/
Автор: Новиков С.П.
Теги: топология математика математический анализ теория множеств естественные науки
ISBN: 5-93972-212-1
Год: 2002
Текст
С. П. Новиков
тополоrия
Издание второе, исправленное и дополненное
Москва. Ижевск
2002
УДК 515.14
Интернет
мarазин
Оrлавление
http://shop.rcd.ru
. физика
. математика
. биолоrия
. техника
fЛАВА 1. Простейшие тополоrические свойства . . . . . . . . .. 7
fЛАВА 2. Тополоrические пространства. Расслоения. rомотопии . 18
g 1. Замечания из общей тополоrии. ТерМШlOлоrия . 18
g 2. fомотоnии. fомотопический тип . . . . . . . . . . . . . . . " 21
g 3. Накрывающая rомотоnия. Расслоения . . . . . . . . . . . . .. 23
9 4. fомотопические rpynпы и расслоения. Точные последова
тельности. Примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
fЛАВА 3. fомолоrии и коrомолоrии. Связь с теорией rомотопий.
Препятствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
g 1. Симплициальные комплексы . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
g 2. fомолоrии и коrомолоrии. Двойственность Пуанкаре . . . .. 52
g 3. Относительные roмолоrии. Точная последовательность па
ры. Аксиомы теории rомолоrий. Клеточные комплексы . . .. 62
g 4. Симплициальные комплексы и дрyrие виды rомолоrии. Син
ryлярные roмолоrии. покрытия и пучки. Точная последова
тельность пучков и rомолоrий . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
g 5. fомолоrии неодносвязных комплексов. Комплексы модулей.
Кручение Рейдемейстера. Простой rомотопический тип ... 75
g 6. Симплициальные и клеточные расслоения со структурной
rpуппой. Препятствия. Универсальные объекты
универ
сальные расслоения и универсальное свойство комплексов
Эйленберra
Маклейна. Коrомолоrические операции. Aлrе
бра Стинрода. Спектральная последовательность Адамса. .. 84
9 7. Классический аппарат теории rомотопий. Спектральная
последовательность Лере. fомолоrии расслоений. Метод
KapTaнa
eppa. Башня Постникова. Стабильные резольвен
ты Адамса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
g 8. Определение и свойства К
теорий. Спектральная последо
вательностъ Атьи
Хирцебруха. Операции Адамса. Аналоrи
изоморфизма Тома и теоремы Римана
Роха. Эллиптические
операторы и К
теория. fруппы преобразований. Четырех
мерные мноrообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Новиков с. п.
Тополоrия.
Москва
Ижевск: Институт компьютерных исследований,
2002,336 стр.
Книrа дает представление о «скелете» и ключевых идеях тополоrии. Б ней
охвачены в сжатом виде практически все разделы современной тополоrии, исклю
чая общую тополоrию. Особое внимание уделено rеометрическим идеям и наи6<r
лее важным aлrебраическим конструкциям. По сравнению с предыдущим изданием
(БИНИТИ, 1986 r.) кииrа существенно дополнена и доработана.
Предназначена для студентов и аспирантов, научных работников.
Р9Р И
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российскоrо фонда фундаментальных исследований
по проекту N!!01--...()2
30047
ISBN 5
9З972-212-1
@ с. П. Новиков, 2002
@ Институт компьютерных исследований, 2002
http://rcd.ru
6
ОrЛАВЛЕНИЕ
9. Бордизмы И кобордизмы как обобщенные rомолоrии и
коrомолоrии. Аналоrи коrомолоrических операций. CneK
тральная последовательность Адамса
Новикова. Формаль-
ные rpуппы. fладкие преобразования конечноro порядка . . . 128
fЛАВА 4. fладкие мноrообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 146
1. Основные понятия. fладкие расслоения. Связности. Xapaк
теристические классы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2. fомолоrии rnадких мноroобразий. Комплексные мноrообра
зия. Классическое вариационное исчисление в целом. Н
про
странства. Мноroзначные функции и функционалыI . . . . . . 169
93. fладкие мноrообразия и теория rомотопий. Оснащенные
мноroобразия. Бордизмы. Пространства Тома. Формулы Хир
цебруха. Оценки порядка rоМотопических rpупп сфер. При
мер Милнора. Целочисленные свойства кобордизмов . . . . . 207
4. Классификационные проблемы теории rnадких мноrообра
зий. Теория иммерсий. Мноrообразия roмотопическоrо типа
сферы. Взаимоотношения между rnадкими и Р L
мноrообра
зиями. Классы Понтряrина (целочисленные) . . . . . . . . . . 230
g 5. Фундаментальная rpуппа в аппарате тополоrии. Мноrообра
зия малых размерностей (n == 2; 3). Узлы. fраница открытых
мноrообразий. Тополоrическая инвариантность рациональ
ных классов Понтряrина. Классификационная теория Heoд
носвязных мноrообразий размерности
5. Высшие сиrна
туры. Эрмитова К
теория. fеометрическая тополоrия, KOH
струкции неrладких roмеоморфизмов. Пример Милнора. fи
потеза кольца. Тополоrические и Р L
cтpyктypbl . . . . . . . . 247
Заключительные замечания ...... . . . . . . . . . . . . . . . 276
ПРИЛОЖЕНИЕ. Тополоrия трехмерных мноrообразий и узлов (COBpe
менные достижения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
П.l. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
П.2. Полином Александера и полиномы типа Джонса ....... 279
П.3. Инварианты Васильева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
ПА. Тополоrические квантовые теории поля и новые инварианты
трехмерных мноrообразий . . . . . . . . . . . . . . . 294
Литература . . . . . . . 302
Именной указатель 324
Предметный указатель 331
I
t
I
t
r
I
t
rЛАВА 1
Простейшие тополоrические свойства
Тополоzuя изучает тополоrические свойства, тополоzuческuе иHвapи
анты математических объектов различной природы, в первую очередь
достаточно общих rеометрических фиryр. С точки зрения тополоrии, reo
метрическими фиryрами MOryT бытъ как общие мноrоrpанники рaзJIИЧJIОro
числа измерений «(комплексы»,, так и непрерывные или rnадкие поверхно
сти любоrо числа измерений, как в евклидовых пространствах, так и сами
по себе (<<МНО200бразuя»), ИНОIДа
подмножества более общей природы в
. евклидовых пространствах или мноroобразиях, а ИНОIДа
в функциональ
ных, бесконечномерных пространствах. Невозможно дать общее cтporoe
определение тополоrическоro свойства или тополоrическоro инварианта.
Интуитивно, однако, можно сказать, что тополоrическими свойствами Ha
зываются, как правило, те, которые в определенном смысле устойчивы, не
меняются при малых изменениях или деформациях (20мотопuяx) reoMeт
рических фиryр (или более общих rеометрических объектов) и не зависят
от способа их задания. В частности, для различных мноrоrpанников «(КOM
плексов») под изменением способа задания понимают нередко операцmo
измельчения или подразделения, rде каждая rpaНb любой размерности сама
разбита на мелкие частн и превращена в более сложный мноrorpанник, при
чем для разных rpаней это сделано соrласованным образом на их общих
rpаницах. Таким образом, весь мноrоrpанник превращается формально в
более сложный с большим числом rpаней всех размерностей. Тополоrиче
ские свойства, числовые или алrебраические тополоrические инварианты
должны быть общими для исходноro и измелъченноro (подразделенноrо)
комплекса.
1) Про с т е й ш и е при м еры. Напомним известную всем эле
ментарную «теорему Эйлера», хотя rоворят, что это утверждение было из
вестно и до Hero:
для пОЛНО20 выпУКЛО20 /vlНo2ozpaHHUKa в трехмерном евклидовом пpo
странстве R 3 сумма числа вершин U двумерных 2раней минус число ребер
равно двуJ1-f.
Это
тополоrическое свойство, не зависящее от подразделения BЫ
nyклоrо мноrоrpанника (комплекса) в R 3 .
8
rЛАВА 1
2) Друrое элементарное тополоrическое наблюдение, восходящее к Эй
леру, так называемая «задача о трех мостах и трех колодцах»: имеется
тройка точек плоскости R 2 (три «дома») аl, а2, аз и дрyrая тройка точек
(три «колодца») А 1 , А 2 , Аз. Оказывается, нельзя каждый «дом» aj соеди
нить несамопересекающимся путем «(мостом») с каждым «колодцем» A i
так, чтобы все мосты попарно не пересекались на плоскости. Разумеется,
в трехмерном пространстве Rз это можно сделать. Тополоrически можно
сказать так: рассмотрим одномерный комплекс (их называют <<I-рафами»),
состоящий из девяти ребер Xij, i,j == 1,2,3 и шести вершин (ai, Aj),
rде сранuца устроена так (обозначения rpаницы дХij), что дХij == ai U Aj,
i, j == 1, 2, 3. Значок U означает объединение.
Теорема Эйлера состоит в том, что этот одномерный комплекс (rpаф)
невозможно расположить на плоскости R 2 без самопересечений. это
также тополоrическое свойство данноro комплекса.
Приведенные здесь наблюдения Эйлера MOryт рассмarpиваться как oт
даленные прообразы идей комбинаторной тополоrии тополоrии комплек
сов и мноrоrpанников, построенной мноrо позднееПуанкаре. Следует иметь
в виду, что использование комбинаторики при определении и изучении TO
полоrических инвариантов rеометрических фиryp является лишь одной из
их интерпРетацИй, которая дала удобный и строrий метод их определе
ния на первом этапе развития тополоrии и, конечно, сама по себе может
быть полезна в некоторых приложениях. Те же самые тополоrические ин
варианты, однако, допускают и друryю интерпретaцmo в ряде случаев
например, с точки зрения дифференциальной rеометрии и математическоrо
анализа. В качестве примера, вернемся к выпуклыM мноrоrpанникам (при
мер 1 выше) и, несколько сrладив их вдоль ребер и во всех yrлах, перейдем
к общим rладким выпуклыM замкнутым поверхностям в R з rpаницам
выпуклых тел. Обозначим такую поверхность через м 2 . На поверхности
- .. ?
имеется [ауссова кривизна К (х) и элемент площади dcт( х), rде Х Е М
(точка). Имеет место следующая формула [аусса:
2 !! К(х) dcт(x) == 2.
М2
(1.0.1)
в дальнейшем будет ясно, что эта формула связана с тем же самым топо
лоrическим свойством, что и теорема Эйлера о выпуклых мноrоrpанниках.
Впрочем, теорему Эйлера можно непосредственно получить из формулы
[аусса (1.0.1), если перейти от rладкой поверхности к пределу, который
является мноrorpанником, и учесть связь интеrpальной rауссовой кривиз
НbI с телесным yrлом. Формула (1.0.1) распространяется и на невыпуклые
замкнутые поверхности «без дырою>.
ПРОСТЕЙШИЕ тополоrИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
9
i
i
i
t
'*
f
f
'
Третья интерпретация, как оказывается, тoro же caмoro еще не сфор
мулированноro общеro тополоrическоrо соотношения (распространенноrо
на невыпуклыIe фиrypы) содержится скрыто в нижеследующем наблюде
НИИ, которое, как roворят, принадлежит Максвеллу: рассмотрим остров,
береrа КOToporo круто (под ненулевым уrлом) уходят в море, на поверх
ности кoтoporo нет идеально плоских и прямолинейных участков. В этом
случае число вершин плюс число ям минус число перевалов равно 1. Со
свойствами замкнутых поверхностей в Rз это можно естественно связать,
формально продолжив поверхность острова под воду и замкнув ее под BO
дой как выпуклую всюду внизу (т. е. мысленно представив себе, что остров
«плавучий»). Torдa у полученноro «плавучеrо» острова ПОявится еще oд
на яма самая rлубокая точка. Мы придем к утверждению, что число ям
(локалънъlX «минимумов» высоты) плюс число вершин (локальных «макси
мумов высоты») минус число перевалов (<<седет> ) равно 2, как и в теореме
Эйлера или формуле [аусса для поверхностей без дырок.
А как быть, если мноrоrpанник, замкнутая поверхность в R з или пла
вучий остров образуют поверхность более сложную? Замкнутой поверхно
сти м 2 В Rз можно сопоставить число ее <<род» 9 О, иноrда име
ющее наивную интерпретацию «числа дырок». При этом верно соотноше
ине (формула fаусса Бонне)
,
j
в
f
J
i;
2 !! К(х) dcт(x) == 2 29.
М2
(1.0.2)
Точно так же видоизменяется формулировка теорем Эйлера И Максвелла:
число 2 заменяется на число 2 29. Начиная с Пуанкаре, стало ясно, что
здесь возникают общие соотношения для очень mиpокоrо класса rеометри
ческих фиryp любоrо числа измерений.
Несколько друrие тополоrические соотношения были открыты [ayc
сом для замкнутых несамопересекающихся кривых в R З . Общеизвестно,
что замкнутая непрерывная несамопересекающаяся (пусть rладкая, кусоч
но rладкая или даже кусочно линейная) кривая разделяет плоскость R 2 на
две части, так что из одной в дрyryю нельзя пройти непрерывным путем,
не затронув эту кривую. Идеально cтporoe лоrическое оформление этоro
очевидноrо нarлядноrо факта в рамках определенной системы аксиом reo
метрии и анализа носит название «теоремы Жордана» (хотя, конечно, это
на. самом деле в несколько упрощенной форме заложено в аксиоматике;
не заботясь о минимальности, можно этот очевидныIй принцип добавить
к системе аксиом). это относится и к любой полной, т. е. неоrpаниченно
продолженной, незамкнутой кривой в R 2, уходящей обоими концами в бес
конечность и не имеющей нетривиальнъlX пределъных точ-ек в конечной
10
rЛАВА 1
частн плоскости. Этот принцип имеет очевидное обобщение на n Mepныe
пространства: замкнутая rиnерповерхность в Rn разделяет пространство
на две части. Более тoro, локальная форма этоrо принципа лежит в основе
одноrо из общетополоrических определений размерности индукцией по n.
Имеется, однако, и дpyroe, менее очевидное обобщение этоrо принци
па, проявляющееся уже в трехмерном пространстве RЗ. Рассмотрим e
непрерывные или rладкие несамопересекающиеся rладкие кривые в R ,
которые попарно также не пересекаются:
'Y1(t) == (x 1 (t), x 2 (t), хЗ(t)),
'Т'2( т) == (х 1 (т), х 2 (т), х З (т)),
1'l(t + 211") == 1'l(t),
1'2(Т + 211") == "Yz(r).
Рассмотрим «синryлярный диск» D i , оrpаничивающий кривую 1'i, т. е.
непрерывное отображение двумерноro единичноro диска в R 3: х? ==
== xf(r, <,о), i == 1,2, а == 1,2, 3, rдe О т 1, О <,о 27r, так что
на rpанице это отображение дает кривую "Yi:
xf(r, 'P)lr==l == xf('P),
а == 1, 2, 3,
причем 'Р == t для i == 1 и <,о == r для i == 2.
Определение 1.0.1. Кривые 1'1 и 1'2 В R З называются нетривuалъ
НО зацепленными, если всякий синryлярный диск D 1 С rpаницей 1'1 имеет
общую точку с кривой 1'2 (или, наоборот, всякий синryлярный диск Dz с
rpаницей 1'2 имеет общую точку с 1'1). Рисунок 1 показывает простейшие
примеры.
о[} КJ d
Н"ац,пл,нны,. rVJ
кривые
Коэффициент
зацепления равен 1 Коэффициент
зацепления равен 4
Рис. 1
В n MepHOM пространстве R n MOryT зацепляться замкнутыIe поверхности
мноrообразияразмерностейри q, так что p+q == n l. В частности, замкну
тая кривая на плоскости R 2 может зацепляться с парой точек (<<нульмерной
поверхностью») это и есть принцип, что кривая разделяет плоскость.
ПРОСТЕЙШИЕ тополоrИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[ 1
[аусс ввел инвариант зацепления, состоящий из двух простых замкну
тых кривых 1'1, 1'2 В RЗ, а именно aлrебраическое число витков одной
кривой BOкpyr дрyroй. Формула, принадлежащая ему, такова:
N == {1'1, 1'2} == l ff ([ d1'l (t ), d1'2 ( r ) ], 1'1 1'2)
411" l1'l(t) 1'z(r) 13 '
"Yl "У2
(1.0.3)
I
I
11
rде [ , ] обозначает векторное произведение векторов в R 3 И ( , ) скаляр-
ное. Число N оказывается целым. Если одна из кривых является прямой
осью z в RЗ, адрyrая лежит в плоскостн (х, у), то формула (1.0.3) сведется
к числу оборотов плоской кривой BOкpyr начала координат.
любоnытнo отметить, что коэффициент зацепления (1.0.3) может бытъ
нулем, но кривые нетривиально зацеплены (см. рис. 2). Поэroму отличие
ero от нуля дает ЛИШЬ достаточное условие зацепленности кривых.
'J:..
(& 6 :tфо Ц: : : :П : ;:
V '-! виально зацеплены
;;.
:"/
-'/
"
!
!
1
Рис. 2
Элементарно тополоrические свойства путей и их rомотопий прони
зывют комплексный анализ с caMoro момента ero возникновения в XIX Be
ке. Безусловно, они являются одной из важнейших компонент, обеспечив
ших эффективность и успех теории функций комплексноrо переменноro во
всех приложениях. Комплексно аналитические функции f(z) определены
и однозначны зачастую лишь в части плоскости, т. е. в некоторой обла
сти И с R 2, не содержащей полюсов, ветвлений и т. д. Интеrрал Коши по
замкнутому контуру l' С И является тополоrической величиной как функ
ция' контура:
/j(1') == f f(z) dz. (1.0.4)
"У
это означает, что интеrpал не меняется при непрерывной rомотопии (дефор
мации) кривой l' внутри области И, т. е. при деформации, не задевающей
особенностей функции. Именно эта свобода возможность деформации
замкнутоro контура, не меняя интеrpала, дает rpомадные возможности в
различных применениях.
12
rЛАВА 1
Более сложные тополоrические явления возникли в XIX веке по
существу начиная с Абеля и Римана при изучении мноrозначных функ
ций кo eKcHoro переменноrо 1(z), задаваемых либо неявно уравнени
ем F(z, w) == О, W == j(z), (1.0.5)
либо аналитическим продолжением на всю плоскость функции, кoтo
рая была по своему первоначальному смыслу о еделе а, аналитична
и однозначна в какой то части плоскости. Первыи случаи особенно яр
ко возник как стало ясно после Римана и Пуанкаре, в процессе pe
шения А лем широко известной проблемы неразрешимости aлrебраиче
ских уравнений в радикалах, rде F(z, w) полином от двух перемен
ных F(z, w) == w n + a1(Z)wn 1 + . . . + an(z) == О. (1.0.6)
Существует, вообще rоворя, набор изолированных точек ветвления плос=
кости (Zl, . .., zm), вне которых полином имеет ровно n различных кop
( ) Z .../.. Z (k 1 т) О бласть и здесь пр едставляет собои
неи Wj z, т k , . . . , .
плоскость R 2 С удаленными из нее точками ветвления
И == R 2 \ (Zl U ... Uz m ).
В общем случае разделить ветви оказывается невозможным. Bы
брав точку Zo, не являющуюся точкой ветвления, и набор n KO
ней W1(ZO), . . ., Wn(zo), мы определяем около Zo ровно n различных ф!,нк
ций Wj(z), F(z,Wj(z)) == О. Однако продолжая любук: из этих функции Wj
дальше мы встретимся с трудностью Taкoro рода: обоидя вдоль пути KaKoe
то кo ecтвo точек ветвления и вернувшись назад в точку zo, мы MO
жем получить нетривиальную <<монодромuю», т. е. прийти к дрyrому значе
нmo
Ws(zo) :1 Wj(zo), s:l j.
Более cтporo, следует рассмотреть всевозможные кривые ')'(t) в обла
сти И == R 2 \ (О Zj) такие, что ')'(а) == ')'(Ь) == zo, а t Ь. Каждая
j l
такая кривая определяет перестановку ветвей функции w(z): если начать
с ветви W -(zo) и пройти по ней вдоль контура ')'(t) от а до Ь, то мы при
дем к ве и Ws(Zo) при t == Ь. Итак, каждому такому пути ')'(t) отвечает
перестановка С[7 листов j ........ s над zo:
')' ........ (7,,'1>
(77 (j) == в.
Обратному пути ')' 1 (т. е. пути ')', rде. время течет обратно o Ь до а) отвечает
обратная перестановка (7 1: s ........ J. Суперпозиции путеи ')'1 (от а до Ь)
I
f
i
t
$
t
i
i
,"
1,
i
1
!
ПРОСТЕЙШИЕ тополоrИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
13
и ')'2 (от Ь до с), т. е. прохожденmo ')'2 после ')'1 отвечает суперпозиция или
произведение перестановок: если ')'2 о ')'1 суперпозиция путей, то
(77 1 == ((77) 1.
(772071 == (7"(2 О (7"(1 ,
(1.0.7)
в общем невырожденном случае вся rpуппа перестановок из n элемен
тов порождается перестановками вида (7"(. Этот факт и является скрытой
причиной неразрешимости в радикалах исходноro aлrебраическоrо ypaBHe
ния F(z, w) == О при n 5. Чтобы понять это, достаточно заметить, что
базисный путь ')'j, j == 1, . .., т, который начинается в zo, обходит един
ственную точку Zj и возвращается в Zo по тому же участку пути (рис. 3), co
ответствует в типичной ситуации максимально невырожденных точек Beтв
ления перестановке двух листов (т. е. (7"( просто транспозиция двух ин
дексов). Утверждение теперь следует из тoro, что транспозиции порождают
все перестановки.
УЗ
Рис. 3
Можно заметить, что перестановка (77 не меняется, если путь ')' под
верrается непрерывной rомотопии такой, что концы все время находятся
в точке zo. Здесь все аналоrично свойствам интеrpала Коши (см. (1.0.4)
выше), но aлrебраически более сложно: перестановка (7"( зависит от пути
некоммутативно, в отличие от интеrpала Коши:
(7"(10"(2 == (7"(1 0(7"(2 :1 (7"(20"(11
11(')'1 0')'2) == 11(')'1) + 11(')'2). (1.0.8)
Анализ этоro естественно приводит к rpynпе, элементами которой являются
20мотопuческuе классы непрерывных путей ')'(t), начинающихся И конча
ющихся в одной точке Zo Е И для любой области, любоrо мноrообразия,
комплекса или даже топОЛО2UчеСКО20 пространства И. Эта rpуппа называ
ется фундаментальной 2руппой И (с отмеченной точкой zo) и обозначается
14
[ЛАВА 1
через п1 (И, zo). PuмaHoвa поверхность F (z, w) == о ПОрОЖдает rOMoMop
фИЗМ монодромию этой rpуппы в rpуппу перестановок «листов», т. е.
ветвей функции w(z) в точке z == zo. Здесь И это область плоскости R2:
0": 7rl(И, zo) 8n,
(1.0.9)
8n rpуппа перестановок ИЗ n символов.
для трансцендентных функций F уравнение F(z, w) == О может зада
вать мноrозначные функции w(z) с бесконечным числом листов (n == (0).
Простейший пример таков:
F(z, w) == e W z == О,
И == R 2 \ О, w == ln z.
Листы нумеруются целыми числами. Если Zo == 1, то wk == ln Zo == 27rik,
k целое число. Путь ')'(t) такой путь, что 1')'1 == 1, ')'(0) == ')'(2п) == 1, и
путь ')' обходит по часовой стрелке точку z == О только один раз. Torдa путь
')' дает монодромию ')' 0"..." O"-y(k) == k 1.
Интересным и важным примером применения существенно неабеле
вых свойств фундаментальной rpуппы п1 (И, zo) для областей И С R З
является теория так называемых «У3ll0в», т. е. простых замкнутых, пусть
rладких (кусочно rладких или даже кусочно линейных), кривых ')'(t) С R З ,
')'(t+ 2п) == ')'(t), или, более общо, уже упоминавшихся выше «зацеплении»,
т. е. наборов ')'1, . . . , ')'k С R з замкнутых, несамопересекающихся, попарно
непересекающихся кривых. При k > 1 имеется матрица зацеплений (1.0.3)
{')'i, I'j}, i f j, однако она не определяет всех тополоrических инвариантов
зацепления. В случае же k == 1, т. е. узла, Taкoro коэффициента нет. Пусть
далее k == 1 и И область в RЗ, полученная удалением узла')' из R З :
И==R З \')'.
(1.0.10)
7
Фундаментальная rруппа 7r1(И, zo), rдe Zo некоторая точка И, оказывает
ся абелевой Torдa и только тоrда, коrда rладкой roмотопией среди узлов (т. е.
так называемой изотопиеи) данный узел можно продеформировать к триви
альному незацепленному вложению l' == 81 С R2 С R З , rде окружность 81
лежит в плоскости, например, (х, у) (см. 95, rл. 4). Из элементарной теории
узлов известно, что фактор rруппа (абелианизация rpуппы п1)
Н 1 (И) == п1/[п1, п1],
rде J7r 1 ' 7rz] коммутант rpуппы п1, для областей И дополнений узла
в R всеrда оказывается бесконечной циклической, независимо от топо
ПРОСТЕЙШИЕ тополоrИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
15
а)
б)
в)
C:J
Незаузленная кривая
Простейший узел
(<<трилистник» )
«Восьмерка»
Рис. 4
".\
{,\
лоrическоrо типа узла ')'. Более общо для за ц еплений { "" -V }
Н (И) , ,1, ..., ,k rpуп
па 1 является прямой суммой k бесконечных циклических rpупп. Для
всех пространств И rp ппа п1/[п1, п1] называется «одномернои 2руппои цe
лочuслен ых 2ОМОЛО2Uи» и обозначается через Н1(И) или Н 1 (И, Z). Запись
rpупповои операции в Н 1 Bcerдa аддитивна.
:iL
Ф.
.
t
"ц
,
;, '
1,\
ij
'.'.:
r
Рис. 5
Для плоских областей И с R2, В связи С теорией интеrpалов типа
Коши, мы уже видели (выше), что интеrpал Коши от функции J(z), oд
16
rЛАВА 1
нозначной и аналитичнОЙ в области И (без полюсов!) вдоль замкнутых
контуров "1 в ЭТОЙ области
1f("I) == f f(z) dz,
'у
определяет комnлекснозначную линейную форму на одномерной rpуппе
roмолоrии H1(U, Z) с комплексными значениями соrласно (1.0.7).
Пожалуй, будет уместно в заключение этоrо обзора элементарно то
полоrических наблюдений привести еще один более современный пример,
появившийся, по видимому, впервые в 1930 x rодах из теории так называе
МbIX CUНZYЛЯрНЫХ интеzрШlЬНЫХ уравнений на окружности или отрезке, воз
никших в ряде важных краевых задач двумерной теории упрyrости (Нётер,
Н. И. Мусхелишвили). Позднее это наблюдение приобрело весьма широкое
значение и сыrpало большую роль в развитии теории эллиптических ли
нейных дифференциальных и псевдодифференциШlЬНЫХ операторов. Пусть
имеется два rильбертовых пространства Н 1 , Hz и нётеров, по современной
терминолоrии фредzольмов. оператор А: Н 1 Н2, т. е. замкнутыIй orpa
ниченный линейный оператор с конечномерным ядром A(h) == О, h Е KerA
(не путать с понятием ядра интеrpальноrо оператора!) и конечномерным
«коядром», т. е. ядром сопряженноrо оператора А*: Н 2 H 1 , А* (h*) == О,
h* Е KerA*. В классе нётеровых операторов А rомотопическим инвариан
том оказывается «индекс» i(A), rде
i(A) == dim(Ker А) dim(Ker А*),
т. е. разность чисел линейно независимыx решений уравнений A(h) == О
и A*(h*) == О. Это означает, что ШIДекс i(A) не меняется при непрерывной
деформации оператора А в классе нётеровых операторов, хотя отдельно
размерности каждоro из двух слаrаемых MOryт меняться.
В простейшем случае несинryлярныХ ядер К(х, у) интеrpалъных опе
раторов К с начала хх века была известна альтернатива Фредrольма, озна
чающая на языке функциональноro анализа, что i(A) == О для операто
ров А вида А == 1 + К, rдe К так называемый компактный оператор,
т. е. К(Л1) компактное множество в Н 2 для всякоrо оrpаниченноrо множе
CTBa!vJ в H 1 , оператор i дает отождествление (изоморфизм) пространств Hl
и Н 2. Кстати, добавление KoмnaктHoro оператора к любому нётерову опе
ратору А сохраняет свойство нётеровости, так что простейшая деформация
в классе нётеровых операторов имеет вид At == Ао + tK (rде Ао == i в
классическом случае Фредrольма).
для синryлярныx интеrpальных операторов возникает уже нетриви
альная тополоrическая характеристика оператора ero ШIДекс; явному BЫ
числению ШIДекса через ядро оператора посвящены классические работы
ПРОСТЕЙШИЕ тополоrИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
.
!
i
i
i
N
!
I
;;
;
l
,)
17
1920 30 x и.; чрезвычайно далеко ид у щее об общение
б этои теории на MHO
roMepHbIe MHoroo разия заве р шившееся Te opeMO А:. З
, и тьи инrера сыrpлоo
исключительно важную роль в тополоrии и ее приложениях. '
Этот пример показывает возникновение тополоrических характеристик
не только для rео етрических фиryp в наивном смысле, но и для объектов
совершенно дрyroи математической природы.
2 Тополоrия
rЛАВА 2
Тополоrические пространства.
Расслоения.rомотопии
1. Замечания из общей тополоrии. Терминолоrия
Хотя тополоrические свойства иноrда и скрываются под комбинаторно
aлrебраической маской, они все же орrанически связаны с непрерывностью.
Общематематическое определение непрерывных отображений и функций
почти ничеrо не требует. Соrласно Фреше для этоrо нужно лишь задать
на nроизвольном множестве точек Х так называемую «топОЛО2ию» или
структуру топОЛО2uчеСКО20 пространства. это означает, что среди всевоз
можных подмножеств в Х должно быть выделено семейство «открытых
множеств» И СХ или областей, включающее само Х и пустое множество и
замкнутое относительно двух операций: конечноrо пересеqения и объедине
ния любоrо (даже бесконечноrо) qисла областей. Дополнения к открытым
областям Х \ и называются «замкнуты.ми JlтО.жествами». Замыкание лю
боrо множества V СХ обозначается qерез V и совпадает с минимальным
замкнутым множеством V =:> V, содержащим V. НеnрерывньL'l1 отображе
ниеи тополоrических пространств f: Х ------t У называется такое отображение,
qTO полный прообраз f l(И) любоrо открьпоrо множества ИсУ является
открытыIM в Х. Полный прообраз любоrо множества f l(D) это COBO
купность всех точек хЕХ таких, что образ f(x) попадает в D. КО.нпактное
пространство таково, что если рассмотреть ero nокрытие бесконечным
числом областей U а , U U а == Х, ТО можно всеrда выделить некоторое KO
а
нечное число индексов Ct.j, j == 1, .., , N таких, что совместно уже набор
областей И аj покрывает все Х; заметим, qтo любая последовательность
точек Xi в Х имеет предельную точку хоо в Х, т. е. такую точку, что в лю
бой открьпой области ИЭх оо , содержащей точку Хсх:" имеется бесконечное
число точек нашей последовательности.
Хаусдорфово тОnОЛО2uческое пространство таково, что любые две
точки хl, Х2 содержатся в некоторых непересекающихся oткpытых обла
стях. Тополоrическое пространство Х называется )wетрuческuм, если для
g 1. ЗАМЕЧАНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ тополоrии. ТЕрминолоrия
19
ж
т
11
(l
!
любой пары точек определено расстояние Р(Хl, Х2), непрерывное по хl, Х2
И такое, что Р(Хl, Х2) > О, если хl =1- Х2,
р(х, х) == О, Р(Хl, Х2) == Р(Х2, хl),
Р(Хl, Х2) + Р(Х2, хз) Р(Хl, хз).
Метрические пространства всеrда хаусдорфовы. В линейно связных пpo
странствах любые две пары точек хl, Х2 можно соединить непрерывным
путем, т. е. отображением Отрезка 1 ------t Х. Любое пространство разбивается
на линейно связные компонентыI. Совокупность этих компонент обозна
чается через 7ra(X) и называется «нульмерны.м анаЛО20М 20мотопическux
zpynn», хотя, вообще rоворя, множество 7ra(X) rpуппой не является, ис
ключая особые важные случаи (ниже).
Пара тополоrических пространств Х, У порождает их «прямое проuз
ведение» Х х у, Т.е. множество пар точек (хl, Х2), rдe хl из Х И Х2 ИЗ у,
И базис открытых областей порождается прямыми произведениями обла
стей сомножителей И С Х, V сУ, И х V с Х х У, учитывя операции
конечноrо пересечения и произвольноrо объединения.
Кроме Toro, строится пространство всех непрерывных отобра.же
ний f: Х ------t У, обозначаемое через уХ, rде задается так называемая
«ко-мпактно открытая» топОЛО2UЯ. это означает, что базис открьпых об
ластей в уХ == Z задается парами открытым множеством V С У и
замкнутым (даже компактным) К С Х. Эта открытая область в простран
стве отображений состоит из всех непрерывных отображений f, заrоняю
щих К в V, т. е. f(K) с V. Если само пространство Х компактно, а У
имеет метрику р, то расстояние р между функциями f, g: Х ------t У задается
так:
.
i
.
:
"f
1
il
,j,
p(f,g) == maxp(J(x),g(x)).
Х
Имеется еще одна простая, но важная операция над парой тополоrических
пространств Х и У их «букеm» Х V У. Букет определяется, cтporo ro
БОРЯ, для тополоrических npостранств с отмеченными точками ха Е Х,
Уа Е у как результат отождествлений ха Уа в формальном несвязном
объединении
Х V у == х u у/ха Уа,
ха Е Х, Уа Е У.
Более общо, можно рассмотреть любое замкнутое подмножество А с Х
и непрерывное отображение f; А ------t У. Возникает аналоr букета после
отождествления
(2.1.1)
Х v (А, ЛУ == Х u У/х f(x),
х Е А, f (х) Е У.
2.
20
rЛАВА 2
Букет Sl V
Рис. 6
Важным случаем является также <<цилиндр отображенuя» С j, rдe f: Z У.
Рассмотрим про изведение Z на отрезок 1 (от а до Ь) и введем отождествле
ние
С! == Z х 1 U У/(х, Ь) f(x).
(2.1.2)
Здесь А == Z х (Ь), Х == Z х 1. Структура тополоrическоro простран
ства вводится естественным образом (подмножество из С j открыто тorдa и
только Torдa, Korдa oткpытъI ero прообразы при естественных отображени
ях Z х 1 С! и У ------t Cj). . .
На любом подмножестве А с Х в тополоrическом пространстве Х
возникает индуцированная топОЛО2UЯ, rдe открытыми областями являются
просто пересечения с А любых открытых областей из Х. Сходящиеся по-
следовательности точек xi в тополоrическом пространстве Х таковы, что
они имеют предел точку хоо Е Х с таким свойством: любая содержа
щая ее открытая область хоо Е И С Х должна поrлощать почти все точки
последовательности точек xi хоо; «почти все» означает «все, кроме KO
нечноrо числа точею>. Тополоrию можно задавать как класс сходящихся
последовательностей.
rомеОJlЮрфUз.м тополоrических пространств это, по определению,
непрерывное взаимно однозначное отображение f: Х У такое, что
обратное отображение f 1: У ------t Х также непрерывно. Непрерывность
обратноro отображения автоматически следует из предыдущих требований
только для компактных пространств Х. На различных семействах rлад
ких функций естественно возникают разные виды сходимости с учетом
разноrо числа производных, так что взаимно однозначные отображения
с не непрерывным обратным реальность. Нередко рассматривают ал
rебраические структуры вместе с тополоrическими: непрерывные (тoпo
ЛО2ическuе) 2руппы, векторные пространства, кольца, поля и т. д. таковы,
что aлrебраические операции задаются соrласованно со структурой топо
з2. rомотопии. rОМОТОПИЧЕСКИЙ тип
21
i
t
t
к
i
лоrическоrо пространства, т. е. непрерывными функциями (отображения
ми).
С чисто лоrической точки зрения представляется крайне естественной
комбинация понятия тополоrическоrо пространства со свойством локаль
ной евклидовости, хотя все естественные примеры дополнительно имеют
r.ладкую (или PL) структуру.
Определение. Тополоzuческuм МНО200брaзuем называется (хаусдорфо
во) тополоrическое пространство Х такое, что для любой ero точки х Е Х
найдется содержащая ее область (открытое множество) И а С Х, KOTO
рая непрерывно rомеоморфна области в n MepHOM евклидовом простран
стве R n .
это означает, что задан непрерывный roмеоморфизм СРа: U а ------t Rn,
определяющий в области U а локальные координаты (x ,..., x ), за
имствованные из Rn с помощью rомеоморфизма 'Ра' В общей обла
сти х Е U а n UfЗ имеется замена локальных координат, учитывающая, что
одна точка х имеет два набора координат:
(x (x), .. ., x (x»
х /''''0
'-.,."'fJ
(х1(х), . . ., хЭ(х»
j f j ( 1 N )
ха а ХfЗ' . .., ХfЗ '
x == g (x;, . .., x ), f о 9 == 1.
(2.1.3)
;;
{;
'1
2. rомотопии. rомотопический тип
Непрерывной 20мотопuей (или просто rомотопией, деформацией) отоб
ражения f: Х ------t У называется любое непрерывное отображение цилиндра
F == F(x, t): Х х 1 ------t У, х Е Х, а :::; t :::; Ь,
rдe 1 отрезок от а до Ь, причем
:l.
'1>
"
'J,
.
\.1
:
F(x, а) == ЛХ).
i!
;1.
Два отображения f, g: Х ------t У rомотопны, если найдется непрерывная
roмотопия F такая, что
F(x, а) == ЛХ),
F(x, Ь) == g(x).
!,
ii.
!
22
rЛАВА 2
Часто в пространствах Х и У отмечают одну точку ха Е Х, Уа Е
У и рассматривают класс связанных или «пунктированных» отображе
ний f: Х ------t У, rде f(xa) == Уа. fомотопия также рассматривается лишь
с учетом этоro требования F(xa, t) == Уа для всех t. fомотопные отображе
ния в этом классе называются «связанно rомотопными».
Вообще rоворя, классы эквивалентности rомотопных отображе
ний f: Х "'"'"'"* у представляют собой линейно связные компоненты про
странства отображений, образующие множество 7!'а(У Х ). эти классы экви
валентности называются <<2омотопuческuмu классами» отображений (свя
занных или нет).
Нередко рассматривают пары пространств Х ::) А, У ::) В и всевоз
можные отображения f: Х ------t У, rдe f(A) с В. Возникает пространство
отображений пар
f: (Х, А) ------t (У, В)
и ero линейно связные компонентыI rомотопические классы отображений
пар. Полезно для ряда важных целей (ниже) рассматривать также кaTero
рию троек (Х ::) А ЭХа), rде ха одна точка, соответствующий класс
отображений f: Х У, rде f(A) с В, f(xa) == Уа и их rомотопические
классы (связанные отображения пар (Х, А).
Определение. Непрерывное отображение f: Х ------t У называется
20мотопической эквuвШlентностью, если найдется roмотопически-обрат-
ное отображение g: Х ------t У такое, что обе суперпозиции 9 о f: Х ------t Х
И f о g: У "'"'"'"* У rомотопны тождественным отображениям
lx:X------tХ,
lх(х) х,
lу: у ------t у,
lу(у) == У.
При этом пространства Х и У называются rомотопически эквивалент
ныIии (связанно rомотопически эквивалентными) Х "" у или пространства
ми общеrо 20мотопuчеСКО20 типа.
для пространств с отмеченными точками ха Е Х и Уа Е у понятие
rомотопической эквивалентности обобщается очевидным образом.
Пусть заданыI дополнительно следующие оrpаничения: Х вложено в У;
отображение f тождественно на Х, т. е. является вложением; отображе
ние g: У ------t Х также тождественно на точках из Х; весь процесс rOMoTo
пии F отображения g: У ------t Х К тождественному отображению 1 у : У ------t У
таков, что F(x, t) == 1 для всех точек х Е Х.
В этом случае подпространство Х С у называется «дефОРJl-tOционным
ретрактом». Например, любая открытая область У == И с Rn с rладкой
rpаницей в евклидовом пространстве обладает деформационным ретрактом
3 3. НАКРЫВАЮЩАЯ rомотопия. РАССЛОЕНИЯ
23
I
I
1
S
меньшей размерности. Если У == Rn, то деформационным ретрактом в
нем является одна точка. Такие пространства называют Сmя.2Uваемыми или
rомотопически тривиальными: У "" О.
Ретракцией f: Х ------t У пространства Х на подпространство У с Х
называется такое отображение, что f == lу на У. Само У называется pe
трактом в Х.
3. Накрывающая rомотопия. Расслоения
\'{
):.,
,f1
j
Рассмотрим непрерьmное отображение р: Х ------t У и произвольное
01Ображение f: Z ------t У. fоворят, что отображение f накрыто, если за
дано также отображение g: Z ------t Х такое, что р . 9 == f.
Пусть задана произвольная rомотопия F: Z х 1 ------t У, rде 1 отрезок
от а до Ь, и пусть в начальный момент t == а отображение f == F(z, а)
накрыто любым отображением g: Z ------t Х.
Определение. Отображение f: Х ------t У называется расслоение..." если
для любоrо пространства Z любая rомотопия F, накрытая в начальный
момент t == а, накрывается во все моменты времени а ::;;; t ::;;; Ь некоторой
rомотопией с: Z х 1 ------t Х, так что р' G(z, t) == F(z, t), G(z, а) == g(z).
rомотопия G назывется'. «накрывающей 20)",отоnией над F с начальным
условием g».
По причинам техническоrо характера требование, входящее в это опре
деление, обычно ослабляют, налаrая на пространство Z те или иные условия
(например, условие клеточности, см. rл. 3). Существенноrо воздействия на
. содержание понятия расслоения. это изменение определения не оказывает.
Обычно Требуется также условие стационарности: надо, чтобы Haкpы
вающая rомотопия G была «стационарной вместе с Р». Это означает, что
если какая то точка z Е Z не меняется вместе с изменением t на некотором
отрезке, то это же должно быть выполнено для G(z, t).
Во всех важнейших случаях построение накрывающей roМ01ОПИИ MO
жет быть осуществлено при помоши так называемой 20мотопuческой связ
ности. Это однозначный рецепт накрывать произволъную rомотопию
отображений точки za == Z (т. е. путей в У), если произвольно отмечено
начало Ха накрывающеrо пути при t == а в Х. Этот рецепт должен непре
рывно зависеть от пути в У и начальной точки накрывающеrо пути в Х.
Непрерывность по этим переменныM и обеспечивает распространение на
любые в разумном смысле пространства Z свойства накрывающей rOMoTo
пии.
для расслоения р: Х ------t У отображение р называется nроекцией,
Х тотальным пространствOJI-t, У базой, а каждое пространство
24
rЛАВЛ 2
Py==p 1(y), У Е У слоем расслоения. Положим Z == Ру, 9 == lz,
f: Z "'"'"'"* у отображение в одну точку, "{(t) путь из точки У == Уа в
любую точку Уl. Используя накрывающую rомотопию (в форме rOMoTo
пической связности, как мы всеrда будем предполarать), немедленно ycтa
навливается важный факт: все слои Ру над линейно связной компонентой
базы расслоения пространства У roмотопически эквивалентны дpyr
дрyry.
Далее база У всеrда будет считаться линейно связной.
Простейшие примеры:
1. Н а к рыт и я. Отображение р: Х "'"'"'"* У называется накрытием, а
пространство Х накрывающей пространства У, если оно является pac
слоением с дискретным слоем Р, т. е. F пространство, все подмножества
Koтoporo oTкpытъI (так что все ero точки, которых может бытъ бесконечно
мноrо, изолированы дpyr от дpyra) и любая точка У Е У обладает oкpecт
ностью и, У Е U С У, полный прообраз которой roмеоморфен прямому
произведению U х Р, rдe F == U{Xa}:
а
р 1(и) == UU a U Х Р,
а
rдe каждое U ol с Х rомеоморфная копия и.
Множества U ol открытые в Х, не пересекаются попарно; на каждом из
них отображение р является roмеоморфизмом с областью и. Существование
rомотопической связности для накрытий леrко устанавливается.
Конкретные примеры накрытий над областями плоскости R 2 обсу
ждались в т. 1 в связи с римановыми поверхностями. fомотопическая
связность в этих примерах строится очевидным образом. Друrие примеры
по казаны на рисунках 7,8. -.
2. Р а с с л о е н и е С ер р а. для любой пары пространств ВсУ сле
дует рассмотреть пространство Х, состоящее из всех путей "{(t), начинаю
щихся в В и кончающихся rдe yrодно вУ,
"{(а) Е В, "{(Ь) Е У, "{ Е Х.
Отображение р: Х "'"'"'"* у таково, что
р("{) == "{(Ь).
Пусть дано движение точки у( т) по базе У с началом в конце избран
Horo пути у(Ь) == "{о(Ь). Приставляя пройденный точкой у(т) отрезок пути к
начальному "{О, получим тривиальную rомотопическую связность рецепт
накрывать в пространстве Х движение точки базы у(т) (рис. 9).
3 3. НАкрыВАЮЩАЯ rомотопия. РАССЛОЕНИЯ
М=
I
i
l
i
iJ-
Jt
N= с=::с=)
а) N=SIVS I
ь !! d
cx::JN
Рис. 8
Рис. 7
25
М=
\
Р
N=
6) N=S' VS 2
М
М бесконечное дерево
из «крестов», не имеющее
циклов (и поэтому стяrива
емое). Из каждой вершины
«креста» выходит ровно
четыре ребра.
26
. rЛАВА 2
,"--"' "' """""'..........
,/ У] ( ,) "'" Уо
, .........
y,(t')
t=2
..............................
,
то
0<,<1
t=1
l t 2
у t)
У!
Рис. 9
в этом примере пространство расслоения Х содержит подмноже
ство В с Х, состоящее из одноточечных путей ,(t) == const. Леrкo ви
деть, что В является в Х деформационным ретрактом. Особо важен при
мер, Korдa В есть одна точка (Уо). Пространство Х обозначается в этом
случае через Еуо. Оно стяrиваемо. Слои Ру над у Е У обозначаются че
рез П(Уо, У). для всех У они rомотопически эквивалентны дpyr дрyry, ес,
ЛИ у линейно связное пространство. Если У == уо, мы имеем пространство
петель П(Уо, уо) == п.
3. Несколько более сложно обосновывается свойство накрывающей [o
мотопии для ЛОКШlьн тривuШlЬНЫХ расслоений общих расслоений, rде
все слои rомеоморфны. Здесь требуется, по аналоrии с накрытиями, что
бы любая точка базы У Е У содержалась в некоторой области И о. такой,
что область р I(Иа) В пространстве Х rомеоморфна прямому произведе
нию И а Х F с помощью rомеоморфизма 'Ро., соrласованноrо с проекци
ей 'Ро.: р l(ио.) ------t Ио. Х F. Слой F уже недискретен. В пересечения двух
таких областей Ио. n И/3 == Vo./3 имеется два rомеоморфизма
. 1' .. .
'Ро.: Р (Vo./3) ------t Vo./3 х Р,
'Р/3: p I(Vo./3) ------t Vo./3 х Р.
Отображение ),а/3 == 'Ро. о 'Р/31: Vo./3 х F ------t Vo./3 х F является послойным,
тождественным по базе Vo./3 и поэтому имеет ВИД
),o./3(w, J) == (w, :\o./3(w)(1)),
rде л 0./3 ("'"' ): F F является rомеоморфизмом слоя, непрерывно зависящим
от "'-'. В области W == U 1 n И 2 n ИЗ мы имеем
),12 о ),2З о ),Зl == 1.
(2.3.1)
Отображения ),ij называются «функциями склейки». Если для кaKoro To по
крытия пространства У областями Ио. известен набор функций склейки ),0./3,
,
I
3 4. rОМОТОПИЧЕСКИЕ rPУППЫ И РАССЛОЕНИЯ
27
обладающий свойством (2.1.1), то расслоение восстанавливается однознач
но. Конечно, требуется, чтобы области Ио. были допустимы, т. е. над каждой
ИЗ них расслоение сводилось к прямому произведению
'Ри а : р l(ио.) Ио. Х F.
Понятие локалъно тривиалъноrо расслоения или общеrо расслоения,
описанное здесь, является фундаментальным в теории мноrообразий, диф
ференциальной тополоrии и rеометрии и всех их приложениях. Далее оно
будет мноroкратно встречаться. fомотопические связности в важнейших
примерах будут порождаться так называемыми диффереНЦUШlЪНО 2еомет
рическu.ми связностями в расслоенных пространствах. Напомним, кстати,
что дифференциально rеометрические связности в локальной координатной
форме записи называются в современной физике полями Максвелла Я1l.2а
МWlЛса.
'
!
1
!
!
: :-
'j
.'
4. rомотопические rpуппы и расслоения. Точные
последовательности. Примеры
Томотопическuе сруппы, к определению которых мы сейчас nepexo
дим, это важнейшие инварианты, иrpающие фундаментальную роль в
тополоrии. Как выянилось,, это объектыI первоочередной важности в при
ложениях тополоrических методов в современной физике, определяющие,
например, структуру особенностей (дисклинаций) в жидких кристаллах, а
также в ряде дрyrиx ситуаций. В этом параrpафе, правда, мы не сможем
описать достаточно серьезных методов их вычисления, которые-вынужден
НbIM образом откладываются до теории мноrообразий и roмолоrий.
Обозначим через sn сферу в R n+1
n
I)xo.)2 == 1
o. o
и отметим на ней точку 80 == (1, О, .. ., О). Через п n + 1 мы обозначим
n
диск L (хо.)2 1.
o. o
Определение. Множество rомотопических классов отображений про
странств с отмеченными точками (sn, 80) ------t (Х, хо) называется n'мерной
20мотопическоu сруппой или абсолютной roмотопической rpуппой и обо
значается через 7r n (Х, хо).
28
rЛАВЛ 2
f+g = (fVg)o If/
а) п== 1
SI
6) п=2
So
If/
(X,xJ
If/
So (X,xJ
.,
S2
хо D+
So
SlVS 1
? ?
S VS
Рис. 1 О
Рис. 11
Нам требуется определить rpупповую операцию на элементах это
ro множества, т. е. roмотопических классах. Пусть f, 9 два отображе
ния (sn, 80) ........ (Х, ХО); их «сумма» строится как суперпозиция CTaн
I
"
I
"
i
з 4. rОМОТОПИЧЕСКИЕ rруппы и РАССЛОЕНИЯ
29
дартноro отображения сферы sn на букет sn v sn, отождествляющеrо
весь экватор на сфере SN В одну точку 80, И затем отображения бу
кета в пространство (Х, Хо), которое совпадает с f на первом слarае
мом и с 9 на втором (слarаемые букета склеены по точке 80); см.
рис. 10, 11, 12, 13.
На классах roмотопии эта операция «суммы» корректно определена
и npевращает множество 7!'n(Х, хо) в rpyпny; для n > 1 эта rpуппа абе
лева. Абелевостъ леrкo следует из тoro, что для n > 1 можно непрерыв
ныM семейством вращений сферы sn, начиная с единичноrо и оставляя все
время на месте точку 80, поменять местами верхнюю и нижнюю полусфе
ры (рис. 13). для n > 1 абелева rpуппа 7!'n(Х, Хо) записывается аддитИВ
но.
.
j
"
(
,
If/
(х,х о )
;;
:;
s'
Рис. 12
f
g
g
f
Рис. 13
Можно считать, что элементы из 7!'n(Х, хо) реализованы как rOMOTo
пические классы отображений диска пn таких, что ero rpаница сфе
ра sn l переходит в одну точку:
(п n , sn l) L (Х, хо).
за
r ЛАВА 2
Рассмотрим теперь любой путь "((t), а t Ь и будем считать,
что а == 1, Ь == 2, rдe "у(а) == Ха, "((Ь) == Х1. Реализуем путь "((t) как отобра
жение цилиндра Bn 1 Х 1 ........ Х:
Bn 1 х 1........ 1 Х,
зависящее только от второй координатыI t. Такое отображение цилиндра
естественно можно непрерывно приставитъ к любому отображению
f: (п n , Bn 1)........ (Х, Ха)
и получить расширение исходноrо отображения вдоль пути "(:
(1, 'У): (п n U [Bn 1 х 1], Bn 1 х 2) ........ (Х, Х1)'
с помощью этой конструкции строится естественный изоморфизм ro
мотопических rpупп в разных точках Ха, Х1 (см. рис. 14, 15, 16):
"(i n ): к n (Х, Ха) ........ к п (Х, Xl)'
S
Рис. 14
ОУ
Рис. 15
з 4. rОМОТОПИЧЕСКИЕ rPУППЫ и РАССЛОЕНИЯ
Зl
I
!
i{
I!,;
"}
;
t
Рис. 16
"
':'!I
Изоморфизм "(i n ) зависит лишь от rомотопическоrо класса пути Л/ среди
путей с началом в Ха и концом в Х1. для Ха == Х1 эти roмотопические
классы путей как раз образуют фундаментальную rpуппу 7rl(X, Ха). Итак,
мы имеем вывод: rруппа 7rl (Х, Ха) действует как rpyпnа операторов на
rpуппах к n (Х, Ха). для n == 1 это действие представляет собой просто
внутренний автоморфизм rpуппы К1 (см. рис. 17, 18):
l'
-1
\
я
.,
;'!
"(i1)(u) == "(и"( 1, U Е К1, "( Е 7r1.
::;
у
..1
i"'
и
.хо
'1'
'1
ХО
,
I I
I I
I I
I I
I I
:
t I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
, \
y 1
r
ХО
y( ) (и)
Хо
Рис. 17
}(
..........................
,
,
"
I
I
I
/
" '
......... ..
Рис. 18
I
Весьма важным является класс «односвязных пространств» таких,
что 7r1 (Х, хо) тривиальная rpуппа. В этом С ЛУЧ (Х ае ИЗ ) предыдущеrо BЫTeкa !
ет, что определение rомотопических rpупп 7r1 , Хо не зависит существен ':,
НО ОТ точки хо. Эrи rpуппы можно определять просто как rомотопические 1
классы отображений сферы ВN ........ Х, не заботясь о связанной точке. n
В общем случае неодносвязных (но линейно связных) пространств
свободные roмотопические классы отображений сферы ВN ........ Х (т. е. без . '
связанной точки) определяются aлrебраически как орБитыI действия rpуп .
пы 7r == 7r1 (Х, хо) на rpуппах 7r n . для n == 1 ЭТО сводится к классам сопря
женности в rpуппе 7r n.
Прямо из определения тривиально следует, что roмотопические rpуппы,
прямоrо про изведения являются прямыми суммами rpупп сомножителей
1
32
rЛАВЛ 2
7r n (X Х у; хо х уо) == 7r n (X, хо) EJЭ7r n (У; Уо).
Имеются также «тензорное» произведение пространств
Х л У == Х х У/(Х х уо) v (хо х У)
и билинейная операция спаривания zомотопическux срупп 7rl (X)@7r m (Y)
Ф
------+ 7rl+m(X Л У), rдe полarаем
Ф == (J(x),g(y)), f: B 1 ........ Х, g: Вт........ У, вН т == в I Л вт.
Введемсрупповое КОЛЬЦО Z[7r], элементы KOTOpOro по определению являются
формальными суммами элементов rpуппы 7r с целыии коэффициентами
N
а == L ЛiUi,
i==l
а Е Z[7r],
Лi целыIe числа; ui Е 7r. Сложение и умножение вводятся eCTecтвeH
но а == 2:: ЛiUi, Ь == 2:: щщ,
(L ЛiUi)(I: J1.jVj) == I:(ЛiJ1.j )Ui . Uj == а. Ь.
i,j
(2.4.1 )
Друrая интерпретация rpупповоrо кольца, более привычная с точки зрения
анализа, такова:
Рассмотрим функцию а(и) на rpуппе, u Е 7r, С целыIии значени
ями а(и) Е Z и конечным носителем в 7r. Пусть заданы две таких Функ
ции а(и) и Ь(и). их про изведение определяется как «свертка»:
а . Ь(и) == I: a(tl)b(w) == I: a(v)b(v lu).
v.w==и vE7I"
(2.4.2)
з4. rОМОТОПИЧЕСКИЕ fРУППЫ и РАССЛОЕНИЯ
33
Сумма определяется очевидным образом. Это то же самое кольцо Z[7r],
распространяемое на непрерывные rpуппы заменой суммы на интеrpал.
Итак, rоворя языкмM aлrебры, все rpуппы rомотопий 7r n (X, хо)
для n > 1 естественным образом являются Z[7r] МОдулямu, rдe
7r == 7r1 (Х, хо), т. е. линейными пространствами над кольцом «скаля
ров» Z[7r].
fруппа 7r1 была введена еще Пуанкаре. Ее обобщения 7r n на n > 1 были
введены в начале 1930 x rодов (fуревич); поначалу структура Z['л}модуля
замечена не бьша, и абелевость rpупп 7r n для n > 1 создала ошибочное
впечатление формальной простоты этих объектов сравнительно с 7r1. Лишь
позднее (по видимому, начиная с Уайтхеда, около 1940 x и.) начала эпи
зодически использоваться структура модуля. Активное и систематическое
использование структуры Z[7r] модулей на высших rомотопических rpуп
пах началось с 1960 x rодов в рамках интенсивноro развития теории Heok
носвязных мноrообразий. Интересно, что в теории rомолоrии в некоторых
особых задачах структура модуля иrpала важную роль еще в 1930 x и.
Рассмотрим теперь катеrорию троек Х ::) А эхо.
Определение. Относительной zомотопической сруппой 7r n (X, А, хо)
называется множество rомотопических классов отображений
f: (п n , Bn 1, 80) ........ (Х, А, хо),
rде f(Bn l) с А, f(80) == Хо. fрупповая структура естественно вводится на
этом множестве при n > 1. для n > 2 rpуппы 7r n (X, А, Хо) являются абеле
выми. fруппа 7r1(A, Хо) действует как rpуппа операторов на 7r n (X, А, ХО),
Т.е. эти rруппы являются Z[7r] МОДУЛЯМИ при n > 2, rде 7r == 7r1(A, хо).
1
Х O
xl==o
'1/
50 (Х.А.хоу
I
Х O
Рис. 19
Естественно определяются rомоморфизмы этих rpупп
j*: 7r n (X, хо) ........ 7r n (X, А, ХО),
д: 7r n (X, А, ХО) ........ 7rn l(A, Хо),
i*: 7r n (A, хо) ........ 7r n (X, хо).
(2.4.3)
3 Тополоrия
34
rЛАВЛ 2
fомоморфизм j* определяется исходя из Toro, что отображение f:
(Dn, sn l) ----+ (Х, Ха) интерпретируется и как отображение 9 == f:
(D n , Sn l, 80) ----+ (Х, А, Ха), так как ха Е А.
rомоморфизм а определяется исходя из отображения (Dn, Bn 1 , 80) ----+
----+ (Х, А, Хо), переходя к отображению rpаницы
9 == flS" l : (sn l, 80) (А, Хо).
Определение «rомоморфизма вложения» i* очевидно, учитывя,, что АсХ.
Почти очевидно также, что суперпозиция любых двух «соседних» ro
моморфизмов (i*, j*, а) тривиальна:
i* . j* == О, а . j* == О, i*. а == О.
Отсюда немедленно вытекают вложения
Iшi* С Kerj*, Imj* с Кета, Iша с Keri*.
Оказывается (и это доказывается несложно), что эти вложения rpупп явля
ются точными равенствами (<<свойство точности»):
Iшi* == Kerj*, Imj* == Кета, Iшд== Keri*.
(2.4.4)
Обычно это выражают, rоворя, что нижеследующая последовательность
rpупп и rомоморфизмов точна (точная zoмотопuческая последователь
ность пары (Х, А):
д (А ) i. (Х ) j.
7r n , ХО 7r n , ХО
7r n (X, А, хо) 7rn l(A, хо) ----+
(2.4.5)
rомотопические rруппы абсолютные 7r n (X, хо) и относительные
7r n (X, А, хо) являются, как rоворят, ковариантными функторами на Ka
те20рии тополоrических пространств с отмеченной точкой или на KaTero
рии троек (Х, А, хо). Это означает, что при отображениях пунктированных
пространств (Х, хо) (троек (Х, А, Хо)
f: Х ----+ У, А ----+ В, хо....... уо
roмотопические rpуппы исnытваютT rомоморфизмы
f*: 7r n (X,xo) 7r n (Y,yo),
f*: 7r n (X, А, хо) ----+ 7r n (Y, В, Уо).
Эти rомоморфизмы определяются естественно, поскольку всякому отобра
жению
g: (Dn,sn l) ----+ (Х, хо)
з 4. rОМОТОПИЧЕСКИЕ rруппы И РАССЛОЕНИЯ
35
отвечает суперпозиция
f og: (D n , sn l) ----+ (У, Уо)
и аналоrично для троек.
В частных примерах выше мы имели
1) i: А ....... Х, i ( хо) == хо,
i*: 7r n (A, хо) ----+ 7r n (X, хо)
(<<rомомОРФизм вложения»),
,
11
!,
{ Х----+Х
з: Хо....... А
ХО ----+ Ха,
j*: 7r n (X, ХО, ХО) == 7r n (X, ХО) ----+ 7r n (X, А, хо).
2)
'f
Подобноrо рода набор элементарных свойств rомотопий (и rомолоrии)
функториальностъ и точная последовательность пары (Х, А) после MHO
roкpaTHoro наслоения порождают сложный алrебраический аппарат топо
лоrии, как будет видно далее.
В одном случае, чрезвычайно важном в построении a.лreбраических
ме1ОДОВ вычисления roмотопических rpупп, относительные rомотопиче
ские rpуппы сводятся к абсолютным. Рассмотрим произволъное расслоение
(выше), обладающее свойством накрывать rомотопии с произвольным Ha
чальным условием в начальный момент времени,
1,
1;
,.;
!
р: Х ----+ У, .p l(yO) == Fo, ХО Е Ро.
Важная, хотя и несложная теорема состоит в установлении следующеrо
изоморфизма:
7r n (X, Ро, ХО) ::;::: 7r n (Y, уо),
(2.4.6)
причем изоморфизм устанавливается rомоморфизмом проекции р*, про
странства расслоения Х на базу У, rдe слой РО переходит в одну точку Уо.
Интуитивно доказательство этой теоремы леrко вытекает из свойства Ha
крывающей rомотопий, так как все отображения диска f: Dn ----+ У, пред-
ставляющие элементы из 7r n (Y, уо), можно накрыть в Х, поскольку весь
диск стяrивается по себе к точке 80 на rpанице диска sn l. Однако Ha
крывающее отображение Dn ....... Х не будет переводить всю rpаницу диска
в точку оно будет переводитъ rpаницу диска в слой Fo над точкой Уо.
r ,
[.
[
3*
36
rЛАВА 2
Несложный анализ и приводит к изоморфизму (выше). Как результат это
ro изоморфизма, т. е. свойства накрывающей rомотопии, возникает «точная
последовательность расслоения» вместо пары (Х, Ра):
----+ 7r n (Fa, Ха) ----+ 7r n (X, хо) 7r n (Y; уа) !..... 7rn 1(Fa, ха) ----+
----+ 7rn 1(X, ха) ----+ .
fЗt(Di)==Po(D t i)
aD i
Рис. 20
(2.4.7)
в а ж н ы е с л у чаи. 1. Пусть задано накрытие (выше), rдe Слой Ра
дискретен. Torдa 7ri(Fa, ха) == о для i 1. Из точной последовательно
стн (2.4.7) мы получаем (<<О» обозначает единичную rpуппу)
n> 1, 0----+ 7r n (X, ха) 7r n (Y, уа) ----+ о;
n == 1, 0----+ 7r1(X, ха) ----+ 11'1 (У, уа) -!..... 7ra(Fa, ха) ----+ О.
Из точности последовательности при n > 1 вытекает
7r n (X, ха) == 7r n (Y, Уо), n> 1. (2.4.8)
Из точности для n == 1 следует, что 7r1(X, ха) содержится как подrpуппа
в 11'1 (У, Уо), причем множество смежных классов (<<фактор») изоморфно
уже только как множество совокупности связных компонент слоя, т. е.,
Попросту rоворя, каждый смежный класс отвечает точке слоя листу Ha
крьпия.
2. Пусть задано расслоение Серра над любым пространством У (выше),
rде Еуо совпадает с пространством всех путей 'Y(t), а :::; t :::; Ь, начина
ющихся в точке Уа == 'У( а). Пространство Х стяrиваемо. Слой над точкой Уа,
РО == p ] (Уа) == Q(Ya), совпадает с пространством петель, начинающихся и
кончающихся в точке Уа. Из точной последовательности (2.4.7) мы имеем
д
n 1, 0----+ 7r n (Y, Уа) 7rn 1 (Ра, ха) ----+ О.
Orсюда мы получаем изоморфизм
n 1, 7r n (Y, Уа) == 7rn 1(ЩУа), ха),
(2.4.9)
9 4. rОМОТОПИЧЕСКИЕ rруппы и РАССЛОЕНИЯ
37
rдe ха тривиальная петля, постоянная в точке Уа при всех t. Изомор
физм (2.4.9) и был взят fуревичем за источник рекуррентноrо определения
roмотопических rpупп.
Уже отмечалось выше, что в расслоениях имеется rомотопическая связ
ность, позволяющая, в частности; переносить слои вдоль любых путей в
базе, т. е. каждому пути в базе 'Y(t), а :::; t :::; Ь отвечает отображение слоев
;:У: Ра ----+ Р 1 , Ра == p 1(Ya), Р] == p 1(Y1)'
Уа == 'У(а), У1 == 'У(Ь).
Отображение ;у непрерывно зависит от пути 'У. Замкнутым путям 'У с нача
лом и концом в точке Уа отвечает rомотопическая эквивалентность
1': Ра ----+ Ра.
I
1\
!
tr
'\
t; ,
Тем самым определены по рожденные l' rомоморфизмы rомотопических
rpупп слоя (<<монодромия»)
1'*: 7r n (Fa, ха) ----+ 7r n (Fa, 1'(xa)).
Частный случай этоrо встречался в rл. 1 в теории римановыx поверхностей
для n == О и назывался «монодромией» а",у. rдe база область плоскости R 2
и слой дискретен.
Среди накрытий уместно выделить так назьmаемые ре2)lлярные, rде
образ P*7r1(X) с 7r1(Y) является нормальным делителем. В этом случае
фактор-rpуппа 11'1 (Y)/P*'7r1(X) == r действует естественно как дискретная
rpуппа преобразований пространства Х, определяемых с помощью nepeHO
са слоев вдоль замкнутых путей 'У в базе У, причем пути из образа Р* 11'1 (Х)
дают тривиальную монодромию.
Самым большим реryлярным накрытием данноrо пространства У явля
ется так называемое универсальное накрытие Х, rдe 7r1(X) тривиальная
rpуппа. Можно показать, что такое существует для большоrо класса про
странств У. Здесь f == 11'1 (У) дискретно действует на Х и орбиты каждой
точки совпадают со слоями p ] (у). Ввиду одиосвязности пространства Х
ero rомотопические rpуппы 7r n (X, ха) не связаны с точкой Ха. Дискретная
rpуппа преобразований r (действующая свободно на Х, т. е. без неподвиж
ных точек и дискретно) определяет rомоморфизмы
т 7r n (X) ----+ 7r n (X), n> 1, 'У Е r.
учитывя,, что r == 11'1 (У, Уо), мы получаем действие 11'] на всех 7r n В eCTe
ственной rеометрической интерпретации.
w
38
rЛАВА 2
При м е р 1. Рассмотрим область И с R 3, rдe из R 3 выброшены
прямая и точка вне ее. Область И имеет деформационный ретракт букет
окружности и сферы
и '" 82 V 81 == У.
Леrко видеть, что К1(U) == К1(82 V 81) == Z == К1(81), rдe Z беско
нечная циклическая rpуппа, порожденная элементом t. Рассмотрим универ
сальное накрытие над И ИЛИ, что rомотопически эквивалентно, над буке-
том 82 V 81 == У:
Х у == 82 V 81.
Пространство Х можно представлять себе как прямую R с координатой л,
rде в целых точках нанизаны сферы 8] (см. рис. 21), j целое число.
52 52 52
Ос50
00
52 52
I 2
2
l О
tCi)::::,i+ 1 ,t(5:) =5;+1
J
2
Рис. 21
Преобразование t: Х ........ Х действует так
t(Л)==Л+1,
t(8 ) == 8 +1'
- .
(2.4.1 О)
Пространство Х имеет rомотопическую rpуппу К2 (Х), равную прямой cyм
ме бесконечноrо количества экземпляров Z с образующей d j , rеометрически
представленной отображением сферы 82 в сферу 8J. Очевидно, мы имеем
t( d j ) ::::: dj+ 1 .
(2.4.11)
Это Полностью описывает структуру 7r2(82v 81) == К2(U) вместе с действи
ем К1 (82 V 81) == Z. На языке модулей мы имеем свободный Z[7rJ модуль с
одной образующей d == d a , так как все элементыI а Е К2(U) имеют вид
+М
а == .L Лjt j (d),
j== N
Лj целые ЧИсла, L Лjt j Е Z[7rJ, 7r ::::: К1 (11; Уа).
J
з4. rОМОТОПИЧЕСКИЕ rруппы и РАССЛОЕНИЯ
39
При м ер 2. Рассмотрим вещественную проективную плоскость
Rp2, ТОЧКИ которой суть ненулевые вектора (л а, л!, л 2) С точностью до
ненулевоrо множителя
(лл а , ллl, лл 2 ) f'V (л а ,л 1 ,л 2 ), л =F о.
Выбирая л, можно добиться единичности ДЛИНЫ
2
.L(л j )2 == 1.
j==o
I
'1
Итак, Rp2 получается из сферы 82 факторизацией (л а, л 1, л 2) f'V
'" ( л а , л 1 , л 2) по дискретной rpуппе Z2 из двух элементов. Так как
rpуппа К1(в2) тривиальна, это накрытие является универсальным. для
rpупnыIr22 мы имеем (выше)
К2(82) == 7r2(RP2) == Z.
(2.4.12)
Обозначим образующую через d. fруппа К1 (Rp 2 ) совпадает с Z2 в силу
накрытия (пусть образующая есть t, t 2 == 1). Образующая t действует как
отражение на сфере 82. Мы имеем структуру К2 как Кl модуля
t(d) == d, t 2 == 1.
(2.4.13)
Леrко устанавливается, что 7ri{8n) == О при i < n. Далее, к n (8 n ) == Z. для
вещественных nроективных nространств Rpn, аналоrично предыдущему,
мы получаем
7ri(Rpn) == 7ri(8n), i > 1; 7rl(Rpn) == Z2.
(2.4.14)
При этом образующая t rpуппы К1 (Rpn) действует на базисный эле
мент d Е 7r n (Rpn) по формуле
t(d) == ( 1)n+1d,
(2.4.15)
rдe ( l) n+1 совпадает с ориентацией отражения л ........ л в простран
стве Rn+1 и на сфере 8 n .
Заметим, что у пространства RPOO, которое определяется как предел
последовательно вложенных дpyr в дрyrа пространств (RPn), n == 1, 2, . . . ,
фундаментальная rpуппа по прежнему есть Z2, а все rpуппы 7ri с i > 1
тривиальны.
40
rлАВА 2
При м е р 3. Все плоские области (и, более общо, все незамкнутые
двумерные мноrообразия) имеют деформационный ретракт, совпадающий
с одномерным комплексом. Каждый одномерный комплекс rомотопиче
Ски эквивалентен букету либо конечноrо числа окружностей, либо счетноrо
(которое лучше реализовать как комплекс на рис. 22 в).
а)
О
б)
8
8)
l О 1 2 А.
В целых точках h=n на
А. прямую нанизаны окружности
Окружность
Букет
Рис. 22
Леrко построить накрытие над этими одномерными комплексами, KOТO
рое является деревом и поэтому ОДНО связно (дерево это rpаф без циклов).
для 81 V 81, например, мы имеем (рис. 23). Возникает дерево: исходя из
первой вершины О, проведем крест, т. е. 4 отрезка длины 1. В конце каж
доrо из отрезков сделаем еще 3 таких же отрезка в новые измерения, так
что все новые вершины будут также крестами и т. д. На полученном дереве
естественно действует свободная rpynna с двумя образующими, определяя
накрытие над букетом 81 V 81. Из этоrо следует, что 7r1 (К) свободная
rpynпа, если К одномерный комплекс (rpаф).
... "' .......
,
,
,
,
,
,
I
I
,
\
,
,
,
,
,
,
\
I
I
,
,
I
I
,
Дерево
Рис. 23
При м е р 4. Тор тn любоro числа измерений (для n == 1 это окруж
ность) получается из Rn отождествлением
(л 1 , ..., л n ) '" (л 1 , ..., л n ),
4. rОМОТОПИЧЕСКИЕ rруппы и РАССЛОЕНИЯ
41
еСЛИ разность (л 1 :,\1, ..., л n :,\n) есть целочисленный вектор. Итак,
rpупnа zn целочнсленная решетка действует дискретно и свободно
сдвиrами на Rn, и фактор есть тор:
т n == RnjZn, 81 == R 1 jZ.
(2.4.16)
Отсюда следует:
7r1(Tn)==Zn, 7ri(Tn) ==0, i>l.
.1
А.
о о о о о
2 l О 2 3
A. A.+l
Jl"1(SJ)=Z
Рис. 24
При м е р 5. С точностью до rомеоморфизма всякая заМкнутая ори
ентируемая поверхность есть сфера с ручками (рис. 25,26). Этот факт был
УС1аНовлен Мёбиусом. Обозначим сферу с 9 ручками lvf;; целое число 9 Ha
зыаетсяя родом поверхности. При 9 2 все поверхности М; получаются
факторизацией из плоскости Лобачевскоrо L2 по свободно действующей
дискретной rpуппе r npеобразований (сохраняющих метрику). Если L2
представлена как верхняя полуплоскость 1ш z > О, то rpynпу r можно
взять с набором из 2g образующих (дробно линейных npeобразований, co
храняющих область 1ш z > О)
А 1 , ..., А 2в : L 2 L 2 ,
задаваемых вещественными матрицами
А ( ) А == B H1A Bk l
1 == l e l' k 9 1 9 ,
в ( cosa sina )
9 sin а cos а '
2g 1
a==7r
4g ,
cos (З + J cos 2 (З
l==ln . (З ,
sш
(2.4.17)
(З== .
42
rЛАВА 2
a)
g=1
б)
в)
g=2
g=3
Рис. 25
Jr
p=
4g
Преобразования AI И А 2
сдвиrают центр восьми
уrольника в точки, на KO
торые указывают стрелки
Рис. 26
Здесь матрица ( ) представля дробно линейное преобразова
az +Ь
ние z ....... d ' Можно проверить, что
cz+
А 1 . .. A 2g A 1 1 .. . A 2g 1 == 1, (2.4.18)
и показать, что все соотношения между А 1 . . . A 2g есть следствия (2.4.18).
Таким образом, К1 (lvJi) изоморфна rpуппе, определяемой образующими
А 1 '" A 2g С единственным соотношением (2.4.18). Можно выбрать друrой
базис образующих в rpуппе К1 (.Mi) (а1, . . ., ag, Ь 1 , . . . , b g ) с соотношением
Ь l b l Ь l b l Ь l b l 1 (2 4 19)
а1 1 а 1 1 а2 2а2 2 ... a g ga g 9 == . . .
Результат перехода к фактору по такой rpуппе преобразований есть, в
сущности, ОТОЖДествление подходящих строк 4g yroлъника в L2 (в R2
для 9 == 1) см. рис. 27.
I
I
т
..
I
f
il
з4. rОМОТОПИЧЕСКИЕrруппыи РАССЛОЕНИЯ
43
ar}
ь
g=1
g=2
Рис. 27
При М ер 6. Неориентируемые поверхности получаются из ориен
тируемых факторизацией по дискретно и свободно действующей на них
rpуппе Z2 аналоrично тому, как RP2 получалась из 82. их Bcero две се-
рии: Ni,l и Ni,2; они задаются мноrоyrольниками соответственно из 4g
и 4g + сторон со склейками, указанными на рис. 28:
а)
.I' g;>1
О Ь ' а,
а Ь,
b z а 2
а 2 Ь
g=2 2
g=O
б) ,2' g ;>0
а[}
сОс
а
а ь
с а
Ь
g=1
g=1
o I бутылка Клейна
?
N .2 проективная плоскость
Рис. 28
fруппа К1 задается наборами образующих а1, Ь 1 , . .., ag, b g для N'i,l
И а1, Ь 1 , . . ., ag, b g , с для N'i,2 С соотношениями: дЛЯ
N 2 Ь l b l Ь 1 b l Ь l b 1
g,l: а1 1а1 1 ... ag l g lag l g la9 ga g 9 == ;
(2.4.20)
для
N;,2; ( П aibiai1bi1 ) с2 == 1. (2.4.21)
2==1
Соrласно теореме Пуанкаре друrиx замкнутых двумерных мноrообразий не
существует.
Из этих примеров вытекает, в частности, что для всех двумерных MHO
roобразий, замкнутых и 0ТКPbIТbIX, кроме RP2 и 82, все высшие rомотопи
44
rЛАВА 2
ческие rpуппы тривиальны:
7ri(M2) == О, i> 1, м 2 -=1= RP 2 , 52.
(2.4.22)
Пространства Х, у которых все, кроме одной, rомотопические rpуппы три
виальны, называются комплексами Эйленбер2а Маклейна типа К (7r, n) =::
== Х, если
7r n (X) == 7r, 7ri(X) == О, i #- n. (2.4.23)
(На самом деле K(7r, n) может быть реализовано как «СvV комплекс», см.
ниже.) Примеры пространств типа K(7r, 1) мы уже видели. Отметим, что
из примера 2 следует такой факт: бесконечномерное вещественное проек
тивное пространство RF<Ю имеет тип К (Z2, 1).
При м ер 7. Рассмотрим так называемые «расслоения Хопфа».
Пусть (л а, . . . л n) ненулевые комплексные векторы и срn комплекс
ное проективноепространство (л а , . .. л n ) '" (лл а , . .. лл n ), Л Е С, л -=1= О.
Выбирая л, можно свести комплексный вектор к сфере 5 2n + 1
I
rд
I!i
1_
Отсюда мы видим, что срn получается из сферы 5 2n + 1 факторизацией по
свободно действующей rpуппе U 1 == 502 (окружности) ?,
I
( л а лn ) ( ia л а ia л n ) (i
,... '" е ,...е . 1'1
15
i\
"
1
J,
i,j
#
,
ii':
I: Iл j l 2 == 1.
j
Мы получаем расслоение Хопфа
р: 5 2n + 1 срn
со слоем 51 == U 1 == 502, rде
7r1 (51) == Z,
11"i(5 1 ) == о
при i -=1= 1
(см. примеры 2, 3 выше). Из точной последовательности этоrо расслоения
получаем f'
7ri(52n+1) == 11"i(Cpn), i #- 2,
7r2n+1(52n+1) == 7r2n+1(Cpn) == Z,
7r2(Cpn) == Z == 7r1(51).
Переходя к прямому пределу при n ------t 00, мы видим, что бесконечномерное
пространство сроо имеет тип комплекса Эйленберrа Маклейна K(Z, 2).
для n == 1 имеем ср1 == 52 И теорему Хопфа
(2.4.24)1'
7r3(5 2 ) == Z.
(2.4.25)
3 4. rОМОТОПИЧЕСКИЕ rруппы и РАССЛОЕНИЯ
45
при м ер 8. Рассмотрим узел, вложение окружности 51 в сферу 53,
И уже обсуждавшееся ранее дополнительное пространство узла 53 \ 51 == И
(ранее узел рассматривался в R 3; здесь добавляется бесконечноудаленная
точка). Теорема Папакирьякопулоса утверждает, что 7r2(U) == О. Леrкo BЫ
вести отсюда, что 7rj(U) == О для j > 2. Итак, дополнительные области
узлов оказываются комплексами Эйленберrа Маклейна типа K(7r, 1).
Среди элементарных всем известных простых примеров пространств
комплекс типа К (7r, n) для n > 1 известен только один это КOM
алеКС K(Z, 2) == сроо. Впрочем, для аппарата aлrебраической тополоrии
будет важно только то, что они существуют. Лишь в одной важной работе
(Э. Картана) была использована конкретная их aлrебраическая модель.
Ni
rЛАВА 3
Симплициальные и клеточные
комплексы.
rомолоrии и коrомолоrии.
Связь с теорией rомотопий.
Препятствия
1. Симплициальные комплексы
Симплициальные комплексы (найденные Пуанкаре) являются наиболее
удобным, элементарным, лоrически строrим и четким средством введения
roмолоrии и коrомолоrии и изучения их формальных свойств, как будет
видно далее, хотя они и неудобны для конкретных вычислений.
Симплекс аn определяется как выпуклое тело в векторном простран
стве R :=) аn, имеющее ровно (n + 1) вершину аn == (ао, . . ., а n ). Все
точки симплекса получаются как линейные комбинации вершин с коорди
натами xi
n
Х Е аn, х == Lxiai,
i==O
n
(Xi) ;;;:: О, Lx i == 1.
i==O
(3.1.1)
а)
а О
.
()....мерный
8) а? а) а
Л 3 а.,
а О -- -
а О а)
2 мерный а 1
3 мерный
б)
а О а,
. .
1 мерный
Рис. 29
3 1. СИМПЛИЦИАЛЬНЬIE КОМПЛЕКСЫ
47
Трань симплекса любой размерности это тоже симплекс. Любая rpaнъ
получается просто вычеркиванием HeКOToporo количества вершин из набо
ра (ао, ..., а n ). В частности, rpани размерностип 1 имеют вид
n l ( )
(J' i == ао,..., ai, . . . , а n
(3.1.2)
(вершина ai опущена). их ровно (n + 1) штука.
Си.мnлициальным комплексом К называется произвольное (счетное)
или конечное множество симплексов со следующими свойствами:
1. Вместе с любым симплексом в это множество входят ero rpани всех
размерностей.
2. Если два симплекса из К пересекаются, то либо они совпадают, либо
их пересечение есть ровно ОДна их общая rpанъ.
Удобно задавать комплекс, перенумеровав все ero вершины (ао, .. .,
аn, . . .). В множестве вершин выделенные подмножества (конечные) обо
значают симплексы. Должны быть выполнены условия 1, 2. Более общим
а priori было бы рассматривать комплексы К, составленные не только из
симплексов, а из более общих выпуклых мноrоrpанников с условиями 1, 2
(выше). Нередко мы будем их рассматривать. Однако леrкo доказать, что
подразделением можно такие комплексы измельчить и превратить в сим
плициальные. В конкретных исследованиях rомолоrии комплексов нередко
npоизводят операцmo «укрупнения», объединяя rpynпы симплексов в BЫ
пуклыe мноrоrpанники.
ЗАМЕЧАНИЕ. Особый интерес, кроме симплициальных комплексов, MOryт
представлять кубические комплексы, составленные из кубов Jn всех размерностей
(рис. 30).
е)
8) d1J
а) 6) D
. . .
/0 /1
/2 ,/
/3
Рис. 30
r:
i.
-,
Кубический комплекс определяется теми же требованиями 1 2, что и сим
плициальный (выше). Любой симплициальный комплекс можно надлежащим из
мельчением превратить в кубический и наоборот. Удобство куба состоит в том,
что Jn+m == l n х 1т. Поэтому прямое произведение кубических комплексов яв
ляется кубическим комплексом. Особый интерес такие комплексы вызывают пото
МУ, что R n обладает правильным разбиением на кубы (решетка). В современной
48
rЛАВА 3
статистической физике в теории решетОЧНblХ моделей возникает рЯд задач об ис-
следовании кубических Подкомплексов образов поверхностей в R n, заданных
с праВИЛЪНblМ кубическим разбиением. При n == 3 возникает необходимость дать
описание отображений поверхностей в правильную решетку: м 2 ........ R 3, rде JyJ2
разбито на 2 MepHыe кубы (квадраты), и отображение соrласовано с этой структурой.
Измельчение разбиений следует производить так, чтобы решетка в R 3 оставалась
правильной 1.
Если комплекс К конечный, т. е. состоит из конечноro числа сим
плексов (или выпуклых мноrorpанников), то определяется <<xapaKтepиcти
ка Эйлера Пуанкаре» , уже обсуждавшаяся в т. 1:
х(К) == 2) l)j'Yj,
j O
(3.1.3)
rде 'УЗ число j MepHЫX симплексов (выпуклых мноrorpанников) в К.
Если размерность всех симплексов n, то симплициальный комплекс Ha
зывается n MepНЫM; m мерный остов кт С К ЭТО совокупность всех
симплексов из К размерностИ т.
Симплициальный комплекс К' называется подразделением комплек
са К, если каждый симплекс из К является объединением конечноrо чис
ла симплексов из К', причем симплексы из К' линейны в К. Имеет-
ся стандартное барицентрическое подразделение тобоrо комплекса.
Точка (нульмерный симплекс) не подразделяется. Барицентрическое под-
разделение симплекса 0'1 == (ао, а1) это введение одной новой вер-
шины в центре 0'1, после чеrо 0'1 превращается в комплекс из трех вер-
шин и двух одномерных симплексов (ребер). Барицентрическое подразде
ление n MepHoro симплекса О'n С R n строится так: вводится новая верши I
' Е n n с
на а о' в центре 0'. читаем, что rpани уже барицентрически подразде-
л rp е ан ныI цъи и I (!3 Д О о ' б . а . . , fЗk) любой симплекс барицен ( ическо /3 rо п ) дразделения ,:
. вляем все новые симплексы вида 1--'0, ..., k, а ; тем самым
симплекс о'n превращен в комплекс барицентрическое подразделение (см.
рис. 31).
Очевидно, операция барицентрическоrо подразделения всех симплек М
сов тобоrо комплекса К соrnасована на общих rpанях и определяет ero
барицентрическое подразделение К'. ,
Определение. Два симплициальных комплекса К 1, К 2 называют f
ся комбинаторно эквивалентНblми, если существует симплициальныIй КOM
плекс К, который изоморфен подразделению каждоrо из НИХ.
I
1 «Задача Новикова»,
и М. И. illтоrpиным.
Н. П. Долбилиным,
недавно
исследованная
М. А. illтанько
з1. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ
49
а) .
ас
а'
.
.
б)
а)
Барицентрическое подразделение симплекса
Рис. 31
На определенном этапе развития тополоrии, коrда все конструкции TO
полоrических инвариантов производились только на комбинаторной базе,
была (в первом десятилетии 20 ro века) выдвинута считавшаяся Torдa ca
мой важной «Наuрtvелnutuпg der Topologie»: два rомеоморфных комплекса
всеrда комбинarорно эквивалентны. Эта rипотеза доказана прямыми, эле
ментарными методами (Мойз, 1950-е roды во всяком случае, для MHO
roобразий) в размерностях 3 и опроверrнута при использовании более
rnубоких тополоrических инвариантов (Милнор, начало 1960-х rr.) для ком-
плексов размерности 6. Затем было установлено (Эдвардс, вторая поло-
вина 1970 x rодов), что двукратная надстройка над любым трехмерным
мноrообразием, которое является 20МОЛО2Uческой сферой (см. ниже), rOMeo
морфна сфере 85; безусловно, возникающая здесь триaнryляция сферы 85
комбинаторно неэквивалентна тривиальной 2 rpанице симплекса 0'6. Тем не
менее, простейшие тополоrические инварианты, определение которых ИС
пользует комбинаторную структуру характеристика Эйлера Пуанкаре,
iЮ,МОЛО2Uи (ниже), оказались инвариантами не только roмеоморфизма,
но даже rомотопическоro типа (Александер, 1920 e rоды), который, исхо-
дя из этоrо, по видимому, и был введен пер во начально. Более rлубокие
инварианты интеrpалыI от классов ПонтРЯ2Uна по циклам, определе
ние которых своднтся к комбинаторной тополоrии сотасно теореме TOMa
Рохлина Шварца (1950-е rоды), и так называемое кручение Рейде"'lейстера
Уайтхеда, с caмoro начала определяемое комбинаторно. Было известно (для
классов Понтряrина с середины 1950-х rодов, для кручения с 1930 x lO
дов), что эти величины не являются rомотопическими инвариантами; тем
не менее, эти величины оказались тополоrически инвариантными, т. е. инва
риантами непрерывных rомеоморфизмов теорема Новикова для классов
ПонтРЯ2Uна (середина 1960 x rодов) и теорема Эдвардса Чепмена 1970
х rодов для кручения (для n == 3 это следует из теоремы Мойза 1950-х
rодов). Кручение особая rл ава, не требующая остальной теории. Мы
2из резульпrrов Фридмана и Дональдсона первой половины 1980-х rr. следует, что
«Hauptvennutung» неверна и для четырехмерных мноroобразий.
4 Тополоrия
50
rЛАВА 3
позднее еще вернемся к развитию этой теории 1960 70 x rодов, образую
щей единый весьма сложный комплекс. В середине 1960 x Сулливан дал
эскиз красивой теории, из которой следовало, что Hauptvermutung спра
ведлиВа для одно связных РL мноrообразий при условии, что Нз (lvf; Z)
не имеет 2 кручения3. Керби и Зибенман разработали теорию, полностью
проясняющую связь между Р L и тополоrической структурами на MHoro
образин в размерностях n =1= 44. Во всяком случае может быть Bcero KO
нечное число различных rладких или кусочно линейных (Р L ) замкнутых
мноrообразий размерности n 5, непрерывно rомеоморфных друr дрyry
(С. П. Новиков, середина 1960 x rодов для односвязных мноrообразий). Бо
лее точные результаты будут указаны в конце 5, rл. 4. Они получены в
конце 196(}"70 x и.
Вернемся к элементарной теории симплициальных комплексов. Сим
плициальное отображение симплексов а? a'!J: (т n) задается просто
соответствием вершин остальное определяется по линейности. Сшнпли
циалыюе отображен.ие комплексов f: К 1 К 2 , по определению, является
симплициальным (линейным) на каждом симплексе и задается также OTO
ражением f на вершинах J( Ctj) == /3j; rдe а} вершины К 1 И /3j Вер-
шины К 2 . Кусочн.о лин.ейн.blМ (Р L ) отображен.ием I<l К 2 назьшается
такое, которое является симплициальныM в некоторых доспrrочно мелких
подразделениях К 1 К 2, rде K i подразделение комплексов K i (не
обязarельно барицентрических). .
ДОВОлЬно простая теорема о симплициальной аппроксимации утвер-
ждает, что всякое непрерывное отображение f: к 1 К 2 сколь уrодно
близко аппроксимируется rомотопныM ему кусочно линейным отображени-
ем g: К 1 К 2 . Различные варианты этой теоремы часто используются в
тополоrии.
Иноrда пользуются вариантом теоремы, rде комплекс К 2 == К 2 не
подразделяется, и симплициальное отображение g: К 1 К 2 не близко
3в первой версии своей работы Сулливан не накладывал никаких оrpaничений на Нз(А1);
необходимость вышеупомянутоro условия проявилась в обсуждении с Браудером и Новиковым
весной 1967 r. Изложения теории Сулливана все еще нет в литературе.
4Книrа Керби и Зибенмана Foundational Essays оп Topoligical manifolds, smoothings and
triangulations, Princeton University Press, 1977, Annals of Mathematics Studies, по 88 посвящена
этой теории. В ней авторы, по видимому, попытались дать независимую проверку теории
Сулливана. Однако в книre имеется несколько важных утверждений, доказательство которых
требует результатов Сулливана. Например, автору кажется, что доказательство на crраницах
268 296 не является полным без ссылок lIа некоторые IIЗ результатов Сулливана. Важноcrь
cтpororo доказательства и публикации этих результатов несомненна. Следует заметить, что
некоторые из трудностей теории Сулливана были преодолены дрyrими тополоrами, например,
все требуемые результаты теории roмотопий были изучены Мильrpамом и Мадсеном в их
книre Classitying Spaces in Surgery and Cobordism of Manifolds, Рппсеtoп University Press,
1979, Annals of Mathematics Studies, по. 92. Эта работа использует некоторые технические
приспособления и идеи, которых не было в 1967 r.
3 1. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ
51
к f, а rомотопно ему, причем rомотопия каждоji точки идет по телу одноrо
симплекса.
Определение. Симплициальный комплекс I< определяет n MepHoe
р L-мн.оzообразие, если (после HeKOТoporo количества барицентрических
подразделений) комбинаторная окрестн.ость любоrо симплекса т. е. мнo
жествО симплексов (вместе с их rpанями), имеющих ero своей rpанью,
является комплексом, комбинаторно эквивалентным симплексу а n .
Р L-мноrообразие размерности n называется ориен.тируемы.;,и, если
можно таким образом ориентировать все ero n-мерные симплексы, что ори
ентации, определяемые на каждом (n l) MepHOM симплексе двумя приле
raющими к нему n мерными симплексами, будут противоположны. Каждый
конкретный. способ вышеуказанным образом ориентировать n MepHыe сим
плексы Р L мноrообразия называется ориентацией последнеrо.
а)
б)
d
d,
конус
ЕК=СК(!) и СК(2)
надстройка
Рис. 32
I
Разумеется, Р L мноrообразие является тополоrическим мноrообрази
ем. Однако не всякое тополоrическое мноrообразие, превращенное в сим
плициалъный комплекс, является Р L мноrообразием. Уже упоминалась BЫ
ше теорема Эдвардса (1970 e roды), дающая нетривиальные mрианzyляции
сферы 85, порожденные двукратной надстройкой над rомолоrическими
сферами трехмерными мноrообразиями, rдe Н 1 == Н 2 == о, хотя 7rl =1= о:
2:L:МЗ =1= 8б, 2:L:NIЗ 8 Б ( это rомеоморфизм). Конус над симпли
циальным комплексом К обозначается через СК; добавляется одна HO
вая вершина ct вне К; комплекс С К состоит из всех отрезков, начинаю
щихся в ct и кончающихся в К. Трианrуляция пространства СК т. е.
превращение ero в симплициальный комплекс самоочевидна. Надстрой
4"
52
rЛАВА 3
ка 'L,K есть объединение двух конусов со склейкой по общему OCHOBa
ниюК
'L,K == (СК)l UK (CKk
(3.1.4)
[2]
d o d ,
d,
d 2
d o
Разбиения цилиндров Над симплексами
Рис. 33
Трианryляция 'L,K также естественна. ОIipеделявшиеся в g 1, rл. 2 опе
рации над тополоrическими пространствами ...:... букет К 1 V К 2 , цилиндр
(симплициальноrо) отображения C j , f: А К 2 , А с.К 1 , прямое произве
дение К 1 х К 2 , все естественно реализуются в классе симплициалъных
комплексов (хотя, например, прямое произведение симплексов не есть сим
плекс, но прямое произведение леrко трианryлируется) (см. рис. 33).
2. rомоло.ml!. и к()rомолоrии. Двойственность .Пуан аре
Перейдем теперь к определенmo rомолоrии и коrомолоrии сим
плициальных комплексов. Алzебраической 2ранuцей любоrо симплекса
а п == (йо, . .., й n ) называется формальная линейная комбинация ero rpa
ней размерности n 1:
n
да п == I) l)ia \
i=oO
R
!/:
1
р;;
(3.2.1) ,
;'!)'
n 1 ( ) N
a i == йо,..., (Xi, ..., й п , (xi опущено. руппои п Mepныx целочис
ленных цепей Сп(К) любоrо комплекса К называется свободная абелева
rруппа конечных формальных линейных комбинаций симплексов размер
ности n
с Е Сп (К), с == L ЛQЛ , a Е К,
Q
3 2. rомолоrии и коrомолоrии. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПУАНКАРЕ
53
значок й нумерует симплексы в К, Л а целые числа. Aлrебраическая
rpаница (3.2.1) определяет rpаничный оператор
д: Сп (К) Сп l(К),д(LЛаа ) == LЛад(а )
а
а
и весь комплекс цепей С(К), rдe
8 8' 8 8 8 ( ) 8
.., ........-+ Сп(К) ........-+ Cп l(K) ........-+ Cп 2(K) ........-+ ... -----t Со К ........-+ О, (3.2.2)
д о д == О.
Теперь мы определим для каждоrо n ;::: О n J.1ерную целочuсленную 2J1ynny
2QМОЛОZUЙ К следующим образом:
Нп(К, Z) == KerajIllla.
(3.2.3)
Так как дод == О, мы имеем Ker д::::> !шд. Элементыrpуппы Kera ::::> Сп (К)
называются «ЦИIOlами», а rpупnыI Illl д С Сп «2раницами».
Пусть G любая абелева rpуппа в аддитивной записи. Нам важны
операции над абелевыии rpуппами С 1 Q9 а 2 И НОlll(С 1 , С 2 ).
1. fруппа С 1 Q9 а 2 порождена суммами элементов вида Ю Q9 92, rдe 91 Е
С1,92 Е а 2 . Наложены только соотношения билинейности
( I 11 ) I + 11 tO>.
У1 + 91 Q9 У2 == 91 Q9 У2 91 '01 92,
( I 11 ) I tO>. 11
91 Q9 92 + 92 == У1 Q9 92 + 91 '01 92 .
(3.2.4)
Возникает «тензорное произведенuе» а 1 Q9 а 2 .
2. Абелева rpуппа НОlll( С 1 , С 2 ) состоит из всех rомоморфиз
мов h: С 1 С 2 rpуппы а 1 В абеле ву rpуппу а 2 . Определение суммы
roмоморфизмов очевидно:
h 1 (9) + h 2 (9) == (h 1 + h 2 )(g).
(3.2.5)
Если С2 аддитивная rpуппа HeKoToporo поля, то мы обозна
чим Нот(а 1 , а 2 ) через Gi (в линейной алrебре сопряженное линейное
пространство к V обозначают через V*; оно состоит из roмоморфизмов
BexтopHoro пространства в одномерное линейных функций со скалярным
значением).
Очевидно, G Q9 Z == G и HOlll(Z, С) == С. Кроме тoro, для любой
абелевой rpуппы G комплекс С(К) определяет два комплекса:
1) С(К) Q9 с: '" Сп(К) Q9 G Cп l(K) Q9 G ...,
8* д" п l д*
2) НОlll(С(К), С): ... ........... Сп(К; С) ........... С (К; С) ...,
54
rЛАВА 3
rдe Ci(K, С) == Hom(Ci(K), С) и д* оператор, формально сопр жен
ный к д. Это приводит К определению rомолоrий H i и КО20МОЛОZUЙ Hi С
коэффициентами в с:
Нn(К, С) == Keraj1ma,
Н N (К, С) == Ker д* j 1т д* ,
Kera с Сn(К) Q9 а,
Kera* с Сn(К; С).
элементыI rpупп Ker д* называются «коциклами», а rpупп 1т д* «KO
zpаницами», rpуппы Сn(К, С) rруппы коцепей с коэффициентами в С,
rpуппы Сn(К, С) rpупnыI цепей с коэффициентами в а.
ЗАМЕЧАНИЕ. Конечно, коцепи и цепи можно определить и с коэффициентами в
неабелевой rpуппе G (пусть она будет записана мультипликативно). Однако rpаницу,
коrpаницу и коroмолоrии можно определить естественно только в размерностях О
и 1.
Нульмерные коциклыI (и элементы нульмерных коrомолоrий) это
функции на нульмерных симплексах, которые на rpаницах любоro ребра
одинаковы:
a*9(1J" ) == g(IJ" , 1)9(1J" ,o) \
д*9 == 1 +--+ 9(1J" , 1) == 9(1J" .o).
Поэтому НО (К; С) == G х '" х а, [де число сомножителей равно числу
компонент связности К. В размерности 1 мы имеем
(3.2.6)
a*9(1J" ) == 9(1J" ,2)9(1J" , 1) 19(1J" ,o),
9 == д* f +--+ 9(1J" ) == 9(1J" 1)9(1J" O) l.
, ,
(3.2.7)
Объект Н1(к, С) уже является просто множеством (вообще rоворя, не
rpуппой), так как коrpаницы не Являются нормальным делителем среди
коциклов, вообще rоворя.
Обобщения на n == 2 производились, хотя естественность их сомни
тельна; ни для каких целей это не использовалось. Эти обобщения пока
можно считать произвольными.
Позднее, в теории пучков и расслоенных пространств, естественность
определений rpупп H°(I{, Р) и н 1 (К, Р) для пучков неабелевых rрупп
будет весьма нarлядна:
Вернемся к абелевым аддитивно записанным rpуппам С.
Между цепями f и коцепями с имеется скалярное произведе
ние и, с) Е G
и, с) == L )..oJ(IJ" ), С == L )..0:1J" .
о: о:
(3.2.8)
з 2. rомолоrии и коrомолоrии. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПУАНКАРЕ
55
Это скалярное произведение естественно порождает скалярное произведе
ние коrомолоrий и rомолоrий.
При м е р 1. G это поле (например, G == С, R, Q, Zp); скаляр
ное произведение здесь невырождено, и мы имеем изоморфизм векторных
пространств над G
Hj(I<; С) == (Hj(K; С))*,
(3.2.9)
и скалярное про изведение (3.2.8) невырождено.
При м ер 2. G == Z и комплекс К конечный;
Скалярное произведение свободных частей Hj, Hj rpупп Hj(K, Z)
и Hj(K, Z) невырождено и имеет детер инант:...равный :::J:l в cooтвeтcтвy
ЮЩИХ базисах целочисленных решеток: Hj == Н;. для периодических ча
стей То! Hj, То! Hj верно соотношение (К конечный комплекс)
То! Hj (К; Z) == То! Hj l (К; Z).
(3.2.10)
При м е р 3. Пусть G аддитивная rруппа любоrо поля (напри
мер, G == С, R, Q, Zp)' Torдa мы имеем,
Hj(I<, С) == Hom(Hj(I<, Z),G),
Hj(K, С) == Hj(K, Z) Q9 а.
Если характеристика поля равна О, то фактически мы имеем (пусть
9 == Q рациональные числа)
Hj(K, Q) == ii j Q9 Q == Hom(ii j , Q). (3.2.11)
Если характеристика поля G равна р < 00 (пусть, например, G == Zp), то
для конечных комплексов К имеем
Hj(K, Zp) == Hom(Hj(I<j Z), Zp) EfЭ Hom(Tor Hj l, Zp),
Hj(K, Zp) == (Hj (К; Z) Q9 Zp) EfЭ (То! Hj l EfЭ Zp).
(3.2.12)
Итак, во всех случаях ранrи rpупп rомолоrий над полем Zp не менее, чем
рaнrи над Q, R, С. Стандартное обозначение: рaнrи I1?УПП Hj(K; Q) обо
значаются через b i (числа Бетти), а ранrи rpупп Hj(K; Zp) мы обозначим
через b p) b j .
При м е р 4 (теорема Пуанкаре). для конечноrо комплекса К имеет
место равенство
L( l)jbj == х(К).
j O
(3.2.13)
56
rЛАВА 3
Добавим еще такое равенство: для любоro р
2) l)j ь)Р) == х(К).
j O
(3.2.14)
Характеристика Эйлера Пуанкаре х(К) равна альтернированной cyм
ме Е( l)J'Yj, rдe 'Yj число j мерных симплексов К. fруппа Но(К, Z)
Bcerдa свободная абелева с числом образующих, равным числу линейно
связных компонент. Это почти очевидно. Ранrи rpупп Hj(K, Z) называ
ются числами Бетти в терминолоrии, введенной Пуанкаре. Разностороннее
рассмотрение rpупп rомолоrий с разЛИЧНЫМИ коэффициентами началось с
конца 1920 x roдов, после их формальноrо определения Э. Нётер, приводив
шей в aлrебраический порядок созданную тополоrами теорию rомолоrий
без aлrебры.
Леrко вычисляются rомолоrии и коrомолоrии прямоrо произведе
ния К 1 Х К 2 , превращенноrо в симплициальный комплекс:
н т (К 1 Х К 2 ; Z) == L H i (K 1 ; Hj (К 2 ; Z»,
. i+j ffi
(3.2.15)
Н т (К 1 Х К2; Z) == L H i (K 1 ; H j (K 2 ; Z».
i+j ffi
для поля коэффициентов эта формула упрощается:
Н т (К 1 Х К 2 ; С) =: L H i (K 1 ; С) Q9 H j (K 2 ; С),
i+j ffi
(3.2.16)
н т (К 1 Х К 2 ; С) == L H i (K 1 ; С) Q9 Hj(K 2 ; С).
i+j m
Заметим, что при симплициальных отображениях комплексов rомолоrии и
коrомолоrии испьпывают естественные rомоморфизмы:
f
К 1 К 2 , f*: Hj(K1' С) Hj (К 2 , а),
f*: Hj(K 2 , С) Hj(K 1 , а),
(3.2.17)
так как симплициальное отображение перестановочно с aлrебраической rpa
ницей д. Как rоворят, rомолоrии и коrомолоrии являются функторами (co
ответственно, ковариантным и КОllтраварuаllтllЫМ) на катеrории симпли
циальных комплексов.
з 2. rомолоrии и коrомолоrии. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПУАНКАРЕ
57
си.мплициалыlйй 2омотоnuей называется симплициальное отображе
F
ние К1 х 1 ---------t К 2 , rдe К 1 х 1 кaк TO (возможно, более мелко) барицен
трически подразделен. Каждому симплексу а n в К 1 отвечает (n + l) Mep
пая цепь а n х 1 в К 1 Х 1 И цепь Р(а n х 1) в К 2 . Обозначим через fa,
fb: К 1 К 2 отображение соответственно нижнеrо и Bepxнero оснований
fa: K I Х (а) К 2 , fa == Р(х, а),
fb: К 1 Х (Ь) К 2 , fb == Р(х, ь).
Обозначим цепь Р(а n Х 1) через D(a n ). Мы имеем формулу простоrо
rеометрическоrо смысла
D(aa n ) :f: aD(a n ) == fa(a n ) fb(a n ),
(3.2.18)
так как д(а n Х 1) == (да n ) х 1 U а n х (а) U а n х (ь) с соответствующими
знаками.
По линейности, эта формула распространяется на тобую цепь тобой
размерности. Если z любой цикл, то az == О, и мы имеем
fa(z) fb(z) == ::f:aD(z).
(3.2.19)
I
. Отсюда и вытекает, что rомотопным отображениям отвечают одинаковые
roмоморфизмы rомолоrий. для коrомолоrий все аналоrично.
Доказательство rомотопической инвариантности rомолоrий и кoroMo
лоrий следует теперь из Toro, что они инвариантны при барицентрических
подразделениях. Последнее само по себе было известно, по видимому, еще
Пуанкаре. Инвариантность относительно rомеоморфизмов rомолоrии кo
печных комплексов вытекает из тoro дополнительноrо соображения, что
всякое отображение f: К К конечноrо комплекса в себя, rдe точки х
и f(x) весьма близки для всех х, rомотопно тождественному f '" l к , Если
задан непрерывный rомеоморфизм конечных комплексов К 1 k 2 , то по
сле перехода к очень мелким подразделениям мы получим симплициальныIe
аппро симации 1, g отображений f и f l такие, что суперпозиции 1 о g
И g о f очень близки к тождественным lК 1 и lК2 И поэтому им rомотопны.
Итак, используя сuмплициалыlюю аппроксимацию, мы видим, что лю
бое непрерывное отображение комплексов порождает rомоморфизм roMO
лоrий и коrомолоrии, не меняющийся при непрерывных rомотопиях. Таким
образом, rомолоrии и коroмолоrий это функтор, зависящий лишь от ro
мотопических типов комплексов и rомотопических классов отображений.
Рассмотрим диarональ
.6.(х) == (х, х), .6.: К К х К,
к симплициальНЬIЙ комплекс.
58
rЛАВА 3
Определение 3.2.1. Для любоrо кольца G проuзведенuем классов KO
2OJ\10ЛО2UЙ а Е Hj(K; С), Ь Е Hq(K; С) называется величина
аЬ == * (а & Ь) Е Н т (К; С), m == j + q,
(3.2.20)
[де
*: Нт(К Х 1<; С) Нт(К; С)
roмоморфизм, порожденный диarональным вложением , а & Ь класс
коrомолоrий в прямом произведении соrласно (3.2.20). Заметим, что цепной
комплекс С(К х К) можно считать тензорным про изведением:
С т (К 1 Х К 2 ) == L C j (K 1 ) & C q (1<2),
j+q=,m
д(а & Ь) == (да) & Ь + ( l)ja i8) дЬ,
(3.2.21)
rдe базис в С(К 1 Х К 2 ) порожден произведением симплексов 01 х O" ,
01 Е К 1 , O" Е 1<2. Точнее, это так буквально после перехода к клеточным
ко.МплеКС{ljИ. для симnлИЦйальных же комплексов следует еще подразделить
прямые произведения 01 х O" на симплексы. Во всяком случае, произведе
ние коциклов Zl Х Z2 определяет коцикл в нт(К 1 Х К 2 ), rде Zl коцикл
В К 1 И Z2 КОЦИКЛ В К 2 . это про изведение коциклов определяет вложение
Hj(K 1 ) & Hq(K 2 ) Hj+q(1<1 Х К 2 ),
которое использовано в (3.2.20) при определении умножения классов Koro.
молоrий.
Как' rоворят, коrомолоrии образуют rpадуированное косокоммутатив
ное ассоциативное кольц05 с единицей 1 Е нО(К) (кольцо КО2ОМОЛО2UЙ)
Н*(К; С) == LHj(K; С)
j O
(3.2.22)
с коэффициентами в любом коммутативном кольце G (dim размерность):
аЬ == ( l)qjba, q == dima, j == dim Ь.
(3.2.23)
Это кольцо функториально в том смысле, что отображение f* : Н* (К; С)
H*(L; С), индуцированное произвольным непрерывным отображени
ем f: L К, является кольцевым rомоморфизмом.
5в современной терминолоrnи «суперкольцо».
!3 2. rомолоrии и коrомолоrии. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПУАНКАРЕ
59
Напомним, что aлrебраический анализ тополоrических работ (напри
мер, Ван Кампена и Л. С. Понтряrина), уже фактически содержавших ис
пользование коrомолоrий, бьm завершен вместе с их четким определением
А. Н. Колмоrоровым и Александером, которые открыли также умножение
в коrомолоrиях (середина 1930 x rr.). По видимому, они исходили отчасти
из аналоrий с тензорным анализом, rдe уже были определены веществен
вые коrомолоrии с помощью дифференциальных форм и rдe очевидным
образом возникло умножение (Э. Картан), а отчасти из замкнутых MHoro
образий, rде имеется кольцо пересечений циклов (Лефшец), двойственное
кольцу коrомолоrий (см. ниже).
Отметим, кстати, «тождество Понтряrина», которое мы формулируем
для конечных комплексов (это функториальный изоморфизм непрерьш
ных rpупп):
Hj(K; CharG) == Char Hj(K; а),
rде G непрерывная абелева rpуппа, СЬат G непрерывная сруппа ее
«характеров», т. е. непрерывныхrомоморфизмов G 81 == U 1 == 802. Для
конечных абелевых rрупп имеем G Char а; Char Z == 81; Char 81 == Z.
Вообще rоворя, мы имеем (Л. С. Понтряrин)
Char СЬатС С.
После анализа алrебраическоrо содержания предыдущих работ Пуанкаре,
Александера по так называемым «законам двойственности» бьmа YCTaнOB
лена следующая теорема (Л. С. Понтряrин, начало 1930 x а.):
H- ( 1vl n ' Char С ) == Char Н _ ( м n , с) ,
J , n з , ,
Hj(8 n "'-I<; CharG) == Char Hn j l(K; а), 0< j < n 1,
rде lvln это ориентируемое Р L мноrообразие и К с sn любой сим
IШициальный комплекс, вложенный в сферу 8 n . На языке коrомолоrии это
означает следующее:
1) Hj(M n ; С) == Hn j(Mn; С);
2) H j (8 n "'-К; С) == Hn j I(K; а), 0< j < n 1.
(3.2.24 )
Пункт 1) называется «двойственностью Пуанкаре» и пункт 2) «двoй
сmвенностью Александера».
Умножение классов коrомолоrии можно определить исходя из YMHO
жения коцепей. Пусть вершины в К перенумерованы (йо, й1, й2, ...) и
заданы две коцепи f и g размерностей j и q соответственно. Коцепь , это
60
rЛАВА 3
функция на симплексах соответствующей размерности. Пусть о-т произ
вольный т мерный симплекс в К, rдe т == j + q, о-т == (Q:io, . . . , Q:i m ), ПО
определению, полаrаем
1 g(o-m) == f(cтf)g(o- ),
(3.2.25)
cтf == (c\:io, . . . , Q:ij)'
o- == (C\:i;, . . . , Q:iтп-)'
т. е. cтf и o- имеют ровно одну общую вершину. Умножение (3.2.25) не яв
ляется косокоммутативным, но определяет косокоммутативное умножение
в коrомолоrиях, в силу равенств:
a*(fg) == (d* 1)g + ( l)j f(a*g),
19 ( 1)jqg1 == д*<р.
(3.2.26)
Умножение коцепей позволяет ввести еще одну важную операцию выce
чен.uя. Пусть с цепь размерности т и а, Ь коцепи размерностей j, q.
Следующее скалярное про изведение
(а n с, Ь) == (с, аЬ)
(3.2.27)
определяет операцию, rде а n с новая цепь. Итак, мы имеем билинейную
операцию высечен.uя в rомолоrиях и коroмолоrиях
а Е Hj (К, Z), с Е Нт(К, Z),
а n с Е Hm j(K, Z),
(с, аЬ) == (а n с, Ь).
(3.2.28)
При отображениях 1: к 1 К 2 верна формула
1*и*(а) n с) == а n 1*(с), (3.2.29)
rдe
а Е Hj(K2, Z), С Е Hт(I{l, Z).
Итак, любой класс целочисленных rомолоrий с Е Нт(К, Z) определяет
оперЮ'ор двойственности:
Hj(K, Z) Hm j(K, Z)
а 1----+ аПс.
(3.2.30)
Оказывается, если К это т MepHoe ориен.тируемое замкнутое мн.О200б
разие К == м т и с == [Мт] Е Нт(К, Z) базисный класс rомолоrий,
з 2. rомолоrии и коrомолоrии. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПУАНКАРЕ
61
то опер!Пор высечения а 1----+ а n с является изоморфизмом двойственности
Пуанкаре
D: Hj(M m , Z) Hm j(Mm, Z), Da == аП [М т ].
(3.2.31 )
Операция на циклах, двойственная к умножению коrомолоrий, называется
пересечен.ие.iU циклов в ориентируемых Jwн.О200бразuяx
(Da) о (Db) == D(ab)
Нm j(Jиm, Z) о Нm q(Jv-fm, Z) с Hm q j(Mm, Z).
(3.2.32)
Эта операция имеет прямой rеометрический смысл. для неориентируемых
мноrообразий двойственность Пуанкаре и пересечение циклов определены
в rомолоrиях mod2, [де G == Z2.
В трианryлированныx мноrообразиях Jv-fm == К оператор двойствен
ноСТИ Пуанкаре имеет простой rеометрический смысл. Мы укажем так
называемый «двойствен.н.ый комплекс Пуан.каре» D К, идея KOToporo для
поверхностей (т == 2) исходит из так называемоrо двойствеННО20 ёpa
фа к rpафу, лежащему на плоскости (или на двумерной поверхности Jv-1 2 ).
Каждому симплексу максимальной размерности т мы поставим в cooтвeт
ствие двойственную к нему вершину Da m комплекса D К. По определению,
Da m есть центр симплекса а т . Напротив, каждой вершине а О комплекса К
мы поставим в соответствие выпуклый т мерный мноrоrранник Dao с цeH
тром в аО. По определению, Dao есть объединение (сумма) всех т MepHЫX
симплексов барицентрическоrо подразделения К' с вершиной в 0-0 (см.
рис. 34)
т=2
Симплексы комплекса
К по казаны жирными линиями,
мноrоrранники комплекса
DK пунктиром
Рис. 34
62
rЛАВА 3
Далее, через центр каждоrо симплекса a k комплекса К проходит ор-
тоroнально ему ровно одна rpaнb Da k размерности m k комплекса D К.
Итак, комплекс D К составлен из выпуклых мноrоrpанников, причем эТl{
мноrоrpанники есть просто суммы симплексов из К', т. е. DK есть укрynне- .
ние комплекса К'. Между симплексами из К и базисными мноrоrpанника-
ми из D К имеется операция скалярноrо произведения (индекс пересечения) .
такая, что
a о D == бо.{3.
Возникает индекс пересечения цепей
(3.2.33) .
(Lло.а ) о (Ljl{3D ) == бо.{3ло.jlfЗ,
о. {3
с о Dc' == бо.fЗЛ о. jlfЗ
(3.2.34)
(rде в правой части использовано правило Эйнштейна суммирования повто-
ряющихся верхних и нижних индексов). Для rраничноrо оператора верна
формула
Da(c) == д* D(c)
(3.2.35)
в случае ориентируемых мноrообразий (для неориентируемых эта формула
верна mod2). Из этой формулы имеем (3.2.31), учитывая совпадение rOMo-
лоrий комплексов К и D К, представляющих разбиение одноrо и Toro же
мноrообразия д,f m на симплексы и на выпуклыIe мноrоrpанники. Пересече-
ние циклов любых размерностей (3.2.32) также реализуется комбинаторно,
rде один цикл берется в разбиении К, а друrой вразбиении D К. Torдa
операция пересечения двух циклов (классов rомолоrий) реализуется дей-
ствительно как их reометрическое пересечение.
3. Относительные rомолоrии.
Точная последовательность пары.
Аксиомы теории rомолоrий. Клеточные комплексы
Кроме rомолоrий симплициальных комплексов К (абсолютных rOMo
лоrий), естественно, как и для rомотопических rpупп, ввести относитель
ные 20.нОЛО211и и КО20МОЛО2Uи пары (К, L), rде L подкомплекс в ]{.
Относительные цепи это просто цепи в К, эквивалентные modulo L.
Мы имеем комплекс относительных цепей С(К, L), rде
Cj(K, L) == Cj(K)jCj(L).
(3.3.1)
з 3. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ rомолоrии. ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПАРЫ. 63
fраНИЧНЫЙ оператор в С(К, L) индуцирован исходным оператором д; так
как aCj(L) содержится в Cj l(L), это определение корректно:
д д
... Cj(K, L) Cj l(K, L)
ПО определению, полarаем
Hj(K, L, Z) == KerajIma,
(3.3.2)
rде Ker д и 1m д это относительные циклы и сранuцы. Аналоrично опре
деляются rpуппы Hj(K, L; С), используя комплекс С(К, L) @.а, а также
rpуппы Hj(K, L; С), используя комплекс Нот(С(К, L), С) и оператор д*.
fеометрически можно представлятъ себе, что относительные коцепи это
функции на сmшлексах из К, обращающиеся в нуль на симплексах из L.
Коцепи из L сосредоточены только на симплексах из L. Аналоrично [OMOTO
пическим rpуппам, возникает точная последовательность пары (К, L)
в zомоло2UЯX и КО2ОМОЛОZUЯX:
Hj(K) Hj(K, L) Hj l(L) Hj l(K) ...,
t----- Hj(K) L Hj(K, L) Hj l(L) Hj l(K) t----- ...
(3.3.3)
(3.3.4 )
Относительные rомолоrии и коrомолоrии и точные последовательности па
ры (3.3.3) и (3.3.4) функториальны при отображениях пар (К 1 , L 1 ) L
L (К2, L 2 ). Все эти объекты rомотопически-инвариантны; отображение
коrомолоrий и rомолоrий f* (или f*) не меняется при rомотопиях.
Аналоrично определяются точные последовательности троек
(К, L, М), К:=) L:=) М:
Hj(K, M) Hj(K, L) Hj l(L, M) Hj l(K, М) ----+ ..., (3.3.5)
Hj(K, M) Hj(K, L) Hj l(L, M) Hj l(K, М) t----- ... (3.3.6)
Замети , что для комплексов L можно перейти к фактор
комплексу К == К j L и ero естественно трианryлировать. Верно равенство,
по определению (теорема вырезания),
Hj(K, L) == Hj(K/L),
Но(К, L) == О
j > О,
(при К связен, а L =J 0).
(3.3.7)
64
rЛАВА 3
fомотопически фактор К / L естественно определяется как приклейка "
к К конуса над подкомплексом L:
K/L==KULCL.
для надстройки ЕК == (CK)l UK (СК)2 из точной последовательноCТlt:
пары (ЕК, (СК)2) вытекает, в силу стяrиваемости комплекса СК, следу-'
ЮЩИЙ важный изоморфизм надстройки
Hj(K, хо) == Hj+l(EK, хо), j О.
(3.3.8)
Исходя из rомолоrий пары точек К == во == (хо U Xl) И изоморфизма'
надстройки, можно по индукции получить rомолоrии сферы
Hj(Sn, 80) == о, j =f:. n,
нn(вn, 80; Z) нn(вn, 80; Z) Z,
нn(вn, 80; С) нn(вn, 80; С) С.
(3.3.9)
Соrласно теореме Эйленберrа.....стинрода функториальность, rомотопи-
ческая инвариантность, точная последовательность пары (3.3.3) и «аксиома
ZО/ttолоzий точки» (т.е. свойство (3.3.9) для сфер вn) однозначно определЯ- '
ют rомолоrии и коrомолоrии, если верно еще свойство (3.3.7) «аксиома
вырезанию) или «факторизации», отличающая rомолоrии от rомотопиче-
ских rpупп.
В 1960 x rодах начали интенсивно использоваться в aIiпарате топо-
лоrии так называемые «обобщенные zомолоztlи u коzомолоzии» (или (<ЭКС
траординарные»). Они обладают всеми свойствами обычных roмолоrий
(коrомолоrий), кроме одноrо обобщенные rомолоrии сфер (вn, 80) Moryт
быть нетривиальными в размерностях, отличающихся от n; иначе rоворя,
абсолютные обобщенные rомолоrии стяrиваемоrо пространства (диска или
точки) Moryт быть нетривиальны в ненулевых размерностях, в том чис-
ле отрицательны.. Мы позднее обсудим эти вопросы. Естественно, также
расширяется формулировка закона двойственности Пуанкаре с учетом oтнo
сительных rомолоrий (без расширения rеометрической базы, лежащей в ero
основе). Если lvln замкнутое ориентируемое мноroобразие и К с Д1 n , то
дополнение AI n '" К == U имеет в себе деформационный ретракт конечный
комплекс L с и. fомолоrии пары (1\1't, и) надо понимать как rомолоrии l '
пары (Д1 n , L). Имеет место общее соотношение двойственности Пуанкаре: ,
Hj(K) == нn з(мn, и). (3.3.10)
При м ер 1. Пусть J.\I n == ВN (сфера), Torдa из точной последователь
ности тройки (д'1 n , и, *) вытекает изоморфизм (если ВN '" U неnyсто):
Hn j(sn, И) == Hn j l(u, *), j =f:. О.
9 3. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ rОМOJIоrии. ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПАРЫ.
65
Мы получаем двойственность Александера (как можно проверитъ, без orpa
ни чеНИЙ на значения j):
Hj(K, *') == Hn j l(u, *"), (3.3.11)
rде *' и *" это точки *' Е К, *" Е И.
При м ер 2. Мноrообразие lvln любое ориентируемое мноrообра
зие, К == w n замкнутая область в нем, т. е. подмноrообразие с кpa
еМ aW n , имеющее размерность n. Из (3.3.11) мы леrко получаем вместе со
свойством (3.3.7)
Hj(W n , BW n ) == Hn j(wn),
Hj(W n , BW n ) == Hn j(Wn)
(двойственность Лефшеца).
fомотопически-инвариантные теории rомолоrий удобней Bcero стро-
ить и изучать на катеrории не более чем счетных клеточных комплексов
(как rоворЯТ, CW комплексов). Уже встречалась раньше например, при
построении двойственноrо комплекса Пуанкаре необходимость (или по
меньшей мере удобство) рассмотрения укрупненных комплексов, rде эле-
менты не являются универсальными симплексами, а являются, например,
выnyклыии мноrоrpанниками. Наиболее общим и удобным объектом Taкoro
рода являются клеточные комплексы.
Пусть К симплициальный комплекс. Мы будем rоворить, что К
разбит на клетки, если задан набор симплексов (или дисков) разных раз-
мерностей и их симплициальных отображений
Ф : D ----+ К,
которые обладают следующими свойствами:
а) Ф взаимно однозначно на внутренности симплекса (Ф (intD )
«клетка» размерности n);
Ь) совокупность клеток покрывает весь комплекс К;
с) образ rpаницы Ф (д D ) лежит в объединении клеток размерности,
меньшей, чем n. Разные клетки образы Ф", (Int D ) не пересекаются.
Int D n это внутренность D n . В этом случае мы скажем, что в К задана
структура клеточноrо комплекса k. Из определения видно, что клетки в
симплициальном комплексе представляются цепями конечными линей
ными комбинациями симплексов, на которые разбит диск Dn:
Ф (D ) == LЛ"'''У(j , Л"'''У == :1:1,0,
"У
rдe a симплексы в К размерности n.
5 Тополоrия
66
rЛАВА 3
Разные клетки Ф (D ) не пересекаются. Поэтому если симплекс аtl
вошел в одну клетку, то он не войдет в друryю. Каждый симплекс a
содержится хотя бы в одной клетке. Обозначим клетки Ф (D ) через x .
fраница клетки х:; есть линейная комбинация клеток размерности n 1:
а ..... n == [ .....n. X n 1 ] .....n 1 а о а О
"о "0/ . 8 "8' == ,
8
(3.3.12)
rде целое число [х:;: x 1] называется коэффициентом инциденции. По
определению, а на клетках порождается rpаничным оператором а на цепях
(см. выше g 2). Вследствие этоrо имеем а о а == О. Клеточные ZОМОЛО2Uи,
как и ранее, определяются, исходя из клеточноrо комплекса К, клеточных
цепей и коцепей С(К), Ною(С(К), С), С(К) Q9 а. Клеточные rомолоrии
симплициальноrо комплекса К, любым способом разбитоrо на клетки К,
совпадают с ранее определенными симплициальными rомолоrиями.
O ТOB<?M КN называется объединение клеток размерности ::::; n. Фак
тор КЗ /кз 1 есть букет сфер ВЗ:
Kj / Kj l == В{ v '" v S!n v .. . ,
rде каждое слaraемое букета представляет одну клетку
, а == 1, 2, . . . ,т, ...
fраничный оперЮ'ор определяется, исходя из точных последовательностей
в rомолоrиях2:Х.П(iР:. П р' jКn, Kn 1) и пары (Kn 1, Kn 2):
I
Определение клетОЧНО20 КО.мплекса можно сделать и несколько бо- I
лее широким, не зависящим от симплициальных комплексов. Тополоrиче- "
ское пространство Х называется клеточным комплексом, если задан набор
непрерывных oro6ражеlШЙ дИСКОВ всех размерностей I
t
.
I
t
I
нn(к n , Kn 1) Hn 1(Kn 1) Hn 1(Kn 1, Kn 2).
Ф : D Х
таких, что образ Ф взаимно однозначен на их внутренностях IntD , при-
чем образы Ф (Il1t D ) «клетки» x не пересекаются и совместно для
всех (n, а) покрывают Х; эти образы rомеоморфны открытым дискам, вло
женным в Х. Требуется, чтобы образ rраницы Ф (аD ) == ф (Sn l) по
падал в объединение клеток меньших размерностей. Тополоrия в Х такова,
67
9 3. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ rомолоrии. ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОcrь ПАРЫ.
qтo для непрерывности отображения Х в друrое пространство необходимо
и достаточно непрерывности на замыкании каждои клетки по отдельности
и: соrласования на общих rpаницах.
Клеточные комплексы строятся итерациеи следующих операции: зада
но пространство Х и набор отображений сферы fo: вз 1 Х. Опреде
ляет сЯ новое пространство, rде каждая сфера 10/ заклеивается диском Dl:.,
прикрепленныM по отображению 10 на ero rpанице:
у == Х U (D{ u .. . u D u ...).
(/1,...,1"".. .)
(3.3.13)
Тополоrия в У вводится естественно. Начиная с O MepHoro OCТ Ba КО
набора точек (вершин), следует осуществить операцию приклеики OДHO
мернЫХ клеток (j == 1), затем к полученному одномерному остову К 1
приклеить 2-мерные клетки и т. д. Все клеточные комплексы rомотопиче
ски-эквивалентны симплициальным.
При м е р 1. Простейшее клеточное разбиение сферы ВN таково: име
О n ,т,n. D n В N
ется одна нульмерная клетка х и одна n мерная х , rде 'J.'.
таков, что Ф(аDn) == ха (вершина). Очевидно, dx O == ах n == О. Мы имеем
roмолоrии
но(вn) == Нn(Вn) == Z,
Hj(Sn) == О, j =/; n, О.
При м ер 2. Проективные пространства вещественное и комплекс
ное имеют такие клетки:
а) Rp n == х О U х 1 U . . . u х n ,
x-i==RРj",RРj l=={(хо: ... : xn)IXj=/;O, Xk == О при k > Л,
аха == ах 1 == ах З == ах 5 == . . . == ax2k+1 == . . . == О,
a,,(lj == 2x2j 1, j > О
(3.3.14)
Ь) срn == ХА U х 2 U . ., u,,(ln,
x 2j ==Cpj", Cpj l=={(zO: ... : zn)lzj=/;O, Zk == О при k > Л, (3.3.15)
ax 2j == О, j О.
При м е р 3. Ориентируемые и неориентируемые поверхности, пред-
ставляемые в виде отождествленных мноrоуrольников (см. рис. 27, 28), тем
5*
68
rЛАВА 3
самым, по существу, заданы в виде минимальных клеточных разбиений, rДе
имеются ровно следующие клетки:
а) М; (ориентируемые): (х О , xt, . . . , X g, х2); дх] == О, дх2 == О.
Ь) Nl,g (неориентируемые, g О): (х О , хб, xt..., " 2 1, Х2 ) ; дх1 == О
? 1 J '
ди-- == 2Х-9;
с) lv'i,g (неориентируемые, g 1): (х О , xt, ..., xJ g , х2); дх 1 == О
дх2 == 2.....1 З'
"2g'
fомолоrии поверхностей леrко извлекаются из этих формул. Индекс
пересечения одномерных циклов (для неориентируемых поверхностей он
имеет смысл лишь mod 2) имеет такой вид. Обозначим xJ. че р ез а - х: 1
. 1 1, 21 1
через b i , 2 == 1, ..., g. для всех поверхностей Jv-I2 N 1 2 NJ имеем
9' ,9' ..,9
ai о aj == b i о b j == О,
ai о b j == дij
(3.3.16)
(в неориентированном случае mod 2). Пусть хб обозначим через с
для Nl,g' Тоrда
,
с о с==l, coai==cobi==O (mod2). (3.3.17)
Набор циклов (ai, b j ) называется каноническим базисом циклов пoвepXHO .
сmu, есJШ для ero индексов пересечения ВЫIlOJШены формулы (3.3.16). . I
Учитывая двойственность Пуанкаре, rде базисный элемент из rpyn ,;
ПЫ НО переходит в базисный класс rруппы н 2 , формулы (3.3.16) и (3.3.17) .
опишут структуру кольца коrомолоrий
н* ( м 2 . Z ) H* ( N2. Z ) H* (N. 2. Z ) ![
g" 1,g' 2, 2,g' 2. 1,
для фундаментальной rpупnыI уже формулировалась выше теорема
Хопфа
I
!
[;
ы
1,'
ili
j :
Н1(К; Z) == 71'1 (К)Л71'1 , 71'1],
(3.3.18)
rде [71'1, 71'1] означает коммутант rpуппы 71'1, т. е. совокупность элементов,
переходящих в ноль при наложении условия коммутативности в rруппе 71'1.
Обобщением этой теоремы является теорема fуревича:
Если 71'i(K) == О для О < i < n u n > 1, то существует естественный
U30Аюрфизм абелевых 2рупп
71'n(К) == Нn(К; Z). (3.3.19)
учитывя,, что rомотопические rpупnыI линейно связных пространств, при
крепленные к разным точкам, изоморфны (и этот изоморфизм для OДHO
связных пространств канонический и единственный), мы не пишем Ha
чальную точку при обозначении rомотопических rpупп. Аналоrично ДЛЯ
относительных rpупп, 71'i(K, L), если L линейно связно.
з 4. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ. СИНrYЛЯРНЫЕ rомолоrии.
69
Относительный вариант теорем типа fуревича таков:
Если 71'i(K, L) == О для О < i < n, то Hi(K, L) == О для О < i < n и
вертЮ равенство (при n > 1)
Нn(К, L; Z) == 71'n(К, L)/{a == t(a)}, (3.3.20)
2де t Е 71'1(L) все операторы 2руппы 71'1 (L), действующей на 71'n(К, L).
а любой элемент 2J1ynnbl 71'n(К, L).
Эта формулировка является более полным аналоrом теоремы Хопфа,
че)'d обычная «односвязная» теорема fуревича.
При м е р. Если L линейносвязный комплекс и фактор К/ L есть бу
кет n MepHЫx сфер K/L == sr v ... v B , то 71'n(К, L) как модуль над Z[7J']
свободен и имеет ровно k естественных образующих (а1, ..., ak), cooтвeT
ствующих сферам букета, 71' == 71'1(L).
4. Симплициальные комплексы и друrие виды
rомолоrии.
Синryлярные rомолоrии. Покрытия и пучки.
Точная последовательность пучков и rомолоrий
Используя симплициальные комплексы, можно ввести roмолоrии об
щих тополоrических пространств Х , а также важные в различных вопросах,
поrpаничных с теорией КОМIШексных мноrообразий И комплексным анали
зо)'d, rомолоrии с коэффициентами в пучках.
Начнем с теории rомолоrий общих пространств. СИНZ)lлярным cим
плексом называется пара (а n , f), rде f отображение обычноrо симплекса
вХ
f: а n Х.
Множество синryлярных симплексов образует континуальное образова
ние синryлярный комплекс. Формальные линейные комбинации синry
лярных симплексов это СИНZ)lлярные цепи. fраница синryлярноrо сим
плекса (а n , f) есть, по определению, синrулярная цепь
u
д(а n , f) == 2) 1)j(aj \ 1),
j==O
ще aj 1 это rpaНb с номером j. Возникает комплекс синryлярНЫХ цe
пей С(Х) и ero rомолоrии Сtl1l2улярные 2ОМОЛО2ИИ пространства Х.
Они rомотопически инвариантны и функториальныI. Синryлярные rомоло
rии точки тривиалъныI в ненулевых размерностях. Аналоrично определя
юrся синryлярныIe относительные rомолоrии Hj(X, А, С) и синryлярные
(3.4.1)
70
rЛАВА 3
коrомолоrии Hj (Х, С) и Hj (Х, А, С). ДЛЯ колец G коrомолоrии образу
ют rpадуированное кольцо. Для комплексов доказывается, что синryЛЯРНЫе
rомолоrии (коrомолоrии) совпадают с определенными выше симплициалъ.
ныии rомолоrиями (коrомолоrиями).
Использование синryлярных rомолоrий весьма удобно для исследова
ния функциональных пространств отображений одноrо комплекса в дpy
rой точнее, исследование их rомотопических инвариантов, необходимое
при построении техники вычисления rомотопических rpупп, сфер и дрyrиx
важных комплексов.
Уже отмечалось, что в теории тополоrических пространств дрyrой при
роды, а также в комплексной rеометрии и анализе используются KoroM
лоrии с коэффициентами в пучках. Опишем эти объекты. Предпучком F
(rpупп, колец и т. д.) над пространством Х называется соответствие, кo
торое каждой области U сопоставляет rpуппу, кольцо и т. д. :Fu так, что
вложению V С U отвечает «rомоморфизм оrpаничения»
'Pvu: :Fu :Fv.
Если W с V с И, то должно быть верно следующее:
(3.4.2)
'Pwv о 'Pvu == 'Pwu.
(3.4.3)
Предпучок :F называется пучком, если он обладает такими свойствами:
а) если любая область U покрыта областями Va:, U Va: == U И все i,i
!i
а ro
оrpаничения 'Pv",u(f) == о, то f == о; 1I
Ь) пусть при тех же условиях на всех областях Va: заданы элементыI f а: Е
:Fv", такие, что во всех пересечениях Wа,В- == Va: n V.в они соrласованы:
u;
i'
;
t:
,-
'РWа v)f.в) == 'PW a v'" иа).
(3.4.4)
Torдa найдется элемент f Е :Fu такой, что
1
\'
.
Элементы rpупп, колец и т. д. :Fu называются сечениями пучка :F над обла _ ' . ! , !
стъю И. I
С!
,
I
r.
d;
с
'Pv",u(f) == fa:.
При м е р 1. Постоянный пучок :Fu == G (rpуппа, кольцо и т. д.) для
любой области И.
При м ер 2. Пучок ростков непрерывных функций, [де :Fu это
функции, непрерывные в области И. Аналоrично определяются пучки рост-
ков rладких функций, пучки ростков rоломорфных, мероморфных функций
з 4. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ. СинrУЛЯРНЫЕ rомолоrии.
71
или aлrебраических, [де Х rладкое, комплексное или алzебраическое MHO
20 0б разие. Более общо, можно рассмотреть пучок ростков векторных, тeH
зорных и дрyrиx полей KaKoro To класса rладкости или даже пучок ростков
сечений любоrо расслоения с базой Х (ниже).
В 1920 x и. Лефшецом бъта выдвинута проrpамма применения ал
rебраических методов комбинаторной тополоrии к изученmo общих про
странств, развитие которой было начато Виеторисом, П. С. Александро
вым, Чехом. Соrласно П. С. Александрову с покрытием можно связать сим
nлициалъный комплекс ero «нерв». Пусть Х покрыто областями Va:,
U Va: == Х. Возьмем набор (йо, йl, ...) всех индексов й за множество
а:
верШИН симплициальноrо комплекса К {Va:}. Конечное подмножество ин
дексов (Qio, ..., (XiJ определяет n мерный симплекс в этом комплексе,
еСЛИ соответствующие областн пересекаются:
Val (')... n Va:. 2 10.
t.o &n I
Нерв тетраэдр ABCD
Рис. 35
rомолоrии Hj(K; С) называются rомолоrиями покрытия {Va:}. Пусть по
крытие { V х} вписано в покрытие {Va:}, т. е. каждое W х целиком coдep
жится в KaKOM TO Va:. Тоrда возникает естественное отображение нервов:
вершине х сопоставляем вершину й, rде Va: ::) Wvk (если таких й несколъ
КО, то выбираем одну). Это порождает отображение всех симплексов, так
...
72
rЛАВА. 3
как из непустоты множества W хо n . .. n W x ", безусловно, вытекает непу
стота V 0:0 n . . . n v 0:", если VO: j :) W xj :
фwv: K{W x } K{Vo:}'
Заметим также, что для любых двух покрытий {Vo:} и {И.в} простран
ства Х существует покрытие {W x }, вписанное в эти покрытия (напри-
мер, W x == И.в n Vo:, х == а./3) со следующими отображениями нервов:
K{W x }
К {Vo:}
/WWV
"'" Wwu
К {и,в},
тем самым возникает обратная система (или «спектр») {K{Vo:}, Фwv}
комплексов К {Vo:} и симплициальные отображения между ними. Обратная
система {К {Vo:}, ф' wv } может быть рассмотрена как обеспечивающая сим-
плициальную аппроксимацию пространства Х; например, если Х KOM
пактное метрическое пространство, то обратный предел {К {Vo:}, Ф'wv}
rомеоморфен Х.
Каждое симплициальное отображение Ф'wv: K{W x } K{Vo:} ин
дуцирует rомоморфизм rpупп коrомолоrий соответствующих покрытий:
Ф'wv: Hj(K{Vo:; С}) Hj(K{W x ; а}),
и можно взять прямой предел системы {Hj (К {Va; а}), Фwv} rpупп и ro
моморфизмов, называемый j ou спеюрршzьной (или чеховской) zpyппou к02О-
1ЮЛQ?UЙ пространства_ Х. Прямой предел определяется следующим обра
зом. Начиная с элементов Н] (К {Vo:; С}) для всех покрытий {Vo:} как обра
зующих будем считать элементыI х Е HJ(K{Vo:; а}) и у Е НЗ(К{И,в; С})
(возможно, соответствующие различным покрытиям) равными, если суще- 1. 1 _
ствует более тонкое покрытие {W x } такое, что образы Ф'wv(Х) и Ф'wv(у)
двух элементов совпадают в rpуппе НЗ(К {vV x ; С}):
ii
i
,
I
.
Н] (К {Vo:; С})
/W WV
Hj(K{vV x ; а})
'" Ф Йrи
НЗ(К{И.в; С}).
j ая спектральная rpуппа rомолоrий Х (или чеховская rpуппа rомолоrий Х)
определяется схожим образом как обратный предел j-ыx rpупп rомолоrий
94. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ. СИНrYЛЯРНЫЕ rомолоrии.
73
всех покрытий Х, rде конечно все roмоморфизмы идут в обратную сторону.
окончательно такие rомолоrии были формализованы Чехом.
для триaнryлированных мноrообразий, исходя из двойственноro КOM
nлекса Пуанкаре и достаточно мелкой триaнryляции К, нетрудно получить
покрытия и нерв, rомолоrии KOToporo совпадут с roмолоrиями самОЙ ис
ходной триaнryляции. (Это можно сделать, взяв достаточно хорошую три
анryляцию К мноrообразия и заметив, что двойственный, по Пуанкаре,
KOMrтeKC D К допускает покрытие открытъlии выпуклыIии МНоrorpанника
ми Ио: == Int DO" , rде O" вершины триaнryляции К. После этоrо можно
увидеть, что нерв К {И о:} этоrо покрытия совпадает с барицентрическим
подразделением комплекса К.) Отсюда, вместе с инвариантностью относи-
тельно барицентрических подразделений, также леrко вытекает тополоrи
ческая инвариантность rомолоrий (но не roмотопическая). Используя нервы
покрЫТИЙ, естественно дается определение К020МОЛО?UU с коэффициентами
в пучке F, по-видимому, введенных Лере. Именно, любому покрытшо Vo:,
как и ранее, отвечает нерв К {Vo:}' При этом симплексу нерва (а.о, ..., а. n )
естественно сопоставляется rpуппа (кольцо и т. д.) вида
(а.о, . . . , а. n ) Fv",on. .. nv",,,,
Коцепи f со значением в пучке таковы для любоrо покрытия, что на сим
nлексе нерва (а.о, . . . , а. n ) коцепь f принимает значение в Fv",on. .. nv",,,,
Коrpаница д f определяется естественно
n+l
(д* f, (а.о,..., а. n +l» == L( l)З<рзЛа.о, ..., аз, ..., а. n +l),
з==о
rде <Рз rомоморфизм оrpаничения
<Pj: F( n V",J F(n V",J'
i#j i
После этоrо коrомолоrии Нn(Х, F) определяются как предел спектра по
всем покрытиям.
При М е р 1. для пучка F ростков непрерывных или c k (1 k 00)
rладких функций на вещественном мноrообразии Jlvln несложно доказыва
ется, что
НЗ(М n ; F) == О, j > О,
нО (JИ n ; F) бесконечномерное пространство rлобально определенных
функций на мноrообразии.
74
rЛАВА 3
При м ер 2. для пучка :F ростков rоломорфных функций на зам-
кнутом комплексном мноrообразии Х мы имееем:
а) НО(х; :F) == с (нет rлобально rоломорфных функций, кроме кон-
стант)
б) все Hj(X;:F) конечномерные линейные пространства для
всех j > О.
Естественно определяется подпучок :F 1 С :F 2 И фактор пу
чок :F3 == :F2/ :F 1 , хотя определение фактор пучка может содержать тон-
кость, так как :F 2 u / :F1u, вообще rоворя, представляет собой только пред-
пучок. Итак, возникает точная последовательность пучков
i j
о :Fl -----+:F 2 :Fз О.
Такой последовательности ставится в соответствие точная последователь-
ность roмолоrий, включающая, как частный случай, различные rомолоrи-
ческие точные последовательности
... Hq(x; :Fl) Hq(Xj :F2)
- &*
Hq(Xj :Fз) ............. Hq+l(X; :Fl) .. .
(3.4.5) I
f,
i'
,
I
При м е р 1. Пусть :F 2 постоянный пучок над К, т. е.просто rpуп-
па а, ассоциированная с каждым открытым множеством в К; пучок:F 1 мы
выберем как подпучок в :F 2 , сосредоточенный на L постоянный (== G) пу-
чок на L, нулевой вне L. Коrомолоrии со значениями в :F 2 есть Н q (К; С);
коroмолоrии со значением B:Fl есть Hq(L; С). Последовательность (3.4.5)
сведется к точной последовательности пары (К; L); см. (3.3.4).
При м е р 2. Пусть :F 1 , :F2, :F3 постоянные пучки абелевых
rpупп над К, :F3 :F2/:Fl' Из (3.4.5) получаются естественные
связи между rомолоrиями с разными коэффициентами. Пусть, напри
мер, :F 1 == Zp с :F2 == Zp2, :F3 == Zp. fомоморфизм д* точной последова-
тельности (3.4.5) имеет вид
Hq(K; Zp) Hq+l(K; Zp).
(3.4.6)
Он обозначается через jЗ == д* и называется zомоморФuзмом Бокштеu-
на. Прямое определение таково: пусть 'Z целочисленная q мерная KO i.
цепь в С*(К; Z), из которой пр иве дени ем (modulop) получается KO
цикл Z Е С'(К; Zp), z z modp. для I<Drpaницы мы имеем I
д* z == О, a*'Z == ри, д*и == О. "
9 5. rомолоrии НЕОДНОСВЯЗНЫХ КОМПЛЕКСОВ. КОМПЛЕКСЫ МОДУЛЕЙ
75
Итак, выражение
д*; == jЗ(z)
определяет элемент jЗ(z) Е Hq+l(K; Zp), если z Е Hq(Kj Zp).
ЗАМЕЧАНИЕ. Уместно отметить, что нередко возникают пучки F неабелевых
rpупп. для них естественно и полезно определить объекты нО(х, F), которые яв-
ляются rpуппой, и множество H 1 (Х j F). для постоянных пучков эти объекты бьши
определены выше (см. 2). Их определение полностью аналоrично случаю посто
янных учков. КoH eтныe примеры будут указ,?ны ни е в теории rлавных C pac
слоении. rруппа н (Х; F) называется zpynnou сечении пучка F, а rpуппы Fu
сечениямИ над областью (или «ростками сечений»).
5. rомолоrии неодносвязных комплексов.
Комплексы моду лей. Кручение Рейдемейстера.
Простой rомотопический тип
Теория rомолоrий и коrомолоrий неодносвязных комплексов представ-
ляет любопытные aлreбраические особенности, которые в некоторых случа
ях приводят к важным последствиям. Уже упоминалось выше, что в Heoд
НОСВЯЗНЫХ комплексах относительный аналоr теоремы fуревича для па
ры (К, L) может быть сформулирован на языеe структуры модуля 7r n (K, L)
над Z[7r], rде 7r == 7rl(L). Если Z тривиальный Z[7r]-МОДУЛЬ, rде операторы
из 7r все действуют тождественно, то можно записать теорему (3.3.18) в
виде
Нn(К, Lj Z) == 7r n (K, L) Q9Z[1r] Z (3.5.1)
при условии 7rj(K, L) == О, О < j < n, n > 1.
Тензорное проuзведенuе двух модулей М Q9a N над любым кольцом G
определяется как абелева rpуппа, порожденная элементами m Q9 n с оБыч
ным условием билинейности, как и для абелевых rpупп (3.2.4), и дополни
тельным условием
1:
i
л(mQ9n)==mQ9Лn, лЕG.
(3.5.2)
для G == Z это сводится к тензорному произведению (92).
Любой неодносвязный симплициальный или клеточный комплекс по
рождает aлrебраический комплекс свободных Z[7r] модулей С*(К), базис
цепей которых находится в естественном взаимно однозначном соответ-
ствии с симплексами или клетками в К. Действительно, рассмотрим уни-
версальное накрытие
р: К К, 7rl(K) == о,
76
rЛАВА 3
rде 11" == 11"1 (К) свободно действует на К, переводя симплексы в симплек
сы (или клетки в клетки). Это вытекает немедленно из Toro, что накрытие
над стяrиваемым объектом тривиально, т. е. совпадает с прямым произве-
дением ero на дискретный слой F == 1I"1(K) == 11". В нашем случае таким
стяrиваемым объектом является симплекс (или клетка)
1 ( п ) U п
р аа == аа"У'
-у
--у Е 11".
Выберем одну «начальную» клетку a l С p l(a ). Все остальные клетки
в К получаются из таких применением элементов из 11":
1'(a l) == a 'Y' l' Е 11".
На цепях Сп (К) тем самым свободно действует rpупповое кольцо Z[1I"],
коммутируя С оператором д. Мы получили комплекс свободных Z[1I"] МОДУ-
лей С*(К)
дЛ(с) == лд(с), л Е Z[1I"].
Накрытие К к может быть не универсальным, а только
реryлярныМ, [де некоторая фактор rpуппа r rpупnыI 11"1 (К) действу
ет свободно на К, переводя симплексы (клетки) в симплексы (клет
ки) так, что K/r == К. В этом случае возникает свободный Z[r] KOM
плекс С*(К).
ПрЬизволЪщ>е предСтавление rомоморфизм р: r Aut V в rpуппу
автоморфизмов BexтopHoro пространства или абелевой rpупnыI V превра
щает V также в z[r] модуль (V, р). Возникает комплекс цепей
С*(К; р) == С*(К) 0z[r] (V, р).
(3.5.3)
fомолоrии (коrомолоrии) комплекса С*(К, р) называются roмолоrиями (KO
roмолоrиями) комплекса К с коэффициентами в представлении р. t
При м е р 1. р тривиальный rомоморфизм, переводя
щий r 1 Е Aut V. Torдa ) мы получаем обычные rомолоrии Hq(K; V) t
или коrомолоrии Hq(K; V .
При м е р 2. К неориентируемое n MepHoe мноrообразие.
Пусть р( --у) == sgn J: знак пути sgn'Y равен 1, если путь l' сохраняет ориен-
тацию и равен ( 1), если --у обращает ориентацmo, --у Е 11"1 (К). Здесь V == Z,
з 5. rомолоrии НЕОДНОСВЯЗНЫХ КОМПЛЕКСОВ. КОМПЛЕКСЫ МОДУЛЕЙ
77
rpупnа Z2 == (:1:1) совпадает с rруппой автоморфизмов целых чисел Z. Воз
никaIOт roмолоrии (коrомолоrии) Hj(K; р), НЗ(К; р). Закон двойственно
сТИ Пуанкаре, извлекаемый из Toro же caMoro двойственноrо комплекса D К
(см. 2), приводит к изоморфизмам:
D: Hj(K; р) Hn j(K; р),
D: Hj(K; р) Hn j(K; р).
При м е р 3. Если р тождественное отображение,
(3.5.4)
v == Z[1I"], при Hj(K; р) == Hj(K; Z) и Hj(K; р) == Hj(K; Z).
Особый интерес представляют такие представления р: 11" Aut V,
что соответствующие rpуппы rомолоrий Hq(K; р) тривиальны, Т.е. К
еСТЬ р ациклический комплекс. В этом случае комплекс цепей С* (К; р)
представляет собой точную последовательность (пусть К n мерный KOM
nлекс)
д д д
О Сп(К; р) Gn l(K; р) ... Со(К; р) О.
(3.5.5)
Важно отметить, что в свободных абелевых rpуппах или векторных про
странствах Cj(K; р) имеются отмеченные базисы, порожденные клетка
ми К, если V свободная абелева rpуппа с отмеченным базисом или
векторное пространство с отмеченным базисом.
ЗАМЕЧАНИЕ. Пусть, далее, V конечномерное векторное пространство над
каким то полем k с отмеченным базисом. Базис в Cj(K; р) можно менять следу-
ющими элементарно rеометрическими операциями: 1) изменение ориентации клет
ки и ........ и::; 2) изменение выбора начальной клетки (J' l в полном прообр-з-
зер l((J' ) == Ua ..,., 'у Е п; это ведет к замене базиса и ........ :I:'Yи или к измене-
нию и ........ :l:p('Y)и в представлении р. Однако мы учтем это изменение потом, а
пока будем рассматривать комплексы с отмеченными базисами (3.5.5).
для двучленноrо комплекса
д
О........ Сп(К; р) Cп l(K; р) ........ о
с нулевыми rомолоrиями оператор д есть просто изоморфизм. Если заданы
и отмечены базисы Сп(К; р) и Cп l(K; р), то оператор д записывается как
невырожденная матрица. Возникает детерминант det д этой матрицы. Ока-
зывается, любому ацикличному конечному комплексу С вида (3.5.5) можно
приписать число «детерминант комплекса», если во всех (Cj(K; р)) от-
мечены базисы. Для тройноrо комплекса
о........ Сп (К; р) Cп l(K; р) Cп 2(K; р) о
78
rЛАВА 3
это делается так: берем базис (cn) в сn(к; р) и базис (Cn 2) в Cn 2(K; р).
В Cn l(K; р) отмечаем базис (cn, д 1(Cn 2))' Кроме Toro, в Cn l(K; р)
имеется базис (Cn 1), КОТОРЫЙ бьш там отмечен. Детерминант матрlщы
перехода от (Cn 1) К базису (cn, д 1(Cn 2)) определен однозначно, так
как произвол в выборе д 1 (Cn 2) носит треуrольный характер. Аналоrич-
но определяется детерминант любоrо комплекса det С. Обозначим базис
в Ст(К; р) через ст. и выберем произвольные базисы а т в про стран-
ствах Ат, rде а n == СП И 0,0 == со:
Аn == Сп, Aj с Cj l, j == 1, . .., n 1, Ао == О,
э
О Аn Cn 1 An 1 с Cn 2,
Э
О An 1 Cn 2 An 2 с Cn 3,
э
О А 1 СО Ао == О.
По определению, полаrаем
det С*(К; р) ==
det[Cn l : (а n , a lan l)] . dеt[сn з : (an 2, д lаn з)] .
det[Cn 2 : (an 1, д 1an 2)] . det[Cn 4 : (аn з, д 1an 4)] .
rде С*(К; р) р ацикличный комплекс.
Определение 3.5.1. Величина det С* (К; р) определена для {rациклич-
ных комплексов Hj(K, р) == О, j ;::: о и называется «кручением Рейдемей-
стера» комплекса К. Она обозначается через R(K, р).
Соrласно теореме (Рейдемейстер, де Рам, Франц, вторая половина
1930 x rодов) величина det С*(К; р) == R(K, р) с точностью до знака и
умножения на любое число вида det Р('У), "f Е 7r является комбинаторным
инвариантом комплекса К (т. е. не меняется при подразделениях). MHOro
позднее, в 1970 x п. было доказано, что это тополоrический инвариант.
Произвол в выборе возникает за счет уже упоминавшеrося произвола в
выборе базисов в комплексе с(к; р). Если L любой одно связный КОМ-
плекс, 7r1 (L) == О, то верно равенство
R(K х L, р) == R(K, р) . X(L),
rде х( L) характеристика Эйлера Пуанкаре.
g 5. rомолоrии НЕОДНОСВЯЗНЫХ КОМПЛЕКСОВ. КОМПЛЕКСЫ МОДУЛЕЙ
79
Впервые величина R(K, р) была введена для исследования так назы
ваемЫХ лин.зовых пространств (Рейдемейстер): пусть А диarональная
унитарная матрица порядка m вида
А == (ajk), ajk == е21riqj/mдjk, А т == Inxn,
(3.5.6)
дjk единичная матрица. Предполarается, что все (ql, ..., qn) взаимно
просты с т, т. е. на диarонали стоят первообразные корни из единицы.
Матрица А определяет rpуппу Zm, действующую свободно на сфере B2n 1
В кoMrтeKcHoM пространстве СП
n
L Jz j l2 == 1, zj e21riqj/mzj.
j==l
(3.5.7)
S ?n 1 /Z
Факторизация m является накрытием над некоторым мноrообрази
ем, которое называется «линзовым»
s2n 1 /А == L2n 1 .
(ql, .... qn)
(3.5.8)
Можно считать, меняя образующую А в rpуппе Zm, ЧТО ql == 1. Для n==2
мы получаем трехмерное мноrообразие L == L{l,q)' rде e21riq/m перво
образный корень степени m из единицы. Мноrооб р азия L3, и L3" rOMoTo-
q q
пически-эквивалентны, если и только если
q' / q" == :::J:Л 2 modulo т.
(3.5.9)
это леrко вытекает из структуры кольца коrомолоrий H*(L ; Zm), учиты
вая действие rомоморфизма Бокштейна /3: Нl(Х; Zm) н2(х; Zm)
см. (3.4.6). Если [L ] фундаментальный класс rомолоrий линзы, то верно
равенство
(а/3(а), ::!:[L ]) == ::!:q
(mod т),
;;
rде а базисный элемент в Hl(L ; Zm) == Zm. Преобразование а Ла
влечет преобразование
q Л 2 q.
Клеточное разбиение линзы не зависит от ql, . . . , qn И такое же, как у
проективноrо пространства Rp2n 1: имеется по одной клетке в каждой
разм Р о 1 2 3 2n 1
е ности а , а , а , а , . . . , а с rраницеи
aa2j 1 == О, aa 2j == ma2j 1, j > О.
(3.5.10)
80
rЛАВА 3
Однако на сфере B2n 1 возникает индуцированное накрывающее клетОЧНое
разбиение, на клетках KOToporo rpуппа Z с образующей А действует УЖе
свободно и которое существенно зависит от (Q1, . . . , Qn). для n == 2 На
сфере имеются клетки .
а} ==Аjа З , 8==0,1,2,3, j ==0,1, ..., т 1.
(3.5.11)
fраничный оператор таков для L :
да З == (1 AQ)a 2 , ar == аЗ,
ди2 == (1 + А + ... + Aт 1)a1,
да 1 == (1 А)иО.
(3.5.12)
Рассмотрим представление р: Z (e 21ri / m ) в пространстве V == с 1 . Ком-
плекс C*(L ; р) будет таков:
д д д
О С З ......-+ С 2 ......-+ С 1 ......-+ Со ....... О,
rде все пространства C j одномерныI и имеют базисные элементы ej. [ра-
ничный оператор таков:
д(ез) == (1 e21riq/m)e2, де2 == О,
де1 == (1 e 21ri / m )eo.
(3.5.13)
Кручение R(L , р) имеет вид
R(L , р) == (1 (q)(l () nlOd (::!:(О),
(3.5.14)
rде ( == e 21ri / m . Отсюда леrко вытекает, что линзы MOryT быть rомотопиче-
ски эквивалентны, но комбинаторно неэквивалентны и даже неrомеоморф-
ны, в силу более поздних результатов (Мойз, Чепмен, Эдвардс). Рассматри- .
вая различные представления р для n > 2, можно доказать, что линзовые
мноrообразия MOryт быть комбинаторно-эквивалентны только в тривиаль-
ных случаях (де Рам, Франц).
Полный общеrомотопический анализ возникающей здесь ситуации был
произведен Уайтхедом. Пусть известно, что два конечных комплекса Kl
и К 2 rомотопически эквивалентны. Можно ли осуществить эту эквива-
лентность элементарными комбинаторными операциями? Не входя в детали
з5. rомолоrии НЕОДНОСВЯЗНЫХ КОМПЛЕКСОВ. КОМПЛЕКСЫ МОДУЛЕЙ
81
тDчноrо описания этих операций на rеометрическом языке, aлrебраическая
картина сводится к следующему: пусть К 1 С К 2 как симплициальный или
клеточный подкомплекс. Так как К 1 rv К 2, то комплекс относительных
цепей как Z[7!}модулей С(К 2 , К 1 ), определенный выше, является ацик
ЛИЧНЫМ. Рассмотрим следующие элементарные операции над комплексами
с отмеченными базисами (и обратные к ним операции):
) k k' k k Z[ ] t t ..J..' ..J.. k
а aj aj '"fa i + aj, '"f Е 7r, аз аз, 8 т J, t т ,
(3.5.15)
[де a t , а; базисные элементы в С t (<<клетки»);
б) стабилизация добавление как прямоrо слaraемоrо элементарноrо
двучленноrо комплекса fj(k)
О C (k) д C (k) О
k k 1 ,
(3.5.16)
(k) (k)
rдe C k и C(k 1) одномерны с базисами ei., ek 1:
Ck C k ЕВ Ck k ), Ck 1 Ck 1 ЕВ Ck l'
С С ЕВ сщ, C j C j , j =1 k, k 1,
д( ek) == е':"
(3.5.17)
Классы эквивалентности ацикличных комплексов с базисами относитель
но таких операций прямых и обратных (над любыми ассоциативными
кольцами G вместо Z[7r]) вместе с операцией сложения (взятие прямых
сумм) образует абелеву rpуппу K I (С). Это «rруппа детерминантов»; она
определяется как фактор-rpуппа rpуппы бесконечных обратимых матриц
с элементами из а, rде не равно нулю только конечное число элементов
вне rлавной диarонали, на которой вне конечноrо числа мест стоят лишь
единицы. Факторизовать надо по нормальному делителю, по рожденному
отношением коммутативности и элементарными матрицами, rде имеется
roлько один ненулевой элемент вне диarонали (выше диarонали). Опреде
ление rруппы К 1 (а) естественно возникает в aлrебре вследствие аксио
мшизации фундаментальных свойств детерминанта. для тополоrии важен
случай G == Z[7r] И так называемая «zpyппa Уайтхеда»
Wh(7r) == K 1 (Z[7r])j(::!:7r),
в силу уже обсуждавшеrося произвола в выборе базисов клеток на на-
кръшающей и их ориентации.
6 Тополоrия
82
rЛАВА 3
Возникает инвариант пары rомотопически эквивалентных комплек
сов К с L, совпадающий с «детерминантом» комплекса модулей с(Е, К)
в rpуппе Wh(-л-). Это инвариант так называемоrо простО20 20MoтOllи
чеСКО20 типа: если ОДИН комплекс можно свести к друrому элементарно
комбинаторными операциями, то они называются просто rомотопически эк
вивалентными. Любое представление р: 7r -----+ GL(n, R) позволяет постро
итъ rомоморфизм в числа
K 1 (Z[7r]) R*,
приводящий К уже обсуждавшемуся кручению Рейдемейстера. для OДHO
связных комплексов rpуппаК 1 тривиальна: Z[7r] == Z, Кl (Z) == О, и прОстой
rомотопический тип сводится к обычному.
Еще в конце 1930 x и., начиная с работ Смита и Ричардсона, изучались
rомолоrические свойства конечных rpупп преобразований. Пусть конечная
rpуппа G действует на симплициальном или клеточном комплексе К, пе
реводя клетки в клетки. В этом случае клеточный комплекс является КOM
плексом Z[G] модулей, даже если G действует не свободно (как выше), а
с неподвижныии точками. Подкомплекс неподвижных точек обозначается
через ка С к. Всеrда имеются rомоморфизмы
н*(к С ) н*(к) и н*(к) H*(KjG).
для конечных rpупп имеется естественный rомоморфизм «трансфер»
fl*: H*(KjG) н*(к)
(в rомолоrиях с тобыми коэффициентами), rдe
I
: ::: I
"
.
I
I
7r*f.L* == IGI: H*(KjG) H*(KjG),
fl*7r * == :L g*: н*(к) н*(к).
gEG
Оператор М* определяется исходя из анализа сопоставления на цепях:
с :L g(e) == а(с),
gEG
а == :L g,
gEG
rдe
аС*(К) C*(KjG).
9 5. rомолоrии НЕОДНОСВЯЗНЫХ КОМПЛЕКСОВ. КОМПЛЕКСЫ МОДУЛЕЙ
83
ИЗ (3.5.18) и (3.5.19) следует, что над полем k характеристики О или xapaк
териСТИКИ, взаимно простой с IGI, имеет место прямое разложение
н*(к, k) == f.L*H*(KjGj k) Е9 Ker7r*,
H*(KjG; k) н*(к; k)G,
(3.5.20)
[де значок G сверху означает G неподвижную часть. Особо интересен слу
чай G == Zp. Любой элемент р Е Z[G] порождает комплекс цепей рС* (к) и
ero rомолоrии H == Н*(рС(К)). Обозначим через НР(К; Zp) rомолоrии
комплекса рС*(К; Zp) (а не комплекса рС*(К; Z), тензорно умноженноrо
на Zp)' Рассмотрим следующие элементы:
а == :L 9 == 1 + т + т 2 + . . . + TP l,
gEG
т == 1 Т, ат == та == О,
(3.5.21)
[де т образующий циклической rруппы G порядка р (записанной муль
типликативно). Точные rомолоrические послеДовательности Смита имеют
вид:
-----+ Hj(Kj Zp) H'J(K; Zp) HJ l(K; Zр)EJЭ
EJЭНj l(кG; Zp) Hj l(K; Zp) ...
Hj(Kj Zp) нт(к; Zp) HJ l(K; Zр)EJЭ
E9Hj l(KG; Zp) Hj l(K; Zp) ...
(3.5.22)
Аналоrичные точные последовательности имеются для Zр коroмолоrий, [де
стрелки идут обратно.
Из точных последовательностей Смита извлекается такой результат:
если rpуппа Zp действует на rомолоrической n сфере над Zp, то множество
неподвижных точек так же есть rомолоrическая т сфера над Zp.
fомолоrическая n сфера над Zp это комплекс К такой,
что н*(к; Zp) == Н*(Вn; Zp) для HeKoToporo n. для n == l это пу
стае множество. При этом если р > 2, то n т == 2k. Аналоrичные теоремы
верны для rомолоrических n дисков в катеrории пар комплексов (К, L).
В рамках данной кииrи мы не будем больше останавливаться на чисто
roмолоrической теории конечных и компактных rрупп преобразований, с
учетом всей техники aлrебраической тополоrии, хотя немало авторов за
нимались этими вопросами. Мы коснемся конечных и компактных rрупп
rладких преобразований позднее только в связи с К тeopиeй, эллиптиче
скими операторами и теорией бордuзмов.
6'
84
rЛАВА 3
6. Симплициальные и клеточные расслоения
со структурной rpуппой. Препятствия.
Универсальные объекты универсальные расслоения
и универсальное свойство комплексов
Эйленберrа Маклейна.
Коrомолоmческие операции. Алrебра Стинрода.
Спектральная последовательность Адамса
Обратимся теперь к уточнению уже обсуждавшеrося выше с rOMoTO
пической точки зрения понятия расслоения или Kocoro произведения, введЯ
в ero определение важнеЙluИЙ элемент так называемую структурную
сруппу. Пусть Е, В, F симплициальные или клеточные комплексы. Отоб-
ражение проектирования должно быть клеточным:
р: Е.......Б.
в клеточном расслоении заданы структурные отображения отоб-
ражения, являющиеся ПОСЛОЙIIЫМИ rомеоморфизмами, расширяемыми на
некоторые открытые области, содержащие симплексы базы:
<Ро-: p l(O' ) O' Х Р,
rде 0':; клетка или симплекс базы Б. При этом требуется, чтобы на об
щих rранях двух симплексов отображение (также расширяемое в малую
открытую область)
ло-{з == <Ро- О cp l: (O' n а;) 5< F (a:; n 0';) ХР
обладало свойством Ло-{З(х, у) == (х, Ло-{З(х)(у)), rде Ло-{З(х) roMeoMop '
физм слоя Р, при надлежащий некоторой избранной подrpуппе а. fруппа G
называется структурной сруппой расслоения (Е, D, Р, р, С). Также Tpe
буется, :т обы композиция преобразований Ла{З(х), Л{Зi'(х) И Лi'о-(Х) была
единицеи rpуппы с:
(36.1) I
I!
Ло-{З(х) о Л{З-у(х) о Л-уо-(Х) == 1
для каждоrо х Е И о-{з n И {З'У n И 'Уо-. Поэтому расслоение по существу опре"
деляется отображениями
ло-{з: Uо-{з G
при вьтолнении условий (3.6.1).
(3.6.2)
9 6. СИМПЛИЦИЛЛЬНЫЕ И КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
85
f
Сечением расслоения называется произвольное отображение Б Е Ta
кое, что р! == lв.
Естественно определяется отображение расслоений с одинаковым сло
ем F и rpуппой с:
Ф: (Е, Б, Р, р, С) (Е', Б', Р, р', С).
ДоЛЖНЫ быть зад ны отображения Ф: Е Е' и <р: Б Б', коммутиру
ющие с проекциеи
<р о р == р' о Ф,
причем Ф rомеоморфно на слоях. При этом отображение слоев долж
но принадлежать структурной rpуппе G в следующем точном смысле: над
любой точкой базы отображение <P I Ф<р;; 1: F F должно быть rOMeoMop
физмом из rpуппы С, rдe <p структурные отображения расслоения Е'.
Если задано расслоение (Е', В', Р, р', С) и произвольное (клеточное)
отображение В Б', то над Б однозначно восстанавливается так называ
емое индуцированное расслоение (Е, Б, Р, р, С) и отображение расслое
ний
Ф: Е ....... Е', <р: Б Б'.
При этом подразумевается следующая конструкция. Различные открытые
множества в Б, на которых определены отображения <Ро-, берутся полными
прообразами Uо- == <p l(U ) различных открытых множеств U в Б' (и за
тем, если требуется, они Moryт быть измельчены до малых окрестностей
клеток). Над каждым таким Uо- мы положим р l(UО-) == UО- х Р. MHO
жества р l(UО-) Torдa склеиваются друr с дрyrом, получая Е при помощи
отображений ЛО-{З:. .
Ло-{З(х, у) == (х, Ло-{З(х)(у)), х Е UО- n U{З, у Е Р,
[де преобразование Ло-{З определено в терминах преобразования Л {З из рас-
слоения (Е', В', Р', р', С) следующим образом:
ЛО-{З(Х) == Л {З(<р(х)) Е а.
Тотальное пространство Е может быть формально рассмотрено как под
множество в Б х Е', состоящее из тех пар (х, у), для КОТОРЫХ <р(х) == р'(у).
Таким образом, индуцированное расслоение над Б получено взятием по
средством <р «обратноrо образа» расслоения над Б'.
86
rЛАВА 3
ЗАМЕЧАНИЕ. Читcrrель может леrко увидеть, что Л а /3 это одномерный ко-
цикл, в силу условия (3.6.1), с коэффициентами в пучке Fa ростков ФУНКЦиii
со значением в rpуппе С. Таким образом, расслоению отвечает элемент множе_
ства H1(B; Fa); это дает классификацию расслоений на языке таких коrомолоrиii
хотя это лее похоже на тавтолоrию. Эта «классификация» носит скорее фразео
лоrическии характер; иноrда зто соответствие полезно, например, если rpуппа G
абелева. Таким образом, набор отображений (3.6.2) однозначно определяет струк-
туру расслоения (Е, В, F, р, С). Однако одну и ту же rpуппу можно реализовать
как rpyппу roмеоморфизмов разных пространств F. Все расслоения с любыми сло-
ями F, но с общей rpуппой С, базой В и набором отображений Л а /3 называются
ассоцuuроваННbLi'r/U друr с друroм. При этом одно из них определяет все остальНые.
Кано еская универсальная реализация rpуппы G это F == а, rде .
rpуппа деиствует на себя правыии сдвиrами (см. рис. 36): .
g(h) == hg, h, 9 Е а,
g: a a.
(3.6.3)
Расслоения этоrо тнпа (Е, В, а, а, р) называются 2Лавнымu. Естественная
rеометрическая реализация 2лавНО20 расслоения это свободное действие
(справа) rpупnыI G на пространстве Е (т. е-.из g(x) == х следует 9 == 1);
при этом В пространство орбит: В == Е / а. На самом деле нетрудно
показать, что каждое rлавное расслоение получается таким способом, т. е.
что существует свободное действие G на тотальном простраНС'ЦIе Е, причем
б а В естественно отождествляется с пространством орбит Е/а, а слои
р l(х) С а.
Рис. 36
Случай дискретных rpупп G уже обсуждался раньше. fлавные рассло
ения здесь это реrулярные накрытия.
Определение 3.6.1. Расслоение (Е, В, а, а, р) называется YHивep
СШlьным, если ассоциированное с ним rлавное расслоение (Е', В, а, а, р')
таково, что пространство Е' стяrиваемо.
Смысл этоrо понятия будет объяснен далее.
3 6. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ И КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
87
Aлrебро тополоrическое (точнее, rомолоro-rомотопическое) понятие
препятствия возникает в следующих задачах.
f
1. Задано отображение подкомплекса L Х в произвольное тополо
[ИЧеское пространство х. Как продолжить (если это возможно) отображе
ние f с подкомплекса L С К на весь комплекс К?
Заданы два отображения f 01.: К х, а == 1, 2 и их rOMOТO
fIИЯ F: L х 1 Х на подкомплексе L. Как продолжить roмотопию F на
все К?
2. Задано сечение ф: L Е, Р'Ф == 1L расслоения р: Е К :::) L.
продолжить это сечение на весь комплекс К. Аналоrично для продолжения
roмотопиИ сечений с подкомплекса на комплекс.
3. Заданы два расслоения (Е, В, F, а, р) и (Е', В', F, а, р') с общей
rpynnой и слоем. как продолжить отображение расслоений с подкомплек
са L с В на всю базу (Т. е. послойное и послойно соrласованное с действием
rpуnпы G отображение p l(L) Е' до Taкoro же отображения Е Е')?
Аналоrично для rомотопии расслоений.
Рассмотрим первоначально задачу 1 о продолжении отображения с под
комплекса L на комплекс К :::) L, f: L ......., Х. Предположим, что отображе
ине f уже построено на всех симплексах размерности n 1. На rpанице
любоrо симплекса (клетки) из К, не принадлежащеrо L, имеется отображе
ине
f: a(j х.
Разумеется, ero можно продолжить внутрь <Т , если и только если это отоб
ражение сферы f: B l Х roмотопно нулю. Без оrpаничения общности
клеточные комплексы К, L можно считать одновершинными. Отображе
ине f на сфере B l определяет элемент
Л(j ) Е 7rn l(X).
По определению, при n 2 мы получим Koцenь fn относительноrо KOM
плекса(<<препятствие»)
Л(f) Е СП (К, L; 7rn l(X)).
Равенство Л(f) == о необходимо и достаточно для продолжения отображе
ния f на n мерный остов К с подкомплекса L.
Однако можно изменить отображение f на остове Kn l размерно
сти n 1, не троrая ero на остове Kn 2 размерности n 2 и на всем L.
На каждой клетке <т l от отображения f можно «отсчитать» любой эле
мент rpуппы 7rn l(X): это означает, что можно отображение f заменить
на отображение g, которое совпадает с f на Kn 2 u L и отличается от f
88
rЛАВА 3
внутри симплексов <Т {3 n 1. При этом пара отображений fI.,.n l и gl.,.n 1, COB
{j {:J
падающих на их rpанице J(aq 1) == g(aq 1), определяет отображение
сферы B; 1 Х. fомотопический класс этоrо отображения представляет
некоторый элемент J.L(q 1) Е 1I"n 1(X), Итак, возникает (n l) мерная
коцепь
J.L(f) Е cn 1(K, L; 1I"n 1(X)),
В силу rомоморфизма f*: 1I"1(L) 11"1 (Х), все rpуппы 1I"j(X) становят
ся Z[1I"] МОДУЛЯМИ, 11" == 11"} (L). Мы считаем далее, что 11"1 (L) == 11"} (К) И что
отображение f уже построено на 2 MepHOM остове. Поэтому n 3. Верны
следующие факты:
а) препятствие >..(!) (препятствующая коцепь) является КОЦИКЛОМ
в комплексе С*(К, L; 1I"n I (Х)), как комплексе Z[1I"] модулей, 11" == 11"} (К) ==
== 1I"1(L), относительно roмоморфизма f*: 1I"(L) 11"1 (Х):
д*(Аи)) == о;
Ь) изменение отображения f 9 на (n 1 ) MepHOM остове Kn 1 \L, не
меняя на (n 2) MepHOM f == glKn 2 , меняет npепятствие на произвольную
коrpаницу в комплексе модулей С(К, L; 1I"n 1(X))
А(!) А(!) + дJ.L.
Таким образом, для продолжения отображения на n мерный остов, не Me
няя ero на (п 2) MepHOM (но, возможно, поправляя на (n l) MepHoM),
необходимо и достаточно, чтобы класс коrомолоrий препятствия в комплек
се Z[1I"] модулей был нулевым:
0== [Х(!)] Е Hn 1(I{, L; 1I"n 1(X)),
Меняя отображение f на остовах меньших размерностей 9 n 2,
мы получим более сложный закон изменения препятствия. для (n 2) Mep
Horo остова это можно полностью вычислить через так называемые
«КО2ОМОЛО2Uческuе операции», определение которых будет дано позднее
(Л. С. Понтряrин, Стинрод, М. М. Постников, В. [. Болтянский, Ляо 1940 e
и начало 1950 x а.).
Если комплекс К одно связный (или roмоморфизм f*: 11"} (K) 1I"1 (Х)
тривиален), то препятствие сводится к обычным коrомолоrиям.
Задача о продолжении rомотопии сводится к предыдущему:
здесь К 1 == К х [а, Ь], и обычно подкомплекс L С К х [а, Ь] состоит из
BepxHero и нижнеrо оснований:
К 1 == к х [а, Ь], L == (К х (а)) U (К х (Ь)).
з 6. СИМПЛИЦИАЛЬНЬ/Е И КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
89
f
Задать отображение L Х означает задать пару отображений fa: К X,
fb: К Х. Пусть уже задана roмотопия Р: (Kn } u L) Х. Повrоряя
предыдущее, препятствие к продолжению rомотопии сведется к элементу
rpуппы
А Е Сn+1(к 1 , L; 1I"n(X))
в комплексе модулей, считая n 3. Далее, имеем
[А] Е Нn+1(К1' L; 1I"n(X)) == Нn(К; 1I"n(X)).
Итак, препятствие к продолженmo rомотопии на n мерный остов (разлuча
ющая) представляет элемент rpуппы Нn(К,; 1I"n(X)), определенной через
комплекс Z[1I"] модулей
С*(К; 7r n (X)), С*(К, L; 7r n (X)), 7r == 11"1 (К).
Задача 2 рассматривается ПОJllIОСТЬЮ аналоrично; надо продолжать ce
чения с rpаницы симплекса (клетки) на весь симплекс (клетку). Сечение на
rpанице ф: дO" Е, Р'Ф == 1 определяет отображение сферы
д<т == Bn } p }(<т ) == <т х F.
Итак, возникают элементыI rpупnыI 11" n 1 (Р). Заметим, что 11"1 (В) действует
на слоях (см. rомотопические связности ВЫШе, rл. 2, 3), определяя 1I"j (Р)
как Z[1I"] МОДУЛИ, 11" == 7r1 (В). Аналоrично предыдущему, возникает класс
коrомолоrий (<<препятствuе к продол:женuю сечения») в rpуппе коrомоло
rий:
[А] Е Нn(В; 1I"n 1(F)).
Не меняя Ф на Bn 2 u L, можно за счет изменения Ф на (n l) MepHoM
остове Bn l произвольно менять препятствующий коцикл в классе кoroMO
лоrий.
Препятствие к rомотопии двух сечений рассматривается аналоrично и
приводит к элементу из rpуппы Нn(В; 7rn 1 (Р)), если отображения rOMo
топны на остове Bn 1.
Задача 3 также аналоrична предыдущим, но с одним дополнитель
ным замечанием: отображение расслоений Фn 1: E E' уже задано над
(n l) MepHbIM остовом базы В, определяя отображение ер: Bn l (B')n l.
Возникает препятствие к продолжению отображения ер на остов Вn. Однако
оно не иrpает роли в этой задаче. Мы будем рассматривать задачу для rлав
ных расслоений F == С, остальные, ассоциированные с rлавными, сводятся
к ним. Над сферой дO" rраницей клетки O" расслоение прямое:
p 1(0" ) == <т х С.
90
[ЛАВЛ 3
Возникает отображение сферы в Е', накрывающее ер:
Ф о (дO' х 1): Bn 1 Е', 1 Е а,
р' о Ф(дО' х 1) == eplaO' .
Отображение Bn 1 Е' определяет элемент rpуппы 7rn l(E') И препят
ствующую Koцenь л со значением в 7rn l(E'), как 7r == 7rl(В) модуле, в
силу roмоморфизма,
ер*: 7rl(B) 7rl(B').
Для односвязноrо случая, как и ранее, мы получаем препятствующи
элементыI в обычных коroмолоrиях. Во всех трех задачах мы имеем общии
вывод:
Если rомотопические rpуппы пространства Х (в задаче 1), слоя F
(в задаче 2) и пространства расслоения Е' (в задаче 3) тривиальны в раз
мерностях n, то для комплексов К размерности n в задаче 1, базы
в задачах 2 и 3 всякое отображение, сечение или отображение асслоении
продолжается с любых остовов размерности n на следующии, а вс кая
rомотопия продолжается с остовов размерности n 1 на следующии.
В частности, всякое расслоение обладает и при том единственным
точностью до rомотопии отображением в универсальное расслоение, rде Е
стяrиваемо:
(Е, В, F, а, р) (Е', В', F, а, р').
Базу универсальноrо расслоения обозначают через BG == В'. Вследствие
этоrо всякое расслоение индуцировано отображением ер: В Ва, един
cTBeHHыM с точностью до rомотопии. fомотопия есть отображение цилин
дра f: В Х 1 В'; поэтому rомотопия индуцирует расслоение над цилин
дром. Весь цилиндр В х 1 стяrивается к нижнему основанию В х (а) так,
что на верхнем тождественное отображение
В х (Ь) В х (а).
Все rомолоrии Hj (В х 1, В ха) == о тривиальны с любыми модулями
коэффициентов. Вследствие этоrо любое расслоение над В х I можно отоб.-
разить в расслоение над ero нижним основанием В х (а), так что на базе
BepXHero тождественное отображение
18: В х (Ь) В х (а).
Определение 3.6.2. Два расслоения с общим слоем, rpуппой и базой
называются эквивалентными, если сушествует отображение этих рассло
ений Ф: (Е, В, F, С, р) (Е', В, F, С, р'), тождественное на базе.
Т,
.
'
96. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ И КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
91
j'
Из предыдущеrо вытекает важная
" Теорема!. Множество классов эквивалентности расслоений с 2pyп
пои G и базои В находится в естественном взаилто однозначном cooт
ветствии с множеством 20мотопическu.x классов отобра.жений базы В в
базу Ва универсалЬНО20 расслоения.
При м ер 1. Учитывая стяrиваемость пространства Е' универсалъ
HOro rnaBHoro расслоения (Р == С), из точной rомотопической последова
тельности этоrо расслоения (rл. 2, (2.4.7») вытекает
n 1; 7r n (BG) == 7rn l(F) == 7rn l(G).
(3.6.4)
От:ю а немедленно следует, что кла:сификация расслоений с базой сфе
рои S сводится к rомотопическои rpуппе 7rn l(G). Действие 7rl(BG)
1ro(G) на rpуппах 7f'n(BG) == 7rn l(G) таково:
q(a) == qaq l, q Е 7ro(G), а Е 7rn l(G).
(3.6.5)
Напомним, что для тополоrических rpупп связная компонента едини
цыcocaG является нормальным делителем и 7ro(G)==G/G o является rpуп
пои. Итак, с оБодныe rомотопические классы отображений Вn ВС
(без связанном точки) сводятся к орбитам действия (3.6.5) rpуппы 7ro(G)
на n l(C). fеометрически сведение расслоений над сферой Вn К 7rn l(G)
краине естественно: представим себе сферу в виде двух полусфер
D+ n U п == вn, склеенных по экватору п+ nпп n == Bn 1. Над каждой
полусферои расслоение тривиально, ввиду их стяrиваемости; можно задать
структурные rомоморфизмы
ерl: p 1(п+ n) D+ n х а,
ер2: p 1(п n) п n Х С.
Torдa 12 == epl(ep2L 1: Bn 1 х G Bn 1 х G имеет вид Л12(Х, g)
=: (х, Л12(Х ), rдe Л12: Sn l С. По видимому, окончательная форму
лировка этои теоремы завершена Стинродом, хотя работа с конкретными
важными универсальными расслоениями в теории мноrообразий велась
уже раньше Л. С. Понтряrиным, Эресманом, Черном и др. t{TO же каса-
ется понятия препятствия, то, По видимому, впервые ero вариант встретил
ся у ван Кампена в начале 1930 x rодов, коrда он построил комплексы КN
дЛЯ n 2 MHoroMepHbIe аналоrи задачи Эйлера о трех домах и трех колод
цах, которые нельзя без само пересечения вложить в R 2n. Позднее эта идея
бьта развита Уитни, в том числе для сечений расслоений; в конкретных за
дачах теории rомотопий она активно использовалась Л. С. Понтряrиным и
92
['ЛАВЛ 3
Уайтхедом. По видимому, окончательная формализация препятствий была
завершена Эйленберrом для отображений и Стинродом для расслоений.
Расслоения со стяrиваемыми слоями обладают (и при этом единствен
ным с точностью до rомотопий) сечением. Очень часто в теории rладких
мноrообразий мы будем встречаться с этой ситуацией.
, В конкретных задачах тополоrии чаще Bcero используется только так
называемое первое препятствuе, возникающее на том месте в задачах 1 и 2
об отображениях и сечениях расслоений, rде возникает первая нетривиаль
ная roмотопическая rpуппа пространства образа Х:
7r n (x) 1: о, 7rj(X) == О, j < n,
или слоя F:
7rj(F) == О, j < n, 7r n (F) 1: О.
При м е р 1. Рассмотрим задачу о roмотопической классификации
отображений n MepHoro комплекса КN в сферу ВN (Хопф). Препятствий к
продолжению отображений здесь нет. Препятствие к продолжению rOMoTo
пий здесь только одно, и оно лежит в rpуппе нn(к n ; Z), rде Z == 7r n (Sn).
Вывод состонт В том, что множество rомотопических классов отображе
ний КN ВN находится во взаимно однозначном соответствии с элемен
тами rpуппы нn(кn; Z); rомотопический класс однозначно определяется
rомоморфизмами между n ми целочисленными rpуппами rомолоrий про
странств КN и Вn, поскольку
нn(к n ; Z) == Ноm(Нn(К n ; Z), Z), Z Нп(Вn; Z).
При м е р 2. Небольшим обобщением является ситуация, коrда
классифицируются rомотопические классы отображений комплекса КN
в (n 1) связное пространство Х, rдe '1I"j(X) == О, j < n. Леrко видеть,
что здесь также возникает только первое препятствие. Ответ таков: отобра
жение с точностью до rомотопий определяется одним классом коrомолоrий
или rомоморфизмом целочисленных rомолоrий, так как
нn(к n ; 7r n (x» ==Ноm(Нn(К n ), Нn(Х»,
Нn(Х) == 7r n (X).
При м е р 3. Из соображений, полностью аналоrичных предыдущему,
вытекает следующий важный факт: пусть Х пространство Эйленберrа
Маклейна типа K(7r, n), rде
7r == 7r n (Х),
7rj (Х) == О, j =F n.
9 6. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ И КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
93
:t'
Множество rомотопических классов отображений К Х для любоrо KOM
IIЛекса К образует абеле ву rpуппу для n > 1 и всеrда находится в ecтe
ственном взаимно однозначном соответствии с элементами из нn(кn; 7r).
Так как Н N (Х; 7r) == Ноm( 7r, 7r), имеется «фундаментальный» элемент и,
Ф 1 С
представляющии тождественныи roMOMOp изм 7r 7r. оответствие rOMo
топическому классу отображения f: к Х элемента из нn(х; 7r) дается
по правилу
[Л f*(u) Е Нп(К; 7r),
U Е Hom(7r, 7r) == нn(х; 1r).
для n == 1 множество н 1 (х; 7r) имеет смысл для любой неабелевой rpуп
пы 7r.
Итак, мы получаем вьтод:
Комплексы Эйленбер2а Маклейна Х типа K(7r, n) универсальны для
классификации классов КО2ОМОЛО2UЙ, аналО2ично тому, как iЩавные рассло
енUЯ со стЯ2иваемым пространством Е' были универсальны для классифи
кации классов эквивалентности расслоений.
Мы знаем уже ряд примеров комплексов Эйленберrа Маклейна ти
па K(7r, 1), а также комплекс K(Z, 2) == сроо == lim срn. Про осталь
n------>оо
ные мы знаем только то, что они существуют. В силу (3.6.6), эти комплексы
будут иrpать важную техническую роль.
Определение 3.6.3. КО2аиОЛО2Uческой операцией называется «eCTe
ственная» функция k переменных 0X(Zl, ..., Zk) со значением в Н*(Х; С),
определенная на наборах элементов Zj Е нnз (Х; G j ). Естественность
(функториальность) означает, что при непрерывных отображениях
(3.6.6)
f:Y X
таких, что f* (Zj) == zj, мы имеем
Oy(Z , ..., Z ) == f*OX(Zl, .. ., Zk).
(3.6.7)
Например, про изведение любоrо числа О == Zl . ... . Zk является
простейшим примером. Важно, однако, что имеются операции уже oд
ной переменной O(z), не сводящиеся к кольцевым структурам, особенно
для G == G j == Zp и k == 1. Простейший пример (см. 4) rомоморфизм
Бокштейна '
/3: HQ(X; Zp) ......., HQ+1(X; Zp).
В силу универсальноrо свойства комплексов Эйленберrа Маклейна, COBO
купность всех коrомолоrических операций находится в естественном вза
имно однозначном соответствии с элементами
о Е Н*(К(С 1 , nl) х .. . х K(Gk, nk); С).
94
rЛАВА 3
Соответствие устанавливается очень просто (см. (3.6.6)):
Щ ...... 1Gj' Hnj(X j ; G j ) Hom(G j , G j ),
так что
0== О(и1, ..., Uk)' (3.6.8)
Для заданноrо пространства Х И элементов Zj Е нn; (Х; С), j ==* 1, . . ., k,
существует отображения fj: Х -----+ K(G j , nj) такие, что Zj == f (щ), так
что мы получаем отображение
f == f1 х ... хА: Х -----+ Х 1 Х ... х X k ,
И значение OX(Z1, .. . , Zk) Е Н*(Х; С) операции О определяется из условия
OX(Z1, . . . , Zk) == f*O(Ui, . . . , Uk).
(Это бьшо замечено Серром в начале 1950 x rr.) Конкретные операции,
кроме 13, были построены раньше:
1) «Квадраты и степени ПонтРЯ2Uна»
Pq: H 2 q (Х; Zp) -----+ H 2 pq (Х; Z p 2).
rде Pq(Z) == zP (mod р) и р простое.
2) Квадраты и степени Стинрода:
а) квадраты Стинрода
Sqi: Hq(x; Z2) -----+ Hq+i(X; Z2);
Ь) степени Стинрода
St : HQ(X; Zp) -----+ Hq+i(X; Zp).
При этом St == 1, SqO == 1, а Sq1 и St совпадают с rомоморфизмом
Бокштейна 13. Квадраты Стинрода обладают такими свойствами:
1 SqO == 1, Sq1 == 13, Sqn(z) == Z2, Z Е нn(х: Z2);
11. квадраты Стинрода «стабильны», т. е. они перестановочны с изомор
физмом надстройки:
2:: Hq (Х; Z2) -----+ Hq+ 1 (2: Х; Z2)
ш. Sqj (Z1 . Z2) == L: Sqk(Z1)Sql(Z2);
k+lo:j
Iу' Sqj == о, j < о; Sqn(z) == о, если размерность Z меньше, чем n;
з6. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ И КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
95
У. квадраты Стинрода аддитивны, в отличие от квадратов И степеней
лонтряrина:
ScI(Z1 +Z2) == Sqi(Z1) + Sqi(Z2).
для степеней Стинрода имеют место аналоrи этих свойств:
1. St == 1; St == 13; St отличны от нуля только для j == о, 1
(mod 2р 2), j о;
П. степени Стинрода стабильны, т. е. коммутируют с изоморфизмом
надстройки;
2 -( 1)
ПI. обозначим St/ p через pj, Torдa
St;j(P 1)+1 == 13pj
(3.6.9)
и BepНbI формулы
pj (Zl Z 2) == L p i (Z1)p k (Z2)'
i+ ko: j
13(Zl Z 2) == 13(Zl)Z2 ::1: zl13(z2),
(3.6.10)
rдe знак равен ( 1)т, m равно размерности Zl;
N.
pn(z) == zP для Z Е н 2n (х; Zp);
pj ( z) == о
для j > n;
у. степени Стинрода аддитивныI:
St (Zl + Z2) == St (Zl) + St (Z2).
Соrласно теоремам Серра (р == 2) и Картана (р > 2) (первая половина
195 x п.) aлrебра всех стабильных операций Ар алzебра Стинрода
состоит только из аддитивных операций и по рождается мультипликативно
степенями Стинрода Sqi, St .
При этом для р == 2 коrомолоrическая операция а Е A , а: HQ-----+НQ+n
тождественно равна нулю, если и только если а( и) == о, rде
u == Иi.. .UN Е HN(RP х ... х RPN'; Z2),
uj Е H1(RP]'C; Z2),
rдe n < N. Образ А 2 (и), соrласно свойствам квадратов Стинро
да Sqi (выше), состоит из линейной оболочки симметрических полиномов
96
rЛАВА 3
от (иl, ..., UN), rде степени каждой из переменных имеют диадический
вид 2h:
и", == ( L и I.. .и э)и,
il #i2'i'!O. . 4i.
Wj == 2h; 1, W == (Wl, ..., Wk),
Операция, обозначаемая через Sqr..J, имеет вид
LWj<n,
j
Wj О.
Sq"'(Ul, . . ., Н э ) == и""
degSq'" == LWj,
j
(3.6.11)
Sqi == Sql.l),
W == (1, ..., 1) (i штук).
При этом
Sq"'(Zl Z 2) ==
L Sqr..J 1 (Zl)Sqr..J 2 (Z2)'
("'1, "'2)=='"
для р > 2 операция а Е A , а: Hq HQ+n также. тривиальна, еСЛIi
и только если a(v) == О, rде
v == vl' ... 'VNl 'UN 1 +1' ... 'HN 1 +N2 Е H N 1+ N 2(X 1 Х ... х X N1 + N2 ; Zp).
Здесь X j имеют тип K(Zp, 1) бесконечномерное линзовое простран
ство Х j == SСЮ / Zp,
vj Е H 1 (X j ; Zp),
uj Е H 2 (X j ; Zp), Uj == {3Vj,
N 1 > п, N2 > n.
Образ Ap(V) состоит из линейной оболочки полиномов вида
lL(",/, ",") ==
'"' ( 1.I) +1 1.1):+1 1.I) /+1 W +1 )/
== и . L U i1 ' .. . . U i . U j1 '. .. . H jq Vil .
;'1<" .<i.:l Nl
N2 jl>' . . >.1q>Nl
. .. . Vi H ,
W < ... < W , l+w ==phi, W < ... < W , l+w'j==pl;, h i О, lj О,
dega == L(2w + 1) + L(2w'j) == 2(Lw: + LW'j) + s,
j i s j q
а: Hq(X; Zp) HQ+dega(X; Zp),
а == S(r..J/, ","),
з 6. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ И КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
97
rде s О. Число s называется типом Картана т. Aлrебра Ар биrpадуиро
вана,р> 2,
а [s(a), dega s(a)], а == Sk,,,,,
k + 2 L Wj < N 1 + 2N 2 .
Операции Sk, rде w" == О, W' == (k), называются операциями Мuлнора: (}k ==
== Sk, О. ОНИ образуют внешнюю aлrебру:
(}k(}j == (}j(}k, T((}k) == 1.
Верны такие свойства:
(Jk(Zl . Z2) == (}k(Zl)Z2::1: Zl(}k(Z2),
S(w/,w,,)(Z1 Z 2) == L S(w ", /)(z1)S(r..J ", )(z2)(::I:1).
(""1' ""2)=="'"
(ЦI ' , f.&) ' )==WJ"
Не стабильные коrомолоrические операции в коroмолоrиях (mod р) исчер
пываются также суперпозициями степеней Стинрода и {3 вместе с обычным
умножением, причем все соотношения вытекают из свойств, сформулиро
ванных выше. В коrомолоrияx с друrими коэффициентами появляются еще
степени Понтряrина. Классификация всех операций найдена А. Картаном
(середина 1950 x п.). Как указал Серр (начало 1950 x п.), все операции
в коrомолоrияx над полем k характеристики O(Q, R, С) тривиальны, т. е.
сводятся к операции умножения. Стабильных операций, вообще, нет, кроме
умножения на скаляр Z ЛZ, л Е k.
Обобщением всюду определенных однозначных операций (}(Zl, ..., Zk)
являются частично определенные мноrозначные операции.
При м е р 1. На ядре Ker {3 определена операция {32, которая задается
на целочисленных коцепях так:
{32(Z) == 12 a*z, Z == z (mod р), z Е Ck(K; Z).
р
Образ Iт{32 определен modulo (1m{3). На ядре Ker {3k l определена опера
ция {3k:
{3k(Z) == 1k a*z, Z == Z (mod р), z Е CQ(K; Z),
р
{3k: Ker {3k 1 HQ+l (К; Zp) / 1ш {3k 1,
Ker {3k 1 С HQ(K; Zp).
(3.6.12)
7 Тополоrия
98
rЛАВА 3
Если все !3k(Z) == О, k 1, то класс Z Е Hq(K; Zp) является редукцией
целочисленноrо класса. Класс !3k (z) всеrда целочислен и имеет порядок pk.
При м ер 2. Пусть задано три класса Zj Е нn] (К; k), k поле или
кольцо. Если Z1Z2 == О И Z2ZЗ == О, то определена «скобка Масси»:
(Z1, Z2, ZЗ) == O(Z1' Z2, ZЗ) С Нnl+n2+nз 1(к; k)
(3.6.13)
с точностью до произвольноrо добавления элементов вида
W1ZЗ ::1: ZlW2,
rде "-'1, "-'2 любые элементы:
"-'1 Е Hnl+n2 1(K; k), "-'2 Е Нn2+nз 1(к; k).
Определение скобки Масси (Zl, Z2, Z3) очень просто. На коцепях С*(К; k)
оно имеет вид
(Zl, Z2, Z3) == a l(Zl, Z2) . z3::1: Zla 1(Z2Z3),
Если k поле характеристики нуль, то скобки Масси и их простые высшие
аналоrии исчерпывают, по видимому, базис всех частичных мноrозначных
естественных операций, учитывая суперпозицию.
Возвращаясь к квадратам Стинрода Sqi, уместно отметить следующее:
из их классификации (см., в частности, (3.6.11) видно, ЧТО вся aлrебра
?i
Стинрода А2 имеет своим мультипликативным базисом только S q , i О.
Этот факт имеет красивое приложение.
При м е р. Пусть К такой комплекс, что
Hj(K; Z2) == о, j =1= О, n, 2n,
Hj(K; Z2) == Z2, j == О, п, 2n.
. ?
Если uj Е HJ(K; Z2) == Z2, то и2n == и;. Таковы, например, веще
ственная, комплексная, кватернионная и келиева проективные плоскости,
rдe n == 1, 2, 4, 8. Так как и == и2n, МЫ имеем Sqn(U n ) == и2n. При n=l=28
этоrо быть не может, так как Sqn разлarается в суперпозицию операций про
межуточных степеней, rде комплекс имеет нулевые коrомолоrии (mod 2).
Таким образом, n ==- 28. Это было показано Хопфом в 1940 e rоды (без
операций) и Стинродом в конце 1940 x.
3 6. симплициАльныЕ И КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
99
Для n == 2 i , i > 3 операция Sq2' разлаrается в нетривиальную супер
позицию частичных операций (Адамс, вторая половина 1950 x п.). В част
ности, Sqn (и n ) == и2n, только если n == 1, 2, 4, 8. Этот результат имеет ряд
фундаментальных следствий, а именно:
1. Aлrебрами с делением MOryT быть только R 1, R 2, R 4, R 8.
2. Касательное расслоение сферы sn l тривиально только при n==1, 2,
4,8.
3. Элементы с инвариантом Хопфа, равным 1, в rpуппе 7r2n 1(Sn)
существуют только п и n == 2, 4, 86.
4. Расслоение S n l ......., sn хопфовскоrо типа (т. е. база и тотальное
пространство являются сферами) существует только при n == 2, 4, 8.
Идея построения квадратов Стинрода для клеточных комплексов К
такова. Рассмотрим диarональ
D.(K) с К х К, D.(K) == {(х, х)}.
Пусть D. обозначает совокупность клеток, содержащих .6.. Заметим, что .6.
не есть клеточное отображение. Пусть D.1: К ......., .6. с К х К представляет
собой «клеточную аппроксимацию» диarонали, т. е. клеточное отображение,
близкое к .6., rде образ каждой клетки O'k аппроксимируется в .6. (o-k Х O'k).
Тоrда на клеточных коцепях С*(К х К) == С*(К) 0 С*(К) возникает
умножение (указанное выше конкретно для симплициальноrо случая)
ZiZj == D. (Zi 0 Zj).
Рассмотрим инволюцию 0': К х К ......., К х К:
О'(х, у) == (у, х), 0'2 == 1.
Очевидно,О'.6. == .6., но аппроксимация .6.1 неизбежно разрушает симмет-
рию 0'D.1 =1= D.1. Это разрушение и есть источник появления квадратов
Стинрода.
Рассмотрим любой коцикл W Е С* (D.1), Мы имеем (в коцепях modulo 2
для простоты)
W==WO, 0-*W+W==а*W1, a*(W1+0'*W1) ==0,
"-'1 + 0'*W1 == a*W2, a*(W2 + 0'*W2) == О, . . .,
a*Wi == Wi l + o-*Wi l, a*(Wi + O'*Wi) == О, . . .,
причем все Wj имеют носители в .6.1 (К). Мы полarаем для коцикла
z Е Сn(К; Z2)
(Z2)i == D.;(Wi) Е c2n i(K; Z2),
60пределение инварианта Хопфа см. rл. 4, 9 3.
7*
100
rЛАВА 3
'1
'it
rде Wo == .6.i(z 0 z). По определению, полarаем: класс коrомолоrии коцИI< J
ла (z2)i Е C2n i(K; Z2) и есть квадрат Стинрода:l
"
? -
(Z )i == Sqn '(z).
!}
;(
Из определения мы сразу имеем Sqn+i(z) == О, i > О, и Sqn(z) == Z2.r;
Более трудно доказать остальные свойства. В частности, не абсолютно оче ( .
ВидНЫМ в конкретной конструкции является кажущееся с аксиоматической:,
точки зрения тривиальным (выше) свойство SqO(z) == Z, т. е. SqO == 1;
напротив, из классификации коrомолоrических операций по Серру (см. BЫ
ше), коrомолоrии комплексов K(Z2, n) равны нулю в размерностях j < n
и дают лишь операцию умножения на скаляр для j == n. Последствия это
ro ощущаются в чисто aлrебраической теории roмолоrий так называемых
rpадуированных aлzебр Хопфа:
А == 2:Аn, АО == Zp,
n O
с умножением
А 10, А ( 10, Ь) Ь А n А т С А n+т .
ер: '6/ , ер а '6/ ==а.,
Мы имеем rомоморфизм ауrментации с: А Zp == АО, rде Ker с == EJЭ Аn.
n l
Тензорное произведение (над Zp)
А0А,
Zp
(А 0 A)j == $ Aq 0А т
q+m==j
является aлrеброй, rдe про изведение определено формулой
(а 0 Ь)(а' (9 Ь') == 00' 0 ЬЬ'.
Aлrебра А 0 А обладает «скручивающим» rомоморфизмом
0": А 0 А А 0 А, О"(а 0 Ь) == ( 1)degadegbb0 а.
Такая алrебра называется алzеброй Хопфа, если имеется диаzональный zo
моморфизм, т. е. rомоморфизм aлrебр степени ноль следующеrо вида:
2: Aq@A m ,
q+m==j
* (а) == а 0 1 + 1 0 а + L а} @ a'j, deg а} > О, deg а'] > О.
*:A A0A, (A0A)j
3 6. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ и КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
101
'i
ЗдесЬ а 0 Ь == (а 01)(1 0 Ь); сомножители А 01 и 10 А коммутируIOТ
С надлежащими знаками. Aлzебра Хопфа сuм..метрична, если диarональ *
коммутирует (с точностью до знака, зависящеrо от степени dega) с опера
тором перестановки 0", rде
#
\1
0"( а 0 Ь) == i:b 0 а,
* о" == i:0".6. * .
в конце 1950 x Милнор заметил, что aлrебра Стинрода Ар может быть
единственным образом снабжена структурой aлreбры Хопфа, задаваемой
при помощи формулы действия на произведении коциклов (см. (3.6.10».
Например, для р == 2 имеем
.6.*(Sqi) == Sqi 01 + 10 Sqi + 2: Sqi 0 Sqk.
j+k==i
для любой симметричной aлrебры Хопфа А над zp MOryт быть опре
делены аналоrи операций Стинрода на соответствующей aлrебре коrомоло
rий Ext * (Zp, Zp)
St;: Ext ,n(Zp, Zp) Ext +i,pn(Zp, Zp). (3.6.14)
При i == О имеется нетривиальный оператор а* , по рожденный делящим
размерность rомоморфизмом Фробениуса Адамса7 а: Аn Аn/ Р , КOTO
рый существует в этих aлrебрах. Здесь, оказывается, Stg == а*, остальные
свойства остаются более или менее теми же, что и для обычных квадратов
и степеней Стннрода (выше), хотя St == О лишь для i -=1= о, 1 (mod р 1)
для Р > 2, т. е. здесь rораздо больше ненулевых операций. Эти операции
были найдены в связи с развитием aлrебраической техники, необходимой
для метода спектральной последовательности Адahlса, вычисления cтa
бuльнblX zомотопическux zpynn (С. П. Новиков, конец 1950 x а., Люлявичус,
начало 1960 x rr.)8. В методе Адамса фундаментальное значение имеют
7Корректно определенным, КOI"да А является алreброй Хопфа над Zp.
RЭти операции были введены Новиковым для вычисления коroмолоrий алreбры Стинро--
да Ар и модулей над Ар. В частности, выяснилось, что для любоro простоro р существует
нетривиальный элемент х кручения кольца стабильных roмотопий сфер rакой, что х р i: о
() 959). этот результат был также доказан Тода (1960), использовавшим дрyroй подход. Ни
шида доказал следующую теорему: для любоro нетривиальноro элемента х кручения кольца
1!" roмотопий сфер существует n такое, что х n == О. Следовательно, кольцо 11" локаль
но нильпотентно, хотя и не является нильпотентным в cтporoM смысле. В конце 1960 x Р. Мэй
опубликовал статью, доказывающую (на HeMHoro более общем KaтeropHoM языке) все OCHOBO
полаraющие результаты, нужные для этих операций. Общая теорема нильпотентности была
доказана Хопкинсом, Девинацем и Смитом в середине 1980 x roдов. В своей простейшей
форме она утверждает, что если коroмолоrии Н* (Х; Z) «кольцевоro спектра}) Х (или «CTa
биЛl,НОro пространства» с мультипликативной структурой типа стабильных пространств Тома)
не имеют кручения, то любой элемент из Torn (X) нильпотентен (см. Ravenel D. Nilpotence
and Periodicity in StabIe Homotopy Тheory, Апп. ofMath. Studies, 128, Princeton, 1992.
102
rЛАВА 3
rомолоrии А модулей Н*(Х; Zp). для исследования rомотопическихrpуnn
сфер этим методом возникает необходимость вычисления rомолоrий самой
алrебры
нт;;,n(Zр, Zp) == Ext ,n(Zp, Zp), (3.6.15)
rде Ар aлrебра Стинрода (определение см. ниже). Изучение ее rомолоrий
использует, соrласно методу Адамса, целую серию «allПpоксимирующих»
aлrебр Хопфа с симметричной диarональю; использование аналоrов ОПе
раций Стинрода в этой катеrории технически весьма полезно. для р > 2
следует учесть во всех aлrебраических конструкциях биrpадуированную
структуру (выше), так как aлrебра Ар и все ее аппроксимирующие ал
rебры Хопфа таковы. Соrласно методу Адамса для вычисления стабилъ
ных roмотопических rpупп любоrо комплекса К нужно взять rpaдyнpoBaH
НЫЙ Ар модуль Н*(К; Z2) == М.
Более общо, рассмотрим ПРОИЗВОЛЬНЫЙ левый модуль }.J[ над rpадуи
рованной aлrеброй Хопфа А (над Zp). Aлrебра коrомолоrий
Ext*' * ( М Z )
А , р
(3.6.16)
модуля }.J[ может быть определена следующим образом (Картан Эйленберr,
середина 1950 x п.): обозначим черезА+ ядро $ Аn rомоморфизма ayr
n 1
ментации е и рассмотрим комплекс
М+----- А+0М +----- А+0А+0М +-----
+----- А+0А+0... 0A+0.Lv[ +----- ...,
(3.6.17)
rде «n цenь» имеет вид
а- n == (а1 0 а2 0 ... 0 а n 0 х) Е А+ 0 A+0 ... 12> Л+0 М,
Щ Е А nj , n; > О, х Е М.
(<n цепь» (или симплекс) а- n берется размерности n и rpадуирован своими
степенями:
n
degq n == L n; + n.
з==1
fраница определяется формулой
n 1
д<т n == 2:)а10... 0аз'азн0... 0 а n 0х)+( 1)n'(a10... 0an 10an0x).
з==1
Операция д сохраняет степень. Коrомолоrии комплекса (3.6.17) по OTHO
шению к вышеописанному дифференциалу и дают алrебру коrомолоrий
3 6. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ И КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
103
(3.6.16). Частный случай М == Zp == Н*(ВО) дает aлreбру коrомолоrий
Ext:t: (Zp, Zp),
ynоминавшуюся выше.
Если модуль обладает диarональю, сохраняющей rpадуировку
.6.*:M M0M
и соrласованной с диarональю aлrебры Стинрода Ар, то коrомоло-
rии НА (М, Zp) есть биrpадуированная Zр aлrебра. Существует спектраль
мая последовательность rpупп (линейных Zр пространств): Ет == L: E 1
q,l
И дифференциалов d m : E 1 Е7п.+ т , Hт 1, d == О такая, что:
а) Ei,l == Hq,I(M,Zp), Е:п+1 == Н*(Е т , d m );
б) L: E l == G'7rl (К), rдe G'7r присоединенная rpуппа,
q l==t
'7r%(K) == '7rn+t( n К) ('7rj( n К) == О, j < n, О t < n 1).
Присоединенной rpуппой G'7r относительно фильтрации ['7r == '7r(O) :::) '7r(1) :::)
:J '7r(2) :::) ...] называется прямая сумма факторов (аналоrично для колец
ит.д.)
G'7r == L '7r(j) / '7r(j+1) == L G j '7r.
j O j O
Пересечение всех элементов фильтрации для спектральной последователь
ности Адамса совпадает с совокупностью всех элементов стабильных ro
мотопических rpупп конечноrо порядка, взаимно простоrо с р.
В ряде важных случаев (в частности, для сферы Вп == К) спектральная
последовательность Адамса состоит из биrpадуированных Zр aлrебр Ет,
rдe dm(uv) == dm(u)v::l: udm(v) для биrpадуированных элементов 'и, v; ал
rебра Е сю присоединена к кольцу стабильных roмотопических rpупп сфер:
s '""' s
'7r* == '7rk,
k O
'7rk == '7r n +k(Sn),
k < n 1,
ОПlOсительно операции суперпозиций sn+i+j Sп+ i sп или прямоro
npоизведения в реализации оснащенных мноrообразий, см. rл. 4, 3.
В случае сферы начальный член спектральной последовательности
Адамса имеет вид Ei,l == HQ, I(Zp; Zp), rде Zp рассматривается как Ap MO
дуль, В котором 1 Е Ар действует тождественным образом и элементыI
104
rЛАВА 3
aлrебры Ар, имеющие положительную степень, определяIOТ нулевое пре
образование. В этом случае в Ei. 1 == H 1 ,1(Z1"Zp) имеется элемент ho,
умножение на который присоединено на р.
При м ер 1. Из определения коrомолоrий модуля (3.6.17) сразу сле
дует равенство
Eg,k == НO.k(M; Zp) == Hom JLV[, Zp),
(3.6.18)
rде все rомоморфизмы КОММУТИРУIOТ с действием Ар; действие Ар на Zp
таково:
а(и) == О,
Л(и) == ли,
dega> О,
а == л Е Zp,
и образующая модуля Zp, Значок k (сверху) Hoт p (М, Zp) озна
чает, что рассматриваются линейные Zр формы, ненулевые только на
компоненте }.J[k. Итак, член Eg. k очевиден по тополоrическому CMЫC
лу, так как отображение sn+k L к порождает roмоморфизм Ap MOДY
лей f*: Hn+k(K; Zp) ....... Zp, f* Е Hom p(}.J[, Zp). Однако rеометрические
rомоморфизмы f*, порожденные непрерывными отображениями, выделя-
ются требованием
dm(f*) == О, m 2.
При м ер 2. для сферы ВN имеем М Zp. Здесь rpуппа
Ext == Zp и осталъныеЕxt : == О, k =J о. fруппы Ext :(Zp, Zp) леrко
2'
находятся. Пусть р == 2. Так как aлrебра А 2 порождается элементами Sq ,
имеем набор ненулевых элементов
1,2;
h i Е Ext А (Z2, Z2),
р
сопряженных к Sq2'. эти элементы исчерпывают все ненулевые элементы
rpупп Ext k(Z2' Z2); dq(h j ) == О для q о Torдa и только Torдa, коrда
р
существует элемент в roмотопических rpуппах сфер с инвариантом Хопфа,
равным 1 (см. rл. 4,93). Имеет место формула Адамса (конец 1950-х rr.)
d 2 (h j ) == hoh; l'
для j 4 имеем hoh; l =J О.
3 6. симnлициАльныЕ и КЛЕТОЧНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
105
Леrко доказать формулу Адамса d 2 (h 4 ) == hoh . Так как d i (h з ) == О,
i 2, элемент h3 представляет ненулевой элемент h3 с инвариантом Хопфа
1 в rpуппе 7r == 7r n +7(Sn), n 8. из косокоммутативности умножения
имеем
h3 h 3 == hзhз,
2
2h3 == О.
умножение на ho присоединено к умножению на 2. Поэтому hoh должно
быть тривиально в Еоо. Отсюда следует
hoh == d 2 (z), Z Е ExtJ 6(Z2' Z2).
Так как единственной образующей в Ext J 6 (Z2, Z2) является h 4 , то Z == h4.
Заметим, что Ext 2k(Z2' Z2) по рождается элементами
h.h. Е Ext1,2'+2; ( Z Z )
t J А2 '
(3.6.19)
с учетом соотношения h i hi+1 == 09.
Применение спектральной последовательности Адамса к теории бор-
дизмов (кобордuзмов) rладких мноroобразий было осуществлено в конце
1950-х начале 1960 x rr. (Милнор, с.П.Новиков). В отличие от Meтo
да KapTaHa Ceppa вычисления любых нестабильных roмотопических rpупп
(см. 97), метод Адамса для стабильных rpупп имеет rлубокие аналоrи в
экстраординарных (обобщенных) коrомолоrиях (с. П. Новиков, вторая по
лавина 1960 x roдов).
В коrомолоrиях над полем рациональных чисел метод Адамса вычисле
ния стабйльных roмciiопйческих rpупп 7r} 0 Q == 7r n+ j ( n К) 0 Q, j < n 1
(комплекс n 1 связен) тривиализуется и сводится к ранее известному pe
зулътату Серра (начало 1950-х rr.): 20МОМОрфUЗМ rуревuча устанавливает
изоморфизм
7rj(K) 0 Q Hj(K; Q). (3.6.20)
как уже rоворилось, aлrебра стабильных операций AQ сводится к умноже
нию на скаляры л Е Q.
Произведения h; представляют особый интерес в теории мноrooбразий (см. следующую
rлаву) и связаны с «проблемой Арф-инварианта». Они являются единствеиными двойными
произведениями hihj, про которые неизвестно, MOryт ли значения дифференциалов на них
быть отличны от нуля. Известно, что они циклы всех дифференциалов при j == 1,2, З. 4,5,
как показали Баррат, Джонс и Маховальд в середине I 97()..х. Элементы hlh j при j 2: 4
нетривиалъны, и при j 2: 5 их порядок не менее четырех (Маховальд, 1978). Наиболее полно
результаты вычислений последовательности Адамса для сфер изложены в книre Ravenel D.
Сотр1ех Cobordism and Stable Homotopy of Spheres, Academic Press, 1986.
106
rЛАВА 3
для р > о приложения метода Адамса к конкретным задачам теории
rомотопий требуют, как уже rоворилось, изучения rомолоrий различных
rpадуированных Zр aлrебр Хопфа l: вn == В, вО == Zp с симметрич
n O
ной диarональю 6.: В В 0 В, сохраняющей имеющиеся rpадуировки.
Катеrория этих aлrебр, модулей над ними и сохраняющих rpадуировку ro
моморфизмов является интересной моделью 1О , похожей на катеrорию rOMo
топических типов комплексов. Моделью расслоения с одно связной базой
здесь является rомоморфизм «на» (эпиморфизм) f: А В таких aлrебр со
специальными свойствами: найдется допустимая rpадуированная подaлrе
бра Хопфа
СсА,
сО == Zp,
с+ == cn,
n>о
А+ == An
n>о
такая, что
а) С коммутирует с А и ядро Ker f имеет вид
Ker f == АС+ == с+ А, са == ас
(т. е., как rоворят, С центральная подaлrебра);
Ь) сама алrебра А является свободным левым С модулем, т. е. найдется
базис ai Е А n. такой, что
ао == 1, ПО == О, i == О, 1, 2, . . . ,
nj > О для j > О,
и любой элемент а Е А однозначно представляется в виде
а == cjaj,
j O
rде Cj пробеraют все элементыI из С независимым образом. При этих усло r
виях возникает спектральная последовательность (частный случай последо .
вательностu Серра Хохшuльда, середина 1950 x п.): r
!'
!,
r
i.
Eq,I,T
m ,
d . E q,l,r ........ Eq+m,l m+l,r
т" m m ,
d == О,
rде
1)
dm(иv) == d m (и)v:1: иdm(v),
Em+l == Н*(Е т , d m )
IOВ частности, в этих кarеroриях MOryт быть определены алreбры коroмолоrий н*, *(А, R)
для алreбры Хопфа А и А модуля R.
3 7. КЛАССИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ rомотопий
107
(элементы и, v триrpадуированы),
2)
E ,l,r == Hq,r1(B; HI,r2(C)) ==
Tl +Т2'=Т
Hq,r l (В) 0z p H l , Т2 (С).
Т) +Т2'=Т
3) E I,T аНn'Т(А)
q+l,=n
rде ан n , Т(А) присоединенная rpуппа (кольцевая структура также при
соединена). fрадуировка, обозначаемая значком r, rl, r2, возникает, как
roворилось ВЫше, вследствие rpадуированности самих aлrебр А, В, С.
Упоминавшиеся аналоrии операций Стинрода St i (для р == 2 aнa
. р
лоrи Sq1) связаны с этой спектральной последовательностью так же, как
обычные операции Стинрода со спектральной последовательностью Лере
для расслоений (см. 9 7).
7. Классический аппарат теории rомотопий.
Спектральная последовательность Лере.
rомолоrии расслоений. Метод KapTaHa Ceppa.
Башня Постникова. Стабильные резольвенты Адамса
Метод спектральных последовательностей, впервые открьпых Лере
(середина 1940 x rr.) для непрерывных отображений и, в частности, для
расслоений, имеет фундаментальное значение среди эффективных средств
roмолоrической aлrебры и позволяет, в частности, произвести далеко иду
щее вычисление rомолоrий ряда пространств, Не_ВНИК!Ul детально в их reo
метрическую природу.
Пусть задано непрерывное отображение тополоrических пространств
р .
у ........ х. Возникает предпучок уз над У такой, что
у& == Hj(p l(U), D), j О,
(3.7.1)
rде И область в Х и D любая абелева rpуппа. Мы получаем набор
коrомолоrий:
EQ,1 == HQ ( X yl ) E ') Q,1 == О
2 ,, ,
если q < о или l < О.
Теорема Лере утверждает, что существует спектральная последовательность
EQ,1 d' EQ,1 ........ E Q+m, l m+l d 2 О
т' т' m m , m == ,
(3.7.2)
108
rЛАВА 3
rдe
E +l == Н*(Е т , d m ) == Kerdm/lmd m ,
E ;./ == E [(т > q + l)
такая, что
m
Е'!;/ == ант(у, D) == Bm l/Bm l l.
q+l==m [==о
(3.7.3)
Здесь ант(у, D) rpуппа, присоединенная нт(у, D) в силу некоторой
фильтрации
в т == нт(у, D) :) Bт 1 :) Bт 2 :) ... :) во :) О.
fруппа E l == Bq / Bq 1 В отдельных случаях имеет простой смысл:
E т == ВО с нт(у, D) совпадает с образом rомоморфизмар*
во == Imp*, р*: нт(х, D) "'"'"'"* нт(у, D).
(3.7.4)
для локалыю тривиальных расслоений У Х со слоем F последователь
ность Лере может быть описана следующим образом. Предположим, что
база Х == к является СW комплексом с n OCТOBOM х n , n == О, 1, 2, . '"
Фильтрация нт(у, D) определена следующей естественной фильтрацией
пространства У:
. Уn == p l(Kn), Yn У;
У О С yi с 112 с ... с У n С ..., У == У 00'
При помощи отображения включения 'Pk: yk "'"'"'"* У мы получаем для каж
доrо m индуцированный rомоморфизм 'Pic: нт(у) "'"'"'"* Hm(Yk); ясно, что
'Pic является изоморфизмом для k == т. Требуемая фильтрация н т (У, D)
нт(у, D) == в т :) Bm l :) Bт 2 :) ... :) во :) о
получается, если положить
B k == Ker{'P k: нт(у, D) "'"'"'"* Hm(Ym k, D)}, k == т,т 1, ..., О.
Если вдобавок база Х связна и имеет только одну вершину (О клет
ку) что можно всетда предполarать без потери общности, тоrда фактор
3 7. КЛАССИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ rомотопий
109
Bт/Bт 1 в (3.7.3) изоморфен образу нт(у, D) в нт(р, D) при rOMO
морфизме, индуцированном при включении слоя F в У:
F Е == У, F == p l(XO), Х == К,
i* нт(х, D) == в т /Bт 1 с нт(р, D).
(3.7.5)
Кроме тoro, для локалъно тривиальных расслоений (или для расслоений
Серра, rде есть свойство накрывающей rомотопии) член E ' l вычисляется
явно (это входит в теорему Лере):
E ,l == Hq(x, (Hl(F), р»,
(3.7.6)
тде в силу порожденноrо расслоением представления р rpуппа 7r1 (Х) дей
ствует на коrомолоrиях слоя Hq (Р). Если rpуппа 7rl (Х) действует триви
ально (например, если 7r1(X) == О), то E ,l == Hq(x, Hl(F» и член Е 2
совпадает с коrомолоrиями прямоro произведения
E ,l == Н*(Х Х Р, D).
q, l
(3.7.7)
для прямоrо произведения У == Х х F имеем
Eq,l == Eq,l d О
2 00' т==,
т?2.
для KOcOro произведения с односвязной базой искажение rомолоrической
структуры начинает проявляться в наличии ненулевых дифференциалов d m ,
т ? 2. Мы видим, ЧТО в косом произведении меньше коrомолоrий, чем в
npямом.
Это неудивительно. Если Х и F клеточные комплексы, то клеточ
ное разбиение пространства расслоения (если слой клеточный) такое же,
как у прямоrо про изведения Х х Р, так как над каждой клеткой а С Х
npоизведение прямое:
p 1(aт) == а т х F.
«Перекашивание» начинается, коrда мы берем rpаничный оператор д:
aa +l == a(ak х a ) == a q х (дa ) + (д 1 +д 2 + " .)a +l,
rде a j лежат над остовами базы xq j. Оператор д 1 удается явно вычислить
(Лере) через коrомолоrии базы с коэффициентами в 7r1(X)-модуле Н*(Р).
Если D кольцо, то все Е;" биrpадуированные кольца и d m (иv) ==
== d m (и) :1: иd m (v), если элементыI и, v биrpадуированы. Вся теорема
110
rЛАВА 3
естественно пополняется кольцевой структурой. Для rомолоrии теорема
Лере полностью аналоrична; над полем коэффициентов спектральные по
следовательности rомолоrий и коrомолоrий сопряжены.
Имеется rомоморфизм траНС2рессии Т, определяемый так: рассмотрим
пару (У, Р) и roмоморфизмы
Hq(F) !...,. Hq+1(y, Р) «коrраница»,
Hq+1(X, хо) Hq+1(y, Р) «проекция».
Суперпозиция (p*) l о б == т называется mраНС2рессuей. Она не всюду
определена и мноrозначна. Трансrpессия вычисляется так:
Hq(F):) E ,q Eg+ 1 . 0 == HQ+1(K)jKerp*,
d Q == т.
В силу (3.7.8), дифференциал d Q коммутирует с квадратами и степенями
Стинрода. Это весьма важно в некоторых узловых вычислениях. В частно
сти, элемент Z Е HQ(F) называется трансrpессивным, если T(Z) опреде-
лено, т. е. dj(z) == О, j < q. Тоrда St (z) также трансrрессивен и
(3.7.8)
TSt (Z) == St T(Z).
При м е р 1 (теорема Бореля, начало 1950 x п.). Если H*(F, Q)
внешняя aлrебра над Q и Н*(У, Q), то Н*(Х, Q) aлrебра мноrочленов
от образов при трансrpессии некоторых внешних образующих. для поля Z2
надо потребовать, чтобы существовал набор трансrpeссивных npocтbIX об..
разующих Vj Е Hnj (Р, Z2),rдe аДДИТИВНЫЙ базис, в H*(F, Z2) имеет вид
Vjl' Щ2' . . . , Vjk' j1 < j2 < ... < jk.
Не надо предполarать, чтобы алrебра была внешней. Алrебра Н*(В, Z2) f , :
будет полиномиальной. На базе этой теоремы вычисляются коrомоло ,
rии Н*(Х, Z2), rде Х имеет тип K(Z2, n), и алrебра Стинрода А 2 (Серр, [,
начало 1950 x н.). !
При м е р 2. Исходя из спектральной последовательности Лере, леrкo
вычисляются кольца коrомолоrий всех простых пространств
;
i'
r
H*(Rp n , Z2), H*(Rp n , Z), н*(срп, Z),
Н*(ВОО jZm, Z), Н*(ВОО jZm, Zm),
Н*(ВОп, Q), Н*(U n , Z), Н*(ВРn, Z),
Н*(ВВО п , Q), Н*(ВU n , Z), Н*(ВВО n , Z2),
Н*(ВО п , Z2),
3 7. КлАССИЧЕСКИЙ АППЛРАТ ТЕОРИИ rомотопий
если воспользоваться расслоениями:
1) В2n+1""",,* срn
(слой В1 ),
3) в2n+1 jZm """"* ср n
(слой в1),
5) U n """"* B2n 1
(СЛОЙ Un 1),
7) Е ВU N , Е"" О
(СЛОЙ U n )'
111
2) RP2n+1""",,* срn
(слой в1),
4) ВОn""""* Bn 1
(слой BOn l),
6) Е""""* ВО N , Е "" О
(слой оп),
При м ер 3. Леrкo видеть (тривиальный случай теоремы Бореля), что
Н* ( Х Q) == { А(и), и Е Нn(Х), п == 2k + 1,
n, Q[и], и Е Нn(Х), n == 2k,
[де Х пространство типа K(Z, п). для конечных rpупп 11" коrомоло
rии Н*(Х, Q) пространств типа К(11", п) тривиальны. для конечно поро
жденных абелевых rрупп 11" все коrомолоrии Н*(Х) конечно порождены.
Еще в rл. 1 отмечалось, что, сохраняя roмотопические тиnыI, можно
f
любое отображение Х ........ У заменить расслоением Серра
р
Х""""*У, p""f,
тде у это цилиндр отображения f, который стяrивается к У, и Х это
совокупность путей, начинающихся в точках х Е Х С у и кончающихся в
любых точках из У. Отображение р ставит в соответствие пути ero конец и
является расслоением Серра. Пространство Х стяrивается к Х. Применим
это к отображению Х L У, rде 11"з(Х) == Одляj < nиУимеетТИПК(11",п),
11" == 11"n(Х); отображение f*; 11"п(Х) """"* 11"n(У) является тождественным
изоморфизмом.
Превратим отображение f в расслоение
р
х ........ у"" К(11", п).
СЛОЙ F называется «убивающим пространством»
11"j(F) == 1!"j+1(X)' j n,
11"j(F) ==0, j<n.
I
(3.7.9)
112
rЛАВА 3
В простейшем варианте схема метода КapTaHa Ceppa идет по такой Про
rpaMMe:
Ш а r 1. Вычисляем rомолоrии слоя, исходя из спектральной последо
вательности.
Ша r 2. Используем теорему fуревича
нn(р) == 7r n (F) == 7r n +l (Х).
Ш а r 3. Итерируем процедуру.
Удобнее, однако, действовать иначе. Операциями приклеики клеток
можно построить пространство X q по любому Х такое, что имеется вло
жение Х :) Xq, тде
7rj(X) == 7rj(Xq), j < q,
7rj(Xq) == О, j? q
(<<q заклеенное пространство»). Если 7rj(X) == О для j < п, то Х N стя
rиваемо; Хn+1 имеет тип K(7r, п), 7r == 7r n (X). Рассмотрим следующие
расслоения:
(3.7.10)
(п + 1) Хn+2 Хn+1 == K(7r n (X), n)
(слой Fn+1 == K(7r n +l(X), n + 1),
(п + 2) Хn+З Хn+2
(слой Fn+2 == K(7r n +2(X), п + 2),
.............................................. ..
(п + k) Х n Н+1 Xn+k
(слой Fn+k == к (7r n +k+1 (Х), п + k).
Расслоения со слоем типа K(7r, т) с односвязной базой rомотопически
определяются одним классом коrомолоrий
и т Е нт+1(в, 7r),
rде В база расслоения. для расслоений (выше) Xn+k+1 Xn+k со
слоем F типа K(7r n +k, n + k) имеется класс
иnн Е нn+нl (ХnН, 7r n +k(X)),
эти элементы называются фактораJvlи Постникова, а вся последователь:
ность расслоений со слоями типа K(7r n +k, п + k) называется (баШllеu
Постникова»
... Х n + З Хn+2 Хn+1 *,
(3.7.11)
з7. КллССИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ rомотопий
113
rде * обозначает стяrиваемое пространство. По набору rpупп 7rj(X) и фак
торов из восстанавливается rомотопический ТИП.
Метод KapTaнa Ceppa позволяет вычислять инвариантыI Постникова
при последовательном построении пространств X n + j С использованием
знания коrомолоrий пространств К ( 7r, т). для вычислений rомотопиче
ских. rpупп 7rj (Х) 0 Q эта картина сильно упрощается, так как учитыветсяя
простая структура коrомолоrий Н* (К ( 7r, т); Q).
При м ер 1. для сфер ВN rpупnыI 7rj(Sn) 0 Q имеют вид
7r n (Sn) Z, 7r4n 1 (Вn) 0 Q == Q.
Остальные rpупnыI конечны.
При м ер 2. для одно связных конечных комплексов rpуппы 7rj(X)
конечно порождены (это теоремы Серра, начало 1950 x п.).
При м ер 3 (теорема Кapтaнa eppa). Если Н*(Х, Q) свободная
косокоммутативная aлrебра, 1'0 7rj(X) 0 Q совпадает с пространство м ли
нейнЫХ Q форм на Hj (Х, Q), нулевых на элементах, нетривиально раз
лarаемых в произведение. для Н пространств Х, соrnасно теореме Хоп
фа, aлrебра Н*(Х, Q) такова. Таким образом, знание кольца коrомоло
rий Н*(ОХ, Q) для конечноro односвязноrо комплекса Х дает полную
информацию о rpynпах 7rj(X) 0 Q (определение Н пространств и про
странств ОХ, а также некоторые дрyrие подробности см. в 2, rл. 4). Однако
не всеrда эти коrомолоrии леrко вычислить.
MHOro позднее (в начале 1970 x п.) Сулливан построил явную фор
му теории «рациОНШlЬНО20 20J\ютопичеСКО20 типа» (Q типа) односвязных
конечных комплексов, rде все вычисления проводятся в рациональной KaTe
roрии и, слмовательно, щ:е инвариантыI тензорн:о умножены на Q. ОН пока
зал, что Q тип определяется классами эквивалентности некоторых диффе
ренциальных косокоммутативных aлrебр. Используя эту идею и келерову
rеометрию, было доказано, например, что Q тиn односвязных келеровых
};/НО200бразий определяется однозначно кольцом рациональных коrомоло
rий (Делинъ, Сулливан, fриффитс, MopraH, середина 1970 x п.).
В отдельных случаях методом Картана-----Серра или Адамса удается BЫ
числитъ rомотопические rрупnыI точно, а не только в рамках Q тиnа. для
вычисЛения стабильных roмотопий удобно, как rоворилось выше, исходить
не из башни Постникова, а построить так называемые резольвенты Адамса.
Пусть Х конечный (rомотопически) комплекс, 7rj(X) == О для j п 1
и dimX < 2п 1. Модуль Н*(Х, Zp) над aлrеброй Стинрода Ар имеет
базис {т 1, " . , mk}, mj Е нn; (Х, Z2)' Рассмотрим отображение
k
f: Х П Yj, yj '" K(Zp, nj),
j==l
8 Тополоrия
114
[ЛАВА 3
так что
j*(щ) == тз,
и} фундаментальные классы комплексов Х } в Hnj(Yj, Zp). Заменим ЭТО
отображение на расслоение Х 1 '" Х,
k
X l L ПYJ
з==1
со слоем ХО == F с X l. Далее поступим аналоrично, заменив X l на ХО
и т. д. Мы получим убывающую фильтрацию простраНСТ8
к '" X l :) ХО :) Х 1 :) Х 2 :) ...
(3.7.12)
так что все Ар модули Н*(Х З ' Xj+l; Zp) == M j свободны. Набор rpанич
ных rомоморфизмов
д: HQ(X j , Х Н1 ; Zp)"'"'"'"* HQ+1(Xj 1' Х з , Zp)
в коrомолоrической точной последовательности тройки (Хз 1, X j , Х з + 1 )
дает дифференциал dj l: Jvf j +1 "'"'"'"* 1\1 з , определяющий следующий KOM
плекс свободных Ар модулей:
dj l do е
"'"'"'"* l\tl j Мз 1 "'"'"'"* ... 1\10 "'"'"'"* 1\1 1'
(3.7.13)
Заметим, что l\tI l == H*(X l; Zp) И rомоморфизм € индуцирован вложе
нием пар (X l, 0) "'"'"'"* (X l, ХО):
е: H*(X l, Хо; Zp) -------t H*(X l; Zp).
в стабильных размерностях мы имеем
Мо == H*(X l, Хо; Zp) == Н* ( П K(Zp, nз); Z p ) ,
J==l
так что в (3.7.13) все fo..l j с j о свободны (и Kerd j == Iшdj+1); таким
образом, (3.7.13) представляет собой ациклическую резольвенту Ap MOДY
ля M l Н*(Х; Z). Комплекс (3.7.13) известен как резольвента Адамса
Ар модуля Н*(Х; Zp), и диarpамма «стабильных пространств» или спектр
Х '" X l ......... Хо......... X 1 ......... ... .........
/ /
X l/XO ХО/Х1
X j ......... X H1 .........
/
XJ+l/Xj
(3.7.14)
з 7. КЛАССИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ rомотопий
115
называется резольвентой Адамса пространства Х или rеометрической pe
ализацией резольвенты Адамса (3.7.13). Рассмотрев стабильные rомотопи
qеские rpуппы, можно получить из диаrраммы (3.7.14) спектральную после
дователъностъ Адамса. Заметим, что существует следующий изоморфизм
дЛЯ про изведений npостранств Эйленберrа Маклейна K(Zp, nз):
НОШАр(Н*(П K(Zp, nз); Zp), Zp) 7r:(П K(Zp, nj)),
j j
и этот изоморфизм позволяет очень эффективно обращаться со спектраль
ной последовательностью Адамса методами rомолоrической aлrебры.
Используя совокупность методов aлrебраической теории rомотопий
методы Картана, Серра, Адамса, пополненные часто совокупностью дрyrиx
конкретных соображений, ряд авторов провел далеко идущее вычисление
стаБильныIx и не стабильных rомотопических rpупп сфер (Серр, Тода и др.,
с начала 1950 x до середины 1960 x rr.). Позднее эти вычисления были
пополнены, исходя из методов экстраординарныIx коrомолоrий (см. g 8, 9),
в конце 196()"", 70-х rr.
СтаБШlьные 20мотопuческuе 2руппы сфер к1 == 7rN+i(8 N ), N > i + 1,
и все косокоммутативное кольцо K == I: к1, 1I"111"J == ( 1)ij1l"}7r1 исполь
i O
зуется в тополоrии rладких мноrообразий. Поэтому мы укажем некоторые
сведения о нем. Таблица rpупп 1I"f имеет вид:
i==O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
7r1 == Z Z2 Z2 Z24 О О Z2 Z240 Z2 ЕВ Z2 Z2 ЕВ Z2 ЕВ Z2 Zб Z504 О Z4
1 h 1 h h 2 h h3 h 1 h з , и hfh з ,h 1 и,v w х у
1
l'
l'
1',
1,
11
,
,
f:
I
Соотношения таковы: *
2h 1 == о, hr == 12 h 2 , h l h 2 == о, 240 h3 == о, hih3 == h ,
hrhз==О, hiu==o, 3w==h 1 v, hiv==256x, (3.7.15)
у == h 2 w, 6w == о, 504х == О.
При этом элементы h 1 , h 2 , h з , h з h 1 , hзhi, х и их кратные реализуются OCHa
щениями на обычной сфере 8 n , т. е. по определению принадлежат образу
roмоморфизма
J: 7rj(80) -------t 7rj.
Определение rомоморфизма J см. в rл. 4, 93. Таблица стабиль
ных rpупп 7rj (80) указана в rл. 4, 92. Нетривиальные р компоненты
.Мы напомним, что в алreбре ExtA2 (Z2, Z2) элементы 2,'1, v и а представлены элемен
тами ho, hl, h2 И hз, соответственно.
8*
116
rЛАВА 3
rpупп 11";Р) С 11"} появляются впервые при j 2р 1. их таблица Taкo
ва (р > 2, j 2р(р 1) 1):
11";Р) == Zp, j == 2k(p 1), k == 1, ..., р 1,
11";Р) == Zp, j == 2р(р 1) 2,
(р) Z (р 1)
11"j р2, j==2p 1.
При j =/:- 2р(р 1) 2 все rpуппы 11";Р) С J11"j(80) покрываются обра
зом 1т J. Образ rомоморфизма J содержит малую часть 11" ; в частности,
rpуппа 11" P 1) 2 содержит элементыI, не принадлежащие образу J11"j(80).
8. Определение и свойства К теорий.
Спектральная последовательность
Атьи Хирцебруха. Операции Адамса.
Аналоrи изоморфизма Тома
и теоремы Римана Роха.
Эллиптические операторы и К теория.
rруппы преобразований. Четырехмерные мноrообразия
Первые и важнейшие обобщения теории коrомолоrий К теорuя и
кобордизмы были введены (или, точнее, впервые рассмотрены с этой точ
ки зрения) Атьей в конце 195 0 x и. Развитие их методов в дальнейшем
позволило значительно усовершенствовать aлrебраическую технику топо
лоrии: кроме Toro, в ряде тополоrических задач К теория или какой то вид
кобоРДИЗМОВ (бордизмов) оказьшаются нередко по своему rеометрическо
му смыслу более естественными для их рассмотрения. Общая аксиоматика
экстраординарных rомолоrий (коrомолоrий) разработана Дж. У. Уайтхедом
в начале 1960 x и. Дадим определение К теории.
для конечных комплексов (К, L) rpуппы Kg (К, L) и K (К, L) опре
деляются как zpyппa Тротендика классов стабильной эквившzентностu вeK
торных комплексных (вещественных) расслоений с базой В == К j L, rде
расслоения стабильно эквивалентны, если
rJl EJ7 N 1 == rJ2 EJ7 N 2 ,
(3.8.1 )
N t тривиальные расслоения со слоем c N ; или R N ,. ДЛЯ любоrо рассло
ения существует стабильно обратное. это указывается в rл. 4, g 1. Нужно
реализовать К j L как деформационный ретракт мноrообразия И :) К j L и
9 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА К ТЕОРИЙ
117
расслоение rJj над И как стабильно эквивалентное касательному. Torдa pac
слоение ( rJj) будет реализовано как нормальное при вложении И С RQ,
rде q велико:
rJj EJ7 ( rJj) == N '" О.
(3.8.2)
ПО определению, полarаем
А == R, с; K (K) == к1(к U *, *),
(3.8.3)
rде * одноточечное пространство. Очевидно, K (К, L) является KOMMYTa
ТИБным кольцом относительно тензорноrо произведения. По определению,
полаrаем, исходя из изоморфизма надстройки (см. (3.3.6»,
К З ( К L ) ко ( 'L/ К 'L/ L )
л ' л , ,
j > О,
(3.8.4)
rде надстройка. из свойств универсальных расслоений rpупп U n , ОП
получаем для конечных комплексов
КаЗ(К' L) == [ j(KjL), ВО],
Кс/(К, L) == [ j(KjL), ВU],
(3.8.5)
rде [Х, У] rомотопические классы отображений Х У. Соrласно пepи
одuчностu Ботта (см. rл. 4, g 2) получаем
Ki/ 8(K, L) == КаЗ(К' L),
Kcj 2(K, L) == Kcj(K, L).
(3.8.6)
Это позволяет распространить определение по периодичности на все j:
K (K, L), oo < j < 00.
Свойства обобщенных теорий, как rоворилось в g 3, таковы: rомотопиче
екая инвариантность, функториальность, аксиома вырезания (факториза
ции), Т.е., по определению, К-Л(К, L) == K*(KjL, *) и точная последо
вательность пары
... Kj(K, L) КЗ(К) Kj(L) KJ+l(K, L).
(3.8.7)
Двойственные к ним rомолоrии Kj(L) определяются, исходя из равенства
Kj(L, *') == Kn j 1(8n \ L, *"), n 00.
(3.8.8)
118
rЛАВА 3
Возникает теория rомолоrий (обобщенная), обозначаемая через
К*(К, L), K*(L). fеометрический смысл rpупп К* более сложен, и они
в теории rомотопий обычно не ИСПОЛЬЗУIOТся. Заметим, что векторное pac
слоение над 'Е,К определяется rомотопическим классом отображения:
К От или К И m .
Поэтому Kit 1 (K) == [К, О], Кс/(К) == [К, И]. для стяrиваемоrо про-
странства или точки (*), соrласно теоремам Ботта, получаем таблицу зна
чений в силу изоморфизма:
KRj(*) == 7Тj(ВО) == 7Тj l(О)
К с /(*) == 7Тj(ВИ) == 7Тj l(И)
(j > О)
(j > О),
с продолжением по периодичности на все j. Так как КЛ (К, L) образует
rpадуированное косокоммутативное кольцо, удобно описать кольца Ki(*)
и К с (*) следующим образом:
1) Kit(*) имеет образующие 1 Е K1!t, h Е Kit 1 , и Е Kit 4 , v Е Kit 8 ,
v l Е K , удовлетворяющие соотношениям
2h == о, h 3 == О, и 2 == 4v, VV l == 1.
2) Кс( *) имеет образующие
1 Е Kg, w Е К-ё/, w l Е К'6
с единственным соотношение'м WW l == 1. Следовательно,
(3.8.9)
(3.8.10)
КС == Z[w, w l].
(3.8.11)
В кольцевой структуре оператор умножения на v дЛЯ Кн. или на w для К'С
совпадает с оператором периодичности Ботта.
В соответствии с общими принципами теории roмотопий существует
спектральная последовате.:zьность колец Атьи Хuрцебруха E q, d m Такая,
что
Е *.* Н(Е *' * d )
т+ 1 т' т,
d . Е р, q -------> Е р+т, q m+1 d 2 == О
'7n. m m , m ,
E ,q == НР(К, КХ(*)),
'" ЕР' q == GK s ( К )
00 л'
p+q s
т. е. кольцо E * == L: E q присоединено к КЛ (К). Все дифференциалы d m
p,q
имеют конечный порядок (т. е. их образ конечен). Для конечноrо комплекса
'
(3.8.12) r:
9 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА К ТЕОРИЙ
119
все дифференциалыI d m , при m > N, обращаются в нуль. Связь d m с Koro
молоrическими операциями, их порядки исследовались В. М. Бухштабером
в конце 1960 x и.
При А == С для комплексов К, rомолоrии которых не имеют кручения,
мы имеем d m == О, m ? 3. отсюда следует
Н*(К, К'С(*)) == К'С(К)
(как rpуппа).
При А == R и тех же условиях все дифференциалы d m имеют порядок
не более чем 2.
При м е р 1. Пусть К == RP k . Образующая кольца K1!t (Rpk) есть rJ
1 == и, rде rJ каноническое линейное расслоение, W1 (rJ) #- О. Имеет
место равенство dm == О для m ? 3 в спектральной последовательности
Атьи Хирцебруха, так как dm(u j ) == о:
GK1!t(Rpk, *) == Hj (RPk, Kit j (* )),
j O
K1!t(Rpk, *) == Z2h(k),
h(k) == 4q + л s , k == 8q + s,
(3.8.13)
rде
Л1==1, Л2 == 2, лз==2, Л4==3, Л5==3, Л6==3, Л7==3'
Имеет место соотношение
и2 == 2и, 2 h (k)u == о, -фl(и) == (1 + u)l 1,
rде -фl «операция Адамса», если ее определятЬ кратко. Для А == С мы име
ем d m == О и образующая есть v == си, комплексификация и. Следовательно,
d m == О при m ? 3 в спектральной последовательности Атьи Хирцебруха,
что влечет
Kg(Rp2 q , *) == Z2 Q , -фl(v) == (1 + v)l 1, v2 == 2v. (3.8.14)
На rpуппе fротендика КХ (К) можно, используя представления CТPYK
турных rpупп, ввести целый ряд. естественных (т. е. коммутирующих
с непрерывными отображениями) преобразований. Это своеобразный aнa
лоr коrомолоrических операций К теории.
Мы определим операции Адамса в комплексной К теории. Исходя из
формальноrо ряда с переменной t
At(rJ) == tjAj(rJ) == 1 + A 1 (ry)t + A2(rJ)t 2 +
йо
'" ,
120
rЛАВА 3
мы построим оператор
At: КО(К, L) КО(К, L)[[tJ],
коэффициенты КOToporo Aj (rJ), однако, неаддитивны (см. 9 1, rл. 4), по
скольку:
A t (rJ1 ED rJ2) == A t (rJ1)A t (rJ2).
Рассмотрим коэффициенты ряда
(3.8.15)
log(l tA 1 + .. . ) == log A t == L k t k ,
k 1
rде фk (А 1, ... А k) выражается через АЗ" с целыIии коэффициентами. Удоб
но выразить фk в терминах симметрических полиномов. Пусть 81,82, . "
элементарные симметричные полиномы от и1, .. . , и n . Тоrда симметрич
ный полином и + . . . + и может бьпь выражен как полином от 81, .. . , 8 k:
и + '" + и == P k (81, 82, ..., 8k), k == 1,2, ....
Следующее выражение (k я операция Адамса) очень удобно для KOH
кретных вычислений:
фk(rJ) == Pk(rJ, AlrJ, ..., AkrJ).
Из определения вытекают свойства:
'lji(rJl ЕВ rJ2) == фk(rJl) ЕВ фk(rJ2),
фl == А 1 == 1.
(3.8.16)
Если rJ это линейное расслоение, то
фk ( rJ) == rJk.
(3.8.17)
На линейных расслоениях (представляющих элементы K ) и их прямых
суммах леrко устанавливаIOТСЯ свойства
'Ц} (rJl . rJ2) ==фk (rJl )фk (rJ2), ch n ( фk (rJ)) == k n (chn rJ),
фkфl == фkl,
(3.8.18)
rде ch характер Черна. Эти свойства затем без труда устанавливаются для
всех расслоений.
98. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И свойстВА К ТЕОРИЙ
121
для элементов из K (S2n, *) == Z с базисным элементом rJ, rдe
ch rJ == J.L Е Н 2 n (S2n; Z), верна формула
фk rJ == knrJ.
(3.8.19)
ИЗ формулыI (3.8.19) вытекает правило коммутирования фk с оператором
периодичности Ботта w (см. выше):
фk(wz) == kwфk(z).
Полaraя фk(w) == kw, мы распространяем эти операции на все Kcj(K, L)
для j > О, исходя из мулътипликативности
фk(аl) == фk(а)фk(l).
Распространение операций фk на положительные кЬ, j > о возможно
только после тензорноrо умножения на Z[l/ k] в rpуппах КЬ 0 Z[l/ k].
В вещественной К теории операции Адамса фk определяются схожим
образом. Эти операции коммутируют с rомоморфизмом комплексификации
с: K (K, L) K (K, L),
фk . С == С . фk.
Операции фn, введенные Адамсом в начале 1960 x П., оказались qрезвы
чайно удобными для решения нескольких задач. для формулировки этих
задач нам потребуются некоторые определения.
Пусть S(rJ) обозначает сферическое расслоение, ассоциированное с
векторным расслоением rJ, т. е. S(rJ) имеет ту же базу, но каждый слой Rn
векторното расслоения rJ заменяется сферой sn 1 С R n. Два векторных
расслоения rJl, rJ2 над одной базой К со слоем R n или СП называются
послойно 20.мотопически эквивалентными, если существует отображение
S( rJl) S( rJ2)
!
между тотальными пространствами ассоциированных сферических рассло
ений, индуцирующее тождественное отображение на базе и степени + 1 на
слоях. Это приводит К определению стабильной послойной 20мотопической
эквивалентности вещественных или комплексных векторных расслоений:
Т'/l r'V rJ2, если существуют тривиальные расслоения N 1 и N 2 такие, что
Т'/1 ЕВ N 1 И rJ2 ED N 2 послойно rомотопически эквивалентны. Классы стабиль
ной эквивалентности (впервые введенные Дольдом в середине 1950 x п.)
122
[ЛАВА 3
обозначаIOТСЯ JR(K) (или Jc(K)). ИмеIOТСЯ очевидные roмоморфизмы
(эпиморфизмы)
Kg(K) Jc(K), K (K) JR(K).
в обозначениях 94, rл. 4 вложение О С G порождает отображение j: БО
БG, и для стабильных расслоений имеем
K (K) == [К, БО],
JR(K) == j*(K (K)) с [К, БG].
Здесь [, ] rомотопические классы отображений и G == lim G q ПРЯМОЙ
q.......oo
предел, rде G q состоит из отображений sq sq степени 1.
для rладких мноrообразий М N rpуппа J R (Мn) имеет несколько важ
ных приложений:
1. для оценки снизу roмотопических rpупп сфер (мn == вn);
2. для изучения rладких структур на сферах (Мn == вn);
3. для оценки числа независимых векторных полей на сферах B2n l
(М n == RPn);
4. для классификации стабильных нормальных расслоений к rладким
замкнутым мноrообразиям (см. 93,4, rл. 4).
Уместно отметить следствие одной теоремы Атьи:
Пусть ryN векторное расслоение над МN. Класс [Т]] Е JR(Mn) co
держит нормальное расслоение над J.IIl (т. е. т] стабильно zомотопическu
эквивалентно нормальному расслоению) тоzда и только тоzда, коzда цикл
ср([М]) Е HN+n(Try, Z} сферический.
(Здесь ТТ] . пространство. Тома и ср обозначает изоморфизм Тома
""
ср: Нn(М n ) ..=.. HN+n(Try); цикл Х Е Н*(Х, Z) называется сферическим,
если он лежит в образе rомоморфизма fуревича к*(Х) -------t Н*(Х, Z).)
в силу теоремы Браудера Новикова (см. 94, rл. 4) для односвязных за
мкнутых мноrообразий размерности n =1 4k + 2, n 5, последнее условие
сферичности вместе с формулой Хирцебруха для сиrнатуры дает достаточ
ное условие для Toro, чтобы расслоение т] реализовалось как нормальное к
возможно дpyroMY мноrообразию, rомотопически эквивалентному J.IIl n .
Рассмотрим подrpуппу Н в K (K), порожденную всеми элементами
(для всех р) вида
pNv(-фk l)ry,
(3.8.20)
rде т] Е кО любой элемент, р 2 простые числа и N р 00
достаточно большие числа. Соrласно теореме Адамса rpуппа
к (к)/(рNv(-фр l)ry) == J R == K (K)/H
з8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА К ТЕОРИЙ
123
оценивает снизу rpуппу J R , поскольку ядро rомоморфизма K J R co
держится в этой подrpуппе Адамса. для К == ВN Адамс доказал и обратную
оценку (с точностью до множителя 2 в некоторых размерностях). Это дает
вычисление (с указанной точностью) порядка rpупп J R (S4n) С K n l ==
== 7r4n 1+N(SN), rде оценка Адамса совпадает с точностью до множителя 2
для n == 28 с оценкой Милнора Кервера снизу (см. 3, rл. 4). для К == RP2n
НИЖНЯЯ оценка Адамса дает такой результат
K (Rp2n) == J R (RP 2n ).
ИЗ этоrо утверждения, в силу некоторых редукций Тоды, вытекает точная
оценка максимальноrо числа линейно независимых векторных полей на
нечетномерной сфере S2q 1 . Если 2q == 2т (2l + 1), m == c+4d, rде О (; с (; 3,
то это число равно 2 С + 8d 1 (Адамс, начало 1960 x п.). Такое число полей
может быть построено, если исходить из инфинитезималъныx вращений.
Сама rипотеза Адамса о том, что все элементыI вида
k N (-фk l)ry Е K для больших N определяют J тривиалъные элемен
ТЫ, была в конце 1960 x п. доказана Сулливаном и Квилленом, исходя из
красивых общекarеroрных соображений, связанных с пополнением KaTeTO
рин rомотопических типов так, чтобы умножение на k было обратимо.
Ввиду ненarлядности К теории rомолоrий соответствующая двой
ственность Пуанкаре для замкнутых мноrообразии требует особоro обсу
ждения. Как выбрать «фундаментальный класс» й Е K n (J.lll n )? Коrда он
существует? Эквивалентным, но более наrлядным является такой вопрос:
для каких расслоений т] можно построить «изоморфизм Тома»
СРК: K (K) K +j(Try), CPK(Z) == zcpK(l),
(3.8.21)
л == R, С? Элемент ср k (1) для кuмплексных расслоений т] со слоем с т ,
n == 2т был указан fротендиком Атьей Хирцебрухом во второй половине
1950 x rодов для КОМIтексной К теории Л == С. Мы полаrаем
CPK(l) == лчет(Т]) лне',ет(Т]) Е Kg(Try),
[де
л чет == L л 2j ,
j O
л нечет == L л 2j + 1 .
j O
При этом верна формула
CPH1(chCPK(1)) == Т(Т]) Е Н*(К; Q), i: К -------t ТТ],
[де Т(Т]) род Тодда, СРН коrомолоrический изоморфизм Тома
(см. rл. 4,93). Это приводит К формуле для характера Черна
ch(CPK(ry)) == T(ry)chry.
124
rЛАВА 3
для отображений !: J.IIl n N k квазикомплексных МНО200бразий (т. е.
имеющих стабильное нормальное расслоение, снабженное комплекс
ной структурой) возникает аналоr rомоморфизма fизина D!*D==!,:
KO(Mn) KO(Nk), такой что
ch !!(rJ)T(N k ) == !, (ch rJT(Mn)) (3.8.22)
(обобщение теоремы Римана Роха). для вложений J.IIl n с N k оператор !!
совпадает с изоморфизмом Тома нормальноrо расслоения.
для вещественной К теории построение аналоrов изоморфизма To
ма требует спинорной структуры В расслоении, которая существует, если
классы Штифеля Уитни W1(rJ) == W2(rJ) == о: положим
'Рк(l) == 6,+(rJ) 6, (rJ) Е Ki1t(TrJ),
(3.8.23)
rде 6,:1: «полуспинорные представления» rpуппы Spin(n) на векторном
пространстве A(R)n, и 6,:1:(rJ) векторные расслоения, ассоциированные
с этими представления и. Изоморфизм Тома 'Р к в вещественной К теорИl{
позволяет определить A poд:
1
A(rJ) == 'Рн (ch('PK(l))).
(3.8.24)
Теоремы целочисленности .4(M4k) (см. g 3, rл. 4) MOryT бытъ получены
из вещественных аналоrов обобщенной теоремы Римана Роха. Например,
из (3.8.22), полаrая Nk == *, получаем целочисленность Т poдa квазиком
плексных мноrообразий. Если класс Черна С1 (]У!) == о для квазикомплекс
Horo мноrообразия М, то целочисленнъlМ является A poд .4(1\;1).
ВследсТвие исследований ряда авторов в теченйе 1960 x начала
1970 x п. удалось вычислить Кл (Х) дЛЯ большинства важнейших OДHOpOД
НbIX пространств. Любопытно, что для компакrnых одно связных rpупп Ли G
кольцо КС (С) порождается представлениями некоторым набором базис
ных представлений Pl, . . . , Рт, старшие веса KOТOpbIX образуют базис rpуп-
пы Т* , двойственной максимальному тору T l С С. Элементы [Рз] Е КЬ ( С)
порождают внешнюю aлrебру над кольцом скаляров Z[w, W l],
Кс(С) == А*(Р1, ..., Рт), А == Z[w, W l],
rдe W оператор периодичности Ботта (теорема Ходжкина, первая поло-
вина 1960 x п.). для G == U N представления Р1, ..., Рт это внешние
степени Aj == Pj. для универсальных пространств ВС компактных rpYIIIl
Ли G (или конечных) верно равенство
Кс/(ВС) == О, Ktt(BG) == RG == Z + 1/12 + 12/13 + ...
3 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА К ТЕОРИЙ
125
пополнение кольца унитарных представлений Ra по степеням макси
мальноrо идеала 1, rде Rc /1 == Z (Атья, середина 1960 x п.).
К теория бесконечномерныIx пространств содержит ряд дополни
телъных трудностей появление элементов бесконечной фильтрации
(В. М. Бухштабер, А. С. Мищенко, Ходжкин, вторая половина 1960 x п.).
В частности, вычислены К* (Х), rде Х комплексы Эйленберrа---Маклейна.
появление элемеmов бесконечной фильтрации, нулевых на любом конеч
I10М остове характерное явление обобщенных коrомолоrий, невозможное
в обычных.
Одним из наиболее красивых приложений К -теории является формула
иНдекса для эллиптических псевдодифференциальныx операторов на за
Mкнyтыx мноrообразиях.
Пусть rJl, rJ2 векторные расслоения над замкнутым мноrообразием
м n , и f(rJi) линейное пространство rладких сечений 11 расслоения rJi,
i == 1,2. Общий дифференциальный оператор L порядка m задается r(rJ1)
и принимает значения в r(rJ2). Локальная ero запись такова:
L д д
L== а . ... +L
'1.. . 'тn ax i1 дхi-т- 1,
rде ai1 . . . im (х) матричнозначные функции и L 1 оператор порядка < т.
Если L эллиптический, то ядро и коядро конечномерныI и разница их
размерностей есть, по определенmo, индекс оператора Ind L 1 == dim Ker L
dim Coker L. «Задача об индексе» заключается в том, чтобы дать описа
иие целоrо числа Ind L в терминах тополоrической информации, неявно
входящей в эллиптический оператор L. Следующая интерпретация членов
высших порядков в операторе L дает ключ к решенmo « адачи об-индексе> .
Пусть 7r: т* (]I.;1) М проекциЯ касательноrо расслоения над Д1 n и пусть
1"о(М) == 1'*(М)\М подмножество ненулевых векторов в 1'*(М). Torдa
члены высшеrо порядка L определяют rомоморфизм (J'L: 7r*rJ1 7r*rJ2,
заданный в локальных координатах так:
rт" L( X р) "' а (х)р . р. ' т .: C N C N ,
v , L i 1 ... i m i 1 . . . . . .
(3.8.25)
rде р == (Р1, ..., Рn) Е 1'*(J.II1) ковектор. fомоморфизм (J'L называется
символом оператора L. Оператор L является эллиптическим тоrда и только
тоrда, коrда ето символ O'L является изоморфизмом на 1'0(1\;1), или, в Tep
минах локальных координат, тоrда и только тоrда, котда каждое (J'L(X, р)
обратимо, Т.е. (J'L(X, р) о для р О. Символ определяет оператор с
точностью до компактной добавки.
IIЗдесь векторные пространства предполаraются снабженными подходящей нормой, опре-
деляющей струюуру пространства Соболева на [' ( 7Ji ) .
126
rЛАВА 3
Синrулярные интеrральные операторы имеют m == О. для слу
чая }"fn == 81 верна формула Нётера Мусхелишвили (1920 30 e rоды)
27rlndL == f 10gdetO"+(z, l)dz f logdeto" (z, l)dz,
rде 0"+ и O" это символ как функция (z, Р) при Р == ::1:1, Izl == 1.
Общая конструкция Атьи Зинrера (первая половина 1960 x rr.) такова:
если имеется пара расслоений Т}1 и Т}2 над Х и установлен их изоморфизм (j
на У с Х, то определен разностный элемент
d(ryl, Т}2, 0") Е кО(х, У).
В нашем случае о" == O"L(X, р), Х == Т*(М n ) и У == Т*(М n ) \ М N (без
нулевоrо сечения р == О). Далее, пара (Х, У) определяет фактор Х/У
комплекс Тома касательноrо расслоения (см. g 3, rn. 4). Итак, мы получаем
элемент
d == d(ryl, Т}2, O"L) Е КО(Тт*),
rде т касательное расслоение над J.IIln. Теорема Атьu ЗUН2ера состоит в
формуле
IndL == (<p l(chd) . т(м n ), [м n ]),
rде Т (]yfn) род Тодда комплексификации касательноro расслоения т (J.IIln ).
Один из самых красивых примеров это интерпретация A poдa cnu
НОрНО20 МНО200бразuя ]yf4k (w1(M) == Ш2(М) == О) как индекса оператора
Дирака, что дает ero целочисленность.
В настоящее время известно несколько различных доказательств этой
теоремы и ее обобщений. Первое доказательсТlЩ Атьи Зинr ра OCHOBЫBa
лось на теории кобордизмов, как и теорема Римана Роха Хирцебруха. эти
результаты переносятся на мноrообразия с краем, если оператор L пополнен
коэрцитивными rpаничными условиями, дающими нётеров оператор.
Мы видим, таким образом, что связь с теорией линейных эллиnтиче
ских операторов оказалась чрезвычайно полезной и для самой тополоrии.
Она позволила вывести ряд rлубоких алrебротополоrических соотношений.
Укажем в качестве примера формулу Атьи Ботта для изолированных
неподвижных точек roломорфноrо преобразования
f: Аl n jlдn,
rде lvI n компактное келерово мноrообразие.
Пусть Рl, . . . , Pk все неподвижные точки и все они невырождены и
изолированы. Преобразование Т == df на касательном пространстве к точ-
!3 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА К -ТЕОРИЙ
127
ке pq имеет набор собственных значений Л1q, . .., л nq , Лjq #- 1. Имеет
место формула Атьи Ботта (аналоr формулы Лефшеца)
k ( n ) k
х(Т) == д 1 \jq == (ТrTI1Jl (pq) ТrTI1J2(Pq)),
[де Т}1 == лчетт, Т}2 == лнечетт, т касательное расслоение,
хи) == :L( 1)т ТrT*IHoI7n(M)'
m
Holm(M) пространство rоломорфных m форм на МN и тr слеk(8р).
Эта формула имеет ряд аналоroв, в том числе вещественный, ec
ли преобразование f является изометрией римановой метрики или, более
обш6, если имеется f инвариантный эллиптический комплекс (или эллип
тический оператор) L: r(rJl) r(ry2). Тоrда пространства Ker L, Coker L
и слои расслоений Т}1, Т}2 над неподвижныии точками Tpq == Pq являются
пространствами представлений оператора Т. Имеет место формула Атьи
Ботта:
ТrTIKerL ТrTICokerL == :L(ТrTI1Jl (pq) ТrTI1J2(pq)).
q
в первой половине 1970 x rr. в процессе исследования «евклидо
вой» 4 мерной теории полей Янrа Миллса (связностей в расслоениях) бы
ли открыты так называемые «инстантоны» или специальные убывающие
при Jxl 00, реryлярно продолжаемые на 84, решения уравнений Янrа
Миллса в R 4 (или на 84) А.А.Белавин, А.М.Поляков, А.с.Шварц,
Ю. С. Тюпкин.
Большой интерес представляет уравнение автодуальности Белавина
Полякова
F == FabdXa л dx b , *Р == ::t.p,
Р аЬ == даА ь дьА а + [Аа, АЬ]
для 1 формы связности расслоения над 84, которому фактически удовле
творяют эти инстантоны (конечно, они удовлетворяют и полной системе
уравнений Максвелла Янrа Миллса 2 ro порядка, но уравнение (3.8.26)
первоrо порядка). Уравнению автодуалъности, оказывается, удовлетворяют
все rлобальные минимумы функционала действия
(3.8.26)
8 == J Тr(Fabpab)vgd4x == J Тr(p л *Р)
84 84
128
rЛАВА 3
при фиксированном полном классе Понтряrина Черна
Р1 == const. J Тr(p л *Р), G == 8U(2).
54
Используя свойства мноrообразия автодуальных связностей с данной
базой м 4 , Дональдсон (в начале 1980 x rr.) установил rлубокие тополо
rические факты о четырехмерных замкнутых мноrообразиях. Например,
у односвязноro мноrообразия lYI 4 квадратичная форма индекса пересече
ния Н2(м 4 ) может быть положительной, только если она над Z приводит
ся к сумме квадратов. Таким образом, использование нелннейных эллип
тических уравнений также оказалось весьма полезным. Это замечательное
уравнение (3.8.26) специфика именно rеометрии четыIехмерныЪIx MHoro
образий.
Уместно добавить, что аналоrи К теории в катеrории G пространств
КG теория были развитыI Атьей и Сеrалом (середина 1960 x roдов); oco
бо отметим интересный особый случай катеrории пространств с инволюци
ей G == Z2, rдe rpYIШа действует на слоях векторных расслоений антиком
плексно (КR теория построена Атъей; важный частный случай K8C Teo
рии Андерсоном). Эти теории позволяют получить ряд соотношений меж
ду инвариантами неподвижных точек и rлобальными инвариантами MHO
roобразий, выявить aлrебраическую природу появления 8 периодичности
вещественных К теорий.
9. Бордизмы И кобордизмы как обобщенные rомолоrии и
коrомолоrии.
Аналоrи коrомолоrических операций.
Спектральная последовательность Адамса Новикова.
Формальные rpуппы.
rладкие преобразования конечноrо порядка
с rеометрической точки зрения теория бордuз.,wов это крайне есте-
ственная теория roмолоrий.
Синryлярный цикл в неорuентuрованной теории бордuзмов n (.) ==
== 1)1* (.) это пара, состоящая из замкнутоrо мноrообразия 'и ero отобра
жения в тополоrическое пространство Х:
(1, м n ), 1: м n Х.
Два синryлярных n цикла (Mr, 11) И (Mll, 12) эквивалентны (или кo
бордантны): (Mr,11) rv (Mll, 12), если сушествует мноrообразие Ln+1
99. Бордизмы И КОБОрдизмы КАК ОБОБЩЕННЫЕ rомолоrии
129
с краем aLn+1 == М! u Mll (несвязное объединение) и отображение
g: Ln+1 "'"'"'"* Х такое, что
glMi' ==л, glM 2 == 12.
Здесь все мноrообразия предполarаIOТСЯ вложенными в Rn для N » n.
Теперь определим n мерную rpупny бордизмов так:
n (X) == {n ЦИКЛЪI}/ "-J,
r.дe структура (абелевой) rpуппы определена в терминах несвязноrо объеди
неНИЯ n циклов:
[(М!, л)] + [(М 2 , 12)] == [(М! u М 2 , !I u 12)],
для пары пространств У с Х rpynпы относительных бордизмов опреде
лим nаналоrично, ис ользуя отображение (мn, Л, теперь возможно с краем
дМ . 0, тде краи alYI отображается в У, и определяя соответственно
эквивалентность "'.
В общем случае м жно определить теорию бордизмов n (X, У), ac
социированную с любои стабильной последовательностью rpупп ли G ==
== (сп), а n с ОП.
Основные примеры таковы (см. rл. 4, g 3):
G == О, 80, И, 8U, 8р, е,
rде СП == ОП, а n == 80 n , а 2n == U n , а 2n == 8U n , а 4n == 8рn, а n 1.
Кроме Toro, возможно рассмотрение представлений
р: а"'"'"'"* О, Рn: а n "'"'"'"* ОП,
например, Рn: а n == Spin n "'"'"'"* ВОn (двулистное накрытие).
Мноrообразие называется G мноrообразием, если ero стабильное HOp
мальное расслоение снабжено G структурой. Теория бордизмов n ( .) опре
деляется как выше, в предположении, что все мноrообразия вложены в R N ,
N » n, и что их нормальные расслоения снабжены G структурой. Анало
rично, используя отображения G мноrообразий с краем, rде край попадает
в У с Х, определяются относительные бордизмы n (X, У). для теории
бордизмов выполнены все требования, предъявляемые к обобщенной Teo
рин rомолоrий (rомотопическая инвариантность, функториальность, аксио
ма вырезания или факторизации для комплексов n (К, L) == n (К / L, *)
и точная последовательность пары К, L):
... "'"'"'"* n (Y) ----7 n (x) "'"'"'"* n (X, У) ----7 n l(Y)"'"'"'"*
9 Тополоrия
130
rЛАВА 3
Бордизмы точки O (*), в силу изоморфизма надстройки
G G
: ОП (К, L) == On+l( K, L),
: O (*) == O (* u *', *') "'"'"'"* O +k(sk, *")
совпадают с бордизмами сфер.
По самому своему определению бордизмы точки O ( *) и вся их CYM
ма O == I: O (*) совпаДaIОТ с обсуждающимися (см. rл. 4, 9 3) rpуппами
n O
И кольцами кобордизмов. Там же указана их связь с пространствами ТоМа
ма == {Nl(G n )} универсальных векторных Gn расслоений с базой БG n .
В силу теорем Тома (93, rn. 4), мы имеем
O == 7r:п(МG) == 7r n + m (1\iI(G n )), т < n 1,
rде пространство Тома м(а n ) (п 1) СВЯЗНО. Результаты о кольцах O
указаны там же, кроме случая G == 1, который разобран в конце 97.
Двойственная к бордизмам теория называется теорией кобордuзмов:
Оа(Х, *) == O% m l(SN \Х, *'), N"'"'"'"* 00,
rде конечный комплекс Х лежит в сфере большой размерности.
Исходя из схемы Тома ( 3, rл. 4), леrко получается следующий изо
морфизм:
0aj(X, *) Нт [ n+jx, М(С n )], (3.9.1)
n oo
rдe [, ] rомотопические классы отображений. Совокупность Оа(К, L) =
== I: ОЬ(К, L) образует косокоммутативное кольцо. Построение кольцевой
j
структуры таково. для указанных rpупп G все серии а n замкнуты отно-
сительно операции прямой суммы расслоений, по рождающей отображения
универсальных баз и векторных расслоений над ними:
БG nl х БG n2 "'"'"'"* БG nl +n2'
БG х БG "'"'"'"* БG.
(3.9.2)
Отображение Ф универсальных расслоений
Ф nl 'n2: rJ;;1 х rJ 2 "'"'"'"* rJ l+n2
на пространствах Тома порождает «умножение»
МФ nl ,n2: M(G nl ) л м(а n2 ) "'"'"'"* M(Gnltn2)'
!3 9. Бордизмы И КОБОРДИЗМЫ КАК ОБОБЩЕННЫЕ rомолоrии
131
r.zxe Х л У == Х х У/ Х v у «тензорное произведение» двух пунк
тированных пространств. Применяя отображение JvI Ф n1 n2 К произведе
IfИЮ пары отображений, представляющих элементы f, 9 rpynnыI кобордиз
мов
f . jl+nIX",",","* М ( а )
. nl ,
g: j2+n2X",",","* J.III(G n2 ),
МЫ получим
М Ф nln2(f х g): jl+j2+nl+n2X
М(С n1 ) л м(а n2 ) МФn 1 '''2) M(G n1 + n J.
Возникает билинейное ассоциативное умножение в кобордизмах
O (X)O{J (Х) с O +j2 (Х),
ZlZ2 == ( 1)j1J'2 Z2 Z 1.
Замкнутые мноrообразия с нормальной G структурой обладают eCTe
ственным фундаментальным классом [мn] Е O (.Mn), совпадающим
с тождественным отображением
(3.9.3)
м n м n , [м n ] == [(м n , 1)].
Возникает оператор «высечения», аналоrичный ( 3, rл. 2),
ОЬ(Х) n O (Х) с o;; j (Х),
rдe отображение
а r-----t а n [м n ]
дает изоморфизм двойственности Пуанкаре Атьu
D: ОЬ(м n ) O j(Mn)
и обладает свойством f* (а) n ь == а n f* ь при непрерывных отображениях
любых комплексов. Мноrообразие обладает кольцом пере сечений бордиз
мов операции, двойственной к умножению кобордизмов
а о Ь == D l(Da' Db).
9*
132
rЛАВА 3
Как и во всех обобщенных теориях коrомолоrий, возникает спектральн(UJ
последовательность Атьи Хирцебруха (кольцевая):
(Е Р' q d ) . Е Р, q Е р+т, q m+ 1 d 2 О
m , т' m m 'т == ,
E ,q == НР(Х, ОЪ(*)),
(3.9.4)
L E q == аос(х) присоединенное кольцо.
q,p
При м еры: 1. Если G == О, то, соrласно теореме Тома середины
1950 x П., все ОЬ(К) совпадают с прямыми суммами коrомолоrий по мо-
дулю 2 разных размерностей; кольцевая структура также получается из
каноническоrо изоморфизма
Оа(Х) == Н*(Х, 00(*)),
rде 00(*) Z2[V2, V4, V5, Vб, V8, ...] aлrебра полиномов над Z2 С об-
разующими vj размерности j #- 2 k 1. Спектральная последовательность
Атьи Хирцебруха тривиальна (d m == О для m ;) 2, E q == E ' q) и присо
единенное кольцо ао о (Х) == L p , q E q изоморфно 00 (Х).
2. Если G == 80, то теория 0Bo(K)@Z(2), rдe в кольце Z(2) можно де-
лить на все простые р #- 2, также сводится к обычным коrомолоrиям соrлас-
но теоремам Новикова, Рохлина и Уолла конца 1950-х начала 1960 x п.
Теории же Ово @ z(p) для р #- 2, тде можно делить на все р' #- р, нетриви-
алъны. Кольцо Ово @Z(p) является кольцом полиномов Z(p) [Vl, V2",,] по
одной образующей в каждой отрицательной размерности вида 4k (Милнор,
С. П. Новиков, конец 1950 x начало 1960-х п.).
3, Случай' G == и наиболее интересен и является основойaлrебраи-
ческой техники коборд-и3мов. Кольцо ОЙ == Z[U1, и2, .. .] полиномы, ПО
ОДНОЙ образующей в четных отрицательных размерностях
,, 2j "И
Uj Е ни == H2j
(Милнор, С. П. Новиков см. g 3, rл. 4). Спектральная последовательность
Атьи Хирцебруха здесь вырождается только для комплексов Х, rомолоrии
которых не имеют кручения; однако и в этом случае нетривиальная присо-
единенность кольцевой структуры возможна.
4. Кольцо О И 0 Z(p) для р > 2 и частично 2 кручение было найдено
С. П. Новиковым в начале 1960 x П.; исследование О И @ Z(2) бьшо завер-
шено Коннером и Флойдом в середине 1960 x с использованием Ой теории.
5. Случай кольца симплектических кобордизмов оказывается rораздо
более сложным, чем приведенные выше. Известно, что все кручения кольца
o p 2 примарны (с. П. Новиков, 1960).
з9. Бордизмы И КОБОРДИЗМЫ КАК ОБОБЩЕННЫЕ rомолоrии
133
Коннер и Флойд обратили внимание на тот факт, что в теории комплекс-
f{Ъ1X кобордизмов Ой(') существуют характеристические классы Черна (и,
аналоrично, в неориентированной теории кобордизмов 00 (.) существуют
r<ЛасСЫ Штифеля Уитни). эти характеристические классы со значениями
в rpуnпах кобордизмов являются прямыми аналоrами классов Черна и
Ulтифеля Уитни в обычных коrомолоrиях.
В случае мноroобразия J.IIl n и BeКYopHoro расслоения 1] над МN это
означает, что циклы в J.IIl, двойственные характеристическим классам Cj (1]),
Wi(1]), MOryт BCerдa быть реализованы как образы мноrообразий. Впервые
ЭТО свойство характеристических циклов указал Р. В. fамкрелидзе (в начале
1950 x п.), коrда он доказывал, что характеристические циклы aлrебра-
ичесКИХ поверхностей в срn MOryт быть реализованы aлrебраическими
подмноrообразиями.
Как указывается в g 3, rл. 4 и 6, rл. 3, существует тесная связь
между классами Штифеля Уитни в коrомолоrиях modulo 2 и квадратами
Стинрода, устанавливаемая формулой Тома; на самом деле имеется пред
ставление всех операций Стинрода а Е А 2 в коrомолоrиях про изведения
RFf х ... х RP;;O:
а ........ а( и), и == Щ '" и n Е Н N (RPf х ... х RP;;O; Z2)'
Используя идею Taкoro представления, можно построить своеобразные ана-
лоrи операций Стинрода в 00 и Ой теориях.
Будем далее rоворить только об Ой теории (в 00 теории все аналоrич
но, но MHoroe тривиализуется). для любоrо комплекса К в rpуппе ОЪ(К)
имеется подмножество reометрических кобордизмов, определяемое так. По
скольку пространство Тома М(U 2 ) == сроо == K(Z, 2) (см. rл. 4, g 3), то
любому классу коrомолоrий z Е н2(К, Z) отвечает единственный rOMoTo
пический класс отображениЯ .
fz: К М(U 2 ) == ср оо ,
j;(u) == z, и Е н 2 (сроо; Z) базисный элемент. Отображение fz oднo
значно определяет rеометрический кобордизм [z] Е ОЪ(К). Множество
rеометрических кобордизмов взаимно однозначно соответствует множе
ству н2(К; Z); однако это соответствие не аддитивно.
для И -мноrообразий J.111 2n возникает двойственное множество дивизо
ров
D[z] Е Olfn 2(M2n),
которое также не аддитивно в 0 n 2(M2n).
Комплексному Ul расслоению приписьmается первый «класс Черна»
0"1 (1]) Е ОЪ(К),
134
rЛАВА 3
полarая а1 == [С1] rеометрический кобордизм, соответствующий первому
классу Черна в коrомолоrиях. Далее характеристические классы однознач_
но восстанавливаются из обших свойств функториальности и формулыI
Уитни:
а(Т]) == 1 + а1Т] + а2'" + азт] + . . .,
а(Т]1)а(Т]2) == а(Т]l ЕВ Т]2).
(3.9.5)
2"
Возникают классы aj Е rJJ (К), образы которых в коroмолоrиях есть обыч-
ные классы Черна. Построение аналоrов операций Стиирода таково, что они
обладают следующими свойствами:
1. Каждому набору целых чисел UJ == (UJ1, ..., UJk) отвечает опера-
ция Sw, стабильная и аддитивная:
"
j+2 2: w q
Sw: оЬ О и q l (К),
k
deg Sw == 2 UJ q .
q==l
(3.9.6)
2. для произведения имеет место формула
Sw (аЬ) ==
Sw' (a)sUJII (Ь).
(w' ,w")==w
3. So == 1; если а Е ОЪ rеометрический кобордизм, то
S а == a W1 + 1
Wl ,
Swa == О, UJ == (UJ1, ..., UJk), k> 1.
4. Если какое либо про изведение операций Sw' о Sw" суммарной степе-
ни < 2п обращается в нуль на элементе ut . иl . . . . . и n Е оЪn (сРуо х . . . х
xC ), то sw' о sw" == О, rдe uj Е rJlr(CPJ>O) базисные rеометрические
кобордизмы. Отсюда извлекаются формулы композиции
Sw' о SWII(U) == L Лw(UJ', UJ")sw,
w
rдe л"-' (UJ', UJ") целые числа. Элемент S"-' (и) имеет вид симметризованноro
монома
( ) ( "-'1 '-"" ) U
Sw U U il О ... о U i " и1..... n'
з9. Бордизмы И КОБОрдизмы КАК ОБОБЩЕННЫЕ rомолоrии
135
операЦиИ Sw называются операция.ми Ландвебера Новuкова. Они дают ба-
зис для aлrебры Ландвебера Новикова S над Z, которая является хопфов-
ской aлrеброй с очевидным (диаrональным) коумножением, определенным
в соответствии с той же схемой, которую использовал Милнор для опреде
пеНИЯ классической aлrебры Стинрода: диarональ определяется «формулой
Лейбница» для действия операций на произведении двух элементов (см. вы-
ше). Поэтому такие действия хопфовских aлrебр на модулях, снабженные
умножением, называются модулями Милнора.
Несложно показать, что все кольцо стабильных аддитивных операций,
обозначаемое через А u , состоит из линейных комбинаций вида
ЛjSWj'
j
rде Лj Е А == rJ й . элементыI Лj имеют отрицательные размерности (<<сте-
пени» )
Лj Е rJ 2qj == А 2qj, deg Лj == 2qj'
Элементы s"-' имеют положительные степени
k
degs w == 2 UJq.
q==l
в rpадуированном кольце А u
имеют вид
n<оо
l: Alfn операции из A n степени 2п
n> oo
. Лj SW:!' deg Лj + deg SWj == 2п.
j O
Эти элементыI MOryт быть и бесконечными формальными рядами,
rде deg S"-'j +00, j 00. Действие операций S"-' на О U (*) == А yдaeT
ся явно описать, используя rеометрию конкретных мноrообразий. Именно
с этоrо момента начинается отклонение от простых аналоrий с обычными
коrомолоrиями. Каждый элемент из А едставляется в виде полинома с
рациональными коэффициентами от СР , .. . , срn, ... для этих MHoro-
образий мы имеем (см. rл. 4, 9 1)
т(ср n ) + 1с == (n + 1)Т],
rдe т] каноническое U1 расслоение:
СТ1(Т]) == U Е оЪ(ср n ),
Du == [cpn 1] Е rJlfn 2(Cpn).
136
rЛАВА 3
Следовательно, стабильное нормальное расслоение v CP2) может быть
отождествлено с (n + 1)7]. для элемента ( 7]) Е К (срn) классы Ta
ковы:
O"j( 7]) == ( l)juj, Du j == [cpn j].
Обозначим через о" v; такие характеристические классы, которые выражают
ся через 0"1,0"2, так, как симметризованный W MOHOM выражается через
элементарные:
""' V;l V;k Р( )
Uil "'U ik 0"1,0"2, .,. .
Sym
Применим это к нормальному расслоению (n + 1)7] над cpj с КЛас
сом 0'1, 0'2, ..., O'j, ...,rде
0'( (n + 1)7]) == 1 + 0'1 + 0'2 +
1
(1 + и)n+1 .
После этоrо мы получим класс DO"v; (нормальный) как HeKOTo oe целое чис
ло .A(w), умноженное на D'! класс подмноrообразия cpn V;q. Полarаем
SV;(cpn) == >'(w)[cpn v;q].
(3.9.7)
Окончательная формула, завершающая классификацmo операций и их co
отношений, такова: если J.L Е А, то .
Sv; (J.L) == L 8v;' (J.L) . 81AJ1I (J.L),
(1AJ1, 1AJ1I)::1AJ
Sv; О J.L == sv;' (J.L) о SIAJII ,
(1AJ1, 1AJ1I)::1AJ
(3.9.8)
rде 80 == 1 (для пустоrо (w', w") == w). (с.П.Новиков, вторая половина
1960 x rr.) ПIjедставление aлrебры на кобордизмах точки является точным:
если а Е А тривиально действует А == nu, то а == О. это свойство
показывает кардинальное отличие Пu теории от обычных коrомолоrий.
Интересно заметить, что aлrебра А u может быть получена как попол
нение произведения двух aлrебр в тополоrии формальных рядов:
А u == (А Q9 В) т .
это произведение изоморфно как векторное пространство тензорному про
изведению aлrебр, но с необычным умножением. Они образуют HeKOММY
тативные подaлrебры; формула Новикова для их коммутатора, приведенная
99. Бордизмы И КОБОРДИЗМЫ КАК ОБОБЩЕННЫЕ rомолоrии
137
выеe (см. (3.9.8»), зависит от действия aлrебры Ландвебера Новикова S
иа А. Важным обстоятельством является то, что это действие определя
ет «модуль Милнора» над aлrеброй Хопфа В, т. е. что оно удовлетворяет
формуле Лейбница для коумножения. Aлrебра А u реализуется как aлrебра
операторов на (левом) модуле Милнора А над aлrеброй Хопфа В, реали
зованной как aлrебра дифференциальных операторов с постоянными коэф
фициентами, действующих на функциях, «принадлежащих кольцу А». Это
специальный случай общей конструкции «операторных aлrебр» (Новиков,
ранние 1990 e) в контексте теории aлrебр Хопфа и модулей Милнора над
IiЯМ И '
В 1978 r. Бухштабер и Шокуров заметили, что aлrебра, двойственная к
алrебре Ландвебера Новикова В, содержит кольцо А «комплексных кобор-
дизмов одноточечноrо пространства»:
А с Х*, А Q9 Q == В* Q9 Q
(Бухштабер проанализировал кольцо А с этой новой точки зрения, используя
числа Черна (дающие целочисленную структуру А в соответствии с преды
душими результатами Милнора и Новикова), в конце 1970 x; структура А
оказалась весьма нетривиальной). Поэтому можно считать эту KOHCТPYK
цию как частный случай очень общей конструкции «операторноrо дубля»
aлrебры Хопфа S и ее двойственной aлrебры В* в смысле Новикова (1992).
Имеются естественные действия R;, L i, произвольной aлrебры S на ее
двойственном пространстве В* , которые являются присоединенными к пра
вому и левому умножению соответственно:
Rb(a) == La(b) == аЬ, (R;(z), х) == (z, Яу(х)) == (z, ху).
в случае aлrебр Хоrtфа имеется правило Лейбница, Т.е. В* является
левым (или правым) модулем Милнора над В; на самом деле В* можно
сделать левым модулем Милнора над большей aлrеброй Хопфа S Q9 St,
используя представление Рь удовлетворяющее соотношению
P:J::,a b(X) == R:(LS:f:lb(X)),
rде S указывает «антиподы» aлrебры Хопфа и st обозначает aлrебру S с
«транспонированным» коумножением и, соответственно, с противополож
ными антиподами. Оrpаничение действия Р:!: на диarональ (B) С S Q9 st
дает «аd модуль». Диаrональное оrpаничение операторной aлrебры, дей
ствующей на В*, приводит К «квантовому дублю» Дринфельда aлrебры
Хопфа В, снова алrебры Хопфа с диаrональю, как в В* и st.
Бухштабер и Шокуров отождествили aлrебру А u с aлrеброй диф
ференциальных операторов на rpуппе формальных диффеоморфизмов Be
щественной прямой, оставляющих О неподвижным и с производной В
138
rЛАВА 3
точке О, равной 1. Отсюда следует (как было замечено Новиковым в
1992), что aлrебра А U является операторным дублем aлrебры Ландвебера
Новикова 8, соответствующим модулю Милнора 8*, снабженному дей
ствием R:; это дает основу для общеrо понятия «квантовоrо анало
ra колец дифференциальных операторов», в соответствии со схемой Ho
викова (1992), rде такой аналоr бьш рассмотрен для случая преобра
зований Фурье. Различные «почти хопфовские» свойства таких опера
торных дублей были исследованы Новиковым (1992) и Бухштабером
(1994). Специальный случай этой конструкции операторных дублей был
исследован независимым образом в 1992 r. Семеновым Тянь Шанъским,
Фадеевым и Алексеевым, которые использовали термин «fейзен6ерrов
дубль».
для стабильных rомотопических классов отображений конечных KOM
IШексов верен своеобразный аналоr спектральной последовательности
Адамса в обычных коrомолоrияx. В 6, 7 обсуждается так называемая
спектральная последовательность Aдaмca HoвиKoвa (с. П. Новиков, ВТo
рая половина 1960 x rr.). Пусть [, ]8 обозначает Bcerдa стаБильныIe rOMOТo
пические классы, rде
[К, Д8 == Цт [Ej К, Ej L].
. з......ОО
Положим
[К, L)g == [Eq К, Д8
и
[К, д: == :L[K, L] .
q
Итак, стабильные rомотопические классы определяются всеrда как rpадуи
рованная абелева rpуппа [К, L]:. как вычислить [К, L]:? Если К == 80,1'0
мы приходим К стабильным rомотопическим rpуппам [80, 80]: == L: 7rg ==
q)O
== L: 7rN+q(8 N ), q < N 1.
q)O
Пусть М и N rpадуированные Аи модули n'й(К) и n'й(L). Суще
ствует спектральная последовательность (спектральная последовательность
Адамса Новикова )
( EP,q d ) . EP,q EP m,q+m l d 2 О
т' т" m m , т '
Е:п н == H*(E *, d m ),
(3.9.9)
такая, что
ЕР' q == Ехе' q (N 0/1 )
2 Аи, 1 ,
'.ii\
"1
3 9. Бордизмы И КОБОрдизмы КАК ОБОБЩЕННЫЕ rомолоrии
139
L: E q==G[K, L) присоединеннаяrpуппа.Заметим,чтоЕхt j'(N, М)
p q==n
точно совпадает с множеством А U rомоморфизмов модулей
N == n'й(L) n'й(Еqк) == EqM,
точно сохраняющих rpадуировку (размерность)
Hom u(N, М) == Ext j'(N, М).
Здесь z:.qM совпадает с М, но rpадуировка сдвинута на q.
Определение основных объектов rомолоrической aлrебры модулей Ext
таково: берем модуль N и строим для Hero так называемую свободную ацик
личную резольвенту с учетом всех rpадуировок. Это комплекс <!: А U MO
дулей вида
d d d d d
Сп --------t Cn 1 Cn 2 ... Со N О,
rде все C j свободны над А и, всем свободным образующим придана rpаду
ировка, и операторы d сохраняют ее; Ker d == 1т d для всех C j ; далее:
С О / 1md == N.
Рассмотрим комплекс <!: roмоморфизмов коцепей со значением в Jl,f:
:Lc?q == С; == :LHom u(Cj, М) == :LHom u(Cj, z:.q}.l1) ,
q q q
а. * а. * а. а. *
C j Cj l '" Со f------- О.
rомолоrии комплекса <!:* обозначаются через Ext:
:LExt j'(N, М) == :LKera*jIma*, Kera* С С;.
q q
эти rpупnыI не зависят от выбора свободной резольвенты <!: с указанными
свойствами.
ЗАМЕЧАНИЕ. Эти объекты были впервые введены Эйленберroм Маклейном,
которые во второй половине 1940 x п. доказали теорему:
Если А == Z[7r] действует на модуле Z тривиально g(m) == т, т Е Z, то верна
формула
Ext (Z, М) == HQ(X, М), Х == K(7r, 1).
140
rЛАВА 3
для roмотопических rpyпп имеем
м == Л == Пiт(*), А == А и ,
E ,q == Ext 3(N, Л), N == Пiт(L).
Существование спектральной последовательности (3.9.9) со вторым членом ro--
молоrической формы является чрезвычайно общим, KaTeropHbIM свойством cтa
бильных теорий коroмолоrий в катеroрии стабильных roмотопических типов и
классов отображений (всеrда образующих абелевы rpуппы, хотя эта катеrория
не связана с абелевыми катеroриями в смысле rротендика). для К теории, oд
нако, такой последовательности нет ввиду ее нестабильности. Эффективность
в коикретных задачах зависит, конечно, от индивидуальных свойств обобщен
ных теорий коroмолоrий: сколь эффективно вычислено кольцо стабильных опе
раций, насколько известны модули коroмолоrий важных конкретных пространств
и, наконец, сколь мноro имеется нетривиальных дифференциалов d тn (чем их
меньше, тем лучше). В этом отношении теория кобордизмов значительно пре
восходит обычные Zр коroмолоrии (особенно для р > 2) и почти не уступает
им по эффективности вычислений соответствующих объектов из roмолоrической
aлrебры.
Например, для roмотопических rpупп сфер, rдe Е 2 * == Ext *u (Л, Л), в rpуп
пах Ext (столь бедных для обычной теории коroмолоrий) содержarся оценки
Милнора Кервера снизу rpупп J7rq l (8, О) (см. 8, rл. 3 и 3, rл. 4). rруппы Ext ;
уже дают большую новую информацию и т. д. Ряд авторов в конце 1960 x 1970 x rr.
проводили далеко идущие вычисления по этой базе (Миллер, Равенел, Вилсон,
В. М. Бухштабер и др.).
Первый класс Черна в теории кобордизмов обладает некоторыми заме
чательными свойствами. Для U1 расслоений rJ класс CТ(rJ) является reoMeт
рическим кобордизмом. как вычислить класс СТ1 ('71 0 rJ2) для пары U 1 pac
слоений?
Пусть CТ1(rJ1) == и, CТ1(rJ2) == v, CТ1(rJ1 12> rJ2) == w. Можно показать,
что это выражение имеет вид формальноrо ряда (с. П. Новиков, середина
1960 x п.)
w == f(u, v) == и + v + L Лijиiv j , ЛiЗ Е Пи(*) == А.
'; l
j l
При этом выполнены свойства так называемой коммутативной «формальной
2руппьт
f(u, f(v, w)) == f(f(u, v), w),
f(u, v) == f(v, и).
(3.9.10)
99. Бордизмы И КОБОрдизмы КАК ОБОБЩЕННЫЕ rомолоrии
для расслоения rJ 1 класс 0"1 (rJ 1) == и имеет вид
141
и == g(u) == и + LJ'.liui, J'.li Е А,
i 2
тде
f(u, и) == О. (3.9.11)
Эта формальная rpуппа rеометрических кобордизмов может быть явно BЫ
числена. Рассмотрим ряд
L n+1
g(u) == cpn .
n+l
n O
Torдa верна формула
f(u, v) == g l(g(u) + g(v))
(3.9.12)
(А. С. Мищенко, вторая половина 1960 x п.). Формальная rpуппа позволяет
определить и Вычислить аналоrи операций Адамса в Пir теории, которые
строились в К теории через представления rpупп U n . Положим
wk(u) == g l(kg(u)), и Е ПЪ(Ср CXJ ),
rде и == СТl ( rJ) rеометрический кобордизм. Потребуем выполнения
свойств, аналоrичных 9 8 этой rлавы:
W kl == WkW 1
,
wk(x + у) == wk(x) + wk(y),
wk(x. у) == Wk(x)Wk(y)
(3.9.13)
(С.П.Новиков, вторая половина 1960 x п.). Операции w k корректно опре
делены в п-и 12> Z[ljk].
Мультипликативные характеристики Хирцебруха, т. е. rомоморфизмы
Q
кольца Пu .......... k, rде k любая aлrебра над полем рациональных чисел,
определяются, соrласно Хирцебруху, одним рядом Q(z) == 1 + Qlz + Q2 z +
+ '" (см. rл. 4, 9 1 3). Если Q(Cpn) их значения на срn, то верна
формула
n+1
gQ(U) == Q(Cp n ) + 1 == Q(g(u)),
n O
142
rЛАВА 3
rде
Q(z) == :1 (z).
gQ
как ВИДИМ, здесь опять появляется ряд g(u), определяющий формальную
rpуппу.
Естественный аналоr характера Черна (характер Черна Дольда, суще
ствование котороro в обобщенных теориях неэффективно доказал Дольд)
строится эффеК1ИВНО также через ряд g(u). Он определяет кольцевой rOMo
морфизм А модулей
chu: Ой(К) Н*(К, А @ Q),
А == ОЫ*)
(3.9.14)
и определяется требованием: если К == сроо, u базисный rеометриче
ский кобордизм, то
chu(g(u)) == t Е н 2 (сроо, Z),
(3.9.15)
t базисный элемент. Теория оператора chu и ero тополоrические приме
нения были построены В. М. Бухштабером (конец 1960 x п.).
В конце 1960 x п. Квиллен установил, что формальная rpуппа reo
метрических кобордизмов представляет собой rеометрическую реализацию
универсальной rpуппы Лазара теории одномерных формальных rpyim. Ему
удалось эффеК1ИВНО вычислить важные мулътипликативные проекционные
операторы в кольце Аи @ Z(p), rде можно делить на все р' #- Р; это позво
лило завершить вычисление кольца операций уменьшенных теорий кобор
дизмов, в прямую сумму которых разлar.. ется_теория ОЙ @ Qp, существо
вание которых было в середине 1960 x п. неэффективно доказано Брауном
и Петерсоном. Такие проекторы недостаточно эффективно бьти построены
С. П. Новиковым. Уменьшенная теория кобордизмов облеrчает вычисление
rpупп Ext 0Z(p) выше, возникающих в теории rомотопий l2 .
Позднее в теории кобордизмов были введены двузначные аналоrи фор
мальных rpупп (С. П. Новиков, В.М.Бухштабер, начало 1970 x п.); их ал
rебраическая теория и ряд приложений в теории симплектических и caMO
сопряженных кобордизмов были развиты В. М. Бухштабером в 1970 x п.
12с большим эффектом формальная теория rpупп была применена к вычислению после.-
довательности Адамса Новикова для сфер (МИJШер, Морава, Равенел, Вилсон и др.). Так Ha
зываемые «К-теории Моравы», обобщающие К-теорию и теорию комплексных кобордизмов,
эффективно формулируются в терминах теории формальных rpynn и оказались полезными
для вычисления спектральной последовательности Адамса Новикова и исследования общих
свойств стабильной roмотопической катеroрии. Подробное изложение результатов вычисления
последовательности Адамса Новикова для сфер см. в кнИI'е Ravenel D. Complex Cobordism and
Stable Homotopy of Spheres, Academic Press, 1986.
!3 9. БоРдизмы И КОБОРДИЗМЫ КАк ОБОБЩЕННЫЕ rомолоrии
143
Длrебраическая тополоrия с точки зрения теории кобордизмов развивалась
рядом авторов (Дик, fотли6---Беккер и др.), но мы не можем здесь входить в
обсуждение этоrо развития l3 .
Теория бордизмов, как заметили Коннер и Флойд в начале 1960 x п.,
позволяет получить ряд общих соотношений для rnaдкoro действия конеч
ных rpупп и компактных rpупп Ли на замкнутых мноrообразиях. Обсудим
некоторые из возникающих здесь соотношений. Пусть, нanpимер, задано
преобразование квазикомплексноrо четномерноrо мноrообразия конечноrо
порядка тр == 1, Т: М2n }.IJ2n (пусть Р простое) и неподвижные точ
ки Tpj Pj все изолированы. Действие Т на малой сфере около Pj не
имеет дрyrих неподвижных точек и дает бордизм отображение линзовых
мноroобразий в комплекс Эйленберrа Маклейна:
fj: 8Jn 1 jzp 8'j jZp == K(Zp, 1),
wJ == (8Jn 1 jZp, fj), wJ Е Ofn l (8 jZp).
(3.9.16)
Этот бордизм зависит от дифференциала Т в точке Pj, т. е. от набора соб
cтвeHных чисел матрицы dT pj == Aj; wJ == WJ()11' ..., л n ),
лq(А j ) == exp(27rixjqjp), Xjq Е Z;,
rде Х' ненулевые вычеты (mod р). После удаления окрестностей то-
Jq
чек Pj мы получим действие Zp без неподвижных точек на оставшеися
части. Это дает соотношение в rpуппах Olfn l (800 jZp):
LwJ == О.
j
для Р == 2, например, Xjq == 1; из структуры rpупnыI
Olfn l (800 jZ2) == Olfn l (RP OO )
следует (см. ниже)
т
Wj == а n ,
2n 1an #- о,
2 n а n == о.
Поэтому число неподвижных точек делится на 2 n (Коннер, Флойд, середина
1960 x п.).
IЗТеория двузначных формальных rpупп (развитая в конце 1970-х --=- середине 1980 x rr.
Бухштабером) дает сильный инструмент для вычислении в спектральнои последоват ьности
Адамса Новикова для кольца симплектических кобордизмов (Бухштабер, Ивановскии, Нади-
радзе, Вершинин).
144
rЛАВА 3
для р > 2 ситуация сложнее. Бордизмы Ш] инвариантыI неподвиж
НbIX точек зависят от набора весов Xjq mod р.
Величины Ш] как функции от весов удается эффективно вычислить:
шт == Й(Хj1, . .., Xjn),
n
Й(Хj1, .. . , Xjn) == П 1 и n й(l, .. . , 1)
q==1 9 (Xjqg(и))
(с. П. Новиков, А. С. Мищенко, [. [. Каспаров, вторая половина 1960 x и.).
Кобордизмы и бордизмы линзовых мноrообразий, о которых ряд част
НbIX результатов был получен еще Коннером и Флойдом в первой поло
вине 1960 x и., явно описываются, используя формальные rpуппы. Pac
смотрим 8 2n +1 /Zp С 800 /Zp, так как (2n l) бордизмы Й(Х1, ..., Х n ) не
зависят от остовов высших размерностей. fеометрический кобордизм и Е
ОЬ(8 2n +1 /Zp) порождает это кольцо (как А модуль) с соотношениями
и n + 2 == О, g 1(pg(и)) == О,
D k (1 1 1) n 2(n k)+1 (8 2n+l /Z )
и й , ,..., йn k Е Ни р ,
n kраэ
(3.9.17)
(3.9.18)
йn k о йn l == Йn k l.
Реализуемому набору весов в наборе неподвижных точек Р1, . . . , Рт Е J.IIln
для HeКOToporo действия Т на }"fn отвечают соотношения
m
La(Xjl, ..., Xjn) == О. (3.9.19)
j==1
Поскольку учитывается (3.9.17), этот набор задает некоторое подмножество
весов (Xjl, '" , Xjn), j == 1, ..., т, заданное набором уравнений (3.9.19)
на (nт) переменных Xjq О (mod р).
Класс бордизмов оЬ n 0 Zp несущеrо мноrообразия также вычисляется
через набор весов (Xjq).
для G == 80 все аналоrично, но число соотношений уменьшается,
поскольку rомоморфизм Ои -------t Oso. Случай р == 2 для G == 80 является
особым. Формулы (3.9.17) обобщаются на случай неподвижных мноrооб
разий, в том числе с нетривиальными нормальными пучками. Исследова-
ния были проведены также для циклических rpупп непростоrо порядка
(А С. Мищенко, С. М. fусейн Заде, И. М. Кричевер, начало 1970 x rr.).
Особо любопытны результаты, относящиеся к rладким действиям
окружности на rладких или квазикомплексных мноrообразиях. С. М. [y
сейн Заде полностью описал бордизмы действий S1 без неподвижных TO
чек всей rpуппы (начало 1970 x и.). Именно в этих rpуппах возникают
',.,-:--." \\",,,: Ы.)l>
з9. Бордизмы И КОБОрдизмы КАК ОБОБЩЕННЫЕ rомолоrии
145
соотношения между инвариантами неподвижных точек всей rpуппы 81 при
rладких действиях на замкн1'ТЫХ мноrообразиях. Ряд красивых соотноше
НJlЙ для rладких действий 8 на квазикомплексных мноrообразиях, исходя
из Ои бордизмов и формальных rpупп, был получен И. М. Кричевером (пер
вая половина середина 1970-х и.):
1. Пусть Ak это мулътипликативная числовая характеристика, опре
деляемая рядом
kиe u
A(k) (и) == k
е u 1
(см. 3, rл. 4); Torдa для каждоro И мноrообразия JvI 2 n этот характеристиче
ский класс определяет рациональное число Ащ (J.III2n). Если 81 действует
rладко на U мноrообразии М 2 n И k делит cl(M 2 n), то A(k)(JvI2n) == О.
для случая k 2 величина А(2)(М2n) == О совпадает с сиrнатурой. В этом
случае результат был ранее извлечен Атьей Хирцебрухом из формул Атьи
Ботта для всех ориентируемых мноrообразий, rде Ш2 == О (спииорных..
2. Если 81 действует на И мноrообразии Jv12n, то линеаризация ero на
пространстве, нормальном к мноrообразию неподвижныIx точек N; с м n ,
имеет собственные числа
Л1j, ..., Лn k,j, Лqj == exp(27ri. nqj),
rде nqj целые числа (веса). Пусть lj число отрицательных весов nqj <
О, q == 1, .. ., lj. для Ту характеристики со значением в пространстве
полиномов от у, определяемой рядом Хирцебруха
т u == (у + l)и уи
у() 1 ехр( и(y + 1))
верна формула
L(y)ljTy(N;) == Ty(Jvl n ).
j
для у == +1, rде величина Ту совпадает с сиrнатурой, этот результат бьт
ранее получен Атьей Хирцебрухом из теории эллиптических операторов.
для у == 1 это классическая формула, rде Т 1 характеристика Эйлера
Пуанкаре X(Mn).14
(3.9.20)
140коло 1990 x roдов были получены дальнейшие результаты о действии окружности на
мноrooбразиях. Впервые здесь появились некоторые идеи «rJ!обальноro анализа на простран
ствах петель» (Вилен, Таубс); элеraнтиое определение «эллнптических родов» (Ошанин,
Ландвебер) и определенные обобшения их, такие, как функции Бейкера Ахиезера (Кричевер).
10 Тополоrия
rЛАВА 4
rладкие мноrообразия
1. Основные понятия. rладкие расслоения.
Связности. Характеристические классы
Тополоrия и rеометрия 2llадкux (дифференцируемых) МНО200бразий
это важнейший раздел тополоrии, источник и наиболее плодотворное поле
применений Bcero комплекса ее методов, область TecHoro взаимодействия
с анализом и в последнее время с современной математической физи
кой. Элементарная теория rладких мноrообразий создана Уитни (середина
1930 x rодов).
Внутреннее определение дифференцируемоrо мноrообразия таково:
это, во первых, тополоrическое мноrообразие (см. конец 1, rл. 2), т. е.
хаусдорфово пространство Х, разбитое на открытые области U V a == Х,
а
rомеоморфные областям n MepHoro евклидова пространства: должны быть
заданы rомеоморфизмы: .
'Ра: V a R n ,
вводящие в области V a локальные координаты (х;, . . . , x ). fладкость или
rладкая структура требует, чтобы в пересечениях V a n V,в взаимные выраже-
ния координат х,в(х а ) И ха (х,в) были rnадI<ими, т. е. оба отображения i.pai.p l
И i.p li.pa областей евклидова пространства задавались rладкими функциями
класса C k . Если k == 00, мноrообразие называется бесконечно дифферен
цируемым или просто rладким.
Мы будем обозначать мноrообразия через AJn, N k , ...; якобиан отоб
ражений переход а 11 axl:. / дx 11 всюду отличие от нуля; если бы он rде
нибудь был нулем, то обратное отображение х,в(х а ) не было бы rладким.
для вещественно аналитическux лтО200бразий требуется, чтобы функции
перехода были аналитичны.
Техника элементарноrо исследования rладких мноrообразий требует
так называемоrо «разбиения единицьт: в любое покрытие AIn открытыми
множествами можно вписать более мелкое парами областей W a С W
такими, что: а) U W a == Аl n ; Ь) набор W также вписан в исходное покры
а
тие; с) существуют неотрицателъные функции Фа о класса СОО такие,
:11J'
91. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. СВЯЗНОСТИ 147
что1jJа == о вне W и Фа == 1 внутри W a , I: Фа(Х) > о; I: 'Ра(Х) == 1,
а
I.pot == 'Фot/ I: Фа (см. рис. 37).
I//(X)
R"
ДиСК D ( {ь)
ДИСК DII( Б)
Рис. 37
При м ер 1. Локальные координаты x в областях W a следует YMHO
жить на функции Фа; после этоrо фу и 'ljJaxt уже определены и rлад-
ки на всем мноrообразии. Пусть ФаХl:. =:= y . Если покрытие W конеч
но, о: == 1, . . . , N, то набор функций {y }, j == 1, . .., п; о: == 1, . .. , N
дает СОО вложение
{y }: м n R nN ,
так как Фа == 1 внутри областей vV a , и координаты xt разделяют точки.
для компактных мноrообразий это дает вложение в RnN, а для некомпакт
ныx в rильбертово пространство. Однако проектированием этоrо вложе-
ния в k MepHbIe rиперплоскости можно убедиться из соображений общеrо
положения (ниже), что для k 2п + 1 rладкие вложения всюд плотны в
пространстве rладких или непрерывных отображений А1 n R ., а иммер-
сии плотны для k 2n. для n == 1 это нarлядно очевидно (см. рис. 38).
Fладкое отображение Аl n L N k двух rладких мноrообразий Ta
ково, по о ред--=лению, что ero оо динат ая ись в локальны K00J'
динатах{У"'У,s l,...,k,UU, N }и{х а , J l,...,n, UVa M}
"'у а
является rладкими функциями y (x;, ..., x ) в обычном смысле. Очевид
НО, область определения этих функций есть следующая область:
f l(U"'Y) n V a .
10.
148
rЛАВА 4
а) Sl R З
C(J
1
в общем положении
это вложение
б) Sl R 2
Проектирование в R 2
имеет само пересечения,
неустранимые малыми
возмущениями;
касательный вектор в
общем положении не
вырождается
CfZJ
Рис. 38
Paнr rладкоrо отображения f это paнr матрицы (дy / дx ) в данной точке.
Это инвариантная величина. Он обозначается через rk Лх), х Е }yln.
Иммерсия (поzружение) А1 n L N k такое отображение, что в лю
бой точке х Е А1 n paHr отображения равен n. Субмерсии определяются
требов ием rkf == k во всех точках. Вложение это иммерсия f, при
которои различные точки переходят в различные лх) i=- Лу), если v i=- у.
Диффеоморфuзм f: Мl" ........, }yI 2 n двух rладких мноroобразий это rnадкий
rомеоморфизм с rладким обратным. Класс rладкости мноrообразий не имеет
большоrо значения в тополоrии, если k 1. Соrласно теореме Уитни лю
бое сk rладкое мноrообразие диффеоморфно единственному СОО rладкому
мноrообр ию и даже вещественно аналитическому мноrообразию, вложен
HOMjG- в R . Однако существование вещественно аналитическоrо вложения
в R произвольноrо вещественно аналитическоrо мноrообразия трудная
теорема (Морри, конец 1950 x rодов), потребовавшая использования более
современной техники комплексных мноrообразий.
Часто мы, не оrоваривая этоro специально, будем считать rnадкие MHO
roобразия и функции относящимися к классу rnадкости СОО и не различать
диффеоморфные мноrообразия. Начиная с Уитни, в технике построения тo
полоrии rладких мноrообразий иrpают важную роль так называемые лем
.мы о приведении в общее положение. Простейшее утверждение TaKoro рода
(леммы Брау а, Сарда и др., 1930 e rоды) состоит в том, что rладкая функ
ция класса С достаточно большой rладкости и с числовыми значениями
f: Mn........,R
iЗ,
f
9 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. СВЯЗНОСТИ
149
всеrда такова, что образ f( Z) имеет меру нуль в R, rдe Z множество
критических точек (grad f == О) в мn. для компактных мноrообразий А1 n
множество f( Z) замкнуто; дополнение к нему есть область положительной
меры.
Для Сl отображений МN L Nk, rде k > п, образ лмn) имеет меру
нуль. При k п множество f( Z) имеет меру нуль, rде Z состоит из таких
точек, что rkf(x) < k. Последнее верно для достаточно большой rладко
сти. В тополоrических приложениях класс rладкости всеrда можно считать
npоизвольно большим. Во всех перечисленных случаях точки в мноrообра
зии образе N k , не принадлежащие образу f(Z) (или f(Al n )) для k > п),
мы назовем точками общеrо положения. Различные необходимые леммы о
приведении в общее положение мы будем приводитъ в процессе описания
той ситуации, rде они применяются.
Напомним, что касательный вектор элемент касательноrо простран
ства R к мноrообразию A-f n в точке х в области с локальными коорди-
натами (х;, . . . ,x ) определяется как вектор скорости параметризован
ной rладкой кривой, имеющей локальную запись x (t) около точки хо ==
= (х;о, ..., x o) вектора типа (dx /dt)xo' В данной локальной системе
координат вектор имеет компоненты (1] , . .., 1] ), подверrающиеся CTaH
дартной замене с матрицей Ic<{3 == (дx /дx ) при замене координат о: ........, {3:
k 'k .
1]{3 == rfc.ax{3/ дx .
(4.1.1)
Компоненты rpадиента и, вообще, дифференциальных форм локальноrо ви
да L.1]ic<dx преобразуются при замене о: ........, {3 с матрицей (I {3) l:
k '
1]i{3 == 1]kc< дх с< / дxl;з.
(4.1.2)
Возникают также тензоры типа (т, l), локально задаваемые набором KOM
понент в надлежащем базисе, порожденном данной системой координат
( Til . . . т )
Jl...Jk
и надлежащим образом (<<экстраполяцией» (4.1.1) и (4.1.2») преобразу
ющихся при заменах координато:........,{3. Можно сказать, что в данной системе
координат имеется базис векторов (еlс<' . . . , еnс<) и ковекторов, сопряжен
ных к векторам (е;, ..., e ), со скалярным произведением: (e , ejc<) == б;.
Любой вектор 1] имеет вид 1] ejc< Е R , а ковектор вид 1]ic<e == 1]* Е R ..
Ковектор лежит в сопряженном пространстве. Пространство тензоров опре
деляется как тензорное произведение
R 0 ... 0 R 0 R ' 0 . .. 0 R '
150
rЛАВА 4
с базисом eil 0 0 еiтпо: 0 e l 0 ... 0 k В данной локальной системе
координат (x ). Любой тензор имеет вид (значок а опущен):
( T l." m- ) ==Til'.' "'ei 0 ... 0 e i 0e j1 0 ... 0e jk .
Jl...Jk Jl...Jk 1 тn
Базисным ортам ejo: отвеЧaIОТ операторы д / дx ...... ejo:, а сопряжен
НbIM e дифференциалы dx ...... e . Стандартные тензорные операции
(свертка, произведение, перестановка индексов и т. д.) И символику OT
сутствие знака суммы при повторении индексов (одноrо Bepxнero и одноrо
нижнеrо) мы будем далее использовать без комментариев. Тензор, зави
сящий от точки, мы назовем mензорны.л,t полем.
Часто кососимметрические тензоры с нижними индексами (точнее,
тензорные поля) называются дифференциальными формами и записыва
ются, исходя из их использования в теории интеrpирования, в дифференци
альном виде:
i! Til . . . ik dx i1 1\ . . . 1\ dX ik == Ok. (4.1.3)
Внешнее произведенuе форм обозначается через Ok 1\ 01 И таково, что
Ok 1\ 01 == ( l)klOll\ Ok.
Внешнее произведение происходит aлrебраически из тензорноrо произведе
ния и операции «альтернации», делающей результат кососимметрическим.
В символике дифференциальных форм (4.1.3) внешнее произведение опре
деляется однозначно из условия ассоциативности, коммутирования со CKa
лярами и условия
dx i 1\ dx j == dxj 1\ dx i .
Оператор d на формах определяется, исходя из требований:
(4.1.4)
df == aJ dx j
д J о:
хо:
Ь) d(dxi11\... 1\ dX ik ) == О,
с) d(fOk) == df 1\ Ok + J dOk.
а)
(локально ),
Здесь J скалярная функция. Отсюда уже следуют свойства:
d о d == О, d(Ok 1\ 01) == dOk 1\ 01 + ( l)kOk 1\ dOl.
Наконец, важным объектом является puмanoвa или псевдориманова .Meт
рика на мноrообразии Лl n , т. е. отмеченный rладко зависящий от точ
ки х Е 1Vjn тензор (тензорное поле) типа (0,2) вида (gij) в локальных
. .
з 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. Связности
151
координатах (x ). При условиях gij == gji И detgij i=- О такой тензор зада
ет симметричное скалярное произведение векторов, ковекторов и вообще
тензорОВ любоrо типа естественным образом:
(1]1, 1]2) == 1]1 1] gij,
( * * ) * * ij ij ..i
1]1, 1]2 == 1]li1]2jg , 9 gjk == Uk'
Как инструмент тополоrии мноrообразий используется только риманова
метрика, т. е. форма gijТ]iryi > О положительна.
Однако псевдориманова метрика нередко возникает и оказывается TaK
же важной не только в теории относительности, но, например, и в rеометрии
полупроcтых rpупп Ли.
Fруппой Ли называется rладкое мноrообразие МN с rnадким rpупповым
законом умножения
Ф:NjnхМn Мn, Ф(х,у)==х'у; Х,уЕМ n .
1) (х. у)' z == х. (у. z).
2) Существует единичный элемент 1. Существует обратный эле
мент x l
х . X l == 1,
rде X l также rладко зависит от х. В окрестности точки хо == 1 зададим
локальные координатыI (х 1 , . . . , х n ). Torдa rpупповой закон локально запи
j .I,j ( 1 n 1 N )
сывается в виде z == 'f' Х,..., Х , у , . . . , у или
z == Ф(х, у).
Леrко видеть, что
zj == x j + yj + ь].sхkуS + o(lxl . Iyl),
(X l)j == xj + o(lxl).
(4.1.5)
Операция aлrебры ли определяется на касательных векторах в точке хо == 1
с координатами (xl, .. . , х n ) == Х, (у1, .. . , уn) == у по формуле
[х, y]k == (bjs b j )xiyS.
(4.1.6)
Эта операция билинейна, кососимметрична [х, у] == [y, х] и удовлетворяет
тмждесmву Якоби
[[х, у], z] + [[у, z], х] + [[z, х], у] == о.
(4.1.7)
Важнейшие rpуппы Ли это подrpупnыI rpупп матриц над различными
полями в первую очередь над R, С, а также над телом кватернионов Q.
152
rЛАВА 4
fруппа Ор, q состоит из линейных преобразований, сохраняющих HeBЫ
рожденное симметричное скалярное произведение в R n сиrнатуры или ти
па (р, q). Особо важна ортоrональная rpуппа ОП == ОП, О. fрупnыI Ир, q
сохраняют невырожденное эрмитово скалярное произведение типа (р, q).
В частности, унитарная rpуппа И N это И N , О. для любой матричной
rpупnыI G через Ва обозначается ее подrpуппа, состоящая из преобра
зований с детерминантом +1. Имеются rpуппы ВОN, SИ N , SOp,q, SИр,q,
SL(n, R) с GL(n, R), SL(n, С) с GL(n, С). Через ВРn обозначаются
rpуппы кватернионных ортоrональных матриц. Все rpуппы ОП, и n , ВОN,
SИ N , ВРn компактны. Соrласно теореме Киллинrа Картана имеется только
конечное число (б штук) компактных односвязных простых rpупп Ли, ло
кально-неизоморфных ни одной ИЗ этих rpупп. Все компактные rpупnыI ли
представляются в виде
(Т n Х а 1 х а 2 х ... х Gk)/D,
rде ТN тор, G i простыIe компактные одно связные rpуппы из списка
Киллинrа Картана и D конечная подrpуппа, лежащая в центре, т. е. KOM
мутирующая со всеми элементами rpупnыI.
fладкие расслоения (Е, В, F, а, р) определяются так же, как общие
расслоения, но все элементы определения являются rладкими мноrообрази
ями и rладкими отображениями, а G с diff F является подrpуппой rpуппы
всех диффеоморфизмов слоя rладкоrо мноrообразия Р. В наиболее важ
НbIX случаях G это rpуппа Ли.
BeIcropНbIe расслоения таковы, что слой F совпадает с векторным про
странством, а G с подrpуппой линейных преобразований. В первую оче
редь важны: а) вещественные BeIcropНble расслоения F==Rn, G==GL(n, R);
Ь) комплексные векторные расслоения р==сn, GCGL(n, С).
При м е р. Касательное расслоение т == т(мn) над rладким мноrооб
разием МN с rруппой G == GL(n, R) и базой В == N[n, слоем F == Rn. Ero
сечения это векторные поля в ]lДn. Пространство Е обозначается всеrда
через Т(Мn).
Риманова метрика позволяет свести структурную rpуппу к подrpуп
пе G == оп.
Имеется большое семейство важныIx расслоений, ассоциированных с
этим, которые определяются действием rруппы GL(n, R) на различных
мноroобразиях. Например, действие rpупnыI G на пространстве тензоров
типа (т, n) (выше) определяет тензорные функции от касательноrо рассло
ения. Их сечения тензорные поля. В частности, через Т* (А;[n ) обозначает
ся пространство расслоения ковекторов, само это расслоение, сопряженное
к касательному расслоенmo, обозначается через т* (тензоры типа (О, 1).
Тензорные расслоения обозначаются через т 0 .. . т 0 т 0 т* 0 . . . т* .
91. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. СВЯЗНОСТИ
153
Дифференциальные формы являются сечениями расслоений A *
внешних степеней расслоения т*. Риманова метрика сечение рассло-
ения В;._ (квадратичные формы на касательных пространствах).
Кроме Toro, можно взять слой F k , совпадающий с множеством HeBЫ
рожденных k реперов в касательном пространстве. Это расслоение также
ассОЦИИРОВано с касательным.
При наличии метрики следует для построения ассоциированных pac
слоений использовать представления rpуппы G == ОП. важныIии oднopoд
ныии пространствами ортоroнальныIx и унитарных rpупп являются так Ha
зываемые МНО200бразuя Штифеля и Трассмана. Точками (вещественноrо
или комплексноrо) мноrообразия Штифеля Vn k или Vn k являются opтo
нормированные k реперы в R n или в СП (с эрмитовой метрикой)
V:- k == SOn/SOn k == On/On k,
v2 k == sи n / SИn k == иn/иn k.
,
(4.1.8)
Точками (вещественноrо или комплексноrо) мноrообразия [рассмана явля
ются npоходящие через начало координат k MepИble плоскости в Rn или
вс n : R
а n k == SOn/SOn k Х Ok == On/On k Х Ok,
,
a k == SИn/SИn k х И k == иn/иn k х Иk.
,
Ориентируемым мноrообразием [рассмана д k мы назовем мноrообразие,
точками KOToporo являются k MepНbIe плоскости, проходящие через начало
координат в R n, на KOTOpbIX отмечена ориентация. Имеется двулистное
естественное накрытие (слой F Z2)
(4.1.9)
H R
C n : k Gn,k.
Имеются также естественные вложения
G R G R R R
n,k n+l,k' Gn,k G n + 1 ,k,
G k G +1,k,
индуцированные вложениями Rn Rn+l, СП с n +l. Через Gf, Gf,
Gf мы обозначим пределы при n ------t 00 rpaccMaHoBLIX мноrообразий
. R R R R С С
11т а n k == G k , Нт а n k == G k , Нт а n k == G k .
n........оо' n........оо' n........оо'
По определенmo Gr- стяrиваемо, Gr- == Rpoo, ар == сроо. Леrко YCTaHO
вить равенство нулю следующих rомотопических rpупп:
1rj (V n 1 \) == О, j < n k,
1rj(Vn k) == О, j < 2(n k).
(4.1.10)
154
rЛАВА 4
ВЫВОД (4.1.1 св леrко следует из (4. 1.13) ниже. При n 00 мноrообра
зия V':R k и V: k становятся стяrиваемыми. Учитывая расслоения
n, n,
R R R
Еn == Vn,k Gn,k,
E R == V: R k G n R k '
n n, ,
Е С Т/"С а с
n V n, k n, k'
F == SOk == а,
F == Ok == а,
F == Uk, G == Uk
(4.1.11)
и стяrиваемость пространств E и E , мы приходим к выводу:
fлавные расслоения (4.1.11) при n 00 переходят в универсальные
для rpупп ли G == Ok, SOk, Uk. Поэтому пространства БG этих rpупп
имеют вид: R R С
BOk == G k , BSOk == G k , BUk == G k . (4.1.12)
для касательноrо расслоения к вещественному мноrообразию МN
отображение базы ero в базу универсальноrо расслоения крайне eCTeCTBeH
но возникает как обобщение rayccoBa сферическоrо изображения поверх
ности. Вложим мноrообразие в евклидово пространство МN с R N , co
rласно Уитни. Точке х Е МN сопоставим ее касательную n мерную плос
кость (с учетом ориентации, если мноrообразие /1Л n ориентируемо), только
параллельно перенесенную в начало координат О С R N . Мы получаем
отображение
f: М N a ,n
f: М N д ,n,
если A-f n ориентировано. Отображение f естественно накрывается отоб
ражением расслоений. Не представляет труда обобщить это на любое rлад
кое векторное расслоение, rде база В мноrообразие. Пространство рассло
ения Е стяrивается к B Вложим Е в RN; В точках В С Е (нулевоrо сеч:е
ния) проведем плоскости в R N , касательные к слоям расслоения fx с R N ,
Х Е В. эти плоскости naраллельно перенесем в начало координат О С R N.
Получаем отображение В a ; если отмечена ориентация, то это
отображение В д . Любые комплексы можно заменить на rомотопиче
ски эквивалентные им rладкие мноrообразия К С и, расположив К в R N
И взяв малую окрестность и, в КОТОРОЙ К есть деформационный ретракт.
Поэтому rладкая конструкция «сауссова отображ:енuя», по сути дела, не
является менее общей, чем общее построение универсальноrо расслоения
для всех конечных комплексов в качестве баз.
Для более общих rладких расслоений, rдe G с diff Р, можно paCCMOT
реть пространство всех диффеоморфизмов вложения F R N , N 00.
Это пространство МЫ обозначим через EN. При N 00 оно переходит в
cтяrиваемое. fруппа diff F естественно действует на Е N. Факторизация по
rpуппе G и дает базу универсальноrо расслоения ва при N 00.
или
з 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. Связности
155
В литературе используется обычно друrая конструкция (Милнора, KO
нец 1950 x а.), основанная на иной идее, дающая возможность постро
ить ве для широкоro класса rpупп а. Вернемся к векторным расслоениям.
Так как имеются rлавные расслоения
OnjOn l == Bn 1, ВОn! BOn l == Bn 1, UnjUn l == B2n l
И rpуппы 1fj(Sn l) == О тривиальны при j n 2, то мы имеем из точной
последовательности rомотопических rpупп этих расслоений
1f'k(SOn) == 1f'k(SOn l), k < (n 2),
1f'k(U n ) == 1f'k(Un l), k < 2(n 1).
(4.1.13)
Поэтому вложения On k On, SOn k SOn, Un k Un, SUn k SUn дa
ют изоморфизм rомотопических rpупп в размерностях, соответственно,
меньших, чем n k 1, 2(n k). Из этоrо и следует (4.1.10) (для rpупп ВРn
все аналоrично).
fомотопические rpупnыI 1f'j(On) для j < n 1, 1f'j(U n ) для j < 2n 2,
1fj(Spn) для j < 4n 2 называются стабильными, так как они не зави
сят от n. Эти rpуппы впервые вычислены Боттом (вторая половина 1950 x
[одов) исходя из вариационноrо исчисления в целом; см. rл. 4, g 2.
Дифференциальная rеометрия rладких G расслоенuй со структурной
rpуппой Ли G основывается на понятии связности. Связностью в rлав
ном е расслоении называется rладкое е инвариантное поле n MepHЫX Kaca
тельных плоскостей, трансверсальных слою в пространстве расслоения Е,
[де n размерность базы В (напомним, что rpуппа G свободно действует
на Е (слева), причем орбиты rpуппы G являются слоями F == С). Эти n
мерные плоскости называются roризонтальными. На. rpуnпе G имеется
стандартная правоинвариантная 1. форма "'--'о со значением в aлrебре Ли 9
rpупnыI а. Алrебра ли 9 реализована как правоинвариантныIe векторные по
ля на а. Форма "'--'о сопоставляет вектору ТJ в точке у Е G то единственное
правоинвариантное векторное поле'; Е а, rдe ';(х) == ТJ. Верны следующие
тождества (здесь 9 левый сдвиr h gh):
1
2[wo, "'--'о] == dы o , g*wo == (Adg)wo,
(4.1.14)
[де [wo, "'--'о] внешее произведение форм со значением в aлrебре Ли (Ha
помним, что формы и коцепи со значением в любом кольце можно пере
множать, хотя это умножение не будет косокоммутативныI).. Связность в
rлавном расслоении (Е, Б, а, а, р) задается 1 формой w на Е со значени
ем в aлreбре Ли 9 такой, что
g*w == (Adg)w, wjF == "'--'о,
( 4.1.15)
156
rЛАВА 4
F == G слой над любой точкой х. fеометрически уравнение I.JJ == О В каж
дой точке у Е Е задает n MepHыe rоризонтальные плоскости, о которых
rоворилось выше. Форма кривизны rl определяется как
1
rl == d/.JJ + 2[1.JJ, I.JJ].
(4.1.16)
Форма rl обращается в нуль на любой паре векторов в любой точ
ке у Е Е, если хотя бы один из них вертикален, т. е. параллелен слою.
При этом g*(Щ == (Adg)rl. Для матричных rpупп представление Adg дей
ствует внутренними автоморфизмами на значения формы rl в матричной
алrебре Ли 9
Adg(u) == gug l.
Форма rl, как rоворят, чисто roризонтальна ее ненулевые значения опреде
ляются только значениями на парах rоризонтальных векторов в Е. В любой
системе локальных координат на Е, т. е. в области И сВ с локальными кo
ординатами xl, . . . , х n , rде p l (и) 'f)l ИХ а, мы рассмотрим оrpаничение
формы и на поверхность И х 1, 1 Е с:
rl<p == rll Ux1 == Fabdxa л dx b , РаЬ Е g.
Форма связности на И х 1 имеет вид:
1.JJ<p == I.JJIUXl == Аа dx a , Аа Е g.
При этом верно равенство
Р аЬ == даА ь дьАа + [Аа, А ь ],
да == д/дха.
Значения форм связности и кривизны на ИХ 1, в силу (4.1.14), (4.1.15),
(4.1.16), полностью определяют их во всей области
(4.1.17)
p l(u) Их а.
При изменении координат в расслоении, т. е. при изменении диффеомор
физма <Ри Формы 1.JJ<p и rl<p меняются. Рассмотрим друrой диффеомор
физм Фи: p l(U) И Х G такой, что вместе <рф l определяют отоб
ражение
<рф l: Их G И х а, (х, g) (х, Л(х)g),
(4.1.18)
rдe л(х) Е а. Сечение И х 1 переходит в друrое сечение
<p'l/J l: (х, 1) (х, л(х)), л(х) Е а.
(4.1.19)
.::tf1'
.'f
з 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. СВЯЗНОСТИ
157
Это назьшается калибровочным преобразованием. для связности и кривизны
имеем (пусть rpуппа G и aлrебра 9 ма1ричные)
а) 1.JJ<p I.JJ-ф, 1.JJ<p == Аа dx a , 1.JJ<p == A dj;a,
Аа dx a A dx a , A == Л. Аал l + (даЛ(х))л l(х),
Ь) rl<p rl-ф,
(4.1.20)
РаЬ л(х) . Р аЬ ' л l(х) == P Ь'
При м е р 1. Пусть G абелева rpуппа (например, G==Sl==S02==U 1 ).
Torдa форма кривизны, в силу (4.1.16), это замкнутая форма на базе,
определяемая через связность так:
p*rl == d/.JJ.
Класс rомолоrий формы [rl] Е Н2(В, R) не зависит от выбора связности.
Этот класс на самом деле происходит из целочисленноro: интеrpалы от
формы rl по 2 (циклам) целые числа.
При м е р 2. Пусть G == U n . Torдa форма Sprl == ВРР аЬ dx a Л dx b
(локально) также является замкнутой 2 формой базы и ее класс коrомолоrий
называется первым классом Черна
[Sprl] == Сl Е н 2 (в, R).
Это целочисленный класс коrомолоrий. Все формы Sprl m (степень
матричная) определяют образы классов целочисленных коrомолоrий cm Е
н 2т (в, R) в вещественных или комплексных. Они называются класса
ми Черна. Однако среди целочисленных классов Черна будет необходимо
выбрать друroй, более полный базис Ci, rдe Ci полиномы С целыми коэф
фициентами от базисных классов (но не обратно), Ci == Pi(Cl, ..., Ci). По
линомы P i ( Cl, . . . , Ci) совпадшот с так называемыми полиномами Ньютона,
n
выражающими симметрический мноrочлен L ul через элементарные:
k==l
Ci == L Ui} , Ui2 . . . Uij ,
i} <..,<ij
Сl == Cl,
? 2
С2 == С! С2,...
Такое представление классов Ci, Ci имеет тополоrический смысл и очень
полезно (см. ниже в этом парarpафе).
При м е р 3. G == ВОn. Torдa форма rl дает классы ПонтрЯ2Uна
Pi == [Sp(rl 2i )] Е H 4i (B, R), также целочисленные. Будет позднее выбран
друrой, как rоворят, неделимый, целочисленный базис классов Понтряrи
на Pi Е H 4i (В, Z), так что Pi выражаются через них как полиномы Ньютона
с целыми коэффициентами.
158
rЛАВА 4
Семейство rоризонтальных n MepHЫx плоскостей в rлавном рассло
ении, указанное выше и названное при определенных условиях дифферен
циалъно rеометрической связностью, по рождает семейство rоризонталь
ных n-мерных плоскостей, трансверсальных к слоям F в любом ассоци-
ированном расслоении (Е', В, Р, р, G). Всякая rnадкая или кусочно rлад
кая кривая в базе В, '"Y(t), а :::;; t :::;; Ь однозначно накрывается rоризон
тальной кривой ::Y(t), п(t) == '"Y(t) (рис. 39), если указана начальная точ
ка ;У (а). Итак, это порождает rладкий вариант rомотопических связностей,
обсуждавшихся в rл. 2, 3, а также свойство накрывающей rомотопии
со всеми вытекающими из нее rомотопическими следствиями. HaкpЫBa
ющее движение точки ;Y(t) называется процессом ее параллельноrо пере
носа.
Связность определяет способ так называемоrо ковариантНО20 диффе
ренцuрованuя сечений вдоль касательных векторов базы всех ассоциирован
ных расслоений. Пусть 'Т/ векторное расслоение со слоем R q. Локально,
в области И связность определяется 1 формой
Ц)", == Аа(Х) dx a .
Так как Аа это матрицы, мы напишем Аа == (Аа); == (A j)' i, j ==
== 1, . .., q. Сечение локально представляется как вектор функция 'fJi(x) со
значением в RQ. Ковариантные производные это операторы Da:
Da == да + Аа, Dа'Т/i(х) == дат/ + A jrf.
(4.1.21)
Коммутаторы [Da, Db] дают кривизну Раь (4.1.17)
[Da, Db] == даА ь даАь + [Аа, АЬ] == Fab.
(4.1.22)
Для касательноrо расслоения т(JИ n ) это дает классические понятия ри
мановой rеометрии. По видимому, в математике идея связностей в pac
слоениях была выдвинута еще в 1930 x П. в частном случае [. Вейлем
и в общем Э. Картаном. Физики (Янr и Миллс) пришли к этим объектам
позднее, около середины 1950 x rодов, но, вероятно, независимо, во всяком
случае от Картана. Связности называются теперь калибровочными полями
и иrpают фундаментальную роль в физике элементарных частиц. Простей
шим примером Taкoro поля (f. Вейль) является связность в расслоении с
rpуппой G == U 1 == ВО2, которая имеет физический смысл электромar
нитноrо поля, rде напряженность это тензор кривизны Раь. Калибровоч
ные преобразования (4.1.20) это просто замена единичноrо сечения в
9 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. Связности
159
1т
y(t)
Рис. 39
локальных координатах (х, 1) (х, л(х)). В общей теории относитель
ности связность касательноrо расслоения тесно связана с rpавитационным
полем (Эйнштейн).
Возвращаясь к тополоrии, введем общее понятие характеристuчеСКО20
класса G-расслоений.
Определение 4.1.1. Характеристическим классом О в катеrории G pac
слоений (Е, В, Р, G, р) называется соответствие, сопоставляющее рассло
ению отмеченный элемент в коrомолоrиях базы О Е Н* (В) с любыми коэф
фициентами. Требуется, чтобы при отображениях расслоений Ф: Е Е',
<р: В В' характеристический класс вел себя естественно или функтори
алъно (контравариантно): с
<р*(О') == О, <р: В В'.
Леrко доказывается, что множество характеристических классов совпада
ет с множеством элементов в коrомолоrиях базы универсалъноrо G pac-
слоения BG. Если известен отмеченный элемент О' Е H*(BG), то для
любоrо расслоения с базой В имеется единственное с точностью до rOMo
топии ero отображение в универсальное, rде <р: В BG. Можно поло
жить О == <р* (О') для этоrо расслоения.
для компактных абелевых rpупп G мы знаем пространства BG:
G == в1, BG == сроо,
G == т n , BG == СР! х . . . х CP ,
G == (Z/2)n, BG == RPl' х ... х RP ,
G == Z/т, BG == Нт s2n 1 /Zm == ВОО /Zm
n......оо
160
rЛАВА 4
(бесконечномерное линзовое мноrообразие). Кольцо коrомолоrий этих Про
странств ва нам известно. Особо важны следующие:
H*(Cpr х '" х CP ; Z) == Z(Ul, . . ., и n ),
uj Е н 2 (ср оо , Z),
Z(Ul, ..., и n ) кольцо мноrочленов,
H*(RPr х ... х RP ; Z2) == Z2[Vl, ..., v n ], (4.1.23)
vj Е H 1 (RP j OO , Z2),
H*(BZ p ; Zp) == Ap(V) 0 Zp[u],
V Е H 1 (BZ p ; Zp), U == (3V Е H 2 (BZ p ; Zp),
rдe (3 rомоморфизм Бокштейна (см. rn. 3, g 5), Ар внешняя aлrебра,
порожденная V, v 2 == О (тензорное произведение здесь определяется с усло
вием косой коммутативности колец коrомолоrии).
Описание важнейших коrомолоrий н*(вс) для G == ОП, ВОN, U n ,
ви над областями коэффициентов Z, Z2 и R таково.
n В rpуппе U n имеется диаrональная подrpуппа ТN (максимальный тор)
и так называемая zpyппa Вейля rpуппа перестановок Вn, возникающая кa
автоморфизмы ТN вида gTng l С тn, 9 Е U n ' Оrpаничение коroмолоrии
не имеет ядра (как rоворят, мономорфно)
i*: Н*(ВU n , Z) ----..;. н*(вт п , Z) == Z[Ul, ..., и п ]
и инвариантно относительно rpупnыI Вейля Вп. Поэтому все коrомолоrии
пространства ВU n описьшаются через это оrpаничение на тор Тn. Образ
состоит из всех симметрических полиномов. Это и дает описание кольца KO
rомолоtИйН*(ВU;; Z).Базис (юнiссы Черна)' Ci Е Н 2 (ВU п , Z) переходИт
в элементарные симметричные мноrочлены Сl, . . . , Сп от «образующих»
Ву переменных uj Е н 2 (CPjOO, Z)
n
L Ujl'. .. . Uj" Ci........ L и;.
jl < . . . <ji j==l
для rpупп ВО2n, ВО2n+l максимальный тор Т N является об с rpуп
пой U но rpуппа Вейля более широкая. Для ВО2n rpуппа Веиля состоит
из сл: ющих преобразований (уже моделированных в н*(втn), кроме
всех перестановок Вn:
CТij: Ui Ui, Uj щ, Uk f------7 Uk, k i=- i,j (4.1.25)
и их суперпозиций, i,j == 1, ..., п. Для S02n+l rpуппа Вейля содержит
преобразования (CТij, Вn), а также все преобразования:
CТi: Ui f------7 Ui, uj f------7 Иj, (i =1=- j). (4.1.26)
Ci ........
(4.1.24)
,:11
з 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. СВЯЗНОСТИ
161
Поэтому инвариантных мноrочленов для rpуппы S02n+l меньше. Об
раз Н*(ВВО 2n ; Z) ........ Н*(втn; Z) состоит из элементарных симметриче
СКИХ полиномов Pi от переменных и;, представляющих классы Понтряrина,
и полинома Х2n == иl о '" о и n , представляющеrо так назьшаемый «эйле
ров класс». Образ H*(BS0 2n + 1 ; Z) ........ Н*(втn; Z) порождается Только
образами классов Понтряrина:
Pi
L U;l'" Иj; Е H 4i (BT n , Z),
jl < . . . ji
(4.1.27)
Х2n f------7 Ul о '" о и n Е H 2i (BT n , Z),
Х2n Е н 2n (вво 2n , Z), Pi Е H 4i (BSO k , Z), k 2n.
для rpупп SOk ядро rомоморфизма оrpаничения на максималъныIй
тор н*(втn, Z) содержит только 2 кручение.
Над полем вещественных (рациональных) чисел R ответ аналоrи
чен для всех компактных rpупп ли образ коrомолоrий н*(ва, R) ........
н*(втn, R) состоит из полиномов, инвариантных относительно rpуп
пы Вейля, ядро тривиально.
Для описания коrомолоrий по модулю 2 для ва, G == ОП, ВОn удобно
воспользоваться дискретным аналоrом тора подrpуппой диarональных
матриц (Z2)n С ОП. Оператор оrpаничения не имеет ядра
Н*(ВО n , Z2)........ H*(B(Z2)n, Z2) ==
== Z2[Vl, . .., v n ], vj Е H 1 (RP j CXJ ), BZ 2 == RP oo .
Образ ero состоит из симметрических полиномов. Элементы, переходящие в
элементарные симметрические полиномы, называются классами Штифеля
Уитни Wj
Wj f------7
L
(4.1.28)
Vil . . . Vij Е Hj (BZ , Z2)'
il<...<ij
для естественноrо rомоморфизма Н*(ВО n , Z2) ........ Н*(ВВО n , Z2) образ
покрывает все (т. е. это эпиморфизм); ядро является rnавным идеалом,
порожденным элементом Wl ........ О, т. е. состоит из элементов вида aWl.
При приведении по модулю 2 классы Черна Ci переходят в W2i,
а класс Х2n В W2n,
W2i == Ci (mod 2),
Pi(''l) == W4i(Cry) == L W2j (ry)W2k (ry), Х2n == W2n (mod 2).
2j+2k==4i
для Un расслоений также Х2n == СП,
11 Тополоrия
162
rЛАВА 4
Таковы элементарные сведения о характеристических классах. Xapaк
теристическими классами мноrообразий называются классы их касатель
ных расслоений.
Заметим, что условие Ш1 == О необходимо и достаточно для ориен
тируемости мноrообразия или расслоения, т. е. сведения rpynnыI G к ВОn.
Классы Штифеля Уитни и Черна имеют простую трактовку как первое пре
пятствие (см. rл. 3, 5) к построению сечения ассоциированноrо расслоения
со слоем
F == V:n k'
,
rде
1f'j (Р) == О, j < k 1, 1f'k l Q9 Z2 == Z2
или
F V k 1f' J ' (Р) == О , J . < 2k 1 , 1f'? k l == Z.
n n ,
fруппа Кl (В) В этом случае тривиально действует на rpуппе 1f'k 1 (Р) Q9 Z2
для V:n k и на rpуппе 7r2k 1(F) для Vn n k' если структурной rpуп
пой расслоения были соответственно rpуппы ОП, U n (или GL(n, R),
GL(n, С)).
Более нarЛЯдНО построение двойственных (по Пуанкаре) классов ro
молоrий характеристических циклов DWi, DCj В соответствующих ro
молоrияx. Рассмотрим расслоение k реперов в слое Rn. Пусть база В
rладкое замкнутое мноrообразие; множество точек, rде rладкое k реперное
поле общеrо положения линейно зависимо, образует цикл (mod 2) кораз
мерностиn k+1; это и есть двойственный цикл DWk l. для классов Черна
все аналоrично. Нули BeктopHoro поля k == 1 дают цикл коразмерности n,
равный D x2т , если n == 2т.
Для G.расслоений нередко можно уменьшить структурную rpуnпу и
свести ее к подrpуппе G 1 С G. Эта операция называется редукцией cтpYK
турной zpyппbl. для всех rpупп ли G можно всеrда редуцировать cтpyктyp
ную rpуnпy К их максимальной компактной подrруппе в классе эквивалент
ных СОО расслоений (в классе комплексно аналитических расслоений это
невозможно) .
Любое комплексное векторное расслоение 1] можно рассмотреть только
как вещественное. Возникает операция «забывания комплексной cтpyктy
ры» 1] ТТ], отвечающая вложению rpупп U n 80 2n ИЛИ GL(n, С) !:..,
GL(2n, R). Напротив, вещественное расслоение можно «комплексифици
ровать». Возникает операция 1] Cf], rде 1] вещественное расслоение, OT
вечaIOЩая вложению GL(n, R) с GL(n, С). Всякому представлению (roMo-
морфизму) р: G1 G2 отвечает сопоставление рG1 расслоению 1]G2 pac.
з 1. ОСНОВНЫЕ понятия. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. Связности
163
слоения p'f]: 1] р1]. Над векторными расслоениями мы знаем следующие
операции:
1. Прямая сумма 1]1 Е91]2 (сумма Уитни).
2. Тензорное произвед.ение 1]1 Q9 1]2 (над R или над С).
3. Внешние степени Аз 1], rдe при j == n == dim 1] возникает детерминант
расслоения det 1] == А n 1].
4. Симметрические степени 8 j 1]; например,
1\ 21] Е9 821] == 1] Q9 1].
(4.1.29)
5. Формально сопряженное расслоение 1]*, комплексно сопряженное 7],
овеществление и комплексификация Т1], C1J, rде
ТС(1]) 1] Е91]*, C1J C1J,
СТ(1]) 1]E97].
(4.1.30)
ПО определению, классы Понтряrина совпадают с классами Черна комплек
сифицированноrо расслоения
2C2i+1(C1J) == о, C2i(C1J) ==Pi(1])( l)i.
(4.1.31)
для суммы расслоений верны формулы:
а) Щ(1]l Е91]2) == L Wj (1]l)Wk (1]2),
j+ k==i
Wo == 1;
Ь) Ci(1]l Е9 'Т!2) == L Cj(1]1)Ck(1]2),
j+k==i
(4.1.32)
со == 1;
с) Pi(1]l Е91]2) == L Pj(1]1)Pk(1]2)
j+k==i
(с точностью до 2 кручения);
d) Х2n(1]1 671]2) == X2m(1]1)X2k(1]2), т + k == n,
rде 1]1 имеет слой R 2т И 1]2 слой R 2k. Из этих формул следует, что все
классы, кроме Х2n, стабильны: если N R или Nc тривиальное расслоение
со слоем R N или c N , то
Щ(1] + NR) == Щ(1]), Ci(1] + Nc) == Ci(1]), Й(1] + NR) == Й(1]).
11.
164
rЛАВА 4
Поведение характеристических классов при операциях тензорноrо произ
ведения внешних и симметрических степеней расслоений несколько более
сложно. В вещественных (рациональных) коrомолоrиях базы оно описы
вается естественно через «образующие Ву» (и1, ..., и n ) в коrомолоrиях
максимальноrо тора при использовании характеров представлений. Введем
характер Черна для иn расслоения 1]n или 80 расслоения 1]:
G == U n :
n n m
ch1] == 'L \ Cj == 'Lexp(Uj) == L L и\ == L ch m (1]),
,J., ,т.
З О з==1 ==1 т O т O
(4.1.33)
G == 80 n :
ch m (1]) == .1,С т == Р т (С1, . . . , С т ),
т.
ch 1] == ch C1J (по определению),
ch1] Е Н*(В, Q) с Н*(В, R).
Здесь симметрические функции от (и1, ..., и n ) означают, по определению,
классы Черна Ci и функции от (UI, .. . , и ,) классы Понтряrина Pi. Верна
формула
Ch(1]1 01]2) == ch 1]1 ch 1]2. (4.1.34)
Мы будем нередко опускать значок тензорноrо произведения: так как
никаких дрrrих операций перемножения расслоений нет, мы' будем пи
сать 1]11]2, 1] == 1] 0 . .. 0 1] и т. д. Рассмотрим формальные суммы
1671] 671\21] 671\3rJ 67'" == 1\(1]),
1 67 7J 5D 821] 67 831] 67" . == 8(1])
(часто мы будем писать просто + вместо 67). Здесь 8 i симметрическая
степень векторноrо пространства и расслоения. Верны формулы:
1\ (rJ1 + rJ2) == 1\(1]1) 1\ (1]2),
8(1]1 + 1]2) == 8(1]1)8(1]2),
(4.1.35)
Аналоrично, если мы (формально) напишем
w == 1 + W1 + W2 + . . . ,
Р == 1 + Р1 + Р2 + . . . ,
с == 1 + С1 + С2 +
... ,
то формулы (4.1.32) примут простой вид:
ш( 1]1 67 1]2) == ш( 1]1 )w(q2) ,
с( 1]] Е&Т]2) == с( 1]1 )с( 1]2),
Р(1]1 671]2) == p(1]1)P(1]2) (по модулю 2 кручения).
91. ОСНОВНЫЕ понятия. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. СВЯЗНОСТИ
165
Символические образующие (и1, ..., и n ) чрезвычайно удобны также при
определении любых аддитивных и мультипликативных выражений от xa
рактеристических классов. Все аддитивные выражения 1(1]) Е Н*(В, R)
MoryT быть записаны так: если f(1]1 671]2) == f(1]1) + f(1]2), то достаточно,
оказывается, рассмотреть ряд от одной переменной
а) 1(и) == L ати т ,
т O
n
f(1]) == f(Cl, С2, . .., Ck, . . .) == L f(Uj),
j==l
n
Ь) 1(и 2 ) == L Ь т и 2т ,
т O
f(1]) == ЛР1, . .., Pk, .. .) == L 1(и;).
j==l
Таким образом, все аддитивные величины таковы:
а) 1(1]) == f(C1, С2, ..., Ck, . ..)
== L т!атС т == L т!а т ch m (1]),
т o
Ь) 1(1]) == 1(Р1, Р2, ..., Pk, . . .) == L т!Ь т С 2т == L т!Ь т ch 2m (1]).
т O
для мультипликативных характеристик имеем
(4.1.36)
f(1]11]2) == 1(1]1)1(1]2).
Следует задать ряд, начинающийся с единицы:
а) 1(и) == 1 + L ати т ,
т 1
n
1(1]) == 1( С 1, ..., Ck, ...) == п 1(щ),
j==l
Ь) f(u 2 ) == 1 + L Ь т и 2т ,
т 1
n
f(1]) ==f(p1, .",Pk) == П1(и;).
j==1
Значение мультипликативной характеристики на замкнутом мноrообразии
вещественном и комплексном определяется требованием
1(Mf х Mf') == 1(Mf) х 1(Mf') :
а) 1(м 2n ) == и(С1, ..., Сп), [м 2n ]), n == dimc м n
(комплексный случай),
Ь) f(M 4n ) == и(Р1, ..., Рn), [м 4n ])
(вещественный ориентируемый случай).
166
rЛАВА 4
в случае а) для эйлеровой характеристики X[1\II 2 n] имеем
J( и) == 1 + и, J( Сl, . . . , Ck, . . . ) == 1 + Сl + С2 + . .. == с( 1]).
Дрyrие важные случаи встретятся позднее.
При м е р 1. Рассмотрим касательное расслоение т == 1'(Rpn). Имеет
место простое равенство
1'(Rp n ) Е9 1R == 1] Е9 . . . Е91],
(n+l)
rде lR тривиальное вещественное расслоение со слоем R 1 над Rpn и 1]
обобщенный лист Мёбиуса, т. е. единственное нетривиальное расслоение
над Rp n с одномерным слоем R 1 и rpуппой 01 == Z2. Пространство этоrо
расслоения над Rpl == 81 есть обычный лист Мёбиуса (см. рис. 40,41).
Классы TaKO Ы:
Цикл Dv Е
Rpn 1 с Rpn.
0=1= 'Шl(1]) == v Е H 1 (Rp n , Z2),
Щ(1]) == о, i > О.
н n 1 (Rp n , Z2) представляется rиперплоскостью
ь
а f.
'1 а
/'
ь
Лист Мёбиуса.
Простейшее нетривиальное расслоение.
База 51, слой отрезок.
Рис. 40
Исходя из формул классов для суммы расслоений, мы имеем
'Ш(1') == 1 + Шl (т) + ... + 'Шn(1') == (1 + v)n+l Е H*(Rpn, Z2)'
При м ер 2. Рассмотрим комплексное GL(n, С) расслоение, Kaca
тельное к срn: 1'==1'(срn). По аналоrичным причинам верны формулыI
1'(срn) Е91с == 1]С EJЭ. . . EJЭ 1]с,
(n+l)
Cl(-ry) == U Е н 2 (срn, Z),
С(Т) == 1 + Сl(1') + . .. + Сп (т) == (1 + и)n+l Е н*(срn, Z).
9 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. rЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ. Связности
167
а
ь
Рис. 41
Здесь u базисный элемент в Н2 (срn, Z)==Z. ЦИКЛ DиEH2n 2 (срn, Z),
двойственный по Пуанкаре, представляется циклом cpn 1 С срn.
При М е р 3. Для любоrо rладкоrо подмноrообразия (k>n) MncN k
имеется как ero касательное расслоение 1'(lvl n ) == т, так и нормальное
к нему расслоение v(lvIn) в Nk, например, в римановой метрике, хотя
метрика здесь несущественна. Имеет место простая формула
i*1'(N k ) == 1'(м n ) Е9 v(M n ).
в частности, для классов отсюда следует:
i*ш(N k ) == W(1')Ш(V),
i*p(N k ) == p(1')p(V) (по модулю 2 кручения),
i*c(N k ) == ct1')C(V)
для комплексных мноroоб азий и подмноrообразий.
Если N k == R k , то r(R ) тривиальное расслоение. Поэтому мы по
лучаем, что
i*ш(R k ) == 1, i*p(R k ) == 1.
Из формул (4.1.32) вытекают формулы выражения друr через друrа xapaK
теристических классов касательноrо и нормальноrо расслоений в R k .
При м е р 4. Для касательноrо расслоения 'leтHOMepHoro ориентиру
eMoro мноrообразия A;J2n верна формула для класса Эйлера
(Х2n(1'), [м 2n ]) == х(м 2n )
(т. е. равно характеристике Эйлера Пуанкаре). Здесь [м 2 n] Фундамен
тальный класс rомолоrий. Для комплексных мноrообразий Х2n заменяется
на класс Сп.
168
rЛАВА 4
При м е р 5. для rрупп Ли G касательное расслоение тополоrиче
ски тривиально (и все характеристические классы равны нулю). fруппы
Ли параллелизуемы, т. е. обладают всюду невырожденным n реперным no
лем, разнесенным из начала координат правыми (или левыми) сдвиrами.
Здесь n размерность rpynnыI а.
При м е р 6. Пусть подмноrообразие в R N задано набором ypaвHe
пий иl == О, . . . , fN n == О), rрадиенты которых всюду линейно незави
симы на общем мноrообразии нулей Nf n . Torдa нормальное расслоение
(со слоем RN n) v(Mn) тривиально. В силу формул (4.1.35), все CTa
бильные классы "Шi, Pk этоrо мноrообразия равны нулю. Нетривиален MO
жет быть только не стабильный класс Эйлера X2k, если n == 2k. Напри
мер, X2k(S2k) == 2. Касательное расслоение T(NJn) здесь стабильно три
виально, т. е. т ЕВ (N n)R == N R, rдe тR тривиальное расслоение со
слоем R m .
Коммексные МНО200бразuя это четномерные вещественные rладкие
мноrообразия, заданные набором областей с комплексными локальными
координатами (z , .. ., z:;) в областях V Q и комплексно аналитическими
функциями перехода в областях V Q n V.в. Число n называется КОМlUlексной
размерностью комплексноro мноrообразия; вещественная размерность при
этом равна 2n. Простейший пример компактноrо комплексноrо мноrообра
зия это С рn. Друrой пример это торы Т 2 n == сп /f, rдe f некоторая
решетка из 2n векторов в СП. .
Проектuвные ал2ебраuческuе МНО200бразuя это компактные KOM
плексные подмноrообразия в срn, !\I[k С срn. Комплексные мноrообра
зия комплексной размерности n, k и т. д. обозначаются через Nf n , N k . "
Эрмuтова метрика на комплексном мноrообразии Nf n локально задается в
виде
? ' j
ds == gij dz dz Q , gij == gji В области V a .
Ей сопоставляется 2 форма, локально имеющая вид
. .
rl == 2. gij dz 1\ d:Z .
Условие Toro, чтобы преобразования параллельноrо переноса векторов были
для любой кривой унитарным преобразованием, приводит к уравнению
drl == о.
(4.1.37)
Такие мноrообразия называются келеровымu. На ходжевых .МНО200бразuяx
форма rl представляет целочисленный класс коrомолоrий, т. е. имеет цело
численные интеrpалы по 2 циклам. Само срn и ero подмноrообразия
з2. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРА3ИЯ 169
ходжевы. Обратная теорема, утверждающая, что всякое ходжево MH020
образuе является проективным, доказана в частных случаях Зиrелем (для
комплексных торов) и в общем случае Кодаирой (конец 1940 x rодов).
Все комплексные торы келеровы мноrообразия с постоянной метрикой,
но сводятся к проекrивным aлrебраическим мноrообразиям тоrда и только
тоrда, коrда решетка r с СП удовлетворяет условиям Римана, обеспечива
юшим корректность определения В функций.
Все комплексные подмноrообразия без края в СП некомпактны, если их
размерность больше нуля. Некоторые сведения из тополоrии комплексных
мноrообразий мы приведем в следующих парarpафах.
2. rомолоrии rладких мноrообразий.
-Комплексные мноrообразия.
-Классическое вариационное исчисление в целом.
Н пространства. Мноrозначные функции и функционалы
Каждое дифференцируемое мноrообразие класса rладкости k 1 мож
но трианryлировать, т. е. превратить в симплициальный комплекс. fладким
симплексом называется пара: стандартный симплекс cт k С R k И rладкое
реryлярное вложение некоторой содержащей ero k мерной открытой обла
сти cт k С И с Д k В мноroобразие
f; и м n .
а о
d [lloa! az]=[lloaa+,..
d [lloазаl]= [ lloa l ]+..,
а,
аз
Рис. 42
Соrласно теореме (Кернс, У айтхед, 1930 e rоды) rладкое мноrообра
зие Аl n допускает единственную, с точностью до комбинаторной экви
170
rЛАВА 4
валентности, rладкую трианrуляцmo (т. е. разбиение на rладкие симплек
сы U A,a(cт k ) == N[n), превращаюшую М N в РL мноrообразие (rдe MHO
a,k
жество всех симплексов, содержащих любой данный симплекс fk,a(cт k ),
образует тело, комбинаторно эквивалентное стандартному симплексу ст n ;
см. rл. 3, 9 1). Таким образом, возникают стандартные симплициальные ro-
молоrии и коrомолоrии Н. (N[n), Н. (м n ) со всеми их свойствами, включая
кольцевые структуры умножения в коrомолоrиях Н., пере сечение циклов
из Н., двойственность Пуанкаре см. rл. 3, g 2.
м 2 == т 2
Рис. 43
для замкнутых подмноrообразий W k С Д1 n , vj с N[n пересечение
имеет более нarлядный смысл: можно мало пошевелить w k так, чтобы
оно пришло в общее положение с V j . это означает здесь, что в лю-
бой точке пересечения Х Е W k n V j векторы, касательные к W k и Vj,
совместно по рождают касательное пространство R ко всему мноrообра
зию М N . Если k + j < n, то пересечение wk n vj пусто в общем по
ложении. Если k + j == n, то это пересечение представляет собой набор
изолированных точек Х1, ..., Хт. Число m совпадает с ИНД КСQМ пересе-
чения modulo 2:
yk о V j == m(mod2).
(4.2.1)
Если все мноrообразия lv[n, yk, v j имеют ориентацию, то каждой точ
ке Х} пересечения W k n V j соответствует знак sgn Xj (W k n vj). Это знак
детерминанта перехода от ориентирующеrо репера т Х} , касательноrо к MHO
rообразию lv[n в точке Xj, к реперу (T j' т::), касательному соответственно
к подмноrообразиям w k , vj В точке Xj.
По определению, имеем
w k о V j == 2)sgn Xj W k n vj),
j
V j о W k == ( l)k.jWk о Vj.
(4.2.2)
.
9 2. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 171
в rладких ориентируемых мноrообразиях можно выбрать пару базисов KO
циклов zfJ, ::? ' сопряженных дрyr друry,
70<1 а1 1 Ь ---а' а'
Z1 , Z1 ,а1 , ..., 1, ZjJ, ZjJ, а] == 1, ..., Ь з ,
0< j::;; n,
таКИХ, что
а] ---аn э r
Zj о Zn j Uajan j'
(4.2.3)
Zo == Zo == 1, ZN == ZN == [м n ].
Заметим, что b j == bn ] (в неориентируемых это только в rомолоrи
ях mod 2). Если n == 2т, то в rpуппе нт(мn, Q) имеется 2 различных
базиса Z Тn, а т == 1, ..., Ь т , z::'тn, rде: Z о Z::'k == J ajak . Базисы Zm, Zm
сопряжены в силу индекса пересечения.
При м е р. Пусть м n заМкнутое ориентируемое мноrообразие
и f: М N N[n произволъное реryлярное rладкое отображение. Pac
смотрим циклыI
д == (Х, х) Е Нn(М n х д;[n, Q),
Д! == (Х, Лх)) Е нn(м n х м n , Q)
(rpафик и диarональ). В общем положении точки пересечения Д n д! есть
изолированные неподвижные точки f(Xj) == Хз, при этом невырожденные
det IIJ pq : II Х ==Х] # о
t==1
WxJ
.....-......... .........................
t==O
Индекс пересечения не меняется
при деформации циклов
Рис. 44
172
rЛАВА 4
в локальной системе X координат около Х == Xj. Индекс пересечения равен
алrебраическому числу неподвижных точек:
6. о 6.1 == L sgndet 118 pq : Ilx==x . (4.2.4)
Х; J
Соrласно формуле Лефшеца (1920 e rоды) имеем
6. о 6.1 == L( l)kSpl.IHk(M",Q)'
k O
(4.2.5)
Эта формула получается, если использовать базисы (4.2.3) и базис циклов
z;j @:;:=-? Е НnСЛ,fn х м N , Q).
Если отображение 1 rомотопно нулю, то всеrда 6. 06.1 == 1. Применяя это
к N[n == ВN (складьmая ВN В диск Dn С вn), получим теорему Брауэра о
неподвижной т очке Dn D n (1910 e rоды). , k
Если k+ j n > О, то пересечение есть Bcerдa подмноrообразие VJnW
(с надлежащей ориентацией, если все ориентировано), имеющее размер
ность (j + k n):
Nj+k n == Vj о W k .
(4.2.6)
Это и отвечает нarлядно пересечению циклов в мноrообразиях. Однако
отнюдь не все циклыI элементы rpупп rомолоrий mod 2 или над Z
представляются подмноroобразиями или их линейными комбинациями. Бо
лее Toro, для целочисленныx циклов не всеrда разрешима так назьшаемая
проблема Стинрода:
Какие циклы представляются как непрерывные образы замкнутых
МНО200бразий
1: N k м n , 1.[N k ] == z Е Hk(M n , Z).
Через [1\.f n ] , N k Bcerдa обозначается фундаментальный ЦИКЛ мноrооб
разия мn, N k . для циклов mod 2 проблема Стинрода всеrда разреши
ма (теорема Тома, первая половина 1950 x rодов). ОБСУ'ждение связанной
с этим кpyroM задач теории Тома и её дальнейшеrо развития будет позднее
(см. rn. 4, 93).
Ориентируемость мноrообразия зависит от первоrо класса (цикла)
Штифеля Уитни DW1 Е Hn 1(1\1n, Z2), который получается как цикл нy
лей детерминанта, т. е. множество линейной зависимости касательноrо n pe
перноrо поля т n (х) в общем положении. В rомолоrияx этот цикл получается
как образ rомоморфизма Бокштейна
(3.: нn(м n , Z2) Hn 1(Mn, Z2),
з 2. rомолоrии rЛАДКИХ мноroОБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 173
который на целочисленных цепях определяется формулой (см. rл. 3, KO
нец 94 для коrомолоrий)
(3.(Z) == (az)j2, z == zmod 2,
{3.[м n ] == DW1.
(4.2.7)
Это выражение, очевидно, rомотопически инвариантно. Позднее мы обсу
дим теорему Тома о rомотопической инвариантности всех классов Wi и
явные формулы Ву, вычисляющие их (начало 1950 x п.).
В неориентируемом случае имеется rомоморфизм ориентации
ст: 11"1 (мn) Z2, rдe ст( а) == 1, если параллельный перенос репера вдоль
замкнутоrо пути 'у меняет ориентaцmo, и ст(а) == +1, если ориентация
репера не меняется. Например, в любой неориентируемой поверхности
окрестность несамопересекающеrо пути, меняющеrо ориентацию, является
листом Мёбиуса (см. рис. 14). fомолоrии с коэффициентами в представле
нии ст, rде 11"1 действует на Z умножением на (:1:1), двойственны по Пуанкаре
обычным Z коrомолоrиям (см. rл. 3, g 5). Аналоrично для Q, R, С.
Клеточные rомолоrии и клеточные разбиения мноrообразий возникают
в следующей задаче (Морс, конец 1920 x п.): пусть задана rладкая веще
ственнозначная функция 1 на замкнутом или открытом мноrообразии д1 n ,
обладающая следующими свойствами:
1. «Компактно сты>, т. е. все замкнутые области 1 с компактны для
любоrо уровня с. Поверхности уровня 1 == с также будут компактны.
g==O
О
g==1
@
g>1
z
z
z
Рис. 45
2. Все критические (или стационарные, экстремальные) точки Xj,
rде grad flх; == О, невырождены. Это означает, что квадратичная форма d 2 1
на касательном пространстве R j имеет ненулевой детерминант; в локаль
ных координатах имеем
д 2 1
det =1=- О.
дхз' ax k
Q Q
174
rЛАВА 4
М Н ) ,;
.aj+& ,;'
,
,
\
DA. \--
I
I
/
I
Dп :" "
\
,
'\,
"'
Н)
M 41i +&
/
'\,
/'
Рис. 46
Такие ФУНКЦИИ называются функциями Морса. Например, таковы функ
ции высоты на замкнутых ориентируемых поверхностях, подходяще вло
женных в R 3 (см. рис. 45). Число отрицательных квадратов формы d? f
в точке Х; называется индексом Морса. Если С; == f(Xj) единствен
ная критическая точка на уровне f == С; (всеrда можно подобрать функ
цию Морса с таким условием на все Cj, причем соответствующие крити
ческие точки будут изолированными), то тополоrия мноrообразий lv[ +e
(f С; + е) и M e (f С; е) и их rpаниц N + (f == С; + е) иN :
(f == С; е) связаны следующим образом. Рассмотрим прямое произведе
ние Dn i х D i И часть ero rpаницы Dn i х Si l С a(Dn i х Di) (rде i
индекс точки Xj). Зададим rладкое отображение (диффеоморфизм на за
мкнутую область)
Dn i х si l Nn l
Cj g
( 4.2.8)
на поверхность уровня f == С; е. Torдa тополоrически мы имеем
(рис. 47,48)
M +e == AI e Цр (Dn i х D i ).
(Операция <<приклейки ручки» индекса i вдоль трубчатой OKpeCTHO
сти Dn i х si 1 сферы si 1 на rpанице; склейка происходит по общей
(4.2.9)
92. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРА3ИЯ 175
u2
п 0= (70
ХО
ffo D<J
Ш)
Рис. 47
части rpаниц соrласно отождествлению 'ф.) для поверхностей уровня воз
никает операция «перестройкu Морса»
Nn l N n l
Cj e Cj+e'
Nn l == ( Nn l \ jjn i Х S i l ) U (s n i l D i )
Cj+e Cj e 1/1 х,
G Q f()
(Q) (Q) @
Рис. 48
176
rЛАВА 4
rдe j)j внутренность диска Dj; rpаница произведения дисков имеет вид
8(Dn i х Di) == (Dn i х Si l) U (sn i l Х D i ).
Таким образом, функция Морса обеспечивает разложение на ручки MHO
rообразия }.;fn. На рис. 47 изображены две возможности приклейки ручки
н? к диску Нб, на рис. 48 используется функция Смейла (т. е. морсовская
функция с упорядоченными, соrласно индексу, критическим значениями),
чтобы выполнить перестройку Морса на торе, начиная с Нб и приклеивая
ручку при прохождении через критическую точку.
Теорема Морса состоит в оценке снизу чисел mi (!) критических TO
чек Xj с индексом Морса, равным i:
mi(f) b p), mi(f) b i ,
rде b i число Бетти и b p) числа Бетти (ранrи) в rомолоrиях mod р
(см. rл. 3, 92). Максимальное число можно вычислить таким образом че
рез целочисленные rомолоrии: пусть b i обычные рациональные числа
Бетти b i == rkHi(M n , Z) и Qi(Mn) минимальные число образующих в
периодической части Tor H i (}.;Jn, Z). Из формул связи rомолоrии с разны
ми коэффициентами (rл. 3, 92) следует
mi(f) b i + Qi + Qi l.
(4.2.10)
Это и есть неравенства Морса.
для односвязных мноrообразий размерности n 6 установлена Teope
ма точности этих неравенств (Смейл, начало 1960 x п.). Это означает, что
существует функция 1, для которой неравенства (4.2.10) являются paвeH
ствами.
Используя rладкие функции со свойствами 1 и 2 (выше), можно постро
ить клеточное разбиение мноrообразия, rдe число клеток размерности k
точно совпадает с числом критических точек Xj с индексом Морса, paB
ным k. Удобно представлять себе построение этоrо клеточноrо комплекса
таким образом. С каждой функцией внекоторой римановой метрике gij
на мноrообразии А1 n связано rpадиентное векторное поле и динамическая
система, локально записывающаяся в виде
dx ij 81
dt g 8 j '
Ха
(4.2.11)
rде gij gjq == д .
9 2. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 177
Траектории rpадиента идут «вниз» по уровням функции. Рассмотрим
отображение k MepHoro диска D k с координатами уl, . .., yk, Ilyll==l, в Ma
лую окрестность критической точки Xj с индексом k такое, что:
а) i.pj: Dn мn, i.pj(O) == Xj;
Ь) функция <р; 1 (у) на диске Dk имеет один невырожденный максимум
в центре и не имеет дрyrиx. критических точек;
с) образ rpаницы i.pj(8D k ) лежит на поверхности уровня 1 == Cj Е
для HeKoтoporo малоro Е > О, Cj == f(Xj).
'р
Продолжим отображение i.pj на все пространство R k !vf n так: весь
радиальный луч r 1, попавшийся в точке сферы lIyll == 1, переходит
в интеrpальную траекторию rpадиентной системы (4.2.11), начавшейся в
точке i.pj(Y), lIylJ == 1. Приводя исходные отображения i.pj диска D k в общее
положение (или малым шевелением метрики), можно добиться Toro, чтобы
набор продолженных отображений i.pj
R k }.;1 n
давал клетки клеточноrо разбиения мноrообразия !vf n . Замыкание клет
ки i.pj: Rk МN будет содержать в общем положении только клетки i.pq
размерностей k 1, т. е. продолженное отображение ниrде не столкнется
с критической точкой индекса i k, для которой поверхность наискорей
шеrо спуска функции ( !) размерности n i n k не пересекается с
телом размерности k 1.
Неравенства Морса, разумеется, немедленно следуют из Taкoro кле
точноrо разбиения. Они MOryт быть несколько уточнены. Для числа клеток
имеются неравенства
k k
2:( l)jmj(f) 2) l)jb p).
j O j O
( 4.2.12)
для k == n мы имеем
n
2:) l)1'mj(f) == х(м n ).
j:;O
Если критические точки функции 1 изолированы, но вырождены, то
оценки Морса неприменимы. Существует, однако, следующий rомотопиче
ский инвариант катеzорuя Люстернuка Шн.upельмана (конец 1920 x rr.),
который позволяет оценить снизу число изолированных критических точек,
12 Тополоrия
178
rЛАВА 4
j) tL
)) rCf )) rCf
j)\Jtf dvv
A Cf Clr?
Рис. 49
возможно вырожденных. Для пространства Х катеrорией cat(X) называет
ся минимальное число замкнутых множеств X i таких, что U Xi == Х И эти
i
множества стяrиваемы по Х к точке. Для Х := A-f n верна оценка числа т(!)
всех критических точек
ти) catX.
Величину cat Х можно оценить снизу через кольцо коrомолоrий. КО20JWОЛО
2uческой длиной JWНО200бразuя l (Af n ) называется максимальное число клас
сов коrомолоrий положительной размерности с коэффициентами в KaKOM TO
кольце, произведение которых отлично ОТ нуля.
Верно неравенство cat Af n > l(A-f n ). Всеrда cat Jvfn n + 1. Леrко
видеть что cat ВN == 2 cat Rpn == n + 1, cat ср n == n + 1, cat Af2==3,
, , ??
если Af 2 замкнутая поверхность, 111 i=- B . Применение неравенств
типа Морса и Люстерника Шнирельмана к пространствам кривых' возника
ющим в задачах вариационноrо исчисления, будет обсуждено позднее.
Отметим один важный класс функций f, rде критические точки образу
ют целые подмноrообразия, возникающий неизбежно при наличии rруппы
з 2. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 179
ЛИ симметрий, сохраняющей уровни функции f. Мноrообразие критиче
ских точек W С lvf n , rде gradflw == О, называется невырожденныIM
инде:са i Q , если в нормальной плоскости V: k в любой точке х Е W фор
м:а d f невырождена и имеет ровно i Q отрицательных квадратов (в частном
случае Л. С. Понтряrин в конце 1930 x а. для вычисления чисел Бет
ти шоd 2 rрупп Ли; общая теория и важнейшие применения Ботт, 1950 e
[оды).
Над мноrообразием W возникает векторное расслоение со сло
ям:и R "', отвечающими направлениям наискорейшеrо спуска с отрицатель
ной формой d 2 f. Если все эти расслоения для всех i Q ориентируемы, т. е.
редуцируются к rpуппе SOi a ' то верны неравенства
L bi ia (W ) bi(Jvf n )
(4.2.13)
для paнrOB рациональныIx rомолоrий и над любым полем Zp,
ЛИНИЯ вырожденных
особенностей
Рис. 50
Если расслоения неориентируемы, то неравенства вида (4.2.13) BepНbI
только для р == 2. Смысл этих неравенств можно понять так: каждый цикл
размерности s в мноrообразии критических точек W порождает относи
тельный цикл размерности s + i Q в rруппах HS+io (Jvf c , 1I;JC E), Afc это
замкнутая область f с. fрубо rоворя, из цикла выпускаются все лучи из
пространства R '" наискорейшеrо спуска. Аналитическая или rеометриче
ская информация о существовании функции с теми или иными оrpаничени
ями на критические точки может давать важные тополоrические следствия.
При м ер 1. Пусть lvf n это замкнутое мноrообразие с функцией f,
имеющей только две невырожденные критические точки минимум и MaK
симум. Леrко видеть, что Jvfn rомеоморфно (и даже кусочно линейно
PL) сфере Вn. ПО теореме Смейла Уоллеса (начало 1960-х rr.), на каждом
мноrообразии 1I;Jn rомотопическоrо типа сферы ВN дЛЯ n 5 имеется Ta
кая функция. Идея такой характеризации сферы принадлежит Рибу (начало
12*
180
rЛАВА 4
1950 x а.), а первое rnубокое ее использование Милнору, во второй по
лов ине 1950 x rr. в связи с открытием нетривиалъных rладких структур на
сферах 87, недиффеоморфных, но Р L rомеоморфных 87. Полную теорию
Милнора Кервера мноrообразий rомотопическоrо типа сферы 8 n для n 5
мы обсудим позднее (см. 4).
При м ер 2. Пусть w n + 1 мноrообразие с двумя связными кpa
ями aWn+1 == Vi n U v 2 n , стяrиваемое к любому из своих краев
W n+1 т/,n V; N .,.-, (W n+1 ттп ) О J ' о
rv У1 rv 2' "З ' У1 , 7"
Такое мноrообразие называется h кобордuзмом, а края v 1 n И V 2 n h KO
бордантными. Соrласно теореме Смейла для односвязныx мноrообразий
и n 5 имеется функция, постоянная на краях flvn == С1, f1v n == С2, не
1 2
имеющая ни одной критической точки (и rpадиент на краях не касателен к
ним).
Отсюда следует, что w n +1 == V:r х 1 и V 1 n диффеоморфно V 2 n .
При м е р 3. для поверхностей N[2 из построения точной функции
леrко следует их классификация. Обобщение этоrо на основе теоремы
Смейла позволяет, в принципе, классифицировать отдельные классы Ok
НО связных мноrообразий например, такие, у которых имеются ненулевые
rомолоrии только в средней размерности [nj2]. Однако метод классифи
кации произвольных односвязных мноrообразий размерности n 5, най
денный с.П.Новиковым (начало 1960 x а.), лежит не на этом пути, хотя
и использует теорему об h кобордизме (см. 4 этой rnавы). Для связных
замкнутых трехмерных мноrообразий JИ З можно построить функцию f,
имеющую один максимум, один минимум, несколько критических точек
индекса 1 на одном уровне f == С1 И несколько критических точек индек
са 2 на одном уровне f == С2 (можно показать, что количество критических
точек индекса 1 совпадает с количеством критических точек индекса 2;
обозначим это число за g). Разрежем мноrообразие NI 3 по серединной по
верхности уровня f == с, rде С1 < С < С2. Леrко видеть, что в ориентируемом
случае область с rpаницей }.;[с, rдe f :::; С, представляет собой мноrообра
зие MJ область в R 3, заполняющую сферу с ручками M == aN[ с, 9 это
число критических точек индекса 1. Область, дополнительная ( 1) :::; ( C4'
также есть область в R 3, заполняющая стандартную сферу с 9 ручками N[ У'
ВСЯ сложность структуры TpexMepHoro мноroобразия J.;[З, таким образом,
сводится к склейке вдоль rpаницы, произведенной вдоль диффеоморфиз
ма h; Mi ........, M .
Хотя классификация rомотопических и тополоrических классов диф
феоморфизмов N[2 11;[2 бьта найдена Нильсеном в 1930 x rодах, это
не дает классифи:ации тРехмерных мноrообразий, так как связь диффео-
морфизма h с тополоrией мноrообразия }.;[З отнюдь не однозначна. для
92. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 181
рода 9 == 1 получается только 83, 82 Х 81 И некоторые из линзовых MHO
rообразий. Такое представление мноrообразий N[З называется разбиение./и
Хе20ра рода g.
При м ер 4. Если на комплексном мноrообразии J.l1 n комплекс
ноЙ размерности n задана rоломорфная функция g(z) общеrо положе
НИЯ, то для ее вещественной части f == Re g(z) все критические точ
ки Х j имеют индекс Морса, равный n. Например, если из проективноrо
алreбраическоrо мноrообразия МN С cpN выбросить rиперплоское ce
чение CpN 1 n МN == wn 1, то В оставшейся аффинной части имеется
MHoro rоломорфных всюду функций на N[n \ wn 1 общеrо положения. для
них вещественные части Re g( z) имеют критические точки лишь индекса n.
Отсюда вьпекает вьтод: всякое отображение любоrо комплекса К МN
размерности т :::; n 1 стяrивается на rиперплоское сечение. для rомолоrий
это означает, в частности, что rомоморфизм вложения
Hj(Wn 1) Hj(M n )
является изоморфизмом для j < n 1 и эпиморфизмом для j == n 1. Teo
рия r,?молоrий проективных aлrебраических мноrообразий, теория пересе
чении циклов, теория aлrебраических циклов, особая роль rиперплоскоrо
сечения все это развивалось впервые Лефшецем в 1920 x rодах, но мы
не будем на этом останавливаться (желающий может ознакомиться с этим
в книrах по комплексной алrебраической rеометрии).
Интересно отметить специфические особенности мероморфных отоб
М N f ср 1 8 2 ( Ф
раже нии 2 == т. е. ункции с полюсами). Критические точки,
rде grad flXj == о и d flxj невырожденная форма, имеют красивую топо
лоrическую структуру. Если f(Xj) == С, то на неособом слое Ре (f == с +
+ 6, 161 мало) имеется исчезающий цикл Zo Е Hn 1(Pe)' При 6 О этот
цикл вырождается, Zo О. в результате обноса слоя Ре по контуру 161
== const возникает монодромия преобразование слоя в себя:
Ре Ре, Н.(Ре) Н.(Ре).
для невырожденных критических точек преобразование монодромии в ro
молоrиях имеет вид
A j : Hj(Fe) Hj(Fe),
rдe Aj == 1 для j i= n 1,
An l(Z) == z:f: (zo' z)zo; z, Zo Е Hn l(Pe)'
(4.2.14)
Напомним, что слой Ре это комплексное мноrообразие комплексной раз
мерности n 1.
182
rЛАВА 4
Изучение преобразований монодромии для сложных вырожденнщ
критических точек aлrебраических функций было предметом rлубокоrо
исследования в течение длительноrо периода, включая последнее десяти
летие, в aлrебраической rеометрии (Делинъ и др.). В наиболее интерес
ных для aлrебраической rеометрии простейших случаях такие «рассло
ения с особенностями» возникают как результат сечения подмноrообра
зия A;Jn С cpN каким то однопараметрическим семейством rиперплос
костей. Поэтому слои F все оказываются rиперплоскими сечениями. [o
молоrическая структура расслоения с особыми слоями над критически
ми значениями С] == 9(Хз) описьmается пучком Лере над сферой 82 ==
== ср1, rдe РU == H*(9 1(U)). Заметим, что область р 1(u) для малыIx
дисков и стяrивается к одному слою. В невырожденном случае никаких
rомолоrических инвариантов, кроме rомолоrий общеro слоя, набора кри
тических точек и их исчезающих циклов Zj Е Hn 1 (Р) в rомолоrиях o
щеrо слоя, мероморфная функция не имеет. Эта ситуация, по существу,
изучена еще Пикаром и Лефшецом (теория Пикара Лефшеца, в OCHOB
ном, завершенная в 1920 e roды; СТрOI'ие доказательства получены, однако,
позднее).
Совершенно дpyroe, тензорное построение теории коrомолоrий над по
лем вещественных (или комплексных) чисел было осуществлено в 1920 x
начале 1930 x rодов Э. Картаном который использовал кососимметриче
ские тензорные поля (с нижними индексами) на мноrообразиях диф
ференциальные формы и оператор d, уже обсуждавшийсявыше. Oт
дельные важные тиnыI 1 форм и 2 форм, их rлубокие тополоrические и
алrебро rеометрические свойства и важные применения были изучены и
осуществлены еще Пуанкаре в связи с задачами теории автоморфных функ
ций (и форм), некоторыми свойствами rамильтоновых систем; однако пол
пая систематизацИя теории бьmа дана, как уже сказано, Картаном. . KOM
плекс Л * (JI.;I n ) состоит из rладких всюду определенных дифференциальных
форм, локально записываемых в виде
rl k == L Tjj.. .jk dx;; 1\
з! < . . , <jk
1\ dx j k
... а
в области V a С J.il n , rl k Е Л k (мn) и действия оператора d:
дТ з . ! J 'k" .
drl k == L....- . . dx 1\ dx j 1\ .. . 1\ d k,
дх?:х
dx 1\ dx == dx 1\ dx ,
(4.2.15)
о л о А 1 .:!... ... .:!... лп(JvJ n ) О.
(4.2.16)
92. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 183
Последовательность (4.2.16) по рождает точную последовательность пучков.
Как обычно, коrомолоrии определяются равенством
H (1vfn, R) == Kerd/Imd, lmd с Kerd с Ak(M n )
и образуют rpадуированное кольцо Н* == I: H (1tin, R) относительно
k O
впешнеrо умножения. для малых стяrиваемых областей эти коrомолоrии
нули (лемма Пуанкаре), k > О.
для компактных односвязных rpупп Ли G и специальных однородных
npостранств так называемых симметрических (односвязных,, rдe TeH
зор римановой кривизны имеет тождественно нулевые ковариантные про
изводные (ковариантно постоянная кривизна), кольца Н-Л(!vl n , R) леrко
вычисляются. Каждый класс Z Е H (JI.;Jn, R) имеет единственным пред
ставителем двусторонне инвариантную k форму (и обратно) на М N == G
или С' инвариантную k форму на МN == С' / a , если Nln симметриче
ское пространство. Требуется, чтобы в aлrебре ли 9' rpуппы С' была задана
структура Z2 rpадуированной aлrебры
9' == % + 9 ,
(4.2.17)
rдe
[9Ь, 9Ь] с 9Ь, [9Ь, Й] с 9 , [9 , 9 ] с 9Ь.
для rpупп Ли G == МN их rpуппа движений есть С' == G х а, действие
задается формулой (gl, 92): 9;-.---+ 9199'21, lYln == G == С'/а,
9' == 9Ь + 9 , 9 == {(х, x)}, 9Ь == {(х, х)}. (4.2.18)
Для любых однородныIx пространСТв компактных rpупп Ли G вычисление
коroмолоrии сводится к КQнечномерному комплексу Ainv(Nln), состоящему
из G инвариантных форм, хотя оператор d на A inv уже может быть ненуле
вым. Позднее де Рам (середина 1930 x п.) доказал совпадение этих rOMO
лоrий с обычными, симплициальными. Современное доказательство этой
теоремы, исходящее из теории пучков, идет по такой схеме. Рассмотрим
следующие пучки:
A k пучок ростков
Zk пучок ростков замкнутых
k форм (класса СОС),
k форм.
Имеет место точная последовательность пучков
о zk A k .:!... Zk+1 О
,
( 4.2.19)
184
rЛАВА 4
rдe i вложение. Заметим, что пучок ZO есть постоянный пучок (KOHCTaH
ТbI). Как указано в rл. 3, 4, имеется точная последовательность rомолоrий,
порожденная (4.2.19):
Hj(Zk) Hj(A k )
Hj(Zk+l) HJ+l(Zk) -----+ HJ+l(A k ) -----+
(4.2.20)
Так как на СОО сечения пучка A k (k О) нет никаких аналитических orpa
ничений, леrко устанавливается лемма
Hj(A k ) == О, j > О.
Далее, HO(Ak) == Ak(N[n) это, по определению, все СОО формы, rло
бально определенные на всем ]I.;[n. Из точной последовательности (4.2.19)
имеем следствие, учитывая обращение в нуль коrомолоrий пучка [lk: rOMo
морфизм д*
Hj(Zk+l) HJ+l(Zk)
для j > О является изоморфизмом. Поэтому мы получаем серию изомор
физмов д*
Hl(zk) H2(Zk 1) ... H1+k(ZO),
rде, по определению,
Hk+l(ZO) == Hk+l(M n , R)
есть обычные коrомолоrии, так как ZO постоянный пучок. Далее, имеем
точную последовательность
HO(Ak) HO(Zk+l) Hl(Zk) -----+ О,
rде нО(А k) это все СОО формы paнra k, d* == d, а HO(zk+l) это
все СОО формы (rnобальные). Отсюда вытекает
Hk+l(]I.;[n, R) == Hl(zk) == Kerd/Im d == H +l(Mn),
Ker d сА k(M n )
(теорема де Рама). Лемма Пуанкаре используется при установлении локаль
ной точности точной последовательности пучков (4.2.19).
92. rомолоrии rлАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 185
Можно взrлянуть на инвариантность коrомолоrий h-л(мn) и с дpy
rой rомотопической точки зрения. Леrко устанавливается, что эти KoroMo
лоrии rомотопически инвариантны при rладких rомотопиях мноrообразий
Р: N[f х 1 -----+ ]1.;[;", а t Ь.
Действительно, положим
ь
Dw == J F*w Е Ak l(Mf);
а
w Е Ak(Jy[;").
Заметим, что Р* w локалъно имеет вид формы на Jo.,fj" х 1,
F *,.. ФО ' . dX il 1\ 1\ dX ik l 1\ dt + Ф , , dx jl 1\
"" l... k 1 .... Jl...Jk
1\ dx jk .
При взятии оператора D второе слarаемое, не содержащее дифференциа
ла dt, полаrается равным нулю. Леrко проверяется равенство операторов
на k формах:
Dd::1:. dD == fЬ f;, (4.2.21)
rдe fa и fb это отображение Р(х, а) и Р(х, Ь). Из тождества (4.2.21) так
же, как и в rл. 3, 2, извлекается, что для любоrо коцикла z, dz==O, раз
ность f;(z) f;(z) == dD(z) есть коrpаница. Поэтому rомоморфизмы f;
и fЬ тождественно совпадают в коrомолоrиях Н-Л (lv[n ). Не представляет
труда всю катеrорию комплексов с rомотопической точки зрения заменить
катеrорией rладких мноrообразий и отображений, поскольку любой KOM
плекс К имеет стяrиваемую к нему окрестность в R N , а все отображения
аппроксимируются rладкими, или roмотопными с помощью малой rOMOTO
ПИИ. ИЗ этоrо рассуждения ясно, что из rомотопической инвариантности
коrомолоrий Н-Л их совпадение с обычными, в сущности, леrко видно из
выполнения для них «аксиом теории коrомолоrий», сформулированных для
комплексов в rл. 3, 3. Это не представляет труда проверить, однако вряд ли
целесообразно абсолютно cтporo доводить до конца, так как после полной
формализации такое доказательство не будет короче друrих.
Естественный оператор на формах это порожденный метрикой опе
ратор дуальности, локально имеющий вид в данной метрике gi j :
* ( * Т) d il 1\ 1\ d in k
W il. . . in k Х . . . х ,
( *Т ) , ,
l.. .1,1,, k
(4.2.22)
== Jdet g ' . g ' '. . g ' , 'E j1 " .jn kjn k+l" .j"T' '
1.) 1.1J1 ... 'LTI. kJn k Jn k+l . . . Jn'
w == Tjl. . ,jkdxj] 1\ .. . 1\ dx jk .
186
rЛАВА 4
Оператор * корректно определен на ориентированных мноrообразиях lvf n ,
rде величина 1 n
da == Jdet9ij dX a л .., л dXa (4.2.23)
представляет корректно определенную n форму. Он обладает свойствами:
1) (*)2 == ( 1)p(n p) (нар формах);
2) оператор б == * 1d* формально сопряжен к d относительно скаляр
Horo произведения
(w, w') == J w л *w',
М"
(4.2.24)
I.(dы, w') == (w, 5w');
3) оператор Лапласа .6. == d5 + бd == (d + 5)2 коммутирует как с d, так
и с 5, и при этом само сопряжен.
На компактных замкнутых мноrообразиях имеется ортоrональное «раз
ложенuе Ходжа» rильбеprовых пространств
лk(м n ) == 1т d ЕВ 1т б ЕВ Ker .6.,
rдe Ker .6. это zар-монuческuе фор-мы. При этом
Ker d == 1т d ЕВ Ker .6.,
Ker б == 1т 5 ЕВ Ker.6., Ker.6. == Ker d n Ker 5.
Таким образом, paнr пространства rармонических форм в Лi(lvl n ) совпада
ет с числом Бетти b i (lvln ). Двойственность Пуанкаре в rомолоrиях дается
оператором * на rармонических формах. Оператор .6. можно бьто ввести
и для 1;ИМПЛИЦИальных (клеточных) комплексов, rде операторы d 8*
и 5 -----t 8 формально:"сопряжены по оiIpеделению, а СI<алярное произведе
ние цепей вводится так, что симплексы (клетки) это ортонормированный
базис, .6. ------+ 88* + 8*8. для любоrо конечноrо комплекса К будут верны
формулы (4.2.25), (4.2.26) разложения Ходжа.
Для неодносвязных комплексов К с унитарным представлени
ем р: 7r1 (К) -----t U n (см. rл. 3, 95) возникает комплекс С*(К, р) со cтpyктy
рой Z[7r1] МОДУЛЯ. Если ero rомолоrии (положительной размерности) равны
нулю, то, как указал Зинreр (конец 1960 x rr.), для кручения Рейдемейстера
верна формула
(4.2.25)
(4.2.26)
210g IR(K, p)j == L q( l)q log det .6.lс ч (к. р)' (4.2.27)
q
Обобщение этой формулы на комплекс дифференциальных форм с надле
жащим определением реryляризованноrо детерминанта или относительно
ro детерминанта двух разных представлений позволил Рею----Зинrеру (начало
з2. rомолоrии rЛАДКИХ мноroОБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 187
1970 x rодов) построить аналитическую трактовку кручения Рейдемейстера
и доказать, что полученная величина не зависит от метрики. Теорема COB
падения этой величины с комбинаторным кручением Рейдемейстера cтporo
доказана в общем виде позднее (Мюллер, Чиrер, конец 1970 x rr.).
Интересно, что А. С. Шварц указал любопытную квантово полевую
трактовку кручения Рея Зuнzера на языке Функциональноrо интеrpала от
npocтoro калибровочно инвариантноrо выражения из дифференциальных
форм; кручение появляется в процессе построения теории, соrласно CTaH
дартной конструкции, фиктивно нарушающей калибровочную инвариант
ность! .
Большое значение дифференциальные формы имеют при построении
теории rомолоrий комплексных келеровых мноrообразий МN комплексной
размерности n с келеровой метрикой 9kj в локальных комплексных KOOp
динатах Z , ..., Z:;: в области V a , rде
2 k j i k j
ds == 9k j dz a dz a , n == 29kjdza л dz a ,
dn == О.
Пространства (и пучки) k форм л k разлarаются естественно в прямую CYM
му форм типа (р, q)
лk(lvl n ) == L лр,q, (4.2.28)
p+q==k
rде форма типа (р, q) имеет вид (локально)
""' i i jl
1il... i p jl. ..jq dZ a. 1 л . .. л dzc: л dZ a л
j
л dzo:Q.
(4.2.29)
Возникают операторы комплексноrо дифференЦИРоваIOUJ: и.щrrидифферен
цирования
81 81
d == d e + d e , d e 1 == 8z dz, d e 1 == 8z d:Z (4.2.30)
(и их продолжение на всех формах). В метрике имеются также формаль
но сопряженные операторы д == * 1d* и де == * lde* б е == * lde* И COOT
ветствующие операторы Лапласа
.6. е == Ded e + de5e, .6. е == .6. е ,
.6. == d5 + Dd.
(4.2.31)
I Упомянyrая выше работа Шварца была завершена около 1980 r: и в то время хорошо
известна некоторым математическим физикам (специалистам по квантовой теории поля). Ha
чиная с конца 1980 x, эти идеи развивали Виттен и др. Эта теория, сейчас известная как
тополоrическая квантовая теория поля, стала крайне aIcrивной областью современной тополо
rии.
188
rЛАВА 4
Соrласно лемме Ходжа вещественный и комплексный операторы Лапласа
совпадают с точностью до постоянноrо множителя, если метрика келерова
(rл. 4, 91 (4.1.37»
.6. == const.6. c .
Поэтому пространство rармонических форм и rpуппы коroмолоrий для KOM
пактных замкнутых мноrообразий разлarаются в сумму форм типа (р, q),
так как оператор .6. с очевидно коммутирует с этим разложением:
Hk(1l,;fn, С) == 2: HP,q(M n , С).
pf-q==k
Конечно, это разложение зависит от метрики. Форма N, npедставляющая
метрику, имеет тип (1, 1)
(4.2.32)
[n] Е H1,1(J\lI n , С),
(4.2.33)
[nn]i о, так как f nn совпадает с объемом мноrообразия, если J\lI n
мn
компактно. Оператор умножения любой формы на форму n обозначается
буквой L:
L(VJ) == n л VJ.
Сопряженный оператор обозначается буквой А. Примитивные формы VJ
таковы, что AVJ == О. Все формы разлarаются через базис примитивных,
к которым применены операторы функции от А, L. Отметим теорему
Дольбо
HP,Q(M n , С) == нр(м n , n Q ),
rде n Q пучок ростков rоломорфных q форм. Если форма n npедставля
ет целочисленный класс коrомолоrий, то, соrласно теореме Кодаиры, MHO
rообразие l'vI n допускает aлr рЩl'JеСК9 вложение в cpN, rдe форма n
представляет класс коrомолоrий, двойственный к rиперплоскому сечению,
о котором rоворилось выше, вместе с ero особой ролью в теории rомолоrий
алrебраических мноrообразий. Мноrообразия с какой то (не обязательно xo
джевой) келеровой метрикой допускают aлrебраическое вложение в cpN,
если поле их мероморфных функций имеет степень трансцендентности (т. е.
число независимых функций), равную их размерности (Мойше зон, середи
на 1960 x rr.).
Полезно заметить, что aлrебfаические циклы, т. е. подмноrообразия,
возможно, с особенностями Nn с МN в проективных алrеб аических
мноrообразиях М N дают классы rомолоrий, двойственные к Hk, .
D[Nn k] Е Hk,k(Mn, С) n H 2k (M n , Z).
Соrласно уточненной rипотезе Ходжа все элементы rpynnыI
Hk,k n H 2k (M n , Z)
'\';1 "
з2. fомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 189
реализуются линейными комбинациями aлreбраических мноrообразий с pa
ционалъными коэффициентами. для k == 1 эта задача еще ранее была реше
на Лефшецем в более сильной форме: любой класс из этоro пересечения MO
жет быть реализован как фундаментальный цикл aлrебраическоrо подмно
rообразия Nn lnMn (<<дивизор»). При k > 1 теория Тома (ниже) показыва
ет, что имеются препятствия даже к реализации цикла z Е H2(n k) (lvJn, Z)
в виде HenpepbIBHoro образа неособоro комплексноrо (и даже квазиком
плексноrо) мноrообразия N(n k) -----7 lvln. Соrласно теореме Хиронаки о
разрешении особенностей каждое мноrообразие с особенностями есть pe
зулътат стяrиваний из неособоrо, т. е. ero образ (середина 1960 x rr.).
Мы не будем обсуждать в этой статье ориrинальноrо цикла идей, иду
щих от fротендика (конец 1950 x rr.), посвященных построению теории
rомолоrий проективных aлrебраических мноrообразий над полями xapaк
теристики р > о (aлrебраически замкнутыми). эти идеи основаны на кpa
сивом использовании всей катеrории конечнолистных неразветвленных Ha
крытий над областями, открытыми в тополоrии Зарисскоro, rде замкнуты
лишь aлrебраические подмноroобразия (так называемая эталь топОЛО2UЯ
Тротендика). Аналоrи формул Лефшеца о неподвижных точках в теории
[ротендика, примененные к rpynпе fалуа aлrебраическоrо замыкания над
конечным полем, дают по проrpамме А. Вейля Тейта rомолоrический BЫ
вод как теоретико числовой асимптотики числа решений задачи о диофанто
Bых сравнениях modp, так и рациональности возникающеrо здесь (сильно
упрощенноrо) аналоrа ( функции Римана. Важно, что для мноroобразий,
задаваемых уравнениями с целыIии коэффициентами, эти rомолоrии дают
тот же результат, что и обычные rомолоrии комплексной реализации, [де те
же уравнения задают комплексное мноrообразие. Здесь ситуация сложнее
только для ,rомолоrий (mod р), rдe р > о характеристика интересующеrо
нас поля.
Вернемся к теории обычных rладких мноrообразий. Одним из важных
приложений теории rомолоrий и rомотопий является исследование rлобаль
ных свойств экстремалей функционалов на кривых с одним из двух rpанич
ных условий:
1)
tl
S{ "(} == J L(x, х) dt, "( == x(t), x(to) == ХО, x(t 1 ) == Xl (4.2.34)
to
(задача с закрепленными концами);
2)
S{"(} == f L(x, х) dt,
"f
"((t+T) =="((t)
(4.2.35)
(периодическая задача).
190
rЛАВА 4
Величина L, называемая обычно лаzранжuаном вариационной задачи,
является действительнозначной rладкой функцией L(x,v) на простраНСТВе
касательноrо расслоения (х, и) Е T(1vl n ). Требуется Bcerдa, чтобы было
выполнено условие положительности
д 2 L " r/ТJ j > О, fj == (ТJ 1 , ." , ТJ n ) i= О.
ди'ди З
(4.2.36)
Типичные примеры, возникающие из rеометрии и классической механики
незаряженных частиц, это:
а) L == 9ijVivj == llvll2 (движение свободной частицы по риманову
мноrообразию; ero экстремали это параметризованные zеодезические, rде
параметр натуральный);
Ь) L == 9ijVivj U( х) (движ ение в потенциальном поле сил);
с) L(x,v) == Ilvll == J 9ijV i V j (длина);
d) более общие функционалы типа финслеровой длины имеют лarран
жианы со свойством
L(x, лv) == лL(х, и), л > О.
(4.2.37)
Финслерова длина возникает для подмноrообразий банахова пространства
с индуцированной метрикой. для финслеровой длины требуется свойство
положительности
" "
["(,)"= JL( , )dt >0.
-у
(4.2.38)
Если L(x, и) == L(x, и), то вариационная задача называется обратимой.
Например, длина в обычной римановой метрике, очевидно, обратима. Заме
тим, что, в силу так называемоrо принциnа Мопертюи (Ферма Мопертюи
Якоби), траектории экстремалей функционалов, возникающих в принципе
Лarpанжа (пример Ь) выше), MorYT трактоваться как экстремали (rеодезиче
ские) новой метрики, если энерrия частицы известна, Е == lIvll2 + U(х);
g == 2(Е U)9ij (X),
[Е(,) == J V 2 (E U)9ijхЧ;j dr,
-у
.' dx j
Х З == .
dr
(4.2.39)
2. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 191
При Е > шах И (х) это полная риманова метрика. Экстремали прин
xEIVf n
ципа Ферма наименьшеrо времени, по существу, совпадают с rеодезически
ми функционала длины в новой метрике
9ij == c 1(x)5ij В R З ,
rдe с(х) rладкая скалярная функция; этот принцип был предложен, как
известно, Ферма для определения траекторий лучей света в изотропных
средах с переменными параметрами с целью объяснить преломление света,
связав ero с изменением неизвестной Torдa скорости света при переходе в
дрyryю среду.
Мы рассматриваем функционалы на пространствах n(xo, Х1) кусочно
r.ладких кривых, соединяющих точки ХО, Х1 Е 1vl n , или на простран
ствах n+(1vl n ) rладких (кусочно rладких), направленных параметризован
ных петель отображений окружности 81 L мn, f( <.р + 21!') == f( <.р).
Мноrообразие 1vl n мы считаем компактным и замкнутыI.. При выполне
НИИ свойства положительности (4.2.38) функционалыI примеров a}--d) (BЫ
те) все удовлетворяют требованию компактности, в силу так называемоrо
npинципа Арцела: совокупности кривых 8{,} с относительно компактны
(в компактно открытой тополоrии n(xo, Х1) или n+).
Кроме TOro, у всех функционалов с условием (4.2.36) индекс Морса
любой экстремали как в задаче с закрепленными концами, так и в перио
дической задаче конечен: i(,) < 00. учитывя принцип Ферма Мопертюи
Якоби, мы из приведенных выше примеров обсудили только Функционал
длины в римановой или финслеровой полной метрике на компактном за
мкнутом мноrообразии 1vl n . Пространства кривых n(xQ, Х1) и n+(1vl n )
представляют по сути дела бесконечномерные мноrообразия. Используя
условие (4.2.36), для функционалов 8{,} на n(xo, хl) (ИЛи n+) можно
npименить теорию Морса. Функционал 8 { ,} при указанных условиях име
ет корректно определенный аналоr rpадиента (4.2.11) «вариационную
производную» по отношению к путям, критическими путями будут в точ
ности rладкие rеодезические, параметризованные шrryральным праметром.
Траектории спуска по rpадиенту дают возможность cтporo доказать, что
эти пространства rомотопически эквивалентны клеточным комплексам (все
строrие обоснования можно получить исходя из конечномерной аппрок
симации кусочно rеодезическими полиrонами). Соrласно теореме Морса
(1920 e rоды) индекс Морса или число отрицательных квадратов второй Ba
риации 528 функционала 8 есть в точности число точек с учетом кратности
на экстремали, сопряженных с точкой хо (исключая хl). Сопряженная пара
точек это пара нулей какоrо либо решения линейноrо уравнения Якоби
вдоль экстремали ,. Уравнение Якоби это уравнение Эйлера Лаrранжа
для функционала второй вариации 828. Этот результат относится только
192
rЛАВА 4
к задаче с закрепленными концами. В периодической задаче число сопря
женных точек оценивает индекс снизу. В общем невырожденном случае,
поскольку учитыветсяя ПРИНЦИП Арцела, верны неравенства Морса (как из
вестно, существование одной rеодезической, соединяющей точки ХО и Xl,
это теорема fильберта)
mi(S) ? bi(n(xo, Xl)),
mi(S) ? bi(n+),
(4.2.40)
rдe mi число экстремалей индекса i. Однако эти неравенства дают мнo
ro действительно различных экстремалей только в задаче с закрепленными
концами. В периодической задаче возможна ситуация, что все различные
экстремали, даваемые неравенством (4.2.40), являются кратными одной и
той же экстремали. Если J..;Jn == SN И вариационная задача обратима, то из-
вестно для п ? 3, что в общем случае имеется не менее двух rеометрически
различных экстремалей (Фет, середина 1960 x а.). для замкнутых мноrооб--
разий lvl n , таких что числа Бетти bi(n(xo, Xl)) растут при i 00 линейно
(или быстрее), также доказано существование бесконечноrо числа пери-
одических rеометрически различных экстремалей (fромолл Майер, конец
1960 x rодов). Для двумерной сферы S2 в ситуации классической проблемы
Пуанкаре о трех несамопересекающихся rеодезических Люстерник и Шни
рельман обосновали применимость cBoero неравенства для общеrо числа
критических точек m(S) ? cat(XjJ..;Jn) к пространству Х несамопересека
ющихся кривых (точнее, ero пополненmo) по модулю Jvl n с Х одното-
чечных кривых lvl n == s2. Невырожденность критических точек здесь не
важна. Установив rомотопическую эквивалентность Х j Jvl n rv Rp2, перей
дя к прост с:rву ненаправленных кривых, для обратимых функционалов
получаем Bcerдa верное неравенство Люстерника Шнирельмана, незави.,
симо от невырожденности:
m(S) ? 3.
Это и дает решение проблемы Пуанкаре 2 (конец 1920 x начало
1930 x а.). Как уже отмечено, теория Люстерника Шнирельмана приме-
пима только к обратимым вариационным задачам. Важная rлава вариаци-
oHHoro исчисления в целом посвящена исследованию функционала длины и
rеодезических метрик типа Картана Киллинrа на rруппах Ли и симметриче-
ских пространствах (Ботт, вторая половина 1950 x а.). На rpуппе G == SU2n,
например, снабженной инвариантной метрикой, определяемой формой Кил
T
линrа (Х, У) == Re Sp(X У ) на алrебре Ли, если выбрать начальные точ
ки ХО == 1, Xl == 1, то минимальные rеодезические образуют целое MHoro-
2Полное и cтporoe изложение теории Люстерника Шнирельмана недавно опубликовано;
см. обзор И.А. Тайманова в Успехах матем. наук (1992, Т. 47,2, стр. 14З 185).
з2. rомолоrии rлАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 193
образие Gfn, n == U 2n jU n Х U n , причем они имеют индекс О, в то время как
ИНдекс дрyrих неминимальных rеодезических достаточно велик, i ? 2n + 2.
учитывая это обстоятельство, получаем, что вложение Gfn,n с n(l, 1)
ИНдУцирует изоморфизм rомотопических rpупп до размерности 2п вклю
чительно. Соrласно rл. 3, 96 имеется изоморфизм, порожденный точной
последовательностью roмотопических rpупп rлавноrо расслоения:
7rj(G n,n) == 7rj l(Un), 1 j 2n 2.
Сопоставляя эти факты, получаем периодичность Ботта для стабильных
rомотопических rpупп унитарной rpуппы
7rj(U n ) 7rj 2(Un), 2 j < 2n 1, j 2 ? О.
(4.2.41)
для ортоrональных и симплектических rpупп вычисления несколько более
длительны. В результате получается 8 периодичность:
7rj(SOn) == 7rj 8(SOn), 8 j :::;; n 2.
Таблица стабильных rомотопических rpупп такова.
(4.2.42)
Таблица 1
о 1 2 3 4 5 6 7 8 .. .
7r(On) Z2 Z2 О Z о о о Z Z2 .. .
7r(U n ) О Z о Z о Z о Z о .. .
Далее, имеем связь с rpуппой SPn:
7rj(On) == 7rj 4(Spn),
7rj(Spn) == 7rj 4(On),
j:::;; n 2,
j:::;; n 2.
(4.2.43)
По существу, оператор периодичности Ботта действует для любоrо ком-
плекса (здесь Е надстройка, [Х, У] множество rомотопических классов
отображений Х У):
[Е 8 К, оп] == [К, оп],
[Е 2 к, U n ] == [К, U n ],
diш К < п 10,
diш К < 2п 4.
(4.2.44)
Часто номер n явно не пишут, а подразумевают, что он достаточно велик.
Пусть О == liш ОП, И == liш U n , Sp == liш SPn. Torдa мы имеем
n..........оо n..........оо n..........оо
n 4 0 == Sp, n 4 sp == О, n 2 u == И,
13 Тополоrия
194
rЛАВА 4
rде О(Х, хо) пространство петель на Х, начинающихся и кончающихся
в одной и той же точке хо Е Х, которая здесь не написана, но подразуме
вается.
Не ВХОДЯ в детали, напомним, что из периодичности Ботта, как указал
ряд авторов, леrко следует друrой, не зависящий от результатов Адамса,
первоначально используемых для этой цели, вывод непараллелизуемости
сфер 8 n при n -1= 1, 3, 7. Таким образом, кас:пельное расслоение 7(8 n )
нетривиально при n -1= 1, 3, 7 и для нечетных n представляет (из клас
сификации 80 n расслоений см. rл. 3, 96) элемент второrо порядка в
rpуппе 1!"n 1(80n), n == 2k + 1, которая и совпадает с Z2. ДЛЯ унитарной
rруппы И n первая нестабильная rрynпа имеет вид
1!"2n(И n ) == Zn!'
Результат Адамса о несуществовании элементов rpупn 1!"2n 1 (8 n ) с инвари
антом Хопфа 1 при n > 8 не извлекается из этих соображений (ср. rл. 3, 96).
Как уже rоворилось, rpуппа Ли обладает умножением, т. е. отображе
нием
ф(х, у): G х G -----7 С,
rде
ф(х, 1) == х, ф(l, у) == у, 1 Е G (4.2.45)
(а также имеется ряд дрyrиx свойств, которые мы не выписываем). Поня
тие H пpocтpaHcтвa требует только существования умножения с rOMoTo
пической единицей. Точно это означает, что задано непрерывное умножение
на пространстве Х
ф:ХХХ-----7Х
и выделен элемент 1 Е Х такой, что оба отображения ф(х., 1): х.......Х
иф(1, х): Х -----7 Х (связтю в точке l)"были rоМотоПНЫ тождественному
отображению 1х(х) == х.
Иноrда Н пространство может быть и более похоже на rpуппу оно
может, например, быть rомотопически ассоциативным и т. д. Таковы про
странства петель О(Х, хо).
Важнейшие примеры Н пространств это пространства петель ви
да и О(Х, хо) и rруппы Ли. Например, соrласно периодичности Ботта,
пространство ВИ == lim ВИ n имеет rомотоnический тип пространства
n OO
петель ЩИ, 1) '" ВИ. Эти Н пространства О, И, 8р, ВИ, ВО, В8р rOMO
топически ассоциативны и rомотопически коммутативны, хотя при конеч
ных n для rрупп ОП, и n , 8Рп это не так.
Рассмотрим коrомолоrии Н пространства Х с коэффициентами в Ka
ком либо поле k. По определению, имеется rомоморфизм колец
ф*: Н*(Х, k) -----7 Н*(Х, k) 0 Н*(Х, k),
(4.2.46)
"
9 2. rомолоrии rлАДКИХ мноroОБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 195
rде
Нт(Х Х Х, k) == L Hj(X, k) 0 HQ(X, k).
j+Q m
ИЗ существования rомотопической единицы следует
ф* (z) == 1 0 z + z 0 1 + L zj 0 zj,
j
(4.2.47)
rдe размерность z, zj, z'f больше нуля. fоворят, что Н*(Х, k) aлrебра
Хопфа, если задан rомоморфизм (4.2.46), (4.2.47). Требование (4.2.47) OKa
зывается нетривиальным оrpаничением на кольцевую структуру Н*(Х, k).
Соrласно теореме, приписываемой Хопфу, для поля k характеристики О
(т. е. Q, R, С) aлrебра коrомолоrий Н пространства оказывается aвтoMa
тически свободной косокоммутативной, т. е. не имеет никаких соотноше
пий, кроме косокоммутативности zw == ( l)abwz, rдe а, Ь размерности z
и w. Таким образом, aлrебра Н*(Х, k) имеет кaKoe TO количество внеш
них образующи: eja Е н2Нl(Х, k) и полиномиальных Иj{3 Е H 2 j(X, k)
без соотношении. Так как иj{3 -1= О для всех n, то для конечномерных Н
npостранств (например, rpупп Ли) алrебра Н*(Х, k) внешняя.
для поля характеристики р > о внекотором мультипликативном ба
зисе возможны лишь р адические соотношения вида ир" == О. Тем не
менее в ряде случаев можно доказать, что, хотя ир" == О, в двойствен
ной aлrебре имеется ненулевой элемент этой размерности. Здесь двой
ственная (по Понтряrину) алrебра к aлrебре Хопфа получена введени
ем на прямой сумме Н*(Х; k) умножения при помощи rомоморфизма
ф*: Н*(Х; k) 0 Н*(Х; k) -----7 Н*(Х; k). Это результат б()лее rлубокоrо
изучения roмолоrической структуры Н пространств над конечными поля
ми, которое осуществил Браудер (начало 1960 x rr.).
В частности, Браудер доказал закон двойственности Пуанкаре для ro
молоrий конечномерных Н пространств. Однако в то время не было из
вестно нетривиальных примеров таких пространств, пока в начале 1970 x
Мислин, Хилтон и др. не построили такие примеры, используя процедуру
р локализации для катеrории rомотопических типов, изобретенную Квил
леном и Сулливаном в 1970 x в связи с rипотезой Адамса. На самом деле
идея этой процедуры восходит к работе Серра в первой половине 1950 x.
Найденные Н пространства походят на теоретико rомотопические р лока
лизации некоторых классических rpупп Ли и H npOCTpaнCTB для различных
простых р.
Что касается Н пространств Х == О(У, Уо), необходимо указать, что
кольцо Понтряrина Н*(Х; k) над полем характеристики О изоморфно
обертыIающейй aлrебре супералrебры Ли У айтхеда rомотопических rpупп
13*
196
rЛАВА 4
7r*(X) 0 Q, 7ri(X) == 7ri+1(Y)' rде умножение берется из Х и умножение
Уайтхеда [Х, у] элементов суперaлrебры ли берется из У. для построения
обертывающей aлrебры берутся все элементы Xj HeKoтoporo rpадуирован
Horo базиса rомотопических rpупп, тензорно умноженных на Q, добавляет
ся единица и рассматривается aлrебра всех некоммутативныx k полиномов
от переменных Х с соотношениями
( l) dimxidimxj x Х [Х ' Х , ]
XiXj j i , З'
Этот результат является следствием теорем Серра и Картана.
При м е р. для пространства петель сферы мы имеем
Н] (овn) == О, j -=J k(n 1),
Hj(osn)==z, j==k(n l), k O.
(4.2.48)
ПУСТЬVk означает базисный элемент rpуппы Hk(n l) (овn, Z). ДЛЯ YMHO
жения можно получить форМулы:
1) n == 2k,
2 О
иl == ,
V2pV2q == V2(p+q) . e;+q'
(4.2.49)
2) n==2k+ 1 ,
VpV q == e qVp+q,
еР (р + q)!
p+q p!q! .
(4.2.50)
Эти результаты MOryT быть автоматически выведены из спектральной по
следовательности Лере для коrомолоrий расслоений (Серр). Впервые, Ok
нако, они были получены Морсом и Люстерником около 1930 r., вклю
чая (4.2.49), (4).50), из rеодезических на сфере. Н: пространства и rpуп
пы Ли всеrда имеют коммутативную фундаментальную rpуппу, которая
тривиально действует на высших rpуппах 7ri(X), i > 1. Любое отобра
жение 'ф: ВN х ВN ВN естественно продолжается до отображения f-ф
(конструкция Хопфа):
f-ф: в2n+l sn+l,
rдe ВN С вn+l и ВN Х ВN С в2n+l это соответственно каноническое
вложение экватора
вn+l == Df+l U D +l, Df+l n D +l == вn
и вложение, порожденное разложением вида
в2n+l == (D +l Х вn) U (вn Х D +l),
(D +l Х вn) n (вn Х D +l) == ВN Х ВN.
92. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 197
Инвариант Хопфа (см. ниже, 3) полученноrо отображения f-ф: в2n+l
вn+l совпадает с произведением степеней отображений ml m 2==h(f, ф):
ф(s, so): ВN х {so} вn,
ф(sо, s): {so} х вn вn,
dеgф(s, so) == ml,
dеgф(sо, s) == т2.
Итак, если сфера является Н пространством, то обе степени равны едини
це ml == т2 == 1; мы получам, что в этом случае существует отображение
с инвариантом Хопфа, равным 1. для n == 1, 3, 7 такие отображения суще
ствуют. Как показал Хопф, они не существуют для n+ 1 -=J 2 q . Окончательно
теорема о том, что отображений S2n+l sn+l С инвариантом Хопфа h == 1
не существует, исключая n == 1, 3, 7, доказана Адамсом (конец 1950 x rr.).
Теоремы этоrо типа непараллелизуемость сфер или более сильная Te
орема Адамса имеют своим следствием несуществование конечномерных
aлrебр над R с делением, кроме размерностей 2, 4,8. Это уже отмечалось
как следствие периодичности Ботrа (Милнор, Кервер, Атья).
В начале 1980 x rr. в процессе исследования некоторых задач как клас
сической механики о движении твердоrо тела в rравитационном поле BOKpyr
закрепленной точки или свободноrо твердоrо тела в идеальной жидкости,
так и некоторых задач современной математической физики (включая вни
мательный тополоrический анализ монополя Дирака) и релятивистской Te
ории поля, был выявлен класс мноrозначных функционалов (обобщенных
аналоroв монополя Дирака) на тех или иных пространствах кривых или по
лей с большим число переменных (с. П. Новиков). Тополоrия мноrозначных
функций и функционалов, оценки числа их критических точек, изучение по
верхностей уровня (в конечномерном случае) составляют неклассический
аналоr вариационноrо исчисления в целом, который мы сейчас обсудим.
Мноroзначный Функционал с однозначным rpадиентом на любом MHO
roобразии Jvl конечноrо или бесконечноrо числа измерений это просто
замкнутая l форма VJ, dы == О. Сама мноrозначная функция S определяется
интеrpалом вдоль пути
Х
В(х) == J VJ, rдe Хо фиксированная точка,
Хо
и является однозначной на некоторой бесконечнолистной накрывающей
м М, p*VJ == dS,
(4.2.51)
реryлярной и с rpуппой движений (монодромии), равной Z х ... х Z
(k штук), rде (k 1) называется степенью иррациональности формы VJ (при
198
rЛАВА 4
усл ии н,(М, Z) -1- О). Образующие T i rpуппы Z х
на Л1 так, что
х Z действуIOТ
8(T i x) == 8(х) + Xi, i == 1, . . . , k,
(4.2.52)
rде числа Х1, . . . Xk линейно независимы над Z и совпадают с набо
ром интеrралов (периодов) формы w в некотором базисе ')'1, . . . ,')'т Е
Е Н 1 (М, Z),
fW==Xj, j k,
'''о
(4.2.53)
f W == О, j k + 1.
"()
Если М по крыто областями U V q == М, rде wlv q == d8(q), 8(q)(x) OДHO
q
значные функции в областях V q , то разносm 8(q) 8(!) == 1/Jq, l локально по
стоянны в V q n И, т. е. постоянны на каждой связной компоненте V q n И. По
следнее дает канонический метод определения мноrозначной функции с oд
нозначныM rpадиентом на любом тополоrическом пространстве JvI == U V q ,
q
rде набор {8(q)} эквивалентен однозначной функции 8, если 8 8(q) есть
константа в области V q .
Поверхности уровня 8 == const корректно определены во всем Jv! и
определяют слоение (возможно, с особенностями), rде слои, вообще ro
воря, некомпактны, даже если Jo.! компактно. Изучение этих слоении,
которое является интересной тополоrической задачей, начато только в no
следнее время. для мноrообразий l\tf. нас интересуют критические точки х j,
rдe d8!Xj == О. Даже в бесконечномерном случае мы будем интересоваться
такими l формами w, что индексы Морса (числа отрицательных квадратов
формы d 2 81x) конечны, а критические точки изолированы и невырожде
ны. Если k == 1 и форма w такова, что Х1 == J w целое число, то форма
"(1
определяет целочисленный класс коrомолоrий
[w] Е H1(AI, Z).
(4.2.54)
в этом случае определено отображение
exp{27ri8(x)}: М -------t 81,
(4.2.55)
так как exp{21!'i8} оказывается однозначной комплексной функцией, по
модулю равной 1. Мы назовем форму квантованнои, [w] Е н1(М, Z).
з 2. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 199
При м еры. 1. Пусть JvI == JvI n конечномерное замкнутое мноroоб
разие, w это замкнутая 1 форма на нем. Как оценить число критических
точек 1 формы? Особо просто выrлядит классический случай квантованных
форм, т. е. отображений в окружность
1j; == exp{21!'i8} : JvI -------t 81.
Критерии существования отображений 1/J без критических точек исследова
лись в тополоrии 1960 x п. Браудер, Левин, Сян, Фаррелл (см. 95, rл. 4).
В этом случае мы имеем расслоение с базой 81. Если мноrообразие JvI n
не имеет rомотопическоrо типа расслоения над 81, то критические точки
заведомо есть. Их оценки см. ниже.
2. Пусть N k замкнутое мноrообразие и Jv[ == N ( N k Ха Х1 ) или
+ k ' ,
lvl == n (N ) соответственно пространства путей из точки Ха в Х1 или
замкнутых направленных путей отображений ')': 81 -------t Nk, ')' Е n+.
Имеется расслоение
n+(N k ) N k , р(')') == ')'(0)
и сечение <р: N k n+, р<р == 1, rдe <р(х) одноточечная кривая в точ
ке Х Е Nk. Слоем является пространство петель n(Nk, х), Т.е. путей,
начинающихся и кончающихся в точке х. Всякая замкнутая 2 форма n на
римановом мноrообразии N k (обобщенное маrнитное поле для k 3 или
«электромarнитное поле» для k == 4) порождает функционал вида (4.2.56)
или (4.2.57)' .
8(')') == JI"r12dt+e J d 1(Щ (4.2.56)
"( "(
(<<функционал действия»),
[Е(')') == J VEI"r1 dt + е J d 1(Щ, Е == const
"( 1
( 4.2.57)
(функционал Мопертюи с теми же экстремалями), rде Е энерrия, е
«заряд» и ')' кривая из пространства n(N k , Ха, Х1) или n+(iv k ). Фор
мулы (4.2.56), (4.2.57) определяют мноrозначный Функционал на простран
стве М == n(N k , Ха, Х1) или JvI == n+(N k ), если N k односвязно И класс
коrомолоrий формы n отличен от нуля:
0-1- [п] Е H2(N k , R).
Если мноrообразие N k неодносвязно, то Nk вкладывается в К(1!'1 , 1),
[де К1 == 1!'1 (N k), причем клетки из К (71"1' 1) \ N k имеют размерности 3.
200
rЛАВА 4
Поэтому индуцированный rомоморфизм H2(-7r1' R) == H 2 (K(1f"1, 1); R)
H2(Nk, R)являетсямономорфизмом.Если[П] Е H 2 (-тr1, R) С H2(Nk, R),
то на пространстве кривых nt(N k ), rомотопных нулю, Функциона
лыI (4.2.56), (4.2.57) однозначны.
3. Рассмотрим rладкое расслоение
Е !!.о, в,
rдe база В == W q rладкое замкнутое мноrообразие или мноrообразие с
краем. Пусть заданы замкнутая (q + 1 ) форма П на Е dn == о инекоторый
однозначный Функционал Во ( 'Ф) на сечениях расслоения 'Ф: в Е, р'Ф ==
== 1. Следующая формула
В == Sо('Ф) + J d l(щ, (4.2.58)
(8,,,,)
аналоrичная (4.2.56), (4.2.57), определяет мноroзначные, вообще roворя,
функционалыI на пространстве F сечений расслоения 'Ф Е Р, имеющих
заданное значение на rpанице aw q (если есть rpаница). В наиболее инте
ре сном случае Е == sq х а, rдеG rpynna Ли, мы имеем, как rоворят,
«киральные поля» g(x), х Е Rq, rде g(x) go при IxJ 00. Для компaкr
ных простых rpупп ли Bcerдa имеется нетривиальная двусторонне инвари
антная 3 форма на G или 5 форма на а, если G == SИn, n 3. Здесь q == 2
(для 3 формы) или q == 4 (для 5 формы). .
Формулы (4.2.56), (4.2.57), (4.2.58) задают мноrозначные функционaлы
следующим образом. Пусть задано покрытие Е == U V(> пространства Е
(>
областями такими, что:
а) n на У(> является точной .
nl v ", == dФ(>;
Ь) для любоrо rладкоrо сечения 'Ф найдется индекс а такой, что
'Ф(В) с V(>.
Определяем «локальные функционалы»
S«»('Ф) == J Ф(>
(8,ф)
на области w(> с Р, состоящей из всех сечений, попавших целиком в об
ласть V(>. В пересечениях имеем
S«>\ф) SUЗ)('Ф) == J (Ф(> Ф/3).
(8,ф)
3 2. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ 201
Так как d(Ф(> Ф/3) == о во всей области V(> n V/3, разность S«» sUЗ) по
формуле Стокса локалъно постоянна и набор {S«»} определяет корректно
1 форму w на F или однозначную функцию S на накрывающей F !!.о, F
p*(w) == БВ. Если форма квантована, т. е. [w] Е н1(р, Z), то возника
отображение
exp{2-тriS('Ф)}: F Sl
(амплитуда Фейнмана). Требование квантованности формы необходимо в
квантовой теории таких полей с мноrозначными Функционалами действия.
Существует процедура, в квантовой теории поля известная под названием
mопОЛО2UчеСКО20 квантования связанных констант, сформулированная Ho
виковым в 1981 r., Дезером Джакивом Темплтоном в специальном случае
Черна Саймонса в 1982 r. и Виттеном в 1983 r.
В случае правилъноrо расслоения sq х G Bq форма n фактиче
ски определена на слое С, F это пространство отображений Bq G
и интеrралы от формы w по путям в функциональном пространстве F
совпадают с интеrpалами формы n в G по образу rомоморфизма [ype
вича -тr q+ 1 (а) Н q+ 1 ( С). Вообще rоворя, сопоставление контурных ин
теrpалов от формы w в F по путям с интеrpалами от n по циклам в Е
требует индивидуальноrо тополоrическоrо анализа (впрочем, несложноrо),
зависящеrо от расслоений и rpаничных условий.
Если Функционал (4.2.56), (4.2.57), (4.2.58) действительно мноrозначен
р ,
то на накрывающей F Р, rде p*w == БS, функция В принимает все
значения oo S 00.
Приведем тополоrические результаты о критических точках мноrознач
НbIX функций и функционалов.
Начнем с конечномерноrо случая. Задана замкнутая 1 форма w на Jvl n
со степенью иррациональности О, О -1- [w][w] Е н1(мn, Z). Имеется Z Ha
крытие
м !!.о, м n , p*w == dS.
Преобразование Т: М м таково, что
S(T х) == S(x) + х, х -1- о.
Клеточный комплекс М является комплексом Z[T, T l] модулей. PacCMOT
рим пополнение К+ кольца Z[T, T l] рядами, бесконечными в сторону
положительных степеней Т, т. е. кольцо формальных рядов Лорана вида
q Е к+, q == L ajTj, aj Е Z.
j N(q)
(4.2.59)
202
rЛАВА 4
Рассмотрим rомолоrии комплекса цепей с коэффициентами в кольце К+
на М соrласно представлению (вложению) р: Z[T, T 1] -------t к+. Мы no
лучаем rомолоrии Н*(М, к+) как К+ модули. Так как кольцо К+ это
кольцо rлавных идеалов, в rpуппах Hj(M, К+) == Hj(M, [w]), rде [w] Е
H1(Jv[n, Z), возникают свободные от кручений рaнrи над К+ (аналоrи
чисел Бетти) и аналоrи чисел кручения над К+ со следующими обозначе
ниями:
+
bj(M n , [w]) == rkHj(M, К ),
qj(AIn, [w]) числа кручения, rде bi+qi минимальное число образующих
модуля Hi(M, К+). Имеют место следующие неравенства, если все крити
ческие точки формы w изолированы и невырождены и их число обозначено
через mi(S) или через от mi(w):
mi (w) b i (м n , [w]) + qi (м п , [w]) + qi 1 (м n , [w])
(4.2.60)
(неравенства Новикова, начало 1980 x IТ.).
Пусть 1!"1(Мn) == Z и n ? 6; в середине 1980 xIТ. М. Ш. Фарберустано
вил точность этих неравенств, построив отображение J..;[n . 81, имеющее
в точности число (4.2.60) критических точек.
Есл же число иррациональности k 1 ? 1 (Т. е. мы имеем Ha
крытие JvJ с rpуппой Z х ... х Z), то ситуация сложнее. COOTBeтcтвy
ющее кольцо К;; зависит от набора периодов (4.2.53) (Х'1, Х'1, ..., X'k) == Х'
и определяется так: К;; пополнение кольца лорановских мноrочле
нов Z[T 1 . . . Tk, T1 1 . . . Ti 1 ] рядами такими, что все ненулевые члены ря
да q коэффициенты при Т 1 1 о . . . oT;:k сосредоточены в области :L Х'з" тз" >
N(q) для HeKOToporo N(q) Е Z+, q Е К;;, и, более Toro, между плоско
стями А < :L X'jmj < В для любой пары чисел А < В имеется лишь KO
нечное число ненулевых коэффициентов. fомолоrии Н*(М, к;;) должны
давать оценки снизу числа критических точек; можно рассмотреть также
кольцо (к+ x)Stable, для KOToporo дополнительно требуется, чтобы условие
:L X'jmj > N(q) выполнялось локально (т. е. в окрестности точки Х'), no
скольку здесь, однако, кольцо К;; не является кольцом rлавных идеалов,
ситуация сложнее и неизучена 3 . Причина возникновения неравенства ви
да (4.2.60) и их возможных обобщений на случай k ? 2 состоит в том, что
1 форма w порождает не клеточный комплекс, а комплекс к+ ", модулей,
rомолоrии KOToporo rомотопически инвариантны.
3Сикорав доказал, что кольцо (к+ x)Stable для произвольной точки", является целочис
ленной областью, так что в этом более общем случае также выполняются неравенства Морса.
Недавно Пажитнов и Раницкий доказали в этой области еще более сильные результаты и
развили для этоro случая аналоr теории Морса (т. н. (<теория Морса Новикова»).
з2. rомолоrии rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ
203
в функциональных пространствах n+(Nk) или n(Nk, Хо, Х1) функ
ционалы вида (4.2.56), (4.2.57) kопределяют замкнутые l формы n == (58).
Однако для пространства n(N , хо, Х1) все rомолоrии, входящие в Hepa
венства типа (4.2.60) для критических точек, вырождаются. Вследствие это
ro для задачи с закрепленными концами на пространствах n( Nk, Хо, Х1)
ни аналоrов неравенств Морса нет. Иначе обстоит дело в периоди
ческои задаче на пространстве n+(Nk). На полном римановом мноrооб
разии Nk с положитель .юй метрикой (9ij) Функционал lE вида (4.2.39)
возможно, м оrозн ны всеrда обладает таким свойством: одноточечные
кривые ф(N ) сп (N ) дают мноroобразие локальных минимумов функ
ционала. В мноrозначном случае полный прообраз р l(-ф(Nk)) == UN ,
j == и1, ..., jk), j8 Е Z, в накрывающем пространстве р!!.., F == n+(Nk)
сnл шь состоит из локальных минимумов для однозначной функции тв
на Р, которая определяется условием р*"'" == 5[Е. Все вложения
k
jE(N}) == L "mjm
т==l
Nk-------tN k
З'
jE(N;) == О,
(4.2.61 )
rомотопны дрyr дpyry в Р. Рассмотрим отображение
Ф:N k х1-------tF, a t b
такое, что
Ф( k k
N х {а}) == N(o,.. .,0) с Р,
Ф(N k х {Ь}) == NA,o,.. .,0) с Р,
предполаrая, что "1 > О. Мы имеем
0< шin[шах jE(Ф(N k х 1))] < jE(N k ) == О.
ф xENk (о, . . . . О)
(4.2.62)
Деформируя вниз по rpадиенту функционала тв отображения отрез
ков Ф(Z х 1), rде Z любые циклы в H*(Nk), мы получим неравенства для
числа невырожденных критических точек в области l Е > О (случай общеrо
положения)
mi+l(lE)? ш;хЬ Р)(Nk), (4.2.63)
р простыIe числа (с. П. Новиков, N k == 82). Неравенства (4.2.63) и явля
ются аналоrом неравенств Морса (4.2.11) в этом случае для периодической
204
rЛАВА 4
задачи. Интересно, что roмолоrии функциональных пространств в них не
участвуют. Однако из за некоторых аналитических трудностей эти HepaвeH
ства не получены в более общих случаях 4 .
Неравенства (4.2.63) можно применятъ и к функционалам (4.2.39) в
том случае, коrда lE однозначный функционал на n+ (N k ), облада
ющий свойством нарушения принципа Арцела: найдется замкнутая кри
вая 'у С n+(Nk) такая, что lE("() < О неположительные аналоrи фин
слеровой метрики, реально возникающие в математической физике. Здесь
также следует рассмотреть отрезок в F == n+(Nk)
Ф:1.......",Р, a t b
такой, что Ф(а) == х Е ф(N k ) одноточечная кривая и Ф(Ь) "(,
rде lE("() < о.
Имеет место следующая теорема (И.А. Тайманов):
Если имеется о.дна замкнутая кривая "(, сде l Е ("() < о для о.дно.значно.zо
функцио.нала вида (4.2.37) и lE == О на о.дно.то.чечных кривых, то. найдется
сечение
Фl: N k .......", n+ (N k ), Р'Фl == 1
тако.е, что.
а) lЕ(Фl(N k )) <О,
Ь) сечение Фl zо.Jlюто.пно. о.дно.то.чечнО)wу сечению Ф с пD.iWо.щью со.мо.то.пиu
Ф: N k х 1.......", n+(N k )
(принцип перекuдыванuя цикло.в в о.трицательную о.бласть функцио.нма).
Отсюда следуют неравенства (4.2.63) и для однозначных функцио
налов lE, для которых нарушен принцип Арцела (т. е. не всюду поло
жительных). В некоторых случаях, например, на 83 или 803, исполь
зуя одну лемму Фета (середина 1960 х rr.), удается доказать существова
ние двух rеометрически различных периодических экстремалей, не KpaT
ных одной общей. Новые результаты в теории Морса Новикова, касаю
щиеся точек экстремума локально реryлярных мноrозначных Функциона
лов на пространствах петель (или несамопересекающихся кривых), мож
4в 1994 r. Новиков и rриневич получили 'Эти неравенства для ненулевых маrнитных полей
на плоском 2 TOpe и на поверхности с отрицательной кривизной. В конце 1980 x п: rинзбурroм
был применен друroй аппарат для изучения периодических орбит в маrнитном поле с фик
сированным периодом (но не обязательно с фиксированной энерrией, как в предшествующем
исследовании). В частности, он помоr исправить ошибки в работах Новикова и Тайманова
середины 1980 x п:
3 2. rомолоrии rЛАДКИХ МноrООБРАЗИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ МНООБРАЗИЯ
205
но найти в обзоре И. А. Тайманова в Успехах матем. наук ( 1992 Т 47 2
стр. 143 185)5. ,. "
Интересный пример мноrозначноrо функционала возникает исходя из
так называемой формулы Уайтхе д : для арианта Хопфа на 7rз(82). Ha
помним эту ормулу. Пусть j: 8 .......", 8 rладкое отображение и VJ
2 форма на 8 такая, что
/1 VJ == 1.
82
(4.2.64)
Пусть v l форма на 83 такая, что dv == j*(VJ) == W. Мы полarаем
ни, VJ} == !!! v л W.
83
(4.2.65)
Выражение (4.2.65) обладает свойствами:
а) rомотопическая инвариантность: 5Hj5j == О.
Ь) жёсткость: БНj5VJ == О при условии (4.2.64).
Определим мноrозначный Функционал (замкнутую l форму) на про
странстве F rомотопных нулю rладких отображений j сферы 82 в сферу 82
таким образом:
8и} == /!! v ЛVJ,
D+3
(4.2.66)
rде отображение j сферы 82 == aD продолжено на дИСК D+ 3. Выраже
ине 58 есть 1 форма на Р (А. М. Поляков, П. А. Виrмai:J:).
fомотопически инвариантные интеrpалы, обобщающие (4.2. 65), строи
лись, начиная с работ Чена и Сулливана (середина вторая половина 1970 x
rодов). Наиболее прозрачное общее их определение дано С. П. Новиковым
(первая половина 1980 x roдов), rде введено также понятие жесткости важ
ное для изучения связанных с ними мноrозначных функционалов и их' квaH
тования. Опишем это построе ние.
5в конце 1980 x специалисты по симплектической rеометрии (Фло ер Хо ф е р С
Макдафф и др ) Р аз р аботал М ' ,аламон,
. и теорию орса для мноroзначных функционалов на простран
ствах свободных петель. В общем случае эти функционалы не обладают свойством локальной
реryлярности, т. е. морсовские индексы критических точек MOryr быть бесконечны. Впервые
;еИ ;ОЯВИЛ Ь в работе Рабиновица о периодических орбитах raмильтоновых систем в Ha
3 x rr. ществуют приложения теории Флоера к пространствам модулей связностей
a MepH"ЫX сферах, rдe v мноroзначный Функционал совпадает с известным функционалом
К на саимонса. Позднеишие продвижения в этой теории также включают кольца Новикова
, определенные выше.
206
rЛАВА 4
Пусть А == 2:: Ai косокоммутативная дифференциальная aлrебра
i;;>-O
над полем k с коrраничным оператором d: Ai АН!, rдe А О == k (поле
хараl\.'Теристики О, k == Q, R, С) и н 1 (А) == О. Зададим число q ? 1 и
построим минимальное свободное дифференциальное расширение c(q) (А)
aлrебры А такое, что
Hj(C(q) (А)) == О, j q.
(4.2.67)
Расширение c(q) строится так. Пусть А == Ca q ) . Пусть Yjo. минималЬНЫй
набор коциклов, дающих мулътипликативный базис коroмолоrий в размер
ностях j q. Введем новые образующие (свободные) Щ 1, о. и положим
ci q ) == А[. . ., Щ 1, 0., . . .], dVj l, о. == Yjo..
Вложение Ca q ) А ci q ) нулевое в коrомолоrиях размерности q. Ите
рируя процедуру, мы строим последовательность вложений
А == c q) с ci q ) с c q) с ... с c(q) (А).
По определению, мы назовем «rомотопической rpуппой» алrебры линейное
пространство (4.2.68):
7r q +1(A) 0 k == Hq+1(C(q)(A)).
(4.2.68)
Если 'мn rладкое односвязное мноrообразие и А == Л * (},;!n) aлrебра
ero СОО форм, то мы имеем 7r +l(A) 0 R == 7r q +l(M) (9 R. Таким об
разом, определение бесконечной части rомотопических rpупп одно связных
мноrообразий дается весьма элементарно через aлreбру форм Л * (А1 n ), хотя
обоснование требует использования более сложной техники KapTaHa Ceppa
aлrебраической тополоrии (это rомотопический аналоr теоремы де Рама).
rомотопические интеrpалы строятся немедленно, исходя из опре
деления (4.2.68): пусть Р: Sq+l х R МN rладкое отображение
и z Е Hq+1(C(q+l)(A)). Выберем представителя z в классе z. Построим
rомоморфизм, коммутирующий с d:
Р: c(q)(A) Л *(SQ+l х R).
Так как все замкнутые формы степени q точны в sq+l Х R, построение ro
моморфизма F естественно, полаrая F == Р* на А == c q) == Л*(Мn). Каж
3 3. rЛАДКИЕ мноrООБРАЗИЯ И ТЕОРИЯ rомотопий
207
д мy элементу z соответствует замкнутая q + 1 форма F (Z) Е Л * (Sq+ 1 х R),
dF(Z) == О. Мы полarаем
H(t) == H(Jt, Z) == J... J F(Z),
sQ+1X{t}
ft == PISQ+1 X {t}.
Так как форма P(Z) замкнута, мы имеем dHjdt == О. Отсюда немедленно
следует rомотопическая инвариантность выражений (4.2.69). Определение
и исследование жесткости более сложно.
(4.2.69)
3. rладкие мноrообразия и теория rомотопий.
Оснащенные мноrообразия. Бордизмы.
Пространства Тома. Формулы Хирцебруха.
Оценки порядка rомотопических rpупп сфер.
Пример Милнора. Целочисленные свойства кобордизмов
Прежде Bcero мы продемонстрируем некоторые соображения OCHO
ванные на rеометрии мноrообразий, которые позволяют элементарн полу
чить определенную информацию о rомотопических классах отображений
кроме тех случаев, указанных в rл. 3, rде rомотопические rpуппы по эле
ментар IМ причинам были нулевыми. Эти rеометрические соображения в
дальнеишем удачно сочетаются с алrебраическими методами, о которых ro
ворилось в конце rл. 3. для rладких мноrообразий все непрерывные отобра
жения и rомотопии аппроксимируются rладкими, не меняя их там, rде они
уже были rладки. Поэтому можно, без оrраничения общности, предпола
raTb BC отображения и rомотопии rладкими класса С ОО , коrда это полезно.
Простеишим rомотопическим инвариантом является степень отображения
замкнутых ориентированных мноrообразий одной и той же размерности
(рис. 51, 52, 53)
f: 'м n N n .
Определение степени deg f таково: рассмотрим точку общеrо положе
ния У Е N n , rде якобиан Jf отображения f отличен от нуля во всех точках
полноrо про образа f l(y) == Хl U . " U Xk. По определению, полarаем
degf == LsgnJf(Xj).
j
(4.3.1)
208
rЛАВА 4
\J'
о
Рис. 51
n=2k+1
1\ /.
+ '--./ + '-../ + х
б)
у
х
deg f 1
degf O
Рис. 52
Определение степени формулой (4.3.1) rодится также в следующих
ситуациях:
а) для отображений пар и'I1 n , }vn 1) L (N n , vn 1 ), rдe край пе
реходит в край; точка у берется внутри N n ; степень отображения краев
совпадает со степенью отображения внутренностей.
Если на rpанице диффеоморфизм, то внутри deg f == :J:l.
Ь) ДЛЯ собственных отображений f: Al n '"' Nn открытых мноrо-
образ ий, у которых полный прообраз компакта есть компакт. Степень не
меняется, если roмотопия Р: lvl n х 1 N n также является собственным
отображением.
Если w это n форма на N n , то верна формула
J f*w == (deg 1) J w. (4.3.2)
Мп N"
"" ,
':.,\
I
з 3. rЛАДКИЕ мноrООБРАЗИЯ и ТЕОРИЯ rомотопий
209
4к
(k 2)
Уа +2к
Yo уо+2к
к
о Х 1 -"2 Х З Х 4 2n
sgn xl +,sgn x2 ,sgn хз +,
sgn x4 +,deg f 2
Рис. 53
с) Д--ля изолирт? ных особых точек векторных полей 7](Х), rдe 7](Хо)==О.
На малои сфере ВI;; , Ix Хаl == Е: имеется ненулевое поле 7](Х) и возникает
отображение [аусса
а)
7](Х) . S n l S n l
'7](Х) I . 1;; .
f@) J)
б) в) ({
с)
Рис. 54
Степень этоrо отображения называется индексом особой точки. Если особая
точка невырождена
a7]i
ax j
=1= о,
Ха
б д
то индекс осо ои точки Р авен sgn (det " ) Н 54
== . . а рис. показаны
дхЗ Ха
возможные типы изолированных невырожденных особых точек BeктopHO
14 Тополоrия
210
rЛАВА 4
ro поля на 2 MepHOM мноrообразии. Сумма индексов особых точек равна
эйлеровой характеристике х(м n ), если МN замкнуто (Пуанкаре, Хопф).
Для неориентируемоrо случая эта величина определяется толь
ко modulo 2. для связных мноrообразий степень deg f не зависит от выбора
точки У Е Nn и не меняется при rомотопиях. Для этоrо достаточно paCCMOT
реть rомотопию
Р: М N х 1 N n (Р(хО) == f(x))
и взять полный прообраз точки общеrо положения 1], близкой к У, такой, что
матрица Якоби Jp отображения F имеет во всех точках прообраза p 1(y)
paнr n см. рис. 55 для lv[n == Nn == в1. Совпадение степеней на верхнем
и нижнем основании сразу видно на рис. 55.
Мхl
Nп==SI
M J
Полный прообраз
p 1(y) показан
жирной линией
F
Q
МхО
Рис. 55
Для отображения N[n Sn замкнутоrо мноrообразия в сферу Nn==Sn
степень deg f является полным rомотопическим инвариантом (теорема Хоп
фа, вторая половина 1920 x rr.). Заметим, что Хопф рассуждал именно так,
как здесь написано, но пользовался Р L мноrообразиями (комплексами);
вместо точки общеrо положения берется точка У внутри симплекса (7'n Maк
симальной размерности. При симплициальном отображении д,[n+k L N n
полный прообраз f 1((7'n) имеет вид (имеется в виду внутренность сим
плекса)
f l((7'n) == иn х w k
(4.3.3)
для HeKoToporo симплекса иn В д,[n+k и подмноrообразия vv k . Далее, как
указал Хопф, естественно искать инварианты с помощью прообразов точки.
Рассмотрим отображение сфер на сферы
f: snН sn.
"),
I
I
з3. rЛАДКИЕ мноrООБРАЗИЯ и ТЕОРИЯ rомотопий
211
Полные прообр ы двух разных точек общеro положения являются парой
подмноrообразии
Vv i k == f l (Yi), Yi Е вn, i == 1, 2,
W k w: k С S n+k
1 , 2 .
При четных n и k == n 1 эти два подмноrообразия MOryт нетривиально
зацепляться (см. rл. 1). Возникает коэффициент зацепления в С ф е р е B2n 1
n == 2q: '
{ wn l тrтn 1 }
1 , vV2 . (4.3.4)
При нечетных n == 2q 1 коэффициент зацепления обращается в нуль для
прообразов двух точек. Коэффициент зацепления прообразов двух точек
не зависит от выбора пары прообразов общеrо положения и rомотопии
отображения f. Он называется инвариантом Хопфа
h(f) == {Wf 1, wr l}, n == 2q,
f: s4q 1 S2q.
Возникает нетривиальный roмоморфизм Хопфа
7r4q 1 (S2 q ) Z,
f ...... h(f).
Итак, rpупnыI 7r4q 1(s2q) бесконечны. Остальные rpynnыI 7rj(Sn) конечны
(Серр, начало 1950 x rr., но доказательство выходит за рамки rеометриче
ских методов см. rл. 3, g 7).
Переход OT Р L отображений к rладким дает возможность сформулиро
вать реryлярныи метод изучения rомотопических rpynп сфер исходя из пол
Hых прообразов точки (Л. С. Понтряrин, вторая половина 1930 x rr.). Следу
ет учесть, :то при отображении ВNН L ВN полный прообраз w k == f 1 (У)
реryлярнои точки У является оснащенным мноzообразием, т. е. подмноrобра
зием с н альным реперным невырожденным n полем v n (х) в сфере sn+k
lШИ R , поскольку эт т прообраз задается набором 'Р] == О из n ypaB
нении с помощью функции, rpадиенты KOТO p blX линейно независимы Эти
Ф S n+k .
YHK на являются прообразами локальных координат около у.
Полныи прообраз общей точки p 1 (У) при rомотопии Р: sn+ k х 1 ВN
является мноrообразием v k + 1 С sn+k х 1 с двумя краями на верхнем и
нижнем основаниях (можно считать, что V k + 1 ортоrонально подходит к
краям) и с нормальным реперным n полем Vn(X) В sn+k Х 1, rдe поле v n на
краях торчит вдоль (вnн Х а) и (sn+k Х Ь). Пара (vk+1, v n ) с sn+k Х 1
14.
212
rЛАВА 4
называется оснащенной пленкой. Классы эквивалентности замкнутых OCHa
щенных мноrообразий дают элементыI из 7r n +k(Sn), если эквивалентность
осуществляется с помощью оснащенных пленок (оснащенные бордизмы
или кобордизмы).
fрупnыI 7r n +k(Sn) называются стабильными, если k < n 1. Эти rpуп
nыI не зависят от n соrласно изоморфизму надстройки;
Е: 7r n +k(Sn) 7r n +k+l(sn+1),
k < n 1.
Вообще rоворя, для любых комплексов К надстройка индуцирует изо
морфизм rомолоrии Bcerдa (см. rл. 3, 3) и изоморфизм rомотопических
rpупп Е: 7r n +k(K) 7r n +k+1 (ЕК), если комплекс К является (n 1)
связным, т. е. .
7rj(K) == О, J n 1, k < n 1.
(Фрейденталь, вторая половина 1930 x П.; он же впервые вычислил rpуп
пу 7r n +1 (Вn ).)
На языке оснащенных мноrообразий леrко установить следующие фак
ты:
1. Каждое оснащенное мноrообразие размерности k > О эквивалент
но связному. Ha рис. 56 показана конструкция оснащенноrо бордизма
v H1 , V n с av +1 == wtuw:uw;, реализующеrо эквивалентность между
(Wf U W;, vnIWfuW;) и (W:, vnlw:).)
Рис. 56
2. для k == 1 единственным стабильным инвариантом является ro
мотопический класс реперноrо поля V n (х): Sl SOn, 7rl (SOn) == Z2
для n 3. Поэтому 7r n +1(Sn) == Z2 для n 3.
3. для k == 2 стабильный инвариант строится более сложно.
Пусть n 4 и W 2 С Rn+2 связная поверхность с нормальным по
лем vn(x), имеющая род q. Возьмем любой класс z Е H 1 (W 2 , Z2)
3 3. rЛАДКИЕ мноrООБРАЗИЯ и ТЕОРИЯ rомотопий
213
и реализуем ero несамопересекающейся кривой В1 С W 2 С Rn+2.
Пусть n(х) нормаль к В1 в W 2 , Х Е в1. Имеем оснащение окруж
ности V n +1(x) == (n(х), vn(x)) В Rn+2. Возникает инвариант оснащения,
соrласно пункту 2, в rpуппе Z2. Обозначим ero через Ф(z). Имеет место
равенство (так называемое тождество Арфа в aлrебре)
Ф(Zl + Z2) == Ф(Zl) + Ф(Z2) + Zl о z2(modulo 2),
(4.3.5)
rде Zl о Z2 индекс пересечения циклов Zl и Z2. для любоrо каноническоrо
базиса циклов (Zl, . .., Zg, Wl, . .., W g ), rде
Zl о Zj == Wi о Wj == О, Zi о Wj == Oij,
определяется полный Арф инвариант:
9
Ф == I: Ф(Zi)Ф(Wi), Ф Е Z2.
i==l
(4.3.6)
Величина Ф не зависит от базиса. Оказывается, величина Ф является един
ственным стабильным инвариантом на 7r n +2(Sn) (Л. С. Понтряrин, конец
1940 x п.), 7r n +2(Sn) == Z2.
4. Сложная теория бьша построена для вычисления rpупп 7r n +з(sn)
(В. А. Рохлин, начало 1950 x п.). Во первых (и это нетривиальный факт),
каждое нетривиальное оснащенное мноrообразие (W З , V n ) сводится к OCHa
щенной сфере SЗ С R n+З, расположенной стандартно (в стабильном случае
всякое расположение эквивалентно стандартному). Произвол в оснащении
дает rомоморфизм (эпиморфизм): .
J: 7rЗ(SОn) 7r n +З(Sn),
Так как 7rЗ(SОn) == Z (n > 4), то стабильная rpуппа 7r n +з(Sn) циклическая.
Точный анализ показьmает, что
7r n +З(Sn) == Z24, n > 4, 7r7(S4) == Z ЕВ Z12, 7r6(SЗ) == Z12. (4.3.7)
Этот факт тесно связан с так называемой теоремой Рохлина: для замкнутоrо
мноrообразия lv[4 Taкoro, что М 4 \ (ха) параллелизуемо, класс Понтря
rина Р1 (lv[4) делится на 48. Напомним, что характеристические классы
являются элементами целочисленныx коrомолоrий.
Подrpуппа оснащенных мноrообразий вида (sk, v n ) выделяет
в 7r n +k(Sn) образ zомоморфизма Уаuт.хеда (см. rл. 3, 8)
J: 7rk(SOn) 7r n +k(Sn)'
Эта подrpуппа циклическая (конечная); ее порядок это важная величина,
которая для k == 48 1 выражается через числа Бернулли (Милнор, Кервер,
214
rЛАВА 4
конец 1950 x rr. оценка снизу и Адамс, середина 1960 x rr. оценка
сверху) .
Изучить roмотопические rpуппы сфер rеометрическими м етодами
дальше не удается, и больший успех имеют методы aлrебраическои теории
roмотопий (см. rл. 3, g 7). Естественным продолжением возникших здесь
rеометрических соображений является теория бордизмов и кобордизмов,
оказавшаяся мостом между aлrебраическими методами и задачами теории
rладких мноroобразий.
Классические rpуппы бордизмов (или кобордизмов) определяются так:
рассмотрим замкнутые rладкие мноrообразия. Их суммой назовем несвяз
ное объединение. Два мноrообразия w,f, w; назовем эквивалентными, если
Wf U w; == aN k +1,
т. е. их объединение есть rpаница (k + 1 ) мноrообразия. О
Классы эквивалентности образуют rpуппу, обозначаемую через n k
rpуппу бордизмов (кобордизмов). Прямая сумма
n? == L n? (4.3.8)
k O
образует rpадуированное кольц06, rдe операцией является прямое произве
дение (кольцо бордизмов).
При М еры.
1) n == Z2 скаляры. Кольцо n? является aлrеброй над Z2.
2) n? == О.
3) n == Z2 (следствие из классификации поверхностей). Заме
ТИМ, что Rp2 представляет ненулевой элемент. Это следует из Toro, что
x(RP2) == 1, J!: следующеrо общеrо факта: если замкнутое мноrообра
зие является краем мноrообразия на единицу большей размерности, то ero
эйлерова характеристика четна. Это, в свою очередь, следствие равенства
x(W 1, +1 U Vn+1) == 2X(W n + 1 ) х(м n ),
!IIl"
rде W 1' + 1 U М" W 1' + 1 удвоение V1'+ 1 , полученное отождествлением краев
двух экземпляров W n + 1 И из факта, что любое нечетномерное замкнутое
мноrообразие имеет эйлерову характеристику О.
4) п == о (Рохлин, начало 1950 x rr.).
Потребовав, чтобы все элементы бьти ориентируемыми, мы получаем
rpуппы nfo и кольцо n o == I: n o.
. k O
6 Друroе стандартное обозначение для кольца бордизмов П ')1*_
"1'
::1 :
I
I
I
!
9 3. rЛАДКИЕ мноroОБРАЗИЯ и ТЕОРИЯ rомотопий
215
При м еры.
1. ng o == z (скаляры);
2. пуо == n o == о (очевидно);
3. п о == о (Рохлин, начало 1950 x rr.);
4. nfo == z (Рохлин, Том начало 1950 x rr.). Образующим в n o
может служить класс бордизмов [ср2].
Если мноrообразие представляет нулевой класс бордизмов, то ero BЫ
четы Штифеля Уитни равны нулю. Если мноrообразие M4k является rpa
ницей ориентируемоrо мноrообразия, то, дополнительно, ero числа Пон
тряrина равны нулю. Характеристические числа и выетъII это OДHOpOД
ные полиномы от характеристических классов Штифеля Уитни и Понтряrи
на размерности, равной размерности мноrообразия (Л. С. Понтряrин, конец
1940 x rr.).
Методы вычисления rpупп бордиз ов основаны на их связи с теорией
rомотопий. Опишем идею этой связи.
Определение. Пространством Тома Т'Т/ BeКYopHoro расслоения (или
любоrо расслоения 'rf со слоем R1') назьшается фактор Е/ДЕ, rдe Е
пространство расслоения и ДЕ множество векторов в каждом слое дли
ны ;;?; 1. fомотопически можно сказать (если база В компактна), что про
странство Тома Т'Т/ расслоения 'rf это компактификация пространства Е
одной точкой.
Во всех случаях в roмолоrиях определен uзоморфизм Тома (в Z2 KO
rомолоrиях, если расслоение неориентируемо), rдe и 1, == 'Р(1) класс кo
roмолоrий, имеющий значение 1 на слоях (т. н. класс Тома):
'Р: Hj(B) НН1'(Т'Т/)' j;;?; О,
'P(z) == z. и 1" и 1, == 'Р(1).
(4.3.9)
Классы Штифеля Уитни Wj('rf) Е Hj(B, Z2) определяются так (Sqi это
квадрат Стинрода см. rл. 3, 6):
Wj('rf) == 'P lSqj'P(l)
(4.3.10)
(формула Тома, начало 1950 x rr.). Класс 'Р(1) == и 1, называется ФУН
даменталЬНblМ классом. Эта формула, примененная к касательному pac
слоению т( 1\111') rладкоrо замкнутоrо мноrообразия, позволяет установить
roмотопическую инвариантность классов Wj(1\Il 1' ). Касательное расслое
ине т( М1') совпадает с нормальным к диаrонали Д С 1\111' Х 1\1[1'. Используя
этот факт и формулу Тома (4.3.1 О), классы Wj (мn) явно вычисляются через
216
rЛАВА 4
квадраты Стинрода S qi и кольцо коrомолоrий Н* (1vf n , Z) (формулы Ву, Ha
чало 1950 x rr.). Ответ выrлядит так: рассмотрим rpуппу Hn '(1vfn, Z2) и
решим на ней уравнение
Sqi(Z) == z. Xi, i == 1, . .., [nj2]
относительно неизвестноrо элемента Xi (для всех z). Любая линейная форма
Hn 1
на нn, в силу двойственности, порождается умножением элементов
на i мерный класс, следовательно, уравнение разрешимо. После этоrо по
лarаем
Sq(w) == Х,
W == 1 + W1 + .. . + Ш n ,
Х == 1 + Х1 + .. . + Х[n/2],
Sq == 1 + Sq1 + Sq2 + . . .
Следствием этой формулы является, например, параллелизуемость ориен
тируемых трехмерных мноrообразий. Если мноroобразие МN почти парал
лелизуемо (т. е. после удаления ОДНОЙ точки параллелизуемо), то Wi == О
для i < n. Если n == 4k, из этоrо следует вместе с формулой (4.3.11), что
на H 2k (Mn, Z2) любой квадрат тривиален: z2 О mod 2. В частности,
на jj2k == H 2k (M n , Z)j Torsion скалярный квадрат (z2, [M 4 k]) == (z'4 )
четен. Так как форма (z, z) четна и унимодулярна, ее СИZ1-lатура т(М )
делится на 8. Сиснатура T(1vf 4k ) определяется для всех ориентируемых
мноroобразий как разность чисел положительных и отрицательных квaдpa
тов формы индекса пересечения на H2k(M 4k , Z), хотя эта форма HeBыpO
жд ена только для зам кну тых мноroобразий. для замкнутых мноrообразии
4k aW 4k+1 w4k+1
эта величина инвариант бордизма: если 1vf == , rде .
О р иенти р ;vемо то T ( M4k) == О. Причина состоит в том, что индекс пе
J , w 4k + 1
ресечения равен нулю на rpуппе 2k циклов, rомол rичнъ ; нулю в ,
следовательно, форма (, ) обращается в нуль на 1ш , rдe t roмоморфизм
вложения
(4.3.11)
H2k(w4k+1, Q) H 2k (M 4k , Q)
И размерность Im i* составляет ровно половину от размерности
H 2k (1vf 4k , Q). ИЗ этоrо факта вытекают важные ледс ия. Например,
для n == 4 rpуппа П О изоморфна Z с образующеи [CP ]. Как указано
выше, для класса Понтряrина имеем (см. g 1, rл. 4)
(1 + Р1) == (1 + и 2 )3 == 1 + 3и 2 Е н*(ср2, Z),
rдe U образующая н 2 (ср2, Z) == Z. Поэтому
Р1(ср2) == 3.
.fYf
I
I
з3. rЛАДКИЕ мноrООБРАЗИЯ и ТЕОРИЯ rомотопий
217
Так как т(ср2) == 1, получаем
1
т == з Р1 '
(4.3.12)
Формула (4.3.12) верна для любоro 4 MepHoro ориентируемоrо мноrооб
разия, поскольку разность (3т Р1) есть тождественно нулевая линейная
форма на rpуппе П О (В. А. Рохлин, Том, начало 1950 x rr.).
Обобщение этой ормулы на высшие размерности требует вычисления
rpупп кобордизмов П* о 0 Q, о котором мы скажем ниже.
Сиrнатура T(M 4k ) мноroобразий с краем обладает свойством аддитив
. M 4k M 4k б
ности. если l' 2 два мноrоо разия с краем и V любая связная
компонента их rpаницы, то верна формула для их склейки вдоль V
T(M{k Uv Mik) == T(M{k) + T(Mi k )
(4.3.13)
(с. П. Новиков, В. А. Рохлин, вторая половина 1960 x rr.). Кроме сиrнатуры,
свойством (4.3.13) обладает только характеристика x(M 2 k).
для любой rpуппы G с От пространство Тома Т." универсалъно
ro BeIcropHoro расслоения со слоем R m и базой ВС обозначается че
рез Мт(С) == Т.". Более общо, представление р: G От может не бытъ
взаимно однозначным, например:
р: Spin m ВОт
(двулистное накрьпие). Возникает комплекс Тома Mm(Spin). Ec
ли G с ВО т , то roворят об ориентируемых комплексах. Возникает изо
морфизм Тома:
а) <р: НЗ(ВС, Z) нт+з(мт(с), Z),
G с ВОт,
<p(z) == Z . и т , и т == <р(1);
б) <р: Hj(BG, Z2) нт+з(мт(с), Z2),
СсО т ,
<p(z) == z. и т , и т == <р(1).
Без оrpаничения общности, базу универсалъноrо расслоения ВС удобно
считать rладким мноrообразием
ВС с Мт(С).
218
rЛАВЛ 4
Если G == {1} С ВОт, то комплекс М т (1) совпадает со сферой
М т (1) == Вт.
Результаты теории классических кобордизмов концентрируются во-
кpyr G == От и G == ВОт. Они основываются на таком важном наблю-
дении:
а) цикл z Е Hn т(Mn, Z2) реализуется замкнутым подмноrообрази
ем vvn m С МN TOrдa и только тorдa, коrда найдется отображение
f: М N Mт(O )
такое, что
f*U m == D[z] Е нт(м n , Z2),
rдe D изоморфизм Пуанкаре;
б) цикл z Е Hn т(Mn, Z), rде МN ориентируемо, реализуется ориен-
тируемым подмноroобразием wn ffl с ]v[n, если и только если найдется
отображение f: ]vln }.;[т(ВОт) такое, что
f*U m == D[z] Е нт(м n , Z);
в) стабильные rомотопические rpуппы 11" тН(М т ( О)) и 11" тН(М m (ВО))
совпадают с rpуппами бордизмов:
11"тН(М т (От)) == п?, k < m 1,
11"m+k(Al m (SOm)) == niO, k < m 1.
(4.3.14)
(Том, первая половина 1950-х rr.). для G == 1 пункт в) сводится к теореме
Понтряrина (выше конец 1930 x rr.): rpупnыI 11"m+k(Sffl)11"m+k(M m (l))
совпадают с rpуппами кобордизмов п оснащенных мноrообразий,
k < m 1. Естественная rеометрическая интерпретация rомотопических
rpупп },;I m (а), G с От такова: рассмотрим подмноrообразия w k С Sm+k
или В R m + k С нормальным расслоением V m , В котором задана a CTPYK
тура (G оснащение). Аналоrично определяются пленки v k + 1 С Sm+k х 1,
с G оснащением V m , ортоroнально подходящие к краям sm+k х а и Sm+k Х Ь,
а t Ь. Классы эквивалентности G оснащенных мноrообразий совпада
ют с rpуппой 11"тн(м т (а)). для серий классических rpупп Ли возникают
уже упоминавшиеся ранее ВИДЫ кобордизмов:
п , П О классические (начало 1950 x п.),
п , п == 11"q+n(Sn) оснащенные мноrообразия в теории rомотопи-
ческих rрупп сфер (конец 1930 x а.),
ч.I,. . . . ,'
;'1
!
i
i
I
,
з 3. rЛАДКИЕ мноroОБРАЗИЯ и ТЕОРИЯ rомотопий
п , Uk С S02k унита р ные
SU '
п* , SUk С S02k специальные унитарные
Sp S '
Н* , Pk С S04k симплектические
Spin S . '
'* , р: РШk SOk спинорные.
Соотве::ствие между мноroобразиями и roмотопическими классами
отобр ении устанавливается исходя из так называемой леммы о t pery
лярнои аппроксимации: всякое отображеН!,iе f: lvf n W N сколь yrодно
близко аппроксимируется ото ажением f, t-реryлярным вдоль заданноro
подмноrообразия V N т С W . Это означает, что во всех точках у полноrо
прообраза f l(VN m) С ]v[n N MepHoe касательное пространство в точ
ке f (у) с w N порождается образом касательных векторов из МN вместе с
векторами, касательными к V N т .
При ЭТИХ условиях полный прообраз f l(VN ffl) является rладким
подмноrообразием
219
f l(VN ffl) == NN ffl С мn,
причем отображение f: Nn ffl vn m естественно продолжается до
отображения нормальных векторных G расслоений со слоем Rffl. Реали
зация циклов подмноrообразиями (пункты а) и б) теоремы) получается
с помощью отображений любых мноrообразий lvf n lvf ( а ) == w N
VN ffl В т ,
rде == G с мт(а), само подмноrообразие возникнет как полный
прообраз f l(BG). для кобордизмов (пункт в» мы полаrаем W N == ВN.
ЗАМЕЧАНИЕ. Пространства Мт(Оп) и Мт(ВОп) вместе с естественными
отображениями определяют спектры (как объекты в соответствующей катеroрии)
обозначаемые МтО и МтВО соответственно. Их rомотопические rpуппы совпа
дают со стабильными roмотопическими rpуппами:
7rk(MmO) == К т Н(М т (От)),
7rk(MmSO) == 7r m +k(M m (SOm)),
k < m 1,
k < т 1.
Спектры !VlmU, !VlmSU, !Vlm Spin и MmSp определяются аналоrично.
Виды кобордизмов п для G == И, ВИ, Вр, Spin и затем их даль
неишие обобщения начали изучаться с конца 1950-х начала 1960 x п.
(Милнор, С. П. Новиков). Для классических rpупп a cтpyктypa в стабиль
ном нормальном расслоении может порождаться G структурой касатель
Horo расслоения. Поэтому для G == И комплексные и квазикомплексные
мноrообразия вещественной размерности 2k имеют классы кобордизмов
[M 2k ] Е n k'
220
rЛАВА 4
Общее уравнение степени n + 1 в срn задает 8U мноroобразие lv!2n 2,
представляющее элемент
[M2n 2] Е n :: 2'
Для n == 3 это куммерова поверхность к 4 . Она почти параллелизуема
(т.е. параллелизуема в дополнении к точке), односвязна и имеет такие ин-
варианты:
х(к4) == С2 == 24,
т == 16, Р1 == 48, С1 == О.
Как уже rоворилось (см. rл. 4, 1), общий характеристический класс a pac
слоений однозначно определяется элементом
(4.3.15)
ф Е н*(ва).
для замкнутых мноroобразий lv!k характеристические числа это вели-
чины ф([М k ]), rдe Ф имеет размерность k:
ф Е Hk(BG)
(т. е. это значения характеристических классов на фундаментальном rOMo-
топическом классе [M k ]). Если G с 80 т , то мы имеем изоморфизм
<р: Hk(BG, Q) Hm+k(Mm(G), Q),
<p(z) == z . и т .
для k < m 1, соrласно теоремам КapтaHa Ceppa (см. 7, rл. 3), rOMoMop
физм fуревича порождает изоморфизм
7r m +k(lv!m(G)) 0 Q Hm+k(Mm(G), Q).
Из этоro леrко сделать вывод, что характеристические числа это пол
ный невырожденный набор линейных форм на rомотопических rpуппах
7r m +k(M m (G)) 0 Q инвариантов ориентируемоrо кобордизма с любой
rpуппой G с 80 т , если k < m 1. Класс кобордизмов n определяется
ими с точностью до кручения.
."I
'\
!
I
I
3 3. rЛАДКИЕ мноrООБРАЗИЯ и ТЕОРИЯ rомотопий
221
для G == 80 т любой цикл из Hn т(Mn, Z) снекоторой ненулевой
кратностью реализуется подмноrообразием. Это доказывается и в Hecтa
бильныx размерностях. для простейших rpуIПI ли G мы имеем примеры
пространства Тома.
1. G == 801 == 1, М 1 (80 1 ) == 81,
2. G == 01 == Z2, М 1 (01) == Rpoo,
3.802 == 81 == U 1 , М 2 (80 2 ) == сроо == М 2 (U).
Мы видим, что пространства lv1 1 (80 1 ), М 1 (01), М 2 (80 2 ) == М 2 (U1)
являются комплексами Эйленберrа Маклейна К (Z, 1), К( Z2, 1) и K(Z, 2).
Поэтому все циклы из rpупп Hn l(Mn, Z), Hn l(Mn, Z2), Hn 2(Mn, Z)
реализуются подмноrообразиями.
В кольце n o 0 Q за базис мультипликативных образующих можно
ыбрать классы кобордизмов [CP2i] (rpупnыI njO 0 Q тривиальны при
J -1 4k). Базис в rpуппах nf 0 Q будет иметь вид
[CP2i 1 ] Х ... х [CP2i s ],
i1 + . .. + is == n.
Числа Понтряrина полные инвариантыI на кольце n O 0 Q. Однако име
ется еще один инвариант кобордизма сиrнатура T(lv!4k):
T(Mt k ) . T(Mi l ) == T(Mi k Х Mi l ),
T(CP2i) == 1. (4.3.16)
Вычисляя числа Понтряrина мноrообразий ср4 и ср2 Х ср2 по формулам,
указанным в 1, rл. 4, мы получим формулу
т == 4 (7Р2 pi),
(4.3.17)
вычислив коэффициенты представления т == O:PI + fЗР2 на этих двух обра
зующих rpупnыI кобордизмов ni O :
а) р(ср4) == (1 + и 2 )5, Р1 == 5и 2 , Р2 == 10и4, pi == 25и 4 ;
Ь) р(ср2 Х ср2 ) == ( 1 + U l ') ) З ( l + U ? : ) З , UЗ 1 == U? З == О, 3( 2 t 2 )
Р1 == и1 и2,
2 18 2 2 2 2
Рl UIU2, р2 == 9UIU2'
222
rЛАВА 4
Итак, мы имеем таблицу.
Таблица 2
7 PI Р2
ср4 1 25 10
ср2 Х ср2 1 18 9
Из этой таблицы вытекает формула (4.3 .17). для П О уже была указана
формула Тома Рохлина: Р1 == 37. Общая формула, как показал Хирцебрух
(середина 1950 x rr.), имеет вид
(Lk(P1, .. ., Pk), [M 4k ]) == 7(M 4k ),
N
П Ui
L == 1 + L 1 + L 2 + . .. == th Ui ' N k,
i==1
Р] == L U;l . . . U;j'
il < . . . <ij
(4.3.18)
Как уже rоворилось в g 1, мультипликативные выражеНИЯ от классов удобно
представлять через один формальный ряд одной переменной Q(u) == 1 +
+ Q1 и 2 + Q2u4 + . .. в данном случае теорема Хирцебруха rласит:
L(u 2 ) == .
th U
(4.3.19)
ЕслиQ значени люб Ймульппiшiкативной характеристики от чисел
Черна или Понтряrина на П или П О 0 Q, то ее значения на всех срт
и n + 1 1 ( )
определяют ряд Q. Пусть 9Q(U) == I:: Q(cpn) l и 9Q U обратныи
n O n +
формальный ряд
9Q1(gQ(U)) == и.
Имеет место общая формула (полученная Новиковым в конце
связанная с теорией формальных rрупп (см. rл. 3, 9),
v 1 ( )
== 9Q v.
Q(v)
Для сиrнатуры 7 имеем 7(CP2k) == 1,
7(ср2Н 1 ) == О.
1960 x rr.),
(4.3.20)
"""
I
I
3 3. rЛАДКИЕ мноrООБРАЗИЯ и ТЕОРИЯ rомотопий
223
Определим важную величину, так называемый род Тодда, rде
Т(СРЗ) == 1, j;;:: о,
'""" и n + 1
9т(и) == L n + 1 == log(1 и),
n O
(4.3.21)
gT 1 (U) == 1 ехр( и),
Т(и) 1 иc. , т(м п ) (IJ 1 и: .; , [м п ]) .
Используя некоторые общекатеrорные свойства класса комплексных aлrе
браических мноroобразий и rоломорфных расслоений, из формулы сиrна
туры (4.3.18) можно вывести следующую мноroмерную теорему Римана
Poxa Хирцебруха.
Пусть rоломорфное векторное расслоение над комплексным ал
rебра еским мноrообразием М N и Ft;. пучок ростков ero rоломорфных
сечении. Положим
x(1v!n, ) == L( 1)j dimHj(M n , Ft;.).
j O
для характеристики Х верна формула Римана Роха Хирцебруха:
х(м n , ) == (ch T(Mn), [м n ]), (4.3.22)
rде ch и Т (мn) были определены через классы Черна расслоения Х и MHO
roобразия /liJ n и n == 2k. Если расслоение одномерно и тривиально, мы
получим род Тодда roломорфную эйлерову характеристику. В класси
ческом случае n == 1 расслоение определялось классом эквивалентности
дивизоров D == L.ЩХj, rдe Xj точки на Мl, Щ целые числа и пучок Ft;.
обозначался через FD. fруппа НО (lv! 1 , FD) состояла из функций f, кото-
рые не имеют полюсов вне D и при этом и) + D ;;:: о, rдe и) == L.тkYk
дивизор полюсов функции f, тk :(; о; теорема Римана Роха rnасит:
dim нО(м 1 , F D ) dim нl(м 1 , F D ) == n(D) 9 + 1,
n(D) == L nз'
9 род кривой },1 1 . Этой теореме придают друrой вид, используя изомор
физм
dim Н 1 (Мl, F D ) == dim нО(м 1 , FK D),
224
rЛАВА 4
rдe К дивизор нулей и полюсов мероморфных 1 форм. Выраже
ние (4.3.21), как будет ясно позднее, является целочисленным на всей rpуППе
кобордизмов nlfn. Хирцебрухом и Атъей (конец 1950 x п.) установлен ряд
теорем целочисленности, полезных во мноrих вычислениях. Укажем одну,
наиболее важную из них: так как
Т== и ,
1 e и
мы имеем
и
Т(u) == е 2 А(u 2 ),
и
2
sh ( ) ,
А(Р1, . .., pk, .. .) == 1 + А 1 + .. . + Ak + . ..,
А Р1 А 1 ? )
А 1 == 24 ' А2 == 45. 27 ( 4p2 + 7Pi .
(4.3.23)
А( u 2 ) ==
Cl
Т == е"2 А(Р1,,, .),
(4.3.24)
Класс А(Р1"", Pk) называется A pOДOM. Оказывается, если клас
сы w2(M 4k ) == w1(M 4k ) == О тривиальны, то число (Ak, [M 4k ]) целое
Bcerдa и четное для k == 2l + 1. Число (Ak, [M 4k ]) является целочисленной
линейной формой на rpуппах спинорных кобордизмов n kin. Мноroобра
зия допускают спинорную структуру, если и только если они ориентирул
емы (ш1 == О) И класс Ш2== О.
НапqМI;IIЩ: одно из важных следствий периодичности Ботта для CTa
бильных rомотопических rpупп 1f'j(80), 1f''j(U): базисное стабильное .(Т pac
слоение 2 4k над сферой 8 4k имеет характер Черна ch r-,4k == ak/L,
rде (/L, [8 k]) == 1,
ak == 1,
ak == 2,
k == 2q, q:;?:: 1,
k-==2q+1, q:;?::O.
(4.3.25)
для G == И характер Чеfна базисноrо стабильноrо расслоения Т/С над 8 4k
равен ch r-,c == /L, (/L, [84 ]) == 1. Классы Понтряrина и Черна имеют вид
Pk(ryC) == ak . (2k l)!JL,
Ck(ryC) == ak . (k l)!/L.
(4.3.26)
Соrласно определению характера Черна
Ck == (k 1)! chk + ЛС1, . . ., Ck l),
'1
з 3. rЛАДКИЕ мноroОБРАЗИЯ И ТЕОРИЯ rомотопий
225
ЗАМЕЧАНИЕ. Если М N почти параллелизуемое мноrообразие со стабильным
нормальным сл,?ением V m , то нетрудно показать, что существует нормальное отоб
ражен..ие f: м ....... ВN степени 1 (Т. е. [м n ] отображается в [Вn] таким образом,
что f ( ) == V m , rде некоторое стабильное векторное слоение над в-п). Отсюда
следует, что для почти параллелизуемых мноrooбразий характеристические клас
сы Понтряrина (и все остальные) выражаются через характеристические классы
векторных расслоений над сферами. Заметим, что класс Pk(M 4k ) единственный
возможно нетривиальный класс Понтряrина.
Стабильное нормальное или касательное расслоение над любым rлад
ким почти параллелизуеМЫ kмноrообразием lvf 4k , по существу, сводится
к расслоению над сферой 8 и является целым кратным расслоению 'fJk:
в частности, имеем
pk(M 4k ) == А . ak . JL . (2k 1)!
(JL, [M 4k ]) == 1,
rде А целое число. Минималь f возможное число Amin среди почти па
раллелизуемых мноrообразий lvf определяет порядок уже обсуждавшейся
стабильной rpуппы J1f'4k 1(80) с 1f'n+4k 1(8n), n > 4k, реализованной
оснащениями на обычной сфере 84k 1 С Rn+4k 1:
Amin == IJ1f'4k 1(80)1.
(4.3.27)
Из це: численности A poдa имеем A j (M 4 k) == О, j < k, Ak(M 4k ) ==
ak (3k Л(2k 1)! целое число Bcerдa и четное для k == 2l + 1. По
Л(2k)!
этому число целое. Таким образом, число IJ1f'4k 1(80)1 делится
на знаменатель дроби Bk/4k, rде Bk k Toe число Бернулли,
ak/ fЗk == Bk/2 . (2k)!
А ak
Ak -== fЗk Pk + . . .
(Милнор---Кервер, конец 1950 x. п.).
При м еры: а) k == 1; здесь А 1 == Pl а1 == 2. Число А . . 2
24' mш 24
четное. Поэтому порядок rpуппы J7rз(80) делится на 24. Напомним,
что 7r n +з(sn) == Z24. Так как т == 1 , сиrнатура Bcerдa делится на 16
(В.А.Рохлин, начало 1950 x п.). По aлrебраическим причинам четности
и унимодулярности формы пересечения на H 2 (N1 4 , Z) сиrнатура должна
делиться только на 8.
15 Тополоrия
226 rЛАВА 4
Ь) k == 2; здесь а2 == 1,
. 1 ? )
А 2 == 45. 27 (7pi 4Р2 ,
1
Лmin . 240 целое.
Из целочислеиности получаем: порядок 1 J7I"7 (80) 1 делится на 240.
Стабильные rpуппы 71" n+j (8 n ) методами типа КapTaHa Ceppa AдaMca
вычислены значительно дальше, чем j == 7, блaroдаря усилиям ряда авто-
ров (в частности, Тоды); оценка порядков 1J7I"4k 1(80)1 для всех k является
важным результатом теории мноrообразий, в частности, она обеспечивает
нижнюю оценку на порядок стабильных rомотопических rpупп сфер, и это
rеометрическое исследование может быть соединено с чисто aлrебраиче-
скими методами (методом KapTaнa Ceppa и спектральной последователь-
ностью Адамса) только в рамках экстраординарных коrомолоrий.
Исходя из формулы сиrнатуры, было сдел о открьпие нетривиальных
rладких структур первоначально на сфере 8 (Милнор, вторая половина
1950 x п.). Рассмотрим расслоения типа Хопфа тf с базой В == 84, слоем 83
или D 4 И rpуппой 804, определяемые условием
X4(Тf) == J.L, (J.L, [84]) == 1. (4.3.28)
При условии (4.3.28) пространство расслоения со слоем 83 rомотопиче
ски эквивалентно s7. Обозначим пространство расслоения со слоем S3
через 1I1 и пространство расслоения со слоем D 4 через N , rде класс
Понтряrина имеет вид
Рl( Тf) == aJ.L, (J.L, [s4]) == 1.
Заметим, что aN == M . Несложно показаТъ, что число а имеет вид
а == 2k + 2,
rдe k любое целое число. Кватернионному расслоению Хопфа S7 -----,>S4 со
слоем 83 отвечает k == О. Милнор построил rеометрически эти расслое
для всех четных а и одновременно указал rладкую функцию на всех А10:,
имеющую только две невырожденные критические точки минимум и MaK
симум. Поэтому все 1'1 rомеоморфны (даже кусочно линейно) стандартной
сфере s7.
Рассмотрим р L мноrообразие
== N UD8
57
И вычислим ero характеристические классы. По определению, имеем
р1 ( N ) == Pl (N ) == 2k + 2; T( N ) == T(N ) == 1. (4.3.29)
" ,
,,'"
I
I
3 3. rЛАДКИЕ мноrООБРАЗИЯ и ТЕОРИЯ rомотопий
227
Из формулы сиrнатуры имеем
45т + PI 8
7 == P2(N а}
"т' 2 ( N 8 ) ? ( ?
lак как Р2... 8 == а- == 2k + 2)-, то мы получаем: при k == 2, а == 6
число Р2(N в ) не явля тся целыI.. Поэтому мноrообразие не является
rладким, т. е. сфера Мв не диффеоморфна S7.
Само мноrообразие не rомеоморфно никакому rnадкому мноrообра
зию, в силу тополоrической инвариантности чисел Понтряrина. Само Ft
это Р L мноrообразие. в
Дальнейшее развитие теории rладких структур на сферах и дрyrиx MHO
roобразиях будет обсуждено позднее, в следующем парarpафе. Возвратимся
к теории кобордизмов и реализации циклов подмноrообразиями. для иссле
дов ния rомотопических свойств пространств Тома универсальных рассло
ении MN(G) для G == 0,80, И, 8U, 8р, Spin и др. следует вычислить
их коrомолоrии H*(lvln(G), Zp) и действие операций Стинрода т. е. BЫ
qислить коrомоло как модуль над aлrеброй Стинрода (см. rл. 3, g 6).
За исключением Н (1I1(Spin), Z2), коrомолоrии извлекаются из Toro Ha
блюдения, что для универсальных G расслоений G == О 80 И 8U 8
вложение i: ва М n (С) б азы как нулевоrо сечения пор жда оноr:ю:
физм коrомолоrи на простои rлавный идеал, порождаемый i*( и n ), rдe и n
фундаментальныи класс Тома. Это означает, что оператор умножения
z -----'> i*(u n ) . z == i*(z . <р(1)) == i*<p(z)
не имеет ядра в соответствующих коrомолоrиях.
для Н* (ВС, Z2), G == ОП, 80 n мы получаем
i*(u n ) == W n ,
Н*(Мn(С), Z2) W n . Н*(ВС, Z2)'
ДЛЯ Н*(Мn(С), Zp), Р > 2, G == Uk, SUk следует считать n == 2k четным'
для G == 8рn всеrда n == 4k. Torдa мы получим: '
(4.3.30)
а) H*(M 2k (G), Zp) == X2k . Н*(ВС, Zp);
G == 80 2k , р> 2.
(4.3.31)
Ь) H*(M 2k (G), Zp) == Ck . Н*(ВС, Zp),
G == Uk (8Uk), Р 2 (Р > 2), соответственно;
с) H*(M 4 k(G), Zp) == i*(U4k) . н*(ва, Zp),
G == 8Pk, р> 2.
(4.3.32)
(4.3.33)
15.
228
rЛАВА 4
На языке символических образующих эти коroмолоrии представляют
разные семейства симметрических мноrочленов от одномерных обра
зующих tl"", t n (mod 2) для G == ОП, ВОn И двумерных образу
ющих (иl, . . ., Uk) в остальных случаях, rде ш n == tl о ... о t n , X2k ===
== иl о ... о uk == Ck. Описание коrомолоrий Н*(ВС) было обсужден
в g 1 (выше). Соrласно теореме Тома модуль стабильных Z2 коrомолоrии
над aлrеброй Стинрода А2 свободен для G == ОП в размерностях 2n и
порождается симметрическими мноrочленами от tl, . . . , t n недиадическоrо
вида:
""' t q1 t qs
р == tl О . . . о t s '
причем все qj не имеют вида 2 nj 1, и действие этих образующих на класс
Тома ш n == tl . . . t n обычное перемножение полиномов:
Р(Ш n ) == p t l о .. . о t n Е Hn+'Eq; (Мn(Оn), Z2),
L qj < п.
Из этоrо немедленно вытекает (при использовании спектральной no
следовательности Адамса) полное вычисление rомотопических rpупп про
странств Тома J\;[n(On) (в размерностях 2n), или, что то же самое, BC
стабильных rомотопических rрупп спектра 111 О кольца кобордизмов n* ,
и теорема о реализуемости подмноrообразием любоrо цикла mod. 2 размер
ности меньше либо равной , rде q размерность caMoro мноrообразия, и
всеrда в виде образа замкнутоrо мноrообразия.
Все Ар МОДУЛИ стабильных rомолоrий Н*(МС, Zp) для р > 2, G ==
== 80, И, 8U, 8роказались-прямыми суммами одномерных над Ар MO
дулей Ар!(jЗ) и задаются одним тождественным соотношением jЗ(z) ::::! О,
rде jЗ rомоморфизм Бокштейна. для G == U это верно и для р == 2 с з
меной jЗ на Sql. Коrомолоrии н*(ма, Z2) для G == SO, SU, S!, Sрш
несколько иные, чем А2 МОДУЛИ. Они также оказываются суммои OДHO
мерных А2 модулей, но прямые слarаемые бывают разНЫМИi cBo oдHым
над А? и модулями С одним соотношением на образующую 8q (v) о (С
== 80); с одним тождественным соотношением на любой элемент S q2 (z) ::::!
О И вторым 8q2(v) == О, G == 8U; с двумя тождественными соотношени
ями 8 q l(z) ::::! 8 q 2(z) ::::! О (это самый сложный случай 8р); с COOT <r
шениями вида Sq2(V) == Sql(V) == О на образующую v (для G == Sрш)
(Милнор, С. П. Новиков, конец 1950 x начало 1960 x rr.; Браун Петерсон
для М Spin, середина 1960 x rr.). '
Уместно отметить, что мы всеrда имеем здесь дело с кольцевыми CТPYK
турами в кобордизмах, порожденными прямым произведением. Это OTpa
жается на структуре Ар модулей коrомолоrий М == H*(lvlG, Zp), перечис
' 1 '
"
з 3. rЛАДКИЕ мноrООБРАЗИЯ и ТЕОРИЯ rомотопий
229
ленных выше. Все эти модули М == L J\;[j над Ар обладают диarональю
j O
rомоморфизмом Ар модулей
Д: М ........ М 0z p М,
который вводит умножение в коrомолоrияхЕхt:t * (Nl, Zp). После преодоле
р
пия aлrебраических трудностей метод спектральных последовательностей
Адамса (см. rл. 3, g 6, 7) позволил вычислить кольца кобо р дизмов nSo
и * ,
n* t!илноР, С. П. Новиков). Уместно отметить, что 2 кручение rpупп n o
и n* было вычислено первоначально, ИСХОДЯ из иных, чисто rеометриче
ских соображений'(В. А. Рохлин, Уолл, конец 1950 x rr. для n o и Коннер,
Флойд, середина 1960 x rr. для n U); сопоставление этих методов с rOMo
лоrической aлrеброй оказалось возможным только в обобщенных (экстра
ординарных) теориях коrомолоrий ПО и nu.
Все кольца n для перечисленных G не имеют р кручения для р > 2
и для G == И, р ;;?; 2. Кольца n 0 Zp и n 0 Q полиномиальны для р > 2.
Кольцо N;' целочисленные полиномы от четномерных образующих по
одной в каждой размерности. Полином Ньютона == п! ch n для полино
миальНЫХ образующих кольца N;' должен обладать таким свойством:
(сп, [м 2n ]) == { 1 n =1= pi 1,
р n == pz 1,
[J\;1 2n ] Е nlfn.
р простые,
Исходя из комплексных мноrообразий Милнора Нт, t, реализующих цик
лы [Hr,t] == [срт х cpt l +cpT l х cpt] С срт Х cpt, можно постро
ить мультипликативный базис в кольце N;' из целочисленных линейных
комбинаций классов [He,t]. Для срn мы имеем
( , [срn]) == n + 1.
Поэтому лишь [cpp l] являются образующими. для реализуемости цело
численных циклов z Е Н j (111 n , Z) в стабильных размерностях j < ориен
тируемыми подмноrообразиями (или в любых размерностях для представ
ления циклов в виде непрерывноrо образа мноrообразий) из результатов по
стабильной rомотопической структуре пространства Jv180 следует Teope
ма: найдется нечетное целое число Л такое, что цикл Лz реализуется. Если
для всех k ;;?; 1, р > 2 в размерностях j == 2k(p 1) 1 нет р-кручения в ro
молоrиях, то можно положить Л == 1 (С.П.Новиков, начало 1960 x rr.). При
230
rЛАВА 4
наличии р-кручений в указанных rруппах rомолоrий можно, перемножая
все препятствия, взять кратность вида
л == П р[ 2(: 1) ] .
р>2
это число совпадает с общим знаменателем коэффициентов полиномов Xиp
цебруха
L k (P1, ...,Pk),
k==[ ].
в конце 1960 x rr. Бухштабер построил примеры, показывающие, что в
общем случае этот результат неулучшаем. В то же время он показал, что
при отсутствии р-кручений в некоторых промежуточных rpуппах результат
может бытъ улучшен.
4. Классификационные проблемы теории
rладких мноrообразий. Теория иммерсий.
Мноrообразия rомотопическоrо типа сферы.
Взаимоотношения между rладкими и Р L мноrообразиями.
Классы Понтряrина (целочисленные)
Общая постановка задачи о rомотоnической классификации ,иммерсий
(или реryлярных отображений) такова. Рассмотрим два мноrообразия 1vln
и N k , rдe k > n. Найти классы rеrулярно rомотопных иммерсий 1vln N k .
В простейшем случае N k == R есть евклидово пространство, и NJn == вт:.
сфера. Рассмотрим следующие функциональные пространства иммерсии:
1) Пространство X , 8 иммерсий диска Dn, связаННblХ с нормальным.
полем nи 8 в R k , rде n + 8 < k, и в окрестности точки rpаницы 80 иммер
сия нормирована, т. е. ее образ является областью стандартной n плоскости
в R k С постоянным координатным нормальным полем v 8'
2) Пространство У;' 8 иммерсий сферы вn, связанных с полем V 8 в R k
Т аК что k > n + 8 и В ок р естности точки 80 Е ВN иммерсия нормирована,
" k
т. е. ее образ является областью стандартной n плоскости в R с постоян
НbIM координатным нормальным 8 полем V 8 .
Имеются такие отображения:
X , 8 Y: l, 8+1
(переход от диска к rpанице Sп l с нормальным l полем внутри диска).
Соrласно наблюдению Смейла (вторая половина 1950 x roдов) это отоб
ражение является расслоением Серра. Так как слои все rомотопически эк
б Y k
вивалентны, леrко видеть, что о щий слои имеет rомотопическии тип n,8'
3 4. КлАССИФИКАЦИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ rЛАДКИХ мноroОБРАЗИЙ 231
Далее, пространство X ,8 стяrиваемо 7rj(X 8) == о, j ;;?; О. Из этоrо BЫTe
кает изоморфизм rомотопических rpупп слоя' и базы
7rj(Yn 8) == 7rH1(Yn 1,8+1)' (4.4.1)
Классификация иммерсий это линейно связные компоненты пространства
отображений сферы ВN в R k , т. е. 7rO(Y: о). Соrласно серии изоморфизмов
(4.4.1) мы имеем '
7rO(Y;'o) == 7rn(Yo n)' (4.4.2)
Так как пространство YO n совпадает с мноrообразием Штифеля HeBЫpo
жденных n реперов в R k
Yo n == Vn k'
мы окончательно получаем теорему Смейла:
7rо(УТ::о) == 7rn(Vn k) == 7rn(SOk/SOk n).
для k == 2n мы приходим к классической теореме УИТНИ о классификации
иммерсии сферы ВN R 2 n (см. рис. 57). Нетривиальным следствием Te
оремы Смейла является, например, случай иммерсий В2 ------+ R 3, которые
Bcerдa реryлярно rомотопны, так как 7r2(V2, 3) == 7r2(SОЗ) == О. Это отнюдь
не очевидно в простых примерах: В2 RP 2 R 3 И 82 <-----+ R 3 .
Б з труда эти теоремы обобщаются на иммерсии сферы ВN !vlk,
rде М любое мноrообразие. Ответ состоит в том, что классы иммерсий
полностью определяются элементами rомотопической rpуппы 7r n (Еn, k),
rде Еn, k пространство расслоения касательных невырожденных n pe
перов над мноrообразием Mk. Уже для n == 2 над поверхностями 1vI 2 rpуп
па 7r1 (Е 1 , 2) мноroобразия линейных элементов нетривиальна. Он: имеет
образующие (а1, Ь 1 , ..., ag, b g , с) с соотношениями
9
П . Ь . l b l 2g 2
a t tai i С ,
i==l
cai == ai c , cb i == bic.
(4.4.3)
в первой половине 1960 x rr. Хирш завершил теорию Смейла и доказал,
что для любых мноrообразий 1vl n , N k (k > n) класс иммерсий OДHO
значно определяется обычным rомотопическим классом порожденноrо им
отображения касательных расслоений, учитывая, что ни один n репер не
вырождается при иммерсии
f: !vJ n N k .
Рассмотрим мноrообразия Gn(Nk) n Mepных плоскостей в касательных
k
простран твах к N . Иммерсия f порождает отображение f: l11 n
------+ Gn(N ), накрытое отображением rлавных расслоений с rpуппой
GL(n, R) == С. fомотопические классы таких отображений расслоений и
определяют классы иммерсий.
r 'f 1 ;
,,_11,
JI
'.'
i 'i
;:
I\
'р
[с!
';'
11;,
tJ:
r I.
!!i'
'J...
,1
i J ,
',I.!I
t'
'1:7;
vr"
'[;_1
/':
(1
l'
['-}
(;
11
""{
.
;!
232
rЛАВА 4
а) Sl R 2
V R , Sl
I.
1l'1(SI) = Z
б) SI S2
Р 2 . 1 = SОз
JrI(SОз) = Z2
При переходе к сфере
инвариант редуцируется
тodulo 2
, '
2 1 kds =п
r
Рис. 57
Теория замкнутых мноrообразий rомотопическоrо типа сферы постро
ена Милнором и Кервером в конце 1950 x начале 1960 x rr. Совокупность
rладких мноrообразий образует коммутативную полуrpупny относительно
операции С8ЯЗ1ЮU су.м.мы 1\;[! #М!] (см. рис. 58). Из каждоrо мноrообразия
м; \D;
м; \D;
Рис. 58
удаляется по малому диску :L(x ? < с 2 , :L(y ? < с 2 В локальных KO
j q
ординатах (x ) на UасМ! и (y ) на V,в с M!J. Затем оставшиеся края
стандартные малые сферы B 1 отождествляются друr с друrом (с учетом
ориентации, если мноrообразия ориентируемы) с помощью стандартноrо
з 4. КлАССИФИКАЦИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ rлАДКИХ мноrООБРАЗИй 233
диффеоморфизма. Возникает связная С у мма lvJn # ,тn Это
1 lV.L2' ассоциатив
ная операция над мноrообразиями. Обычная сфера Является ну лем
операции: JlvJr#sn == Мn. для этои
При М е р. для n == 2 имеем весь список поверхностей };J2 == JlvJ2 #
# М2 ( ) 2? 9 1. ..
.,. 1 9 штук, М 1 тор, Ni,g == K 2 #Ml#... #Ml, (9 1 штук)
К 2 бутылка Клейна. Ni, 9 == RP2#111 1 2 #... #М2 (9 Ш ту к ) И .
12 Т2 2 2 ' 1. так,
М 1 ' к и RP образующие полуrpуппы всех замкнутых Поверх
ностеи. Соотношения таковы:
RP2#RP2#RP2# == RP2#Mf == RP2#K2,
K 2 #lvf[ == К 2 #К 2 .
CY
м; ,g=3
Сфера с g ручками s2+(g)=M: (на рисунке g=3)
Рис. 59
Процесс деформации ручки с выворачиванием
"Z'S:7 плёнка Мёбиуса
Рис. 60
Поверхности Ni, 9 для 9 ;:: о представ.!IЯЮТ ненулевой класс коБQРДИЗ
мов в П , остальные нулевой. Полyrpуппа замкнутых ориентируемых
поверхностей свободна с единственной образующей т 2 . для трехмерных
мноroобразий полуrpуппа ориентируемых, по видимому, также свободна.
для четырехмерных это уже не так.
Вернемся к rомотопическим сферам }.;Jn, r.zte 7rj(Mn)==O, j < n. Клас
сы эквивалентности rомотопических сфер относительно ориентированноrо
h кобордизма образуют абеле ву rpуппу (}n относительно операции связной
суммы. Эквивалентным нулю является мноrообразие }.;[n, оrpаничивающее
стяrиваемое мноrообразие }.;!n == aWn+l, V rv О. Так как дСМn х 1) ==
== (1VJ n х а) U (1V!n х Ь) состоит из двух одинаковых краев с npотивополож
ными ориентациями, мы можем удалить цилиндр над OTI<pbIТbIM Е" ДИСКОМ:
W n + 1 == (м n Х 1) \ (D х 1) == (м n \ D ) х 1,
D : I:(x ) < Е"2.
j
234
rЛАВА 4
з4. КЛАССИФИКАЦИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ 235
Mп Sn(rомотопические сферы)
М n #( M" ) o
РИс.6l
Рис. 63
Особый интерес представляет подrpуппа (}n (обозначаемая ьрn+ 1), COCTO
ящая из h кобордантных классов rpаниц компактных параллелизуемых мнo
rообразий с краем. для n == 4k + 1 rpуппа ьр 4 Н2 С (}4k+l имеет порядок 1
или 2. Порядок rpупп bp4k растет при k 00, ьроо == Z28.
Более точные сведения мы укажем Ниже. Как указал Милнор, можно
построить по любой четной унимодулярной целочисленной матрице (aij)
параллелизуемое мноrообразие p4k такое, что H 2k (p4k, Z) свободная
абелева rpуппа, Tj(P4k) == О, j < 2k и rpаница ap4k rомотопическая сфе
ра }.;[4k 1. При этом матрица пере сечений базисных циклов из H 2k (p4k, Z)
совпадает с (aij). Минимальная сиrнатура таких мноrообразий равна 8:
Tmin(P4k) == 8 (см. табл. 4)
Рис. 62
2 1 О О О О О О
1 2 1 О О О О О
О 1 2 1 О О О О
О О 1 2 1 О О О
О О О 1 2 1 О 1 (4.4.4)
О О О О 1 2 1 О
О О О О О 1 2 О
О О О О 1 О О 2
Заметим, что мноrообразие p4k является Sрiп мноrообразием (оно ориен
тируемо и класс Штифеля W2(P4k) == О). Необходимым условием тoro,
чтобы rpаница была обычной сферой S4k 1 == M4k 1 == ap4k, является
целочисленность A poдa (см. 3, rл. 4):
A[p4k U aP4k] == T(p 4k ) . 1
22k+1(22k 1 1)'
Леrко видеть (сrладив уrлы), что
avv n + 1 == м n #( Mn)
и W n + 1 стяrиваемо (см. рис. 63).
Из этоrо вытекает, что сиrнатура делится на выражение
2 2k +1 . (22k 1 1),
236
rЛАВЛ 4
3 4. КЛАССИФИКАЦИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ rлАДКИХ мноrООБРАЗИЙ 237
rk == 22k 2(22k 1 1).
как сиrнатура замкнутоrо оснащенноrо мноrообразия равна нулю по форму
ле Хирцебруха, Bcerдa можно элементарными операциями перестроек Mop
са уничтожить и эту rpуппу при n > 4, rдe циклы размерности n/2 можно
реализовать вложенными сферами, необходимыми для перестройки Морса.
для четных n == 4q + 2 также делается приведение оснащенноrо мноrообра
зия NJn к такому, что 7rj == о, j ::::; 2q. Циклы из 7r2q+1 == H 2q + 1 (мn) можно
реализовать сферами s2q+1 С lvJ4 q +2, однако они MOryт иметь нетрИВИаль
ное нормальное расслоение v в l\rJ4 q +2, описываемое первой нестабильной
rpуппой
и порядок rpупп bp 4 k делится на число
Надо учесть, что A poд даже четен для k == 2l, поэтому для таких k порядок
делится на 2rk.
Из формулы Хирцебруха для сиrнатуры и Toro, что т( sп) == о, Bытeкa
ет, что класс Понтряrина Pk(JI.;[n) == О для n == 4k. Стабильное нормальное
N расслоение v для вложения А1 n <-----+ Rn+N определяется элементом CTa
бильных rpупп
[v] Е 7r n (SON),
[v] Е 7r2q(S02q+1) == Z2, q f:- о, 1, 3.
Эта rpуппа уже обсуждалась. Ее нетривиальность порождает непараллели
зуемость сфер размерностей f:- 1, 3, 7 и отсутствие aлrебр с делением в
размерностях f:- 2, 4, 8. Итак, циклу
z Е 7r2qH(A14q+2) == H2q+1(M 4 q+2, Z)
таблица которых приведена в 2, rл. 3. Из одной теоремы Адамса следует
(начало 1960 x rr.), что
[v] == о
также и в случаях 7r n (ВО N) == Z2.
Итак, все rомотопические сферы при вложении в Rn+N для достаточ
но больших N (N > n + 1) имеют тривиальное нормальное расслоение
и допускают оснащение реперное поле VN. Пара (JI.;Jn, VN) представляет
элемент стабильных rомотопических rpупп сфер 7r n +N(sN), n < N 1.
Произвол в выборе оснащения приводит к мноrозначности. Оснащенные
мноrообразия типа (вn, VN) соответствуют подrpуппе J(7r n (SON)), обра
зу под действием roмоморфизма Уайтхеда (см. 3, rл. 4). Мы получаем
rомоморфизм
отвечает элемент
J.L: ОП 7r n +N(SN)/J7r n (SON)'
Ядро этоrо rомоморфизма состоит из всех rомотопических сфер Аl n , KO
торые оrpаничивают параллелизуемое мноrообразие ьрn+1 с ОП. Теорема
Милнора Кервера утверждает, что roмоморфизМ: J.L является эпиморфизмом
для n f:- 4k + 2; для n == 4k + 2 образ ero может иметь индекс 1 или 2. Ядро
.омоморфизма J.L, т. е. подrpуппа ЬРn+ 1 С ОП тривиальна для четных n и
циклическая для нечетных n. Более Toro, известно, что для n == 4k + 1 под
rpуппа bP4k+2 С n 4k + 1 имеет порядок::::; 2, что ьроо Z28, И что порядок
bp 4k возрастает при k 00.
Для исследования rомотопических сфер была детально развита Tex
ника уничтожения rомотопических rрупп оснащенных мноroобразий пере
стройками Морса, чтобы свести их к оснащенным rомотопическим сферам.
для п == 2 такие соображения использовались еще Понтряrиным при за
вершении вычисления rpуппы п n +2(Вn) В конце 1940 x IТ. (см. 3, выше).
Сначала оснащенное мноrообразие следует привести к связному в классе
эквивалентности, затем к односвязному и т. д. Нетривиальный анализ воз
никает только в размерности [nj2]. для нечетных n никаких инвариантов не
возникает, хотя доказательство этоrо нетривиально. для четных n == 4q, так
Ф(z) == [v] Е Z2 при q f:- о, 1, 3
функция Арфа. Эта величина удовлетворяет «Арфа тождеству»
Ф(Z1 + Z2) == Ф(Z1) + Ф(Z2) + Z1 о z2(mod2).
При q == о, 1, 3 такая же функция Ф определяется не с помощью классов
нормальных расслоений, а с помощью нормальных оснащений на сферах
S2qH С M 4 q+2 С R N (см. 3, rл. 4 для q == О). Как указано в 3, rл. 4,
возникает rомоморфизм (Арф инвариант)
Ф: 7rN+4q+2(SN) Z2.
fомоморфизм Ф заведомо нетривиален для q == о 1, 3 на стабиль
( N ) '
НbIX rpуппах 7rN+2' 7rN+6' 7rN+14 S . Для q 2 этот rOMoMop
физм тривиален (Кервер, конец 1950 x rr.). Это дало Керверу возмож
ность построить 10 MepHoe Р L мноrообразие, rомотопически неэквива
лентное rладкому, и установить свойство bp10==Z?c(}9. Для q ==O , 1 3 име
2 6 14 ,
ем ьр ==ьр ==ьр ==0. Проблема Арф инварианта состоит в исследовании
rомоморфизма Ф
Ф: 7r4q+2+N(SN) Z2.
Ф == о, если и только если bP4q+2 == Z2 (Кервер, Милнор). Для всех
размерностей вида 8k + 2 == n свойство Ф == о было установлено Aндepco
ном, Брауном и Петерсоном (середина 1960 x rr.); они использовали идею
расширения Ф до rомоморфизма обычных кобордизмов (с. П. Новиков, Бра
ун, первая половина 1960 x rr.):
s (S N ) r'lSU Ф Z
7r8q+2 7r8q+2+N H8q+2 2.
238
rЛЛВА 4
з4. КлАССИФИКАЦИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ rллдких мноrООБРАЗИЙ 239
Образ rомотопических rpупп сфер в n U оказывается весьма простым, и
это приводит здесь к результату.
для n == 8q + 6 это расширение, используюшее обычные кобор
дизмы, не rодится. Браудер, построив специальную теорию кобордиз
мов, максимально расширяющую Арф инвариант Ф, установил следующий
факт: если n -1=- 28 2, то Арф инвариант Ф тождественно нулевой. Ec
ли n == 28 2, то Арф инвариант отличен от нуля, если и только если
? 24 2 ( )
элементы h; 1 Е Ext А; Z2, Z2 являются циклами всех дифференциалов
Адамса и представляют нетривиальные элементы rpупп 7rN+2s 2(sN) (KO
нец 1960 x rr.). для s == 5, 6 элементы h , hg ЯВЛЯIOТСЯ циклами всехдиффе
ренциалов; Арф инвариант нетривиален в этом случае, ьрзо == О, ьр62 == 07.
Кроме rpуппы (}n, eClecTBeHHo определяется также rpуппа [ n . По опре
деленmo, элементыI из [n представляются сохраняющими ориентацmo диф
феоморфизмами сферы Bn 1 L sп 1, rде тривиальным считается тот, KO
торый продолжается до диффеоморфизма диска -ф: Dn Dn, ФISn l == f,
т. е. rpуппа [n является фактор rpуппой diff+ (8n 1) по таким диффеомор
физмам. Итак, имеем rомоморфизмы, суперпозицию которых мы также обо
значим через -Д:
Ji: 11"o(difi+ Bn 1) [n (}n !!4 7r n +N(8 n )j iш J.
(Здесь rомоморфизм [n ........ (}n определяется сопоставлением диффеомор
физму f: Sr 1 8 1 rомотопической n сферы, полученной отожде
ствлением rраниц двух дисков D"i, D при помощи f.) Соrласно теоремам
Смейла [n == (}n для n ;:: 5, так как все rомотопические сферы Af n склеи
ваIOТСЯ из двух дисков по диффеоморфизму rpаницы f: 8n 1 8n 1. Уже
из примера Милнора (см. 3) следует, что
7ro(diff+ 86) :#1, . ,
rде значок diff+ означает диффеоморфизмы, сохраняюшие ориентацию.
Для n == 1, 2,4 имеем (}n == О. fруппы [n для 11. == 1, 2 тривиальны оче
видным образом. Смейл доказал в конце 1950 x rr., что rруппа diff+ 82
стяrивается к 80 з . Уже весьма неэлементарна теорема Серфа (середина
1960 x rr.), утверждающая, что
7ro(diff+ 8 З ) == 1.
Естественно, строятся расслоение р и вложение х
р: diff+ Dq ........ diff+ sq 1 ,
х: diff+(Dq, Sq l) <.......+ diff+ sq.
Слоем расслоения р является rpуппа диффеоморфизмов, неподвижных на
rpанице Fq == diff+(Dq, 8q 1). Имеются rомоморфизмы в rомотопических
rpуппах:
д: 7rj(diff+ 8q 1) ........ 7rj l(Fq),
х*: 7rj l(diff+(Dq, 8q 1)) ........ 7rj l(diff+ sq).
Мы полаrаем
А == (х* о д) о . . . о (х* о д) о (х* о д),
2] раз
rде
А: 7rj(diff+ 8q 1)........ 7ro(diff+ 8q+j 1).
Вместе с уже рассмотренным отображением Милнора Кервера
-Д: 7ro(diff+ 8q 1) 7rN+q(8 N )ji m J7r q (SO)
верна такая формула для любой пары элементов а Е 7ro(diff+ SN l),
Ь Е 7r q (80N) В кольце n[" кобордизмов оснащенных мноrообразий:
[1 == [2 == [3 == [4 == [5 == [6 == О,
[7 == 28, [n == (}n, 11. -1=- 3.
Ji(Л(аЬа l)) == -Д(а) о J(Ь)[шоdJ7r q +N(80N )],
aba l Е 7r q (diff+ SN l).
В некоторых размерностях кольцевая структура n[" == L 7rN+j(8 N ) Taкo
з О
ва, что формула (4.4.5) приводит к ненулевому результату в правой ча
сти (например, для q == 1, N == 8) см. таблицу в конце g 7, rл. 3.
Из этоrо для таких N вытекает нестяrиваемость компоненты единицы
rpупnыI diff+(SN+l)) к подrpуппе SON (С.П.Новиков, первая половина
1960 xrr.)8.
Классификационная теория замкнутых односвязныx мноrообразий раз
мерности n ;:: 5, а затем и неодносвязных существенным образом связана
с некоторыми важными, хотя и элементарными свойствами отображений
замкнутых мноrообразий
(4.4.5)
Итак, мы имеем
7Последний результат принадлежит Баррату, Маховальду и Дж. Д. С. Джонсу; они доказали,
что hg является циклом всех дифференциалов Адамса, прямым вычислением спектральной
последовательности Адамса. Неизвестно, являются ли какие либо из h; циклами при j ) 6.
f: AIf ........ M!j
8Немноro позднее доказано также Милнором.
240
rЛАВА 4
степени deg f 1. Так как f*D l f* D есть единичный оператор (rдe D
двойственность Пуанкаре), rомолоrии и коrомолоrии мноrообразия .iV[f Ka
ноническим образом разлarаются в сумму
H*(Mf) == (D l f* D)H*(Mn ЕВ Ker f*.
(4.4.6)
Эта сумма является ортоrональным разложением относительно индекса пе
ресечения (аналоrично для коrомолоrий). Часть rомолоrий, попавшая в яд
ро Ker f*, ведет себя замкнуто относительно двойственности Пуанкаре, т. е.
ведет себя как rомолоrии отдельноrо мноrообразия. Если ядра в rомотопи
ческих rpуппах Ker fi 7rj ) С 7rj(1\..f]') тривиальны при j < k 1, то верен
аналоr теоремы fуревича:
Ker f!7r k ) == Ker f!H k ).
(4.4.7)
fомоморфизм rомотопических rpупп
f*: 7ri(Mf) 7riCM;)
является изоморфизмом при i < k. Эта теорема верна и для неодносвязных
мноrообразий с заменой на 7rl модули
К j Hk К j (7rk) i<:Л Z
er * == er * 'O'Z(7r) ,
7r == 7rl (М!) == 7rl(Mn.
(4.4.8)
При этом если rомоморфизм rрупп 7rl не имеет ядра, то это изоморфизм.
В приложениях к классификационной теории класса мноrообразий,
имеющих общий rомотопический тип (с. П. Новиков, начало 1960 x rr.), и к
задаче о rомотопических типах замкнутых rладких мноrообразий (Браудер,
С. П. Новиков, начало 1960 x rr.) мы всеrда встречаемся с ситуацией, KO
rда rомотопический тип мноrообразий задается некоторым CW комплексом
.iVЦ' == А1 n . В наиболее общей задаче Браудера о выделении rомотопических
типов мноrообразий среди комплексов само Alf может не быть даже MHoro
образием и может иметь друrую rеометрическую размерность; нужен лишь
класс rомолоrий [мn] Е нn(мn, Z) такой, что оператор а an[Mf] опре
деляет изоморфизм Пуанкаре roмолоrий и коrомолоrий. Такие комплексы
называют комплексалш Пуанкаре. Оказывается, что комплекс Пуанкаре .iVJ n
допускает единственное стабильное «нормальное сферическое расслоение»
VM", которое ведет себя как обычное стабильное нормальное расслоение
мноrообразия, и если A.f n rnадкое (или Р L ) мноrообразие, VM" просто
стабильный rомотопический класс ero стандартноrо нормальноrо расслое
ния. Поэтому задачи классификации сводятся к рассмотрению комплекса
з4. КлАССИФИКАЦИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ rЛАДКИХ мноroОБРАЗИЙ 241
Пуанкаре .iV[n с векторным расслоением над Мn, roмотопичеСКИ эквива
лентным стабильному нормальному сферическому расслоенmo. Если Alf
rладко и замкнуто, то решается задача о возможном произволе в выборе
стабильноrо нормальноrо расслоения при фиксированном rомотопическом
типе caMoro замкнутоrо мноrообразия (с. П. Новиков, начало 1960 x rr.).
Предположим, что над данным комплексом Пуанкаре .iVjn имеется BeK
торное расслоение и нормальное расслоение VMj эквивалентно f* , как
векторное расслоение, т. е. коммутативна следующая диarpамма:
VM{'
1
м]'
F
1
f
) 111 n .
При выполнении этоrо условия на нормальное расслоение к 1111 отобра
жение f, deg f == 1, называют нормальным. В этом случае ядро Ker f*
в rомолоrияx и rомотопиях ведет себя так же, как в параллелизуемых MHO
rообразиях. это обстоятельство дает возможность использовать eCTeCTBeH
ныIй аналоr техники Милнора Кервера для упрощения ядер rомотопиче
ских rpупп нормальных отображений степени deg f == 1 пере стройками
Морса. Определяются классы нормальных бордизмов нормальных отобра
жений степени 1, накрытых отображением расслоений Р: v N
f: Mf м n ,
f* == V n , 1VJf с R n + N ,
v n ------стабильное нормальное расслоение к AJr. Здесь мноrообразие .iVlf==Mn
и расслоение фиксированы. Мноrообразие М N может быть только KOM
плексом Пуанкаре. Пленка (нормальный бордизм) определяется как HOp
мальное отображение мноrообразия с краем и расслоением
g: JVn+l .iVjn х 1,
с: V N Х е О ,
rде JVn+l С Rn+N х 1 ортоrонально подходит к краям
дн n +1 == м:; U мь, 1 == [а, Ь];
м:; с R n + N х {а}, МЬ с R n + N х {Ь},
на которых заданы нормальные отображения степени 1. Здесь v n нормаль
ное расслоение к JVn+l С Rn+N х 1. Множество таких классов бордизмов
мы обозначим через N(.iV[n, ). Без труда доказывается, что это множество
16 Тополоrия
242
r ЛАВА 4
реализуется в rpуппе 7rn+N(T ) для пространства Тома расслоения как
множество элементов, rомолоrичных стандартному
а Е N(M n , ) с 1ТN+n(Т ),
Н(а) == 'Р[1\1 n ] Е HN+n(T ) == Z,
rдe Н: 7rj(T ) Hj(T , Z) rомоморфизмfуревичаи 'Р: H n (lvl n , Z)
HN+n(T , Z) изоморфизм Тома. В силу теории Серра и Картана, cтa
бильная rpуппа 1ТN+n(Т ) имеет вид:
(4.4.9)
7rN+n(T ) == Z$JJ(M n , ),
(4.4.1 О)
rдe N конечная абелева rpуппа. элементыI из множества нормальных
бордизмов степени 1 таковы:
а == 1 + а, а Е и(м n , ), а Е 1 + lJ == N.
(4.4.11)
Если Nl;; == М 1 == N[n является rладким мноrообразием и == V N ero
стабильное нормальное расслоение, то элемент 1 Е 7rN+n(T ) канонически
реализуется тождественным отображением
f == 1: N1 n м n ,
F == 1: v n V N .
(4.4.12)
Имеют место следующие утверждения:
. 1. Пусть два мноzоо.бразия 1V1 1 L А1 n и NI!l Jo.1 n с атабражеllи
ями f, 9 степени 1, прадалженнымина нормальные расслоения, пpeдcтaв
ляют адин и тот же класс нор.мальных бордиз..«ав. Если ото.бра.женuя f, 9
являются ZQМатопичес-кuми эквивалентнастямu, то найдется 20.мoтoпи
ческая сфера N n Е bPn+l такая, что.
М[' == N n #M1j.
(4.4.13)
Отсюда при n 5 1\;11 диффеОi1ЮрфНо. 1\1'2 для четных n; всесда при
n 5 1\;11 ZQмеоморфна N1'2, причем zомеа.марфиз..« может быть сделан
дuффео.морфизмом в дополненuи к тачке (с. f}. Но.виКо.в).
2. Если n 5 нечетна, то. каждыи класс нормальных бардuз
оиав реализуется j\то.zаабразиeh/ 2Оматапическо.ZО типа А1 n . Усло.вие
Lk(Pl ( ), . .., Pk( )) == т(мn) для классав По.нтряzина рассло.ения нео.б
xaдuмo и дастато.чно.. чтобы это было. верно и для п == 4k (Браудер,
С. П. Но.викав).
з 4. КЛАССИФИКАЦИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ 243
Из первой части теоремы вытекает такое следствие: при n 5 имеет
ся Bcero конечное число попарно недиффеоморфных замкнутых односвяз
HblX n мноrообразий общеrо rомотопическоrо типа и с общими классами
Понтряrина Pj Е л 4j (мn, Q). Поскольку учитывается их тополоrическая
инвариантность, отсюда следует конечность числа rладких структур на за
мкнутом односвязном мноrообразии размерности n 5. Поскольку эта
теория переносится и на Р L мноroобразия, то этот результат сохраняется и
для числа Р L CTPYКТYp. Заметим, что в первой части теоремы, вследствие
перехода к Р L мноrообразиям, получится упрощение: мноrообразия М'(
и Nl'2 будут РL rомеоморфными, так как все rомотопические сферы PL
roмеоморфны ВN.
для TOro чтобы точно получить классы диффеоморфных мноrооб
разий (с учетом первоrо пункта теоремы), следует множество элемен
тов N(Mn, V N ) == {1 + а} Е 7rN+n(Tv N ) профакторизовать по rpуп
пе С(А/n, VN) rомотопических классов автоморфизмов степени 1, т. е.
отображений 1\f n L Nl n на себя, сохраняющих расслоение : f*v n ==
== VN, deg f == 1. В rpуппе автоморфизмов G(lv1 n , VN) имеется подrpуп
па J(1\;l n , V N ) таких автоморфизмов расслоения, которые тождественны на
базе. Недиффеоморфные мноrообразия (с учетом пункта 1 теоремы) OТBe
чают орбитам
N(M n , VN)jG(M n , VN)' (4.4.14)
Если рассмотреть действие меньшей rpупnыI J (1\;1 n , V N ), то орбиты
N(M n , vN)jJ(M n , VN)
(4.4.15)
соответствуют следующей задаче: задана rомотопическая эквивалент
ность --::-- нормальная и степени deg f == 1 .. ... .,. ____.
f: М[' м n .
Можно ли продеформировать f к диффеоморфизму (точнее к диффео
морфизму с точностью до прибавления сферы Милнора из bPn+l)? В MHO
жестве (4.4.15) имеется выделенный элемент, представляющий 1\;1 n . Образ
нормалъноrо бордизма в (4.4.15) должен быть тем же самым, что и образ
этоrо элемента, если и только если задача разрешима. Пусть f: lv1 1 lу1 n
и у: N1'2 N1 n представляют нормальные бордизмы; они равны в (4.4.15),
если и только если fg l rомотопно диффеоморфизму (modbpn+l).
Если расслоение совпадает со стабильным нормальным расслоением
к Nl n С sN+n, == VN, то пространство Тома TVN имеет простой reoMeT
рический смысл. Пусть Uе; c oкpeCTHOCTЬ мноrообразия, rдe Е мало. По
определению, имеем
TVN == sN+njsN+n \ Uе;,
16*
244
rЛАВА 4
з4. КлАССИФИКАЦИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ rЛАДКИХ мноrООБРАЗИЙ 245
rде все дополнение к € окрестности стянуто В точку. Возникает очевидное
отображение
факторе SG q /80 дает препятствие к диффеоморфизму между различными
мноrообразиями в классе а. При q ........ 00 rомотопические свойства Ва
стабилизируются (с учетом структуры Н пространства). Естественные вло
жения порождают спектр
8 N + n ........ TVN,
тождественное внутри области U е . Оно имеет степень 1 и представляет
само мноrообразие lv[n. для n == 4k + 2 можно утверждать, что некоторое
подмножество {1 + а} С 7r n +N(TVN), а Е BN С N(Mn, VN), rде В это
подrpуппа индекса 2 или 1, реализуется мноrообразиями roмотоnическоrо
типа I1f n .
Использование пространств TVN удобно для проведения вычислений
с конкретными мноrообразиями. Обобщение этой теории на мноrообразия
с краем было дано В. Л. fоло и Уоллом (середина 1960 x rr.).
Как указал ряд авторов 9 в середине 1960 x П., для исследований обще
KaTeropHoro характера удобно пользоваться так называемым «B двoйcтвeH
HblJ"t» представлением. 8 двойственньш по Спеньеру Уайтхеду называется
дополнение DK к комплексу К в мноrомерной сфере sm
D:K........8 m \K, т........оо.
На rомотопических классах отображений К L оператор S двойственнос
ти переворачивает стрелки (это очевидно, если К С L; любое отображение
сводится к вложению при переходе к цилиндрам отображений)
SG q с 8G q +1 С ...
Предел мы обозначим через 8С. Имеются также вложения
8а:) SPL :) 80,
rде ВР L rpуппа ростков Р L автоморфизмов диска большой размерности,
неподвижных в начале координат, сохраняющих ориентaцmo. Вложение ro
мотопических rpупп 7rj(SO) ........ 7rj(SG) совпадает с rомоморфизмом J (BЫ
ше), rдe
7rj(8G) == 7rN+j(sN), N > j + 1.
Имеет смысл пространство В8а универсальное для сферических pac
слоений (слой сфера), rдe эквивалентность осуществляется такими отоб
ражениями, которые имеют степень 1 на слоях и коммутируют с проекцией.
Разумеется, пространство SG q имеет rомотопический тип пq(8q) связной
компонентыI единицы MHoroкpaTHoro пространства петель, но мультиплита
тивная структура у них разная:
D(TVN) == 'E q (lv1 n U *) == TrJq,
7rj(n Q (sq)) == 7r Q +j(sq) == 7rj(SG).
Пространство вс+ q не имеет rомотопическоrо типа (q 1) кратноrо про
странства петель nq 1 (У) для любоrо пространства У.
Переход к катеrории Р L мноrообразий ничеro особенно не меняет.
Касательное и стабильно нормальное расслоения мноrобразий называются
(<мuкрорасслоенuямu» в смылее Милнора с rpуппой Р L POCТXOB, сохраня
ющих начало координат автоморфизмов диска, размеры областей определе
ния которых не уточнены. Соrласно теореме ряда авторов первой половиныI
1960 x П. Р L мноrообразие допускает совместимую с ним rладкую CTPYK
туру, если и только если стабильно нормальное (касательное) РL микро
расслоение редуцируется к векторному О расслоенmo (или к 80 в ориенти
руемом случае), rдe О с PL, 80 с 8PL. Относительные roмотопические
rpупnыI 7rj(8PL, 80), которые препятствуют редукции РL расслоений к
rладким, совпадают с rpуппами fj l
Df: DL........ DK,
[К, L]s == [DL, DK]s,
rдe [,]s стабильные roмотопические классы отображений. К сфе
ре 8 двойственна сфера. Как заметил Атъя (начало 1960 x п.), комплек
су Тома стабильноrо нормальноrо расслоеНия замкнутоro мiюrообраЗия
Jl..jn S двойственен комплекс Тома стабильноrо тривиальноrо расслоения Тfq
над lvl n :
( *) одна точка.
Отображению f: 8 N + n ........ TVN степени 1 оказывается 8 двойствен
но отображение пространства Тома тривиальноrо расслоения в сферу 8 q
степени + 1 на каждом слое, зависящем от точки базы как от параметра:
D f: TТfq ........ 8 q .
Обозначим через SG q полуrpуппу отображений 8 q ........ 8 q степени +1. Мы
приходим к отображению базы D f: lvJn ........ С+ q (q ........ 00), построенно
му по элементу множества но рмальных бордизмов степени 1. Ero образ в
9 А. ШваРЦ, НОВИКОВ, Сулливан.
7rj(8PL, 80) == 7rj(8PL/80) == fj l.
(4.4.16)
Теория Р L мноrообразий строилась, начиная с 1930 x п. (Ньюмен, У ай
тхед, Зиман, Манкрес, Мазур, Хирш и др.). Формула (4.4.16) дает препят
ствия к введению rладкости в Р L мноrообразии в окрестности j MepHoro
246
rЛАВА 4
остова классы коrомолоrий из rрупп Hj (JvJ, r j ). в области, rде касатель
ное расслоение тривиально, rладкая «локальная» структура всеrда вводится.
Это позволяет, естественно, без изменений перенести на Р L мноrообразия
всю технику классификации мноrообразий общеrо rомотопическоrо типа,
обсужденную выше, так как перестройки Морса совершаются над парал
лелизуемыми областями (выше) при уничтожении ядер rомотопических
rpупп.
Следует, однако, учесть, что Р L расслоение имеет больше классов aв
томорфизмов, тождественных на базе, чем 80 расслоение. Поэтому в 8
двойственной трактовке преnятствие к Р L изоморфизму мноrообразий CBO
дится к rомотопическому классу отображений
lvI n ....... 8Gj8PL
при замене 80 на 8PL.
как заметили Сулливан и BaroHep (в 1966 r.), rpуппы 7r j (С j Р L) ycтpo
ены просто и имеют 4 периодичность:
{ Z'
7rj(8Gj8PL) == 7rj(GjPL) == i
2,
О,
j == 4k
j == 4k + 1
j == 4k + 2
j == 4k + 3.
в дальнейшем rомотопическая структура пространства 8С; 8Р L,IO ero
связь с периодичностью Ботта и ряд друrих свойств позволили Сулливану
установить важные общие факты. Однако до последнеrо времени ero работы
с доказательством опубликованы не были. .
Относительные rомотопические rpуппы 8PLjSO совпадают с rpyn
пами rj l. Из npедыдущеrо вытекает следующее: rомоморфизм вложения
7rj(80)....... 7rj(8PL)
является изоморфизмом для j 6. Порядок образа rpуппы 7r7 (8 О) с 7r7 (8 Р L )
делится на 7. Это видно немедленно, переходя к универсальным npocтpaн
ствам этих rpynn В80 ....... B8PL, так как класс Понтряrина РL мноrооб
разий может быть дробным со знаменателем, равным 7 (см. 3). Из этой
делимости леrко извлекается такой результат:
IОrомотопические свойства пространств G / Р L, SG / S Р L полностью описаны в книrе Мад-
сена, Милы-рама «Классификация пространств при перестройках и кобордизмах мноroобра.
зий» (<<Classifying Spaces in Surgery and Cobordism of Manifolds», Princeton University Press,
1979, «Annals of mathematics studies», по 92).
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
247
Можно построить СW К'OJ'wплеК'с JvJ (2ЛадК'ое мносообразие), облада
ющий 7.К'ручением в К'осомоло2UЯX н8(м, Z) и два 80 расслоения ryl, 'Т/2
над М, такие, что
1) P2(ryl) 1= Р2('Т/2).
2) Расслоения (ryl, 'Т/2) друс друсу рL uзoJ'wорфны.
Итак, кручение целочисленных классов Понтряrина в общем случае
даже РL неинвариантно (Милнор-.-Кервер, первая половина 1960 x rr.).
Еще в 1940 x rодах Уитни бьто установлено, что при n 1= 2 иммер
8 n M б
сии ....... при надлежащих простых условиях MOryт ыть реryлярно
продеформированы к rладким вложениям. для n == 2 такое утверждение
неверно; именно это технически кардинально усложняет теорию 4 MepHЫX
одно связных мноrообразий. Начиная с конца 1950 x и. (в течение всех
1960 x и.), ряд aвropoB Хефлиrер, Столлинrс, Левин и др. строили
теорию вложений ОДНО связных мноrообразий в евклидовы пространства,
начиная с вложений rомотопических сфер. Мы не будем описывать здесь
результаты этой теории, использующей, в частности, весь аппарат, развитый
для классификационной теории.
5. Фундаментальная rруппа в аппарате тополоrии.
Мноrообразия малых размерностей (п == 2, 3).
Узлы. rраница открытых мноrообразий.
Тополоrическая инвариантность рациональных
классов Понтряrина.
Классификационная теория неодносвязных
мноrообразий размерности 5.
Высшие сиrнатуры. Эрмитова К теория.
rеометрическая тополоrия,
конструкции неrладких rомеоморфизмов.
Пример Милнора. rипотеза кольца.
Тополоrические и Р L CTPYКТYPLI
Фундаментальная rpуппа иrpает особую роль в структуре тополоrии,
во всей ее технике, во всей совокупности приложений тополоrических Me
тодов. Для мноrообразий малых размерностей n == 2,3 она, по существу,
определяет все нетривиальные тополоrические факты. Напомним, что клас
сификация rомеоморфизмов замкнутыIx поверхностей, их rомотопических
и изотопических классов (т. е. классов rомотопии среди rомеоморфизмов)
целиком сводится, соrласно Нильсену, к автоморфизмам фундаментальной
rpуппы 7rl (м 2 ) по модулю внутренних; все они классифицируются и CBO
248
rЛАВА 4
ДЯТСЯ К суперпозициям следующих элементарных. Если lvl; ориентиру
емая поверхность рода 9 с образующими rpуппы 7r1 вида
9
а1, Ь 1 , ... ! ag, b g , П ai b i a :;1b:;1 == 1,
i 1
то элементарные образующие rpуппы автоморфизмов таковы (Ден, 1920 e
rоды):
G:i: b i ....... biai; bk ....... bk,
{3i: ai ....... aibi; ak ....... ak,
ri: b i ....... a:;'-I\ biai;
k -=1= i,
k -=1= i,
(4.5.1)
1:::; i :::; g,
1:::; i :::; g,
a q ....... a q ;
b q ....... b q ;
Ь Н1 ....... bH1bia:;1b:;1aH1; b q ....... b q , q -=1= i, i + 1;
1 Ь b 1 Ь 1 b 1
аН1 ....... а Н1 iai i аН1 iai i аН1;
ak ....... ak, k -=1= i + 1; 1:::; i :::; 9 1.
б: aj ....... bg+1 j; b j ....... ag+1 j'
Автоморфизмы G:i, (3i, ri сохраняют ориентацию, а б обращает ее. Фунда
ментальная rpуппа определяет также теорию узлов вложений 81 . 83.
Труппой узла называется 11"1 (83 \ 81). В этой rpynne имеется отмеченный
элемент а, полученный сдвиrом окружности 81 ....... (83 \ 81) вдоль нормаль
Horo (малоrо) BexтopHoro поля TaKoro, что сдвинутая окружность 8f имеет
нулевой КОЭффl:lциент зацепления с исходной. fраница трубчатой oкpecтнo .
сти узла есть тор т 2 ::J 81, И вложение т 2 ....... (83 \ 81) дает отмеченную
коммутативную подrpуппу в rpуппе узла, изоморфную Z ЕВ Z с фиксиро
ванной парой образующих (одна из которых отмеченный элемент а) для
нетривиальных узлов. По видимому, rpynna узла с такой отмеченной KOM
мутативной подrpуппой дает полный инвариант узла (в подrpуппе отмечен
. .
Во всяком случае rpуппа узла изоморфна Z, если и только если узел
тривиален, т. е. rомеоморфизмом 83 ....... 83 или изотопией сводится к триви
алъному вложению 81 83 (теорема Папакирьякопулоса, вторая половина
1950 x rr.).
Тем не менее, aлrоритм распознавания тривиальноro узла на этой базе
построить не удается вследствие теоретико rpупповых трудностей. Он по
строен Хакеном (первая половина 1960 x и.) из дрyrих идей и носит чисто
«принципиалъный» характер вследствие необходимо rpомадноrо (нереаль
Horo) числа операций. Дрyrие инвариантыI узла (из которых практически
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
249
наиболее удобным является полином Александера) в конечном счете Bыpa
жаются через rpуппу 11"1 (83 \ 81). Удобно, однако, строить некоторые инва
рианты, используя каноническое Z накрытие над областью 83 \ 81 == И,
д u
в rомолоrияx накрывающей как Z[Z] модуля (см. rл. 3, g 5).
Семейства ОТНОсительно простых узлов таковы, что область И является
расслоением с базой 81
u.......81, Р==М;\(*),
!
I
f
i
i
\
!
. I
!
rде слой совпадает с поверхностью рода g, из которой выколота одна точка.
Число 9 называется родом Taкoro узла. Род любоro узла это минимальный
род поверхности в И, имеющей ero rpаницей. Такие узлыI и расслоения
получаются про помощи aлrебраическоrо уравнения в с 2 ::J 83:
f(z, ш) == О, Izl 2 + Iwl 2 == с > О,
rде f(z, ш) мноroчлен такой, что fz == fw == о при z == w == о; вооб
ще rоворя, мы получаем «зацепление» несколько окружностей в 83, но
нередко это множество связно и представляет узел 81 С 83. Расслоение
таково:
(z, w) ....... arg f == <Р, f == pe irp , р2 == с.
Соrласно теореме Папакирьякопулоса (вrорая половина 1950 x и.) если
rpуппа 1I"2(M ) -=1= о, то найдется вложенная сфера 82 С lvI 3 , неrомотопная
нулю. для дополнительных пространств узлов отсюда следует 7ri (83 \ 81) ==
== о, i 2. ПОЭ,тому все rомотопические инварианты, в принципе, .опреде
ляются через 7r. Любая конечно порожденная rpynna 11" (т. е. заданная конеч
ным числом образующих и определяющих соотношений на них) реализует
ся стандартным образом как фундаментальная rpуппа 7rl(K) или 7rl(Mn),
rде К конечный комплекс размерности n :::; 2 или замкнутое MHoro
образие lvl n размерности n :::; 4. Используя результатыI П. С. Новикова,
с.И.Адяна и Рабина первой половины середины 1950 x и. по aлrорит
мической неразрешимости проблем теории конечно порожденных rpупп (в
частности, свойства быть единичной rpуппой), несложно устанавливается
aлrоритмическая нераспознаваемость свойства комплекса размерности 2
быть roмотопически эквивалентным некоторому стандартному односвязно
му комплексу, а для замкнутоrо мноrообразия стандартному односвяз
ному мноrообразию размерности n 4. На это указал А. А. Марков, KO
торый показал также (это более сложно), что для n 4 aлrоритмически
нераспознаваемо свойство быть roмеоморфным (непрерывно, Р L или rлад
ко) тому же стандартному замкнутому одно связному мноrообразию (конец
250
rЛАВА 4
1950 x и.). Свойство комплекса быть стяrиваемым или замкнутоrо MHoro
образия rомеоморфным сфере 8 n становится aлrоритмически Hepac
познаваемым для n 3 (комплексы) и n 5 (мноrообразия), как OTM
С. П. Новиков в начале 1960 x и., используя конструкции rомолоrическои
aлrебры, хотя для n == 4 ответ также вряд ли положителен. Заметим, что
проблема rомеоморфизма двумерных комплексов и проблема rомеоморф
ности тpexмepHoro мноrообразия с краем стяrиваемому, вероятно, разре
шимы. Последняя сводится после вычисления рода rpаницы к распозна
ванию rомотопическоrо типа 83. Простейшие aлrоритмические проблемы
теории трехмерных замкнутых мноrообразий и узлов, по видимому, также
разрешимы, хотя пример задачи о распознавании т ивиальноrо узла (выше)
показывает, что, ввиду aлrебраических сложностеи теоретико rpупповыМИ
методами, несмотря на наличие критерия тривиальности уз а, этот вопрос
не удается завершить. Для проблемы распознавания сферы 8 имеется aлrо
ритм, решающий эту задачу в классе диarpамм Xeropa рода 9 == 2 (Бирман,
Хилден, конец 1960 x rr.)ll .
Возможно, что в трехмерных задачах имеются эффективные достаточ
но быстрые aлrоритмы для проблем тривиальности узла и распознавания
сферы 83, которые, не будучи cтporo применимыми всеrда, приводили бы
быстро к ответу «практически всеrда». Именно Taкoro типа алrОРИТМ I бьти
бы более полезными практически. Интересно, что в биофизическои лите
ратуре численный эксперимент проводился в 1970 x rr. в связи с изучением
свойств, например, веществ с длинными замкнyтыми молекулами (KaTeHa
нов) для узлов и зацеплений (Франк Каменецкий и др.); подобные ситуации
MOryт возникать и В друrих разделах физики. До очень большоrо числа зве
ньев узлы эффективно и однозначно распознаются полиномом Александера
«почти всеrда»l2 . _ '" ..... " ...
.fшiотеза Пуанкарео тОм; что.8 3 единственное одно связное замкну
тое трехмерное мноrообразие, пока не доказана. Ka указал Милнор (конец
1950 x и.), из теоремы о существовании вложеннои rомотопически нетри
виальной сферы 82 С N1 3 , если 7r2 (N1 3 ) -=1= о, извлекается rомотопиче
11 Рубин штейн в статье «Решение задачи распознавания 83» (<<The so\ution of the re ognition
problem for 83», Haifa, Israel, Мау 1999) предложил алroритм распознавания 3 мернои сферы.
Этот алroритм был cтporo обоснован в работе А. Томпсон (Math. Res. Lett. \ (\996), 6\3 30.
128 конце 1980 x ,1: 8. Джонс открыл новые замечасельные полиномиальные инварианты
узлов, позволяюшие разрешить некоторые классические проблемы теории узлов. Идея здесь
восходит к представления м классов эквивалентности узлов сопряженными классами в раз
ЛИЧНЫХ 'Руппах, эквивалентных при помощи движений Маркова, и пред авлениям 'Рупп
кос возникающим в теории Ян,а Бакстера (мarемасическая физика), дающеи точные решения
кон'кретных 2 MepHЫX моделей статистическрй и квантовой физики. После работы Джонса
несколько тополоroв, алreбраистов и матемасических физиков развили теорию дальше (см.,
например, Луиса Х. Кауффмана «Узлы и фИЗИКЮ».
Эта теорема сейчас пере формулирована в более современном свете тополоrnческои KBaHTO
вой теории поля, изобретенной А. Шварцем и 8итrеном (см. также Приложение).
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
251
ски однозначное разложение тpexMepНbIx ориентируемых замкнутых MHO
rообразий в связную сумму (см. 94, rл. 4) следующих элементарных типов:
тип 1 7r1 конечна;
тип П 7r2 == о;
тип IП М 3 == 82 Х 81.
Если rипотеза Пуанкаре верна, то это разложение и тополоrически
однозначно.
Ряд мноrообразий типа 1 строится факторизацией по действию конеч
ных подrpупп G с 8U 2 или G с 804, если G действует на 83 без непо
движных точек (свободно). Мноrообразия типа П строятся как пространства
орбит под действием дискретных rpynn движений тpexMepHoro простран
ства Лобачевскоrо L3, G С 03,1, если G действует на L3 свободно и с
компактной фундаментальной областью. Начиная с середины 1960 x тодов
и до начала 1980 x и., бесконечныIe серии таких примеров были построены
В. С. Макаровым, хотя изученыI они слабо 13 . Большая nporpaмMa исследо
ваний тpexMepНbIx мноrообразий, проводившаяся ряд лет Тёрстоном, пока
не завершена (полностью завершена только для достаточно узкоrо класса
хакеновых мноrообразий). Она была выражена в «rипотезе rеометризации»,
которая при условии истинности имеет следствием следующий красивый
результат: если у замкнутоrо 3 мноrообразия 7r2(M) == О и 7r1(.lV1) не coдep
жит нетривиалъных абелевых подrpупп, отличныIx от Z, то ]У! rомотопи
чески эквивалентно компактному 3 мноrообразию постоянной отрицатель
ной кривизны, причем 7rl (.lV1) изоморфна дискретной rpynne изометрий L3
с компактной фундаментальной областью. Имеется rипотеза, что если 7r1
бесконечна и 7r2 == о, то мноrообразие rомотопически эквивалентно MHO
rообразию постоянной отрицательной кривизныI, т. е. которое получается
факторизацией по свободно дейстВующей rpуппе движений L3. .
Перейдем теперь к проблемам мноrомерной тополоrии мноrообразий
размерности n 5. Проблема тополоrической инвариантности классов
Понтрясина Pk Е H 4k (lvl n ; Q) в рациональных или вещественных KOco.iWO
ЛОCUЯX, т. е. проблема инвариантности интеrpалов от классов Pk по циклам
при непрерывных rомеоморфизмах (если классы реализованы как диффе
ренциальные формы, выраженные через тензор кривизны), по своей поста
новке никак не связана с фундаментальной rpуппой и может ставиться, без
оrpаничения общности, только среди односвязных мноrообразий. Введение
неодносвязныIx торических областей и использование специфической Tex
138 середине 1980 x ". Фоменко и Матвеев при помощи компьютера построили красивые
семейства замкнyrых 3 МНОI'OQбразий постоянной (нормализованной) кривизиы, используя Te
орию сложности Матвеева для 3 мноroобразий. Оказалось, что одно ИЗ этих мноroобразий
имеет объем меньший, чем объем конкретно,о 3 мноroобразия, по ,ипотезе Тёрстона, явля
ющеrося минимальным.
252
rЛАВА 4
ники неодносвязных мноrообразий в процессе ее решения (С. П. Новиков,
середина 1960 x rr.) на первый взrляд представляется искусственным. OДHa
ко до сих пор не получено никаких дрyrих доказательств. Более Toro, прием
введения торических областей и последующеrо сведения задач тополоrии
непрерывных rомеоморфизмов к вспомоrательным задачам rладкой и кy
сочно линейной тополоrии неодносвязных мноrообразий был интенсивно
развит Керби первоначалъно для доказательства так называемой 2Uпотезы
кольца, которое было завершено Зибенманом, Сяном, Шейнсоном, Уоллом,
Кассоном в конце 1960 x rодов, а затем и для дрyrих задач тополоrии чи
сто непрерывных мноrообразий и rомеоморфизмов, которые бьти далеко
развитыI Керби, Зибенманом, Лашофом и Ротенберrом.
За исключением формулы сиrнатуры, для односвязных мноrообразий
нет никаких rомотопически инвариантных соотношений на классы и чис
ла Понтряrина (rомотопически инвариантными MOryT быть только вычеты
(характеристические числа) по модулю 2, в силу теоремы Тома об инвари
антности классов Wi, по модулю 12 для классов Pk (теорема Ву) и HeKOТO
рые друrие). fомотопическая неинвариантность рациональных классов РЬ
как заметил Дольд в середине 1950 x rr., леrко следует из теоремы Ceppa
Рохлина о конечности rpуппы 1rn+3(3 n ) (при n =1= 4). Простейший при
мер это семейство 30з расслоений со слоем 32 и базой з4, определяемых
классом Рl Е н4(34; Z) == Z или элементом из 1rз(30з) == Z. Так как об
раз J: 1rз(30з) ....... 1r6(33) == Z12 заведомо является конечной rpуппой, мы
получим, что пространства расслоений распадаются Bcero на конечное чис
ло rомотопических типов, определяемых классом расслоения с точностью
до послойной rомотопической эквивалентности, введенной Дольдом. Учи
тывя,, что класс Рl принимает бесконечное число разных значений Рl Е Z,
видно, что :только Рl шоd 4.8. может быть, в принципе, rомотопически ин
вариантен в этом семействе мноrообразий. Теоремы Браудера Новикова
показывают (см. g 4, rл. 4), что даже для индивидуальноro односвязноrо
мноrообразия нет никаких соотношений rомотопической инвариантности,
кроме формулы Хирцебруха Тома Рохлина для сиrнатуры. Как показа
ли Том, В. А. Рохлин и А. С. Шварц во второй половине 1950 x rодов, pa
циональные классы Pk являются инвариантами Р L rомеоморфизмов. Они
предложили комбинаторное определение рациональных классов Pk. Если
цикл z Е H 4k CM n ; Q) реализован подмноroобразием с тривиальным HOp
мальным расслоением
lv1 4k Х Rn 4k L4 Аl n
,
i*(M 4k ) == z,
(4.5.2)
то мы полаrаем
(Lk(Pl, . . . , Pk), z) == r(M 4k ).
(4.5.3)
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
253
Учитывая простые общекатеrорные свойства характеристических классов
все сводится к таким циклам z. Далее, в силу формул Хирцебруха, ,
L 22k(22k 1 l)Bk
k (2k)! Pk + Lk(Pl, . . ., Pk l),
(4.5.4)
rде Bk числа Бернулли. Отсюда следует, что классы Pk выражаются че
рез L k :
Pk == Pk(L 1 , . . . , L k ).
Это «сиrнатурное» определение классов Pk допускает естественную КOM
бинаторную трактовку. Если lvl n РL мноrообразие. иf: Mn.......3n 4k
симплициальное отображение мелких триaнryляций то полный прооб--
раз f (x) == lvln 4k внутренней точки симплекса х' Е Int an 4k макси
мальнои размерности имеет вид:
f l(X) == M 4k , f 1(Intan 4k) == Intan 4k х M 4k ,
rдe lv1 4k Р L мноrообразие, обладающее сиrнатурой T(lv1 4k ). Мы полаrа
ем, по определению,
(L k (Pl, .. ., Pk), z) == T(M 4k ),
Pk == Pk(L 1 , . . . , Lk),
rдe z Е H 4k (Mn, Q) представляется РL мноrообразием lv1 4k . Это и
дает Р L инвариантное определение рациональных классов Р k. По cy
щес тву, в основе лежит естественный и простой аналоr t реryлярных
своиств р L отображений, аналоrичных rладким.
Заметим, что это определение не локально, в отличие от представ
ления классов Pk через тензор кривизны в rладком случае. И. М. fельфанд,
М. В. Лосик, А. М. fабриэлов доказали существование локальноrо Р L преk
ставления классов Pk, но пока неэффективно (середина 1970 x rr.).
Теперь дадим схему доказательства тополоrической инвариантности
рациональных классов Понтряrина. Различные rnадкие (или Р L) CTPYK
туры на одном и том же непрерывном мноrообразии 1I1 n обладают, по
опред лению непрерывното rомеоморфизма, общим запасом открьпых об
ластеи;. каждая из которых является rладким Р L мноrообразием в любой
rnадкои р L cтpyктype на Аl n .
Рациональные классы Pk точнее, их интеrpалы по отдельным цик
лам, оказывается возможным представить как roмотопические инварианты
некоторых «торических» открытых областей в lvl n и их накрывающих, OT
куда и извлекается их тополоrическая инвариантность для Bcero мноroоб
разия Мn.
(4.5.5)
254
rЛАВА 4
Используем сиrнатурное определение классов (выше); рассмотрим
KaKoe TO фиксированное вложение тора с окрестностью
R х Tn 4k 1 <----+ Rn 4k
и соответствующую «торическую» область в 1vI n
u n == M 4k Х Tn 4k 1 х R с М N . (4.5.6)
В дрyrой rладкой (PL) cтpyктype эта область уже не является rладким
прямым произведением. Важно, однако, что эта область rомотопически эк
вивалентна мноroобразию lv'I 4k х Tn 4k 1, сиrнатура T(1v[4k) может быть
определена как rомотопический инвариант этой области или ее HaкpЫBa
ющих, выражающийся через их кольцо коrомолоrий. Можно считать, без
оrpаничения общности, что мноrообразия lv'I n , lv'I 4 k односвязны и k > 1,
n < 8k. для мноrообразий со свободной абелевой фундаментальной rpуп
пой средствами дифференциальной тополоrии устанавливается такой факт:
пусть имеется открытое rnадкое мноrообразие w m , rде т 6, и rpуп
па 7r1 (w m ) свободная абелева. Если на мноrообразии w m задано CBO
бодное действие rpуппы Z непрерывное или rладкое такое, что фак
тор пространство w m /Z является замкнутым (компактным) мноrообрази
ем, rомотопически эквивалентным расслоению с базой 81
V m 81,
то мноroобразие w m диффеоморфно прямому произведению замкнутоro
мноroобразия на прямую
w m == Nm 1 х R
(достаточно требовать лишь, чтобы мноrообразие w m со свободным дей
ствием rpуппы Z бьто rомотопически эквивалентно конечному CW KOM
плексу, и фактор w m / Z компактен; на rpynny 7r1 (w m ) достаточно нало
жить оrраничение, чтобы rpуппа fротендика (ниже) КО (7r1) была тривиаль
на).
Из этоrо утверждения извлекается тополоrическая инвариантность pa
циональных классов Понтряrина следующим образом: на первом шаrе мы
применим это утверждение к области u n == vm (т == п) в любой rладкой
структуре, rде rруппа непрерывных преобразований Z действует eCTeCTBeH
но
Т: (х, t) r---+ (х, t + 1), (4.5.7)
rде х Е M 4k Х Tn 4k 1, t Е R. Так как 7r1 (1\J 4k ) == О, имеем 7r1 (u n )
свободная абелева rpуппа. Поэтому мы получаем
u n == vn 1 Х R, (4.5.8)
95. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ ТОП0J10rии
255
rде vn 1 имеет rомотопический тип lv'I4k х Tn 4k 1. Так как разложение
в прямое произведение (4.5.8) является rладким, мы получаем для классов
Понтряrина
Pj(U n ) == pj(Vn 1), j =:; 1, 2, " .
Рассмотрим теперь Z накрытие над vn 1 , порожденное накрытием над
тором
Tn 4k 2 х R Tn 4k 1,
vn 1 vn 1,
rдe vn 1 имеетrомотопический тип lv'I4k xTn 4k 2. Соrласно предыдущим
утверждениям если мы положим w m == Vn 1, то получим
vn 1 == vn 2 Х R vn 2 rv 1v[4k Х Tn 4k 2
, ,
pj(vn 2) ==pj(Vn 1) ==Pj(U n ), j 1.
(4.5.9)
Итерируя эту процедуру, мы придем окончательно к такой ситуации
V 4k + 1 == V 4k Х R,
pj(V 4k ) == pj(V 4k +1) == ... == Pj(U n ),
j 1,
(4.5.10)
rде V 4k это замкнутое rладкое мноrообразие rомотопическоrо типа 1v[4k.
По формуле Хирцебруха имеем
T(M 4k ) == Lk(1v[4k) == Lk(v 4k ) == (Lk(P1, . . . , Pk), z),
rде классы берутся для любой rладкой структуры мноrообразия
u n И Z == [1\iI 4k ] Е H 4k (u n ).
Из этоrо немедленно следует тополоrическая инвариантность рациональ
ных классов Понтряrина.
для n 8k приведенное рассуждение фактически строит rладкое вло
жение v 4 k х Rn 4k un, rдe un само лежит в 1v[4k х Rn 4k с lv'I n ,
однако в дрyrой rладкой cТPYКТYfe. Из этоrо вытекает диффеомор
физм v 4k х R n 4k 1vI4k Х R n 4 ., rде последнее мноrообразие снаб
жено любой rладкой структурой. Как указал вскоре Зибенман, последнее
утверждение можно доказать и в нестабильных размерностях, rде n < 8k,
используя приведенные конструкции более тщательно.
256
rЛАВА 4
т
Zj+2
М ;
Mi+1
Рис. 64
Для неодносвязных замкнутых мноrообразий появляются нетривиаль
ные соотношения rомотопической инвариантности некоторых интеrpалов
по специальным циклам от рациональных классов. Простейшие примеры
таковы. р
1. Пусть n==4k + 1 и ZEH 4 k(Mn). Рассмотрим Z накрытие Jvln МN
такое, что p*7rl(Mn) состоит из всех циклов 'У, имеющих нулевой ШIДекс
пересечения с циклом z
P*7rl (м n ) о Z == О.
Имеется rомотопически инвариантно определяемый цикл z Е H 4k (Jvln) Ta
кой, что P*Z == z. В кольце коrомолоrий н*(м'п; Q) наrpуппе H 2k (Mn; Q)
определена форма.
(х, у) == (ху, z) == (у, х)
с конечномерным носителем (т. е. аннулятор имеет конечную коразмер
ность). Обозначим через r(z) сиrнатуру этой формы. Имеет место формула
(Lk(Pl, . . ., Pk), z) == r(z).
(4.5.10')
2. Если rладкое мноrообразие имеет rомотопический тип
JvI 4k х Tq '" v 4k + q , то верна формула
Lk(V 4 k+ q ) == r(M 4k ),
(4.5.10")
извлекаемая из предыдущей техники, параллельно с доказательством топо
лоrической инвариантности классов Lk(Pl, ..., Pk) (С. П. Новиков, середи
на 1960 x rr.).
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
257
Общая rипотеза «высших сиrнатур» состоит в следующем. у лю
боrо Комплекса, как указал еще Хопф в начале 1940 x rr., для любоrо
СW комплекса К имеется семейство классов коrомолоrий, зависящих толь
ко от 7rl (К). Если рассмотреть каноническое отображение f: К K(7r, 1),
f*
rде 7r == 7rl(K), то образ H*(K(7r, 1)) Н*(К) с любыми коэффициен
тами и дает этот набор классов, который Хопф описал в размерности 2. Ал
rебраическое описание Bcero rомотопическоro типа пространств К (7r, 1) и
всех H*(K(7r, 1)) с любыми коэффициентами (в том числе в Z(7r) модуле)
было дано Эйленберrом и Маклейном (середина 194()..х rr.) и названо «KO
rомолоrиями rpуппы 7r» H*(7r). HeMHoro позже (независимо) определение
таких aлrебраических объектов было предложено Д. К. Фаддеевым, исходя
из aлrебраической теории чисел. эти объектыI леrли в основу так называе
мой 20JWОЛО2Uческой ал2ебры, обобщенной Картаном, Эйленберrом, Серром,
fротендиком и др. на модули и более общие абелевы катеrории (обобщения
на разные катеrории rpадуированных А модулей использовались в аппарате
стабильной aлrебраической теории rомотопий см. 6, 7, 9 rл. 3).
Для замкнутых мноrообразий имеется соответствующий класс циклов
Df*H*(7r; Q) с Н*(lt1 n ; Q).
fипотеза высших сиrнатур состоит в следующем. Если z цикл
из D f* H*(7r, Q), то интеrpал от класса Понтряrина Хирцебруха (4.5.11)
rомотопически инвариантен
(Lk(Pl, ..., Pk), z).
(4.5.11)
для любой rpуппы 7r == 7rl все циклы коразмерности 1 z Е H4k(M 4k +l; Q)
таковы: верна формула (4.5.10') для этоrо скалярноrо произведения. Для
любой rpуппы 7r пересечения циклов коразмерности 1 также таковы (для
свободной абелевой rpуппы друrих и нет). fипотеза высших сиrнатур,
если z пере сечение циклов коразмерности 1, доказана окончательно
В. А. Рохлиным, если цикла два (вторая половина 1960 x rr.), а затем в конце
1960 x rr. [. [. Каспаровым, Сяном и Фарреллом для пересечения любоrо
числа циклов
z == D(Yl Л . . . л Yk), Yj Е H1(M n ; Q).
Исходя из теории ЭЛЛИIПических операторов, аналитическое доказательство
этой теоремы было получено Люстиrом в начале 1970 x и., который доказал
rипотезу высших сиrнатур также для некоторых циклов в случае, если 7r
дискретная подrpуппа rpуппы движений симметрических пространств по
стоянной отрицательной кривизны. для абелевых 7r было впервые исполь
зовано семейство эллиптических комплексов, связанное с конечномерными
17 Тополоrия
258
rЛАВА 4
представлениями (характерами) rруппы 7!". Для неабелевых rpупп 7r yдaeт
ся использовать бесконечномерные «фредrольмовы» представления rpуп
пы 7r В кольце унитарных операторов в rилъбертовых пространств :" H i :
Pi: 7r Aut H i . Пара унитарных представлений Pl, Р2 вместе с HeTepo
вым оператором F: Hl Н 2 называется фредzольмовым представленuем,
если F Pl P2 F компактный оператор. Используя аналоrи формул ти
па Атьи Хирцебруха Зинrера, основанные на формулах индекса эллип
тических операторов с коэффициентами во фредrольмовых представлени
ях, построенных с использованием rеометрии компактных мноrообразии
положительной кривизны для величин типа «сиrнатуры с коэффициента
ми в представлении», удается полностью доказать rипотезу высших c
натур для rpупп 7r, реализующихся как дискретные rpупnыI движении с
компактной фундаментальной областью в симметрических пространствах
(А. С. Мищенко, первая половина 1970 x п.). Обобщение этих результатов
производилось Ю. П. Соловьевым и др. в 1970 x rr.; по видим му, разви
тые сейчас методы позволяют завершить доказательство этои rипотезы
для всех дискретнЫХ подrpупп rрупп Ли (f. [. Каспаров, первая половина
1980 x rr.)14.
Интересно, что фредzольмовы представления были предл же ы B ep
вые Атьей в конце 1960 x rr. для aлrебр комплексных функции G (М ) в
aлrебре оrpаниченных операторов rильбертова пространства. Фредzольмово
представление это снова тройка Р1, Р2, (F: Н 1 Н 2 ), r e P2 F FP1
компактный оператор и F нётеров, Pi(J) == Pi(f+). Всякии псевдодиффе
ренциальный эллиптический оператор D порядка т == О определяет фреk
rольмово представление (Р1, D, Р2), [де Pi(J) оператор умножения на f
сечений расслоения ти:
D == F: r 8(1]1) r s(1]2), т == О.
Так как D f f D компактный оператор, тройка (Р1, D, Р2) фредrольмо.::-
во представление. Как показано [. [. Каспаровым, Дуrласом и др. в первои
половине 1970 x и., фредrольмовы представления кольца С*(Х) дЛЯ KOM
пактов дают возможность осуществить полное аналитическое постр,?ение
теории К*(Х) как теории rомолоrий. f. f. Kacnap B построил на этои базе
и теорию пере сечений для мн оrообразии Х ==!vl .
14За последнее десятилетие в этой связи было получено MHOro rлубоких результатов с ис
пользованием тополоrических и аналитических методов. В частности, была установлена rи
потеза Новикова для rиперболических rpупп, введенных rромовым, и для некоторых друrих
классов rpупп (Конн, Педерсен, rpOM<;>B, Розенберr и др.). eKOTopыe отличные рименен
теории кобордизмов и теории мноroобразий с положительнои скалярнои кривизнои были наи
дены и детально разработаны rромовым, Лоусоном, Креком и Штольцем. В неодносвязном
случае важную роль иrpают характеристические числа, аналоrичные высшим сиrюпурам, но
с L родом, замененным на A poд.
9 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
259
Среди задач тополоrии rладких одно связных мноrообразий, OCHoвaH
НbIX на прямом развитии техники классификационной теории (см. 94, rn. 4)
в первой половине 1960 x и., бьта раССМО;Еена следующая задача: в каком
случае rладкое открытое мноrообразие W 1 при т 6 допускает OДHO
т
связную rpаницу, т. е. является внутренностью rладкоrо мноrообразия W
с одно связным краем д yп. == vm 1, 7r1(vm 1) == О, W m == Int W"' (Бра
удер, Левин, Ливси). Если уже известно, что эта задача разрешима среди
чисто непрерывных мноrообразий с краем, то все сводится к тому, чтобы
построить для rладкоrо мноrообразия !vl m , rомеоморфноrо произведению
HeKoToporo тополоrическоrо замкнутоrо мноrообразия на прямую, диффео
морфизм в произведение rладкоrо замкнутоro мноrообразия на прямую.
Если же непрерывная разрешимость этой задачи не задана заранее, то тpe
буется следующее: мноrообразие w m должно иметь конечное число концов
и быть одно связным на бесконечности в направлении каждоrо конца; rOMo
топический тип на бесконечности в направлении каждоrо из концов должен
быть конечным. После прида,ния точноrо смысла этим rипотезам доказы
вается теорема Браудера Левина Ливси о том, что мноrообразие w m яв
ляется внутренностью компактноrо мноrообразия с краем, причем каждая
компонента края односвязна
vm 1 == U vm 1
J '
j
7r1 (Vjm 1) == О.
в некоторых случаях можно условия на бесконечности заменить rлобальныI
ми оrpаничениями на мноrообразие w m . Особенно интересны оrpаничения
aлrебраическоrо характера: например, известно, что мноrообразие w m rло
бально имеет rомотопический тип конечноrо комплекса и задана дискретная
свободно действующая rpуппа 7r rладких или тополоrических преобразова
ний с компактной фундаментальной областью. Именно такая модификация
задачи о rpанице для частноrо случая 7r == Z И 7r1 (w m ) свободная абеле
ва rруппа оказалась технически важной в доказательстве тополоrической
инвариантности рациональных классов Понтряrина (С. П. Новиков, середи
на 1960 x и.).
По видимому, параллельно неодносвязное обобщение теоремы Брауде
ра Левина Ливси о rpанице само по себе изучал в то же время Зибенман.
Хотя он длительное время не публиковал свои результаты, судя по рабо
там конца 1960 x п, он, по существу, рассматривал только оrpаниченную
постановку представление rладкоrо мноrообразия в виде V х R.
В неодносвязном случае препятствие, мешающее rладко представить
мноrообразие в виде V х R == vV, [де V замкнуто и имеет размер
ность n 5, принимает значение в rpуппе fротендика KO(7r), 7r == 7r1 (V);
17.
260
rЛАВА 4
элементы этой rруппы представляют собой стабильные классы проектив
ных конечномерных Z[1!}модулей ryi, причем 1/1, 'Т/2 представляют одинако
вый класс эквивалентности, если
'Т/1 $N 1 == 'Т/2 $N2,
rде N свободный модуль с N образующими и ryi проективные, т. е.
прямые слarаемые свободных. Для колец функций С* (Х) на компактах
проективные модули это модули сечений нетривиальных векторных pac
слоений, а свободные модули тривиальных. [руппа Ко(А) совпадает
с КО(Х, *) для А == С*(Х). Учитывая инволюцию в rpупповом коль
це 9 ....... g l для 9 Е 7r, каждому Z(7r) МОДУЛЮ ТJ естественно conocтaB
ляется сопряженный модуль 'Т/* == НОША('Т/, А), если А == Z(7r). Если 'т/
проективен, то 'Т/* также проективен. Имеем инволюцию в KO(7r):
'Т/....... 'Т/*, 'т/ Е KO(7r),
'Т/** == 'Т/.
(4.5.12)
Если известно заранее, что W имеет rомотопический тип конечноrо KOM
плекса, то
'Т/+ ( l)n'Т/* == О
в rpуппе КО (7r), 7r == 7r1(W), .
Примерно в то же время Уолл построил преnятствие к rомотопиче
ской конечности комплексов (при определенных условиях, что комплекс L
вложен как ретракт в rомотопически конечный комплекс Х, т. е. существу
ет отображение f: Х ....... L такое, что f1L == lL). Это препятствие eeT
значение также вrpуппе КО (7r). Препятствие Уолла к rомотопическои кo
нечности W совпадает с 'Т/::!: 'Т/*, rде 'т/ препятствие Новикова Зибенмана
к rладкому разложению W == V х R. для циклических rpупп 7r ==
== Zp rpуппа KO(7r) имеет интерпретацию в виде rруппы Куммера клас
сов идеалов в полях вида k == Q[y'p], rде Р простое. Она подробно
вычислялась вместе с оператором * в алreбраической теории чисел. Ис
пользуя эти резулътатыI, В. Л. fоло во второй половине 1960 x rr. постро
ил ряд примеров неразложимых в прямое про изведение V х R KoнкpeT
ных мноrообразий W. Общая задача о представлении в виде BHyтpeH
ности компактноrо мноrообразия с краем (уже не обязательно односвяз
ным), если исходное открытое мноrообразие является реryлярным Haкpы
тием над замк-нутыIM мноrообразием (т. е. допускает дискретную rруппу
преобразований), рассмотрена А. Л. Брахманом (первая половина середи
на 1970 x rr.). n q
Частный случай мноrообразий rомотопическоrо типа !vlq х Т ,
7r1 (!lrlq) свободная абелева, обсуждался выше. Если Ajq тор, то универ
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
261
сальная накрывающая диффеоморфна Rn, n 5. для замкнутых мноrооб
разий rомотопическоrо типа тора ТN rv VN классы Понтряrина Pj (vn) все
тривиальны, как указано выше. Используя теорему Адамса о мономорфно
сти J rомоморфизма (первая половина 1960 x rr.)
J: 7rj(SO) ....... 7rN+j(SN), N > j + 1,
при j -=1= 4k 1 и тот факт, что надстройка 'L.T n имеет rомотопи
ческий тип букета сфер, устанавливается, что все rомотопические TO
ры стабильно параллелизуемы (с. П. Новиков, середина 1960 x rr.). С
применениями rомотопических торов мы еще позднее столкнемся. Ha
помним, что еще ранее (см. rл. 3, g 5), в задаче о простом roMO
топическом типе Уайтхеда возникали элементы из K 1 (7r) как препят
ствие к простой rомотопической эквивалентности комплексов, которые
в обычном смысле rомотопически эквивалентны. Среди мноrообразий
это препятствие в rpуппе У айтхеда К 1 (7r) / ::!: 7r возникает в HeOДHO
связном обобщении теоремы Смейла о тривиальности односвязноrо h
кобордизма. Неодносвязные h кобордизмы MOryт быть нетривиальны
ми даже для n 5. Хотя WN стяrивается к одному из своих кpa
ев 7rj (wn, Vn l) == О, j О, тем не менее, имеется препятствие к три
виальности
a(W n , vn l) Е Wh(7r) == K 1 (7r)/ ::!:7r.
(4.5.13)
Любое значение а реализуется для n 5. Равенство нулю a(Wn, Vn l)
необходимо и достаточно для тривиальности h кобордизма WN == vn l Х 1
(Мазур, первая половина 1960 x и.; доказательство завершено к cepe
дине 1960 x rr. Барденом и Столлинrсом). Итак, мы видим, что как в
задачах теории комплексов, так и в теории неодносвязных мноrообра
зий находят естественную реализацию rpуппы КО и К 1 для rpуппо
BLIX колец. Их aлrебраическое обобщение К 2 для ассоциативных KO
лец с единицей найдено Милнором и Стейнберrом (вторая половина
1960 x rr.), а высшие аналоrи Kj построены в конце 1960 x нача
ле 1970 x и. rpуппой авторов Квиллен, И. А. Володин, [ерстен, Ka
руби, Вилламайер. Эквивалентность этих определений была доказана
позднее. их тополоrическая реализация, особенно для К 2 , весьма ин
тересна (BarOHep), но мы этих проблем обсуждать не будем, тем бо
лее что этот цикл вопросов отнюдь не завершен. Полезно отметить,
ч'ro для лорановскоrо расширения колец, кроме очевидных проекто
ров
Ko(A[t, с 1 ]) += Ко(А),
K 1 (A[t, t l]) += К 1 (А)
262
rЛАВА 4
порожденных естественным эпиморфизмом колец A[t, с 1 ] А и вложе
нием А A[t, с 1 ], имеется еще нетривиальный проектор Басса (середина
1960 x rr.)
Ко(А) K 1 (A[t, t 1]),
Ко(А) K 1 (A[t, с 1 ]),
такой что вв == 1, и ядро В явно описывается. Конструкция такова:
если проективный А модуль, то т] + 'тi свободный модуль для HeKOTO
poro 'Тi. Рассмотрим бесконечную прямую сумму
n<+оо
L tn(ry + 'Тi) == М == L(ryn + 'Тin)'
n> oo n
Это свободный A[t, с1] модуль
М == .., (т]о + 'Тio) + (Т]1 + 'Тi1) + (Т]2 + 'Тi2) +
Определяем автоморфизм А модулей В(Т]), коммутирующий с t, с 1 :
В(Т]): { n n+1
т]n т]n'
(4.5.14)
Это и определяет оператор В. Оператор В строится так. Всякий aвro
морфизм л свободноrо A[t, с 1 ] модуля FN ран:а N после домножения
на t n при большом n представляется матрицеи в кольце A[t] в HeKO
тором базисе е1, . . . , eN. Рассмотрим в свободном модуле FN с бази
сом е1, ..., eN положительную часть Р"}; == {L::ajej}, aj Е A[t]. Поло
жим
В (л)==F+N/tnл==Т]. (4.5.15)
Леrко проверяется проективностъ модуля т] и равенство В В == 1 в КО (А).
Итак, всеrда верно равенство
K 1 (A[t, с 1 ]) == Ко(А) ЕВ К 1 (А) $ N.
(4.5.16)
для А == Z(1r), [де 1r свободная абелева rpуппа, Басс доказал, что N == О.
Учитывая равенство KO(7r) == О для 1r == ZE1 ... EВZ, в силу суще твования
свободной ацикличной резольвенты конечной длины (цепи сизиrии) любоrо
конечномерноrо Z[1r] МОДУЛЯ (fильберт, 1890 r.), мы по индукции получаем
теорему Басса
Wh(1r) == K 1 (1r)j:1: 7r == О.
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
263
Поэтому для свободных абелевых rрупп все эти неодносвязные инварианты
обращаются в нуль.
Естественное продолжение этих задач задача о представлении в
виде rладкоrо расслоения с базой 81 rладкоrо замкнутоro мноrообра
W N f 8 1
ЗИЯ -----t, которое имеет rомотопическии тип TaKoro расслоения. Ec
ли 1r(W n ) == Z, n 6 и слой односвязен, эта задача решена Браудером
Левиным Ливси (середина 1960 x rr.). Если слой неодносвязен, возникают
препятствия, комбинирующие KO(7r) и K 1 (7r), rде 7r фундаментальная
rpуппа слоя, т. е. ядро отображения f*: 7r1 (wn) Z, 7r == Ker f*. Эта
задача решена Сяном и Фареллом во второй половине 1960 x rr.
Обратимся к общей классификационной теории неодносвязных MHoro
образий размерности n 5. Эта теория полностью следует схеме Новикова
Браудера в теории одно связных мноrообразий (см. 4, rл. 4), но вместо
окончательных классификационных теорем сводит задачу к некоторым ал
rебраическим препятствиям, о которых мы сейчас скажем. Все свойства
нормальных отображений степени + 1 замкнутых мноrообразий и пленок
между ними переносятся на неодносвязный случай, как указывалось в 4,
rл. 4. Используя неодносвязный аналоr теоремы fуревича для ядер отобра
жения f: J\.f 1 М N (степени 1), про изводятся перестройки Морса, при
водящие отображение к изоморфизму в rомотопических rpуппах до раз
мерности [nj2] 1 включительно. Для четных n == 2k анализ rомотопиче
cKoro ядра в размерности k (на универсальной накрывающей) показал, что
это стабильно свободный Z[1r] МОДУЛЬ (конечно порожденный) с HeBЫpo
жденным скалярным произведением, порожденным индексом пересечения
поднятий циклов на накрывающей, который 7r инвариантен. По формуле
(z, w) == I::(zoaw) Е Z[7r]
O"E1r
(4.5.17)
вводится скалярное про изведение со значением в кольце Z[1r] с инволюци
ей и и: '"""
и == Laigi, ai Е Z,
(4.5.] 8)
'""" 1
и == L aig i ,
gi Е 7r.
i
для неориентируемых мноrообразий нужно поправить инволюцию
"'"' 1
и и == L sgn gi . aig i '
(4.5.19)
rде sgn gi == 1, если путь gi меняет ориентацию, и (+ 1) в противном
случае. Мы имеем обычные свойства инволюции
иv == vи , u == и.
(4.5.20)
264
rЛАВА 4
Скалярное про изведение (4.5.17) обладает свойством эрмитовости
для k == 2l и косоэрмитовости для k == 2l + 1:
(иz, w) == и(z, w), (z, w) == :f:(w, z),
(z, uw) == (z, w)u.
(4.5.21)
Оно невырождено в том смысле, что задается обратимой матрицей
в == (b ij ) == (ei' ej)
в свободном базисе {ei} Z[1Т}МОДУЛЯ М == Ker fi7f'k), если n == 2k. Заметим,
что Ker f;7f'j) == о для j < k. Без базисов невырожденность означает, что
скалярное произведение (, ) определяет изоморфизм
h: М М* == НОША (М, А),
А == Z[7r],
U h(и), (h(u), v) == (и, v).
(4.5.22)
Из за инволюции lvl* является также Z[7r] модулем. Скалярное произведе
ние обладает определенным свойством четности, которое означает на MaT
ричном языке, если модуль lvl свободен:
в == у Е9 ( 1)ky+,
(4.5.22')
тде у+ == ут , ут транспонированная матрица. При нечетном k возни
кают еще z2 инвариантыI (аналоrи Арф инварианта), которые МЫ не бу
дем обсуждать. Если lvl n не rnадкое или Р L мноroобразие, а лишь
комплекс с двойственностью Пуанкаре во всех Z[7r] rомолоrиях, то MO
дуль lvI == Ker fi7f'k) может бытъ и проективен, будучи не стабильно свобо
ден. fеометрически здесь можно прибавлять лишние образующие, добавляя
ручки индекса k, чтобы сделать lvI стабильно свободным. Поэтому препят
ствие является объектом стабильной алrебры (возникая, как и раньше, в
эрмитовых и косоэрмитовых rpуппах Kg(Z[7r]), Kg h (Z[7r])). Тривиальным
здесь считается канонический модуль, имеющий канонический базис цик
лов, аналоrичных стандартным циклам в поверхностях:
al, ..., ag, b 1 , ..., b g , rде:
(ai, aj) == О,
(ai, b j ) == dij == :f:(b j , ai),
(b i , b j ) == О.
(4.5.23)
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
265
Такой модуль обозначается через Hg. Прямая сумма модулей и требова
ние Hg ,...., О для всех 9 дают rpуппу типа fротендика:
Kg(Z[7r]) (эрмитов случай, k == 2l);
Kg h (Z[7r]) (косоэрмитов случай, k == 2l + 1).
Здесь Z[7r] кольцо С инволюцией (4.5.19), rде уже учтена ориентация.
Aлrебраическое оформление теории препятствий к перестройкам Mop
са для четных n == 2k, по существу, npоизводилось С. П. Новиковым и
Уоллом С середины 1960 x !т. для нечетных n == 2k + 1 aлrебраическая
формализация препятствий к перестройке была осуществлена Уоллом в
конце 1960 x rr. Оказалось, что препятствия сводятся к rpуппам Kf(Z[7r]),
k == 2l и Kf h (Z[7r]), k == 2l + 1, строящихся по аналоrии с rpуппой Уай
тхеда К 1 (7r), исходя из стабильных классов автоморфизмов каноническоro
модуля (4.5.23), сохраняющих скалярное произведение. Накладывается co
отношение У айтхеда (прямая сумма автоморфизмов эквивалентна их супер
позиции), ведущее к коммутативности, и еще одно соотношение, которое
нам удобно сформулировать так: если автоморфизм л: Н 9 н 9 таков,
что Л(аj) == aj, j == 1, . . ., g, то л эквивалентен тривиальному. fруппы пре
пятствий перестройкам, построенные здесь на базе свободных модулей и
их автоморфизмов над кольцом Z[7r], называются ёруппами УОШlа ёруппы 7r
и обозначаются через Ln(7r):
Lo == Kg, Ll == Kf, L 2 == Kg h , L3 == Kfh. (4.5.24)
Мы не будем вникать в детали построения их Z2 CТPYКТYPbI и аналоrов
Арф инвариантов,
Друroй вариант построения rpупп Kg, Kf, Kgh, Kfh это paCCMOТ
рение проекrimных модулей с невырожденным скалЯрным произведением
(с нужными условиями четности и Z2 СТРУКТУРОЙ)
h:M M*,
эрмитовым или косоэрмитовым, значение в кольце с инволюцией. В TO
полоrии это кольцо Z[7r], U 'и. Определение Rg и Rgh естественно
(в терминах прямых сумм таких модулей), rдe тривиальным считается про
ективно канонический модуль lvl == N Е9 N*, N** N:
(N, N) == (N*, N*) == О,
N Е9 N* ,...., О, h: N ЕВ N* (N ЕВ N*)*,
{ N N**
h:
N* ..::. N*
является парой канонических изоморфизмов.
(4.5.25)
тде
(4.5.26)
266
rЛАВА 4
При построении К? и Kfh следует исходить не из автоморфизмов,
а из ласран:жевых подмодулей L с N $ N* в проективно канонических
модулях, rде hlL == О И L выделяется прямым слarаемым
м == N $ N* == L ЕВ L , L ** == L.
(4.5.27)
fрупповая операция порождается ортоrональной суммой таких пар (lvl, L);
тривиальной считается такое L с lvI, что проекция L ....... N (являющаяся cy
жением проекции lvI ....... N), rде N* ....... О, является изоморф змом.:.. Стабилъ
ные классы эквивалентности пар (М, L) образуют rpynnыI К? и Kfh, назы
ваемые сруппами Новuкова Уолла. МЫ не будем описывать всех возможных
h
здесь вариантов. Существенно, что возникающие здесь объекты Kf, к:
определяются для всех колец "4 с инволюцией u ....... 11, иv == П11 как в своБОk
ном, так и в проективном случае. Aлrебраическая теория rpупп KfQ9Z[1/2],
KfhQ9Z[1/2] была построена С. П. Новиковым (конец 1960 x rr.) в кa:rеrории
колец с инволюцией, включая aлrебраическое построение аналоrов пpoeK
торов Басса (см. выше)
в
Kf(A[t, с 1 ]) i=! Ktt-1 (А), В В == 1.
в
(4.5.28)
Оказалось, что K Kg h и K h Kfj. Теория K Q9 Z[1/2] образу
ет 4 периодическую теорию rомолоrий в катеrории колец с инво:люцией,
причем эрмитовы аналоrи проекторов Басса (4.5.28) учитывают, в силу pa
венств (4.5.29), и косоэрмитов случай:
K h rv K sh
j == j+2'
K sh rv K h
j == j+2'
(4.5.29)
При этом верны равенства (шоdulо Q9Z[1/2])
Kf+l(A[t, C 1 ]) Kf(A) ЕВ Kf+l(A)
(4.5.30)
без какоrо либо ядра N (в отличие от обычной алrебраической К теории).
Эрмuтова К теорuя была построена С. П. Новиковым, использовавшим
анализ rеометрических реализаций введенных выше алrебраических объек
тов и аналоrи с известным языком rамильтонова формализма, возникшим
из методов аналитической и квантовой механики и интенсивно применяв
шимся В. П. Масловым в первой половине 1960 x rr. в связи с построением
коротковолновой асимптотики в теории rиперболических уравнений (это
развивалось мноrими авторами). Aлrебраический аналоr языка симплек
тической rеометрии и rамильтонова формализма оказывается чрезвычайно
з5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
267
полезным. Он проясняет смысл конструкций (и нередко их подсказывает) и
выявляет механизм возникновения алrебраических аналоrов периодичности
Ботта. Конечно, aлrебра может полностью забыть об этих аналоrиях коrда
все aлrебраические конструкции предъявлены. Как показал А. С. M eнкo
(конец 1960 x начало 1970 x rr.), после тензорноrо умножения на Z[1/2]
различия между разными эрмитовыми К теориями исчезают. Он построил
также внутренний rомотопический инвариант, приписывающий ориентиру
емому мноrообразию элемент из к; Q9 Z[1/2] аналоr сиrнатуры, такой,
что возникает rомоморфизм J!' бордизмов
r7r: nfO(K(J!', 1)) ....... Kf(Z[J!']) Q9 Z[1/2].
При нормальных отображениях степени 1 (выше), возникающих в класси
фикационной теории мноrообразий размерности 5
f: Mf ....... м n , deg f == 1,
преnятствия к перестройкам Морса вычисляются по формуле
r7r(Mf) r 7r (M n ) Е K (Z[J!']) Q9 Z[1/2]
(вычислить это препятствие без деления на 2 бьто невозможно даже для
ОДНО связных мноrообразий, учитывая трудности с Арф инвариантом). Co
rласно rипотезе Новикова о высших сиrнатурах должен существовать чисто
алrебраический аналоr характера Черна
ch: K:(Z[J!']) Q9 Q ....... H*(J!', Q)
такой, что для замкнутоrо мноrообразия lvl n с фундаментальной rруппой J!'
верна формула . . .
(z, ch oT 7r (M n )) == (Lk(M n ), Dep*(z)),
(4.5.31)
rдe ер: lvl n ....... К (J!', 1) каноническое отображение и Dep* (z) Е
Е H 4k (Mn; Q), Lk полином Хирцебруха от классов Понтряrина MHO
rообразия lvln. По видимому, формула (4.5.31) исчерпывает все возможные
связи рациональных классов Понтряrина с rомотопическим типом. Во всех
случаях, в которых доказана rипотеза высших сиrнатур, доказано и это, а
также построен aлrебраический характер Черна.
Во второй половине 1960 x rr. И. М. fельфанд и А. С. Мищенко oтмe
чали, что (переводя на язык эрмитовой К теории) имеет место равенство
для колец комплекснозначных функций с*(х)
Kfj(C*(X)) K (X)
268
rЛАВА 4
для компакта Х. Это равенство, конечно, имеет место и для К 1, т. е. для
всей теории K над кольцом функций как кольцом с инволюцией f ].
для случая Х == тn, пользуясь преобразованием Фурье, устанавливается
равенство по модулю 18)Z[1/2]
K:(C[Z х ... х Z]) К:(С*(Т n )) кс(тn).
Обычный характер Черна расслоения над Т N дает aлrебраический аналоr
характера Черна для 7r == Z Х ... х Z, хотя, конечно, это определение
неaлrебраично.
Aлrебраическое определение аналоrов операторов Басса в К -теории
в случае колец С*(Х) дает изоморфизм надстройки и дрyrой подход к ал
rебраизации периодичности Ботта, чем подходы в обычной К теории (Атья
и др.). Заметим, что наличие мнимой единицы в кольце i 2 == l переводит
эрмитову теорию в косоэрмитову; поэтому для aлrебр, содержащих i, мы
имеем к: K: h , и периодичность сокращается до двух. Распутывая ал
rебраические конструкции, можно увидеть смысл периодичности с точки
зрения aлrебраическоrо rамилътонова формализма. Правда, все это делается
в теории K 18) Z[1/2] (с. П.Новиков, конец 1960 x !Т.).
Полная формализация эрмитовой aлrебраической К теории завершена
Раницким в первой половине 1970 x!Т. (aлrебраическая L теория) без TeH
зорноro умножения на Z[1/2]. Он подробно разрабатывал эту теорию над
целыми числами без деления на 2 в кольце коэффициентов. Ряд. авторов
(Педерсен, Бек, Шарп) в течение 1970 x rr. в начале 1980 x !Т. изучали
rpуппы K и K: h . в первой половине 1970 x rr. Уолл и Бек построили дe
тальную теорию вычисления этих объектов для конечных rpynn 7r (в случае
свободных модулей), вычислили их для ряда rpупп. Хотя до конца 1960 x
!Т. не бьта созданаaлrебраическая теория, тем не менее, иноrда возмож
но неэффектиВН-о получить полную информацию о rpуппах Ln (7r), не зная
даже деталей их aлrебраическоrо определения. Это случай свободной
абелевой rpynnыI 7r == Z Х ... х Z. для 7r == Z теория препятствий путем
reометрическоrо сведения к одно связному случаю была построена Брауде
ром (около середины 1960 x !Т.). Эта идея во второй половине 1960 x !Т.
была реализована Шейнсоном для всех 7r == Z Х . ., х Z. Каково бы ни бы
ло aлrебраическое определение rpупп Ln, можно доказать rеометрически
существование HeKoтoporo изоморфизма
не строя
Ln (Z х
Ln(7r х Z) == Ln(7r) ЕВ L n + 1 (7r),
ero алrебраически. Это сводит неэффективно
х Z) к rpynnaM Ln(l), которые таковы:
Lo == Z, Ll == О, L 2 == Z2, L з == О, L4 == Lo,
rpуппы
(4.5.32)
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
269
Ln == L n " n == n' + 4q; последнее было известно из одно связной тополоrии.
Используя эти результаты, можно полностью классифицировать мноrооб
разия rOMoTon ecKoro типа тора тn, n 5. В частности, для них верно
следующее своиство: после переход а к некоторому конечнолистному Haкpы
тию они становятся диффеоморфными обычному тору ТN. Более полно все
препятствия к перестройкам (т. е. элементыI rpупп Ln+ 1 (7r)) реализуются
в проблеме единственности на пленках, различающих два мноrообразия в
одном классе нормальных бордизмов. Если два мноroоб р азия МN i == 1 2
б , ,
с нормальными ото ражениями степени 1
fi: lvl i n lvl n
оказались rомотоnически эквивалентны образу lvl n и принадлежат одному
классу нормальных бордизмов, то существует пленка w n + 1 С двумя Kpa
ями aWn+1==lvlfUMr и нормальным отображением р. Wn+l lvln Х 1
оrpаничение Koтoporo на края lvJin дает fi COOTB cтвeHHO. Пуст
р: lvJ х 1 М проекциянапервыйфактор.ОтображениеFl == H'lopoF
дает нормальную ретракцию на край (см. g4, rл. 4)
F . W n + 1 А ' 1 n
1. lV. 1 .
При перестройке таких пленок реализуется любой элемент rpynn aлrебра
ических преnятствий к перестройкам, как бы они не определялись, как и в
односвязном случае. Начиная с одноrо края lvJf, можно без труда постро
ить такую пленку по любому aлrебраическому элементу rpуппы Ln+ 1 (7r) ==
== K + 1 (7r). для rОмотопических торов устанавливается теорема: для HeKO
торых подrpупп Аn с Ln+l (Z х '" Z) конечноro индекса элементы] pe
ализуются lшенками, у которых второй край будет всеrда диффеоморфен
первому. Отсюда вьпекает конечность числа различных rомотопических
торов в любом нормальном классе пленок (Уолл, Зибенман, Сян, Шейнсон,
Кассон, конец 1960 x rr.), так как учитывается, что они всеrда стабильно
параллелизуемы, соrnасно теореме Новикова (выше).
Теорема конечности УОJШа Зибенмана Кассона яна Шейнсона rOMo
топических торов в одном классе нормальных бордизмов, по существу,
также вытекает из неодносвязных аналоrов формул Хирцебруха (высших
сиrнатур), как теорема Милнора о конечности bp4k вьпекает из обыч
ной формулыI Хирцебруха с учетом Toro, что, соrлаено теореме Шейн
сона, rруппы L n + 1 (Z Х '" Z) == к + 1 (Z Х ... Z) полностью опреде
ляются (по модулю конечной rpуппы) высшими сиrнатурами. PaCCMOT
рим над тором тn+ 1 rpуппу расслоений { N} такую, что J ( N) == о
и NITn == О, тn с Tn+l. Соrласно нормальной конструкции, стандартной
270
rЛАВА 4
в классификационной теории односвязныx или неодносвязныx мноrообра
зий (см. 4, rл. 4)
sN+n+l ....... T N,
f: Jv1n+l ....... т n +1, f* N == VN(Jv1n+l),
мы получим rладкое замкнутое мноrообразие l\1 n + 1, реализующее элемент
а rpупnыI LnC7r') с LТ:+ 1 (J!' Х Z), J!' == Z Х .., Z (n ШТУК)'n2f означно
(mod 2 n ) определяемыи характером Черна D о сЬ N Е Н*(Т , Q). Ис
ходя из этой конструкции, мы получим нормальные бордизмы
1\Il n + 1 L т n +\ f* N == VN,
тривиальные над тором ТN с Tn+l,
f l(Tn) т n с м n +\ VN/T" == f* N ITn == О.
Разрезав l\rl n + 1 по тору тn, мы и получим искомые мноrообразия с двумя
одинаковыми краями тn, реализующие а.
Aлrебро тополоrические инварианты устанавливаIOТ различие двух
комплексов, мноrообразий например, неrомеоморфность (непрерывную,
rладкую или Р L). Однако если все мыслимые инвариа ы совпадают, то
для окончательноrо завершения проблемы требуется наити какие то cpek
ства прямоrо построения rомеоморфизма. Любопытно посмотреть, к кие
средства для этоrо использовались в тополоrии последних десятилетии. В
дифференциальной тополоrии -основными являются либо прямое аналити
. ческое предъявление функции, либо вIfЬлне фи ые пр,:цессы, O HOBaH-
ные на подборе и анализе последовательностеи операции приклеики py
чек (изменение тополоrии области меньших значений функций Морса при
проходе сквозь критическую точку) или перестроек Морса (изменение TO
полоrии поверхностей уровня функций). Исследуются последовательности
этих операций, их roмотопический эффект и алrебраические преnятствия
к их проведению, взаимные сокращения и упрощения (например, опера:
ция съедания пары ручек). Мы не будем далее обсуждать этот основнои
набор эффективных средств, о котором уже rоворилось выше... по суще
ству, использовавшийся с давних времен, далеко продвинутыи в 1960 x
rодах, сопутствовавший, продолжая развиваться, всему процессу развития
тополоrии мноrообразий 1960 x rr. Что же имеется еще? Чем располаrает
тополоrия чисто непрерывных rомеоморфизмов?
В малых размерностях п 3 любое компактное семейство rOMeoMop
физмов мноrообразий аппроксимируется кусочно линейными (Р L) rOMeo
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rРУППА в АППАРАТЕ тополоrии
271
морфизмами или даже rладкими, и вся rpуппа rомеоморфизмов имеет ло
кально и rлобально те же rомотопические свойства, что и rpуппа Р L roMeo
морфизмов (Мойз, начало 1950 x rr.) и даже диффеоморфизмов. В больших
размерностях это заведомо неверно. К числу наиболее известных первых
результатов, полученных элементарно нarлядными средствами, относится
теорема Мазура Брауна: если задано так называемое плоское вложение сфе
ры, т. е. вложение ее с целой окрестностью
Р: sn l Х 1....... вn, 1 == [ 1, 1],
то образ внутренней сферы Р(х, О)
Р: sn l Х О ....... вn
оrpаничивает замкнутыIй диск Dn с вn, aDn == F(Sn l Х О), обобщен
ная rипотезаШенфлиса (конец 1950 х начало 1960 xrr.). Сюда примыкает
естественно rипотеза кольца, сформулированная рядом авторов вскоре по
сле теоремы Мазура Брауна:
Пусть имеется два непересекающихся плоских влО.женuя сфе
ры Fl(Sn l Х О) и P2(Bn 1 Х О) в sп. Доказать, что замкнутая область
.между ними есть кольцо sn l Х 1.
для rладкоrо случая это следует из теоремы об h кобордизме Смейла
при n 6. Для n 3 все элементарно. для больших размерностей эта
rипотеза несложно доказывается, если есть хотя бы одна точка rладкости.
Мы позднее обсудим rипотезу Кольца.
Приведем еще одну теорему Мазура (начало 1960 x rr.), которая xo
тя и относится К rладким мноrообразиям, однако вшшне эJI.ементарна
по средствам и fЮЗВОJпша устаноБ-шъ непрерывную rомеоморфность па
ры заведомо комбинаторно неэквивалентных комплексов (Милнор, начало
1960 x rr.).
f
Если l\rlf ........ iV1lf стабильно тащенциальная (или НОРJWальная 20
мотопическая эквивалентность двух МНО200бразий), т. е. f*(vJ;») == vJJ),
2де vt) нор'Wалъное расслоение при вложении 1\1 i n CRn+N, то прямые
проuзведенuя Mf х R N U Mlf х R N диффеоморфны, N n + 1.
Идея доказательства основывается на следующем.
Будем исходить из вложений 1\Ilf х D N '-----+l\rIlf х R N и Jvllf х DN '-----+
'-----+ 1I1f х R N, аппроксимирующих rомотопические эквивалентности
f: Mf ....... Mlf и g: 1'vJ:f ....... Mf, тде f о 9 r-v 1 и 9 о f r-v 1. Нормальные pac
слоения в Mlf с 1'vlf х RN и Mf с Mlf х RN (rде вложения возникают из
верхних вложений оrpаничением на 1\II i n Х {О}) тривиальны соrласно преk
ложениям теоремы. Сопоставляя пару вложений l\I'f х D N '-----+ l\rllf х RN
272
rЛАВА 4
и ]yf'!j: х D N <----> ]У!1 х RN, мы видим, что возникают расширяющиеся
области:
М 1 х Df с М2' х D!J с -М- 1 х Df с М2' х Df с ...,
rде радиусы шаров Df с R N растут, и все вложения М 1 х D!{i+l <---->
<----> М 1 х R N стандартны. При этом вложения M!j х D и M!j х D +2 и
т. д. расширяют друr друrа и изотопны. Из этоro леrко следует утверждение
теоремы.
Теперь опишем пример Милнора. Любое трехмерное ориентируемое
замкнутое мноrообразие параллелизуемо. Р ссмо;уим два rомотопиче
ски эквивалентных линзовых мноrообразия Lql и L q2 С фундаментально и
rpуппой Zp и инвариантами ql Е Z*, q2 Е Z*, qlq:;l == л 2 (mod р). Соrлас
но классическим результатам можно подобрarь их rомотопически эквива
лентными (т.е. ql == л 2 q2 modp), но РL неизоморфными, Т.е. имеющими
различное кручение Рейдемейстера (см. 5, rл. 3). По теореме Мазура, MHO
rооб р азия L 3 Х R N И L 3 Х R!V будут диффеоморфны для HeKoToporo N.
Комплексы 'l'ома тривиальных расслоении
(L l х DN)/(L l Х SN l) == К 1 ,
(L 2 Х DN)/(L 2 Х SN l) == К 2
будут rомеоморфны, но комбинаторно неэквивалентны ( илноw rраницы
комбинаторной окрестности особой точки совпадают с L qi х S .:щя К!.
Особые точки выделены; имеет смысл относительное кручение Реидемеи
стера по модулю этих точек, совпадающее с исходным кручением линз
и комбинаторно инвариантное.
Итак, Наuрtvепnutuпgдля комплексов размерности 3 + N неверна.
Здесь можно довести число N до N == 3. Поэтому размерность комплек
сов 6.
Вернемся к непрерывным rомеоморфизмам. Напомним, что B начале
1960 x и. Столлинrс доказал непрерывный вариант мноrомернои rипоте
зы Пуанкаре (независимо от Смейла и Уоллеса) о том, что (трианrули
рованное мноrообразие) rомотопическая сфера размерности n 5 rOMeo
морфна сфере Вn. Он же установил, что всякое локально плоское вложе
ние ВN С sn+k заменой (rомеоморфизмом) sn+k сводится к CTaндapT
ному вложению. Здесь k 3, n 3. для k == 2 дополнительно требу
ется 7rl (Вn+2 \ вn) == Z и остальные rомотопические rpYn bI тривиаль
ны. Локалъно плоское вложение означает, что вложение малои окрестности
каждой точки D'; <----> sn+k продолжается до области
Fx: D'; х 1........ Sn+k,
rде Fxl(D'; х О) это исходное вложение.
з 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rрупПА в АППАРАТЕ тополоrии
273
Технически более сложной является теорема Чернавскоrо: для каж
доrо KOMnaктнoro замкнутоrо тополоrическоrо мноrообразия или для R n
rpуппа ero непрерывных rомеоморфизмов локально стяrиваема (середина
1960 x и.). fомеоморфизмы в так называемой сО тополоrии неустойчи
вы среди всех непрерывных отображений, в отличие от диффеоморфиз
мов, которые в Сl тополоrии образуют открытую область в пространстве
отображений. Однако даже диффеоморфизм, сО близкий к тождественно
му, может быть очень сложен, и ero весьма трудно продеформировать в
единичный среди rомеоморфизмов. Это обстоятельство сыrpало, как бу
дет указано ниже, важную роль в тополоrии. Конструкция изотопий cpe
ди rомеоморфизмов элементарна по средствам, но весьма сложна и rpo
моздка в работе А. В. Чернавскоrо (вторая половина 1960 x rr.). В конце
1960 x и. бьт найден подход к доказательству rипотезы кольца сведени
ем к rладкой (РL) тополоrии rомотопических торов (Керби); необходимые
задачи из теории rомотопических торов почти сразу были решены Уол
лом, Зибенманом, Сяном, Шейнсоном и Кассоном. Изложим здесь идею
Керби.
В теории непрерьшных rомеоморфизмов Rn ........ Rn имеется полез
ное ПОнятие стабильных 20меоморфuзмов h: Rn ........ Rn, разлarающихся в
суперпозицию h == h 1 о . . . о h k таких rомеоморфизмов h i , которые тожде
ственны на некоторых непустыIx открытых областях: h i == 1 на области U i .
Все диффеоморфизмы, Р L rомеоморфизмы стабильны, а также все rOMeo
морфизмы, аппроксимируемые р L rомеоморфизмами. Если rомеоморфизм
совпадает с каким то стабильным на области, то он сам стабилен. Поэтому
имеет смысл rоворитъ о псевдоrpуппе стабильных rомеоморфизмов обла
стей Rn в друrие области, о классе стабильных мноroобразий, построенных
на этой псевдоrpуппе (Браун, rлюк и др., первая половина 1960 xи.). Если
все roмеоморфизмы R n, сохраняющие ориентацию, стабильны, то rипотезу
кольца доказать уже несложно для сфер и R n. Изложим схему доказатель
ства стабильности.
Полезно отметить, что rомеоморфизмы Rn ........ Rn такие, что расстоя
ние между х и h(x) оrpаничено сверху, стабильны: Ih(x) xl < },,1 (Коннелл,
первая половина 1960 x rr.). Из этоrо леrко следует, что все roмеоморфизмы
тора стабильны. Действительно, если rомеоморфизм тора сохраняет одну
точку и rомотопически эквивалентен тождественному, то на накрывающих
получим для всех х
h: R n ........ R n , Ih(x) хl < м.
Поэтому и roмеоморфизм h: Т ........ ТN стабилен. Остальные rомеоморфизмы
тора сведутся к этим суперпозицией с аффинными преобразованиями. AHa
лоrия с доказательством тополоrической инвариантности классов Понтря
rина возникает в схеме Керби с Toro момента, коrда вводится «торическая
18 Тополоrия
274
rЛАВА 4
область» в R n , но несколько друrая: рассмотрим иммерсию тn \ { *} !!... R n ,
которая существует у открытоrо параллеJПIзуемоrо мноrо бразия, но здес
может быть построена элементарно, прямой конструкциеи (хотя ее точныи
вид не иrрает роли). Любой непрерывныIй rомеоморфизм
g:Rn Rn
вводит новую тадкую структуру в т n \ { * }, отобразив эту область на друryю
область в Rn. Всякое тадкое открытое мноrообразие, у Koтoporo oкpeCT
ность бесконечности имеет ВИД sn l Х R (тополоrически), допускает rnад
кую rpаницу с краем rомотопическоrо типа sn l при n 6 (см. задачу
Браудера Левина Ливси, выше).
учитывя,, что все roмотопические сферы размерности n 5 Р L ro
меоморфныI S N (Сме йл, Уоллес, выше), мы можем компактифицировать
мноrообразие Тn \ { *} в новой тадкости одной !очкой *' И п лучить ro
мотопической тор V N снекоторой Р L структурои, порожденнои rOMeoMop
физмом g: Rn R n :
v n \{*,} тn\{*}.
Если это новое замкнутое мноrообразие Р L изоморфно тn, то мы полу
чаем непрерывный rомеоморфизм Т N т n , который всеrда стабилен.
Следовательно, в этом случае исходный rомеоморфизм g: Rn R n cтa
билен. Для завершения доказательства следует заметить, что Р L изомор
физм V N т n достаточно осуществить на некоторых конечнолистныIx Ha
крывающих у n ТN. Отсюда следует стабильность rомеоморфизмов R n
и rипотеза кольца; ri 6. Результат' о PL cтpyктypax' на торах получен,-
как сказано выше, Уоллом, Сяном, Шейнсоном, Зибенманом, Кассоном
(выше).
Используя результаты о rладких или Р L rомотопических торах, можно
n h Т N ..... 5
показать, что существует Р L изоморфизм Т , n -;:::; , которыи не
изотопен тождественному, и преnятствие лежит в rpуппе Z2. Более Toro,
не существует даже так называемой псевдоизотопии этоrо изоморфизма с
тождественным. Переходя к большим нечетнолистным накрытиям
h:fn fn,
о
мы при большом числе JПlстов сделаем rомеоморфизм h С БJПIЗКИМ К еди
ничному, но по прежнему Р L неизотопным ему, так как препятствие лежи:!:
в Z2 и накрытия нечетнолистны. По теореме Чернавскоrо, rомеоморфизм h
5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ rPУППА В АППАРАТЕ тополоrии
275
оказывается тополоrически изотопен единичному, так как он СО близок
к 1. Это различие между Р L rомеоморфизмами и непрерывныIии по
рождает контрпример к Hauptvermutung и пример невозможности BBe
сти Р L CTPYКТYPY на тополоrическом мноrообразии (Керби и Зибенман
конец 1960 x rr.). '
Блаroдаря работам ряда авторов (Лис, Лашоф, Ротенберr, конец
1960 x rr.), удалось Показать, что такие свойства, как введение Р L CТPYK
туры или стаживаемость непрерывных замкнутых мноrообразий размер
ности n 5, эквивалентны редукции касательноrо микрорасслоения со
структурной rpуппой Тор, т. е. rpуппой ростков rомеоморфизмов oткpblToro
диска (rpубо rоворя) к ее подrpуппе Р L с Тор или к О (даже и в нестабиль
ных размерностях).
Совокупность этих исследований вместе с исследованиями Керби и
Зибенмана дает следующие rомотопические rpуппы:
7ri(TOP/PL) == {i 2 ,
i 1= 3,
i == 3.
Эти rомотопические rpуппы делают теоремы перечисленныx rpynn авторов
о трианryлируемости (т. е. введении Р L структуры) эффективныIи.. OцeH
ка сверху числа PL cтpyктyp дается числом IН з (l\rl n , Z2)1. При этом Ok
но связность не иrpает роли; n 5 для замкнутых мноrообразий и n 6
для мноrообразий с краем. Полное доказательство всех теорем этой Teo
рии зависит от некоторых результатов теории Сулливана, еще незавершен
ной (см. выше). Полезно отметить, что rpynna Z2 в размерности 3, OTдe
ляющая Р L структуры от непрерывных, обязана в конечном счете своим
возникновением теореме Рохлина (см. g 3, т. 4) о том, что всякое замкну
тое почти параллеJПIзуемое мноrоо'бразие Af 4 имеет сиrнатуру т, кратную
числу 16. Для всех размерностей ВИДа 4k > 4 существуют почти парал
лелизуемые замкнутые Р L мноrообразия, rде т == 8 (Милнор, см. 9 3), а в
размерности 4 их нет. Среди тадких мноrообразий размерность п == 4 и
теорема Рохлина не были исключением, а среди Р L да.
К числу более cOBpeMeHНbIx и сложных успешных конструкций Henpe
рывных rомеоморфизмов относятся:
1. Прямая конструкция rомеоморфизма
L; 2 1'vl З S5
(Эдвардс, вторая половина 1970 x rr.). Здесь ИЗ трехмерное мноrообра
зие такое, что Н 1 (1vl З , Z) == о. Отсюда следует существование трианrуля
18*
276
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
277
ции 85, которая не является Р L мноrообразием и комбинаторно неэквива
лентна обычной.
2. Прямая конструкция (и весьма сложная) HenpepbIBHoro rOMeoMop
физма rладкоrо четырехмерноrо двусвязноrо замкнутоro мноrообразия на
сферу 84 (Фридман, конец 1970 x начало 1980 x rr.). Среди диффео
морфизмов четырехмерный аналоr rипотезы Пуанкаре остается открытым;
р L roмеоморфизмы здесь эквивалентны rладким.
Нет также обзора тополоrических свойств различных мноrообразий с
теми или иными дифференциально rеометрическими свойствами (р
rеометрии в целом). аздел
Наконец, в данном тексте мы не имели возможности обсудить возник
шие за последние 2 30 лет серьезные приложения в реальных физических
задачах и в аппарате современной математической физики. Мы надеемся
что все это будет восполнено в дрyrих статьях. '
Заключительные замечания
В этом обзоре идей и методов тополоrии мы упомянули далеко не
все: довольно мало сказано о трехмерной тополоrии и теории клейновых
rpупп, развиваемой Тёрстоном и др., О четырехмерной тополоrии, раз
виваемой Доналъдсоном, Фридманом и др. Отсутствует обзор качествен
ной теории слоений, включая теоремы Риба, Хефлиrера, С. П. Новикова
об аналитических слоениях и слоениях с компактным слоем, а также
техника доказательства существования слоений и друrих rеометрических
структур на открьпых мноroобразиях (М. Л. [ромов), слоений коразмер
ности 1 на нечетномерных сферах (Лоусон, Тамура и др.) и компакт
ных мноrообразиях всех размерностей (Тёрстон); теория характеристи
ческих классов слоений (Ботт, fодбийон, Вей, И.Н. Бернштейн. и др.);
классификационная теория слоений (Хефлиrер и др.); теория KoroMo
лоrий aлrебр Ли векторных полей на мноrообразиях (И. М. fельфанд,
Д.Б. Фукс); теория особых точек комплексных rиперповерхностей (Мил
нор, Брискорн); вещественных алrебраических кривых и поверхностей
(Д. л.fудков, В. И. Арнольд, В. А. Рохлин, В. М. Харламов, В. С. Куликов,
О.Я.Виро).
Отсутствует обзор Taкoro раздела тополоrии, как теория вложений
мноrообразий и MHoroMepHыx узлов, созданная рядом авторов, начиная с
Уитни Хефлиrера, Столлинrса, Левина и др. Отсутствует теория типичных
особенностей отображений и функций (Уитни, Понтряrин, Том, Бордман,
Мезер, В. И. Арнольд).
Полностью и при этом сознательно автор предпочел не пи
сать об общекатеroрных и абстрактных исследованиях в тополоrии, xo
тя они полезны и даже необходимы в лоrике ее внутренних построе
ний.
Отсутствует также обзор теории rомолоrий общих пространств и MHO
жеств в нп, которая развивалась еще с 1920 30 x rr. рядом авторов, включая
П. С. Александрова, Чеха, Л. С. Понтряrина, А. Н. Колмоrорова, Стинрода,
[. С. Чоrошвили, К. А. Ситникова, Милнора и др.)
ПРИЛОЖЕНИЕ
Тополоrия трехмерных мноrообразий и
узлов (современные достижения)
п.!. Введение
Первое издание данной книrи вышло в 1986 roдy, а сама она бьта
написана за 2 3 rода до этоrо. Поэтому она не смоrла отразить некоторые
замечательные достижения в трехмерной тополоrии и теории узлов, KOTO
рые мы изложим в этом приложении. При этом следует заметить, что и
в дрyrих областях тополоrии бьт достиrнyт впечатляющий проrресс. Ha
пример, в симплектической тополоrии это введение rомолоrий Флоэра
и дальнейшее ее развитие в работах [ромова, Элиашберrа, Хофера, Сала
мона, Макдафф и дрyrиx математиков, в теории SО2 действий на MHoro
образиях это анализ на пространствах петель (Виттен, Таубс), берущий
свое начало в квантовой механике, и теория «эллиптическоrо РОДЮ> (Оша
нин, Ландвебер), которая позволяет применять технику формальных rрупп
и комплексных кобордизмов в теории таких действий (мы уже упоминали
об этом в книrе в связи с работами московской школы в конце 1960 x
начале 1970 x rодов). Особо. сщщуe:r о етит-ь «ТОПО1l0rическ-ие кванТОЩ)Iе
теории поля», развитые Виттеном в конце 1980 x тодов на основании ok
Horo предположения Атьи и друrими в 1990 x rодах. Мы уже упоминали
об истоке этих теорий, Korдa rоворили в книrе об определении кручения
Рейдемейстера Рея Зинrера с помощью функциональноrо интеrрала, дaн
ном А. Шварцем в 1979 80 x rодах. По мнению автора эти конформные
и тополоrические квантовые теории поля представляют новый вид анализа
на мноrообразиях, который при этом остается без cTpororo обоснования.
Тем не менее, эти методы привели физиков (Канделас, Вафа и др.) к OT
крьпию замечательных свойств структуры рациональных aлrебраических
кривых на некоторых симплектических и алrебраических мноrообразиях
(например, на мноroобразиях Калаби Яо и торических мноrообразиях)
зеркальной симметрии. В ряде случаев эта симметрия cTporo обоснована
математиками.
В аналоrичном духе rлубокие свойства пространств модулей были
установлены Концевичем, который использовал технику «матричных MO
П.2. Полином АЛЕКСАНДЕРА И полиномы ТИПА ДЖОНСА 279
делей», заимствованную из статистической механики. С их помощью в
1989 90 x roдах физики пришли к красивым результатам (отчасти топо
лоrическим) в теории струн, установив, в частности, связь этих моделей
со знаменитыми интеrpируемыми системами из теории солитонов (rpocc,
Миrдал, Брезин, Казаков, Дуrлас, Шенкер и др.).
Таким образом, начиная с открытия инстантонов в середине 1970 x
rодов (Белавин, Поляков, Шварц, Тюпкин), мноrие интересные достиже
ния в тополоrии были инициированы специалистами по квантовой теории
поля. В течение этоrо периода мноrие физики caмoro BbIcoKoro уровня пе
решли от собственно физических исследований к исследованиям в области
абстрактной математики, используя при этом подходы и математическую
технику квантовой теории поля, знакомой ей по их физическому образова
пию. Хотя среди физиков эта техника стандартна, она слабо знакома чистыIM
и прикладным математикам. Это отчасти объясняется тем, что хотя, вопре
ки мнению мноrиx математиков об их физическом происхождения, мноrие
понятия и методы квантовой теории поля имеют математическую ПРИРОДУ,
они нелеrко поддаются cтporoMY математическому рассмотрению.
П.2. Полином Алекс анд ер а (классический и современный
подходы) и полиномы типа Джонса
Мы изложим здесь некоторые идеи современной теории узлов, иници
ированные открытием полинома Джонса в середине 1980 x rодов.
Под узлом мы будем понимать классический узел, а именно rладкую
замкнутую несамопересекающуюся кривую в евклидовом пространстве R 3
или В трехмерной сфере S3.,Причем мы предполаrаем, что в каждой точке
кривой она имеет ненулевой касательный вектор. Объединение нескольких
попарно непесесекающихся узлов называется зацепленueJW.
Узлы и зацепления задаются диасра.мма\1и, которые получаются сле
дующим образом. Удалим из сферы точку, через которую не проходит за
цепление, и получим область, rомеоморфную пространству R3. Выберем в
R3 такое направление Т}, что при ортоrональном проектировании узла вдоль
этоrо направления на какую то плоскость (<<экран») касательный вектор к
проекции ниrде не равен нулю, проекция имеет только трансверсальные
пересечения, и все точки пересечения двойные. Ясно, что таким свойствам
удовлетворяют достаточно общие направления. Если мы теперь укажем на
спроектированной кривой, как над точками пересечения лежат по отноше
нию к «экрану» отрезки узлов (сверху или снизу), то мы получим диаrрам
му зацепления. Диarрамма узла и сам узел называются ориентироваННЪ1Jl.1и,
если на каждой компоненте зацепления указано направление обхода; в про
тивном случае мы rоворим, что узел и ero диarpамма неориентированы.
280
ПРИЛОЖЕНИЕ
Два узла (или зацепления) называются эквивалентными, если их можно
перевести дрyr в дpyra изотопией. Напомним, что узел называется тривu
аль1tъl.М, если он реализуется замкнутым контуром, лежащим на плоскости.
В классической теории узлов рассматривается дополнение к узлу или
зацеплению JИ == 83 \ К , которое является открытым трехмерным мноrооб;
разием. fраницы трубчатых окрестностей узлов задают вложения торов Т
в М. fлавным тополоrическим инвариантом узла является пара, состоящая
из фундаментальной rpуппы 7rl (М) дополнения к узлу И выделенным об
разом rомоморфизма 7rl (т 2 ) ......... 7rl (.LVf), определенноrо вложением Т 2 сМ.
Соrласно теореме Папакирьякопулоса, доказанной в 1950 x rодах, узел
эквивалентен тривиальному, если и только если rpуппа 7rl(M) коммутатив
на (в этом случае она изоморфна Z). Если эта rpynпа некоммутативна, то
rомоморфизм 7rl (т 2 ) ......... 7rl (lvf) является вложением. В начале 1960 x Хакен
нашел aлrоритм, который по произвольному узлу определяет, эквивалентен
он тривиальному или нет. Хотя в 196Q-..-.70 x roдах Вальдхаузен и др. YCTaHO
вили, что rpуппа 7rl иМ) с выделенной подrpуппой 7rl (т 2 ) полностью опре
деляет узел с точностью до эквивалентности, задача об aлroритмическом
распознавании эквивалентности двух узлов до сих пор остается открытой
проблемой.
fруппа 7rl(M) устроена очень сложно, и поэтому возникла задача о
нахождении более простых инвариантов узлов, которые можно эффективно
вычислять. Первым бьт открыт полином Александера, который мы опреде
лим в духе ero ранних работ. Это определение было в 1970 rоду переоткрыто
Конвеем и основано на аддитивности этоrо полинома по отношению к yдa
лению пере сечений диаrpамм. Рассмотрим три ориентированные диarpам
мы, указанные на рис. 65, которые отличаются лишь в окрестности одной
точки пересечения, как указано на рисунке. Заметим, что диarpамма Dn l
имеет на одну точку пересечения меньше, чем ди;аrраммы Dn,+ и Dn, . Со-
поставим теперь каждой диarpамме полином PD(Z), положив ero равным
тождественно нулю, для диarpамм с несколькими компонентами связности,
равным единице для тривиальноro узла: Po(Z) == 1, и удовлетворяющим
соотношению
PD".+(Z) PDn, (Z) == ZPD" l(Z).
Общепринятое определение полинома Александера A(t, c 1 ), заданноrо с
точностью до умножения на степени переменной t, получается подстанов
кой
A(t, c 1 ) == P(z),
z == t 1 / 2 C 1 / 2 .
Наиболее общий полином, который можно определить с помощью Ta
ких соотношений, называется поли1tОМОАt ХОМФЛИ (HOМFLY) и опреде
ляется теми же диarраммами по правилу
yHD",+(X,y) y lHD". (X,y) == XPD" l(X,y)
П.2. Полином АЛЕКСАНДЕРА И полиномы ТИПА ДЖОНСА
281
.(х ) Y' (х ) , (==:)
D",. D"I D" I
Рис. 65
(общее такое соотношение с тремя переменными после соответствующей
нормировки приводится к данному виду) и с учетом нормировки для три
виальноrо узла: Но(Х, у) == 1.
При Х == Z, у == 1 полином ХОМФЛИ переходит в полином Александе
ра, а полarая Х == yl/2 y 1/2, мы получаем знаменитый полином ДЖО1tса
JD(Y).
Все эти полиномы с учетом полинома Кауффмана, к определению KOTO
poro мы сейчас и перейдем, мы будем называть полиномами типа Джонса.
Полином Кауффмана определяется следующим образом. Рассмотрим
указанные на рис. 66 четыре неориентированные диarpаммы зацеплений,
отличающиеся только в окрестности одной точки пересечения. Диarpаммы
Dn l,l и Dn 1,2 очевидно, имеют на едИНИЦУ меньше точек пересечения,
че диаrpаммы, Dn,+ и Dn, . Положим для однокомпонентной тривиаль
нои диarpаммы
а a l
Qo(Z) == Z + 1
и определим полином Q D (а, z) для всех диarpамм D с помощью COOTHO
шения
QD n .+ QDn, == z(QDn l.l QDn 1,2)
И условия, что ero значение меняется на множитель а:!:l при движениях
РеЙдемейстера, указанных на рис. 67. Рассмотрим теперь ориентированные
диаrpаммы и для каждоrо пересечения определим ero знак по прав илу, YKa
занному на рис. 68. Сумму этих знаков х1 по всем пересечениям обозначим
через w(D). Полином Кауффмана KD(a, z) определяется теперь следующей
формулой:
KD(a, z) == a w(D)QD(a, z).
(x) (x) ,[(:=::) () ()]
п,,! D", D" 1 1 п" ',
Рис. 66
282
ПРИЛОЖЕНИЕ
( о )=" (V) , ( о )=a {V)
Рис. 67
х
+1
х
1
Рис. 68
Полином Джонса получается из Hero следующей подстановкой:
KD(a == у3/4, Z == y 1/4 y 1/4)
JD(Y) == 1/? 1/2 .
У У
С дрyrой стороны, Яrер доказал, что полином Кауффмана от диarpаммы D
представляется как линейная комбинация полиномов ХОМФЛИ от HeKOTO
рых диаrpамм, связанных с D.
Кауффман также указал и иной путь получения полинома Джонса,
определив полином 8D(a, Ь; d) с помощью соотношения
8D n (а, Ь; d) == a8Dn 1.u. + b8Dn 1.b- .
И нормировки Во == d для тривиальной диarраммы (см. рис. 69) (этот поли
ном 8 возникнет у нас позднее при определении инварианта Решетихина
Тураева с помощью подхода Кауффмана). При подстановке
Ь == a l, d == (a2 + a 2)
мы опять получаем полином Джонса в виде
JD(t,C 1 ) == ( а) Зw(D)8D(а,Ь;d), t==a 4.
в действительности, эти полиномы являются инвариантами не диа
rpaMM зацеплений, а самих зацеплений. Это устанавливается прямой про
веркой их инвариантности относительно движений Рейде.мейстера (см. рис.
70). В 193 0 x rодах было доказано (Рейдемейстер, Марков), что две диа
rpaMMbI задают одно и то же зацепление, если и только если от одной из
П.2. ПОЛИНОМ АЛЕКСАНДЕРА И ПОЛИНОМЫ ТИПА ДЖОНСА
283
(X) a(:=::)+ь( ) ( ), (о ) Ь
Рис. 69
о v О,
)( ,
x x,x x
Рис. 70
них к друrой можно перейти с помощью элементарных движений Рейдемей
стера. В то время это было нетривиальным результатом. Теперь же, после
введения концепции «общеro положения» в работах Уитни, Понтряrина и
Тома в 1 35 50 x rодах, это выrлядит как упражнение для студентов: «Pac
смотреть деформацию общеrо положения и разложить ее на элементарные
тополоrические движения». Сами же значения полиномов вычисляются по
рекуррентным соотношениям, исходя из нормировочных полиномов.
В старых книrах по теории узлов полином Александера вводился с
помощью операции «дифференцирования в rpупповом K01ibne». На 'нашем
семинаре в Москве Л. Алания указал, как получить это «дифференцирова
ние» с помощью следующих тополоrических apryмeнтoB. Для этоrо возь
мем стандартное задание rpуппы 7r1 (83 \ К) зацепления К с помощью ero
диаrpаммы (рис. 71). При этом каждому ребру диarpаммы будет сопоставле
на образующая rpупnыI 7r1(B3 \ К), а каждому пере сечению будут отвечать
два соотношения на эти образующие. Одно из каждой пары соотношений
означает, что для ребер, задающих верхнюю ветвь зацепления, COOTBeт
ствующие образующие равны. Мы получаем задание rpуппы зацепления,
у кoтopor число образующих равно числу соотношений. Возьмем теперь
двумерныи комплекс L с одной нульмерной клеткой, у KOToporo одномерныIe
клетки нумеруются образующими, а двумерные соотношениями, причем
двумерныIe клетки при клеены к одномерным по путям, реализующим эти co
отношения. Этот комплекс L будет деформационным ретрактом простран
ства 111 == 83 \ К. На универсальном накрьпии мы получаем rpаничный
284
ПРИЛОЖЕНИЕ
оператор, который действует на Z[7r1] МОДУЛЯХ и задается квадратной MaT
рицей с элементами из этоrо rpупповоrо кольца. Каждой образующей ai,
i == 1, . . . , N отвечает rpаничный оператор да" заданный соотношениями
да, (aj) == дij, да,(Ьс) == да,(Ь) + Ьд а , (с).
Обозначим соотношения через Т1, .. . , r N, И матрица, задающая rpаничный
оператор, образована коэффициентами
qij == да, (rj).
Если мы теперь отобразим каждую образующую ai в переменную t, то
мы получим комплекс лорановских рядов от t с целыми коэффициентами.
fраничный оператор будет задаваться квадратной матрицей с лорановски
ми рядами в качестве коэффициентов, и оказывается, что определитель этой
матрицы будет равен нулю. Наибольший общий делитель миноров этой MaT
рицы после умножения на соответствующую степень t и будет полиномом
Александера.
fомолоrический подход к полиному Александера в терминах круче
ния Н 1 модуля над евклидовым кольцом Q [t, с 1] z накрытия L был дан
Милнором и тоже может быть изложен этих же рамках. Мы дадим здесь
более привлекательный подход автора из ero статьи в Докладах АН СССР.
Рассмотрим все одномерные представления р : 7r1 (М) ........ С и rомолоrии
Hf(!vI; С) с коэффициентами в этих представлениях. Здесь даже мож
но считать 111 произвольныIM мноrообразием, рассмIO"pИВая пространство
Repn (7r1) всех представлений фундаментальной rpуппы в G Ln) (С), KO
торое является aлrебраическим мноrообразием над Z. Paнr b i (р) rpуппы
Hf(1I/[; СП) является целочисленноЙ функцией на этом мноroобразии, KO
торая почти всюду постоянна и имеет подскоки на алreбраических подмно
rообразиях vV j с Repn(7r1), дальнейшие подскоки на пересечениях таких
мноrообразий и т.Д.
для дополнения 111 == 83 \ К к узлу К и n == 1 мы имеем ReP1 ( 7r 1) ==
== С \ {О} == С*, и имеет место следующая теорема:
Для i == 1 JWНО200бразuя подскоков образуют конечное ,1Wножество
точек, которые в точности являются корнями полинома Александера.
Если К зацепление из k компонент, то H 1 (M)==Zk, Repn( 7r 1)==(C*)k
и мноrообразия подскоков аналоrичным образом определяют «обобщенный
полином Александера» от k переменных. Несколько лет спустя Мураками
предложил ero современную элементарную комбинаторную трактовку.
Возникающая при этом aлrебраическая rеометрия roмотопически ин
варианта, но очень сложна и даже для дополнений к зацеплению не вполне
попята.
П.2. ПОЛИНОМ АЛЕКСАНДЕРА И ПОЛИНОМЫ ТИПА ДЖОНСА
285
Нами Выдвиraлась rипотеза, что из структуры мноrообразий подско
ков при n == 2 можно извлечь полиномы Джонса и ХОМФЛИ, но Ле
Ты Куок Txaнr, исследовав эти мноrообразия для дополнений к узлам с
двумя мостами, показал, что структура этих мноrообразий значительно
сложнее. В настоящее время проблема нахождения классическоrо aлrебро
тополоrическоrо изложения полинома Джонса остается открытой.
Прежде чем дать третье определение полиномов типа Джонса, напо
мним определение rpупп кос Вn.
rpyппa кос Воо задана образующими CТi, i Е Z и соотношениями
CТiCТj == CТjCТi, li jl > 1,
CТi CТi+ 1 CТi == CТi+1 CТiCТi+1.
Torдa n ой rpуппой кос Вn называется подrpуппа, порожденная образу
ющими (Т1, . . ., (ТN (или любым друrим набором из CТk+1, .. ., CТk+n из n
последовательных образующих).
Преобразованuями Маркова называются следующие два преобразова
ния на rpуппах кос:
1) каждый элемент а Е Вn сопряrается элементом с Е Вn: а "" cac l;
2) каждая коса из Вn умножается на (Т; 1 Е Вn+1: а rv a(Т; l'
Две косы называются эквивалентными, если они переводятся дpyr в
друrа конечным числом преобразований Маркова.
Соrласно T opeMe Маркова (1940 e rоды) классы эквивалентности уз
лов и зацеплении находятся во взаимно однозначном соответствии с класса
ми эквивале ности кос. Это 2соот,;етствие устроено следующим образом.
Возьмем в R окружность х + y == 1, z == О и рассмотрим ero малую
трубчаТJ:Ю окрестность Т. Трансверсальное зацепление это зацепление,
полностью лежащее в Т и пересекающее любое сечение Т KpyroM, opтoro
налъным окружности, трансверсально. Чтобы получить из зацепления косу,
надо ocтo разрезать Т одним из таких кpyrOB. Б действительности, то, что
каждыи узел или зацепление изотопны трансверсальному, впервые показал
Александер, а Марков устранил неполноту в ero доказательстве.
Очевидно, что для любоrо представления р : Вn ........ GLk(A), rдe А
коммутативное и ассоциативное кольцо, ero характер
хр(а) == Tr[p(a)], а Е ВN
инвариантен относительно первоrо преобразования Маркова.
Чтобы построить одновременно представление всех rрупп кос Вn, надо
отобразить образующие CТi, i Е Z в матрицы, удовлетворяющие указанным
выше соотношениям. Джонс построил класс «локально трансляционно ин
вариантных> представлений с помощью уравнения Янrа Бакстера, т. е. ис
пользовал технику интеrpируемых моделей статистической физики.
286
ПРИЛОЖIOНИЕ
Пусть V векторное пространство и
8:V0V V0V
линейное преобразование, которое, будучи продолжено до преобразо
ваний 8 ij : V 0 V 0 V V 0 V Q9 V, rде на про изведении i x и j x
сомножителей оно совпадает с 8 и оrpаничивается до тождественноrо на
оставшемся сомножителе, удовлетворяет соотношению
81282з812 == 82з812823.
Заметим, что в статистической физике уравнение Янrа Бакстера запи
сывается в более общей форме для композиции R == т 8 отображения
8 ij : 1Ii Q9 vj 1Ii IS) vj С перестановкой т : Vi 0 vj vj Q9 Vi:
R12R2зR12 == R 2 зR12 R 23,
И при этом сомножители тензорноrо про изведения 1Ii Q9 vj Q9 Vk MOryT быть
различны.
Положив теперь
p(O"i) == 8 i ,i+1,
мы получим представление бесконечной rpуппы кос Воо такими линейными
преобразованиями тензорноrо произведения бесконечноrо числа экземпля
ров V, что для каждоrо n это представление оrpаничивается до представле
пия Рn rpуппы Вn линейными преобразованиями тензорноrо произведения
п + 1 экземпляра пространства V. Мы видим, что образ P(G'i) определя
ется локально ero действием на 1Ii :81 1Ii+ 1 (на друrиx сомножителях он
действует тождественно) и является трансляцuо1l1ю uнварuан!'1ным: для
всех i он действует так же, как 8 на V Q9 V.
fоворят, что представление Р обладает MapKoвcкuм свойством, если
существует такая постоянная А, что соотношение
Tr[pn(a)]A == Tr[Pn+1(aO"n+1)]
выполняется для всех n и для каждой косы а Е Вn. Следуя Джонсу, каждому
такому представлению сопоставляется тополоrический инвариант зацепле
ния, заданноrо косой:
А w(a)Tr[pn (а)],
а == 0-11 . . . o-1 тn ,
11 1.fl'1.
rде w(a) -== )1 + .. . + jm.
Прежде чем по казать, как таким путем получить полиномы типа Джон
са, мы дадим прямое rеометрическое объяснение связи между узлами и
уравнением Янrа Бакстера.
П.2. Полином АЛЕКСАНДЕРА и ПОЛИНОМЫ ТИПА ДЖОНСА
287
П R ab R 'j
усть cd и kl два решения уравнения Янrа Бакстера и индексы
пробеrают одНО и то же множество 1, параметризующеrо базис BeктopHO
ro пространства V. Возьме диarрамму зацепления и каждое пересечение
отметим решением R или R в зависимости от Toro, является оно поло
жительным или отрицательным в смысле рис. 68. Каждое входящее ребро
отмечено нижним индексом с, d или k, l, а каждое выходящее ребро Bepx
ним инд ексом а, Ь или i,j. Взяв полную тензорную свертку про изведения
R OK R OK по всем пересечениям, мы получим число (D 11 R, R ), зависящее
от диarpаммы и решений R и R . Это число приводит К инварианту зацепле
ния, если выполнены два дополнительных условия. Во первых, оно должно
быть инвариантно относительно второrо и TpeTbero движений Рейдемейсте
ра, что выражается в условиях «унитарности»:
It b Rij == ба Б Ь R ia r;j d ..а..Ь
tJ cd с d, jbI(.ic == и с ud'
Предположим теперь, что выполнены условия
R == Аб ,
R ab == A l.\"Ь
ad ud.
Тоrда число А w(D) (DIIR, R ) инвариантно относительно первоrо движения
Рейдемейстера и поэтому задает инвариант зацепления.
Условия этоrо типа вместе с терминолоrией появились в связи в интер
претацией Янrом, Замолодчиковым и др. выражений R и R как «факторизу
емых амплитуд рассеяния» в интеrpируемых моделях двумерной квантовой
теории поля. Интеrpируемые двумерные решеточные модели статистиче
ской механики типа Бакстера име-ют друrую интерпретацию, и в обоих
случаях решения уравнения Янrа Бакстера устроены значительно сложнее
и зависят от дополнителъноrо «спектралъноrо параметра».
Если пара решений R и R уравнения Янrа Бакстера связана COOTHO
шением
Ft b cd == J..,fceReadhlvfhb,
rдe матрицы J..,{ab и A1cd взаимно обратны: }дас Jvl cb == д ь , то они удовле
творяют условиям «унитарностю). Рассмотрим классическое определение
n KOC как семейства из n попарно непересекающихся отрезков, вложенных
в цилиндр х 2 + у2 :::; 1, О :::; z :::; 1, с началом в точках Р1, . . . , Р п на OCHO
вании z == О и концами в точках Q1, . . . , Qn на крышке z -== 1 (рис. 73).
Диаrрамма косы есть ее трансверсальная проекция на хz плоскость с YKa
занием проходов в точках пересечения, а замкнутая коса получается соеди
нением пар точек (Р 1 , Q1), .. . , (Рn, Qn) незаузленными инезацепленными
отрезками во внешности цилиндра. В этой интерпретации матрицы А{аЬ и
288
ПРИЛОЖЕНИЕ
А! d возникают из диarpамм кос после удаления точки пересечения и свя
с
заны с экстремумами функции Морса, проектирующеи диarpамму на ось -:
(Cl\I-:-'РИС. 72). Для диаrpаммы D замкнутой косы В определим .марковсющ
-След по формуле
r(D) == Tr[1J Q91J Q9 ... Q9 Т}Рn(В)],
представление, полученное из решения R уравнения Янrа Бакстера,
Т} == МаiJИ Ы .
)t
b c
d b I ",dc
Рис. 71
а Ь
Х
С d
Л":;
а Ь
Х
с d
п;::'
I V ,(\
л-r-' А{,
Рис. 72
XJ
1 2 "
i:! "
:: )
т
II I
\' 1
l' I
...r i... t H
J') ,
Рис. 73
Чтобы получить полином Кауффмана Джонса, рассмотрим следующее
решение:
R == AMabM cd + А lб б ,
rдe
( о 'iA )
М == . iA 1 О '
П.2. ПОЛИНОМ АЛЕКСАНДЕРА и ПОЛИНОМЫ ТИПА ДЖОНСА
289
i 2 == 1 и индексы пробеrают значения ::1:1. При этом мы зададИм на каждой
косе естественную ориентацию, определенную ориентацией оси z. Тоща
формула
J(A 4 , А 4) == ( А) зw(D)r(D)
задает Полином Кауффмана Джонса.
Для ориентированных диаrpамм возьмем решение в виде
R == ((q q l)[a < Ь] + q[a == Ь]б б + [а =1 Ь]бdб ,
rде [Р] == .!' если утверждение Р верно, и [Р] == о в обратном случае. Второе
решение R получается заменой q на q l, а на a и Ь на b. Мы получаем
по изложенной выше схеме инвариант зацепления в виде
рь n ) == (q(n+1)) W(D)(DIIR, R) .
Если множество индексов состоит из n+ 1 элемента, то, положив у == qn+l,
мы получаем полином ХОМФЛИ. При n == 1 подстановка q == v't дает
полином Джонса.
Рассмотрим «связки», под КОторыми понимаем ориентированные диа
rpаммы Dl в слое О z 1 с ОдНим началом на линии z == О и одним
концом на линии z == 1. для множества индексов 1 == {::I:} мы всеrда будем
отмечать выходящее и входящие концевые ребра lfНДeKcoM +. Тоrда можно
определить полином Александера замкнутой ориентированной диarpаммы
D на плоскости с помощью связки, которая получается разрезанием диа
rpаммы по произвольному внешнему ребру.
Если мы рассмотрим двухкомпонентное множество индексов {:f:},
R матрицу вида
R == (q q l)X+ + qX++ q= + у
и R матрицу, полученную из R матрицей подстановками q l q И X +
X+ , rде
(Х )аЬ { 1, если а == с == s, Ь == d == р,
sp cd О В противном случае,
Y;;d b == [а =1 Ь]дdд ,
а, Ь, с, d == ::1:1, то мы получим полином Алекс анд ера (Кауффман Яrер).
Полином Александера получается и из представления Бюрау rpуппы
кос Вn, которое действует на прямой сумме n экземпляров R по правилу
( 1 О О )
P(CТi) == о т о ,
о о 1
19 ТОПОJ10rия
290
ПРИЛОЖЕНИЕ
rде матрица
T==( l t)
действует на прямой сумме R i еэR н1 . Полином Александера определяется
как
ADa == det*(p(a) 1 п ),
rде D замкнутая коса, полученная из косы а, и det* обозначает любой
(n 1 ) минор матрицы (р( а) 1 п ). Так, определенный полином Александера
корректно определен с точностью до умножения на t k , rдe k Е Z.
Отметим, что широко известное соотношение
п
det(M л1 п ) == L Tr(( л)k I\k М)
k==O
для внешних степеней преобразования М приводит к марковскому следу
и R матрицам, возникающим при определении полинома Александера с
помощью связок.
Под конец дадим определение трех красивых aлrебраических объектов,
которые возникают в современной теории узлов и трехмерных мноroобра
зий: aлreбр [екке, Темперли Либа (или Джонса) Бирман Венцля.
Алzебра Текке порождена образующими O'i, 2 Е Z, которые удовлетво
ряют соотношениям из rруппы кос и вдобавок удовлетворяет соотношениям
О"; O"i l == Z,
rде z число или центральный элемент алreбры. .
. Ал2ебра Те...,перлu Лuба над Z[A, A l] задана образующими щ, 2 Е Z,
удовлетворяющими соотношениям
ViVj == VjVi, li jl > 1,
ViVi:l:1'Vi == Vi.
В качестве А может быть взято просто некоторое число. для этой алrебры
определен абстрактный след
f: TL Z[A,A l],
который является таким линейным отображением, что f ( uv) == f (vu) для
всех и, v Е TL. Заметю"I также, что формула
p(O"i) == aVi + ь
П.2. ПОЛИНОМ АЛЕКСАНДЕРА и ПОЛИНОМЫ ТИПА ДЖОНСА
291
для специально подобранных чисел а, Ь задает представление rpуппы кос в
aлrебре Т L.
Ал2ебра Джонса это aлrебра Темперли Либа, выписанная по oтнo
шениям к образующим ei == J lVi, rдe д == А 2 + А 2 И е; == ei, i Е Z.
Ал2ебра БUРjwан Вен.цля задается теми же образующими O'i с дополни
тельными соотношениями
O'i 0";1 == Z(Vi 1).
Леrко заметить, что она является подaлrеброй aлrебры Темперли Либа.
Уравение Янrа Бакстера и косы привели к созданию теории «квaнтo
вых rpупп» в работах Дринфелъда, Джимбо, Склянина, Кулиша, Фаддеев а,
Тахтаджяна, Решетихина, Вороновича и др. Эта теория систематизирует
свойства наиболее известных решений уравнения Янrа Бакстера в терми
нах специальных aлrебр, которые, как показал Дринфельд, являются aлrе
брами Хопфа с дополнительной структурой «квантовым дублем».
В терминолоrии Дринфельда квантовые rpуппы это «квантовые дe
формации» универсальных обертывающих aлrебр полупростыIx aлrебр Ли.
это связано с тем, что в первом приближении эта деформация определяется
скобкой Пуассона на rpуппе Ли, и потому деформация представляет HeKOTO
рое квантование rpуппы как фазовоrо пространства. Такие скобки Пуассона
возникали и до этоrо в связи с некоторыми интеrpируемыми моделями Te
ории солитонов.
Однако эта процедура fIe задает квантование rpуппы или aлrебры Ли
как объекта, задающеrо симметрию квантуемой физической системы. Судя
по некоторым примерам, это скорее некоторая специальная «дискретиза
ция» системы, а не «квантование» в том виде, в каком этот термин обычно
употребляется в анализе. Более Toro, некоторые нетривиалъные «q дефор
мации анализа» восходят к 19 OMY веку. Но термин «квантовая rpуппа»
очень привлекателен и придает этоМу предмету возможно несколько об
манчивый внешний вид, вызывающий восхищение. Один первоклассный
физик теоретик, который сам открыл MHoro нетривиальных решений ypaB
нения Янrа Бакстера, rоворил автору в конце 1980 x roдов, что «он не знает,
что означает «квантовая rpуппа», но звучит это очень привлекательно». В
то же время, он, похоже, уже сам применял квантовые rрупnы для дискре
тизации оператора Шрединrера в мarнитном поле.
Похоже, что квантовые rpуппы MorYT быть использованы для улуч
шения результатов об изложенных выше инвариантах, и хотя этот подход
выrядит обещающим, пока ничеrо с ero помощью не было достиrнуто,
кроме систематизации известных результатов.
В теории узлов инвариант Джонса привел к решению проблемы Тейта,
физика, который в середине 19 ro века начал изучать узлы по предложению
19*
292
ПРИЛОЖЕНИЕ
Максвелла или Кельвина. Составив таблицы простейших нетривиальных
узлов, он особо отметил некоторые свойства альтернированных узлов, у
которых при обходе некоторой их диarpаммы проходы сверху и снизу че
редуются. С помощью полинома Джонса Кауффман и Мураками доказали,
что для неприводимых (т.е. не разлаrающихся в связную CYМM двух нетри
виальных узлов, лежащих в непересекающихся шарах; общии вид приво:
димых узлов см. на рис. 74) алътернированных узлов число пере сечении
альтернированной неприводимой диarpамме равно разности Me {': макси
мальной и минимальной степенями t в полиноме Джонса J(t, t ) и, как
следствие, является тополоrическим инвариантом.
K,#K, K
Рис. 74
Хотя проблема Тейта никоrда не рассматривалась как цеюральная про
блема теории узлов, она не поддавалась методам современнои тополоrии,
что показывает важность полинома Джонса.
В заключение укажем одно красивое свойство полинома Александе
ра. для ленточных узлов (т.е. оrpаничивающих диск, поrpуженный в R 3)
полином Александера A(t, t l) разлarается в про изведение
A(t, с 1 ) == f(t)f(t l)
для HeKoToporo олинома I( t).
п.з. Инварианты Васильева
Здесь мы изложим некоторые факты из теории инвариантов Васильева,
развитой в работах Васильева, Бар Натана, Бирман, Лина и Концевича и
красиво объясняющей аддитивные свойства полиномов T a Джонса.
Обозначим через Fk пространство всех поrpужении Gk окр жно
сти 81 В R 3 С k точками пересечения, причем все эти точки двоиные.
Р . Р , ,; == 1 k и пе р есечения в них трансверсальны. Возмущая об
, 2, (, , ..., .... с+
раз около каждой точки пересечения, мы получаем пары поrpужении
+k l, c k l С k 1 пересечениями. Тополоrическим инвариантом fk на
пространстве Fk является функция '
fk : 7ro(Fk) ........ А
П.3. ИНВАРИАНТЫ ВАСИЛЬЕВА
293
со значениями В абелевой rpупnе А. В частности, при k == О мы ПОлучаем
тополоrические инварианты узлов. Мы скажем, что инвариант ik является
проuзводной Васильева инварианта fk l, если выполнено СООтношение
fk l(G+k l) fk l(G k l) == fk(G k )
(см. рис. 75). Тополоrический инвариант узлов называется k uHBapuaHтoм
Васильева, если ero (k + 1) я производная Васильева равна нулю.
x x
х
Gk 1
C,' I
С,
Рис. 75
Бар Натан доказал, что все коэффициенты полинома Александера яв
ляются инвариантами Васильева. Если сделать в полином ХОМФЛИ ПОk
становку
у == e Nx , х == e z / 2 e z/2,
то коэффициенты Полинома ХОМФЛИ при разложении по степеням z тоже
будут инвариантами Васильева (Бар Натан, Бирман, Лин).
Чисто комбинаторная характеризация всех инвариантов Васильева на
практике неэффективна для вычисления специальных инвариантов. Более
тoro, к настоящему времени не известно инвариантов Васильева, отличных
от указЩlНЬ1хвыше коэффициентов полиномов типа Джонса.
Дадим это комбинаторное описание. Хордовой дuаzpGММОЙ называется
набор из 2k различных точек Pj, Qj,j == 1, ..., k на окружности (при этом
важен только их циклический порядок). Зададим теперь соотношения на
абелевой rpуппе, порожденной всеми хордовыми диаrpаммами.
1) Если хордовая диаrpамма содержит пару точек Pj, Qj не зацеплен
ных ни с какой друrой парой P i , Qi (т.е. если P i лежит между Pj и Qj, то
и Qi лежит в том же интервале), то она полаrается равной нулю.
2) Пусть нам дана хордовая диarpамма с (k 2) парами точек P i , Qi, i ==
== 1, . . . ,k 2 и на окружности заданы три точки A 1 , А2, А з , лежащие
после них. Любую из точек A i , например A 1 , можно заменить на две очень
близкие к ней точки, которые обозначаются Pk l и P k , а оставшиеся точки
А 2 и Аз можно переобозначить через Q k l И Q k двумя способами, получив
две разные хордовые диarpаммы:
С+ : А 2 == Qk l, Аз == Qk; C : А 2 == Qk, Аз -== Qk l.
294
ПРИЛОЖЕНИЕ
Тоrда наложим дополнительные соотношения, означающие, что разность
С+ C не зависит от выбора начальной точки (в нашем случае А 1 ) из
тройки Аl, А2, Аз.
Полученная после наложения этих соотношений rpуппа Bk задает все
k инварианты Васильева.
fрадуированная сумма
в == LBk
k
снабжается умножением, определенным как связная сумма хордовых диа
rpaMM ВДОЛЬ интервалов, не содержащих отмеченные точки (из наложен
НbIX соотношений вытекает корректность TaKoro определения умножения).
С такой операцией умножения rpуппа становится rpадуированным кольцом
Хопфа.
Существует красивая аналитическая формула Концевича, из которой
следует, что каждому элементу rpynпы В k действительно соответствует
инвариант Васильева. Чтобы ее ввести, предположим, что узел К задан
своей диarpаммой z(t) == x(t) + iy(t), причем функция t является функцией
Морса на узле. Рассмотрим следующую сумму (<<монодромию Книжника
Замолодчикова» ):
Z(K)== L 1. J '.. J ( l)Nl DN f\dlog(zj zJ).
(27rz)m .
m tШin<tI<...<t,,<tшахll[Zj,zjJ J .
Здесь интеrpал берется по переменным t s , для каждоrо значения t s мы
имеем множество точек (z(t s ), t s ) на узле, из KOTOpOro мы выбираем ffi s
пар
(Zj(ts),ts),(Z](ts),t s ), j==l, ...,ffi s ,
rде Es т э ==т и DN класс эквивалентности соответствующей хордовой
диаrpаммы N. Ассоциированная с таким интеrpалом хордовая диаrpамма
есть просто набор этих пар точек на окружности. Символ N 1 обозначает
число хорд, которые убывают по отношению к t. Обозначим через S == Sk
число точек минимума на узле, а через 'у == Z(U) значение интеrpала
Z для диarpаммы И с рис. 76. Тоrда имеет место фОРJwула Концевuча для
инварианта узла К:
'Y B Z(K).
П.4. Тополоrические квантовые теории поля и новые
инварианты трехмерных мноrообразий
Как мы уже отмечали выше, впервые определение тополоrическо
ro инварианта с помощью теории поля (а именно Функциональноro ин
ПА. ТополоrИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ И НОВЫЕ ИНВАРИАНТы
295
CXJ
u
Рис. 76
теrpала) бьто дано Шварцем, кто нашел такое определение кручения
Рейдемейстера Рэя Зинrера. Неабелево обобщение TaKOro подхода бы
ло предложено Виттеном в терминах мноrозначныIx функционалов дей
ствия на классах калибровочной эквивалентности полей Янrа Миллса
(дифференциально rеометрических связностей на rлавных G расслоениях
с компактной rpуппой ли а).
Рассмотрим следующую статистическую сумму для тpexмepHoro MHO
rообразия МЗ:
Z(М З ) == J DA(x) exp(ikS(A», i 2 == 1.
Здесь k целое число, соrласно «тополоrическому квантованию констант
связю) (сформулированному для мноrозначных функционалов автором в
1981 roдy, Дезером Джакивом Темпmоном для действия Черна Саймонса
в 19 2 rоду и Виттеном в 1983 rоду), которое вытекает из требования, чтобы
«феинмановская амплитуда» ехр( ikS) была бы однозначной. Напомним,
что действие Черна аймонса имеет ВИД
В(А) == Tr(A А dA + A А А А А).
С помощью разбиений Xeropa трехмерных мноrообразий и красиво
ro rамильтонова подхода к тополоrической квантовой теории поля Виттен
свел проблему определения (заметим, что формально интеrpал берется по
всем связностям) и вычисления значения Z(1vJЗ) к некоторым задачам ДBY
мерной конформной теории поля. Ряды теории возмущений для Z(МЗ) при
1
k 00, построенныIe Аксельродом и Зинrером (и в некоторых частных
случаях Концевичем), привели к некоторым интересныIM тополоrическим
величинам, чьи свойства и тополоrические приложения к настоящему Bpe
мени не исследованы.
Cтporoe чисто тополоrическое и не зависящее от теории возмущений
определение этоrо инварианта было дано РешеТИXШlЫМ и Тураевым, а ero
теория развивалась в работах Виро, Лауренса и Ликориша. Мы опишем
296
ПРИЛОЖЕНИЕ
некоторые ero свойства, следуя работе Ликориша конца 1980-х [одов и ее
изложению в книrе Кауффмана (см. список литературы).
Каждое замкнутое трехмерное мноrообразие М2 может быть получено
из трехмерной сферы перестройкой по соответствующему зацепленmo L, о
чем, видимо, бьmо известно уже Дену. Ликориш, Цишaнr и aвrop использо
вали это для построения неособоrо 2 слоения на произвольном замкнутом
трехмерном мноrообразии, стартуя со слоения Риба. В 1980 e [оды Кирби
указал, что эта конструкция разлarается в композицию двух элементарных
операций, известных из мноrомерной хирурrии, которую Смейл и Уоллес
использовали для доказательства rипотезы Пуанкаре в размерностях n > 4.
Заметим, что трехмерные тополоrи обычно используют композицию этих
двух преобразований вместо второrо.
Прежде Bcero отметим, что мы предполarаем все узлы оснащенными
полем нормальных векторов в R 3. Числом зацепления оснащения называ
ется индекс зацепления узла с ero малым сдвиrом вдоль нормалъноrо BeK
TOpHOro поля, образующеrо оснащение. Это число является полным тополо
rическим инвариантом зацепления. Оснащение называется каноническим,
если ero число зацепления равно нулю.
1) Первое движение Кирби состоит в добавлении к зацеплению неза
узленной компоненты, которая отделена от зацепления «стенкой» R 2 С R 3
И ее число зацепления равно х1.
2) Второе движение Кирби состоит в следующем. Возьмем две KOM
поненты Li,Lj и обозначим через Lt параллельный СДБиr одной из них.
СоединиМ L i и L j отрезком, который не пересекает друrие компоненты и
оснащение KOToporo совместно с оснащениями L i и Lj. Возъмем «связную
сумму» T j ===Li#Lj" аналоr ную связной CYM e ос ащенных подмно
rообразий при вычислении понтряrиныM rpупnы 1rз(8 ). Заменим теперь
пару L i , Lj на Lt, Lj, не затронув друrие компоненты. Перестройка вдоль
замкнутой жордановой кривой 81 в мноrообразии М 3 с тривиальным HOp
мальным пучком Т(8 1 ) == 81 Х D 2 С 1\113 определяется полностью числом
зацепления оснащения: сдвиr 8 rомотопен нулю после перестройки в HO
вом мноrообразии 1\If2.
Для оснащенноrо зацепления L определена симметричная Jwатрuца
зацепления порядка n, rде n число компонент зацепления. ИндеКСОJW за
цепления д (L) называется число отрицательных диаrональных элементов в
диarонализации матрицы зацепления.
Пусть D плоская диаrpамма зацепления с n компонентами и каждой
компоненте сопоставим неотрицательное целое число iq. Выберем на каж
дой компоненте естественное оснащение, которое получается из нормаль
Horo оснащения плоской диarpа."Iмы узла. Если сдвинуть эту компоненту на
малое расстояние вдоль -:raкoro оснащения, мы получим параллельный узел.
ПА. ТополоrИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ И НОВЫЕ ИНВАРИАНТЫ 297
Заметим, что сли кажд q ю компоненту сдвинуть iq раз, то мы получим
зацепление с 21 + . . . + 2n компонентами, которое задается зацеплением D
с n компонентами, каждая из которых отмечена числом iq.
Зафиксируем целое число r и положим Ir == {0,1, . . . , r 2}. Под с
будем понимать функцию с : {1, . . . , n} ......... 1 r, которая каждой компоненте
зацепления сопоставляет элемент из Ir. для заданных чисел Ло, . . . , Лr 2
определим величину
((L)) == LЛС(l).' .лс(n)8DL(А,А 1;д),
с
rдe D L диarpамма зацепления, сумма берется по всем таким функциям с
и д == А 2 А 2, как И в конструкции Кауффмана полинома Джонса.
Предположим теперь, что r 3, А == exp(i1r/2r) и числа Ло, . . ., Лr 2
удовлетворяют переопределенной системе уравнений
r 2
д j == L лДi+j, j О,
i,=O
[де Tj == 8D j (А, A \ д) и Dj есть j параллельных копий элементарной
диаrpаммы с одним пере сечением (рис. 77). Тоrда формула
TR(M2) == д i(L)((L))
задает тополоrический инвариант тpexMepHoro мноrообразия, полученноrо
перестройкой сферы по зацеплению Е. Этот инвариант называется инва
puaHтOJW Тураева Решетuxuн.а и хотя сам по себе интересен, он пока не
нашел применений для решения тополоrических проблем.
<@> T,
Рис. 77
Важное понятие «тщюлоrической квантовой теории поля» было BЫ
делено после Toro, как выяснилось, что они представляют большее, чем
просто конструкцию инвариантов узлов и мноrообразий с помощью конти
нуалъноrо интеrpала или более строrих комбинаторных конструкций. AK
сиомы этих теорий, предложенные Атьей и Сеrалом, являются аналоrами
298
ПРИЛОЖЕНИЕ
аксиом теории rомолоrий Стинрода Эйленберrа, которые оказались исклк?
чителъно полезными в связи с такими обобщенными теориями roмолоrии,
как К теория и комплексные кобордизмы.
Соrласно определению n мерная тополоrическая квантовая теория по
ля это катеrория замкнутых ориентированных (n l) MepHЫX мноrооб
разий V, оснащенных rилъбертовыми пространствами Hv (возможно KO
нечномерными). Морфизмами в этой катеrории являются ориентированные
n MepHыe мноrообразия W, чьи rpаницы распадаются в объединение двух
частей входящей и выходящей с индуцированными ориентациями:
aW == v :;= V 1 U V2.
Причем каждый такой кобордизм определяет линейное отображение
fw: HV 1 H V2 '
rде черта обозначает обратную ориентацию. Так как, соrласно аксиоме,
Hv == HV
(здесь звездочка обозначает сопряженное пространство), такое отображение
может быть рассмотрено как элемент из Н aw:
fw Е HV1UV 2 == H V1 Q9 H v2 .
для цилиндра с обычной ориентацией fw есть тождественное отображение.
Таким образом, морфизм определяется элементом fw Е Н v для любоrо
мноroобразия W с rpаницей V.
Пусть мноrообразие V является rpаницей двух мноrообразий W 1 и W 2 .
Torдa число
(fw 1 ,-fW2)
является тополоrическим инвариантом замкнутоrо мноroобразия W 1 U W 2 .
В классической тополоrии известны только два инварианта Taкoro вида:
эйлерова характеристика четномерных мноroобразий и cmнaтypa мноrооб--
разий с rpаницей размерности 4k. То, что сиrнатура удовлетворяет этим
аксиомам, следует из «леммы аддитивности», доказанной Рохлиным и Ho
виковым С. П. в середине 1960 х [одов. В этих примерах пространства Н v
одномерны и морфизмы состоят В умножении на ear(W), rдe т сиrнатура
или эйлерова характеристика. В настоящее время мы имеем MHoro новых
примеров, в которых размерности пространств Hv больше единиЦЫ, и они
отвечают нетривиалъным тополоrическим квантовым теориям поля.
Каждый двумерный кобордизм реализуется композицией элементар
ных «штанов», т.е. двумерных мноrообразий с тремя компонентами rpa
ницы V 1 , V2, V 3 И функцией Морса с единственной критической то чкой
постоянной на одномерных подмноrообразиях V 1 U V 2 И V з . Каждыи такои
ПА. ТополоrИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ И НОВЫЕ ИНВАРИАНТЫ 299
морфизм задает тензор Cjk на пространстве V, rдe V == 81. Компоненты
этоrо тензора являются структурными константами фробенuусовой aлzебры,
т.е. коммутативной ассоциативной aлrебры с единицей и скалярным произ
ведением 'rJij, удовлетворяющим тождеству (f g, h) == и, gh). Это скалярное
произведение rJij отвечает тривиальному кобордизму цилиндру 81 Х 1.
Корреляционные функции (корреляторы или вакуумные ожидания про
изведений полей в этой теории поля) постоянны по определению и имеют
следующий вид. Пусть {ei} базис Фробениусовой aлrебры. Torдa
1) О петлевые корреляторы пар равны rJij;
2) О петлевые корреляторы троек есть
Cijk == 'rJisCjk;
3) каждый О петлевой коррелятор имеет вид
(ei . . . ek, 1);
4) k петлевые корреляторы выражаются в виде
(ei.. .ek,H k ),
[де H k == ryi j eiej подХОДЯЩИЙ элемент Фробениусовой aлrебры.
В некоторых интересных случаях Н 81 является четной частью КОЛЪ
ца коrомолоrий HeKoToporo мноrообразия Калаби Яо и ассоциированные
Фробениусовы aлrебры отвечают «квантовым деформациям» кольца Koro
молоrий. Cтporoe исследование этой.ситуацИИ.было проведено.в работах
Яо, Концевича, Манина, Тяна, Руана, Пиунихина, fивенталя, Салам она,
Макдафф и др. с использованием техники aлrебраической rеометрии и TO
полоrии и симплектической тополоrии.
В наиболее интересных случаях такие теории зависят от дополни
тельных параметров, которые в свою очередь удовлетворяют «солитонным
бездисперсионным интеrpируемым иерархиям» или «иерархиям rидроди
намическоrо типа» (в смысле Дубровина и автора), которые связаны с [a
мильтоновым формализмом, определенным некоторой плоской метрикой на
пространстве параметров. Поэтому особую важность представляет аксио
матизация таких теорий.
Следуя Витrену, Диrpаафу, братьям Верлинде, Дубровину, Кричеверу
и др., мы изложим систему аксиом для специальноrо случая двумерной
тополоrической квантовой теории поля в отсутствие rpавитационноrо поля.
Пусть нам задано пространство с координатами t i , метрика 'rJij, не зави
сящая от t. Пусть C(t) структурные константы фробениусовой aлrебры,
300
ПРИЛОЖЕНИЕ
которая отвечает той же метрике. Пусть эти структурные константЫ связаны
с метрикой уравнениями ассоциативности
17kS8i8j8kF(t) == C!j(t),
17ij == 8 1 8 i 8 j F(t),
rде первый базисный вектор совпадает с единицей в ебре и F(t) --:
некоторая функция (<<свободная энерrия» соответствующеи тополоrическои
квантовой теории поля). Эти объекты задают фробениусову 2еометрию в
пространстве с координатами t 1 . s
Как показал Дубровин, если при этом предположить, что тензор 17isCjk
симметричен, то из уравнений ассоциативности следует, что операторы
8 i zCjk' зависящие от параметра z, определяют плоскую связность на
рассматРиваемом пространстве. Следуя Диrpаафу и Витrену (1991), можно
использовать плоские координаты hj,m(t), определенные как формальные
ряды по z, для определения «бездисперсиониой иерархии» или «О петлевоrо
rpавитациониоrо продолжения» следуюIЦИМ образом:
00
h " h (t) J 1 2 т > О h J ' ,o == ti'YIi J "
j == L з,т , . == , ,..., , '/
т==О
Нз,т == J hj,m(t(X))dX.
Здесь Н. можно рассматривать как коммутирующие raмилътонианы
з,т ТЗ m
(rидродинамическоro типа) для этой иерархии с BpeMeHa '
х == Tl,O, t j == ТЗ,О. fамилътонов формализм задается плоскои метрикои
17ij по схеме Дубровина Новикова, предложенной в начале 1980 x rодов.
В частности, О коррелятор «свободной энерrии» есть специальное решение
Р (Х, Т), а ero частные производные по отношению к временам тз,т это
О корреляторы этой тополоrической квантовой теории поля. На это решение
накладываются следующие начальные условия:
Р (Х, Т) == F(t),
, 'О' 1.
[де тз,т l == О при m > 1, ТЗ' == t J иХ == t ,
8 F " Т ) т 8 F + 1 T i,O t j,O
Х == L 'Tj.", l 217ij
(условие «бездисперсионной струны»); О петлевое соотношение для Koppe
ляторов:
3 F 82 F ls 83 F
8(i,m),(j,n),(k,p) == (i,m l),(I,O) 17 (s,O),(j,n),(k,p) .
ПА. ТополоrИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ И НОВЫЕ ИНВАРИАНТЫ 301
В некоторых частных случаях естественно предположить существова
ние «k MepHoro петлевоro rpавитациониоrо продолжения» для всех Значе
пий k. Здесь n == 1 и функция «свободной энерrии» удовлетворяет знамени
той иерархии Кортевеrа де Фриза с потенциалом u оператора Шрединrера
с начальным условием и(Х,о, ..., О) == 8'kF == Х.
Потенциал опеJ'атора Шрединrера можно леrко получить как формалъ
ный ряд по тт, Т == Х с целыми коэффициентами. Соrласно rипотезе
Виттена доказательство которой было предложено Концевичем в 1992 roдy
(первое полное доказательство этой rипотезы бьто получено oкуньковым
в 2001 [оду с помощью метода, совершенно отличноrо от метода Концевича
в котором до сих пор никто не cMor восполнить rлyбокие пробелыI,, эти KO
эффициенты совпадают с числами Черна некоторых векторных расслоений
над пространствами Модулей aлrебраических кривых.
В случае 1711 == О, 'Т'/l2 == 1, 'Т'/22 == О решения уравнений ассоциативности
имеют вид
F(t) == tit2 + f(t2),
и с ними связаны очень интересные двумерные примеры тополоrических
квантовых теорий поля.
Литература к приложению.
D. Вar Nаtап. Оп the Vassiliev knot iпvariапts. Topology 34, No.2, 423--472
(1995).
В. Dubrovin. Geometry of 2D topological field theories. In: Lect. Notes
Math. 1620, Berlin et аl.: Springer, 12(}",348 (1996).
L. Каuffmап. Кnots апd physics. 3rd ed. Singapore: World Scientific. 770
р. (2001)
Литература
Литература, указанная ниже в тексте, не цитируется. Она дана в виде дополне
ния, не претендующеrо на полноту, по которому читатель может более основательно
изучить обсуждаемые нами разделы тополоrии и ее приложений. Книrи и статьи,
которые автор считает в учебно--методическом смысле лучшими в том смысле,
что в них, как нам кажется, особенно интуитивно ясно и удобно для читателя из
ложены те или иные важные куски тополоrии и смежных областей, помечены
звездочкой (*) в списке. Мы делим литературные источники на следующие rpуппы
(возраст кииrи, статьи определяется по времени ее первоro появления).
1. Популярные книrи и брошюры по rеометрии, тополоrии
и их применениям
1.1. Книrи 30 x rодов.
Александров П. с., Ефремович В. Л Очерк основных понятий тополо
rии. М. Л.: ОНТИ, 1936,94 с.
Hilbert D., Cohп Vosseп S. Anschauliche geometrie. Berlin, 1932, 31 О s.
(Пер. на рус. яз. 3 ro изд. книrи: Тuл ьберт Д , Кон Фоссен с.. Нarлядцая
rеометрия. М.: Наука, 1971,344 с.)
1. 2. Современные популярные rеометро тополоrические книrи.
БолiпянскийВ. т, ЕфреwовuчВ. А. Нarлядная тополоrия. М., «Квант»,
1982, N!! 21, 149 с.
Chinn WG., SteenrodN., First concept oftopology. N. У.: Random House,
1966, 115 р. (Пер. на рус. Я3.: СтинродН, Чuнн У. Первые понятия тополо
rии. М.: Мир, 1967,224 с.)
1.3. Популярные брошюры, написанные в последние [оды физиками
или с участием физиков.
* Воловик r. Б., Минеев В. П. Физика и тополоrия. М.: Знание, 1980,63 с.
Минеев В. П. Тополоrические объекты в нематических жидких кристал
лах. Дополнение к книrе: БолтянскийВ. Т, ЕфремовичВ.А. Нarлядная TO
полоrия. М., «Квант», 1982, N!! 21, 148 158.
ЛИТЕРАТУРА
303
*Франк КаменецкuйМД Самая rлавная молекула. М. «Квант» 1983
159 с. ' "
11. Учебные книrи по комбинаторной и алrебраической
тополоrии
П. 1. Период 30 x roдов.
LefschetzS., Algebraic topology. Amer. Math. Soc. СоН. Publ., 1942,27,
389 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: Лефшиц С. Aлrебраическая тополоrия М' ИЛ
1949,504 с.) . .. ,
* Sеifеrtп. , Threlfa /W, Lehrbuch der Topologie. Teubner, 1934,353 S.
(Пер. на рус. яз.: 3еuфертr., ТрельфШUlЬВ. Тополоrия. fОНТИ, 1938,
400 с.)
П. 2. Период 40 x 50 x rодов.
Александровп. С. Комбинаторная тополоrия. fостехиздат, 1947,660 с.
Понтря2UНЛ С. Основы комбинаторной тополоrии. ОfИЗ fостех
издат, 1947, 143 с.
, Основы комбинаторной тополоrии. М.: Наука, 1976, 2 e изд., 136 с.
Б.ilепЬеrgs. SteenrodN. Foundations of algebraic topology. Princeton, N.
У.: Pnnceton Uшv. Press, 1952,328 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: Стинродп., Эилен
берzс., Основания алrебраической тополоrии. М: ил, 1958,403 с.)
. Godement R. Topologie algebrique et theorie des faisceaux. Actual scient et
шdustr. N!! 1252, Publ. lnst. Math. Univ. Strasbourg N!! 13, Paris, Неnnan, 1958,
283 р. (Пер. на рус. яз.: ТодеманР, Aлrебраическая тополоrия и теория
пучков. М.: ИЛ, 1961,320 с.)
* Steenrod N. ТЬе topology of fibre bundles. Princeton, New Jersey, 1951,
224 рр. (Пер. на рус. яз.: СтинродН, Тополоrия косых произведений. М.:
ил, 1953,275 с.)
П. 3. Книrи периода 60 x середины 70 x rодов.
Do/dA. Lectures оп a1gebraic topology. Berlin, Heidelberg, N. У.: Springer-
Verlag, 1972,377 рр. (Пер. на рус. Я3.: ДольдА., Лекции по aлrебраической
тополоrии. М.: Мир, 1976,464 с.)
Hi/ton Р J., Whylie S. Homology theory. N. У.: Cambridge Univ. Press, 1960,
484 рр. (Пер. на рус. яз.: Хuлтонп., Уаилu с., Теория rомолоrий. М.: Мир,
1966,452 с.)
304
ЛИТЕРАТУВ\
Spaпier Е. Н Algebraic topology: N. У: McGraw Hill, 1966, 528 рр. (Пер.
на рус. яз.: СпеньерЭ., Aлrебраическая тополоrия. М.: Мир, 1971,680 с.)
П. 4. Книrи периода ВТОрОЙ половины 70 x середины 80 x rодов.
БорuсовuчЮ.Т, БлuзняковНМ, Израuлевичя.А., Фоменкот.н BBe
дение в тополоrию. М.: Высшая IllКола, 1980,296 с.
"ДубровинБ.А., Новиков С П, ФоменкоА. Т. Современная rеометрия.
Методы теории rомолоrий. М.: Наука, 1984, 344 с.
Постников М М Лекции по aлrебраической тополоrии. Основы теории
rомотопий. М.: Наука, 1984, 336 с.
Лекции по aлrебраической тополоrии. Теория rомотопий клеточных
пространств. М.: Наука, 1985,416 с.
Рохлин В. А., ФуксД. Б. Начальный курс тополоrии. fеометрические
rлавы. М.: Наука, 1977,488 с.
Massey W S. Homology and cohomology theory. New York, Basel: Marcel
Dekker, Inc. 1978,412 рр. (Пер. на рус. Я3.: Масси У., Теория rомолоrий и
коrомолоrий. М.: Мир, 1981,389 с.)
, Algebraic tocology: Ап introduction. New York, Chicago, San Francisco.
Atlanta: Harcourt, Втсе & World, Inc., 1967, 261 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: Mac
си У, СтоллиН2СДЖ. Aлrебраическая тополоrия. Введение. М.: Мир, 1977,
278 с.)
Switzer R. М Algebraic topology homotopy and homology. Berlin,
Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1975,526 рр. (Пер. на рус. Я3.: Cвит
цер Р М., Алre6раическая тополоrия rомотопий и rомолоrий. М.: Наука,
1985,607 с.)
111. Книrи по элементарной и Р L тополоrии
мноrообразий, теории комплексных мноrообразий,
rеометрии расслоений, rpуппам Ли
Ш. 1. Элементарная дифференциальная тополоrия, тополоrия Р L MHO
rообразий.
"ДvбровинБ. А., Новиков сп., Фо,uенкоА. Т. Современная rеометрия.
М.: Наука, 1979,760 с.
" , , Современная rеометрия. Методы теории rомолоrий. М.: Ha
уха, 1984,344 с.
"ПонтРЯ2инЛ С fладкие мноroобразия и их применения в теории ro
мотопий. Тр. Мат. ин та им. В. А. Стеклова, 1955, N!! 45, 140 с.
ЛИТЕРАТУРА
305
" , fладкие мноrообразия и их применения в теории roмотопий. 3 e
изд. М.: Наука, 1985, 174 с.
Постников М М Введение в теорию Морса. М.: Наука, 1971,568 с.
HirschM W Differential topology. Graduate texts Math., N!! 33. Springer.,
1976,221 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: ХиршМ, Дифференциальная тополоrия. М.:
Мир, 1979,280 с.)
MiZпor J. Topology from the differentiable view point. Univ. Press
of Virginia, Charl., 1965, 64 р. (Пер. на рус. яз.: Мuлнор Дж. , Уол
лес Л, Дифференциальная тополоrия. Начальный ку р с. М: Ми р 1972
177 279) , ,
MuпkresJ R. Elementary differential topology. Ann. Math. Stud., 1963,
N!! 54, 107 рр. (Пер. на рус. Я3.: Манкрс Дж., Элементарная дифференци
альная тополоrия. Дополнение к книre: МuлнорДж., СташефДж., Xapaк
теристические классы. М.: Мир, 1979, 270 359)
Rourke С. Р, SaпdersoпB. J. Introduction to piecewise linear topology.
Ergeb. Math., 1972,69, 123 р. (Пер. на рус. Я3.: РуркеК, СандерсонБ., BBe
дение в кусочно линейную тополоrию М.: Мир, 1974,208 с.)
" Seifert Н, ThrelfaZZ W Variationsrechnung im Grosses. (Theorie уоп
Marston Morse). Leipzig Berlin, Teubner, 1938, 115 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: Зей
ферт Т, ТрельфалльВ., Вариационное исчисление в целом. М.: ИЛ 1947
147 с.) , ,
WaZZaceA. Н Differential topology. First steps. N. У, Amsterdam: W. А. Be
njamin, 1968, 130 рр. (Пер. на рус. Я3. в книrе: Мuлнор Дж., Уол
лесА., Дифференциальная тополоrия. Начальный ку р с. М.: Ми р 1972
176 с.) , ,
III. 2. Формы, пучки, комплексные и aлrебраические мноrообразия.
"ДубровинБ. А., Новиков С п., ФоменкоА. Т. Современная rеометрия.
Методы теории rомолоrий. М.: Наука, 1984,344 с.
. "Cherп S. S. Complex manifolds. Тhe Univ. Chicago. Аиютп 1955
WInter 1956, 181 рр. (Пер. на рус. Я3.: Чжень Шень шэнь, Комплексные
мноrообразия. М.: ИЛ, 1961,240 с.)
GodemeпtR. Topologie algebrique et theorie des faisceaux. Асюаl scient. et
industr. N!! 1252. Publ. Inst. math. Univ. Strasbourg N!! 13, Paris, Herrnann, 1958,
283 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: rодеманР, Aлrебраическая тополоrия и теория
пучков. М.: ИЛ, 1961,320 с.)
Griffiths Р, Harris J Principles of algebraic geometry. New York, Chichester,
Brisbane, Toronto: А Wiley Interscience Publication John Wiley & Sons, 1978,
813 р. (Пер. на рус. Я3.: rрuффите Ф., ХаррисДж., Принципы aлrебраиче
ской rеометрии. Т. 1, П. М.: Мир, 1982, 1 96, 497 864.)
20 Тополоrия
306
ЛИТЕРАТУРА
"Hirzebruch F Neue topological Methoden in der algebraic Geometrie.
Ergeb. Math., 1956, N!! 9, 165 S.
* Topological Methoden in der algebraischen Geometry. New York:
Springer Verlag, 1966,232 р., (Пер. на рус. ЯЗ. 3 ro изд. книrи: ХuрцебрухФ.,
Тополоrические методыI в aлrебраической rеометрии. М.: Мир, 1973,280 с.)
* Spriпger G. Introduction to Riemann surface. Massachusetts: Addison:
Wesley Publ., Company, Inc. Reading, 1957,307 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: Сприн
zерДж., Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИЛ, 1960,344 с.)
III. 3. Основы дифференциальной rеометрии и тополоrии; расслоенные
пространства, rpуппы Ли.
"Дубровин Б. А., Новиков С. П, Фо.менко А. Т. Современная rеометрия.
М.: Наука, 1979,760 с.
*Понтря2ИНЛ С. Непрерывные rpуппы. М. Л.: ОНТИ, 1983,315 с.
* , Непрерьmные rpупnыI. 4 e изд. М.: Наука, 1984,520 с.
BishopK L., CritteпdellR. J. Geometry of manifolds. New York London:
Acad. Press, 1964,273 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: БuшопР, КриттенденР, [eOMeT
рия мноrообразий. М.: Мир, 1967,336 с.)
Groтo/l D., КZiпgeпberg W, Meyer W Riemannische Qeometrie im Grossen.
Lect. Notes Math., 1968, N!! 55, 287 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: rрOJUОЛд., Клuнzен
берzВ., МейерВ., Риманова rеометрия в целом. М.: Мир, 1971,344 с.)
HeZgasoll S. Differential geometry and symmetric spaces. New York: Acad.
Press, 1962, 486 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: Хeлzасон С. Дифференциальная reo
метрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964,534 с.)
Huseтo/lerD. Fibre bundles. N. У.: McGraw Hill Book Соmрапу, 1966,
300Р'.(Пер. на рус. ЯЗ.: Хьюзмоллерд., Расел-оенныепрос:rранства. М.: Мир,
1970,443 с.)
"Noтizu К. Lie groups and differential geometry. Tokyo, 1956, 80 р. (Пер.
на рус. ЯЗ.: Номuдзу К. fруппы Ли и дифференциальная rеометрия. М.:
ИЛ, 1960, 128 с.)
ScllwartzJ Т. Differential geometry and topology. Notes Math and
Appl. New York: Gordon and Breach, 1968, 170 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.:
Шварц Дж., Дифференциальная rеометрия и тополоrия. М.: Мир, 1970,
224 с.)
"SerreJ P Lie algebras and Lie groups. Lecture given at Harvard Univ.
New York, Amsterdam: Benjamin, 1955,252 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: СеррЖ. П
Aлrебры Ли и rруппы Ли. М.: Мир, 1969,375 с.)
SpivakM Calculus оп manifolds. W. А. Benjamin lnc. Reading Mass. 1965,
144 р. (Пер. на рус. яз.: СпивакМ., Математический анализ на MHoro06pa
зиях. М.: Мир, 1968, 164 с.)
ЛИТЕРАТУРА
307
" Steeпrod N ТЬе topology of fibre bundles. Princeton, New Jersey:
Princeton Univ. Press, 1951, 224 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: СтинродН Тополо
rия косых произведений. М.: ИЛ, 1953,275 с.)
IV. Книrи и статьи обзорноrо и учебноrо типов по
различным разделам тополоrии и ее приложений
IV. 1. Вариационное исчисление в «целом».
Альбер С. И. О периодической задаче вариационноrо исчисления в цe
лом. Успехи мат. наук. 1957,12, N!! 4, 57 124.
*ДубровuнБ.А., Новиковс.п., ФоменкоА. Т. Современная rеометрия.
Методы теории rомолоrий. М.: Наука, 1984,344 с.
ЛюстернuкЛ А., ШнuрельлщнЛ r. Тополоrические методы в вариаци
oHHых задачах и их приложения в дифференциальной rеометрии поверхно
стей. Успехи мат. наук, 1947,2, N!! 4, 166 217.
BottR. Оп manifolds all ofwhose geodesies are closed. Ann. Math., 1954,
60. 375 382. (Пер. на рус. ЯЗ.: БоттР, Мноrообразия, на которых все reo
дезические замкнуты. Расслоенные пространства и их приложения. М.: ил,
1958, 115 123).
Kliпgeпberg W Lectures оп closed geodesies. (Grundlehren math. Wiss.
N!! 230) Berlin, Springer Verlag, 1978,227 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: Клuнzенберz В.,
Лекции о замкнутых rеодезических. М.: Мир, 1982,416 с.)
"MiZпor J. Morse theory. Апп. Math. Stud., 1963, N!! 51, 153 р. (Пер. на
рус. ЯЗ.: МилнорДж., Теория Морса. М.: Мир, 1965,184 с.)
IV. 2. Теория узлов.
Crowe/l R. Н, Fox К. Н Introduction to knot theory. Giпn and Соmрапу,
1963, 182 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: КроуэллР, ФоксР., Введение в теорию узлов.
М.: Мир, 1967,348 с.)
IV. 3. Теория конечных и компактных rpупп преобразований.
Bredoп G. Introduction to compact transformation groups. New York;
Acad. Press, 1972, ХIII, 459 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: Бредон r. BBeдe
ние в теорию компактных rрупп преобразований. М.: Наука, 1980,
440 с.)
Buchstaber V. М, Paпov Т. Е. Torus actions and their applications in
topology and combinatorics. University Lecture series, AMS, 2002, У.24, 144 р.
20.
308
ЛИТЕРАТУРА
ЛИТЕРАТУРА
309
Conner Р Е., F/oydE. Е. Differentiable periodic maps. Ergeb. Math., N!! 33.
Springer Verlag, 1964, 148 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: Коннерп., ФлойдЭ., fладкие
периодические отображения. М.: Мир, 1969,340 с.)
IV. 4. Теория rомотопий. Коrомолоrические операции. Спектральные
последовательности.
Болтянский В. r Основные rомолоrические понятия и теория препят
ствий. Успехи мат. наук, 1966,21, N!! 5, 117 139.
*ДубровинБ.А., Новиковс.п., ФомеllкоА. т., Современная rеометрия.
Методы теории rомолоrий. М.: Наука, 1984,344 с.
Постников М М Спектральные последовательности. Успехи мат. наук,
1966,21, N!! 5, 141 148.
ФуксД Б. Спектральные последовательности расслоений. Успехи мат.
наук, 1966,21, N!! 5, 149 180.
Комплексы Эйленберrа Маклейна. Успехи мат. наук, 1966,21, N!! 5,
21 215.
* ФОJwенкоА. т., I'yтешщхерВ.Л, rомотопическая тополоrия. М.:
Mf'Y, 1969,460 с.
AdamsJ F Stable homotopy theory. Lect. Notes Math., 1964, N!! 3, 74 р.
Stable homotopy and generalized homology. Lect. Notes Math., 1974,
373 р.
*HuS. Т. Homotopy theory. New York: Acad. Press, 1959,347 р. (Пер. на
рус. яз.: Ху Сы цзян Теория rомотопий. М.: Мир, 1964,468 с.)
Mosher R. Е., Tangora М С. Cohomology operations and applications in
homotopy theory. N. ,y': Harper & Row, Publishers, Evanst-on' and Lonoon,
1968, 214 р. (Пер. на рус. -Яз.: МошерР, ТаН20раМ, Коrомолоrиче
ские операции и их приложения в теории rомотопий. М.: Мир, 1970,
288 с.)
* SerreJ P Homologie singuliere des espaces fibres. Applications, Апn,
Math., 1951, 54, 425 505 (Пер. на рус. ЯЗ.: СеррЖ. п., Синryлярные rомоло
rии расслоенных пространств. Расслоенные пространства и их приложения,
М.: ИЛ, 1958, 9 14).
, Groupes d'homotopie et classes de groupes abeliens. Anп. Math., 1953,
58, 258 294. (Пер. на рус. яз.: СеррЖ. п., fомотопические rpуппы и классы
абелевых rpупп. Расслоенные пространства и их приложения. М.: ИЛ, 1958,
124-----162).
SteenrodN., EpsteinD. В. А., Cohomology operations, Ann. Math. Stud.,
1962, N!! 50, 139 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: СтинродН, ЭпстейнД, Коroмолоrи
ческие операции. М.: Наука, 1983, 232 с.)
IV. 5. Теория характеристических классов и кобордизмов.
АносовД В., Толо В. Л Некоторые расслоения и К Функтор. Успехи
мат. наук, 1966,21, N!! 5, 181 212.
Ботвинник Б. и., Бухштабер В. М., Новиков С. п., Юзвинский С. А. Ал
rебраические аспекты теории умножений в комплексных кобордизмах.
Успехи мат. наук, 2000, 55, N!! 4, 5 24.
Бухштабер В. М, Мищенко А. с., Новиков С П. Формальные rpупnыI и
их роль в аппарате aлrебраической тополоrии. Успехи мат. наук 1971 26
N!! 2, 131 154. ' "
Бухштабер В. М, Новиков С. П. Формальные rpупnыI, степенные систе
мы и операторы Адамса. Успехи мат. наук, 1971, 84, N!! 1, 81 118.
*ДубровинБ.А., Новиковс.п., ФоменкоА. Т. Современная rеометрия.
Методы теории rомолоrий. М.: Наука, 1984,344 с.
Новиков С. П. Теорема KapTaHa Ceppa и внутренние rомолоrии. Успехи
мат. наук, 1966,21, N!! 5, 217 232.
РохлинВ.А. Теория внутренних rомолоrий. Успехи мат. на у к 1959 14
N!! 4, 3 20. ' "
Bore/A. Sur la cohomologie des espaces fibres principaux et des espaces
homogenes de groupes de ие compacts. Aпn. Math., 1953, 57, 115 207 (Пер.
на рус. ЯЗ.: БорельА. О коrомолоrиях rnавных расслоенных пространств и
однородных пространств компактных rpупп Ли. Расслоенные пространства
и их приложения. М.: ИЛ, 1958, 163 246.)
, La cohomologie mod 2 de certains espaces homogenes. Comment,
math, helf., 1953, 27, 165 197. (Пер. на рус. яз. первой rлавы этой работы:
БорельА. Классифицирующие пространства ОРТОf'ональных rpупп; MHoro
образия Штифеля. Расслоенные пространства и их приложения. М.: ИЛ
1958 282 292.) ,
, SerreJ P Groupes de Lie et puissances reduites de Steenrod. Amer
J. Math., 1953, 75, 409 8. (Пер. на рус. ЯЗ.: БорельА., СеррЖ п. fруп
пы Ли и приведенные степени Стинрода. Расслоенные пространства и их
приложения. М.: ИЛ, 1958, 247 281.)
Conner Р. Е., F/oydE. Е. Differentiable periodic maps. Ergeb. Math., N!! 33,
1964, 148 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: Коннерп., Флойдэ. fладкие периодические
отображения. М.: Мир, 1969,340 с.)
* Hirzebruch F Neue topological Methoden in der algebraic Geometrie
Ergeb. Math., N!! 9, 1956, 165 S.
Topological methods in algebraic, geometry. New York Springer Verlag,
1966,232 р. (Пер. на рус. ЯЗ. 3 ro изд. книrи: ХирцебрухФ. Тополоrические
методы в aлrебраической rеометрии. М.: Мир, 1973,280 с.)
310
ЛИТЕРАТУРА
MiZпor J W Survey of cobordism theory. Епsеigп. Math., 1962, 8, N!! 1 2,
16 23.
* Lectures оп characteristic classes. 1. (Notes Ьу James Stasheff). pfinceton
University, Spring, 1957 (Пер. на рус. Я3.: МилнорДж., Лекции о характери
стических классах 1. Математика, 1959,3, N!! 4, 3 53).
* Lectures оп characteristic c1asses. п. (Notes Ьу James Stasheff).
Princeton University, Spring, 1957. (Пер. на рус. яз.: МuлнорДж., Лекции
о характеристических классах. 11. Математика, 1965,9, N!! 4, з о.)
, StashejJJ D. Characteristic classes. Ann. Math. Stud., 1974, N!! 76, 330
рр. (Пер. на рус. яз.: МuлнорДж., СташёфДж. Характеристические клас
cы. М.: Мир, 1979,373 с.)
Sпaith V. Р AIgebraic cobordism and K theory. Мет. Amer. Math. Soc.,
1979, N!! 221, 152 р. (Пер. на рус. яз.: СнэйтВ. Aлrебраический кобордизм
и К теория. М.: Мир, 1983,280 с.)
StoпgR. Е. Notes оп cobordism theory. Princeton New Jersey: Princeton
Univ. Press and Univ. Tokyo Press, 1968, 387 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: СтОН2 Р
Заметки по теории кобордизмов. М.: Мир, 1973,374 с.)
Thom R. Quelques proprietes glbbales des varietes differentiables. Comment
math, Ьеlу., 1954, 28, 17 86 (Пер. на рус. Я3.: ТОМ Р Некоторые свойства «в
целом» дифференцируемых мноrообразий. Расслоенные пространства и их
приложения. М.: ИЛ, 1958, 293 351.)
IV. 6. К теория и теория индекса эллиптических операторов.
АносовД В., Толо В. Л Некоторые расслоения и К функтор. Успехи
мат. наук, 1966,21, N!! 5, 181 212. .
Дынин А. С. Индекс эллиптическоrо оператора на компактном мноrооб
разии. Успехи мат. наук, 1966,21, N!! 5, 233 248.
МищенкоА. С. Векторные расслоения и их применения. М.: Наука,
1984, 208 с.
*Atiya/1MF K theory. Harvard University, Cambridge, Mass, 1965,
160 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: АmьяМ, Лекции по К теории. М.: Мир, 1967,
216 с.)
Power operation in K theory. Quart. J. Math., 1966, 17, 165 193. (Пер.
На рус. Я3.: Аmья М Ф., Степенные операции в К теории. Математика, 1970,
1 4, N 2, 35----(5)
, Siпger 1. М ТЬе index of el1iptic operators. 1. Ann. Math., 1968, 87,
48 530. (Пер. на рус. ЯЗ.: АmьяМ Ф., ЗиН2ерИ М, Индекс эллиптических
операторов. 1. Успехи мат. наук, 1968,23, N!! 5, 99 142.)
ЛИТЕРАТУРА
311
, SegalG. В. The index of elliptic operators. 11. Anп. Math., 1968, 87,
531 545. (Пер. на рус. ЯЗ.: АтьяМ. Ф, Се2алТ Б. Индекс ЭЛЛИПТических
операторов 11. Успехи мат. наук 1968,23, N!! 6, 135 149.)
, Siпger /. М ТЬе index of elliptic operators. Ш. Ann. Math., 1968 87
546----604. (Пер. на рус. Я3.: АтьяМ Ф., ЗиН2ерИМ Индекс ЭЛЛИnТИЧе
операторов. Ш. Успехи мат. наук, 1969,24, N!! 1, 127 182.)
, ТЬе index ofelliptic operators. IV. Ann. Math., 1971, 93, 119 138.
(Пер. на рус яз.: Аmья М. Ф., ЗиН2ер И. М Индекс эллиmических операторов
IY. Успехи мат. наук, 1972,27, N!! 4, 161 178.)
, ТЬе index of elliptic operators. V. Ann. Math., 1971, 93, 139 149.
(Пер на рус ЯЗ.: АтьяМ Ф, ЗUll.zерИ М Индекс ЭЛЛИIrI'Ических оперarоров.
У. Успехи мат. наук, 1972,27, N!! 4, 179 188.)
Hirzebruch F Elliptische Differentialoperatoren auf Мannigfаltigkеitеп.
Veroff. Arbeitsgemein. Forsch. Land. Nordrhein Westfalen. Natur und Ing
Gieselischaftswiss, 1965, N!! 157, 33----60. (Пер. на рус. ЯЗ.: ХирцебрухФ. Эл
лиnтические дифференциальные операторы на мноrообразиях. Успехи мат.
наук, 1968,23, N!! 1, 191 209.)
KaroubiM K theory. (Grundlehren Math. Wiss, N!! 226). Springer Verlag
1978, 308 s. (Пер. на рус. ЯЗ.: КарубиМ, К теория. Введение. М.: Мир,
1981,360 с.)
Palais R. S. Seminar оп the Atiyah Singer index theorem. Princeton
New Jersey: Рriпсеtоп Univ. Press, 1965, 366 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: Па
леР Семинар по теореме Атьи Зинrера об индексе. М.: Мир, 1970,
360 с.)
IV. 7. Aлrебраическая К теория. Неодносвязные мноrообразия.
BassH A1gebraic K theory. New York, Amsterdam: W. А. Benjamin, Inc.,
1968, 762 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: БассХ Aлrебраическая К теория. М.: Мир,
1973,592 с.)
Milпor J Introduction to algebraic К theory. Princeton New Jersey:
Princeton Univ. Press, 1971, 184 р. (Пер. на рус. Я3.: МuлнорДж. Введение в
алrебраическую К теорию. М.: Мир, 1974,200 с.)
* Whitehead torsion. ВиН. Amer. Math. Soc., 1966, 72, 358 26. (Пер.
на рус. ЯЗ.: МuлнорДж. Кручение Уайтхеда. Математика, 1967, п, N!! 1,
3 9).
IV. 8. Катеrории и функторы. fомолоrическая aлrебра. Общие вопросы
теории rомотопий.
Bucur 1., DeleaпuA. Introduction to the theory of categories and functors.
London, New York, Sydney: John Wiley & Sons LTD, 1968,224 р. (Пер. на
312
ЛИТЕРАТУРА
рус. ЯЗ.: Букури., ДелянуА. Введение в теорию катеrорий и функторов. М.:
Мир, 1972,259 с.)
CartanH, EiZenbergS. Homological algebra. Princeton, 1956,390 р. (Пер.
на рус. ЯЗ.: КартанА.. Эйленбер2 е fомолоrическая aлrебра. М.: ИЛ, 1960,
510 с.)
MacLaneS. Homology. Springer Verlag, Berlin, 1963,422 р. (Пер. на рус.
ЯЗ.: Маклеuн е fомолоrия. М.: Мир, 1966,544 с.)
IV. 9. Четырехмерные мноrообразия. Мноroобразия малых размерно
стей.
Володuни.А., КузнецовВ. Е., ФоменкоА. Т. О проблеме aлroритмиче
cKOro распознавания стандартной трехмерной сферы. Успехи мат. наук,
1974,24, N!! 5, 71 168.
, ФоменкоА. т., Мноrообразия. узлыl. Aлrоритмы. Тр. семинара по
векторн. и тензорн. анализу с их прил. к rеометрии, мех. и физ. MfY, 1978,
N!! 18, 9 128.
Mande/bauт R. Four dimensional topology: an introduction. BuH. Amer.
Math. Soc., 1980,2, N!! 1, 1 260. (Пер. на рус. ЯЗ.: МандельбаумР. Четырех
мерная тополоrия. М.: Мир, 1981,288 с.)
Stallings 1. Group theory and three dimensional manifolds. Уаlе Univ.
Press. New Науеп and London, 1971, 65 р. (Пер. на рус. ЯЗ.: В КН.:.Mac
си У, СтОJUlИН2СДЖ. Aлrебраическая тополоrия. Введение. М.: Мир, 1977,
279 335).
N. 10. Классификационные проблемы мноrомерной тополоrии MHOro
образий.
*ДубровuнБ. А., Новикове П, ФоменкоА. Т Современная rеометрия.
Методы теории rомолоrий. Н.: Наука, 1984,344 с.
Milnor 1. Оп manifolds homeomorphic to the 7 sphere. Ann. Math., 1956,
64,399---405 (Пер. на рус. ЯЗ.: МuлнорДж., О мноrообразиях rомеоморфных
семимерной сфере. Математика, 1957, 1, N!! 3, 35---42).
* Differential topology. Lect. Mod. Math. Уоl. 2». New York, John Wiley
and Sons, 1964, 165 183 (Пер. на рус. ЯЗ.: МuлнорДж., Дифференциальная
тополоrия. Успехи мат. наук, 1965,20, N!! 6, 41 54).
* Lecture оп the h cobordism theorem. Princeton New Jersey: Prince ton
Univ. Press., 1965. (Пер. на рус. ЯЗ.: МuлнорДж. Теорема об h кобордизме.
М.: Мир, 1969, 116 с.)
Sтa/e S. Generalized Poincare conjecture in dimensions greater than four.
Ann. Math., 1961, 74, N!! 2, 391---406. (Пер. на рус. ЯЗ.: Смейл е Обобщенная
ЛИТЕРАТУРА
313
rипотеза Пуанкаре в размерностях больших четыIех.. Математика, 1962, it
6, N!! 3, 139 155).
Оп the strиcture of manifolds. Amer. J. Math., 1962, 84, N!! 3, 387 399
(Пер. на рус. ЯЗ.: Оwейл е О строении мноrообразий. Математика, 1964,5,
N!! 4, 95 108).
* А survey of some recent development in differential topology. BuH.
Amer. Math. Soc., 1963, 69, 131 145. (Пер. на рус. ЯЗ.: Смейл С. Обзор HeKO
торых недавних достижений в дифференциальной тополоrии. Успехи мат.
наук, 1964,19, N!! 1, 125 138).
IV. 11. Особенности rладких функций и отображений.
Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис,
1996,334 с.
Арнольд В. и., ВарченкоА. Н, rусеuн Заде е м Особенности диффе
ренцируемых отображений. 1. М.: Наука, 1982,304 с.
, , Особенности дифференцируемых отображений. П. М.: Наука,
1984, 336 с.
* MiZnor 1. Singular points of соmрlех hupersurfaces. Ann. Math. Stud.,
1968, N!! 61, 122 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: Милнор Дж. Особые точки комплекс
ных rиперповерхностей. М.: Мир, 1971, 128 с.)
IV. 12. Слоения. Коrомолоrии aлrебр Ли векторных полей.
Фуксд.Б. Коrомолоrии бесконечномерных aлrебр Ли. М.: Наука, 1984,
272 с.
v. Избранные научные статьи и моноrpафии по тем же
разделам 1 12, что и в IV
У. 1. Вариационное исчисление в целом.
Альбер С. И. Тополоrия функциональных мноrообразий и вариацион
ное исчисление в целом. Успехи мат. наук, 1970,25, N!! 4, 57 122.
ЛюстернuкЛА., Шнирельманлr Тополоrические методы в вариаци
онных задачах. Тр. НИИ мат. и мех. Mf'Y, М.: fосиздат, 1930,68 с.
Новиков е п. fамилътонов формализм и мноrозначный аналоr теории
Морса. Успехи мат. наук., 1982, 37, N!! 5, 3---49.
Аналитический обобщенный инвариант Хопфа. Мноrозначные функ
ционалы. Успехи мат. наук, 1984,39, N!! 5, 97 106.
314
ЛИТЕРАТУРА
Simoпs J. Minimal varieties in riemannian manifolds. Ann. Math., 1968,
88, 62 105. (Пер. на рус. ЯЗ.: СаймонсДж. Минимальные поверхности в
римановых мноroобразиях. Математика, 1972,16, N!! 6, 6()....104).
У. 2. Теория узлов.
ФарберМ Ш. Классификация простых узлов. Успехи мат. наук, 1983,
38, N!! 5, 59 106.
v. 3. Теория конечных и компактных rpупп преобразований.
Moпtgoтery D. Compact groups of transformations. In: Differential
analysis, Oxford Univ. Press, 1964, 43 56. (Пер. на рус. ЯЗ.: MOHmzoмe
рид. Компактные rpуппы преобразований. Успехи мат. наук, 1968,23, К!! 2,
169 178).
У. 4. Теория rомотопий. Коrомолоrические операции. Спектральные
последовательности.
Постников М М Локализация тополоrических пространств. Успехи
мат. наук, 1977,32, N!! 6, 117 181.
Рохлин В. А. fомотопические rpуппы. Успехи МШ'. наук, 1946, 1, N!! 5----6,
175 223.
AdamsJ. Р. Оп the non existence of elements of Hopf invariant опе. Ann.
Math., 1960,72, N!! 1, 2()....104. (Пер. на рус. ЯЗ.: АдамсДж. Ф. О несущество
вании отображений с инвариантом Хопфа, равным единице. Математика,
1961,5, N!! 4, 3 86).
Infinite ioop spaces. Anп. Math. Stud., 1978, N!! 90, 214 р. (Пер. на рус.
ЯЗ.: АдамсДж. Ф. Бесконечнократные пространства петель. М.: Мир, 1982,
200 с.)
Boardтaп J. М. Vogt R. М Homotopy invariant algebraic structures оп
topological spaces. Lect. Notes Math., 1973, N!! 347, 257 рр. (Пер. на рус.
ЯЗ.: БордманДж., ФоzтР fомотопически инвариантные aлrебраические
структуры на тополоrических пространствах. М.: Мир, 1977.)
Browп Е. Н Finite computability of Postnikov complexes. Anп. Math.,
1957, 65, 1 20. (Пер. на рус. ЯЗ.: БраунЭ.Х Финитная вычислимость KOM
плексов Постникова. Математика, 1958,2, N!! 2, 3 24.)
Cartaп Н Algebres d'Eilenberg MacLane et homotopie. Seminaire Н.
Cartan. Е. N. S., 1954 1955, 2 7. (Пер. на рус. ЯЗ.: КартанА. Aлrебра KO
rомолоrий пространств Эйленберrа Маклейна. Математика, 1959, 3, N!! 5,
3 50.)
ЛИТЕРАТУРА
315
Algebres d'Eilenberg MacLane et homotopie. Seminaire Н. Cartan.
Е. N. S. 195 1955, 8 11. (Пер. на рус. ЯЗ.: КартанА., Aлrебры Koro
молоrий пространств Эйленберrа Маклейна. Математика, 1959, 3, N!! 6,
3 5.)
Suspension et invariant de Hopf. Seminaire Н. Cartan. Е. N. S., 1958
1959, 5/1 5/12. (Пер. на рус. ЯЗ.: КартанА., Надстройка и инвариант Хопфа.
Математика, 1960,4, N2 5, 49 72.)
Quelques proprietes des algebres de Hofp. Applications а Falgebre de
Steenrod. Seminaire Н. Cartan. Е. N. S., 1958 1959, 12/1 12/18. (Пер. на рус.
ЯЗ.: КартанА. Некоторые свойства aлrебр Хопфа. Применения к aлrебре
Стинрода. Математика, 1961,5, N!! 2, 50----65.)
Une suite spectrale. Application а l'algebre de Steenrod pour р == 2.
Seminaire Н. Cartan. Е. N. S., 1958 1959, 16/1 16/23. (Пер. на рус. ЯЗ.: Kap
тан А. Одна спектральная последовательность. Ее применение к aлrебре
Стинрода при 1/7 == 2. Математика, 1961,5, N!! 2, 82 102.)
Demazure М Theoremes de Hurewicz et Whitehead. Seminaire Н. Cartan Е.
N. S., 1958 1959, 4/1 /13. (Пер. на рус. ЯЗ.: Де.мазюрМ Теоремы fуревича
и Уайтхеда. Математика, 1960,4, N!! 5, 38 9.)
DoZdA. Zur homotopie theorie der Кеttепkоmрlехе. Math. Ann., 1960,
140, 278 298. (Пер. на рус. ЯЗ.: ДольдА. К rомотопической теории цепных
комплексов. Математика, 1963, 7, N!! 2, 3 26.)
Uber die Steenrodschen Kohomologieoperationen. Аnn, Math., 1961, 73,
N!! 2, 258 294. (Пер. на рус. ЯЗ.: ДольдА. О коrомолоrических операциях
Стинрода. Математика, 1963, 7, N!! 6, 13 7.)
DouadyA. La suite spectrale des espaces fibres. Seminaire Н. Cartan Е.
N. S., 1958 1959, 2/1 2/10. (Пер. на рус. ЯЗ.: ДуадиА. Спектральные по
следовательности расслоенных пространств. Математика, 1960, 4, N!! 5,
19 27.)
Applications de lа suite spectrale des espaces fibres. Seminaire Н. Carta
Е. N. S., 1958 1959, 3/11 3/11. (Пер. на рус. ЯЗ.: ДуадиА. Применения
спектральных последовательностей расслоенных пространств. Математи
ка, 1960,4, N!! 5, 27 38.)
Les complexes d'Eilenberg MacLane. Seminaire Н. Cartan. Е. N. S.
1958 1959, 8/1 8/10. (Пер. на рус. ЯЗ.: Дуадuл. Комплексы Эйленберrа
Маклейна. Математика, 1961,5, N!! 2, 11 19.)
Operations cohomoloques. Seminaire Н. Cartan. Е. N. S., 1958 1959,
9/1 9/15. (Пер. на рус. ЯЗ.: ДуадиА. Коrомолоrические операции. MaTeMa
тика, 1961,5, N!! 2, 19 30.)
316
ЛИТЕРАТУРА
EckтaппB., HiZtoпP J. Groups d'homotopie et dualite С. r. Acad. sci.,
1958,246, N!! 17, 2 2447. (Пер. на рус. ЯЗ.: ЭкманБ., Хuлтонп. [OMOTO
nические rpуппы и двойственность. Математика, 1960,4, N!! 3, З- 27.)
GiorgiuttiI. L'algebre de Steenrod et la duale. Seminaire Н. Cartan. Е. N. S.
1958 1959, 10(1 14). (Пер. на рус. ЯЗ.: Джорджуттии. Aлreбра Стинрода
и двойственная ей. Математика, 1961,5, N!! 2, 3 26.)
НШопР J. оп the homotopy groups of the union of spheres. J. London.
Math. Soc., 1955, 30, 15 172. (Пер. на рус. ЯЗ.: Хuлтонп.дж. О rомотопи
ческих rpуnпах объединения сфер. Математика, 1957,1, N!! 1, 19 36.)
James 1. М Reduced product spaces. Ann. Math, 1955, 62, 17(}",197. (Пер.
на рус. ЯЗ.: Джеимси.м Приведенные степени пространств. Математика,
1957,1, N!! 3, 3 33.)
Мау] Р ТЬе geometry of iterated 100Р spaces. Lect. Notes Math., 1972,
N!! 271, 175 рр. (Пер. на рус. яз.: МэйДж. П. fеометрия интеrpированныx
пространств петель. Дополнение к ХН.: БордманДж., Фоzт? fомотопиче
ски инвариантные aлrебраические структуры на тополоrических простран
ствах. М.: Мир, 1977,267---403.)
А general algebraic approach to Steenrod operations. Lect. Notes Math.,.
1970, N!! 168, 153 231. (Пер. на рус. ЯЗ.: МэйДж. П. Общий алrебраический
ПОДХОД к операциям Стинрода. Дополнение к ХН.: СтинродН, Эпстейнд.,
Коroмолоrические операции. М.: Наука, 1983, 151 223.)
SerreJ. P Cohomology mod 2 des complexes d'Eilenberg MacLane.
Comment, math, Ьеlу., 1953, 27, 198 231.
SpaпierE.H Duality and 8 theory. ВиН. Amer. Math. Soc., 1956, 62, 19
203. (Пе.р. на рус. ЯЗ.: Спаньер Э. r Двойствениость и 8 TeoplU!' Математика,
1959,3, N!! 1, 17 25.) ..
Su/livaп D. Infinitesimal calculations in topology. Inst. Hautes Et. Sci., 1977,
47, 269 331.
TodaH Reduced join and Whitehead product. J. Inst. Polytechn. Osaka
City Univ. Ser. А., 1957, 8, 15 30. (Пер. на рус. ЯЗ.: ТодаХ Приведен
ные соединения и произведения Уайтхеда. Математика, 1958, 2, N!! 3,
3 20).
Non existence of mappings: 831 ........ 816 of the Hopf invariant 1. J. Inst
Polytechn. Osaka City Univ. Ser. А, 1957, 8, 31 34. (Пер. на рус. ЯЗ.: ТодаХ
Несуществование отображения сферы 831 ........ 816 С инвариантом Хопфа,
равным единице. Математика, 1958,2, N!! 3, 21 24.)
Composition methods in homotopy groups of spheres. Ann. Math. Stud.,
1962, 193 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: ТодаХ Композиционные методы в теории
rомотопических rpупп сфер. М..: Наука, 1982,222 с.)
ЛИТЕРАТУРА
317
Whitehead G. W: Some aspects of stable homoto th
Topol. Aarhus Univ. S. 1., е. а., 9 101. (П на ру ory. ol1oq. Algebraic
торые аспекты стационарной ro ер. рус. ЯЗ.. УаиmxедДж. Heкo
N!! 2, 3 7.) МОТОпическои теории. Математика 1965 9
, ,
Recent advances in Ьоm t th .
Soc. 1970 82 Р Р Re g С О f ° S oPY M eory. Provldence, R. 1.: Amer. Math
дД ' . . n. er. ath No 5 ( Пе .
тхе ж. Новейшие ДОстижения ., . р. на рус. ЯЗ.: Yaй
128 с.) в теории rомотопий. М.: Мир, 1974,
WhiteheadJ Н С Duality. t 1
148. (Пер. на ру'с. з. Yaйтxe оро ogy. L ondon Math. Soc. 1956, 31, 13
машка, 1959,3, N!! 1, 3 16.) Дж. r Двоиственность в тополоrии. Мате-
У. 5. Теория характеристических классов и кобордизмов.
Бухштабер В. М Характе чж Д
1970,83, N!! 4, 575 595. Р еня ольда в кобордизмах. Матем. сб.,
Бухштабер В. М Новые мето
ХН.: CтoнrP., Заметки по тео р ии K в теОРИИ м кобордизмов. Дополнение к
рдизмов. .: , 1973,33 365
Коroмолоrические операции и фо .
Дополнение к ХН.: СнэйтВ Aлr б рм ная rpуnпа в кобордизмах.
Мир, 1983, 227 y.s. ., е раическии кобордизм и К теория. М.:
Характеристические классы в I<! б
жения теорий однозначных и о Ордизмах и ТОПОлоrические прило
и техн. ВИНИТИ. Соврем. ПР:;:З:: 7 . rpуnп. Итоrи науки
Мищенко А. С. Эрмитова К Teo Т
сов. Методы фу ион рия. еория характеристических клас
69 134. нкц алъноrо анализа. Успехи мат; наук, 1976,31, N!! 2,
Новиков С. П. fомотопические
1962,57, N!! 4, 407----442. свойства комплексов Тома. Мш: сб.,
Методы aлrебраической тополоrии с точки З ения
мов. ИЗВ. АН СССР. Се р мат 1967 31 r. 4 р теории кобордиз
. ", "J'!!, 855 951.
Новые идеи в aлr б
е раическои тополоrии (К
ния). Успехи мат. наук, 1965,20, Х!! 3, 41 6. теория и ее примене
А tiyah М F ТЬоrn соm р l Р
31 О ( П е ' exes. roc. London Math. Soc. 1961 11 291
. р. на рус. ЯЗ.: АтьяМ П ' "
N!! 5, 48 9.) . ространства Тома. Математика, 1966, 10
MiZпor J. Microbundles. 1. Topology, 1964, 3, 53 81.
У. 6. К теория и теория
индекса ЭЛЛИптических операторов.
318
ЛИТЕРАТУРА
ЛИТЕРАТУРА
319
МищенкоА. С. Эрмитова К теория. Теория характеристических клас
сов. Методы Функциональноrо анализа. Успехи мат. наук, 1976, 31, N!! 2,
69 134.
AdamsJ. F Vector fields оп spheres. Ann. Math., 1962, 75, N!! 3, 603 632.
(Пер. на рус. яз.: АдамсДж. Ф. Векторные поля на сферах. Математика,
1963, 7, N!! 6, 49 79.)
Оп the groups J(X), 1. Topology, 1963, 2, 181 195. (Пер. на рус.
ЯЗ.: АдамсДж. Ф. О rpуппах J(X), часть 1. Математика, 1966, 10, N!! 5,
7 84.)
Оп the groups J(X), П. Topology, 1965, 3, 137 171. (Пер. на рус.
яз.: АдамсДж. Ф. О rpуппах J(X), часть П. Математика, 1967, 11, N!! 4,
3---41.)
Оп the groups J(X), Ш. Topology, 1965, 3, 193 222 (Пер. на рус.
Я3.: Адам.сДж. Ф. О rpуппах J(X), часть IП. Математика, 1968, 12, N!! 3,
3 36.)
Оп the groups J(X), IV Topol6gy, 1966, 5, 21 71. (Пер. на рус.
ЯЗ.: Адам.сДж. Ф. О rpуппах J(X), часть IV. Математика, 1968, 12, N!! З,
37 97.)
Atiyah М F Algebraic topology and elliptic operators. Соmm. Pure and
Аррl. Math., 1967,20, N!! 2, 237 249. (Пер. на рус. ЯЗ.: АтьяМ Ф. Aлreбра
ическая тополоrия и эллиптические операторы. Математика, 1968,12, N!! 5,
139 150.)
, Bott R. Ап elementary proof of the periodicity theorem for the complex
linear group. Preprint, 1964. (Пер. на рус. яз.: АтьяМ, Ботт Р Элементарное
доказательство теоремы периодичности для комплексной линейной rpуппы.
Математика, 1964,8, N!! 3, 3 14.)
, Hirzebruch Р Quelques theoremes de non plongement pour les varietes
differentiables. ВиН. sci. math. Fr., 1959, 89, 383 396. (Пер. на рус. яз.:
АтьяМ. Ф., ХирцебрухФ. Несколько теорем о непоrpужаемости дифферен
цируемых мноrообразий. Математика, 1961,5, N!! 3, 3 15)
, Vector bundles and homogeneous spaces. Proc. Symp. Pure Math.
Amer. Math. Soc., 1961, 3, 7 38. (Пер. на рус. ЯЗ.: АтьяМ Ф., Хuрцебрух Ф.
Векторные расслоения и однородные пространства. Математика, 1962, 6,
N!! 2, З З9.)
, Siпger 1. М ТЬе index of elliptic operators оп compact manifolds. ВиН.
Amer. Math. Soc., 1963, 69, N!! 3,422---433. (Пер. на рус. яз.: АтьяМ, Зин
2ер И. М Индекс эллиптических операторов на компактных мноrообразиях.
Математика, 1966, 10, N!! 3, 29 38.)
BottR. Lecture оп К(Х). Mimeographed notes. Нarvш'd Univ. Cambridge
Mass., 1962. (Пер. на рус. ЯЗ.: БоттР К теория. Математика, 1967,11, N!! 2,
32 56; Л, N!! 3, 3 36.)
HormaпderL. Оп the index ofpseudodifferential operators. Preprint: 1969.
(Пер. на рус. ЯЗ.: ХермандерЛ 06 индексе псевдодифференциальных опе
раторов. Математика, 1970,14, N!! 4, 7&----97.)
See/ey R. Т Integro differential operators оп vector bundles. Trans. Amer.
Math. Soc., 1965, 117, N!! 5, 167 204. (Пер. на рус. ЯЗ.: СuлиР Т. Инте
rpо дифференциалъные операторы на векторных расслоениях. Математика,
1967,11, N!! 2, 57 97.)
ТЬе powers AS ofan elliptic operator А. Preprint. 1966. (Пер. на рус. ЯЗ.:
СuлиР т., Степени эллиnтическоrо оператора. Математика, 1968 12, N!! 1,
96----112.)
Siпger 1. М Future extensions of index theory and еШрЬс operators. In:
«Prospects in Mathematics», Ann. Math. Stud., 1971, N!! 70, 171 185. (Пер. на
рус. ЯЗ.: ЗиН2ер И. М. Направления развития теории индекса и эллиnтиче
ских операторов. Математика, 1974,18, N!! 1, 52 61.)
V 7. Aлrебраическая К теория. Неодносвязные мноrо06разия. Опро
вержение Hauptvermutиng.
МищенкоА. С. Эрмитова К теория. Характеристические классы. MeTO
ДbI Функциональноrо анализа. Успехи мат. наук, 1976,31, N!! 2, 69 134.
Новиков С. П. О мноrообразиях со свободной абелевой фундаменталь
ной rpуппой и их применения. ИЗВ. АН СССР. Сер. мат., 1966, 39, N!! 1,
207 246.
Aлrебраическое построение и свойства эрмитовых аналоrов К
теории под кольцами с инволюцией с точки зрения rамилътонова форма
лизма. Некоторые применения к дифференциальной тополоrии и теории
характеристических классов. 1. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1970, 34, N!! 2,
263 288; П, 1970,34, N!! 3, 475 500.
Bass н., Milпor J., Serre J. P Solution of the congruence subgroup problem
for SL n (n 3) and ВР2n n 2. Publ. Math. Inst. Hautes Et., Sci., 1967,
N!! 33, 59 137. (Пер. на рус. ЯЗ.: БассХ, Мuлнор Дж. , СеррЖ. п. Решение
конrpуэнцпроблемы для SL n (п 3) и SP2n (п 2). Математика, 1970,
14, N!! 6, 6 128; 1971, /5, 1, 60.)
Chapmaп ТА. Topological invariance ofWhitehead torsion Amer J. Math.,
1974, 96, N!! 3, 488---497.
Milпor J. Two complexes which are homeomorphic but combinatorial
distinct. Апп. Math., 1961, 74, 575 590.
320
ЛИТЕРАТУРА
RaпickiA. А. Algebraic L theory. 1. Proc. London Math. Soc., 1973, 27,
N!! 1, 101 125; П, 1973,27, N!! 1, 126 158.
V. 8. Катеrории и функторы. fомолоrическая aлrебра. Общие вопросы
теории rомолоrий.
Скляренко Е. r Относительная rомолоrическая aлrебра и катеrория MO
дулей. Успехи мат. наук, 1978,33, N!! 3, 85 120.
CartaпH Homologie et cohomologie a'une algebre graduee. Seminaire
Н. Cartan. Е. N. S. 1958 1959, 15/1 15/20. (Пер. на рус. ЯЗ.: КартанА. [o
молоrии и коrомолоrии rpадуированных aлrебр. Математика 1961, 5, N!! 2,
65 82.)
StalZiпgs J А finitely presented group whose 3 dimensional integral
homology is not finitely generated. Amer. J. Math., 1963, 85, N!! 4, 541 543.
(Пер. на рус. ЯЗ.: СтОЛЛUН2СДЖ. Пример конечно определенной rpуппы,
трехмерная rpуппа целочисленных rомолоrий которой не имеет конечноrо
числа образующих. Математика. 1964,8, N!! 4, 155 157.)
V. 9. Четырехмерные мноrообразия. Мноrообразия малых размерно
стей.
Саппопl W 2:,2 НЗ == S5 jG. Roclcy Mountain J. Math., 1978, 8, N!! 3
527 532.
Shriпkiпg ceB like decompositions of manifolds. Codimension three Ann.
Math 1979, 110, 83 112.
Doпaldsoп S. К. An application of gauge theory to four dimensional
topology. J. Different. Geom., 1983, 18, 279 315.
FreedтaпM The topology of four dimensional manifolds, J. Different
Geom., 1982, 17, 357 53.
, Kirby R. Geometric proof of Rochlin's theorem. Proc. Symp. Pure Math.
Amer. Math. Soc., 1978, 32, 85 97.
Кirby R. с., Scharleтaпп М G. Eigth faces of the Pomcre homology 3
spheres. In: Geometric topology. New York, lan Francisco London: Academic
Press, 1979, 113 146. (Пер. на рус. ЯЗ.: КербuР., ШарлеманМ Восемь ликов
rомолоrической трехмерной сферы Пуанкаре. Успехи мат. наук, 1982, 37,
N!! 5, 139 159.)
Papakyriakopoulos С. D. Оп Dehn's lemma and the asphericity of knots.
Ann Math., 1957, 66, 1 26. (Пер. на рус. ЯЗ.: Папакuрьякопулосс.д
О лемме Дена и асферичности узлов. Математика, 1958, 2, N!! 4,
2 7.)
Some problems оп 3 dimensional manifolds. ВиВ. Amer. Math. Soc.,
1958, 64, 317 335. (Пер. на рус. ЯЗ.: Папакuрьякопулосс.д Некоторые
ЛИТЕРАТУРА
321
проблемы теории трехмерных мноrообразий. Математика, 1960, 4, N!! 1,
15 30.)
Schubert Н Bestimmung der Primfaktorzerlegung уоп Verkettungen. Math.
Z., 1961, 76, N!! 2, 116----148. (Пер. на рус. ЯЗ.: ШуберmХ Алrоритмы для
разложения зацеплений на простыIe слarаемые. Математика, 1966,10, N!! 4,
45 78.)
ShapiroA., WhiteheadJ Н С. А proof and extension of Dehn's lemma.
ВиВ. Amer. Math. Soc., 1958, 64, 174-----178. (Пер. на рус. ЯЗ.: ШапuроА.,
УайmхедДж. Доказательство и обобщение леммы Дена. Математика, 1960,
4, N!! 1, 9 13).
V. 10. Классификационные проблемы мноrомерной тополоrии MHoro
образий.
Новиков С. П. fомотопически эквивалентные rладкие мноrообразия.
Изв. АН СССР. Сер. мат., 1964,28, N!! 2, 365---474.
ЧернавскuйА. В. Локальная стяrиваемость rpупnыI rомеоморфизмов
мноroобразия. Мат. сб., 1969, 79, N!! 3, 307 356.
Browder W Surgery оп simply connected manifold. Ergeb. Math., N!! 65,
1972, 132 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: БраудерВ. Перестройки односвязных MHO
rообразий. М.: Наука, 1984,208 с.)
Chapmaп Т. А. Topological iпvаrianсе ofWhitehead torsion Amer. J. Math.,
1974,96, N!! 3,488---497.
Hirsch М. W. М azur В. Smoothing of piecewiselinear manifolds. Ann.
Math. Stud., 1974, N!! 80, 134 рр.
Kervaire М А. А manifolds which does not admit anу differentiable
strиcture. Comment, math, helf., 1960, 34, N!! 4, 257 270.
, MilпorJ Groups ofhomotopy spheres. 1. Апп. Math., 1963, 77, N!! 3,
504-----537.
КirbyR., SiebeптaппL. Foundational essays оп topological manifolds,
smoothings and triangulations. Anп. Math. Stud., 1977, N!! 88,355 рр.
Madseп/., MilgraтR. J The classifying spaces for surgery and cobordism
of manifolds. Anп. Math. Stud., 1979, N!! 92, 279 рр. (Пер. на рус. ЯЗ.: Maд
сени., МUЛ2рЭМР Классифицирующие пространства для пере строек и кo
бордизмов мноrообразий М.: Мир, 1984,280 с.)
SulZivaп D. Geometric topology, part 1. Loca1ization, periodicity and
Galois symmetry. Massachusetts Inst. Techn. Cambridge, Massachusetts, 1970.
(Пер. на рус. Я3.: Суллuванд. fеометрическая тополоrия. М.: Мир, 1975,
285 с.)
21 Тополоrия
322
ЛИТЕРАТУРА
ЛИТЕРАТУРА
323
Wa/l С. т. С. Surgery оп compact manifolds. London Math. Soc. Monog
raphs N!! 1. Acad. Press, London, N. У., 1970, 280 р.
У. 11. Особенности rладких функций и отображений.
Арнольд В. И. Особенности rладких отображений. Успехи мат. наук,
1968,23, N!! 1, 3 .
Нормальные формы функций в окрестности вырожденных критиче
ских точек. Успехи мат. наук, 1974,29, N!! 2, 11---49.
Критические точки rладких функций и их нормальные формы. Успе
хи мат. наук, 1975, ЗО, N!! 5, 3 5.
Критические точки функций на мноrообразии с краем. Простые rpуп
nыI ли Bk, Ck, F4 И особенности эволют. Успехи мат. наук, 1978,33, N!! 5;
91 105.
Индексы особых точек 1 форм на мноrообразии с краем, сворачи
ванне инвариантов rpупп, порожденных отражениями и особые проекции
rладких поверхностей. Успехи мат. наук, 1979, З4, N!! 2, 3 38.
Mother J. Stratifications and mappings. Preprint, Harvard, 1971, 68 р. (Пер.
на рус. Я3.: МазерДж.М Стратификация и отображения. Успехи мат. наук,
1972,27, N!! 5, 85 118.)
Тhoт R. ТЬе bifurcation subset of а space of maps. Lect. Notes Math.,
1971, N!! 197, 202 208. (Пер. на рус. ЯЗ.: То.мР. БиФуркационное под
множество пространства отображений. Успехи мат. наук, 1972, 27, N!! 5,
51 57.)
Whitпey Н. Оп ideals of differentials functions. Amer. J. Math, 1948, 70,
N!! 3, 635 58. (Пер. на рус. ЯЗ.: УитниХ Об идеалах в кольце дифферен
цируемых функций. Математика, 1966,10, N!! 4, 79 lOО.)
Singularities of mappings of Euclidean spaces. Symp. Int.: topol. algebr.
Mexico, ag., 1956, Mexico, 1958, 285 30 1. (Пер. на рус. ЯЗ.: УитниХ Особен-
ности отображений евклидовых пространств. Математика, 1969, 13, N!! 2,
105 123)
Коrомолоrии бесконечномерных aлrебр Ли и характеристические
классы слоений. Итоrи науки и техн. ВИНИТИ. Соврем. пробл. мат., 1978,
10, 179 285.
GodbilZoп С. Cohomologies d'algebres de Lie de champs de vecteurs
formels. Lect. Notes Math., 1974, 383, 69 87. (Пер. на рус. ЯЗ.: Тодбuйонк.
Коrомолоrии aлreбр Ли формальных векторных полей. Успехи мат. наук,
1973,28, N!! 4, 139 15I.)
v. 12. Слоения. Коrомолоrии aлrебр Ли векторных полей.
Бернштейн И. н., Розеllфельд Б. И. Однородные пространства беско
нечномерных алrебр Ли и характеристические классы слоений. Успехи мат.
наук, 1973,28, N!! 4, 103. 138.
Новиков С. П. Тополоrия слоений. Тр. Моск. мат. O Ba, 1965, 14 367 397.
Фуксд. Б. Характеристические классы слоений. Успехи мат. HBVК,
1973,28, N!! 2, 3 17.
21*
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Бернштейн И.Н. 276
Бирман (Birman J.) 250, 291 293
Бокштейн (Bockstein М.) 74
Болтянский В. [. 88
Бонне (Bonnet О.) 9
Бордман (Boardma J. М.) 276
Борель (Borel А) 110, 111
Ботт (Bott R.) 126, 127, 145, 155, 179,
192, 193,276
Браудер (Browder W.) 50, 122, 195,
199, 238, 240, 242, 252, 259, 263,
268,274
Браун (Brown М.) 142, 148,228, 237,
271,273
Брауэр (Brower L. Е. J.) 172
Брахман А Л.260 .
Брезин (Brezin Е.) 279
Брискорн (Brieskorn Е.) 276
Бухштабер В. М. 119, 125, 137, 138,
140, 142, 143, 230
Бюрау (Burau W.) 289
Вейль (Weil А) 189
Вейль (Weyl Н.) 158, 160
Венцль (Wenzl Н.) 291
Верлинде (Verlinde Е.) 299
Верлинде (Verlinde Н.) 299
Вершинин В. В. 143
Виrман П. А 205
Виеторис (Vietoris L.) 71
Виллаймер (Villamayor О. Е.) 261
Вилсон (Wilson W. S.) 140, 142
Виро О.Я. 276
Виро О. Я. 295
Виттен (Witten Е.) 145, 187,201,250,
278,295,299,300
Володин И. А 261
Воронович (Woronowicz S. L.) 291
Ву (Wu W Т.) 173,216
Именной указатель
Абель (АЬеl N.) 12
Адамс (Adams J.E) 84,99, 101, 102,
105, 114, 115, 121, 123, 138, 141,
194, 195, 197,214,226,236,238,
261
Адян С. И. 249
Аксельрод (Axelrod S.) 295
Алания Л. А 283
Александер (Alexander J. W.) 49, 59,
249,250,280,285
Александров П. С. 71, 276
Алексеев А. Ю. 138
Андерсон (Anderson D. W.) 128,237
Арнольд В. И. 276
Атья (Atiyah М.Р.) 17, 116, 122, 123,
125 128, 131, 132, 145, 197,224,
244,258,268,278,297
Ахиезер Н. И. 145
Бакстер (Baxter R.) 250,285,287
Бар Натан (Bar Natan О.) 292, 293
Барден (Barden D.) 261
Баррат (Вапаt M.G.) 105
Баррат (Вапаt М. G.) 238
Басс (Bass Н.) 262
Бейкер (Baker А.) 145
Бек (Beck А.) 268
Беккер (Becker 1. С.) 143
Белавин А А. 127, 279
Вмонер (Wagoner J. В.) 246, 261
Вальдхаузен (Waldhausen Е) 280
Ван Кампен (van Kampen Е. R.) 59,
91
Васильев В. А. 292
Вафа (Vafa с.) 278
Вей (Уеу J.) 276
fабриэлов А.М. 253
fамкрелидзе Р. В. 133
[аусс (Gauss С. Е) 8,9, 11
[екке (Hecke Е.) 290
fельфандИ.М.253,267,276
[ерстен (Gersten S. М.) 261
fивенталь А Б. 299
fизин (Gysin W) 124
fильберт (Нilbert D.) 192,262
fинзбурr В. Л. 204
fлюк (Gliick Н.) 273
fодбийон (Godbillon С.) 276
fоло В. Л. 244, 260
fотлиб (Gottlieb D.) 143
fриневич П. r. 204
fриффитс (Gri:ffith Р.) 113
[ромов М. Л. 258, 276, 278
325
fромолл (Gromoll D.) 192
[росс (Gross D.) 279
fротендик (Grothendieck А.) 116,
123, 140, 189,257,259
[удков Д.А 276
fуревич (Hurewicz W.) 33, 37, 68, 69
fусейн Заде С. М. 144
Девинац (Devinatz Е.) 1 О 1
Дезер (Deser S.) 201, 295
Делинь (Deligne Р.) 113, 182
Ден (Dehn М.) 248, 296
Джакив (Jackiw R.) 201,295
Джимбо (Jimbo М.) 291
Джонс (Jones J.D. S.) 105
Джонс (Jones J. D. S.) 238
Джонс (Jones У) 250, 279, 281, 285,
291
Диrpааф (DijkgraafR.) 299, 300
Дик (Dieck Т.) 143
Дирак (Dirac Р.) 197
Долбилин Н. П. 48
Дольд (Dold А) 121, 142,252
Дональдсон (Donaldson S.) 49, 128,
276
Дринфельд В. [. 291
Дубровин Б. А. 299, 300
Дуrлас (Douglas А J.) 258, 279
Жордан (Jordan С.) 9
Замолодчиков А Б. 287,294
Зибенман (Siebenmann L. С.) 50, 252,
255,259,260,269,273 275
Зиrелъ (Siegel С. L.) 169
Зиман (Zeeman Е.) 245
326
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
327
Зинrер (Singer I.M.) 17, 126, 186,
187,258,278,295
Ивановский Л. Н. 143
Казаков В. А 279
Калаби (Calabi Е.) 278
Канделас (Cande1as Р.) 278
Картан (Cartan Е.) 45, 59, 152, 158,
182, 192
Картан (Cartan Н.) 95, 97, 102, 112,
113, 115, 196,220,226,242,257
Каруби (Karoubi М.) 261
Каспаров [. [. 144,257,258
Кассон (Casson А. J.) 252, 269, 273,
274
Кауффман (Кauffman L.) 250, 281,
282,289,292,296,297
Квиллен (Qui11en D.) 123, 142, 195,
261
Кельвин (Kelvin W.) 292
Керби CКirbi R.) 50, 252, 273, 275
Кер вер (Kervaire М.) 123, 140, 180,
197, 213, 225, 232: 237, 239, 241,
247
Кернс (Caims S. S.) 169
Киллинr (Killing W.) 152, 192
Кирби (КirЫ R.) 296
Книжник В. [. 294
Кодаира (Kodaira К.) 169, 188
Колмоrоров АН. 59, 276
Конвей (Conway J. Н.) 280
Кони (Connes А) 258
Коннелл (Connell Е. Н.) 273
Коннер (Conner Р. Е.) 132, 133, 143,
144,229
Концевич М. Л. 278, 292, 294, 299,
301
KopтeBer (Korteweg D. J.) 301
Коши (Cauchy О.) 11, 15
Крек (Кreck М.) 258
КричеверИ.М. 144, 145,299
Куликов В. С. 276
Кулиш П. П. 291
Куммер (Kummer Е.) 260
Люстерник Л.А. 177,192,196
Люстиr (Lusztig G.) 257
Ляо (Liao S. D.) 88
Мадсен (Madsen 1.) 50, 246
Мазур (Masur В.) 245, 261, 271, 272
Майер (Mayer W.) 192
Макаров В. С. 251
Макдафф (MacDaffD.) 205, 278, 299
Маклейн (MacLane S.) 44, 139, 257
Максвелл (Maxwell J. С.) 9, 27, 292
Мании Ю. И. 299
Манкрес (Munkres J.) 245
Марков А. А. 249, 250, 282,285
Маслов В. П. 266
Масси (Massey W. S.) 98
Матвеев С. В. 251
Маховалъд (Mahowa1d М.) 105,238
Мёбиус (МБЬius А.) 41
Мезер (Mather J. N.) 276
Миrдал АА 279
Миллер (Mi1ler J. D.) 140, 142
Миллс (Mi1ls R.) 27, 158
Милнор (Milnor J. W.) 49, 97, 101,
105, 123, 132, 135, 155, 180, 197,
213,219,225,226,228,229,232,
235, 237 239, 241, 245,247, 250,
261,271,272,275,276,284
Милнор (Mi1nor J. W.) 239
Мильrpам (Milgram R. J.) 50, 246
Мислин (Mislin G.) 195
Мищенко А. С. 125, 141, 144, 258,
267
Мойз (Moise Е.Е.) 49,80,271
Мойшезон (Moisheson В. G.) 188
Лarpанж (Lagrange J.) 190, 191
Лазар (Lazard М.) 142
Ландвебер (Landweber Р.) 135, 145,
278
Лаплас (Lap1ace Р.) 186
Лауренс (Lawrence R. J.) 295
Лашоф (Lashof R.) 252,275
Ле Ты Куок Txaнr 285
Левин (Levine J.) 199,247,259; 263,
274,276
Лейбниц (Leibniz G.) 135
Лере (Leray J.) 73, 107, 109, 182
Лефшец(Lеfsсhеtz S.} '59, 71, 127,
172, 181, 182, 189
Ли (Lie S.) 151, 195
Либ (Lieb Е. Н.) 290
Ливси (Livesay G. R) 259, 263,274
Ликориш (Lickorish W. В. R.) 295,
296
Лин (Lin X. S.) 292, 293
Лис (Lees J. А.) 275
Лобачевский Н. И. 41
Лосик М. В. 253
Лоусон (Lawson Н.В.) 258,276
Люлявичус (Liulevichus А) 101
Мопертюи (Maupertuis Р.) 190, 191,
199
Морава (Morava J.) 142
Mopraн (Morgan L. W.) 113
Морри (Мопеу С. В. Jr.) 148
Морс (Morse М.) 173 176, 191, 196
Мураками (Murakami J.) 284, 292
Мусхелишвили Н. И. 16,126
Мюллер (Miiller W.) 187
Нётер (Noether Е.) 56, 126
Нётер (Noether Е) 16
Надирадзе Р. [. 143
Нильсен (Nielsen J.) 180,247
Новиков П. С. 249
Новиков С.П. 49, 50, 101, 105, 122,
132, 135 138, 140---142, 144, 180,
197; 201 203, 205, 217, 219, 222,
228, 229, 237, 239 242, 244, 250,
252, 256, 258 261, 263, 265, 266,
268,296,298 300
Новиков С. П. 204, 205
Ньюмен (Newmann М. Н.А) 245
Ньютон (Newton 1.) 157
Окуньков А. Ю. 301
Ошанин (Ochanine S.) 145, 278
Пажитнов А В. 202
Папакирьякопулос (Papakiryakopou
10s С. D.) 248, 249, 280
Педерсен (Pedersen Е.К) 258, 268
Петерсон (Peterson Е) 142,228, 237
Пикар (Picard С. Е.) 182
Пиунихин С. А. 299
Поляков АМ. 127,205,279
328
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
329
Понтряrин Л. С. 49, 59,88,91,94,97,
157, 179,211,213,215,218,236,
276,283
Постников М. М. 88, 112
Пуанкаре (Poincare А.) 8, 9, 12, 33,
43, 46, 48, 49, 55 57, 59, 61, 64,
73, 131, 182 184, 192, 210, 240,
250,251,272,276,296
Пуассон (Poisson S. D.) 291
Рабин (Rabin М. О.) 249
Рабиновиц (Rabinowitz Р.) 205
Равенел (Ravene1 D. С.) 101, 105, 140,
142
де Рам (de Rham G.) 78,80, 183, 184
Раницкий (Ranicki А. А) 202, 268
Рей (Rey D. В.) 186, 187,278
Рейдемейстер (Reidemeister К.) 75,
78,79,278,282
РешетихинН.«).291,295,297
Риб (Reeb G.) 179,276,296
Риман (Riemann В.) 12, 169, 189,223
Ричардсон {Richardson. А: Р:) 82
Розенберr (Rosenbrg J.) 258
Ротенберr (Rothenberg М.) 252, 275
Рох (Roch G.) 223
Рохлин В. А. 49, 132, 213 215, 217,
222,225, 229, 252, 257, 275,276,
298
Руан (Ruan 'У.) 299
Рубинштейн (Rubinstein J. Н.) 250
Саймонс (Simons J.) 201, 205, 295
Саламон (Salamon D.) 205, 278, 299
Сард (Sard А.) 148
Сеrал (Sega1 G.) 128,297
Семенов Тянъ-Шаньский М.А. 138
Серр (Sепе J. P.) 24, 95, 97, 105, 106,
110, 112, 113, 115, 195, 196, 211,
220,226,242,252,257
Серр (Sепе J. P.) 94
Серф (Serf J.) 238
Ситников кл. 276
Склянин Е. К 291
Смейл (Sma1e S.) 176, 179, 180,230,
231,238,272,274,296
Смит (Smith J. Н.) 1 01
Смит (Smith Р. А.) 82
Соболев С. Л. 125
Соловьев Ю. П. 258
Спеньер (Spanier Е. Н.) 244
Стейнберrом (Steinberg R.) 261
Стинрод (Steenrod N. Е.) 64, 84, 88,
91,92,94,95,98,172,215,276
Столлинrс (Stallings J. R.) 247, 261,
272,276
Сулливан (Sullivan D.) 50, 113, 123,
195,205,244,246
Сян (Hsiang W. С.) 199,252,257,263,
269,273,274
Тёрстон (Thurston W.) 251,276
Тода (Toda Н.) 101, 115,226
Тодд (Todd J. А) 223
Том (ТЬоm R.) 49, 130, 132, 133, 172,
189,215,217,218,222,228,252,
276,283
Томпсон (Thompson А) 250
Тураев В. [. 295, 297
Тюпкин «). С. 127,279
Тян (Tian G.) 299
У айтхед (Whitehead G. W.) 116
Уайтхед (Whitehead J. Н. с.) 33, 80,
81,92,169,195,196,205,213,244,
245, 261
Уитни (Whitney Н.) 91,146,148,154,
161,247,276,283
Уолл (WaH С. Т. С.) 132, 229, 244,
252,260,265,268,269,27з,274
Уоллес (Wallace А D.) 179,272,274,
296
Фаддеев Д. к 257
Фаддеев Л. Д. 138,291
Фарбер М. Ш. 202
Фаррелл (Fапе1 F. Т.) 199,257,263
Фейнман (F eynman R.) 201
Ферма (Fелnаt Р.) 190, 191
Фет А И. 192, 204
Флоер (F10er А.) 205, 278
Флойд (Floyd Е. Е.) 132, 133, 143,
144,229
Фоменко А. Т. 251
Франк Каменецкий М. д. 250
Франц (Franz W.) 78, 80
Тайманов И. А 192, 204, 205
Тайманов И. А. 204
Тамура (Tamura 1.) 276
Таубс (Taubes С. Н.) 145,278
Тахтаджян Л. А 291
Тейт (Tait Р. G.) 291,292
Тейт (Tate J.) 189
Темперли (Temperly Н. N. У.) 290
Темплтон (Temp1eton S.) 201, 295
Фрейденталь (Freudenthal) 212
Фреше (Frechet М.) 18
Фридман (Friedman М.) 49, 276
де Фриз (de Vries G.) 301
Фукс Д. Б. 276
Хакен (Haken W.) 248, 280
Харламов В. М. 276
Xerop (Heegaard Р.) 181
Хефлиrер (Haefliger А) 247, 276
Хилден (Hi1den Н. М.) 250
Хилтон (Hi1ton Р.) 195
Хиронака (Hironaka Н.) 189
Хирцебрух (Hirzebruch Е.) 123, 132,
141, 145, 222 224, 230, 252, 253,
258
Хирш (Hirsch М.) 231, 245
Ходж (Hodge W.) 186, 188
Ходжкин (Hodgkin L.) 124
Хопкинс (Hopkins M.J.) 101
Хопф (Hopf Н.) 44, 68, 92, 98, 100,
101, 113, 194----197, 210, 211, 226,
257 '
Хофер (Ноfеr Н.) 205, 278
Хохшильд (Носhsсhild G.) 106
Цишанr (Zieschang Н.) 296
Чен (Chen К. Т) 205
Чепмен (Chapman Т. А) 49, 80
Черн (СЬеm S. S.) СМ. Чжэнъ
Чернавский А. В. 273,274
Чех (СЬесЬ Е.) 71, 73,276
Чженъ (СЬеm S. S.) 91, 142, 157, 164,
201,295
Чжень (СЬеm S. S.) 205
330
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Чиreр (Cheeger J.) 187
Чоrошвили [. С. 276
Шарп (Sharpe R. W.) 268
Шварц А. С. 49, 127, 187, 244, 250,
252,278,279,295
Шейнсон (Shaneson J. L.) 252, 268,
269,273,274
Шенкер (Shenker М. Н.) 279
Шенфлис (Schoenflies А.) 271
Шнирельман Л. [. 177, 192
Шокуров А.В. 137
Шрединreр (Sсhrбdiпgеr Е.) 291, 301
Штанько М. А. 48
Штифель (Stiefel Е.) 161
Штоrpин М. И. 48
Штольц (Stolz S.) 258
Предметный указатель
Эдвардс (Edwards С.Н.) 49, 51, 80,
275
Эйленберr (Eilenberg S.) 44, 64, 92,
102, 139,257
Эйлер (Euler L.) 7 9, 48, 49, 161, 191
Эйнштейн (Einstein А.) 159
Элиашберr Я. М. 278
Эресман (Eheresmann С.) 91
Аксиома вырезания 64
rомолоrий точки 64
Aлreбра Бирман ВеНI ЛЯ 291
[екке 290
Джонса 291
Ли 151
Стинрода 84, 95
Темперли Либа 290
Хопфа 100, 195
симметричная 1 О 1
фробениусова 299
Аппроксимация симплициалъная 57
Арф инвариант 213, 237
Яrер (Jaeger F.) 282,289
Якоби (Jacobi С.) 151, 190, 191
Янr (Yang С.) 27, 158,250,285,287
Яо (Yau Shing-Tung) 278,299
База расслоения 23
Башня Постникова 112
Бордизм 83, 128
Букет 19
Вектор касательный 149
Вложение 14, 148
Высечение 60
fеодезическая 190
fеометрия фробениусова 300
fомеоморфизм 20
fомолоrии клеточные 66
обобщенные 64
пары относительные 62
синryлярные 69
экстраординарные 64
fомоморфизм Бокштейна 74
fуревича 105
Уайтхеда 213
диaroналъный 100
fомотопия 7, 21
накрывающая 23
непрерывная 21
симплициальная 57
fраница 8, 53
aлreбраическая 52
относнтельная 63
[рань 47
fруппа Вейля 160
fротендика 116,259
Ли 151
Новикова Уолла 266
Уайтхеда 81
rомолоrий 53
rомотопическая 27
относительная 33
стабильная 101,115,212
коrомолоrий спектральная 72
кос 285
непрерывная тополоrическая 20
расслоения структурная 84
сечений пучка 75
узла 248
фундаментальная 13
Движение Кирби 296
Движения Рейдемейстера 282
332
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
333
Катеrория 34
Катеrория Люстериика Шнирельмана Метрика риманова 150
177 эрмитова 168
Квадрат Понтряrина 94 Микрорасслоение 245
Стинрода 94, 215 Мноrообразие 7
Класс Понтряrина 49, 157 [рассмана 153
рациональный 251 Штифеля 153
Черна 157 вещественно аналитическое 146
Штифеля Уитни 161, 163 rладкое 146
Эйлера 161 келерово 168
rомотопический 13, 22 комплексное 168
Двойственность Александера 59
Лефшеца 65
Пуанкаре59
Пуанкаре-...Атьи 131
S двойственность 244
Действие Черна аймонса 295
Диarpамма хордовая 293
Диффеоморфизм 148
Длина коrомолоrическая 178
финслерова 190
Зацепление 279
Изоморфизм Тома 123,215
надстройки 64
Изотопия 14
Иммерсия 148
Инвариант Васильева 292, 293
Тураева Решетихина 297
Хопфа 99, 211
тополоrический 7
Индекс 125
Морса 174
нетерова операт ра 16
особой точки 209
Интеrpал Коши 11
характеристический 159
Клетка 65
Кобордизм 130
h кобордизм 180
Коrомолоrии rpуппы 7r 257
обобщенные 64
пары относительные 62
с коэффициентами в пучке 73
экстраординарные 64
Коrpаница 54
Кольцо rpупповое 32
коrомолоrий 58
Комплекс 7
Пуанкаре 240
двойственный 61
Эйленберrа Маклейна 44
клеточный 58, 65, 66
симплициалъный 47
Конус 51
Коцепь 54
Коцикл 54
Коэффициент инциденции 66
Кривые зацепленные 10, 14
Кручение Рейдемейстера 75, 78
Рейдемейстера у айтхеда 49
Рея Зинrера 187
ориентируемое 60
оснащенное 211
проективное aлrебраическое 168
СПИНорное 126
тополоrическое 21
ходжево 168
(РL)-мноrообразие 51
Множество замкнутое 18
открытое 18
Модуль 33
Монодромия 12
Надстройка 49
двукратная 51
Накрытие 24
универсальное 37
Неравенства Морса 176
Новикова 202
Окрестность симплекса комбинатор
ная 51
Оператор Лапласа 186
нётеров 16
эллиптический 16
псевдодифференциалъный 16,
125
Операции Адамса 119, 121, 141
Ландвебера Новикова 135
Милнора 97
коrомолоrические 88, 93
Остов комплекса 48
Отображение rayccoBo 154
rладкое 147
КУсочно линейное 50
непрерывное 18
симплициальное 50
собственное 208
Лarpанжиан 190
Пересечение циклов 61
Перестройка Морса 175
Периодичность Ботта 193
Пленка оснащенная 212
Поверхность риманова 14
Поrpужение 148
Подмодуль лаrpанжев 266
Подразделение комплекса 47, 48
барицентрическое 48
Покрытие 18
вписанное 71
Поле Максвелла Янrа Миллса 27
тензорное 150
Полином Александера 280
Джонса 281
Кауффмана 281
Ньютона 157
ХОМФЛИ 280
Хирцебруха 230
Последовательность Ceppa Xox
шильда 106
пары точная roмолоrическая 63
rомотопическая 34
коrомолоrическая 63
спектральная Адамса 84, 101, 115
Адамса Новикова 138
Атьи Хирцебруха 118, 132
Предел прямой 72
Представление Бюрау 289
фредrольмово 258
Преобразования Маркова 285
Препятствие 87
первое 92
Приклейка ручки 174
Проектор Басса 262
Проекция 23
Произведение классов коrомолоrий
58
прямое 19
334
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
335
тензорное rpупп 53
модулей 75
пространств 32
форм внешнее 150
Пространство Тома 130,215
компактное 18
линейно связное 19
линзовое 79
метрическое 18
односвязное 32
проеIcr'Ивное вещественное 39
комплексное 44
расслоения 23
стяrиваемое 23
тополоrическое 13, 18
тотальное 23
хаусдорфово 18
Н
пространство 194
Пучок 54, 70
ростков 70
Разбиение Xeropa 181
единицы 146
Разложение Ходжа 186
Расслоение 23
Серра 24
Хопфа 44
ассоциированное 86
векторное 116
rnавное 86
индуцированное 85
касательное 152
локально тривиальное 26, 108
универсальное 86
G
расслоение 155
Резольвента Адамса модуля 114
пространства 115
Ретракт 23
деформационный 22
Ретракция 23
A
poд 124,224
Род Тодда 123, 223
простой 82
Тождество Якоби 151
Тополоrия 7, 18
индуцированная 20
компактно
открытая 19
Трансrpессия 11 О
Свойство марковское 286
Связность 155
дифференциально
rеометричес
кая 27
Сечение пучка 70
расслоения 85
Сиrнатура 216
Символ оператора 125
Симплекс 46
Система обратная 72
Скобка Масси 98
След марковский 288
Слоение 198
Слой расслоения 24
Спаривание roмотопических rpупп
32
Спектр 72
Степень Понтряrина 94
Стинрода 94
а-структура 131
Субмерсия 148
Сумма связная 232
Сфера rомолоrическая 49
Тензор 149
Теорема Жордана 9
Эйлера 8
вырезания 63
Теория Морса
Новикова 202
бордизмов 83
К
теория 83,116
эрмитова 266
Тип Картана 97
rомотопический 22
Узел 14
Уравнение автодуалъности 127
Уравнение Янrа
Бакстера 286
Уравнения ассоциативности 300
Фактор Постникова 112
Форма rарМОНИЧеская 186
дифференциальная 149
квантованная 198
кривизны 156
Формула Атьи
Ботта 127
[аусса 8
fаусса
Бонне 9
Лефшеца 172
Римана
Роха
Хирцебруха 223
Функтор ко вариантный 34
контравариантный 56
ФуНКЦИя Морса 174
склейки 26
Характер Черна 123, 164
Черна
Долъда 142
Характеристика Эйлера
Пуанкаре
48
Цепь относительная 62
синryлярная 69
цикл 53
относнтельный 63
Цилиндр отображения 20
Числа Бетти 55
Эквивалентность векторных рассло
ений стабильная 116
roмотопическая 22
послойная 121
комбинаторная 48
расслоений 90
Эталь
тополоrия fротендика 189