
l ,
l1== 1 r 2 Z2 Ь. == Z2 Z) , (6.14)
2
1 r э Z3 С. == r э r 2-
...
260
Связь между составтпощими деформаций и перемещений В УЗJIах элемента
дана выражением
E==Вq)
(6.15)
rдe
.... д /r О'"
В== О д/дz N)
Ifr О
...д/д z # д/д r
(6.16)
соотв етств еиио
Ь, О Ь 2 О Ь э О
n с о С 2 О С Э
I I
B== I I 1
24 .......... (а. + Ь, r + С. z) О (a2+b2r+c2z) О (аз+Ьзr+сзz) О
r r r
с. Ь 1 С 2 Ь 2 С Э Ь э
(6.17)
Леrко обнаруживается различие Me't'дy матрицей В, которая даиа выражени"
ем (6.17), и соотв етств ующей матрицей ДJ.UI двумерных проблем (4.47). В этом
CJIyчае треуroльвый элемент с узлами В верmииах имеет матрицу В ряда 4х6, а
меньшие элементы ЯВJIЯIOТCЯ фyиIЩIfiIМИ координат r и z. В случае ПЛОСКОЙ про..
блемы теории упрyrocти соответствующаи матрица В ряда Зх6, а ее элемеиты
ЯВJISIЮТCя постояIIIIыми. В обоих случаих элемент имеет то же самое число сте..
пеней свободы. Матрица жесткости элемента выводитси из выражения
k=JBTDBdV
v
(6.18)
"-
rдe д........ дано выражением (6.7); dv ........ дифференциал обьема элеме та
dv==27t r dr dz.
(6.19)
Поскольку подынтеrpaльная матрица в выражеНlШ (6.18) зависит от коорди"о
нат точек т, z, то определение элемента матрицы k предстаВJlЯется не таким
простым, как в случае плоской проблемы.
Дли вычилениjf элемента k ij можно примеиить способы численной иитеrpа..
ции. Однако в данном случае ДJ.UI треyroльника С узлами в вершинах вычиле..
иие можно упростить, подставив вместо r и z соответствеиио:
1 .
rо=з(r l +f 2 +r з ) I
1
Z==З-(Zl + +Z3) )
(6.20)
261
что' СpQВИе (вemв&e) 3JIa1IeвIИf КOOItд ин 3Т 31IeМeIПOВ .. Тахим обра
3OК З1lемевтн М2I'p.1ПUII k lJН'ЧJICШП01'CJ ДJИr. цев.тра 'I'.жести ЭJJeМeJmI 11 CЧИ'I3IOI'-
C51 DOC'rOЯIIIIЫМИ, поэтому для матрицы жесткости получается ЭКCIШJЩИТВЗЯ фор..
ка
k==2w В" DBr 4.
(6..21)
IОТОрая подобна ЭКСlIJIIЩИТаpllOЙ форме в в IIJIOCI(ОЙ про6леме.
Вектор в иemяих воздейСТВИЙ Q определяется таким же образок, как и в IJJIО"
aroй проБJlеме теории у.прyrocти. Различие СОСТОИТ JlИЕl:tЬ В ТОМ, что здесь состав..
JlVIl1ЩJI е вектора cII.11ы' ОТИОСЯ'I'CJI К ЛИВИИ СУ31l0ВОЙ кpyr), а не ]{ ТОЧIе (узел),
как эro было в щчае ПЛОСКОЙ проБJIемы. Так, например,. если на едИНИЦ У дли..
ин KJJYFa ра.циуса r имеется некая rocтаВJИПOЩaЯ веlCтора Qi' то обща. сила в уз..
Jlе (УЗJIOВОМ кpyre)
QI==2x r 1 Q....
(6.22)
Исходи ИЗ внр3ЖeииsI
Q== fWFdv+ f NТ,ds+ J (RTDEo+BT ,)dY
.. . у
II пpIIIDIМaЯ во ВllllМавие:
dv==2: 'r c.lr CI2 )-
dS==2: r. ds J
дшr вектора В3lpyЖeJIWI ПOJIyЧIDf arедующее.
Нз на,чальных i)eфoР.IИЩ,uil
ОО == 2 1t J ВУ D Е.) rdrdz ..
у
ЕC1JИ СОСТ3ВЛЯ!9щие xтopa Ео постоJlвIIы во всех топах элемента и с апп..
ропвмадиei Bt'V"B, rде В ......... t.Щтрица В ДШ1 центра тяжести ЭJIемеита, то
QQi'= 21t V вт rd.rdz) D =о 2 1t вт О... r А.
(6.23)
Дм начзлъных д*рмацllЙ из..за ВОЗД С1'ВИВ температуры
СО =:, Ж. t
1
J
}
О
-- .
ос« t (1
1
1 О})
(6_24)
.,
после умНожения на Д получИм
Qo == 2 7t Т d Е ВТ
I 2 v
.....1.....
I
I
О
(l t .
'(6 25)
Таким же образом для начальныx напряжений iJ' о будет::
Qo==21t ВТ 80 r А.
От объемных сил. Для составляющих объеМных J rnл Fr и Fz., 6тнос.s1Щихся к
единице объема и имеющих направление Осей r и Z, вектор
Q==27t J NT[::]rdrdz =
1 r О..... [ F ]
== 2 '1t f r , drdz..
О N t r Fz
N 2 r О
О N 2 r
N)r О
О N,) (....
( .2'1,)
Если Р,. == const й Fz. = const, то с ynpolцеиием,,, == r ДЛИ СМН 8 узле
Qi= 2пr(;:],f Njdrdz)
(6..2t)
соотвеТственно (такж , как и в tiучае плоеК0А п jtемы)
ь. [ F ]
Q 1 == 2 7t t......:... ...
3 Fz
t(6..2'9>
Выражение (6.29) достаТОчно тоtПIое. Отст,уnлеlШе от ТOЧiIоto ЗИАчеИШI за.ви
сит от величины элемента и снижается с умеНьшением Эj{е eRtа. Тачное BЫpa
жение вектора Q можно получить при использовании tиct'eМь1 ' веивыx KO
ординат L i . Для Т,реуroльиика с узлами в верmииах при
N!==Li
'263
выражение вектора наrружения
Q==21t!
L. r
О
L 2 r
О
L) r
О
о ..... [ F r ] drdz ..
L. r F.:
О
L 2 r
О
L 3 r .....
(6.30)
Если полудиаметр r в системе естественных координат имеет вид
r==rl Ll +r2 L2+r3 L3
(6.31)
то, подставляя ero в выражение (6.30), получим
Q== 2п 2r,+r2+r3 О (::}
12 о 2r.+r 2 +r)
r l +2r 2 +f з О (6.32)
О r l +2r 2 +f з
r,+r2+2r) О
О r. + ( 2 + 2 ( 3 .....
От поверхностных сил. Для составляющих поверхностных сил РТ И Pz" дей..
ствующих на единицу поверхности контура элемента и имеющих направления
осей r и z, вектор узловоro наrружения
Q == J NT [:: ] ds )
s
(6.33)
rде S поверхность контура, на который действуют поверхностные силы РТ и Р z,'
В целях упрощения предполаrается, что это сторона находится -между узла..
ми 1 и 2, rде Нз = = о.
Выражение (6.33) для Q имеет вид:
Q==27t J L r
S......2
L 2 r
О
L3 r
О
264
о ..... ( pr ] d
Ll r pz S ·
О
L 2 r
О
L3 r
(6.34 )
Подставив (6.31) в (6.34) и учитывая (4.38), вектор
Q== 1tS 2r 1 +r 2
3 О
Т. + 2 r 2
О
О
О
2r +r2 [::])
о
r) + 2 r 2
О
О
(6.35)
rдe s длина Стор<>ны треуroльника между узлами 1 и 2.
Как видно, распределение наrрузки на узлы 1 и 2 неравномерно. Если 71 .....
72 = 7, что отвечает вертикальной поверхности, то
Q == r 1t S · [Pr Р z Рс Р z О О]
(6.36)
и отвечает равномерному распредe.iIению наrруЗkи на узлы 1 и 2.
Составляющие деформаций и составляющие напряжения определяются по
выражениям:
E==Вq+CO ;
cr==D Bp.......D .0+00.
(6.37)
Поскольку матрица В ......... функция координат, то и значения деформаций и
напряжений в случае треуroльноro элемента с узлами в вершинах не являются
постоянными. Однако обычно для практиуеской цели достаточно определить
значения напряжения и деформаций в центрах тяжести сечения элемента. Тоrда
CJ==D Bq.......D .0+0"0)
(6.38)
rдe в матрица, отвечающая центру тяжести треуroльника.
В отдельных элементах матрицы В появляются члены, содержащие 1/7, что
У сплошных тел и элементов, имеющих какой..либо узел на оси ротации (7 =
о), приводит к неопределенным значениям.
Коrда при вычислении матрицы жесткости применяется метод raycca чис..
ленной интеrрации, эта проблема не возникает, потому что точки rауссовой ин..
теrрации не находятся на оси ротации. То же самое происходит в случае, коrда
матрица В, появляющаяся под интеrpалом в выражении (6.18), вычисляется по
отношению к центру тяжести треуroльника. Однако проблема неопределенности
остается при вычислении составляющей танreнциальной деформацииЕ О в точ..
ках на оси ротацииЕ о = и/7 = о/о.
Если наrружение произвольное, без свойств осевой симметрии, то вектор пе..
ремещений в любой точке тела имеет три составляющие ......... радиальную, TaHreH"
циальную и аксиальную, являющиеся функциями координат 7, z, 8. Это значит,
что проблема определения напряжения и деформаций относится к области про...
CTpaHCТBeHHoro, TpexMepHoro анализа. Поскольку же reометрия и свойства мате..
риала инварианты в отношении apryMeHTa е, то все reoметрические, статиче..
ские и деформационные величины периодичны по отношению к е с периодом
265
2 Это дает ВО3 Ж с помощью ер )ДIЧ КИХ функЦИЙ и р ;нометри
ческих рЯДОВ Фуръе свести проблему в p B двумерноro анализа.
Произвольно наrруж ние (или дpyroe в.веI;ПВее воздействие) ыражается как
сумма отдельных нarружений. Для кзж,ц(>}:'О Ц3, эrих наrруж НИЙ, явл щеrocя
двумерным, выбирается отдельное реше це. О,бще рещевие на ОСНОВЦIЩИ прин
ЦИП3: о суперпозиции получается в B e CYM PТДeJIЬHь.x рещений. Таким обра
39М, решение одной трехмерной пробл сводит я к реm ИIO нескольких дву'"
мерных проблем. Подобный способ рещения QПр Вда,н, потому чn?, прямое реше...
ние трехмерных задач как правило знаЧИТ ИQ. ороже решений нескольких со...
ответствующих двумерных задач.,
Вектор наrружения F COOTBeт B,eннo, еro составляющие f'r' Fz.' F можно
выразцть В виде ряд Фурье:
\ == L F: n cos пО + ?, F: n sin. пО ;
11 n
F z == L F cos п() + 2: f n il1 пО ;,
n n '
(6.39)
Ре === L f o si.n пО J-- F: r cos пО 1
n n
rдe S, а соответственно о6оз.начения для симметричной и актисимметричной частей.
Ца р'ис. 6.4 показаны первые симметричные и антисимметричные rармониче...
ские олебания ПроИЗ ОJl НОЙ радиальной нarрузки.
х
z
z
х
х
Рис: 6.4. Радиз:,.ьное нarружение Р,.. Основные симметрllчные и неСlIМметричные rаРldОН Чt;Сl<ие
К()JIебания
266
CocтaвJuIв>.,..e перем.eщeвиi и II3II рJIЖAIIJfЙ можно IЩPaзmъ аедyJQЩIIМ об..-
разом:
_ IU:'CDlD8+ LU: ап n9
.J1 tII
y== y 8.0т }: :cosB8 .
,а D
.(6.40')
w == L: еоввО+ I .: ыn n6 J
а ,..
cooтвe'Ia1&еии.о.:
С".. == I а:' сов .8 + ,G:m.5-ia n9 "
. 8
a ... .
'O'z== ,az. cos.nu+ k :-.вш вf) ...
п ,
a.==I -ёаанnt+! a;.sin»t;
11 .11
<6Jfi}
. ...Q .,. 6
Тп == -:'.na СОВ пv -+ aa 6Пl во
J1 :Ja '
. ,. '0 ,a o\'
"r. z .:: 'Т..в. 'S1'D:I1v+ k '8A COS!IN \
.а .J1
.. ......Q. -.8
'%:.1'-== k _,&tn lN -+" e,m;.co:s по.
'А Л
Ввра -eиmI {6. Э9) и .(6..41' В8XQДJIТCSI в oooтвeтcrвии c УOl0ВИJIМИ раваовесия
(б.$)э- ЗвачeвmI F:lf;' Р п , 'ЦП' uп,../t;,rn 11 -выражениях . 6.41} ИВ3I.SIВf)ТС.Sl фуВКЦИВМИ
ТОЛЬКО apryMeвтa r и z, поэтому нахождение их оеу.щеетвЛ.Slencя в рамкак y--
мерною -аиапиза.
ЕCJIИ иarpужевие .симметричвв во -отиошеllВlO 1с векотоpoii ШlОСКОСТИ, xoon--
:рую можно .обозначить 1СЗК DJ1OCКOCТЬ...(/ - D, то rorдa ,в lI.ыр.аж.еи'lUlX (6.40> и
(6.41') П О CJI ТOJIЬКO первке CYММliI, lа)д ерЖЭЩfl е 'вe3JИЧШПiI с ивдeкroм .6..
ЕCJIИ вarpyжeвие 811ТИСИММетр.ичво в {)ТИOПIeВИИ 1C ПЛОСКОСТИ 6 == o -те rorдa в
Вы;paжeIIШIX (6 40) и (6.41) qществуют ЧJreНВt в рамках _друIOЙ "суtOЩ, шдержа--
щие ивдекс .а. На рис. 6..5 пока заяw .c.nyчaи тахoro вarpyжevug.
Связь между составтпощими перемещеИИЙ 11 любой точке ЭJJе.ме.па и COOТ 418
ветствующими nеремещевиими, в уа.пах crаиаВJШВается иавecDIым способом с
помощью ивтерпoJllщиoивых ФУЮСЦJft ДJИI хаждoro из rарм-овических холеба..
v
нии:
" == N с..:.
u . ,
а м а..
,U. ==.... a ...
,
. :8 ·
v.==N.'Y a
.
· ' N ..
У а - у'8
..
· N .«
W..== W Wit.
"
(6.42)
· N а
"..=: \. W. 'J
.rдe "n..,wп ........ вeкT()pы' ,ооставтпощие 'их 'перемещения в зпar; N u...Nw матрицы, .3J1емеи!fЫ .(1)Тo
рых SlВJlИЮТС9 интеРПOJUЩИОНlDiIМИ 'фуJПЩИЯМИ.
:267
Рвс. 6.5. Случай симметричв()ro и несимметричн()ro нarpyжеииi
Все эти величины ...... фУRIЩИИ координат r и z.
Если образуютсSI векторы:
, ... a ... _:
. .'. .
qn == Y n t 'N == У n
(6.43)
.:
_.
n__
и матрица
"
N==
N y
)
(6.44)
N",
то выражение (6.42) можно записать в виде:
s N I ·
а n == qn ,
· N .
о. == Ча.
(6.45)
СостаJL яющие деформаций получаются из (6.15):
В . I В ..
СП == n ЧN + n qn 'J
(6.46 )
rдe
B :=LsN ;
в: == L. N .
(6.47)
268
При этом операторы Ls и La МОЖIIО записать В виде:
д/дr О О
О О д/дz
1 n О ,
Ls== cos пО
r r
д/дz О д/дr (6.48)
n · 6 1 О
..... sln n ..... + д/д r
r r
О д/дz n. О
.... Sln n
r --
-- д/д r О О
О О д/д z
1 n · О О
L ..... SlD n
...... r r
д/дz О д/дr
n 1
..... cos пО ...... + д/д r О
r r
О д/дz n
cos n6
r
Матрицы жесткости, отвечающие симметричным и антисимметричвым rap..
моническим: колебаниям:
k ==J(J()TDJ(rd6drdz ;
v
(6.49)
k: == J (В:)Т DВ : rd в drdz.
v
При вычислении отделЬНЫХ элементов матриц k n и k n ПОД знаком иитеrpала
ПОЯВЛЯЮТСЯ члены произведения, значения которых находятся ПО формулам:
п rc
J sin 2 пО d О == J cos 2 пО d 0== 1t ;
п ......'"
269
n
J sin n6cos n6 d 6== о :
...n
w
J { п m====n;60 '
sin 'n6sin тО d е ==.- O
7 m*n, m==n==O
----7r
(6.50.)
1t
J cos n'Ocos тО d 6...
"'-';'If
m n=O
1t, <т = n#=O ·
Jtl n.
Таким образом, ПОСКOJlЬi<У В() всех членах ПО3DUIяетсSl ИЛИ 2 " то можно
вывести ero как общее перед ивтеrpaлом и интеrраЦfПO npoвести 'lOЛ:,ЬКО с уче.-
том r и z. В nрактических расчетах задача ДeJIИtt.я на везависимке меж.цу собой
шаrй для СlIММетричных и анmсимметричиых .rармоиичecICИХ :КOJIеОзиий, а за..
тем окончательное реmеаие получаettSl в виде cyмыы.
r л а .. а 7.
изmБ ПЛИТ
.. . .
,. , ...
7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
A.lщли
и расчет напряженно--деформационноro состояния плит, подвержен
иых изru:бу, зи-ачит
льно сложнее анализа и решения плоских задач теории уп...
руrocти. НаI?ядr с обычными допущениями линейной теории упруrocти класси'"
ч
кая т
ория Т()нких плит основывается и на дополнительных предположениях
кинематики деформации. Допущения Кирxroффа",Лява о том, что линейный эле...
eHT,
ерпендикулярный по деформации к срединной плоскости ПЛИТЫ, остается
иеизм
нн()й длины и перпевдикудярным к деформационной срединной плоскости
плиты и после деформации, упроЩает теорию тонких ПЛИТ, сводя ее к области
ABYMepHoro анализа. Все дeфQрмационные и статические величины являются
функциями только оди
ой неизвестной, а имецно перемещения w в направлении
I;IОРМалц к срединной плоскости плиты.
Однако в отличие от плоской задачи)как классической двумерной,дифферен
циальное уравнение четвеprоI'O, а не BTOpOro ряда, связи между деформациями и
перемещениями являются производными второю, а не первоro ряда. При этом в
выражении функционала потенциальной энерrии ПОЯВЛЯЮТС51 также производ'"
вые второro. вместо первоro ряда.
При применении МКЭ это приводит к cтpomм требованиям о континуитете
элеменТOIJ" а тем самым и к б.ольшим трудностям при выборе интерполяционных
функций по сравнению с плоскими и пространственными задачами. В предель....
ных задачах, которые описывютсяя дифференциальными уравнениями четверто...
ro ряда или cOOTBeтcTBelЦlo функционалами в вариационной формулировке, со...
держащими вторые цроизводные неизвестных функций, для полноro континуи
тета элемен.1:01J необходимо равенство функции и ее первых производных ......... с 1
кон
инуитет. ПоследlЩЙ для элемеНТQВ различной формы можно обеспечить BЫ
б,ОРОМ отиос
тельно простых ин
ерIlОЛЯЦИОННЬJX функций, не это! ке относится к
e' ПpQ»ЗSОДНJi
М. BM
CEe С. КQВ
инуит
м
>,.
QТOрЬJЙ дост
з
Въtбором: фун
КЦИЙ, д'ля' обеспечения
QаТИJJуитета с 1 . иео
бхо.д;имо,>
aK б
УJlет п
ка-зацо; IЩже,
введение доподнительных УСЛОВИЙ, новых вараметров
МУЛЬТШLЛИ:Ка1;ОроВ Лar.. '
равжа как вспомоrательных величии- или СООТlJетcrвевио. новых
е.nеней С
Qбо...
ДЫ элемента.
При решении задач uзmба плит npим
ияюre
' и HeKQТopы;e.' иеJ(онФОР;МНhLе
элемеи1'Ы с конт
уитетом C
, поскол
ку при определенных. УСЛО)JI(IЯХ ПРИJIИма:--
IQТCЯ рещения, которые конверmруют к тQ.чныM решевиям., ТаJ<.И
н-аиво>ле
ц;ро:
CTЬ"Ut( Эl(ем-е;н'ООм явля.е1:СЯ ПРЯJdOуroлыw
С 12:-10'
JJ:€IJЯм.u.
JЮбoДbJ.
B
а:а3дИэе и расч
IIJЩ
" KPOM
цростеЙШИХ: nрим.оуюльиblX, Ilрим.
IJЯI0ТСSf
треуroЛl)ные и четырехуroльиые элементы, KoтophIe..; ООQбе
Q ПQДXQДЯТ J1i7.IЯ' Ц1I.U'T
неправидьной формы. В эrroй rлаве рассматрива
И
СJ
_0
К0J rnaK]U эле
м
нroв
из 'r'ex, I<
QPbIe находятся в рамках оБЩlJX проrрамм МКЭ'..
'l1
Наряду с методом деформаций как общей и доминантной концепцией МКЭ
при изrибе плит используются методы сил и смеша нный в значительно большей
мере, чем при реmении плоских и пространственных задач. "-
На основе статико"кинематической аналоrии общей теории оболочки (rоль..
денвейзер) с введением функций сил (Соутвелл) проблему изrиба плит можно
формулировать как двойственную с плоским состоянием напряжения (деформа"
ций). Это свойство двойственноro изrиба и напряженности в плоскости плиты
делает возможным в рамках МКЭ решить проблему изrиба плит с помощью мо'"
v U
делеи и проrрамм, применяющихся для решения плоскои задачи.
С учетом исходных допущений кинематики деформаций в классической тео..
рии плит существует внутреннее противоречие, за,cJIЮчающееся в несоответст"
вик полей напряжения и полей деформации. Несоответствие между числом ста..
тических величин и числом условий, которые MOryT быть заданы на контуре
(контурные условия заданы по силам), также является следствием исходных до..
пущений. Эти противоречия, присутствующие и в друrих технических теориях,
обычно не считаются их недостатком, поскольку решения, получаемые в их
рамках, для практических целей достаточны
точны. Однако в некоторых случа..
ях, коrда необходима повышенная точность, например в случае толстых или
сдвоенных плит,. следует использовать более строryю теорию, чем техническая.
По этой причине в конце этой rлавы показано применеиие МКЭ дЛЯ решения
проблемы изrиба плит в рамках теории Рейсснера, учитывающей воздействие
сил сдвиrа на деформацию скольжения.
Мноrие авторы зан
ались темой применения МКЭ в анализе и расчете
плит. Опубликовано больmое количество работ с видимой разницей в подходе,
выборе элементов, поле ocHoBныx неизвестных, а также в методе решений сис..
темы уравнений. Оценка состояния и сравнение некоторых моделей даны с тем,
чтобы отразить качественные стороны проблемы и указать на те решения, КОТО"
рые более, чем друrие подходят для практическоro применения.
7.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальное уравнение. На основе допущения Кирхroффа"Лява сле..
дует:
8z==O
w==w (х, у)'
,
Уа==О
u==----zw х
t I
(7.1 )
YZy==O
V ==
zwtУ.
Составляющие тензора деформаций, отличные от нуля, с учетом (7.1) пред"
ставляIOТ в виде:
8х== ----zw хх
. )
8 у ==---- zw t п j
(7.2)
Уху== ........ 2 zw XJ ,
t ,1
а связь между составляющими напряжения и перемещений, если предположить.
что материал упруrий:
Е
а х ==
(w хх + 'Vw ,, ) Z ,
1 ..,. t
v"
272
Е
а у -= 1 v2 (W,yy+ vw,xx) Z I
Е
т"у == (1 v) I zW. XY .
v"
(7.3)
h
X,U
dx
а)
y,v
Z, W
"1.
б)
Тух
йу
'
I(Mx у + Мх у ,)t dx) dy
{Tx+Tx.xdx)dy
(МУХ +Му х ,у dy) dx
(Т у +Т У.У dy) dx
Рвс. 7.1. ДиффереJЩII8JIЬн() м8JIый ЭJlемеm IшIIты (а) и Н8ПpsnкеНИJlII сиJlы в сечениях (6)
На рис. 7.1 показаны ocHoBныe reoметрические и статические величины с
конвенцией об их положительных направлеНШIX. Условия равновесия дифферен--
цизльно мало элемента плиты (рис. 7.1 ,в) сводятся к трем дифференцизльныM
парцизльным уравнениям первоro ряда:
Тх, х+Ту, у+Р==О ;
Мх, Х+МХ)', y Тх==О:
Мху, х+М." ., Ty==O,
(7.4)
273
в которых по5IВJ.UIIQТCSI пять неl;lзвестныx статических величин. Если из этих
уравнений исключить попер.ечныe сиJIы, то условие равнов есЦЯ МQЖИО выразить
дифференциальныM уравв ние второю ряда
М х , хх+2 Мху, ху+ М у , п+р==о"
(7.5)
в котором появляются ТОЛЬКО моменты. ИСХОДЯ из определения сил в сечениях в
моме:цты изmба и кручения и учитывая уравнение (7.3) получим выражения:
+h/
м х == J О"хzщ== K(w.xx+vw.yy»
... h /1
+Ь/2
Му:::= J a,zdz== K(w,y +vw.xx))
... Ь/2
+h/2
xy == J xy Z == (1 .....,,) Kw. x7 )
... Ь/2
(7.6)
rдe
К==
ЕЬ 3
12 (1 ,,2)
жесткость ПJlИТЫ к изrибу.
MOMeH'tbl из ба м n И кручеНIOJ М пs для сечения с нормалью n даны в зави..
симости от МОМ( H B М х' м. у и Мху 1;1 следующих выражениях:
I
Mn==M x 00s2 Ot+ М у sip2 <х+ Мху sin 2 ос )
,
М II1 == (Му MJ вт 2 «+ Мху "sin. 2« )
2 ,1, ,
(7.7)
rдe dv утл, который нормаль к плоскости прперечноro сечения замыкает с осью х.
Соо ве1{ствующие выраж НШI попе чиых сил с уч м допущеНИЙ (7.1)
u ьзя ПQЛУЧИТЬ, непосредственно, а только косвенно из условий равновесия:
Тх== К(w,хх+w,п),х )
'{7== K (WtXX+w,п),.,.. ) (7.8)
ЕC/lИ в цep ура ение (?'.4' ecтo. ТХ IJ; 1:" ПQдста "ть выражеlЩЯ (7.8),
то п<щу из;в ное ди ре tl WIЬ НО y B IЦfe кла И, КQЙ eQpWJ ЦЩ'Иоа
И ЗОТроЩ[blх I}ЛIJт:
А . л w:;;2- . )
- {{'
\.
. о?- '
. .:.. + 2 t
t
которое. с СOQ'1'Вe'Fствующими условиями на К,онтуре ОП Аеляет С()(.7FOsцще вапря--
жеlJИЯ и д,еформац й ЩIИты.. >
В т рии. плит ОСЩ)ВlЩе дефор ациоиные величины. IЩWI5J, t(J?lfВИЗ
и- круч((IЩЯ:" KOТOPЫ. QIJ Д Я K К:- BWl?ble П ;ВОДI;lЫ_ цq>емещ ;У, т.е.
(1.9)
J4
)(x== w.,u )
XI'== W'1")' ')
tt' ==.......:! W,xy..
(7.10)
Есжн ввести Beкropa J{eфop)QJ(Jf!Й Z JI аш 11 ceqeни (. М" 'Т e.
X [; ],'
[ М Х ]
М== Му I
'Мху
(1..11)
1'0 связи между CIIJIDIИ в 'сечевик и жеформаций из (7..6:) :можно :вн
разить :8 форме
M==Dx)
(1...12)
rдe o Na'фИЦа хоэффицнetm1 ynpjroC1'И aprтропнах YиhJ'IOC ftJIIП:
x D,i
D== D.
;J
D
..,
'(1.13)
Ох, ....
соответс.твеиво ДRJI lI301P01UIЫX YlЧ'fl'JВ mmт
:... I 'V :О,
(1.14)
D== ЕЬ 3 1 8
.
12(1. v2 1 "
О o
2 z
.... ....
Диффере JiП иа:льи ое уравнение ДШI ортотроииой ПJIII'IИ, ICОТОjIOе ПРИВ9ДИТСЯ
,без СТyпeR1l8ТОro ИCIЮJПlеllЮ(" имеет вид
N д 4 , 4w
D jt 4- 2 (D' l -+ D ху) ,W , -+ Dу ............. -== Р )iP'1I IS
,iЫ.-.x 2 Ьу2 t 814 :'Л .' ,..)
. ,
rдe ДХ' ДУ' Дl и Д'ХУ ........ C()()1',ВeI'ствующие ..элемemы м&tpИЦIiI д, -JП)eдстaвnениой JlыpвI(еиием M (7.1'з)-:
1
А \' V w),,:=....,... 'Щjj 1ijj :.
2
ВцриаЦИOНllаJl JJИpOВICа. Общее B ыввe mецифичeamй эиeprии де..
фо РМ8ЦJП1 с ,учетом ДGцущemи ('1.1:) реЦУЦИРУeтal iИ .
II
А,( w: ):= :;- i ti Х + О:у -Еу + ж' х-у У:ху»'
...
ЕCJIИ .. это выражение на иесто вавРЯЖeвmI и дeфGрм а -поставить их 'зиа--
чевия 'соrJIaCИО ВR ражeIUТVМ [(7..2) И (1..3'" ТФ
A(W O=.! 2 \ i(w;n +-w yy )2..+2(1 ' ){(w2,7.N i X .;yy)] &
\ . . ,
:(1.11)
, ,
:2'l5
Соответственно с учетом уравнения (7.10)
А (ХХ' ХУ' Т) == К [(хх +Ху)2 +2 (1 'I}(r/4 хх х у )]'
2
(7.18)
это выражение можно представить в матричной форме
I
А (х) == ....... )t т Ох )
2
(7.19)
,
rдe Ж, Д соответственн() вект()р И матрица, ()пределенJlыe п() уравнеНШIМ (7.11) и. (7.13).
Работа сил вве ппmх поверхнocтиыx р(х,у) и лиие йяыx Т п' М п и M пs В части
контура S", rдe контуриыe условWI задаиы по силам (рис. 7.2), представлена
выражением
u::f pwdF+ J (i'nw+M lw,n+Mnsw,s)ds.
-F scr
\
(7.20)
х
M n. +M .ds
n.,
р(х.у)
M n .
ш
M ns
'"
ТП
Рис. 7.2. Силы на к()нтуре ПЛИТЫ
в выражении (7.20) значения Т", М п , M пs отмечеиы надстрочными знаками
для тоro, чтобы подчеркнуть, что речь идет о заданныx вJIИЯIIИЯX. ФУНIЩИонал
общей потенциальной энерrии плиты, подверrнутой изmбу, с учетом (7.17) и
(7.20) имеет вид .
J == J[A(X) pw] dF J (То w+ М о 6 в +М В5 О.) ds (7.21)
р so
При этом дополнительные условия представлены выражениями:
276
w==w
)
-
w la==W n
. .
(7.22)
в той части контура SU' rдe они заданы по перемещениям.
В рамках классической теории плит, учитывая исходныe допущения, на сво"
бодвом контуре невозможно выo.7lвить три статических условия, поэтому вво"
ДRТCЯ заменsпoщая поперечная сипа
t u==Ttt+ M ns ,.
(7..23)
как эквивалент двум статическим величинам. Если на контуре St!, на место вер..
v
тикальнои наrpузки вводится поперечная сила, то выражение поте алъной
энерrии представляется в виде ;;
П== J[A()() PW]dF J( n6n+ Tn w ds)
F 80 - .
(7.24 )
w==w
па Su
W,n==W,n.
Если из выражения (7.18) исключаются величины Х' (l у, '(:, ТО, пользуясь
уравнеllШlМИ (7.10) и (7.6), получим выражение комплементарной деформаци"
онной работы
Ас (М) == ( ..!!. ) [(МХ + Му)2 + 2 (1 + v) (М2 ХУ --- Мх Му)]) (7.25)
2, ЕЬ 3 .
которое можно представить в матричной форме
Ас (М) ==..!.. мт СМ.
2 .
(7.26)
Фуикционал комплементарной энерrии плиты, подверженной изmбу, как
сумма комплементарной деформационной работы и потенциала внешних сил
(реаlЩШl опоры) в части контура Su, rдe контурные условия задаиы по переме..
щеНШIМ
п о == J Ас (М)dF+U о .>
р
(7.27)
rдe
u c == .... J р;, dF е..- J (ТП w+M n w,n+Mns w's) ds.
F 80
(7.28)
в выражении (7.28) первым иитеrpалом дана работа поверхностной нarpузки
р(х,у) над начзлъными перемещениями w(x,y), а вторым ....... работа реактивных
нarpузок, вследствие перемещеИИЙ и вращения на контуре SU. Если начальиыe
перемещения равны нулю и опирание фиксированно (перемещенWI и вращения
иа контуре SU равны нулю), то и с -= О, а полная комплементарная энерmя пли..
ты равна комплементарной деформационной работе, т .е.
277
П е == f Ас (М) dF. (1.29)
F
фyикциoиaJlllorelщll3Jlыlй эверrии oпpeдeJlеи при допущеиии что переме
щеllIOl таковы, что -обеспечивают условlUI компзтибильвости ЦJIЙ вобла..
СТИ, т .е. рст в Иbl Уравиевии (7.10) и на контуре Ба внпoJIнeвы УCJЮВIUC
w=w,)
:1
W,.n===W,Il.
ЕCJIИ пре УCJI(\RIfЯ не ВЫIIOJIВеи&;, то на место фymщи.оиа.ла П .вво--
ДИЖCJI общий
({ К
"н==.' 2I(Хз\+Ху)2+2(1 vНt'2 ХХХ7)}dF+
F
+(Xx W,n) Мx+(x)' ,v,».) М у +2 (t' w,xy) мxr----
pw } dxdy f (Тl1 W MJl w,-u+м,.s w'S) ds......
, 'sa
:(1-.ЗО)
.f;[(w ;w) 1"!11+(W"n W :n) Мв+(W"<W'$) bl.nJds j)
rдe М Х' МУ' Мху и м. n ' J: l1 ,и M пs ........ ItI]UlЮТ роль NyJlЬТJtI1JIИКаТQjIOВ JIar.pавжа .при УCЗIО8ИЯХ 'Компа
тиБИJlliНocm ИЗIИ .соответаиенио ,118 контуре S и'
Выражением (1 ЗО) определен ,Фуикциоиал Ху..Вашизи задач изrиоа плиты.
-в нем ,ПОJIЯ 'веремещеНИЙ W, дефоР М3ЦJ1,й ,7.. Х' ZY" и статических значеНИЙ М Х'
МУ' ,Мху взаИМQИеаависИМЬ1.
Если 11 общем функциоиале (7.30), п зуясь связями уравнения (7..(j}." :иск..
лючить деформации, то ФУНIЩИОИ3JI хеллииreра........Рейссвера
1![ t== fI Mx w.,, My w.,'Y6......2 Мxy-,w . "
:F
Af.:(M) pw dF J (Т n w+,Mn 'W 1\+ )...... /
50
(1,.31 )
-
.JILn .( w w) + мв ( ,n w, 11) + м..s '( W'S .....w,Jt-ds
Su
rде Ae(Мi) npeдcrаВJЮRО выражением '(7.26).
С учетом roro, что ;равевство
f (Мx'W:, x+2M y w,x}.+M 1 W,y) dF
F
,
:: J f.I;n \w+:МпW.п+:МnsW,s ds+f(Mx;, IXX+.2 MiY'.)" У.У+ M .;w) w dF )
'Su+So :F
21.8
Функционал (7.31) можно выразить в альтернативной форме
....... ПR== J' [Ас (М)+(М Х , };х+2 Мху, ху+М')" },}.+р) wJ dF+
.
+ J[(Tn
TJ1) w+(Mn
Mtl) w,n+(Mns
Mn
) w,s] ds+
so
(7.32)
.... J{Tn w+M n
,n+ M ns \V,
) ds.
Su
в этом функционале взаимонезавиимы поле деформаций и
поле напряжения
(сил), а при условии стационарности вариация проводится по пуремещению w и
моментам М х ' Му' Мху.
7.3. МЕТОД ДЕФОРМАЦИИ
Прямоуrольный элемент с 12
ю степенями С80б0д
. В качестве простейmе
ro элемента для расчета плит, подверженных изrибу, в МКЭ выбирается прямо
уroльный элемент с узлами и уrлами прямоуroльника. В каждом узле за OCHOB
ные неизвестные принимаются составляющие перемещений w в направлении оси
z и уrлы вращения О х и ау около оси х и у, так что элемент имеет Bcero 12 cтe
пеней свободы. Связи между уrлами вращений и перемещений даны в выраже
ниях:
6x==W,y ,
6 у ==
w,x.
(7 . 33)
а
ь
х
ох
2
11/з
..
у
1/6
:.. S
у
1 10
] 1
:I
12/1
j
8
РИС. 7.3. прямоyr()JlыIйй эл
мент IIJIитыl с 12-ью
П
НЯМИ свободы
.79
Обозначения и конвенции о положительных направлениях общих перемеще--
ний и общих сил в узлах элемента показаны на рис. 7.3. Вектор перемещения в
узле
[ :: 1/
(7.34 )
а вектор перемещения Bcero элемента
qT == [qi qj qk q,].
(7.35)
Поскольку изменения кривых (основной деформационной величины) даны
как вторые производные перемещеиий w, изменения перемещений в элементе
MOryT быть выражены по меl;Jьmей мере полиномом BTOporo ряда таким образом,
чтобы деформации в элементе были постоянными. Так как элемент имеет 12
степеней свободы, то можно принять полином со всеми 12--ю неизвестными ко--
эффициентами (см. рис. 7.3). Полный полином Tpeтbero ряда имеет десять чле--
нов. Это означает, что кроме этих десяти MOryT быть взяты еще два члена. Из
рис. 7.4 очевидно, что существуют следующие возможности выбора дополнитель--
ных членов:
х 3 у . ху3 .
) }
х3 у2 ; х 2 у3 )
х 2 у2 ; х 3 у З .
1
PIIC. 7.4. П()JlIIII()МЫ для IlшерПОЛЯЦIIИ п рем щ ний
280
Обычно принимаются члены х 3 у и ху3, поскольку с их помощью обеспечива
ется симметрия выражения и инвариантность матрицы жесткости элемента при
переводе одной системы локальных координат в друryю.
По этой причине изменение перемещений w в элементе в зависимости от KO
ординат х и у можно предположить в виде
W (х, У)==СХl +СХ2 х+схз У+СХ4 х2+«, ХУ+ СХ 6 у2+ СХ1 х 3 +
+СХ8 х 2 у+СХ9 ху2+ СХ10 У3+СХl1 X 3 Y+ CX 12 ху3.
На основании этоro выражения с учетом уравнения (7.33) для вращений ах
и в У получается:
(7.36)
6 х == сх з+«s х+2 СХб У+СХ8 х 2 +2 otg ху+3 СХI0 y2+CXll х 3 +3 cx12xy2 ;
, Qy==.......(cx2+2 СХ4 Х+СХ, у+3 «, х 2 +2 СХ8 xy+exg у2+З СХl1 х2У+«12 y3)
(7.37)
Вдоль линии х = О из (7.36) для перемещений и вращений следует:
W==CXl +«3 У+СХб у2+«10 у3 I
Ох==схз+2 СХ6 у+3 Otl0 у2
О'==.......( СХ 2+ СХ 5 y+exg у2+СХ12 у3).
(7.38)
Из этих выражений можно получить значения в узлах t и 1, подставляя BMe
сто у ноль или соответственно Ь, т.е.:
2'а у==о
W==Wl ==«1 I
Ох==Охl== СХ 3 ;
6 у == 0,1== ....... сх 2
(7.39)
za у==Ь
w== W, CXl +«3 Ь+СХ6 Ь2+СХI0 Ь 3 ;
ОХ==ОХI==схз+2 СХб Ь+3 (110 Ь 2 ;
Oy==OYI== (CX2+CXS b+exg Ь 2 +СХ12 Ь 3 ).
(' ;
Выражения (7.39) представляют собой систему из шести aлreбраических
уравнений с восемью неизвестными общими координатами d.. 1 , d2, oI.з,rl..5' tl6'
9' O' 12. Число неизвестных больше чиСла уравнеНИЙ, так что первые не
MOryT быть определены из этой системы уравнений. Однако, если выделить
уравнение только для w и В х' то коэффициеНТЫо!"l' oL з , d. б и O' которые поя
вятся в них, MOryT быть найдены при четырех условиях:
W::::; WI .)
Ox==6XI)
w==w, ;
6 х ==Ох, )
так что изменение перемещений w и вращения 8 х вдоль линии х = О можно по
лучить В зависимости от перемещений и вращения только в узлах i и 1. Но это
невозможно и для вращения В у.
(7.40)
281
Для тoro чтобы определить вращение fj у вдоль линии х = О необходимо ис
пользов'ат& и уCJlОВИЯ В узлах j, k. Это практически означает, что вдоль ливии
х = О об'еспечен континуите пеlYемещеиий w и вращения ОХ' но без коитинуи
тета вращеЙИ5I (J у (рис. '1.5). Аналоmчно этому можно сделать вывод, Ч вдоль
линии у = о обеспечен континуитет перемещений w и вращения!) у, но без KOH
тииу тета вращения 8 Х/
Если выражеllие для 8 х == W, у дифференцируется по х, выраженй для
е у = W,x по у, то следовало бы получить те же самые ЗиачениSl w ху В любой
точке элемента, включая и узлы. Однако, поскольку значение ОХ зависит толь...
ко от неизвес ых в y ax i, , а Ву" от неизвестных в узлах j, k, то наступает
неравеиство смешаннои производнои в узле.
.,
J
j
(w, ху) 11 =F (\v, ху) 21
k'
1
k
PIIC. 7.5. К()lIТIIнyиreт на rp инце между двумя элементами
На основании этоro можно сделать вывод, что прямоуroльный элемент с 12
степенями свободы не конформный и соответственно некомпаmбильный, так
как в нем не обеспечена непрерывность первых производных на rраницах между
отдельными элементами.
Для тoro чтобы получить компатибильный элемент необходимо за основную
неизвестную в узлах, кроме ранее прииятых величин, взять смешанную произ...
водную Xl' а измеиение перемещения w(x,y) в элементе выразить полиномом с
16 ю коэqxpициеитами, т.е.
W== W +<X13 x 3 y2+«14 х 2 Y3+OtlS х 2 у2+ Ot1б х 3 у3)
(7.41)
rде w дано, как в выражении (7.36) так, что элемент имеет 16 степеней свободы.
Рассмотрения, rtРИведенные выше, можно обобщйть И на произвольном че
тырехуroЛЬilОМ и трехуroльном элементах в случае, кorдз в кажДОм узле долж...
ны приниматься за основные неизвестные w, w, х, W, у, W хх' W уу' W ху. т .е. по
шесть неизвестных в каждом узле. В итоre четырехуroльнъiй элемент' имеет 24,
а треуroльный 18 степеней свободы.
Четырехуroльный элемент с 12...ю степенями свободы, введенный анализ за...
дач изmба плит Адини, Клоуroм и Мелошом (АКМ) [11], хотя и неконформ
ный, тем не менее дает результаты, которые сходятся K точному решению, а в
виду своей простоты имеет большое практическое применение. Уравнения (7.36)
и (7.37) MOryT выражаться в матричной форме
--
1 х У х 2 ху у2 х 3 х 2 у ху2 у) х 3 у
О О 1 О х 2у О х 2
l
2ху З у 2
х 3
.... 1
ху3 «.
)(Y21 «2
282
LОжJ Lo l О 2x y O- 3x2 2xy y2 О 3x2y y3 J
а
.
rJ.'Z.... (7.42)
Если уравневия: (1 42) представить для узлов, ТО оно ииеет вид
"'w. .... ....., о о о о о о Q О О О О .... .... 'Х r ...
r
6.1 О О I О О О О О О о: о о (%2-
8yi О I О О О О О О О О О О .1
w. I а О а 2 О а ) О О О О О & ' ..
J
6&) О О I О а О О а 2 О О а 1 О CX s
6yj О 1 О 2a О О 3a2 О О О О О (1, ) (7.43)
Wt 1 а Ь а 2 аЬ Ь 1 а 3 а 2 Ь аЬ 2 Ь 3 а 3 Ь аЬ ) СХ 7
6xk О О 1 О а 2Ь О а } 2аЬ 3Ь 2 а 1 38b Z «,
f)yk О I О 2a b О 3a2 2ab ь О 3a2b bJ (%9
W. 1 О Ь О О Ь 2 О О О Ь 3 О О !х 10
6xt О О I О О 2Ь О О О ЗЬ 2 О О 'Х t I
6 O 1 О О b О О О b О. О bl .... .../х 1 2....
... ,1 ...
соответственно
q==C (1. (7.44 )
Из уравнения (7.44) следует
«==c 1 q ') ('1.45)
rде
1 О О О О О О О О О О О
О О ] О О О О О О О О О
О 1 О О О О О О О О О О
3 2 3 1 ./
а 2 О О О О О О О О
а а 2 а
J 1 1 1 t I I 1
О . ............ О О О
аЬ а Ь аЬ а аЬ аЬ Ь
3 2 :\ 1
о о о о о о о ....... о
Ь 2 Ь Ь 2 Ь
2 1 2 1
c I == аЗ О О О О О О О О
а 2 аЗ а 2
3 2 3 1 3 1 3 2
О О О О
а 2 Ь аЬ а 2 Ь аЬ а 2 Ь аЬ а 2 Ь аЬ
3 2 3 2 3 J 3 1
О .......... ......... о ............. о о
аЬ 2 аЬ аь а аЬ аЬ } аЬ нЬ 2 аЬ
283
'..
2 1 2 1
О О О О О О О О
Ь Э ь2 Ь ) b
2 1 2 I 2 I 2 1
а)Ь О О О О
а 2 Ь аЭЬ а 2 Ь аЭЬ а 2 Ь а 3 Ь а 2 Ь
2 1 2 1 2 1 2 1
--- О О ........... О ........... о "
аЬ 3 аЬ 2 аЬ ! аЬ 2 аЬ ) аЬ2 аЬ ) аЬ 2 (7.46)
Выражение для вектора деформации С учетом уравнения (7.36) можно пред--
ставить в виде
ХА ... ... д2/д х 2
ху == ' д 2 /ду 2
't' L2д2/дхdу
...
w(x, у) == RCI }
(7.48)
""
соответственно
x==R CI )
rдe
О О О 2 О О 6х 2у О О 6ху О
К==..... О О О О О 2 О О 2х 6у О 6ху
О О О О 2 О О 4х 4у О 6х 2 6у2
Подставив (7.45) в (7.48), получим
X==RC....l ,==Вq,.
rдe
В== RC"'I.
(7.48)
(7.49)
(7.50)
/
Матрица жесткости элемента, исходя из ее определения и помня о выраже--
нии (7.50)
k== l BTDBdF==(C l)T () RTDR dx dY) C l. (7.51)
После подстановки уравнеНИЙ (7.13) и (7.49) в выражение (7.51) и интеrра--
ции произведения RT DR по поверхности ПРЯМОУrQльника получим:
о
о
4abD.
О 4аЬО.,
4abD. О 4аЬО,
48"'О. О 6а 1 ЬО. 12a J bD.
4
abJD.+
3
2ab2D. 4а 2 ЬО., 2аЬ2О. За 2 Ь2D. 16
а'ЬО.,
3
284
I (.. -)(dF).. 4
<:: симметрично
....D. + .'ьo,+
2a'bD. 48Ь1О., 2а 1 IЮ, .'сО. 3
4a 1 blD.. ., ..
3"."D.,
a.b8D, О 48"'В, ,-'blD. 4aы.. 3.'b'D l2ablD
6a J blD 2а ' Ь' D. + 2a'''D. + 4a'b'D.
"'b'D. 4а ' ЬО., 3a 1 blD. "'b'D. 36
· 48'ЬО 4а''''О., ., ....0.,
.,
..'..о. 2a ' bID. + 2a J b'D, 4а'Ь' О. + 48"'0,+
3e1JtlD. 4аЬ'О., "'blО, .......D., ..w., .....D, 4а ' Ь'0., ..o.,
У.btожением этоro выражении на (С.. 1) Т и с.. l дтl М8трИЦЬ1 жесткОСТИ ЭЛ
мента получим
КА
КВ КС
.....J(.D KE КF
ко KH KI IO\
.....КН К] о. кв КС It
,
1 .... К' О KL' ко КВ КF симметрично
К.. , (7.52)
!5аЬ км ..... KN. КО, KR KS кт ХА
,
КН кр О .....кs KU' О .....кв к.с'
....КО О KQ' КТ О ICV КD ..... КЕ КP
KR кв ...... КТ КМ ....KN .....КО КО кв ..... КJ КА
.....I{S KU О KN кр О кв КJ о .....КВ КС
..... КТ О KV ко О KQ J(J о KL KOKE кр__
rдe
«==а/Ь
КА==60 «--2 Dx+60 «2 D y +30 Dl +84 DX)'
КВ==30а« D y +lS Ь Dl+6 Ь Dxy ·
.
КС==20а 2 Dy+8 Ь 2 Dxy:
КD==зо ь «"'1 Dx+ 1 S а Dl +6 а DX)' .
,
КЕ==15 аЬ D)
KF==20 Ь 2 Dx+8 а 2 D XJ
КО==З0 «2 Dx......60 «--2 D,----30 Dl 84 D X7 :
КН==----15 а« D y +lS Ь D 1 +6 Ь Dxy
285
KI==3O«.....1 Ь Dx+6a Оху ;
К}== 10 а 2 1),.......8 ь2 J>xy t
K L IOb2 2a20xy
I{M== 30."'2 1%----30«2 Dy+30Dl+84!>xy:
KN== 15 а« I),........б bDay I
КО== IS Ь сх..... 1 Dx 6 а D .
К.P==s а 2 D +2 ь2 f
KQ==S Ь 2 Dx+2a 2 D :
КR==.......БО «2 Dx+30 «.....2 1>,.......30 Dl.......84 Dxy
t
KS== ......30 а сх. 1),..... б Ь :
кт == 1 S Ь «-- 1 Ох....... 1 S а D 1........ 6 а Dxy ,
К U == 1 О а 2 I>y....... 2 Ь 2 Dxr ",
KV==10 1>2 Dx.....8 a2 . (7.53)
Вследствие разделенной вarрузки р вектор .общих см В узлах элемента
Q == f pw dF == J р (АС'" 1) '1 dxdy (7.54)
р р )
rдe
A==[l )[ у )[2 ху у2 х 3 х 2 у ху2 уЗ х 3 у ху3].
ПOC1lе умножения матриц А и С и ивтerpaции выражения (7.54) для р =
const
[ аЬ аЬ2 аЬ 2 аЬ аЬ 2 аЬ 2 аЬ аЬ 2 аЬ 2 аЬ аЬ 2 аЬ 2 ]
Q == Р"4 24 24 "4 24 24 "4 24 24 4" 24 24 ·
(7.55>
ИСХОДЯ из выражения (7.12) и учиты1Iяя уравнение (7.50), СИЛЫ в сечениях
плиты можно определить с помощью выражения
М==Н.,
(7.56 )
.S7)
rдe
H==DB==DRC 1.)
I
288
, ..... t
:h ..с
it
ас С С ci IC
С С .&1 С
С с> . с> ф .&1 С .. J:)
N с N N .. А
I . 1
;о. . >-
. ..с r:i -&- .-
Q Q Q '!s
д ё е с с:> Q Q .D -
м N .. М
1 I
ас Q
Q
... ...
I I
tI tS
м tS \о
Q + +
... , 4h r; .. - ..... >.
Q Q . ac е 1 I .ас Q Q .
rs tJ Q Q 8 Q
N \Q \о N ф N
I I I j i I
rS 1 .J'j(
..Х fi
с о (:) о <::> Q о 'О
Ji ;с .D '" ;D
'М . N N м
I t
>\
.. G .с QWo
Q Q "
с с с::> со Ф са ф с .е
N N + . N N
1 t f !
... .
Q С
\с \с
+ т
.ас . ...
Q Q II
tS 'i ... - -
о с> , Q
ас ё , tG t.f
Q tj tJ g
f"4 \с \с М \о \D N \ь \о N
I I t I
Q'rc >.
ас ас 8с IC
Q о !i ф о о о о
.с са
N N N Н
j I
.
ас е5 >. ti
о с> о о ф ..
tt
М ..... ..... м N N
I I I I
б t:3
\с \с
+ +
ас ё Q ... (
- .. :h .. .... t! tS .
I , 1с I t fi er .. .. r.r
tI Q tI tI 11
\с \с N 'о 'о 'о Н
I I I I I I I I
:h ас
ас j" Q
fa i с с о о О о r;
tt
. .. N N "
I I I I
>.
>. >. t;
cs >. .с а( rS
с с а с) е
со со .ZJ <:) Q .D О со N са
-.t' -.t' N N N I
I
>.
О О
"
\со
+ +
)( о'" ci
о а Q- Q'"
... ... >. ... >. <:> tl
I I а( , I )i( С а
ti С tJ О d
\о \о М \с \о N \с \с
t I t I
1....... 287
I
I
:1:
числ вный прим р. Для иллюстрации предшествующих рассмотрений в качестве численнс:--:
примера взята квадратная однородная изотропная плита размером lxL, зажатая вдоль четырех сторс:
наrpужения равномерно распределенной наrpузкой р и концентрированной силой Р в центре ПJIИ:"".::.
(7.б).
2х2
4х4
8х8
16x16
Рис. 7.6. КвадрМ'Наи WlИТа, З8J(реWl ННаи BД()JIЬ всех чeтыехx croJIOH, С сеп()й Ic()н чных ЭJl меиr::
с учетом двуосной симметрии достаточно рассмотреть только одну четвертую часть плиты. Ес..=
плита разделится на четыре элемента (рис. 7 .б,а), то реmение прООлемы сводится к решению толы
()дноro уравнения
kl1 Wl==Ql}
rдe для случая равномерн() распределенной наrpузки, с()rласн() выражениям (7.52) и (7.53), для \.' ::
::: 0,3 получим:
1
k.. == КА == 1 5 а 1 [60 (Dx + D,.) + 30 D 1 + 84 DX)'] ==
== 4К [60(1 + 0+30.0,3+84.0,35]==42,24 К )
15 12 12
а 2 12
QI== P== Р)
4 16
откуда
W. == 1 pl4 ==000148 pl4
675,84 к' К }
(точное решение w 1 = 0,00126 pZ4 /К) .
288
Таблица 7.1
I I свободно
число число зажатые опирающиеся
сетка элементов узлов
р I р I р I р
2х 2 4 9 0,00148 0,00592 0,00345 0,01378
4х 4 16 25 0,00140 0,00613 0,00394 0,01233
8х 8 64 81 0,00130 0,00580 0,00483 0,01183
16xl6 265 289 0,00127 0,00567 0,00406 0,01167
аналитическое решение 0,00126 0,00560 0,00406 0,01160
I мультипликатор p/ /K p/'l/K р/4/К p/'l/K
I
Пользуясь табл. 7.1 для изmбающих моментов, получим в точке 1
6
М. 1 ==Мх 1 ==2 (Dx+ D 1 ) W 1 ==24К (1 +0,3). 0, OI48 pJ2== 0,0462 р/2
а
(точное решение М Х1 = М У1 = 0,0231 pz2)
в точках 2 и 4:
6
Мх 2 == МУ4 == Dx W 1 == ......0'0355 pl2
а 2
(точное решение М Х2 = МУ4 = 0,0513 pz2).
2
_/р'
0,05
о..
О.
0,02
0.01 f
.
о ,
0.01
0,02
2.2
О.. 4х4
О.см "..
0,05
Рис. 7.7. Диarрзммы M()M нтa изrиба в ()си симметрии, ВCJI ДСТВII paвH()M pH() распреДeJI lIН()ro Ha
rруж ния р
289
Квадратная плита, зажатая вдоль всех четырех сторон, и квадратная плита, свободно опираю
щаяся вдоль всех четырех сторон, наrpуженные равномерно распределенной наrpузкой р и KOHцeHT
рированной силоЙ Р в центре плиты, рассчитаны ДЛЯ четырех сеток конечных элементов раЗJIИЧНОЙ
плотности (см. рис. 7.6). Результаты расчета ДЛЯ перемещений w в центре плиты показаны в
табл. 7.1, а диаrpаммы изrибающих моментов вдоль оси симметрии плиты для равномерно pacnpeдe
ленной наrpузки даны на рис. 7.7.
Для случая концентрированной наrpузки Р в центре плиты в n:редыдущем уранении меняется
только свободный член и получается Ql = Р/4, так что перемещение
W\ == 0,00592 :2 ( точное решение W == 0,00560 2 ).
На основании этих результатов видно, что отступление от точноro решения для перемещения Wl
меньше при равномерно распределенной, чем при концентрированной наrpузке. Кроме TOro, точ
ность, с которой определены моменты изrиба, меньше, чем та, с которой вычислены перемещения.
Прямоуrольный элемент с' 16 ю степеНJlМИ свободы. Если наряду с OCHOB
ныии неизвестными узлов элемента (w, (} х И В у) вводится и смешанное произве
дение w, ху, то получается конформный прямоуroльный элемент с 16 ю степеня...
ми свободы. В анализ изmба тонких плит ero ввели Ф. Боrнер, Р. Фокс и
л. Шмит в 1965 r. [6].
Изменения полей перемещений w(x,y) в элементе можно представить выра..
жением (7.41), определяющим полином с 16..ю общими координатами. ИСХОДЯ
из этоro выражения матрицу жесткости элемента и вектор общих сил в узлах
последнеro можно получить тем же способом, что й для элемента с 12 ю степе
нями свободы. По этой причине рассмотрение этоro элемента представляет собой
детальное обобщение уже paccMoтpeHHoro элемента с 12 ю степенями свободы.
Вместо этоro будет проще, если для аппроксимации поля перемещения исходить
из функции в форме полинома rермите. Этот способ приводится здесь в сокра"
щенном виде. Для этоro ради упрощения выражения вводится система естествен..
ных координат f = х / а и 'l = у / Ь, которые находятся между О и 1; а на мес..
то 8 х и 8 у в виде параметров .......... 8 х и Ь8 у ' так что вектор неизвестных в любом
узле становится однородным:
qi==
w
а6х
Ь6 у
(7.58)
W. ХУ j, i == 1, 2, З, 4.
Поле перемещения аппроксимируется в зависимости от параметров переме..
щений в узлах
w ( , 1))==N ( , '1)) Ч)
(7.59)
rде N(j,'l) матрица вектор интерполяционных функций
N ( ' 1)==[N 1 N 2 Nз N 4 ].
(7.60)
Каждая из подматриц N i (i
четыре элемента:
= 1, 2, 3, 4), которая отвечает узлу и имеет по
Nl==[Nl1 N12 N 21 N22] ·
J
290
"ь
N2==[NЭl NЭ2 N41 N 4 2] ;
. '
..
ф
Nэ==(Nэз NЭ4 N 4 э N44] ;
(7.61)
<
N..==(N13 N14 N13 N241 ,
. }
опредeJВПOЩИеся как произведения
Nfk==Nl ( ) Nk ( t i..k== 1, 2, 3, 4 (7.62)
ПОЛИНОМОВ rермите первOI'О вида, зависящие от f или соответственно от 'Z и
представленных выражениями:
N 1 (;)==I З 2+2 3;
N2 ( )== 2 2+ 3 :
Nз ( )==з 2 2 3;
N 4 (;)== 3 2 ;
N I (1J)::: 1 з 1)2+21)3;
N 1 ( )=='lJ "1)2+"tJ3 ;
(7.63)
'
Nз ("Ij)==3 2 21J3 ;
N 4 ("Ij)==1)3 1)2.
..,
На рис. 7.8 показаны функции N i ( S) и Nk('l), с помоlЩIЮ которых образу..
IOТСЯ интерполяционныe Функции для узла 1. .
16
10
а
14 /. _...
15 13
Рис. 7. . прямоyroJlыlый элемент с 16 ью creП IIЯМII свООе>ды. ИнтеРПОJlЯЦII()нные ФУНКЦИИ ума 1
291
О...
.....
t"\
r-)
о.
rt')
о
.
I
N. I = N. ( ) N I (71)
N 12 = N, ( ) N 2 (11)
N 21 = N 2 ( )Nl (71)
w
N :z 7 = N 1 ( ) N 1 (Jl)
PIIC. 7. . прим()yroJlыIый ЭЛ М НТ С 16-ью степеlПlМII свООс>ды. Из<>метричесlCое IIЗ()()раж НII ии-
теРП()JUIЦИ()ННЫХ ФУНIЩIIЙ УЗJl8 1 '
292
\
Связь между векторами деформации и ocHoBныx неизвестныx в узлах q
дана в выражении
1
W,
а 2
./
1
Х ........'"
== Ь 2 '1)1) ,
(7.64)
2
........... ", C71
__аЬ __
которое, учитывая (7.59) и (7.60), имеет вид
1
2 N ,
а
х==
J.. N
Ь 2 ' 1113 q == вq == [В 1 В 2 В з В 4] q )
2
N, 1)
.... аЬ
(7.65)
\
rдe
1 ....
..... N. JrJr
2 а, ..18
а
1
В ; == Ь 2 N j . '1'1 )
(7.66)
2
........... N · Jr
1, 181) · 1 2 3 4
аЬ , 1 ==, , ,
.... ...
ИСХОДЯ из ero определения и учитывая (7.65) и (7.66), матрица жесткости
элемента образуется из отдельныx блоков
k== [kIJ]' i, j== 1, 2, 3, 4 )
rдe
I 1
k1J==ab J J Br (;, 1j) DBJ (;, 1j) d; d1).
о о
(7.67)
Непосредственной интеrpацией выражения (7.67) для элементов матрицы
жесткости K ij получим:
, К К К К 1 S6 ЬОХ 72 О. 1 S6 aD y 144 Ох у ·
..... .... + + +
11 --- 55...... 99...... 13 13 --- ЗS а3 2S аЬ 3S Ь3 25 аЬ I
\ К ..... к ...... к --- к 78 аО у + 36 DJ + 22 bDx + 12 Dxy ·
12 --- ,6..... 9 10 1314 --- ЗS р3 25 аЬ 35 а 3 25 аЬ J
293
. К " K ; ...... К ..... К ....... 22 аО)' 36 О, 78 bDx 12 D X1 "
13 51 ==- 9 11 ..... J 3 '1 ....... + + + f
35 Ь 3 25 аЬ ЗS а 3 2S ab
'к == к == К=:...... К == 11 Ь D х + 11 D 1 + 11 aD y + Оху ..
.4 ,8 912 13.6 35 а3 50аЬ 35 Ь3 2S аЬ i
К ....... К ..... 156 bDx ...... 72 О 1 _+ 54 аО у 144 Оху
.,..... 913....... 36а 3 2Sab 35Ь3 25аЬ J
К а6 == K 1S == К, 14 == K 10 IJ == 22 ЬО,, _ 36 DI + 27 aD,. 12 D",. ·
35а 3 25аЬ 35Ь 3 2Sab)
К' 7 == К Н == K'IS = К'I 13= 78 ЬО,. + 6 DJ 13аО,. _+ 12 D",. ·
35а 3 ' 25аЬ 25Ь 3 25аЬ J
К 18 == К2'7 == К З6 == ..... к", .' K q 16 K.213 ч.. К1О 1, "' К н 14 ==
11 bDx 3 О, J 3 аО, ох,.
+ +
35 аЗ 25 аЬ 70 Ь 3 25 аЬ t
к ==К == S4bD. + 72 О( 54аО у + 144О",:
19 , J 35 аЗ 2S аЬ 35 Ь 3 2S аЬ '
. к ....... к ..... к ....... к ..... 1 3 ЬО" 6 D. + 27 aD y 12 Оху ,
I 10..... 29...... S 14...... 613....... 35 а3 25 аЬ 35 Ь3 25 аЬ t
. 27 ЬОХ
К 1 11 == ...... KJ9 == К, JS == К7 13 =:
35а 3
6 D 1 J 3 aD y . J 2 DXY .
+ .
2S аЬ 35 Ь 3 25 аЬ r
" к 1 (2 == к 2 J I == к 3 10 == К. 9 == К, J () == Кб 1, == ....... ;
IЗЬD х D. J3aD y D y.
== + ...... +
70 а 3 50 аЬ 70 Ь 3 25 аЬ t
54 ЬОх 72 О 1 J 56 aD y 144 Ох-у ,
К. 13 == KS9 ==
35 аЗ 25 аЬ 35 Ь 3 2S аЬ i
К 13 bDx 6 О. 78 aD, 12 Dxy .
KJI4==K1I3== KH0== == 35а 3 + 25аЬ + 35Ь 3 + 25аЬ I
27 bDx
КI 1, == К3 13 == К5 11 == .... К79 ==
35 а 3
З Dl
2Sab
22 aD y
35 Ь 3
12 Оху .
25 аЬ ,
r
К. 16 == К 2 JS == К3 14 == К. 13 == К, 12 == К6 11 == К7 10 == К'9 ==
==
13 bD:( 3 О , 11 аО у Dx y
, + + +
70 аЗ 25 аЬ 3S Ь 3 2S аЬ )
к к к к 52 аО у 8 D, 4 ЬОХ 16 Оху .
· 22 == 66 == 10 10 == 14 84 == 35 Ь) + 25 аЬ + ЗS а 3 + 25 аЬ J
294
J I Ь D 61 О. 1 I u Ь)'. D *, .
. К Х + + +
· K2)== K67==K'OII== J4IS 35а 3 SOab j)3 ';;flbl
2TaD y 4 D, 2 bDx 4 О Х )' .
и K .......... к == + + + f
\ KZ.f 6 8 10 12.... 14 J6 t-&S Ь] 2S аЬ 35 а 3 75 аЬ
4bD"
, К 26 == К10 14 == 35 а 3
8 D. 18 аО у 16 D ау ,
+ I
25 аЬ ЗS Ь 3 25 аЬ
..... == 2 ЬОХ + DI ...... 1 3 aD)' + 4 D., ·
К2а==К46== KIOI6 К Ш1J , 35а з 75аЬ JOSb3 7Sab I
9 aD)' 2 О. 3 ЬОХ 4 DJ(Y ·
· К 2 10'" К 614 == 35 Ь 3 + 25 аЬ + 35 а 3 + 25 аЬ I
1 3 аО у
ОК 212 = К4НI==Кб16== K814== 210Ь 3
О.
) 50 аЬ
3ЬО х
70а 3
О Х )' ..
75 аЬ I
з bO
РК 214 ==К'10== 35а 3
6 DI + 26 aDy . 12 D x )' t
75аЬ' 3Sb 3 7Sab'
D. 11 а D)'
+
25 аЬ 105 Ь 3
D .
$у
7S аЬ '
3ЬО х
К 2 16 == К4 14 == К6 12 == КВ 10 == 70 а 3
4а О 8D 52ЬО х 16D ay '
У+ 1 + _ +
· K3)==K77==KI1==KJSJS== 3Sb 3 25аЬ 35а 3 2Sab I
2 aD 4 D. 22 bD" + 4 Оху ·
К К У + +
· К34 == К78 == 1112 == is 16 == 35 Ь3 25 аЬ J 05 а 3 75 аЬ '
26 bD"
К37 == K l1ls == 35 а3
2 О,1 ...... 3 aD)' 4 Оху ·
2S аЬ ЗS Ь 3 25 аЬ t
J 1 bDx
К зв = K47== KI116=K:2IS= 105а 3
О.
......
2Sab
3 aD ....... Dxy .
70 Ь 3 75 аЬ '
з aD 2 D 1 9 ЬО" 12 Dxy .
· К3 11 ==К7 15== 35Ь 3 ' + 25аЬ + 35а 3 + 75аЬ t
ЗаD у
· К3 12 == К4 11 .. К7 16 == Ка IS == 70 Ь 3
18 bDx
К315 ==К711 == 35 а 3
D.
1 SO аЬ
1 3 bDx
210а]
D.y .
75 аЬ i
8 D.
25аЬ
4 аО у ...... 16 D x )' ..
35 Ь 3 2S аЬ '
13bD x 2О. 2aD y 4Dxy I
К К ..... К .......... к ==.... + + + Ь '
3 16 == .. 15............ 7 12 8 J1 105 а) 75 аЬ 35 Ь 3 75 а
295
4 bDx 8 D 1 4 aD y 16 DX)' ,
. · K 4 == Каа == K I2 12 ==К и ; 16 == 105 а3 + 225 аЬ + 105 Ь 3 + 22i аЬ I
2 bDx 2 D 1 aD y 4 Dxy
К 4а == К'2II1 == 1 05а 3 225 аЬ 35 Ь 3 225 аЬ ,
К у, bDx D(
5.... +
4 12 .....8 16.... 70 аЗ 450 аЬ
aD y Dxy .
70Ь з + 225аЬ I
К К bDx
416== 812==....
35 аЗ
2 D 1 2aD y
+
225 аЬ 105Ь 3
4Dvy
225аЬ
(7.68)
Подобным же образом в узле i вследствие распределенной поверхностной на..
rрузки р вектор общих сил
I 1
QI==ab J J Nf р d d1).
о о
(7.69)
в случае равномерно распределенной наrpузки в элементе р = const непос..
редственной интеrрацией выражения (7.69) получается следующий вектор экви"
валентной наrрузки в узлах элемента:
QT == раЬ [1 1/6 1/6 1/36 1 1/6 1/6 1/36
4
1 ....1/6 ---1/6 1/36 1 ---1/6 1/6 --- ]/36] .
Прямоуrольный элемент с девятью степенями свободы. Элементы формы
треуroльника часто применяются в задачах изmба плит, особенно при наличии
неправильных контуров или отверстий. Начиная с 1960 r. до настоящеro време..
ии сформулирован ряд различиыx элементов треуroльноro типа, ocHoBaHныx
rлавным образом на классической теории плит. За простейший вид такою эле..
мента можно принять треуroльник с девятью степенями свободы (рис. 7.9) по
три в каждом узле (w, w х и w у)' которые находятся в вершинах треуroльника.
Наблюдая стандартную пjюцедуру МКЭ, видим, что поле перемещений мо"
жет аппроксимироваться с девятью между собой независимыми функциямИ, на..
пример полиномом с девятью членами. Однако здесь возникает затруднение,
поскольку ПОJIный полином Tpeтьero ряда имеет десять членов, т.е. на один
брльше, чем необходимо.
А. Адини [3] предложил решение в форме полинома Tpeтbero ряда:
W==«l +«2 Х+«з У+«4х2+сх, у2+«6 х э +«, х 2 У+«8 ху2+сх, у 3 )
(7.70)
в котором отсутствует член с ху. И хотя путем исключения ЭТQro члена сохране...
на симметрия выражения, это решение имеет недостаток, так как не обеспечи...
вает условия постоянства деформаций в элементе или соответственно не сохра...
няется постоянное кручение, коrда ero значение становится окончательно ма...
лым. Таким образом, этот элемент является более жестким, чем есть в действ и...
296
тельности. При' этом получаются меньшие перемещения, чем действительны..
и. Тошер [43] предложил решение в форме
W==oel +«2 Х+ СХ 3 У+«4 х 2 +«) ХУ+ СХ 6 у2+сх, Х 3 +«8 (х 2 у+ху2)+сх, уЗ
)
(7.71 )
у
х
PIIc. 7.9. треyrолыIlйй элемент с девятью степеllЯМII свОО()ды
соединяя два кубических члена в один и сохраняя симметрию решения вотно....
шении к преобразованию координат. И хотя 1. С помощью этой формы получены
удовлетворительные результаты:, ero недостаток состоит в возможности появле
ния синryлярности в матрице С, с помощью которой устанавливается связь меж..
ду узловыми перемещениями и общими координатами (q = С-а) при известной
ориентации сторон элемента (две стороны параллельны осям х и у).
Чтобы устранить вышеназванные недостатки, можно ввести один внутренний
узел, обычно в центре тяжести элемента, только с одной степенью свободы w,
так что для аппроксимации поля перемещеНИЙ можно использовать полный по..
лином Tpeтьero ряда с десятью общими координатами. Матрица жесткости эле..
ментов ряда 10хl0 редуцируется известным способом в. матрицу 9х9 исключе..
нием внутренней степени свободы.
Существует и друroй способ преодоления этой проблемы, предложенНЫЙ
о. 3енкевичем [8]. Для этоro используется система естественных координат L i
(i = 1, 2, 3). Перемещение w предполаrается в виде суммы 1JBYX перемещений:
"
w==w.+w"
J
(7.72)
rдe w. перемещения свободно опирающеrocя элемента ВДОЛЬ всех трех сторон; WR перемеще-
ния элемента, предстаВJIяющеro жесткое тело
wR::Lt Wt+ L 2 w2+L3 Wз==Z L. WI, i==l, 2, з.
(7.73)
Если оБПфе вращения обозначить' О х = ..........w и О у ...
ные ОХ и 8у. то соrласно (7.72) и учитываЯ (3.4'0):
· R 1 R
6 х1 - 6xl + ". У I == Oxi +............... С, WI :
2 i '
W,X' а относитель
(7.74 )
. .. 1 ..
8,.-O,I ". xI...8Y1 2 fbiWi ·
297
Если парам тры церем щений в узлцх эле ента обозначить Q, а относитель
ные ,ротаЩIИ 8 , то тоrда их связь в 9Тноm нии выраЖ IJИЯ (7.74) MO HO пред."
ставить в виде
е*==тч
.1
rде
... ....
6 х1
.
6 у1
(3*==
.
6 аз
6-
о у3...
С 1
--- Ь.
T== C t
, 2 b l
b
.... } 1
(7.75)
...
w J
6 Х1
6 У1 (7.76)
ч==
.
с.
W З
ОХ3
6
У3...
2 О С 2 О О С.) О О
О 2 b2 О О --- Ь] Q о
О о 2 2d О С 3 О () .
о о b2 Q 2d ьз О О
О О С 2 О О С] 2 О
О О b2 (} О ьз О 2d
, ...
Перемещения w* можно выразить в зависимQCТИ ОТ вращения i в узлах с
по ощью ИНТ РПОЛЯЦИОННhIХ функций:
w. = N . == [Nxl N,t N x2 . N, N хз NyJ
....
f)xl
6 .'
,уl
.
6 2
6
0:з
(7.77)
.
6 уз
На основании выражениji (7.77) и (7.74) qIeдye,T:
N xi,y
= .......1' для узла;
О.. для друmх двух узлов;
(7.78)
Nxi,x = о Nyi,y.... для всех трех узлов;
N yitx 1....... для узла;
О ....... для двух друmх узлов.
298
иитерполslционныe ФУНКЦИИ, ИСПOJIНSIIOщие условия (7.78), 'можно р:редста..
вить в следующем виде:
N JtI ==Ьэ (L L2+« L 1 L2 L3)......b2 (L1 L3+a! Ll L2 Lэ)
22.
N Y l ==С3 (L 1 L2+tI. Ll L 2 L3)......C2 (LI L3 +« Ll L2 Lэ) .
N 2==b 1 (L L3 +tt Ll L 2 L1)......b] (L Lt......« L 1 L2 Lэ)
N Y 2==Cl (L LЗ+(1 Lt L 2 L3)......C3 ( Ll......« Ll L 2 L))
N Х З==Ь 2 (L Ll +(Х Lt L2 L3)......b 1 (L L 2 +rx L 1 L2 Lз)
N У З==С2 (Lj L I +(1 L 1 L2 Lз).......еt (L +« Ll L2 Lз);
(7.79)
rдe d... постоянная (лишняя общая кoop Ta). которая опре.цетаетСil ЩИf успош-. чro деформа
ции в элементе остаются ПОСТОJIИИЫМИ при умевыпении ЗRaчeRЮI эяемeиta.
Поскольку деформации (изменении кривизнн) даны ках вторые ПР9изводиые
перемещеИИЙ, то при УCJЮВИИ пoc'loиииых деформаЦИЙ аедует, что w. ЯВJНIетсJl
ква,дратиой функцией координат L i :
w*==лt L2L3+Л2L!LЗ+А)Ll L2 1. (7.80)
rдe A.l ' J\2 и. з COO'ПIeТствующие пoc1'oiIIIные.
Дифференцированием выражeвu (7.13) по х и у, учитываs уравиеиие
(7.74), ПOJIyЧИМ
1
_* == (Л1 ( С) N X1 ...... С 2 Nx) + Ь) N)'2 + Ъ ! N 7З ) +
2А
+л2{......Сt Nx3 3 NXl+bt N у з+ Ь э N 1)+
+лз (.........с2 N x t...... C l N x2 +b 2 Nyl+bt Nyv].
Подстаиовкой (1.79) в (7.81) и сравнением с равенством
d,,= 1/2, а затем по выражeиmo (7.17): "
".==[bJ(L L2+ LJLJLэ) Ь2(IJLs+ L1LzLs)]в:а+
[ ( 2 1 ) ( 2 1 ' )] ..
+ С 3 LtL2+2Lt Ls Cz 14Ls+2 LzLs 6yt
+[ьt(uLз+ Ll LЗ) ЬJ(L + LzL,)]6 +'
+ [i:l (IJ L3 L 1 L J ) 3 (L .+ L3 )](1
+[b2(L LI+ LILжLз) ы1LjLz++ L J LzL з )]в:з+
[ ( 2 I . ) ( 1 )]
+ С 2 L3 +2Ll Lз Cl LзL2+2 .LzLJ '!})'р
(7.81 )
(7.80) по.лучим
(7.82)
IDJ
После .определения поля перемещеimй (7.82) можно получить деформации
(изменения кривизны):
", хх
х==
'W,"
2 ", ху
........ '-
== B * == [B B; в;] е;.....}
.
82
.
..... @3
(7 .83)
rдe
.....N xi. х х
N yi . хх
N,i. " )
I
2 N yi ху.....
(7.84 )
В. == N.
I XI. уу
i == 1, 2, 3 .....2 N xi . IУ
а затем матрицу жесткости:
k* == JB*TDB* dV.
v
Элементы матрицы k* можно получить в эксплицитном виде
k . dl1 [А А Ci C j "2 C i В; + B i C j .... B i Bj --2 ]
i J ' == . . + х + х у + У +
64 L\' I J 12 12 12
d 12 [А Е А Е GjCj+CjGj__2
+ . .+ . .+ х +
64 L\2 J I I J I 2
GjBj+FjCj+CjFj+GjBi.... FiBj+BjFj "2 ]
+ х У + У
12 12
d 22 [в Е Gj G j --2 G i Fj + F j G j .... F i Fj "2 ]
+ ..+ х + х y+ у
64 L\ s I J ] 2 1 2 I 2
d зз [н Н Bi B j ;'2 G j Fj + B i G j .. .. G j G j "2 ]
+ . '+ л + ху+ у
16 ' I J 12 12 12,)
i, j == J, 2... 6)
(7.85)
rдe
А) ==2 b (aJ bk 8.k bJ)+« (bk bJ) j
А 2 ==2 b (aJ Ck ak CJ)+4 &1 ы1 (Ck bJ CJ bt)+« (Ck----CJ) ;
Аз==2 ь: (ak bi a.l bk)+« (b. l>Jc) ;
А4==2 ь: (ak сl----аl ck)+4 а) bJ (Сl bk Ck Ь.)+« (Cl Ck)
As==2 b (&1 bJ----аJ ы+« (bJ----ы)
А б ==2 b (al cJ.......aJ cl)+4 ak bk (с) Ь........СI bJ)+« (CJ----CI) ;
300
Вl ==2 b (bk cJ.......bJ Сk)+Л (bk bJ) I
,
82==4 ы1 Сl (Ck bJ cj Ьk)+Л (Ct......cJ)
83==2 bf(bl ck.......bk сl)+л (bl.......bk) f
84==4 Ь) С) (Сl bk........Ck Ь.)+ Л (Cl.......Ck) ;
8s==2 b (bJ ("l.........ы1 СJ)+Л (bJ.......bl) ;
86==4 bk Ck (CJ ы1.......сl1 ЬJ)+Л) CJ........CI) ;,
с 1 == 3 ы1 Ь) bk (bk....... bJ) ;
) 2.
С 2 ==3 ы1 Ь) bk (Ck....... (J +6 b i (Ck bj........bk cJ) f
С з ==3 ы1 Ь) bk (bl.......bk);
С4 ==3 ы1 Ь) bk (Cl........Ck )+6 bf{Cl bk.......Ck ы1)
C s ==3 ы1 Ь) bk (bj bl) ;
С 6 ==3 ы1 bJ bk (Cj cl)+6 b (c) ы1........сl1 bJ);
2 ·
Е 1 ==2 Cj (aJ bk ak bJ)+4 Р.! Сl (bk cJ.......bJ Cд+ (bk bJ) ,
Е2==2 c (а) Ck ak Cj)+ (Ck.........CJ) ;
2 .
Ез==2 Cj (ak ы1......аl1 bk)+4 2.) С) (ы1 С]с...... b k Ci)+ (bl.........bk) ,
Е4==2 Cf(ak Сl.......аl Ck)+ (Cl......... C k) .
.
Es==2 c (al bJ.........aj ы1+44 2.k Ck (Ь) сl.........ы1 Cj)+ (bj.........bl);
Е6==2 c (al cJ.........aj CI)+ (Cj........CI)i
F 1 ==3 Сl CJ Ck (bk b)+6 с: (bk cJ.......b j cJJ
F 2==3 Сl С) Ck (Qk.........Cj);
F з==3 Сl С) Ck (bl.........bt)+6 с: (bi Ck.... bk сl);
F4==3 Ci Cj Ck (Cj tJ;
Fs==3 Сl Cj Ck (b j ...... ы1) +6 c (Ь) сl.........ы1 Cj);
F б ==3 Сl cJ CIt (с) ......Сl);
G 1 ==4 Сl ы1 (bk GJ....... Ь) Ck)+<p (bk.... bJ)
02==2 c (Ck b j С) Ьk)+Ч> (Ck CJ):
Gз==4 cJ Ь) (ы1 ck bk CJ)+«p (bl....... b k) :
G 4 == 2 с: (Сl bk.......Ck ы1+<р (cl........ C k);-
05==4 Ck bk (bJ сl.......ы1 CJ)+({) (bJ.......b!)
06==2 ci(Cj bl Cl bJ)+«p (Cj.......Cl);
(7.86)
301
. н 1 ==2 bl СI (bk 8.J Ь! ak)+ 281 bf (bk С) ...... Ь) Ck)+r (b k b j ) :
Н2==2 ы1 СI (Ck а) С! ak-)+2 -l Сl (Ck bJ.........Cj bk)+r (Ck..... CJ) ;
Н 3 2 b j Cj (ы1 ak bk al)+ 2 2.j Ь ) (ы Ck bk Cl)+Y (bl bt);
Н4==2 Ь А Cj (Сl ak .....Ck al)+2 aj Cj (Сl bk Ck bt)+y (СI Ck) ;
Hs===2 bk с)[ (b j at ыl aj)+2 ak bk (b j Сl bl cj)+r (bJ bt);
Нб==2 bk Ck (Cj аl ...... Ct2.j)+ 2 ak Ck (с! ыl Ci bj)+y (CJ...... Ct) :
« == а. Ь. b k +. Ь. а. b k + Ь. Ь. b k ·
J J ., IJ t
=== aj Cj c k + Ci &j c k + С. Cj a k ;
r == {з.. (Ь ; c k + С! b k ) + а; (b j Ck + Ci b k ) + 1\k (ы 1 С ; + с. b j )]
2
л==с b j b k + bicj b k + b,j b j c k
, ,
<р === b j b j CJt + b j C kk + Cj b j b k ,
1(2 == x + I + x
.... 2 ...2 ...2 .. 2 .
У :::: Yi + Yj + Yk
ху == Xj У. + IJ У; +X k Yk.
"
в этих внражениях х и у.......... координаты по отноmеВИIO к, центру тяжести
треyroльиика, d l1 , d 12 ...d зз .......... элементы матpицы д.
Матрица жесткости элемента, которая отвечает степeшDI свобо.цы в векторе
.
q, получается с помощью матрицы k по выражевmo:
k==TT k* Т)
(7.87)
а моменты в сечеВйях
M==D х==ВВ. e*:::DB* T ==STq,
(7..88)
rдe элементы матрицы s:
1
5 н, == 8 А3 {d tl (л. +cn х + В. y)+dl (Еа + ОП х + Р II .у.»;
52. == [d 1 ! (А. + с.. х + В. у) + d 22 (Е. + а п Х + F.. у»;
8, 3 .
S 2 d))
. за== (Ha+BJlx+G.Y) ,
843
(1.89)
(п==1, 2 .,.. б)
30:2
Пример. На рис. 7.1 О показана консольная квадратная плита со стороной а = 4 м, наrpyжен"
ной концентрированной силой Р в свободном уrлу:
v==O.16
dl1 ==d 22 == 10
d 1 2== 1.6
d з з=-=4.20
4,0
PIIC. 7.10. Консольная квадрarная ПЛlIТа, наrруженная IC:онцентрllрованной СИJI()Й Р
ля иллюстрации способа расчета взяты только два конечнь элемента с обозначениями по
рис. 7.11.
8 х1 1
.
87' !W J
4/ 8У4
..
8Yt!
__. 8 х2
Wz
Рис. 7.11. К()нечные элементы и- основные неизвеС11lые в УЗJIах
Координаты узлов по отношению к центру тяжести треуroлыmка
[ ] == [ Х, ] ' [ Х! + Х 2 + х 3 ]
У У з Уl +У2 1 -УЗ J
303
На основании вышесказанноro для элемента 1 получается:
Xl"'" х.
"2 == Х 2 + (Х 1 +Х 2 +Х 3 ) 4
х х 4
_3__3_ __
.... у 1..... ..... у 1..... ..... О .....
У2 == У2 + (Уl +У2+УЭ) О
4
LY э LY 3 ..... .....
матрица жесткости элемента 1 k 1 = T1k 1 Т 1 :
..... 3,75 0,55 6,93 3,75 0,98 6,12 О 1,53 1,95'"
0,55 5,03 0,30 1,4O 0,27 1,67 1,95 2,50 0,83
6,93 0,30 17,73 8,47 1,10 7,50 '1,53 6,93 2,50
з, 75 ) ,40 8,47 7,50 """:5,13 5, 13 3, 75 8,47 J ,40 '
k 1 == O,98 0,27 I,IO 5,13 16,70.......1'17 6,12 7,50 1,67
6,12 1,67 7,50 5,13 1,17 16,70 .......0,98 1,10 0,27
О 1,95 1,53 3,75 6,12 .......0,98 3,75 6,93 0,55
1,53 2,50 6,93 8,47 7,50 1,10 6,93 17,73 0,30
1 ,95 0,83 2,50 .......1'40 1 ,67 0,27 0,55 0,30 5,03 .:.
8/3 ==
2.6667....
I.ЗЗ33 '
t
1.3333
.....
.... ).333з....
1.3333 :
2.6667....
...0.....
8
з==
матрица жесткости элемента 2:
5,0333 0,3000 0,2667' 1 ,6667 2,5000 0,8333.....
0,3000 17,7333 1,lOOO 7,5000 6,9333 2)5000
0,2667 1, 1000 16, 7000 1,1667 7'5000.......1,6667
k 2 *== 1,6667 7,5000 1,1667 16,7000 1,IOOO 0,2667
2,5000 6,9333 7,5000 1, 1000 17,7333 0,3000
........0,8333 2'5000.......) ,6667 0,2667 0,3000 5,0333
..... ....
,'" 3,75 0,55 6,93 3,75 0,98 6, 12 О I ,53 t ,95 --
0,55 5,033 0,30 1,40 0,27.......1 ,67 1,95 2,50 0,83
6,93 0,30 17,73 8,47 1,10 7,50 1,53 6,93 2,50
3,75 1,40 8,47 7,50 5,13 5,13 3,75 8,47 1,40 ·
k2== 0,98 0,27 1,10 5,13 16,70 1,17 6,12 7,50 1,67
6,I2 1,67 7,50 5,13 .......1,17 16,70 0,98 .......1,10 0,27
О ........1,95 ......1,53 3,75 6,12 0,98 3,75 6,9З 0,55
........1'53 2,50 6,93 8,47 7,50 1,10 6,93 17,73 0,30
........) ,95 ........0,83 2,50 1,40 1 ,67 0,21 0,55 0,30 5,03
304
Система уравнений kq = Q*:
7.S0 1 O.42
5.13 3.75
1. J 7 i 6. 12
16.70: 0.98
7.50
.....0.42' 0.42 З.7S 6.12 . 98-- "'w I
5.0 6.10 8.47 7.50 1.10 ОХ.
6.10 5.0 1.40 1.67 0.27 Оу,
8.47 1.40 О О О w 2
7.50 1.67 О О О ОХ2
1.10 0.27 О О О ОУ1
..._............ .................._........ _.._ .. ........ ..................4..........._......... .
7.48 7.48 3.75 0.98 ..... 6.12 w.)
22.77 0.60 1.40 0.27 1.67 ОХ)
22.77 8.47 1.10 7.50 6у]
7.50 5.13 5.13 w.
16.70 .....1.17 ОХ4
0.98 6.12 : о
0.27 1.67 1 0.42
--7.50 ..... 7.48 7.48 З.7S
22.70 0.60 ..... 1.40
22.77 8.47
7.S0
.....1.10
5.1З
t 6.70
симметрично
--) .0
о
о
о
о
о
R]
М Х.)
Му.)
R..
М Х4
",М У4
J 6.70... ...6у.......
Решая эту систему уравнений и учитывая, что перемещения и вращения в узлах 3 и 4 равны
нулю, получим перемещения и вращения в узлах 1 и 2, которые приведены в табл. 7.2. В ее второй
колонке даны результаты расчетов, которые получаются сеткой из восьми треуroльных элементов, а
в третьей результаты расчетов с 72 мя прямоуroльными элементами по проrpамме САЛ IV. На
рис. 7.12 показана диаrpамма перемещения w.
Таблица 7.2
I
ПЕРЕМЕ I а ь с
ЩЕНИЕ I
Wl 0,76128 0,14802 0,74503
ОХ 0,26731 0,26905 0,27305
8 У1 ..... 0,08008 ..... О, I 0974 ..... О, 12669
W2 0,37802 0,36433 0,37531
6"2 О, 14520 0,14635 0,15677
6)'2 ..... 0,08985 ..... 0,07202 0,05950
Рис. 7.12. Сравнmeльные реЗУЛЬТВI'Ы расчета ДJIЯ трех различных ceroK :конечных элеменroв
305
Треуrольиый элемент с lS ю степенями свободы. Проблема изrиба плит не
всеrда решается успешно с треуroльными элементами, имеющими девять степе
ней свободы. Ввиду этоro, вводятся усложненные элементы, имеющие значи
тельно больше степеней свободы, а также и значительно лучшую аппроксима
цию полей перемещений в элементе. На рис. 7.13 показан треуroльн:ый элемент,
имеющий 15 степеней свободы, с узлами в вершинах и центрах сторон треуroль
ника.
у
. w, W,n
o w W,X w,y
Рис. 7.13. Треyrольный элемевт с 13 ью степенями свободы
Уrлы: в вершинах треуroльиика имеют по три степени свободы (w, W,X' W,y)' а
узлы в центрах сторон....... по две (W, W п)' rдe W п ....... наклон нормали п в центре
стороны треyroльника. Поскольку элемент имеет всеro 15 степеней свободы, то
поле перемещеиия R элементе можно аппроксимироватъ полным полиномом чет
Bepтoro порядка, содержащим 15 общих координат. У этоro элемента обеспечена
непрерывность перемещеНИЙ' w во всех точках контура, в то время как наклон
нормали W п ....... прерывистый. во всех точках контура, кроме узлов.
Это можно вывести на основании следующеro. Изменение перемещев;ий w
вдоль одной стороны t треуООJIЪника (см. рис. 7.13) описан(} с помощью полинома
четвертоro ряда, содержащеro пять общих координат, а наклон нормали w п С
помощью полинома TpeтlJero ряда, содержащею четыре общих координаты.'
Для определения пяти общих коордииа,т в полиноме для w существует пять
условий в узлах: по два в вершинах (W и W t J и один ....... в среднем узле (W). По
СКОЛЪКУ узлы являются обlЦJ(ми для двух соседних элементов, то непрерывность
перемещений w вдоль' линии t обеспечена-, так, как кривая....... ПОЛИНОМ четвертой
степени однозначно определена питью коэффициентами. Однако наклону HopMa
ли w,п вдоль линии t MOryT соответствовать только три УСЛОВИ5l (W,п в каждом уз
ле), что недостаточно' для вычисления четырех коэффициентов, с помощью K()'
306
ТОрЫХ определяется кривая TpeTbero ряда, а это значит, что не обеспечена не--
прерывность w п вдоль контура t.
Для безус.ловноro обеспечения непрерывности перемещений и наклона во
всех точках контура между двумя соседаими элементами Н ХОДИМО, помимо
перемещений w и первых производны:х W. X и W,y как основных неизвестных, в
умах ввести и друrие ПроИЗ8QДвые.
'треуrольный элемент с 21 й степенью свобоДЫ (рис. 7.14). Место узлов
такое же, как и в треуroльном элементе с 15..ю степенями свободы. Однако раз--
личие существует и в выборе ОСНОВНЫХ неизвестиых в узлах. У этоro элемента
основные неизвестные в верmиниых узлах........ перемещение w и еro первые и
вторые прои3Бодные, а в узлах в центрах сторон неизвестные ......... только наклоны
нормали W,n. Поле перемещеиия в элементе может аппроксимироваться: с пол
ныM полиномом пятоro р5IДЗ, содержащеro 21 коЭФФИЦИент. На основании ПОДО--
биых рассмотрений, как и в случае элемента с 15....ю -степенями свобоДЫ, :можно
заключить., что у этоro элемента обеспечена н'епрерывиость c 1 , т.е., непрерыв--
ность перемещений w и наююна НОРМaJIИ w,п во всех точках контура.
, ' ,
3 У
х
А w,n
'@ w W'X "".,у W,.xx W''1..y W, у
Рис. 1.14. Треy.roJlЬНЫЙ ЭJlемевт с 21--oi creпeuью свободы
Поскольку СВЯЗЬ между Ilеремещени ми В ПРОИЗВОJlЬИОЙ ТОЧICе элемента и
параметрами перемещemtЙ в yзJIах установлена с помощью полинома пя..
roro рада)
w == (I х У х 2 . . . .. х 2 уЗ ,ху4 yS) (I;,j..... Q:A.« .
'(Х2
..
(1.90)
'.. ОС,20
«.,211 ....
3О'
Изменение кривой можно выразить следующим способом:
... "'0 о о 2 2 у З О О ....
W, хх (11
х== W, )'У .... О О О О 6х 2 у 12 х 2 У 20 уЗ (12 ==Rcz
J
... 2 W, х)'.... О О О О 12 ху2 8 у З О (7.91 )
...
«20
... tЖ н ....
rде. вектор оБЩИХ координат полинома пя:rоro ряда.
Аналоrично исследованиям, которЫе детально проведены для прямоуroльноro
элемента с lS..ю степенями свободы, связь между параметрами узловых переме..
щений q и вектором общих координат с("можно показать выражением
q==C (Х )
(7.92)
rде
..... q I ....
r:.x
.... ...
С 1
qi == w, n
Ч2
W, у
W, хх
i==4, 5, 6
С 2
с==
(7.93)
q==
qi ==
Q6...
W, ху
.... W, уу... i == 1, 2, 3
с
... б ....
....... субматрицы с; (i = 1, 2, 3), которые MOryT леrко образоваться, если в Bыа..
жение (7.72) для перемещения W и соответствующими производныии w,x.......W,yy
ввести координаты узлов 1, 2 и 3:
I 2 2 3 4 s....
Х. Yi Xi . . . . . . Xi Yi Х ; Yi У;
I
О О 2 Х. 3 4 О
. . . . . . 2 Х ; Yi Yi
I
О О О 2 2 3 4
1 . . . . . . з Xi У; 4 x i Yi 5 Yi
С. == (7.94 )
I 3
О О О 2 . . . . 2у; О О
О О 2 3 О
О О . . . . . . 6 Х ; У; 4 Yi
О О О 2 2 20yr
о . . . . . . 6 Х; У i 12 Х; Yi
.....
Для образования матриц с; (i = 4, 5, 6) необходимо найти выражение для
наклона нормали W,n. На рис. 7.15 показано положение направляющей (конти..
нуитета) t и нормали n на контуре элемента по отношению к осям х и у.
308
Связь между этими двумя системами координат представлена выражениями:
t=x cos «+у sin«
(7.95)
п== х sin «+у cos (х ;
n у
t
х
Рис. 7.15. Jl[()ЗIIЦИSl системы КООрДИIl8r t, n П() отн()шеllИЮ IC Х, У
соответственно:
x==t cos « n sin « ;
(7.96)
y==t sin «+п cos IX.
Исходя из этих выражений, первую и вторую производные по t и п можно
выразить в следующей форме:
[ д/д t ] [ cos« sin « ] [ д/д Х ]
д/д n == sin ос cos« д/д у
(7.97)
д2/дt2 COS2 а; 2 sin «cos IX si 02 IX д2/дx2
д2/дtдп --- sin сх:<-) s <Х cos 2 « sin 2 <Х sln ос cos IX д 2 /дхду .
д 2 / д n 2 si п 2 сх: 2 sin сх: cos сх: со s 2 IX ....д2/д у2
с учетом тoro, что выражения (7.95) и (7.96) действительны для О ,( "){,..
r/2 и соответствеиноli7" ..( ,( 2 положительное направление нормали к сто'"
ронам треуroльника определено yrлом О <./!j ( и показано на рис. 7.16.
Поскольку на основании BТOporo уравнения (7.97)
w'n==........sin.<X w,x+cos « W,y')
(7.98)
то для остзльных трех субматриц с; (1 = 4, 5, 6) получается
[О ' 2 . 3 22
Сl == , SlП <Xj, cos «j, sln IX ; Х ; . . . . . .. COS «; Х; Yi,
2 . 3 4 3. 4 5 4
--- S10 «; X j Yi, cos rtj X j Yi, sln rt i У; , cos OCj У; .
(7.99)
309
ЕCJIи из ураввенИ5I (1.92) определить инверсную зависимость
a==C 1q)
(7.100)
), подставляя ее в уравнение (7.91), вектор будет
)(==KC I q=-Bq J (7.101)
з у
Рис. 7.16. Yr лы ,опреДеляющие П()Л()ЖИ'J'eJIьи()е направлеНII 1I0рМали п
матрица жесткости элемента
k == J ВТ ОВ dF == (c l)T (J RT DR dx dY) c I ==(c I)T kC 1'; ,
F F
(7.102)
вектор УЗЛОВЫХ сил, вследствие распределенной наrрузки р(х,у):
Qt==(C I)T f pAqdxdy.
F
(7.103)
ПОСКОЛЬКУ элементы 'матрицы Д постоянны, подынтеrpальное значение в BЫ
ражении (7.102) с учетом (7.91) можно получить в эксПJIИЦИТИОМ виде& так как
в mеописанное .сводят к вычислеНию простых Иllтеrралов вида
111 == 1 Xi yi dx dy:
F
' (7.104)
В. табл. 7.3 .приведены значенШl выражениSl (7.104), KOrдa п =:. i + j от еди--
ницы .до шести для случая, если х и у оси центра тя?Кести треуroльиика. С
ПОМОЩЬЮ' этой таблицы леrко добраться до ЭКCDЛИЦИТRОro вида матрицы k при
условии, что плита изотропная, однородная и имеет постоянную ТОJIЩW1 У. В об--
щем случае элементы матрицы k определяют .по (7.102) численным путем.
ТреуroJlЬИЫЙ элемент с 18--ю степенями свобоДЫ. треyroльвыe элементы с
УЗJIaМИ В центрах сторон имеют определенные недостатки. У ЗJlЫ в центрах CТ
рои ПUlЯIOТСЯ оБЩИМИ только ДJI.SI двух соседних з;лемеитов, в то времЯ как узлы
310
Таблица 7.3
n==i+j
Ijj == J Xi yj dx dy
F
1
о
d .. .. ..
....... (x y J l + x y + х y )
12
2
3 (x y +x y +x;yO
4
t:::. ( " .. ..
1 J 1 J J J
ХIУJ+Х2У2+ Х ЗУЗ)
30
5
2 . I .. ..
( 1 1) I J )
ХIУl+Х2У2+ Х ЗУЗ
105
15 Il з 6
'60== I20T40+ Xi
14 84 i==1
15 6. з s
151 == (2 140 111 + 5 130 121 + 2 120 I з1 ) 2 Xj Yi
14 168 i==l
1 ' 2
142 == (6140 102 + 24120 122 + 30 130 I J2 + 48 I ЗJ IJJ + 75 ]21)
14
6
11 А ixty
840 i=l
1
133 == 28 А (25 I зо fo: + 225 112121 + 36 120 I З1 + 36 102 J 31 + 108 111 122)
Il з з з
XiYi
56 i ==1
в вершинах треуroльника MOryT быть общими для мноrих элементов. Кроме то...
ro, число неизвестных параметров в центрах сторон значительно' меньше, чем в
вершинах треуroльника. Это неблаroприятно влияет на ширину ленты матрицы
жесткости системы.
При суммарно равном числе степеней свободы лента матрицы системы Шllре
в треуroльнике с узлами в вершинах и центрах сторон) чем в треуroльнике с уз--
лами ТОЛЬКQ в вершинах, поэтому узлами на сторонах треуroльника часто ире...
небреrают. Достиrается это исключением параметров перемещений в центрах
сторон С помощью параметров перемещений в вершинах треуroльника.
311
Если в элементе с 21..й степенью свободы (см. рис. 7.14) исключаются неиз..
вестные w n в центрах сторон, то с помощью основных неизвестных в вершинах
уrлов полУчается элемент с 18..ю степенями свободы (рис. 7.17).
з
1
Рис. 7.17. Треyr()льиый ЭJlемеm с 1 ью степенями cвoo()ды
у этоro элемента сохранилась также полная связуемость (компатибильность)
на rраницах отдельных элементов, т.е. связуемость перемещения w и наклона
W,n. Изменение наклона нормали w,n вдоль сторон треyroльника i j на рис. 7.18
можно показать с помощью полинома Tpeтbero ряда
w, t)==(XO+«l t+«2 t 2 +«3 t 3 . (7.105)
L/2
L/2
m
(W,nt)j
Рис. 7.1 . АппроICСИМ8Ц1IЯ иакл()на нормали ВД()ЛЬ lC()нтypa
Неизвестные коэффициентыaLо...dз определяются "з условий нз концах'
t==o { W,n ( W,n)j '. t==L { W,n==(W,n)j (7.106)
w, nt (w, nt)i i W, nt == (w, nt)j ,
так что для наклона нормали w в центре сторон треуroлъника t ... L/2 получа..
ется
,'1 1
( . )т ==2 [(w, n)j + (w, n)j) + 8 [(w, nt)j (w, ntM. <7.107)
312
Если в выражение (7.107) вместо W,n и W,nt подставить их значения соrласно
(7.98) и (7.97), то
(W,n)n\== 2.1 (W,x)i+ 2 (W,Y)1 ('-! (W,x)J+
+а2 (w,Y)J аз (W,XX)I+a4 (W,xy)l+
+аз (w,}rу)l+ а з (w.xx)j a4 (W,"Y)j...... аз (\V') )J)
(7.108)
rде
1. .
а 1 == 2 Sln rt (
1 .
32 == cos ос i
2
1. .
а з':= L Sln ос cos (1.
. 2
1 I
а 4 == L(cos 2 (1. sin 2 ос).
8
(7.109)
Уравнения (7.108) выведены при допущении, что, Xj > xi. Если Xj < Xi' то в
выражении (7.108) изменяются знаки перед членами со вторыми производными.
Связь между параметрами перемещений в узлах в центрах сторон и перемеще..
ний в узлах в вершинах треуroльника для всех трех сторон треуroльника можно
выразить в матричной форме:
qs==Hqc,
(7.110)
rде (W, 0)4 Ч,
qs == (w, о), ; ЧС == q2 ·
.... (w, П)б.... 1.. qэ....
Матрица преобразования н формируется по выражению (7.108):
(7.111)
.... 4 а 4 444 4 4 4 О О О О О О
О al 2 аз а 4 аз О al а2 аз
Н== о о о о о о о s s s О s a s а' а' ) (7.112)
al а 2 аз al a) 4 З
6 6 6 6 6 О О О О 6 6 а 6 а 6 6
О 81 а2 a) 84 8) О а 1 а 2 ) 4 ..... а 3 ....
rде верхний показатель над а обозначает соответствующий узел 4, 5, 6, что необходимо иметь в виду
при использовании выражения (7.109).
Если векторы основных неизвестных в узлах элементов Т..21 и Т..18 060зна--
чить Q21 и Q18 и учесть выражения (7.110) и (7.111), то связь между ними мож--
но установить следующим способом:
[ ЧС ] [ 118 ]
q21 == qs == Н Qla,
(7.11 З)
rде 1 18 уравнение матрицы порядка 18x 18.
313
Исходя из основных матричных уравнений для элемента T 21 и T 18:
k 21 q21 ==Q21,
k 18 q18==Q18)
(7.114)
и пользуясь условием
т т
QJ8 Ч18 == Q21 Ч21)
(7.115)
матрицу жесткости k 18 и вектор общих сил в узлах Q18 можно по.лучить посред
ством матрицы жесткости k 21 и вектора общих сил в узлах Q21 элемента T 21 с
помощью следующих выражений:
"18 == [118
нт К 2I ] [ 8] ;
НТ] Q21
(7.116 )
kJ8 =={II8
Выражениями (7.116) сформулирована матрица жесткости и вектор сил в уз
лах треуroльноro элемента с 18 ю степенями свободы, который качеством апп
роксимации эквивалентен элементу с 21 й степенью свободы.
Контурные условия. Как известно, условия на контуре MOryT быть заданы
rеометрические, смешанные или статические. Соответственно плита вдоль KOH
тура может быть зажатой, свободно опирающейся или свободной. На рис. 7.19
показана часть контура, совпадающая с направлением оси У, и соответствующие
условия на последнем.
w= о
W,]( = о
w '"1 = О
W' X у = о
w ,у у = о
\V= О
W,y = о
W'X у = о
w ,у у = о
Мх=О
Т =0
х
х
х
х
ЗАКРЕПЛЕНИЕ
. " ......:......:. .... ",," .".."
.. .. "'.'.. :.: .. ....... .:."-
".. ": .."'t".: "" :-:. ":-....: ..... .:;:х..: ..:::...:. .".
.::: ::.: . ...:..- .. ".,:-:.".:-:.:::
ti.!'; . : ; 'I"' .: .' i. .'-!:'rtl t :Ш ::f: Ь
.... е:.: .:""'...... :,....;.: .:..:-:.:,:. .: : .. ее:." ее ..- ...........
СВОБОДНОЕ ОПИРАНИЕ СВОБОДНЫЙ КОНТУР
РИс. 7.19. Контурные условия для контура х = О
у простых конечных элементов, таких, как T 9 и T 15, можно выполнить
только rеометрические контурные условия, т.е. условия по перемещению w и
первым производным перемещений W,x и W,y' в то время как статич кие усло
вия или соответственно условия по высшим производным перемещении W хх' w ху
и W,yy осуществить невозможно. Это еще один серьезный недостаток этих
элементов.
314
У более сложных элементов, таких, как Т...12 и T...21, rдe в виде ОСНОВНЫХ
неизвествых ПОЯВЛЯЮТСЯ и изменения КРИВЫХ, эта проблема не существует при
зажатии и свободном опирании. ОднаКО при свободном контуре с эrим элемен...
том нельзя точно удовлетворить KoHтypныe условия по заменяющей поперечной
силе.
Для удовлетворения условиям на свободном контуре по изrибающим момен",
там
w,xx+V W,yY==o)
(7.117)
соответственно
W,yy+ v W,x. ==o,
необходимо выразить пара метры перемещения в зависимости от момента. Если
через q' обозначить модифицированные параметры перемещений в узле на сво'"
бодном контуре, т.е.
w
W, х
W'Y
-:
,
qk == W, хх + v w, уу )
(7.118)
W, ху
...W, уу + v w, XX
o можно установить зависимость между действительными и модифицированны...
ми параметрами в виде
qk==Tk Qk')
(7.119)
rдe
....1
1
Т==
1
.
1 v
1 \v2 О 1 v2
J О
v О 1
1 v2 1 v2
(7.120)
Для элемента е, который содержит контурRый узел k, к основному уравне...
нию конечноro элемента:
He==ke qe
315
можно дописать аналоrичное модифицированное уравнение
Q ' Ir' q '
е ...... ае е,
(7.121)
rдe
Qe' ==т; Qe )
ke' ==T ke Те)
(7.122)
Те квазидиаroН8JIьная матрица, имеющая субматрицы Tk для узл()в на к()нтуре и единичные MaT
рицы для yrл()в треуroльника, нах()дящиеся вне к()нтуре.
Так, например, для треуroльноro элемента Т..18 с узлом 3 на контуре матри"
цы:
16
Те == 1,
(7.123)
.
Tk
Преобразование формы (7.122) необходимо провести для всех элементов,
имеющих узлы на свободном контуре. Выражения (7.122) выведены из предпо..
ложения, что свободный контур совпадает с одной из осей локальной системы
координат. Если это не так, то необходимо)в первую очередь, провести преобра..
зования
.... w ... .....1
....w
W, х
COS tX ..... sin tX
W,t
W, у
sin (Х
cos (Х
W'n
W, ХХ
cos 2 (Х ..... 2 sjn (Х cos (Х sin 2 r.I.
sin « cos (х cos 2 « ...... sin 2 r.I. ..... sin сх cos (Х
sin 2 « 2 sin « соз« cos 2 «
W, tt
W, Х)'
W, nt
....W J "
W, nп...
параметров в локальной системе координат х, у в соответствующие параметры в
системе координат t n' которые совпадают с направлением контура и нормалью
на нем, а затем выполнить преобразование формы (7.122).
Пример. Для иллЮстрации треyroльных элемент()в с различным ЧИCJI()м степеней свободы даны
сравнительные результаты расчета квадратн()й свободн() ()пирающейся плиты, к()т()рая наrpужена
равн()мерн() размещенн()й нarpузк()й. На рис. 7.20 п()казаны четыре сетки к()нечных элемент()в, для
1 2
*:p;;:{.;:;
@JЙ#ti
. :k . :)HiW . ::/::: .
я ;wAt1.
;lllt 11:11
/: .:
m. "..u........
а.' :".'.."'.'..........,,;...
.;% :. .:: is ; :
iЙ?"':'" ..'.... "....'
d;::: / . :
r. . ."'. . tI "'. . 1 ' 'Wi ffi[ л:.:
.;..: . . . '. "/' ..-
. .. ... ../..... /. ,"'
..... .. " -.. .... z .
... r " ,,"..
/,. .. . .;:: Z;:: . . -'/. . ., .. "
: jШ gifМ ДШ&1@
Рис. 7.20. Квадрamая плита, свООс>дн() ()пирающаяся П() к()иrypу, с сеп()й J{()нечных ЭJlементов
316
Таблица 7.4
Число w
коиеч- I
Зиаче ных Т .... 9 T....lS Т ...... I 8 Т ..... 21
иие элемеи
тов N N I I N IN
а 2 12 0,003943 22 0,00418-2 24 0;004092 29" 0,0041>57'
Ь 8 27 0,004249 S9 0,004067 S4 0,004063 70 '0,004062
с 32 75 0,004153 187 0,004061 IS0 0,004062
d 128 243 0,00409R
Аналитичес- I
кое решение
Мультипли
катор
0,004062
р/4/К
Таблица 7.5
3иаче- Мх==М у Мху
иие T 18 т ...... 21 Т .......18 Т ....... 21
а 0,04889 0,04916 0,03082 0,03167
Ь 0,04791 0,04795 0,03204 0,03232
с 0,04788 0,04790 0.03236 0,03242
d 0,04788 0,03245
АналИТИ-1 I
ческое 0.04789 " 0,03246
решение
Мульти-
плика- f' /2 ....... Р 12
тор
которых сделан расчет. В табл. 7.4 приведены значения перемещений w в центре плиты для кажд()й
из уп()мянутых сет()к для элементов T 9, T 15, T 18 и T 21; а в табл. 7.5 даны значения м()мент()в
изrиба м х = М У для средней т()чки плиты и м()мента кручения М х NIЯ уrл()вой т()чки ПЛИТЫ.
На ()Сн()вании результат()в табл. 7.4 ВИДIIо, ЧТ() более сл()жные lлементы при ()дн()м и т()м же об
щем числе степеней свободы дают большую точность, чем простые. Так, например, Т 1 5 дает боль
шую т()чн()Сть, чем T 9, а T 21 п() сравнению с T 15. В т() же время м()жн() сделать вывод, чт() т()ч
ность, к()т()рая теряется при исключении узл()в в центрах ст()р<>н элемента T 21 и ero переводе в T
18, незначительна. Эти преимущества и недостатки ()тдельных элемент()в п() ()тн()шению к друrим
стаН9ВЯТСЯ еще ()чеВИДllее в случаях, Korдa больше выражен локальный характер к()нтурных усл()вий
(например, опирание на колонны и т.п.) или так()й наrpузки, как концентрированные силы.
На осн()вании изл()женн()ro м()жн() сделать вывод, что элемент Т 18 имеет преимущество в клас
се элементов треуroльной формы, к()Т()рые применяются при решении прООлем изrиба плит.
317
Элементы с субэлеl\lентами. Простой элемент треуroлъной формы T 9 имеет
два ОСНОВНЫХ недостатка:
иесоrласовавность между ЧИСЛОМ степеней свободы и ЧИСЛОМ оБЩИХ коорди--
нат в полном полиноме третьею ряда, КОТОрЫЙ используется для ивтерполяци'"
оииой функции; ,
отсутствие у ПО1lИнома третьеro ряда достаточноro числа параметров (общих
координат) для TOro, чтобы обеспечить континуитет (непрер.ывность) перемещ '"
ний w и наклона w п ВДОЛЬ сторон элемента. .
Первый из этих недостатков можно устранить, вы1щлив один член в ПОЛИ'"
номе, ИЛИ, соединив два члена в ОДИН, ИЛИ введя еще одну степень свободы в
элемент. С учетом точности аППроКСИМ (lI ИИ имеется больше оснований на рас--
mирение числа степеней свободы, чем на сокращение числа членов в полиноме.
В качестве Д9полнительной степени свободы обычно прииимаетс.51 перемещение
w в центре тяжести треуroлъни:ка. (
В принципе за дополнительную степень свободы можно выбрать и друryю
какую то величину, например наклон w п В центре одной из сторон треуroльни
ка. Тоща с помощью полинома третъеro порядка обеспечивается конти уитет
наклона. Изменение наклона ВДОЛЬ сторон является квадратной ф.ункцией, KOTO
рая однозначно определена тремя параметрами (W,n на краях.и в центре стороны
треуroльника). Однако континуитет наклона w n на двух друrих сторонах Tpey
roлъника этим не обеспечен. '
Для обеспечения континуитета всех сторон необходимо ввести новые степе
ии свободы, а это значит и новые члены в ивтерполяционвых функциях, что
приводит К повышению ряда полинома и необходимости HOBOro приведеиия в co
ответствие числа ero членов и числа степеней свободы элемента.
Эту проблему решили Р. Клоуr и и. Точер (11] следующим образом. Эле--
мент треУFOльной формы они разделили на три элемента (субэлементы) также
треуroлъной формы (рис. 7.21). Каждый из этих элементов имеет узлы в верmи
нах и центрах сторон треуroлъника, а поле перемещений в них аппроксимирует
ся с помощью ПОЛНЫХ полиномов Tpeтьero порядка, т.е.
w a ==al +а2 х+. · .+аl0 у3 ;
\у ь ==ы1ь 2 2 х+. · .+Ь 10 уз;
WC==Cl +С2 х+. · .+СI0 уЗ .
(7.125)
х
@w W,X "'.у
.& W,Dt
Рис. 7.21. ТреyrOJIЪНЫЙ элемент с суБЭJlемеmзми
318
В этих выражениях фиryрирует 30.неизвестных коЭффициентов аl... ...СI0'
ПОС1(ОЛЬКУ интерполяционныеl функ-ции написаНЬ1 Мя тр'ех треуroльников а, Ь, с,
между собой незавиCИМlJIХ. ЗТИ треуroльиики имеют общие узлы; в еШIlJIе ,уЗJIЫ
1, 2, 3 ЯВЛЯIQТСЯ общими для каждых двух треуroльников, а внутренний О
обычно принимается в центре тяжести треуroльника для всех трех треуroльни"
ков. Учитывая конечные выражения, с помощью которых описывается элемент,
ОНИ MoryT быть сведены к зависимости только от 12 степеней свободы, от пере..
мещений W и вращения W,X и W,y в УЗЛ,ах J, 2 и 3 и ОТ w,п ......... в узлах 4, 5 и 6.
Из условия равенства перемещения w и наклона W,X и W,y в узле О для всех
трех треуroльииков следует:
at==b 1 ==Cl}
а2=:Ь2==С21
а)==Ьз==сз,
(7.126)
так что в системе (7.125) вместо 30 неизвестных коэффициента аl... ....сl0 оста..
ется 24 независимых между собой коэффициентов.
Дальнейшая редукция с 24"мя коэффициентами на 12 соответственно степе..
ней свободы совершается с использованием условий континуитета в узлах 7, 8 и
9 на внутренних контурах (три уравнения) и равенства параметров перемеще..
ний в вершинных узлах 1, 2 и 3 для треуroлъников, которые в них соединены
(3х3 = 9 уравнений). Пользуясъ этими условиями, коэффициенты аl... ...СI0
выражаются в зависимости только от 12 параметров перемещений во внешних
узлах треуroльника. Это делает возможным установление функций формы в оп..
ределенном виде для элемента с 12..ю степенями свободы, с помощью которых
обеспечивается континуитет перемещений w и наклона W n на всех сторонах тре..
u ,
уroльника, хотя для аппроксимации поля перемещении использованы полиномы
Tpeтbero порядка.
Более простой вариант треуroльноro элемента с субэлементами получается
делением ero на два вместо трех треуroльников (рис. 7.22).
у
х
PIIC. 7.22. треуrолыIйй элемент (СР]) С двумя суБЭJlементами
Этот элемент на основании подобных рассмотрений, как и в предыдII емM
случае, сформулировали И. Коннор и r. Вилл [14]. Под названием "элемент
СРТ" он включен в библиотеку элементов проrраммной системы STRиDL II,
которая разработана в США, в университете MIT,.
На рис. 7.23 показано сравнение численных результатов, которые получают
ся использованием треуroльных элементов с субэлементами и элемента Т..9. Cy
дя по диаrрамме, леrко сделать вывод, что наибольшую часть дает элемент с
тремя субэлементами.
Предыдущие рассмотрения треуroльных элементов можно расширить и на
четырехуroльные элементы. Комбинацией треуroльных элементов получаются
соответствующие элементы в форме четырехуroльника. На рис. 7.24 показаны
19
три таких элемента, первый из которых не имеет внутренних степеней своБОДf-I,
второй имеет три, а третий
семь таких степеней свободы.
Анализ этих и друrих соответствующих четырехуroJ?}
выx элементов деталь"
но вьmолнен и Отражен в работах Р. Клоуrа и К. Фелиппе [12], r. Сандера [42]
и Б. Фрайеса де Веубеке [17].
30
т ---9
.
.. е.:..
..:-:.:::.. ....
.. ....... .. ..
... . : .. :; .[.
;. '
:;j1':
.. :'. .
4
.... о'"
"., ..е
30 . о".:.:
2
Рис. 7.23. Сх()димость реmения
4
6
8
А W'N
@w, W,X, W,y
Рис. 7.24. четыреxyr()Jlыlеe элементы с субэлемеllТ8М1I
7.4. МЕТОД СИЛ И СМЕШАННЫЙ МЕТОД
Модифицированные функционалы. Мультипликаторы Лаrранжа. Функцио"
вал потенциальной энерmи (7.21), который в предыдущем материале представ..
лял основу формирования системы уравнений сетки конечных элементов, со..
ставлен в виде суммы соответствующих функционалов отдельных элементов, т.е.
n == '2.! J [А (w)
pw] dF
J ('f n w+ M n w, n+ M ns w,s) ds .
eF s".
(7.126)
е == 1" 2, ... N.
32n
Это выражение является ТОЧНЫМ только при условии, что интерполяционные
функции: непрерывны и однозначны в области (домене) каждоro элемента; на
rраницах между двумя соседними элементами а и Ь удовлетворяют условиям
континуитета:
w (а) == W<b) .
W (а) == W (Ь) па S
,п ,8 .Ь )
(7.127)
а также выполняют условия:
w==w
па Su
w,n==w,n
во всех элементах, которые оrpaничеиы частью контура SU.
Эти предположения не всеrда обеспечены, что особенно важно для контину
итета производной w n В направлении нормали на контуре между двумя элемен
тами. Поэтому условия континуитета между элементами удовлетворяются в
рамках вариационной формулировки при помощи параметров Лаrранжа как
мультипликатора этих условий.
Таким образом, принцип минимума потенциальной энерrии для сетки KO
нечных элементов модифицируется, так что соответст-вующий функционал будет
П 1П == П --- 2: Hn) (7.128)
n
rдe
Н J (а) (bh
n == Лj (Uj Ui ) ds.
Sab
(7.129)
Выражением (7.129) дана общая форма вариационной формулировки конти
нуитета перемещений И; между двумя элементами. ,Необходимо напомнить, что
модифицированный функционал П т не удовлетворяет условию минимума, а
только сохраняет качество стационарности. Применение модифицированноro
функционала потенциальной энерmи будет проиллюстриров,ано на примере Tpe
уroльноro элемента с девятью степенями свободы, который приведен 'ранее.
Поле перемещения w у этоro элемента аппроксимируется с помощью поли
номов Tpeтbero порядка. Наряду с трудностями, которые возникают из за Hecor
ласованности между числом членов полноro полинома Tpeтbero порядка и чис
лом степеней свободы, не сохраняется и континуитет между производными пере
мещений w,n на rраницах между элементами, что является основным недостат--
ком этоro элемента.
Континуитет наклона нормали на контуре между двумя элементами с уче
том квадратною изменения будет сохранен, если наряду с равенством в узлах
существует и ero равенство еще в одной ТОЧ'J(е, например в центре стороны
(рис. 7.25).
Это условие для каждой стороны треуroльника можно показать с помощью
выражения
(а) (Ь)
Wi, n + Wj, n == О,
i == t, 2, 3 1
(7.130)
rдe знак " + " появляется BB ДY различной ориентации нормали n и n'.
Поскольку перемещения в любой точке элемента показывютсяя с помощью
321
непреры:вныx интерnоляционныx функций N i в зависимости от перемещений в
узлах
w==Nq J
то следует, что и производныe перемещений В любой точке элемента можно по..
казать в зависимости от перемещений в узлах. Если таким образом выразить
производныe перемещений в центрах сторон -треуroльника, То условие континуи...
тета (7.130) для всех точек в центрах сторон сетки можно представить матрич"
ныM уравнением
Сч==О)
(7.131)
rдe С rлооальная матрица компатиби.nьности, число ряД()в которой равно числу между коптурами,
а число кол()нн числу степеней свобоДЫ системы.
s 52
4 (..... ......... )
L L2
n
Рис. 7 .25. ооме1'рмчесICОО 311ачение парамeqюв лarpamкa i
'-
элементы матрицы С зависят только от reoметрии элемента.
С введением вектора J. пара метров J1. i Лаrранжа, число KOТOporo равно числу
сторон сетки, МОЖНО nоказать модиф цированный Функционал потенциальной
энерrии поср дством выражения
I1 m ==П+л Т Cq)
(7.132)
v
rдe первыи член
. 1
П== qТКq+QТq
2'
(7.133)
представляет собой потенциальную энерrию системы без дополнительных уело--
вий. С учетом второю члена Я TCq в рамках вариационной формулировки обес
v
печивается континуитет производныx перемещении w,п на rpаницах между эле
ментами
От ==т [ T [ l [ ]+[ T ( )
(7.134
322
Система условных уравнеНИЙ и соответственно решение проблемы получает..
,ся с помощью пOJlОЖения о стационарности ФУНIЩиоиала П т ' т.е.
3Пm { ] [ ]={ ]==o.
(7.135)
Соответственно
К* q'*+Q*:::O,
(7.136)
rдe
K.==[ ]
..=[ i] Q.=[ ]
(7. \37)
модицифированные матрицы жесткости и векторы параметров перемещений и УЗЛ()ВЫХ наrpузок.
Решая систему уравнений (7.136); получим иеизвестный вектор
I
ч.==к. I Q*
(7.138)
или ocнoBныe неизвестные в узлах и параметрыft.i Лаrранжа.
С точки зрения практическоro ИСПOJIьзования система уравнений (7.136-) J1er--
че Bcero получается, если в первую очере формируются модифицировавиыe
матрицы и соответствующие векторы ДJIЯ отдельных элементов, а затем взвеет..
ныM способом общаJI матрица и векторы q* и Q* дЛЯ всей системы.
Модифицированная матрица жесткости элемента имеет подобную тополоrи...
ческую форму, как и общая матрица с:
k*==[: :l)
(7.139)
rде субматрица k (lOxl0) ..... классическая матрица жесткости элемента; с (Эхl0) субматрица КОН--
тинуитета, а ее э ементы ..... накл()ны В центрах ст()рон треуroлыIкаJвследствиеe уравнений cyMMap
ных перемещении в уrлах треуroльника.
Матрица k*, имеющая рц 13хlЗ, обычно на уровне элементов редуцируетс9
в матрицу ряда 12х12 таким образом, что устраняется внутренняя система сво"
боды в элементе. '
Сравнениемфункционала
п* == 11 + L JM. (5) [w a (5) + W b (5)] ds) (7.140>
е
S.b
в котором второй член представляет собой работу момента м n (s)
между элементами с ФУНIЩИоналом (7.134)JПОЛУЧИМ
L ( 8 82 )
A j ;: J 4M.(s) L L2 ds)
о
на контурах
(7.141)
откуда определяется физическое значение параметров А i Лаrранжа.
. ПараметрыiLi представляют собой значения моментов изmба Mn вдоль сто..
рои треуroльника, предполarая их изменение по закону квадратиыx парабол с
вершинами в центрах сторон (СМ. рис. 7.25).
323,
Подобным образом образуются и друmе модифицированные функционалы.
По своей структуре они такие же, как и Функционал п Ш' представленный выра..
жением (7.128). В них Bcerдa появляется член формы (/.129), с помощью кото"
poro вариационно формулируется какое..либо reoметрическое или статическое
условие на rраницах между элементами. Далее применение модифицированных
функционалов будет проиллюстрировано в рамках метода сил и смеmаиноro ме..
тодов ..
Метод сил. В анализе и расчете плит по МКЭ часто используется метод сил.
Исходя из выражения дополнительной энерmи плиты., при выборе внутренних
сил как основных неизвестныx в умах метод сил можно сформулировать для
элементов различной формы и с различным числом степенен свободы. Этот спо..
соб будет показан для ,элемента треуroльной формы с mестью узлами, которые
находятся в вершинах и центрах сторон треуroльника (рис. 7.26) по [2]. Основ..
ными неизвестными в узлах sи являются моменты изmба и момент кручения по
три в каждом узле, так что элемент имеет в целом 18 степеней свободы.
з
о9Л х !lR y !lR XY
\
Рис. 7.26. Треyr()JlЬНЫЙ ЭJlемеm с 18-ью степеНJIМИ свОО()Ды
'l
Если вектор основных неизвестных в узлах
9Л х ....
!JI== !IR, ,
!IR
.... ху....
rде .... rol .... .... 1 ....
r ШlС rol ХУ
9Jl]L == : !IR== !R XY ==
у
I б .
Шl6 ....IOZ: y .....
.... X .... у.....
(7.142)
(7.143)
то связь между моментами в любой из точек элемента и в узлах можно выра..
зить следующим образом:
Мх'" .... Ф
м
.... .ху....
.... !lR x
ф !lR y )
ф..... 9л
.. ху...
(7.144)
М== М
у
/
соответственно
м Ф !1R.
(7.145)
324
rде М вектоо момента в какой лиОО точке элемента М = М(х,у); Ф матрица интеРIiОЛЯЦИОН
ных функций; 9Л вектор момента в узлах элемента.
В системе естественных треуroльных координат L i интерполяционные
функции
Ф==[L 1 (2Ll 1), L 2 (2 .......1), L3 (2Lз I), 4L 1 L 2 , 4L 2 L э ;4L з L t ]..
(7.146)
Подставив (7.145) в (7.144), дополнительная энерrия деформации БУДef'
Ас== IВT([ ФТС Ф dF)шt== 1/2IJtЧМ, (7.147)
rдe
(== J ф Т С Ф dF
F
(7.148)
матрица флекси6ильности элемента.
В выражении (7.148) матрица С представляет инверсивную матрицу матри
цЫ Д, т.е.
1
v
о
о
..
(7.149)
C==
Еh Э
v
J
о о 2(1+v)
Матрицу флексибильности элемента 1, определяемую по выражению (7.148),
в системе ecтecтBeHHых координат можно получить в определенной форме, так
как речь идет об относительно простых подынтеrральных выражениях. Подста..
вив (7.146) в (7.148) и используя (3.44), после проведенной интеrрации
6
l
6
I
1
6
о 4 O
О () 4
4 О О ) (7.150)
32 16 16
32 16
32
v== JФТФdF==
F 180
симметрично
(==
11
1 5 ЕЬ 3
... '11
"ф
о
vф О
Ф О ,
О 2(1 +v)ф...
(7.151)
Матрица флексибильности 1, имеющая ряд 18х18, получена непосредствен
ной интеrрацией для относительно сложною элемента, блаroдаря применению
естественных треуroльных координат, что еще раз подтверждает правильность
их введения в формулу.
325
На основании выражеliИЯ (7.147), КОТОрЫМ определена энерrия деформации
конечиоro- элемента, можно показать энерmю деформации системы как сумму
эиерrий элемента, т_е.
1 l'
Af,; == 2 Асе == 9Jt e (е 9Л )
е 2
(7.152)
соответственно
AC::TMTFMJ
rде М общий вектор моментов М Х' М У' М ху в уз.nax сетки; F общая матрица rибкости
системы.
Пользуясь принципом минимума комплементарной энерrии подобно методу
деформации, получается система линейных алreбраических уравнений, из кото"
рой можно определить составляющие вектора М в узлах сетки. Однако таким
путем определеннъre моменты изmба и кручения в узлах. элемента не УДОВJlетво"
ряют УСЛОВЙЯМ равновесия, так как условия при формировании выражения для
энерmи не использованы. Условия равновесия внутренних и внешних СИЛ по вы..
ражению (7.5) с учетом (7.145) следующие:
[Ф, хх Ф, уу 2 Ф'ху] х ... +'0==0,
9Ry
9л
.... ху...
(7.154)
COOТBeтcтJJeHHO
, е IП е +Ре==О.
(7.155)'
Поскольку элементы матрицы е даны как вторые производвые интерполяци..
оивых функций, то на основании выражения (7.146) можно сделать вывод, что
их значения постоянны. об этом свидетельствуют условия равновесия, точно вы..
полненные для случая равномерно распределенной наrpузки в элементе. В каж..
дом втором случае условия равновесия выполнены приблизительно с аппрокси..
мацией внешних воздействий в элементе равномерно распределенной наrрузки.
На основании выражения (7.155), показывающеro равновесие элемента, > уравне..
ние равновесия для всех элементов и COOTBeтcrвeннo системы можно представить
в виде
EM P==O
}
(7.156)
rде Е матрица равновесия системы, образующаяся из матриц равновесия отдельных элементов;
р вектор узловых сид, эквивалентных внешней наrpузке.
Определение моментов в узлах сетки, пользуясь принципом минимума ком..
плементарной энерmи П с и учитывая выполнение условий равновесия по выра...
жению (7.156), сводится к реmеНИI9 минимума- условий. Эта проблема проще
всею решается методом параметров 1 i Лаrpанжа как новых, вспомоrательных
величин. Таким образом, функционал П с модифицируется, .';f.e. расmИР5Jется за
счет дополнительноro члена, который .содержит УCJIовия равновесия. При этом
1. т
. Пс==7МТFМ+Ам(ЕМ Р). (7.157)
".1"
326
Ввиду простоты, выражение (7.157) написано ДЛЯ случая, коrда перемеще..
ния на части контура Sи paBны нулю, так что П с = Ас. Через А. м обозначен
BeK'rop параметров Лаrpанжа, МУЛЬТИШlикатор условий равновесия, число кото..
poro равно числу элементов. Это выражение, мож о представить в раз ернутой
форме
п;==[ r-[: ':1 [ J [ r [ ]} I
(7.158)
соответственно
. П:== М*ТF*М."':'М*ТР . 7
. 2 I
(7.159)
rде
F* ==[: :1 М* ==[ ] ·
(7.160)
Используя положение о стационарности функционала П е ... О, получается
система уравнеНИЙ
F.M.......P.==O)
(1.161)
из которой определяется вектор
M.==F*--I р*
(7.162)
и соответственно моменты изrиба и кручения в узлаХ сетки, как и параметры il i
Лаrpанжа.
.
1
@
Рис. 7.27. КОНТИII}'ИТeТ п()п речIIых СИJI 113 1C0нтype М ЖДУ двумя ЭJl М НТами
Моменты изrиба и кручения, полученные соrласно выражению 7 .162), УДОВ'"
летворяют условиям рав нов ееия. Выбором иитерполяциониых функций, .(7.146)
как полинома BТOporo ряда обеспечен континуитет моментов вдоль отделЬИhIX
сторон элемента, ПОСJ{ОЛЬКУ через три точки на одной стороне треуroльвика
можно сформировать только одну кривую BТOporo порядка. Однако с помощью
этих интерполяциоlщых ф не обеспечен и континуитет поперечных сил
ВДОЛЬ сторон треуroльиика и соответственно на rраницах между отдельными
элементами. Так как поперечные силы даиы как первые производные моментов,
изменяющиеся как квздратныe функции, то изменение поперечных сил в эле..
менте ....... линейное. "
327
Для обеспечения континуитета поперечных сил вдоль контура между двумя
элементами необходимо иметь одно И то же значение ДЛЯ одноro и друroro эле--
ментов в двух точках COBMecTHOro контура. Для формулирования этоro условия
дл одноro элемента необходимо обеспечить равенство поперечных сил в шести
точках, по две в каждой стороне треуroльника (рис. 7.27).
Связь между поперечными силами и моментами вдоль контура (см.
рис. 7.27), пользуясь условиями равновесия (7.4), можно выразить уравнением
TI1==M D . n+M ns . s)
(7.163)
rде n, s ........ нормали соответственно контура и параллели с контуром i........j.
На основании этоro выражения, пользуясь иитерполяционными функциями,
с помощью -которнх установлена связь между моментом в элементе и моментами
в узлах, значение поперечных сил в точках], 2...6 можно получить через МО--
менты в узлах
1
Т==
== 1(6x 18) rol(IIХ 1),
(7.164)
.
....Т 6
rде элементы матрицы ........ функции reометрии элемента.
Условие континуитета поперечных сил, а также условие равновесия верти--
альных сил контура можно показать с помощью уравнений:
Tfa) + 1i b ) == Pi ,
rria) rrtlb)
J J + J j == Pj )
(7.165)
тде индексы i и j ........ узлы; а, Ь ........ два соседних элемента.
В правой части уравнения (7.165) Р; и Pj представляют собой значения ли--
нейной наrpузки в узлах i и j при допущении линейнoro изменения наrрузки
вдоль контура. Если наrрузка на контуре не задана, то правые стороны уравне--
ний (7.165) равны нулю, а уравнения отражают континуитет поперечных сил.
Если сorласно (7.164) поперечные силы выразить в зависимости от момента,
то условия континуитета поперечных сил и равновесия вертикальных сил вдоль
контура между всеми элементами сетки в общей системе координат можно вы--
разить матричным уравнением
GM P==O ,
(7.166)
rде G ........ матрица континуитета поперечных сил,' имеющая 2m рядов, rдe т ........ число контуров меж
ду элементами и 3n столбцов, rдe n ........ число узлов сетки.
Моменты в узлах сетки как основные неизвестные наряду с условиями ми--
иимума дополнителЬНОЙ эверrии и равновесия по выражению (7.156) должны
вьmолнять условие континуитета поперечных сил (7.166). Это означает, что
функционал дополнительной эверrии n с следует расширить на ту часть, в кото--
роЙ учитыветсяя условие (7.165). Таким образом, модиФицированный функцио--
нал
.... t т т
П ==........ МТ FМ + Ам ( ЕМ Р) + A Q ( GM..... р)
,С 2 '
(7 .167)
328
rдеА Q ....... аектор параметров Лаrpaнжа, мультипликатора условий равновесия вертикальных сил на
контурах между элементами, число которых равно двукратному числу контуров между отдельными
элементами.
Варьируя выражением (7.167) и применяя принцип, стационарности, полу--
чим систему уравнений
.. ..
F M P==O)
(7.168)
соответственно
rF ЕТ GТI rм о
Е .. о
Ам р
(7.169)
G О
о А р
---.... Q ---.... ,
откуда определяются моменты М и параметры Лаrранжа м и Q.
Матрицу Р, представляющую собой расширенную или модифицированную
матрицу mбкости системы, как и модифицированный вектор' наrpузки Р, леrче
Bcero сформировать посредством соответствующих модифицированных матриц и
векторов элементов. Так, например, если из матриц f (18хI8), е (lхI8) и q
(6хI8) или соответственно векторов Р и р образуются модифицированная матри--
ца флексибильности f и вектор наrрузки р:. .
f е Т gT---
.....
(== е О О
g О О
0--
. р
, р== )
р
(7.170)
то матрицу F и вектор Р можно получить тем же способом, что и матрицу жест--
кости К и вектор узловых сил Q* ДЛЯ сетки элементов методом деформации.
ПрIlМ р. в качестве иллюстрации ИЗJIоженноro способа расчета по методу сил взята квадратная
плита, равномерно наrpуженная распределенной наrpузкой р по всей поверхности. Рассматриваются
два случая контурных условий: свободное и зажатое вдоль всех четырех стор<>н плиты опирание
(рис 7.28).
а)
б)
11
N
21
21
PIIC. .7.2 . СвООоДIIО ()пирающаяСJI (а) и зaжarаи (6) uaдрamая ПЛlIТа
329
Q
ш fI] "[!]
5 2
о ОБЩИЕ J
Ш 6 4Ш . ЛОКАЛЬНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
О ЭЛЕМЕНТ
Ф
1 4 1
Ш Ю l1J
Рис. 7.29. эJl меllты с обоЗllаЧ НII М y3J1()B в JI()dJlыI)йй И ООЩ Й системах ICООрДИll8l'
Поскольку существует двуосевая симметрия, достаточно рассмотреть только oд четвертую
/ t
плиты. Для расчета прИНsp'Ы два элемента треyroльной формы с обозначениями УЗJIов в локальн й И
общей системах координат, как показано на рис. 7.29.
Матрицы флексибильности элементов 1 и 2 в локальной системе координат вычисляются по BЫ
. "1
раженИIO (7.151) и (7.150), так что имеем
... 6 l 1 О 4 О 1.8 0.3 0.3 О 1.2 О
1 б . О О 4 0.3 1.8 .3 О О 1.2
1 1 6 4 О О 0.3 0.3 .....1.8 J .2 О О
О О 4 32 16 16 О О 1.2 9.б 4.3 4.3
---4 О О 16 32 Iб 1.2 О О ----4.8 .....9.6 .....4.8
О 4 О 1б Iб 32 О 1.2 О 4.8 .....4.8 9.6
..... J .8 0.3 0.3 О 1.2 О б I .....1 О .....4 О
0.3 1.8 0.3 О О 1.2 .....1 6 I О О ----4
f 1 ==f 2 = 4 О О 1.2 9.6 ........8 З О о 4 32 16 16
15 ЕЬ3 1.2 О О 4. 8 .....9.6 ......... J ---4 О () 16 '32 I
О '1.2 О ---4.8 9,,6 О ---4 О 16 16 32
15.6 .....2.б ..... 2.б О
.....2.б 1 5.6 2.б О
О 15.6 10.4
О О .....10.4 83.2
.....1 4 О О 41
О IO.4 О 41.6
IO.4 О
О .....10.4
О О
41.6 41.6
83.2 41.6
41.б 83.2
с ПОМОЩЬЮ матриц 11 и 12 известНЫМ способом формируется- матрица флек"
сибилъности сиетем
, --..r
330
\с
. '"
<:> Q N е f"-o с::> М с::> ....
1, I I
"1:'1" ""': N
Q ..... ..... tf'\
<:) с::> ..... с с ас
I
\.ф ("
Q Q ...
N .,... tI"\ С .... tf'\
I I I I
f'I"'I
Q Q Q Q х)
\с) \ос
ci .... ....
.-L ... Q
I ..
N
Q .
. м
Q ..... 00
I
\с
....
N <:> t't'\
I
<:> ос)
....
I'f") N f"")
с:> с::> с) с::> Q Q Q Q О е Q .... с::> \ос
I
N 00 00 \о \о \о N
Q Q Q ..; <:> 0\ с::> Q Q . Q .... .... с>
I t I I
tf'\ М \о N tf'\ N
Q d . е
.... <:> Q .... с) .... -.:t М Q е ....
I I I I
00 \ос QO 'ос N
Q е с::> е 0\ .... е Q с:> с::> Q ....
I I I
t't 00 ,...,
00 0\ 00 00 t'! \о \о
..... е .... Q .... .... Q
I I I I I
ос! \о 00 \D
е ..... 0\ Q е о Q Q .... "'"
I I I I
м \о N \о N М N
с:> Q м .... Q О с:) .... ci .... Q ....
I
\с 00 00 N
<:> 0\ Q Q .... Q с::> е
I I
tf'\ N м
.... <:> ci Q .... Q с:> Q Q \о
Q Q .... Q Q .... Q '.о
J t
<:> <:» \о N
-.:t Q .... .... Q t")
I N
.... t't с::> Q ....
I J t I
""" \о N
... Q Q
Q Q .... tf')
. \с) \о $
.... <:> ....
J о
\о ,.... =
<:) .... i
,
,.... i-f
.... Q о
J
,..,
с> =
\с) u I
I .
I
.
I
f.L. 331
,По выражению (7.154) матрица равновесия элемента
) е == [ф, ХХ' ф, уу' Ф, ху]::
= [ф'.', , ф;' . .. ф , ф ', ф .... ф , ф ', ф ... ф ])
rде
д 2
(" . ')" == (. . .) .
,д х 2 f
.д 2 ) .
( . . ..).. == (. . .
д 2 I
, У
.д 2
(..')":: (...).
,дхду
Поскольку
I э 3 .
Ф == Ь. Ь. Ф L . L .
. х х 2 Л ) :2 . .L- 1 J ' 1 J'
(.u ,1 = I J = I
-1 3 3
ф..уу (2A)2 . Z .L Сj.Сjф,LЩ ;
- '1:= I J = .
, I j J
Ф'ХУ {2d)2 .Z ЬjСjФ.LiЧ ,
1=. )=:1
'ОО С учетом {7.146) ДЛЯ производной функции Фi' i = 1, 2.,.6 получим
I ф. I Ф2 IФэ I ф. I ф, I Ф6
ф" I Ь I b I b I 2 Ь, Ь 2 I 2 Ь 2 Ь э I 2 Ь 1 Ь э
ф..1 c I c I c I 2 С, С 2 I 2 С 2 С Э I 2 с э с.
2 ф' '12 Ь, с, 12 Ь 2 с 2 1 2 Ь э с, i 2 (Ь, С 2 + Ь 2 сд I 2 (Ь 2 С Э + С 2 Ь J) I 2 (Ь 1 С э + С 1 Ь э )
I
2
в конкретном случае элементы имеют форму равнобедренныx прямоуroль...
НЫХ треуroльников:
3
ь =......1 3 S 2 Ь ,=0
1 1
Ь =1 tJ. = 12/2 Ь =1
2 '1
Ь =0 Ь =.....1
3 4 э
с =...... 1 с = 1
1 I ..
-2 с =0 с =1
2 2
С Э =/ 1 с э -о
/6
д = /2 /2
1 4
332
При этом матрицы
4
е l == [1 1 О ..... 2 О О 1 О I О О 2 2 О О 2 2 2] )
/2
4
е 2 == [О ) 1 О ..... 2 О I 1 О 2 О О О 2 О 2 2 2].
/2
С помощью этих матриц образуется матрица Е для обоих элементов в систе
ме общих координат: ,-
4 [ 1 О О 2 О О 1 О О 1 .....2 1 О О О О О О 2 2 О 2 2 О О О О ] 4
E E
/2 о О 1 О О 2 О О 1 О О О О О О 1 2 1 О О О () 2 2 О 2 2 /2
Для образования матрицы G, с помощью которой обеспечивается континуи
тет поперечных сил на контурах между элементами, исходным началом служит
выражение связи между поперечной силой Т п на контуре с нормалью пимо..
ментами изmба М Х ' Му и Мху (рис. 7.30):
4.t = 27СР 45 = 4S0 CI.6 == 18()О
PIIC. 7 .30. Jl[()п речны ClIJIbl lIа к()нтуре ЭJlемеша
Т n==Тх COS «+ Ту sin «==М Х , x COS «+ М)., у sin «+ Мху, у cos «+ Мху, х sin 'Х .
Принимая во внимание выражение (7.144), последнее выражение принимает
вид
Тn==[Ф'соs« Ф.siп« Ф.СQS« ф'siпrx] IW х .....)
?Ш)'
.... !в х у .....
rде
ф' == [ф 1, х Ф 2, х · · · ( 6' х])
Ф.==[ФI, у Ф2,У · · · Ф6, у].
333
Если предыдщееe выражение записать для всех шести точек, нахоДящихся
на концах сторон треуroльника, то
T==18,
соответственно
..т
I
Tz
Т3 =
Т..
Т,
Т,
J ф' cos «,
lф' cos rt.
.
2ф' cos «.
2ф' cos rt.
S
Зф' СОа «s
Эф' соа
lф. sin «,
lф. sin «.
2ф. sin «.
2ф. sin «
5
3ф. sin ос
5
эф. sin «,
lф. cos« + .ф' sin« --
,6 45
lф. cos «.. + lф' sin «..
2ф. cos «. + 2ф' sin «.
2ф. COS« + 2ф' sin «
s , s
3ф. cos CI + 3ф' sin «
, s
3ф. cos« + 3ф' sin tJ( , 1
6 ,
9Jl.
rol, )
rol xy \
rде индекс, расп()ложенный вверху слева, вместе с Ф обозначает узел, по отношению к которому вы-
числяется значение соответствующей производноА функции.
Значения производных функций Фi' t = 1,2...6 в узлах 1, 2 и 3 преДставле...
ны в табл. 7.6.
-
Таблица 7.6
Производная функция I Узел! I Узел 2 I Узел 3
Ф Ь\ b 1 /2 6. .... b 1 /2 3 Ь./2 А
\. х == (4 L, ]) 2 d
I
Ь 3 Ь 2 /2 4 ....... Ь 2 /2 --- Ь 2 /2 4
ф2оХ =(4' 1) 2l
ф Ь э ..... Ь э /2 3 Ь з /2 d .... bJ2 А
).х=(4Lз I) 2А
2 ' 4 b l /2 4 О 4 Ь,.I2
Ф... х =-........... (L 2 Ь 1 + Lt Ь 2 )
l1.
Фs. == (L) Ь:: + ь з ) 4 Ь э /2 6. 4 b,J2 А О
4
2 '0 4 ы /2 А 4 Ь э /2l1
ф" Jt == t;, (L\ ЬЗ L3 Ь\)
Производные фУНkЦИИ Фу В узлах J, 2 и 3 получаются таким же образом,
но только в табл. 7.5 вместо Ь ; подставляется Ci' i - 1, 2, з. Подстаиовкой на
место коэффициентов b i , Ci' 1 - 1, 2, 3 и cosel.; и sin , 1 = 4, 5, 6 их численных
значений для матриц ql и Q2 получим:
334
I /М /f',1
'М
\ ":::..
С С С ...... Q С О Q ...... ........
00 1 .
I
L: jM t:
Q с ........ ........ о о с:> с "'" о
... I 00
I
1М 1М
........ "::.
.....
.. ........ о ос .. о о о ......
I 00 I 00
I I
'М 1М 1М t:
о о ...... ...... .... се- с"'\ ...... ......
.... tf'\ I I tf'\ ....
I I
1М 1М 1М 1М
N N ... ....
... f"f") ...... ...... с о .... tf'\ .... ...... ........ .....
I м .... I м м
I м
'М 1М L: 'м
\n
.... ...... ...... .... f"f") f"f") ... с Q ...... ......
N М I I .... f"f")
I
1М 1М
с Q ......... Q С Q С Q ........ Q f!'\
I I
I
1М 1М
"::::..
с:> .... ...... Q С С О Q О . ........ о
I
I
'М 1М
O ......... о СО Q О . С О ........
I
J I
' М 'М
.... ... ......... '""'"'- с с Q О С Q Q С N
I .... tfI')
t:: N
с:> О о Q со Q Q ....
1 ........ ........
.... ,.... .
1М jM 'М 1М
";::;.
.... '""'"'- ...... ос с о ... .... '""'"'- ........
1 ,... .... ..... м ....
I f'I')
'М fM an \о \о ...
о с:> о ........ Q Ф СО Q ........
I
I
1М /М
"::::..
се с ........ с> С . ОС ........ С
I I .....
I
JM
00 ........ о о 'It OC>C> Q ........
.... I ..
I I
1М
ос о с СС .........oC ........ ......
«"" ....
I
1М /М 'М 1М
"';::;... "";;;:;...
с о ........ ........ .... .... .... OO ...... ......
м ... I .... ...
I
1М 'М
С Q ":::::... .... f"\ Q О С>С с Q
........ ........ I
...... .....
J
...1..... ....1.....
I I
ci се 335
I 11М Mlt:
о <:> с <:> <:> <:> M
<:> <:> <:> <:> <:> <:> v "II:t <:> <:> <:> 11М
00":::::..,
I I
I I <:> <:> м <:> Q 11М 11М
...... м "::::.. tf'\
I I I I
<:> <:> <:> с с <:> <:> <:> "II:t 11М Q
I OOI
I
<:> <:> "М ,':. <:> с с:> е е с> "II:t I I
V
00 It: <:> <:> <:> Q <:> Q е Q Q
I I
<:> <:> It: I м <:> Q <:> м IIN IIN
f I ":::. ..... I "::::..
I I
а <:> Q со (t: <:> Q <:) Q Q <:> <:>
I
м NI Mlt: Q <:> <:) Q Q <:> Q
Е-4 I I
Q Q <:> <:> <:> Q <:> Q м ...... It: I
== Q <:> <:> с Q Q с:> <:> <:> <:> "II:t t
1%:
== ,
I
1:: Q Q I r lM
<:> с <:> <:> Q <:> "::::..
I
== <:> <:> <:> <:> <:> Q <:> <:> <:> "II:t ,t: <:>
I
<:> / с <:> <:> Q Q <:> "II:t "II:t I с:>
t:r I I
== Il:
<:> v с <:> <:> Q <:> <:> Q <:> <:>
Е-4
I
..... ...It: I <:> ..... <:> <:> Q <:> Q <::>
I
Q)
Е-4 It:
u <:> <:> Q <:> <:> Q с:> <:> <:>
== I I
u I
r-r". ...... ...... t t: I t: <:> <:> <:> Q <:> <:> <:>
Ei I I
\о <:> Q <:> с с <:> м Q Q
О
<:> <:> <:> <:> <:> с:> v <:> Q = <:> "II:t I
)== I
о
1%: Q <:> It: It .... <:> Q <:> <:> <:> Q
I
<:> с> Q Q <:> Q <:> "II:t <:> Q "II:t I t: <:>
I
('1) I
== Q <:> <:> tt: Q "II:t <:> Q <:> <:> "II:t t
1 I
== Q "II:t I <:> "II:t Q <:> <:> Q
1%: <:> <:> <:> <:>
I
I
о I .....I
('1) Q Q <:> Q Q Q .... .... с <:>
I
'8
"М
Q) Q Q С V v <:> Q <:> <:> <:> с> <:>
g I
<:> <:> ... I t: ...., L: .... rr.
t= Q <:> <:> с <:> <:>
I l' ,
I"" I"'"
JI u
... f't
336 со tIO
Условие о равенстве поперечных сил на контуре между элементами 1 и 2,
так ЖС) как и условия о поперечных силах на контурах, совпадающих с осями
симметрии, равны нулю, т.е. выражение
... т + T '"
T + T
Tf
1i == G 6x 27 !В27х 1 == О
T
T ... (6 х 1)
выполняют с помощью матрицы С, которая образуется из матриц ql и q2. При
этом
I 1 .. .. 3 .. 1 1 t .. .. J .. , I 2 I . , . 2
t'2 . .... t'f t'2 "'2" . ff .... t'2" t'2 t'2 . У2 .... Vi . v2 ff vr v2 о V2 VТ v2 о V2 V2 t'2
1 .. 3 .. .. t t I .. ) .. .. I , 2 . , . . 2 1
t'i" .... t'i" t'2" . "'2 .... Vz t'2 о Jl2' Vi Vz V2" . ff .... vz . v2 t'2 V2 v2 . t'1 V2 Y2 . t'i
о..! . . , о ....... о о .. , о . о . . . о о о о О о о . о ) .. ,
I
. . I О О . О О ) . . о о . . о о о о о О О . О 1 ..... J
L: . . о о . . о О О . . . о . , ....... ) о о . о ..... . . J
I
. . . . . . . . о . о ........ .. . ...., . . ....) .. о .. о . ---1
в случае свободно опирающейся плиты вдоль всех четырех сторон, а также
на основании условий опирания и симметрии следует:
МХl ==м х2 ==м х з==о )
МУl ==м у4 ==м у7 ==о)
fxy 3== М ХУ6 == М ХУ7 == М хуз == М ХУ 9 == 0#
При этом у вектора М число неизвестных составляющих (компонент) peдy
цируется с 27 на 16. Система (7.169) в этом случае сводится к 24 уравнениям с
24 мя неизвестными, из которых 16....... моменты, восемь.......... мультипликаторы
Лаrранжа. Реmая эту систему уравнений, получим
M x4 ==o.I0563; М У 2==О.10563; Mxyt == O.62914;
M xs ==O.48 I 12 : Муз== О.19736:МХУ2== О.35493;
M x6 ==O.49'184; M ys ==O.481 12; MXY4== O.35493;
MX7== O.19736; М У 6==О.64507; Mxys== O.17210:
М хз ==о.64507; М уз ==О.49184; Л М l==ЗЗ.75228;
Л Q 1 == 21.02949:
ЛQ2== 21.02949
Aos== 34.71893
)\Q6== 21.33130;
Л Q 9== 34.71897 :
MX9 O 65579: М У9 ==О.65579; ЛМ2-==111.Q2001; AoIO== 21.ЗЗI30.
337
338
,
!О
О О О О О О С С С О О О О С o:
i I
с:
"'::0
I :
о о о о о
. w\ . "
l1C IC IC
':1 1:1 '2 '
t
' 0
N
. . N w\ . . .
12 ! 12: 12 ' 1:1 I J i:l i
I
. "":. I
: ...: ... "" .. . .
::I :1: о а о а а
' 1:1 :\-< 1-<: 1'< 1..,( \",с 1!1.",с 11<
I
.
..
о о о . о о о о r i о о о о 010 0i
о о о о о о о о 1 . . I о . О 010 о;
О О О ;; О ; О 01
...... ...... о ...... ...... ...... О ...... ...... о ...... ...... ...... о ...... ...... .
1. 1 ,. 1 N . о 01 ::,
I i ·
О .. f 1 о ;;; 1" ;; f О ;: ;; f о ;; j о с j _........... ....... _.... ....
.O....O....7-..-0...0 ...::.....O....O...O.._.O....1......._..0....0...;.....0. !.о....о.l о с о о о с
N О О С О М С О О О N N NiO oio о о о о о
I , . ,'! i
........... ......... ............ ...... ... ........ ..-.. \................. ...е............... .... .......... .......... ................ .. ......... i ........... :.................... ...... .................-..
. : t.... 'м
. "!.: :.
o....... : ......
О О О О О . О О О О О О . :M . . . о с о о
I .. .
8 ..
EJ
EJ
е
. о о о о о о о о о о о о
1М
\с! ....
... .. ......
. . .., N .... _ о о о о
I
N
..-; .. ... ......
о о о о о о о о о о о о О . .., . N . 00 о о о о о
1 ,
IN
\о ..
. t ...... ......
. . о о . о о о о о о о .. о о е: .... с N .... О О О О
I M
4"! '"" tм! i
...... ......
. .. о о о .. о .. . . о о . . 0\0 ... ... о о .. '""
I I I I
- 00 'iO
N ......
О i .. . . о о .. .. ..... о о о с о!о N о . с о о ,.
I . I I
M
- .. "! - j
N ......
о i о' .. i о о о """ .. о о о о O C о . о . о . о
I I
'.... 1М
N
. .; . - N '1: -с ...... ......
i .. .. о . .- .-4 О .. .. . о с о 0\0 01' 4IIt .., . о .. о
. I I I I
!IM I.N
:
N ..... м : ...... ......
... о са о .. О О °l '.... .. О О О О
О О .. С ... О .. О °i '
I I
i
- - "! м N ......
, .. lN 0:"- о о о о о
-м О .... О О """ О ... О О С О О .
I 11 : I
Q : ,м JN
I i';;;a.
.". -.. "! i........ ......
о 1 . .. .о "4) о о ,..; 418 о ... -о . О °10 \ .. .. о с о
t I I
1М
е:: ..
"'! . . ......
= - о .. . о; с о о о oio O с .. .. о о о
о ... ... о о ..
I I -. i
u : IfЧ IN
: ';;;а.
а N , "! f"\ : ...... ......
о . 1 .. о .. .. о о .. о о о . о 0\'- с:" ... О О О О
Q I ! I
: ,.....
i . ":а..
. " .. - 0\. '..... .
= . .. "" .. .. о о о .. . i о . о о м: .. О О , О
О . I I I J i I
О i ,'" I""
а. N :
w ,. - ,,:. .. - N 0\- 01_ ......
о'" .. о .. '1 i о ... .. 1 ... . . о . r . о 'О
I I
О I
б .. "1 .. i I ......
fl tO . .. i i о о O о OSN .: . , о о о о
... ... . . ... о I
В случае зажатой ПЛИТЫ из условий на контуре и условий симметрии
Мху! ==МХУ2 == Мхуэ ==М Х У4 == МХУ6== М хп == Мхуа. == М ХУ 9==О)
так что система (7.169) сводится к 27 уравнениям с 27--10 неизвестными, 19--ю
моментами и восемью мультипликаторами Лarраижа. Решая эту систему уравне--
u
нии, получим:
M t==O.03960 ;
.
МХ2 == ........0..66015' '
\...
М хз == ......0.55399;
.
Мx4==O.OOO 5 ,
M xs==O.14530;
М Х б==О.О296S;
.
М х7 ==.........О.42860 f
М ха ==О.33985 ;
М Х 9==О.22419 ;
/
I .
, ........... .
у М У l ==O. 3960 ,
M Y2'::::O.OOOOS ;
М у 3== ........O.4286tJ; . ,
{ Y4== ......0.6601 5;
.
M y s / 9.14530 t
М }О6==О.33985; ,
М у7 == ......0.55399;
М у з ==О.О2965 ;
M y g==O.22419;
.
Mxys == ........0.11 и91,
i M 1 == 7. J 92 t 2 ;
ЛМ2==32.59297 ;
. .
1,::;:: 5.40193 f
''Q ......5.40 19 3
j 5== 7.01031;
6== .......11.06217 ;
==...... 7.0 t037;
ЛQ 10 == .......11.06211.
в предшествующей системе, уравнений 'в качестве неизвестных введены без
размерные велИЧИНЫ:
М==М / ·
ЗО ЕЬ 3 f
4 ·
Л М == Л М ,
/3
I .
Л Q '"' Л Q р. ,
р== р 13 .
. 120 Eh 3 ,
12
Р ==р ЗОЕh 3 ·
'
Решение получено для Е=-1 ХМ / т 2 и р = 1,0 (l/ h)З = 120, так что, от
ваrрузlCИ Р действительные моменты
р /2 Р /2 PL2
М== М --=-- == м == м .
р 4 4 16 .
339
(0.052)
0.0 14pL2 (0.0158)
...........
0'\
f'.
<:)
N
..J
с..
q
<:)
vi
N
М
q
<:>
....."
N
...J
Q.,
0\
t"1
<:>
d
м
.J
о..
r""-
О
<:)
.....
q
<:>
PIIC. 7.31. ДlIвrраммы СIIЛ в сеченlIЯX
Диаrраммы сил в сечениях показаны на рис. 7.31. И хотя взято очень малое
число элементов, то, как это видно, полученные решения хорошо соотносятся с
точными решениями.
Смешанный метод. Исходную основу для формирования различных смешан
ных моделей МКЭ, которые часто применяIOТСЯ при изmбе плит, представляет
Функционал Хеллинreра Рейсснера:
Па == J ( Ac (M :;) M ' w,(X pw] dF
F
..... J (Т n w + M ra W, n + M ns w, s) ds........ (7.171)
50
J [Tn (w ;,)+ M n (w. n ;"n) + Mn (w, 5 ,a)] ds (rx, ::: 1, 2).
sи
340
в функционале (7.171) поле перемещений w и поле момента М независи
мы между собой. Для тоro чтобы этот функционал можно Былo применять к ceT
ке конечных элементов, необходимо еro модифицировать независимо от усло
вий, осуществляющих перемещения и моменты на rраницах между отдельными
элементами. Подобно тому, как и в общем случае трехмерных проблем, для cy
ществования функционала n R достаточно проанализировать только второй член
первоro интеrрала, т.е.
J Mar. 1I w'ca$ dF== J (M n W,nn+ Ма! W'DS+ М! W ss)dF.
F F
(7.172)
Поскольку для аппроксимации перемещений в элементе используются poB
ные функции, то разрыв производных перемещений может проявитъся только в
случае дифференцирования ДЛЯ n, rдe п ........ нормаль на контуре между элемента
ми. На основании этою можно сделать вывод, что интеrрал в выражении (7.172)
присутствует, если осуществлено одно из следующих условий на контурах меж
ду элементами, т.е. континуитет w и W,n; W И М n ; М N ' M пs и Мn,n.
В первом случае при наличии континуитета c 1 функционал (7.171) можно
применять без какой..либо модификации, так как интеrрал общей поверхности
плиты равен сумме интеrралов отдельных конечных элементов. Однако при BЫ
полнении этих условий смешанный метод не имеет практическоro значения, по
тому что проблему леrче решать методом деформации. На практике особое зна
чение имеет друroй случай, в котором требуется непрерывность перемещений w
и моментов M4l. что леrко достиrается выбором простых интерполяционных
функций.
В этом случае при раЗрЫ}Jе производных перемещений w'n в функционал
(7.171) необходимо ввеСТиl5Мnw,ndS. При этом модифицированный функцио
нал будет f't
"d..j3
Па == L J [ Ac (MQt ) MQt w, eta pw] dF +
е Fe
+ J м 1\ w, 11 ds J (М n w, 11 + M ns w, + f n w} ds ....
Se Sae
(7.173)
J [(w ;) т n+(W, n W, п) М п + (w, s w , SMn:i] ds.
Sue
При смешанном методе для различliыx конечных элементов чаще Bcero при
меняется функционал repPMaHHa (2.24), который можно получить частичной
интеrрацией первых двух членов в предшествующем выражении:
П Н == "2! [ Ас (М.") + w, Qt М, pw] dF
е Fe
J M ns w, ds J (М n W, n + M ns w, s + Тп w) ds
Se Sae
(7.174)
J (м п w, n + M n s w's Tn w ) ds.
Sue
341
Используя обычный ПОРЯДОК аппроксимации неизвестныx величии в МКЭ,
этот Функционал можно перевести в матричную форму. Перемещения в элемен
тах' показывзются в зависимости от перемещений в узлах обычным способом:
w==Nq.
(7.175)
Продифференцировав это вражение, получим
_ [ W, Х ] ,
W, CI == == N q )
W, у
(7.176)
а специально на контуре -
w,.==rq.
(7.177)
Подобным образом моменты в элементе показываются посредством моментов
в узлах
М'"
х
\
М == М, ==ФU Мпs==L!Ш.
M y...
\
(7.178)
Дифференцированием первоro уравнения в этом выражении получается:
М' ==ф' М.
(7.179)
Подставляя выражения (7.176.........7.179) в потенциал, который представлен
выражением (7.174), получим:
1
fI и ==IВT Gq ..... Ш)ТFQ8 qTSo +ВТ чо )
2
(7.180)
rдe
F == J фТD....1 Ф dF ;
F
(7.181)
G == f Ф'Т N' dF J LT r ds )
F S
9.R o , qo векторы узловых наrpузок (из наrpузки плоскости и наrpузки на контур S ) и заданных
перемещений в узлах на контуре SU' .
Варьируя выражение (7.180) для9Я и q и применяя положение о ero стацио..
нарности, получим систему уравнений
[ :T ;] [:] [:] O,
(7.182)
ИЗ Koтopых определяются MoMeHTы и перемещения в узлах сетки.
Смеmанную модель МКЭ первым применИJt л. rеррмаин [20]. Он ввел Tpey
342
roльный элемент с линейным изменением перемещения w и постоянными мо'"
ментами М Х ' Му и Мху и узлами,в вершинах и серединах сторон. Основные не...
известные ........ перемещения w в вершинных узлах и моменты изmба М п в узлах
в серединах сторон (рис. 7.32). Таким образом, элемент имеет всеro шесть сте...
пеней свободы.
.W'
о М,п
Рис. 7.32. См mанllЫЙ элемент r ppMaJla с шестью степеllSlМИ св<>ООды
Связи между перемещениями w(x,y) и в узлах представлены выражением
W==[NI N 2 N э l ,W t ==NwQ)
W 2
(7 .1 З)
W З
rде Н ; = Li' i = 1, 2, 3 ...... ecтeCTBeH ыe поверхностные координаты.
Связь между моментами М Х ' Му' M;g и в узлахm4,9J15,!R6' учитывая выра...
жения (7.7) и обозначения 9я = ,cos (п,х), !Jt = sin (п,х), можно выразить CJlед
ющим образом:
iJ 2
Мх (L4 2Л4 L4 ro1 4
Му л 2 2л s tLs . 9Jl s
tLs )
М A 2 2л 6 tJ.б....! ..... 9Jl
ху.... (l6
соответственно
М==Ф!В 1
(7.184)
rде
.... 2 2 ....
Л4 (1.4. 2Л 4 [L 4
I ф== л; 2 2AS 5
tLs )
Jl 2 2л 6 (.L
lL6
З4З
Моменты кручения М ВДОЛЬ сторон треуroльника MOryT соrласно выражению
(7.7) выражаться в зависимости от моментов М Х ' Му' Мху:
.... 4
М П!
л 411-4
Л 4 tJ.4 2 2 .... Мх
Л4 fJ.4
ЛstJ.s 2 2 Му
", tJ.s
"бfJ.б 2 2 М
"6 tLб...... .... х у.... )
\,
s
M ns == "stJ.s
6
.... М ns.... .... ",11-6
соответственно
Mns==SM,
Подставляя первое уравнение (7.178) в выражение (7.18S) получим связь
между моментами кручения М ns и моментами в узлах
Мпs==L!Ш ,
rде
L==SФ.
(1.186)
Подставляя (7.184) и (7.186) в (7.181), образуются субматрицы F и G, а за
тем ,система уравнений (7.182). Если моменты в элементе постоянны, то субмат--
рица G, представленная выражением (7.181), редуцируется и получает вид
G== J.LTrds.
(7.187)
Треуroльный элемент reppMaHHa представляет простейmую смешанную мо--
дель, отражающую сущность смешанноro метода. На этой основе развито опре--
деленное число треуroльных и четырехуroльных элементов с высшей степенью
аппроксимации полей перемещений и полей моментов в элементе. В работе [44]
показан треуroльный элемент с ts--ю степенями свободы (рис. 7.33).
о w, Мх, Му, МХУ
8W
PIIC. 7.33. СмеШ8llllЫЙ треyroJlЬИЫЙ ЭJlемеm с IS ью степеllSlМИ своООды
, .
Изменение перемещений ---- квадратное, моментов ---- линейное. В вершин--
ных узлах неизвестные......... w" М х' М у" М ХУ' а в узлах в сереДИl:lах сторон ........
только w. Если в элементе на рис. 7.33 во всех узлах принимаются по четыре
неизвестных (w, МХ' М У' Мху)' то получается треуroльный элемент с 24"мя сте...
пенями свободы,. в. котором происходит квадратное изменение как перемещений,
так и моментов.
344
В этом случае интерполяционные функции в системе естественных коорди"
нат представлены выражениями (3.69). С этим элементом достиrается высокая
точность и ею применяют в расчете оболочки.
:: :::::::::::::::::::: :::::::::::::
:: :::::::::: ::: ::::: :::::::::::::::
::::::::::::::::: ::::::::::::::::::
.................
:::::::::: :::: :::::: ::=::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::: :
::::::::::::::: :::::::::::::::::::
:lilil!lllililililili!ilil!I!llliliiii!lllil!III!I!I!
о w,Mx.My,M y
Рис. 7.34. Смешан ые прям()уroJlьиые ЭJlемеlПЫ w с 1 б ью 11 32 мя степеllИМII свобе>ды
в работе [9] сформулированы прямоуroльные элементы с \16..ю и соответст..
венно 32"мя степенями свободы (рис. 7.34). Основными неизвестныии в узлах
обоих э:их элементов являются w, м х ' ltfy, Мху' в то время как изменение пере..
мещении и моментов у первоro ......... линеивое, у BTOporo ......... квадратное; при этом
достиrается хорошее сближение, особенно со вторым элементом. Наряду с выше..
сказанным в работе [9] анализируется и четырехуroльный элемент с 20..ю сте..
пенями свободы, получаемый из треуroльных элементов с линейным изменением
перемещений И моментов. На рис. 7.35 представлены сравнительные результаты
расчетов перемещений в центре квадратной плиты, КQТорая свободно опирается
или зажата вдоль всех четырех сторон.
1.3
1.2
СВОБОДНО
ОПИРАЮЩА,ЯСЯ
-...-- ЗАКРЕПЛЕННАЯ
J.l
. t:1
N
ьо
cu
-;' -...
1 ... ----а
"-
.; t:1
0.9
0.8
---
....-
---..
0.7
О
100
200
300
400
500
число СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
PIIC. 7.35. rрафllIC сх()Димости реmеllИЯ ДJIИ перемещения w в центре пщцрarн()й IIJIИТЫ
345
Функции сил. Двойственность изrиба и напряжения в плоскости плиты.
Напряж:енио"'деформационное состояние плит, наl1руженных произвольной на..
rрузкой, в рамках линейной теории описыаетсяя с помощью двух независимых
между собой контурных проблем. Первая из них соответствует воздействиям в
ПЛОСКОС1'й ПЛИТЫ (плоская проблема)., вторая ......... воздействиям, которые перпен"
дикулярны К средней плоскости плиты (проблема изmба).
Случай напряжения в плоскости плиты описывается уравнениями (4.16) с
неизвестными составляющими перемещений или ypaBHeHjteM (4.20), в котором
неизвестная ...... функция напряжения (сила). Для определения напряжения и де..
формаЦИЙ можно использовать любую из этих двух формулировок. Однако вто"
рая удобна только для решения .плоской задачи, в основном использующей ме..
тод деформации, КОТОРЫЙ приводит к простым алroритмам.
Проблема' изmба, как значительно более сложная, может решаться различ--
НЫМИ способами ......... методами деформации, сил или смешанным методом. Наряду
с моделями, показаННЫblИ в рамках этих методов, практическое знач ние имеет
и модель, опирающаяся на аналоmю между уравнениями плоской проблемы и
изmбом плиты. .
В рамках общей теории оболочек rольденвейзер обратил внимание на- анало..
mю между статическими и кинематическими величинами. Это так называемая
статико"кинематическая аналоmя, по которой с каждой статической величиной
ассоциируется одна кинематическая, так что каждой однородной связи между
статическими величинами соответствует одна однородная связь между деформа"
ционными и соответственно кинематическими величинами. На основании анало..
rии между условиями соотносительности и условиями равновесия вводятся фун"
кции сил, С помощью которых можно показать составляющие внутренних сил и
составляющие деформаций с помощью перемещений.
Функции сил аиалоrичны составляющим перемещений, идентично удовлет"
воряют условиям раВНQвесия, а также точно, как и составляющие перемеще
ний......... условиям соотносительности. Функции сил носят характер статически
неопределенных величин, так как не MOryT вычисляться ИЗ условий равновесия,
поскольку им идентично удовлетворяют.
На основании статико"кинематической аналоmи Р. Соутвелл [34] сформу
лировал линейную теорию плит как двойственную проблему изrиба и напряже..
ния в плоскости плиты. Если в плитах проблемы изmба и напряжения независи"
мы между собой и двойственны, то решение одной или любой из них, можно по..
лучить с помощью реmения друroй. В табл. 7.7 рядом приведены основные урав..
нения напряжении в плоскости и изmба плит, которые лучше Bcero отражают
дуализм этих двух проблем. ,-
Из сравнения выражений в табл. 7.7 видно, что зависимости изmба и пло
CKOro состояния качественно одинаковы. Различие существует только в ypaBHe
ниях соотносительности-и условиях равновесия () и 4), поскольку условия OTHO
сительности однородны, а условия равновесия ........ неоднородны. Индексы Н и О у
СИЛ В сечениях указывают на однородные и частные решения этих уравнений.
Индексами и и у отмечены функции сил Р. Соутве.лла [34]. На основании
представленной аналоrии между основными у,равне,нири плоской проблемы и
изmба плит леrко перейти к системе дифференциальных уравнений
l v
AU+ 1 (U,x+ V ,y};x+ 2M ,x==0)
+v
1 v
AV+ '+у (U,x+V,y},y+2M,y , О)
( M===p)
(7.188)
346
Таблица 7.7
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕнное
СОСТОЯНИЕ
изrИБ
x =: U, Х
Мх, х-х + Му, уу + 2 м Х'У, ху== Р
М==МН+МО
н
My:::U,x
н
Мх ==У,У
\ Н 1
МХУ == --- ......... (U, у + У, х)
2
x. уу + €, хх .... 2 XY. "У == О
Y == V, у
]
€Xy== (u, y+v, х)
2
N х.::::. D (Ех +V&y)
Ny==D (Ey+VEJt)
N XY == (1 ..... у) D Еху
D == Е"
I ,,2
Ky==K 1 (My v М х )
xx==K l (МХ v М у ).
l' ==( I +v) K 1 МХУ
ЕЬ 3
K==
12
N x . х+ N xy , у+ рх:::,О
N xy , у+ N y , у+ Ру==О
N == NH+ N°
Х у , х X.Y. ,==0
... Х"у, 1с + Кх, у == ()
н
N t == }, уу
н
N y == q), )(Х
Н
N ху == ......,( ху
Ху== W, уу
Х Х ::=. ..... W, Х)(
т == ...... W, ху
которые аналоrичны дифференциалъным уравнениям (4.16) плоскоro напряже..
ния.
При применении МКЭ значение имеет вариационная формулировка, поэто--
му необхедимо установить связь между соответствующими функциоиалами ило..
CKOro напряжения и изrиба. Вариационная формулировка плоской проблемы в
методе деформации представлена с помощью функционала потенциальной энер"
mи
п == ЕЬ J[( & +е.)2+2 ( 1 V) ( E; y +E. ) ] dF J F.U.dF Jp.u.ds ) .(7.189)
е 2 ( 1 2 ) X"J х У 1 I · 1
v F S I
F
rдe составляющие деформаций, данные в выражениях:
Ex==U,x
.
Ey==V,y r
(7.190)
)
Е: ху ==2 (u, у + v, х))
347
удовлетворяют условиям соотносительности (компатибильности) по уравнению
(4.7):
Еж, уу+еу, хх 2 Еху, ху==О.
(7.191 )
Двойственная вариационная формулировка проблемы изrиба дана с по..
мощью функционала дополнительной энерmи (7.25):
П == r (м,,+Му)2+2 () +v) (М 2 ху МХ Му)] dF
Eh
F
J (М n w-'n+М n5 ""5+ Т "') ds)
SII
(7.192)
соответственно
1 J .........
п == M1' o I М (М П w,n+M n5 w,s+ Tw) d J
2 Su
rде мх,'Му' МХУ моменты изrиба, удовлетворяющие условиям равновесия (7.4):
Мх, х+Мху. Y Тх==-О;
My,x+MYty Ty==O ;
Тх, х+ ТУ, у+р===О)
или соответственно дифференциальному уравнению (7.5>:
'<с
Мх, хх+ М у , уу+ 2 Мху+Р==О J
которое в отличие от выражения (4.7) неоднородно.
Однородная часть этоro уравнения идентично удовлетворена, если:
Мх=:: У,у ·
t
M y ==U 1x ;
1
Mxy== (и, у + У, х)
2
(7.193)
rде и, v произвольные функции сил Соутвелла.
Общее решение можно представить в виде суммы однородноro и частноro,
т.е.
Мх===У,у+М': ;
M .== U,)-+ M
J о
М АУ == "2 (U, у + У, х) +м ху J
(7.194 )
rде Мх, Му' МХУ соответствующие частные решения, удовлетворяющие уравнению, но не услови
ям на контуре.
348
В зависимости от соответствующих деформаций эти решения MOryT быть
изображены в виде:
M == к (x +vx ) ;
о о
Му:::' К (Ху+ VК x ).
(7.195)
Подставив (7.194) в (7.192) и учитывая (7.195), а также пользуясь форму .
лой rрина, преобразования поверхностною интеrрала в криволинейный после
исключения членов, которые не варьируются, имеют вид:
пс== J (У, у+ U, х)2+ 2(1 +V) [ (U, у+ У, ,)2 U" У, У ] dF +
Eh 3 4
F
+ j ()( .x U +)( .y У) dF +
1:
+ J [(w, ys у, s )( ) U +< w'.s +х, s )( ) У) ds.
s
(7.196)
Вариацией этоro функционала по функциям сил и и У, а также исходя из
принципа минимума получается система уравнений, определяющая значения
функций и и v тем же способом, что и перемещения и и v в методе деформа--
ций. В выражении (7.196) появляются деформационные величины с индексом О,
отвечающие частному решению, которое предварительно необходимо опреде'"
лить.
Пос ольку дифференциальное уравнение изrиба плиты (7.9) можно разде...
лить на два дифференциальных BTOporo ряда:
w==M/K ;
М==р ( ==д2Iдx2 +д 2 jду2) ,
(7.197)
частное решение для момента изrиба получается, решая второе уравнение
(7.197), т ее. М Р = о для любых тсонтурных условий по моментам. Ero
можно решить и по МКЭ переводом в соответствующую вариационную форму:
8 J [ . (М, .)2 + (М, у)2 рМ ] dF == О )
F
(7.198)
так что для заданной сетки очень просто получается система уравнений (с од...
ним неизвестным в узле), откуда определяются значения моментов. Если эти
значения обозначить Мо, то тоrда выражения (7.194) для моментов можно пред'"
ставить в виде:
Mx==Y,y MO :
Му == 1J, х МВ
J
м ч == 2 (U'y+V,.»
(7.199)
349
а выражения ДЛИ поперечных сил, как:
1 ) о.
Tx== <Y,x U,y,y M,x ,
2
(7.200)
Ту == (Y, z U. у), х МО. у.
2
ВыражеНЮI (7.199) идентично удовлетворяют УCJIовИ'ям равновесия (7.'5). Ос..
иовные неизвестные в решении проблемы ФУIfI(ЦИИ напряжения и и' У, с ПО..
МОЩЬЮ которых можно получить все статические и деформационные ВeJIИЧИНЫ.
Связь между функцией напряжении в произвольной точке элемента ,и их значе..
ниями в узлах отражается с помощью интерполяционных фУНКЦИЙ, т.е.
[ ::::]==[Nu Nv][ ])
(7.201)
соответственно
л л
U==NU J
rде и и v соответствующие значения фуНICЦю1 и и V в узлах.
, .
Выражения для моментов (7.199), учиrывая уравнение (7.201), принимают
вид
" л
M.==LNu-----Мо==фu Мо )
(7.202)
rдe
....М ... О д/ду'"
х -- ...
МО
Му . д/дх О .
М== L== МО:=
I МО .
М)(у I 1
дlду дlдх О
2 2 ....
..,.. .....
(7.203)
Подставив уравнение (7.202) в выражение функционала (7 192) и предпола--
rая, что условия на контуре sи однородны;
П,,== [! UТФТ D I Фu] dF 2 J UTD I МО dF +
J МОТ Q 1 МО dF. .
F
(7.204)
Варьируя это выражение по u Т , получим систему уравнений:
А
FU+Fo==-О,
(7.205)
rде
F == f фТ D IФdF )
F
350
fO J о'" I МО d
(7.206)
....... соответствеННО матрица rибкости (флеtcсибильн()СТи) и вектор обобщенных перемещений (кри
вых) В узлах сетки.
По своей структуре они, nредстзВJIЯIOТ собой то же самое и образуются тем
же способом, что и матрИца ж:есткOC'tи и вектор обобщевныx наrрузок в ПЛОСКОЙ
проблеме.
На основании дуалистическою принципа ПQказано, что метод де4юрмацвй в
решении плоской проблемы можно интерпретировать как метод сил в решении
проблемы изrиба плит таким. образом, ЧТО. перемещени.sl и и v заменяются ФУfТК--
циями сил и и у. '
Подобным же образом можно представить, что метод деформации в реmении
зmба плит может интерпретироваться как метод сил- в решении моской про--
блемы, если перемещения w заменить ФУНКЦИЯМИ Айри напряжения Ф. Обе эти
проблемы ........ изmб и напряжение в плоскости плиты решаются в рамках той же
математической модели. В МКЭ особое значение имеет замена изmба моделями
решения плоской проблемы. В плоской проблеме в узлах сетки появляются два
неизвестных, а в n:роблеме изrиба плиты самое меньшее ---- три неизвестных.
Кроме тоroJинтерполяционные функции в. плоской проблеме значительно проще,
чем в изmое плит.
На основании изложенноro можно сделать вывод, что проrраммы, которые
используются ДЛЯ расчета напряжения и деформаций состояния плоскою напря--
жения, можно применять для расчета мит, подвержениыx изmбу. При таком
употреблении roтов:ы:Х nporpaMM необходима их коррекция, которая касается
включений частноro решения МО и различия, < сущесювующеro в двойственных
проблемах. В работах [16-] и [22] детально проаиализирована проблема анало..
mи между контурными условиями двойствениых задач. В табл. 7.8 приведена
авзлоrия статическо..кинемати,ческих величин, которые дают возможность пере ..
хода от одной проблемы к ,цруroй.
Таблица 7.8
U,V
.........
U,V
о о
Хх,х, )(у,у
M , M t М:,
Н И Н
..... )(х, Ху, .....
F А' F у
, Са' Су, Уху
N x , N y , N xy
1
(а) == (v t х.... U, ,)
2' .
1
Q== (V"x U ty )
2
Хn == «а) Еаn)' 5
N А' N y
т х ==!1, у == Мх, х + Мху, у
Ту ==а, х ==МХ1, х + М,, у
ТВ == ({l + М ва ), S
1.., == 6), у. == !уу, х е. у , у
Хх == 6), х == С хА , У Е ху , х
Х Х ' )(,
ЕЬ,у
Ь 3
6EI '
v
351
Таблица 7.9
ЭЛЕМЕНТ ОБ03- ОСНОВНЫЕ ЧИСЛО ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ, ОЦЕН-
НАЧЕ нЕи3вЕстныE степеНЕЙ функции ФОРМЫ КА ,
НИЕ: СВОБОДЫ
АСМ w, w'x W,y 12 несовместим ый ) 11
D еПОЛНЫ8 полиttомы
"
< 3-ro ПОРАдка
D BF5 w W'X W,y 16 со8местимы,' 6
. .>
. ,.. ).
W,XY ПОIlНЫЙ ПОЛИНОМ
CJ 3-ro порядка
М W w. x W'y 12 несовместимый изrиб стержн" 25
"'" v .. ..... + ПОСТОАНН'" (CQN5T) .
V ....
'\
8ращеНИR (кручени,,)
Т9 w W,X, w'Y '9 несовместимы)) 8
Z w W'X W,y а --неполные попиномы
З-rо порядка
115 . w w,x W,y 15 несовместимый, полином 7
. w W,n 4-ro ПОР"дка
T21 OW w,x W'1 21 совместимый 5,
W'XX W,xy w,yy папином 5-ro порядка
.\. W'N
T18 о w W'X W,y 18 совместимый 5.1
W,x.x. W)xy w,yy папином 5-ro порядка I
I
I
i
TS9 w W'X W,y 9 несовместимый субэпементы
(подэпементы) ,
попином З-rо порядка
Т512 . w W'X W,y 12 совместимый субэлементы 12
.. W m с 6-10 внvтренними степеНАМИ
свободь, полиномы
3-ro "О рЯАка
ТUВA-6 О W W,x W,y W,xx 28 совместимый, субэлемемты 5
(QS 28) w,x у W,y у с 7."0 внутренниr.1И степенями
· W,n свободы попиномы
4-ro порядка
ИСТ W w,x W,y 12 совместимый 2Т-9 полимом 11
З-rс. nop At<a
пинейное изменение W
"
Q19 .. w w,x. W,y 19 совместимый 4Т-15, 12
,
· W tn по,nиномы 4-ro порядка
CQ . w W'X W,y 16 совместимый 17,1
. W'n попиномы З-rо ПОрАДК8
Продолжение табл. 7. 9
ЭЛЕМЕНТ ОБОЗ ОСНОВНЫЕ I ЧИСЛО t ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОЦЕН
НАЧЕ'" НЕИЗВЕСТНЫЕ степеНЕЙ
НИЕ СВОБОДЫ функции (ФОРМЫ КА
. wM x Му Мху 15 совместимый 44
I о 2 перемещемия и моменты
полиномы 2-ro порядка
НТ .w 6 несовместимый 20
О М П ПОЛИНомы 14 моменты
линейНые функции
т 11 w М" Му МХУ 12 смешанный, несовместимый 44
I .
полиномы 1.ro ПорАдка
АТ . w W'X w'Y 12 смешанная модель, 1
о л полиномы 2-ro порядка
Т22 w Мх Му МХУ 24 смешанная модель, 9
перемешения и моменты
полиномы 2-ro порядка
и
.. . . 16
; ... Qll wM x Му МХУ смеwанная модель 9
перемвщения и моменты
попиномы 2.ro порядка
D
> ,
Q22 w Мх Му МХУ 32 смеwанная модель 9
полиномы з.rо порядка
QTl1 w Мх Му МХУ 2{) CMewaHHaR модель с 9
. ".)':'
субэлемента ми 4Т 11
& rибрмдная (статическая)
ST Мх Му МХУ 12 модель квадратное измене
нив момента 8 элементе и
кубические перемещения
вдоль контура
EQT {3 t , Р2 · · · Р9 9 метод сил, 17
линейное попе моментов
{. .. .. Е UV 8 метод сил Соvтвепла 16
.. ,.. -'\.
} , (формулы фазы)
353
7.5.
o выIорЕE ЭЛЕМЕНТОВ И ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ
Для анализа и расчета напряженно--деформационноro состояния плит сфор
МУ.1.lировзно большое количество конечных элементов, начиная как с методов де..
формации, сил, так и со смешанноro и rибридноro методов. В табл. 7.8 дан пере
чень определенноro числа элементов, которые применяются в решении пробле
мы изrиба плит с основными характеристиками: формы элемента, числа степе
ней свободы и вида (типа) неизвестных параметров в узлах элемента. В этом
перечне леrко обнаружить, что существуют большие различия между отделькы
ми элементами как в отношении общеro числа степеней свободы, так и по выбо
ру основных неизвестЩ2lX.
В отличие от плоских и пространственных проблем леrко обнаружить, что
основными параметрами в изrибе плит часто бывают и статические величины,
моменты изrиба и моменты кручения. В расчетах плит в инженерных KOHCTPYK
циях по МКЭ существенное место принадлежит выбору элементов, с помощью
которых получается довольно точное и экономичное решение.. И хотя ЭТИМИ воп
росами занималось MHOro авторов, общий ответ, который бы подходил ко всем
отдельным случаям, дать невозможно.
Выбор настоящеro элемента сводится к поиску оптимальноro (оптимума) ,
поскольку он зависит от природы решаемой задачи, необходимой точности pac
чета и экономичности caMOro решения. При этом за меру преимущества одноro
элемента перед друrими обычно принимается степень точности, которая дости"
rается на единицу цены расчета, охватывающею все входные данные для опре..
деления элемента, развитие необходимой проrраммы и время работы ЭВМ над
расчетом.
Результаты предшествующих исследований и сравнений, к-оторые проводи..
лись с отдельными элементами при решении KoнKpeтHых проблем, указываI01.' на
важные характеристики, а также на недостатки и позитивные стороны отдель
ных элементов. Если одна проблема решается с помощью двух сеток конечных
элементов (одна из простых элементов) с малым числом степеней
вободы и: BTO
рая
со" сложными элементами и с большим числом степеней свободы, то мож"
но сделать вывод, что при равном общем числе степеней свободы система со
сложными элементами получает значительно более точное решение даже при
наименьшем числе элементов. В связи с отмеченным необходимо значительно
больше времени для формирования матрицы жесткости отдельных элементов с
учетом большой ширины ленты для решения системы уравнений.
С увеличением числа конформных элементов по методу деформации получа
ются решения для перемещений, которые сходятся к точным решениям с ниж"
ней стороны. Наоборот, по методу сил имеют решения, которые сходятся к точ
ному решению с верхней стороны. С помощью этих двух меТОДО8 при их приме
иении к одной и той же проблеме вычисляются rpаницы:, между которыми Ha
ходится точное решение. Решения, которые получаются с помощью смешанных
mбридных моделей, обычно попадают между этими rраНИI
ами.
Однако для этих решений, как и для тех, которые определяются с помощью
неконформных элементов, нельзя заранее знать, с какой стороны подходят к
точному р
шению. При расчете плит как инженерныx конструкций обычно зна..
чительно важнее получить точные силы в сечениях, чем перемещения, а поэто..
му метод сил, как и смешанный и rибридный методы в принципе имеют несом..
ненное преимущество перед методом деформации. Однако в тех случаях, коrда
применяются или метод сил, или смешанный, или rибридный методы элементы
обычно содержат большее число степеней свободы, что неблаroприятно влияет
на стоимость расчета. J
На рис. 7.36 и рис. 7.37 показаны сравнительные результаты расчетов пере
354
мещений свободно опирающейся и зажатой квадратной и прямоуroльной плит с
помощью шести характерных конечных элементов ( табл. 7.9), которые провели
В. Froeijs де Veubeke и G. Sanders [18]. На рис 7.37 видно, что решения с эле ,
ментами, которые использова.лись в методе деформации (НСТ и TUBA--'6, Q19.
BFS и CQ), сходятся к точному :решеНIIЮ С нижней стороны, а решения с эле
ментами по методу CИJI (EQT и Е) ........ с верхней стороны, что иллюстрирует об
щий принцип двойственноro анализа в мкэ.
а) б)
,.. ,..
25 СВОБОДНО }.: 183 2S
20 АСИ EQT ОПИРАЮЩАЯС'Я а 20
15 15
JO JO
S S
О о
--s --5
IO ...10 Z
..15 11 --р 1. ...15
,.. а аоо си ";; р J!!:.
20 " , k ...20
....25 200 400 25
О 20 40 70 JOO N О 20
.
ЗАКРЕПЛЕННАЯ "1
40 70 100
200 400
N
Рис. 7.36. rpафик сх()димосm решения для перемещенlIЯ w в цешре квадрarной плиты ДЛЯ свобод..
но опирающейся (а) 11 закреПJIенной (6)
Неконформные и mбридные элементы (АСМ и м) и (ST) в этом случае да--
ют хорошие результаты, которые в свободно опирающихся плитах монотонно
конверrентны (сближены,, при этом зажатые плиты ........ колебательно KOHBepreH
тны. Решения для зажатой плиты указывают, что с увеличением числа элемен
тов можно снизить точность результата, так же как и с одной стороны по OTHO
шению к точному решению может перейти на друryю сторону.
В проблеме, природа решения которой неизвестна, в случае применения
этих элементов особое внимание следует посвятить выбору сетки и анализу по
лученных результатов. В отличие от обычноro способа выбора элементов на ос--
нове конверreнции решения, т.е. процента отступления от точноro решения, в
зависимости от числа степеней свободы И. Абель и к. Десаи [4] проанализиро
вали точность решения, связанную с ero экономичностью.
Сравнительные результаты девяти характерных элементов (см. табл. 7.9) по--
казаны на рис. 7.38 для перемещения w в центре квадратной плиты, наrружен--
СВОБОДНО
ОПИРАЮЩАЯСЯ .2
ПЛИТА
:ю
40
10 100
200
400
ЗДКРЕПЛЕН 1.1m
НАЯ а [[}
2S
t)
...20
N
1S
О
:ш
.ю
70 100
OO
400
N
Рис. 7.37. Ipафик сходим()Сти решенlIЯ для перемещения w в цешре прямоyr()JIЬНОЙ ПJlИТЫ с coor..
ношением сторон в/а = 2
35
ной концентрированной силой в ее центре. На абсциссе координатной системы
нанесено произведение пь 2 , rде п
ЧИСЛО степеней свободы, Ь
ширина ленты
матрицы жесткости системы как мера экономичности решения, а на ординате ..........
процент отклонения от точноro решения.
СВОБОДНО ОПИРАЮЩАЯСЯ ПЛИТА
АСМ
а:
s
:J:
w
t5 "ь 1
с:
С 104 106
>-
...
u
...
о ЗАКРЕПЛЕННАЯ ПЛИТА
...
:I:
w IS
:r
о
о.. 10
с
5
О
nb 2
106
PIIC. 7.38. СХОДIIМОСТЬ реmения для перемещения w в центре ICВ8Дрamой ПJIIIТЫ по крmeрию Абе
ля 11 Десан
Показатели преимущества отдельных элементов по сравнению с друmми по
этому критерию значительно отличаются от тех, которые получаются на основе
критерия конверreнции. Так, например, при расчете перемещений в центре
квадратной свободно опирающейся плиты с сеткой 3х3 отношения отклонения от
точною решения для элементов АСМ, А и TUBA..6 равны соответственно
. 1:0,5:0,3, в то время, как по критерию i'I. Абеля и К. Десаи [4] .......... 1:3:15.
7.6. ТЕОРИЯ ПЛИТ РЕйсеНЕРА
Основные уравнения. Если влиянием поперечных сил на деформацию плиты
пренебречь не-!IЬЗЯ, как в случае плиты значительной толщины или так называе..
мой сендвич",плиты, то решения, которые получаются в рамках классической те..
орин плит, обычно не являются достаточно точными.
356
Тоrда в анализе напряженно деформационноro состояния плиты прибеrают к
более строroй теории, которая известна под названием теории плит Рейсенера.
Последняя представляет собой обобщение теории стержня Тимошенко, которая
учитывает влияние поперечных сил на деформацию скольжения. Теория плит
Рейсснера сводится к системе лине.йных частичных уравнений, в которых неиз..
вестные величины составляющих перемещений являются w(x,y) в направлении
нормали к средней плоскости ПЛИТЫ и поперечные силы Т 1 (х,у) и Ту(х,у) в сече..
ниях плиты или В вариационной форме смешанноro вида функционала [ЗЗ].
Наряду с общими предположениями линейной теории упруrocти эта теория
базируется на следующем дополнительном предположении: линейный элемент
плиты, который до деформации был перпендикулярен к средней плоскости по..
следней, остается и после деформации прямолинейным и неизменной дли..
ны, но И не обязательно перпендикулярным к деформированной средней плоско..
сти плиты.
В МКЭ широко распространена модель Миндлина, которая вместо смешанно..
ro функционала Рейсснера выведена из функционала потенциальной энерrии
плиты. В анализе проблемы изrиба плиты модели Рейсснера и Миндлина осно"
вываются почти на тех же предположениях о кинематике деформации (различие
состоит лишь в том, что у Рейсснера Ez = О, а у Миндлина = О) так, что эту
теорию часто называют теорией плит Рейсснера........Миндлина.
На основании первоro положения теории плит Рейсснера следует, что пере..
меще ия w и вращения Qx и Qy Независимы между собой, в отличие от кла си"
ческои теерии, rдe вращения даны как частичные производные перемещении по
координатам Х и у. Действительное распределение напряжений сдвиrа по толщи..
не плиты таково, что доводит ero до искривления поперечноro сечения
(рис. 7.39).
ПРЕдполдrАЕМАЯ
ДЕФОРМАЦИЯ
СРЕДИННАЯ
..:-:.:-. ПОВЕРХНОСТЬ
..::::::::??:\:.::.:..... ., . /
\ ',' (:::: :::: :::: :::: ::::::::::::::: :'::::::: :::: ::::: : .;
. .].. . .... .... .......... /
" . . '.':- :-:: :.:::::'t.:-'" :::::::: :':::::: ::,:: :::.: ::::::::: ::: ::::: ::-;,;
; {tz:;::}<?{:){\}\); /('
' I_ i .; ti : \ t1i ;??;:-: :"/..:. /
Д ЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ .... :.:.: { {:. :.. . ::{ ::$. ; : '", . 1'"
. ". .:: .:. . :: . : "." '
ДЕФОРМАЦИЯ L i..";,::; \ ;;;: :i;; ;' ' ....
ф Х ""l W, Х . ....""",,;;':;,"- .
. д х rlЕРПЕНДИКVЛЯР к СРЕДИННОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ПОСЛЕ ДЕФОРМАЦИИ
Рис. 7.39. ДеформацllЯ попереЧII()rо сеченlIЯ IIлIlтыI
Однако на основании вышеизложенноro вместо действительной деформации
поперечноro сечения вводится средняя деформация, так что сечение остается
плоским, но не перпендикулярным к средней плоскости плиты. Для описания
вращения каждоro сечения достаточна только одна величина. Таким образом на
основе введенных предположений проблема изrиба плит в рамках теории Рейсс--
нера Миндлина сводится к обдаст двумерноro анализа, так как все величины
зависят только от двух apryMeHToB.
Направление линейною элемента (волокна), который до деформации был
перпендикулярен: к средней плоскости плиты, после деформации определено в
357
отношении к первоначальному направлению уrлами ротации 8 х и и)' (СМ.
рис. 7.39):
6 х ::::;w,х+фх;
(7.207)
6 y ==w,y+(})y.
в выражении (7.207) w х и w у представляют уrлы ротации нормали к средней плоскости nли
rbI, а Ф х и Ф у ротации волокна' вследствие поперечных сИJI.
Предполаrая, что при z = О и и = v = О, перемещения в равноудаленной
(эквидистантной) плоскости, находящейся на расстоянии z от средней плоскости
плиты, определяются с помощью выражений:
u (z)== z 6,,==.......z (w,х+Фх) ;
tJ (z)==.......z 6y== z (w,v+фу) ,
(7.208)
в то время как перемещение w при [z = w х = О для всех точек, лежащих на
v v '
тои же нормали к среднеи плоскости плиты, то же самое, т .е.
w==w (х, у) .
(7.209)
Пользуясь предположением об опущении дилатации (расширении) в направ'"
лении нормали (t z = W х = О), на основании выражений (7.208) для перемеще...
u u '
нии в произвольнои точке плиты получим:
u == z ох (х, у) ;
v =-: Z 6у (х, у) ;
w == w ( х, у).
(7.210)
Связь между деформациями и перемещениями, учитывая формулы (7.210),
можно представить в следующем виде:
.... -
&х U'X Z Ох. х
&у У,у 6
у, у
Уху u, у + У, х ...... ...... z (6х.у + 6у.х) ) (7.211)
Yxz u, z +W'X w, х 6х
...:У yz ..... .....v'z+w,y w, у 6у J
соответственно
z
z
(7.212)
Е==
z
Е
1
1
358
rде
)(х 6 х. х
€ [ ] Ху 6 у , у
(6 х , у + 6 у , х) . (7.213)
"r
Фх w, х 6х
ф w, у 6у
у...
Первые 'три элемента в векторе G представляют собой деформации изrиба
(изменения кривых и кручения), а остальные два ........ деформации сдвиrа. Co
ставляющие напряжения получаются с помощью составляющих деформаций по
обобщенному закону rYKa:
...
ах Dx D 1 е х
ау D. Dy е у
Тху Dxy Уху , (7.214)
"r х& Dxz Yxz
Т yz.... Dyz Yyz
........ ...
rде в случае однородноro изотропною материала:
Е
D==D== ,
х у 1 2
v
D Ev
1.....
1 v2
(7.215)
Е
Оху == D xz == Dyz == ·
2 (1 + v)
На основании выражения (7.214) ДЛЯ сил в сечениях получим:
МХ
[MI Му [ов ]
Мху ==, € ) (7.216)
Т.) Т Ds
\ х
...Ту
rде
1 v
Ds == Eh 3 1
'v
12 (1 '12)
1 v
2
359
Ds== ЕЬ [ 1 1] .
2k(1 +v)
(7.217)
в выражении (7.217) k обозначает коэффициент, с помощью KOTOporo учитывается воздействие
напряжения сдвиra на искривление сечения.
Для целых плит или прямоуroльных сечений k = 1, 2. Из предыдущих BЫ
ражений следует, что в теории плит Рейсснера.........Миндлина все статическо де
формаЦИОН.JIые величины MOryT выражаться С помощью перемещений W и враще
ний 8 х и (j у или, что по уравнению (7.209) эквивалентно, с помощью W, Ф х И
Фу.
Общее выражение энерmи деформации
А == J.. J (1.. е.. dV
2 v IJ IJ
с учетом определения сил в сечениях и соответствующих составляющих дефор
мации имеет вид
А ""J.. J (Mu х.: + Му Ху + Мху т+ Тх Фх + Ту фу) dF
2 F
(7.218)
ИЛИ В матричной форме
1 J
А == (х Т D B x+yTDsY) dF.
2 F
(7.219)
Последнее отлича тся от соответствующеro выражения энерrии деформации
в классической теории для BTOporo члена, представляющеro часть сил сдвиrа в
общей энерrии деформации. Выражение работы внешних сил остается таким же,
как и в классической теории, так что для потенциальной энерrии пол,учим:
п "".!. J (xTD B x+yTDsy)dF J pwdF
2 F F
(7.220)
J(MnW,n+MnsW,s+TnWn)dS.
sa
Функционал (7.220) представляет собой исходную основу метода деформа
ции при применении МКЭ в анализе изrиба плит по теории Рейсснера.
Прямоуrольный элемент с 20 ю степенями свободы. Выбор элементов, как
и все рассмотренное ранее в рамках классической теории, можно перенести и на
теорию плит Рейсснера. Принимая во внимание деформации скольжения, обоб
щим предыдущее рассмотрение, которое будет связано с введением новых степе
ней свободы и интерполяционных функций для аппроксимации поля деформа
ций скольжения.
Прямоуroльный элемент с 20 ю степенями свободы (рис. 7.40) представляет
обобще ие элементов с 12 ю степенями свободы, которые введены, в классиче
ской теории плит.
Наряду с ранее введенными неизвестными w, w x ' W y в узлы элемента вводят
ся как новые дополнительные неизвестные деформации сдвиrа Ф Х И Фу' так чтс
вектор перемещений в каждом узле содержит по пять параметров w, W x ' W y , Ф.!.
И Фу. Изменение перемещения W в элементе представлено, как и раньше, поли
360
4
з
х
у z
о W, W х.., W У } фх, (l)y
1
2
Рис. 7.40. ПрямоуrОJlЬНЫЙ ЭJlемент с 20-ью сТепенями своБОДЫ
НОМОМ TpeTbero ряда. При этом для величин Ф Х и Фу предполаrается билинейное
изменение, Т.е.
--v.'.... I х у х 2 ху у2 х 3 х 2 у ху2 у3 х 3 у ху3 О О О О О О О О ....ос I
Wx О I О 2х у О 3х 2 2ху у2 О 3х2у у3 I х у ху О О О О ОС2
Wy = о о 1 О х 2у О х 2 2ху 3у2 х 3 3х 2 у О О О О 1 х у ху
X О О О О О О О О О О О О 1 х У ху О О О О
..... ер у .... ...0 о о о о о о о о о о о о о о о х у ху .
.
ос 2 О.... ')
соответственно
u==A сх.
(7.221)
Если уравнение (7.221) так же, как и в элементе с 12--ю степе ями"свободы
представить для всех узлов элемента, то вектор неизвестных в узлах элемента
q==C сх ,
(7.222)
rде С матрица ряда 20х20, элементы которой являются функциями координат узлов.
Из этоro уравнения следует
cx==C 1 q)
а затем на основании (7.221):
(7.223)
u==Nq)
(7.224).
rде N = Ac l матрица интерполяционных функций.
Выражения векторов деформации с учетом уранения (7.213) можно по казать.
в зависимости OToL:
... ... .... д 2 / дх 2 д/дх О
х х w
.
Ху д 2 / д у 2 О д/ду Фх == R B « )
.....2д 2 /дхду дjду д / дх.... ... ФУ...
..... ...
361
r l Y xz ) I Фх )
== == Rs а )
..( Yl (I)y
(7.225)
r,I.le
[ О О О 2 О О 6x 2y О О 6xy О О J О y О О О О )
RB :: о о о о 2 О О 2, 6y О 6xy О О О О О О ! x ;
v О О О 2 О О 4x 4y О 6>.2 6y2 О О I x О 1 О y
R'=[: :: : : : : : : :: : о : : :У : : х:])
(7.226)
а затем, подставляя выражение (7.223) в уравнения (7.225), в зависимости от q:
x==R B C I Ч==Вв q ;
У== Rs C l q:::Bs q.
(7.227)
Подставляя предыдущее уравнение (7.227) в выражение (7.219), энерrия дe
формации будет:
1
А == чТ kq
2 )
(7.228)
rдe
k == J (Bi ОоВ + B Ds Bs) dF
F
(7.229)
матрица жесткости элемента.
Вектор узловых сил и мат{. ица жесткости системы образуются таким же об
разом, как и для элемента с 12.,ю степенями свободы.
Изопараметрические элементы. Прямоуroльный элемент с 20 ю степенями
свободы не -является конформным, так как не удовлетворены условия непрерыв
ности вращения В п на rраницах между элементами. Кроме TOro, этот элемент
хотя и является самым простым, имеет большое число степеней свободы.
Использование более сложных элементов ведет к дальнейшему увеличению
числа степеней свободы, а получение соответствующих выражений в закрытой
форме, с помощью которых определяют свойства элемента, становится все TPYД
нее. По этой причине удобно пользоваться изопараметрической формулировкой,
в которой поля перемещений и вращений flx и 8 у считают независимыми между
собой, а для их аппроксимации берут те же интерполяционные функции, что и
для reометрии элемента. I
С применением численной интеrрации при вычислении элементов матрицы
жесткости получают простую модель, в которой обеспечивают непрерывность
перемещений и вращений с возможностью получения высокой точности резуль
татов расчета"
На рис. 7,,41 покззан четырехуroльный изопараметрический ЭJ1 емент с KBaд
pa IblM изменением поля основных неизвестных перемещений w и вращений (j х
и tl y , имеющий восемь узлов по три степени свободы в каждом (w, 8 X' )' т.е.
362
5
4
о' w, 8 х, 8 у
1
Рис. 7.41. Квадрarный и3()параметрический ЭJlемент с 24-мя степеНЯМII свободы
Bcero 24. Изменение перемещений в элементе в зависимости от перемещений в
узлах показывают с помощью KBaдpaTныx изопараметрических функций N j (i =
1, 2...8):
... N i
W W
8 (7.230)
ОХ == N i qi CIi== ОХ
i-I
6 N. .... 6 у .
....у... 1.... 1 .
Подобным способом изображают и rеометрию элемента в зависимости от KO
ординат узлов:
[ : ] = i [N i NJ [:] i .
(7.231)
При определении поля перемещений в элементе в зависимости от парамет
ров перемещений в узлах все деформационные и статические величины MOryT
выражаться в зависимости от параметров перемещений в узлах.
Исходя из выражения (7.213) и принимая во внимание уравнение (1.230),
вектор деформаций
8
Е== 2 Вl.' (7.232)
1-1 '
r e элементы матрицы
В. == [ Ввl ]
& B Si i == 1, 2, . . . 8
(7.233)
даны как производные функции формы:
о --- N. О [N i . х --- N j J.
1, Х
BBi == О О Ni Dsi == N i . у О (7.234)
.1
О N. --- N. i == 1, 2, . . . 8
1. Х 1, У
363
Если из матриц В Bi и В Si для отдельных узлов элемента образуют COOTBeTCT
вующие матрицы элемента:
8 в == [8 B1 , Вв2 ... Вва] i
В8==[8 81 , В82 ... 888] )
то с учетом выражения (7.213) можно записать:
(7.235)
х==Ввч==В. ql · y==Dsq==B 8 ql ,
Ч2
q2
(7.236)
.
.
Че ... q.
а затем соrласно уравнению (7.219) выражение для энерmи деформации:
A==+.qT[J{B D B ВВ + B:DsBs} dF] Ч. . (7.237)
F
Значение. выражения (7.237) в квадратных скобках представляет собой MaT
рицу жесткости элемента
/ ' т т \
k ==. -( ВВ D B ВВ + Bs Ds BsJ dF ')
F
(7.238)
qa 4
w m ах ::: а Eh 3
4 = 100
5.5
/
6
.
s
а
\»
V
" .........
'i :' ::: ':':..' .:;. :.' : <.,:
Ofl ...:.;.. ,......... ,
4,5
4
0,05
0,1
0,.15
0,2
0,25 Ь/а
Рис. 7.42. Перемещение W тax в центре uaдрarной плиты по теОрllЯм классической и Рейсснера
364
в которой первая часть является жесткостью изrиба, а вторая жесткостью
сдвиrа. .
Матрица k по структуре блоковская, состоящая из 8х8 квадратных под--
матриц TpeTbero ряда, которые определяют соrласно выражению:
.
k ij == .! (B i Ds BSj + B Ds Bs.) dF
F
i, j== 1, 2...8.
(7.239)
Элементы матрицы k определяют по выражению (7.239) численным путем,
применяя способ интеrрации raycca. Прав ильным выбором ряда интеrрации с
помощью этою элемента можно получить решения высокой точности как для
плит значительной толщины, так и для тонких, что представляет одну из суще--
ственных характеристик представленноro элемента.
В МКЭ в случае, коrда отправная точка ......... перемещения, как основные не--
известные точно MOryT быть выполнены только rеометрические контурные усло..
вия. Статические контурные условия выполняют только приблизительно. В от--
личие от классической теории, по которой на одном контуре MOryT быть только
два условия, в рамках теории Рейсснера на одном контуре MOryT быть три усло--
вия. Таким образом в случае статических условий на контуре избеrается hecOr--
ласие между возможным числом условий и действительным числом заданных
сил, которое в классической теории преодолевается введением заменяющих Кир..
хroфа поперечных сил.
Для иллюстрации предыдущих примеров осуществляют разбор результатов
расчета квадратной плиты для случая равномерно распределенной наrрузки по
всей поверхности плиты. На рис. 7.42 показаны сравнительные результаты расче--
та по классической теории Рейсснера [30]. При этом является очевидныM разли--
чие между двумя этими теориями и x зависимость от отношения толщины к
расстоянию между двумя точками.
Двумерные линейные элементы. Анализ напряженно--деформационноro со..
стояния линейных балок, в которых воздействие поперечных сил на деформа"
цию значительно, обычно базируется на теории стержня Тимошенко, более
строroй, чем так называемая техническая теория стержня. Также, как и в те..
Х, U : ...; ,:,
А
..... ....................................
6, Ф
у,&
I
ПРЕдполдrдемдя ДЕФОРМАЦИЯ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ДЕФОРМДЦИR
't)
Рис. 7.43. Деформация поперечноrо сечения стержня
365
ории плит РейсснераМиндлина, она начинается с предположения, что попереч--
ные сечения стрежня в процессе деформации остаются плоскими, He перпенди--
кулярныии к деформированной оси стержня. Это значит, что действительная де..
формация поперечнoro сечения (с депланацией и изменением по высоте сече
ния) аппроксимируется линейным (плоским) изменением ДJf'йfiIшх" .перемещений
или соответственно постоянным скольжением по высоте поперечноro сечения
(рис. 7.43).
Таким образом, уroл ротации поперечною сечения е можно выразить как
сумму двух частей
8==v,х+ф,
(7.240)
из которых первая 'сх ...... ротация касательной (нормали) к оси стержня, а вторая
Ф ---- ротация сечения, вследствие поперечных сил или изменения уrла между
поперечным сечением и осью стержня. Составляющие перемещений u и )' в про..
извольной точке стержня, находящейся на расстоянии у от оси стержня, в COOT
ветствии с предыдущим предположением о кинетической деформации определе"
вы выражением
u (Xt y)== y 6 (x)== y (v,х+ф);
v (х, y)==v (х).
(7.241)
Вторым уравнением выражения (7.241) высказано положение о том, что две
точки, лежащие на одной и той же нормали, имеют равные перемещения v или
соответственно положение о том, что не изменяется длина линейноro элемента,
совпадающеro с IYiпраВjIением нормали (Ву==О вместо Еу== 'VEx). Составляю--
щие деформации Вх И Уху, по выражению (7.241) будут:
Ех == U, х == у 6, х == у (У, х + ф), х == ух;
Уху == и, у t v, х == v, х 6 == ф )
(7.242)
rдеjе х==(v,х+ф),х "изменением кривизны в точках оси стержня.
Полная потенциальная энерmя стрежня
I I I
1 J 1 J GF 2 J
п ... 2" Elx2 dx + "2 k УХ)' dx р v dx ...
о о о
(7.243)
I I 1
1 J 1 J ОР J
==2 EI{O..)2 d x + 2 k(V.. O)2dx pvdx)
о о о
rде первый член правой стороны выражения представляет собой энерrию деформации изrиба, BTO
рой энерrию деформации сдвиra, а третий раООту внешней распределенной наrpузки р(х) при
перемещениях v(x).
В выражении (7.243) 1 ......... момент инеРЦIIИ поперечною сечения; F ........ повер--
XHQCТЬ поперечноro сечения; k........ коэффициент, вводящий средний эффект де--
планации поперечноro сечения. Ero определяют из условия, что работа напря..
жения сдвиrа на элементе стержня при действительном изменении скольжения
366
равна работе напряжений при предлаrаемом (постоянном) скольжении, т.е. co
rласно известному выражению
F j 8 2
k == dF
12 Ь2 J
F
(7.244 )
rде S статический момент части поверхности выше или ниже сечения; Ь ---- ширина сечения.
Элемент с линейной интерполяцией. В качестве наиболее простоro элемента
стержня, в котором принимается в расчет и участие поперечных сил и деформа
ции несущеro элемента, можно принять элемент с четырьмя степенями свободы
по два в каждом узле на краях стержня, т .е. элемент с линейной интерполяцией
перемещений v(x) и выражений 6(х), (рис. 7.44).
Перемещения и вращения в произвольной точке определены в зависимости
от параметров перемещений на краях стержня следующим выражением:
V.
[; ]==[ I
о
N.
N 2
О
J
6! N
== q
)
V 2
(7.245)
6
.... 2 ....
1
2
х
1
.
.&1181
. &,8
f. - xJ1.
1
:.....;. .
РИС... 7.44. Элемент.. стержня в OCI{OCТII с четырьмя степеНЯМII свободы и линейной интерпрета
циеи перемещеНИII и вращении
rде N ---- интерполяционные функции
N 1 == 1..... , N2== .
(7.246)
Исходя из выражения (7.242) и с учетом (7.245) и (7.246), выражение для
составляющих деформации (изменение кривизны и скольжения ) имеет вид:
[ х ] == [ . 6, х ] == Bq == [ ВЬ ] q J
У V, х О 8.
(7.247)
rде
ВЬ == [О, 1// J О, ..... 1//] ;
Bs==[ l/I, (I ), 1//, ..... ].
(7.248)
367
При подстановке уравнения (7.237) в выражение (7.243) потенциальная
энерrия стержня
I I I
Н=:ЧТ{(+ fBbEIBbdX++ JB; F B.dX)q JNTPdX}. (7.249)
о о о
Если к выражению (7.249) применить положение о стационарности потенци'"
альной энерrии, то
(Kb+КJq Q==O,
(7.250)
rде
1
r т ·
КЬ ==. ВЬ EI Вь dx ,
о
1
J GF ·
К.== BSTBsdx I
о
(7.251)
I
QT == J [N., О, N 2 , О] pdx
о
соответственно матрицы жесткости изrиба и жесткости сдвиra и вектор эквивалентных сил в уз
лах элементов.
Подстановкой уравнений (7.248) и (7.246) В выражение (7.251) непосредст--
венной интеrpaцией получают:
о о о о
EI О 1 О 1
К$==
/ О О О О
О I О 1
(7.252)
1 1/2 1 1/2
.
К == GF 1/2 /2/3 1/2 12/6 ,
S k/ l ....//2 1 ....//2
1/2 12/6 112 /2/3 ....
QT == [ Р 2 / . О. Р2/ . О J
Если определены перемещения и вращения в узлах элемента, то по выраже...
нию (7.247) можно определить деформации, а затем моменты и попереч...
иые силы:
[ ]==[:I + ] [ ]== Hq ==[ :]q)
(7.253)
368
rде
Нь==ЕI [О, 1//, О, 1//] ;
GF
H.== [ I/I, 1//, I//J 1/2].
k
(7.254)
(7.254)
Элемент с линейной интерполяцией перемещений и ротаций имеет, как это
видно из выражения (7.254), постоянные моменты и поперечные силы во всех
сечениях элемента. Этот элемент имеет также определенные изъяны, которые
касаются переоценки влияния эффекта сдвиrа, о чем будет сказано далее.
Элемент с квадратной интерполяцией. Линейный элемент с узлами на кра..
ях и в центре элемента, в которых основные неизвестные.......... перемещения v и
вращения О (рис. 7.45), известный под названием параболический (Kвaдpaт
НЫЙ) uзопара.меmричеС1Сий, широко применяют в анализе линейных опор значи..
тельной высоты. Поскольку линейные опоры часто являются крайними или уси..
ленныии (ребрами) плитами и оболочками, то этот элемент удобен, так как вы..
бор узлов и основных неизвестных в них соrласуется с соответствующими изопа..
раметрическими элементами плит и оболочек.
1
= --1
2
,
==o
3
, --..........
=!
1/2
1/2
1
t
Рис. 7.45. Квадрarный изопараметричесuй ЭJlемент стерЖIIЯ с mестью степеJlЯМИ свООоды 11
IIнтеРП()JlЯЦII()нные ФУНlЩии
Элемент имеет шесть степеней свободы .......... по два в каждом узле, так что
вектор
qT==[Vl' 6., v2, 62, VЗ, 6з].
(7.255)
Перемещения v(!), ротации О (f), как и координаты точек элементов, апп
роксимируют с помощью тех же интерполяционных ФУНКЦИЙ, т.е.: \
3
v( )== NjVj i
i-I
3 ..
6 ( ) == 2 N j Oj ;
i -= 1
369
3
Х ( ):::: 2: N j Xi )
i=1
(7.256)
rде N i , i = 1, 2, 3 интерполяционные функции, представленные следующими выражениями:
1
Nl:::: (l ),
2
N 2 == 1...... 2,
1
N == ; (1 I )
3 2 )
(7.257)
а матрица (Якобиан) преобразования
дх дN 1 дN 2 дN э 1 '1
J == ............ == Х! + Х 2 + Х Э == ,2
д д д д
(7.258)
rде 1 длина элемента.
Исходя tиз выражения (7.242) и принимая в расчет уравнения (7.256), co
ставляющие деформаций можно показать в зависимости от параметров переме--
щений в узлах элемента следующим способом:
[ ]==[y.x 6' 6 ]==[N .x N 1 . X О N 2 . x О N з . х ] У 1
----N N 2 . x ........ N 2 N э . х ...... N 3 61
1
V 2
62
У 3
6з
Соответственно:
(7.259)
e==Вq ;
с == [ ] j в == [Ва. В 2 . ВэJ ;
(7.260)
B i == [ о
N;.x
N i . x ] )
....... N 1
i== 1,2, з.
Матрицу жесткости элемента можно получить ПО условному выражению:
I
K==JBTDBdx)
о
(7.261)
rде
D== [ E O I О ]
GF/k ·
(7.262)
Матрицу жесткости удобно расчленить на блоки по степеня ! свободы в OT
дельных узлах, т.е.
370
KJ! = J 81 D 8. det J d i
i, j== 1, 2, з; dx==det J d .
(7.263)
Подставляя выражения (7.260) и (7.262) в уравнение (7.263), получают сле...
дующую развитую форму блока Кц:
I
I J GF
N. N. d
2 k ',Х J.X
1
I
Kij== 1 J GF
N.N. dt'
2 k I J.X
i, j :::: 1, 2, 3
1
1
/ J GF
N.N. dt:
2 k J I,Х
....1
I
J EI Ni,x N j ... d +
...1
(7.264)
J
1 J GF
+ N.N.dt:
2 k I J '
"
Элементы матрицы К; определяют численным способом, обычно применяя
метод численной интеrрации rаусса.........лежандра. Вектор эквивалентных сил в
у-злах элемента вследствие распределенной наrрузки р(х) имеет структуру
QT==[Ql, О. Q2' о, Qз] )
rде t
Qi == J N i Р det J d ,
о
i == 1, 2, з.
(7.265)
(7.266)
Об элементах анализа линейных и поверхностных опор значительной тол
щины. Проблема "замок" ("Iocking"). Все конечные элементы анализа линей
ныx и повеРХIJОСТНЫХ опор можно разделить на две основные rруппы:
элементы, в которых отпускают движущиеся деформации (предположение
Бернулли.........Навиера для стержней, соответственно, Кирxroфа.........лява для плит и
оболочек) ;
элементы, в которых принимают во внимание движущиеся деформации (TOO
рия стержня Тимошенко, соответственно, теория плит и оболочек Рейсс...
нера......... Миндлина) .
Основные трудности при формировании ЭJIементов первой rруппы связаны с
выполнением условий непрерывности между отдельными элементами. Поскольку
у последних jЮтации сечения определяют как производны:е перемещений, то на
rраницах между элементами необходима непрерывнQCТЬ с 1 , что всеrда нелеrко
обеспечить.
у элементов второй rруппы перемещения и ротации взаимонезависимы, а их
аппроксимацию обычно проводят с помощью интерполяционных функций W =
INiWi' () = r Nia, так что условия непрерывности СО можно обеспечить просто,
как у элементов для анализа континуума. Применяя изопараметрическую фор..
мулировку, с помощью этих элементов можно обеспечить высокую степень точ..
ности аппроксимации rеометрии и полей перемещений. По ЭТОЙ причине они
особенно удобны для анализа конструкций значительной толщины. Однако, KOr--
да эти элементы применяют у очень тонких стержней, плит и оболочек, то по
371
является проблема точности определени матрицы жесткости, что особенно BЫ
ражено у элементов с низшей степенью интерполяции.
В этом случае элементы являются жесткими и плохо отражают поведение
конструкции. Это возникает при увеличении энерrии деформации от сдвиrа в
общей массе энерmи деформации как последствие исходноro преДlIоложения о
независимости между собой полей перемещений и полей вращения элемента. У
элементов с низким уровнем интерполяции, например стержень с двумя узлами,
энерmя деформации от сдвиrа может значительно превосходить деформацию от
изmба, что для тонких стержней нереально. Эта ПlIOблема известна под назва
нием эле'м'ент "за.моlC", решением которой занимались мноrие авторы.
Проблему "замка" удобнее Bcero рассматривать на примере стержня с двумя
узлами соответственно с линейной интерполяцией перемещений и вращений
(см. рис. 7.44). Если выражение (7.243) разделить на Е/ /2, опуская часть внеш
ней наrрузки, то получают общий потеIlJ Иал вида
I I
П ==.! (6.х)2 dx + ос J (y.x 8)2 dx,
О о
GF
ос==
EIk )
(7.267)
в котором очевидно относительное соотношение двух энерrий деформации. Если
первый член правой стороны выражения (7.267) представляет собой энерmю дe
формации от изrиба, то второй энерmю деформации от сдвиrа. Очевидно, что
параметр cl, который находится перед интеrралом во втором члене выражения
(7.267), для очень тонких элементов становится исключительно большим (если
h О, TO(''' OO). В свою очередь, энерmя деформации от сдвиrа становится также
очень большой.
для тoro чтобы энерmя сдвиrа стала равной нулю (Korдa h О), необходимо
выплнитьь условие
v,x......o==o или Ф = О, соответственно
(7.268)
которое, в действительности}} устанавливает зависимость между перемещениями
и вращениями в элементе (а - V, х) .
Иллюстрацией предыдущих примеров может служить консольная балка, Ha
rруженная концентрированной силой на свободном краю, который идеализиро
ван с одним конечным элементом и узлами на ero краях (рис. 7.46).
а)
р б)
',,::/%:: \.t1: 2 I ь
1 1
Рис. 7.46. к()IIс()лыlя ()пора, lIarружеllНая концеllТpированll()Й силой 118 свОООДНОМ краю (а) и K()
нечный ЭJlемент с JllIнейной интеРПОJlЯЦllей (6)
Матрица жесткости элемента представлена выражением (7.252). По этой
причине в соответствии с условиями опирания Vl = 01 = О из уравнения
(7.250), учитывяя равенство (7.252), непосредственно следует:
372
GF
kl
ОР
....
2k
GF
...... ...............
2k
ЕI GFl
+
1 3k..."
[;:]==[:] .
(7.269)
Принимая для упрощения k = 1, v = О, G = Е/2, из выражения (7.269)
получают
(2л 2 + 1)2РI
У 2 == (л 2 +2)GF ' л==l/h) (7.270)
соответственно при 7t... (JIIO :
4 Pl 8 Р/
v2== == ==4v2,)
GF Eh
(7.271)
rде V2s = Pl/GF вертикальное перемещение узла 2 только от сил сдвиra.
Это решение значительно отступает от решения, которое получают по клас--
сической теории ТOHKOro стержня V2 = 4Р1 3 / Eh 3 .
Вывод, который сделан на примере консольноro стержня, полностью подхо--
дит 'для плит И оболочек в случае, коrда используют конечные элементы с низ--
ким рядом интерполяции полей перемещений и полей ротации.
Практически это означает, что элементы с линейной интерполяцией не Mor--
ли бы успеmво применяться, если предварительно не провести их исправление и
соответственно не устранить проблему "локинrа". Проблема "замок" решается в
основном двумя следующими способами: применением раздельноro (дискретноro)
. метода Кирхroфа; редукцией и селекцией ряда численной интеrрации.
Первый из этих двух метОДОВ основан на предпосылке о том, что энерrией
деформации сдвиrа при формировании матрицы жесткости можно пренебречь.
Поскольку энерmю деформации изrиба выражают только с помощью PQтаций, а
интерполяцию проводят для поперечных перемещений V и для ротаЦИЙ fI, то для
u U
установления связен между этими величинами и параметрами перемещении в
узлах необходимо дополнительное условие, соrласно которому деформации сдви'"
ra равны нулю в определенных раздельных (дискретных) точках области (эле...
мента) .
Таким образом выполняется rипотеза Кирхroфа о пренебрежении деформа--
цией скольжения только в выбранных раздельных точках элемента, а не вепре--
рывно вдоль всей оси стержня, соответственно средней поверхности плиты или
оболочки. В случае консольноro стержня, показанноro на рис. 7.46 и проанали--
зированноro в предыдущем примере с опусканием энерmи деформации сдвиrа
для функционала П, получают выражение
п== {в, (2) :: [ : ;] [::] PY2' (7.272)
Если за дискретную точку, в коТорой скольжение равно нулю, принимают
точку в середине (центре) стержня u при Ф = о или V'X ...... (1 = О, то получают
следующую связь между уrлами вращения и перемещения 8= 2V2/1. Если эту
зависимость ввести в выражение (7.272), то, учитывая, что fll = О,
.п == 2 EI y РУ 2 ) (7.273)
12
373
откуда на основании положения о стационарности энерrии П следует
Pl3 3 Pl3
V ..................
2..... 4 EI..... ЕЬ 3 ·
(7.274)
Полученное значение для п ремещения V2 roраздо ближе к точному значе..
нию классической теории стержня. Пример с консольной балкой (см. рис. 7.46),
проанализированный с помощью только одноro конечноro элемента, послужил
только иллюстрацией основной идеи дискретноro метода Кирхroфа. В решении
проблемы "локинr" распространенным считают и друroй подход ...... с помощью
редукции и селекции ряда численной интеrрации.
Матрицу жесткости и векторы эквивалентной наrpузки определяют точно у
самых простых элементов или, применяя способ численной интеrрации у слож...
нейших элементов. В принципе, при выборе соответствующеro уровня численной
интеrрации каждое значение интеrрала можно по желанию определить точно.
Однако, если выбран низкий уровень (ряд) численной интеrрации, то можно ПО..
лучить ошибочную матрицу жесткости, paHr которой ниже действительноro, так
что появляются нулевые xapaKTepныe формы наряду с теми, кО"roрые соответст"
вуют степеням свободы элемента как жесткоro тела. Это ведет к системе плохо
обусловленНых уравнений. .
Предшествующие примечания относятся к численному определению интеrра...
лов, у которых подынтеrральная функция найдена точно. Однако в случае фун'"
кционала потенциальной энерmи, коrда, например, часть, обозначающая энер"
rию деформации сдвиrа, выражена недостаточно точно, то селекцией численной
интеrрации и соответсТвенно редукцией ряда интеrрации можно увеличить точ...
ность матрицы жесткости элемента. Иллюстрацией этоro способа может послу"
жить пример элемента стержня (см. рис. 7.44). Матрицы жесткости последнеro,
представленные выражением (7.252), определены точно с помощью метода чис..
ленной интеrрации rаусса Лежандра с двумя точками. Такое решение является
эквивалентны,' учитывая, что речь идет о квадратных подынтerральных функ..
циях. К сожалению, выявляется, что элемент с такими матрицами жесткости
чрезмерно жесткий и дает плохое решение. Причина этоro заключается в про...
блеме "замок", о которой уже mла речь.
Однако, если применяется селективная интеrрация, так что при вычислении
матрицы КЬ сохраняется ряд интеrрации (с двумя точками, а у матрицы Ks сни"
жаетс , т.е. принимают метод rаусса........лежандра только с одной точкой), то по..
лучают удовлетворительное решение. Таким образом для матрицы Ks получают:
1 1/2 1 1/2
К == GF 1/2 12/4 112 /2/4 . (7.275)
S k/ 1 ----1/2 1 1/2
... 1/2 /2/4 //2 12/4
в качестве друroro примера применения селективной Н!fтеrрации может по..
служить проблема чистоro изrиба стержня, в реш нии которой использован пря..
моуroльный элемент с восемью степенями свободы (рис. 7.47). Поскольку эл
мент подвержен чистому изmбу, энерrия деформации сдвиrа равна нулю. Меж..
ду тем, так как в анализе проблемы использован элемент с билинейным измене..
нием полей перемещений, в элементе появляются и движущиеся деформации
Y. Если при вычислении матрицы жесткости применяют интеrрацию raycca с
четырьмя точками (2х2), что отвечает ряду интерполяции для части выражения,
374
а)
. .'-
.
.
. ." . ... .;.....
. .
б)
(.
::
';:::." :::-: -
-,
,..
.'
"." .. О."..
. :.;.: ::
." ...." .....
.. .. :.:.:.:
:::
:;.:.::::.
_:.:
:: }
:: .
:..... ..
: .:
.. .. 8.. J
.. .. ..,
'..:.:':. ....:.::::.,.
.. . .. .......
е о ... ........
'\':.
- .
.е. .. .0'" .... ..... ..
. .. :
.}: :@f.. 'i..,:
,.;,:;:
1i:ii.. i.:'
....::
....:;;:;.: Х { ';":.:. .::;.:;; м)
.. -.:. .-
... ..
..... ......
.. ..'. ....
....... ..
.. .. ....
: .." ..;-.....- .
.. .....:.: ..
.. ,"...::....:
х
(м
.'
.. .. '"."
у
"
""l
':"','::Jf:iia' ":'.' :.".-:::-:>:..*... , . - ..;0....... '.' <-:. х(\..... ,
.
.
1
1:
K
Jlj
i;
;
::::
:;
:::. :::
. ::.::
;E
;:;:
:::
.:. .:. i.::...
.::. ...:
:;r
i
I
I
Рис. 7.47. ИЗПlб стерЖIUI в IIJIОСКОСТII npll деЙСТВIlТeJlЬИОЙ деформацllll (а) 11 деформацllll, ()ТВеча
ющей ПрllНЯТОЙ модеJlII конечноrо ЭJlемента (6)
ведущеro от изrиба, и только одну точку raycca
для части выражения, иду
щеro от сдвиrа (в центре элемента, rде сдвиr равен нулю), то получают точное
значение матрицы жесткости. В противном случае без редукции ряда численной
интеrрации, т.е., если и при интеrpации части энерrии сдвиrа принимают BЫ
сmий рsщ (2х2, как и для изrиба), то получают значительно менее точную мат..
рицу жесткости элемента (жесткость элемента больше действительной).
7.7. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ В РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ
Плиты, опирающиеся на колонны.
Очень часто они являются важными час..
тями конструктивной системы во MHomx инженерных объектах. в домострои"
тельстве все чаще по функциональным причинам делают малоэтажные конст"
рукции в виде плоских плит, без проroнов или капителей.
С учетом ярко выраженноro локальноro характера опирания в зонах около
колонн возможны значительныe концентрации усилий, которые делают эти кон..
струкции весьма сложными для расчета. В качестве первоro примера раСС1dотреи
случай неразрезной плиты, равномерно наrруженной распределенной наrрузкой,
опирающейся на ряд колон}!, поставленных на эквидистантных расстояниях в
двух ортоroнальных направлениях. С учетом двуосной симметрии расчет был
проведен только четверти одноro поля, пользуясь четырехуroльными элементами
с 20..ью степенями свободы. Опирание в месте колонны взято как опирание в oд
ной точке. На рис. 7.48 показаны результаты расчета по МКЭ различной плот..
ности сеток, а также сравнительныe результаты с помощью заменяющей линей..
ной системы (клетки) с таким же числом узлов, для которой reoметрические ха..
рактеристики получены из равенства потенциальной энерmи плиты и линейной
системы.
На рис. 7.49 показаны естественная и деформированная формы плиты, а на
рис. 7.50
линии rлав ных моментов из rиба М 1 и М 2 :
М == Мх+Му I ( Mx
My ) 2 + м2 .
1. 2 2 -J: 'J 2 ху
Поскольку в зоне около колонны происходит резкий рост моментов, то для
более точноro анализа изменения этих воздействий вместо опирания в точке
рассмотрен случай опирания по контуру колонны. Изменение момента изrиба
375
LЦ
. кН
1 q-) ,}
" = 0.166
мкэ
ЗАМЕНЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ
СИСТЕ Д
-- кН.м/м
1
1 40 см
. 1 t.C
У м 2
Х В
А
:
.1
H .М:
I
n.a · .... I
I 2 ,
(n · 1,2.3,6,12)
э
1319
15
3
2.059
2
1
t __-- -------
\ ...----
\,/
2
...--- ------... ....--... ----.......
,..
1 2 3
12 n
1
II 111 II II I I I
1 2 3 6 12 n
КН.М/М
6
5
.-
3
2
)
6
MO . MD
х У
25
20
---- --
.-- --
-- ----
-'
",,"
,-'
Q
,
1 2 Э
6
12 n
10
S
123
12 n
6
Рис. 7.48. континуалыlя плита, опирающаяся на колонны без проrОН8
для этою случая показано на рис. 7.50. В качестве друroro примера рассмотрена
квадратная плита, которая на двух противоположных сторонах свободно опира
ется или зажата, в то время как в середине она опирается на колонну. Диаrpам
мы перемещений и моментов изrиба, которые получены по методам сил и дe
формации, показаны на рис. 7.51.
Плиты на rруите, как на упруrом полупространстве. Расчет плит, которые
опираются на rpYHT, как фундамент объекта, относят к очень сложным и aKTY
альным инженерным проблемам. Состояние напряжения и деформаций в плите
зависит от флексибилъности (rибкости) rpYНTa как опоры. Действительное пове
дени е rруита как континуума с реальными механическими свойствами под дей
U U
ствием внешних воздеиствии редко удается выразить простыми математически
ми моделями. Определяющие связи с rpYHToM, как правило, нелинейные. Однако
в практических инженерных целях обычно достиrают удовлетворяющей точно
СТИ, если вводят предположение о rpYНTe как однородном, изотропном полупро
376
1" '11 '" ,." ". .,. ," ... ." ... 'е' .., ..
а)
с
... ." . . ... .. ... .,. ... .., . ., ... ..
. t4 ,.. .... .., ... ,е. ,.. 'S' ... .51 ... ," .
.,. ." ." ". ... ,.. ." ... ,.. .. .,. ."
11' '" .11 .,. '" .м ." ,н .., ... .., ... .
о.. ... ... .., .. . ... ... . .. . ., .., ... ,М
, ., н. 'М ,.. ." '.. ... ,.. '" ." ," ... .
.. .. .. .,. ,.. '.. ,.. .. "; ,.. ..' .е'
,., ,. ,., ... ,.. ... 11' .., 11' ... ... ... .
. .. ,. , . .. .. м ,. ,. .. ..
1. .. .. .. .. ., .. .. ,.. ... ... ... ,
.. _, ,. ., ,. .. ., , .. 8. ., "
1t .. .. It IS .е 81 .. .. " .. .. ,
. .. 81 .. .. .. .. .. .. 7' ,е. 1.
.. ., .. ,. " ro .. " " ,. ,. ,. " ,
. . .. I а. l' 'е " .. а' .. .' ..
11 ., .. .. 11 .. .. .. .. 8' ., ..
,. .. 8' " " ., ., ., " .. .) -,
.е ., .. .1 ,. 4. .. ., .. .. .. .,
fI " 81 ,. ,. l1li 1. М sa ... аа ..
., 18 .. .. JI 11 l' 1. U . 11 N
l' . . . . 'е .. l' " .. 1. " ., "
'" .. .. . , ,. .. .. " .. ,1 .. 1I
. . 3 . . 8 . . . ,. 8' ,.
. . I . t . , . . ., " .,
..
.1
Je
"
..
.
..
1I
JJ
"
.,
i-
12 хО,3З3 = 4 м
. I
;," ,,/ ".-' "., _,' /" ..' ..r-."......'/.... ..."
.. ,.. .......,. ...,...."...... '#.. ,.. ..,,-. -.,I: -:
" ... . . .<:... -/.-:,.. .< . ""? ";':.. .,'-:'/;' 41. .: ,... .,.. ._
.,. ' r :.;.:( .,. ';,;'7 ;I!': c"7'7." . /: ..... .-z: .-. ·
,,/.. , ,.' ./... ;:...,.,......,. ... ;,...... :. ..., .... . ,._..:..
:.,;. .." ;.1...... .. ...,... .,...... . h .... - 7 ..... ,.'-7"''' . ."
.,,' ".,. ,,,/. .",'...... .;....., .-. ." ,." ,'/. .': .,...v. '-" .."
_. J/ :.;.t""" /. : 'r. .. ,.. ., .. ..,.. ... . - ,
/'....'."'... ,,-,.... .:.. ....'...--:,.:.. .",.... ...;. .../ .:' . ' .....
- .. .....":.....,,,. "..:..;Jf.:. 7"':.... .......... ....-,. ... -,rr '-.. . WI .
"" .' ' .... ." /, ..' .... .-: .....;.о... " / '''' . ', ..... ..'
, ., ,," "... , r ;. .".,
_. ..,..;/:... "7":"' " - ;'. ....#-.... ....
// .... ..'"," ...... ,",,/..' '.' .#',. ,,fo. ,/" .;, J .' ....'
% :. ... ,.- .,..;'" '.' "-" :7".....;,':.. . .. '.,. -:.. ..:,
.... .'/.'''' ../' ...' ,,".....,.,... "...... ;,('1"-": -./ ...
7 - '''' - 7: . .. ....-..,....,. . :..- .. "?,"- .- ,
. .. . . .',/" . . / . , .. '. . "1'....4... . ...:"
. ./ . ."" . .-....._..;I-t4... . '. . ·
- . .. '. '.. . . ...,,,,.... ..:,, . .r7 . .... .. .' .,'
., .,,:. . ./ .'". / '.' ./. , .,...,,- ....."
./ -;?"" . :} ., .::. ':."., . :. . R .t!;;,#, ,- 'r:' .' ..'
/" ... ... ...... ./".. ,. .'" . . . .
-: .' . '.+ :: _.y: . r ; : . . /: ...'.............:"
_._ . ...fIfI16_..8I! , _ .. "/..", " . .
,'" , , . .,.." ,. " "... ..,....:",
.::: : ; : :; :;;: : : :: ; . : ::. ,.
б)
МАКСИМАЛЬНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ == 6.823 мм
PIIc. 7.49. Сетка конечных ЭJlеменroв (а), деформи}ЮванllЫЙ ВИД плиты (6)
странстве со свойствами упруrocти.. Расчет плит фундамента и с этими допуще--
ни.ями остается сложным и, кроме редких исключений, возможен только числен--
Hым путем.
Все применяемые численные методы основаны rлавным образом на предпо--
ложении о равенстве перемещений плиты и rpYHTa в выбранном числе точек
контактной поверхности. В расчет плит, лежащих на rpYHTe, как упруroм полу"
пространстве, МКЭ первыми ввели У. Ченr и о. Зинкевич [13]. Применены бы--
ли прямоуroльные конечны.е элементы при условии, что вертикальные переме--
щения в узлах сетки конечных элементов плиты равны перемещениям в соот--
ветствующих точках на поверхности полупространства. При определении связи
между реактивной наrрузкой и перемещениями полупространства предполаrа--
лось равномерное распределение реактивной наrpузки в прямоуroльных областях
около узлов, поверхность которых равна поверхности элемента.
377
JOx М 2 (I<Н-М/М)
10ХМ 1 екн-м/м)
Рис. 7.50. ЛИIIИИ rJlaвHЫX моментов изrиба
в работах друmх авторов [40] и [41] применялись треуroлъныe элементы с
большим числом степеней свободы и с аппроксимацией реактивной наrрузки He
прерывными функциями по всей контурной поверхности.
В данной работе предложен способ реmения этой проблемы с помощью KBaд
ратиыx изопараметрических элементов, отrалкиваясь при этом от теории изmба
плиты Рейсснера [38]. Реактивная наrрузка в рамках к ждоro конечною эле
мента представляется с помощью изопараметрических полиномов таким же об
разом, как и поле перемещений. Выбором тех же самых интерполяционных
функций для выражения reометрии элемента поля перемещений и поля реактив
ной наrpузки достиrается рациональный алroритм для реmения проблемы. Кроме
тoro, таким способом получается более то(ное и общее решение, чем реmеlJИЯ
данные в указанных работах, поскольку наряду с тонкими вышеописанное дей
ствительно и для ТОЛСТЫХ плит.
378
ЗАМЕНЕННАЯ линеЙНАЯ
СИСТЕМА
МК3
'o\
у
DI
D
D3
. ,
""
О 2
n = 12
s = 0.333
v)
\о
SAP4
............... м ЕТОД СИЛ
1,1
1455
х
Му
.................................... .
.............................................. ...........................
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6S
Рис. 7.51. Квадрamая плита, свободно опирающаяся на две противолежащие СТОJIOIIЫ и две зажа
тые, в центре опирающиеся на СТОJlб
379
Для сетки конечныx элементов с М"узлами вертикальные перемещения w в
узлах и реактивные наrрузки r MoryT выражаться как составляющие векторов w
и Т. 1:' ,.е.
w 1 ==[W 1 W 2 - -W m .. .WM]j
rT==(r l r 2 .. .r m .. .r M ]..
(7.276)
Из предположения о rpYHTe как об упруroм полупространстве вытекает то,
что связь между перемещением r(x, у) и реактивной наrрузкой w(x, у) представ
лена линейной однозначной функцией:
w == Fr J
(7.277)
rде F симметричная матрица, которую называют .матрицей фле1СсиБUJtЬНОСmu zpyптa.
При образовании квадратной формы:
J А ... А
JI== r T F r
2
(7.278)
дифференцированием по r T получают
п T==F r==w-
'r
(7.279)
Матрица F, предстзвляющая собой однозначную связь между перемещением
и реактивной наrрузкой, реryлярна, так что из выражения (7.77) следует:
r==F 1 w==Kw ·
к == F )
1)
(7 _280)
При подстановке в уравнение (7.278):
I А А А
I1 == "Т k w.
2
(7.281)
в выражении (7.280) k представляет матрицу жесткости основания (rpYHTa).
Дифференцированием выражения (7.224) по w T получают:
Il.wT ==wK.
(7.282)
Выражение (7.281) для П, принимая во внимание уравнение (7.223), можно
представить в следующей форме:
I А
]1 == wTr
2 ·
На основании (7.282) и' (7.280) можно сделать вывод, что квадратная форма
(7.281) представляет потенциал реактивной наrpузки и положительно определе"
на, т.е. П), О или соответственно П = О, если w = О, (r = О). Показанные за..
висимости между перемещением и реактивной наrрузкой (7.277) и, наоборот
(7.280) представляют собой общий вид связи между перемещениями и наrрузка..
ми и применяются в инженерных расчетах.
(7.283)
380
r
х
х
а а
Рис. 7.52. Квадрarный IIз()параметричесхий элемент ПJlIIТЫ
На рис. 7.52 показан квадратных изопараметрический Jлемент с заданными
наrрузками: внешней р (1 ,i) и неизвестной реактивной т( r , ) ·
Основными параметрами в узлах элемента являются перемещения W и вра--
щения В х И 8 У' так что векторы перемещений узла и элемента:
qi T == [" ОХ OyJi)
qeT:::[q. q2.. .qs).
(7.284)
Наряду с вектором qe для каждою элемента вводят еще два: векторы верти--
кальных перемещений W e и вертикальных наrрузок в узлах элемента:
.А т
"е == [W 1 "2... w.] )
(7.285)
АТ
r е == [r J r 2. · · r 8] ·
Связь между перемещениями w( {,'1) и перемещениями в узлах, а также
связь между реактивной наrрузкой Т(! ''1,) в элементе и реактивными наrрузка--
ми в узлах следующая:
8
w ( , У)) == N j ( , У)) "'е ;
i= 1
(7.286)
8
r ( , У)) == , N i ( , 1)) r" 4
i = I
Здесь N i /< , ) интерполяционные функции.
Потенциальная энерmя элемента на рис. 7.52 представлена выражением
l т т 1 J
П е =="2 Че keQe qe Qe+ 2 wrdF)
Fe
(7.287)
381
rдe первый член представляет потенциальную энерrию деформации второй потенциал (работу)
внешней наrpузки, третий потенциал реактивной наrpузки.
Подстановкой равенства (7.286) в уравнение '(7.287) потенциальная энерrия
элемента
1 т 1 А Т .. Т
П С == qe ke Cle + "е Не rc qc Qe I
2 2
(7.288)
rдe
Не== J NT N dF.
Fe
(7.289)
Потенциальная энерrия системы как сумма потенциальных энерmй отдель
иых элементов
J 1 А А А
П== qТКq+ wTHr qTQ
2 2 }
(7.290)
r.
rдe матрицы К, Н и векторы а, q. w и tr образуются известным способом из соответствующих матриц
или соответственно векторов элементов, учитывая тополоrическую связь между локальными и общи
ми обозначениями узлов сетки.
Если в векторах q и Q прОвести переrpуппировку ЭJIементов таким образом,
что первыми приводятся вертикальные перемещеНflЯ, а также вертикальные си..
лы в узлах" а затем вращения и моменты, то выражение потенциальной энерrии
при учете уравнения (7.280) получают в виде
1 А 01] r Kww + нк KWe [: Qw
п == [w T J
2 L 2
K BW Кее .... ..... Q 6 .....
rде
вт == [0" I Е> ...е м 0 ум ] ;
у I х
QT == [Qx I Qy I · · · Qx м Qy м] ·
р
(7.291)
(7.292)
Рис. 7.53. К()lIцекrpироВЗIIНая сила Р в полуп анстве
Дифференцированием выражения (7.291) по w и 9 и применением положе
ния о минимуме получают систему алreбраических уравнений
[КW;е: Иi :::] r ; ] [::])
(7.293)
382
откуда определяют векторы перемещения w и вращения .
Вместо перемещений в узлах w за основные неизвестныe MOryT быть приня...
ТЫ реактивные наrрузки r, так что вместо системы (7.293) получают си(,,'Тему
уравнений
rKWWF+H J Kwe r 1== Qw
..... К9 W .... Ке в... ... е..... ... Qe ... .
(7.294)
в этой системе уравнений не надо вычислять матрицы К = р--l, а коэффи",
циенты в системе (1.294) образуются проще и при меньшем расходе времени
ЭВМ по сравнению с системой (1.291). Для образования системы уравнений
(1.294) необходимо вычислить элементы матрицы mбкости опоры Р. Исходную
основу этоro представляет решение Буссинеске для полубесконечноro однородно'"
ro изотропноro упруroro тела, которое наrружено концентрированной силой,
перпендикулярной к контурной плоскости рассматриваемоro тела (рис. 7.53).
Вертикальное перемещение в произвольной точке t на контур ой плоскости
вследствие концентрированной силы, действующей в точке s, по этому решению
высчитывют соrласно простому выражению
) vo
W t == Р )
1t Ео Р
(7.295)
rде Ео, 00 модуль упруrocти и коэффициент Пуассона рассматриваемоro rpуита.
Пользуясъ принципом суперпозиции, действующим в линейном анализе, на
основании решения для концентрированной силы MOryт быть получены решения
и для некоторых друrих случаев наrружения. Так, например, в случае равно..
мерно распределенной наrрузки р по прямоyroльной области сторон 2ах2Ь
(СМ. рис. 7.52) перемещение в произвольной точке с координатами х, у опреде..
ленно выражением
у
Q
11
><
<t)
8 о х
у....
PIIC. 7.54. Сетка :конеЧIIЫХ ЭJlементов
w(x, у)== ро(l о/о) [(а х). V(a х)2 +(Ь y)2 +(Ь у) +
1tE() V(a x)2+(b+y)2 (b y)
383
) V(a+x)2+(b y)2+(b y)
+ +x. +
V (a + х)2 + (Ь + у)2 (Ь у)
V (a х)2 + (Ь у)2 + (а х)
+ (Ь у) · , +
V (a + х)2 (b у)2 (а + х)
V(a х)2 + (Ь + у)2 + (а х)
+(Ь+у) .
V(a +х)2 +(Ь +у)2 (а + Ь)
а)
б)
(7.296)
Рис. 7.55. Реактивные нarружения и вертикальные перемещения при равномерном распределен-
ном (а) и концентрированном нarружениях (6)
384
в примененном численном способе с изопараметрическими элементами KOH
тактную поверхность между плитой и полупространством рассматривают как си
стему конечных изопараметрических элементов (см. рис. 7.52)..
Изменение реактивной наrрузки по поверхности каждоro конечноro элемен
та в зависимости от значений наrрузок в узлах определяют по выражению
(7.286) :
8
,( , 1J) = i N i ( , 1J) '. ) (7.297)
rдe Н-i<(.'1) известные квадратные изопараметрические иmерполяционные функции; ri орди
наты реактивноro наrpужения в умах, предстаWIЯющие основные параметры.
На основе решения Буссинеска для концентрированной силы возможно при
близительно, но до необходимой степени точности, определить вертикальные пе
ремещения в зависимости от параметров реактивной наrрузки.
а)
Рис. 7.56. Реактивное нarружение и вертикальное перемещение с зонами нarяжения (а) и с иск
лючением ЭТIIX ЗОВ (6)
385
В этом смысле каждый из криволинейНhIX конечных элементов делят на(2А)2
меньших элементов сеткой координатных линий ( =, const и = const, так
что:
I a. 1 1 «---)
, == --- 1, , .. · , О, . · · , 1. (7.298)
(t а. « «
Если иаrрузку, действующую под одним таким секундарным 1 (7.298) эле
ментом, заменить равномерно распределенной наrрузкой над прямоуroльником
той же поверхности, то для определения перемещений можно применить Bыpa
жение (7.296). Поверхности секундарных элементов и интенсивность результи
рующих наrрузок определяют по методу численной интеrрации raycca.
в качестве примера для илл трации этих рассмотрений взята квадратная
плита и сетка конечных элементов, показанная на рис. 7.54. За показатель OTHO
шения жесткостей плиты и полупространства принимают
( а ) 3 1 v 2 Ео
y 2
h 1 \10 Е
или L n 4; как более подходящую, с учетом отстояния друr от дрyrа их действи
тельных значений, между которыми изменяется tr:. ,
Численные значения для Lп('реально изменяются в пределах 2 lO. Для
Lnt" < 6 жесткостью плиты в виду ее малоro значения можно пренебречь и счи
тать практически не воздействующей на передачу реактивной наrрузки. На
рис. 7.55, а показано распределение реактивной наrрузки и вертикальных пере
мещенимй ниже одной четвертой плиты, вследствие действия равномерно pac
пределенной наrрузки в случае, коrда Lno = О,8З6, что соответствует очень
жесткой плите. На рис. 7.55 видно, что происходит большая концентрация Ha
rрузки ниже узлов плиты, в то время как около середины реактивная наrрузка
почти равномерно распределена.
На рис. 7.55, б показаны результаты для случая, если L no = 4,539 и в cepe
дине плиты действует концентрированная сила интенсивностью 4р, что COOTBeT
ствует rибкой плите. В этом случае по изложенному способу наступает и явле..
ние реактивной напряженной наrрузки в зонах около контура плиты (рис. 7.56,
а), что во всех случаях невозможно. Применением итеративноro способа расчета
с постоянным исключениеAi з!)н натяжения в распределении реактивной наrруз..
ки получают реальные результаты, па азанные на рис. 7.56, б.
1 Терминолоrия автора.
\
386
rЛ8ва8.
прострАнствЕнныIE конструкции
I
8.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Оболочки представляют особую завершенную область теории конструкций.
Общая теория тонких оболочек значительно сложнее, чем теория плит, хотя обе
они основаны на ОДНИХ и тех же rипотезах. В линейной теории плит воздействия
наrрузок в плоскости плиты и наrрузок, перпендикулярных и плоскости послед--
ней, между собой независимы. Это дает возможность при применении МКЭ в
анализе IlJ1:ИТ ввести отдельные элементы как для плоскоro состояния, так и для
изrиба. В теории оболочек такое разделение в общем случае невозможно,
поскольку мембранные деформации и деформации изrиба оказывают взаимовли--
яние.
Дифференциальные уравнения, с помощью KOTOphIX описывают состояния
напряжения и деформаций оболочки, за исключением некоторых случаев, не
имеют решения в замкнутой форме. Решения этих уравнений с помощью клас--
сических численных методов, таких как метод конечных разностей (МКР) и ме--
тод численной интеrрации действительны обычно для определенной формы обо--
лочки, особенно в условиях опирания или особоro вида наrрузки.
По этой причине применение МКЭ в анализе и расчете оболо.ЧКИ имеет ос--
вовное значеНllе. Следует отметить, что модели для расчета оболочек по МКЭ
значительно сложнее, чем соответствующие модели расчета друmх конструктив--
ных форм. По сравнению с плитами в расчетах оболочек появляются две допол--
нительные трудности, относящиеся к представлению reометрической оболочки
системой конечных элементов и аппроксимации полей перемещений в элементе.
С учетом криволинейности элементов и одновременности мембранных воздейст--
вий, как и воздействий при изrибе, полное обеспечение условий равновесия и
совместности становится очень сложным. В связи с этим условия выполняют
приблизительно с помощью различных методов.
Первая и простейшая модель МКЭ дЛЯ решения пррблемы оболочки развита
на основе аппроксимации оболочки системой плоских конечных элементов. По--
добнhIМ образом о. Зенкевич и У.Чанr [46], как Р. Клаф и и. Точер [10], опре--
еляли напряженно--деформированное состояние арочных плотин с помощью
плоских треуroльных элементов. матрицы жесткости элементов получали супер--
позицией соответствующих матриц жесткости ДЛЯ cocrояния плоскоro напряже--
ния и изmба. Позднее по этому принципу Корром [7], Клафом, Джонсоном
[11] и друmми рассматривались оболочки и друrих rеометрических форм.
Общий разбор применения плоских элементов треуroльной и четырехуroль--
ной форм в анализе и расчете оБОЛОЧ,ек дан в работе Дж. Арmриса [3]. Специ--
альный случай плоских конечных элементов представляют конусные кольца, ис--
пользуемые в осесимметричных оболочках. Эти элементы первыми применили
п. rрафтон и д. Стром [27], а за ними и. Перси [36], Донr [15] и др.
387
Криволинейные конечные элементы оболочки первыми использовали Джонс
иСтром [30] при расчете осесимметричных оболочек. Вместо плоскоro конусно..
ro элемента Был введен криволинейный меридиональный cerмeHT оболочки.
Расчетом напряжений и деформаций тонких оболочек произвольной формы
занималось MHOro авторов [20, 21, 35]. Сформулировано большое количество
элементов, отличающихся числом степеней свободы, выбором основных парамет..
ров, способом интерполяции перемещений (напряжений) и аппроксимацией reo..
метрии оболочки. С. Утаку [44] вывел матрицу жесткости для элемента треу"
roльной, а и. Коннор и с. Бреббиа [12] ...... для элемента четырехуroльной фор..
на основе теории тонких оболочек. Р. rаллаreр [23] разработал элемент ци..
линдрической оболочки с 24"мя степенями свободы, который позднее модифици"
ровали Ф. Боrнер и др. [5].
ж. Кантин :и Р. Клаф [9] показали цилиндрический элемент с введением
трансцендентных функций при аппроксимации полей перемещений. А. Сабир и
д. Amвел [39] развили прямоуroльный элемент оболочки на основе известной
аналоmи между дифференциальными уравнени.stми тонких оболочек и плит на
упруroм основании.
В течение последних 15 лет оприменении МКЭ в области оболочек опубли..
ковано множество работ и сформулировано значитеЛьное qиCJIО элементов и мо"
делей для анализа и расчета. Все эти модели в зависимости от способа, пред"
ставляющеro reом:етрию оболочки, можно разделить на три основные rруппы' а
именно на элементы: плоские, криволинейные тонких оболочек; выраженные
трехмерные.
Плоские элементы представляют собои простейший, а вместе с тем и самый
rрубый вид аппроксимации оболочки по мкэ. Эти элементы представляют обоб..
щение рассмотрен ий плоскоro напряженноro состояния и изrиба плит или про..
стую суперпозицию этих двух состояний. Положительное качество вышеописан..
ных элементов заключается в их простоте, а слабость ...... в недостаточной апп..
роксимации криволинейной поверхности системой плоских конечных элементов.
Ошибки, вносимые этим способом в результаты расчета, MOryT быт значитель..
ными. Это особенно относится к задачам устойчивости, которые чувствительны
к reoметрическим несовершенствам.
Криволинейные элементы формулируют на основе теории ТОНКИХ оболочек.
Основные трудности при их определении связаны с выбором интерполяционных
функций, от которых требуется опосать перемещения элемента как жесткоro те..
ла, состояние постоянных деформаций в элементе, коrда он становится оконча..
тельно малой величиной, а также условия непрерывности (континуитета) на
rраницах между элементами. В процесс е последующеro изложения можно уви"
деть, что все эти условия трудно обеспечить.
В связи с этим вместо общеro криволинейною элемента для произвольной
срединной поверхности оболочки вводят отдельные элементы, которые удобны
для определенных форм оболочек. Среди них находятся две характерные rруп..
пы: э-лемент цилиндрической и элемент тонкой оболочки, которые разработаны
на базе упрощения, содержащеrocя в теории этих оболочек по отношению к об..
щей теории оболочек.
Вырожденные трехмерные элементы оболочки получают в результате особо..
ro случая пространственных изопараметрических элементов. При этом учитыва..
ют, что толщина оболочки мала по отношению к остальным двум размерам, как
и с введением предположения о способе изменения напряжения (деформаций) от
толщины оболочки. Эти элементы получили применение в расчетах толстых
оболочек, таких, например, как корпус атомных реакторов.
388
8.2 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Основные уравнения общей теории тонких оболочек, представляющих осно"
ву для применения МКЭ к расчету оболочек, даны в их окончательном виде без
вывода и необходимых доказательств. Для более подробноro ознакомления с
этими формулами внимание читателя обращаем на литературу, которая указаliа
к этой rлаве [19, 26, 31, 34, 41, 45]. Как специальный случай общих выражений
показаны и соответствующие выражения для цилиндрических и тонких
оболочек.
rеометрические зависимости. Срединная поверхность оболочки определена
вектором положения r, который является функцией криволинейных координат
и
r (а.,
)==fk (<<,
) ik, k== 1, 2, 3.
(8.1 )
':t
.....:r..
.. ";.
5 " ,
.::::::..
'.'
PIIC. 8.1. Вепор места и базовые векторы Срединной п()верхнOCТll оООлОЧICИ
в дальнейшем предполаrается, что и ---- линии rлавных изrибов средин"
ной поверхности. Основную триаду базиснЫх векторов е ,е , п (рис. 8.1) опре..
деляют с помощью производных вектора положения:
r r
.,
.cr.
.Ot
"':х
I r.« I А
389
r, r,;;,
e' == 1 == в I
1
n ::::: e х е: :) == ( r а. Х .
, АВ '
(8.2)
rде А, В соответствующи параметры Ляме поверхности S, определенной выражениями:
А2 == r · r (1 )
. ,
(8.3)
В2 == r, · r,rs'
Векторы ecL, , п представляют собой триаду независимых между собой op
тонормированныx векторов, через которые можно выразить любой вектор. Про
изводныe фундаментальной триады по коорцинатам с(" и fi......... векторы, которые
по отноmению к основной триаде определены выражением
е'Х,'Х О A /В A/R!Xl e!X
,
сtX,з О B, /A О С З
C;j,'J Л, /Л о о п, (8.4)
...... )
e ,f:S B, / А о B/R
П,'Х AfR:J. О О
n, О B/R{3 О
....
rде RtJI" и R fl соответственно радиусы rJI. и j3 линий.
Параметры Ляме А и В и радиусы кривизны R и R полностью опреде
ля ют срединную поверхность оболочки, кроме ее положения в пространстве.
Между тем эти четыре величины не MOryT быть независимы между собой. Для
. TOro, чтобы величины А, В, и R как непрерывные функции координат и
, представляли rладкую поверхность, они должны выполнять условия нераз
рывности raycca......... Кодзцци: .
( А ) А ,
R'X ,З == R::s
( В ) ::::: В,'Х
R ,'Х RtX
( '!X ),,, ( ' ) "
(8.5)
АВ
R'X R
Длина ds и поверхность dF бесконечно малыx элементов поверхности S оп
ределены с помощью параметров А и В выражениями:
ds 2 ==A2 d(X2+B2 d 2/
dF==AB doc d .
(8.6)
390
Основные reометрические величины в срединной поверхности, находящейся
на расстоянии от срединной поверхности оболочки, при предположении (z / R) 2<:<
1, MOryT выражаться следу щими выражениями:
r* r + zn .
,
А*::А(' + :J ;
В. == В ( 1 + ) ;
R
е * е е * е П * == N " ,
х== fi==
(8.7)
R: == R:; + z, R == R + z.
в выражениях (8.7) звездочка указывает на то, что речь идет о величине, которая относится к
срединной поверхности. ..
Составляющие деформации. Составляющими вектора перемещения u в Ha
правлении осей фундаментальной триады ed.' efi' п являются и, v, w с правмла
ми положительноro знака, как на рис. 8.1. Если составляющие танreнциальной
деформации обозначить Eot.. ' ;S и , а составляющие деформации изmба ...... д:. ,
" и , то тоrда связи между деформациями и перемещениями можно предста
вить следующими выражениями [19]:
i А I ..
-7 == U + V+ W
А , АВ R
rx
1 В(.( I ·
z == V +.............!- U + w
В' АВ R
A ( U ) В ( У ) .
(1) == (tJ'J( + (ur-J == + I
В Л. Д 8.'У
V А
v 1!X.at ,'Jt
,- == ............... У
.. А А В [1
(8.8)
....' в
-, .!..ы ...... У
'.-!"
в АВ 'Jt I
"( А (.) " ( в (1)
'":' == сх + .......:!. "{ + ........Ё == + ...2. "1 +
А АВ R В АВ ( R )
rде
w
.., ==
& :х
А
U
R:x
W(:S У.
"' ( .
r1 В R,.
OJ
(8.9)
V 'х А ·
(t) ==........:... u
:Х Л АВ I
D
U . 1> . :Х
(tj == У.
В АВ
391
Составляющие деформации в параллельной поверхности даны в зависимости
от составляющих деформации срединной поверхности следующими выражений--
ми:
* .
Е'Х == E + X ,
E == E + z X ;
(t) * == (.) + 2 Z ":' .
(8.1 О)
Составляющие деформаций ( , C ItAJ, X и't не являются независимыми
между собой и должны удовлетворять условиям овместности деформаций:
, 1 [ 1
(В Хр,),.. + А,р, Т.. (А т..).р, В... Х.. R.. (В &р,),.. 2 А.р, Ы
1 ] .
2 (А Ы).р, В... Е.. == О ,
, (В 'р,)... А ,1\ Хр, + (А Х,,) ,р, В,.. т.. + Ii [+ (В Ы),.. + А.р,'&р,
1 ] ·
(А €a) !1 + В 'х (у == о f
.. 2 '
( x13 Х« ) { 1 [ 1 . I ]}
АВ + ..... (86) сх +А в Q ( A Еос) Q + В ot <-> +
R R В 2 ' ,1'" .. 2 ·
ос .
+ { [(В Ер,)... А.р, (о) (А Ы),р, В... Е.. ]1... == о.
(8.11)
Усилия в сечениях и условия равновесия. Положительные направления
компонент напряжений и усилий в сечениях оболочки показаНhI на рис. 8.2.
Усилия в сечениях, как результирующие соответствующих составляющих напря..
жений по толщине оболочки на единицу длины, определяют следующими выра..
жениями:
NI1. rr ос tX
-+ h /2
NQ[ == .r (j oc!i (1 + :J dz ·
h/2
Т .....f';a.n......
'IX .....
N(j ()
-+ h/2
NB == ./' f1 ж (1 + ) dz ·
h/2 R,,J
...
Т ..... tj fi п....
.....
МФ( +Ы2 tjat
== J z (1 + :J dz ;
h/2
..... Mat ..... G 2fi
392
--
M
+h/2
==!
b/2
...... (]' в
M «
z (! + :) dz ·
tТ iX
(8.12)
.р
M +Ма a:da
'/
МаР+МЩЗ,Qdа
МРа
"
м fЗ: +blp,pdJ3
\ MJb +M/h,pdP
PIIC. .2. Напряжение и СИJlЫ в сечениях е>болочlOl
393
Условия равновесия и внутренних усилий для бескоаечно малоro элемента
оболочки можно представить с помощью следующих шести скалярных ypaBHe
пий:
АВ ,
(BNa),a + Д, Nf1(j + (А N ),(j B, N + Т ос + Д ВХ == О ,
R
АВ t
(RN" j), A,fj N(X + (АN ),з + B, N(j + Tfi + АВУ == О ,
R
АВ АВ l'
(RT(X) +(ATQ)Q N(X Nr +ABZ==O
. р ,,J R R '
"Х r:s
(8.13)
( R М ({ (i ) . /'1 + А. ( М "Х (А М fi ). + В. (1. м r-j А В Т rs == О
(RMI1.). A, j M ocfi (AMri"X), В,"Х Mr:s + Д BT == О
N N M Gt M Xfj
'X -j [1 + ==O,
Rfj R."X
Уравнения связи усилий и деформаций в сечениях. Исходя из выражения
(8.12) выражения для связи напряжений и деформаций будут:
Е
(j'1. == (j'1.'X == (е: + V € ) ,
I ") I
V"
Е ·
t]'(1 == (jr1rj == (e + ') ) ,
. . I I ") ,
v
(8.14 )
Е
't' 'X'-j == (j '1 == (1 v ) (1).
I . 2 (1 + v 2 ) ·
с учетом выражения (8.10) и после проведенноro интеrрирования по толщи
не оболочки, пренебреrая h/ R как малыми величинами по отношению к едини
це, получают следующие уравнения связи между усилиями и деформациями:
N == D (Z'X + v z;.) ,
N 1 ==- [) ( z 1 + 'J Z"X )
J 'J ·
N [ == N;1 'х == D (J) ,
2
(8.15)
M == к (x + vXi-j) I
M == к (x + VX«) ..
MCI == M == (1 v) К т ,
394
rде
D == Eh
1 '12
EI1 3
К==
12 (1 '12)
(8.16)
мембранная и изrибная жесткости оболочки соответственно.
Эти в ражения просты, однако их недостаток заключается в том, что они не
удовлетворяют шестому условию равновесия, кроме случаев сферической обо
лочки, плиты и осесимметричных оболочек при осесимметричных воздействиях.
По этой причине чаще используют второй, несколько более сложный вид этих
связей, введенный В. Новожиловым [34]. Вместо усилий сдвиrа и крутящеro MO
мента вводят две новые обобщающие силы:
S == N Motf' :=: N M fi ·
« R R \
х
I
Н == 2 (M", + М:.",) )
(8.17)
которые соответствуют деформациям uj и "С. с нормальными силами N и N и
моментами изrnба и M эти силы полностью описывают напряженное co
стояние оболочки. Таким образом, связи между обобщенными силами и дефор
мациями формально остаются теми же самыми, что в формуле (8.15), и MOryT
выражаться в следующей матричной форме:
N==Ds Е ;
M==Db )( J
(8.18)
rде
'1
о 1 '} О
Eh 3 .
О I D b ==- 'J О ,
I 2 (I '12)
l v
2 О О l v
D == Eh
s
J '12
')
о о
, (8.19)
.... r ....
l N", M Е« X
N == м == : ;
Е== E )(== itf$ .
(1,) 't"
.... .... .... .....
Исходя из выражения (8.17) и принимая в расчет формулу (8.18) и исполь
зование условия = получают выражения для связи между силами сдви--
ra и крутящими моментами с деформациями:
1 v ( Ь 2 ) .
Ncx:s== D (J)+
2 6 Rf3 '
395
1 v ( h 2 )
. N « == , D ы + 't" ;
... 6 RCi
о, MGt == M « == (1 v) К ":' I
(8.20)
которые удовлетворяют шестому условию равновесия.
, Потенциальная энерrия деформации оболочки. Потенциальная энерmя де..
формаЦии или работа деформирования тонкой оболочки
k=< . ! (а''Х е: + a E + a'cx (t)*) ( 1 + ) ( 1 + ) ABd (t d .
2 I RGt R(i
. .
Если BMecтo ,' иЫ в выражении (8.21) подставить их значения из фор..
MYJIbl (8 13), то, учитывая силы в сечениях (8.12), получают выражение для 110'"
тенциальной эверrии деформации:
(8.21)
А == J (N.. Е:.. + N Е:(! + S (J) М.. Х.. М/3 X + 2 н т) ABd IX d .
1:
(8.22)
Соответственно в матричной форме:
А ==f J (NT€+MT)()dF.
F
(8.23)
ПQдставляя формулу (8..18) ,в уравнение (8.23), получают:
А == + J (€TD..-€ +)(Т Db )() dF.
(8.24)
\Общая потенциальная энеpmя оболочки ра8на сумме потенциальной энерmи
деформации и ра6от.е внешних .сил:
п== J.(ETD.E+XTD.,x)dF J pTUdA J (N!UD+M 0n)ds)
F За
(8.25)
rде р вектор поверхностной наrpузки:
р т == Ipu р," Pw] ;
а N n i n{Nn, 50' МВ, М П ! i то)
(8.26)
соответствующие заданные силы на контуре S .
Цилиндрические оболочки. На рис. 8.3 показаны основные reoметрические
величины для обоЛОЧКII цилиндрической формы. В качестве координат OG и.js
чрииимают длину х и уroл ос" так что квадрат длины линейноro элемента в сре..
динной поверхности оболочки
ds 2 == dx 2 + dy2 == dx 2 + R2 d q>2 )
(8.27)
а параметры Ляме и радиусы кривизны соответственно:
396
А== J
,
B==R
Rcx == Rx"" 00 ; R == R. == R == const.
(8.28)
Связи между составляющими деформации и перемещениями по выражению
(8.8) упрощают и получают:
... д/д х О О u
-'х
I I/R v
<:' U д/д 'Р
... R
\У
1 д/д х О
(u д/д 'р
R
хх U о д). / д х:!
1 д2/д tp2
Ху О д/дЧJ
R2 R:!
О I r 1, )
"'с' д /дx! (()
R R
Рис. .з. rе()меТРIIЯ ЦlIЛlIНДрllческой оООЛОЧКII
Составляющие деформаций должны выполнять
рые rласят:
условия
совместности KOTO
)
-Хер, х
1
't' ==о }
R .
(8.29)
397
I 1 1
Х.. ,.., Z" К. Т Х х + (J) х == О
R ".' R .....,. , R'
(8.30)
I 1 1
R 2 Е:х, '1'1> + e:q>"XX + R Х Х R Ы,Х'Р == О.
Уравнения совместности (компатибильности) (8.30) удовлетворяются при yc
ловии выполнения следующих равенств:
J .
z == (,)
R Х,.? ,Х f
]
Etp, х х == R л х t
(8.31)
1
Х'Р, Х == R 't',9 J
так что вместо выражений (8.30) можно записать простейmую формулу этих yc
ловий:
..... .....
I ,... () I д х О О О Ех
дlд 'р "
R t:'
"'';0
О д 2 / () х 2 О I () О
(,) == о . (8.32:
R
I Х Х
О' О О О д/д х д/дrр
R .
.У
l'
Условия равновесия (8.13) сводят к системе уравнений:
. .
RNx,x+Nxcp, +RX==O ,
Ncp, + RNxqJ, х+ Т<р+ RY ==0 ..
RTx, x+T ,t:p N6+RZ==O
RMx'P,x M ,tp RT([J==U "
RMx, x+Mt:px, +RTx==O
(8.33)
NX'P N'PX + МХ'Р == О.
R
Полоrие оболочки специальный случай оболочек, у которых стрела.
представляющая максимальное перпендикулярное расстояние срединной поверх
ности оболочки от плоскости ее основания, мала по сравнению с основными раз
398
мерами в плоскости основания. Обычно в качестве критерия принимают соотно"
тение
f
1
"".....
15
)
L тап.
rде f стрела; L минимально наименьшая стор<>на основания (рис. 8.4)
i z
z
iy
ix
у
( \ {
\
/ : * .
.\
i<
, ,
PIIC. 8.4. Jl[оверхносmая оболочка
в качестве координатных линий ot иfi принимают линии х и у в плоскости
основания, при этом срединную поверхность определяют в декартовой системе
координат, так что основные reометрические зависимости будут:
r==xix+yiy+ti z
..
A==[I +(z.x)2)1/2,,-, I
8==(1 +(l.y)2]1/2 I
...L ·
ex lx I z,x I L
...L "
е у Iy I z.y l.l
.
n == z,x ix +z.y iy+i z ;
399
I .
:::: z
R ,ХХ ,
Х
1 ·
== z
R ,уу ,
у
1
z
R ,ху ·
ху
(8.34)
Соrласно теории в.з. Власова /[45] в полоrих оболочках пренебреrают влия
нием танreнциальиых составляющих перемещений на деформацию изrиба, а
также воздействием поперечных сил в условиях равновесия сил в танrенциаль
ной плоскости, так что вместо выражений (8.8), (8.11) и (8.13) получают упро
щенные выражения для:
связи деформаций и пере.мещенuй
...
Е х д/дх О IfRx u
Е у О д/д у I/Ry v
.Ы дjду дjдх 2/Rxy w (8.35)
...)
Х Х О О д 2 /д х 2
Ху О О ..... д 2 / д у2
о о ..... д 2 / д х д у ....
...
условия сов.месmносmи
о
1
..... д/д х
Rx
1
д/д у
Rx
о
д/дх
..... д ,д у
Е х
1
..... д/дy
R,
о
1
д/д х
Ry
д/д у О
д/д х
Е у
(8.36)
д 2 /д у 2
д 2 /д х 2
д2/дxдy
1 1
Ry Rx
о
(а)
==0
./
)(х
Хоу
условuя равновесия
t'
....
Nx,x+Nxy,)?+X==O
Ny,y+ Nxy,x ,.J-. У ==0 ;
N x N y ·
Tx, + Ту')?....... +Z==o ,
Rx Ry
,
Му,у..... Мху,х+ Т )?==о- ,
Мх,х.......М ху ,)?+ Тх==О.
(8.37)
400
8.3. ПЛОСКИЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Поскольку срединная поверхность оболочки является изоrнУТОЙ, то, естест..
венно, что дискретизацию оболочки проводят с помощ
ю криволинейных конеч--
ных элементов. Однако во мноrих случаях можно применить плоские конечные
элементы, блаroдаря чему можно добиться решения удовлетворительной точно--
сти. Срединная поверхность оболочки обычно аппро
симируется системой ило--
ских конечных эле
ентов треуroльной или четырехуroльной форм. Элементы
треуroльной формы подходят больше, поскольку они лучше аппрокси
ируют
кривую поверхность (рис. 8.5). С плоскими четырехуroльными элементами апп--
роксимировать поверхность можно только при условии, если вершины четырех--
уroльника выбирают на пересечении пар линий ocHoBHых кривых поверхностей.
Цилиндрические поверхности MOryT аппроксимироваться с помощью плоских
прямоуroльных элементов.
Рис. 8.5. АППРОКСIIМ8Ц1IЯ среДИННОЙ поверхн()CТII оООJlОЧКИ сетк:ой ПЛС>СЮIX тpeyrOJlbHbIX ЭJlеменroв
При применеНJfИ системы плоских конечных элементов всеrда появляется
reoметрическая ошибка из--за различШl в reoметрии действительноro объекта и
соответствующей расчетной модели. Она может оказывать такое же или большее
влияние на результат расчета, чем ошибка в аппроксимации полей основных He
известных в элементе. При применении треуroльноro элемента, снижая ero зна..
чение, можно значительно уменьшить воздействие reoметрической ошибки. Пер--
вые расчеты оболочек с помощью плоских конечных элементов основывались на
ме
бранной теории и использовании плоских (CSr) элементов. ПОТОМ к этим
элементам до
авились и параметры, с помощью которых описывается изmб
плит. Таким образом, Был получен элемент для расчета оболочки суперпози--
U,V
+
U,V
W,W
JW;Y
.......
Рис. 8.6. ТреyrОJlЬНЫЙ ЭJlемеllТ с IS-ью степенями свободы
401
цией элемента Д ля плоскоro напряженноro состояния и элемента для изrиба
плит (рис. 8.6).
Таким способом в каждом узле введено по пять степеней свободы, три ли...
нейных и две ПОВОРОТНЫХ, что ведет к определенныM трудностям при преобразо
ванин матриц жесткости элемента из локалЬНЫХ в общую систему координат.
. U V. W
6x 6 у, 6l.
Рис. 8.7. Параметры перемещений В. узлах ЭJlемента
Треуrольнь й элемент с 18 ью степенями свободы. На рис. 8.7 показан Tpey
roльный элемент с узлами в вершинах треуroльника в системе локальных коор'"
динат с осями х и у, лежащими в плоскости элемента, z перпендикулярной к
плоскости элемента и обозначениями степеней свободы для узла 1 с указанием
положител:вных направлений. В качестве перемещений в Y3 71aX принимают по
три перемещения по направлению осей х, у и z и три вращения BOKpyr осей Х, у
и z, так что Bcero элемент имеет 18 степеней свободы. Параметры перемещений
в узле 1 представляют собой составляющие вектора qi:
qi T == [u v w ОХ 6у 6z] i
i == 1 2, 3 )
(8.38)
так что вектор параметров перемещений элемента
qT==[ql q2 qэ].
(8.39)
Связь между векторами обобщенных сил:
QT == [Q. Q2 Q::.J ,
(8.40)
rде
Qi==[N x N y N z Мх Му MJ.
i == 1, 2, 3
(8.41 )
и перемещений в узлах представдена известным способом
k q==Q ,
(8 4 1 t
rдe k матрица жесткости элемент,а, которая образуется из соответствующих матриц жесткости для
плоскoro напряжения и изrиба.
402
Если уrловые перемещения в плоскости элемента обозначить qS, а перпенди
кулярно к ПЛОСКОСТИ 1', т.е.
... .... .... s'" .... .... ь .....
u q. w q.
s ч' ::: S Ь ОХ qb ::: q (8.42)
qi == q2 qi == )
v . s 6)' q
1 q)
ТО связь между силами и перемещениями в плоскости и перпендикулярно к ней
будет иметь вид:
k S q'== Q' ;
kb qb==Qb ,
(8.43)
rде k;S, kP ......... матрицы жесткости соответственно плоскоro напряженноro состоя
ния и изrиба треуroльноro элемента с узлами в вершинах с шестью и девятью
степенями свободы. Блоки матрицы относят к ряду 2х2, а матрицы k b ---- Зхз.
На основании этих матриц образуют матрицу жесткости плоскоro элемента обо
лочки по схеме, которая дана на рис. 8.8:
k:1 k: 2 5 .... ь ь ь .....
k 1З kl1 k 1 2 k 1 З
k 5 :: k21 k 2 k з k ь :::1: ь ь ь
k 21 k 22 k 2З
k;t kЗ2 kэз .....<6 х 6) ь k b . k з (9 х 9) .
..... kэ I ЗZ
......... ....
rl 1:11!II!J
.1(=
IIII'!!!!!
Ilfllii!
i Iji j j 11 I j
:I к ь I: ;
* j :: !ji!;i !i:i:ii!
II; ! ! )!Ш!I!I!!!!
..........K12:...:.:.:.:
:11!ш @ :ii :
6 \ _
. t -
To
10,
............ ....... .. ....... ......
rll'i.lilllii, :;j.1:..
1 j ji ;i; : ; : ; ; :
Ifllli! /
(IIIII!
Itlll!ii1i
18х 18
Рис. 8.8. Структура мarpицы жесткосТII ЭJlемеllТ8
403
Необходимо отметить, что все элементы трех строк и трех столбцов матри
цы k paBны нулю, что является следствием пренебрежения yrлам поворота 8 z
KaK кинематическоro параметра при описании плоскоro состояния и изrиба эле
мента. По этой причине в случае, коrда по крайней мере элемент KOMrmaнapeH
двум осям, общая (rлобальная) матрица жесткости системы становится синry
лярной. Для решения проблемы необходимо принять, что-повороты относительно
нормали paBны НУЛIО для компланарных элементов, а это значит, что необходи
мо редуцировать конечную систему на число таких узлов. Этот способ получе
ния решения неудобен д.. я формирования общей проrраммы решения системы
алreбраических уравнений, поэтому используют друroй способ. о. 3енкевич [46 J
преДJ ОЖИЛ ввести так называемые фиктивные ловороmн.ые жесткости элемен
та независимо от ero положения по отношению к rлобальной координатной сис
Te Ie в форме:
....M Z1 ... ....1) z I
1 O.5 O.5
М Ж2 == « ЕЬ O,5 1 .... о. 5 6 Z2 , (8.44)
М ZЗ О.. 5 O.5 1 6
t3...
rде (/.,, пр<>извольная постоянная; Е модуль УПРУI'ОСТИ; h толщина; поверхность элемента.
С помощью выражения <8.44) показано условие равновесия моментов в уз
лах элемента таким, что элементы фиктивной матрицы жесткости лжны 'быть
определены так, чтобы обеспечить это условие. Добавлением фИКТИВННХ lАЗТРИЦ
поворотной жесткости к матрицам жесткости элемента изб :rают синry.ТIярности
в rлобалъной матрице, а также появляется возможность нахождения решения
для перемещений в узлах сетки элементов. В работе [46] показано, что ЧИCJiен"
ное значение постояннойd..;,существенно не влияет на ТОЧНОСТЬ рещения.
Появления синryлярности, которая возникает у выравненных элементов,
мож.но избежать введением поворотной степени свободы ВOKpyr нормали для
плоскоro элемента, как действительной:
1
6z == (v, х U, у) )
2
(8.45)
так что при описании плоскоro состояния в каждом узле возникают по три сте...
пени своБОДJ;i, т.е. всеro девять. Однако, коrда поступают таким способом, зада..
ча значительно усложняется, а точность решения при этом существенно не по..
ВЬШIается.
Матрица преобразования (трщrсформации). Матрицу жесткости элеt.lента
формируют в локальной системе координат. -Поскольку послеДНIre для отдельных
элементов различают, то для формирования матрицы жесткости системы необхо..
димо преобразование матрицы ж кости элементов. Связь между перемещения
ми (силами) в какой"либо точке в локальной и rлоба.JIЬНОЙ координатной сиете..
мах определяют с помощью матрицы преобразования t:
, .
qt :;: tql ,
Ql==tQ1' ,
(8.46)
rдe штрих обозначает локальную систему координат.
Матрица преобразования для узла с шестыо степенями свободы (три переме..
щения и три враще ия)
404
t==[:
] ,.
(8.47)
rде
-- Л 11 Л J2 Л J3 ...
== Л 21 А 22 Л 23 )
__ Л31 А Э2 А зз
(8.48 )
Матрица, элементы которой являются косинусами уrлов между осями ло...
кальной и rлобальной систем,
Лl1 ==cos (Х, х)
Л12==СОS (х. у)
ЛI3==СОS (Х, z)
(8.49)
.
На основании матрицы t для одною узла формируют матрицу преобразова'"
ния Т для элемента
T r: : ,
--
(8.50)
а затем получают преобразовавную матрицу жесткости и вектор сил в узлах:
k*==rr kT ']
(8.51)
Q*==rr Q.
Для получения матрицы преобразования т необходимо определить инусы
уrлов между осями локальных координат для отдельных элементов и осью rло...
бальной координатой системы, что ЯВ!lЯется чисто rеометрической задачей. По...
ложение узлов в сетке конечных элементов находят с ..помощью координат в rло...
бальной системе, для чеro определенным способом для каждоro элемента IlРИНИ'"
мают локальную координатную систему. На рис. 8.9' за начало координат ло...
калЫJОЙ координатной системы взят узел [, так что ero ось х совпадает с направ",
лением стороны i........j, ось У ...... в плоскости элемента перпендикулярна к Х, в то
время как z ........ перпендикулярна к плоскости элемента. При формировании век..
тора Уц как разницы координат УЗJlОВ i и j:
x. x."" ....х......
J I JJ
v ij Yj у i == . Yij
(8052)
z. z.
... J I
z..
... JJ
405
у
у'
/
Рис. 8.9. Локальная и универсальная системы координат
косинусы уrлов между направлением х и rлобальными осями х, у, z представле
вы как составляющие вектора v х:
...... Л,,' х ....
" х '::: Ах',
Х. '
J 1
1
::: I Yji
ij
I 2 2 2
lij == \' Xji + Yji + Zji.
(8.53 )
Л,
.... х z...
Z"
- .'--
Поскольку направление z перпендикулярно к плоскости элемента, оно может
быть определено как произведение векторов V ik и Vii
Yki Zit Zki Yji
V z ' == V' k Х у,. ==
1 1)
Zki x ji ..... Zji Xki
(8.54)
.... Xki Yjj Xji Yki .....
Длина вектора V z = 2 , rде!:J. ......... поверхность треуroлъника ijk, а ero на..
правление по х, у, z определено косинусами уrлов
.... Л z ' х ... Yk' z.. Zk' у.,
1 1 Jl 1 J.
V z' == i... z , у == Zk' Х.. ...... z.. X k ' ... (8.55)
2L\ 1)1 JI 1
.... Л z ' z .... X k ' У" Х., Yk'
..... 1 Зl JI 1 ....
Итак, направление оси у по отношению к х, у, z определено вектором У у :
406
.... Ау' х
... Л z ' у Ах' z Л z ' ж Ах' у .....
v у' == Ау' у == v z' х v х' == Лl.' Z Ах' х ...... /...1..' Х Л х' z ·
(8.56)
л · z
у .....
.... Аж' х Ах' у ...... Л z ' у Ах' х ....
Выражениями (8.53), (8055) и (8.56) определены элементы матрицыjL, а тем
самым и способ преобразования величин из .локальной в rлобальную систему ко..
ординат. Формирование матрицы жесткости К вектора Q для системы элементов
с помощью матрицы ke и BeKTOp Qe для отдельных элементов производят изве..
'
стным СПОСОuО 1.
Треуroльный элемент с 18--ью, а также с 15--ъю степенями свободы представ--
ляет са {ую простую модель плоскоro элемента для анализа оболочки. Поля пе--
ремещений u и v в плоскости элемента аппроксимируют линейными функциями,
а поле перемещения w в направлении нормали к плоскости элемента...... непол--
нЬ1м полиномом TpeTbero ряда, так что получаются постоянные деформации или
напряжения в плоскости элемента, в то время как изменение кривой или момен--
тов ....... линейно.
u,V, w, 8 х , 8yt B 1t
Ех, Еу, 'Уху
Рис. 8.10. Треуrольный элемент с 27 ью степенями свободы
На rраницах между элементами появляется разрывы как для напряжений в
плоскости, так и для моментов, а поэтому для практических потребностей эти
значения определяют в центрах тяжести элемента, а при вычислении в узлах
принимают средние значения для элементов, которые сходятся в узле. Несмотря
на то, что этот элемент не является совместным, для мноrих практических по--
требностей с ним достиrают удовлетворительной точности, иноrда больше, чем
точности со сложными элемеl[тами.
. U, У, w, ех,оу
ou, v
Рис. 8.11. Четыреxyrольный элемент с ЗЗ мя степенями свободы
Плоские элементы с большим числом степеней свободы. Наряду с показан-
ным треуroльным элементом с 18..ью степенями свободы в анализе оболочки MO
ryT применяться и друrие треуroльные элементы с большим числом степеней
свободы, которые получают комбинированием соответствующих элементов для
407
плоскоro напряжения и изrиба плит. А. Кар [7] ввел совместный тр
уroльный
элемент с узлами в вершинах с 27..ью степенями свободы, пЬ девять в каждом
узле (рис. 8.10). Наряду с перемещениями и поворотами в качестве основных
неизвестных этоro элемента появляются и составляющие деформации.
Джонсон разработал четырехуroльный элемент с четырьмя треуroльными
субэлементами (рис. 8.11), с помощью KOТOporo можно аппроксимировать кри'"
вую поверхность оболочки. Этот элемент имеет 33 степени свободы, из которых
13 ....... внутренние. Последние .исключают известным способом, так что элемент
остается с 20--ью внешними степенями свободы, по пять во внешних узлах эле...
мента.
llлоские элементы треуroльной формы блаroдаря своей простоте имеют боль...
шое применение в практике. Они дают возможность получить достаточную точ",
ность при расчете напряжений и деформаций во B€eX случаях, коrда Ммеются
плавные изменения кривизны оболочки и внешних воздействий, действующих
на нее. Если изменение резкое, как это случается в области концентри...
рованных наrpузок или опор, то необходимо увеличйть ПЛО'l'ность сетки конеч..
иых элементов.
&4. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Недостатков, связанных с представлением reометрии оболочки с помощью
IШоских конечных элементов, можно избежать введением криволинейных эле
ме,Нтов. Конечные элементы, разработанные на основе теории цилиндр
ческих
оболочек, представляют собой клас{:.
Ранее БыJlo показано, что для монотонной сходимости решения по МКЭ не...
обходимо выполнение условий полноты и условий совместности. Условиям пол...
ноты, заключающимся в выборе таких интерполяционных функций, с помощью
которых охватываются перемещения элемента как жесткою тела, а также состо..
яние постоянных деформаций, коrда размеры элемента становятся бесконечно
малыми, как при расчетах плоскоro напряженноro состояния, так и при изrибе
IШит, удовлетворить не сложно. Выбором полных полиномов для образования
интерполяционных функций эти условия были автоматически выполнены. Труд"
ность в известной мере появлялась только в связи с условиями совместности при
изrибе плит.
Однако с оболочкаМJf ситуаЩlЯ совершенно друrая. Танreнциальные переме...
щения u и v, как и нор
альное перемещение w, из..за кривизны срединной по...
верхности оболочки' являются независимыми между собой. Наоборот, из выра...
жения (8.
9) очевидна их зависимость. Условие о том, что интерполяционные
функции СJ}держат в себе и перемещения элемента как жесткоro тела сводят за...
дачу к решению систем
однородных, дифференциальных уравнений с частными
производными (8.29). Эта система уравнений становится однородной, поскольку
составляющие деформаций жесткою тела равны нулю. Ko
дa кроме предшеству'"
ющеro условия добавляют требование о том, чтобы интерполяционные функции
описывали поле пер
мещений, для которою составляющие деформаций постоян...
ны, то С уменьшением размеров элемента становится очевидно, что задача явля"
ется достаточно сложной. (Для получения решения последней исходят как из свя",
зи деформаций и перемещений, так и из условий совместности деформаций. В
результате интеrpирования системы уравнений (8.29) получают:
U==CXl +R«2 cos ({>
R 0!3 sin
;
V==«4+(«S+<<2 х) sin <р+( tX 6+«З х) cos <р ..
w==
(a.S+ot2 х) cos rp+(ctб+rtз х) sin <р ,
(8.60)
rде 1 ... 6
ПОСТОЯННЫ.
408
Следует отметить, что изменение перемещений элемента как жесткоro тела
соrласно выражению (8.60) показано с помощью трансцендентных функций.
Исходя из условий совместности и постоянства значений составляющих дe
формации, на основании выражения (8:32):
ЕХ== СХ 7
ХХ == ......2 «12
2 ) 1 ·
eq> == СХ 1О + (<Х11 + «12 х
R
1
xq> == <Х 1О
R
..... 1
T== ( << з«)
2R I 9
.
.
Ы == <Ха + <Х9 ,
(8.61)
Интеrрируя выражения (8.32) и учитывая уравнения (8.61), получим для
перемещений:
U== CX 7 х+«а у :
V==«9 Х+ СХ I0 У
w==cxl1 +«12 х 2 ,
(8.62)
y==R }
которые отвечают постоянным деформациям. При выборе любоro конечноro эле
мента цилиндрической оболочки для монотонной сходимости решения необходи
мо, чтобы интерполяционные функции имели члены, которые заданы выражени
ями (8.60) и (8.62).
Прямоуroльные элементы. Наиболее простую модель прямоуroльноro цилин
дрическоro элемента сформулировал Р. rаллаrер [23]. Узлы этоro элемента в
вершинах прямоуroльника имеют по шесть неизвестных параметров:
т
q . == [ U V W W
I .Х
i == 1, 2, 3, 4 }
W. y W,xY]i
(8.63)
так что элемент имеет в целом 24 степени свободы (рис. 8.12).
Предполаrается, что изменение танreнциальных перемещений и и v в эле
менте билинеЙ}Iое, а изменение нормалЬНQro перемещения w ......... бикубное, т.е.
и== СХ l +«2 Х+СХз У+ СХ 4 ху f
V==rlS+СХб X+ ot 7 У + «8 ху ,
W==CX9+CXI0 Х+СХl1 Y+tX12 х 2 +«) 3 XY+CXI4 у2+
СХl' Х3+СХlб x2Y+CXJ7 xy2+ Gt18 У3+СХ19 х 3 у+
«20 х 2 у2+ Ж21 ХУ3+«22 х з у2+«23 х 2 У3+СХ24 х З у 2 .
,
(8.64)
Как видно, аппроксимация полей перемещений в элементе выполнена по
аналоmи с соответствующими элементами для плоскою напряженноro состояния
и изmба плит. Таким образом, обеспечены условия совместности на rраницах
между элементами, но при этом не наблюдается совместности в элементе. Ради
улучшения аппроксимации полей перемещений Ф. Боrнер, . Факс, и Jl. Шмит
[5] ввели бикубическое изменение ДЛЯ всех t j компонент перемещений и таким
409
Рис. 8.12. Цилиндрическая оболочка как конечный элемеш с 24 мя степенями свободы
образом получили элемент с 48..ью степенями свободы. В качестве параметров
перемещений в узлах приняты значения перемещений и, v, w, их первые и сме..
шанные производные по х, у. Интерполяционные функции для всех трех состав..
ЛЯIOщих перемещений приняты в форме полиномов rермите, которые даны вы..
ражениями (7.62) и (7.63).
Леrко можно установить, что и у этоro элемента с большим числом степеней
свободы интерполяционные функции не описывают перемещения элемента как
жесткоro тела.. Последние, оказывающие весьма существенное влияние на точ"
ность решений, в принципе, невозможно точно описать с помощью полиномов,
поскольку по уравнениям (8.60) они представлены м трическими функциями.
Однако приближенно представить эти перемещения с помощью полиномов воз..
можно переводом триroнометрических функций в ряд. В работе [5] показано,
ЧТО матрица жесткости элемента с 48..ью степенями свободы имеет шесть собст..
венных значений, близких к нулю. Это означает, что внутренняя энерmя де..
формации, которая возникает при соответствующих формах перемещений, близ..
ка нулю. Перемещения тела, при которых энерrия деформации равна нулю, ес..
тественно, представляют перемещения жесткоro тела.
ж. Кантин иР. Клаф [9] осуществили модификацию элемента, который
развит rаллаrером таким образом, что в выражения (8.64) они включили и вы..
ражения (8.60), с помощью которых можно описать перемещение элемента как
жесткоro тела:
U== l +«2 R (cos q> cos (()O) «3 R sin <р+
+«7 Х+<Х8 Y+<Xg ху )
v == (X4 R (1 .......cos l)5 O) (<XS+(X2 х) sin ({)+
410
t (<<б+ 3 х) cos q>+alO У+(Лl 1 ху ;
\V==( S+«2 х) cos tp+(tXб+rxз х) sin +
+ «4 R s i n ер COS q>O + а 12 х 2 +« 13 х У +« 14 у2 +
(8.65)
« 15 х 3 t<x 16 х 2 у+ос 17 ху2 +«18 уЗ +rx19 х 3 у+
+1%20 x2y2+1X21 ХУ3+ОС22 х 3 у2+«23 х 2 У3+СХ24 х 3 уЗ.
с помощью этих выражений описывают перемещения элемента как жесткоro
тела и выполнены условия постоянства деформаций для всех составляющих,
кроме Е". С этим элементом, имеющим 24 степени свободы, достиrается значи
тельно большая точность, чем с элементом Боrнера с 48 ью степенями свободы.
Позднее ж. Кантин [8] модифицировал выражения (8.55), увеличив переме
щения v на еще один дополнительный членcJ.2SХ, а перемещения W на три дo
полнительных члена "26' 27X и 8Y. Таким образом, он получил выражения:
u O
v == (9,65) + IX2 х
w
.... tl 26 + «27 х т ОС 28 У .....
(8.66)
R rt: 2S COS R (t26 sin ер
== (9.64) + (r.f. 27 + (%25 х) si n ч> + (r.f. 28 + tX 2б х) COS ({> )
.... (<<27 + C(2S х) COS ер + (сх.28 + сх. 26 х) sin ер .....
которые обеспечивают условия полноты и совместности.
В выражении (8.66) появляется 28 обобщенных координат cL i , а у элемен
та 24 степени свободы, так как в качестве параметров в узлах взяты переме
щения ц" v, W и производн:ые W'x' W'Y' W'XY. Исключение лишних об бщенных KO
ординат можно провести на основании энерreтических рассмотрении или KoндeH
сацией системы уравнений.
Если обобщенные координаты выразить через составляющие двух векторов:
CX==[cx.l, (12 ... ... «24]
....
сх== [«2S, «26, сх.27, «'28] )
(8.67)
то выражение (8.66) можно записать в матричной форме:
о==А сх+А CI ')
(8.68)
це А, А соответственно матрицы функции Х и У.
Если выражение (8.68) записать для узлов элемента, то
ч==С сх+С CI )
(8.69)
::J;e С, С матрицы, элементы которых определены по выражению (8.66), при условии, коrда BMe
:то Х, У и ., вносят значения для соответствующих узлов.
411
Из выражения (8.69) следует обратная зависимость
CI==C I q C l ё «.
(8.70)
в результате применения матрицы оператора L (8.29) к вектору перемеще
ния u (8.68) получают выражение
е==[: ]== R«= R(C I q C I c cij)
которое характеризует связь Между составляющими деформаций и параметров
перемещений q и J:,. Подстаневкой уравнения (8.71) в выражение для внутрен--
ней энерmи деформации элемента (8.24) получают
(8.71 )
А == J [R (C I Cq C I С« »)ТО [R(C I q C I С«» ) dF.
F
Соответственно после умножения преобразования подынтеrральноro выраже
ния
1 ....... 1 .... ....
А == qT kq (1T CTkq + aT СТ kCr.t.
2 2
В выражении (8.72) k является матрицей жесткости элемента:
k==(C 1)'1' kC I
(8.72)
(8.73)
(k= I RTDRdF).
,
Вариацией выражения (8.72) по 04 T и использованием положения о стацио--
нарнQCТИ
дА/да.Т==.о
получают зависимость между обобщенными координатами d. и векторами основ--
ных параметров в узлах:
сх==-(СТ kq 1 (kC)T q >
(8.74)
После этою вычисляют модифицированную матрицу жесткости элемента
или матрицу конденсированной системы уравнений:
k k......(kq (СТ kq 1 (kC)T ,
(8.75)
с помощью которой выражение для внутренней энерrии деформации элемента
1 ....
A== qTkq.
2
(8.76)
Способ определения матрицы жесткости элемента, который показан для эле
мента с 24",мя степенями свободы и четырьмя обобщенными координатами, яв
ляется во всем эквивале,НТНЫМ способу исключения внутренних степеней свобо--
ды 11 может применяться как общий случай для любою конечною элемента.
412
,
Для прямоуroльноro элемента цилиндрической оболочки наряду с выmеизло'"
женным существует еще несколько формулировок. д. Amвел и А. Сабир [4), а
затем А. Сабир и А. Лок [38] сформулировали достаточно простые, несовмест"
ные элементы с 20..ью степенями свободы таким образом, что в узлах обозначи..
ли за неизвuестные параметры смешанную производную W'xy. POMe TOro, вместо
производнои W'Y за параметр принимают поворот касательнои на линии около
образующих цилиндра (W,y........v / R). Аппроксимацию поля перемещений произ..
водят таким образом, что выполняют условия полноты с тем, что перемещение
w представляют неполным полиномом TpeTbero порядка.
Поле перемещений в элементе д. Amвел и А. Сабир [4] предположил в сле..
дующей форме:
U==tXl +R СХ2 cos R (%3 sin +(X.7 х+
+ (ос 11 +R2 OC19 R ОС20) у R ОС17 y2+ ОС8 ху OC19 у3 ·
2 R 6 '
V==Ot4+(<<S+tX2 х) sin +(tX6+otз х) cos + R ( tX 20....... R (Х19) х+
1 1 ·
+R tЖ16 y+ROO17 ХУ+ tЖ18 у2 + otI9 ху2
2 2
(8.77)
W==.......(otS+«2 х) cos ({)+(tЖ6+«3 х) sin ({)+R (<<9..... R (116)+
1
+(<<10 R «1') Rx......R «18 У (%12 x2 R «19 ху
2
111
tX1ЗХ3 «14 x2Y otlSX3Y.
2 2R 6R
При этом следует учесть, что А. Сабир и А. Лок [38] ДЛЯ аппроксимации
поля перемещений приняли выражения (8.65), за исключением членов, которые
подчеркнуты. Таким образом, остается 20 обобщенных координат ........ стол ко же,
сколько имеет элемент степеней свободы. Эти два элемента полностью подобнЬL
Поскольку во втором случае функции для аппроксимации перемещений несколь..
ко ПPQще, дальнейшие рассмотрения будем относить к этому элементу. Измене..
иие перемещений в элементе можно записать обычным способом:
о==А а .
(8.78)
Соответственно в развернутой форме:
.... u .... , ---. R (cos q> cos q:lo) R sin q> О О О х у ху О О О О О О О О О О О 1
у == 1 x sin q> Х соз СР О sin ср cos ср О О О У ху О О О О О О О О О .
.... W... .....0 Х cos r.p х sin q> R sin ср cos СРо соз ср sin ер О О О О О х 1 ху у2 )(3 х 2 У ху2 у3 х 3 У ху3.....
(8.79)
413
I
..
a
= =
о ==
a
"о
o
N
><
оо:а
. =
5
Q.er
· \о
::е о
(.)\0
o
==
= ==
$
а.>а.>
@е:
&
g
'-Q
&
а.>
::е
!
=:
=
cf)
::e
00&
t'-;o
OO
'-""
а.>(1)
== '-Q
=
a.>
Q.
:а
'-Q cf)
==
5е
sa
соа
=r
414
.......
It
U
"
,.......
с>
00
.
00
са
о
Е-о
==
:5:
8
:5:
::r
==
.е:
I
u
::r
:5:
со
Е-о
QJ
'"
:::.. 00 ·
:ь .......... CIO
е е (11 :ь Q Q
I J
'о
.... 1'0
....... (11
SJ 00
е е .. ;;;- ";, е с
I I
00
..........
е Q :ь е
I
...
.D
..
Q Q
е
ас
....... .,.. N
;:;'
Q .D Q Q
I
00
.......
.D
е е
N .,..
... ..............
'" .D N
I '"
е е
...
'"
0'\ .
.........
е е I е е Q
...
::;-- с:> .D
е e.D I
.
....... N N
.D ....... .......
е (11 .D '" Q Q
I I
.
..о Ъ
00 ·
:ь ........
'" А ;;:; е е
I
'с .D
.... ... CIO
: :-
.. I О
I
'-с :ь
ас (о
Ъ ......... х.
CIS :ь ;;; Q
.lJ
.... ...
........ tOS
..о
........
tOS ,.....
CIO
........
tOS е
о
<:>
Q с
I
о
с с
е
ъ
tOS
')Q
.........
.о м
I
'е .D
\с
.J:'J
:i
I
«,
;:,' =о
....
м
'"
Q:>
::>
:О,
....
,.....
CIO
.........
ъ
-.....
;;.:; Q Q .J:J С
:ъ
"1'
........
,..... с
.D е
ас
........ .. N
... ....... .......
.D ..о
.о '" Q
I I
\
со N
":D .
«1 ;;--
(11
...
'"
е е
Q
N
Ъ ;::-- :ii
'" .&:J С
.. N
Ъ ....... "ii
:ь
i
ас
........ ,...,
.D .........
.D
.
I
....
са
I
...
00 '"
.......
... .......
'" '"'" Q
е е Q .D Q е с .lJ с:> е е .D
.D .D I
... .
....... N N ... N N ....... N
.D.............. ..................... SJ......N
.D «1 е Q .D .D с:> Q .D
I I «1 I i
Q Q е
«1
е
.
е е ;;--- .
. I
е
ct:
.D
'" е
I
ct:
N N
е :о е :о
.
.......
.D
.. Q е
м
.......
с .D е
J
N
ас
....... ...
.... .......
(11 ...
I rr\ е е
ct
I
е е Q
...
:о
'" е е
I
ct:
.
.......
SJ
. е
е е
ct:
N N
...... .......
.D е
...
.......
е
.,..
.......
с с е е е е
I
...
.......
.D
е '" е Q с е
N t!.
:о о е Q е .D о е е е
I
N
........
.D е
N
Q е
I
N
......
е е «1 е Q с:> е
I
N
.......
Q
е
&. &.
8 с:
';cco
. .
е- е-
е ,! !
с с с
. N
е- с:
1: .;
'; t:!.
о а: а:
I I
е ""'" с>
&. &.
! ,:
u '" е о е
1- &.
е g
'; u
I
. N
е- с
1: о;;
';
ct:
I
е-
е
е е Q ';
I
&.
. N
ее ,Е
:Е
!:!..
е ... е ar: ar:
I
со
........ N
.D ....... ..
.D ;;--
'" ..
...
:t
с
N
\с) '"
::---
«1 м с:> Q
.
........
...
t'I
t'I
Q
...
«1 с:> Q
ct:
...
.......
.t:J
fI С
!
N
........
е е
е с
с.
...
.......
SJ
. С
I
N
.......
е .D
I
...
:о-
е
I
CI е
с-=
...
.......
Q
N
........
с:> е .&J
е е е
е е е
N
........
.J:J е е Q <:)
I
Q
е
:1 О
е- е-
=
8 ' е е Q
.
е-
В о с е
е .... е
с о е о Q О
О ее ее . е- ее о е- е-
:- .; &. :- 8 ' ё. :- ,
. Q . Q , Q
I I I I
е ·
е- е-
е
. u
N N
....... ......
е .. ..
I I
... о е
I
.
ее
и
8 с
о
е е
о о
е- е-
е g
'; u
N N
....... .......
. . е е Q
I
е Q е е
q
u
с cs
о;;; U
N N
.......
. ..
I
с е е е ....
е-
."
8 е е
N
........
со С
е Q
с:>
&.
g .Е
CJ Q С
,;. ff.
.а
о
е-
. N
ее е
1: о;;
о:;
ct: ar:
I I
. о
9- t)o
ее t= .Е
с
'" N М
'" -:. о;;
I
:1 :1
е- е-
е '"
' 8
!::!.
со со
Q
с е
о ....
о
е-
е
<r. с:>
.
ее
и
8 е
с> е е ,
Коrда над матрицей А ПРОИЗВОДЯТ операцию дифференцирования по выраже
нию (8.29), то получают матрицу R:
:-е о о о о о 10'1 О О О О О О О О О О О
О О О О I
а.n 51а . О О О О I х (ха JI'1 yl .) .2 )' .)'J '1.1 .' '1 .yJ»
R
о О о 2 соа , О О 01. у о о о о о о о о о о }
А.
О О О О О О О О О О О 2 О О 6 2 . О О 6)1 О
\
О О О О О О О О О I/R 1L/R О О 2 О О JI 6a О 6.
,1 I (» . I
О ..n (I .)(OI (1 + а) "" соа О О О О О О I О О 2x 2)' О З.2 )'2
А А R А
а затем по выражению (8.73) матрицу k.
Поскольку матрица R достаточно проста, то элементы матрицы k можно по
лучить В замкнутой форме. На рис. 8.13 обозначены элементы матрицы k, OT
личные от нуля.
I
ri
....
.....
--
.....
(20,20)
Рис. 8.1 з. Структура матрицы жесткости
Элементы матрицы k вычисляют по следующим выражениям:
k77 == d ll аЬ .)
k 8 @ ::;:: d зз аЬ
а Ь 3 аЗ Ь ·
k99 == d 11 - f. d зз J
12 12
t.. .
С1и
k 10 . 10 == d l1 аЬ + d4 R2 I
а 3 Ь а Ь З
k 11 11==dll +dJj ,+d44
· 12 ]2
а 5 Ь
k 12 12 == d ll + 4 d 44 аЬ
, 80 R2
а 3 Ь аЬ З
--f d
12R2 66 3R2
415
а З 'Ь 3
k 13, 1 Э == d It + 4 d 66 а Ь ,
144 R2
k 1 / ab ·
14 14==dA1 +4d 44 ab,
. 80 R2
а 1 Ь .
k I5 ,15==d" +Зd 44 а-'Ь,
448 R 2
а 5 Ь 3 а Ь-' 4 .
k I (). I () == J I , + d 4 4 ........ + d 66 а 3 Ь ,
960 R:! 3 3
а'\ Ь 5 а -' Ь 4 3 .
k'7.17==d" +d.ц + dhhab ,
960 R2 3 3
аЬ 1 1 ·
kIЯ,I ==dll +Зd 44 аЬ' ,
448 R2
а 7 Ь.' а J Ь.\ а.' h '
k '9 , '( == d J 1 .. + d + 9 d ............
5376 R 2 44 4 ы. 20 '
а -' Ь-' а -' Ь-' а b .
k2n.2n==dll -5376R2 +d 44 4" +9d 66 20 -'
k 7 . In == d 22 Д h ;
а-' Ь ·
k712==d22
, J 2 R ,
ab. .
k 7 . 14 == d 21
J 2 R t
а. 1 Ь 3 .
k Q 1 1.. == d..,., I
." . I 44 R
ab ·
k Q 1 а == d 2 " .
." · 80 R '
а 2 Ь аЬ .
k,n 12==dJ1 2d44 ,
' 12 R R
аЬ.\ аЬ .
k 10 . :4 == d 11 ..... 2 d 44
12R R t
k д ,4 Ь -' а -' Ь пЬ-' .
11 1 == 'CI 11 d 44 - 2 d h6 ............... 1
· . J 44 R 6 R 3 R
а 5 Ь а-'Ь.
k == d ............... d
11. 1 11 80 R 55 2 R '
а 3 Ь 3 а -' Ь а Ь.' .
k" 17 ==d l1 ....... d 44 .....2 d()(;
· 144 R 6 R 3 R t
а -' Ь" .
k '2 1 4 == d l ' . + 4 d. H а Ь I
. J 44 R 2 'П
416
(8.82)
а S Ь.'
k. з . 19 == d.. 960 R2 + d bll аЗ Ь ,
а S Ь.' .
k J 5 11 == d 11 + -d 55 а 3 Ь
· 960 R2
аЗ b S
k l6 18 == d l . + d ss аЬ 3
· 960R2.
а 5 Ь ' а 3 Ь 3 а 3 Ь
k 18 . 20 == dJl 6400 R.2 + d S2 4 + d 6f1 4 ·
Матрицу жесткости элемента определяют по выражению (8.73) с помощью
матриц С и k. Вектор обобщенных сил в узлах элемента для случая ,равномерно
распределенной наrpузки в направлении нормали к среДинной поверхности обо
лочки имеет следующую структуру: .
о
о
о
о
о
О
Q==
2 agR2 sin ct (Sill o !fIo CO o)
, 2 agR2 cos (Х (sin o -;-" o cos o)
О
О
аЗ gR2 cos (Х (sin 90 !Po cos !РО)
6
.
(8.83)
1 J R . .
а g sln (L SJn o
6
'О
О
О
О
2 agR4 cos (L [( 3 6) sin o (tp 6 ({)o cos 1'.1]
2 agR3 sin (L [( 2) sin ([>0 + 2 СРО cos o]
2 agR cos ОССРо
2 agR o sin (L
417
о точности решений. Представленный ранее элемент с 20 ью степенями
свободы является простейшей моделью прямоуroльноro цилиндрическоro элемен
та. Несмотря на то, что он является HecoBMecтHым с ero использованием, тем не
менее достиrается хорошая точность и быстрая сходимость реmений. i
В работе [38} показаны сравнительные результаты расчета цилиНдрической
оболочки, свободно опирающейся на поперечныe диафраrмы с помощью этоro
элемента и несовместиоro с 24 мя степенями свободы [9]. На рис. 8.14 приведе
вы сравнительные результаты, полученные при действии rpавитациоиной Ha
rрузки для нормальинх перемещений в срединной точке А в случае удлиненноro
свободноro опирания и ДJИI точки В ......... в случае свободных удлиненных краев
оболочки. На абсциссе нанесено общее число степеней свободы, включая опор
ные узлы, а на ординате ..... перемещения w.
Из рис. 8.14 ВИДНО, что несовместный элемент с 20 ью степенями свободы
дает большую ТОЧIlOCТЬ И бнстрее сходится к точному решению, чем конформ
'ныи элемент с 24 мя степенями свободы. Эту нелоmчность можно объяснить
тем, что в случае несовместиоro элемента путем исключения условий равенства
I ,
w
ТОЧНОЕ РЕWЕНИЕ
T
20 СТЕпеНЕЙ
СВОБОДbI
....
--
24 СТЕ .
ПЕНИ
СВОБОДbI
n
100
200
300
400
soo
"
w
ТОЧНОЕРЕWЕНИЕ-
..................................
I
n
100
200
300
400
500
Рис. 8.14. КОlIверrеllЦIIЯ (СХОДIIМ<>СТЬ) реmенlIЯ для перемещенlIЯ w в точках А 11 В
418
смешанных производных W'xy в узлах сетки получают более rибкую дискретную
структуру, которая по поведению ближе действительной конструкции. В случае
COBMeCТHOro элемента имеют более жесткую систему, а тем самым и меньшие
перемещения. О точности, достиrаемой с различными пр.ямоуroльными элемен..
тами, можно судить на основании сравниТельных результатов расчетов, которые
приведены в табл. 8.1 для нормальноro перемещения w под действием сосредото..
ченной силы (рис. 8.15), для KOТOporo имеется решение в замкнутом виде.
..
р;: 100 n,r
R ;: 4.953 In
Е;: 10.5.lo 6 lbf in 2
h = 0.094 in
,,;: 0.3125
1= ЗО.З5 in
(1 in = 2.54 СМ\
(llbf;: 4.53 Н)
Рис. 8.1 s. ЦlIЛllндричесlUlЯ ООе>лочка, lIаходящаяся под воздеЙСТВllем ICОllцеНТРIlIIOВ 1I0Й сllЛЫ Р
На основании результатов, кОторые показаны в табл. 8.1, можно сделать вы--
ВОД, что для сходимости решения важно, чтобы в выражения для аппроксимации
перемещений бьши включены перемещения элемента как жесткоro тела. По--
скольку эти перемещения не учтены для получения достаточно точноro реше--
ния, необходима очень мелкая сетка с большим числом степеней свободы. С эле--
fентами, у которых точно выпQлнены УСЛQВИЯ' полноты, необходимую ТQЧНОСТЬ
.:Iостиrают со значительно более rлубокой сеткой или с элементами с меньшим
числом степеней свободы.
Таблица 8.1
Borнep Фокс IIlмит Кантин И rлоух Ашвел и Сабир
Сетка число Сетка число а Ь Сетка число Сетка число
степ. w степ. степ. w степ. w
I х 1 "48 0.0025 lх3 48 0.0099 0.0099 1 х 1 1 х 1 20 0.104
lx2 72 0.080 lх5 72 0.0769 0.021 3 lх4 60 0.1099 lх4 50 0.1106
lх3 9б 0.1082 Ix7 96 0.0987 0.0352 2х2 54 0.0931 2х2 45 0.110
Ix4 120 0.1087 Jx9 120 0.1057 0.0513 2х4 90 0.1113 2х4 75 0.1117
2х3 144 0.1036 2х7 144 0.1002 0.0420 4х4 150 0.1126 4х4 125 OJ 129
2х4 180 0.1098 2х9 180 0.1073 0.05900 6х6 294 0.1137 6х6 245 0.113S
Зх49 1200 0.1128 0.0558 8х8 486 О. 11 39 8х8 405 0.1137
10 х 10 726 0.1139 10 х 10 60S 0.1137
, точное решение 0,1084
419
;j
· и, v. w
w Х' W Y
) )
r. ,
"
7f11'
, ,,;
,./
i:"
,/
4t:.....
"
,
, '
> . "
,
, .
.. А ';
.I', »..c;:
"
"
A:
ti" "
"
1
< '
' . ' :..
lI"
i' ."
,'. ,;,'
t.i!?"
:
:f:."",-
::..:!-, .
'......
}'};
>:.I.:
.'
,
L:
':
,1,. '- ;
/
. '
' . ", . Ч:. , , :; '. ' .
. . . ... . ,. . ,. . :)
'
.
э...
d&.
..#..-
.t,)'i' ;..
;
,
· U, U Х ' U У
,.;
"
:;:
V J У,х' У,у'
W, W Х' W У
, ,
Рис.
.lб. треyrоJlыlеe эJlементы ЦIIJIИ8ДрllчесICОЙ обоЛОЧDl с lS
ью 11 17
ью степеНЯМII свобоДЫ
Вместе с элементами прямоуroльной формы для анализа и расчета цилинд"
рических оболочек MOryT применяться и элементы треуroлъной формы, которые
формулируются аналоrично с элементами прямоуroльной формы. На рис. 8.16
показаны два таких .элемента: первый ...... с 15..ью степенями свободы, второй ......
с 27..ью.
8.5. конЕчныIE ЭЛЕМЕНТЫ полоrой ОБОЛОЧКИ
Прямоуroльиый элемент с 20..ью степенями свободы. Опираясь на теорию
полоrих оболочек, разработано несколько конечных элеменТОВ прямоуroльной и
треуroльной форм. Наряду с применением в анализе полоrих оболочек }эти эле..
менты можно использовать и в оболочках произвольной кривизны.
В последующем изложении рассматриваются два таких элемента, из которых
первый...... несовместный прямоуroльной формы, а второй...... несколько более
сложный, совместный треуroльной формы.
На рис. 8.17 показан элемент полоroй оболочки с прямоуroльным основани..
ем со сторонами а, в, разработанный и. Кон НО ром и с. Бреббиа [12]. Узлы при..
няты В уrлах элемента с пятью неизвестными параметрами: тремя перемещения--
ми и двумя поворотами, так что элемент имеет 20 степеней свободы. Параметры
перемещений в узле изображают в виде составляющих вектора qi:
.Т == [о v w 6х ОУ]I i == 1, 2', 3, 4 } (8.85)
а параметры перемещений для элемента.......... как составляющие вектора Qi:
чТ == [qt q2 qJ q4].
(8.86)
420
z
.
.
....
. . .
. . .
. . . .
. . . .
..........
......
..:.:.:.:.:.:.
........
.................
...................
..........
.... ........... .......
.... ........... .......
. . ... . . . . ... ... .
.:.:.:.:.:.: .:.:.:.:.. .:.
:.:.:.: .:.:.:.:.:.:.: .:.:
.............. .:.:.:.....
............... . . .....
.. .......................
...... ....... :.. ... ......
.:.:.:.:. :.:.. .:.: .:.:.:.
.............
............
.............
............
..... ..... ....... .....
.... .:.... .:... ... .:.....
. ....... .................
. - -.:.:.:-:.:.:...:.:...:
....... ... .... ...
.. .......................
. - -......................
: у
_......:.......... .......
.:.: -:. ..:.:.: .:. :.:.:.:.
............. . .
::::::::::::::::::::::. :.:::: : : : :;:;: : : : :;::: :::::::::::::::::::;: : :;: : : : ::::::;: : : : : : : :;: : :;: :;: : : : : : :::::::::::::::::::::::::::: ::: : : : : : :;: : : : : : : : : : ::::::.
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . ........... ......................... у
а
PIIC. .17. коII чIIый ЭJlемеllТ повеРXIIOCТll()Й е>болОЧlCllllад прямоyroJlыIlмM OCIIOвaнll M С 20 ью
степеllЯМII сlЮOOды
Этот элемент получают суперпозицией прямоуroльноro элемента с 8..ью сте..
пенями свободы для плоской задачи и HecoBMecтHoro прямоуroльноro элемента с
12..ью степенями свободы для изmба плит. В с1Jязи С этим поле перемещений в
элементе предполаrается в форме:
U==«l +«2 х +«3 у +(%4 ху
V==(LS+«б 1+(%7 y+rt8 ху
(8.87)
w == 1%9 + 1% 10 Х +« 11 у + tX 12' Х 2 + (х 1 3 ху + ос 1 4 У 2 +
+«15 хJ+ lб х 2 У+ tX lб xy2+ rt 18 У3+С(19 XJ9+<X20 ху.'
- ,
rдe х, у соотвеТСТВуIтЦИе локальные координаты в IШоскости основания.
Если уравнения (8.87) записать для узлов элемента, то
q==C (1 )
(8.88)
откуда
cx==C 1 q ,
(8.89)
421
а затем после подстановки в выражение (8.87) получают
о==А tI==AC 1 CI==Nq )
(8.90)
rде N матрица интерполяционных функций порядка 3х20.
Если к выражению (8.90) применяют матрицу оператор L (8.35), то получа..
ют связь между компонентами деформаций и параметров перемещевий в узлах
элемента:
E==LNq==LAC 1 q==RC l Ч.
Матрицы А, С, c l и R имеют следующую структуру:
A==[ I
[ 1 'х
А. == О О
о ] ·
Ан f
о
о
у
О ] ·
.. ,
ху
у
о
ху
О
о
1
х
AII == [1
"2
Х
ху3] .,
"2 3
У Х
"2 ..
х У
"2
ху
..3
У.
..3 ..
х у
у
ху
х
I О О О О О О О О о о о о о о о о о о о
о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
о ь О О О О О О О О О О О О О О О О О
о о о о
о ь О О о о о о о о о о о о о
о о о о о о о о 1 О Ь О О Ъ 2 О О О Ь 2 Ь о'
о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о
о о 2Ь О О О 3 Ь 2 О О
О О Ь О О О Ь 2 О О О
с=
а О О О О О О О О О О О О О О О О О О
о о о о
а О О О О О О О О О О О О О О
о о о о о о о о
а О а 2 О О а ) О О О О О
о о о о о о о о о о
о а О О а.\ О О аЗ О
о о о о о о о о о о о 261 О О 3 а 2 О О О О О
t а Ь 2Ь О О О О О О О О О О О О О О О О
О О О О а Ь аЬ О О О О О О О О О О О О
о о о о о о о о
а Ь .2 аЬ Ь 2 .! .2 Ь аЬ 2 Ь 2 а ) Ь .Ь3
о о о о о о 6 О О О
О О О О О О О О О
(8.91 )
(8.92)
(8.93)
,
о а 2 Ь О а 2 2 аЬ 3 ь2 аЗ 3 аЬ
О 2 а Ь О 3 а 2 2 аЬ '\)2 О 3 а 2 Ь Ь ' (20 х 20)
о о () о' о . о ....
о
I/а О
I/b О
11 аЬ О
о
о
о
о
о
о
о
о
о о о о
о о о о
о J 'Ь О О
О l/аЬ О О
о
о
о
о
о о о
о J/a О
О О О
О l/аЬ О
о
о
о
о
о
о
о
о
о о о о
о о о о
о '{uь О О
422
о
о
о
о
о
о
o 1 ' О О ! О О О О О О О О О О О О О О О О
О a'a О О О О О О О О О I/a О О О О О О О О
О a/b О О О О '/Ь О О О О О О О О О О О О О
О l,аЬ О О О О l/ab О О О О l/аЫ О О О О l,аЬ О О О
О О О О О О О О О О О О О О О О О О О
О О О О I О О О О О О О О О О О О О О О
c l_ О О О I О О О О О
О О О О О О О О О О О
О О Э/а2 о 2/. о о о о о о о 3/82 О a'l1 О О о о о
о о I/ab 1/8 '/Ь О О I/ab О _'Ь О О I/ab '/а О О О l'аЬ О О
О О 3/Ь2 2/b О О О 3/Ь 2 l/b О О О О О О О О О О О
О О 2/8 J О IJy2 О О О О О О О 2/83 О I/а 2 О О О О О
О О 3/а 2 Ь О 2/аЬ О О Э/а 2 Ь О 2/ab О О 3Ja2b О I/ab О О 3/а 2 Ь О IJab
О О 3/аЬ 2 2/аЬ О О О Э/аЬ2 l/аЬ О О О 3Jab2 2Jab О О О )/аЬ 2 J /аЬ о
о о 2/а 3 I/b Z О О О 2/Ь3 I/b 2 О О О О О О О О О о- о
о о 2/a3b О 1 'а 2 Ь О О 2/а 3 Ь О l/a 2 b О О 2/а 3 Ь О l/ba 2 О О 2/aJb О l/а 2 Ь"
О О 2/a") 1/8bO О О 2/аЬ ' l/ab 2 О О О 2/8Ь 3 l/ab 2 О О О 2/ab' l,ab 2 О .... (20 )( 2(,'
[RI' RI"J ,
R== Rbll (6х20)
О
О 1 О У о о о О.... (8.94)
R.I == О О О О О О J х
О О 1 х О I О О (3х8)
О О О .....2 О О 6x ....2 У О О ..... 6 ху О
.
R bI1 == О О О О О .....2 О О .....2х .....6у О 6xy ,
О О О О 2 О О 4х 4у О 6 х 2 6 у2 (3х 12)
z, х х О' о
Rsll == О Z, у у о Ан
О О Z, х"х...!
Коrда JlЗВестны матрицы c l и R, то матрицу жесткости элемента определя..
ют по выражению (8.73), rдe
k' == J [ R .ОI RsJ (8 х 8)
F Slmetr.
т
RSID. RslI (8 Х J2) J
dF ·
R I D s Rall + R IIDb Rbll ( 12 х 12)
(8.95)
Подставив выражения (8.94) и (8.19) в уравнение (8.95) и интеrрируя по
площади элемента, вычисляют элементы матрицы kij (i, j = 1,2 ... 20). Если
423
элемент однороден и имеет постоянную толщину, то интеrрирование можно про
вести в замкнутом виде и получить следующее аналитическое решение:
, , , , ...
kll kl 2 k13 kl 4
, , , , ,
k 2 1 k2 2 k 2 ) k24 (8.96
k' == D · , , ., ,
k 31 k)2° k33 k34
, k 2 , ,
14- k43 Jч....
rде
....0
О аЬ симметрично
, О О С 2 V) аЬ
k ll ==
О а Ь 2 {I V) а 2 Ь a: t c 2 V)a 2 +b 2 ]
2 2 2
О О О О О
.....
о о С 2 V) аЬ С V) а 2 Ь U
1 2
О vab О аЬ 2 О
v
2
т ' О Ьа 2 C 2 v) a 2 C;V)a 2 : 2 О
k I 2==k 21 == )1
f 2
(8.97)
АаЬ СаЬ а 2 Ь аЬ 2 О
О C +A
2 2
а 2 Ь а 2 Ь аЗ Ь а 2 Ь 2
О A C C +A о
2 .2 2 4
....J v
аЬ
2
О
симметрично
аЬ
СаЬ ВаЬ
аЗ Ь Ь З а ( 1 V )
+
3 3 2
Ь 2 а а 2 Ь
C + В
2 2
.
, ( 1 V ) ,аЬ2 а 2 Ь
k 2 2 == 2- 2 2
Dab
82 Ь
С
2
а 2 Ь Ь 2 а 2 аЗ Ь
B C +'B
2 4 3
а 2 Ь аЗ Ь
D D
2 3
424
-- аЬ 2 аЬ 1 а 2 Ь 2 Ь 3 а
О А 2 С 2 С 4 +А 3 О
аЗ Ь аЗ Ь а 4 Ь а З Ь 2 О
О А 3 С 3 с 4 ... A 6
,т ' а 2 Ь 2 а 2 Ь 2 аЗ Ь 2 I а 2 Ь 3 О
kl3 == kЗI == О А 4 c С 6 +А 6
4
Ь 3 а Ь 3 а Ь З а 2 ь. а О
О А 3 c- С 6 +А 4
3
а 4 Ь а 4 Ь aSb а 4 Ь 2 О
О А 4 c С 5 +А 8
4
аЬ 2 ab аЬ 3 а 2 Ь 2 аЬ 2 а 2 Ь 2 ....
С 2 B С 3 :f:B 4 D 2 o
2 4
а 3 Ь а 3 Ь аЗ Ь 2 а 4 Ь аЗ Ь а 4 Ь.
С 3 в 3 С 6 +8 4 o D 4.
3
а 2 Ь 2 а 2 Ь 2 а 2 Ь З а 3 Ь 2 а 2 Ь 2 3 Ь2'
'Т ' D a
k23 == k 3 2 == С 4 В 4 С 6 +В 6 D 4 ,-
6
С аЬ 3 аЬ 3 аЬ 4 а 2 Ь 3 аЬ З 2 Ь2'
В 3 с 4 +8 D 3 D,a: .
3 6 6.
а 4 Ь а 4 Ь а 4 Ь 2 a S Ь а 4 Ь a. Ь
С 4 В 4 C +B D 4 D.
8 5 >
аЬ 3
D симметрично
3
а 3 Ь 2 a S Ь h 1
D o + аЬ
6 5 3
, а 2 Ь] а" Ь 1 а 3 Ь 3 h 2 ,.
k33 == D o D + (l v}ab
6 8 ' 9 6
аЬ" а] Ь] Ь 2 а 2 Ь" ab s Ь 2
D D +v ab o D + ab
4 9 3 8 S 3
а" Ь 2 а 6 Ь a Z Ь а' Ь 2 а" Ь) а 2 Ь а 7 Ь
D D + h Z D D +vhz I). + Ь 2 а2. ь..
8 6 2 10 12 2 7
а 3 Ь 2 а 3 Ь 2 а" Ь 2 а 3 Ь 3
О A c C 4A О
6 6 8 9
а 1 Ь 3 .а 2 Ь 3 а 2 Ь" а 3 Ь},
О A c A +C О
6 6 8 9
'Т ' аЬ" Ь" а а 2 Ь" Ь'а t
k 14 ==k 41 :=: О' A c C +A О
4 4 8 5
а 4 Ь 2 а 4 Ь 2 а"} Ь 1 . Ь 3 а 4
О A c C +A О
8 8 10 12
Ь" а Z Ь" а Z а 3 Ь" Ь 5 а 1
О A c C +A О
8 8 12 10
425
... а 3 Ь 2 а 3 b Z а 3 Ь 3 а 4 Ь 2 а 3 Ь 2 а 4 Ь 2 ......
c B c +B o o
6 6 9 8 6 8
a Z Ь] а 2 Ь 3 а 2 Ь 4 а] Ь ! а 2 Ь ! а 3 Ь 3
c B C +B D o
6 6 8 9 6 9 .
'Т ' Ь" а Ь" а а' Ь Ь. а 2 Ь 4 а а 2 Ь"
К 24 :s К42 == C B C +B D D
4 4 5 '8 4 8
а 4 Ь 2 а 4 Ь 2 а 4 Ь 3 а' Ь 1 Ь 2 а 4 а' Ь 2
c B C +B D D
2 8 12 10 8 10
a Z Ь" Ь 4 а 2 а 2 Ь' Ь 4 а ! Ь 4 а 2 Ь" a J
c B С ............... + В D D
-- 8 8 10 12 4 12
а) Ь] Ь b2 h 2 а 4 Ь 3 Ь 2 а 3 Ь 4 h 2 а 6 b Z Ь 2
o D + ab2. o + (l v)a2 Ь D +y Ь 2 а O + a2b2
9 10 6 12 6 12 6 12 4
а Z Ь" а 4 Ь) Ь 2 а ! Ь. b а 2 Ь' h 2 а' Ь ) h 2
D o +v a2b D + (l v)ab2 D + azb D +v a]b
8 12 6 12 6 10 6 15 3
'т ' аЬ' а] Ь" h 2 а] Ь' аЬ. h 2 Ь 4 а" 3
К Э4 == К43 ::: D ,D +v ab2 o O + ab2 o + v h 2 a 2 b 2
5 12 2 10 6 2 16 4
а 4 Ь 3 а' Ь 2 Ь 1 а' Ь 3 Ь 2 а 4 Ь 4 h 2 а 7 b Z h 2
D D + a2b2 D + (I v)a3b D ,+v a2b2 D + aJb2
12 12 4 15 6 12 4 14 2
а 2 Ь' а 4 Ь 4 h 2 а] Ь' h 2 а 2 h 2
D D +v alb2 D +(I v) ab3 D + a2b2
10 l6 4 15 6 12 4
а' Ь 4 Ь 2
D +v a)b2
20 2
--
, .
к ==r (Ci:) ,
.... "
а' Ь ' h 2
c..asD + ba(b2+2(1 Y)a2)
15 9
af ь. Ь 2 ,
с,... D + а 2 tr (2 ,,)
16 12
а' Ь 3 Ь 2 ·
c22..D + ab(a2+(I v)2b2) f
15 9
а 4 Ь' Ь 2 ·
С -= D + v а 2 Ь ) ,
43 20 " 1
а 7 Ь ! ( ы1 3 ) .
С 44 о............... + h 2 a 3 b +........... а 2 (1 v) t
21 3 10
а 4 Ь' Ь 2 .
с,. == D ............... + а 2 Ь) ,
20 6
а 4 bS h 2 .
С'2 D 20 + 6" а 2 Ь] I
а 3 ь6 Ь 2 ( 1 1 ) .
Csz==D18+2ab2 за2+2Ь2(I v) ,
а 2 Ь 7 Ь 2 .
С') == D ............... + а 2 Ь-'
14 14
а' Ь' Ь 2 .
С'4 D + (1 + у) а] Ь) ,
2S 6
Ь 7 а 3 ( а 2 3 (1 v)
c s ,== D +h2ab3 +
21 3 10
tr ) ",
а ' Ь' ь а t
С) I za: D ............... + v аЬ] ,
15 3
a2 b6 Ь 2 ·
С)2 118 D ............... + а 2 Ь 2 r
12 4
Ь' а ·
С)) -=- D ............... + Ь 2 Ь) а
7
а' Ь] Ь 2 ( Ь2 I ) ·
c.....D + a2b + (1 Y)a2 ,
12 2 Э 2 '
Ь 4 а' ь а .
с 42 .. D + a' Ь 2
20 6
А = (Z, хх + vZ.)')') .,
В == (z, уу + vz,x.) ·
I
С == ...... (1.... У) ж,., ·
\ ,
D :8: (z, хх + %",)2 + 21. (1 у) (Z..,)l .
426
Вектор обобщенных сил в узлах элемента от действия распределенной Ha
rрузки р и начальных де(jюрмаций ео, исходя из выражения' (3.42),
Q.. JWpdF+ JBTDeodF'=C t[J ATpdF+R D..o+R DbXJC I=
F f' f'
== (C l)T
J AI { Px } dF+R D>Co
F Ру
A Pz + R I Ds .0 + R II Db Ко
(8.98 )
dF С... 1
I
rде Е о начальные мембранные деформации;о:о начальные деформации изrиба.
Изображенный элемент полоroй оболочки над прямоуroльныM основанием с
20 ью степенями свободы не является совместным, так как не обеспечена непре
рывность наклона касательной к срединной поверхности для направления, KOTO
рое перпендикулярно к rранице между элементами. Кроме тoro, функции, с по
u u
мощью которых проводят аппроксимацию полеи- перемещеиии в элементе, не
включают в себя перемещения элемента как жесткоro- тела. Несмотря на эти He
достатки, как показано на нескольких примерах [12], для этоro элемента MOryT
получиться решения удовлетворяющей точности. Ввиду своей простоты, этот
элемент часто применяют в практических расчетах.
z
· U U'E u''J
V V,t V,'1
W W,t w,'t
W,tt W Jt1f W'7217
O.U V
,
с
I
ь
а
2
Zl
/
/
/
./ xl
у
У}
Рис. .l . ЭJlемеm ПQверхн()CТII()Й обоJl()ЧПf треyroJlЬН()Й фС>рмы С 36 ью степеНИМII сlЮOOды
Треуrольный элемент с 36 ю степенями,свободЬJ. На рис. 8.18 показан кри
волинейный элемент полоroй оболочки треуroльной (jюрмы с 36 ью степенями
свободы, который разработали Коупер, ж. Линдберr и ж. Олсон [13].
Элемент имеет три внешних и одии внутренний узел. Первые в вершинах, а
внутренний в центре тяжести элемента. За основные неизвестные внешних
427
узлов. принимают компоненты перемещений и, v, w и их первые производные по
I и tr,. ,. а также друmе производные составляющие w по t и fl" а во внутреннем
зле ,неизвестные перемещения u и v:
· Изменение перемещений u и v в элементе предполаrается в форме полных
I полиномов TpeTbero порядка, а перемещения w ---- в форме неполноro полинома
. пятоro. пор.ядка:
· U== ot l +.ot2 +«3 "'11+«4 2+«S "'I1+ot61)2 +
+CX7 + 8. 2"'11+«9 "'I12+«11} 113
' v ......Q l_1 + 1 2/ +«13 "'11+«14 2+otlS +«16 2+
+«17. .3+otl<8 2"'11+«19 "IJ2+ot20 1)3 ;
\W== 21+ 22' +-«2з11+«24 2+ot2S "'I1+ot2б1)2+
+CX.27' 3+ Z8. 2"IJ+«29 "'I12+otЗ0 1J]+«31 4+«32 311+
,+ зз. 2:tJ2+(Х34 ' "'I13+,«зs 1)4+«36 S+«37 3112+
-+' !8 . 1+ot39 ' 4+«40 115.
(8.99)
,в .ВЬфажевии -(8:99) фиryрируют 40 обобщенных координат d-- 1 , элемент име..
.ет .36 .внешних ,И две внутренние степени свободы? означающие, что для приме..
-вения .обыч,ноro .способа при определении матрицы жесткости элемента необхо..
димо ИСКЛЮЧИТЬ .две 060бщеиныe координаты. Для исключения последних необ..
хо.ц.имы два .дополнительных уравнения. ИХ МОЖ1l0 получить на основании поло..
жения о .ст.ациона.рности внутренней энерmи элемента с учетом этих координат.
'Однако их .определение осуществляют друmм способом. Для обеспечения непре..
.рыВ-ИОСТИ произ.водвых ПО нормали вдоль контура элемента необходимо, чтобы
изменение производной w'n бьшо описано полиномом третьею порядка. Посколь"
ку выражение (8.99) для w не содержит член 5 2 'l вдоль контура 1----2' это уело..
вне .автоматически выполнено. Остается выполнить ею и для двух друmх сторон
треуroЛЬНИfCЗ. Дифференцируя третье уравнение выражения (8.99) по п и учи..
тывая, ЧТО
о JOn (. . .)==0 ' (. · .) tD+t> 1д1J (. · .) 1),11 )
и ТО, что изменения W,n вдоль сторон 1 3 и 2----3 полиномом Tpeтbero порядка
приводит к уравнениям:
5 Ь 4 С«Э6+(3 2 Ь 4 с) 437+(2 004......3 Ь 3 с 2 ) СХ38+
.
+(c S .....4 Ь2с 3 ) «э9..... s . Ьс4 «40==0 I
5 а 4 С«Эб+(3 а 2 с.......2 а 4 с) «37......(2 ас 4 .....3 а 3 с 2 ) otЗ8+
+(c s ......4 а2с 3 ) «39+5 ас 4 «40==0 I
(8.100)
можно в выражении для w уменьшить число обобщенных координат i с
40 до 38.
428
Если перемещения в узлах элемента показать с помощью вектора q, а обоб
щенные координаты ........ с помощью вектора tb, т .е.
ч.
u
U'C
U''2
Чi == V
i == 1, 2, 3 V'C
V'72
W
W,
w''tJ
W,
W ' 72
W'7271
.....
« 1
«2
ч == "2
CI== .
)
.
(8.101)
«.
I
Ч3
.
.
.
«.0
то, учитыаяя выражение (8.100), между векторами q и d.,можно установить за..
висимость
q
о ==CCI}
О
(8.102)
rдe С ...... матрица ряда 4Ох40, элементы которой вычисляют с помощью координат узлов.
Матрица С имеет следующую структуру:
...
Сl О О
О Сl О
О О С 2
С 3 О О
с== о С3 О ) (8.10З)
О О С 4
С, О О
О Cs о
о о С,
с , О О
О С7 О
О О Са
"
429
[ 1 ь О Ь 2 О О Ь Э О О О : ]
с.;с о 1 О 2Ь О О 3Ь 2 О О
О О 1 О Ь О О Ь 2 О
....1 Ь О Ь 2 О О Ь 3 О О О Ь 4 О О О
О 1 О - 2 Ь О О 3 Ь 2 О О О Ь З О О О
О О О b О О Ь 2 О О О b) О О
С 2 ==
О О О 2 О О 6Ь О О О 12Ь 2 О О О
О О О О 1 О О 2b О О О 3Ь 2 О О
O о о о о 2 О О 2b О О О 2Ь 2 О
С] [ :
---1
О
О
О
О
....0
С, = [:
С..::
1
О
О
С,-
о
о
о
а О
1 О
О 1
а О
1 О
О 1
. О
I О
О О
О с
1 О
О 1
о с
1 О
О 1
О О
О О
О О
а 2 О О
2а О О
О а О
а 2 О О
2а О О
О а О
2 О О
О 1 О
О О 2
а 3 О О
3а 2 О О
О а 2 О
: ]
о
о
о
2
О
О
о с2 О
с О О
О 2с О
О О О
1 О О
О 2 О
а ' О О О
3а 2 О О О
О а 2 О О
6а О О О
О 2а О О
О О 2а О
а 4 О О О
4а 3 О О О
О а 3 О О
12а 3 О О О
О 3а 2 О О
О О 2а 2 О
о о с 2 О О
О с О О О
О 02сО О
о b$ О О
О 5Ь 4 О О
О О О О
О 20Ь 3 О О
О О О О
О О 2b] О
о а' О О
О 5а" О О
О О О О
О 20а 3 О О
О О О О
О О 2а 3 О
о
о
о
о
о
о
о о с" О О
О с] О О О
004с'ОО
2с 2 О О О О
О 3с 2 О О О
О О 12с2 О О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
:1 : ]
о 3с 2
о о с 3 О
О с 2 О О
О О 3с 2 О
2с О О О
О 2с О О
О О 6с О
о о с'
О с" О
О О х"
2с' О О
О 4с' О
О О 20с'
aa [ 1 1 b (a b)2 (a , b)c с 2 (a b)2 (a b)2c (a b)c2 с з ]
С, 3 3 9 9 9 27 27 27 27
..... [ 0 О О О О О О (j. О О О О О О О Sa"c t 3a2c3 2a"c. 2ac"+3a]c2, c'....4a 2 c J t Sac" ]
C.
о о о о о о о о' о а. о О о о о Sb"c, эЬ J с 2 .....2Ь4с:, 2Ьс4....зЬ'с 2 , c'....4b2c J , Sbc..
Детерминат матрицы С имеет вид:
64
det С == ................... с Э4 (а 1*- b)1I (а 2 + с2) (Ь 2 + с2)
729
430
(8.105)
Он отличен от нуля, а следовательно, всеrда существует обратная форма вы..
раж:ения (8.102):
« C I [: ] Clq,
\ .
(8.106)
rдe С 1 прямоуroльная матрица 4Ох38; которая содержит первые 38 колонок обратной мaT
рицы c 1 .
Выражение для внутренней энерrии элемента можно записать в виде
1 ЕЬ ...
А == .......... · tI Т k CI
2 l v2
(8.107)
rде " матрица жесткости:
k == JRT D R dv
v
(8.108)
' ( 1 )
R==LA, D== D Ds ,
,
которую можно получить в замкнутом виде непосредствнно иитеrрированием.
Если к перемещениям выражения (8.99), которые можно выразить в виде
суммы:
10
U == 2 a.j mi YJni
i=l
,20 .
V == 2 a.i р i qi »
i= 11
(8.109)
40
\У == i ri Yl Si )
i ;;;;21
применить матрицу..оператор L соrласно уравнению (8.35), то получают матри"
цу R, а затем непосредственвыM иитеrpированием равенства (8.108):
k.. == щ . m.F ( т. + m. 2 п. + n. ) + q . Ч . F (р . + Р . Ч . +ч . 2 )
1) I J 1 J '1 J I J 1 J' 1 J
+ (1 v)[ninjF(mi+mj' ni+nj 2)+PiPjF(Pi+Pj 2, qj'+qj»)
+ [ (1 v)njPi +vmjQijF(mj+Pi 1, i+Qj 1)
+[+(1 V)njРj+vmiQj]F(Щ+Рj 1.I\j+qj 1)
( + V 7)71) [nl i F (m i + r j 1, n j + Sj) + mj F (mj + fi 1, I1j Si)]
( 11'1) + V I;) [qi F (Pi + r j , Чi + Sj J) + qj F (Pj+ rj, qj + Si 1)]
.....(1 v) 7)[niF(mi+rj' ni+sj l)+n j F(m j +ri' nj+si 1),
431
+ Р. F (Pi + rj ...... J, qj + Sj) + Pj F (Pj + rj 1, Q,j + Sj)]
4 [ l + 1J + 2 vl:l;t 7)7) + 2 (1 v) "IJ] F (rj + fj, Si + Sj)
+ (Ь 2 / J 2) ri rj (rj 1) (r j 1) F (r i + rj 4, Sj + Sj) +
+SjSj(Si I)(sj I)F(ri+rj, si+sj 4)
+ [2 (1 ...... '/) ri r j Sj Sj + v rj Sj (rj...... 1) (Sj 1)
+ v r j Sj (rj 1) (Sj 1)] F (rj + rj 2, si + Sj ...... 2),
(8.110)
rдe
т' п'
F(n1, n)==cn+l[am+l (......b)m+l] .. ·
(т+п 2) !
(8.111)
в выражении (8.110) индексы i и j принимают значения от О до 40, т; и
n; нули для i 10, PL и qi для i ,< 11 и i ), 20, а Т; и si ---- нули для i ,<21. Под"
ставляя уравнение (8.1u6) в выражение (8.107), получают
А .... ЕЬ т k
2(1 '12) · са '} (8.112)
rдe
1"
k==Cl kC 1
(8.113)
матрица жесткости элемента (38х38), KO'lOpag отвечает обобщенным перемещениям в локальной
системе КООрДИllaт ! ,t · '.
Последвюю можно преобразовать в матрицу жесткости k., которая соответ..
ствует обобщенным перемещениям узлов в rлобальной системе координат:
k*==тr kTJ
(8.114)
rдe т матрица преобразования.
Последняя, с помощью которой задана иепосредственная связь между обоб..
ще нными перемещениями и rлобальиой системой координат
q==Tq.
}
(8.115)
rдe
(q*)T=:(Ut U,xt U,,1 .... w w,xl W'1'1 ... W,Пl Uc Ус]
}
(8.116)
имеет следующую структуру:
.... t 1
t 2
t 1
Т==
t 2
}
(8.117)
t 1
12
L
t,
432
rде
cos8 О О sin 6 О О
О СО5 2 6 sin в cos 6 О sin 6 cos 6 sin 2 8
О sin 6 cos в cos 2 в о ... sin 2 6 sin 6 cos 6 J
t 1 == .... sin О О О cos(}
О О
О .... sin О 50S 6 ..... sin 2 8 О cos 2 8 sin 6 cos 8
О sin 2 6 ..... sin 6 cos (;) О --- sin (} cos (} cos 2 (}
... (6 х 6)
1 О О О О О
О cos 6 s in (} О О О (8.118)
О sin О cos О О О О 1
t 2 == О О О cos 2 (} 2 sin (} cos (} sin 2 6
.
О О О sin 6 cos(} cos 2 6 sin 2 6 sin (} cos 6
... О О О sin 2 6 ...... 2 sin 6 СО5 6 cos 2 6 (6х 6)
[ cosO sin О]
t ......
3 --- sin 6 cos О (2х 2)
Вектор сосредоточенных сил в узлах элемента от действия распределенной
наrpузки Ри' Pv и Pw В направлении осей 1 . rz. определяют по выражению:
Q* TTCIQ}
(8.119)
rдe
J Pu mi1jni d; d-fJ, i 11
F
Q== JРу РiYJЧid dYJ, 11<i<21
F
(8.120)
J Pw ;f i -fJsi d;dYJ, i>20.
F
Поскольку элемент имеет две внутренние степени свободы, то до перехода к
образованию матрицы жесткости системы необходимо провести конденсацию
матрицы жесткости элемента, т .е. ее редукцию с 38х38 на 3бх3б.
Матричное уравнение kq - Q, представляющее условия равновесия элемен--
та, МОЖIIО разложить на блоки:
[ ko о ko С ] [ qo ] [ Qo ]
o kcc qc:O = Qc )
(8.121)
433
Qc == [ Quc ] .
Qvc
qc==[ : ]
(8.122)
, I
Исключением qe из выражения (9.121) получают конденсированную матрицу
жесткости и вектор ваrрузки элемента:
k '1r' I k T
ke == o о.... о с ас с о с
Qe == Qo ..... ko с k; .
(8.123)
Таблица 8.3
1 103
РО Rh Мхе
18,080
....... 1, 6 3 5
...... 8,873
Eh
w
R2 с
Ро
10 N
R хс
РО
10 М
Rh хуА
Ро
1
N xYA
Ро R
СЕТКА
.... 1,039564
.....1'012863
1,009819
1 х 1
2х2
3х3
.....7'951
...... 5,248
...... 5,111
1,095
....... 1 ') 4 ,
, .. ...
....... I , 3 7 1
....... 1,300
.... I ,229
1,165
ТОЧНОЕ
РЕШЕНИЕ
I
1,009785
8,487
...... 1, О 59
....1'159
...... 5,049"
.J
с Ji. "!.7: ?
< ,. >: :.. ' .;-
в :i : , / ; :/: ':, ,7:
D
А
J!!l = 0.02
L 2
-Рве. 8.19. СферllЧ Ская Р<ИleрXJIOCТllаи е>ООлочu над оадратным ()Сновани м, находящаися под
paвHOM pHO распреДeJI IIНОЙ нarрузlCОЙ
434
приведенный элемент плоской оболочки с треуroлъным 'основанием и' З6..ью
степенями свободы ЯВЛJIется coBMecтным элементом. Полиномами (8.99), с ПО..
мощью которых аппроксимируют ,поле перемещеНИЙ в элементе, неточно описы..
вают перемещеllШl элемента как жесткоro тела. Однако на основе анализа собст..
ве JlИЫ1( значеНИЙ матрицы жесткости этоro элемента, у которой оказывается,
что при реальныx размерах элемента [35] численные. значения первых шести
корней характеристическоro у.равнения, по сравнению с друl'ИМИ, являются Ma
лыми величинами порядка 1 o
, можно сделать ВЫВОД, что перемещения элемен..
та как жесткоro тела с помощью аппроксимативною выражения (8.99) описаны
достаточно roчно. В связи с этим результаты расчета получаются высокой точ..
НОСТИ.
для иллюстрации точности и скорости сходимости решения в табл. 8.2 при..
Beдeны результаты расчета сферической полоroй оболочки с квадратным основа..
нием, свободно опирающейся вдоль всех четырех сторон и наrpуженной - равно..
мерно распределенной нормальной наrpузкой р. С 'учетом двух осей симметрии
расчет проведен Д.,,"Iя одной четверти оболочки с сеткой элементов ЗхЗ
(рис. 8.19).
8.6. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОБОЛОЧКИ
КАК СПЕЦИАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Трехмерные конечные элементы (см. rл. 5), можно применять и в анализе
напряженн
деформироваиноro состояния TeJ,I всех форм. Однако, поскольку по..
ле ocHoBных неизвестныx в элементе обычно аппроксимируют одним и тем же
образом для всех трех направлеНИЙ, то применение этих элементов целесоо6раз..
но у тех тел, у которых все три ocHoBных размера являются величинами при..
мерно тою же порядка. Так как толщина оболочки мала по сравнению с осталь..
ными двумя размерами, то прямое применение трехмерных элементов в анализе
оболочки приводит к определенным сложностям, состоящим в следующем:
если в узлах элемента ocHoBныe параметры вычиCJIЯЮТ одним и тем же спо..
собом для всех трех направлеНИЙ, то появляется большая разница в численных
значениях между отдельными КОэффИЦJlентами в матрице жесткости элемента.
Коэффициенты, отвечающие перемещениям в направлении нормали, значите.ль..
но больше остзльных' что может привести к плохо обусловленной системе урав..
нений и известным трудностям в их решении;
степень интерполяционныx полиномов, которая одинакова у Tpexмepныx
элементов для всех трех направлений, в оболочках для направления нормали
чаще всею высокая, а для остальных двух нацравлеНИЙ
обычно недостаточ"
ная;
доля нормальных напряжеНИЙ
2 во внутренней энерrии деформаЦИЙ мала,
что создает трудности в численном расчете;
применение TpexMepHых конечныx элементов с учетом в них болъmoro числа
степеней свободы при расчете оболочки ведет к неэкономичным решениям.
для тою чтобы избавиться от указ аниы x недостатков при использовании
TpexMepных элементов для расчета оболочки проводят адаптацию этих элемен...
тов, принимая в расчет обычные rипотезы классической теории оболочек. Пред"
полаrается, что линейный элемент в направлении нормали к срединной поверх..
ности оболочки остается прямым и неизменной длины после деформации, кроме
тою нормальныи напряжениями 6 % В выражении для энерmи деформации
можно пренебречь. Однако преДПОЛОЖeщlе с перпендикулярности нормали к сре..
диниой поверхности оболочки не I используют после деформации, что дает воз..
мо:жность принять во внимание и воздействие поперечныx c
на деформацию
435
элемента. Таким образом, расширяется область применения с тонких оболочек
на толcты..
Элементы оболочки, которые при сформулированныx вышe rипотезах высту"
пают как специальный случай TpexMepных элементов, представляют особый
класс элементов, которые на ывютсяя вырождевными. Первыми их применили
с. Ахмад, Б. Айронс И о. Зенкевич [1], исходя из изопараметрической форму..
/ лировки Tpexмepных элементов формы reксаэдра.
rеометричеСDfе характеристики. На рис. 8.20 показан элемент оболочки,
(--1,1)
(1,1)
(....1, 1)
(1 ) 1)
PIIC. 8.20. КрllВ()JlИII ЙIIЫЙ трехм рIlый ЭJl меllТ ООо:JIОЧDl четыреxyrолыIйй формы
оrраниченный двумя криволинейными поверхностями и четырьмя плоскостями,
нормальныи к воображаемой срединной поверхности элемента. Для описания
reoметрии элемента принимают систему криволинейных координат' F, Jz, нахо..
дящихся в срединной поверхности элемента и координату , котора\ находится
в направлении нормали к срединной поверхности.
Прeдnолаrается, что координаты t ,IJ. и изменяются линейно в rpaницах
от 1 до + 1. Таким образом для произвOJIЬНЫХ f ,11 и { ... 1 получаются точки
на внешней (верхней) стороне элемента, а с - ..1 на внутренней (нижней)
стороне элемента, в то время, как при r - о точки находятся в срединной по..
верхности элемента.
Связь между декаproвыми х, у, и z и криволинейными координатами f ''1, и
1 в любой из точек элемента можно представить следующим образом:
..... ... .... .... -- ...
х Х. Х.
I I
l+t I (8.125)
У == L: N i ( , . ) Yi + j N j (;, 1) 2 Yi
i 2
z z. g z. d ·
.... I ... I
З сь индексы " d обозначают соответственно верхнюю и нижнюю стор<>ны элемента «( = + 1 и
= 1). С Ni<r'Oi = 1,2 ... 8 обоЗН.8чены интерполяционные функции, имеющие такое свойство,
чт их значени равно единице в узле 1, а НУ.1!ю во всех остальных узлах.
Выбор интерполяционных функций и узлов элемента зависит от решаемой
задачи. Обычно интерполяционные функции изопараметрические полиномы
второю или третьею порядка в зависимости от тою, имеет ли элемент узлы 8
вершинах и серединах сторон или в вершинах и третях сторон.
436
С введением вектора
Х ,
х.
I
V (8.126)
31== У, Yi)
Zi g Zi d
который представляет собой разницу координат точек на верхней и нижней
сторонах элемента или длину в направлении нормали (рис. 8.21), выражение
(8.126) можно представить в более подходящей форме:
х
х.
I
у == Ni( ' '11) Yi + Ni( ' Yj)2VЭi,
(8.127)
z
z.
.... I
rдe соответствующие координаты Xi' У; и Zi определяют точки в срединной поверхности элемента.
Поле перемещения. С учетом предположения, что ДЩ"ормация в направле"
нии нормали к срединной поверхности равна нулю, поле перемещения в элемен..
те однозначно определено с помощью трех составляющих вектора перемещеНИЙ
Ui' Vi' Wi в точках срединной поверхности и двух вращений ti. i и ji i Be тopa V 3;
около двух направлений, которые с ним ортоroнальны. Перемещения и, V и W
принимают в направлении осей rлобальной системы координат, а за направле..
ния вращения J.. i иfti ......... направления, которые определены единичныии векто..
рами V 1 i и V 2i' лежащими в таиreнциальной плоскости срединной поверхности в
точке t (см. рис. 8.21). Положительное направление вращения'" i и i совпадает
с направлением векторов V 1 i и V 2i.
aj
.
Vi
k
У,у
j
PIIC. 8.21. Jl[еремещенlIЯ в JlОIC8JIЬJlОЙ 11 общей ClIcтeM8X lCоорДllllar
437
За вектор У 1; можно принять (если V 3i не совпадает с Х) произведение век...
торов V3i и единичною вектора i (1, О, О), т .е.
v 1 i == V 31 Х i ,
(8.128)
вектор V 2i определен выражением
У 2 1==У 1 1 х V З 1-
(8.129)
Если векторы V 1 i' V 2; и V 3i разделить на их длину, то получают векторы
V 1i , V 2i и Y 2' составляющие систему ортонормированных векторов. С помощью
перемещении Ui' Vi и Wi в срединной поверхности и вращений ol i иfii можно по...
казать перемещения в любой точке элемента:
: ] fNj U j
h. [ сх. ]
Vj +tNi [Vlj V2i] :
.... W i .....
.... .....
U.
I ,
(8.130)
h. [ ОС, ]
==.2: N j Vj +2:Ni lLi I
i i 2 i )
...wi....
rдe
11 i 1 .
2 I
fLi== т. i --- т 2 i (8.131)
". . "2 i ...
I
..... матрица косинуса уrлов вектора Vli(lli' mli' nli) и v2i(l2i' m2i' n2i) с осями Х, у, %.
Выражением (8.130) поле перемещений в элементе, как трехмерном теле,
описано с помощью параметров перемещений и интерполяционных функций для
срединной поверхности элемента. В каждЫЙ узел срединной поверхности эле
мента введено по пять параметров, три перемещения и два вращения, так что
элемент имеет пять степеней свободы. Чаще Bcero применяют элементы с 40 и
60..ью степенями свободы (рис. 8.22) с квадратными или кубическими изопара
метрическими функциями. Для описания reoметрии элемента из выраженшr
(8.125) видно, что необходимо иметь по шесть параметров для каждою узла (по
три координаты Xi' Yi' zi для верхней и нижней поверхностей элемента), что
PIIC. .22. КОН ЧIIЫЙ ЭJlем 1IТ ООоJlОЧDl с 40-о 11 БО-ью степеllЯМlI свООе>ДЫ
438
больше, чем в случае перемещеНИЙ. В связи с этим можно СК;;1зать, что этот
элемент относят к классу суперпараметрических элементов по классификации,
данной в rл. 3.
Матрица жесткости. Общее выражение связи между составляющими дефор..
мации и составляющими перемещеНИЙ имеет вид:
€x д/дх О О u
еу О д/д у О v
д/д у д/дх О (8.132)
УХУ ..... W
.... ...
.
'-
Ухж д/дz О д/дх
... у уж.... О д/дz д/д У ...
Ero можно представить в следующей форме:
€==Su,x, (8.133)
rдe
е х
&у
€== Уху В,х == [u ,1 U,y U ... w W,y w,z] ;
,Ж ,Х
Yxz
.... У yz....
(8.134)
--
J О О О О О О О О
О О О О 1 О О О О
s== о о о о о о о о 1
О 1 ' О 1 О О О О О
О О 1 О О О I О О
О О О О ,О 1 О 1 О... (6 х 9)
Связи между производными перемеще}IИЙ в rлобальной и локальной свете..
мах координат, предетавленные выражением:
U,X У,х W,X U, y. W,
U,y У,у .W,) ==J t U' V. 71 w. 71 (8.135)
,71
u V W,Z ..... U ,t: v,t: W )
..... I Z ,7. rдe J Якобиан преобразования:
439
X. У,Е Z,
J== Х,7) У,7) Z,7) ) (8.136)
..... Х , t; Y, Z, t:.J
также МОЖНО предсТавить в более подходящей форме:
... ...
U. Ж O.
U,y J l О О u. 11
U,Z u,r:
v,x V,C (8.137)
У,у О J l О v,'J)
v,z V,t;
W,X W,
W,y О О J l w,'rJ
W W
, z-.: __ ,t-.!
, Дифференцированием выражения (8.130) по ,'Z и получают непосредст
венную связь между производными перемещеНИЙ в локальной системе координат
и параметрами перемещений в узлах:
-- ... "'N. N i ,
U,E 1,
U ,7) N ё, 7) О О N. О О
1, Т,
U ,t; О N.
1
У,I; N. 1; 1.1. N i ,
1, 1
==L + N i , 'rJ h [«']
У,71 О N i, 7) О V. О О "'"2. ::J (8.138)
1
i
V,t; О w. N.
1-- I
w,f. N. Е Ni,
1,
W,." О О N i ,7) О О N i . ."
W,r: О N.
.
а затем, подставляя выражение (8.138) в уравнение (8.137), связь между произ..
водныии в rлобальной системе координат и параметрами перемещеНИЙ в уэлах
элемента имеет вид
о,х = 4 R j qi)
1
(8.139)
440
rдe
а. О О (a j + d i ) 11 i ( 'i + d i ) /2 i
J
Ь. О О (b j + ej) /. i (b j + ед /2 i
I
с. О О (C j + fд /1 i (C j + f i ) /2i
I
О а. О (aj +dj)mJi . (ai +dj)m2i
. .
R.--- О Ь. О (b j + ej) т 1i . (b i + e j ) m 2 i j
1--- J
О С. О (Cj + fд тн (Ci + f j ) m 2 i
I
О О а. (ai + d j ) п н (a j + d i ) Л 2 i
I
О О Ь. (b j + e j )ii 1 i (b j + e j ) n2i
1
о О С. (C i + fд ii 1i (C j + f i ) n2i
1
(8,.140)
b i == J! I N j . + J! 2 N i . 7) ,
h
/ . == / . .
11 2 1
.Ь
n1 1i ==2 тн ,
8.j == Ji , N j . + Jr 2 N i , 7)
Cj==Jf. Nj, +J32Nj,7)
h \
п li == 2 Пli ,
d. :=* ,з N.
1 I ,
h .
1 2 .== 1 2 ' ,
I 2 1,
h ·
m2i == 2 m,2i J
е. == J 2 * 3 N.
1 1 ,
fj==JJзNi
.
h
П2i == n1i.
2
Путем подставки выражения (8.139) в уравнение (8.133) получают связь
между деформациями и параметрами перемещений в обычной форме;
.==8. ,
rдe
В == 81 Rl == [В 1 82 в з ]
i
(8.141)
(8.142)
прямоуroльная матрица 5х40, сост()ящая из восьми квадратных бл()t(()В В ; = SRi' i = 1, 2 ... 8,
mrroro п()рядка.
ЕCJIИ определена матрица В, то матрицу жесткости элемента вычисляют по
выражению
1 I I
k== JJ JBTDBdet.Jd d dt:)
1 1
применяя способ raycca численноro интеrpИjIOвания.
(8.143)
441
Матрица D, появляющаяся в ВЬфажении (8.143), отличается от cooтвeтcтBY
ющей матрицы, которая приводилась для трехмерных элементов тем, что все ее
элементы третьею порядка paBны нулю, поскольку нормальные напряжения в
направлении нормали к срединной поверхности оболочки также равны нулю.
Кроме тою, необходимо иметь в виду, что связь между напряжением и дефор
мациями отражена в системе лок3льныx координат Х, у, z, т.е.
.... , ...)
0'1. 'J
,
а у v
, Е
G z О
1 v2
, 1 'J
l' ху 2
, ) v
l' yz 2
,
't' 1
.... у
о' D'
- -- , _.
Е,
,
Еу
,
€z
(8.144)
,
Уху
,
IYz
l v
2
,
Yzx
...)
..
€'
rдe Е модуль упруrocти; О коэффициент Пуассона.
Для получения матрицы D, фиryрирующей в выражении (8.143), необходи
мо применить стандартное преобразование из системы локальных в систему rло
бальных координат, т.е.
О==ТТ D' Т ,
(8.145)
Т==[Уl, У2, У3].
Сост вляющие матрицы преобразования определяют по выражениям (8.128)
и (8.129). ' . .
с учетом, что элементы матрицы В независимы от '< или являются линей
ными функциями от '{, матрицу В можно представить в виде сумм двух матриц:
8;:::Во+8 1 .
(8.146)
Если подставить выражение (8.146) ВJравнение" (8.143):, то под И"нтеrралом
появятся произведения матриц вместе с с нулевои, первои и второи степеня
ми. Интеrрирование в выражении (8.143) может Быть проведено непосредствен
но с учетом арryмеита : ,. .
I
Jd ==l:
I
t
J d ==O ;
I
I
J 2 d == 2/3
I
Отсюда видно, что выражение (8.143) будет иметь вид
442
1 I
k== I J(2B DBO+ BIDBt)detJd;d'rJ)
I I
(8.147)
так что численное интеrрирование проводят только по срединной поверхности
элемента. Необходимо заметить также, -что в выражении (8.147) det J вычисля..
ют для объемной матрицы преобразования J, несмотря на то, что речь идет об
интеrрировании поверхности.
К rpуппе криволинейных элементов, которые получены вырожением трех..
мерных изопараметрических элементов, относят и так называемые элементы
Семu Луф, введенные в 1972 r. в расчет оболочек Иронсом [28]. В этих элемен..
тах четырехуroльной или трехуroльной формы узлы принимаются в вершинах и
серединах сторон с составляющими перемещений и, v, w как основными пара..
метрами. Помимо последних для обеспечения непрерывности между элементами
в качестве новых параметров принимают еще и повороты нормали на контуре
элемента в raycCOBblx точках контура. Таким образом, получаются элементы че..
тырехуroльной формы с 32"мя степенями свободы и элементы трехуroльной фор..
мы с 24 мя степенями свободы (рис. 8.23). .
.. " ..
х
.. ;;;," :. .. .. :
.. ... ;.-. '," /...
,
PIIC. 8.23. ЭJlемеllТЫ СеМII ЛУф С З2 мя 11 24 мя стеriенями СВООоды
При формировании матрицы жесткости вращения в raycCOBblx точках конту"
ра элемента рассматриваются как степени свободы в узлах на серединах сторон
(см. рис. 8.23). rеометрия элемента и поле перемещений в элементе представля"
ют с помощью изопараметрических функций во всем аналоrично'изложенному в
предыдущем способе. Эти элементы получили широкое применение в расчетах
оболочек как инженерныx конструкций.
Изrиб ПЛИТ. Как специальный случай предыдщихx раССblотрений можно по..
дучить соответствующие выражения для изmба значительно более простых
плит. За параметпы перемещений в узлах (рис. 8.24) принимают перемещения w
и вращения В х и 7J У' так что элемент имеет 24 степени свободы.
t роизводные перемещений и, v, w в направлении осей rлобальной системы
по , 1'l и = z, которые для оболочки даны выражением (8.140), в случае
пл т имеют вид:
443
U,E О zN. О
_.
u .7) О Z N. "1) О
_,
u. z О N. О w
1
8
Y, 2:. о о z N. ОХ
1.
i = 1
У,7) О О zN. в ' (8.148)
1,7) у.....
V,Z О О N.
I
W,C N. О О
1,
W,7) N i ,7) О О
W Z O о о
.... ,
8w,(Jx,8 y
Рис. .24. ТрехмерllЫЙ ЭJlемент ДJDI ализа ПJlЯТ с 24 мя степеllИМИ сlЮOOды
Поскольку преобразование Якобиана
X, У,,, О Jr. Jf2 о
J Х,7) У,7) О J l==J* J!1 J!2 О (8.149)
О О 1 О О 1
.... ...
то для матриц I D и R по выражениям (8.139) и (8.142) получают:
J*
..
J n == J* j
J* (9 х 9)
О za. О
1
О zb. О
1
О N. О
I
О О za.
I
о о ..... zb. )
I
444
о о N.
1
а. О О
I
Ь. О О
I
О О О ... (9 х ) )
rдe
ai == Jf 1 Ni.t: +Jf 2 N J . 7J ;
b j == Jf I N i , + J! 2 N it 7J "
(8.150)
(8.151)
.
После этоro по выражению (8.144) матрица
о 7llj о
о о zb.
1
В.== О zb. (8.152)
I I zai
а! N. О
1
Ь. О ..... N.
I I
В соответствии с выражением (8.146) ее можно выразить как сумму В ;
В О; + zB 1i ,
rдe О О О О а. О
I
О О О О О ..... Ь.
I
Во i == О О О ' В 1 . == о Ь. ..... а. .. (8.153)
. I J 1
а! N. О О О О
1
Ь . О .... N. О О О
1 ...
Выражение для матрицы жесткости элемента
k == J ВТ DB dx dy ш== J (Bo+zBl)T D(Bo+zBJ) dx dy dz
v v
после подстановки уравнения (8.158), интеrрирования по z в rраницах от h/2
O + h/2 и с учетом тoro, что произведение становится нулем, имеет вид:
+1 +1 (8.154)
k== J J в т D в det J d ; d '1 )
I I
rдe
О а. О
J
О О b.
I
В.=: О Ь. ..... a j у)
1 I
445
i==1,2...8 а. N. iJ
J J
Ь. О
I
В== [В 1 . . . В 8 ]
h 2 / J 2 v h 2 / 12 О О О
v Ь 2 /12 h 2 /12 О О О
D== Eh О 1 v Ь 2 /12
О О О
] '12 2 (8.155)
О О О l v О
2
О О О О 1 v
2
Пример оболочки в форме rипер60лическоrо параболоида. Оболочки фор.-
мы rиперболическоro параболоида часто применяют как покрытие спортивных и
выставочных объектов. На рис. 8.25 показана одна из таких конструкций над ос..
нованием в виде ромба. Qболочка по контуру защемлена крайними балками,
опирающимися на ряд вертикальныx колонн. На рис. 8.25, в дана сетка конеч..
ных элементов для одной четверти оболочки, которую используют при расчете
для случая распределенной наrрузки от собственноro веса. Применены элементы
Семи..Луфа треуroльной и четырехуroльной форм для оболочки и линеЙНЫе изо..
параметрические элементы для крайних балок, в то время как для колонн Y c..
пользован стандартный линейный элемент с 12..ью степенями свободы. Диаrрам"
мы перемещений и сил в сечениях оболочки показаны на рис. 8.26.........8.29.
0\
....
N
, }-
. .
::::
.:.: 0\
:::: ('&
:::: \о
.:.: 0\
:::: ('&
. .
PIIC. .2S. rеометрllЯ otЮJlОЧКИ фС>рмы rllпербоJlllческоro парабоJlОlIДа
446
(;
t
1
1:
I :
I
"
2
3
PIIC. 8.26. ооо.лочu ф<>рмы rIIпербе>ЛllчеСlCоrо параболОIlДа. Сетка IcоllечIIых элемеllТOВ
1\
\
/1
,1/ rJ<br\
'N \
...... \
/17 ,l
: :;; 6l &
I i 1 f\
1.А- r,
; , \ , f\
I , , \
11 7r
1 , i , ,
; , , , ,
'... l
1I ; t , l\
, ,
li и... cl...
, , I , , \
I I! , \
I ....
I 1 I , I ,
i , I
!-- ...
I I I J . I , 11 I
I I l 111
I I ! U...
I , i 11 J , I , I !\
I l U J 1
j I I
I I I I t I I I I !\
rl , I I I t I I 1
, I , J l ! 1
I I I , I I I , I I , \
I I I I
1I I I I I l' 1:
I 1: I I I I
I I I I I I I I 11 J I I \
t I I ,
I! , 11 I I I r I I I
I I I I I
11 I I I i I I I I 11 ( f\
. I . I I I 11 I
I i ! I! , I 1I
о s
C18
Рис. .27. Диarpaмма веprика.лыlrоo перемещения
447
"
,- ,"
'::. '" '" '\
1\:- )
c;z" i\K
...
...., 7\
. " .' :.: .. O.I.
" .
/ r\
.\
, \
. . ..
:.. .. " .'" 1.
, ' , ";::' '. ,
'. .
: , 1\
,
r
\
. 'fJ ......
:::., .... .. " :-,
..": .... ..' " ...
, .. r\
..
i ' ..- ... t'.. -.....
' .. : : " 'О'" ..
. , ,..
.....:.. .:. .'. ..
I \ { r\
I \ i
Н ..,, r\ t' ....... \ /:
.,.., ...
." ." .. , ."
.....:.. . . ., /
1 \ К
\...... "'.-.
"- 1-'" -'i r\
.. ..... ". "
i;: ' " .....
... " . .-. .', " ';
Рис. .2 . Дllarрамма 1I0PM8JIbIIЫX CIIJI
(. '0(1 :011 )00
II:N/1II
.
R" {:
/ 1-
( \ I
\< f\' ;
--.; I \
\ ,
,1 I
.......... Ff )i. \i
...;.:
,) i\
J . .... r\!
I
, I \
' ...... j
I . rt .., r' \,
, r- ....r
"
i 'л
,
I ,....,. , ... \
I
.,
..... "
}
\
J ...... 1\
...
. . ..
PIIC. 8.29. Диarрамма M Meнтa IIзrиба
448
8. 7. РОТАЦИОННО..СИММЕТРИЧНЫЕ ОБОЛОЧКИ
в рамках обще
теории ротационно--симметричные оболочки представляют
отдельную rлаву из--за rеометрической особенности и блаroдаря широкому при--
менению в инженерных конструкциях. Основные зависимости, с помощью кото--
рых описываются состояние напряжений и состояние деформаЦИЙ этих оболочек,
значительно проще, чем в случае общей теории оболочек. Однако они все еще
таковы, что в общем случае не позволяют получить решение в замкнутой фор--
ме. Блаroдаря этому МКЭ в анализе ротационно--симметричных оболочек полу--
чип большое применение.
Основные уравнения. Срединная поверхность оболочки в декартовой системе
координат х, у, z описана параметрическими уравнениями:
x===Ro (
) cos 6)
y==Ro sin 6 ;
z==z(
»)
(8.156)
rдe V" (j
соответствующие rayccoBbI КООРДИl;lаты срединной поверхности; Rl <'"
радиус мери
диана, а Ro<f>и радиус параллельноro крут <рис. 8.30).
Вектор перемещения u показан с помощью составляющих и, v, w в направле--
нии касательных к меридиану и к параллельному KPYry и нормали к срединной
поверхности оболочки. Соrлашения о положительных направлениях перемеще..
пий и СИЛ в сечениях показаны на рис. 8.30.
z
'\
'р
у
М. N
"
T.
\
f.e
/
I /
'/
у
PIIC.
.зо. Перемещения 11 СИJlЫ В сечеllllЯX oceCII
метрической обоJl()ЧКИ
Связи между составляющими танreнциальной деформации сЧ" Ее,ы, состав--
.lЯЮщими деформации изrиба
8' 't: и составляющими перемещений и, v, w
:таны выражения [41]: .
449
1 ) .
e"== R (u.,,+w (
I 1
1 ( . . ) .
ее == R V. 8 + u cos rp + w Sln ,
о
(J) == Ro ( ) + u 8 I
R] Ro. tp Ro ·
.....1
\
К,,= R 1 у",,, I
1 '
КВ == R (у в, о + у" cos ffi) I
о
1 ( 1. ) t Ro ( У о ) ,
","== Уф,е+УеСОS<р+ SlП<рV,ф == Ytp,6+ i
Ro R. Ro R. Ro ,ер
(8.157)
I
rде
1
'v ( U ...... W )
1. Ft 1 ,ф
"(в== ; (v sin ЧI w. е).
о
(8.158)
Если в выражениях (8.157) и (8.158) по рис. 8.31
R 1 ---+ 00 i
7t '"
== ............ ..... сх
2 ,...
R 2 == S · tg
Ro == s s i n сх
1
(. · .)." == R 1 (. · .). s
(8.159)
\
\
\
\
\
\
rI)
.
R 2
\
\
Рис. 8.31. Конусная оболочка
то получают соответствующие выражения, действительные для конусных
оболочек:
450
,
Сер =:; U. . t
1. ) ,
e.= (u SIn 0(+ v,.+ WC\>S IX /
1 sin
<u==V +.............u е..... V k
t , Ro' Ro '
,
х.:=:; ....... (а). 8' ,
1 cos ot
)(0 == ..... w 60 +
R3' Rб
(8,160)
Sln rt
V t) W , S \
, R
о
1 cos sin rx sin а
'r= W6 s У+ W e + V , st
R' R2 о2' R
о о ...."'-{) о
(YCP==W... Уо== C;olX v+ o w. o ).
Если внешние воздействия и условия опирания осесимметричные, то Bыpa
жения (8.160) сокращаются, поскольку члены, содержащие v и (...) Q становятся
нулями, так что вместо уравнения (8.160) получают:
,
Еср == и.. t
sin « cos ос
в == U + w .
Ro Ro
(J);:O
.
Хер == ...... W. а. ;
(8.161)
.
Sln «
Х, ..... w . t
R ·
о
1";;:;0,
Связи между силами в сечениях и составляющими деформаций даны выра...
жениями:
N.== D (е. +ve e ) ,
,
No==D(ee+ve )
1 ...... v &
N"o == N ocp == D (а) == о '
2 '
М. ::;;: ,...... к (Хер i VX e ) ;
lvl о::::; к ()(о ... "x(I)
,
М. е == Меер == (1 ,,) к т == О "
( V == ЕЬ К ...... ЕЬ 3 )
1 ..,.. v ' .... 12 (1 v 2 ) "
(8.162)
451
Конечный элемент формы KOHYCHOro кольца. Конечные элементы, с по
мощью которых аппроксимируют срединную поверхность осесимметричных обо
лочек, MOryT быть различной формы. В общем случае, коrда внешние воздейст
вия и условия на контуре не симметричны, применяют дважды искривленные
элементы, развитые на основе теории ротационно симметричных оболочек. Oд
нако с учетом осевой симметрии в reометрии MOryт применять элементы формы
кольцевых cerмeHToB, как значительно более простые. ПростеЙШИМ таким эле
ментом является конусное кольцо с шестью степенями свободы, которое показа
но на рис. 8.32.
Ro
................
l
\
PIIC. 8.32. К()неЧIIЫЙ ЭJlемент формы J{()иусиоrо ОJlьца С mестью степеНЯМII СlЮOOды
За основные неизвестные принимают перемещения u и w и вращениеfi в уз..
лах 1 и 2 на верхнем и нежнем краях конусною кольца. Причем перемещения u
и w ........ в направлении осей rлобальной системы координат z и Ro.
Наряду с rлобальной системой координат вводят и локальную систему КООр"
динат, так что ею оси совпадают с образующей конуса s и нормальную к конусу
n. Векторы параметров перемещений в узлах 1 и 2 соответственно ql и q2:
U 1
U 2
qt == W t
.... J ....
q2 == W'- ,J
.... 2 .... .
(8.163)
а Be тop параметров перемещений элемента
q ==[::] ·
(8.164)
Составляющая перемещений в направлении образующей конуса обозначена
и, а в направлении нормали к поверхности конуса w (см. рис. 8.32). Измене
ние перемещений u и w в зависимости от s предполаrается в форме полинома.
452
ПОСКQJlЬКУ элемент имеет шесть степеней свободы по три в узлах 1 и. 1 2; rojМОЖ
но при.ItЯТь. пQlIииомы. с шестью неизвестными коэффициентами. Для .соо авАЯЮ
щей перемещеиия. и предполarают линейную ФУНКЦИЮ s, а для состаВJlSlющей
w полином третьею порядка, по s, т.е.
.
'u-' «1 + 2 s.
,
W==«З+ ОО 4: S +«S s2+«6 s3.
(8.165)
И B (8...165). непосредственно следует:
\'{, s == (1'4.. + 2" «-s s.+ J (Х76 S 2.
(8.166)
ЗависиМO€m1. (&.165) И (8.166)1- МОЖНО представить в матричной форме: '
1 О О О О .... ---
u s ос.
W == О, О ] s 82 S3 «2
w О О О 1 2s 3s 2 ОС з t
.... ,
ОС 4
C1.. s
....«6....
(8.167)
Соответственно:
о==А CI. (8.168)
Если выражени (8.167) представляют для точек l и 2 при 81 ..... О и S2 = 1,
то получают
... l О О О О, О -- ... «1 ....
U 1
W 1 О О 1 О О О 0I!2
W. 1 . О О О 1 О О ОС3 (8.169)
.....
и 2 1 1 О О О О. «4 ,
W 2 О О 1 1 [2 13 OC s
\У ') О О О 1 21 3/2 ........ОС 6 ....
.... '$..... ....
или
q==C CI 'J (8.170)
откуда
CI==c I q ) (8.171)
rдe .... 1 О О О О О
1/1 О О 1/1 О О
О О О О О О (8.172)
C l == .
о о 1 О О О
О ..... 3//2 21/ О 3/12 1/1
О 2/13 1//2 О ...... 2/12 1//2....
453
Связь между параметрами перемещения q в локальной системе координат и
параметрами перемещения q в rлобальной системе координат на основании
(рис. 8.33) можно показать в следующем виде:
Ui UI COS(x+ W lsin« -
,
Wl== UI sin + Wl cos«
(8.173)
W'S== 1 \
z
z
Рис. .зз. параметры перемещений в JlОкальной 11 общей CllcтeM3X lCоорДlIнar
Если уравнения (8.173) показать для обоих узлов, то получается:
..... . - -.... -
U 1 cos (х Sln tX О О О О U 1
. О О О О w t
W 1 ..... З1О « cos (х
, w. 11 О О ......1 О О О 1
---
и 2 О О О cos « SJ n (х О u 2
.
О О О .. О
w 2 SlП « cos « w 2
w О О О О О .....1 2 ...
..... . а2..! ,
или
q==Tq.
(8.174)
(8.175)
Подставляя выражения (8.173) и (8.171) в уравнение (8.168), получают
u==NQ.J (8.176)
rде
N==AC l Т==
[ <1 ) соа tX (1 ) sin tX О СОI sin ос О ]
-=. . =а 1
(1 3 2+2. 3) lntX (1 3 2+2 3)coscx 1( ....2 2+ 3) (3 2...2 3)IJncx (3 2 2 3)COICX ....I(.... 2+ 3) I ·
(8.177)
454
Выражения (8.161), с помощью которых устанавливают связь между состав--
ляющими деформаций и составляющими перемещений, можно представить в
матричной форме:
(8.178)
E==Lu
,
rдe
.... ... .... d/ ds о
efP
sln ос cos ос
€o Ro Ro u==[: ].
. L==
€==
Ktp , О d 2 /ds 2
)(0 О sln ос d/ds
Ro
(8.179)
Подстановкой выражения (8.176) в уравнение (8.178) получают:
E==Bq j
rдe
I
со. а&
1
Ir 3 2 2 ..)( 51n 2 ас
( ..+ ; J
2ао
f
8-LN...
!.. (1 2 ) 5in ас
11
6 5in 2 Q1
(t 2)
1 Ко
(8.180)
I О I I
51" а& С05 ас 51n 's О
1 I I
. J /( 2 l t') 5in 2 2 5in l !l I ttl t})
(1 t) iln 2 ас + ( t+) 1 2 tч +
ао ао ао ао ао с
С05 2 S (0,1 ':1
(I ) t2t 1 t)) +<3 t2 1 !)
-о ао
6 I 6 - 6 . 6 I
(1 2 ) С05 ас ( 4+ ) (1 2 ) 51П ас (1 2 ) 05 ':1 (2+6 t.
12 I 12 11 ,
6 (t to 5i.. 2. 5in ас 6 ' 2' ( t2) 5iD 2 ':1 .. ёПQl
) (1 4 t+3 t 2 ) (t t2) ( 2 t+J с.)
I 2 КО 1\0 I -о I 2ао ао
(8.181)
Если известны составляющие деформаций, силы в сечениях можно опреде--
лить с помощью выражений:
N--- ---1 О О .... ....
fP V EfP
N e ЕЬ v 1 О О ее (8.182)
N== ...... ,
.....М 1 ..... у 2 О О Ь 2 /12 v Ь 2 /12 XfP
fP
... ..... м 6 .... О О у112/12 h2/12 .... ....К о ....
....
Соответственно после подстановки выражения (8.180) в уравнение (8.182)
получают
N==DE==DBq==Hq
.J
(8.183)
455
rде
....1 v О О ,
D== ЕЬ v 1 О О
1 v 2 <О О .Ь 2 /12 v h 2 /J2 (8-.184)
O О v h2/17 h 2 /12
ИСХОДЯ из общеro выражения ДЛЯ матрицы жесткости элемента
.k== !BTDBdv
v
и принимая ВО ,внимание, что поверхность KOHYCHOro кольца
dF ==21t Ro ds==21t Ro Jd )
(8:1 5)
для матрицы жесткости элемента получают:
1
k== !BT DB21tRoJd .
о
(8.186)
ОпреДeJIiПOТ коэффи ент kij(i, j.. 1, 2 ... 6 числеиным путем. BeKТOp .силы
в узлах элемента под деиствием распределеивои наrpузки р по поверхности эле..
мента
Q== JNTpdF.
F
(8.187)
Цилиндрическая оболочка. В случае цилиндрической оболочки (рис. 8.34)
предварительно выведенные выражения значительно упрощаются, поскольку
уroл CL= О и Ro = а = const.
w
u
....
а
PIIC. .З4. ЦlIJIlIНДРllчесlUIЯ ООоJlочка
456
Таким образом выражения (8.177) и (8.181) для матриц N и В имеют вид:
[ 1 .....
N==
О
о
1 З 2+2 3
о
/( 2 2+ 3)
о
о
о ] (8.188)
З 2 2 3 1( 2 3»).
)
В==
1
О'
1
О l (l 3 2+2 3) ( 2!;?+ 3) о (3 2 2 3) ! ( 2 3).
а а а а
l
/
о
о
о
.
6 ] 6. 1
О (1 2 ) ( 4 + 6 ) О (.l' 2 ) Т c 2'+ 6' )
/2 1 /2
О () О О о. О.
(&.189)
Подставляя выражение (8.189) в уравнение (8.186), после ин еrрирования
для матрицы жесткости элемента получают:
afl
I '\)1 : , ; а v : v/
, I
! ! !
: 12 : 1 2 i 12
f I ,
..-.....-..... _....._ ..._--_...._--,.,._...._-..........--......__.._ -------_........ ..... .._--_.... .......... -.. --.. ............ . ..... ............. .............. ................ ... .. ............... ...... ...-._-_...._ ..
, .
13 l аЬ 2 i 11/'!. э.h 2 V 91 аЬ2.! 13-l z аЬ 2
35а +[3' 210а 2/3 2 70\а ....р ! 42o 2/2
.
.......... - ........ .........._......__..... --....................... .. .........._........ ..,................. ...............................---,.........--.......-... ....--............-........... .......................--.......
/3 2.Ь 3 V Z. 13-Z 2 аЬ 2 j /3 аЬ 2
- + : . +
1 о 5 а 3 1 12 42& а. 2/'Z! } 40 а 6 1
--- --- ........--... -....... - -_..... -.- -..............- -......,...._... . ...... --....... ....... --....-.. --......-.... .............. : .................. .....----...----........--........
. I
! а 'v !
: :
. I
I r 2
I I
, I
--- -i3 1---H h2----.1 li-/2- -- -- h2 - --
+ : +
зs а /3 :21 О а 212
:
-"' ---- . - ---- -.- -- --i----/3 - ------ aii-2-----.
: + ...............
il05a Зl
,
.....-..... .... ..................._..__....._...-.-...-
.....,
vf2
2 Eh 1ti
k==
1 v2
vl
12
симметрично
(8.190)
Jl[ример. Для иллюстрации способа расчета взята цилиндрическая оболочка)имеющая rидроста
тическую наrpузку (рис. 8.35). Оболочка поделена на четыре конечных элемента (кольца) постоян
ной высоты 1. Поскольку под действием 'этой наrpузICИ перемещения и в напраВJIении образующей
цилиндра равны нулю, в узлах ПОЯВJIяютCSl только по два неизвестных параметра перемещение w
и вращение . ,
Таким образом, матрицы интерполяционных функций (8.188) и жесткости элемента (8.189)
уменьшаются и становятся:
457
N=={l..... 3 2+2 3 1( 2 2+ 3) 3 2 ..... 2 3 1 ( 2 3)]
---131 аЬ 2 1112 аЬ 2 91 аЬ 2 13/2 аЬ 2 --- (8.191)
+ .....
35 а /3 210а 2/3 70а 12 420 а 212
/3 ah 3 13/2 аЬ 2 /3 аЬ 2
+ + ..... +
105 а 3/ 420а 2/2 ]40 а 6/ 2 ЕЬ 1t
k== 1 v2
13/ ah 2 1112 аЬ 2
+ +
ЗS а /3 21 О а 2/2
симметрично /3 аЬ 2
+
105а 31
.-. а = 1 = 1.0
р 211,
tl
== h=O.l
ЗУt у=о
411,
а
Рис. 8.35. Ци.пиндричесхая ООолочК2, находящаясSl под в()здействием rидростarической нarpузки
ПОДСтавляя в выражение (8.191) на место а = 1 и h = 0,1, ДЛЯ матрицы жесткости элемента
получают:
-- 0.163
2.397 ..... 0.361 0.745
k== 0.081 .... 0.163 --- 0.034 ЕЬ!
2.397 0.361
симметрично 0.071
Изменение rидростатической наrpузки по высоте цилиндра ДЛЯ отдельных колец можно выра..
зить следующим образом:
р== ....у [41 1 (п+ )]== у 1 (4 п.... ), п==о, 1, 2, 3 .
(8.192)
ИСХОДЯ из выражения (8.187) и принимая в расчет уравнения (8.191) и (8.192), для вектора Ha
rpузки в узлах для отдельных элементов после интеrpир<>вания получают:
458
n...
1.8S...
2
Qn==
n
0.30 ....
12
.27t,
n == О, 1, 2, 3
n
1.65.....
2
n
.... 0.283 +
12
с помощью матрицы жесткости и вектора наrpузки для отдельных элементов известным спосо
бом образуют матрицы жесткости и вектор перемещений ДЛЯ системы из четырех элементов:
... 2.397 0.361 i 0.7.5 0.163 О О О О О О
.... __ _ _ : !j= .163 0.034 О О О О О О
I .--..... ---..... -.... ....... -.. ........ -----.. ---.-....-----.... .----...-.....--- ---..-----..------....-.... .....
i 4.794 О 0.745 0.163 О О О О
i 0.162 o, 163 .....0.034 О О -о о
4.794 О 0.745 0.163 О О
0.162 0.163 .....0.034 О О
4.794 О 0.735 0.163
симметрично 0.162 ....0.163 .....0.034
2.397 0.361
0.081
..... w о ... 1.8501
130 0.300
......._е...._
W2 3.
. 0.067
W2 2.
2 == O.067 2n/Eh .
Wз 1.
,. .....0.067
W.. 0.150
а.. O.O33
в этой сиСтеме из десяти алreбраических уравнений известны перемещения Wo и вращения О,
так что остается решить систему из восьми уравнений с lЮCемью неизвестными, которая в предmест
вующей схеме отделена пунктирной линией, кa нИЖНИЙ диаroнальный блок матрицы к или cooт
ветственно нижний блок вектора Q. Решением этой системы уравнений получают значения напряже
ния пара метров в узлах: радиальных перемещений w и вращени
27tjEh ТОЧНОЕ
МК3 РЕШЕНИЕ
Wl 0,568 0,491
l o, 783 0,228
W2 0,325 0,318
2 O,200 O,l60
Wз 0,1 БО 0,1 S9
3 O,161 ....... О, 160
W4 0,002 О
4 <0,143 ...... О, 160
Диаrpaмма перемещения W показана на рис. 8.36.
458
ТОЧНОЕ
РЕWЕНИЕ
..
о
Рис. 8 . Диarpaмма оеремOO(eRИЯ .W
Круroвая плита. Если ai" = 900, то конусная оболочка переходит в круroвую
плиту, а с помощью выражений, которые выведены для конусной оболочки, по
лучзют соответствующие выражения ДЛЯ круroвой или кольцевой П.1Iиты
(рис. 8.37).
Если в выражения (8.177) и (8.181) поставить sino(.= 1 и cosol= О, то MaT
рицы N и В ДЛЯ круroвой плиты:
N ( 1 3 2+ 3) 1 0 1( 2+, з) (3 2 0 2 3) 1( 2+ 3)]'"
(8.193)
о J О О. 1 О
I I
О 1 О О О
В== Ro Ro .
6 1 6 1
(1 --- 2 ) О ( 4 + 6 ) (1 2 ) О 6 + 2
J2 / 12 I
6 1 ( 2) J... (3 2 2 )
( .... 2) о (1 4 +З 2) О
Rol Ro 1Ro Ro
(8.194)
460
Если составляющие наrрузки в плоскости плиты равны нулю, то предыд
щие выведенные выражения уменьшаются. В векторе обобщенных перемещений
в узлах элемента составляющие перемещений Wl и W2 равны нулю, а в векторе
сил отличны от нуля только моменты изmба M r и Mj', т.е.
U 1
ч== I t М==[ =::]. (8.195)
,
u 2
... 2 ...
.,.. ;;.. ,.. .. .. .. ..
w
..
1
л" .j:.* ..<:...., .. <.>
.;. I: ;'::
, , < '
,. .
wJ
R o1 =R 1 ul
Ro( )
R o2 =R 2
2
'i'Ъi.. ;}
.. ; :>
PIIC. 8.37. Крyrовая nЛlIТа ОI{ отдеJlЬНЫЙ с.лучай осеСlIммеТРIIЧНОЙ ООоJl()ЧКII
Матрицы В и D, которые представлены выражениями (8.194) и (8.184),
уменьшаются и становятся:
(6 6 2)
Rol
1
(6 2)
1
(З 2 2 )
Ro ...
с
.... 1
(12 6)
/2
В==
(6 2 6 )
Ro/
1
(6 4)
1
(l 4 +З 2)
Ro
1
/2
;,
Eh 3 [ I
o
12 (1 V2) v
:}
(8.196)
(8.197)
Произведеиие матрицы BTDВ в соответствии с выражениями (8.196) и
(8.197) записывают в виде:
ы 1 b t2 Ь 1З b t4
ВТ DB == Eh 3 Ь 22 Ь 2З Ь 24 (8.198)
)
12 (1 v 2 ) Ь 2З Ь З4
Симметрично Ь 44 ....
461
rAe
b ll ... (36 144 + 144 2)+ 1 (36 2 72 3 + 36 4) +
14 RO /2
+ 2v (36 108 2 72 3)-
R /3 '
()
1 I -
Ь'2 (24 --.. 84 + 72 2) + ( 6 + 30 2.... 42 3 + 18 4) +
[3 Ro 1
+ ( 6 + 60 J 26 2 + 72 3) ;
Rol2
Ь 1З == ы l
Ь'4 =..L (12 60 + 72 2)+ 1 (12 2 ЗО 3 + 18 4)+
/3 RO 12
V .
+ (24 90 2 + 72 3)
R /2 '
О
I 1
Ь 22 == (16 48 + 36 2) +2(1 8 + 22 2.....24 3 + 9 4) +
/2 Ro
2у 2'
+ (4 22 +З6 18 3)
R/ ·
о
Ь2З= Ь12'
I
b24... (8 36 + 36 2)+ ( 2 + 11 2 183+9 4)+
12 Fto
(8.199)
v
+ (.... 2 + 22 S4 2 + 36 3)
R 1 '
о
Ь ЗЗ == Ь Н Ь Э4 :=: Ь 14
1 1
Ь 44 == (4.... 24 + 36 2) + 2(4 2 12 3 + 9 4)+
12 Fto
2v
+.............. (4 .... 18 2 + 18 3).
Rol
Элементы матрицы жестkОСТИ вычиCJIЙЮТ по выражению:
I
2 1t ЕЬ
k iJ == · f bjj Ro 1 d
12 (1 ...... 'J2)
О
I
- 2 ЕЬ . f Ь.. ( R. + / r: ) d r: == 2 1t ЕЬ k . ' j
12 (1 v2) IJ I , 12 (1 .... v2)
о
(i. j 1. 2, 3, 4), Ro ( )==Rl +1 .
(8.200)
462
После подстановки выражения (8.199) в уравнение (8.200) и произведенноro
интеrрирования для элементов матрицы жесткости элемента получают:
( 2 22 22 )
k ..... 9 18 R 2 36 R. R 2 36 R 1 R 2 /n R 2 ·
11 12 + /2 /3 + /4 R 1 f
6 [ 3 1 R. RI
k.z==p 2R.+4/ S'S; З р3 +
( R. R1 3 ) R / R2 ] '
+ 1 + 5 т + 7 12 + 3 R. . о R. I
k 13 == ...... k l1
k 3 R. 21 R 18 R 6R2. 2P+SR./+3R 1 R 2
14 ..... 2 / + 12 /3 /4 + I I S n R.
2 3
7 9 R. R. R.
k 22 == .... 4 I ...... 3 9 2 /2 9 J3 +
(8.201)
( 2 3 4 )
R. R. R. R. R2"
+ 1 + 8 т + 22 72 + 24 Р + 9 [4 /0 R.
k 2З == k 24 .
2 3
3 R, R. R.
k 24 ==O,75 13,5 p 9]3+
( 2 3 4 ) R
R. R. R. R. 2 ",
+ 2/+ 11 72+ 1813+914 /0 R. I
k 33 ..... k ll ",
k34 == --- k 14 ,
2 3
R. R. Rl
k 4==з.25+3т 7.5 p 9 73+
( 2 3 4 ) R
R 1 R. R. 2
+ 412+12[3+9[4 /o R. '
Выражения (8.201) выведены с учетом предположения, что V о. 0606..
щенные силы в узлах под действием внешней наrрузки ПО плите определяют со..
rласно выражению (8.187). Так, например, в случае с равномерно распределен..
ной наrрузкой РО получают:
I
QT == 2 7t J Ро J (Rl + I ). [1 3 2 + 3 '( 2 2 + 3) 3 2 + 2 3
О
I ( 3..... 2)] d == 2 1t / РО {Q l1 Q1 2 Q1 3 Q1 4])
<8.202)
463
rде
1 3 #
Qll == Rl + / ,
2 20
1 1 2'
Q." == Ri L+ l I
.. 12 30
1 7.
Q.з == Rl + / ,
2 20
1 1
Q14== Rl/ 12.
12 20
(8.203)
Моменты изmба М Т и М по выражениям (8.183) и (8.196) записывают в
виде:
М==[::]==НЧ)
rде
....1
(12 6)+
12
1
(6 4)+
/
(12 6)+ (6 2)+
/2 1
Eb3
Н==
12 (1 v 2 )
v v v v
+ (6 2 6 ) + (1 4 +3 2) + (6 6 2) + (3 2 2 )
Ro/ Ro Rol Ro
........ ...... -....... -..- ............. 4О......... ................ ...... .......... ...._..... ...................... ____.............. ......... ...._....... ........... ............ ........... ......................... ........- ............ .................... ............................. ......... ....................
1 (6 2 6 )+ (I 4 + 3 2)+ (6 6 2) (3 2 2 )+
RoL Ro RoL Ro
v
+ (12 6)
12
v
i +T(6 4)
v
(12 6)
12
v
+ (6 2)
1
(8.204)
Подставляя в выражение (8.204) j - о и f = 1, получают матрицу Н, с
помощью которой определяют моменты на краях элемента:
6 I 4 I 6 I 2
! v i
,
/2 I 1 R, 12 1
I
I
I
Eh 3
Н==
12 (1 v 2 )
6v i 1 4v i 6у! 2у
: ...................... + : ...... :
12 1 R, /! 12! 1
.
(8.205)
6 j 2 v i 6; 4 v
: + : ........
12 1 R 2 j /2! Т R 2
.... ..-.. ....... ............. .......... ...... ...... ..-.......................-- .......... .............................-...... --.........-...-.........
6v 2v 6v 4v
......
/2 / /2
R 2
/
...
464
Пример. В качестве ЧИCJIовоro примера взята кольцевая плита, которая по
внутреннему контуру зажата, а по внешнему ........ свободна (рис. 8.38). Плита на--
rружена равномерно распределенной наrрузкой РО.
Расчет проведен для разделения плиты на два и четыре конечных элемента.
i
а)
б)
2
РО
:;:<. i)i !!!f !IШ Ш ШII!j;I? : ! i :i) f ttJ! f:)!
. . '.'; .' ... . ',."" .' .
1 СУ 3
.си2 G) 3 G) 4 @5
4
Рис. 8.3 К()Jlьцевая ПЛUТ зажат.. п() внутреннему к()нтуру
Два конечных элемента. Матрица жесткости и векторы обобщенных сил в
узлах:
k l ::
4.70330 4.02106
49.47284
Симметрично
k 2 ::
7.62069 7.01580
9.06010
Симметрично
4.70З30 5.04442 26/20
4.02J06 2.97579 Qt== 28/60 2 7t 1 РО ;
4.703ЗО 5.04442 34/20 J
7.07868 ___ ...... 32/60 ...
7.62069 8.02394 46/20
.... 7.01 580 4.98627 Q2:: 48/60 2 7t / Ро.
7.62069 8.02394 54/20
11.04906 ___ 52/60 ....
Матрица жесткости и вектор сил в узлах двух конечных элементов:
.....4.70330 4.02106 4.70330 5.04442
49.472&4 4.02106 2.97589
12.32399 1.97139
16.13878
27t ЕЬ 3
К==
12
Симметрично
о о
о о
7.62069 8.02394
7.01580 4.98627
7.62069 8.02394
11.04906
..... 26/5 ....
28/15
16
Q==
п РОо
16/15
54/5
.... 52/15.....
465
Система уравнений:
Eh 3
12
12.32399 1.97139
16.13878
7.62069
7.01580
7.62069
.... Симметрично
Решение системы уравнений:
й2 ...... w 2 15.1357
2 2 11.4558 12 Ро
Оз Wз 39.1252 ЕЬ 3
3 ... 3 12.0947
.... ....
8.02394 01 8.0
4.98627 1 0.532
Ро
8.02394 й 2 5.400
11.04906..... ... 2 .... 1.732
Момент изrиба на краях элемента J (по выражению (8.205) для.J ..... О, 1 =
2, R 1 = 2 R 2 = 4):
M rl 1.5 2. 1.5 1 . О 11.248
М Ф1 О O.5 О О О О
РО == Ро "
M r2 1.5 1. 1.5 2. 357 .... 0.208
М О О О 0.25 ... 11. 558 . 2.864
... Ф2... ...... ....
Моменты изmба на краях элемента 2 (1 = 2, Rl = 4, R 2 ' == 6):
... ... ....... .....
M r2 1.5 2. ..... 1. 5 1. 15.1357 0.922
М Ф2 О 0.25 О О 11.4558 2.864
Ро== Ро (
М rЗ 1.5 ..... 1. 1.5 2. 39.1252 0.439
М ф3 .... О О О .....0.167 12.0947 2.016
...
Четыре конечных элемента. Матрицы жесткости и векторы наrрузок в уз
лах элементов:
k l ==
30.48276 14.03161
9.06010
30.48276
14.03161
30.48276
Симметрично
466
16.04789
4.98627
..... 16.04789
11.04906...
23/20
12/60
27/20
.... ... 13/60
2 71 Р.
j
v
QI::
42.34370 20.02440 ..... 42.34370 22.03266 ..... ...
33/20
k 2 == 1 з. 04136 20.02440 6.99037 Q2:: 17 /60 .
· 2 1t РО
Симметрично 42.34370 ---- 22.03266 37/20 )
'15.03580 .... J 8/60
...
54.26640 26.01960 ..... 54.26640 28.02450 ....
43/20
k 3 == 17.03145 26.01960 8.99248 Q3== 22/60 "
2 1t' РО
Симметрично 54.26640 28.02450 47/20 J
19.02814 .... 23/60 .....
66.21820 32.01636 66.21820 34.0197 53/20
k" =:, 21.02540 ---- 32.01636 10.99380 Q4=: 27/60
2 1t РО.
Симметрично 66.21820 34.01970 57 /20
23.02310 .... .... 28/60 ....
Матрица жесткости и вектор наrрузки системы элементов:
QT == 2 1t Ре' (23/20 1/' 3.
4.
1/15
1/15 5.
1/15
---30.4828 14.()316 .....30.4828 16.0479 О
9.0601 aoooot4.0316 4.0863 О
о
о
о
о
о
о
21t ЕЬ 3
К== .
12
72.826' 3.976' 42.3437 22.0327 О О
24.О9О' 20.0244 6.9904 О О
96.6101 3.9869 ......56.266 28.0245
32.0673 26.0196 &.92'
120i4846 3.9919
40.0'35
симметрично
57/20 7/15]
о о
о о
о о
о о
о о
о о
---66.2182 34.0197
.....32.0164 JO.9938
66.21J2 38.0197
23.0231.... ·
481
Решением системы уравнений K 22 q2 = Q2 получают перемещения и враще--
иия в узлах плиты, которые сравнимы с точными решениями:
,"ЕРЕМЕ-
ЩЕНИЯ МК3 ТОЧНО
йl 4.9990 5.0095
l 8.5702 8.5712
й2 I 5.3122 15.3250
2 I j .4936 11.4894
\1з 27.2452 27.2579
3 12.1555 12.1542
.0.4 39.4005 39.4123
4 f 2.1 365 12.1350
МУЛ-ЬТИnПМКА 12 р /ЕЬ3
тор , о
При этом моменты иэmба:
лемен КРАЙ 1 М tM
ро r t ро fP
I
МК3 точно 1 МК3 ТОЧНО
1 1 12.8536 13.7975 О ()
2 4.2868 4.8921 2.8567 2.8570
2 1 4.6112 2.8567
2 1.2356 1.4476 2.8736 2.8723
3 1 1.3126 2.8736
2 0.0112 0.1234 2.4308 2.4308
1 0.0748 2.4308
4
1 0.0748 О 2.0228 2.0225
На рис. 8.39 даны диаrpаммы радиалЬНЫХ моментов, получаемые с помощью
одною, двух и четырех конечных элементов, и как и линия моментов, отвечаю..
щих точному решению.
. Криволинейные (:кольцевые) элементы. При использовании конусных эле..
ментов, которые весьма просты, как это можно Былo заключить на основании
численных примеров, достиrают достаточной точности с малым числом элемен..
тов. Однако это происходит только тorдa, KOrдa меридиан оболочки прямая
'"
468
po-l Мr
15
5
_ "'",", '""'-
, ч f'. t ....' t.. . ....:.:.
' .......:. . . ' ;;;
.....
I РО
I 2 11 2 ..
t
12.5
10
7.5
...... ---- ........
ЭЛЕМЕНТ 1
ЭЛЕМЕНТ 2
ЭЛЕМЕНТ 4
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ
-.-.-
2.5
Ro
1
2
3
4
s
Рис. .З9. ДиarрамМ8 M()M НТOB М r ДJIJI различных сeroх lC()нечных ЭJlемеllТOВ
. \
или кривая с большим радиусом и мяrким изменением кривизны. Если мериди..
ан оболочки ...... произвольная кривая, то для аппроксимации reометрии оболочки
часто необходимо большое число конусных колец. И в том случае, коrда число
конечных элементов велико, поскольку rладкая поверхность аппроксимируется
полиэдрской поверхностью и в области мембранноro состояния, возникают явле..
ния локальных моментов изmба в уrлах полиэдра (рис. 8.40). Кроме тoro, от..
ступление полиэдра от действительной срединной поверхности оболочки ведет к
ошибкам, которые особенно значительны, коrда речь идет о стабильности обо..
дочки.
Для TOro чтобы устранить недостатки, которые появляются у конусных эле..
ментов, применяют криволинейные элементы. Разработано большое число кри--
волинейных элементов для анализа осесимметричных оболочек. На рис. 8.41 по..
казано меридиональное сечение криволинейноro элемента с узлами на краях.
469
Рис. 8.40. Аппрохсимация сwдиии()й п()верхности ООол()чКII ПJIоскими IC()ИУСНЫМII к:()льцами
Радиус меридиана, как и толщина элемента........ изменSlЮЩИеся величины R 1 =
Rl ('f), h = h('P).
В дальнейшем приняты две координатные системы rлобальная Z, Ro и ло
кальная s, n. Все reoметрические величины являются функциями одноro apry
мента ........ уrла 'р. Однако для описания reoметрии и деформации элемента более
подходит, если вместо уrла 'f выбрать безразмерный apryMeHT f ' т.е.
== 1 1 \ (8.206)
Li
На основании равенства
Rldq>=ds==Ld I
следует:
d R 1 ·
(.. .), ,==(. · .), IL ,. ............::.......(.. .)".,
, dtp L
1
(. . .), . == (. . .), (.
L
(8.207)
Из рис. 8.41 очевидны следующие reoметрические зависимости:
%2
L= J [1 +(ROt )2]l/2dz :
Zl
[1 + ( R )2 ] 3/2.
R:.= Q...t
1 )
Ro.zz
sin т [1 + R )2 ] 1/2 ".
т . o. )
470
COS m == [ 1 + ( R ) 2 ] 1/2 R '
т O.Z O.Zj
(8.208)
Ro
R 2 == . ·
81 n <р
..
Ro
W2
.
i Z
Рис. 8.41. КРIIВ()Лllllейный осеСlIммеТРИЧIIЫЙ элемент ООоJlОЧКИ
rеом рия элемента ПOЛf..ОСТЬЮ определена с помощью следующих трех Фун--
IЩИЙ: Z<J>, Ro<I> и h< >. Если предполаraется способ изменения величин z, Ro
и h между yrлами элемента, то reoметрШl элемента найдена с ПОМОЩЬЮ интер--
поляционвыx функций и определенныx reoметрических величин в узлах элемен--
та. Если в качестве интеRполяциунныx функций ПРИНЯТЬ полиномы rермите
nepBOro типа, то z<1>, Ro<J> и h<5> в любой точке элемента можно представить
в виде:
2
Z ( ) == N j ( ) Zi + N/ ( ) (z, )i с
j == 1
2
Ro ( ) == L N i ( ) R oi + N{ ( ) (Ro. )i ;
i == 1
(8.209)
2
.
h ( ) == 2: N i ( ) h j + N{ ( ) (Ь, )i
i 2s I
471
rде
Ni( }== : ( } o+2};
(8.21 О)
N;.' ( )== (1 CI)2(1 + o);
4
== i )
а %i'" ROi h i н 21;, Rоji и htiпредставляют значения функций %, Ro и h, как и их первых производ
ных & узлах 1 .t 2.
Путем .выораa интерполяционныx функций в виде полиномов rермита для
представлении reoметрии элемента в соответствии с выражением (8.209) обеспе
чивают плавность срединной поверхности оболочки на rраницах между элемен
тами и непрерывность изменения ТОЛЩИНЫ оболочки между отдельными элемен
тами.
Изменение составляющих перемещений в элементе можно выразить тем же
способом, что и изменение reoметрических величин:
2 .
U == 2: N i U j + 2: N j ' U . i С
j = J j
2 2
V == 2 N j V j + L N{ V . i ,
i=1 i=1
(8.211)
2 2
w == N j W j+2 N{ W . i)
i=1 i=l
rде и, w составляющие перемещений в напраWlении осей rлобальной системы координат; v то
же, в напраWlении касательной к параллельному KPYry.
Представлением поля перемещений в элементе в виде формулы (8.211) обес
печена непрерывность с 1 . Поскольку поле перемещений и reометрию элемента
показывают с помощью одних и тех же узлов и интерполяционных функций, то
этот элемент принадлежит к классу изопараметрических.
Если определено поле перемещений,. то дальнейший порядок получения MaT
рицы жесткости и вектора обобщенных сил в 'узлах элемента формально остает..
ся тем же, как и у элемента в виде KOHYCHOro кольца. Разница появляется толь..
ко в матрице оператора L для связи между деформациями и перемещениями,
поскольку в этом случае Rl является функцией '(, а не бесконечна, как у KOHY
са. Исходя из общих выражений (8.157) и учитывая равенство (8.207), связи
между составляющими деформаций и перемещений можно показать в следую--
щей матричной форме:
c==La .)
(8.212)
rде
1..
.!.д/д О 1
L Rl
д/д 6 .
cos ({) Sln !р
Ro Ro Ro
Ее
472
..== L==! 4lдofJ .cos.rp + д/д .
,о
Ro Ro L . )
1 .д 1 О 1
xtp ............... .д2Iд 2
L R 1 -L2
cosep .
хв -&1О 2 ер,д/д О COS <Р i...д'l./д.в'l.
:R .R RO Ro.L.d
о 1
't" .1 д/дО . ( 1 COS<P) 1 [ 1 д'l. cos <Р] д '
SlD ер, дlд Ro ' L .д д'6 + Ro · .дв
R .R .L <R .
... 0..( о
л I:} -(8.213)
в случае осесимметричных -воздейст-вий
v'== О,
д
( · · .}== о
дО
.BeKTopыEE , u и матрица...оператор L 'уменьшаются:
EqI
...} d
L .d
Е == Ее
· L==
,
со s ер
Ro
1
,R(
sin ер
Ro
.J d 2
.L2 d 2
COS ер d
Ro L d ...
o==[: .
,
(8.214)
Xq>
1 d 1
L d Rl
Хе
со s ер
.... Ro R 1
Связи между перемещениями u,и w в элементе и параметрами перемещений
в узлах элемента по выражению '(8.211) в случае осесимметричных воздействий
MOryT выражаться в форме
u ==N q )
rде
й==[ : ] N ==[:I о N' О "N О N' О ],
1 2 2
N 1 О N' -о N 2 О 'N; ·
1
-(8.2-15)
П 1
1
П, 1
q == W, l
U 2
W 2
П, 2
W, 2
(8.2:16)
473
На основании (рис. 8.42) можно восстановить связь между составляющими
перемещений в локальноЙ системе координат s, п и rлобальной Z, Ro в виде
u == [ О ] == [ sin(j) c s!P ] [ U ] ==А а.
w cosq> Sln<p w
(8.217)
Подставляя выражение (8.215) в уравнение (8.217), получают связь между
перемещения u и w в элементе и параметрами перемещений в ero узлах:
...
u==AN q ==N q ,
(8.218)
а затем соrласно равенству (8.212) между сoc:rавляющими деформаций и пара..
метрами перемещений В узлах:
rдe
€==L(AN) q ==B q )
B==L{AN).
(8.219)
(8.220)
Поскольку определена матрица В, то матрицу жесткости элемента выисля"
ют численным путем по выражению:
1
k = L J BTDBh ( ) d )
о
а вектор обобщенныx сил в узлах
1
Q =LJ (A N) Tpd )
о
(8.221)
(8.222)
rдe р ..... вектор поверхностной наrpузки в направлении осей $ и N.
В случае, если наrрузка не является осесимметричной, связи между дефор..
мациями и перемещениями представлены выражениями (8.212). С учетом осе..
вой симметрии в reометрии оболочки внешние воздействия MOryT выажатьсяя I1
развитием в триroнометрические ряды по apryмeHTY 8 :
Ра (;, 6) == 2: Pun ( ) cos n в :
n
Р уо <е, О) == LPvn ( ) sin n 6
n
(8.223)
Pwn ( , 6).. 2: Pwn ( ) cos n в ·
n
подобным образом MoryT выражаться составляющие перемещений и силы в
сечениях:
u ( , О) 2: U N ( ) cos n 6 .
n
V ( , 6) == 2: v n ( )sin пО;
n
474
w ( , 6) == W n ( )cos n 6 .'
n ,
N ф ( , О) == 2: N фn ( )cos n е
n f
N фО ( ,6) == 2: N ф8п ( )sjn пО;
n
N8( 6) == N en ( ) cos n 6 ;
n
(8.224)
М Ф ( 6) == M Qn ( )cos n 6
n
Мо ( , 6) == 2: М Оп ( ) cos n 6 '.
n -
М фО ( , 6) == M on ( )sin n 6.
в
в рамках линейноro анализа, таким образом, решение любой проблемы
можно получить как сумму ряда отдельных решений для отдельных членов. Для
каждоro члена ряда формируют матрицу..оператор Ln, а затем матрицу В п или
матрицу жесткости элемента k . В отличие от матрицы"оператора L, которая в
общем случае по выражению ('8.213) зависит от двух apryMeHToB, матрица..опе..
ратор Ln для п..ro члена ряда является функцией только одноro арryмеита:
d
Ld
cos q>
Ro
n
Ro
Ln := d 1
L d R.
cos q>
Ro R,
n
RoRl
1
R 1
n sin q>
Ro Ro
о
cos q> d О
+
Ro L d
о
1 d 2
....... .
L2 d;2
(8.225)
..
n .
2 sln q>
Ro
n 2 cos q> d
R Ro L d
n , ( d COS ([) )
Ro Ld + Ro
( cos q> d ) .
+ sln q>
Ro Ld
Дальнейший порядок получения матрицы жесткости элемента для отдельных
членов ряда является стандартным:
1
1 J т
kn=="L Вn DBnh( )d )
о
п==I,2,З...
(8.226)
475
rде
Dn.== 1.. N ,.
(8..227)
N матриц&.- ИН'Fерполяционных функций, с помощЬМi).> К<ЛОроЙ- устаиавли-aIOТ связь. Me переме
щениями и, V,. w и парам трами перемещений в узлах элемента.
Наряду с изопараметрическим элементом, rде интерпoл.sщионные функции,
ЯВЛЯIOТС5f полиномами rермите первоro- типа, для анализа осесимметричн:ых обо...
лочек разработаны It' друrие элементы, которые раЗJIИЧают между собой в OCHOB
ном по' способу представлении ПОЛ51 перемещеиий & элементе. Простейwий, из
них криволинейный элемент имеет восема.- степеней свободы. За основные неиз
Becтныe 8- узлах, находящихсSl на Kpa x элемента, прииимают составляющие
перемещеllИЙ и, v, w и производную перемещеиия W S ' так что вектор перемеще--
иий{ ДЛЯ. элемента можно показат& в виде:
q:r == [U 1
У 1 W 1
W J ... W 2 J
,. , .
(8.228)
Иредполаrается, что линеЙИОе- изменеии перемещеиий ....... u и v, а кубиче--
ские перемещения ...... w:
u == (%1 + 2 s :
v == (%3 + 4 s
w == (%, + (Х6- + «182 + (Ха 83-)
(8.22 )
имеет' восемь обобщенных координат,. которне определяют' ив.. уравнениiE-'
q-== С (I ; (Х::::::' С 1 q.) (8.23/0}
'\
rдe-
l О О О О о. о. ()
· о. о. 1 О О О О о.
о о о о 1 О О О
о. о о о о 1 О О. ... (8.231)
с......
......
1 L О О О О О О
О О 1 L О О О О
о. о. о о 1 L L2. L3
О О О О О 1 2 3 L 2...
Подставляя- выражение (8.230 в уравнение- (8- 229)< получают:
u
o == · v '== AC ! q == Nq)
w (8.232)
rде N прямоуroльная матрица интерполяционных функций порядка 3х8.
476
Применяя матрицу...оператор (8.225) к выражению (8.223), получают матри",
цу В п :
B ==Ln N , (8.233)
а затем матрицу жесткости К п , которая относится к системе локальных коорди"
нат, поскольку и параметры перемещений в узлах приняты по отношению к ло--
кальной системе координат.
Представлением перемещений полиномов формы (8.229} не охвачены пере..
мещения элемента как жесткою тела. Для получения достаточно точных реше..
ний с этим элементом часто необходимо использовать большое число элементов.
Поскольку обнаруживается, что линейное изменение перемещеНИЙ и и v вдоль
меридиана элемента недостаточно, в работе [24 J предложен высший уровень ап..
проксимации перемещений с помощью полиномов. Все три составляющие пере..
мещений предполаrают в форме полиномов третьею порядка:
U==«l +«2 S+«3 s2+«4 S3 ,
V==«S+(X6 S+«7 s2+«8 s3 1
W==(Х9+tЖIО S+«ll s2+CX12 S3y
(8.234)
в которых появляется всею 12 обобщенных координат, а это значит что необхо..
димо, чтобы элемент имел 12 степеней свободы.
Существует две возможности при высоте узлов и параметров перемещений.
Первая ...... принять узлы на краях элемента с основными неизвестными переме..
щениями и, v и W, и производными перемещений u s ' V s ' w s . Вторая ...... наряду с
узлами на краях, в которых приняты неизвестные и, v, w и w s ' ввести и два
внутренних узла с неизвестныии U и v. во втором, более удачном случае, неиз..
вестные во внутренних узлах устраняют, так что элемент посл е конденсации ос..
тается с восемью внешними степенями свободы. Порядок получения матрицы
жесткости элемента в этом случае такой же, как и в предыдщем..
С eтoM тою, что интерполяционные функции значительно сложнее, необ---
ходима численная иитеrpaция при определении элементов матрицы жесткости.
Наряду с тем, что у этою элемента точно не описаны перемещения элемента
как жесткою тела, достаточно часто с ним получают решения удовлетворитель..
ной точности.
М. Джаниини и ж. Милес [24], подобно ж. Кантину ИР. Клафу в случае
цилиндрической оболочки, предложили модификацию выражения (8.229) или
соответственно уравнения (8.234) ДШI поли перемещениi в форме полинома та..
ким образом, что ввели в. виде дополнительных функций:
U==«l sin f+ tX 2 Ro COS ч>+ ос з )
W== CXl cos Ч>+<Х2 Ro sin «Р+(Х4 +o:s 2+(Хб 3 t
(8.235)
С помощью последних описывают перемещения элемента как жесткою тела.
Коrда поле перемещещ показывается таким образом с помощью триroнометри"
ческих функций и полиномов, в работе [24] на конкретных примерах иллюстри..
руется сочетание численныx и аналитических решений.
Элементы с ДВОЙНОЙ КРИВИЗНОЙ. С помощью плоских и КРИВЫХ кольцевых
элементов MOryT быть получены решения для осесимметричной оболочки произ..
вольной формы. Поскольку внешние воздействия не ЯВЛЯЮТСll осесимметричны"
477
dS a = R. dtp
dS 2 = Ro d8
Рис. 8.42. дважды ИСICРИВJIеllНЫЙ э.лемент ротационной обоJlОЧКII
ми, для получения реmения необходимо использовать триroнометрические ряды
и принцип суперпозиции, который допустим только в области линейноro анали...
за. Кроме тою, коrда условия опирания не осесимметричны, применение коль...
цeBыx конечныx элементов невозможно. конечный элемент оболочки с двойной
кривизной (см. рис. 8.42) представляет универсальный элемент, который можно
применять независимо от reoметрии, условий опирания И наrрузки в линейном и
нелинейном анализах.
В отношении выбора узлов и интерполяционных функции для поля переме...
щений существуют различные возможности. ж. Фондер [22] анализировал два
элемента с узлами в уrлах: первый самый ПРОСТОЙ, с 24....мя стеIIенями свободы,
и второй, значительно более СЛОЖНЫЙ, с 48..ью. В первом случае у элемента с
24"' IЯ степенями свободы для составляющих перемещений u и v предполаrается
билинейное изменение, а ДЛЯ составляющей перемещения w ......... бикубическое:
U== tX l +«1 +«З1)+ 4 1J ;
v == <xs + (Хб + <Х71) + аз 1) ;
W==<X9+ a l0 +(111 Yl+ cX 12 2+rtJ 3 1)+(X141)2+«lS 3+(Xl" 21}+a17 1)2+
+а(181)3 +а.19 1)+«20 ;2'1)2+«2 J "1)3+(X22 2+(X23 '"1) +«24 "1J3 ;
rде f, безразмерные координаты.
За параметры перемещений в узлах принимаI01' следующие величины: и, v,
w, w's 1/ Ro w,д 1/ Ro w's8' rде s ........ длина дуm в направлении t.p линии.
Этот элемент представляет собой обобщение coBMecтHoro элемента, который
в анализе плит разрабаrали Ф. Боrвер, л. ШМИТ и Р. ФОКС [5]. Исключением
обобщенных координат известным способом восстанавливаются связи между пе....
ремещениями и, v, w и параметрами перемещений в узлах элемента, после чеro
на основании выаженияя (8.157) ....... связи между деформациями и параметрами
перемещений. Таким образом образуют матрицу в и матрицу жесткости элеМеН....
(8.236)
478
та. Для вычисления элементов последней необходимо применить метод raycca
численноro интеrpирования с сеткой 4х4.
С помощью расчета характерных значений матрицы жесткости ЭТОro элемен..
та показаНО t что ни один характерный корень не является нулем или близким
сму. Поскольку нулевые корни: отвечают формам перемещений элемента, при
которых внутренняя энерmя деформации равна нулю, можно прийти к выводу,
что в выражения (8.236) не выключены перемещения элемента как жесткоro ' 'е'"
ла. По этой причине при использовании этою элемента на практике достиra..от
недостаточной точности. Для ИСlCJIЮчения этоro цедостатка необходимо к выра..
жениям для аппроксимации поля перемещений (8.236) добавить функции, с по--
МОЩЬЮ которых описыаютт перемещение элемента как жесткоro тела.
Последние можно получить также, как в случае с элементом цилиндриче...
ской оболочки, т.е. решением системы oдHopoдныx парциальных дифференци--
алЬНЫХ уравнений (8.157) для СВЯЗИ деформаций и перемещений. Однако этот
порядок действи:й значительно сложнее, чем у цилиндрических оболочек.
ж. Фоундер и Р. Клар [21] предложили более простой способ реmения этой
проблемы, ЖОТОРЫЙ можно распространить на оболочки произвольной формы.
В друroм случае у элемента с 48--ью степенSlМИ свободы все три составляю--
щие перемещений показывают тем же способом с помощью полинома третьеro
порядка. Узлы находятся в уrлах элемента (рис. 8.43), а в каждом узле в каче..
стве ОСНОВНЫХ параметров принимают следующие 12 величин:
T [ 1 1 1 I 1 1 ]
q uu's R U '8 R U,s6 V v'$ R V'6 R У,&& W W,. W'6 w's& ..
О О О О Ro Ro
Интерполяционные функции для всех трех составляющих перемещений име...
ют форму:
(8.237)
[ 1 ( I ) а R oi ( 1 )
w (8, 6) == Wj gl Ь 1 + (w, .)j 8з Ь 1 + .......... W, е . + ..-....... W 1S & , "
2 R(t I 2 Ro f
aR Oi ] [ / ( 1 ) aROi
. lgзhз + Wjg.h 2 +(w,.)j...........gз h 1+ .........W'e . glh4+
4 2 Ro j 2
( I ) aROi 1 Ь ] [ h ) 1 h
+ W'Ъ(J. 8з 4 + W k g 2 1+(W'sk g4 J1
Ro J 4 2
( 1 ) aRok ( 1 ) aRokl h ]
+ W,e g2 h э+ W,os g4 Э +
R\) k 2 Ro k 4
[ 1 ( 1 ) aROk
f-- w,g2 h 2 + (w's)' g4 Ь 2 + W, 8 gl h4
2 Ro 2
( 1 ) aRok / ]
+ Ro W, 8 $ 4 g4 h4 )
(8.238)
rдe
gl (l 3 + 3) ,
4 t
J t
g2 {1+З( 3)
4 f
h 1 (l 3"1)+7j:4) i
4
h 2 "= 1... (1 + 3 "1) 7jЭ) ·
4 ,
479
-J 1 2'
gJ == (1 2 + З) h з == 4 (1 1) 1) + "fJ3) ,
4 '
g4 ( 1 + 2+ 3)' h4 4 1 ( 1 'Yj+'Yj2+'Yj3)'
4 '
Этот элемент представляет собой обобщение элемента с 48..ью степенями
свободы, который для .анализа цилиндрических оболочек ввели Ф. Боrнер,
Р. Фокс и л. Шмит {5]. Поскольку как степени свободы элемента появляются'
составляющие перемещений, их пеовые И смешанные производные w, ., то вы..
полиены условия соrласованности с 1 на rpаиицах между элементами. 'Jt'ля опре...
деления матрицы жесткости элемента необходимо численное интеrpирование
(метод raycca с сеткой 4х4).
Интерп6ляционными функциями (8.238) неточко охвачены перемещения
элемента как жесткою тела. Однако для элементов умерениoro значения триro...
нометрические функции MOryT хорошо аппроксимироваться полиномами третьей
степени. В работе [22] на коикретных примерах показано, что для малых и поч..
тв полоrих конечных элементов с помощью выражения (8.238) почти точно опи..
сывают перемещения элемента как жесткoro тела, B 'то время как у больших
элементов аппроксимация слабее. По этой причине при хорошем выборе сетки
элементов с этими элементами Bcerдa можно достичь необходимой точности. Од...
нако ,неэкономичность решения с учетом большою числа степеней свободы эле...
мента lIВляется их недостатком.
(8.239)
,Z
Рис. .4З. ВЫрС>ждеИIIЫЙ трехмеРIIЫЙ элемеllТ осесиммеТРIIЧНОЙ обоJlОЧЮl
КРИВОJlИнейиые элементы как осоБЫЙ случай соответствующих трехмерных
ЭJlеменIOВ. Подобно тому, как у оболочек произвольной формы у осесимметрич...
ных примеияют элементы, которые возникают в результате выражения соответ...
ствующих трехмерных элементов. для формулировки последних имеют значе...
иие те же предположения, что и в случае оболочки npoизвольной формы. На
рис. "8.43 показаи выраженный элемент осесимметричной оболочки.
Для рассмотрения вводят две системы координат ....... rлобальную Ro, Z и ло...
кзльную f ' 'l. Криволинейная система расположена в срединной поверхности
оболочки в направлении меридиана, в то время, KaK't ....... в направлении HopMa
480
ли к срединной поверхности. Координаты ( и изменяются от ..1 до + 1, а при
q, = ..1 определяют нижнюю, при IL = т 1 ....... верхнюю поверхности элемента.
Толщина элемента вдоль меридиана меняется.
Связь между rлобальными координатами RO' Z в любой точке элемента и
локальныии ' по аналоrии выражениями (м.125) и (8.127) можно предста..
вить следующим способом:
[ R o ] == N i (;) 1 + 11 [ R Oi ] + N 1 (;) 1 11 [ Roi ] == I N i ( ) [ ROi ] + N 1 (;) 2!. v 31 )
Z I 2 Z. I I 2 Zi d i Zi I 2
(8.240)
rде
V h[ СОSФi ]
зi j. "
Sln Фi
(8.241)
Таким же способом можно установить связь между состаВЛЯЮЩIО1:.'"1 переме..
щений и, v, w в любой точке элемента и перемещениями и вращениями в соот..
ветствующих точках срединной поверхности. Деформация срединной поверхно..
сти определена тремя составляющими перемещений, а для деформации оболоч..
ки, как тела, необходимы еще две....... вращения d-, иfi. Для случая произвольной
наrрузки по аналоmи с выражением (8.130) получают:
cos n 6 n sin ф. О [ : ],
u Uj 1
si n n 6 Z N j ( ) y 1) h j
v +INi( ) 2 1 О
i i
W cos n6 w!1 О cos Фj
I
(8.242)
rде Ui' Vi' Wi состаWIяющие перемещений;cl i,fi-i вращения касательной к меридиональной
кривой и касательной параллельноro Kpyra под действием наrpузки, отвечающей n мy ЧJIеН'J 'ряда.
В каждом узле элемента находится по пять степеней свободы: три составля..
ющие перемещений и две ....... вращения. Поскольку описание reометрИ}J и пере..
мещений производят тем же способом и с помощью тех же интерполяционных
функций, то элемент является изопараметрическим. Обычно используют квад"
paTHыe или кубические изопараметрически функции. В первом случае элемент
имеет 15 степеней свободы, а во втором........ 20. В случае осесимметричной дефор..
мации параметры ... и.fJ равны нулю, так что выражение (8.242) значительно
уменьшается.
Порядок образования матрицы жесткости элемента такой же, как и в общем
случае изопараметрических элементов. Отправная точка ........ выражение для свя"
эи деформаций и перемещений в системе цилиндрических координат:
е а
е 2
ее
Ую
YR8
Yze
U'R
W, z
U I
== ......... + v е
R R'
)
U'z+W'R
1 V
u е+ У R
R' , R
1
W,e+W,z
R
(8.243)
481
после чеro проводят преобразование в локальную систему координат, преиебре--
ra.sr деформацией в направлении t'l.. '
Все остальные преобразоваииl во всем такие же, как и в общем случае,. по..
казанвом в п. 8.5.
ОбоЛОЧDI формы рот ционноrо rипер60JЮИдi Вместе с теIшовыми ЭJlеICТро--
станциями для охлаждения воды путем естественной вентиляции постоянно про-
ектируют rpадирни, и еющие форму тонкой оболочки ротационноro rиперболои..
да. Изучение напряженво--деформационноro состояния и стабильности этих кон..
струкЦИЙ полу1ПlЛО особенвый толчок после разрушения нескольких объектов
этоro типа, вследствие неблаroприятноro воздействия ветра. I1:роведеио большое
число работ, в которых экспериментально и теоретически проаиализировано пcr
ведение этих констрУКЦИЙ под действием ветра, а также дрyrиx вве mяих воз..
действий. В качестве иллюстрации примеиения предшествующих рассмотрений
приведен сжатый вывод из анализа и расчета .'rpaдирни, основные reoметриче--
ские характеристики которой дaны на рис. 8.44, а детально проанализнрованы и
показаны . работе (42].
С.. r:;\
\!J'
'0
o
ct
....
@
('ot
.....
-п
G)
,
(!)
10
M
@ 11
11
'1r 11
v) ' )
20.0&
0,16
0..15
ct
""
.. q
""
N
R
17,75
q.
..
1'-
0\
N
..
35,846
z
Рис. 8.44. OCH()ВIIЫ rе()меТРllчеСКllе харmcтeрllСТИКII rРЦЦИРНII в форме ротацll()ии()r() rипербоЛОII-
да
Для анализа состояния напряжения и деформации применен осесимметрич--
ный криволинейный элемент с квадратными изопараметрическими интерполяци--
:'" онными функциями. Рассмотрено два вида наrрузк : собственный вес и статиче
ское действие ветра.
На РИС.,8.45 приведены диаrраммы: перемещений и сил в сечениях ПОД дей
ствием собственноro веса оболочки. Позитивные значения этих воздействий на--
несены с внешней, а неraтивныe с внутренней cтopoны оболочки.
482
u
w
"
Мер
с
а
max.u = 0.00502 м
DIIX." = 0.00094 м
'шах.., :8 0.00003 rad.
тах. N., · 441.300 кН/м
N S
Т.,
М.,
МВ
11
.
f
тах. N, -175.200 кН/м max. Т.,. J.092ICH/M тах. М., =: 5.610 кН.м/м тах. М, · 1.110 кН'м/м
PIIC. &45. В()здействllЯ собственноr() веса
Изменения давления ветра в циркулярном направлении показаны с по
мощью ряда Фурье:
n
р (6) == at cos k О }
k:al
В то время как изменение по высоте взято в соответствии с британскими стан...
даprами (BS 4485):
w (Ь)=- W o ( )o .
rдe W o основное напраWlение ветра (W O = 1,0, кН/м 2 ); h высота от уровня, земли
(h = 88 z).
На рис. 8.46 показано изменение давления под воздействием ветра в цирку'"
лярном И вертикальном направлениях, а на рис. 8.47 8.48 перемещевия и
силы в сечеииих, вследствие воздействия ветра.
4.83
тах.р.2.631 кн/м2 тах.раl.440 кн/м2
.,. 60. .,=0.
00
1800
\
.
.
..
.. ..-
Рис. 8.46. Изменеllllе давлеllllЯ, ВCJIеДСТВllе действllЯ ветра
, =00
u
у
w
.,
,
тах. u = 0.00412 м
тах. W = 0.03262 м
тах.., = 0.00113 rad.
'-900
тах. u · 0.00241 м X. v = 0.00411 м тах. W = 0.01581 м тах..р = 0,00035 rad. max. (J = 0,00235 rad.
PIIC. 8.47. ПеремещенlIЯ, 8слеДCТDllе действllЯ тpa
484
&_0.
Ne
2
тах. No - 142.300 KH/ ,
N,
тах. N ф -432.300 кН/м
6 с= 900
2
М.
м,.
6
Т.
8
тa \. M :: 4.302 кН.м/м-
Nepe М"
T
7
з
тах. Мв 11& 7 .492 K .
ть.. T..-2.S18 кН/м
Мер
М. в
6
Т&
4
..
#
тах_ N, == 49.240 кН/м тах. Мер с= 1.754 кН.м/м тах. M в = 8.945 kH-./. maJ6.. Те.-- 54.350 кН/м
Nep Nepe Мв T
1
3
5
7
тах. N ф ==205.400 кН/м тах. Nepe == 35.810 кН/м тах. Мв == 9.160 kH-м/м тах.. УФ =="0.854 кН/м
PIIC. 8.48. СIIЛЫ в сеченlIЯX, 8СлеДСТВllе действllЯ ветра 485
r JI а в а 9.
ДИНАМИКА КОНСТРУКЦИЙ
в отличие от статических расчетов, в которых внеmиие воздействия, а сле...
доsательно, и все остальные компоненты напряженно"'деформированноro СОСТОЯ...
иия Itе зависят от времени, в динамическом расчете внешние воздействия явля..
ются функциями времени. Наряду с основными параметрами, которые необходи..
мы для описания статическоro поведения какой..либо системы, в динамике кон...
струкций время выступает как новый дополнительный параметр, значительно
усложняющий расчет. Лишь небольшое число задач динамическоro расчета име..
ет аналитическое решение. По этой причине методы, с помощью которых полу"
чают nриБJIиженные решенйя, в динамике конструкций имеют особое значение.
в течение последних IS лет МКЭ нашел mирокое применение в анализе дИ..
113МИКИ конструкций В раЗ.1Iичных областях инженерноro конструирования: аэро..
наВ1'lIке, машиностроении, crроИ1'ельстве, ядерной технике и сейсмолоmи. В
этот период на базе существующих теоретических иСcJIедований бьши сформули"
рованы MHome численные методы It разработаны соответствующие проrpаммы, с
помощью которых МОЖНО выполнить расчет конструкЦИй мвоrooбразных типов
при различных tsидах внешних воздействий в области линейноro и нелинейноro
их поведения.
Далее будут изложены только основы прим;енения МКЭ дЛЯ расчета конст..
рукций на динамическое воздействие. Сформулированы уравнения движения для
конеЧIIОro элемента и для системы конечных элементов, исходя из вариационно"
ro принципа rамильтона, а также даны способы построения матриц демпфирова..
НIfЯ и масс Д.1IЯ HeKoтopых простых конечных
элементов. С точки зрения реше..
ния дифференциальных уравнеНИЙ движения по МКЭ рассматриваются два слу"
чая, имеющие существенное значение для практики: решение однородной систе..
мы или расчет собственных колебаНИЙ и решение неоднородной системы или
расчет дина:мическоro поведения системы в течение всей длительности внешнеro
u
воздеиствия.
9.L ФОРМУЛИРОВКА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ПО МКЭ
Уравнения движения Динамических систем, которые аналоrичны уравнениям
равновесJlЯ в статическом анализе, можно вывести различными способами, на..
пример, составлением условий равновесия на основе принципа Деламбера; на
основе ПРИiЩИпа ВОЗможных перемещений; на основе вариационноro принципа
rамильтона.
Первый способ удобен для простых систем с малым числом степеней свобо..
ды, в то Время как два друmх чаще применяют для сложных динамических сис..
тем с большим числом степеней свободы. · ,
486
Формулировка уравнений движения в данной работе основана на вариацион'"
ном принципе rамильтона t поскольку такой подход представляет определенное
обобщение методов, которые изложены в rл. 2. Если всю кинетическую эиерrию
системы обозначить Т, всю потенциальную Эllерmю внутренних и внешних
сил ........ П, а работу неконсервативных сил системы, включаJI и СИЛЫ демпфиро...
вания W ne ' то вариационный принцип rамильтона представляют выражением-
tz '1
J 3 (Т ..... П) dt + J 3 W nc dt == О )
t. tl
(9.1)
соответственно
tz
8!Ldt==O)
tl
(9.2)
rде L функционал Лаrpaнжа:
L==Т П+Wnс.
(9.3)
Принцип rамильтона устанавливает, что Функционал Лаrранжа при возмож"
ных перемещениях удовлетворяет условиям совместности, а также rраничным
условиям на контуре sи В течение любоro интервала от t l до t 2 и имеет стацио..,
нарное значение. В частном случае, Korдa Т = О и W nе = О, из выражения
(9.2) CJ"1едует положение о стаЦJlонарном значении потенциальной энерmи:
3 п==о
)
(9.4)
которое представляет собой исходную основу для вариационной формулировки
МКЭ. Предположим, что существуют следующие функциональные зависимости:
. .
Т===Т (qt, ql) I
п== П (ql)
3W nc ==QI3ql, i==),2... N ,1
(9.5)
rде qi обобщенные перемещении; qi обобщенные скорости; Qi обобщенцые СИlIы.
Применив интеrрирование по частям выражения
'2
J д Т. д Т t 2 J д ( д Т )
3qidt== 3qi ------;--- 8qi dt
д qi д qi t 1 д t д qi
I1
и принимая во внимание, что 5 q(t 1 ) = II q(t 2 ) =- , на основании выражения
(9.1) получают: _
12
J { Z [ ( д ) + дТ д П +Qi ] 3 qi } dt == о. (9.6)
i д t д qi д qi д qj
tl 1
Поскольку 8 q(t = 1,2 ... N) ........ произвольные величины, в общем случае от...
личные от нуля, то из выражения (9.6) вытекает, что
д ( д Т ) дТ дП
дt дql дqL + дqj ==Q1О
(9.7)
487
Выражения (9.7) представляют собой уравнен,ия .движения Лаrраижа, кото--
рые будут служить основой для формулировки уравнений движения в мкэ. Не--
обходимо отметить, что в этих уравнениях Qi обобщенные силы, .соответству--
ющие неконсервативным силам, причем последние -входят в состав потевциаль--
ной энерmи п.
Кинетическая энерrия конечноro элемента объема v может быть записана в
матричной форме: .
Т==+ J puTudv J (9.8)
v 1\ diJ
rде р IШОТНОСТЬ материала; и = "'A"'" t BeKTUp скорости.
I d.
, Потенциальная энеpmя элемента
П ==. J TDEdv J uTFdv J uTpds)
v v Sa
(9.1 О)
в которой первый член представляет собой ВНУ1:реннюю энерrию деформации,
оставmиес.я два......... потенциальную энерmю внешних (объемных и поверхност--
ных) СИJI.
Поле перемещений и поле .деформаций в конечном элементе запис:ывают в
зависимости от naра метров перемещений в узлах элемента с помощью интерпо--
ляционных функций:
u==Nq j
€ . Вq. (9.10)
В динамическом ,расчете перемещения в узлах, как и перемещения и дефор--
мации в элементе, являют-ся функциями времени t, в то время как интерполяци--
онные фУНlЩи,и .зависят только от reoметрии элемента. Дифференцированием по
времени первoro из уравнен.ий (9.10) устанавливают связь между скоростями в
элементе и обобщенными скоростями в узлах элемента:
. .
u == Nq .
(9.11 )
Подставив выражения {9.10) и (9.11) в уравнения (9.8) и (9.9), можно полу--
чить выражен-ия для кинетической и потенциальной энерmи элемента:
1 . (:! ) · .
Т==2'ЧТ' NТpN.dv ч,
v
(9.12)
П== .q1f'{fffCf)f).).q .qT JNTFdV qT JNTPdS}
v v Sa
в которых иеи:3ВеСТИЫМИ iIlВЛЯЮТСЯ обобщенные перемещения и обобщенные СКО--
рости в узлах 33leМеи а.
В качестве неконсерваТИВIfЫХ сил в элементе выступают силы демпфирова--
ния, которне -nредflо.лаrаются пропорциональными скоростями, т .е.
F =: cit == 'cN q "
р )
(9.13)
488
с направлением действия, противоположным направлению скорости. Если силы
демпфирования F р принимать как силы, которые распределены в единице объе
ма, то соответствующие обобщенные силы) в узлах элемента получают соrласно
выражению
Q,,== fNTF"dV( jNTcNdv)q, (9.14)
V V 'дТ
Подставив выражения (9.2) и (9.14) в уравнение (9.7) и учитывая, что -:
== О, получим дfjс.
(J NT Р N dv)q +и BTDBdv) q .r NT Fdv
v V v
fNTpds== (JNTcN4v)ci)
Sa V
соответственно
mqe +cQe+kq +Qe)
(9.15)
rде
m == J NT Р N dv ;
V
с== JNTcN dv :
v
(9.16)
k== JBT DB dv :
V
Qe == J NT F d v + J NT Р ds.
V Sa
Выражение (9.15) представляет собой матричную ФОрмуJlИРОВКУ уравнений
движения конечноro элемента, в которой т матрица масс. элемента; с MaT
рица демпфирования элемента; k матрица жестКОС'РИi ЭJleмeJllDа; Qe вектор
обобщенных сил в узлах последнеro.
На основе уравнений движения для одноro конечною э.лемевта составляют
уравнения движения для системы: конечных элемеJl1ЮR:-
Мч + Cq + Кч == Q )
.
(9.17)
rде М, С, К соответственно матрицы масс, демпфирированиа к же..crкос1'И систе е вектор
обобщенных сил, приложенных в узлах системы.
Способ получения матриц масс и демпфирировави аиалomчеи получению
матрицы жесткости системы из матрицы жесткости orде.пьИЫХ элементов.
48!}
9.2. МАТРИЦА МАСС ЭЛЕМЕНТА
Матрица массы элемента определена выражением (9.16). Если при вычисле
нии элементов в этой матрице применяют те же интерполяционныe функции,
что и для аппроксимации полей перемещений в элементе, то полученную таким
обраЗОМ матрицу называют матрицей распределенных масс. Она является сим
метричной и положительно распределенной матрицей п
ro порядка, rде п.......
число степеней свободы элемента. По своей структуре матрица т такая же, как
и матрица жесткости k)и состоит из блоков:
т. I
т. j
mJ k
т==
In i I
. . .
т..
IJ
m ik
J
(9.18)
"
m k 1
Шkj
m kk
rдe k
число узлов элемента, при этом размеры отдельных блоков равны числу степеней своооды в
соотвеТСТвующих узлах.
Аиалоrично элементам матрицы жесткости (см. рис. 2.10) элементам матри
цы масс можно придать физический смысл (рис. 9.1). Элемент тij матрицы масс
представляет собой обобщенную силу в узле i в направлении k, вследствие еди
ничноro обобщенноro ускорения в узле j в направлении 1. При этом все осталь
вые обобщенные уекорения равны нулю.
PIIC. 9.1.
е()М
трllчесlCое и СТaI'llчесlCОО значенlIЯ элемента мarpицы массы
Матрица масс системы конечных элементов М аналоrична матрице жестко
сти системы К и является ленточной с той же шириной ленты.
Часто с целью упрощения расчета массу элемента распределяют равномерно
между узлами. В этом случае такая матрица становится диаroнальной и назы
вается матрицей СdCредоточенных сил. В матрице сосредоточенных масс HeKOTO
рые диаroнальные элементы MOryT быть равными нулю, так, например, в изmб
ном стержне массы, соответствующие поворотным степеням свободы, равны HY
490
лю. При сосредоточенной. матрице масс резко упрощается решение системы
(9.17) .
Решения с матрицей сосредоточенных масс 80 MHomx случаях достаточно
точны, а особенно в случае, если и действительные массы так распределены, что
MOryT хорошо представляться с помощью первых. Однако в некоторых случаях,
особенно, коrда применяют несовместные конечные элементы, решения, получа..
емые с матрицей сосредоточенных масс, MOryT значительно отклоняться от точ..
ных решений. Для тoro чтобы сохранить диаroнальный вид матрицы М и одно..
временно добиться необходимой точности решения, разработаны специальные
методы, в соответствии с которыми массу элемента не делят равномерно на от..
дельныe узлы, а для различных элементов особым способом распределяют на со..
.. средоточенные силы в отдельных узлах [11].
У сложных конечных элементов с внутренними узлами при вычислении
матрицы распределенных масс обычно не определяют элеме:аты матрицы, кото..
рые соответствуют внутренним степеням свободы, поскольку они значительно
затрудняют конденсацию системы уравнений. Внутренние степени свободы вво"
дят с целью улучшения матрицы жесткости элемента.
Независимо от способа образования необходимо, чтобы матрица масс конеч...
HOro элемента, соответствуя второму закону Ньютона (Е - mq) при ускореuи...
ях, отвечающих перемещениям элемента как жесткоro тела, моrла обеспечить
такие силы в узлах элемента, чтобы их сумма равнялась общей инерционной си...
ле элемента. С матрицей сосредоточенных масс получают меньшие значения ча...
стот собственных колебаний, чем те, которые получают, используя матрицу рас...
пределенных масс. Точно также применение матрицы распределенных масс дает
меньшие значения собственных частот по сравнению с ТОЧНЫМII.
Матрицы масс для некоторых простых конечных элементов. Линейные
элементы. Для плоскоro изrибаемоro линейноro элемента со степенями свободы
Vl''f l' У2' Cf2 перемещения описываются с использованием полиномов rермита.
в этом случае матрица масс при.р = const имеет вид
1
m==pF1JNТNd ==
о
I
==pF/J
о
J 3 2 + 2 3
[1 3 2 + 2 3, / ( 2 2 + 3),
З 2 2 3, 1( 2+ 3)]d
/( 2 2+ 3)
3 2 2 3
(9.19)
I
/( 2 + 3) (mij == Р F / J N i N j d )
... о
i, j == 1, 2, 3 .
")
соответственно после умножения и интеrрирования получили:
156 '2.2 1 54 lЗI
pF/ 4/2 13/ 3 J2
т==
420 (9.20)
156 22/
симметрично 4/2
491
Для конечноro элемента, наrруженноro ВДОЛЬ оси стержня с узлами на краях
и .линейныи интерполяционныии функциями (рис. 9.2), распределенная матри
ца масс имеет вид
1
2
X U
I
1,0
N 1 = 1
1,0
; МиС.' 9...2. ИнтеРПОJUlЦII()lIl1ые ФУНIЩIIII JllIнеЙII()rо ЭJlемента с узламll на ICраях
1.... .1 1/2 ....
....... fJ.. F, / . (9.21)
m ....... .
:3 ,
I
.... ')1 t2 1
Матрица ,масс ,ДЛЯ стержня при свободном кручении (рис. 9.3) в соответствии
с тоорией I{fРУЧ6ВИЯ ,Сен..Венана имеет вид:
'1.
1R... /frdFJ: 'l f ,.[.l ; , ]d
р .о
:Е
......
== f 10 1 .... 1
3
(9.22)
f/2
..... 1/2
. o;: J ( 2 dF..
F
1
"....
u =r8
t
I
2 82
J
81 1
1
РИ&. 9.з Конечный элемеllТ стерЖIIЯ для случая ICрученlIЯ Cell BeHaнa
492
Треуzольный элемент с узлами в вершинах. Для TaKoro элемента (CSr) ин
терполяционные функции IIOказаны в rл. 4 выражениями (4.43) и (4.44). Под
ставив выражение (4.43) в уравнение (9.6), после умножения для элементов
матрицы распределенных масс получим следующее выражение:
mij==phI!NiNjdxdy) (9.23)
F
rде h толщина элемента; /2 единичная матрица BTOporo порядка.
Поскольку значения интеrрала в выражении (9.23) равны
1
6 Ll , I==J
J N i N j dx dy == (9.24)
F 1
12 Ll, i*j) '---
матрица распределенных масс треуroльноro CST элемента с шестью степенями
свободы
2 О 1 О 1 О
О 2 О 1 О 1
т== р hLl 1 О 2 О 1 О . (9.25)
12
О I О 2 О
О 1 О 2 О
О 1 О 1 О 2
Матрица сосредоточенных масс этоro элемента
р h L\
mjj ==. 3 IcI 't
(9.26)
rде / 6 единичная матрица шестоro порядка.
ПРЯМОУZОЛЬНЫЙ элемент с узлами в вершинах, имеющий восемь степеней
свободы и билинейное изменение перемещений и и v, показан в rл. 4. Элементы
матрицы масс или блоки матрицы, относящиеся к отдельным узлам, определены
выражением:
т..=: Р h 1 2 J N. N. dx d Y
q j J }
F I
rде соrласно выражению (4.80) интерполяционные функции
1
N j == 4 (1 + i}(1 + YjYjj) )
(9.27)
(9.28)
i == 1, 2, З, 4,
х
== ,
а
у
1)=== t
Ь
493
Подставив выражение (9.27) в уравнение (9.26), после проведеиноro интеr--
рировавия и изменения ero пределов получают
4/9 . .
+1 +1 1 ==]
J J N i N j d d 1) == 2/9 i==j+l, i == j + З) (9.29)
I 1
1/9 i==j+2
после чеro матрица распределенных масс прямоуroльноro элемента
\
....4 О 2 О 1 О 2 О
4 О 2 О 1 О 2
ш== phF 4 О 2 О 1 О
36 (9.30)
4 О 2 О 1
4 О 2 О
4 О 2
4 О
.... Симметрично 4
rдe F площадь элемента.
Изzuб плит ы. ПРЯМОУZОЛЬНЫЙ элемент с 12 ью степенями свободы. Несов"
местный прямоуroльный элемент с 12..ью степенями свободы показан в rл. 7, ин..
терполяциоиные функции KOТOporo даны в форме произведения двух матриц
N (х, y)==AC 1 )
<9.31)
rдe А -матрица вида
А== [1 х У х 2 ху у2 Х 3 х 2 у ху2 у3 х 3 у ху3] j
"
(9.32)
с 1 квадратная матрица 12 ro порядка, представленная выражением (7.46).
Подставив равенство (9.31) в первое уравнение (9.16), получим
· m==phtC l)T(f ATAdxdY)C I.
L
После интеrрирования: произведения
(9.33)
l х у х 2 ху у2 х 3 х 2 у ху2 yJ х 3 у ху3
х 2 ху х 3 х 2 у ху2 х 4 х 3 у х 2 у2 ху3 х 4 у х 2 у3
у2 ух 2 ху2 у3 х 3 у х 2 у2 х у 3 у4 х 3 у2 ху4
х 4 х 2 у х 2 у2 X S х 4 у х 3 у2 х 2 у3 xSy х 3 у3
J А т А dxdy == J х 2 у2 ху3 х 4 у х 3 у2 х 2 у3 ху4 х 4 у2 х 2 у4
F Р
49'4
у4 х 3 у2 х 2 у3 ху4 у' х 3 у3 ху' dxdy
кб XSy х 4 у2 х 3 у3 х 6 у х 4 у3
х 4 у2 х 3 у Э х 2 у4 х 5 у2 х 3 у4
х 2 у4 ху' х 4 у3 х 2 у5
у6 х 3 у4 ху'
х 6 у6 х 4 у4
х 2 у6
и подстановки значеНИЙ для х и у соответственно от О до а и от О до Ь, а затем,
умножив на (c
I)T И c
l соrласно выражению ( 9.33), для матрицы масс полу"
чим:
....3454461 Ь
461a 1226 199Ь 274а
80Ь 2
6ЗаЬ 199Ь 4ОЬ 2 42аЬ
394
116Ь 116а 1226
274b
119а
116Ь
ЗОЬ2 28аЬ 276Ь
60b2
42ab
3454 461Ь 461а 1226
274b 199а
80Ь 2 63аЬ 274b
60b2 42аЬ
рЬаЬ 80а 2 199a
42ab 40а 2
DI== .
25200 З4S4
461Ь 461а
80Ь 2
63аЬ
80а 2
80а 2
274a 42аЬ
60a2
116a 28аЬ
ЗОа2
199a 42аЬ 40а 2
394
11"6Ь
116а
116Ь
30b2
28ab
116а
28аЬ
30а 2 ·
1226
199Ь
274a
199Ь 40Ь 2 42аЬ
274а
42ab
60a2
3454
461b
461a
80b Z 63аЬ
80а 2
Матрицы распределенныx масс для элементов с малым числом степеней cвo
боды и простыми интерполяционными функциями, как это, можно наблюдать по
изложеиным ранее материалам, получены в замкнутой форме с помощью анали..
тическоro интеrрирования. Однако реmения в замкнутой форме получить невоз"
можно, коrда речь идет о сложных элементах с большим числом степеней свобо
ды и более сложными интерполяциощIыми функциями, ЧТО, в первую очередь,
относится к криволинеЙНЫм элементам. В таких случаях матрицы ра<:пределен"
иыx масс определяют численным путем таким же образом, как и матрицу жест..
кости элемента.
9.3. МАТРИЦА ДЕМПФИРОВАНИЯ
Матрица демnфировавия элемента соrласно выражению (9.16) определена
тем же способом и с помощью тех же интерполяционных фунКЦИЙ, что и матри"
ца масс, только вместо плотности/? в подынеrpальномM выражении вводят коэф"
фициент демпфирования с. По этой причине структура этой матрицы такая же,
как и матрицы распределенных масс. В СВЯЗИ С этим подобным образом опреде..
ленную матрицу называют матрицей расnреде.ленноzо демпфирования. Физиче..
495
ский смысл элементов матрицы демпфирования аналоrичен значению элементов
матрицы масс: элемент Сц матрицы С представляет собой суммарную силу в узле
t в направлении k, вызванную единичной скоростью в узле j, в направлении 1, в
то время как остальные суммарные скорости, как и перемещения и ускорения во
всех узлах элемента, равны нулю.
В динамическом расчете инженерных конструкций матрица демпфирования
иrрает важную роль. По выражению (9.13) силы демпфирования пропорцио..
нальны скоростям, а направление их действий противоположно направлению по..
еледних, что следует из rипотезы линейною вязкою трения. В отличие от мат..
риц масс и жесткости, которые в практических расчетах определяют без затруд..
нений, составление матрицы демпфирования часто затруднено, поскольку невоз"
можно определить общее выражение, по которому бы вычислялся коэффициент
затухания для конструкций различной формы и различных материалов. Для
точноro получения коэффициента затухания необходимы экспериментальные ис..
следования.
Существует несколько способов экспериментальноro определения коэффици"
ента затухания. Простейший и чаще всех применяемый способ основан на изме..
рении снижения амплитуд перемещений свободныx колебаний. Если v n ......... амп"
литуда колебаний в какой"то момент времени t, а v n + т ......... амплитуда колебаний
после цикла т, то коэффициент относительноro затухания
8т 8т
== ,
2 пт (6)/<U D ) 2 пт
(9.36 )
rдеЬ m лоraрифмический декремент;{J т = Ln<vn/v n + m);Ы' и67 р KpyroBbIe частоты COOTBeT
ственно без затухания. F
Поскольку значение относительноro затухания в реальных конструкциях
обычно ниже 20%, то, пренебреrаяUJ /6J p в выражении (9.36), как правило,
ошибка составляет не более 2 % . .
Коэффициент затухания можно определить и на основе сравнения рассеян..
ной энерrии затухания и внутренней энерmи деформации. Для случая линейно..
ю вязкою трения связь между силами затухания и перемещениями в одном
цикле наrружения можно представить в виде эллипса [8] (рис. 9.4). Коэффици..
ент затухания Torдa определяют как соотношение максимальной силы ослабле..
ния и максимaJiЬной скорости:
F pmax Fo
c == )
V max (а)а
(9.37)
rдe V max = а tJJ...-- пр<>изведение максимальной амплитуды а и частоты .
Коrда затухание нелинейно, 1'0 диаrрамма рр.........и представляет не эллипс, в
кривую форму, как показано на рис. 9.4.
В этом случае коэффициент эквивалентною вязкою трения определяют на
основе выравнивания действительной рассеянной энерrии затухания (заmтрихо"
ванная поверхность на рис. 9.4) с соответствующей энерrией затухания в случае
линейноro вязкоro ослабления (поверхность эллипса на рис. 9.4). Из этою уело..
вия вытекает, что амплитуда эквивалентных сил
А
ро== 2,j (9.38)
7ta
rдe Ар площадь в диаrpамме Fk и, представлsпoщая энерrию затухания по циклу наrpужения.
496
Fo
u
PIIC. 9.4. 3aBllcIIMoCТb ClIJIbl поrлощенlIЯ 11 перемещеНIIЙ. Рассеllвающая энерrllЯ поrJlощенlIЯ (Де..
МПфllрованllЯ)
Подставив выражение (9.37) в уравнение (9.38), получим выражение экви"
валентноro коэффициента затухания:
А
С == Р . (9.39)
е
п6>а 2
Во мноrих случаях значительно удобнее, если вместо коэффициента затуха..
ния вводить коэффициент относительною затухания
. с
== )
C r
(9.40)
rде
c cr ===2 m 6).
(9.41)
Значительно удобнее, если выра ения ССТ зависят от жесткости системы:
, 6)2 k 2 k (9 42)
c cr == 2 m == 2 m == ) ·
6> т6) 6)
поскольку жесткость k можно получить, используя выражение для внутренней
энерrии деформации, которую изменяют таким же способом, как и рассеянную
энерrию затухания с тоiлишь разницей, что наrружение производят постепенно
для избежания динамических эффектов. В. этом случае для статическоro Harpy..
жения диаrрамма Fs.........u приведена на рис. 9.5.
При этом:
k == 2 А! ) (9.43)
а 2
а коэффициент относительною затухания
Ар
== Се == 6)п а 2
C cr 2. 2 As
а 2 "
== Ар
47tAs
(9.44)
497
Р.
1,0
k
ka
{: {::: <-
...-: .i ..
, . ,
, , ,
, ,
u
U max = а
PIIC. 9.5. Jlllнейная завllСIIМОСТЬ СИJIЫ поr ЛОЩ НИЯ и перемещеllllЙ
Коэффициент отвосительноro затухания, который оП})еделен выражением
(9.44), явно не зависит от частoты &J, во пропорционален диссипативной энерrии
затухания, и наоборот ....... пропорционален внутренней энерmи, соответствующей
максимальному перемещенИIO в течение одноro цикла наrружения. Однако в
каждой систе е с вязким затуханием диссипативная энерmя зависит от KPYro..
вой частоты <SV, а значение внутренне зависимо ОТ6) .
Механизм лииейиоro вязкою трения приводит К удобной математической
формулировке уравнений движения. Однако затухание в конструкциях из жест..
ких материалОТI с появлением mстерезиса в диаrрамме сила.......переМещение
(рис. 9.6) не аютветствуют предположению о вязком трении. Силы затухани
векторно совпадают со скоростями, но им не пропорциональны, а зависят от иа..
пряженно"деформированноro состояния, т.е. от перемещений. В этом случае си..
лы затухания можно показать в форме:
iI
Fp== kful '
1111 t (9.45)
==u .. -
rде коэффициент относительноro затухания, так что силы затухания пр<>порциональны BНYT
ренним силам системы.
Для определения коэффициента затухания можно использовать выражение
(9. 4) для вязкоro трения, но при этом вместо Ар вводят площадь действителъ"
нои петли rистерезиса.
В МКЭ не может формироваться матрица демпфирования системы С с по..
мощью матриц демпфирования отдельныx элементов по ан оrии с матрицами
масс М и жесткости К, так как невозможно получить матрицы демпфирования
для отдельных конечиыx элементов. В связи с этим матрицу демпфирования С
определяют для всей системы на основании общей дисссипативной энерmи сис..
темы в течение действия наrрузки.
При определении демпфирования С допускают, что полное затухание систе..
мы равно их сумме, которые отвечают отдельным характерным формам колеба..
ний системы. Таким образом, по методу разложения по собствениыM формам, о
которой речь впереди, действует уравнение пропорциональности
Ф; СФi == 2 6)i i 3 jj ) (9.46)
?е .i коэффициент затухания i ой формы; 8 i} символ Кронекера (8;) = 1, i = }, 8 i} = О,
l = J).
498
F
А.
u
Рис. 9.6. ПетJUI rистерезиса как мера п()r Jlощения
Коэффициент относительноro затухания для отдельных форм колебаний оп
ределяют экспериментальныM путем. Например, измерением амплитуд свобод
Hыx демпорированныx колебаний (ио = Фi для формы колебаний [) или по Bы
ражению (9.44) на основании измерения энерmи диссипации и внутренней
энерmи деформации. Поскольку в рамках расчета система уравнений распада
ся на систему независимыx между собой у внений, так что в каждом из них
фиryрирует соответствующий коэффициент r l(i = 1,2 ... п), то и не существует
необходимости в составлении матрицы деМПqJИРОВания. Тем не менее в случае
так назьmаемоro прямоro интеrрирования уравнений движения (9.17), как это
будет ,видно далее, необходимо сформировать матрицу демпфирования с. Тоrда
матрицу С на основе mпотезы Релея изображают как линейную суперпозицию
матриц масс и жесткости:
С==сх M+ kJ
(9.47)
rдеol. ,.fi соответствующие постоянные, определяемые с помощью коэффициентов затухания f i'
ДЛЯ двух любых между собой независимЬ1Х ф<>рм колебаний.
Подставив выражение (9.47) в уравнение (9.46), получим:
фТ (ос M+ К) Фl==2 (а)1 l.)
&:J. 8)
соответственно
a;+ oof==2 ooi i. 9.49)
Если ура нение (9.49) записать ДЛЯ6]I' 1 и Ы2' r 2 и решить по olиfl для
постоянных о/, и.J3, то
2001 002 (6)2 1 001 2)
СХ== :J
ы bll
499
(3 == 2 «(,)2
2
(,)1
1) .
2 2
6)2
6)1
(9.50)
Способ определения ПОСТОЯННЫХ d.. и fl по выражению (9.50) можно обоб..
щить и на большее число коэффициентов затухания при условии, Korдa матрицу
затухания представляют в значительно более сложном виде:
p
1
С ==М L Ak(M
1 K)k)
k==O
(9.51)
rде ..lk
коэффициенты k = 1,2 ... р, которые определяют из р уравнений:
t: 1 { а о 3 2P
3 )
1 ==
+.2"1 <U j + Р'2 <Uj + · · · +,ap
l <Uj ·
2 00.
1
(9.52)
Для р -= 2 .выражение -(9.51) аринимает вид матрицы демпфрирования Ре..
лея (9.47).
Матрица демпфрирования, которая определена по уравнению (9.51), в 06-
щем случае является полной, а не ленточной, что указывет не серьезный недо..
статок в смысле применения способа для численноro решения, которое при этом
становится ДОроl'OCТOящим. Вследствие этою чаще Bcero применяют матрицу де..
мпфрирования Релея, хотя ее использование приводит к завышенному демпфри..
роваиию для высших l'арМ08ИЙ.
Резюмируя вышесказанное, можно сделать вывод о том, что основу для об..
разования матрицы затухания в МКЭ представляет преДПОJlожеиие -о суперпози..
ции по формам колебаний. коэффициентов затухания, либо в случае применения
метода расчета в ообствениыx формах, либо при прямом иитerpиpoвани.и уравне..
иий движения.
В случае, если рассчитывают конструкции ИЗ различных материалов, как,
например, в случае взаимодействия объекта и rруита и т .п. с учетом -существен..
HOro различия свойств в отношении затухания, необходимо образовывать -специ..
альные матрицы демпфрирования для конструкции и для rруита. На ЭТОМ же
принципе можно вводить отдельные матрицы демпфрирования для
де.ЛЬНЬIX
частей системы конструкций, которые по конструктивным качествам и характе..
ристикам затухания отличаются от остальных частей системы, например области
больших концентраций напряжения около опор и т .п.
9.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТЕЙ И СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
КОНСТРУКЦИЙ
Ero сводят к нахождению реmения однородной системы дифференциальных
уравнений движения (9.17). При определении реmения следует различать два
случая: собственные колебания без затухания и с затуханием. Рассмотрим слу"
чай собственных колебаний без затухания. Эту задачу определяют следующими
дифф
ренциальными уравнениями:
Mq+Kq==O.
(9.53)
Если вектор ,обобщенных перемещений в узлах системы .
500
'fI==q e i 6) t )
(ei'CA) t=:<COS <а) t+i stn.(d t»).
(9..54 )
то матричное уравнение (9.5.3) щшиимает вид
(К -----(d2 М) iI == О )
{9.55)
и представляет уравнение собственных колебаний рассматриваемой .сиcrемы. Си
стема алre6раических уравнений (9.55) имеет решение, кроме тривиалыюro
(q 8: О), ТOJIЬКO тоща, KOrдa детерминант этой системы равен НУJlЮ, T e.
j K 6)2 М 1==0.
(9.56)
Если выражение (9.56) дано в. 'развернутом виде, то оно представляет xapaK
т истическиi полином п ro порядка по GJ 2' имеющий п корней Ы ,
Ы2' ...6) ...ru:, rде п порядок матриц К и М или число степен й свободы систе
мы. Поскольку К и М положительно определенные матрицы, то все корни
полинома ...... действительные положительныe числа и представляют собственные
частоты или собственные формы колебаний системы. Каждому значению 6.J i co
ответствует один собствеииый вектор q;, представляющий соБОЙ собственную
форму колебаний. Последняя, отвечающая собственному значению 61; = О,
представляет перемещение системы как жесткою тела. Во всех случаях, коrда-
перемещения конструкции как жесткоro тела оrpаничены опорами, не сущ ву
ет возможности получения собственных значений, равных нулю. Случай",Z = О
возможен только в механизмах и системах без опор, т.е. у тел, свободныx в про
странствах.
Векторы собственных форм имеют свойство ортоroнальности, которое пред
ставлено выражением
T { l, i==j
qi М Чj == ..
О, I=1=J.
(9.57)
Для определения собственных значений векторов дискретных структур, KO
торые получают по МКЭ, разработаны методы и проrраммы дЛЯ ЭВМ. Эффек
тивность отдельных методов в большей мере зависит как от вида задачи, т.е. от
матрицы К и М и ширины ленты этих матриц, Ta K и от тoro, необходимо ли BЫ
числять все собственные значения или только определенное ч:tlСЛО самых малых
значений. Все эти методы в основном сводятся к cтaaдapтHOldY виду задач на
собствениые значения:
(А л I) У==о!
(9.58)
rдe А квадратная симметричная матрица; 1 единичная матрица п ro порядка.
3наченияД i(i = 1,2 ... п), которые удовлетворяют уравнениям (9.58), назы
вают собственными значениями матрицы А. Поскольку определение собственных
значений для уравнений (9.58) считается стандартным и известным, то необхо
димо только выполнить преобразование выражения (9.55) к виду (9.58).
Коrда матрица М диаroнальная, что соответствует сосредоточенным массам,
преобразование выражения (9.55) в уравнение (9.58) является простым образо
ванием матрицы
501
1/2
M II
M I/2
22
(9.59)
Мl/2 ==
М У2
11
м 1/2
nn ....
и- вектора
q M 1/2 У)
(9.60)
rдe lf 1 / 2 обратная матрица матрицы M 1 / 2 .
После этою, подставив выражение (9.60) в уравнение (9.55) и умножив БЫ
ражение на Мl/2, из равенства (9.55) riереходят в стандартную форму (9.58), в
которой:
A==M 1/2 KM 1/2)
л==(.U2 )
q M 1/2 У.
(9.61)
Для такою преобразования необходимо, чтобы матрица м Былa не особен..
ной (M ii (= О, i = 1,2 ... п). Если матрица массы М...... синryлярная (особен...
ная), то сначала необходимо осуществить конденсацию системы (9.55), а затем
применить ранее показанное преобразовние. В случае матрицы распределенных
масс, которая не является диaroнальной, переход от выражения (9.55) куравне..
иию (9.58) можно провести с обращением матрицы жесткости:
(K l М л 1) q О)
л== 1/()j2.
(9.62)
Однако такой способ не Bcerдa удобен, поскольку в общем случае пропадает
симметрия в формулировке задачи. Вследствие этоro применяется способ деком..
позиции матрицы жесткости или матрицы массы на две треуroльныe матрицы
K==LLT,
")
(9.63)
rдe L нижняя треуroльная матрица; L T верхняя или перенесенная матрица L.
ДЛЯ получения этих матриц разработаны специальные методы (например,
метод Холецкоro). Обращением матрицы К в ,выражении (9.63) и подстановкой
в уравнение (9.62), а затем умножением на LT' получают:
(LTL TL l М лLТ) q О,)
502
соответственно
(L 1 М.......л Li) q о.
(9.64 )
Умвожением выражения (9.64) справа на L T, rдe L T ......... обратная матрица
матрицы LT, получают стандартный вид
(А....... л I) У::::; О
A==L l ML T J
(9.65)
rде
у ==LT q.
(9.66 )
По выражению (9.66) матрица А ......... Bcerдa симметрична. Решением ypaBHe
ний (9.65) получают собственные значения J1 i и векторы Yi' а затем
2 1. L Т У
6)i == qi== i.
Л. , (9.67)
I
Вместо декомпозиции матрицы К можно выполнить декомпозицию матри
цы М: /
M==L LT ·
.
(9.68)
q ==L T У
и опять получить стандартный вид
(А л I) у==о)
(9.69)
rде
A==L l KL T J
л==ы 2 .
(9.70)
Метод декомпозиции матрицы К (или м) на две треyroльныe матрицы He
возможно применить при условии, если матрцца К ......... синryлярная, что бывает в
конструкциях без опор, т.е. у тел, свободных в пространстве. В этом случае для
определения характерных значений к выражению (9.51) прибавлЯIOТ и вычита
ют произведение d М, rде 0/,......... положительное число. Таким образом, это Bыpa
жение принимает вид
(К+ос М) ( +6)2) М] q==O.
(9.71 )
Если М ......... полная диаroнальная матрица Мц = О, t = 1,2 ... п, тоrда сумма
К + r:J.,M Bcerдa является несинryлярной матрицей, а выражение (9.71) можно
привести к уже показанному стандартному виду, в котором
л== 1
сх + 6)2
(9.72)
Конденсаация системы с большим числом степеней свободы. Определение
собственных значений и векторов ......... дороrocтоящие вычислительные операции.
503
Расход времени работы ЭВМ значительно больше, чем время, которое необходи
" "
МО для реmеllШl соответствующеи статическои задачи.
это особенно существенно для систем с большим числом степеней свободы.
Можно значительно снизить трудоемкость, если решение задачи собственных
значений получить достаточно точно сведением системы к значительно меньше
му числу степеней свободы от числа, которое необходимо ДЛЯ получения стати
ческою решения той же точности. ПодобнЫЙ способ определения собственных
значений называют .методо.м конденсации системы или способом редукции cтe
пеней свободы. Метод конденсации системы основан на допущении, что не все
собственные значения и формы колебаний ЯВЛЯЮТСЯ необходимыми ДЛЯ анализа
динамическоro поведения системы. Динамические характеристики и поведение
инженерных конструкций обычно можно довольно точно описать с помощью He
скольких первых важнейших собственных значений и соответствующих им форм
колебаний.
Если в векторе перемещений в узлах системы q JSмеется п составляющих и
соответственно п степеней свободы, то число составляющих т принимают как
rлавное, а остальные s = п....... т ....... как второстепенны , так что
q == [ Чт ] ,
, ч.
(9.73)
При этом предполаrают линейную зависимость
ql==fq )
(9.74)
а вектор q представляют в виде
q==Tqm)
(9.75)
rде
Т==[ ;}
(9.76)
Здесь 1т представляет единичную матрицу т ro порядка.
Подставив выражение (9.75) в уравнение (9.55), а затем умножив ero на те,
получим
(Kт (a)2 м ш ) Чт===О
(9.77)
rде
Кт==ТТ КТ)
Мт==ТТ МТ.
Систему из т(т < п) уравнений (9.77) уже показанныM способом можно
привести к стандартному виду и найти решение для т собственных значений и
т собственных векторов. Матрицу преобразования Т, с помощью которой прово
ДЯТ редукцию системы из п на т степеней свободы, получают из однородной си
стемы уравнений статическоro равновесия. Из этих уравнений, которые можно
показать в виде
[ Ктт Kт ] [ Чт ] == О)
K.m Kss Ч.
(9.79)
504
непосредственно .следует, что
4. == ....... ,к;;1 Кат qm.
(9.80)
На основе сра.внения .выражений (9.74) и (9.80) получают матрицу
.!
Т == ..... Kss Ksm.
(9.81)
Мe-r.од конденсации применяют и в том случае, коrда в ,матрице сосредото..
.ченных масс -определенное число членов на' диаroнали равно нулю. Torдa матри"
цу масс образуют непосредственно в 4юрме
м == [ 'М т О ] .
'.0 -о
{9.82)
..а затем 'по выражению (9.78), принимая во внимание уравнение <9 8i), образу..
.ют .соотве'rCFВУЮЩУЮ матрицу:
-Кт == Кпun K m.K ss I Ksm .
(9.83)
Таким способом задачу сводят к 4юрме (9.77), для которой определяют соб..
,ственные значения ,н векторы.
.В процесс е конденсац:аи системы ставят вопрос о способе выбора rлавных и
..второстепенныx ,степеней свободы. В качестве общеro критерия при этом может
,стать.и следующее правило: в качестве второстеценных степеней свободы иеоб..
ходимо 'принять те, которые вносят небольшой вклад в образование всей кинети..
-ческой энерrии -оистемы. Следовательно, степени свободы в тех узлах, в которых
Maccы алы 'или равны нулю, соответственно узлы с малыми 'ускорениями
'или .равными -нулю. В качестве практическоro совета в этом смысле можно реко..
мевдовать,определение частноro диаroнальных членов матриц жесткости и масс:
ХН
, . ( i ==.) , 2 . . . N )
'Mii
и .исключение, -как второстепенных, этих узлов, т.е. степеней .свободы с .БОJIЬШИ"
ми значениями этоro частноro, а также сохранение, как rлавиых, узлов 'и 'соот..
,ветственио-степеней свободы с меньшими значениями .этоro частиоro.
'-Примеры .расчета частей и форм собственных fCолебаНИЙ. Поперечные 1Соле
.банuя,стержня. -На рис. 9.7 показан стержень L = 21, -который .овободно Gпира"
ется по ;-краям. Стержень разделен на два конечных элемента. Необходимо опре..
делить-еro собственные значения и 4юрмы колебаний.
С учетом-симметрии стержня задачу можно решить с помощью олько -одно"
ro конечноro элемента с двумя случаями rраничных условий, "пmcаз-зиных иа
рис. 9*7, .а, б.
Матрица,жесткости стержня определена выражением .(2..107), а матрица рас..
пределенных 'масс выражением (9.20). В показанном на 'рис. '9.7, л .случае не..
ремещения в узлах 1 и 2 равны нулю, следовательно, трицы ЖecI'*ости И 'Масс
уменьшаются и становятся:
2/2 /2 4/2 3/2
tEI m
k== т== (.
/3 320
12 21 (m==p/F) 312 4/2
.505
.
EI,p
а)
L=21
1
2
V2 =0
Vl =0
б)
Vl = о
1
I <.02 = О
Рис. 9.7. ЛlIнеЙllая опора, сообоДIIО ОПIlРающаяся 118 краях
Соrласно выражению (9.55) составляют уравнение относительно собственных
v -
значении
2/2
/2
4/2 3 /2
({>.1
ЕI
/3
m
cu 2
420
==0.
L /2 2/2
3/2
4 12 .... ..... rp 2 ....
....
с введением обозначения
1 ml 3
s 2 == 6)2...............
840 ЕI
хараК'rеристическое уравнение ЭТОЙ задачи:
2 (1 2 S2)
I + 3 S2
1 + з s2. == о
2 (1 ..... 2 S2) - )
соответственно в развернутой форме
7 S4 22 82 + 3 == О,
откуда:
, 1m
s ==O.143 6») == 10.954 V П1/ 3 }
I ЕI
S == 3.0 <->2 == 50,200 V m /Э '
ql==[ ]J ==[ }
в случае, показанном на рис. 9.7, б, перемещение в узле 1 и вращение в уз..
ле 2 равны нулю, следовательно, матрицы k и т уменьшаются и становятся:
2/2 31 r 4/2 ...
13/ 1.
Е! m
k== m ::;!; ............... ·
12 i 420 156J
J
.1.. 3/ 6 131
506
Рис. 9. . Xap-терllhIе формы Вllбр8ЦIIЙ своООДII() ОПllрающеrocя стерЖIIЯ
в этом случае детерминант системы имеет вид
(2 4 82) 1 ( з t 3 S2) 1 1
==0
( з 13 82) / 6 156 82 I )
соответственно в развернутой форме
45584 --- 414 S2 + 3==0.
Решением этоro уравнения получают собственныe значения и векторы Qi,i ...
1,2:
.....
4.027
1
6)1 == 2.477 ;
6)2 == 27.54 ;!: ;
1
1
'
si == 0,00730 '
,
2 9 ·
82 о. 03 ,
Чl ==
Ч2==
1.,
0.109
собственныe формы колебаНИЙ показзНЬ1 на рис. 9.8.
Колебания nЛOClCОЙ n.лaстины. На рис. 9.9 показана консольная пластина
треуroльной формы, которая, предполаrается, находится в состоянии плоской де--
формации. Применяя систему из пяти конечных элементов треуroльной формы с
узлами в вершинах (СSТ..элементы), необходимо определить собственные значе..
ния и собственныe формы колебаний.
507
у
><
м 3
Е==30 000'000 мtf/M 2
v==0.16
Ь==1.0 m
2 4 2 ....2
Р ==. кН.м. сек"
5
11
с)
1
х
........... ................... ........... .................f/!i,...fl!.............. -.-:....
:::::,;:::: .:;:h; ::::: :;:::;::i :tt;; ;:: : :: ;: ..
20
PIIC. 9.9. к()IIс()JIыlи ПJI()СUЯ 1IJI8CТll1lа. Сетка 1c()lIечIIых ЭJlемевтов
Координаты узлов:
У3М I х .у
I О О
2 20. О
3 О 10.
4 10.333 10.
5, О 20.
6 6.666 20.
7 О 30.
Матрица D для плоской деформации
1 оу' О 1. 0.1905 О
D Е' оу' 1 О == 31947262. 0,1905 1. О
ТI
1 оу'2 1 ..... оу'
О О О О 0.4048
2
Матрицы жесткости отдельныx элементов определяются соrласно выражению
(4.54)
k.. == [ b i bj + 0.4048 С! Cj 0.1905 Ь ! Cj + 0.4049 Ci Ь ) ] ,
I) 46 0.1905 Ci b J + 0.4048 b j Cj С! c j + 0.4048 Ь ! b j
rдe b i , С; иД определяют по выражению (4.40).
508
Подставив соответствующие цифровые значения, на основе этою выражения
для матрицы жесткости отдельных элементов получим:
11799 озg69 0,6402 0,0159 0,5397 ...... 0,381 О
0,8492 0,4127 0,4841 0,8096 1,3333
lt 7196 ...... 07937 1,0795 0,3810 .
k 1 == Qt ,
Симметрично 2,1826 0,8096 .... 2,6667
1,6192 О
4,0000....
«== 7986815,415
1,0795 О О ...... 0,8096 1,0795 --- 0,8096
2.6667 ...... 0,381 О О 0,3810 ...... 2,6667
185000. О --- 1,5000 0,3810 ..
k 2 == « ,
Симметрично 0,6072 0,8096 .... 0,6072
2,5795 ...... 1,1906
3,2739
1,7699 0,5953 1.2301 0,2143 O 5397 --- 0,381 O
,
182739 0.2143- 0'.0595 0.8096- ...... 1.3333
1.7699 {).5953 0.5397 083810 ·
k3 =-« 182739 088096' 1.3333
Симметрично
180795 О
J 2.6667
...
0,S397 О О ..... 0,8096 0,5397 0,8096 1
1,3333 ...... 0,381 О О 0,381'0- .... 1,3333
3,0000 О --- 3,0000 0,381 О
k4 == « ] ,2144 0,8096 ...... 1,2144
Симметрично
3.5397 1,1906
2,5477
....3,5398 1 ,1906 .... 3,0000 ...... 0,8096 ...... 0,5397 ...... 0,3810
2t 5477 ...... 0,381 О ...... 1 ,2144 ...... 0,8096 .... 1,3333
3,0000 О О 0.381 () ·
Ш 1 == а. ,.
Симметрично 1,2144 0,8096 О
..
0,5397 О
1,3333 509
ДЛЯ матрицы распределенных масс отдельных элементов соrласно выраже--
НИIO (9.25) получают:
2 О 1 О 1 О'"
2 О 1- О 1
2 О 1 О
ш. == 2 О 1
Симметрично
2 О
2
==20.0
1,3333 О 0,6667 О 0,6667 О
I 1,3333 О 0,6667 О 0,6667
1,3333 О 0,6667 О
m2==mз== Симметричн() 1,3333 О 0,6667
1,3333 О
1,3З33
0,6667 О 0,3333 О 0,3333 О
0,6667 О 0,3333 О 0,3333
0,6667 О 0,3333 О ,
М. ==Ш 5 == Симметрично 0,6667 О 0,3333
0,6667 О
0,6667
Матрица жесткости системы:
2.2594 0.3969 .Иt2 ......81" ....1.0'795 '.1D96 .....0.,341 .......- . .
'.,159 .....27 ........ 0.38" ....2."" '.J906 1.333J O О
1.7937 ....0.1937. . 1.019' 0.38.0 . .
2.1126. О 0.8096 ....2.6667 . О
4.1191 .....5953 ....2.7301 0.,953 O.5391 О
5.1811 0."53 O."'71 0.3818 I.3333 '.I906 '.]33)' О
. . . .
о о . .
о о . о
о о о о
0.1096 0.5397 '.I906 О
к...
".П91 .....0.5953 .
5.8811 О
7 .0796
о .....0.5391 0.3810 О .
О 0.8096 . 1.3333 О .
О .OOOO о .....0.5391 .3810'
5.0954 О .....2.4288 .....0.8096 ....1.3333
7.0796 О О 0.3810
'.0954 0.1096 О
0.,397 .
1.3333
..7986815,415
510
Матрица раcnределенных масс системы:
13.3333 О 1. О 0,.6667 О 1.6667 () О О () О О О
3-.3333 О 1. () 0.6667 О 1.6667 () О О О () О
2. (} О О I () О О О О О О
2. О О О J . О О О О О О
3.3333 О 1.3333 О 0-.3333 О 1. О О О
3.3333 О 1.3333 О 0.3333 О 1. () О
4.6667 О О О 0.6667 () О (}
M:к 4.6667 () О (} 0.6667 О е
1.3333 () 0.6667 О 0.3333 О
1.3333 О 0.6661 О 0.3333
2.6667 О 0.3333 О
2.6661 О 0.3333
0.6667 О
0.6667__
а = 20,0
Матрица сосредоточенных масс системы:
6.6667
6.6667
4
4
6.6667
6.6667
M:к 9.3333
9.3333
2.6667
:6667
5.333]
5.3333
1.3333
1.3]33 __
-20,0
Собственные частоты системы определяют детерминантом:
1 К 2 2........ л M22 1 ==O I
л == ( /«-) 6)2 J
rде К22 ' М22 соответствующие блоки матрицы жесткости и матрицы масс с неизвестными cocтaB
ляющими вектора перемещения q и ускорения q.
Вычисляют собственные значения с помощью roтовой nporpaMMbl (ЯКОБИ)
дЛЯ ЭВМ. Решения для крyrosой чаСТОТЫ6)i -JJ. ..J#fiи периоды T i , отвечаю...
щие отдельным формам колебаний, показан в табл. 9.1.
относительныe перемещения первых пяти форм, которые получают с матри"
цей распределенных масс, приведены в табл. 9.2, а соответствующие формы ко..
.лебаний ...... на рис. 9.10.
Поперечные колебания плит. На рис. 9.11 показана квадратнаsж плита, КОТО"
рая закреплена вдоль всех четырех СТОроН. С сеткой размером 4х4 несовместных
511
конечных элементов с 12..ью степенями свободы необходимо определить собст..
венные значения и собственныe формы колебаний для случая разделенных и со..
средоточенных масс.
ТОН
КОНЦЕНТРИРОВАННЫЕ
ы МАССЫ Т
rad. c l I с.
Таблица 9.1
РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ
ы МАССЫ Т
rad. с... ! I с.
1 124,64 0,0504 133,76 0,0469
11 281,82 0,024<1 280,28 0,0224
IП 279,63 0,0225 356,51 0,0176
IV 411,51 0,0153 653,40 0,0096
V 511,33 о, 0123 699,29 0,0090
VI 579,80 0,0108 977,44 0,0064
VII 648,36 0,0097 1149,76 0,0055
VIll 695,66 0,0090 1258,54 0,0050
IX 1030,15 0,0061 1858,57 0,0034
Х 1227,62 0,0051 2210,09 I 0,0028
Таблица 9.2
I
УЗЕЛ .... J 11 111 IV V
u 0,O240 0,0820 0,0338 t 0,0152 O,OOOS
3
v 0,0137 0,2681 0,0071 0,0382 '0,0000
u O,0186 ......0,1302 0,0296 0,0519 0,0047
4
v 0,0071 0,1728 0,0085 0,0122 0,0081
" u 0,0604 O,0622 0,OO52 O,0456 0,0043
5
v 0,0238 . 0,4922 0,ОI3З 0,0479 O,OOI2
u 0,0579 O,0878 0,0027 ......0'061 О ......0,0055
6 ......0'00 12 0,4082 0,0227 O,OI20 O,OO29
v
u o, 1053 0,0602 0,0986 0,0811 0.0177
7
v O,02S4 O,W32 ......0,0177 0,1331 O,OOS4
= p Y 1 ;жecrкoc:rи элемента ВЫЧИСЛЯЮТ по выражению (7.53) , подставив
. ЕЬ!
Dx == Dy== 12== D}
Dl==O)
D xY ==O,5 D..
512
Рис. 9.10. Хараперllые виды Вllбраций
513
!<о/ Wf(Ш1' . @ , :::'<:: !> t- \ '
,..
!i :
;
:jt
.;;
.. =f: :. : ..-:
.,
::?.
"'k..
;;
;j
4
. I ?:i
« ><
:.
Е,Ь.р
v=O
4 х 1 ,О
Рис. 9.11. Квадрarная ПЛIIТа, зaжarая П() кошуру
Матрицу жесткости системы составляют из матрицы жесткости отдельных
элементов по схеме, приведенной на рис. 9.12.
1 2 1 2 1 2 1 2
Ф (J) @
4 3 3
1 ф2 1 2
@
3 4 3
4
1 @2 2
3 3
4
1 2 1 1 1@ 2
@ @ @
4 3 4 3 4 3 4
Рис. 9.12. Сетка конечных элементов. ОбозначенlIЯ в соответствии с локальной и общей системами
координат
Матрица жесткости элемента:
10.8 2.2 2.2 .... 4.8 0.8 .... 2.2 ....1.2 0.8 O.8 ....... 4 . 8 2.2 ..... О. 8....
2.2 1.6 О 0.8 0.4 О ....... О. 8 0.4 О .... 2.2 0.6 О
2.2 О ) .6 2.2 О 0.6 0.8 О 0.4 0.8 О 0.4
4.8 0.8 2.2 10.8 2.2 2.2 4.8 2.2 0.8 1.2 0.8 0.8
0.8 0.4 О 2.2 1.6 О .... 2.2 0.6 О 0.8 0.4 О
2.2 О 0.6 1.2 О 1.6 0.8 О 0.4 ..... 0.8 О 0.4
K==D
1.2 r---- 0.8 0.8 .......4.8 ...... 2. 2 0.8 10.8 2.2 2.2 4.8 O.8 2.2
0.8 0.4 О 2.2 0.6 О .......2.2 1.6 О ....0.8 0.4 О
514
0.8 О 0.4 0.8 О 0.4 2.2 О 1.6 2.2 О 0.6
4.8 ........2.2 0.8 1.2 ..... 0.8 0.8 4.8 O.8 2.2 10.8 ...... 2. 2 .... 2.2
2.2 0.6 О 0.8 0.4 О 0.8 0.4 О 2.2 1.6 О
..... 0.8 О 0.4 0.8 О 0.4 2.2 О 0.6 2.2 О 1.6
Матрица распределенных элементов:
......3453 461 ..... 46 t 1226 199 274 394 116 116 1226 274 199
80 63 199 40 42 116 30 28 276 60 ..... 42
80 274 ...... 42 60 ....... t 16 28 ..... 3 О ..... 199 42 40
3454 461 461 1226 274 199 394 166 .......116
80 63 274 60 42 116 30 28
80 199 42 40 116 28 30
т.. . 3454 ..... 461 461 1226 ......199 ..... 274
80 ...... 63 199 40 42
80 274 ...... 42 60
3454 .......461 461
80 63
8 о......
рЬ
== 25200
515
00 .... 00 .... f'1 ....1
Q Q Q 1 ... ..с
I
00 .... .... 00 ..
Q Q .. Q ..с
00 00 \ос .... \ос .... N
... d Q 0\ .. 0\ .. ,.;
I I I t I ..
00 .... 00 00 .... .. ..
с> с:> с:> с:> d .. ..с
I I
00 .... .. 00 .... 00 ....
с:> d . d d о ..с
f'1 00 00 \ос .... f"! 00 00 \ос .... N
... d d 0\ .. ... d с 0\ .
I I I I I I I I ....
00 00 .. ....
Q с:> d ..о
.... f"! 00 .... ....
. с:> с:> \о
\ос .... f"! 00 00 .М
0\ .. с:> d
... ....
I I I t I
00 .. 00 .... ....
с:> d d .. ... ..с
I t
00 .... .... f1 00 ....
о Q .. d
М 00 00 \ос .... \с .... М
... Q с 0\ .. 0\ ..
I I I I I ....
1 .... 00 00 .... .... ....
d 'f.O Q с:> . ..о
I
00 .... .... f"! 00 .. 00 ....
о о .. Q о с v:;
f"! 00 00 \с .. f"! 00 00 \с .. N
... О о 0\ .. ... d с> 0\ ..
I I I r I I I I ..
00 00 .. ....
с:> Q о \о
.... f"! 00 .. ....
.. с о
'4) .... м- 00 00 f"!
о, 1 ... Q с:> "'"
. I I I I ....
.... ....
1 14;)
00 ....
<:> ..с
\с .... N
(1) 0\ ..
fo4 I ....
u
== .... f"! ....
u .. ... о
I =
:s:
00 .... со.
с 14;)
Q,)
g \D .... N :!
0\ .. :!
I .... :s:
U
....
=r
== ....
\IS
N
::s ..;
....
I
I Q
.
...
516
о о о о о о о о о о о \о 00 О О О i о о о о : 2 о о 01
... N "" N
... I ... f'\
I
о о о о о о о о о о о о \о О 00 00 о о о о о i о о о
... ff'\ N . N
... I v\ ... f'\
I t I
о о о о о о о о о о о о .... \о \о N !:J о о о о N О О \о
0\ ... ... v\ v\ ...
ff'\ .... ... 00
I ""
..
о о о о о о о о о 00 о о о о \о О О .... О О О
N f'\ 00 ... f'\ 00 N
... I ... I I ..
I I
о о о о о о о о о \о О о \о 00 о о о о
... ff'\ .. N 00
.... I .. .. I I ff'\
I I I I
о о о о о о о о о .... \о \о N О О : \о \о N О О \о
0\ ... ... v\
ff'\ .... ... ;s .. ... ...
I f'\ ... ... 00
ff'\
...
О О О О О О О О О О О \о 00 о о о о о
... N
.. I I f'\
I
о о о о о о о о о 00 о \о О О О О О
. .... ff'\
.... ... I I
I I I
о о о о о о о о о N О О .... \о \о О О О \о
0\ .... ... ..
f'\ .... .. 00
ff'\
....
О О О \о О О О i о о о о : о о
... f'\
... I ... f'\
I
о о о \о О 00 о о о о о о о о
.... r N 00
.... .... ff'\
I I I
о о о .... \о \о N О О О О О N О О \о .
0\ .... ... v\ v\ ...
"" .. .. 00
I ff'\
..
! 00 о о о о \о 00 О О : о о о
N f'\ 00 ... N "" N
.. I ... I I ... f'\
I I
\о о \о О О i о о
... .. ff'\
.. I .. .. I I ""
I I I I
.... \о \о N О О .... \о \о N О О \о
0\ .. ... 0\ .... .... v\ ..
ff'\ .... ... ff'\ ... .... 00
I f'\
..
О О i \о О О О О О О
...
.. I I ff'\
I
о \о О О О О О
... ff'\
v\ .. .. I I
(1) I I I
t N О О .... \о \о О О О \о
== 0\ .... ... ..
.... ff'\ .... ... 00
u N
...
о о о о о о
о .... о
00 N N
.. ff'\
I
о о о
:а о о i о
== ff'\
== О О О N О О \о
...
(1) 00 о
5 ff'\ =
...
о .... о о о
00 N :s:
.... со.
,
Q,)
= о о о о о :!
u 00 N :!
f'\
N О О \о :s:
... u
00
""
...
=r с о
.==
с о
N
ff'\
\о
::s ..
00
""
....
, с!2.
n
:s
517
Характеристическое уравнение системы:
I к ы2 М I ==0 )
соответственно
I к ......л 2 М 1==0)
rде
л 2 == (,)2 == Р h
К 25200 К
.
решено с помощью nporpaMMhI Якоби. При этом получены решени., которые приведёны в табл. 9..3.
Таблица 9.3
тон л рh (а) VK/ph TVph/K
К
1 4,6577 2,158 2,91
11 19,4530 4,4106 1,42
111 19,4530 4,4106 1,42
IV 39,3005 6,2690 1,00
V 64,0270 8,00169 0,79
УI 66,2088 8,13688 0,77
VII 93,0137 9,64437 0,65
VIII 93,0137 9,64437 0,65
Матрица сосредоточенных масс элемента является диаroИ3ЛЬНОЙ:
1
о
о
1
о
, р h
Ш==
4
о
1
о
о
1
о
о
518
Поскольку диаroнальиые члены с х и у paBны нулю, проводят конденса--
цию системы уравнений. За rлавныe составляющие вектора q принимают линей--
ные перемкщения Wi(i - 1,2 ... 9), а в качестве второстепенныx ......... уrлы -поворо--
та В х; и f! yi(i = 1,2 ... 9). Если подоБныM способом выполнить декомпозицию
матрицы м и К, то
М== [ Mww(9x9)
O(18x 9)
О(9Х 18) ] .
O(18x 10) ,
K== [ K WW (9'9)
K ew (18.9)
K 8 (9.18) 1 '
К вв (14.18)
rде:
---1
I
М::::.М ==nh.
m ww \""
I
1
(9.9)
... ...... 43 . 2 ...... 9 . 6 О ...... 9. 6 1.2 О О О О
43.2 9.6 1.2 ...... 9. 6 1.2 О О О
43.2 О. 1.2 ...... 9 . 6 О О О
43.2 9.6 О ..... 9. 6 ...... 1 . 2 О
Kww = D Симметрично 43.2 ...... 9 . 6 1.2 ...... 9. 6 ...... 1. 2 )
43.2 О ..... 1.2 ...... 9 . 6
43.2 ..... 9. 6 О
43.2 ..... 9. 6
43.2 ....
о о О 4.4 о о 4.4 О 0.8 0.8 О О О О О О О О....
О 4.4 О О О 4.4 0.8 0.8 4.4 О 0.8 0.8 О О О О О . О
О О О 4.4 О О О О 0.8 0.8 4.4 О О О О О О О
4.4 О 0.8 o. 8 О О О О О 4.4 О О 4.4 О 0.8 .8 О О
К ы 8 = D' 0.8 0.8 4.4 О 0.8 0.8 О 4.4 О О О 4.4 0.8 0.8 4.4 О 0.8 ........0.8 )
О О .....0.8 0.8 .....0.4 О О О О 4.4 О О О О 0.8 0.8 4.4 О
О О О О О О 4.4 О 0.8 0.8 О О О О О 4.4 О О
О О О О О О O.8 0.8 4.4 О 0.8 0.8 О 4.4 О О О ......4.4
О О О О О О О О 0.8 0.8 4.4 О О О О 4.4 О О
О О О О О О О О О О О О О О О О О О
К ы 6 = К 6
519
6.4 О 0.8 О О О 1.2 О О О О О О О О О
О 6.4 О 1.2 О О О 8.0 О 0.4 О О О О О О О О
О О 6.4 О 0.8 О 0.4 О 1.2 О 0.4 О О -о о о о о
о о о 6.4 О 2 О 0.4 О 0.8 О 0.4 О О О О О О
О О О 6.4 О О О 0.4 О 1.2 О О О О О О О
О О О О О 6.4 О О О 0.4 О 0.8 О О О О О О
О О О О О О 6.4 О 0.8 О О О 1.2 О 0.4 О О О
О О О О О О О 6.4 О 1.2 О О О О.а о 0.4 О О
О О О О О О О О 6.4 О 0.8 О 0.4 О 1.2 О 0.4 О ,
Хее - D. О О О О О О 6.4 О 1.2 О 0.4 О 0.4 О 0.4
О О О
О О О О О О О О О О 6.4 О О О 0.4 О 1.2 О
О О О О О О О О О О О - 6.4 О О О 1.2 О 0.8
О О О О О О О О О О О О 6.4 О 0.8 О О О
О О О О О О О О О О О О О 6.4 О 1.2 О О
О О О О О О О О О О О О О О 6.4 О 0.8 О
О О О О О О О О О О О О О О О 6.4 О 1.2
О О О О О О О О О О О О О О О О 6.4 О
.....0 О О О О О О О О О О О О О О О О 6.4...
Редуцированная матрица жесткости соrласно выражению <9.78) после прове"
денных матричных операций:
Кш == Kww К в. Кёе l Kew
имеет вид:
"'36.620 10.47S 3.254 10.475 1.200 0.875 3.254 0.875 0.073'"
33.804 10.47S 1.200 11.039 1.200 0.875 3.306 0.875
36.620 0.875 1.200 10.475 0.073 0.875 3.254
33.804 11.039 3.306 10.475 1.200 0.875
Кт == D · 31.019 11.039 1.200 11.039 1.200
33.80. О.87' 1.200 10.476
36.629 10.475 3.254
Симметрично 33.804 10.475
36.620.....
Решения хара теристическоro уравнеНия разложенной системы:
I Кm л2 М ш 1==0 ,
( Л 2.... 2 Р h )
m ...... (а) 2 S 200 D
520
Таблица 9.4
тон рh л
p h fJ)
T
D ) D ph
1 4.5736 2.139 2.94
2 17.1876 4. 146 1.52
3 11.1876 4.146 1.52
4 30.1849 5.494 1.14
5 39.5097 6.286 1.00
6 40.1179 6.334 0.99
7 49.8572
7.061 0.89
8 49.8572 7.061 0.89
9 64.2376 8.015 0.78
для случая сосредоточенных масс в узлах показаны в табл. 9.4.
Собственные формы колебаний для первых трех частот покаЗ8НЬ1 на
рис. 9.13.
PIIC. 9.13. XapaктepllbI
ВИДЫ ВllбрацllЙ ДJIЯ n
pBЫX трех ТOIIOB
9.5. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Для определения перемещений, деформаЦИЙ и напряжения в какой..либо мо"
мент времени t или так называемою динам.ическоzо ответа конструкции необ..
ходимо решить неоднородную систему уравнений (9.17). Общие механизмы, нс"
пользуемые в математике для решения подобных уравнений, в этом случае не..
521
приroдны и MOryT быть дороrocтоящими, поскольку чаще всею приходится иметь
дело с большим числом уравнений. Для поиска решения последних в динамике
конструкций при образовании их по МКЭ в основном используют методы прямо
ro интеrрирования и модальной суперпозиции.
Методы прямоrо интеrрирования. Они ocHoBaны на двух следующих апп
роксимациях:
вместо решений, отвечающих уравнениям (9.17) для любоro t, требуется pe
шение, которое этим уравнениям удовлетворяет только в определенных дискрет
ных моментах tk(k = 1,2 ... п), удаленных друr от друrа промежутками.1t;
изменение перемещения, скорости и ускорения в рамках BpeMeHHoro интер"
валаL\ t заранее определяют, т.е. задают.
Первая из этих аппроксимаций означает, что условия равновесия, которые
включают в себя и эффектЬJ сил инерционных и затухаНИЯ.lудовлетворяют толь..
ко в дискретные моменты времени tk(k = 1,2 ... п), а не для любоro t. Способ
изменения ускорения, скорости и перемещения в интервале предполаrается в за..
висимости от ТОЧНОСТИ, устойчивости и стоимости требуемою решения. Назван..
ные аппроксимации дают возможность перевести систему обычных дифференци"
альных уравнений (9.17) в область алrебры, т .е. заменить системой обычных ал..
rебраических уравнений.
Существует MHOro различных методов для дискретизации уравнений (9.17).
Чаще Bcero используют методы конечных разностей Хаболта, Ньюмарка и Вил
сона. Общим для всех этих методов является то, что они исходят из начальноro
перемещения qo, скорости qo и ускорения qo в момент to, как известноro, и что
на основе предположения об их изменении в интервалеL1 t определяют ql' ql и
ql в момент t 1 . Если для моментов времени t 1 их рассматривать как начальные
для друroro интервала t 2 ; то таким же способом MOryT быть определены q2' q2 и
q2 и т .д. Таким образом, образуется общий aлroритм для расчета величин в кон..
це интервала на основе их значений в начале интервала и предполаrаемоro ха..
рактера их изменения внутри интервала Д t.
Метод конечных разностей. Сущность этоro метода, как известно, состоит
в представлении произвольной функции с помощью ее значения в избранных
дискретных точках. В двух соседних интервалах (рис. 9.14) функцию аппрокси..
мируют полиномом второю порядка, так что первая и вторая производные опре..
делены выражениями:
1
qt == (qt+At ....qt At) i
2 t
1
qt == (qt t 2 qt + qt+4 t).
( t)2
Подставив выражение (9.84) в уравнения равновесия в момент
Mqt + ccit + Kqt == Qt j
(9.84)
(9.85)
получают:
( 1 М + 1 С ) qt+ t == Qt..... ( К.... 2 М ) qt......
( t} 2At (At)2
..... ( 1 М..... 1 С )
( t)2 2 t ЧНН.
(9.86)
522
t.... t
t
t+ t
dt
t
qt--b.t
qt+4t
Рис. 9.14. Дискреmзация ФУНКЦИII q(t) ПО спосооу диффер IIЦllацllll
Выражение (9.86) характеризует способ определения в момент t + дt, коrда
известны влияния в моментах t и t ......... L\ t. Поскольку начзльныe значения qo, qg
и qo ДЛЯ момента to известны, то из выражения (9.86) для t = О и уравнении
(9.84) можно определить
. ( t )2 ..
q t ==чо..... t q + "о ·
2
(9.87)
Таким образом, выражения (9.86) с принимаемым в расчет (9.87) представ..
ляют рекуррентное выражение для вычисления значения функций в конце ин..
тервала в зависимости от их значений в начале последнеro. НеоБХQДИМО заме..
тить, что для получения значения функции (вектора) в конце интервале t + L1 t
. используют условия равновесия в начале интервала в момент времени t [уравне..
ния (9.85)]. Такой метод определения неизвестныx в раздельных моментах вре:..
мени назыают от1Срытьш способом uнтеzрuрованuя.
Форма выражения (9.86) проста для проrраммирования, так как речь идет о
так называемом "step..by..step" (mar за шаroм) решении, в котором различают
два ocHoBHыx mara ......... начальный и текущий. После образования матриц М, С,
К и принятия шаrа интеrрации t в рамке начальноro шаrа вычисляют следую..
щие величины:
q....11 t == qo t cio а 2 iio;
,...
М==ао М+аl С
(9.88 )
.....
M==L D LT,
rде для краткости написания введены обозначения:
1 . 1 . 1
а о == (11 t)2 , а, == 2 d t' а 2 == 2 ао ·
(9.89)
в текущем mare, в любом интервале.d t осуществляют следующие операц-ии:
вычисляют вектор наrружеиия [правая сторона выражения (9.86)]:
Qt==Qt (К 2 ао М) flt..... (aoM al .С) flt 4 t
(9.90)
523
реmают систему уравнений:
Mqt+At==Q,
И определяют вектор qt + Ll t;
. определяют скорости и ускорения в моменте t
Ч, == а 1 (qt+At qt At) ;
q, ==80 (qt A t 2 qt + qt+At).
(9.91)
+ А t соrласно выражениям:
(9.92)
В случае, если затуханием системы можно пренебречь (С ... О), то ЭТИ вы..
ражения упрощаются и принимают вид:
1
( t)2 Mqt+4t==Q I
_ ( 2 ) ( 1
Q=;:Q K ( t)2 м qt ( t)2
(9.93)
м) qt 4t.
(9.94 )
Если матрица масс диаroнальна, то нет необходимости в определении коэф",
фициентов матрицы. Правую сторону выражения (9.90) вычисляют цростым
матричным умножением, а затем непосредственно из уравнения (9.91) получают
решение для перемещений:
I ( t)2
qt+At==Qi )
М..
11
(9.95)
rдe индекс i обозначает i ю составляющую вектора q или соответственно Q.
Основное преимущество метода конечных разностей над остальными заклю...
чается в возможности получения решения образованием матрицы на уровне эле...
ментов без образования матриц всей системы.
Для точности р-ешения важен шаr интеrpирования или длина интервала t.
Решения удовлетворяющей точности MOryT быть получены только при условии:
t tcr== ТВ <9.96)
1t
rдe т n самый низкий период собственных колебаний системы ДЛЯ n степеней свободы.
Решения, в которых выполнено условие (9.96), устойчивы, в то время как
решения, в которых оно не вьmолнено, являются неустойчивыми. В некоторых
случаях для получения решения высокой точности Л t необходимо взять в не...
сколько раз меньше, чем LJ t cr . Однако длина интервала.d t существенна при оп...
ределении стоимости реiпения. Время; необходимое для решения задачи, и соот...
ветственно цена решения обратно пропорциональны длине интервала А t.
Способ Хабо.лта. Способ аппроксимации производной функции через ее
значения в дискретных точках по методу Ха болта подобен методу конечных раз...
ностей и имеет следующий вид:
· 1
qt+At == (11 qt+At ......18 qt + 9 qt At.... 2 qt 2At) }
6 t
1 (9.97)
qt+At == (2 qt+At 5 Ч& + 4 qt At qt 2At) с
( t)2
524
Точность этой апп ксимации TOro же порядка, как и в случае метода ко--
нечных разностей (L\t) . В отличие от последнеro в"этом случае условия равнове--
сия записывают для конца интервала, т .е. для t + L1 t.
Mci + t +ccit+ t +Kqt+ t ==Qt+ t.
(9.98)
Подставив выражение (9.97) в уравнение (9.98), получим систему линейных
алreбраических уравнений:
( 2 11 ) ( 5 З )
М+ С+К qt+ t==Qt+ t+ M+ C qt....
( t)2 6 t ( t)2 4 t
( 4 М+ 3 c ) qt t+ ( 1 М+ 1 C ) qt 2 t,
( t)2 2 t ( t)2 3 Ll t "
(9.99)
откуда можно определит значения вектора qt-t;dt в конце интервала с помощью
qt, qf.At. и q t 2 Дt.
110ЛЬЗУЯСЬ начальными условиями для t = О, можно исключить qfjt И q '14t и
таким образом установить неопределенную зависимость между вектором в конце
и начале интервала, подобно тому, как в случае метода конечных разностей.
Основное различие между методом конечных разностей и Хаболта состоит в
том, что в последнем матрица жесткости К появляется с вектором qt+4t В конце
интервала. В связи с этим данный способ имеет неявный характер и относится к
так назывемьIмM неявным способам численноro интеrрирования. Для случая, ес--
ли С = О и М = О, уравнения (9.99) сводят к статическим условиям равнове--
сия, в которых вектор наrружения является функцией времени. Подобную зави..
симость в методе конечных разностей получить нельзя.
qt
qt+At
qt+8At
t
t+At
t+В4t
1
PIIC. 9.15. Метод B BIIJIC()Ha ДlIскреmзацllll ФУНIЩIIII
8 .мeтoд Вuлсоnа. Он основан на предположении о линейном изменении ус--
корения в интервале t, t +8At, rдe 8 ) 1 (рис. 9.15). Ускорение в любой момент
времени, в любой точке интервала с учетом линейноro закона изменений можно
представить следующим образом:
qt+'f == qt + е t (qt+8A t qt).
(9.100)
525
Выражения скорости и перемещение в момент t + rc получают непосредст
венным интеrрированием ускорения из уравнения (9.100):
2
. ... .. ...
qt+-r == qt+ qt 't' + (qt+ 6.А t ..... qt)
2 6 t '
.. . -).. 2 1 3'. ..
qt+ -r == qt + q 't' + qt 't' + 't' (qt+ 6.А t qt)
2 6e t )
(9.101)
а из этих выражений получают соответствующие выражения для t +
t.
. . о t ( " .. ) ·
qt+6.At == qt + qt+8.At + qt f
2
(9.102)
. (6 t)2 .. 2 .. )
Qt+8.At == qt + 6 t q. + (Qt+6A.t + qt.
6
На основании выражения (9.102) можно установить следующие зависимости:
6 ) 6. 2'"
Чt+8Аt == ./1 2 (ЧН8А1 Чt е л qt..... Iqt,
(6 t) L.l t .
3 . 6 t ..
qt+8At == 6/1 t (ЧН8А.t чJ 2 Чt Т Ч )
(9.103)
которые аналorичны выражениям (9.84) или (9.97) в методе конечных разностей
или Хаболта. Для получения реmения для перемещений, скорости и ускорения в
момент времени t + А t исходя ИЗ условия равновесия (9.17) для момента вре..
мени t +lJ/Jt, которое имеет вид:
М Qt+6.At + С qt+6At + К qt+8At == Qt+eAt )
(9.104)
l e
Qt+8.At == Qt + 6 (Qt+At Qt).
(9.105)
При допущении о линейном изменении наrрузки в интеrрале t, t +1I.4t, под"
ставив выражение (9.103) в уравнение (9.104), получим систему уравнений
( 6 M+ C+K ) 4It+6.At==Qt+ 6 (Qt+.At.....QJ+
(6 t)2 6 !
(9.106)
( 6 6 · 2 .. ) ( з · е t .. ) С
+ (6/1t)2 CJt+ 6At ч+ iJt М+ 6At Чt+ 2 Чt+Т Ч t .;
из которых определяют вектор qt + Bllt, а затем, по ставив r = А t, ........ вектор
qt + t или соответственно вектор qt+/Jt и qt + Li t. tI"метод Вилсона относят к
rруппе неявных методов численноro интеrрирования диффере н' ал ьных урав..
нений движения, поскольку матрица К появляется с вектором неизвестных пере..
мещений qt +0I.1t. Параметр IJ, присутствовавmий в этих выражениях (по которо..
526
qt
qt+4t
t
t+ t
Рис. 9.16. Метод Ньюмарка ДlIскреТllзацll1l ФУНКЦIIII
му метод и называют 8 MeTOДOM) имеет значение 8 = 1,4 (минимальный 8 ...
1,37), а это значение получено из условия о численной устойчивости решения.
Метод Нью.маР1С.а. Он также основан на предположении линейноro измене..
ния ускорения в отдельных интервалах времени t, t + 11 t (рис. 9.16). На базе
этою предположения устанавливают следующие зависимости:
qt+ t qt + [(1 .... 3) qt + 3 qt+ t] d t )
[ ] ,
· 1...... 2
qt+&t==qt+qt d t+ (2 ot)qt+at:qt+at:qt+&t (d t)
(9.107)
rде d и h соответствующие параметры, определяемые из условий численной стабильности и точ
ности решения.
В качестве безусловно стабильною решения Ньюмарк принимает tJ = 1/2 и
ol... = 1/3, что отвечает предположению о постоянстве значения ускорения или о
введении так называемоro cpeallezo УС1Сорения в интервале.dt (рис. 9.16). Если
= 1/6 и Ь= 1/2, то выражения (9.107) становятся ТO\JHO такими же, как и
уравнения (9.103) для f} = 1, что отвечает обычным выражениям с линейным
примеиением ускорения.
Для определения вектора перемещения, скорости и ускорения в момент t +
Jjt используют условия равновесия для времени t + Li t:
м Чt+4t + с qt+ t + К qt+ t == Qt+ t.
(9.108)
Из уравнений (9.107) и (9.108) получают общее выражение
( 1 M+ C+K ) qt+ t==Qt+ t+
(1 (d t)2 (X t
[ 1 1 . ( 1 ) .. ]
+ М. .qt + qt+ 1 Ч! +
(1 ( t)2 (х t 2 ос
[ 8 ( 8 ) . t ( 8 2) .. ]
+ С ot d t qt + -;: 1 qt + 2 -;: qt)
(9.109)
из KOТOporo определяют вектор qt-+tJt' а затем из выражения (9.107) ........ векторы
qt +1J1 И Qt +4t.
И этот способ относят к неявным методам численноro интеrрирования диф
ференциальных уравнений движения.
527
..
Разложение по собственным формам. Методы прямоro численноro интеrри
рования охватывают различные "step..by..step" способы, .которые непосредствен"
ною применяют при численном решении движения в их природной форме
(9.17). В отличие от них в методе разложения по собственным формам, во..пер..
Bых, осуществляют преобразование системы из n"oдHoBpeMeHныx дифференци"
альныx уравнений движения на n..отдельных независимых между собой диффе..
ренцизлъныx уравнений, так что каждой степени свободы отвечает одно уравне..
ине. После этою решение задачи получают суперпозицией решения отделЬНЫХ
уравнеНИЙ.
Метод разложения по собственным формам основан на решении характери..
стических векторов рассматриваемой проблемы. Отправную точку, следователь"
но, находят из уравнений свободных колебаний
Мч+Кч=:О} (9.110)
соответственно
(К .... (и2 М) ч .... == о
)
для которых определяют п..собственные значения 6)2 и п..собственные векторы.
Если из этих значений образуют матрицу Ф из собственных векторов и диаю..
нальную матрицу Л т.е.
"
(9.111)
ф == [Чl Ч2 · · · qn] ,
ы}
ы2
2
(9.112)
О2==
)
ы2
n
то решение системы (9.111) можно представить в следующей форме:
КФ==МФ11.
(9.113)
Поскольку собственные векторы ортоroнальны с М, т.е.
ФТМФ==I J
rдe 1 единичная матрица порядка n, то соrласно выражеНию (9.113):
фТ К Ф==Q2
(9.114)
Подставив
q==Ф у
(9.115)
в выражение (9.17), система дифференциальных уравнений движения будет
иметь вид
у+ф т сфу+Q2 у==фТQ
(9.116)
528
с начальным условиями:
уо==фТ МЧо,
УО==ФТ Мча.
(9.117)
Если в выражении (9.116) опустить член с матрицей затухания С, то полу"
чают систему отдельных дифференциальных уравнений BТOporo порядка:
У+а2 У==фТ Q)
(9.118)
соответственно
Yi (t)+blr У! (t)==r (t), i== 1, 2 . . . n)
(9.119)
rдe
ri (t)== q j (t) Q (t).
(9.120)
Решение ДЛЯ любоro уравнения вида (9.116) можно получить одним из спо..
собов численноro интеrpирования или с помощью интеrрала Дюамеля:
1
.. Yi (t) ==J... J ri ( ) sin (а)! (t ) d + «! sin 6)! t + ! cos bli t :J (9.121)
6)!
о
rдеd. i иfli определяют из начальных условий:
У! It=aO == ч( МЧО ,1
.. I .Т м .
У! t-O == qi Чо.
(9.122)
Интеrрал Дюамеля (9.121) определяют численныM путем. Решение для сис..
темы уравнений (9.17) и соответственно для полноro расчета конструкции в те..
чение времени получают суперпозицией отдельных решений (9.121), т .е.
q (t) ==! qj Yj (t).
D
(9.123)
По этой причине для получения решения методом разложения по собствен..
ным формам необходимо,в первую очередь, определить собственные значения и
собственные векторы, а затем образовать отдельныe уравнения, найти их реше..
ния и выполнить суперпозицию полученныx решений. Если эффекты затухания
таковы, что их приходится учитывать, то система уравнений (9.116) остается од"
новременной. В этом случае в рамках метода разложения по собственным фор..
мам предполаrается, что затухание пропорционально собственныM значениям
отдельных форм:
qf Cqj == 2 blj ! 3 ij J
(9.124)
rдe (i параметр затухания, соответствующий форме i, а lJ'ij дельта симВOJI Кронекера.
С помощью выражения (9.124), в котором предполаrается ортоroналЪНОСТЬ
(прямоуroльность) собственных векторов и матрицы демпорирования С, система
(9.116) переходит в n"отдельных уравнений:
529
Yi (t) + 2 CJ)i й Уй (t) + CJ); У! (t) == r j (t) ,
(9.125)
которые с начальными условиями (9.119) составляют задачу решаемую тем же
путем, что и в случае, Korдa не принимают во внимание затухание. Так для ре..
mения выражения (9.125) в форме интеrpала Дюамеля получают:
t .
у i (t) ==..!.. J r j ('t) e j Ca>i (t T) · sin (J) (t ..... ) d 't +
bli
о
+ e j Ca>j t ( j sin 6); t + i cos (;)j t) )
(9.126)
rде
blj == (Uj v 1 .... r
а параметрыoL i иfli определяют из начальных условий.
Для решения проблемы динамическоro расчета конструкций используют два
основных метода: прямое интеrрирование и разложение по собственныM формам,
которые в основных чертах описаны в предыдущих параrрафах. В заключение
необходимо подчеркнуть, что метод разложения по собственным формам колеба..
ний удобен в системах с меньшим числом степеней свободы или в системах, rде
достаточно определить только одну собственную форму колебаний, поскольку
эта операция является достаточно дороrocтoящей. Кроме TOro, этот метод можно
применять тол} ко в рамках линейноro расчета, так как принцип суперпозиции
недействителеь в рамках нелинейной теории.
Методы прямоro интеrрирования носят более общий характер и MOryT при..
меняться для решения всех задач динамическоro расчета конструкций. Однако
эти методы, применительно к длительным по времени процессам с учетом необ..
ходимости принятия большоro числа шаroв.L\ t, становятся дороmми, а часто и
неэффективными. Выбор метода и способов связан с особенностями рассматрива..
емой задачи.
Пример расчета инженерных конструкций. Насыпная плотина. Расчет на..
пряженно..деформированноro состояния насыпной плотины при действии mдpo--
статической наrрузки изложен в rл. 4. С той же сеткой конечных элементов, как
(9.127)
530
в) _
PIIC. 9.17. Насыпная п.лorина. XapaктepHЫ ВИДЫ вибрацllЙ
а .....lтои; = 16,72 рад/с;ч = 0,3759 с; б..... I/roH; Т 2 = 32,5! рад/с;'-2 = 0,1933 С; в..... ///
то..; "з = 40,63 рад/с; 1j = 0,1546 с
531
и в случае статическоro расчета (см. рис. 4.34), с применением проrраммы
SAP IV, определены как собственные значения и собственные формы колебаний,
так и прямой динамический расчет объекта на действие сейсмических сил. На
рис. 9.17 показаны собственныe значения и собственные формы для первых трех
rармоний.
При прямом динамическом расчете в качестве сейсмическоro воздействия
взята акселероrрамма землетрясения в Черноroрии в апреле 1979 r., которая за..
реmстрирована в Ульцине (рис. 9.18). Применен ..метод Вилсова с шаroм t =
0,02 с и коэффициентами = 0,6 и = 0,002.
3
u, M/c 2
1
: At
I
...1
t r с
....3
о
2
..
6
PIIC. 9.18. AKCeJlelIOrpaмMa землетрясения в Черноroрllll, зареrllстрlllIOВанная в Ульцине
На рис. 9.19 показаны roризонтальные и вертикальные перемещения в вер..
шине плoтины' а на рис. 9.20 напряжения б Х' б у и Lxy на верхнем и нижнем
бьефах у основания плотины.
5 U,VlCM
1
3
...1
...3
t r с
...5
о
PIIC. 9.19. Дllarраммы roРllзонтальн()r() и веpтllкальноr() перемещеНIIЙ в rребне ПЛOТllны
532
а)
80 J
40 1 II.p.r&)
О
...40
t r с
O
о
2
4
6
8
J50 ах(КРа)
50
--50
150
t r с
I
О О 4 6 8
б)
80 т ху
о
40
40
t, с
80
о
533
б)
150
"ху
50
JVv -"v
50
... J 50
t, С
о
4
в)
о
i
I
i t, С
I О 2 4 8
...
2
...
'0
t., с
Рис. 9.20. Диarрамма нормальнЫх напряжений J x (а), напряжений С,Ц8Иrа t y (6) и нормальных
напряжений d у (в) у основ ия ПJlотины В верхНем и нижнем бьефах
534
Квадратная плита. На рис. 9.21 показана квадратная плита, которая за..
щемлена вдоль всех четырех сторон и подвержена воздействию сосредоточенной
динамической силы p(t) = 100 cosct. Для частоты l возбуждающей силы Р(О
предполаrается форма r = C , rде с ........ константа, a<t'j собственное значе..
ние первоro тона свободных вибраций плиты. На рис. 9.22 и рис. 9.23 показаны
изменения силы P(t), перемещения w(t) и момента мх(о в центре плиты для
случаев, коrда с = 2 и с = 5.
а I
Е= зо. 10'кН/м 2
h =0,15 m
,,= 0,167
Р = 2,4 КН/М.... 4 . с 2
1-
Рис. 9.21. Квадрarная плита, зaжarая по 1C0нтypy И находящаяся под действием концентрированной
сИJIЫ р (t) в центре плиты: rеометрllЯ IIJIИТЫ и сетка 1C0нечных ЭJlементов (а) и первая характерная
форма вибраций (6) -
535
100
100
.2
О
50
--50
so
536
p(t)
о
о
0.6
о
0.4
0.6
о
t, с
100
о 0.1 0.2 ОЗ 0.4 0.5
Рис. 9.22. Диarрамма в<>здействllЯ в центре плиты ДJUI С-2
p(t) r
)
0.6
о
...100
0.1
0.2
0.5
0.6
оз
0.4
0.2
о.
t, с
.2
о.
0.4
0.5
0.6
00.2
0.1
кН.м/м
0.3
50.-
t, с
о
о. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6
Рис. 9.23. Диarраммы воздействllЯ в центре плиты ДJUI C-S
Оболочка формы zuперболоuда вращенuя. для оболочки формы mперболои--
да вращения (см. rл. 8) определены формы собственных колебаний путем при--
менеиия rармоническоro анализа. На рис. 9.24 показаны некоторые из характер--
ных форм этих колебаний.
I ТОН
u
w
j-O, w-S2,86 rad/ С
11 ТОН
u
w
j-O, -9з,10 rad/ С
111 ТОН
u
w
.
j-O, w-l05,6Э rad/ С
I ТОН j.O
.
I ТОН J.1
11 ТОН j.1
111 ТОН j.'
Рис. 9.24. Харатерные формы вибраций
11 ТОН j.O
.
111 ТОН j.O
537
r л а в а 10.
проБлЕмыI rEОМЕТРИЧЕСКОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТИ и устоЙЧивости
конструкций
Проблемы механики деформирующихся тел по своей природе нелинейны.
rеометрические связи между деформационными и кинетическими величинами в
общей форме также нелинейны. Равновесие между внешними воздействиями и
внутренними силами устанавливается на деформационной конфиryрации тела
таким образом, что уравнения равновесия ...... нелинейны. Структурные связи, с
помощью Koтopых В анализ вводят как материальные, так и физические свойст
ва рассматриваемой задачи, для большинства существующих материалов также
нелинейны.
Отличают три основные rруппы уравнений: связи деформаций и перемеще
ний, условие равновесия и связи "напряжения......деформации", представляющие
основу для математической формулировки любой проблемы механики или Teo
рии конструкций, которые нелинейны. Для первых двух rрупп уравнений xapaK
терны проблемы reометрической нелинейности, а для третьей ...... проблемы MaTe
риальной и физической нелинейности.
В оБIЦем случае reометрическая и материальная нелинейности носят OДHO
временный характер. Однако их часто можно рассматривать' раздельно, незави
симыми одна от друroй, поскольку в применяемой области редко однозначные
нелинейные эффекты появляются одновременно. Наряду с этим математическая
формулировка мноrих нелинейных проблем теории конструкций остается комп
лексной, так что чаще Bcero можно получить только приближенные численные
решения. В связи с этим линейная теория" как значительно более простая, полу
чила широкое применение при решении мноrих инженерных проблем.
Для большеro числа инженерных конструкЦИЙ на моделях линейноro анали
за довольно точно отражается действительное поведение конструктивных систем
до определенноro уровня внешних воздействий, так что нет необходимости в
нелинейном анализе. Тем не менее результаты расчета в рамках линейной Teo
рии не всеrда достаточно точны, что может неблаroприятно отразиться на на...
дежности конструктивной системы или ее экономичности. В связи с этим в Ta
ких случаях для принятия реальных выводов о напряженно деформированном
состоянии и устойчивости конструктивных систем при статических и динамиче
ских воздействиях необходимо применение нелинейной теории, которая может
послужить и ДЛЯ оценки оправданности применения и точности, которую дает
линейная теория.
Основные уравнения нелинейной теории упруrocти в основном Не имеют pe
шений в замкнутой форме, поэтому требуются приближенные решения с их пе
реводом в область алreбры методами математической и физической дискретиза
ции. В течение последних нескольких лет в решении проблем нелинейной Mexa
ники сплошной среды и инженерноro конструирования с особенным успехом
538
применяют мкэ. На основании числа работ, опубликованных в последние roды,
и числа исследователей, посвятивших себя изучению проблем, можно сделать
вывод, что область применения МКЭ в нелинейном анализе является одной из
самых актуальных исследовательских областей в механике сплошной среды.
Разработано несколько методов и общих проrрамм, с помощью которых yc
пешно решают различные проблемы нелинейноro анализа.
Однако наряду с этим заметно выдляетсяя и дальнейшая работа в этой обла
сти, особенно потому, что общие проrраммы не одинаково хороши для всех He
линейных проблем и что в экономическом плане они не всеrда целесообразны.
Далее рассмотрим только основные проблемы rеометрической нелинейности и
упруroй устойчивости конструкций по мкэ. Будет дана общая формулировка,
показаны основные способы получения решений и некоторые случаи применения
на линейных опорах, пластинах и тонких оболочках.
10.L ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
ТеНЗ0Р деформации. В системе материальных координат xi Лаrранжа, свя
занных с рассматриваемой областью до деформации и вместе с ней деформируе
мы,, тензор деформации С ij определяют как полуразницу метрических тензоров
после и до деформации (рис. 10.1), т.е.
1 .
Eij == 2" (gjj
gjj) ·
(10.1 )
,.--- /
,," D. Х
,i' / \
, , I I
. "" 11 ,
\ I
I \ I -r ...... ......
I \ I ", "". /
, \ I /-"
\
I
I
\ /
\, '-....-'.--
Рис. 10.1. Рассмarpиваем8Я ооласть до 11 после деформации коорДlIнarы х Лarpанжа
Если предыдущее выражение представить, как принято, используя составля
ющие перемещения Ui' то
Eij
+ (и; Ij + Uj li
Uk li U
j) ,
(10.2)
rдe вертикальная черта представляет знак ковариантноro дифференцирования ковариантных или
контраварианmых составляющих вектора:
U i Ij == U i, j ...... rt t1 k )
u i Ij =: U
j+ r
k u k .
(10.3)
539
в выражении (10.3) F ij отмечены символы Кристоффеля BTOporo вида; ij'
известный как тензор деформации rрина..........лаrранжа, является нелинейным, и
ero составляющие не имеют reoметрическоro значения, как в линейной теории.
С по"!ощью тензора G jj определены деформации Е! в направлении координатныx
линии и скольжения (]Jij между касательными к линиям координат следующими
выражениями:
Ee= l + 2&(Jck) 1
g(kk) }
Ф .. == 2 ЕН
IJ ·
V g(jj) + 2 Еоо V g(jj) + 2 E(jj)
(10.4)
в системе деКCipативных координат выражения (10.2) и (10.4) получают вид:
1
&'j =="2 (Ui. j + 1lJ, i + Uk. i Uk, j) )
Ek == V 1 + 2 E\kk) --- 1 ?
ф.. 2 Ен
IJ V 1 + E j V 1 + Ej ·
( 1 0.5)
в практических целях часто выroдно представить тензор деформации в виде,
1
&ij == ен+ т (eki+ 6)kJ (ekj+ 6)kj) '} 00.6)
rде
1
е.. == ......... ( U. · + u. . )
IJ 2 А, J J, I ,
( 1 0.7)
I
ы.. == ........ ( U. ...... u. . )
IJ 2 1, J J, I ·
Упрощение нелинейных выражений. Выражения (10.5) и (10.6) представля..
ют собой общий вид нелинейных связей деформаЦИЙ и перемещений в системе
.
прямоуroльных координат. Поскольку все нелинейныe члены в этих выражениях
обычно не имеют одинаковоro практическоro значения, применяют упрощенныe
нелинейныe выражения. В зависимости от соотношения составляющих тензора
ец И(А)jj существуют две возможности упрощения общеro нелинейноro в:ы:раже..
ния (lu.6):
eij и ij ...... малые величины тoro же порядка, таким образом,
EIJ elJ (10.8)
eij и G:J;j ...... малые величины TOro же порядка, таким образом
1
Sij == e j +"2 6)ю 6>JcJ.
(10.9)
540
В первом случае деформации и уrлы вращения малой величины TOro же по
рядка, что отвечает телам, у которых все три основных размера также величины
TOro же порядка. Во втором случае вращения ротации значительно больше дe
формаций, что отвечает таким тонким mбким телам, как тонкие оболочки, пла
стины и стержни. В общих случаях связи между деформацией (скольжением) и
перемещениями остаются нелинейными. Для анализа и расчета инженерных
конструкций особое значение имеют формулы выражения (10.9). В некоторых
случаях возможны и дальнейшие упрощения этоro выражения, сохраняя при
этом нелинейность. Например, из трех составляющих тензора вращения только
одна (или две) имеют определенное значение, в то время как влиянием осталь
ных можно пренебречь.
Предположение о малых деформациях и скольжениях не всеrда достаточно
для применения линейной теории. Необходимо иметь в виду и значения переме
щений и вращений. Использование линейных выражений часто недопустимо как
при весьма малых деформациях и скольжениях, так и при достаточных уrлах
вращения (случай стерж я, пластины и оболочки, подверrающихся продольному
сжатию). Вместе с тем их можно использовать, считая достаточно точными, при
значительно больших деформациях и скольжениях, но при соразмерно Ma
лых вращениях (подверrающиеся растяжению стержни, толстые пластины и обо
лочки) .
Тензоры напряжения. Состояние напряжения в какой либо точке деформи
poBaHHoro тела определено теНЗ0РОМ напряжения 6 ij Коши, который определяют
по отношению к триэдру базовых векторов после деформации и измеряют по.
единице поверхности после деформации. В рамках линейной теории при опреде--
лении тензора напряжения опускают различие между природной и деформиро--
ванной reoметрией тела.
Наряду с тензором Коши для описания состояния напряжения используют
еще три вида тензора напряжения, определяемые с помощью следующих выра--
жений:
sij == (Jij V g* /g ·
I
1t fJ == a ik (8L + u j Ik) ;
t ij == Sik (8 + u j Ik).
(10.10)
rдe q детерминант метрическоro тензора до деформаций; q. то же после деформации.
В отличие от тензора ij в котОром деформация включена неявно через
плоскость после деформации, в этих тензорах неявно появляются деформацион
ные величины. Тензор sij известен как тензор напряжения Пиола.........Кирхroфа
BTOporo порядка, который определяют по отноmению к триэдру базовых eKТO
ров после деформации по единице поверхности до деформации.
Тензор'lfij (тензор Пиола........Кирхroфа первоro порядка) определяют по OТHO
шению к триэдру базовых векторов до деформации по единице поверхности по--
сле деформации, а теНЗ0Р tji (тензор Лаrранжа) ........ по отноmению к триэдру ба
зовых векторов до деформации по единице поверхности до деформации.
В отличие от тензоров ij И sij, которые симметричны, тензоры1l'ij и f.-j He
симметричны и реже применяются.
Стержни. На рис. 10.2 показан стержень, координатные линии KOТOporo xi,
i - 1, 2, 3 совпадают с направлением rлавных осей инерции поперечноro про
филя и осью стержня. Предполаrая, что поперечные профили стержня являются
недеформируемыми в своей плоскости, связи между деформациями и перемеще
ниями по выражению (10.5) принимают вид:
€11==&22==E12==O)
541
1 ( 2 2 ) .
Е.JЗ==U З ' З + 2 U2,З+ U "З 1
1 1 2
&13 == 2 (U 1 . з + U з . l ) + 2 (о1,3 U.. з + О ' ,I О2,3 + и З . 1 и з . з ) j
J 1
ев == 2(U2,З + U з ,2) + 2 (и1,2 U 1 . з + U2,2 U 2 ,3 + U 3 ,2 U3,3).
(10.11)
Вектор перемещения произвольной точки стержня в триэдре i k при условии,
что поперечные профили в ходе деформации остаются плоскими, может быть
представлен выражением
u==(uo y({)i 1 +(v 0+ X )i 2 +(w О + уф х....... хфу)i з )
(10.12)
rдe ио, vo, Wo соответствующие перемещения оси стержня в напрамении триэдра i k' 'fI Х' 'РУ'
ч' вращения около оси ik.
Все эти величины являются функциями оси стержня, их позитивные на..
правления показаны на рис. 10.2.
z,Wo
Рис. 10.2. Основные IOIнемarичеСКllе величины стерЖIIЯ
На основании выражения (10.11), опуская в нелинейных членах из ..... Wo
для составляющих деформации точек на оси стержня, получим:
1
&$ == W O . z + 2" [(Uo. J2 + (v o . z)2] ·
1 Ф .
Ух == 2 (U o . z...... у) I
(10.1.3)
1
УУ==2"(V о . z + ФJ }
а для составляющих деформации в про изволь ной точке стержня:
.
e == Е ! + у Хх+ х Х у ,
542
У xz := у Х У "с .,
У YZ := У у + х 1:' I
(10.14)
rде
К'" := Фх, Z ;
XJ:= Фу, z
2t' == ,z
( 1 О 15)
изменения кривизны и кручения оси стержня.
Если опустить воздействие поперечных сил на деформацию скольжения или
предположить, что сечения и после деформации остаются перпендикулярны к
деформированной оси стержня (-ох = у = О), то выражения (10.14) принима
ют вид:
Ez:= Es + у и о . zz + ХУ О . l.Z .1
У XZ:= у tp . z ;
YYZ == Х ('(),z ·
(10.16)
Тонкие оболочки и пластины. В технической теории тонких оболочек дe
формация оболочки как тела описыветсяя с помощью танreнциальной деформа
ции средней поверхности и изменения кривизны средней поверхности оболочки
соответственно с помощью тензора мембранной деформации и тензора деформа
ции изmба. В общем случае тензор мембранной деформации i&}и тензор дефор
мации изmб "вданы следующими выражениями:
1
е"lI == е"lI + 2 аД'" (е,,!Х + ыд,,) (e l1B + ыl1в) +
+ J... (е з " + (J)з,,)( е зв + (J) зв) i
2
1 1 Ь У
Х" В == 2"" «J)З",II + (J)зв.,,) + 2"" [е ув + ыув '" +
(10.17)
) Ь у ] (Ь У Ь ), ,
+ (СУ<х + ыу<х EM + ZЛ2.) .
в которых индексы, отмеченные rреческими буквами, принимают значение 1 и 2
и относятся к координатным линиями в средней поверхности оболочки, в то Bpe
мя как индекс 3 относится к нормали средней поверхности оболочки (рис. 10.3).
Т им образом тензоры JЗ'Ы И 'рпре еляют выраже иями (10.7) с заме..
нои соотв вующих индеКСОJJ. МетриЧёскии тензор среднеи поверхности OТMe
чен Q4Jj с bd-, ...... тензор кривизны средней поверхности оболочки.
Оощие нелинейныe выражения (10.17) MOryT быть достаточно упрощены без
существенной потери точности. У тонких оболочек, как инженерных KOHCТPYK
ций, обычно составля,ющие тензора е значительно меньше при составляющей
.I так что оправданно введение предположения о том же порядке малых вели
чин и .;.,.. Кроме тoro, вращение около нормали (6)12) значительно меньше,
543
чем в танreнциалъной плоскости (CWзJ. с этими предположениями выражение
(10.17) получает более простой вид:
1 .
е«а == e« + си з « CUj:З ,
2 . (10.18)
1 ( ) 1 -, 8
)("11 2 (,) 3', a + (,) 3, 11" == W, а' 2 [( U y Ь,,) ,11 + (UB b 13 ), а]'
у
Рис. 10.3. ЛIIНIIII КООрДlI1ШТ 11 трllЭДр ба:ювых векторов в среДIIНН()Й п()веРХНОСТII обоJl()ЧКИ
.
Дальнейшие упрощения этих выражений MoryT быть выполнены, если пред
положить, что часть составляющей Ur:J.. UЭd., = WoL в выражении для:iJ Зо;,......... допу
стимо мала; в этом случае получают упрощенные выражения Доннел........Мушта..
ри......... Власова:
1 .
Zc:t/З == e a + 2 W.r:J. W. J
(10.19)
X OtB == W. r:J. }
которые имеют широкие применение в анализе напряженно деформированноro
состояния мелких оболочек. В заключение в качестве специальноro случая для
этих выражеНИЙ получают соответствующие управления для тонких пластин:
1 ·
ex==ux+ (Wx)2 I
· 2 ·
. 1 ·
SY==V'Y+2(W,y)2 I
11.
IХ У ==2 (U,y+V,x)+2 W 'x W,y I
(10.20)
.
)(х == W,XX ,
.
Ху == ...... W. yy ,
"r == w,x}' 1
rде х, у соотвествующие прямоуroльные координаты в средней плоскости пластин.
.
544
10.2. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПО МКЭ
Как и в линейном анализе, основные уравнения конечноro элемента или си
стемы конечных элементов в рамках нелинейноro анализа MOryT быть выведены
мноmми способами. Здесь изложена вариационная формулировка, исходя из
функционала потенциальной энерrии
П==А+U,
(10.21)
rде
1 J ·
A==
aO j E..dv )
2 J J)
V
(10.22)
u ::;: ..... J F i Ui dv..... J Pi u i ds
v 50
как и ранее, соответственно энерmя деформации и потенциал консерватинвых сил; G ij
тензор
напряжения Коши,
ij
тензо!> деформации rрин
Лаrpанжа. Все остальные величины имеют то
же самое значение, что и в линеином анализе.
v Если
ензор деформации
ij представить в виде суммы линейной и нелиней
нои частеи, т .е.
E!J== eij +У11! )
(10.23)
rдe
1 ·
е . О . ==
( Uo . + Uo О ) J
J 2 1, J J, I
(10.24)
1
Y1ij == 2 Uk, j Uk, j }
(10.24)
а тензор напряжения ....... через тензор деформации
alJ==DIJkl Ekl)
(10.25)
rдe Djjke
коэффициент упруrocти, то выражение энерrии деформации после замены уравнений
(10.2j) и (10.25) на равенство (10.22) будет иметь вид
А:::.
J D jjk1 (eij Ckl+ ео '1Jkl + ekl '1Jjj + '1Ji('Jkl) dv.
v
(10.26)
Уравнение (10.26) представляет собой общее выражение энерrии деформа
ции в rеометрическом нелинейном анализе. В H
M по выражению (10.24) под
интеrралом появляются производные составляющи
: перемещения, включитель
но с четвертой степенью. В соответствующем выраже:нии в линейной теории cy
ществовал только первый член выражения (10.26), в котором выступают только
квадраты производной перемещения, а все остальные члены опущены.
Уравнения (10.23) и (10.24) MOryT быть выражены в матричном виде следу
ющим способом:
545
E==EL+EN (10.27)
....1
е хх =: е х е хх u,x xx (u 2 + v 2 + w 2 )
2 ,х ,Х ,Х
1
е уу = е у е уу У. у yy (u2 +у2 +w 2 )
2 ,у .у ,у
€= €L - = ENC = 1 ·
c zz с t z t zz W, z zz (u 2 + v 2 + w 2 )
2 .Z .z ,Z
2 е.ху" Уху 2 е ху U. y + у ,х 2 xy U,y U. X + У,у У,х + W,y Wt
2 е ху == Yyz 2e yz v.z+w,y 2 yz U,y u,z + У. у V,Z + W,y w,z
....2 e xz с: У xz .... ___2 e zx .... u,z + W. x .... .....2 zx ....u. x u. z + v,x v,z + W,X w,z.....
Каждая из шести составляющих вектора деформации & дана как сумма ли
нейной и нелинейной частей, т.е. '.
El ELl+ENI, i== 1, 2. . . 6.
(10.28)
с образованием вектора напряжения G и матрицы коэффициента упруrocти
D(DjjJj = 1,2 ... 6) связь между напряжением и деформацией по выражению
(10.:l ) переходит в матричную форму:
a==D&==D (EL+E N »)
(10.29)
соответственно
al==DIJ &J (i, j==l, 2. . . 6»)
(10.30)
rде подразу евают суммирование по индексу j.
Заменяя выражения (10.27) и (10.29) или соответственно (10.28) и (10.30)
на уравнения (10.21) и (10.22), потенциальная энерrия элементов будет
1 J( Т Т Т
п... z ELDEL+ELDEN+ENDEL+
v
(10.32)
+E D E N ) dv J FTu dv J' рТо ds)
V Sa
соответственно
п == J D ij (Еи Ец +2 ELi ENj+ ENi ENj) dv
v
(10.33)
J p. и. dv Jp . и. ds
1 I J 1 .
v
Sa
Исходя из функционала потенциальной энерrии, представленноro выражени
ем (10.32) или (10.33), дальнейший ход выведения уравнений равновесия фор
мзльно не отличается от линейноro анализа. Первым представляют поле переме
щения в элементе с помощью интерполяционных функций и параметров переме
щения в узлах, а затем на основании связи между деформацией и перемещени
ем поле деформации также в зависимости от параметров перемещения в уз
546
лах. После этоro образуют выражение потенциальной энерmи и соответственно
системы конечных элементов.
Применяя положение о стационарности функционала потенциальной эн р
mи, коrда он дан в зависимCiCТИ от параметров перемещения, получим ypaBHe
ния равновесия. Однако, несмотря на то, что путь тот же самый, получить ypaB
нения равновесия в этом случае значительно сложнее, чем в линейной теории,
потому что связи между деформацией и перемещением значительно сложнее, а
функционал более комплексный.
Вектор d, составляющие KOТOporo ....... производные перемещения, имеет вид
d T == [u,x У,х W,X U,y У,у W,y U,z V,z W,J)
(10.34)
Связи между деформацией и перемещением по выражению (10.27), учиты
вая уравнение (10.24) или (10.27), MOryT быть представлены в матричном виде
следующим образом:
ej == eLj + eNi == Lr d + d T H j d i i == 1, 2 . . . 6)
(10.35)
rде Li' Hi(i = 1, ... б) соответственно векторы и симметричные матрицы, элементы которой
единицы и нули.
Так, например, для i = 1 и i = 4 векторы L i и матрицы Н ; в трехмерных
задачах следующие:
....1 ---1 О О О О О О О О
О О 1 О О О О О О О
О О О 1 О О О О О О
О О О О О О О О О О
.
L.== О . Н 1 == О О О О О О О О О
f
О О О О О О О О О О
О О О О О О О О О О
О О О О О О О О О О
..... О ..... (9 х 1) О О О О О О О О О .... (9 х 9)
(10.36)
O"" "'0 о о 1 О О О О О....
1 О О О О 1 О О О О
О О О О О О 1 О О О
1 1 О О О О О О О О
.
L 4 == О "4== О 1 О О О О О О О
О О О 1 О О О О О О
О О О О О О О О О О
О О О О О О О О О О
... О ..... (9 х 1) О О О О О О О О О .... (9 х 9)
547
Заменяя выражение (10.35) на уравнение (10.33), потенциальная энерmя
11==+ J D;jdT(LjLT +LjdTHj+ : H;ddTHj)ddV
v
(10.37)
..... ! F. u. dv........ J Р . u. ds.
I I I I
У S(J
Коrда известным способом выражаются перемещения в элементе в зависимо..
сти от параметров перемещения в узлах, то
.... u'" "'N u .....
u == v ........ N y q == Nq :
... w N w ...
в подобном же виде можно представить и rрадиенты перемещения
(10.38)
d==Gq)
(10.39)
rдe G ....... матрица, которую получают дифференцированием матрицы интеРПОЛ5l"
ционных функций
lNu,x ...
G==
Nv,x
.
I
(10.40)
N
... w,z....
Заменяя выражение (10.39) на уравнения (10.37) и учитывая, что
fFjuidv+ J piujds==qTQ)
V Sa
(10.41)
получим выражение
П ==..!... ч т [! GT ( L. D.. L T J ' + L. D.. d T Н. +
2 1 JJ I IJ J
+ : H;dD;jdTH j ) Gdv]q qTQ ')
(10.42)
которым потенциальная энерIШI представлена в зависимости от параметров пе..
ремещения в узлах элемента и rpадиентов перемещения. Это выражение можно
символически показать в следующей форме:
п ==qT [J (11 +12+1з) dv] q qTQ}
v
(10.43)
rде
1 1 == ..!... GT L. D.. L T J ' G ·
2 1 IJ
548
1 2 ::..!. GT L. D. j d T Н. G
2 I I )}
(10.44)
1
13 == ........ GT H j d D ij d T Hj G.
8
Первый подыитrpальный член 11 в выражении (10.43)' ....... симметричен и од..
нозначно определен. Однако остальные два члена 12 и 13 можно показать раз...
личными способами и в зависимости от этоro получить различныe виды матриц
жесткости.
Поскольку произведения LTd и arИd как составляющие деформаций скаляр..
ны, то они имеют свойства коммутации и транспозиции (Н ....... симметрично) и в
матричных произведениях MOryT занимать произвольное место по отношению к
друrим членам п)юизведения. Пользуясь этими свойствами, интеrpанды 12 и 1з,
наряду с представлением в выражении (10.44 MOryT быть следующие: '
1 2 ==...!.. GT ( L. D..dT H J + Н. О.. dL j T ) G
4 1 l) J а) )
12 == ...!.. GT (crr Dij L i H j ) G,
2
1
13 == GT(dT HJ Dij dH i ) G.
8
(10.45)
Из трех ВИДОВ интеrpaндов 12 первый, представленный выражением
(10.44) ...... несимметричен, а поэтому не приroден, в то .же время остальныe два
члена, даиныe в выражении (10.45) ....... симметричвы. Выражения для 13 являют...
ся симметричиыми в обоих случаях.
В дальнейшем вместо любоro из рассматриваемых симметричиыx выражений
удобнее, если 12 и 13 войдут в выражения, получаемые в результате их комбина..
ЦИИ, так что первые выражеНlfЯ для этих величин умножаются на 2/з, авто...
рые ...... на 1 /3. Таким образом получаем:
2 1 1 ( Т )
12== 12+ 12== GT LjDiJdTHj+dTLiDjjHj+HjdDijLj G,
3 3 6
2 I 1 ( 1 )
1 3 == 1 3 +........ I j == GT Н. d D.. d T Н. + d T H j D..dH. G.
3 3 12 1 IJ . J 2 1) 1
(10.46)
Заменив значения для 11' 12 и 1з, определенные по выражениям
(10.46»)на уравнение (10.43), потенциальная энерmя элементов будет
( 1 1 1 )
П==qТ ko+ Nl+ N2 q qTQI
2 6 12
(10.44) и
(10.47)
rде
ko == J GT L j DjJ L; G dv )
v
N 1 == J (GL i DjjdTHj G+GT Н ! dDijL j G+GT D/j LJ dHJ G)dv;
v
549
N 2 == J (GTHi d DijdTHj G+ GT DjjdTHjdHi G) dv.
v
(10.48)
в этом выражении ko представляет конвенциональную матрицу жесткости
элемента, а N 1 и N 2 ......... rеометрические или инкрементальные матрицы жестко--
сти первоro и BTOporo порядков.
атрица ko показана в несколько ином виде в отличие от известноro ее
представления в линейном анализе. Однако с этоro вида достаточно просто мож--
но перейти к стандартному виду матрицы жесткости элемента, которая опреде--
лена однозначно и не зависит от перемещений и соответственно параметров пе--
ремещения.
атрицы reометрической жесткости N 1 и N 2 зависят от производной переме--
щения, а с учетом выражения (10.39) косвенно и от параметров перемещения в
узлах элемента. атрица N 1 ......... линейная, а N 2 ....... квадратная функция произ--
водной перемещения и параметров перемещения. Кроме TOro, эти матрицы мо--
ryT быть показаны различными способами, чем также и отличаются от матриц
жесткости ko. Например, выражения (10.48) получены, исходя от подынтеrраль--
ных выражений 12 и 13 в виде (10.46). Между тем, если бы для 12 было принято
первое уравнение выражения (10.45), а для 13 ....... (10.44), то для N 1 и N 2 полу"
чили бы: ·
N 1 :::-2. f (GT L j Djjd T Hj G + GT H j D jj dLT G) dv)
2 ,
v
(10.49)
N 2. J GTH.dD'.dT H.G dv.
2 2 J IJ J
v
Различные виды матриц N 1 и Н 2 при водят к различным условиям рав--
новесия.
Потенциальная энерmя системы конечных элементов, получаемая как сумма
потенциальных энерmй отдельных конечных элементов, может иметь вид
( 1 * 1 * 1 * )
]1 ==q*T Ko+......... N 1 + N2 q* ч* Q*
2 6 12 }
(10.50)
* * .
rде q ,Q соответственно вектор параметр<>в перемещения и вектор общих сил в узлах системы в
rлобальных координатах; Ко, N 1 , N 2 соответственно матрица жесткости системы и reометриче
ской (инкрементальной) матрицы жесткости системы конечных элементов.
Векторы и матрицы в выражении (10.50), относящиеся к системе конечных
элементов, образуются из соответствующих векторов и матриц отдельных эле--
ментов подобным же образом, как и в линейном анализе. Применяя положение
о станционарности потенциальной энерmи
зп ==оч*т { д П 1==о
дч )
(10.51)
и учитывая, что при дифференцировании N 1 и N 2 ---- как функции произвольной
перемещения, косвенно функции параметров перемещения q* (N 1 линейная,
N 2 ---- квадратная функция q*) получим уравнение условий равновесия системы
конечных элементов
(1\0+ Ni++N2)q* Q*+O.
(10.52)
550
Поскольку матрицы N 1 и N 2 зависят от перемещений и cO<!fBeTCТBeHHo от
пара метров перемещения, то система алreбраических уравнений (10.52) не..
линейна в отличие от соответствующих уравнений классической теории, кото"
рые линейны. Решения системы нелинейных aлreбраических уравнений Haxo
дят, применяя численные действия, что рассматривается далее.
Вместо прямоro решения нелинейных уравнений (10.52) часто выroднее осу-- .
ществить их линейность переводом в инкрементальный вид
А [(Ko+TNi ++N2) q*] ==AQ*.
(10.53)
Инкрементальный оператор А в левой части уравнения (10.53) получают по
аналоmи с функцией f(x) вблизи точки х = х с помощью ряда Тейлора, ис..
пользуя при этом только первый член ряда
f(x + А х) f(X) =:: д f Ах == А f.
дх х
(10.54)
Принимая выражение в квадратных скобках (10.53) как f(q*) , по уравнению
(10.54)
[( Ko+.!.Ni + N2 ) q* ] ч* == Q*
дч* 2 3 (10.55)
и соответственно после проведенноro дефференцирования
(КО + Ni + N;) .d q* == Q*
(10.56)
эта система уравнений......... линейная, поскольку N 1 и N 2 вычисляют по отноше--
нию к предварительно определенному q*. Выражение в скобках в левой части
уравнения (10.56) называют maHzeHmHOU или танzенциальноu .матрицей жес
т1Сости и обозначают Kt:
K ==Ko+Nj +Ni.
(10.57)
Это название находится в соответствии с rеометрическим значением, которое
показано на рис. 10.4. Т нreнциальная матрица жесткости представляет собой
Q.
6Q = к;
......
q
.
q
l q.=11
Рис. 1 0.4. еометрическое значеНllе касательной матрицы жесткосm
551
u '# / . . 0 · И
наклон танreите (TaнreHc уrла) ,и кривои Q q в системе.JSоординат Q q. з
ВЫFжения (10.56) .непосредственно следует, что Kt = : , соответственно для
4 q = 1, Kt = IJ Q . CJ.
Пример ахсиально напряженноrо стержня. На рис. 10.5 показан аксиально
напряж:енный стержень с узлами на крае стержня, в которых параметры ....... со..
ставляющие перемещений. Длина стержня 1, площадь поперечноro сечения
Р, модуль упрyrocти ---- Е. Связь между составляющими и параметрами переме..
щений дана выражением (10.38), rдe:
U 1
U V 1 "'l О О t: о о
В== v , q== w. ,N== О 1 t: о о t: о )
w .... U 2 О О 1 О О --
V 2
W 2 ...
1
Zt W
Х, U
и !
У,У
z
t == ----
1
Рис. 10.5. АlcсиалыI) напряж ниый стержень с У3JIами на краях
а связь между rрадиентами перемещения и' параметрами перемещения ....... выра--
жени ем (10.39), rде:
U,Z l О О 1 О О
d== 1 О
V,Z , G== 1 О О 1 О .
/
w О О 1 О О 1
,Z ...
Вектор деформации в этом случае сводят только к одной составляющией ........
деформации E.z' которая по выражениям (10 27) и (10.35) имеет вид
1 ( 2 . 2 2 ) 1
e z ==w,z+2 u,z+v,z+w,z ==LTd+TdTHd)
552
rдe О
L== О }
1
1 О О
Н== О 1 О ·
О О 1
Матрица жесткости ko и reометрические матрицы жесткости N l и N 2 по вы..
ражению- (10.48) записывают в виде:
ko ==EF/GTLLT G==EF/GT О О О G== EF О О О О О О
I
о о о о о о
о о 1 О О 1
О О О
О О О
О О 1
N 1 ==ЕРl GT(LdTH+Hd T L+ HdLT) G==EF/GT w. Z
О
W,Z О U. Z
u
... ,Z
.....w О u
,& .Z
О .....W .....v
.Z ,Z
.....u V, .....зW .
,Z .Z
W. Z О U,Z
W z v,z
,
ЗW,z ...
W, z V. z
ЕР 3 w.1.
== ------
1
симметрично
N 1 =EF/GT(Hdd T H+ dTHdH)G==EF/GT A+u z
u. z v.z.
О, 'О О
О О ....1 1
О О О,
О О О
О О 1
О U. Z ... G ==
W,Z v,z
V, z 3w,z
U,Z V,Z U. Z W,Z G==
2 ,
А + V,Z V,Z W. Z
.
V,Z W,Z A+w 2
.Z...
u. z W,Z ..... (А + u: z) ..... u. z V,Z .....UzW Z
. ,
V. Z W,Z .....u.zv,z ..... (А + v: z ) ..... v, z W, z
2 ..... (А + w: ж)
л+w. z ..... w, Z u. z ....w. v,z
2
А + U. Z u, z V. z u.:l w,z
А + v z v,z w. Z
2
л+w z
,
553
... U,Z W,Z
A+u 2 ,z
u,z V,Z
Л+v7z
ЕР
==
1
симметрично
(л== (U Z+V Z+W Z»),
Если матрицы Ni и Н 2 определяются по выражению (10.49), то:
W,z О U. Z w О ......u
. z . z
w. z V z О w y
. . z ,Z
2 W. Z "
3EF и ---у 2w ,
N.== .Z .Z ,Z
2/
W,Z О U,Z
W,Z V,Z
симметрично 2w z
,
2 2
U,z u, Z У, z U,Z W,Z u u,zV,z U,zw,z
, z
2 2
V,Z V,zW,z ..... U V v,z v,zW,z
,z ,Z
3EF 2 2 )
N 2 == W,Z ..... W, z u, z w,z V,z W,z
2/ 2
u,z и, z У, z UzW z
. ,
2
V,z V,Z W,Z
2
.... симметрично W,Z
Альтернативная формулировка основных уравнений. Выражения (10.50),
(10.52) и (10.56) представляют собой основные уравнения в МКЭ дЛЯ rеометри
ческих нелинейных проблем. Первыми их вывели Маллет и Маркал. Наряду с
этим видом основных уравнений часто применяют и друroй, сформулированный
о. 3енкевичем и ero сотрудник ми.
При выведении основных уравнений в этом случае исходят из принципа
виртуальной работы, который выражается следующим способом:
J 8€T cr dv 8 qT Q == о
v
rде 4' q виртуальные перемещения (параметры перемещения); ОЕ соответствующие деформации
(rрин Лаrpанж); 6 напряжения 11 вида Пиола Кирхroфа; Q вектор общих сил в узлах.
(10.58)
Если составляющие деформации изобразить как сумму линейноro СО и нели
нейной части Е. L' т.е.
1
Е == Ео + E L == Ео + Ad
2 )
(10.59)
то при учете выражения (10.39) получим
1
E==Eo+ AGq
2 )
(10.60)
554
соответственно
_=(В о + BL)q)
(10.61)
rдe
Bo==LN I
BL==AG ·
(10.62)
Здесь L линейный оператор; N матрица интерполяционных функций.
Поскольку Во не зависит от q, а B L ......... линейная функция q, то вариацией
выражения (10.61) получим
3€==B3q)
(10.63)
rде,
B==Bo+BL.
(10.64)
Заменив уравнение (10.63) на выражение (10.58) и учтя, что t q 1= о, полу"
чим уравнение равновесия
J BTfJdv Q==O. (10.65)
v
Если подобным образом, как деформации, выразить и напряжения в виде
суммы линейной и нелинейной частей, т.е.
cr==crO+crL )
(al==aol+aLl) ,
i== 1, 2. . . 6 ,
(10.66)
то установится связь между напряжением и деформацией вида:
cr==D €==D (EO+€L)==D (Bo+BL) q.
(10.67)
З меняя выражения (10.64) и (10.67) на уравнения (10.65») получают следу"
ющии вид условия равновесия:
J(B T Т 1 т 1 т )
о DBo +BLDBo +2" во DB L +2" B L DB L dv==Q.
v
(10.68)
Первый член в левой части этоro выражения не зависит от перемещений и
представляет классическую матрицу жесткости, в то время как остальныe зави..
сят от перемещений (вторые и третьи ......... линейны,, а четвертые ........ квадратные
ФУНКЦИИ перемещеНИЙ) и представляют reoметрические матрицы жесткости. Не..
достатком этою вида уравнений равновесия является ИХ несимметричиость. В
связи с этим лучше перейти к инкремевтальному виду условий равновесия.
для формулировки инкрементальныx уравнеНИЙ равновесия исходят из ы..
ражения (10.65), с помощью вариации KOТOporo получают:
J dBT cr dv.... J вт d fJ dv == kt d q ==d Q. (10.69)
v
v
555
Поскольку
d o==Dd c==DВdq ,
dB==dBL ,
(10.70)
предыдущее выражение
J т .......
d B L а dv + k dq == k T dq == d Q }
(10.71)
v
rде
k == J ВТ DBdv ==ko +k L )
v
ko == ,r B DBo dv }
v
(10.72)
k L ==.f (Вб DB L +B L DBo +B L DB L ) dv.
v
Если первый член в выражении (10.71) представить как
J d B L а dv== J' GT d АТ а dv== ka d q}
v v
(10.73)
rде k($ матрица, зависящая от состояния выражения и называемая .матрицей инициальных нa
nряжениu.
На основании выражения (10.71) для танreнтной матрицы жесткости, с по..
мощью которой формулируют ивкрементзльныe уравнеНИЙ равновесия, получим
kt==ko+k L +ka) (10.74)
rде
ko== J GTS o G"dv + J GTS L Gdv.
(1 0.75)
v
v
В работе Р. Вуда и Б. Шрефлера [42] показана возможность прямой корре..
ляции двух видов основных уравнений в рамках reoметрическоro нелинейноro
анализа. С образованием матриц:
S т f
0 ==0' .H.==D..L J O dH. }
01 1 1) J
1 т ·
S L ==O' L .H.== D..d H.dH
I I 2 1) J J )
S==SO+SL. t ' (10.76)
т ·
Boi == i G I
BLl==d T HIG I
и из условий равновесия, представленноro выражением (10.68), можно перейти
к условиям вида (10.42).
Заменяя выражение (10.75) на уравнение (10.48), и ДЛЯ матрицы жесткости,
и для матрицы reoметрической жесткости получают следующие выражения:
ko== JЩDВоdv)
v
558
N 1 == J ( D +BIDBo+GTSoG)dv
v )
N 2 == J (BI DB L + GT SL G) dv.
v
(10.77)
Пример аксиально напряженноrо стержня в плоскости. В качестве иллюст..
рации в рамках альтернативной формулировки ВЗЯТ стержень в плоскости, кото..
рый может воспринять только нормальную силу (рис. 10.6). УЗЛЫ расположеиы
на краях стержня, u и v ---- пара метры составляющей перемещений. Длина стер..
жня ---- 1, площадь поперечноro сечения...... Р, модуль упруrocти ---- Е.
у,У
\У 2
2\ \1."
х
=..........
1
PIIC. 10.6. СтержеllЬ в IIJI()СКОСТИ, 8J(CllaDbHO напряженный
Связь между перемещениями и параметрами перемещений даиы в виде
[ U ] [ l О О ]
v О 1 О
U 1
V 1
U 2
v 2 ·
На основании выражений (10.59) и (10.61) следует:
А == [u, х V, х]
d [ U, Х ] G == [ 1
v, Х 1 О
122
е == е х ==U, х+ 2 (u. x + У. х )'
о
l
1 О ] .
о 1 '
с учетом TOro, что:
L==[ ] ;
H==[ ]
и что структурную матрицу D сводят только к одному элементу D .....
новании уравнения (10.76) следует:
....... I U,X о I а s ==!. l u x+v:x о I .
80 ....... Е I L 2 2 2'
о U, Х... О U,x+VtX
1
Во == [N 1, х О N 2 , х О] == -т [ 1 О 1 О] j
Е, на ос..
557
1
BL==AG==T [ u, x Y,x u,x У, J.
Подставив эти значения в уравнение (10.77), получим:
1
J т EF
ko==EF / во Bd;==i
о
1
О
1
О
о
о
о
о
l
О
1
О
о
о
о
о
.
1
N 1 == F 1 J (ВJ E L B L + вЕ ЕВо + GT 80 G) d ==
о
....
U,Ж V,Ж ......u V,Ж и,ж О и О
,х ,Ж
ЕР О О О О V,Ж О v О
== + ,Х +
/ и v U,Ж У,х v О U, О
,Х ,Х ,Х
О О О О y О V JX О
,х ....
и,х О и О 3 U,Ж У,х Зu y
,х ,Х ,Х
О и,ж О и ЕР У,х и,х y и
+ ,Х == ,х ,х J
и О U,Ж О 1 Зu y 3 u х У,х
,х ,Х ,Х
.,
J
О u О u y и ух u
,Х ,х ... ... ,Ж ,Х ,х ...
1 ' :;
N 2 == F / J (Bl EB L + GT 8 L G) d ==
о
... 2 U2
и,ж u ,Ж V,X ,Х и,х v,X
EF v 2 U. X V,X y2
.Х ,х
== ............. +
/ 2
симметрично U,x U ,х У,х
2
У,х
... 2 2 О 2 2) О
и. х + V,Ж (U,x + У,х
1 2 2 О 2 2
+ и,ж + V,Ж (u, х + У, х)
2
симметрично 2 2 О
и,ж + v. x
2 2
U,X + v. x
.... А + и x (А + u x)
и,х У,х U,Ж У,х
EF 2 (A+v x)
А + V,I и,х v,x .
== )
/ симметрично A+u 2
,х U,X v,x
A+v 2
,Х
(A=+(U + J) .
558
Итак, соrласно выражению (10.75) для матрицы Ко получим
ka == F 1 f GT (80 + 8 L ) G d
== N х
I
О
1
О
о
1
О
1
.....1
О
1
О
о
1
О
1
,
rде
Nx==EF (EO+EL).
,
,
10.3. АНАЛИЗ YDрwой устоЙЧивости
Проблемы устойчивости конструкций. по своей природе представляют собой
нелинейные феномены, поэтому их относят к области нелинейноro анализа. В
случае больших перемещений и малых деформаций, коrда материалы обычно
остаются в домене упруroro поведения, вывод об устойчивости делают на основе
анализа нелинейных зависимостей между перемещениями и наrрузкой (10.52).
Конструктивная система теряет устойчивость одним из двух способов, которые
показаны на рис. 10.7, коrда напряжение достиrает так называемой zранuчной
(предельной) точки и наступает явление скачка, как на рис. 10.7, а, или коrда
наступает коллапс, как на рис. 10.7, б.
rРАНИЧНАЯ
ТОЧКА
<tr
б} Q
а) Q
Qcr
"
,
,
\
\
\
q
q
Рис. 10.7. Диаrраммы сила
перемещение
Подобный подход в анализе проблем устойчивости более точен, но при этом
значительно сложнее в применении по сравнению с классической проверкой би..
фуркационной (линейной) устойчивости. Последняя, как известно, является об..
ластью линейноro анализа, при котором поиск критической наrрузки для иде..
альной системы сводится к решению стандартной проблемы свойственных вели..
чин. Низший корень (свойственная величина) проблемы определяет уровень на..
rрузки, до KOTOporo система стабильна, а соответствующий свойственный век..
тор ....... новую уравновешенную форму системы (рис. 10.8).
Точка, отвечающая критической наrрузке, является точкой разветвления
(бифуркации) уравновешенных состояний. Выше нее основная ветвь становится
нестабильной, а состояние ра
новесия практически определяется секундартной
ветвью.
Для формулировки проблемЬI', линейной устойчивости по МКЭ по отношению
к предшествующим общим анализам вводят определенные упрощения. Если в
выражении (10.26) для энерmи деформации пренебречь членом ец пkl' то
А ==
r [D ijk1 eij ekl + D ijkl ( e k1 + 1]k1) "tJij] dv. ( 1 0.78)
2 ...
v
559
Учитывая, что
O'IJ==DIJk; (ek,+1JkJ),
(10.79)
I
Q ,
1
I
I
I
,
Q" ...... точка бифуркации
q
Рис. 10.8. Jl[роБJlема БИфУРIUlЦИ()НIIОЙ устойчи8ОСТII
предыдущее выражение принимает вид
А == J (D ijk I eij ekl + (Jij 'tJij) dv .
v
(10.80)
Соответственно в матричном виде
1
А == чТ (ko + kg)q 1
2
(10.81)
rде
q т ka q == J а ij 1J ij dv .
v
(10.82)
Выражением (10.82) определен новый вид reoметрической матрицы жестко
сти К, которую иноrда называют и .матрицей начальных или инициальных Ha
пряжений. Заменив выражение (10.81) на уравнение (10.21), потенциальная
энерmя аналоmчно выражению (10.47) будет
1
П == 2 q *Y (КО+К:> q* qT Q*,
(10.83)
так что, используя положение о стационарности П = О, получим'
(Ко + к;) q*==Q*. (10.84)
В системе уравнений (10.84) reoметрическая матрица жесткости неизвестна,
потому что зависит от напряжений, которые также неизвестны. В теории линей
ной устойчивости предполаrается, что распределение напряжений в теле незави"
симо от интенсивности наrрузки и качественно остается тем же. Если распреде..
лени е напряжений (внутренних сил) такое же, как в линейной теории, то reo
метрическую матрицу жесткости можно определить без предварительноro вычис"
ления перемещений или соответственно напряжений. В этом случае предполаrа
ют, что напряжения пропорциональны наrружению, причем А........ фактор про..
порциональности, так что вместо выражения (10.84) получим
80 ==(КО + л К;) ч*..... Q* == о.
(10.85)
560
Двойной вариацией выражения (10.83), принимая во внимание, что при
П = о равновесие нейтрально (рис. 10.9), получим:
32 П == 3ч*Т(КО+ дК:) 3.*==0)
(10.86)
п
п
п
2П>О
УСТОЙЧИВОЕ q
РАВНОВЕСИЕ
62 П = о
Б ... НЕЙТРАЛЬНОЕ q
РАВНОВЕСИЕ
В ... ПОДВИЖНОЕ q
РАВНОВЕСИЕ
Рис. 10.9. Ф()рмы равll()веси()r() состояиllЯ
а .... paвll()вeClle УСТОЙЧIIВ()е; б .... то же, lIеЙУральиое; в .... то же, п()движное
откуда следует, что
I Ко + л к: I == о.
(10.87)
Выражением (10.87) определяется проблема линейной устойчивости системы
конечных элементов.
10.4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙ8ых ПРОБЛЕМ
Методы решения нелинейных проблем или соответственно нелинейных урав..
нений МКЭ можно разделить на три ocHoBныe rруппы: инкрементзльные, итера..
тивные и смешанны,' (инкрементзльно"итеративны).. В рамках каждоro разра..
ботанн специальныe методы или способы, которые приспособлены к нелинейиым
проблемам. Общая характеристика всех этих методов заключается в том, что
поиск решения какой..либо нелинейной задачи Bcerдa сводят к определению ре..
шеНИЙ, отвечающих линейным проблемам.
По МКЭ нелинейныe проблемы формулируются системой нелинейныx алreб..
v
раических уравнении вида
K(q) q+Q==O,
(10.88)
соответственно
Р (q)+Q==O.
(10.89)
Конкретный вид этих уравнеНИЙ зависит от природы, их reометрическо"фи"
зических особенностей и вне шних воздействий, а также типа нелинейности и
способа дискретизации. В уравнениях (10.88) и (10.89) q символично обозначе..
ны. неизвестныe параметры (перемещения), а Q ---- общие внешние воздействия
(наrружения) в узлах системы. Задача состоит в определении неизвестных пара..
метров q в зависимости от внешних влияний Q. Далее будут изложены основные
характеристики метода, применяемые для решения данной задачи.
561
Иихрементальиые методы. Основная идея, на которой базируются инкре
ментальные методы, состоит в разделении общеro наrружения на ряд меньших
наrрузок инкрементов. Обычно принимают, что последние между собой paB
ны, хотя в принципе они MOryT быть различны. Уравнения проблемы (10.88) pe
шают для отдельных инкрементальных наrрузок вместо общей. В рамках каждо
ro инкремента предполаrается, что система уравнений ---- линейная. Таким обра
зом решение нелинейной проблемы получают в виде суммы линейных (инкре
ментальных) решений. Если принять инкремент за достаточно малую величину,
то решение, получаемое таким образом, в общем случае конверrирует к
точному.
Для TOro чтобы объяснить сущность инкрементальноro метода, необходимо
трансформировать уравнение (10.89):
Р(q)+лQо==О,
(10.90)
rдe Qo фиксир<>ванный вектор наrpужения; It пара метр , с помощью KOTOp<>ro определяют YP<>
вень наrpужения.
Дифференцированием выражения (10.90) по jt получают:
dP dq dq
+ Qo == Kt........+ Qo == о,
dq dл dл
(10.91)
соответственно
d q == ..... к;--1 I' q) Q ·
d л \: 9'
dP
Kt == )
dq
(10.92)
rдe Kt танreнциальпая матрица крутизны.
Выражение (10.92) представляет собой классическое уравнение численноro
анализа, который имеет разработанные методы интеrрации. Самое простое, если
применяют интеrрацию
6. qm == K 1 (Чт) Qo Am == (К t)m 1 Qm )
(10.93)
rдe
Чт==ЧЮ+ l.........qm ;
llЛm == Лm + 1 ....... Лm ;
llQm==Qo Лm.
(10.94)
На основании выражения (10.93) инкрементальные перемещения, отвечаю
щие инкрементальным наrpузкам, определяют с помощью матрицы (Kt)..l, KOТO
рую вычисляют по отношению к началу инкремента. Для начальноro инкремен
та <[1qo = ql......... qo) из уравнения (10.93) находят Aqo, а затем ql. Поскольку
перемещения qo = О, танreнциальная матрица Kt равна матрице жесткости, не
зависящей от перемещений, ее считают известной. Коrда известны перемещения
Ql' можно определить и матрицу (Kt) l, а потом найти решение для Д Ql и так
по порядку для остальных инкрементов. Перемещения после т ro инкремента
определены выражением
m
ЧШ == Чо + Чj.
i-l
(10.95)
562
rеометрическая интерпретация инкрементальноro метода показана на
рис. 10.10.
Показанный инкрементальный метод аналоmчен как методу Эйлера, так и
методу PyHre....... Кутта, которые применяют при решении линейных или соответ..
ственно нелинейных дифференциальных уравнений.
Q
От
Qi
О.+l
qlD · 1 O..
.
ч. Чт+l
Рис. 10.10. rеометрическая интерпретация иикременталыlr() (проrрессирующеrо) метода
Как видно из рис. 10.10, инкрементальное решение отступает от точноro из--
за предположения о линейном изменении функции в инкременте. Эту ошибку
уменьшают снижением значения инкремента. Об сшибке и соответственно от--
ступлении инкрементальноro от точноro решения можно заключить на основе
проверки условий равновесия (10.88) на краю каждоro инкремента. Это дает
возможность ввести в инкрементальный метод определенные корреляции, кото--
рые помоrают луtЩIей сходимости решения. Если как отступление от условия
равновесия на краю какоro--нибудь инкремента т появляется неуравновешанная
наrрузка
m
Фm==qm+ ql )
1=0
(10.96)
Оl
ч.
Ч2 · · ·
qm
Рис. 10.11. Неуравll()веmеииые lIarружеиия в иикремеllТaJIЬН()М (п}Юrрессирующем) мет()де
563
то. на краю каждою инкремента последнее добавляют действительному инкре
ментальному наrружеиию, так что получают:
qm ==(КJ;1 ( Qm+ 'Yт 1))
qm==qm l+dqm)
при ЭТОМ О = О и qo == о.
Этот инкрементальный способ схематически показан на рис. 10.11.
Для численною решения уравнеНИЙ (10.92) используют и мноrие друrие,
так называемые пpeдU1Cтop 1Coppe1Cтop .м.етооы, представляющие собой модифи
кацию ocHoBных методов Эйлера и Pyнre..KY1Тa.
итеративныe методы. В отличие от инкрементальных методов, в которых
наrpузку разбивают на меньшие части, в итеративных методах аппроксимацию
проводят при общем наrpужении. В каждом последующем шаre (итерации)
предполаrается, что матрица жесткости ........... величина постоянная. В связи с этим,
как следствие, появляются неуравновешанныe (резидуальные) наrружения, т.е.
отступления от условий равновесия. После каждой итерации необходимо опреде
лить неуравновешанные наrружения и учесть их при следующей итерации.
Порядок действия повторяют вплоть до самою момента, коrда все условия
равновесия будут выполнены с необходимой точностью. В действительности" Ta
u
кая процедура состоит в непрерывном повторении решении вплоть до исполне
ния всех условий равновесия.
Просте йmий итеративный метод ...... так называемый .м.етоо прямой uтepa
цuu (.м.етод СУ1Ссессuвных aппp01Ccuм.aцuй). ЕCJIИ предположить какое..то началь
ное решение q = qo для системы (10.88), то можно определить K(qo) и затем
q. == .......(Kв) 1 Q, (10.98)
(10.97)
rде
Ko==K{qo).
(10.99)
Повторением этою действия получим
qn== [Kn..l (ЧП 1)] 1 Q,;
процесс завершается, Korдa ошибка
.
d==qn qn...l }
т.е. А меньше заранее установленною значения.
(10.100)
(10.101)
Q=Kq
q
Q
ЧО ч'
2
q ...
KOHBEPrEHTHO
qn Qn+2
ДИВЕРrЕНТНО
Рис. 1 0.12. ()м трич сuя ииreрпретация итерamВII()r() мeroД8
564
Однако метод итерации (повторения) не Bcerдa сходящийся (конверreнтный).
Ero reoметрическая интерпретация показана на рис. 10.12. Недостаток метода
суксессивных аппроксимаций заключается как в неизвестности по отношению к
сходимости решения, так и в необходимости определения матрицы К для каждой
итерации.
Метод НьютоН......РафсоНа. Если q = qn........ аппроксимативное решение сис
темы уравнений (10.88), то ero можно улучшить, если функция (вектор) рези--
дуальных сил раскладыветсяя в ряд Тейлора вблизи
, dф .
ф(qn+,)==ф (qn)+ ( dq ) n l1qn)
(10.102)
а также ставится условие, что исправленное решение отвечает условиям paBHO
весия, т .е.
'" (qп+ 1)==0.
(10.103)
Torдa из выражения (10.102) непосредственно следует, что
qn == K 1 ( п) Ф (qn),
(10.104)
rдe
Kt (qn).:::: ( d Ф )
dq n
(10.105)
танreнциальная матрица жесткости, отвечающая вектору qn.
Коrда по выражению (10.104) будет определено Лqn, то получим qn+ 1 из
выражения:
qD+ l-==qn+L\qn. (10.106)
rрафически этот метод показан на рис. 10.13.
Q
Q=Kq
qo ql q2 . . ·
Рис. 10.13. Итерamвный M т()Д Ньютона........Рафоона
итеративный метод Ньютона..........Рафсона обычно ведет к быстрой сходимости
решения. Однако при каждом повторном шаre (итерации) необходимо вычислять
матрицу жесткости системы и решать новую систему уравнений, так что числен--
ный метод действий достаточно дороroй. Для устранения этоro недостатка можно
предположить, что матрица Kt в ходе итерации не меняется, т.е.
(Кдm==(Кt)О) (10.107)
rдe (КОО танreнциальная матрица, отвечающая нулевой итерации и соответственно вектору qO.
565
Порядок итерации формально остается прежним с той лишь разницей, что в
выражении (10.104) вместо Kt(qn) появляется (Kt)o. В то же время существенное
различие состоит в том, ЧТО в этом случае необходимо еще один раз решить сис..
тему уравнеНИЙ (в первом mare), а в каждой следующей итерации сделать толь..
ко поправку в правой части уравнения сЧ.l(qn), т.е.
dqn == ......(Kt) 1 (Q + пф).
(10.108)
Этот метод, известный как модифицированный метод Ньютон...........Рафсона,
значительно экономичнее, хотя конверreнция решения медленнее, чем у метода
Ньютона...........Рафсона. Ero rрафическая интерпретация дана на рис. 10.14.
qo Ч1
Q :8 КС!
Рис. 10.14. М()ДИфIlЦИIIOВ8ННЫЙ меroд Ньютона...... Рафсона
Смешанный метод. Он представляет собой комбинацию инкрементальных и
итеративных методов. С помощью этих методов успешнее решаются нелиней..
ные проблемы. Наrружение делят на несколько инкрементов, а в рамках каждо..
ro проводят итерацию для сбалансирования резидуальноro наrpyжения. В зави..
симости от способа итерации существует MHOro различных смешанныx моделей.
На рис. 10.15 схематически показан способ решения нелииейных проблем по
смешанному методу.
Для решения нелинейных уравнеНИЙ МКЭ можно применять различные ин..
крементальные и итеративные методы, а также их комбинации. Преимущества
Q-Xq
рис. 10.15. r ()метрическая инreрпрет8Ц1IЯ CM m lI()r() мeroда
566
или недостатки одних методов по сравнению с друrими в основном зависят от
природы нелинейной проблемы, решение которой требуется найти. Инкремен..
тальные методы вообще применимы ко всем проблемам. По своей основной кон..
цепции....... "mar за шаroм" они совпадают с одним из основных принципов В
формулировке мкэ. Кроме ТOOO, с помощью последних получают полное пред"
ставление о ходе изменений зависимости "наrружение.......перемещение" или
взrляд на развитие напряженно..деформированноro состояния в зависимости от
нарастания иаrрузки.
Однако инкрементальные методы реryлярно требуют большеоо расхода ма..
шинною времени, чем итератив.ные методы. Наряду с этим не всеrда леrко yra..
дать значение инкремента наrружения, с которым получают хорошую аппрокси..
мацию; к тому же неизвестна точность инкрементальноro решения, кроме слу"
чая, коrда существует экспериментальное или же аналитическое решение.
Применение итеративных методов проще, чем инкрементальных, так как
они быстрее приводят к решению, если нет большоro числа наrружений. Однако
эти методы не всеrда надежны, особенно, если речь идет о проблемах матери..
альной нелинейности с различныии свойствами материала (например, при натя..
жении и давлении), так называемыми бuмодуль1tЫМU.
Основной недостаток итеративных методов заключается в том, что не суще..
ствует общеro доказательства конверreнции решения. Кроме TOro, последние не..
удобны для решения как динамических, так и проблем материальной нелиней..
ности со свойством rистерезиса (отставания) различныx неконсервативных сис..
тем. Поскольку в смешанных методах обычно комбинируют положительные сто..
роны инкрементальных и итеративных методов, а минимизируют их недостатки,
то смешанные методы, как правило, становятся и более целесообразными. При
этом следует учитывать, что их формулировка и приспосабливание к работе
эвм сложнее, чем в инкрементальных и итеративных методах.
10.5. ЛИНЕЙНЫЕ НЕСУЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Анализ стержня в плоскости по теории больших сдвиrов (перемещения). В
рамках rеометрической нелинейности общие рассмотрения леrче проиллюстриро..
вать путем анализа стержня, подверженноro аксильному напряжению и изrибу в
плоскости (рис. 10.16).
ер!
<Р2
У2
1
2
X,U
1
Рис. 10.16. Линейный элемент в плоскосm с шестью степенями св()б()ды
Перемещения в направлении оси стержня к точке, находящейся на расстоя..
нии у от оси стержня, даны в выражении
Uy==u
yv,x )
(10.109)
rде и, v
соответственно отмеченные перемещения точек на оси стержня.
567
Учитывая предположение классической теории стержня о том, что сечения в
своей плоскости недеформирующиеся, плоские и перпендикулярные к деформи--
ров анной оси стержня, составляющие линейной и нелинейной части тензора де--
формации следующие:
еl1 ==ex==u,x YV,xx t
(10.110)
1 ( 2 2 ) 12
"I)11==1}x-== и,х+У,х V,x.
2 2
Все остальныe составляющие paBвы нулю. Кроме тoro, введено еще одно уп..
рощение: в выражении (10.110) опущен член классическоro стержня с учетом
релятивною соотношения этих величин, поскольку не имеет практическоro вли"
яния на точность анализа. Вводя выражение (10.109) в уравнение (10.26), энер--
rия деформации стержня будет
А== . J[ (u,,, YV>xx)2+(U,x Yv,xx)V x+
v
(10.111)
+(+V xY]EdV == + J( U,x YV,xx++V x)2EdV>
v
rдe Е модуль упруrocти стержня.
Если вместо интеrрации по объему перейти к интеrрации по площади попе..
речноro сечения и длине стержня (dv = dFdx), учитывая, что для симметрично--
ro поперечноro сечения
J dF == F J
F
J ydF == О ;
F
J у2 dF == 1)
F
(10.112)
то выражение (10.111) принимает вид
I
А==+ J (FU x+IV xx +Fu,x y ,,+ FV x ) Edx.
о 4
(10.113)
Это выражение можно трансформировать в следуюЩИЙ матричный вид:
1
EF "'1 О
А== J [u,,, V, V,xx]T о о
о
о
О'" ;r
о +
1
F
о
(10.114)
"'0 V'X о..... .....0 о О..... u'X
ЕР О EF О 3 2 О
+ ............ v'x u'x + -------- Vx v'x dx.
6 12 2 '
О О О О. о о v
__ 'хх....
568
С введением обозначений
, --- ---1 О О.... ....0 V'X О.... ....0 О 0---
U'X
... ... N 2 -== 3 2
d== v'x . ko == О О О N t == v'x и,х О О vx О )
, 2 '
v О О 1 /Р ... О О О О О О
... , X1l...
выражение (10.114) для энерmи деформации стержня имеет вид
1
J ( 1" 1 А 1... )
А== EFd T .........ko+ N.+ N2 ddx.
2 6 12
о
(10.116)
Поскольку элемент на рис. 10.16 имеет шесть степеней свободы по два пере..
мещения и одному вращению в каждом узле, то изменение перемещений и, и v
вдоль оси стержня можно представить с помощью полинома, в целом с шестью
координатами. Для перемещения предполаrается линейное изменение, а для
вращения........ кубические изменения вдоль оси стержня, т.е.
--- ...
о о о о 0:.
U 1 х
а: 2 .
11 == (10.117)
v О О 1 х X"t Х З
..
... .....
...... (Х6 ___
Korдa выражение (10.117) выводят для узлов элемента (х ... О, и х = 1), то
получают систему уравнений
q==c.(I qT==[Ul Уl <Рl U2 V2 2]) (10.118)
откуда
(X==C l q) (10.119)
а затем
u==AC Jq==Nq,
(10.120)
rде N матрица интерполяционных функци .
Матрицы С и c 1, которые по отношению к соответствующим выражениям
(см. rл. 2) расmирены в связи с воздействием аксиальных перемещеиий, дaны в
следующих выражениях: (10.121)
... 1 О О О О О 1 О О О О О
О О 1 О О О О 1 О О О О
с.. о о о 1 О О 'C l О О 1 О О О .
)
1 / О О О О ...... 1 / / О Q 1/1 О О
О О 1 / [2 [3 О ...... 3 / [2 ...... 2/1 О 3//2 ....... 1 / 1
О О О 1 21 З/ 2 О ...... 2/13 1/12 О ....... 2 / /2 1//2....
---
569
С учетом выражений (10.117) и (10.119) вектор производной перемещения d
можно выразить в зависимости от параметров перемещения в узлах следующим
способом:
d== LAcx==LAC lq== RC lЧ)
(10.122)
rде
..... d / dx О [ х О О О з] ==
R ==LA == О d/dx О 1 х х 2
О d 2 /dx 2 ...
(10.123)
О 1 О О О О ....
...... о о о 1 2х зх 2 .
О О О О 2 6х
.....
Вводя выражение (10.122) в уравнение (10.116), для внутренней энерrии
стержня получим:
( 1.... 1... I ) I
А ::: q т (С I)T. ......... ko + N 1 + N 2 С q ,
2 6 12
(10.124)
rде
1
ko z=;: J EF RT ko R dx
о
1
N 1 = [ЕР RTN 1 Rdx;
о
(10.125)
1
N 2 J EF RTN 2 R dx.
о
Если выражения (10.123) и (10.115) ввести в уравнение (10.125), то для
матриц ko, N} и N 2 получим:
о о о о о о
о 1 О О О О
О О О О О О
1
)(0:: J EF О О О О О О dx.
I
О 1
О О О О 4I/F 12 x
F
О О О О 12I/F 1
36 x2
F
570
"'0 о о о о о
о о о v'x -2 XV, х Зх 2 , V, х
1 О О О О .
N.== JEF О О I
О 2 XU, х 3 х 2 U, х
О О У'Х U'X
О 2 XV, х О 2 хи, х 4 х 2 U, х 6 х 3 и, х
О 3 х 2 V, Х О 3 х 2 и, х 6 х 3 и, х 9 х 4 U, х....
(10.126)
"'0 О О О О О
О О О О О О
О О О О О О
1 3 2 922
N 2 == JEF 2 .
О О О V х 3 XV, х x v х
О 2 ' · 2 '
О О О 2 6X 2 V 2 2
3 xv , х 9x 3 v
,Х , Х
О О О 9 2 2 27 4 2
X2V 9х 3 у x V х
,х ,х 2 '
2
Коrда в выражении для ko произойдет интеrрация в rраницах от О до 1, а по..
тоМ........ умножение на (c l)T и c l, то получим известную матрицу жесткости
стержня. Однако подобный эксплицитный вид для матрицы rеометрической жес..
ткости:
N 1 ==(C l)T N 1 C l)
N2==(C 1)TN2 C l
получить невозможно, поскольку в выражениях под знаком интеrрала в этих
матрицах появляются производные перемещений, которые неизвестны. Как вид"
но из выражения (10.126), матрица N 1 ........ линейная функция, а матрица N 2 ........
квадратная функция производной перемещения вдоль оси стержня.
Выражением внутренней энерrии стержня (10.124) как и соответствующим
выражением для потенциальной энерrии стержня, сформулирована проблема
reометрической нелинейности с основными допущениями классической теории
стержня. Эта формулировка может служить в качестве линейноro анализа до"
критическоro и посткритическоro поведений стержня. Для получения решения
соответствующей системы нелинейных уравнений равновесия можно применять
различные численные действия прямоro итеративноro или инкрементальноro
анализа.
Проблема бифуркационной устойчивости. Для ее анализа используют выра..
жение (10.87), в котором появляется матрица жесткости. Поскольку последняя
известна, необходимо найти еще reометрическую матрицу жесткости, которая в
общем случае определена выражением (10.82). Если в уравнение (10.82) вместо
'lij и t! ij поставить следующие выражения, отвечающие предположению класси..
ческои теории стержня:
(10.127)
1 2 2
'1)11 == '1)х =="2 (U y . х + v. х))
571
.
uy==u........yu'A,
1111 ==.а х == N x + [(1 ) М 1 + Mz].L}
F 1
(10.128)
rдe N х н()рмальная сила, кот()рая предnолаraется постоянной ВДОЛЬ стержня;
М l' М 2 моменты изrиба на краях (рис. 10.17),
1
Х,и
М 1 ЧJl
М)
= х/l
М 2
У)У
, PIIC. 10.17. Jl[pOOJI Ma БИфУРUЦИ()IIН()Й уcroЙЧIlВOCТll стерЖIIИ В IIJIОСICОСТИ
то получим:
qT kgq== r .!. { Nx +[(1 )Ml + M2]..!.
, 2 F 1
v
(10.129)
[(u x 2 YU,x У. хх + i Y xx) + Y x]} dv.
После интеrрации по площади поперечною сечения стержня, допуская ею
симметрию, выражение (10.129) приобретает вид:
1
qTk.q== J {N{(U x+ ; Y xx)+Y x]
о
2 [(1 )Ml + М 2 ] u. X у. хх } dx.
(10.130)
Перемещения и и v вдоль оси стержня представляются в зависимости от па..
раметров перемещений в узлах с помощью интерполяционныx функЦИЙ, т.е.
u==N u q)
v == N Ч.
(10 131)
Вводя выражение (10.131) в уравнение (10.130), из сравве чя следует, что
ka == ka u + kav + kaM1 + kaM2}
(10.132)
572
rдe
I
kp== X J[(N )TN + ; (N;')TN;']dX;
о
I
k lY == X J (N )T N'" dx ;
о
(10.133)
I
k. M I ==Мl J (1 ) (N )T N ' dx;
о
I
kaM2 == М 2 J (N )T N ' dx.
о
Если параметры перемещений в узлах изображаются как составляющие век..
тора q в порядке
qT== [Ul и2 Vl ер! V2 ер2] . (10.134)
и предполаrается, что линейныe изменения перемещений и, а кубическое ........ пе..
ремещений v, то матрицы ивтерполяционныx ФУНIЩИй N x и N v имеют вид:
Nu==[l О О О О])
(10.135)
Nv==[O О I З 2+2 3, /( .....2 2+ 3), З 2.......2 3, /( 3....... 2)].
Вводя выражение (10.135) в уравнение (10.133), после проведевия необходи..
мых математическиХ операций получим матрицы kgu, kgv, k gMl и kgМ2 в экспли..
цитном виде:
/2 F J2F О О О О
1 1
/2 F О О О О
...............
1
k == N x 1 (10.136)
12 61 12 6/ )
IU F /3
4/2 61 2/2
симметрично 12 61
4/2
О О О О О О
О О О О О
k == N x 36 З/ 36 3/ ,
аУ 30/
573
4/2 3 1 12
симметрично 36 3 1
4/2
"'0 О l l 1 О'" "'0 О 1 О l I
О О 1 I 1 О О О 1 О 1 ...../
М 1 О О О О О О . М 2 О О О О О О
kaMl == I k M2==
/3 О О О О О О i /3 О О О О О О
О О О О О О О О О О О О
О О О О О О О О О О О О
На основании выражения (10.136) можно сделать вывод, что часть матрицы
k в reометрической матрице жесткости стержня является доминатной, так что
при анализе бифуркационной устойчивости ее необходимо использовать, а oc
тальными (k gu , k gM1 и kgМ2) пренебречь, причем это существенно не отражается
на точности решения.
у прощенная формулировка проблемы бифуркационной устойчивости (в
смысле предварительно оставленных без внимания) может быть выполнена He
посредственно, исходя из выражения (10.111). Если в нем пренебречь членом
Р и , и ввести замену N x = ЕР и , , то энерrию стержня можно выразить как сумму
энерrии аксиальноro напряжения и энерrии изmба, т.е.
А== Аа + А ь )
(10.137)
rде
1
А.<=- J EF(u"Ydx;
о
(10.138)
1
Аь == J (EIv xx + N x v x) dx
о
и, таким образом, отделить устойчивость от аксиальноro напряжения. В этом
случае энерmя деформации стержня при изrибе становится функцией только
поперечных перемещений v(x):
I
А==Аь<=- J (EIv xa+Nxv x)dx, 00.139)
g
Если изменения перемещений v(x) в зависимости от параметров перемеще
ний в узлах выразить обычныM способом
V (x)=:Nq (10.140)
574
и ввести выражение (10.139), то получим:
t 1
A== qTk q+ qTk q
2 о 2 К)
(10.141)
rде
/
ko ==.! EI (N")T N" dx )
о
(10.14 )
I
kg == Nx.f (N')T N' dx
о
соответственно конвенционная и reометрическая матрицы жесткости стержня.
Если за параметры перемещений в узлах 1 и 2 принять перемещения v и
вращения"', а за интерполяционные функции ......... полиномы rермите первой сте...
пени по выражению (10.103) для ko, то получим известный вид матрицы жест...
кости:
--- 36 3/ 36 3 1
k == N x . 4/2 3 1 12
(10.143)
g 301 36 3 1
симметрично
412
Вводя ko и k в выражение (10.87), получим полином, с помощью KOТOporo
определяют проблему бифуркационной устойчивости стержня. Низший корень
этоro полинома определяет критическую силу, при которой начинается сrиба...
ние, а соответствующий свойственный вектор ......... форму изmбания.
п ример. Для иллюстрации процесса определения критическоro наrружения,
при котором начинается сrибание, взят стержень, показанный на рис. 10.18,
разделенный на два конечных элемента.
N 1 2 l' N
-t 1 I 1 f
L=21
1 2
PIIC. 10.18. Стержень, разделенный только на два конечных элемента
575
с учетом симметрии в reoметрии проблемы достаточно рассмотреть один
элемент в двух случаях контурных условий. Уравнение бифуркационной устой
чивости по выражению (10.87) с учетом равенства (10.143) имеет вид
12 61 4О8Ое 12 61 ... 36 3 / 36 3 /
ЕI 61 412 6/ 212 л 3/ 4[2 3 1 ..... [2
. + :;::: о.
13 12 6 / 12 6 / 30 [ З6 3 / 36 ..... 3 1
6/ 212 61 412 3 I 12 з 1 4/2
В первом случае, поскольку форма сrибания симметрична, подставив
v 1 ==0)
2==0
и ......N cr , предыдущее выражение сводят к следующему:
4EI
1
6 EI 412 --3 1
12
N cr ==0,
301
12 EI з / 36
/3
6EI
/
соответственно после упорядочения и замены 1 = L /2 на полином
C I
N cr L ) ( 96 ЕI
IS L3
. 2
12 N cr ) ( 24 EI N cr ) == О,
5 L L2 10 .
с помощью которою получают:
N == 9.94 EI == 1.008 1t 2 EI , ( точное решение N == 1t 2 EI )
cr. L2 L2 cr L2 ·
Это значение близко к значению критической силы сrибания свободно опи
рающеro стержня.
Во втором случае ...... форма сrибания антисимметрична;
Vl ==0,
У2==ОI
В качестве характерною уравнения получим
4ЕI 2 ЕI .....
4/ /
1 1
...... N cr ==0,
30
2EI 4Е' ...../
4/
/ /
576
соответственно
4EI N == 2EI +.i.N
/ 3 О cr 1 30 cr 1
откуда
ЕI 4 1t 2 ЕI
N cr == 48 " 1.21 ,
L2 L2
( 4 1t 2 EI )
точное решение N cr == L2 ·
Это значение, как видно, намною отличается от точною решения.
Для случая консольною стержня длиной 1, зажатою на левом краю, необхо
димо подставить Vl = 'р 1 = О, так что по выражению (10.87), учитывяя ypaBHe
ние (10.143), получим
12 6/ 36 3 / ...
ЕI ri r ==0,)
13
6/ 4/2 31 411
...
соответственно
( 12 ЕI 6 N cr ) ( 4 EI 2/ N cr ) ........ ( 6 EI + N cr ) 1 == О
/3 -5/ / 15 11 1 О J
откуда
7t 2 EI
N cr == 1.009 1
412
( 1t2 EI )
точное решение N -==
cr 4 /2 ·
Устойчивость линейных несущих элементов по теории второй степени. Mo
жет показаться, что вариационная формулировка бифуркационной устойчивости
С помощью функционала внутренней энерmи (10.139) эквивалентна однородно"
му дифференциальному уравнению линейной теории второй степени аксиально,
подверrающеrocя продольному сжатию силой N х стержня на ею краях:
У, хххх + k 2 V, хх ==- 9,
k == N x .
EI
(10.144)
Решение этою дифференциальною уравнения следующее:
ы . ы (u
V == ОС! + ОС 2 Х + аз SIП ............ Х + (Х4 cos х
1 / / '
(10.145)
bl==k/.
Если формулировка основных уравнений кuнечною элемента стержня
(СМ. рис. 10.16) для интерполяционных функций вместо полинома исходит из
уравнения (10.145), то оБычьIм путем получают:
v==A (1)
ч==С (1.,
(10.146)
577
rде
"
А== [1 (1) (1) 6) ]
x sln х cos ТХ ,
1 1
..... 1 О О 1 V 1 0:1
О ())/' ()j/l О 1 (/.2 (10.147)
с== 1 q== . сх==
(u SIП 6) COS ()) v 2 I ОС) .
())/l <.t) <.u
О cos (,) SII1 (t) С?2 ('1.4
1 1
Из уравнений (10.146) следует: а = C lq V = AC lq .... Nq,
'.
1 cos (u (U sin (U
. 1
«1) cos 6) sin (у)
6)
1 cos 6)
S I n (J)
1
(1 cos 6»
(J)
SII1 (.а)
C 1 =
d
1
(1 cos 6) 6) sin (t» 51П 6)
6)
sln 6)
1 cos 6)
, 1
(sln 6) 6) cos 6» ...............
6)
(1 ..... cos 6»
(1 ) 6) sin 6)
[1 cos 6» 6) ......
(sin 6) cos 6».
..sin 6)+
sin 6).sin ы +
+ sin ct) sin 6) +
I
N :2..........
+ (1 cos 6» (1 + cos 6) ) . (1 cos 6) ) + + (1 cos 6».
+ (1 cos (u (U s i n (,). · (1 cos (a) )
I
.sin (U ]
6)
d == 2 (1 cos ())) 6) sin 6>,
х
1.
(10.148)
I ....
(sin (JJ C1»
(а)
1
(1 .... cos lt» ............ .
(а)
I
(1 cos (J»
6)
1
(6) cos (1»
6)
[(l cos 6»(a)
(1...... cos ы) sin (J)
(6)..... sin ы).
1
. (1 ...... cos (.) )}
(u
(10.149)
Элементы матрицы N имеют подобное же reoметрическое значение, как и в
случае линейной теории (полиномы rермите). Они представляют собой уравне..
u u
ния упруmх линии двусторонне зажатоro стержня, наrpуженноro аксиальнои си..
лой, при равных перемещеииях и вращениях ero краев (рис. 10.19).
Дифференцирова ем выражения (10.148) получим связь между деформа..
цией и параметрами перемещеНИЙ
d 2
& == ...... у (N q) == Вq,)
dx 2
578
(10.150)
rде
(10.151)
в ..... 2 У [ sin fI) sin (а) + (sin 6) (a) соа 6) · со. (а) + sio (а) SiD 6) «6) sin (а) . со. 6) ]
.... /2 4 +(1....со! (а) со. (a) +(l cOl (a) 6) sin (a).sin 6) ) 1/6) (I os 6).СОI 6) (I....-cos (a).sin (a) ) '/(а) .,
-.
.
1
"
"
--....
........ . -- ..
PIIC. 1 0.19. ()М трllческоо значеНllе интерп()JulцII()нных ФYIIIЩIIЙ по ТOOpllll Bтopor() п()рядка
а затем матрица жесткости
I
k L == J ВТ ЕВ dv == Е J вт в dx J у2 dF ==
v о F
(10.152)
1
=:ЕIl J BTB d ,
о
( В =: В).
Введением выражения (10.151) в уравнение (10.152) после иитеrpaции под"
ынтеrралъной ПРОИЗВОДНОЙ в rpаницах от О до 1 получим матрицу жесткости
стержня по линейной теории второй степени:
(10.153)
симметрично
I ы 1 . 6)2 . 1 6)
(1 .... cos 6) ...... 51n ы 1 ......... (1 .... cos 6»
I I 1 1'1. /
I ........................ ........ I ........ ........ ........ ........ ................ I ...... ........ ........ ........ ......
6)2 I .
I s i n 6)..... 6) со S 6) J .............. (1 .... с о s 6» 6) ..... S I n 6)
I 1 / J
........ ........ ........ ........ .............. ..................................... ........ J ........ ........ ........ ...... ......
J 6)2 <-)
I sin 6) I (1 .... cos 6»)
/2 /
I ........ ........ ........ ........ ................ I ........ ........ ........ ...... ........ ......
I si n (а).... (u COS (u
6)2 .
SID (J)
Р.
k ..... EI 6)
L..... l
Статическо"reoметрическое значение отдельных элементов матрицы k L точно
такое же, как и у классической матрицы жесткости. Только моменты и верти..
к3льныe силы на краях стержня определяются по теории второй степени. В от..
579
личие от классической матрицы жесткости в матрице k L появляется и нормаль
ная сила (в параметре(а). Проблему бифуркационной устойчивости примени
тельно к данному случаю определяют однородной системой уравнений
kLQ==O) (10.154)
которую сводят к полиному
det kL==O.
(10.155)
Низший корень cv er определяет силу, при которой возникает сrибание. Если
вместо аксиальной силы давления в каком
либо из элементов действует сила на..
тяжения, то матрица жесткости элемента остается формально той же самой,
только лишь в выражении ,(10.153) вместо триroнометрическоro sin(...) и соз(...)
появляются rиперболические sh(...) и ch(...).
10.6. ПЛИТЬI
Анализ больших перемещеНИЙ. Исходя из выражения (10.20) и учитывая
уравнение (8.10), составляющие деформаЦИЙ в произвольной точке, находящей"
ся на расстоянии z от средней плоскости пластины, MOryт выражаться как функ..
ции составляющих перемещений точек ,в средней плоскости плиты (ио, Vo, w =
wo) следующим способом:
12.
ех == и о . х + 2
,x.... ZW,XX ,
1 .
е ,,== У о . х + 2 w. у
ZW, уу ,
(10.156)
(J) == УХУ == U o , у+ У о . х +W, х w, у
2 zw, ХУ.
с введением вектора:
YJo ==
1 2
w х
2 '
1 2
W y
2 '
W, ХХ
и о . х
е о == V o . х
· х==
w
I ,УУ
(10.157)
u +v
.... о. у О. х ....
......2w
,xY
w w
.... О. у , у
предыдущее выражение принимает вид
E==EO+ZX J
(10.158)
rдe
EO==eo+YJo.
(10.159)
Поскольку поле перемещений в конечном элементе выражается с помощью
интерполяционных функций и параметров перемещений в узлах элемента, то
580
составляющие перемещений в плоскости пластины ио и Vo и составляющую пере...
мещений перпендикулярно к плоскости пластины w можно записать:
[:: ]== N u qu)
W== N w qw l
(10.160)
rдe Nu, Nw представляют соответственно матрицу и вектор интерполяционных функций; qu и
qw векторы соответствующих параметров перемещений в узлах для описания плоскоro состояния
и изrиба с формированием матриц: .
Nw==[:W J: W==[ W J
(10.161)
и матриц оператора
....д/дх О .....д1дх l .
L I == О д / д у .. L 2 == 1
.....д 'д у д I д х..... ..... д/д у .....
r д2/дх2 1
L3 ==.... д 2 /д у2 ·
..... 2 д 2 /д х д у .....
(10.162)
При этом выражения для составляющих деформаций (10.157) MOryT быть
представлены в виде:
rде
eo==L. N u qu==Bu qu
1
YJO= LINw WL 2 N w qw
2
== BWJ WB W2 Чw;
2
х == L3 N w qk == В wэ Qw I
Bu==LtNtl ;
Bwl==L1N w ;
B w2 ==L 2 N w ;
Bw3==L3 N w.
(10.163)
(10.164)
Матрицы Ви' Bw и B w2 получают как первые производные, а матрицу B w2
как вторую производиую соответствУЮЩИХ интерполяционныx ПОЛИНОМОВ.
ИСХОДЯ ИЗ выражения (10.22), для энерrии деформации конечноro элемента
пластины получим
A == J€TD€dV== J+j [ EO ] [ D D ] [ Eo j dZdF
v p....h/2 Z Х D D zx
l J T J T
=="2 €o D l1 €o dF + €o О 12 Х dF +
F F
581
+ J x T D 22 xdF== Ам + A.nb+ Аь ,
F
(1.0.165)
rде
+Ь/2
D ll == J Ddz,
...... h /2
+Ьп +Ьп
D 12 == J zDdz, D 22 == J z2Ddz.
b/2 b/2
(10.166)
Здесь индексы ш, Ь обооначают мембранную часть, т.е. часть изrиба.
Матрица D 12 становится нулевой матрицей oднopoдныx изотропиыx материа..
лов, так что выражение (10.165) утрачивает второй член. Вводя выражение
(10.163) в уравнение (10.165»)для энерrии деформации получим:
1 т 1 Т (! т )
А т =="2 qu kuu qu + "2 qw D..2 wr G 1 WB.,z dF q. +
F
++ qЧJ B 2WТG2dF)qu;
F
(10.167)
Amb==qJk uw ++ qЧJ В WТGзdF)qwj
F
А 1 T k .
Ь=="2 Чw wwЧw'
rдe
kuu == J B О 11 Bu dF i
F
kwu == J О 12 BW3 dF ;
F
(10.168)
kww == J В З D 22 Bw3 dF j
F
G 1 == B 1 D 11 B W1 ;
G 2 == B 1 D 11 Bu :
G э == B 1 D 12 В. З .
в выражении (10.167) с помощью членов, находящихся вне интеrрала, опре..
делена энерrия деформации по линейной теории, а члены, находящиеся под зна..
ком интеrрала, результат нелинейных связей между деформацией и перемеще..
ниями. Следует заметить, что нелинейная часть в выражении для А т 6 зависит
только ОТ параметров мембранной деформации, а в выражении для А т ........ ОТ па..
раметров мембранной деформации и деформации изrиба.
582
Если на пластине действуют внеш ие влияния наrружения РХ' Ру и Pz, отде--
ленные по площади пластины, и линеиные наrружения Р , Р пу и P nz И соответ--
ственно моменты т п и т п в части контура S (рис. 10.21», rде заданы контур--
ные условия по силам, то работа внешних сил
А. == ... u == J (Рх U + ру v + pz w) dF +
F
+ J (рпх U + PnY v + Рп:. w + т п w, n + m nt W, .) ds )
S(J
.
Р.,.
D
PIIC. 10.20. Вllеmние воздействия, действующие на ПJlиry
соответственно после замены выражения (10.60) будет
u == J (Pu N u qu + pz N w qw) dF .....
F
(10.170)
.... J [Pnu N u qu + (Рnж N w + m n N w , n + m nt N w . ') qw] ds)
S(I
rде
Pu == [ Рх ] ; Рnо == [ Рпх ] .
ру Рву
(10.171)
Полная потенциальная энерrия представляет собой сумму энерrий деформа--
ции и потенциала внешних сил
П==Аm+Аmь+Аь+U,
(10.172)
rде Ат, АтЬ, АЬ, V определены выражениями (10.167) и (10.170).
Применением вариационною принципа стационарности потенциальной энер--
rии О П = О (соответственно П, Qи = О и П, Qw = О) получим уравнения рав--
новесия в обычном виде:
kq==Q.1
(10.173)
583
соответственно
[ kuu
kwu
kuw ] [ Чu ] == [ Qu ] ,
kww qw Q"
(10.174)
rде
kuu == kuu ;
А l J T ·
k l1w == k l1w +"2 G 2 WBw3 dF I
F
(10.175)
А 1 J т т dF ·
k WI1 ==kWW+T B w 2 W G 2 ,
F
А J т т dF JB T WTG dF
kww== kww+ B w2 W G 1 WB W2 + w2 3.
F F
у изотропных однородных материалов в выражении для kww последний член
равен нулю, поскольку в этом случае G з == о. Условия равновесия (10.173), как
и уравнение (10.174), представляют систему нелинейных алreбраических урав..
нений, в которой матрица k имеет значение танreнциальной матрицы крутизны.
На основании выражений (10.175) и (10.161) леrко сделать вывод, что это
нелинейная система уравнений, потому что элементы матрицы k зависят от пе..
ремещеНИЙ. В выражениях (10.175) члены' стоящие вне интеrрала, представля..
ют блоки классической матрицы жесткости, а члены, стоящие под знаком интеr--
рапа, нелинейны (в k иw и k wи ...... линейные, а в kww ...... квадратные функции па..
раметров перемещений) и представляют блоки инкрементальной и соответствен..
но reoметрической матрицы жесткости.
В 'этих выражениях дана общая формулировка проблемы rеометрической не..
линейности пластин, основывающаяся на допущении, что деформации малы, а
перемещения W, как и вращения W,x и W,y ...... достаточно велики, так что их дол..
жны принимать в расчет при выписывании основных reoметрических и статиче..
ских соотноmений. Для реmения системы нелинейныx алreбраических уравне..
ний равновесия (10.174) можно применять различные способы, например способ
Ньютона....... Рафсона.
10-4,
;а[Ь.l мм
".0.36
0.8
....3
0.6 Ж-2.1о'кН.см f 8-
0.4
"'
O
0.2
q;.
t\'I\
о "мм
1 а. :J 4
Рис. 10.21. Дllarраммы перемещенlIЯ w в цешре IlJlIIТЫ ПО JlllllеЙIIОЙ и lIeJIllllеЙIIОЙ теОрllЯМ
584
п ри.мер. Для численноro примера взята квадратная прикрепленная пласти..
на, равномерно наrруженная по контуру. С учетом двуосной симметрии рассмат"
ривается только четвертая часть (четвертинка)' пластины с сеткой 5х5 прямо..
уroльных несовместных элементов с 12..ью степенями свободы по три в каждом
узле (w, (J х и 81). Расчет проводят по линейной и нелинейной теориям для че..
тырех различнои интенсивности наrружений р(0,2, 0,4, 0,6 и 0,8). В нелиней..
ном анализе применен способ Ньютона......Рафсона с инкрементом одной десятой
интенсивности наrружения. На рис. 10.21 показано изменение перемещения w в
середине пластины в зависимости от наrружения р.
Анализ устойчивости. Исходя из выражения (10.80) и учитывая равенство
(10.157), по аналоrии с наблюдением стержня получим упрощенное уравнение
энерrии деформации изmба пластины в виде
1 .
A==Ab== J XTDXdF+ J( J...a hW2 +J... a hw 2 + h )dF
· 2 2 х ., х 2 у , у 't' ху W, х w, у ". (1 0.176)
F F
Первый член этоro выражения представляет деформацию изrиба пластины
по линейной теории, а вторая ero часть ........ нерrию деформации изrиба из нели..
нейных членов связей деформации и перемещений. Величины 6 jt,Gyh и 'xyh ......
внутренние силы в плоскости пластины (мембранные), приходящиеся на едини"
цу длины. Если изменение перемещения w(x, у) в конечном элементе выразить
обычным способом с помощью интерполяционныx функций и параметров пере..
мещения w = Nwf/w и ввести уравнение (10.176), то энерrия деформации конеч..
HOro элемента
lT l т IT Т qT
A==2QwkoQw==2QwqlxqW+2 QwklY Qw +2QwklxyQw
(10.177)
rдe kO классическая матрица жесткости;
kqx, kqy и kqxy соответствующие reометрические матрицы жесткости, определенные Bыpa
жениями:
kp == J (axh)N?"x N,x dF;
F
k ly == J (O'yh)N;yN,ydP:
F
(10.178)
kp)== J (21"xyh)N xN,ydF.
F
Если ввести обозначение
k.+kax +k. y + k gxy )
(10.179)
то выражение (10.177) энерrии деформации изrиба пластины формально стано..
вится,как и уравнение (10.141):>для энерrии деформации изrиба стержня. По
этой причине, Korдa определяют матрицу reoметрической жесткости по выраже..
нию (10.179), предполаrая постоянными напряжения в элементе, бифуркацион"
ную устойчивость пластин вычисляют так же, как со стержнем. Для анализа по..
следней можно применять конечные элементы, различные по форме и числу сте..
пеней свободы. Однако формулировка reoметрических матриц жесткости для
элементов с большим числом степеней свободы становится достаточно сложной.
Если применяют прямоуroльный несовместный элемент с 12..ью степенями сво"
585
боды (с узлами в вершинах и пара метрами w, (j х И () у)' представленный в rл. 7
в уравнении (10.178), то получим замкнутые выражения ДЛЯ rеометрической
матрицы жесткости:
.... SS2 66з 42a SS2
Nx
k &:S
ах 12ЕО
12Ь 2
о
66Ь 12b
66Ь 42 204 39b .....21 а
З9Ь
S6a 2 42а
о 14а 2
5S2 66b
12Ь 2
симметрично
....552 42b 66 204 21 Ь
N xy
k :a '
аху 1260
N xy
k IХ У - ..............
90
586
56Ь 2
о
21Ь 28Ь 2
12а 2
39а
о 9а 2
552 42b
56Ь 2
204
39Ь ....21 а
о
9Ь2
о 39Ь 9Ь 2
о
28а 2
21.
О
о 7а 2 ..... 21 а
21а
о
о 39Ь 9Ь 2
о
21 а 204 ..... 39Ь
9Ь2
42а
204
39Ь
З9Ь
5S2 66Ь
12Ь 2
28а 2 21а О 7.2
42а 552 66b 42а
56а 2 21 а О
о 66Ь 12b2
о
56а 2 42а О 14.2
552 66а 42.
12.Ь О
'6а 2....
42Ь
66а....
о
о
39а 204 21 Ь 39a 552
42Ь 14Ь 2
о
21Ь
З5а
7Ь 2
о
9а 2
66а 552 42b 66a 204 21b
2tb 7Ь 2
39а
О
о
42Ь t4b2
о
66а
о 12а 2
12а 2 6Оа О 12a2 39а О 9а 2 .
552 42Ь 66а 204 22Ь 39а
56Ь 2 О
симметрично 12а 2
......5 О О
О 1.25ab
О
симметрично
о
о
о
о
9Ь 1.25аЬ О
....45 О
О
9b
9Ь
45 9а
....1.25аЬ ......9а 1.5a 2 1.25аЬ 9a
---9Ь 1.25аЬ 1.5Ь 2
о
о Qa
о
......1.25a Ь --9а О
о
о 1,25аЬ О
45 О О
- ,-
1.2'аЬ 9а
о
1.25аЬ О
О 9Ь
......4,
21
39
452
28Ь 2 О
О 9а 2
42Ь
56Ь :!
66a
l aJ
о
9а
о
1.2Sab
о
о
1.2Sab О
....45 ...... 9а
9Ь
1.5а 2 ....1.25.Ь
9b2 ......1.25ab 1.5Ь 2
О О 9b
.
о 1.25.b
. 1.25аЬ О
о
о
о ....1.2S.ъ
О
Прuмер. На рис. 10.22 показана квадратная пластина, равномерно наrружен--
ная по контуру в направлении оси х распределенным наrpужением. Необходимо
определить критическое значение наrружения, при котором наступает сrибание.
..........
.. . . . .
:::::::: :
} j ) j
2а
рх
'j! II! 1
1
рх
х
2
4 3
PIIC. 10.22. Квадрamая IIJIIIТ8, lIаходящаяся ПОД воздеЙСТВllем paвlloMepllo распределеllllОЙ lIarруз
J{II ПО 1C0нтypy Р х
в случае, Korдa пластина прикреплена вдоль четырех сторон с сеткой только
из четырех конечных элементов и с учетом двуосной симметрии, при симмет--
ричной форме сrибания (Wl + О), характерное уравнение сводят к:
К 11 +ЛК 11 ==0,
соответственно с учето выражения (7.53) и (10.180) при а Ь и v 0,3:
D [ 60+60+30.03+84 ( 1 0.3 )] == 552 N )
15 а 2 ' 2 1260 cr
откуда
D
N cr == 24, 1 О ............
а 2
Это значение очень близко к точному решению N cr = 24,8 п/ а 2 .
В случае, коrда пластина свободно опирается вдоль всех четырех сторон и .
при симметричной форме сrибания параметры Wl и 8 у2 и Оху отличны от нуля и
характерное уравнение имеет вид
1
15 а 2
... КА
· ..... КI
KS
.... KI
KF
О
KS.... ... 552
N cr
О + 1260 . ..... 21 а
КС... 39 а
21 а
56а 2
О
39 а ...
о
12 а 2 )
...
587
соответственно для а = 1:
... 10.56
D. ..... 2.14
2.14
....2.14 1.14
1.52 О + N cr
О 2.52...
... 0.4381 О
0.01666
0.03095
..... 0.01666 0.03095'"
0.04444 О
О 0.00952...
== О)
откуда N cr = 32,76 п, в то время как точное решение N = 39.49 п.
э
2
1
*
с(
ш
s:
31
О
2
16 СТЕПI;НЕЙ
СВОБОД.Ы
2 3 4 5 6
ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ
В ОДНОМ КВАДРАТЕ
9
1
12 СТЕпеНЕЙ СВОБОДЬ'
з
'
Рис. 10.23. К()lIверrенция (сходимость) реmения ЭJlементов с 12-ью 11 16-ью степенями свободы
На рис. 10.23 показана сходимость численноro решения с точныM решением
в зависимости от числа конечных элементов в одной четвертой пластины для
случая прямоуroльных элементов с 12..ью и соответственно с . 16..ью степенями
свободы.
10. 7. ОБОЛОЧКИ
в рамках нелинейноro анализа оболочки по МКЭ получили развитие мноrие
модели, отличающиеся одна от друroй способом дискретизации и уровнем нели..
нейных связей. К конкретному способу дискретизации в зависимости от YCТCl;HOB"
ленных связей деформаЦИЙ и перемещений можно получить различные виды не..
линейноro анализа. В принциnе все способы дискретизации, применяемые в ли..
нейном анализе (некоторые из них представлены в rл. 8), MOryT применяться и в
нелинейном анализе. Здесь представлена только одна из простых моделей, бази..
рующаяся на теории мелких оболочек, о которой в рамках линейноro анализа
рассказано ранее.
588
Если для координатных линий ot. и}!J средней поверхности оболочки прини..
мают линии х и у в плоскости основания, то, следуя выражениям (10.9) и (8.35)
для связи между деформацией и перемещениями, получают выражение
w 2
Ех u,x + W 'х )(х W' x
Rx
w 1 2 ,
Е== &:у v'x+ + ==е+1) х== )(у == \У, уу
.... w 'у
Ry 2
2w 2w w 2 W,xy...
tt) U,y+v,x+
... ,Х ,у___ ... ...
... ... Rxy ___
(10.1 1)
Этим выражением мембранные деформации & даны как сумма линейной ча..
сти е и нелинейной части Il, пока деформации изmба ....... линейны. Выражения
(10.181) отличаются от соответствующих линейной теории (8.35) для вектора ,
который можно выразить в следующем виде:
1
1) == w* d,
2
(10.182)
rдe
О ...
W'X
.
w*:= О w'Y I
W,y w, х..:
d == [ W' х ] .
W'Y
(10.183)
Прямоуroльный элемент мелкой оболочки, представленный в rл. 7, имеет 20
степеней свободы по пять в каждом узле (и, v, w, (J х и Ву). Связь между состав..
ляющими деформаций и перемещений в узлах в рамках линейной теории пред"
ставлена с помощью выражения (8.91), которое можно записать в виде
I .
[:]== ]q==BOqz
(10.184) .
rде матрица ВО' определяющаяся по уравнению (8.91), поделена на две части .......
часть B sL , соответствующую' мембранным деформациям, и часть Вь, соответст"
вующую деформации изmба. Для определения матрицы жесткости элемента в
рамках нелинейноro анализа необходимо установить связь между вектором де..
формации IZ и параметром перемещения q. Дифференцированием выражения
(8.87) для перемещения w по уравнению (10.183) получим
d =: [ W, Х ] == [ 10 + 2 «12 х + · · · + (Х20 уЗ ] == R (1.)
w, у Jl + (XIJ Х + · · · + 3 «20 ху2
(10.185)
rдe
R'== [ O о о о о о о о о 1 О 2хуО Зх 2 2ху у2 О 3х 2 у УЗ ] (10.186)
О О О О О О О О О О 1 О х 2 У О х 2 2 ху 3 у2 х З 3 ху2
589
а затем заменой а = C lq, rде C..l ....... матрица, определенная выражением (8.93),
d==R'С lq==ФNq.
(10.187)
Введя уравнение (10.187) ;в равенство (10.182), получим
"l == w* ФN q == BSN Ч)
2
(10.188)
rдe
BSN == w* ФN
2
(10.189)
матрица, зависящая от перемещений.
Выражение энерrии деформации оболочки (8.24), учитывая уравнение
(10.181), имеет вид
А== f [(e+yOTD.(e+"l)+xTDbx]dF.
F
(10.190)
Введя (10.184) и (10.189) в (10.190), это выражение получит вид
А == чТ J [(B. L + B.N)T D. (B. L + B. N ) + Db ВЬЭ dF,
F
соответственно
(10.191)
1
A== qT(ko+kl +k 2 )q;
2
(10.192)
rдe
ko == J (B L D. B. L + B Db DJ dF,
F
k 1 == J (B L D. BSN + B D. B.J dF J
F
(10.193)
k 2 == J B N D. B.N dF
F
соответственно матрица жесткости элемента и reометрические матрицы жесткости линейная и
квадратная.
Матрицы k l и k 2 зависят от производной перемещения, поэтому они не мо"
ryT быть вычислены' пока не определены последние.
Для получения замкнутоro вида этих матриц одна rpуппа авторов предпола..
raeT, что матрица 6:J * ....... постоянная одною конечною элемента. Однако по об..
щему мнению авторов, если матрицу cv* выбирают точно по выражению
(10.183), то для определения матриц k l и k 2 будет использована численная ин..
теrрация.
Коrда по известному способу из матрицы жесткости и вектора общих сил от..
дельныx элементов образуются матрица жесткости и вектор общих сил сиете..
мы, то получается система нелинейныx алreбраических уравнений вида.
Р (q)==k (ч) ч Q==O J
( 1 0.194)
590
решение KOТOporo достиrают применtнием "акоro"либо инкремевтальноro или
итеративноro способа. При их использовании часто появляется танreнциальная
матрица жесткости, формулировка которой связана со второй вариацией выра..
жения энерrии деформации, т.е.
3qT)(t 8 q:: fB(3A)dF.
F
(10.195)
Исходя из выражения для внутренней энерmи деформации (8.23), правая
сторона уравнения (10.195) после двойной вариации получает вид
J 3(3A)dF:= f (32ETN+82xTM+3ET8N+3xT3M)dF.
Р F
(10.196)
Так как по выражению (10.181) и .......... линейные функции производной
перемещения, то
82 е== О,
B 2 x==OJ
так что выражение (10.196) сокращается и имеет вид
J 3(.. .)dF "':' J [32 "т N +8ЕТ 3 N+3x T 3 М]dF)
F F
(10.197)
rдe
(3 W, х)2
327) == (3 w, у)2
23w,x 3w ,y...
(10.198)
с введением матрицы вида
N*== [ Nx y N y ]
N x N xy
(10.199)
первый член выражения (10.197) может быть выражен следующим способом:
82 У)Т N == (8w')T N* 8 w,
(10.200)
соответственно с учетом равенства (10.198)
32 YJT N == 3 qT (ФI. N* ФN) 3 q.
Оставшиеся два члена в выражении (10.197) после замены
3N==Ds8E)
8M==Db 3x
имеют вид:
3e T 3N==8ETD s 3 E ,
ВиТ 3 М == 8)(Т Db 3)(.
(10.201)
(10.202)
(10.203)
591
Используя выражения (10.184) и (10.188) для связи деформаций и парамет--
ров перемещения, получим:
8Е == 8 (е +'1) == (DsL + B sN ) 8 q,
8)( == ВЬ 8 q 1
а затем, заменяя в уравнении (10.203),
(10.204)
ВЕТ 8 N == 8 qT (BSL + BSN)T D. (BsL +B. N ) Bq)
3)(Т 3М==3 qТЩDьВ ь 3q.
Введя выражения (10.201) и (10.205) в уравнение (10.197) и сравнивая с урав--
нением (10.195) для танreнциальной матрицы жесткости элемента, получим
(10.205)
kt::::a J [Ф N* Ф + (B. L + B.N)T D. (B sL + В. Н ) + Щ Db в ь ] dF.
р
(10.206)
Леrко заметить, что последняя отличается от матрицы жесткости (k o +
k 1 + k 2 ) в выражении (10.192) для члена ФNNФN. Танreнциальная матрица
жесткости зависит от перемещений, однако в отдельных marax интеrрации при..
нимают постоянную значения k r Начальное значение получают из линейноro
реmения проблемы.
На рис. 10.24 показана цилиндрическая оболочка над квадратным основани..
ем, прикрепленная по контуру и равномерно наrруженная распределенным вер..
тикальным наrружением. Этот пример рассматривался несколькими авторами
[11, 12]. Для более леrкоro сравнения результатов расчета reoметрические раз--
0.08
h = 0,125 in
" 1: 0,3
Е = 45000 Ibin 2
0,12
"'-
0,04
D 8х8 пРямоvr.ЭЛЕМЕНТ
о 12х12 ТРЕУI: ЭЛЕМЕНТ
....16х16 пРямоvr: ЭЛЕМЕНТ
0,1
0,1
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
10Wc(in)
0,8
PIIC: 10.24. ЦlIJIlIНДРllческая оБОJlОЧка над квадрarной основой. 3aвllCIIMocТb перемещеllИЯ w or
I lIarрузки Р по JlllllеЙIIОЙ 11 неJlИllеЙIIОЙ теориям с
592
меры и наrрузки использовали [11, 12] в метрических единицах. Сетка конеч...
ных элементов показана для четвертой части оболочки. Для численноro решения
системы нелинейных уравнений применяли инкрементальный способ сопределе...
ни ем элементов танreнциальной матрицы жесткости способом численной иитеr--
рации raycca (2х2). Инкремент равня.лся одной десятой интенсивности наrруже...
ния. На рис. 10.24 показано изменение перемещений w в середине оболочки в
зависимости от прироста наrружения.
10.8. ИНКРЕМЕНТАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ
УРАВНЕНИЙ МКЭ
Если вместо суммированных перемещений в качестве основных параметров в
узлах будут приняты приросты (инкременты) перемещений, то обычным спосо...
бом дЛЯ МКЭ получают инкрементальную формулировку основных уравнений. В
отличие от уравнений равновесия с параметрами перемещевий как неизвестны...
ми нелинейныии величинами инкрементальные уравнения равновесия.......... линей...
ны,' неизвестные в них .......... инкременты перемещений. Эти уравнения представ...
ляют собой условия равновесия на краю инкремента.
Способ определения решения в этом случае аналоrичен ..еявным методам в
динамических проблемах, коrда инкремент является приростом времени. Пред'"
полаrается, что статическо"'деформированное состояние в начале инкремента из...
вестно, а решением уравненИй равновесия добиваются воздействия на краю инк...
ремента. Если следовать от начальной (недеформированной) конфиryрации рас...
сматриваемой проблемы, принимаемой за известную, то из уравнений равнове...
сия для первоro инкремента определяЮт инкременты перемещений, а с их ПО...
мощью и напряженно"'деформированное состояние на краю этоro инкремента.
Korдa последнее принимают за начальное, то подобным образом определяют ре...
шение для друroro инкремента и так далее по порядку, пока не дойдут до конеч...
ной деформированной конфиryрации.
Здесь кратко изложена формулировка для статическою анализа reoметриче...
ских нелинейных проблем. Развернуто, с применением в статическом и динами...
ческом анализа
проблема reoметрической и материальной нелинейностей дана
в работе Базе, К. Рамма и Е. Вилсона [3].
На рис. 10.25 показаны три конфиryрации одной области в процессе дефор...
мации: начальная О D и текущая или дополнительная 1 п, находящиеся на инкре
z
у
PIIC. 10.25. Xapaктepllble ICОllфllryрацll1l оБJlасти D в течеllllе "ре>цесса деф<>рмацllll
593
ментально малом расстоянии от текущей конфиryрации 2D. ДЛЯ тoro чтобы под...
ч ркнуть, к какой конфиryрации относят reoметрические и физические величи...
ны, рядом с их ocHoBныM обозначением с левой стороны ставят соответствующие
индексы. При этом верхний индекс обозначает область, которой данная величи...
на принадлежит, а нижняя область и референтная система ---- по отношению к
которой определяют данную величину.
Переменные величины с символом А перед основным обозначением пред'"
ставляют инкрементальные величины. В зависимости от тoro, какую из конфи...
ryраций принимают за референтную ---- начальную или текущую, и по отноше...
нию к которой изменяют все величины, различают два варианта инкре...
ментальной формулировки Лаrранжа ---- полную и корриrированную или адапти"
рованную.
В сущности, полная формулировка является классической формулировкой
Лаrранжа и успешно применяется в статическом анализе. Референтная конфиry...
рация ---- начальная, она известна. Условие равновесия записывают для конфи...
ryрации D, предполаrая, что reoметрические и физические величины 1 D извеет...
ны. Пользуясь принципом виртуальных перемещений, условия равновесия MOryT
быть представлены выражением
J Sij 3 ( e:ij) dv 28 U == о. (10.207)
Оу
В этом выражении 02s i . и 02Ец ---- тензор напряжения Пиола----Кирхroфа и
тензор деформации rрин---- аrранжа в области 2D, измеренный по отношению к
площади и фундаментальному триэдру в области 0D. С 28и отмечена работа
внешних сил при виртуальных перемещениях
28 U == ..... J i 8 ( Ui) dv J Pi 8 ( Ui) ds.
Оу В(7
(10.208)
Если о 1 Sij,olE ij и OlU i ---- известные величины в области lD, то можно опре...
делить соответствующие значения величин в области 2 D следующим образом:
2 1 А ·
OUj ==oUj + Uj f
2 1 + Л .
О е:.. == o e:. j u е..
1) 1 IJ ,
2 1 л
O S" == 0 8.. + "" S..
1) " IJ )
(10.209)
rдe4 Ui,AEij и j) Sij""'" инкременты перемещен'Ьй деформации и напряжения, которые определяют
по отношению к ресрерентной системе в области п.
Исходя из общеro нелинейноro выражения (10.2) и учитывая уравнение
(10.209), для связи инкрементной деформации и перемещений получим следую...
щее выражение:
Slj == ( i,j + Uj,l + l Uk ,i Uk,j + l Uk ,j Uk, i + Uk,i Uk,j).> 00.210)
...... ........ .,.
соответственно
e:.. == А е.. + А Yt..
1) 1) .'1) )
(10.211)
rде 1
л л л 1 Л' 1 л "
е.. == ( U U' · + L.l и. . + U k . u U k J . + U k j u U t .
а) 2 1, J J, I , I , , , 1 )
594
..
1
"'1\.. == d U k · d U k .
"IIJ 2 · J · I ,
(10.212)
представляющие линейную и нелинейную части инкрементальноro тензора де...
фОрмаций.
Используя уравнения (10.209) и учитывая, что
8 (2 tjj ) == 3 (1 tij + 6. eij) == 8 ео
условия равновесия (10.207) получают вид
r d s.. 8 e.. dv == 28 U J IS.. 8 e...
. IJ IJ IJ IJ
ov Оу
(10.213)
(10.214)
Если установить связь между инкрементальныи напряжениями и деформа'"
циями с помощью CTPYKТYPHOro тензора D, т.е.
s.. == D " k1 e kl
1) 1) ,
(10.215)
то после замены этоro выражения на (10.214) получим:
J Djjk/ e;kI3dejj dv + J l Sij 3 1)ij dv ==23U J l Sjj 3d eij dv.
Оу Оу Оу
(10.216)
Поскольку инкременталъные деформации непосредственно зависят от инкре...
ментальных перемещений, К0Т9рые неизвестны, то выражение (10.216) является
нелинейным. Однако ero линейность возможна, если в произведенииL1€ij ttJj j на
место Ll с ij подставить
eH ejj>
(10.217)
так что вместо выражения (10.216) получим
J D jjkl d e k1 8 ejj dv + J l Sjj 8 d "tJij dv == 28 U J l Sjj 8 eij dv .)
Оу Оу 0v
(10.218)
которое представляет основное уравнение полной инкрементальной формулиров...
ки Лаrpанжа.
Если вместо начальной конфиryрации о D как референтную примем текущую
конфиryрацию 1 п, подобно предыдущим выводам, то получим основное выраже...
ние адаптированной формулировки Лаrранжа:
J D jjk / d ek18 e ij dv + J O'j J ' 8 1}j J . dv == 28 U r 0'.. 8 е.. dv
. IJ IJ,
lу IV .у
(10.219)
которое аналоmчно выражению (10.218) для полной формулировки.
В в ражении (10.219) ($ ij напряжение Коши, а lJ, ejj и IltzJj ::--- линейные и
нелинеиные составляющие тензора инкрементальных Деф9рмации, которые оп...
ределяют по отношению к референтной системе в области 1 п:
e..== ( lU. +dlU. . )
1) 2 1 f J J f I J
595
l\1jjj == l\ l Uk , j l\ l Uk ,j'
Линейные уравнения (10.218) и (10.219) инкрементальной формулировки
Лаrранжа представляют исходную основу для применения мкэ в анализе 1'00--
метрических нелинейных проблем. В обе формулировки включены и все эффек--
ты reoметрической нелинейности: большие перемещения, вращения и деформа--
ции. Для получения системы соответствующих алreбраических уравнений при--
меняют обычную процедуру мкэ. Как правило, используют изопараметриче--
скую формулировку, соrласно которой координаты тОчек в элементе Х; и состав--
ляющие перемещения Ui' а также инкрементныe перемещения "; выражают с
помощью одних и тех же интерполяционных функЦИЙ:
(10.220)
k ...тО k
ох. == L: N k Х; ,
k==l
k 1 k
l х .== N k X,
. . )
k=l
k k
l Ui == L: N k lUj ,
k==l
k k
AUj== 2: Nk Ui
k==l )
(10.221)
rдe 1 xf, 1 Uj /j "i координаты перемещений и инкременты перемещений в узле k в направлении i в
области 1 Di; N k интерполяци()нные функции для узла k в системе прир<>дных координат;
k общее число узлов в элементе.
Используя уравнение (10.221) при определении составляющих деформаций
ец и 4f i i' по выражению (10.212) после замены этих значеНИЙ в (10.218) полу--
чим: . ,
(:.к L + KNL) 6. u ==2Q ) (10.222)
rде
I f ' I Т I
oKI... == _ OBL D OBL dv :>
Оу
I { I Т I
oKNL == . OBNL S OBNL dv)
Оу
F== J' BE S dv.
0у
(10.223)
в выражении (10.222) 0s и 0s обозначены соответственно матрица и вектор
напряжения второй степени Пиола......... Кирхroфа:
S11 SI Z · · · S. 6
SI 1
, '"
81 2
s==
s==
(10.224)
8" ...
s
... 1'...
а lB L и l BNL соответственно линейная и нелинейная ма-q>ицы, которые получают с помощью
производной интерполяционных функций по выражению (1 0.212) .
596
.
Элементы всех этих матриц отвечают конфиryрации 1 п. Определяют их по
отношению к конфиryрации о п. Вектор оообщенных сил в узлах Q находят
обыкновенным способом
Подобным образом, исходя из выражения (10.225), для адаптированной фор..
му лировки Лаrранжа:
( 1 I ) А 2 1
lK L + .K NL Ll U == Q ......F,
.У
(10.225)
rде
J J l Т 1
.K L == JB L D lBL dv )
°v
1 J l Т 1
l K NL == l B NL't" lB NL dv}
°v
(10.226)
:F == J :вт 'r dv.
°v
В выраженl1И (10.226) матрицы B f и iBNL' как матрица и вектор напряже..
ний Коши И , относятся к области D и определяются по отношению к рефе..
рентной системе в области 1 п.
Двумерные проблемы. Для иллюстрации общей инкрементальной формули..
ровки В развернутом виде дано выражение соответствующих матриц и вектора
полной и адаптированной формулировок для изопараметрическоro элемента
(рис. 10.26), применяемоro в расчете двумерных проблем.
PIIC. 10.26. Из()парамеТРIIЧес:кий элемент для двумерн()ro алllза
Полная фор.мулuровlCа. Выражения инкрементальной деформации при ис..
пользовании уравнения (10.212) следующие:
l1 е 11 == U 1 ,l + l и1 ,1 О 1 ,1 + 1 и2,1 и 2 , 1 j
е 2 2 == и 2 ,2 + l Ut ,2 и 1 ,2 + l и2 ,2 и 2 ,2.) (10.227)
1
е. 2 ==2 ( и1,2 + и2.1 + l UJ . 1 иl,2+ l и2 . 1 и 2 . 1 + l и1 . 2 и 1 . 1 + l и2 . 2 и 2 . 1 );
'rjll ==+ [( иl.l)2+( U z . 1 )2j .
..
597
Связь линеЙНЫх инкрементальных деформаЦИЙ и инкреме тальных переме
щений В узлах элемента дана выражением
d е ==BL d u ==(B LO + B L1 ) d u
(10.228)
rдe
d е т == [ с I 1 е 2 Ll е 1 2] ;
(10.229)
oT ==[ U t d u1, uIt А U ... Ll U t d u;];
N 1 . 1 О N 2 ,1 О N k . 1 О
B L О == О N 1 ,2 О N 2 . 2 О N t . 2 .
.
N N 2 ,l N 2 . 2 N 2 ,1 N k ,2 N
... 1,2 ". 1 ...
k k
/1 1 == L: N k, t 1 U /J 2 == 2: N k , 2 lU ;
k=1 k=1
k k k
'21 == Nk,11U2 /22 == I N k ,2 lu ;
k=1 k=1
(10.230)
/11 N J ,I 121 N J,1 . . . . /11 N k , 1 /21 N k . 1
B L 1 == 112 N 1,2 /22 N 1 , 2 /12 N k . 1 /22 N k . 2
...111Nl,2+112Nl,l /21 N 1 , 2 + /22 N 1 , 1 111 N k, 2 + /1 2 N k , 1 121 N k . 2 + 122 N t . 1
.
Связь нелинейНhIХ составляющих деформаций и перемещений дана посредст..
вом матрицы В NL" имеющей следующую структуру:
N J ,I О N 2 ,1 О ..... N k . 1 О
N 1 ,2 О N 2 ,2 О ..... N k ,2 О
B NL == . (10.231)
О N 1 . 1 О N 2 ,1 . . . . . о N k ,1
О N 1 ,2 О N 2 ,2 . . . . . о N k ,2
Матрица 0s и вектор 0s напряжения Пиола Кирхroфа:
lS 11 812 О О S11
S21 S22 О О ...
s== s== S22 . (10.232)
О О S11 S12
О О S21 822 SI2
Адаптuрованная фОРМУЛUрОО1Са. Составляющие деформаций по выражению
(10.220) определены выражениями:
598
I
ell == U 1 ,1 +2 [( UI,I)2+( U 2 ,1)2J:
1
2 == U 2 ,2 + 2 [( U 2 ,1)2 + ( ,J2J;
(10.233)
1 1
e12 =="2 ( u1,2 + и 2 ,'> +2 [ и 1 ,1 · и 1 ,2 + иц · и2, ;
6. u. . == д U t
1, J д t ·
Xj
Пользуясь матричной нотацией для линейных составляющих деформаций,
получим
lde == BL4 U 1
(10.234)
rдe
14 е Т == [.А е 1 '. 14 е 22 14 е 12 ] ;
4 а Т == [А u , 4 u , 4 u . . .. А ur, 4 ur];
N 1 ,t О N 2 ,J · · · · N k ' О
, .
1 О N J ,2 О N k ,2 I (10.235)
l B L ==
N 1 ,2 N J ,I N 2 ,2 N k ,2 N
k, 1 ...
N .... д N i , . i .
6. uj == 2Uj ..... l u jJ
i, J .... д 1 I
Х.
J
а нелинейныx составляющих деформаций
N J ,1 О N 2 ,1 О · · .. N k ,l О
N t ,2 О . N 2 ,2 О · · .. N k, 2 О
B NL == (10.236)
О N 1 , t О N 2 ,1 . . .. о N k . t
О N 1 ,2 О N 2 ,2 . . .. о N k ,1
Матрица '(;
и векторы " напряжений Коши по структуре такие же, как в
полной формулировке:
0"11 0"12 О О 0"11
,,"== А
0"21 0'22 О О J ,,"== 0'22 (10.237)
О О 0'11 0'12 ... о" 1 2 ...
О О 0'21 0"22 ...
599
Тонкостенные опоры с недеформирующимся поперечным сечением. При
проектировании современных инженерныx конструкций большое применение на..
ходят тoHKocтeнныe опоры, которые от сплошных классических отличаются
меньшим собственным весом и большей несущей способностью. Три основных
размера, определяющие reoметрию тонкостенной опоры, являются величинами
различноro порядка; ширина (высота) поперечноro сечения мала по сравнению с
длиной стержня, а толщина стен мала по сравнению с шириной поперечноro се..
чения.
По первому из критериев тонкостенные опоры--суть стержни, а по второ..
му ....... тонкие оболочки. В связи с этим можно сказать, что и теория этих конст"
рукций каким"то образом интерполирована между теорией классическоro стерж..
ия и теорией тонких оболочек. Техническая теория тонкостенных опор представ..
ляет отдельную область теории конструкций, которая базируется на особых
предпосылахx о кинематике деформаЦИЙ. Для более детальноro знакомства с
этой теорией вниманию читателя предлаrаются превосходные моноrрафии [25] и
[36] в библиоrрафия к этой книre. Отrалкиваясь от ЭТОЙ теории, как известной
всем, далее будет изложена инкрементальная формулировка МКЭ ДЛЯ тонко..
стенн:ых опор OТKpblТOro поперечноro сечения.
Используя основные предположения о кинематике деформации (в.з. Власов)
о том, что поперечное сечение стержня недеформирующееся и скольжение в ero
средней поверхности мало, оставлено без внимания определение напряженно"де..
формированноro состояния ТOHKocтeHHOro стержня, которое сводят к области од..
HOMepHoro анализа. Все статические и деформаЦИОННhIе величины являются
функциями одноro apryMeHTa ....... оси стержня.
)со
x,t
О"
M
У, 11
Рис. 10.27. Параметры перемещенlIЯ 11 соответствующие СlIЛы в уЗлах к()нечн()r() элемеllТа т()нк()"
стеии()r() стержня с 14..ью степенями сJЮбoды
600
На рис. 10.27 показан тонкостенный стержень с узлами на ero краях и кон..
венцией о положительных направлениях статистических и деформационных ве..
личин. Анализ проводят в системе MecтHыx координат, две оси которых (х и у)
совпадают с направлениями rлавныx осей инерции поперечноro сечения, а
третья .......... с осью стержня. Точка О представляет центр тяжести поперечноro се..
чения, аР.......... центр сдвиrа.
На основании предположения о недеформированности поперечноro сечения
следует, что:
== p .......(у......ур) Ч>р ;
"tJ =='1)р +(х Х р ) Ч>р j
(10.238)
соответственно
U *=="tJp sin «+ p cos «+h:p p ;
v*=="tJp cos « p sin ос+Ь; <Рр .
Здесь f ' 'l, ., р ........ переме ения и вращения в т чке Р; u. и v. .......... перемеще..
ния в направлении касательнои и нормали к среднеи линии поперечноro сечения
точки М, которая находится на эквидистантном расстоянии е от средней линии
поперечноro сечения, а h np и hp являются чисто reoметрическими величинами,
определенныии выражениями:
(10.239)
b p==(X Xp) sin оо......(у......ур) cos а. j
h; ==(x xp) cos а.+(У.......Ур) sin «.
(10.240)
На основании предпосылкK теории тонких оболочек Кирхroфа........лява пере..
мещение в . аиболее удлиненном направлении можно выразить выражением
[25 ]:
, 1:" '.
w == w О.... "tJp у * p Х* ..... <рр 6>р 1
(10.241)
. " ,,1 '1 ill1 ии
rде Wo продленное перемещение сечения как .целоro;
"р координата сектора.
Выражения (10.238) и (10.241) MOryT быть записаны в следующем матрич--
ном виде:
h p
U. со s tX О sln tX О О О p
V. ...... s i n ос О cos « О ь. О О
р
.... \V. О ..... Х. О ..... У. О ..... (U. 1 "tJ p
р
I (10.242)
1)р
1>.,
'P
.... w о .... ·
601
СостаВЛSIющие деформаций, отличные от нуля, даны в зависимости от со..
ставляющих перемещений выражением
t z о
€=== ....... О
о
д/дz
д/дz ... ....u.
......sin (Хд/дх+ v.
+СОStXд/ду w.
(10.243)
... у жs.... ...
в качестве параметров перемещения в узлах принимаются инкрементные пе..
" ,
ремещеНИЯ .f' /J'Z и.1 W' их производные (ротации) Л ),JJ'l иА 'fи инкремент де..
планации4." так что элемент имеет в целом 14 степенеи свободы ......... по семь в
каждом узле, которые на краях стержнSL
Вектор ОСНОВНЫХ известных в узлах элемента
ЧТ::=: [ Ч Ч1) qq> qw])
rдe
q1 == [ 1 , ,
/ il l ;2 1 2] ;
6. q == [ YJI , ,
/ .fJ I YJ2 / "112] :
q == [ q>. , ,
1 6. I dq>2 1 6.!f2];
6.Qw == [ Wl Ll W 2].
(10.244)
(10.245)
Параметры перемещений, отвечающие вращениям, умножены на длину эле..
мента, так что все степени свободы размерно однородны.
Инкременты перемещения (вращения) в элементе выражаются в зависимо..
сти от параметров перемещения в узлах с помощью интерполяционных функ..
ций:
p(z)==N q ;
il p (z) == N7) Ч ;
({)p (z) == Nq> qq> ;
WO (z)== N w . qW)
(10.246)
rде
.
N ==N7)==N.==N==[1""'Зl:2+2 3, .....2 2+ 3, 3 2......2 3, 3 2] i
N w == [1 , l;]; == z// ·
(10.247)
в качестве интерполяционных функций в поперечных сечениях и вращениях
BOKpyr оси стержня, как видно, приняты полиномы первою порядка rермите, с
помощью которых обеспечена непрерывность c 1, а для перемещения в более
длинном направлении Wo предполаrается линейное изменение между перемеще..
ниями в узлах.
На основании выражений (10.242) и (10.246) получают связь между инкре--
ментами перемещения и параметрами перемещения в виде
602
.
... N sin а. Ь: р N о .... ... d Ч ....
... u. ... N cos
t1 v. ...... N sin а. N cos а. Ь: р N о t1 Ч7)
Aw. .... х. N ..... у. N .... 6): N N. t\q.
... t\ ч. J
(10.248)
соответственно
t1 u. == N Ч)
(10.249)
rде значение матрицы N очевидно из выражения (10.248).
Инкрементальные уравнения равновесия в полной формулировке Лаrранжа
даны в выражениях (10.222) и (10.223). ИСПОЛЬЗУЯ предпосылку о малых дефор"
мациях (большие перемещения и вращения), можно ПРИНЯТЬ, что наряду сило..
щадью поперечноro сечения, которая остается прежней, не изменяется и длина
стержня.
Матрицу B L определяют на основании выражения (10.243):
[ О О д/дZ ] N
B L . О дiд z д/д s J
(10.250)
а затем вместе с предположением об упруroм однородном материале:
[ Е'
D==
О
О ] .
G'
Е' == Е , G == Е
l v2 2(I+v)
.
(10.251)
По первому уравнению выражения (10.223) для матрицы линейной жестко..
сти тонкостенноro стержня получают:
Е' 'х" k. О О О
О Е' Iуу k 1 О О
k L == Е' 16)6) k J + ОК k 2 О ,
О О
О О О E'Fk
3
rдe -- ...
12 6 .... 12 6
1 4 ..... 6 2 .
k.... ,
t J3 симметр. 12 ....6
4.....
... ...
36 3 36 3
I 4 .... 3 ....1 .
k 2 == ............... I
30! симметр. 36 ....3
4
(10.252)
(10.253)
603
kЗ +[ }
Ixx == J х: dF ;
F
Iyy == J y dF;
F
Ixy== J х. У. dF == о;
:r...... == J си; dF ;
F
s
К==4 J e 2 de J dS==+ J t 3 ds.
о
При формировании нелииейиой матрицы жесткости вместо перемещеНИЙ и.
· с..
и v лучше использовать перемещения с.. И It ' которые расположеиы в направ--
лении осей х и у. Тоща связь между инкрементами перемещения и параметрами
перемещения можно выразить в виде
J). w* .... х. N' y N' 6).N' N ... J). q
. р w
J). * N О (Y. Yp)N О dq71
....J).Yj*.... О N (x. xp)N О dq;>
... d qw... "
(10.254)
матрицы В NL и S, тоща суть:
(10.2!5)
д/дz О О a z О О 't' x О О TyZ О О
О д/дz О О a z О О T xz О О Txz О
'о О д/дz О О (Jz О О T xz О О TyZ
д/дк О О T xz О О О О О О О О
B NL == О д/дх О I s== О T xz О О О О О О О ,
О О д/дх О О Т х! О О О О О О
д/д у О О Tyz О О О О О О О О
О д/д у О О TyZ О О О О О О О
О О д/ y __ о о Tyz О О О О О О
а затем по выражению (10.223)
604
,
.1
,
, >( >. Z
.... ... .... N
.... .
, ..... с)
z z z ,.....
.... .... ",............ "'"
z ... >.
Z " ....
I I I
" " ..
z э
, ..
z z +
.... .... z >( "
... ... ..
... ...
z z . I ...
со Z
.' . э
, I Э
I I -1::) Z
.. .1.......... ................................ . .... ............. ...... -............. .... ............. . ...........
...
::-- .......
+ z z
... .... ....
z z z
....
... + +
Z ...
+ + + + z ...
...... z
" ... " ... N
....
...... z ...... z с. ...
... ... >< ...
z f-c Z f-c I Z Z
... ... "'-'
f-e ... f-e ... .....
z z . ...............
z z ...>. ......
>(
............... "'-' ...
'со ,..... >. + I
... с. ...
>- >< )( N Э
. ... . ... ,.....
I Z I Z се -1::) I
. . . .
. I I со
о с. >< .... э
э ... "'-' ... "'-'
I -1::) Z + э -1::) z .
>., М М
... t ... ... ",-,' + +
... ... + .....
Z + Z >. + >.
... .
.... . f-e ... ... ,..
... ... .... ... ... ll
... ... ... ... z
... . z ... . z
z z
. f.4 . .... I
I х ... . z z
с. Z со .
Э Э со со .
Э Э Э
. -1::) . . "'-'
. -1::) с. . -1::) со NCo N
Э Э Э м
..... ............... ......
........-----... .-.- .--- --- .. .-........... --------- --. ... ..... --- ....----.-.... .-............. -.-...
м
... +
...
...
z " >.
...
f-e ,,--..,
... ... ...
z z ...
z
+ . .... ....
...
" z ...
... + + Z
... >. т
Z ... ...
... ...
f-e ... Z Z
... Z
... t' f-e
Z .... ...
... z ...
. z z
N . "'-'
. . .
>< i
.--.----------....... -.- -..---.... .. -- ..-..-.. .. ...--....---- --.. -
" :r
.... t
,,--.., ("
...
z ...
f-c Z
... f-e :!
Z ... :s:
Z u
+ +
...
... ...
z z
f-e
...
... ...
z z
N . "'-'
а< .
1--' ><
n
-1
z
.:.с
605
Элементы матрицы k NL по выражению (10.256) с учетом TOro, что речь идет
о cJI0жных выражениях, определяют числеииым способом. Однако в этих выра--
жеииях можно пренебречь отдельиыми нелииейиыи величинами, что сущест--
венно не влияет на точность выражения. Например, если пренебречь нелиией--
ными членами в деформации скольжения, как и нелииейиыии составляющими
аксиальноro перемещения в выражении для деформации, то получают значи--
телъно упрощенный вид нелииейиой матрицы жесткости.
Используя известное выражение технической теории тонкостеиныx стержней
для нормальноro напряжения
N Мх Му Мы
(J ==....... + х * +............. у * + ы * ,
z F Ixx Iyy ICI)CI)
(10.257)
после введения в выражение (10.256) и интеrрации по длине элемента для мат--
рицы K NL получим:
N k 2 ! о (YpN M )k2i Q (k4+ks) ! О
........................ : ......... ........-.............. .......-.......--......... ...... ..._............_.. ...............................................--..---.......................... ............ ......... : ...............
i N k 2 (M x., N) k 2 Q (k4 +ks) ! О
. '
! ..-.......-........... -............................. ....... _..... ...--- ... -........ .....--.--------..---.....----...................... ...-- :------
( N+ lpX M + IpY M + IР61 M ) k2 I
F 1 х х Iyy Ic,)CI) : .
симметрично О
( I px Q l Jpy Q l Ip(a) M + M ) k !
x+ y+ 4 :
x 1" (a) L i
.. ----.... -..- ............ ............. ............ -------..--..-------------...-..... ----------..---...-... :... ...........
! о
,
..----- -
k NL ==
rдe
1
k.....
4 30
18 3
1
18.
з
18
симметрично
1
k==
s 30
....15 3
О
15
3
15
симметрично
Ip == Iхх + Iyy+ F (x + у;) ;
I px == J (x +y;)x. dF 2xpJxx
F
Ipy== f (x +y )y* dF 2YpIyy;
F
Ip6)== J (x +Y:)(J). dF.
F
606
,
(10.258)
о
o 5 11
, ,
о
3
....3
05 .
, J
3
О
(10.259)
...
Матрицу k NL , дaH в выражении (10.258), можно использовать и для рас..
чета биффуркациоииой устойчивости ТOHKocтeHHOro стержня.
Для тонкостенной опоры поперечноro сечения 1, имеющей reометрические и
физические характеристики:
t==1
38
F == 52 ст.2 i
J"" == 9365,33 ст 4 ;
Iyy == 88,33 ст 4 ;
Iww == 29205,33 сm 6 ;
к == 17,33 ст" ;
J p =: 9453,66 ст" ;
Е == 2,1.104 KN cт 2;
0==8,5.103 KNcm 21
в таблице даны критические наrрузки на краях стержня для некоторых простых
случаев биффуркациоииой 'устойчивости.
Таблица 10.1
КРИТИЧЕСКАЯ НАrРУЗКА Pcr.
I<Н
(Мсr.)
1< НСМ
СХЕМА ОПОРЫ
ЭЛЕМЕНТЫ
ТОЧНОЕ
РЕШЕНИЕ
Рее :::: . : 1 1
.. ' .
;::::=
<,0;0 = о
2 1 :::: Pcr
::: 41
.....
ср" ::: О
922.53
902..97
902.74
КРУЧЕНИЕ
Pcr 1
,
'Р! = О
2 , ...,
m
<Р2 = О
Т? =172 = О
6.37
5.88
5.83
БОКОВАЯ
'РI=111=О
! Рс.
'/)1 =172 =0
26.28
26.13
26.13
БОКОВАЯ
Mc r
6.
'P1=l1t=O
/' Mcr
A
СР2 =112- =0 3220.6
2900,9
2888,9
БОКОВАЯ
607
r л а в а 11
ПРОБЛЕМЪI ПЛАСТИЧНОСТИ
Изложенный ранее материал бьш основан на преДПОСЬ1ЛКе о наличии мате..
риалъной линейности. Это означает, что материалы и конструкции, являющиеся
предметом исследования, обладают свойством упруrocти. Однако, как хорошо
известно, это случается не каждый раз. Существуют материалы, которые не
имеют упруrocти или же имеют ее только до KaKoro"To определенноro уровня
напряженноro состояния. Явление остаточных пластических деформаций в це--
лом характерно для деформации конструкций, подверженных воздействию
внешних сил.
Область механики деформированных тел, занимающаяся изучением напря..
женно--деформированвоro состояния материала с пластическими свойствами, на--
зывIoт теорией пластичностu. Развитие ее во времени совпадает при близ и..
тельно с развитием теории упрyrocти. Однако начальные шаrи теории пластич..
ности были замедленными, имея в виду более сложную природу caMOro феном е..
на пластичности, а также более комплексный математический метод, с помощью
KOTOporo ero реализуют.
Развитие теории пластичности начинается со второй половины проmлоro ве--
ка. Французский ученый Треска на основе экспериментальных исследований ус..
тановил критерий перехода материала из упруroro состояния в пластическое
(1864 r.). Несколько позднее, в 1870 r. Сен--Венан дал физическое объяснение
условия Трески о текучести изотропных материалов в случае плоскоro напря--
женноro состояния, а Леви это значение перенес и на трехмерное напряженное
состояние. В начале хх в. появилось MHOro работ, посвященныx проблемам пла..
стичности. Несомненно среди них наиболее важные исследования принадлежат
Фон Мизесу, Хенки, Прандтлю и Лейсу, а также русскому ученому rвоздеву, на
основе которых бьша сформулирована в 1936 r. общая теория так называемых
идеально пластических .материалов.
Все эти исследования, весьма важные для развития теории пластичности, по--
лучили полное признание и практическое применение лишь в пятидесятые roды
нашею века, коrда начался процесс обобщения отдельных исследований и опре--
деления математической формулировки. Особенно важную роль сыrрали извест..
ные школы Хилла в Анrлии, Прендтля в США, а также Ильюшина и Качанова
в бывш. СССР. Исчерпывающее представление о современной теории пластич..
ности можно получить В публикациях Мартина, Праreра, Ходrа, Качанова, Мас..
соне, Савэ, Соколовскоro и др.
Математическая теория пластичности не является здесь предметом рассмот--
рения, полаrая, что читателям она известна. Приводятся только те позиции и
основные математические направления, которые необходимы для TOro, чтобы
сформулировать решаему
проблему. При этом необходимо иметь в виду, что
основные уравненRSI теории пластичности ...... нелинейные. Таким образом поиск
их решений со всей необходимостью требует применения численных методов. В
608
,
-
'- этой rлаве излаrается применение МКЭ в решении проблем теории пластично...
сти в общем виде и особенно в случае линейных опор, плоских проблем из...
rиба пластин. Теоретическая часть исследований сопровождается конкретными
примерами.
lLL ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Предметом изучения теории IШастичности является связь между напряжени..
ем и деформацией в материалах, обладающих свойствами пластичности. Послед"
ние отличаются обратными деформациями, независимыми во времени. Наряду
со структурными связями, характеризующими поведение материала в домене
упруrocти и соответственно до появления пластичности деформаций, для опи..
сании упруroпластическоro поведения материала необходимо еще знать еле..
дующее:
условие текучести, определяющее напряженное состояние -в момент начала
пластических деформаций;
закон текучести, определяющий СВ5IЗЬ инкрементальных деформаций и на..
пряжения для состояния, наступающеro после появления пластических дефор...
маций;
захон укрепления, определяющий способ, которым условие пластичности мо"
дифицируют в течение процесеа пластическоro течения.
Общий вид связи между напряжением и деформацией для состояния до по...
явления пластических деформаций дан известным выражением теории упруrocти
O'lJ==DIJ k l Ekl)
(11.1)
rдe 11 ij
составляющие тензора наПРSlжениSl; f kl ....... Т() же, деформации; Dijkl ....... то же, упруrocти.
Дл.g изотропных .
териалов составляющие тензора упруrocти (коэффициен"
ты упруrocти) определены выражениями
DIJki==Л 3 1J 3 k ,+IL (31k 3J/+3J/3 J k»)
( 11.2)
rдел,jA....... соответствующие параметры Ляме; 6;i ....... символ Кр<>нецкоro.
В отличие от упруrocти в пластичности связь между напряжением идефор...
мацией не однозначна. Одному и тому же уровню напряжения при наrружении
и разrружении соответствуют различные значения деформаций (рис. 11.1).
а)
б)
8)
(f
=d(C)
(J
tI
Оу
CJ=cr (е,.)
а=ау
с
,
,
f
с
с
Рис. 11.1. Связи иапряж
иll
..... деф<>рмация ДJIЯ CJIyЧая с ()ДII()ПСИальиым иапрSIЖеИII
М ДJISI упру
roIIЛастиЧ
СICОro (а), ИД
8JIЬИ() rш8СтичесlCОro (6) и Marepll8JI8 с упрочи
ни
м (в)
609
На рис. 11.1, а 'приведен общий вид связи напряжение
деформация для уп--
руroпластическоro материала в случае одноосевоro напряженноro состояния. В
области б (. "У материал нелинейно упруr с той же
кривой d =;rf (Е) при 'Harpy--
жении и снятии наrрузки, в то время как для случая 6 >
y кривые при Harpy--
жении и снятии наrрузки не совпадают. На рис. 11.1, в показана связь ii
для
идеально пластическоro материала, а на рис. 11.1-- в ........ ДЛЯ материала с укреп--
лением.
1.1.2. УСЛОВИЕ ТЕКУЧЕСТИ
Условие текучести, которым определяют уровень напряжения........ начало
,пластической деформации, в общем случае может быть представлено выражени--
ем
F (alJ)==k,) .
(11.3)
rде F
ФункциSl напряжения; k
параметр, который определяют экспериментальным путем.
Параметр k может быть функцией коэффициента укрепления материала:
k = k(k). .
Уравнение (11.3) в mестимерном пространстве представляет собой mперпо..
верхность, которую назывютT nоверхносmью mеченuя. В случае изотропных ма--
териалов условие текучести (11.3) может Быть представлено в виде
F (11, 12, Iз)==k,)
(11.4)
rде
11 ==0'11 '
,
12==1/ 2a lJ a lJ
(11.5)
13==1/3 afJ aJk akl
....... инварианты тензора ,напряжения G ij.
На основе экспериментальных исследований, которые ,проводились на моде...
лях из металла, установлено, что на условие текучести не действуют rидроста--
тическое давление и соответственно сферическая часть тензора напряжения. По--
этому условие пластичности можно показать в следующем упрощенном виде:
F (12, Jз)==k J
(11.6)
rде 12' 13
соответственно второй и третий инварианты ОТКЛОНЯIOщейся ча...
сти тензора напряжения
I 1
O'jj == O'jJ ............... 0ij O'kk.
3
( 11.7)
По этому принцицу установлены условия текучести, из которых самые изве..
стные и чаще Bcero применяемые, ........ это условие текучести Треска, Мизеса,
Мор-- Коломба и дРУкер........ П parepa.
Условие текучести по Треске. Оно основано на предположении, что теку"
честь начинается Torдa, Korдa максимальное напряжение сдвиrа достиrает опре--
610
..
деленноro значения. Последнее отвечает максимальному. напряжению сдвиrа при
одноосевом напряжении. ,Если имеет- место 6',j)G. 2 и Gз, то rлавные напряжения,
использующие УСЛОВ'J{е, 1 ) G2 >6з, тоrда. 2 с пшх = di 1: ........ 6 3' и текуч 'r,Ь исче..
зает, KorJIa
а 1 ..... аз == ...... (J. '"
у ,.
(1,1.8)
rде ' у нацряжение текучести, определяемое на основе эксперимента.
Если рассмотреть и ост,аВQIиеся две, возможности ПОЯJlления максимальных
сдвиrающих напряжений, то
(11 a2==a'Y
(11.9)
G 2....... (j 3 == а'У "
Отсюда можно сделаrrь Bыод,' что условие текучести, Qпределенное уравне...
ниями, (11.8) И (11.9) в напряженном пространствеGlt:2dз, представляет собой
шестиуroльный цилиндр, показанный на рис. 11.2. ОСЬ этою цилиндра является
ТРЕСКА
ФОН МИЗЕС
PIIC. 11.2. еомеТРllческая IIнтерпретация УСЛОВIIЙ текучеcm по Треске II.ФОН мизесу
диаroналью пространства, определенной уравнением d 1 = G 2 = d 3. Все нор'"
мальныe сечения цилиндра ...... идентичны. Это является следствием предпосылии
инвариантности. условия текучести по отношению к rидростатическому давле..
нию. rеометрическая интерпретация условия текучести Треска в П плоскости
(61 + 62 +6з = О) паказана на рис. 11.3, а, а в плоскости rлавныx напряже оа
ний 1 d 2 ( 3 = О) ...... на рис. 11.3, о.
Значение ма11ериальноro параметра GK можно ПОЛУЧИТЬ из выраж,ения (11.8)
или (11.9)" KOrдa. их применяют к простым напряженным состояниям. Напри..
мер, в случае чистоro сдвиrа (&1 ......r;5 2 ,d, 3 = О) из уравнения' (11.9) сл ует
61 = ......152 = бб /2, в случае одноосевоro напряженною состояния при б 2 =
G3 - О. следует, чтоd l =d({.
Условие текучести по Мизесу. Фон Мизес (1913 r.) сформулировал условие
611
J
О:
',-
ФОН МИЗЕС
ТРЕСКА
«71- «7у
«71
«7 - -- а"(
Рис. 11.3. еометрllческая иmeрпретацllЯ УCJIОВIIЙ текучеCТII по TpeclCe и Фон Мllзесу В ПЛОСICО
стих n (а) и fJlавных напряжеНllйd 1 ,S 2 (6)
текучести, по которому оно наступает, Korдa второй инвариант тензора напря...
жения получает определенное значение, т.е.
F (O'ij) == J; == k 2 ')
(11.10)
rдe k параметр материала, который определяют в эксперименте.
Если на место 12 подставить
l' 1 " 1 ( '2 '2 '2 2 2
2 2 l1ij l1ij == 2 I1х + I1у + I1z ) +Тху + 't'yz+ T x ==
(11.11)
I
==6 (t1 t ..... 0'2)-+ (0'2 О'з)2+ (О'з а.)2 ,
то условие пластичности (11.10) можно выразить в виде
(О" (2)2 + (0'2..... О'з)2 + (аз 0'1)2 == 6 k 2 >
(11.12)
;>
соответственно
== Vз 1 2 ==VЗk J
(11.13)
rдe
--- I { , , } 1/2
а == V 3/2 (jij O'lj .
(11.14)
Выражением (11.19) определена величина d, известная под названием эф...
фектuвноzо, ofюбщеННDZО или эквuва.л.енmноzо напр.яженuя. У CJIовие текучести
по Мизесу имеет две физические интерпретации:
Издав (1937 r.) установил связь между октаэдарским напряжением сдвиrа
t'oct, и вторым инвариантом девиационноro тензора напряжения
Toct == V 21 2 /З)
( 11.15)
612
так что на основании этоro значения можно roворить о том, что текучесть на..
ступает, коrда "l'oct достиrает критическою значения;
Хенки (1924 r.) на основе изучения энерmи деформации показал, что усло..
вие текучести Мизеса означает, что пластическая текучесть наступает, Korдa
энерrия изменения вида достиrает критическоro значения.
В трехмерном напряженном пространстве поверхность текучести, данная
уравнением (11.12), представляет собой цилиндр (CM C. 11.2), проекция кото"
poro на П"плоскость является KpyroM полудиаметра ,,/2k (см. рис. 11.3). Двумер..
ная интерпретация поверхности текучести Фон Мизеса ...... это эллипс, уравнение
которое выводят из выражения (11.2) при условии, что 6з - о. Таким образом
получают
2 2 k 2
0'1 + а. а2+ а2== 3 ·
(11.16)
Этот эллипс показан на рис. 11.3, 8. Значение параметра k леrко можно ус..
тановить на основании выражения (11.12), коrда ero применяют к простейшим
напряженным состояниям. Например, для случая чистоro сдвиrа «(/2-
......<; 1 Gз - о) получают d 1 - k, а ДЛЯ случая одноосевоro напряжения d 2 r; 3 -
О следует, что t:# 1 - VЗk. На базе экспериментальных исследований установле..
но, что условие текучести Мизеса лучше Bcero соответствует поведению метал..
ла, чем условие текучести по Треске. последнее проще и чаще подходит для тео..
ретических исследований.
Условие текучести по Мор..Коуломбу. Оно представляет собой обобщение
известноro закона Коуломба ...... закона прочности при сдвиrе для материалов с
внутренним трением. Напряжение сдвиrа
==с"""ап tg Ф)
(11.17)
rде с коэффициент сцепления; tТ п Н()рмальное наПРSlжение (давление берут со знаком" + ");
Ф уroл BнyтpeHHero трениSl (tgФ коэффициент BнyтpeHHero трения).
Выражение (11.7) на rрафике представляет собой настоящую касательную к
caMQMY большому KPYry rлавных напряжений (рис. 11.4). Пользуясь рис.l1.4 и
принимая в расчет, что уравнение (11.7) можно представить в виде
1 ) Ф ( GI+G3 0'.----0'3. )
2(O"J (J3 COS ==c 2 2 SIПф tgф)
соответственно получают:
О) O'з::::'2 С cos ф......(О'I +0'3) sin ф.
(11.18)
Если принять во внимание подобно условию текучести по Треске и друме
две комбинации (&3 >61 >($2 иd 2 >6з > 1)' то получим еще два вида уравнений
(11.18). В трехмерном пространстве rлавных напряжений поверхность текучести,
получаемая при взятии в расчет всех трех предыдущих комбинаций, представля"
ет конус, проеICщg которою на П"плоскость JlВЛJlетсJl иеправильиым шести..
уroльНИICом (рис. 11.5). Конусный, а не цилиндричесКИЙ вид поверхности теку"
ч и в этом случае JlвляетсJl следствием учаСТИJl сферической части тензора иа..
Прj(ЖеllЮl в условии текучести.
Если взятьd l -6 2 = бз, то из уравнения (11.18) непосредственно следу-:-
ет, ЧТО61 = 6 п = с с1gФ. Это значит, что вершина пирамиды, представляющая
613
а"
а.
a2
1/2(O'J aJ)
aJ
Рис. 11.4. рафическое изображение УСJlОВИЯ текучести MOP-КОУJlомба с помощью KpyrOB fJlaвHЫX
напряжеНIIЙ Мора
дРУКЕР....прдrЕР
МОР КОУлОМ6
а),
t1 J
б)
Рис 11.5. П анствеllllаи (а) и в IIJIОСКОСТИ П (6) reомеrpические иmeрпретациll условий тeкy
чести П() ТIIny МОР"КОУJlомба и ДруlCер....Прareра
поверхность текучести, находится на пространствеииой диаroнали ( l - с;; 2 -
3) на расстоянии от начала координат, равном сtgФ.
Условие теJCYчеети по ДрyIеру Праrеру. Друкер. и Пpareр (1952 r.) пред"
ложи.ли аппроксимацию условlUI текучести Мора"КОУJlOмба на основе модифmcа..
ции УCJIОВИJl текучести Мизеса. В действительности-, они модифицировали уело..
614
вие текучести по Мизесу таким образом, что взяли в расчет сферическую часть
тензора напряжения и вместо выражения (11.1 О) получим следующее:
сх 11 + ffl==k'.
(11
19)
Это условие текучести представляет конусную поверхность, показанную на
рис. 11.5. Из условия, при котором mестиуroльник Мора..Коуломба вписан в
xpyr друкера.......Праreра, можно установить непосредственную связь между вели..
чинами, фиryрирующими в этих условиях, в виде:
2 sin Ф \
(1== t
113 (3 .... sin ф)
k' == 6 с cos Ф
JI1 (3 ..... sin ф)
..
(11.20)
lL3. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЕЙ
И НАПРЯЖЕНИЕМ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
ЗАКОН ПЛАСТИЧЕСКОЙ ТЕКУЧЕСТИ
в исследованиях, посвященньrх теории пластичности, отмечены различные
связи между деформациями и напряжениями. Все они распределяются на две
rруппы. Первую составляют связи, сформировавшиеся иа базе предположения, об
опускании упруrих деформаций, т.е. на базе идеализации материала как сов ер"
mеино пластическоro. Во вторую rруппу относят те связи, в KoTopых принимает--
си появление упруrих и пластических деформаций. Инженерные конструкции
строят в основном из материала с упруroпластическими свойствами, а это зна
чит, ЧТО до определенноro уровня внешних воздействий они ведут себя как уп..
руrие, а затем, коrда внешние воздействия переходят определенный уровень,
как пластические. Практически это означает то, что в данный момент, вследст...
вие заданной наrрузки некоторые части конструкции MOryT находиться в обла--
сти упруroro, а друrие ....... в области пластическоro поведения.
Здесь рассматриваются связи деформаций и напряжения, отвечающие упру"
roпластическим материалам. Исходим из предпосылк,, что при любом иикре..
менте наrружения наступает деформация, состоящая из двух частей ......... упруroй
и пластической, т.е.
d &:ij == d efj) + d eff>. (11.21)
(е)
Упруrая часть деформации df ij связана с соответствующими напряжениями
известными выражениями теории упруrocти. Если тензор напряжения разводит--
ся на ero сферическую и девиационную части, то связь между упруmми дефор...
мациями и напряжением можно показать следующим образом;
(е) d GjJ 1 ..... 2 v
dejj ==
+ 3 0 j d G kk
2(1. Е J )
(11.22)
rде Е, lf
соответственно модуль упруrocти и коэффициент материала Пуассона.
Для установления непосредственной связи между пластическими деформаци--
ями dtij{P) и напряжением необходимо предположение о поведении материала в
области пластичности. Чаще Bcero используют предположение, по которому инк..
ремент пластических деформаций прямо пропорцпонален rрадиенту напряжения.
615
Таким образом, общий закон текучести можно вывести из nластическоro потен..
циала Q, являющеrocя скалЯРНОЙ функцией напряжения. Тоrда инкременты
пластических деформаций получают как парциалъные производные пластическо"
ro потенциала по напряжениям с помощью rрадиента пластическоro потенциала
d (р) d д Q
Ejj == Л
)
д ait
(11.23)
rдe d jJ
коэффициент пр<>порциональности.
Уравнением (11.23) выведен закон текучести. Потенциал Q, как функция
напряжения, также должен быть функцией от инвариантов тензора напряжения,
хотя такая функциональная зависимость до настоящеro времени не выведена. В
литературе, как специальный тип этой общей зависимости, используют то, что
Q - Р, так что на основании этоro предположения развился особый вид теории
пластичности, в рамках которой сформулированы определенные вариационные
принципы и теоремы неравенства. Таким образом за дифференциал пластиче..
ских деформаций принимают выражение
дF -== дН :=aij (11.24)
daij daij дР
Выражение да jj имеет reoметрическое значение, ПОСКQЛьку представляет со..
бой вектор, который перпендикуляреи к поверхности текучести. Эксперимен"
тальные исследования показали, что такая идеализация может быть отнесена к
металлам, но не может быть ПРИ
rнена к неоднородным материалам.
В особом случае, коrда F - 12' что отвечает условию текучести Миз(,-са, по..
лучают:
d&ff>;:;d л дF (11.25)
да. . ')
IJ
соответственно
d e:
P) .... dла!'
IJ'" IJ ·
(11.26)
Связь между инкрементом пластических деформаций и напряжением вида
(11.26) сформулировали Прандтль и Рейс. Их вывод получил широкое примене..
ние в теоретических исследованиях. Пользуясь выражениями (11.22) и (11.24),
связь между инкрементальными деформациями и напряжением для упруroпла..
стическоro материала (11.21) можно выразить в определенном виде:
da.. 1
2 v дР
d tjj = 2 (J. IJ + 3н dakk + dл
.
Е дfJ. .
I)
(11.27)
11.4. YllРОЧНЕНИЕ МАТЕРИАЛА
в идеально пластических материалах невозможно дальнейшее увеличение
напряжения свыше уровня напряжения, отвечающеro начальной поверхности те..
кучести. Пластическая деформация в этом случае развивается дальше при так
616
называемой нейтральной вариации напряжения. Это значит, что напряжения в
течение деформации никаким образом не зависят от пластических деформаций.
Эти свойства идеально пластических материалов можно сформулировать следую....
щим образом:
F (tfIJ)==O ;
dF (aJJ)==O I
(11.28)
из которых первая определяет условия текучести, а вторая нейтральное со....
стояние напряжения, т.е., что увеличения напряжения сверх поверхности теку....
чести не существует. При снятии наrрузки получим
dF (tfJJ) <О,
(11.29)
а материал ведет себя как упрymй или абсолютный жесткий.
Модель идеально пластическою тела не отвечает поведению реальных мате....
риалов. Для развития пластических деформаЦИЙ в последних необходимо увели....
чить иаrружение выше уровня, ведущею к начальным пластическим деформаци....
ям. Это свойство материала известно под названием "укрепление .материала".
Поведение материала с укреплением при наrружении следующее:
F (tJIJ)==k (k) ;
дF
dF { (1' j) == dO'.. > O
J д IJ J
0'..
IJ
(11.30)
а при снятии наrрузки эти материалы ведут себя, как и материалы без укрепле....
ния.
Существуют два типа укрепления......... изотропное и кинематическое. При
изотропном укреплении с увели нием наrружения начальная поверхность теку....
чести форменно расширяется, оставаясь при этом сама собой (рис. 11.6). Модель
изотропноro укреIШения отвечает материалам, у которых условие текучести не
зависит от сферической части тензора напряжения.
В случае кинематическою укрепления с увеличением наrружения начинает....
ся поступательное движение начальной поверхности текучести (как жесткой фи....
ryPbl) в напряженном пространстве, сохраняя при этом первоначальную форму.
а)
d 1
б)
«'J
НАrРУЗКА
ТЕКУЩАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
ТЕЧЕНИЯ
НАЧАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
0'. ТЕЧЕНИЯ
0'1
Рис. 11.6. ИЗOТJIOпн()е (а) 11 КIIнемamчесlCС>е ук:реnлеНllе (6) мareрllала
617
Эта модель укрепления отвечает материалам, обладающим свойством эффекта
Баушинreра при циклических наrружениях.
Проrрессивное развитие поверхности текучести материала со свойством УК--
репления непосредственно зависит от напряженй текучести, являющихся Функ--
циями параметра укрепления k. Для определения последних имеются два спосо--
ба: путем пластической работы и через эффективныe деформации. В первом
случае предполаrается, что работа по укреплению равна полной плаСтической
работе, т.е.
k=:. W р==' J (1ij de f).
(11.31)
Во ВТОРО14..случае параметр укрепления считают мерой полной пластической
деформации f , которую называют еще и эффективной, обобщающей или экви
валентной деформацией, которую определяют подобно эффективному напряже--
нию (9.19) выражением
d == V2 j 3 { de.. de.. } 1!2
р IJ IJ ·
(11.32)
Для материалов, у которы, условие текучести не зависит от сферической
части теизора напряжения (dfij = О) предыдщееe выражение получает вид
d Е р == V2/З{ de r) d eff)}I/ (11.33)
а параметр укрепления
k ===. ер J d Ер "
(11.34)
Из двух предыдщихx эквивалентных способов определения параметра укреп--
лении k чаще применяют второй, у KOTOporo параметр k находят эксперимен--
талъно на модели одноосевоro напряжения (рис. 11.7). Однако укрепление, осно--
вывающееся на предположении о пластической работе, с точки зрения термоди--
намики считают значительно общим.
Закон укрепления k == k(k) можно определ!!.ть, исходя из связи эффективно--
ro напряжения 6 с эффективноii деформацией € р' которая может быть представ--
лена в виде
(1 == н (ер) )
( 11.35)
tJ
fJ
<J= cr (с)
d«r
dr p
dc
е
Рис. 11.7. УпрyrопласmчеСlCое УlCреnлеНllе (strain hardening) ДJIЯ СJlУЧая одноакСllaJIьноrо напря
женlIЯ
618
соответственно после дифференцирования:
d a ---
----==- == н ( ер) .
de p
'(11.36)
в случае одноосевоro напряжения, поскольку 6. 1 = с5 , (52 =
' 3 = О, эф--
фективное напряжение
--;; V2/З {ajj ajj}1/2 == а
(11.37)
Если инкремент пластической деформации в направлении наrружения dc p '
то для 'случая одноосевоro состояния (df'l'>p = d
p. Таким образом, при предпо--
ложении с несжимаемости материала (у = 0,5, (df 2 ) = (df'з)р = ---- 0,5 dt p )
по выражению (11.33) дифференциал эквивалентной деформации
d
1 f';\i"':; « р) (P» J/2 d
ер == t' 2/3 Ejj ejj == ер..
(11.38)
Исходя из выражения (11.36) и помня об уравнениях (11.37) и (11.38), для
функции укрепления Н получим:
da da 1 Е
Н ( &р)
=: .....
de: p de: --- de e de
de e Е ..... Е т (11.39)
da da
Функция укрепления Н, определенная выражением (11.39), может быть вы--
числена экспериментально на модели одноосевоro напряжения. Для случая иск--
лючительно пластических материалов.Н = о.
lL5. МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛ,ИРОВКА
ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
в целях численноro анализа и расчета напряженно--деформцрованноro СОСТО--
яния удобно заранее выведенные выражения представить в матричном виде. Ес--
ли теНЗ0Р напряжения (5 ij обычным путем отразить с помощью вектора 6, то ус--
ловие текучести (11.3) имеет вид
f (o)==k (k) )
(11.40)
а на основани, выражений (11.31) и (11.34) для дифференциала параметров ук--
реnления, отвечающих пластической работе и эффективной пластической дефор--
мации, получают:
dk==OT d Е(р) ,
(11.41)
соответственно
dk-== d Е(р) f
(11.42)
Условие текучести (11.40) можно 'tрансформировать'в следующий вид:
F (о, k):=f (o)
k (k)==O.
(11.43)
619
Дифференцированием выражения (11.43) получают
дF дF
dF==
dO'+
dk::::O
да дk
(11.44)
ИЛИ
а Т d(J
Ad л=::О )
rде
а т .....; д F .:... ( д F дF дF дF дР дF)
J , да zz , д аху , да уz , д а zx .,
да да хх д а уу
1 дF
А == ....
........... d k.
dЛдk
(11.45)
(11.46)
Вектор а, определенный выражением (11.46), называют век:поро.м те1Суче
сти. Общее выражение ДЛЯ связи деформаций и напряжения упруroпластиче..
ских материалов (11.27) при переводе ero в матричный вид следующее:
dE==D
l dcr+dл дF }
да
(11.47)
rде D
условная матрица коэффициента упруrocти.
Если уравнение (11.47) умножить на aTD и исключить aTd , то, пользуясь
уравнением (11.45), получим
dл== aTDad€ )
(A+aTDa)
(11.48)
а затем, заменив уравнение (11.48) на равенство (11.47), имеем
dCJ==D
p d€ )
(11.49)
rде
D ==D
D ==D..... (Da)(Da)T .
ер е Р А + а т Da
(11.50)
Выражением (11.50) определена касательная модульная матрица жесткости
для упруroпластических материалов как функция напряжения и укрепления. В
этом выражении единственной неизвестной величиной является А, зависящая от
укрепления. Для ее нахождения можно начать с выражений (11.41) и (11.43).
Для случая одноосевоro напряжения (11.43) получим следующий вид:
F (0', k)==f (о).....а"'( (k) ,
)
rде &iJ
напряжение текучести при одноосевом состоянии напряжения (6
= "Зk) .
(11.51)
620
По второму уравнению выражения (11.46) получим
А.::::
d ау dk.
dл dk
(11.52)
Заменив выражение (11.52) на уравнение (11.41) и учитывая условие нор--
мальности, получим
dk==OT d€p==OT d ла::d лаТо. (11.53)
...... j
в случае ОД!lООС
ВОro состояния напряжения, поскольку G = 6 = б f
dt P = d
P, rде G и f
соответственно эффективное напряжение и эффектив--
ная деформация, предьщущее выражение имеет вид
dk==ayd tP==d лаТ о'
Кроме TOro, по выражению (11.36)
(11.54)
Н' == d а :=. d
y .
d еР d еР
(11.55)
На основе теоремы Эйлера (для однородной функции f(x) п п--работы дейст..
вительно д F х = п! для функции F(G, k) будет
дж
дF
fI==ay
да 1
(11.56)
соответственно с учетом уравнения (11.46)
аТо==ау.
Заменив уравнения (11.55) и (11.57) на выражения (11.54) и (11.52), полу"
чим
d л==dЕР)
А :::.Н'.
Поскольку G = с5 (f "3 выражения (11.57), то а т = 1, а общее выражение
(11.50) для одноосевоro напряженноro состояния будет
(11.58)
D
p == Е ( ]
Е ) 01
Е+Н'
(11.59)
Матрицу жесткости элемента можно получить по условному выражению
а
k == &' вт D В d V == F J вт Е В dx J
v о
(11.60)
621
если в нем вместо Е подставить пер по уравнению (11.59). Так, например, для
линейноro элемента с узлами на краях элемента и соответственно с линейной
интерполяцией перемещения, как показано на рис. 9.2}учитывая, что
B== ( N 1 N 2 )== (
\ ')
,Х ,Х /' /}
(11.61)
для матрицы жесткости получим
ЕР ( Е ) [ 1
К
1
ер..... I Е+/Н
1
}
(11.62)
1'1.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УOIОВИЙ ТЕКУЧЕСТИ
Конвенциональная форма условия текучести в функции инварианта тензора
нзпряж
ния не roдится для численных расчетов. Введением новых инвариантов
Найаку и 3енкевичу удалось известные условия текучести трансформировать в
новый вИд, ставший HaMHoro более прикладным для практических целей. Все
представленные ;ранее четыре условия текучести они показали тем же самым
способом в зависимости от трех констант, которые в каждом отдельном условии
текучести получали особые значения.
Условие текучести допускается 'в следующем общем виде:
F (О"т, 0", 6)==0,
(11.63)
rдеGт,б, e
соответственно новые варианты:
1
(j.n ==
ii'
3
, 1 ' , ,
",3 ..... 1 .
"'.. "',. "',.
,.
\1
I
........ Y I) Y IJ Y I) ..... У"
У О"
2 ' 1) m 1)'
(11.64)
Исходя из 'известноro кубическою 'уравнения rлавных 'напряжений девиаци
OHHOro тензора напряжения (/1 = О), имеем
" ,
0'3
120" ..... I з == О,
которое, с помощью подстановки б 1= r 'sin El, переводят В уравнение
(11.65)
, ,
. 3 6 12. 13
SIП .....
sln' 6 .....
== о 'а
r 2 r 3
(11.66)
На основе 'сравнения 'с тождественным выражением
sin 3 6
in е + ...!... sin 3 е == о
4 4
'(11.67)
'622
получим:
2y'h 200 \
r == Vз == V з I
.
41
ЗI
VЗ
SlП 3 (} == ==
r 3 2 003
(11.68)
вый корень 80 BТOporo уравнения (11.68), имеющий значение ЗОв обла
сти 4JI /2 представляет собой новый инвариант, который является альтернативой
инварианту 13. В связи с этим новые инварианты:
(1Jn, а i 1t /6 <00 <п /6.
(11.69)
с учетом циклической ПIlИРОДЫ функции sin (38 + 2riJ7$ существуют только
при различных значения sin tJ, которые определяют направление rлавных напря--
жений. Заменой этих значений в девиационной части напряжения <:5' == rsin fI и
сверхпозицией со сферической частью тензора напряжения для rлавных напря--
жений получим
( 2)
001 sin 60 + 3
200 sin 60 а ш
002 == ............. +
У 2 3
1
1
(11.70)
0'3
sin (60 + ; )
1
(0"1 <0'2 <аз)
Подставив на место (5 1 и tб 3 новые значения по выражениям (11.70) и
(11.8), условие текучести по Треске получает вид
F==2acos 60
ay==O)
(11.71)
в то же время условие текучести по rуберу
Мизесу (11.10) остается без изме--
нения, т.е.
F == VЗ (j
ау == о.
(11.72)
Подобным же образом, подставив 61 иб 3 из выражения (11.70) в уравнение
(11.8), получим условие текучести по Мору--Коуломбу
F == О'т sin Ф +
( cos 60 JI
sin 60 sin 6)
с cos ф== О)
(11.73)
в то же время условие текучести по друкеру.......Праrеру
F ==(1 1 1+ a.........k' ==0 )
(11.74)
rде
k определяют по выражению (11.20).
623
Для определения матрицы D,;p необходимо транс4юрмировать вектор текуче
сти а в новый ВИД, в котором оудут фиryрировать новые варианты (/ т' 6 ' 80.
Исходя из 4юрмулировки вектора текучести:
дF · т
д а == 8, CJ ==( О'хх' О'уу, о' а' XY' Tyz., T zx ).
(11.75)
./
и учитывая, что F = F (6 т' 6 ,8 0)' после дифференцирования BTOporo ypaBHe
ния (11.68) по6, т.е.
дО о :: .... vз ( д 1; 31; да ) )
д а 2 cos 3 о 0'3 д о' о' д о'
(11.76)
и замены в уравнение (11.75»)для вектора текучести получим выражение
а==Сl а+С 2 82+ С З аз J
(11.77)
rде
al T ==[I, 1,1,0,0,0]'
.
т дf1] , " , ,
а2 == д [О'хх, О'уу, O'z.z, 2 Tz y , 2 Tyz., 2 T zx ] .
0'20'
, [ ' ) ( ' )
т lз " '2 12 "2 12'
аз== да == (ayyazz 't'YZ+T' axxazz 't'XZ+T'
( a x а;у 't' y + ): 2 ('t'xz 't'YZ a 't'xJ. 2 ('t'xz. 't' хУ a 't'yJ;
(11.78 )
,
2 (т ху Tyz. ....... О'уу 't' xz)] ·
t
д Р
С. == д 1\ I
с 2 == дР t g !6 дF ·
дG о' дО'
..... УЗ 1 д F
С 3 ==
2 cos 3 о 3 д О
Поверхность текучести пределена с помощью констант С 1 , С 2 и С 3 . Для yc
ловий пластичности, которые применяют больше Bcero, значения этих констант
приведены в табл. 11.1.
624
Таблица 11.1
УСЛОВИЕ I С. С 2 I С-'
ПЛАСТИЧНОСТИ
О 2 cos 6 (1 + tg 6 tg 3 6) v3 sin е
ТРЕСКА I
12 COS 3 6
ФОН МОЗЕС О v3 о
1 . Ф cos о[ ( 1 + tg 6 tg 3 6) + v3 sin 6 + cos 6 sil1 Ф
МОР-КОУЛОМБ .
sln "
3 +sin ф(tg 36
tg6) J-з] 2 [2 cos 3 О
ДРVКЕр-прдrЕР (х 1 О
11. 7. СИНrYЛЯРНЫЕ ТОЧКИ НА ПОВЕРХНОСТИ ТЕКУЧЕСТИ
Для получения матрицы пластичности Dep предварительно необходимо най"
ти вектор текучести а. В отдельных точках некоторых поверхностей текучести
определить вектор текучести неоднозначно. Это относится к поверхностям . теку"
чести, отвечающим условиям по Треска и Мор..Коуломбу, коrда /) = 300, как
видно и из табл. 11.1, поскольку для 8 = зоо значения для констант С 2 и С З
становится неопределенными.
Точки в напряженной поверхности текучести, В которых вектор текучести
неоднозначно определен, называют сuIlzулярIlым.. В отличие от остальных В
синryлярных точках вектор текучести необходимо определять особо, потому что
константы С ; i -= 1, 2, 3 невозможно получить из общих выражений по
табл. 11.1. прЬблему можно решить, если идти от основных 4юрмулировок усло..
вий текучести. Таким образом, исходя из выражения (11.71) для 8 = 300, ус..
ловие текучести Треска получает вид
уз 0"== О"у== VЗ k (k), (11.79)
так что на основании уравнения (11.78) для констант Ci,i = 1, 2, 3 получим:
С 1 == О, С 2 == уз, С 3 ::;: О, 0== :f: 300. (11.80)
Так как выражение (11.79) в действительности является условием текучести
Мизеса, можно сделать вывод, что направление вектора текучести в вершинах
шестиуroльника (8 = 300) по Треске совпадает с направлением нормали к кру"
ry текучести по Мизесу.
625
Подобным же образом, исходя из выражения (11.13) для 8 .... 300 условие
текучести. по Мору.........Коуломбу имеет вид
О'т sin Ф + ; (vЗ::1: si
Ф )
с cos ф== о, 60 == :1: 30 Р J 01.81)
так что по уравнению (11.78) для констант Ci,i = 1, 2, 3 получим:
С.==.!...Sinф, с.==...!... ( V1
Si
ф ) , С...==О, 6== ::l:30 0 .
3 .. 2
3
(11.82)
в практике обычно используют: для 1'801 < 290 принимают общие выраже
ния, данные в табл. 11.1, в то время как для уrловых точек f} =!зо о используют
выражения (11.80) в случае условия текучести по Треске и (11.82) ......... в случае
условия текучести по Мору
Коуломбу.
11.8. ДВУМЕРНЫЕ проБлЕмыI
Общие выражения теории пластичности, выведенные для потребностей Tpex
мерноro анализа, в применении к двумерным проблемам сокращаются, CTaHO
вясь тем самым значительно упрощенныи.. Модификация общих выражений
для трех основ}' ых областей двумерноro анализа (плоское напряженное и пло
ское деформиpG ванное состояние, осесимметричные проблемы) дана в табл. 11.2.
Ради единой формулировки все три области двумерных проблем представле
ны в табл. 11.2. Вектор напряжения расширен до четырех составляющих, хотя в
случае плоскоro напряженноro и плоскоro деформированноro состояний появля
ются только три независимые между собой составляющие. При вычислении MaT
рицы жесткости элемента это обстоятельство принимаю'F во внимание
Таким.
ооразом матрицу жесткости в названных случаях сокращают до матрицы 3х3.
Вектор текучести, в общем случае определенный выражением (11.46), в ДBYMep
ныx проблемах получает вид
ат== ( дF , дР , дF , дF ) )
д ах д (1у д'1"ху д (1z
соответственно, по выражению (11.77):
aT==(I, 1, О, 1);
(11.84)
т I " ,
82 == v'"7: (ах, ау, ТкУ' O'z)
2 12
(11.85)
{( ' ) ( , )
т ,,12 '1' 12 '
аз == (1у (1z + Т' (1х (1z + т
2 (1z ТХУ'
( " 2 1; )}
(1х (1y
1'XY+T )
rде 12' 13
соответственно инварианты девиационной части тензора напряжения
, 1 ( , 2 ' 2 ' 2 ) 2.
12 ==
(1х + (1у + (1z + Тху ,
2
l ' , ( , 2 1 ' )
3 == (1z (1z
2 ·
(11.83)
626
'11
t"-"t С с> с> .....
q:S
s ,......
>
с> Ь I с
I .....
........,
I '1 ....с , 'N
О О с> ......
>- > I i
, I ..-.f С
> ..-.f
с> С I N с> >'11
1>
...... о , '
..-.f
'> ...... с> r
,......
'>
,...... N
...... '> с> С ;:. I
1 I .....
..... ; ........,
N ........, ,......
-;. ,..
I , +
.....
..... "--"
11 11
'о
'" 'ф
" ь
.. ., ...
» » N
...JC а..
. t... t
... ., ...
>- » N
Ь '" '"
... ., ....
>< ...
ь '''' ь
'-"" <::> Q '-""
11 11 11 11 11
1-4", N f-4" ы М b
t)
.
N
w
О
:с w
h:t S
WWз:
O a:
'а: О
,и а. ...
ОСи
с:: 'оС( о
ежu
's
w;s
s ':!
w ж .С(
о а: .
о а.
(J .... о
Oи
- О и :
'С .......
I
::r
'!;
-о.
f-
'ш
,, ос(
:;.-== ' с::
.С \Ш
,S ...
'()'щ
Ш.,.
U .JA
'А ,....
'.\;;,1 ж
627
УпруroIШастическую модульную матрицу Dep формируют по выражению
(11.50). Для структурной матрицы D необходимо ВЗЯТЬ значения из табл. 11.2, а
вектор а по выражению (11.83), так что для произведения Da' которое входит в
матрицу D ер' получают следующие значения:
\ для nЛOC1СОZО напряженноzо состояния
Е Ev(a t +a 2 )
а. +
1 + 'у 1 .... ,,2
Е Е(а. +а 2 )
а 2 + )
Da == I + v J
\)2
Gа з
Е Ev(a 1 +a 2 )
а 4 +
1+" l
v2
...
(11.86)
для плОС1СОZО дефор.мационноzо состояния или осеси.м.метричных задач
Е Е" (а 1 +а 2 +а 4 )
а 1 +
l+v (1+v)(1
2v)
Е а 2 + Е'У (а l +а 2 +а 4 )
l+v (1+v)(1
2v)
.
(11.86а)
na==
Gа з
Е Е(а l +а 2 +( 4 )
а 4 +
1+" (l+v)(1....2v)
в выражениях (11.86) и (11.86а) ai' i ... 1,2,3,4......... составляющие вектора
а.
lL9. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ мкэ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ
Основные уравнения МКЭ дЛЯ проблем IШастичности MOryT быть выведены
таким же способом, как и для проблем упруrocти, причем и с формальной сто..
роны они остаются такими же. Единственное различие качественноro характера
состоит в том, что в матрице жесткости конечноro элемента вместо матрицы ко..
эффициента упруrocти D появляется матрица Dep, определенная выражением
(11.50). Поскольку элементы матрицы Dep косвенно, как функции напряжения,
зависят от перемещения узлов, система уравнений МКЭ в проблемах теории
пластичности ...... нелинейна.
Основные уравнения МКЭ MOryT быть выведены достаточно просто с по..
мощью принципа виртуальной работы. Если предполаrается, что телу, которое
дискретизовано сеткой конечных элементов, в состоянии равновесия внешних и
внутренних сил (объемных Р, поверхностных Р и напряжения t$) задан вектор
628
"
виртуальною перемещения fj q в узлах сетки и ему отвечают векторы виртуаль..
ною перемещения 6 u и виртуальных деформаций O в любой точке тела, то на
основании принципа виртуальной работы следует:
.r 8E T adV J 8u T FdV J 8u T PdS==O.
V V sa
(11.87)
При учете стандартных зависимостей МКЭ, которые применяют в ходе диск-
ретизации:
о u==N 8 q :
8 Е==В 8 q ,
(11.88)
rде N, В соответствующие известные матрицы функции формы и упруrиx деформаций,
выражение (11.87) принимает вид
J 8 qT (ВТ (J NT F) dV ....... J 8 qT NT Р dS == о.
v s
а
(11.89)
в выражении (11.89) интеrрацию подразумевают как сумму интеrралов по
отдельным конечным элементам. Поскольку В 1>ажение (11.89) действительно
для любою вектора виртуальных перемещений () q, то непосредственно следует,
что
!BTodV+Q==O.
v )
(11.90)
rде
Q== JNTFdV JNTPdS
V sa
---- вектор эквивалентных сил в уЗJIах.
(11.91)
Матричное уравнение (11.90), представляющее собой условие равновесия уз..
лов, нелинейно, так .как в векторе напряжения <5 = .I?!, а D и ' ...... функции пе..
ремещения узлов. Вид этою уравнения соответствует уравнению (10.88), для ко..
торою в п. 10.4 даны методы определения численною решения. Поскольку все
Bcerдa связано с методами и численными действиями, которые развиваются по
принципу поиска решения "шаr за шаюм", в произвольном шаre уравнения
(11.90) не будут удовлетворены, а появится отклонение
t== J BTadV +Q== J BTadV (! NTFdV + JNT PdS)*O )
v V V sa
(11.92)
которое представляет собой вектор HeypaBHoBemeHHoro наrружения в узлах сет"
ки конечных элементов.
В случае упруюпластических материалов матрица D ер непрерывно изменя..
ется в зависимости от напряжения (наrpузки), а связь напряжение......деформация
в любом моменте процесса деформации определяется выражением (11.49). На
629
базе 'последнеro можltо вывести соответствующую '(прмблизительную) инкремен...
тальную зависимость вида
Ll c:r == Dep LlE
(11.93)
rде' , ДE. соответственно ,векторы инкрементальных напряжений и деформаций, отвечающих за
данному вектору инкрементальных наrpузок.
Таким iобразом, ДЛЯ произвольноro инкремента наrрузки выражение (11.92)
можно представить в -следующем виде:
.' ==- J вт 110 dV +А Q)
(11.94)
rдe
Q == J NT Ll F dV.... J W Ll Р dS
V v a
(11.95)
........ вектор эквивалентных инкрементальных сил в узлах сетки конечных эле...
ментов.
Заменив выражение (11.93) на уравнение (11.94) и принимая во внимание,
что L1 - B/Jq, получим
At==Kt q+ Q) (11.96)
rдe
Kt == J ВТ Dep'B dV
V
(11.97)
касательная матрица жесткости системы конечных элементов Кr.
Эту матрицу и вектор эквивалентных сил в узлах tистемы..d Q, определен...
ные выражениями (11.97) 'и (11 95), вычисляют 1В рамках каждоro инкремента
наrрузки, 'В первую очередь, для отдельных конечных элементов, а затем обыч...
ным способом ,ДЛЯ 'системы или 'сетки конечных элементов. При этом чаще
Bcero применяют форм;улу raycca численной интеrрации с "квадратной (2х2) или
кубической (ЗхЗ) аппроксимацией подынтеrральных функций.
Для определения решения нелинейных уравнений (11.90) и (11.94), которые
формулируют напряженно"'деформированное состояние дискретной структуры с
упруroпластическими свойствами, можно применятъ 'различные методы, описан...
вые в п. 10.4. В численном отноmении, как 'особенно эффективные, проявляются
смешанные инкрементально",итеративные методы. В рамках этих методов общее
наrружение делят на меньшие части........ инкременты с целью утверждения начала
текучести и слежения за дальнейшим развитием пластических деформаций. В
рам'ках 'каждоro инК,ремента ведут итерацию, например, применяя метод Ньюто'"
'на........РафсоНа или модифицированный метод Ныотона.........:Рафсона, для быстроro
достижения I баланса неураsновешевноro наrружения.
.\На .этом принципе развиты особые алroритмы и СOQТветствующие проrрам'"
МЫ, Koropble широко применяют в решении конкретных проблем инженерноro
конструирования. Для более детальноro знакомства с алroрит (ами и орrаниза
630
1 J 104'" """"
. ]
...
/' " .
.../
.., '1' 41... ....
11 1 01"1
1,..1
Рис. 11.8. rе()метрия' прямоуrОJlЬНОЙ ПJlIIТЫ с ICpyrOBbIM отверстием' ('Q) 11 сетка конечных элементов
(6)
8
РХ 1
28
PXJ
Рх,
2-t
20
16
12
(1"
4
r
4. ,
1
i
2х2
ТОЧКИ rAYCCA
_...... ...... 3 х 3
f1
Рис. 11.9. Диаrраммы напряжения х и у в МИНIIМальном сечеНИII плиты для нarрузок Р х раз
личной интенсивности
цией соответствующих nporpaMM дЛЯ ЭВМ читателям рекомендуется обращаться
к публикациям Хинтона и Оуэна.
Пример. В качестве примера для иллюстрации предыдущих теоретических
исследований взята прямоуroльная пластина с KpyroBbIM отверстием, равномерно
наrруженная распределенными аксиальными наrружениями РХ на краях. Этот
пример решался экспериментально и численным методом rруппой авторов. Здесь
приведены rлавные результаты расчета, проведенноro с помощью квадратною
изопараметрическоro элемента. Принято условие текучести по Мизесу для ук"
реnленноro материала (кривая текучести имеет постоянный уклон Н = 225dN,
мм 2 ). Размеры пластины с сеткой конечных элементов и основными сведениями
о механических свойствах материала приведены на рис. 11.8.
Наrружение, действующее на пластину, разделено на равные инкременты
после появления первых пластических деформаций, которые установлены проба..
ми. В рамках отдельных инкрементов применяли метод Ньютона........Рафсона или
модифицированный итеративный метод Ньютона........Рафсона с целью испытания
скорости и надежности сходимости. Число итераций в рамках отдельных инк ре..
ментов достиrало 30. Напряжения определялись по точкам raycca, использова..
лисъ 2х2 и 3х3 точки численной интеrрации.
Диаrраммы их для различных уровней наrружения приведены на рис. 11.9.
На рис. 11.1 О показано развитие зон пластификации в зависимости от увеличе..
I
+
\
-
(S
1
, «=0.98
.'
"
.'
2,
1 .. J 01
2 .. 0.9К « = 1,01
З... О.8К
4-- О.7К
5'" 0.68
6... ()
Рис. 11.10. Расширение з()ны ПJlастификации в зависим()сти ()т к()эффициента = Рх/еу
632
'})"/"1
1,4
J,1
,р
0,8
0}6
4
q2
О t
ЭКСПЕРИМЕНТ
ЗЕНКЕВИЧ, ВОЛЛИПРУ И КИНr
I
2 Д ИЗОПДРАМЕТРИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ
Et
и'I
4
s
2
3
Рис. 11.11. Диarраммы разВIIТИЯ М8ICсимальн()й деформацИII в точке перВ()ro П()Я8JIенlIЯ текучесТII
ния интенсивности наrружения, а на рис. 11.11 отражено развитие максимзль"
ной деформации в первой точке, в которой наступило явление текучести.
Jl[ример JlеJlТ()ЧII()ro ф}'IIДамеllТ& На рис. 11.12 показан фундамент в форме ленты, лежащей на
rpУlПе, как на деформативном полупространстве. ДлJl анализа напряженно деформир<>ванноro cocro--
яния В rpYHTe взят поперечный профиль. Предполаraется, что Фундамент и rpунт нахОДЯТСJl в состоя
нии ПJlоской дефор ации. На рис. 11.12 показаны размеры фундамента и часть rpYHTa, включенноro
в анализ с однор<>дными контурными условиями по перемещениям. Для rpунта применен закон TeKY
чести Мора Коуломба.
у,.
р
I
...
/
./
I
'"
,...
БЕТОННОЕ ОСНОВАНИЕ
illjlil!IIIIIIII}III'I\lt1 Х,.
U 2 0 & O
SOM
SOM
Рис. 11.12. ЛенroЧIIЫЙ фундамеllТ на rpyme как на деформирующемся п()лупростр стве, er() reo
метрия и rе()меXallические характерllCТllКИ .
Расчет воздействия проведен с помощью проrpаммы, разработанной на базе смешанной модели
инкрементально итеративной для квадратноro изопараметрическоro элемента. Наrpужение Р разде
лено на восемь равных инкрементов интенсивности 1 OOkN 1м. На рис. 11.13 показана сетка конечных
элементов и развитие зои маСТИфИJ{ЩИИ в зависимости от увеличения наrpузки.
633
,....". ...,
:. о o..j 100
:: :': :.:':-:.
:\ ::: : * : 200
::::::::::::::: 300
:::::- :I: OO
:;:;:==? 3.
- 500
- 600
- 700
32 КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТА
119 УЗЛОВ
Рис. 11.13. Сетка к()нечных ЭJlемеlПOВ и разВllТИе зоны ПJlаСТИфllК8Ц1I1I rpyнтa
Пример бuки-стеIlКИ. ,Балка стенка с отве,рстием, которая с предпосьшкой об упрyrocти MaTe
риала по казана в rл. 5.4, здесь анализируется как прООлема из домена упруroпластичности. Исполь
зованы закон текучести ДРУJ(ера Праreра и, как и в предыдущих примерах, инкрементально итера
тинный численный метод с сеткой квадратных изопараметрических элементов с восемью узлами. На
рис. 11.14 показана сетка конечных элементов и :развитие ЗОН пластификации, а на рис. 11.15 изо
ш
О
....
Ж
WШ
O
шс::
С::М
C")
00
С::'С::
ио
ss
7.:r
PIIC. 11.14. ':Ctehka-бaJIка С отверстиями. Се'Пiа 'конечных ЭJlементов 11 развитие зоны ПJlастифllка-
ции
634
кН/м'
ЗО(){)
2100
200О
.с(
м
>-
а.
...
.с( J OO
Ж А
О
W О
1000
0.3
м
0,0926
O,4SS
IO 1.
Рис. 11.15. ЗавИСIIМОСТЬ roризонтальноro перемещения,в точке А от иmенсивносm равномерно
размещеНIIОЙ lIarРУЗКII Р
бражена зависимость перемещения в точке А lJa. вершине стенки 01 инrенсивности равномерно pac
пределен ной roризонталJ»НОЙ, наrpузки.
Прllмер косынПI реmетчaroй бош. На. рис. 11.16 показана KQCLIHKa одной стальной балки, Ha
rpуженной аксиальной, равномерно распределенной наrpузкрй Р. Вследствие этоro наrpужения с уче
том reoметрии косынки наступает равномерное распределение наJ1р жения, (рис. 11.16, в), известное
как ICOнценmрация напряжения. Эта важная Itнженерная прООлема изУ.чал:ась МНОl'Ими авторами, чис
ленным методом и с помощью испытаний на моделях. На. рис. 11.1 6 11з.18 показаны некоторые xa
рактерные результаты упруroпластическоro анализа" который, детально: иаложен в работе [ ]. В
этом анализе. применSlЛОСЬ условие текучести Мизеса с изотропным. укреплением материала и стан..
дартный изопараметрический конечный элемент для двумерноro анадиза.,
635
а) t y
1050
8
l'
Р pg
Q\ .х
1
.
J
.....
PIIC. 11.16. е()метрllЯ и сетка КОСЫНКИ реmетчaroй балки (а) и к()нцентрацllЯ напJ>Я?I<енlIЯ (6)
а) б)
N N
.с( :1 w I
S :1
! ж......
мж w Ж
>-
а. а:
L. 25\1,00
.с( о-
С
Ж .с(
:J:
I И71 272
62,5
256
240
12
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
214
ДЕФОРМАЦИЯ
Jo-:l(
о
0,5
I.S
2
(тт)
о
1.4
1.8
22
26
28
Рис. 11.17. Диarраммы rОрllзонтальноrо перемещенlIЯ ТОЧКII С в заВИСIIМОCТII or IlIIТeНСIIВНОСТИ Ha
rрузКII Р (а) и разВIIТIIЯ деформаЦИII х в точке п()Явления текучесm (6)
636
1Sn
N/mm'!
_ 180
l1li 200
D
D
t'
с
'1
с:..
с:
w
S
:J:
w
200
а::
о..
с:
"О
тт
о ) 80 360 540 110 900
ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ
PIIC. 11.18. JаспредеJlеНllе напряжеНIIЙ для наrрузКII разлllЧНОЙ IIнтенсивности (m 180 ДО
220 кН/мм ) (а) 11 разВllТИе зоны IШacmфllК8ЦIIИ (6)
lL10. ОДНОМЕРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Модели упруrопластическоrо анализа линейных балок. Современный упру--
roпластический анализ линейных балок равноправно развивается в рамках двух
хорошо известныx теорий стержня: технической, базирующейся на предпосылеe
эйлера........Бернулли об опускании воздействия поперечных сил на деформацию
стержня, и теории стержня Тимошенко, в которой принимают во внимание воз--
действие поперечных сил на деформацию стержня.
Конечный элемент пл;оскоro стержня, выявленноro в рамках технической те--
ории стержня с кубической интерполяцией перемещения (полиномы rермите} и
две модели конечноro элемента, выявленные в рамках теории стержня Тимо--
шенко, с линейной и квадратной интерполяцией перемещения и вращения ......
эти элементы чаще всею находят применение в упруroпластическом анализе ли--
нейных балок.
Независимо от выбора конечноro элемента в упруroпластическом анализе
линейных и поверхностных несущих элементов (стержни, пластины и оболочки)
используют следующие два способа: полной пластификаЦI!И поперечноro профи--
ля; ступенчатой (слоистой) пластификации поперечноro профиля. Оба основаны
на двух различных предположениях о способе пластификации поперечноro про--
филя несущеro элемента.
В первом способе исходная позиция состоит в предположении, что весь попе--
речный профиль несущеro элемента пластифицируют одновременно. Это означа--
ет, что в то время, коrда момент изrиба в каком--либо сечении несущеro элемен--
та достиrнет значения момента пластичности, при котором наступает явление
текучести, появляются и пластические деформации во всех точках этоro профи--
ля, т.е. полная пластификация сечения. Предположение об одновременной пла..
стификации Bcero поперечноro профиля нереально. Процесс пластификации раз--
вивается постепенно, начинаясь в самых удаленных точках от нейтральной ли--
нии профиля, затем, с увеличением наrружения зона пластификации расширя--
ется от контура профиля к нейтральной линии. Независимо от этоro способ пол--
ной пластификации профиля получил широкое применение в упруroпластиче--
ском анализе конструкций, блаroдаря своей простоте.
637
Второй. способ, имеет бодее реальное предположение о постепеНIJОМ характе..
ре пласт фикации IJоп реЧJIQОО, пРОФIJJIЯ. Поперечное сечеНlJе стержня делят по
высоте на слои конечной (}d ОЙ) тоЛЩИНЫ, а; поэтому 1;1 анализе рассматривают.
плаcr.ификацию. каЖДQЮ CJlUSJI отдельно. В, фоРt4;улировке модели упруюплаСТJf"
ческрro аиализ . JJ:ИJiеЙНhlХ несущих элемеlJТОВ МКЭ вводят еще, одну аппрокси...
мацию. IIреДJlолаI1аkfСЯ., ЧТО-lJа ПРЯВЛ lJие и развитие пластич ких деформаций
вдияют ТОЛI?КQ; нормальны; напряжения, а воздеЙСТJJJfем напряжения СДВИl'а
можно ПР Н .Qречь. '
Э IЮ дположение не совсем. точнО', ПQТОМУ что напряжения нормальное и
сдвиrа носят СIJМУЛЬТЦННЫЙ (одно ременный) apaKTep. Однако, коrда речь идет
о тонких стержня:х, ЭТQ цредположение допускается с учетом релятивноro соот..
ношения" нормальны*, напряжений. и напряже ия сдвиrа, как и с учетом дом и...
HaHTHoro участия нормальных напряжеlJИЙ; в процесс е пластификации, что и
подтвер ается экспери;ментальн;ыми исследованиями.
Далее представлены оба способа упруroпластическоro анализа стержня на
простом конечном элементе с динеЙНОЙ 1 ин;rерполяцией, сформулированноro в
теории стержня Тимошенко.
Способ полной пластификации поперечноrо профиля. Для цредставления
этоro способа выбран плоскиji! стержень, подверженный наrружению, которое
вызывает изrиб стержня. ИзменеlJие норм3.Цьных напряжений по высоте попе..
речноro сечения стержня ........ линейно. С увеличением интенсивности наrрузки и
соответственно момеН1а изrиба в' paCCMa pпBaeMOM сечении' наступает увеличе..
иие нормальных напряжеlJИЙ. до ТQЙ. степени" пока не достиrнет напряжения те..
кучести 6 х = 6 у = б О, как, на Bel1J{HeM так и на нижнем контурах сечения.
При дальнейшем увеличенЩI наrрузки нормальные напряжения на OHType ОС..
таЮТС5l неизмеННЫМJJ;бх = б о" НО, на внутренних точках сечения, происходи'f. их
увеличение. КоРда, зон.. плаC'tификации, которые расширяются от краев к сере..
дине сечения, соеДИН6JТС " то наступае полная пластификация, сечения
(рис. 11.19).
flределъный момент изmба в сечении, при котором наступает полная пла..
стификация сечения., QПределен. выражением
Ь/2
.. f bh '
М (} == ь . у cr о :::............. (j о.
- 4
b/2
Il:редположение об; одновременной полной, пластификации сечения, как по..
каЗ;lНО, на. рис. 11.J9" праКТJ.llчески, означает, что все поперечное сечеНИ,е пласти..
(11.98)
0'.<00
00
CJO
:111
1111
... .. .. .. ...
..... ... ....
..........
.... IO.. ......... .
.... ... ..
.:-. ..:.
-.::.-: ..... ....
-.:..:.:.:..- .-:.::.-
.... if . '
.-. -... ..
.: ....?:
.!}):::':',;:
,:;;"';'::,: f.
.' ' /. ' ,.
........ '..-.
.... ....
:z?'" ,
1/-::' . ":
.... .... ..
" .
........... -.
, ь
аа ,< CJt
" о
00
РИСо 11'.1:9.. ИзМ lIеНllе н()рмальных. напряжеНIIЙ х в поперечном сечеНИII стержня, в зависим()СТИ
от уве.личения м()мента изrllба
638
фицировалось в то время, коrда момент изrиба в том сечении достиr значения
Мо.
1C PYKTYPHыe связи. У славкя равновесия. Зависимость момента ИЗDi'ба от
,иэм'енения кривизны стержня 'иэ упруroпластическоro мат риала покаэана 'на
рис. 11.20. .В начальной фазе стержень .ведет себя как упруrий (наклон ,линии
Мо
I
1
I
I
)
/
I
I
/
I
/
,/
/
м
dM
м
dxp
dx
,упрvrо
ПЛАСТИЧНО
PIIC. 11.20. 3авllСИМОСТЬ момента 1131"1100 or I13меllеllllЯ КРИВII3I1Ы lIацряж.енlIЯ УПРYI'опласти:чесКОl"о
мareриала С JlинеЙIIЫМ YJCреIlJlением
м ........ равен ,EJ), но до TOro как момен,т изrиба не достиmет предельноro эна..
чения Мо, при котором наступает полная пластификация сечения. :Предполаrа..
ется, что при дальнейшем увеличении наrpузк.и .наступает . линейное укрепление
материала, так что наклон линии М ...... 'в этой ,области (Е]) т.
Дифференциал изменения кривизны d может быть представлен :в виде сум..
мы двух -частей, т .е.
dx==dXe+dx p )
(11.99)
I"де d e изменение кривизны в области упруroй деформации; dap то же, в области IIЛастиче
СКОЙ деформации стержня.
Пара метр укрепления материала Н, который определяют как С()()'r,иоmение
дифференциала момента иэmба и дифференциала пластической деформации
Н' ==- dM
dK p
( 11.1 00)
определен выражением (11.39). На основании ,уравнения (1f:l.99) и (11.100) по..
лучии следующую дифференциальную связь между изменением кривизны и мо"
ментом иэmба:
dx== dM + dM = (ЕI+И') dМ
EI Н' 'EIH'
(11 101)
639
соответственно между моментом изrиба и изменением кривизны
dM == EIH' dx.
(EI + Н')
(11.102)
в связи с этим структурные связи стержня из упруroпластическоro материа
ла можно представить в виде:
dM == EI ( 1 ЕI ) dx
EI + Н'
(11.103)
GF
dT== dy.
k
Как видно из выражения (11.103), связь между поперечной силой и дефор
v v
мациеи скольжения остае ся тои же, что и в упруrocти, а связь между моментом
изrиба и изменением кривизны ....... та же только по форме, потому что после по
явления текучести необходимо в структурной связи заменить ЕI на
ЕI (1....... Е]) I (ЕI + н) . ;
Если материал не обладает свойством укрепления (параметр Н = О), то по
еле появления текучести или, Korдa момент изrиба достиrнет предельноro значе
ния Мо, он ведет себя, как идеально пластический.
Условия равновесия стержня MOryT быть сформулированны с помощью прин
ципа виртуальных перемещений. Если стержню с распределенной поперечной
наrрузкой р(х), который отвечают моменты изrиба М(х) и поперечные силы
Т(х), задано виртуальное перемещение bJ (х), которому отвечают виртуальные
деформации 8 и O , то на основании принципа виртуальной работы следует:
/ /
J(M 8)(+ Т 8..,) dx J р 8'} dx = О )
о о
(11.104)
соответственно
I
J ( (86),x М +3уТ р 3v) dx==O.
о
(11.105)
Заменив
M== EI 6,,, )
GF
T== r I
k
предыдщееe выражение получает вид
/
J (88),,, El6, " + 8.., G: .., р 8у ) dx.
о
(11.106)
640
Элемент с линейной интерполяцией перемещения и вращательное движе..
иие. Этот элемент представлен в rл. 7.5. Связь между деформациями и парамет..
ром перемещения в узлах на краях. элемента по выражению (7.27) следующая:
[: ]==[:: ] 8ч)
(11.107)
т
rде EJ q = [ Vl EJ0 1 EJv 2 EJ0 2 ] , а в ВЬ, Bs определены выражением (7.248).
Заменив уравнение (11.107) на равенство (11.104), получим
1 1 I
f 8 ч1' B ' Mdx J 8 чТ B 'Tdx J 8qTN dx==O)
о о о
(11.108)
rде
NT==[l......x/l, О, x/I, О].
(11.109)
Поскольку выражение (11.108) должно быть выплненоo для любою. q, то из
уравнения (11.108) непосредственно вытекает
/ I
J B М x + J в; т dx..... J NT Р dx == О )
о о о
(11.110)
соответственно
11...... f == О t
(11.111)
rде
1 I
р== JB Mdx+ JBs Tdx)
о о
/
f== J NT Р dx.
о
(11.112)
Для конечною элемента стержня с линейной интерполяцией перемещения и
вращательною движения по выражениям (11.112) и (8.248) вектор р имеет вид
о 1// T
/ 1
р==! 1/1 Mdx+ J 1 х/I Т dx == М .... Т/ /2 (11.113)
О 1/1 Т
о о
..... J /1 .... ..... х/ 1 ..... ..... м .... т '/2 ....
Выражение (1.1.111) в упруrocти формально такое же, как и выражение
(7.250) . Однако оба они существенно различаются по тому, что выражение
641
(7,250) линейное, а (11.111) ..... нелинейное (посколь у М ..... функция q). В свя'"
зв С ЭТИМ поиск решения вектора р должен определяться в постепени действ и...
ях..... одним спOCQ(Юв для реще ия, системы елинейныx алreбраических
v
уравнении.
Способ постепенной (слоистой) пластификации поперечноrо сечеЦИJl. По
MY способу поперечное сечение стержня делят по высоте на н колько слов
(рис. 11.21). Korдa нормальное напряжение в центре тяжести какоro либо слоя
...... .........:- .... .........
::::::::.::.::::::::::::::::::::::
ь
h.
t
:::::::::::::::::::: ::: :::::. : :;: ::: ::: : :;::: : :::::;: ::':::;:;':::::';:' ::.:
. : ::: :::;: : : :1: : : : : : :1: : : : ; : ::: : :;;::: :' .:'::..: .:. :;: :
h
"
::::: : : ;: : :::::::::.' :: .:::::: :: ::: ::':: .
hd
Рис. 11.21. ДeJIеllll стерЖНЯllа CJI()И П() высore п()п реЧII()rо сеЧ IIИИ
/'
дocтиrнет значения напряжения текучести, то предполаrается, что наступила
пластификация во всех точках этою слоя. С учетом, что нормальны напряже
ния в случае изrиба снижаются от краев к середине сечения, предполаrается,
что наступила полная плаСТИфИlCация и всех слоев, являющихся внешними по
отношению к рассматриваемому слою, а все остальные слои ..... внутренние (по
отношеНИI9 к середине сечения), находятся в области упруrocти (рис. 11.22).
do
<1.,
О,
1 11!11 1 ;i ! !!i:
:=:=:=:::::::::::::::::::::
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
i;'!111!!! !
::::::::::::::::::::::::::=:
:::=:::::::::::::::::::::::;
.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
..... ......................
...
.........
...........
,.. ((( . ) . 1 .
1:............
.................
.: I ::: \ : ; :; ;; ;
...: J ;Ь: : } f: ;1;; : i i
f ;: : : : :; : : :1: :1 ::
",
!i!jI ; :?
!1!1iJ!! !' \:::
.: :-.:. .:.:: :.:.:...:.:..:: :.:
.. .. ..:.:-..:-..:.-.: ....:....:
:' ,:, Э:? : ! ' I ; / ; ; ; "I
1 1: ' О: ! ( !'1 ; ( " , ' ,
К::.:.:: i:( .: .::;:: ;: . , .. . . .. .
; Ж : : / : ! ; N ;; i
;: :;.:.:: ;:;: : е. :::: : ::: ::::.;
.:::..;:.: :;::::::..
..:. ::
,.:.(::: { ;;i i
........ ........ ".
..... .. ..
.... ........... .....
iji ( i
........... ..
".. .. .. I
1 , ' , 11 ! ': 11' , 111" . !. ,
i ::; ;jij;!;! :f. ::
CJ,
.0
/7'"
. c. 11.2 . поотупare.лыlи ( ()"стаи) lШ фиIЦЩIUI попере н()ro стержни
642
В отличие от способа полной пластификации поперечноro сечения стержня,
rде в lCачестве основных статистических величин принимают силы в сечении (М,
т), в способе постепенной пластификации за основные статистические величины
берут напряжения в центрах тяжести отдепыlхx слоев, а МоменТы изrиба и по...
перечные силы сечения вычисляют, по.льзуясь следующим вырцжением:
м = ЕI ( ) == EI)(
dx }
(11.114)
GF GF
T== y;;:: (l) 1
k k
rде
..., 2.
Е ( == E i b i Yi h i f
i
GI == G i b j h j . J
1
( 11.11 5)
rдe Ь 1 ...... ширина; '1 ........ ()рдината центра тяжести; h 1 толщина; Е; ........ модуль упруrocти; С. ........
· · 1
моду ль скольжении слоя 1.
Korдa нормальное напряжение в центре тяжести слоя достиraет значения
напряжения теkУЧести (G x = б о) для Bcero слоя, то предполаrается, что он
пластичен, так что модуль упруrocти Е; заменяют На Е;(1 ........ Е;/ (Е. + Н), но,
как и раньше, связь между поперечной силой и деформацией скол;жения оста..
ется той же самой, как и ДЛЯ упруroro материала.
Условия равновесия MOryT быть сформулированы таким же образом, как и в
случае способа полной пластификации. Следовательно, аналоmчно выражению
(11.111) получим выражеНlfе
Pb t- Ps f==O ,
(11.116)
rдe
1
РЬ == J Br м dx
о
1
J т '" ·
Ps== Bs Tdx
о
(11.11 7)
,,,-
,....." I
м = Ь. о- · У . h.
. I ХI J 1,
I
Т:: ! b i TKyi h i .
i
Для любоro конечноro элемента векторы Рь и Ps MOry't определяться неэави",
СИмо. Для элемента стержня с линейной интерполяцией перемещения и враща...
тельным движением они IiмеЮ1' вид:
643
I ,
Ps
J B/fdx== J
о о
о
1/1 Mdx==
О
.... ..... 1 / 1 ___
..... 1 / 1
1/2 Tdx==
...... 1 / 1
....
1/2...
о
м
о
M
(11.118)
I I
Рь "'" J B
Mdx == J
о о
"'"
......Т
.... t 1/2 t
"'"
Т
"'"
....
т 1/2...
11.IL изmБ ПЛАcrин
Подобно линейным несущим элементам анализ напряженно"деформирован"
HOro состояния пластин по МКЭ основан на одной из следующих двух теорий:
пластин Кирхroфa: опускают воздействие поперечных сил на деформацию пла..
стины; пластин Рейсснера
Миндлина: принимают в расчет воздействие попе..
речных сил на деформацию пластины.
Основные модели конечныx элементов, разработанные в рамках этих тео..
рий, пред ставлены в rл. 7. Наряду с ними в анализе масти н при м еня ют и ко..
нечныe элементы, получившие развитие в рамках общей теории трехмерных
проблем, что и нашло отражение в п. 8.5.
Условие текучести, необходимое для упруroпластическоro анализа в случае
проблемы изmба пластин, может быть представлено в общем виде как функция
всех компонентных напряжений Р( а- х'
у' cf %'
'xy'
X%' Т'у%) или с опусканием
напряжения tf% как p(
,
у'
ху'
%Х' 't: %у)' что находится в соответствии с
предположениями упомянутых теории пластин. Однако сформулированное подо..
бным образом условие текучести весьма CJIожйо и неудобно на практике. В свя"
зи С этим в моделях конечных элементов, разработанных в рамках классической
или теории пластин Рейсснера
Миндлина, применяют значительно более про..
стой вид условия текучести. Он основан на предположении, что в условии теку"
чести, кроме нормальных напряжений 6 % можно опустить И воздействие напря..
жений сдвиrа 'е%х и
%y' так что условие текучести остается функцией только
напряжения в плоскостях, параллельиыx средней плоскости пластины F(б х , 6 у'
t'xy) или соответственно сил
сеч,2ИЯХ р(м х , Му' Мху).
Опущение напряжения "%х и 1;,%у В условии текучести оправдано, потому что
в случае изmба пластин они минимальны в точках, которые наиболее удалены
от средней плоскости пластины, rде напряженияtS х' б v и Z;v макси.мальны, в то
время как напряжения rt;x И -r'%y
максимальны в точках средней плоскости
пластины с минимальными напряжениями dx,G'y' 'ZY. Отстранение напряжений
x и t;y из услови
текучести и анализа изmба пластин чаще Bcero не вызыва..
ет ошиоки, имеющеи существенное практическое значение.
Конечные элементы пластины, разработанные на основе теории Миндлина,
применяются значительно чаще, чем элементы классической теории пластин.
Для этих элементов, как известно, достаточно только СО континуитета переме..
щения и вращательноro движения, в то время как для элементов, разработан..
ных на основе классической теории, необходим Сl континуитет для функции пе..
644
ремещения. Кроме TOro, в элементах, сформулированных на базе теории Минд--
лина, принимают во vвнимание И деформацию скольжения r zx и azy' что отсут--
ствует в классическои теории пластин.
. В упруroпластическом анализе пластин, подобно тому, как и в случае с ли..
нейными несущими элементами, можно применять два способа: полной и посте..
пенной (слоистой) пластификации сечения. Эти способы YДYT показаны на мо--
дели Миндлина для конечноro элемента пластин.
Условия равновесия леrче Bcero можно сформулировать на основе принципа
виртуальной боты. Если предположить, что зЗданна.я; функция виртуальноro
перемещения ()'w И ФУНКЦИИ виртуальных вращательных движений ti{Jx иl6 у '
соответственно вектор виртуальных перемещений lJи - [ w,B8x' 88у]Т, то Torдa
вектор соответствующих виртуальных деформаций О'Е с учетом выражения
(7.211) можно выразить следующим образом:
8€T == [8е х , 8&у, 8уху, 8yzx' 8yzy] ==
==[ ....z88 x . x , z86y,y, z8(ex,y+6y,x) 8(w,x ....8 Х ), 8(w. y .....Оу)],
==Z8XT +8уТ
(11.119)
rдe
8и Т :: ....[88 х . х , 88 у ,у, 8(6 х ,у+8 у ,х)];
8 уТ == [8 (w, х ...... 6 х ), 8 (w. у .... 6 у )].
(11.120)
Если формула вектора напряжения 6 от заданной наrрузки р[р, О, О)Т вида
Т .... [ ] .... [ Т Т ]
о --- О",Х' О"у, ТХУ' Tzx. 't'zy ..... ОЬ 0s )
(11.121)
rде
fJ Т ..... [ .
Ь...... 0")(, ау, 't' ху] ,
О. = (T zx , TZY]
(11.122)
то принцип виртуальной работы, заключающейся в том, что сумма усилий всех
внешних и внутренних сил при виртуальных перемещениях hw,IJO x ,S8 y равна
нулю в рамках теории Рейсснера.......Миндлина, может быть отражен выражением
Ь/2
J ( J (z ВиТ а ь + 3уТа.) dz ВоТр) dF==O,
F . h/2
(11.123)
соответственно
J (8х Т М + 3уТ Т..... 8 о Т р) dF == О
F ,
(11.124)
645
rде
11/2
М.=: J z(1 b dz= [ M x, М М ] Т
у , 1{. ;
b/2
( 11.125)
ht2
т"'" J 0'. dz == {Т"' TJr.
hf2
Выражения (11.123) и (11.124) выведены, имея в виду предположение, что
иаrружение р - р(х, у), которое перпендикулярно к средней плоскости масти..
ны' задано как единственное внешнее воздействие, действующее иа нее. Эти вы...
ражения можно леrко обобщить и перенести на друrие внешние воздействия. На
основе выражений (11.123) и (11.124) МОЖIIО сфор улировать два вида условий
равновесия, которые приroДНЫ для двух обычных подходов в упруroпластиче..
ском анализе пластин. Для представления поля перемещений и поля деформа'"
ЦИЙ в конечном элементе пластины используют стандартный способ мкэ. Та...
ким образом связь между перемещени.ями и соответственно деформация:t.lи и па..
раметрами перемещеИШI в узлах элемента можно показать в виде:
u == (8w, 6x, 86,)'r == 4 Nt qi ;
J
3)( == .[3Х х 'l 8ху, 't']'r:: Bbi 8 qi r.
1
(11.126)
8у==_[8ужх, 3Yzy]T == B si qi )
I
rдe cr-qe = 18w,В'(.В4J{, а матрицы Вы и B si определены выражением (1.234),
Заменив уравнение (11.126 Ha равенство (11.123) и (}1.124) И, учитывя,'
что виртуальные перемещения oq, произволъны И отличаются от нуля, получим
hJ2
J( J (BriabZ+B;;a.)dz Nrp)dF"",O:
F h /2
(11.127)
J (B iM+B T....NJp)dF==O
j == I 2 ... 11.
Выражением (11.127) сформулированы два вида условий равновесия в узлах
коиечиоro элемента. Первый из них, в котором как основные статические вели..
чины ...... составляющие напряжения, удобен для формулировки способа слоистой
пластификации, а второй, в котором основные статические величины....... момен"
ты и поперечные силы, удобен ДЛЯ формулировки способа полной пластифика..
ции сечени.и пластичны. Условия равновесия (11.127) представляют собой свете..
мы НeJlинеЙИЫх алreбраических уравнений, поскольку напряжения (силы в сече..
ниях) являются нелинейными ФУНКЦШlми параметров перемещений. Для полу"
чения их решений моЖIIО применять инкрементальные, или инкрементально--ите'"
ративныe способы, представленные в п. 10.4. В отношении выбора типа конечн
ro элемента действительно все изложенное в rл. 3 в 7. Можно сказать, что в уп"
646
руroпластическом анализе пластин по теории Рейсснера........Миндлина чаще всею
применяют четырехуroльные изопараметрические элементы с четырьмя или со..
ответственно с восемью узлами.
Способ слоистой пластификации. Предполаrается, что условие текучести
зависит только от напряжения d х' б у' ху и параметра укрепления Н, следова..
тельно, оно может быть выражено в виде
F (а ь , н) == о.
(11.128)
Связь между ди еренциалами напряжения и деформаций в произвольной
точке сечения пластины
[ dO'b ] == [ DePb О ] [ ZdX ]
da s О Ds dy (
(11.129)
Матрица D epb в выражении (11.129) аналоrично двумерному упруroпласти..
ческому анализу определена выражением
D D (Dba) (Dba)T ·
epb Ь А T D ·
a ьа
(11.130)
rде
[ дF дF
а==
, ,
да х да у
дF ] Т;
д Тху
1 F
А == .............. ......... d Н I
Л Н
(11.131)
в то время каК структурные матрицы пь и Ds точно такие же, как и в случае
упруroro анализа, определены выражением
.....1 v О
D b == Е 'J 1 О о== Е [ ] . (11.132)
l....... '12 I .... v s 2(1+'1)
() ()
2
в способе слоистой пластификации сечения отправная точка........условие рав"
новесия, представленное пер ым уравнением выражения (11.127). Если это мат..
ричное уравнение дать любому инкременту наrружения для всех узлов системы,
то ана.лоrично выражению (11.194) получим
' == f (J (B ab+ crs) dz) dF + Q /
F
(11.133)
647
rде
Q == [ Ql · · · Qi · · · Qn],
Ь/2
Qi== J NT pdz }
h/2
(11.134)
ВЬ == [Вь а.. · Вы · · · Вьn] ,
В. == [В, 1 · · · Bsi · · · BsJ ·
Заменив выражение (11.129) на уравнение (11.133) и учитывая равенство
(11.12, в), получим
t == Kt q + Q )
(11.135)
rдe
J( т-- Т--
Kt == ВЬ D ePb в., + Ва D. В,) dF
F
(11.136)
..... касательная матрица жесткости, в которой структурные матрицы D ерЬ и
Ds' определены следующим образом:
h/2
D ePb == J Depbdz \
h/2
(11.137)
h/2
041 == J Ds dz.
......h/2
Способ полной пластификации сечения. Подобно тому, как и в случае с ли...
v .
неиными несущими эле,ментами, предполаrается, что одновременно наступает
пластификация всею сечения ,пластины тorдa, Korдa момент изrиба в этом сече'"
нии достиraет предельною значения Мо - d Jt2/ 4. Условие текучести Torдa
можно выразить функцией, заВИСJlщей только от момента (а не от поперечных
сил) и параметра укрепления Н, т.е.
F (М, н)==о J
(11.138)
соответственно
hJ2
F (М, Н) == J F (а ь , H)dz.
....h/2
(11.139)
Связь между дифференциалом силы в сечениях и дифференциалом деформа'"
ций имеет вид
..... , dM J == l jj ерЬ -:-' \ .... \ . d Х ..... \
... dT О D!I.... .... d У )
(11.140)
648
rдe
____ oIW--.,
D D ..... Db a(D b а)Т
ерЬ ..... Ь ... ...... ...
А+а Т О ь 8
(11.141)
Величины, фиryрирующие в выражении (11.141), ,имеют следующее значе'"
ние:
/
..., ( дF дF F т
а== t
д M ' д Му' д МХУ I
...
... .....} д F -- /
А = -----:----- d Н
л 'дМ '
1 v
о
о
... Eh [ 1
D.....
s 2k(l+v) О
, .
(11.142)
] .
Выражение для вектора неуравновешенной наrрузки,l1 'f формально точно та..
кое же, как и в случае слоистой пластификации (11.135). Так что и дальнейший
способ реmения проблемы остается формально тем же.
... Eh 2
D.....
Ь..... J 2 (1 v 2 )
1
v
}.....')
о
о
2
СПИСОК ЛИТЕР AтypыI
1, ,'{/i/li, /, , 1I1/(1 ( /OllKII, Р..
/., .,Апаlу"i'\ 01' Plate Rспuillg (1У thc f-'il1itc L:Jcn1cnt Mcthou.
' Rcpl.
/0 I\'a//, S('i, '(nиll/, t ISЛ" /96/.
., AI,/I)l'/'!!.'/, 11" /\/i/.\ 0/1 , ':..
, N" {IIиl Jf'a/sl,. J. /
,. ..Tt1C Tt1CO"Y 01' Sr1iпсs ап(. Thcir Applic,,
tiоп.,.." AUU/('lIlii' РIl'.\\, Nl'H' 'r'ork, /()67.
. A1l0'/'i.,! J. 11.. ..I
l1agy Тl1<=orcl11
шнl SI rш:1t1П11 Al1aly
is." Аiп.,.uji /,il/f., 26, /954.
4. А,'К)','i" J,II.. .,1:11CI'gy Thcorcrll
alHI StJ.u<.:tural AHaJysis". Ai,'(Taji 1:.:111[., 27, /955.
5. A"K)','i,\', J. 1/.. (I/иl A'l'/,\'e)', S" .,StructLlraJ AnaJysis L1Y thc Matrix f;'orcc rvlcthod with Aprlica..
tiol1"i (о Air<':I'(tf't Wings. H H/i,\',,'. Ge.\. L/
fljal"'f. Jal1l'h, , /956.
6. A/'/(yriJ, J. 11., (I/и/ Kele,1y, 5., "Епеrgу Theorems апd Strtlctul'al Analysis." Bиflerwol.tl"
J_U/lt/OI1, /96{),
7. A1'I!y/'is, J. 1/,. .,Н.СССI1. Advallces in M
ltrix Mctho(ts оС Stl'uctllral Al1aly
is." P,'ogl'. Ael'o
1I11111, Sci, 4. Реl'капlОП, ,Уе...' Y{JI'k, 1964,
Н. Ba/JIi.\'ka, 1.. {1I1t1 A:i:, А. К., (eds.) "Tt1e Mathen1aiical Foundations of the Finite Element
Method... ACllt/eJllic P,'eJS, ,Уек' York, /973.
9. Bt!.\".\,t!/ill1[. J. /-
, "Thc COnlpletc Analogy Bet\veen the Matrix Equations and the Continuous
I:iel<.f Ечu(ttiОI1., 01' Structul'al Al1alysi
,'. II1I('I'n. Sil1'fJ. 011 Аl1а/ок"е {lIll/ Digitlll Тес/,,,, Ap!,l.
At'I'OI1., Li(l!(e, /J(I/Kill/lI, /963.
10. C/olI/(ll, R. и:.. ,:rt}(,
Finite Elenler1t Method in Plal1c Strc')s Analysis," Proceellillgs о! 21ld
ASCE СОI1I: 011 f.
/ll('II'olli(' C0l11plllaliol1 Pitf.\'hиrg, 1960.
11. Co/'a""I. Н., .. V
tI'iat iOl1al Metho<.l
fOI- the Soltation of Рr"оl')IСПl
оС EquiliL')riut11 and Vibrati-
OI1S"\ 81111, AIII. Лll1ll,. 80(', 49, JVO 1, /943.
12. Оllllllе, Р, Х.. .,C'ornr1ctc Polinomial DisрlасеrПСl1t 'r':iclds the Finite Elen1ent M<;thod."
J. Roy. А el'Olllll1 1. ..
'o('. 72, '?68.
13. /-,'ueij.\' t/t,l V(
III)(lke, В., "Upper 311<.t Lowcr Boul1ds il1 M
Hrix Strtlcttlral Analysis" in A.()ARD-
ograph 72, P(II'KUI1101l P/'ll,\'!;, Net1' }'{)I'k, No 2, /964.
14. Friedric/l.\', J{. ()., "А Fillite Difference Sheme for thеNеUП13ПП and the Oirechlet ProbIem." Сои-
rllllf 111,\'1, oj' !'Ylall" 5ci, Nеи' YOI'k. 1962,
15. GlIl/agel', R. Н., p(/{I/og, J.. 1I11{/ Bijlllll/'{I, Р. Р., "So'cs'\ Analysis of Hcated Сотр1'ех Shapes."
J. АI11, Rockel 50('. 32, 1961.
1 h. GOI'doll, Н/. J., ..Spline
BJende(1 Surface 111terpolation Through Curve Networks. ". J. MatJ,.
18, /969.
1.7. GI'еи1l1е, Т. N. Е" (('(1.) .. Thc
)J'y ённl Лrрl it"a t ion., of' SpJ ine f'l1псtiопs." АС(l(/ellI;С. P,'ej',\',
New YOI'k, / CJf><)
I Х. GI"eelle, В. Е" Sll'Oll1(' D., R., 1I1l{1 Н 'eil{(.II, R. С., "Applicatiol1 of the Stiffr\ess Method to thf:
Anary
is of Shcll Structul'e
.H Afn. So('. /\4ecl,. EII
r., 61, А V58, 1961. . /
19, СПlfiОll, Р. Е., (/I/(/ ..\'/I'(п1lе, /). '
., ,.Anu Iysis of ЛхiSУП1П1сt r"ic Shells I'\y t '1С О; rcct Stit'fл
ss Mc
t hod:. J. Ап,. 111\1. Ae,'ol1. А \"fl'OI1., '. /уо /0, /963.
20. II(.'I's('I" J., "f:(ftILi t i011S I}j fterellt iclles с. Fuпсt iол,; d
CelllJlcs. н С. R. At'atl. Sci., 240, 1955.
21. НrеllikоП, А., ..SoILJti()J) of Proh'en1
in EJasticity Ьу the I:'r"an)ework Method. J.App/. Мес/,.
Я. ,Уо /, /9./ i ,
22. Joue.\', R. Е., "А Gепеrаlizаtiоп of t'he Direct StiЙ'пеs
Met'hod 01' Structural Ana,lysi's." J. А/1I. '
Il1j'{. Аеуоп. ASlrOI'" 2, 1964.
23. JO/lfISOtl, М. W., afld McLay, Я, И/., "Сопvс'rgСI1СС of' the Finitc Еlсmспt Mcth<.H.1 i11 thc The-
ory of Elasticity." J. Арр/. Мес/,. 35, 1968.
651
..
24. Kroll, G., "Equivalent Circuits of the Elastic Ficltl." J. Appl. Mec/lo. 66, /944.
25. Кеу, S. W., "А Convergence Study ot' the Direc StiffflCSS Method." Pllo О. /)i.\'Je/.ll1fioll. U/li
}'ersiIY о/ Wa
fjhillgl01l, 1966.
26. Laпg, А. L., alld Bi.
pliJlg/lo//, R. L., ,.Sonle Result') ot' S\veptback Wiпg Structural Stltdies"
J. Aroп Sci" 18, No 11, 1951.
27. Langefors, В., "Analysis of Elastic Structures Ьу Matrix ТrапsfОlоmаtiоп with Spccia1 Regard
to Semimonocoque Structures." J. Ае/'(пl. Sci., 19, No /0. 1952.
28. Levy, S., "Conlputation of InfJuence Coefficients ftH O Aircraft StructLlrcs \vith Discol1tinuitics
and Sweepback." J. Ae/.011. Sci., 14. No 10, 1947.
29. LlIlIder, С. А., "Derivation of Stiffness Matrix for Rigllt Triangula'r Plute iп Bending ul1d Sub
jected to Initial Strcsses." Dep{II.'. о! A(:lrollnlll. а/и/ AslrOllllul. Ullit'e"silY о} J-j/lI,\'/lillglоll. /962.
30. Marl;n, Н. С., "Stiffne
s Matrix for а Triangulur San{lwich F:ICI11Cf1t ifl Bcn(lil1g." .1(:11. PI'ol'и/
.\;оп Lab. Са/и: //1.\'1. TecI1110Iog., 1967.
31. McHeпry, D. А., "Lattice Analogy for the Solution 01' Plane St,oess ProbIeln
." ./. 111.\'1. Ci,',
Еnк. 21, No J, 1943
32. McLay, R. W., "Completeness al1d СОl1vе.оgспсе Properties of Finite Elenlent DisplacCl11ent
Functions." AIAA 51h Aerospace Sci. Meet;ng A111. 111.\'1. Aerol1. AS1/'o.. New YOI"k. /967.
33. Melos/l, R. J" "Basis for the Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Metho(i." J. A"I.
, Il1s1. Aeron. Aj'lroп., 1, 1963.
.
34. Melos/I, Я. J., "А Stiffl1css Matrix for the Analysis оС The Platcs in Bcndil1g." J. А (JI"Olllllll.
Sci., 28, No 9, 1961.
35. MeloJ'/I, R. J., "А Flat Triangular Shell Elen1ent' Siffl1ess Matrix..' Р/'()с. 111.\'1. СОII/, Ми/,';х
Methods Strllct. Mech. Wrig/'t
Pattersoп AFB, Ollio, 1965.
36. Newтark, N. М., "Numerical Methods of Analysis in Engineering." L. Е. G,';lIfe/o (ell.) MlIC"lil
lал СОlпраnу, New York
1949.
37. O/ive;ra de AYellle.
, Е. R., "Theoretical FOt1ndations оС the Finite Elen1ent Method." /"1.
J. So/ids Struct., 4, 1968
38. Oden, J. т., "А General Theory of Finite Elements." JNME, No 3, 1969.
39. Odeп, J. Т., "Finite Elements of Nonlinier Continua." McGra}v
Hill, New Yo/'k, 1972.
40. Odeп, J. т., aпd Reddy, J. N., "Mathematical Theory of Finite Elements." Johf1 Wiley {lIи/
Soпs, New York, 1972.
41. Pian, Т. Н. Н., "Derivation оС Elements Stiffness Matrices." J. А,I1. Ае/'Оll. А.\'//"ОIl. 2. 1964.
42. Ро/уа, G., "Estimates Cor Eigenvalues." SIIIiJie.f P/'e.t;ellled 10 Ric//{lIod 1'0/1 Mi,\.t:l
. AC{lt/e1l1i<'
Press. New York. 1954.
43. RШllstаd, Н., "Convergence and Numerical Accuracy with Special Reference to Plate ВепdiJ1g
in Finite Element Methods in Stress Analysjs. н J. Но/оn{1 alld К. Ве" (ed\'), Тар;/' P,.e,\'s, T,.onl/.
J,e;т, Nоrи'оу, 1969.
44. Schoeпberg, 1. J., (ed) ,.Approxinlations with Special En1phasis 011 Spline FUl1ctions." A('(ll/e
т;с Press, New York, 1969.
45. Strang, W. G., alld Fix, G., "Ап Analysis of the Finite Elemcnt Method." P,'ellfice 11,,11, /973.
46. Тоnк, Р., aпd Piaп, Т. Н., "The Convergence of the Finite Elen1ent Method in Solving Lincar
Elastic ProbIems. lпt. J. Solid'i Strucl, 3, 1967.
47. Toc/ler, J. L., "Analysis Plate Вending Using Triangular Еlеlnепts." PI,. D. Disset'1111iol1, Ci1'i/
El1g. DepartJnellt, иl1iver
ily о/ Ca/iforпia, Bel'kelay, 1962.
48. rUпler, М. J., Clough, R. JV., Martiп, Н. С., alld Торр, L. С., ..Stiffпсss an(1 Deflection Al1a
Jysis оС Complex Structures." J. Aeп)/laиt. Sci., 23, No 9, 1956.
49. We;nberger, 1/. F., "Upper and Lower Bonds for Eigenvalues Ьу Finite DitTerence Methods."
COттUIl. Рuуе Арр/. MatJ,., 9, 1956.
50'. Weinbefge,', Н. F., "Lower Bounds for Higher Eigenvalues Ьу finite Diffеrепсе Methods."
Pacif/c J. Mat/l., 8, 1958.
5 J. We/l/e, L. В., al1l1 LlIl1.\-;IIК, J
,r., "А
latrix Method for Reducicg the Analysis of COn1p]ex Re
dUl1dant Structures to а Routine Procedure." J. АеУОI1. Sci., 19, No 10, 1952. "-
52. H''l,ite, G. N., "Djfference Equations for Plate Thermal Elasticity." Los A/aтos Scieпtijic Labo-
ra/o/'y, Н. Мех., 1962.
53. W'/,itelllall, J., (ed.), "The Matematjcs of Fil1ite Elements and Applications." Acadeпlic Press,
Nеи' Yo,"k, 1973.
652
,
54. Ziеllkiеи"ic:, (). С., (11"/ CI,ellllg, У. К., "Finite Elements in the Solution о! Fild ProbJen1s."
J:'IKill( el', 22(), 1967.
55. Zt!llisek. А., (111(1 Z/lllJlll/, "'1., "Convcrgel1 of а Fil1ite Element J>rocedure for Solving Boull-
"lary Valuc. ProbIenl ot' thc .....ourth OJ"dcl"." lп1. J. N/illler. Met/lod ' Епс. 2, 1970.
1.
J. ('oll(Jf=, /...; ,.Th NlIJHcl'i<.:al ТJ'савпеп( ot' Difterel1tial Equations." Spriпger Verlag, Berlill
и//(I Nt!H' YOJ'k, /96О. .
") DYIII, С. L., (111(/ . 'llllll1e.\', J. Н., "Soli,,1 Mcchallics." Ml:Gr(lw Hill IIlС. New York, 1973.
J. lil11/:, У. С., ..1 'OUlltl tion ot' Solill Mechal1ics." PI'el1fice flall, NeJv Yer.vey, 1965.
4. J'llIlll)' '(}Il, В. А., ,;1 '1С IH thod of Wcightcd I{csiduals al1d Vаriаtiопаl Principlcs." Acut/(!/lIic
Pre ' '. New Yo#'k, 1977.
5. 'GI'eell, А. Е., (ииl Zerlla, Н/., "Theoretical Elasticity." Ox/or,J Uпiversity Pres ', Loпdoll, 1968.
6. Love, А. Е. Н., "А Thcatisc оп the Mathematical Theory of Elasticity." Dover PиbI;cat;oпs,
!yeJV YVI'k.
7. LUI';e, A.I., "TcoJ"ija uprugosti." Naиkll, Moskva 1970.
8. Mikhli", S. С., "Variational Methods in Mathematical Physics." Macпl;Z1all LoпdOll, 1960.
,.
9. Novoii/ov, У. У., "Teoria uprugosti." GIZ Sli(/prolп, Lenj;пgrad, 1958.
10. Norrie, D. Н., {lIи/ Vrit!s, G'., "ТЬе Finite Element Method." Acadeт;c Press, New York, Loll-
dOIl, 1973.
J J. NOk'acki, W., "Teorija uprugosti." pre}'od S(l po/jskog, Mir, Moskva, 1975.
12. Richart/ ', Т. Н., ,.Епе."gу Mcthods in Stress AnaIysis." Johп Wiley alld Soпs [пс., New York,
LOllt/vll, 1977.
13. Rozi", L. А., "Variaciol1l1ic postal1ovki zadac dlja uprugih sistem." lzdate/cvo Leпjiпgrad, ип;
verz., Lelljingrad, 1978.
14. Ti/пoiellko, S., i Gиdiel', J. }{., "Teorija elasticnosti." prevod sa eпgleskog, Gradev;пska kпjiga.
Beogra(l, 1962.
] 5. JYas/lizll К., "Vаl'iаtiопаl Methods in Elasticity and Plasticity." Pergalпoп Press, 1975.
2.3.
1. B"'/le, К. J.; tllld Wi/ 'Oll, Е. L., "Numerical Methods in Finite EIement Analysis." Preпt;ce......
На" IIIC., New Jersey, 1975.
2. Baze/y, G. Р., C/leliflg, У. К., 1r0115, В. 1-J., Zieпkiewicz, о. С., "Triangular Elements in Plate
Bending Confonning and Non conforming Solutions." Руос. Со,,/' Matrix Meth. Strиct.
Mech. Wriglll Paltel'SOIl AFB, Ohio 1965.
3. BI"ebbia, с. А., 11lld COIlIlOI", J. J., "FlIlldan1entals of Finite Element Techniques." Bиtterwor-
ths, LOlldo" 1973.
4. Bиck, К. Е., SC/ltlrpt, п. W., Sfl'e;п, Е., ll1llJ WипdrlicJl, W., (cd.), "Finite EIemente in der
Statik." VerZ"K УО/l Vill,el", Erllst (ll1d SO/II1, Веуиll, 1973.
5. Cook, R. D., "Concepts alld AppIications of Finite Element Analysis." Johп Wiley, New
York, 1974.
6. Desai, С. S., (1"'/ АЬе!, J. F., "lntraduction to the Finite Element Method." Уоп Nostral1d Reiп-
/10/,1 СопlР. 'New YOI'k, Ciпcill11atioll, 1972.
i. De.\'clvug, J., "Metod konecnih elementov," pre}'od sa fraпcиskog, Mir, Moskva, 1976.
Х. Gallagher, R.ll., "Finite Element AJ1alysis." PI'eпtice Hall Illc., New Jersey, 1975.
9. G/o) 'illJki, R., RotJiп, Е. У., alld Ziеllkiеи'iсz, О. С., (ed.), "Energy Methods in Finite EIen1ent
Analysis." )0/"1 Jf'jley (lIи/ S0I15, Ne.v YOI'k, 1979.
10. 1101al/(l, J,. 1I11tl Bell. К.. ., Fil1itc Е1СП1еВI tv1cthods iп 5t I"ess А nalysis..' Tapir. TJ"()lIlI11(JiI11
1I0п\'ау, 1971.
11. J/иelпler, К" 1/" "Tt1C :-inite ElcllH llt rvtctll0<.t I'or El1ginecJ"s," JO/1I1 И/i/еу {ии' ...\'011\, N(,\t,
YOI'k, 1975.
12: j"OI1S, 11. Л/., .,Thc Patch Tcst j'or I:l1giпсt:"s, н Р, (}(', Filli/( 1:"/('11/(."111 ),пlfJ. A/IOJ COlllfJlI/('/'
LaIJ. ('/lil/un. 1:"IIJ!/al1t/, 1974,
13. 11'011.\', В. А/.. tlll'/ A/"'1{/{I, S" , ,Т c hl1 iчuе 01' Fi l1ite Elen1cn ts:' l:'llis HOI' "OOl/ L.Il/, JO/III Н 'иеу.
Nt! 1 у Ol'k, 1Ч80. .
653
14. JO/1IIS01l, 1\1. ,У., lIlll/ Л4('LI.I)', я. Н'., "СОI1}'сrЧСI1 е 01' the rll1ltC f::leI11el1t Method iп thc Tt1C
осу of EI(!sticity, J. Appl. Nlecll,.. 35.. /'168,
15. Kll/aj(/ii{', ft..l., "Metod kОllаспih ClcIHcl1ata;'. III,Н;!II! =а а/lI/пе ,па,,;,,!' ; а/а/е.. fJi..'щ!/(/(I, /У?8,
16. Ко/а,', '/., Л,'а/ос/в'il, J" Ll'ill1e,'; I " Zel1i" ('k.. А,. "Уу росс! PJa .l1yct1 а PI'C'st(' 10\) cl1 !<.оо-
tI'ukcji МсttнlОJП Коnеспусh PJ',,'k и.... S NTL, PJ'{II1{', /979,
17. Li 'e.\'/ey, R. К., ,, 1atrix Methouli оС StrUCHII'al Al1alysis:' P('/'.$f{/I}/(JII Р,'е,н, (),\j'OI'll. ,У(""
Yo,'k, 1975.
18. J\tlanill, Н. с., а1и/ Clu'ey. (i. F" ,..JпtrоduСtiОI1 to Fil1ite ЕfеП1спt Al1aly i",:' 1\1(' (jI(H" 11;11.
Ne v }ln'k, 1973.
J9. AllJl1l1/U!illl, К. Е. В" (cd.), "Fil1ite ЕIСIПСIНС il1 <.tcr Statik .. Vel'/ag VOI1 H'i//,ell1llj'II('st, JJt.','/iu,
1973.
20. Norrie, D. Н., аl1(/ VI';es, G., "Ав Iпtl'ОUi}сtiОJ1 10 "'Iпitе ЕlеJпеl1t Al1alysis, ' At.'adel1lic P"ess.
Netv YOI'k, 1978,
21. О(/еll, J. 1:, "Fiпitс Elen1ents oj' NОllliпсаr СОl1tiпuа..' Л4сG','uи' f/i/l, /\/('Н' }/Ol"k. 197!,
22. Odell, J. Т., 011(1 Rel/(/Y, J. N., "АI1 Introduction to the МаthеП13tiсаl Theory of F-"il1itc L:lc
ments. H J()/1I1 Н "ilеу, Ne. ' York, 1976.
23. Oliviera, Е". R. А., "Theoretical Foundations of thc Finitc ЕIСlпспt Mcthod:' 1111. J, So/it./
Шld Strиctllre ., 4'1 1968.
24. Piaп, Т. }{. Н., ulld ТОI1К, Р., "Basis of Finitc EleJ11ent Mcthotis for Solid Continua... /11/.
J. Nllпl. Mt!IJl. ЕIlК., 1. 1969. '
25. Postпov, У. А., i XaYXUr;11l; 1. Н., "fvletod Konecnih elementov v rascetah sudovih konstruk
сН." Sиdstroell;e Lel1jillgl'{/{l, 1973.
26. Prelog, Е., "Metoda kone nih ЕlеП1епtоv,." /"l./kиlteta za Ar/,itekfUFo, gr{(dbel1ist 'o ;11 geode=ijo
Ljиbljana, 1975.
27. P,'zeпlieпiecki"J. 5., ,.,Theory of Matrix Structural Analysis." McGra.v Hil/, New YQrk, 1975.
28. Robiпson, J., "Integral Theory of Finite EJement MethodS. 6 ' JO/lfl JlIiley, LOl1tIU!I, Ne)v YOI'k, /973.
29. Rockey, К. С., "The Finite Element Method:' Cy{) 'by LockwoOl/ S!ap/es, LOlldoп, 1975.
30. Roziп, L. А. "Metod kone iih. Elementov v prin1enenii k uprugim sistemanl.... SII'O;;ztllll, Ato
skva, 1977.
31. Roziп, L. А., "Metod konecnih elementov v rascctah sudovih kOI1 trukcii," S//,/ostl'oell;e
Lelljillgrad, 1973.
32. Segerliпg, L. J., "App1ied Finite Elen1ent Analysis," JoJl11 Wiley alld So", /l1С., 1976,
33. Sekи/avi , М., "Osnovi metode kona nih elemenata," Jиgos/ovel1ski gl'atlevi"...ki cellltll', Вео.
grad, 1982.
34. Sinit;iп, А. Р., "Metod konacnih elen1entov v dinan1ike sooruzenij." Su'oji=l/a!, Moskl'a, 1978,
35. StraпgJ. G., alld Fix, G. J., "Ап Analysis of the Finite Element Method." P,'ellf;ce Ни/l 111('"
New York,. 1973.
36. ТОIlК, Р., t1l1ll RQSSello8, J. N., "Finite Elen1el1t Method." Т/,е Nl1T PI'es, ' Саlll/п'i,/gе, 1<)77.
37. Тоnс, Р., alld Pillll, Т. Н. Н., "А Variational Pril1ciple and thc COJ1vergence of а Finite Ele
ment Method Ba$ed оп Assumed Stress Distribution. H So!ill alld StrUCIl,,'es, 1970.
38. TQttell/l(llIl, Н., alld B,,'ebbia, С., (ed.), "Finite Elen1ent Techniques:. SOIlI/UllllpJOII, ElIg/allll, /<)70.
39. Zie"kiewicz, о. С., "ТЬе Finite Element Method third ed.,.. М! GI'UH Hill, LO/;t/o/l, /977,
40. Ziellkiewicz, О. С., "Rec n Developnl nts trends and Applicators of Finite Elen1ent Metho(.isf.
Pros. Jпt. Со,,}: Fillite Eleпleпt Alelhods ;" El1g. Ulli,'. 0/ A{/l/e/ilide, 1976.
"
41. Zieпkiewicz, о. С., aпd Cheипg, У. К., "The Finite Element Method in Structul'al and Conti
ПUUП1 f\fесhапiсs." МсGI'аи,' Hill. Ne...' }'Ol'k.. /967.
... , ) '1I111(/{I(I )'" {/т/ (ja//illg/I(!". R " (e<.t,).. ., Theol'y апd Pract ice in Finite Еlеmепt Structural Analy
i ." (jl/i}'e#'s;ly ( / Tokyo P,'ess. 197 З.
"'3. J -'lI('/'.'tI}l'еss, Е, L" .,А I{at iопаl Fini te Elemen,t Basis. ' ACQl/e111ic P,'ess 111("., 1975.
44. H'o"lli=y, К.. ..Var-iatioI1al 1ethods il1. Elnst.icity and Plasticity." PergufI}()n P,.e:;'s, 1975.
4.
1, ,'I'.IfJ ,,;.., .1, J J , 011(1 A'('I,\i'}" . ',.. " Е I1еJ'gy ТhеоrеП1S al1d Structural Лl1аlуsis." BII/1eп 'ort/l.y pll
/,/i,' lи:I'S, J (}lJllo'l /У(,(),
') Be/l'/S{.'I,hO, Т" 1I11,1 /fo{/Kt!, Р, С.. ,.Plal1e Strcss Limit Analysis Ьу Finite Eleluents..' PI'OC.
"fSt/:'.I ':;11{, ЛltJ('/" f)i}'. 96. ,Уо 1:'''46, /970.
654
J, (iallll,l!l,e,', R., 11., .,Ав ЕхаПliпаtiОI1 of Alt rJ1ative Fornlula in l:inite Element Analysis."
РП}(', SeCOllt/ Jt '01'/'/ КОl1к,'е,\' о! РЬ Л/. ВопlПlоUII,. БlIg/а/1(I, 1978.
4, Gi,'kI11tlll, К., ,.Povrsil1ski sisterni по аса, prcvod sa пеПlаfkоg:' GI'(и/e 'ill 'ka kllj;ga, 1965.
5. //{/j,Ji/f, N., S('klJlo,'i( 1\1" ; SI'('( kovi(\ (J., "Рпнасuп lokalllih naprczallja u kOJ1strukciji 1110
ta »23. ()ktobar« LJ NO\ 0111 Sac.lu," Лlиlеl'ijаli ,\'elll;/f{ll'a М КБ 11 P"OI'{[{'lIl1l1 ill=ellje,'.\'k i/I k()ll
,\'I1'l,k , cija JII/:. (JYlllll)\'. сеlll(II', /leogl'at/, /1182,
6. KO/III1l./i;ja, В., DlIl1ica, ..<,;" "Zidni nosaCi i паsutе brane:' Malet';jali selllil1al'll lvlKE,i pl'{)I'a
"111111 ;11=. kOI1.\'I,."kcija. JlIg. GI'at/e '. ('eпlal', Bevg"(lt/, 1982.
7. Lazo ';c, М., 5eku/ov;i:, А/., "Prilnena gf'anicnih elemenata kod pro)'acuna objekata koji se na
laze u tlslovima ravnog stапjа dcformacije:' Malel'ija/i se/пillarll А1КЕ и prol'acипи ;11=. k()lI
.../п,kcija, JlIg. Grtlt/ev. сепии', Beogt'(lt/, /982.
Н, Л/е/О"'/I, R, J., ,,8asis of [)crivation of t\1"trices j.or the [}irect Stiffnes,Method." А/АА) 1, 1963.
9, Nlo,\'(Jr, К., tllU/ S.t.'o/J(){/a, G.. "Explicit Stiffness Matrix of the Lincarly Varying Strain TJ'ian"
gular Element;. COlllplllel' tll1t/ Sl1'uclиres 8, 1978.
10. Pedersvl1, Р., "S0I11e Properties of Linear Strain Triangles and Optimal Finite Elen1ent Mo
pels." lпl. J. Nиlll. Меll,. Еuк., 7, 1973.
1 J. Szilarl.l, R" "Theol'y and Al1alysis of Platcs. H PI'el1tkt! /{alll"c., New Jer 'ey 1974.
12. TocJler, J. L., tllulllal'fz, в'. J., "Higher Order Finite Elen1ent for Plane Stress." Proc. ASCE
J. El1g. Mecl,. ');". 93, No ЕМ А, 1967.
13. Ziе"kiеИJiсz, О. С., tlпd CI,ellпg, У. К., "Fil1ite ЕlеПlt:nt Methods о'" Analysis Arch Dams,"
Pe'ogo1II01l PJ'e I.,," l11С. E/.JlI j'o,'{/ New York, 1965.
5.6.
1, ArgYI';s, J. //., "tv1i1trix Al1alysis ot" Tt1re Dil11ell iol1al Ме<.На Sl11all and Large l)isplacc
mспts. Н А/А А J. 3, No 1, /965.
Arg)'ris, J. fl., .,The Lutl1iпа ЕlеПlспt fOJ' thc Matrix Diэраlасеmепt Method:' Aero J., 72, 1968.
3. Argyris, J. JI., Frie(/, '., {llи! S('lulrpf, D. Y., "The Неп'пеs 9 Elenlent J.or the Matrix Displacc
ments Method. H A('ro J., 72, 1968.
4. Be/)'fsrllko. '., "Finite Elenlent for AxisYnlmetric Solids under Arb'itrary LoadiJ1gs with Nodes
а! Origin:' ,,4/АА J. 10, 1\'0 /1, 1972.
5. C/oligl" Я. W., tllld Ra.5/1i(I, У., R, "Fil1ite Element Analysis ofAxisulnnletric Solids:' Р,'ОС.
А, S, С, Е, 91. ь-м 1. 7/., 1965.
6. Fi 'tl, Б, А.. "T,hr.0€ cJ,ifl'1eI'1S j.0<t1' ,'1 Theory 01' E:las1kiiy, f'if1:i1.e E.lement M-0tthGds iФ1 St1'c,)s
Analysis," Tapi,' РI't,'.\'.\'. TJ'ol1t/lu!illl. Nont.'t1Y, 'У69.
7. Лlеlоsll, R, J., "Stru'ёtUП11 Al1alysis оС Solids," Р,'ос, ASCL' J, 5""1/('1, JJiv, 89, Но ST..4. 1963.
Н. Ra 'll;(I, У., "Three Dimensi'onal Analysis of Elastic So1ids;' /l1f, J. SoZit/s aпd Strиct, 5.6.1970.
\
9. SiI "e,\"el', Р., ап(1 KV1lI'(.IlJ, А" "Axisunlnletric Trial1gular Elements for the Scalar Helmol1o'ltz
Ечt1аtiоп. ' /111. J. Nиl1l. A4elh. ЕflК., 5 No. 4, 1973.
10. Utkll, S.. ..Explicit Exprcssiol1s for Triul1gular Torus EJCl11ent StifTness Matrix," A/AAJ, 6.
NOI, 6. } 968.
11. JJ,'iI. {)I/, Е.. "Structu-ral А'П(fI''Уsi оfАхisуtllПlсtriс Sol:ids," AJA'A J, З'. No /2, 1965,
12. ' "iI.4ioll. Е,. et al. .,fneonlpa-tib'lc DispJacement .tv1odels. iп Numerical and Com'puter Mct
ho<.l i 11 St ruct ura I 1eehanics'" S. J. !сиюl.'" еl (//, (e(/ ..) Ac{ltleilli(' Pre,\'s. Ne.,' У ork, /973.
13. Ziellkiewicz, О. С,. /rol1s, В,. S(,oll, F, С, (II"!' ClIпtplJell, J, S,. "Th:tee Dimensjona') Stress Апа
Jysis." р"ос, о/ Sil11p, оп High Spree(/ COlllpuliпg о/ E/asfic St,'U('llп'еs. Univ, о/ Liege, Be/gill'"
). 1970.
14. Zieпkiewicz, О, С,. et al, "Iso parametric 3'11d Аsос,j'зtе Еlеlllепts Familie's for Two an(f Thrce
Dimensiol1aJ Analysis in Finite Elenlent M'ethods in Stress A'nalysis." е(/, /, Ho/al1d anl.! К, Be/l,
Tec/lп, Univ, 0/ Noп 'ay. Tapir Press. NоrИ't1У. Trof1(/lieiill, 1969.
7.
1. Aпderheggl!/I, Е,. "А Сопfоrn1iпg Triangulai I..'jnite Еlеnlспt J>lat'c Bel1ding- Sоlutiоп," /"1, J,
/о, Nитer;ca/ klet},o(/s ill El1g, 2. No 2. 1970.
2. AlldrJ,eggell, Ь . "Finite EJenlent Веп(til1g Eqt1ilibriun1 Analysis;' р"ос, AS(E J, ЕIlС, Лf(J('ll.
Div, ЕМ 4. 1969.
655
;. Adilli, А,. "Analysis of SheJl Structures Ьу the Finite EJement Method:' Р/" D, Di,\sel'1, ')e
partпleпt оf Ci 'i/ Ellg;neer;llg, Ulliv, о! Califol'"ia. Berce/ey, 1961.
. АЬе/, J., alld De. 'ai, С,. "Comparison ot' Finite Elements for Plate BCI1(lil1g," Pro(' , ASCE J,
Strиc, Div 98. Л'о ST 9, 1972.
5. Argyris, J. Н., Fried, 1, alld Scharpf, D., "The TUBA Family of Platel:lements fo)' the Ma
trix Displacemcnt Method." Aero J. 72, 1968.
6. Bogпer, F. К., Fox, R. С., ап,! SC/lпlit, L. А., "The Generation 01' IпtСJ'сIСlпепt, LompatibIe
Stiffness and Mass Matrices Ьу the use of Interpolation Formulas." Proc. Соп/. 011 Ma,,'i.\'
Mel/1ods ;11 Strиc., lvfech. Ohio, 1965.
7. Ве//, К., "А Refined Triangular Plate Bending Finite Element." 1111. J. N,llll, Met/,. ЕIIК, 1, No '.
1969.
8. Baze/ey, G., С/lеuпк, У., /roпs, В., a"d Zieпkiewicz, О. С., "Triangular Еlеmепts il1 Plate Веl1
ding Conformil1g and Nonconforming Solutions, ,. Proc. coпg. 011 Mafrix Меll,. ill S""UC.
A-/ech. 0/1;0, 1965.
9. Bron, J., and D/latt, G., "Mixed Quadrilateral Elements for Bending," AJAA J., 10, Nv 10, 'У71.
10. C/olIgll, R. W., BThe Finite Element Mcthod in Structural Mechanics," C/l0p/er 7 0/ SI1'e.\'.'t
Aпa/ysis. ed. О. С. Zienkiewicz aпd G. S, Hv/i iler. J. Wiley, 1965.
11. C/oиgh, R. W., aпd Tocher, J. L., "Finite Element Stiffnes Matrices for Analysis of Plates in
Bending." РУос. Соп/. Matrix Meth. i" Srrиct. Mech. AFFDL TR, Ohio, 1965.
12. C/oиgh, R. W., aпd Fe/ippa, С. А., "А Refined Quadrilateral Element for Analysis of pJate
Вending." Руос. Соп/. Matr;x Melhods ;11 Struct. Mech. AFFDL TR, 0/1;0, 1968.
13. Cheиg, У. К., and Zieпkiewicz, О. С,. "Plates and Tanks оп EIastic Foundation аl1 АррН..
cation оС Finite Element Method," /Ilt. J, So/i,/s Slrиctиre ' 1. 1965.
14. Сопоу, J., aпd Wi//, G., "А Triangular Flat Plate Bending Element," lR Dept. 0/ Ci. , i/ ЕIlК.
М/Т, СатЬушсе, Mass, 1968,
15. Cook, R. D., "Some Elements for Analysis of Plate Bending." Proc. ASCE J. Епс. Mec/l.
Div., 98, No ЕМ6, 1972.
16. E/ias, Z. М., "Duality in Finite Element Mcthods." Proc. ASCE J. Eпg. Mec/J. Di.'., 94, NoEM4.
1968.
17. Frae;js De Veиbeke, В., "А Conforming Pinite Element for Plate Bendil1g." 1111, J. Solids
Strиc., 4, Но 1, 1968.
18. Freijs de Veиheke, В., aпd Saпder, G., "Ап Equlibrium Model for Plate Bel1dil1g." 1111. J. Svlit/s
Strиct ...4, No 4, 1968.
19. Gopa/acharyи/u, S,. "А Hier Order Confonning Rectongular Element," J, Mec/l, l:../lg, Sci.,
7, Nl, 1965.
20. Herrman, L. R., .,Finite Element Bending Analysis of Plates," J, Eпg, МесЬ. Div., ASCE, 95,
NoEM 5, 1968.
21. Harvey. J. W., aпd Ke/sey. S., "Triangular Plate Bending EJements with Enforced Compati.
bility," АIАА J., 9. No 2, 1971.
1.2. Не//ап, К., "Оп the Unity оС Constant Strain Constant Moment Finite Elements," lnt, J,
NlIl1l, AJeth. Епс. 6, No 2, 1973.
23. lroпs, В. М.., alld Razzaqиe, А., "Shape Function Formulation for Elements other then Di-
splacement Models." Proc. Соп/. Variatiolla/ Metl,ot/s ,"п ElIgilleerillg. Soиthaplo1l ип;у, 1972.
24. lroп.f, В. А1., "А Сопtоrnliпg Quartic TriaJlgulal' Elenlcnt .'or Pltlte Вспdiпg." /пt. J. Nl/П;,
Mel/I, ЕIIХ., 1, "Уо 1, 1969.
25. Me/os/l, R. J., "Basis of Derivation of Matrices t'or 1he Djrect Stift"псs Mcthod,'. А/АА J., 1,.
1963.
26. kfor/ey, L. S. 1)., "The Trial1gular ЕquiliЬriUПl Ele111el1t il1 tl1C Solutiol1 ot' Plate Bendil1g Pro
blems. Ael'O Qиat'f., 19, 11lау ]У68.
27. А10у/еу, L. S. }J., "TllC COl1stal1t rvfonlel1t Plate Bel1uil1g EleI11 l1t.., J. Sll'ai" Alla/y.\i ', 6,
No 1, 1971.
28. Moпforloп, G. R., lll/(l C/ulli1, [. А., "f'il1ite Elcn1el1t Al1alysis of Skc\v Platcs iп ВСI1(iiпg:-
А/АА J., 6, 1968.
29. Mint//ill, R. D., "Tnflt.eт.:e of Rotatory Inertia Hnd Shcar 011 Flexural t\lotions of lsotropic Elё.t
stic Platcs." J. Арр/. Alee/I., J8, Но 1, 1951.
30. Pryvr, С. Y., Btll"ket., R. kl., { /l(/ fi'l!l/et"i("k, D., ,,1"il1itc ЕIСП1спt HCl1uillg Лllаlу is 01' J{ci -
sner Pltltes. H Prvc. ASCE J. ЕI1К. Mec/I. Di '., 96, No L'л-t 6, 1У70.
656
з 1. Pial1, Т.1/. J/., "Dcrivation of Elemcnt Stifrl1cs tvl'-1trices Ьу Assuln 1 Stl"CSS Distl'ibutiol1;'
AJAA J., 2, 196-1.
32. Rllzza"lIe, А. Qo, "Progran1 for TriaJ1gul'-1r Elcll\Cl1ts with Deri\'ilti\e SП10оthiпg," 1111, J,
N1I111. klet/,. E'l1go, 6, No 3, Jt)730
33., Reisller, Ь'о, "Th EB ct of Trul1svcl"SC SJlcar Dc!ornlatioll оп thc В l1diпg of EI'-1stic Pla
tes, J. Арр/. Mec/l., ]2, 1945.
34. SoиtJlwe/l, Я. V., "Оп' the Anologues Relatil1g 1:lcxure al1d Ехtепsiоп of f'Jat Platcs,"
Qиart, J. }у/ее/" Арр/. Mat/,o, З, 195О.
35. Sever", я. Т., "lnclusioJ1 of Shear Dеflссtiоп in {Ье StifJ.l1css Matrix for а ВеаПl Elenlent:
J. Straill Al1a!y.\'i ', 5, No 4, 1970.
36. Sllli/h, J. М., "А Finite Elenlent Analysis for Moderately Thick Rectol1gular Plates in BCI1
ding, IlIt. J. Alee/l. Sei., 10, 1968.
37. Sтitll, J. М., aпll DlIlleOl1, W., "ТЬе Effectiveness of Nodal Contil1uitics in I=inite Elenlent
Analysis of Thin Rectangular and skew Plates in Bending," 111/. J, N1I111. Мес/,. Ь.I1К., 2, No 2,
1970.
38. Savic, L;., Sekll!ovic, М., "Primel1a metode konacnih еlеПlепаtа kod proracuna рl0са па ela-
sticnom poltlprostoru." Jugos/ovel1ski grlllleviп 'ki eeпtar, 1982.
39. Seku!ovic, М., KO!lIп,lii;a, В., DUfliea, $., "I>loce oslonjene па niz ekvidistal1tl1ih stubova
bez podvlaka i kapitela," Jugos!oveпski gra:/evillski celltar, 1982.
40. Svec, О. J., (lIи! G!ad.vell, G. М. Lo, "Ап Exp1icit Boussinesq Solution for а Polinon1ial Distri.
bution of Pressut"CS over а Triangular Rеgiоп." J. Elasric;ty, 1, No 2, 1971.
41. Svec, о. J. alld AJcNeice, G. М "Finite Element Al1alysis of Fil1ite Sized Plates BOl1ded 'о
an EJastic Half Space," Соп1Р. Mecll, i Арр/, J\Jech. lll"/ ElIg., 1, 1972.
42. Sllllder, G., "Bornes Superiures et Jnferieures Dal1s L analyse Metricieele dcs Plagues еп
FJexion TOпiiol1." Bu/l. Soc. Яоуа/е des Sc., Liege, 33, 1964.
43. Tocher, J. L., "Analysis of Plate Bending Using Triangular Еlеmепts," Р/,. D. Di. 'et.t, De
part. о/ C; til Ь."1IК. иll;versity о/ Ca!i[orflio, Bel'ke!e)', 1962.
44. Visser, W., "А Refined Mixed..... Туре Plate Bending Eklnent." А1АА J., 7, No 9, 1969.
45. Ze"isek,A., "Intcrpolation Polynomials оп the Triangle."/lIlo J. NUI11. !vlet/l. ЕI1К., 10, No 4, 1974.
8.
1. A/lтad, s. lroll ", В. М., olld Ziеllkiеи"iсz, О. С., "Analysis ot' Thick iil1d Thin Shell Structures
Ьу Curved Een1ents." ll1t. J. Nlun. NletJ,. ЕIlК., 2,. No 3, 1970.
2. Alastedt, Е., "SheJl Analysis Using Plate Triangular Elenlents. JI1 Finite Element Method,"
Ed. Ьу Ho/alld 011(/ Ве" Tapir, T,'olull,eiI11, Norway.
3. Argyris, J. Но, .,Continua and Discontinua". Procedings Conf. о.' Matrix Methods in Struc-
tural Mechanics. Wrig/'t Pattersoп А. F. В. Day/oп. Ol,io, 1966.
4. Ashwel/, D. G., aпd Sabir, А. В., "А New CylindricaI Shell Finite Element Based оп Simple ln
dependent Strain Functions. Illt. J. MeC/l. Sci., 14, 171, 1972.
S. Вокпеу, F. К., Рох, R. L., alld Schl1,it, L. А., "А Cilindrical Shcl1 })iscrete Etenlent." AIAA
J., S, No 4, 1967.
(), /J/"(J/II/>o/i('II. ' ,./, tllul (;011/(1. Р. ' " .,А HI!!ll PJ"e<,;j iol1 CUl"\cll Sll 11 "jllitc 1::leJHcl1t." А/АА.,
I(), \10 (). 1<;710
7. «(,'11 о ..., J" ..А f{at'lI1e 1 IlIlit t:leIHCI1t AI1(1lys,,,\ ot' Thin Shell SlПlсtUI'С 111 ltldil1g I )Yl1al11ic
1 (.\ HtJl1 '" Pllo /), 1'11(";\' и/I;,'о 0/ ('U/i/Oll1;(/ (1/ LJ('/'ke/t!)', 19h70
Х. ("(1111;11, ('" ..I{igll..t Bo<..t) .1otioll il1 Clfl'\' tt I:illit'c ЕlеЛ1Сllt"." ..rJAA Jo, 8, No 7, '()700
" ('(/111;/1, (i.. (II/(/ ('/ОЩ:/" R. Н " "Л Ctll'\Ct{ C)IIIHfl"jcal SI1Cll Fjl1it EJclllel1t.. AIAA Jo,6,
.\0 f>, '<}68,
10. C/OIl.t:II, И. 11" (//1(1 TOI 11('/'. J. / ., .,Лl1аl)"IS 01' Thl11 AH;I, I)шпs [')' tllC il1itc ЕIcП1СI1t." Рпц'о
1111. S-' 1I1р. 011 1//(' J11l'OI"Y о/ АП'/l /)(/111\' SOIUIUIIUpI0/l Ul1i teпiilY /96-1, Pel'glll11ol1 0_\1vl"/. 1965.
11. C'f()/I,![II. И. Ii '" (/11(/ .I0/1I1\'(JIl, С. Р.. "А J:'il1itc EI\:1l1Cllt Approxilllatiol1 I()r thc Al1alysis ot'
Tllill Sll II :. 1111. J, ,","n/;,I\' S"'//('I/11'('\', 4. /\'0 /. /9680
I . ('0111101',./. ./,' '111(/ Ли'/)/);lI, ('о, "Sti"'"I1C" tv1atJ"i:x t'OI" Sllallo\v l{e (al1gtllar SllC11 Elell1clH;' }О''''-
/1(/1 0/ 11/(' 1.11,1.:, Л/еС/I, 0;,-;,;o" ,-'.\'СI:"о, 93, /УО 5, 19670
I -'. ('IH\'pel'. (1. и., J.ill(/I)( /.J.:, и. 1\10' 1I/1(/ ()/,\(}II, Л-I. О.. "А Shallo\v SJH II 'il1ite Ele,nclH 01' Тпаl1
glllal" Stlap . 1111, Jo SO/;l/S S/I'/I('II1I"(.'\', 6, /133, /()700
657
15. Cook, Й. ,)., "Morc оп Re(tucc(i 1.1tegration аl1с..1 JsораrаПlсt ric Elemcnt,s. ,. 1/11. J. Nlllll.
/\-JeI11. /:"/I.S!,. 5, No /, /972.
15. /)01111, S, В" ..Лпаlуsis 01' l,anlinate<.t Shetls .01' 1 \"olutiol1". J, Епк. lесJl. Di.,. АПI. Soc,
Ci,'. I ЛКI'.\', 92, ,у(} ЕЛI 6, /966,
17, /)lIplIi ', (j., lllltl (loe/, .1. J" ..А Curvcd r'-il1itc ErC111 l1t f'or Thill Elastic SheHs." 1111. J. Solit/,y
..S'trllcl'II'es, 6, /4/3, 1У70. ..
I Х. /»)'111, С, / ., ,.1111 ПН.ltн;t ion to 1 h Thcory ой Shclls... p( "K(/"'(}11 PI'( ,\'.\', /974.
19. /)III'i(\ А1" ,,()p' ta IC H'ija tHl1k il1 Iju..;k i:" (J/'tu/el'ill,\'ki jilk 111/('/, JJеоспи/, /965.
20. Elia.\', Z. Л-l., .,Mixcd f:inite Elelnent Method fo,' Axi- SУП1111сtriс Shells," 1"1. J . N,,,,,. Л1еr/,.
Ei,g., 4, N(} 2. /972.
21. !«ли/е,', G', А., ""t/ COlig/I, R. ""., "Explicit Ad(fitiol1 of Rigitf Body Molions il1 Curvc(1
Finite Elcnic.lts:" AIA А J., 11, No 3. /973.
22. "(пи/е,., G. А., "Studie in ()ouhly Cur\'ed Elemel1ts t'or Shell of Revolution." 111 Fiпitе Ele
n1ents for Tllil1 Shells., (el/.) A.\'IIt,'e/l, Ь. G., (IIIl/ GlIlIagller, R. Н., JO/lп Wi/ey, /976.
2J. G'"I/agl,e,", R. //.; "The l)сvеlОРПlспt and Evalutiol1 of Matl'ix Mcthods for thil1 Shcll Struc
tural Al1aly is.H PII, О, TI,esi.\'. Srale U/li 'ersi/y 0/ New YOl'k аl Bиffa/o, 1966.
24. Gia,,"illi, М., (IIIll Л4ilе!;, G. А., "А Cur\/cd Elemcnt Approxinlatiol1 in the Analysis ot' Axi
SУПlmеtrjс Thin Shells, /111, J, Nlilll, A-lelll, Еuс". 2, No 4, 1970,
25. GOIi/{/, Р. L., "Static Analysis of Shells:' Lexi/1g10/1 Book.\', Л-fаssаС/lusеtts, Tv,'o1l1U, }977.
26, Gvll/e"vell=l /', А. L., "Teorija Llprugih tonkih obIo k," Nallka. }vloskv{I, 1976.
27. Gra{/ol1, Р. Е., al1d S/I"0I11e, D. Я., "AnaJysis ofAxisYl11nlctric Shells Ьу the Direct StifTncss Ме...
thod."' А/АА J., 1, No /9, /963.
28. /,'O/1S, В. М., "The Semi Loof Shell Elen1ent il1 Finite Elements for Thin Shelts ап(l Curved
MCnlbe."s." Е(/. As/",'e/l, D. G., lInt/ Gallag/ler, R. Н., JOhll, JtJ/i!ey, 1976.
29. /'.01/.\', В. Л1., а",/ Яа==аЦllе, А., "А Further Modit'ication to Ahmads Shell EJen1cnt,." 1111. J.
N,,,". Mel/I. El1g., 5, No 4, /973.
ЗО. JOlle.\' , R. Е., a/1d S//'(J/lIe, /). Я" "Direct Sti'Tl1ess Mcthod of' Analysis Utllizing Curvctl Ele
ments. H А/АА '., 4, Л/О 9, /966,
31. K"tlll.\" 1/., "Thin Ela tic Shells." Jol,,, H/i/ey al1l/ SOI/S 1,,('., Ne)v YVI"k, 1967.
32. Меса,",/, G., "Plane alHt Ctlrve"j Shcll Elcnlcnts ,111 FEM." Et/. /JY Ilo/a,,(/ {IIIlI Bell, Тор;,",
T,'oll(/I,e;'1I, NOn"{I)'.
33. N(H''''.'''llll, D. R., Pial1, Т. Н. 11., ",и/ Willl1er, Е., А, "Stability Ana)ysts of Shelts of Revolu-
, \ tiol1 Ьу Fil1ite Elelnent Metho<.i. H А/АА, 6, No З, 1968.
34. N(}I'oZi!o,', V. '/" "Тhiп Shell Theory" (prevod sa .'lISkog). Р. Noo Rd/l0j]' LTD., GI'lJllillge",
N i '/" ,II1U/,\', /964.
35. 0/.\'011, А/. О., "Analysi') of ArbitHlJ'y Shcll Usiпg Shollo\v Shcll Fillitc EJemcl1t"' 111 111;11-
Sl,ell SrП/С/llrе\', Е(/. hy FlIl1g У. С. tl/u/ Sec/,/el' Е. Е., P'"e/llice Ila/l 1974.
36. Реп'у, J. 1/., Piall, 1: Н. 11., иl (/11. "Arplicatiol1s of the Matrix Displacement Mctho(f ао Li-
I1СН,' Elastic At1alysis of Shcll Rcvolutiol1. А/АА J. 3. No J /. 1965.
37. Popvv, /:', Р., p('Il:'U'II, J., (llи/ LII, L. А., ,,1 'il1ite Elcl11el1t SolutioJl t'OI' AxisllHetrical SJ1clls,"
J. о! 1/1(! [:ик. Л-lе(/,. J)i '. А..\'('Е., 96, Л/О 1:"/\45, /964.
38. Sabir, А. В,) (lIи// (}('k, А. ('.. "А ('tIl"vc<.1 Cylilld,'ical Shcll ....il1itc EICI11Cl1t. H /111. ./. N/('('/"
Sci., J4, /26. }972.
39. S{1bi,., А. В., 1I11t/ А ,'/",'ell, /). и.. "Л St i IТп ss f\'la tl'i \ I'or Sh lIo\v Shcl') f il1itc Ekll1CIH:' /1/1, .1.
Л/ееl" S('i.. 1 J, /969,
40. SC/lIl1ir L. А., ВО/.: 11('1' Л'. F. alll/ 1 (Н' R, L,. J---iпitС l)еП Сl iOH Sl rtlct tl ra I Аl1а Iysis Usil1g Pla (с
апd SheJl Di crcte Elc111Cl1tS. А/АА 6. No 5. 1.968.
41. Seklllo,'i( AJ., Teo.'ij tankih Ijuski, 11 dco, GI'lIl/e,'illski jakиllel, Beogl"l/t/ 1977.
42. Sekиlol'ii: Лl., KoloII{/=ija В., Dllllic(I S., Anal iza stal1ja l1арОl1а i dеt'ОПН:lсijа 111adnjaka 0111 i k
l'otaciol1og hiper[")oloida, JlIgo "ol'el1.\'ki gl"{l(/e 'illski C(!lllal'. Веокни/ /982.
43. Slricklill J. А., N(п,{/tаllиl /). R. tll1t/ Piall Т. 1/. /1" IП1РI'ОVСIНСl1ts in tfle Al1alysis of Shcll ot'
l-evolutil)ll hy M,tt.rix DispJacclHcl1t Method. А/АА 4. 2069, /968,
44. иtkll S., Stiffnes-; fv1atrices t'o.' Тhiп Triangulal' Ele.llel1ts of NOl1lC:'O Gaus iaH CUI'vattll' .
-1 1/1 /fl "(), P([('t! Sciell('e.\' л,!('('liп.1f Ile/(/ а! Lo,\" AIIK(!/l .\'. .llIlIe /966.
45. V/{I.\'o,' V. Z., ILabl' l1l1ic trudi. '1'0111 1. /Zl/tll. Akllllell,Oa Nallkll Л10\h "0. AIIJ\h "1I /962.
658
46. Ziel1k;ew;c= О. С. allll ('/Ielll! У. К., Fil1ite Eienlent Methot1 of Al1aly i "01" Arch I)ап'\ S11ells
al1d ('ompar t iOI1 \\ i t h l--'il1itc ()il't"ercl1cc proce(tures. Р,'(}('. /"1. SУПIР. 0/1 1/и! T/leory о! An'll
/)UI1l.'i., SOlltlulIIIP/O/l Ulli 'el,....;tJ' 1964. Pel1fllllltJIl. ().\j'on/ 1965,
47. Ziеllkiеи,';с: О. ('., Buиet. J., ,\.10I'glIl1 К., Ollate Е,. А Sin1pJc itп<.t EtTkicllt ЕlСП1спt t"or Axis}
nletric SI1eHs., JIl/. J. NIIIII, Лlеrl,. ЕIlХ. 11. No 11. 1977.
9.
I
1. A",le,' ()п Й. G., }пJll... В. Л/. lI11t/ Ziellkie 'i<'= О. С., "Vibratiol1 апd StаЫliLУ ('.. Plutc U illg
Finite Elements H 1f1.\t. J. So/i{l.. StI'ucfUI"(!S 4. Nu lО. 1968.
2. Arc/let' J. 5., "СОl1sistепt Matrix FОJ"lпulаtiОI1S f'or Stl"uctural Al1alysis Usiпg Fil1ite Etc
ment Techniqucs. H А1АА J., 3, No /0, 1965.
З. Bat/le, К. J. alld WiI.)()n, Е. L., HLarge Eigenvalne ProbIelns- in Dупшпiс Al1alysis. H J. Е'1l/.:.
Л/ееll. Div., 98, No ЕМ 6, /972.
4. Batl,e, К. J., 111l(/ JVilSUll, Е. L., "Solutiol1 Methods for Eig nvalue Рп>Ыеms i.l St,'ucturCiI Mc
chanics." /пst. J. NUIJ1. Metll. ЕI1С., 6, No 2, /973.
5. Batl,e, К. J., WilS(JIl, Е. L., lIll{! Petersoll, F. Е., "SAP JV А Struсtuпtl Analysis РrоgJ'аЛ1 fOI'
Statjc alld Dynan1ic Respen,;e of Lillear Systems " иlli 'e,'sit)' о}' Cal(/,o,."ia. Bel'ke/ey, 1974.
6. Batlle, К. J. (ии/ W'U't.Oll, Е. L., "Stability and Accи:l"a y Al1alysis ot' I)i,'cct IntcgratioJl Mc
thods. H /пt. J. о/ ы{.tqllаkе Ь"пg. tlll(1 51rll('/. DYIlUl11it..s., 2, N(.) 1, 1972.
7. Brc;c, В., "Dinamika konstrukcija. ' Gr(u/evi/l.)'ka klljiga. Beogl!tI{/, /978.
И. C/oиgll, R.JV.,al1l/ Pellzieп..J.. "DYl1anlics of StrLlctures," Л4('Grtл ' },lill Kogllkи.\'/lll L/(I., /<)75.
9. C/ougJ" R. W., а/иl BlItlle, К. J., ,.Finite Efement Al1ulysis oJ' DYllanlic Rcsponse.. Аиуаl1се
in Computational Metho<.1s in StructuJ"al Mechanics and Design.' (О,/еll J. То, COIIgl1 R. Н'.
alld Yaпl1l11l010 У. l!l/S.), Ulli 'er!iily о}' Alalxlllul PI'es.\', Jlltпtsville, 1972,
10. по , Wl'ick [). J., "t:аrthчuаk.с Resistal1t l)esjgl1. JO/III Viley (1/1(,1 SOIl.\. /977.
11. Hilltvll, Е., Rock, А., {lIи/ Z;e"kiewic:, О. с., "А. note оп Mass LUnlpil1g in Rcluted Pro e s
in the Finite Element Metl1o(.I... /11/. J. E.eal'tlu/lIl1ke Ь".1(. Stru( 1. DYf1tilllic!J' 4, /97f.
] 2. HurlY, W. С., all,J Rиhillsle;lI, М. F., ,,()ynall1ics. о" So'uctures. ,. P"elllice I 1l111. Jп. . EIl!(I('
W()Ot/ Clifls, 1964.
13. /rol1.\' , Р. М., "St,'uctural ЕпgСl1vаlп РJ'оЫеП1S: Elinlination of Ul1wante<.t V,H'iables;' А1АА
J., 3, 961, 1965.
14. /rolls, В, М., "Eingenvalne ЕСОl1ОЛ1isеrs il1 ViЬrаtiоп Р,'оЫеП1S..' )0111'11([1 о)' l11е ROJ'al Ael.c)
/I(llIt;caL Soc;ety, 67, /963.
15. JOhl1.)'OIl, D. Е., "А Prot'f 01' the Stability оС the Houbolt Metfl0u. H AIAA J., 4. 196".
16. Bat/le, К. J., (ии/ ViI.)'()п, Е. L.. "Stability and Accuracy Analysis of Direct Integration f\-le
thod ,:' 1111'. J. о/ Eartl/lltl!ie E"g. "11(/ 5'I'1I(:t. DYII(lIII j('j' , 2, No /, 1972
) 7. Sekll/ov;(t, А/., K!lllllllliija, В , DUllic(I, S" ..Prin1CIH\ М КЕ u dinan1ici kOl1strLlkcija. H JIIKo...I(H'e,'
...ki grlи/e,,'io\'II.\'ki сеnип.. ВеОКI'lIl/, /VH!.
18. 71uJJlIsoII, }{. Т., Colkill.\', Т., а/и! CtU'lH'{/II;, Р., "А NUn1 rical Study of Damping" /111. J. E{lrtlu/ll-
ake c../Ig, S/lI/('I. DYlla",., 3., 97 103. 1974.
19. Jf,'(1I 0 /ЩlоtVII, G. В., "The 1l1Пuепсе ot. the Finite Element Method 011 Deve)opments iJ1 Struc-
tural DУl1шпiсs Епеrgу Methods in FEN," (Gl())viпski, R., Ro{!iJ1, Е, У., aпd Zienkie}vicz, О, с.,
l'll....). JO/1I1 JJ 'i1ey 1I1l(! SOlls. 1979.
20. H'il.\VII, r:. [J., аl1'/ Pell=iell, J., "Evalution of OrthogonaJ Dampil1g Matrices." /Ilt'. J.. Nllln.
A'!etl,. Е'пк" 4, ,Уа 1, 1972
10.
'. AlIllllllI, /J. J., "lrHpruved f'iпitе Elel11cl1t Models Jor the Large Displacenlent Bending al1d
Post Rш:kliпg Analysis of Thin Plates." /111. J. So/k/s St"lICfllJ'e '. 18, No. 9. 1982.
2. AkkoIlS/I, /:'. А., KluJ=eilllel" К., (1/1(/ НII{JI1If, 1/. К., "Bit.urcation Pre aJ1d Post Buckling Аl1а
ly isof' I"' 1IHC Structtll'C. СUПlрutеl' alld Strllctlll'e.)', 8, NQ 4, 1978.
3. /Jat/le, К. J., /(,1I111111 Ь.., al1t/ Wi/JOII, Е. L., "Fjnite E1emel1t Formulations for Large DеfОflпа-
tion ()YI1:Hl1ic .Апаlуsis." Int. J. N"ПI. !vlet/l. ;11 Eпgiпee";IIK, ", No 2, 1'9-75.
.... JJlII/le, К. .1., 1I11'! Bolourc/,;s, S., "Large Displa<:cl11ent Al1alysis of Тhrее DiП1спsiОl1аl ВеаПl
StJ"uctu 'c :' 'IIК. J. NUI11. Л4еt/,. Е'IIК., 14" ft/o 7, 1980.
659
5. Baf/le, К. J., all(I110/0Ill'('/li, S., "А GcoI11ct,'ic ани Material NOHlinea,. Platc and Sh lI 'Elc
111cnt." C'ol1lpиfe,'.\" (lIи/ Strll(.'lиre. ', 11, No 1, 1979.
6. JJlItO=, J.. L., Chattopadllyay,A., а/и/ Dhatt, G., "Finite Element Large Deflection Al1alysis of Sha-
lIо\у Shells." 1111 J. N1I1I1. Met/I. ЕIlС., 10, No 1, 1976.
7. 8a,'sOIlI1I, Я" а/и/ Gallag/ler, Я" "Finite Element Analysis of Torsional and Lateral Stability
РrоЫеП1S. 'и/." J. NUI1I. Melh. ЕIlС., 2, No 3, 1970.
8. B(II'SVUI1I, /l., tllltl G{[I/ag/ler, R., "Finite EJement Analysis of Torsional....;...Plexural Stability
Рr'оЫеЛl." /пt. J. [оу N'/1п. Afelh. ;Il Eпg., 2, No 1, 1970.
9. Baiallt, Z. Р., {lIи/ Nil1leiri, М. Е., "Large Deflection Spatial Buck1ing of Thin Walled Beams
ани Frames. H J. A1ee/l. Div. ASCE ЕМ 6, 1973.
10. Bergall, Р. G., а,,,/ C/Ollg/l, R. JV., "Large Deflection Al1alysis оС Plates and Shallow Shells
tl il}g tt1c f;iпitс Elcmcl1t Mcthod. 1111, J, NUIlI. Nlelh, ЕIlС, 5, No 4, 1973.
] 1. B,'ehlJia, С., (/11(/ Totteп/ul1ll, Н., "Shells (in Finite Element Techniques) Stress Analysis," Ри-
h/is/, , er.r; Sout/""llptoll Ellg/alld, 1970.
12. B,'ebbia, С. А., llпd COIl/lOr, J. J., "Geometricatly Nonlinear Finite Element Al1alysis." Proc,
ASCE., 95, No EMZ., 1969.
J 3. C"rsoll, Y. G., ant/ NеИ'10ll, Я, Е., "Plate Вuсkliпg Analysis usil1g а FulJy CompatibIc Finite
Еlеmепt, J, А/АА, 8, 1969, "
14. CQlville, J. М., Beeker, Е. В., a"d Fиr!ollg, п. Y., "Large Displacen1ent Analysis ot' Thill Pla-
tcs." J. SI"II('I. Div. ASCE, 99, No ST 3, 1973.
15. Cri.\field, М.А. "Numerical A'1alysis of Structures (fron1 Developlnents il1 Thin Walled Stl'UC-
tUJ'es 1).'. Applie(l Seiellee PubIis/lers Lll/. Ellglllfld, 1982.
J6. Dll} 'e, п. J., lllll/ ROlljaeil, О. L., "Bucklillg of Rectangular Mindlin Plates," COlllpllteI 1 ,)' allt/
St"IIClI11'e ', 15, No 4, 1982.
17. G(lllag/ler, R., aпd Lee, В" "Matrix Dynamic and' Instability Analysis with Nonuniform Ele-
Jnents." Illl. J. Nипl. Met/,. Епс., 2, No 2, 1970.
18. Ga//tlg/lel., Я. Н., "Fiпitе EleJl1ent Al1alysis of (Jeometrically Nonlifiear Problems Thcory
al1d Practicc in Finite Element Struct. Analysi ." Proc, o/t/le 1973 T()k)'tJ Seпl;llar о/ FEM. Ulli-
versilY 0/ Tvkyo, 1973.
19. Hais/er, »'. Е., Slricklill, J. А., lIlld Sle/Jhi/ls, F. J" "Developn1ent and Ebaluation of Solution
Procedures for GеОПlеtriсаllу Nonlinear Analysis." J. A1AA, 10, No 2, 1972.
20. Hajdi/l, N" Sekll/ovic, М., "Metod konacnih elenlenata i I1jegova primena u mehanici cvr-
stog deformabill1og tela." Х' V kOllgres Jugos/ovellskog drultva za ll1e/laпikи, Portol'oi, 1978.
21. Harlz, В. J., "Matrix Formulation of StructuraI Stability ProbIems." 1111. J. NUI11. MelJ,. ElIg., 2,
No З, /97О.
22. Hihhit1, Н. D., Matrcal, Р. v:., aпd Rice, J. Я., "А Finite Elen1ent Formulation for Problem5
оС Largc Strain and Large Displacenlent." /111. J. Soli,/s Slrllct., 6, No 10, 1970.
23. Кар"'#, К. К., lllld //al'I=, В. J., "Stability ot' Plates Usil1g thc Fil1ite EI n1cl1t Metll0d." J. Ь'"g.
Л1('сl,. Di)'. ASCE, 92, No ЕАl 2, 1966,
24. К(,,\'а;, т., а/и/ YO.\'I,illluI'a, N., "Al1alysis of Large deflectioJ1 of Plates Ьу the Finite Elcnlcl1t
Mctho(I, в 1111. J. NUl1I. Metll. ЕIlК., 1, No 1, 1969.
25. Ko//hпllllle,', F., J{{ljt/i", N., "Duппаwапdigе stabc, Веl1О 1." Spl'illg(!I' Vel'/lIg 1975.
26. Ala//ett, Я. /1., (lIи/ Ma,'ca/ Р. v., "Finite Element Analysi of Nопlil1саr Structures." J. Strllcl,
Div. ASCE, 94, No ST 9, 1968.
27. 1\-1",.,.а)', f).IV., (I1иl H?i/SOIl, c:L., "Fil1itc Elcnlel1t IJargc DefJcction Апаlуsis оС Plates." J. 1:';1/(.
МеС/l. /)')'. ASCt:, 95, No ЕЛl 1, 1969.
2 . MII"'lIJ', D. V., (llId JYilsoll, Е. L., "Fil1itc F:lenlent PosthL1ckling Лпаlуsis of Thin Elastic Pla
tes," А/АА J., 7, No /0, 1969.
29, (Jеп,J. Т., "Nunlcrical Formulation оС NOl1lil1car' r-:la ticity РrоЫеП1S," J. StI'l/cl. Div. ASCE,
93, No ST 3, 1967.
30. PtJskitt, Т. J., "Numerical Solutiol1 of Nonli.lear Strtlcturc')," J. S"'lu't, Di}'. ASCE, 93, No
ST4. 1967.
31. Яаiаsеkаrаll, S., (1I111 Мип'а)', D. y" ,,011 l'lСП П1епtаl Fil1ite ЕlеПlспt Matricc ," J. Sl/'lu't.
J)j... ASCE, 99, No ST12, 1973.
32. Sekи/o}'ic, J.tf., "Geometrij ka Hel inearl10st tl nlchanici <.icfornlabill1ih tcla," Silпpozijul1l ("'"
Jt 'a =а /1u.'lulIlikи SRS) 1980.
660
33. Sekll/{HJ;( , М., i Prokii:, А., ,.Лпаlizа stаЬilпоsti tankozidnih nosa a )10 М КЕ." SiПlроz(jUIII
d,.ustva =а IlIel'(ll1iku SRS, 1982.
34. Sekи/ovic, М., "Nelinearna teorija elasticnosti," G,'adeJ';I1Jki fokи/tet. Beogl.{u/ 1975. go(l.
35. Sиraпa, К. S., "Gemetrically Nonlinear Fonnulation for the Three Dimensional Solid
Shell Тrапsiаtiап l:'inite EJen1ents." C(J/l1plltel'.\. Alld Strиcu".es, 15, No 5, 1982.
36. V/asov, V. Z., "Izabranie trudi. ТОП1, 111," Naиkи. Moskva, 1964.
37. Vos, R. G., aпd Val1ll, W. Р., "Е Finite EJement Tel1sor Approach to Plate Bucklil1g al1d
Post..oa-,.buckling." 1/11. J, N'III1. Melh. iu Епк;п., 5, No З, 1973.
38. Vиk.rallov;c, D., "Prilog ne1inearl1oj teoriji tankih elasticl1ih Ijuski." Л4аgi.\'/(u'.\.ki ra(/, GI'a{/e
villski foku/tet, Веок,.а(/, 1980.
39. Wood, я. п., 011(/ Schrefler, В., "Geometrically Nопliпеаt' AnaJysis а Corrclation of Fi-
nite Element Notations,.' 1111, J. j'or NlIlIl. N/etJl, ill Eпg., 12, No 4, 1978.
40. Zieпkiewicz, О.С. all'! Nayak, G.C., "А Gel1eral Approach to ProbJems of Plasticityand Large
Deformation using Isoparametric Elements." РО"С, Coпj. N/OIl'ix Metll, Struc, Mech. OJlio 1971.
41. Zerna, G. JV. оп{! Gree/l, А. Е., "Theoretical Elasticity." Oxfo,,/ UllilJersity Press, 1968.
42. Wood, R. п., 011(/ Sclll'efler, В., "Geometrically Non linear Analysis А Соrеlаtiоп of f:i
пitе Element Notation ." 1111. J, N/II11 , Metll. Ь"/1К., ]2, ""о 4, 1978.
11.
J. BatJle, К. J., "riпitе ЕlеПlепt J>rocetltll"cs in Еl1giпееriпg Af1tilysis." PI.el1ti'ce JJlIlI, lI1С., Ьilg/е
wood, C/ijfs, Ne v Jl1rsey, 1982.
2. Drucker, D. С., Н., J. Greellherg., {llи' Prager, J--V., "Extcl1ded Linlit Design TheoJ'em<; foc
Continuous Media," Q. Арр/, A4atll., Уоl 9, 1952.
3. Gvozdev, А. А., "Raschet nesushchei sposobnosti konstJ.tltlcii ро nlctodu predelnogo rаvпо
ve ia." Strojizdat Moskva, 1949.
4. Hellki, Н., "O'ber einige statisch bestimnlten Falle des Gleichgcwkhts in plastischen Kor
perl1," Z. AlIsew, MatJI. klecll., Vo/. 3, 1923.
5. Hi/l, R., "ТЬе Mathematical Theory of Plasticity," OJ.ford Ulli 'el'.')iIY P,.ess, 1950.
6. Hiпtoll, Е., а/и! O 'el1. D. R. J., "Finite ЕlеПlепts in PJasticity," Pille,.i{/ge Р,.е,\'.\" SeO/l.fea, и, К.,
1980.
7. Hodge, Р. G., "Plastic Analysis of Structures," McGra I Hi/l, Nеи' Y(JI.k, 1959.
8. HoffпlOIl, О., aпd SOCJ1S, G., "ll1troduction to the Theory of pJasticity for Епgiпсеrs." McGr(H '
Jlil/, 1953.
9. J/julin, А. А., "P)asti nost", /zd. Akad." Nauka SSSR, lvfoskva, 1963.
10. KacalllH', lJ. f., "O<;ftovj teorLJ plastj no ti," Nallka, Ma,\'k"(I, 1969,
11. A'oile/., Н', 1'.. "S(I'с,\ StJ'(.jп Rclatiolls. lJlliЧllСl1сr"s Шl<.f Val"iatiol1al Т'lСОП 111S ,'or I:::lasto-Pla-
-;tl 1at llal" \\'ith SiлgtJlаr" Yiclc.f Stll.fl\cc." QlIl.l. Appl, A/all,.. 1 J, /953.
12. J\ltll.('a/. р, J/., {lIиl A"ill f!, 1. ' .. ,.Elastic Plastic Апаlуsis 01' T\vo-Di111el1sional Stress Systen1s
IJY Fil1ite ЕIСl11спt Mcthod." 1111. J. Л/ееll.. Sci., 9, 1967.
1 J. Afa,.till, .1. В,. ,. Pla "t icity: Ftlndall1el1ta Is а nd Gеl1еl'З I Results:' Call1/>/'idge, л,fаJS.. М /Т P"e.\' ',
/ <)75.
1..... /\;/l/\SOIIlIf!I, ('. Е., (1I1l/ Л1., А. Sl/\Je., "Pla tic Al1aly is апd Dcsigl1 of PJates." SI,ell,\' (111(/ Di.\'ks,
JV(lI.,II l/ollall{l. Ап1,\1е, tlalll, 1972.
15. ЛJisе.\', я., "t\'1cchal1ik C.!CI' рlаstisсhсп FОlll1ап<.!еПlпg VОП Kristallen." Z., Al1ge} '., All1tll.,
ЛIf!СI1.. 1/01. х. /928.
)(). NaK/Il/i, Р. Лl.. "St I'C ,,-St rai 11 f{ela tiol1s il1 Plastici ty ап(! Тhсппоr1аstiсitу," el/s. Е. Н. [ее
{lIиl Р. SillIOlltl\'. Pe''1:allloll P,'ess, ()xJol"{l, 1960.
17. /V(/{{"i, А., "Plaslicity: N( . ' )"o,.k. ЛJсGr{/ '- Jlill. 193/.
I х. NlIJ'lIk, (j. С., (111(/ Zieпk iеи'iс:. (). С., "Convel1ient FJ.on1 of Slrcs Il1vat'ia J1ts t'or Plasticity."
JOIO.Il. о} 1/le SO'IIC1, f)i,', Рпи'. 0/ ASCE., Apl'i1 /971.
19. Nielsell, Аl, Р., .,Lin1il Analysi" an(1 Concl'etc Plasticity," Р1"еllti('{I -flаll. /IlС.. Еl1кlеи'()о(/
ClijJs. Ne',' }el'sey. /934
20. Р'.lIке,', If '., ,.An IntroductioJ1 to Plasticity," A{/{li,\'i()II IYesley, 1959.
21. PI'alll/ll I.J., "O[1 1. dic Hiirtc rlastischer KOJ'peJ'." NlIC!II.. Ge.f. Wij's., Goitillgel11, /920.
22. PIl;el'ii:, В.. ,.Elasto (')lasti na апаlizа dvodiJncnziol1all1ih probIen1a 111etodonl kona nih elel11e
l1аtз." lv/иgi.\llIl',\'ki I"{/{/. Grall(' 'iIlSki /akиltef. Bevg'.lu./, 1983.
:!3. PиjeJ';(\ В." VIlk.\'aJl()vi( , 1).. "Elastoplastic analysis оС the concentration оС stresses in welded
gusset using АDINЛ.. CtJ/lIplllers о/и' SII'uсtш'еs, Vol. 21, .N2 1/2, 1985.
.24. 5aill1 Vеl1ппl, В., "Memoire sur l'etabIissement dcs equations diffeTentjelles des mouvements,
interieurs operes dans tes corps solides ductiles an dela des limites оп I'elasticite pourrait les
ralnener а leur premier etat. н СО111рl. Relltl., 70, /870.
25. Sa fczlIk, А.. (111(1 Ryc/I/e,,',\'ki, J., ,.Оп Vield Surfaccs for Plastic Shells," Ап'/,. Мес/,. SI0,\'OW.
Vo/. 12, / 9(){).
26. Sok%J',\'k i, V. V... "Тепrijа plast icnost i,.' Goslek /,,':(/аl. M(Jskv{l Lellji"grad, 1950.
27. Tre,ftl'a,I/.. ..Sur l'eCOtllcn1cnt <.fcs corps soJids SОLн'пis а <.ie fortes pression." C0171pt. ROl1tl.
59, 1864.
2Х. t'lII1UI(/a, У., Yos/lil1l1lrll, N., (ии) Sak,,,'a;, Т.. "Plastic Stre s Strain Matri}{ and its Аррli-
cation f'or the Solut;on of Ela tic Pla tic Problems [)у Finite Element Method." 1111. J. МеС/l.
.\'ci.. Vol. IП. /<}68.
оrЛАВЛЕНИЕ
ПреДИCJIовие к русскому изданию.... ....... ....... ..... .... ...... ...... ....... ... ............. .............. .... ........ ......3
ПреДИCJIовие к 1
мy изданию.. ......... ..... ........ ....... ............... .... ..... .... ..... ...... .... ... ........... ... ... ...... 4
ПреДИCJIовие ко 2
мy изданию... ...... ..... .......... ...... ... ........ ....... ....... ..... ............... ............ ... .......1.5
Введение............. .......................................................................................... .............................6
1. РазВИТllе метода конечных элементов (МКЭ) ........................................................................6
2. Ocнou МКЭ............................................................................ ....... ........................................8
3. РaзJIИ'чные виды мк.э ..... ..... .... ... .... ........... ..... .... ................ ............... ....... .... ...... .... ........ ....... 9
4. Концепция aлroритма МКЭ ........... ............. ........ .... ...... ...... ........... ..... ....... ....... ..... ... ........ ... 1 О
лава 1. OclloBныe уравR
1IИJI JlIIII
ЙIIОЙ тeopllll ynрyrocти.......................................... 11
1.1. Матричная Ф<>рмулир<>вка основных уравнений................................................................11
1.2. Вариационная Ф<>рмулировка.... ..... .... ..... ....... ..... ............. ..... ....... .... ................ ............ ..... 19
1.3. Методы аnпр<>ксимации ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Jlaвa 2. ОБЩ811 1'е()рн МКэ................................................................................................... 41
2.1. Вариационная Ф<>рмулиР<>вка............. ..................... ........ ......... .... ......... ................ ... .........41
2.2. Прямой метод.................................................................................................................... 98
2.3. Метод резидуума ............................................................................................................. 112
2.4. О точности и конверreнции решения по МКЭ .............................................
.................. 119
лава 3. эJlемеllты и IIII'I'eРП()JIJIЦII()III1Ы
фунщllll.............................................................. 127
3.1. Элементы ........................................................................................................................ 127
3.2. Интерполяционные функции................................... ....... ... .'.. ................ ...... ............ ........ 130
3.3. Полиномы как интерполяционные функции.. ..... ..
.............. ...'........................................ 132
3.4. Естественная система координат.................................... ........ ............ .... ................ ......... 140
3.5. Интерполяционные функции некоторых элементов в системе естественных
координа т............... ......... ...... ....... ........... ......... ......................................................... ............. 153
3.6. Криволинейные конечные элементы.................................... ..... ... ......... .................. ........ 161
3.7. Численная интеrpaция .................................................................................................... 1 68
Jlaвa 4. Двумерllые проо.п
мы ............................................ ...... ........... ..... .... ...... .............. ... 172
4.1. Основные уt:»aвнении ....................................................................................................... 1 72
4.2. Метод де
рмации.......................................................................... ................................ 178
4.3. Метод сИJI.... ... .......... ...... .......... ........... ....... ........ ........ ............. .......... .... ..... ............ .... ..... 21 О
4.4. Примеры применения МКЭ в расчетах конструкций ...................................................... 224
Jlaвa 5. Tpexм
pIlы
проо.п
мы.... ........ ......... ........ ........ ... ........ ....... ..................... ....... ......... 240
5.1. Общие положения........................................................................................................... 240
5.2. Элементы ........................................................................................................................ 241
r Jlaвa 6. ро1'аци()IIн()-сlIмметричны
re.л:а ....... .............. ..... ...... ........ ....... ....... ....... ..... ........... 2S6
6.1. Основные уравнения....................................................................................................... 257
6.2. Элементы...................................................................................................................... .. 259
r Jlaвa 7. Изrиб IIJIИТ .............................................................................................................. 271
7.1. Общие положения........................................................................................................... 271
7.2. Основные уравнения........ .................................. ........ ......... .................................. .......... 272
7.3, Метод де<l><:>рмации.... ................................. ................. ... .... ....... .................... ....... ........... 279
7.4. Метод Сl-Ш и смешанный метод............ .............. ......... ............. ............... .........................320
7.5. О выооре элементов и точности решения........................................................................354
7.6. Теория lШит Рейсснера ............. ...... ............. .-.... ...... ....... ......... ...... ........... ......... ............. 356
7.7. Примеры применения в расчете конструкций..............:..................................................375
JI
. Jl[
III1Ь1
IC()II
IIII ............................................................................. 3
jr
8.1. Общие понятия ................................................ ...........................................................:.... 387
8.2. Основные уравнения линейной теории оболочки............................................................. 3
9
8.3. IIлоские конечные элементы .... ..... ..... ....... ....... ..... ... ........ .......... .......... .......... ....... ...........401
8.4. Конечные элементы цилиндрической оболочки ..............................................................408
8.5. Конечные элементы полоroй оболочки ..... .... ........ .... ... ..... ......... ........... ........... ................ 420
8.6. Конечные элементы оболочки как специальный случай трехмерных элементов............. 435
8.7. Ротационно
симметричные оболочки ..............................................................................449
Jlaвa 9. Динамиа конструк.ц.ий ........ ........ .... ...... ............ ... .... .... .... ....... ....... ..... ........... ..... ...486
9.1. Формулировка уравнений движения по МКЭ ................................................................. 4
6
9.2. Матрица масс элемента............................ ....................................................................... 490
9.3. Матрица демпфирования.. ................................................ .................................... ........... 495
9.4. Определение част()Т и ообственных колебаний к()Нструкций............................................ 500
9.5. Решение неоднородных дифференциальных уравнений движения................................. 521
10.1. Основные уравнения нелинейной теории .......................................................... ............ 539
10.2. Общак Ф<>рмулир<>вка по МКЭ ... ............. ... ......... ...... ....... ...... ........ ......... ... ........ ..... ...... 545
10.3. Анализ упруroй устойчивости .... ..... ......................... ......... ...... ....... ...... ........ ............ ..... 559
10.4. Методы решения нелинейных прООлем........... ........... .... ........ ...... .... ...................... ... ..... 561
10.5. ЛИllейные несущие элементы ...... ........ ...... ..... .... ............. .... ... ...... ... ............ ..... .............567
10.6. IIлиты ........ .... ... .... ..... ..... ..... ................... ... ............... ....... ........ ....... ............. ................. 580
10.7. ОООЛОЧICИ .......... ..... .............. ..... ... ........ ........... ...... ....... ............. ..... ............. .............. ..... 588
10.8. Инкрементальная Ф<>рмулировка основных уравнений МКэ........................................ 593
JI
11. Jl[pOOJI
M" IШ8CТIIЧROCТII... ..... ....,............. ..... ...... .... ......... ... ....... .........
. ................. 6O
11.1. Основы теории IIJIастичности ... ... .... ..... ................ ..... ....... ...... .... ..... .... ............. ........ .....609
11.2. У CJlовие текучести ............. ............................................................................................ 61 О
11.3. Связь между деформацией и напряжением в мастической области. Закон
мастической текучести... ................................................................... ............................ ....... 615
11.4. Упрочение материала............................... ................................... .................................. 616
11.5. Матричная формулировка основных уравнений теории ПJIaстичности .......................... 619
11.6. ПреООразование условий текучести... ...... .... .... ... .... ..... ....... ....... ......... .... ... .................... 621
11. jr. Синryлярные точки на поверхности текучести..............................................................625
11.8. Двумерные проблемы ................ ............ ...... ... ... ..... ..... ...... ..... ....... ... ... ... .......... ........ ..... 626
11.9. Основные уравнения МКЭ. Методы решения .................................................................628
11.10. Одномерные прООлемы ... ............ ...... ........ .......... ............ ..... ...... .................... ............... 637
11.11. Изrиб 11J18стиН...... .............. .... .... ...... ....... ...... ... ............... ...... ....... ................ ... ............. 644
Список литерату-ры. ........ .......... ...... .......... ...... ............... .... ..... ............... ................................ 651