Ленинградский ордена Ленина
и ордена Трудового Красного Знамени
государственный университет имени А.А.Жданова
В.Л.ФОМИН
МЕХАНИКА КОНТИНУУМА
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
Издательство Ленинградского университета
Ленинград 1975

Печатается но постановлению
Редакционно-издательского совета
Ленинградского университета
УДК 531/534:001.8
Фомин В Л. Механика континуума для инженеров. Л. ,Изд-во
Ленингр. ун-та, 1975.116 с.
В книге сформулированы важнейшие принципы механики контину-
ума, которая является фундаментом таких важных прикладных дисцип-
лин, как гидроаэродинамика, теория упругости и пластичности, соп-
ротивление материалов, и поставлены основные краевые задачи.Боль-
шое внимание уделено изложению тензорного исчисления.При этом по-
следовательно используется представление о тензоре как об объек-
те, непосредственно (в«бескомпонентнош>форме) фигурирующем в урав-
нениях механики.
Монография рассчитана на инженеров и научных работников, а
также может быть использована как учебное пособие в университетах
и технических вузах. Ил. - 10, библиогр.- 33 назв.
$ 20з05- 217 ^5 „д (с) Издательство Ленинградского
076@2)-75 университета, 1975 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу этой небольшой книги положен курс лекций, прочитан-
ных автором на курсах повышения математической квалификации инже-
неров при математико-механическом факультете Ленинградского уни-
верситета. Книга состоит из двух частей. В первой изложен тензор-
ный аппарат, необходимый во второй части, посвященной механике
континуума. Изложение заканчивается постановкой краевых задач для
основных моделей сплошных сред.
Особенностью этой монографии является более или менее после-
довательное использование представления о тензоре как об объекте,
непосредственно (в «бескомпонентной» форме) фигурирующем в урав-
нениях механики. Имея в ниду направленность упомянутых курсов ин-
женеров, изложение формализовано, однако автор пытается сделать
эго доступным, иногда в ущерб строгости. Ряд важных разделов, хо-
рошо изложенных во многих книгах, опущен. Делается ударение на
вопросы, интересующие специалистов по механике деформируемых твер-
дых тел. Основной целью является пропаганда новой методики.
Большая помощь при подготовке к лекциям была оказана автору
А.А.Вакуленко. Им, по сути дела, была подсказана основная линия
этой работы.
Автор в"ыражает свою признательность И.И.Бугакову,совместно о
которым написаны § 28,31,32, и Л.М.Качанову,прочитавшему рукопись
и сделавшему ряд полезных замечаний.
Основные обозначения
€j , е2 , е3 - базисные векторы в трехмерном евклидовом прост-
ранстве ;
е', е2, е3 - базис, сопряженный базису elt ег, е3;

9- Я****е,я9«?e<V " ^e*€j» = S?***P ~ метриче-
ский тензор, определяемый базисом е;, е2 , е3 ;
А1 , в; - компоненты векторов А,6 ; А'А^ , 6-&е' ;
cV, Г , Г**, Г? - компоненты двухвалентных тензоров о ,
J;(T), Ja(T) ,J3(T) - линейный, квадратичный и кубический ив
варианты двухвалентного тензора Т соответственно;
JjCD/3, j(T),uCT) - система инвариантов тензора Т;
i(T)- интенсивность (девиатора) тензора Т ;
jl(T)- параметр Надаи - Лоде тензора Т ;
U « Ulei ш U-e* - вектор перемещения;
а
V - &*е- ¦ v. ev - вектор скорости;
О
е - e^ejCj - тензор деформации;
ЛС = де'^е^е.- - тензор приращения деформации;
С
^-Е,*е?е- - тензор скорости деформации;
в~6l^eie- - тензор напряжений.

ВВЕДЕНИЕ
Согласно молекулярно-кинетической теории вещество состоит из
молекул, атомов и еще более мелких частиц.Многие его свойства яв-
ляются средними ( с усреднением по числу частиц или по времени ),
поэтому зачастую при описании состояния реальных тел их можно
рассматривать сплошь (непрерывно, без пустот) заполненными веще-
ством. Этот подход использует макроскопическая физика сплошных
сред, развивающаяся параллельно молекулярно-кинетической теории.
Составной ее частью является механика сплошных сред (континуума).
Резкую границу между молекулярно-кинетическим и макроскопи-
ческим подходом проведи трудно. Макроскопический подход - это,по
существу, статистический подход; об уореднении не говорят, но оно
подразумевается. Объектом исследования при этом не обязательно
служат материальные среды с инерционными свойствами, это может
быть, например, электромагнитное поле. С формальной стороны пере-
ход от молекулярно-кинетической теории к концепции сплошной среды
- это переход от дискретного рассмотрения материи к непрерывному.
Введение континуума вместо реального тела (твердого, жидкого или
газообразного) дает возможность существенно упростить количест-
венный анализ, получить важные рекомендации для инженерной прак-
тики.
В рамках классической 'механики сплошное тело (среда) - это
система точек,часть обычного трехмерного евклидова пространства,
заполняемая телом в каждый момент времени и в любом состоянии
(иногда область, занимаемую сплошной средой, интерпретируют как
часть риманова или псевдоевклвдова пространства). В разных оосто-
яниях эта область различна - в этом проявляется движение тела, а
во многих случаях одновременно и его деформация.Это движение пред-
ставляет собой непрерывное преобразование области, первоначально
занятой средой, в некоторые другие области. Эти многообразия (об-
ласти) являются гладкими, так как на них можно рассматривать функ-
ции (скаляры^векторы, тензоры), непрерывные во времени и в прост-

ранстве и дифференцируемые всюду, за исключением разве лишь о^
дельных точек, кривых или поверхностей. Таким образом, с матема-
тической точки зрения, сплошная среда (сплошное тело) представл?
ет собой гладкое многообразие.
Во второй части книги будут рассмотрены принципы,которые пс
ложены в основу построения классических моделей сплошной среды,
с их помощью будут получены фундаментальные макроскопические за
висимости для этих моделей.

ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тензорная алгебра и тензорный анализ являются естественным
аппаратом механики (и физики вообще) сплошных сред. Они выделяют
то существенное, что относится к самим изучаемым явлениям, отбра-
сывая то, что привнесено выбором конкретных координатных осей.
Отметим, что исторически сложились две методики в изложении
теории тензоров. Первая из них трактует тензоры как объекты,с ко-
торыми производятся определенные действия, вторая же сводит опе-
рации над тензорами к операциям над их компонентами. В настоящее
время в литературе по механике и физике доминирует второй подход.
По-видимому, началом здесь послужили работы А.Эйнштейна по теории
относительности. Тем не менее сейчас уже четко наметилась тенден-
ция возврата к первой точке зрения, которая является первой и ис-
торически. В советской литературе по механике ее использовали А.И.
Лурье, Л.И.Седов. Последовательное изложение тензорной алгебры на
базе этой идеологии дано в книге А.А.Вакуленко [б] . В настоящей
книге используется аналогичный подход.
ГЛАВА I. Тензоры и операции над ними
§ 1. Об определении вектора
1. Сопряженный базис. Пусть в трехмерном евклидовом простран-
стве 6 задана тройка линейно-независимых векторов е^ ( основной
базис). Базисом, сопряженным (взаимным) по отношению к е* .назы-
вается тройка векторов ек , удовлетворяющих требованиям
е{-е*-?* (!>-1,2,3).
Здесь символ • означает скалярное произведение векторов, о- -
символ Кронекера. Заметим, что система €{ является, вообще.косо-
угольной. Легко усмотреть, что е* просто выражаются через е{ ,а

именно:
€ е-(егхе5)' € "ех.<еахе,)• е "e^vV Aа)
Символ х обозначает векторное произведение векторов.Отсюда мож-
но получить линейную независимость этих векторов, тем самым оп-
равдан тершш {базис» . Знаменатель в A.1) отличен от нуля, так
как среди векторов основного базиса нет компланарных или нулевых.
Отсюда же следует единственность сопряженного базиса. Это понятие
удовлетворяет свойству взаимности, а именно, базис, сопряженный к
сопряженному, является исходным. Оба одновременно являются левы-
ми или правыми. Для ортонормированного базиса оопряжеяный базис
совпадает с основным.
2. Первое определение вектора. Вектор а можно рассматривать
как элемент векторного пространства, представленный в виде разло-
жения по векторам основного или взаимного базиса:
а-а{е{- акек . d.2)
В записи условия A.2) использовано правило суммирования по пов-
торяющемуся дважды {немому} индексу. При фиксированном основном
базисе разложение A.2) определяется единственным образом.Из раз-
ложения A.2) легко усмотреть, что а1 - ее-б1 , а2 -а • е2 ,
а3 -а -е3, т.е. а1 -<Х-еС (?-1,2,3). Аналогично а^-се-е^..
Таким образом, равенство A.2) можно записать в виде
а -(а-е')е, *(а-ех)е*. а.з)
Заметим, что компоненты вектора а называются контравариантными,
а компоненты а - ковариантными.
В механике сплошных сред введение сопряженного базиса иногда
является обязательным, в частности, из-за необходимости рассмат-
ривать искажение локального репера внутренней (лагранжевой)систе-
мы координат, которая первоначально считается ортогональной.
казах*, чти иазж; «*
сопряженному, есть исходный.
Упражнение. Доказать, что базис е*, сопряженный

Для доказательства напишем его разложение в исходном базисе
согласно A.3). Получим
el)e.
так как
3. Компоненты метрического тензора. Применим (Т.З)к базисным
векторам е^ , это приводит к формулам
-еге;-
Числа д « и Оц называются компонентами метрического тензора.
Очевидно, матрицы д., и qi симметричны . Так как €'= Я'^в,- =
то
т.е. матрицы ff.. и дУ являются взаимно-обратными.
4. Второе определение вектора. При другой интерпретации век-
тора он отождествляется со своими компонентами. Вместо вектора
говорят о его компонентах, о законе их преобразования. Пусть осу-
ществляется переход от базиса е^ к некоторому новому базису е^,
тогда
Здеоь А^- матрица перехода от старого базиса к новому, А{ -
матрица перехода от нового базиса к старому.
Вектором называют последовательность трех чисел а^ ( кова-
риантные компоненты), которые при переходе от базиса et к е?>
меняются по закону а?"*А{, а( , или последовательность трех чи-
оел а (контравариантные компоненты), меняющихся при переходе от
базиса е{ к 6^ по правилу а -А^а*. Легко усмотреть тождест-
венность обоих определений вектора. Здесь же они приводятся лишь
для того, чтобы лучше уяснить суть двух подходов к определению

тензора.
§ 2. Определение тензора
1. Диадное произведение. Двухвалентные тензоры.Пусть каждой
паре векторов а,6 исходного трехмерного пространства & соот-
ветствует единственным образом некоторый элемент ЯО (9-мерного
пространства), называемый диадным (тензорным) произведением (или
просто диадой) векторов а и 0 . Пусть это соответствие является
билинейным:
(Да, + Д2агN «^0,6 + i2a26 ,
Кроме того, полагаем, что оазис этого нового пространства S®S
образуют диадше произведения элементов базиса исходного прост-
ранства (базисные диады):
Элементы пространства S ® 6 .называемые двухвалентными
тензорами, или тензорами второго ранга, суть линейные комбинации
элементов базиса. Рассмотрим какой-либо двухвалентный тензор Т,
он представим в виде
Числа Г^ называются (двавды контравариантными) компонентами тен-
зора Т . Данное выше определение соответствует первому подходу в*
методике изложения теории тензоров. Упомянутая ранее диада векто-
ров есть частный случай двухвалентного тензора, а именно
10

так что его двавды контравариантные компоненты суть числа с 1К =
= а{в* .
Заметим, что повсюду в тексте тензоры (в частности векторы)
обозначены полужирным шрифтом, например, Т , t ,а и т.д.Соответ-
ствующие компоненты обозначены обычным шрифтом теми же буквами с
индексами: Т", ?тп , ак , a m и.т.д. Валентность же следу-
ет определять из контексте (или по числу индексов).Например,з ме-
ханике сплошных сред широко используют тензоры деформаций С и
напряжений & , их компоненты будем обозначать соответственно е^,
©¦ V . Векторы перемещения и скорости U и V имеют компоненты
и i , vJ и т.д. Длины векторов будем обозначать обычным шрифтом,
например, в последнем случае и , V .
2. Тензоры других валентностей. Аналогично можно ввести ба-
зисные полиады: триады е^е.е,,., тетрада ete.-eKe/ и т.д. Их
линейные комбинации суть трехвалентные (третьего ранга) тензоры
вида
четырехвалентные (четвертого ранга) тензоры
Трехвалентные тензоры суть элементы 27-мерного векторного прост-
ранства, четырехвалентные - &L-мерного пространства и т.д. Терми-
ны валентность и ранг являются эквивалентными. Нулевым тензором
любой валентности явпяется тензор О, все компоненты которого рав-
ны нулю.Скаляры рассматриваются как тензоры нулевой валентности,
3. Тождественность первого и второго определения тензора.Дан
нов б п.1 определение тензора (первое определение) совпадает с
его обычным (вторым) определением, основанным на правиле измене-
ния компонентов тензора при преобразовании координат (переход от
одной системы координат (базиса) к другой системе координат ( ба-
зису) ). В самом деле, если имеется двухвалентный тензор Т я
Г %ав. и осуществляется переход от ^старого» базиса ея к ново-
му базису ev no формулам

А это и означает, что переход от старых компонентов (тензора) к
новым осуществляется по тензорному (по обычной второй методике)
закону. Обратное утверждение также имеет место.
4. О компонентах тензора. Рассматривая двухвалентный тензор
a = arotiieoie и используя формулу e. = ff .eY, получаем
a»a ^ЯгдУео1еТ• Таким образом, любой двухвалентный тензор мо-
жет быть представлен линейно через диадный базис в^е* простран-
ства 8 ® 6 , т.е.
причем a = a^q ^ . B.1)
Коэффициенты ff^ называются смешанными компонентами тензора Т^од-
наады контра- и однадды ковариантными). Подобным же образом вво-
дятся сметанные компоненты а'* и (дважды) ковариантные компонен-
ты аиу. Напомним, что компоненты а*' называются (дважды) контра-
вариантными. Итак, двухвалентный тензор а представим в четырех
различных формах:
a-ar^ee «a eV*aJ4e"«arV'eft . B.2)
Тензорный характер всех компонентов в традиционном смысле легко
устанавливается. Формулам B.2) аналогично представление вектора
12

(одновалентного тензора) в форме A.2) а «=сг1е.= а ек. Оче-
видно,что для декартовых координат их ковариантные.контравариант-
ные и смешанные компоненты совпадают,все индексы можно писать то-
лько сверху или только снизу, что следует из совпадения основно-
го и сопряженного базисов.
Компоненты разного типа одного и того же тензора связаны ме-
аду собой формулой B Л) и аналогичными зависимостями, которые
приводятся ниже:
ff
Умножение на соответствующие компоненты метрического тензора сво-
дится к «поднятию» или «опуо^анию» соответствующего индекса. Для
векторов имеют место связи ^QiK"aK , ^Я1**-
5. Метрический тензор. Тензор
называется метрическим (фундаментальным). Таким_образом оправдано
ранее использовавшееся название чисел ov. и gJ .
Найдем смешанные компоненты зтого тензора. Если представить
а в виде 9mQ.)^ie} . то из ^2-3^ и ^*4) следует о* -$, ,
так как ЧтЯ^е1е1 " Я^е1 Ятгет™^те1ет' Аналогично по-
лучим, что or'-t" 8.-* ; таким образом, можно писать просто а1.
(о/) вместо о".' или о! .
' 0} о'}
Упражнение. Доказать самостоятельно правомочность
написания формулы о«а..е1е' (ранее использовалось лшш выраже-
ние ^'f^p-
То, что а есть тензор, следует, конечно, и из закона преоб-
разования его компонентов при переходе от одного базиса к друго-
му:
13

Поясним понятие «метрический тензор> . Рассмотрим две беско-
нечно близкие точки А (х', хг, х3) и А' (х'* dx\ x!*dxl, vx3+ dx3 ).
Бесконечно малый вектор, их соединяющий, есть dv-dxnen, квад-
рат его длины равен el's2* dr-dr - dxnen • dxKex ~ anK dxndxK=
= a dxndxK. Таким образом, задание тензора а определяет «мет-
рику» в пространстве переменных хк.
§ 3. Простейшие операции над тензорами
1. Сложение тензоров. Складывать можно лишь тензоры одной и
той же валентности. При этом, если нас интересуют компоненты сум-
мы, слагаемые следует представить в терминах компонентов одного и
того же типа.
Например, если а-а^е.е- , 6-#Ve{e. , то
6 о
Итак, сумма двух тензоров есть тензор той же валентности, причем
его компоненты суть суммы соответствувэщих компонентов слагаемых
тензоров.
2. Умножение на число. Тензор, представленный в любой форме,
можно умножать на число. Результат есть тензор той же валентности,
компоненты которого получены умножением компонентов исходного тен-
зора на это число.
Если, например, ТжТНТ( еге,еке{ ,то
Г;е.е.еУ.
j
Разностью тензоров Л ,6 одинаковой валентности называется
тензор а + (-1) в .
3. Умножение тензоров (тензорное умножение).В предыдущем па-
раграфе уже говорилось о тензорном умножении применительно к двум
векторам. Оформулируем общее правило. Если даны два тензора, на-
пример,

А-Л'* ¦"'"'•ее .. . е
TTJ. JTI- JTl
ъ-в_
то их произведение (тензорное произведение) есть тензор
С*АЪ'А*чп'~ПгВя ее ...eeV' en< .
Таким образом, у тензора С заданы его проекции Сr?1™*\;m.r
л Dnlnl...ns ¦
Валентность произведения, очевидно, равна сумме валентностей со-
множителей, при зтом юс порядок существен.
Пример 1. В результате перемножения тензоров второй ва-
лентности с компонентами aiK и 8тР получается тензор четвертой ва-
лентности с четырежды ковариантными компонентами,равными ^iKbmn.
Пример 2. Пусть и = ц"?ее , v=vver. Произведе-
ние этих тензоров есть трехвалентный тензор НУ , причем ы,{^
Пример 3. Произведение векторов ес=а{е1 и % = в ек
есть двухвалентный тензор с с компонентами С/х= а^б*.
4. Симметричные и антисимметричные двухвалентные' тензоры. В
настоящем пункте излагаются в традиционном стиле понятия симмет-
рии тензора по отношению к индексам. Заметим, что логичнее было
бы исходить из понятия сопряженного тензора, самосопряженности и
т.д. (см. ниже § 8), поскольку в этом случае это можно сделать в
инвариантной форме.
Двухвалентный тензор et= ст^-Р^е. называется симметричным,
если для его компонентов справедливо равенство а^-аг^ (что
, oift floi
равносильно оы=а^ ),и антисимметричным, еслда a J -- ai .
Правило симметрии переносится на смешанные компоненты сле-
дующим образом: a'JP-a^ , но не о^« а'* . В самом деле, из
15

условия а*?е«.еьш а^°Ч*.€й в СШ1У eii=9'stfeT следует,что
Отметим, что тензор, симметричный и антисимметричный одно-
временно, является нулевым. Метрический тензор является,очевидно,
симметричный.
Любой двухвалентный тензор всегда и единственным образом
представим в виде суммы симметричного и антисимметричного тензо-
ров (его симметричная и антисимметричная части). а именно Т*Т5 +
+Тв ,где в обычных обозначениях
"* + ТI"> ед , Та 4( 7"^- Г П е,ер.
Единственность такого разложения просто показать, вводя два,
разложения Т»Т^'+Та , T-Ts"+T^. Тогда тензор T't -T""
=Тв -Тв является симметричным и антисимметричным, а, следовате-
льно, нулевым. Операция выделения симметричной части тензора на-
зывается симметрированием, антисимметричной - альтернированием.
Что касается тензоров любой валентности, то для них также можно
ввести понятие симметрии и антисимметрии.
§ 4. Скалярное умножение тензоров
1. Скалярное произведение двух тензоров. Понятие скалярного
произведения двух тензоров является обобщением соответствующего
понятия для векторов. Для любых двух тензоров, например, заданных
следующим образом:
"Я1Г'
'В 'г s' ' е е ...е е
их скалярное произведение (свертка) есть
16

1 г !е е ...е (е е )е ...е
ш т m /n n n n
Я
В результате скалярного перемножения двух тензоров получаем тен-
оор, валентность которого на две единицы меньше суммы валентно-
стей сомножителей. Порядок множителей при этом существен.
Рассмотрим ниже несколько примеров на вычисление скалярного
произведения тензоров.
Пример 1. Умножение вектора а на вектор 6 совпадает
с их скалярным произведением в обычном смысле
а-6 - а1е. -б*е = йЬ а. =а$-=йдк
Пример 2. Произведение двухвалентного тензора на вектор
Пример 3. Произведение вектора на двухвалентный тензор
от-а1егт\ега(Г%егакт\ .
Пример 4. Произведение двухвалентного тензора на двух-
валентный тензор
«•6-
Совершенно так же получим в-а= 6 Kdme,e
Итак, скалярное произведение двух векторов есть скаляр, век-
тора и двухвалентного тензора - вектор, двух двухвалентных тензо-
ров - двухвалентный тензор.
Скалярное умножение тензора (в частности, вектора) на метри-
ческий тензор (слева или справа) приводит к тому же самому ( ис-
ходному) тензору.
Пример 5. Умножение вектора а на метрический тензор:
17

б) ay -a\.g\et-aYu*ta ai9%" аЧ=а •
Пример 6. Умножение двухвалентного тензора Т на мет-
рический тензор:
6) Т-д- Т%ек ¦ fnemen
2. Целые степени тензора.Результат скалярного умножения двух-
валентного тензора самого на себя представляет собой также двух-
валентный тензор, который будем называть квадратом (исходного)тен-
зора и будем обозначать Тг. После умножения Т2 на Т получим
куб тензора Т3 и т.д. Таким образом, любая целая положительная
степень двухвалентного тензора Т есть, в свою очередь, двухва-
лентный тензор. Вычислим некоторые степени тензора Т.
Пример 7. Квадрат двухвалентного тензора
Т'-Т-Т - Г»»еА • Т"*л - Г"» Г '!и ете,
Пример 8. Куб двухвалентного тензора
Легко усмотреть, что квадрат, куб и вообще любая степень сим-
метричного тензора есть также симметричный тензор. В самом деле,
*т» 2 *р in f тп
для доказательства симметрии 1 следует доказать,что 1 1.^ -
=Ti;n T.I, или Гп 7™^. = ГТГ . Но Т1пдк. - 77 , а
l I - 1 l.i в силу симметрии тензора (здесь 4немой»
индекс к заменен на i ). Аналогично проводится доказательство
для других степеней тензора.
18

Замечание 1. В свете понятия скалярного произведе-
ния можно интерпретировать компоненты тензора следующим образом.
Если Т*^е. ,то, умножая это равенство окалярно на ет
о
слева и на е справа, получаем
Диалогично
Таким образом, получено следующее представление тензора:
T-(e?.T-e'')e.e; .
Замечание 2. Отметим, что для скалярного произведе-
ния выполняются, очевидно, правила:
VT8)-T -Т, +ТТ2 ,
2) Т -Т,-Т +Т2Т ,
T/UT,)-АТ^Т, ,
где X - число, Tj и Т2- тензоры, причем в первой и второй фор-
мулах они должны иметь одинаковую валентность.
§ 5. Двойное скалярное произведение тензоров
1, Двойное скалярное произведение. Двойным скалярным произ-
ведением двух тензоров А и В (двойной сверткой) называется тен-
зор
А.в=А;Л-иее _€ sB eV'..V*-
=^M2--im g € e e (e .е'2^'^ь
J1J2 h ' 2 m m~l
19

Результирующий тензор имеет валентность, на четыре единицы мень-
шую, чем тензорное произведение сомножителей, поэтому можно пере-
множить тензоры валентности, большей или равной двум.Проиллюстри-
руем примерами процедуру вычисления двойного скалярного произве-
дения.
Пример 1, Умножение двухвалентного тензора на двухва-
лентный:
U-V =
Аналогично Vs U = V* 1//а (то же самое с точностью до обо-
значений немых индексов).
Пример 2. Умножение двухвалентного тензора самого на
себя:
Результат в каждом из примеров есть скаляр.
2. След тензора. Рассмотрим еще один важный пример на вычис-
ление двойного скалярного произведения. Дадим предварительно оп-
ределение. Следом тенвора Т (линейным инвариантом, первым инва-
риантом) называется двойная свертка Т: Cf . Обозначается след
тензора Sp T.
Пример 3. Подочитаем след двухвалентного тензора Т:
да a am -m о« jfm -p ji
Упражнение 'I. Вычислить а : Т , где Т - двухвалент-
ный тензор из предыдущего примера, и убедиться,что «:Т=Т:а.
Упражнение 2. Доказать, что
'тп -i ~ { п

Упражнение 3. Доказать, что
Замечанье. Операция наховдения следа тензора явля
ется линейной в том смысле, что
Sp(Tx+Ta) = SpT, +SpT2 ,
SpUT) = iSpT ,
где Л- число, а тензоры Tj и Т2 имеют одинаковую валентность.
§ 6. Операция свертывания тензоров
1. Свертывание тензора" по двум индексам. Пусть имеется тен-
зор
Переход от зтого тензора к тензору
называется свертыванием тензора Т по двум индексам ?2 и i3 . В
результате этой операции получаем тензор, валентность которого на
две единицы меньше валентности исходного тензора.
2. Свертывание двух тензоров. Рассмотрим тензорное произве-
ние тензоров айв: об ¦ сг"^ел в» 6 g- е*в * . Свернем его
по индексам б и у , получим переход от сев к а-в :
О-в - <г*»^в '' У
В этом смысле на скалярное произведение можно смотреть как на ре-
зультат свертывания тензора «6 , или, как говорят, свертывания
двух тензоров «ив.
3. Двойная свертка двух тензоров. Аналогично, двойное свер-
тывание двух тензоров можно интерпретировать как двойное скаляр-
ное произведение. Для двухвалентных тензоров айв это означает
вычисление скаляра а >&&<*. •
21

§ 7. Псевдотензоры. Векторное произведение
тензоров и псевдотензоров
1. Определение псевдотензора. В § 2, касаясь определения по-
нятия «тензор» , мы фактически использовали инвариантность тензо-
ра по отношению к любой системе**координат (п.З).В физике и меха-
нике оказывается полезным (в основном из-за его наглядности в од-
новалентном случае) еще одно понятие - «псевдотензор» . Приведем
его определение для ортонормированного базиса е,, е2 ,е3 .
Рассмотрим линейную комбинацию базисных полиад
T-rMl"'f" ее. ...в: ,
причем будем полагать,что при переходе к новому базису е, ,ег ,еа,
она переходит в линейную комбинацию
Теце,2..е{ ,
если осуществляется переход от «правого» ( «левого» ) базиса к
«правому» ( «левому» ). Такие базисы ел , ек, называют обычно
одноименными. Если же переходим от «левой» базисной тройки 6„ к
«правой» тройке ел, (или наоборот), то предполагается,что от ли-
нейной комбинации Т мы перейдем к
Если для Т "выполняются эти два правила, то Т называется псевдо-
тензор_ом валентности П .Компоненты (п- контравариантные)псевдо-
тензора при переходе от «правого» безиса килевому» (или наобо-
рот) меняют знаки на противоположные, поэтому их уместно считать
псевдоскалярами,а не скалярами. Пеевдотензоры инвариантны по от-
ношению к вращениям системы координат, но не инвариантны к отра-
жениям систем координат.
Пример 1. Векторное произведевие двух векторов,в силу
своего обычного определения, является одновалентным псевдотензо-
ром, или псевдовектором (аксиальным вектором).
Пример 2 (.Альтернативный трехвалентный псевдотензор).
Введем псевдотензор третьей валентности
22

компоненты которого, называемые символами Леви-Чивита, равны
+1, если набор индексов W.J.*) ревен 1,2,3 или
представляет собой круговую перестановку этих цифр;
О, если в числе индексов i,j,K есть одинаковые;
-1, если набор индексов ji.j.KJ равен 2,1,3 или
представляет собой круговую перестановку этих цифр;
т-е« г12з " ггз1 ш ез1г~и ei32 " гзг1 " еггз = ~1 • Совершенно ана-
логично вводятся е1/>.
2. Простейшие действия с псевдотензорами. Сложение псевдотен-
зоров (одной валентности) и умножение их на число производятся
также, как и для тензоров. Результат есть также псевдотензор той
же валентности. Умножение двух псевдотензоров валентностей пил
приводит к тензору валентности т + п. Умножение псевдотензора на
тензор (и наоборот) приводит к псевдотензору (его валентность
равна сумме валентностей сомножителей). Свертывание псевдотензора
по двум индексам (один из них должен быть контравариантным.а дру-
гой ковариантным) дает псевдотензор, валентность которого на две
единицы меньше исходного.
3. Векторное произведение тензоров. Векторным произведением
двух базисных векторов е- и е. называется псевдовектор
Векторное произведение любых двух тензоров
Т-Г"*"'-"'» ек е„ ...е„ и и-1/?
есть псевдотензор
Очевидно,что выражение в скобках есть ?хл йе*- В результате

получается псевдотензор, валентность которого на единицу меньше
валентности тензорного произведения этих же сомножителей. Анало-
гично можно ввести векторное произведение псевдотензоров, а также
произведение тензора на псевдотензор. В частности,векторное умно-
жение вектора на псевдовектор дает вектор.
Пример 3. Найдем компоненты векторного произведения
вектора на вектор:
а*б-ае *&е = аЧг, е.
Для произвольного базиса 6^ вместо &к{ нужно ввести псев-
дотензор Леви-Чивита с компонентами elxi - е^УбГ, е1* «е11с/У^
где G есть определитель матрицы компонентов s^ метрического
тензора.
Отметим, что для антисимметричного двухвалентного тензора Л
вводится ассоциированный с ним псевдовектор (аксиальный вектор)Сд>
так,что для любого вектора ее 51-<х»<«>ха. Для декартова бази-
са с^-е^Д^ , Я^-?е4;-яш{ .
Замечание. Уравнения механики можно было бы изла-
гать, не используя такого «подозрительного» (неинвариантного по
отношению к системе координат) понятия, как ?псевдотензор>
( «псевдовектор» ). Однако в литературе по механике и физике ши-
роко оперируют понятием «аксиальный вектор» , обладающим большой
наглядностью и простотой.
ГЛАВА П. Двухвалентные тензоры
§ 8. Сопряженные тензоры
1. Тензор, сопряженный данному. Пусть дан двухвалентный тен-
зор Т. Если для любого вектора а справедливо равенство Т*<*-
= а *Т ,то тензор Т называется сопряженным по отношению к Т
(сопряженным тензору Т). Вспоминая, что для любых тензоровТ и S
и вектора о справедливы равенства Т*<* = Т 1К ок в; , « • S *
=»5л'але., убеждаемся, что
V

если
т-г1^е?е. = гг eV= г'ее' ¦= Tr^Ve- . очевидно,
г eV= г'ее' ¦= Tr^Ve- .
что тензор, сопряженный сопряженному, есть исходный, а сопряжен-
ный диаде ав есть диада 6а .
.Тензор является самосопряженным, если Т*=Т , что равноси-
=i , т.е. понятия симметричного и самосопря-
женного тензоров являются равносильными. Итак, тензор симметричен,
если Т*=Т ; аналогично, он антисимметричен, если Т - -Т. Пред-
ставление любого двухвалентного тензора Т в виде суммы его сим-
метричной и антисимметричной частей имеет вид
ибо для любого тензора Т тензор Т+Т* является симметричным тен
зором, а Т-Т* антисимметричным. Очевидно также, что
2. Основные формулы. Для любых двухвалентных тензоров V, V,
W и вектора а справедливы формулы
(U-V)-W = U-(V-W),
(U-V)-a - U-(V-a),
(U a) V-a (U*V)=(V*U)a,
U-(a-V)-a-(V-U*)-(u-V#)-a.
Они легко доказываются, если перейти к полиадным представлениям
для всех фигурирующих здесь тензоров. Из формул (8Л) и (8.2)сле-
дует, что
а тогда ( UVW )* = W V U*. (8.4)
Для симметричного тензора Т и любых двух векторов van имеет
25

место равенство
(Т-П)-1Г «(T-V)-ll , (8.5)
i
оно легко доказывается переходом к базисным разложениям.
Из формул (8.3) и (8.4) и им Подобных следует, что
и вообще
(Тп)* =(Т*)Л (п- 2,3 ...). (8.6)
Кроме того, из условия
Sp(T*)=SpT (8.7)
(см.пример 3 § 5) и (8.6) вытекает, что
Sp[(T*)n]«Sp[(Tn)*l - SpCl) .
В частности,
Sp[(T*J] =Sp(T2), Sp[(T*K] - Sp (T3). (8.8)
§ 9. Главные векторы и главные значения. Инварианты
1. Главные векторы и главные значения. Инварианты.Рассмотрим
двухвалентный тензор Т. Если для ненулевого вектора а и некото-
рого числа Т выполнено условие
Та-Та, O.I)
то вектор ос называется главным (собственным) вектором тензора Т,
а соответствующее направление называется главным направлением
(главной осью) тензора Т, число же Т называется главным ( соб-
ственным, характеристическим) значением тензора Т. Условие (9.1)
можно переписать в виде
(Т- Tcf)-a =0 . (ь.2)
Если записать (9.2) в компонентной форме, то получим систему од-
нородных линейных уравнений ( Т.- - Т5.' )а3 = 0 относительно
26

компонентов вектора а , имеющую ненулевое решение лишь для зна-
чений Г, удовлетворяющих уравнению
del\\T,- -Т§}\\ =0 . (9.3)
Раскрывая определитель, уравнение (9.3) можно записать следующим
образом:
I ts0 , (9.4)
где
SpT,
- sP(t2)] ,
причем (см.пример 3 и упражнения 2, 3 <) 5)
В частности, для декартова базиса
spt-t:?,
Итак, главные значения тензора суть корни характеристическо-
го уравнения (9.4).
Если Tj , Тг , Т3 - корни уравнения (а.4), то по теореме Ви-
ета
Уравнения (9.5) можно разрешить относительно SpT,-Sp (Тг),
Sp(T3), это приводит к равенствам

Характеристические уравнения для Т и Т* совпадают в силу формул
(8.7) и (8.8).
Функции компонентов тензора J; , J2 , J$ или SpT, Sp(Ta),
Sp (T3) называют инвариантами тензора Т. Это скалярные функции
компонентов, не меняющиеся при преобразованиях базиса. Их инва-
риантность по отношение к преобразованиям координат следует,напри-
мер, из инвариантности операции вычисления следа тензоров Т, Т2
и Т3. Это тройки независимых инвариантов; из дальнейшего вытека-
ет, что все другие инварианты суть функции, например, JltJ2,J3 .
Ниже будем рассматривать лишь симметричные тензоры.
Отметим также, что главные значения тензора, обозначаемого
жирным шрифтом, например С , всегда обозначаются ск и т.д. Так,
для тензоров напряжений С и деформаций С их главные значения,
называемые обычно главными напряжениями и главными деформациями,
будем обозначать 6* , СЛ .
2. Свойства главных векторов и главных значений. Из алгебры
известно, что для симметричной матрицы все три корня характеристи-
ческого уравнения являются вещественными числами. В данном случае
это означает, что симметричный тензор имеет три вещественных глав-
ных значения, среди них могут быть равные. Заметим, что главные
векторы, отвечающие различным главным значениям, взаимно-ортогона-
льны. В самом деле, пусть главные векторы ак и ат соответствуют
главным значениям Тх и Тт . Это означает, что
Умножая эти два равенства соответственно на otm и <ХК скалярно и
считая без ограничения общнооти, что ак = сст= 1 , получаем в
силу
(см. (8.5)), что
( Тт-Тк)ак-ат «0.
Так как Тт * Тк ,то <ХХ и о^ ортогональны.
Кратко сформулируем основные результаты, относящиеся к трем

ситуациям, возникающим после решения характеристического уравне-
ния. Часть из-них очевидна,остальное мы заимствуем из элементар-
ных разделов линейной алгебры.
1-й случай. Т{Ф ТгФ Т3 ФТ1 (все корни характери-
стического уравнения различны). В этом случае однозначно (с точно-
стью до множителя +1) определяется тройка ортонормированных глав-
ных векторов а:, <хг,а3 .
2-й случай. F^Tj"^ (два корня характеристиче-
ского уравнения совпадают). С точностью до множителя +1 определя-
ется лишь единичный главный вектор а, .В качестве главных векто-
ров а, и ос можно выбирать любые два взаимно-ортогональных еди-
ничных вектора, лежащих в плоскости,перпендикулярной вектору a.t
3-й случай. Tt = Тг = Т3 (все три корня характери-
стического уравнения совпадают). В этом случае в качестве главного
ортонормированного базиса можно выбрать любую ортонормировэнную
тройку векторов at,a2,a3.
3. Об одном представлении тензора. Возьмем в качестве базис-
ных векторов тройку ортонормированных главных векторов ая тензора
Т . Пусть Тк - соответствующие главные значения. Согласно форму-
ле D.1)
не cyjiuuujio- « ct/JUiuujie-
ва-mi ко К ват»ь по К
Здесь использована формула (8.5), симметрия тензора, а также то об-
стоятельство, что для ортонормированного базиса ося= а*. Таким об-
разом, получено следующее представление тензора Т в терминах его
ортонормированных главных векторов и главных значений:
Покажем и обратное : если Тк (л= 1,2,3) суть некоторые
вещественные числа, а <*Л- ортонормированная тройка векторов, то
из представления (9.6) следует, что сик - главные векторы, а Тк -
главные значения тензора Т. Это утверждение становится очевидным
после умножения обеих частей (9.6) на CL свалярно. Симметрия тен-
О
29

зора при таком представлении также очевидна.
Итак, главные векторы (ортонормированная тройка)образуют ба-
зис, в котором компоненты тензора суть его главные значения. В
этом базисе число компонентов равно трем.Но тогда инварианты тен-
зора - функции этих трех компонентов. Следовательно, число инва-
риантов не может быть больше трех. В силу независимости инвариан-
тов^ , J2 ,J можно утвервдать, что число независимых инвариантов
двухвалентного симметричного тензора равно трем.Заметим,что трой-
ка главных значений также представляет собой набор независимых ин-
вариантов (два последних замечания относятся к случаю неравных
корней характеристического уравнения).
Представляется полезным проанализировать теперь на основе
формулы (9.6) 2-й и 3-й случаи, упомянутые в п.2 настоящего пара-
графа.
2-й случай. Tt=Tz4>T3 . В силу (9.6)
Возьмем в плоскости векторов ctj и а2 любой вектор
Это также главный вектор, ибо
Причем он отвечает тому же главному значению Tt , что и векторы
Cij и а2 . Итак, все векторы, ортогональные к а3 , являются
главными.
3-й олучай. Т{ 'Т2т Т3 . В силу (9.6)
Таким образом, в этом олучае тензор пропорционален фундаменталь-
ному тензору. Тензоры такого типа мы будем называть шаговыми.Оче-
видно, что любой вектор является главным для тензора Т=7^О,
причем ему соответствует главное значение Тг •
4. Теорема Гамильтона-Кэли. Очевидно, что
Т2-Г/а,а, * Г/а2аг + Г/а3а, , (9.7)
зо

так как, например, atat'atat- а1а! , а,а!а!аг ** 0 . Ана-
логично получаем
Т3=Г/а;а: + Тг3а2аг +Т33а3а3 , (9.8)
и вообще
Г=Г/*а,а, + 7>гаг + Т,яа,ащ .
Отсюда ясно, что главные оси для всех степеней тензора совпадают,
а главные значения их суть степени соответствующих главных значе-
ний тензора.
Характеристическое уравнение тензора Т имеет следующий вид:
д(Г) -(Г -TfXT-TaXT-T3)- Т3- JJ2 + JJ - J3= 0 .
Подставим в левую часть вместо скаляра Т сам тензор Т :
Учитывая формулы (9.6) - (9.8), получаем
д(Т)« д(Гг)а;а, + д(Г2)а2а2 + д(Т3)а3а3-О
в салу того, что главные значения 7] , Тг , Т3 удовлетворяют ха-
рактеристическому уравнению. Таким образом
T3-J,(T)T2 +J2(T)T -J,(T)fl =0. (9.9)
Это равенство выражает теорему Гамильтона - Кэли: двухвалентный
тензор удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Нами
приведено доказательство лишь для симметричного тензора.
В силу этой теоремы Т3 представляет собой квадратичную
функцию от тензора Т с коэффициентами, зависящими от его инва-
риантов. Умножая (9,9) скалярно на Т .получаем, что и Т4 также
есть квадратичный трехчлен от Т с коэффициентами, зависящими от
инвариантов, и вообще любая степень Тл(л^з) двухвалентного
тензора выражается через а , Т и Т2 линейным образом, причем
коэффициенты зависят от инвариантов Т . Аналогичное замечание
можно сделать о любом полиноме от Т.
31

§ 10. Нормальная и касательная
составляющие вектора симметричного тензора
1. Вектор тензора. Вектором симметричного тензора Т по пло-
щадке с единичной нормалью п называется вектор Т*п. = Тп
Пример. Вектор тензора напряжений & в механике сплош-
ной среды называют обычно вектором напряжений.
Нормальная составляющая (вектора) тензора есть вектор
(пТп)п=ТЛЛ-ГЛ„ц ,
касательная составляющая (вектора) тензора
где t есть единичный вектор вдоль TLT(рис.1).
пг1
Очевидно, нормальная со-
ставляющая направлена по той же
прямой, что и п , а касательная
лежит в плоскости площадки с нор-
малью п.
Пример. Нормальную со-
ставляющую вектора напряжений на-
зывают нормальным напряжением,ка-
сательную - касательным напря-
жением; они таковы:
Рис. 1
пп
1-(пвп)П2
пт
Тл вместо
)•
(более распространены обозначения б^ , Тл пп пт
2. Экстремальные задачи. Если сформулировать и решить задачу
об условном экстремуме Tfm на всех единичных нормалях п , то ре-
зультат оудет следующим: экстремальные значения как раз равны гла-
вным значениям тензора Т ,а именно, 7J , Tg , Т3 , а норма-
ли, на которых достигается экстремум, имеют главные направления
32

тензора Т .Соответствующие этим направлениям касательнне состав-
ляющие Тпх равны нулевому вектору.
Если же поставить и решить другую заДачУ ~ 0(^ условном экот-
ремуме Тпх на всех единичных нормалях П , то результат будет
таким: экстремальные значения достигаются в плоскостях, биссект-
ральных по отношению н плоскостям, нормальным н главным осям тен-
зора, и равны соответственно
+ 1G* -Г) t^-iT-T) +i(T-T)
Пример. Для тензора напряжений 6" экстремальные значе-
ния 6пп достигаются вдоль главных осей этого тензора и равны
главным напряжениям 6{ , Сг , 6^ . Для этих направлений 6„#=0.
Экстремальные значения Спх , называемые главными касательными на-
пряжениями, достигаются в плоокостях, указанных выше, и равны
Нормальные напряжения по этим плоскостям, вообще говоря, отличны
от нуля.
§ 11. Шаровые тензоры и девиаторы.
Условие пропорциональности девиаторов
1. Шаровые тензоры и тензоры-девиаторы. Шаровая и девиатор-
ная части тензора. Двухвалентный тензор, равный метрическому с
точностью до скалярного множителя, называется шаровым. Таким об-
разом, каждый шаровой тензор имеет вид T«jJO , где J3 - скаляр.
Двухвалентный тензор, для которого равен нулю его след (ли-
нейный инвариант), называется тенэором-девиатором. или просто де-
виатором. Для любого девиатора Т , таким образом,имеет меотс ра-
венство
J,(T)-SpT-0.
Каждый двухвалентный тензор Т единственным образом предста-
вим в виде суммы шарового тензора и девиатора, которые называются
его шаровой и девиаторной частями. Это представление имеет вид
где через D (Т ) обозначена девиаторная часть (девиатор) тензора
Т ; первое олагаемое еоть шаровая часть тензора Т.
33

Отметим то обстоятельство, что главные векторы тензора и его
девиатора совпадают (они определены с точностью до постоянного
скалярного множителя), а главные значения разнятся на 1 Jt (T).B
самом деле, пусть Т есть главное значение тензора Т , а а -
соответствующий ему главный вектор, тогда
Та» Га, шш [D(T) + 3 J,Cr)^]-a - Га ,
что равносильно
Отсюда ясно, что главное значение девиатора D(T)ecTb T-jJs(TL
а вектор а является его главным вектором.
Касательная составляющая тензора по площадке с нормалью п не
зависит от шаровой части тензора, а зависит лишь от его девиато-
ра. Действительно,
-(n-[l J,(T)g + D(T)]-n)n - D(T) n (n D(T) n)n .
2. Инварианты шаровой и девиаторной частей тензора.Будем для
краткости обозначать D(T) просто D. Характеристическое уравне-
ние для девиатора D имеет вид
2 -J,(D) -О,
а теорема Гамильтона - Кэли приводит к равенству
D5 +J2(D)D -J3(V)y - 0.
Инварианты девиатора тензора в соответствии с (9.5) таковы:
(ИЛ)

Выразим их через инварианты тензора Т . Так как
то
5p(D2)-Sp(T2)-§J;(T)SpT+i^(T)'3-Sp(T2)-KSpT)!
5p(D3)-Sp(T3)-SpT-Sp(T2) +fEpTK.
Это дает возможность из (ИЛ) выразить Jx (D) через JJ,(T):
jr<D)-O,
Очевидно, что для шаровой части тензора независимый инвариант то-
лько один, а именно Jt :
Jf(T), J2(|Jr
Решение характеристического уравнения для девиатора D (Т)
можно представить в тригонометрической форме, зто приводит к сле-
дующим формулам для главных значений тензора Т :
35

где ^в i(T)- скаляр, называемый интенсивностью девиатора тензо-
ра Т и равный
(J2(D(T)L0 , так как Sp(D2(T))>0 ),
OL,- скаляр, называемый углом вида тензора и равный
причем Г, > Гг > 7} .
Таким образом, кроме троек независимых инвариантов
TItT2,T3 ; SpT, Sp(T2), Sp(T3); J,(T).J,(T),J,(T)
можно рассматривать набор инвариантов
Часто вместо о^ вводят параметр Надаи-Лоде
f 3 f 3
-1 4jul 4 1 , при этом существенно, что Т, > Тг > 7^ ; этот па-
раметр не определен для шаровых тензоров. Тройка инвариантов в
этом случае имеет вид
Для девиатора D(T) набор независимых ивариантов может быть
таким:
для люоого шарового тензора существует один независимый инвариант
3. Пропорциональность тензоров (в частности, девиаторов).Два
тензора А и В являются пропорциональными. если B"jA , где "$"-
скаляр. Это означает, что в любой системе координат компоненты
одного тензора можно получить из компонентов другого простым ум-
35

ножением на один и тот же скаляр, не зависящий от системы коорди-
нат. Очевидно, что все шаровые тензоры пропорциональны.
Так как для симметричных двухвалентных тензоров А и В име-
ем представления
u:vtvj + O2C2«2 + D3 Сд Vj ,
где An,BK , e? , e* - соответственно главные значения и глав-
ные ортонормированные векторы тензоров А и В , то для их про-
порциональности необходимо и достаточно,чтобы е^ = В* , Вкя
= "ft Ак , где у- скаляр. Последнее условие можно переписать в ви-
де Is А Л
At' А2" Аэ '
Это условие называют иногда условием подобия тензоров,понимая под
зтим подобие так называемых диаграмм Мора. Так как главные векто-
ры определены с точностью до направления, а в случае равных глав-
ных значений неоднозначно, то последнее замечание следует пони-
мать в том смысле, что тензоры представлены через одни и те же ба-
зисные векторы.
Соссными тензорами называются такие тензоры, у которых глав-
ные векторы совпадают.
Теорема 1. Для пропорциональности двух ссосных девиаторов А
и В необходимо и достаточно выполнение условия
-~1 _ "з
А, = А2
В самом деле, в силу условия Sp А = 5р В * 0 имеем
-i4J-+A2 + Aj) -В3-+В2+-Вг (и.*)
Из свойств пропорций следует
ВО О i ГУ
. О2 Oj ¦*" и2
А, Аг" Ai +Аг
В. В, В,
что влечет -г1- ~ -^- = -j4- .
A A Л
Aj A2 Л3
Теорема 2. Для пропорциональности двух соосных девиаторов А
37

я В необходимо и достаточно! равеногво юс параметров Надаи-Доде.
Действительно, аз условия J^A-JJ-% следует
а-ЬгЪщ
ВГВ3 '
что в свлу (И.4) равносильно
Бели обозначить (А,/А?) •• эе, , ( В,/В3 )"ХВ, то из предыдущего
равенства следует эев* эе,, и будут выполнены условия предыдущей
теоремы. Очевидно и обратное утверадение: из условия Ът%А вы-
текает.
§12. О связи двух двухвалентных симметричных тензоров
В некоторых случаях можно полагать,что зависимость мевду тен-
зорами второй валентности А и В имеет следующий вид:
В-с2А2+с;А + cocj , (кл)
где С0,С1%Сг - функции инвариантов тензора А .Это приводит к
связям между девиаторлчмв и шаровыми частями:
-ЩАЦ),
\Щ-с0 4с,/,
Здесь учтено равенство
2 §2) -2J2(A) ,
вытекавшее из A1.2).
Пусть тензоры А и В являются симметричными и соосными.Пос-
леднее означает, что их можно выразить в терминах одной и той же
главной ортонсрмированной тройки е„.:
А-А,е,е, +А2егег + А,е,е3,
38

где Ак , Вк - главные значения тензоров А и В .Рассмотрим три
возможных случая.
1-й случай. А* А„* А * А, (вое главные значения
А * л
различны). Из системы трех уравнений
е,е,,
А3е3е,
А-Л/еге1
А2-
с определителем
находим базисные диады:
ее,—i-
1 ' АСА)
1
АА2А3
2 г
1 1 1
А, А2 А3
А\ А\ к\
* О
1
A,
К
я
А
Аг
1
А.
А,
PP.-—
1
A,
1
A,
A!
g
A
AJ
Тогда в силу A2.4) получаем зависимость типа A2.1), где
A2.5)
"°"Д(А) ' "'" Д(А) ' "*~ НА) '
причем
I I I
в,
Этот результат можно трактовать и по-другому, а именно, считать,
что коэффициенты ск определяются из условий ?„« Ct*CtAx +СгАх.
Если теперь применить результат A2.2) для тензорной за-
д°(А)
Д(А)
Вг В3
Аг А3
К А
С - Л'
(А)
' ' Д(А)
1
h
t
I
вг
Л ¦
1
в.
А" (А)
¦д(А>

висимости A2.1) с коэффициентами С; , определяемыми A2.5), то
это приводит к соотношению
A2.6)
Это соотношение есть трехчленная формула В.В.Новожилова [21] .за-
писанная в терминах главных значений. Согласно [21, с«105,A5.7)]
связь D(B) и D(A) такова:
[ gj
Для доказательства тождественности формул A2.6) и A2.7) нужно
убедиться в равенстве соответствующих коэффициентов при Cf,D(A)
и D(A). Это легко сделать с помощью формул A1.3), написанных
. Отметим, что формула A2.3)при-
для главных значений
водит к соотношению
Ах и Вх
Это связь между шаровыми частями тензоров А и В . В случае
J(A)=0 она становится оессодержательной, приводя к равенству
Jr(BWx(B).
2-й олучай. А^А - А3 (равенство двух главных
значений тензора А ). В этом случае из двух уравнений
A2.9)
можно определить
I
ч {
А А,
А, А
1 1
Зависимость типа A2.1) из этих равенств и A2.4) получить нель-
зя, так как вообще говор, В, 4 В ,а поэтому

Первое из равенств A2.9) ничего не дает, так как связывает те же
комбинации е,е, и еге2 + е3е3.
Если, однако, считать, что соотношение A2Я) имеет место,то
это приводит к Вг- В3.Обратно, полагая В2'В3 .получаем зависи-
A21) О
мость типа A2.1) с коэффициентом сг-0
где
A2.10)
в,
А
$7$,
в2
Аг
>
причем
а'-
и —
1
Вх
вг
Формулу A2.10) уместно называть двучленной. Соотношения A2.2)
и A2.3) принимают вид
D(B)-C,D(A),
A2.И)
A2.12)
В случав J{(A)*0 получим из A2.11) ту же бессодержательную фор-
мулу Jf(B)"BI+ 2B2. Можно было бы исходить и из выражений для
А и А* при определении диадных комбинаций et*t и е2е2 + е3е3 .
В этом случае совершенно аналогично предыдущему приходим к связи
типа A2.1) при Со= 0, причем
А А
А2 А2
Формула A2.2) принимает вид
%~"8(А)
А; А2
At К
т.е. форму, подобную A2.6) с заменой символа Д (А) на О (А).За-
висимость A2.3) в этом случае такова:

- c,J;(A)
Заметим, что
-2CiJ2(A).
A2.14)
Sf
A
I
A,
1 ?
А, А
поэтому формулы A2.11), A2,12) и A2ЛЗ), A2Д4) выражают одну
и ту же линейную связь тензоров А и В . Совершенно аналогично
замечание относительно случая Jt (А) = 0.
Сформулируем теперь тот же результат в терминах «7, , I, & ¦
В случае А*А3 угол вида тензора А ^"'^ « и формуин(И.З)
принимают вид
Ar i(A) + J,(A), А8Л,^/(А)
Аналогичные выражения получаем для Вк .Это приводит к следующим
значениям коэффициентов S :
3-й случай. At -A2"A3 (равенство всех трех главных
значений тензора А ). В этом случае A"Qf;Q, а«в силу A2Л)
В"б,С[ . Формулы A2.2) и A2.3) принимают вид
D(B)-0, J(B)kj(AKfl
Из изложенного в предыдущих двух главах следует,что операции
тензорного произведения, нахождения сверток или скалярных произ-
ведений (двойных и одинарных) являются инвариантными относительно
оистем координат. То же самое можно сказать о снойстнах симметрии
я антисимметрии тензоров,о главных векторех и главных значениях и
т.д.
42

ГЛАВА Ш. Элементы анализа
§ 13. Дифференцирование тензоров
1. Производная вектора. Пусть имеется вектор а - функция пе-
ременных |j/ . ?>2 t V • Рассмотрим разложение о в базисе ет
или сопряженном ему базисе е*:
Производная вектора а зо переменной ?,* есть
*g . ^ + ая |^ , A3.1)
или
да да, > де€
Разложим производные дет/дЪ* в базисе е^-:
д
обозначая коэффициенты этого разложения Fj^ (иногда для их обо-
значения используетоя символ { Jmx\)- Они называются символами
Кристоффеля 2-го рода (коэффициентами связности 2-го Р°Да ). В
силу формулы A.3) имеем такое выражение для этих символов:
pJ т fern t(>i A3.3)
тк д t*
Используя A3.1), получаем ковариантную производную контравариант-
ного вектора:
С другой стороны, исходя из A3.2), получим другое выражение для
той же самой производной:
да д
(ковариантная производная ковариантного вектора). При этом исполь-
зовано равенство,
дее

вытекающее из A3.3) и условия -^р (е? • е;) = 0 .
Итак, ковариавтная производная вектора равна
где
а
ai
да1 , _тя р i OCL
При вычислении зтих производных учтено не только изменение самого
векторного поля о ,но и изменевие локального базиса. Если же ба-
зис не меняется (декартов базис), то символы ГУ равны нулю,и мы
получаем обычные частные производные.
2. О символах Кристоффеля. Коэффициенты 2-го рода Г^ появ-
ляются из разложения производной де;/д^к в базисе в; • Анало-
гично, из представления зтой производной в сопряженном базисе е1
возникают символы Кристоффеля 1-го рода Г- ix (обозначаемые иног-
Умножая левую и правую части равенства Г.1 в.- - Г- ,-»€1 скаляр-
но на в , получаем связь символов 1-го и 2-го рода
Учитывая, что базисные векторы ек равны дх/д%*, где х - ра-
диуо-вектор рассматриваемой точки, получаем
_де± _<Э ^зс_ J_ дх_ _ дек
BV дЦ " д# dlK дЦ
что приводит к следующим правилам симметрии:
г г г1 = г'1
i,JK i, К} ' JK Kj
Найдем выражения коэффициентов связности через компоненты

метрического тензора:
A3.5)
Отметим, не доказывая этого, что символы Кристоффеля не яв-
ляются компонентами трехвалентного тензора. Компоненты же кова-
риантной производной вектора О по ?* суть компоненты двухвалент-
ного тензора (градиента вектора а ).
3. Производная двухвалентного тензора. Пусть двухвалентный
тензор А " А ете„ задан как функция переменных %,', tj, S,3.
Найдем его производную по ^* ,не останавливаясь на особенностях
предельного перехода:
Окончательно для производной получаем следующее выражение:
Аналогично вычисляется производная в терминах двавды ковариантннх
и смешанных компонентов

-А еже" А --^ш-л г' - А г'
дА
- м не л " -—'¦**¦ ¦*¦ a i . - а .. i
их •
Вообще, компоненты ковариантной производной тензора А я-й ва-
лентности являются компонентами тензора (л+ 1)-Й валентностиvA
(см.следующий пункт). Очевидными являются правила дифференцирова-
ния суммы и разных типов произведений тензоров.
4. Дифференцирование метрического тензора. Применение только
что полученных формул дифференцирования к метричеокому тензору
приводит к лемме Риччи:
Доказательство первого из этих равенств таково:
Г Г
~ Ji,K( ~ JK.lt
Здесь использованы соотношения A3.7), A3.4) и A3.5).Аналогично
доказывается второе из равенств A3.8). Из A3.8) следует, что
т.е. при дифференцировании произведений тензор а можно раосматри-
вать как поотоянный множитель.
§ 14. Основные дифференциальные операции над тензорами
1. Вектор Гамильтона у. Градиент тензора. Введем понятие
градиента тензора с помощью символичеокого вектора (оператора)
Гамильтона V (набла), который равен
V - е* ^щ* = grad .
По определению градиент тензора Т любой валентности есть
gradT«vT«e* -
46

Итак, градиент тензора есть тензор валентности на единицу
большей, чем валентность исходного тензора (градиент псевдотен-
зора есть псевдотензор).
С помощью вектора v определяются все дифференциальные опе-
рации над тензорами.
Пример 1. Градиент скалярной функции / есть вектор
а ее дифференциал равен
где
Пример 2. Градиент вектора есть двухвалентный тензор
Таким образом, Oix можно рассматривать как дважды коварнант-
ные компоненты тензора «градиент О», а 0Г,'ж - как смешанные ком-
поненты того же тензора. Производной тензора Т по направлению,
определяемому единичным вектором г0 , является скалярное произ-
ведение
Очевидно, что
2, Дивергенция тензора. Дивергенцией тензора Т называется
скалярное произведение символического вектора V на этот тензор,а
именно:
diuT -V-T .
Для скаляра, следовательно, понятие дивергенции лишено смысла.
Пример 3. Дивергенция вектора а есть скаляр:
47

к* д
В главе V мы встретимся с дивергенцией двухвалентного тен-
зора в уравнении равновесия элемента объеме, которая представляет
собой вектор.
3. Ротор тензора. Ротором тензора Т называется векторное
произведение символического вектора V на этот тензор, а именно:
rot T -V хТ .
Очевидно, что это псевдотензор
Пример 4. Ротор вектора есть псевдовектор:
Отметим, что V*T , где Т- псевдотензор, есть тензор.
4. Лапласиан. Оператором Лаплаоа (лапласианом) называется
дифференциальный оператор
Д -V-V .
Лапласианом тензора Т является, следовательно, тензор той же ва-
лентности
дт-v-vt .
При выполнении операций с вектором V нужно помнить,что можно
менять порядок символов д/д%*> • , х , но частное дифференцирова-
ние всегда действует на всю функцию, которая следует за символом
V .
Заметим, что в основу определения градиента, дивергенции, ро-
тора и лапласиана можно положить и интегральные формулы
TT-um
IVl-0 IV| *JS
v-T- ?im ~rr\ T-fi dS ,
|V|-*0 'V| Js
48

Ivi-o m
дТ-fi
b
здесь V- трехмерная область, охватывающая точку,в которой под-
считываются функции, стоящие в левых частях йаписанных урав-нений,
|V| - объем области V, S- ее поверхность, п - внешняя нор-
маль к S .
§ 15. Ортогональные криволинейные координаты
1. Ортогональные криволинейные координаты. Коэффициенты Дяме.
Будем рассматривать ортогональные координаты Е/ , t,2 . ^ , для
которых касательные к координатным линиям, проведенные в любой
точке их пересечения, взаимно перпендикулярны. Возьмем в качестве
базиса векторы ег 'dx/dV, где х = ж (Е,', ^2, ?,3)- радиус-век-
тор точки, в которой определен базис. Компоненты метрического тен-
зора таковы:
i» дх_
В силу ортогональности не равны нулю только компоненты
ох дх
Qn m "iTT ' ie i (нет суммирования по i ).
Если ввести декартовы прямоугольные координаты xt , х2 , х3 ра-
диус-вектора DC , то
дх, дх, , . .
9и ш J*> ' ТГ* ет сУммиР°вания по 1 '•
Для компонентов любого вектора a1«g"ai , а{=ааа1 , а потому
49

Яи Я " ^ (нет суммирования по i ),т.е. <7;/ = ^/Я > Ягг" ^'9 '
9я' 'If-
Бесконечно малый вектор Л DC .соединяющий точки с координата-
ми tj, ?2, S,3 и ?,' + &%', ?,2+дЕг, Е,3 + Д Е,3 имеет квадрат дли-
ны, равный
Это же выражение можно переписать в форме
AS2» #.2( л4'J (суммирование по i ) .
Скаляры
lJJl*)\(J*J (нет
ванияпог )
называются коэффициентами Дяме. Очевидно, что элемент дуги коор-
динатной линии ?1 выражается формулой
AS- -Я. й\,1 (нет суммирования по ? ).
2. Оператор Гамильтона в ортогональном баэиое. В силу ранее
данного определения оператор Гамильтона есть
Вектор сопряженного базиса е* в данном случае, очевидно, равен
-77? в к , ибо ~г ек ¦ е i =» SKi (здесь нет суммирования по к ).
Таким образом, градиент имеет вид
где через &кхт7вк обозначены единичные векторы, параллель-
вне е^ .
В дальнейшем все дифференциальные операции определяются еди-
нообразно, а именно, их вычисление осуществляется в соответствии
с изложенным в § 14 в терминах базиса ех .После этого можно по-
лученные результаты представить в терминах единичных базисных век-
торов Эк .Будем обозначать компоненты вектора а. и двухвалентно-
го тензора Т в базисах Э*, эк , ЭкЭт посредством ах, ах,
50

а*т, а их же компоненты в базисах ек, ек , ехет - ак, а к,
а*т. Очевидно, что
так как е*=Эх/Нх , ех = Нкэх.Заменяя а*, а*т в полученных
формулах с помощью равенств
,
получаем градиент, дивергенцию, ротор и лапласиан тензора в тер-
минах компонентов в базисе Эх и в порожденных им полиадшх ба-
зисах.
3. Символы Кристоффеля и коэффициенты Ляме. Приведем без вы-
вода формулы для символов Кристоффеля в случае ортогональных кри-
волинейных координат:
Г ..."О , когда все индексы различны,
л, у
р т н * г ы ^Hj
Г-. ~ 0 , когда все индексы различны,
г/ Hi dHi rl d(lnHj) p » дAпН{)
J"= ну~д&г lH " bxi ' 1а д^~ '
Во всех зтих формулах нет суммирования по повторяющемуся индексу
i .
Выделим наиболее важные частные случаи ортогональных систем
координат.
1) Для прямоугольной декартовой системы координат
НгН,-Н9-1 (НХ-Н?'НГ1),
1К;;Ш П f e 0 при воех индексах ;
2) Для цилиндрической системы координат
Я,-#Р-1, HrHv-r, НгНя-\,
51

Г в - Г , lrv~~r > остальнне / L, - 0 ;
3) Для сферической системы координат
Я,-#г-1. Иг-НГг, Я,-Я?-г81пв,
Гг-г, r;--rsin2e, C--cos8 sine,
T9--L Г --L , v- ctq 0 .
г8 Г ' гу Г 8<(> 3
Во всех этих формулах отсутствует суммирование по повторяющемуся
индексу.
Пример. Вычислить дивергенцию вектора а в базисе Эк .
да1 -tri
"W + в г« =
Для цилиндрических координат
Совершенно аналогична процедура нахождения ротора, лапласиана и
т.д. в ортогональных системах координат. В следующем параграфе в
целях дальнейшего применения будут вычислены дивергенция двухва-
лентного симметричного тензора и симметричная часть градиента век-
тора.
§ 16. Об основных уравнениях механики
сплошных сред в ортогональных координатах
Развиваемая в настоящей книге методика позволяет получить
основные уравнения механики в бескомпонентной форме. Однако при
решении краевых задач обычно необходимо перейти к координатной
форме записи. Ниже этот вопрос освещается применительно к системе
трех тензорных уравнений статики клаосической (линейной) теории
упругости:
C-|(VU + UV) A6.1)
52

(линейное соотношение Коти, выражение тензора деформации с через
вектор перемещения и),
-0
(уравнение равновесия относительно тензора напряжения G ; вектор
$ представляет собой плотность маосовых сил, р- плотность мао-
сы тела),
(закон Гука для изотропного тела, линейная связь тензоров Сив";
здеоь 1С-- , fi- -, где ? , V - модуль Юнга и коэффициент
Пуассона соответственно).
1. Соотношения Коши в ортогональных координатах. Найдем тен-
зор градиента перемещения, он равен
Сопряженный ему тензор
Определим, исходя из формул п.З § 15, например, компоненту
е^ тензора Е в цилиндрических координатах ( х- г , i - у ) :
е^-1 [fr(ru,) - Ht и, С * ±иг - Н, и, Гг[ ] ,
отсвда 2е^-?
Полные соотношения Коши в цилиндрической системе координат
Г , <р , г имеют следующий вид:
53

1* =iHl_i?*_. 1
в сферической системе г, 8 ,у> они таковы:
1Ш'1^+ ^ " 7
Здесь использованы обозначения Т.Кармана ?ЯЯ"ЕХ, 2 е ijt = y"ijc .
5. Уравнения равновесия в терминах компонентов. Для того что-
бы записать уравнения равновесия в скалярной форме, нужно вычис-
лить дивергенцию тензора напряжений 8 . Воспользуемся сказанным
в предыдущем параграфе (п.2) и формулой A3.6) для производной
тензора, получим
r .
Н.Н <* ЯД
I Л ль
В цилиндрической системе координат найдем проекцию полученного
вектора на ось Т (используя оимметрио тензора <?):

г 6rr
+ ~Г~
Ниже записаны уравнения равновесия в скалярной форме,причем испо-
,рзованн обозначения бх*~ С*, в 1Х- т?* при i+к .кроме того,
индексы у компонентов пишутся внизу ( i,K - г,у, г, б ).
Уравнения равновесия в цилиндрической оио-
теме координат таковы:
в сферической системе
17s + Г t
3. Od определяющих уравнениях в терминах компонентов.В меха-
нике сплошных сред существенную роль играют так называемые опре-
деляющие уравнения, связывающие различные тензоры,описывающие на-
пряженное и деформированное состояния тела. Приведем в этом пара-
графе пример таких соотношений - уравнения закона Гука для изо-
55

тройного тела (линейная теория упругости). Подробно об их тензор-
ной записи будет сказано в главе У1. Эти уравнения конечны (нет
дифференцирования), поэтому они записываются в любой ортогональ-
ной системе координат точно также, как и в декартовых прямоуголь-
ных координатах. Например, в цилиндрической системе координат они
имеют вид
§ 17. Интегральные теоремы
1. Теорема Остроградского-Гаусса. Если Т- тензор,определен-
ный в трехмерной области V с границей S , то при выполнении ря-
да требований по отношению к тензорному полю и поверхности (регу-
лярность поверхности, непрерывность первых производных Т в от-
крытой области V , непрерывность самого тензора в замкнутой об-
ласти V LJ S ) имеет место следующее равенство, называемое теоре-
мой Остроградского-Гаусса:
V-T dV -^ Т-П dS ,
где П- внешняя единичная нормаль к S.
2. Теорема Стокса. Для регулярней поверхности S .ограничен-
ной замкнутой регулярной кривой L ,и для тензора Т , определен-
ного и непрерывно дифференцируемого на S V L .имеет место равен-
ство, называемое теоремой Стокса:
где t - единичный вектор касательной к контуру L , И- внешняя
единичная нормаль в S , ds - дифференциал длины дуги вдоль L .
Доказательства обеих теорем здесь не приводятся.
56

МЕХАНИКА ОПЛОШНЫ! СРЕД
ГЛАВА 1У. Деформация
§ 18. Основные кинематические понятия
С математической точен зрения движение сплошной ореды есть
непрерывное преобразование трехмерного евклидова пространства в
себя. Роль параметра при этом играет время t (значение t- 0 оо-
ответствует начальному моменту, область изменения t - веществен-
ная полуось t > 0). Пусть в момент t = 0 тело занимает трехмерную
область Vo , в произвольный момент i - область V , а х1 , х3 ,
х3 - координата материальной чаотицы (точки) тела в некоторой
фиксированной декартовой системе координат в момент времени t .
Если Эя (к = 1,2,3) - базис этой системы, то радиус-вектор нашей
материальной точки есть х-хгэк .Систему координат с базисом
Э„ будем называть проотранственной (внешней, эйлеровой,непод-
вижной, системой отсчета). Переменные х1 , X2 , х3, t назы-
ваются переменными Эйлера, или пространственными (рис.2).
Пусть при t= 0 частица, которая в момент t занимает поло-
жение, определяемое координатами х' , хг , х3 , имеет в непод-
вижной системе радиус-вектор" зсо-^*э^ . Перемещение, которое оо-
вершает частица, расположенная в начальный момент в точке Ро с
координатами ^f , за время t .обозначим через и .Будем при
этом считать, что и есть функция переменных Е, , ? , ? , t.
Тогда ноное положение частицы Р в неподвижной системе координат
определяется радиус-вектором
X - ЗС0 + U - »(&'Д2Л'.«). A8.1)
Если в уравнении A8.1) фиксировать Е/, ?2, Ъ/ , а изменять
t ,то получим траекторию частицы, которая при t= 0 имела коор-
динаты V , 4г, 43 .Если же фиксировать t , то A8Л) есть
преобразование области 1^ в область V.
Можно ввести систему криволинейных координат 4 , ?» , ч».

Рис. 2
которая во времени меняется специальным образом,а именно, будем
полагать, что в процессе движения частиц среды координаты Ё,л каж-
дой частицы остаются неизменными. Такую систему называют материа-
льной (субстанциальной, лагранжевой, внутренней, «вмороженной в
материал» , сопутствующей). Так как положение частиц меняется,
то материальная система координат меняется во времени, ksk бы со-
провождая движение среды. Переменные ?J , 2И, Н/,t называются
переменными Лагранжа, или материальными переменными.
Итак, переменные Лагранжа указывают на то, что речь все вре-
мя вдет об одной и той же частице среды с координатами Е/ , L* ,
?, , i (это та оамая частица, которая при t =0 имеет декартовы
координаты Н, ). Переменные же Эйлера показывают, что речь идет о
различных частицах, которые в момент времени t проходят через
точку с координатами х1 в неподвижной оистеме. Переход от пере-
менных Эйлера к переменным Лагранжа связан в принципе с решением
задачи Коти для системы трех обьшновенных дифференциальных урав-
нений. Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера сводит-
58

ся к решению системы конечных уравнений.
Полагаем, что функции xl{ E/ , tf, S,3, t ) однозначны,
кусочно-гладкие и имеют однозначше обратные функции
V -?*<*'. х\ xs,tl) A8.2)
( К'1.2,3 ) .
Каздой точке среда до деформации соответствует одна и только одна
точка после деформации; внутри любой замкнутой поверхности,транс-
формирующейся вместе со средой, содержатся все время одни и те же
материальные чаотицы. В силу A8.2) перемещение!^ можно считать
и функцией переменных Эйлера х1, х2, -х3, t . Тогда соотношение
A8.1) можно переписать в виде
Хо - X ~ U , A8.3)
где справа стоит функция переменных Эйлера.
Если ввести локальный базис €^« дх/dZ,* и обозначить его
положение в начальный момент ( t = 0) еявЭя .то движение сре-
ды можно трактовать как преобразование метрического тензора от
значения, равного
Qn - ?^e?e, - (elV) e?e,-
С<> о о1 о] ч о о ' о 1 о}
о
в исходном состоянии, к своему текущему значению
в момент времени i.
Якобиан преобразования A8.1)
d(V.V.V
дает относительное изменение бесконечно малого объема, трансфор-
мирующегося вместе с движением среды. Он отличен от нуля в силу
существования кусочно-дифференцируемого обратного преобразования
A8.2).
§ 19. Материальная и пространственная производные
по времени. Скорость и ускорение
1. Материальная производная. Рассмотрим для фиксированной
частицы сплошной среды некоторую тензорную величину А. Тогда для
59

движущейся частицы тензор Л есть функция времени. Материальной
(субстанциональной, полней, индивидуальной) производной тензора А
по времени называется производная по времени упомянутой в преды-
дущем предложении функции. Обозначать материальную произвольную
будем А'.
Бела тензор А задан в терминах переменных Лагравжа ( мате-
риальных переменных): А - А ( V, V, VA), то, фиксируя частицу,
т.е. координаты V , ?2, ?* , и дифференцируя затем по времени
функцию, получаем частную производную от функции А по времени:
A'- dA/dt .
Таким образом, в этом случае для вычисления материальной произ-
водной надо брать частные производные по временя. Бели тензор А
задается в переменных Эйлера А " А(х', хг, х3, t ) ,то выделить
индивидуальную чаотицу можно ее уравнениями движения
X*- X*(t) (к- 1,2,3) . A9.1)
Таким образом, A* A (x'(t),x!(t),x3(i), t) есть сложная функция
времени, а потому
здесь v есть скорость частицы с траекторией A9.1). Если обозна-
чить А' - dA/dt (полная производная по времени), то формулу
A9.2) можно переписать так:
V. A9.3)
# 4? +
oft oi
Второе слагаемое в правой части A9.3) называется трансляционной
частью полной производной.
2. Пространственная производная. Фиксируем в пространстве
точку с координатами х\ х\ х3. В процессе движения среды че-
рез нее проходят различные частицы (материальные точки) средн.
Пусть В есть некоторый тензор, значения которого измеряются в
этой точке в различные моменты времени i (для той частицы, кото-
рая в этот момент находится в рассматриваемой точке пространства).
Таким образом, В есть некоторая функция времени. Ее производная
называется пространственной (локальной, местной) производной тен-
60

зора В по времени. Обозначать ее будем символом В
Наиболее проото локальная производная тензора вычисляется в
случае, если В задан в терминах переменных Эйлера х\ х\ х3,
t , а именно, В'~дВjot. Ддд установившегося движения, когда в
каадой точке пространства все величины, характеризующие движение
среды, не изменяются во времени, для любой такой величины А спра-
ведливо равенство А - 0. Такие движения проще изучать в пере-
менных Эйлера, в этом случае имеем dA/dt - 0.
3. Скорость и ускорение. В силу сказанного в предыдущем па-
раграфе перемещение частицы есть вектор и.-ЭС-хо. Скорость ча-
стицы есть материальная производная перемещения по времени,а имен-
но, V- и'. В лагранжевых координатах радиус-вектор частицы в мо-
менты t и {=0есть п-хA'Л'Л3, t), эс0 = зсо(^Л2Л3, 0),
а потому скорость равна
Вместо одного этого тензорного равенства можно записать три ска-
лярных для каадого компонента.
Ускорение есть материальная производная от скорости по вре-
мени w ¦ V' ,в частности, в лагранжевых переменных оно тако-
во: va*>d*xjdt\ В случае эйлеровых переменных в силу сказанного
в пЛ имеем
Ю +
Здесь градиент подсчитывается в терминах переменных х1, хг, х3.
§ 20. Тензоры деформации
Уравнение совместности деформаций
1. Тензоры деформации. Рассмотрим точку Ро' , расположенную
в окрестности Ро и определяемую в неподвижной системе координат
радиус-вектором xo+dx0. Пусть в результате движения среды она
переместилась и заняла положение Р' . Тогда (см.рис.2) в силу
A8.1)
dx - dxa + ofu - afoco + Vu • dx0 , B0.1)
61

причем градиент перемещения U в правой части вычисляется в тер-
минах переменных Лагранжа по отношению к базису вк .Из уравнения
A8.3) следует, что
dx = dx- du - dx- Vu- dx , B0.2)
о О
где градиент справа подсчитан в переменных Эйлера по отношению к
базису Э . Формулы B0.1), B0.2) можно записать также в форме
dx - ( а + Vu ) • dx0 = dx0 • (а + иV) ,
¦ dx ¦
Исследуем вопрос о том, как меняется расстояние ds0 между
точками Ро > Ро' в результате движения точек тела. Пусть оно ста-
ло равным ds . Очевидно, что, с одной стороны, в переменных Лаг-
ранжа
ds2- dsf -(dx
- а
• dx0 = dx0 • 2s • dx0 , B0.3)
|
где e=-|-(VU +UV + UVVU ) , B0.4)
с другой стороны, в переменных Эйлера
ds2- ds* - doc-dx -( dx -(^0-uv))i(a-VU)- dx )-
= dx-2to- dx , B0.5)
где e-^ ( VU +UV - UV Vu ). B0.6)
020 0 00
Тензоры С и t0 называются соответственно тензорами Грина и Аль-
манси. В случае равенства нулю тензора деформации расстояние меж-
ду двумя близкими точками тела не меняется в результате его дви-
жения, т.е. тело ведет себя как абсолютно жесткое.
В терминах компонентов соотношения B0.1) и B0.2) приобре-
тают вид

где символ ,i обозначает ковариантное дифференцирование по ? ;
Од- дифференцирование по х1 . Одновременно и* можно интерпре-
тировать как компоненты вектора перемещения U в координатах 4";
U*- в координатах Xх . Соотношения B0.3)-B0.6) можно запи-
сать в такой форме:
ds'-ds,3 -2ву
ds'-ds* ш 2е..
Для твердых тел (упругих, плаотических и прочих) удобнее ис-
пользовать лагранжеву систему координат, в некоторых принципиаль-
ных вопросах без нее не обойтись. Краевую задачу нельзя, вообще
говоря, ставить в эйлеровых переменных, так как конфигурация тела
заранее известна лить в начальном состоянии. Для таких сред имеет
смысл вводить вектор перемещения, тензор деформации и тензор ско-
рости деформации (см.§ 22).
2. Линеаризация. Малая деформация. Рассмотрим перемещение
точки PJ с радиус-вектором xB + dxB. По формуле конечных прира-
щений (или, иначе говоря, разлагая перемещение вблизи точки эо0
и ограничиваясь членом, содержащим первую производную от пеоеме-
щения) получаем
u (зс0 + dxQ) - и(зс0) + Vu-dx0.
Вводя тензоры е и & .представляющие собой симметричную и анти-
симметричную части vu , имеем

u(x0 + dx0) • u(xQ) + SI• dx0
где
Первые два слагаемых дают перемещение окрестности точки Ро
жесткого целого, при этом первое слагаемое - это трансляция с пе-
ремещением, равным перемещению точки Ро , а второе.которое можно
записать в форме <О х dx0 , задает малое вращение вокруг оси,
проходящей через точку Ро . Здесь W- псевдовектор поворота, ао-
социированный с антисимметричным тензором St : <o-| V*U .
Тензор же в .таким образом, характеризует движение окрестности
точки Ро .отличное от движения абсолютно твердого тела, а потому
характеризует малую деформацию в точке Р . Термин «малая де-
формация» понимается в том смысле, что малы и деформации,и пово-
роты. Получим в терминах тензоров в и $1 последнее слагаемое в
формуле B0.4). Легко усмотреть, что
вв - Д-Я ^jiVUUV + UV VU),
-vuuv).
Отсюда получаем
uv vu >e-e-5l-5l+e-5l-A-e.
Тогда формула B0.4) может быть записана в виде
или окончательно
с-е+|(в-й)-(е+Я). B0.7)
Это соотношения E.6) из книги В.В.Новожилова [21}но запиоанные в
беокомпонентной форме. Формулы B0.4), B0.6) и B0.7) дают выра-
жение тензора конечной деформации через перемещение. Эта связь
нелинейна ( «геометрическая нелинейность» ).
Рассмотрим вопрос о возможном упрощении формулы B0.7). Вве-

дем некоторые предположения о характере тензоров С , SI .Возмож-
ны два варианта.
а) Пусть ? , SI - малые тензоры одного порядка. Предполага-
ется, что е - тоже Аалая величина. В формуле B0.7) тензором
е-е можно пренебречь по сравнению с е , a Si-Si можно отбро-
сить, ибо SI порядка ? . Тогда выражение для тензора t принима-
ет вид
но второе слагаемое есть малая высшего порядка по сравнению с в ,
а потому приближенно С = € .
Итак, в случае малой деформации (малость С и Л .понимаемая
в том смысле, что | eiK |« 1, \SliK | « 1, что равносильно условию
| и • „ |«1. В этом случае можно написать, что
+UV),
B0.8)
Можно доказать (см.п.З), что в этом случае V*V |Дифференциро-
О
вание по ?* совпадает с дифференцированием по DC *, ибо
Линейное соотношение Коти B0.8) нельзя применять для описа-
ния значительных формоизменений массивных тел. Их нужно применять
с осторожностью и при малом тензоре ? (малые удлинения и сдвиги),
если рассматривается деформация или устойчивость гибких тел( стер-
жни, пластинки, оболочки) чах как при этом значительны перемеще-
ния и повороты. В этом случае иногда полезен следующий вариант
формулы-B0.7).
б) Пусть SI есть малый тензор порядка еб , а «$ - малый тен-
зор порядка ее2 . В этом случае B0.7) принимает вид
с-е -{Я2.
Т.Карманом для обозначения компонентов тензора деформации
были введены обозначения.
65

?л " ?кк (нет суммирования) , fiK = 2Sijc (гфк) .
Эта система обозначений широко используется в литературе пс меха-
нике сплошных сред, в частности,для декартова базиса ех = ехХ t
f = 2 s и т.д. Величины Jfix называют сдвигами, а Бл- про-
сто деформациями. В этой книге, однако, под словом «деформация»
понимается обычно или тензср деформации или конкретный компонент
этого тензора.
3. О повороте вектора в результате деформации. Если до де-
формации вектор был равен dLn , где п- единичный вектор, dZ.-
скеляр, то после деформации он принимает значение (a. + vu.)-c?rt.
Косинус угла поворота вектора в результате деформации равен
1 + П-е-П + П-п-П
V 1 + п 2t п ' B0*9)
Условие малой деформации удобно формулировать так:
пеп «1 , | п-й-nl « 1 (п-п-1).
В этом случае се и угол поворота мал. Полагая, что С имеет тот
же порядок малости, что и Л (порядок величин n-ttt и п>Я-п
один и тот же), видим, что величину косинуса угла поворотаB0.9)
можно считать равной 1.
4. Уравнение совместности. В некоторых случаях удобно решать
задачу в терминах деформаций, не рассматривая перемещения. Однако
не нужно забывать о том, что деформации выражаются через переме-
щение, а потому не являются независимыми. Для случая малой дефор-
мации необходимым и достаточным условием для определения переме-
нил по деформации (с точностью до жесткого перемещения) является
выполнение уравнения совместности Сен-Венана
V*(V* ?)-0 . B0.10)
Доказательстве предоставляем провести читателю. Отметим,что в ко-
ординатной форме для декартова прямоугольного базиса соотношение
B0.10) можно записать в форме шести уравнений:
бб

Ьцг дхг
dydz дх \ дх Ьц
Не записанные четыре уравнения получаются из этих двух цикличе-
ской перестановкой индексов х, и, z .
§ 21. Вектор деформации. Интерпретация компонентов
тензора деформации
1. Вектор деформации. Введем для симметричного тензора де-
формации Грина t его вектор по площадке с единичной нормалью п
(см.§ 10), называемый вектором деформации:
en -en
Его нормальная составляющая
характеризует относительное изменение длины отрезка, параллельно-
го до деформации вектору п. В самом деле, если взять вектор
(ом.рис.2) P^Pq m dCn ,где alC, - скаляр, то относительное
изменение его длины в результате деформации есть
ds - dsn
V 1 + 2п гп - 1 .
Для малой деформации эта величина равна п-Е-п. Если положить
п = эк , d?> * dV, то получим 6Э , ш &кк (не суммировать
по к). Таким образом, компоненты тензора деформации Грина с рав-
ными индексами можно интерпретировать как относительные измене-
ния длин малых отрезков, параллельных до деформации осям коорди-
нат х1, хг, х3.
Рассмотрим также касательную составляющую вектора деформа-
ции
пхг - €п-(псп)п .
пх
67

В случае, когда п * Эк , имеем
сэжт 2 Ъгк i 2 0}к } '6
Таким образом, касательная составляющая вектора деформации в ко-
ординатной плоскости, ортогональной эк , характеризуется сдвига-
МИ TiK, Т;к , „
Возьмем две вектора аСп и aCti t которые после деформа-
ции переходят в векторы
косинус угла меаду ними равен
Vl+2n'-?-n'
Легко усмотреть, что числитель зависит лишь от девиаторной части
тензора ? в случае ортогональности п' и п" . В частности, если
положить dt,'*dV, dC~ dt?, п'"Э} ,п""Эг ,то получим, что
синус угла "?* , дополнительного до прямого к углу,который обра-
Y
зуют деформированные векторы, есть —я Для малых
Vl+2?M Vl +2е22
углов поворота и малых деформаций sin у* «- г* « V
Таким образом, сдвиги характеризуют искажение прямых углов
меаду отрезками, первоначально параллельными координатным осям
х1, хг, х3. Совершенно также компоненты Сц тензора Альманси
выражают относительное удлинение (сжатие) отрезков,параллельных
после деформации координатным осям i,1, ?,2 , ?/; удвоенные ком-
поненты 2е?._=У.„ (сдвиги) того же тензора опиоывают искажение
о X •
углов, стороны которых в результате деформации стали параллельны-
ми осям координат ?л о>2 , Ь>3 .
2. Инварианты. Задача об условном экстремуме величины отно-
сительного удлинения (п-п = 1) эквивалентна задаче об экстремуме
?пп . Согласно § 10 экстремальные значения ?пп достигаются на
главных векторах тензора € и равны его соответствующим главным
значениям, обозначаемым обычно е^ , 6г , Е3 (главные удлинения).
68

Касательная составляющая в этом случав есть нуль-вектор.
Задача об условном экстремуме удвоенной величины ?пх приво-
дит к главным сдвигам
Тензор деформации можно разбить на шаровую и девиаторную ча-
сти: Css3eH +^? ' гле &'^(?) -линейный инвариант тензо-
ра деформации. Этот инвариант для случая малой деформации равен
относительному изменению элементарного объема в результате дефор-
мации [21] . Касательная составляющая tnx , а следовательно, и
сдвиги зависят? (§ 11) только от девиатора Dc , поэтому именно
D- описывает изменение формы элемента среды.
В качестве основной системы инвариантов можно выбрать е ,
?(Е)=?? , W? . Величина it характеризует интенсивность дефор-
маций сдвига.
В случае чистого сдвига %хч^ » а все остальные компоненты
тензора е равны нулю. Тогда получим
?-0, ?,-Г/2,
§ 22. Тензор скорости деформации
1. Тензоры скорости деформации и скорости жесткого поворота.
Скорость в точке с радиус-вектором ос +dx, близкой к точке с ра-
диус-вектором ос , согласно формуле для первого дифференциала,
есть
v(oc +ofx) * гг(эс) + w- dx =
Если вве.сти тензср скорости деформации {» и скорости жесткого по-
ворота $1 : ,
? Sti , B2Л)
69

то для скорости в точке эе+<&е имеем выражение
b B2.2)
Здесь введен ясевдовектор угловой скорости to .ассоциированный с
антисимметричным тензором ft . Первые два слагаемых в B2.2)опи-
сывают движение окрестности точках как жесткого целого. Таким
образом, если? = О в точке, то окрестность ее перемещается как
жесткое целое. Тензор ? характеризует скорость изменения формы и
размеров элемента среды. Его компоненты J^ равны скоростям от-
носительного удлинения материальных отрезков,первоначально парал-
лельных осям хк , его удвоенные компоненты 24?л=Пк (i*K) суть
скорости искажения первоначально прямых,углов, образованных отре-
зками, параллельными осям координат х \ х*.
Для жидкости и газа, как правило, удобней эйлерово описание.
Для этих сред нет смысла вводить вектор перемещения и (и тензор
деформации ? ) ,но вводится только что описанным способом тензор
скорости деформации ? .Для твердых тел, наряду с t .рассматри-
ваются тензор С и тензор приращения деформации д? (см.п.З).
2. Инварианты тензора С . Главные значения этого тензора
К{, ?2 .?>3 называются главными скоростями деформации.а главные
векторы- главными векторами скорости деформации.Главные скорости
сдвигов суть
В качестве системы основных инвариантов можно взять ^ = ^(?,),
L*i(t,),u^. Линейный инвариант ?, характеризует относительную
скорость изменения объема. Тензор t» можно представить в виде
суммы шаровой и девиаторной частей: К m-j цС| + D* .
3. О связи между тензорами t и ?, . Тензор ?, можно тракто-
вать и по-другому [тз] . Положим перемещение равным vdt и вычи-
слим соответствующую ему малую деформацию ( dt бесконечно мало).
Если разделить ее на dt , то получаем тензор ч:
{(v(vdt) + vdtv)
di e
70

Заметим, что, вообще говоря, (,Ф dz/di , ибо V
ра
4-
, а потому ^оператор — нельзя переставлять с V. В слу-
чае малой деформации 4- - ^ , а поэтому
Формулу B2.1) можно применять и для больших деформаций, однако
скорости деформаций нужно вычислять по отношению к текущим разме-
рам тела. Главные оси Ё, и С могут не совпадать даже в условиях
малой деформации.
3. Тензор приращения деформации. Если подсчитать малую дефор-
мацию, отвечающую перемещению &ti=tfaf?, то получаем тензор при-
ращения деформации ДС :
Приращение деформации д? для больших деформаций вычисляется по
отношению к мгновенному состоянию, следует применять лагранжеву
систему координат. Очевидно, что
Отметим [тз] ,что в общем случае ДЕ=^с/? (дифференциал ? ). Для
малой деформации Д? = dt , а потому
j де - j dt -e.
Интеграл \&t вычисляется, если известен путь деформации, т.е.
д8 задана как функция некоторого параметра, например,нагрузки.
Г Л А В А V . Основные принципы механики континуума
В этой главе мы, как правило, первоначально будем формулиро-
вать основные постулаты (принципы) механики в интегральной форме
для произвольной области, выделенной внутри сплошной среды. Бази-
руясь на этих законах, далее получаем точечные (дифференциальные
и конечные) уравнения, справедливые для любой точки ореды.
§ 23. Теорема переноса. Уравнение баланса массы
1. Производная якобиана J'. Рассмотрим якобиан преобразова-
71

ния A8.4) .
/- del \\dxl/dC
Обозначим через А? алгебраическое дополнение, соответствующее
элементу дх1/д&* \ Известно, что
( dx'/dOAj-JSj ¦ B3Л)
Найдем производную от / по времени. Представляя ее как сумму
определителей, получаем в силу B3.1)
dJ d I дх\ .к bvl ьк
Ита'к, ( dJ/di ) = Jv-V B3.2)
Здесь tr по-прежнему есть скорость движения среда. Для несжима-
емой среда элементарный объем не меняется: v*v- О.
2. Теорека переноса. Пусть в начальном состоянии ( 1 =0)спло-
шная среда занимает некоторую часть трехмерного пространства.Рас-
смотрим произвольную область Vo = V@), которая к моменту времени?
преобразуется в трехмерную область V-V(t).Ee заполняют частицы,
первоначально расположенные в Vo .Бели F- некоторый тензор,являю-
щийся функцией переменных Эйлера х\ хг, Хъ, t ,то интеграл fow
V(t)
есть определенная функция времени {dv - элешнт объема).Поставим
перед собой задачу вычисления производной зтой функции.Перейдем
к переменным t,1, tf , ?,' «которые связаны соотношениями A8.1)
с Xх. Объемная область V(l) .движущаяся вместе со оредой,перехо-
дит в область \^ .фиксированную в пространстве ?,, ?,2, ^, , а по-
тому
V V
где dV0 '- элементарный объем облаоти Vo в тершнах Z,* .
интеграле справа только подантетральная функция зависит от t
и в силу B3.2)
d_
dt-v
Возвращаясь к пераменанм х* , получаем
72

ii&l(lf ,33.3,
Так как
^ ^F , B3.4)
то формулу B3.3) можно записать в виде
где п - внешняя нормаль к поверхности S , ограничивающей V, а
<3 / dt означает дифференцирование при фиксированном объеме. Эта
кинематическая теорема справедлива для любого тензора-фушщии F .
3. Уравнение баланса массы (уравнение неразрывности).Масса
вещества, содержащаяся в объеме V(t) , определяется формулой
где р = о {х\ X?X3, t) есть плотность. Согласно принципу (зако-
ну) сохранения массы, этот интеграл не меняется во врамени, т.е.
М» const . Это приводит в соответствии с B3.3) к условию
или, ввиду произвольности объема V , к уравнению
-^-+ OV-V= 0 . B3.5)
В силу B3.4) его можно переписать и в форме
jf- + V-(^)V) =0. B3.6)
Уравнение B3.5) (или B3.6) ) называется уравнением баланса мас-
сы (в форме Эйлера), или уравнением непрерывности. Оно должно вы-
полняться в каждой точке области, занимаемой телом. В частности,
для установившегося течения до/dt-O , а потому из B3.6) сле-
дует V'(Ptr) = 0. Ддя несжимаемой среды о - const , и из
B3.5) вытекает, что v-V= 0. '
73

В терминах Лагранжа уравнение баланса массы имеет вид
y
при этом J следует выразить в терминах ?*, t .
4. Уравнение баланса массы для многокомпонентных сред.Много-
компонентную среду образуют л сред (компонентов), перемешанных
так, что в каадом элементарном объеме присутствуют частицы, при-
надлежащие всем компонентам (совокупность «вложенных»* друг в
друга сред). Кроме того, считается, что в каждой точке плотность
есть оумма плотностей отдельных компонентов р « о + о + • • • + ря ,
а массовая окорость (скорость центра масс) определяется соотноше-
нием ov*pxvK (суммирование по к). Итак, каждому компоненту
сопоставлен индекс к ; о , VK - соответственно плотность массы
и скорость л-го компонента.
Если меаду компонентами системы не происходит химических ре-
акций, то закон сохранения массы записывается для каждого компо-
нента в форме
• ( рхVK) - 0 UeT суммирования по к ) . B3.7)
-jf-* + V
Суммируя по всем компонентам, получаем закон баланса полной массы:
до
¦$- + V'(OV) " 0 . B3.8)
Соотношения B3.7) и B3.8) можно иначе записать так:
it'
где через Сх*Ок1р обозначена концентрация я-го компонента, а
^ ( ) фузионный поток л-го вещества относите-
льно движения центра масс.
Если же в системе происходят г химических реакции,каждая из
которых характеризуется индексом \ , то уравнение B3.9) следует
модифицировать, так что оно приобретает вид

f
rff ' v "к ~Jllx
-m B3-I0)
l
где mK
' Zt 'tcj 9ii ~ член, характеризующий приращение массы к -го
компонента . Каждое слагаемое в этой сумме определяет количе-
ство вещества образующееся в единицу времени в ^-й реакции. Ве-
личину *У_; , деленную на молекулярную массу ?с-го компонента, на-
зывают стехиометричесяим коэффициентом я-го вещества в i -й ре-
акции, а .О: есть скорооть J-& химической реакции. При выводе
B3.10) учтено, что полная масса в химической реакции сохраняет-
п
ся, т.е. "V У • ¦ 0 .
§ 24. Принцип напряжений
Рассматривая часть пространства, заполненную сплошной сре-
дой, выделим в ней произвольную трехмерную область V .ограничен-
ную поверхностью S. Принцип напряжений состоит в том,что движе-
ние тела V определяется уравнениями сохранения количеотва дви-
жения и сохранения момента количества движения, записанными так,
как если бы тело V было абсолютно твердым, при этом действие
той части ореда, которая лежит вне тела V , на это тело эквива-
лентно действию некоторой поверхностной силы ^ .распределенной
no S . Аналитически это формулируется так:
B4Л)
dt
d С " Р Р
—- I YxOVdV*1* rxD"fcfV + l Гх61. №• B4.2)
В этих уравнениях, первое из которых выражает закон сохранения
импульса, а второе - закон сохранения момента импульса,использу-
ются следующие обозначения: р - шютнооть, V - скорость частиц
тела, г- радиус-вектор точки, f- плотность массовых сил.В та-
75

кой формулировке принципа напряжений постулируется существование
вектора 6п (зависящего от положения и ориентации элемента по-
верхности S ), который компенсирует действие среда, расположен-
ной вне тела V , на это тело. Вектор поверхностных усилий <УП
называется вектором напряжений. Результирующая этих сил по 5 и
результирующий момент этих сил входят в уравнения B4.1) и
B4.2).
В силу того, что для любого тензора F справедливо равенст-
Во
{ B4-3)
уравнения B4.1) и B4.2) можно записать в другой форме, а имен-
но:
??J> ? l24-4)
J о -ft(r *v)dV = J rxofdV + J r*6ndS. B4.5)
Для доказательства B4.3)-используется теорема переноса
—A— +
dV
и уравнение баланса массы dojdt + p V-V - 0 .
Если иметь в виду достаточно малую область, содержащую инте-
ресующую вас точку, то в уравнениях B4.1), B4.2) можно пренеб -
речь тройными интегралами по сравнению с поверхностными. В этом
случае имеем
1
Gn dS = 0 . B4.6)
s
*6ndS = 0. B4.7)
Здесь S- поверхность, ограничивающая малую область.
§ 25. Тензор напряжений и уравнение движения
1. Формула Коши. Рассмотри» произвольную точку Р среды и
76

малый тетраэдр в ее окрестности (рио.З). Поверхность грани, на-
клонной по отношению к коорди-
натным плоскостям, обозначим
а ее площадь
So\. Еди-
ничные внешние нормали к оста-
льным граням суть -
- е2
-e3 , где ек - орты декартовой
прямоугольной системы координат.
Площадь граней,лежащих в коорди -
натннх плоскостях,суть л, |5| ,
п,
П_ -
Л
ком-
поненты единичной внешней норма-
ли п к грани с площадью
Согласно формуле B4.6)
\S0
I
о
Рис.3
здесь S - поверхность всего тетраэдра. Если применить теорему о
среднем для интеграла по кавдой грани, считая &п непрерывной
функцией точки, а затем перейти к пределу, стягивая весь тетра-
эдр к точке Р , то получим, после деления на I So | , что в то-
аде Р справедливо равенство
Эту формулу, учитывая закон {действие равно противодействию»
$• = - 0 можно переписать в форме
Пг\ + Пг\ +
или
П в ,
B5.1)
B5.2)
где 6 - некоторый двухвалентный тензор. В самом деле, вводя
проекции векторов бе по правилу
77

из B5.1) получаем
что совпадает с B5.2).
2. Тензор напряжений. Тензор
с
называется тензором напряжений, его компоненты - напряжениями.оо-
отношение B5.2) - формулой Коши. Компоненты этого тензора б" ^
при фиксированном ? суть компоненты силы, действующей на поверх-
ностный элемент с внешней нормалью е; .
Иопользуя равенство B4.7) и рассматривая в качестве S по-
верхность того же оамого тетраэдра, получаем ввиду произвольности
объема (подробности опущены) симметрию тензора напряжений & :
в* = в ( 6iK= 6Ki) .
Заметим, что в силу симметрии тензора <Г формулу Коши можно
записать в виде
вп - €>П . B5.3)
Таким образом, вектор напряжений является согласно определению,
данному в § 10, вектором тензора напряжений. Отметим, что в неко-
торых случаях, например, при учете влияния поляризации вещества,
наблюдаемого обычно в диэлектриках, тензор напряжений может быть
несимметричным, в этом случае необходимо рассматривать так назы-
ваемые моментные напряжения. Мы ограничимся, однако, классическим
вариантом симметричного тензора напряжений.
3. Уравнение равновесия. Если в уравнение B4.4) подотавить
выражение Qn из формулы B5.3), то по теореме Остроградского-
Гаусса имеем
В силу произвольности области V получаем уравнение равновесия,
справедливое в каждой точке сплошной среды:
ж ¦ Р^ + v ® B5*4)
78
Р

Итак, исходя из принципа напряжений и уравнения баланса мас-
сы, получены формула Коши B5.3), симметрия тензора напряжений и
уравнение равновесия B5.4). Они представлены в инвариантной тен-
зорной форме, не связанной с конкретной системой координат. Заме-
тим, что B4.5) будет удовлетворяться тождественно в силу уравне-
ния равновесия и симметрии тензора 0'.
4. Тензор напряжений. Инварианты. Т.Карманом были введены ,
следующие обозначения для компонентов тензора напряжений: Eгк=т1
(i*K) , 6 . = 6" (нет суммирования по к ).Применитель-
но к осям х, и ,2 это приводит к матрице компонентов вида
г
хг
Т
Г
xz
Здесь все индексы можно писать внизу, так как используется декар-
това прямоугольная система координат. Компоненты
3
на-
зываются нормальными напряжениями, компоненты
сательными напряжениями. Если понимать под е
орты, то легко увидеть, что скаляр
х, X , Т12 - ка-
, е ,ег базисные
есть проекция на ось х нормальной составляющей тензора б" по пло-
щадке с нормалью е , а вектор
- касательная составляющая .этого тензора в плоскости цг.
В соответствии с изложенным в § 10 вектор напряжений &п
цожно разложить на две составляющие (по нормали ив ортогональной
к ней плоскости), называемые нормальным и касательным напряже кия-
'пт
Очевидно, что
79

n nn
Задача об условном экстремуме 6"nn на единичных нормалях п.
приводит к главным значениям тензора & : 6, , вг, &s , называе-
мым главными напряжениями. Эти значения достигаются на нормалях
Л, , n2, ns , совпадающих с главными единичными осями тензора
б" , соответствующие касательные напряжения равны нулю:
в_ _ * б_ , 6L - 6*-»*- (не суммируется по х), & -
¦>
= О ( Я= 1,2,3).
В базисе Пя тензор напряжений представим в виде
Задача об условном экстремуме б на единичных нормалях п
приводит к значениям ©пт .обычно обозначаемым тк ( л = 1,2,3)
и равным
Они достигаются в шюокостях, биссектральных по отношению к пло-
скостям, образуемым векторами ап^ + Впк (г'*л'Mгде tlj-
только что полученные главные векторы тензора б\Если ©г ^ ©2 > 65,
то максимальное касательное напряжение
Тензор напряжений & можно разложить на шаровую и девиатор-
ную части: 6 = Q6 + Dff ¦ где ©•|J)(e'), Dff =Б(в') .
Касательная составляющая вектора напряжений, как показано в §11,
зависит лишь от Dff и не зависит от шаровой части.
В качестве системы основных инвариантов тензора 6" чаще все-
го берут (см.§ И) С , ie = i(&) , JJe-ju F). В случае
простого растяжения стержня ( 6^ > О , ©г « б3 = 0 )

В случае чистого сдвига F\ > о , 6г = О , 63 - - б; )
е-о, ie=6, . л-о. ттах = е>, .
Тензорное уравнение равновесия сводится к трем скалярным
уравнениям. В декартовой прямоугольной системе координат они та-
ковы:
дх + -if + 1Г
дх дб дт
IF + Ь + ~bi
дх Ьц dz JJz У
В § 16 описана процедура получения зтих скалярных уравнений в лю-
бых ортогональных системах криволинейных координат, там же приве-
дены эти уравнения для цилиндрической и сферической систем. Отме-
тим, что все рассувдения в атом параграфе ведутся в переменных
Эйлера.
5. Идеальная жидкость. Пусть вектор напряжений <?п ортогона-
лен к поверхностному элементу, к которому он приложен, т.е.отсут-
ствуют касательные напряжения, а следовательно, &п--рп, где -
р - скаляр, давление жидкости, не зависящее в данной точке от П.
Тогда тензор напряжений есть б^-ра, и уравнение движения имеет
вид
Это соотношение называют уравнением Эйлера.
§ 26. Первое начало термодинамики
(закон сохранения энергии)
1. Закон сохранения энергии в интегральной форме. Будем ис-
ходить из закона сохранения энергии Е для классической аналити-
ческой механики, относящегося к системе материальных точек (или
абсолютно твердому телу):
81

? = К + П - const , B6.1)
где К- кинетическая, а П - потенциальная энергия системы. В слу-
чае, когда потенциала внешних сил не существует, полагают, что
этот закон имеет следующую аналитическую форму:
¦jf-A . B6.2)
где Аяргda-Jdi есть мощность внешних сил, р \ da-Jdi - соот-
ветствующие силы и скорости. Для потенциальных сил имеем
А--Ж
^ at •
и приходим к закону B6Л).
Рассмотрим деформируемую среду и в ней трехмерную область V
Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) постулиру-
ется в виде
М ^ А + а t B6.з)
где К по-прежнему есть кинетическая энергия частиц, заключенных
внутри V , л А - мощность работы внешних сил, действующих на
тело V. Величина U представляет собой так называемую внутреннюю
энергию тела V , a Q, - количество тепла, получаемое этим телом.
Соотношение B6.3) является обобщением закона B6.2), здесь допол-
нительно присутствуют члены dU/di и fl .
Кинетическая энергия частиц, заключенных внутри V ,есть ин-
теграл
К
1н'
y
мощность работы внешних сил, действующих на V , равна
dV + [ G^V dS ,
[
где S- поверхность тела V .Количество тепла,получаемое телом
V , выражается через вектор скорости теплового потока а сле-
дующим образом:
Внутренняя энергия объединяет неаддитивным образом энергию вэаи-
82

модействия частиц среды друг с другом и энергию теплового движе-
ния, Удобно представить ее через плотнооть внутренней энергии и:
U-
2. Уравнение баланса энергии. Представим все слагаемые в
B6.3) в виде интегралов по объему. Очевидно, что
V
что касается мощности работы внешних сил, то второе слагаемое в
выражении для А равно
i (V-n)-vdS =1 {v-C)-ndS = \V-{V'6)dV,
Js Vs Jv
при атом использована формула (8.5). Окончательно для А получаем
тройной интеграл
f OJ-vdV + ( [G:t, + V-{V-6)]dV, B6.4)
так как
V-{V-6) = 6 :Е, + v-(V-ff) .
Подстановка B6.4) в B6.3) приводит к соотношению
нт
В силу уравнения равновесия
и из-за произвольности области V получаем точечное уравнение
баланса энергии
-**-*-я . B6-5)
которое является следствием первого начала термодинамики.В олучае
малой деформации тензор скорости деформации еоть ?,- dt/dt ,
поэтому B6.5) можно записать в виде
83

или же в скалярной форме
du _ « afe»
?W'e'л* -?'•¦¦ •
В этом выводе ми пренебрегали энергетический влиянием электромаг-
нитного поля.
3. Адиабатические процессы в твердом теле. Для.адиабатиче-
ских процессов V-CL =¦ 0, а потому уравнение баланса энергии сводит-
ся к рс(и~&У dt.. . Для твердых тел обычно предполагают о-const
а потому существует потенциал напряжений u*- ои , u*« и*(?»),
так что $4** du*/dsij .
§ 27. Второе начало термодинамики
Введем функцию состояния - энтропию S , и пусть S - плот-
ность энтропии, так что
Основное утверждение второго начала состоит в том, что в каждой
точке
где Т- абсолютная температура. В частности, для адиабатических
процессов
T
т*
формула B7Л) эквивалентна утверждению о ^возможности существо-
вания «перпетуум мооиле» 2-го рода. В такоы «вечном двигателе»
бесконечно продолжался бы *отоор> тепловой энергии от менее на-
гретого тела к более нагретым.
Для обратимых процессов справедливо равенство

для необратимых процессов
Соотношение, выражающее второе начало, иначе можно записать в ви-
де ,
причем 0=0 для обратимых процессов, 8>0 для веобратимых процес-
сов. Величина 0 называется плотностью источников энтропии.
Некоторые следствия. Из первого и второго начал термодинами-
ки ,
р $ --v-(<f/r> + е, е>о B7.2)
(причем равенство в B7.2) достигается тогда и только тогда,когда
процесс обратимый) следует, что
(BT-B)Tdt , B7.3)
. B7.4)
Здесь fmit-Ts есть плотность свободной энергии.Величина 0Г свя-
занная с тепловым градиентом, неотрицательна:
er—t?- .^'>о.
причем 9т-0, тогда и только тогда, когда градиент температуры
отсутствует (в силу закона Фурье <^«-лтГ ).
Еоли приращение деформации представить в виде суммы обрати-
мой и необратимой частей
dt - dee + dtp ,
то уравнения B7.3) и B7.4) запишутся тая:
85

&-. dze + 6; dtp + oTds - QpTdi ,
odf = &: dt* + 0": afc7* - pstff - eTaTf, B7.5)
где е*- б-ег.
§ 28. Термодинамическое время. Принцип суперпозиции
1. Термодинамическое время. В механике твердого тела может
оказаться полезным введение термодинамического времени
о
где (ji и Т - некоторые положительные функции, у>@)-0. Предполо-
жим, что наряду с условием 9>0 имеет меото и условие
ВР > 0 , B8.2).
причем равенотво в B8.2) доотигаетоя лишь в олучае идеальной уп-
ругости. Таким образом, Х- неотрицательная и неубывающая функция
времени t , сохраняющая неизменное значение лишь при идеально
упругих изменениях ооотояния. Поэтому Л может играть роль време-
ни, отмечая порядок оледования ооотояний в неупругих процеооах.
Люоой же упругий процеоо в шкале этого времени является мгновен-
ным. Следовательно,«мгновению » в шале Л может соответотво-
вать конечный промежуток «иотинного» времени t.
Не ограничивая общнооти, можно очитать, что Л еоть куоочно-
гладкая функция { , а потому и обратная функция t(A) являетоя
кусочно-гладкой (напоминаем, что Д - монотонная функция t ). В
оилу этого, например, куоочно-гладкая функция &(t) представима в
виде куоочно-гладкой функции термодинамичеокого времени X .
Раоомотрим два процеооа нагружения в шкале X: &t(^) и в^(А),
такие, что в^*^ для воех Л , кроме Л"Л0 .в одном из про-
цеооов в момент Х*1д были реализованы ^мгновенные» разгрузка
и нагружевие до того же уровня (?(А0) (рис.4). Но процеоо ABA яв-
ляется идеально упругим, и потому ве оказывает никакого влияния
на дальнейшее поведение ореды. В результате оба раооматриваемых
86

процесса б^сЛ) и б"г<Л) с точ-
ки зрения неупругого поведения
оказываются неразличимыми. Идея
введения &термодшшимческого>
времени в механике континуума
принадлежит А.А.Вакуленко [5] .
2. Принцип суперпозиции.
Разобьем шкалу А на интервалы
и представим,что на границах
этих интервалов производятся
*мгновенные» разгрузка и на-
гружение (рис.5) .Процесс в"(Л)
можно представить как последо- " *о
вательность элементарных нагру-
жений &(С0, причем ©"(?{)- р^ д
при ae(Ci,Ci«) »
-O вне этого интервала. Рассмотрим одно из нагружений
(рис.6) и аппрокоимируем его прямоугольным *импульсом>
в
Рис. 5
Рис. 6
Предположим, что неупругая деформация дер в таком процессе пс-
оле разгрузки определяется уровнем напряжений ffi^i), длительно-
стью нагружения дС{=^1+, -^i и промежутком «времени» А-Сг,
87

прошедшим после приложения «импульса» :
Принцип суперпозиции заключается в том, что для исходного процес-
са нагружения справедливо равенство
л
-о
Эта зависимость равносильна условию
rirP f» Лф
-^ =Ф@,<У(А» +\ -гт-( A-C,64O) dl . B8.4)
Of «A J Ол
-о
А.А.Вакуленкс [5, 7] применил принцип суперпозиции к тензору
полной деформации ? .
3. Частные случаи, а) Пусть
Из B8.4) получаем Щ- = D«- , что равносильно уравнению
ал v
ал
<ie!> B85)
B8>5)
dt " 2хЧТ) D*'
б) Пусть
тогда ^вР »
Изложенное в а) и б) будет использоваться в § 31,посвященном пла-
стичности и ползучести металлов.
„ № |i|^ . в'.
тогда из B8.1) получаем белее простую формулу
88

t
ACt) -J Qpdt . B8.7)
0
Эти соображения будут использоваться в § 32, посвященном опреде-
ляющему уравнению механики полимеров.
Г Л А. В А Л. Определяющие уравнения
для конкретных сред
Введение тензора 6 в уравнение движения учитывает реакции,
возникающие в среде в процессе ее движения. Установление же связи
между & и другими кинематическими и термодинамическими перемен-
ными определяет и классифицирует тип среды, например,жидкость,уп-
ругая среда и т.д. Соотношение меаду & и другими тензорами и
скалярами нооит название определяющего уравнения .Ниже кратко оо-
тановимся на некоторых типах сплошных сред.
В этой главе изучаются только изотропные среды.
Вопрос об определяющих соотношениях для анизотропных
сред рассматривается в работах [16,19,20] .
§ 29. Идеально упругое твеодое тело
1. Понятие о нагружении. Основными определяющими параметрами
для твердых тел являются С , & , Г , о . Будем для простоты счи-
тать температуру неизменной, а все рассмотрения локальными. Бели
€(#) - заданное изменение деформаций со временем, a &(t) - ре-
зультирующее изменение напряжений во времени, то такого рода за-
дание зтих тензоров называется реализацией нагружения.
Пусть тело проходит последовательность состояний. Если за-
ставить €(i) пройти тот же путь в обратном направлении,и при этом
окажется, что система проходит в каждой точке те же состояния в
обратной последовательности (рис.7), то такое свойство тела и на-
зывается реальной упругостью в обычном смысле, при этом она мо-
жет быть и нелинейной.
2. Термодинамические рассмотрения. Будем исходить из уравне-
ний B7.3) и B7.4):
89

(QT-9)Tdt,
Если полагать,что для идеально упругого
тела плотность свободной энергии есть
функция тензора деформации с и темпе-
ратуры Г:
/-/(в.
то получим
B9.1)
B9.2)
При этом считаем, что р* const. Первое из
уравнений B9.2) означает
л- V $f
Рис.7 J дВи
Процесс является обратимым тогда и только тогда, когда 8-0 ,что
эквивалентно равенству
т.е. условию отсутствия градиента температуры: V7**O. Плотность
энтропии s (в силу B9.2))и плотность внутренней энергии u~f+Ts
также являются функциями с , 7* . Аналогично можно вместо условия
B9.1) использовать зависимость u-u(e,S) , что приводит в си-
лу B7.3) к уравнениям
6*9 J* > г*1? • еГ- B9-3)
Итак, в основу определения упругой среды можно положить ус-
ловия B9.2) или B9.3). Из термодинамических соображений получе-
но существование упругого потенциала напряжений pf(E,7*), причем
напряжения суть функции деформаций, определяемые первым из урав-
нений B9.2) или B9.3). Можно бнло бн в качестве внешних пара-
метров брать не Z , Т , а б", Т . при этом предварительно необ-
ходимо переписать уравнения B7.3) и B7.4) в форме
90

- e : d& + oTdS +@T~ B)Tdt,
{<$-Wdt.
Если теперь ввести f} =>pjf-<T:e, то можно видоизменить опреде-
ление упругой среда, полагая /, ¦/, (<Г, Г). Это приводит к урав-
нениям
Заметим, что для изотермических процессов аТ»=0 (температура
в точке не меняется во времени), а тогда из B7.4) и B9Л) полу-
чим ^
eS Г B9Л)
3. Линейная классическая теория упругооти. Предположим, что
температура постоянна во времени и пространстве, материал изотро-
пен, а определяющее уравнение линейно. Это приводит к следующему
квадратичному относительно деформаций выражению для потенциала
напряжений:
р/= aJ/(t) +6J2(t) .
Вспоминая, что
2J2(o = J*(t) -Sp(с2) = (ея + е22 + ея J- еыеы
(последнее выражение написано для декартовых координат), получаем
потенциал в форме
2 ] jj B9.5)
где вместо констант Q и в введены новые постоянные А и JX .на-
зываемые постоянными Ляме:
Можно было бы полагать с самого начала о/ «-2ju^(?> -*¦
Используя формулу B9.4), получаем
91

тч
zx '
при этом по-прежнему ?=Ц(Е), Jfix= 2Eix при 1*л:.Это линей-
ная связь между тензорами Б и 6" , а именно: 6 <=2jdt +lea ,
где а- метрЕческий тензор.
Итак, определяющее тензорное уравнение линейной теории упру-
гооти (выражающее закон Гуна) можно записать в одной из следующих
трех форм:
6-2}1? + Лео
B9.6)
8 = 3*6", D? --^g De , B9.8)
где б1 = g «7, F0 . В каждой из этих формул фигурируют две независи-
мые упругие постоянные (для неоднородных тел они могут зависеть
от пространственных координат). Константы к (модуль объемного
расширения) и G (модуль сдвига) связаны следующим образом с мо-
дулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V :
«. AzU г д Е ¦
л- ? , u 2C1+V) »
постоянные Ляме выражаются через ? и V так:
Ел) Р
Из условия положительной определенности потенциала получают интер-
валы изменения ? и V :
? > 0 , -1 < V <| .
В скалярной форме уравнение B9.7) обычно записывают в виде сис-
темы (декартов базис):
92

B9.9)
Коэффициенты ?" и V впервые были введены при рассмотрении одно-
мерного случая 6Я * О , ©у- 62 = 0, Т - ?х2 - т - 0 (растя-
жение стержня продольной силой). В этом случае из уравненийB9.9)
следует, что 6х»Еех , ? =ez»-Ver .
Система трех тензорных уравнений классической теории упруго-
сти относительно трех неизвестных тензоров и,С ,6 состоит, та-
ким образом, из линейного соотношения Коти ? =4(vu +uv),
уравнения движения v-6 + of = О дгц/дЬг (в уравнении равно-
весия в праной части нужно ставить нуль-вектор) и закона Гука,
взятого в одной из форм B9.6)-B9.8). Иначе, это система пятнад-
цати скалярных уравнений относительно пятнадцати скалярных неиз-
вестных б" ^, ?. • , ик . Значение этой привычной линейной модели
не уменьшилось, несмотря на развитие новых, нелинейных схем.
4. Т&рмоупругость. Пусть при значении температуры Г« То де-
формации и напряжения отсутствуют, если нет никаких внешних уси-
лий. Если имеется тепловое поле с градиентом, отличным от нуля,то
потенциал of нужно брать не так, как в предыдущем пункте,а пола-
гать равным
р/, «О/-Ш +2jj)OL(T-Tg )? , B9.10)
где значение of соответствует B9.5), a oi- коэффициент линейно-
го теплового расширения. Дополнительный член выбирается так,чтобы
при собственно тепловом расширении тело получало деформацию,опре-
деляемую тензором ?г» ol (Т~Т0)<Я. В этом случае объемное теп-
ловое расширение равно 3eL(T-Tg). Первое из уравнений B9.2) при-
водит к обобщению закона Гука - уравнению Дюамеля - Неймана
93

i-2jOoi ( Г-Tjjjf, B9.il)
или (в других формах)
У-(к ~JgNy + «.( Т~Т0 )« , B9.12)
3<й ( Т-То), I>e = 2^-Dtf .
Уравнения B9.11) и B9.12) в скалярной форме выглядят так:
6,-Ле
Опущенные уравнения получаются циклической перестановкой индексов
*, у.г .
В общем случае тепловое поле Т нельзя считать независимым
от деформации, поэтому для решения задач термоупругости нужно к
системе уравнений, состоящей из соотношения Коши, уравнения рав-
новесия или движения и уравнения Дюамеля - Неймана, добавить еще
одно уравнение, представляющее собой ¦модификацию уравнения тепло-
проводности.
Согласно второму началу термодинамики из условия Q"9T сле-
дует, что -v-a -oTds/dt . В силу B9.2) s *-df/dT есть функ-
ция ?. и Г , а потому
Л ^)р^ $г) «9.13,
Предполагая, что -V-cr, = pcT при е*О , где С- удельная теп-
лоемкость тела при постоянной деформации» получаем
Из B9.10) следует, что
94

и уравнение B9.13) принимает вид
- ОСТ +(ЗЛ +2jx)olT0Z . B9.14)
Здесь учтен закон Фурье <l = -KVT', кроме того, в последнем сла-
гаемом Г заменено на То . Теория термоупругости, имеющая дело с
уравнением B9.14), называется связанной. Она учитывает превраще-
ние механической энергии в тепловую. При наличии источников теп-
ла, распределенных в нашеы теле с плотностью Ц.о в единицу време-
ни, необходимо в левой части B9.14) добавить ц.о . В некоторых
случаях в уравнениях движения можно пренебречь инерционными чле-
нами (квазистатическая теория). В случае же, когда в уравнении
B9.14) пренебрегают последним слагаемым в правой части,т.е.теп-
ловое поле определяют из уравнения теплопроводности независимо
от решения основной системы уравнений, включающей соотношение Ко-
ши, уравнение движения и закон Дюамеля - Неймана, теорию термоуп-
ругости называют несвязанной.
§ 30. Пластичность и ползучесть металлов
1. Предварительные замечания. Как нам уже известно,нагруже-
ние можно задавать, меняя в каждой точке ? , Т .вместе с чем ме-
няется и 6", или, наоборот, изменяя б" , Т, в результате чего
меняется с .
Твердое тело является пластическим или упругопластическим,
если для него не всякий процесс, круговой по деформации и темпе-
ратуре, есть круговой по напряжениям (рис.8). В основу этого оп-
ределения можно было бы положить и тот факт, что не всякий про-
цесс,круговой по напряжениям и температуре, есть круговой по де-
формациям.
Тензор приращения деформации делится на две части:
где ut - приращение упругой деформации,связанное с тензором
приращения напряжений законом Гука
Н - четырехвалентный тензор упругих постоянных, &Z приращение
необратимой пластической деформации,для которого можно принять
соотношения
95

д tp = D ( д е р),
C0.1)
где
^ Sp ( D,?)
Здесь
и
бесконечно малые скалярные множители.Эти
формулы являются основой теории пласти-
чеокого течения.
Определяющие уравнения деформацион-
ной теории пластичности можно брать в
форме
е = се+ tp
Рис.8
C0.2)
где cpt , ip2 - скаляры. Обычно вторыми слагаемыми в формулах
C0.1) и C0.2) пренебрегают.
2. Теория пластического течения. Предположим [13] ,что среда
изотропна и что приращение тензора деформации де разлагается на
сумму двух слагаемых: д?« де* + Л е', причем его упругая
часть дС связана с приращением тензора напряжений 0 законом
Гука
C0.3)
а пластическая часть
пропорциональна девиатору тензора на-
9б

пряжений
AE^^De- , C0.4)
здесь дЛ - бесконечно малый положительный множитель. Уравнение
C0.4) равносильно тому, что тензоры Д?р и Dff соосны.а и(дЕя)=
=jls Из C0.3) и C0.4) следует, что
Это означает, что относительное изменение объема ? является чи-
сто упругой деформацией. Кроме того, тензор приращения пластиче-
ской деформации является девиатором. Отметим также, что из C0.4)
следует, что
Это реологическое уравнение не является достаточным,чтобы замк-
нуть систему уравнений, состоящую из соотношения Коши
уравнения движения (или равновесия)
?~di
и определяющих уравнений. Необходимо дополнить их условием отно-
сительно функции Л . Отметим лишь, что приращение работы пласти-
ческой деформации дАр=<У:де^ выражается в силу C0.4) следую-
щим образом:
'2 ¦ * C0.6)
Рассмотрим частные случаи:
а) Линейная упругость. Ей соответствует ус-
ловие д Л ¦ 0 .
б) Идеальная пластичность. Возьмем в
качестве дополнительного условие текучести Мизеса
i& = Ts , C0.7)
где Т - предел текучести материала при чистом сдвиге.Зависимости
97

C0.4) и C0.7) называются уравнениями Прандтля-Рейсоа. Заметим,
что при этом соотношение C0.5) принимает форму
1 ' ~ 2 s ¦
Если в уравнениях для приращения полной деформации пренебречь чле-
ном л€е , то получим из C0.4) уравнения Сен-Венана-Мизеса:
t-*.'--!>.
и, как следствие, условие
Пластическая деформация имеет место при д?&»0 ; при &iff<0 про-
исходит разгрузка по закону Гука.
в) Упрочнение. В качестве дополнительного принима-
ется условие упрочнения Ар= Ф(ie). В силу C0.6) имеем
Ф'( U) Д 1а
Для приращения пластической деформации
Эти соотношения верны для &ie>0 ( Д1в*0 соответствует нейтра-
ральному изменению в ). Если л1в.<0, то происходит разгрузка по
закону Гука.
3. Деформационная теория пластичности. Эта теория предпола-
гает, что для изотропного тела тензор деформации ? представим в
виде суммы упругой и пластичеокой частей с = ее + ??, причем уп-
ругая деформация связана с напряжениями законом Гука
D(Ee) =jk De , (зо.8)
а тензор пластической деформации пропорционален девиатору напря-
жений
98

fe (зо.э)
Это равносильно тому, что тензоры tf и D^. соосны.а u(e?)=-jue
Из этих соотношений следует, что тензор t.p является девиатором,
а относительное изменение объема е - ев- Зк& - чисто упру-
гой деформацией. Из C0.8), C0.9) вытекает также, что
• C0Д0)
Необходимо дополнить эти уравнения условием относительно <р.
Рассмотрим частные случаи.
а) Линейно упругая среда. В этом случае
б) Идеальная пластичность. В качестве
дополнительного берем условие текучести 16«»т, . В этом случае
s *¦*•
а потому определяющие уравнения таковы:
в) Упрочнение. В качестве дополнительного принима-
ется условие
9+i-w-W' C0Л1)
где функции Gff, Ge связаны зависимостью Gff(t^ ) » Ge(i'c ) .
Из C0.10) и C0.11) получаем условия
1*т-к19 • f*-2ff«f« • C0Л2)
Определяющее уравнение в этом случае записывается совершенно так
же, как в теории упругости с заменой модуля сдвига G на G& ,ес-
ли оно решено относительно деформаций, и с заменой G на Gg .ес-
ли оно разрешено относительно напряжений:
99

или
Отметим, что для упрочняющихся материалов обычно принимают гипо-
тезу единой кривой
?е -Jj ( te ) , C0.13)
причем эта функциональная зависимость для технических сталей обыч
но имеет вид кривой, изображенной на рис.9. Очевидно, что функцию
Gc { при G6) легко получить из соотношения C0.12) и C0.13)
для участка упрочнения.
4. Ползучесть металлов. Теории течения. Кроме атермической
(холодной) пластичности, рассмотренной в предыдущих пунктах, для
металлов характерной является и ползучесть, наблюдаемая для тех-
нических сталей при повышенной, а для некоторых металлов и спла-
вов при нормальной температуре. Она заключается в неограниченном
нарастании деформаций под действием приложенной нагрузки.Этот про
цесс обычно описывают кривыми ползучести, характерная идеализиро-
ванная зависимость такого типа приведена на рис.10 для одномерно-
Рис.9
Рис.10
100

го случая.
Не исследуя это явление подробно, отметим, что для описания
установившейся ползучести (участок ВС кривой рис.10)считают,пре-
небрегая начальной упругой деформацией, что скорость деформации
есть скорость деформации ползучести ?с .связанная с девиатором
тензора напряжений зависимостью
t'if =\f(te)T)e . C0.14)
Функцию f(ie) берут, как правило, степенно'й. Уравнение C0.14)
равносильно тому, что тензоры t,c и D6 соосны, а у(?,)=jj(lf)-jJ.e
Для описания неустановившейся ползучести (участок АВ)раз-
бивают тензор скорости деформации на упругую часть и слагаемое,
характеризующее ползучесть:
е с
причем считают, что
(закон Гука в дифференциальной форме),
Функцию ftiffft) обычно представляют в виде произведения степен-
ной Функции от i& на функцию от времени.
§ 31. Вывод уравнений теорий пластичности
и ползучести на основе термодинамики
1. Общие предположения. Будем считать, что плотность свобод-
ной энергии /определяется следующими параметрами состояния: тен-
зором упругой деформации с* , температурой Г и некоторым доба-
вочным тензором <* .учитывающим изменение структуры среды в неуп-
ругих процессах, а именно:
Кроме ;ого, предположим, что
/=/еГее,Г) +/'«*, Г> . (мл)
101

Полный дифференциал функции f таков:
где df/дл означает тензор с компонентами dfp/dal* Сравнение фор-
мул C2.2) и B7.5) приводит к соотношениям
дТ
Таким образом, предположение C1.1) ведет к независимости упругих
свойств от тензора оь .Равенство C1.3) можно записать и в форме
в г ~ D«' dt ? да • dt '
ибо обычно полагают, основываясь на экспериментах, что
V^ dt > dt '
2. Идеальная пластичность. Ползучесть с постоянной скоростью.
Предположим, что сь - постоянный тензор, тогда
3=f(ZeJ)-f\te,T) , fp* const.
В этом случае из C2.3) следует
и из принципа суперпозиции в форме B8.5) вытекает, что
Образуя двойную свертку левой и правой частей с Т)в и учитывая,
К. ( db/\ _ г* . / dt p\ dtp_ n/ dt,p\
' u't ' в" * \ off / ' dt ^ dt ' '
получаем"
dt " т-MTf—'* • (ЯЛ>
102

Рассмотрим два частных случая.
a) cp(z)« z. Из C1.5)сразу же имеем условие iff - Т ( Г).
Это условие текучести Мизеса, причем предел текучести т зависит
от температуры, являясь обычно ее убивающей функцией. Таким обра-
зом, в этом случае функции т(Г) можно приписать смысл предела те-
кучести при чистом сдвиге xs .Уравнение C1.4) переходит в зави-
симость , р
p Ъ
dt " 2ЧГ в '
Это уравнение Прандтля-Рейсса (теория пластического течения) в
тензорной форме для случая идеальной пластичности [13] .
б) tf(z;- возрастающая функция своего аргумента, не равная
z. Разрешая C1.5) относительно D,:4f- > получаем условие
в at
где у - некоторая функция; уравнение C1.4) приводит к зависимо-
сти
Получены уравнения установившейся ползучести металлов ( тео-
рии течения) [14] .
3. Пластичность с изотропным упрочнением. Ползучесть с энер-
гетическим параметром. Будем полагать, что
оь- oi°+ cla, где сИ~6: dzp- D^: dtr, с* const.
Тогда плотность свободной энергии такова:
Из термодинамических раосмотрений (формула C1.3)) следует, что
так как ( ^ ) •' ^ * ("$f) ^Л- в
103

dt - 2t2 ~"G • CI)
Сворачивая обе части C1.7) с тензором J)ff , получаем после умно-
жения на 1-р -|f равенство
Рассмотрим два частных случая, a) cp(Z)=z. Из C1.8) и C1.7)
сразу же следуют зависимости
Это известные уравнения Хандельмана, Лина, Прагера теории «холод-
ной» ,( «атермической» ) пластичности металлов с изотропным уп-
рочнением [31] .
б) cp(zb возрастающая функция z .отличная от z .Решая урав-
нение C1.8) относительно ( 1 - Р~яд )( ®9 :4г-), получаем
ад
откуда вытекает равенство
Из C1.7) следует, что
Это уравнения теории ползучести с энергетическим параметром,пред-
ложенные И.И.Бугаковым и А.А.Вакуленко [2, 3] .
4. Пластичность с трансляционным упрочнением. Ползучесть с
104

учетом возраста. Будем считать, что тензор еь .контролирующий из-
менив структуры в неупругих процессах, представим в форме
<*=<Л° + аея, а = const-,
тогда плотность свободной энергии
/=/*(?* Т) + /'(?* Т>.
Пусть, кроме того,
да а '
т.е. f есть квадратичная форма компонентов ? . Из C1.3) полу-
чаем
Основываясь на принципе суперпозиции в форме B8.6), имеем
Г cP) C19)
C )¦ C1.9)
Свернув обе части C1.9) с тензором Ъ6-ОС?Р , получим
Рассмотрим частные случаи.
a) cp(Z)-z Из C1.9), C1.10) следует, что
dt 2 тг х е
Это уравнения теории пластичности с трансляционным упрочнением,
учитывающие идеальный эффект Баушингера, предложенные А.Ю. Ишлин-
ским [10]и В.Прагером [23] (см.также работы Ю.И.Кадашевича и В.В.
Новожилова [11, 12] ).
б) cp(z)- возрастающая функция z .отличная от z . Разрешая
105

C1.10) относительно выражения, стоящего в левой части, получаем
- осея)
Trf
а из C1.9) следует, что
Это уравнения теории ползучести с учетом возврата. При 4^
=const получаем уравнения стандартной линейной среды [24] .
§ 32. Теория наследственности в механике полимеров
1. Приведенное время. Предположим, что величина вр (см. §28)
зависит только от температур!: дР=ВР(Т) C2.1)
Выберем некоторую температуру Г= То в качестве температуры срав-
нения и представим C2.1) в виде
Р(Т0). C2.2)
Видно, что а(Т0) . Введем новую функцию - приведенное время
9р(Г0) '
тогда из B8.7) получаем
t
\
g (З2.з)
о
Резко возрастающую положительную функцию а(Т) называют темпера-
турным масштабом времени. В случае различных постоянных темпера-
тур C2.3) принимает вид %,= fl(T)t, при этом ?,=* в случае
7"-7*0. По мере перехода к повышенным температурам шкала ? рас-
тягивается, к пониженным - сжимается по сравнению со шалой t i
Шкала приведенного времени ? в теории наследственности была вве-
дена А.Р.Ржаницынш, Л.В.Морлендом и Е.Х.Ли. Формула C2.3) пред-
ставляет собой аналитическое выражение принципа температурно-вре-
менного соответствия, основные идеи которого были высказаны А.П.
Александровым, Ю.'С.Лазуркишм, Г.Лидерманом, Дж.Ферри и др. (см.
106

[4. 24] .
2. Теория наследственности. Уравнение B8.3) в терминах
имеет вид „
о
Определяющее уравнение для тензора полной деформации е записыва-
ется в форме
.4)
где С (Г) - тензор температурной деформации, введенный в § 29.
Функция ФС^.б1) представляет собой скорость ползучести при по-
стоянных напряжениях & .В качестве нижнего предела интегрирова-
ния 4-0 принят момент первого нагружения. Тензорное уравнение
C2.4) и скалярное уравнение C2.3) образуют систему нелинейных
определяющих уравнений неизотермической теории наследственности.
Она основана, таким образом, на принципе суперпозиции и принципе
температурно-временяого соответствия. Эти уравнения хорошо опи-
сывают ползучесть аморфных полимерных материалов со стабильной
структурой при температурах выше и несколько ниже температуры
стеклования.
Линеаризованная форма уравнения C2.4) такова:
J ?T(T(U . C2.5)
Для изотропных сред C2.5) принимает форму
C2.6)
+ з\
107

Эксперименты показывают, что ядра I ж К являются положительны-
ми неубывающими гладкими функциями,
В изотермическом случае в уравнениях C2.4)-C2.7)следует t,
заменить на t и положить ?Г-О. При этом согласно уравнениям
C2.3) и C2.4)-C2.7) суперпозиция имеет место не только в шкале
? ,но и в шкале t .
Более подробные сведения о наследственной теории данного.ти-
па можно найти в монографиях Ю.Н.Работнова [24] , А.А.Ильюшина и
Б.Е.Победри [9] , И.И.Бугакова [4] .
Выше был рассмотрен случай простого влияния температуры, ков-
да 0^ зависит только от Г. Более общие, чем C2.4), нелинейные
уравнения, основанные на принципе суперпозиции и принципе темпе-
ратурно-временного соответствия, можно получить, расширив состав
аргументов функции 6^ , полагая, например,
T) . C2.8)
Представим C2.8) в форме, аналогичной C2.2):
Б этом случае приведенное время ?> зависит не только от темпера-
туры, но и от напряжений:
о
C2.9)
Полную систему определяющих уравнений составляют скалярное урав-
нение C2.9) и, например, тензорное уравнение C2.5). Эта схема
предложена Р.А.Шапери [32] , для нее суперпозиция в шкале ? от-
сутствует и при Т* const .
§ 33. Идеальная жидкость
Жидкостями обычно называют среды, у которых сопротивление
изменению формы существенно меньше сопротивления изменению объема.
Жидкость называется идеальной, если в ней наблюдаются лишь норма-
льные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют. Как уже
указывалось в § 25, зто условие равносильно равенству
. (ззд)
108

В этом случае вектор напряженна по площадке с единичной нормалью п
есть
^'u fJ я i< • ^оо«<«/
Уравнение C3.2) выражает экспериментальный закон Паскаля.Во мно-
гих случаях воду и воздух можно рассматривать как идеальные жид-
кости. С точки зрения нашей терминологии условие C3.1) и уравне-
ние состояния
Э,7)-0 C3.3)
представляют собой определяющие уравнения идеальной жидкооти. В
систему уравнений задачи о движении идеальной жидкости входят,
кроме того, следующие зависимости: уравнение неразрывности
-?- + р V-V ' 0 C3.4)
(для несжимаемой жидкости оно приводится к условию V-v«0 ),урав-
нение движения (уравнение Эйлера)
HVjD , C3.5)
а также уравнение баланса энергии
dt ' H '
ибо 6" : (-jfi-) = -pV-v. Обычно плотность внутренней энергии и
задается как функция двух из трех параметров р , О , Т • Для теп-
лопроводной жидкости полагают a = -KVT (закон Фурье),для не-
теплопроводной жидкости CL-0 . В уравнении (ЗЗ.б)возможяо до-
бавление слагаемого, отвечающего источникам энергии непосредст-
венно внутри тела.
Итак, имеем систему четырех уравнений (ЗЗ.З)-(ЗЗ.б) относи-
тельно V,р , р , Т (шесть скалярных уравнений относительно ше-
сти скалярных переменных). Тензор скорости деформации определяет-
ся условием
?«^(W + W) C3.7)
Уравнение состояния. Сжимаемость идеального газа обычно учи-
тывается уравнением Клапейрона
109

где Уесть объем одного моля газа, a R- универсальная газовал
постоянная. Это приводит к следующей форме уравнения соотояния
C3.3):
здесь т- молекулярный вес газа. Для более высокого давления обыч-
но полагают
1-
где а, в - постоянные. Это следствие уравнения Ван-дер-Ваальса
(Р + yi)(V-6) = RT.
В тех частных случаях, когда либо в силу овойств движения,
либо в силу свойств самой жидкости уравнение состояния имеет вид
или
течение называется баротропным (уравнение состояния не содержит
температуры).
§ 34. Ньютоновская и неньютоновская вязкие жидкости
1. Ньютоновская жидкость. Для вязкой ньютоновской жидкости
считают, что если она движется как абсолютно твердое тело(или на-
ходится в покое), то в ней наблюдаются лишь нормальные напряжения
6"~Р2' причем jD удовлетворяет уравнению состояния C3.3). Эту
жидкость считают изотропной, ее определяющее соотношение включает
линейную связь между б" и t, :
j j , C4.1)
или, что то же самое,
О=-р +(Д + *f-)v-v, De-2juDt . C4.2)
Постоянные ju , X называются коэффициентами сдвиговой и объемной
вязкости. Уравнения C4.1) (или C4.2)) называются уравнениями На-
вье-Стокса. Отметим,,что гидростатическое давление р .удовлетво-
ряющее уравнению состояния C3.3), совпадает с б" (линейный инва-
110

риант тензора в ) тогда и только тогда, когда CA+2^)vir«
= 0, в частности для несжимаемой жидкости (V V - 0 ) .
Для вязкой жидкости тензор напряжений, вообще говоря, имеет
как нормальные, так и касательные составляющие. Вязкость связав*
со взаимопроникновением частиц и с переносом импульса из одного
слоя в другой, иначе говоря, вязкие жидкости обладают внутренним
трением. Здесь речь идет лишь о ламинарных течениях.более энер-
гичная передача импульса происходит при турбулентном перемешива-
ПИЛЯ ЖТЛЛИЛП'МЯ
нии жидкости.
нии жидкости.
Система основных уравнений вязкой ньютоновской жидкости со-
стоит из определяющих уравнений C4.1) и C3.3), а также из урав-
нения неразрывности C3.4), уравнения движения
и уравнения баланса энергии
Всего, таким образом, имеется пять уравнений относительно <?, п ,
V ,о и Т, или 12 скалярных уравнений относительно 12 неизвест-
ных скалярных функций. Тензор скорости деформации выражается че-
рез V с помощью C3.7), а для теплопроводной жидкости справедлив
закон Фурье (см. предыдущий параграф).
2. Неньютоновская жидкость. Если зависимость тензора напря-
жений от тензора скорости деформации имеет,например.вид
ff-aocj +аЛ+аДг , (З4.з)
где а0 , а, , аг - функции инвариантов тензора fc> ,то изотропная
жидкость является неньютоновской. Это уравнение приводит к сле-
дующей зависимости меаду девиаторами:
3flecbja и jx* - функции инвариантов 1„ , в самом простом случае
они являются постоянными, ньютоновская жидкость получается при
частных значениях коэффициентов:
оо- ао (рХ) , a = 2ju = const , аг~ о .
ш

Уравнением C4.3) описывается, в частности, поведение неко-
торых растворов полимеров в органических растворителях, например,
растворов каучуков в жидкостях типа бензолов.
ГЛАВА УЛ. Краевые задачи
§ 35. Основные краевые задачи для деформируемых
твердых тел
1. Постановка краевых задач теории упругости. Пусть упругое
тело занимает трехмерную область V , a S представляет собой его
поверхность. В каждой точке тела V должны выполняться основные
уравнения теории упругости: соотношение Коши, уравнение движения
(уравнение равновесия для задач статики) и уравнение закона Гука
( в случае термоупругости вместо закона Гука следует брать его
обобщение, данное Дюамелем и Нейманом, и модифицированное уравне-
ние теплопроводности B9.14)). Что же касается краевых условий,то
основными являются три класса:
а) на границе тела S задано перемещение и ,
б) на границе тела S задан вектор напряжений 6 =6-п ,
в) на части Уы задано перемещение и , и на остальной ча-
сти задан вектор напряжений б"п .
В случае задачи равновесия система уравнений линейной тео-
рии упругости при краевом условии б) имеет решение лишь
в том случае, когда внешние силы, приложенные к телу.взаимно урав-
новешиваются. Это решение является единственным для напряжений и
деформаций, перемещение же определяется с точностью до жесткого
перемещения (появляются шесть произвольных постоянных, характери-
зующих поступательное перемещение и поворот тела как целого). В
случае кинематического краевого условия а) и в случае задачи в)
перемещение определяется единственным образом.
Для задач динамики необходимо кроме краевых ставить и нача-
льные условия. В этом случае во всей области V следует задавать
перемещение « и скорость v в начальный момент времени t= О как
функции координат точек рассматриваемого тела.
2. О задачах для упругопластических сред. Если при относите-
льно небольших внешних поверхностных силах тело V пребывает в
упругом состоянии, то с ростом нагрузок,с достижением в отдельных
112

точках, а затем и в областях предела текучести образуются пласти-
ческие зоны. В этих зонах следует в качестве определяющих уравне-
ний брать, например, соотношения Прандтля-Рейсса или уравнения
деформационной теории пластичности.
При решении краевых задач для упругопластических сред следу-
ет учитывать непрерывность напряжений и деформаций на границе уп-
ругой и упругопластичеекой зон [13] . Это условие выполняется вся-
кий раз, когда перемещение является непрерывной функцией.
§ 36. Основные краевые задачи для жидкостей и газов
Коротко остановимся на краевых условиях при отыскании устано-
вившихся течений идеальной нетеплопроводной жидкости.
а) На поверхности 5 обтекаемого непроницаемого неподвижного
тела выполняется условие: нормальная составляющая скорости равна
нулю: vnmir.n°O. Для пористого тела vrn задается как функция
точки поверхности
б) На поверхности раздела жидкостей (для стационарных задач
она неподвижна) принимаются условия непрерывности vn и давления
р (для вязкой жидкости полагают непрерывной нормальной составля-
ющую тензора напряжений п-6-п).
в) При поступательном и однородном течении на бесконечности
в бесконечно удаленных точках задаются вектор V и скаляры р , о,
Т , причем для этих последних должно выполняться условие
F(p,f,T)-0 . t36-1*
Что же касается начальных условий, то они сводятся к заданию при
t = 0 распределения функций vtp,o ,T ; три последних функ-
ции удовлетворяют C6.1).
ИЗ

Литература
1. Борисенко А.И.,Тарапов И.Е. Векторный анализ
и начала тензорного исчисления. М., 1966. 252 с.
2. Бугаков И.И., Вакуленко А.А. О теории ползу-
чести металлов.- Известия АН СССР. Механика и машинострое-
ние , 1963, № 6, с.3-11.
3. Бугак ов И.И. О теории, ползучести металлов,учитывающей
упрочнение. - Известия АН СССР. Механика и машиностроение,
1964, № 4, с.87-89-
4. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов ,М. ,1973,
287 с.
5. Вакуленко А.А. К теории необратимых процессов. -
Вестн. Ленингр. ун-та , 1969, № 7, с.84-90.
6. Вакуленко А.А. Полилинейная алгебра и тензорный ана-
лиз в механике. Л., 1972. 64 с.
7. Вакуленко А.А. Суперпозиция в реологии сплошной сре-
ды. - Известия АН СССР. Механика и машиностроение , 1970,
№1, с.69-74.
8. Ильюшин А.А. Пластичность. М. -Л. ,1948, 376 с.
9. Ильюшин А.А.,Победря Б.Е. Основы математиче-
ской теории термовязко-упругости. М., 1970, 280 с.
10. Ишлинский А.К). Общая теория пластичности с линейным
упрочнением. - Укр.мат.журн., 1954, т.6, №3, с.314-324.
И. Кадашевич А.Ю., Новожилов В.В. Теория пла-
стичности, учитывающая остаточные напряжения. - Прикл.мат.
и мех. ,1958, т.22, №1, с.78-89.
12. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пла-
стичности, учитывающая эффект Баушингера. - Докл.Ан СССР ,
1957, т.117. № 4. с.586-588.
114

13. К а ч а н о в Л.М. Основы теории пластичности. М., 1969.420 с.
14. К а ч а н о в Л.М. Теория ползучести. М.Д960. t 55 с.
15. К о ч и н Н.Е. Вектбрное исчисление и начала тензорного ис-
числения. М., 1961. 426 с.
16. Л о х и н В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции
от нескольких тензорных аргументов. - «Прикл.мат.и мех.> ,
1963, т.27, №3, с.393-417.
17. Л у р ь е A.M. Теория упругости. М.,1970. 939 с.
18.Мак-Коннел А. Введение в тензорный анализ с приложе-
ниями к геометрии, механике и физике. М.,1963, 411 с.
19. Малолеткин Г.Н., Фомин В.Л. Тензорные базисы в
кристаллофизике, л., 1972. 89 с.
20. Марков К.З. Теоретико-групповой анализ структуры опреде-
ляющих уравнений для нелинейных анизотропных сред с ползу-
честью.-Автореф. канд. дис., Л., Т972.
21. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.,1958. 370 с.
22. П р а г е р В. Введение в механику сплошных сред. М., 19СЗ.
311 с.
23. П р а г е р В. Проблемы теории пластичности. М.,1958. 136 с.
24. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов' конструкций. М.,
1966. 752 с.
25. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.
М., 1967. 664 с.
26. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.1. М.,1970. 4J2 с.
27.Серрин Д ж. Математические основы классической механики
жидкости. М.,1963. 256 с.
28. Сокольников И.С. Тензорный анализ. М.,1971. 374 с.
29. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. М., 1965,
456 с.
30. Труоделл К. Главы из книги 4. Шесть лекций по современ-
ной натурфилософии». - В кн.: Механика. Периодический сбор-
ник переводов иностранных статей. М.,1970, № 4, с.99-142.
115

31. Хандельман Г., П pa rep В. Зависимость между
напряжениями и деформациями для несжимаемых пластичных ма-
териалов при упрочнении. - Прикл.мат.и мех. ДЭ47, т.11,
» 2, C.29I-292.
32. Schapery R.A. On a thermodynamic constitutive
theory and its application to various nonlinear materials. -
In: Thermoinelasticity. Vien-New York, 1970, p. 259-285.
33. Truesdell C, N о 1 1 Л. The non-linear field
theories of mechanics. - In: Flugges Encyclopedia of Physics,
Berlin-Heidelberg e.a., I9&5, vol.III/3.
116

Оглавление
Предисловие 3
Основные обозначения 3
Введение •• 5
Тензорное исчисление
Глава I. Тензоры и операции над ними 7
Глава П. Двухвалентные тензоры 24
Глава Ш. Элементы анализа 43
Механика сплошных сред
Глава 1У .Деформация 57
Глава У. Основные принципы механики континуума. ... 71
Глава У1 .Определяющие уравнения для конкретных сред . 89
Глава УП .Краевые задачи IE
Литература

Фомин Владимир Леонидович
Механика континуума для инженеров
Редактор Г.И.Чередниченко
Техн.редактор Г.С.Орлова
Корректор Г.С.Мельник
М-57574 Подписано к печати 16 ХП 197^
Формат бумаги 60x90 I/I6. Бум. тип. № 3. Печ.л. 7,5
Уч.-изд.л. 6,24. Тираж 4800 экз. Заказ 28 Цепа 62 коп
Издательство ЛГУ им. А.А .Жданова
I99I64 , Ленинград, Университетская наб.» 7/9.
Тульская типография"Союзполиграфпрома"
при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли,
г.Тула, прЛенина, 109.