АКАДЕМИЯ ПАУК УКРАИНСКОЙ ССР)
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОБЛЕМ
МЕХАНИКИ И МАТЕМАТИКИ
Я. С. Подстригай
Ю. 3. Повстенко
ВВЕДЕНИЕ
В МЕХАНИКУ
ПОВЕРХНОСТНЫХ
ЯВЛЕНИЙ
В ДЕФОРМИРУЕМЫХ
ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
КИЕВ ИАУКОВА ДУМКА 1985

Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах/
Подстригач Я. С.у Повстенко Ю. 3.— Киев : Наук, думка, 1985.— 200 с. у
Изложена механика двух- и одномерных материальных континуумов, ^разде-
ляющих деформируемые твердые тела. Сформулированы и проанализированы
соответствующие балансовые уравнения и общие термодинамические соотношения,
построены континуальные модели, отражающие взаимосвязь процессов деформации,
диффузии и теплопроводности с учетом тензорного характера поверхностных
напряжений, поверхностных химических потенциалов и концентраций. Существенной
особенностью монографии являются дальнейшее развитие и использование при
изучении поверхностных явлений в сплошных средах методов дифференциальной
геометрии.
Для научных работников, аспирантов и студентов вузов, специализирующихся
в области механики деформируемых твердых тел, может быть использована
специалистами по физике и химии поверхностных явлений.
Ил. 19. Библиогр.: с. 183—193.
Ответственный редактор #. //. БУРАК
Рецензенты И. Р. ЮХНОВСКИЙ, В. А. ОСАДЧУК
Редакция физико-математической литературы
_ 1703040000-030 tnn ое
П М221(04)-85 ,62-85
© Издательство «Наукова думка», 1985

ПРЕДИСЛОВИЕ
Каждое материальное тело имеет границу, отделяющую его от других тел. В
классических моделях механики сплошных сред эту границу называют поверхностью,
обычно представляя ее как математическое понятие — двухмерное многообразие.
Известно, что состояние приповерхностных слоев реальных тел существенно
отличается от состояния внутренних их слоев вследствие различных условий
взаимодействия материальных частиц, а также в силу ряда других причин. Таким образом,
возникает приповерхностный слой, физико-механические процессы в котором
отличаются от таковых в глубине тела и который естественно моделировать тонкой
оболочкой. При этом наряду с явлениями в объеме естественно выделять и
рассматривать поверхностные явления, протекающие в этой оболочке. С точки зрения механики
основополагающими понятиями здесь являются поверхностная энергия и
поверхностное натяжение, восходящие к работам Сегнера, Лапласа, Юнга.
Поверхностные явления — важный объект изучения, поскольку именно через
поверхность осуществляется взаимодействие тела с окружающей средой, и это
взаимодействие зависит не только от состояния внешней среды и тела, но и от свойств и
состояния разделяющих их поверхностей. Поэтому поверхностные явления влияют на
поведение тел, в частности деформируемых твердых тел; в связи с этим представляет
интерес количественное описание как самих явлений на поверхности, так и их
влияния на поведение тел в целом, описание, основывающееся на фундаментальных
законах механики и других смежных наук.
Классическим примером такого подхода является теория распространения
трещин в деформируемом твердом теле, в частности в идеально упругом теле. Здесь,
как известно, основная характеристика процесса — энергия образования
поверхности. Собственно, вся новизна упомянутой теории привносится в нее именно вместе
с понятием поверхностной энергии; это позволило, максимально используя
классический аппарат теории упругости, сформулировать новое фундаментальное
направление, связанное с процессами разрушения твердых тел.
Отметим, что приведенный пример, иллюстрирующий роль состояния поверхности
в процессе разрушения деформируемых твердых тел, по-видимому, единственный в
рамках модели идеально упругого тела. Влияние поверхностного натяжения на
состояние идеально упругого тела, как правило, не учитывается, так как оно
практически незначительно в сравнении с влиянием других нагрузок. Это натяжение не
обеспечивает превращение поверхности идеально упругого тела в сферическую или,
например, не приводит к захлопыванию внутренних полостей в идеально упругом
теле, как это происходит в жидкости. Указанное различие в поведении
деформируемых твердых тел и жидкостей под действием поверхностного натяжения объясняется
ограниченностью модели идеально упругого тела, проявляющейся, в частности, в
том, что деформация идеально упругого тела приводит только к изменению
расстояния между его материальными точками и не допускает, например, их взаимный
обмен местами. При этом следует отметить, что модель идеальной жидкости занимает
другое крайнее положение: в то время как в идеально упругом теле полость
устойчива и существует сколь угодно долго, в идеальной жидкости она неустойчива и
захлопывается практически мгновенно — время ее закрытия определяется лишь
инерционными свойствами среды.
3

Вместе с тем в жидкости, обладающей вязкостью, этот процесс развивается во
времени: если в идеально упругом теле силы упругости уравновешиваются действием
поверхностного натяжения, а в идеальной жидкости вообще не возникают
противодействующие ему внутренние силы, то силы вязкости лишь тормозят
процесс/обусловленный действием поверхностного натяжения, превращая его в развивающийся во
времени релаксационный процесс.
Очевидно, что такой процесс возможен и в деформируемом твердом теле, если мы
освободимся от требования идеальной упругости и наделим рассматриваемое тело
вязкостью. Вязкое поведение твердых тел хорошо известно, однако механизм,
обусловливающий это явление в твердом теле, отличен от механизма вязкости в
жидкости, связанного в основном с тепловым рассеянием энергии. В то же время в основу
релаксационных свойств твердого тела можно положить очень важный физический
процесс диффузии вещества, который, в отличие от идеально упругого тела,
разрешает частицам взаимно обмениваться местами.
Этот пример, как и значительные различия в скорости объемной и
поверхностной диффузии, показывает, что при исследовании поверхностных явлений в
твердых телах естественно рассматривать более полные их модели, учитывающие
наряду с механическими и другие процессы, в частности процессы диффузионно- ■
го типа.
Приходится констатировать, что именно отсутствие более полных моделей в
определенной мере сдерживало развитие количественных методов исследований по
механике поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. Формулировка „
таких моделей, как известно, требует привлечения современных методов термодина-*-
мики необратимых процессов, механики континуума, представлений других
смежных наук. Идея о взаимосвязи процессов деформации и диффузии восходит к работам
[33, 118, 149]. К настоящему времени в этом направлении получены обширные
теоретические и практические результаты, часть из которых освещается в данной
монографии.
Обычно в механике деформируемых сред говорят о континууме, занимающем
некоторый объем, ограниченный соответствующей поверхностью. Из такого
определения следует, во-первых, что рассматривается множество материальных точек,
имеющих ненулевую трехмерную меру Лебега (геометрическую меру); во-вторых, что
граничная поверхность моделируется математическим понятием — двухмерным
многообразием, роль которого сводится к ограничению рассматриваемого материального
тела в конфигурационном пространстве. В таком представлении понятие поверхности
полностью исчерпывается геометрическими свойствами и не содержит в себе
физических или других свойств, аналогично как и понятие объема, занятого телом. Этого
было достаточно до тех пор, пока мы не учитывали физические процессы на
поверхности. Действительно, исследуя закономерности протекания физических процессов
в объеме, занятом телом, мы наделяем это тело определенными физическими
свойствами. Совершенно очевидно, что такой же подход должен использоваться и при опи- .
сании граничной поверхности тела. Таким образом, мы приходим к представлению
о двухмерном материальном континууме — материальной поверхности, имеющей
ненулевую двухмерную меру Лебега; аналогично можно ввести представление об
одномерном материальном континууме — материальной линии.
Математическая теория меры [32, 121] и, в частности, ее приложения к
аксиоматике сплошных сред [117, 142, 154, 160] играют важную роль при изучении
поверхностных явлений, поскольку именно на этой основе можно дать адекватное
определение объемных и поверхностных плотностей физических характеристик
континуумов различной размерности. Такой подход является, в частности, естественным
обобщением классических представлений Гиббса о поверхностях, разделяющих
фазы [16].
В случае объемных тел построение модели завершается получением системы
дифференциальных, интегро-дифференциальных или других операторных
уравнений для определения состояния тела. В случае материальной поверхности
необходимо сформулировать аналогичные уравнения для определения состояния такого
двухмерного континуума. Более того, если рассматриваемая поверхность
—граница некоторого тела, то взаимное согласование этих двух типов уравнений позволяет
сформулировать некоторую неклассическую граничную задачу математической
физики.
4

Отметим, что в механике деформируемого тела уже давно используется понятие
двухмерного континуума. Это понятие лежит в основе теории пластин и оболочек,
которые моделируются двухмерными многообразиями, наделенными свойствами
механического сопротивления процессу деформации. Предметом теории оболочек
является исследование на основе такой модели напряженно-деформированного
состояния тонкостенных элементов. Заметим, что- основные двухмерные уравнения теории
оболочек получают, как правило, путем осреднения их состояния по толщине, т. е.
исходя из уравнений трехмерной задачи. В настоящее время развивается и другой
подход, состоящий в том, что оболочка рассматривается как двухмерный континуум
[163] и развивается соответствующая теория, как и для трехмерного континуума.
Моментные теории оболочек были одной из причин, побудивших Коссера [135]
ввести в рассмотрение моменты и в пространственном случае. Среди других причин
построения моментных теорий следует отметить внутреннюю логику развития
механики сплошных сред, а также все увеличивающуюся область применения теории —
зернистые среды, полимеры, жидкие кристаллы, биологические объекты и т. д.
Идея двухмерного континуума весьма плодотворна при изучении
поверхностных явлений, поскольку в данном случае возможно использование хорошо
разработанных методов теории оболочек. Отличие, в частности, состоит в том, что здесь
двухмерный континуум является равноправной составляющей системы тело —
поверхность.
Если система состоит из нескольких тел, так что их поверхности могут
пересекаться, то переходная область контакта этих поверхностей моделируется тонким
стержнем или одномерным континуумом, состояние которого отличается от состояния
контактирующих поверхностей или трехмерных тел.
Следовательно, мы приходим к проблеме моделирования физико-механического
состояния деформируемых твердых тел, представляющих собой взаимодействующую
систему трех-, двух- и одномерных материальных континуумов. Последовательному
изложению физико-математических основ такого моделирования посвящена
настоящая монография.
Обогащение и усложнение механических моделей, связанные с привлечением
новых понятий и представлений из смежных областей знаний, привели ко все более
широкому (зачастую нетрадиционному) использованию в механике сплошных сред
современного математического аппарата (тензорного анализа, топологии, теории
меры, теории групп, функционального анализа и т. д.). В частности, естественным
математическим аппаратом для изучения поверхностей и кривых в пространстве служит
дифференциальная геометрия, необходимые сведения из которой изложены в гл. 1.
В основе кинематики сплошных сред, рассматриваемой в гл. 2, лежит
представление о конфигурационном и материальном многообразиях и о движении как их
взаимном параметрическом отображении. Поскольку до настоящего времени не
существовало единого подхода к построению физико-механических моделей для
материальных континуумов различной размерности, авторы столкнулись (особенно в
гл. 2) с определенными трудностями в выборе обозначений и терминологии. С целью
унификации последних координаты в конфигурационных и материальных
многообразиях названы эйлеровыми и лагранжевыми и обозначены соответственно хк и £*
в трехмерном, уа и у\а в двухмерном, г и £ в одномерном случаях; коэффициенты
связности IV, G£p и Г^., G^p названы соответственно эйлеровыми и лагранжевыми
коэффициентами связности, а использующие их ковариантные производные V/j, Va и
^ь ^а — соответственно эйлеровой и лагранжевой ковариантными
производными. Кроме того, авторы использовали термины «эйлерова» и «лагранжева»
производные по времени вместо традиционных «локальная» и «материальная».
Отметим, что развитый в гл. 2 аппарат дифференцирования по времени
тензоров, заданных в трехмерном евклидовом пространстве, на поверхностях и кривых,
движущихся в трехмерном пространстве, можно использовать и при исследовании
распространения волн, фронта пламени, в теории пластического течения и
разрушения, при построении континуальной теории подвижных несовершенств'
кристаллической структуры и т. д.
Единый подход к материальным континуумам различной размерности дает
возможность сформулировать соответствующие балансовые уравнения, рассмотренные
5

в гл. 3. Оказалось, что из уравнений баланса количества движения и момента
количества движения двухмерного континуума как частный случай следует
классическое уравнение Лапласа, связывающее скачок давлений при переходе через
поверхность раздела двух сред с поверхностным натяжением, а из соответствующих
уравнений для одномерного континуума — классическое уравнение Юнга, связ^ывающее
между собой величины поверхностных натяжений контактирующих поверхностей и
краевой угол.
В гл. 4 при изложении термодинамики материальных континуумов различной
размерности за основу приняты характеристические функции параметров
состояния — равновесные потенциалы и характеристические функции параметров
процесса — кинетические потенциалы. Соотношения Гиббса для равновесных потенциалов
и аналогичные соотношения для кинетических потенциалов позволяют записать
соответствующие уравнения состояния и уравнения процесса. Дан также вывод
формул Херринга и Шаттлуорса и их разновидностей.
В этой главе проводится еще одна важная идея, состоящая в следующем. При
переходе от идеальных жидкостей к деформируемым твердым телам в качестве
параметров механического состояния вместо давления р используется тензор напряжений
а, вместо поверхностного натяжения о2 — тензор поверхностного напряжения а2,
вместо линейного натяжения aL — тензор линейного напряжения oL. С этим
аспектом тесно связан также вопрос о химическом потенциале твердых тел. Естественно,
что во многих случаях вполне достаточно ограничиться скалярным химическим
потенциалом. Вместе с тем отметим существование ряда концептуальных трудностей,
возникающих при использовании скалярного химического потенциала для твердых г
тел и устраняемых введением соответствующей тензорной величины. Тензорный
характер химического потенциала и концентрации может оказаться существенным
именно на поверхности твердого тела вследствие определенной ориентации молекул
и упругой поляризации на границе.
В гл. 5 получены разрешающие системы уравнений, сформулированы
соответствующие краевые задачи математической физики, проанализированы различные част- .
ные случаи.
Мы сделали больший акцент на изложении общего подхода к построению физико-
механических моделей материальных континуумов различной размерности, не
ставя перед собой цели отразить исследования конкретных задач и ограничивая выбор
примеров в гл. 6, 7 стремлением проиллюстрировать роль взаимосвязи механических
и физических процессов при изучении поверхностных явлений в деформируемых
твердых телах.
В заключение отметим, что построение книги, ее содержание и подбор
материала обсуждались авторами совместно. Вклад первого автора весомее в
трехмерном случае (некоторые общие идеи построения континуальных моделей механики
сплошных сред, тензорный характер концентрации и химического потенциала,
введение кинетического потенциала, ряд конкретных моделей и т. д.); результаты,
касающиеся двухмерного и одномерного случаев (свойства набла-операторов,
балансовые уравнения, обобщенное уравнение Юнга, построение соответствующих
континуальных моделей, решение ряда прикладных задач и т. д.), принадлежат в
основном второму из авторов.

Глава 1
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ геометрии
В настоящей главе кратко излагаются основные сведения из
тензорного анализа в трехмерных евклидовом пространстве и пространстве
аффинной связности.
Большое внимание уделяется также двухмерным и одномерным
многообразиям (поверхностям и кривым), вложенным в трехмерное
евклидовое пространство. При этом операции тензорного анализа
(градиент, дивергенция, ротор) в евклидовом пространстве
записываются в символическом виде с помощью набла-оператора Гамильтона
V, правила действий и свойства которого хорошо известны. На
поверхностях и кривых можно ввести соответственно поверхностный и
одномерный набла-операторы, правила действий с которыми имеют
свою специфику, обусловленную кривизной рассматриваемых
многообразий. Некоторые результаты относительно применения
операторов V2 и V/, получены впервые и позволяют, в частности, дать
элементарный вывод уравнений совместности деформации поверхности.
С помощью набла-операторов в компактном виде записываются
различные варианты формулы Гаусса — Остроградского и ее
аналогов для поверхностей и кривых, вложенных в трехмерное
евклидовое пространство.
Более подробно с соответствующим материалом можно
ознакомиться в работах [35, 40, 41, 111, 175].
1.1. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ В ТРЕХМЕРНОМ
ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Рассматривая радиус-вектор г точки трехмерного евклидового
пространства как функцию ее криволинейных координат г (х1, х2, а:3),
введем векторы локального базиса {э}
с помощью которого произвольный вектор однозначно записывается
в инвариантном виде
v.= Л* й=1, 2, 3, (1.2)
где vk — его компоненты в базисе {э}.
7

Рассматриваемое множество векторов составляет трехмерное
линейное пространство L. /
Линейное отображение w : L -> Р линейного пространства L в<
поле Р называется линейной формой; w (v) — значение /линейной
формы w на элементе v. Множество линейных форм образует
линейное пространство L*, называемое сопряженным пространством (ко-
пространством).
Семейство линейных форм эт, значения которых на векторах эк
базиса пространства L определяются формулой
,>»)=«■, в-[\ -;* 0.3)
составляет базис копространства L*, и, следовательно, любой элемент
w £ L* однозначно представляется в виде
w = ы>тэт, т= 1, 2, 3. (1.4)
Здесь wm = w (эт) — компоненты ковектора в базисе эт.
Билинейное отображение g : L X L ->- Р называется скалярным
произведением (g (\ly v2) — значение отображения на vx, v2 £ L).
Вместо g (Vi, v2) обычно пишут v, • v2.
Симметричное положительно определенное скалярное
произведение приращения радиуса-вектора
dr = йх*эк
на себя самого
dr2 = dr • dr = gijdxtdxi, gV/ = э£ • эу, (1.5)
определяет метрику, превращая линейное пространство L в
евклидово пространство Е.
Рассмотрим также линейные пространства, называемые тензорным
произведением линейных пространств
TPQ(L) = L® ... ®L®L*® ... ®L*. (1.6)
Р я
Базисом тензорного произведения р линейных пространств и q
копространств является тензорное произведение их базисов
CSpq = 9kl ® • • • ® эЛр ® эпч ® • • • ® э"Ч (1.7)
и произвольный элемент тензорного произведения Трд (L) — тензор
Jq £ Тд (L) — представляется в инвариантном виде
lq — 1 mi...mq3kl...kp » V1-0;
переход от ковариантных индексов к контравариантным
осуществляется с помощью метрического тензора
g = gifl* ® э' = gtp'i.
8

"] Для сокращения записи знак тензорного умножения ® опускают
Й пишут
\ Г, = 7*"* W*« ... э*/» ... в\ (1.9)
Обычно опускают также индексы р и q, указывающие валентность
тензора Т.
При замене системы координат
**' = jca-(я*) (1.10)
векторы базисов преобразуются по закону
my..mq = щ..м^..Л т, от
А,...Ар ml...mqkl.../tp Я,-ЯР
(1.12>
а компоненты
где
тензоров
у*!-
от,.
Ар /
WJ...J
л£
..mqkt..
..mqk{..
mV
t
•kP
по закону
_ Л{...крту
kx...kpmv
-*£- А
/
"^/П! • • •
••mqTki-kp
..t?lq
k _ dxk
дхя
AmqAk)
ЛтяЯк\ 'e •
••w<7»
A?.
(1.13)
Если рассматривать тензорное произведение двух наборов линей-
ных пространств различной размерности L, L* и М, М*
W£rs(L, M) = L® ••• ®L®L*® ... ®L*®
®Л1® ... ®М®ЛР® ... ®Л4*, (1.14)
то его элемейтами будут так называемые смешанные тензоры VJpq\rs £
£ Wpq\rs (L, M), которые представляются в следующем инвариантном
виде:
W^^^-V^Vii.a*,® ••• ®%®
® эт^ ® ... ® ътя ® aXl ® ... ® ахл ® а^» ® • • • ® а^ =
_ k^kp x,..xr rn^.m *.. »s
— W mx...mq )xt...VL*kt...kp 09 aXl...xr. ^1.10|
Здесь sk и эт — сопряженные базисы пространств L и L*; ах и а*1 —
сопряженные базисы пространств МиМ*.
При замене систем координат в соответствующих пространствах:
xv ^ д*' ^ ^ = ^ (^х) (1 16)

элементы базиса и компоненты смешанных тензоров преобразуются
по закону / |
Э ' ' <£> d ' ' — /1 / /£) ' 'Э/г ь (&> ^Ki.-.x-»
/ej.-./fp Xj...xr ml...mQk[...kp ^.^^{..Мг P r
mx...mq H\...lis kt...kpm{...mq
где Л l" pm>'" 9 определяется формулой (1.13),
k1...kpmv...mq
Rx' __ ду*' rK __ ду*
Прямая сумма
Us
ат? = ау*~\..м э» = (йт*-V.mj « а.н»
T(L)= <g> TJ(L)
Р,<7=0
всех линейных пространств Тр (L) составляет тензорную алгебру
линейного пространства L, в которой введены операции:
1) сложение тензоров, определяемое формулой
D ~ _ ki...k tnx...mn ntkx...kn tni...m
Kq = Tg -{- bg = T m1...mqSki...k + *b ml...mq9kt...kp =
= (T Pmx...mq + S Pm,...mq) ^kx...kp = R Pmx...mg3kx...kp\ (1.18)
2) умножение тензора на число а £ Р
n*K„kpq) = (аГ pmi v, _ p
3) тензорное (внешнее) умножение тензоров, определяемое
формулой
Rfts =rq®Srs = Tl "«,...„, э*,'...*' ® s ",..",9',.../, =
Я P ь r
kx...k lx...lr ml...mn1...ns kx...kp+r mt....mq+s
= 1 mx...mb п1...пЭк1...кр11...1г =H mt...mg+s9kl...kp+r - (1.20)
Операция свертки по индексам k( и т} определяется отображением
fijp\ - T^-kc-inkl+v..kp ^-f/-И+1;:т* n 2n
\\\g)—i ml...mj_lnnij+i...m(9kl...ki__\ki+l...kp • U-^U
Представляет интерес частный случай операции умножения —
внутреннее произведение тензоров, вытекающее из операций
внешнего умножения и свертки: внутреннее произведение по индексам ki9
i0

fij тензоров T£ и Srs определяется отображением
X О п1...л/_1пл/+1...п8Эл1...л/_1^+1...у1...^ . Ц-")
Необходимо отметить также операцию образования изомера,
которая лежит в основе симметрирования и антисимметрирования
тензоров. Операция образования изомера состоит в перестановке
верхних или нижних индексов в компонентах тензора. Очевидно, что для
тензоров типа Т£ существует p\q\ изомеров.
Если при перестановке двух индексов тензор не изменяется, он
называется симметричным по этим индексам; если при перестановке
двух индексов изменяется только знак тензора,— антисимметричным
по этим индексам. Тензор, симметричный (антисимметричный) по всем
индексам, называется абсолютно симметричным (антисимметричным)
тензором.
Наряду с тензором Т = 7\тэ*эт можно рассмотреть
транспонированный тензор Тг = ТктЭтэку получающийся из тензора Т
перестановкой векторов базиса. Поскольку в данном случае оба вектора
базиса равноправны, то транспонирование сводится к перестановке
индексов, т. е. к образованию изомера. В общем случае операции
транспонирования и образования изомера не идентичны.
Произвольный тензор второй валентности можно разбить на
симметричную и антисимметричную части
Т = Ts + Тл = Т(кт)экэт + Т[кт]экэт. (1.23)
Здесь
T(ktn) = ~2 Wkm + Tmk)y T[ktn\ = ~Y {Tkm — Tmk).
Симметричная часть тензора Т представляется в виде суммы
шарового тензора и девиатора
Is = 4- (tr Т5) g + Dev Ts, (1.24)
где
trTs = g:Ts = T**, DevTss=Ts — -L(trT5)g.
Символ : используется для обозначения двукратного внутреннего
произведения, причем каждый раз свертка осуществляется по
индексам соседних векторов базисов сомножителей
а: Ь = актэкэт: Ьгзэгэ5 = ашЬтк,
тогда как
&Т :Ъ = akmbktn.
Важным примером абсолютно антисимметричного тензора является
тензор Леви-Чивита е = е*/*э''* = е'/*э*/л с компонентами
е//* = gl/*ijk, е"* = £-1/§е"*. 8 = det 18и I- < 1 -25)
11

Здесь
еФ = \
1, если подстановка
— 1, если подстановка
1 2
/
2
V /
О — в остальных случаях.
четная;
нечетная;
/
/
Величины elik определяются аналогично е*/*.
С помощью тензора Леви-Чивита в трехмерном евклидовом
пространстве можно записать зависимости
э, X эу = е*/Лэ*, э1" X э' = е"*эл,
э* = ~y г(1кэ{ х эу, эл = -g- гцкэ{ х э',
(1.26)
определяющие векторные произведения векторов базисов.
С абсолютно антисимметричными тензорами тесно связаны
обобщенные символы Кронекера
u/m/г — ь ь/тл» ит/г — & «чтя — vimn^
для которых справедливы следующие равенства:
О/ от 0„
.*'*. -
6lmn
в{ 64 б/
6R с* с&
/ от 0„
= О* — sis;
'т,
64 6>
6/г с/г
т 0Л
Oi/n = в 6t*yrt = Z0nt
Используя тензор Леви-Чивита, антисимметричной части Г4
тензора Т = Т*тэ*эт можно поставить в соответствие вектор Т:
Т = 4"£ : тЛ> Тл = — е Т,
Г' = 4-е'/лГ|
[*/]»
^['Л =
ЪцкГ .
(1.27)
В качестве полной системы независимых скалярных инвариантов
симметричного тензора второй валентности можно выбирать,
например, величины
/грГП ж* rpk грГП г* rrik rrttn rptl
l = 1 .m, J2 = 1 .mI .*, /3 = i -m* n' Л
ИЛИ Г __ >TV?I j 1 At/ rpk rpm
/1 с I/ /T-l/f rpffl
2 = "J" °*m* il •/»
/з = -g- 6<™r • <Г"г"а = det IT • /' I-
12

Очевидно, что инвариантная функциональная зависимость f (Т)
от тензора Т представима в виде функциональной зависимости от его
инвариантов / (Iu 1\, й) или / (Il9 /2, /8).
Решения характеристического уравнения хъ — 1хх2 + 12х — /я =
= 0 называют собственными значениями симметричного тензора
второй валентности.
Согласно теореме Гамильтона — Кели о том, что матрица
удовлетворяет своему характеристическому уравнению, имеем
|г*тг-/1||г*т|г + /2«г*т|-/з|а*|| = о,
где || Т.т || — матрица тензора Т.
Как видно из инвариантного представления (1.9), для того чтобы
найти производную дТ/дх1 тензора Т по координате х1> необходимо
знать производные векторов базиса. Последние определяются с
помощью коэффициентов связности Тц по формулам
-Jf = I?,3m, 2£L = -T?#k. (1.28)
дх1 дх1
В случае евклидового пространства из тождества
и г — и г (129)
дх'дх* дх'дх1 V * '
следует симметрия коэффициентов связности по нижним индексам:
Г?, = Tk».
Дифференциальные операции над тензорами удобно записывать
с помощью набла-оператора Гамильтона
v = 3ft-£r- (1-30)
Например, для скаляра ff вектора v, тензора второй валентности Т
операции градиента, дивергенции и ротора определяются следующим
образом:
grad v = Vv = э* —^т- = V^m3*3m,
дхк
Vkvk,
дхк
rot V = V X V = 3* X -^V = Ъ^У/РтЭп* 0 -3 О
дхг
grad Т = VT = э* -£L = ^A'u,
div Т =-- V • Т = э* • -|L = Vftr*m9,„,
rot Т = v X Т = э* X -^- = e.*m,VkTmfifl».
13

Здесь
Vkvm = -^—rnkmvn, ' (1.32)
дТт
VkTmn = -ф + ТТРТрп - TpknTmp
— компоненты ковариантных производных соответствующих тензоров»
Легко проверить, что в случае евклидова пространства
V*gm„ = 0, Vkgmn = 0, V„6£ = 0, (1.33)
и коэффициенты связности выражаются через компоненты
метрического тензора:
Tk _ gkm (dgm{ dgmj d8i,\
Используя (1.33), находим
Vk*imn = 0, V*e"™ = 0. (1.35)
Коэффициенты связности не являются компонентами тензора и
при замене системы координат преобразуются по закону
rfr^AWbtii + Af-^fi-. (1.36)
Приведем необходимые правила действия набла-оператора на
произведения величин
VtfA) = AV/ + /VA,
V(/v) = (V/)v + /Vv,
V • (/v) = (V/) • v + f4 • v,
V X (/v) = (V/) x v + /V x v,
V(/T) = (V/)T + /VT,
V • (fT) = (V/) . T + /V • T,
V x (/T) = (V/) x T + /V x T,
V • (vw) = (V • v) w + v • (Vw), (1.37)
V (v • w) = (Vv) • w + (Vw) • v,
V x (vw) = (V x v) w — v x (Vw),
V • (v x w) = w • (V x v) — v • (V x w),
V x (v X w) = w • (Vv) + v (V • w) — w (V • v) — v • (Vw),
V • (Tv) = (V • T) v + Tr • (Vv),
V (T • v) = (VT) • v + (Vv) • Tr,
V • (T • v) = (V • T) • v + Tr: Vv.
14

Здесь /, h — скаляры; v, w — векторы; T — тензор второй
валентности.
Формулы дифференцирования радиуса-вектора имеют вид
Vr = g, V • г = 3, V х г = О,
V . (Т X г) = (V • Т) X г + с : Т, (1.38)
V . (г X Т) = — г • (V х Т),
кроме того, очевидна формула
V • (g х v) = V х v.
Повторное применение набла-оператора приводит к следующим
выражениям:
grad grad / = VV/ = V* VJsV»,
div grad / = V . V/ = Д/ = g™VmVnf,
rot grad / = V x (V/) = 0,
grad grad v = VVv = VkVmvnsk3man,
grad div v = V (V • v) = VkVmvm3k9
div grad v = v • (Vv) = Av = g,mnVmVny/f3Aj,
grad rot v = V (V x v) = ekmnViVmvn9i9k9
rot grad v = V x (Vv) = 0,
div rot v = V . (V x v) = 0,
Tot rot V = V X (V X V) = gMbiqk^VpVmV,?1. (1.39)
Последнюю формулу можно представить в виде
V х (V х v) = V (V . v) — Av. (1.40)
В евклидовом пространстве ковариантные производные
коммутируют:
VkViT^n-ViVkT^n^O. (1.41)
В неевклидовом пространстве, когда векторы базиса не
существуют как функции точки, коэффициенты связности в (1.32) не
задаются соотношениями (1.28), а выбираются произвольно. В этом случае
ковариантные производные не коммутируют и выполняются
соотношения
V*V/rm„ - V, VkTmn = RkiPmTpn - RklnpTmp - 2SklpS7pTmn, (1.42)
гДе Rkimn = 2д[*Г?)т + 2Г"Л| p |Г?]т — компоненты тензора кривизны
пространства; dkTnlm = -^- , Sl7* = -i- (Г& — Гкц) — компоненты
тензора кручения.
В неевклидовом пространстве поле метрического тензора
задается произвольно, и из выражения для ковариантной производной
1S

компонент метрического тензора можно получить соотношение
г?7 = {* } + s„?-5Д -st4, + 4-(Quk + Qm - tf */)•/
Здесь | .. | — символы Кристоффеля второго рода,
+ •
ij J 2 \ d*' дх? dxn
Если метрический тензор переносится параллельно, т. е.
kg =-Qk = о,
TO
r?/ = {y} + s<*-sA-s«?/.
В римановом пространстве по определению кручение Sij. = 0,
и связность ассоциируется с метрикой, т. е.
lty~b7
1.2. ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Поверхность, рассматриваемая как двухмерное дифференцируемое
многообразие, вложенное в трехмерное евклидово пространство,
определяется тремя уравнениями
x'=x'{tf, у\ (1.43)
где уа — криволинейные координаты на поверхности. В дальнейшем
индексы, обозначенные латинскими буквами, принимают значения
1, 2, 3; греческими — 1,2.
Поскольку поверхность вложена в евклидово пространство, то
существует радиус-вектор г точки этого пространства, и на
поверхности его можно представить как функцию координат уа:
г = т{у\ у2). (1.44)
Частные производные
а«=-^Г (1.45)
определяют базисные векторы касательного пространства.
Обозначим базисные векторы кокасательного пространства через аа; аар —
ковариантныё; ааР — контравариантные компоненты метрического
тензора касательного пространства (метрического тензора на
.поверхности):
flap = а« • ар, ааР = аа • а*.
16

Таким образом, определяется первая фундаментальная
квадратичная форма поверхности
\ = aatdy«dyb. (1.46)
Базис тензорного произведения локальных касательных
пространств определяется по формуле
Pf-Pg 3i Р?
аа,...ар:=за1 ... аа^а ...а ,
и для тензоров на поверхности (поверхностных тензоров) справедливо
инвариантное представление, например
t = / Vva-v (L47)
При замене системы координат на поверхности уа' = уа' (уа)
векторы касательных базисов и компоненты тензоров относительно этих
базисов преобразуются в соответствии с формулами
&а' = ^а'аа» а = ^а а »
aei-A-^--V'--V;^, (1.48)
ai...ap aj. .ар0,...р^ Р
Здесь
щ...ар а|...арр,...Рд а,...а
J ' » = £> ' '£ ft. ft.
0,...Эа а1...ар0,...0<7 Pl'P<7
Ra' дуа' да <V*
£>а = Л „ , #а' =
B*raf\"*< = BK ... sVft1'... в£
a,...app1...39 а, ар Pl Р«
В случае поверхности, вложенной в трехмерное евклидово
пространство, наряду с векторами касательного базиса можно ввести
вектор единичной нормали п:
П = -J- 8(ХРаа X Ч = 4"8аРа<Х Х а?- (!*49)
Для векторов аа, sfi и п выполняются следующие соотношения:
аа = eapaft х п аа = Еара3 х п
аа X а3 = eapn, аа х а*5 = ea^n,
а« X n = Zfiabfi, аа х n = ePaaft,
где еар и еаР —- компоненты поверхностного тензора Леви-Чивита е2,
е«з = а1/2еаз, еар = а-1/»еаР, а = det || ааз |. (1.50)
Здесь е12 = 1, е21 = — 1, еи = 0, е22 = 0.
Обобщенный символ Кронекера на поверхности определяется как
произведение тензоров Леви-Чивита
к «2
саЗ ..ар
07л = ь fcYx =
б?бК — в"в?.
2 4—1372
17

С = eaBeav = 6?, (1.51)
6$ = eapea3 = 2. /
Вторую формулу (1.51) можно преобразовать к виду у \
Таким образом, в точках поверхности, вложенной в трехмерное
пространство, можно рассматривать два базиса: базис {а} с
элементами аа, п и базис (э) с элементами э*. Из соотношений (1.1), (1.45)
следует, что на поверхности векторы аа и эк связаны между собой
зависимостями
аа= -^гэ/г = 4э/г, (1.52)
k дх*
где ха =
Следовательно, между компонентами метрических тензоров аа$ и
gij в точках поверхности существует связь
Я<хЗ = *a4g*7- (1-53)
Связь между векторами базисов* {э} и {а} задается формулами
откуда следуют соотношения, дополняющие зависимость (1.53):
gt! = xlaxfa[* + nlh!. (1.55)
Из формул (Г.53) — (1.55) вытекают следующие выражения для
сверток:
С помощью соотношений (1.52) формулу (1.49) можно переписать
Так:
,,..,...„. п =-2" е^е^^рэ*
или в компонентах
я* = ~y ъа*гцкХ*ахЬ. (1.56)
Из формулы (1.56) на основании равенств (1.51) следует
Тензоры, заданные в точках поверхности, можно представить в
двух базисах: в {а}
■'" Т = ТаРааа3 + Га(г°аап + Т(п)апз^ + Т{п){п)пп, (1.57)
где индекс п взят в скобки, чтобы отметить, что он не является
индексом суммирования; в {э}
Т=Г*тэЛэт. (1.58)
18

Тензоры, заданные формулой (1.58), могут представлять собой
сужение соответствующих тензоров, заданных в трехмерном
пространстве, на вложенное в него многообразие х? = х[ (уа).
Любой поверхностный тензор t = /арааа'3 можно, основываясь на
соотношениях (1.52), одновременно рассматривать в базисе " {э}, а
именно Т = Т.тэкэп1, где
Tk — rkxPtaa
С помощью разложения (1.54) любой тензор Т = Тктэкэт можно
отнести к базису {а}, причем
* ' " гръ ^nirpk Та(п) (х mTk
1 -Р = X/iX$ I m, 1 = ХьП I m,
l (л)3 =т-Лл*з/ •«» J = ПкП l -m-
В частности, тензору T = Т*тэиэт можно поставить в соответствие
jero «проекцию» на поверхность
Т" = Пааа * = х1х$Тк.м\ . (1.59)
Существование двух ; типов пространств — трехмерного евкли-
дового и касательного к вложенному в него двухмерному риманозу --
позволяет рассмотреть их тензорные произведения (1.14) и определить
смешанные тензоры на поверхности: при замене систем координат по
Ьдной группе индексов их компоненты изменяются как компоненты
тензоров в трехмерном пространстве, по другой — как компоненты
поверхностных, тензоров в базисе касательного пространства.
Например, ^ ,
W =- Г^ЛЛ
Wa'v*m, = BgBl-Al'A^W*^. (1.60)
Типичным представителем смешанных тензоров является тензор с
компонентами Ха.
Для смешанного тензора второй валентности Т = Га/гааэ/г
существует транспонированный тензор ТГ = Гх\аа, получающийся из
исходного тензора Т перестановкой векторов базиса (но не
перестановкой индексов!).
Тензор второй валентности t = ta^dfi можно разбить на
симметричную и антисимметричную части
t = ts + t'4 = ^B)aaae + /[aP,aV>
'<ае> = 4" <'«э +'**). *[«3) = 4" ('«*-'**)• (1'61)
В свою очередь,
*S = -5- (tr2*S) a + Dev2 ts. (1.62)
Здесь trsts = a : ts = t%, Dev2 ts = ts - ^- (trsts) a.
2*
19

Как и в пространственном случае, антисимметричной части l/1
тензора t можно поставить в соответствие вектор t, направленный по
нормали к поверхности, с компонентой 1{п) (ср. формулы (1.27) и
(1.63)): /
?Ю = ^ J«ka^ ^ = _ JCn,^ (L63)
В качестве независимых скалярных инвариантов тензора ts
можно выбрать
/»Z = /aa, I*2Z=tY.a, (1.64)
или
/|Z = tfx, /2Z = 4" вФ?<Л = det i Ъ I (J '65>
Собственные значения симметричного поверхностного тензора t
определяются из характеристического уравнения х2 — /цх + /22 =
= 0, а на основании теоремы Гамильтона — Кели для (2 X 2)-мат-
риц
»/аэ|2-/.2|^|+/22|б^|=0э (1.66)
где || fap || — матрица тензора t.
Для дифференцирования по координате тензорных полей,
заданных на поверхности в базисе {а}, необходимы производные векторов
аа и нормали п (деривационные формулы Гаусса — Вейнгартена)
ду*
Здесь Glfi — символы Кристоффеля,
flv*. / дааХ да^ daafi
-0*У + Ь*п, (1.67)
ha?, — компоненты второй фундаментальной квадратичной формы
поверхности
11 = bavdtrdy*. (1.68)
Поскольку
<?2г = дЧ
дуаду* ду*ду« ' К ' '
то Ьар, и, очевидно, Gap симметричны по нижним индексам.
20

Векторы базиса {э} также можно продифференцировать по
криволинейным координатам на поверхности:
*» м v -**<**» (170)
дэт дэт дх1 Jrm*k
дуа дх1 ду[
Поверхностный набла-оператор [175]
VS = a«-^- (1.71)
позволяет определить на поверхности следующие дифференциальные
операции для скаляра f, поверхностного вектора v и тензора второй
валентности t:
gradz/ = Vr/ - -^-а* = VJaa,
ду
grad2 v = V2v = aa —— == Vaypaaap + &apyPaan,
dy
dv
div2 v = V2 - v = aa - —— = Wava9
dya
rot2 v = V2 x v = aa x —— = eafiVaVfit\ + ePa6^vap,
gradz t = V2t = aa-^- = Va/eva<*apaY + /Pvfeapa«naY + ^6aVaaa3nt
(1.72)
di vst = V2 • t = a« • -|V = Va/°% + /°%on,
di
rot, t = VzXt = a«x^ = e^V^na" + ea^vPaaap + s^nn.
Для тензорлв в инвариантном представлении (1.57)
дифференциальные операции определяются следующим образом:
grads v = V2V = аа JjjL = (у^ _ ^^ лэ + ^п) + ^ ^
divz v = V2 . v = аа • -*L. =, уааа - b%v{n\
дуа
rot s v = V2 x v = a" x JjL- = е«еуаУрп + еаР (&K + VBt/">) aa,
grad* T = V2T = a" -^- = (veT* - O*"" - ^T(")v) a%av +
+ (VPv + Var<"'v - bvaT(nm) aanav +
+ (bayT * + vj*"> _ biT^n)) a%n +
21

(1-74)
+ [6«э (Тт + Т(")р) + Var(n)(,?1] а«пп, / (1.73)
div2T = V2 • Т = аа • -Ц- = (VaTap - &рГа,,,) - ^Г1")3) а3 +
+ (fraPrap+Vara(")-^7'(n)("))n,
rotsT = VjXT.= aax4 = (V«7W- ^vrB(/1))eapna7 +
+ (ЬХаПу + Va7(„)v - bavT{nm) epaapav +
+ [&aV (Tvin) + T(,!)v) + VerJ',,ln,I ePaapn + (^T3v + V„TWn)) e-Pnn.
Для тензоров в инвариантном представлении (1.58)
grads v = V2v = Vav'aaBh
div2v = V2 • v = xfWav\
rot2 v = V2 X v = aape,ftmxpVau*3m,
grad2T = V2T = VaT/ima43m,
div2T^Vs.T = 4VaTfen9m,
rot2T = V2 x T = aahikmxlVaTknBmsn.
Для смешанных тензоров (1.60) имеем
gradx W = V2W = VeB??TV¥V" + 6aPrpv*maana Vm +
+ ^rpv*maaa3n3ft3m,
divx W = vs W = Varae*maVm + ЬрГаэ*тпэ*э*\ (1.75)
rot2 W = Vs x W = appeapVa№pv*mtiaVm + bpvt«vW%kmaaa\*'" +
+ аа^Ь^а(,ктПпэкэп.
В формулы (1.72) — (1.75) входят ковариантные производные
компонент тензоров на поверхности относительно базиса {а}
V<A = -т^г Н- Ф% - G£A; (1.76)
ковариантные производные компонент тензоров относительно базиса
{э}, представляющие собой смешанные тензоры
V*Tk.m = —-^ + 4Г?/Г.т ~ ^Г^/ (1.77)
и ковариантные производные компонент смешанных тензоров
VaW -v-m — —77—: T" UapVv -y-m — vayW .p.m -f- Xal i W .y.m —
-^rL^w- (1.78)
22

Если тензор Т, заданный на поверхности, представляет собой
сужение тензорного поля, заданного в трехмерном пространстве, на
многообразие х1 = х1 (уа), формулу (1.77) можно преобразовать к
виду
Var^ = 4v,r"m. (1.79)
Нетрудно проверить справедливость формул
VaePv = 0, VaePv = О,
Vae'/* = 0, Vae^.= 0. (1.80)
С помощью ковариантной производной третью формулу (1.67)
можно переписать в компонентах относительно базиса {э}:
Vank = -bUl (1.81)
Поскольку скалярное произведение векторов аа и нормали п равно
нулю:
аа • П = ХаЭ/ • п = xZfli = 0,
то, дифференцируя произведение хапс и используя формулу (1.81),
получаем
Va4 = V''. (1.82)
Вследствие риманова характера поверхности ковариантные
производные не коммутируют и
V«V/6 - VpVa/Te = RafiiytX6 ~ Rafi6Xt\ (1.83)
VaVprv6*m - V3VaWy6km = Ra^Wxbkm - RavfiWf.m, ( 1.84)
однако для компонент тензора, заданного относительно базиса {э},
VaV3r*m-V3Var*m = 0. (1.85)
Тензор кривизны Римана — Кристоффеля
Rafiy • = 2д[аР$]у -f 2G[a | р |Gfj]v (1.86)
в случае поверхности представляется в виде
Ra$y& = — /Cea|3Bv6, (1-87)
где К — гауссова кривизна поверхности,
/C = det||fc|||. (1.88)
Средняя кривизна поверхности Н выражается через свертку
коэффициентов основных квадратичных форм
2// = a.:b = flaPftftz = 6S. (1.89)
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности
.связаны между собой условиями интегрируемости Гаусса— Кодацци.
23

При их выводе будем исходить из равенства
-^г_ = -^- Л\ 90)
дуаду* ду%а ' /
Используя соотношения (1.67), (1.86), после дифференцирования
находим
Ra$y6 = Ь^Ьаь — Ьаф$Ы (1-91)
Умножая формулу (1.91) на е^и?6 и учитывая представление
(1.87), получаем
Сравнивая формулы (1.65), (1.88), (1.8Э), приходим к выводу, что
2Я и К — скалярные инварианты второй квадратичной формы
поверхности. По теореме Гамильтона — Кели (1.66)
bb — 2#Ь + Л;а = 0, (1.93)
откуда следует, что
b : b = 4Я2 — 2К.
Правила действия поверхностного набла-оператора на
произведения величин аналогичны правилам действия пространственного
набла-оператора (1.37) и имеют вид
Vz(/ft) = (Vz/)/i + fVz/2,
Vz(/v) = (Vz/)v + /Vzv,
Vz • (/v) - (Vz/) . v + /V2 • v,
Vz x (/v) ---= (Vzf) x v + /Vv x v,
Vz(/t)^-(Vz/)t + /Vzt,
V2 • (ft) = (Vz/) • t + /Vz • t,
Vz x (ft) = (Vs/) x t + /Vz x t,
Vz • (vw) = (Vz • v) w + v • Vzw,
Vz (v • w) = (Vzv) • w + (Vzw) • v,
Vz x (vw) = (Vz x v)w — v x (Vzw), - (1.94)
Vz (v x w) = (Vzv) x w — (Vzw) x v,
Vz • (v x w) = w . (Vz x v) — v • (Vz X w),
Vz X (v x w) = w • (Vzv) + v (Vz • w) — w (Vz • v) — v • (Vzw),
Vz- (tv) = (Vs. t)v + tr-(Vzv),
Vz(t.v) = (Vrt)- v + (Vzv)-tr,
Vz • (t . v) = (Vz • t) • v + t7: Vzv.
В формулах (1.94) тензоры, заданные в базисе а а, можно заменить
тензорами, заданными в базисах {а} или (э).
24

Приведем некоторые частные случаи формул (1.94):
V2n = — b, V2 • n = — 2H, Vs x n = U,
V2 • a = 2//n, V2 X a = e2 • b,
V2 x (/a) = (V2/) x a + /es • b,
V2 . (/a) = Vv/+ 2Я/П, (1.95)
V2 • (aT) = VST + 2//nT,
Vs • (a x v) = V2 x v + 2#n x v;
Vrr = a, Vs • г = 2, Vs x г = 0,
V2 • (T x r) = (Vz • T) x г + e: T — n • T x n, (1.96)
V2 • (r X T) = — r • (Vs X T).
Если тензор T является смешанным тензором второй валентности
X = Та1гааэк (именно такую структуру имеют тензоры напряжений
в двухмерном континууме), то
VS-(T xr) = (Vs- Т) х r + (ss:T)n — es • Т п. (1.97)
Наконец, для поверхностного тензора t
V2 • (t х г) = (Vs • t) х г + (8S: t) n. (1.98)
Применяя повторно набла-оператор, получаем соотношения:
в базисе (а)
grads grads / = V2Vs/ = VaV3/a«aP + ftgVp/a«n,
divs grads f = V2 • Vr/ = Д2/ = a^V^f,
rots grads / = Vs X (Vs/) = eaP6|Vv/aa,
grads grads v = VsVzv = [Va (Vpyv — &Pvu<">) —
- bay (Vpy"" + blvK)\ aaa V + Ы (Vvye - b^v{n)) aanap +
+ [bl (V„ov - btf>ln)) + Va (Ve»<n) + b}vv)} aaaBn +
+ ba(\6v<n) + blvy)iann,
grads divs v = Vs (V2 • v) = V« (Vpyp — ftgu(n)) aa,
div2 grads v = Vs • (V£v) = Д2у = aPv [Vp (Vvv„ bayvla)) —
- bati {Wyvn + bfrt)) aa + ap* jVe (VvU("> + %va) + b% (Vyva - bayv{n))] n,
(1.99)
gradv rots v = Vs (V2 X v) = ePv [VaVHi>v - *av(VBo(n) + $*)] a*n +
+ *Pv I V« (VvU(n» + 6«Ув) + ba VyV6 - biv6vy] a%,
rots grads v = Vs x (Vsv) = ee*ft$.(Ve0(J - 6ВбУ<">) aaap +
+ rtl(V/, + «s)aan,
divz rot2 v = V2 ■ (Vs x v) = eap^Vvy«,
25

rotz rotv v = Vz X (V2 x v) = ea3ev6 [VaVvu6 — 636 (Vyv(n) +'b)vK)]'aa —
- aa3 IV3 (Vai/'° + *&,Y) + 6gVai;v - bpyva\ n; /
в базисе {э} y/
grads grad^ v = VaV3u*aV^ + б£у3илаапэл,
grads div2 v = A-JVaVpuV + &£n*Vpu*aaf
divvgrads v = A2 v = ааРУаУр1>*эл,
gradvrotv v = EnkicFxfiaVbV1 + ^/2%u')aV, (1.100)
rotvgradv v = ea^J$Vyi/aa3fc,
divs rotz v = dikXkb%nFtvh
rotz rotv v = (xt&JJtv1 — ЛаУ^ + n^xfiaVt) э*.
Отличие приведенных формул от соответствующих формул. (1.39),
(1.40) определяется неевклидовостью поверхности, являющейся
двухмерным римановым пространством, обладающим кривизной.
Отметим, что
ro12 gradv, / = €2 . b • Vs/ ф 0,
rotv grad* v = 8S • b • Vzv ф 0, (1.101)
divv rot2 v = — b : f(V2v) x n] Ф 0;
A2v = Vz(Vv . v) —V2 x (Vs xv)-b- (Vzv). n + (b:V;Zv)n. (1.102)
При v = uaaa формула (1.102) примет вид
д2у - Vz (V2 • v) — Vz x (V2 x v) — 2#b • v + K\ + (b : V2v) n. (1.103)
1.3. КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Кривая, вложенная в трехмерное евклидово пространство, задается
уравнениями
х{ = хс (г),
где гх ^ z ^ z2— параметр, в качестве которого удобно'выбрать ее
длину s. Тогда
*' = *'■($). (1.104.)
Радиус-вектор г точки на кривой можно представить в виде функции
параметра z или s:
r = r(x^) = r\xi(z)] = r(z)y
■r = rM = r[^(s)] = r(s).
Векторы
являются касательными к кривой, причем ^ — единичный вектор.
26

Производная
-^- = хц (1.106)
определяет главную нормаль ц к кривой. В свою очередь,
^L^—xb+.kv. (1.107)
OS
Здесь v — вектор бинормали; к > 0 — кривизна; k — кручение
кривой.
Формулы (1.106), (1.107), а также формула
^- = -кр (1.108)
OS ^
представляют собой формулы Серре — Френе, а векторы к, р, v
образуют триэдр Френе {к} на кривой, который можно принять в
качестве базиса трехмерного пространства.
Любой тензор, заданный на кривой, можно рассматривать в
обычном пространственном инвариантном представлении относительно
базиса {э} ; V.
Т = Т\,э,э"\ (1.109)
а также относительно векторов триэдра Френе
Т = Ттк)кк + гаид V + Танх)ку + TW{k)tih + Tmil)w +
+ T^)ivVv + r(v)(X,vX + 7(v,aV + T(v):v)vv. (1.110)
Тензорные произведения линейных пространств с базисами Щ
и {э} позволяют рассматривать смешанные тензоры, по одной группе
индексов отнесенные к базису {&}, по другой — к {э}.
Отметим, что величина V1 = dx'nlds играет роль, в некоторой
мере аналогичную.роли, величины х™ = дхт1дуа на поверхности, а
величины х, k — роль коэффициентов связности.
Каждому тензору Т = Тк,пэкэ'пу заданному на линии, можно
поставить в соответствие его «проекцию» на кривую
Т'-=Г(31,(ММ, (1.111)
где
и, наоборот, каждый, тензор Т{ктХк можно рассматривать в базисе
{э}, т. е. TW, где
В общем случае связь между компонентами в различных базисах
задается соотношениями
Т{Шк) = ХкГТ*т, Т{к)^ = XklimTkmy
11

Тшм = jirfiT*», Тш^ = nkvmT
71»
г(у,(Я) = vftrr*m, rlv,(w = vr*m) ^
T(v,(v> = vftvmT*m, /
Thm = KkXmTa)iK) + Х*цт1**-т + A*vm7'<*)(v) + цЧтГ(д)(М 4-
+ №mT{»m + Ji4,'/,(MKV) + v4mr(v,a) + vVmr(vnw + v"vmTlv,(v).
Введем одномерный набла-оператор [1341
Vl = T^71^~=1~' (1112>
Тогда для дифференциальных операций на кривой на основании
формул Серре — Френе (1.106) — (1.108) получим выражения
grad^ = VJ = -g-b,
grad, v = V,v = (*£- - w<">) U + (*£- + xo<*> - kv") lp +
rot,
divi. v = Vt • v = —g- xd'w,
+ (-^- + xy<*> —b<v>)v,
+
gradi. T = VtT =
,37-<M(?.)
as .x(rw(«+rww)jm +
+ x {7<*><w + Twa)) - k (Tmv) + T{vm))\ XW +
+ [^J^- + k (7^>(v) + Tww)] bvv +
+ [iZ^!. + x (Г<^> _ r<w(W) _ ^)(v)J U(t +
+ [JZ^l + x (7,(x^, _ tWM) _ ЛГМ(Х)j lllK +
+ [^1 + £ (T(W(W _ T<v)(v»} + xr(X„v, j Vv +
Г grh')(u) .т(ц)(,1) -r!v)(vK i „T(v)(X)
+ [^— + k (7*m) - T!v)(v)) + x7
Xvn -t-
+ (II^l + ЛГ(«(М _.. xTww) XvX +
\ ds
28

+
f^dT^+kTa)w_ KT(W(v)jUVf (, 113)
divL T = VL • T =
07-:X)<X.)
.х(Г1Х>(« + Г(д)а,)]х +
+ (iZ^l+A7«M(u,__x74uKv,)Vi
rotL T = V, x T = - (iZ^!. + *TwW - xr(v),,i>) M -
_ pZ^l + A (г<^'^ _ r(v)(v') + xr(v,a)] № -
_ [iZ^l + ft (t^>(v) + r(v)(w)] fiv +
+ [iZ^- + к (Г,ХИХ) - Г(»№)) - £ГЫ(Ч va +
+ [g^ + x (T^"' + 7^)(X)) - £(T(w(v) + T{vm)] v,t +
+
dT<W(v)
^ + * (Г<И(Д) _ r(v)(v,} + x7(M(v, j vv
Если продифференцировать no s векторы базиса {э}
дэк _ дэь дх' _ *!гт
* а" * (1.114)
дэт дэ" дх( ,(гт ь
то для тензоров в инвариантном представлении (1.109) найдем
gradi. v = V/.V = Vvktek,
divz. v = VL ■ v = AAVu*.
roti. v = VL x v = e^A'Wa*,
gradt T = VzJ = VT*mb/e3m, (1.115)
Операция
divi.T = Vt.T = A,Vr*m3m,
rot^T = VL x T = e^'W^V.
^ + aTJ/T'.» - aTLT", (1.116)
определяет одномерную ковариантную производную компонент
тензора, заданного на кривой, и является одномерным аналогом кова-
риантного дифференцирования компонент тензора, заданного на
поверхности в базисе {э} (ср. формулы (1.77) и (1.116)). Чтобы отметить
29

указанную аналогию, мы отказались от традиционного названия
«знутрекняя производная» [42, 1111 и ввели обозначение VTf«/
вместо использовавшегося ранее обозначения 6Tkm/&s.
В случае, когда рассматриваемые тензорные поля ят^яются
сужением на одномерное многообразие полей, заданных в трехмерном
пространстве, одномерную ковариантную производную можно
выразить через трехмерную ковариантную производную
Vrkm = X,ViTkm, (1.117)
и
V, Т =Л''У(Т*отЬ;,э'",
\ l • Ч = Ь%4 J* тЗ>™. (1.118)
VtxT = е,/Д'Х"Уп7".Я1э*э'в.
Очевидно, что
Vg*" = 0, Vghm = О, V6? = О, (1 j Ю)
Ve"* = 0, V«„* = 0.
С помощью одномерной ковариантной производной представим
формулы Серре — Френе (1.1G6) ;— (1.108) в компонентном виде'*
VA,' = x\il, Vn': = — хА/ + Ы, VV = — fyi«. (1.120)
Приведем правила действия одномерного набла-операгора VL на
произведения ■; величии: ".
VL(fh) = (VlJ)h + IVlh,
Va/v) = (VJ)v + /V,v,
■Vf (/v) --= (VJ) • v +.JVL ■ v,
Vt X (/v) = (VJ) x v + /V,. x v, ... ., .... . ...„
Vt(/T) = (vL/)T + /vi.r, " •
VL ■ .(/T) = (VJ) • T 4- /VL • T,
VL X (/T) = (V,./) x T + Wl X T,
VL ■ (vw) = (Vt • v) w + v • Vz.w,
Vl(v- w) = (Vtv) • w + (Vtw) -v, (1.121)
Vl X (vw) = (W X v) w — v x (V/.w),
Vl (v X w) = (VLv) x w — (V/.w) x v,
Vf. • (vx w) = w • (VL x v) — v • (VL x w),
Vl X (v X w) — w • (Vtv) + v (VL • w) — w (VL • v) — v • (V*.w),
V/.-(Tv) = (VL.T)v + T7 '.(Vtv),
Vt(T-v) = (Vi.T). v + (V,.v)-Tr,
Vi • (T • v) = (Vl • T) • v + Tr : VLv.
30

В частности, для производных радиуса-вектора точки на кривой имеем
VLr = M, VL.r=l, VLxr=0,
Vl«(Tx r) = (VL • T) x г + Л.Т x-A,, (1.122).
VL . (r x T) = — r • S/L x T,
кроме того, справедливо соотношение
Vl • (М X v) = Vl X v — xv X ji.
(1.123)
При повторном применении одномерного набла-оператора
выполняются следующие соотношения для тензоров, заданных относительна
триэдра Френе {1\:
gradL gradz.7 = v'r v J = -^r M + x "^ *J*.
div, gradL/ = VL . (V J) = дLf = -g- ,
rotL gradL / = VL x (V J) = x -|£ v,
5 / fc>(i) ....(M)'
gradL gradL v = VlVzV =
ds \ ds
■ XV
)-
_x|^i + x^>_to<v)
ds
m +
f^ + XU(M _ A;y(v))"+ x (^L _. X0(u)J _
ds
+ wv
%X\X; +
д I dv'v)
ds \ ds
ыт +
+ * (-^- + xo«x> — to(v>) I Mv + x (-^- — xu<")) X^ +
gradt'divtv = Vl(Vl • v)■•* 4" (~^~~ ~ xy(M)K
diVLgrad/. v = vL .(Vtv) = д^у = f-^- (-^- — xo«w) —
-(■
-^ h XU<*> — fey(v)
Я.+
(^L + Xy(M__fe0(v)J +
!* +
, f д ( dv{v) . \ l л„(к) M
+ [ 17 l-dT" +kv{M) +k \^тг + ™{X) -kvW) \ v> (l •J 24>
gradz. rott v = VL (\L x v) = x (-^- + to^)) M —
3f

/
ds \ os
)
rot*. gradL v = VL x (VLv) = x I—^ kv^J vl +
+ x (-^- + xo<*> — kvw) V|Li + x (-^- + to^>) vv,
divL rotL v = VL • (VL x v) = x (-^- + fo<i*>) ,
rot, rotL v = VLx(V,xv)=-[{ (-^- + kv^) +
+ k (*^L + KVM _ to(v>) J v _ [_| (_^_ + X0(M _ to(v)) _
-*(-r-+H
^.
Эти же формулы для тензоров, заданных в базисе {э}, принимают вид
\LVLv = VViMAs* + xVtMjja*,
VL(VL.v) = V(^Vo*)Xf
ALv = VVi>*9*,
VL (VL X v) = EijkWVvite* + xe^u'Wte*,
Vl X (VLv) = xVu*v9*,
VL • (Vz. x v) = xv*Wfe,
VL x (VL x v) = — Wo* (^fi + v^v) + x (Vt;*) Xji.
(1.125)
Таким образом,
rotL gradz, / = xvX, • VLf ф 0,
rot, gradz, v == xvA, • VLv ^ 0,
divL rot, v = уХ • (VLv) • v ^ 0;
(1.126)
ALv = VL(VL- v) — VL x (VLX v) —x(VLv)-(i + x(VL. v)|i. (1.127)
Нетрудно распространить приведенные выше результаты на
тензоры высшей валентности и различной структуры. Заметим, что при
транспонировании смешанных тензоров меняются местами векторы
базисов, но не индексы компонент, например
Т = Т{к1к1эк9 Тт = Т{1)%1.
32

1.4. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
Кривая на поверхности
Х1 = х'(у*) (1= 1, 2, 3; а= 1, 2) (1.128)
является одномерным многообразием, вложенным в двухмерное ри-
маново пространство, и задается уравнениями
y* = y«(s) (а= 1, 2). (1.129)
В этом случае в каждой точке кривой естественным образом
возникают четыре различных базиса: триэдр Френе {Х( с элементами X,
ju, v; базис {э} с элементами эк; базис {а} с элементами аа, п, а также
так называемый основной триэдр [291 кривой на поверхности с
элементами А,, п, N = к X п.
Тензорные поля на кривой можно относить к любому из
указанных базисов, можно рассматривать и различные смешанные
тензоры.
Дифференцирование тензорных полей в данном случае будет
основываться на формулах Серре — Френе (1.106) — (1.108),
производных векторов базиса {э} (1.114), а также на зависимостях
-^- = ^(-C|»av + ^n), (1.130)
где Ха = —|— = *?А/ — компоненты вектора к в базисе аа.
Кроме того, имеем
-&Г = *(»)п — *(g)N>
-§- = -X(n,^ + *tt,Nf (1.131)
"5Г = x(gA — ^)n-
Здесь k(g) — геодезическое кручение; щп) — нормальная кривизна;
x(g) — геодезическая кривизна.
Введем одномерную ковариантную производную компонент
тензора на кривой, заданного относительно базиса аа:
dta
Wa3 = -^ + Xy(%ot% - №У\ (1.132)
Тогда из формул (1.131) получим
VXa=-x(g)/Va, VWa=x(g)^a.
Поскольку
-|l = хц = VXaaa + Ь^КаХ\
3 4—1372
33

ТО «(„) = ba(,Xa№ = Я COS X, (1.133)
где X — угол между векторами |>ип, /
x(g) = _ NaVKa = и sin X. / (1.134)
Аналогично, продифференцировав вектор N
^- = VNaaa + bazk«N\
найдем выражение для геодезического кручения:
Kg) = -ba^aN\ (1.135)
На поверхности существуют две кривые, нормальная кривизна
которых, заданная формулой (1.133), в данной точке поверхности
принимает экстремальные значения. Такие направления называются
главными направлениями, а соответствующие им кривизны х(1>
и Х(2) — главными кривизнами поверхности. Главные кривизны
являются собственными значениями второй фундаментальной
квадратичной формы поверхности, а следовательно (как это вытекает из
формулы (1.93)), корнями уравнения
х* — 2Нх + К = 0. (1.136)
Из теоремы Виета вытекает, что главные кривизны связаны со
средней и гауссовой кривизнами соотношениями
И(1) + Щ2) = 2Я, X(i)X(2) = /С.
Для главных радиусов кривизны
#0) = Z— > ^(2) = —z—
*(1) Х(2)
выполняются соотношения
-Ьг~ + 1?Ч=2Я' 1Г1Г = К- (1Л37>
Дифференциальные операции над тензорами, заданными на
кривой и отнесенными к базису {а} или к основному триэдру кривой на
поверхности, имеют соответственно вид
VLv = (Vya — Ь%кЫп)) %аа + (Vo(n) + ftapXV) Ьп,
VL • v = XaViF — x(f!)D<"), (1.138)
ViXv = ча$? (by6Xyv6 + Vo(n>) aa + eaPXa (Vo3 - ft$&Vn)) n
и
Vi.v = (•
^-,/4^1^
Vl • v = "IS "и»"0 + *^vW' (! •• 39>
34

/ dv(N) \
Vtxv=- [-% x(g)tA> + k(a)v^j n +
В случае, когда тензорные поля, заданные на кривой, представляют
бой сужение тензорных полей, заданных на поверхности,
одномерную ковариантную производную (1.132) можно выразить через
поверхностную ковариантную производную
V/% = XVV/V (1.140)
Тогда формулы (1.138) примут вид
VLv = № (Vy - b*vin)) ааа3 + ХаХ* (V^(/2) + b^vy) aan,
VL.v = %aX*Vavt-x{n)v{n\ (1.141)
VL x v = B*ffihy (Vyv{n) + by6vd) aa +
+ safiXaXy(Vyv*-b*v{n))n.
1.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
С помощью пространственного V, поверхностного Yz и одномерного
VL набла-операторов в компактном виде записываются формулы,
связывающие интегралы от операторов, действующих на
соответствующие величины, с некоторыми интегралами по многообразию на
единицу меньшей размерности.
Формула Гаусса — Остроградского имеет вид
JV .JdV= (V TdA, (1.142)
V A
rie V — объем, ограниченный поверхностью А с единичным вектором
внешней нормали п.
В формулу (1.142) входит тензор произвольной валентности.
В частности, если записать указанную формулу для тензоров g X Т и
gT соответственно (g — метрический тензор) и воспользоваться
правилами действия набла-оператора, то получим другие варианты
формулы Гаусса — Остроградского:
Jv xTW= (nx TdA, (1.143)
В частности,
jVTdK = f nTU4. (1.144)
v A
$AfdV= (V VfdA. (1.145)
3'
35

Формула Стокса:
f (n X V) • TdS = f к ■ TdL. ^(1.146)
Аналогично получаем соответствующие варианты формулы Стокса:
\ (п х V) х TdZ = J Я X TdL, (1.147)
2 L
f (n х V) IdZ - J kTdL. (1.148)
2 L
Поверхностный аналог формулы Гаусса — Остроградского.
Формулы (1.146) — (1.148) справедливы для тензоров произвольной
структуры. В частности, формула (1.146) для тензора е2 • t2, где t2 —
тензор, отнесенный к базису аа (по крайней мере, своим первым
индексом), е-2 — поверхностный тензор Леви-Чивита, принимает вид
j <п х V) • (е2 . tz) dZ = j Л • ez • tzdL. (1.149)
2 L
Преобразуем подынтегральное выражение в поверхностном интеграле
с учетом соотношения
п х V = п^ Хэ/-^- = еФпрь-^-г = ^гФе^е.тпХтхпэ Л.^ =
дх1 дх1 z а р дх'
=ео%№- -£г=еаРар -j? = - *s • ^,
при выводе которого мы использовали формулу (1.56). Тогда
(п х V) • (е2 • tz) = — (е2 • Vs) . (е2 • t2) = - Vs . t2,
и интеграл слева в (1.149) примет вид
— JV^-MS. (1.150)
2
Поскольку
n = NxU ea3W°lpn,
то ea^NaX^ = 1, A,aeaP = —N$ или Я • 8S = — N, и интеграл справа
в (1 149) запишется так:
— JN-tzdL. (1.151)
Приравнивая выражения (1.150) и (1.151), получаем двухмерный
аналог формулы (1.142):
^•Ы2 = JN-ML, (1.152)
2 L
поскольку формулы Гаусса — Остроградского и Стокса являются
частными случаями общей формулы Стокса [112].
36

Естественно применить формулу (1.152) к тензорам вида а • Т,
х Т и аТ (а — метрический тензор на поверхности). Заметим, что
а самой конструкции первый индекс указанных тензоров является
"овеохностным при произвольном тензоре Т. С учетом формул (1.95)
получим
f V2 • TdS = j N . IdL - [ 2#n • TdS, (l. 153)
2 L 2
j V2 x TdS = j N x IdL — \ 2tfn x Td2, (1.154)
2 L 2
j V2Td2 = j NTdL — f 2#nTd2. (1.155)
2 L 2
Формула (1.153) для частного случая вектора приведена в работах
[128, 131].
Аналог формулы (1.145) имеет вид
U*/d2 = JN-Vs/dL. (1 156)
2 L
Одномерный аналог формулы Гаусса — Остроградского. С
помощью одномерного набла-оператора VL известная формула
Лейбница— Ньютона записывается следующим образом:
J VL • t^ = (Ь • tL)±. (1.157)
L
Здесь (jyt = /+ — /~~ — разность значений величины f в точках,
соответствующих концу и началу кривой L; XL — касательный
вектор \L = t{X),k. Очевидно, что в качестве \ь можно выбрать тензор
произвольной валентности и структуры, однако первый индекс у его
компонент должен быть касательным к кривой.
Применим формулу (1.157) к тензорам вида М, • Т, U, X Т, Ш\
Отмеченное выше условие для выбранных тензоров выполняется при
произвольном тензоре Т. С учетом формул Серре — Френе получим
J VL . IdL = (к . Т)+- \ кр • IdL, (1.158)
$ VL х IdL = (X X Т)± - [ nil X TdL, (1.159)
L L
J VLTdL = (U)± - J xjiTdL. (1.160)
Формула (1.158) для вектора приведена в [131].

Глава 2
7
КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ КОНТИНУУМОВ
/
Кинематика деформируемых твердых тел описывается методами
дифференциальной геометрии. Так как не все возникающие здесь объекты
можно описать в рамках евклидова пространства или его областей',
необходимо пользоваться более общим понятием многообразия. При
этом естественно исходить из представлений о конфигурационном и
материальном многообразиях, элементами которых являются
соответственно геометрические и материальные точки. Это составляет
основу эйлерового и лагранжевого описания движения с помощью взаим-*
ного параметрического отображения рассматриваемых многообразий.
Такое отображение позволяет ввести параметры движения:
перемещение, скорость, ускорение. Здесь возникают вопросы о
дифференцировании тензоров по координатам и времени, которые рассмотрены в
настоящей главе. Изложение в основном базируется на работах [73,
97—100, 107].
2.1. МАТЕРИАЛЬНЫЙ КОНТИНУУМ. ЛАГРАНЖЕВО
И ЭЙЛЕРОВО ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
Интуитивно ясное понятие материального тела характеризуется
следующими двумя математическими структурами. Во-первых, это
многообразие соответствующей размерности: трехмерное М{3\
двухмерное — поверхность М{2\ одномерное — линия М({)\ во-вторых, это
множество, на котором задана мера — масса M{t) (i = 1, 2, 3).
Поэтому наряду с конфигурационными многообразиями, элементы
которых будем называть геометрическими точками, естественно
рассматривать также и материальные многообразия, элементы которых
будем называть материальными точками. В качестве мер в
конфигурационных многообразиях <й(3), Л{2\ Л{1) используют соответственно
объем V, площадь поверхности 2, длину линии L.
Параметрические отображения Л1{1) в Ji{L)
№:М{1)-+№Х() (*=1, 2, 3) (2.1)
для каждого момента времени т ставят в соответствие материальным
точкам геометрические и таким образом определяют движение
материальной среды в конфигурационном многообразии Л{1) zd Л{х1).
38

Значение отображения f{l) (MU)) а Л{1) (i = 1, 2, 3) называют
конфигурации материального тела в момент времени т.
Структура многообразия позволяет ввести локальные системы
координат: в конфигурационных — х1 в Л{3\ уа в Л{2\ z в Л{Х)\
в материальных — t в М{Ъ\ т|Р в Л(2), £ в М({). Конфигурационные
ногообразия назовем эйлеровыми, координаты в них — эйлеровыми
координатами; материальные — лагранжевыми, координаты в них —
гранжевыми КСЮрдинатами, «метками» материальных точек.
Известным образом в многообразиях фиксируются метрика и
связность, поэтому многообразия, рассматриваемые в дальнейшем, будут
областями пространств аффинной связности, в частности
евклидовых или римановых. Иногда мы будем использовать также термины
«конфигурационное» и «материальное» пространство.
Ограничимся частным случаем отображений (2.1), а именно голо-
номными отображениями, которые в терминах координат
определяются зависимостями
х* = х* (£*, т),
Уа = Уа№ т), (2.2)
* = *(£, т).
Отображения (2.2) устанавливают связь между эйлеровыми и
лагранжевыми координатами, а также представляют собой уравнения
движения материальных частиц соответственно в трехмерном
пространстве, по поверхности и на линии.
При обычных допущениях о гладкости отображений (2.2)
существуют обратные зависимости
£* = £*(*', т),
^ = чЧУа, т), (2.3)
С = С(г, т).
При лагранжевом описании движения мы фиксируем лагранжевы
координаты — «метки» материальной точки — и тем самым следим за
параметрами движения и состояния фиксированной материальной
точки, где бы она ни находилась в конфигурационном пространстве. При
эйлеровом описании движения мы фиксируем эйлеровы координаты —
«места» — и следим за параметрами движения и состояния
материальных точек, которые в момент времени т находятся в фиксированной
точке конфигурационного пространства.
Параметры движения и параметры состояния точек материального
пространства, представляющие собой функции лагранжевых
координат и времени:
f(3)G*. т), ^2>(г,р, т), F(4. т), (2.4)
с помощью уравнений (2.3) можно представить как функции
эйлеровых координат и времени
£(V, х), F(2>(j/« т), Fil)(z, т), (2.5)
39

и, таким образом, в соответствии сточкой зрения Эйлера, следить за
тем, как изменяется во времени величина F, характеризующая
материальные частицы, которые находятся в выбранной точке
конфигурационного пространства. Функциональные зависимости F p'F,
естественно, различны, однако в механике сплошных сред для них
используется одно и то же буквенное обозначение, поэтому в дальнейшем
знак «~» опускаем.
Под материальным континуумом будем подразумевать такое
множество материальных точек, масса которого является абсолютно не-
Рис. 1.
Рис. 2.
прерывной функцией геометрической меры (объема, площади
поверхности, длины линии). По теореме Радона — Никодима и теореме об
отображениях пространств с мерой [121] имеем
М
(3)
= J pdV, Mi2) = J p*G, M({) = J pLdL9
(2.6)
где плотности масс определяются производными Радона
<ш(3> <ш<2> <ш(1>
р =
Р2;
PL =
(2.7)
dV ' ^ dZ ' vu dL *
Индекс т в формулах (2.6) свидетельствует о том, что интегрирование
ведется по изменяющейся геометрической мере (VTt 2Х, LT) в момент
т. В дальнейшем из-за громоздкости обозначений этот индекс
опускаем.
До сих пор мы рассматривали множества М{1) изолированными и
независимыми одно от другого. Если же выполняется какое-либо из
условий
Л(2)с=Л(3), Л(1)с=Л(3),
40

то масса бесконечно малого объема V не будет бесконечно малой, если
он содержит инородную поверхность конечной площади 2 или кривую
конечной длины L. Тогда массу объема V = Vx + V2i содержащего
поверхность 2 (рис. 1), можно представить в виде
М = $ PldV + J p2dV + J P2d2. (2.8)
Аналогично для объема, содержащего, например, три поверхности
212> 213, 223 и кривую L (рис. 2), имеем
М = J PldV + J p2dl/ + J Рз<^ + f Pi2^2 +
v, v2 v9 i12
+ j p13d2 + j p23d2 + J pLdL. (2.9)
Перейдем к изучению необходимых кинематических
характеристик движения рассматриваемых материальных континуумов.
2.2. СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТОЧЕК
МАТЕРИАЛЬНОГО КОНТИНУУМА
Первоначальной кинематической характеристикой движения
является скорость материальной точки. Определение этой величины и
ее представление имеют свою специфику в связи с размерностью
пространства, поэтому рассмотрим отдельно трехмерный евклидов
материальный континуум, вложенный в него двухмерный риманов
материальный континуум (поверхность), вложенный в трехмерный
континуум или в поверхность одномерный материальный континуум (линию).
Трехмерный евклидов материальный континуум. Рассмотрим
вначале производные по координатам и времени радиуса-вектора.
Частные производные по эйлеровым координатам х1
радиуса-вектора г (х?) геометрических точек в евклидовом пространстве Л{3)
образуют базис конфигурационного пространства — эйлеров базис
dxt
Радиус-вектор г = г (х{) фиксированной геометрической точки
(х! = const) не зависит от времени, поэтому
дх)х
0. (2.11)
Частные производные по лагранжевым координатам |' радиуса-
вектора г = г (£', т) материальных точек
— = э, (2.12)
о разуют базис материального пространства — лагранжев базис.
_ адиус-вектор г = г (£', т) фиксированной материальной точки
(6 — const), которая изменяет свое положение в конфигурационном
41

пространстве, является функцией времени, и производная
v / (2.13)
( * h
/6
определяет скорость v этой точки. /
Таким образом, тензорные поля можно рассматривать как функции
эйлеровых координат и времени и относить их к эйлеровому базису
Т = Т(*', т) = Ткт(*', т)эк(*')эт (*'), (2-Й)
или как функции лагранжевых координат и времени и относить к ла-
гранжевому базису
Т = Т (£', т) = Ткт (\\ т) эк (£', т) э- (g<, т). (2.15)
Интерпретируя формулы (2.2), (2.3) как преобразование координат,
легко установить связь между векторами эйлерова и лагранжева
базисов и между компонентами тензоров в этих базисах (ср. формулы
(1.11), (1.12) и (2.16), (2.17)):
В частности, для вектора скорости фиксированной материальной
точки справедливо разложение
v = с/а, = и'э,. (2.18)
При этом
\ дт /g дт |s ^ [ дт )u [ дт /t l'
Следовательно, компоненты вектора скорости в эйлеровом базисе
равны частным производным по времени эйлеровых координат,
рассматриваемых как функции лагранжевых координат и времени, при
•фиксированных лагранжевых координатах, т. е.
/ dxi \
— компоненты скорости точки \.
На основании уравнений (2.2), (2.3) имеем
lh = lk [*' (£», т), т]
и
(*)Г\*1+ dxf ( * J, " I ^ /,+ ^ I * L+ •
Поскольку лагранжевы координаты фиксированной материальной
точки не изменяются, то
42
е

откуда заключаем, что компоненты вектора скорости в лагранжевом
базисе противоположны по знаку частным производным по времени
лагранжевых координат, рассматриваемых как функции эйлеровых
координат и времени, при фиксированных эйлеровых координатах,
* — (#),. (2-20)
Компоненты vk и vl связаны соотношениями
tf=J%Lvt9 Vi = ^vk. (2.21)
dxi д&
Для дифференцирования тензорных полей по эйлеровым или ла-
гранжевым координатам необходимы производные векторов базисов.
В соответствии с формулами (1.28) в каждый момент времени т имеем:
для эйлерова базиса
-t£ = l>«, iS- = -№; (2.22)
для лагранжевого
Коэффициенты связности определяются формулами
д8ц
(2.24)
r?/ = 4-g"BK^- + -^L--^- • (2-25)
Здесь символы Кристоффеля и компоненты метрического тензора,
в отличие от формул (1.34), являются функциями времени, причем
связь между их компонентами в лагранжевом и эйлеровом базисах
определяется, соотношениями
дхЬ дхт /п осч
gii = W^~gkm' ( }
Таким образом, представляется целесообразным для унификации
терминологии назвать компоненты объекта связности Тц
эйлеровыми, компоненты объекта связности Г*,- — лагранжевыми; кова-
риантную производную компонент тензора в эйлеровом базисе
V,.r*m = —f- + TlTnm - П„ Tkn (2.28)
43

— эйлеровой ковариантной производной, а ковариантную
производную компонент тензора в лагранжевом базисе у
V,7*B = ^ + Г?пГ»т-Г?тТ*„ / (2-29)
— лагранжевой ковариантной производной.
Двухмерный материальный континуум. Мы будем рассматривать
материальные поверхности, вложенные в трехмерное евклидово
конфигурационное пространство.
Радиус-вектор г материальной точки на такой поверхности в
соответствии с формулами (1.43), (1.44), в которые вводится
дополнительный параметр — время, можно представить как функцию эйлеровых
координат на поверхности
г = г (*') = г [х* (*/а, т)] = г (*/а, т)
или как функцию лагранжевых координат на поверхности
г = г (х1) = Г [X1 (Т]а, т)] = Г (Г]а, т).
Тем самым на поверхности вводятся три различных базиса. Во-
первых, сужение на поверхность базиса {э} как функции эйлеровых
координат уа
-]ГГ = 9к И = вк [*' (Уа, т)] = 9k W, т) (2.30)
или как функции лагранжевых координат т]а
-£- = эк (*<) = 9к W (Ла, т)] = ак (Tft т); (2.31)
dxk
во-вторых, эйлеров базис {а} с элементами аа, п
дг = аа, п = 4-еаЭааХар (2.32)
ду1
2
и, в-третьих, лагранжев базис {а} с элементами аа, п
a4r = aa, n = ye<xap = n. (2.33)
Заметим, что в связи с перемещением поверхности в пространстве
эйлеровы базисы на ней зависят от времени.
В соответствии с точкой зрения Эйлера на движение частиц по
двухмерному континууму тензорные поля на движущейся
поверхности будем рассматривать как функции координат уа и времени т
и относить их к эйлеровому базису {а} или к базису {э} как функции
эйлеровых координат, т. е.
t = t (уа, т) = t\ (<Д т) ар (уа, х) av (уа, т),
Т = Т-(*Д т) = Т\ (уа, т) ар (уа, т) av (*Д т) +
+ ГР(П)(<Л T)ap(^e, т)п(*Д т) + Т(п*(у« х)п(уа, т)ар(<Д т)+
+ 7(п)(п'(<Д т)П(уа т)п(<Д т); (2.34)
44

Т = Т (уа, х) = Г.т (уа, т) э/е (уа, т) эт (уа, т); (2.35}
W = W (уа, т) = W%km (уа, х) аэ (уа, х) X
X av (У, т) эк (уа, х)эт (уа, х). (2.36)
В соответствии с точкой зрения Лагранжа тензорные поля будем
рассматривать как функции координат т|а и времени т и относить их
к лагранжевому базису {а} или к базису {э} как функции лагранже-
вых координат, т. е.
t = t (rf, т) = 1% (rf, т) a3 ft» т) av (rf, х\
Т = Т (тр. т) f% (тр, т) ар (Т1« т) а* (if, т) +
+ 7*<"> (ту*, T)a3(ri», т)п(т]а, т) + Г(п)р(т1а, т)п(т1«, т)а&(т|« т)+
+ ТШп) (ту\ т)п(лв, т)п(ла, т); (2.37)
Т = Т (т|« х) = Ткт (т|«, х) эк (т)« т) эт (т]«, т), (2.38)
W = W(ria, т) = #?у*т(лв, т)аэ(т1«, т) х
xav(Tf, x)ak{rf, т)эт(ту*, т). (2.39)
Рассматривая формулы (2.2), (2.3) как замену координат,
получаем следующие связи между векторами эйлерова и лагранжева
базисов и между компонентами тензоров в этих базисах:
аР- ат)э а- а - дуа л' *■»- дуу ат)э *•*
T% = ML*f Т\ 7а<"> =i3t rw">, (2.40)
d#V dt]P <fyP
Перейдем к определению скорости v^ материальной точки
поверхности.
Будем говорить, что геометрическая точка «зафиксирована» на
движущейся поверхности, если ее скорость (дт/дт)у направлена по
нормали к поверхности
(■£-)= *j?>n. (2.4!)
Из равенства
дт[хЦ£^г)]\ __дг_(дхЛ _(dxl\ э _„,„>_
д* \у ~ dxt \дх L ~ \дх УЭ{ ~vZn
следует
(■£),= i*W. (2.42)
45

Вектор скорости v^ материальной частицы с координатами тр
определим формулой у
уН-£-)„' / <2-43>
причем /
где
— компоненты скорости материальной точки поверхности в базисе
Поскольку
(JL.) =(JL.) a.JL.(M.\
\ дх j„ \ дх )у-г ду« у дх )^
вектор скорости можно отнести также к базисам {а} или {а}:
v2 = vfaa + i4n)n,
vs^vlua+vpn. (2.45)
Здесь и™ и us — компоненты скорости в эйлеровом и лагранжевом
базисах соответственно,
-*-(-£■).- <2<6>
На основании уравнений (2.2), (2.3) имеем
T)a = rf [^(if, т), т],
следовательно,
(дг)а\ (drf\ ,drf_(_d£_) _(_drf_\ Эл« в
U /ч \ ^ Jy^ дуИ \ дх }щ \ дх )у~г а/ z~
-т.
+ »!
и, так как (drf/dx)^ = О, для компонент v% скорости в лагранжевом
базисе находим
**--№).• ^.47,
Компоненты и2 и г;£ связаны между собой соотношениями
v* = -V i& vz = -\- ug. (2.48)
дур dry*
Умножив разложение (2.45) скалярно на э', получим соотношение
viz = xiav% + v{£)ni, (2.49)
связывающее компоненты скорости в базисах {э} и {а}.
46

Дифференцирование тензорных полей по эйлеровым или лагран-
жевым координатам осуществляется на основе соответствующих
деривационных формул Гаусса — Вейнгартена, например
-— = ОаРау + frapn,
ду
ду* "' ' "* ' (2.50)
дп
дуа
да*
£- = Gapav + *арП,
dri
J*L==-G*ayay+?any (2.51)
дг]а
Эйлеровы и лагранжевы коэффициенты связности соответственно
таковы:
1 ... / аа<*» 1 а°Р6 _ daab
д£ дуа ду11
еЬ» = -5-^Ьтг + -тт—тт- • (2-52>
О^-ф^З*- ' ^ -^
2 \ дт|Э 5г)а Л)'
Кроме того, справедливы соотношения
ду* ду6
«* = -*?-*? *»
и дуу ду" ,
аЭ *,« an» d^ °Л + Ж *,W * ( ■ *
Эйлеровы и лагранжевы ковариантные производные определяются
соответственно формулами
dfi
?<Л = -^f + G^A - 03e. (2-54>
*A = ~T + дЬУ.у - G*v?e. (2.55>
Одномерный материальный континуум в пространстве. Радиус-
ектор г точки на кривой, движущейся в трехмеряом евклидовом
ЛТ

пространстве, имеет вид
/
г = г (*<) = г [х< (г, т)1 = г (г, т),
или
г = г(*0 = г[*'(С, т)] = г(С, т). у
Скорость вдоль кривой материальной точки с координатой £
определяется производной (см. формулу (2.2))
■£)6=ч°. <2-56)
а вектор полной скорости
Соотношение
(тг)г = у£ (258)
определяет эйлеровы координаты на движущейся кривой: точка г
«зафиксирована», если ее скорость \£ направлена перпендикулярно
кривой.
На основании равенства
получаем естественное разложение
vL = o<OI + v£. (2.59)
Здесь I = dvldz — вектор касательной к кривой, вообще говоря, не
единичный.
Формулу (2.59) можно также представить в виде
^ = 0<оГ+у1, (2.60)
где
1—I—£-■'. #-§°р- <2-б1>
Из уравнений движения (2.2), (2.3) и соотношения
следует
* = ~(#)г. (2-62)
Тензоры на кривой будем относить к базису {э}. В соответствии
с точкой зрения Эйлера запишем
Т = Т (г, т) = Т*т (г, т) э, (г, т) эт (г, т), (2.63)
а при лагранжевом подходе —
Т = Т (£, т) = Ткт (£, т)э, (£, т) эт (£, т). (2.64)
48

Одномерный материальный континуум на поверхности. Пусть
поверхность движется в пространстве в соответствии с уравнением
г=гОЛ т), (2.65)
а положение кривой на движущейся поверхности задается
уравнениями
у* = уа (г> т)> уа = у* (£> т)э (2.66)
где
г = г(^ т). (2.67)
Частная производная
dz N о<0 (2.68)
(*),-*
определяет касательную к кривой компоненту вектора скорости.
Вектор полной скорости
(■£■),-* <2W>
с учетом равенства
\ дх )i \ дх /у "*" аг/а \ дх /;
можно представить в виде
VL=[^-\^ + vfn. (2.70)
С другой стороны, справедливо разложение
На основании формул (2.70), (2.71) заключаем, что
( ду*\
{ дх ,»; =
VL
(2.72)
i#> = i#>. (2.73)
Условие (2.73) показывает, что при движении кривая не
«отрывается» от поверхности; это, естественно, заложено в уравнениях
(2.65), (2.66).
Из равенства
следует
[■%-), = tf'N"- (2.74)
Здесь Na — компоненты вектора N, нормального к кривой и
лежащего в касательной плоскости к поверхности.
Формула (2.74) является одномерным аналогом формулы (2.42).
4 4—1372
49

2.3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПО ВРЕМЕНИ.
УСКОРЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В предыдущем параграфе рассмотрен вопрос о скорости движения,
которая определялась дифференцированием радиуса-вектора
фиксированной материальной точки как сложной функции времени через
посредство зависящих от времени эйлеровых координат этой точки.
При этом инвариантное представление вектора скорости возникало
автоматически как следствие такого дифференцирования.
Второй важной кинематической характеристикой движения
является ускорение — изменение скорости фиксированной материальной
точки за единицу времени. Следовательно, чтобы получить
соответствующее инвариантное представление ускорения, необходимо
использовать правила дифференцирования тензоров по времени.
Трехмерный евклидов материальный континуум. Из
инвариантных представлений (2.14), (2.15) видно, что для дифференцирования
тензоров по времени необходимо определить производные векторов
базиса аналогично тому, как при дифференцировании по координата^
были необходимы формулы (2.22), (2.23).
В соответствии с подходами Эйлера и Лагранжа возникают два
-jT- ) = -т— ,
характеризующая скорость изменения тензорного поля в фиксированном месте
.ч / дТ \ dT
(х1 = const), и 1-у- = —т- , характеризующая изменение этого поля
в фиксированной материальной точке (|l = const). Обычно эти
производные называют локальной и материальной. Для унификации
терминологии назовем их соответственно эйлеровой и лагранжевой и
обозначим
дТ \ дх1
дт х дт
\ дт II d%
Индексация х и I при символах дифференцирования обусловливается
еще и тем, что необходимо различать эйлеровы и лагранжевы
производные по времени при различных размерностях материальных
континуумов:
в случае двухмерного континуума
(JL) = _М_ (JL) =SL
\дт /у дт • \ дт ]х\ dT '
в случае одномерного континуума
1дТ\ __ дгТ I дТ \ _
\ дт /2"~ дт » [ дт )zT
dtT
Таким образом, в трехмерном евклидовом материальном
континууме возникают четыре варианта производных векторов эйлеровою
и лагранжевого базисов при х1 = const и £l = const.
50

Векторы эйлерового базиса {э} при фиксированных координатах
х? не зависят от времени, следовательно,
^ = °> "^—0- (2-75)
Из условия (ср. формулы (1.29) и (2.76))
для производной векторов лагранжевого базиса {э} при I = const
находим
А
А /Ч
dT
= V^m. (2.77)
Дифференцируя равенство эк • эт = 6™, получаем выражение
для производной векторов лагранжевого кобазиса:
Поскольку
4_ = _у^э*. (2-78)
ЧЭЬ _ <^ + ^ jBk
ТО
^ = Л7*т, ^=_,<Г*тэ"\ (2.79)
(2.80)
дт д\Ь Эт, дг fit"* э •
Формулы (2.75), (2.77) — (2.80) позволяют записать производные по
времени при фиксированных х1 (в данном месте) и Ъ* (в данной
материальной тдчке) тензора с характерным расположением индексов
а именно:
т = Г
дхТ
дт
дхТ
дт
dT
dT
i rn
m
дт
• пг
дт
dTkm
пг
~ dT
dT*
• m
~ dt
1 тЭАЭт.
• э^э"1,
э*эЧ
9*9",
■ эАэт,
4*
(2.81)
(2.82)
(2.83)
(2.84)
51

где
dTk ft Tk
дх dx
/ (2.85)
^ = 4h-^ '' (2.86)
^йГ~ = Чг- + fn"$n^ - tkJJ». (2.87)
Л , ГЧ ,
Здесь L7\m — производная Ли компонент тензора Т.т,
V
+ 7^nV>. (2.88)
Основанием для введения обозначений d/дт, d/дт, ef/dr, d/dt
является справедливость обычных тензорных соотношений
дткт = а|* a*' аг';
^ дх' dlm дх '
(2.89)
dx dxi fig" dx ' V • /
Лагранжева —j^- = 1-^-1 и эйлерова -^- = l-g^-l производные
тензора T по времени связаны между собой соотношением
4r = ^T + v-VT, (2-91)
причем
dTkm dTkm „ ь
-ir = -jt + WnT'm, (2.92)
^- + v»Vnfkm. (2.93)
Компоненты ускорения i = d^v/dx определяются лагранжевой
производной скорости по времени и имеют вид
dvb _ дхуЬ
dx дх
f.*= - =^ + у„уу> (2.94)
^ Л rife d-ffe * Ss *
Заметим, что для эйлеровой производной скорости по времени
справедливы формулы
дх\ dxv*
дх дх
(2.96)
-^-в-дГэ' = -згэ'- <2-97>
$2

Рассмотрим вопрос о коммутировании введенных производных
времени тензоров с набла-оператором и производных по времени
компонент тензоров с ковариантными производными их компонент.
Поскольку
дх /г-П дх (эк дТ \ - э* дх ( дТ \ - э* д (дхТ)
^(VT) = v(^), (2.98)
то
или в компонентной форме
rk
^<^ = V, (■%*.]. (2.99)
-A.(V(.f*m)=V,(^lk]. (2.100)
Таким образом, в евклидовом пространстве эйлерова производная по
времени и набла-оператор коммутируют.
В случае, когда рассматривается лагранжева производная по
времени, имеем
^ (YT) % fa дТ ) - *** дТ 1 э* ^ ( дТ )
dx ^ ч - dx Г д& / dx д\ь ^ * dx \ d\k )
и
откуда на основании (2.78)
-ЗГ <VT) - V (4г) = - (Vv)' VT« (2-102)
С учетом равенств (2.83), (2.84) запишем последнюю формулу в
компонентах:
(VcTkm) - V, \—tfL] = - (V,i>/) У/Г*™, (2.103)
■Ж- (VA) - Vf [-~^) = - (V^V/T**, (2.104)
Таким образом, лагранжева производная тензора и набла-оператор
не коммутируют.
Рассмотрим производные по времени коэффициентов связности.
1\ак следует из (1.36), коэффициенты аффинной связности не
являются компонентами тензора. Однако их производные по времени при
имеютННЫХ лагранжевых координатах суть компоненты тензора и
53

Этот результат следует из перестановочности частных производных
dx \ дЦ J д& \ dx
Формулы дифференцирования векторов базиса позволяют найти
производные компонент метрического тензора — скалярных
произведений базисных векторов:
d*gf/ _ о д*&а — о
дх —и' дх ""и'
-^ - Vk (TTkgjm + T%gim) = О,
d$gl J_ r,b ^F< ^"m _J_ Г/ rrim\
dx
+ vh(TLglm + rUim) = o,
-#—ИГ*/*—цгг« = 0, (2.106)
dx
■Vfl,-Vfl, = 0,
dtg(
_|L_ + g«v^ + g/*Vfty' = 0.
Поскольку, как легко проверить, для производной
определителя g = det gij справедливо соотношение
_L Ji. = an Mil
g дх s дх '
то с учетом предыдущих формул находим выражения для
производных определителя метрического тензора:
g дх и' g dx ~zvy4> (2107)
4_а£ = 2#, 4-4L=2V^ = 2V.v.
Z dx db * Z dx l
g ъ g
С помощью последней формулы находим лагранжеву производную по
времени элемента объема
A (dV) = V • \dV. (2.108)
При этом производная по времени интеграла, взятого по
материальному объему от некоторой величины р/, представляется в виде
*№-№?-+*■,.
dV, (2.109)
54

0 плотность; / — скаляр, вектор или тензор произвольной ва-
где у
лентности.
В частности, из формул (2.6), (2. 09) при / = 1 имеем
dx
v v
-М-*'-J (■£-+"-К
куда в случае сохранения массы dM{3)/dx = 0 следует локальное
уравнение сохранения массы
-J^- + pV • v = 0. (2.110)
dx
Если ввести вектор перемещения и = г — г0, то в силу (2.13) ско
рость определяется как частная производная перемещения по вре
мени
dx '
а уравнение сохранения массы примет вид
1 (2.111)
+
*■№->■
dx
Как видно из (2.102), в линейном приближении операторы у и
d-Jdi коммутируют, поэтому из последнего уравнения получаем
dtp d% ,„ л
dJ
и, полагая d$f = —j^-dr, уравнение (2.110) можно записать в виде
%>.+ P^(V-u) = 0. (2.112)
Компоненты скорости как лагранжевой производной по времени
вектора перемещения и таковы:
d% dT (2.113)
л#, d uk d%uk ^ л /ч
vk = Ц- = -A— + ulVcvk.
dx dx ' l
Векторы перемещения и скорости являются классическими
кинематическими характеристиками материального континуума. Вместе
с тем построение новых, более общих моделей механики сплошных
сред привело к рассмотрению континуумов Коссера, в которых
движение определяется как скоростью перемещения v = dtu/dx, так и
скоростью вращения w = d^ldx (со — поворот).
Компоненты вектора w находят по формулам
dx дт "г * (2П4)
л ъ do)k dp(x)k ~~ л
dx dx к l *
55

а компоненты изменения скорости вращения j = dywldx — из
соотношений у
:k dwb dxwb -г, ь /
dT dT / (2.115)
Заметим, что геометрический аспект изучения материальных
континуумов Коссера исследован в настоящее время недостаточно полно.
Двухмерный материальный континуум, движущийся в
трехмерном евклидовом пространстве. Для дифференцирования тензорных
полей (2.34), (2.37) по времени найдем необходимые варианты
производных векторов базисов {а} и {а}.
Из условия
*(■£)--£-(■*-) <2116>
и формул (2.32), (2.41) для эйлеровой производной эйлерова базиса
получаем
*"■« ,-blv{n)4 + ^aV{n\ (2.117)
дт
а дифференцирование равенства аа • ар = бр приводит к
следующим выражениям:
для эйлеровой производной векторов кобазиса
J^L = ftfr<V + a0* V°n, (2.118)
для нормали
J^ = _ Vau<">aa. (2.119)
Чтобы упростить изложение, в настоящем параграфе при записи
компонент i;2, у(2} вектора скорости \% индекс 2 опустим, т. е. будем
писать иа, у(п).
С помощью условия
Ц-*)-МЩ- (2',20)
аналогичного условию (2.116), и формул (2.33), (2.43) находим
выражения для лагранжевой производной по времени векторов лагранже-
вого базиса:
^ = (V> - Wn)) аэ + (batfr + Vavin)) n,
dx
dx
«»i<")\ aP _L ^aP /A. ^V I T7„.,(")\
= — (Vpy« - 6pV"') ap + aap {b^v" + V3uu") n, (2.121)
Эти формулы приведены в работе [150].
56

Аналогично для лагранжевой производной эйлерова базиса имеем
J^L = _ (Ggy - ft^(n)) ap + a0* (6PX + Vpi^) n, (2.122)
для эйлеровой производной лагранжевого базиса —
<Va ( дг)Ь
b*v"U + Vjn\
дх \ drf.
'^— = — (-^- - frgVn)) aP + a«PVpf <">iv (2.123)
дула = I dva t«..(«)
** \ dt)P
J^lL = _Vaa<")aa.
ax
Таким образом, для поверхностного тензора с типичным
расположением индексов t = /^ааар получаем различные варианты
производных по времени:
эйлерову производную в эйлеровом и лагранжевом базисах
4g- = (JA _ ОД0<»> + ЗД»(п))а«»э + W'V +
+ ^VPvVvf(,,)aan, (2Л24)
- SpV">)]aaaf> + ?aPVaU("'n? + * V^V/^n;
лагранжеву производную в эйлеровом и лагранжевом базисах
^Г = [^Г- + Ъ (G>6 - ^(п)) - A- (GV - ^<п))] а«ар +
+ t% фаУ + V«u(n)) пае + /VPv (М* + V7t»(n)) aan, (2.125)
IF" = [^ + ^ № ~ b&») - Ъ (V^ - *><">]aa? +
+ П (W^v + VaU(">) n? + ?ap?v (£^« + v?y(")) aan.
Для тензора, заданного в базисе (а), соответствующие формулы
имеют вид:
эйлерова производная в эйлеровом базисе
^Г = №£- ~ ЗД»(Я) + T%blv(n) - 7*<B>Vpo(n) -
57

-aa46T(n)*Vvt»fn))aaaP +
+ (M^. + ару7%У«с(л) -Т{п)аЬ^п)-а^Т(п)(п)У^п)) na3 +
+ ("Чг^ + ^Л»^"0 - Tm%v(n) - aaPr(n)(",Vpy(n)) aan +
+ (Га(п) + T(n,a) Vavin)] nn; (2.126)
+
дуГ'")""
эйлерова производная в лагранжевом базисе
ат
ат
-ML + fTJ-g—й.^!-
*Г
Та
•Л)
а^
- 6pV"' - 7awVpy,n' - Лев^'Х^О
а«ар +
f(n)a(#-sH]'
nap +
-Цг- + aPlfapVYu(n) - аа3Г(")(л,Ур^'г) +
+
( at]p
^7,(n)(n) + ^а(п) + £(„)(
;У(п))]аап
+
ат
,(e,)Veo<n)]nn;
(2.127)
лагранжева производная в эйлеровом базисе
di
^pL + T^(G№-bWn))-.
- 7% (GpV - $»<">) - Г("> (&73yv + Vpy(n)) -
r(",V%v(Pv>p + V6^))
aaap +
-\— + a*T?v (6a6U6 + Vau(">) + T(n)a (Giy - ЬЫП)) -
■a^T{n^(bay + Vjn^m,
+
+
^ j-a(rt)
^ + aPVTap (by6v6 + Vyv(n)) + Tm (GpV - b%vln)) -
58

_ QafiT(nm {hy + v3l,c>)Jaan +
+ Г d^n) + (Ta(rt) + T(n)a) фа^ + Уау(л))]nn; (2.128)
лагранжева производная в лагранжевом базисе
d„Ta,
VI = J_V± + r% (Vvoa - &VV>) - Tav (Vv - #i/n)) -
+
d^ + «*fr, (by6? + VvU<">> + 7*"> (V^a- 6PVn)) -
а«ан +
+ [^L. + a^fa,(ba6V6 + Vjn)) + Г(л,а &JP - £aV") -
- aapT(")(n) (bavyv + Vau(n))| nap +
_JL__ + (7«(«) + f <"><*) (6a(J? + V«ow)J nn. (2.129)
Справедливы двухмерные аналоги формул (2.91), (2.82), т. е.
(2.130)
-£~£ + *-™.
ааар =
7ъ1 р
ат
аааР,
где
з!1 - (JL\ М- = (JL\
ix ~\дх JV дх \ дх )у*
дх
дх
дх dx L 1 3>
v2
(2.131)
(2.132)
(2.133)
ZJap=yv
dtc
dv
a
dtp
cV
+ t
a dv*
v dr,*
= vv\/yt% - ? vvua + !%%vv.
(2.134)
Здесь dxta$/dx и d^t%l&z— компоненты эйлеровой производной по
времени в различных базисах, связанные формулой
дуУ дч\Ь дх
(2.135)
59

Проекция уравнения (2.130) на касательную плоскость
в компонентной форме имеет вид /
*Уар _ <Уар
dx дх
+ v%7ae - v(n) (bft1fi - bft%), (2.136)
^% _!Л_+0туЛ (2.i37)
^s'-e ^2* s
dx * dx
dx dx
Последняя формула аналогично (2.92) определяет
вводится следующим образом:
■Ч^- = Ч^Г- + &* - *V°> ?V3 - <WT - *<n,)^v (2.138).
Формулы (2.136), (2.138) несколько отличаются от
соответствующих им трехмерных формул (2.93), (2.87), что обусловлено
движением поверхности в пространстве (v{n) Ф 0). При v{n) = 0, т. е. на
неподвижной поверхности, формулы (2.136), (2.138) аналогичны
формулам (2.93), (2.87), а именно:
DJ%
dx
d?,* .3 ds/ р
Л Л /W
0(")=о dx дх
+ v*Vyt% (2.139)
i^L_ У°3 .+ ?7„Vvoe-??TVpoT (2.140)
dx dx
fa ~~ dyy drf dx
(2.141)
Производная d^t%ldx совпадает с б/бт-производной компонент
поверхностного тензора, введенной в работе [172] формально
(выражение (2.133) принималось по определению). Формула (2.131)
устанавливает связь между операцией дифференцирования по времени
компонент тензора в эйлеровом базисе при постоянных эйлеровых
координатах с б/бт-производной. Отметим, что так же, как при
дифференцировании тензоров на поверхности по координате, ковариантная
производная не описывает полностью изменение тензора в пространст-
ве, производная dzl%/d% не описывает полностью изменения тензора
по времени, поскольку в обоих случаях есть дополнительные
слагаемые, связанные с нормалью п.
Рассмотрим вопрос о коммутировании поверхностного набла-опе-
ратора и производных по времени. Имеем
dJL (v т\ - A (>JU\ - V" дт л- аа A (Л\
ix ^*l) dx \a дца)~ dx drf ^ <Mdr)a/'
60

с другой стороны,
*№)-^(-£)-
Следовательно,
^.<™-*(-£)--£-■£-. чт
di
т. е. эти операторы не коммутируют.
Воспользовавшись формулами (1.73), (2.121), представим
соотношение (2.142) в виде
-J-(V2T) - V2 (4f-) = - (Vzv2) • VST + nn • (V2vs)r • V2T. (2.143)
Аналогично получаем соотношения
^(Vrf)-^) __£--*.. (2.144)
-§*- (VST) - V2 (-^L) = - [V2 (o^n)] • V2T + nn • [Vz (i4n,n)]T • VST.
(2.145)
На поверхности, не перемещающейся в пространстве, Vz' = 0 и
-!-(V2T)-Vs(4r)=0' (2-146)
т. е. эйлерова производная по времени и поверхностный набла-опера-
тор коммутируют.
Из равенств
д ( Уз ) = fr / ^ \
fy<* ^ дт / дт \ дуа }'
д ( Vb^__ ^ | *»f
следуют выражения для производных символов Кристоффеля
1ф- = _ Va (b^) + ba^6V6v{n) - «Vpi>(n,f (2.147)
- S'V0 + hzay6V6v{n\ (2.148)
Величины dyGlp/дт и dyfj^dx в отличие от G£p и Gap —
компоненты тензоров.
Из определения ковариантной производной и производной по
времени поверхностных тензоров находим
£<УЛ> _VV(«L)_ (*eML_ ft^L (2.149)
61

или с учетом формулы (2.147)
^-(V^)-Vv(^-)= t%[-Vv(bUn)) +a«%6v/>-
- b^6v{n)] - /а6 [- Vv (btv{n)) + a%vVpy(rt) - ^Vpo"0]. (2.150)
Из формул (2.147), (2.149) следует
+ t% [vpRpv6a - Vv {btv(n)) + aa%ytf0v{n) - b«V6v{n)] -
- t% [vpR04e6 - Vv(blv(n)) + a%vVpU(n> - b6vV&v(n)]. (2.151)
Аналогичные соотношения для производных д2/дт и Dzldx имеют вид
4f (УЛ) ~ Vv [-Ц^) = >*3 t- Vv (bUn)) + aapSv6VpU,f" -
- 6?Уво(я>] - /% [- Vv (6рУп)) + a6p6pvVpo(,,) - ^^(п)], (2.152)
•_L.(Vv^3) - v7(^^-j = - (Vvae) Ve*?, + ftVn) v6*ap +
/S в Л Л
+ t% (ypi?pv6a + a^bybV9vw - b«V6v{n)) - /ae (fl^p6 +
+ a6%vVpv{n) - b6^v{n)). (2.153)
На неподвижной поверхности (i/n) = 0)
-*-^ = 0, (2.154)
дт,
-^-=VaVp^+?/?aaPv, (2.155)
-И" <УЛ) - Vv (^") = 0, (2.156)
£ <W> - Vv (^±.) = - (V^6) V6/ap + * W - <V*„»?,
(2.157)
dyt(
-^(VvVap)-Vv^^ij = 0, (2.158)
£ (V«3) - Vv (^-) = _ (Vv?) Va?ap +
+ t%vpRpy6a - 2a6y%vp6. (2.159)
62

Для дифференцирования по времени тензоров в инвариантном
представлении (2.35), (2.38) необходимо установить производные по
времени векторов базиса {э}
__ д&н , fok дух1 _ in) ivm
dy*k _
дх дх ' Qxi дх
^=-Л<ГГ*э*;
dr?k ___ дхЭк дэк dr\x _ 7)iVm
dx "" дх "*" dxi dT " m>
(2.160)
(2.161)
dx
Следовательно,
-IT = {4^ + ^n'r^r^-^n'r^Ja^, (2.162)
-ТИТ = ("^- + о'П/7,,-т-о,Г{тГ/]э4э'". (2.163)
Если компоненты тензора Г*™ представляют собой сужение на
поверхность компонент тензора, заданного в трехмерном
пространстве, то, используя соотношения
дх дх ' $xi
С^Т дт ^
вместо формул (2.162), (2.163) получаем
AL = / дхТ т Л- r/"V*U.T*
дх
(■^^ + ^)^^m)s48',lf (2.164)
d 1 I д Tk \
* -I х "■ +^уДэ/. (2.165)
Обозначим
Тогда
Л " I (5т ^ v ¥'л -m/^
аЕГ^ д*Гчп , „(*)„£ T*
дт
= ^Г^ + У VVA. (2.166)
AJ <^Г
л
^7- = -^Г-э^э • (2Л67>
Таким образом, компоненты эйлеровой производной по времени
заданного на поверхности тензора с компонентами Tkm в базисе {э}
равны dzT.Jdx. В работе [172] эта производная обозначалась как
о7\т/от.
63

Поскольку справедлива формула
+ vs • V2T,
V дуТ
dx
дх
/
то
/
дх
"Л '- viT*jT!n _ viT{al*t _ v«VaTkm. (2.168)
dT
Полученное представление д^Ткт1дх предложено в работе [191.
Заметим, что в определении (2.168), в отличие от определения (2.166),
не требуется задание тензора в окрестности поверхности 2.
Зная производные базисных векторов, можно легко
продифференцировать смешанные тензоры. Для описания зависимости компонент
смешанного тензора от точки на поверхности возможны два варианта:
первому соответствуют производные (dW%km/dx)Xty = dXfyW%km/dT и
(dWa$km/dx)Xfr] = dx^W%km/dx; второму с учетом того, что х1 = х1 (уа,
т), или х1 = х1 (rf, т), — производные (dW%km/dx)y = dyW%kJdx й
(dW%kJdx^ = djFtfjdx.
В результате дифференцирования смешанного тензора по времени
получим:
эйлерову производную в первом случае в эйлеровом базисе
Ш_ = [ д*.У*%*т _ J%«W^km + V{n)blW%km +
+ ЛЧП?т) ааарэ/еэт + W^V^Wa^ +
+ a^W%kmS/yvin)aansk3m (2.169)
и в лагранжевом базисе
dyW_
дх
АЙк+уу-* I *«
дх
дх?
("К{Х7 W/a-k
bfa™ + Л'У,ИГр
b«v{n) -
aaaV +
+ W%kmVav{n)n?3k3m + ^W%nVyvin)aan3k3m; (2.170)
эйлерову производную во втором случае в эйлеровом базисе
дх I
fl W/CL- k
у dlm - v(n)b«W^km + v{n)blW%km + y("V (W%i.mTli -
№%ктТЩааа\эт + in*mVat/n)na43m +
+ aPvirj?mVvo(")aeie*9,B (2.171)
64

и в лагранжевом базисе
дх
ди№
Uw -flm , w/V-k / dva
anv
LV"> -
а\эт +
- ПЩ^ - bio*') + Л' (Н'^Ь ~ HWm)] I,
+ W%kJjJn)nl\^m + a^W%kJyv(n)aam^m; (2.172)
лагранжеву производную в первом случае в эйлеровом базисе
j и/ Г Д ЦТ01*
+ f'V.-n^ja.aV + W%km (bayv* + Vav(n)) naV +
+ a^W%km (bv6v6 + V7u(n)) аапэ.э'" (2.173)
и в лагранжевом базисе
dx L дх
^- + W%km (Vvva - b«v{n)) - W%km (Vpi»v - b&n))+
+ o'V^**] ааарэАэт + W%km {bayvy + V«y<n)) паээлэт +
+ apv#ap*m (bv6? + Vyvin)) аапэ,эт; (2.174)
лагранжеву производную во втором случае в эйлеровом базисе
+ vl (X^iLrtj - Wap*,rjm)] ааарэ,эт + W%km (bayvy + Vav{n)) па V +
- +apvWa3*m(6v6y6 + Vvw("))aan3ft3'n (2.175)
и в лагранжевом базисе
dx L <*Т
+ П- (Vvoe - 6VV">) - Wav*n (Vpyv - &^л>) +
aV"+
+ i»' (П '„Г& - #apft;T|m)l mV + #Vm(^v + Vai/">) n
+ apvrap*m (Sy6v6 + Vvu(,l)) аапэ.э'". (2.176)
В формулах (2.169), (2.170), (2.173), (2.174) ковариантное
дифференцирование Уг№°р*,я осуществляется только относительно
латинских индексов с помощью коэффициентов связности Г*/.
5 «-»" 65

Используя равенство
-^=-^ + vs-VsW, / (2.177)
получаем формулу у
/
х'у •"•" + Л'^9*«аУэ.э'" = s/m а«а V. (2.178)
ГДе я п^а/г ^ ™ак
%т3" = *'У m L W%km + Л^П?„. (2.179)
Операция д2№?р*т/дт введена в работе [172], где обозначалась как
8Wa$km/8x. Входящая в формулу (2.179) производная Ли определяется
первым соотношением (2.134) и ковариантное диф>ференцирование
осуществляется относительно греческих индексов.
Из формул (2.177) —(2.179) можно получить представление
d?W%.mldx, предложенное в работе [19], а именно:
Щ^- = J^jtSL. _ Ю7&#т + #?£&$» - ##Л*Т +
+ i»' ^4 -#ар*Г{т), (2.180)
или
5 та-к j т>ак
V'm = -^f2 L*W%km + vl(W%!mTb-П*It»)- (2.181)
Здесь L*W%km определяется вторым соотношением (2.134) и кова-
риантное дифференцирование осуществляется относительно греческих
и латинских индексов. При определении dsW^-m/dt на основе
формулы (2.179) требуется, чтобы компоненты смешанного тензора были
заданы также и в некоторой окрестности поверхности, при определении
на основе формулы (2.180) это не обязательно.
Перейдем к определению компонент вектора ускорения.
Установленные выше правила дифференцирования по времени тензоров на
поверхности позволяют дать различные представления как компонент
эйлеровой производной вектора скорости
d//vS __ / dyva цл-АЛп) _ав-.(/1)г7 -Лп)\ _ , / duv{n)
дх \ дх
дх
btv^-a«W%v^) аа + (ML + v^v^) п,
+
(-^ + Wavin)) n = (4^ - bffivin) - aaV" Vn))aa +
dx
66
d„v{n)
+ -V-n, (2.182)

или
duv
-(-^- + °'">»4»>., (2.183)
dyv2 I д„„ь
дх
так и компонент вектора ускорения is = d^w^ldx
? = Vl + v* (G^v - b%vin)) - v{n)aa* (brf? + Vju{n)),
f« = ijgl + ? (Vpoa - Sfo(n>) - v{n)aa* (SPv9v + V*). (2-184)
* - dx п " ^ар" ' '«" ' Л
(2.185)
Напомним, что в формулах (2.182) — (2.185) для сокращения записи
в компонентах скорости и ускорения опущен индекс 2.
Приведем производные по времени компонент часто
встречающихся специальных тензоров.
Дифференцируя скалярные произведения векторов базиса и
используя формулы (2.160), (2.161), находим
-^ - Л* (T?kgjm + T%gtm) = 0,
(2.186)
3g- + vln)nk (rU'm + г Wm) = о,
-^ + ^(rU,m + rU/m) = o,
а для определителя g = det gV/
4f = 2g»%*r?m, _^L = 2gvT'L. (2.187)
Аналогично, дифференцируя скалярные произведения векторов
базиса {а} и используя формулы для производных базисных векторов
(2.117), (2.118), (2.121)-(2.123), можно получить соответствующие
формулы для коэффициентов первой квадратичной формы поверхно-
-%l + 2М,<«> = о, igL _ 2л<«» = о,
67

$$£- - v6 (Gbflto + Gg6aav) + 2baSivM = 0,
d QafJ
-^- + v6 (0«6а** + Gfcf») - 2Ь«Чп) = 0, /
У«Р 3t>V ~ o &>V a , ot „(n) n /о ,ооч
^ "лр ^3—d^f av + ap = ' ( }
ОТ Лп^ dm'
^nv <V
5-«з va^3 _ узУа + 26a30d.) = 0f
^ о
_?И^__ + yv #Se + Лр) - 2ba4n) = 0,
а также для определителей а = det Oap
l£- = - 4Яот,п), -^ = 2a (Ggpt»e - гЯс/"') (2.189)
и a = det aap
^=й[^_2Яи(я)
di
(2.190)
3 = 2a (Vaya — 2#y(n)) = 2aV2 • v2.
Соотношения (1.25), (1.50), (2.187), (2.189), (2.190) позволяют
находить производные компонент трехмерных тензоров Леви-Чивита
в виде
дх
J^ — u A ptrfiijk
Jib
"^Uk _ PVm
и двухмерных тензоров Леви-Чивита
_v* =_2Яу(п)еаР>
_¥il = _ оМлРГ^е'7*, (2.191)
5т
-^1исУ-2Ш«.)ваР, (2192)
-^— = 2Яу<">е«Р,
сп;
68

Ц— =, - (G>e - 2Hv(n)) е«Р;
dx
дУеа&
Зт \дцУ )
(2.193)
л = - (Vvuv — 2Яо<л>) еаР.
Дифференцируя формулы (2.50), (2.51), получаем выражения для
производных компонент второй квадратичной формы поверхности
М±_ = aavaP6vTv6yW + Zb"*b\v(n\
J&L = VaVpi/n) -SjS^) + й^ (2.194)
~a Ла7Л * (n) ^av^ («) T C«
dy\H = a VftVvy + b hvv + L bR>
dT P V vs p
с помощью которых можно найти производные средней и гауссовой
кривизн поверхности в виде
* ^ = 4-Д^) + (2Я2--/С)^),
V 1 ^^ (2Л95)
-£_ = -*- д^оо + (2Я2 - /С) i?<»> + i>aV«/f;
-^- = (2ЯааЗ — ЬаЭ) VaV^(") + 2/СЯоН,
^ /( ^о^й^^ ^ ~ (2.196)
-j^- = (2ЯааЭ - 6аР) VaV^<»> + 2/W> + vaVaK,
а также производные компонент тензора кривизны в виде
dAv6 г 1
= [^- (2Яа^ - 6^) VxV^») —2/М">] /?аРув,
#*- ^[^(гЯ^-б^ВД^^ (2.197)
69

Полученные формулы, во-первых, существенно упрощают процесс
дифференцирования тензорных соотношений по времени; во-вторых,
формулы (2.188), (2.194) являются эволюционными уравнениями для
комп нент первой и второй основных квадратичных форм/в-третьих,
две последние формулы (2.188) можно рассматривать как
своеобразные «балансовые» уравнения для метрики, причем слагаемые,
пропорциональные нормальной скорости и компонентам второй основной
квадратичной формы, играют роль «источников». Далее, если
предположить, что заданы компоненты двух основных квадратичных форм
и компоненты скорости, то наряду с обычными условиями
интегрируемости Гаусса— Кодацци (1.91), (1.92) должны выполняться
кинематические условия интегрируемости (2.188), (2.194), которые в
работе [172] называют кинематическими условиями совместности.
Наконец, последнюю из формул (2.190) можно использовать для
нахождения лагранжевой производной по времени элемента
поверхности
-^ (dS) = у2 . v2dS = (Va»« - 2HvW) d2 = (Va** + ^ -^f) dS.
(2.198)
На этой основе легко получить выражение производной по времени
интеграла \ ps/d2 в виде
JL J ps/d2 = J [hgL + P2/V2 • v2] rfS, (2.199)
или
d
*dx
j" p2/dS = j [in^L + Ы (va0«- 2Ш">)
d2, (2.200)
d2, (2.201)
_ £ L \ /J
где, как и в формуле (2.109), / — скаляр, вектор или тензор
произвольной валентности. В частности, дифференцируя формулу (2.6),
находим
Jg-l^ + M.^O. (2.202)
2
а в случае dM^/dx = 0 — двухмерное уравнение сохранения массы
в одной из трех эквивалентных форм [128, 139, 167]
drfs
- л-+ pzVx • vz = 0,
i£- + »(v>+-±-
дуа
дт
= 0.
(2.203)
(2.204)
(2.205)
70

Если ввести вектор перемещения и2 = г^ — г^о, то в силу
соотношения (2.43) скорость точек на поверхности 2 будет Vz = d^Uz/dx и
уравнение сохранения массы примет вид
-^ + P2V2.(^L) = 0. (2.206)
На основании формулы (2.143) в линейной теории можно
переставить производные
^ + Р2А(Т2.Цг) = о
или
dr,Pz + P2A,(Vz.us) = 0, (2.207)
где dr]f = -£rdx.
Последнее соотношение используется в гл. 4 при выводе
уравнений состояния, устанавливающих связь между тензором
поверхностных напряжений и поверхностной энергией.
На основании общих формул дифференцирования тензоров по
времени запишем различные варианты выражений компонент вектора
скорости через компоненты вектора перемещения:
va = J^L + „3 (G«y _ bav(n)) _ Лар (^v + ^(^
(п) _ UK]
<U(n)
.IT ' =
u«(bafivt + Vav{%
dx
v^ = ^ + ^(ba,? + V^%
(2.208)
dx
djak
+ и'0/Г?,,
V
dx
fc— дхФ , У(Л7 , ь
-fr+ »*<""
В двухмерных континуумах Коссера наряду со скоростью
перемещения vs = d^Uz/dx второй характеристикой движения является
скорость вращения Wz = d^idz/dx, компоненты которой в различных
базисах определяются формулами
fr = irffl + £> (v,S« - bft<») - «№<* Сь,У + v^(rt)),
71

w(n) = -V" + <** (^p + v^(n))'
/i
ш* = -^_ + ©'о/Г?,,
Аналогично записываются и компоненты производной j^ = d^w^/dx.
Одномерный материальный континуум, движущийся в
трехмерном евклидовом пространстве. Для дифференцирования по времени
тензоров, заданных на линии в базисе {э}, необходимы производные
векторов базиса {э}, а именно эйлерова
дт дт ' dxi дх *^т>
и лагранжева
dx ~~ дт ^ д** <*т ~~vl ik*m'
(2.210)
(2.211)
}огда
"¥- =["^ + ^'(Г?/Г/т-Г{тТ*/)]эАэ- (2.212)
4г = [-^ + °*(Г*Л -Г^/)]э*э", (2.213)
причем справедливо соотношение
Если тензор Т представляет собой сужение на одномерное
многообразие тензора, заданного в трехмерном пространстве, то формулы
(2.212), (2.213) можно представить следующим образом (ср. (2.164)
с (2.215), а также (2.165) с (2.216)):
дЛ (дхТ"
дх
d%
Обозначим
{^■ + ^^к")э^ (2-216)
dLTkm дхТк
дт д%
+ vl%r.m. (2.217)
72

Тогда
Представление dLT.m/dx, аналогичное представлению (2.168) про-
изводной д%Т.т/дХу имеет вид
ii^L = _^L + vl {YktiT[m - V[mTkj) - v(X)VTkm. (2.219)
Компсне 1ты ускорения iL = d^/Jdx находят по формулам
ik = 4?" + Wr?,; (2.220)
если вектор скорости представляет собой сужение на кривую
вектора, заданного в пространстве, то
I* = JgL + 0%и*. (2.221)
Лагранжева производная элемента длины определяется
аналогично формулам (2.108), (2.198):
-gL {dL) = VL . vLdL = (-^- — ху(ц)) dL = X'VvtdL. (2.222)
Следовательно, производная по времени криволинейного интеграла
будет
L
±- \ pJdL = \ [-AM- + PLfVL ■ vL] dL. (2.223)
L L
В частности, дифференцируя формулу (2.6), находим
dMS"
L
_|(^+рЛ.п)*.
откуда в случае dM(l)ldx = 0 следуют три эквивалентные формы
уравнения сохранения массы
d%
+ PlyL.vL = 0, (2.224)
^ + pt(i£--*«)-0. (2.225)
-^- + рА'Щ = 0. (2.226)
Векторы скорости vl и перемещения wL = 17, — Г/.о в силу
равенства (2.57) связаны между собой соотношением vl = dtfijdx.
Следовательно,
-^+*M-3r-)-°- (2227)
73

В рамках общей теории справедлив одномерный аналог формул
/
, (2.228)
<2.101), (2.142)
dx ^Ll) *L{ dx ) dx
в линейном приближении
dr
ds \a
м вместо уравнения (2.227) имеем
= 0,
/
dtpL
dx
Pl-^-(Vl.ul)=0
di
ИЛИ
где dtf =
4
dx
d&L + 9bdi (VL • uL) = 0,
(2.229)
(2.230)
(2.231)
dx.
Уравнение (2.231) используется в гл. 4 при выводе уравнений
состояния, связывающих компоненты одномерного тензора напряжений
с линейной энергией.
Запишем также компоненты векторов скорости перемещения vl =
= dtfiJdT точек на кривой
v = —-—
dx
vWYli,
а также векторов wl —d^Jdx и ]l = dgwddx
dy(&b .
Wn =
. dYwk . ,u
jk = -fc- + МГц-
(2.232)
(2.233)
(2.234)
Одномерный материальный континуум, движущийся по
поверхности. Если кривая движется по поверхности, то изложенные выше
результаты необходимо дополнить, включив производные по времени
тензоров, заданных в базисе {а}. Для этого выведем формулы
дифференцирования по времени базисных векторов. Имеем
д**
дУ*а
+ ■
длп
д2У*
дх дх $у$ дх
и, используя далее соотношения (2.50), (2.74), (2.117), получаем
формулу для искомой эйлеровой производной векторов аа
-^- = (- biv^ + iWGft,) Ч + (VaPw + vmN%>) п. (2.235)
Аналогично для эйлеровой производной векторов кобазиса и нормали
находим
дла
дх
= {v(n)bl - i№<&) ар + (aa%v{n) + v{W)N%) n,
дгп
дх
= -(V/' + Mp)a".
(2.236)
74

Лагранжева производная векторов базиса {а} запишется так:
-% = (_ V(%1 + iTC£Y) аэ + (V«y(n) + ba^) n,
JEL_ = (vin)ba _ vVG«y) aP + {ааРуру(„) + 6ayP) n>
d%
4r = - (^ +b^а<%- <2-237>
Для упрощения записи в компонентах скорости vl опущен индекс
L. В формулах (2.235) — (2.237) учтено равенство (2.73), т. е.
условие, что кривая во время движения не отрывается от поверхности.
Для тензора t = /арааар, заданного на движущейся по
поверхности линии, получим следующие формулы дифференцирования по
времени:
эйлерова производная
-#- - [-^ + (- л?+Лб^) ^ +
+ (vwbl - v(N)N6GU А,] ас/ + (Vai/"> + vwN4av) tat
+ (a^VyV™ + vlN)Nyb*) /apaan; (2.238)
лагранжева производная
4r = [-^" + (~ v(%* + ^ *» + ip(n4 - Л3&) flj aaaP +
+ (Vay(rt) + 6a7yv) *>ap + (a?yVyv(n) + бУ) /?ра«л. (2.239)
Если тензор t представляет собой сужение на одномерное
многообразие тензора, заданного на поверхности, то, подставляя в формулы
(2.238), (2.239) соотношения
dzt% _ дУ{% , „(АОдгт т%
дт - <h +v /v дуу '
4% _ д«1% , vv dt%
>ар +
получаем соответствующие выражения для производных:
дг
& = [пй*" + viN)^yt% ~ vin) (% - tff?T)] aaa? +
+ (flPvVvo<n) + v iN)NX) ta№ + (Vav(n) + v{N)N4ay) />a3, (2.240)
4f = P#- + yVV^ ~ *w (ВД - $°v)] аааЭ +
75

+ (a^s/yv^ + bPvv) /?paan + (Vaf(rt) + ЪауМ /«па*. (2.241)
Если поверхность неподвижна в пространстве (v{n) = 0),/то ана-
логично производной д^Т Jdz (2.168) можно ввести ^изводную
dLt%/dT компонент поверхностного тензора на линии:
или
-^ = ^ + и™№& (2.242)
IgL = ^- + S (G«A - CeA) - *W W (2.243)
В случае v^ = 0, fcaP = 0 из формул (2.238) — (2.243) следуют
формулы (2.162) — (2.168), в которых нормаль п заменена нормалью
N, латинские индексы — греческими, что соответствует движению
кривой на плоскости.

Глава 3
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ КОНТИНУУМОВ
В теории математического моделирования большое значение имеют
балансовые уравнения. С помощью этих уравнений можно
количественно оценить изменения параметров состояния или других величин,
характеризующих материальные континуумы, в результате
протекания в них физико-механических процессов. В соответствии с
рассмотрением материальных континуумов различной размерности
требуется формулировка соответствующих балансовых уравнений для
каждого из них.
В настоящее время существует общий подход к формулировке
балансовых уравнений независимо от конкретных значений
рассматриваемых величин. Важным частным случаем таких уравнений являются
приведенные в предыдущей главе уравнения сохранения массы;
другие частные случаи — уравнения баланса количества движения и
момента количества движения.
Особый интерес представляют приведенные в данной главе
двухмерный и одномерный варианты указанных уравнений. Уравнения
баланса количества движения и момента количества движения
двухмерного материального континуума являются обобщенными
условиями скачка на поверхности разрыва, учитывающими
физико-механические характеристики поверхности, и из них следует [86, 1451
классическое уравнение Лапласа [159], связывающее скачок давлений при
переходе чер^з поверхность раздела с поверхностным натяжением.
Балансовые уравнения в случае одномерного материального
континуума [63, 66, 69, 721 можно рассматривать как условия скачка на
линии и из них как следствие вытекает классическое уравнение Юнга
[1761.
3.1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА
Пусть / — объемная плотность некоторой экстенсивной величины F.
Тогда величину Fy характеризующую материальный континуум,
можно представить в виде интеграла
F = \pfdV, (3.1)
V
который берется по материальному объему.
77

Изменение рассматриваемой величины за единицу времени
определяется выражением (2.109) и может происходить, во-первых, за/счет
потока Jw указанной величины через поверхность А,
ограничивающую объем V\ во-вторых, вследствие наличия источников мргцностью
р9ш внутри объема V. Таким образом,
-g- = - J n • PdA + Г pQ«W. (3.2)
A V
Используя соотношение (2.109) и формулу Гаусса —
Остроградского (1.142), ввиду произвольности объема V получаем общее
уравнение баланса величины / в виде
Л^1 + p/V • v = - V • Я + Р9(/>. (3.3)
Если в балансовом уравнении (3.3) положить f= 1, j(1) = о,
0</> _ qC)^ то П0ЛуЧИМ балансовое уравнение для массы
^L + pv.v = Pe(I\ (3.4)
с учетом которого уравнение (3.3) примет вид
p^ + v.J(/)=pe(/)_p/e0)> (3.5)
При Э(1) = 0 из уравнения (3.4) следует классическое уравнение
сохранения массы (2.110), а из (3.5) — уравнение
р 5L + v. j<» = Ре<'>. (з.б)
Пусть объем V = Vx + V2 содержит разделяющий Vl и V2
двухмерный материальный континуум 2, частицы которого движутся со
скоростью vs, в то время как сама поверхность 2 перемещается в
пространстве с нормальной скоростью vs0.
Изменение во времени некоторой экстенсивной величины
Fz = J Pz/zdS (3.7>
2
(Ы — поверхностная плотность, т. е. величина F^ на единицу массы
поверхности) определяется формулой (2.199) и обусловлено:
поверхностным потоком J^} через контур L, ограничивающий поверхность
2; наличием источников мощностью ргбх? внутри поверхности 2;
потоками J(/} и i(2f) из соседних объемных фаз; разницей в
нормальных составляющих скоростей (vx — vs) • nL и (v2 — vs) • n2. Таким
образом,
4- f PzhdZ = — J N • J(M + J P^fdZ + J щ • J^dZ +
T 2 L 2 2
+ f n2 • J^dZ + J [Р1/х (vx - vs) • nx + p2/2 (v2 - v2) • nJ dZ.
2 2
73

На основании формулы (2.199) и теоремы о дивергенции (1.152)
находим [71, 139, 144, 146]
+ p2/2V2 • v2 + V2 . J^> = ptf") + щ • J!(/) +
+ n2 • J^ + PiA (vx — vs) • пх + p2/2 (v2 — vs) . n2. (3.8)
при /jSi, /x—it /,-i. j2]) = o, jj1} = o, j^ = o, eif) = e2>
из уравнения (3.8) следует уравнение баланса массы для поверхности
-^- + p2V2 . v2 = prfg* + Рх К - v2) • nx + р2 (v2 - vs) • n2, (3.9>
при (vx — v2) • nx = 0, (v2 — v2) • n2 = 0, Qz* = 0 совпадающее с
уравнением (2.203). Уравнение (3.9) дает возможность упростить
общее балансовое уравнение (3.8) и представить его в виде
Рх -*£- + vs • jjp = PzG'i» - P2/Ses» + n, • jj« + n2 • J<« +
+ (/, - /a) Pi (vx - v2) • nx + (/2 - /s) p2 (v, - v2) • n2, (3.10>
а при (vx — vs) • nx = 0, (v2 — vj) • n2 = 0, Q^ = 0 — в виде
Рх 4^ + V2 • J2f) = p202f) + ih • J|n + n2 • Jjf>. (3.11)
Если объем V = Ух + V2 + V3 содержит три разделяющие по-
верхности 212, 213, 223 и кривую их пересечения L, то изменение
некоторой экстенсивной величины FL на кривой
FL= \pLfLdL (3.12)
L
(fL — линейная плотность, т. е. величина FLy приходящаяся на
единицу массы линии) определяется формулой (2.223) и обусловлено:
потоком 3{Р через концы линии; наличием источников мощностью PlOl^
внутри линии L\ потоками Щу J$, J23 из соответствующих
поверхностных фаз; разницей в нормальных составляющих скоростей
(Vi2 — vz.) • Nlav (v13 — vl) • N13, (v23 — vL) • N23. Здесь индексы
12, 13, 23 относятся к величинам, характеризующим
соответствующие поверхности.
Следовательно, балансовое уравнение для линейной плотности /^
имеет вид
4г 1 ^LdL = I PAVdL + (* •J(^)- +
+ J (N12 • J# + N13 • J# + N23 . J$) dL +
L
+ J [P12/12 (V12 — vl) • N12 -f p13/13 (v13 — vL) • N13 +
+ Р2З/23 (V23 Vl) • N23] dL,
79»

откуда [71]
£g± + Рг/lVi. • vL + Vt • j£ = P,e(/> + N12 • № + N13 • 4> +
(ft /
+ N23 • J& + pi2/12 (v12 — vL) • N12 + p13/13 (v13 — vL) • IQ18 -f
+ P23/23 (v23 — vz.) • N23. (3.13)
Уравнение баланса массы одномерного материального континуума
получается из (3.13) при fL=U J*/'= О, ДО =» О, J& = О, •$'= О,
-^- + PlVl • vL = р^> + Pl2 (v12 - vL) • N12 +
+ P13 (Vis — vt) • N13 + p23 (v23 — vL) ■ N23. (3.14)
Используя уравнение (3.14), преобразуем (3.13) к виду
pl Ц±- + v, • jp = PLep - Pl/Lei!> + n12 . j{? +
+ N13 • J{? + N23 • J$ + pl2 (/l2 - /L) (v12 - vL) • N12 +
+ Pis (Лз — fb) (v18 — vL) • Nl3 + p23 (/23 — fL) (v23 — vL) • N23. (3.15)
В уравнении (3.15) можно определенным образом учесть также и
трехмерные потоки, если в качестве рь&ь выбрать интеграл от
tii • J(/\ n2 • J(<J\ щ • J^ по контуру малого радиуса е0,
охватывающему одномерный материальный континуум, а именно
(<Pl2 Ф23 Ф31 \
j пх • Jxdq) + j n2 . J2d<p + f n3 • J3dcp , (3.16)
о о 0 /
где ф12, ф23 и ф31 — углы между N12 и N13; N13 и —1М23, —N23 и N12,
причем ф12 + Ф23 + Фз1 = 2я.
При (v12 — vL) • N12 = 0, (v13 — vL) • N13 = 0, (v23 — vL) • N23 =
= 0, 9z!} = 0 из уравнения (3.15) следует
Pl -Ц±- + Vl • i(Ln = Pl№ + N12 . J{? + N13 • j{£ + N23 . J$, (3.17)
а из уравнения (3.14) — уравнение (2.224).
Из уравнений (2.110), (2.203) и (2.224) видно, что при отсутствии
обмена между двухмерным и одномерным материальными
континуумами и соседними фазами уравнения сохранения массы для
материальных континуумов различной размерности идентичны, изменяется
только размерность дифференциальных операторов по координатам и
времени.
3.2. НАПРЯЖЕНИЯ В МАТЕРИАЛЬНЫХ КОНТИНУУМАХ
Очевидно, что при последовательном изложении механики
поверхностных явлений в деформируемых твердых телах естественно
использовать достаточно полную для этой цели моментную теорию
напряжений,
80

В дальнейшем массовые силы ¥м и моменты Мм будем относить
к единице массы М:
а внутренние поверхностные силы ¥а и моменты Мл, действующие на
выделенную площадку с нормалью п,— к единице поверхности:
dFA dMA
•W-TT' *<П>--7БГ- <ЗЛ9>
Векторы напряжений s и моментов t в точке зависят от ориентации
проходящей через нее площадки и связаны с нормалью п линейными
зависимостями
S(n) = n-G, t(tl)=n. Т,
s' = npi!, t! = л,т".
Тензор а называется тензором напряжений, т — тензором момент-
ных напряжений; далее, как правило, мы будем пользоваться
термином «напряжения», подразумевая при этом как обычные, так и мо-
ментные напряжения. Эти тензоры являются механическими
параметрами локального состояния.
Первый индекс у этих тензоров указывает направление нормали
к выделенной площадке, второй — направление вектора усилия,
действующего на этой площадке. Диагональные компоненты тензора a
называются растягивающими, недиагональные — сдвиговыми;
диагональные компоненты тензора т называются скручивающими,
недиагональные — изгибающими.
Если тензор а является шаровым, т. е.
* = -«. a" = -w", (3.21)
то величина р называется давлением. В общем случае у тензора о
1 .
можно выделить шаровую часть р = Т"
Массовые силы Fms и моменты Mms, действующие на двухмерный
материальный континуум 2, ограниченный кривой L, будем относить
к единице массы поверхности
f dFM2 m dmM2 ,o 99ч
Векторы внутренних сил Fl и моментов Ml, действующих на элемент
выделенной кривой L с нормалью N, расположенной в касательной
плоскости к поверхности 2, относят к единице длины линии
Двухмерный аналог формул (3.20) имеет вид
s2 (N) = N • a2, t2 (N) = N . т2. (3.24)
Первый индекс у поверхностных тензоров напряжений as и т2
указывает направление нормали к выделенной кривой и, следовательно,
6 4—1372
S1

является поверхностным индексом; второй — направление
вектора усилия, действующего на этой кривой, и, в общем случае,
пространственный. Таким образом, опуская индекс 2, для компонент
тензоров получаем у
или
sp = #aaa<\ sin)=Naaain\
t* = Na%a\ t{n)=Nai;a{n\
Диагональные компоненты тензора al называются нормальными
усилиями, недиагональные — сдвиговыми, величины oaW —
перерезывающими усилиями; диагональные компоненты т| называются
скручивающими, недиагональные — изгибающими, та^) —
перерезывающими моментами.
Обычно в теории оболочек вместо компонент тензора моментных
напряжений таР вводят величины >
таЭ = ар%6таб. (3.25)
В случае, когда al — шаровой тензор, т. е.
g2 = о^а, aap = as^p,
величина a2 называется поверхностным натяжением. Отметим, что
поверхностное натяжение аналогично давлению в трехмерном случае
(с точностью до знака). Как и в пространственном случае, из тензора
а| можно выделить шаровую часть cr2 = -z- trs ol.
Массовые силы Fml и моменты Mml, действующие на линию L,
ограниченную точками А к В, относят к единице массы материальной
линии
f dFML dfAML /Q 0рл
Внешние силы и моменты, действующие в точках А и В — концах
кривой,— обозначим через si", ^Г и sl", tt соответственно.
Внутренние силы и моменты, действующие в некоторой точке линии,
являются функциями единичного вектора касательной %: Sl (k) и iL (X).
Линейная зависимость между векторами sl, tL и К
sL (Х) = Х. aL, tL (X) = l. tl (3.27)
определяет тензоры напряжений aL и xL.
Первый индекс у этих тензоров указывает направление
касательной к линии, второй в общем случае является пространственным.
Следовательно, инвариантное представление этих тензоров
относительно базиса {э} таково:
aL = а(Х)\э/г, xL = T{X)ktek
82

или относительно триэдра Френе {Я,}
aL = оатЫ + olkmlii + oiX)(v)lv,
xL = t(X,(X,U + %(ХШ Хц + xMv)kv.
Если кривая лежит на поверхности, то
o, = a(^aa + a(X,("V
TL = T(X)atea + TW("ln,
или относительно основного триэдра кривой на поверхности
Величина а(Л)(А) называется линейным натяжением и обычно
обозначается oL. Компоненты а(Я)(,1), a(A,)(v) и т. д. представляют
собой сдвиговые усилия; т(Я)(Я,) — скручивающий, г(Л)1м,), t(A°(v) и
т. д. — изгибающие моменты.
З.З.УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Используем приведенные в § 3.1 общие балансовые уравнения для
получения дифференциальных уравнений движения. Можно было бы
формально задать потоки и источники в общих балансовых
уравнениях и записать уравнения движения.
Чтобы полнее раскрыть физическое содержание указанных
потоков и источников, рассмотрим вывод этих уравнений подробнее.
Учитывая, что в соответствии со вторым законом Ньютона для
материального континуума производная по времени количества
движения вещества, заключенного в материальном объеме Vy равна
сумме всех массовых и поверхностных сил, получаем
JL j pVdV = J n • odA + j pfcfl/. (3.28)
T V A V
Пользуясь формулой дифференцирования по времени интеграла
по материальному объему (2.109) и формулой
Гаусса—Остроградского (1.142), находим
d* fnv)
_i__ + pvV . v = V • a + pf, (3.29)
откуда с учетом уравнения неразрывности (2.110) следует первое
дифференциальное уравнение движения
p4r==Vea + pf- <3-30>
Компонентная запись уравнения (3.30) имеет вид
pi* = Vmomk + р/\
где компоненты ускорения i определяются формулами (2.94).
83

Аналогично уравнение баланса момента количества движения
запишется следующим образом:
-д- J (г х pv + <zpw)dl/ = J [г х (n • о) + n • tJ dA + '
+ {(r xpf + pm)dF. (3.31)
v
Здесь г — радиус-вектор точки; w — скорость поворота; а —
коэффициент, не зависящий от времени и связанный с моментом инерции.
После дифференцирования,
преобразования поверхностного интеграла в
объемный, учета уравнения (2.110),
уравнения баланса количества движения
(3.30) и формулы (1.38) для второго
дифференциального уравнения
движения окончательно получим
ар
= V • т + pm — г:а (3.32)
или в компонентах
:Ь
ару
Vm^* + pm*-e*V
где компоненты / определяются
формулами (2.115).
В безмоментной теории а = 0, т =
= 0, m = 0, и из уравнения (3.32)
следует симметрия тензора напряжений
еи'с„
= 0, а = а
Рис. 3.
складывая
Из уравнений (3.30), (3.32) легко
получить балансовое уравнение для
кинетической энергии К = -j v2 + -j aw2.
Умножая уравнение (3.30) скалярно на v,
а уравнение (3.32) — скалярно на w и
полученные выражения, находим
di
(V • о) ■ v + (V • т) • w -f pf • v + pm • w — о : (g X w).
равенство
(3.33)
При выводе уравнения (3.33)
использовано
т
w • 8 : о = a : (g X w).
Перейдем к двухмерному материальному континууму. При
выводе уравнения баланса количества движения в случае двухмерного
континуума необходимо учесть его взаимодействие с соседними
объемными фазами. Количество движения материального объема V = Vx +
+ 1/2, ограниченного геометрической поверхностью А = Ах + А.2 и
содержащего двухмерный континуум 2 (рис. 3), определяется как
84

сумма -—
[ pjV.dV + J p2v2dV + f p2v2d2,
vt v2 i
а балансовое уравнение имеет вид
-зг f J РЛ^ + I w*dV + J p2Vsd2) = J p A<^ + I p A*" +
V, v2 2 ' vt v2
+ J pvfzdS + j nx • «vM + J n2 • o2dA + J N • a2dL. (3.34)
Поскольку для каждого из объемов Vt (i = 1, 2) справедливы
соотношения
"ЗГ J P'v^ = J Р''^ + J n<' а^Л +
^ ^ Л-
+ j п, • a<d2 - { p,v, (v, — v2) . n,d2, (3.35)
2 2
TO
-д- J.psVzdS = J N • ozdL + J p2f2d2 _ J (nx. ax + 1Ц • a2) dS +
2 L 2 2
+ J fPivi (vi — vs) • пх + p2v2 (v2 — vs) • n2] dS.
Используя формулу дифференцирования по времени интеграла
по поверхности (2.199) и теорему о дивергенции (1.152), получаем
л ^Vz + P2V2V2 • vs = V2 • a2 + p2f2 —14 • at — n2 • a2 +
+ Pivi (vi — v2) • Щ + p2v2 (v2 — v2) • n2, (3.36)
откуда с учетом баланса массы (3.9) первое дифференциальное
уравнение движения окончательно примет вид
^TlV2 V7
Р2 т^Г~ = v2 • a2 + pzf2 — п1а1 — що2 +
+ Pi К — v2) К — v2) • пх + р2 (v2 — v2) (v2 — v2). n2, (3.37)
а при (vx — vz) • nx = 0, (v2 — v2) - n2 = 0
P2 -^ = Vs . a2 + pjfs —nx • ax-n2 . a2. (3.38)
Компонентная запись дифференциального уравнения движения (3.38)
имеет следующий вид:
в базисе {э}
pi* = уа0«* + pfk - пт (o?k - of); (3.39)
в базисе {а}
pi« = v3apa - ^ap(n) + p/a _ (ain)a - <4")<x), (3.40)
pi<"> = Vaoa(n) + fcoPaap + a/(n) - (a{n)(n) - о?т).
85

Компоненты ускорения iz определяются формулами (2.185) или (2.184)
соответственно. /
Заметим, что уравнения (3.40) совпадают с первыми тремя
уравнениями теории оболочек Кирхгофа — Лява (см., например^/[122]).
Перейдем к формулировке баланса момента количества движения.
Имеем
-§Г [ I(г х PiVl + aiPlWl) dV + I(r x p2V2 + a2p2W2) dV +
+ [ (r X pvv2 + a2pzw2) dl] = j (r X piil + р^) dV +
2 J V,
+ [ (r X p2f2 + p2m2) dV+\(rx p2f2 + Psttis) dZ +
v2 2
+ { [r x (nx • ax) + nx • tj dA + J [г x (n2 • a2) + n2 • т2] d4 +
At Л2
+ J [r X (N • a2) + N • т2] dL. (3.41)
Подставляя в (3.41) формулы типа (3.35) для каждого из объемов
V1w V2, после преобразований, аналогичных проведенным при
выводе формулы (3.37), получаем
г X р2 -^- + asPs-^- = г X pzh + P2tn2 — V2 • (as X г) +
+ V2 • т2 — г х {щ • ax) — nL • тх — г х (п2 • а2) — п2 • т2 +
+ гх (vx — v2)рх(vx — у2) .П1 + гх (v2 —v2)p2(v2 —v2). n2 +
+ (а^ — a2w2) px (vx — v2) • nx + (a2w2 — a2ws) p2 (v2 — v2) . n2,
откуда с учетом уравнения баланса количества движения (3.37) и
формулы (1.97) для второго дифференциального уравнения движения
окончательно будем иметь
d wz
azPs —jjj- = Vz • т2 + psms — щ • тх — n2 • т2 — (e2 : az) nx +
+ В2-02-Щ + (ах\ух — a2w2) px (vx — vs) • пх +
+ (a2w2 — a2w2) p2 (v2 — v2) • n2. (3.42)
В частности, при(ух —v2) • пх = 0, (v2 — v2) • n2 = 0 находим
aips —jj- = V2 • Tz + p2m2 — nx • xx — n2 • т2 — (e2 : as) n£ + e2 • a^ • nt.
(3.43)
Компонентная запись уравнения (3.43) в базисе {э} имеет вид
ap/* = Va%ak + ptnk - nt (т\к - 4k) - eafixWn" + ea%v4av4-, (3.44)
а в базисе {а} —
ap/a = V^a - bfc*{n) + pma - (x\n)a - ч{2п)а) + f\yoy{n\
aPy<"> ■= Vaxa("> + 6aPxaP + pm("> - (т|")("> - т<")('г)) - eaPap*. (3"45)
86

Если пренебречь перерезывающими моментами ха{п) и заменить
та(3 на таР в соответствии с (3.25), то из формул (3.45) получим
остальные три уравнения движения теории оболочек Кирхгофа — Лява
(см., например, [122]).
Умножая скалярно уравнение (3.37) на вектор скорости vz, а
уравнение (3.42) на вектор Wz и складывая полученные соотношения,
находим уравнение баланса кинети-
1 9 1 2
ческой энергии Kz = -j- vz + — asws
в виде
Р*
d„K
Лп2
d%
= (V2 • а2) • vz + (V2 • т2)
• w2 + pzf z • v2 4- P^ms • w2 — nx •
• К • v2 + тх • w2) — n2 .
• (a2 • v2 + 4 • w2) — a£: (a X w2) +
+ [(Vx — v2) • v2 + (aiWx — a2w2) •
• We] Pi (vx — Vz) • nx +
+ I(v2 — vz) • vz + (a2w2 — azWz) •
• wz] p2 (v2 — vz) • n2. (3.46)
При преобразованиях использовано
равенство
(ez : <Tz) nx • Wz — Wz • ez • ciz • nx =
= a£ : (а x w2).
При (vx — vz) • fix = 0, (v2 —
— Vz) • n2 = 0 из уравнения (3.46)
имеем
dnK-
P2-
= (Vz • az) • vz + (V2 • tz)
Рис. 4.
• wz + ps (f 2 • vz + m2 • Wz) —
— nt • (gl • vz + \ • wz) — n2 . (a2 • vz + т2 • ws) — a£ : (a X ws). (3.47)
Аналогично при записи балансовых уравнений для одномерного
материального континуума также необходимо учитывать его
взаимодействие с соседними фазами.
Количество движения материального объема V = Vx + V2 + V3
(рис. 4), ограниченного поверхностью А = Аг + А2 + А3 и
содержащего три материальных двухмерных континуума 212, 213, 223 и
одномерный континуум L, определяется суммой
\ PiVxdl/ + J p2v2dV + { p3v3dK + j Px2v12d2 + J Px3Vi3d2 +
Vt VM V, 2lf 2U
+ 1 P23v23d2 + j pLvLdL.
223
87

Искомое уравнение баланса количества движения имеет вид
-4- (j p^dV + J Pav2dF + J p3v3dV + J p12v12d2 + J p13v13^E +
+ J p23v23d2 + J pLvLdL) = [ p^dV + [ pJ2dV + $ Рз^К +
+ f PiAidS + J p13f13d2 + J pMf88dZ + J pLhdL + J пх • о^Л +
212 213 223 L Лх
+ | n2 • o2d4 + j n3 • а3бМ + £ N12 . a12dL + J N13 • a13dL +
+ jNM.o„dL + (X.at)±. (3.48)
Для объема Vx и поверхности 212 справедливы формулы
■4т $ PJxdV = [ pJjdV + J nx • о^Л + J- n12 • M2 —
V. V, ч4, 2„
- J РЛ (Vi — v12) • n12d2 + J n13 • a^S— { p^ (vx — v13) • n13d2, (3.49)
-37- J Pi2Vi2dS = J pJndS — j nJ2 • a^S — j n21 • a2d2 +
2i2 212 E12 212
+ J [P1V1 (Vx — v12) • n12 + p2v2 (v2 — v12) • n21] dS + J N12 • o12dL +
^12 ^12
+ J Ni2 * o12dL — I p12v12 (v12 — vL) • N12dL. (3.50)
С учетом формул (3.49), (3.50) и аналогичных соотношений для V2>
V3 и 213, 223 из уравнений (3.48) окончательно следует
Pl -^- = pJl + Vl • ol — N12 • a12 — N13 • a13 — N23 • a23 +
+ (via — vL) Pi2 (v12 — vL) • N12 + (v13 — vL) p18 (v13 — vL) • N13 +
+ (v23 — vL) p23 (v23 — vL) • N23. (3 51)
При этом мы воспользовались правилом дифференцирования по
времени криволинейного интеграла (2.223) и формулой (1.157).
В частности, при (v12 — vL) • N12 = 0, (v13 — vL) • N13 = 0, (v23 —
— Vl) • N23 = 0 имеем
Pl -jf±- = Vl-<Jl + Pl*l — N12 • a12 — N13 . a13 — N23 • a23. (3.52)
Уравнение баланса момента количества движения для объема,
изображенного -на рис. 4, таково:
"27 [ J (г X рл + «iPiWx) dV + f (r x p2v2 + a2p2w2) dV +
88

+ { (г X p3v3 + 0C3P3W3) dV + f (r x p12v12 + a12p12w12) dE +
+ j* (r X p13v13 + a13p13w13) d2 + j (r X p23v23 + a23p23w23) d2 +
+ j (r X PlVL + aLpLWL) dZ,l = j (г x рЛ + Pinii) dl/ +
+ J (r X p2f2 + p2m2) dl/ + j (r X p3f3 + p3m3) dV +
+ J (r x piafia + p12m12) d2 + j (r X p13f 13 + Pi3m13) dS +
+ I (r X p23f23 + p23m23) d2 + j (r X pjL + Plhil) dL +
+ j [r x (nx • Oi) + щ • xj Л4 + j [г x (n, • o2) + n2 • т2] Ж4 +
-^1 ^2
+ J [r x (n3 • a3) + n3 • t3] dA + j [r x (N„ • o2) + N12. т12] dL +
+ j [r x (N13 • a13) + N13 • т13] dL + j [r X (N23 • <r23) + N23 • т23] dL -j-
^-13 ^23
+ [гх(Ь aL)]+ + (Ji . tl)+ (3:53)
Записывая балансовые уравнения типа (3.49), (3.50) для каждого
из объемов Vl9 V2t V3 и каждой из поверхностей 212, 213, 223 и
подставляя их в уравнение (3.53), после некоторых преобразований
получаем
dt\L dcWr
Г X pL—37- + aLPLd*~ = Г Х Pl*l + pLtUL ~ L ' ^L X r) +
+ Vl.tl —r X (N12 -o12) — r x (N18 • a13) —rx (N23. a23)—
— N12 • т12 — N13 • т13 — N23 - т23 + г X (v12 — vL) p12 (v12 — vL) • N12 +
+ г X (v13 — vL) Pi3 (vX3 — vL) • N18 + r x (v23 — vL) p23 (v23 — vL) • N23 -(-
+ K2w12 — aLYJL) p12 (v12 — vL) • N12 + (a13w13 — aLwL) p18 (v13 — \L) •
• N13 .-f (a23W2s — ulWl) p23 (v23 — vL) • N23. (3.54)
Поскольку на основании формулы (1.122) справедливо равенство
VL • (ol X г) = (VL . aL) X г + X . aL X К
то уравнение (3.54) с учетом баланса количества движения (3.51)
упростится и окончательно примет вид
cLwL
<*LpL -^— = vL . tl + pLmL — N12 • т12 — N18 • т13 — N23 • т23 —
— X . oL X к + (a12w12 — aLwL) p12 (v12 — vL) • N12 +
+ (a13w13 — aLwL) p13 (v13 — vL) • N13 +
+ (a2sW23 — <xlwl) p23 (v23 — vL) • N23. (3.55)
89

Аналогично из уравнений (3.51), (3.55) следует балансовоэ
уравнение для кинетической энергии Kl = — vi + -yazwi: /
dtKL '
9l -^— = Pl (fl • vL + mL . wL) + (VL • aL) . vL + (VL • х£) • wL —
— a[ : (U x wL) — N12 • (a12 • vL + т12. wL) — N13. (a13 • vL + xw • wL) —
— N23 • (a23 • vL + т23 • wL) +
+ [(V12 — Vl) • vL + (a12w12 — aLwL) • wL] p12 (v12 — vL) • N12 +
+ [(Via — vL) • vL + (a13w18 — aLwL) • wL] p13 (vl3 — vL) . N13 +
+ [(v2s — vl) • vL + (a23w23 — aLwL) • wL] p23 (v23 — vL) . N23. (3.56)
При выводе этого уравнения использована формула
(к • oL X к) • wL = о[: (U X wL).
Если (v12 — vL) • N12 = 0, (v13 — vL) • N13 = 0, (v23 — vL) • N23=
= 0, то из формул (3.55), (3.56) получим соответствующие частные
случаи уравнений баланса момента количества движения
dtwL
«lPl -^— = vL . tl + pLmL — к • aL X к — N12 • т12 —
— N13-t13-N23.t23 (3.57)
и кинетической энергии
Pl -^ = pbh • vL + PlItil • wL + (VL • (TL) • vl + (VL • tl) • wL —
— a[ : (U x wL) — N12 • (a12 . vL + x12 • wL) —
— Ni3 • (ai3 • vl + x13 • wL) — N23 • (a23 • vL + x23 . wL). (3.58)
3.4. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ЮНГА
Полученные в предыдущем параграфе дифференциальные уравнения
баланса количества движения и момента количества движения на
поверхности раздела двух сред (3.37), (3.42) можно рассматривать, с
одной стороны, как обобщенные условия скачка на поверхности
разрыва, учитывающие собственные физико-механические характеристики
ловерхности; с другой стороны, из уравнений (3.37), (3.42) как
частные случаи следуют классическое уравнение Лапласа, связывающее
скачок давлений при переходе через поверхность раздела с
поверхностным натяжением, и ряд известных его обобщений.
Действительно, если положить oz = 0, т2 = 0, р^ = 0, то с
учетом условия скачка для массы
Pi К — vs) . nx + p2 (v2 — v2) • n2 = 0 (3.59)
получим условие скачка на поверхности 2 для количества движения
Pivi (vx — v2) • nx + p2v2 (v2 — vs) ■ n2 = nx • ax + n2 ■ a2, (3.60)
90

а также для момента количества движения
aiPiW, (vx — vs) • Щ + a2p2w2 (v2 — v2) • n2 = nx • x1 + n2 • r2. (3.61)
При (vx — vj) • пх = 0, (v2 — v2) • n2 = 0 и пренебрежении
инерционными членами из уравнений (3.37), (3.42) находим
Vz • az + psf2 = nx • ax + n2 • a2, (3.62)
V2 • т2 + pzm2 = nx • xx + n2 • x2 + (e2 : o2) nx — e2 • a2 • nle (3.63)
Уравнения (3.62), (3.63) в компонентном виде при допущениях
теории Кирхгофа — Лява интерпретировались в работе [86] как
обобщение формулы Лапласа на случай тензорного характера
поверхностных напряжений и наличия поверхностных моментов. В случае
безмоментной теории уравнение
Vz • a2 = щ • ах + п2 • а2 (3.64)
приведено в [145].
Тот факт, что параметры механического состояния поверхности
твердого тела имеют тензорную природу, отмечен в работах [155, 156];
уравнения Лапласа на этот случай впервые обобщены в работах [86,
145].
Если тензор поверхностных напряжений шаровой, т. е. as = а^а,
где а2 — поверхностное натяжение, то
V2<j2 + ЯНо^щ = пх • ах + п2 • а2 (3.65^
или в компонентах
2Но2~о\пт-о{2п){п\ (3.6С)
Наконец, при a2 = const получаем аналог формулы Лапласа для
твердых тел
2Но2 = о\п){п)-о?т. (3.67)
Условия (3.66) для твердых тел получены в работах [61, 119].
Тот факт, что из условий равновесия, кроме уравнения Лапласа
[159]
2#<T2 = p2—ft, (3.68)
следуют дополнительные уравнения, например в простейшем случае
oz = const, отмечен в работе [20].
Проведенная классификация граничных условий не зависит от
уравнений состояния и справедлива также для жидкостей. Условия
(3.62), (3.63) (в общем случае (3.37), (3.42)) описывают
поверхностные эффекты в моментных жидкостях. Уравнение (3.64) для вязких
ньютоновских жидкостей получено в [167]; уравнение (3.66)
приводится в монографии [36].
Наряду с уравнением Лапласа уравнение Юнга является одним
из наиболее известных уравнений теории капиллярных явлений.
Подробный обзор исследований, посвященных теоретическому анализу
и экспериментальной проверке уравнения Юнга, дан в работе [49].
91

Как и уравнение Лапласа, уравнение Юнга можно получить,
используя предложенный здесь общий подход, так как оба эти упдвне-
ния являются следствием уравнений баланса количества движения и
момента количества движения соответственно двухмерного/и
одномерного континуумов.
Уравнения баланса количества движения и момента количества
движения одномерного континуума (формулы (3.51), (3.55)) являются
обобщением уравнения Юнга, учитывающим линейное натяжение
периметра смачивания, скорость перемещения линии контакта по
поверхности твердого тела, тензорный характер поверхностных
напряжений и наличие моментных напряжений.
Полагая о^ = 0, tl = 0, pl = 0 и учитывая условие скачка для
массы
Pi2 (v12 — vl) ■ N12 + P13 (Vis — vl) • N13 + p23 (v23 — vL) • N23 = 0, (3.69)
получаем уравнения
P12V12 (v12 — vL) • N12 + P13V13 (v13 — vL) • N18 +
+ P23V23 (v23 — vl) • N23 = N12 • a12 + N13 • a13 + N23 . a23, (3.70)
ai2pi2w12 (v12 — vl) • N12 + a13p13w13 (v13 — vL) • N13 +
+ a23p23W23 (v23 — vL) • N23 = N12 . т12 + N13. t13 + N23 . x23, (3 Jl)
являющиеся соответствующими аналогами уравнений (3.60), (3.61).
При (v12 — vl) • N12 = 0, (v13 — vL) • N1S = 0, (v23— yL) • N23 =
= 0, Pl = 0 из уравнений (3.51), (3.55) следует
VL • aL = N12 - a12 + N13 • a13 + N23 - a23, (3.72)
VL • TL — h • aL X X = N12 . т12 + N13 . x13 + N23 . т23. (3.73)
Полагая N12 = —N13, записываем уравнения (3.72), (3.73) в
компонентах относительно базиса {э}
*,V (XW) = Nist (aS - o[k2) + Nma% . (3.74)
X,V (№)k) + e,/m^Va(LX)M = Ate (тЙ - %% + ^2s*t8; (3.75)
трехгранника Френе {Ц
£^L _ ^(1*) = N$ (o(§)(M _ 0(g)(M} + N<v> (0(v)№, _ a(^)} +
+ tf{? (o%m - o$(w) + N(£o%m + N%o%w, (3.76)
^1 + *#"« = дДО (<&>« - o»**) + tf? (a,(?M - a{?(v>) +
+ /V23 СУ23 + ^23 a23 »
92

Ц. ХТ£><Д) = tfg (т[Д)(Х) _ ^Н*), + ^(v, (T(v,(X, _ T(v^ +
+ N™ (T||KW _ ^ + ^^gKii) + ^W', (3.77)
-%— + frtf™ + o(tm = N\f (x[^v) - x&)(v)) +
+ iViJ) (T(v,(v) _ T(v,(v)) + ^^(v, + 4v)T(v><v).
поверхностного базиса {а} на поверхности Б12 (J 218
^eV №£}а) - ^paLX)(n) = Мэз (о& - a,p2a) + tf Bpa& + Л^аЙ* (3.78)
XaV (*,«<#m) + Ь^аУ* = iV.3. (a?3(B) - оЙп>) + Л^"' + ЛГМ)<П);
Xfl (к*т£)а) - Ьр?х£т - N&£m =
= Nm (т,рза - -eft) + Nmx% + N^xT,
XaV (ХахП + Ь^хЧ» - eaP«,a = ( '
= Nl3a (т5з(п) - xT) + ЫшхТ + Л&МЗ)(П);
основного триэдра {к, п, N} периметра смачивания на
поверхности 212 U 213
^ K(n)PL + К COS <рОь = CTi2 — O43 —
- sin ва£)(Х) +созвав,
0OL , _(M(M t -WW _ (N)(n) (W)(n)
^ Г "(n)Cl — *(e)°i. = ^12 — O13 —
— sin 0a2S,(n) + cos 0a2">(n), (3.80)
-^1 - x cos <pai^> + *(g)<#><"> = a!?*"' - a{$?w -
_sinejg>(W) + cosejgf>(W>;
-^ - x*.,x^w + x cos *#»<"> = т!?><*> - t£,w -
-sinOT^ + cosOx^^,
93

дтЬ)(П) , v _(*)<?.) , tt)(tf) Ш(ЛО _ T(/V)(n) (Лг)(п) _
-sin0Tg)(n) + coseT^)(tt),
-^ * cos Фт<^> + k{g)^m + о{£т = т|У>т - трт -
-sin6T^V) + coseT^w. (3.81)
Здесь Э — краевой угол (угол между осями N = N12 и —jV23); <р —
угол наклона поверхности 223 на линии трехфазного контакта (угол
между осями jm и N).
В безмоментном случае при а12 = or12a12, а13 = ст13а13, а23 = а23а23,
oL = olM имеем
дот
Ni2a12 + N13a13 + N23a23 ^- % — kolii = 0. (3.82)
Рис. 5.
В случае осевой симметрии получаем уравнение [105]
сг23 cos 0 = а13 — а12 ^- cos ф, (3.83)
где R — радиус основания капли. При ф = 0 справедливо
уравнение
От
а23 cos 8 = а13 — а12 ^-, (3.84)
полученное в работах [11, 127], где в уравнение Юнга введено
слагаемое, связанное с линейным натяжением.
При пренебрежении oL из уравнения (3.82) следует так
называемый треугольник Давыдова — Неймана [23, 164]
Ni2<Ti2 + N13a13 + N23a23 = 0, (3.85)
а из (3.84) — классическое уравнение Юнга [176]
a23 cos 9 = а13 — а12. (3.86)
Здесь 9 — краевой угол (рис. 5).
Тот факт, что обобщение уравнения Юнга отражает тензорный
характер механических параметров состояния поверхности,
подтверждается и экспериментально. Вследствие тензорного характера
величин (Ti2 и avi возможно отклонение от осевой симметрии формы
капли, лежащей или растекающейся по плоской поверхности, что
наблюдалось экспериментально [4, 104, 106, 129, 147].
94

Полученные выше результаты уточняют условия равновесия
между тонкими пленками и объемными фазами [43, 138], а также между
двухмерными фазами [103, 158]; кроме того, они могут быть
использованы при дальнейшем развитии теории зарождения
конденсированной фазы [151, 152] и капиллярной теории флотации [126],
основанных на анализе ситуации на линии раздела трех сред с привлечением
концепции линейного натяжения. В настоящее время накоплен
обширный экспериментальный материал о зависимости угла
смачивания от скорости движения периметра, в частности о «наступающих»
и «отступающих» краевых углах. В обзоре [18] экспериментов и
механизмов, предложенных для их объяснения, отмечается
необходимость использования новых представлений. Один из таких механизмов
описывается уравнениями (3.51), (3.55).

Глава 4
Г
Созданная сравнительно недавно термодинамика неравновесных
процессов [21, 22, 101] внесла существенный вклад в развитие нового
направления в механике деформируемых твердых тел, связанного с
построением ее новых моделей. Эти модели не только отражают
механическое поведение твердых деформируемых тел, но и описывают
процессы немеханического характера в их взаимосвязи.
В отличие от классической равновесной термодинамики, которая
рассматривала равновесие системы в целом, неравновесная
термодинамика основывается на представлении о локальном равновесии в
каждой точке системы; при этом система в целом не обязательно
находится в равновесии.
Исходными понятиями термодинамики являются понятия
параметров состояния, характеризующих состояние системы, и
параметров процесса, описывающих протекание процессов различной
природы. Важную роль играют и понятия характеристических функций
параметров состояния (равновесных потенциалов) и
характеристических функций параметров процесса (кинетических потенциалов).
Задание характеристической функции параметров состояния дает
возможность записать уравнения состояния, тогда как задание
характеристической функции термодинамических сил [95] —
уравнения процесса. Рассмотрим эти вопросы применительно к материальным
континуумам различной размерности.
4.1. ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ. СООТНОШЕНИЯ ГИББСА
В термодинамике объектом исследования являются
термодинамические системы. Под термодинамическими системами будем
подразумевать материальные континуумы соответствующей размерности.
Одно из основных понятий термодинамики — понятие о
состоянии термодинамического равновесия. Состояние термодинамического
равновесия системы описывается определенным набором величин,
называемых параметрами состояния: интенсивными параметрами, не
зависящими от количества вещества в системе, и экстенсивными,
пропорциональными массе системы.
Количество и смысл параметров состояния определяются
совокупностью тех свойств реального тела, которые необходимо отобразить
96

соответствующей моделью. Например, можно рассматривать
параметры механического, физического, химического состояния и т.д. Однако
независимо от характера рассматриваемых взаимодействий на
основании основных законов термодинамики устанавливается существование
таких функций параметров состояния, как абсолютная температура 7\
энтропия S и внутренняя энергия U. Так, из закона транзитивности
теплового равновесия следует существование функции состояния —
абсолютной температуры 7\ позволяющей описывать тепловое
равновесие между телами, находящимися в тепловом контакте. По
определению значения температуры систем, находящихся во взаимном
тепловом равновесии, принимаются равными. Направление отсчета
температуры принято таким, что теплота передается от системы с
большим значением температуры к системе с меньшим ее значением.
Дальнейший выбор параметров состояния основывается на
использовании двух фундаментальных законов термодинамики: закона
энергии и закона энтропии. Первый из них является следствием
закона сохранения энергии и утверждает, что сумма количества теплоты
Q, переданного системе, работы Л, совершаемой над системой, и
энергии Z, привносимой в систему в связи с обменом массой, является
функцией параметров состояния, которая называется внутренней
энергией U. Согласно изложенному, изменение внутренней энергии в
связи с изменением состояния системы определяется формулой
dU = 6Q + 6A + 8Z (4.1)
и является полным дифференциалом относительно параметров
состояния.
Это соотношение справедливо для равновесных и неравновесных
процессов. Однако для равновесных процессов оно детализируется:
малые приращения 6Q, 6Л и 6Z можно представить как
дифференциальные формы соответствующих параметров состояния. В этом случае
соотношение (4.1) называется соотношением Гиббса.
В отличие от внутренней энергии, величины Q, Л и Z, вообще
говоря, не являются функциями состояния, т. е. дифференциальные
формы 6Q, 6Л, 6Z — не полные дифференциалы.
Дальнейшая аналитическая конкретизация соотношения (4.1)
состоит в явном представлении дифференциальных форм 6Q, 6Л, 6Z,
т. е. фактически в выборе параметров состояния.
Искомое представление дифференциальной формы 8Q
основывается на втором законе термодинамики, устанавливающем существование
в случае равновесных процессов наряду с внутренней энергией U
функции состояния — энтропии S. Второй закон термодинамики
утверждает, что теплоту, полученную термодинамической системой,
выполняющей работу, нельзя полностью превратить в работу. Отсюда
следует, что вблизи каждого термически однородного равновесного
состояния системы существуют состояния, недостижимые
адиабатическим путем, т. е. при 6Q = 0. Из принципа адиабатической
недостижимости непосредственно вытекает важное утверждение:
дифференциальная форма параметров состояния 8Q имеет интегрирующий
множитель.
7 4—1372
97

Можно показать, что в качестве интегрирующего множителя
используется величина, обратная абсолютной температуре, у
*? = -£.
откуда
8Q = TdS. (4.2)
Величины Т и S — параметры, характеризующие состояние системы
в тепловом отношении, т. е. параметры теплового состояния системы.
Из формулы (4.1), (4.2) получим аналитическую формулировку*
резюмирующую первый и второй законы термодинамики:
dU = TdS + 6А + 8Z. (4.3)
Дифференциальные формы 8А и 6Z расшифровываются в каждом
конкретном случае при выборе конкретной модели.
Понятия параметров состояния относятся только к равновесным
процессам. При описании неравновесных процессов вводятся важное
понятие локального термодинамического состояния, а также
представление о локальном равновесии в каждой точке системы.
К этим понятиям приходят, разбивая мысленно рассматриваемую
систему на подсистемы физически малых макроэлементов, так что
состояние каждого из них можно считать однородным, а протекающие
в них термодинамические процессы — равновесными. При этом для
каждой из таких подсистем имеет смысл обычное понятие
термодинамических параметров как величин, характеризующих систему в ее
термодинамическом равновесии. В пределе при уменьшении размеров
каждого из элементов приходим к понятию значения
термодинамических параметров системы в точке. Для того чтобы в процессе
предельного перехода термодинамические параметры были конечными,
они не должны, естественно, зависеть от массы элемента. Поэтому для
экстенсивных величин необходимо использовать их удельные
значения, рассчитанные на единицу массы М, например u = dU/dM> s =
= dS/dM и т. д.
При таком подходе все термодинамические параметры можно
рассматривать как функции точки, в результате чего в объеме, занятом
системой, определяется некоторое, вообще говоря, изменяющееся во
времени термодинамическое поле.
Переходя к удельным величинам, представим уравнения (4.1) —
(4.3) в виде
ф = 6# + М + в**, (4.4)
fitf = T(ks9 (4,5)
d$i = Td^s + 6ga + S^z, (4.6)
где и — удельная внутренняя энергия; s — удельная энтропия и т. д.
<Lf
Напомним, что dtf = -j- dx характеризует изменение величины / за
время d% в фиксированной материальной точке.
Аналогично для двухмерной термодинамической системы получаем
98

формулы
d^uz = Srtfs + fi^z + 6^2, (4.7)
6^s = Tzd^sz, (4.8)
d^2 = Tzd^sz + бла2 + 6лг2, (4.9)
где и?, Sz и т. д.— удельные величины, рассчитанные на единицу
массы поверхности, и для одномерной термодинамической системы
dcUL = dc,qL + 8gaL + bcZLy (4.10)
8tfL = TLdQsLy (4.11)
dctiL = Ttd^t -f- 66aL + 6czL. (4.12)
Здесь uLy sL и т. д.— удельные величины, рассчитанные на единицу
массы линии.
4.2. УДЕЛЬНАЯ РАБОТА ДЕФОРМАЦИИ. ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИИ
Работа Л, которая выполняется над системой, может
соответствовать различным формам движения. В дальнейшем ограничимся
механической работой, т. е. работой, которая выполняется на
перемещениях системы под действием механических сил. Эта величина,
отнесенная к единице массы материального континуума, называется удельной
работой деформации. Конкретизируем выражение для удельной работы
деформации (для простоты в случае закрытой системы).
Используя введенные ранее кинематические и динамические
характеристики рассматриваемого континуума, записываем выражение
для полной энергии е в виде
e = u + K = u+-!rv*+ 4-aiv2- (4.13)
На основании закона сохранения энергии изменение полной
энергии обусловлено работой массовых и поверхностных сил и моментов,
а также притоком тепла и представляется соотношением
Л- f pedV = f р (f v + m . w) dV + [ n . (a . v + т . w) dA —
dT v v A
-jn-J^dd, (4.14)
A
откуда для скорости изменения удельной полной энергии имеем
р -^- = pf • v + рт • w + V • (о - v) + V . (т ■ w) — V • i(g\ (4.15)
Поскольку
V . (о • v) = (V . а) . v + (Тг : Vv,
V . (т • w) = (V • т) • w + т : Vw,
то из уравнений (3.33), (4.13), (4.15) вытекает выражение для скорости
изменения внутренней энергии
Р ~- =a7:(Vv + gxw) + x7:Vw-V. i{g). (4.16)
7*
99

Полагая в балансовом уравнении (3.6) f = q> Э(л = QiQ) = О,
j(/) _ j(<7)f получаем балансовое уравнение для количества теплоты [2£l
p4r + v>j(') = a / (4Л7)
Из уравнений (4.4), (4.16) и (4.17) (при б£г = 0) следует формула
= _L</:(Vv + gxw) + -j-xT:\w,
или
6^ а
di
1 т
= —a :
Р
['(-£-)+•*№■)]+±М-£)
Операции V и d^/dx, вообще говоря, не коммутируют (см.
формулу (2.102)) Однако в условиях равновесного процесса, когда скорость
движения мала, можно воспользоваться линейным приближением.
Тогда, пренебрегая членами (Vv) • Vu и (Vv) • Vo>, находим
6*a
8i<2 =
1 T
— a :
P
1 T
- — a
P
dx "t"
:d,y +
l
p
1
P
V
xT
d'-y,
•~dhT
d^x,
или
(4.18)
где тензоры у и х выражаются через векторы перемещения и
поворота,
Y = Vu + gxco, х = Vco, (4.19)
и представляют собой параметры состояния системы — тензоры
деформации.
Таким образом, параметрами механического состояния
рассматриваемой термодинамической системы в случае трехмерного
континуума являются величины у и х, а им сопряженными — напряжения
о и моментные напряжения т.
Как видим, для выбора совокупности механических параметров
состояния достаточно определить лишь силовые величины а и т, в то
время как геометрические величины у и х определяются автоматически
как следствие конкретизации в условиях равновесных процессов
закона сохранения энергии.
Аналогично в безмоментном случае (т = 0) приходим к
классическому результату безмоментной теории
6:a = -^-a:d4e. (4.20)
Здесь
— тензор деформации.
В случае идеальной жидкости a = —pg и с учетом уравнения
(2.112) пол-учаем
б^а = JL- dtf> = - pd, (-у) = - pdv, (4.22)
где v — удельный объем (объем единицы массы).
100

Переходя к многообразиям меньшей размерности, заметим, что
границы применимости гипотезы локального равновесия для
двухмерных и одномерных термодинамических систем уже, чем в
пространственном случае, вследствие возможных резких градиентов
термодинамического состояния в нормальных к этим многообразиям
направлениях. Однако использование указанного допущения и в этих
случаях может быть вполне допустимым приближением [137].
Найдем сначала выражение для удельной работы в случае
двухмерного материального континуума — материальной поверхности 2,
которая разделяет два трехмерных материальных континуума,
занимающих объемы Vx и V2 (см. рис. 3). Уравнение баланса энергии
для этой системы имеет вид
d
dx
(\ P&dV + J p2e2dV + J p2MS\ = J Px (fx • vx + mx. Wl) dV +
\Vi V2 2 J Vt
+ \ p2 (h • v2 + m2 • w2) dV + \p2 (f s • v2 + mz • w2) dZ +
+ £ nL • (ax -w1 + x1- wJdA + £ n2 • (oa • v2 + т2 - w2) dA +
A i A%
+ J N • (a* • V2 + т2 . wjdL— J щ• Л(Д*Л — J n2 . Л^Л4 —
— j N • J^dL. (4.23)
L
Из уравнения (4.23) следует локальное уравнение
р2 -4^- = Р2^2 • v2 + p2tn2 . ws + V2 • (as • v2) +
+ V2 • (t2 • w2) — V2 • Js} — Щ • ax • vx — n2 • a2 • v2 —
— nx • xx. wx — n2 • т2 . w2 + nx • j{'} + n2 • J^. (4.24)
Вычитая уравнение (3.47) из уравнения (4.24), получаем выражение
для скорости изменения внутренней энергии
Р2 -^ = <з1: (V2v2 + а X w2) + т£ : V2w2 - V2 • J^ + пх • J^ +
+ n2 . 3{2Q) — щ . ax • (vx — vs) — n2 • a2 . (v2 — v2) —
— nx. тг . (wx — w2) — n2 • т2. (w2 — ws). (4.25)
В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда на поверхности S
выполняются условия
vl = v2 = v2, wx = w2 = w2,
т. е. поверхность и объемные фазы неразрывны и обмен массой между
ними не происходит. Тогда уравнение (4.25) упростится и примет вид
т^2
dn
Р2 -^_ = ol; (V2v2 + а X ws) + xl: V2w2 - V2- J^ + щ • i[g) +
+ n2 • #>. (4.26)
101

Уравнение баланса тепла в этом случае таково:
pz -^г- + V* • № = Щ - J}" + п2 • &. ^ У (4.27)
Из уравнений (4.7), (4.26), (4.27) получаем /
= -±-ol: (V2v2 + а X w2) + -f-tz : V2w2.
dx p2 •ч ' Pz
Представляя последнее выражение в виде
* Ч'г;Нт)+"р.
1 Т . V7 / dT)®
Pz
и переставляя в рамках линейной теории операции Vs и d^/dx,
окончательно находим
<Vs = -— ol: d^vs + -— т|: d^xs, (4.28)
Р2 Pu
где
yz = V2U2 + a X cos, x2 = Vswz. (4.29)
В частности, для двухмерного безмоментного материального
континуума
Ms = -7- °^ : dr\e*> (4-30)
Р2
e^-^-KVite)11 + (VW°1. (4-31)
а при 02 = сг2а с учетом уравнения (2.207) имеем
Sntfs = Ц- dnpz = а^ (-М . (4.32)
Рассмотрим более сложную систему, состоящую из трех объемных
фаз Vly V2f V3y разделенных тремя материальными поверхностями
212, 2]3, 223, пересекающимися по материальной кривой L (см. рис. 4).
Уравнение баланса полной энергии для такой системы
представляется следующим образом:
p13e13d2 +
+ £ р2з^з^2 + \ pLeLdL\ = [ Pi (fi • vx + mA • wx) dl/ +
+ ^ P2 (f2 • v2 + m2 • w2) dK + f Рз (fз • v3 + m3 • w3) dV +
+ J P12 (fw • V12 + m12. w12) d2 + j Pis (fie * vi3 + m13 • w13) d2 +
+ J Р23 (f 23 • v23 + m23 • w23) d2 + j pL (fl • vL + mL • wL) dl +
102

+ \nl-(Gl'Wl + xl- Wjl) dA + j" n2 • (a2 • v2 + т2 * w2) dA +
4, Л,
+ j n3 • (a3 • v3 + т3 • w3) dA + J N12 • (a
12 ' V12 + т12 • w12) dL +
+ J N13 • ( ai3 * V13 + T13-w13)dL+ J N23.(o
23 * V23 + т23 • w23) dL +
^13 ^23
+ [X • (oL • vL + rL ■ wL))± — J nx • J{"di4 - J n2 • WdA -
•^1 ^2
- j n3 • WdA - j N12 • i\fdL - j Ni3 • J#dL - j N23 • jg>dL -
— (X • jLe>)±. (4.33)
L12 Ll3
или локально на линии L
d*eL
9l —jj- = PzJl • vL + pLmL . wL + VL . (<rL • vL) + VL • (tL • wL) —
- VL • #> + N12 • J{f> + N13 • J# + N23 • J$ - N12 • a12 . v12 -
— N13 • a13 • v13 — N23 • a23 • v23 — N12 . т12 • w12 —
— N13 • т13 • w13 — N23 • x23 • w23. (4.34)
Вычитая из уравнения (4.34) уравнение (3.58), с учетом
соотношений
VL • (oL • vL) = (VL • oL) • vL + a[: VLvL,
VL •. (tl • wL) = (VL . tl) . wL + x[ : VLwL
находим выражение для скорости изменения внутренней энергии:
Pl -^- - a[ : (VLvL + U X wL) + т[ : VLwL - VL . J^ + N12 . J# +
+ N13 • Ji? + N23 • J$ — N12 • a12 • (v12 — vL) — N13 • a13 • (v13 — vL) —
— N23 • a23 • (v23 — vL) — N12 • x12 • (w12 — wL) —
— N13 • т13 . (w13 — wL) — N23 • x23 • (w23 — wL). (4.35)
Предполагая выполнение на кривой L условий
Vi2 = vi3 = v23 = Vl, w12 = w13 = w23 - wL,
получаем упрощенное выражение для скорости изменения внутренней
энергии
di
+ N13 • Ji? + N23 • J$. (4.36)
Из уравнения (3.17) при fL = qL, 6(/'= 6^ = О, W = j{f, J# =
= JiS\ J^> = J(,S>, Jg» = J|? находим
PL Ц±- + Vl ■ i'f = Nu • J{? + N13 • Ji? + N23 • Jg>. (4.37)
103
Pl -^- = al: (\LuL + Ux wt) + т[ : ViWt - VL • J(L9) + N12 • j\f +

Совместное рассмотрение уравнений (4.10), (4.36) и (4.37) приводит
к следующему выражению для скорости изменения удельной оаботы
деформации материальной линии: /
Чг = ^~^: <V^ + ^ X wL) + -J- т[ : SLwi (4.38)
или
\aL 1 Т
di pL
ol :
Как и ранее, пренебрегая в последней формуле нелинейными
слагаемыми, получаем искомую дифференциальную форму
haL = — ol: dtfL + — т[ : d^xL, (4.39)
описывающую приращение удельной работы деформации при малом
изменении параметров состояния yLy xL.
Введенные в данном параграфе величины у» Ys> Vl называются
несимметричными тензорами деформации, а х, хц, х^ — тензорами
изгиба — кручения; часто эти тензоры кратко называются тензорами
деформации. Они выражаются через векторы перемещения и и
поворота со, которые называют также одним словом — перемещение, по
формуле (4.19) или в компонентах относительно базиса {э}
Укш = V*i/m — eikm(d\ Kkm = V^com. (4.40)
В безмоментном случае тензор деформации е симметричен и
определяется соотношением (4.21), или в компонентах
ekm = 4" (vAn + Vm^). (4.41)
В случае двухмерного материального континуума величины уз
и х2 определяются формулами (4.29).
Отметим, что первый индекс у тензоров у% и хг — поверхностный,
второй, в общем случае,— пространственный. Компоненты тензоров
деформации у2 и xs в базисе ааэ* представляются следующими
формулами, в коте ~
а в базисе {а}
мулами, в которых для упрощения записи опущен индекс 2:
Ya* = VaUk — гцмХа®1, Как = УаЩ, (4.42)
Ya(n) = Vaa(n) + bUt + еароЛ (4.43)
*a3 = Va(0P — Ьа№(П\ Ха(л) = Уа<0(Л) + &аО)р.
Обычно в теории оболочек вместо компонент хар вводят в
рассмотрение компоненты
иар = а$угу6хаб. (4.44)
104

В безмоментном случае симметричный тензор деформации будет
поверхностным тензором (4.31), компоненты которого имеют вид
еар = ~y (*aVpw, + 4VaW;), (4.45)
если вектор перемещения задан в базисе {э}, или
если вектор перемещения задан в базисе {а}.
У несимметричных тензоров деформации материальной кривой
Yl = VLuL + П х <oL, xL = VLa)L (4.47)
первые индексы указывают направление касательной к кривой,
вторые, вообще говоря,— пространственные. Компоненты указанных
тензоров следующие:
в базисе Х,э*
Y(Mft = V^ — гцьК'а>*9 хт = Vco/e;
в базисе {к}
у = -^ - xa<« tW(w = -^ + *"W - ku^ - a>(v>
ухи,, = j£L + Ь(д) + ш<« х(х,(м = to^ _.
Ш(у) dco(v)
X ' ' =
+ W»
Если кривая находится на поверхности, то в базисе {а}
Y(X)a = V*/a - 6а^эа(я) + га^о>{п\
Т(Х)(п) = Vl*("} + rf&% -8аР^С0а,
Х(Х)а = V(0a - Ьа^(П), X(M(rt) = V(0(rt) + &&%,
а в базисе [к, n, N}
10$

В безмоментном случае
eL = 4" Kv^)" + (v^07" ] = eim)kl. / (4.48)
Здесь
/
du(K) in) , (ЛЛ
4.3. УДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МАССООБМЕНА. ТЕНЗОРЫ
КОНЦЕНТРАЦИИ ВЕЩЕСТВА И ХИМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
Если в результате равновесного процесса масса М термодинамической
системы изменилась, то приращение энергии массообмена Ы
пропорционально приращению массы:
Ы = pdM, (4.49)
где коэффициент пропорциональности \х называется химическим
потенциалом.
Если термодинамическая система состоит из частиц /V различных
сортов, то
N _
Ы = Е ii{k)dM{k). (4.50)
При локальном рассмотрении имеем
N-1
б^г = 2 |i(*V*>. (4.51)
k=i
Здесь
c<*>=i^ = j£L, ^> = й<*>-?"> (ft =1,2, ...,*-!).
В отличие от (4.50), в формуле (4.51) суммирование по k
выполняется от 1 до N — 1, а не до N. Это обусловлено тем, что
S c{k) = 1 (4.52)
/Г=1
и не все дифференциалы концентрации dep{k) независимы.
Следовательно, исключая, например, d^c{N), получаем выражение (4.51).
Аналогичные выражения для энергии массообмена можно
записать в случае двухмерной и одномерной термодинамических систем:
6леЕ = £ №й^\ (4.53)
к*ь = s' i^rf- (4-54)
Заметим, что при записи плотности работы деформации при
переходе от жидкости к деформируемому твердому телу вместо давления
106

р и плотности р были введены тензорные характеристики
напряженного состояния — тензоры напряжений о и моментных напряжений т,
и деформированного состояния — тензоры деформации у и изгиба-
кручения х (ср. формулы (4.22) и (4.18), (4.32) и (4.28)).
Аналогичная ситуация возникает и в рассматриваемом случае.
Во многих случаях скалярных химических потенциалов и
концентраций вполне достаточно для описания массового взаимодействия
термодинамических систем. Вместе с тем при этом возникает ряд
концептуальных трудностей, устраняемых введением соответствующих
тензорных величин. В частности, при введении известными способами
(107, 148, 165] скалярного химического потенциала в твердых телах
из получающихся при этом соотношений в случае гидростатического
давления не следуют соответствующие соотношения для жидкостей
1174].
Утверждения о том, что в твердом теле химический потенциал
имеет различные значения, соответствующие трем главным значениям
тензора напряжений [16, 104], или что химический потенциал
является функцией нормали п к поверхности [157], косвенно подтверждают
тензорную природу химического потенциала.
Впервые идея о необходимости рассмотрения в твердых телах
тензоров химического потенциала и концентрации вещества была
выдвинута в работах [57, 59, 78, 79]. В дальнейшем к этой идее
различными путями пришли многие исследователи (см., например, работы
[113, 132, 133, 153, 169, 170, 173]).
Для дальнейшего построения теории сделаем дополнительные
допущения относительно структуры тензоров химического потенциала
|ы(А) и концентрации с{к).
В пространственном случае — это симметричные тензоры
причем тензоры c(k) удовлетворяют условию
£ d^ = 0, (4.56)
k=l
так что соответствующее выражение для энергии массообмена тегт
вид
кг = £ ^ : %<*> = 2* &* - ?">): dfec<*> = % ^ : dp* (4.57)
В поверхностном случае у тензоров ju^ и с^ первый индекс —
поверхностный, второй, в общем случае,— пространственный.
Инвариантное представление этих тензоров в различных базисах таково:
l*z — \*> ааэ,-, Сх — С ааЭ;,
или
й*> = fl(*)apaaap + ? *>а(">аап, й<*)аР = Й(*)Р°\
с<?> = с(Л)аРаааэ + c(*)a(,1)aan, c(*)afJ = cm*.
107

Кроме того,
I d^i '= о, /
£=1 £=1
= 2ViPr:drf#. (4-58)
В одномерном случае
2 dec? = О,
= SV^:^. (4-59)
Если в общем балансовом уравнении (3.6) положить f = c{k\
Q(f) = g(*)^ j(/) = j(*)^ то получим балансовое уравнение для тензора
концентрации
p-^+V.^-pe» (4.60)
а при в(Л) = 0 — уравнение
^ с(*>
P-^-+V.Jw = 0, (4.61)
где поток J(/f) является тензором третьей валентности.
Положив в уравнении (3.11) f2s=c^, 6^ = в£\ J^ = j£\ j{f) =
= J{*\ J^ = J^), найдем двухмерные балансовые уравнения для
тензоров концентрации
dx
а в случае 8^ = 0 — уравнения
dx
Наконец, при ft-<#\ в</> = ei*\ J<f> = J?\ J# = JJS>, J# = ДО,
Ja = J» из уравнения (3.17) следуют балансовые уравнения для
одномерных тензоров концентрации
d с(к)
Pl -$£- + VL • jj*> = pLGl*) + N12 • J# + N13 • Jl5? + N23 • jg>. (4.64)
108
p2 ^f- + Vs • jg> = p2e£> + n, • J}*> + щ ■ i4\ (4.62)
p2 -±£- + V2 • Jz*1 = Щ • J\k) + щ ■ Jf. (4.63)

Если el*» = 0, то
PL -%- + V, • J?> = N2 • Ji*> + NI3 • J& + N23 • jg\ (4.65)
Уравнение (4.61) из других соображений рассматривалось в
работах [57, 78, 79].
4.4. СООТНОШЕНИЯ ГИББСА ДЛЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
Трехмерный случай. Соотношения (4.6), (4.18) и (4.57) позволяют
записать соотношение Гиббса для твердого тела в виде
йги = Td^s +±GT:dtf + -±-TT: dp + £* ji(*>: d^k\ (4.66)
Внутренняя энергия и как функция своих характеристических
эе
ные
переменных s, у, х, с(/° является потенциалом, и частные произвол-
Y.x.c V./..X.C (4б7)
ди \ >*) / ди *
— суть уравнения состояния.
Преобразования Лежандра
/ = ы_Г5 = /(Г(7(х,с(*)), (4.68)
N—1
(о = u - Ts - S ja"0 : cik) = со (Г, у, х, (ш(й)) (4.69)
дают возможность ввести два новых потенциала — свободную энергию
/ и большой потенциал «в, и соответствующие им соотношения Гиббса
и уравнения состояния примут вид
_L „г • им . _L J. л.» . V ..(*). ^<'->.
(4.71)
ф = - sd{T + -L-a' :dly + -jrx' :dtx+Y J*w : ^си); (4.70)
<ka = - sd,T + ± aT : d6Y + ± xT : dgx - £' c(*>: d^; (4.72)
s=-Uw а=ры^«
/ do) \ <*) __ / dco \
T =
(4.73)
1G9

В приведенные выше уравнения входят удельные величины,
рассчитанные на единицу массы. Полученные результаты можно
сформулировать в плотностях, отнесенных к единице объема и отмеченных
звездочкой, например и* = ри и т. д. С учетом уравнения (2.112)
-f-=-e:dtf (4.74)
получим
N-1
(L&* = Гф* + (от — co*g) : dgv + тг : dgx + £ V>{k)•' d&ik); (4.75)
k=i
ди* \ * , / $"* \
Spr) , <T = co*g+ --—
V ^ /s'.v.O \ Ф '/s*.v.>e
d|/* = _ s*d|r + (</ - o>*g): da + xT: dp + J ц(*>: dl9w; (4.77)
\ 0I !v.*,Q \ °V iT.x.Q (4 7g.
I *• jr.v.e' ц I aP<*> jr.v.x '
N—l
d^co* = — s*d{T + (aT — co*g): d6y + *Г: d^x — £ p(*>: d^; (4.79)
(4.80)
*=i
^ /x,,V "--^l aY ,T^
т = i7 a(0* \ n<*> — _ / d<**
Во многих случаях первым слагаемым co*g в уравнениях состояния
для тензора а можно пренебречь и тогда удобнее пользоваться
уравнениями (4.75) — (4.80), чем (4.66), (4.67), (4.70) — (4.73).
В безмоментном случае из уравнений (4.66), (4.67), (4.70) — (4.73)
находим
diU = Td& + -L а : dp + jjV* : V*.
dc<*>
s,e
ф = - «%Г + -i- a: die + £ ц(А): dp1»,
k=\
d6(B = - sd^ + ± a; d^e - V cik): d^c*\
p k=i
I da \ I dco \ (k) I dco \
'"He,.' a=PHr/ C —(1РПт^
110

Конкретный вид термодинамических потенциалов методами
термодинамики не определяется. В линейной механике деформируемых
твердых тел термодинамический потенциал представляется в виде
ряда Тейлора по характеристическим переменным в окрестности
термодинамического равновесия с точностью до квадратичных
слагаемых. При этом необходимо выяснить физический смысл
термодинамических коэффициентов — вторых производных характеристических
функций.
Рассматриваемое деформируемое твердое тело характеризуется
следующими группами термодинамических коэффициентов:
1) четырехвалентными тензорами модулей упругости
\,а.,Ь
\ дк /у.а.6 \ ду /х.а.6
а = ц, с; b = 7\ s;
2) четырехвалентными тензорами коэффициентов податливости
лт.а.6 ( д\ \ л(т,а,6 / дк \
\ дх /ал,ь \ да /т,а,&
а = jLi, с; Ь = 7\ s;
3) коэффициентами напряжений — двухвалентными тензорами
ftU),Y,x,a / да \
gU),Y,x.a = / ftr\ f * = 7\ s; а = ^ с;
четырехвалентными тензорами
о(Л)(х),у,х,а / да
Pl ~ I <*<» /v.x.e
p(W.v.x,a e/ *L) , х = ц,с; a = 7\S;
\ dx *' /у.х.а
4) коэффициентами расширения — двухвалентными тензорами
«""■"-(■SL,-
четырехвалентными тензорами
п'{Щх),а,т,а _ ( ду \
Pl ~ I Л<» )„.« '
о'(Щх),а,%.а _ I дх \ _ _ г
111

5) коэффициентами теплоемкости
С'м = T(-w)abd > a, b, d = а, т, v, *, и, с; /
6) диффузионными характеристиками — четырехвалентными
тензорами
D(A)(m),a.b,d = / dc(k) \
a, b = а, т, у, х; d= Т, s; ky m = 1, 2, ... , W— 1;
D'(*)(m)'a'b'' = (|£)ab/ a, b = a, T>V(x; d=7\s;
двухвалентными тензорами
четырехвалентными тензорами
9.(k)(x),a,b
ч
дс<*
х = а, т, у, х; а = а, т, у, х; 6 = Г, s;
?W(x,...ft.c = (*£L)ahc, х = а, т, у, *; а = а, т, у, к; 6 = Г, s.
Во всех случаях а Ф Ьу а Ф х и не являются взаимно сопряженными.
Среди введенных коэффициентов только некоторые независимы;
остальные можно выразить через них [55, 136].
Количество независимых характеристик значительно уменьшится
в изотропном случае. В частности, к*' 'ц сводится к трем
коэффициентам СГ'Т», Г'7"и, rf'r*'1; Х2уХд-к G*T»9 UY'r'*\ лУ'Г,Д; Ц'Т'1Х = 0,
«хТ.Ц = q. o(T)y,x,ix Q(q)V.x,HTsX>J,li о(Т)\,х,\х __ q. о (/?)(»)Y.*.r к
Q{k)\\*J jsX.T ,ц f(k)x,ytT. n(k){yL)y,x,T __ g. ^(k){T)y,X,[l fc(*)Y.>«.M. |)(*)(™)Y.*>7
к р(Щп1)\,*,Т д(А)(/и)у.х,Г
Таким образом, с учетом физического смысла термодинамических
коэффициентов, разложение, например, величины со* в ряд Тейлора
в окрестности термодинамического равновесия имеет вид
о* = р у : у Н g-i у : у Н §— (tr у)2 +
Н у-1 и:* Н —! *:хН §—(trx)2 —
_ p(,)Y.x,Mr ,Г.ц (tr т) , __ _р^_ /2 _ £ pwv.x.7^7-.Д (tr ^ *)} (tf Y) _
112

_ |- p0j~ м,„:ц„_ "2 p*!^(tr„<»)(lr(l»)+
k,m=\ k,m=\
N—l N— 1
+ J ^*>V.x.r? . ^ _ £ ppg^xj* (tr ц(*)} L (4 8])
Здесь отклонение температуры от равновесной обозначается t = Т —
— Т°, под ja(/° подразумевается разность ju,(/° — ji(*)0.
Частные производные со* дают уравнения состояния в виде
а = (GxXM + г]х'^) V + (G^ - г)Х'^) V7 + 1]' S(")Y'X' V* +
*=i
+ (jt*т* tr v - p<«v-*^-r^ _ Y P(*)v'*'V,7> tr ц(*>) g,
т = (Gv'r^ + ^•r'M) x + ((3*г>,г — ч*г*) *r + *v,r* (tr x) g, (4.82)
m=l
+ (V e<*><^ tr ^ + ^*y-T» tr T + 6«**дЛ g.
\m=l /
Двухмерный случай. С учетом уравнений (4.9), (4.28) и (4.58)
соотношения Гиббса на поверхности запишутся следующим образом:
d&z = rsd4s2 + -L. al i dnvs + -^- tI i ^х2 + V цЧ)Т i d^; (4.83)
Ps Ps ft=i
/ du2 \ / du
*z;w* ^ "Ч^Л...с (4.84)
ИЛИ
dn/z = - szdnTz + -J- o£: dtfx + -J- t£ : d„xs + V^ i ^c^; (4.85)
Ps Pz ftti
Sz - _ \"577JYXC' az~Ps{^zjT^c (4.86)
VY'L,c'
a/2 \ ' (A) _ / dfs
T2 = P2'^L)C' **-[*? )T.„
и
1 r
rfncos = — szdifz + —— as: d^vs +
8 4-1372 113

+ J_ xl: d&z - У <#)Г: d^ (4.87)
5C02 \ _ ( ao)S J /
Sz = -bjr7 ' °2 = Ps-^r- , /
2 /r,v,|i \ ^2 /r,v,H
(4.88)
где плотности свободной энергии /s и большого потенциала ю^
определяются преобразованиями Лежандра
fc = as - T2s2 = /л (Г2, vs. хх, с(Д (4.89)
cos = /2 - S* ^ i <#> = 0z (Г2, 72, *z, А (4.90)
Переформулируем приведенные выше уравнения в терминах
величин, отнесенных к единице площади поверхности. Используя
уравнение (2.207)
-^ = -а:^2, (4.91)
получаем
d&z = TxfoZ + (ol - cola) i dr^s + *l': d^z + £* |^)Г J d*^; (4.92)
I dut \ ( dut
Ts= —f . ая =*«& + ' 2
(4.93)
dri/s = — Sz^Tz + (as — cola): d^yx +
■+ tz : d^xs + £* |i£)r: d^; (4.94)
У* \ •- J df*
Sz = —[-7vr-) » a2 = coxa +
a/2/Y.x,o \ ^Ys /7>.o (4.95)
' 7\Y,tt
T
d*z )тлл' *"* \ dp$
dr\(x>l = — Szd^Tz + (a2 — co^a): d^yz +
+ tI : d&z - £* Р^)Г : *i»s}; (4.96)
114

* I д(02 \ * / d(0Z
07 2 /y.x.iu \ ^Ys /7>,ц (4-97)
50)v \ гм / d©t
"2
(*) = / *°Д \
Существуют также различные уравнения состояния для тензора
напряжений, в которых частное дифференцирование осуществляется
при постоянных, не являющихся характеристическими переменными
дифференцируемой функции, например
*-*+(£L-*+(-&L (4-98)
или с учетом преобразований Лежандра
-fb + i-W-X -STc^ip^a + ^r:^) 1.(4.99)
Для безмоментной однокомпонентной поверхности приведенные
выше уравнения упростятся к виду
dr»Hz = Tzd^sz + -—as : ^2, (4.100)
ди2 \ / ди%
т*-[■*;).• "-"l^/ <4Л0,)
dflUl = 7V„Ss + (o2 — fU) ■ drfiz, (4.102)
Т*-(Щ: — *+(-^l- <4-103)
d„/s = — s^Tz + -J- as : d^z, (4.104)
P2
* —(£); п-*№Ъ (4'105)
<WJ - — sJ4,Tz + («z - fia): <fne£, (4.106)
*"Ш' «-* + ^> <4J07>
а также
as = «la + (-Щ. (4.108)
Мы подробно рассмотрели различные варианты соотношений Гибб-
са и уравнений состояния для двухмерных континуумов ввиду их
особой важности. Плотность свободной энергии /я, отнесенную к
8* 115

единице площади поверхности, называют поверхностной энергией.
Уравнения состояния (4.93), (4.95), (4.97) — (4.99), а для одноком-
понентных безмоментных поверхностей — (4.103), (4.107)/ (4.108)
устанавливают связь между тензором поверхностных напряжений и
удельными термодинамическими потенциалами, отнесенными к
единице площади поверхности, в частности с поверхностной энергией.
Таким образом, исходя из общих термодинамических соображений
получен вывод- формулы Херринга [155, 1561 и ее разновидностей.
Различные варианты уравнений состояния для тензора поверхностных
напряжений соответствуют различным условиям протекания
процесса, например постоянным плотностям энтропии s2 или sL
температуре Т и т. д.
Если тензор поверхностных напряжений шаровой а2 = а2а, то
для поверхности жидкости или как некоторое приближение для
поверхности твердого тела получаем
Р2 k=l
Тг = №) , &-(**
PS A=l
ss = —, dT
Vz\ (*) _ (Jfx\
Gz =■ CDs — pi
aPz /T.p(*)
ft)*—tr w—'
d^cal = — sJdnTs H ^-—- d„p2 — £ P2'dr^s';
P2 ft=l
5(0*2 \ (k) f d(i>*s
dT,
SS = — -ЧТ- . P2 = —
2/Р.Ц
02 = «2 P2
^
У.Р
dco2
^2 /7-.il
В однокомпонентном случае
(4.109)
(4.110)
116

Учитывая формулы (4.89), можно указать еще несколько
вариантов уравнения состояния для поверхностного натяжения, например
<ч - «I - р* (-^ = fi - р, (%г\ + рЛ (^i)r =
-«-ргШ.-^Ш.- (4Л11)
Таким образом, исходя из общих термодинамических соображений
получен вывод разновидностей формулы Шаттлуорса [168],
устанавливающей соотношение между поверхностным натяжением и
поверхностной энергией.
Различные частные случаи формул, вытекающих из приведенных
уравнений состояния для тензора поверхностных напряжений и
поверхностного натяжения, приведены в работах [46, 114, 166].
Для конкретизации уравнений состояния разложим со^ в ряд
Тейлора в окрестности термодинамического равновесия. С учетом
физического смысла вторых производных — термодинамических
коэффициентов — получим
/jx, T,ii , х, Т,ц пх, 7> __ х, Т,\х
cos = cos i g Ys • Ух + ■ 2 Y2 • Vs +
H о— (trs Ys) "Г us 7s • Vs -1 9 >*s . К 2 +
H 2 2 * s "i 2 ' 2 2' + ^S 3<S • И 2
N-\ N—\ J) n(k)(m)v,x,T
_ j ptt,Y,H. rr/>, (trs ^ (tfz V2) _ J J^_ ^) II r. ^ I _
Л-1 n0 Dl(ft)(m)V.x,r
— 2j 2 № ^ ~~~
N-\
O0(*)(m)Y,x,r
rz s /tr. ..У0\ /+f- -.И\
- 2 ^^—(trs^))(tr2Mr,) +
117

-^P^^^arz^)^ У (4.112)
Как правило, разложение (4.112) начинают с квадратичных чле:
нов. Вместе с тем в работах [108, 109] отмечена необходимость учета
постоянных в разложении термодинамических потенциалов в ряды
при образовании трещин, разрушении и других процессах, связанных
с возникновением новых поверхностей. В теории поверхностных
явлений слагаемое со^0 в разложении (4.112) является существенной,
а иногда и определяющей величиной.
Частные производные cds приводят к уравнениям состояния для
двухмерного континуума:
а2 = co£°a + (GS^ + rfc7*) VI + (ОГ^Г*) vlТ + 2GpT»tk +
k=i
ъ = (оГ* + ^г,ц) xl + (GF* - W») *lT +
+ 2Glv'r'V + ^,r^(trsx2)a,
S2 = ™~ *2 4" ' о tf2 V2 + 2j Ь2 tr2 JA2 ,
Ps k=\
c<?> = J1 (D^^^'V^" + Di(*)(m)Y'x'7,^m)1) +
m=l
+ [ s e^*-'^ + Ps 0Ks trxv. + $»'"*/* )a -
\m=l P2 /
T"o (Vs+Vs ) -о Vs. (4.113)
4>2 P2
где поверхностная составляющая т! тензора Т2 определяется
формулой (1.59); Ti = Та{п)аап; tr^T^ s tr* -i- В соответствующих
термодинамических коэффициентах оставлен только индекс J_, а
индекс || опущен.
До сих пор мы рассматривали поверхность, неподвижную в
пространстве, т. е. в случае v{n) = 0. Вместе с тем существуют случаи,
когда такое предположение не выполняется. Например, если в
твердом растворе в качестве растворенного вещества выступают вакансии,
то их диффузия на поверхность обусловливает перемещение границы
118

тела. Запишем в этом случае необходимые поправки к приведенным
ранее формулам, в частности соотношениям Гиббса.
Для того чтобы вакансии вышли на поверхность и вследствие
этого граница тела диффузионным образом переместилась в
пространстве на величину driw(A), необходимо затратить дополнительную
работу а1П)(л)^лгг(А). Для подсчета величины с!ли(д) воспользуемся
выражением для диффузионного изменения объема
(dT1aU))2=QdT1^B),
где 2 — площадь поверхности; Q — атомный объем; N^ — число
вакансий; Nz — число атомов. Тогда
QNy
d^uW ж—^—drfz.
Поэтому в выражении для удельной работы деформации появится
дополнительное слагаемое, связанное с нормальным диффузионным
перемещением:
8^2 = —- а2 : d^yz + — т2 : d^z -\ ~ d^c* (4.114)
VZ WZ Па
Здесь пга — масса, приходящаяся на один атом.
Таким образом, соотношение Гиббса примет вид
\ т \ т
d^uz = Tzd^sz + —- oz : d^yz + -— т2 : d^z +
Ps Ps
/ Qa(n)(/1) \
+ [^+—k-)d^> (4Л15)
ИЛИ
\ T It
d^h = — Szd^Tz + -— oz : d^yz + —- *z : d^z +
Pz Ps
На основании формул (4.115), (4.116) можно записать уравнение
состояния для разности скалярных химических потенциалов:
^2 =
или
аи2 \ оо{л)(л)
Исключая o[n){n) из уравнений движения (3.38) и пренебрегая
массовыми и инерционными силами, получаем
pz = ]&—£- Г*2П)('!) + (Vs • as) • nj, (4.117)
119

где
H*L-(*L •
Одномерный случай. Соотношения Гиббса и уравнения/бостояния
для одномерного материального континуума имеют вид
dtuL = TLdisL + —oil dtfL +
W—1
+ J-xl:dlxL+ J ^*>r: &/£\
Pl
a=i
T / duL \ I du
/ Y.*»c V /s,x,c
duL \ (*) _ ( duL
^e/l = — sLdiTL + — o[: dtfL +
+ -L-TTL:dt*L +% tiik)T :dzc?h
1 т
d£coL = — sLd{TL + — az,: dtfL 4-
/daL\ I d(oL \
\ L /Y.x,|Li \ rL /7>,|Ul
d®L \ (k) _ / d(DL
С учетом уравнения (2.231)
-^ = -U:dcYL (4.119)
переформулируем полученные соотношения относительно величин,
рассчитанных на единицу длины кривой:
dpi = Tdksl + (al — wLM): d&L +
120

drfl = — sZd;;7L + (o[ — ©2U): dtfL +
+ t[: d&L + % №т i d#{Lk); (4.120)
si- = — It- . °L = 0)£,U +
. dh \ (*)
d£a)l = — sldiTL + (a[ — а>1Щ '■ dflL +
Кроме того, для тензора напряжений Ol можно записать
уравнения состояния
= £* + (-#) -s'Lr^nu + f.r:^) 1.
\ °4l /7>,ц k=l L \ °Vl /7>,hJ
(4.121)
Из приведенных выше формул можно получить различные частные
случаи, соответствующие безмоментной теории, скалярным
химическому потенциалу и концентрации, однокомпонентному случаю и т. д.
Плотность свободной энергии /2, отнесенная к единице длины
линии, называется линейной энергией. Уравнения состояния для
тензора напряжений gl являются соответствующим аналогом уравнений
состояния для тензора поверхностных напряжений а2, а уравнения
состояния для линейного натяжения oL — аналогами уравнений
состояния для поверхностного натяжения сг2. Заметим, что в безмомент-
121

ном случае разница между одномерными формулами типа формул
Херринга и Шаттлуорса исчезает, так *как тензор aL в этом случае
имеет вид oL = oLkk.
На основе соотношений Гиббса весь набор уравнений состояния
для линии получается естественным путем; одна из формул типа
формулы Шаттлуорса для линии довольно сложным путем получена
в работе [116].
Разложим со2 в ряд Тейлора в окрестности термодинамического
равновесия:
col = col0 + ОГ-Wl : vi! + Gt"-T»ytT : yt + GlT»*l i */' +
+ ~Gt^*tT: *t - №»»KZT* (tr, ti) к - Щ£- ii -
N~l / n0 n(k){m)y,7ifT 0 n±(k)(m)ytxJ \
- £ H^2 -№1Ч№1+-*^ lii*17:^1 +
k,m=\ ^ *
+ J (tf^V : |»P" + am'x'TytT : itf1) -
-2Ipi6i*)v,XJi(trt^)fL, (4.122)
k=\
где ТЛ = Г(ВДМ; T,1 = T^V + TW(v)bv, trLTL = Тща\
Как и в формулах (4.112), (4.113), в разложении (4.122) и в
уравнениях состояния (4.123) соответствующие коэффициенты имеют только
индекс _L (индекс || опущен).
Частные производные со2 по параметрам состояния определяют
уравнения состояния
oL = o)I°U + 2(f£T»vl + 2Gt^T^t - №™KtT*tJX +
+ s\d")Y'x'V")ll+^(")Y'x'V^)1),
TL = 2&kT**L+2Gi4'T»*lt
sL = -^tL + ^ SJ^bLU+ S $>**•" trrf, (4.123)
c{l = У m{k){m)y'x'Taim)l] + /)1(*>(m>v.»«.7,„('")i\
m=l
f(%,x,r »-1(*)y,x,7
bL „II _^ .,1 i tMY.K.M/^g.
— ^ о VL о VL + &L */>/,.
Как и в разложении (4.112), в (4.122) учтено постоянное
слагаемое со 2°.
122

4.5. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЭНТРОПИИ. ПАРАМЕТРЫ
И УРАВНЕНИЯ ПРОЦЕССА
Положив в общем балансовом уравнении (3.6) / = s, р0(^ = 9(s)*,
j(/) = j(s)^ ПОЛуЧИМ балансовое уравнение для энтропии
р^!_ + у. J(s) = 9(s)\ (4.124)
однако ни возникновение энтропии 6(s)*, ни поток энтропии J(s)
еще не конкретизированы. Для их конкретизации представим
соотношение Гиббса (4.66) в виде
и исключим diu/dx и ^Лт с помощью балансовых уравнений
(4.16), (4.61). Таким образом, получим
7>4r = -V-j(?,+ £V,:(V-J(*>)
И
<V +V *=} = J<«>.V ' £ J<*>; V-^ . (4.125)
dx
ft=i
/ „(*) N7* „(^mn „(*) „(*)/лл
Здесь IV J^") = Vt- -t-y—этэпэ1 в отличие от V Ар— = Vt- -^-у— X
X эг"эотэ^; :. означает трехкратную свертку.
Сравнивая уравнения (4.124) и (4.125), для потока энтропии и ее
возникновения находим следующие выражения:
J(s) = _^ ^ (4 л 26)
- в(«). = jto) . v ^ _ £* j<*> i /v J^-V. (4.127)
Наряду с термодинамическими параметрами состояния для
описания процессов в термодинамических системах вводится новая
группа величин — термодинамические потоки и термодинамические силы,
характеризующие интенсивность термодинамических процессов и
причины их возникновения и называемые термодинамическими
параметрами процесса. Как и параметры состояния, параметры
процесса, вообще говоря, имеют тензорный характер. Термодинамические
потоки и термодинамические силы — взаимно сопряженные
параметры процесса.
Возникновение энтропии 6(s)*, представляющееся суммой
произведений термодинамических потоков на термодинамические силы,
является мерой неравновесности процесса.
123

Совокупность параметров состояния конкретной системы
выбирается на первом этапе построения модели с целью отразить rjt или
иные свойства реальной системы с точки зрения наиболее
существенных в данных условиях видов движения. Поскольку выборам
параметров состояния зафиксированы те виды движения, которые
учитываются в модели, то выбор параметров процесса, описывающих эти
движения в количественном отношении, определяется из логического
развития теории. Действительно, этот выбор в достаточной степени
определяется структурой выражения для производства энтропии
6(s). = £ 7(/)Х(/)в (4Л28)
Так как термодинамические силы Хщ обусловливают
термодинамические потоки, то очевидно, что потоки должны определяться как
некоторые функции термодинамических сил /(/) = /(/) {Х^т.))\ I =
= 1, 2, ..., L; т1 = 1, 2, ..., Mt\ Ml ^ L. При этом производство
энтропии можно рассматривать как некоторую однозначную функцию
термодинамических сил. Продифференцировав эту функцию, на
основании (4.128) получим
i=lm^l дХЩ 1=1
Обозначим
L Mi лг(/)
ajn^ew-E s xU)-§—diX(mi).
Тогда
8бП=£/(ЧХ«>-
Для того чтобы функция П, которую назовем кинетическим
потенциалом, в действительности имела потенциальные свойства, т. е.
дифференциальная форма б^П была полным дифференциалом
^П=2 /(Ч*(/ь (4.129)
i=i
должны выполняться условия интегрируемости
dX{mt) дХ(1)
(4.130)
известные в случае линейной теории как соотношения симметрии
коэффициентов Онзагера. Функция П является характеристической
функцией термодинамических сил.
Уравнение (4.129) и его следствия впервые приведены в работе
[95]. Очевидно, что в теории термодинамических процессов оно имеет
такое же важное значение, как и соотношение Гиббса в теории
термодинамического равновесия. Поскольку иногда соотношение Гиббса
называют первым основным уравнением термодинамики, то уравне-
я<

ние (4.129) естественно назвать вторым основным уравнением
термодинамики.
Второе основное уравнение термодинамики (4.129) имеет
основополагающее значение для вывода системы уравнений и краевых
условий, определяющих термодинамическое состояние системы. В
частности, если известна некоторая характеристическая функция
параметров процесса, то из соответствующих этой функции уравнений вида
(4.129) вытекают уравнения процесса — кинетические уравнения.
Например, если каким-либо образом найдем кинетический потенциал как
функцию своих естественных переменных Хщу то из (4.129) следуют
уравнения процесса в виде
/(/> = (-^Ц . (4.131)
\ дХ(1) )х{т).тф1 '
Заметим, что кинетические потенциалы, как и термодинамические,
нельзя найти с помощью методов термодинамики.
В рассматриваемом случае имеем
термодинамические потоки
термодинамические силы V -=г — V
j«7) j<*)
1 v, Ji(*>
Т Т
Разложим кинетический потенциал в ряд Тейлора по естественным
переменным в окрестности состояния равновесия. Поскольку при
отсутствии термодинамических сил термодинамические потоки
должны быть равными нулю, а состояние равновесия характеризуется
равенством нулю и тех и других, то разложение в ряд должно
начинаться с квадратичных членов. Для изотропной среды получаем
Х ' Х ' k,m=l
+ s*H'KL)H'K1)]+
k,tn=\
+ 2*»[v(fr-i£)].(v4-). (4.132)
Соответствующие уравнения процесса имеют вид
1 , ^ nlkw, Л »<*>
J"» = LV ± + £ /?(*>V (tr J^-) , (4.133)
k=l
J<*> = _ Y M(ft)(m)V -^ - [У N (*)(m)V (tr jp.) + R(k)V 4-
m=l \_m=\
g.
(4.134)
При записи кинетического потенциала и уравнений процесса
учтены, во-первых, симметрия тензоров |ш(Л), во-вторых, условие,
что при шаровом тензоре р,(к) тензор потока J{k) имеет структуру
j'(/°g, где j'{k)—вектор.
125

Как видим, утверждение, что уравнения процесса не могут
связывать термодинамические силы и потоки различной тензорной
валентности [22, 28], ограничено. Более точная формулировка указанного
принципа такова: уравнения процесса, как и все остальные
уравнения модели, должны иметь инвариантный вид, т. е. не должйы
зависеть от выбора системы координат. Нетрудно убедиться, что
уравнения (4.133), (4.134) удовлетворяют указанному требованию.
Закон теплопроводности Фурье
J(^ = —pOAwV< (4.135)
и обобщенный закон диффузии Фика
J(*> = _ род'**V*} — Р°Л'(Л) (V tr (1(Л)) g (4.136)
являются частными случаями уравнений (4.133), (4.134). Здесь A{Q) —
коэффициент теплопроводности, Aik) и Л'(/г) — коэффициенты массо-
проводности. В дальнейшем для простоты ограничимся
зависимостями (4.135), (4.136).
Перейдем к рассмотрению двухмерного материального континуума.
В балансовом уравнении (3.11) положим /2 = s2, pzO^ = 0(zs)\ Лл =
= Jz\ Ji/} = Jis), № = J20. Тогда балансовое уравнение для
энтропии запишется следующим образом:
Pz -^Г" + V* ' & = № + "i • J'S) + п. • #• (4-137)
Для конкретизации выражений возникновения энтропии 0(2S)*
и потока энтропии 3^ воспользуемся соотношением Гиббса (4.83)
Vs rp Vs ,1 т dnYs , 1 т Vs ,
di л* dx ' ps *' di ' Ри 2" dx ^
N-l d Jk)
+ S^)T:^- (4.138)
и, исключив d^ujdx и dncsVdt с помощью балансовых уравнений
(4.26), (4.63), найдем
PzT2 -^- = - V2 • J j> + £.' ^>г : (V2 • J<|>) +
+ n, • f Jt* - J* J(ft>: №T) + n2 • (> - % #» : ^ -(4.139)
Преобразуем уравнение (4.139) к виду (4.137):
(A)
p2 —£- + V2 ^ = nx у-, +
+ n2 *4 +
126

N—\ / (k) \T.
+ J(2«>.VS_^_ V j<*>:(VsJ£_) +
' 2 k=\ \ l 2
+ ".-*,(тГ-Ч-) + --*,(тг-17)-
W-l / (*)7 (Л) \ N-\ [ (k)T .Ak) \
-S, -• Wtt-V)-.§ "■•*■'(^V-^)- <4Л40>
Сравнивая уравнения (4.137), (4.140), с учетом равенств (4.126)
находим выражения для $ и в^*:
•)£> = i=L , (4.141)
1 s
е<?>* = # • v2 -J- - s' A*» s (v2 -^)Г +14 • i\q) (т7 - ^") +
+ "'-J?'^-T7)-^"'-,i"4-!V-^r)-
- E n2 • ^ J (-^- --%-). (4-142)
Структура формулы для возникновения энтропии
e(r=v7^2(/) (4143)
позволяет записать соответствующие данной системе
термодинамические силы и потоки, а именно:

термодинамические потоки

термодинамические силы

термодинамические потоки
термодинами- ^_
ческие силы
*
V2^T
n, • J!
1 **2 **2
I ^2 Тх
*f
«#
-vz-тГ
щ - J2
М<2 ^2 \
п \{q)
1 1
n2
1
7-2
• J2
1
7"i
7-2
Аналогично трехмерному случаю, существует кинетический
потенциал как функция своих характеристических переменных —
термодинамических сил Щ = П2 (Хад); ограничимся в разложении П2
в ряд Тейлора в окрестности термодинамического равновесия
квадратичными членами с учетом требования инвариантности. После
дифференцирования получим следующие уравнения процесса;
1 2 ft=l
127

/V-l .Am) ГЛЛ-1 / (m) \
m=l '2 lm=l \ '2 / /
+ ^*,V2-i-|a,
/
n^-iy^-^+L^-
l(?) 7-21/1 1 \ . r 22 / 1 1 \
n2.J2 =L^T^-Trj + ^^-T^j-
JV-1
-I^tr
/г=1
(*>
1*2
.(*)
2 ^
Л'—1
yv—1
£--£#*
fc=l
(ft)
№
№
"~l I .Am)
+1 krtr (-V-T5-)«+s
m=l L \ * ^ / J m=i
4m)
+
/ n(,n)
ц<™>
N—1 r
(*)(m)
214
tr
»4т)
№
2 /J
g +
+
м
(*> / i
215
fc-J-j + M&ft-l;)],.
N—l
(,Лт)
№
m=l
м(2т)
+
4m)
>4т)
4m)
-)].+
1 +
+
+ [Л (J- _ ^-) + M(& (-^- jU)l g. (4.144)
В дальнейшем ограничимся линеаризованными
невзаимосвязанными кинетическими уравнениями
Sf = -9lAfVzh, (4.145)
j<?> = _ piAiV^ - pzA^1 (Vs tm n^) a, (4.146)
nt • Ji« = ЭДЙ & - fe), n2 • tf> = Ж (tt -1£), (4.147)
,.j[A) = ^(nift)-^\ n2.J(2*) = >^)(^>-^,)> (4.148)
128

где Л^ — коэффициент теплопроводности поверхности; Л^ и
Л 2 — коэффициенты массопроводности поверхности; $£{\\ Жъ\
и Jfa \ д$* — соответствующие коэффициенты тепло- и массоот-
дачи.
В случае одномерного континуума балансовое уравнение для
энтропии имеет вид (3.17)
PL 4^ + V^ • ^ = 9^* + Nis * Ji2 + Ni3 • Ш + NM • j£\ (4.149)
а скорость изменения внутренней энергии в соответствии с
соотношением Гиббса (4.118) представляется формулой
hUL _ т dZSL , 1 JT. d^L , 1 г, dt*L ,
N-\ d {k)
+ £/PT'--52h- (4-150)
На основании уравнений (4.36), (4.65) и (4.150) получаем
PlTl ^ = - V, • Jg> + S1 № : <?l • W) +
+ N12 • (jff - Y Jl? : цГ) + N13 • (jjf - £ Ji? : 1^) +
+ Ne.(^-^,Jg,:|»2»r).
или
PL -^r- + Vt K-^r = N12 • 2_i- [-
N—\
N—\
JA3 Zj J13 • Мчз
T13
— N k=l
1 12
JV—1
J23 2j J23 -M-23
IN. *=I 1
1 ^23 r •
y 23
+*-^it-I*'(v'-!7-)'+N--*(T:-it)+
+ N-Jls'(TT-Tt) + N--jSs'(Tr-i-)-
A^—1 / „(k)T <k)T \ iV-1 / Jk)T Ak)T \
— 1 Nu. Jw ': \-f f— — 1 N13. Jb'rl-y 7f— —
A=l \ ' L l12 J k=\ \ J L L 13 /
-SN„.«:te Ц-Л. (4.151)
/t=l \ ' L l 23 /
4—1372 <(29

Таким образом,
Jis)= *=• , / (4.152)
1 L
еГ = &. vL ■ s #> s (Vi -Ы +
+ N12 - J» U -J-) + N13 • JifU -=M +
*L ^12 i ^ "И "13 I TL
N-\ [ n(k)T Ak)T
/1 14 ^-! / n<*)r
+ n23 • Й? (tt—т^-)- 2,N" • ^: (-г:—
yv-i / (*)Г (*)Г \ #-i / (Aj;
- £ Nu. Ji*3>: № -^- - I. N23- J#: -^-
*=1 \ 'i '18 / ft=l \ 't
7",
2
^23
(4.153)
Следовательно, в данном случае имеем
термодинами- (?) (Л) (7) _(<7) м ,(<7)
ческие потоки JL JL Ni2 • J12 Ni3 • J13 N23 * J23
термодинами- „ 1 —*i7f ^ ! L_ _i 1— _J !—
ческие силы VL TL *L TL TL Т1Ш TL T13 TL 723
термодинами- (k) (k) (k)
ческие потоки N12 * J12 N13 • J13 N23 * J23
годинами- _,^ >8M M» &\ M» »<*>
ческие силы \ TL T^ J \ TL T±3 J \ TL ^23 J
Разложим кинетический потенциал Щ в ряд Тейлора в
окрестности термодинамического равновесия, ограничившись квадратичными
слагаемыми. Соответствующие частные производные определяют
кинетические уравнения.
В дальнейшем ограничимся линеаризованными
невзаимосвязанными уравнениями процесса в виде
j^ = -p°LA^VL/L; (4.154)
if = - piA^V^ - pW»VL (trrf) U; (4.155)
N12 . JiJ = Ж{$ (t12 - tL), N13 • Ji? = № (tn - h),
N.-J^liffe-y; (4.156)
n12 . jff.=да о*й} -1*^). n13 . ji? = ж® ы? - ^),
N23.J^ = ^(^-A (4.157)
Здесь A(^} — коэффициент теплопроводности линии; Л/? и Alk) —
коэффициенты массопроводности линии; Ж[Ъ\ Ж\1\ Ж{$ и $$> Жлъ*
Ж$ — соответствующие коэффициенты тепло- и массоотдачи.
130

Уравнения процесса являются важной совокупностью уравнений
модели, поскольку они выражают термодинамические потоки через
параметры состояния. Это позволяет с помощью балансовых
уравнений исключить из них термодинамические потоки и получить таким
образом разрешающие уравнения для определения параметров
состояния. Имея последние, нетрудно получить все остальные функции,
в том числе и термодинамические потоки, как характеристики
интенсивности термодинамических процессов.

Глава 5
РАЗРЕШАЮЩИЕ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ
МАТЕРИАЛЬНЫХ КОНТИНУУМОВ.
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Построение теоретических моделей механики континуума
завершается формулировкой на основе полученных уравнений и соотношений
соответствующих краевых задач математической физики, решение
которых дает возможность найти распределение во времени и в
пространстве интересующих нас физико-механических полей. Для этого
удобно из полученной совокупности уравнений исключить ряд
искомых величин, т. е. записать систему уравнений относительно
подмножества этих величин, через которые выражаются все остальные.
Такие системы уравнений будем называть разрешающими уравнениями
модели.
Как правило, в качестве первоначально искомых величин
выбирают часть параметров состояния, исключая путем элементарных
преобразований сопряженные параметры состояния и потоки, которые
после решения краевой задачи легко определяются из уравнений
состояния и уравнений процесса.
Перейдем к формулировке линейных краевых задач для
материальных континуумов различной размерности.
5.1. ТРЕХМЕРНЫЙ МАТЕРИАЛЬНЫЙ КОНТИНУУМ
Исходными для получения разрешающих уравнений являются
балансовые соотношения, устанавливающие связи между параметрами
состояния и параметрами процесса. Такие же связи устанавливаются
кинетическими уравнениями — уравнениями процесса. Совместное
рассмотрение указанных двух групп уравнений позволяет, исключив
параметры процесса, получить искомые разрешающие системы
уравнений относительно параметров состояния.
Для многих практически важных случаев можно считать, что
состояние исследуемой системы незначительно отличается от
начального равновесного состояния, а возникающие при этом процессы
протекают достаточно медленно. В этих условиях уравнения можно
значительно упростить за счет их линеаризации, т. е. пренебрегая
членами, содержащими произведения искомых величин. Такая линеаризация
проводилась выше при получении уравнений состояния и уравнений
процесса. Напомним, что в линейном приближении значения величин,
характеризующих состояние и движение материальной точки, можно
132

считать совпадающими со значениями соответствующих полей в точке
пространства, где первоначально находилась эта точка, и не
различать, таким образом, эйлерова и лагранжева описаний движения.
Другими словами, при этом нет необходимости различать координаты,
индивидуализирующие материальную точку, и координаты ее места в
пространстве. Кроме того, ввиду малых скоростей можно считать
is.«A., ^^JiL, _£l«A. (5i)
d% дт di дт di дт ' \ • /
В дальнейшем индексы при обозначении производных по времени
опускаем.
Как принято в механике сплошных сред, постановку краевых
задач будем осуществлять в напряжениях или перемещениях.
В первом случае важную роль играют уравнения совместности
деформации. Компоненты несимметричного тензора деформации у и
тензора изгиба-кручения х определяются при заданных векторах
перемещения и и поворота о формулами (4.19).
Если заданы два тензора у и х, то для того чтобы можно было
утверждать, что эти тензоры в действительности представляются в
виде (4.19), должны выполняться дополнительные условия,
называемые условиями совместности деформации. Действительно, для того
чтобы тензор х был градиентом некоторого вектора, необходимо
выполнение условия (см. формулы (1.39))
V х х = 0. (5.2)
Аналогичное требование должно выполняться для тензора
у — g X со, а именно
V X (v — gxo) = 0,
откуда
V х 7= *Т — (trx)g. (5.3)
В компонентной форме уравнения совместности деформации (5.2),
(5.3) имеют вид
ziIkVjKkm = 0, e'^VyY*1 = %mi'— SitTlKk- .
Таким образом, поведение многокомпонентного термоупругого
моментного материального континуума с тензорными
характеристиками распределения вещества описывается линейной системой
уравнений, в которую входят:
уравнения движения
pi = V.a + pf, (5.4)
aPJ = V • т + ptn — е : a; (5.5)
обобщенное уравнение теплопроводности
Л«Д/ = С -#- + ^КТ° -*£*" + 21 ТЧ» AL^L; (5.6)
133

обобщенные уравнения диффузии
Л<* V* + Л'« (Д tr ц<*>) g = £* D^ -*С—%г Щ^ +
m-i 5т 2р ,, дт
\т=\ г /
уравнения состояния
о = (G + п) V + (G - Л) УТ + 2 £( V*> +
+ fA. tr v - P("W - 2J* pW/< tr fi(ft)j g,
T = (G + ^i)« + (G-'n)x7' + Mtrx)g>
s = ^ + J^trV+sW^> (5-8)
P *-i
Af—I
m=l ZP
+ ( £ eww tr |i(«> + J&- tr v + g*>*
\m=l P
а также уравнения
(G + ri)Vxa-(G-^)Vx^-^Vx[(tra)g] =
7V-ir
= 2лР^ (Л, - К) V x (*g) +■ 2л S ^ (>> - ^C) -
IV X [(tr ц<*>) g] + 2ti *£ £(*>V X ft *' +
^^-|Vx[(trn<*))g] + 2r
+ (G + ^)^LTr_(G_^_ga_T_ ^(^ + 2G) (trT)g> (59)
Gr] Gr\ G (2G + ЗА)
(G + ^)Vxt—(G-'n)VXT7' -^l_Vx [(trx)g] = 0,
2G + ЗА,
которые получим, подставив в уравнения совместности деформации
(5.2), (5.3) выражения тензоров деформации из уравнений
состояния (5.8).
Если задача формулируется в перемещениях и и со, то должны
выполняться уравнения типа уравнений Ламе
pi = (X + 2G)V(V • u) — (G + n)V X (V х u) + 2^V х о —
_ tfoxyt _ £* р(*)^ tr ^ + Е* CWV • V{k) + pf, (5-Ю)
134

apj= (b + 2G)V(V. о)—(G + t])Vx (V xcd) +
+ 2r]V x u — 4t](o + pm,
которые получаем, подставляя в уравнения равновесия (5.4), (5.5)
напряжения, определяемые уравнениями состояния (5.8), если в
последних компоненты деформации расшифрованы с помощью формул
(4.19).
Для упрощения обозначений в коэффициентах уравнений (5.6) —
(5.10) опущены индексы Г, у> jm, ..., указывающие условия, при
которых определяются термодинамические коэффициенты.
Для полученной системы уравнений в области, занятой телом, в
начальный момент времени должны задаваться соответствующие
начальные, а на ее границе — граничные условия.
Распределение температуры и химических потенциалов в теле в
начальный момент времени задают в виде
т = 0 : / = / (х\ х2, х3), (i<*> = f{k) (х\ х2, х3). (5.11)
В задачах динамики в начальный момент времени обычно задают
поля векторов перемещения и и поворота со, а также их скоростей v
и w, т. е. при т = 0 принимают
и = и0 (я1, х2, х3)у v = v° (х1, х2у х3),
(5 12)
<о = <о°(х1, л:2, л;3), w = w°(x1, х2, х3). v ' ;
Важный класс составляют задачи, когда инерционные силы
малы. Тогда имеем квазистатическую постановку задачи (pi « 0, pj ^
« 0) [85, 87]. Пренебрежение силами инерции в уравнениях (5.4),
(5.5) с физической точки зрения означает, что при этом не
учитываются механические колебания, через которые система с течением времени
переходит из одного состояния в другое. Такая постановка задачи
с определенным приближением возможна, поскольку время затухания
механических колебаний значительно меньше времени релаксации
диффузионных процессов. Если исключить из рассмотрения
переходной процесс механических колебаний, то следует считать, что
система переходит в новое механическое состояние мгновенно. При решении
задачи это новое состояние необходимо принять за начальное. Из
физических соображений ясно, что в этом приближении исходными
следует принимать нулевые значения энтропии и концентрации, так как
их изменение обусловлено физическими процессами, протекающими
с конечной скоростью.
Следовательно, при рассмотрении квазистатической задачи
начальные условия для температуры и химических потенциалов должны
задаваться в виде
* = --£—-* trV,
р (5.13)
M<*> = -Ц^— (V + 7Г) Ё f- (tr V) g.
135

который следует из уравнений состояния (5.8), разрешенных
относительно переменных t и \^k>.
■trY-£l'r
су,ус,1х р У Ь^ & у
/*
^—1 #/1.4/ ч / ч H^)V.^.S
ц(*) = ^ £)'(»K«)V.H..C(«) + _Ц (Y + 7Г} _
(5.14)
_ Г£ 04*)(.)v.>«,tr cw + р^ДС^ tr Y+i(*)v,,.s \ g
Коэффициенты с индексами s, с выражаются известным образом
через соответствующие коэффициенты с индексами /, \х.
Начальные значения механических переменных в
квазистатическом случае, естественно, не задаются.
Граничные условия для механических величин в классической
постановке могут задаваться либо для векторов напряжений s (п) =
= п • а и моментов t (п) = п • т, либо для перемещений и и
поворотов со. Для физических переменных могут задаваться различные типы
граничных условий (первого — третьего рода, идеального контакта
и т. д.), однако мы их не приводим, поскольку, как будет показано
ниже, они являются частными случаями соответствующих систем
уравнений для двухмерного континуума, которые можно рассматривать
как обобщенные граничные условия для уравнений трехмерного
континуума.
Рассмотрим некоторые частные случаи приведенной в этом
параграфе системы уравнений.
Двухкомпонентная среда при отсутствии моментов [57, 78, 79]:
{X + 2G) V (V . и) — GV х (V х u) = pi — pf +
+ p(^V/ + p/CV(trrt-CV-^f
дт ' р дт ' * дт
AAn + A'totrrte-D-g—£--*- +
,' д\тц fUC dtre ,*dt\
+ [Q—d^- + -^—дГ~ + s-arjS.
о = 2Ge + (К tr e — РОД — p/C tr p) g + &n, (5.15)
J^ + J^Ltre + itr,.,
c = Dfl_I_e + (8tr^ + -^tre + i/)g.
Безмоментная двухкомпонентная среда со скалярными
химическим потенциалом и концентрацией [54, 78, 80]:
(X + 2G) V (V • и) — GV х (V х u) = pi - pf + P^W + рЛТц,
136
S Т1"

a = 2Ge + (Я, tr e — pw/C/ — p/<» g, (5.16)
s = ^ + J^Ltre + |,,
c = 0,i+-M-tre + gf.
На основании этих уравнений получено решение ряда конкретных
задач (см., например, [8, 9, 76, 82, 84]).
Моментная термоупругость [501:
(X + 2G) V (V • и) — (G + Л) V х (V х и) + 2nV х <о -
= pi — pf + p(")/CV/,
(К + 2G) V (V • (о) — (G + л) V х (V х <й) + 2t]V х u —
— 4т|<о = apj — pm,
A^^A + i^iH, (5.17)
о = (G + ц)у + (G -ц)ут + (Xtry -$«Щ)ё,
т = (G + ri)x + (G-ij)xr + £(trx)g,
Моментная теория упругости [3, 34, 51]:
(A. + 2G)V(V-u) — (G + T])Vx (V xu) + 2riVx(i) = pi —pf,
(X + 2G) V (V • ©) — (G + tO V x (V x ©) + 2лV X u —
— 4т)«> = apj — pm, (5.18)
o- = (G + Ti)Y + (G-4)Yr+4trY)g,
t = (G + Л)* + (G -л)иг + X(tr x)g.
Безмоментная термоупругость [31]:
(Я, + 2G) V(V • u) —GV x (V x u) = pi —pf + p<»>KV/,
Л(?)Д/ = С — 4- PW/cro gtre
дт "•" p дт '
о = 2Ge + (X tr e — рм/CQ g, (5' * 9)
s = J^ + J^,re.
137

Безмоментный идеальный твердый раствор [54, 78]. В
приложениях, рассматриваемых в дальнейшем, основное внимание уделено
системе уравнений двухкомпонентного безмоментного
идеального/твердого раствора при пренебрежении инерционными членами и р
отсутствие массовых сил. Используя формулу (1.40), уравнение Движения
преобразуем к виду
(^ + G) V (V • u) + GAu = iWVpi. (5.20)
Здесь и в дальнейшем верхние индексы \х и с указывают, при каких
условиях определяются коэффициенты: при постоянном химическом
потенциале или при постоянной концентрации.
Остальные соотношения удобно представить в виде
o = 2Ge + (^tre —p^Vjg, (5.22)
с = £ц + -&^— tr е, (5.23)
е == ± [Vu + (ЩТ1 (5.24)
Взаимосвязанную систему уравнений (5.20) — (5.24) удается
разделить с помощью следующего приема. Подставляя в уравнение (5.20)
ja из уравнения состояния (5.23), получаем
(r + G)V(V.u) + GAu = pc/C'Vc, (5.25)
где
л -л -\ ^—, РА =—— •
Уравнение (5.21) относительно концентрации с принимает вид
D pD дт
Взяв дивергенцию уравнения (5.25), найдем связь между Ас и Д tr е:
Atre= fK° Ac. (5.26)
* V + 2G v '
Следовательно,
\c\r — п
дт
AcAc = D^~. (5.27)
0 Лс ^ + 20 А
Здесь Л = —— Л.
lc + 2G
Таким образом, вместо системы уравнений (5.20) — (5.23)
получим следующую:
(Xе + G) V (V • u) + GAu = pWc,
аАс=^-, (5.28)
138

0 = 2Ge + (Xе tr ё — p Kcc) g,
с $CKC ,
где a = Ac/D — коэффициент диффузии.
Если в качестве растворенного компонента выступают вакансии,
то диффузия последних приводит к перемещению поверхности тела,
поэтому граничные условия будут выполняться на подвижной
границе. Дополнительное условие для определения перемещения границы
следует из закона сохранения массы, а именно перенос массы dM через
поверхность 2 за время dx определяется выражением
dM = — 2п • Их.
Здесь J — поток вакансий; п — нормаль к поверхности.
Знак минус в последнем выражении возникает в связи с тем, что
перенос вещества описывается с помощью потока вакансий, «масса»
которых принимается отрицательной. С другой стороны, из
геометрических соображений имеем
dM = р2Л/(д),
где du^ — нормальная составляющая диффузионного перемещения
границы.
Приравнивая правые части полученных соотношений, придем к
искомому уравнению для определения скорости перемещения
поверхности твердого тела в связи с диффузией вакансий:
*£- — *■•'-**• <"»
Если химический потенциал является функцией только
концентрации, уравнение (5.29) можно упростить и записать через градиент
концентрации:
du{*> Л дс /к QA4
Этот пример показывает, что при построении новых моделей механики
деформируемых твердых тел возникают краевые задачи, которые не
всегда укладываются в классические схемы. В частности, в случае
диффузии вакансий в деформируемом твердом теле мы сталкиваемся
с задачами типа Стефана [102], для которых граничные условия
задаются на границе, положение которой необходимо определять в
процессе решения.
5.2. ДВУХМЕРНЫЙ МАТЕРИАЛЬНЫЙ КОНТИНУУМ
Исключая с помощью кинетических уравнений (4.145), (4.146)
параметры процесса из балансовых уравнений (4.26), (4.63), после
линеаризации получаем взаимосвязанную систему уравнений,
описывающую поведение двухмерного материального континуума.
Как и в трехмерном случае, в качестве искомых величин можно
выбрать либо напряжения, либо перемещения. В первом случае
139

необходимо учитывать также уравнения совместности деформации,
которые вытекают из следующих соображений.
Для того чтобы тензор хц был поверхностным градиентом вектора,
заданного на поверхности, должно выполняться условие (см.
формулы (1.101)) /
V2 х х2 = е2 • b • xs (5.31)
и аналогично
V2 X (vs — а х сог) = е2 . Ь • (vs — а х со2),
или
V2 X 72 — е2 • b • vs = — nn tr2x2 + nn • x£. (5.32)
В базисе {э} уравнения (5.31), (5.32) имеют следующие компоненты:
ea*Va4k = 0,
£a3VaY3^ = — gijx'aJlkK*' + gikX'aflfK"1,
а в базисе {а} —
еаЭ (Vaxpv — 6avxP(n)) = 0,
eaP(Vax3(„)+^xPv) = 0,
6aP (VaYpv — WVWn)) = Щ(п)>
8аР (VaVW«) + #VPv) = ~ Л*Э-
При обычных допущениях теории Кирхгофа — Лява уа^п) = 0,
и в терминах компонент хар, определяемых формулой (4.44),
последние уравнения принимают вид
8aV6V3xa6 + eaP6K(«) = 0,
что с точностью до обозначений совпадает с обычными уравнениями
совместности деформации теории оболочек Кирхгофа — Лява (см.,
например, [122]).
Таким образом, система уравнений для двухмерного
материального континуума включает в себя:
уравнения движения
Pzh = V2 • a2 + Psfs — Щ • ax — n2 . a2, (5.33)
«sPsjs = Vs • t2 + Psnis — nx • xx — n2 • x2 — (82 : as) nx -f es • <*x • nx;
(5.34)
обобщенное уравнение теплопроводности
PiAif Aife = PzC2 ^f + pS^T* ^g^- +
+ 2 P^<?> ^- - nx • J[<> - n2 • ЦТ; (5.35)
140

обобщенные уравнения диффузии
Л'—1
-2рхД
m=l
ч(/г)(т)
5Г~
d^)J
I £)1(*)(т) ^2
дх
2 дт
-С.
1(Л)
дт
+ р*Й? •£-) а-пх • JJ*> - п2 • J<2*>; (5.36)
уравнения состояния
02 = (02°а + (G2 + л s) vl + (Gs — tta) vlГ + 2Gi Yx +
+ L trz Ys - plf tfzfc - ЕЙ*»* * trx |#) a + SttM" + Czi( W1).
TS = (Gz + rjs) xl + (Gx — ля) «1Г + 2Gixi- + Ях (trs xs) a, (5.37)
*x = %b + -^ trxYz + 2* ^ tr^.
P2
N—1
m=l
W—1
+ ( 2 e(|)(m) tr2 ^m) + -^-'-- - ^ £<-*>'
\m=l PS
■tr^vz + gr^ a-
?2 (vl + тГ) ^2
vi;
2p2 N'~ ' '" ' Ps
уравнения совместности
(G2 + r]x)V2xa| _(G2-^)V2xar +
+ v2 X
-G7T4 tTz a2 ~ М4Г <°2 + 2G*W's +
+ £ 2Gs1l2p(^ + ^- trx № а - 2Лх 2 ti^x X ^' +
/V-l
+ i^JL Vx X ai —^ V ^xiWVx X № -
Gx1
k=i
~ ex • b • {(Gx + riz) aj - (Gs -1!2) olг+ [--q^^ tr2 as-
141

t=1 °S °2 k=\ >
2^2trsT2
nn
s
5i
/
(Gs + Лх) Vs X т| — (G2 — ла) V2 X т|г■
nn • %i ,
/
Vl
(5.38)
Gs + A,2
^-V2 X
X [(trs т2) a]
2вдт)д
VsXT^-Srb
(Gs + 42:)xS-
_(G2_tiz)t1j
■ (tr2 x2) a H —— x2
^
= 0,
которые получаются после подстановки уравнений состояния (5.37)
в уравнения совместности деформации (5.31), (5.32);
условия обмена с объемными фазами
П1 • J}«> = Ж\ч) & - /2), n2 • Лф = SW (/, - ts), (5.39)
14 • j{*> = 3C Oil*» -1£>), щ • № = № <jtf> - №)■ (5.40)
Если задача ставится в перемещениях, то вместо уравнений
движения (5.33), (5.34) и условий совместности (5.38) получим
двухмерные аналоги уравнений Ламе:
Pxh = (Ял + 2G2) V2 (Va • u2) — (G2 + т|х) V2 x (V2 x u2) +
+ 2G2 [(b: V2u2) nj - b • (V2u2) • nj +
+ (2Gi — G2—1|2) [(As«s >) 0l—b • V2u£> + V2 • (b • us) nx — b • b • u2] -b
+ 2Я (Gs — ris) (Vsus41 + b • us) + 2ris8s • Vrf +
+ 2Gi [(Vs X «s)1 - b • Es • cos] -f Vs (co2° - Ps^/Csfe -
- S( Pi*'/tz tr2 ji^j + 2Я Ls° + XsVs • us - pSf/Cafe -
- "f P^ trs ,#) n, + |'(c^'Vs • i»!?»' + Si(*'Vs • № A) +
+ Pzfs — ^ • at — n2 • o2,
aspsjs = (Ял + 2Gs) V2 (Vz • ©s) — (G2 + tJs) V2 X (V2 X ©s) +
+ 2Gs [(b : V2©2) nx — b • (V2©2) • щ] +
+ (2Gi — Gs — Tfe) [(As(o(2') пх — b • Vstos1* + V2 • (b • ©2) n, —
— b • b • <o2] + 2// [(Gs — fte) (Vscos' + b • ©s) + li (V2 • ©2) щ\ +
142
(5.41)

+ 2r]s (V2 x u2 — 2Ю2)1 + 2G£ (V2 x u2 — 2o>s)» +
W—1
+ Ц Cs(/?)e2 • Ц2и • nj + P^ms — fix- т1 — щ • т2.
Относительно начальных и граничных условий можно повторить
с соответствующими изменениями изложенное о начальных и
граничных условиях в трехмерном случае. Например, рассматриваемые в
следующем параграфе одномерные системы уравнений представляют
собой обобщенные граничные условия на контуре, ограничивающем
поверхность, из которых в качестве частных случаев следуют
граничные условия первого — третьего рода, условия идеального
контакта и т. д.
Рассмотрим ряд упрощений полученной выше системы уравнений.
Безмоментная двухкомпонентная поверхность [70]:
Pzb = V2 • а2 + psf2 — nx • cjj — n2 • а2,
, TOc. atr£^S .(g) .(?)
+ p2* §2 fa nt • Ji — П2 • J2 ,
p vA2A2im2 + PsA2 (As tr2 (is) a = p2D2 -^r- + Ps02 —^— a —
-Ь-gf- +(P^2-^i + P&-gf-)a-n1.J1-n1.Jlf
os = cos°a + 2G2es + &ц2 + (ta trs e2 — ps 'ffsfe — P2/C2 trz (*z) a,
с B^/(
s2 = -js- h H y-^- tr2 e2 + £2 tr2 ^2,
c2 = D2M,2 + (02 tr2 |uiz H y^- tr2 e2 + ^s J a ^- e2,
nx • i\q) = Jft" & - tz), n2 . J(/> = Ж? (t2 - fe),
Hi- Л= J^i(fi!— (iS), П2 • J2 = Ж2(112 — (i2).
В уравнениях (5.42) принято, что в безмоментном случае тензор jut
имеет только поверхностные составляющие.
Безмоментная двухкомпонентная поверхность со скалярными
химическим потенциалом и концентрацией [68]:
Psis = Vs • as + psf2 — nx • ax — n2 • a2,
-P2A(/)A2/2 = P2C2 -^- + tfPKzT* ^^ +
+ PzT0b-^.-n1.j}^-na.J^f
Р2Л2А2Ц2 = P2O2 -fa- + P2K2 —^j h P2H2 -5j П! • Jx — ПЯ • J2,
143

as = (о2°а + 2G2e2 + (Я* tr2 ez — tf^Kzh — Р2К2Ц2) a, (5.43)
sz = -fo't2 H tr2es + gs^Z, ,
О IS
cz = D2(i2 + * 2 tr2 e2 + Ы2,
P2
ttl. j{* = M\q) (tx - h\ n2. зР = №> (t2 - /2),
nx. Jx = 3^ ((Xx — (X2), n2 • J2 = J£2 (\i2 — \lz).
Безмоментная термоупругая поверхность [64]:
р2«2 = V2 - а2 + p2f2 — nx • ах — n2 • а2,
ргАУал - piCs -^- + р^г» -^pL - П1 • #> - щ • 4Л.
as = 2G2es + (/s° + ^2 trx е2 - Ps^A^s) а, (5.44)
ss = -p- fz -\ tr2 e2,
n, • W = ЖР & - /s), n2 - № = J^> & - h).
В уравнениях (5.44) вместо постоянной со2° появляется свободная
энергия /2°, поскольку в однокомпонентном случае уравнения
состояния определяются частными производными плотности свободной
энергии, а не большого потенциала. Если в третьей формуле (5.44)
пренебречь термоупругим эффектом, то получим уравнение
а2 = /2°а + 2G2e2 + A* (tr2 е2) а, (5.45)
приведенное в работе [130], в которой величины G2, А,2 и /2°
трактовались как три упругие константы поверхности.
Известно, что поверхностная диффузия происходит на порядок
интенсивнее объемной. Характерной особенностью полученных выше
систем уравнений является наличие термодинамических потоков вдоль
поверхности.
Из уравнений (5.35), (5.36), (5.39), (5.40) как частные случаи
следуют обычные граничные условия для тепловых и диффузионных
характеристик:
1) граничные условия первого рода (Ж[д) = оо, ЖФ = оо, Ж[к) =
= оо, ^=оо, /2 = /с, № = №)
i — t ..(*> — м(*>-
h — fc» f*i — М-с *
2) граничные условия второго рода (р2 = 0, Кя = 0, £2} = 0,
■£s — и, п2 • J2 — J с , п2 • j2 — Jc ;
— nl ' *Ч = Jq, , — Пх • Ji — Jc ,
144

3) граничные условия третьего рода (Ж^ = «>, Ж{2к) = °°, t2 =
= tc, № = Mi*»)
пг • J|" = ЗГ ft - и, П1 • Ji*» = ЗС o»i*> - Л
4) условия идеального контакта (р2 = 0, /С2 = 0, £z* = 0, £z(*° =
= 0, Ж? = оо, ^ = oof Ж\к) = оо, да = ОС)
M^l = fl2 , Пх • Jl -f- П2 • J2 = U
с соответствующими изменениями в случае скалярного химического
потенциала.
Другим важным частным случаем приведенных выше уравнений
являются граничные условия для скалярного химического
потенциала вакансий, диффундирующих в твердом теле.
В изотермических условиях вместо третьего уравнения (5.43)
имеем
d\iy д tr2 е2
PsAzA^s = p2Ds -g— + pz^z —fo Щ • Л — n2 • J2. (5.46)
Если в качестве второй компоненты твердого раствора выступают
вакансии, их химический потенциал определяется формулой (4.117).
Тогда вместо уравнения (5.46) получим уравнение
PzAzAi:{|is—^- [оТт + (V* - az) • nj} =
= PiPz 4" {& ~ -£" [^)(л) + (Vs • az) • njj +
+ Pz/Cz -^^ nx • Jx - n2 • J2. (5.47)
Напомним, что Q — атомйый объем; о^){п) — нормальная к
поверхности компонента тензора напряжений; та — масса, приходящая*
ся на один атом.
При о% = а2а
>2 = ^ - JL (<#><»> + 2#а2), (5.48)
р2Л2Д2 [i*k - JL (0<»)(п) + 2Яо2)] =
= P,D2 4- [lii - £- (of*0 + 2Яс2)] +
+ P2/Cs^^--n1.J1-n2.J2. (5,49)
Слагаемое, пропорциональное Лг, описывает диффузионный
поток вдоль поверхности. Существование поверхностного
диффузионного потока, связанного с градиентом кривизны Н, отмечается в работ
тах [15, 161, 162].
10 4-1372 145

Из последних уравнений (5.43) в предположении Jd = оо получим
f^l = Н-2, П2 • J2 = $2 (^2 — Ы И
р2Л2А2 [^ - JL (а^ + 2Яа2)] = у '
+ PlAx ^—ЛЛ2 [щ - ^ + А- (а?)(я) + 2Яа2) |. (5.50)
Полагая в (5.50) Л2 = 0, р2 = 0, р2 = 0, приходим к граничному
условию, приведенному в работе [38]:
РА -%- = Ж, [щ - щ + -Я- (<#><"> + 2#<х2)]. (5.51)
При бесконечно большом коэффициенте массоотдачи Jf2 = оо из (5.51)
следует формула, полученная в работах [155, 156]:
14 = h + ■£- (о4я)(л) + 2Яа2). (5.52)
Отметим, что в работах [38, 155] рассматривался химический
потенциал, отнесенный к числу атомов (\i°), а не к массе (|ы), и формулы
(5.51), (5.52) записывались относительно величины |ы° = та\х.
Если пренебречь взаимосвязью между диффузией и другими
процессами, то формулу (5.52) можно записать в виде граничного
условия для концентрации [14, 60]
c^Ct + D-^- (а?,(я) + 2Яа2). (5.53)
Достоинством непосредственно двухмерного подхода являются
его относительная простота, физическая наглядность, далеко идущие
аналогии с трех- и одномерным случаями, возможность использовать
хорошо развитый математический аппарат дифференциальной
геометрии и т. д.
Вместе с тем в настоящее время используются различные методы
сведения трехмерных систем уравнений для тонкого переходного слоя
к двухмерным на его срединной поверхности. Например, применяют
разложение искомых величин в степенные ряды по нормальной к
срединной поверхности координате [24, 30, 47, 67, 92, 93], по полиномам
Лежандра [10], символический метод [39, 56, 58, 77, 88, 91] и другие
методы [2, 12, 17]. Их достоинством, в частности, является
возможность, сохраняя в разложении в ряд искомой величины или оператора
большее число членов, получать более сложные, но и более точные
приближения.
Возникает вопрос о связи приведенных здесь результатов с
соответствующими результатами, полученными методами сведения
трехмерной задачи.к двух- или одномерной (см., например, работы [58, 77,
81—84, 86, 88, 92—94, 124, 125]), однако мы его рассматривать не
146

будем. Отметим лишь, что приведенные здесь результаты и
результаты, полученные при сохранении в разложении искомых величин или
операторов в ряды линейных членов, согласуются.
5.3. ОДНОМЕРНЫЙ МАТЕРИАЛЬНЫЙ КОНТИНУУМ
Совместное рассмотрение балансовых и кинетических уравнений
позволяет получить разрешающую систему уравнений для параметров
состояния одномерного материального континуума, состоящую из:
уравнений движения
Pl'il = VL • aL + pLfL — N12. a12 — N18 • a18 — N23 • a23, (5.54)
<*<l9l)l = VL • xL + pLtnL — % • aL X fc — N12 • x12 — N13 . x13 — N23 • x23;
(5.55)
обобщенного уравнения теплопроводности
PlMAJl - PlCl -^- + №klt° l^gk- +
Л'-l {k)
+ £ piT"tf? £^£ N12 • J» - N13 • J» - N23 • J»; (5.56)
обобщенных уравнений диффузии
PlA^AlI*^ + PiA2*} (AL trL y№) U =
_ £ Pl (D».« *^L+«<■« *£-) - tf> # -
- lt{k) %jr + PLtik) ^П.- N12 • № - N18 • Ji? - Niff • Jg*; (5.57)
уравнений состояния
aL = соГп + 2GLy[ + 2Gtyt — P^/Cl/lM +
yv—1
xL = 2GLxi! +2Gt*t,
Г qSQ)w W—1
L / _1_ J^L_L_tr « _1_ V £(/f)+r ..(/f)
sl = -™- ^ H л tr^ V^ + L sl trL fiL ,
CW = £* (D^VZ"»" + Dti(ft)<myZ"u) - — vi - — ft + tPi^
rn=l Pi. PL
(5.58)
условий обмена
N12 • 3\V = ЗДО (*„ - tL\ N13 • ДО = ^ (/„ - tL),
10? 147

Nu • Jff = Я® 0$ - lit4), N13 • Jg» = Я|?(цй? - №. (5.59)
Отметим, что в одномерном случае нет необходимости хйассматри-
вать уравнения совместности деформации. Действительно, в этом
случае мы можем формально записать (см. вторую формулу (1.126))
VL х xL = к\1 • xL, (5.60)
VL X Vl — xvk • Vl = VL x (U X <oL) — kvI x coL, (5.61)
однако, так как в данном случае тензоры yL и xl имеют
специфическую структуру, а именно их первый индекс всегда соответствует
касательной к кривой, то из последней формулы (1.113) следует, что
уравнения (5.60), (5.61) будут выполняться тождественно для любых
тензоров указанной структуры.
Подставляя уравнения состояния (5.58) в уравнения движения
(5.54), (5.55), получаем одномерный аналог уравнений Ламе
9l\l = VL . [(2GLVL • \xL + о)Г - P^/Wl) Щ +
+ 2GL1VL • [(VLuL + U x col)1] + 2 (tf}VL . $" + it{k)VL • vP1) +
+ pJl — Nia • g12 — N18 • a13 — N23 • a23,
(o.oZ)
aLpL]L = 2GLVL • [(VL • ©L) U] + 2GtWL . [(V^)1] -
- 2G£ (cof - VL x uL) - S Ci^ ' F*lu X Л +
+ PlHIl — N12 • т12 — N13 . т13 — N23 • т23.
Из различных частных случаев системы уравнений (5.54) — (5.59)
приведем следующие.
Двухкомпонентный безмоментный одномерный континуум со
скалярным химическим потенциалом [74]:
Р Jl = VL . aL + pLfL — N12 • a12 — N13 • a13 — N23 • a23,
/л\ dtr /лч d trr e,
PlWAJl = PlCl -£- + №KLV» —±±- +
+ PtT^x. ^- - N„ • J$ - N13 • JSf - N23 • Jg»,
d^L , a is dtTL*L , t Л£
С/Цг Vllr Cr Ш г
PtAiArJiL = PtDz. -j£- + P JCz. £ + PlIl -g£
N12 • J12 N13 • J13 N23 • J23,
oL-= (col0 + Kl trL eL - pL"^t - hK^L) M,
Sl = -Js- h + „ L trL et + IlH, (5-63)
148

R К
cL - DL\iL + \ L trL eL + \LtL,
N12 • J$ = Ш (ti2 - tL), N13 . № = № (tis - h),
^з-Л(2?=да(/23-^),
N12 • J12 = Ж12 (|A12 — \iL), N13 • J13 = Ж13 ((Xi3 — \iL),
N23 * J23 — ^23 (М'гз H^)*
Безмоментная термоупругая линия [66]:
PJl = Vl- <*l + pJl — Nla • a12 — N13 . <x13 — N23 • a23,
-N]2.J(^-N13.J(^-N23.J^
ol = (fl° + Kl trL eL - pif }/Cl<l) U,
Sl = -yr fL i trL eL,
N12 • j$ = Ш (t1% - tL), N13 . JlJ = ^ ft. - fc),
N28-J$ = ##(*»-«. (5.64)
Упругая моментная линия:
pbh = VL • aL + pLfL — N12 • a12 — N13 • a13 — N23 • a23,
aLpLjr. = VL • tl + pLmL — Л, • ol X A, —
— Ni2 • t12 — N13 • t13 — N23 • т23, (5.65)
aL = fl\l + 2GLyl +2Gtyt,
tl = 2Glx! +2Gt*L.
Из общей системы уравнений (5.54) — (5.59) для тепловых и
диффузионных процессов можно получить обычные граничные условия на
линии раздела двух поверхностных континуумов:
1) граничные условия первого рода {Жи = °о, Ж\з = оо, Ж\2 =
= оо, да = оо, /13 = /с, |i|S> =|*?>)
'i. = *c. i^»*?*;
2) граничные условия второго рода (pL =0, Kl = 0, ^ = О,
tf w = 0, Jg> = 0, jg> = О, N13 • ДО = /<*>, N13 • JlS> = J<*>)
— 1>"12 ' Jl2 — J с , — Ni2 ' Jl2 = Jc >
3) граничные условия третьего рода (Ж[У = оо, Ж\ъ = оо, ^13 =
- «с. !$ = Mcw)
N12 • ДО - ЛРЙ} Л. - У, N12 • J$ = J$> 0»8> - ц<*>);
149

4) условия идеального контакта (pL = О, Kl = 0, ffl = 0, Ц(к) =*
= 0, Ц№ = оо, jtf? = оо, #i? = оо, #|*> = оо, jg> = 0, Jg> ^ 0)
<i» = h39 N12 • j}? + N13 • J{$ = 0, /'
1^12 = I^i3, N12 • № + N13 • J$ = 0.
Заметим, что при получении основных уравнений мы исходили из
упругой среды. Вместе с тем общие балансовые уравнения
справедливы для сплошных сред независимо от уравнений состояния. Поэтому,
следуя описанной выше методике, можно получить соответствующие
системы уравнений для вязких, вязкоупругих и других более сложных
сред.

Г лава 6
ВЛИЯНИЕ ЛОКАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
НА ПРОЦЕСС ДИФФУЗИИ
И НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Проведенный в гл. 3 анализ уравнения Лапласа показывает, что при
переходе через поверхность раздела двух контактирующих сред
наряду со скачком нормальных напряжений, обусловленным кривизной
границы, в твердых телах существует и скачок касательных
напряжений, обусловленный градиентом поверхностного натяжения.
Эффект движения жидкости под влиянием градиента
поверхностного натяжения (эффект Марангони) подробно описан в работах [1,
123]. В настоящей главе рассматриваются
напряженно-деформированное состояние и диффузия примеси в деформируемом твердом
полупространстве, обусловленные аналогичной причиной — градиентом
поверхностного натяжения на его границе [61, 65, 75].
6.1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим двухкомпонентное полупространство z ^ 0 (рис. 6), на
границе которого поверхностное натяжение описывается формулой
а2 = а*2) + (a<D — а<2)) S(r — R)t (6.1)
где S (х) — функция скачка; г — радиальная координата; R —
фиксированный радиус.
Благодаря неоднородному состоянию поверхности в
полупространстве возникают процессы деформации и диффузии, которые в
линейном приближении описываются системой уравнений (5.20) — (5.23).
Пренебрегая, кроме того, в уравнении (5.21) последним слагаемым,
запишем
GAu + (X + G) V (V • u) = p/CVjx, (6.2)
oA|i = -^-f а—£• (6.3)
a = 2Ge + (?tV.u-p/fy)g, (6.4)
c = D|x + rV.u, Гэ^. (6.5)
В качестве начального условия (при т = 0) примем
[I = 0. (6.6)
151

Из формул (3.65), (6.1) получим следующие граничные условия
для напряжений:
2 = 0: огг = 0, огг = (а<2> — а")) б (г — R). <6.7)
Здесь б (х) — дельта-функция Дирака. /
Примем, что на поверхности полупространства для химического
потенциала выполняются граничные условия первого или второго
рода, которые в данном случае
принимают вид
z = 0:li = |i0[l-S(r-/?1)Jf
(6.8)
.<s*
0:Л
д\1
Рис. 6.
= -?П-5 ('-tfi)L (6.9)
где Rx — фиксированный радиус
не равный R.
В осесимметричном случае
перемещение и напряжения в теле можно выразить через функции Y и L
с помощью соотношений [44, ПО]
_ дУ 1 d2L
Ur~dr ~~ 1 — 2v drdz »
1
Uz~~ dz "•" I —2v
2(1—v)AL —
d2L
dz2
(6.10)
■[0-ЧА1--3-]}.
(6.11)
o^ I ^ I
1 — 2v dr
Функции ? hJL определяются из уравнений
AAL = 0,
где т = . -1г; v — коэффициент Пуассона.
1 — v о
(6.12)
(6.13)
Использовав интегральное преобразование Ханкеля — Лапласа
оо оо
f (р, s) = j j г/ (г, т) /0 (И er**drdz9
о о
из уравнения (6.-3) с учетом начального условия (6.6) для
определения [х получим уравнение
dz2
-(р>+-£-)£ = о,
152

ограниченное на бесконечности решение которого имеет вид
ix = Me-Y<^rz. (6.14)
Из уравнений (6.3), (6.12) следует выражение для трансформанты
потенциала перемещения [52]
или с учетом (6.14)
f = Ш± (Me-VWf^z _ ^2L e-pz) f (6.15)
где Moo = Ит sM.
s-*0
Интегральное преобразование Ханкеля — Лапласа приводит
уравнение (6.13) к обыкновенному дифференциальному уравнению
(■&-*)'L-0.
решение которого с учетом ограниченности на бесконечности (z -►- оо)
таково:
L = (A + Bpz)e-<>2. (6.16)
Постоянные А, В, М находим из граничных условий (6.7) и (6.8)
или (6.9). В случае граничного условия первого рода
Л= —(1 —2v)B,
_ (1 — 2v) (а(2) — а(1)) RJj (pfl)
2Gsp3
D ОЛпП3 "Г
(1 - 2v) maii^Ji (pfr) / /p2 + s/a Л
"*" Pv I p V
кл _ Mi^i (P^i) yu _ MiA (P^i) .
в случае граничного условия второго рода
' л_ (l~2v)Ma(2)-a(1))^i(P^) ,
п " 2Gsp3 "1"
(6.17)
. 2v(\—2v)maqRlJi(pRi) Л
"^" Ap3s2 \
Р
У Р2 + s/a
(l-2v)(a<2>-a<1))/?/1(p/?) ■
2Gsp3 "*"
. (1— 2v)maqR1Ji(pR1) Л p \ /g щ
^ Ap3s2 ^ /p2 + s/a /' У ' }
M _ qRiJiipRi) M = qRiJiWi)
Asp/p2 + s/a ' Лр2
153

6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЕСИ
После подстановки выражений (6.14) — (6.16) и значений
постоянных (6.17), (6.18) в формулы обращения, использования таблиц
обращения преобразований Лапласа [5, 27] и соответствующих бригина-
лов, приведенных в работе 152], в случае граничных условий первого
рода получим следующие выражения:
для компонент напряжений
0п = (а(2>-а<1))* J [2 (1 - v) - рг] е-<% (pi?) А (pr) dp -
О
оо
_ (а<2) _ a(i)) R j (2 _ pz) e-vJj.ipR) J0 (рг) рф +
о
+ 200, {- -J-'J Л (Р, т) [2 (1 - v) - рг] e^J, (pRJ J, (pr) pdp +
оо
+ J /i'(p, г) (2 - рг) e-»Ji (pRJ J0 (pr) p2dp +
0
oo
+ — $ /2 (p, г, т) /x (p/?x) /x (pr) pdp —
0
00
— \ U (p. 2, т) A (p^i) /0 (Pr) р2Ф —
0
5" J /в (P. г, т)/1(р7?1)/0(рг)ф ,
aee = («(2)-«(1))Д j [2 (i _ v) _ pz] e-*« J% {pR) jx (pr) ф __
00
— 2v (a<2> — a«>) Я j e-p^A (p#) /0 (pr) pdp +
0
+ 2Gp\ {tJMp, T)l2(l-v)-pz]e-«»y1(p/?1)/1(pr)pdp +
00
+ 2v J /x (p, t) <r**]x (pi?!) /0 (pr) Р2Ф -
0
oo
- -7 J /2 (P. 2, T) /x (p«x) J1 (pr) pdp —
6
—t\U (P. 2, t) A (pR,) J0 (pr) dpi, (6.19)
154

Огг = — (а<2> - а<») Rz j е-«% (pR) J0 (pr) р2ф +
+ Щх
J/г (P. г, т)/1(р#1)/0(рг)р2ф +
.о
+ z\h (р, т) e-^J, (pRJ J0 (pr) р3ф
о J
оо
огг = (а<2> - а»)) R j (1 - рг) er*lx (pR) Л (рг) рф +
+ 2Gpx
j /4 (P. г, т) /i(p/?j) /x (pr) рф —
Lo
- j /1 (P. x) (1 - рг) е-^Ух (p«J Л (pr) р2ф
О
для концентрации примеси
оо
с = -I- (D + Тт) ^ j /3 (р, г, т) /х (pi?x)70 (рг) ф +
J о
оо
+ 2 (1 - 2v) Tm^R, J /х (р, т) /х (р/?х) /0 (рг) е-Р2р2ф -
о
- (1-2V)r*("(2)~a('>LJг~'г«>*>'•(РГ)РФ- (6-20)
Аналогично в случае граничного условия второго рода находим
огг = (а(2)~К<'))7? J [2 (1 - v) - рг] e~^Jl (pR) J, (pr) dp -
0
00
_ (a(2> _ a(D) R j (2 _ рг) e-Pz^ (pR) J0 (pr) рф +
о
Г°°
+ 2G|52 J /, (p, т) (1 - рг) p~^J1 (pRJ J0 (pr) рф -
Lo
00
- T J /5 (P, t) (1 - 2v - рг) e-^h (P#i) A (P') Ф +
о
оо
+ tJmp. *> ^)Л(р^1)Л(рОФ —
о
оо "Г
— \ h (Р, г, т) Jx (pRJ J0 (pr) dp ,
0 J
155

С96 = —
(gg>-«»>)/?
J [2 (1 - v) - рг| e-*'Jx (pR) Л (pr) dp
7
— 2v(a<2>-a»))i? Jе-РгЛ(p#)70(pr)рф +
/
+ 2Gp2 -J- J h (P, t) (1 - 2v - рг) er»J1 (pRJ J, (pr) dp +
L о
oo
+ 2v j /5 (p, x) e-»lx (pR1) Jo (pr) pdp -
О
oo
— T J /e (P. 2, т) Ух (p/^) Л (pr) dp —
0
oo "j
— -J j /7 (P, 2, T) Ух (p^O J0 (pr) dp
0 J
00
Ozz = — (a<2> — a<») #z j *-*% (pR) J0 (pr) р2ф +
0
Гоо
+ 2Gp2 j /, (p, t) (1 + рг) е-Р^Л (ptfj /, (pr) рф +
oo "
+ $ /• (P. г, т) J1 (pRx) J, (pr) pdp
с J
00
On = (a<2)-«(1))/? J(l—рг)е~»1х(pi?)У,(pr)рф +
О
Гоо
+ 2Gp2 J U (р, г, т) Л (р/?х) Ух (рг) рф +
Lo
оо
+ 2 J /в (P. Т) e~P^l (P^l) Л (РГ) Р*Ф
О
оо
с = ^+Г/П> j /7 (P, г, т) Л (рЯО У0 (рг) ф +
о
оо
+ 2(1~л)Гот<^ \ Р/в (Р, т) е-Р'А (pi?,) У0 (рг) ф -
6
- <'-*>У>-«(1>> 1.-ргу1(р^)У0(рг)рф.
(6.21)
(6.22)
156

Здесь ^1 = mVL0R1, р, = -^,
/i (Р. г) = -^-erf (И^р) - ax erf с (Котр) + -£=£• e-*&,
U (p, 2, t) = LtgS. *» erf с (^=- + V^P) -
2 — 2ятр __
4p
e-f,z erfc |—^= l/атр | —
ate
,—pz
/з (p, 2, t) = eP* erfc (yp^- + Vaxp\ + e~f» erfc (-5^- — Vaxp},
h(p, *. x) — 1 + p2 + 2aTpVerfc(^ + l^p) +
»-P» + 2«p» f l_z_y- \
+ ]/ -^- exp (- axp2 -У - flpcpe-w (6.23)
"aTP "ТатТ
/5 (P, г) = -^ erf (l/отр) + at erfc (Vax~9) - Щ- «-«■•*,
U (P. г, т) = '-<"-«"»* ^ erfc (^ + y^p) -
+ §exp(-GTP2—lr)-aTe-pz'
/7 (p, z, x) = -i- [- ** erfc (-^=- + Vnpj +
+ e-f» erfc (—7=- — Кат~р)1,
*
erf jc = —=- \ e~u'du, erfc л; = 1 — erf x.
6.3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА
Исследуем установившийся режим, т. е. распределение напряжений
и концентрации примеси в окрестности поверхностной
неоднородности при т-> оо. Граничный переход в формулах (6.19), (6.20) при
<г -*■ оо дает следующие выражения:
для компонент напряжений
а„ = («<*> _«<•>) Я [111^1/(1, 1, 0) L/(i, 1, 1)_
157

-2/(1, 0, l) + z/(l, 0, 2)j-2GPl(;~v) Л(1, 1, -1),
oee = -(aW-a^)R[2(l~V) 1(1, 1, 0) —2-/(1, 1,1)+/
+ 2v/(l, 0, l)]-2Gp1(l-v)[/1(l, 0, 0)--J-Ml, 1, -l)]f (6.24)
агг = —(а<2> — a№)Rz/(l, 0, 2),
<тл2 = (а<2>-а<'>)Я [/(1, 1, 1)-г/(1, 1, 2)],
для концентрации
c=[D + 2(l-v)rm]Mo/?1/1(1.0, 0)-(1-2v)ry-aO))/(l,0, 1).
(6.25)
В случае граничного условия второго рода предельным переходом
при т -*• оо из формул (6.21), (6.22) получим
a„ = (a<2>-«">)#[2(1 г~V) /(1, 1, 0)-f/(1, 1, 1)-
-2/(1, 0, l) + z/(l, 0, 2)j-2G^^-v)/l(l, 1, _2),
aee = (a<2)-a('))/?[-2(1-v) /(1, 1, 0) + f /(1, 1, 1)-
-2v/(l,0, l)]-2Gp2(l-v)[/1(l, 0, —1) ^- /x(l, 1,-2)], (6.26)
o2Z = -(aW-aV)RzI(l, 0, 2),
a„ = (a^ — a^)RU(l, 1, l)-z/(l, 1, 2)];
c=[D + 2(l-v)r/n]-^/2(l, 0, -1)-
- <1-^гУ-»("' 7(1, 0, 1), (6.27)
oo
/ (a, 6, c) = j e-P2/a (p#) Jb (pr) р'ф,
где
(6.28)
Ij. (a, b, c) = \ e-*Ja (ptf x) Jb (pr) р<ф.
Часть интегралов (6.28), входящих в формулы (6.24) — (6.27),
выражается через специальные функции [1401
+ -i-[l-S(r-7?)],
158

/d, о, l) = —* к(k) +k3 (/?гт/2~f)е jk),
1(1, 1,0) =
nkV",
т С-
fe2
K{k)-E(k)
2лг/?
4rtf
/(1, 1,1) =
fez
2я (/■«)
(6.29)
Кроме того, находим
'll-1'2»-S^r[1-iSra^L]^) +
'"■"■2>- "^Еи *<*>-
~ 8nR(rR^ [l -OF ^-\E{^ <6-30)
J(l>l>-V=2{rllvrRZ*E{k) +
+ ^17 [4 + * ('2 + ^) - С - ^2)2] * <*> -
- "*^Г" Л<ст' P) + -wIk2-*2|-('-2 + *2)].
Здесь и далее используются следующие обозначения для
эллиптических интегралов первого — третьего рода
ф
F(q), k) = j(l— k2sin21)-1/2dt,
о
ф
£(<p, fe) = J(l— £2sin2/)V2d/,
о
ф
П(ф, v, k)= J(l +vsin20_1(l— ^2sin2/)-1/2^ (6.31)
159

и соответствующих им полных эллиптических интегралов:
K{k) = F(^-,kj, £ (А) = £(-£-,*),
n(v, ft) = n(-f, v, *). /'
Наряду с функцией П (ф, v, k) введем функцию [140]
i
32)
Л (ф, а, р) =
(1+v) 1+4-
' П (ф, v, к),
где sin2a = ft2, sin2 р =
Л(а,р) = л(^-,а, pj:
v + fe2
(6.33)
vk
/2 »
б'2 = 1
Аргументами входящих в формулы (6.29), (6.30) функций
являются
2V7R
y2* + (r + R)*
2 4/7?
1' п =
lfzl±±
У z2 + (r
•R)2
2о г
4rR
(г + R)2
Sln2a = z2+(r + R)2 ' Sin2 P - 22 + (r - /?)»■ •'
При выводе формул (6.29), (6.30) использовались соотношения
(1 — k2) П (ф, — &2, й) = Е (ф, Л) — (1 — k2 sin2 ф)~1/2 k2 sin ф cos ф,
dK(k) Е (k) — к'Щ (k)
dk
kk">
dE(k) _E(k)—K(k)
dk ~ k
(6.34)
da fc/l-/i>'2sin2p L w v л
дЛ(а, p) _ E (k) — k'2 sin2 pff (fe)
<?P ~ /l — fc'2sin2p
Из формул (6.24), (6.25) при 2 = 0 получим выражения для
напряжений и концентрации примеси на границе полупространства при
установившемся режиме:
в случае граничного условия первого рода
a„ = (a(2>-a^)fl|"2(1~V) Ф(1, 1, 0)—2Ф(1, 0, 1)1 —
_^Mi-i0i(1> 1§_1)§ (05)
= _(a(®_a(i))^rilL=^Lo(lf 1, 0)+2v<D(l, 0, 1)1 +
+ 2Gp1(l-^v)[4-®i(l. 1> -l)-®i(U 0, 0)];
сгее
160

c = [D + 2{l—v)rm]p0R1<Dl{l, О, 0) —
(1-2у)П?(а(2>-а(|>) (р^ 0> 1); (6.36)
G
в случае граничного условия второго рода
о„ = (а<2> — a<'>)ff[2(1~v) Ф(1, 1, 0) —2Ф(1, 0, 1)1 —
(6.37)
Pee = -(a(2>-a"))j?[2('~v) Ф(1, 1, 0) + 2уФ(1, 0, 1)1 +
+ 2Gp2(l-v)[-^1(l, 1, _2)-Ф1(1, 0, -1)];
с=р + 2(1-г)Гт]-^-Фг(1, 0, 1)-
_0-gv)y-«(")O(lt о, 1). (6.38)
Здесь
оо
Ф (а, Ъ, с) = lim / (а, Ь, с) = Нт [ е-Ща (pR) Jb (pr) pcdp,
г^О z~00 (639)
oo
Ф1 (a, b, c) = lim Ix (a, b, c) = lim [ e~PzJa (p^) Jb (pr) р'ф.
г-vO гч-0 g
Заметим, что в формуле (6.39) предельный переход должен
осуществляться после интегрирования.
Интегралы Ф (а, Ь, с), входящие в формулы (6.35) — (6.38),
выражаются через полные эллиптические интегралы первого и второго
рода следующим образом:
Ф(1, 0, 0)=-i-[l-S(/—Я)],
Ф(1, 0, -l) = -^.[{r + R)E{k) + (R-r)K{k)], (640)
Ф(1, 1, -2) = ^nr[(r* + R>)E(k)-(r-RrK(k)],
Ф(1, 1, -D = i[^- + (-f-i)5(r-i?)].
где *- 2^
»• + * *
11 4-Ч72 161

Рис. 7.
Рис. 8.
Безразмерные величины arr = Rarrl.a^ иаее=#огее/а(2) на поверхности
полупространства при г—0 в зависимости от r/R, подсчитанные по
формулам (6.19) при v=0,25, R=RX и безразмерном параметре тМч) —
,(2)
= 0,5, показаны на рис. 7. Безразмерные величины агг, аее,
подсчитанные при 2 = 0 по формулам (6.21), соответствующим граничному
условию второго рода, представлены на рис. 8. Подсчеты проводились
npnv = 0,25, R = R± и 2G ^~vlm(fR2 = 0,5. Кривые 1—3 соответст-
вуют отношению поверхностных натяжений Д =
¥(1)
0,5; кривые
4—6 — Л = 2. Для кривых /, 4 критерий Фурье Fo = -^ равен нулю;
2 и 5 — Fo = -Q;t; 3 и 6 — Fo = оо. Штриховая линия соответствует
случаю Л ==" 1. На рис. 9 построены графики безразмерной
концентрации с = пс при Fo = оо, подсчитанной по формуле (6.36) при
162

2 (1 — v) YmlD = 0,2 и при
различных значениях отношения
радиусов: б = /?,/# = 1 (а)\ 0,5 (б);
1,5 (в). Для кривых /—А = \\2 —
А =г0,5; 3- А = 2.
Как видно из приведенных
рисунков, при локальном
возмущении поверхностного натяжения
возникают градиенты напряжений
и происходит перераспределение
концентрации растворенного
вещества, что может оказать влияние
на протекание таких процессов,
как смачивание, растекание,
коррозия, разрушение, поверхностное
шелушение и др.
Возникновение описанных
напряжений следует учитывать,
например, при исследовании
разрушения стенок тиглей-в процессе
выплавки стекол [171], растрескивании
двухфазных натриевоборосиликат-
ных стекол при их
выщелачивании [45] и др. Таким образом,
расширенная модель механики
деформируемых твердых тел с учетом
поверхностных явлений позволит
описать более широкий круг
технологических процессов.
-ДО
го
U0
о Ь
fv
/
ГУ"
I 1. I
3
I I ||
I J
1*
1 1 1 1 1 1
6.4. ПОЛЕ КОНЦЕНТРАЦИИ И НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ, ВОЗНИКАЮЩЕЕ ВСЛЕДСТВИЕ ДИФФУЗИИ
ВЕЩЕСТВА ЧЕРЕЗ ЛОКАЛЬНУЮ ОБЛАСТЬ ПОКРЫТИЯ [82]
В предыдущих параграфах настоящей главы при изучении влияния
локального возмущения поверхностного натяжения на процесс
диффузии и напряженное состояние полупространства мы пренебрегали
различием в диффузионных характеристиках объемной и
поверхностной фаз. Для иллюстрации влияния указанного фактора на
диффузию вещества и напряженное состояние деформируемого твердого
тела рассмотрим двух компонентное полупространство z ^ 0,
процессы деформации и диффузии в котором будем описывать системой
уравнений (6.2) — (6.5), а в качестве граничного условия для химического
потенциала примем уравнения (5.43), описывающие поведение
двухмерного континуума при £2 = 0, р2 = 0, Жл= ооу \х2 = -У— б (а:) б (у):
pzAz&x\i + PiA -^- — Ж2\1 — pzDz -££-=_ ?а (*) fi (у).
д\\,
(6.41)
1Г
163

Для простоты всюду опустили индекс «1», за исключением плотности
рь чтобы не смешивать с этой величиной параметр преобразования
Ханкеля р. /
В качестве начального условия используем (6.6), а граничные
условия для напряжений примем в следующем виде: /
г=0:аг2 = 0, аГ2 = 0. (6.42)
Трансформанты Ханкеля — Лапласа функций |х, ¥ и L
определяются соответственно формулами (6.14) — (6.16). Коэффициенты М,
А и В находим из граничных условий (6.41), (6.42):
1
М =
А = _ (l-2v)~ та м { V р2 + s/a
2ns p2A2p2 + ^2 + p2D2S + PlA>/V + s/a
(6.43)
V P2 + si a
ps -■- \ p
в= v-2^ma M[
Распределение концентрации растворенного вещества и
вызванное этим распределением напряженное состояние в упругом
полупространстве определяются формулами
<J-|-too оо
с = ^-- J J DMJ0 (pr) e«-i^+v5*pdpds; (6.44)
a—too б
a+ioo p oo
""=4- 1 М(*-г^-Й-Мр')рЧ>-
a—too
oo
-ft
d*w
0
d3l
dz2
1 —2v dz3
a+too
тз^гр'-зН'оМрФ
e^ds,
(6.45)
ffee
=-4- J т-Я*-^-*)'.™.**-
a—too i
oo
-1И-
d2¥
dz2
v (PL
1 — 2v dz3
■2v
P'
dz
J J0(pr)pdp
eSTds
с учетом соотношений (6.14) — (6.16) и (6.43).
1:сли принять J£2 ->- 0, сохраняя при этом постоянным отношение
q/$2> что физически равносильно массоизоляции свободной
поверхности за исключением локальной области, через которую
совершается массообмен, то в случае установившегося состояния
соответствующие выражения интегрируются и для концентрации и
компонент напряжений получаем следующие выражения:
C = -4S,F,(e",: (6-46)
164

aee = (l +v)
= -d+v)
Gpq
2р2Л2
Г 1
&u
Fi (ей),
Fi(ctt)-
pomL
(6.47)
2р2Л2 L
где FQ (ей) = H0 (ш) — Y0 (ги)\ F1 (ей) = Ях (ш) — YY (ew);
//0, Я1э Y0j Yv — соответственно функции Струве и функции Бесселя
второго рода; е = д , и = —, Л — некоторый характерный
параметр, трактовавшийся в работе [82] как толщина покрытия.
Рис. ю.
На рис. 10 показано распределение безразмерной концентрации
4р2Л2 - 2р2Л2
с = —Г)— (а) и безразмерного напряжения сг,т = ... )Q„ (б) на
границе полупространства и покрытия. Как видно из этого рисунка,
с уменьшением параметра е наблюдается накопление
диффундирующего вещества вдоль границы, что приводит к увеличению напряжений.
Таким образом, концентрация диффундирующего вещества.и
напряженное состояние вдоль границы тело — покрытие определяются
не абсолютным значением массопроводностей тел, а параметром е,
характеризующим отсос диффундирующего вещества из покрытия.
6.5. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФУЗИИ ПРИМЕСИ
В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С ЛИНЕЙНЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
Известно, что в реальных твердых телах диффузия примеси по
поверхностным и линейным включениям происходит значительно
интенсивнее объемной. В предыдущих параграфах мы рассматривали диффузию
вещества в полупространство, в локальной области поверхности
которого повышено значение химического потенциала. Воспользуемся
результатами, изложенными в § 6.1, для решения задачи диффузии
вещества в полупространстве z > 0, вдоль оси Oz которого имеется
одномерное включение.
В рамках допущений, принятых jipn выводе формулы (3.16) при
пренебрежении обратным влиянием* включения на
физико-механические процессы в трехмерной среде, диффузию вещества вдоль
165

линейной неоднородности будем описывать уравнением диффузии
А dV>L 6L
DT
где в соответствии с формулой (3.16)
/
2л
Pl6l = — е0 \ п ' Jdcp = — 2Я60ЛР! -у-
/
' (6.48)
(6.49)
Рис. 12.
Таким образом, необходимо решить уравнение
aL
&\*>L dpL
, 2Я80Лр1- dpi
(6.50)
(6.51)
dz2 дт ' pLDL dr
c начальным (при т = 0) условием
Hl = 0
и граничным условием первого рода на выходящем на поверхность
полупространства конце включения
z = 0 : \xL = |alo, (6.52)
где величина \i определяется обращением выражения (6.14).
Отметим, что принятая модель, описывающая диффузию вещества
вдоль линейного включения в полупространстве, близка к модели,
предложенной в работе [143] для описания диффузии вещества вдоль
плоского включения в полупространстве (см. также работы [6, 7]).
Использовав интегральное.преобразование Лапласа, получим
уравнение для изображения \iL:
aL-
s\iL
oo
e-VP'+s,a г ^ (p/?) ^ (peo) рф> (g_53)
решение которого с учетом граничного условия (6.52) и условия
ограниченности "на бесконечности имеет вид
\Ч-
^0 с У aLZ_Cl^e-Y&W-az_e V aL
)Х
166

x ,A(f*>^,, рф,
C =
s[aLP2 + (V-l)s]
2nel>Ap1ii0R
(6.54)
PtD£
Y =
Воспользовавшись таблицами обращения преобразования
Лапласа [27], найдем выражение для концентрации примеси в линейном
включении (при пренебрежении взаимосвязью между диффузией и
деформацией):
со
cL = col erfc '— — хс0 f / (р, 2,т) J1 (р#) /х (ре0) -^-, (6.55)
где
/(р, г, т) =4[^р2erfc (_!= +>/^р) + е""2erfc (-^-^р)
-erfcT7^ + 4exp(-T^)x
(т£т)
— erfc
flip
2/ax
Vy-i
— erfc I ■
exp
erfc —7= + i
2yaLx
VaL*p\__
+ i
Vox p
у 2 /at ' " ]/ 7 — 1
x = 2яе0# (ap) (az.pL)"1.
(6.56)
Зависимость безразмерной концентрации cL = Cz^oz. от
координаты z/R при e0 = R/2 и x = 0,5 показана на рис. 11. Кривая /
ат%
соответствует значениям Fo = „2 = 10, у = 5; 2 — Fo = 10; у =
= 1,5; 3 — Fo =1, у = 5; 4 — Fo = 1, у = 1,5. Зависимость
безразмерной концентрации от критерия Фурье дана на рис. 12. Кривые
1 и 3 подсчитаны в точке z/R = 1; 2 и 4 — z/R = 2; для кривых 1 и 2
у = 5; 3 и 4 — у = 1,5.

Глава 7
РАСЧЕТ ПРОЦЕССА ЗАПЛЫВАНИЯ ПОРЫ
В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ /
Как отмечалось ранее, исследование явления заплывания поры
представляет теоретический интерес в связи с ролью поверхностного
натяжения в процессе деформации твердых тел. Важнейшим приложением
этой теории является оптимизация процесса спекания твердых тел.
Основы теории спекания были заложены в работах [13, 14, 60, 120],
где использовались в основном два механизма — вязкое заплывание
под действием поверхностного натяжения и диффузионное
заплывание, обусловленное миграцией атомов на поверхность поры. В
настоящей главе показано применение развитого аппарата к исследованию
нестационарного процесса заплывания поры в деформируемом
твердом теле с учетом взаимосвязи процессов диффузии и деформации [90,
96]. Исследуются две стороны проблемы, а именно: закон изменения
радиуса поры и напряженно-деформированное состояние
содержащего ее бесконечного тела.
7.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ДИФФУЗИОННОМ РАСТВОРЕНИИ
ИЗОЛИРОВАННОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОРЫ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Процесс диффузионного растворения сферической поры в твердом
теле будем рассматривать в сферической системе координат (г, 0, ср)
и исследовать на основе взаимосвязанной системы уравнений
W + G) V (V . u) + GAu = p^V^x, (7.1)
AA,-D^+i^^, ,7.2,
o = 2Ge + (^tre — Wv) й, (7.3)
c = Z>| + -№-tre, (7.4)
e = ^-[Vu+(Vu)r] (7.5)
в квазистатической постановке при краевых условиях (3.67), (5.29),
(5.51), а именно:
r = R{x)ia„=-^-, (7.6)
168

г=*(т):рЛ-£-=#(,1—1£_), (7.7)
r = ^(T):^ilL=A^, (7.8>
r=cx»:a„ = -P0, (7.9)
г = оо:ц = -^Р0, (7.10)
т = 0:с = 0, (7.11)
т = 0: R = R0. (7.12)
Здесь Р0 — давление на бесконечности. Для сокращения записи
всюду опустим индекс 1 у величин, относящихся к трехмерной среде,
сохранив индекс 2 для характеристик поверхности.
Выбирая в качестве искомой величины разность % = с — (с)г=00,
с помощью приема, описанного в гл. 5, вместо уравнений (7.1), (7.2)
получим уравнения
(Xе + G) V (V • u) + GAu = $СКСЩ, (7.13)
ЛеД& = 0-§-, (7.14)
где коэффициенты Х\ $СКС и Ас определены в гл. 5.
Для того чтобы получить разделенные граничные условия,
воспользуемся известным [52, 115] в случае центральной симметрии
решением уравнения (7.13) в виде
^^Wr + ^+^l J x%{x,x)dx. (7.15)
Д(т)
При этом компоненты деформации таковы:
e,r = C1(-x)—^-+-^—U(r,x)-^- \x*Ux,x)dx\
еев = ew = Сх(т) + -%fL + _££_ ±. j х%(*, т)d*, (7.16)
tre = V-.u = 3C1(T)+-j^5-g(r,T).
Из уравнений состояния (7.3), (7.4) и граничных условий (7.6), (7.9),
(7.10) находим значения коэффициентов Сх (т), С2 (т):
С, (т) = р f 1 + — в*/^),
16»

Соотношения (7.16), (7.17) дают возможность преобразовать
условия (7.7), (7.8) к виду /
r-RM-p-n¥±*L\ ' op i 2Ш* i p jam.
(7.18)
r = fi(x): *t„ Д V + X> *Wt {7A9)
v ! дг Л iy + 2G dx v '
Приведем формулы для определения напряжений на поверхности
лолости с изменяющимся радиусом R (т). Из (7.3), (7.16) и (7.17)
получаем при г = R (т)
1го = -ЗР0(>-^)-2(№^г,
а ' (7.20)
где £ |г=к(т) определится из выражения (7.18); vc — коэффициент
Пуассона. В случае невзаимосвязанной задачи из (7.20) следуют
известные формулы [37]
r = /?:tro = —ЗР0. aee = -^ -|»Р0. (7.21)
Таким образом, для определения напряжений необходимо знать
величину £, т. е. решить уравнение диффузии (7.14) в области с
неизвестной границей при граничных условиях (7.18) и (7.19); последнее
из этих условий определяет закон перемещения поверхности в
пространстве.
Введем безразмерные величины
g W + 2G R0ma у, - (А* + 2G) /?ft/rzfl
5~~ ^ + 2G 2o2QD s' a" 4a2QG(-|3^) '7'
_ P0/?0 n. __ Jr/?0 л _ Я* + 2G matf0
Bi = -^-, a =
2a2 ' рЛ ' 3lc + 2G 2a2QD »
2QAay r — p
' = ^fT> r="^-^ /?="?- (722)
и сделаем замену __
Тогда получим следующую краевую задачу: найти решение
уравнения
«-3-+<«-£—8- <7-23>
при краевых условиях
x = 0:f = L(t), (7.24)
х = 0 : -g- = М (0, (7.25)
170

х = оо:/ = 0, (7.26)
t = 0: / = 0, (7.27)
t = 0:#=1. (7.28)
Здесь
L(t)^l+PR(t) + ^R(t)R(t),
A!(q = -=^- + p + /?(o£(9 + -^-£(0;
точка означает дифференцирование по безразмерному времени /.
7.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ИЗМЕНЕНИЯ
РАДИУСА ПОРЫ ВО ВРЕМЕНИ
Применим к уравнению (7.23) преобразование Лапласа по
пространственной координате [26]. Учитывая граничные условия (7.24), (7.25),
получаем дифференциальное уравнение для определения
трансформанты / [48]
a [p*~f - pL (t) - М (t)] + R (t) [pf - L (01 = -§~ • <7'29)
решение которого при начальном условии
t = 0: / = 0 (7.30)
имеет вид
1 (Р, t) = - J {[ар + R (л)] L (л) + аМ (г,)} X
о
X ехр {ар2 (t - л) + р [R (/) - R (г\)]} с1ц. (7.31)
Возвращаясь к оригиналу, находим
f(*> *> = —щ-" Г J {[ар + *(л)1 L(r° + аМ{г])]
X ехр {ар2 (t — r\) + p[R (t) — R (r\) + x]} dr\dp.
Меняя порядок интегрирования и используя соотношения [5, 48]
O+ioo
2ш
a—too
J ехр {ар2(t-r\) + plR(t)-R(r\) + х]} dp =
1—°p{-"V-w/",b
2 ]/ яа (т — т])
1 0+i°°
2ш
а—юо
J />ехр {ap*(t-y]) + p[R(t)-R(4) + х]} dp -
R (0 - /г (л) + x [_ [fi (0 - R (л) + *]'
171

определяем величину f (х, t):
о
X exp
[R (t) -R (tQ + x]* ) dr)
R (t) - R (r\) + x f;
2(/-n)
4a (< — T|)
2Vna(t—r\)
/
(7.32)
Для определения неизвестного радиуса R (t) из условия (7.25)
получаем интегро-дифференциальное уравнение
Ш л. _L R 4- -L J- Р - lim Г ( Ml) _ R(t)-R(r\) + x
X {- аМ Ы) + L (,) [*%*J» + * - И Ц)
X
X exp j
f [/?(/)-/? (л) + *]2
4а (/ — г])
l
dt]
2 /да (t — г\)
(7.33)
Отметим, что в уравнении (7.33) непосредственный переход к пределу
х -->- О под знаком интеграла невозможен из-за возникновения при
этом у подынтегральной функции неинтегрируемой особенности;
поэтому используем метод выделения особенностей [25], т. е. представим
функции в числителе подынтегрального выражения в виде рядов по
степеням t — ц в окрестности устранимой особой точки. Для этого
представим уравнение (7.33) в виде
т+4г* + т+р=]™МЬ
2а (t
2(t-r))
L_ Ф <*.П> " V (/.Л)} exp [~^Ь|Г] Wi
4а (t — tj)
drj
яа (t — ц)
X(/,ti)-
, (7.34)
где X (£, г|), Ф (t, ц) и Т (t, т]) — функции, не имеющие особенностей
указанного типа,
X (t, ц) = Ь (т|) ехр
/ [*(<)-Я ft)]1
Г
4а (f — г])
Ф (/, п) = [Ь (т,) [^I^ - Я (П)] - аМ (Л)} X
X ехр
f [#? (О
Г"
4а
-Жч)]1!
(<-П) /'
172

Сделаем в интеграле в (7.34) замену г\ = Ы и положим
*П — -1.
Х«, fo) = ^An(t,R,R)(l-u)n,
V(t,lu)= %Bn(t,R,R)(l-u)n,
tn — -L.
0(t,tu)=YiCn(t,R,R)(l-u)\
n^O
Тогда после интегрирования и предельного перехода при х ->- 0
получим
^ + -§г* + т + р =
Со (Л Я, R)
1а
+
+
iVnat
A it р ё\ -и V ^ С, /?. Я) 1 l/ ' v в" ^' *■''
— A0(t,R, R)+ ^ 2п_! — |/ — 2j 2п + 1
«=1
Л)
п=0
Учитывая, что С0 = —аМ (/), находим уравнение для определения
радиуса поры:
RR+*R + ± + p = —L=
01 R у nal
/г=1
/г=0
2«+ 1
(7.35)
При больших значениях параметра а переходный режим кратко-
временен по сравнению с длительностью всего процесса заплывания
поры. Поэтому предельный переход в (7.35) при а -> оо означает
переход к квазиустановившемуся процессу изменения радиуса полости,
описывающемуся уравнением
RR + -±rR + -L + p = 0,
Bi
R
(7.36)
решение которого имеет вид
'--■Н-£^+(^-т-)(*-«->-£?г)] <7-37)
и при Bi -v оо совпадает с решением, приведенным для этого случая
в работе 114].
Предельный переход в (7.37) при Bi -^ оо, Р ->- О приводит к
простой формуле
/?з (/)=!_ 3*.
(7.38)
Для оценки переходного режима в общем случае используется
алгоритм последовательных приближений. Первое приближение
соответствует решению уравнения, которое получается при сохранении
173

в (7.35) только члена с коэффициентом А0 = L (t)
RE
Это известное в литературе приближение [53, 141] физически
соответствует предположению о том, что мгновенное распределение концен-
Щ
№
\1
at*
JO
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 13.
трации вакансий такое же, как и в теле с постоянной границей,
отвечающей мгновенному значению R (/), а именно (при Bi ->- оо)
b г 2 Vat
(7.40)
Решение уравнения (7.39) используется для подсчета
коэффициентов Ап (■/, R, R) и Вп (/, ~R, ~R), после чего решается
дифференциальное уравнение (7.35) для второго приближения и т. д. Зависимость
величины R* от t приведена на рис. 13
для различных значений параметров
a, Bi, Р. При а ^ 10Б кривые
практически совпадают с таковыми для ква-
зистационарного решения (7.37). Из рис. 14 (Р = 0, Bi = оо) видно,
что описанное выше первое приближение (штриховая линия) при
а ^ 10 дает хорошую точность.
Проанализируем влияние различных факторов на время заплы-
вания поры в твердом теле. Приложение сжимающей нагрузки Р
значительно ускоряет растворение полости, а уменьшение коэффициента
массоотдачи замедляет этот процесс. В параметр а входят начальный
174

радиус полости R0, поверхностное натяжение сг2, а также величины,,
отражающие взаимосвязь диффузии и деформации. Увеличение а2
или уменьшение R0 приводит к ускорению растворения полости; к
этому же эффекту приводит и увеличение коэффициента
взаимосвязанности диффузии и деформации.
Зная закон изменения R (t), нетрудно по соответствующим
формулам найти концентрацию вакансий, перемещение точек тела, а также
его деформацию и напряжения. Например, из формулы (7.20) видно,
что при Р = 0, Bi = оо напряжение аее на границе поры (рис. 15)
обратно пропорционально радиусу полости.
В реальном твердом теле сингулярности рассматриваемых
величин в момент времени t = t°, соответствующий захлопыванию
полости, не будет. При достижении радиусом поры некоторого
критического значения начнет сказываться взаимодействие атомов между собой и
нельзя будет пользоваться непосредственно уравнениями,
основанными на концепциях механики сплошной среды.
7.3. РЕЛАКСАЦИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В СПЛОШНОМ ТЕЛЕ ПОСЛЕ ЗАПЛЫВАНИЯ ПОРЫ
Поскольку предложенные ранее модели для описания
диффузионного заплывания пор в твердом теле не учитывали взаимосвязи
диффузии и деформации, то явления, происходящие в теле при / > 1°,
т. е. после исчезновения полости, не рассматривались. Предложенный
подход позволяет исследовать остаточные напряжения в теле после
заплывания полости.
Принимая, что распределение концентрации вакансий в процессе
заплывания полости выражается формулой (7.40), в момент t = t0y
R = 0 получаем, полагая для упрощения Р = 0,
|0 = Terfc^- <7-41>
Соответствующие остаточные напряжения в безразмерной форме,
определяемой соотношениями (7.22), таковы:
о°гг = — erfc l=r- + а. erf -L=
г 2 \fat* г* 2 Vat*
-о \ t г at() , 'г
аее = —^ erfc 7= =— erf т=^ +
2г 2 Vat* г3 2 Vat*
+ /-Т—^еХр(-"4^)'
Релаксация концентрации вакансий описывается решением
уравнения диффузии в бесконечной среде
вД1 = "§- (7-43)
175

с заданным начальным ее значением
/ = /°:| = |°(7), (7.44)
которое имеет вид
/'
i=
2?Vna{t — 1°) g
хЦ[-4г7"
(erfc "-^
J 9 1Лт/0
2 Vat0
X
/•) J
— exp
(г + X?
|}dx. (7.45)
4a (/ — /°)
Релаксация остаточных напряжений
определяется формулами, получающимися
после подстановки (7.45) в (7.16) и
последующего использования уравнений
состояния (7.3), (7.4):
___ 2а (t — t°)
2r3 Vna (t — t°)
X
X
°° Г
\ xerfc—7=^ erf
I 2 Vat» Len
r+x
2Va(t — П
-erf
I'-* ]dx9
Рис. 17.
See-1-^^-1 +
1
2r3 у na (t — /°)
(7.46)
X
Lerfc f_ Lf Д±4=
XJ 2/fl/o [ 2/оТГГ
- d*.
t°)
— erf
2 |/"a (f — /°)
Изменения величин £, arr, aee для
различных значений времени / показаны для
случая а = 103 на рис. 16—18. Штриховая
кривая соответствует времени t = t°,
кривая 1 __ / = t° + 0,3 • 10~3, кривая 2 —
Рис. 18. t = р + ш-з
Подсчитав необходимые интегралы, значение концентрации
вакансий и напряжений в точке, соответствующей центру растворившейся
поры (7= 0), можно определить в замкнутой форме
1(0,0 =
Vna (t — t»)
■(i-/-^).
Orr(0, t) = aee(0, t) = 4_i=-(l - f±^) .
176

Таким образом, можно сделать вывод о том, что после заплывания
пор технологический процесс следует некоторое время продолжать,
если необходимо обеспечить релаксацию остаточных напряжений.
7.4. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ВЯЗКОУПРУГОМ
ДЕФОРМИРУЕМОМ ТЕЛЕ
Как отмечалось ранее, для описания процесса исчезновения полостей
в твердых телах использовался либо вязкий, либо диффузионный
механизм. Предложенная в работе [89] модель дает возможность более
полно исследовать оба этих аспекта в рамках единого подхода.
Изложим методику получения системы уравнений, описывающей
поведение двух компонентного безмоментного вязкоупругого твердого
раствора [89].
Общие балансовые уравнения (массы растворенного вещества,
количества движения, внутренней энергии и энтропии) не зависят от
реологических свойств модели и остаются без изменения:
(7.47)
(7.48)
(7.49)
(7.50)
Тензоры напряжений о и деформаций е представим в виде суммы
упругих и вязких составляющих:
о = р + о', е = е + е\ (7.51)
В предположении, что внутренняя энергия и как функция состояния
вязкоупругои среды такая же, как и упругой среды, соотношение
Гиббса представим в виде
du т ds . \ de . dc п -ON
а соответствующее соотношение для плотности большого потенциала
со = а — Ts — \ic — в виде
ж = -8^г + тр:^г~с^- (7'53)
Линейные уравнения состояния определяются уравнениями (5.16):
p = 2Gs + (Ur8 — $iQ)Kt — №)g, (7.54)
s = _C_/ + -&tre + Sti, (7-55)
c = Z>n + l£tre + !<. (7.56)
p
p
p-
du
dT
P
ds
dv
dT
= a
dc
dT
= —
= V
de
' dT
= —
v.
a + pf,
-V. J(«>,
v. j,
J(s) + p0(s).
12 4—1372
177

При условии
е = 8 /7.57)
имеем вязкоупругое тело Фохта, условие
а = р '' (7.58)
соответствует модели Максвелла.
Исключая из уравнения (7.52) du/dx и dcldx с помощью уравнений
(7.48), (7.49) и сравнивая полученный результат с уравнением (7.50),
для производства энтропии p9(s) получаем следующие выражения:
для модели Фохта
рв<.> = jW . V^--J • V-f- + -g- : JL=JL; (7.59)
для модели Максвелла
pQW = jW . v-l-J . V-^+ d{t~S) :-f. (7.60)
Ограничимся линейными невзаимосвязанными уравнениями
процесса. В этом случае имеем
Л(ч) = — pA(?)W, J = —pAVj*. (7.61)
-Й- = ^-(°-р)-(ж— Ta?r)<tro-trp)g, <7-62>
^^- -таг " - (тщг- -WT1 (tr a) g> (7'63)
где величины Gb K± и G2, /C2 характеризуют вязкие свойства
изотропного тела Фохта и Максвелла соответственно.
Совместное рассмотрение уравнений (7.54), (7.62) и (7.63)
позволяет получить зависимость
a = 2G*e + [(/(* |-G*)tre — §{q)*K*t - p*tf*|i] g. (7.64)
Здесь p — оператор дифференцирования по времени, pf = -J-,
G* = G(l+np), K* = K(l+mp),
pw = _^1_ p* = J (765)
G* = G , 7 , K* = K
1 + /zp ' 1 + mp '
pW^P^ p* = P)
m=-^-, л=-^-. (7.66)
Таким образом, линейная система уравнений, описывающая поведение
двухкомпонентного вязкоупругого твердого раствора, будет иметь
следующий вид:
178

для модели Фохта
{К* + -Lg*) V (V • и) + G*Au = pp2u — pf + p(e)*/C*V* + P*K*V|*.
Л«>Дг = Cpt + _ё!!£И p (tr e) + Togfli _ -L (o - p): /ж,
ЛА^ = DW + -M. p (tr e) + &rf, (7.67)
a = 2G*e + Uk* — -§- G*) tr e - ${q)*K*t — p*tf* J g,
для модели Максвелла
(к* + -~- G») V (V • и) + 0*Ди = pp2u — pf + р" (?)*.K*W + p*/t*Vfi,
Л(в)Д* = C/rf + i!l££_ p (tr e) + При _ i- о: p (e - 8),
AA|i = DW + -^-p(tre) + ^f
0 = 2G*e + Uk* — -§- G*) tr e — pw*K*f — $*K*v] g, (7.68)
s — f» l
tr 8 + tfi,
P^
rip i ~
В изотермических условиях при квазистатической постановке в
качестве искомой величины удобно выбрать концентрацию
растворенного вещества (см. § 5.1, п. 6). В этом случае вместо уравнений
(7.67), (7.68) получим следующие:
(/Г + 4" О*) ^ (V • u) + G*Au = р*Кс*Vc,
Dc*Ac + De*Atre = pc,
j = 2G*e + [(/Г —|. G*) tr e - $C*KC'c\ g,
tre.
С
Здесь введены обозначения:
для модели Фохта
pc*/Cg*
(7.69)
(7.70)
(7.71)
(7.72)
С* = С(1+я1/?), /Сс* = Г(1+т^), р'* = _б1_, (7.73)
DC* = DC, De* = De, dc*=dc
D
-Jk
1 + m^
Oi
с > ni= G
12*
179

для модели Максвелла
Dc* = Dc(l- —t ), De* = De ,У , / (7.74)
\ 1 + щр 19 2 кс G
кроме того, D = -г— , v = — .
K pdc Г Dc
7.5. ДИФФУЗИОННОЕ ЗАПЛЫВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОРЫ
В ВЯЗКОУПРУГОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Используем систему уравнений (7.69) — (7.72) для изучения процесса
заплывания сферической поры в твердом теле [62] при краевых
условиях (7.6) — (7.12) (для простоты примем Р0 = 0, $ = оо):
г = Д(т):агг = -^-, (7.75)
'=*(^=-^Ь (7J6)
г = оо : orr = 0, (7.77)
г = оо : jj, = 0, (7.78)
т = 0 : с = 0, (7.79)
т= 0:Я = Я0. (7.80)
Дополнительное условие для определения закона изменения
радиуса поры во времени имеет вид
r = R(x):pR = pU + A-%-, (7.81)
где первое слагаемое отражает изменение радиуса поры вследствие
вязкого течения, а второе — вследствие диффузии.
Для определения зависимости R (т) используем описанный выше
приближенный метод, предполагающий решение уравнений (7.69),
(7.70) при постоянном R с дальнейшей подстановкой результата в
соотношение (7.81). Воспользуемся известным решением уравнения
(7.69) для случая центральной симметрии:
" == С,г + -£- -{ ^ -±- ] x*-cdx. (7.82)
Тогда
tr е = ЗС2 + ^^ с (7.83)
Коэффициенты Сг и С2 определяются из граничных условий (7.75) —
(7.78):
180

с1 = о, с2 =
osR2
2G*
Таким образом, из формулы (7.82) при г = R получаем
pu = -Ft (1=1,2).
Здесь
?i = -
Jz —
2Gnx
F — *
2_ 2Giu
(7.84)
(7.85)
(7.86)
для тел Фохта и Максвелла соответственно.
Формулы (7.72), (7.83) позволяют представить уравнение (7.70)
в виде
Z>,0>)A|i-/>|i (>-1,2) (7.87)
«^W-o,['-„+ig1f, + w)
1+«0
= D'[
для модели Фохта; D2 (р) =
для модели Максвелла; Vi:
1+(1+«0)V2P
_ m2fl2 ___ 4G
72 "" m2 + V2 • П° - l^T •
Применяя к уравнению (7.87) и граничным условиям (7.76), (7.78)
преобразование Лапласа по времени, находим для изображений
2а2й
mars
r=R
•exp
2a2Q
(7.88)
После обращения и подстановки результатов, а также формул
(7.85) в соотношение (7.81) получаем выражение для определения
зависимости радиуса поры от времени:
dR п 2ozQA
dx
— F,
*2 яК^
l
Yi
+■
+ 6, ]' -±=- e-a^-f) (I, (*,) - /0 (x,)) Л
/Г
где для тела Фохта
для тела Максвелла
1
Yi
Xi = bt (т — t),
2Y!(l+«o) ' Х
2Yi (1 + "о)
= ! / ' + "о а = 2(1+/г0-ус)-ТЧ
*2 ^ l + /t0-Vc ' 2 2(l+n0-7c)(l+no)Y2
(7.89)
(7.90)
(7.91)
&2 =
Y»o
2(l+n0-YC)(I+"o)Y2
/0 (x) и /x (x) — модифицированные функции Бесселя.
Рассмотрим частные случаи. При Л ->- 0 (диффузия отсутствует) из
уравнения (7.89) выводим формулы, описывающие чисто вязкое за-
плывание полости, соответственно в моделях Фохта и Максвелла:
181

R = Ro-~(l-e-
(7.92)
/
(7.93)
Зависимость (7.93) приводится в работе [14]. Она с точностью до
множителя порядка 1 при т совпадает с зависимостью, полученной в
Время полного исчезновения полости в модели Максвелла
т° = n2IN (безразмерный па-
[120]
раметр N =
2GR(
■)•
В теле Фох-
та пора полностью растворяется
только при N> 1, время
исчезновения т° = пг1п N_ . В слу-
0
Рис. 19.
Граничным переходом в уравнении (7.89) при пг
72 -> оо, т2 ->• оо) придем к рассматривавшемуся выше чисто диффу-
чае 0 < N <с 1 значение
радиуса при т -> оо асимптотически
приближается к R0 (1 — N).
0, т1 ->■ 0 (или
п2 -> оо, т2
зионному растворению полости. В квазистационарном приближении
соотношения (7.89) при упрощении принимают вид
dR _ as —~ 2ozQA
dx ~" 2Gn1 e ' maR* '
dx
2Grc,
ma/?2
(7.94)
(7.95)
соответственно для моделей Фохта и Максвелла.
Уравнение (7.95) интегрируется непосредственно:
1 , R
■ arctg
t=-B2\l — R — VB2 (arctg
VBt
t =
2a2QA
maRl
*--k
B* =
Vb2
4GQAn2 .
maR20
(7.96)
время полного заплывания полости в этом случае определяется
выражением t° = В211 — УВ2 arctg — j. Из формулы (7.96) при Л -+-
-»- 0 следует формула (7.93), а при п2 -> оо — зависимость (7.38).
Закон изменения радиуса полости, описываемый формулой (7.96)
для модели Максвелла, и результаты численного решения методом
последовательных приближений уравнения (7.94) для модели Фохта
даны на рис. 19 (безразмерный параметр Bt■ = £Ц i = 1, 2]. В
телах Максвелла при N > 0 и Фохта при N > 1
совершающиеся одновременно процессы диффузии и вязкого течения приводят
к более раннему полному растворению поры, нежели раздельное их
проявление. В модели Фохта при 0 < N < 1 в результате диффузии
заплывание поры происходит в течение конечного промежутка
времени.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Адамсон А. Физическая химия поверхностей.— М. : Мир, 1979.— 568 с.
2. Алумяэ Н. А. Теория упругих оболочек и пластинок.— В кн.: Механика в
СССР за 50 лет. М. : Наука, 1972, т. 3, с. 227—266.
3. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Основные уравнения теории упругости сред
с вращательным взаимодействием частиц.— Физика твердого тела, 1960, 2,
№ 7, с. 1399—1409.
4. Бартенев Г. М., Акопян Л. А. Об анизотропии поверхностного натяжения
деформированного каучукоподобного полимера.— Высокомолекуляр.
соединения. Сер. Б, 1970, 12, № 5, с. 395—397.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований : В 2-х т.—
М. : Наука, 1969.—Т. 1. 344 с.
6. Бокштейн Б. С, Магидсон И. А., Светлов Я. Л. О диффузии в объеме и по
границам зерен.— Физика металлов и металловедение, 1958, 6, № 6, с. 1040—
1052.
7. Борисов В. Т., Голиков В. М. К теории метода радиографии для измерения
параметров диффузии.— Завод, лаб., 1956, № 2, с. 178—188.
8. Бурак Я- И., Подстригай Я- С. Образование атмосферы Коттрелла в
окрестности краевой дислокации Пайерлса.— Физ.-хим. механика материалов, 1965,
№ 4, с. 395—402.
9. Бурак Я- П., Подстригай Я. С. О релаксации напряжений, обусловленных
дислокацией Пайерлса вследствие образования облака Коттрелла.— Там же,
1966, № 1, с. 45—50.
10. Векуа И. Н. Об одном направлении построения теории оболочек.— В кн.:
Механика в СССР за 50 лет. М. : Наука, 1972, т. 3, с. 267—290.
П. Веселовский В. С, Перцов В. Н. Прилипание пузырьков к твердым
поверхностям.— Журн. физ. химии, 1936, 8, № 2, с. 245—259.
12. Ворован И. И. Общие проблемы теории пластин и оболочек.— В кн.: Тр. VI
Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М. : Наука, 1966, с. 896—903.
13. Гегузин Я. Е., Лифшиц И. М. О механизме и кинетике «залечивания»
изолированной поры в кристаллическом теле.— Физика твердого тела, 1962, 4, № 5,
с. 1326—1333.
14. Гегузин Я. Е. Физика спекания.— М. : Наука, 1967.— 360 с.
15. Гегузин Я- Е.г Кривоглаз М. А. Движение макроскопических включений в
твердых телах.— М. : Металлургия, 1971.— 344 с.
16. Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика.— М. : Наука, 1982.—
584 с.
17. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек.— М. : Наука, 1976.—
512 с.
18. Грибанова Е. В., Молчанова Л. И. Исследование зависимости угла смачивания
от скорости движения мениска.— Коллоид, журн., 1978, 40, № 1, с. 30—35; № 2,
с. 217—223.
6
19. Гринфельд М. А. -тт-Производная и ее свойства.—М., 1976.— 19 с.—
Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 1255-76 Деп.
183

20. Громека И. С. Очерк теории капиллярных явлений. Теория поверхностного
сцепления жидкости.— Мат. сб., 1878, 9, № 3, с. 435—500.
21. Де Гроот С. Термодинамика необратимых процессов.— М. : Гостехиздат^ 1956.—
280 с. '
22. Де Гроот С, Мазур П. Неравновесная термодинамика.— М. : Дйш, 1964.—
456 с. х
23. Давыдов А. Ю. Теория капиллярных явлений.— М. : Изд-во Моск. ун-та,
1851.—292 с.
24. Даниловская В. И. Приближенное решение задачи о нестационарном тепловом
температурном поле в тонкой оболочке произвольной формы.— Изв. АН СССР.
ОТН, 1957, № 9, с. 157—158.
25. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.— М. :
Физматгиз, 1963.— 659 с.
26. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и
Z-преобразования.— М. : Наука, 1971.— 288 с.
27. Диткин В. А.,. Прудников А. П. Справочник по операционному.исчислению.—
М. : Высш. шк., 1965.—467 с.
28. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика.— М. : Мир, 1974.— 304 с.
29. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении : В 2-х т.—
М. : Гостехиздат, 1947.— Т. 1. 512 с.
30. Кильчевский Н. А., Издебская Г. А., Киселевская Л. М. Лекции по
аналитической механике оболочек.— Киев : Вища шк., 1974.— 232 с.
31. Коваленко А. Д. Основы термоупругости.— Киев : Наук, думка, 1970.— 308 с.
32. Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального
анализа.— М. : Наука, 1968.— 496 с.
33. Конобеевский С. Т. К теории фазовых превращений. II. Диффузия в твердых
растворах под влиянием распределения напряжений.— Журн. эксперим. и тео-
рет. физики, 1943, 13, № 6, с. 200—214.
34. Кувшинский Е. В., Аэро Э. Л. Континуальная теория асимметрической
упругости. Учет «внутреннего» вращения.— Физика твердого тела, 1963, 5, № 9,
с. 2591—2598.
35. Лагалли М. Векторное исчисление.— М. : Объедин. науч.-техн. изд-во, 1936.—
344 с
36. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.— М. : Гостехиздат,
1954.— 788 с.
37. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости.— М. : Наука, 1965.— 204 с.
38. Лифшиц И. М. К теории диффузионно-вязкого течения поликристаллических
тел.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1963, 44, № 4, с. 1349—1367.
39. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости.— М. : Гостехиздат,
1955 — 492 с.
40. Лурье А. И. Теория упругости.— М. : Наука, 1970.— 940 с.
41. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости.—М. : Наука, 1980.—512 с.
42. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ.— М. : Физматгиз, 1963.—
412 с.
43. Мартынов Г, А., Иванов И. Б., Тошев Б. В. Термодинамика тонких жидких
пленок. Об условиях механического равновесия пленок.— Годишн. Соф. ун-т.
Хим. фак., 1977, 68, с. 23—31.
44. Мелан Э., Паркус Г. Температурные напряжения, вызываемые стационарными
температурными полями.— М. : Физматгиз, 1958.— 168 с.
45. Миронова М. Л., Ботвинкин О. К. Роль поверхностного натяжения в
возникновении напряжений при выщелачивании двухфазных натриевоборосиликатных
стекол.— В кн.: Физическая химия поверхностных явлений при высоких
температурах. Киев : Наук, думка, 1971, с. 226—230.
46. Миссол В. Поверхностная энергия раздела фаз в металлах.— М. :
Металлургия, 1978.— 176 с.
47. Мотовиловець -I'. О. Про виведення р1внянь теплопров1дноси пластини.—
Прикл. мехашка, 1960, 6, № 3, с. 343—346.
48. Муравьев А. И., Чернышевич И. В., Фофанов С. Л. Об одном методе решения
некоторых задач Стефана,— Изв. АН БССР. Сер. физ.-энерг, наук, 1972, № 4,
с. 108—112.
184

49. Найдич Ю. В. Контактные явления в металлических расплавах.— Киев : Наук,
думка, 1972.— 196 с.
50. Новацкий В. Теория упругости.— М. : Мир, 1975.— 872 с.
51. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости.— Прикл.
математика и механика, 1964, 28, № 3, с. 401—408.
52. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения.— М. : Физматгиз,
1963.— 252 с.
53. Перник А. Д. Проблемы кавитации.— Л. : Судостроение, 1966.— 439 с.
54. Шдстригач Я- С. Диференщальш р1вняння задач1 термодифузп в твердому
деформованому 1зотропному тЫ.— Доп. АН УРСР, 1961, № 2, с. 169—172.
55. Шдстригач Я- С., Павлина В. С. Загальш сшввщношення термодинам1ки
твердих розчишв.— Укр. ф1з. журн., 1961, № 5, с. 655—663.
56. Шдстригач Я- С, Ярема С. Я- Температурш напруження в оболонках.—
К. : Вид-во АН УРСР, 1961.— 212 с.
57. Шдстригач Я- С. Диференщальн1 р1вняння дифузшно1 теори деформацп
твердого тша.—Доп. АН УРСР, 1963, № 3, с. 336—339.
58. Шдстригач #. С. Умови теплового контакту твердих т1л.— Там же, № 7,
с: 872—874.
59. Шдстригач Я- С. Про одне узагальнення теоретичноТ модел1 твердого т1ла.—
Там же, № 8, с. 1015—1017.
60. Пинес Б. Я. О спекании (в твердой фазе).— Журн. техн. физики, 1946, 16,
№ 6, с. 737—743.
61. Повстенко Ю. 3. О поверхностных явлениях в упругих твердых телах.— Физ-
хим. механика материалов, 1979, N° 4, с. 56—59.
62. Повстенко Ю. 3. Диффузионное заплывание сферической поры в вязкоупругом
твердом теле.— Там же, 1980, № 3, с. 82—85.
63. Повстенко Ю. 3. Уравнения баланса количества движения на линии контакта
трех сред.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1980, № 10, с. 45—47.
64. Повстенко Ю. 3. О двух возможных подходах при описании свойств тонких
промежуточных слоев в композиционных материалах.— В кн.: Базальтоволок-
нистые композиционные материалы и конструкции. Киев : Наук, думка, 1980,
с. 136—141.
65. Повстенко Ю. 3. Распределение напряжений и концентрации примесей в
приповерхностном слое на границе твердого тела, обусловленное скачкообразным
изменением поверхностной энергии.— Прикл. механика, 1981, 17, № 4 ,с. 84—89.
66. Повстенко Ю. 3. Условия на линии контакта трех сред.— Прикл. математика
и механика, 1981, 45, № 5, с. 919—923.
67. Повстенко Ю. 3. Учет поверхностной энергии в граничных условиях краевых
задач механики деформируемых твердых тел.— Мат. методы и физ.-мех. поля,
;1981, № 13, с. 15—28.
68. Повстенко Ю. 3. Неравновесная термодинамика поверхностных явлений в
твердых телах.—Прикл. механика, 1982, 18, № 11, с. 100—105.
69. Повстенко Ю. 3. Обобщение условий Лапласа и Юнга механического
контакта. — Мат. методы и физ.-мех. поля, 1982, № 16, с. 30—32.
70. Повстенко Ю. 3. Описание поверхностных явлений в упруго поляризующихся
твердых телах.— Журн. прикл. механики и техн. физики, 1983, №1, с. 117—
121.
71. Повстенко Ю. 3. Общие уравнения баланса на поверхности раздела двух сред
и на линии раздела трех сред.— Мат. методы и физ.-мех. поля, 1983, № 17,
с. 41—43.
72. Повстенко Ю. 3. Описание механики поверхностных явлений в
деформируемых твердых телах на основе теории оболочек и стержней.— В кн.: XIII Все-
союз. конф. по теории пластин и оболочек. Таллин : Тал. политехи, ин-т, 1983,
ч. 4, с. 77—82.
73. Повстенко Ю. 3., Подстригай Я- С. Дифференцирование по времени тензоров,
заданных на поверхности, движущейся в трехмерном евклидовом пространстве.—
Прикл. математика и механика, 1983, 47, № 6, с. 1038—1044.
74. Повстенко Ю. 3. Неравновесная термодинамика капиллярных явлений на гра-
, нице раздела твердое тело — расплав — газ.— Адгезия расплавов и пайка
материалов, 1984, № 13, с. 23—25.
J3 4—1372
135

75. Повстенко Ю. 3., Алексеенко В. М. Осесимметричное напряженное состояние
и диффузия примеси в упругом полупространстве при неоднородном
поверхностном натяжении.— Прикл. механика, 1984, 20, № 11, с. 101—107. /
76. Подстригач Я- С, Павлина В. С. Диффузионные процессы в неравномерно
нагретом деформируемом слое.— Вопр. механики реал, твердого тела, 1962,
вып. 1, с. 67—75. /
77. Подстригач Я» С. Температурное поле в системе твердых тел, сопряженных
с помощью тонкого промежуточного слоя.— Инж.-физ. журн., 1963, 6, № 10,
с. 129—136.
78. Подстригач Я- С. Диффузионная теория деформации изотропной сплошной
среды.— Вопр. механики реал, твердого тела, 1964, вып. 2, с. 71—99.
79. Подстригач Я- С. Диффузионная теория неупругости металлов.— Журн. прикл.
механики и техн. физики, 1965, № 2, с. 67—72.
80. Подстригач Я- С., Павлина В. С. Дифференциальные уравнения
термодинамических процессов в я-компонентном твердом растворе.— Физ.-хим. механика
материалов, 1965, № 4, с. 383—389.
81. Подстригач Я- С, Шевчук П. Р. О напряженно-деформированном состоянии
нагреваемых упругих тел, содержащих включения в виде тонких оболочек.—
Прикл. механика, 1967, 3, № 6, с. 8—16.
82. Подстригач Я- С, Шевчук П. Р. О влиянии поверхностных слоев на процесс
диффузии и на обусловленное им напряженное состояние в твердых телах.—
Физ.-хим. механика материалов, 1967, № 5, с. 575—583.
83. Подстригач Я- С., Шевчук П. Р. Температурные поля и напряжения в телах
с тонкими покрытиями.— Тепловые напряжения в элементах конструкций,
1967, № 7, с. 227—233.
84. Подстригач Я- С, Шевчук П. Р. Диффузионные процессы и релаксация
напряжений в окрестности сферической полости.— Физ.-хим. механика
материалов, 1968, № 2, с. 194—200.
85. Подстригач Я- С., Швец Р. Н. Квазистатическая задача взаимосвязанной
термоупругости.— Прикл. механика, 1969, 5, № 1, с. 43—51.
86. Подстригач Я- С., Шевчук Я. Р. Исследование напряженного состояния
твердых тел с инородными включениями и тонкими покрытиями при изменении
температуры.— Пробл. прочности, 1970, № 11, с. 37—40.
87. Подстригач Я- С, Швец Р. Я., Павлина В. С. Квазистатическая задача
термодиффузии для деформируемых твердых тел.— Прикл. механика, 1971, 7,
№ 12, с. 11—16.
88. Подстригач Я- С, Коляно Ю. М. Неустановившиеся температурные поля и
напряжения в тонких пластинках.— Киев : Наук, думка, 1972.— 308 с.
89. Подстригач Я- С, Павлина В. С. Диффузионные процессы в упруговязком
деформируемом теле.— Прикл. механика, 1974, 10, № 5, с. 47—53.
90. Подстригач Я- С., Повстенко Ю. 3. Расчет нестационарного процесса
диффузионного заплывания сферической поры в твердом теле.— Докл. АН УССР.
Сер. А, 1975, № 6, с. 528—531.
91. Подстригач Я- С, Столяров В. А. Матрично-операторный метод решения
краевых задач для систем уравнение теории упругости.— Мат. методы и физ.-мех.
поля, 1975, № 2, с. 3—18.
92. Подстригач Я- С., Чернуха Ю. Л. Об уравнениях теплопроводности для
тонкостенных элементов конструкций.— Там же, с. 54—59.
93. Подстригач Я С, Шгвчук Я. Р., Онуфрик Т. М., Повстенко Ю. 3.
Поверхностные явления в твердых телах с учетом взаимосвязи физико-механических
процессов.— Физ.-хим. механика материалов, 1975, № 2, с. 36—43.
94. Подстригач Я- С, Войтович Я. И., Чернуха Ю. А. Температурные поля
криволинейных стержней и подкрепленных оболочек.— Мат. методы и физ.-мех.
поля, 1976, № 3, с. 15—20.
95. Подстригач Я- С., Швец Р. Я. Термоупругость тонких оболочек.— Киев :
Наук, думка, 1978.— 344 с.
96. Подстригач Я- С, Повстенко Ю. 3. Физико-механические процессы при
диффузионном растворении сферической поры в твердом теле.— Прикл. механика,
1979, 15, № 9, с. 3—8.
97. Подстригач Я- С, Повстенко Ю. 3. О дифференцировании по времени
тензоров, заданных на поверхности.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1981, № 10, с. 58—60.
186

98. Подстригач Я- С, Повстенко Ю. 3. Об эволюционных уравнениях для
метрического тензора.—Там же, № 11, с. 32—35.
99. Подстригач Я- С, Повстенко Ю. 3. Дифференцирование двойных тензоров на
поверхности по координате и по времени.— Там же, 1982, № 2, с. 43—47.
100. Подстригач Я- С, Повстенко Ю. 3. Дифференцирование по времени тензоров,
заданных на кривой.— Там же, № 7, с. 54—56.
101. Пригожий И. Введение в термодинамику необратимых процессов.— М. : Изд-
во иностр. лит., 1960.— 127 с.
102. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана.— Рига : Звайгзне, 1967.— 457 с.
103. Русанов А. И. Фазовые равновесия и поверхностные явления.— Л. : Химия,
1967.— 388 с.
104. Русанов А. И. Некоторые вопросы термодинамики твердых поверхностей.—
В кн.: Структура и свойства поверхностных слоев полимеров. Киев : Наук.
думка, 1972, с. 3—14.
105. Русанов Л. И. К теории смачивания упругодеформируемых тел. 5. Сведение
эффектов деформации к линейному натяжению.— Коллоид, журн., 1977, 39,
№ 4, с. 704—710.
106. Русанов А. И., Овруцкая Н. А., Акопян Л. А, Исследование анизотропии
смачивания деформированных эластомеров.— Там же, 1981, 43, № 4, с. 685—697.
107. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды.— М. : Физматгиз, 1962.—
284 с.
108. Седов Л. И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы.—
Прикл. математика и механика, 1968, 32, № 5, с. 771—785.
109. Седов Л. И. Механика сплошной среды : В 2-х т.— М. : Наука, 1976.— Т. 1.
536 с. Т. 2. 576 с.
ПО. Снеддон И. Преобразование Фурье.— М. : Изд-во иностр. лит., 1955.— 668 с.
111. Сокольников И. С. Тензорный анализ.— М. : Наука, 1971.— 376 с.
112. Схоутен Я- А. Тензорный анализ для физиков.— М. : Наука, 1965.— 456 с.
113. Темное О. В. Диа- и параупругая поляризация в твердых телах.— Исслед. по
теории упругости и пластичности, 1974, № 10, с. 83—102.
114. Темроков А. И., Задумкин С. Я. Поверхностная энергия, поверхностное
напряжение и поверхностное натяжение твердых тел.— В кн.: Смачиваемость и
поверхностные свойства расплавов и твердых тел. Киев : Наук, думка, 1972,
с. 151 — 156.
115. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости.— М. : Наука, 1975.— 576 с.
116. Тошев Б. В., Ериксон Я. К. Уравнение на Шатълуърт за линейното напре-
жение и връзката му с условията за механично равновесие.— Годишн. Соф.
ун-т. Хим. фак., 1978, 70, № 1, с. 75—86.
117. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.^
М. : Мир, 1975.— 592 с.
118. Фастов Н. С. К термодинамике необратимых процессов в упруго
деформированных телах.— В кн.: Проблемы металловедения и физики металлов. М. :
Металлургиздат, 1958, т. 5, с. 550—576.
119. Фастов Н. С. Влияние поверхностной энергии на поле упругих напряжений
вблизи макродефектов структуры твердых тел.— Там же, с. 600—603.
120. Френкель Я- И. Вязкое течение в кристаллических телах.— Журн. эксперим.
и теорет. физики, 1946, 16, № 1, с. 29—38.
121. Халмош П. Теория меры — М. : Изд-во иностр. лит., 1953.— 292 с.
122. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек : В 2-х т.— Л. : Изд-во Ленингр.
ун-та, 1964.— Т. 2. 396 с.
123. Чизмаджен /О. А., Маркин В. С, Тарасевич М. Р., Чирков Ю. Г.
Макрокинетика процессов в пористых средах.— М. : Наука, 1971.— 364 с.
124. Швец Р. И., Раврик М. С. К теории термодиффузии деформируемых тонких
оболочек и пластин.— Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1972,
№ 12, с. 141 — 147.
125. Швец Р. Н.р Раврик М. С. Некоторые вопросы теории упругих ортотропных
оболочек и пластин типа Тимошенко с учетом термодиффузионных процессов.—
Мат. физика, 1975, № 18, с. 152—159.
126. Шелудко А., Тошев Б. В., Бояджиев Д. Т. О закреплении частиц к
поверхности жидкости (капиллярная теория флотации).— Годишн. Соф. ун-т. Хим.
фак., 1978, 69, № 2, с. 81—97.
13*
187

127. Щербаков Л. М., Рязанцев П. П. О влиянии энергии периметра смачивания
на краевые условия.— В кн.: Исследования в области поверхностных сил.
М. : Наука, 1964, с. 26—28. /
128. Arts R. Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics.-^ Eng-
lewood Cliffs : Prentice-Hall, 1962.— 286 p. /
129. Bartenew G. M.t Akopjan L. A. Die freie Oberflachenenergie der Polyfneren und
die Methoden zu ihrer Bestimmung.— Plaste und Kautschuk, 1969, 16, N 9,
S. 655—657.
130. Blinowski A. A new approach to problems of surface phenomena in an elastic
solid.— Proc. Vibr. Probl., 1970, 11, N 4, p. 383—397.
131. Boruvka L., Neumann A. W. Generalization of the classical theory of
capillarity.—J. Chem. Phys., 1977, 66, N 12, p. 5464—5476.
132. Bowen R. M. Toward a thermodynamics and mechanics of mixtures.— Arch.
Ration. Mech. and Anal., 1967, 24, N 5, p. 370—403.
133. Bowen R. M., Wiese J. C. Diffusion in mixtures of elastic materials.— Int. J.
Eng. Sci., 1969, 7, N 7, p. 689—722.
134. Buff F. P., Saltsburg H. Curved fluid interfaces. II. The generalized Neumann
formula.—J. Chem. Phys., 1957, 26, N 1, p. 23—31.
135. Cosserat E.t Cosserat F. Theorie des corps deformables.— Paris : Hermann, 1909.—
226 p.
136. Crawford F. H. Jacobian methods in thermodynamics.— Amer. J. Phys., 1949,
17, N 1, p. 1—5. ■
137. Defay R., Prigogine I., Sanfeld A. Surface thermodynamics.— J. Colloid and
Interface Sci., 1977, 58, N 3, p. 498—510.
138. De Feijter J. A., Vrij A. Transition regions, line tensions and contact angles
in soap films.—J. Electroanal. Chem., 1972, 37, N 1, p. 9—22.
139. Delhaye J. M. Jump conditions and entropy sources in two-phase systems. Local
instant formulation.— Int. J. Multiphase Flow, 1974, 1, N 3, p. 395—409.
140. Eason G., Noble В., Sneddon I. N. On certain integrals of Lipschitz-Hankel
type involving products of Bessel functions.— Phil. Trans. Roy. Soc. London A,
1955, 247, N 935, p. 529—551.
141. Epstein M., Plesset M. S. On the stability of gas bubbles in liquid-gas solutions.—
J. Chem. Phys., 1950, 18, N 11, p. 1505—1509.
142. Fisher G. M. C, Leitman M. J. On continuum thermodynamics with
surfaces.—Arch. Ration. Mech. and Anal., 1968, 30, N 3, p. 225—262.
143. Fisher J. Calculation of diffusion penetration curves for surface and grain
boundary diffusion.—J. Appl. Phys., 1951, 22, N 1, p. 74—77.
144. Ghez R. A generalized Gibbsian surface.— Surface Sci., 1966, 4, N 2, p. 125—140.
145. Ghez R. Equilibre mechanique et de forme de petits cristaux.— Helv. phys. acta,
1968, 41, N 3, p. 287—309.
146. Ghez R. Irreversible thermodynamics of a stationary interface.— Surface Sci.,
1970, 20, N 2, p. 326—334.
147. GoodR. J., KvikstadJ. A., Bailey W. O. Hysteresis of contact angles : the effects
of elongation and roughness.— Appl. Polym. Symp., 1971, N 16, p. 153—164.
148. Goranson R. W. Thermodynamic relations in multicomponent systems.—
Carnegie Inst. Wash. Publ., 1930.—329 p.
149. Gorsky W. S. Theorie der elastischen Nachwirkung in ungeordneten Misch-Kris-
tallen (elastische Nachwirkung zweiter Art).— Phys. Z. Sowjetunion, 1935, 8,
N 1, S. 457—471.
150. Green A. E., Naghdi P.M., Wainwright W. L. A general theory of a Cosserat
surface.— Arch. Ration. Mech. and Anal., 1965, 20, N 4, p. 287—308.
151. Gretz R. D. Line-tension effects in a surface energy model of a cap-shaped con-
denced phase.—J. Chem, Phys., 1966, 45, N 8, p. 3160—3161.
152. Gretz R. D. The line-tension effect in heterogeneous nucleation.— Surface Sci.,
1966, 5, N 2, p. 239—251.
153. Grinfeld M. A. On heterogeneous equilibrium o\ nonlinear elastic phases and
chemical potential tensors.— Int. J, Eng. Sci., 1981, 19, N 7, p. 1031 — 1039.
154. Gurtin M. E., Williams W. O. An axiomatic foundation for continuum
thermodynamics.— Arch. Ration. Mech. and Anal,, 1967, 26, N 2, p. 83—117.
155. Herring C. Surface tension as a motivation for sintering.— In: The physics of
powder metallurgy. New York : McGraw-Hill, 1951, p. 143—179.
188

156. Herring С. The use of classical macroscopic concepts in surface-energy
problem.— In: Structure and properties of solid surfaces. Chicago : Univ. Chicago
press, 1953, p. 5—81.
157. Ida Y. Thermodynamic theory of nonhydrostatically stressed solid involving
finite strain.—J. Geophys. Res., 1969, 74, N 12, p. 3208—3218.
158. Lane J. E. Stability and transitions of surface phases.— Trans. Faraday Soc,
1968, 64, pt 1, N 541, p. 221—230.
159. Laplace P. 5. Mecanique celeste. Supplement au X livre. Sur Taction capillaire.
Paris : Courcier, 1805, p. 1—65; 1—78.
160. Moeckel G. P. Thermodynamics of an interface.— Arch. Ration. Mech. and Anal.,
1975, 57, N 3, p. 255—280.
161. Mullins W. W. Theory of thermal grooving.—J. Appl. Phys., 1957, 28, N 3,
p. 333—339.
162. Mullins W. W. Flattering of a nearly plane solid surface due to capillarity.—
Ibid., 1959, 30, N 1, p. 77—83.
163. Naghdi P. M. The theory of shells and plates.— In: Handbuch der Physik.
Berlin : Springer, 1972, 6a/2, p. 425—640.
164. Neumann F. E. Vorlesungen uber die Theorie der Kapillaritat.— Leipzig : Teub-
ner, 1894.— 234 S.
165. Rice J. The thermodynamics of strained elastic solids/A comment, sci.
writings J. W. Gibbs. New Haven : Yale Univ. press, 1936. vol. 1, p. 395—504.
166. Rusanov A. I. On the thermodynamics of deformable solid surfaces.— J. Colloid
and Interface Sci., 1978, 63, N 2, p. 330—345.
167. Scriven L. E. Dynamics of fluid interfaces.— Chem. Eng. Sci., 1960, 12, N 2,
p. 98—108.
168. Shuttleworth R. The surface tension of solids.— Proc. Phys. Soc, 1950, 63,
N 365, p. 444—457.
169. Stuke B. Allgemeine Rahmengleichungen der Kontinuumsdynamik.— Phys. Lett,
1966, 21, N 6, S. 649—650.
170. Stuke B. Tensorielle chemische Potentiale — eine notwendige Erweiterung der
Gibbs'schen Thermodynamik.— Z. Naturforsch. A, 1975, 30, N 11, S. 1433—1440.
171. Tress H. J. Some distinctive contours worn on alumina-silica refractory faces by
different molten glasses: surface tension and the mechanism of refractory attack.—
J. Soc. Glass Techn., 1954, 38, N 181, p. 89T—100T.
172. Truesdell C, Toupin R. A. The classical field theories.— In: Handbuch der
Physik. Berlin : Springer, 1960, 3/1, S. 226—793.
173. Truesdell С Rational Thermodynamics.— New York : McGraw-Hill, 1969.—
208 p.
174. Verhoogen J. The chemical potential of a stressed solid.— Trans. Amer.
Geophys. Union, 1951, 32, N 2, p. 251—258.
175. Weatherburn С E. Differential geometry of three dimensions : In 2 vol.—
Cambridge : Cambridge Univ. press, 1927. Vol. 1, 268 p.
176. Young T. An essay on the cohesion of fluids.— Phil. Trans. Roy. Soc, 1805, 94,
p. 65—87.
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Адам Н. /С. Физика и химия поверхностей.— М. : Гостехиздат, 1947.— 552 с.
2. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров.—М. : Наука, 1967.—
780 с
3. Андреев А. Ф., Косевич Ю. А. Капиллярные явления в теории упругости.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1981, 81, № 4, с. 1435—1443.
4. Башкиров А. Г. Неравновесная статистическая механика гетерогенных систем.
I. Явления переноса на межфазной поверхности и проблема граничных условий.—
Теорет. и мат. физика, 1980, 43, № 3, с. 401—416.
5. Бенсон Г., Юн К. Поверхностная энергия и поверхностное натяжение
кристаллических твердых тел.— В кн.: Межфазовая граница газ — твердое тело. М. :
Мир, 1970, с 172—229.
6. Блох В. И. Теория упругости.— Харьков : Изд-во Харьк. ун-та, 1964.— 484 с.
189

7. Векуа И. Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов.— М. : Наука,
1978.— 296 с.
8. Годунов С. К., Роменский Е. И. Нестационарные уравнения нелинейной
теории упругости в эйлеровых координатах.— Журн. прикл. механики и те,™,
физики, 1972, № 6, с. 124—144.
9. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды.— М. : Наука, J$78.—
304 с.
10. Гринфельд М. А. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов
в нелинейно-упругом материале.— Прикл. математика и механика, 1978, 42,
№ 5, с. 883—898.
11. Задумкин С. Н., Хоконов X. Б. Общие условия равновесия межфазных границ
и уравнения капиллярности.— В кн.: Методы исследования и свойства границ
раздела контактирующих фаз. Киев : Наук, думка, 1977, с. 163—175.
12. Ивенс И., Скейлак Р. Механика и термодинамика биологических мембран.—
М. : Мир, 1982.— 304 с.
13. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.—М. : Изд-
во Моск. ун-та, 1980.— 320 с.
14. Кочин Н. Е. О сильных разрывах в сжимаемой жидкости.— Собр. соч. М. :
Изд-во АН СССР, 1949, т. 1, с. 68—73.
15. Кочин Н. Е. К теории разрывов в жидкости. — Там же, т. 2, с. 5—42.
16. Кочурова Н. Н. Термодинамика неравновесного поверхностного натяжения
жидкостей.— Вопр. термодинамики гетерог. систем и теории поверхност.
явлений, 1982, №6, с. 191—211.
17. Кротов В. В., Русанов А. И., Блиновский А. К обобщению формулы Лапласа
для капиллярного давления.— Коллоид, журн., 1982, 54, № 3, с. 471—476.
18. Кузнецов В. Д. Поверхностная энергия твердых тел.— М. : Гостехиздат, 1954.—
220 с.
19. Кунин Л. Л. Поверхностные явления в металлах.— М. : Металлургиздат,
1955.— 304 с.
20. Марченко В. И. Возможные структуры и фазовые переходы на поверхности
кристаллов.—Письма в ЖЭТФ, 1981, 33, № 8, с. 397—399.
21. Найдич Ю. В. О корректности и экспериментальной проверке уравнения Юнга
для краевого угла смачивания твердых тел жидкостями.— В кн.: Физическая
химия поверхностных явлений при высоких температурах. Киев : Наук, думка,
1971, с. 26—33.
22. Оно С, Кондо С. Молекулярная теория поверхностного натяжения в
жидкостях.— М. : Изд-во иностр. лит., 1963.— 292 с.
23. Райдил Э. К- Химия поверхностных явлений.— Л. : ОНТИ Химтеорет, 1936.—
422 с.
24. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.— М. : Наука,
1967—664 с.
25. Регирер С. А. О моделях биологических сплошных сред.— Прикл. математика
и механика, 1982, 46, № 4, с. 531—542.
26. Семенченко В. К. Поверхностные явления в металлах и сплавах.— М. :
Гостехиздат, 1957.—492 с.
27. Скорое Д. М., Дашковский А. И., Маскалец В. Н., Хижный В. К.
Поверхностная энергия твердых металлических фаз.— М. : Атомиздат, 1973.— 172 с.
28. Сумм Б. Д., Горюнов Ю. В. Физико-химические основы смачивания и
растекания.— М. : Химия, 1976.— 232 с.
29. Сычев В. В. Дифференциальные уравнения термодинамики.— М. : Наука,
1981.— 196 с.
30. Тактаров Н. Г. К гидродинамике многофазных поверхностных континуумов.—
М., 1981.— 15 с— Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 4547-81Деп\
31. Тактаров Н. Г. Уравнения движения неоднородных пленок
поверхностно-активных веществ.— М., 1982.— 41 с— Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 1377-82Деп.
32. Тактаров Н. Г. О построении моделей поверхностных континуумов.— М.,
1982.— 35 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 5210-82Деп.
33. Тактаров Н. Г. Гидродинамика пленок поверхностно-активных веществ.—
Изв. АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа, 1982, № 4, с. 150—157.
34. Талмуд Д. Л., Бреслер С. Е. Поверхностные явления.— Л. : Гостехиздат,
1934.— 132 с.
190

35. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах.— М. : Мир,
1964.— 308 с.
36. Тошев Б. В. Влияние на линейната енергия върху ъгъла на омокряне.— Го-
дишн. Соф. ун-т. Хим. фа к., 1978, 69, № 1, с. 25—32.
37. Чыонг За Бинь. О движении сферической пленки жидкости.— Докл. АН СССР,
1983, 268, № 6, с. 1333—1337.
38. Шелудко А., Тошев Б. В., Платиканов Д. О механике и термодинамике систем
с линией трехфазного контакта.— В кн.: Современная теория капиллярности.
Л. : Химия, 1980, с. 274—299.
39. Шоркин В. С. Об одной модели движения жидкости вблизи твердой
поверхности.— Журн. прикл. механики и техн. физики, 1981, № 3, с. 70—75.
40. Щербаков Л. М. Физика поверхностей.— Калинин : Изд-во Калинин, ун-та,
1977.—80 с.
41. Щукин Е. Д., Перцов А. В., Амелина Е. А. Коллоидная химия.— М. : Изд-во
Моск. ун-та, 1982.—348 с.
42. Эткин В. А. Феноменологический вывод соотношений взаимности
термодинамики необратимых процессов.— В кн.: Химическая термодинамика и
термохимия. М. : Наука, 1979, с. 8—13.
43. Albano А. М., Bedeaux D., VUeger J. On the description of interfacial
properties using singular densities and currents at a dividing surface.— Physica, A, 1979,
99, N 1/2, p. 293—304.
44. Antman S. S. The theory of rods.— In: Handbuch der Physik. Berlin : Springer,
1972, 6a/2, p. 641—703.
45. Bakker G. Kapillaritat und Oberflachenspannung.— In: Handbuch der
experimental Physik. Leipzig : Akad. Verlag, 1928, Bd. 6, 458 S.
46. Baranowski В., Popielawski J. Thermodynamics of irreversible processes in
surface systems.— Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. chim. 1962, 10, N 8, p. 445—450; 1963,
11, N 1, p. 33—45; N 5, p. 253—260.
47. Baranowski В., Romotowski T. Non-equilibrium thermodynamics of a multicom-
ponent fluid system with an antisymmetric pressure tensor.— Ibid., 1964, 12, N 1,
p, 71—76; N 2, p. 127—131.
48. Bedeaux D., Albano A. M., Mazur P. Boundary conditions and non-equilibrium
thermodynamics.— Physica, A, 1976, 82, N 3, p. 438—462.
49. Bikerman J. J. Physical Surfaces.— New York : Acad, press, 1970.— 478 p.
50. Boucher E. A. Capillary phenomena.— Repts Progr. Phys., 1980, 43, N 4,
p. 498—546.
51. Bowen R. M. The thermochemistry of reacting mixture of elastic materials with
diffusion.—Arch. Ration. Mech. and Anal., 1969, 34, N 5, p. 97—127.
52. Bowen R. M., Wang C.~C. Accelerarion waves in inhomogeneous isotropic
elastic bodies.— Ibid., 1970, 38, N 1, p. 13—45.
53. Buff F. P. Curved fluid interfaces.—J. Chern. Phys., 1956, 25, N 1, p. 146—153.
54. Buff F. P. The theory of capillarity.— In: Handbuch der Physik. Berlin :
Springer, 1960, Bd. 10, p. 281—304.
55. Cohen H. A non-linear theory of elastic directed curves.— Int. J. Eng. Sci., 1966,
4, N 5, p. 5И—524.
56. Cohen Я., DeSilva C. N. Nonlinear theory of elastic directed surfaces.— J.
Math. Phys., 1966, 7, N 6, p. 960—966.
57. Cohen H., Suh S. L. Wave propagation in elastic surfaces.— J. Math. Mech.,
1970, 19, N 12, p. 1117—1129.
58. Couchman P. R., Jesser W. A., Kuhlmann-Wilsdorf D., Hirth J. P. On the
concepts of surface stress and surface strain.— Surface Sci., 1972, 33, N 3, p. 429—
436.
59. Couchman P. R., Jesser W. A. On the thermodynamics of surfaces.— Ibid., 1973,
34, N 2, p. 212—224.
60. Couchman P. R., Linford R. G. Aspects of solid surface thermodynamics
relationships of the Shuttleworth type.—J. Electroanal. Chem., 1980, 115, N 1, p. 143—
148.
61. Crochet M. J. Compatibility equations for a Cosserat surface.— J. Mec, 1967, 6,
N 4, p. 593—600.
62. DeSilva C. N., Whitman A. B. Thermodynamical theory of directed curves.—
J. Math. Phys., 1971, 12, N 8, p. 1603—1609.
191

63. Ertcksen J. L., Truesdell C. Exact theory of stress and strain in rods and shells.—
Arch. Ration and Anal., 1958, 1, N 4, p. 295—323.
64. Ericksen J. L. Liquid cristals and Cosserat surface.— Quart. J. Mech. and Appk
Math., 1974, 27, N 2, p. 213—219. /
65. Estrada R., Kanwal R. P. Applications of distributional derivatives to wav^
propagation.—J. Inst. Math, and Appl., 1980, 26, N 1, p. 39—63. /
66. Evans E. A. Bending resistance and chemically induced moments in membrane
bilayers.— Biophys. J., 1974, 14, N 12, p. 923—931.
67. Flood E. A., Benson G. С Surface energy and surface tension.— Can. J. Chem.,
1968, 46, N 8, p. 1297—1316.
68. Garcia-Moliner E. Surface thermodynamics.— Surface Sci. Lect. Int. Course,
1974, 1, p. 3—76.
69. Georgescu L. A Navier-Stokes type equation for the phase interface of a liquid.—
Surface Sci., 1969, 15, N 1, p. 177—181.
70. Georgescu L., Moldovan R. General conservation laws for the multi-component
phase interface.—Surface Sci., 1970, 22, N 1, p. 149—163.
71. Georgescu L. Phenomenological equations for the multicomponent phase
interface.— Rev. roum. phys., 1975, 20, N 8, p. 781—790.
72. Georgescu L. Contribute la studiul fazelor de interfata si al fenomenelor de
transport neliniare pe baza termodinamicii proceselor ireversible.— Stud, cercet. fiz.
1976, 28, N 1, p. 25—56.
73. Green H. W. On the thermodynamics of non-hydrostatically stressed solids.—
Phil. Mag., 1980, 41, N 5, p. 637—647.
74. Harkins W. D. Linear or edge energy and tension as related to the energy of
surface formation and of vaporization. — J. Chem. Phys., 1937, 5, N 2, p. 135—
140.
75. Hayes W. D. The vorticity jump across a gasdynamic discontinuity.— J. Fluid.
Mech., 1957, 2, N 6, p. 595—600.
76. Hirth J. P. Thermodynamics of surfaces.— In: Structure and properties of metal
surfaces. Tokyo : Maruzen, 1973, p. 10—33.
77. Ivanov I. В., Toshev B. V., Radoev B. P. On the thermodynamics of contact
angles, line tension and wetting phenomena.— In: Wetting, spreading and adhesion.
London : Acad, press, 1978, p. 37—60.
78. Jenkins J. Т., Barrat P. J. Interfacial effects in the static theory of nematic
liquid crystals. — Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1974, 27, N 1, p. 111—127.
79. Kamb W. B. The thermodynamic theory of nonhydrostatically stressed solid.—
J. Geophys. Res., 1961, 66, N 1, p. 259—271.
80. Kehlen H., Baranowski В., Popielawski J. Zur Thermodynamik irreversibler
Prozesse in Grenzflachensystemen.— Z. phys. Chem. Neue Folge, 1973, 86, N 3/6,
S. 282—310.
81. Kehlen H., Baranowski В., Popielawski J. Zur Thermodynamik irreversibler
Prozesse in einem Zwei-Phasen-System.— Z. phys. Chem., Leipzig, 1973, 254, N 5/6,
S. 337—353; 1975, 256, N 4, S. 713—727.
82. Kovac J. Non-equilibrium thermodynamics of interfacial systems.— Physica, A,
1977, 86, N 1, p. 1—24; 1981, 107, N 2, p. 280—298.
83. Kumazawa M. A fundamental thermodynamic theory on nonhydrostatic field and
on the stability of mineral orientation and phase equilibrium.— J. Earth Sci. Na-
goya Univ., 1963, 11, N 2, p. 145—217.
84. Linford R. G. Surface thermodynamics of solids.— Solid State Surface Sci., 1973,
2, p. 1—152.
85. MacDonald G. J. F. Thermodynamics of solids under non-hydrostatic stress with
geologic applications.—Amer. J. Sci., 1957, 255, N 4, p. 266—281.
86. Matsikoudi-Iliopoulou M. Formulation of two-dimensional theory of nonlinear
elastic membranes.— Period. Polytechn. Mech. Eng., 1981, 25, N3, p. 277—
298.
87. McLeltan A. G. A thermodynamical theory of systems under nonhydrostatic
stresses.—J. Geophys." Res., 1966, 71, N 18, p. 4341—4347.
88. McLellan A. G. The chemical potential in thermodynamic systems under
nonhydrostatic stresses.— Proc. Roy. Soc. London, A, 1968, 307, N 1488, p. 1—13.
89. McLellan A. G. Non-hydrostatic thermodynamics of chemical and phase changes.—
Pure and Appl. Chem., 1970, 22, N 3/4, p. 287—292.
192

90. Meinhold-Heerleln L. Surface conditions for the liquid-vapor systems, taking into
account entropy production caused by mass and energy transport across the
interface.— Phys. Rev., A, 1973, 8, N 5, p. 2574—2585.
91. Mingins J., Scheludko A. Attachment of spherical particles to the surface of a
pendant drop and the tension of the wetting perimeter.— J. Chem. Soc. Faraday Trans.y
1979, 75, N 1, p. 1—6.
92. Mullins W. W. Solid surface morphologies governed by capillarity.— In: Metal
surfaces. Ohio : Amer. soc. metals, 1963, p. 17—66.
93. Murdoch A. I. The propagation of surface waves in bodies with material
boundaries.-J. Mech. Phys. Solids, 1976, 24, N 2/3, p. 137—146.
94. Napolitano L. G. Thermodynamics and dynamics of pure interfaces.— Acta
astronaut., 1978, 5, N 9, p. 655—670.
95. Napolitano L. G. Macroscopic modelling of the thermodynamics and dynamics of
interfaces.—AIAA Pap., 1978, N 222, p. 1—7.
96. Pethica B. A. The contact angle equilibrium.— J. Colloid and Interface Sci.„
1977, 62, N 3, p. 567—569.
97. Platlcanov D.t Nedyalkov M., Scheludko A. Line tension of Newton black films.
I. Detemination by the crytical bubble method.— Ibid., 1980, 75, N 2, p. 612—619.
98. Platikanov D., Nedyalkov M., Nasteva V. Line tension of Newton black films.
II. Determination by the diminishing bubble method.— Ibid., p. 620—628.
99. Pop J. J., Wang C.-C. Acceleration waves in isotropic elastic membranes.— Arch.
Ration. Mech. and Anal., 1981, 77, N 1, p. 47—93.
100. Popielawskl J'. Thermodynamic theory of irreversible processes in surface
systems.—Surface Sci., 1970, 19, N 2, p. 355—365.
101. Schwab G.-M., Pletsch E. Zur Topochemie der Kpntaktkatalyse.— Z. phys. Chem.
B, 1928, 1, N 6, S. 385—408; 1929, 2, N 3, S. 262—263.
102. Slattery J. C. Surfaces.—Chem. Eng. Sci., 1964, 19, N 6, p. 379—385; N ly
p. 453—455.
103. Slattery J. C. General balance equation for a phase interface.— Ind. Eng. Chem.
Fundam. 1967, 6, N 1, p. 108—115.
104. Stuke B. Das GrenzflachenfliePverhalten.—Chem.—Ing.—Techn., 1961, 33„
N 3, S. 173—181.
105. Thomas T. Y. Extended compatibility conditions for the study of surfaces of
discontinuity in continuum mechanics.— J. Math, and Mech., 1957, 6, N 3, p. 311—
322.
106. Torza S., Mason S. G. Effects of the line tension on 3-phase liquid interactions.—
Kolloid-Z. + Z. Polym., 1971, 246, N 1, S. 593—599.
107. Vermaak J. S., Mays C. W., Kuhlmann-Wllsdorf D. On surface stress and
surface tension.—Surface Sci., 1968, 12, N 2, p. 128—133.
108. Waldmann L. Non-equilibrium thermodynamics of boundary conditions.—
Z. Naturforsch. A, 1967, 22, N 8, p. 1269—1280.
109. Weatherburn C. E. Differential geometry of three dimensions : In 2 vol.—
Cambridge : Cambridge Univ. press, 1928. Vol. 2.— 239 p.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
7
/
Адам (Adam N. К.) 190
Адамсон (Adamson A. W.) 184
Акопян Л. А. 184, 188, 189
Албано (Albano А. М.) 192
Алексеенко В. М. 187
Алумяэ Н. А. 184
Амелина Е. А. 192
Анго (Angot А.) 190
Андреев А. Ф. 190
Антман (Antman S. S.) 192
Арис (Aris R.) 189
Аэро Э. Л. 184, 185
Баккер (Bakker G.) 192
Барановский (Baranowski В.) 192, 193
Баррат (Barrat P. J.) 193
Бартенев Г. М. 184, 189
Бауэн (Bowen R. М.) 189, 192
Бафф (Buff F. Р.) 189, 192
Башкиров А. Г. 190
Бедо (Bedeaux D.) 192
Бейли (Bailey W. О.) 189
Бейтмен (Bateman Н.) 184
Бенсон (Benson G. С.) 190, 193
Бессель (Bessel F.) 165, 181, 189
Бикерман (Bikerman J. J.) 192
Блиновский (Blinowski А.) 189, 191
Блох В. И. 190
Бокштейн Б. С. 184
Борисов В. Т. 184
Борувка (Boruvka L.) 189
Ботвинкин О. К- 185
Бояджиев Д. Т. 188
Бреслер С. Е. 191
Бурак Я. И. 184
Буше (Boucher Е. А.) 192
Вальдман (Waldmann L.) 194
Вейнгартен (Weingarten J.) 20, 47
Вейнрайт (Wainwright W. L.) 189
Векуа И. Н. 184, 191
Веселовский В. С. 184
Ветерберн (Weatherburn С. Е.) 190, !94
Виет (Viete F.) 34
Визе (Weise J. С.) 189
Вильяме (Williams W. О.) 189
Витман (Whitman А. В.) 192
Войтович Н. И. 187
Ворович И. И. 184
Вэнг (Wang С.-С.) 192, 194
Гамильтон (Hamilton W. R.) 7, 13,
2), 24
Гарсиа-Молинер (Garcia-Moliner Е.) 193
Гаусс (Gauss С. F.) 7, 20, 23, 35—37,
47, 70, 78
Гегузин Я. Е. 184
Гез (Ghez R.) 189
Георгеску (Georgescu L.) 193
Гиббс (Gibbs L. W.) 4, 6, 96, 97, 109,
ИЗ, 1Ь, 119, 120, 122—124, 126, 177,
184, 190
Годунсв С. К. 191
Голиков В. М. 184
Гольденвейзер А. Л. 184
Горансон (Goranson R. W.) 189
Горский В. С. 189
Горюнов Ю. В. 191
Гретц (Gretz R. D.) 189
Грибанова Е. В. 184 '
Грин A. (Green А. Е.) 189
Грин Г. (Green Н. W.) 193
Гринфельд М. А. 184, 189, 191
Громека И. С. 185
Де Гроот (Groot S. R. de) 185
Гуд (Good R. J.) 189
Гудьер (Goodier J. N.) 188
Гуртин (Gurtin M. E.) 189
Давыдов А. Ю. 94, 185
Даниловская В. И. 185
Дашковский А. И. 191
Делхей (Delhaye J. М.) 189
Демидович Б. П. 185
Де Сильва (DeSilva С. N.) 192
Дефей (Defay R.) 189
Деч (Doetsch G.) 185
Дженкинс (Jenkins J. Т.) 193
Джессер (Jesser W. А.) 192
Дирак (Dirac Р. А. М.) 152
Диткин В. А. 185
Дьярмати (Gyarmati I.) 185
194

Задумкин С. Н. 188, 191
Зальцбург (Saltsburg Н.) 189
Иванов И. Б. 185, 193
Ивенс (Evans Е. А.) 191, 193
Ида (Ida Y.) 190
Издебская Г. А. 185
Изон (Eason G.) 189
Каган В. Ф. 185
Канвал (Kanwal R. Р.) 193
Квикстад (Kvikstad J. А.) 189
Келен (Kehlen Н.) 193
Кели (Cayley А.) 13, 20, 24
Кемб (Kamb W. В.) 193
Кильчевский Н. А. 185
Кирхгоф (Kirchhoff G.) 86, 87, 91, 140
Киселевская Л. М. 185
Ковак (Kovac J.) 193
Коваленко А. Д. 185
Коген (Cohen Н.) 192
Кодацци (Codazzi D.) 23, 70
Колмогоров А. Н. 185
Коляно Ю. М. 187
Кондо (Kondo S.) 191
Конобеевский С. Т. 185
Косевич Ю. А. 190
Коссера Е. (Cosserat Е.) 5, 55, 56, 71,
189, 193
Коссера Ф. (Cosserat F.) 5, 55, 56, 71,
189, 193
Кострйкин А. И. 191
Коттрелл (Cottrell А. Н.) 184
Кочин Н. Е. 191
Кочурова Н. Н. 191
Кошман (Couchman P. R.) 192
Кривоглаз М. А. 184
Кристоффель (Christoffel Е. В.) 16, 20,
23. 43, 61
Кронекео (Kronecker L.) 12, 17
Кротов В. В. 191
Кроуфорд (Crawford F. Н.) 189
Кроше (Crochet М. J.) 192
Кувшинский Е. В. 184, 185
Кузнецов В. Д. 191
Кульман-Вилсдорф (Kuhlmann-Wils-
dorf D.) 192, 194
Кумазава (Kumazawa М.) 193
Кунин Л. Л. 191
Лагалли (Lagally М.) 185
Лагранж (Lagrange J. L.) 45, 50
Ламе (Lame G.) 134, 142, 148
Ландау Л. Д. 185
Лаплас (Laplace P. S.) 3, 6, 77, 90—92,
151 — 154, 164, 166, 167, 171, 190
Лебег (Lebesgue Н.) 4
Леви-Чивита (Levi-Civita Т.) 12, 17,
68
Лежандр (Legendre А.) 109, 114, 146
Лейбниц (Leibniz G. W.) 37
Лейн (Lane J. Е.) 190
Лейтмен (Leitman М. J.) 189
Ли (Lie М. S.) 52, 66
Линфорд (Linford R. G.) 192, 193
Липшиц (Lipschitz R.) 189
Лифшиц Е. М. 185
Лифшиц И. М. 184, 185
Лурье А. И. 185
Ляв (Love А. Е. Н.) 86, 87, 91, 140
Магидсон И. А. 184
Мазур (Mazur Р.) 185, 192
Мак-Дональд (MacDonald G. J. F.) 193
Мак-Коннел (McConnell A. J.) 185
Мак-Леллан (McLellan A. G.) 193
Максвелл (Maxwell J. С.) 178—183
Маллинс (Mullins W. W.) 190, 194
Манин Ю. И. 191
Марангони (Marangony С. G. М.) 151
Маркин В. С. 188
Марон И. А. 185
Мартынов Г. А. 185
Марченко В. И. 191
Маскалец В. Н. 191
Матсикуди-Илиопулу (Matsikoudi-
Iliopoulou М.) 193
Мейнхольд-Хеерлейн (Meinhold-Heer-
lein L.) 194
Мейс (Mays С. W.) 194
Мелан (Melan E.) 185
Мингинс (Mingins J.) 194
Миронова M. Л. 185
Миссол (Missol W.) 185
Мокель (Moeckel G. P.) 190
Молдован (Moldovan R.) 193
Молчанова Л. И. 184
Мотови ловец И.О. 185
Муравьев А. И. 185
Мэзон (Mason S. G.) 194
Мэр дох (Murdoch А. I.) 194
Навье (Navier L. М. Н.) 193
Найдич Ю. В. 186, 191
Наполитано (Napolitano L. G.) 194
Настева В. 194
Нахди (Naghdi Р. М.) 189, 190
Недялков М. 194
Нейман A. (Neumann A. W.) 189
Нейман Ф. (Neumann F. Е.) 94, 190
Никодим (Nikodym О.) 40
Нобл (Noble В.) 189
Новацкий (Nowacki W.) 186
Ньютон (Newton I.) 37, 83, 194
Овруцкая Н. А. 188
Онзагер (Onsager L.) 124
Оно (Ono S.) 191
Онуфрик Т. М. 187
Остроградский М. В. 7, 35—37, 78
Павлина В. С. 187
Пайерлс (Peierls R. Е.) 184
Пальмов В. А. 186
Паркус (Parkus Н.) 185, 186
195

Перник А. Д. 186
Перцов А. В. 192
Перцов В. Н. 184
Петика (Pethica В. А.) 194
Пинес Б. Я. 186
Пич (Pietsch Е.) 194
Платиканов Д. 192, 194
Плессет (Plesset М. S.) 189
Повстенко Ю. 3. 186—188
Подстригач Я. С. 186—188
Поп (Pop J. J.) 194
Попелявский (Popielawski J.) 192—194
Пригожий (Prigogine I.) 188, 189
Прудников А. П. 185
Пуассон (Poisson S. D.) 152, 170
Раврик M. С 188
Радоев Б. П. 193
Радон (Radon J.) 40
Райдил (Rideal Е. К.) 191
Райе (Rice J.) 190
Рашевский П. К. 191
Регирер С. А. 191
Риман (Riemann G. F. В.) 23
Роменский Е. И. 191
Ромотовский (Romotowski Т.) 192
Рубинштейн Л. И. 188
Русанов А. И. 188, 190, 191
Рязанцев П. П. 189
Санфельд (Sanfeld А.) 189
Светлов И. Л. 184
Сегнер (Segner J. А.) 3
Седов Л. И. 188
Семенченко В. К. 191
Ceppe (Serret J. А.) 27, 28, 30, 33, 37
Скейлак (Skalak R.) 191
Скоров Д. М. 191
Скривен (Scriven L. Е.) 190
Слеттери (Slattery J. С.) 194
Снеддон (Sneddon I. N.) 188, 189
Сокольников (Sokolnikoff I. S.) 188
Стефан (Stefan J.) 139, 185, 188
Стоке (Stokes G. G.) 36, 193
Столяров В. А. 187
Су (Suh S. L.) 192
Сумм Б. Д. 191
Схоутен (Schouten J. А.) 188
Сычев В. В. 191
Тактаров Н. Г. 191
Талмуд Д. Л. 191
Тарасевич М. Р. 188
Тейлор (Taylor В.) 111, 112, 117, 122,
125, 127, 130
Темнов О. В. 188
Темроков А. И. 188
Тимошенко С. П. - 188
Томас (Thomas Т. Y.) 192, 194
Торза (Torza S.) 194
Тошев Б. В. 185, 188, 192, 193
Тресс (Tress Н. J.) 190
Трусделл (Truesdell С.) 188, 190, 193
Тупин (Toupin R. А.) 190
Фастов Н. С. 188 /
Фейтер (Feijter J. A. de) 189
Фермаак (Vermaak J. S.) 194 '
Ферхуген (Verhoogen J.) 190 '
Фик (Fick A.) 126
Фишер Г. (Fisher G. M. C.) 189
Фишер Дж. (Fisher J.) 189
Флад (Flood E. A.) 193
Флигер (Vlieger J.) 192
Фомин С. В. 185
Фофанов С. Л. 185
Фохт (Voigt W.) 178, 179, 181—183
Френе (Frenet F. J.) 27, 28, 30, 31, 33,
37, 92
Френкель Я. И. 188
Фрий (Vrij А.) 189
Фурье (Fourier J.) 126, 162, 167
Халмош (Halmos P. R.) 188
Ханкель (Hankel H.) 152, 153, 164, 189
Харкинс (Harkins W. D.) 193
Хейес (Hayes W. D.) 193
Херринг (Herring C.) 6, 116, 122, 189,
190
Хижный В. К. 191
Хирт (Hirth J. P.) 193
Хоконов X. Б. 191
Чернуха Ю. A. 187
Черных К. Ф. 188
Чернышевич И. В. 185
Чизмаджев Ю. А. 188
Чирков Ю. Г. 188
Чыонг За Бинь 192
Шаттлуорс (Shuttleworth R.) 6, 117, 122,
188, 190
Шваб (Schwab G.-M.) 194
Швец Р. Н. 187, 188
Шевчук П. Р. 187
Шелудко А. 188, 192, 194
Шоркин В. С. 192
Штуке (Stuke В.) 190, 194
Щербаков Л. М. 189, 192
Щукин Е. Д. 192
Эйлер (Euler L.) 44, 48, 50
Эпштейн (Epstein М.) 189
Эрдейи (Erdelyi А.) 184
Эриксен (Ericksen J. L.) 193
Эриксон (Eriksson J. С.) 188
Эстрада (Estrada R.) 193
Эткин В. А. 192
Юн (Yun К. S.) 190
Юнг (Young Т.) 3, 6, 77, 90—92, 94, 190
Ярема С. Я. 186
196

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная температура
97
Базис 7
— лагранжев 41
на поверхности 44
— тензорного
произведения линейных
пространств 9
— эйлеров 41
на поверхности 44
Вторая фундаментальная
квадратичная форма
поверхности 20
Главные радиусы
кривизны поверхности 34
Градиент вектора 13
одномерный 28
поверхностный 21
— скаляра 13
одномерный 28
поверхностный 21
— тензора 13
одномерный 28
поверхностный 21
Давление 81
Девиатор 11
Дивергенция вектора 13
одномерная 28
поверхностная 21
— тензора 13
одномерная 29
поверхностная 21
Изомер тензора 11
Источник (возникновение,
производство) 78
— одномерный 79
— поверхностный 78
Координаты
криволинейные 7
на поверхности 16
— лагранжевы 39
на кривой 39
на поверхности 39
— эйлеровы 39
на кривой 39
на поверхности 39
Коэффициенты
связности 15
Краевой угол 94
Кривизна кривой 27
геодезическая 33
нормальная 33
— поверхности гауссова
23
средняя 23
Кривизны поверхности
главные 34
Кручение кривой 27
геодезическое 33
Набла-оператор 13
одномерный (на
кривой) 28
поверхностный 21
Натяжение линейное 83
— поверхностное 82
Нормаль к кривой 33
главная 27
— к поверхности 17
Оператор Лапласа 15
одномерный 31
поверхностный 25
Параметры движения
38
— процесса 123
— состояния 96
Потенциал большой 109
— кинетический 124
— равновесный 109
Поток 78
— одномерный 79
— поверхностный 78
Пооизводная внутренняя
30
— 7к 60
-- ковариантная 14
одномерная 29
поверхностная 22
смешанного
тензора 22
— Ли 52
— тензора по времени
лагранжева 50
на кривой
50
на
поверхности 50
эйлерова 50
на
кривой 50
на
поверхности 50
Пространство аффинной
связности (неевклидово)
15
— евклидово 8
— конфигурационное 39
— материальное 39
— риманово 16
Ротор вектора 13
одномерный 28
поверхностный 21
— тензора 13
одномерный 29
поверхностный 21
Свертка 10
Символы Кристоффеля 16
поверхностные 20
— Кронекера 8
— — обобщенные 12
Скорость перемещения 55
— поворота 55
197

Соотношение Гиббса 109
на линии 120
на поверхности 113
Тензор 8
— антисимметричный 11
— деформации 104
— изгиба-кручения 104
— концентрации 107
— кривизны 15
— кручения 15
— Леви-Чивита 11
— — — поверхностный
17
— метрический 8
на поверхности 16
— моментных
напряжений 81
на линии 82
на поверхности
81
— напряжений 81
на линии 82
— — на поверхности 81
— симметричный 11
— смешанный 9
— транспонированный 11
— химического
потенциала 107
— шаровой 11
Тензорная алгебра
линейного пространства 10
Тензорное произведение
линейных пространств 8
Теорема Гамильтона —
Кели 13
— Радона — Никодима 40
Термодинамические
потоки 123
— силы 123
Триэдр основной 33
— Френе 27
Уравнение Лапласа 91
— Юнга 94
Уравнения движения 83
— Ламе 134
— процесса 125
— совместности
деформаций 133
поверхности 140
— состояния 109
Ускорение 52
Формула Гаусса — Ост-
рогр адского 35
на кривой 37
на поверхности
36
— Стокса 36 /
— Херринга 116
— ШаттлуорсХ 117
Формулы Гаусса — Ко-
дацци 23
— деривационные
Гаусса — Вейнгартена 20
— Серре — Френе 27
Энергия внутренняя 97
линии 99
поверхности 99
— кинетическая 84
линии 90
поверхности 87
— линейная 121
— массообмена 107
линии 108
— — поверхности 108
— поверхностная 116
— полная 99
— свободная 109
линии 121
поверхности 114
Эффект Маран гон и 151

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1
Основные сведения из тензорного анализа и дифференциальной геометрии 7
1.1. Тензорные поля в трехмерном евклидовом пространстве 7
1.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве 16
1.3. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве 26
1.4. Кривые на поверхности 33
1.5. Интегральные формулы 35
Глава 2
Кинематика материальных континуумов 38
2.1. Материальный континуум. Лагранжево и эйлерово описание движения 38
2.2. Скорость движения точек материального континуума 41
2.3. Дифференцирование тензоров по времени. Ускорение материальной точки 50
Глава 3
Динамика материальных континуумов 77
3.1. Общие уравнения баланса 77
3.2. Напряжения в материальных континуумах 80
3.3. Уравнения движения 83
3.4. Уравнения Лапласа и Юнга 90
Глава 4
Термодинамика материальных континуумов • . . 96
4.1. Законы термодинамики. Соотношения Гиббса 96
4.2. Удельная работа деформации. Тензоры деформации 99
4.3. Удельная энергия массообмена. Тензоры концентрации вещества и
химического потенциала 106
4.4. Соотношения Гиббса для деформируемых твердых тел. Уравнения
состояния 109
4.5. Возникновение энтропии. Параметры и уравнения процесса 123
Глава 5
Разрешающие системы уравнений механики материальных континуумов.
Постановка краевых задач 132
5.1. Трехмерный материальный континуум 132
5.2. Двухмерный материальный континуум 139
5.3. Одномерный материальный континуум 147
199

Глава б
Влияние локального возмущения поверхностного натяжения на процесс диф-
ф/зии и напряженное состояние полупространства 151
6.1. Постановка и решение задачи /..... 151
6.2. Определение напряжений и концентрации примеси . . . / 154
6.3. Исследование установившегося режима / 157
6.4. Поле концентрации и напряженное состояние в полупространстве,
возникающее вследствие диффузии вещества через локальную область покрытия 163
6.5. Исследование диффузии примеси в полупространстве с линейным
включением 165
Глава 7
Расчет процесса заплывания поры в твердом теле 168
7.1. Постановка задачи о диффузионном растворении изолированной
сферической поры в твердом теле 168
7.2. Определение закона изменения радиуса поры во времени 171
7.3. Релаксация остаточных напряжений в сплошном теле после заплывания
поры 175
7.4. Диффузионные процессы в вязкоупругом деформируемом теле .... 177
7.5. Диффузионное заплывание сферической поры в вязкоупругом твердом теле 180
Список литературы 183
Список дополнительной литературы 189
Именной указатель 194
Предметный указатель 197
Ярослав Степанович Подстригай
Юрий Зиновьевич Повстенко
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
В ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Утверждено к печати ученым советом Института прикладных
проблем механики и математики АН УССР
Редактор Т. Г. Мицерук
Художественный редактор И. П Антонюк
Технический редактор И. А. Р а т н е р
Корректоры Е. А. Дубарь, Л. М. Тищенко
Информ. бланк № 6828
Сдано в набор 18.05.84. Подп. в печ. 17.12.84. БФ 26493. Формат 60х90/1в. Бум. тип. № I. Лит.
гарн. Вые печ. Усл. печ. л. 12,5. Усл. кр.-отт. 12,5. Уч.-изд. л. 14,27. Тираж 130 0 экз. Заказ
4—1372. Цена 2 р. 60 к.
Издательство «Наукова думка». 252601 Киев 4, ул. Репина, 3.
Отпечатано с матриц Головного предприятия республиканского производственного
объединения «Полиграфкнига» 252057, Киев, ул. Довженко, 3 в Нестеровской городской типографии,
292310, г. Нестеров, Львовской обл., ул. Горького, 8. Зак. 566