Автор: Седов Л.И.
Теги: общая механика механика твердых и жидких тел механика математика термодинамика электродинамика
ISBN: 5-02-007052-1
Год: 1994
Текст
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Л.И. СЕДОВ
МЕХАНИКА
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
ТОМ
I
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
{JJ
МОСКВА "НАУКА"
1994
ББК 22.25
С 28
УДК 531
Седов ЛЛ.
С 28 Механика сплошной среды. 5-е изд., испр. - М.- Наука 1994
Т. 1. 528 с. '
ISBN 5-02-007052-1
В двухтомной монографии академика Л.И. Седова механика, термодинамика,
электродинамика и соответствующие математические методы излагаются как
единое целое применительно к твердым, жидким и газообразным телам и теории
электромагнитного поля. Математические методы и, в частности, тензорное
исчисление даются в усовершенствованной и простой трактовке.
Первый том книги посвящен изложению общих понятий механики сплошной
среды, простейших моделей сплошных сред и теории основных
термодинамических и электродинамических характеристик и уравнений.
6 дополнениях содержатся оригинальные теории симметрии и построения
физических моделей.
^ 1603010000-051 лл лл „ гж^ __ ^
- 99-94 II полугодие ББК 22.25
042@2)-94
Научное издание
Седов Леонид Иванович
МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Том1
Редактор ИМ. Столярова
Художественный редактор В.Ю. Яковлев
Технический редактор В.Н. Кондакова
Корректоры О А. Бутусова, МЛ. Медведская
ИБ № 1248
Л.Р. № 020297 от 27 ноября 1991 г.
Подписано к печати 28.02.94
Формат 60 х 90 1/16. Гарнитура Литературная. Печать офсетная
Усл.печ.л. 33,0. Усл.кр.-отт. 33,1- Уч.-изд.л. 33Д
Тираж 1000 экз. Тип 3HK.304S
Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука"
117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., 90
Санкт-Петербургская типография № 1 ВО "Наука"
199034, Санкт-Петербург, В-34, 9-я линия, 12
ISBN 5-02-007052-1 ©Издательство "Наука", Главная
редакция физико-математической литературы,
1973,1976,1983, с изменениями
©Л.И. Седов, 1994, с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию 5
Предисловие к четвертому изданию 8
Предисловие к пятому изданию 11
Глава I
Введение
§ 1. Предмет и методы механики сплошной среды.- 13
§ 2. Основные гипотезы 19
Глава П
Кинематика деформируемой среды
§ 1. Изучение движения сплошной среды с точки зрения Лагранжа 25
§2. Изучение движения сплошной среды с точки зрения Эйлера 34
§ 3. Скалярные и векторные поля и их характеристики 36
§ 4. Элементы тензорного исчисления 48
§ 5. Теория деформаций 64
§ 6. Тензор скоростей деформаций 98
§ 7. Распределение скоростей в бесконечно малой частице сплошной среды 100
§ 8. Теоремы Стокса и Гаусса-Остроградского и некоторые связанные с ними
свойства векторных полей 109
Гл а в а Ш
Динамические понятия и динамические уравнения
механики сплошной среды
§ 1. Уравнение неразрывности 124
§ 2. Уравнения движения сплошной среды 132
§ 3. Уравнения моментов количества движения : 145
§ 4. Главные оси и главные компоненты симметричного тензора напряжений 153
Гл а в а IV
Замкнутые системы механических уравнений для простейших моделей
сплошных сред. Некоторые сведения из тензорного анализа
§ 1. Идеальная жидкость и газ... 157
§ 2. Линейное упругое тело и линейная вязкая жидкость 162
§ 3. Примеры уравнений в криволинейных системах координат и
дополнительные сведения из тензорного анализа 173
Гл а в а V
Основные понятия и уравнения термодинамики
§ 1. Теорема живых сил и работа внутренних поверхностных сил 185
§ 2. Первое начало термодинамики (закон сохранения энергии) и уравнение
притока тепла 190
4
Оглавление
§ 3. Термодинамическая равновесность, обратимые и необратимые процессы
§ 4. Двухпараметрические среды. Совершенный газ. Цикл Карно
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии
§ 6. Термодинамические потенциалы двухпараметрических сред
§ 7. Примеры идеальных и вязких сред и их термодинамические свойства.
Теплопроводность
§ 8. Первый и второй законы термодинамики для конечных объемов сплошной
среды. Производство энтропии в некоторых необратимых процессах
§ 9. Введение в теорию моделей смеси жидкостей или газов с учетом
химических реакций и диффузии компонент
§ 10. Моделирование смесей при обратимых процессах
§11. Модели смесей с учетом необратимых процессов
Глава VI
Основные понятия н уравнения электродинамики
§ 1. Основные понятия электродинамики. Электромагнитное поле. Уравнения
Максвелла в пустоте
§ 2. Уравнения Максвелла в пространстве Минковского
§ 3. Преобразования Лоренца и инерциальные системы отсчета
§ 4. Взаимодействие электромагнитного поля с проводниками
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами с учетом поляризации и
намагниченности
§ 6. Гидродинамика проводящей жидкости
§ 7. Законы вмороженности магнитных и вихревых линий
Глава VII
О постановке задач в механике сплошной среды
§ 1. Общие основы постановки конкретных задач
§ 2. Типичные упрощения в постановках некоторых задач, связанные с
уменьшением числа независимых переменных
§ 3. Линеаризация уравнений и задач механики сплошной среды
§ 4. Условия на поверхностях сильных разрывов
§ 5. Сильные разрывы в электромагнитном поле
§ 6. Поверхности разрыва внутри идеальных сжимаемых сред
§ 7. Размерности физических величин и П-теорема
§ 8. Параметры, определяющие класс явлений, и типичные примеры
приложения методов теории размерности
§ 9. Подобие и моделирование явлений
В.В. Лохин, Л.И. Седов. Добавление! Нелинейные тензорные функции от
нескольких тензорных аргументов
Л.И. Седов. Добавление П. Модели сплошных сред с внутренними
степенями свободы
Предметный указатель
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Познание природы и решение многих актуальных технических
задач требуют построения новых моделей для глубокого и более
детального описания микроскопических и макроскопических
механических и вообще физических объектов, взаимодействий и явлений.
Опыт и внутренняя сущность науки указывают, что ответы на
вопросы о строении материи, на вопросы астрофизики, на
различные вопросы о существенных свойствах усложненных
взаимодействий в телах живого, органического и неорганического мира во
многом связаны с некоторыми нашими общими универсальными
понятиями, представлениями, законами, идеями и методами.
К настоящему времени уже накоплена огромная научная
информация, развиты теории и собраны экспериментальные данные о
поведении физических полей, о движении и равновесии газов, плазмы,
жидкостей и твердых деформируемых тел.
Явное установление общих основ и внутренних связей между
различными теориями и наблюдаемыми эффектами способствует
углубленному пониманию действительного состояния науки,
правильной оценке известных и развивающихся научных достижений и
наилучшей ориентировке в богатстве добытой информации. Все это
очень необходимо как исходный базис для дальнейшего научного
развития.
При изложении основ механики и физики полезно
руководствоваться следующим положением, которое необходимо подчеркнуть
явно. Вводимые и применяемые понятия и связи имеют
определенный точный смысл только в рамках некоторого множества моделей,
которые конструируются для научного описания и исследования
интересующих нас классов реальных явлений. Это относится и к
таким фундаментальным понятиям, как пространство, время, сила,
температура, энтропия и т. п. Как известно, представление о
ньютоновской силе не имеет смысла в некоторых взаимодействиях,
описываемых квантовой механикой, и совершенно недостаточно для
описания механических взаимодействий в современных
усложненных моделях сплошных сред. «Универсальные» понятия об
энтропии и температуре не имеют смысла и не нужны в моделях
аналитической механики.
6
Предисловие
Таким образом, нельзя говорить об основных понятиях и
закономерностях вне совокупности очень широких или узких классов
моделей, которые уже введены явно или могут быть еще введены,
или подразумеваются неявно — потенциально в теориях и в
опытных наблюдениях. Неучет этого положения, чрезмерная общность
и оторванность от существа дела могут порождать беспредметные
рассуждения о смысле силы, энтропии и т. п. В определенных
правильно введенных моделях достигается необходимая ясность, и
возникающие недоразумения легко устранимы. Но естественно, что все
модели отражают действительность только приближенно и только
в некоторой области; уточнение, усложнение, новое моделирование
или в известном смысле упрощение существующих моделей — это
постоянный процесс, связанный с научным прогрессом.
Очевидно, что изучение учащимися механики особенно полезно
не столько с точки зрения уже известных приложений, сколько с
точки зрения перспективных проблем, которые станут предметом
исследований и приложений в будущем.
В связи с этим в пЬследние годы ясно выявилась необходимость
введения в преподавание в высших учебных заведениях курса
механики сплошной среды как общей основы для развития
термодинамики, теории электромагнетизма, гидродинамики, газовой
динамики, теории упругости, теории пластичности, теории ползучести
и многих других разделов физики и механики. Общность и
неразрывная связь перечисленных выше различных на первый взгляд
разделов механики и физики заставляют нас рассматривать их как
единое целое.
В свете сформулированных выше установок составлен
предлагаемый курс механики сплошной среды. Этот курс возник в
результате лекций, которые автор в течение многих лет читал в
Московском государственном университете и которые были первоначально
изданы на ротапринте в 1966—1968 годах.
Курс состоит из двух томов, в первом томе излагаются
универсальные математические методы и понятия, основы термодинамики
и электродинамики. Автор надеется, что краткое изложение основ
термодинамики и электродинамики окажется полезным не только
специалистам, работающим в области механики. Кроме того, в
первом томе устанавливаются основные физические уравнения и
дополнительные соотношения на сильных разрывах, а также начальные,
краевые и другие условия. Вместе с этим указываются важные
свойства приближенных приемов, связанных, например, с
линеаризацией задач. Таким образом, в первом томе подготавливаются
предпосылки для построения конкретных моделей сплошных сред и
выявляются типичные элементы схематических приемов при
постановках конкретных задач.
Второй том посвящен конкретным моделям и теориям в
гидродинамике, газовой динамике, теории упругости и теории
пластичности. Здесь дается- решение типичных задач в рамках классических
Предисловие
7
моделей и устанавливаются важнейшие закономерности, имеющие
место в широких классах движений и процессов.
В основном дедуктивный стиль изложения, выбор материала и
его расположение связаны со стремлением дать логический скелет
теории движения сплошных сред и подчинены главной цели:
создать для читателя при минимуме фактической информации,
ограничиваясь наиболее простыми примерами, имеющими важнейшее
практическое значение, благоприятную почву для детального
понимания сущности основ механики сплошной среды и главных
известных эффектов, возникающих при движении сплошных сред.
Иначе говоря, мы стремились при необходимом минимуме
информации получить максимум понимания.
Некоторые очень важные разделы гидромеханики и механики
твердых тел не включены в этот курс, так как, кроме общего курса
механики сплошной среды, имеются дополнительные специальные
курсы и другие книги, где более подробно развиваются
соответствующие теории. Это относится, например, к теории
плоскопараллельных движений жидкости и газа, к теории неустановившихся
движений газа, к теории волн на поверхности тяжелой жидкости,
к более детальной теории размерности и подобия в механике, к
теории пограничного слоя и турбулентности, к подробной теории
пластичности и ползучести и к многому другому.
Основой для этого курса послужили записки моих лекций,
сделанные В. В. Розанцевой и М. Э. Эглит; они оказали мне очень
большую помощь и способствовали важным усовершенствованиям
текста в результате весьма плодотворных обсуждений,
проходивших при составлении и редактировании всего курса. Я выражаю
свою глубокую благодарность В. В. Розанцевой и М. Э. Эглит за
проделанную ими огромную работу, обеспечившую появление
предлагаемого курса. Я очень благодарен В. П. Карликову,
оказавшему мне большую помощь при составлении текста, посвященного
гидродинамике, и Д. Д. Ивлеву, много помогавшему мне при
составлении текста главы, посвященной плоской задаче теории
упругости.
При подготовке и редактировании раздела, посвященного
общей теории газовых и гидравлических машин, мне оказали большую
помощь Г. М. Бам-Зеликович, Г. Ю. Степанов и А. Я. Черкез,
которым я выражаю свою искреннюю благодарность.
Я также очень благодарен вложившей много труда Е. И.
Свешниковой и многим другим моим сотрудникам и ученикам, которые
помогали мне при составлении первого варианта ротапринтного
издания курса.
Дополнительная литература по механике сплошной среды
перечислена в конце II тома.
Моск?а, _ Л. И. Седов
декабрь 1968 г.
8
Предисловие
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
За прошедшее со времени первых изданий этого курса
десятилетие произошел заметный прогресс в ряде основополагающих теорий
механики сплошной среды. В связи с этим в предлагаемое новое
четвертое издание курса внесены добавления, усовершенствовано
изложение ряда мест текста и сделаны методические замечания,
которые должны способствовать пониманию и усвоению существа дела
на современном уровне с большей ясностью.
В частности, опыт преподавания механики сплошной среды
с использованием этого курса показывает, что предложенные
определения понятий векторов и тензоров с обязательным явным
введением базисных векторов, что является строго адекватным
существу дела, не вызывают каких-либо затруднений, а наоборот,
сильно помогают читателю и учащимся правильно и в максимально
краткие сроки освоить во всей полноте сущность многих геометрических,
физических и механических теорий.
Необходимость введения сопутствующих и вообще
произвольных систем отсчета наблюдателя и связанное с этим понятие
ковариантности законов природы подчеркнуты в книге с
требуемыми подробностями. Стоит еще раз отметить, что
фундаментальные уравнения механики и физики обладают свойством
ковариантности по отношению к произвольным как угодно движущимся и
деформируемым системам отсчета и соответственно системам
координат не только в общей теории относительности, как об этом
думают некоторые, но и в ньютоновской механике. Необходимо только
принять во внимание наличие соответствующих постулатов о
пространстве и времени и наличие в некоторых случаях (как в
ньютоновской механике) выделенных систем отсчета, например,
глобальных или локальных инерциальных систем, используемых не только
для составления уравнений и постановки задач, но и для введения
физических характеристик, подобных «абсолютным ускорениям».
Аналогичные характеристики вводятся и в теории относительности
с помощью выделенных собственных локальных инерциальных
систем отсчета или в отдельных примерах, так же как и в
ньютоновской механике, с помощью выделенных глобальных систем отсчета.
Например, все уравнения в ньютоновской механике будут иметь
ковариантный вид, если выражение для абсолютного ускорения
и все производные по времени, имеющие по определению важный
физический смысл, выразить через соответствующие величины в
произвольной подвижной системе отсчета. Для вектора ускорения
по отношению к инерциальным системам отсчета требуется
воспользоваться формулой
Дабе = «от + Я пер + «доб- A)
Здесь абт — вектор ускорения рассматриваемой
индивидуализированной точки М относительно произвольной переносной системы от-
Предисловие
9
счета, апе;) — вектор ускорения относительно инерциальной системы
точки М переносной системы, совпадающей в данный момент с
точкой Му а адоб — вектор добавочного обобщенного кориолисова
ускорения, происходящего за счет наличия скорости точки М в
относительном движении, тензоров вихря и скоростей деформации
переносного движения. Здесь в общем случае основную роль играет
переносная система координат г . В отдельных примерах векторы,
входящие в общую формулу A), могут иметь частный вид в
специально выбранных координатах, например для плоских или
прямолинейных движений и т. п.
При использовании формулы A) и аналогичных формул для
характеристических скаляров, векторов и тензоров все уравнения
как в теории относительности, так и в ньютоновской механике
принимают ковариантный вид. Это значит, что все физические
соотношения для каждого данного явления могут быть записаны в
универсальном виде с помощью одинаковых тензорных формул в
произвольно выбранных системах координат. Эти формулы будут
содержать компоненты метрического тензора, которые являются
функциями координат, различными в разных употребляемых
системах координат.
Однако ковариантйость как в теории относительности, так и в
ньютоновской механике, и вообще любых теориях, не означает,
что физические явления воспринимаются вообще одинаково для
разных наблюдателей. Ковариантные уравнения, написанные в
компонентах конкретно в любых системах отсчета в раскрытом виде,
сильно зависят не только от рассматриваемого явления, но и от
фиксированного наблюдателя, а также и от употребляемой
конкретной системы координат! Это проявляется не только в теории, но и
в данных экспериментов, добываемых наблюдателями.
Вместе с понятием о ковариантности можно ввести понятие о
форминвариантности, когда все уравнения в компонентах в
раскрытом виде точно одинаковы для разных подвижных друг
относительно друга наблюдателей, связанных с различными системами
координат. Иначе говоря, речь идет о преобразованиях координат,
сохраняющих все численные функции для сформулированных
физических соотношений. Форминвариантность в общих случаях
выполняется только для специальных преобразований.
Как известно, форминвариантность в ньютоновской механике
имеет место для глобальных преобразований Галилея — Ньютона;
в СТО—для глобальных преобразований Лоренца8, а в ОТО в
каждой точке четырехмерного псевдориманова пространства —
только локально при любых конечных преобразованиях Лоренца.
1 См. Седов ЛЛ. О сложении движений относительно деформируемых систем
отсчета // ПММ. 1978. Т. 42, вып. 1.
2 Формулы преобразования Галилея —Ньютона и Лоренца различны,
очень просты в декартовых координатах, их легко переписать в любых
системах координат. ОТО, СТО—общая, специальная теории относительности.
10
Предислови е
Практика показывает, что сделанные выше замечания полезны
при конструировании различных моделей сред и полей.
Существующее положение в учебной литературе по
макроскопической термодинамике в тех вопросах построения новых моделей,
в которых рассматриваются необратимые и неравновесные
процессы, связано с необходимостью пересмотра установившихся
традиций и представлений. Соответствующие уточнения были внесены
в первое и другие предыдущие издания этого курса. В
предлагаемое издание в некоторые формулировки были добавлены новые
уточнения.
В обсуждении такого рода вопросов принимали участие
А. Г. Куликовский и М. Э. Эглит, которые с большим успехом
прочитали студентам Московского университета курс механики сплошной
среды (с важным творческим вкладом в термодинамику и другие
разделы). Их советы отражены в отдельных усовершенствованиях
текста предлагаемого издания.
Значительные добавления сделаны в электродинамике при
обосновании уравнения для пондеромоторных моментов, моделей
магнитной гидродинамики и электрогидродинамики—разделов
механики и физики, получивших в последние годы широкое развитие
с многочисленными приложениями.
Во втором томе расширена общая термодинамическая теория
построения моделей нелинейно-упругих тел с учетом конечных
деформаций с различными вариантами тензоров напряжений.
Добавления сделаны также в параграфе 19 главы VIII
второго тома, посвященного теории неустановившихся движений
газовых и паровых пузырьков в жидкости с учетом конденсации
и испарения жидкости. При этом существенную помощь мне
оказал Н. С. Хабеев, которому я выражаю большую благодарность.
В § 5 главы II добавлено изложение конструкции построения
координат Ферми.
В первом томе на стр. 505-510 изложено новое разъяснение
базового вариационного уравнения как обобщения уравнения
энергии в вариациях, а на стр. 491 дано обобщение понятия тензорных
функций.
Как и в предыдущих изданиях, большую работу по
дополнительному редактированию и просмотру всего текста провели В. В,
Розанцева и М. Э. Эглит, которым, так же как и А. Г.
Куликовскому, я выражаю свою глубокую благодарность.
Москва,
сентябрь 1982 г.
Л. И. Седов
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Переживаемое двадцатое столетие знаменуется бурным ростом
научных знаний и углублением взаимодействий между различными
научными разделами, послужившими внедрению фантастических
достижений, влияющих на общий уклад жизни людей.
Существо научных достижений тесно связано с изобретением ряда
модельных понятий, употребляемых как характеристики свойств и их
трансформаций для модельных объектов, вводимых для мысленных
описаний соответствующих проблем, составляющих содержание
наблюдений, извлекаемых из экспериментальных опытов и позволяющих
описывать явления взаимодействия, прогнозировать возможные события
и создавать разного рода приборы или системы сложных устройств для
реализации многообразных целей.
Развитая в опытах интуиция позволяет даже в сложных ситуациях
достигать нужных целей и без формального обоснования получать
правильные решения, однако для существенных и надежных методов
реализации нужных выводов разрабатываются математические
конструкции, исходящие из определений и методов исследований для
уяснения существа субъектов и событий, при этом, как правило,
необходимо прибегать к математической ясности постановки задач и
строгости при получении их решений, что позволяет выявлять главные
характеристики их значений и на основах разумно изобретаемых
идеальных моделей формулировать постулируемые "законы".
Появляется возможность с помощью математических методов ставить задачи
и находить их решения. Нужно в ясной форме осознать и подчеркнуть,
что во многих проблемах человеческие свершения стали невозможными
без математических моделей постановки и решения возникающих задач.
Всевозможные научные изыскания базируются на более или менее
универсальных характерных модельных понятиях, таких как
индивидуальные точки, массы, энергия, заряды, магниты, температура, разные
математические континуумы точек и тому подобные объекты, которые
успешно применяются в соответствующих модельных формулировках
описания опытов и оправдываемых модельных "законах", которые
используются для построения модельных объектов.
Математическая отчетливость и строгость доказательств в рамках
поставленных задач и принятых допущений аксиом или ясно
сформулированных определений и постулатов, которые частично или
полностью можно в критической форме видоизменять,- это основа научных
совершенствований и надежности получаемых результатов.
12
Предисловие
Вместе с этим ясно, что научное творчество связано с глубоким
пониманием методов, сути и явной ограниченности уже достигнутого.
Основная цель предлагаемого курса механики сплошных сред состоит в
детальном разъяснении механических методов и достигнутых
результатов, которые обеспечивают в сформулированных рамках достижение
поставленных целей и которые нужны в ясной форме для дальнейших
исследований в науке и ее приложениях в жизни людей. В книге особое
внимание уделяется новым современным проблемам механики, связанным
с термодинамикой, электродинамикой, химией.
В приложениях развиты оригинальные теории кристаллических
симметрии и методы построения моделей сплошных сред с обратимыми и
необратимыми процессами не только для объемных уравнений, но и для
уравнений состояния.
Постановки конкретных теорий и отдельных задач связаны с
выделениями системы определяющих параметров и функций и, в
частности, математических определений геометрических свойств
континуальных множеств "точек" как носителей сплошных сред -
материальных объектов или специального рода полей. Вопросы возможной
геометризации совокупности определяющих параметров приводят к
развитию теорий инвариантных связей при разных эквивалентных
системах определяющих параметров или координат в рамках многомерных
пространств с введением разнообразных канонических систем
координат - источников определения инвариантных величин (собственные
времена, объемы, поверхности и т.п.). Таким образом возникла
геометрия четырехмерных геометрических пространств и лагранжевых
координат с по существу связанными понятиями об индивидуальных
точках с рецептурой измерения углов, длин и с времяподобной
координатной траекторией для индивидуальных точек и понятия
собственного времени с помощью особенно точных измерений "часами" -
приборами, предоставляемыми природой или специально
сконструированными в технике, в быту или с помощью астрономических наблюдений.
Вопросы о понимании физической сущности пространства и времени
в ясной форме связаны с построением описанного моделирования,
которое, в свою очередь, естественно связано, как и для всякой модели,
с принятой или достигаемой точностью измерений в употребляемых в
принимаемых наукой наблюдениях и опытах.
В математике можно действовать с идеальными точно вводимыми
моделями, когда все "измерения" и соответствующие модели можно
трактовать как предельные и поэтому как абсолютно точные изобретения
математического ума.
Изложенные выше соображения характерны для стиля и содержания
тематики книги, связаны непосредственно с исследованиями по механике.
В пятом издании исправлены замеченные опечатки, единицы измерения
даны, как и в предыдущем издании.
Москва, февраль 1994 г.
Л.И. Седов
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Предмет и методы механики сплошной среды
Предмет механики сплош- Механика сплошной среды—обширная
ной среды часть механики, посвященная движению
газообразных, жидких и твердых деформируемых тел.
В теоретической механике изучаются движения материальной,
точки, дискретных систем материальных точек и абсолютно
твердого тела. В механике сплошной среды с помощью и на основе
методов и данных, развитых в теоретической механике, рассматрива-,
ваются движения таких материальных тел, которые заполняют
пространство непрерывно, сплошным образом, и расстояния между
точками которых во время движения меняются.
Помимо обычных материальных тел, подобных воде, воздуху
или железу, в механике сплошной среды рассматриваются такж^
особые среды — поля: электромагнитное поле, поле излучений,
гравитационное поле (поле тяготения) и др.
Можно указать много разнообразных движений жидкостей,
газов и твердых деформируемых тел, с которыми мы встречаемся при
рассмотрении явлений природы и при решении многочисленных
технических задач.
Многими движениями деформируемых тел мы можем управлять
в необходимой степени, опираясь на повседневный элементарный
личный опыт. Обыденные жизненные наблюдения создают у нас
чувство реальности и «здравого смысла», которое часто позволяет
верно предсказывать и создавать нужные нам механические
эффекты.
Однако в сложных случаях требуется особое накопление и
концентрация схематизированного опыта, требуются специальные
методы теоретических и экспериментальных исследований.
Проведение подобных исследований привело к созданию и развитию
механики сплошной среды как науки.
Легко привести примеры, когда каждый из нас может сразу
указать способ решения важнейших практических вопросов о
движении деформируемых тел, например, как перелить воду из одного
сосуда в другой, как сохранить теплый воздух внутри помещения,
как защитить с;ебя от ветра и дождя и т. п. Вместе с тем существует
множество других вопросов, на которые можно дать ответы
только на основании специальных знаний. Например, какова скорость
14
Гл. I. Введение
вытекания газа из отверстия в баллоне, в котором газ находится
в сжатом состоянии; как будет двигаться в атмосфере воздушный
циклон; как можно снизить воздушное сопротивление самолета или
водяное сопротивление корабля; как построить телевизионную
металлическую башню высотой в 500 м, мост с пролетом между двумя
ближайшими опорами более, чем километр; что произойдет с
увеличением или уменьшением диаметра воздушного винта на
самолете; что можно сказать о распределении давлений и о движении
воздуха при взрыве бомбы и т. д.
Отметим сразу, что существует весьма много вопросов и задач,
на которое мы еще не можем дать требуемого удовлетворительного
ответа с помощью известных нам экспериментальных и
теоретических методов. Решение новых сложных проблем, имеющих
научное и практическое значение, и задач, исследование которых
подготовлено предшествующим развитием науки, составляет в
настоящее время предмет научно-исследовательской работы.
Примерами новых актуальных проблем являются: снижение
сопротивления тел при движении в воде с большими, порядка
100 м/сек, скоростями; создание и удержание плазмы с
температурой в миллионы градусов; выяснение особенностей поведения
материалов при больших нагрузках и больших температурах (с учетом
явлений пластичности, ползучести и т. д.); определение сил,
действующих на сооружения при взрывах; создание гиперзвукового
самолета для дальних пассажирских полетов; объяснение общей
циркуляции воздуха в атмосфере; прогноз погоды; изучение
механических процессов в растениях и живых организмах; проблемы
эволюции звезд, явлений, происходящих на Солнце, и другие
космические и космологические проблемы.
Прогресс науки и техники в указанных направлениях тесно
связан и определяется исследовательской работой, тем не менее
в настоящее время, наряду с точными научными данными, в
технике большую роль играет также развитый «здравый смысл»,
талант, интуиция и механическое «чутье» конструктора и инженера,
которые можно развить в результате большого опыта. Не следует
думать, что все строящиеся машины, самолеты, корабли и т. п.
могут быть рассчитаны и заранее проанализированы во всех деталях.
В настоящее время многое из творений техники делается так же,
как викинги более тысячи лет тому назад строили корабли. Тогда
не существовало механики как науки даже в зачаточном
состоянии, между тем викинги строили корабли, обладавшие хорошими
мореходными качествами.
Вместе с тем современная техника усложнилась настолько, что
теперь в технике уже нельзя обходиться без науки, без
использования накопленного и систематизированного опыта. Так же как
современное производство немыслимо без соответствующей
механизации, так и развитие техники сейчас немыслимо без опоры на
созданную научную базу.
§ 1. Предмет и методы механики сплошной среды
15
Проблемы механики слош- Назовем некоторые наиболее
существенной среды но разработанные проблемы механики
сплошной среды.
Проблема воздействия жидкости и газа на движущиеся в них
тела. Силы, действующие со стороны жидкости на тело,
определяются движением жидкости, поэтому изучение движения тел в
жидкости непосредственно связано с изучением движения жидкости.
Особым стимулом развития этой проблемы послужили
технические задачи о движении самолетов, вертолетов, дирижаблей,
снарядов, ракет, кораблей, подводных лодок; задачи о создании
различных двигательных приспособлений — таких, как водяные и
воздушные винты, и т. д. и т. п.
Движение жидкости и газа по трубам и вообще внутри
различных машин. В этих вопросах основное значение имеют законы
взаимодействия жидкости с границами потока и, в частности,
величина сопротивления подвижных и неподвижных твердых стенок;
явления неравномерности в распределении скоростей и т. п. Эти
задачи имеют непосредственное значение для проектирования
газопроводов, нефтепроводов, насосов, турбин и других
гидравлических машин.
Фильтрация — движение жидкости сквозь почву и другие
пористые среды. Например, в почве постоянно наблюдается движение
воды, которое необходимо учитывать при постройке фундаментов
различных сооружений (плотин, опор мостов, гидростанций), при
создании подземных туннелей и т. д. Большое значение
фильтрация имеет в нефтяном деле.
Гидростатика — равновесие жидкостей и тел, плавающих
внутри и на поверхности жидкости; фигуры равновесия вращающихся
масс жидкости под действием сил ньютонианского тяготения.
Волновые движения. Распространение волн в твердцх телах;
волны на поверхности моря; волны, вызываемые движением
корабля; распространение волн в каналах и реках; приливы;
сейсмические процессы; звуковые колебания; общая проблема шума
в различных средах и т. д. Окружающая нас среда (жидкости, газы,
твердые тела и различные поля) постоянно находится в состоянии
вибраций и различных распространяющихся во времени и по
объемам возмущенных движений. Ясно, что эти явления играют очень
важную роль в нашей жизни и существенны при решении многочисленных
технических вопросов.
Неустановившиеся движения газов с химическими
превращениями при взрывах, детонации и горении, например в потоке воз-
Духа в цилиндрах поршневых машин или камерах реактивных
двигателей и т. д.
Защита твердых тел от сгорания и сильного оплавления при
входе с большими скоростями в плотные слои атмосферы.
Теория турбулентных движений газов и жидкостей,
представляющих собой в действительности очень сложные нерегулярные,
16
Гл. I. Введение
случайного характера движения, пульсирующие около некоторых
средних регулярных процессов, которые в рассматриваемых и
ставящихся задачах существенны с практической точки зрения.
Подавляющее число движений газов и жидкостей в звездах и
космических облаках, в атмосфере Земли, в реках, каналах, в
трубопроводах и других разнообразных технических сооружениях и
машинах имеет турбулентный характер. Отсюда ясна огромная важность
теории и экспериментов, посвященных изучению турбулентности.
Исследования по турбулентности до настоящего времени еще никак
нельзя считать достаточными для понимания многих особенностей
и закономерностей природы таких сложных движений.
Проблемы описания движений очень сильно сжатых жидкостей
и газов с учетом усложненных физических свойств сред в таких
состояниях, особенно при наличии высоких температур.
Существуют интересные и важные отрасли техники, в которых необходимо
иметь дело с телами, подверженными большим давлениям (порядка
многих тысяч и миллионов атмосфер), например при искусственном
изготовлении алмазов, при применении взрывов для штамповки
деталей некоторых конструкций и во множестве других случаев.
С другой стороны, очень важны явления, происходящие в
сильно разреженных газах. При изучении различных процессов,
связанных с движением сред при большом вакууме в лабораторных
опытах, в космическом пространстве, в атмосферах планет и звезд,
также требуется применять методы механики сплошной среды.
Проблемы магнитной гидродинамики и исследования движений
ионизованных сред — плазмы, с учетом их взаимодействий с
электромагнитным полем в настоящее время приобретают
первостепенное познавательное и техническое значение. В частности, такие
явления нужно изучать при создании магнитогидродинамических
генераторов электрического тока, в которых происходит
непосредственное превращение энергии движения плазмы в энергию
электрического тока. Отметим также, что решение проблемы
использования термоядерной энергии теснейшим образом связано с
разрешением задач о поведении высокотемпературной плазмы в сильных
магнитных полях.
Наука о прогнозе погоды — метеорология — в значительной
степени представляет собой изучение движения воздушных масс в
атмосфере Земли и является важным разделом механики сплошной
среды, тесно связанным с множеством других разделов физики.
Основные проблемы астрофизики и космогонии изучаются в
рамках механики сплошной среды. Сюда относятся вопросы о
внутреннем строении звезд и строении их фотосфер, о движении
туманностей и космических облаков, вспышках и взрывах переменных
звезд, о колебаниях цефеид и, наконец, основная задача о развитии
галактик и о строении и эволюции Вселенной.
Значительная часть механики сплошной среды посвящена
исследованию движений и равновесий «твердых» деформируемых тел.
§ I. Предмет и методы механики сплошной среды 17
Теория упругости является основой для создания всякого рода
сооружений и всевозможнных машин. В настоящее время
приобретают все большее значение разделы механики, посвященные
изучению усложненных упругих свойств тел и учету неупругих
эффектов в твердых телах таких, как пластичность, связанная с
появлением остаточных деформаций, ползучесть, связанная с
постепенным нарастанием деформаций при неизменных внешних
нагрузках и с жаропрочностью частей машин (явления ползучести
проявляются при долговременной работе различных конструкций, а в
случае работы конструкций при повышенных температурах — и в
короткие промежутки времени).
Большое значение имеют изучение различных видов усталости
материалов, учет явлений наследственности в процессах движения
и равновесия тел.
С появлением и использованием новых полимерных
материалов становится совершенно необходимым учет их внутренней
физической структуры, которая может изменяться в процессе
протекания интересных для практики явлений.
Наконец, большое значение имеют работы, посвященные общей
задаче о прочности и о разрушении конструкций из различных
материалов. Эта важнейшая практическая задача до сих пор еще
не имеет ясного удовлетворительного решения.
Можно упомянуть еще о механических проблемах, связанных
с движением всякого рода смесей, с движением песков, снега и
различных грунтов, сплавов, жидких растворов, суспензий и
эмульсий, жидкостей с полимерными добавками и т. д. и т. п. Интересны
проблемы кавитации, характеризующейся образованием и
исчезновением в движущейся жидкости пузырьков и больших каверн,
наполненных газами и парами жидкости.
Нужно особенно подчеркнуть, что в последнее время вопросы
технологии производства на химических предприятиях базируются
на механических исследованиях движений соответствующих
сплошных сред.
Важны новые современные теории, в которых исследуются
проблемы взаимодействия мощных лазерных, лучей с различными
телами — задачи нелинейной оптики, взаимодействия движущихся
тел с электромагнитными полями. Такие взаимодействия в
макроскопических масштабах существенно связаны с эффектами,
описываемыми в рамках квантовой механики. Аналогичное положение
встречается при описании макроскопических свойств тел, связанных
с движением при очень низких температурах или с учетом
намагниченности и электрической поляризации.
В последнее время ставится очень много исследований в
области биологической механики, в частности строятся механические
модели, позволяющие описывать распространение возбуждений по
нервам, механизмы перемещений вирусов, бактерий и других
мелких организмов в различных средах, плавание рыб и т. п. Пост-
2. Л.И. Седов
IS
Гл. I. Введение
роены модели для описания движения крови в живых
организмах и сокращения мышц.
Предлагаемый курс является теоретиче-
Методы механики сплош- ским курС0М механики сплошной среды.
ной среды g нем будуТ рассматриваться
математические методы изучения движения деформируемых тел. Эти методы
характеризуются следующим.
Вводится ряд понятий, которые характеризуют и однозначно
определяют движение сплошной среды. Эти понятия должны
определяться с помощью чисел или других математических понятий.
Примерами таких понятий могут служить поле скоростей, поля
давлений, температур, циркуляция и т. д. В дальнейшем мы
ознакомимся с этими и с многими другими характеристиками движения
сплошной среды.
В механике сплошной среды разрабатываются методы сведения
механических задач к задачам математическим, т. е. к задачам об
отыскании некоторых чисел или числовых функций с помощью
различных математических операций.
Кроме того, важнейшей целью механики сплошной среды
является установление общих свойств и законов движения
деформируемых тел. В дальнейшем мы познакомимся с рядом законов о
силах, действующих со сторойы жидкости на движущиеся внутри
нее тела; установим связь между давлением и скоростью, которая
имеет место для ряда важных и довольно широких классов
движений; выясним связь между внешними нагрузками и возникающими
при этом деформациями и т. д.
Следует еще отметить, что само решение конкретных задач
механики сплошной среды путем математических операций также
обычно относится к механике сплошной среды. Это объясняется
тем, что, как правило, даже в простейших случаях математически
поставленные задачи механики сплошной среды получаются очень
трудными и неразрешимыми эффективно современными
средствами математики. Поэтому приходится видоизменять постановки
задач и находить приближенные решения на основе различных
механических гипотез и соображений.
Под влиянием механики сплошной среды ряд отраслей
математики получил большое развитие. Например, механика сплошной
среды оказала большое влияние на развитие некоторых разделов
теории функций комплексного переменного, краевых задач для
уравнений с частными производными, интегральных уравнений
и др.
Весьма полезны аналогии некоторым задачам механики
сплошной среды, которые обнаруживаются при ближайшем рассмотрении
в других отделах механики и физики.
Оказывается также, что различные проблемы механики
сплошной среды и математические методы их исследования во многих
случаях тесно связаны между собой. Так, например, исследования
§2. Основные гипотезы
19
движения жидкости в трубах послужили для объяснения
некоторых основных фактов движения жидкости около крыла самолета.
Методы решения задачи об обтекании крыла самолета имеют много
общего с математическими методами решения задач о фильтрации
жидкости в почве. Многие результаты теории движения газов
в трубах, оказывается, можно использовать при рассмотрении
различных задач о волновых движениях воды в каналах
и т. д.
На первых порах мы будем далеки от изучения указанных выше
задач. Вначале нам потребуется подготовить много материала
общемеханического и математического характера. Вначале у
читателя не будет чувства того, что он уже занимается или подходит
непосредственно к изучению вопросов, касающихся реальных,
наблюдающихся в природе и технике явлений. Утешением к такому
положению вещей может послужить ссылка на историческое развитие
механики сплошной среды. Прошло более ста лет, прежде чем
математические методы механики сплошной среды в теории движения
жидкостей и газов привели к успеху в решении практических
вопросов.
В настоящем курсе излагаются основы механики сплошной
среды, которые достаточны и необходимы для специального изучения
различных конкретных вопросов.
§ 2. Основные гипотезы
а) Строение реальных тел
и гипотеза сплошности
При изучении движения тел необходимо опираться на их
реальные свойства. Как известно, все тела представляют собой
совокупности разного сорта молекул и атомов. Иногда тела могут быть
ионизованными, т» е. состоящими из электронов, ионов (атомов и
молекул с лишним или недостающим числом электронов) и
нейтральных частиц. Приведем некоторые известные из физики данные
об элементарных частицах.
Радиус ядра атома имеет порядок 10~х3 см,
i^lL06 элементарных РаДиус молекулы водорода 1,36-10"веле,
ЧаСТИЦЯА
т. е. радиус ядра атома много меньше
радиуса молекулы, и в то же время именно в нем сосредоточена
основная-масса вещества: масса электрона 9,1066-10~18 г, масса
протона 1,6724-104 г.
При обычных условиях (температура 0°С, атмосферное давление
на уровне моря) в объеме воздуха в один кубический сантиметр
содержится N=2,687-1019 молекул. Если взять кубик с ребрами
в одну тысячную сантиметра, что нередко лежит за пределами
повседневной точности измерения длин в технике, то и в нем будет
находиться 27» 10е частиц. На высоте 60 км, что намного больше
20
Гл. I. Введение
«потолка» современных самолетов, число частиц в атмосфере #=
=8-1016 1/см*. В межзвездной среде, где имеется сильно разреженный
газ, iV=l 1/слс3=101Б l/км3. Расстояние в километр мало по
сравнению с характерными космическими расстояниями, поэтому даже
межзвездный газ можно рассматривать как среду с очень большим
числом частиц в малых объемах.
| На Луне нет атмосферы, там Af=1010 1/см*9 т. е. в 2,7 миллиарда
раз меньше, чем у поверхности Земли. Такого сильного вакуума
в лабораторных условиях на Земле практически не получают. При
таком вакууме при соприкосновении веществ во многих случаях
происходит их сваривание.
Для железа (Не) ЛГ<=8,622-1022 1/сл*3, плотность
pFe я* 7,8 г/см?9
а плотность ядерного вещества
Ряд.вещ.Ре - 1Д6 • 1014 г!см\ pFe/PjI„Fc « 7 • 104.
Мы видим, что объемы, занимаемые телами, много больше
объемов, в которых, собственно говоря, сосредоточено само вещество.
Итак, все тела, по существу, «состоят из пустоты» и в то же время
в практически малых объемах пространства, занятого телом, всегда
заключено большое число частиц.
Атомы и молекулы находятся в постоянном хаотическом
движении.
При обычных атмосферных условиях средняя скорость иср
молекул водорода 1692 м/сек (больше скорости современного
пассажирского самолета). Молекулы все время «сталкиваются» друг с
другом, путь свободного пробега молекулы водорода в обычных
атмосферных условиях /= 11,2'10~в см. Для кислорода
иср=425 м/сек, /=6,5-10" см, т. е. одна молекула за 1 секунду
сталкивается 6,54-109 раз.
о взаимодействии частно МежДУ частицами имеются определенные
и взаимодействии частиц взаим0 действия. В разреженных газах они
связаны только со столкновениями. В жидкостях и твердых
телах частицы расположены ближе, и в них существенны
силовые или квантовые взаимодействия.
Силы, обеспечивающие прочность и упругость тел, имеют
электрическую природу и, грубо говоря, сводятся к силам Кулона
и к взаимодействиям элементарных магнитов. Что касается
ядерных сил и сил слабого взаимодействия, то они проявляются только
при ядерных реакциях, когда частицы взаимодействуют на
близких расстояниях друг от друга. Для того чтобы так сблизить
частицы, требуется колоссальная энергия, которая может возникать
за счет хаотического движения частиц при температурах в
многие миллионы градусов.
§2. Основные гипотезы
21
О существенных для ме- Зная электрические силы взаимодействия
ханики сплошной среды между частицами, можно строить теорию
физико-химических про- л J , гт-г г
цессах ^ твердых деформируемых тел. Поэтому для
нас очень важна электродинамика. При
введении абстракций для моделирования реальных тел необходимо
учитывать различные структурные особенности тел. Тела могут
быть газообразными, жидкими, твердыми, кристаллическими,
с различными фазами. При возрастании температуры возникают
состояния, в которых вещество можно рассматривать одновременно
как газ, жидкость или твердое тело.
Помимо структуры важное значение имеют природа вещества
и свойства составных частей смесей, растворов, сплавов.
Во многих случаях возникают механические задачи о движении
тел с учетом изменения качества составных частей и их
относительного содержания. Таковы, например, задачи о движении газов,
сопровождаемом ядерными и химическими реакциями и, в
частности, горением, диссоциацией, рекомбинацией, ионизацией и т. д.
При движении материальных тел важное значение могут иметь
процессы фазовых переходов, такие как конденсация, испарение,
плавление, затвердевание, полимеризация, перекристаллизация
и т. д.
При изучении движения сплошной среды необходимо вводить
внутренние напряжения. В телах с дискретным молекулярным
строением внутренние напряжения являются статистическими
средними, обусловленными как непосредственными силами
взаимодействия между молекулами, расположенными по разные стороны
от рассматриваемого сечения, так и переносом макроскопического
количества движения через это сечение, происходящим в
результате, теплового движения молекул.
Свойство вязкости в газах объясняется действием теплового
движения молекул, выравнивающим макроскопические движения
соседних частиц газа. Таким образом, свойства внутренних
напряжений в материальных средах определяются их молекулярным
составом, силами взаимодействия между молекулами и атомами,
проявляющимися только на очень близких между ними расстояниях,
и тепловым движением, характеризуемым температурой.
Аналогичным образом объясняется явление теплопроводности.
Для любых двух соседних частиц среды, между которыми имеется
контакт, происходит обмен энергией либо путем столкновений,
либо непосредственно за счет обмена быстрыми и медленными
молекулами. Статистически средняя энергия теплового движения,
характеризующаяся температурой, стремится к выравниванию.
Механизм диффузии разнородных компонент в смесях также
объясняется молекулярно-кинетическим процессом перемешивания
молекул в результате теплового движения.
Несколько сложнее описывается явление излучения,
происходящее за счет квантовых эффектов изменения уровней энергии в
22
Гл. !• Введение
системе молекулы, или атома, или ядра атома, а также за счет
ускоренных движений заряженных частиц. Явление излучения,
которое можно рассматривать как испускание фотонов, во многих
случаях тесно связано с хаотическим тепловым движением
молекул и атомов и существенным образом зависит от температуры,
определяющей возможные возбуждения энергии при столкновении
частиц. Исследование движенией материальных сред при больших
температурах необходимо производить с учетом эффектов передачи
энергии и изменения температуры за счет сопутствующих
процессов поглощения и рассеяния лучистой энергии.
Электрическая поляризация и намагничивание, связанные с
правильным, упорядоченным расположением элементарных частиц в
телах, также могут иметь существенное значение при различных
движениях материальных тел.
Механизмы внутренних взаимодействий в твердых телах, в
материалах со сложным строением молекул, в телах с очень большой
плотностью при сравнительно низких температурах и в других
случаях могут быть очень сложными. Вообще говоря, они не
описываются в рамках ньютонианской механики. Для понимания
соответствующих взаимодействий во многих случаях необходимо
использовать понятия и законы квантовой механики.
В перечисленных выше явлениях установление
макроскопических законов на основании глубокрго анализа физических
микроскопических механизмов и свойств элементарных частиц
составляет одну из главных задач физики.
Заметим, что сложное строение молекул
Статистический и фено- и удерживающие их электрические силы
менологическии подходы j^ r u ~- v
взаимодействия не всегда известны.
Казалось бы, механику следует развивать на базе представления
о материальном теле как совокупности элементарных частиц.
Однако следить за движением каждой элементарной частицы из-за
их весьма большого числа и неизвестности сил взаимодействия
между ними невозможно. Очень важно отметить, что, как правило,
даже несущественно знать движение каждой элементарной
частицы.
Для практики требуются только некоторые средние, суммарные,
или глобальные, характеристики.
Одним из общих методов подхода к исследованию поведения
материальных сред является развиваемый в физике статистический
метод.
В нем применяется вероятностный подход к изучаемым
явлениям и вводятся средние по большому ансамблю частиц
характеристики. Статистические методы всегда связаны с введением
дополнительных гипотез о свойствах частиц, их взаимодействии и с
упрощением этих свойств и взаимодействий. Заметим, что во многих
случаях не существует даже базы для построения таких методов.
В тех же случаях, когда они построены, они обычно не являются
§2. Основные гипотезы
23
эффективными .средствами решения задач в силу чрезмерной
сложности соответствующих уравнений.
Другим общим методом подхода к исследованию движения
материальных тел является построение феноменологической
макроскопической теории, основанной на общих, добытых из опыта
закономерностях и гипотезах. Макроскопические теории являются
эффективным средством решения практически важных задач, и
добытые с их помощью сведения согласуются с опытом.
В дальнейшем будем развивать феноменологическую
макроскопическую теорию материальной среды.
Гипотеза сплошности Введем понятие сплошной сРеДы- Все тела
состоят из отдельных частиц, но их много
в любом существенном для нас объеме, поэтому тело можно
приближенно рассматривать как среду, заполняющую пространство
сплошным образом. Воду, воздух, железо и т. д. будем
рассматривать как тела, целиком заполняющие некоторую часть
пространства.
Континуумом можно считать не только обычные
материальные тела, но и различные поля, например электромагнитное
поле.
Эта идеализация, в частности, необходима потому, что мы
хотим при исследовании движения деформируемых тел использовать
аппарат непрерывных функций, дифференциальное и интегральное
исчисления.
б) О пространстве и времени
Под пространством понимают совокупность точек, задаваемых
с помощью чисел, которые называются координатами.
Метрическое пространство БУдем Рассматривать непрерывные
метрические многообразия—пространства, в
которых определены расстояния между точками. Примером
метрического пространства может служить обычное трехмерное
евклидово пространство, точки которого задаются с помощью единой
для всего пространства декартовой системы координат х, у, г и
расстояние между двумя точками которого xlf yt, z± и х2У у2, z2
определяется по формуле
г = V{x1-x2y + (y1-y2Y + {z1-z2)\ B.1)
Евклидово пространство В любом ли пространстве можно ввести
единую для всего пространства декартрву
систему координат? Рассмотрим для простоты двумерные про*
странства. Очевидно, что на плоскости всегда можно ввести
единую для всей плоскости декартову систему двух координат. На
поверхности сферы, кривизна которой не равна нулю, этого сделать
нельзя, т. е. нельзя на сфере ввести систему двух координат
так, чтобы расстояния между двумя любыми точками на ней,
24
Гл. I. Введение
рассчитываемые как длины дуг больших кругов, определялись
формулой вида B.1). На сфере декартову систему координат можно
ввести только в малой окрестности каждой точки. В случае
трехмерных метрических пространств также не всегда можно ввести
единую для всего пространства трехмерную декартову систему
координат.
В дальнейшем мы в основном будем рассматривать только
такие пространства, в каждом из которых можно ввести единую для
всех точек декартову систему координат. Такие пространства
называются евклидовыми, а развиваемая на их основе механика
носит название ньютонианской. Опыт показывает, что физическое
действительное пространство в не очень больших масштабах с большой
точностью можно считать евклидовым.
.- Понятие времени связано с опытом и не-
Абсолютное время -. r ^ ^
обходимо в механике. Любое механическое
явление всегда описывается с точки зрения какого-либо
наблюдателя. Время, вообще говоря, может зависеть от применяемой
системы отсчета наблюдателя.
Мы будем считать, что время течет одинаково для всех
наблюдателей— в поезде, самолете, аудитории... Следовательно, мы
будем пользоваться абсолютным временем — идеализацией, которая
пригодна для правильного описания реальности не всегда, а только
тогда, когда не учитываются эффекты теории относительности.
Итак, будем рассматривать движение сплошной среды —
континуума в евклидовом пространстве и будем пользоваться
абсолютным временем. Таким образом, выше введены три фундаментальные
гипотезы, с использованием которых будет строиться теория
движения деформируемых тел. Выводы из теории, основанной на этих
гипотезах, часто, но не всегда, согласуются с опытом. В нужных
случаях принятую модель пространства и времени можно уточнять
и обобщать. Однако все дальнейшие обобщения строятся с учетом
и на основе механики Ньютона, базирующейся на описанных
выше фундаментальных гипотезах. Сущность этих гипотез станет
более понятной из развиваемой далее теории.
ГЛАВА II
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
§ 1. Изучение движения сплошной среды
с точки зрения Лагранжа
Системы координат Движение всегда определяется по
отношению к некоторой системе отсчета —
системе координат. С помощью системы координат устанавливается
соответствие между числами и точками пространства. Для
трехмерного пространства точкам ставятся в соответствие три числа
х1, х2у я3, которые называются
координатами точки. Линии, на хз \х3-?
которых какие-либо две коорди- У^ '
наты сохраняют постоянные зна- /
чения, называются координатными £ %2
линиями (рис. 1). \ у рг
Например, линия, вдоль ко- \ / ^
торой jc2=const, x3=const, опреде- х* х1=х
ляет координатную линию х1, вдоль
ЭТОЙ ЛИНИИ различные ТОЧКИ Рис. 1. Криволинейная и декартова
фиксируются значениями я1; на- системы координат
правление роста координаты х1
определяет направление вдоль этой линии. Через каждую точку
пространства можно провести три координатные линии. Касательные
к координатным линиям в каждой точке не лежат в одной
плоскости и образуют, вообще говоря, неортогональный триэдр.
Если координатные линии х\ х2, Xs прямые, то это
прямолинейная система координат; если нет, то — криволинейная. Дальше
мы увидим, что криволинейные системы координат, по существу,
необходимы в механике сплошной среды.
л^ Условимся через х19х2, х3 обозначать коор-
ибозначения координат - „
и времени динаты в любой системе, в том числе иногда
в декартовой системе координат, а через х, у,
2 - координаты только в ортогональной декартовой системе координат,
Через t - время.
Точка движется относительно системы
координат х1, х2, х3, если ее координаты
меняются в зависимости от времени:
x*~f'(t) (/-1, 2,3). A.1)
Движущаяся точка в разные моменты времени отождествляется
с разными точками пространства. Движение точки известно, если
известны функции A.1), называемые законом движения точки.
Движение точки _ _ , 2
26
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Движение континуума Сплошная среда представляет собой
непрерывную совокупность точек. По
определению, знать движение сплошной среды - это значит, в частности,
знать движение всех ее точек (изучение движения объема сплошной
среды как целого вообще недостаточно).
Для этого необходимы правила индиви-
06 индивидуализации то- дуализации отдельных, совершенно оди-
уу наковых с геометрической точки зрения
точек континуума. В дальнейшем увидим, что используемые в
теории правила индивидуализации определяются, вообще говоря, тем,
что движение каждой точки сплошной среды подчиняется
определенным физическим законам. Индивидуальные точки сплошной
среды можно, например, задавать значениями их начальных
координат. Координаты точек в начальный момент времени t0 будем
обозначать двояко: а, Ьу с или |\ £2, I3, a координаты точек
в любой момент времени—л;1, *2, *3-
Закон движения контн- Для любой точки континуума, выделяемой
нууМа координатами а, &, е, можно написать
закон движения, в который входят функции
уже не одной, как в случае движения точки, а четырех
переменных—начальных координат а, &, с и времени t,
x1 = x1(at Ь, с, t), )
х* = х2(ау Ь, с, /), [ или х' = л/(а, Ь, с, t). A.2)
xz = x3(a, b, с, t) j
Если в A.2) а, 6, с будут фиксированными, a t — переменным,
то A.2) дадут закон движения одной фиксированной точки
континуума. Если а, Ь, с будут переменными, a t — фиксированным, то
функции A.2) дадут распределение точек континуума в
пространстве в данный момент времени. Если переменными будут и я, Ьу
с и t, то на A.2) можно смотреть как на формулы, определяющие
движение сплошной среды. Функции A.2) называются
законом движения континуума.
Лагранжевы переменные Координаты а, Ь, с или ?, |«, g»,
индивидуализирующие точки континуума (или
иногда определенные функции от них), и время t называются
переменными Лагранжа.
В дальнейшем мы всегда явно или неявно будем опираться на
понятие закона движения.
Ради общности заметим, что сплошная среда представляет
собой совокупность точек, но не обязательно должна являться
материальным телом. Так, например, иногда можно условиться
изображать точками на плоскости цены различных товаров и изучать
методами кинематики сплошной среды движение цен в экономике.
§ 1. Точка зрения Лагранжа
27
задающих закон движе
ния
Можно также, и это часто делают, изучать законы перемещения
в пространстве различных состояний движения материальных
частиц, а не самих частиц. Например, на поверхности ржаного поля
в ветреную погоду наблюдаются волны, и можно говорить о
перемещениях в пространстве максимальных возвышений или впадин
поверхности ржи, а не самих колосьев.
Таким образом, в кинематике сплошную среду можно
рассматривать как абстрактный геометрический образ, а не только как
материальное тело. Движение сплошной среды может управляться
различными законами. Это могут быть, если мы рассматриваем
движение материального тела, уже известные нам в основном
физические законы или, если мы говорим, например о
движении цен, только познаваемые в настоящее время
математические законы экономики.
При изучении механики деформируемой
Непрерывность функций, Среды мы хотим опереться на аппарат диф-
ференциального и интегрального
исчислений. Поэтому предположим, что функции,
входящие в закон движения континуума, непрерывны и имеют
непрерывные частные производные ло всем своим аргументам. Это
довольно общее допущение, но вместе с тем оно сильно
ограничивает класс допустимых для изучения явлений.
Действительно, воду, например, можно разбрызгивать. При
этом находившиеся первоначально бесконечно близко друг
к другу частицы воды в последующие моменты времени не будут
близки друг к другу. Описать такого рода явление в
предположении о непрерывности закона движения нельзя. В последующем
увидим, что во многих случаях предположение о непрерывности
движения придется ослаблять и рассматривать такие движения, сами
характеристики которых или их производные терпят разрывы на
отдельных поверхностях. Такого рода разрывы, например ударные
волны, мы будем рассматривать в дальнейшем. Однако заметим,
что изучение разрывных движений ведется на базе теории
непрерывных движений.
Взаимнооднозначность .Основываясь на соображениях физического
Функций, задающих за- характера, предположим, что в каждый
кон движения фиксированный момент времени / = const
функции xi = xi(iI9 £2, £3, t) являются взаимнооднозначными
функциями.
Как известно, в этом случае якобиан
А =
дх1
tf!1
а*2
dlL
дх>
д¥
дх'
д$*
дх*
дб*
дх*
д?
дх1
д¥ \
дх2
д?\
дх*
<>**\
28
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
не может обращаться в нуль во всех точках некоторого конечного
объема. Если Д^О, то формулы A.2) можно разрешить
относительно {-1, £2, £3 и представить решение в виде однозначных
непрерывных функций
£' = №, *\ *f. t). A.3)
Общие свойства
взаимнооднозначных непрерывных
отображений
Совокупность значений х1, х2, х3 образует
в пространстве область D, занимаемую
телом в данный момент времени /. Если
координаты £\ £2, I3 рассматривать как значения координат х\
М(&'?)
за-
мо-
Рис. 2. Движение континуума. При t = t0 xl=%L,
x2 = l\ x3=l3
в некоторый другой момент времени /0, то область DQ
изменений £l, £2, £3 со-
М(х\х2,х3) ответствует объему,
нятому телом в
мент^о-
В этом случае закон
движения A.2) и A.3)
можно рассматривать как
взаимнооднозначное и
непрерывное
отображение областей D и D0.
Как известно, общие
топологические свойства
таких преобразований заключаются в том, что любой объем V0
переходит в объем V, поверхность 50—в поверхность 5, линия L0—
в линию L, причем замкнутая поверхность переходит в замкнутую, а
замкнутая линия—в замкнутую линию (рис. 2). Например объем
не может перейти в точку, так как при этом нарушилось бы условие
взаимнооднозначности, а замкнутая линия не может перейти в
незамкнутую линию, так как при этом нарушилось бы условие
непрерывности.
Как всякое движение, движение
континуума всегда определяется по отношению
к некоторой системе координат. Введем систему координат х1,
х*, х3—систему отсчета наблюдателя, в которой изучается
движение континуума. Эта система координат может быть выбрана
произвольно. Она вводится по условию, и выбор ее зависит от
исследователя. На практике она часто связана с Землей, но может
быть связана и с Солнцем, звездами, самолетом, вагоном и т. п.
По смыслу введения она может быть подвижной или может
считаться неподвижной.
В ныотонианской механике особенное физическое значение
имеет рассмотрение движения относительно инерциальных систем
координат, движущихся относительно друг друга поступательно с
постоянной по времени скоростью. Наличие таких систем координат
(тесно связанное с постулатами о евклидовости физического
пространства и об абсолютном и одинаковом собственном времени для
Система отсчета
§ 1. Точка зрения Лагранжа
29
разных точек) является основным постулатом механики Ньютона1).
Все физические законы в физике Ньютона обычно формулируются
в инерциальных системах координат и не зависят от выбора инер-
циальной системы координат. В этом состоит знаменитый принцип
относительности Галилея — Ньютона. На практике в качестве
исходной инерциальной системы координат можно выбрать декар-
тову систему координат с началом в центре масс солнечной
системы, в которой далекие звезды можно считать неподвижными.
„ Вместе с тем в случае движения сплошной
Сопутствующая система
J J ^ среды нужно ввести еще сопутствующую
систему координат. Наряду с координатами х1, х2, х3 лагранжевы
координаты индивидуальных точек g1, £2, £3 можно рассматривать
как другие координаты тех же точек пространства в области D.
Соответствующая система координат g1, £2, £3 з том же
пространстве образует подвижную деформируемую криволинейную
систему координат, которая называется сопутствующей системой
координат. Так, если в начальный момент t0 выбрать в сплошной
среде некоторые координатные линии g1, £2, £3, состоящие из точек
сплошной среды (начальную лагранжеву систему координат), то
в следующий момент времени они вместе с точками континуума
вновь перейдут в координатные линии сопутствующей системы.
Однако если в начальный момент времени они и были выбраны
прямыми, то в следующий момент они, вообще говоря, будут
искривленными (рис. 3).
Таким образом, если рассматривать систему координат,
связанную с частицами сплошной среды, то она с течением времени
будет изменяться. Выбор такой системы координат в любой
данный момент времени в нашей власти, но в следующие моменты
времени она уже не подвластна нам, так как она «вморожена» в среду
и деформируется вместе с ней. Такая вмороженная в среду система
координат и определена выше как сопутствующая система. Все
точки сплошной среды всегда покоятся относительно подвижной
1 В специальной теории относительности также постулируется наличие
инерциальных систем координат, связанных между собой преобразованием
Лоренца, однако физическое пространство задается как четырехмерное
псевдоевклидово пространство Минковского (четвертая координата связана с собственным
временем). В этой теории для наблюдателей, описывающих относительное
движение, также можно пользоваться любыми подвижными системами координат.
В общей теории относительности любые движущиеся друг относительно
Друга системы координат считаются равноправными, а физическое пространство
не задается, а определяется, однако в предположении, что физическое
пространство четырехмерное и риманово, причем для малых объемов выполняются
законы специальной теории относительности.
Любопытно отметить, что в результате решения соответствующих задач
получается, что многосвязное в топологическом смысле, пустое (отсутствуют массы
и заряды) риманово пространство в известном смысле похоже на евклидово
пространство с гравитационным и электрическим полями, обусловленными
присутствующими в нем массами и зарядами. (См. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная /
Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1962).
30 Гл. II. Кинематика деформируемой среды
сопутствующей системы координат, так как их координаты g1, £2,
£3 в сопутствующей системе не меняются. Но сама система
движется, растягивается, сжимается, извивается... Понятие
сопутствующей системы координат является обобщением на случай
сплошной среды собственной системы координат твердого тела
в теоретической механике1).
Всегда, когда мы говорим о движении сплошной среды,
необходимо индивидуализировать точки и, следовательно, пользоваться
\х3 t=t0 IS*
Рис. 3. x1, x2, x3—система отсчета, I1, £2, £3 — сопутствующая лагранжева система
лагранжевыми координатами. Поэтому всегда при рассмотрении
движения сплошной среды подразумевается наличие системы
отсчета х1, х2, jc3, относительно которой рассматривается движение,
и сопутствующей системы координат.
Использование в качестве независимых переменных g1, g2, £3
и / составляет точку зрения Лагранжа на изучение движения
сплошной среды, которая, таким образом, существенно опирается на
описание истории движения каждой точки сплошной среды в
отдельности. Такое описание на практике оказывается часто
слишком подробным и сложным, однако оно всегда подразумевается при
формулировке физических законов. Кроме понятия закона
движения, для описания движения сплошной среды необходимо ввести
еще некоторые другие понятия, в частности понятия скорости и
ускорения точек сплошной среды.
с Пусть некоторая точка сплошной среды
корость в момент / находится в точке М
пространства, а в момент t + At — в точке М\ и ЛШ' = Дг.
Под Дг понимается малое направленное перемещение
индивидуальной точки сплошной среды за время Д*. В случае, когда
в пространстве можно ввести радиус-вектор г (а в евклидовом
1 Очевидно, что для всякой системы координат и, в частности, для системы
отсчета наблюдателя, всегда можно ввести мысленно идеализированную среду,
для которой рассматриваемая система координат является сопутствующей.
Для одной и той же среды можно вводить различные сопутствующие системы
координат. В связи с этим иногда различают понятие о системе отсчета наблюда-
теля^как о некотором инвариантном объекте и понятие об употребляемой системе
координат, которая для наблюдателя в данной системе отсчета может быть
различной.
§ 1. Точка зрения Лагранжа
31
пространстве это всегда возможно), Дг, очевидно, представляет
собой приращение радиуса-вектора рассматриваемой точки
сплошной среды.
Предел отношения двух соответствующих бесконечно малых
количеств Дг и At при Д/->0 в случае неевклидова
пространства или частная производная радиуса-вектора точки сплошной
среды относительной системы отсчета по времени dr/dt в случае
евклидова пространства называется скоростью точки сплошной
среды. Вектор скорости будем обозначать жирной буквой v.
Радиус-вектор г зависит в общем случае от трех параметров
I1, £2, £3, индивидуализирующих точку сплошной среды, и
времени t. Скорость вычисляется для индивидуальной точки
сплошной среды, т. е. при фиксированных I1, £2, £3, поэтому и берется
частная производная от г по t
дг
Скорость вычисляется относительно системы отсчета. Очевидно,
что относительно сопутствующей системы координат среда
покоится, и поэтому скорость относительно сопутствующей
системы всегда равна нулю.
в б Че{3ез каждую точку пространства
проекторы азиса ходят три координатные линии, и в каждой
точке пространства М(х1, х2, х3) можно рассмотреть
элементарные прямолинейные направления Дгх, Дг2, Дг3, выходящие из
этой точки М и соединяющие ее с точками М1(х1-\-Ах1, х2, л:3),
М2(х11 х2 + £х2, х3), М3 (х1, x22 х3 + Ах*) соответственно. В каждой
точке пространства можно ввести пределы отношений kr J Ах1 или
Дг,-/А£' (при Дх'-^О или Д^'-^-О)—векторы, которые, очевидно,
будут направлены по касательным к соответствующим
координатным линиям в точке М. В евклидовом пространстве эти пределы
будут частными производными от г по соответствующим
координатам. Если под Дл:1' или Д|' понимать длины дуг вдоль
соответствующих координатных линий, то дг/дх1',' дг/д& по величине будут
равны единице.
Введем обозначения
дг ^ дг ~ /1 л\
: = Э: И : = Э; A.4)
дх* l dV
и будем называть э{ и э( векторами базиса для системы отсчета
и для сопутствующей системы соответственно. Если система
координат дг1, х2, а:3 декартова, то можно пользоваться обозначениями
э1 = /, э2=/, э3 = к, где /, у, k—единичные векторы по осям
координат х, у„ z соответственно. Если система координат х1, х2,
х? или £*, |2, £3 криволинейная, то э{ и э{ меняются от точки
к точке пространства и образуют, вообще говоря, в каждой точке
пространства неортогональный триэдр.
32
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Компоненты скорости Бесконечно малое перемещение точки
сплошной среды ММ' = Дг можно
разложить по векторам базиса э1У э2, э9, взятым в точке М,
Аг = Д^1э1 + Ал:вэ2 + АА:8Эз, A.5')
где Дх1, Дх2, Дх3 являются компонентами перемещения Д/\
Разложение A.5') можно записать в сокращенном виде
з
Дг= 2 &х*э{ = Ьх1Э1, A.5)
з
где в пЬследнем выражении знак суммы 2 опущен. В дальней-
шем мы обычно будем опускать знак суммы, подразумевая
суммирование всякий раз, когда в выражениях типа A.5) будут
встречаться два одинаковых индекса, один из которых стоит вверху,
а другой внизу.
Поделив A.5) на элемент времени Д/, соответствующий
перемещению точки сплошной среды из точки М в точку М'
пространства наблюдателя, и взяв предел при Д/->0, получим по
определению скорость точки сплошной среды
откуда
■*-(£),.*-(£),.-(£),.
где индексы £' внизу указывают на то, что производные берутся
при постоянных параметрах £\ £2, £3, индивидуализирующих точку
среды. Величины tr1, и2, v* называются компонентами вектора
скорости v в базисе э19 э2, э3. Скорость и ее компоненте зависят,
вообще говоря, от I1, £2, |3 и t
*«*(Pf t\ 1\ О,
v* = v*(t\ l\ t\ t),
v*=*v*(t\ £2, S3, О-
Для дальнейшего установим следующие обозначения: буквами
v с индексами 1, 2, 3 будем обозначать компоненты вектора
скорости v в любой (в том числе иногда и декартовой) системе
координат, а буквами и, v, w—компоненты вектора скорости только
в декартовой системе координат. Причем и будет проекцией v на
ось ху v—на ось у и w—на ось г. В декартовой системе
координат положение точки среды характеризуется радиус-вектором г
r^xi + yj+zkf
§ 1. Точка зрения Лагранжа
33
и для скорости v имеем
«-(*),. •-(*),• »-(*),•
_ Мы уже ввели в рассмотрение некоторые
О понятии вбкторз, _
г векторы, например, скорость v, радиус-
вектор г, перемещение dr. Что же называется вектором? Вектор
не скаляр, но в то же время, как и скаляр, является
инвариантным, не зависящим от выбора системы координат, объектом.
Определяя вектор, часто говорят, что это—три числа, называемые
компонентами вектора, преобразующиеся при переходе от одной
системы координат к другой определенным образом. Однако это
определение недостаточно, так как вектор всегда задается в
определенном базисе и, задавая вектор его компонентами, всегда надо
указывать базис, в котором они заданы.
В декартовой системе координат компоненты вектора прив*ь
заны к /, у, к, а в произвольной криволинейной системе
координат—к меняющимся от точки к точке пространства векторам
базиса Э(. Таким образом, компоненты вектора в криволинейной
системе координат, в противоположность компонентам вектора
в декартовой системе, существенно связаны с точкой, в которой
он рассматривается.
Говоря, например, о векторе скорости v> в каждой точке
пространства надо рассматривать числа vl9 v29 v3 и векторы базиса
9i, э2, э9 и определять вектор v по A.6). Через базисные
векторы можно представлять аналогичным способом каждый вектор
з данной системе координат.
Ус Кроме скорости требуется рассматривать
к рение еще ускорение а точки сплошной среды,
которое также является вектором,
а-{жЪш~а'9ь
где а*=а*(Ъ\ £а, £3, t) — компоненты ускорения. Ускорение а,
как и скорость v, вычисляется для индивидуальной точки
сплошной среды. Определение ускорения связано с выбором системы
координат наблюдателя х1, х2, г*, в которой рассматривается закон
движения A.2). Система координат хг, х2, х3 может быть
подвижной.
Необходимо отметить, что соотношения
а — ~дГ' а ~ dt ' а ~~ dt
3. Л.и. Седов
34 Гл. II. Кинематика деформируемой среды
справедливы только в декартовой системе координат и не
справедливы в криволинейной. Действительно, вектор ускорения
определяется как производная от вектора скорости по времени,
-щ-) ., и при вычислении компонент ускорения следует иметь
в виду, что точка среды с течением времени перемещается в
пространстве, а векторы базиса at- криволинейной системы меняются
от точки к точке пространства.
В декартовой системе координат верны также формулы
а — dt2 ' a ^dt2 ' a ~dt2'
Во многих случаях исследования движений сплошной среды
основная задача об отыскании законов движения может
заменяться задачей определения функциональных зависимостей компонент
скорости v* или ускорения а' от g1, £2, g3 и t.
Подчеркнем специально, что точка зрения Лагранжа на
изучение движения сплошной среды лежит в основе физических
законов, так как они связаны с движением индивидуальных
материальных частиц.
§ 2. Изучение движения сплошной среды
с точки зрения Эйлера
Сущность точки зрения Предположим теперь, что нас интересует
ЭйлеРа не история движения индивидуальных
точек сплошной среды, а то, что происходит в разное моменты
времени в данной геометрической точке пространства, связанного
с системой отсчета наблюдателя. Пусть наше внимание
концентрируется на данной точке пространства, в которую приходят разные
частицы сплошной среды. Это и составляет сущность точки
зрения Эйлера на изучение движения сплошной среды. Например,
движение воды в реке можно изучать, либо следя за движением
каждой частицы воды от верховьев реки до ее устья (это будет
точка зрения Лагранжа), либо наблюдая изменение течения воды
в определенных местах реки, не прослеживая движения
отдельных частиц воды вдоль всей реки (это точка зрения Эйлера).
Переменные Эйлера Т°ЧКа 3РеНИЯ ЭЙЛеРа ВеСЬ"а ЧЗСТ0 УП0Т"
к ребляется в приложениях. Геометрические
координаты пространства л1, л:2, х3 и время / носят название
переменных Эйлера. Движение с точки зрения Эйлера считается
известным, если скорость, ускорение, температура и другие
интересующие величины заданы как функции х\ х2, х3 и t.
Функции v = v(x\ х\ х3, /), а = а(х\ х\ х3, /), Т = Т(х\х2, х3, t)
и т. д. при фиксированных л:1, х2, х3 и переменном t определяют
изменения со временем скорости, ускорения, температуры и т. д.
в данной точке пространства для разных приходящих в эту точку
§ 2. Точка зрения Эйлера
35
частиц. При фиксированном / и переменных х1, х2у х3 эти
функции дают распределения характеристик движения в пространстве
в данный момент времени /; при переменных х1, х2у х3 и t —
распределения характеристик движения в пространстве в
разные моменты времени.
Отличие точек зрения Таким образом, с точки зрения Лагранжа
Лагранжа и Эйлера мы интересуемся законами изменения ско-
на изучение движения рости, ускорения, температуры и других
сплошной среды величин для данной индивидуальной точки
сплошной среды, а с точки зрения Эйлера—скоростью,
ускорением, температурой и т. д. в данном месте. С точки зрения
Эйлера мы выделяем некоторую область пространства и хотим
знать все данные о частицах, которые в нее приходят.
Ясно, что математически точка зрения Эйлера отличается от
точки зрения Лагранжа только тем, что в первой переменными
являются координаты точек пространства х1, л:2, х3 и время /, а во
второй — параметры I1, §2, £3, индивидуализирующие точку
сплошной среды, и время L
Переход от переменных Закон движения сплошной среды имеет вид
Лагранжа к переменным л .
Эйлера x' = x'(t\t\t3, t)% B.1)
в котором независимые переменные I1, |2, £3, t являются
переменными Лагранжа. Разрешив его относительно £*, £2, £3, получим
V = V{x\x\ х3, t), B.2)
т. е. перейдем к переменным Эйлера. При фиксированных л:1, л:2,
х3 B.2) указывают те точки (£\ |2, £3) сплошной среды, которые в
разные моменты времени приходят в данную точку пространства.
Если скорость
ускорение
температура
а = а{1\ 1\ I3, /),
Т = Т(\\ 1\ 13У t)
и другие величины заданы с точки зрения Лагранжа, т. е. как
функции I1, £2, £3 и /, то B.2) дают возможность найти скорость,
ускорение, температуру и т. д. как функции переменных Эйлера л:1,
*2> х3 и t. Таким образом, если движение с точки зрения Лагранжа
известно и его надо определить с точки зрения Эйлера, то для этого
требуется только разрешить закон движения B.1) относительно
£1« £2» I3, т. е. записать его в виде B.2); переход от движения,
заданного по Лагранжу, к описанию движения по Эйлеру сводится
только к разрешению неявных функций.
36
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Переход от переменных Наоборот, пусть с точки зрения Эйлера
Эйлера к переменным задано распределение скоростей в про-
агранжа странстве. Как найти закон движения, т. е.
перейти к описанию движения по Лагранжу? Возьмем, например,
декартову систему координат х, уу z и пусть в ней известны
и=и(х, уу z, /), v=v(x9 у, г, /), w=w{x, у, z, t).
Компоненты скорости иу vy w являются производными от
соответствующих координат х, yt z по времени t при постоянных
параметрах I1, £2, £3, индивидуализирующих точку сплошной среды.
Поэтому, если и, v, w заданы.как функции переменных Эйлера х,
у у z и t, то на соотношения
M=u(x> y, Zy t), j-t=v{Xy yy z, t)y -p = w (yy Xy Zy t)
можно смотреть как на систему трех обыкновенных
дифференциальных уравнений относительно дс, уу z. Решив эту систему,
найдем х, yy z как функции t и трех произвольных постоянных С19 С2,
С3, которые определяются по значениям *, yt z в некоторый дан-'
ный момент t0 и, следовательно, являются параметрами,
индивидуализирующими точку сплошной среды,— переменными Лагран-
жа. Таким образом, в результате решения этой системы
дифференциальных уравнений находится закон движения B.1), с помощью
которого можно перейти от переменных Эйлера к переменным Лаг-
ранжа во всех формулах, определяющих распределения а, Г и т. д
Следовательно, переход от переменных Эйлера к переменным Лаг-
ранжа при заданном поле скоростей связан, вообще говоря, с
интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений.
Ясно, что задания движения сплошной среды с точек зрения
Лагранжа и Эйлера в механическом отношении эквивалентны друг
Другу.
§ 3. Скалярные и векторные поля и их характеристики
Определение скалярного При изучении движения сплошной среды
и векторного полей необходимо вводить в рассмотрение
скалярные и векторные величины: температуру 7\ скорость v и др.
Их, вообще говоря, можно рассматривать в разных системах
координат: в системе координат наблюдателя и в системе
координат, вмороженной в среду. Они могут быть функциями х1, л;2, хг
или функциями I1, £2, i3. В каждой из этих систем координат
можно выделить некоторую конечную или бесконечную область
и каждой точке этой области поставить в соответствие число,
например температуру 7\ или вектор, например скорость я, или,
как увидим позднее, еще другие, более сложные характеристики.
§ 3. Скалярные и векторные поля и их характеристики 37
Совокупность значений той или иной величины, заданных в
каждой точке рассматриваемой области, называется полем этой
величины. Если рассматриваемая величина — скаляр, т. е. число,
значение которого в данной точке не зависит от выбора системы
координат, то поле называется скалярным. Примерами скалярных
полей могут служить поле температур, поле плотностей и др. Если
же рассматриваемая величина — вектор, как, например, скорость,
ускорение, то поле называется векторным. Скорость в каждой
системе координат х\ jc2, xz имеет три компоненты и1, v2f и3 и,
следовательно, в данной точке и в данной системе координат
определяется тремя числами. Поэтому поле скорости, как и любое другое
векторное поле, равносильно трем полям проекций
рассматриваемого вектора. Однако, хотя сам вектор не зависит от системы
координат, его проекции зависят от системы координат. На примере
поля температур Т и поля скоростей v изучим некоторые общие
характеристики скалярных и векторных полей.
Индивидуальная и мест- Распределение температур можно задать
ная производные по вре- как с точки зрения Лагранжа: Т(Ъ1, £2, £3, /),
мени так и с точки зрения Эйлера: Т(хх, х2, х3, /).
Если распределение Т задано с точки зрения Лагранжа, то
подсчитать изменение температуры Т в единицу времени t в частице
сплошной среды очень просто. Оно будет равно производной
Как вычислить ту же величину, если распределение температуры
задано в зависимости от переменных Эйлера Т(х\ х2, дс8, *)?
Очевидно, для этого надо перейти от переменных Эйлера к переменным
Лагранжа
Т(х\ х\ х\ /) =
= Т[х*(Ъ\ \\ l\ t), x2(l\ \\ £3, J), x*(t\ t\ р, /), t]
и воспользоваться правилом дифференцирования сложной
функции. Тогда
\ dt JV ~~ \dt)xi + дх1 \ dt Jii+- дх2 [ dt Д' + дх* \ dt )#'
дх1 дх2 дх3
где производные "л7 > "лт > "^г берутся при постоянных g1, £а, £3,
и, следовательно, являются компонентами скорости v1, v2, v3
соответственно. Поэтому
[дТ\ _(дТ\ (дТ
{Whi-[-dt)xi+VM'
Заметим, что при заданной функции Т(хх, х2, jc3, t) для
вычисления (dT/dt)+i полностью знать закон движения сплошной среды
не нужно, нужно знать только поле скоростей v.
38
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Производная (dTldt)^j характеризует изменение температуры со
временем в данной точке сплошной среды и называется
индивидуальной, или субстанциональной, или полной производной
температуры Т по времени /. Она часто обозначается символом dTldt.
Производная {dTldf)xi характеризует изменение температуры Т в
единицу времени в данной точке пространства х1, х2, л:3. Она
называется местной или локальной производной и обозначается dTldt. В
общем случае индивидуальная производная dTldt не равна местной
dTldt, а отличается от нее на величину, зависящую от движения
частицы и называемую конвективной производной. Итак,
dT дТ , ,дТ
dt dt ' Qxi *
Ниже разберем определение конвективной производной
подробнее, а теперь на примере поля температур познакомимся с
понятиями, которые можно ввести для каждого скалярного поля.
„ Если температура Т задана как функция
Поверхности уровня _ r^./r »^J
v JV переменных Эйлера, то в каждый данный
момент времени t можно рассмотреть поверхности
Т (х, у, z, t) = const,
которые называются поверхностями равного уровня или
эквипотенциальными поверхностями. В случае поля температур эти
поверхности называются изотермическими поверхностями.
„ Выбрав на поверхности равного уровня
Производная по направ- ™ r . r ГЛ/Г Ji
лению y= const некоторую точку М, можно
изучить, как будет меняться температура Т
в зависимости от направления, по которому можно выходить из
этой точки. Обозначим это направление через s.
Предел
r AT дТ
lim — = -—
д5^0 As ds
называется производной Т по направлению s. Очевидно, что,
если $ = $!, где направление s± лежит в касательной в точке М
плоскости к поверхности уровня Т = const, то
OSi
Так как ДТ равняется Т2—Т1у причем 71i=const, T2=const —
уравнения соседних поверхностей равного уровня, и для
заданного ДТ имеет место формула An^As cos а (см. рис. 4), то
ОТ дТ /Q n
^=^--cosa, C.1)
§ 3. Скалярные и векторные поля и их характеристики 39
где дТ/дп—производная по направлению нормали п к
поверхности равного уровня Т = const, а а—угол между п и s. Ясно,
что наибольшее значение производной dT/ds достигается в
направлении нормали п (при а = 0).
Введем в рассмотрение вектор, направлен-
Вектор-градиент дыц nQ НОрМали п в СТОрОНу роста Т И
равный по величине дТ/дп. Назовем этот вектор
вектором-градиентом скалярной функции, в данном случае температуры 7\ и
будем обозначать его grad7\
gradT^gV,
где п° — единичный вектор нормали пу направленной в сторону
роста Т. Очевидно, абсолютная величина grad T больше там, где
поверхности равного уровня T=const расположены гуще.
О.
Tn=const ^Г ^ , Т2=const
и L=const
У
X
Рис. 4. Поверхности равного уровня и вектор-градиент температуры
Согласно C.1) проекция вектора-градиента температуры на
любое направление s есть производная от температуры по этому
направлению
(grad Л.-5'.
В частности, проекции вектора-градиента на оси координат х1, *?,
*3 равны
дх*
и в декартовой системе координат
Заметим, что дТ/дх, дТ/ду, dT/dz можно рассматривать как
компоненты вектора, так как
dT = dx-dx + didy + d-zdz
есть инвариант, a dx, dy, dz—компоненты вектора dr.
40
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Конвективная производ- Мы назвали конвективной производной
ная температуры по времени выражение
3 ат
Vfl/;L_f которому, используя понятия вектора-градиента темпе-
~ дх*
1 = 1
ратуры и скалярного произведения, можно придать другой вид
и'—= *>.grad7\
дх*
Под производной всегда понимают предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при стремлении приращения
аргумента к нулю.
Какое же приращение функции берется в случае определения
конвективной производной? Запишем конвективную производную
температуры в виде
vAt-gradT
м
Очевидно, vAt равняется перемещению As (см. рис. 5) и
vidJL= AS.gradr= Hm to«T},&,n Hm A. Hm AT
dx* A^o At AM>0 At ds M-+0 At A*-*0 At
причем AT представляет собой приращение температуры только
за счет перемещения частицы сплошной среды в переменном по
координатам поле температуры из одной
точки пространства в другую со скоростью v за
время At (из точки А в точку В на рис. 5).
В общем случае конвективная
производная отлична от нуля, так как значения
температуры в точках А и В разные. Она
может быть равной нулю при отсутствии
движения, либо при отсутствии градиента
температуры, т. е. тогда, когда температура
Рис. 5. к понятию кон- в данный момент времени не меняется от
вективнои^проиэвод- точки к ТОчке пространства (такое поле
называется однородным), либо при
движении вдоль поверхности уровня Т(х, у, z, /)=const при /=const.
С понятиями индивидуальной, местной и
wuSLSriSS^ конвективной производных по времени
в декартовой системе тесно связано правило определения ком-
координат понент ускорения в том случае, когда
скорость задана с точки зрения Эйлера. Пусть
в декартовой системе координат заданы компоненты скорости v1,
v2, vs как функции переменных Эйлера.
Как найти компоненты ускорения? Ускорение определяется для
частицы сплошной среды, поэтому компоненты ускорения будут
определяться как индивидуальные производные по времени от со-
§ 3. Скалярные и векторные поля и их характеристики 41
ответствующих компонент скорости, т. е.
(ди\ du [ди\ . ди . ди . ди
fdv\ do [dv\ , до , ди , dv
a«={m)li=di = {di)xi+uTx+vd-y+wd-z>
(dw\ dw fdw\ , dw , to , to
Обратим внимание на то, что эти формулы верны только в
декартовой системе координат (когда все э{ не зависят от координат
и от времени).
Различные процессы и движения назы-
Установившиеся и неус- ваются установившимися или стадионар-
тановившиеся движения J y
ными, если все характеризующие эти
процессы или движения величины в случае задания их с точки
зрения Эйлера зависят только от я1, х2, х3 и не зависят явно от
времени t. Таким образом, для установившихся процессов и
движений локальные производные по времени от всех
характеризующих их величин равны нулю, т. е.
dt~ dt ~~ dt~~ dt ~ U*
В частности, поле температур установившееся, если Т=
^T(x19x2tx3)\ если же T=T(x1t x2,*3, t)9 то оно неустановившееся.
Распределения температуры 7\ скорости v и других величин в
пространстве х1, х2, х3, взятые в разные моменты времени, совпадают
друг с другом в случае установившихся движений и отличаются
друг от друга в случае неустановившихся движений. Понятие
установившихся движений очень важно для приложений. Во-первых,
многие из встречающихся в приложениях течений являются
установившимися, а, во-вторых, изучать такие движения с точки зре
ния Эйлера проще в силу того, что число независимых переменных
при этом уменьшается на единицу (время выпадает).
Заметим, что одно и то же движение может быть как
установившимся, так и неустановившимся. Это зависит от выбора той
системы координат, относительно которой оно изучается. Так,
например, волновое движение воды, возникающее за кораблем,
движущимся с постоянной скоростью, будет установившимся с точки
зрения подвижного наблюдателя, находящегося на корабле, и
неустановившимся с точки зрения наблюдателя на берегу. Понятие
установившегося движения является относительным.
Отметим, что оба указанных наблюдателя рассматривают в
своих системах координат движение, которое определено
относительно одной и той же системы координат: либо абсолютное движение
относительно берегов, либо относительное по отношению к кораблю.
42 Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Векторные линии; линии Перейдем теперь к изучению понятия век-
тока торных линий, которые можно ввести для
любого векторного поля, например для поля скоростей v,
поля ускорения а, поля градиента температур grad Г и т. д. Для
определенности выясним смысл этого понятия на примере
векторных линий поля скорости, которые называются линиями тока.
Как известно, для того чтобы задать поле v, нужно в каждой
точке пространства х1, х2, х3 и в каждый момент времени t задать
вектор
у = vf9( = V1Эг + V292 + V393 ,
где vl(xx$ л:2, х3, t) — компоненты скорости в базисе э{.
Требование задания скорости является весьма сильным требованием, и его
можно несколько ослабить, например можно потребовать задания
v не во все времена /, а только в некоторый определенный момент
времени t0. Можно пойти еще дальше и потребовать задания в
каждой точке пространства я1, л;2, х3 в данный момент U только
направления вектора скорости, без учета его величины. Очевидно, что
ответ на такое требование дает построение семейства линий,
касательные к которым в каждой точке пространства будут совпадать
в данный момент /0 с направлением вектора скорости v в этой точке.
Такие линии в случае поля скоростей и называются линиями тока,
а в случае произвольного векторного поля — векторными линиями.
Для каждого поля скорости v можно построить семейство
линий тока, и если семейство линий тока построено, то в каждой точке
с точностью до направления по ним будет известно направление
вектора скорости v. На практике часто бывает весьма необходимым
знать линии тока.. Их можно определять экспериментально. Это
связано с разработкой методов визуализации течений. Например,
для экспериментального определения линий тока проводят
фотографирование с малой выдержкой течений жидкостей с
подмешанными в них взвешенными частицами специальных порошков, с
созданными внутри жидкости пузырьками воздуха и т. д. Мелкие
движущиеся вместе с жидкостью частицы оставляют на
фотографиях короткие черточки, которые в целом воссоздают картину
линий тока. Можно легко увидеть векторные линии магнитного поля.
Для этого достаточно насыпать на лист бумаги мелкие железные
опилки и снизу поднести к нему магнит. Можно увидеть и линии
тока при обтекании крыла самолета. Для этого крыло обклеивают
тонкими шелковинками и фотографируют картину его обтекания
в аэродинамической трубе или непосредственно в полете.
Уравнения линий тока Как най™ семейство линий тока
аналитически? Для этого необходимо указать
математическую задачу, из решения которой определятся линии
тока. Запишем условие того, что элемент
dr = dx{ Si = йххэх+dx2a2+dx3 э8,
§ 3. Скалярные и векторные поля и их характеристики 43
взятый вдоль линии тока, и вектор скорости
V = V'3i = Vl9t + V292 + 1>3Э3
параллельны друг другу: dr = dkv. Здесь d!k—скалярный
параметр, который можно рассматривать на каждой линии тока 2
как дифференциал некоторой функции X(s, 3), где s—длина дуги
вдоль линии тока. В компонентах получаем
V1 V2 £/3 '
или
^=*(х\х*,х*,Ц, 1=1,2, 3. C.2)
Это и есть дифференциальные уравнения линий тока. Они
отличаются от дифференциальных уравнений, определяющих закон
движения или траектории движения частиц сплошной среды, которые,
очевидно, имеют вид
% = *(#, х2, х\ t). C.3)
В уравнениях C.3) как в правую, так и в левую части входит
время /,ав уравнениях C.2) производные берутся по X, а правые
части зависят от t. При интегрировании C.2) t следует
рассматривать как постоянный параметр, а в уравнениях C.3) t необходимо
считать переменным.
Таким образом, линии тока, вообще говоря, не совпадают с
траекториями. Семейство линий тока х1—х1 (с1, с2, с8, X, t) зависит
от времени и в разные моменты времени разное. Однако параметр
t входит в правые части C.2) и C.3) только в случае
неустановившихся движений. В случае установившихся движений разница
между уравнениями C.2) и C.3) пропадает, она сводится только
к разному обозначению параметра, по которому проводится
дифференцирование, что не играет никакой роли. Поэтому линии тока
и траектории при установившихся движениях совпадают.
Рассмотрим некоторые примеры. Поступа-
тмектРЫ -линий тока и тельным движением твердого тела назы-
тории вается такое движение, при котором любой
прямолинейный отрезок, взятый в теле, перемещается параллельно
самому себе. Все точки твердого тела при поступательном
движении имеют в данный момент времени одинаковые по величине
и по направлению скорости. Следовательно, линии тока в этом
случае всегда прямые. А траектории? Поступательное движение
твердого тела может происходить по любой траектории, в том
числе и по окружности (см. рис. 6). Поэтому линии тока и
траектории в общем случае поступательного движения твердого
тела не совпадают.
44
Гл. IL Кинематика деформируемой среды
В случае произвольного движения твердого тела линии тока —
винтовые линии, а траектории могут быть произвольными.
Существуют ли такие неустановившиеся движения, для которых
линии тока все же совпадают с траекториями? Возьмем, например,
прямолинейное движение твердого тела
с переменной скоростью. В этом случае
как линии тока, так и траектории будут
прямыми, а само движение будет,
конечно, неустановившимся. Аналогично линии
тока и траектории будут совпадать в
случае вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси с переменной угловой
скоростью. В общем случае линии тока
Рис. 6. Поступательное и траектории будут совпадать друг с дру-
движение твердого тела по гом при таких неустановившихся движе-
окружности ниях, в которых скорости меняются в
данной точке пространства с течением
времени только по величине, но не по направлению.
Следовательно, линии тока и траектории совпадают для полей
V (х\ х\ х3) и v1^f(x\ х2, х\ t) v (х\ х\ л:3), где f (x\ x\ x\ t) —
скалярная функция своих аргументов.
Дифференциальные уравнения линий тока
C.2) можно переписать в виде
Существование линий
dx2 v2 dx3
тока "* ^_ ^1 ^_ /3 4)
и поставить для них задачу Коши, т. е. задачу отыскания, при
заданном постоянном значении параметра /, таких решений х2(х1),
х3(хх), которые при данном хх=х\ принимают заданные значения
х\ и л:3, иначе говоря, надо провести интегральную кривую системы
уравнений C.4) (линию тока) через данную точку с координатами
*1> Ау *о- Из общей теории дифференциальных уравнений
известно, что если в некотором объеме V правые части уравнений C.4)
представляют собой однозначные и непрерывные вместе со своими
первыми производными по переменным х1, х2 и х3 функции, то в
точках объема V существует единственное решение задачи Коши.
(Эта теорема верна и при некоторых более общих допущениях.)
Таким образом, при весьма общих ограничениях через каждую
точку данного объема, занятого движущейся сплошной средой,
можно провести, и притом только одну, линию тока.
Условия, обеспечивающие единственность
^к точки"' КрИТИ" решения задачи Коши, могут не
выполняться в отдельных точках поля
скоростей. В таких особых точках может нарушаться единственность
решения задачи Коши, и в этих точках линии тока могут
пересекаться или разветвляться. В частности, в точках, в которых
все компоненты скорости vl, v*9 v3 обращаются в нуль или в бе-
§ 3. Скалярные и векторные поля и их характеристики 45
Рис. 7. В критической точке А
скорость жидкости равна нулю, и в
этой точке происходит разветвление
линий тока
оконечность, правые части уравнений C.4) становятся
неопределенными, и такие точки являются особыми точками
дифференциальных уравнений линий тока. В этих точках может нарушаться
теорема единственности решения
задачи Коши. Соответствующие
особые точки могут иметь тип
центра, седла, фокуса, узла и быть
более сложными.
Особые точки
дифференциальных уравнений линий тока C.4)
носят название критических
точек. Важным примером являются
критические точки или линии в
потоке, где величина скорости
обращается в нуль. На рис.. 7
схематически изображены линии тока
в меридиональном сечении
течения, образующегося при
соударении движущихся навстречу друг
Другу двух осесимметричных
струй жидкости. В некоторой точке А в центре области
взаимодействия струй возникает критическая точка, в которой скорость
равна нулю, и происходит пересечение — разветвление линий тока.
Через каждую точку произвольной кри-
Поверхности тока, век- B0g q можно провести линию тока. При
торные поверхности п r r
v этом, если С не является линией тока,
образуется поверхность, в каждой точке которой скорость v лежит
в касательной плоскости. Эта поверхность называется
поверхностью тока. Аналогично построенная поверхность для
произвольного векторного поля называется векторной поверхностью. Как
найти уравнение поверхности тока {(х1, х2, х3) = const? Очевидно,
grad/, направленный по нормали к поверхности f (x1, x2, x3) = const,
будет перпендикулярен к вектору я, и, следовательно,
grad / • я = О,
т. е.
Мы получили дифференциальное уравнение в частных производных
для определения функции f(x, у, z).
Описанный выше способ построения поверхностей тока
указывает способ интегрирования уравнений с частными производными,
имеющих вид C.5). Это интегрирование сводится к нахождению
семейства линий тока, проходящих через контур С, т. е. к
интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(решения этих обыкновенных уравнений называются в общем
случае характеристиками уравнения в частных производных
46
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
C.5)). Видно, что построить таким образом единственное решение
можно лишь в случае, когда сам контур С не является линией
тока (т. е. характеристикой).
Если кривая С замкнутая, то
совокупив™ Т°Ка' векторяые ность проведенных через ее точки линий
тока образует трубку тока. В случае
произвольного векторного поля аналогично построенная трубка носит
название векторной трубки.
Выше мы рассмотрели вектор-градиент тем-
Потенциальное векторное пературы Т. Возникает вопрос: нельзя ли
поле: потенциальные те- r r
чения ц вектор скорости р представить в виде
градиента некоторой скалярной функции
ф(л:, у, z, ^)? Если существует такая функция ср(ху уу z, t)> что
дф дф дф
и дх ' V ду ' W дг>
то поле скоростей v называется потенциальным, а функция ф
называется потенциалом скорости. Аналогично произвольное
векторное поле А (х9 у, z, /) является потенциальным, если есть
функция Ф(лг, у у z, t) такая, что
4 = grad(D(*, у, z, t).
Согласно свойствам вектора-градиента скорость v в случае
потенциальных течений ортогональна поверхности равного потенциала
Ф = const и по величине больше там, где поверхности равного
потенциала расположены гуще; проекция скорости v на любое
направление 5 есть производная от потенциала ф по этому
направлению vs = dy/ds.
Необходимое и достаточ- Составим выражение
ное условие существова- udx + vdy + wdz. C.6)
ни я потенциала ^ /0 о\ *
Если течение потенциальное, то C.6)
будет полным дифференциалом (по координатам х, у, г) функции ф.
В самом деле,
udx+vdy + wdz=^^dx + ^dy+-^dz = d(p.
Верно и обратное: если выражение C.6) является полным
дифференциалом, то течение потенциально. Известно, что для того, чтобы
C.6) было полным дифференциалом, должны выполняться
равенства
ди ди ди dw dv dw
ду ~~'oV дг~~дх~' дг~Шуу
которые являются необходимыми и достаточными условиями
потенциальности течения. Далее мы увидим, что потенциальные
течения играют важную роль> а пока рассмотрим некоторые
примеры потенциальных течений.
§ 3. Скалярные и векторные поля и их характеристики 47
Поступательное течение
Примером потенциального течения может
служить поступательное течение с
постоянной скоростью и0 вдоль оси х. В этом случае и = и0, у = до = 0,
а потенциал ф, так как
яУ ~"*"оэ ^ — а* — и>
д*
dz
равен cp=tfo*+const. Отсюда легко сделать два очевидных вывода.
Во-первых, потенциал определяется с точностью до аддитивной
постоянной по координатам, во-вторых, любое поступательное
течение всегда потенциально. Действительно, в общем случае
поступательного течения и=и0, v=v0t w=w0 и q>=UoX+v0y+WoZ+C\
при этом и0, v0, w0 и С могут быть функциями t.
Заметим, что изучать потенциальные течения проще, чем
непотенциальные* так как потенциальные движения определяются
одной функцией cp(x, у, z, /), а движения общего вида — тремя:
v1(x9 у, z, /), v2(x, у, z, /), v*(x, у, г, t).
Рассмотрим еще один важный для
дальнейшего пример потенциального течения.
Пусть
Источник и сток в
пространстве
где r = ]/rx2 + y2 + z2, a Q = const или Q=Q(t). Ясно, что
поверхностями равного потенциала ф = const являются в этом случае
Q>0
Q<0
Рис. 8. Течения от точечных источника и стока в пространстве
поверхности г = const, т. е. концентрические сферы с центром
в начале координат. Скорость v = grad ср ортогональна к этим
сферам, т. е. направлена по радиусам. Линии тока являются
лУчами, выходящими из начала координат. Пусть Q > 0; тогда,
так как gradqp направлен в сторону роста ф, скорость v
направлена по г. Если Q < 0, то v направлена по—г (рис. 8).
Величина скорости равна
te-fM-ei-igi.
48
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Скорость стремится к нулю при г->-оо и к бесконечности при г->0.
Точки нуль и бесконечность являются критическими. При Q>0
имеем вытекание жидкости из начала координат во всех
направлениях — это течение называется точечным пространственным
источником. При Q<0 — втекание жидкости в начало
координат — сток. В первом случае в бесконечно удаленной точке имеем
сток, а во втором — источник.
Вычислим объем жидкости, протекающей за единицу времени
через поверхность сферы S некоторого радиуса г с центром в
начале координат. Через элемент сферы da за единицу времени
протекает объем жидкости v do, а через всю сферу
\j vdo= v \ do = 4nr2v= Q
s s
(v можно вынести за знак интеграла, так как u=const на
поверхности сферы). Заметим, что эти равенства верны всегда, когда v=
= v (г) и v ортогональна к поверхности сферы 5. Вычисленный
объем жидкости по C.7) не зависит от г. Таким образом, несмотря на
то, что на разных сферам разного радиуса с центром в начале
координат скорости разные, постоянная Q в формуле C.7) для
потенциала ф является объемом жидкости, протекающей за единицу
времени через каждую такую сферу. Величина Q называется
расходом или мощностью источника (стока).
Если Q=const, то источник или сток имеет постоянную
мощность; если Q=Q(t) — то переменную. Если в некоторый момент
времени Q меняется в начале координат, то мгновенно изменяется
поле скоростей во всем пространстве. Сигналы изменения Q сразу
сказываются на всем поле скоростей, что, конечно, не может иметь
места в действительности. Возмущения должны распространяться
с некоторой конечной скоростью. Поэтому рассмотренное поле
скоростей является определенной идеализацией, которая может
достаточно хорошо отражать действительность только в том случае,
когда рассматриваются течения жидкости с большой скоростью
распространения возмущений. Во многих случаях можно считать,
что такой жидкостью является, например, вода, в которой скорость
распространения слабых возмущений равна 1450 м/сек.
§ 4. Элементы тензорного исчисления
Многие характеристики движения сплошной среды имеют
тензорную природу, поэтому рассмотрим,основы тензорного
исчисления. Заметим, что скаляр и вектор тоже являются тензорами, но
наиболее простыми. Одних векторных и скалярных величин для
описания движения сплошной среды недостаточно.
Система координат устанавливает соответствие между числами
и точками пространства. В каждой точке пространства есть три
координатные линии. Это могут быть координатные линии сопут-
§ 4. Элементы тензорного исчисления
49
ствующей системы координат |\ £2, £3, или системы отсчета
наблюдателя х19 х2, х9, или еще какой-нибудь системы координат. Поэтому
для обозначения системы координат в этом разделе воспользуемся
буквами J;1, £2, £3 или тI, тJ, т|3.
Система координат вводится в рассмотрение исследователем, и
ее выбор зависит от исследователя, а не от изучаемого явления.
Законы движения могут содержать координаты, но не должны
зависеть от выбора системы координат. Они должны быть
инвариантными относительно выбора системы координат, что накладывает
известные органичения на вид математической записи этих законов.
_ - Рассмотрим необходимые сведения из тео-
Поеобразованне коооди- г- г-г
и!£ F F рии преобразования координат. Пусть
наряду с системой координат £\ £2, С3 естъ
система координат tj1, т)*, тK и законы движения можно
рассматривать как с помощью системы £\ £2, £3> так и с помощью
системы г]1, тJ, тK. Пусть есть соответствие между этими двумя
системами
С'-С'(ч1.ч1. ч1). D-1)
называемое преобразованием координат. Будем рассматривать
непрерывные взаимнооднозначные преобразования координат.
Они образуют группу. Будем искать соотношения,
инвариантные относительно группы непрерывных взаимнооднозначных
преобразований. По D.1) имеем
или
*-$-*1, + ||г*|Ч
«•-•^-Al'+^AlM
«C'-3f-*l,+$*l4
*-#*.
■%«.
■%«•
-*<*•
D.2)
D.2')
где по / идет суммирование от 1 до 3, a i пробегает значения 1,
2, 3, что в дальнейшем не будет указываться, но будет
подразумеваться.
Итак, вблизи любой данной точки есть связь приращений
координат dt* и drf. Производные dtf/drf являются функциями
точки, но в заданной точке они постоянны, и D.2) является
линейной связью приращений координат dl* и drf в данной точке.
Введем обозначения
-—- = а\).
(Из дальнейшего следует, что расстановка индексов вверху и внизу
и порядок написания индексов весьма важны.) Величины а\)
4. Л.И. Седов
50
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
образуют матрицу
где первый индекс, i9 соответствует ее строке, а второй, /,— ее
столбцу. Из взаимной однозначности в общем случае следует, что
якобиан преобразования, равный детерминанту матрицы ||а!/|),
отличен от нуля, т.е. Д=^|а(/|=^0. Так как Д=^0, то линейные
соотношения D.2) можно разрешить относительно йт\* и наряду
с D.2) написать формулы
^ = %^'- D'3)
Введем матрицу
где
1 д#
Матрицы А и В введены для прямого и обратного преобразований.
Они взаимно обратны, т. е. их произведение равняется единичной
матрице. Действительно,
A.B = ||a':)||-||Will«llflf/6/ilU
но
^дг£_дУ__11 ПРИ i=zk>
дцУ д£* "" dlk ~~\0 при 1фк,
*!}«* =
так как £\ £2, £3, как и т]1, тJ, тK, являются независимыми
координатами. Дальше будем пользоваться символами Кронекера
ч
I при / = &,
[0 при 1фк.
Имеем
И1 0 0
A-B-|«i| =
0 1 0
0 0 1
= Е,
где Е — единичная матрица. Очевидно, что для детерминанта
матрицы В верно равенство
i«ii-f
Приведенные выше рассуждения были проведены для
трехмерного пространства, но они верны и для любого л-мерного
пространства, в том числе одномерного, двумерного и четырехмерного,
встречающихся в механике сплошной среды.
§ 4. Элементы тензорного исчисления
51
Заметим, что приводимые рассуждения не требуют введения
метрики пространства. Пространство £\ С2, £3 может быть
неметрическим пространством или пространством с весьма сложной метрикой.
- Теперь ради полноты изложения и под-
Векторы базиса г г /л *
D K черкивания употребляемых точек зрения
повторим вопрос о введении векторов базиса э1э э21 с3. В системе
координат z;1, £2, £3
рассмотрим точку М с координатами Sj/ s^£s
£*. £а» £3 и бесконечно
близкую ей точку М' с Гкоордина-
тами £4-d£\£4d£*,£3 + d£3
(рис. 9). Введем в рассмот- Nyj!>/i'{z7+dZ7, Z2+dz2, z3+d%5)
рение новый объект м(ъ\ z\ %V *
dr = MM\
т. е. пару бесконечно
близких точек М я М\ взятых
в определенном порядке
(упорядоченную пару точек), И Рис. 9. Векторы базиса эъ э2, э3
изобразим его на чертеже
стрелкой ММ', которая определяется только координатами точек
М и ЛГ. Наряду с dr введем в рассмотрение другой объект
kdr, D.4)
где k—некоторое число; объект kdr направлен по dr, если k > О,
и противоположно dr, если k < 0. Проведем из точки М
координатные линии и рассмотрим на них точки Ыг, N2, N3y
определяемые соответственно приращениями только одной из координат
d£*, или d£2, или d£3. Аналогично объекту dr введем объекты
MNly MN2, MN9 или по D.4), полагая Л£= l/d£', объекты
которые мы назовем векторами базиса; они направлены по
касательным к координатным линиям.
В общем случае dr направлен произвольно, и по определению,
можно написать
dr^d^ + d^ + dtfa,.
Величины d£\ d£a, d£3 называются компонентами dr. Очевидно
векторы базиса э1? э2, э8 системы координат t,1, £2, £3 в системе
координат £*, £2, £3 всегда имеют компоненты A, 0, 0), @, 1, 0),
@» 0, 1) соответственно. Векторы базиса можно ввести как в
системе координат £\ £а, £3, так и в системе координат т]1, т]2, т]3.
В разных системах координат в одной и той же точке они будут
разными. Обозначим векторы базиса в системе координат г\х, т)а,
52
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
гK через э'и э'г* &'ъ\ в системе координат ц1, тJ, rf будем иметь
dr = dr\Ja).
Очевидно, что компоненты dr и векторы базиса а,- зависят.от
выбора системы координат.
„ л Получим формулы, с помощью которых
Преобразование векторов J * , » 1 * ч
базиса и компонент dr векторы базиса э, в новой, т|\ тJ, т]3, си-
при переходе от одной стеме координат могут быть выражены
системы координат к дру- через векторы базиса э( в старой, g1, £2,
гой £3. Имеем
dr = drfa) = d{/9i = -^г drfai.
Отсюда
Для компонент dr согласно D.3) имеем связь
дх\* = Ь[)<Щ. D.6)
Заметим, что векторы базиса э{ преобразуются согласно D.5)
с помощью матрицы А, а компоненты dr—по D.6) с помощью
матрицы В, обратной матрице А. (Необходимо обратить внимание
на расположение индексов в D.5) и в D.6).)
Подчеркнем, что объект dr инвариантен
Инвариантность dr отно- относительно преобразований координат:
сительно преобразовании г г г*
координат dr = йу]/э> = Ь['№а*)Э3 = d{*9h
так как
«*!-{£ 'i+'.}-«-
Выражение dr через компоненты и векторы базиса
соответствующей системы координат не меняется при переходе от одной
системы координат к другой; оно инвариантно относительно
преобразований систем координат.
Величины, преобразующиеся аналогично
^РЗтаныхЫвХел11чин0ах' векторам базиса э, по D.5), называются
ковариантными. Величины,
преобразующиеся аналогично компонентам dr по D.6), называются контра-
вариантными.
Подчеркнем, что преобразования ковариантных и контрава-
риантных величин являются взаимно обратными.
Определение вектора ТепеРЬ П0 пР™еРУ dr МОЖНО ввести
объект А, который представляется через базис
следующим образом:
§ 4. Элементы тензорного исчисления
53
и его компоненты А1 при преобразовании координат
преобразуются как компоненты dr:
А'* = Ъ\)А*.
Объект Л, инвариантный, как и dr, относительно преобразований
координат:
Л = Л'эу;=Л'<э;., D.7)
называется вектором.
Инвариантность вектора А обеспечивается взаимообратностью
преобразований компонент вектора А1 и векторов базиса э4-.
Векторы базиса являются носителями каждого вектора,
коэффициенты при них в D.7) являются в общем случае числовыми
функциями точки М.
Вектор А может иметь любую геометрическую или
физическую природу, но через векторы базиса он всегда определяется
разложением D.7), где числа (функции) А1 зависят от системы
координат. Векторы базиса Э( управляют числами А1' и создают
новый объект—вектор А.
Возникает вопрос: нельзя ли, кроме эь
Полнадные произведения ввести еще какие-нибудь базисные объекты,
векторов базиса * ~
^ которые, подобно Э/, управляя числами,
позволили бы ввести еще более сложные, чем вектор, понятия,
инвариантные относительно преобразований координат? Такие
объекты можно ввести, и, в частности, за такие объекты можно
взять
•£5 ==^2^2> -^8 === ^2^3» ■^7==^3^1> ^8==|^3,^2> "9Я*8*1
и рассмотреть
T = VEh D.8)
где Т*—числа, называемое компонентами Т в базисе Е( (/=1,
2,..., 9).
Базисные объекты Е{ называются полиадными произведениями
векторов базиса 9t (в данном случае их можно назвать диадными,
так как каждое произведение состоит из двух векторов, но можно
вводить и произведения многих векторов вида &a=*9jBj9&l% ♦..,
Для произведений четырех векторов в трехмерном пространстве
s=l, 2, ..., 81). По определению полиадные произведения
векторов базиса считаются линейно независимыми, т. е. равенство
Т = 0 возможно, только если 9 чисел Т* равны нулю. Вместо новых
обозначений Ек удобно пользоваться непосредственно
обозначениями Bi3j и писать равенство D.8) в виде
Г-Г^Эу.
54
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Полиадное умножение векторов представляет собой некоторую
операцию над векторами, приводящую к новым объектам (не
векторам и не скалярам). Для определения этой операции достаточно
указать ее свойства. В частности, существен порядок
перемножаемых векторов {Э1Э2фэ2э^}. По определению операция полиадного
умножения является линейной (выполняется свойство
дистрибутивности, числовые множители можно выносить за знак
произведения). Например, справедливо равенство
9i (аэу + bah) = 09i9j + b9i9k,m D.9)
где а и b—числа.
Полиадные произведения векторов базиса 9i9j, так же как и
сами векторы базиса а,-, зависят от системы координат. Формулы
преобразования величин 9t9j легко получить, зная формулы
преобразования 9i и пользуясь свойством линейности полиадного
произведения. Эти формулы имеют вид
9\9) = аР.1а«)9р9г D.10)
Компоненты диадных произведений 9t9j в соответствующей им
системе координат можно записать в виде матриц, состоящих из
одной единицы и остальных нулей. Например, компоненты 9г92
образуют матрицу
II 0 1 011
р о оI.
II о о о II
С помощью полиадных произведений можно вводить объекты,
называемые тензорами.
Потребуем, чтобы Tij9{9j было инвариантно относительно
преобразований систем координат, т. е.
ТНэр^Т'Щэ), D.11)
где TiJ и Тч* относятся к разным системам координат. Отсюда
и из правила преобразования полиадных произведений D.10) ясно,
что Tij должны преобразовываться при замене систем координат
по формулам
Т'Ч = #;$;?*'. D.12)
Определение тензора Инвариантный объект T — T'^fij
называется тензором второго ранга или второй
валентности. Рангом или валентностью тензора называется число
индексов его компонент. Очевидно, вектор есть тензор первого
ранга.
Как и в случае вектора Л, инвариантность тензора Т
обеспечивается взаимообратностью преобразований полиадных
произведении D.10) и компонент тензора D.12).
§ 4. Элементы тензорного исчисления
55
Аналогично тензору второго ранга можно ввести тензор любого
ранга, например тензор пятого ранга, как
Т = TVM~9i9J9k9t9a ^Т'^Э&'Э&Э'т, D.13)
где объектами, управляющими числами Tijklmy теперь являются
полиадные произведения эрръЭр^ которые преобразуются
аналогично D.10), а компоненты тензора преобразуются
аналогично D.12).
Подчеркнем, что вектор и тензор определяются как объекты,
не зависящие от преобразований координат, а не как просто набор
компонент, которые преобразуются по заданному закону1 .
Введенные по D.11) и D.13) компоненты
Симметричные и антисим- Тензора TlJ\ TiJklm преобразуются контра-
метричные тензоры *
F F вариантным образом и называются контра-
вариантными компонентами тензора.
В общем случае все компоненты тензора Т разные. Если же
при перестановке какой-либо пары индексов значение компонент
тензора Т сохраняется, TiJklm = TJikl,hy то тензор Т называется
симметричным по этим индексам. Из правила преобразования
компонент тензора D.12) ясно, что свойство симметрии тензора
инвариантно относительно преобразований координат.
Если при перестановке какой-нибудь пары индексов
компоненты тензора Т меняют знак, Tijklm = —TJ'iklm> то тензор Т
называется антисимметричным по этим индексам. Свойство
антисимметрии тензора также инвариантно относительно преобразований
координат.
Если взять тензор T^T^'a^j, то объект Т,* = Т,*/7э/эу,
где T*lJ~TJi, тоже будет тензором, причем 7" = Т* только
Для симметричного тензора.
1 Мы определили инвариантные объекты—векторы и тензоры, базисные
объекты и компоненты которых преобразуются при преобразовании координат
"П* == т|* CES £2> £3) с помощью взаимно обратных матриц л!/ = д£'/дг|У и b\)==
= дг\1/д&. Аналогичным образом можно вводить другие базисные объекты е,-,
преобразование которых определяется другими (связанными иным способом
с преобразованием координат) матрицами А[ и В[, и строить на их основе
соответствующие инвариантные объекты Q = Q'e/=Q'^e/, P^PUefij—P'^e'kei и
т- д. таким образом, чтобы
e) = A)eh Q'J = BftQi, Р'*1 = вЩрО\ A)Bjk = Vk.
Например, при рассмотрении ортогональных преобразований, кроме
векторов и тензоров, вводят спиноры и спин-тенэоры, базисные объекты и
компоненты которых преобразуются с помощью некоторых матриц А1, и ВУ
являющихся другим (не совпадающим с а\) и Ь1.)) матричным представлением
гРУппы ортогональных преобразований пространства.
Математически и физически одному и тому же набору компонент могут
соответствовать различные тензоры, когда одинаково преобразующиеся векторы
оазиса различны.
56
Гл. II; Кинематика деформируемой среды
Сложение тензоров и ум- Возьмем два тензора А = А^кэ{Э^Эк и
ножение их на число В =* BiJkBi3j3k и составим комбинацию
А + В = (A[Jk + В"*) э^^у которая,
очевидно, также будет тензором. Этот новый тензор А-\-В называется
суммой тензоров А и В. Таким образом, с помощью указанного
правила из данных тензоров можно образовать новые, которые
являются их суммой или разностью. Складывать и вычитать можно
тензоры только одинаковых рангов.
Очевидно, что если мы имеем тензор А, то объект C = kA,
где k—любое число, не зависящее от системы координат
(скаляр), также будет тензором.
v Пользуясь правилами сложения и умноже-
Операции симметрирова- ния тензоров на число, любому тензору
ния и альтернирования г -, /г,., ' J ^J
г второго ранга Т = TlJ3i3j можно поставить
в соответствие симметричный тензор
и антисимметричный тензор
Операции получения тензоров Го и 7\ носят название
операций симметрирования и альтернирования соответственно. Если
тензор Т симметричный, то Т0 = Т, а 7\ = 0; если Т
антисимметричный, то Г0 = 0, а Т1=-Т.
Заметим, что по определению тензор равен нулю, если все
его компоненты равны нулю.
Векторы базиса э1у преобразующиеся по
Формулы преобразования D.5), носят название ковариантных век-
контравариантных векто- * гт
ров базиса торов базиса. Пусть имеем некоторый
тензор второго ранга х^х'ЛЭ/Эу и в некоторой
системе координат £\ £2, £3 введем
э'*==х"эу, D.14)
где, например, х1-/'эу = х11э1+х12э2 + х13э3 = Э1 является суммой
трех векторов базиса зь умноженных на числа x1J'. Аналогично
в другой системе координат гI, т]2, г]3 можно ввести
Формулы преобразований х^? D.12) nsq D.5) нам известны,
с их помощью получим формулы преобразования э1
э'р = к'ряэ'д = Ьр.\Ь^ак:цЭк = #7х'Л9у = ЬЪэ1', D.15)
так как М;:а^ = 6^. Видно, что э( преобразуются контравариант-
ным образом. Векторы з1' называются контравариантными
векторами базиса.
§4. Элементы тензорного исчисления
57
Итак, с помощью произвольного тензора второго ранга х можно
ввести контравариантные векторы базиса э1'. Заметим, что если
ковариантные векторы базиса Э/ зависели только от системы
координат, то контравариантные векторы базиса э1' зависят и от
системы координат, и от тензора х, с помощью которого они образованы.
Зная контравариантные векторы базиса э',
Ковариантные компонен- можно найти ковариантные векторы ба-
ты тензора к зиса э,-,-т. е. можно разрешить D.14)
относительно Si- Для этого необходимо ввести матрицу ||xl7fl,
обратную матрице ||хг/||, что требует соблюдения условия Det Цх^'Ц^О.
Из элементов алгебры известно, что
*v=X- <4Л6>
где А/у—алгебраические дополнения элементов матрицы ||х/у|,
a A = Det|x^|. Таким образом, зная матрицу ||х#||, детерминант
которой отличен от нуля, можно по D.16) составить матрицу Цх^Ц.
и разрешить D.14) относительно Э/. В некоторой системе
координат £\ £2, £3 будем иметь
эу. = ху,э<\ D.17)
Аналогично в другой системе координат тI, гJ, тK
С помощью известных формул преобразований эу- D.5) и э* D.15)
получим формулу преобразования для компонент х1у..
Действительно,
э) = %'пэч = а[)э{ = а\)к1кэк = а^а^к^э'1,
откуда
x;£*=a?/a?ixM. D.18)
Видно, что если составить выражение х^э'эЛ где э'э*—полиад-
ные произведения контравариантных векторов базиса э'\ которые
преобразуются по формулам
то оно будет представлять собой объект, не зависящий от
выбора системы координат, ибо xiy преобразуются ковариантным, а
полиадные произведения э(э}' контравариантным образом. Кроме
того, по D.14) и в силу того, что матрица х/у. обратна матрице
к'7, будем иметь
Х.уЭ'Э' = KiP'x/(lKu9p9Q = КдРЭрЭг
Таким образом, мы видим, что ху7 можно назвать ковариант-
ными компонентами рассмотренного выше тензора второго ранга х
в контравариантном базисе э'. Ради простоты в дальнейшем
будем считать х симметричным тензором, т. е. х'7 = х^\
а следовательно, и xiy- = xy;.
58
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Ковариантные компонен- Для любого вектора Л, очевидно, можно
ты произвольного вектора написать
А = А'Эу = АЫиэ* = Асэ1\
если положить A^^AL D.19)
Видно, что у контравариантных компонент А* вектора Л, как
и у контравариантных векторов базиса з', индекс опускается
с помощью ковариантных компонент тензора и D.19) и D.17).
Следовательно, А{ преобразуются так же, как и з,, т. е. кова-
риантным образом:
А\ = ак\Ак\
А{ называются ковариантными компонентами вектора А в контра-
вариантном базисе з'\ Следовательно, для каждого вектора А
можно ввести компоненты Л1', преобразующиеся с помощью
матрицы В, называемые контравариантными компонентами, и компоненты
Ah преобразующиеся с помощью матрицы А, называемые
ковариантными компонентами. В общем случае ковариантные и контрава-
риантные компоненты вектора отличаются друг от друга, AJ' Ф Лу-.
w Рассуждения, проведенные для вектора,
Ковариантные и смешан- J » г ^ * г
ные компоненты тензора можно применить к тензорам любого
ранга и получить, например, для тензора
четвертого ранга
Т = Т^1э[э}экэ1 = TV#7tipX; 1*ктк1пэРЭ<>этэп =
= Тр,тпэ^этэп = T^iK/pKkq9i9P3(Iai = Т1/рд1.э{эРэ^эг D.20)
Компоненты Tpqmn называются ковариантными, а
Т[рд{—смешанными (ковариантными по индексам р, q и контравариантными по
индексам i, l) компонентами тензора Т. Формулы преобразования
для смешанных компонент имеют вид
т. е. преобразование ковариантное по нижним индексам n, r и конт-
равариантное по верхним индексам т, я.
Мы видим, что с помощью тензора х у ком-
Жонглирование индек- понент любого тензора можно опускать
и поднимать индексы. Эта операция носит
название операции жонглирования индексами. Например,
Т = Тиэ*э* = Ти*?*9кэ*= TkKk&\ D.21)
вместо записи тензора Т с помощью ковариантных компонент Т{j
мы получили его выражение через смешанные компоненты Tk.\.
Ясно, что опускание индексов D.20) проводится с помощью xiy,
а поднятие D.21) с помощью k(j\
§ 4. Элементы тензорного исчисления
59
Заметим, что складывать и вычитать можно только компоненты
тензоров с одинаковыми строениями индексов. Свойства
симметрии и антисимметрии тензоров также определялись нами
относительно одинаково расположенных индексов.
Все приведенные выше рассуждения отно-
Ллина вектора r r ~,. ,
д Y сились к одной произвольной, но
фиксированной точке пространства. Введем теперь метрику пространства,
т. е. укажем способ определения длин в пространстве. Для
определения длины вектора достаточно определить скалярные
произведения векторов базиса
которые, вообще говоря, в данной точке могут быть
произвольными числами. Квадрат длины вектора dr по определению будет
равен
| dr |2 = ds2 = dr dr = <% dXj э{• Э] - d£' ti/gl/9 D.22)
а квадрат длины любого вектора
\A\*=A'A/giJ.
Длина любого вектора выражается через его компоненты и
скалярные произведения векторов базиса gtJ.
Условие инвариантности длины \dr\ относительно выбора
системы координат имеет вид
\dr\2 = g;qdцPdця^gi.dlЫ^ = gi/ai/pa{qdy]Pdця.
Фундаментальный метри- Отсюда вытекают тензорные формулы пре-
ческий тензор образованияg..j:g'pq = а\ра['$и. Таким
образом, в силу инвариантности длины \dr\ величины g/7 следует
рассматривать как ковариангные компоненты тензора g-== g^.a'V,
который называется фундаментальным метрическим тензором.
Согласно определению скалярного произведения тензор g
является симметричным тензором:
8i/ = g/i-
Квадратичная относительно приращений координат dXJ форма
D-.22) называется фундаментальной квадратичной формой,
задающей метрику — расстояние между близкими точками
пространства.
Из алгебры известно, что всякую квадратичную форму с
постоянными коэффициентами можно привести к каноническому виду,
т- е.. в каждой выбранной точке можно найти такие координаты
х1, а:2, л:3, что квадратичная форма D.22) запишется в виде суммы
квадратов:
ds2 - (dx1J + (dx2J + (d%3J, D.23)
60
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
а матрица тензора g приведется к виду
1 о о,|
о 1 о
О 0 11
Заметим, что выполнить такого рода преобразование сразу во всем
пространстве, вообще говоря, нельзя, т. е. нельзя найти такую
систему координат х1, х\ х3, чтобы D.22) во всем пространстве
привелась к виду D.23). Если такая система координат существует,
то пространство называется евклидовым, если нет — неевклидовым.
Если в /z-мерном пространстве форму D.22) с помощью
вещественного преобразования координат можно во всем пространстве
привести к виду ds2 = at {dx1J, где at = ±1, i = 1, 2, 3, . . ., /г, и по
крайней мере одно из at отличается знаком от других, то
пространство называется псевдоевклидовым.
Введем матрицу giJ\ обратную gtj. Ее
Взаимосвязь ковариант- компоненты преобразуются по контравари-
ного и контравариантного антН0Му закону. Будем ее использовать
базисов, если в качестве ,/ J J
х используется тензор g как х у> т- е- Аля введения контравариант-
ных векторов базиса. При этом необходимо
только, чтобы Det || gtj \Ф0. С помощью giJ' можно ввести контра-
вариантные векторы базиса э3
& = &%> D.24)
и проводить жонглирование индексами уже не с помощью
произвольного тензора х, а с помощью фундаментального метрического
тензора g. Дальше будем использовать э', введенные с помощью giJ\
Установим свойства скалярных произведений sJ -эр.
Из D.24) имеем
9*-эр = в"э, • эр = gUgip = 6£, D.25)
т. е. э1э1= 1, э1э2 = 0, а1а8 = 0 и т. д.
Отсюда следует, что вектор базиса э1 ортогонален площадке,
образованной векторами э2, з3, и т. д. Нетрудно проверить, что
для контравариантных векторов базиса верны следующие формулы:
г __ Э2ХЭ3 Q2-- эзХЭ1 з ЭгХЭ2 (Л 9(\\
д1.(а2хэ3) ' * а^хаз)' э1-(э2хэ3)у к }
а для ковариантных—формулы:
9 = э2хэ3 q - о***1 ~ _ ^ха2 _ а т
** э1-(э2хэ*)' ^2~а1-(э2ха3)' **~ ^.(э^хэ*)' к }
где знаком х обозначены обычные векторные произведения.
Говорят, что ковариантные и контравариантные векторы базиса
взаимны. Ясно, что в декартовой ортогональной системе
координат 3J' = 3ji следовательно, в такой системе координат нет разницы
§ 4. Элементы тензорного исчисления
61
\g\ g1-* g1-*
i 2* 2- 2*
g-1 g-2 g-Z
3- 3- 3-
\g-l g^2 g.3\
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-|«/
между ковариантными и контравариантными компонентами
векторов и тензоров и поэтому написание индексов вверху и внизу
становится несущественным.
Из D.25) ясно, что смешанные компонен-
Смешанные компоненты ты g*. фундаментального метрического тен-
метоического тензора to ' ^J ^ « r ^
мс F F зора g в любой системе координат
образуют единичную матрицу:
i«ty-
Неопределенное умноже- Мы уже познакомились с некоторыми
ние тензоров операциями над тензорами, укажем еще
на операцию умножения тензоров. Пусть имеется вектор Л= Л'Э/
и тензор T = Tffj9ks/\ формально образуем
В = А1Тк.}Э{экэ'
и
5* = Al'T*jak3'3i =■ TikAj9i9k3S.
Очевидно, В и В* будут тензорами, но ВфВ*. Эта операция,
приводящая к получению тензоров более высокого, чем исходные,
ранга, носит название операции неопределенного умножения
тензоров. Ее результат зависит от порядка умножения. С помощью
неопределенного умножения векторов можно образовать тензор
любого ранга А1'А/Ак ... э,э;эЛ ..., но не всякий тензор можно
представить как произведение векторов. С помощью
неопределенного произведения можно вводить тензоры вида
2> = gUgpqgrs ### ЭрррЭцЭгЭ; ...=
^Sijgpqgrs ••• Э1Э*ЭРЭ<*ЭГЭ3 . . . = б?уб?^; ...Э(Э'ЭРЭ4ЭГЭ5 ...
Очевидно, что смешанные компоненты тензоров S), выражающиеся
через символы Кронекера, в любых системах координат одинаковы,
т. е. они являются инвариантами преобразования координат. Эти
компоненты равны нулю или единице.
и„л Л Скаляр k можно рассматривать как тензор
Число компонент тензора r r r v
v нулевого ранга, он характеризуется одним
числом C°=1), вектор—тензор первого ранга в трехмерном
пространстве имеет три компоненты C1 = 3), тензор второго ранга
имеет 32 = 9 компонент и т.д., тензор ранга р имеет в трехмерном
пространстве 3^ компонент, а тензор ранга г в n-мерном
пространстве имеет пг компонент. Иногда, например при наличии
симметрии, число независимых компонент тензора может сокращаться.
В частности, двухвалентный симметричный тензор G|7 = Гу|)
имеет только шесть независимых компонент, а антисимметричный
(Ту=. — Tjt) имеет только три независимые компоненты. Понятие
симметрии тензора означает инвариантность его компонент отно-
62
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
сительно некоторой группы преобразований.. Например,
указанные выше смешанные компоненты тензора S> инвариантны
относительно группы всех непрерывных преобразований. Компоненты
тензора 3) с любым строением индексов инвариантны относительно
группы ортогональных преобразований, определенной из условия
инвариантности компонент фундаментального тензора g{J.
В общем случае компоненты тензора за-
Скалярные инварианты висят от выбора системы координат, но
тензор можно поставить задачу: отыскать такие
функции Ф(Г!)) от компонент тензора, которые будут
инвариантными относительно выбора системы координат, т. е.
ФG!;) = Ф(Г?-).
Такие функции компонент тензора называются инвариантами
тензора. Они являются числами или функциями точек пространства.
Именно такие функции компонент тензоров и векторов должны,
наряду с другими инвариантными объектами, входить в
математическую запись физических законов, которая должна быть
инвариантной относительно способов описания физического явления и, в
частности, не должна зависеть от системы координат. Аналогичным
способом можно определить инвариантные функции от компонент
нескольких тензоров. Такие функции называются скалярами.
Укажем простые правила образования инвариантов вектора и тензора.
Возьмем вектор
А = А1 э£ = Aj3J' = AigiJ9J
и составим скалярное произведение
А А = ЛМ'Э/ • 3j = AASgij = A(At.
Полученное выражение является инвариантом (квадратом
длины вектора Л), так как преобразования разноименных компонент
вектора взаимно обратны. У вектора только один независимый
инвариант — его длина, все остальные инварианты являются ее
функциями.
Теперь возьмем любой тензор второго ранга
Т = TV эрj
и образуем свертку по обоим индексам с метрическим тензором
Tijgij (сверткой называется операция суммирования по верхнему
и нижнему индексам), которая даст число, не зависящее от системы
координат, так как преобразования компонент с верхними и
нижними индексами взаимно обратны. Можно записать
TVgiJ = Ti;l = T\i + T*i + T*.i. I
Свертки Т'рЬ, \ D.28)
Т\)Т>;рТр: )
§4. Элементы тензорного исчисления
63
также будут инвариантами. Итак, для тензора второго ранга мы
получили три инварианта: линейный, квадратичный и кубичный
относительно компонент. Ниже будет показано, что в случае
симметричного тензора второго ранга, особенно важном для
наших приложений, все остальные скалярные инварианты
будут функциями этих трех.
Возьмем произвольную точку О и близкую
Тензорная поверхность к Heg Т0ЧКу м Проведем в О координат-
си мметричного тензора ч-i *о *ч
второго ранга ные линии £ » С*. Б3 и рассмотрим вектор
и симметричный тензор
Очевидно, TijdZjdt/ является инвариантом, и мы можем положить
Tud^dJj^T4d^d^^c% D.29)
где с — некоторое число. В малой окрестности точки О уравнение
D.29) при фиксированном с и значениях Т/у, взятых в точке О,
определяет поверхность второго порядка, которая называется
тензорной поверхностью. Дифференциалы dXJ или dr\1'
рассматриваются как координаты точек этой тензорной поверхности. Каждому
симметричному тензору Т второго ранга в каждой точке можно
поставить в соответствие поверхность второго порядка D.29).
Как известно, уравнение этой поверхно-
™«!!ные* оси и главные сти второго порядка с помощью преобра-
компоненты симметрично- к к ^ г
го тензора второго рода звания координат можно привести к
каноническому виду, т. е. в точке О можно
выбрать систему координат я1, г2, х* так, что D.29) примет вид
Тп {dx'Y + Т22 (dxr + T33 (dx*)* = с.
Среди таких систем координат х1, х2, х3 в точке О будет
ортогональная система. Следовательно, в каждой точке пространства можно
ввести ортогональные оси координат так, что только три
компоненты 7\ь Т22, Т33 симметричного тензора второго ранга в этой
точке будут отличными от нуля. Такие оси называются главными
осями тензора, а прямоугольная декартова система координат (ga =
^l» Sa = 0 при i Ф /), оси которой направлены по главным осям,
называется главной системой координат тензора Т в точке О.
Очевидно, разница между ковариантными и контравариантными
компонентами в главной системе координат пропадает:
та т т1 т
(суммирование по i здесь отсутствует). Три вообще различные
и отличные от нуля компоненты тензора в главной системе
называется его главными компонентами. Способ отыскания главных осей
и главных компонент симметричного тензора изложен на стр. 154-
156,
64
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Теперь можно легко ответить на вопрос о числе независимых
инвариантных функций компонент симметричного тензора второго
ранга. Все они в главной системе координат должны быть
функциями только трех компонент, и, следовательно, их число не может быть
больше трех, а из записи инвариантов D.28) в главной системе ясно,
что все три найденных ранее инварианта независимы.
В дальнейшем потребуется еще ряд сведений из тензорного
исчисления, которые будут излагаться по мере необходимости.
О зависимости векторов
базиса сопутствующей
системы от времени
§ 5. Теория деформаций
Пусть относительно системы координат наблюдателя jc1, л:2, х3
движется абсолютно твердое тело (рис. 10). Отметим два его
положения — в начальный момент времени t0 и в некоторый
произвольный момент t.
С каждой точкой М тела можно связать
сопутствующую систему координат g1, £2,
£3. Сопутствующая система будет двигаться
вместе с телом, и векторы базиса
сопутствующей системы в моменты t0 и t будут разными. Обозначим
их в момент t0 через hh а в момент t—через э~. Ясно, что
векторы базиса сопутствующей системы зависят, вообще говоря, от
точки М тела и, кроме того, меняются со временем. Очевидно,
что если система g1, £2, Ъ? вморожена в среду, а среда движется как
абсолютно твердое
тело, ТО ТрИЭДрЫ Э,-
МОЖНО получить из
триэдров э{ посредством
поступательного
перемещения и поворота
|Э|Нэ,|
х
Рис. 10. Движение абсолютно твердого тела.
е.
Сложнее будет обстоять дело в случае движения деформируемого
тела. Действительно, при движении деформируемого тела
расстояния между его точками М и М' меняются. Координатные линии
сопутствующей системы координат деформируются, и векторы
базиса Э/ меняются со временем так, что меняются и их величины и
углы между ними.
Эффект изменения расстояний между точками сплошной среды во
время движения очень важен. В частности, укажем на то, что силы
§ 5. Теория деформаций
65
взаимодействия между частицами могут зависеть от расстояний
между ними.
Рассмотрим два произвольных положения деформируемого тела
и, в частности его точек М и М\ в произвольные моменты
времени / и f (рис. 11). Векторы базиса в точке М в момент f
обозначим через э\, а в момент t —через э,-. Очевидно, в сопутствующей
системе координат будем иметь
и
Мы хотим ввести в рассмотрение характеристики изменения
расстояний, поэтому необходимо ввести метрические тензоры
сопутствующей системы координат в моменты времени tut'.
Рис. 11. Движение деформируемой среды.
Однако еще до введения метрики укажем, что любой бесконечно
малый отрезок прямой, выходящий из точки М\ в процессе
движения сплошной среды переходит в малый отрезок прямой,
выходящей из точки, соответствующей этой точке М.
^ Действительно, наряду с бесконечно малым элементом
сплошной среды dr в момент /, которому в момент V соответствовал
dr'f можно ввести в момент t элемент сплошной среды kdr, где
*—некоторое число. В пространстве р, £2, £8 в момент V этому
элементу соответствовал элемент kdr', так как в этом
пространстве в силу сохранения лагранжевых координат всех точек
сплошной среды должно иметь место разложение по векторам базиса э\
kd&ai — kdr'.
При разных конечных k и данном dr элементы kdr определяют
в момент t малый отрезок прямой, выходящий из точки М,
которому в пространстве Б1, £а, £3 в момент /' соответствовал малый
отрезок прямой kdr1.
5- Л.И. Седов
66
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Теперь введем метрики пространств сопутствующей системы
координат в моменты / и /'. Пусть в момент t
\dr\ = dsy ds2 = gijdlidV\ где £7 = эгэу, E.1)
и в момент V
\dr'\ = ds\ ds'^g^dVdV, где ё'ц = э'гэ]. E.2)
Подчеркнем, что координаты точек М и ЛГ в моменты / и /'
в сопутствующей системе координат одинаковые, а
компоненты gij и g'cj разные.
Назовем коэффициентом относительного
Коэффициент относитель- удлиНения отношение
ного удлинения J^
где ds и ds' проходят в соответствующие моменты времени через
одни и те же индивидуальные точки среды. Коэффициент I зависит
от точки М и направления элемента, для которого он
вычисляется, и не зависит от длины dr. Если / в каждой точке
деформируемой среды и в каждом направлении бесконечно мал, то
деформация называется бесконечно малой. Если I имеет конечное
значение, то деформация конечная. По определению для абсолютно
твердого тела все коэффициенты / равны нулю.
Обратим внимание, что деформации и коэффициенты
относительного удлинения / можно вводить, рассматривая два
совершенно произвольных положения сплошной среды, и что / для
любого dr можно вычислить, зная gif, g'rj и направление dr.
Введем обозначение
Тензоры деформаций 1 /~ , \ /С А\
по E.1) и E.2) будем иметь
ds2-ds'* = 2budVdiJ.
Из E.4) видно, что г{/. можно рассматривать как ковариантные
компоненты тензора. Как известно, с помощью любого тензора
второго ранга х можно rte ковариантным компонентам
некоторого тензора образовать его контравариантные компоненты. В
метрическом пространстве мы условились в качестве тензора х
использовать фундаментальный тензор g. В нашем случае можно
поднимать индексы либо с помощью g'U, либо с помощью g*f и
поэтому по ковариантным компонентам г^ можно образовать два
разных набора контравариантных компонент: е'7 (индексы
поднимаются посредствомgiJ) и е'^"(индексы поднимаются посредством g''').
Это означает, что можно образовать два разных тензора
§ 5. Теория деформаций
67
имеющих одинаковые ковариантные компоненты E.4), но
отнесенных к разным базисам э{ и эч. Эти два тензора называются
тензорами деформаций. Контравариантные и смешанные компоненты
тензоров <£ и <§' разные, и мы установим для них обозначения
е'У, е''7 и е'/э в'*/ соответственно; г'^фг^, так как zfi^zpjg'p'1,
а e',«e,y#>/ и g'p^g*.
Тензоры деформаций являются основными характеристиками
возникающих в телах деформаций, и их компоненты входят
в основные уравнения, описывающие движение сплошной среды.
Ясно, что в интересующий нас момент t
Начальное состояние и величины деформации зависят не только
€ начальное состояние» т г
от рассматриваемого состояния тела, но
и от того, по отношению к какому состоянию эти деформации
вычисляются. Как выбрать это состояние, если мы хотим получить
определенные физические характеристики деформации? Очевидно,
оно не может быть совершенно произвольным, а должно быть
определено из конкретных физических соображений. Отметим, что
его можно определять по-разному, и сейчас в теории деформаций
мы не будем фиксировать этот способ определения, а назовем
каким-то образом выбираемое для сравнения с данным состоянием
сплошной среды состояние начальным и укажем только на
могущее встретиться при этом следующее обстоятельство. Это
начальное состояние не обязательно должно реально
осуществляться. Например, за начальное состояние можно принять
такое мысленно введенное состояние, в котором структура
каждого элемента сплошной среды упорядочена и элемент
предоставлен самому себе, т. е. на него не действуют никакие силы.
Обозначим метрику в этом мысленно введенном состоянии через
Si/9 а векторы базиса сопутствующей системы в начальном
состоянии через э,. Очевидно, что введенная таким образом метрика
может оказаться неевклидовой. Реальное же движение сплошной
среды происходит в евклидовом пространстве, и, следовательно, в общем
случае может не существовать действительного (реального)
перехода сплошной среды из начального состояния в данное.
Идеальное примысленное «начальное состояние» (в кавычках) можно
использовать для оценки изменения метрики и для введения тензора
Деформаций.
Поясним сказанное на примере движения в двумерном
евклидовом пространстве, т. е. на плоскости. Условимся рассматривать
Движение некоторой пленки в плоскости, а за начальное состояние
выбирать такое, когда к пленке не приложены никакие силы.
Пусть пленка растянута по краям и только благодаря этому
растяжению остается плоской. Если же освободить пленку от
растягивающих усилий, то она покоробится, покроется морщинами и, оставаясь
Двумерной^ уже не будет плоской» Установить взаимно однозначное
68
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
соответствие между точками плоской пленки в данный момент и
покоробленной, морщинистой (в случае снятия с нее всех нагрузок)
можно, но для этого, вообще говоря, нужно выйти в трехмерное
пространство; оставаясь в двумерном пространстве, с сохранением
евклидового типа метрики пространства, этого сделать нельзя.
Поэтому нерастянутое покоробленное состояние пленки по отношению
к движениям в двумерном евклидовом пространстве можно
рассматривать только как «начальное состояние» (в кавычках). Итак,
если вводимое по каким-то физическим соображениям начальное
состояние как состояние сплошной среды может осуществляться
мысленно или фактически с помощью некоторого движения, то
это начальное состояние можно определить как начальное
состояние без кавычек. Если же вводимое мысленно состояние сравнения
не может быть получено непрерывным движением среды в том же
самом пространстве, то это «начальное состояние» (в кавычках!).
Компоненты g(/ в общем случае могут 'зависеть от I1, £2, |3
и t; если примысленное «начальное состояние» фиксировано, то
g;j могут зависеть только от I-1, £2, £3.
Выясним теперь геометрический смысл ко-
Геометрический смысл ко- вариантных компонент тензоров дефор-
вариантных компонент лл°^ г~ч-г
тензоров деформаций маций $ и <£. Запишем компоненты
метрических тензоров в следующем виде
hj = *i■•3y-|aiHay|cos^/f E.5)
где tyij—углы между векторами а,- и эу, и
kij^Srhj^la^lajlcos^j, E.6)
где tyi, — углы между векторами Э/ и эу. Составим отношение
дг
PV
дг0
dV
\dri\ _ ds{
I dr0i I ds{
-S-'/+1. E-7)
где dSi и dsQi — элементы дуг координатных линий £', а 1( —
коэффициенты относительных удлинений в направлениях £'. Теперь
с помощью E.7) из E.5) можно получить
ft/ = |3/l-|«yl0 + 'iH+'/)cos4),y, E.8)
а с помощью E.6), E.8) и E.4), приняв за состояние сплошной
среды в момент /' начальное состояние или «начальное состояние»
§-/у, получим следующие формулы:
28/у«[A+^A+/у)со5ф|7-со5^7]|э1.||э/|, E.9)
которые удобны для геометрического истолкования е,-у.
§5. Теория деформаций
69
Рассмотрим сначала геометрическое истолкование е,у с
одинаковыми индексами. Из E.9) будем иметь
fcw-Kl+'iI-»]*/!. E.10)
откуда
/.= l/l + ^-l. E.11)
Если деформации малы, то е/у- малы; разложив E.11) в ряд,
получим
/,«ДЦ-. E.12)
ён
Кроме того, если сопутствующая система в начальном состоянии
взята декартовой, то £,•,•= 1, и поэтому
//«««, E.13)
т. е. ковариантные компоненты тензоров деформаций с
одинаковыми индексами в случае бесконечно малых деформаций совпадают
с коэффициентами относительных удлинений вдоль декартовых
осей координат начального состояния.
Обратимся к вопросу о геометрическом истолковании
компонент etj с различными индексами (при ьф}). Для этого ради
простоты в «начальном состоянии» выберем в данной точке такую
систему координат, в которой Э/ взаимно ортогональны, т. е.
ф|;.*±л/2. Тогда, положив
♦у—if—Х«/.
из E.5), E.6) и E.4) получим
28/y-|5,|.|a,|sinxiy,
или
2е//
sinX// = 1/^-1/^ » EЛ4>
У su У g/j
откуда видно, что в общем случае углы, бывшие в «начальном
состоянии» прямыми, после деформации перестают быть прямыми,
и ковариантные компоненты el7 с различными индексами (i=£j)
характеризуют скашивание первоначально прямого координатного
Угла. Если деформации бесконечно малы и система координат
в начальном состоянии декартова, то £/=1 и £и=1+0(е)
(е—бесконечно малая величина). С помощью разложения в ряд
легко получим
sinxiy«2e,/f E.15)
или
Х«7^2е//- E16)
70
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Главные оси тензоров де- С каждым симметричным тензором, з том
формаций числе и с тензорами деформаций, можно
связать квадратичную форму г^йЪ^йЪ/. Как указано в § 4, в
каждой точке можно найти такую ортогональную систему координат
гI, тJ, г]3, в которой квадратичная форма г^йЪ? d%/ приведется
к виду
e^dE'dBZ-eiCrfnT + ^^V + ^iWI- E.17)
Преобразование от I* к тI' зависит от компонент е/у., поэтому
соответствующий ортогональный триэдр if при движении будет
вообще разным в различные моменты времени. Возьмем в
пространстве g(j такие оси гI, г]2, гK и покажем, что в результате
движения они перейдут в пространстве g/y- (для сопутствующей
системы) в соответствующие направления осей г]1, т]2, ту*, для
которых а/ тоже будут ортогональны. Действительно, для таких осей
гI, т]2, тK компоненты г'ц при 1Ф\ равны нулю, и, следовательно,
по E.14) Х// — 0» т- е- оси Л1* Л2, Ч3 останутся ортогональными.
Таким образом, для переменных tj1, ц2, х\3 координатные триэдры
в пространствах °g(j и gtJ совпадают с главными осями <£> и <£.
В них одновременно приводятся к диагональному виду матрицы
Ikul Hut \kiJl \\ёЧ КД «ef/ll, lle'V'H, ||ef;l, fle<7||.
Образуемый главными осями в начальном состоянии
ортогональный триэдр при данном перемещении остается ортогональным:
углы между главными осями не скашиваются, однако
ортогональный триэдр главных осей может перемещаться как твердое тело, т. е.
смещаться поступательно и поворачиваться. Заметим, что элементы
dr9 взятые вдоль главных осей, во время движения могут
сжиматься или растягиваться. Подчеркнем, что понятие главных
осей тензора деформаций введено здесь в случае произвольных
конечных деформаций. Главные оси тензоров деформаций £ и $
в соответствующих пространствах проходят через одни и те же
индивидуальные точки среды.
Главные компоненты тен- ВД°ЛЬ главных осей т]1, г]2, т}3 тензора
зоров деформаций деформаций в момент времени /
ds\ = gtdd*f)% E-18)
(суммирование по i отсутствует), и в главных осях квадрат длины
произвольно направленного элемента dr может быть представлен
в виде
ds2 = ds\ + dsl + dsl E.19)
Аналогично в начальном состоянии
dsl^guid^r E*20)
§5. Теория деформаций
71
(суммирование по i отсутствует) и
dsl^dsli + dslz + dsls. E.21)
Взятые таким путем вдоль главных осей элементарные отрезки
dst и dsoi могут рассматриваться как обычные декартовы
координаты в окрестности данной точки в данном состоянии и в
начальном состоянии соответственно (масштабы координат dsiy как и
масштабы координат dsoh вдоль разных главных осей при этом
одинаковы). В пространстве наблюдателя системы dsoi, ds02y ds03 и dSi,
dsl9 ds3 в общем случае не совпадают.
Воспользовавшись E.18), E.20) и определением ковариантных
компонент тензоров деформаций E.4), легко получим
ds*-dsl = 2 2 ^-ds] = 2 £ %L ds\h E.22)
t- 8 и t. 8 a
где штрих у г'ц вверху указывает, что ковариантные компоненты
тензора деформаций взяты в главных осях. Матрицы |)g,y|| и \g(J\
имеют в главных осях диагональный виду поэтому обратные им
матрицы ||^(| и \giJ\ в главных осях также имеют диагональный
вид и g" = l/£/7, a g(i=*\l{fu- Поэтому входящие в E.22)
отношения Bygu и еу£ц будут соответственно равны 8/^/7 = 8J = ez.
и t'ugu = г\ = г[ (в этих двух выражениях суммирование по i
отсутствует) и, следовательно, являются смешанными компонентами
тензоров деформаций в соответствующих главных осях.
Выражение E.22) теперь может быть записано в виде
ds*—ds20 = 2 (ех ds\ + e2 ds\ + e3 ds\) =
= 2 (гг ds2Q1 + e2 ds202 + e3 ds203). E.23)
Итак, с каждой точкой среды можно связать обычные
ортогональные декартовы системы координат (s01f s02fs03) и (sb s2, s3), оси
которых в результате перемещения переходят друг в друга.
Расположение индексов (вверху или внизу) в этих системах, поскольку они
являются ортогональными декартовыми, несущественно.
Соответствующие компоненты тензоров деформаций et ие^в этих системах
являются главными компонентами.
/> Тензоры деформации g и £ имеют разные
ьвязь главных компонент r ^ r r
тензоров деформаций $ главные компоненты, т. е. в{фг19 но между
и $ г{ и 8/ существует связь. Установим ее.
Из E.22) для направления drh взятого
вдоль i-й главной оси, будем иметь
ds2i-ds20i = 2e[dsl E.24)
откуда
2е,= 1-^. E.25)
asi
72
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Аналогично
dsj — dsi/e>ufifa5/ E.26)
и
Й,-#-1. E.27)
asm
Из соотношений E.25) и E.27), в частности, видно, что г(Фе{9
и из них же легко получить, что
2е, = 1 L_e-J2_f E.28)
1 1+2е/ 1+28/ V '
т. е. найти искомую связь главных компонент тензоров £ и £> .
Установим еще связь между коэффициентами относительных
удлинений в направлениях главных осей /f = SiT У' и главными
компонентами тензоров деформаций. Из E.25) следует
и аналогично из E.27)
/. = •^1+28,-1. E.30)
Формулы E.29) и E.30) верны для конечных деформаций. Если
же деформации бесконечно малы, то малы компоненты тензоров
деформаций & и <$ и из E.29) и E.30) после разложения в ряд
получим
т. е. коэффициенты относительных удлинений вдоль главных осей
в случае бесконечно малых деформаций совпадают как с
главными компонентами тензора деформаций £ в актуальном
пространстве, так и с главными компонентами тензора деформаций #
в начальном пространстве.
Способ определения глав- Теперь напомним способ, с помощью ко-
ных компонент тензора торого можно найти главные компоненты
тензоров деформаций. Ради краткости
возьмем матрицу
где %—некоторый числовой параметр, и будем под ней
подразумевать как матрицу |Хб'у—е'Д так и матрицу |АЛ'у — e'J. В
главных осях матрица С имеет вид
||Х—ei о о
С*= 0 Я,-еа о
I) О О X—е3||
§5. Теория деформаций 73
Если взять DetC* и приравнять его нулю, то, очевидно,
получится кубическое относительно Л уравнение
(X-el)(*-ei)(X-61)«0]
или, в развернутом виде, [ E.31)
Я3—/1Xt + /1X—/t-0. J
Корни А*, Х2, ^а этого уравнения будут главными компонентами
8i, 82, е8 соответствующего тензора деформаций. Так обстоит дело,
если E.31) составлено в главной системе tI, tj2, tj8.
Возьмем произвольную, не главную, систему координат б1» I2»
£3 и в ней составим матрицу С. Рассмотрим преобразование от tj1,
гJ, тK к g1, |2, £3. Компоненты матрицы С, как разности компонент
двух тензоров, являются компонентами тензора. Согласно
формулам преобразования смешанных компонент тензора получим
откуда вид£о, что Det Сг — Det С, и, следовательно, уравнение
E.31) или
lxe',-^1-0 E.32)
инвариантно относительно выбора системы координат и корни
его всегда определяют главные компоненты тензоров деформаций.
Если в E.32) вместо е'у стоят е'у, то получим корни it\ если вместо
е'у взять е'у, то получим корни ej. Уравнение E.32) называется
характеристическим или вековым уравнением; как известно, для
симметричного тензора оно всегда имеет три действительных корня.
Коэффициенты векового уравнения E.31) являются инвариантами
относительно преобразования координат, так как они полностью
определяются корнями, т. е. главными значениями тензора
деформаций. Раскрывая E.31) и E.32), получим формулы для Л, /а, /3
A-"«i-Hi+ *»-«"(*•
А - «А + е2ег+ взв, = 1 [(8*аJ-8 VJ, E.33)
A-VA-DetJe'yl.
Итак, для определения главных компонент тензоров
деформаций следует составить в данной системе координат |lf £2, £3
вековое уравнение E.32) с коэффициентами E.33) и найти его
корни.
Инварианты /1э /а, /3 для тензора <§ будем обозначать через
h* ^2» At а для тензора £—через Д, /а, Г9; инварианты Д, /2, /,,
очевидно, выражаются через 8lt elf е8, а /1Э 7а, /8—через 82, е„ е,,
И! поскольку е;фг(у 1{Ф 1{. Главные компоненты г{ и 8/ связаны
Друг с другом, поэтому и инварианты lt связаны с инвариан-
и
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
тами /,-. В случае бесконечно малой деформации е,= е(- и
инварианты lt и /,- совпадают. В случае конечной деформации по E.28)
и E.33) легко найти следующую связь между инвариантами l\ и'1(:
/1=г81 + еа+8,==1+2/х+4/,+8/, '
7>^>^+^=1жЙйЛ' E-34)
Л ~ уч /
/, = 8Ле8=1+2/1+472+8/а
3
„ .. л - Изучив соответствие линейных элементов
Коэффициент кубического , J *
расширения "s и ^so B актуальном и начальном
состояниях, найдем соответствие элементарных
объемов в этих состояниях. Возьмем в главных осях тензора
деформации в начальном состоянии элементарный прямоугольный
параллелепипед с ребрами ds01, ds02f ds0„ его объем dV0
определяется формулой dV0 = ds01ds02ds0s' При движении ему
соответствует прямоугольный параллелепипед с ребрами dslf ds2, ds3
и с объемом dV=ds1ds2ds3. Назовем коэффициентом кубического
расширения 0 величину относительного изменения объема
Согласно E.26) равенству E.35) можно придать вид
e = 1/(l+2e1)(l+2e2)(l+288)-lt E.36)
а по E.33)—вид
О = У \+21г + 412+Ы\ — 1. E.37)
Величина 0 определена как инвариантная геометрическая
характеристика. Формула E.37) дает выражение для 0, пригодное при
использовании любой системы координат»
Аналогичным путем можно ввести 0 для элементарных
параллелепипедов в любой криволинейной системе координат. Ниже
покажем, что определенный формулой E.35) коэффициент
кубического расширения не зависит от формы первоначального объема
dV*. Он равен относительному изменению любых малых объемов
вблизи данной точки в случае конечных деформаций.
В случае бесконечно малых деформаций из E.36) или E.37)
следует формула
Таким образом, первый инвариант тензора деформаций в случае
бесконечно малых деформаций можно рассматривать как
коэффициент, кубического расширения.
5. Теория деформаций
75
Вычисление компонент Обратимся теперь к вопросу о том, как
тензора деформаций по определять ковариантные компоненты тен-
закону движения ^^ деформаций S(J По известному закону
движения
tf-rfG1, P. l\ t), Р-6'(*. *> **> *), E.38)
4*-^(р, 1», 6», *0). Е'-?«. *5. 4, <•) E.39)
и известной метрике gtj пространства наблюдателя я1, х2, &. Под*
черкнем, что время t рассматривается как параметр при
преобразовании координат от сопутствующей системы к системе
наблюдателя. Если, начальное состояние соответствует положению среды в
момент t0, то преобразование координат, от системы наблюдателя к
лагранжевой системе для начального состояния определяется
формулами E.39). Ковариантные компоненты тензора деформаций в
сопутствующей системе координат определяются равенствами
где g{j—метрика актуального пространства в сопутствукйцей
системе. Так как
gijd&d& = gpqdxrdxfi,
то
*• _ дхР дхЧ
и, следовательно, в сопутствующей системе координат
1 / дхР дх<1 ° \ /е -Лч
• *u=T{b<-w-w-8t'} E-40)
где производные дхР/д\{ определены из E.38). Заметим, что о
метрике gu пространства «начального состояния» в общем случае
ничего сказать нельзя, так как она может вводиться в разных
случаях с помощью различных физических соображений. Однако влиять
на компоненты метрического тензораgy все же Можно посредством
выбора системы £\ £2, £3 в «начальном состоянии».
Если переход от системы наблюдателя к начальному состоянию
определен E.39), то й лагранжевой системе начального состояния
имеем
: _ 1 (п « дх$ дх%\
где дх%1д\п определено из E.39).
На основании формул преобразования компонент тензора <§
от сопутствующей системы к системе наблюдателя, наряду
с'формулами E.40) в сопутствующей системе, в системе координат
76
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
наблюдателя будем иметь
где производные д1т/дхп определены из E.38).
Рассмотрим случай, когда начальное со-
вектор перемещения стояние может реально осуществляться и
его метрика gin- как и метрика gi/y является евклидовой. В этом
случае можно ввести вектор
перемещения w (рис. 12)
r = r0 + w, E.4I)
где г о и г—радиусы-векторы
относительно некоторой точки
одной и той же точки М
сплошной среды в начальный момент
шХ2 времени /0 и в данный момент t
соответственно.
я1 Рис. 12. Вектор перемещения С помощью E.41) можно
легко установить связь
между векторами базисов Э/ и hi и с ее помощью написать
формулы для компонент тензора деформаций гу.
Продифференцировав E.41) по £', получим
откуда
или ,
• -1 dw
9'-3' dV'j
поэтому
в|у-*|.эу-агау+аг_+ау_+——.
и
Следов ател ьно
e/^e.-^g-^-g^^y^,.—+ эу—+ —•—J
1 Г Л» - Л»
~~2 L «£' J д\1
dm dw ]
' ' а|' ' ер J
E.42)
E.43)
Формулы E.43) верны при любом выборе вообще криволинейных
§ 5. Теория деформаций
77
лагранжевых координат g1, £2, £8. Заметим, что в выражении E.43)
для компонент е^ входят лишь первые производные вектора
перемещения w по координатам I1, £2, £3, которые характеризуют
относительные перемещения точек сплошной среды.
Мы получили выражения для компонент
о дифференцировании тензора деформаций е., через вектор пере-
вектооа и его компонент ^ ** *г г - ij г r ^ r
по Ординатам мещения w. Теперь получим выражения
компонент тензора деформаций е^ через
компоненты вектора перемещений w. Для этого необходимо
установить, как выражается производная от вектора через
производные от его компонент.
Очевидно, обычные производные от компонент не определяют
изменения самого вектора, так как при переходе от точки.к точке
пространства меняются, вообще говоря, и векторы базиса. В самом
де^е, возьмем, например, полярную систему координат на
плоскости и рассмотрим поле
постоянного как по величине, так и по
направлению во всех точках плоскости
вектора А. Вектор А при переходе от
точки к точке плоскости не
меняется, и его производная, очевидно,
должна равняться нулю. Координатами J-1
и £а будут радиус г и угол ф,
векторы базиса будут направлены
следующим образом: э1—по лучам,
выходящим из начала координат, а э2—по
касательным к окружностям г = const.
В разных точках плоскости эг и э2
будут направлены по-разному, и компоненты постоянного
вектора А в разных точках плоскости будут разными (см.,
например, точки В и С на рис. 13), т. е. производные от компонент
постоянного вектора не будут равны нулю.
В декартовой системе координат
дх1 дх1 v * дх' *
Рис. 13. Полярная система
координат на плоскости
так как базисные векторы эх = 1, Э2=/, э3 = к не
изменяются от точки к точке.
В произвольной криволинейной системе
координат тI, г|2, )K векторы базиса э,
переменны, и поэтому нужно написать
dw
Ковариантное
дифференцирование компонент
тензоров и векторов и его
свойства
ьу
dwk . и дэь
дц< * бу
E.44)
Очевидно, по определению можно принять, что производная
ddk/drf также представляет собой вектор, характеризующий
свойства криволинейной системы координат. Разложим этот
78
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
вектор по базису Sj и обозначим компоненты этого разложения
символами Tki
^.TU, E.45)
Величины Tic являются функциями координат т]\ if, rj3 и
называются коэффициентами связности1 . Нцже мы изучим величины
Yjki подробно. На основании E.45) равенство E.44) принимает вид
дт\1 dr\l J
Второй член представляет собой сумму по k и /. Поменяем в ней
обозначения индексов суммирования k на / и / на k. Тогда можно
написать
Коэффициенты при эк, т. е. —г+о/'Г*-, с двумя индексами
дц1
имеют специальное обозначение Vfs>k\ они называются ковариант-
ными производными контравариантных компонент вектора w
^* = -^+оЛ% E.47)
OXI
Установим свойства y/afi.
В декартовой системе координат (г\{,*=х?), так как дэк/дх{=:0,
т. е. Г// = 0, имеем
. dwk dwfc
ковариантная производная совпадает с обычной производной
компонент вектора по координате.
1 Эти коэффициенты тесно связаны с определением геометрических свойств
вводимых математически моделей физических или фазовых пространств.
В общем случае геометрических пространств эти коэффициенты можно
задавать различными формулами. Ниже рассматриваются только евклидовы,
псевдоевклидовы и вообще римановы пространства, для которых по
определению коэффициенты Г^. задаются одинаковыми формулами только через
компоненты метрического тензора gmn и их производные по координатам.
Задание Г£. позволяет перейти от векторной алгебры в каждой точке
пространства к тензорному анализу, в котором необходимо переносить
векторы и тензоры из данной точки в любые другие точки пространства, и таким
путем сравнивать векторы и тензоры в соседних точках, что необходимо при
конструировании производных по координатам х* от векторов и тензоров
любых порядков тоже как тензоров.
Нижеследующие выводы и формулы действительны для манипулирования
с тензорами в пространствах любого числа измерений и, в частности, в
моделях метрических четырехмерных физических пространств, употребляемых
в классических теориях относительности.
§5. Теория деформации
70
Ковариантные производные образуют компоненты тензора. В
самом деле, пусть £\ £2, £'а — новая, а г]1, 1]2, т}3 — старая системы
координат. Тогда
dw dw dx\l
W~ дт|' W '
и видно, что, так как w — инвариантный объект, то dw/dt]'
преобразуются как ковариантные компоненты вектора. Поэтому
представляет собой инвариантный объект; но по E.46) и E.47)
мы имеем
т. е. Т является тензором второго ранга, смешанными
компонентами которого являются ковариантные производные \twk.
Заметим, что производные dwk/d\]' не являются компонентами
тензора. Действительно, если под знак производной д/дц* вместо
wh подставить их выражение в новой системе координат
то по тI' нужно будет дифференцировать и dr\k/dt/, и мы не
получим тензорного закона преобразования для dwkldy\l.
Из определения ковариантной производной очевидно, что
ковариантные производные от скаляра ср совпадают с обычными
производными
1 дц1
и определяют вектор, который является вектором-градиентом
скалярного поля ф. Этот вектор как характеристику поля ср мы
рассмотрели подробно выше.
Определим теперь ковариантную производную контравариант-
ных компонент тензора. Возьмем для конкретности тензор второго
ранга # = #/*эуэА и проведем вычисление следующим образом:
diI дг)' J " дг\' ' дт)<
dr\l J J
Во второй сумме поменяем обозначения индексов суммирования
* и /, а в третьей Ink, тогда получим
80
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
где по определению
VtH'* - ^ +Я'*Г},- + Я/'Г**,
называется ковариантной производной контравариантных
компонент тензора второго ранга Я. Легко видеть, что в связи с тензором
второго ранга Н можно ввести тензоры третьего ранга по формулам
или
или
Очевидно, что тензоры 7\, Т%, T9 вообще различны.
Аналогично можно построить ковариантную производную от
контравариантных компонент тензоров любого ранга.
Из определения ковариантной производной (ее линейности
по компонентам тензора) ясно, что ковариантная производная от
суммы контравариантных компонент равна сумме ковариантных
производных:
Покажем, что правило дифференцирования произведений в ко-
вариантном смысле совпадает с правилом дифференцирования
произведений в обычном смысле. Пусть требуется вычислить
yi(vJ'wk). Для этого необходимо воспользоваться правилом кова-
риантного дифференцирования контравариантных компонент
тензора, так как произведения vJ'wk, как известно из предыдущего
(§ 4 гл. II), являются компонентами тензора второго ранга. Итак,
dr\l
что и доказывает требуемое утверждение. Совершенно аналогично
будет дифференцироваться в ковариантном смысле произведение
произвольного числа членов.
Рассмотрим вопрос о ковариантном дифференцировании в том
случае, когда вектор задан не контравариантными, а ковариант-
ными компонентами. Пусть
и требуется вычислить —г. Тогда
*2L^9f+WjtoL. E.48)
§5. Теория деформаций
81
Очевидно, дэЦдх\1у так же как и dsj/dt]', будет вектором;
разложим его по эк. В случае евклидова пространства и в более общем
случае римановых пространств верна формула
~ = -П>э», E.49)
дт]1
где TL—введенные ранее коэффициенты связности. В евклидовом
и римановом пространствах они называются также символами
Кристоффеля. Для установления справедливости E.49) возьмем
скалярное произведение
и продифференцируем это равенство, верное во всех точках
пространства, по координате г\1
|^эА+э'.(йэ,)-0.
дгI
В последней сумме отличен от нуля только тот член, в котором
/ = /; поэтому
d3J Q Г"'
Очевидно, что эта^ формула равносильна E.49). Формула E.48)
с учетом E.49) примет вид
dw dw/ • п/ ь
dr\i dr/ J
После замены в последней сумме индексов суммирования / на k,
a k на / получим
Выражение —-—wJ*jt определяет ковариантную производную от
дг\1
ковариантных компонент вектора:
Аналогично можно ввести ковариантную производную от
ковариантных компонент любого тензора.
Заметим, что y/Vj являются ковариантными, a
V^y—смешанными компонентами одного и того же тензора второго ранга
г* dw 1 •
dr\i ' J ' J
Отсюда следует, что компоненты метрического тензора gtj и gtJ\
несмотря на то что они зависят от тI, т]2, т)8, должны вести себя
6. Л.И. Седов
&2 Гл. II. Кинематики деформируемой среды
по отношению к ковариантному дифференцированию как
постоянные величины. Иначе гозоря, не меняя результата, их можно
вносить и выносить за знак \(. Действительно, между уро* и \рик,
как между различными компонентами одного и того же тензора,
существует связь:
у.ш/ = £/*^А> E.50)
но
и, следовательно,
wf=sgJ*wk% E.51)
т. е. VigJk = 0. Аналогично получится, что
VtfT/* = 0,
если вместо выражения E.50) взять V^ — Sk/V^, a
вместо E.51) wk = gkjwJ.
Остановимся теперь на вопросе о вычисле-
Свойства символов Крис- дии СИМВОлов Кристоффеля в метрическом
тоффеля r Y^ r
™ евклидовом пространстве и выясним
свойства символов Кристоффеля. Заметим, что существуют более
сложные пространства, чем * евклидовы или римановы пространства,
в которых символы Кристоффеля не вычисляются, а задаются,
и способ их задания входит в определение пространства.
Символы Кристоффеля не являются компонентами какого-либо
тензора. Это видно, например, из того, что в одном и том же
пространстве они в декартовой системе координат равны нулю, а в
криволинейной отличны от нуля. Очевидно, что компоненты
тензора таким свойством обладать не могут.
В евклидовом пространстве символы Кристоффеля симметричны
по нижним индексам:
Г/е/ = Г/л*
Покажем это. В евклидовом пространстве всегда существует
радиус-вектор г (if, гJ, тK) и 3j = dr/dr\f, a
_g^ = d*r = а»г ==jgfe> E52)
дур дг\к frt\J dx\J дцк dr\J
откуда
Дадим формулы для вычисления символов Кристоффеля по
компонентам метрического тензора g. В римановбм пространстве
симметрия символов Кристоффеля по нижним индексам принимается по
определению. Поэтому полученные ниже формулы E.53) для Г fa
верны также в римановом пространстве.
§ 5. Теория деформаций
83
Возьмем соотношение
и из него получим
dSjs дэ3 Г1 г1
и аналогично
Сложив эти два равенства и воспользовавшись симметрией
символов Кристоффеля по нижним индексам, равенством E.52) и
тем, что
fofe .toy _ dSju
dr\s "*/"*" dif *c'*~ drf '
получим
an* av ar)'
j
2
*
Свернув последнее соотношение с -к gis, получим требуемые
формулы
г'*-2 {-w+^r-^)- E-53)
Выражение тензора де- Вернемся теперь к формуле E.43) и
полуформаций через компо- чим формулы, выражающие компоненты
ненты вектора перемене- тензора деформаций через компоненты
вектора перемещения. Вектор перемещения w
можно разложить как по актуальному э^ так и по начальному э{
базису и соответственно этому ввести два сорта компонент
одного и того же вектора wy т. е. до* и до*,
Можно ввести и два сорта ковариантных производных
И
■|r-V/W* E-55)
Первая из ковариантных производных вычисляется в начальном
пространстве, и в ней символы Кристоффеля вычисляются по gly,
84
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
а вторая—в актуальном пространстве, и в ней символы Крис-
тоффеля вычисляются по gtJ. Подставим E.54) в первое
равенство E.43), получим
в/у = ^ lfifl>*) kkj + (Vyi*) in + (VflfiVj**) gkil
Воспользовавшись тем, что компоненты метрического тензора
можно, не меняя результата, вводить под знак ковариантной
производной, будем иметь
в/у = у [U«V + V/®t + V Av/И- E-56)
Аналогично с помощью E.55) и второго равенства E.43) можно
получить
в/у ву[^Я +W—vAVy»*]. E.57)
В случае бесконечно малых относительных перемещений после
отбрасывания квадратичных по \w\ членов получим
в/у = у (Vfl>/ + V/U) = у (V/«V + ?уЬ/). E.58)
Очевидно, что ej7 совпадают с компонентами симметризованного
тензора VjttJ/Э'эА В декартовой системе координат
в »Л^+*йЛ E.59)
Подчеркнем, что формулы E.43) и E.56) для компонент тензора
деформаций справедливы только тогда, когда можно ввести вектор
перемещения w для всех точек движущейся среды, тогда как тензор
деформаций и его компоненты определяются по метрикам ds2 и ds\
по формулам E.4) или E.40) независимо от предположения о
существовании вектора перемещения.
Тензор деформаций имеет девять компо-
О существовании уравне- нент> из которых в силу симметрии еи
нии совместности т-т
различных только шесть. При наличии
перемещений w эти шесть компонент ги по E.56) выражаются
в каждой данной точке через девять производных Ууи>, и,
следовательно, могут быть в данной точке пространства произвольными
числами. Однако е,у не могут быть произвольными функциями,
следовательно, могут быть в данной точке пространства
произвольными числами. Однако el7 не могут быть произвольными функциями
точек пространства g1, |2, £3, так как по тем же формулам E.56)
шесть функций el7 от £\ £2, |3 выражаются через производные
только трех функций wt от I1, Е2, £3. Поэтому е,7 должны
удовлетворять определенным уравнениям, которые называются
уравнениями совместности деформаций.
§5. Теория деформаций
85
Уравнения совместности должны существовать только тогда,
когда вектор перемещения w существует, т. е. тогда, когда как
актуальное, так и начальное состояния сплошной среды
принадлежат евклидову пространству. Поэтому рассмотрим предварительно
условия евклидовости пространства.
Формулы преобразования Символы Кристоффеля Г?,, как известно,
Символов Кристоффеля не являются компонентами какого-либо
тензора, в трехмерном пространстве они
образуют экстенсив из двадцати семи величин. Символы
Кристоффеля связаны с компонентами метрического тензора формулами
lf'-2* \-toT+ dxt дх* J' <553а>
которые выше были получены для евклидова пространства и по
определению справедливы для риманова пространства.
Обозначим символы Кристоффеля в системе координат т/
через Г)*, а в системе координат %{ через Г?/ и установим формулы
преобразования символов Кристоффеля при переходе от системы
координат g1' к системе тI'. Очевидно, что aj = aa—Ц-; продиффе-
дг\1
рейдировав это равенство по т/ и учитывая, что
i£i_r'a ~- ^L^po о -ruin!-'
так как 3@ = -^шЭуу получим
^?a;-[rs,
_ алУ ag<* agp , d2£<* a^l ,
Умножив обе части этого равенства скалярно на э'?, будем иметь
искомые формулы1
'7"V aPdi/ дц/^ д^дц/)д^ '
Уравнения, определяю- Можно ли найти такую систему коорди-
* котоооГг^ ^°°рАИНат' нат т|', чтобы все Y'ij обратились в нуль?
р *' В евклидовом пространстве можно
ввести единую для всего пространства
декартову систему координат, в которой gik = const и,
следовательно, все r'JssO во всех точках пространства. В римановых
пространствах дело обстоит не так. Напишем уравнения, опре-
1 Полученные формулы преобразования и условия E.60) независимы от
определений E.53а) и являются следствиями только формул D.5) и E.45),
написанных в исходной и преобразованной системах координат. Дальше для
простоты принято, что Г£в=Гва1 и поэтому для метрического пространства
верна формула E.53а).
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
деляющие систему координат, в которой все коэффициенты Г®р
равны нулю. DetUy^O, поэтому все Г^ могут обратиться
в нуль только при условии выполнения равенств
В римановом пространстве этим равенствам всегда можно
удовлетворить в некоторой заданной точке, т. е. всегда можно ввести
новые координаты tj1' так, чтобы в заданной точке т)£,
соответствующей точке Ц, все Г^ = 0. Для этого, очевидно, достаточно
положить
^—^ = б-(^—r,g) —^Г?аЭ(Ла-т10-)(лр —Л§)+---
Можно построить системы координат, в которых Гуу=0 во всех
точках заданной кривой (координаты Ферми). Чтобы доказать это
интересное и полезное предложение, достаточно указать метод
конструирования системы координат £', для которой во всех точках
произвольно заданной кривой С выполняются равенства
17/ —0. (А)
Если пространство евклидово, то, вводя декартову систему
координат, получаем, что равенства (А) выполняются не только
на кривой С, но и во всех точках пространства. Следовательно,
проверка равенств (А) вдоль кривой С должна быть выполнена
только в случае риманова пространства, где не все компоненты
Rfc£ E.61) равны нулю.
В случае я-мерного риманова пространства невозможно
удовлетворить равенствам (А) точно ни во всех точках бесконечно малого
объема, ни на произвольных элементах поверхности размерности,
большей единицы.
Положим, что уравнения кривой С в исходной системе координат
имеют форму
*« = ф«(л;1), а = 2, 3, ..., п\ б1***1,
и допустим, что функции фа (х1) определены дл*я всех х1 в
подходящим образом выбранных интервалах. Выполнив
преобразования координат
получим, что кривая С в системе координат £' соответствует
£■ = £»— = g» = 0
и неременной I1. Ясно, что в системе 1{ кривая С совпадает с
координатной кривой £1.
§5. Теория деформаций 87
Преобразование символов Кристоффеля может быть записано
в виде
дцУ i] pg дг\* dr\J dtf:dr\J'
Так как Det 1—^ |=^=0, то, если для всех &=1, 2, ..., п и
фиксированных индексов i и / верны равенства E.60), верно также,
что
Г;* = 0 при 6=1, 2, ..., п.
Рассмотрим сначала преобразование от системы \гк системе
т)', в которой Г^ = 0 для всех k и всех *, /, за исключением
P-rf + W6-
la = b«r)*- (В)
—I [ВДГ^ + (ВД + 6ДО) Г& + Ь№Т$\ т,*т,* + Fа,
где х, ц, х» v и а принимают значения 2, 3, ...., п\ b\(yf)y
Ь% (^(Det \ Щ ||^0)—функции тI и Р и Fa — произвольные
функции тI и т]а, стремящиеся к нулю как бесконечно малые порядка
выше второго по т)а, когда т|а стремится к нулю. Очевидно, что
вдоль кривой С
т]а = т]3= ... =т)» = 0, ^1 = тI-
В формулах (В) величины Г*,-^1') могут быть отождествлены со
значениями Г^- (тI) на кривой С. Подставив £' (r\k) из (В) в
условия E.60), получим уравнения для функций fepOf) и Ьр (т}1).
Перепишем сначала условия E.60) в виде
J^i_ = _r* £I^_T* *^_Г* ^d-^—Tk ^^
dr\i &r\J аЭ drf dr\J 1Ji fr\i dr\J ^ dr\i [dr\J u 0r|' drj/"
Из формул (В) вытекает, что на кривой С имеют место следую-
Щие равенства:
a!l-i. ill-/,i. i!ll-n. а^ '**■
a^c - - [«**г*ц + деде+» rbi+WIJ;
EIlL-o- ?£-/>«• i!£-n- ^a -d6H.
an1 ' ar)*""""*' (ani)a~u' а^атI""^1 '
д^г = -[«q?r<v + (ОД + ьдо) i* + где*].
Внеся эти значения производных на С в E.60), придем к выводу, что
85 Гл. II. Кинематика деформируемой среды
для k=a, *=х, /=хсоотношения E.60) удовлетворяются
тождественно;
для A=i=l и /=х или k=j=l и f=x имеем
__* — П б*1-
для £=а, /=1, /=х или £=а, *=х, /=1 получаем
__*-= ra ft»4
Определив интегрированием полученных дифференциальных
уравнений Ь\ и 6£, с помощью формул (В) получим множество
преобразований к переменным г\1\ в которых все символы Г^ на
кривой С, за исключением, быть может, символов Г^, k = 1,
2, ..., л, равны нулю. Для преобразования системы т)' в
систему £*, в которой все символы f fy на кривой С приводятся к
нулю, уравнения E.60) на кривой С будут иметь вид
ГЙ^ + ^,-0. E.60')
Для того чтобы получить преобразования, удовлетворяющие этим
уравнениям, положим
riWK1), Л^вЧРЖ*-
При i Ф 1 или / Ф 1 уравнения E.60') удовлетворяются
тождественно. При / = / = 1 получаем
r;i/ei+f=o и rif/'»+sf*=o.
Заменив у Г^(тI) аргумент тI на /(С1), после интегрирования
этих уравнений получаем определенное преобразование, которое
решает проблему. Общее преобразование х{ к tf получается
последовательным применением частных указанных выше
преобразований.
Заметим, что полученный результат не связан ни с формулами
E.53а), ни с исходной метрикой пространства; существенна лишь
симметрия rjy = r*t- и формулы преобразования символов Крис-
тоффеля Г*/.
В системе координат tf все первые ковариантные производные
каждого тензора вдоль кривой совпадают, очевидно, с обычными
производными. Условия постоянства тензора вдоль кривой С
сводятся к постоянству его компонент в системе координат tf.
Если кривая С замкнута или обладает точками
самопересечения, то значения координат £* и векторов базиса Bk{tf) после
обхода по С и возвращения в первоначальную точку или в точку
самопересечения будут, вообще говоря, отличны от исходных
значений. Очевидно, что в этом случае постоянные векторы и тен-
§ 5. Теория деформаций
89
3оры, имея в системе £* на замкнутой кривой С одни и те же
компоненты, не будут после обхода совпадать с начальными
векторами и тензорами. Отсюда также вытекает, что два тензора,
равные друг другу в точке М, не будут равны между собой в
другой точке N, если значения тензоров достигаются в этой точке
по различным кривым. Можно показать, что эти результаты
существенно связаны с неевклидовыми свойствами пространства.
В римановом пространстве для компонент метрического тензора
всегда имеют место равенства v*g,y = 0. В системе координат £*
вдоль С имеем v*g,y = ^ = 0 и, следовательно, на С в
координатах £* имеем ^7(^) = Э/-Эу = const. Отсюда вытекает, что
векторы базиса Э/(£*) и э1' (£*) в точках С образуют неизменяемую
систему, которая при перемещении вдоль С может только
вращаться как твердое тело.
Исходя из общих преобразований символов Г *•, легко усмот-
реть, что каждое линейное преобразование
где а£—постоянные коэффициенты, также обращает в нуль
символы ffy на кривой С в координатах £''. Подходящим выбором
вещественных коэффициентов а[ можно удовлетворить на кривой С
в системе £'*' следующим равенствам: g",y = 0 для 1ф\ и ga=*±\
(знаки определяются сигнатурой метрики). Ориентация
соответствующей системы векторов базиса может быть задана произвольно
в общем случае только в произвольной заданной точке кривой С.
Если же потребовать, чтобы равенства
тИ?°1ие евклиД°в°сти E.60) выполнялись во всем пространстве,
пространства v ' * * г г ♦
т. е. потребовать, чтобы пространство было
евклидовым (или псевдоевклидовым, или вообще когда можно
ввести координаты Xs так, чтобы gik глобально обратились бы в
постоянные величины), то эти равенства будут представлять собой
систему дифференциальных уравнений для определения
преобразования данной системы \( в декартову систему ту во всем
пространстве. В общем случае эта система неинтегрируема. Условие
евклидовости или псевдоевклидовости пространства совпадает с
условиями интегрируемости системы дифференциальных
уравнений E.60). Выпишем эти условия. Для этого продифференцируем
E.60) по г\к и исключим из полученного равенства вторые
производные с помощью E.60), будем иметь
Переставив индексы суммирования s и E и индексы k и / и
воспользовавшись симметрией символов Г£р по нижним индексам,
90
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
получим другие аналогичные равенства
dg* , д*Ъ<* _ = 0
с?г|^ дп/ &Чк drf dr\*dr\f
Вычитанием соответствующих равенств исключим третьи
производные. Воспользовавшись еще тем, что детерминант
преобразования от |' к г)' должен быть отличным от нуля, получим
необходимые и достаточные1 условия интегрируемости системы E.60) в
следующем виде 2 :
/?3saffl = ^-|f + r^P-r«s = 0. E.61)
Если пространство евклидово, то эти равества должны
выполняться в любой системе координат. Если пространство неевклидово
и непсевдоевклидово, то равенства E.61) не удовлетворяются.
В общем случае риманова пространства
Тензор кРимана—Крис- введенные таким путем, величины Rfc£
можно рассматривать как компоненты
тензора четвертого ранга. Для доказательства этого утверждения
возьмем некоторый дифференцируемый вектор а и рассмотрим два
следующих тензора:
T = 4Jviaa9a9f9/ и Г* = у|Т/ааэа9гэЛ
Очевидно, что вообще Т Ф Т*. Если непосредственно вычислить
разность Т — Т*, то получится, что
Так как Г —Г*—тензор, а а—произвольный вектор, то величины
1 Необходимость очевидна непосредственно. Достаточность равенств E.61)
можно доказать следующим путем. Запишем уравнения E.60) в форме
—: = flu = ffi (так как г£в==Гва). Из равенств E.61) следует, что
dr\J дц1
f?idrj/ = dQ? и f?tdrf = dQf, (*)
где dQf — полные дифференциалы функций Qf, которые определяются из (*)
интегрированием. Из формул (*) вытекает, что дифференциальные формы Qfdr\l
зли ЯП®
являются полными дифференциалами, так как =—{- = fff. На основа-
dr\S дг}[
,*_ 3iffl
нии E.60) можно принять, что Q®=—2—. Таким образом, функции S^Ol*),
dvf
удовлетворяющие уравнениям E.60), можно получить интегрированием равенств
дг\*
2 Расположение индексов соответствует знаку компонент /?pV(£\
использованных Н. Weyl'eM в его книге «Space-Time-Matter» A922) и впоследствии
большинством других авторов в учебной и научной литературе.
§5. Теория деформаций
91
#jw должны преобразовываться как компоненты тензора
четвертого ранга. Этот тензор называется тензором Римана —Кристоф-
феля или тензором кривизны пространства.
Для евклидова пространства тензор Римана — Кристоффеля
тождественно равен нулю, и результат повторного ковариантного
дифференцирования в евклидовом пространстве не зависит от
порядка его выполнения * .
Чисто ковариантные компоненты тензора
Выражение компонент римана—Кристоффеля имеют вид
тензора Римана—Крис- г ^ "
тоффеля через компонен- дГ дТ .
ты метрического тензора Кгтч = gavAij\i- = ~тг^ тгг~ +
+ g"aU> [Га)ц/Га^— Г(йщГау/]> E.6Г)
где согласно E.53а)
с/ [ay
av , dg/v dgc
В любой заданной точке можно выбрать систему координат
так, чтобы rva/ = 0, однако производные от Гт/, если
пространство не евклидово, отличны от нуля, поэтому для компонент
тензора Римана—Кристоффеля в такой системе координат х1' всегда
можно написать следующие формулы:
R -1
d2gvi . д*8]11, d*g»t d*gvi ■
дх'дх* dxl dxv dxJ дхУ дх* дх»
Свойства симметрии ком- Из этих формул непосредственно вытекают
понент тензора Римана— следующие свойства симметрии, которые
по свойствам тензорных преобразований
выполняются в любых системах координат
и в любой точке пространства:
Отметим, что не все из отмеченных здесь свойств симметрии
независимы между собой.
1 Для более полного раскрытия существа дела полезно отметить
следующие равенства:
dxS\dxi J дх* \dxJ J J
однако для риМановых пространств имеем
92
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Число независимых ком- В трехмерном пространстве (л = 3) тензор
понент тензора Римана— Римана-- Кристоффеля имеет только шесть
Кристоффеля при /i=3 независимых компонент, которые в общем
случае риманова пространства могут отличаться от нуля. Это,
например, следующие компоненты:
^1112» ^1818» ^2823» ^1213» ^2128» ^3182' (Э.Ь2)
Для перечисления этих компонент можно использовать
следующие соображения. Согласно указанным выше свойствам симметрии
Ran = 0. Если среди индексов имеются только два различных, то
для фиксированных двух индексов все компоненты выражаются
через одну. Таким образом, при п = 3 с двумя различными
индексами имеются только три независимые компоненты, например
указанные в E.62). Если различны три индекса, то при п = 3 среди
четырех индексов компонент два всегда одинаковы. Эти равные
индексы для компонент, отличных от нуля, должны принадлежать
разным парам. Их можно считать расположенными на первом и
третьем местах. При фиксированных равных индексах только одна
компонента Ять. независима. Всего таких независимых компонент
получается три. Все они перечислены в E.62).
Условие евклидовости пространства заключается в равенстве
нулю тензора Римана—Кристоффеля. Условие об обращении в нуль
тензора Римана — Кристоффеля, а следовательно и условие
евклидовости и псевдоевклидовости пространства, равносильно шести
уравнениям, которые получаются приравниванием нулю шести
компонент, например E.62).
Нетрудно усмотреть, что наряду с тензо-
0 тензорах Риччи и р0М четверТого ранга 7?iy^v можно ввести
тензор второго ранга с компонентами Riy,t
который получится после подъема индекса /, приравнивания /
индексу ii и свертывания по [а, т. е.
Из свойств симметрии очевидно, что получится тот же тензор, если
указанную операцию произвести по крайним индексам. Так
образуемый тензор второго ранга называется тензором Риччи.
После свертки по v тензора Риччи /??v = /? получим скаляр,
который называется кривизной риманова пространства. Очевидно,
что для евклидова и псевдоевклидова пространства /?//*/= О,
/?/у = 0 и /? = 0, поэтому евклидово и псевдоевклидово
пространства называются плоскими пространствами.
Нетрудно усмотреть, что для ^-мерного риманова
пространства можно ввести тензор четвертого ранга с компонентами Wi/kl
согласно равенству
Wijm = Rijki—k=2 (RikSji + Rjieik-Riiekj—Rkjgu) +
n
§ 5. Теория деформаций
93
Тензор
W **W ин&э*&э1
называется тензором Вейля. Компоненты Wjjkl обладают теми же
свойствами симметрии, что и компоненты к^Мч и, кроме того,
еще равны нулю следующие свертки по индексу k: Wtkl = 0 и
Wkilk = 0. Тензор Вейля, вообще говоря, отличен от нуля лишь при
k ^ 4. С учетом условий симметрии тензоров получается, что в
двумерном и трехмерном случаях тензор Вейля тождественно
равен нулю. В общей теории относительности в четырехмерном
пространстве Римана получается, что вообще Wijh^ О, и тензор Вейля
отличен от нуля.
Алгебраические свойства матрицы шестого ранга WAB, где
А = Ц и В = kl, и в том числе ее канонический вид представляют
собой важную характеристику риманова пространства, в
частности при Rtj = 0.
Компоненты тензора деформации опреде-
Уравнения совместности ляются равенствами
деформаций л в
При условии существования вектора перемещения w обе
квадратичные формы
ds* = gafidt«dtf и ds\ = gatdl«dl*
определяют квадрат элемента длины в евклидовом пространстве.
Поэтому тензоры Римана — Кристоффеля, составленные для
фундаментальных тензоров gaP и gap, должны обращаться в нуль. Это
приводит к уравнениям
U/|Av = 0 и Rihiy = 0. E.63)
Обычно на практике можно считать, что тело в актуальном
состоянии находится в евклидовом пространстве, так что g^ такие, что
Яда, - 0- Тогда, так как &, = &, - 2е^, уравнения RiJviv = 0 есть уравнения
Для компонент тензора деформаций, называемые уравнениями
совместности деформаций. Их можно легко выписать в развернутом
виде с помощью формул E.6Г). В частности, если в актуальном
деформированном состоянии выбрана прямолинейная декартова
(вообще не ортогональная) система координат, то д%а$1дЬ/ — 0,
поэтому уравнения совместности Ri^y, = 0 можно записать в
следующем виде:
^l2gvj_ , давц/ д2гщ ааву/
-*"• [Gvvfiavt-G^fia,,,] - 0, E.63а)
94
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
где
а компоненты ga(* определяются как элементы матрицы, обратной
матрице с компонентами £ао)—2еаш,
lee*l-llir«e-&ell|-4
Аналогично записываются уравнения совместности ^/^ = 0, когда
лагранжева система в начальном состоянии прямолинейна и
gap*5 Const.
Уравнения E.63а) представляют собой для шести функций
еаэ E1» £2» £8) дифференциальные уравнения с частными
производными второго порядка, линейные относительно вторых
производных и нелинейные относительно первых, производных.
. При всевозможных значениях индексов /, /, ц, v из набора
1, 2, 3 система уравнений E.63а) состоит всего из шести
независимых уравнений. Ясно, что формулы E.57), выражающие
Ей через wa, являются общим интегралом системы
уравнений совместности E.63а).
v fc „ В случае бесконечно малых деформаций
Уравнения совместности J /с со Г
в случае бесконечно ма- Уравнения совместности E.63а) имеют вид
лых деформаций
дч* . а2ед/ дЧц а2ву/ _0 E 63Ь)
дуар^дуар дуя? д#9& '
и называются уравнениями совместности Сен-Венана.
Непосредственной подстановкой формул 45.58) в уравнения E.63Ь) можно
проверить, что формулы E.58) при произвольных трех функциях wa
являются общим интегралом системы уравнений E.63Ь).
Уравнения совместности E.63Ь) в случае бесконечно малых
деформаций представляют собой шесть независимых линейных
дифференциальных уравнений с частными производными второго
порядка относительно е^.
Итак, в том случае, когда между начальным и рассматриваемым
состояниями сплошной среды можно ввести вектор перемещения w,
должны выполняться уравнения- совместности, и выражения для
ztj через компоненты W можно рассматривать как общее решение
этих уравнений.
Остановимся теперь более подробно на геометрической картине
деформации сплошной среды при перемещении.
Рассмотрим сначала перемещения абсо-
Преобразование при пе- лютно твердого тела. Возьмем два его
ремещении абсолютно г т тт /~ iл\
твердого тела произвольных положения I и II (рис. 14).
Пусть М и М'—два положения одной и
той же произвольной точки тела. С помощью поступательного
перемещения тела точку М' можно совместить с точкой М0 Как
§ 5. Теория деформаций
95
известно, любое смещение абсолютно твердого тела, когда
некоторая точка М, принадлежащая телу, неподвижна—это
простой поворот около некоторой оси, проходящей через точку М.
В положении / возьмем вмороженные в тело оси координат
х1, х%, х9 с началом в точке М, в положении // они перейдут
в оси у'х> у'2, у'* с началом в М' (см. рис. 14). Обозначим через
у1, У2* У9 оси, получившиеся при поступательном смещении у'1,
Рис. 14. Преобразование при перемещении абсолютно твердого тела
у'2, t/'8 из точки М' в точку М. Преобразование поворота при
переходе от х1 к у* может быть записано в виде у1 = с1^\ где || с($ —
одна и та же ортогональная матрица для всех точек М твердого
тела. Таким образом, произвольному перемещению твердого тела
(за вычетом поступательного перемещения) соответствует некоторое
ортогональное преобразование.
Пусть теперь тело может деформироваться. Возникающее при
этом преобразование имеет самый общий вид, мы предположим
только, что оно удовлетворяет свойствам взаимооднозначности,
непрерывности и дифференцируемое™ по координатам.
Преобразование при пере- Если рассмотреть бесконечно малую окре-
мещении бесконечно ма- стность точки Ж сплошной среды, то это
лой частицы сплошной преобразование с точностью до малых
среды первого порядка можно считать аффинным.
Покажем это. В момент t0 векторы базиса лагранжевой системы
координат в точке М обозначаются через эь а положение всех
точек окрестности М полностью задается dr0, причем
Положение всех точек окрестности точки М\ в которую в
рассматриваемый момент t перейдет точка М, определяется
вектором dr, компоненты которого в базисе э4 также равны d\(,
dr = й£'э,-.
96
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Если совместить точки М и М' и взять разложение dr по
векторам базиса Э/, то компоненты этого разложения будут
отличаться от d£', обозначим их через dr\1'
Связь между dr\{ и dil определяет преобразование частицы
сплошной среды1 . Это преобразование найдем из равенства
drs-dg'a, =**]'**■ E-64)
На основании связи E.42) между £,-, э( и w
где
^. = 6^. + V^ft, E.65)
можно написать
dr - dg'a' = dVc\sk - А|*аЛэ
откуда получим
Ж|*-**,#'. E.66)
Преобразование от d£' к dr)'— однородное линейное
преобразование с матрицей (с*/|, которая не зависит от дифференциалов
d\l, т. е. приближенных координат близких точек; с*, могут зависеть
только от координат точки Л4. Следовательно, коэффициенты cki
для малой частицы постоянны, а преобразование E.66) аффинно.
Перечислим теперь свойства аффинных пре-
Свойства аффинных пре- образований, вытекающие непосредственно
о разова ии из линейности формул E.66).
При аффинных преобразованиях прямые переходят в прямые,
плоскости — в плоскости, причем параллельные прямые и
плоскости переходят в параллельные прямые и плоскости. В частности,
параллелограмм переходит в параллелограмм. Отсюда следует,
что все равные, одинаково направленные отрезки растягиваются
(или сжимаются) одинаково.
Отношение длин любого отрезка до и после преобразования
(в силу того, что оно является отношением однородных функций
первого порядка) не зависит от первоначальной длины отрезка,
а зависит только от его направления. Отсюда следует, что
коэффициент относительного удлинения любого отрезка также не
зависит от его длины, а зависит только от его направления.
Отрезок всегда переходит в отрезок, причем отношение, в
котором точка делит отрезок, остается неизменным.
1 Для бесконечно малой частицы dr\l и dlf можно рассматривать как
декартовы координаты в одной и той же косоугольной системе координат с
базисом э).
§5. Теория деформаций
97
Алгебраическая кривая или | поверхность переходит в
алгебраическую кривую или поверхность того же порядка. Например,
поверхность второго порядка переходит в поверхность второго
порядка: сфера переходит в эллипсоид или в сферу, причем
сопряженные диаметры сферы переходят в сопряженные диаметры
эллипсоида. У сферы все сопряженные диаметры ортогональны, у
эллипсоида в общем случае существует единственная тройка
ортогональных сопряженных диаметров, следовательно, всегда
существует по крайней мере один ортогональный триэдр, который
переходит в ортогональный триэдр, т.е. существуют главные оси тензора
деформаций.
Объемы при аффинных преобразованиях, вообще говоря,
меняются, но величина относительного изменения объема 0 =
= (V —Vo)!Vo не зависит от первоначальных формы и размеров
объема.
Именно поэтому, когда мы вычисляли величину относительного
изменения объема через компоненты тензора деформаций, используя
для этого элементарный параллелепипед, мы получили результат,
справедливый для любых малых объемов.
Всякая выделенная в сплошной среде бес-
Геометрическая картина КОнечно малая сфера преобразуется при
преобразования малой ча- « т г г г j г
стицы сплошной среды деформации в эллипсоид. Если при этом
преобразовании главные направления не
меняют своей ориентации в пространстве, то говорят, что
произошла чистая деформация, которая сводится к растяжению или
сжатию по трем взаимно перпендикулярным главным осям.
Если сфера преобразуется в эллипсоид так, что главные
направления меняют свою ориентацию в пространстве, то говорят, что
имеет место общий случай аффинного преобразования, который
сводится к чистой деформации (растяжениям по трем главным
осям) и повороту в пространстве. Заметим, что в случае чистой
деформации любые отрезки в частице, не направленные по главным
осям, меняют, вообще говоря, свое направление в пространстве.
При -движении частицы как абсолютно твердого тела сфера
переходит в сферу того же радиуса, причем все взаимно
перпендикулярные триэдры можно рассматривать как главные, все они
поворачиваются около одной и той же оси и на один и тот же угол.
В этом случае говорят, что произошел чистый поворот.
Матрица аффинного преобразования |с\| определяется по E.66)
Девятью производными от компонент вектора перемещения w по
координатам Н1, £2, £3; в общем случае в данной точке эта матрица
образована из произвольных девяти чисел. Чистая деформация
характеризуется тремя главными компонентами тензора
деформаций^ и тремя параметрами, определяющими направления главных
осей в пространстве (или шестью компонентами тензора деформаций);
поворот главных осей в пространстве характеризуется тремя
оставшимися параметрами. В случае чистого поворота матрица ортого-
'• Л.И. Седов
98
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
нальная и зависит только от трех независимых параметров
(направления оси поворота и угла поворота).
Итак, произвольное перемещение бесконечно малой частицы
сплошной среды сводится к поступательному перемещению в
пространстве, повороту и чистой деформации (сжатию или растяжению
по трем взаимно перпендикулярным главным осям).
Геометрические характеристики деформаций важны в основном
для твердых тел. В жидкостях и газах характеристики деформаций
сами по себе играют гораздо меньшую роль. Например, перелитая
из сосуда в сосуд жидкость (если она однородна) остается все такой
же жидкостью, хотя при переливании в ней могли произойти сколь
угодно сложные и сильные деформации. В жидкостях и газах
свойства деформаций проявляются существенно только через изменения
объемов. Жидкости и газы оказывают сопротивление сжатию;
сжатые жидкость и газ отличаются от несжатых.
Тензор деформаций играет основную и определяющую роль
в теории деформирования твердых тел. В теории движения
жидкости и газа — гидродинамике (и теории деформирования некоторых
твердых тел) играет большую роль другая характеристика —
тензор скоростей деформаций. Может быть так, что сами деформации
несущественны, однако существенно, насколько быстро они
происходят.
§ 6. Тензор скоростей деформаций
Определение тензора ско- Тензор деформаций
ростей деформаций
вводится в связи с двумя состояниями сплошной среды: данным,
рассматриваемым gtj и, вообще говоря, «начальным» gtj.Если
начальное состояние gij реализуется в действительности, то
существует вектор перемещения w всех точек сплошной среды из начального
состояния, достигаемого в момент t0, в рассматриваемое состояние в
момент /, и для тензора деформаций имеют место формулы E.56),
E.57). Помимо этих двух состояний сплошной среды рассмотрим
еще состояние в момент t+Aty близкий к рассматриваемому.
Компоненты метрического тензора в этот момент t + At обозначим через
g'ij. Очевидно, можно ввести компоненты тензора деформаций по
отношению к состояниям сплошной среды в моменты t и t + At.
Обозначив эти компоненты через Aei;«, будем иметь
Др/у = у (g'u—iij) = у (V/«V + V/Wi + ViWVjWj, F.2)
где w = wL9l\ а ковариантные производные вычисляются в
данном случае в начальном пространстве giJt Формулы F.2) имеют
§ 6. Тензор скоростей деформаций
99
место в связи с тем, что перемещения w из состояния в момент /
в состояние в момент t + At существуют. Очевидно, что
т е. ш, = У/А/ имеют порядок At и являются бесконечно малыми
перемещениями, если At мало. Поэтому
limn ТГ = Т ЯК + V/>d - еи. F.3)
Величины et-j являются компонентами симметричного тензора,
который называется тензором скоростей деформаций. Если поле
скоростей v известно, то компоненты еи можно вычислить по F.3).
Очевидно, что формулы е,у = -о" (V/fy + Vyty) сохраняют свои вид
в любой подвижной криволинейной системе координат при учете
того, что вектор v определен с помощью системы наблюдателя
и сопутствующей системы, положенных в основу
рассмотрения движения континуума.
Из F.2) непосредственно видно, что для
Связь компонент тензоров компонент тензора скоростей деформаций
деформации и скоростей , г • г ^ ^ г
деформаций веРны формулы
е" = Т-ЗГ' (М)
справедливые в сопутствующей системе координат.
Из F.3) с помощью E.4), если «начальное состояние» gtj не
зависит от времени /, легко следуют формулы, связывающие
компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций в
сопутствующей системе координат,
*и~-зг- F-6)
Подчеркнем еще раз, что равенство F.6) верно только тогда,
когда gij = const по времени, а равенство F.4) по определению вц
верно всегда.
Тензоры деформаций и скоростей деформаций являются
разными тензорами, щецЫ являются компонентами тензора бесконечно
малых деформаций, соответствующего перемещению за время А/, т.е.
euAt = ги. F.7)
Заметим, что тензор деформаций £ вводится в результате
сравнения двух состояний сплошной среды, а тензор
скоростей деформаций является характеристикой данного состояния
в данный момент времени.
100
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Условия совместности Ясно, что компоненты тензора деформа-
для компонент тензора ций /57) должны удовлетворять условиям
скоростей деформации совм^тн;ости. Подставив F 7) в E.63а)
и перейдя к пределу при Д*—*0, получим следующие условия
совместности для компонент тензора скоростей деформаций (в
декартовых координатах):
д2е .
д2е
W
Л*
дЧ
v/
дрдф ' д#д£* д&д?
dVdl»
,0.
F.8)
Так же как и система уравнений E.63Ь), система уравнений F.8)
содержит шесть независимых линейных уравнений в частных
производных второго порядка. Соответствующие независимые
уравнения можно получить для указанных в E.62) комбинаций индексов.
Формулы F.3) при произвольных трех функциях vt дают общий
интеграл системы уравнений F.8).
Аналогично тензору скоростей деформаций можно ввести
другие тензоры, компоненты которых являются производными от e(J
по t более высоких порядков. Можно рассмотреть также тензоры,
компоненты которых являются производными от z(j по
пространственным координатам, например тензор ^//ЭФа*.
§ 7. Распределение скоростей в бесконечно
малой частице сплошной среды
Бесконечно малое
аффинное преобразование малой
частицы сплошной среды
за время At
Возьмем бесконечно малую частицу
сплошной среды и изучим вопрос о
распределении скоростей в этой частице. Под
бесконечно малой частицей будем понимать сово-
с координатами If + dl* = \{ + р', удален-
0 с координатами £\ \\ £3, называемой
центром частицы, на бесконечно малые расстояния р. Поле
скоростей v предполагаем непрерывным и имеющим производные по
крайней мере первого порядка.
Пусть скорость точки О есть
купность точек среды
ных от данной точки
vQi а любой точки
Ох
За
Рис. 15. Перемещение бесконечно
малой частицы сплошной среды за
время Д/
малой
частицы среды—vv За
бесконечно малое время Д/ все время
состоящий из одних и тех же
частиц среды вектор 001=*р
превратится в вектор 0'OJ=»p', и,
очевидно (рис. 15),
p'-P + (*i-*o)A'. G.1)
Возьмем разложение v в
окрестности О с точностью до малых
§ 7. Распределение скоростей в бесконечно малой частице 101
первого порядка по р
*ie*o + (-|^)/ + p0(p), Ит О(р)-0. G.2)
Подставив G.2) в G.1), получим
Р' - Р + (~) Р'Д^'+ Р0 (Р) А<- G.3)
Отсюда видно, что с точностью до величин порядка р А/ малая
частица сплошной среды за бесконечно малое время At
претерпевает бесконечно малое аффинное преобразование (значения
производных от v по I1 берутся в центре частицы О).
Распределение скоростей Перепишем G.2), выражающее скорость
в бесконечно малой части- любой точки Ог бесконечно малой частицы
це деформируемой сплош- сплошной среды vx через скорость ее цент-
ной среды ра v^ производные от v no координатам
в центре и координаты рассматриваемой точки, в другом виде
*i -'*0 + ?ЛР'э* + Р0 (P) -
- *о+4 (V А + ?Л) Р'а*+у (V А—УЛ) Р'э*+ рО (р)-
= Vo +««Р'э*+©*р'э* + рО (р). G.4)
В последней формуле G.4) выделены члены, содержащие
симметричный тензор ем и антисимметричный тензор (okl
»„4<V,».-V.,,)-{(|H^). G.5)
Рассмотрим теперь кинематическое истолкование каждого
члена формулы G.4) для скоростей точек малой частицы
сплошной среды. В связи с этим для наглядности перепишем G.4)
в проекциях на декартовы оси координат, считая, что
p^x4 + x2J+x3k^xt + yj+zk.
Получим
Mi-He+*!/**+ Ю1/*'|
t>i = 0О + etixl + со,,*', G.6)
Компоненты eki и coftf в этих формулах не зависят от х(, а члены
более высокого порядка по *', чем первый, опущены. Введем
квадратичную форму:
Ф = ±ердхРх<; G.7)
очевидно, будем иметь
102
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Формулы G.6) можно переписать в виде
и^Ио + ^ + Иц*"
. № г
Ш1 = Шо+"^ + (°3'А:-
G.9)
Таким образом, скорость точек бесконечно малой частицы
сплошной среды разбита на три составляющие, первая из которых v0
(и0, v0, w0) не зависит от координат х1, х2, х3 и, следовательно,
представляет собой скорость поступательного движения всей
частицы (она совпадает со скоростью движения центра частицы), а
вторая составляющая (дФ/дх1, дФ/дх2, дФ1дхь) имеет потенциал Ф.
Для более детального исследования третьей составляющей (соих1,
сои*1*, со31х£) введем в декартовой системе координат
антисимметричную матрицу
И//1-
0
со
21
0
(О
23
со31 со32 0
0
—со,
0 со.
—со13 —о>23 0
0 —со8
со,
@3
-со,
0 —сох
СО,
0
т. е.
введем обозначения
coj = оK2, со2 = со13, <о3 = (о21. G.10)
По G.5) и G.10) в декартовой системе координат будем иметь
\ f dw dv\
__ 1 / dv dt±\
^'-ТК дх~~ ду) •
Непосредственной проверкой можно убедиться, что формулы
G.11) легко получаются из следующего символического
представления:
I J *
О) = (Oj + СО J + @3ft = у I
д_ д_ д_
дх ду дг
и v w
G.12)
После введения обозначений соь со2, со3 по G.10) формулы G.9)
перепишутся в виде
дФ ,
-co2z—щу,
и^и^~дх
*1в1'о+-зг-+«>8*
ду
. дФ
■^ e »• + -*-
coxz,
сохг/—co2x
G.13)
§ 7. Распределение скоростей в бесконечно малой частице 103
или согласно G.12) в виде
°i-^ + -5J- + («Xp),f G-14)
wie»e + -^- + («Xp),.
В векторном виде имеем окончательную формулу
^i = ^o+gradO+©xp + pO(p), G.15)
заменяющую формулы G.4) и G.14).
Для распределения скоростей в абсолютно
^оПйлер(ам1Дсп^: твердом теле, как известно, имеет место
деления скоростей в абсо- формула Эйлера
лютно твердом теле
^ = Фо + ЙХр,
где v0 — скорость некоторой определенной точки О абсолютно
твердого тела, vx—скорость произвольной точки Ог тела, Q—вектор
мгновенной угловой скорости твердого тела, р—радиус-вектор OOv
Формула G.15) для скоростей точек бесконечно малой частицы
сплошной среды отличается по виду от формулы Эйлера
присутствием членов grad<P и рО(р), последний из
которых бесконечно мал по сравнению с р, и его в первом
приближении можно не учитывать.
Выясним роль члена grad Ф. В результате
Скорость относительного движения сплошной среды вектор р
переудлинения ходит в р'. Изменение вектора р, т. е.
р*—р = Др, может быть обусловлено только тем, что разные точки
бесконечно малой частицы движутся с разными скоростями;
действительно, из G.1) в пределе при А/—+0 имеем
-£-*-•... G-16)
Вычислим скорость относительного удлинения отрезка среды
в направлении р
1
ер~'\Р\
d\p\ __ 1 dp 1 1 ф2 __ 1 1 d(p.p)^ 1 / dp\
dt "" p dt ~~ 2 p2 dt "" 2 p2 dt p2 \ P* dt ) '
Воспользуемся равенствами G.16), G.15) и, замечая, что
Р(<*>Хр) = 0, получим
1 / dp \ 1 , л лх 1 / дФ . дФ , дФ \
2Ф х* xf . , tn ,_.
ш7"е"Т7в^' GЛ7)
где а<«= — = cos(p, xl).
Р
104
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Итак, если известны компоненты тензора скоростей
деформаций вц и направление р, то можно вычислить скорость
относительного удлинения £р в этом направлении.
Из G.17) непосредственно вытекает кине-
Кинематическое истолко- матическое истолкование компонент тен-
вание компонент тензора ■» «
скоростей деформаций 30Ра скоростей деформации с
одноименными индексами г Пусть р направлено по
оси х\ тогда все члены, кроме одного, в правой части G.17)
обратятся в нуль, и мы получим
Таким образом,
ех = е1и еу = е22, ег = e3Zi
т. е. компоненты тензора скоростей деформаций с одноименными
индексами являются скоростями относительных удлинений
отрезков среды, первоначально направленных параллельно
соответствующим декартовым ортогональным координатным осям.
То же самое истолкование получается и в результате другого
рассуждения. За время At бесконечно малая частица среды, по G.1),
претерпевает бесконечно малую деформацию по отношению к
состоянию сплошной среды в момент времени /. Можно ввести тензор
деформаций <§ по отношению к состояниям среды в моменты t и t+
+ At и тогда будем иметь
e« = euAt.
Отсюда ясно кинематическое истолкование компонент вцу с
точностью до множителя At совпадающих с компонентами е^ тензора
бесконечно малых деформаций. Величины ei;- при ьФ\
характеризуют скашивание прямых углов между отрезками среды,
первоначально расположенными вдоль координатных осей х, уу z.
Компоненты etj при i Ф / равны половине скорости скашивания
первоначально прямых углов, образованных отрезками среды, в данный
момент времени параллельными соответствующим координатным
осям. Из G.17) видно, что член grad Ф в'формуле G.15) для скоростей
точек бесконечно малой частицы сплошной среды ответствен за
деформацию- частицы. Введем обозначение
*?* = grad<D G.18)
и назовем эту скорость скоростью чистой деформации. Если г>*=0, то
все £р*=0 и деформация отсутствует, т. е. длины отрезков р, взятых
в любом направлении, не меняются. Наоборот, если деформация
отсутствует, то все £р = 0, и тогда по G.17)
grad<D=?* = 0.
§ 7. Распределение скоростей в бесконечно малой частице 105
Главные оси и главные Как для всякого симметричного тензора
компоненты тензора ско- ВТОрого ранга, для тензора скоростей де-
ростеи деформации формаций можно ввести главные оси; в
декартовой системе координат, направленной по главным осям,
матрица компонент e{j тензора скоростей деформаций будет иметь вид
И1 ° ° 1
0 * О I.
|о о *,|
Можно указать главные осн тензора скоростей деформаций
в любой данный момент времени /и в любой точке О среды.
Величины е1} е2, е3 называются главными компонентами тензора
скоростей деформаций. Очевидно, е* > 0 соответствует растяжению,
а е% < 0 — сжатию вдоль /-й оси.
Как и со всяким симметричным тензором, с тензором скоростей
деформаций можно связать тензорную поверхность. Она будет
эллипсоидом, если все е% одного знака, и гиперболоидом, если et
имеют разные знаки. Главные оси тензора деформаций и скоростей
деформаций, вообще говоря, разные.
Рассмотрим третий член формулы G.15),
Вектор со; связь антисим- т. е. сох р. Прежде всего покажем, что
метричных тензоров с век- введенная выше в декартовой системе ко-
ст{аГтвВеТРеХМеРН°МПР°" ординат величина (о является вектором.
В самом деле, формула G.15)
представляет собой векторное равенство и, следовательно, сохр—вектор,
а скалярное произведение (охр) с, где с—произвольный
вектор,— инвариантная величина. Очевидно, в записи инвариантной
величины (со х р) • с можно переставить члены и записать ее в виде
СО (рХС) = <Ю-Й,
где р, с и рхс^= ft—произвольные векторы. Из того, что
скалярное произведение со на произвольный вектор ft —инвариантная
величина, следует, что со—вектор, и по общим правилам
преобразования компонент вектора с помощью G.11) со, могут быть
найдены в произвольной системе координат.
Из приведенных рассуждений вытекает, что полю скоростей v
всегда можно поставить в соответствие тензор еуЭ'э^ и вектор со.
Из способа введения со получается общий вывод, а именно:
в трехмерном пространстве любому антисимметричному тензору
второго ранга
всегда можно поставить в соответствие вектор1 со так, что в
декартовой системе координат компоненты й и со будут
связаны формулами G.10).
1 Отметим, что со (так же как и Ь, равное векторному произведению
полярных векторов) ведет себя как обычный полярный вектор не при всех
преобразованиях координат. См. стр. 181-182.
106
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
О коммутативности бес- Как было показано выше, бесконечно ма-
конечно малыхаффинных лая частица среды во время непрерывного
пре разовании движения за бесконечно малое время dt
испытывает бесконечно малое аффинное преобразование, которое
теперь можно записать в виде
р' —p + grad©<tt + (©xp)<tt + pO(p)ctff G.19)
где второй и третий члены имеют порядок малости pdt.
Равенство G.19) можно переписать следующим образом:
х'* = F!;.+с1)) х' = xf+с[)х*, G.20)
где хч и х1—компоненты р' и р соответственно, коэффициенты с'у
имеют порядок dt.
Напомним, что в случае конечных деформаций бесконечно малая
частица среды также испытывает аффинное, но конечное
преобразование с матрицей E.65). Допустим, что мы имеем два
последовательных аффинных преобразования
*''=* (8?}+ <*{))*•' (а)
и
х** = (Ы;р + Ъ1;р)хГ. (Ь)
Составим результирующее преобразование
хч = (б'р + а% + Ъ\р + а\)У;р) хр, G.21)
соответствующее сначала преобразованию (Ь), а потом (а). Если же,
наоборот, сначала выполнить преобразование (а), а потом (Ь), то
получим
хч = (&(р+а^ + Ь':р + Ь[)а1р)хР.
Но так как вообще а^ЫрФЬ^&ру то отсюда следует, что
аффинные преобразования в общем случае некоммутативны.
Однако если аффинные преобразования бесконечно малы, то
члены матриц \а(^Ыр\у \Ь*}-&'р\ имеют второй порядок малости;
бесконечно малые аффинные преобразования с точностью до этих
членов коммутативны.
Разложение преобразова- Вернемся теперь к формуле G.19), описы-
ния бесконечно малой вающеи преобразование бесконечно малой
частицы среды за время dt частицы среды. Это преобразование можно
на сумму простейших пре- разбить, не заботясь о последовательности
образований проведения преобразований, на два, а
именно на преобразование, определяющееся тензором скоростей
деформаций,
p* = p + grad<Dd/, G.22)
и* преобразование, определяющееся вектором со,
p' = p' + (<oxpV/. G.23)
§7. Распределение скоростей в бесконечно малой частице 107
*1
»
у*
Z*
X*— X
=(l+e2dt)y,
= (l+e3dt)zt
у*—у
2~ ydt ' 8
«
2* — 2
zdt
Квадратичную форму Ф^-^е^х'х' можно привести к
каноническому виду
и преобразование G.22) можно написать в главных осях в следующем
виде:
x*=(l+e1dt)x, G.24)
где
являются главными скоростями удлинений (е{>0) или сжатий
(е*<0). Преобразование G.22), очевидно, может быть заменено
тремя преобразованиями вида
x**=(l+e1dt)x,
</**=*/, G.25)
z**=zt
каждое из которых представляет собой чистое растяжение или
сжатие по одной из главных осей.
Итак, любое бесконечно малое преобразование бесконечно малой
частицы сплошной среды можно разложить на четыре
преобразования, одно из которых, G.23), определяется вектором <о, а три, G.25),
представляют собой чистые удлинения по трем взаимно
перпендикулярным главным осям. При этом, в противоположность случаю
конечных деформаций бесконечно малой частицы среды, порядок
выполнения указанных преобразований несуществен.
Заметим, что все рассуждения были, проведены применительно
к вектору р, выходящему из центра частицы О. Но, на
основании свойств аффинных преобразований, изменение длин всех
параллельных отрезков одинаково, и поэтому произвольный малый
вектор (не выходящий из точки О) испытывает те же самые
преобразования. Относительное удлинение всех малых векторов,
параллельных оси дс, равно ejlt, параллельных у—e2dt, и
параллельных z—ezdt, каждая единица длины произвольного
вектора р удлиняется на epdt.
Дадим кинематическое истолкование век-
Вектор вихря и его кине- тор ^ Возьмем преобразование G.23),
матическое истолкование *j г у \ /»
обусловленное вектором со, и составим
изменение вектора р*, вызванное этим преобразованием,
р'—р* =dp*
108
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Если мы составим скалярное произведение p*dp*, то в силу
G.23) оно окажется равным нулю, т. е. изменение вектора р*
ортогонально самому вектору р*. Следовательно, все ер« = 0.
Таким образом, при преобразовании G.23) бесконечно малая частица
среды ведет себя как абсолютно твердое тело, и мы можем
истолковать (coxp*)d/ как перемещение при вращении с мгновенной
угловой скоростью (о бесконечно малой частицы сплошной среды,
мгновенно затвердевшей до или после происшедшей деформации.
Итак, вектор со следует толковать как мгновенную угловую
скорость вращения тела, связанного с бесконечно малой частицей
среды, которое ,за время dt остается твердым, т. е. триэдра
главных осей тензора скоростей деформаций. Таким образом, вектор
ю, называемый вектором вихря скорости, является мгновенной
угловой скоростью вращения главных осей тензора скоростей
деформаций.
В случае конечной деформации бесконечно малой частицы
среды движение также сводится к повороту и чистой деформации.
Найти вектор поворота, зная компоненты матрицы аффинного
преобразования Цс'Д можно, но эта задача сложна. В случае
движения бесконечно малой частицы сплошной среды за время dt,
когда описывающее его преобразование является бесконечно
малым аффинным преобразованием, вектор поворота равен &dt.
Наконец, соберем вместе результаты всех
Теорема Кош и — Гель м- предыдущих рассуждений. Сформулируем
гольца о разложении ско- теорему Коши—Гельмгольца о разложе-
рости точек бесконечно r J *> -
малой частицы среды нии скорости точек бесконечно малой
частицы сплошной среды. Скорость vx любой
точки Ог G.15) бесконечно малой частицы сплошной среды с
центром в О равняется
vL = vQ + о) х р + grad Ф G.26)
и складывается из скорости поступательного v0 и вращательного
«охр движений частицы как абсолютно твердой и скорости
z>*=grad<D чистой деформации
«1 = *о+*,р.щ + **. G.27)
Введем понятие дивергенции вектора
скорости v. Возьмем в момент t бесконечно
*2 + #* + 2а=Я2,
состоящую из точек среды.
Через время At она перейдет в эллипсоид, уравнение которого
в главных осях будет, очевидно, иметь вид
х*2 у*2 z*2
О дивергенции скорости
малую сферу
§8. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского 109
(причем сфера обязательно переходит в эллипсоид или в частном
случае в сферу, так как etkt малы по сравнению с 1).
Посмотрим, как изменится за время Л/ объем такой бесконечно
малой сферы. Очевидно, в момент t объем V0 = -§- л/?3, а в момент
t+kt те же частицы среды будут составлять объем эллипсоида
у = 1 я/?3 A +^А/) A +etM) A +e9At).
Составим и вычислим предел относительного изменения бесконечно
малого объема среды при А* -> 0 и V0 -* 0. имеем
lira V^t-4 + e.+e». G 28)
Сумма ei+^i+es является, очевидно, инвариантной величиной —
первым инвариантом тензора скоростей деформаций. Как известно,
через компоненты тензора скоростей деформаций в произвольной
системе координат этот инвариант можно записать следующим
образом:
Из определения e{j F.3) видно, что
По определению инвариантная величина Va^ называется
дивергенцией вектора скорости и обозначается div v
div*=»Vat>a. G.29)
В декартовой системе координат, очевидно, будем иметь
j. _ du.dv.dw
дх • ду ' дг
Равенство G.28) установлено для относительного изменения
объема V0 бесконечно малой сферы. Из общих свойств аффинных
преобразований, отмеченных выше, следует, что это изменение
не зависит от формы объема V0 бесконечно малой частицы.
§ 8. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского и некоторые
связанные с ними свойства векторных полей
Ротация и дивергенция Пусть имеется непрерывное поле некото-
вектора р0Г0 вектора д и пусть вектор А имеет
производные первого порядка по
координатам. Все рассуждения, проведенные относительно поля V, можно
повторить применительно к полю А и получить
A^A + gradV + jQxp + pOip),
по
Гл. II. Кинематика деформируемой Среды
где
V = \ аих''х'9 au = у (ViAj + V,A-)
и в декартовой системе координат
1>
* J k
д д д
дх ду дг
Ai Л2 Л3
(8.1)
Этот символический определитель можно составить и тогда,
когда вместо компонент вектора Al9 Л2, А3 взяты просто какие-
нибудь три дифференцируемые функции Р9 Q, R от х, у, г (в
фиксированной системе координат любые три числа можно
рассматривать как компоненты вектора).
Если А—вектор, то вектор й, вводимый по определению
равенством (8.1), называется ротацией вектора А и обозначается
следующим образом:
Й = rot Л.
Аналогично G.29) можно определить дивергенцию вектора А как
divj4 = Va4a
или в декартовой системе координат как
div A = ^- + ^i + ^i.
дх ' ду ' дг
Таким образом, можно считать, что
о)= y rot v:
т. е. вектор вихря равен половине ротации вектора скорости.
„ Возьмем в области определения векторного
Циркуляция вектора А <, г ~ Г/
v J v поля А некоторый разомкнутый 3? или
замкнутый С контур (рис. 16). Составим скалярное произведение
Ads, где ds—направленный элемент контура 3 или С. Это
скалярное произведение будет, очевидно, инвариантной величиной.
Образуем интеграл
\ A-ds = T.
АВ
Введенный таким путем скаляр Г называется циркуляцией
вектора А по контуру jgf. Направление обхода по контуру
должно быть указано. Циркуляция Г зависит в общем случае от
§ 8. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского 111
контура J?, по которому она вычисляется. Очевидно,
^8 = — ^вл-
Если вектор А есть скорость точек сплошной среды #, то
Г= ) vds= ) udx + vdy + wdz
АВ
АВ
называется циркуляцией скорости.
Пусть вектор скорости v имеет
потенциал
z> = gradcp,
тогда
АВ АВ
Фл-
Рис. 16. К определению
циркуляции
Отсюда видно, что в случае потенциальных движений
циркуляция скорости зависит от координат точек А и В\ значение Г
не зависит от вида контура J?, если
потенциал ср является однозначной
функцией координат. Например при
<р = ~, где Q = const, Г не зависит от
3\ и отсюда следует, что в этом
случае циркуляция по замкнутому
контуру С равна нулю, Гс = 0. Если же,
например,
(p = &9 = £Arctg^-
(k—постоянная величина), то
(8.2)
Рис. 17. Циркуляция в
случае (8.2): Tc = 2nk, rCi=0,
Tc = 2nkn при обходе
точки О л раз
и отсюда следует, что в этом случае существуют такие замкнутые
контуры С, охватывающие начало координат, по которым
циркуляция отлична от нуля (рис. 17).
Теорема С ок Пусть теперь скорость v не потенциальна.
т кса Возьмем замкнутый контур С и допустим,
что на него можно натянуть гладкую поверхность 2, на которой
поле v непрерывно и дифференцируемо, т. е. допустим, что
контур С можно стянуть в точку, оставаясь в области непрерывности
и дифференцируемости v. Разбив поверхность 2 контурами С так,
как показано на рис. 18, будем иметь
r«$*.<to=»]£ Iv-ds.
(8.3)
112
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Это равенство очевидно, так как интегралы, взятые по общим
сторонам контуров Cky при суммировании сократятся из-за
противоположных направлений обхода (рис. 18).
Контуры Ск можно взять сколь угодно малыми, и при
вычислении
ГсЛ= j v' ^s можно считать, что скорость v на Ск
определяется по теореме Коши—Гельмгольца о разложении скорости
ds=dp
'С СГ l\PxdP\
Рис. 18, К выводу теоремы Стокса
точек малой частицы сплошной среды с центром в некоторой
точке Oft, лежащей на поверхности 2 внутри контура Cft,
Vck = Vok + <*Xp + gr2idQ> + pO(p). (8.4)
При вычислении Тск слагаемые с Vok и grad Ф дадут нули,
так как это потенциальные векторы и потенциалы их однозначны,
а вклад от члена р0(р) будет малой высшего порядка по
сравнению с членом } (сохр) • ds.
Легко убедиться (см. рис. 18), что
J (oxp)-ds= \ (o)Xp)-dps=J (o-(pxdp) = G>-$ pxdp =
к ^k ^k ^k
= 2©-/ida = 2o)„da, (8.5)
так как вектор со в пределах бесконечно малого контура Ск
постоянен (он зависит только от Ок), ) pxdp равен по величине
ck
2da и направлен по нормали я к dor в ту сторону, с которой
поворот от р к dp виден против часовой стрелки, а область
поверхности 2, натянутая на бесконечно малый контур СкУ может
считаться плоской (п—единичный вектор нормали).
Теперь по (8.3) и (8.5) в пределе при k—> оо и СкУ
стягиваемых в точку, получим формулу, называемую теоремой Стокса,
\vsds = 2la>ndo,
(8.6)
§8. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского 113
т. е. циркуляция скорости по замкнутому контуру С равняется
удвоенному потоку вектора вихря сквозь поверхность 2,
натянутую на этот контур. Подчеркнем, что в (8.6) направление
нормали п должно быть выбрано так, чтобы с ее конца обход
контура С был виден происходящим против часовой стрелки.
Очевидно, теорема Стокса верна не только для вектора
скорости v сплошной среды, но и для любого другого вектора
<д = >1/Э/, удовлетворяющего необходимым условиям
непрерывности и дифференцируемое™. Напишем теперь теорему Стокса
для вектора А в разных видах
с +(tM£)~cj«)+(tM£)«»o. «>]*•
Движение сплошной среды называется в
Потенциальные и безвих- некоторой области безвихревым, если © = 0
ревые движения 0 _,
^ во всех точках этой области, и вихревым,
когда во всей или части области со^=0. В случае безвихревых
движений волокна, расположенные в данный момент времени вдоль
главных осей тензора скоростей деформаций, сохраняют в течение
бесконечно малого промежутка времени
свою ориентацию в пространстве;
Формальной проверкой легко
получить, что если v=grad ф, то <о=0, и, Л<
следовательно, циркуляция по любому
замкнутому контуру, удовлетворяюще-
му условиям теоремы Стокса, равна ^J^THS^SSZ
нулю. Таким образом, если движение ных течений
потенциальное, то оно и безвихревое.
Покажем обратное, т. е., если движение безвихревое, ю=0, то
оно потенциальное, т. е. существует такая функция ф, что fl=grad ф.
Для доказательства возьмем между данными точками А и В два
контура 3?i и 3% (рис. 19), которые можно деформировать друг
в друга в области непрерывного безвихревого движения. По
теореме Стокса имеем
} udx + vdy + wdz = 0,
поэтому
Гдл= ] udx + vdy + wdz = ) udx + vdy + wdz.
Так как контуры Зх и Зг произвольные, то отсюда следует, что
\ udx + vdy + wdz*=(p(x, t/, z),
АВ
8. Л.И. Седов
114
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
т. е. циркуляция между точками А и В не зависит от пути
интегрирования, а зависит только от координат конечной точки В,
если начальная точка А фиксирована. Приращение Г на любом
бесконечно малом участке ВВ\ очевидно, будет равно
u dx+v dy+w dz=dyt
и следовательно, в силу произвольности dx> dy, dz будем иметь
dtp дер дф
дх' ду' дг
Таким образом, понятия потенциальных и безвихревых
движений эквивалентны.
Как известно, область называется одно-
Многозначность потенци- связной, если любой замкнутый контур,
ала и неодносвязность „ ' • * J J r
области течения взятый в этой области, можно стянуть
в точку, не выходя за пределы области;
в противном случае область называется многосвязной. Очевидно,
что если область непрерывного потенциального движения одно-
связна, то потенциал ф—однозначная функция координат; если
эта область многосвязна, то ср может быть многозначной
функцией координат. В многосвязной области циркуляции Г по
контурам, не стягивающимся в точку, может отличаться от нуля
и одинакова по контурам, которые можно перевести друг в друга,
не выходя за пределы области. В примере (8.2) область
непрерывности потенциального движения ф = /г9 не односвязна, ось
z является особой линией.
Поле вектора В называется соленоидаль-
Соленоидальные поля и их ным если имеет место инвариантное урав-
своиства ' г j г
нение
Пользуясь определениями div В и rot Л, непосредственной
проверкой легко установить, что поле ротации любого вектора А всегда
соленой дал ьно, т. е. если
В = rot Л,
то
div# = 0.
В частности
о) = j rot v,
поэтому при движении любой сплошной среды для поля вихрей
верно равенство
div со = О
или в декартовой системе координат
§8. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского 115
Таким образом, поле вектора вихря скорости (поле вихрей) всегда
соленоидально.
Если среда несжимаемая, т. е. любой индивидуальный ее объем
во время движения не меняется по величине, то по G.28) имеем
divt> = 0,
т. е. поле скоростей несжимаемой среды соленоидально.
Как известно из физики, поле вектора магнитной
напряженности Н в пустоте также всегда является соленоидальным
div#=0.
Любой соленоида л ьный вектор В можно представить в виде
Я = rot 4. (8.7)
В самом деле, частное представление вектора В по формуле
(8.7) через вектор Аг можно построить следующим образом.
Возьмем декартову систему координат и положим А1г = 0. Тогда
равенство В = хо1Аг приводит к следующей системе уравнений для
определения А1Х и Аг :
1 дА*у ._ о
2 дг °х>
1 dAi*=Byy (8.7'}
2 дг
1 (dAiy dAix\_ R
2 V дх ду J" *'
Эта система при условии div# = 0 будет удовлетворена, если
положить
г х
А 1у = - 2 J Вх dz + 2 \ Bz (х, у, z0) dx,
Z0 Xq
z
Alx~2\Budz.
Действительно, непосредственно видно, что первые два
уравнения (8.7') при этом удовлетворяются. Третье уравнение (8.7')
также удовлетворяется, так как в силу равенства
дВх дВу дВ2
получается, что
дА\,, дА1х\ Г/дВ
дх ду
дх ' ду dz
Г/дВх дВи\ .
Г дВг
= \-j~dz + Bz(x, у, г0) = Вг(х, у, г).
116
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Очевидно, что все векторы А> удовлетворяющие условию (8.7),
могут быть представлены в виде
Л^Л + gradY,
где V—произвольная скалярная функция. Действительно, для
разности А—Аг должно выполняться равенство
rot (A—Aj) = rot A—rot At = О,
т. е. эта разность должна представляться в виде градиента некоторой
функции ¥.
На примере поля вектора вихря о> рассмотрим общие свойства
соленоидальных полей.
Как для всякого векторного поля, для поля вектора вихря
можно ввести (см. § 3 гл. II) понятия векторных линий,
поверхностей и трубок, т. е. понятия вихревых линий, поверхностей и
трубок. Вихревой линией называется линия, касательная в каждой
точке которой совпадает с направлением вектора вихря о.
Дифференциальные уравнения вихревых линий имеют вид
dx __ dy ___ dz
Cdi QJ °H'
(8.8)
Вихревая поверхность f(x, у, z)=const сплошь состоит из
вихревых линий, и ее уравнение имеет вид
df ' " df -« (8.9)
<B^+C0*i-+(o»-|-=0-
Вихревая трубка образуется, если через все точки замкнутой
кривой С (не являющейся вихревой линией) провести вихревые
линии. Боковая поверхность вихревой трубки — вихревая
поверхность, и на ней G)n=0.
Рис. 20. К свойствам вихревых трубок
Рассмотрим свойства вихревых трубок. На боковой
поверхности вихревой трубки возьмем два контура Сх и С2 так, как
показано на рис. 20. Соединим эти контуры разрезом <2?и 3\- К
образовавшейся при этом поверхности 2, целиком лежащей на боковой
§8. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского 117
поверхности вихревой трубки, применим теорему Стокса. Получим
vds*=0.
$
по границе 2
Направление обхода границы поверхности 2 указано на рис. 20,
два берега J?i и &* разреза при интегрировании проходятся в
разных направлениях, и поэтому интегралы по ним в сумме дают
нуль. Контуры Сг и Са также проходятся в противоположных
направлениях, и, следовательно, сменив обход одного из них на
обратный, получим
J vds = 5 v-ds9
сх с,
или
r*ct — Гс,.
Контуры d и С2 могут быть при этом, очевидно, произвольными
контурами, охватывающими один раз данную вихревую трубку.
Следовательно,
Гс.= const,
где С — произвольный контур, охватывающий один раз данную
вихревую трубку.
Циркуляция
Tc = \v-ds
с
или равная ей по теореме Стокса величина
2$М*.
где 2 — поверхность, натянутая на С, а направления обхода
С и нормали п к 2 связаны так, как указывалось при выводе
теоремы Стокса, называется напряженностью вихревой трубки.
Напряженность вихревой трубки одина-
Гель^адьвдСКоИевихмРхМЫ кова вдоль тРУбки и является характе-
в хрях ристикой данной трубки. Это утверждение
носит название первой кинематической теоремы Гельмгольиа
о вихрях.
Вторая кинематическая теорема Гельмгольца состоит в том,
что вихревые трубки не могут начинаться и кончаться внутри среды.
Это непосредственно вытекает из условия непрерывности поля <о и
сохраняемости напряженности вихревых трубок. Таким образом,
вихревые трубки либо могут быть замкнутыми, либо могут
кончаться и начинаться на границах движущейся среды, либо, если
среда неограничена, могут уходить в бесконечность.
118
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Примеры вихревых тече- Интуитивно кажется, что течение жидко-
ний сти всегда вихревое (ю^О), если в потоке
имеются замкнутые линии тока. Действительно, если в потоке
наблюдается распределение скоростей, аналогичное показанному
на рис. 21, а, то циркуляция по нарисованной на рисунке
линии тока отлична от нуля,
rc=$Ms^=o,
так как подынтегральное выражение на всем промежутке
интегрирования не меняет знака; по теореме Стокса на поверхности,
натянутой на контур С, должны существовать точки с (дпфО, течение
t t+At
В С Вг С
им
А В А' В'
х О
а
Рис. 21. Примеры возможных вихревых и безвихревых течений
вихревое. Но этот вывод справедлив только в условиях
применимости теоремы Стокса, т. е. тогда, когда на С можно натянуть
поверхность 2, на которой поле я вместе со своими частными
производными непрерывно. Например, нельзя сделать вывода о том,
что плоскопараллельное течение при наличии распределения
скоростей рис. 21, а вихревое, если контур С охватывает твердое
цилиндрическое тело с образующей, параллельной оси z (рис. 21, б).
Нельзя сделать такого вывода и тогда, когда поля v или со имеют
внутри С особенности.
В этой связи остановимся подробнее на примере течения
Ф = &9г=А Arctg-2-.
(8.10)
Это течение потенциально, zr=grad q>, его линии тока
ортогональны поверхностям cp^const и являются, следовательно, в
плоскости хОу окружностями. Скорость направлена в сторону роста <р,
и поэтому, если k>0, течение направлено так, как показано на
рис. 21, #. Циркуляция Г по любой окружности, совпадающей с
линией тока, отлична от нуля, хотя течение потенциально всюду,
кроме точек оси г, где потенциал не определен. Если мы подсчи-
§8. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского 119
таем вектор вихря для этого течения, то увидим, что он будет равен
нулю всюду, кроме оси z\ на оси z величину о нужно приравнять
бесконечности. Таким образом, вдоль оси z поля v и <о имеют
особенности. Вдоль оси z имеется изолированная вихревая нить
конечной интенсивности Г=2я&. Это течение носит название
течения от изолированного вихря.
Не следует думать, что вихревые течения обязательно связаны с
наличием в потоке замкнутых линий тока. Рассмотрим течение
(рис. 21, г)
и=ау, v=w=0,
где а — постоянная положительная величина.
Траектории, совпадающие с линиями тока в этом течении,—
прямые, параллельные оси х. Распределение скоростей вдоль любой
прямой х = const линейное. Непосредственное вычисление
компонент о в декартовых осях координат дает
(о1 = ©я = 0, оK = —4»
Теорема Гаусса —
Остроградского
т. е. течение вихревое, о> направлен против, оси z и не меняется
от точки к точке. Бесконечно малая жидкая частица, взятая в
момент t в виде квадрата A BCD, в момент t + At перейдет в ромб
A'B'C'D''. Можно показать, что главные оси тензора скоростей
деформаций в момент t совпадают с диагоналями квадрата, а в
момент / + At они переходят в диагонали ромба. Углы между главными
осями в процессе движения остаются, очевидно, прямыми, но их
ориентация в пространстве меняется. Они вращаются с угловой
скоростью о = - у ft.
Напомним теперь теорему
Гаусса—Остроградского. Возьмем в движущейся среде
в момент / индивидуальный объем V
сплошной среды, ограниченный поверхностью 2. В каждой точке
поверхности 2 выберем внешнюю по отношению к V нормаль п.
В момент t + At этот объем
перейдет в объем V", а 2—в
поверхность 2', ограничивающую V
(рис. 22).
Изменение объема V—V,
очевидно, будет равно
V'—V=\vnUdo.
Уменьшение V' по отношению
к V учитывается при этом авто- Рис. 22. к теореме Гаусса-Остро
матически условием о том, что нор- градского
маль всегда внешняя к V.
2*
120 Гл. II. Кинематика деформируемой среды
Скорость изменения объема равна
у у о
Аналогично для бесконечно малого объема У*, ограниченного
поверхностью 2*, будем иметь
у у* г*
Воспользовавшись определением дивергенции вектора
скорости G.28) и вспомнив ее кинематический смысл, в декартовой
системе координат получим
^ vndo= \ [ucos(n, x) + vcos(n9 y) + wcos(n, z)]do =
-Vdivv+V4-(g+py+%)v+Vt, (8.11)
где е — бесконечно малая величина.
Конечный объем V всегда можно разбить на бесконечно малые
объемы V* и для каждого из них написать равенство (8.11), если v
внутри V непрерывно и дифференцируемо. Просуммировав (8.11)
по всем составляющим V* и, взяв предел при числе разбиений,
стремящемся к бесконечности, и V* -> 0, получим
][ucos(ntx) + vcos(n% y)+w cos (я, z)]do =
-{(№£)*• <8Л2>
V
так как в левой части интегралы, взятые по смежным поверхностям
2*, в силу противоположных направлений нормалей к ним
сократятся и в пределе останется интеграл только по внешней
поверхности 2.
Равенство (8.12) и представляет собой теорему Гаусса —
Остроградского о преобразовании интеграла, взятого по замкнутой
поверхности 2, в интеграл, взятый по ограниченному этой
поверхностью 2 объему V. Равенство (8.12) можно написать в виде,
независимом от выбора системы координат:
[vndo=\ divtfdr. (8.13)
2 V
Очевидно, любой непрерывный и имеющий первые непрерывные
производные внутри У и на поверхности 2 вектор А можно
трактовать как скорость v и написать для него формулу Гаусса —
Остроградского
J Л-я^а= J div Adx.
2 V
§ 8. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского 121
Более того, так как в данной системе координат любые три
функции Р* Q, R можно трактовать как компоненты вектора, теорему
Гаусса — Остроградского можно написать для любых трех
непрерывных и дифференцируемых функций Р, Q, R от х, у, z, а именно:
^[/>cos(/i,x)+Qcos(/i,t/) + ^^
Под интегралами в формуле Гаусса — Остроградского как
справа, так и слева стоят инвариантные, не зависящие от выбора
системы координат величины. Если они известны в декартовой системе
координат, то их легко вычислить в любой другой системе
координат. А именно, пусть в любой системе тI, т]а, т|8
тогда
A»n = Aknk
и
div4-vH*-|jf+>Mb.
где символы Кристоффеля Vlkj вычисляются согласно полученным
выше формулам по-giy в пространстве тI, г]2, т)8 (gtj можно вычислить
по формулам преобразования от декартовой системы координат к
данной системе гI, т]2, т]3).
Теперь теорему Гаусса — Остроградского можно написать
в следующем виде:
$ ^dcr-JvH***, (8-14)
2 V
который справедлив в произвольной криволинейной системе
координат. Заметим, что число измерений пространства при выводе
теоремы Гаусса — Остроградского может быть произвольным. В
механике и в физике эта теорема часто применяется для двумерных,
трехмерных и четырехмерных областей.
Формула дифференциро- Выведем еще одну полезную для дальней-
вания по времени инте- шего формулу векторного анализа. Пусть
грала, взятого по под- имеется произвольная функция / (она мо-
вижному объему жет gbITb и тензором), зависящая от
координат точек пространства и от времени t. Рассмотрим интеграл
$/(*» У, *> t)dx
v
по подвижному объему V. Вычислим производную
у
122
Гл. II. Кинематика деформируемой среды
где от / зависит не только подынтегральная функция, но и область
интегрирования V. По определению производной (см. рис. 22) можно
написать
И С*
т f(x,y,z, t)dx=\i
lim-^-
{ t (x, у, г, t+Ы) dx- J / (x, у, г, t) dx
A<-0 At
VU)
$[/(«, y,z, t+bt)-f(x,y, г, t)]dx+ J f(x,y, z, t + M)dx
= iim
д/-»о A'
ynX,y;z,t)dx^fVnd0t (8Л5)
так как объем V—V состоит из элементарных цилиндров (см.
рис. 22)
d% =" vn do At
и при Д/-+0 поверхность 2' стягивается к 2, а
f(xt У, г, t + At)-+f(x, у, г, t).
Применив к последнему интегралу (8.15) формулу Гаусса —
Остроградского, получим
^.f{x, у, z, t)dx = j [| + V,(M] dx. (8.16)
V V
Область интегрирования V подвижна, и, естественно, что резуль
тат дифференцирования зависит от поля скоростей v, с которым
движутся точки объема V.
Очевидно, всегда верно следующее кинематическое равенство:
%+v<- №=m+vi^f+К'* = 57+^'> <8- *7)
где
*7 = 1 + <"^ (8.18)
есть выражение полной производной от функции / по времени t
в произвольной системе координат.
Поэтому формулу (8.16) можно записать еще в виде
^f(x,y,z, /)dx = J(f, + fv,i;')dT. (8.19)
V V
Применим формулу (8.16) к частному случаю. Пусть
§8. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского 123
где V — объем сплошной среды. Очевидно, в этом случае функция /
зависит от переменного объема V — области интегрирования (8.1S),
т. е. она зависит только от / и не зависит от координат. Ясно, что
всегда верно кинематическое тождество
Г
jvw
и по (8.16)
^-ет+^г*)]*-» <***
или
J[«+idN]*.0. (8.2I)
V
Это тождество может быть написано как для всего объема V
движущейся среды, так и для любой его части. .
Применяя (8.21) к бесконечно малому объему AV, получим
-ML/+_|_div«> = 0, (8.22)
где div v взята в той точке, в которой стягивается АV.
Подчеркнем, что это равенство верно для любых сред и никак не связано
со свойствами движущейся среды. В частности, оно верно и для
нематериальных сред, например фазового пространства.
ГЛАВА III
ДИНАМИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 1. Уравнение неразрывности
Перейдем к изучению движения физических объектов, т. е.
материальных тел и полей. В этом и в ряде последующих разделов в
основном будут рассматриваться законы движения только
материальных тел. Материальными телами называются тела, обладающие
свойством инерции.
Свойство инерции характеризуется массой. Массу можно ввести
как для всего тела в целом т, так и для любой его части т(. По
определению в механике Ньютона масса всего тела т равна сумме
масс rrii всех составляющих тело частей.
Фундаментальным законом ньютонианской
Закон сохранения массы; механики является закон сохранения мас-
плотиость; уравнение не- сы т любого индивидуального объема,
разрывности в перемен- -. " "J J
ных Эйлера т- е- объема, состоящего из одних и тех
же частиц среды. Этот закон можно
рассматривать как опытно установленный закон природы, верный
в определенном приближении.
Одно из основных уравнений мехарики сплошной среды
заключается в том, что для любого индивидуального объема
m=const.
Это уравнение можно записать еще в другой форме, а именно:
f = 0. A.1)
Введем среднюю плотность
Am
Pep ~~AV9
где AV — объем, занятый массой Am; истинную плотность
определим как следующий предел:
Р- Иш |£.
AV-+Q дк
В механике сплошной среды почти всегда вместо массы т
рассматривают плотность р. Для малого объема верно равенство
Д/я^р AV;
§ 1. Уравнение неразрывности
125
для конечного объема — равенство
v
где интеграл взят по подвижному индивидуальному объему. Таким
образом, зная р, можно найти т.
Плотность р для индивидуальной частицы может и не
сохраняться, так как объем частицы во время движения может меняться.
Закон сохранения массы для индивидуального объема сплошной
среды можно, очевидно, теперь записать в виде
l$pdT = 0. A.2)
V
Применив правило дифференцирования (8.16) интеграла, взятого
по подвижному объему, при условии соблюдения закона сохранения
массы, будем иметь
o-5-J(S+«n*H*-J($+',dH*
или, так как это равенство справедливо для любого индивидуального
объема, получим первое основное дифференциальное уравнение
механики сплошной среды
! + pdivtf = 0, A.3)
называемое уравнением неразрывности в переменных Эйлера.
Это же уравнение, так как масса сохра-
x^Z^lcB^Z^tE^ няется для любого индивидуального объема,
в индивидуальном объеме можно, очевидно, непосредственно
получить из формулы (8.22).
Кроме массы т есть и другие физические характеристики,
остающиеся во время движения постоянными в любом индивидуальном
объеме сплошной среды. Например, пусть М — число молекул или
атомов в произвольном индивидуальном объеме. Часто N постоянно
в индивидуальном объеме. Введя число молекул или атомов в единице
объема п ^= lim -я-» на основании предположения о постоянстве N
в любом индивидуальном объеме с помощью формулы (8.22) получим
для п аналогичное A.3) дифференциальное уравнение
2j + ndivtf = 0. A.4)
Если в сплошной среде происходят химические реакции, то
уравнение A.3) выполняется, а уравнение A.4) нет.
Существуют и другие скалярные, векторные или тензорные
величины, сохраняющие свое значение в любом индивидуальном
126 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
объеме. Обозначим такую сохраняющуюся величину через Ф и
введем плотность этой величины:
ЛФ
f-^w
Очевидно, что для Фи/ выполняются следующие условия:
dt u'
V
$+/div* = 0.
В физике во многих случаях последнее условие выполняется для
плотности заряда е. Установление тех характеристик, которые
сохраняют свою величину в индивидуальном объеме, является одной
из основных проблем физики.
Пусть мы имеем смесь, состоящую из
Уравнения неразрывно- pj компонент, например: смесь водорода,
сти для многокомпонент- ' r r /Д7 о\
ных смесей кислорода и паров воды (iv=3); сплав
олова и меди; раствор соли в воде;
плазму—смесь свободных электронов и ионов—и т. п. Все такого
рода многокомпонентные смеси можно представить себе как
совокупность N континуумов, заполняющих один и тот же объем,
занятый смесью. Для каждого из этих континуумов можно ввести
свою плотность и свою скорость. Обозначим их через р1э р2, ..., pN
и vly v2y ..., vN. В каждой точке объема, занятого смесью,
будет N плотностей рх- и N скоростей vh каждая из которых
относится к своему континууму.
Таким образом, в этой постановке механика смеси является
механикой набора континуумов, заполняющих один и тот же
объем.
Рассмотрим сначала случай, когда в смеси не происходят
химические реакции или ионизация. В этом случае для каждой из N
компонент смеси должен выполняться закон сохранения массы, и
мы будем иметь N уравнений
drrij _ п
dt ~~u
или
%f + clivp,^, = 0. A.5)
Если же в смеси происходят химические реакции или ионизация
(этот случай интересен с точки зрения приложений), то массы
компонент mi могут меняться. Введем х, — изменение массы т£
1-й компоненты смеси в единицу времени на единицу объема за счет
§ 1. Уравнение неразрывности
127
химической реакции или ионизации. Величины щ определяются в
химии. Тогда уравнения неразрывности для компонент смеси можно
записать в виде
v
или
^ + divp/^-x/. A.6)
Основной закон химических реакций заключается в том, что
общая масса смеси остается постоянной, и поэтому
Jj*,-0. A.7)
Кроме N плотностей и N скоростей компонент смеси можно
ввести одну плотность р и одну скорость v смеси как целого. По
определению масса смеси в данном объеме равна сумме масс
компонент в этом же объеме
N
а плотность смеси р определяется как
lim ^.
Плотность компонент смеси
г А/л,-
и поэтому
N
Р« 2 Р/.
i=l
Соотношение, являющееся результатом суммирования A.5),
с учетом A.7) можно написать в виде
J + divER^-O.
Это уравнение будет иметь обычный вид уравнения
неразрывности A.3), если скорость v смеси в целом определена следующим
образом:
N N
t=i i=i
128 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
т. е.
N N
v = ^ -i=i . A.8)
Заметим, что так определенная скорость v представляет собой
скорость общего центра масс N индивидуальных объемов,
соответствующих N компонентам смеси.
Может случиться, что все компоненты
Уравнение неразрывности смеси движутся с одинаковыми скоростя-
в случае процессов с диф- м J " *
Фузией ми, которые совпадают в этом случае
со скоростью движения смеси в целом,
Такого рода процессы являются процессами без диффузии.
Если скорости компонент Vt разные, то имеет место диффузия;
в этом случае одни компоненты смеси движутся относительно других.
Электрический ток представляет собой пример такого процесса.
При наличии электрического тока в неподвижном проводнике
имеем v = 0, a vt=£0, движение электронов и ионов в проводнике и
образует электрический ток.
В случае процессов с диффузией уравнения неразрывности A.5)
или A.6) можно видоизменить и ввести в уравнение неразрывности
каждой компоненты скорость v движения смеси как целого.
В общем случае при наличии химического взаимодействия и
диффузии уравнения A.6) можно написать в виде
^ + divp/tr = K,-div//, A.9)
где
f. = Pl(V{—v).
Разность vt — v является, очевидно, скоростью /-й компоненты
относительно среды в целом. Члены div /* в уравнениях A.9)
характеризуют изменение массы t-й компоненты в объеме, движущемся
со скоростью v, за счет того, что этот объем, если v Ф *Ои не
является индивидуальным объемом для i-й компоненты.
Частицы, составляющие f-ю компоненту, входят в этот объем и
выходят из него. Векторы It носят название векторов потока
диффузии.
Для вычисления векторов потока диффузии /* необходимо
опираться на законы физики. Законы диффузии в разных случаях
могут быть разными, но в любом случае из A.8) следует, что
выполняется условие
N
2#,-о.
§ 1. Уравнение неразрывности
129
Вместо N уравнений неразрывности A.9) для компонент смеси
можно использовать N — 1 независимых уравнений неразрывности
A.9) для компонент смеси и уравнение неразрывности для смеси в
целом
g+divp*=0.
Таким образом, изучая движение многокомпонентной смеси,
можно не вводить явно N континуумов, заполняющих один и тот
же объем и движущихся с разными скоростями я,-, а вместо Vt
ввести в рассмотрение только векторы потока диффузии 1% и
рассмотреть уравнения A.9) как уравнения для плотностей р* компонент
смеси.
Ясно, что при изучении движения многокомпонентных
реагирующих смесей необходимо объединять законы механики с законами
физики и химии для величин х£ и It.
Уравнение неразрывности A.3) получено
Уравнение неразрывности для произвольной сплошной среды.
в °сл^аеа Несжимаемой сРеДа называется Несжимаемой, если
среды любой ее индивидуальный объем остается
во все время движения постоянным по
величине. Поэтому плотность в частице несжимаемой среды также
остается постоянной. Уравнение неразрывности имеет вид
div* = 0. A.10)
Среда называется однородной, если плотность р одинакова
во всех частицах среды, т. е. р не зависит от пространственных
координат х, у, z, и неоднородной, если плотность р разная в
разных частицах среды, р=р (х, у, z). Уравнение неразрывности A.10),
очевидно, справедливо как для однородной, так и для неоднородной
несжимаемой среды.
Поле скоростей несжимаемой жидкости всегда соленоидально, и,
следовательно, его векторные трубки, т. е. трубки тока, обладают
свойствами, изложенными в § 8 гл. II. Например, напряженность
трубки тока
\vndo=Q
B — поперечное сечение трубки, г п— нормаль к нему),
называемая расходом трубки тока, остается постоянной вдоль трубки тока.
При непрерывном движении трубки тока не могут начинаться и
кончаться внутри объема несжимаемой среды.
Получим уравнение неразрывности в дру-
вп?р*^ гой Ф°Рме> а именно выведем уравнение
неразрывности в переменных Лагранжа.
Для этого в данный момент времени t в произвольной точке М
сплошной среды на малых векторах эхdg1, 92dl2% 38d£3> направ-
9. Л.И. Седов
130 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
ленных вдоль осей сопутствующей системы координат S1, £2, £*,
построим элементарный бесконечно малый косоугольный
параллелепипед. Его объем будет равен
В другой произвольный момент /0 этому параллелепипеду
соответствовал элементарный косоугольный параллелепипед,
построенный на векторах э^1, 32d£a, asd£3, взятых в той же
индивидуальной точке М. Объем этого параллелепипеда был равен
^оЧМэ2хэ,)^М^3|.
Обозначим плотность среды в моменты t я t0 соответственно
через р и р0. По закону сохранения масс будем иметь
или
Э1-(Э2ХЭ3)
Vo
Э!'(Э2ХЭ3)
A.11)
Для вычисления смешанных произведений векторов базиса
введем еще декартову прямоугольную систему отсчета х1, х2у х3
с векторами базиса эг = 1, э2=], эд = к> относительно которой
изучается движение среды. Обозначим координаты точек среды
относительно этой системы в момент / через х1, х2, х3} а в момент
t0 через ли, х\, х%. Очевидно,
4-х!(£\Ъ\ t\t0), х^х^Е1, £\ Б», /),
т. е. Xq и х1' являются значениями функций, задающих закон
движения, взятыми при разных значениях независимой переменной /.
Так как радиус-вектор точки М относительно системы отсчета есть
г = х*эк.
~ дг
то
S дх* *
и смешанное произведение э^&ХЭг) можно представить в виде
детерминанта
Л ^ Л
>
дх1 дх2 дх3
W W Мт
дх1 дх2 дх3
WWW
dxi дх* дх3
Э|3 д1* д%*
Л
-А,
§ 1. Уравнение неразрывности
131
где А—якобиан преобразования от переменных g1, £2, g3 к
переменным х1, х2, *3. Аналогично
d*j djejS dxl
dl1 d& dg1
^1 * \^2 X #3) '—
dxl dxl dxl
ag2 dt? di*
dx\ dxl dxl
d? d? dp
= A,
где A—якобиан преобразования от переменных g1, g2, g3 к
переменным xj, л:2, jCq. Теперь уравнение A.11), используя свойство
якобианов, можно представить в виде
д4
p = PoT = p0Det
А
дх*
A.12)
Преобразуем далее полученное уравнение A.12). Обозначим для
наглядности компоненты дх'/дЪ/ векторов эу- в системе х, у, г
через э/х, э/уУ э/г. Тогда, очевидно,
&-(a2xa8)]a = A2-
Э\х э1у э1г
Э2х Э2у 92Z
9зх эзу Hz
2
=
&lx э1у э1г
Э2Х Э2у a2Z
эзх э3у эзг
X
Э1Х Э2Х ЭЗХ
Э1у Э2у Э3у
&\Z $2Z Hz
= DetIft*| = b
так как gik*=9rak.
Аналогично
^C2X93)f = Det\\gik\\ = gj
и, следовательно, A.11) можно представить в виде
Р = Ро]/~|* A.13)
Уравнения A.11), A.12) и A.13) — разные виды уравнения
неразрывности в переменных Лагранжа.
Заметим, что в общем случае для плотности / любой величины Ф,
сохраняющей свое значение в индивидуальном объеме сплошной
среды, выполняется уравнение
f=/o|/f =/оА,
A.14)
где А — детерминант матрицы преобразования от переменных xf к
переменным х^.
Уравнение неразрывности носит весьма универсальный
характер и выполняется при движениях любой материальной среды, его
132 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
вид не зависит от свойств среды. Оно одинаково для всех сред: воды,
воздуха, металла и т. д. В уравнение неразрывности в случае
сжимаемой среды A.3) входят четыре неизвестные функции: плотность р
и три компоненты скорости; в случае несжимаемой среды A.10) в
него входят только три неизвестные функции — компоненты
скорости. Очевидно, что для решения задач механики сплошной среды
одного уравнения неразрывности недостаточно. Перейдем к выводу
других уравнений, выполняющихся при движении любой
материальной сплошной среды.
§ 2. Уравнения движения сплошной среды
Будем изучать-движение материальной сплошной среды в связи
с причинами, которые это движение вызывают. ,Для этого введем
в рассмотрение силы. Силы являются векторными величинами.
Дадим основную классификацию сил, с которыми приходится
иметь дело в механике сплошной среды. Понятие силы в механике
сплошной среды по сравнению с механикой материальной точки и
твердой неизменяемой системы усложняется.
В теоретической механике в основном
Сосредоточенные и рас- имеют дело с сосредоточенными, или кон-
пределенные силы ~ r ^
v центрированными силами, т. е. конечными
силами, действующими в точке. В механике сплошной среды мы
встречаемся в основном с распределенными силами, т. е. с силами,
действующими в каждой части объема V или на каждом элементе
поверхности 2 сплошной среды, причем при стремлении
бесконечно малого элемента объема или поверхности к нулю главный
вектор действующих на него сил также стремится к нулю.
Сосредоточенные силы встречаются в механике сплошной среды
только в исключительных случаях. Из второго закона Ньютона
F = Ama,
где А/я—масса малого элемента сплошной среды, а а—его
ускорение, видно, что концентрированная сила может быть только
в той точке, где а (или р) обращается в бесконечность.
Силы, распределенные по объему V, на-
Объемные или массовые зываются объемными или массовыми си-
силы г^^ -
лами. Обозначим через F главный вектор
массовых сил, действующих на элемент массы Am. Тогда
плотность F массовой силы в данной точке есть
F= lira -£-.
Для малой частицы
F^FAm.
§ 2. Уравнения движения сплошной среды
133
Иногда рассматривают силу Ф, приходящуюся не на единицу
массы, а на единицу объема. Очевидно,
Ф= lim -г^т, т. е. Ф^р/7,
фдУ и F dm имеют размерности силы, F—размерность
ускорения, а Ф—размерность ускорения, умноженную на размерность
плотности.
Число различных видов массовых сил невелико. Это — сила
тяжести (вес) F=g> Ф=Р£Г и вообще гравитационные силы,
подчиняющиеся закону всемирного тяготения Ньютона; электромагнитные
силы; силы инерции, которые приходится вводить при изучении
движения в неинерциальных системах координат и которые с точки
зрения самого движущегося тела являются обычными реальными
внешними массовыми силами. Иногда при изучении конкретных
движений сплошной среды массовые силы вводятся искусственно. Так,
например, рассматривая движение профиля крыла в жидкости,
можно считать, что область, занятая профилем крыла, также
заполнена жидкостью, но для того, чтобы искусственно введенная
жидкость продолжала двигаться как профиль крыла, к ней
необходимо приложить распределенные массовые силы.
В механике абсолютно твердого тела действие любой системы
сил эквивалентно действию ее главного вектора и главного
момента. В механике деформируемых сред существен характер
распределения сил по телу.
„ В механике сплошной среды основную роль
Поверхностные силы r J r
играют не массовые, а поверхностные, т. е.
распределенные по поверхности сплошной среды, силы. Так,
например, если взять воду, налитую в сосуд, то на поверхности S
соприкосновения воды со стенками сосуда будет, очевидно,
наблюдаться силовое взаимодействие. Взяв элемент do поверхности 5,
можно ввести элементарную поверхностную силу dP=pdo, где
,. АР
р = lim -т— плотность поверхностных сил, действующих на
плода-» о Аа
щадку da. Плотность р поверхностной силы можно ввести в
каждой точке поверхности S, и она будет, вообще говоря,
разной в разных точках.
Силы можно разбить на внутренние и внеш-
с*илыРеННИе И внешние ние. Силы называются внутренними, если
они вызваны объектами, принадлежащими
к системе, движение которой рассматривается, и внешними, если
они вызваны внешними по отношению к рассматриваемой системе
объектами.
Понятие внешних и внутренних сил относительно. Так,
например, если мы рассматриваем движение воздуха в атмосфере Земли и
Земли вместе, то сила тяжести воздуха — внутренняя сила. Если
же рассматриваем движение только воздуха, то сила тяжести —
134 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
внешняя. Если рассматривается движение материального тела и
электромагнитного поля, то электромагнитные силы — внутренние;
если же рассматривается движение только материального тела, то
поле является внешним по отношению к нему агентом, и
электромагнитные силы — внешние.
Мысленно выделим в сплошной среде неко-
Силы^ внутренних напря- ТОрЫй произвольный объем V и разобьем
жении его сечением 5 на две части Vx и V2 (рис. 23).
Если мы будем рассматривать движение одной из частей 1/,
например Vlf то при этом действие на нее второй части, т. е. V2,
необходимо заменить распределенными по Vx массовыми силами и
распределенными по 5
поверхностными силами. Так введенные силы
взаимодействия будут внешними для
\ Vv Если же мы будем рассмат-
) ривать движение объема V в це-
'Е2 лом, то эти силы будут
внутренними. Сечение S можно проводить
по-разному, и, очевидно,
распределенные по поверхности S поверх-
Kp„d6 ностные силы будут на разных S
Рис. 23. Силы внутренних напря- разными.
жений Возьмем некоторую точку М
внутри тела и рассмотрим в этой
точке различные площадки do. Ориентацию этих площадок будем
определять нормалью п к ним, а полную силу, действующую со
стороны части среды в объеме V2 на часть среды в объеме Vx
на площадке do с нормалью я, обозначим через dP. Дальше
примем, что dP = pndo, где рп—конечный вектор. Вектор рп можно
рассматривать как поверхностную плотность силы взаимодействия
разделенных частей вдоль площадки do. В общем случае рп может
зависеть от ориентации площадки do и других ее геометрических
свойств. Направление нормали п будем выбирать всегда так, чтобы
она была внешней по отношению к той части среды, на которую
действует вводимая сила pndo. Так, например, влияние объема V2
на Vx будем заменять распределенными силами pndo, а злияние
объема Vx на V2 — распределенными силами P-ndo (рис. 23). Такого
рода поверхностные силы можно вводить в любой точке сплошной
среды, они называются силами внутренних напряжений,
Силу внутренних напряжиний pndo в каждой точке сплошной
среды можно разложить на две составляющие —по нормали п и
касательной т к элементарной площадке do (рис. 24):
pndo = pnnndo + pnxxdot
где pnndo—нормальная компонента силы внутреннего напряжения,
а Рпт^о—касательная, которая носит также название
тангенциальной силы или, в случае жидкости, силы внутреннего трения*
p.nd6=-pnde>
§ 2. Уравнения движения сплошной среды
135
i^dG
Поверхностные силы pnda могут быть, очевидно, и внешними
силами, т. е. силами, действующими на внешней поверхности,
ограничивающей сплошную среду.
В каждой точке М сплошной среды существует бесконечно
много векторов рпУ соответствующих
бесконечному набору площадок do,
проходящих через эту точку. Однако
между ними имеется универсальная,
не зависящая от частных свойств
движущейся среды, связь, которую pnrrd6\
мы ниже получим.
Основным динамическим
уравнением движения материальной точки
является второй закон Ньютона
Р Рис. 24. Нормальная и касатель-
г — /7Ш. ная составляющие сил
внутренних напряжений
Нам предстоит сформулировать
более сложное, но являющееся прямым обобщением второго
закона Ньютона соотношение, описывающее движение сплошной
материальной среды.
Рассмотрим движение одной материальной
точки массы т относительно инерциальной
системы координат х, у, г. Так как
масса т точки постоянна, будем иметь
dv dmv r- /on
Уравнение количества
движения для
материальной точки и для системы
точек
тчг-
dt
:F.
Произведение массы на скорость mv называется количеством
движения точки. Имеем уравнение количества движения для одной
материальной точки — производная по времени от количества
движения материальной точки равна сумме всех сил, действующих
на эту точку.
С помощью основного уравнения количества движения B.1)
можно решать две типичные задачи — по известным силам найти
закон движения точки или по известному закону движения точки
найти действующую на нее силу.
Если мы имеем систему из п материальных точек, каждая из
которых имеет массу т{ и в результате действия на нее суммарной
силы F; движется со скоростью Vt> то для каждой из этих точек
можно написать уравнение количества движения B.1)
dtr\{Vi
F,,
причем в Fj войдут все силы, действующие на точку с номером г,
как внешние, так и внутренние по отношению ко всей системе из
п материальных точек. Сложив уравнения количества движения
136 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
B.1) для всех п точек, получим
dt dt
где справа стоит сумма всех только внешних по отношению к системе
сил, так как внутренние силы взаимодействия по третьему закону
Ньютона существуют попарно и при суммировании сокращаются.
Сумма
п п
t*=i t=i
— масса всей системы, а V*—скорость центра масс системы.из п
точек,
п
V* = ,
т *
называется количеством движения системы, и мы приходим к
уравнению количества движения для системы из п материальных точек
п п
dQ V Me) dV* V е(е)
i-\ i-\
Производная по времени от количества движения системы
материальных точек равняется сумме всех действующих на систему
внешних сил. Или иначе — масса, умноженная на ускорение центра
масс системы, равняется сумме всех внешних сил, действующих на
систему.
Таким образом, движению любой системы материальных точек
можно поставить в соответствие движение одной материальной
точки — центра масс системы. При малых размерах системы для
далеких наблюдателей движение системы точек во многих вопросах
можно свести к движению одной точки — центра масс системы.
Уравнение движения материальной точки имеет универсальное
значение, его можно применять к всевозможным механическим
системам: галактикам, звездам, планетам, любым летательным
аппаратам, человеку, птицам, насекомым и т. д. и т. п.
Обобщим теперь уравнение количества дви-
Уравнение количества жения на случай конечного индивидуаль-
движения для конечного * т/ „ ^J
объема сплошной среды ного объема V сплошной среды,
ограниченного поверхностью 2. Напишем
это уравнение, так как
V М М V
§ 2. Уравнения движения сплошной среды
137
в виде
^f = §Fpdx + ^pnd<j, где Q = ^vpdx
по определению есть количество движения сплошной среды,
занимающей объем V, а
$FpdT и \pndo
— суммы внешних массовых и поверхностных сил, действующих
на среду в объеме У, соответственно.
Таким образом, для любого индивидуального объема V
сплошной среды можно написать уравнение количества движения
относительно инерциальной системы отсчета
±\vpdx=[Fpdx + ^pndo% B.2)
V V 2
т. е. производная по времени количества движения объема V
сплошной среды равняется сумме всех внешних действующих на него
массовых и поверхностных сил. Выделяемый мысленно объем V
является произвольным субстациональным подвижным
деформируемым объемом, состоящим по определению из одних и тех же
частиц среды.
Если на массу в объеме V, кроме внешних распределенных
сил, действуют еще внешние сосредоточенные в точке силы, или силы,
сосредоточенные вдоль некоторых линий, или силы,
сосредоточенные вдоль поверхностей внутри объема V, то их сумму следует
добавить в правую часть уравнения B.2).
Равенство B.2) является основным постулируемым
динамическим соотношением механики сплошной среды. Подобно тому как
второй закон Ньютона является исходным уравнением в механике
точки, уравнение количества движения B.2) положено в основу
механики сплошной среды. Все предшествующие рассуждения
следует рассматривать как наводящие эвристические соображения,
связывающие уравнение B.2) для сплошной среды и уравнение
Ньютона для материальной точки.
В обоснование уравнения B.2) можно привести также
следующее соображение. По формуле
mv*
} vp dx
можно ввести скорость v* центра масс объема V сплошной среды
и сформулировать уравнение количества движения B.2) как
уравнение движения центра масс индивидуального объема V
138 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
сплошной среды
dv* С С
V 2
Заметим, что соотношение B.2) часто называют уравнением
импульсов, так как его можно записать еще в следующем виде:
d } tfpdx= j Fpd%dt-\-^pndodt.
V V Z
На соотношение B.2) можно смотреть как на равенство,
определяющее силы. Действительно, все известные для сил законы
получены из этого уравнения, т. е. обобщенного второго закона
Ньютона х . Эти законы можно получать на основании наблюдений в опьь
тах, с помощью различных гипотез или с помощью «мысленных
экспериментов», формулируемых как обобщение практических
данных. Определив законы для сил с помощью B.2) в предварительных
исследованиях, в других случаях, уже зная силы, из B.2) можно
находить соответствующие этим силам движения.
Уравнение количества движения B.2) является исходным
уравнением для любых движений сплошной среды, в том числе и для
разрывных движений, когда характеристики движения и состояния
сплошной среды не являются всюду в объеме V непрерывными
функциями координат, и для ударных процессов, когда характеристики
движения и состояния в рассматриваемом объеме среды являются
разрывными функциями времени.
В частности^ в области непрерывных движений интегральная
теорема количества движения B.2) эквивалентна дифференциальным
уравнениям движения сплошной среды, которые мы установим
ниже; из уравнения B.2) следует также, что поверхностные
напряжения рп для любых сред и любых движений должны
удовлетворять некоторым универсальным соотношениям, к
выводу которых мы и переходим.
Итак, перейдем к выводу ограничений, кото-
Основные свойства внут- рЫе накладывает уравнение количества дви-
ренних напряжении жения B.2) на возможный вид зависимости
напряжений рп от ориентации соответствующих площадок, взятых
в данной точке, в случае непрерывных движений сплошной среды.
Возьмем мысленно объем V и разделим его произвольным
сечением 5 на две части Vi и V2 (рис. 23). Применив уравнение
количества движения B.2) отдельно к Vx и V2 и ко всему объему V в
целом и замечая, что взаимодействие разделенных частей может
осуществляться с помощью массовых распределенных сил и
посредством поверхностных сил, распределенных по сечению 5, движу-
1 Более подробно этот вопрос освещен в кн.: Седов Л.И. Методы подобия и
размерности в механике, 1-е - 7-е изд. М: Наука, 1972. Гл. I, § 5.
§ 2. Уравнения движения сплошной среды
139
щемуся вместе с индивидуальными точками среды, можем написать
I~27 pdT== ^F'P^ + ^Pndo + ^Pndo,
Vt Vt St S
^pdx==ijjF"pdx + §pndo + ^p_ndoy
Vt V2 2* 5
tfFPdT==j/7PdT+j^da'
где через F' и F" обозначены плотности массовых распределенных
сил, действующих соответственно на объемы Vx и У2. После
сложения двух первых равенств и вычитания из их суммы третьего
при условии, что для внутренних массовых сил всегда выполняется
закон равенства действия и противодействия1, т.е. }F'pdx +
vt
+ j F"pdx = ^ Fpdx будем иметь \ (pn+P-n) da = 0. Отсюда в силу
v2 v s
произвольности объемов V, V17 V2 и сечения S вытекает, что
рп = -Р-п. B.3)
Отметим, что предположение о непрерывности движения
существенно. Например, равенство B.3), как будет показано ниже (см.
гл. VII), не имеет места, если 5 — поверхность разрыва скорости v,
через которую переходят частицы материальной среды. В этом
случае объемы Ух и V2 не индивидуальные, поэтому B.3) надо
заменить другим соотношением.
Уравнение количества движения B.2) применимо к любому,
в том числе и сколь угодно малому, материальному объему V.
Выясним те ограничения, которые накладывает на
подынтегральные функции, входящие в уравнение количества движения B.2),
применимость этого уравнения в написанной форме к любому сколь
угодно малому индивидуальному объему сплошной среды. Для этого,
предположив характеристики движения непрерывными и
конечными, составим выражение
Q = ^Fpdx + ^pnda-^pdxy
которое для любого индивидуального объема V должно точно
равняться нулю.
1 Равенство B.3) можно получить и без этого предположения, если
применить уравнение количества движения к бесконечно малым объемам Vlt V2 и V.
После этого закон равенства действия и противодействия для массовых сил также
получится как следствие уравнения количества движения.
140 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
04
У
Очевидно, что при* стягивании в точку объема V независимо
от вида подынтегральных функций верно предельное равенство
НтЯ=0. Оно выполняется при любых конечных функциях, входя-
щих в подынтегральные выражения Q.
Возьмем теперь в данный момент времени произвольную точку М
сплошной среды и проведем из нее направления, параллельные осям
декартовой системы координат (рис. 25). Отложим на них
произвольные бесконечно малые отрезки dx=
=МА, dy=MC и dz=MB и
рассмотрим объем V в виде построенного
таким путем бесконечно малого
тетраэдра МАВС. Его грани МВСУ МАВ,
MAC перпендикулярны к соответст-"
вующим осям координат, а грань
ABC ориентирована произвольно. Ее
ориентация определяется единичным
вектором нормали
п = cos (л, *)* + cos(n, y)J+
+cos(#, z)k = ni9i.
Напряжения на площадках с
нормалями I, j, Л, п обозначим
соответственно через р1, р2, р3 и рп, а площадь грани ABC —
через S. Площади граней МВСУ МАВ, MAC при этом, очевидно,
будут равны 5 cos (я, х), Scos(/&, у), Scos(ny z), а объем
тетраэдра K = yftS, где Л —высота, опущенная из вершины М на
грань ABC. Если тетраэдр будет стягиваться в точку, оставаясь
подобным самому себе, то к будет бесконечно малой первого, a S —
второго порядка. Вычислим Q для объема сплошной среды,
находящегося в данный момент времени в объеме этого тетраэдра;
воспользовавшись свойством внутренних напряжений B.3),
очевидно, получим
о (dv \ \
с2?
Рис. 25. К свойству внутренних
напряжений
dt
м 6
Sh + (Fp)M-^Sh+pnS-p1Scos(ni x) —
—/?2Scos(/*, y)—p*Scos(n, z) + 0(h2+b),
где А, > 0. Пусть теперь тетраэдр стягивается в точку, оставаясь
подобным самому себе. Тогда, так как Й = 0 в силу B.2), должны,
в частности, выполняться предельные равенства
lim^- = 0,
v-o h
lim-ju-^O,
/-►о п
lltnl3-:
:0.
Первый предел в случае непрерывных и конечных характеристик
движения, очевидно, всегда равен нулю, т. е. вновь не получается
§ 2. Уравнения движения сплошной среды
141
никаких ограничений на вид подынтегральных функций й. Из
условия
Нш о =0
вытекает, что всегда должно выполняться равенство
pn==p1cos(/i, x)+p2cos(n, y)+p*cos(n, z), B.4)
которое показывает, что напряжение рп на любой площадке da,
взятой в точке М сплошной среды, всегда по формуле B.4)
выражается линейно через напряжения р1, р2, р* на взятых в той же
точке М фиксированных площадках, параллельных координатным
плоскостям прямоугольной декартовой системы координат.
Соотношение B.4) показывает также, что сумму внешних
поверхностных сил }pndo, действующих на объем V сплошной среды,
2
ограниченной поверхностью 2, можно по формуле Гаусса
—Остроградского преобразовать в интеграл, взятый по объему,
2 V
Уравнения движения Рассмотрим, наконец, условие
сплошной среды в декар- q
товой системе координат Нщ — = 0.
Используя B.5), представим й в виде
V V V
и из условия
получим
1- О л
11111-77--= О
l'->0 V
Это векторное уравнение является основным дифференциальным
уравнением движения сплошной среды. Оно выполняется для
любых непрерывных движений любых сред и в случае
непрерывных движений полностью эквивалентно уравнению количества
движения B.2), так как из него следует, что Q = 0 для любого
объема V. Подчеркнем, что равенства B.6) и B.5) получены при
допущении непрерывности и дифференцируемости векторов/;'.
Уравнение B.2) постулируется для более общих случаев.
142 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
Разложим векторы р1, р2, р3 по векторам базиса эг = *, э2=/,
э3 = к декартовой системы координат:
Рг = Рк1эк, )
или pi^pki9k, B.7)
р*=рк*9к%
и введем матрицу
р11 р12
р21 р22
р31 р32
Н|У*|=Л
состоящую из девяти чисел. Согласно свойству напряжений B.4)
компоненты р1п напряжения
Рп ^РпЭг +.Р1ЭЖ + pl93 = р£э,
на произвольно ориентированной площадке, взятой в данной точке
сплошной среды, представятся формулами
рхп = р11 cos (л, x) + p12cos(n, y) + p13cos(n, z) = plinh
pi = p21 cos (л, x) + p22 cos (л, */) + p23 cos (я, z) = p*n/f B.8)
p3n = p31 cos (n, x) + p32cos(n, y) + p™cos(ny z) = p'iini.
Таким образом, матрица Р определяет преобразование от
компонент п{ вектора п — п{э1 к компонентам рсп вектора рп.
Девять функций pik входят в векторное уравнение движения
сплошной среды B.6), которое в проекциях на оси декартовой
системы координат записывается следующим образом:
др12
du v % dp11
ду
, dP13
"*" dz »
— -^nF 1 др21 I др22 \-др'
^t - Pri/T Лг Т ^ Т Л, »
dt
dw
1Г
= Р^*4
дх
др^
др3
dz
др™
B.9)
дх
ду
dz
где через Fx, F /^ обозначены проекции на оси координат плот*
ности массовой силы F.
Если к этим уравнениям движения добавить уравнение
неразрывности A.3), то мы получим систему четырех уравнений, в
которой при заданных внешних массовых силах будет содержаться,
вообще говоря, тринадцать неизвестных функций: плотность р,
компоненты скорости иу и, w и девять компонент внутренних
поверхностных напряжений pik.
Тензор напряжений Зависимость B.4) вектора напряжений рп
на произвольно ориентированной площадке
от векторов напряжений р1, р2, р* на координатных площадках
может быть с помощью B.8) записана в виде.
Pn=rlni = rki~kr>i=Pl'0rn) = pk<3k(arn). f2.10)
§ 2. Уравнения движения сплошной среды
143
Это равенство дает линейное (с коэффициентами рш)
преобразование от компонент вектора п к компонентам вектора рп. Оно
было получено с использованием ортогональной декартовой
системы координат, и, следовательно, рм были определены в
произвольных ортогональных декартовых системах координат. Равенство
B.10) является соотношением между векторами рп и п и поэтому
может быть написано в любой криволинейной системе координат.
Отсюда следует, что не только в ортогональных декартовых осях,
но и в произвольных криволинейных системах координат с помощью
равенства B.10) можно ввести величины pkt\ которые следует
рассматривать как контравариантные компоненты тензора
Этот тензор называется тензором внутренних напряжений. При
этом в любой системе координат будет выполняться равенство
Рп*=Р-П=Р%,
где рп — напряжение на произвольной площадке с нормалью п,
а /Г/ — ковариантные компоненты я.
Заметим, что равенство р1=рп на соответ-
Физические компоненты ствующих координатных площадках выпол-
вектора напряжени няется, вообще говоря, только в случае
ортогональной декартовой системы координат; легко убедиться,
что в произвольной криволинейной системе координат р( фрп на
соответствующих координатных площадках.
Действительно, для данной криволинейной системы координат
рассмотрим площадку, определяемую векторами базиса э/+1 и э/+2
(индексы определены по модулю 3), положительное направление
нормали к этой площадке определим как направление контрава-
риантного вектора базиса
о/ Э/ + 1 ХЭ/ + 2
Э~ VI '
единичный вектор этого направления определится, очевидно,
формулой
*/ =
Э'
V g"
где gn>0, а квадратный корень здесь и дальше берется с
положительным знаком. Согласно B.10) вектор напряжения рп на такой
площадке, который мы обозначим через р\, представится в виде
♦ ракЭд(Эь-Э')_ pai3q
VV'' V gU
и, следовательно, вообще не равен вектору р' = раСэа. Вектор
напряжения pi можно разложить но единичным векторам базиса
144 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
9alVgaa> взятым в рассматриваемой точке,
V ё*а
Величины Xai называются физическими компонентами вектора
напряжения р\. На основании двух последних равенств можно
написать, что
pal
V ёаа
(суммирование по а в этой формуле отсутствует). Отсюда ясно,
что физические компоненты Xal не являются компонентами какого-
либо тензора.
В декартовой ортогональной системе координат pai = Xai.
Из векторного уравнения количества дви-
Уравнения движения WPUMa /о о\
сплошной среды в про- жения \LL)
навальной системе коор- Jp Jdx = j>pdt + J|>nd(T
V V 2
и теоремы Гаусса —Остроградского
J рп da = J p% do = \ ViP{ d%
2 2 V
получим, что в случае непрерывных движений выполняются
следующие уравнения движения:
pa^pF+ViP* или pa* = pF^ + V/p/5/, B.11)
справедливые в любой криволинейной системе координат.
В уравнениях движения B.11)
и
v^=^+^ri,==(v^0^.
Векторное уравнение B.11) верно как в подвижной, так и в
неподвижной системе координат, в частности как в системе
отсчета, так и в сопутствующей системе. Однако нужно иметь
в виду, что вектор а является ускорением индивидуальных точек
среды относительно какой-либо инерциальной системы координат,
а F является плотностью заданных массовых сил. Если же
движение и ускорение рассматривать относительно неинерциальной
системы координат, то в выражение для F нужно включать силы
инерции.
§ 3. Уравнения моментов количества движения
145
Выделим в сплошной среде бесконечно малую частицу с
массой pdr, на нее будут действовать массовые силы pFdx, силы
— padx, которые в сопутствующей системе координат являются
силами инерции, силы V/Р1dx = (viPki)Bkdxy которые можно
рассматривать как массовые силы, возникающие за счет действия
поверхностных сил на границе частицы. Уравнение B.11) можно
рассматривать как условие равновесия относительно сопутствующей
системы координат; согласно B.11) сумма всех сил, действующих
на частицу, равна нулю.
Заметим, что если тензор P = pki3kSi постоянен во всех точках
ереды, то \7/Р'=0. В декартовой системе координат компоненты
тензора напряжений ры входят в уравнение движения только тогда,
когда они зависят от координат х, у, z. Вместе с тем равенство
у.р* = 0 (или равенства y.pki = 0)
и равенство Р = р^экэ( = const, равносильное vyp^=0, i, /, 6=1,
2, 3, не эквивалентны. Например, если среда, на которую не
действуют массовые силы, покоится, то
V/P^ = 0, Ы, 2, 3.
Эти уравнения являются основными уравнениями, когда
рассматриваются задачи о равновесии различных объектов, нагруженных
только внешними поверхностными силами.
§ 3. Уравнения моментов количества движения
Как указывалось выше, полученная система универсальных
уравнений движения сплошной среды еще не является замкнутой.
Можно получить еще другие универсальные уравнения, не
зависящие от частных свойств движущейся среды. С этой целью
рассмотрим другое общее уравнение механики — уравнение
моментов количества движения.
х. Умножив уравнение
Уравнение моментов ко- J r
личества движения для dv _
материальной точки и m~dt
системы точек
векторно слева на радиус-вектор г рассматриваемой материальной
точки массы т относительно точки О— начала некоторой инер-
циальной системы координат, получим уравнение моментов
количества движения для точки
§=ту C.1)
где
K=zrxmv и 9H=rxF
— момент количества движения материальной точки и момент
действующей на нее суммарной силы F относительно точки О,
10. Л.И. Седов
146 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
соответственно. Уравнение моментов количества движения для одной
материальной точки является, таким образом, тривиальным
следствием второго закона Ньютона.
Если мы имеем систему п материальных точек с массами miy
движущихся со скоростями vti то для каждой из них можно
написать уравнение моментов количества движения C.1)
где F; — главный вектор всех, в том числе и внутренних по
отношению ко всей системе, сил, действующих на рассматриваемую точку
с массой trii. Сложив эти равенства для всех п точек системы и
определив момент количества движения си-
jvl m *™3 стемы как
tf=X(riXmi^i)'
^
+т очевидно, получим уравнение моментов
2 количества движения для системы точек
Рис. 26. Сумма моментов всех
утренних сил относительно
точки О равна нулю ~JJ
внутренних сил относительно d-K _ Х^ , р(гп
где справа в силу третьего закона Ньютона (см. рис. 26) будет стоять
сумма моментов только внешних для всей системы сил.
Производная по времени от момента количества движения системы точек
относительно некоторой точки О равняется сумме моментов всех
внешних действующих на систему сил относительно той же точки О.
Отметим, что момент количества движения системы
материальных точек можно записать в виде
п
K=rmxmv*+J^(rionxmiViOTV)9
п
где т = 2^ть г* — радиус-вектор центра масс системы, v*—ско-
t=i
рость центра масс, г/отн — радиус-вектор /-й точки относительно
центра масс, vioni—скорость /-й точки относительно системы
координат, движущейся поступательно вместе с центром масс.
Моментом количества движения объема V
Момент количества дви- сплошной среды обычно называют вектор
жения конечного объема r r
сплошной среды; собст- ~__ [rwnHr П Ti
венные моменты количе- л J гхг,Рат» 1°-^/
ства движения v
где г —радиусы-векторы точек сплошной
среды относительно некоторой неподвижной точки О, a v — их
скорости. Рассмотрим, однако, этот вопрос подробнее.
§ 3. Уравнения моментов количества движения
147
Пусть мы имеем некоторый объем т сплошной среды с массой
т. Ясно, что скорость v произвольной точки М этого объема
можно представить (рис. 27) в виде суммы
где V*—скорость центра масс О* объемах, a v0Ttt—скорость
рассматриваемой точки относительно центра масс. Тогда, очевидно,
момент количества движения объема т относительно некоторой
точки О будет равен сумме момента количества движения
материальной точки массы т, совпадающей с центром масс объема,
относительно точки О и моментов количества движения всех
точек М объема т относительно центра
масс О*, т. е.
tf=r*xQ + $rOTHx<0OTHpdr,
т
где Q = tnv*—количество движения
материальной точки массы /п,
совпадающей с центром масс, или
K=r*xQ + K*y
K* = \rorHxvOTHpdx.
Рис. 27. К уравнению
моментов количества движения для
конечного, объема сплошной
среды
Рассмотрим теперь бесконечно
малый объем dx. Во многих случаях для
бесконечно малого объема моментом количества движения К*
можно пренебречь по- сравнению с r*xQ. Возьмем, например, dx
в виде бесконечно малой однородной сферы радиуса R,
вращающейся с угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через ее
центр О*; тогда
^* = /o) = m/2co,
где / — момент инерции, а Z — радиус инерции этой сферы
относительно ее оси вращения. Очевидно, ml2 имеет порядок R6y a
r*xQ—порядок /?3, и К*, если только © конечна, мал по
сравнению с r*xQ, момент количества движения объема сплошной
среды К в пределе равен
] rx-vpdx.
Однако если угловая скорость о настолько велика, что Ы*
конечно, то К* и r*xQ имеют одинаковый порядок R* и момент
количества движения объема V сплошной среды должен быть равен
K = l rxvpdx+\kpdx,
C.3)
148 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
где через k обозначена плотность так называемых собственных или
внутренних моментов количества движения.
Посмотрим на изучаемый вопрос с физической микроскопической
точки зрения.
Рассмотрим систему, состоящую из ядра и вращающегося вокруг
него электрона, т. е. атом. Электрон вращается по орбите со
скоростью порядка скорости света, и поэтому, несмотря на малый
размер атома, система ядро — электрон обладает значительным
собственным моментом количества движения. Момент количества
движения, происходящий за счет вращения электрона по орбите,
называется орбитальным моментом количества движения.
Кроме того, электрон, а также ядро обладают собственным
моментом количества движения — спином, наличие которого нельзя
объяснить с помощью введения соответствующего механического
движения.
Таким образом, все атомы, вообще говоря, обладают
собственными моментами количества движения k. Но сумма этих
моментов количества движения k для всех атомов в силу хаотичности
движения во многих случаях равна нулю. Однако движение
элементарных частиц можно упорядочить, наложив, например,
магнитное поле, и тогда сумма внутренних моментов всех атомов будет
отличной от нуля. В этом случае в выражение для момента
количества движения макроскопической частицы сплошной среды должна,
вообще, входить сумма собственных моментов количества движения
V
Таким образом, если, например, мы хотим в механике сплошной
среды описывать движения реальных сред в электромагнитных
полях, то мы должны вводить в рассмотрение собственные моменты к
и определять момент количества движения объема V сплошной
среды с учетом этих моментов по C.3).
Собственные моменты количества движения стали
рассматриваться в механике сплошной среды только в последнее время, когда
круг задач механики сплошной среды в связи с запросами
современной техники сильно расширился. В классических вопросах механики
сплошной среды внутренние моменты k не учитываются и момент
количества движения объема V сплошной среды определяется как
\ г х tfpdx.
v
Распределенные массовые Введя в рассмотрение внутренние момен-
и поверхностные пары ты ^ мы должны допустить
существование распределенных массовых и поверхностных пар.
На каждую частицу сплошной среды действуют распределенные
массовые и поверхностные силы. Но может случиться так, что дей-
§ 3. Уравнения моментов количества движения
149
ствие внешних материальных объектов на частицу сплошной среды
нельзя заменить только этими силами, а потребуется вводить также
массовые и поверхностные пары.
Обозначим через h и Qn отнесенные к единице массы и
поверхности моменты соответственно массовых и поверхностных пар.
Примером распределенных массовых пар могут служить пары,
действующие на каждый элемент стрелки компаса, помещенной
в магнитное поле Земли.
Уравнение моментов ко- Сформулируем теперь как обобщение урав-
личества движения для нений моментов количества движения для
конечного объема сплош- одной материальной точки и для системы
ной среды точек уравнение моментов количества
движения для конечного индивидуального объема V сплошной среды,
ограниченного поверхностью 2,
jt [ [rxvpdx + \kpdi\ =
\v v J
= \rxFpd%+\ rxpndo + \ hpdx + \Qndo. C.4)
Производная по времени от момента количества движения
произвольного индивидуального объема V сплошной среды (с учетом
собственных моментов) равна сумме моментов внешних массовых и
поверхностных сил, действующих на этот объем, и сумме моментов
действующих на этот объем распределенных массовых и
поверхностных пар, вызванных внешними по отношению к объему
материальными объектами.
Уравнение моментов количества движения, как и уравнение
количества движения, постулируется для индивидуального объема V
сплошной среды подобно тому, как для одной материальной точки
постулируется закон Ньютона F=ma. Подчеркнем, что уравнение
моментов количества движения для индивидуального объема V
сплошной среды не вытекает из уравнения моментов количества
движения механики системы материальных точек, а является
самостоятельным уравнением. Все предшествующие его формулировке
рассуждения следует рассматривать только как наводящие,
эвристические соображения.
Уравнение C.4) для любых конечных индивидуальных мысленно
выделенных объемов принимается наряду с уравнением количества
движения в качестве базисного векторного уравнения механики
сплошной среды. Это уравнение применяется для любых сплошных
сред и для любых движений как непрерывных, так и с наличием
характеристик, разрывных по координатам точек пространства и
по времени.
Заметим, что в настоящее время приходится вводить в
рассмотрение другие моменты более высокого порядка и
150 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
формулировать другие новые основные соотношения механики
сплошной среды, аналогичные уравнению моментов количества
движения C.4) первого порядка.
В классическом случае при отсутствии
Уравнение моментов ко- внутренних моментов количества движения
личества движения в и распределенных массовых и поверхност-
классическом случае r r r
ных пар уравнение моментов количества
движения имеет вид
-^ \rxvpdT= [ rxFpdx+ \rxpndo. C.5)
v uv s
Производная по времени от момента количества движения
индивидуального объема V сплошной среды относительно некоторой
точки О (связанной с инерциальной системой координат) равняется
сумме моментов внешних массовых и поверхностных сил,
действующих на этот объем, относительно той же точки О.
Если на тело внешние силы не действуют, то, очевидно,
dt ч
и момент количества движения К постоянен.
Рассмотрим опыт, который указывает на
Гиромагнитный эффект и т0 чт0 внутренние моменты количества дви-
уравнение моментов коли- ' J r
чества движения жения и распределенные массовые пары,
вообще говоря, нужно учитывать. Если
в магнитное поле поместить железный стержень, то он
намагнитится, и можно показать, что сумма внутренних моментов к в нем
станет отличной от нуля.
В самом делеу пусть этот стержень свободно подвешен при
наличии магнитного поля в пустоте и находится в покое. Снимем
магнитное поле. Тогда из-за хаотического теплового движения
распределение внутренних моментов к в стержне через некоторое время станет
беспорядочным, и поэтому сумма внутренних моментов количества
движения обратится в нуль.
При этом, так как на стержень не действуют никакие внешние
объекты, полный момент количества движения должен сохраниться.
Поэтому должен возникнуть момент количества движения за счет
вращения стержня как целого, и стержень должен начать
вращаться.
Опыт показывает, что после снятия магнитного поля такой
стержень действительно начинает вращаться.
Это так называемый гиромагнитный эффект. Его нельзя
объяснить без учета внутренних моментов количества движения и
распределенных массовых пар.
§3. Уравнения МомеитоЁ количества движения 151
Уравнение моментов ко- В случае непрерывных движений сплошной
личества движения в диф- Спеды можно воспользоваться равенством
ф.ренциальнои форме B 4) и ^^ Гаусса - Остроградского
и получить для суммы моментов внешних поверхностных сил
выражение в виде интеграла, взятого по объему V,
[rxpndo=i\(rxpi)nido= \ Vi(rxpl')dx.
2 2 V
Можно показать, что, аналогично внутренним напряжениям р„,
моменты распределенных поверхностных пар Qn можно
представить в виде
Тогда с помощью теоремы Гаусса—Остроградского получим
2 2 V
Воспользуемся еще преобразованием
\ V* (г хр1') dx = С г х V,p' dx + С V,r xp'' dx =
v v v
= J r x V,p'"dx+ J (Э,ХЭ*) p*'dx,
так как vIr = sJ = al-.
Теперь при условии, что масса dm = pdx постоянна, теорему
моментов количества движения C.4) можно записать в виде
V V
= J Ар dx + f V/Q' dx + jj (Э/ X эк) pki dx
V V V
или, в силу уравнения количества движения B.11), в виде
J*prfT=f Aprfx + Jv/Q'rfT+J^xaJpWrfx.
V V V V
Отсюда, так как объем V сплошной среды произволен,
получим уравнение моментов количества движения в случае
непрерывных движений сплошной среды в дифференциальной форме
Р§ = рЛ + у<<?' + (э,.хэл)р*'. C.6)
152 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
В классическом случае, при отсутствии внутренних моментов и
массовых и поверхностных распределенных пар, уравнение моментов
количества движения C.6) приобретает вид
(Э/Ха^'-О. C.7)
Уравнение моментов C.7), очевидно, мож-
Симметрия тензора нап- но записать еще следующим образом:
ряжении в классическом ^ "J ^ r
случае /Э-Х Эк \ры+(Э(Х Эк\ ры = 0.
В последней сумме заменим индексы суммирования k на *', a i
на k и получим
/э,х эк \ pki + (9kx э, ) />'* = 0
V k<ij \ k<ij
или, по свойству векторных произведений,
(э,ХЭ^(р"-р*ь) = Ъ.
Отсюда вытекает, что pki = pik при кф1, т. е.
р18=р31, р1а=р21, £23=/?32.
Таким образом, уравнение моментов в классическом случае
сводится к следствию — тензор напряжений симметричен. Очевидно,
что уравнение моментов количества движения C.7)
удовлетворяется тождественно, если тензор напряжений симметричен.
Подчеркнем, что симметрия тензора напряжений вытекает из уравнения
моментов количества движения, вообще говоря, только в случае
отсутствия внутренних моментов количества движения и внешних
массовых и поверхностных пар взаимодействия.
Напомним, что ранее мы получили четыре универсальных
уравнения, описывающих движение сплошной среды. Теперь к ним
добавились три уравнения моментов количества движения. В
классическом случае эти три дополнительных уравнения не содержат новых
неизвестных, а просто уменьшают число независимых компонент
тензора напряжений до шести.
Однако полученная система уравнений движения все еще
незамкнута. Ниже мы увидим, что для компонент тензора
напряжений pik в ряде случаев можно написать дополнительные формулы,
связанные с физическими особенностями конкретных моделей
сплошных сред, и после этого значительно продвинуться на пути
получения замкнутой системы уравнений.
Сделаем еще следующее общее замечание по поводу понятий
векторов количества движения Q и момента количества движения
К. В ньютонианской механике векторы Q и К можно
рассматривать как инвариантные объекты, так как эти величины и
соответствующие уравнения сохраняются при переходе от одной системы
§ 4. Главные оси и компоненты симметричного тензора напряжений 153
координат к любой другой декартовой или криволинейной системе,
неподвижной относительно первоначальной. Однако эти
«инвариантные» объекты существенным образом связаны с выбором системы
отсчета наблюдателя. При переходе от одной системы отсчета к
другой, подвижной относительно первоначальной, эти векторы
изменяются, даже если этот переход происходит от одной инерциальной
системы к другой, также инерциальной.
В общем случае при переходе к произвольной подвижной (не-
инерциальной) системе координат соответствующие уравнения
(уравнения количества движения и момента количества движения)
изменяются за счет появления в правых частях добавочных внешних
сил инерции.
Подчеркнем, что хотя векторы Q и К в указанном выше смысле
инвариантны, однако они не могут быть определены независимо от
выбора системы отсчета в классе систем, движущихся друг
относительно друга 1 . Если рассматривать все процессы для среды в
сопутствующей системе координат, то в этой системе введенное выше
количество движения всегда равно нулю.
§ 4. Главные оси и главные компоненты симметричного
тензора напряжений
Тензорная поверхность Построим тензорную поверхность тензора
тензора напряжений напряжений. Выберем любую точку О среды
и рассмотрим проходящие через нее
площадки da, характеризуемые разными нормалями п. На каждой
из этих площадок действует поверхностная сила плотности рп,
которую иногда называют вектором напряжений или напряжением.
Спроектировав напряжение рп на соответствующую нормаль я,
получим
Рпп = Рп-п = (Р{ • п) щ = р*Ч"г
Будем пользоваться для простоты декартовой системой
координат, в которой, как известно, расположение индексов
несущественно. Введем векторы г = л:/э1', выходящие из точки О и
направленные по п\ тогда, очевидно, п{ = cos (я, *,•)== x-Jr. Выберем
длину векторов г так, чтобы рппг2 = pkixkx{ = 2Ф (х, у, z) = const,
где 2Ф(х, у, г) — квадратичная форма, соответствующая
симметричному тензору напряжений Р. Геометрическое место точек,
1 В общей теории* относительности в общем случае затруднительно дать
однозначное определение векторов Q и К и их точек приложения как
характеристик вещества и поля в конечных объемах риманова пространства. Однако
это можно сделать для бесконечно малых объемов локально в каждой точке
в виде численных функциональных соотношений через локальные компоненты
векторов dQ и dK. После интегрирований по объему таким путем можно пс-
пучить числовые интегральные соотношения, зависящие от выбранной системы
координат, представляющие собой для конечных объемов следствия локальных
уравнений количества движения и моментов количества движения.
154 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
для которых
рк1'хкХ; = 2Ф(ху у, z) = const,
образует поверхность второго порядка, которая является тензорной
поверхностью тензора напряжений.
Основное свойство внутренних напряжений
B.4) можно записать в виде
Рис. 28. Тензорная
поверхность тензора напряжений
или, в проекциях на оси xk декартовой
системы координат, в виде
rpkn = pkixt.
Непосредственной проверкой можно установить, что
hi дф
и, следовательно,
т. е.
г pi*
*дхк*
Главные оси
симметричного тензора напряжений
rpn = gradO.
Поэтому, зная тензорную поверхность Ф = const, можно
геометрически следующим образом найти направление напряжения рп,
действующего на площадке do с нормалью г. Из точки О
перпендикулярно к заданной площадке проводится вектор г (рис. 28).
В точке пересечения г с поверхностью Ф = const проводится
касательная плоскость do к тензорной поверхности; очевидно, что
вектор рп перпендикулярен касательной плоскости а.
Как известно, поверхности второго
порядка имеют по крайней мере три
направления г, для которых касательные плоскости
о перпендикулярны к г. Такие направления называются главными
направлениями, и для них, очевидно, вектор рп ортогонален do.
В общем случае таких направлений только три. Они образуют
ортогональный триэдр и называются главными осями тензора
напряжений. Если тензорная поверхность Ф = const— поверхность
вращения, например сфера, то таких направлений бесконечно
много. Для площадок, ортогональных главным направлен'иям,
вектор рп коллинеарен вектору я, и, следовательно, должны
выполняться равенства
Рп = Рк%эк = Ы = Ы(э' D.1)
или
§4. Главные оси и компоненты, симметричного тензора напряжений 155
откуда
или
(/4-^К-э* = 0,
(Й-Х6£)п, = 0. D.2)
Мы получили однородную систему трех алгебраических
уравнений для определения направляющих косинусов трех главных
направлений П(. Эта система будет иметь нетривиальное решение
только при условии
A = Det|pi-Xei|| = |pi-Xei| = Of
т. е.
р\-Х
Pl
1 Pl
Pl
pl—Ъ
о
Pi
Pl 1
Pl
pl—X
= 0
или, в развернутом виде,
-к3+ 1^-1,1+1^0,
D.3)
D.4)
где
PS = /i,
Pi pl
\p\pl
+
Pl pl
P\P\
+
Px Pl
pl pl
= /2,DetJj/4||=/3.
Мы получили вековое уравнение. Как известно, если тензор
pij симметричный, то это уравнение имеет три действительных
корня. Корни Xly X2, Jt3 этого уравнения, по D.1), определяют
напряжения на площадках, ортогональных главным направлениям
(главных площадках),
и называются главными компонентами тензора напряжений.
Зная ри /?2, Рз, из системы уравнений D.2) найдем компоненты
rti векторов rty определяющих главные направления (при этом
надо использовать условия (п-п) = \). Очевидно, что формула
D.1), уравнения D.2) и D.3) верны в любой криволинейной системе
координат.
Уравнение тензорной поверхности 2<D=const приводится в
главных осях х, у, z к каноническому виду
2Ф=ргх2+р2у2+р3г2 = const.
Для компонент тензора напряжений в главных осях имеем
рП = р\ = р.. = Х. = Р1
и
" Pkl' = Pk = Pki = ° ПРИ кФ1-
156 Гл. III. Динамические понятия и динамические уравнения
На площадках, перпендикулярных к главным осям тензора
напряжений, отличны от нуля только нормальные составляющие
вектора напряжений, а касательные составляющие вектора
напряжений равны нулю.
Если р1=р2=рз, то тензорная поверхность тензора
напряжений — сфера.
Мы ввели в рассмотрение главные оси тензора деформаций,
тензора напряжений и тензора скоростей деформаций. В общем
случае все эти оси разные. Условия их совпадения связаны, как
мы увидим в дальнейшем, с сильными физическими допущениями
относительно свойств рассматриваемых сред.
Если р\фО, а р2=рз=0, то в данной точке сплошной среды мы
имеем чистое растяжение вдоль оси хг при /?i>0, и чистое сжатие
при /?i<0. Таким образом, любое напряженное состояние в данной
точке сплошной среды можно рассматривать как совокупность трех
чистых растяжений или сжатий вдоль главных осей тензора
напряжений.
Коэффициенты векового уравнения D.4) являются
инвариантами тензора напряжений. Они, очевидно, выражаются через корни
векового уравнения по формулам
Л = Р1 + Р2 + Рз>
12 = Р2Р9 + PlP* + PlPi*
h = PlPiP*-
С любым другим симметричным тензором второго ранга Т =
= Tij3faJ^=T\kai9k в каждой точке О также можно связать
тензорную поверхность Ф = Т1;4х1'с1х;^const. Для определения
направлений главных осей и главных компонент тензора Т
применимо все сказанное вьиге относительно тензора напряжений.
ГЛАВА IV
ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ МЕХАНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ МОДЕЛЕЙ СПЛОШНЫХ СРЕД.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
§ 1. Идеальные жидкость и газ
Дифференциальные уравнения неразрывности, количества
движения и моментов количества движения выполняются при любых
непрерывных движениях всех сплошных сред. Однако различные
реальные среды при одних и тех же внешних условиях ведут себя
по-разному.
Следовательно, одних этих уравнений, даже с добавлением
соответствующих граничных условий, недостаточно для описания
движения конкретной сплошной среды. Этот факт проявляется в
том, что число уравнений меньше числа входящих ь них
неизвестных, система незамкнута.
Построение замкнутой системы уравнений, описывающих
движение конкретной сплошной среды, связано с поисками
дополнительных соотношений между параметрами данной сплошной среды.
Построить замкнутую систему уравнений — это значит построить
теоретическую (математическую) модель изучаемой среды.
Построение новых моделей сплошных сред — важный раздел
механики. Он носит название реологии. Построение новых моделей
связано с экспериментальным изучением свойств материала. При
этом всегда необходимо использовать также известные общие
принципы механики и физики, например термодинамические
соотношения. Полезным оказывается использование вариационных
уравнений.
В этой главе мы рассмотрим некоторые простейшие классические
модели сплошных сред. При этом мы ограничимся только теми
случаями, когда свойства сред и изучаемые классы процессов таковы,
что для описания механического движения не нужно определять
термодинамические свойства сред, система механических уравнений
оказывается замкнутой без привлечения в явной форме
термодинамических уравнений.
В общем случае при рассмотрении всевозможных процессов в
таких средах приходится также обращаться к соотношениям
термодинамики.
Начнем с изучения моделей идеальных жидкости и газа.
Назовем идеальной жидкостью или иде-
жидкос^и6 идеальных альным газом такую среду, в которой
газа вектор напряжения рп на любой
площадке с нормалью п ортогонален площадке, т. е. рп параллелен п.
Экспериментальные данные и общие физические соображения
158
Гл. IV. Простейшие модели
показывают, что любая среда при очень больших температурах и
давлениях -практически обладает таким свойством.
Тензорная поверхность в этом случае бу-
Тензор напряжений в дет^ очевидно, сферой, и, следовательно,
идеальной жидкости -—
шаровой Pl = p2=zPsi т. е. главные компоненты
тензора напряжений одинаковы.
Обозначим их через—р и назовем р давлением. Выбор знака диктуется
желанием ввести давление как положительную величину, так как
опыт показывает, что среды, для которых годится модель
идеальной жидкости, в типичных случаях находятся в сжатом состоянии
при р > 0.
Любые три взаимно ортогональных направления для такой среды
являются главными направлениями, и поэтому в любой декартовой
системе координат матрица компонент тензора напряжений имеет вид
-р 0 0
о -р о
о о — р
В частности, для смешанных компонент plk можно написать
Pi — P&L (l-l)
Компоненты 6^ тензора Ь[экэ( при преобразовании координат,
очевидно, не меняются F^ = 6£), и поэтому формула A.1) для
смешанных компонент тензора напряжений в идеальной жидкости
верна не только в декартовой, но и в любой криволинейной
системе координат.
Контравариантиые компоненты этого тензора имеют вид
p*i = g*'pt = —pg**6i= -pgkl\ A.2)
а ковариантные компоненты будут иметь вид
Phi = eksP\ = —PBks&i = —P8ki-
Следовательно, тензор напряжений в идеальной жидкости
задается одним числом /?, а не девятью или шестью числами /?*',
как это имеет место в общем случае.
Для идеальной жидкости
P=-pG,
где G — метрический тензор.
Заметим, что любой тензор 7\ тензорная поверхность которого
есть сфера, называется шаровым. Все шаровые тензоры имеют вид
T=kG, причем k— скаляр.
§ 1. Идеальные жидкость и газ
159
Уравнения движения Уравнения движения сплошной среды
идеальной жидкости ^2.11) гл. III) в любой криволинейной
системе координат
pa* = pF*-f Ч(ры
в силу A.2) запишутся для идеальной жидкости следующим
образом:
pak = pFk—gki\ip. A.3)
При написании A.3) учтено, что компоненты тензора gki ведут
себя при ковариантном дифференцировании как постоянные
величины.
Напишем эти уравнения в векторном виде. Величины V/P
являются, очевидно, ковариантными компонентами вектора-градиента
/?, а gfcl'\ip—его контравариантными компонентами. Поэтому
уравнения A.3) в векторном виде имеют вид
pa = pF—gradp. A.4)
В проекциях на декартовы оси координат эти уравнения
запишутся в следующем виде:
du р I dp
di~~ x~ ~рдх'
cfo р 1 др
dt~~ v~~pdy' С1-5)
dw р I др
dt ~~ z~ JIz
ИЛИ
ди . ди . да . ди п 1 др
dt ' дх ' ди дг х р дх *
dv.dv.dv.dv-, 1 dp ,, сч
dt ' dx dy ' dz V p dy' v
dw . dw , dw . dw ^ 1 dp
Они называются уравнениями Эйлера.
_г Запишем эти уравнения в несколько дру-
Уравнения движения гом виле
идеальной жидкости в „ А
Форме Громеки-Лемба Легко видеть, что ускорение всегда
можно записать следующим образом:
где со—ректор вихря,
160
Гл. IV. Простейшие модели
В самом деле, используя декартову систему координат, для
проекции ускорения на ось х имеем
du ди . ди . ди . ди
d/ dt l дх 1 ду ' dz
du , 1 д , 9 , 9 , 9Ч /di/ ди\ . /ди dw\
=m+TTx(u2+v+w2)-(rx-Ty)v+[-dz-dF)w=
ди . 1 dv2 , 0, х dw , 1 dp2 , о / v \
Аналогичные формулы получаются для проекций ускорения на
оси у и z. Поэтому ускорение dv/dt в векторном виде запишется в
форме A.7), а уравнения движения идеальной жидкости в
векторном виде — в форме
J + ygrad^ + 2cox^ = F-lgradp. A.8)
Эти уравнения носят название уравнений движения Эйлера в
форме Громеки — Лемба. Такое преобразование ускорения можно
применять для любых сплошных сред, и оно оказывается, в
частности, очень полезным при изучении многих вопросов
гидромеханики.
К трем уравнениям движения идеальной жидкости следует
добавить уравнение неразрывности
| + divptf=0.
Мы получили систему четырех уравнений, которая при
известных массовых силах Fx, Fyy Fz содержит пять неизвестных
функций a, vy w, p, р. Такая система все еще незамкнута.
В некоторых случаях можно дополнительно
Полная система уравне- считать, что рассматриваемая идеальная
ний движения идеальной ЖИДКОсть является несжимаемой, т. е. та-
несжимаемой (воооще « -» о
неоднородной) жидкости кои жидкостью, объем каждой частицы
которой постоянен по величине. Тогда к
этой системе четырех уравнений добавляется условие
% = g+tf.gradp = 0
или, в декартовой системе координат,
Это условие замыкает систему уравнений, описывающих
движение идеальной несжимаемой жидкости. Приведем эту систему
§ 1. Идеальные жидкость и газ
161
ПОЛНОСТЬЮ
-=F~gPLdpt
div* = 0, A.9)
^ = 0
dt u#
Последнее уравнение может меняться, если масса частицы
изменяется.
Заметим, что в случае однородной несжимаемой жидкости с
постоянной массой в каждой частице плотность р постоянна в
частице и одинакова для всех частиц, поэтому она перестает быть
существенной искомой функцией. Полная система механических
уравнений состоит в этом случае из уравнений Эйлера и уравнения
неразрывности
S+^^-^-i^V. (i.io,
Замкнутая система урав- При движении сжимаемой жидкости (газа)
нений движения идеаль- во многих случаях можно считать, что
ной сжимаемой жидкости J '
(газа) в случае баротроп- p=^(p)f
ных процессов
т, е. давление зависит только от
плотности. Процессы, в которых
Р=№,
называются баротропными. Примером баротропного процесса
может служить изотермическое движение газа, подчиняющегося
уравнению Клапейрона
p=RpT,
где R — газовая постоянная. (Изотермические движения можно
определить как такие, при которых температура Т — постоянный
параметр, одинаковый для всех частиц.)
Очевидно, что условие баротропии (если функция /(р)
известна) позволяет замкнуть систему уравнений, описывающих
движение идеальной сжимаемой жидкости.
Полная система уравнений в этом случае в декартовой
прямоугольной системе координат имеет вид
dp , dpu дру . др^_л
Tt+~W~]r~dy~~T~ dz '
ди . bu , ди , ди г \ dp
dv , dv , dv , dv r 1 dp /1 11 \
di+ud-x+vFy+wm=F«-jTy' <u,>
dt T dx ' dy ■ dz z p dz '
И. Л.И. Седов
162
Гл. IV. Простейшие модели
В общем случае при движении жидкостей и газов условие баро-
тропии, конечно, не выполняется, и для того чтобы описать такие
движения, необходимо ввести дополнительные уравнения
термодинамической природы.
§ 2. Линейное упругое тело и линейная вязкая жидкость
Рассмотрим другие частные модели сплошных сред: модель
линейного упругого тела и модель линейной вязкой жидкости.
Построение этих моделей проводится параллельно, так как способы
их введения, как мы увидим, формально аналогичны. По существу
же эти две модели описывают два совершенно различных типа
механического поведения реальных сред.
v Упругим телом называется среда, в кото-
Упругие телэ. « « ь/
KJ рои компоненты тензора напряжении pkl
в каждой частице являются функциями компонент тензора
деформации е/у., компонент метрического тензора gLj, температуры Т и,
возможно, других параметров физико-химической природы %;
(например концентрации фаз)
р" = Р'Ы,&*,Т,Х1,...,хЛ. B-1)
Вязкие жидкости Вязкой жидкостью называется среда, в
которой компоненты тензора напряжений
представляются в виде
Pij' = -pg!/ + xij, B.2)
причем
Р = Р(Р, Т, Xi, ■•.-, X»).
г" = Ф'/(е«Э,£в"\ T, Xi. •••.X„),
B.3)
где £аР — компоненты тензора скоростей деформаций.
В этом параграфе мы будем изучать зависимость f/J' от еаР и
gap и зависимость ср'7 от гаР, gaP, поэтому в дальнейшем
параметры Т и X/ указывать не будем.
Конкретный вид функций /# (eaP, gaP, 7\ %()
Стокса а И е~~ и ф" (*ав. ёа^ т> X/) может быть
различным для различных конкретных моделей
упругих и вязких сред. Опыт показывает, что напряжения и
деформации во многих твердых телах, например в металлах, при обычных
условиях (при не очень больших температурах и напряжениях)
связаны между собой так называемым законом Гука, а вязкие
напряжения и скорости деформаций во многих жидких средах,
например в воде и воздухе, связаны между собой законом Навье —
Стокса. Эти законы можно ввести с помощью следующих
рассуждений, которые мы проведем для закона Гука.
§ 2. Линейное упругое тело й линейная вязкая жидкость 163
Предположим, что функции fiJ' могут быть разложены в ряд
Тейлора по еа& и что в отсутствие^напряжений (/?^' = 0) деформации
также отсутствуют (еаз = 0)> и наоборот1 .
При этих предположениях получим
Здесь коэффициенты Л1/аР могут зависеть от Т и %s. Если
деформации малы, то в этбм разложении piJ' в ряд можно сохранить
только линейные члены и просто написать
р// = Л'>э8аЭ. B.4)
Аналогичные предположения относительно функций ф^ приводят
к равенствам
т'/ = Я*7аЗеа3. B.5)
Соотношения B.4) называются законом Гука, а соотношения B.5) —
законом Навье — Стокса (или обобщенным законом вязкости
Ньютона).
Мы получили B.4) и B.5) в предположении, что га$ (для
закона Гука) и еар (для закона Навье — Стокса) малы. Отметим,
однако, что, в частности, закон Навье — Стокса для воды,
воздуха и некоторых других жидкостей оказывается применимым
и в тех случаях, когда компоненты тензора скоростей деформаций
не малы. Из общих термодинамических соотношений получается,
что закон Гука физически допустим только как приближенный
закон для малых деформаций.
Раздел механики сплошной среды, в котором изучается
поведение сплошных сред, подчиняющихся закону Гука или более
общему закону B.1), носит название теории упругости, а раздел, в
котором рассматриваются движения сплошной среды,
подчиняющейся закону Навье — Стокса или более общему закону B.2)—
B.3),— теорией движения вязкой жидкости.
Из инвариантных относительно выбора систем координат
равенств B.4) и B.5) непосредственно вытекает, что Aija^ и В{№
являются компонентами четырехвалентных тензоров. Они
являются физическими характеристиками данной сплошной среды
и зависят, вообще говоря, от температуры Т и других
физико-химических параметров, характеризующих состояние рассматриваемой
среды.
Тензор четвертого ранга имеет З4 = 81 компоненту, но из-за
симметрии тензора напряжений (в классическом случае) и
симметрии тензоров де (юрмаций и скоростей деформаций независимых
компонент AiJ'a& и вч*$ будет только 36, так как тензоры А и В
1 Заметим, что деформации могут возникать и при /?'/ = 0 (например
тепловое расширение). Сейчас для простоты мы изучаем рО как функции 8/у
при Т == const и Xi = const.
164
Гл. IV. Простейшие модели
должны быть симметричными по паре индексов i и / и их можно
принять симметричными по паре индексов аир. Если среда,
поведение которой описывается законом Гука или Навье —Стокса,
обладает какими-либо геометрическими свойствами симметрии, то
число независимых компонент А1/аР и 5*'ар еще больше сокращается.
В частности, если соответствующая среда изотропна, то все А11а$
и fil'/aP определяются только двумя параметрами.
Изотропной средой называют такую среду,
Свойства анизотропии, свойства которой одинаковы по всем на-
изотропии и гиротропии тГ о
среды правлениям. Если свойства среды в разных
направлениях разные, то говорят, что среда
анизотропна. Анизотропные среды могут обладать симметрией
различных типов.
Дадим более точное математическое определение свойства
симметрии и, в частности, изотропии. Механические и физические
свойства среды обычно можно описать с помощью некоторых
тензоров и тензорных уравнений (например, если выполняется закон
Гука, упругие свойства задаются с помощью тензора AiJ'a&).
Говорят, что среда обладает симметрией, если существует группа
преобразований координат, содержащая не только тождественное
преобразование, такая, что компоненты тензоров, задающих
свойства среды, не меняются при преобразованиях, принадлежащих
этой группе.
В частности среда называется изотропной, если компоненты
тензоров, определяющих ее свойства, не меняются при любых
ортогональных преобразованиях. Заметим, что ортогональные
преобразования можно определить как преобразования, при которых
сохраняются компоненты метрического тензора (т. е. не изменяются
скалярные произведения векторов базиса)
gii~ga^iW~giJ"
Полная ортогональная группа содержит преобразования
вращения (детерминант преобразования равен +1) и преобразования
вращения, сочетающиеся с зеркальными отражениями
(детерминант равен —1).
Если свойства среды инвариантны только относительно группы
вращений и не инвариантны относительно зеркальных отражений,
то среда называется гиротропной.
Посмотрим несколько более подробно, что означает свойство
изотропии (или гиротропии) для упругого тела, подчиняющегося
закону Гука. Возьмем в некоторой точке такой сплошной среды
в данный момент времени две декартовы системы координат: одну
a:1, jc2, jc3 и другую у1, у2, у'3, повернутую относительно первой.
Компоненты рассматриваемых тензоров в системе х1, х2, х3 будем
обозначать буквами без штрихов, а в системе у1, у2, у3 —
соответствующими буквами со штрихами.
§2. Линейное упругое тело и линейная вязкая жидкость 165
Очевидно,
A'W =дАдА дУадУ* А'** B 6)
дхР дхЯ дх* дх»
Записывая закон Гука в системе х1, х2у лг*, мы должны
пользоваться коэффициентами Л*'ар, а в системе у1, у2у у3 —
коэффициентами Л'1'ар. Рассмотрим два деформированных состояния сплошной
среды, которые имеют одинаковый вид в разных (повернутых друг
относительно друга) системах х1' и у\ т. е.
8/у = ги*
Ясно, что в изотропной среде напряженные состояния в этом
случае также должны в системах х1 и у1 иметь одинаковый вид.
Если Л/1/аР = Л1/ар, т. е. коэффициенты в законе Гука в обеих
системах координат одинаковы, то р^'= /?'". Сплошная среда
в этом случае является изотропной или гиротропной. Если же
Аа№ф А1№, т. е. коэффициенты в законе Гука в системах
координат х1, x2t х3 и у1, у2у у3 разные, то р^фр'У и среда является
анизотропной. Опыт показывает, что анизотропными средами, для
которых свойства среды в разных направлениях разные, являются,
например кристаллические среды с правильным упорядоченным
расположением молекул или атомов, а также волокнистые
материалы.
Изотропными средами, для которых одна система координат
не имеет преимуществ перед другими, повернутыми относительно
первой, являются, например вода и другие Среды, имеющие так
называемое аморфное строение, а также среды, которые состоят
из маленьких кристаллов, если только эти элементарные кристаллы
расположены неупорядоченно, хаотически. Таковы обычно
употребляемые в технике металлы.
Теперь покажем, что для изотропных и
Законы Гука и Навье— гиротропных тел из общего числа —81
Стокса для гиротропной r r AiiaR ^
среды компоненты тензора л1/оф, которые все могут
отличаться от нуля, только две компоненты
являются независимыми J . Направим оси координат вдоль главных
направлений тензора деформаций е|7. Очевидно, что в этом случае
в закон Гука будут входить только коэффициенты вида Аг,аа.
Докажем, что Л'/аа = 0 при 1Ф\. Действительно, в результате
поворота выбранной системы координат относительно t-йоси на 180°
мы получим новую систему координат, в которой 1-я ось останется
прежней, а остальные две оси изменят свои направления на
противоположные, и согласно правилу преобразования B.6) компонент
тензора А мы при гф\ и любом а получим
Для тензора четвертого ранга понятия изотропии и гиротропии совпадают.
166
Гл. IV. Простейшие модели
но если среда гиротропна или изотропна, то должно быть A$iJ'aa =
= Aiiaa и, следовательно, Aijaa = 0 при 1ф\. Отсюда, так как
в этой системе координат piJ' = 0 при 1ф\, следует, что главные
оси тензора деформаций и тензора напряжений в гиротропной, и
подавно в изотропной, среде, подчиняющейся закону Гука,
совпадают.
В формулах закона Гука в главных осях из всех восьмидесяти
одного коэффициента Л'/аЭ существенны только девять
коэффициентов Aiiaa.
Порядок нумераций осей в силу свойства гиротропии среды
несуществен1 , и поэтому будем иметь
Лип = ^2222 = Л3333 = 2ц + А,,
^1122 ___ ^1133 __. Д2233 ___ ^
Aiiaa == Aaaii
где 2[х+Х и X введены как новые обозначения для указанных выше
двух различных и, вообще говоря,» отличных от нуля компонент
тензора А. (Заметим, что компоненты А*м, 1ф\у также отличны от
нуля. Ниже мы покажем, что эти компоненты равны |х (см. формулу
B.12).)
Все приведенные выше рассуждения можно провести и для
гиротропной и (подавно для изотропной) среды, подчиняющейся
закону Навье — Стокса, и получить, что для гиротропной среды,
подчиняющейся закону Навье — Стокса, главные оси тензора
скоростей деформаций совпадают с главными осями тензора
напряжений, а все коэффициенты В{№ выражаются через два
коэффициента Хг и fAi.
Теперь закон Гука
pif=AHa4^ B.7)
для изотропной среды в главных осях тензора деформаций и
тензора напряжений имеет вид
рг=% (е1Ч-е2+е3)+2це1,
р2=к (ei+e2+83)+2[xe2, B.8)
р3=% (8l-f е2+е3)+2це3;
X и \i называются коэффициентом Ламе.
Аналогично закон Навье — Стокса для изотропной среды
в главных осях тензора скоростей деформаций и тензора
напряжений запишется следующим образом:
г1=Х1(е1+е2+е3)+2\х1е1У
*l=M*l + *l + *8)+2Ml. B-9)
^М^ + ^ + ^ + ^А'
1 Ось х2, например, очевидно, можно перевести в положение х1 поворотом
системы координат вокруг оси х3 на 90°.'
§2. Линейное упругое тело и линейная вязкая жидкость 167
Формулы B.8), очевидно, могут быть записаны в следующем
инвариантном тензорном виде:
Pu=Ul(e)gu+2yLBij9 B.10)
или в виде
Ри = Я/х (е) & + We4. B.11)
Эти формы записи верны в любой системе координат, и поэтому
формулы B.10) или B.11) представляют собой запись закона Гука
для изотропной среды в произвольной криволинейной системе
координат.
Из B.11) легко получить выражение для коэффициентов Aija^
в произвольной криволинейной системе координат:
А '/«Р = XgVg** + р (giag^ + g*gia). B.12)
Проведя аналогичные рассуждения применительно к закону
Навье — Стокса, получим, что закон Навье — Стокса для
изотропной среды в произвольной криволинейной системе координат
будет иметь вид
^ij^Kh(e)gu + 2^eij B.13)
или
т" = Vi(*) & + W^ap. BЛ4)
На основании B.2) получим следующую связь между
компонентами тензора напряжений и скоростей деформаций для изотропной
вязкой жидкости в произвольной криволинейной системе координат:
ри = - pgU + XlgiJ div v + 2^V^ap. B.15)
В декартовой (не главной) системе координат закон Гука для
изотропной среды имеет вид
Ри = МЛ*) + Ъ*и B-16)
и при 1Ф\
а закон Навье—Стокса—вид
Р// = — p + ^div^ + 2^^
и при 1Ф\
/ dv; dv,\
Pu-bfiu-lhfe+rf)- B-17)
168
Гл. IV. Простейшие модели
Модуль Юнга,
коэффициент Пуассона и
коэффициенты вязкости
модуль Юнга
Вместо коэффициентов Ламе А, и (х в
теории упругости принято вводить следующие
характеристики материала:
E = \i
и коэффициент Пуассона
о =
2(А,-Н*)
В теории движения вязкой жидкости принято вводить
динамический коэффициент вязкости \i~\ii и кинематический
коэффициент вязкости v=\i/p, а также второй коэффициент вязкости
В дальнейшем коэффициент Ламе Хг в случае движения взякой
жидкости мы будем обозначать просто через К.
Числовые значения Е, о, [х, v для некоторых сред указаны в
приведенных ниже таблицах.
Законы Гука и Навье — Стокса при T=const, %^= const
позволяют замкнуть систему уравнений движения для изотропных
упругих сред и вязких несжимаемых жидкостей.
Материал
(при нормальной
температуре)
Сталь
Железо
Медь
Алюминий
Бронза
Стекло
Каучук
£.10~* кГ/мм2
2,0—2,2
1,6-2,0
1,1
0,69
1,1
0,56
0,00008
а
0,24—0,28
0,28
0,31—0,34
0,32-0,36
0,35
0,25
0,47
Температура, °С
Углеродистая . сталь, Е кГ/мм2
20
21350
100
21000
300
19800
500
17900
§ 2. Линейное упругое тело и линейная вязкая жидкость 169
Среда
Вода
Бензол
Спирт
Ртуть
Глицерин
Смазочное масло
(средняя вязкость)
Воздух (при
давлении в 1 атм)
Температура,
°С
5
10
15
20
50
15
15
15
15
20
0
10
15
20
60
г/сек см
1,514
1,304
1,137
1,002
0,548
0,7
1,34
1,58
23
275—350
1,7Ь10-а
1J6.10-2
1,78.10-2
1,8Ы0-2
2-10-2
vl0«,
см2/сек
1,514
1,304
1,138
1,004
0,554
0,8
1,7
0,116
18
300—380
13,2
14,1
14,5
15,0
18,8
р, г/см*
1,00
1,00
0,999
0,998
0,998
0,88
0,8
13,6
1,26
0,9-0,95
1,293-Ю-3
1,247-Ю-3
1,225-10"» ■
1,205-Ю-3
1,060. Ю-3
Уравнения Навье — Сток- Для того чтобы выписать полную систему
** уравнений движения сплошной среды в
случае вязкой несжимаемой жидкости, выведем предварительно
уравнения движения вязкой, вообще сжимаемой жидкости,
удовлетворяющей закону Навье—Стокса B.15) или
pv = — pgiJ + kg*' div v + 2\iel'S,
B.18)
которые называются уравнениями Навье — Стокса и получаются
в результате подстановки закона Навье — Стокса B.18) в
уравнение импульсов.
Предварительно заметим, что в евклидовом пространстве верны
равенства
Действительно, Т%= V/V,t>a— V/V/fa являются компонентами тензора
третьего ранга; в декартовой системе координат Тg— j———=
=0, и, следовательно, 75=0 в любой криволинейной системе
координат. Таким образом, результат неоднократного ковариантного
дифференцирования не зависит от порядка проведения
дифференцирования, если в пространстве можно ввести единую для всего
пространства декартову систему координат, т. е. если пространство
является евклидовым1 .
1 В римановом пространстве тензор Tfj отличен от нуля из-за кривизны
пространства, так как в искривленном пространстве невозможно обратить
в нуль в данной точке одновременно все Г^ и dYkti\dxs (см. § 5 гл. II).
170
Гл. IV. Простейшие модели
Вычислим теперь Ч;-р°\ когда piJ определяются по B.18), а X
и \л постоянны,
V" = — g'7VyP + ^gifVj div v + 2[AV//-=
= — gif VjP + WVjVa^a + Wjgiag® (Vaty + V3»a) =
= — g^V/P + WV/Va** + M^j^aP1 + Ц£/Э V/Vp^ =
= — £'7 V + (* + V) §iJ Vy Va^a + JAVP Ve^ -
= — V> + (b + V>) V' di v z> + pAu'.
Здесь \i = gi/\j и A = vpVC = V2—оператор Лапласа. В декартовой
системе координат
U """ ал:2 + ду* + dz2 '
В векторном виде будем иметь
\jpj = — grad./? + (А, + М-) Srad div v + fiAz>. B.19)
Таким образом, уравнения Навье—Стокса в произвольной
криволинейной системе координат на основании B.11) гл. III и
B.19) будут иметь вид
9 dxJ p dxJ p
В векторной форме уравнения Навье—Стокса можно написать
в виде
^=F—-grad/?+-^graddivtf + vAtf. B.20)
Полная система уравнении Для вязкой несжимаемой жидкости урав-
движения несжимаемой нения Навье—Стокса упрощаются
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ J г —.
^-F-lgradp + iAi,. B.21)
Эти уравнения вместе с уравнением неразрывности
div *> = 0
составят полную систему уравнений движения однородной
вязкой несжимаемой жидкости, подчиняющейся закону Навье —
Стокса с постоянным коэффициентом вязкости [г.
В декартовой ортогональной системе координат полная система
уравнений движения вообще неоднородной вязкой несжимаемой
жидкости имеет вид
дх + ду + 'дг~ — К)>
§2. Линейное упругое тело и линейная вязкая жидкость 171
ди . ди , ди . ди г 1 dp . /д2ы , д2ы , d2w\ /0 ооч
au . dv , &> . а« р i ар , /а2у , aat> . ачл
to . to . to , to r, 1 dp . /д2о> , д2^ , д2^
lH+ul*+vl%+wlb=F*-JTz+x{w+W + l&)-
Уравнения движения в пе- Уравнения движения в перемещениях для
ремещениях для упругого упругого тела, удовлетворяющего закону
с^ЖненийМКНуТЫХ Гука, в случае малых деформаций
pV = X/1(e)^ + 2|ie'/f & = ±(vW + V'W), B.23)
где а;1'—компоненты вектора перемещения, a /i(e) — первый
инвариант тензора деформаций (/i (в)=7/^0» носят название
уравнений Ламе. Дальше примем, что модули Ламе X и ц можно считать
заданными постоянными. Для вывода уравнений Ламе в уравнения
импульсов B.11) гл. III следует подставить закон Гука в случае
бесконечно малых деформаций B.23). Вывод этих уравнений вполне
аналогичен приведенному выше выводу уравнений Навье — Стокса.
Уравнения Ламе имеют вид
(к + \i) grad div w + pkw + pF = pa. B.24)
В декартовой системе координат они записываются следующим
образом:
м . ч д f ди , dv , to\ , (д2и , д2и . д2и\ . п
/л , ■ ч д f ди , dv . to\ , fd2v , d2v . d2y\ , „ /0 OC4
p^-<x+i*)§if(-aF+^+-s-)+'l(si+^+e?J+PF»' <2-25>
/л i к д f ди x dv . dw\ t (d2w , d2o> , д2ш\ . n
где через и, vy w обозначены компоненты вектора перемещения w.
Уравнения Ламе выведены в предположении, что деформации
малы, в частности, мало изменение плотности (р=Ро+р'» р'<^Ро).
Поэтому в этих уравнениях с точностью до малых первого порядка
нужно писать р0 вместо р.
Система уравнений Ламе для динамических задач становится
замкнутой, если к ней добавить определение ускорения
а~ dt -\ dt)xt+xrdx*> v~ dt '
Уравнение неразрывности в теории упругости с малыми
деформациями можнб не рассматривать. Оно служит для определения
р', которое не входит в основные уравнения Ламе.
Уравнения B.24) установлены для малых деформаций, при этом
перемещения, скорости и ускорения могут быть конечными.
172
Гл. IV. Простейшие модели
Однако часто рассматривают случай, когда малы не только
деформации, но и сами перемещения, скорости и ускорения. В этом
случае после пренебрежения нелинейными членами получим
и упрощенные уравнения Ламе приобретают вид
(^^14-^graddivw + ^m B.26)
В задачах теории упругости, как правило, требуется найти
смещение индивидуальных частиц среды, например изменение формы
внешних границ «твердого» тела. Поэтому в теории упругости
обычно используют точку зрения Лагранжа и лагранжеву систему
координат.
Раньше было выяснено, что можно применять две лагранже-
вых системы координат — начальную и актуальную (см. гл. II).
Все уравнения составляются для состояния среды в определенный
актуальный момент времени. Поэтому очевидно, что как
уравнения импульсов для сплошной среды, так и получившиеся на их
основании уравнения Ламе в компонентах, соответствующих ла-
гранжевой актуальной системе координат, имеют такой же вид,
как в системе отсчета.
При переходе от актуальной лагранжевой системы координат
к начальной лагранжевой системе координат уравнения в
компонентах изменяют свой вид. Это связано с тем, что формулы
перехода от компонент векторов и тензоров в начальной лагранжевой
системе координат к соответствующим компонентам в актуальной
лагранжевой системе не совпадают с обычными формулами
преобразования компонент тензоров при переходе от одной системы
координат к другой в одном и том же пространстве. Пространства
начального состояния и актуального состояния с одинаковыми
координатами точек I1, £2, £3 необходимо рассматривать как разные
пространства с различной метрикой, ds2=£dsl, из-за деформаций г).
Однако если деформации и перемещения малы, то начальная
и актуальная лагранжевы системы координат отличаются мало,
и поэтому с точностью до малых первого порядка можно считать,
что уравнения в компонентах, соответствующих актуальной и
начальной лагранжевым системам координат, совпадают.
Использование начальной лагранжевой системы координат может
оказаться более удобным, чем использование актуальной системы
координат, так как при применении актуальной лагранжевой системы для
полного решения задачи надо определять еще и положение этой
системы координат по отношению к системе отсчета.
1 Этот вопрос применительно к общему уравнению движения сплошной
среды рассмотрен подробно в кн.: Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.:
Физматгиз, 1962. С. 150.
§3. Примеры уравнений в криволинейных системах координат 173
О необходимости построе- Обширные разделы гидродинамики и теории
ния других моделей упругости развиты в рамках
перечисленных выше простых моделей. Тем не менее
далеко не всегда движения реальных сред могут быть достаточно
точно описаны с помощью этих простейших моделей.
Например для изучения движения ионизованных газов и
движения газов при отсутствии баротропии, требуются более сложные
модели.
Во многих случаях закон Гука для «твердых» тел
неприменим, например, он несправедлив, когда после освобождения
«твердых» тел от напряжений в них остаются деформаций (асфальт,
замазка, а также металлы при больших нагрузках). Поэтому
необходимо строить модели с учетом пластичности, ползучести и ряда
других свойств. Для усложненных моделей сплошных сред введенный
выше запас понятий и характеристик, связанных с движением и
состоянием частиц среды, недостаточен.
Необходимо рассматривать еще другие характеристики, такие,
как температура 7\ внутренняя энергия U, энтропия S,
остаточные деформации, характеристики электромагнитного поля и
многие другие. Система механических уравнений в этих случаях
должна быть дополнена. Для этого требуется использовать еще
дополнительные соотношения физики и, в частности термодинамики.
§ 3. Примеры уравнений в криволинейных системах
координат и дополнительные сведения из тензорного анализа
Для приложений полезно иметь в готовом виде уравнение
неразрывности и уравнения движения в различных конкретных
криволинейных системах координат.
Выпишем формулы, выражающие символы
Символы кристоффеля в Кристоффеля Г£р через компоненты мет-
ортогональных и уравне- рического тензора g* , в произвольных орто-
ние неразрывности в про- ? г ы; г г
извольных системах коор- тональных системах координат. Символы
динат Кристоффеля в евклидовом и римановом
пространствах определены формулами
Отсюда в ортогональной системе координат (^ = 0 при i=£j)
легко получим
1зэ —— ^sr -gj«-, а=^Р»
ра L о-аа д£аа
1 аа — 2 б ' дха »
C.2)
нет
суммирования C.3)
по а,
C.4)
r£v = 0 при а#р, $Фуу афу. C.5)
174
Гл. IV. Простейшие модели
С помощью формул C.2) для сумм 2Г£з можно получить еле
а
дующие формулы в ортогональных системах координат:
1 dg = \_dYl
2g дх& Yg ^р
Г2э = ^^ = ^-Ч^-, C.6)
где g—определитель матрицы ||g7y||.
Приведем доказательство формул C.6) в произвольной системе
координат. Имеем
*Ч*//Н(*/-Э/I и|3- = ГГрэи.
При составлении производной dg/dx^ необходимо
дифференцировать в каждом элементе детерминанта g скалярное произведение
двух векторов э( и эу.
При дифференцировании первого фактора э( получим три
детерминанта, в каждом из которых члены одной строки с номером i
заменены членами вида Tf^g^. Легко видеть, что каждый из этих
детерминантов равен I%g, где i—фиксированный индекс, равный
номеру соответствующей строки. (Детерминанты при фиксирован-
з
ных (o=£i равны нулю.) Сумма трех детерминантов равна X T\^g.
i= l
Из симметрии gif очевидно, что при дифференцировании вторых
факторов 9j получится точно такая же сумма.
Отсюда следует, что
dg
<2*Г|Э,
причем в этих формулах по индексу i производится суммирование.
Выражение для дивергенции любого вектора в произвольной
системе координат можно теперь записать следующим образом:
aivz>_vai - dxa +Hap- dxa + ^._. —^-- yj dxa •
C.7)
Уравнение неразрывности в произвольной криволинейной
системе координат принимает вид
Напомним, что va являются компонентами вектора v при
разложении его по векторам ковариантного базиса эа, которые не
являются, вообще говоря, единичными векторами.
§ 3. Примеры уравнений в криволинейных системах координат 175
Физические компоненты Для вектора скорости v можно написать
векторов и тензоров также формулу
v = *3i = u*-^ + u*--^ + u*-^f C.9)
Vgll Уё22 VgS3
где е,= r-Lz—единичные векторы. Если система координат
У Su
ортогональная, то компоненты
и1' = & VUTi
(суммирование по i отсутствует) равны проекциям скорости v
на касательные к координатным линиям и называются
физическими компонентами вектора скорости. Очевидно, что для
ортогональных систем координат величины Ui=Vii/g" (суммирование
по / отсутствует) совпадают с введенными физическими
компонентами и1'. Аналогично можно ввести физические компоненты любого
вектора, например ускорения а или grad p, и вообще тензора
любого ранга * . При использовании физических компонент уравнение
неразрывности C.8) в произвольной ортогональной системе
координат приобретает вид
У~а др | dp Vgngw и1 , dp Y"gng33 a2 , dp Vgng22 _ q /3 \q\
* ° dt "• дх1 дх2 ' дхг • v • /
В случае цилиндрической системы коор-
Уравнение неразрывности т i ^ х2 = ф хз = г
в цилиндрической и сфе- » т»
рической системах коор- ds2 = dr2 + Г2!d(p2 -\- dz2,
АИНат i i i i i 111
l'3i|=l, |^2|=r, |Э3|=1,
T-e- «ii=l» «22 = Л ft»el» £//=° ПРИ i¥*i-
Г22 = -г, Г^ = Г^ = 1 / г, остальные Гд равны нулю.
Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах
записывается следующим образом:
ар _._ арцгг _._ эрцр . apr/z ^Q
В случае сферической системы координат л:1 = г, х2 = 0 (полярный
угол), х3 = А, (долгота), ds2 == dr2 + r2 d92 + r2 sin26dA,2, gn=l,
fo2 = ^2, ^33 = ^2sin2e, r^r^r^rl^i/r, r233 = r332 = ctge,
^22 = ~r» Г33 = -rsin2 0, Г323 = -sin8cos6, остальные Tjk равны нулю.
Уравнение неразрывности будет иметь
1 Например, для тензора Т^Т^э^э^ физические компоненты можно
определить следующим образом: Т = Т) V~g~ii VHP==" г = (Г/)физ*1е/-
V ёи у gJJ
176
Гл. IV. Простейшие модели
ВИД
r-sine^ + slne^i + riE^ + ri^-O.
Для того чтобы написать в инерциальных
Компоненты ускорения в ортогональных криволинейных системах
ортогональных системах r r л ~о
координат координат уравнения- движения Эйлера,
получим формулу, выражающую
компоненты ускорения aJ' через gi;- и v(. Для компоненты ускорения
dv/dt имеем
Преобразуем, учитывая C.5), последний член этой формулы
»Wk = 2с, Wp/ + И2 Г^ = 20/^rj;, + И2 Г/, + И2 Г£я.
0=*/ 0=*/ /=*0
(суммирование (суммирование по /
по / отсутствует) отсутствует)
В ортогональной системе координат gil' = —, и поэтому с по-
Sii
мощью формул C.2) — C.4), выражающих символы Кристоффеля
Г'аВ через gih получим
Я "*" dxi g// дх$ 2 gjj dx/ 2gjj dxj ' K ' '
(суммирование по / отсутствует)
Отсюда физические компоненты ускорения в цилиндрической
системе координат, если вместо v* по C.9) ввести физические
компоненты скорости и*, будут иметь вид
диг . диг . иф диг . диг и%
^ = ^г+»^+^^+»^+^. С3-12)
физические компоненты ускорения в сферической системе
координат запишутся следующим образом:
C.13).
_ диг диг .
а' dt I Ur дг '
"А # Н "' дг
«9 диг ,
1 UQ dUQ .
г дд 1
, ив дих
Г г дв
их
г sin 9
i их
г sme
• их
г г sme
диг
~Ж~
див
дк '
дих
дХ
ul-\-u\
г
игие — и\ ctg G
г
, urux + ctg QuQux
1 г
§ 3. Примеры уравнений в криволинейных системах координат 177
Компоненты вектора-гра- Определим проекции вектора grad p на оси
диента скалярной функ- ортогональной системы координат. Имеем
ции в ортогональной си- r r
стеме координат др , , . t л э*
Отсюда физические компоненты At вектора gradp в
ортогональной системе координат будут равны
(суммирование по i отсутствует)
Физические компоненты вектора gradp в цилиндрической
системе координат будут следующими:
&**Р\* = Т%> (ЗЛ4)
а в сферической системе координат—следующими:
gradp|* = j-|, C.15)
Уравнения Эйлера в ци- С помощью C12) и C.14) легко написать
So^chc™^ уравнения Эйлера в цилиндрической, а с по-
«ой системах координат мощью C Jg) и C J5) в сферической си.
стемах координат.
Уравнения Эйлера в цилиндрической системе координат имеют
вид
dr Ur "Г г dq> "*" dz и* г "*" dt ~~г г р дг *
ifk.» -i-li^-н +^ц 4-ifk^F —LEL
дг и' + г up м*т"ЗГа«+-зг-г* р dz •
12. Л.И. Седов
178
Гл. IV. Простейшие модели
а в сферической—вид
uq диг
диг . диг
~дГ + иг-дГ
дие . див .
dt ~*~ г дг ""
дих^ , дая,
д/ "^ дг
ал диг
1 г ае
щ duQ
г sin 6 дк
их див |
ue+ul _р 1 др
г т р дг '
UrUQ
дб
uq дих
г sin 0 дХ
их
дих
• tirUX
1_ др_
е гр д9
ctg бмеия
1. C-17)
ае
г sin 9 дк
Положив
г
1
dp
prsin0 дЯ
Оператор Лапласа от
скалярной функции в орто- г> = £Гас1Ф
тональной системе коор- 6 '
динат
с помощью формулы C.7) легко получим,
что оператор Лапласа от скалярной функции Ф в произвольной
ортогональной системе координат имеет вид
div grad Ф = у2Ф = ДФ =
Vg
gu
дх1
охч 1 °\ У g22 дх*;
дх*
+
J 1 / g22gll дФ\~]
\ У gss дх> J
дх*
Отсюда следует, что в цилиндрической системе
Am__i__a_/ аФ\ 1 д*Ф , д*Ф
г дг \ 6V /
а в сферической
дф2
дг*
|. C.18)
C.19)
*»-4 [•*("£)+wiH
дФ\ . 1 д2Ф 1
дО ) + sin2 6 дк* J
C.20)
Рассмотренные примеры иллюстрируют применение общих формул
на важных частных случаях.
,, Для полноты приведем выражения для фи-
Компоненты тензора ско- ^ r r „ ^
ростей деформаций и урав- зических компонент тензора скоростей де-
нения Навье —Стокса в формаций в цилиндрической
цилиндрической и
сферической системах координат р __ °иг 2е __ 1 дцг I r д f цф \
гг дг ' гф г дф дг \ г / '
1 д^
— Ф2-
еФФ — г
дф
иг 9 _ дцФ
дг
1 duz __duz_ с. _duz,dur
г дф • *zz ~~ дг ' rz ~~ дг ^ дг
§ 3. Примеры уравнений в криволинейных системах координат 179
и сферической системах координат
__duj_ —}_^±ju1l о — 1 дик -I- и* л цеctgел
егг- дг ' е™- г дв ~*~ г ' еМ— rsine дК "■" г i г
9е — 1 даг 1- дце ife_ 9/? — d*U i_ 1 ацг "Я,
^ге"~г ае ~*~ аг г » ^Яг~ аг "tiSlT"l8 Г'
I а«9 , 1 дыд, «я, ctg 9
9/> — * ""*» I
Z^9 — ТТ^ГТГ "Л!" +
Ле rsinO д\ ~f r дв
а также уравнения Навье—Стокса для несжимаемой жидкости
с (X = const в цилиндрической
a =F _±^ + v(Aw —J^ — А_^ф\
^ *> р ar ^v^wr Г2 Г2 дф J'
it l dp . А /Л а2 , 1 а ,
1 а2 а2
г2 аф2 """ dz2
и сферической системах координат
г г р ar ' v г г г2 sm 9 ая г2 а9 j
п F l д? ±*1 А» це 2 cos 9 а^х , 2 awr\
fle=re—^ГЖ "^Ч e_ r2sin29 — r2sin29 дк ~т~7*Ж)>
п — F I fo . „(\г. »Ь I 2c°s9 дц9 . 2 ацг
^^ x r0sin9 аЯ,- V Л r2 sin2 9 ^ r2 sin2 9 дХ ~*~ r2sin9 dA,
/Л_ a2 2 a i a2 ctg 9 a 1 a2 \
l аг2 "^ г дг "^ г2 а92 "^ г2 a9 "*" r2 sin2 9 ая,2 у'
где физические компоненты ускорения определены формулами
C.12) и C.13) соответственно.
Отметим, что выражения, перед которыми в двух последних
системах уравнений Навье — Стокса стоят множители v, являются
физическими компонентами вектора у2я, полученного в результате
применения оператора Лапласа к вектору скорости V. Сравнивая
эти выражения с C.19) и C.20) соответственно, видим, что
применения оператора Лапласа к компоненте вектора и к скалярной
функции приводят, вообще, к различным формулам.
а В трехмерном пространстве всякому анти-
Эквивалентность в тпех~
мерном пространстве ан- симметричному тензору второго ранга
тисимметричного тензора A{j3l3j соответствует аксиальный вектор
второго ранга аксиально- В = В1Э{1 контравариантные компоненты
му вектору которого определены формулами
Bv=-L,4aP, C.21)
У g
где система трех индексов а, р, у получается из системы 1, 2, 3
круговой перестановкой, а g = Detf gapfl. Для доказательства этого
утверждения рассмотрим формулы преобразования величин ВУ при
180
Гл. IV. Простейшие модели
переходе от системы координат х1' к системе у*. При этом будем
пользоваться тензорными формулами преобразования компонент
тензора gijBl3J и компонент тензора Ai;9l9J\ а также свойством
антисимметрии Atj<.
Для определителя g имеем1
g = \gijH\gki\
дук 1
дх1 |
1 ду1
1 дх'
= g'A2,
"где А—детерминант матрицы \дук1дх(\. Поэтому
дуа ду& ду& дуа
1 л ___! 1_ А, дуР дц* 1__ д, дх* dxJ дх* dxJ
Y'g U ~~ VI' I A I PQ дх* dxf ~ VY
^ap"
|A|
C.22)
Легко видеть, что величины
дуа ду&
(суммирование только по таким
а, 0=1. 2, 3, что а > Э)
ду& дуа
дх* dyj дх* dxJ
являются алгебраическими дополнениями для элементов dyy/dxk,
если индексы а, р, у и t, /, k представляют собой круговые
перестановки из 1, 2, 3. Для матрицы, обратной матрице \ду1/дх;'\,
следовательно, имеем
1
1*1
дуа ду$ ду$ дуа
Г ду«
[дх*
дх*
дуУ |Д|
dxJ дх* dxJ
Поэтому формулы C.22) можно переписать в виде
дх* А
дуУ |А| *
Bk = B,y
C.23)
Эти формулы совпадают с обычными формулами преобразования
контравариантных компонент вектора только при условии Д>0.
Поэтому вектор &=В*э1у определенный формулами C.21),
называется аксиальным вектором или псевдовектором, в отличие
от обычного полярного вектора.
При преобразовании инверсии, например при преобразовании
</' = -*'',
компоненты полярного вектора Ь меняют знак
дх*
э компоненты аксиального .вектора /?, как видно из формул C.23),
не меняют знака
дх*
1 Для дальнейшего важна только формула преобразования величины g\ связь
g с метрикой вообще несущественна.
§3. Примеры уравнений в криволинейных системах координат 181
Определение ротора век- Вектор с = rot А вводится по определению
тора в криволинейных по форМуЛам
системах координат ^ r J
(а, р, у образуют круговую перестановку из 1, 2, 3).
Очевидно, что если А—полярный вектор, то rot Л является
аксиальным вектором.
В декартовой системе координат компоненты вектора с = rot A
вычисляются по формулам
^v_ дАр дАа
дха дх$
(а, р, у образуют круговую перестановку из 1, 2, 3).
Очевидно, что ротор вектора А = Ааэа
Те^3°Р?Леви"Чивита можно рассматривать как результат сверт-
8—8 эаэ$эу ки тен30ра уаЛээаээ с антисимметричным
по всем индексам псевдотензором третьего ранга г = &а^уэаэ^эу,
компоненты которого определены формулами
( 1 если а, р, у образуют четную
}Tg' перестановку из 1, 2, 3,
0aBY I L если а» Р. V образуют нечетную - 9
8=1 уу перестановку из 1, 2, 3, \6М>
О, если среди а, р, у есть два
одинаковых индекса.
Нетрудно проверить непосредственно, что формулы C.24)
действительно определяют компоненты псевдотензора, т. е. что
формулы преобразования eaPv при переходе к другой системе
координат у1' могут быть записаны в виде
e'i/k = _А_ 8сф7 М- _^_ _^_
|А| дха дх$ дхУ '
причем е'#* представляются через g'= Det || g^-1| по формулам,
аналогичным C.24). Название тензора Леви-Чивита—псевдотензор
связано с наличием в формуле преобразования знака,
определенного множителем А/|Д|. Для собственных преобразований (Д > 0)
псевдотензоры неотличимы от обычных тензоров.
Итак, компоненты вектора rot Л могут быть записаны в виде
Компоненты векторного Рассмотрим еще в криволинейной системе
^^t^mJSXr К0°РДинат операцию векторного
произведения двух векторов Л и Я. По
определению примем, что компоненты су векторного произведения Ах В
представляются формулами
182
Гл. IV. Простейшие модели
т, е.
1
cy^^iAfij-AjBi)
(iy /, у образуют круговую перестановку из 1, 2, 3).
Отсюда, в частности, видно, что векторное произведение
двух полярных векторов есть аксиальный вектор (псевдовектор).
Физическими примерами аксиальных век-
Примеры аксиальных век- ТОров — по существу антисимметричных
торов тензоров второго ранга—могут служить
векторы вихря скорости G) = -7>-rottf, магнитной напряженности Н,
магнитной индукции В и т. п.
Эквивалентность антисимметричного по двум индексам тензора
аксиальному по этим индексам вектору имеет место только в
трехмерном пространстве.
В я-мерном пространстве при п >3 подобной эквивалентности нет.
В физике наряду с трехмерным пространством с
пространственными координатами х1, х2, х* имеет непосредственный физический
смысл пространство четырех измерений с координатами точек
пространства *\ *2, х3 и времени t=x*.
При формулировании основных физических уравнений
требуется рассматривать векторы и тензоры в четырехмерном
пространстве с координатами х1, х2, л:3, х4 и считать, что координаты точек
четырехмерного пространства — времени взаимно связаны и в
некотором смысле равноправны.
Л В физических уравнениях в таком че-
О соответствии в четырех- Y r
мерном пространстве ан- тырехмерном пространстве также встре-
тисимметричного тензора чаются и играют фундаментальную роль
второго ранга аксиально- антисимметричные тензоры второго ранга.
му и полярному векторам Пусть р^_ антисимметричный тензор
в четырехмерном пространстве. По определению имеем
и, следовательно,
Fa=0.
При преобразовании координат
*' = /'*(</*), *\ А=1, 2, 3, 4, C.25)
компоненты тензора Fik преобразуются по обычным формулам
Формулы преобразования C.25') и нижеследующие выводы
независимы от способа введения метрики в четырехмерном пространстве.
Однако удобно вместе с четырехмерным пространством рассматри-
§ 3. Примеры уравнений в криволинейных системах координат 183
вать еще трехмерное обычное подпространство х1, х2, х3 с метрикой,
определенной обычным способом формулой вида
ds* = gaf>dx?dx?, а, р=1, 2, 3.
Для четырехмерной матрицы тензора Fik можно написать
иы=
0
F*
Ръг
^41
Fl2
0
^32
^42
Fl3
F2H
0
^43
Fu
F24,
Fst
0
где
-}TgHz 0 Yg№ E2
VgH*-Yg№ 0 E3
— Ег -Е2 —Е3 0
g = Det\\ga,l
C.26)
Буквами #а и Ea (a=l, 2, 3) обозначены соответствующие
элементы матрицы Fik. Формулы преобразования C.25') для
компонент Fik можно рассматривать также как формулы
преобразования для величин Яа и Еа.
Если наряду с общим преобразованием координат C.25)
рассмотреть частные преобразования координат
*a = fa(y\ У\ У*) («=1, 2, 3),
х* =У\
C.27)
в которых преобразуются только пространственные координаты и
сохраняется неизменной временная координата, то общие формулы
преобразования C.25') дадут специальные формулы преобразования
для величин, обозначенных во второй матрице C.26) через #аи Еа.
Из этих формул следует, что для специальных преобразований C.27)
величины Яа и Еа можно соответственно рассматривать как конт-
равариантные компоненты трехмерного аксиального вектора
tf=#vav (Y=l,2, 3),
1
7у
TlF«*
(a, p, у образуют круговую перестановку из 1, 2, 3) и ковариант-
ные компоненты -полярного вектора
Е=ЕуэЧ G=1, 2, 3),
Еу — rY4.
Очевидно, что формулы преобразования для #v и Еу в общем
случае четырехмерного преобразования C.25) не являются векторными.
С точки зрения четырехмерного пространства трехмерные векторы
Я и £ не являются инвариантными объектами.
184
Гл. IV. Простейшие модели
Ниже мы увидим, что векторы электрической напряженности
и магнитной напряженности можно рассматривать как векторы ЕиН
для соответствующего четырехмерного тензора
F-F^aK
Подчеркнем, что предыдущие связи между Fikt Ey и Ну
независимы от метрики четырехмерного пространства. В C.26) вместо
трехмерного метрического тензора ga^a^ можно было бы
воспользоваться любым другим пространственным трехмерным тензором
второго ранга, для которого составленный из его компонент
детерминант не равен нулю.
Г Л А В А V
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ
ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 1. Теорема живых сил и работа внутренних
поверхностных сил
Одним из наиболее важных общих следствий динамических
уравнений движения сплошной среды является теорема живых сил.
Пусть V—произвольный конечный объем, движущийся вместе
с частицами материальной среды, 2—ограничивающая его
поверхность. Предположим, что внутри объема V компоненты тензора
напряжений Р = pij3i3j и вектора скорости v = и'э,- =
vp(—непрерывные дифференцируемые функции пространственных координат
и времени.
Возьмем вектор dr = vdt—вектор перемещения бесконечно
малого объема сплошной среды dx за время dt\ умножим скалярно
уравнение импульсов на dr и проинтегрируем по объему V.
Получим
$ pa v dt dx = I pFdr dx + [ (VjPu) vtdt dx. A.1)
V V V
Преобразуем интегралы, входящие в это соотношение.
Скалярную (инвариантную) величину v a
Кинетическая энергия МОжно вычислить, используя любую систе-
объема V сплошной среды Л J J
к му координат. Например в декартовой
системе координат легко получим
v a ~~ dt dt \ dt J T" dt dt \ dt J^ dt dt \dt )- 2 dtv '
Так как масса dm = pdx постоянна, то очевидно, что
\ a vpdxdt = \ d f-у-] dm = d l-^-dm = d£,
м м
где по определению
E = ^dr A.2)
V
— кинетическая энергия объема V сплошной среды.
Массовые силы F разобьем на две группы:
Работа внутренних и рчп—внутренние и Fie)—внешние по от-
внешних массовых сил ♦ J г , * „ i/ т „
ношению ко всему объему V. Тогда
\pFdrdx = \pF^-drdx + \pFU)-drdx = dA% + dA%, A.3)
186 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
где dA{^ и dA{j£ — элементарные работы внешних и внутренних
по отношению к объему V массовых сил, действующих на этот
объем, при бесконечно малом перемещении.
Заметим, что сумма всех внутренних массовых сил,
действующих на весь объем У, всегда равна нулю, а работа этих сил
может отличаться от нуля.
Последний интеграл в выражении A.1) запишем в виде
следующих двух интегралов:
\ (VyP'7) t>/ dtdx = [ vy (p%) dtdx — [ pV^jVi dt dx. A.4)
V V V
Для преобразования первого из написанных справа в A.4)
интегралов воспользуемся теоремой Гаусса — Остроградского, а для
преобразования второго — очевидным тождеством
Vy»/ = у (Vyf/ + V flj) + у (Vjv{—v,iv) = eu + w/y.
В результате получим
\(V/Pif) Vi dtdx = \ pVvfij dodt—\ piJ'eu dtdx—\ р'Ло|7 dt dx, A.5)
V 2 V V
где 2 — поверхность, ограничивающая объем V, a nt— ковари-
антные компоненты единичного вектора внешней по отношению к
объему V нормали к 2.
Заметим, что в силу антисимметрии тензора со^-э'э7' верны
равенства
рои =рОы . + p/i'n =(pV - /УЛсо/7. (i.5')
[i < Л V [f < /J J
Поэтому в классическом случае, когда тензор напряжений
симметричен (pVsspji^ последний интеграл в A.5) равен нулю.
Так как р1';'п;Э1=рПУ то можно написать
Работа внешних поверх- С п , л, Г , , jam t\ a\
ностныхсил )plSvinJdodt = )pndrdo = dA™B, A.6)
где через dA^OB обозначена работа внешних поверхностных сил,
действующих на поверхности 2 выделенного объема У, при
бесконечно малых перемещениях dr = vdi точек поверхности 2.
л с Последний из интегралов в A.4), являю-
Определение работы внут- „ <Л v <, '
ренних поверхностных сил ^иися инвариантной величиной, по
определению называется работой внутренних
поверхностных сил напряжений1 в объеме V
-IpVVjVtdtdx^dA^. A.7)
1 Подчеркнем, что даже при непрерывных перемещениях, несмотря на
справедливость закона равенства действия и противодействия для внутренних
напряжений, работа внутренних сил взаимодействия вообще отлична от нуля из-за
наличия деформаций.
§ 1. Теорема живых сил и работа внутренних сил
187
Теорема живых сил для Таким образом, равенство A.1) можно
плош- записать в виде
dE^dAS+dAtt+dASb+dAtib, A.8)
конечного объема сплош- записать в виде
ной среды м
т. е. для действительного движения дифференциал кинетической
энергии конечного индивидуального объема сплошной среды
равен сумме элементарных работ внешних массовых, внутренних
массовых, внешних поверхностных и внутренних поверхностных
сил, действующих на этот объем. Это утверждение носит название
теоремы живых сил в применении к конечному объему сплошной
деформируемой среды.
Нужно иметь в виду, что в формулировке теоремы живых
сил A.8) dE является полным дифференциалом функции £
—кинетической энергии объема сплошной среды, а остальные члены
dA%\ dA$y dA^0B и dA(JlB в общем случае—просто бесконечно
малые количества—элементарные работы соответствующих сил на
системе непрерывных бесконечно малых перемещений
dr = vdt,
определенных в каждой точке сплошной среды.
Выражение для работы Из A.4), A.5), A.5') видно, что выраже-
внутренних поверхност- ние для работы внутренних
поверхностных сил в случае симмет- г J г г
ричного тензора напряже- ных сил можно записать в следующем
ний виде:
dA&B = - J pVeif dtdx—l р1'(оиdtdx, A.9)
или в случае симметричного тензора напряжений в виде
dA&B = -\p%jdtdx. A.1Q)
Как известно, антисимметричному тензору (otj в трехмерном
пространстве всегда можно поставить в соответствие аксиальный
вектор со — вектор вихря скорости (см. гл. VI, §3) Из приведенных
выше рассуждений следует, что наличие вихрей в движущейся
сплошной среде в случае симметричного тензора
напряжений (в частности, при отсутствии внутренних моментов
количества движения и внешних массовых и поверхностных пар) не
оказывает непосредственного влияния на величину элементарной
работы внутренних поверхностных сил, а следовательно, на
изменение кинетической энергии.
188 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Теорема живых сил для Запишем теперь теорему живых сил для
бесконечно малого объема бесконечно малого объема сплошной сре-
сплошнои среды тт *, * \Л7
* ды. Для этого выберем малый объем AV
так, чтобы некоторая интересующая нас точка сплошной среды
находилась внутри него. При стягивании объема в эту точку
равенство A.1), написанное для AV и разделенное на массу Am
частицы внутри объема AV, с учетом A.2) и A.4) дает
J^ = F.dr+lVj {puVi) dt-1. p.JVjV. dt.
Величину v2/2 можно назвать плотностью кинетической
энергии, а величины F-dr, — Vj {piJ'v?) dt, p^^p^t—плотностями
работы массовых и поверхностных внешних и внутренних сил.
В теорему живых сил для бесконечно малого объема сплошной
среды не входит элементарная работа внутренних массовых сил,
так как она стремится к нулю при У, стягиваемом в точку, и Af->0.
Это непосредственно следует из допущения о существовании
плотности массовой силы как предела отношения внешней массовой силы,
действующей на объем, к массе, заключенной в этом объеме.
Пусть, например, внутренние массовые силы суть силы
ньютоновского тяготения между частицами объема V. Тогда работа
внутренних массовых сил в объеме V с массой М, очевидно,
записывается в виде
drtii dm2 r i —
>п
м м
Предел этого выражения, разделенного на М, при 1/, стягиваемом
в точку, равен нулю.
Таким образом, теорема живых сил, имеющая место для каждой
бесконечно малой частицы, формулируется так: в каждой точке
сплошной среды дифференциал плотности кинетической энергии
равняется сумме плотностей элементарных работ внешних
массовых, внешних поверхностных и внутренних поверхностных сил,
действующих на эту бесконечно малую частицу.
Как видим, теорема живых сил является непосредственным
следствием уравнений импульсов и представляет собой уравнение
баланса механической энергии. Теорема живых сил имеет
энергетическую природу, но это соотношение не является в общем случае
законом сохранения энергии. Его можно трактовать как закон
сохранения энергии (в рамках механической постановки задач)
только в том случае, когда механическая энергия рассматриваемой
системы не переходит в тепловую или в другие виды энергии.
Заметим, что общий закон сохранения энергии в этом случае
распадается на два — законы сохранения механической и немеханической
энергии в отдельности.
§ 1. Теорема живых сил и работа внутренних сил 189
Получим выражения для плотности работы внутренних
поверхностных сил -jj- dAl^0B в некоторых частных случаях. Имеем
= -1 р"еи dt-\ (pff - pi*) ©.„ dt.
Если среда движется как твердое тело, то все ei;=^0 и
Lrpu _ рн\щ dt.
Р \ [i<J] J
dm алпов-
Если тензор напряжений несимметричен (р°фр;')> то при
движении среды как абсолютно твердого тела работа внутренних
поверхностных сил может отличаться от нуля, так как угловая
скорость © и, следовательно, (о/у. могут быть не равными нулю
(при вращении).
Если тензор напряжений симметричен, то верно равенство
-^йА^^-\р"еи<И, A.11)
т. е. в этом случае работа внутренних поверхностных сил
обусловлена, вообще говоря, деформациями. Если среда с симметричным
тензором напряжений движется как абсолютно твердое тело, то работа
внутренних поверхностных сил в ней всегда равна нулю.
Для идеальной жидкости piJ = — pg(J, по-
Плотность работы внут- этому
ренних сил в случае
идеальной жидкости 1 йАш =Ь gi/e dt =£ e\\dt=£- div vdt.
dm пов p 6. /y pi p
Заменяя div v с помощью уравнения неразрывности, получим
-bdA«.--jr%dt = pd\-pdV, A.12)
где V — удельный объем.
Для бесконечно малой частицы идеальной среды теорема живых
сил в областях непрерывного движения среды имеет вид
d^^^dA^+^dA^ + pdj^F^vdt-^.ipv^dt+pd^.
A.13)
Небесполезно отметить, что при движении сплошной среды
относительно фиксированной подвижной или неподвижной системы
координат величина плотности работы внутренних сил вообще не
равняется с обратным знаком плотности работы всех внешних
поверхностных и массовых сил.
190 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
§ 2. Первое начало термодинамики
(закон сохранения энергии) и уравнение притока тепла
Параметры состояния Начнем с выяснения понятий, лежащих
в основе термодинамики и тем самым всей
механики сплошной среды, а именно понятий «состояния»
системы и «параметров состояния». Мы будем говорить, что
состояние нашей системы (например некоторого объема сплошной среды)
задано, если заданы значения некоторых параметров [а1, fi2, ...
..., \х'\ ..., которыми полностью определяются все интересующие
нас характеристики системы (среды). Определяющие параметры \il\
которые могут принимать вообще в некоторых диапазонах
произвольные значения, называются при этом параметрами состояния.
Набор параметров состояния и их число различны для различных
моделей сплошных сред.
Что значит знать состояние среды? На этот вопрос можно дать
следующий ответ. Все тела состоят из атомов и молекул, и, если в
каждый момент времени известно положение и движение всех
элементарных частиц, составляющих тело, известно и состояние всего
тела. Однако этот ответ не может нас удовлетворить. В самом деле,
если мы захотим, например, задать состояние одного кубического
сантиметра покоящегося воздуха, то нам придется задать 3-27-1019
функций от времени координат молекул (считаемых материальными
точками), содержащихся в этом объеме, так как молекулы даже
покоящегося газа движутся. В то же время известно, что с
макроскопической точки зрения во многих случаях состояние покоящегося
воздуха (и других газов) определяется заданием всего только двух
параметров — давления р и плотности р.
Макроскопическая точка зрения — это точка зрения, в которой
учитываются процессы, эффекты и свойства, существенные г только
для конечных тел, которые мы наблюдаем или применяем в
различного рода явлениях в природе и в технике.
Отнюдь не тривиальная проблема перехода от большого числа
параметров, определяющих состояние среды, рассматриваемой как
дискретная система, к меньшему числу параметров, подобных ри/?
для газа и определяющих макроскопическое состояние среды,
составляет важнейший предмет физики жидкостей, газов и твердых тел.
Разрешение этой проблемы всегда связано с дополнительными
гипотезами — законами вероятностной и другой природы,
гипотезами, которые должны проверяться и черпаться в опытах и
наблюдениях.
Макроскопические параметры могут строиться как
статистические средние, вычисленные при некоторых допущениях по
отношению к совокупностям большого числа молекул, движущихся и рас-
1 Понятие о существенности связано с постановкой задачи, с разумной и
целесообразной точностью принятых измерений и определений.
§2. Первое начало термодинамики
191
положенных вообще произвольно. Например в газах,
макроскопическую скорость v можно вводить как скорость центра тяжести
совокупности молекул в физически малом объеме; температуру Т —
как среднюю энергию хаотического движения атомов и молекул
относительно макроскопического движения, приходящуюся на
одну степень свободы; напряжение рп на некоторой площадке —
как среднюю характеристику импульса, переносимого молекулами
через эту площадку при их хаотическом движении, и т. д.
В общем случае определяющие параметры вводятся для
определенных рассматриваемых классов задач с помощью гипотез, при
этом опираются на опытные данные и теоретические исследования.
Во многих сложных случаях проблема введения определяющих
параметров еще открыта и является предметом исследования, например
для моделей вязко-пластических твердых тел, для неравновесных
явлений в усложненных физических, химических или
биологических системах, в различного рода явлениях, сопровождаемых
излучением, и во многих, многих других проблемах.
Внутреннее состояние малой частицы мате-
0 числе параметров со- риального континуума, вообще говоря, мож-
стояния для сплошных v ;; ' v '
сред но характеризовать конечным и гораздо
меньшим числом определяющих
параметров, чем дискретную систему элементарных частиц. Например,
внутреннее состояние частицы твердого деформируемого тела в
классической теории упругости характеризуется только семью
переменными параметрами — шестью компонентами тензора
деформаций е/у. и температурой 7\ а также постоянными для данной
конкретной среды физическими константами—модулем Юнга £,
коэффициентом Пуассона о и теплоемкостью с. Вместе с тем не
исключается возможность того, что число параметров,
определяющих состояние даже бесконечно малой частицы континуума, в
какой-нибудь модели континума (сплошной среде) будет
бесконечным.
Примерами такого рода моделей являются модели тел с
наследственностью. При введении таких моделей считают, что напряжения
plJ' зависят не только от деформаций и температуры в данный момент,
но от всей предыстории деформирования тела, т. е. от функций
&u(t) и Т (t). Это равносильно утверждению, что р{/ зависят от е^-,
Т и всех их производных по времени, т. е. число параметров
состояния таких сред бесконечно. Другим более сложным примером могут
служить континуумы, встречающиеся в кинетических теориях,
развиваемых в статистической физике, например газ, описываемый
уравнением Больцмана. Однако такого рода модели сложны, и опыт
теории и практики показывает, что в большинстве практически
важных случаев для задания состояния малой частицы можно
обойтись конечным и, вообще, небольшим числом параметров. В
сложных кинетических теориях при построении решений также часто
применяются приближенные методы, равносильные с физической
192 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
точки зрения переходу к моделям с конечным числом степеней
свободы для бесконечно малых частиц.
Заметим, что для определения состояния конечного объема
сплошной среды нужно, вообще говоря, всегда задавать функции
(а не конечное количество чисел) — распределение деформаций,
температуры и т. д.
Задание функции равносильно заданию бесконечного числа
параметров (например коэффициентов Фурье для этой функции).
Поэтому число определяющих параметров для конечного объема
в общем случае для любых моделей сплошных сред всегда
бесконечно.
Однако в малом все функции, задающие состояние тела, можно
приближенно считать либо линейными, либо квадратичными, либо
полиномами не очень высокой степени. Коэффициенты этих полиномов
образуют конечное число параметров, задающих состояние бесконечно
малых элементов сплошной среды.
При построении механики сплошной среды бесконечно малые
частицы рассматриваются как термодинамические системы, для
которых определены механические понятия о положении системы
и характеристиках ее движения, а также физические понятия о
внутреннем состоянии.
Ниже мы примем, что для бесконечно малой частицы
существует конечная система характеристик — определяющих параметров,
задаваемых в употребляемой системе координат и системе единиц
измерения числами.
Некоторые из этих параметров могут быть геометрическими или
механическими, как, например, пространственные координаты,
скорость, плотность, характеристики деформации и т. п., а
другие — физическими или химическими, как, например, температура,
концентрации различных компонент, параметры структуры,
фазовые характеристики вещества, коэффициенты теплопроводности,
вязкости, модули упругости и т. п.
Условимся через |л/ обозначать параметры, которые в принятой
системе отсчета могут быть переменными, а через k(— физические
постоянные. Некоторые из параметров fx'*, k' могут быть
компонентами различных векторов и тензоров.
По определению для фиксированной малой
Полная система опреде- частицы величины ц\ и2, ..., и", k\
ляющих параметров #,...,* образуют базис (полную си-
стему определяющих параметров), если они могут быть заданы
независимо и в известных диапазонах произвольно, а их набор
обладает тем свойством, что все другие рассматриваемые в
данном классе задач характеристики состояний и движений можно
выразить в универсальной, не зависящей от частной конкретной
задачи, форме через них.
Например ниже мы увидим, что плотность и температура для
частицы газа в известных пределах могут быть заданы произвольно,
§2. Первое начало термодинамики
193
а другие термодинамические функции, например энтропия и
давление, определяются через них.
Следует различать систему определяющих параметров в данной
конкретной задаче и систему параметров, определяющих
состояние среды. В первом случае это система параметров,
характеризующих условия задачи, выделяющая единичное глобальное явление
для конечных тел на основании системы уравнений и добавочных
краевых и других условий (выделение этой системы связано с
постановкой конкретных задач); во втором — это характеристики
состояния, для которых необходимо составить уравнения,
выполняющиеся для всевозможных конкретных задач и процессов.
Фиксирование системы параметров, определяющих
физическое состояние элементов среды, является важным и в логическом
смысле первоначальным этапом в определении модели сплошной
среды, предназначаемой для описания движения некоторой
реальной среды при некоторых определенных классах внешних условий.
С математической точки зрения параметры состояния р1, |х2, . . .
. . ., \iny kly k2, . . .*, km представляют собой аргументы функций,
входящих в замкнутую систему уравнений, описывающих поведение
среды 1 . Ясно, что эти функции могут зависеть от разного набора
независимых переменных, и в соответствии с этим система
определяющих параметров, фиксирующих данную модель сплошной среды,
может составляться из разных аеличин. Например в, случае газа,
это могут быть р и р, или р и Т, или р и Т и т. д.
С физической же точки зрения эти различные системы
определяющих параметров для данной модели сплошной среды могут
оказаться неравноправными. Как'мы увидим в дальнейшем, в
заданиях внутренней энергии как функции р и энтропии s или р и
р содержится разное количество информации. При введении
системы определяющих параметров необходимо подразумевать 1л иметь
в виду систему величин и характеристик, которые
рассматриваются как определяемые величины. Очевидно, что система
определяющих параметров по своему числу и составу для различных
определяемых величин может быть вообще различной.
Можно провести аналогию между поня-
0 голономных и неголо- тиями ЧИсла степеней свободы в теорети-
номных термодинамиче- „ л
ских системах ческой механике и числа определяющих
параметров в механике сплошной среды.
В самом деле, число степеней свободы определяется обычно как
число независимых параметров, определяющих положение
механической системы. Например, абсолютно твердое тело обладает
шестью степенями свободы. Заметим, что если абсолютно твёрдое
тело рассматривается как физическая система, то для ее определе-
1 По самому смыслу понятия определяющих параметров подразумевается,
что фактические функциональные связи устанавливаются соответствующими
законами, гипотезами и непосредственными определениями.
13. Л.И. Седов
194 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
ния необходимо задать еще десять постоянных параметров — массу,
положение центра масс в теле и компоненты тензора инерции в
центре масс.
В теоретической механике рассматриваются неголономные
системы. В механике сплошной среды также возможно такое
положение, когда определяющие параметры \i1' изменяются в
определенных пределах произвольно, а их приращения &\i* по условиям
рассматриваемого класса задач связаны между собой, например т,
независимыми неинтегрируемыми соотношениями вида
где А{—некоторые функции определяющих параметров. Тогда
число п — т независимых приращений 8\if оказывается меньше,
чем число независимых переменных определяющих параметров \i1',
и термодинамическая система называется неголономной.
Для неголономных систем число степеней свободы определяется
как число независимых приращений 8[дЛ
Рассмотрим пример неголономных соотношений, вытекающих
только из определения параметров |1'. Пусть, для примера,
И-1 E\ Ъ2, £3> t) — некоторый скалярный параметр (например
плотность частицы р), t — время, £\ £2, £3 — лагранжевы координаты
центра выделенной частицы, а параметры \i2 и |ы3 являются первой и
второй производной от ji1 no t, т. е. определены формулами
2 д\кг з дР2 aV /о i\
^2 = #^3 = # = ^. B.1)
По естественному физическому условию примем, что время / явно
не входит в систему [х*.
Ясно, что в различных внешних условиях возможны состояния
с различными произвольными в некоторых пределах значениями
[г1, \i2, ц,3, тогда как приращения d\*} и d\i2 за счет изменения
времени dt при постоянных g1, £2, £3 всегда связаны одним и .тем же
неголономным соотношением
\i2d\i2—|x»d|x1=0, B.2)
которое при наличии равенств B.1) выполняется тождественно.
Из равенств B.1) следует, что для произвольных fijjt1 и б{л2
соотношения B.2) не выполняются. Такого рода неголономные
соотношения встречаются при использовании моделей сплошных сред,
для которых среди определяющих параметров имеются
последовательные производные по времени. Уравнения B.1), B.2) не связаны
с наблюдениями или опытами, но как опытный результат надо
рассматривать то, что последовательные производные можно и
целесообразно вводить в число определяющих параметров при построении
моделей сплошных сред и что их следует рассматривать как
аргументы некоторых функций, которые в конечном счете черпаются
из данных, полученных в опытах.
§ 2. Первое начало термодинамики
195
Пространство состояний Введем в рассмотрение пространство
состояний, т. е. пространство, координатами
которого являются параметры состояния |д/ (фазовое пространство).
Разным состояниям термодинамических систем, очевидно, будут
соответствовать разные точки пространства состояний.
Совокупность состояний среды, соответст-
Пооцессы и циклы J „ г ^ >
F в у ющая некоторой последовательности
значений параметров состояния, называется процессом. Особенное
значение имеют физически реальные процессы, т. е. процессы, в
которых в рамках применяемой модели последовательность
состояний может осуществляться с течением времени. В зависимости
от внешних и внутренних взаимодействий можно рассматривать
различные реальные процессы.
Процессы могут быть непрерывными, когда совокупность
состояний для данной частицы \ix, [л2, . . ., \лп образует в пространстве
состояний непрерывную кривую. В теории встречаются также
процессы с разрывами значений параметров состояния (i1, \i2, . . . , \in
и, в частности разрывные процессы, составленные из участков
непрерывных кривых в пространстве состояний. В механике сплошной
среды изучаются непрерывные процессы и разрывные процессы с
отдельными точками разрыва на непрерывных кривых в
пространстве состояний.
Между двумя данными одними и теми же состояниями можно,
вообще говоря, проводить много различных процессов как
непрерывных, так и разрывных. Семейство кривых, отвечающих
реальным процессам, которые могут обусловливаться разнообразными
внешними условиями, обладает, вообще говоря, большим
произволом, однако в некоторых случаях, например для неголономных
систем, соответствующие кривые характеризуются некоторыми легко
обнаруживаемыми специальными свойствами. В рассмотренном
выше примере из соотношений B.1) следует, что непрерывный процесс
с (x1=const при \12ф0 невозможен. Однако и в этом случае в
пространстве состояний наличие равенств B.1) не исключает реального
непрерывного процесса между любыми двумя точками с
произвольно заданными координатами fx1', \х2', [г3' и fx1", \i2\ \iz".
Число изменяемых параметров и их характер для различного
рода процессов могут быть разными. Например процессы могут
быть чисто механическими, когда все параметры немеханическон
природы сохраняют постоянные значения.
Процесс, в результате которого система возвращается в
пространстве состояний к своему первоначальному положению,
называется циклом.
В случае непрерывных процессов циклу в пространстве
состояний соответствует замкнутая кривая.
В этой главе мы рассмотрим непрерывные процессы, в
дальнейшем, в гл. VII, будут изучаться процессы с точками
разрыва.
196 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Можно зафиксировать некоторое состояние Л и рассматривать
всевозможные непрерывные циклы, проходящие через состояние А
и некоторое состояние В. Различным процессам или циклам
соответствуют различные внешние условия. Это проявляется в том, что
уравнения, определяющие (i1, jx2, . . ., \inf содержат некоторые
функции, которые могут быть различными, ими можно
распоряжаться и этим влиять, на рассматриваемые процессы. Известные
примеры моделей сплошных сред показывают, что при
фиксированном состоянии А состояние В может, вообще говоря, совпадать со
всеми возможными состояниями в фазовом объеме, определяемом
физически допустимыми значениями определяющих параметров.
Совершая некоторый процесс, система в
О взаимодействии систе- общем случае взаимодействует с
внешними с внешними объек- J * 7л
тами ми телами и полями. Основная задача при
построении моделей сплошных сред состоит
в установлении законов и механизмов взаимодействия выделенной
частицы сплошной среды с внешними по отношению к ней
телами й полями, в частности с соседними частицами той же самой
среды.
Для приложений и в механике сплошной среды необходимы
макроскопические соотношения с малым числом определяющих
параметров. Нередко такие соотношения обусловливаются
представлениями на микроскопическом уровне о молекулах, атомах и
других частицах, о их расположении, движении и силах
взаимодействия между ними в теле. Однако все детали таких представлений
никогда не известны до конца. И важно подчеркнуть, что даже все
известные детали учесть невозможно, а главное, и не нужно.
Поэтому при построении моделей сплошных сред всегда в том или ицом
виде требуется формулировать и использовать феноменологические
гипотезы, которые после проверки их полезности для описания
наблюдений в опытах называются законами природы.
В физике и, в частности в механике сплошной среды, большое
значение имеет учет энергообмена между данной частицей
(термодинамической системой) и соседними частицами, внешними телами
и внешним полем. Понятие об энергии тесно связано с
представлениями о различных видах энергии. Это может быть кинетическая
энергия частиц, потенциальная энергия, связанная с
относительным расположением частиц, тепловая энергия, электромагнитная
энергия, энергия химических связей и некоторые другие виды
энергии. При более детальном исследовании на микроскопическом уровне
понятия о различных видах (и число видов) энергии меняются.
Однако практика показывает, что на макроскопическом уровне можно
по некоторым феноменологическим признакам различать
перечисленные выше и другие виды энергии и можно говорить о
превращениях энергии из одного вида в другой.
Мы будем исходить из основного физического положения о
существовании признаков, которые дают возможность на макроско-
§2. Первое начало термодинамики
197
пическом уровне различать виды энергии системы и виды притоков
к системе энергии из-за взаимодействия ее с внешними телами и
полем, и необходимости учета превращения энергии из одного
вида в другой.
Рассмотрим систему, которая характеризуется конечным
числом определяющих параметров, например бесконечно малую
частицу сплошной среды или конечный объем V при условии, что все
частицы этого объема совершают одинаковые процессы (параметры
состояния в этом случае постоянны по объему).
Будем подразумевать, что по заданиям характеристик
внутреннего состояния частицы jli1, fi2, . . ., \in и их бесконечно малых
изменений фь1, djx2, . . ., d\in можно судить о различных суммарных
макроскопических притоках энергии к частице извне. Данные об
этих притоках в зависимости от элементарного процесса за счет
приращений ф,1, , . ., d\in можно и, вообще говоря, нужно
рассматривать как описание свойств модели, которое составляет
важнейшую часть конструктивного построения модели. Естественно,
что вместо этих данных о свойствах различных энергопритоков к
частице извне в качестве данных, входящих в определение модели,
можно выбирать и другие (в действительности это так и делается),
из которых эти сведения об энергообмене можно получить с помощью
некоторой цепи универсальных или частных для данной модели
соотношений.
В механике обычно главное значение имеют приток к частице
энергии механической природы, т.е. работа внешних макроскопических
объемных или массовых и поверхностных внешних сил над частицей, и
приток тепла, который частица может получать за счет
теплопроводности, излучения и других механизмов. (Энергии, соответствующие
этим притокам, отдаваемым или получаемым частицей, могут
превращаться друг в друга внутри частицы или вне ее.)
Во многих случаях требуется учитывать также электромагнитные
взаимодействия; возникает необходимость рассматривать энергообмен
частицы с внешней средой за счет более сложных механизмов
взаимодействия таких, например, как работа распределенных поверхностных
пар, энергообмен за счет химических, структурных и фазовых
превращений и т.п.
Заметим, что в настоящее время происходит исследование новых
макроскопических механизмов энергообмена между выделенной
частицей и окружающей средой и законов энергообмена между
элементарными частицами. На микроскопическом уровне, а во многих
случаях на макроскопическом уровне (свойства металлов,
взаимодействия внутри тела при низких температурах, взаимодействие
лазерных лучей с обычными телами и т. п.) сущность механизма
взаимодействий можно понять только в рамках квантовой механики,
тогда как нужную феноменологическую формулировку этих
198 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
взаимодействий можно давать в усложненных моделях сплошной
среды в рамках механики Ньютона.
Полный внешний приток энергии для элементарного процесса
ф1, ф2, ..., d\in к малой частице можно представить в виде
dA^ + dQ^ + dQ**, B.3)
где dA{e) — работа внешних макроскопических массовых и
поверхностных сил, dQ{e) — приток тепла, a dQ**—внешний приток
энергии к частице, который возникает за счет различных
механизмов взаимодействия, отличных от работы макроскопических сил и
теплообмена, например, за счет взаимодействия с электромагнитным
полем при учете энергии, затрачиваемой, на намагничивание и
электрическую поляризацию среды, и других причин.
Для элементарной работы внешних сил в соответствии с
основным смыслом системы определяющих параметров и в связи с рядом
допущений, которые входят в определение модели сплошной среды,
для бесконечно малого элементарного процесса, соответствующего
изменению параметров d4u\ djx2, . . ., d\in, можно написать формулу
вида
<М('> = Я,(|i\ (х2, ..., |i», k\ k\ ..., kM)dv?. B.4)
В этой формуле работа внешних сил dA{e) представлена через
внутренние параметры рассматриваемой частицы и их приращения.
Вид функций Р( по своему существу связан с формулировкой
основных постулатов, необходимых для определения модели.
Формулу B.4) для малой частицы сплошной, среды можно
рассматривать как обобщение формулы
dA{e) = mvdv B.5)
для материальной точки массы т, движущейся со скоростью V,
или формулы для абсолютно твердого тела лЮбых конечных
размеров
dAie) = mv* dv* + Ар dp + Bq dq + Cr dr% B.6)
где m —масса тела, v*—скорость центра' масс тела, Л, В и
С — моменты инерции относительно центральных осей инерции,
а /?, q, г — проекции мгновенной угловой скорости на
центральные оси.
Для идеальной жидкости, в которой давление задано как
функция параметров состояния, на основании теоремы живых сил A.13)
можно написать
^dA^ = vdv—pd-. B.7)
Каждое из соотношений B.4) — B.7) можно рассматривать как
определение dAie) через внутренние параметры среды.
§ 2. Первое начало термодинамики
199
Каждое из этих соотношений может привести к уравнению,
определяющему значения параметров в конкретном процессе,
если из добавочных исследований для величины dA{e) известен
закон, дающий энергообмен между данной частицей и внешними
телами в зависимости от внешних условий. Так, для материальной
точки можно использовать выражение для dA{e\ отличное от B.5),
а именно
где F — сила. Если сила F известна (известен механизм
взаимодействия точки с внешними объектами), то B.5) приводит к
уравнению, определяющему движение точки. Подчеркнем, что законы
взаимодействия, характеризующие данную модель, можно
устанавливать на основании наблюдений в опытах, в которых измеряется
правая часть в B.4), после соответствующей обработки и
обобщений результатов этих наблюдений.
Аналогично B.4) на основании физических признаков и, вообще
говоря, на основании специальных физических допущений,
входящих в определение рассматриваемой'модели среды, можно так же
написать
dQ* = dQ^) + dQ**=Q/(^1, |x2, ..., |i», k\ ..., fc*)d|A'. B.8)
Например, для недеформируемого твердого тела или для идеальной
несжимаемой жидкости принимается, что
dQ* = dQie) = c(T)dT1 B.9)
где с (Т) — коэффициент теплоемкости, а Т — температура.
Соотношение B.9) может служить для определения на опыте величины
dQ{eK Если для dQ(e) установлен закон теплопередачи, то
соотношение B.8) при dQ**=0 переходит в уравнение
распространения тепла.
В более общих случаях формулы B.4) и B.9) усложняются.
Например для вязкой несжимаемой жидкости, в правой части
B*4) присутствует некоторый положительный член и такой же
отрицательный член присутствует в B.8). Этот член соответствует
диссипирующейся работе сил вязких напряжений; эта работа
внутренних сил превращается в тепло (об этом подробнее см. в § 7 этой
главы). Такое положение типично для тех случаев, когда в частице
происходит превращение одного вида энергии в другие. Из
дальнейшего следует, что наибольшее значение имеют величины,
представляемые суммой Pj.+Qf.
Притоки энергии dQ*, dQ}e) и dQ**, как и элементарная работа
внешних макроскопических сил dA{p\ не являются в общем случае
дифференциалами •>каких-либо функций, а представляют собой
бесконечно малые количества.
200 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Закон сохранения энер- Допустим, что имеется процесс, протека-
гии—первое начало тер- ЮщИй в пространстве состояний от точ-
модинамики ки ^ со значениями параметров
состояния |nj по кривой Зг до точки В со значениями параметров ц/
(рис. 29).
Введем понятие полного притока энергии, который система
получает извне в этом процессе. Он, очевидно, равен
B.10)
и, на первый взгляд, должен зависеть от процесса, т. е. от пути
интегрирования Зг в пространстве состояний.
Первое начало термодинамики, или закон сохранения энергии,
можно сформулировать как невозможность осуществления
вечного двигателя первого рода, т. е.
циклически работающей машины,
которая могла бы служить
источником полезной энергии без
использования какого-либо
внешнего по отношению к этой машине
источника энергии.
Это утверждение следует
рассматривать как закон,
подтверждающийся всеми известными
опытными данными.
Пусть теперь система совершает цикл, например С. Тогда первое
начало термодинамики, или закон сохранения энергии, сводится
к утверждению, что полный приток энергии, поступающей извне
к системе, совершающей любой осуществимый цикл, равен нулю,
т. е.
Рис. 29.
*М)
К закону сохранения
энергии
5(л+С/)Ф'=о.
B.Щ
Отсюда непосредственно вытекает, что полный приток энергии
B.10) к системе извне не зависит от процесса 319 а зависит
только от начального и конечного состояний системы. В самом
деле, введем между состояниями А и В, кроме рассматриваемого
произвольного процесса 319 еще другой процесс 3\ и процесс
3\ протекающий от состояния В к состоянию А. Процессы Зг3
и 3^3 образуют замкнутые циклы, и из закона сохранения
энергии сразу следует, что
B.12)
§2. Первое начало термодинамики
201
Полна^ энергия системы Поэтому, если начальное состояние А
системы фиксировано, то для всех
осуществимых процессов полный приток энергии к системе извне зависит
только от конечного состояния системы, т. е.
где <§—однозначная функция параметров состояния системы,
называемая ее полной энергией. Таким образом, из первого
закона термодинамики следует, что существует функция состояния
£ (I*1, ц2, ... ,[1И), полный дифференциал которой для
осуществимых процессов равен сумме элементарных работ внешних массовых
и поверхностных макроскопических сил dA{e) и элементарных
притоков к системе извне других видов энергии
dS^dA^ + dQ* = {Pi+Qi)d\ii. B.13)
Легко видеть, что полная энергия системы <§ ([х1, . . ., \in)
определена с точностью до аддитивной постоянной — значения £
в начальном состоянии системы (Л).
Первое начало термодинамики B.11), если внешние притоки
энергии к системе известны, может служить основой для
определения полной энергии системы <§. Наоборот, если энергия откуда-
либо известна, то закон сохранения энергии можно использовать
для выяснения механизма взаимодействия рассматриваемой
частицы с внешними телами, т. е. для определения dA{e)+dQ*.
Для определения полной энергии системы ^(ц1, . . ., fx")
нужно, вообще говоря, знать функции Р( и Qt. В силу равенства B.13)
Pi и Qi не могут быть произвольными функциями параметров
состояния.
В самом деле, перепишем равенство B.13) в виде
ЯН-Q.—^/)Ф' = 0. B.14)
Если система голономна, т. е. все rffi1, d\i2, . . ., d\i" независи
мы (в частности, среди параметров \i1' нет последовательных произ
водных по времени), то из B.14) вытекает, что Pi+Qi^dS/dp', и,
следовательно, Pt+Qt должны удовлетворять условиям
интегрируемости
d(Pi+Qd = d(Pk+Qk) 2 j 5)
dfx* dyJ ' \ • J
Для неголономных систем можно написать
Для всех процессов, для которых выполняется первый закон
термодинамики, величины Rt должны удовлетворять равенству
/?#ф'-0. B.16)
202 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
т. е. для всех осуществимых процессов Rt не дают вклада в баланс
энергии. Однако сами Rt могут быть отличны от нуля. Для
некоторых важных случаев можно указать1 общий вид функций Ri}
удовлетворяющих условию B.16).
Для неголономных систем вместо условий B.15) для
осуществимых процессов должны выполняться условия
д (Pi+d!!rRi)= д (Р*+а^—. RiW = о- B-17)
Заметим, что так как равенства B.15) или B.17) являются
необходимыми и достаточными условиями существования функции
Sip1, . . .,■jx'1), удовлетворяющей для осуществимых процессов
равенству B.13), то их также можно рассматривать как одну из
возможных формулировок закона сохранения энергии.
Условия B.15) могут быть • использованы либо для проверки
экспериментальных результатов при определении P/+Qs, либо
для уменьшения числа экспериментальных измерений. В
последнем случае некоторые из величин Pt+Qt определяются
экспериментально, а другие вычисляются по B.15).
Выше была введена функция Е = v2/2—пло-
Внутренняя энергия си- тность кинетической энергии среды; Epdx
не совпадает, вообще говоря, с функцией
£—полной энергией частицы. Положим
£=?(E + U)pd%y
где U — скалярная функция параметров состояния, называемая
плотностью внутренней энергии. Плотность внутренней энергии,
или внутренняя энергия единицы массы, или удельная внутренняя
энергия U> как и полная энергия системы <£, определяется с
точностью до аддитивной постоянной и существует для каждой
термодинамической системы.
Удельная внутренняя энергия U не зависит явно от
пространственных координат и времени, если пространство и время можно
считать однородными. Свойство однородности означает, что во
всех точках пространства и во все моменты времени при одинаковых
внешних условиях в данной термодинамической системе процессы
протекают одинаково.
Полную энергию и внутреннюю энергию можно вводить как
для всего тела в целом, так и для отдельных его частей.
Внутренняя энергия конечной части тела или тела в целом, вообще говоря,
не обладает свойством аддитивности, т. е. внутренняя энергия тела
в целом не равна сумме внутренних энергий составляющих это
тело частей.
1 См. Седов Л.И. Некоторые проблемы построения новых моделей сплошных сред //
Труды XI конгресса по прикладной и теоретической механике в Мюнхене, 1964.
§2. Первое начало термодинамики
203
Так например, при прочих одинаковых условиях (одинаковая
температура и т. п.) внутренняя .энергия двух мелких капель воды
не будет равна внутренней энергии одной большой капли, масса
которой равна сумме масс двух мелких, если учитывается энергия,
связанная с поверхностным натяжением х . Очевидно, что
внутренняя энергия, связанная с взаимным притяжением частей тела по
закону всемирного тяготения, также- не аддитивна.
Однако во многих случаях внутреннюю энергию можно считать
аддитивной, в частности так будет для воды в тех случаях, когда
не нужно учитывать поверхностное натяжение, или для упругого
тела, подчиняющегося закону Гука. Если внутренняя энергия
аддитивна, то полная энергия произвольного конечного объема V
определяется следующим образом:
Дальнейшие рассуждения ведутся в основном для бесконечно
малой частицы и поэтому справедливы как для случая, когда
внутренняя энергия обладает свойством аддитивности, так и для того
случая, когда она им не обладает.
Заметим, что понятие внутренней энергии, как и все другие
термодинамические соотношения и понятия, необходимо в общем
случае изучения движений сплошной среды, но существуют
некоторые частные примеры сплошных сред, в частности перечисленные
в гл. IV, когда понятие внутренней энергии не нужно для
замыкания системы уравнений, описывающих непрерывные движения.
Понятие внутренней энергии в явной форме не требуется при
изучении механического движения идеальной несжимаемой жидкости,
без этого понятия также можно обойтись и в теории упругих тел,
если не рассматривать тепловые эффекты.
Таким образом, универсальное соотноше-
Уравнение закона сохра- ние> ВЫражающее собой закон сохранения
нения энергии «
энергии, можно представить в виде
dE + dUm = dA^ + dQ^ + dQ**y B.18)
где dilm— изменение внутренней энергии рассматриваемого тела,
dE — изменение его кинетической энергии, dAie) — элементарная
работа внешних макроскопических сил, dQ{e) — элементарный
приток тепла к телу извне, a dQ** — элементарный приток к телу
извне других, отличных от работы макроскопических механических
сил, нетепловых видов энергии.
1 Здесь полезно предостеречь от неясностей, которые могут возникнуть
в связи с тем, что если рассматривать самопроизвольный процесс медленного
слияния двух изолированных капель в одну, то в силу закона сохранения
энергии внутренняя энергия одной большой покоящейся капли будет, конечно, равна
сумме энергий двух вначале покоившихся малых капель. Однако температура
одной большой капли будет при этом больше, чем одинаковая температура двух
малых капель до слияния.
204 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Уравнение притока тепла Вычитая из этого соотношения равенство
A.8), выражающее теорему живых сил для
сплошной среды, получим уравнение
dUm = —dA^+dQie) + dQ**
или
dUM = —dA"> + dQ*9 B.19)
которое носит название уравнения притока тепла и может
заменять собой закон сохранения энергии.
Если процесс очень плавный, так что ускорениями можно
пренебречь, то dE—О, и поэтому для таких процессов можно принять,
что работа внешних сил равна работе внутренних сил, взятой с
обратным знаком:
dA{e) = —dAUK
Таким образом, для таких процессов, например для
квазистатических процессов, уравнение притока тепла можно
записать еще в следующем виде:
dUu=dA™+dQ*.
Дифференциальное урав- Уравнение притока тепла B.19) можно
нение притока тепла написать для любых мысленно выделенных
объемов сплошной среды. Составим его
для бесконечно малой частицы сплошной среды. Для плотности U
внутренней энергии имеем
U= lim Ил™.
дт-*о Am
(предполагается, что такой предел существует). Для малой частицы
dUAm = AmdU. Аналогично введем элементарные притоки энергий
к единице массы среды
л v <*0.{в) л ** 1- dQ**
dq = lim -д—, dq** = lim
Am-0 Am ' Am+0 Лт
Разделив B.19) на Am, устремив Дт к нулю и вспомнив, что
плотность работы внутренних поверхностных сил равна
-jpVfyVidt,
запишем дифференциальное уравнение притока тепла в виде
dU = - pt'VjVi dt + dq + dq**. B.20)
Из теории деформаций известно у , что компоненты тензора скоро-
См. гл. II, § 6<
§ 3. Термодинамическая равновесность, обратимость и необратимость 205
стей деформаций представляются в виде
если метрика начального состояния gtJ не зависит от времени,
то e(Jdt = deiJy причем дифференциалы компонент тензора
деформаций определены в сопутствующей системе координат. Поэтому
уравнению притока тепла при рч = р^ можно придать вид
dU = - ft de/y + dq + dq**. B.21)
Дифференциалы компонент тензора деформаций de0-, определенные
в сопутствующей системе координат, как и сами компоненты тензора
деформаций е^-, можно рассматривать в любой произвольной системе
координат. Обозначим компоненты тензора detj в произвольной
системе координат через дяц—ец&1. В произвольной (не
сопутствующей) системе координат так введенные компоненты д&ц не будут
дифференциалами компонент тензора деформаций е0- в этой же
системе координат. С учетом этого замечания уравнение B.21) можно
в произвольной системе координат записать в виде
dU ^ — pVdRij+'dq + dq", B.22)
где dEij=eij.dt Для каждого состояния при различных движениях
сплошной среды величины deijf а также приращения определяющих
параметров, от которых зависят dU, dq и dq **, могут принимать
до известной степени произвольные значения. Это связано с тем,
что уравнение B.22) не содержит внешних массовых сил, не зависит
явно от граничных и других внешних условий, которые могут быть
различными и которые оказывают существенное влияние на
приращения определяющих параметров, входящих в уравнение B.22).
Вместе с тем уравнение B.22) является универсальным уравнением,
пригодным для всевозможных процессов.
Произвол, связанный с линейной независимостью
соответствующей совокупности дифференциалов определяющих параметров для
всевозможных процессов, можно использовать для получения из
одного уравнения B.22) нескольких уравнений типа уравнений
состояния.
§ 3. Термодинамическая равновесность, обратимые
и необратимые процессы
Термодинамическое рав- Как известно, можно рассматривать меха-
новесие ническое равновесие абсолютно твердых
тел. Говорят, что тело находится в
положении механического равновесия относительно принятой системы
отсчета, если оно может находиться в этом положении при
206 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
сохранении всех внешних условий неопределенно долго.
Термодинамически равновесным состоянием системы называется такое
состояние, в котором все характеристики внутреннего состояния
системы (в том числе и механические) при сохранении
внешних условий и при отсутствии внешних притоков энергии и массы могут
сколь угодно долго сохранять свои значения. В пространстве состояний
состояние термодинамического равновесия изображается точкой.
Состояние термодинамического равновесия для малого объема системы
существенно связано с наличием характеристики температуры.
К этому следует добавить, что существует ряд параметров,
связанных с описанием неравновесных состояний (времена релаксации,
концентрации возбужденных состояний в смесях, различные
«температуры» компонент смесей и т. п.), которые для равновесных
состояний выпадают из числа существенных параметров. Если среди
определяющих параметров имеются субстанциональные
производные по времени, то в состоянии равновесия эти параметры
равны нулю. В определении условий равновесия состояний должны
фигурировать только те параметры, которые характеризуют такие
состояния.
Может быть так, что для тела в целом равновесия нет, а для его
частей равновесие имеет место.
Термодинамические процессы могут про-
Равновесные и неравно- текать как быстоо, так и медленно. Мож-
весные процессы 1 „ „
v но рассматривать предельный случаи
процесса, протекающего столь медленно, что скорости изменения всех
параметров в нем бесконечно малы. В пространстве состояний
такой процесс изображается кривой, каждая точка которой
является точкой равновесия. Бесконечно медленные процессы, в которых
каждое промежуточное состояние является состоянием равновесия,
называются равновесными; в соотношениях, описывающих
равновесные процессы, несущественна величина скорости изменения
параметров, однако направление изменения определяющих параметров
в равновесном процессе может быть существенным.
Процессы, протекающие с конечными скоростями (если скорости
оказывают влияние на физические связи), носят название
неравновесных.
Когда говорят, что система совершает некоторый процесс, то
имеют в виду определенный субстанциональный материальный
объект, параметры состояния которого изменяются, т. е. применяют
точку зрения Лагранжа. Очевидно, что определения равновесных
и установившихся (стационарных) процессов при наличии
движения среды в общем случае не совпадают. Процесс может быть
установившимся, т. е. все параметры состояния системы могут не
изменяться со временем в данной точке геометрического пространства
(d\x[ldt = 0), и в то же время быть неравновесным, т. е. иметь
существенно влияющие на процессы в частицах среды конечные скорости
изменения параметров (с1\хкШф0).
§3. Термодинамическая равновесность, обратимость и необратимость 207
Обратимые и необрати- Процесс, протекающий от некоторого состо-
мые процессы яния д к состоянию gf называется
обратимым, если для каждого промежуточного
состояния все уравнения для бесконечно малых приращений
параметров удовлетворяются также при замене знаков этих приращений
на обратные. Таким образом, если некоторая последовательность
состояний образует в пространстве состояний обратимый процесс,
то эту последовательность система может проходить как в прямом,
так и в обратном направлении, причем соответствующие каждому
элементу пути внешние притоки энергии dA{e)t dQ{e) и dQ** в
прямом и обратном процессе отличаются только .знаками. Если
процесс не обладает таким свойством, то он называется
необратимым.
Заметим, что в число определяющих параметров для
необратимых процессов существенно входят величины,
характеризующие направление изменения некоторых определяющих параметров;
для обратимых процессов направления изменения
термодинамических параметров несущественны. Обычно рассматриваются
обратимые процессы, которые одновременно являются равновесными х .
Однако можно рассматривать обратимые процессы, не составленные
из термодинамически равновесных состояний.
Понятия об обратимости и необратимости явлений
фундаментальны. В естественных науках они употребляются как
характерные и важные особенности, определяющие природу
реологических и других физических законов в самых разнообразных
микроскопических и макроскопических явлениях.
Легко видеть, что в аналитической механике материальных
систем любые движения системы обратимы, когда все действующие
силы не меняются при изменении только направлений скоростей
на обратные. В частности это будет так, когда все действующие силы
зависят только от координат субстанциональных точек системы.
Если движения обратимы, то все точки системы могут совершать
движения по одним и тем же своим траекториям с одинаковыми
1 Понятия равновесных и обратимых процессов в общем случае различны*
Однако бесконечно медленные равновесные процессы, для которых в конечных
соотношениях между определяющими параметрами не только скорости, но и
вообще направления изменения определяющих параметров несущественны
(не являются существенными аргументами), можно рассматривать как
обратимые.
С другой стороны, примером необратимого процесса для системы в целом
может служить явление установившейся теплопередачи теплопроводностью в
покоящейся среде; в этом случае состояния всех малых частиц среды можно
рассматривать как равновесные. Хотя в этом случае имеются градиенты
температуры, что характерно для неравновесности, но в физически бесконечно малых
частицах изменения температуры по их объему, вообще говоря, относительно самой
температуры малы. Поэтому ими можно пренебречь так же, как вообще
пренебрегают при построении моделей различными влияниями, которые
считаются несущественными.
208 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
по величине скоростями как в прямом,-так и в обратном
направлениях.
Например, движения небесных тел, при учете только сил нью-
тонианского тяготения,— обратимые явления. Если в задаче
Коши для систем дифференциальных уравнений сохранить
начальные положения и величины скоростей всех небесных тел
и заменить только направления скоростей на обратные, то
получим, что в решении прошлое и будущее поменяются своими
местами.
Если действующие силы и взаимодействия в рассматриваемой
макроскопической системе зависят существенно от направления
скоростей изменения параметров состояния (например сила
трения), то соответствующие явления необратимы.
Подчеркнем, что как обратимые, так и необратимые явления
могут состоять из последовательного ряда неравновесных или
равновесных состояний частиц вещества. Ниже будут даны
иллюстрации этого положения в явлениях, происходящих в конкретных
моделях сплошных сред.
Отметим еще, что необратимость явлений в целом для тел
конечных размеров может иметь место одновременно с наличием
обратимых процессов во всех физически бесконечно малых частицах,
образующих рассматриваемое тело.
Строго говоря, все реальные процессы в маскроскопических
масштабах протекают с конечными скоростями, направления их
существенны, и поэтому они являются в действительности
необратимыми, но практически многие процессы можно считать
термодинамически обратимыми.
С практической и теоретической точек зрения в ряде
приложений можно моделировать действительные явления с
помощью обратимых процессов.
Например, исследования показывают, что
Пример процесса,который ИНОгда практически можно считать обра-
практически можно счи- r ^ r „
тать обратимым тимым даже очень быстро протекающий
процесс истечения частиц газа из сопла
реактивного двигателя, в котором частица газа переходит за время
порядка тысячных долей секунды от состояния практического
покоя с давлением порядка 70 атм в камере сгорания
реактивного двигателя к состоянию движения со скоростями
порядка 3000 м/сек и с почти нулевым давлением в свободном
пространстве.
Так происходит движение газов при полете на больших высотах
ракеты с работающим ракетным двигателем. В этом процессе обмен
тепловой энергией между частицами газа с различной температурой
не успевает осуществиться; однако переменные термодинамические
характеристики в частице связаны практически так же, как и при
равновесии.
§ 3. Термодинамическая равновесность, обратимость и необратимость 209
О равновесных и наибо- Рассмотрим некоторый набор макроскопи-
лее вероятных состоя- ческих параметров состояния, введенных
ниях как статистические средние
соответствующих характеристик микроскопического движения молекул,
например температуру Т и плотность р. Очевидно, что каждым
конкретным значениям Тир может соответствовать много
распределений характеристик микроскопического движения. Оказывается,
равновесным значениям макроскопических параметров
соответствует наибольшее число возможных различных микроссстояний.
Поэтому, если термодинамическая система предоставлена самой себе,
то наиболее вероятным состоянием из всех, в которых она может
находиться, является равновесное. В связи с этим все
изолированные системы или уже находятся в состоянии равновесия, или
стремятся к нему.
Заметим еще, что все известные микро-
Микроскопические харак- скопические законы, описывающие движе-
теристики, вероятности „
средних и необратимость ние и взаимодействие элементарных частиц,
например закон гравитационного
притяжения Ньютона и законы элементарного взаимодействия, обратимы.
Необратимость появляется только за счет статистических законов,
верных для больших ансамблей частиц, и является своего рода
платой за возможность введения вместо сложной системы
огромного числа частиц (с известными, вообще говоря, лишь
приближенно законами взаимодействия и начальными условиями) простой
подставной системы, описываемой небольшим числом
макроскопических характеристик, связанных с наиболее вероятными
состояниями-.
Благодаря большому числу частиц в практически малых
объемах распределение вероятностей имеет очень острый пик; это
значит, что имеются шансы для реализации только вполне
определенных значений средних величин.
При необратимых процессах сами распределения вероятностей,
вообще, зависят от времени.
п Одной из основных характеристик состо-
О понятии температуры , г г
v к яния физических тел является температура.
В нашей повседневной жизни первоначальное представление о
температуре тела непосредственно связано с чувственными
ощущениями. Мы говорим, что тело А имеет большую, чем тело J5,
температуру (ТА > Тв)у если при контакте тела А с телом В
обязательно возникает переход тепловой энергии от тела А к телу
В. Два находящихся в термодинамическом равновесии тела,
будучи приведены в соприкосновение, имеют одинаковую
температуру, если между ними не возникает потока тепловой энергии.
Из опыта известно, что если привести в соприкосновение любые
два тела А и В и затем предоставить эту систему самой себе,
то в ней произойдет процесс, результатом которого будет
выравнивание температур тел А и В. Этот факт делает возможным
14. Л.И. Седов
210 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
устройство термометров —приборов,* с помощью которых можно
количественно измерять температуру в некоторой шкале,
например в шкале Цельсия, характерными точками в которой
являются точки кипения и замерзания воды при атмосферном
давлении.
Понятие температуры не имеет смысла в аналитической
механике для систем с небольшим числом степеней свободы. На
практике температуру можно приписывать всевозможным телам,
состоящим из большого числа частиц.
В отличие от механики материальной точки и абсолютно твердого
гела, в Механике сплошной среды нельзя, вообще говоря, обойтись
без понятия температуры. Выражение для внешнего притока тепла
dq{e) входит в уравнение притока тепла и в закон сохранения
энергии, поэтому необходимо изучить механизм передачи тепла, а
следовательно, и ввести понятие температуры. Подробное и глубокое
изучение понятия температуры связано с привлечением молекуляр-
но-кинетической теории. В связи с этим следует, однако, отметить,
что весьма совершенное понятие о температуре и методах ее
измерения было уже давно введено в науку независимо от углубленного
понимания температуры в рамках статистической физики.
В § 5 мы изложим замечательную термодинамическую
макроскопическую теорию, в которой на основе второго закона
термодинамики дается строгое определение абсолютной температуры
для термодинамически равновесных состояний тел.
Из молекулярно-кинетической теории известно, что температуру
Т можно рассматривать как величину, пропорциональную средней
энергии хаотического теплового движения молекул, приходящуюся
на одну степень свободы молекулы*. Если различные сорта
элементарных частиц имеют в среднем различные энергии или если
частицы одного сорта имеют различные средние энергии,
приходящиеся на различные степени свободы, то при достаточно медленно
протекающих процессах взаимодействие микрочастиц приводит к
выравниванию средних энергий. Для резко выраженных
неравновесных процессов, когда внутри макроскопически малой частицы не
успевает происходить статистическое выравнивание энергии между
различными сортами частиц, понятие температуры
макроскопической частицы в целом теряет свой основной смысл.
В неравновесных случаях среде иногда можно приписывать
несколько температур, например температуру колебательных,
вращательных, поступательных степеней свободы молекул или
температуры ионов и электронов в плазме, если ионы и электроны в
отдельности находятся в равновесных состояниях, и т. д.
При наличии термодинамического равновесия в малых объемах
тела температура для малых частиц определена однозначно. Однако
даже в этом случае понятие температуры может терять смысл для
тел конечных размеров, если отсутствует тепловое равновесие между
различными частями тела.
§ 4. Двухпараметрические среды. Совершенный газ 211
Например, что понимать под температурой земного шара?
В различные моменты времени можно говорить о температуре
тропиков, умеренного пояса, полюсов, температуре в центре Земли.
Но температуру земного шара в целом определить затруднительно
и не всегда целесообразно.
Обычно рассматривают температуру достаточно малых частей
тела и изучают тепловые потоки в теле. Опыт показывает, что во
многих практических вопросах часто-можно предполагать, что
термодинамическое равновесие в малых объемах системы имеет место.
В приложениях неравновесность и необратимость часто имеют место
только за счет отсутствия равновесия в больших объемах тел при
неравномерном распределении по частицам температуры и других
термодинамических характеристик (таких как концентрации
химических компонент смеси и т. п.).
§ 4. Двухпараметрические среды. Совершенный газ.
Цикл Карно
Двухпараметрической средой называется среда, все
термодинамические функции которой зависят только от двух
термодинамических параметров состояния. Если эти два параметра — давление р
и плотность р, то удельная внутренняя энергия такой среды должна
выражаться через них U=U(p> p).
Если среда представляет собой идеальную
лаРиВдТаТноПгГ?аза """ сжимаемУю жидкость (газ), то работа
внутренних поверхностных сил, отнесенная к
единице массы, имеет вид
^-dAt, = pd\t A.12)
и уравнение притока тепла в предположении, что dq**=0,
записывается следующим образом:
dU + pd^dq. D.1)
Уравнение состояния со- в совершенном газе давление, плотность
вершенного газа и температура связаны уравнением
Клапейрона
P = pRT; D.2)
R — некоторое постоянное число, называемое газовой постоянной,
различное для разных газов. Уравнение типа D.2), связывающее
давление, температуру, плотность и, возможно, другие физические
характеристики среды, называется уравнением состояния. Для
воздуха
/? = 287,042 ? ,.
' сек2 град
212 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Можно ввести универсальную (постоянную для всех газов) газовую
постоянную Ro и постоянную Больцмана k согласно равенствам
(Ж ГП
Здесь т — средняя масса молекулы в граммах, a J — средняя
масса моля газа, определяемая по формуле
N
ПоЖ = п1М1 + п2М2 + ... + nNMN = 2 n>iMh
1=1
где п — полное число молей в данном объеме смеси из N
компонент, nt— число молей, a Mt— соответствующие массы молей
отдельных сортов газов,
#0^8, 3144-107 эрг ... fe=l,38-10-16^.
°. моль град ' ' град
Внутренняя энергия со- Совершенный газ можно определить как
вершенного газа газ^ в КОТором молекулы взаимодействуют
только при столкновениях. Поэтому можно
считать, что внутренняя энергия одноатомного совершенного газа
представляет собой суммарную кинетическую энергию хаотического
движения атомов.
Для внутренней энергии U единицы массы можно написать
" = iE-2 + ^nst
= 1
(М — суммарная масса атомов, ть и v{— массы и скорости
отдельных атомов относительно их общего центра масс, a TV — число
атомов в рассматриваемом малом объеме). Если считать, что все
атомы газа одинаковы, то M = Nm и
f/ = 4^ + const,
• 2
где иСр — среднее значение квадрата скорости атомов в
хаотическом движении. Для совершенного газа, согласно определению
температуры как характеристики средней энергии, приходящейся
на одну степень свободы в хаотическом тепловом движении атомов,
удельную внутреннюю энергию U можно представить в виде
U = cvT + const. D.3)
Здесь через cv обозначен размерный коэффициент
пропорциональности между у ус2р и Т.
Задание внутренней энергии U в виде D.3) вместе с уравнением
Клапейрона фиксирует определенную модель сплошной среды, на-
§ 4. Двухпараметрические среды. Совершенный газ 213
зываемую совершенным газом. Сравнения с экспериментальными
данными показывают, что движения реальных газов при обычных
условиях достаточно хорошо описываются такой моделью.
На основании уравнения притока тепла
Теплоемкости при посто- D.1) для совершенного идеального газа
янных объеме и давле- в случае процесса, протекающего при по-
нии. Формула Майера / 1 \
стоянном удельном объеме \ d — = 0 ),
можно легко получить, что (dq{e))v=COnst:=zdU = cvdT или-
{ dT J v= const ~~Cy'
Следовательно, cv представляет собой количество тепла, которое
необходимо подвести к единице'массы среды для того, чтобы при
постоянном объеме поднять ее температуру на ГС; поэтому cv
называется теплоемкостью при постоянном объеме1 .
В случае процесса при постоянном давлении из уравнения
притока тепла для идеального совершенного газа получим
(dq{e))p=:const = dU + pd^cvdT + d^ = (cv + R)dT. D.4)
Количество тепла, которое необходимо подвести к единице массы
среды, чтобы при постоянном давлении поднять температуру на ГС,
называется теплоемкостью при постоянном давлении и обозначается
через с
Р \ dT /p= const
Поэтому из D.4) вытекает следующая формула, связывающая для
совершенного газа теплоемкости при постоянных давлении и
объеме и газовую постоянную R:
cp — cv = Ry D.5)
которая носит название формулы Майера.
Уравнение притока тепла в общем случае содержит внешний
приток тепла dq{e). В некоторых случаях уравнение притока тепла
можно использовать для определения потребного или
осуществленного притока тепла, если движение и последовательность
состояний сплошной среды заданы. В задачах об определений
движений и состояний среды необходимо иметь данные о законах,
определяющих внешний приток тепла.
1 Если при столкновениях число чгстиц меняется, то формула D.3)
заменяется формулой
U = \cv{T)dT.
214 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Физические механизмы Приток или отдача тепла могут быть
подвода тепла к среде обусловлены различными физическими
явлениями. В приложениях наиболее важны следующие физические
механизмы подвода тепла.
1. Теплопроводность — явление обмена теплом между
частями среды, находящимися в непосредственном контакте, которое
происходит за счет механических взаимодействий и столкновений при
тепловом движении молекул, атомов, электронов и других частиц,
составляющих среду. Теплопередача, обусловленная
теплопроводностью, существенным образом связана с макроскопическим
неравномерным распределением температуры по объему тел.
2. Тепловое излучение и поглощение излучения — явление,
обусловленное изменениями возможных состояний элементарных
частиц (молекул, атомов, электронов и т. п.), из которых составлена
среда.
Решение конкретных задач с использованием уравнения
притока тепла, в котором учитываются законы для притока тепла, как
правило, математически весьма трудно. В приложениях часто
применяются дополнительные допущения и, в частности распространено
использование следующих идеальных процессов.
. Л I. Процессы, в которых отсутствует «при-
Адиабатические процессы . ^ ' ^ ^
ток» внешнего тепла и теплообмен между
соседними частицами, т. е. dq{e) — 0. Такие идеальные процессы
называются адиабатическими. Идея об адиабатических процессах
связана с рассмотрением теплоизолированных тел или быстро
протекающих (но иногда обратимых) процессов, когда теплообмен
не успевает проявиться существенным образом.
ы II. Другим примером может служить иде-
Изотермические процессы ^v r v j *
альныи процесс, в котором теплообмен,
обусловленный теплопроводностью или излучением, представляет
собой настолько интенсивный процесс, а изменение состояний
протекает настолько медленно, что температуру всех частей системы
можно считать постоянной. Такой процесс называется
изотермическим.
§ 4. Двух параметрические среды. Совершенный газ 215
Уравнение изотермического процесса имеет вид
^1 = 0
Это уравнение вместе с уравнением состояния среды заменяет
уравнение притока тепла, что, вообще говоря, сильно упрощает
теоретическое решение задач об отыскании движения среды.
Из уравнения притока тепла можно при этом вычислить
количество тепла dQ{e), которое надо подводить к каждой частице среды
для осуществления изотермического процесса.
Заметим, что условие dT/dt^O означает лишь постоянство
температуры со временем в каждой индивидуальной частице среды,
температура разных индивидуальных частиц может быть при этом
разной. Однако часто, говоря об изотермических процессах,
предполагают, что температура постоянна в пространстве и во времени,
т. е. Theorist.
Наконец, иногда изотермическими называются также процессы,
в которых температура частиц может меняться во времени, но
одинакова для всех частиц. В этом случае вместо равенства dT/dt=0
предполагается выполнение условия
grad 7=0 или T=f{f).
Очевидно, что ясное понимание постановки задачи исключает
возможность какой-либо путаницы, связанной с существованием
различных определений изотермических процессов.
III. Для двухпараметрической сплошной среды в качестве
соотношения, фиксирующего процесс, можно взять вместо
уравнения притока тепла прямо некоторую связь между плотностью
и давлением. Если эта связь одинакова для всех частиц, то такой
процесс называется баротропным.
„ В частности, процесс называется политроп-
Политропные процессы r r
к ным, если выполняется равенство
р = Ср\
где п — постоянное число — показатель политропы, а С —
некоторая постоянная.
С помощью уравнения притока тепла для заданной связи p=f(p)
легко определить величину внешнего притока тепла,
обеспечивающую наличие этой связи.
Если газ совершенный и процесс политропный, то из уравнения
притока тепла при п>\ найдем
dq = dU + Cp»d± = cvdT—^-.
Отсюда на основании равенства Майера
R = cp—cv
216 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
при постоянном R получим простую формулу для притока тепла
n_fL
dq^cv^^-dT^c*dT.
Если n>cplcv>\% то повышение температуры dT>0 связано
с подводом тепла. Если 1 < л < cp/cVt то dq < О при dT > О
и, следовательно, повышение температуры сопровождается
отводом тепла.
Если n = cp/cv, то rf^=0, т.е. такой политропный процесс
является адиабатическим. Указанные свойства характеризуют
физический смысл показателя политропы п.
Рассмотрим пространство состояний двух-
Изотермы совершенного параметрической среды, задаваемой
параметрами состояния//? и V=l/p, например
совершенного газа. Все термодинамические^функции такой среды
и, в частности температура, которую сейчас будем обозначать
буквой 0, должны быть функциями р и 1/р
е-е(,.1).
Рассмотрим равновесные изотермические F=const) процессы,
протекающие в такой среде. Проведем в пространстве состояний
(р, 1/р) кривые 0 = const (изотермы, рис. 30, а).
\
\
гч———_ Изотерма 0=const
i ^ Адиабата
1/Р
Рис. 30. а) Изотермы совершенного газа, б) Взаимное расположение адиабат
Пуассона и изотерм для совершенного газа
В случае совершенного газа изотермы в плоскости (/?, 1/р)
будут, очевидно, гиперболами
— = const. D.6)
Из уравнения притока тепла
dU + pd— = dq
' Р
§ 4. Двухпараметрические среды. Совершенный газ 217
всегда можно подсчитать приток тепла dq, который необходимо
подвести к системе для того, чтобы процесс был изотермическим.
Для идеального совершенного газа этот приток тепла равен
Для совершенного газа dq > О при изотермическом
расширении и dq < 0 при изотермическом сжатии. Для произвольного
газа вид изотерм в плоскости (р> 1/р) зависит от вида уравнения
состояния.
Заметим, что на одной и той же изотерме 9=const могут
находиться точки, соответствующие, например точкам кипения и
затвердевания воды, так как температуры кипения и
затвердевания воды зависят от давления.
. л п В случае адиабатических процессов
Адиабата Пуассона ,л АУ г
J (dq = 0) уравнение притока тепла, как
легко видеть, имеет следующий вид:
dU + pd± = 0. D.7)
Отсюда, если внутренняя энергия V (/?, 1/р) известна, можно найти
зависимость р от р в случае непрерывных адиабатических процессов.
Для совершенного газа равенство D.7) принимает вид
R р ' r p
или, если ввести отношение y = cp/cv, то
отсюда
jdp + ypd± = 0\
после интегрирования получим
JF = const. D.8)
Эта кривая в плоскости (/?, 1/р) носит название адиабаты Пуассона,
а у=Ср/су называется показателем адиабаты или коэффициентом
Пуассона. Через каждую точку р0, 1/р0 плоскости состояний (/?, 1/р)
можно, очевидно, провести изотерму D.6) и адиабату D8).
Выясним теперь, как расположены друг
Взаимное расположение относительно друга в каждой точке пло-
изотерм и адиабат для , л , С ^ гт
совершенного газа скости (р, 1/р) изотермы и адиабаты
Пуассона для совершенного газа. Для точек
вдоль изотермы, проходящей через точку /?п, 1/р0, будем иметь
£-=!!. т е Риэот _ Р
р Ро ' ' ' А> Ро *
218 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
а вдоль адиабаты, проходящей через ту же точку,
pY- p?-, i.e. ^ ^pj .
Показатель адиабаты y = cp/cv > 1, поэтому рязот > рад при р/р0 < 1
иРизот<РаД при р/р0>1, т.е. изотерма в плоскости (р, 1/р)
правее точки /?0, 1/р0 идет выше адиабаты, а левее точки
Ро, 1/ро — ниже адиабаты (рис. 30, б).
Заметим, что это свойство изотерм и адиабат установлено для
совершенного газа. Оно сохраняется и для -многих других сред,
но не выполняется, например для воды при температуре1 +4°С.
п „ Подчеркнем еще раз, что работу внутренних
Совершаемая системой г» i ^ г > r j ^ ^
работа сил I pd — можно всегда вычислить, если
задана зависимость р(р), т.е. кривая в плоскости (р, —). Это
значит, что работу внутренних сил \ pd— можно вычислить для
любого процесса .5?г между точками А и В в плоскости состояний.
Но работа внутренних сил в случае бесконечно медленного
процесса равна взятой с обратным знаком работе внешних сил над
системой или взятой с тем же знаком работе, какую сама система
совершает над внешними телами2 . Таким образом, интеграл
1.
<=|А D.9)
вычисленный по пути S1 в плоскости (р, 1/р), если А > 0,
представляет собой суммарную работу, которую термодинамическая
система совершает над внешними телами за время равновесного
процесса J?\, или, если А < 0, суммарную работу внешних сил,
которую надо совершить над системой для осуществления
процесса Sv
1 Для воды производная (—^ ) положительна при температуре,
большей +4° С, отрицательна при температуре, меньшей -f-40 С, и равна нулю
при температуре, равной -(-4° С. Изотерма, соответствующая +4° С, совпадает
с адиабатой, а адиабат, соединяющих изотермы с температурами, большими и
меньшими +4°С, не существует (см., напр., Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика.
Статистическая физика и кинетика. Ч. I, гл. I, § 17. М.: Наука, 1972).
2 'Это вытекает из закона равенства сил действия и противодействия,
когда перемещения точек рассматриваемой системы и перемещения точек
внешней среды, с которой система взаимодействует, на их общей границе
одинаковы. При наличии разрывов в этих перемещениях полные потоки
энергии также будут одинаковыми, а потоки работы сил будут вообще разными
(см. стр. 398 для случая скачков и пример на стр. 236).
§ 4. Двухпараметрические среды. Совершенный газ 219
Полный приток тепла, Аналогично для любого процесса
подводимый к системе &1(р = рA/р)), если задана внутренняя
извне энергия среды (U = U(p, 1/р)), можно
вычислить полный приток тепла
АВ (с£\)
D.10)
который необходимо подвести к системе из внешней среды (если
Q{e) > 0) или отвести от системы во внешнюю среду (если Qie) < 0)
для осуществления процесса 2?х.
По уравнению притока тепла
D
Q<«>= J (dU+Fdj)dm=^dUm+A=UmR-UmA + A. D.11)
АВ (<£\)
Цикл Карно Рассмотрим следующий важный
равновесный обратимый замкнутый процесс,
который носит название обратимого цикла Карно. Рабочим телом,
т. е. средой, которая совершает этот цикл, пусть будет
совершенный газ или любая другая двухпараметрическая среда,
определяемая параметрами1 р и 1/р. Из произвольной точки М (р0, 1/р0)
а
1/Р
У7777777777777777,
б
Рис. 31. а) Цикл Карно. б) Машина, работающая по циклу Карно
пространства состояний (рис. 31, а) газ по изотерме 01 = const
бесконечно медленно расширяется до состояния N, затем
расширяется адиабатически до состояния К с температурой 92 < 81
и от К сжимается изотермически до состояния Р, из которого
можно вновь вернуться по адиабате в первоначальное состоянием.
1 Вместо 1/р можно использовать равноправную величину У = т/р, так
как все рассуждения проводятся для субстанционального объема V, масса т
которого постоянна, а плотность считается в данном примере одинаковой
во всех точках объема.
220 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Пример машины, работа- Систему, совершающую цикл Карно, назс-
ющей по обратимому вем машиной. Эту машину можно мыслить
циклу Карно и, -.
J v осуществленной, например следующим
образом. Возьмем объем газа с температурой 8Х и заключим его в
цилиндр, один конец которого закрыт неподвижной стенкой,
а второй — подвижным уравновешенным в начальный момент
поршнем (рис. 31, б). Сначала надо заставить газ в цилиндре
расширяться от М до N при 02 = const. Для этого представим себе,
что боковые стенки цилиндра и поршень теплоизолированы, а
дно хорошо проводит тепло и стоит на нагревателе—тепловом
резервуаре, имеющем постоянную температуру Эг Будем
проводить расширение газа, снимая постепенно с поршня бесконечно
малые грузы так, чтобы поршень бесконечно медленно
поднимался, а температура 0 газа успезала сравняться с
температурой 9Х нагревателя и во все время подъема поршня
равнялась бы 6Г Давление р при этом уменьшается, а объем газа
растет. Дойдя таким путем до состояния N, снимем цилиндр
с нагревателя, закроем дно дополнительной не проводящей тепло
крышкой и опять, снимая непрерывно бесконечно малые грузы
с поршня, будем расширять газ адиабатически до состояния /(,
затем вновь поставим цилиндр на тепловой резервуар с
постоянной температурой 02 и начнем бесконечно медленно нагружать
поршень, сжимая газ до состояния Р. При этом, очевидно,
температура газа стремится повыситься, но мы ее уменьшаем с
помощью тела температуры 02, которое в этом случае работает уже
не как нагреватель, а как холодильник. Дойдя до состояния Р,
устроим адиабатическое сжатие газа и, продолжая бесконечно
медленно нагружать поршень до величины его первоначальной
нагрузки, вернемся к состоянию М. Организованный таким путем
цикл Карно можно провести как в одну (MNJKPM), так и в
другую (MPKNM) сторону. Он является идеализированным
бесконечно медленно протекающим обратимым циклом.
В общем случае можно рассматривать как обратимые, так
и необратимые циклы. В случае обратимого цикла Карно его
можно проводить как в одну, так и в другую стороны.
Проинтегрируем уравнение притока тепла
Система, проходящая D.1) (при dq** = 0) по всему циклу Карно.
цикл Карно, как тепловая Так как внутренняя энергия—однознач-
или холодильная машина г
ная функция состояния, то (pdU = 0 и
или
A = Q{'\ D.12)
где А — полная работа, «совершаемая» системой в результате
цикла Карно, a Qie)— полный «приток» тепла извне к системе.
§ 4. Двух параметрические среды. Совершенный газ 221
Так как плотность механической работы Aim двухпараметри-
ческой среды, работающей по любому замкнутому циклу, равна
. 1
pd —, то очевидно, что численно она равняется площади,
ограниченной кривыми, изображающими процессы цикла в плоскости
состояний (/?, i/p), и, следовательно, вообще говоря, отлична от
нуля. В случае рассматриваемого цикла Карно плотность работы
Aim равна площади MNKPM и Л>0, если ци-кл проходится
в направлении MNKPM, и Л<0, если цикл проходится в
обратном направлении. Если Л>0, то система в цикле производит
механическую работу и, согласно D.12), для получения этой
работы к системе надо подвести тепло Qu>. Получаем тепловую
машину, которая работает по циклу Карно", берет тепло извне и
производит механическую работу. Если же Л<0, то внешние силы
совершают работу над системой и, согласно D.12), мы получаем от
системы тепло. Вдоль участков адиабат NK и РМ имеем dq=0.
Система обменивается теплом с внешней средой только тогда, когда
процесс идет по участкам изотерм MN и КР.
Выше было установлено, что для осуществления
изотермического расширения или сжатия газа надо соответственно подводить
или отбирать тепло от системы. Поэтому на участке изотермы MN >
где газ расширяется, необходимо подводить тепло, которое
обозначим через Qi>0, а на \частке сжатия 1\Р необходимо отводить
количество тепла Q2>0, что равносильно подводу тепла — Q2<0.
Так как участки NK и РМ — адиабаты, то для суммарного
подведенного тепла Q(e) за полный цикл Карно, проходимый по часовой
стрелке, получим
Согласно D.12) можно написать
A^Q^-Q^Q,. D.13)
Система,, совершающая цикл Карно, в этом случае является
тепловой машиной, которая берет тепло Qi от горячего тела, отдает часть
этого тепла Q2 более холодному телу и за счет количества тепла
Q1—Q2 производит механическую работу. Если цикл Карно
проходится в противоположном направлении, то на участке РК
подводится количество тепла Q2>Q, а на участке NM подводится
отрицательное количество тепла —Qi<0. Общее количество
подведенного тепла в обратном цикле Q(e)=Ai<zO (отрицательно)
и определено равенством
^ = Q^ = Q2-Qi<o.
В этом случае машина, работающая по циклу Карно, работает
как холодильная машина, т. е. эта машина берет тепло Q2 от менее
нагретого резервуара и за счет механической работы, полученной
извне, передает тепло Qi=Q2—Аг более нагретому резервуару.
h
222 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии
Рассмотрим теперь второй закон термодинамики, который,
так же как и первый закон, представляет собой универсальное
утверждение, подтверждаемое всеми известными опытными
данными и всеми теоретическими представлениями о механизмах
физических явлений. Второй закон термодинамики утверждает,
что невозможно устройство, которое, работая по циклу, превосходило
бы тепло от тела М с меньшей температурой к телу N с большей
температурой без каких-либо изменений в других телах. При этом
подразумевается, что телаМ и N могут обмениваться с внешними
устройствами только теплом1 (первая формулировка второго закона
термодинамики).
Второй закон термодинамики можно сформулировать так: нельзя
построить так называемый вечный двигатель второго рода, т.е.
машину, которая, работая в согласии с первым законом термодинамики по
некоторому циклу, периодически совершала бы работу только за счет
отбора тепла от некоторого одного и того же источника тепла с
фиксированной температурой (вторая формулировка).
Ниже покажем, что эти две формулировки второго закона
термодинамики эквивалентны.
Начнем с того, что с помощью рассмотрения цикла Карно
получим важные следствия и количественную формулировку
второго закона термодинамики.
., щг Введем понятие коэффициента полезного
К. п. д.цикла Карно « . ч ^^ ^
v действия (к. п. д.) т] тепловой машины,
работающей по циклу Карно. По определению к. п. д. ц цикла
Карно называется отношение полученной в результате реализации
цикла механической работы А > 0 к подведенному к системе за
время цикла теплу Qx > 0. На основании D.13) для к. п. д. цикла
Карио верна формула
ч-^-1—£<L EЛ)
Полученное свойство ц < 1 для цикла Карно есть следствие
первого закона термодинамики.
Замечательным следствием второго закона
Теорема Карно
* v термодинамики является следующая
теорема Карно о свойствах к. п. д. ц цикла Карно.
Для всякого обратимого цикла Карно величина т) зависит
только от температур 8Х и 62, заданных на изотермах MN и КР
1 Если тела М и N могут обмениваться с внешними устройствами не
только теплом, то можно передать тепло от холодного тела к горячему без
каких-либо изменений в других телах. Например, этот процесс можно
осуществить с помощью холодильной машины, работающей по циклу Карно,
использующей тела М и N в качестве резервуаров тепла и черпающей
необходимую механическую энергию также из тел М и N.
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии 223
(рис. 31), и не зависит ни от свойств рабочего тела, участвующего
в цикле Карно (за которое в подробно разобранном выше примере
мог быть принят совершенный газ), ни от способа организации
цикла, определяемого, например размерами рабочего тела и
степенью расширения вдоль изотерм.
Докажем, что г) зависит только от 0i и 02 и является абсолютной
характеристикой- обратимого цикла Карно, т. е. универсальной
функцией г] FЬ Э2). Одновременно с этим покажем, что если
температуры 01 и 02 фиксированы, то к. п. д. т]' машины, работающей
по необратимому циклу Карно (т. е. любой тепловой циклически
работающей по схеме рис. 31, а машины, черпающей тепло только
из резервуаров с постоянными температурами 0Х и Э2), не может
быть больше к. п. д. г\ машины, работающей по соответствующему
обратимому циклу Карно, т. е.
V<Tb E.2)
Таким образом, к. п. д. цикла Карно максимален при
обратимом процессе и никакими путями не может быть сделан
равным единице, так как для получения механической работы А
необходимо не только взять из окружающей среды тепло Qi для
организации изотермического расширения, но и обязательно
отдать в окружающую среду часть Q2 взятого тепла для организации
изотермического сжатия.
Докажем сначала утверждение E.2). Для этого предположим,
что существуют два цикла Карно: один необратимый, к. п. д.
которого г]', и другой обратимый; к. п. д. которого т), причем
нагреватели и холодильники в этих циклах соответственно имеют
одинаковые температуры 0! и 02, причем 0!>02. Допустим, что т)'>т|,
и убедимся, что это допущение приводит к противоречию со
вторым законом термодинамики. Действительно, пусть тепловая
машина с т)' работает в прямом направлении и производит
механическую работу А''. Заставим вторую (обратимую) тепловую машину
работать в противоположном направлении, т. е. используем ее
как холодильную машину. Тогда для машины с к. п. д. т]' имеем
Qi>0, Q;>0 и A'=Q[—(?2>0, а для машины с к. п. д. т] имеем
Qi>0, Q2>0 и A=Q2—Qi<0 (—А>0 — работа, совершаемая над
холодильной машиной).
Выберем обратимый цикл Карно так, чтобы имело место
равенство г —А~А\ т. е. Q[—Qo=Qi—Q2, и соединим эти две
машины вместе. Получим машину, для которой
^o = ^' + ^ = Qi + Q»—Qi —С?; = 0-
Единственный эффект, производимый этой составной машиной,
1 Такой выбор обратимой машины с тем же к. п. д. г\ всегда возможен путем
простого подбора размеров рабочего тела, так как величины работы и тепла в
рассматриваемом случае пропорциональны массе тела.
224 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
будет заключаться в перераспределении теплоты между телами,
которые служат нагревателем и холодильником.
От одного из них берется и передается другому количество
тепла (Qi—Qi)=(Q2—Q^)- Мы выбрали обратимый и необратимый
циклы так, что |Л|=Л', поэтому /nQ1=T]/Qi. Отсюда следует, что
из предположения т]^1! вытекает неравенство
Qi<Qv или (Q, - Q0 = (Q2 -Qi) > 0. E.3)
Положительная величина (Q2—Q2) равна общему количеству тепла,
забираемому из резервуара с температурой 02, а равная ей
положительная величина (Qi—Qi) — количеству тепла, передаваемому
в резервуар с более высокой температурой QX>Q2' Таким образом,
составная машина без затраты внешней энергии будет переводить
тепло от холодного резервуара к горячему, что невозможно
согласно первой формулировке второго закона термодинамики.
Таким образом, сделанное нами предположение, что л'^Л*
привело к противоречию со вторым законом термодинамики и
должно быть отвергнуто. Допустимы только возможности
T]'<Cri или т)'=тЬ E.4)
Если машина с к. п. д. ц' также обратимая, то, поменяв местами
г]' и т] в предыдущих рассуждениях, получим
т]<т]' или t)'=ti. E-5)
Соотношения E.4) и E.5) совместны только при условии
Т]'=Т|.
Этим доказывается равенство к. п. д. любых двух обратимых
циклов Карно при одинаковых Эх и 92. Если машина с к. п. д. tj'
необратима, то нельзя заставить работать эту машину с теми же
результатами в обратном направлении и поэтому нельзя провести
такого рода доказательство равенства E.5).
Следовательно, если цикл с к. п. д. т|' необратим, то вообще
имеет место неравенство
Т|'<Т|.
Коэффициент г\ характеризует степень использования тепловой
энергии Qb сообщаемой нагретым телом работающей машине;
только часть этой энергии, определяемая величиной т|,
превращается машиной в механическую работу. Наиболее выгодна
обратимая машина, так как для необратимой, вообще говоря, т)'<<г].
В этом смысле говорят, что необратимость ведет к дополнительной
потере части затрачиваемой энергии.
При доказательстве равенства к. п. д. всех обратимых циклов
Карно мы не пользовались ни свойствами рабочего тела, ни
частными свойствами цикла, следовательно, к. п. д. обратимого цикла
Карно не зависит от свойств рабочего вещества и от степени рас-
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии 225
ширения, а зависит только от 0Х и 02 и является универсальной
функцией т)=т1(9ь 9г).
Теперь найдем эту универсальную функцию r\(Qu 02). По
определению к. п. д. цикла Карно имеем
л(в1,е2)=-А = 1-|^.
Введем вместо ^(б^ 92) функцию
т. е.
/<elt ej)- |f.
Получим для /@Ь 9а) функциональное уравнение. Для этого
рассмотрим три тела большой теплоемкости с температурами 9Ь
02, 0з и три обратимых цикла Карно, в которых эти тела служат
нагревателями или холодильниками. Очевидно,
/(е„ 92)=|f = §|f=f(e3,02)f(e1,03), E.6)
где, например /@3, в2) = 1—т^ (Э3, 02) для цикла Карно, в котором
тело с температурой 03 служит нагревателем, а тело с
температурой 02 — холодильником, и т. д. Заметим, что порядок указания
аргументов функции существен, на первом месте всегда стоит
температура нагревателя, а на втором — температура холодильника
рассматриваемого цикла Карно.
В случае 0i==02 уравнение E.6) сводится к условию
1=/(в3, 0iW@i, 03),
т. е. при перестановке аргументов функция / превращается в 1//.
Используя это свойство функции /, из уравнения E.6) получим
t=^e°>=ffbtr E-7)
Отношение Q2/Qi не зависит от 03, а зависит только от значений
температур 0х и 02. Так как 03 можно считать постоянной для
всевозможных 0! и 02, решение функционального уравнения E.7)
имеет вид
Следовательно,
_<?2 = <о(Э2)
Qi о) @х) "
Назовем значение функции cd@) абсолютной температурой1 Т
*• Легко проверить непосредственным вычислением, что если в качестве
рабочего тела в цикле Карно используется совершенный газ с уравнением со-
15. Л.И. Седов
226 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
и тогда будем иметь
§=£. E.8)
т. е. отношение тепла Q2, отданного термодинамической системой
при обратимом цикле Карно холодильнику, к теплу Qb полученному
системой от нагревателя, равняется отношению абсолютных
температур холодильника и нагревателя. Этим устанавливается связь между
понятием температуры как характеристики изотерм, и энергиями,
полученными и отдаваемыми в соответствующем цикле Карно.
Количественная формули- Соотношение E.8) для обратимого про-
ровка второго закона тер- цесса напишем в виде
модинамики применитель-
но к обратимому циклу J?I -?! = 0
Карно 7\ Т2
Дальше, в соответствии с общими определениями, условимся
считать количество тепла Q1 = Qi6), полученное системой,
положительным, а количество тепла —Q2 = Q2?>, отданное системой,
отрицательным; в этом случае предыдущее равенство примет вид
J*L+.f _„. E.9)
1 1 * 2
Это универсальное утверждение вытекает из второго закона
термодинамики и может служить количественной
формулировкой второго закона термодинамики для любого обратимого
цикла Карно, в котором рабочим телом может быть произвольная
двухпараметрическая среда.
к . _ Рассмотрим некоторый обратимый цикл J?,
роТкТвто^^ изображающийся в пространстве состоя-
модинамики применитель- ний /?, 1/р ломаной кривой, совпадающей
но к произвольному обра- с внешней границей суммы обратимых
тимому циклу циклов Карно (рис. 32, а). Так как
равенство E.9) будет верно для каждого отдельно взятого цикла Карно,
то сложив эти равенства для всех циклов Карно, получим
х
,#-*
члены QtlTu соответствующие внутренним по отношению к
3 путям, при суммировании, очевидно, выпадут, так как каждый
из этих путей, например АВ, будет проходиться дважды в
разных направлениях, причем один раз тело с температурой Tt будет
служить холодильником, а второй раз — нагревателем. Поэтому
стояния p=RpT (T — температура по Кельвину), то Q2/Qi=7,2/7,1.
Следовательно, вводимая здесь абсолютная температура пропорциональна температуре
по Кельвину.
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии 227
окончательно получим
#-«.
E.10)
где суммирование проводится только по потокам тепла Qit
поступающим вдоль ломаной кривой, ограничивающей суммарный
цикл 2\
Пусть теперь 3? — произвольный обратимый цикл, совершаемый
дв^хпараметрической термодинамической системой. Для
осуществления такого цикла нам понадобится большое число тепловых
резервуаров с бесконечно мало отличающимися температурами.
а
1/Р
1/Р
Рис. 32. а) Процесс £% совпадающий с внешней границей суммы циклов Карно.
б) Произвольный обратимый цикл
Система последовательно приводится в соприкосновение с 'теми
резервуарами, температура которых совпадает с температурой
системы на данном элементе цикла, и в то же время подвергается
бесконечно медленному сжатию или расширению. Пусть на
бесконечно малом участке А А' замкнутой кривой 3? (рис. 32, б)хистема
получает элементарное количество тепла AQ(e). Проведем через
точку А изотерму АС, а через точку А' адиабату А'С и
обозначим через AQ„3ot T0 тепло, которое система получила бы, если бы
прошла бесконечно малый изотермический процесс АС.
Соотношение между \ dQ(e) = AQ{e) и AQH30t можно получить из рас-
АА'
смотрения малого цикла А А1 С А. Применим к нему закон
сохранения энергии AQ^ — AQhsot^A^ (отрезок изотермы АС в цикле
А А'С А проходится в направлении САУ поэтому в законе
сохранения энергии для цикла А А'С А стоит (—AQH30T)). Количества
тепла &Q{e) и AQH30T для бесконечно малых элементов цикла —
бесконечно малые первого порядка, а работа АЛ, совершаемая
в малом цикле, представляется площадью АА'СА и является
поэтому бесконечно малой второго порядка, т. е. бесконечно малой
по сравнению с AQ(£?) и AQH30t- Продолжим адиабату А'С до
228 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
пересечения ее с J? во второй точке В' и проведем адиабату через
точку А. Тогда с той же. степенью приближения тепло AQ{e\
полученное системой в части ВВ' процесса <£\ равно тому теплу,
которое отвечает отрезку изотермы B'D. Видно, что два элемента
теплоты Д<2(<?> на участках процесса АА' и ВВ' с точностью до
малых второго порядка равняются количествам тепла AQH30T,
которые система получила бы от нагревателя и холодильника,
если бы она была рабочим телом машины Карно, совершающей
обратимый цикл Карно ACB'DA.
Если разделить всю площадь, лежащую внутри кривой j?,
на полоски с помощью системы адиабат (рис. 32, б) и провести
соответствующие изотермы, то получится процесс &\ который
в пространстве состояний будет изображаться ломаной линией,
состоящей из отрезков адиабат и изотерм. К этому процессу
можно применить равенство E.10)
£-^3°1==0, E.11)
где суммируются потоки тепла AQIH30T> поступающие вдоль
границы J?'.
Если число проведенных адиабат стремится к бесконечности,
а отрезки цикла J?, через концы которых проводятся адиабаты,—
к нулю, то о^'—>J?, a
AQ.30T-* AQCe>.
и так как разница AQ{e)—AQ„30T есть малая второго порядка
(площадь бесконечно малого криволинейного треугольника), то из
E.11) в пределе получим соотношение
#^ = 0, E.12)
которое точно выполняется для любого обратимого цикла,
совершаемого двухпараметрической средой.
Из равенства
по любому обратимому циклу С следует, что \ -у- для лю-
AB{JS)
бого обратимого процесса J? между состояниями А и В не
зависит от пути интегрирования 2'.
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии 229
Введение энтропии с по- Фиксируя точку начального состояния сис-
мощью обратимых процес- темы д для Л1обого СОСТОЯНИЯ В ДВУХПа-
сов для двухпараметриче- „ * J
ских сред раметрическои среды, в которое можно
перейти из состояния А обратимыми
путями, можно ввести функцию параметров состояния—координат
точки В
■ sm-s^tf-iep+sM <513>
А
называемую энтропией. Согласно E.13) энтропия определяется
с точностью до аддитивной постоянной S (А). Из E.13) получим,
что для приращения энтропии при любом изменении координат
точки В верна формула
Таким образом, хотя элементарный приток тепла, выражающийся
через параметры состояния и их дифференциалы, не является,
вообще, полным дифференциалом, для него имеется интегрирующий
множитель 1/7 (/?, 1/р) — величина, обратная абсолютной
температуре.
Воспользовавшись уравнением притока тепла, получим для
дифференциала энтропии выражение
или, в расчете на единицу массы,
dU + pd —
Лв _**_„__£, E.14)
которое можно использовать для вычисления энтропии двух-
параметричёской среды, если внутренняя энергия U среды известна
как функция параметров состояния.
Например для созершенного газа с посто-
Энтропия для совершен- Янными теплоемкостями (р=р RT, U=cvT),
ного газа * vr r v '
будем иметь
аь т ■ 1 »
"р"
или
s = cv In -jzi + const = cp In —^ + constt = Cyln -^ + const8 =
py
= cvlnfy-cvln^+s0, E.15)
где p0, p0, s0—соответствующие постоянные.
230 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Условия, налагаемые Равенство E.14) накладывает ограничения
фактом существования на функции ц (pf р) иТ(р, р), т. е. основные
энтропии на вид уравне- т,/ vr' r/- лг
ниячюстояния термодинамические функции состояния
среды. Так как ds должно быть полным
дифференциалом, то условие интегрируемости E.14) имеет вид
др\Т др)^др\Т др рЧ)
dTdU^&T^/dU р\ Т_ {, 1fi,
ар др *~~ др \др р2; + р2 * ( '
или
При заданной функции U{p, p) функции T(pf p) должны быть
решениями E.16), следовательно, такие функции не произвольны,
хотя существует много различных решений уравнения в частных
производных E.16).
Рассмотрим, как формулируется второй закон для
необратимого цикла Карно.
Количественная cdodmv- Пусть два РезеРвУаРа с температурами^
лировка ^второго закона и т* (Ti > Л) служат нагревателем и хо-
термодинамики примени- лодильником в двух циклах Карно, один
тельно к необратимому из которых обратим (к.п.д. tj), а второй
циклу Карно необратим (к.п.д. rj'). Тогда, так как
т)'<т}=1— TJTi9 то
Qi 7i Qi yi
G
*—£<0.
2
откуда f^—f
Считая тепло Qi, притекающее к системе, положительным, а
тепло С?2, отдаваемое системой, отрицательным, получим
Ы<0. E.17)
* = 1
Ti
Это и есть количественная формулировка второго закона
термодинамики для необратимого цикла Карно.
Пример, иллюстрирующий Рассмотрим частный пример, который по-
характер изменения энт- казывает, как можно ввести энтропию для
ропии в необратимых про- системы в целом и как энтропия меняется
цессах в случае необратимых процессов.
Допустим, что имеются два бесконечно малых объема I и II
несжимаемой жидкости с одинаковыми давлениями и разными
температурами. Пусть температура объема I равна 7\, а
температура объема II Т2(Т2>Тг).
Если эти объемы привести в соприкосновение, между ними
будет происходить обмен теплом, причем в каждый момент вре*
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии 231
мени каждому из объемов I и II можно приписать определенное
значение температуры (так как объемы I и II малы).
Процесс передачи тепла от II к I необратим, так как согласно
второму закону термодинамики тепло без затраты внешней энергии
может передаваться только от частицы с температурой Т2 к
частице с температурой 7\, если Г2>7\.
Обозначим через dQ положительное количество тепла,
которое переходит от частицы II к частице I за время dt, и рассмотрим
для простоты случай, когда система, состоящая из совокупности
частиц I и II, не обменивается теплом с внешней средой. Если
необратимость связана только с процессом теплопередачи от одной
частицы к другой, а состояния и процессы в каждой отдельной
частице можно считать обратимыми, то для отдельных частиц можно
написать
dSt-g.dSn-^.
Изменение энтропии всей системы I + II можно подсчитать,
предполагая, что полная энтропия S является аддитивной функцией,
т. е.
S = S, + Sn,
следовательно,
/1/2
Таким образом, хотя в рассмотренном примере вообще нет
притока внешнего тепла к системе I + II, энтропия этой системы
возрастает за счет необратимого внутреннего процесса.
Количественная формули- Выш£> ИСХ°Д* из ВДКЛа Карно, энтропия
ровка второго закона тер- как функция состояния была введена толь-
модинамики применитель- ко для двухпараметрических сред. По-
hojc многопараметричес- смотрим теперь, как можно ввести энтро-
кои среде пию для СреД) состояние которых
определяется п переменными определяющими параметрами |Д ц,2, ..., ц",
и докажем, что для произвольного необратимого цикла С, для
которого во всех промежуточных состояниях можно определить
температуру Т системы, верно неравенство
§■
■<0.
Для этого разобьем произвольный (может быть, необратимый)
цикл С, совершаемый произвольной системой, на бесконечно
малые элементы dliy на каждом из которых температуру Ть системы
можно считать постоянной. Обозначим через dQt тепло, которое
получает система в процессе dlh Во время каждого элементарного
процесса dlt многопараметрическая среда может быть использр-
232 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
вана как тепловой резервуар для элементарного обратимого цикда
Карно, осуществляемого вспомогательной двухпараметрической
средой; можно выбрать эти циклы Карно так, чтобы в каждом из них
вспомогательная двухпараметрическая система отдавала
рассматриваемой многопараметрической системе количество тепла, равное
dQi. Поэтому можно представить себе, что все тепло, которое
получает многопараметрическая среда извне в процессе С, она
получает с помощью контакта с вспомогательной двухпараметрической
средой. В качестве второго внешнего теплового резервуара для всех
вспомогательных циклов Карно возьмем некоторое тело с
постоянной температурой Г0.
Для каждого элементарного цикла Карно будем иметь
dQf , dQ0
-О, E.18)
Г, "г
где (—dQP) и dQ0—количества тепла, получаемые
двухпараметрической средой на изотермах Т{ и Т0 соответственно.
Интегрируя E.18) по всему циклу С, получим
Q0 = $dQ0=n$d-^.
Рассмотрим теперь термодинамическую систему, состоящую
из совокупности двухпараметрических и многопараметрической
сред. Тепло к этой системе поступает только от резервуара Го.
Суммарный внешний приток тепла извне за цикл С в составной
системе равен Q0.
По закону сохранения энергии полученная составной системой
тепловая энергия Q0 равняется работе Л, которую эта система
совершает над внешними телами:
dQie>
Q,-T.fqp-A
Работа А не может быть положительной, так как в этом случае мы
имели бы циклически работающую машину, которая только за счет
притока тепла от одного резервуара с фиксированной
температурой Т0 совершала бы механическую работу А над внешними
телами. Невозможность осуществления такой машины является
одной из формулировок второго закона термодинамики.
Эта формулировка была названа второй
Эквивалентность форму- формулировкой второго закона термодина-
?е^Пна^Ти°кРиГ0 ^^ МИКИ <СМв СТр* 222)* Покажем> что она
термоди амики эквивалентна первой формулировке.
Для этого предположим сначала от противного, что первая
формулировка верна, а вторая нет, т. е. можно осуществить
циклически работающую машину, которая обменивается теплом только
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии 233
с одним телом с фиксированной температурой Го и совершает
положительную работу. Тогда полученную работу А можно было бы
использовать в холодильной машине, работающей по циклу Кар-
но, для передачи тепла из некоторого резервуара с температурой
Т*<.Т0 в резервуар с температурой TV
Согласно уравнению
A=Q1—Q2=Q(l>0
эта машина забирала бы количество тепла Q2 из резервуара с
температурой Г* и передавала бы количество тепла Qi>Q0 в
резервуар с температурой Т0. В результате в термодинамической системе,
состоящей из этой холодильной машины и рассмотренной выше
машины, производящей работу Л, так как Qx—Qo>0 и Q2>0, тепло
без затраты какой-либо энергии извне передавалось бы от тела
с меньшей температурой Т* к телу с более высокой температурой
Го, причем тела с температурами Г* и Т0 обменивались бы с
машинами только теплом, что невозможно согласно первой
формулировке второго закона.
Для полноты рассуждения об эквивалентности двух
формулировок второго закона термодинамики заметим, что если, наоборот,
допустить, что первая формулировка неверна, то из этого
допущения будет следовать возможность создания вечного двигателя
второго рода.
Действительно, допустим, что тепло без затраты работы извне
переходит от теплового резервуара с температурой Т2 к тепловому
резервуару с температурой T,iG,1>T2). Возьмем количество тепла
Qu перешедшее от тела с температурой Т2 к телу с температурой Tlt
и используем его в тепловой машине, работающей, например, по
циклу Карно, которая берет это тепло Qi от тела с температурой
Ти передает часть его Q2(Q2<Qi) обратно телу с температурой Т2
и производит некоторую механическую работу Л>0.
Если рассмотреть оба указанных процесса (самопроизвольный и в
тепловой машине) как один, то ясно, что в результате этого процесса
будет периодически создаваться механическая работа только за счет
отбора тепла Qi—Q2 от одного резервуара с температурой Т2, что
противоречит второй формулировке второго закона термодинамики.
и , Таким образом, выше показано, что допу-
Количественная формули- й
ровка второго закона тер- Щ^ние
модинамики применитель- fdO{e)
но к необратимым процес- ш -Ц— > О
сам в любой среде g T
противоречит второму закону термодинамики и, следовательно,
должно иметь место соотношение
f
с
для любого цикла С, совершаемого любой многопараметрической
(в том числе и двухпараметрической) средой.
234 Гл. V. Основные понятия н уравнения термодинамики
Количественная формули- Если основной цикл С обратимый, то по-
ровка второго закона тер- ВТОпИВ наши рассуждения в случае цикла С,
модинамики применитель- r r J " J '
но к обратимым процес- проходимого в противоположном направ-
сам в любой среде лении, придем к заключению, что
допущение А < 0 также противоречит второму
закону термодинамики. Для обратимого цикла С, совершаемого
любой средой, остается единственная возможность
С
введение энтропии для Отсюда следует, что в случае обратимых
многопараметрических в
сред с помощью обрати- С dQ^
мых процессов процессов интеграл J -^г- не зависит от
А
пути интегрирования и при фиксированном начальном состоянии
А является только функцией конечного состояния среды В.
Следовательно, с помощью обратимых процессов
для многопараметрических сред, так же как и
с помощью обратимых процессов для двухпа-
раметрических сред, можно ввести
однозначную функцию состояния
«w-Jt-
-const,
Рис. ЗЗ.Х введению
энтропии с помощью
обратимых
процессов
называемую энтропией.
Если же процесс 3\ переводящий среду из состояния А в
состояние В, необратим, то энтропию в состоянии В можно
вычислить по соответствующему произвольному1 обратимому
процессу 3?х между А и В в предположении, что такие обратимые
процессы существуют (рис. 33). При этом получим
S(B)-S(A)> J
Т '
AB(JB)
Действительно, рассмотрим два состояния Aw В некоторой среды.
Пусть между этими двумя состояниями возможно осуществить
два процесса, один из которых (J^J обратимый, а второй C)
необратимый.
1 Очевидно, что значение разности S (B)—S (А) одинаково для всякого
из различных обратимых путей между состояниями Л и В.
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии 235
С помощью обратимого процесса 5?^ можно вычислить энтропию
AB{jer)
Если же рассмотреть цикл С= АЗ?ВЗ?^А, то он, очевидно, будет
необратимым и
с
поэтому SR—SA^ j* Щ^-.
АВ(Я)
Следует обратить внимание на то, что последний интеграл
берется по необратимому пути J?.
Для необратимого процесса, связывающего
Некомпенсированное теп- два бесконечно близких состояния А и В,
будем иметь
Таким образом, в случае необратимых процессов
TdS^dQ*
или
TdS = dQ^ + dQ\ E.19)
где величина dQ', называемая некомпенсированным теплом, всегда
больше или равна нулю. В случае обратимых процессов dQ' = 0.
Однако стоит подчеркнуть, что при dQ' = 0 процессы могут
быть вообще необратимыми1.
Выше показано, что из предположения о существовании, наряду с
необратимыми процессами, обратимых процессов между любыми двумя
состояниями А и В из второго начала термодинамики следует
существование энтропии, представляющей собой функцию параметров,
определяющих состояния Л и В. Так как этот вывод и установленные
свойства энтропии имеют фундаментальное значение во всех
макроскопических теориях, то очень важно ввести, подобно понятию об энергии,
понятие об энтропии как о термодинамической функции для любых
механических, физических и вообще естественнонаучных
макроскопических моделей. С этой точки зрения развитая выше теория
нуждается в обобщении и дополнениях на случай, когда, вообще говоря,
1 Формулировка второго закона термодинамики в виде E.19) с dQ' ^ 0 предполагает,
что температура Т для всех частей системы одна и та же, и что система не обменивается
массой с окружающей средой. Более общая формулировка, охватывающая и такие
ситуации, дана в § 8 и в § 11 этой гланы.
236 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
температура системы не определена1, или любые два состояния Ли В в
некоторых моделях согласно их определению нельзя соединить
обратимыми процессами.
Долгое время многим авторам казалось, что такого рода
теоретических моделей в физике вообще нет, однако эти представления,
бытующие до сих пор, неверны. В частности, это неверно, когда
в рамках построенных моделей все равновесные процессы,
соединяющие некоторые два или многие состояния, необратимы. В связи
с этим необходимо отметить, что в ряде распространенных
учебников авторы «доказывают», без специальных оговорок,неверное
утверждение, что всякий равновесный процесс обратим.
На рис. 34 схематически изображен пример рав-
Пример равновесного новесного, но необратимого процесса движения
необратимого процесса с трением тяжелого груза (например, кирпича)
по горизонтальному неподвижному столу. Легко
видеть, что при бесконечно, медленном равномерном движении
кирпича общая сила, действующая на него в горизонтальном
направлении, равна нулю. Общая работа силы F и сил трения fiy прило-
r^const
V///////////r
F=Ift
-ft
"ШШШТЯЯЯТШЯЯЯЯ;
©
Рис. 34. Пример необратимого квазисп:тического
процесса; £ - сил ы трения q _ р
женных к грузу, тоже равна нулю. Работа сил противодействия от
кирпича, приложенных к столу, равна нулю. Работа силы
противодействия от кирпича на нить отлична от нуля и балансируется
с работой силы F, приложенной к кирпичу. На площади
соприкосновения груза со столом выделяется тепловая энергия, которая
рассеивается в большом термодинамическом резервуаре с
постоянной температурой 7\ Можно и не вводить тепловой резервуар, а
рассматривать процесс медленного движения груза с переменной
равновесной температурой.
Ясно, что на рис. 34 приведен предельно простой пример
равновесного, но необратимого процесса. Это, как указано выше,
противоречит утверждениям многих книг по термодинамике.
На этом же примере видно, что, вопреки утверждениям ряда
авторов учебников, внешняя работа сил, приложенных к грузу,
в общем случае не равна механической работе, производимой гру-
1 См. Куликовский AT., Эглит М.Э. О понятии энтропии в феноменологической
термодинамике //Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллинн: Валгус, 1985.
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии 237
зом над внешними телами. Совершенно очевидно и общеизвестно,
что из закона о равенстве сил действия и противодействия вовсе
нельзя вывести справедливость аналогичного закона об обмене
чисто механическими энергиями в неконсервативных системах или
даже при взаимодействии данной механической системы с
электромагнитным полем.
Как продолжение изложенной выше теории более углубленная
трактовка понятия об энтропии дана в книге: Каменярж Я.А.,
Седов Л.И. Макроскопическое введение энтропии при ослабленных
предположениях об осуществимых процессах (ПММ, 1979. Т. 43, вып. 1.
С. 2-6).
Получим теперь основное энергетическое
О работе тепловой маши- уравнение для тепловой машины, работаю-
ны при v , щей при dQ** ^0. Примером такой машины
является устройство, в котором используется так называемый
магнитотермический эффект. ИзвестнЪ, что адиабатическое
намагничивание и размагничивание парамагнитных веществ аналогично
адиабатическому сжатию и расширению двухпараметрических
систем, подобных совершенному газу. При адиабатическом
намагничивании необходимо затратить внешнюю энергию dQ**,
внутренняя энергия среды при этом увеличивается и температура ее
растет. При адиабатическом размагничивании система отдает
энергию dQ**, внутренняя энергия ее уменьшается и температура
падает.
Магнитотермический эффект был использован для получения
очень низких температур (таким путем получен л температуры
0,0044° К).
При dQ**^sO уравнение притока тепла имеет вид
dUm = — dA«> + dQie) +dQ».
Для замкнутого цикла С получим
(p(dAM—dQ")=£dQ<e) = Q{e\ (# )
с с
где через Q{e) обозначен полный приток тепла к рабочему телу
машины.
Из теоремы живых сил dE = dAU) + dA(e) для замкнутого
цикла ((р dE = 0j будем иметь
§dA{i) = — §dA™.
с с
Поэтому равенство ( з£ ) можно переписать следующим образом:
— (f(dA{p)+dQ**) = Q{e).
238 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Это соотношение и есть энергетическое уравнение, описывающее
работу тепловой машины в том случае, когда машина,
совершающая замкнутый цикл и получающая из внешней среды тепло Qie),
может расходовать его не только на производство механической
работы над внешними телами, но и на передачу им энергии не
механической (отличной от работы макроскопических сил) и не
тепловой природы.
Видно, что выводы, касающиеся работы тепловых машин,
применимы и в случае dQ**#0, если под dA понимать сумму
dA{e) + dQ**, т. е. считать, что
A=*f(dAM+dQ").
О состояниях с одинако^ Отметим, наконец, что могут существовать
вой внутренней энергией процессы, в результате которых энергия
и различной энтропией r ' r J r r
F системы не меняется, а энтропия системы
изменяется. Это связано с. тем, что внутренняя энергия и
энтропия могут зависеть от разных термодинамических параметров и
процесс может быть, в частности, замкнутым по энергетическим
параметрам и незамкнутым по параметрам энтропии.
Например в совершенном газе, имеем
т
U = cvT + const, s = ^ In-^y +const,
Р~
поэтому любой процесс, протекающий между двумя состояниями
с одинаковой температурой и разными давлениями, является такого
рода процессом.
Так, если газ, находящийся в баллоне под большим давлением
р<ь выпускать в атмосферу при постоянной температуре, то
внутренняя энергия его не'изменится, a s
увеличится (за счет уменьшения р)
(рис. 35). При этом процессе газ
отдает энергию в виде механической
работы, а получает по величине в
точности такую же тепловую
энергию.
Заметим, что одно и то же
количество энергии может иметь
разную ценность с точки зрения
возможности ее практического
использования, причем эта
ценность определяется как раз
величиной энтропии (чем больше энтропия, тем меньше ценность
располагаемой энергии). Действительно, например, при переводе газа
из состояния А в состояние В по изотерме на каждом элементе
процесса газ отдает механическую работу, а получает равное
количество тепла.
Т= const
Рис. 35. А В — процесс, в котором
U = const, a s меняется
§ 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии 239
Но тепловая энергия является наименее ценным видом энергии*
Согласно второму закону термодинамики она не может быть
полностью превращена в другой вид энергии в циклическом процессе.
Наоборот, другие виды энергии (например механическая работа)
могут быть полностью превращены друг в друга, а также и в тепло.
Энтропию s можно ввести статистическим
О введении энтропии ста- г ^
тистическим путем путем. Величина энтропии связывается с ве-
роятностью соответствующего состояния.
В статистической физике для энтропии устанавливается
следующая формула, принадлежащая Больцману:
s*=klnP, E.20)
где k—постоянная Больцмана, а Р—мера вероятности
рассматриваемого состояния, определяемая как число возможных
микроскопических состояний, отвечающих данному
макроскопическому состоянию (для многих различных микроскопических
состояний макроскопические характеристики неразличимы).
Аддитивность энтропии Из Ф°Рмулы E.20) следует аддитивность
«да ниш y энтропии, если вероятность состояния
системы в целом равна произведению вероятностей состояний
отдельных частей.
Так, очевидно, получается, когда можно принять, что
вероятности состояний отдельных частей независимы.
Выражение E.20) можно рассматривать как
%н^тпеш1я^Э^ты определение энтропии, пригодное как для
к равновесию равновесных, так и для неравновесных
состояний. Так как практически
осуществимые состояния соответствуют наиболее вероятным, то
из E.20) следует, что при стремлении изолированной системы к
равновесию энтропия возрастает.
Если система теплоизолирована, но может
^иабатические^ J6Pa™- подвергаться любым силовым воздействиям,
цессы ео р т мые про" то процессы, в которых она участвует,
называются адиабатическими.
В этом случае внешний приток тепла к системе равен нулю
(dQie)*=*Q). В случае обратимых адиабатических процессов
Td5=0,
поэтому
5=const.
Обратимые адиабатические процессы являются изэнтропическими.
Наоборот, если обратимый процесс изэнтропический, т. е.
S=const, то dQ{e)=0, и процесс является адиабатическим.
Если же процесс адиабатический и необратимый, то dS^O,
и энтропия, если она изменяется, может только расти, так как
dQ'X).
240 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
В необратимых неадиабатических процессах энтропия может
и убывать и возрастать, так как знак
TdS = dQie) + dQ'
при этом может быть любым. Из второго закона термодинамики
следует только, что dQ' неотрицательно.
При построении конкретных моделей сплошной среды, в
которых могут происходить необратимые процессы, необходимо с
помощью специальных опытов, гипотез или результатов
статистической физики добывать данные о dQ'.
Можно сказать, что второй закон термодинамики определяет
направление реально осуществляющихся процессов.
Адиабатические необратимые процессы могут происходить только в
направлении роста энтропии, а неадиабатические — только так, чтобы dQ'
было неотрицательным.
Так как во всех процессах (в действитель-
Принцип неубывания знт- ности необратимых) в изолированной си-
ропии для изолированных стеме энтропия может только возрастать,
систем и условие равно- r r
весия то очевидно, что состояния, в которых
энтропия изолированной системы имеет
максимум, являются состояниями равновесия. Таким образом, для
внутренних процессов в изолированных системах условия
максимума энтропии представляют собой условия равновесия.
§ 6. Термодинамические потенциалы
двухпараметрических сред
Рассмотрим еще важный вопрос из термодинамики
двухпараметрических сред с, вообще, обратимыми процессами (dq** будем
считать равным нулю).
Выше указывалось, что для двухпараметрических сред три
функции состояния (/, s и Т не могут быть произвольными.
Например, если внутренняя энергия U задана как функция р и р, то
функция Т(р, р) должна удовлетворять условию E.16), которое
при заданной U (/vp) следует рассматривать как линейное
дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка
для определения Т (р, р).
Как известно, это дифференциальное уравнение имеет много
решений, т. е. различных связей Т (р, р) при заданной U (р, р),
а следовательно, и термодинамические свойства среды
определяются неоднозначно. Для того чтобы устранить эту
неоднозначность, необходимо взять одно из частных решений уравнения E.16),
т. е. выбрать конкретный вид уравнения состояния Т=Т(р, р).
После этого энтропия (с точностью до аддитивной постоянной)
определится из E.14).
За определяющие термодинамические переменные двухпарамет»
рической среды можно, а часто и удобно, брать различны.
§6. Термодинамические потенциалы двухпараметрических сред 241
пары переменных, например р и s, p и s, риГи т. д. Встает
вопрос: нельзя ли задать внутреннюю энергию U функцией
таких переменных, чтобы в результате этого задания другие
термодинамические функции определились бы полностью и
однозначно? Оказывается, можно.
Пусть U задана как функция р и s. Тогда
Внутренняя энергия и по Правилам дифференцирования и из
энтропия как термодина- r YY r r
мнческне потенциалы уравнения притока тепла с учетом
второго закона термодинамики для обратимых
процессов E.14) будем иметь
du'(^)PdsHw).dpemTds-pdT- F1)
Отсюда ввиду произвола ds и dp получим
т. е. Т и р как функции р, s определились однозначно.
Внутренняя энергия U в этом случае называется термодинамическим
потенциалом. Из равенства F.1) видно также, что если задать
энтропию s как функцию U и р, то
f_ds_\ р __( ds \
[dUjp* Т -\д\/9)и>
т. е. в этом случае для переменных U и р энтропия является
термодинамическим потенциалом.
г Если определяющими термодинамическими
Яы*вооодная энергия ^_ _ m •
* переменными являются р и Г, то
равенство F.1) удобнее писать в виде
d(U-Ts) = — sdT+^dp
или
dF = — $dT + -L'dp9 F.3)
где через F обозначена функция состояния
F = U-Ts, F.4)
называемая свободной энергией. Если F как функция р и Г
известна, то из F.3) однозначно определяются pus.
Действительно, из F.3) следует:
— (»).• '""(TV <6'5>
В случае использования переменных р ичТ термодинамическим
потенциалом является свободная энергия F (р, Т).
16. Л.И. Седов
24U Гл. V. Основные понятий и уравнения термодинамики
Теплосодержание или эн- Аналогично, если определяющими пара-
тальпия метрами служат давление р и энтропия s,
то соотношение F.1) удобно записать в следующем виде:
d(u + ±)=Tds +
dp
Р
или
di = Tds + d-Z. F.6)
При зтом функция состояния
i(py s) = U + p/p, F.7)
называемая теплосодержанием или энтальпией, будет
термодинамическим потенциалом, так как
Термодинамический по- Наконец, если определяющими парамет-
тенциал Гиббса рами являются давление/? и температура 7\
то соотношение F.1) целесообразно представить в следующем
виде:
d(U-Ts + f) = -sdT+d-Z
ИЛИ
г Р
Через функцию состояния
Y(p, T) = U-Ts + p/p, F.9)
называемую просто термодинамическим потенциалом или
термодинамическим потенциалом Гиббса, однозначно определяются; р и s
— (*),• Hf )г- ^
Если внутренняя энергия и энтропия определяются с точностью
до аддитивной постоянной, то свободная энергия F и
термодинамический потенциал Y определяются с точностью до линейной
функции от температуры.
Очевидно, что в перечисленных выше случаях введение
указанных переменных позволяет свести задачу об определении всех
функций состояния к определению только одного соответствующего
потенциала. Для переменных рир или Т и s нет соответствующих
потенциалов.
§6. Термодинамические потенциалы двухпараметрических сред 243
Среда определяется зада- Итак, термодинамические и механические
нием термодинамических свойства идеальной двухпараметрической
соответствуй сРеДы полностью определяются заданием
менных одной из функций f/(p, s), i(py s), F(p, T)
или Y(p, T). Задания U, i, F, V
соответственно как функций от других переменных недостаточно для
полного определения среды, в этих случаях требуется задавать
дополнительные соотношения, например задавать уравнение
состояния как некоторое решение определенного уравнения с
частными производными.
Для определения соответствующих потен-
SJES^ циалов пРименительно к реальным жид-
из опыта костям и газам можно пользоваться
данными статистической физики, полученными
с помощью некоторых простых допущений в соответствующих
физических моделях, или данными опытов (калориметрических и
механических).
В частности, важное значение имеет измерение величины
теплоемкости единицы массы вещества. Теплоемкость, как известно,
определяется как количество тепла, сообщаемого единице массы
при повышении ее температуры на один градус Цельсия (при
использовании для измерения температуры шкалы Цельсия).
Для двухпараметрической среды теплоемкость зависит
существенно от изменения обоих переменных параметров. Теплоемкость
определяется однозначно только при полном задании процесса,
сопровождающегося повышением температуры.
Важную роль играют теплоемкости сжимаемой среды при
постоянном давлении, сР1 и при постоянном объеме, cv. Для теплоем-
костей ср и с,г верны формулы
с -t*L\ -(-EL\ -(d[L\ —JL(°£.) -
p~~\dT )р-\дт )р-\дт )p p' \дт)р"
И*).-(Я-(£Ш).+(£),-И£).- <в|2>
Для разности cp — cv из формул-F.11) и F.12) следуют
равенства
Из F.13) и уравнения притока тепла следует еще равенство
244 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
которое на основании равенства
(*£Л - — fde\ (д±\
\дт ;р- \Эр)т\Ьт )р>
следующего из формулы
приводится к виду
*-*-*ш*):- <в-,5>
Равенства FЛЗ) — F.15) верны для произвольных двухпара-
метрических сред. Пользуясь данными, полученными в опытах по
измерению теплоемкостей ср и cv, и измерениями величин
коэффициентов теплового изменения плотности при постоянном давлении
др/дГ)р=£р и коэффициентов повышения давления при постоянном
объеме (др/дТ)р=кр, можно"определить производные внутренней
энергии и теплосодержания по формулам
\др)т *р +р* р2 L Уж )Р р\'
(
dU\ _
W\)P~cv
\дт)р-ср>
F.16)
F.17)
При этом, очевидно, как следствие первого и второго законов
термодинамики должны удовлетворяться следующие условия
интегрируемости:
-да).-®), <б-'8>
и
\др/т \ дТ> .р
дсЛ =-T[-JL) , F.19)
которые можно использовать для сокращения числа опытов или
для проверки результатов опытов.
В предыдущих параграфах этой главы установлено, что для
всякой термодинамической системы можно всегда ввести две
функции состояния: внутреннюю энергию U и энтропию s, а для
равновесных процессов еще одну функцию состояния — абсолютную
температуру Т\ получено новое универсальное уравнение — уравне-
§ 7. Примеры идеальных и вязких сред. Теплопроводность 245
ние притока тепла
или при рЧ=р'1
dU = ^-VjVidt+dq+dq** F.20)
dU = ^-ei/dt+dq+dq*
и рассмотрен второй закон термодинамики
TdS=dQ^+dQ',
dQ'^0,
или (для единицы массы)
Tds=dq+dq',
*•-£><>. <62|>
который вообще необходим для построения конкретных моделей
сплошных сред.
Применим теперь эти результаты к построению конкретных
моделей сплошных сред.
§ 7. Примеры идеальных и вязких сред
и их термодинамические свойства. Теплопроводность
Для того чтобы с помощью полученной выше универсальной
системы уравнений (неразрывности, импульсов, моментов
количества движения — в классическом случае р(*=р**% уравнений
притока тепла и второго закона термодинамики) рассматривать
частные задачи о движении сплошной среды, необходимо
дополнить ее соотношениями, задающими свойства конкретной модели
среды.
Рассмотрим теперь с учетом термодинамических свойств
некоторые важные модели сплошных сред.
а) Модель идеальной несжимаемой
жидкости
Из условия несжимаемости вытекает, что для каждой частицы
p=p0=const.
В случае неоднородной жидкости плотность р можно
рассматривать как заданную функцию от лагранжевых координат £\ £2, £3;
для однородной жидкости плотность одинакова для всех частиц.
В соответствии с определением, данным раньше, жидкость
называется идеальной, если pij' —-—pgij'.
Как известно, в случае идеальной несжимаемой однородной
жидкости система четырех скалярных уравнений, состоящая из
246 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
уравнения неразрывности
divt> = 0
и трех уравнений Эйлера
^р I dp
1 ( Р дх* '
образует замкнутую систему для определения давления p(xl\ t)
и Лектора скорости v(xl\ t). Если идеальная несжимаемая
жидкость неоднородна, то к этим уравнениям следует добавить пятое
уравнение
dt u'
которое служит для определения с точки зрения Эйлера функции
р(х\ х\ х\ t).
Так как работа внутренних сил давления в идеальной
несжимаемой жидкости всегда равна нулю,
dAU) =—p— eitdt = £ gVen dt = £ e\\dt = £- div v dt = 0,
p ч p & lJ p l p '
то уравнение притока тепла
dU = dq
можно рассматривать как уравнение для определения плотности
внутренней энергии U или как уравнение распространения
тепла в потоке жидкости.
В определение модели идеальной несжи-
Энтропия и внутренняя маемой жидкости входит также допуще-
энергия идеальной несжи- * ^ J^ u
маемой жидкости ние» что механические процессы в ней
обратимы, поэтому
dq = Tds, dq' = 0. G.1)
Уравнение притока тепла с учетом G.1) дает
dU=Tds.
Отсюда следует, что £/=const, если s=const; поэтому U есть
функция только от s, U=U (s). Но так как
dU__T
ds ~l >
то очевидно, что T=T(s) или U=U(T) и s=s(T).
Для удельной теплоемкости с несжимаемой жидкости можно
написать
dq_ ^d_U_
§7. Примеры идеальных и вязких сред. Теплопроводность 247
Энтропия и внутренняя энергия идеальной несжимаемой жидкости
определяются через теплоемкость с(Т), заданную как функция
температуры, по формулам
U**$c(T)dT, s = J^^. G.2)
Если c^const, то
U =cT+const, s=c In Г+const.
Уравнение притока тепла
■*--«ет4г-ет[тг+"£] <м)
может служить для определения распределения температуры.
Таким образом, с точки зрения механики сплошной среды
идеальная несжимаемая жидкость задается только значением
плотности и теплоемкостью с (Т).
Кроме того, для решения конкретных задач необходимо задать
внешние массовые силы F, приток тепла dq и дополнительные
краевые, начальные или другие условия, необходимые для
однозначного выделения решения системы уравнений в частных производных.
В заключение заметим, что решение меха-
Независимость механиче- нической задачи об определении движения
ской задачи от тепловой идеальной несжимаемой жидкости под дей-
и связь тепловой задачи ствием заданных сил не зависит от решения
с механической в случае r ^
движения идеальной не- задачи распределения температуры в объе-
сжимаемой жидкости ме жидкости и не требует знания
внутренней энергии.
Наоборот, уравнение G.3) для отыскания распределения
температуры Т в случае заданного притока тепла становится
определенным только после того, как распределение скоростей v(x', t)
найдено из решения механической задачи.
Следовательно, при наличии движения среды решение тепловой
задачи зависит от решения механической задачи.
б) Модель идеальной сжимаемой жидкости
Определим идеальный газ, во-первых, как такую среду, в
которой тензор напряжений шаровой
Pli = —pgu\
во-вторых, как двухпараметрическую среду, в которой внутренняя
энергия зависит только от двух параметров, например р и s,
U=U(P, s),
248 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
и, в-третьих, как среду, в которой в случае непрерывных
движений все механические процессы обратимы х и, следовательно,
dq'=0.
Эти три предположения при условии, что £/(р, s) задано,
полностью фиксируют модель идеального газа или идеальной
сжимаемой жидкости как в термодинамическом, так и в механическом
смысле.
Действительно, если массовые силы F и внешний приток тепла
dq заданы, то два уравнения F.2), называемые уравнениями
состояния, второй закон термодинамики
Tds=dq
или уравнение притока тепла
d
уравнение неразрывности
и три уравнения Эйлера
dU = -pdj + dq,
^+pdivtf = 0
a; = Fi -.
представляют собой замкнутую систему для определения семи
неизвестных функций р, viy p> s и Т.
Заметим, что уравнения состояния F.2) справедливы при
любых процессах. Вместо функции U(p, s) можно задавать любой из
потенциалов f(p, 7), i (/?, s), W (p9 T).
n Если в каждом элементе тела процесс
Полная система уравне- ^ « * » л ' с\
ний движения идеальной обратимый и адиабатический, то dq = 0
сжимаемой жидкости или И dq=0\ поэтому
газа в случае
адиабатических процессов S = /(^1t5i, s3),
т. е. для каждой индивидуальной частицы энтропия сохраняется.
Значение энтропии в частицах, подобно плотности в
неоднородной несжимаемой жидкости, должно быть задано или определено
из дополнительных условий, вытекающих из постановки
конкретных задач.
Если при адиабатическом процессе энтропия s у всех частиц
одинакова s=const, то из уравнений состояния F.2) следует, что
1 Иногда в идеальном газе рассматриваются необратимые физико-химические
процессы, например химические реакции. При этом dq', связанное с
необратимостью таких процессов, может отличаться от нуля. Кроме того, заметим, что,
как показано в главе IX (см. т. II, стр. 326), из предположений о виде
внутренней (или свободной) энергии и об обратимости процессов следует, что тензор
напряжений — шаровой*
§ 7. Примеры идеальных и вязких сред. Теплопроводность 249
давление р и температура Т зависят только от р, т. е. процесс
является баротропным, и система механических уравнений
оказывается замкнутой, когда функция U (p, s) известна.
Если независимыми термодинамическими
Полная система уравне- v Vn
ний движения идеальной переменными будут р и Г, то для отреде-
сжимаемой жидкости или ления модели сплошной среды выгодно
газа в случае изотерми- задавать свободную энергию F (р, Т) =*
ческих процессов =t/— Ts. Уравнения состояния в этом
случае будут иметь вид F.5). Они также справедливы для любых
процессов, но их вид особенно удобзн при изучении
изотермических процессов.
Действительно, в эгом случае при заданной функции Т (I1, £2, £3)
или при T=const из F.5) сразу получается, что для каждой
частицы р есть известная функция р, причем р является функцией
только от р (и не зависит от S-'), когда grad Г=0. Система
механических уравнений в этом случае замкнута, если известна
функция F (р, Т).
При этом энтропия определяется из первого уравнения F.5),
а уравнение притока тепла, которое можно написать в виде
<**—™(зг)р'.. М
позволяет вычислить внешний приток тепла, необходимый для
поддержания изотермического процесса.
м Примером модели идеального газа может
Модель совершенного газа г г * *
F служить модель идеального совершенного
газа. Для совершенного газа плотность р, давление р и
абсолютная температура Т связаны уравнением Клапейрона
/>=рЯ7\ G.5)
где R — газовая постоянная. На основании уравнения
Клапейрона и уравнения притока тепла с учетом второго закона
термодинамики для обратимых процессов в идеальных средах F.1) имеем
dU=Td(s+R In (p/Po)). G.6)
Следовательно, для газов, подчиняющихся уравнению Клапейрона,
комбинация s -f \ R — зависит только от U, а так как Т — ,, _.R\—Т»
то Т является только функцией U. Поэтому ясно, что
внутренняя энергия U и комбинация s -f- \ R — могут зависеть только
от температуры и не зависят от плотности. Очевидно, что этот
вывод сохраняет свою силу и в том случае, когда имеет место
уравнение состояния вида G.5), в котором в отличие от уравнения
Клапейрона величина R является любой функцией плотности р.
250 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Полагая dU = cv(T)dT, из G.6) получим
>cv(T)dT
-!!
т #1п(р/Ро). G.7)
Для задания модели совершенного газа необходимо задать
постоянную R в уравнении Клапейрона и задать удельную
внутреннюю энергию как функцию температуры 7\ Последнее с
точностью до постоянной равносильно заданию теплоемкости при
постоянном объеме как функции температуры Т. Так как
уравнение G.5) и последующие выводы не зависят от массы частицы, то
на основании определений § 6 для однородной частицы массы m
совершенного газа с i?=const легко получить все формулы для
энтропии и термодинамических потенциалов.
Эти формулы имеют вид
Um=m(u0+$ cvdTJ$
5 = m(s0+J^-/?ln^),
+ \ cpdr\ G.8)
7-0 /
Т Т
Fm=m(U0-Ts0+\ cvdT-T\-^dT-RT\n^)f
V v0 v. /
т т ■
ym = mfi0-Ts0+§ cpdT-T^ f^dT + RTln^A.
im^m
To T. x
В этих формулах теплоемкости cv(T) и ср(Т) отнесены к единице
массы. Постоянные U0, s0y i0 отвечают значениям U, s и i при
температуре Т0, давлении р0 и плотности р0. При рассмотрении
различных газов во многих случаях величины i/0, s0, i0, ср, cv и R
можно считать обратно пропорциональными молярной массе М.
Формулы G.8) получаются особенно простыми в практически
важном случае, когда можно принять, что теплоемкость cv
постоянна, т. е. не зависит от температуры. В этом случае из формулы
Майера D.5) R==c _^
следует, что теплоемкость ср тоже постоянна. Для совершенного
газа с постоянными теплоемкостями cv и ср из G.8) следуют
формулы
U m = mcvT+const, lm = mcpT + const,
S = ml
( ГрГ« >l ( „,v
'oP
= m
PoPy
G.9)
§7. Примеры идеальных и вязких сред. Теплопроводность 251
Отсюда
•-'•(£)
V CV
е
s-s0
G.1.0)
У*= U = cvTQ (-fry1 e°v + const,
m
где y=Cp/cv — коэффициент Пуассона. Связь G.10) между s, p
и р или соответствующую связь между s, Т и р можно
рассматривать для любых процессов как уравнение состояния, аналогичное
уравнению состояния Клапейрона p=pRT. Очевидно, модель
совершенного газа с постоянными теплоемкостями можно полностью
определить заданием только одной функции £/(р, s)
s- s0
U = cvTQ(-£-y~leCv +const. G.11)
Уравнение состояния Клапейрона [не соответствует
действительности для сильно сжатых газов, когда плотность очень велика. Это
уравнение неверно также для состояний, близких к точкам
конденсации газов в жидкость, и для жидкостей. Кроме этого, отметим, что
при очень малых температурах, близких к абсолютному нулю,
уравнение состояния Клапейрона и формулы G.8) перестают
удовлетворять общим законам термодинамики (второй закон, теорема Нернста
и ее следствия о поведении вещества вблизи абсолютного нуля).
г в в Рассмотрим идеальный газ, подчиняющийся
аз ан-дер- аальса уравнению состояния Ван-дер-Ваальса
где R, Ъ и а — положительные физические постоянные.
Уравнение G.12) является уточнением уравнения Клапейрона. Это
уравнение описывает процессы вблизи точек конденсации газа и
действительные связи для некоторых диапазонов жидкой фазы. Введение
в уравнение состояния G.12) знаменателя 1 —Ьр = 1 ^- приводит
к резкому возрастанию давления при приближении плотности р к
значению р*, которое выбирается большим. Добавочный член — ар2
также существен только при большой плотности р. С помощью
этого члена учитывается появление сил отталкивания между
молекулами, которые проявляются только при их сближении,
возникающем при большой плотности.
Из уравнения состояния G.12) и формул F.16) следует
(&)т— - №).-*<?>■ G-13)
252 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Если первое из этих равенств продифференцировать по Г, то станет
очевидным, что теплоемкость cv для среды Ван-дер-Ваальса
зависит только от температуры. Функция cv(T) определяется
свойствами среды. При фиксировании модели среды помимо уравнения
состояния G.12) необходимо задавать вид этой функции.
Из формул G.13) следует, что для газа Ван-дер-Ваальса
внутренняя энергия представляется формулой
т
£/ = f cv{T)dT—ap+const = o[-(p + ap2)(l-fep)j— ap.<7.14)
Функция Ф(Г) определяется очевидным способом через функцию
Су(Т).
Из уравнения притока тепла с учетом второго закона для
обратимых процессов в идеальной среде F.1) и уравнения состояния
G.12) легко получается формула для вычисления дифференциала
энтропии среды Ван-дер-Ваальса
RdL
Hi-dU 1 р И l -cv(T)dT 1 Р
о
Р
Отсюда
se J£Eme+/?in<L=M£! + cQnst. G.15)
п
Формулы для термодинамических потенциалов F> i и W газа
Ван-дер-Ваальса непосредственно следуют из их определений
F.4), F.7), F.9) и формул для энтропии G.15), G.14) и уравнения
состояния G.12) газа Ван-дер-Ваальса.
Рассмотрим еще общий случай двухпара-
Среда, в которой давле- метрической среды, для внутренней энер-
ние зависит только от г » г * . J r r
плотности гии которой верна формула следующего
вида:
U=№+<*(*). <7.16)
Из уравнений состояния F.2) при этом получим
Г=Ф'(в) и р=рГ(р). G.17)
Следовательно, в этом случае для любых процессов давление
зависит только от плотности, а температура — только от* энтропии.
Для такой среды конечные связи G.17) полностью заменяют собой
уравнение притока тепла.
Очевидно, что из формул G.16) и G.17) следуют также формулы
*=/i(p)+<P(s).
F=f{p)+*(T), G.18)
V4i(p)+<*(T)-
§ 7. Примеры идеальных и вязких сред. Теплопроводность 253
Легко видеть, что выполнение одной из формул G.18) влечет за
собой выполнение всех остальных формул G.18) и формулы G.16).
Ясно также, что если для частиц некоторой среды во
всевозможных обратимых процессах давление р зависит только от плотности
р, то отсюда следует, что температура может зависеть только от
энтропии и что для термодинамических потенциалов должны
выполняться формулы G.16) и G.18).
в) Модель вязкой жидкости
Определение модели вяз- Вязкой жидкостью (см. гл. IV) называется
кои жидкости среда, в которой компоненты тензора
напряжений и компоненты тензора скоростей деформаций связаны
соотношениями вида
PiJ=-pgiJ + -ciJKfi), G.19)
где т'у—вязкие напряжения, 2^ар = Va^p + Уэ^аэ a p не зависит
от еа$.
Если зависимость xij от еа& линейная и жидкость изотропная,
то
TiJ = Xgudivv + 2peiJ. G.20)
Таким образом, для изотропной линейной вязкой жидкости
Ри = — Pg° + № div v + 2jig< V4*3- G-21)
Вместо коэффициента А, можно ввести коэффициент второй
вязкости £
Коэффициенты £, К и \i для различных сред различны и могут быть
функциями температуры либо постоянными для данной среды
физическими коэффициентами. В некоторых приложениях требуется
рассматривать также среды, для которых величины к и \i являются
некоторыми функциями скалярных инвариантов тензора ец%
температуры Т и других переменных термодинамических
характеристик. В дальнейшем для простоты будем рассматривать практически
очень важный пример вязкой среды, для которой коэффициенты
£, \i — заданные постоянные.
Для определения модели вязкой жидкости следует еще задать
внутреннюю энергию как функцию, например р и s,
£/=£/(р, s),
а также дать сведения о величине dq\ так как движение вязкой
жидкости является, вообще говоря, необратимым процессом Щ'Ф
254 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Уравнения движения линейной вязкой жидкости с
постоянными коэффициентами вязкости — уравнения Навье — Стокса
имеют, как известно, вид
^ = /7-|gradp+(|+f)graddivz; + vA^, G.23)
где v={i/p — кинематический коэффициент вязкости.
Уравнение притока тепла с учетом второго закона
термодинамики можно написать в следующем виде:
du—T+Tds-^'- <7-24>
Работа ^ внутренних сил Вычислим элементарную работу внутрен-
в вязкой жидкости них напряжений, отнесенную к единице
массы вязкой жидкости. Подставим pij из
G.19) в общее выражение для работы внутренних поверхностных
сил, получим
dm P J p '' 9 J Р Р
G.25)
Вследствие уравнения неразрывности div^ = ~ будем
иметь
l-dA(i)^pd-——l±dt. G.26)
Давление и температура Из G.24) и G.26) получим
в вязкой жидкости
dU^—pd^ + '^dt + Tds—dq'. G.27)
Примем по определению, что для вязкой сжимаемой жидкости
(вязкого газа), так же как для идеальной сжимаемой жидкости
(идеального газа), давление р и температура Т для любых
процессов определяются из соотношения *
dU = —pd± + Tds, G.28)
т. е. имеют место формулы
Некоторым основанием к введению подобной модели может
служить то, что параметры р и Т в покоящейся вязкой жидкости
1 Это существенное допущение, называемое фсрмулсн Гиббса, позволяет
немедленно установить формулу для некомпенсированного тепла dq'.
§7. Примеры идеальных и вязких сред. Теплопроводность 255
т. е. при ei7-=0, должны совпадать с соответствующими
параметрами в покоящейся идеальной жидкости. То же получится, когда
жидкость движется как твердое тело. Вязкие напряжения
появляются только при движении с деформациями.
Выведенной модели вязкой жидкости дав-
Выражеяиедля некомпен- дение, температура, энтропия и внутрен-
сированного тепла в вяз- * r J r r J r
кой жидкости няя энергия связаны соотношениями, не
зависящими от свойства вязкости. Из
сравнения уравнений G.27) и G.28) получаем выражение для
некомпенсированного тепла, которое верно в общем случае нелинейной
вязкой жидкости:
dq> = x!hidt. G.29)
Диссипация механической Покажем, что наличие dqf обусловливает
энергии в вязкой жид- диссипацию механической энергии при
движении вязкой жидкости. В самом деле,
теорема живых сил для вязкой жидкости может быть записана
в виде
2 dm ' r p p
Величина — A/р) х^е^ dt — —dq', представляющая собой
отнесенную к единице массы работу сил вязких напряжений, всегда
отрицательна (или равна нулю, если е.у = 0), так как^'^О.
Поэтому за счет работы вязких напряжений кинетическая
энергия жидкости может только уменьшаться.
Если вязкая жидкость линейна и изо-
Положительность коэф- Тр0пна т0 подставив закон Навье—Стокса
фициентов вязкости £ лт > > ^
G.20) в выражение для
некомпенсированного тепла G.29), получим, что
d?'- Ix'Vtf- f[(C-yl*) (<6)а + 2цг%] =
= |[^/? + 2ц(/2-|-)], G.30>
где /i и /2 — первый и второй инварианты тензора скоростей
деформаций, определяемые формулами Ii=gi^ijJ /2=е^е/7. Легко
проверить, что в главных осях тензора скоростей деформаций
выражение
/.-/г/з
может быть представлено в виде суммы квадратов, а именно:
'.-Н<;-т)ч^)'+(<.ч)'>°-
256 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Отсюда непосредственно вытекает, что для произвольных движений
в произвольной системе координат/а—11/3^0. Так как формула
G.30) применима для произвольных движений и по условию £ и \i
не зависят от вц, то из второго закона термодинамики (dq'^0)
следует, что £>0 и [i>0.
В самом деле, если жидкость движется так, что объем каждой
частицы не меняется, to/i=0 и dq'=2ixl2dt/p^0. Но /2^0 всегда,
и поэтому [х > 0. Для всестороннего сжатия или расширения
частицы, т. е. когда eij=egih
/2_/х73 = 0, Ж7' = даг/Р>0,
и, следовательно, £>0.
Рассмотрим теперь еще вопрос о способах передачи тепла к
объему сплошной среды.
D Тепло к среде может поступать с помощью
Вектор потока тепла r J
различных механизмоз: за счет
теплопроводности, излучения, электрического тока, химических реакций
и т. д.
Рассмотрим процесс теплопроводности, т. е. процесс передачи
тепла за счет неравномерности распределения температуры в теле.
В этом случае тепло к любому выделенному в среде объему Ат
поступает только через поверхность 2 этого объема. Таким
образом, имеем
2
где Q—некоторая функция точек поверхности 2,
ограничивающей объем Ат. Из уравнения притока тепла вытекает, что при
стягивании 2 в точку величина dQ{e) имеет порядок hxdt, т. е.
dQ{e) = dq{e) pАт, где dqie) — малая порядка dt.
Отсюда следует1 , что поверхностный интеграл )Qda должен
сводиться к объемному, т. е. для величина Q на 2 должна иметь
место следующая формула:
Q = — (qlnt + q2n2 + q*nz) dt,
где ni—козариантные компоненты единичного вектора внэшней
нормали к 2. Так как Q—скаляр, то конечные величины q{ (*\ xf, xs, /)
можно рассматривать как контравариантные компоненты
вектора #, определенного во всех точках среды. Вектор q
называется вектором потока тепла. Этот вектор характеризует
направление передачи тепла и по величине равен количеству тепла,
протекающему в единицу времени через единичную площадку,
перпендикулярную к этому направлению. Количество тепла, про-
1 Этот эувод получается тем щг nyrevi, как и формула B.4) гл, III дтя р,г
§7. Примеры идеальных и вязких сред. Теплопроводность 257
текающее через произвольно ориентированную площадку da за
время dt, будет, очевидно, равно qndadt (n—нормаль к do),
а общий приток тепла dQ{e) к объему V
может быть представлен в следующем виде
(рис. 36):
dQ<'> = — \q-ndodt,
где п—внешняя нормаль к поверхности 2.
По теореме Гаусса — Остроградского
dQ}e) = —\&\Yqdxdt.
Рис. 36. Вектор потока
тепла q
(n—единичный вектор внешней
нормали к 2)
Количество тепла, поступающее к бесконечно
малому объему dx за время dt9 будет равно dQ{e)=* — div qdxdt, a
к единице массы среды—
^) = _1 div qdt.
G.31)
Закон теплопроводности Законы, определяющие вектор q, могут
фУРье быть различными.
Основным, наиболее распространенным, хорошо
оправдывающимся во многих случаях на практике законом, определяющим qy
является закон теплопроводности Фурье, который имеет вид
<7 = — xgradT.
Вектор потока тепла и градиент температуры имеют,
естественно, противоположные направления, поэтому х>0. Коэффициент
и носит название коэффициента теплопроводности. Можно
рассматривать частные важные примеры, когда коэффициент к постоянен
или является функцией температуры Т.
Выражение для притока Рассмотрим практически очень важный
тепла за счет теплопро- простой случай, когда х = const. Тогда для
водности, подчиняющейся притока тепла dq(e) на единицу массы среды
закону Фурье
получим
dt
или
где AT — оператор Лапласа от температуры.
В декартовой системе координат
dt
р V дх* "*" ду2
'д*Т \
17. Л.И. Седов
258 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Уравнение притока тепла Таким образом, уравнение притока тепла
для вязкой теплопровод- для вязкой жидкости в том случае, когда
НОИ ЖИДКОСТИ ^ о ^
приток тепла к ней обусловлен
теплопроводностью по закону Фурье, будет иметь вид
W—р^+т^+7ат G32)
или, на основании G.28),
at p 1/ .р
Для жидкости, удовлетворяющей закону Навье — Стокса^ эго
уравнение согласно G.30) может быть записано еще следующим
образом:
Tw=} (div ^2+T [e'7eiJ-j <div ")'.] +1"Ar- <7-33)
Это уравнение может служить для определения распределения
температуры в жидкости. Внутренняя энергия U или энтропия s
при этом должны быть известны как функции температуры и
плотности. Например, если
[/=J^dr+const,
то в декартовой системе координат имеем
dU dT (дТ , дТ . дТ . дТ
и уравнение притока тепла G.32) в случае покоящейся среды
совпадает с обычным уравнением теплопроводности
dt ~~ рс7 V д*2 ^2 "*~ д*2
Полная система уравне- Если внешние силы заданы, то уравнения
нии движен«я вязкой Навье — Стокса, уравнение неразрывности,
ЖИДКОСТИ ' J г ,п о^ч v '
уравнение притока тепла G.33) и
уравнения состояния представляют собой полную систему уравнений для
описания движений сжимаемой вязкой (линейной изотропной)
теплопроводной жидкости.
Примером модели вязкой сжимаемой среды может служить
модель вязкого теплопроводного совершенного газа, в котором
U=:cvT + const, p = pRT.
Мы подробно рассмотрели некоторые важные модели
жидкостей и газов. В последующем будут так же подробно изучены
некоторые наиболее важные модели твердых деформируемых тел
и, в частности, упругих тел.
§8. 1-й и 2-й законы термодинамики для конечных объемов 259
§ 8. Первый и второй законы термодинамики
для конечных объемов сплошной среды. Производство
энтропии в некоторых необратимых процессах
Первый и второй законы Напишем теперь выражения первого и вто-
термодинамики для конеч- ропгзаконов термодинамики в
интегральных объемов сплошной » * г гтт
" едь| нои форме для конечных масс среды. Для
простоты ограничимся допущением об
аддитивности внутренней энергии и энтропии по массам частиц
конечного объема тела. На основании теории, развитой выше, эти
уравнения можно написать в следующей форме:
v v
В этих равенствах V — конечный подвижный индивидуальный
объем; в притоках внешней энергии выделен приток энергии через
поверхность 2, ограничивающую объем V, определяемый
вектором q*.
В обозначении этого вектора (#*) звездочка означает, что это
полный удельный поток энергии, не связанной с работой
механических сил (как тепловой, так и нетепловой). Добавочный член
в (8.1), содержащий dq^Jdty определяет внешний массовый
приток энергии, это может быть джоулево тепло,работа внешних
массовых пар и т.д. Остальные обозначения см. выше.
Рассмотрим процесс теплопроводности в не-
Теплопроводность как не- подвижном теле. Как в приведенном выше
обратимый процесс / * е • \
F F частном примере (см. § 5 этой главы),
примем, что в этом случае dq' = 0\ тогда
Tds = dq{e)=— -divqdt. (8.3)
Это соотношение выполняется в покоящейся вязкой теплопроводной
жидкости. В этом случае уравнение (8.2), преобразованное с помощью
формулы Гаусса - Остроградского, дает
§ = -j±div?dT=-f^da + j(<jr.gradJr)dT. (8.4)
Это равенство при условии (8.3) верно при любом теплообмене
данной части среды с внешними телами.
Согласно (8.4) энтропия может возрастать или убывать за счет
интеграла —\ ^~do при дпфО. Если тело теплоизолировано, то
это значит, что на его поверхности qn = 0, но внутри тела из-за
неравномерности распределения температур вектор q может быть
отличен от нуля.
260 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Таким образом, для теплоизолированного тела получим
dt
= _^<L#£Ldx. (8.5)
Величина dSldt в этом случае всегда больше нуля, так как
энтропия за счет теплопроводности растет, поэтому по второму закону
термодинамики скалярное произведение векторов q и grad T всегда
отрицательно.
Согласно закону Фурье q=—х grad T, х>0. При наличии
закона Фурье равенство (8.5) принимает вид
f—J-^|gradT|»dx. (8.6)
V
Таким образом, несмотря на отсутствие притока тепла извне
к телу в целом, при условии Tds=dq{e\ dq'=0 получается, что
энтропия тела в целом растет. Проведенное рассуждение
представляет собой обобщение примера, приведенного в § 5 этой главы.
Из проведенного рассуждения ясно, что условие dq'=0 не
является достаточным условием обратимости процессов.
., „ - Для получения достаточного критерия об-
Критерии необратимости ^ J r r
v v * ратимости процессов можно поступить
следующим путем. Положим
dS=deS+diSt (8.7)
где dS — дифференциал энтропии, a deS и dfS — бесконечно малые
слагаемые, причем deS определяет приращение энтропии за счет
притока энтропии извне, происходящего за счет тепло- и массообмена с
внешними телами, и может иметь любой знак. Величина d;S по второму
закону термодинамики при наличии необратимости существенно
положительна и дает рост энтропии за счет внутренних необратимых
процессов. Для обратимых процессов d{S = 0. В предыдущем примере для
тела в целом имели
dS _ deS diS С qn . С g.grad Г ,
Ж-"ЧГ+ЧГ )~Гйо~ J Г* ат-
2 V
На основании данных выше определений необходимо положить
Z. V V
Отсюда для плотности изменения энтропии получим ds = des + dts,
\ о о • gradT
где des = — div—d*, d:S = -a—dt. Из этих формул следует, что в
Р Т pTz
общем случае Tdfi^dq'. Иногда, например в некоторых случаях при
отсутствии градиентов температуры, TdiS Ф dq' может иметь место.
Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики 261
Формулы для производства Обычно величины des и d{s определяются
энтропии^ формулами следующего вида:
*dJ^±) _LdivS, p4i = o = IXexe>0. (8.8)
dt l^JMacc P dt «
где 5 - вектор потока энтропии, а определяет скорость необратимого
роста энтропии за счет внутренних процессов, %а называются
обобщенными потоками, а Ха - обобщенными термодинамическими «силами». В
случае теплопроводности в неподвижной среде имеем
Т2 дха '
В случае движения вязкой теплопроводной жидкости формула (8.8) для
djS/dt имеет вид
djS _ 1 т% g•gragr _ 1 dq q• gragl _ u k
dt p T pT2 ~T dt pT2 Xij kX '
*y=y> XiJ = €li* ^"""Fa?"' x q
Во многих случаях предполагается, что существуют связи между
потоками ха и «силами» Ха. Законы Навье-Стокса и Фурье дают частный
пример связей обобщенных потоков и термодинамических «сил».
Соотношения, связывающие Ха и %а, называются кинетическими
соотношениями. Примером кинетических соотношений являются законы
Навье-Стокса %ij = AiJklekh т.е. XlJ = pTA^Xki и Фурье
4<=_K<>iI,T.e. x^prV^.
dXj
В систему соотношений, определяющих математическую модель среды с
необратимыми процессами, всегда входит выражение для dtS/dt и
кинетические соотношения, которые постулируются на основании опытных
данных и различных принципов.
Во многих моделях обобщенные термодина-
рющип Онзагера мические силы считаются линейными
функциями обобщенных потоков
Xa = La^> (8.9)
где Lap являются в общем случае функциями параметров состояния и
называются кинетическими коэффициентами. Принцип Онзагера -
принцип симметрии кинетических коэффициентов - утверждает, что если
среди аргументов Lap нет аксиальных векторов, то
AxB=Lea. (8.10)
Если же диссипативные процессы, в частности Lap, зависят от
аксиального вектора В (например, от напряженности магнитного поля), то
262 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
принцип Онзагера утверждает
L^(B) = L^(-B). (8.100
Дисышатшшая функция в общем случае при наличии связи1 между
Х° и Хр величину а можно рассматривать
как функцию ха или как функцию Хр, т.е.
^аХа = ст(Хр) = а(ха). (8.11)
Функцию а будем называть диссипативной функцией. Например, для
вязкой теплопроводной жидкости на основании законов Фурье и Навье-
Стокса получается формула
IgradTI2 \rf ,- 2 .
*1-\ыф
В ряде теорий необратимых процессов постулируются следующие
формулы (не вытекающие непосредственно из (8.11)):
Ха=Ш/д%а и ха = тЭо-/ЭХа, (8.12)
где X и пг—некоторые скалярные функции, для которых на
основании (8. И) верны формулы
Х = а/(хаЭа/Эха) и /п = а/(ХаЭа/ЭХа). (8.13)
Из (8.11) и равенства
do = Ха dXa + Xa d%a при da ф 0 (8.1*)
следует, что X + та = 1.
На основании (8.1^) легко усмотреть, что из одного из
равенств (8.12) следует другое, если все дифференциалы dXa и
соответственно дифференциалы d%a в некоторых областях значений
переменных Ха или %а линейно независимы. Справедливость этого
предположения может нарушаться при наличии связей вида
ЫХэ) = 0, со>1 или Фк(хр) = 0, х>1.
В общем случае, если известно, что функция а зависит от %п,
вместо первого из равенств (8.It) при %адо/д%аф0 можно написать
Ха=*Эа/Эха+Па, (8.15)
причем из (8. И) и (8.13) получим
ЙаХа = 0. (8.16)
величину Qa можно рассматривать как часть «силы» Ха, не
вызывающую диссипации. Равенство (8.16) удовлетворяется
тождественно, если Qa = *арХ^ гДе II *ар II - произвольная антисимметричная
матрица (кф = -*ро).
1 Существование конечных связей между %а и Х$ для всевозможных моделей
сплошных сред необязательно.
Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики 263
При наличии между хр связей в определение моделей можно
вводить отличные от нуля величины £2а, удовлетворяющие
равенствам (8.16) только' в силу уравнений связей фк(хэ) = 0, х =
= 1, 2, .... s>l.
Если диссипативная функция—однородная функция своих
аргументов, то на основании теоремы Эйлера об однородных
функциях кит получаются постоянными. Если диссипативная
функция— квадратичная форма своих аргументов, то Х = т= 1/2.
В этом случае соотношения (8.12) определят собой линейные связи
между «силами» Ха и потоками %а. Из формул (8.12), когда а —
квадратичная форма %ау следует, что матрица из коэффициентов
этих линейных связей симметрична, что согласуется с принципом Он-
загера. Поэтому предположение о том, что и в нелинейном случае
кинетические соотношения имеют вид (8.12), можно рассматривать как
обобщение принципа Онзагера.
Во втором томе книги мы покажем, что в теории идеальной
пластичности можно рассматривать соотношение (8.8), в котором
функция о является однородной функцией первой степени от %а\
в этом случае h*= 1, а формула Ха = да/дха может сохранять свою
силу, но величины Ха оказываются связанными соотношениями
вида /^(XpJ^O, со>1. Соответствующие формулы для %а(Хд)
изменяют свой вид по сравнению с (8.12). О принципе Онзагера см.
также § 11 этой главы.
§ 9. Введение в теорию моделей смеси жидкостей или газов
с учетом химических реакций и диффузии компонент
О постановке задачи Во многих важных явлениях необходимо
о движении смеси в целом ИЗучать процессы, в которых происходит
движение смеси или различных газов и
жидкостей, или газов и жидкостей с твердыми частицами, или
только жидкостей,, сопровождающееся химическими, фазовыми или
некоторыми другими превращениями и явлением диффузии,
представляющим собой внутренние относительные движения веществ,
составляющих смесь. Соответствующие процессы в некоторых
случаях можно считать обратимыми, однако в общем случае
необходимо учитывать необратимость и многообразные внутренние
силовые и энергетические взаимодействия. Для описания
соответствующих явлений можно строить различные модели применительно
к некоторым выделенным классам смесей и движений с
соответствующими физико-химическими превращениями.
Дальше при конструировании частных моделей будем исходить
из постановки задачи о многокомпонентной сплошной среде1 ,
данной в § 1 гл. III. В связи с этим для бесконечно малого
объема AV введем в рассмотрение соответствующие массы
компонент m{^=pi/SV и векторы потоков диффузии /^рДя,—v) для N
1 В некоторых случаях отдельные выводы последующей теории приложимы,
когда компоненты смеси занимают смежные объемы.
264 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
различных компонент, образующих смесь и определенных физически
или химически как различные, вообще говоря, реагирующие между
собой вещества, одновременно занимающие один и тот же объем AV.
В общем случае для описания взаимодей-
0 характеристиках ствия между компонентами смеси необхо-
макроскопических частиц "J
СШсп димо определить и выделить параметры
компонент или смеси в целом, которые
характеризуют механические, физические и химические свойства,
существенные для описания и формулирования основных
закономерностей в рамках точек зрения и требований, обусловленных
постановками рассматриваемых задач. Например, в качестве таких
определяющих и определяемых параметров можно вводить
рассчитанную • на единицу массы смеси энтропию s, плотность смеси
в целом р, плотности отдельных компонент plt p2, ..., р^. При
отсутствии термодинамического равновесия в частицах смеси между
разными компонентами, но при наличии равновесия внутри каждой
компоненты, можно использовать в качестве характеристик
состояний абсолютные температуры 7\, Г2, ..., TN отдельных
компонент1 . Сюда же можно причислить различного рода введенные
и изученные раньше геометрические и кинематические
характеристики свойств деформации частицы, а для учета диффузии
компонент например векторы потоков диффузии /,.. В ряде примеров
существенны такие характеристики атомов и молекул компонент,
как величины их зарядов, в случае наличия ионизации, их
электромагнитные характеристики, или энергии возбужденных состояний
молекул и атомов и т. п. В общем случае для формулировки
законов взаимодействия, переноса энергии и кинетических
уравнений требуется учитывать не только величины указанных
параметров, но и их градиенты, т. е. их производные, вообще говоря,
различных порядков по координатам и времени.
Построение моделей смеси производится также для
исследования явлений движения плазмы, представляющей собой смесь ионов,
электронов и нейтральных частиц. Для плазмы очень важны
макроскопические электромагнитные взаимодействия между
компонентами внутри частицы и для частицы плазмы как смеси в целом с
внешними электромагнитными полями.
Макроскопически смесь можно рассматривать как одну среду
с усложненными свойствами, характеризуемыми системой
внутренних параметров, к которым в первую очередь можно относить
величины плотностей р1У р2, . . . , Pjv компонент смеси. Для определения
модели смеси необходимо, кроме установленных выше
универсальных механических и термодинамических уравнений, устанавливать
1 Наличие температурной равновесности внутри частиц каждой
компоненты при отсутствии равновесности по температуре в частице между разными
компонентами, занимающими один и тот же объем, является довольно сильным
допущением, справедливость которого в рассматриваемых явлениях необходимо
обосновывать дополнительными физическими соображениями.
§ 9. Введение в теорию моделей смеси жидкостей или газов 265
еще дополнительные уравнения как формулировки законов для
определения внутренних характеристик состояний и, в частности
для определения плотностей компонент р*.
В общем случае, кроме уравнений меха-
Уравнения баланса масс ники для СКОрОСТИ v и ПЛОТНОСТИ р, МОЖНО
лля компонент смеси ^ г г»
** еще написать уравнения баланса масс,
установленные в § 1 гл. III, содержащие плотности р,- и скорость смеси
в целом v. Эги уравнения * имеют вид
5y^'=|-4p/.div«; = >e/-div//. (9.1)
Величины х,-ДКи div /* AV определяют в подвижном
индивидуальном объеме А V смеси в целом продукцию в единицу времени массы
mi компоненты с номером i из-за физико-химических превращений
и диффузии. Для получения из (9.1) действительных уравнений для
Pi или ct необходимо опереться на предварительно полученные
физико-химические законы, определяющие х* и /,-. Подобно тому как
при установлении законов, определяющих силы в зависимости от
типа и условий взаимодействий, используется второй закон
динамики, для определения законов для х^ и /j, отвечающих
действительности, необходимо опереться на гипотезы, которые затем должны
проверяться в опытах с привлечением уравнений (9.1).
Например, таким путем в химии без учета
^НефизЯикЙим?че«их Авижения устанавливаются, а затем экст-
превращений раполируются на случай наличия
движения основные уравнения баланса масс при
фазовых переходах и химических реакциях; эти уравнения имеют
вид
*i = WT7=Mi£ vi«w« С-1» 2» •••• *0- • (9.2)
а=1
Здесь г(а=1, 2, ..., /•) —число одновременно происходящих
независимых2 реакций или фазовых переходов; величина dm)/dt
даеъ изменение массы mi компоненты вещества с номером i в
данном малом объеме AV за счет физико-химических превращений;
М(—молярные массы; via—стехиометрические коэффициенты,
которые отрицательны для компонент, вступающих в реакцию, и
1 В приложениях часто удобнее вместо плотностей компонент р/
рассматривать массовые концентрации с,- = р//р 0 = 1, 2, ...,*N). Очевидно, что для
£/ верны следующие уравнения:
ЗУТГ-'л-M'-dhr'' ('=1' 2 N)- (9Л,)
2 Каждая из независимых реакций отвечает различным формулам реакций,
содержащим различные компоненты, и может протекать, вообще говоря, когда
все остальные реакции отсутствуют.
Вопрос о возможном- числе г независимых реакций и фазовых переходов при
равновесии (правило фаз Гиббса) рассматривается в физической химии.
266 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
положительны для продуктов реакции, когда реакция идет в
направлении, положительном по условию, т. е. когда wa > 0; если
данная компонента с номером i в реакции с номером а не
участвуют, то Via = 0; произведения М^а определяют собой
массовые доли соответствующих компонент, участвующих в реакции
с номером а; величины wa характеризуют быстроту протекания
в данной смеси реакции с номером а. Очевидно, что продукции
масс компонент смеси в рассматриваемой реакции в единицу
времени и в единице объема пропорциональны величине wa. Если
.реакция с номером а идет, то хюаф0, в противном случае z0a=O.
Закон сохранения массы для смеси в целом и для каждой
реакции в отдельности дает соотношения
S%a=0, a=l, 2, .... г и 2*/ = 0. (9.3)
Формулы (9.2) дают выражения величин к{ (i=l, 2, ..., N)
через скорости реакцийwa (а=Г, 2, ..., г). Согласно (9.2)
проблема определения функций х/ сводится к установлению
дополнительных физико-химических законов для г функций—скоростей
wa протекания превращений. При г < N число дополнительных
соотношений для х; согласно (9.2) сокращается на N—г.
Если в смеси из N компонент (N ^ 2) происходит только один
фазовый переход между компонентами, занумерованными
индексами 1 и 2, причем молекулярные веса фаз одинаковы, то
г^=1, *=1, 2, ..., N, Мг = М% = М,
vu«— 1, v21=l, v81=...=vM = 0,
Х! = — Mwly K2 = Mwly к8 = ... =х^=0.
Рассмотрим еще пример смеси, состоящей из водорода Н2 с
молекулярным весом iWi=2, кислорода 02 с молекулярным весом
Af2=32, паров воды Н20 с молекулярным весом Л18=18 и
некоторого инертного газа. Предположим, что происходит единственная
химическая реакция, состоящая в образовании паров воды согласно
химическому уравнению
2Н2+02=2Н20.
В этом случае очевидны следующие численные значения и
соотношения:
г=1,.Л^ = 4, vu=—2, v2i*=-l,: v81 = 2, v41 = 0,
*!*=—4wl9 x2 = —32^, х8 = 36ш1, x4 = 0.
Для необратимых процессов зависимость скоростей waat
параметров, определяющих состояние и состав смеси, принято называть
уравнениями кинетики химических реакций или кинетики
физических процессов, если речь идет о перераспределении масс компонент,
§ 9. Введение в теорию моделей смеси жидкостей или газов 267
не связанном с изменением природы частиц, из которых составлены
компоненты. Если на основании дополнительных законов или
данных с соблюдением уравнений баланса масс величины р* и v
определены в зависимости от некоторых параметров, то при отсутствии
диффузии величины wa при г <ЛГ можно определить из (9.2) и (9.1).
Ниже будет показано, что именно так обстоит дело, когда физико-
химические превращения происходят обратимым путем.
Вопросы о законах, определяющих векторы потоков диффузии /*,
находятся в центре внимания термодинамики необратимых
процессов; ниже эти законы рассматриваются в связи с формулой для про^
дукции энтропии, обусловленной внутренней диссипацией энергии.
Введение конкретной модели смеси суще-
Внутренняя энергия ственным образом связано с выделением
смеси в целом системы определяющих параметров
(аргументов) и с определением внутренней энергии для смеси в целом
как фиксированной функции этих параметров (аргументов). В § 6
рассмотрены двухпараметрические идеальные сжимаемые жидкости
или газы, для которых внутренняя энергия малой частицы
определена как некоторая функция удельной энтропии s, плотности р
и пропорциональна массе т частицы. При рассмотрении смеси
в целом в качестве основного предположения можно принять, что
внутренняя энергия Um jyiiTмалой частицы смеси представляется
в виде
Um^Um(sy р, щу щ% ...,' mN% x\ X*, •••, хО, (9-4)
гДе X1» X2» • • • » X1 — некоторые параметры, характеризующие
внутренние Процессы и состояние смеси. Например, это могут быть
различные температуры компонент, характеристики внутренних
относительных макроскопических движений компонент и, в
частности векторы диффузионных потоков или характеристики
взаимодействий, обусловленных расположением и структурой компонент,
компоненты тензоров деформаций различных компонент смеси,
параметры, характеризующие электромагнитные свойства
компонент, и другие величины. За счет изменения параметров %{ можно
рассматривать изменение внутренней энергии, связанное с работой
внутренних макроскопических массовых сил взаимодействия между
компонентами при относительном движении компонент за счет
диффузии.
Простейшее обобщение моделей двухпараметрических идеальных
сред, рассмотренных в § 6, на случай смеси можно получить, если
сузить вид функции (9.4) и воспользоваться следующим основным
предположением:
Um=Um(sy р, ти т%, . . . , mN). (9.5)
Отсутствие в формуле (9.5) других параметров типа х* ведет к
ряду упрощений/но вместе с этим из рассмотрения исключаются
268 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
некоторые эффекты, которые могут проявляться в действительных
явлениях в смесях с усложненными свойствами, например в плазме.
На основании формулы (9.5) можно написать:
В формулах (9.5) и. (9.6) аргументы и дифференциалы ds, d A/p)
и N дифференциалов dmk можно считать независимыми и в
некоторых пределах произвольными.
Приращению dUm, вычисляемому по формуле (9.6), можно*
поставить в соответствие изменение внутренней энергии
индивидуальной частицы при ее движении или изменение Vm за счет перехода
от одной частицы к другой и, вообще говоря, при многих других
лействительных событиях. В связи с формулами (9.5) и (9.6) можно
рассмотреть следующие функции:
m6(s, p, т1У т2У ..., m^) = -gj2,
mp'(s, р, щ% т2, ..., mN)=* — ^, (9.7)
li'k(sf p, щ% т2, ..., m„)=(^)s p,
где т=т1+т2+. . .+mN.
Согласно формулам F.2) для обратимых процессов в двухпара-
метрических средах при dq**—0 верны равенства 6=Г и р'=р,
где Т — абсолютная температура, ар — давление. Очевидно, что
и в данйом случае для обратимых процессов при mft=const и dq** =
=0 смысл 9 и р' будет тем же самым.
В более общем случае при переменных mk для необратимых
процессов и отличном от нуля dq** формулы (9.7) при 9=7 и р'=р
можно рассматривать как определение температуры и давления в
этих усложненных случаях. Определение функции (9.5),
отвечающей данным опыта, можно свести к определению на основании
опытов функций 9 (s, p, mu пг2, . . . , mN)y p' (s, р, ть т2, . . . , mN)
и f4 (s, р, ш1у /п2, . . . , mN), которые должны удовлетворять
условиям интегрируемости.
Функции
ftk-ti-es+p'l (9.8)
называются химическими потенциалами. На основании (9.6) и
(9.7) нетрудно проверить справедливость равенства
^-(т^О . (9-8')
где Sm==ms и AV = m/p.
§ 9. Введение в теорию моделей смеси жидкостей или газов 269
Свободная энергия о Для более подробного выяснения физиче-
и термодинамический ского смысла величин ufe рассмотрим на-
потенциал смеси „ г я „r r
" ряду с внутренней энергией частицы смеси
Uт свободную энергию Fm и термодинамический потенциал ¥от,
определенные формулами
Fm(sf р, щ, т2, ..., mN) = Um—m9s,
l (9 91
Wm(s, p, mv m2, ..., mN) = Um—mQs + mp'j.
Вместо переменных s, p можно на основании равенств (9.7) ввести
в функцию Fm аргументы р и 0, а в функцию Ч*т— аргументы 8
и р''.
На основании формул (9.9) легко непосредственно проверить
справедливость равенств
Vk \dmkip>,Q \dmkJs,i/p ^H p V dmk J p, 9 H p v '
и равенств1
ц = №Л =(dEz) = №Л /9 in
r* \dmkJP>,Q \dmkJs AV=jn_ \ dmk Je. av' v* ;
p
В некоторых случаях в опытах определение функции /7m(s, p, mh)
удобнее заменить определением функций /7m(9, p, mk) или
^т(9, /Л тй)г Непосредственное определение химических
потенциалов \ik как функций аргументов 6=7\ /?'=/? и mfe на основании
опытов обычно удобнее, чем определение функций \i'k (s, p, mk).
Если можно пренебречь неаддитивностью
Однородность термодина- внутренней энергии по массе и, в част-
мических функции отно- J r r *
сительно масс ности поверхностной энергией частицы или
энергией, зависящей от формы частицы,
то в качестве основного результата опытов можно принять, что
при одинаковых удельной энтропии s и плотности р с увеличением
всех масс mk, составляющих смесь, в л.раз энергия увеличивается
тоже в п раз. В частности, это допущение выполняется для всех
тел, в которых можно считать внутреннюю энергию Гвсего тела
равной сумме внутренних энергий любых его частей. Это
предположение накладывает следующую связь на функцию (9.5):
nUm(s> Р» mi> Щ* • • •> m#) = ^/»(s> Р» пт\у пт2> • • •> л/и^),
(9.12)
т. е. внутренняя энергия является однородной функцией масс mf
первой степени. Предположение (9.12) может выполняться и в том
случае, когда внутренняя энергия неаддитивна.
1 Следует подчеркнуть, что формулы (9.7), (9.9), (9.10) и (9.11) вытекают
математически из определения (9.5).
270 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Полагая n-1=m1+m2+...+tnN=m, из (9.12) получим
Um(s* P> mi> m2> ••••» "V) = m(/,a(s> P» *i. ^2. •■•. 4v). (9.13)
где^——= ——массовые концентрации компонент смеси.
Из соотношений (9.12) и (9.9) следует, что функции
Fm(Q, р, /пЛ) и "¥т(р\ 0, тЛ) также удовлетворяют равенствам
вида (9.12), т. е. тоже являются однородными функциями первой
степени по mk. В этом случае на основании теоремы Эйлера об
однородных функциях и равенств (9.10) получим
N N
V^Lm^l^^As, P.cJ + Os-f], (9.14)
Л=1 Ч~ «/И. " Л=1
Подчеркнем, что ^ в общем случае являются не только
функциями s, р или 0, р или 0 и /?', но могут зависеть еще от отно-
шении — = ct, —- = с2, ..., —=cN.
В качестве примера рассмотрим формулы
Смесь совершенных газов для термодинамических функций для
смеси совершенных газов. Формулы G.8),
дающие выражения для термодинамических функций совершенного
газа, .можно рассматривать как формулы для термодинамических
функций отдельных компонент с массами mkl для которых
определены соответствующие величины рл, Tk, рк, cvk(Tk)y cPk(Tk) и
значения всех постоянных. С другой стороны, эти же формулы
можно рассматривать как определение характеристических
термодинамических функций смеси в целом в равновесном состоянии
с соответствующей плотностью р, температурой Т и давлением /?,
если смесь в целом можно считать также совершенным газом.
Для получения термодинамических функций и всех констант
для смеси в целом в зависимости от масс mk и других характеристик
смешиваемых компонент можно провести следующие мысленные
опыты. Если взять два разных разделенных непроницаемой
перегородкой объема с массами mx и пг2 одного и того же совершенного
газа, каждый из которых находится в равновесии, то после снятия
перегородки равновесие не нарушится, если давления и
температуры газов одинаковые. Из-за равенства давлений не возникнет
движения, а равенство температур исключит возможность
теплообмена. На основании уравнений состояния из равенства давлений и
температур следует равенство плотностей. Из формул G.9), которые
§ 9. Введение в теорию моделей смеси жидкостей или газов 271
имеют место для первого и второго газов с множителями тх и mt
соответственно, следуют такие же формулы с теми же постоянными
cv и Ср для системы двух газов как целого, но только с множителем,
равным т1-\-т2. Очевидно, аналогичное положение сохраняется
и в случае контакта большего числа масс ти т2, . . ., mN одного и
того.же газа.
Если рассмотреть такой же опыт с объемами двух различных
газов с массами тх и т2, то несмотря на равенства давлений и
температур до снятия перегородки, после снятия перегородки
состояние системы из двух разных газов в целом не будет равновесным, так
как после удаления перегородки, благодаря диффузии, состояния
смешанных газов с равномерным распределением веществ каждого
из них по всему суммарному объему обладают большей
вероятностью, чем первоначальное состояние с неравномерным
распределением масс. При отсутствии внешних притоков тепла переход от
первоначального (непосредственно после снятия перегородки)
неравновесного состояния с энтропией Smi+mt> равной сумме
энтропии разделенных компонент, к состоянию с энтропией Smi+m2
конечного равновесного (более вероятного) состояния приведет к
росту энтропии. Поэтому для смеси в целом должно быть
>SmAP,T)+SmAP> T).
Однако этот вывод существенным образом связан с тем, что
смешиваются различные газы. Если смешиваемые газы тождественны,
то начальное состояние совпадает с конечным и
Sml + mt = Smt(pJ T) + Sm9(p, T).
Для смеси N различных с точки зрения некоторых существенных
физико-химических признаков совершенных газов можно исходить
из допущения, что смесь состоит из N различных газов, занимающих
один и тот же объем, причем можно вводить характеристики и
уравнения состояния для равновесных состояний каждого газа отдельно
и независимо от присутствия в этом же объеме других газов.
Согласно этому допущению пренебрегается энергией взаимодействия
газов, поэтому в силу G.8) выполняется равенство
V* = Vmt G\) + Vmt (T2) + ...+Um„ (TN) =
-«Z?(ио* + f cv*(T)dr) . (9.15)
k=l \ T J
Jok
Кроме того, для N совершенных газов в смеси введем
парциальные давления р1э р2, ..., pN и давление р смеси в целом,
/?
определяемые уравнениями состояния Рл = Рл^;к^==Р*тр Тк
272 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
(R0—универсальная газовая постоянная) и законом Дальтона
/»-Еа-£р*«Л-рЕ5£йЛ. (9-16)
Если принять, что вероятность состояния каждой компоненты
газа независима от вероятностей состояния других компонент, то
энтропия смеси представится как сумма энтропии компонент для
соответствующих состояний; поэтому энтропию смеси в целом
введем согласно равенству
N
Sm(P> Т> т1> т*> •••» ГО*)= 25тЛ(Дк, Tk9 Шк)у
где по G.9) ' (9 17)
sok+^dT-Rkln
Т0к
Pok
В соответствии с постановкой задачи, связанной с основной
формулой (9.5) для внутренней энергии Um, в которой не учитывается
возможность наличия различных температур у компонент,
предположим, что температуры компонент в бесконечно малой частице
одинаковы, т. е.
Tl=T2=... = TN=r.
Из закона Дальтона также следует, что
N
/n£ = V mkPk
и поэтому для термодинамического потенциала смеси в целом верна
формула
/2 = 1 k=\ Л = 1 Vk
jV N
(9.18)
Из формул (9.15), (9.17) и (9.18) получаются следующие формулы
для химических потенциалов:
lk
N
£
k =
^
■Л
(Рк,
'*' t
Т) =
ni P*
N
Uok + RJ0-s0J+^cPkdT-T^\^ + RJln^]y (9.19)
То Т0 POkj
где также учтено, что ср—cVk = Rk.
§ 9. Введение в теорию моделей смеси жидкостей или газов 273
Так как с учетом (9.16) при 7,1 = 7,2= ... =Г^ имеем
flfePfe /?femfe_ Rkmk
Рь = Р1^=Р-Ты=р *
то из формулы (9.17) следует, что
Sm (Р* Т* т1» т1» • • • t mN) =
-Е Ч<Г' Р)-Е*Л1п-|е*-. (9.20)
* = 1
Очевидно, что 5Л> Ssmb(p, 71), так как
JV N
А5Л = -Е^^Ь-#^^ = -Е^Ип-^->0, (9.21)
где ti:—число молей t-й компоненты в данной частице с массой
N
Если взять первоначально разделенные перегородками N газов
с массами mk и с одинаковыми давлениями р и температурами Г,
то непосредственно после удаления перегородок энтропия будет
N
равняться 2Sm G\ /?). После смешения при постоянном объеме
без подвода внешнего тепла получится равновесное состояние
смеси с теми же значениями1 давления и температуры и с
энтропией Sm(pyT,m1, m2, ...,/Лдг). Величина ASm (9.21) дает рост
энтропии за счет необратимости процесса диффузии. Важно
отметить, что прирост энтропии (9.21) за счет диффузии не
зависит от природы смешиваемых газов, а зависит только от числа
смешивающихся молей.
Парадокс Гиббса Выше Развита теоРия определения
термодинамических функций для смесей
различных совершенных газов. Если формально применить эту теорию
для N частей одного и того же газа, то придем к противоречию.
Действительно, непосредственно видно, что в этом случае энтропия
«смеси» должна равняться
ЗХлг, р).
*=1
1 Следствие сохранения энергии и закона Дальтона в равновесии.
18. Л.И. Седов
274 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
тогда как развитая выше теория дает для энтропии величину
Sm> %Sm (T,p).
/г=1 *
Это противоречие носит название парадокса Гиббса.
Разъяснение сути дела состоит в том, что в развитой выше теории
смешения предположение о физико-химическом различии компонент
очень существенно. Это различие может быть малым, но оно всегда
определено физически как некоторое конечное различие. Как
следствие этого различия при объединении (непосредственно после
удаления перегородок) различных объемов компонент газа при
одинаковых давлениях и температурах р и Т возникает общий объем, в
котором газ находится в. существенно неравновесном состоянии.
Затем это состояние при постоянном объеме и при отсутствии
подвода тепла переходит в равновесное с теми же значениями р и Т
р помощью процесса диффузии. Из статистических рассмотрений
непосредственно следует, что термодинамические функции и, в
частности, энтропии для одного и того же числа различных частиц
и частиц, тождественных между собой, получаются разными.
В газе с тождественными молекулами, занимающем объем А У,
физически невозможно выделить различные субстанциональные
компоненты, занимающие тот же объем АV, поэтому предыдущий
способ расчета энтропии для смеси физически различимых
компонент в случае газа с тождественными частицами невозможен.
Уравнения первого и вТО- На основании второго закона термодина-
рого законов термодина- МИКИ (СМ. § А)
мики для смеси TdS = dQie)+dQ' (9.22)
и уравнения притока тепла для смеси в целом* (см. § 5)
dU.-ff/'v&dt + W'i + dQr (9.23)
имеем
dUm = у pi/ yjjVi dt + TdS + dQ**—dQ'. (9.24)
Для фиксирования модели в общем случае, кроме функции
внутренней энергии (9.4) или (9.5), необходимо задать, вообще говоря,
еще величины dQ' ndQ**. Величина dQ** представляет собой часть
притока нетепловой энергии, отличную от работу внешних сил на
перемещениях среды в целом и обусловленную внешними к данной частице
объектами, в частности соседними частицами среды, контактирующими с
рассматриваемой частицей на ее границе Z, и, возможно, также приток
энергии в результате взаимодействия с электромагнитным полем (см.
далее гл. VI). Так как взаимодействия данной частицы с соседними
частицами за счет массовых сил и распределения напряжений рч на
поверхности X* а также за счет притока внешнего тепла, не входят в
§10. Моделирование смесей при обратимых процессах 275
dQ**> то при отсутствии диффузии, внешних полей и обобщенных сил на
X (например, распределенных поверхностных пар, см. гл. III, § 3) можно
принять, что dQ** может отличаться от нуля за счет притока к данной
частице нетепловой энергии масс различных компонент, поступающих за
счет диффузии через границу X субстанциональной частицы,
определенной для смеси в целом.
§10. Моделирование смесей при обратимых «процессах
Рассмотрим процессы, при которых
dQ' = 0 и /, = 0 (*=1, 2, ..., N). A0.1)
Рассмотрим здесь только такие модели, когда для внутренней
энергии Um смеси в целом имеет место формула вида (9.5), и, кроме
того, примем еще, что имеет место равенство
dQ**=0. A0.2)
В этом случае уравнение притока тепла
Уравнения состояния с учетом второго закона термодинамики
смеси при обратимых про- J r /п пл\
цессах для смеси в целом (9.24) можно переписать
в виде
dUm « - р div v dt + HL (pV—pgiJ) 4jVi dt + tnTds
или
d(m/p) p dSm m^jLt\dmkJm *
„.-pdlf + TdS. + fW^dt. A0.3)
Отсюда, если по определению положить
и принять, что компоненты тензора x'SespV—pgV не зависят от
градиентов скоростей V/t\-, то ввиду независимости dSm и dtnk
276 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
получим следующие соотношения
1т
Р
ds ;±
р
и т" = 0,
A0.5)
и с учетом формул (9.8) для химических потенциалов \ik и
определений (9.2) для кк соотношение
Е®», dmk = j^Hdmk = j^wkdtW = b. A0.6)
fe=l
—. s
p
*=1
k={
Равенства A0.4) и A0.5) представляют собой уравнения состояния.
Заданием функции (9.5) для внутренней энергии согласно A0.4)
и A0.5) определяются давление р (—, s, -^ , — , ..., ^ч,
температура смеси 71 (— > s> ^- > ^f > •••» —) и, кроме того,
получается, что т^'=0. В частности, из сделанных допущений
следует, что построенная модель среды — это идеальная
жидкость или идеальный газ.
При отсутствии химических или фазовых
условия химического рав- превращений имеем dmk = xkdt ЛК = 0, и
новесия поэтому равенства A0.6) удовлетворяются
тождественно. При наличии химических или фазовых превращений
и при отсутствии диффузии величины mk, wa и AV можно
рассматривать в конечные промежутки времени как характеристики
фиксированной частицы среды, и поэтому эти величины
являются функциями лагранжевых координат (одинаковых для всех
компонент, так как V; = v) и времени t. В этом случае уравнения
баланса масс для физико-химических превращений (9.2) для
каждой частицы после интегрирования по времени / можно
представить в виде
mi—moi = Mi S via(oa
или, с учетом равенства
m = m0 = const,
г а=1
(/=1, 2, ..., АО. (Ю.7)
где с учетом уравнения неразрывности для среды в целом введены
обозначения
§ 10. Моделирование смесей при обратимых процессах 277
Соотношение A0.6) на основании уравнений баланса
физико-химических превращений (9.2) приобретает вид
а=1 V=l /
Так как г реакций по условию независимы, то величины wadt
можно рассматривать как линейно независимые и получить из
этого соотношения для г реакций г условий равновесия
• ДЗМ^-О, a=l, 2, ..., г. A0.9)
Эги уравнения представляют собой основные уравнения
термодинамического равновесия химических или фазовых переходов.
Так как химические потенциалы \а( можно
Смесь как идеальная двух- рассматривать как функции р.-, р и 7\ то,
параметрическая среда r r ^J г" г
v v Y на основании проинтегрированных уравне»
ний баланса масс физико-химических превращений A0.7), условия
равновесия A0.9) можно рассматривать как г уравнений,
определяющих г величин coa/AF как функции р, Г и «начальных»
концентраций р0/Уро = £о/ компонент, задающих смесь. Таким образом,
при обратимых процессах концентрации компонент pi/p = ci в
общем случае определяются плотностью смеси р, температурой Т и
постоянными coi «начальными» характеристиками состава смеси.
Для обратимых процессов уравнения состояния для смеси
в целом
Um = muU s, -^1, ^, ..., V»),
т у ' ' т ' т ' ' т )
"(f*
ГП\ Ш2 tnjsf
т ' т * ' ' '' т
т » т ' '"' т )
можно переписать в виде
p = p(j, T, сЬ1, с02, ..., сшу A0.10)
S==Sl*> *» ^01> С02> •••» C0N)'
Эти уравнения состояния смеси имеют вид уравнений состояния
двухпараметрической среды, но содержат постоянные параметры
Со*, которые для различных частиц в конкретных примерах могут
иметь различные значения.
Если процессы необратимы или есть диффузия, то предыдущая
теория вообще неверна. Однако если химические реакции
происходят очень быстро и в каждый момент времени можно считать, что
278 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
имеют место соотношения, отвечающие химическому равновесию,
то и в этом случае можно пользоваться уравнениями состояния
A0.10). Но из-за наличия диффузии, которая может менять
относительный состав компонент в каждой данной частице, получится,
что величины cQi могут меняться. Для определения в этом случае
переменных параметров coif входящих в уравнения состояния A0.10),
необходимо использовать уравнения, выражающие собой законы
диффузии.
В случае равновесия двух фаз, когда молекулярные веса фаз
одинаковы, имеем г=1, /=1, 2, vu= + l, v21=—1, Мг=М2\ поэтому
уравнение равновесия A0.9) принимает вид
fA2 = H<l.
Очевидно, что в случае равновесия трех фаз должны выполняться
одновременно два уравнения
\ii = \i2 И |ii=|is.
Полученные условия равновесия фаз при пренебрежении
поверхностными эффектами применимы к случаям сосуществования
твердых, жидких и газообразных сред.
Закон Гульдберга-Вааге В кач!стве второго примера рассмотрим
J F важный вопрос об обратимых химических
реакциях, в частности о диссоциации и рекомбинации в
движущейся смеси совершенных газов. С помощью формул (9.19) для
PiiT, Pk) условия химического равновесия A0.9) реагирующей
смеси N совершенных газов при обратимых реакциях можно
написать в виде
jk(uoi+RtT0--Tsoi+
+ §cPi(T)dt-T^dT + §±Tln
То Т0
Этому уравнению можно придать форму
У1а (£*. Уш (££_У*/<*> в £via£V2a tf>Na
J \Р02 J "* \PoN/ х «.""Л
(а=1, 2, .,
Pi
Poi
M;Via:
= 0.
£l
Poi
г), A0.11)
где
= ехр|
RtT
т т -i\
Uoi+RtT*i-Tsoi + $cPidT-TffidT . A0.12)
То Т0 J)
С учетом уравнений Клапейрона уравнения равновесия A0.11)
вместе с уравнениями баланса масс A0.7) образуют систему r + N
§ 10. Моделирование смесей при обратимых процессах 279
уравнений для определения г + N величин u>a/AV и р,/р0/,
задающих состав смеси и продвижение химической реакции, например
степень диссоциации.
Соотношения A0.11) выражают собой закон действующих масс—
закон Гульдберга — Вааге. Величины kt (Г) зависят от Т0, soi и
(Jot, которые отвечают вообще «начальному» состоянию смеси с
плотностями компонент poi. Если теплоемкости ср. и cvi можно
считать постоянными, то величины kt(T) представятся формулами
Ь (soi~cPi uoi-cviT°\
ki(T) = ^)y'-le\*i " RiT ), A0.13)
где yis=zcpJcvi. В общем случае kt(T) определяются из опытных
данных.
Уравнения A0.11) можно переписать еще в следующем виде:
««•^(^^-««^^(тЙр^-о. A0.11,
если использовать следующие обозначения:
Vfa=V,a>0, V/a = —V/a>0, V; = 2V, Va=;2vte-
/ i
После определения параметров (oa/Al/ и состава смеси как
функций р и Т нетрудно определить конечные значения
«скоростей» химических превращений через индивидуальные
производные dp/dt и dT/dt.
Об уравнениях Саха Изложенный способ изучения состава смеси
при обратимых превращениях можно
применить при изучении ионизованных газов. Электроны и
различным образом возбужденные ионы атомов или молекул можно
рассматривать как различные компоненты смеси. Степени ионизации
характеризуются соответствующими параметрами соа. В этом
случае уравнения баланса масса A0.7) и условие равновесия A0.8),
а в приближении совершенного газа уравнения A0.11),
определяют степень ионизации, и применительно к этому явлению
условия A0.9) или условия A0.11) называются уравнениями Саха.
ft На рисунках 37, 38 и 39 построены зави-
смеси га!ов В0ЗДУХа *** умости концентраций компонент,
молекулярного веса, эффективной теплоемкости
cVr удельных врутренней энергии и энтропии и плотности для
равновесных состояний воздуха как смеси газов от
температуры и давления, полученные в результате расчетов1 ,
проведенных в соответствии с изложенной выше теорией равновесных
1 Числовые данные в виде таблиц имеются в различных справочниках о
термодинамических свойствах воздуха.
280 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
W
"L = М с. р=0,001 атм, !^L < 0,0007
Исходный cocmal:
п„ = 0,7808 п
п0 = 0,2095п
пАг=0,0097п
Ш И 12
Т-/0~3К
30
20
10Ь
М г/моль
Ь
^^s>
ч
^
^
^
N
^1
о
б
10 11 12
Т-/0~'К
Рис. 37. а) Молярный состав воздуха в зависимости от температуры при
давлении р = 0,001 атм. Изменения молярного состава проявляются заметно за
счет диссоциации после 2000 К, а за счет ионизации — начиная с 7000 К.
N2, 02 и NO—молекулы азота, кислорода и окиси азота; N и О—атомы азота
и кислорода; 0+ и N + —однократно ионизованные атомы; е—электроны.
Концентрация аргона пАг/п всегда мала, б) Средний молекулярный вес воздуха
r зависимости от температуры и давления
§ 10. Моделирование смесей при обратимых процессах 281
10
5\-
п кал
cv гград
у
"
£5
3s£
<
^у
Ф
У
л~
А
0 12 3 4 5 6 7
а
9 10 11 12
Т-10'Ч
30,000
20,000
10,000
Um кал
m г
-
р
-—^
^
/
И
(/■
^
/у
/у
//
f/
4
^
is-
О
б
10 11 12
ПО'3 К
Рис. 38. а) Теплоемкость воздуха как функция температуры и давления.
Заметные изменения теплоемкости наступают для температур, превышающих 2000 К.
б) Удельная внутренняя энергия воздуха как функция температуры и давления
282 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
9 /О И 12
тю'3 к-
10,
<, кал
гград
40^
======
гг-ГГ
~Л
1
1
■&
ф^\-—
о
б
10
11 12
Т:10~2 К
Рис. 39. а) Зависимость плотности воздуха от температуры и давления, б)
Удельная энтропия воздуха как функция температуры и давления
Полная система
уравнений движения смеси при
обратимых процессах
состояний. Эти графики иллюстрируют зависимости типа A0.10),
когда вместо плотности взята более удобная для практики
переменная — давление.
Полная система уравнений при обратимых
процессах в смеси состоит из уравнения
неразрывности смеси в целом, трех
уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой
среды с уравнениями состояния A0.10) и. уравнения притока
тепла или второго закона термодинамики в виде
dU = pd —(- dq или Т ds = dq.
Внешний приток тепла dq необходимо задать дополнительно.
Для адиабатических процессов dq=0. В этом случае связь между
плотностью и температурой, зависящая от состава смеси, в которой
происходят химические превращения, определится на основании
A0.10) из равенства s=const/
§11. Модели смесей с учетом необратимых процессов 283
§11. Модели смесей с учетом необратимых процессов
Общая постановка задачи Рассмотрим простейшие модели смесей,
о движении смеси с не- в КОТОрЬ1Х термодинамическая необрати-
обратимыми процессами r r r
v * мость, проявляющаяся в уравнениях
состояния и других соотношениях, характеризующих модель, дает
малые отклонения от соотношений, отвечающих термодинамически
равновесным обратимым процессам. Модели с обратимыми
процессами, рассмотренные в § 10, будут усложнены за счет учета
необратимых эффектов, обусловленных вязкостью,
теплопроводностью, диффузией и химическими реакциями.
Так же как и раньше, в качестве основного допущения примем,
что кинетическая энергия бесконечно малой частицы массы т смеси
равна mv2/2, а для внутренней энергии смеси Um имеет место
формула (9.5) или в частном случае формула (9.15) при добавочном
существенном условии о равенстве температур компонент смеси
Тг=Т%=...=Т„=Т. A1.1)
Иначе говоря, предполагаем, что в каждой частице имеет место
температурное равновесие между компонентами, образующими смесь.
В некоторых приложениях и, в частности при описании
процессов с очень быстрой сменой состояний в частицах, предположение
A1.1) является слишком сильным, поэтому в ряде случаев требуется
строить другие модели с разными температурами компонент.
Пренебрежение кинетическими энергиями компонент в их движении
относительно частицы в целом связано с допущением, что эти
энергии малы по сравнению со средней энергией хаотического теплового
движения, характеризуемой сравнительно большой температурой,
представленной во внутренней энергии Um.
Основные уравнения термодинамики для
Общее уравнение для из- приращения энтропии (9.22) и уравне-
менения энтропии /гч пл\ * _
у ние притока тепла (9.23) можно,
очевидно, переписать в виде
TdSm = dQ{') + dQ' = dQM+dQ" + dQ'—dQ» A1.2)
dU
m
,/72 . dUn
dUm = J^ d - + ^ dSm + у ц. dm, =
m d(m/p) p ' dSm m i ^гм ь
Л= 1
= — />d- + TdSe + T%AV£tt + dQ"—dQ'. A1.3)
Здесь учтена симметрия тензора напряжений, т. е. то, что р'Аар/',
и формулы eij^-^-^jVf + ViVj). С помощью равенства A1.3) на
основании определения давления р и допущения, что величина
284 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
dQ**—dQ' не содержит члена вида1 AdS, где А — некоторая
функция определяющих параметров, придем к уравнениям
состояния
Mm _ dU T_dlU_dU_ ГП4
P- д(т/9)~ *дЩр)У im-dSu-ds Vl'*>
и с учетом уравнений баланса масс (9.1) и (9.2)—к равенству
dQ'-dQ-= 1^-^ [уьЫь ^vkawa~diwI^AVdt. A1.5)
На основании этого равенства уравнение A1.2) для приращения
энтропии можно переписать в виде
TdS„ = dQ™ + dQ" +
Г N N, r I
^'еи + eS \ik div Ih - S lA^Vte^a |
+
£±=1 /г, a=l
AVdt. A1.6)
Подчеркнем, что довольно общий вид последней формулы и
уравнений состояния (П.4) существенно связан с допущением (9.5)
о том, что внутренняя энергия Um зависит только от плотности
и энтропии смеси и масс компонент тк.
Предположим дальше, что общий внешний
Предположения о прито- приток энергии к бесконечно малой частице
ках энергии смеси с объемом ДК, ограниченной
поверхностью 2, движущейся со скоростью V, можно определить
формулой
dAie)+dQ(e)+dQ** =
N N ~ п,
= 2p*'V*AAVrdf+ S ) pfajvudtdo-) qt.ndtdo+dQ&c**
k=\ *=1 2 2
N * N
IV p /V
= Sp^ •vAVdt + )pi%vidtda+^Fh-IhAVdt +
/ * '/ \
\fe=i
P* У
где р^Д]/-—внешняя массовая сила, действующая на k-ю
компоненту смеси, pjjtijdo—компоненты поверхностной силы,
действующей на площадке da поверхности 2 на k-ю компоненту смеси,
N
причем принято, что p^rtjda э,г= Sp^-daa,- есть вектор силы на-
А = 1
пряжения на площадке do поверхности 2 для среды в целом; qQ—век-
1 Это допущение равносильно предположению о справедливости для
необратимых движений определения температуры формулой T=dUlds,
установленной ранее для обратимых процессов.
§11. Модели смесей с учетом необратимых процессов 285
тор внешнего притока энергии за счет теплопроводности и
диффузии, d QSfacc—массовый внешний приток тепла к частице, в частности
в dQulcc может входить поглощаемый приток тепла за счет
внешнего излучения или джоулево тепло, выделяемое за счет электри-
N
ческих токов. Величина ^Fk-IkAVdt равна элементарной работе
внешних массовых сил Fk, вообще различных для разных компонент,
на перемещениях внутренних движений за счет диффузии. Если
сила Fk, рассчитанная на единицу массы, одинакова для всех ком-
N
понент, то 2 Fkfk/SVdt = 0. Например, для силы тяжести Fk = g,
N
fe= 1, 2, ..., N (g—ускорение силы тяжести), так как 2'л — О.
k=\
/ Л'
%Fk-/kWdt = g.( 2/Л )AVdt = Q.
Согласно определению перемещений точек среды в целом
и равенству A1.7) можно положить
N с
dA(e) = J PkFk • v AK dt + ) pt'tijVi dt do,
N
1
A1.8)
dQU)+dQ**
<?i-X
k=\
41
Pk'lki
9k
Wdt + ^FbhWdt + dQ^.
k=\
На основании этой формулы уравнению A1.6) для полного
изменения удельной энтропии s = Sm/m смеси можно придать вид
dt p v dt
г^'+^Х^Л+
* = i
N. г
Л1/_1_ ^масс
v "*" Tdt '
A1.9)
4-1V F I - V ^^,!^
"Г Гр £^ Г k* If; £^ rp "J" J,
k=l k% a=l
Здесь использовано следующее обозначение:
N i'i N
Q = q%- = Qo—^^^9i = q0-^dpifJ(vkJ—vJ)ai.
*=i Wk k=\
Вектор q характеризует общий поток энергии сквозь элементы
поверхности 2 за счет теплопроводности, диффузии и работы
поверхностных сил на относительных движениях компонент смеси.
286 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
О полной системе уравне- Уравнения балансов масс, уравнения им-
ний движения смеси и пульсов для смеси в целом, уравнения
кинетических уравнениях J /1 1 л\ ^
J* состояния A1.4) и уравнение для
энтропии A1.9) образуют полную систему уравнений движения смеси,
если их дополнить данными о притоке тепла dQ(^acc и
макроскопическими кинетическими уравнениями, определяющими
величины
qy Ik, wa и т".
Установление этих кинетических уравнений является основной
задачей термодинамики необратимых процессов г .
Решение этой задачи всегда связано с принятием различного
рода гипотез о свойствах и механизмах необратимых эффектов,
сопровождающих движение среды. Эти гипотезы могут быть
различными, в зависимости от конкретных свойств рассматриваемых сред
и выделенных классов движений и могут быть связаны с
допущениями математического характера, обоснованными, например малостью
отклонений состояний частиц от равновесных 2 . В конечном счете
эти гипотезы всегда необходимо обосновывать опытом.
Установлению кинетических уравнений могут также помочь различные
эмпирические формулы, полученные путем обработки данных
наблюдений в опытах.
В случае движений и процессов, мало отклоняющихся от
обратимых, для получения кинетических соотношений можно, в
частности, обратиться к методу Онзагера (см. § 8 и ниже).
Полученные таким путем соотношения для рассматриваемых сред и явлений
также нужно проверять или подтверждать опытным путем, даже
если эти соотношения могут быть дополнительно обоснованы
теоретически выводами из статистических теорий.
А Для применения теории Онзагера нёобхо-
Формула для производ- r r ds
ства энтропии димо общее изменение энтропии fn-jf
представить в виде суммы
ds d;s des
тчг==т-зг+тчг-
Такое разбиение приращения энтропии можно провести, исходя
из уравнения A1.9), с помощью допущений, представленных
приведенными ниже формулами.
1 Для определения движения смеси в целом не требуется находить
введенные выше величины q0, p^v^, для их определения нет соответствующих
уравнений, их роль вспомогательна, они служат только для эвристического
обоснования уравнения A1.9), которое можно получить также при
использовании вместо A1.7) других гипотез относительно внешних притоков энергии.
2 В работе Л.И. Седова "Об общем виде уравнений кинетики химических реакций в
газах" (ДАН СССР. 1948. Т. 40, № 1) предложены некоторые общие виды кинетических
уравнений для необратимых химических реакций.
§11. Модели смесей с учетом необратимых процессов 287
Величина tn-~ определяется как изменение энтропии за счет
притока к объему среды ДУ тепла от внешних объектов,
взаимодействующих с данной средой, dQ^cc и внешнего притока
энтропии через границу 2 частицы. Поэтому на основании формулы
A1.9) положим1
т-
4^=^"а.сс+ v div-^-div4
dt Tdt ^\Ал Т Т
ДУ =
N
2 PlJk—1
d&« Г АНк~"
?twl+)j^-t nda- (ил°)
S
Соответственно после фиксирования /я-4- для продукции
энтропии в единицу времени гп^тг за счет внутренних необратимых
эффектов получим
-*-(-Ч^ч+:т2-+
+£ [-г— ^(^)]л-Х££*^шЛд1'. (ii.il)
fe=i ' a=\ k=\
А Формулу A1.11) для производства энтро-
Функция диссипации г j j \ / ^ г ^ г
J пии можно переписать в следующем виде:
p4r = a = ZX^>°> 01-12)
где величины хр отвечают в общей соответствующей нумерации
компонентам векторов о/, /', компонентам тензора вязких на*
пряжений iij (i, /=1, 2, 3; &=1, 2, ..., iV) и скалярным
величинам wa(a=\y 2, ..., г). Через Хр очевидным образом
обозначены коэффициенты при соответствующих %р-
Дальнейшее построение модели основано на допущении, что
между величинами Х$ и хр существуют конечные соотношения.
Поэтому величину а можно рассматривать как функцию Хр или хр,
содержащую в качестве параметров р, 71 и- концентрации
компонент смеси С/ = Р//р, т. е.
>:ХРхэ = ог(р, Г, с„ Ху) = а(р, Г, с„ ху)- (П.13)
1 dO(e)
1 Подчеркнем, что присутствие члена -= -~^- в формуле A1.10)
связано с предположением об обратимой природе этого притока тепла.
288 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Проблему установления кинетических уравнений в некоторых
случаях можно рассматривать как задачу о составлении
функциональных связей
%* = %Чёф'Р, Т> с1% с2, ..., cNi Xlf X2i ...), (П.14)
где gy—компоненты метрического тензора, а величины р, Т9с{—
скаляры. В общем случае соотношения A1.14) для /£ должны
удовлетворять условиям
N
Соответствующие системы сопряженных функций Х$ и %* можно
представить с помощью следующих обозначений:
-2
LU/W hVbrr
Та—*<»а
*=1
Среди аргументов в соотношениях A1.14), кроме скаляров и
компонент векторов и тензоров, обозначенных через Хр, указан еще
только один параметрический тензор — метрический тензор с
компонентами gij. Это предположение равносильно физическому
условию об изотропности рассматриваемой модели смеси. Так как а —-
скалярная величина, то в общем случае в качестве аргументов а
в A1.13) могут фигурировать скаляры /?, Т, chy ya и только
инвариантные комбинации, составленные из следующих компонент
векторов и тензоров: со', ©£, вц, gtj.
ЛЛ . „ При исследовании необратимых процессов,
Общий вид квадратичной r r ^ г
функции диссипации для мал0 отклоняющихся от обратимых
термоизотропной среды; соот- динамически равновесных процессов, рас-
ношения Онзагера для смотренных в § 10, во многих приложе-
изотропной среды ниях принимают, что функции A1.14)
представляют собой линейные функции Хр, т. е.
xp = 2lp%, A1.15)
б
где компоненты матрицы Lp6 состоят из скаляров, компонент
тензоров второго ранга и компонент тензоров четвертого ранга.
При наличии изотропии соответствующие тензоры,
образованные коэффициентами L6, зависят только от скаляров и метриче-
§11. Модели смесей с учетом необратимых процессов 289
ского тензора1 gy. Зависимость Lp6 от g*J получена ниже, а от
скалярных параметров состояния /?, Т, с19 с2, ..., ck ее
необходимо устанавливать дополнительно. При наличии линейных связей
A1.15) величина сг(Хр) представляет собой квадратичную форму
от Хр.
Нетрудно усмотреть, что для изотропной среды квадратичную
форму для о можно написать в следующем виде:
о=авГ» &/(Ао/+2a*g/y©'©£+a^g^Wi +
+ bsmTysym + 2b*ysgVeif+± (gifeuY + ^^«-"%*/.- A1.16)
Отсюда следует, что для полного определения функции <т
необходимо фиксировать коэффициенты а0, ak, akl = a!h, bsm = bms, bs,
X и |i9 где k, /= 1, 2, ..., N; m, s= I, 2, ..., г. Число этих
независимых коэффициентов в A1.16) равно
Коэффициенты в A1.16) должны быть подчинены также условию
Согласно общей теории необратимых процессов, изложенной
в § 8 с использованием правила Онзагера, соотношения A1.15)
представятся в виде
_ 1 да _
4i 2 daf~
s ft, s
A1.19)
■£-T^-*"Sft*b+T«*'dIve+',¥-«'/- (n-2°)
s
Последнее соотношение отличается от обычного закона Навье—
Стокса для вязких напряжений наличием первого члена, влияющего
на величину нормальной к рассматриваемой площадке
составляющей вектора силы напряжений за счет необратимости химических
или фазовых превращений.
1 Подробное обоснование этого непосредственно довольно очевидного
Утверждения содержится в добавлении I.
19. Л.и. Седов
290 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
N
Условия 2 Лг/=*0 Аают N+1 связей для коэффициентов а*
и aw, а именно:
2в* = 0 и 2^-0, /-1,2 N. A1.21)
Таким образом, формулы A1.16)—A1.20) содержат только
независимых коэффициентов, которые являются, вообще говоря,
функциями /?, Ту ск. Заметим, что первоначальные формулы общего
вида (линейные связи A1.15)) содержат л0=C+ЗЛН-,г+6),=(9+
+3N+r)* коэффициентов Lw.
Предыдущая общая теория позволяет сократить число
коэффициентов, которые необходимо задать, на величину 1
n0-n = 79 + ^N*+^N + £ + ^-+6Nr.
Например в случае смеси из трех компонент (N==3) и одной реакции
(г=1), имеем п0=361, а число независимых коэффициентов п=10,
т. е. число подлежащих определению коэффициентов сокращается
на п0—п=351.
Можно произвести некоторые упрощения и видоизменения
формул A1.17)—A1.18) за счет раскрытия в них grad *** ^ ' Ck'
и вычисления объединенных коэффициентов при —-, -А-и——-.
дх1 дх1 дх*
Для определения коэффициентов а0, а*, aw, bs, bsa, к и \i или
некоторых их комбинаций можно использовать статистические
теории и соответствующие опытные данные.
Предыдущая теория применима не только к смеси совершенных
газов, но и ко многим другим моделям действительных сред.
Дальнейшие упрощения и приложения этой теории можно найти в
специальных монографиях и конкретных исследовательских работах.
Если для смеси совершенных газов вос-
Связь феноменологиче- пользоваться формулой (9.19) для хими-
ских ^коэффициентов ^, ческих потенциалов,, то можно представить
переноса для??т^соъер- п<>токи <7/ и 1М% даваемые выражениями
шснных газов (П. 17), A1.18), через градиенты
газодинамических параметров Т, /?, с,- (/=1,
2, ..., N). Для этого запишем (9.19) в виде
l**-tf(p. T) + RkTlnzk, A1.22)
1 На практике дополнительно принимают, что bs — 0 (s=l, 2, ..., г).
§11. Модели смесей с учетом необратимых процессов 291
где
т т
flip, T) = Uok + RkT0-Tsok + \ cPkdT-\ ^dT + RTln^-
Т» То
и через гк обозначена молярная концентрация k-fi компоненты
г = pk = п" = М с
* р п Мк *"
На основании A1.22) имеем
Td^-=Td{^- + Rk\nzk) =
\ dp J p Mkp nMk • v '
т
7'4г(-Т-) = -т(и°1>+ R»T°+\ cpkdT) = ~T> AL25)
где lk—удельная энтальпия k-й компоненты. Используя A1.23),
A1.24) и A1.25), получим для ык следующие выражения:
»к=Црк-т?Щ=±(рк-£ък-^Р+±чт).
A1.26)
С учетом A1.26) формулы A1.18) примут вид
'*--£*7+;е£[^-™ (*)]-'
-(у-1^''')т^=р1т^-°*т^ (п-27>
где
Р\*
и введены многокомпонентные коэффициенты диффузии Dkl и термо-
диффузии Dl согласно формулам
м*
^f^_^\_RoMfa^_a^\ AL2g)
pT MkMi
292 Гл. V. Основные понятия и уравнения термодинамики
Справедливость формул A1.27) и равенств
20*-О, D**-0 и £rf* = 0
k k=\
вытекает из свойств A1.21). Из формул A1.28) и A1.29) легко
получить обратные формулы для ak и akl через Dl и Dkt.
Аналогичным путем формулы A1.17) можно переписать для
смеси совершенных газов в виде
д a0Vr + £^[^-7v(i£)] =
к
где
*-««-2E^+Z^- (и.31)
к к, I
В кинетической теории газов обычно фигурируют коэффициенты
Dw, Z)J и &, которые здесь определяются через
феноменологические коэффициенты а0, ак и aw по формулам A1.28), A1.29)
и A1.31).
Если среда анизотропна, например за счет взаимодействия
с электромагнитным полем, то предыдущая теория усложняется.
В этом случае в аргументы а добавочно к метрическому тензору
необходимо ввести еще другие тензоры, характеризующие
анизотропию.
ГЛАВА VI
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 1. Основные понятия электродинамики. Электромагнитное
поле. Уравнения Максвелла в пустоте
В последнее время все большее и большее значение
приобретают вопросы изучения движения сплошной среды с учетов
электромагнитных эффектов. В связи с этим в механике сплошной среды
стало необходимым излагать основные сведения из
электродинамики.
Дальше примем, что простейшие опытные факты и законы
электродинамики известны из элементарного и общего курсов физики.
Сформулируем основные законы электродинамики в виде
уравнений Максвелла аксиоматически, как результат теоретической
обработки и обобщения опытов и наблюдений.
Формулировка уравнений Максвелла основана на
использовании ряда абстрактных математических понятий об
электромагнитных характеристиках, вводимых для описания электромагнитных
свойств тел и поля. Введение и анализ этих понятий и уравнений
связаны с громадной работой и большими историческими
переживаниями в интенсивном развитии научных исследований
электрических явлений в течение более ста лет.
Плодотворность теоретических методов, опирающихся на
уравнения Максвелла, подтверждается всей практикой описания
электромагнитных эффектов и всеми известными макроскопическими
экспериментальными данными.
При изложении электродинамики не будем придерживаться
исторического аспекта, а дадим концентрированное описание ее основ,
имея в виду приложения электродинамики к задачам механики
сплошной среды. Отметим только, что теория электромагнитного
поля, как теория реального объекта, возникла у Фарадея и была
апробирована убедительно экспериментально лишь в конце прошлого
столетия, когда Герцу удалось получить электромагнитные волны
и этим доказать реальность существования электромагнитного поля.
Укажем сначала, почему электромагнитные явления могут
иметь значение для механики сплошной среды. В физике известны
четыре основных типа взаимодействий между материальными
объектами: гравитационные, электромагнитные, ядерные и слабые
взаимодействия в теории элементарных частиц.
Изучаемые нами внутренние силовые взаимодействия связаны,
в основном, с электромагнитными эффектами; ими обусловлены
макроскопические напряжения в твер^х, жидких и газообразных
294 Гл. VI* Основные понятия и уравнения электродинамики
телах. В частности, при столкновениях молекул и атомов роль
электромагнитных сил — основная.
Кроме того, при некоторых условиях тела могут обладать
электрическими зарядами и в них могут течь токи. Возникающие при
этом силы взаимодействия необходимо учитывать в общем балансе
сил, действующих на объем сплошной среды. Такого рода эффекты
проявляются особенно сильно при изучении движения плазмы.
Плазма представляет собой газ, в котором имеется большое число
свободных электронов и ионов. Поэтому плазма заметно
взаимодействует с электромагнитным полем.
Напомним теперь некоторые основные определения и
понятия электродинамики.
Опыт показывает, что две покоящиеся
Закон Кулона для покоя- частицы среды, обладающие зарядами et
щихся зарядов и ^ взаимодействуют между собой с
силой, аналогичной силе притяжения между двумя массами,
F=±A^gradr, A.1)
где г — расстояние между заряженными частицами, k —
постоянный коэффициент. Это соотношение носит название закона
Кулона.
В противоположность силе тяготения, которая всегда является
силой притяжения, сила F является силой притяжения, если
заряды et и ег разноименные, и силой отталкивания, если они
одноименные.
Влияние силы гравитационного притяжения заметно, когда
взаимодействующие массы тх и т2 очень велики. Электрические
силы взаимодействия во много раз больше сил тяготения. Сила
гравитационного притяжения между двумя электронами меньше
силы их электрического отталкивания в 1039 раз. Это очень большое
число, которое трудно ощутить с помощью обычных представлений.
„ В механике сплошной среды естественно
Плотность заряда г
v ввести непрерывное распределение
зарядов е, подобно тому как вводится непрерывное распределение
масс. Плотность заряда определяется следующим образом:
,. Ае
Ре= hm TJT»
где Ае — суммарный заряд в объеме А У.
Для электрически нейтральных тел Де=0 и ре=0. Плотность
заряда ре в зависимости от накопления ионов или электронов в
определенном месте может быть как положительной, так и
отрицательной. В действительности ре для всех тел близко к нулю, это связано
§ 1. Основные понятия электродинамики
295
с тем, что одноименные заряды всегда отталкиваются; поэтому
большие скопления положительно или отрицательно заряженных
частиц, как правило, долго существовать не могут.
Электрический ток представляет собой дви-
Электрическии ток ^ т
у жение заряженных частиц. Так, если в
теле имеются -свободные электроны, движущиеся направленным
образом относительно ионов, то это значит, что в теле текут
электрические токи. При этом, несмотря на наличие
макроскопических потоков ионов и электронов, макроскопическая суммарная
скорость частиц тела может равняться, нулю.
Электрический ток по своей природе подобен интенсивной
упорядоченной диффузии. Токи можно рассматривать как в
покоящихся, так и в движущихся средах. Плотность тока
характеризуется вектором плотности тока у, величина которого равна величине
суммарного заряда, переносимого через единичную площадку,
перпендикулярную к вектору У, за единицу времени.
В обычных условиях атом вещества элек-
Поляризация атомов I •
v трически нейтрален, его суммарный заряд
равен нулю, но если имеется совокупность близко расположенных
друг к другу атомов, то заряды в каждом из них смещаются
друг относительно друга —нейтральный атом, становится
подобным диполю или мультиполю. Это явление называется
поляризацией. Большое количество поляризованных молекул или атомов
при их упорядоченном расположении под действием внешнего
электрического поля приводит к макроскопическому эффекту —
электрической поляризации макроскопических частей среды.
Очевидно, что хаотическое тепловое движение, вообще говоря,
препятствует появлению макроскопической поляризации.
Кроме указанных выше взаимодействий
Магнитные взаимодей- покоящихся заряженных частиц,
существуют еще магнитные взаимодействия. Так,
например, известно, что намагниченное железо притягивает к себе
железные опилки, намагниченная стрелка компаса располагается
по меридиану Земли. Следовательно, на Земле всегда существуют
силы, которые поворачивают стрелку компаса в определенном
направлении.
В связи с наличием магнитных взаимодействий делались
попытки ввести в рассмотрение магнитные заряды и написать для них
закон, аналогичный закону Кулона для электрических зарядов.
Выяснилось, однако, что никаких магнитных зарядов в природе
не существует, а магнитные взаимодействия сводятся к
взаимодействиям электрических токов (т. е. движущихся зарядов). В
частности, магнитные свойства различных веществ объясняются наличием
микроскопических токов, текущих внутри атомов за счет движения
электронов вокруг ядра и за счет собственного «вращения»
электронов и ядер (спинов). В обычных условиях в большинстве тел атомы
ориентированы хаотически и действие внутриатомных токов не
296 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
проявляется. Если же возникает упорядоченная ориентация
элементарных частиц, из которых составлено тело, то соответствующий
макроскопический эффект проявляется в магнитных свойствах тел,
связанных с явлением намагничивания.
Допустим, что в пространстве имеется со-
Векторы электрической и вокупность зарядов, покоящихся относи-
магнитнои напряженности J r V '
F тельно некоторой инерциальнои системы
координат /С. В физике принят общий метод, с помощью которого
можно изучать электрические силы, действующие со стороны
системы зарядов на пробный элементарный заряд е, помещенный
в данную точку х1, ха, х3 пространства. Как известно, сила,
действующая на неподвижный пробный заряд, зависит только от его
положения и величины. Она равна
F = eEy A.2)
где Е—некоторый вектор, называемый вектором электрической
напряженности, Е=Е(хг, я2, я3). Поле вектора Е получается как
сумма полей отдельных зарядов.
Первоначально считали, что это поле представляет собой
математическую абстракцию, удобную для вычисления сил,
действующих на пробный заряд. Последующие исследования показали, что
поле электрической напряженности Е можно рассматривать как
объект, существующий в пространстве вне зависимости от
существования пробного заряда, и можно говорить об электрическом поле
как о материальном объекте, отличном от материального тела.
Возможны две точки зрения на соотношение между зарядами
и полем. Можно считать, что поле порождается зарядами или что
заряды являются особыми точками (физически малыми объектами)
существующего электрического поля.
Аналогично вектору электрической напряженности, путем
суммирования действия элементарных токов вводится вектор
магнитной напряженности Н как характеристика магнитного поля, с
помощью которой можно оценивать силы магнитного взаимодействия.
Для характеристики пробного элементарного магнита или тока
вводится малый магнитный дипольный момент d так, что момент
пары сил, действующий со стороны поля на элементарную
магнитную стрелку с моментом rf, вычисляется по формуле
Wt = dxH. A.3)
Если магнитное поле однородно, Н= const, то общая сила
воздействия поля на элементарный диполь равна нулю. Отличен
от нуля^только момент Ш.
Если поле Н неоднородно, то кроме момента <Ш появляется
сила F', которая определяется формулой
§ 1. Основные понятия электродинамики
297
где dlds означает дифференцирование по направлению дипольного
момента в точке расположения элементарного тока.
В статических условиях напряженности электрического и
магнитного полей в данной точке пространства могут быть определены
по измерениям силы A.2) и момента A.3), действующих на
помещенные в эту точку неподвижные пробные электрические заряды
^различным образом ориентированные элементарные магниты
(элементарные электрические токи).
Эти простые опыты с пробными элементами можно усложнить,
обобщить и распространить на случай подвижных пробных
зарядов и токов и полей Е и //, переменных во времени.
Таким образом, электромагнитное поле в пустоте в каждой
точке пространства и в каждый момент времени характеризуется
двумя векторами—напряженностью электрического поля Ей
напряженностью магнитного поля //. Векторы Ей//, плотность
зарядов ре и вектор плотности электрического тока j являются
основными понятиями электродинамики.
Нетрудно убедиться, нто закон Кулона,
Уравнения Максвелла в определяющий поле Е системы неподвиж-
электростатике г * „ _
v ных в инерциальнои системе координат
точечных или распределенных зарядов, можно написать в
дифференциальной форме:
div£ = 4np„ rot£ = 0. (I A)
Общее решение системы уравнений A.4) в бесконечном
пространстве с условием исчезновения вектора Е в бесконечности
приводит к закону Кулона.
Переход от простого опытного закона Кулона к уравнениям
A.4), представляющими собой уравнения Максвелла для системы
неподвижных зарядов, является простой переформулировкой
основного закона электродинамики в терминах дифференциальных
уравнений. Этот переход во многом аналогичен переходу от закона
всемирного тяготения Ньютона к дифференциальным уравнениям
в теории ньютоновского потенциала. Ввиду важности такого
перехода поясним сказанное более подробно.
Если имеются две материальные точки
Дифференциальные урав- с массами т и mk, то они притягиваются
полГ в ГТ^ианск°ой ДРУГ к ДРУГУ по законУ Ньк>тона и на
механике точку т со стороны точки тк действует
сила, которая равна
где rk—расстояние между точками т и mk, / — гравитационная
постоянная, а г%—единичный вектор направления от тк к т.
Как известно, эта сила потенциальна, т.е. F^ = grad(/^>
и потенциал Uk=f~^.
298 Гл. VL Основные понятия и уравнения электродинамики
Если в пространстве имеется п материальных точек с массами
tnk(k=l, 2, ..., п) и рассматривается их влияние на одну
материальную точку массы т =* 1, которая может быть помещена
в разные точки пространства (пробная масса), то со стороны всех
точек тк на пробную массу т = 1 будет действовать сила
F=2^ife и ее потенциал
U-.
-E*W2t*. ^-ffadl/,. 0-5)
k k
Распределение масс mh создает в пространстве гравитационное поле
с потенциалом (/, которое можно обнаружить с помощью пробной
массы, помещенной в рассматриваемую точку пространства.
Напишем дифференциальное уравнение, которому должен
удовлетворять потенциал сил тяготения U.
Функция l/rfe, где
r^lfix-xtf + to-yF + iz-ztf
— расстояние между точкой х, у, z, в которой помещена пробная
масса, и точкой хк, yh, zk9 в которой находится Л-ая масса,
создающая гравитационное поле, является гармонической функцией. Во
всех точках х, у, z, для которых гкФ0, функция \lrh удовлетворяет
уравнению Лапласа
л I _дЦ\/гк) дЦ\/гк) д*(Цгк) _ft
rk~ дх* "Г" ду* "*" дг* ~~Vt
Следовательно, потенциал Uk гравитационного поля одной
материальной точки удовлетворяет уравнению
AUh=Q
или
div/^0, Fk = gradUk, т. е. rotFA = 0. A.6)
Уравнение Лапласа является линейным уравнением. Потенциал
гравитационного поля U(x, у, г), создаваемого непрерывным
распределением масс по некоторому объему V, на основании A.5)
можно написать в виде
V(*. У> *) = /St1 ipdi^dm). A.7)
v
Очевидно, что эта функция U(x, у, г) удовлетворяет уравнению
Лапласа
в точках, где нет масс.
Уравнение Лапласа для U равносильно уравнениям
divF=0, rotF*=0, F^gradf/. A.8)
§ 1. Основные понятия электродинамики 299
Можно показать при весьма общих практически приемлемых
допущениях относительно распределения плотности р, что
потенциал U гравитационного поля A.7) для точек лг, t/, z,
расположенных внутри V, удовлетворяет уравнению Пуассона
Д[/=_4яр/. A.9)
Уравнение A.9) равносильно уравнениям
divF=— 4npf, rotF = 0, F=grad(/. A.10)
Таким образом, задача определения потенциала
гравитационного поля и силы, действующей со стороны поля на пробную
единичную массу, может быть поставлена как задача об определении
функции U(x, у> г) у исчезающей в бесконечности и
удовлетворяющей уравнению Лапласа всюду вне V и уравнению Пуассона всюду
внутри V, или как задача определения сил F, удовлетворяющих
уравнениям A.8) и A.10).
Такого рода постановка задачи в теории ньютоновского
потенциала полностью аналогична постановке задачи электростатики
на основе уравнений Максвелла A.4). Можно показать, что
решение в бесконечном пространстве задачи об отыскании функции U,
исчезающей в бесконечности, приводит к формуле A.7),
выражающей собой закон гравитационного тяготения * .
При наличии нестационарных электрических и магнитных полей
на основе опытных законов индукции аналогичным путем можно
получить обобщение уравнений A.4).
Уравнения Максвелла для Эти Уравнения в инерциальной системе
электромагнитного поля в координат в пустом пространстве, не за-
пустоте нятом материальными телами (в этой
области ре = 0, так как только материальные тела могут нести
заряды), имеют вид
rot£ = — ±™у diV#=0, A.11)
rot7/=y^, div£ = 0. A.12)
Уравнения Максвелла A.11) и A.12) удобно взять в качестве
исходной, базисной математической абстрактной формулировки
опытных наблюдений вместо законов Кулона и других законов
электродинамики, связанных исторически и практически более
тесно с непосредственными опытами. В уравнениях A.11) и A.12)
с — постоянная с размерностью скорости; дальше выясняется, что
постоянную с нужно рассматривать как скорость распространения
электромагнитных возмущений, т. е. как скорость света.
1 Это предложение подробно разобрано во втором томе этой книги (см. § 26,
гл. VIII).
300 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Уравнения A.11) и A.12) составляют основу физики. Это
главные уравнения в оптике и радиотехнике. Они описывают
распространение световых и вообще электромагнитных волн в
пустоте и многие другие явления.
Многие электромагнитные характеристики
О выборе единиц измере- являются размерными величинами.
Написание конкретных формул и уравнений
налагает определенные связи между единицами измерения для
величин, входящих в эти формулы и уравнения. В частности,
использование уравнений Максвелла в форме A.11), A.12)
подразумевает, что Е и Н измеряются в одних и тех же единицах.
При независимом выборе единиц измерения для силы, массы и
ускорения основное уравнение Ньютона F=kma необходимо писать
с размерной постоянной k\ при постоянной &, равной безразмерной
единице, эти единицы измерения зависимы.
Размерную постоянную с в уравнениях A.11) и A.12) или
постоянную / в законе гравитации можно положить равной единице,
это вполне возможно и принимается некоторыми авторами. Однако
если в A.11) и A.12) с=1, то это означает, что либо скорость света
принимается в качестве единицы для измерения скоростей, либо
единицы измерения для Е и: Н становятся зависимыми от единиц
измерения длины и времени. Аналогично при /=1 в законе
гравитации и одновременно k=l в законе Ньютона F=kma единицы
измерения для массы получаются зависимыми от единиц измерения
расстояний и времени и т. д. Такого рода дополнительные условия
во многих областях опыта, где встречаются рассматриваемые
величины, не связаны с существом физических величин и процессов.
Поэтому такие условия вообще неудобны, хотя и допустимы
логически. Например, скорость поездов, конечно, можно измерять в
долях скорости света, но это неудобно, несмотря на то, что свет
применяется в светофорах на железных дорогах.
В астрономии и в географии расстояния между небесными
телами или городами с точностью до сантиметра вообще не имеют
смысла, поэтому использование сантиметра как эталона для единицы
астрономических или географических расстояний вполне возможно,
но с практической точки зрения довольно бессмысленно. Здесь
следует вспомнить, что для получения числа, характеризующего
данную длину в опытах, по существу подразумевается
последовательное приложение к измеряемой длине масштабной длины (единицы
длины).
Естественно, что физические масштабы для различных величин
должны быть сравнимы по своему смыслу с измеряемыми
величинами.
Вообще достигаемая польза от полной стандартизации и
унификации единиц измерения во многих случаях не окупается, так как
возникают различные неудобства и, в частности, потеря чувства
осязания изучаемых объектов и ломка установившейся жизненной
§ 1. Основные понятия электродинамики
301
практики и традиций. На практике встречаются затруднения даже
при наличии бесспорной с научной точки зрения необходимости
применения только одних единиц измерения, например сантиметров
или дюймов.
Фиксирование физических постоянных для выбора единиц
измерения вообще неудобно. Скорость света имеет фундаментальное
значение в физике. Однако во многих проблемах эта величина
совершенно несущественна или может быть принята равной
бесконечности. Внесение в такие проблемы ограничений, связанных с
величиной скорости света, является ненужным осложнением и
противоестественно. ';
Форма уравнений Максвелла A.11) ^ AJ2) —
«добропорядочная форма», принятая во многих учебниках, Монографиях и
научных работах ряда самых знаменитых авторов прошлого и нашего
времени.
Здесь мы не будем отвлекаться и рассматривать различные
системы единиц измерения для электромагнитных величин; этих
систем много. Вопрос о единицах измерения в электродинамике
подробно изучается в элементарном и общем курсах физики. При
численном решении конкретных задач знание единиц измерения
абсолютно необходимо. После фиксирования уравнений A.11) и
A.12) и других законов дальнейшее развитие общей теории
в механике сплошных сред не связано с конкретным выбором
систем единиц измерения.
Система уравнений A.11)' и A.12) содер-
Замкнутость и непротиво- жит восемь уравнений для определения
речивость системы уравне- J г г
ний Максвелла в пустоте только шести неизвестных характеристик
электромагнитного поля: Е1% £2, EZl Hu
#2, Я3. Однако эта система непротиворечива. Это связано с тем,
что соотношения
div//=0 и div£ = 0
можно рассматривать как следствия первых уравнений в A.11)
и A.12), если начальные данные заданы соответствующим образом.
Действительно, если А (х, у, z, /) —произвольное
дифференцируемое по координатам векторное поле, то divfoti4 = 0.
Поэтому из первого уравнения A.11) вытекает, что
т. е. div# не зависит от времени /. Если div#=0 в некоторый
начальный момент времени, то div#=0 во все другие моменты.
Условие соленоидальности магнитного поля удовлетворится
всегда, если начальные данные удовлетворяют этому условию. Таким
образом, уравнение div//=0 можно рассматривать как
ограничение на задание начальных данных.
302 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Аналогично из первого уравнения A.12) вытекает, что
|div£-0,
г. е. если div£ = 0 в некоторый определенный момент времени
то она равна нулю и во все другие моменты времени.
Условие div/: = 0 можно рассматривать как условие
невозможности появления в пустоте зарядов, если их не было в какой-
либо «начальный» момент времени, a div//=0—как условие
отсутствия магнитных ^адядоз.
Хотя уравнения div//=0 и divf = 0 не являются полностью
следствиями первых уравнений, они не находятся с ними в
противоречии. Эти условия является существенными ограничениями
на дополнительные данные,, при\которых решения уравнений
Максвелла имеют физический смысл.
Уравнения Максвелла в виде A.11), A.12)
О применимости уравне- годятся не только для описания электро-
"ий Максвелла *1*1^ и магнитного поля в пустоте, но и для опи-
A.12) в материальных J '
телах сания электромагнитного поля в телах,
если тела электрически и магнитно
нейтральны, т. е. когда в них нет макроскопических зарядов, а под
действием внешнего, электромагнитного поля в них не возникают
электрические токи, макроскопическая поляризация и
намагничивание.
Каждая из составляющих тело молекул всегда создает вокруг
себя электромагнитное поле. Взаимодействие этих полей
определяет силы внутренних напряжений. Однако заряды составляющих
тело частиц могут быть распределены так, что в среднем
собственное электромагнитное поле в каждой точке тела и макроскопический
заряд в теле равны нулю,
а иногда £ср и #ср остаются равными нулю и в присутствии
внешнего электромагнитного поля.
Таким образом, хотя макроскопические поля в атомах и
молекулах всегда существуют, из-за хаотичности движения атомов и
других причин макроскопически они могут не проявляться.
Вместе с этим отметим как очень важный опытный факт, что
уравнения Максвелла A.11) и A.12) применимы для описания
микроскопических полей вплоть до атомных масштабов.
Переход от элементарных опытных фактов
Мак3свйдлаИИ уравнений и законов, описываемых в физике при
первом знакомстве с теорией электричества,
к эквивалентным им уравнениям Максвелла представляет собой
простую переформулировку.
В буднях научной жизни укоренилось мнение, что
переформулировки уже установленных предложений и представлений могут
§2. Уравнения Максвелла в пространстве Минковского 303
быть только тривиальны по своему существу. Однако пример
перехода к концентрированной формулировке законов электродинамики
в виде уравнений Максвелла опровергает это мнение. Это —
гениальное достижение, послужившее основой развития всей
современной физики. Последовавший за формулировкой уравнений
Максвелла анализ природы электромагнитного поля и свойств системы
уравнений Максвелла стал источником теории относительности и
соответствующего фундаментального пересмотра старых понятий об
инерциальных системах отсчета, о пространстве и о времени.
§ 2. Уравнения Максвелла в пространстве Минковского
Формулировка уравнении
Максвелла в
четырехмерном пространстве
Для более полного разъяснения
физической сущности уравнений Максвелла
перепишем эти уравнения в новых
обозначениях.
Сначала просто в качестве обозначения введем
антисимметричную матрицу Ftj=—Fji согласно следующему матричному
равенству:
11^7 II =
0
Fa.
Fn
Fa
Fu
0
F22
F*2
F13
^23
0
^43
FiA
^24
^34
0
0 #3 __#2 CEX
-Я3 О Я1 cE2
m -m 0 cEz
—cEx —cE2 —cE3 0
B.1)
и рассмотрим четырехмерное многообразие — пространство с
координатами х1, jc2, xz, xA=t, причем jc\ x2, хъ будем рассматривать
как обычные ортогональные декартовы координаты в трехмерном
геометрическом объеме.
Легко проверить, что четыре уравнения A.11) в проекциях на
декартовы оси координат можно написать в этом случае в следую-
щем виде:
^ + |7+S = 0 (/, /, 4-1, 2, 3, 4). B.2)
Если наряду с матрицей F(j ввести в этой же системе
координат матрицу FV согласно равенству *
if/i-
Я. —Я.
-н3
fft
С
Hi
-Нл
£2 _L£3
с
С
С
0
B.3)
1 Расположение индексов у компонент Я и £ в B.1) и B.3) становится
существенным только при переходе к криволинейной системе координат (см. более
подробно стр. 182-184 гл. IV),
304 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
то четыре уравнения A.12) можно написать в следующем виде:
dFU
^-0(/-1, 2, 3, 4). B.4)
Истолкование величины с Нетрудно показать, что общее решение
как скорости света уравнений B.2) можно представить в виде
Mt dAj
где Ль Л 2, Л8, Л4 — четыре произвольные функции от х1, х2>.х3, л:4.
Свойство антисимметрии для Гц при этом, очевидно,
удовлетворяется.
Заметим, что значения Ftj не изменятся, если к Ль Л2, Л3, Л4
добавить соответственно компоненты четырехмерного вектора —
градиента дУ/дх1, dW/dx2> dW/dxz, дЧ/дх*. Пользуясь этим
произволом, дальше нормируем выбор функций At добавочным условием
дх1 ~*~ дх* ^ дх* с2 д*4~"и# (*-ь)
Для любой заданной системы четырех функций А% можно
определить функцию Ч? так, чтобы равенство B.6) удовлетворялось.
Равенство B.6) можно рассматривать как условие, исключающее
произвол в выборе функции W.
После замены в B.4) FiJ через
„ _дА} dAj
r*J-dxf~dxt
на основании B.6) получим для четырех функций At следующие
четыре одинаковых уравнения:
&^ + Щх^ + щф~Т*-^" ('=1' 2> 3' 4^- B*7^
Таким образом, решение уравнений Максвелла можно свести
к задаче отыскания четырех функций At, удовлетворяющих
соотношению B.6), каждая из которых удовлетворяет уравнению B.7).
Уравнение B.7) называется волновым уравнением.
Более полно общие свойства решений волнового уравнения мы
рассмотрим в гл. VIII (см. т. II). Однако здесь укажем сразу же
на типичное свойство решений этого уравнения. Пусть f(£) —
произвольная, дважды дифференцируемая по своему аргументу
функция. Легко видеть, что функция
A=f(x*-ct>9 B.8)
удовлетворяет волновому уравнению. Согласно этому решению
данное значение Л =/(£), соответствующее некоторому
фиксированному значению 1=хг—ct> распространяется вдоль оси х1 со
скоростью с. Отсюда выясняется смысл величины с как скорости света.
§ 2. Уравнения Максвелла в пространстве Минковского 305
Пространство Минковско- Введем четырехмерное метрическое псев-
г0 доевклидово1 пространство Минковского,
отвечающее координатам х\ х\ я3, *4 = /,
в которых метрика по определению задается формулой2
ds2 = — dx1'—dx2*—dx*2 + с2 dt2 = gtJ dxi dxL
Для матриц \\gijl и \\gl/\\ этой.метрики имеем
B.9)
lft/1-
-1
0
0
0
0
—1
0
0
0
0
—1
0
0 1
0
0
с2\\
т=
-1 О
О -1
о о
о о
0
0
1
0
0 I
0
0
1
72|
Из определений B.1) и B.3) видно, что FiJ' и Ftj связаны
соотношениями FV — Fpjgptgv.
Преобразование уравне- Если наряду с координатами х\ х2, х\
ний Максвелла к произ- x* = t ввести произвольную криволинейную
вольной криволинейной систему координат у1, у2> у3, *Д связан-
системе координат НуЮ с ^х ^ ^ х4 = / преобразованием
yi = f(x\ x\ х\ х*) (/=1, 2, 3, 4), B.10)
то преобразованная формула для ds2 будет иметь вид
дхР dxQ
d*-gijdy'dy't гдей,-^ ——.
Преобразованные уравнения Максвелла B.2) и B.4) и формулу
B.5) легко написать, если рассмотреть величины Ftj и At как
компоненты тензора и вектора в пространстве Минковского, т. е. Fq
и Л;- в новой системе определить равенствами
F' —F дхР —
ij"~~ р«~д7 ду*
л * а дхР
B.11)
Четырехмерный тензор F = Fi/3i3/ называется тензором электро-
магнитного поля, а четырехмерный вектор А = А(э{ называется
векторным потенциалом. На основании формул тензорного анализа
1 Псевдоевклидовость означает, что метрика B.9) не является положительно
Дефинитной, но gij можно принять постоянными во всем пространстве.
2 Здесь и дальше приняты следующие условия: для временной компоненты
&44>0, а для пространственных gaa<0> кроме того, четырехмерные индексы
обозначаются латинскими буквами, а при отдельном выделении трехмерные
пространственные компоненты — греческими буквами. Этими условиями пользовался
Н. Weyl («Space-Time-Matter», 1922 г.); в настоящее время такие же условия
приняты многими авторами и применяются в распространенных учебниках. С
другой стороны, в ряде книг и в некоторых научных работах используются прямо
противоположные условия в смысле знаков jgfo и Saa и обозначений индексов.
20. Л.И. Седов
306 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
получим
v;fy+да,+?;/=■;*-о, {2.i2)
VjF'tf-O, B.13)
^-VMKV^-^-^. B-Й)
Волновые уравнения B.7) при соблюдении условия
V'M; = 0 B.15)
преобразуются к виду
V'*vH;==°- B-16)
Эти уравнения следуют из тензорного вида уравнений B.2),
B.4), B,5) и B.7) в пространстве Минковского, для которого
очевидно, что производные по координатам и по времени в системе х1,
x*f x*f t совпадают с ковариантными производными, так как в этой
системе все символы Кристоффеля равны нулю.
Заметим, что ввиду антисимметрии Ftj в произвольной системе
координат в уравнениях B.12) члены с символами Кристоффеля
сократятся, и поэтому уравнения B.12) в произвольной
криволинейной системе координат можно написать также в виде
^ *£, «^
ду* ду* ^ dyi v '
Уравнения B.13) в раскрытой форме имеют вид
dF'U
dyi
V/T'</ * Ц^+ F'pJT^j + Г'рЦ, = 0.
Из антисимметрии /W и симметрии по нижним индексам YlPJ
следует, что F'wftpj^O] кроме этого, на основании формулы C.6)
гл. IV имеем
Поэтому верна еще следующая форма второй пары уравнений
Максвелла—A.12):
Г '^Шя0. B.18)
' >^=i dyJ '
Таким образом, уравнения Максвелла можно написать в
тензорной форме с помощью тензора Рц в специально введенном по
определению четырехмерном пространстве Минковского.
С помощью полученных тензорных уравнений можно
рассмотреть в различных системах отсчета вопрос о виде уравнений
Максвелла и о компонентах векторов магнитной и электрической напря-
§ 2. Уравнения Максвелла в пространстве Минковского 307
женностей Я1, Я2, Я3 и Ей Е2у Es> исходя из равенств B.1) и B.3)
и формул преобразования B.11).
Метрическое пространство Минковского введено как
вспомогательный математический образ. Это сделано пока только в связи
с тем, что при преобразованиях координат в пространстве
Минковского Fij можно рассматривать как тензор, а уравнения
Максвелла в этом пространстве—как тензорные уравнения.
Трактовка введенного таким образом пространства Минковского
как физического пространства и в связи с этим трактовка тензора
электромагнитного поля тоже как физического объекта возникают
только после принятия дополнительных физических постулатов,
сущность и смысл которых будут изложены в следующем параграфе.
Здесь же.отметим еще следующие выво-
Преобразование только ды вытекающие из сделанных математи-
пространственных коорди- * ' «г»
н£т F K ческих определении. Возьмем частные
преобразования вида
y* = fa(x\ х\ **), <х-1, 2, 3, /' = */4 = ** = *, B.19)
в которых преобразуются только пространственные координаты и
сохраняется неизменной координата, соответствующая времени.
Легко проверить на основании формул B.11) и матричной
формулы -1' B.1), что соответствующие формулы преобразования для
величин Еа и Яа представляют собой формулы преобразования
соответственно для ковариантных и контравариантных компонент
трехмерных пространственных полярного и аксиального векторов.
При преобразовании B.10) общего вида можно также в разных
системах координат рассматривать величины Еа и Яа, однако
соответствующие преобразования не будут преобразованиями компонент
каких-либо векторов.
Преобразование Лоренца Рассмотрим преобразования /-/'(**)
к г самого общего вида, которые сохраняют
вид квадратичной формы B.9) для метрического пространства
Минковского, т. е. такие, для которых имеет место равенство
ds2 = —dx1%—dx2*—dx** + с2 dt* = — dy1* —dy^—dy^+c* dt\
B.20)
Так же как при любых преобразованиях координат, при таких
преобразованиях, называемых преобразованиями Лоренца, тензорные
уравнения B.12) и B.13) и соответственно*B.17) и B.18) в
раскрытом виде отличаются только обозначениями координат и
компонент Ft].
1 В криволинейной пространственной системе координат в матрице B.1)
вместо НУ необходимо подразумевать #v }/"Det Ц ga& II. а, E = 1, 2, 3 (см. § 3
гл. IV, формула C.26)).
308 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Инвариантность вектор- Преобразования Лоренца сохраняют вид
ных уравнений Максвелла также и векторных уравнений Максвелла
относительно преобразо- /1 11 ч /11 о\ r\ j.
ваний Лоренца AП) и О-12)- Однако из формул
преобразования B.11) получится, что векторы
электрической и магнитной напряженности £, Н в системе х( и
векторы £", Н' в системе у1' —это разные векторы. В следующем
параграфе укажем формулы перехода от Е, Н к £', Н' при
преобразованиях Лоренца.
Таким образом, уравнения Максвелла при соответствующих
условиях относительно преобразования векторов Е и Н
инвариантны относительно преобразований Лоренца. Из уравнений B.17) и
B.18) можно усмотреть, что, кроме преобразований Лоренца, можно
указать более общие классы преобразований, чем преобразования
Лоренца, для которых также имеет место инвариантность
уравнений Максвелла. Однако, как будет показано ниже, особенно
важное физическое значение имеют преобразования Лоренца.
Преобразования вида
Преобразования Галилея уа = Ха + а% —Vat, а=1, 2, 3,
B.21)
где t0J a% и va—постоянные, называются преобразованиями
Галилея. В ньютонианской механике преобразования B.21)
соответствуют поступательному равномерному прямолинейному
движению системы отсчета уа относительно системы отсчета хсс,
причем va—компоненты скорости этого движения в системе ха.
Очевидно, что преобразования Галилея не являются
преобразованиями Лоренца, так как для преобразований Галилея не
выполняется равенство B.20). Преобразования Галилея и формулы
B.21) можно усложнить дополнительным поворотом системы уа
на фиксированный конечный угол около некоторой произвольно
фиксированной оси и зеркальными отражениями относительно
координатных плоскостей. Заметим попутно, что любое вращение
можно заменить совокупностью зеркальных отражений
относительно некоторых плоскостей.
В четырехмерном пространстве Минков-
Тензорные и векторные ского в связи с уравнениями Максвелла
характеристики в прост- были введены тензор электромагнитного
ранстве Минковского; г г л/ / •
тензор энергии-импульса поля F = Ftp* и векторный потенциал
А = А{э1. При дальнейшем развитии
теории вводится много других векторов и тензоров. Например,
четырехмерный вектор электрического тока J=Jl'ai (см. § 4),
четырехмерный вектор силы F (см. § 5), вектор четырехмерной
скорости u = ul'9i = dr/ds, где dr = dx(9i—четырехмерное
перемещение индивидуальной точки, ds = \dr |, тензор энергии-импульса
электромагнитного поля
S = S'№ak, B.22)
§ 3. Преобразования Лоренца и инерциальные системы 309
где
S}k = — 1 \f .Fm* L 6?F Fmn'\
" 4я [Гт1Г 4 u'r»»r J '
и многие другие векторы и тензоры.
Из уравнений B.12) и B.13) вытекают следующие важные
следствия:
V*Si* —0,- /—1. 2, 3, 4, B.23)
которые можно трактовать как уравнения импульсов и энергии
для электромагнитного поля в пустоте.
§ 3. Преобразования Лоренца и инерциальные
системы отсчета
принцип относительности Основная физическая посылка —универ-
в физике сальный принцип относительности
Галилея—состоит в утверждении, что все
физические законы о взаимодействиях в материальных средах и
полях формулируются одинаково и все физические процессы и
явления протекают одинаково для наблюдателей в любой инер-
циальной системе отсчета. Постулируется существование
совокупности инерциальных систем координат, которые могут
двигаться друг относительно друга. Однако совокупность
инерциальных систем отсчета может быть определена в различных
теориях различными способами.
В ньютонианской физике ^предполагается,
Инерциальные системы в чт0 физическое пространство трехмерно
ньютонианской механике t \
(евклидово трехмерное пространство), что
время абсолютно и может быть определено универсально как
одно и то же время во всевозможных движущихся друг
относительно друга поступательно с постоянной скоростью системах
координат, образующих все множество инерциальных систем
.отсчета. Множество инерциальных систем определяется условием,
что в этих системах изолированная материальная точка покоится
или движется с постоянной скоростью.
Принцип относительности Галилея — Ньютона состоит в
утверждении, что все физические уравнения и законы должны быть
инвариантными относительно системы преобразований Галилея
B.21), определяющих собой в декартовых системах координат
переход от декартовой инерциальной системы координат х1, х2у x3, t
к другой декартовой инерциальной системе координат у1, у2, у*,
t+U.
В ньютонианской физике из B.21) и кинематического
определения скорости вытекает следующий закон сложения скоростей:
vx=*vv+vt
C.1)
310 Гл. VI. Основные, понятия и уравнения электродинамики
где vy—скорость объекта, точки, относительно системы у,
vx—скорость этого же объекта относительно системы х, a v —
поступательная скорость инерциальной системы у по отношению
к системе х.
Как известно, скорость света в пустоте можно определить как
скорость фронта электромагнитных возмущений или, более просто,
как скорость движения в пустоте электромагнитной частицы —
фотона. Согласно C.1) в ньютонианской физике должно получаться,
что скорость светаразлична для различных наблюдателей,
производящих измерения в своих инерциальных системах координат. Кроме
того, из абсолютности времени следует, что в ньютонианской физике
возможно распространение сигналов с бесконечной скоростью.
Но эти выводы находятся в коренном
Постулат о постоянстве противоречии с опытом. Опыт указывает,
скорости вета что свет распространяется в пустоте с
одной и той же скоростью относительно любых движущихся друг
относительно друга с постоянной скоростью наблюдателей и
изотропно относительно любого наблюдателя, т. е. с одинаковой
скоростью во всех направлениях. Знаменитый опыт Майкельсона
и множество других опытов показывают, что скорость света не
зависит от выбора инерциальной системы координат
Более глубокое исследование физических процессов показывает
также, что невозможно движение материальных объектов и
распространение энергии со скоростью, большей скорости света, которую
можно рассматривать как предельно возможную скорость всякого
относительного движения материальных объектов.
Поэтому в основу современной физики положен постулат —
закон о постоянстве скорости света во всех инерциальных системах
координат. При сохранении основного физического принципа
относительности Галилея постулат о постоянстве скорости света служит
основой для изменения понятия об инерциальных системах и для
отыскания вместо преобразований Галилея B.21) новых
преобразований, определяющих переход от одной инерциальной системы
к другой.
В этом случае преобразования Галилея B.21) становятся
неприемлемыми; приходится усложнить эти преобразования и
отказаться от существования абсолютного времени.
Обратимся теперь к условиям, налагае-
Об инерциальных систе- мым постоянством скорости света на пре-
мах координат в специаль- образования координат при переходе от
ной теории относительно. ^ инерциальРН0Й сист£мы £ другой.
Совокупность инерциальных систем может
быть получена с помощью системы преобразований из одной
единственной системы, которая выделяется по условию,
основанному на опытных данных.
Для отыскания соответствующих формул преобразования
воспользуемся, кроме основного условия о постоянстве скорости света
§3. Преобразования Лоренца и йнерциальные системы 311
во всех инерциальных системах, еще естественными условиями о
равноправности любых двух инерциальных систем, об обратимой
симметричности — изотропности и однородности. Понятие об
однородности, связанное (^геометрической и кинематической
равноправностью всех точек пространства, дальше будет разъяснено в более
конкретной математической формулировке.
В качестве исходной инерциальной си-
Преобразование коорди- стемы К у выбор которой связан с опыт-
нат при переходе от одной ньши данными, возьмем систему координат
^ерциальнои системы к ^ ^ ^ ^ в которой проУстра£.твен.
ные координаты я1,.*2, x3 рассматриваются
как декартовы координаты евклидова трехмерного пространства,
а переменная / — как время.
Пусть у1, у2, у3у y*=t' — другая инерциальная система
координат К у в которой у1, у2, уъ тоже декартовы координаты, a f — свое
время. Мы рассматриваем задачу об изучении условий для
определения формул преобразования
у<=Пх\ х\ х\ х4), i=l, 2, 3, 4, C.2)
которые должны заменить собой формулы преобразования
Галилея — Ньютона B.21), и об установлении свойств таких
преобразований.
Пусть dx1, dx29 dxz — компоненты перемещения некоторой
подвижной точки М за время dx*=dt в системе К и соответственно для
этой же точки dy1, dy2, dyz — перемещения и dy*=dt' —
промежуток времени в системе /С'.
Для соответствующих трехмерных скоростей v и v' точки М
в системах К и К' имеем
mA_dx*+dx*+d*2 и j^dyV+dyV+dp*
dt2 ~~ dt'2
В этих формулах переменные уа и х& (ос, §=1, 2, 3)
соответствуют друг другу согласно формулам C.2).
Введем величины
ds2x = (с2 - v2) dt* = — dx1'—dx2'—dx*+с2 dt2,
ds2 = (c2—v'2)dt'2 = — dyl2—dy2*-dy*2+c2dt'*.
Рассмотрим движение фотона, который, как известно,
движется в пустоте со скоростью света как в системе /С, так и в
системе /С'.
Если одновременно a = i/ = c, то
Если принять ds% = 0, то равенство
*-(£*0,+(£<»),+(£*'),-*(£*0,-о
312 Гл. VI. Основные понятия и* уравнения электродинамики
должно выполняться как следствие специального вида
преобразования C.2), поэтому в общем случае при v=£c должно выполняться
равенство
dsj«x(jc\ х\ х\ x*)ds%,
где х может быть произвольной функцией своих аргументов.
Из симметрии переходов К ->■ К и К -> К следует, что
отсюда
х(у0х(*9=1. C.3)
Из свойств однородности пространства вытекает условие
независимости х от точек пространства, т. е. от координат. Из
постоянства х и равенства C.3) вытекает, что х=1.
Следовательно, при преобразованиях перехода от одной инер-
циальной системы К к другой инерциальной системе К величина
ds*** — dj*—d^—d&*+*dt* C.4)
должна быть инвариантной.
Формулу C.4) можно рассматривать как определение метрики
четырехмерного пространства.
Таким образом, физическое пространство можно рассматривать
как пространство Минковского, а преобразования перехода от
одной инерциальной системы координат к другой — как
преобразования Лоренца.
Теперь выясняется, что пространство Минковского и
преобразования Лоренца, введенные раньше как вспомогательные
математические образы при изучении преобразований уравнений Максвелла,
получают фундаментальный физический смысл.
Очевидно, что очень важное значение в развитой теории имеет
инвариантность векторных уравнений Максвелла относительно
преобразований Лоренца. Принятые выше допущения и полученные
выводы составляют основу современной физики.
Принятие такой системы постулатов в глобальных системах
для конечных тел — это специальная теория относительности (СТО).
Использование этих постулатов только в локальных, малых
элементах материальных сред или поля положено в основу построения
общей теории относительности (ОТО).
Изучим более подробно свойства преобра-
Ло°еиТ? пРеобРазовайий зований Лоренца
оренца Прежде всего покажем, что функции
fl'(xk) в формулах C.2), определяющих преобразования Лоренца,
линейны.
Докажем более общее предложение. Пусть задано
преобразование
• -/'(*, А' *\ **), -gr=/i и Щ\Ф0,
§ 3. Преобразования Лоренца и инерциальные системы 313
и пусть
ds2 *= g'u dy! dyf = gp1dx? dx*,
g'M = gpq, C.5)
причем gJ/ = const, gP1=* const и \gif\¥*0. Покажем, что в этом
случае функции ^(х1, х2, х3, х1)—линейные функции своих
аргументов.
Дифференцируя равенство C.5) по х'у получим
ghfti'i+ehfptis^O; C.6)
здесь ру s, ^ — произвольные индексы, принимающие значения
1, 2, 3, 4. Очевидно, что в силу свойств симметрии g'{j = g'fi и
!% — !%- После перестановки в C.6) индексов p—+q-+s—+p
можно написать
ghfUtt+ghnfPs=V- C.7)
Вычитая из равенства C.6) равенство C.7), получим
ghf№-giifyi-b C.8)
Теперь переставим в C.8) индексы p—+s-+q—+p и вычтем
результат из C.7), получим
tf/fjfj. = 0 или Л,.Д=0, C.9)
где ру <7, s—любые индексы из 1, 2, 3, 4. Детерминант \Aiq\
отличен от нуля, так как верно матричное равенство
М/,ы*даа и itf/i^o, i//j^o.
Так как 1^1=^=0, то из системы однородных уравнений C.9)
вытекает
^ = ет = °- C.10)
Уравнения C.10) верны при i, p и s произвольных; отсюда
следует, что общее решение системы уравнений C.10) имеет вид
У1 = Р'(х*) = П+с<кх>, C.11)
где fl0 и clk — постоянные числа.
Очевидно, что доказанное предложение верно для любых
я-мерных пространств.
Преобразования C.11) соответствуют однородной деформации
четырехмерного псевдоевклидова пространства, это
преобразования более общие, чем преобразования Лоренца.
Для выделения среди преобразований C.11) преобразований
Лоренца необходимо заменить C.5) более сильными условиями,
314 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
вытекающими из B.20),
&=•&, = -1, ea-ftt-c1. C12)
g'ij = §i/ = 0 ПРИ '^/-
Условия C.12) накладывают следующие десять алгебраических
связей на 16 коэффициентов cl'k:
eijc'pC'^g^ или ct/** = bVp. C.13)
Таким образом, общее преобразование Лоренца зависит от
четырех постоянных /j, определяющих простую трансляцию, и от шести
независимых параметров, через которые согласно C.13)- можно
выразить шестнадцать величин с(к.
Преобразования Галилея Преобразования Галилея образуют группу,
и Лоренца содержат оди- зависящую от десяти параметров; четыре
наковое число независи- из них определяют трансляцию, три—вра-
мых параметров, равное щение и зеркальное отражение трехмер-
десяти ного пространства и три—компоненты
скорости поступательного движения системы координат.
Преобразования Лоренца также образуют группу, зависящую
от десяти параметров: от четырех параметров, определяющих
трансляцию, и от шести параметров, определяющих зеркальное
отражение и вращение четырехмерного пространства Минковского,
задаваемые независимыми параметрами, через которые выражаются
коэффициенты clk.
Преобразования, удовлетворяющие условиям C.13) при
произвольной метрике в пространствах любой размерности,
называются ортогональными преобразованиями. Ортогональные
преобразования образуют группу. Ортогональные преобразования с
детерминантом преобразования Д = |£'*1>0 образуют подгруппу,
называемую собственной группой вращения.
Для тождественного преобразования в
Бесконечно малые преоб- ГпуПпе ортогональных преобразований
разования лоренца
v имеем
Вместо с\ введем величины Qfk, определенные формулами
Для тождественного преобразования Q^ = 0. Если Q^ бесконечно
малы, то коэффициенты с\ определяют преобразование,
принадлежащее собственной группе вращений, так как А « 1. Величины
с1\ и Q'ft можно рассматривать как компоненты тензоров в базисе
системы К или в базисе системы К' или как векторы по индексу
I в К и векторы по индексу k в /С'.
§3. Преобразования Лоренца и инерциальные системы 315
Условия ортогональности для бесконечно малых вращений
после отбрасывания малых второго порядка имеют вид
или
**ЯР *йРГ
Антисимметричную матрицу QPq можно рассматривать как
компоненты соответствующего четырехмерного антисимметричного
тензора в пространстве Минковского. Шесть независимых компонент
этого тензора можно рассматривать как независимые параметры,
определяющие бесконечно малое вращение в четырехмерном
пространстве Минковского. Четырехмерному антисимметричному
тензору Йр„ в инерциальных декартовых системах можно поставить
в соответствие два трехмерных вектора Q и U согласно равенству
Q3 о —fii — U Л
I—Q2 Q1 О — U J
Hi U2 U3 О [
Легко видеть, что аксиальный вектор Q (Q1, Q2, Q3) характеризует
бесконечно малый трехмерный пространственный поворот,|а полярный
вектор U(Uly £/2, (/3)—бесконечно малую поступательную скорость
движения инерциальной системы К' относительно системы /£.
Преобразование Лоренца Рассмотрим важное конечное частное пре-
при поступательном дви- образование Лоренца C.11), имеющее вид
жении системы К' относи- I/1 = С1 Xх + СХЛ, у2 = X2,
IRpJ
Й' =g<>£2
pq-
C.15)
тельно системы К
Это преобразование соответствует поступательному движению вдоль
оси х1 системы К' относительно системы К с постоянной скоростью
U=—c1Jc11. В этом случае условия C.13) легко разрешаются,
после чего при условии Д>0, связанном с отсутствием добавочного
зеркального отражения, получим
и обратные формулы
хх =
yl + Utf
]Л=Г V^T
C.16)
Преобразования Лоренца C.16) переходят в
преобразования Галилея, когда Ulc мало, после пренебрежения
величинами порядка (U/cJ.
316 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Относительность понятия Согласно общим формулам C.11) и, в ча-
времени стности, формулам C.16) при переходе от
К к /(' время V в «подвижной системе»
отличается от времени / в первоначальной «неподвижной» системе.
Кроме того, геометрические координаты и время становятся до
некоторой степени равноправными. Однако о полном стирании
различия между геометрическими расстояниями и промежутком
времени не может быть речи. Это различие проявляется, в
частности в том, что в определение метрики для ds2 элементы dx?2 и
dt2 входят с различными знаками. Из теории квадратичных форм
известно, что при любых вещественных преобразованиях
переменных, сохраняющих канонический вид квадратичной формы для
ds2, указанные знаки являются инвариантными.
Рассмотрим связь, вытекающую из C.16),
Различие интервалов вре- межДу соответствующими интервалами
времени dt' и dt в точке М, неподвижной
в системе К' (у1»const), и, следовательно, движущейся со
скоростью U в системе /С. Имеем
dt= /'—г* т- е- dt>dt9. C.17)
У
Ь С
Аналогично пусть точка N связана неподвижно с системой К
(х1^ const); тогда получим
di' = ——-, т. e:dt'>dt. C.18)
Y
1 о
Таким образом, с точки зрения наблюдателя в К собственное время
у наблюдателя К течет медленнее. С другой стороны, для
наблюдателя в К' собственное время в К течет медленнее. В этом
сказывается полное равноправие инерциальных систем К и К'.
Подобного рода соотношения также будут иметь место для длин
соответствующих отрезков, расположенных вдоль направления
скорости U. Длины отрезков, перпендикулярных к направлению
скорости Uу одинаковы в К и К' >
В приложениях особое значение имеет
Собственная система от- собственная система отсчета; это инер-
счета г^*
циальная система отсчета д *, которая
выбрана в данной точке М среды так, чтобы скорость точки М
относительно системы /С* в данный момент времени равнялась
нулю; скорости соседних точек и точки М в другие моменты
времени в этой системе могут отличаться от нуля.
С использованием собственной системы отсчета и собственного
времени мы имеем дело в наших ощущениях. Собственное время —
это инвариантная характеристика старения и всевозможных
внутренних процессов и внутренних взаимодействий.
§ 3. Преобразования Лоренца и инерциальные системы 317
При движениях элементарных частиц, атомов и молекул законы
для всех внутренних взаимодействий и все характерные времена
одинаковы только в собственных системах отсчета, например,
периоды излучаемых световых волн или радиоволн, время
полураспада радиоактивных ядер, времена существования неустойчивых
«элементарных» частиц и т. п.
При изучении движения континуума мож-
Собственное время г j * j j
F но рассматривать в каждой точке и в
каждый момент времени свою собственную систему координат
и в этой системе пользоваться значениями компонент различных
тензоров, векторов и своим собственным интервалом времени dx,
определяемым равенством
dT»-ds«£tfl/"l«-4 (v*<c\ ds>0), (ЗЛ9)
С f С
где dt — соответствующий интервал времени, a v—скорость в
фиксированной системе отсчета наблюдателя.
Очевидно, что собственные системы коор-
Собственные и сопутству- динат вообще не совпадают с сопутствую-
ющая системы координат „ « J « J
* щей системой координат, в.которой
скорости всех частиц всегда равны нулю; собственная система
инерциальна, а сопутствующая система, конечно, вообще
не является инерциальной.
Парадокс часов При ^ рассмотрении различных движений
одной и той же точки или при
рассмотрении различных движений разных точек можно вычислять
конечные" промежутки собственного времени с помощью интегралов
вдоль пути (вдоль мировой линии) вида
дт=т-т0=4 jds== I Yx-idu C-20)
Собственный интервал времени Ат является инвариантом, и
поэтому выражение C.20) дает одинаковый результат в вычислениях при
использовании любой системы координат наблюдателя как
инерциальной, так и не инерциальной,
В заданной инерциальной системе координат наблюдателя
интеграл C.20) зависит от кривой лг'^л;'^) в пространстве Минковско-
го. В частности, в случае прямолинейного движения вдоль оси х1
интервал Дт является функционалом пути интегрирования в
плоскости х1, t (рис. 40). Значения Дт, вычисленные по различным
путям d и Са, идущим из точки О-в точку О*, различны.
Для покоящегося тела на Земле, принимаемой за инерциальную
систему координат, путь интегрирования совпадает с осью
времени t\ для космонавта, улетающего на ракете вдоль оси х и затем
возвращающегося обратно на Землю, закон движения
изображается кривой вида 2.
318 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Подынтегральное количество в последнем интеграле C.20) при
ияФО меньше, *шм при v=0; поэтому при возвращении
космонавта в точку О' промежутки собственного времени для земного
наблюдателя Атзем = OOf и для
t1 космонавта
**0')
t (О)
будут различными, причем
d ли и ^ A*K0CM<AW C'21>
Рис. 40. Интервал собственного
времени зависит от закона движения Для космонавта и земного
жителя — близнецов после
возвращения космонавта на Землю космонавт окажется более молодым,
чем его земной брат.
Пусть отрезки ОВ и ВО' соответствуют закону движения
фотона x1=ct и xl=—ct+xBf движущегося со скоростью света. Очевидно,
что для фотона всегда Дт=0, т. е. собственное время фотона не течет.
Теперь легко выяснить, как изменяются
Преобразование Е и # векторы Е и Н при переходе от одной
при переходе от а к а инерциальной системы координат К к
другой «подвижной» инерциальной системе координат К' и, в
частности при переходе к собственной системе координат /С = /С*.
На основании формул B.11), C.16) и B.1) нетрудно
установить следующие формулы:
1 { с hYx-$
C.22)
C.23)
Здесь индексом | обозначены составляющие векторов,
параллельные скорости v подвижной системы К', а индексом .L —
составляющие, перпендикулярные к v. Легко видеть, что члены
(v/c)xH и (v/c)xE не дают вклада в выражения для Е'п и Н'л,
так что Е'а = Еп и^= Нп. Однако в формулах C.22) и C.23)
эти члены сохранены для симметрии формул, что очень удобно
для записи приближенных формул при малых v2/ca.
§ 3. Преобразования Лоренца и инерциальные системы 319
Формулы C.22) и C.23) показывают, что основные обычно
используемые характеристики электромагнитного поля —векторы
Е и Н—зависят существенно от выбора инерциальной системы
координат, и поэтому их физический смысл носит весьма
ограниченный характер.
В ньютонианской механике при использовании ускоренно
движущихся систем координат приходится вводить силы инерции.
Таким образом, поле внешних сил в нерелятивистской механике
зависит от выбора подвижной системы координат. Существенно, однако,
что поле сил одинаково в инерциальных системах и изменяется
только при переходе к системе координат, движущейся относительно
первоначальной системы с ускорением. Электромагнитные
характеристики поля Е и Н изменяются даже при переходе от одной
инерциальной системы координат к другой.
Отметим, кроме того, что если в некоторой системе координат
К было только электрическое поле, то при переходе к системе,
движущейся относительно К, обязательно появляется также и
магнитное поле, и наоборот.
Например, рассмотрим электрон в его собственной системе
координат /С*. В этой системе координат магнитное поле
отсутствует, #* = 0, а электрическое поле Е* будет кулоновским
полем. В системе координат, движущейся равномерно и
прямолинейно со скоростью v относительно системы координат, в которой
электрон покоится, векторы £' и #' определяются как решения
уравнений Максвелла с помощью формул C.22) и C.23), в
которых надо положить #=0, а вектор Е выразить через г по
формуле
£-—£gradr.
Более полное исследование полученного поля Е' и //' можно
провести на основании формул C.22) и C.23).
Каждый в отдельности из векторов Ей Н
?fL"HBaplfaHTHbIX харак" зависит от выбора инерциальной системы
теристиках электромаг- г« ^ ^
нитного поля координат. Тензор .электромагнитного поля
/7 = /7//э/э/, определенный 'через Е и Н
матрицей B.1), является инвариантной физической
характеристикой электромагнитного поля, подобной температуре, вектору
силы, тензооу деформаций и т. п.
Тензор F имеет шесть независимых компонент и только два
нез еисимых инварианта
±F.yF<7 ==#*-£*,
1Г 11 C24)
Преобразованием Лоренца можно полностью уничтожить
магнитное или электрическое поле только при наличии равен-
320 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
ства £-//=0, т. е. когда векторы Е и Н взаимно
перпендикулярны.
Если #2 = £2 в какой-либо одной системе координат, то
это равенство выполняется в любой другой инерциальной
системе координат. Если Я2 — £2 = 0 и £•#=(), то векторы Е и
Н равны между собой и взаимно перпендикулярны во всех
системах координат.
На практике обычно приходится встре-
0 векторах £ и Я в прак- чаться с различными инерциальными си-
тически обычно употреб- стемами координат, для которых относи-
ляемых в технике систе- r r
мах отсчета тельная скорость мала по сравнению со
скоростью света. Поэтому зачастую
разница между векторами Е, Н и £', //', Соответственно, мала.
Из формул C.22) и C.23) видно, что векторы Е и Я можно
рассматривать как инвариантные физические характеристики, если
пренебрегать величинами порядка v/c.
В дальнейшем будет рассматриваться
неприближенные формулы релятивистская механика сплошной среды
преобразования Е и Я с учетом электромагнитных эффектов. По-
v/cLtl°M малых поряАКа этому будут использоваться только такие
системы координат, для которых
относительная скорость v мала по сравнению со скоростью света с
(а2/с2<^1). При этом, если пренебрегать малыми второго порядка
по v/cу но учитывать малые первого порядка, переход от системы
координат К к системе координат /С', движущейся с постоянной
скоростью v относительно /С, будет определяться
преобразованиями Галилея
ya^xa—vati t'=*t,
а формулы преобразования £ и Я упрощаются и имеют вид
E' = E + \(vxH),
//' = #—i(*x£)
C.25)
(величины со штрихом относятся к системе К', без штриха — к
системе /С).
В частных задачах, например, когда вектор Е мал, в формулы
C.25) можно вводить дополнительные упрощения.
§ 4. Взаимодействие электромагнитного поля
с прозодниками
В проводниках под влиянием электромагнитного поля, вообще
говоря, возникает электрический ток. В этом.параграфе не будут
учитываться явления, связанные с поляризацией и
намагничиванием.
§ 4. Взаимодействие электромагнитного поля с проводниками 321
Примером проводников могут служить металлические тела:
медь, железо и т. п.; важным примером проводящей среды является
плазма — ионизованный газ.
Электрический ток, возникающий в про-
Трехмерный и четырех- водниках, представляет собой движение
мерный векторы плотно- заряженных частиц (электронов и ионов).
сти тока. Ток проводимо- ^v x r '
£J" F Если микроскопическую скорость частицы
с номером k обозначить через vk, а заряд
через ek, то плотность тока j можно ввести как сумму etv{ для
всех частиц в малом объеме AV, деленную на AV,
i
Здесь v—макроскопическая скорость среды. Вектор J*
представляет собой обычный «технический ток». Такой ток возникает как
в неподвижных, так и в движущихся проводниках под действием
электромагнитного поля и называется током проводимости. Вектор
pev представляет собой ток, связанный с переносом
макроскопического заряда.
Так как
то вектор тока проводимости J* можно выразить через векторы
потока диффузии /,, введенные в гл. III, по формуле
у*=Е
t щ
отношения e^rrii зависят только от сорта ионов, переносящих
заряды.
Наряду с трехмерным вектором /, определенным в
геометрическом пространстве, вводится еще четырехмерный вектор
плотности тока в пространстве Минковского, который в собственной
декартовой системе координат определен формулами
/i = /i, Л = /2, /» = /», /* = р,. D.2)
Компоненты вектора J в любой другой системе координат
определяются через компоненты в собственной системе по общим формулам
преобразования четырехмерного вектора в пространстве Минковского.
Уравнения Максвелла при наличии токов
пр^Во^нВиИк^МаКСВСЛЛа В и заРяД°в и ПРИ отсутствии поляризации
и намагничивания в телах имеют вид
, _ \ дН
T0tE 11»>
rot H=^J + ±§ D,3)
с J ' с dt
21. Л.И. Седов
322 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
diviSr-O,
div£ = 4npe. ( '
В частности, в случае стационарного электромагнитного поля
rot£ = 0, D.5)
поэтому Е—потенциальный вектор, а
rot Я=^У, D.6)
т. е. электрический ток приводит всегда к появлению вихревого
поля магнитной напряженности Я.
Ток смещения Величина — -щ- также вызывает
появление магнитного поля и называется током смещения. На практике
во многих случаях ток смещения — -^- очень мал. Введение тока
смещения в уравнения Максвелла произведено Максвеллом в
согласии с опытом и в дополнение к существовавшим до этого
опытным законам электродинамики Кулона, Ампера и Фарадея.
Если от обеих частей второго уравнения
Закон сохранения полного ^.3) взять дивергенцию и воспользоваться
заряда еще уравнениями D.4), то получится
важное следствие уравнений Максвелла
|fe + divy-0; D.6')
которое можно рассматривать как уравнение неразрывности для
зарядов или условие сохранения заряда.
Действительно, проинтегрировав уравнение D.6') по
некоторому неподвижному геометрическому объему, занятому сплошной
средой, которая является проводником, получим
$difdx = ^§pedT = -$divjdT = -jjndo, D.7)
V V V 2
где 2—поверхность, ограничивающая У, а п—внешняя нормаль
к 2, Вектор тока У переносит заряды через поверхность 2,
величина — ^ Indv представляет собой суммарный заряд, втекающий
s
в объем V через поверхность 2 за единицу времени. Это
количество равно изменению заряда в объеме V в единицу времени,
т. е. величине
д С , де
Ti)vedx=-m>
§ 4. Взаимодействие электромагнитного поля с проводниками 323
где е — полный заряд внутри У. Если /п=0 на поверхности 2, то
de/dt=0 и заряд внутри V сохраняется.
Условие сохранения полного заряда является точным
следствием уравнений Максвелла D.3) и D.4). Отметим, что закон
сохранения заряда, в противоположность закону сохранения массы,
является в настоящее время всегда выполняющимся
фундаментальным законом физики.
Система уравнений Максвелла D.3) и D.4)
Система уравнений Макс- является незамкнутой. Число уравнений в
н^мкн%аТсТтНемааХ ней Равно семи> так как Уравнение div Н = О
является непосредственным следствием
первого уравнения D.3) при соответствующих начальных данных.
Число же входящих в них неизвестных равно десяти: £, //, j, pe.
Кроме того, так как в подвижных^ провод-
0 связи задач электро- никах 7=7*+Рр^, распределение плот-
динамики и механики •* •* ' re r r
сплошной среды ности зарядов зависит от движения среды,
поэтому задачи электродинамики
оказываются связанными с задачами механики сплошной среды.
Замыкающим систему уравнений D.3), D.4)
Закон Ома для неподвиж- для неподвижной проводящей среды век-
ных проводников торным соотношением может служить
закон Ома. Закон Ома устанавливает связь между плотностью тока
проводимости j* и характеристиками электромагнитного поля.
Эта связь зависит от свойств проводника. Во многих важных
случаях для неподвижных проводников опытный закон Ома имеет вид
j*=oE. D.8)
Проводимость Коэффициент а называется коэффициентом
проводимости. Для изотропных
проводников проводимость а—скаляр, причем
1
где R — сопротивление. Для анизотропных проводников, например
для кристаллов, проводимость о представляет собой тензор второго
ранга, в уравнении D.8) тензор о свертывается с вектором Е.
Проводимость о различна для различных проводников, а для
данного проводника может зависеть от его температуры Т и других
термодинамических параметров. С ростом температуры
проводимость газа растет. Например, воздух при обычных условиях почти
не ионизован и является плохим проводником, но с ростом
температуры или при интенсивном облучении степень ионизации воздуха
растет, число свободных электронов в воздухе увеличивается, и
воздух становится хорошим проводником; для твердых тел с ростом
температуры 6 может уменьшаться. Проводимость во многих случаях
рассматривается как физическая константа материала, аналогичная
коэффициентам вязкости \i и £ или коэффициенту теплопроводности х.
324 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Закон Ома в собственной Для подвижных проводников постулиру-
системе координат ется> что закон Ома в виде D.8)
выполняется в каждой точке среды в
собственной системе координат (см. определение в § 3).
В собственной системе координат закон Ома имеет вид
/*=о£, D.9)
где знак ~ указывает на то, что соответствующие величины
рассматриваются в собственной системе координат. После перехода от
собственной системы к основной инерциальной системе отсчета,
относительно которой рассматривается движение среды, согласно
формулам C.25) преобразования вектора напряженности
электрического поля Е получим закон Ома для подвижных проводников
в виде
Г-о.(е + ±-хН). D.10)
Опыт и более подробный теоретический анализ показывают, что
законом Ома в форме D.10) можно пользоваться не всегда.
Например, в случае сильного магнитного поля закон Ома следует брать
в виде соотношения
/*==a(£ + fxtf)+*(/*xtf),
где & —некоторая постоянная или соответствующая функция
термодинамических параметров среды. Добавочный член k(j*xH)
носит название тока Холла.
* т Существуют среды, проводимость которых
Среды с бесконечной про- очень велика (например, медь или сильно
ВОДИМОСТЬЮ ч \ г>
ионизованная плазма). В связи с этим на
практике часто рассматривают среды с бесконечной проводимостью,
для которых проводимость а бесконечна, а сопротивление R равно
нулю. Введение таких сред в некотором смысле аналогично
введению идеальной жидкости вместо вязкой.
Из закона Ома в форме D.8) и D.10) , так как плотность тока/*
должна быть по условию конечной, вытекает, что внутри
покоящейся среды с бесконечной проводимостью должно выполняться условие
£ = 0, D.11)
а в среде с бесконечной проводимостью, движущейся со скоростью
V, в системе наблюдателя должно быть
Е = -±хН. D.12)
Таким образом, поле вектора электрической напряженности Е
в среде с бесконечной проводимостью определяется через поле
§ 4. Взаимодействие электромагнитного поля с проводниками 325
магнитной напряженности Н и поле макроскопической скорости
среды V. В этом случае два уравнения Максвелла D.3) могут
служить для определения поля Н и плотности тока J.
Пондеромоторными силами называются
Сила J оренца силы, действующие на среду со стороны
электромагнитного поля.
Если среда покоится, то на бесконечно малый элемент среды
d%, имеющий заряд de, действует пондеромоторная сила
Fdx = ^Edx=peEdx.
Если кроме заряда de в элементе dx есть еще токи j\ то на
единицу объема среды будет действовать пондеромоторная сила
F-PeE+±UxH)> D-13)
называемая силой Лоренца.
Если имеется движущаяся среда, то можно принять, что
в собственной системе координат для пондеромоторной силы
верна аналогичная формула
F=p,£+i(/xtf), D.14)
где все векторы определены в собственной системе координат.
Если воспользоваться приближенными формулами перехода от
собственной системы координат /(', движущейся со скоростью v
относительно инерциальной системы координат К (см. C.25)), то
после отбрасывания малых порядка -^ в инерциальной системе К
получим
гвр#(£+^хя)+-1(у*х/0; D.15)
здесь принято, что j*=j*. Отсюда, сравнивая D.15) с D.13) и
учитывая D.1), получим
т. е. сила Лоренца в нерелятивистском приближении в системе
отсчета К представляется формулой D.13), так же как и в случае
неподвижной среды. Равенство D.13), определяющее пондеромотор-
ную силу, действующую на единицу объема проводящей среды,
установлено на основании опытных фактов и рассматривается как
один из основных постулатов электродинамики или как одна из основ
для определения электромагнитных характеристик поля и тока.
326 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Уравнения импульсов с Пондеромоторные силы, действующие со
учетом пондеромоторных СТороны электромагнитного поля на части-
сил цы проводящей среды, являются
объемными силами, и их, так же как и, например силу тяжести, нужно
вводить в уравнения импульсов для материальной среды
ра = V/Я' + F Лоренца + р/Чяжести- D.16)
Задача определения движения проводящей сплошной среды
является в общем случае комплексной задачей, для ее решения
необходимо решать уравнения механики сплошной среды совместно
с уравнениями электродинамики. Подчеркнем, что выражение для
пондеромоторной силы D.13) учитывает только наличие в среде
зарядов и токов и должно быть усложнено, когда среда
поляризуется и намагничивается.
Рассмотрим теперь энергетическое взаи-
Энергетические взаимо- модействие между электромагнитным по-
деиствия в поле и поля о г„ 1Л
с проводящей средой лем и проводящей средой. Известно,
например, что неподвижный проводник, по
которому идет- электрический ток, нагревается, это нагревание
связано с обменом энергией между электрическим полем и
проводником.
Получим теперь из уравнений Максвелла уравнение,
определяющее изменение энергии электромагнитного поля,— уравнение Умо-
ва — Пойнтинга. Вычитая из первого уравнения Максвелла D.3),
умноженного скалярно на Я, второе уравнение Максвелла D.3),
умноженное скалярно на £, получим
tf.rot£-£.rottf=-|(#.^+£.|f)-^y.i:. D.17)
В декартовой системе координат левую часть этого соотношения
можно записать в виде разностей двух определителей:
Ei E% £
д д д
дх1 дх2 дхъ
#х #2 #3
#1
д
дх1
Ei
#2 #3
д д
дх2 дх*
Е<2, £3
или, после перестановки строк в этих определителях, в виде
д
дх1
Ег
\Hl\
д
дх*
Е2
д
дх3
Е3
\fh]
\ + \
д д д
дх1 дх2 дх3
III
l£il
я,
Я,
где знаком
отмечены величины, которые при раскрытии
определителей не следует дифференцировать.
§ 4. Взаимодействие электромагнитного поля с проводниками 327
Отсюда видно, что левая часть соотношения D.17) может
быть представлена в виде одного определителя
J <LjL
дх1 дх* дх*
Ei E2 Е3
Hi #2 Нз
Вектор и уравнение Умо-
ва — Пойнтинга
Если ввести в рассмотрение вектор
5 = ^(£хЯ). D.18)
называемый вектором Умова—Пойнтинга, то соотношение D.17)
можно записать в следующем виде:
д 1
div5+ii(//2+£2)+^£=0-
D.19)
Это уравнение носит название уравнения Умова—Пойнтинга.
Проинтегрировав D.19) по неподвижному конечному объему V, получим
$Sndo + ±^(H* + E*)dT + lj.EdT=0, D.20)
где 2—поверхность, ограничивающая объем V\ a n—внешняя
нормаль к 2.
Энергия электромагнит- Каждый из членов интегральнога соотно-
ного поля шения D.20) имеет физический смысл.
Трехмерный скаляр
вводится по определению как объемная плотность энергии
электромагнитного поля; ^j'Edxdt можно. рассматривать как эле-
v
ментарную работу электрического поля Е над перемещающимися
при микроскопическом внутреннем движении за счет тока J* и при
макроскопическом движении за счет pev заряженными частицами.
Джоулево тепло В случае неподвижного проводника
[j-Edxdt= ]j*-Edidt = dQA
D.21)
представляет собой джоулево тепло. Для неподвижного
проводника уравнение D.20) можно написать в виде
¥—$*.*-
dt
D.22)
328 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Полная энергия <В электромагнитного поля в объеме V
неподвижного проводника изменяется за счет потока вектора Умова —
Пойнтинга через поверхность 2, ограничивающую объем V, и за
счет перехода к среде джоулева тепла.
Приток тепловой энергии Приток тепловой энергии dq<& от поля
от поля к покоящейся к единице массы покоящейся проводящей
среде среды равен
^-■^-7 </•*>*• <4-23)
Изменение энергии влек- Подчеркнем, что энергия электромагнит-
тромагнитного поля в пу- ного поля в объеме V меняется не только
стоте за счет взаимодействия поля со средой.
Уравнение Умова—Пойнтинга справедливо и при наличии
уравнений Максвелла A.11), A.12) в пустоте. В этом случае
соотношение D.22) записывается в виде
т. е. полная энергия электромагнитного поля в объеме V в этом
случае меняется только за счет потока вектора
Умова—Пойнтинга. Однако это изменение отлично от нуля только в случае
нестационарного электромагнитного поля. В случае стационарного
электромагнитного поля (дН/dt = dE/dt = 0) поток вектора Умова —
Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность в пустоте в силу
уравнений Максвелла всегда равен нулю. В проводниках поток
вектора Умова—Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность 2
отличается от нуля и в случае стационарного электромагнитного поля.
Через незамкнутую часть поверхности 2 поток вектора Умова —
Пойнтинга, вообще, отличен от нуля, если ЕхНфО. Вектор
Умова—Пойнтинга характеризует обмен энергией между
различными участками электромагнитного поля, т. е. поток энергии
через разделяющую эти части поля поверхность Б.
При наличии макроскопического движения среды все
предыдущие толкования можно применять для бесконечно малых элементов
среды, когда уравнение Умова — Пойнтинга написано в
соответствующей инерциальной собственной системе координат.
В инерциальных системах координат, движущихся
относительно инерциальной собственной системы координат,
J ]-ЕйхМф\ J.Edxdt, D.23')
т. е. величина ] j*Edtd% не равна джоулеву теплу. Разница
kv
равна работе пондеромоторной силы D.13),
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 329
Уравнение притока тепла Уравнение притока тепла для подвижной
для проводящей среды частицы- проводящей среды в собственной
системе координат записывается в общем
случае следующим образом:
dU=f^ + dq<& + ±J-Edt+dq»9 D.24)
р ' iP
где знак ~ указывает на то, что соответствующие величины
взяты в собственной системе координат. Приток энергии
—j-Edt = dq{^ представляет собой джоулево тепло, т. е. приток
к частице среды тепловой энергии, черпаемой в электромагнитном
поле. В рассматриваемом случае вклад электромагнитного поля
в dq** принимается равным нулю. В следующем параграфе
увидим, что dq** необходимо, вообще говоря, учитывать, если
существенны эффекты поляризации и намагничивания.
В рамках введенных в этом параграфе соотношений для понде-
ромоторных сил и энергообмена между полем и средой построена
магнитная гидродинамика, основные положения которой мы
рассмотрим несколько позднее, а сейчас перейдем к рассмотрению
вопроса о пондеромоторных силах и притоках энергии от
электромагнитного поля к среде в том случае, когда эффекты поляризации
и намагничивания среды существенны.
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами
с учетом поляризации и намагниченности
В некоторых телах под влиянием внешнего электромагнитного
поля возникают поляризация и намагниченность. Под влиянием
внешнего поля внутри тел создается макроскопическое
электромагнитное поле, деформирующее и изменяющее внешнее поле.
Уравнения Максвелла с В таких телах УРавнения Максвелла
учетом поляризации и на- имеют вид
магниченное™. Векторы , „ \ дВ ,. п п ,к п
электрической и магнит- го1 ^= ~~7Г ~Ж* = ' * '
ной индукции, намагни- . « л/)
ченности и поляризации rot //= ^7+ 7 Ж' div D = 4jtp" ^
где D и В—векторы электрической и магнитной индукции
соответственно.
Вместо вектора магнитной индукции В можно рассматривать
вектор намагниченности Af, который связан с В следующей
формулой:
# = #+4яЛ1. E.3)
Вектор М характеризует с макроскопической точки зрения
упорядоченное распределение в теле магнитных диполей. Аналогично
330 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
вместо вектора электрической индукции D можно рассматривать
вектор поляризации Р, который связан с D следующим образом:
D = E+4nP. E.4)
Вектор поляризации Р тела характеризует распределение
электрических диполей в теле.
Второе уравнение E.1), как и раньше, является следствием
первого уравнения E.1), когда в начальный момент времени divВ = 0.
Систему уравнений E.1), E.2) можно за-
Уравнення Максвелла в писать в интегральной форме следующим
интегральной форме образом:
Я 2t 2 /5 5)
JS St 2, 2 V
и их следствие — условие сохранения полного заряда —
следующим образом:
-4il*<dx=lLda>
где 3 — замкнутый, покоящийся в выбранной инерциальной
системе координат контур, 2Х — поверхность, натянутая на этот контур,
индексом п отмечены нормальные к поверхностям 2i и 2
составляющие векторов,, направление нормали п к поверхности 2i выбрано
так, чтобы направление обхода при интегрировании по контуру 3
и направление п образовывали правовинтовую систему, 2 —
замкнутая, покоящаяся в выбранной системе координат поверхность,
ограничивающая объем V.
v M Так же как уравнения для электромагнит-
Уравнения Максвелла с _ Jr -л
учетом электрических то- ного Поля в пустоте, уравнения Максвелла
ков, поляризации и намаг- в материальных средах можно написать
ниченности в тензорной в тензорной форме в пространстве Мин-
Ф°Рме ковского. Для этого необходимо ввести
в рассмотрение вектор четырехмерного тока J= J* Э/, согласно D.2),
а вместо ковариантных и контравариантных компонент FtJ и F*J
тензора электромагнитного поля, введенного в § 2 согласно
матрицам B.1) и B.3), надо ввести два антисимметричных тензора F
и Я, компоненты которых в «декартовой» системе координат (ds2 =
я—dx1*—dx2*—dx** + с2 dt2) определены матрицами
1*//1-
0 В3 -В2 cEv\
-В3 0 В1 сЕ2
В2 — В1 0 с£3
—сЕг —сЕ2 — cF3 0
E.6)
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 331
|Я<7|!=
1 °
\-н.
Нг
1с
Я3 -
0
-Нг
С
-Я. -1/)!
с
о —Id3
—D3 0
с
E.7)
Очевидно, что при отсутствии намагниченности и поляризации,
т. е. когда Р=0 и Л1 = 0, матрица компонент Fu в B.1)
совпадает с матрицей компонент Fif в E.6), а матрица компонент Н^
в E.7) совпадает с матрицей компонент FiJ' в B.3).
Вместо тензора Я можно ввести в рассмотрение тензор
поляризации 3* с компонентами 5*/у, определенными равенствами
*/>-■£:<'//-*//>•'
Легко проверить непосредственно, что уравнения E.1) и E.2)
в тензорной форме в четырехмерном пространстве Минковского в
любой криволинейной системе координат имеют вид
V^ + Y/Fw + ^F/y-O
E.8)
V*#<* = ^./<.
E.9)
Из тензорной формы этих уравнений непосредственно видно,
что они инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Преобразования основных ПРИ пеРеХ0*е 0Т 0ДН0Й> «неподвижной»
вектороТ электромагнит- инерциальнои системы координат К к дру-
ного поля при переходе гой, «подвижной» инерциальнои системе /С'
от одной инерциальнои си- векторы £, /) иМ преобразуются по фор-
стемы отсчета к другой мулам C.22) и формулам типа C.22),
а векторы Я, В и Р—по формулам C.23) и формулам типа C.23).
Компоненты четырехмерного вектора плотности электрического
тока У1' преобразуются по обычным формулам преобразования
компонент вектора. В частности, если система К' движется
относительно К поступательно вдоль оси х1 со скоростью v, то на
основании формул C.16) получим
332 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Компоненты и величина трехмерного вектора плотности тока, а
также плотность заряда зависят от выбора инерциальной системы
координат.
и . Так же как для электромагнитного поля
Векторный потенциал г
г в пустоте, для электромагнитного поля
в среде можно ввести векторный потенциал А — Ар*, положив
После этого получим, что уравнения E.8) удовлетворятся
тождественно. Уравнения E.9) при отсутствии поляризации и
намагниченности, /'=#0 и \'А; = 0 приводятся к неоднородному волновому
уравнению, которое в декартовой системе координат имеет вид
дМ , д\А , аМ 1 д2А = 4я j
дх12 дх22 дх** с* dt2 с
Тензор Минковского В качестве тензоРа энергии-импульса
электромагнитного поля при наличии
поляризации и намагниченности можно взять тензор Минковского,
который вводится по оцределению следующим образом:
st—iz[F«H'"'-T6lF-«Hmn] • <5J■>
Эти формулы являются непосредственным обобщением формулы
B.22) для тензора энергии-импульса электромагнитного поля в
пустоте. Легко проверить, что тензор Минковского вообще
несимметричный:
Четырехмерный^ вектор В этом случае уравнения импульсов и
лают вид
V*S<* = -F<, E.12)
пондеромоторной силы энергии принимают вид
где F{ — четырехмерный вектор плотности объемной
пондеромоторной силы х .
Приведенные ниже общие формулы для пондеромоторной
трехмерной силы и энергообмена между полем и средой при наличии
поляризации и намагниченности получены с помощью формулы
E.12). В выражениях для F1, F2, F3 содержатся составляющие силы
Лоренца. При отсутствии поляризации и намагниченности среды,
но при наличии токов трехмерная часть четырехмерной пондеромо-
1 В декартовой системе координат с четырехмерной метрикой ds2 =
= —dx1*—dx2*—-d;t32-f c2dt2 для пространственных компонент четырехмерной
силы имеем /7?етыр = — Лхчетыр (а=1, 2, 3). Для компонент обычной
трехмерной силы имеем /7£еТыр = ^трехм=:^атрехм- Эти соотношения верны также лри
переходе от любых четырехмерных векторов в псевдоевклидовом пространстве
к соответсгвующим трехмерным векторам в евклидовом трехмерном
пространстве.
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 333
торной сильгр дает просто силу Лоренца, а четвертая компонента —
величину, равную j-Е, которая в собственной системе координат
равна выделенному джоулеву теплу, отнесенному к единице
времени и единице объема материальной среды.
После введения тензора энергии-импульса электромагнитного
поля S^S'fajBj формулы E.12) определяют четырехмерный
вектор F = /7/3/—объемную плотность внешней по отношению к телу
силы. Объемная плотность четырехмерной силы, действующей со
стороны поля на тело,—пондеромогорной силы, определяется
распределением характеристик поля и вводится этим путем для
общего случая, когда материальная среда (тело) движется как угодно] .
Для установления зависимости компонент F1' от привычных
трехмерных векторных характеристик поля необходимо
воспользоваться инерциальной системой координат, в которой написаны
уравнения Максвелла E.1) и E.2). Для достижения этой цели можно
в качестве инерциальной системы координат выбирать различные
системы координат. В частности, можно взять фиксированную
систему отсчета наблюдателя, относительно которой определяется
движение среды, или использовать совокупность собственных инер-
циальных систем координат в каждой точке материальной среды
и в каждый момент времени.
Компоненты трехмерных векторных характеристик поля,
определенных указанным выше способом в собственных системах
координат, можно вычислять в сопутствующей системе координат,
которая вообще неинерциальна. Если, в частности, сопутствующая
система координат инерциальна, то в каждой точке сопутствующая
система и собственная система координат совпадают; поэтому и
в этом случае взаимодействие между полем и материальной средой
можно рассматривать как взаимодействие между полем и
неподвижным телом в сопутствующей системе координат.
В каждой системе координат три компоненты Fa (a=1,2, 3)
и четвертая компонента F4 при пространственных преобразованиях
координат вида
tp = tf(x% */* = **; а, р= 1,2,3
образуют соответственно компоненты трехмерного вектора и
трехмерный скаляр.
Как было указано выше, эти вектор и скаляр зависят от выбора
исходной системы координат xf. В рамках специальной теории
относительности даже для инерциальных систем, движущихся
поступательно друг тносительно друга с постоянной скоростью,
1 Формулы E.12) и E.34) представляют собой обобщение опытных
фундаментальных законов электродинамики Кулона, Лоренца, Джоуля на общий
случай движения намагниченных и поляризованных материальных тел. Из
дальнейшего следует, что это обобщение связано с условиями выбора тензора
энергии-импульса и собственного момента поля, которые могут быть различными.
334 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
этот трехмерный вектор и этот трехмерный скаляр
неинвариантны х .
Тем не менее в подвижных друг относительно друга инерциаль-
ных системах отсчета эти характеристики различаются между собой
мало, когда относительные скорости движения малы по сравнению
со скоростью света. В приложениях в рамках нерелятивистской
механики этими различиями можно пренебрегать.
В общем случае в качестве естественных и удобных характеристик
внутренних физических процессов в материальной среде можно
пользоваться трехмерными векторами плотности пондеромоторной силы
и трехмерными скалярами F4=c2/74 в собственной системе координат.
Система уравнений Максвелла E.1), E.2)
О добавочных соотноше- Не является замкнутой. В нее входят семь
ниях электродинамики, независимых уравнений и шестнадцать не-
мГга^^бЛ)??") ИЯ известных £, Я, Я, D, / р,. Эти
уравнения недостаточны для определения
перечисленных характеристик электромагнитного поля.
Для того чтобы замкнуть систему, необходимы по крайней
мере еще три векторных соотношения, связывающие векторы £,
#, J*=j—pev,B и D.
Такими соотношениями могут служить закон Ома и законы
поляризации и намагничивания тела. Эти добавочные соотношения
не носят универсального характера, они по своему существу
различны для различных тел и процессов. Во многих случаях
используются закон Ома и законы намагничивания и поляризации тела
в следующем виде:
^a(£ + ixff), E.13)
B = \iH, E.14)
D=e£, E.15)
где через а обозначен, как и раньше, коэффициент проводимости,
через \i — коэффициент магнитной проницаемости и через г —
диэлектрическая постоянная. Во многих случаях на практике а, ц
и е можно считать постоянными. В пустоте 0=0, (х==е=1. Величины
сг, \i и е, подобно коэффициентам вязкости и теплопроводности,
можно рассматривать как физические характеристики среды, они могут
зависеть от температуры (при низких температурах
намагничивание и поляризация тел проявляются сильнее) и быть тензорными
характеристиками, как, например в случае анизотропных тел.
1 Это общее свойство любых трехмерных векторов в специальной теории
относительности. Например, так же обстоит дело с вектором плотности тока (см.
C.16) и E.10)).
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 335
Законы намагничивания Трехмерные векторные соотношения E.14)
И й°^омеаЦИИ В тензор" и E.15), написанные в собственной системе
ио w координат, равносильны одному
четырехмерному тензорному соотношению, которое инвариантно
относительно выбора системы координат. В компонентах его можно
написать в виде
Рц в CijkiHkl> Cjik% — ~~ Cijki — Q/i*i E.16)
где компоненты тензора Ctjkl зависят от компонент метрического
тензора gy, компонент вектора четырехмерной скорости точек
среды ui=dxi/ds и вообще от других физических параметров,
характеризующих физическое состояние частиц среды, например, от
температуры, компонент тензора деформаций и т. п.
В изотропном случае, когда коэффициенты \i и е в E.14) и
E.15) — скаляры, можно проверить, что для компонент тензора
Cijkt верны следующие формулы:
где yij=gij—UiUjf a ut — ковариантные компоненты вектора
четырехмерной скорости. Указанную проверку удобно провести для
неподвижного тела в декартовой инерциальной системе координат,
связанной с телом.
В этой системе
ua = wa = 0, a=l,2, 3; и4 =у, w4 = c.
Заметим, что закон намагничивания E.14) не выполняется для
очень сильных магнитных полей, когда вектор намагниченности
Af= ^- Hдостигает максимальной величины при полном
насыщении, тогда как величину вектора Н можно увеличивать за счет
внешних токов. Существуют также материалы, в которых дипольные
заряды (вызванные поляризацией тела) сохраняются неизменными
в отсутствии внешнего электрического поля £. Для таких
материалов несправедлив закон поляризации E.15). Приведенными выше
законами поляризации и намагничивания тел E.14), E.15) можно
пользоваться при решении большого класса задач для многих сред
в случае не слишком сильных электромагнитных полей.
п ^ Приведем теперь выражение для плотности
деромоторные силы пондеромоторных сил, т. е. сил,
действующих со стороны электромагнитного поля на тела, в которых
происходит поляризация и намагничивание. Это выражение для
пондеромоторных сил связано только с уравнениями Максвелла E.1),
E.2) и имеет место при любых законах Ома, законах поляризации
и намагничивания.
Трехмерная пондеромоторная сила, отнесенная к единице
объема, при учете поляризации и намагничивания отличается от силы
336 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Лоренца и в любой криволинейной инерциальной системе
координат согласно формулам E.12), если в качестве тензора энергии —
импульса электромагнитного поля взят тензор Минковского, имеет
следующий вид:
Г= РеЕ +1 U X В) + ± (DaVE«-E«\Da + BaVH«-H«VBa),
E.17)
где V = s*Vfe—трехмерный вектор-градиент; в декартовой
ортогональной системе координат
Легко видеть, что в последнем члене формулы E.17) для понде-
ромоторной силы векторы электрической и магнитной индукции
D и В можно заменить на векторы 4лР и 4л Af. Сила F согласно
E.17) отличается от силы Лоренца
^Лоренца^р^+^УХ/^.
Нетрудно усмотреть, что последний член в скобках в E.17)
обращается в нуль, когда имеют место законы E.14) и E.15), если е и |л —
скаляры и одинаковы для разных частиц среды (не зависят от
координат). Этот член, вообще говоря, отличен от нуля в анизотропных
средах, когда е и р являются тензорами, и в изотропных средах,
когда законы E.14) и E.15) не выполняются или когда е и \i являются
функциями параметров, зависящих от координат (например
температуры и плотности).
При рассмотрении трехмерных уравнений закона изменения
количества движения материальной среды объемная трехмерная пон-
деромоторная внешняя для среды сила определяется формулой
E.17) в каждой инерциальной системе координат. Инвариантность
понятия силы как четырехмерного вектора и различие
(неинвариантность) вектора трехмерной пондеромоторной силы в разных
движущихся друг относительно друга инерциальных системах
координат, как и любых других трехмерных векторов в специальной
теории относительности, представляют собой релятивистский
эффект. На практике, как это было показано в § 4 применительно
к силе Лоренца, когда относительные поступательные скорости
инерциальных систем малы по сравнению со скоростью света,
различие компонент векторов трехмерной пондеромоторной
силы за счет их неинвариантности мало по сравнению с их
величиной г .
1 Векторы В и D при переходе от одной инерциальной системы координат
к другой «подвижной» инерциальной системе координат преобразуются по
формулам, аналогичным формулам преобразования векторов И и £.
§,5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 337
При составлении уравнений движения относительно неинерци-
альных систем координат и при изучении ускоренных движений
частиц относительно инерциальных систем координат, как было
уже указано выше, можно локально вводить собственные инерци-
альные системы координат. В таких системах, согласно основному
физическому допущению, четырехмерные силы взаимодействия
между полем и средой с учетом закона о равенстве действия и
противодействия можно определять с помощью формул E.12), а
трехмерные силы — с помощью формулы E.17). Таким путем законы,
принятые для взаимодействия между электромагнитным полем и
покоящимися материальными телами, распространяются на случай
взаимодействия электромагнитного поля с материальными средами,
движущимися произвольно относительно инерциального
наблюдателя.
В связи с основным трехмерным уравнением импульсов, т. е.
уравнением изменения количества движения, следует еще иметь в
виду следующее замечание. Согласно определению тензора
энергии-импульса электромагнитного поля поле обладает импульсом
(количеством движения) и энергией, выражающимися через
характеристики поля и, в частности, через векторы поляризации Р и
намагниченности М.
В ньютоновской механике импульс и кинетическая энергия
материальной точки или конечного тела, движущегося поступательно,
выражаются только через массу и скорость тела. В общем случае,
если тело (материальная среда) поляризовано и намагничено, то
согласно теории относительности импульс и кинетическая энергия
при поступательном движении тела зависят не только от его массы
и скорости, но и от «внутренних параметров», таких, как векторы
поляризации и намагниченности Р и М.
Влияние векторов Р и М на количество движения частиц
тела — это релятивистский эффект, который в рамках ньютоновской
механики иногда можно учитывать с помощью отнесения
соответствующей части тензора энергии-импульса среды к тензору энергии-
импульса электромагнитного поля. Иначе говоря, путем
переопределения, применительно к данной модели среды, тензора энергии-
импульса электромагнитного поля. Таким образом, вместо тензора
Минковского можно вводить для электромагнитного поля другие
тензоры и получать в связи с этим видоизмененные формулы для
пондеромоторных сил, которые будут содержать добавочные члены.
Если для тех же уравнений движения использовать тензор
Минковского для поля, то добавочные члены получатся за счет усложнения
динамических свойств поляризованной и намагниченной
материальной среды.
Высказанные выше соображения могут служить разъяснением
тому, что для построения теории моделей поляризующихся
и намагничиваемых сред удобно и, по существу, нужно
пользоваться релятивистской механикой.
22. Л.И. Седов
338 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Приток энергии от поля Кроме силового взаимодействия, между
к телУ полем и материальной средой происходит
также обмен энергией.
Из уравнений E.12) и формул для компонент тензора
энергии-импульса Минковского E.11) в декартовой инерциальной
системе координат при /=4 получим
FVW,-£.y+£tggl + ^-|(fr"+"»W). E.18)
В самом деле, на основании E.6), E.7) и E.11) имеем
ы—к [w-t*-"*") ~BHtED Ej9)
и, кроме того,
По определению
F^-(^w+dS+dS+dS)—d-w-^s- E-2°)
В рассматриваемом случае при наличии намагниченности и
поляризации на основании уравнений Максвелла E.1) и E.2)
уравнение Умова — Пойнтинга принимает несколько
видоизмененный вид
div5+^(^f+£-w)+>-£=°- E-21>
Подставляя S4* из E.19) и div S из E.21) в E.20), после простых
выкладок придем к E.18). Непосредственно видно (см. E.3)), что
в формулу E.18) без какого-либо влияния на величину F4 можно
вместо компонент #р вектора Н вставить компоненты В$ вектора В.
Приток энергии от поля к элементу объема дх материальной
среды за время dt за счет электрического тока, поляризации и
намагничивания представится формулой вида
FAdxdt. E.22)
Для непрерывных движений эта величина войдет в правую часть
уравнения энергии* B.18) гл. V, как часть внешнего
макроскопического притока энергии dQ3u=dq9Jldm, обусловленного
взаимодействием материальной среды с электромагнитным полем;
dqbn — приток энергии, рассчитанный на единицу массы.
Согласно E.18) и E.22) в любой инерциальной системе координат
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 339
можно написать
Ft dt dx = с«?эл = dq3I dm =
E sjdt + Ea dP« + HadMa +1 d (EaPa + HaMa)] dx =
{jEjdt + Eadna + Hadma—jd (Eana + Hatna)—
—у (Еала + Hama) Vpi>edt]dm, E.23)
Pa Padx Ma Madx
где d'm = pdx~элемент массы, ла = —= —-.— ,ma = -
p dm ' p dm
компоненты векторов плотности поляризации и намагниченности,
отнесенные к массе частицы, являющейся основной физической
характеристикой частицы. Приращения компонент векторов яа и
та за время dt^dn* и dma, взяты относительно инерциальной системы
координат, в частности, для данной точки это может быть
собственная система координат. В формуле E.23) индивидуальная
производная от плотности частицы по времени -£ согласно
уравнению неразрывности A.3) гл. III заменена через —pVpt^ = — pdivv,
где v&—компоненты вектора скорости точек материальной среды.
Формула E.23) для притока электромагнитной энергии тесно
связана с уравнением Умова—Пойнтинга E.21), согласно E.19) и
E.20) формулу E.23) можно переписать еще так:
dq„--±(dE-D+H-* + divSdt). E.24)
Для покоящейся среды или для подвижной среды в собственной
системе координат имеем dq9J1 = dqlJl — dq$)l + dqM' Величина dq3J]y
вычисленная в любой инерциальной системе координат, отличается
от dqln на величину элементарной работы внешних для среды
пондеромоторных электромагнитных сил. В уравнение притока
тепла не входит работа внешних сил, поэтому в уравнение
притока тепла включается dqln.
На основании E.23) уравнение притока тепла B.20) гл. V для
материальной среды при наличии поляризации и намагниченности
приобретает вид
+ ±Ejdt + Eadn« + Hadm«-±d(Ean« + H(Xm«) + dql. E.25)
Здесь все векторы электромагнитной природы и их приращения
взяты в собственной системе координат, а dq^dq^+dql*—
добавочный к работе макроскопических сил и притоку энергии
от электромагнитного поля общий приток энергия к частице,
рассчитанный на единицу массы. В частности, величина dc$ может
340 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
быть притоком тепла за счет теплопроводности, a dq{* в моделях
сред с усложненными свойствами может обусловливаться
взаимодействиями рассматриваемой частицы с другими частицами
материальной среды.
Теоретическое построение модели материальной среды связано
с заданием входящей в уравнение E.25) внутренней энергии V',
рассчитанной на единицу массы. Поэтому фигурирующий справа
в E.25) полный дифференциал d -r- (Еапа + Ната) можно перенести
влево и включить в переопределенную формулу для внутренней
энергии среды согласно равенству
иг~и+±(ЕаяГ + Нат*). E.26)
Переход от функции U к £/* аналогичен переходу в уравнениях
энергии или притока тепла от внутренней энергии к свободной
энергии или к термодинамическому потенциалу Гиббса и т. п.
(см. гл. V, § 6). Опуская индекс «единица» в обозначении функции
U1$ уравнение притока тепла E.25) можно использовать в виде
+ Eadna + Hadma + dql. E.27)
Если среда покоится, то иа = 0, и в этом случае уравнение E.27)
приобретает упрощенную форму:
d(pU) = E.Jdt + EadPa + HadMa + pdql. E.28)
Эта форма уравнения притока тепла часто встречается в физике
в статических задачах. Существенно, что при учете движения
среды вместо уравнения E.28) имеем уравнение E.27), верное
в подвижной собственной системе координат, для которой могут
быть написаны уравнения Максвелла.
Физический смысл различных членов формулы E.23)
становится особенно ощутим в рассматриваемой точке среды, когда
система координат собственная. В собственной системе координат
±J.Edt = dq<Z E.29)
где dtf£l—джоулево тепло, а
j(E-dP+H-dM)=*dq^ E.30)
если процесс поляризации и намагничивания обратим.
Подчеркнем, что такое разбиение dq^ на dq$ и dql*n
справедливо в случае неподвижных сред. Если же среда движется отно-
§5. Взаимодействие электромагнитного поля, с телами 341
сительно системы отсчета, то формулы E.29) и E.30) справедливы
в каждой точке только в собственной системе отсчета х).
При наличии законов намагничивания и поляризации E.14)
и E.15) процессы поляризации и намагничивания обратимы, а
электромагнитное поле затрачивает на поляризацию и
намагничивание тела отличную от нуля макроскопическую энергию:
Е-йР + Н>AМф0.
Величины d*7JS, dql„ и компоненты векторов Е, //, Р и М и их
приращения в собственной системе координат можно выразить
через соответствующие компоненты и их приращения в
сопутствующей системе координат с учетом движения сопутствующей системы
координат относительно заданной инерциальной системы отсчета 2).
Выше дана теория внешних для материаль-
Пондеромоторные силы и ной среды пондеромоторных сил и внешнего
силы, зависящие от ха- притока энергии от электромагнитного поля
рактеристик электромаг- v
нитного поля к среде независимо от свойств
конкретных моделей материальных сплошных сред.
В общем случае уравнения состояния для внутренних
напряжений и внутренняя энергия элементов среды, помимо других
величин, зависят также от векторов пит. Член VpPap в
уравнении импульсов и член — paPVp^a B уравнении притока тепла
зависят не только от макроскопических механических и
термодинамических характеристик движения и состояния элементов среды,
но также и от компонент векторов лит. Однако в данном
случае эти члены порождаются внутренними взаимодействиями
в материальной среде, для которой векторы лит,
фигурирующие также в незамкнутой системе уравнений Максвелла, являются
характеристиками состояния среды.
При произвольном движении среды собст-
с7б7тТем венные системы координат можно опреде-
вующие системы лять в каждой точке и для каждого
момента времени. Очевидно, что совокупность
собственных систем координат в четырехмерном
пространстве-времени представляет собой неголономное множество систем
координат, иначе говоря, нет одного преобразования координат от
системы наблюдателя сразу ко всем собственным системам
координат. С другой стороны, существует такое одно четырехмерное
преобразование (это и есть закон движения среды) от системы
наблюдателя к сопутствующей системе координат, которая, однако,
не является инерциальной. В связи с этим для установления
1 См. стр. 328.
2 Соответствующая теория развита в статье: Седов Л.И. О пондеромоторных силах
взаимодействия электромагнитного поля и ускоренно движущегося материального
континуума с учетом конечности деформаций // ПММ, 1965. Т. 29, вып. 1. С 4-17.
342 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
физических закономерностей удобно пользоваться одной подвижной
сопутствующей системой координат, относительно которой
скорости всех точек среды равны нулю, тогда как относительно каждой
собственной системы координат скорость только рассматриваемой
точки в данный момент времени равна нулю.
Ввиду произвола в выборе пространственной системы
координат для сопутствующей и для собственных систем
координат, без ограничения общности в общей теории (в
евклидовом и псевдоевклидовом пространствах) можно принимать, что
в любой данный фиксированный момент времени /'
координатные линии и системы векторов базисов э{ и э{ в
сопутствующей и в собственных системах совпадают в каждой точке среды,
т. е. что эа = эа в фиксированный момент времени V (в инер-
циальной системе координат наблюдателя).
Отметим, что в сопутствующей системе в качестве координат,
индивидуализирующих точки произвольно вводимой
«идеализированной среды», можно, в частности, взять значение их координат,
например, в инерциальной системе наблюдателя в некоторый
фиксированный момент времени /', который имеет глобальный смысл 1 .
С точки зрения наблюдателя закон движения среды в трехмерной
форме всегда можно представить в виде
*« = **(£*, /), а, р=1, 2, 3,
где £р — лагранжевы координаты, причем при/= /' можно положить
Xa = JC? = |a.
Очевидно, что при таком определении лагранжевых координат £'
и любым образом определенной пространственной системе
координат ха будем иметь
эа=эа
1 Приводимые здесь соображения применимы и в рамках общей теории
относительности, так как для любой системы отсчета с неизотропными
мировыми линиями (например, для системы наблюдателя или для сопутствующей
системы) метрику общего вида
'ds* = gudytdyJ
соответствующим преобразованием в форме
у* = /(Б«,0 и 0* = g«Fl, Б1, I3), «=1,2,3,
при котором семейство мировых линий и, следовательно, система отсчета (см.
стр. 00,00) сохраняются, можно всегда глобально привести к виду
ds2 = с2 d/2 + 2gou dl* dt + £аЭ d£<* d£3,
где с—скорость света. После этого получим, что в решении переменная t,
определенная в каждой системе отсчета, глобально играет роль переменного
времени / в инерциальной системе отсчета, определенной в СТО. В разных
системах отсчета, так же как и в СТО, переменная t различна в одних и тех
же точках. См. Седов Л.И. О глобальном времени в общей теории относительности //
ДАН СССР. 1983. Т. 272, № 4. С. 44-48.
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 343
прИ t=zt''. Выбрав таким образом системы координат, получим,
что в момент t' +dt произойдет разделение координатных линий.
Собственные системы координат для различных точек среды
сместятся как жесткие тела с различной поступательной скоростью V,
равной' скорости рассматриваемой точки среды, при постоянных
векторах базисов эа относительно инерциальной системы отсчета
наблюдателя.
Сопутствующая система координат за время dt сместится так,
что в общем случае триэдр векторов базиса эа в каждой точке
среды продеформируется, повернется и, кроме того, сместится
поступательно со скоростью v. В момент t'+dt в общем случае
для каждой точки среды или пространства получится, что эаФэа-
Тензорные и векторные характеристики
Производные по времени поля и Среды и их производные ИЛИ при-
в различном смысле от r r r
векторов и тензоров ращения по координатам и по времени,
определенные относительно собственной
системы координат, можно рассчитывать в сопутствующей системе
координат. Если пространственные триэдры сопутствующей системы
и собственных систем координат в каждой точке среды и в
данный момент времени совпадают, что всегда можно подразумевать,
то компоненты всех трехмерных тензоров и векторов также
совпадают. Так как собственные и сопутствующие системы координат
движутся относительно системы наблюдателя разным образом, то
приращения и производные от компонент тензоров по времени
в собственной и сопутствующей системах различны, но связаны
между собой простыми формулами.
Например, для любого вектора А = Ааэа = Ааэа = Ааэа = Ааэа
верны формулы
dt
и
так как
dA
dt
Если в рассматриваемый момент времени эа = эа и эа = эа> то
верны равенства
dAa dA<* . ^o- - dAa dAa % - ~R
Эти формулы в криволинейной системе координат являются
обобщением на случай деформируемых подвижных систем координат
известных формул Эйлера в кинематике твердых тел, дающих связь
344 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
между производными от компонент вектора по времени
относительно абсолютно твердых неподвижных и вращающихся систем
координат. Аналогичным путем легко написать формулы, связывающие
производные по времени любого порядка от компонент тензоров
любого ранга с любым строением индексов в собственной и
сопутствующей системах координат. Формулу E.23) и следствия из нее
можно переписать в глобальной сопутствующей системе.
Опыты с намагниченной стрелкой в маг-
Уравнетк моментов в нитном поле показывают, что взаимодейст-
форме вие тел и поля не СВОдИТСЯ только к пон-
деромоторным силам. Опыт показывает, что это взаимодействие
проявляется также за счет действия распределенных по объему
пар, задаваемых своими моментами. Введем и проанализируем
дифференциальное уравнение моментов для поля. Для поля можно
рассматривать трехмерное обычное уравнение моментов, в
котором фигурируют только обычные моменты трехмерных сил.
Однако в рамках специальной теории относительности, т. е. в рамках
теории электромагнитного поля, описываемого уравнениями
Максвелла, сила представляет собой четырехмерный вектор. В связи
с этим требуется рассматривать уравнение моментов в
четырехмерной форме, это связано с обобщением понятия о моментах сил
и моменте импульса как для материальной среды, так и для поля.
Из четырехмерных выражений для компонент SV тензора
энергии-импульса, написанного в декартовой инерциальной системе
координат, как следствие вытекают следующие равенства:
xJ4lfit*-x?llFb—(x!Ft-x?F'), /,/=1,2,3,4, E.31)
где хе — координаты точек в объеме, занятом телом.
Антисимметричный тензор с шестью независимыми компонентами xjFc—xlFJ
можно рассматривать как обобщение на четырехмерный случай
обычного понятия трехмерного антисимметричного тензора,
соответствующего одному аксиальному вектору — объемной плотности
момента пондеромоторной силы относительно начала координат,
приложенного со знаком минус к полю и со знаком плюс к среде.
Необходимо подчеркнуть, что в специальной теории
относительности момент — двухвалентный антисимметричный тензор с шестью
независимыми компонентами — в общем случае может быть сведен
в декартовой системе координат к двум трехмерным векторам
(одному аксиальному и другому полярному).
Соотношения E.31) можно переписать в виде
Vk (#• V-S/V)—(S"-S/') = — (xfFi—xfF*). E.32)
Компоненты трехвалентного тензора Sik х/—S/kx* можно
рассматривать как часть компонент обобщенного тензора плотности
момента энергии-импульса поля. Соотношения E.32) (аналогично
теореме живых сил) представляют собой простое следствие
определения пондеромоторных сил и выполняются тождественно.
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 345
Уравнение энергии в термодинамике представляет собой в
общем случае уравнение, независимое от теоремы живых сил.
Аналогично этому для составления уравнений моментов можно ввести
новые характеристики поля: тензоры объемных плотностей
собственного внутреннего момента с компонентами QV* = — Q/<* и
пондеромоторного момента, действующего со стороны поля на среду,
с компонентами &£1/=№ + xJ'F1'—x*FJ, которые могут
определяться с помощью уравнения моментов для поля и уравнения
моментов для среды, независимых от уравнений E.32).
Такие независимые уравнения моментов для электромагнитного
поля можно взять в виде
Vk(S'W—S/*xt + Qf'*) = — .9i?v = — hV--(xJF'—*?F'). E.33)
Компоненты тензора плотности внешнего по отношению к телу
пондеромоторного момента &£У включают в себя, помимо
компонент момента пондеромоторной силы, еще компоненты тензора
плотности добавочного, распределенного по объему тела внешнего
пондеромоторного момента — двухвалентного антисимметричного
тензора с компонентами W, обусловленного полем.
При написании уравнений E.33) принимается, что внешние,
распределенные по объему моменты, действующие на
электромагнитное поле, обусловлены только материальным телом.
Уравнения моментов, аналогичные уравнениям E.33), можно
написать отдельно также и для материальной среды. В
уравнениях для материальной среды в правой части будут
присутствовать со знаком плюс компоненты S%v тензора плотности общего
пондеромоторного момента за счет действия поля на среду. Помимо
этого, в правой части уравнений моментов для среды могут
присутствовать еще моменты, обусловленные внутренними
взаимодействиями между частицами самой среды и другими посторонними
объектами (другие тела и не электромагнитные поля). Из E.33)
с учетом тождества E.32) следуют равенства
W = — (SV—S" + VkQi/k). E.34)
Эти соотношения можно рассматривать как уравнения для
собственных моментов поля (четырехмерный аналог уравнения
C.6) гл. III).
Уравнения E.34) и соответствующие уравнения для
материальной среды вместе с опытными данными, положенными в основу
построения модели среды, могут служить источником для
определения компонент ft", SV и QV*f которые нужно вводить при
моделировании электромагнитного поля как макроскопического
физического объекта.
Если модель материальной среды фиксирована, а из опытов
определены компоненты добавочного пондеромоторного момента
W (например, с помощью измерений моментов, действующих на
элементарную магнитную стрелку со стороны поля), то соотношения
346 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
E.34) можно рассматривать как связь между компонентами SV и
QlJk. Если по дополнительному условию, входящему в определение
электромагнитного поля, эти величины не зависят от каких-либо
новых существенных характеристик поля, то соотношения E.34)
и соответственно E.33) должны удовлетворяться тождественно
подобно E.32).
В соответствии с опытными данными соотношения E.34) можно
превратить в тождества с помощью различных условий. В частности,
в качестве простейших и естественных условий можно взять такие:
1) тензор энергии-импульса электромагнитного поля—тензор
Минковского, компоненты которого определены формулами E.11);
2) компоненты тензора плотности внутреннего собственного
момента QiJk для точек внутри данного объема поля равны нулю,
или, в более общей форме, верны равенства
VaQ'7* = 0,
E.35)
которые удовлетворяются тождественно или в силу уравнении
импульсов. Эти два основных.условия, которые можно включить
в определение модели электромагнитного поля, приводят к
согласованию с опытом (см. E.39)).
На основании E.11) и E.35), т. е. условий
Тензор пондеромоторного 1) и 2), из E.34) получим
момента
электромагнитного поля
W =тг [F^.H^-F-JH^]. E.36)
Проведем теперь выкладки в формуле E.36). В декартовой инер-
циальной системе координат матрица ||#'у|| определена формулой
E.7), а матрица | Ftj|| — формулой E.6). Так как F'^=glk Fmk и
gfii^g22=^33=r_ij a g.44=i/c2) gi/=o при i^=jy для матрицы Ц/7^. ||
верна формула
irai=
0
£3
-Б2
сЕг
—Б3
0
Б1
сЕ2
Б2
-Б1
0
сЕ3
El
с
с
1±
с
0
E.37)
С помощью матриц E.7) и E.37) на основании формул E.36) легко
написать матрицу ||й#|.
Двухвалентный четырехмерный
антисимметричный тензор пондеромоторного
момента с компонентами W в декартовой
системе координат можно свести к двум
трехмерным векторам М{<Лг, &М2, &М3) и &{3Х, J?2, Зъ),
компоненты которых входят в матрицу ||А" || Сем. C.26) гл. IV), еле-
Трехмерные пространст
венные векторы пондеро
моторного момента
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 347
дующим образом:
0
<Мъ
<Мг
J?1
с
a/Hz
0
—oSi
с
— аМ%
<Л'\
0
J?3
с
-Я1
с
с
X*
с
0
С помощью E.7) и E.37) после несложных выкладок найдем
следующие простые формулы1 :
M = ±(BxH)+±(DxE) = MxH + PxE E.39)
и
3 =±(DxB-ExH) = ±(S*-S); E.40)
здесь S—вектор Пойнтинга„ а вектор S**=—(DxB) имеет
аналогичную природу. В матрице S1'' тензора Минковского
компоненты вектора S/c2 образуют четвертую строку, а компоненты
вектора S*/c2—четвертый столбец.
Трехмерный вектор JVf представляет собой не что иное, как
плотность обычного пондеромоторного момента. Формула E.39)
для М хорошо соответствует одытным измерениям в рамках
употребляемых на практике моделей материальных сред.
Формула E.39) является естественным обобщением формулы A.3)
на случай наличия поляризации. Очевидно, что JVf = 0, когда
имеют место законы намагничивания и поляризации E.14) и E.15),
в которых е и (х—скаляры. В общем случае при наличии связей
E.14) и E.15) для анизотропных сред МФО.
Для материальной среды уравнение моментов в специальной
теории относительности представляется в компонентах шестью
уравнениями: тремя «обычными» для трехмерной формулировки
уравнениями моментов в проекциях, соответствующими вектору Ж,
и тремя уравнениями в проекциях, соответствующими вектору 3\
Последние три уравнения моментов для среды в силу определения
модели намагничиваемой и поляризуемой материальной среды могут
удовлетворяться тождественно либо представлять собой
существенные соотношения для определения некоторых характеристик среды.
Формулы E.39) и E.40) установлены в инерциальной системе
координат (трехмерная пространственная часть системы
координат может быть произвольной криволинейной). Апробирование
на опыте формулы E.39) относится к неподвижным телам.
1 Здесь требуется учесть сноску стр. 328.
348 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
О различных определениях При рассмотрении системы электромагнит-
тензора энергии-импульса ,ное поле + материальная среда в целом
и тензора момента элект- *
ромагнитного поля как единого объекта с различными
механическими и электромагнитными
характеристиками можно вводить тензор энергии-импульса и тензор
момента для всей системы в целом как суммы соответствующих
тензоров для поля и среды. Для компонент этих тензоров можно
написать
Фсреды i
где TiJ' и. Середы—компоненты соответствующих тензоров,
относящихся к среде.
Для среды и поля уравнения импульсов, энергии и моментов
можно написать в виде
v. (SU + ГУ) = Г<, V* №я + <2$ды) + SO' + TV-S" - Г" = №
(/, /, А-1, 2, 3, 4),
где W1 и МV— компоненты внешних к среде и полю
четырехмерных массовых силы и момента. Во многих случаях можно
принимать, что <F'=0 и MiJ=Q. Проблемы построения моделей поля
и конкретных сред связаны с определением перечисленных здесь
тензоров через данные или отыскиваемые характерные величины.
Разделение общего суммарного тензора энергии-импульса и
тензора моментов, имеющих общую электромагнитную природу, на
соответствующие тензоры отдельно для поля и отдельно для среды,
вообще говоря, можно производить согласно условиям по-разному.
При определенной сумме фиксирование этих величин для среды
определяет однозначно их значение для поля, и наоборот. Пользуясь
этим, целесообразно при оперировании с различными
материальными средами определять импульс, энергию и момент
электромагнитного поля всегда одним и тем же способом.
Тем не менее эти определения динамических свойств поля,
вводимые для всех случаев согласно фундаментальному условию,
можно определять по-разному. Выше дано описание динамических
свойств электромагнитного поля с помощью только одного
несимметричного тензора энергии-импульса Минковского с компонентами
SV, определенными формулами E.11), в соответствии с этим выше
установлены формулы для пондеромоторных сил и моментов.
Вместо тензора Минковского многие авторы
Тензор энергии-импульса ВВОдЯт в качестве тензора энергии-импуль-
Аб?1г^м1аГНИТН0Г° П°ЛЯ са электромагнитного поля симметричный
тензор Абрагама с компонентами AiJ\
пространственная часть матрицы которых в собственной системе
координат получается простым симметрированием соответствующей
части матрицы компонент тензора Минковского:
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 349
а контравариантные компоненты векторов временных частей
совпадают с соответствующими компонентами вектора Пойнтинга,
разделенными на с2, т. е.
Л4а=Л"*=-^(£х//)а,
и, наконец, по определению принимается, что
Кроме тензоров энергии-импульса электромагнитного поля
Минковского и Абрагама предлагается вводить и другие тензоры
для электромагнитного поля. Характерно, что различие^ между
тензорами Минковского, Абрагама и другими возникает только
в том случае, когда в точках объема, занятого полем, имеется
материальная среда, причем тензор поляризации отличен от нуля, т. е.
tft/фО. В пустоте или проводящей среде, где электрическая
поляризация и намагниченность отсутствуют, определенные различным
образом тензоры энергии-импульса электромагнитного поля
совпадают.
Предыдущие формулы с учетом определения тензора
Минковского можно переписать в собственной системе координат в виде
причем
Q=l/i"P, Q«* = /i«« и Q*' = 0 E.41)
при
а, р=1, 2, 3; |-1, *, 3, 4,
где компоненты тензора hiJ определены формулами E.38), E.39)
и E.40).
Различие в пондеромотор- Для компонент пондеромоторных четырех-
ных силах по Мин ков ск о- мерных сил по Минковскому и по Абрагаму
му и по Абрагаму имеем
^6P = -Vyi4" и Fta,—-VyS'A
Из формул E.41) легко получается, что в собственной системе
координат
ПбР = ^ин -у V^-^-4, E.42)
а на основании E.38) эти равенства в трехмерной векторной форме
принимают вид
FA6P = FMuH-±-rotM + ±^-. E.43)
Для удельного притока энергии получается
ПбР = ^н. E.44)
350 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Если для изотропного тела верны законы намагничивания и
поляризации E.14) и E.15), то JW = 0, и поэтому в этом случае
равенство E.43) приобретает вид
Если тензор энергии-импульса среды фиксирован независимо
от определения тензора энергии-импульса электромагнитного поля,
то из E.42) следует, что уравнения движения (импульсов) для
среды получаются разными, так как f дбр^^мин- Однако если
определить тензоры энергии-импульса среды по-разному, то можно
сохранить уравнения движения среды одинаковыми.
Из E.44) следует, что притоки электромагнитной энергии к рре-
де, фигурирующие в уравнении притока тепла, при использовании
для поля как тензора энергии-импульса Минковского, так и Абра-
гама будут одинаковыми.
Как уже указывалось выше, из рассмотре-
Пондеромоторные момен- ния четырехмерных уравнений момента
ты и тензоры энергии-им- г г j г
пульса поля количества движения, если принять как
опытный факт, что на намагниченную и
поляризованную среду со стороны поля действует распределенный
четырехмерный момент, характеризуемый тензором, компоненты
которого W определены формулами E.38), E.39) и E.40), на
основании закона о равенстве действия и противодействия,
вытекающего из закона сохранения импульса для системы (среда плюс
поле), получается, что при использовании для тензора энергии-
импульса поля тензора Минковского для компонент тензора
объемной плотности собственного момента поля верны равенства
VaQWhh — 0
и, в частности, можно принять <2мин = 0- С другой стороны,
в случае использования для тензора энергии-импульса поля
тензора Абрагама, так как Al'J' = AJl\ получается, что
Л'' = -?Л$р#0. E.45)
Таким образом, при использовании тензора энергии-импульса
Абрагама электромагнитному полю необходимо приписать
дополнительную характеристику — тензор QV*=—Qjik внутренних
моментов количества движения (при / = 4и/=а) и поверхностных пар
(при i"=a, /=Р). Дивергенция этого тензора ^kQiJk определяется
равенством E.45), если для распределенных объемных пондеромо-
торных моментов, действующих на среду со стороны поля, верны
формулы E.38) —E.40).
Таким образом, если не пользоваться определением тензора
энергии-импульса поля по Минковскому, то на трехмерных
поверхностях — сечениях четырехмерных объемов или на
двумерных поверхностях, разделяющих пространственные объемы в элек-
§ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 351
тромагнитном поле, нужно вводить не только поверхностные силы
взаимодействия, но и взаимодействие посредством распределенных
поверхностных моментов (пар сил). При использовании тензора
энергии-импульса по Минковскому распределенные моменты по
сечениям внутри электромагнитного поля вводить не требуется.
В связи с указанными общими, по существу равноправными
возможностями выставления различных условий при определении
динамических свойств электромагнитного поля, а также в связи
с анализом уравнения моментов для электромагнитного поля и
формулы для пондеромоторного момента можно в качестве
универсального и естественного условия вь!брать тензор Минковского как
тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Если принять
это условие, то им нужно руководствоваться не только для описания
динамических свойств электромагнитного поля, но и при построении
моделей материальных сред.
Тензоры энергии-импульса Заметим еще, что если для суммарного
среды при разных тензо- тензора энергии-импульса поля и среды W
pax энергии-импульса поля положить
то получится, что для контравариантных компонент тензора
энергии-импульса среды в общем случае имеют место неравенства
Т%фТи и Т%ФТ^ E.46)
где T{i^r= — (T^ + T^). Отсюда следует, что не равны между собой
не только компоненты тензоров энергии-импульса среды Г^бр и Г^ин,
но и их симметричные части. Легко проверить, что этот вывод
верен и в том случае, когда суммарный тензор №* симметричный.
Стремление ввести для электромагнитного
с^мГтГичноГ ТенГра поля симметричный тензор энергии-им-
энергии-импульса пульса стимулируется следующими
соображениями. Тензор энергии-импульса,
фигурирующий в общей теории относительности или получаемый
путем осреднения микроскопического тензора энергии-импульса
поля в пустоте, является автоматически симметричным, однако
это относится либо к полю и среде в целом (напомним, что
микроскопические взаимодействия внутри среды имеют электромагнитную
природу), либо к электромагнитному полю в пустоте или в нена-
магниченной и неполяризованной материальной среде. Во всех
этих случаях либо тензор Минковского симметричен, так как
/>=М = 0, либо симметричен только суммарный тензор энергии-
импульса для среды и поля; именно только для этих тензоров
получается автоматически симметрия в общей теории
относительности и при осреднении.
С другой стороны, очевидно, что значения компонент
четырехмерной пондеромоторной силы (трехмерная сила и приток энергии)
352 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
сохраняются неизменными, если вместо любого тензора энергии-
импульса с компонентами SV взять другой тензор с компонентами
когда для компонент добавочного тензора Q" тождественно
выполняются равенства
VjQP = 0. E.47)
^Добавление тензора с компонентами Ql/ при условии E.47)
не влияет на формулу для пондеромоторной силы. Во многих
случаях компоненты Q1'' при условии E.47) можно выбрать так,
чтобы тензор S*v был симметричным. Такой операцией тензор
энергии-импульса S*J можно симметризировать при сохранении
физического четырехмерного вектора пондеромоторной силы.
Однако в результате такой симметризации для получения приемлемой
формулы для распределенного объемного пондеромоторного
момента, действующего на материальное тело, для поля все же
требуется ввести собственные внутренние моменты, V*Q''*t£0.
Наконец, во всех классических моделях тензор
энергии-импульса для материальной среды получается симметричным,
поэтому стремление к сохранению этого свойства в общем случае
кажется естественным, однако несимметрия тенз.ора энергии-импульса
для материальной среды может проявиться только в усложненных
моделях, для которых теоретические и экспериментальные
исследования еще не проведены достаточно подробно и широко.
§ 6. Гидродинамика проводящей жидкости
Примером модели сплошной среды, в которой учитываются
электромагнитные эффекты, может служить модель проводящей
жидкости или газа, в которых отсутствуют поляризация и
намагниченность, но может течь электрический ток, т. е. М=Р=0, ]*ф0.
Полагая dq**=0, будем считать, что в рассматриваемых моделях
индивидуальная частица сплошной среды может обмениваться с
соседними частицами и другими внешними объектами только
механической и тепловой энергией.
Для простоты дальше рассмотрим модель идеальной среды:
pv=—pgV. В более общем случае свойства вязкости среды можно
учесть.
Исследуемая ниже система уравнений представляет собой
приближенную в рамках ньютоновской механики систему, которая
состоит из следующих ""уравнений:
скалярного уравнения неразрывности
& + div(pi»~0; F.1)
§ 6. Гидродинамика проводящей жидкости 353
векторного уравнения импульсов
p[^ + (v^)v]^-gradp + peE+^(jxH) + pFlko6j F.2)
где через F^ обозначена плотность обычных массовых сил, не
связанных с взаимодействием жидкости с электромагнитным полем,
например силы тяжести;
скалярного уравнения притока тепла
dU + pd± = ±(j.E)dt+dq%6, F.3)
где через dq^ обозначен приток тепла к единице массы жидкости
извне за счёт теплопроводности или излучения и т. п.;
скалярного соотношения, выражающего второй закон
термодинамики
Tds-^Q-Eidt + dflti F.4)
в этом уравнении принято, что dq'=0.
Если определить среду заданием внутренней энергии U как
функции р и s, то из соотношения
dU = Tds—pd-
получаются еще два скалярных уравнения состояния:
К динамическим и термодинамическим уравнениям F.1)—F.5)
нужно еще добавить электродинамические уравнения, а именно
уравнения Максвелла
rotE--l-a*.f divtf-O,
rottf=i^/l44f, div£ = 4np, F6)
и закон Ома, который в обычном варианте магнитной гидродинамики
имеет вид
J=o[e+\vxH)+p,v. F.7)
Система уравнений F.1)—F.7) получается замкнутой, если
заданы^ и Fao6.
Упрощением этой системы для случаев большой и малой
проводимости среды (точнее для больших и малых значений параметра
-j, где L — характерный линейный размер явления) являются
Уравнения магнитной гидродинамики (МГД) и электрогидродина-
23. Л.И. Седов
354 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
мики (ЭГД). Для получения уравнений МГД и ЭГД нужно провести
оценки порядка величины членов в уравнениях Максвелла, а также
в выражениях для силы Лоренца и джоулева тепла, и отбросить
члены, имеющие меньший порядок малости по сравнению с
остальными.
Обозначив характерные значения напряженностей
электрического и магнитного поля, скорости, линейных и временных
масштабов соответственно через £, Я, v, L, Т. Получим уравнения МГД
и ЭГД в нерелятивистском приближении, когда
Если характерное время Т имеет порядок -, то второе из условий
F.8) есть просто следствие первого. Это обычно выполняется в
задачах механики, причем v представляет собой либо характерную
скорость среды, либо характерную скорость распространения волн.
Рассмотрим уравнение
tottf-i»y+i.g.
С ^ ' С Ot
Подставим в это уравнение выражение для j по закону Ома
F.7) и оценим порядок величин членов получившегося уравнения.
При этом используем еще оценку ре ~ -г-, которая следует из
уравнения &\v E~inpe. Имеем (под членами уравнения выписан
максимальный порядок их величины)
i ж* 4я . 4яо _, , 4лсг шш , 1 дЕ
F.9)
JL ILL ,2L£ JL2L1L L-L
L с L с L с с L cT L
Исходя из этих оценок, можно показать, что в общем случае при
(£)'>! F-10)
получается, что #2^>£2, соответствующие уравнения называются
уравнениями магнитной гидродинамики, а при
(^y<i (б.и)
возможны решения с £2^>Я2. Такие решения
рассматриваются в электрогидродинамике.
Уравнения магнитной Условие —^> 1 выполняется для многих
гидродинамики « ° ,
v движении- жидких металлов (для ртути
а~6-10151/сек),сильно ионизованных газов—плазмы (а~1013—J014),
для большинства явлений, изучаемых в астрофизике (не только
из-за больших сг, но и больших L). Поэтому область применения
§ б. Гидродинамика проводящей жидкости
355
МГД очень велика (МГД-генераторы электрического тока,
плазменные двигатели, устройства для осуществления термоядерных
реакций и т. д.).
Из оценок F.9) следует, что при условии F.10) членами —pev
и — -gr в уравнении F.9) можно пренебречь по сравнению с— Е.
Тогда F.9) принимает вид
г*Н=ЩЕ+±хН)
ИЛИ
F-^ 1Ч^ДД
4по с
£ = jl.rottf-f ХЯ. F.12)
Отсюда видно, что при условиях F.8), F.10)
£2<Я*.
Далее из оценок F.9) и условий F.8), F.10) следует, что в
общем случае в выражении для тока членом pev можно пренебречь
по сравнению с током проводимости
причем
j=±rotH.
Кроме [того, напряженность магнитного поля можно считать
одной и той же во всех системах координат, движущихся друг
относительно друга со скоростями, много меньшими скорости света
Я =Н— у х£«Я,
так как £2<^Я2.
Рассмотрим теперь выражение для силы Лоренца в МГД
Рл = реЕ+±-УхН=реЕ+±то\НхН.
Так как порядок величины первого слагаемого E2/L, а второго
HVL, a £2<Я*, то
j_
4я'
F*= iz rot HxH.
Наконец, выпишем выражение для джоулева тепла
^-^-■^-таг*"**)-'
так как 7=/
356 1л. VI. Основные понятия и уравнения Электродинамики
Таким образом, в систему уравнений для среды войдет только
напряженность магнитного поля Я и не войдут величины £, р^, J.
Из системы уравнений Максвелла можно получить уравнение,
содержащее только Н. Рассмотрим уравнение
™tE=-Vw- <6-13>
Согласно уравнению F.12) имеем
Е=т{-ш™{н-**»)■ <6Л4>
с2
Параметр -^— имеет размерность коэффициента кинематической
вязкости и называется коэффициентом магнитной вязкости vm
= -£-
- m 4яо
Подставляя F.14) в F.13), получим уравнение для Я, называемое
уравнением индукции:
^ = rot(fFX/0-rotverot#. F.15)
К этому уравнению можно добавить уравнение div //= О
(см. § 1).
Если (—-) ^ v^Z5/ • т'е' если w) ^ '• т0 пеРвьш чле'
ном в правой части уравнения индукции можно пренебречь по
сравнению со вторым. В этом случае уравнения для Н не зависят
от движения среды (если к тому же а не зависит от температуры,
определяемой движением среды). Но движение среды, конечно,
зависит от Н. Безразмерный параметр — называется магнитным
числом Рейнольдса, Rem = — . Если же, наоборот, Re^ ^> 1, то в
* тп
уравнении индукции F.15) можно пренебречь вторым справа
членом, тогда магнитное поле подчиняется уравнениям
^ = rot(z>x#), div//=0 F.16)
и оказывается вмороженным в среду (см. следующий
параграф).
Итак, система уравнений магнитной гидродинамики в
простейшем варианте (без учета свойств вязкости и теплопроводности ере-
§ 6. Гидродинамика проводящей жидкости
357
ды) имеет вид
■j^+pdivin-O,
p#=p^-g^dp+^rot#x#,
Prl = i6^(rot//>2' F.17)
U = U(P,s), p-p»f-. ^ = ^>
Щ- = rot (г» х Н) - rot va rot H,
divH=0,
Величины Е, ре, j не входят в эту систему. Если нужно, их
можно вычислить после нахождения решения по формулам
£ = ±(vmrot#-»x//), F Л 8)
p<=idiv£-
Уравнения электрогидро- Рассмотрим теперь явления, в которых
динамики 0i
— <<П, например, потоки малопроводящей
среды с некоторым (небольшим) количеством заряженных частиц.
Заряженные частицы часто появляются в потоках в результате
взаимодействия с обтекаемыми телами или их можно добавлять
искусственно с тем, чтобы получить возможность управлять
потоком с помощью электромагнитного поля.
Рассмотрим здесь самый простой случай, когда в среде имеются
только заряженные частицы одного сорта с зарядом е (их число в
единице объема пг) и нейтральные молекулы (их число в единице объема
п). Если обозначить через v0ln среднюю скорость заряженных
частиц относительно среды
voth - п± .»
то ток проводимости (ток в системе координат, относительно которой
скорость среды равна нулю) будет, очевидно, выражаться так:
/ = РЛтя>
а для тока в неподвижной системе координат будем иметь
У=Р** + Р**>отн-
Обычно вводят коэффициент подвижности Ь заряженных частиц
по формуле
358 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
тогда
j=pebE. F.19)
Таким образом, в рассматриваемом случае можно ввести
обозначение
о=реЬ. F.20)
Коэффициент подвижности Ь пропорционален числу заряженных
частиц и обратно пропорционален плотности среды.
Обращаясь к уравнению F.9), видим, что если — ^ 1, -^*<^1,
-^г<^1, то это уравнение допускает класс решении, для которых
fP<g:E2. Этот случай и рассматривается в ЭГД. Система
уравнений Максвелла для Е может быть при этому прощена, а именно
в уравнении
х - , 1 дН Л
rot£+T^re0
второй член будет малой величиной высшего порядка по сравнению
с первым
Поэтому это уравнение может быть заменено уравнением rot £=0.
Таким образом, электрическое поле Е в ЭГД подчиняется
уравнениям электростатики
\oil=Q: F.2D
div/: = 4л;рг.
Заметим, что Е может зависеть от времени.
Кроме того, в ЭГД напряженность электрического поля можно
считать одинаковой во всех инерциальных системах, движущихся
друг относительно друга с. нерелятивистскими скоростями:
в связи с тем, что //2<с£2. Поэтому закон Ома можно писать
в виде
j=pev + oE
или в рассматриваемом простом случае в виде
J-9,9+9.bE- F22)
Рассмотрим выражение для силы Лоренца:
FB = PeE+±jxH=peE+±pevxH+±ExH.
§ 6. Гидродинамика проводящей жидкости
359
Е2 v E
Так как порядок первого члена есть -г-, второго у-Я,
третьего _££*.Я, причем #*<£*, £<1, -^<1, то вторым и
третьим членами можно пренебречь по сравнению с первым, т. е.
FM-p.E. F.23)
Выпишем еще выражение для джоулева тепла:
j'-E' = oE.E=oE*,
так как £' = Ев ЭГД. Для среды, содержащей заряженные
частицы только одного сорта,
/.£'=р,Ь£2. F.24)
Теперь выпишем полную систему уравнений ЭГД в простейшем
варианте, без учета вязкости и теплопроводности среды:
|-+pdivt> = 0,
PT^P^-gradp + p^,
dt
dt
Рт£ = оЕ* = реЬЕ\
Т = Ж> ^P'lr' U-U{p,s\ F.25)
rot£=*0,
d\vE—4npe,
|*+div/=0,
J=PebE+pev.
Уравнение
^+divy-0. •
как показано в § 4, есть точное следствие уравнений Максвелла.
В эту систему не входит напряженность магнитного поля Н. При
необходимости она определяется после решения задачи из
уравнений
,„ 4л • . 1 дЕ
гЫЯ=-У+-ж, (бщ
div#=0.
В ЭГД вводится так называемое электрическое число Рей-
нольдса Re3JI = —; если Re3JI—► () (коэффициент подвижности
зарядов велик), то уравнения, определяющие электрическое поле, не
зависят от параметров среды (если к тому же b не зависит от этих
360 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
параметров). Таким образом, при малых электрических числах Рей-
нольдса движение среды не оказывает* влияния на величину
электрического поля. Если же Яеэл—*оо, Ь—*0, то заряды движутся
вместе со средой, заряды вморожены в среду.
Кроме магнитной гидродинамики и электрогидродинамики
развиваются и другие области науки, в которых предметом изучения
также являются движения сплошных сред, взаимодействующих с
электромагнитным полем. Например, в практике находят все
большее применение так называемые ферромагнитные жидкости
(жидкости с взвешенными в них мелкими железными частицами), в связи
с этим возникла и развивается феррогидродинамика. Существуют
гидродинамика поляризующихся жидкостей, магнитоупругость,
пьезоупругость и т. д.
§ 7. Законы вмороженности магнитных и вихревых линий
Выясним теперь общие свойства поля вектора А (х, yf z, /);
удовлетворяющего соотношениям вида
^J- = rot(*Xi4), сПуЛ = 0. G.1)
Выше (см. F.16)) было показано, что этим условиям
удовлетворяет поле магнитной напряженности Н в случае Rem^> 1, в
частности, если проводимость бесконечна. Этим же условиям
удовлетворяет поле вектора вихря скорости <o = yrotfl в случае
баротропных движений идеальной жидкости в поле потенциальных
массовых сил. В самом деле, рассмотрим уравнение импульсов
идеальной непроводящей жидкости в форме Громеки — Лемба
^-+grad| + 2o)X^-^|gradp + F. G.2)
Предположим, что F = grad£/ и р = /(р). В этом случае можно
ввести функцию давления
Ро
для которой, как легко проверить, верно равенство
grad 5* = — grad/?.
Уравнение импульсов G.2) в этих предположениях представится
в виде
-щ- + grad у + 2@ X V =* — grad 3s + gra d U,
§ 7. Законы вмороженности магнитных и вихревых линий 361
Взяв теперь от обеих частей этого уравнения операцию ротора,
получим
д(д
W
= rot (v х со),
G.4)
причем
divG) = 0.
Эти уравнения совпадают с уравнениями G.1) и с уравнениями
F.16). Заметим, что в уравнение G.4) входят только кинематические
величины, но оно получилось как следствие из динамического
уравнения импульсов.
Таким образом, установив общие свойства векторного поля А,
удовлетворяющего условиям G.1), мы установим, в частности,
весьма важные свойства поля магнитной напряженности Н в
случае среды с бесконечной проводимостью и поля вектора вихря
со при баротропных движениях идеальной жидкости в поле
потенциальных массовых сил.
Вывод формулы для про- ВывеДем сначала Формулу для производной
изводной по времени от по времени от потока соленоидального век-
потока соленоидального тора А (х, у, z, /) через некоторую незам-
вектора через жидкую по- кнутую жидкую поверхность 2, ограничен-
верхность НуЮ контуром С, т. е. через поверхность,
движущуюся вместе с частицами
сплошной среды.
Как известно, потоком вектора че.
рез поверхность 2 называется интеграл
\.A-nda = \ Ando,
в котором через п обозначен единич"
ный вектор нормали к элементу do
поверхности 2.
Как и -раньше, положительные
направления нормали п и обхода контура
С свяжем так, чтобы с конца п
обход контура С был виден
совершающимся против часовой стрелки. Если в
момент времени t эта поверхность занимала положение 2,
а в момент t+At — положение 2^ (рис. 41), то по определению
производной будем иметь
Рис. 41. К выводу формулы
для производной по времени
от потока соленоидального
вектора через жидкую
поверхность
41".
da-.
■■ lim Ь_
Д<-+0
$Л„(*. у, г, t + \t)do-\An{x,y,z, t)da
At
• G-5)
362 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
Докажем, что в силу уравнений G.1) эта производная равна
нулю и, следовательно, для такого вектора
j An da = const.
Действительно, обозначим через 22 поверхность, образованную
траекториями точек контура С при его перемещении за время Kt>
и рассмотрим замкнутую поверхность, образованную
поверхностями 2, 2Х и 22.
По теореме Гаусса — Остроградского с использованием второго
условия G.1) будем иметь
$ Ая(х, ft z, /)da=$dhMdT = 0, G,6)
2+2i+22 V
где V — объем, ограниченный замкнутой поверхностью 2 + 2х + 22,
а нормаль я —внешняя по отношению к V. Заменяя направление
нормали п к элементам поверхности 2Х на противоположное и
добавляя к левой и правой частям равенства \ An(xfy, z9t + At)da,
Si
из G.6) легко получим
$ Ап(х, у, z, t + At)da-\.An(x, у, z, /)dcr =
2t 2
— $ЛЯ(*, У. 2, / + A*)da —$ Лл(*, у, z, /)Жт +
+ $Л„(*, #, z, /)da.
Отсюда для производной G.5) получим следующее выражение:
Tg-JiU*. К *f 0^^J^da+Hm^J^^x, ft z, 0Л. G7)
2 2 2,
Векторный элемент площади nda боковой поверхности 22,
очевидно, равен
nda =vAtxdl,
где dl — элемент контура С, ограничивающего поверхность 2
(см. рис. 41). Поэтому в интеграле ) Anda можно перейти к инте-
грированию по контуру С:
lA-ndo = —lA-(dlxv)M- — [dl-(vxA)At9
2, С с
§ 7. Законы вмороженности магнитных и вихревых линий 363
или, воспользовавшись теоремой Стокса, перейти к интегрированию
по первоначальной поверхности 2, натянутой на контур С,
^J Ando = -$(vxA)-dl=-$[rot(vxA)]ndo.
s, с s
Выражение G.7) для искомой производной приводится теперь
к виду
L J An do - I Щ-rot (v х A)] da. G.8)
2 2
Это общая формула векторного анализа для производной от
потока соленоидального вектора А через подвижную поверхность 2.
Ясно, что для справедливости формулы G.8) требуется
определенность значения вектора скорости v только в точках
поверхности 2 и ограничивающего ее контура С.
Если векторное поле А удовлетворяет
Сохраняемость векторных условиям G.1), то по G,8)
поверхностей, трубок и ^ л
линий —I Andv=sO.
2
Таким образом, мы доказали сформулированное выше
утверждение о том, что
J 4„d<T = const, G.9)
2
где 2—поверхность, движущаяся вместе с частицами сплошной
среды, в области, где поле вектора А(х, у, z, t) удовлетворяет
условиям G.1)
Из доказанного свойства G.9) рассматриваемого векторного
поля А вытекает ряд очень важных следствий.
Первое следствие заключается в том, что векторные
поверхности такого векторного поля переходят во время движения также
в векторные поверхности. В самом деле, рассмотрим в некоторый
момент времени t некоторую векторную поверхность П такого
векторного поля Л, т. е. такую поверхность, в каждой точке
которой вектор А лежит в касательной к ней плоскости. В силу
непрерывности движения поверхность ЕГв момент времени t+At
перейдет в некоторую другую поверхность П', нетрудно усмотреть,
что эта поверхность П' опять будет векторной поверхностью. Так
как поверхность П по условию—векторная поверхность, топоток
вектора А через любую поверхность 2, принадлежащую П, равен
нулю. По свойству G.9) останется равным нулю и поток вектора А
через поверхность 2', в которую перейдет за время Af.
поверхность 2 и которая в силу непрерывности движения будет
принадлежать П/, т. е. вектор А в момент времени f+Af будет
364 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
лежать в плоскости, касательной кП'; поверхность 2, а
следовательно, и поверхность 2' при этом можно взять сколь угодно
малой и где угодно лежащей на поверхности П, и тогда
непременно во всякой точке П' Лл = 0, а это значит, что поверхность П'
вновь будет векторной поверхностью.
В частности, боковая поверхность векторной трубки переходит
во время движения в боковую поверхность векторной трубки.
Векторные трубки переходят в векторные трубки.
Второе следствие: векторные линии векторного поля А,
удовлетворяющего условиям G.1), всегда во время движения
переходят также в векторные линии. Действительно, через векторную
линию / в момент времени / можно провести две векторных
поверхности Пг и П2, и I будет линией пересечения этих
поверхностей. По непрерывности движения в момент времени t + At линия /
перейдет в линию пересечения V поверхностей Щ и Щ, в каждую
из которых перейдут соответственно поверхности Пх и П2 и
каждая из которых (Щ и Щ) в силу первого следствия из G.9)
останется векторной поверхностью. Следовательно, /' снова будет
векторной линией.
Третье следствие: напряженность любой векторной трубки
рассматриваемого поля вектора А во все время движения остается
постоянной.
В самом деле?, напряженность векторной трубки, как известно
(см. гл. II, § 8), определяется потоком вектора А через
поперечное сечение трубки (в соленоидальном векторном поле он постоянен
вдоль трубки). Поэтому только что сформулированное
утверждение является непосредственным следствием свойства G.9)
рассматриваемого векторного поля А. Для поля вектора А,
удовлетворяющего условиям G.1), будем иметь
\Ando = \Ando%
2 2'
где 2 и 2' —произвольное поперечное сечение векторной трубки
? моменты времени tut' соответственно.
Таким образом, в векторном поле Л, удовлетворяющем
условиям G.1), векторные поверхности,-трубки и линии сохраняются
во время движения в том смысле, что они перемещаются в
пространстве вместе с частицами сплошной среды. Векторные
поверхности, линии и трубки вморожены в среду.
Как сказано выше, условиям G.1) удовлетворяют векторные
поля магнитной напряженности И в случае среды с бесконечной
проводимостью и вектора вихря скорости id==-^rotv в случае
баротропных процессов идеальной жидкости и потенциальных
внешних массовых сил. Поэтому поля магнитной напряженности
Н и вектора вихря со в этих случаях в указанном выше смысле
вморожены в среду.
§ 7. Законы вмороженности магнитных и вихревых линий 365
Так, например, если в некоторой области 3), занятой сплошной
средой с бесконечной проводимостью, в начальный момент
времени t0 не было магнитного поля Я, то его не будет и в области
Ф\ в которую перейдет область S) в произвольный момент
времени /.
Магнитное поле движется вместе с частицами сплошной среды.
Если на Солнце происходит извержение плазмы, представляющей
собой облако раскаленного газа бесконечной проводимости, то
магнитное поле движется вместе с плазмой и вытягивается из Солнца
в межпланетное пространство.
Ввиду важности свойств поля вектора вихря ю в
сформулированных условиях для приложений остановимся на них подробнее.
Свойство G.9) для векторного поля
Теорема Томсона 1 , ^
v <o = yrotfl запишется, если 2 —жидкая
поверхность, следующим образом:
}(dndo= const, G.9')
т. е. поток вектора вихря скорости со через любую поверхность 2,
движущуюся вместе с частицами сплошной среды, постоянен.
С помощью теоремы Стокса свойство G.9') можно записать в виде
$z>-d/ = const G.10)
с
(где С — произвольный замкнутый контур, состоящий все время
из одних и тех же частиц жидкости) или в виде
Г-const, G.11)
т. е. если внешние массовые силы потенциальны и движение
идеальной жидкости баротропно, то циркуляция скорости Г по любому
замкнутому «жидкому» контуру во все время движения не
изменяется. Это утверждение носит название теоремы Томсона.
Пм Следует помнить, что постоянство цирку-
Возможность появления "J ' г.
замкнутых контуров с ляции, как вытекает из доказательства
Г^о в потенциальном теоремы Томсона, имеет место только по
потоке с поверхностями контурам, получающимся друг из друга
разрыва скорости непрерывной деформацией.
Если жидкость находилась в покое в некоторый момент времени,
то циркуляция в этот момент времени была равна нулю по всем
контурам. Однако при дальнейшем движении при наличии разрывов
скорости в потоке вообще могут появиться замкнутые контуры вида
-2\ по которым циркуляция будет отличаться от нуля (рис. 42).
В самом деле, если контур JS? пересекает линию разрыва
скоростей, то циркуляция по контуру 2 вообще отлична от нуля, так
366 Гл. VI. Основные понятия и уравнения электродинамики
как скорости точек М и N на
поверхности разрыва различны;
поэтому контур S', замкнутый в
рассматриваемый момент времени,
становится разомкнутым в
следующий момент времени и был вообще
незамкнут в предыдущие моменты
Рис 42. Циркуляция по контурам С времени и в частности, в началь-
равна нулю, по контуру X может г „
отличаться от нуля. ныи момент, когда жидкость
покоилась. К незамкнутым жидким
контурам теорема Томсона неприменима, и циркуляция по таким
контурам не сохраняется х . Непосредственным следствием теоремы
Томсона является теорема Лагранжа.
Теорема Лагранжа ?СЛИ ПРИ соблюдении условдй теоремы
Томсона в некоторой части жидкости в
некоторый данный момент времени t0 нет вихрей, то их в этой части
жидкости не было при t<.t0 и не будет при t>t0. Подчеркнем,
что в формулировке теоремы Лагранжа речь идет не об
определенной части пространства, а об определенной массе жидкости,
движущейся непрерывно.
Докажем теорему Лагранжа. По условию в области £)'при
f=f0 нет вихрей, и, следовательно, в каждой точке этой области
<о = 0. Поэтому по теореме Стокса ( Г = 2 \ сопda\ циркуляция
/ру, прин<
по любому замкнутому контуру, принадлежащему ®, равна нулю
f
с
По теореме Томсона циркуляция Г по любому замкнутому жидкому
контуру будет равна нулю и во все другие моменты времени. Тогда
вновь из теоремы Стокса вытекает, что для любой поверхности Б,
целиком лежащей в области 3) жидкости,
А это может быть только тогда, когда в любой точке 3> и для любого
направления п <оп=0, т. е. в любой частице жидкости в любой
момент времени ю=0.
Отсутствие вихрей, как известно, равносильно существованию
потенциала скоростей. Поэтому теорему Лагранжа можно
сформулировать также следующим образом.
Если в некоторый момент времени t0 движение жидкости или
газа было потенциальным, то при соблюдении условий теоремы
1 Во многих случаях опыты и теория показывают, что для описания
реальных движений жидкостей и газов необходимо рассматривать поля скоростей,
содержащие поверхности разрыва.
§ 7. Законы вмороженности магнитных и вихревых линий 367
Томсона оно было и будет потенциальным и во все другие моменты
времени. (В общем случае в потенциальных потоках могут
образовываться и развиваться сходящие с границ жидкости поверхности
разрыва для потенциала и для соответствующего поля скоростей.)
Таким образом, в этом случае существует потенциал скоростей
<р(х, у, z, *).и
z> = gradq>(*, у, z, t).
Из теоремы Томсона видно большое физическое значение
потенциальных движений идеальной жидкости. Наличие
потенциальности сильно облегчает решение задач об определении поля скоростей.
Можно сказать, что вихри в жидкости могут возникать я
исчезать, вообще говоря, только в том случае, когда нарушается хотя
бы одно из предположений теоремы Томсона, т. е. либо жидкость
вязкая, либо движение не баротропно, либо внешние массовые силы
не потенциальны, либо нарушается непрерывность поля скоростей.
Доказанные свойства сохраняемости векторных поверхностей
и линий, а также напряженностей векторных трубок для поля
вектора вихря скорости баротропных движений идеальной
жидкости или газа называются динамическими теоремами Гельмгольца,
которые формулируются следующим образом.
Первая динамическая теорема Гельм-
Динамические теоремы ГОльца: в предположениях теоремы Том-
ельмгольца о вихрях сода частиць1 ЖИдКОсти, образующие в
некоторый момент времени вихревую поверхность, трубку или линию,
во все время движения образуют соответственно вихревую
поверхность, трубку или линию.
Вторая теорема Гельмгольца: в предположениях теоремы
Томсона интенсивность вихревой трубки во все время движения остается
постоянной, т. е.
Г = (р v • dl = const,
где С — любой замкнутый контур, охватывающий один раз данную
вихревую трубку.
Теоремы Гельмгольца имеют важное значение при решении
многих .основных задач гидродинамики (см. гл. VIII).
ГЛАВА VII
О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ В МЕХАНИКЕ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 1. Общие основы постановки конкретных задач
Модели и системы от- При теоретическом исследовании конкрет-
счета ных задач в механике сплошной среды
необходимо обязательно явно или неявйо *
.пользоваться выбором систем отсчета наблюдателя, в которых
описываются движение и состояние изучаемой среды. В ньюто-
нианской механике в качестве систем отсчета наблюдателя можно
выбирать любые «неподвижные» или движущиеся системы. Однако
требуется всегда указывать инерциальную систему отсчета, так
как только на этой основе можно пользоваться данными о силах
инерции.
В нужных случаях требуется также иметь в виду существование
системы координат Лагранжа, которая фактически позволяет
индивидуализировать точки континуума сплошной среды и, по
существу, всегда кладется в основу определения характеристик
движения и состояния частиц среды.
В предыдущих главах были установлены и описаны
универсальные уравнения механики, термодинамики и электродинамики.
Эти уравнения являются фундаментальными соотношениями, в
рамках которых строится теория любых конкретных моделей сплошных
сред. Они принимаются для всех моделей и в рамках определенной
модели для всевозможных отдельных случаев движений и
физических процессов. Как было выяснено выше, универсальные уравнения
для непрерывных гладких распределений могут быть написаны в
виде дифференциальных уравнений с частными производными.
Наряду с дифференциальными уравнениями была указана также
формулировка тех же физических положений в интегральном виде:
интегральная форма уравнения неразрывности (A.2) гл. III),
уравнения импульсов (B.2) гл. III), 1-го закона термодинамики —
уравнения энергии ((8.1) гл. V), второго закона термодинамики ((8.2)
гл. V) и общих уравнений Максвелла (E.5) гл. VI);
Для гладких непрерывных распределений характеристик
движения дифференциальные и интегральные формулировки
эквивалентны. Однако приходится рассматривать также разрывные
распределения характеристик явлений в пространстве и во времени.
При наличии разрывов проявляется более общая природа
интегральных формулировок, сохраняющих смысл и в этом случае. Дифферен-
1 Для отчетливости и ясности в постановке задач лучше все допущения и
условия формулировать в явном виде.
§ 1. Общие основы постановки конкретных задач 369
циальные формулировки сохраняют свое значение в области
непрерывных явлений, но нуждаются в дополнительных условиях на
разрывах. При интегральной формулировке такие дополнительные
условия в них уже содержатся. В следующих параграфах мы выведем
соответствующие условия на разрывах из универсальных
интегральных соотношений.
Как было уже указано выше, для получения систем уравнений,
позволяющих обратиться к подробному изучению движения данной
сплошной среды, требуется всегда вводить дополнительные
гипотезы — предположения, фиксирующие частные свойства и
физическую природу рассматриваемой модели. Необходимо выбрать модель.
Проблема выбора моделей может служить предметом специальных
и обширных исследований; во многих случаях это — основная
проблема физики, связанная с идеализацией, схематизацией и с
введением различного рода понятий и характеристик. Выбор и
построение новых моделей необходимы для описания открываемых
новых эффектов и явлений, сущность которых уже известна или только
начинает проявляться в развивающихся областях науки и техники.
В предыдущих главах мы уже познакомились с рядом важных
классических моделей сплошных сред: моделью идеальных
жидкости и газа, моделью упругого тела, моделью вязкой жидкости,
моделью проводящей жидкости в магнитной гидродинамике и др.
Этот список далеко не исчерпывает совокупность известных моделей;
существует ряд других моделей, с некоторыми из них мы
познакомимся дальше. В настоящее время в связи с применением новых
материалов, расширением диапазонов использования уже
употребляемых материалов, необходимостью учета электромагнитных
свойств и эффектов в механике, применением условий большого
вакуума или, наоборот, очень больших давлений, сверхнизких
температур или, наоборот, очень больших температур, в связи с
рассмотрением сложных явлений в живых организмах и т. д.
проблема построения новых моделей «актуальна. Теория построения
новых моделей в физике и механике в настоящее время развивается
интенсивно.
Предположения о внешних воздействиях, например о внешних
массовых силах F{e), элементарных притоках энергии dq{e) и dq**9
можно вводить дополнительно в рамках каждой фиксированной
модели. В рамках заданной модели можно также ставить задачу об
определении этих величин по движению, заданному гипотетически,
или по результатам наблюдений в опытах.
Необходимость дополни- После выбора модели для выделения опре-
тельных условий, выдел я- деленного явления или класса явлений —
ющих отдельные движе- движений—требуется выставлять еще до-
ния полнительные условия. Это очевидно! В
самом деле, в рамках теоретической модели несжимаемой идеальной
жидкости можно рассматривать великое разнообразие движений
воды, нефти, многих других жидкостей и даже воздуха и других
24. Л.И. Седов
370 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
газов, когда сжимаемостью, можно пренебречь, например:
разнообразнейшие течения и волновые движения воды в океанах и
морях; движение воды в струях, вытекающих из сосудов; движение
воды через водосливы в плотинах; движение воды, вызванное
движением кораблей и подводных лодок в море; движение воздуха,
вызванное движением дирижаблей при малых дозвуковых скоростях,
и великое множество других проблем. Во всех перечисленных
случаях можно пользоваться одной и той же замкнутой системой
дифференциальных уравнений. Следовательно, дифференциальных
уравнений, выполняющихся в каждой точке объема, занятого жидкостью,
и образующих замкнутую систему, совершенно недостаточно для
решения математической задачи об определении полей скорости и
давления в объеме жидкости. Как известно, общие решения
дифференциальных уравнений движения содержат произвольные
функции и постоянные, которые нужно определять из специальных
условий
Рассмотрим теперь различные типичные дополнительные
условия, выделяющие отдельные движения.
Решения математических задач представ-
Область, занятая сплош- ляются в виде функций, определенных
ным телом, и интервал * " ^J ' г«
времена движения в точках объема, занятого средой, в
интервале времени, в течение которого
движение рассматривается. Интервал • времени может быть конечным,
может начинаться в некоторый характерный «начальный»
момент времени t *= tQ или быть «привязанным» к нему; рассмотрение
движения и состояния сплошной среды может производиться для
любых t > t0 или t<t0 или вообще для всех t^t0. По смыслу
задачи возможны требования отыскания различных характерных
моментов времени.
Область объема @>> занятая движущейся средой, в одних
случаях может быть задана, в других неизвестна заранее.
Например, область 3) можно считать известной, когда жидкость
движется в данном сосуде и полностью заполняет этот сосуд или когда
жидкость занимает все пространство при движении около различных
фиксированных и заданных заранее преград внутри жидкости.
Во многих случаях область S> неизвестна заранее, например, ее
определение должно быть осуществлено в процессе решения задачи
о выливании воды из сосуда, нри изучении деформации упругого
тела под действием заданной системы внешних нагрузок.
В некоторых случаях граница области ей может состоять из
известных частей, например, поверхности морского дна, стенок
сосудов или вообще подвижных поверхностей тел внутри
жидкости, и частей, неизвестных заранее, которые нужно найти в процессе
решения задачи, например, поверхности волнующегося моря или
границы истекающей из сосуда струи и т. п.
Область iZ), занятая сплошной средой, может быть конечной,
например, внутренностью сосуда или трубы для жидкости или
§ 1. Общие основы постановки конкретных задач 371
объемом стержня, балки, детали машины для деформируемого
«твердого» тела. При схематизации постановки задач часто
приходится иметь дело с областью @>у содержащей бесконечно
удаленную точку, когда жидкое или «твердое» деформируемое тело
или электромагнитное поле занимает все пространство или
внешность некоторой системы заданных тел, или когда имеются струи
или полосы—ленты, уходящие в бесконечность.
При решении задач для области <2>, вклю-
Условия в бесконечности • * ~ „
*ы чающей бесконечность, на основе
предположений физического характера необходимо задавать
дополнительные условия в бесконечности.
В качестве таких условий во многих случаях предполагается,
что исследуемое явление носит характер местного возмущения и что
при удалении в бесконечность состояние и движение среды заданы.
Например, при изучении абсолютного движения неограниченного
объема жидкости, возникающего при движении в нем твердого тела
конечных размеров, можно принимать, что при удалении в
бесконечность скорость жидкости стремится к нулю, давление — к
заданному значению, электромагнитное поле имеет заранее заданные
свойства; аналогично можно предполагать, что деформируемое
тело в бесконечности находится в естественном состоянии,
которое определяется дополнительными физическими условиями,
и т.д.
В задаче об обтекании неподвижных тел потоком газа или
жидкости необходимо принимать, что при удалении в
бесконечность вверх по потоку, а в некоторых случаях в любом направлении,
набегающий поток имеет заданные свойства: заданную скорость,
заданные давление и температуру и т. д.
Однако условия в бесконечности могут носить и более сложный
характер, например, тогда, когда при удалении в бесконечность
по разным направлениям имеет место некоторый регулярный
и, может быть, периодический процесс, имеются, вообще говоря,
различные в разных направлениях волны заданного типа и т. д.
Нередко проблема формулирования дополнительных условий
в бесконечности бывает связана с тонкими эффектами,
обусловленными отсутствием или наличием притока энергии из бесконечности
или каких-либо излучений.
0 Условия в бесконечности можно рассмат-
среды16 Т0ЧКИ внутри ривать как дополнительные условия в
особой бесконечно удаленной точке. Для
учета различных воздействий на среду или поле можно вводить
особые точки и в конечной части области &). Например, можно
вводить точечные источники или стоки массы жидкости, диполи
и мультиполи по массовому расходу, заряды, диполи и мульти-
поли в электромагнитном поле, особые точки различного, но
определенного типа для учета эффекта действия
концентрированных внешних сил и источников энергии. Такие особен-
372 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
ности могут моделировать действие и присутствие других тел
на далеких расстояниях от интересующей нас по смыслу задачи
области поля или движения среды.
Таким образом, можно вводить в области 3) особые точки,
в которых асимптотическое поведение некоторых функций задано;
присутствие этих особых точек может обусловливаться также
наличием некоторых внешних воздействий, которые не
учитываются в уравнениях движения.
Начальные условия \ теоРии Дифференциальных уравнений -
J обыкновенных и в частных производных —
большое значение имеет задача Коши, которая, например, для
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
■&-/(*.*.£)' <i;i>
формулируется следующим образом. Найти такое решение x(t)
уравнения A.1), для которого при t=t0 выполняются условия
(x)tssto=*x0 и (-fc)tssU = xi> A.2)
где /0, х0 и ^о — заданные числа. Из теории дифференциальных
уравнений известно, что задача Коши во многих важных случаях
имеет единственное решение. Дополнительные условия A.2)
называются начальными данными или данными Коши.
Аналогичным образом можно ввести задачу Коши для
дифференциальных уравнений с частными производными и в качестве
дополнительных данных для нестационарных движений, в
зависимости от вида уравнений, задавать искомые функции и некоторые
производные от них по времени при t=t0. Например, при решении
динамической задачи для упругого тела с помощью уравнений Ламе
(B.26) гл. IV) нужно задать начальные перемещения и начальные
скорости всех точек тела.
При решении задачи об определении неустановившегося
движения идеальной однородной несжимаемой жидкости (система
уравнений A.10) гл. IV) достаточно задать распределение скоростей
во всей области 3> в начальный момент времени.
Если область © представляет собой безграничное пространство,
то в ряде случаев начальных условий достаточно для выделения
определенного решения. Число и вид начальных данных зависят
от порядка системы уравнений. Однако вопрос о формулировке
данных Коши и вопросы о существовании и единственности решения
нужно решать в каждом конкретном случае особо.
„ Если область @) конечна или бесконечна,
Краевые условия о
^ J но имеет границу S, то, кроме начальных
условий, для получения определенных решений необходимо еще
выставлять и пользоваться специальными условиями на границе S. Эти
условия называются краевыми или граничными условиями, Краевые
§ 1. Общие основы постановки конкретных задач 373
условия могут быть весьма разнообразного вида. Они
выставляются на основании дополнительных физических соображений. Вот
некоторые типичные и важные примеры краевых условий.
Предположим, что положение и движение
Условия прилипания на всед граничной поверхности S или какой-
ЖНиЦскойсЯтейереМеЩе" либо ее части S, известы. При подходе
к граничной поверхности Sx со стороны
среды по определению мы имеем контакт между средой и ее
границей Sx, поэтому перемещения индивидуальных точек среды на St
и самой поверхности Sx должны быть связаны условием
сохранения контакта. При отсутствии проскальзывания точек среды по
касательной к поверхности Sx векторы перемещений точек среды
Череды и точек поверхности Sx—^границы будут одинаковыми.
Например, так может обстоять дело при закреплении упругого
тела на опорах заданного типа, при внедрении внешних предметов
в «твердую» деформируемую среду или при обтекании вязкой
жидкостью твердого тела заданной формы и во многих других
случаях.
Очевидно, что при этом на ловерхности Si имеют место
следующие условия:
^среды — ^границы, ^среды = ^границы- 0-2)
Если движение границы Si задано, то, при отсутствии
проскальзывания вдоль Si, на этой границе будут иметь место условия
A.2'), в которых вектор перемещения wrp^mu (S1, £2, Е3, t) и вектор
скорости ^границы = (-jp)—известные функции лагранжевых
координат I1, |2, £3, t. Такого рода условия часто встречаются в
механике «твердых» деформируемых тел. Условие A.2') принимается
также в теории движения вязкой жидкости и носит название
условия прилипания.
В теории упругости главное значение имеет условие для
перемещений, так как перемещениями определяются тензоры
деформаций и напряжений.
В теории движения жидких и газообразных тел перемещения
частиц не входят непосредственно в уравнения движения, в них
входят компоненты скорости, поэтому в гидродинамике основную
роль играет граничное условие A.2') для скоростей.
Очевидно, что при непрерывных движениях условие для
скоростей A.2') выполняется автоматически, если удовлетворяется
условие для перемещений.
Если граница Sx сместилась из некоторого начального
положения в данное, то ге;границы (б1, £2, 1ъ)ф0\ если первоначально
смещенная граница Sx остается неподвижной, то после смещения Si
скорость 0гра11ИЦЫ будет равна нулю.
Каждое из векторных условий A.2') для перемещений или для
скоростей равносильно трем скалярным равенствам.
374 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Число начальных и граничных условий зависит от порядка
уравнения, и поэтому граничные условия и их число
различны для разных моделей.
Например, динамические уравнения дви-
Условие обтекания иде- жения Эйлера для идеальной жидкости
алънои жидкостью г
содержат частные производные только
первого порядка от компонент скорости по координатам.
Уравнения Навье — Стокса для вязкой жидкости содержат
вторые частные производные по координатам от компонент скорости.
В обоих случаях естественно и удобно рассматривать граничное
условие A.2') для скоростей.
Однако три условия прилипания A.2') для идеальной жидкости
чересчур сильны. При условии полного прилипания к стенкам не
существует решения уравнений Эйлера, поэтому для идеальных
жидкости и газа необходимо допускать возможность
проскальзывания частиц жидкости на границе с внешними твердыми или
деформируемыми телами.
Для идеальной жидкости условие A.2') на Si ослабляется и
заменяется только одним скалярным условием обтекания
vn жидк == vn границы На olf A.3)
где vn жидк и vn грапицы — нормальные к Sx составляющие
скоростей частиц жидкости и граничной поверхности. Условие A.3)
выражает собой сохранение контакта между жидкостью и заданной
поверхностью 5ь по этому условию жидкость не может протекать
внутрь тел, соприкасающихся с ней по поверхности Sb и не может
отрываться от поверхности Si.
На поверхности Sb ограничивающей некоторые тела,
соприкасающиеся с идеальной жидкостью, как правило, имеет место
неравенство
^т жидк г ®х тела» (*-v
где индексом т отмечены касательные составляющие скоростей к
поверхности Si. В силу неравенства A.4) имеет место проскальзывание
идеальной жидкости вдоль поверхности Sb движущейся заданным
способом.
Если движение идеальной жидкости потенциально, v=grad q>,
то условие A.3) можно написать в следующем виде:
"п""°яГр на Sl'
Следовательно, по условию обтекания на границе Si задаются
значения нормальной производной от потенциала ср. Если граница
Si неподвижна, то условие A.3) принимает вид
0лж»дк=*О на S,
§ 1. Общие основы постановки конкретных задач 375
ИЛИ
Й-0-*.
На заданных границах, кроме условия A.2') или A.3), для
различных моделей можно ставить ряд других условий. Например, на Si
можно задавать температуру или приток тепла.
При наличии в замкнутой системе уравнений, в которые входят
электромагнитные характеристики, на Si задаются условия,
например, для векторов £, Н и J.
При формулировании граничных условий следует опираться
на общие условия на поверхностях разрыва, которые мы рассмотрим
в следующих параграфах.
Однако уже здесь мы остановимся подробно на весьма
распространенных граничных условиях, которые можно сформулировать
с помощью условий на поверхностях разрыва.
Во многих задачах граница S или некото-
Условия на свободной рая ее часть s2 области непрерывного
границе г » г г
F движения сплошной среды заранее
неизвестна и должна быть определена в результате решения задачи.
На неизвестной границе S2 обычно задаются внешние нагрузки.
В теории упругости и в других теориях на площадках
поверхности 52 могут быть известны плотности поверхностных сил
Рп = РппП + Рпт*=/(М, t), A.5)
где М—точка поверхности S2. Условие A.5) дает три
соотношения на S2. Такого рода граничные условия типичны в
практике инженерных расчетов различных деталей машин. При
изучении вопросов о распространении упругих или сейсмических волн
можно рассматривать поверхности, называемые свободными, на
площадках которых поверхностные напряжения могут сводиться
просто к атмосферному давлению, действующему по нормали п к
этим площадкам. В этом случае получим условия
Рпп = — Ро> Рт^О, A-6)
где ро — величина атмосферного давления.
Граничные условия вида A.5) или A.6) встречаются также и в
задачах о движении вязкой жидкости, когда ее свободная
поверхность является поверхностью контакта с другой вязкой или
идеальной жидкостью, соответственно, в которых все характеристики-
движения можно считать известными.
У В задачах о движении идеальных жидко-
г^ице в* идеальной стей илн газов также часто рассматри-
жядкостн Ь ° ваются свободные поверхности. Условие
идеальности по определению всегда
означает, чторпт = 0; поэтому на свободной границе в идеальной
376 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
среде условия A.6) сводятся только к одному равенству
Р=Ро, A-7)
где р0 — заданная величина давления во внешней среде, которая,
например, на неизвестной заранее возмущенной поверхности воды
может приниматься равной атмосферному давлению. На практике
встречаются случаи, когда заданное давление на свободной
поверхности отличается от атмосферного, например, на свободных
границах жидкости, частично заполняющей закрытые баки, давление р0
может быть любым.
При определении движения и формы границ 52 через искомые
компоненты поля скоростей или перемещений требуется также
пользоваться равенствами вида A.2'). При этом надо иметь в виду,
что для свободных поверхностей S2 равенства A.2') связывают
только нормальные по отношению к S2 компоненты скорости, так
как скорость свободной границы обычно определяется как скорость
перемещения этой границы по нормали к ней.
В общем случае требуется решать задачи со смешанными
граничными условиями, когда объем движущейся среды частично
ограничен внешними неподвижными заданными стенками или
стенками с данными условиями закрепления, а частично —
свободными поверхностями. Кроме того, могут быть части границы с иными
видами условий, когда граница задается только частично, или
заданные границы с более сложными краевыми условиями,
представляющими собой некоторые линейные или нелинейные, конечные
или дифференциальные соотношения между искомыми функциями.
С некоторыми из усложненных условий мы познакомимся в
следующих параграфах и во втором томе книги.
Здесь ограничиваемся только указанием на необходимость
формулировки и разъяснением смысла некоторых видов краевых
условий. Формулировка конкретных задач и их решения будут
рассмотрены дальше в гидродинамике, теории упругости и теории
пластичности (см. т. II).
§ 2. Типичные упрощения в постановках некоторых задач,
связанные с уменьшением числа независимых переменных
Математическая задача об определении решений уравнений,
описывающих движение и другие физические процессы с точки
зрения Эйлера, сводится к отысканию неизвестных функций от
четырех переменных х1, х29 л;3, t, например скорости, давления,
температуры, плотности, электрической и магнитной напряжен-
ностей и т. д.
Эта математическая задача во многих случаях очень трудна,
и для ее решения требуется вводить дополнительную схематизацию,
§ 2. Типичные упрощения в постановках некоторых задач 377
связанную с постановкой конкретных физических задач, и вносить
допустимые упрощения в их математическую постановку.
Наличие большого числа (в данном случае четырех)
независимых переменных сильно осложняет задачу.
В ряде задач важные упрощающие предположения,
обеспечивающие успех решения, связаны с уменьшением числа независимых
переменных или с допущениями о вполне определенной зависимости
искомых функций от некоторых из переменных, взятых в
соответствующей специально выбранной системе координат частного вида.
Очевидно, что не всегда, но в некоторых
Установившиеся движе- практически приемлемых случаях в
соответствующей системе координат
рассматриваемые движения и многие процессы можно считать
установившимися. Это позволяет при использовании точки зрения Эйлера
сократить число независимых переменных на единицу, так как
исключается время t. Для установившихся движений начальные
условия по времени t не нужны, так как во всех уравнениях
для установившегося движения выпадают частные производные
по времени. Это обстоятельство, как правило, упрощает решение
математических задач.
Движение сплошной среды называется пло-
Плоскопараллельные дви- скопараллельным, если можно выбрать
жения -»
декартову систему х, у, z так, чтобы
скорости всех частиц среды оказались параллельными плоскости
(я*, */), причем все характеристики движения и состояния
представляли бы собой функции только двух координат ху у и, может
быть, времени t.
В этом случае движение и состояние частиц среды не зависят
от координаты z, движение среды происходит параллельно
плоскости (xf у), и движения во всех плоскостях, параллельных
плоскости (х, у)у одинаковы.
Предположение о плоскопараллельности приемлемо только
в частных задачах, например в задаче аэродинамики о движении
перпендикулярно к своей образующей бесконечного
цилиндрического крыла в газе или жидкости, в некоторых задачах о волнах
на поверхности тяжелой жидкости, в ряде задач теории упругости,
например в задаче о равновесии длинной цилиндрической балки,
поперечные сечения которой находятся под действием произвольно
расположенных в их плоскостях внешних статически равных нулю
нагрузок, когда нагрузки не зависят от продольной координаты, а
перемещения в продольном направлении запрещены условиями
закрепления, и т. д.
Математическая теория эффективного решения задач о
плоскопараллельных движениях сильно развита и положена в основу
многих приближенных методов для решения пространственных
задач, когда предположение о плоскопараллельной схеме для искомых
полей в целом недействительно.
378 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Плоскопараллельные по- Большой успех теории плоскопараллель-
тенциальные^ движения ных движений несжимаемой жидкости свя-
несжимаемои жидкости ^
зан с тем, что для потенциальных
движений потенциал скорости ф (х, у, t) является гармонической
функцией:
дх* + ду* "~u' К*Л)
Для гармонической функции ф(#, у, t) можно определить
сопряженную гармоническую функцию ф (л;, у, f) согласно уравнениям
Коши — Римана
дх ~~ ду * ду ~~ дх ' к '
т. е.
d*(x, у, t) = -^dx+^dy. B.3)
Условие интегрируемости B.3) обеспечивается уравнением B.1).
Функция i|)(*, у, t) называется функцией тока. Согласно B.3)
и уравнениям линий тока i|)=const вдоль любой линии тока.
Как известно, на основании уравнений Коши — Римана B.2)
можно ввести аналитическую функцию w комплексной переменной
z=x+iy, где i=?|/"—1
w(z, t)=q>(x9 у, t)+fy(x, yf t). B.4)
Функция w(z, t) называется характеристической функцией.
Задачу об отыскании потенциала скоростей ф(лг, у) можно
свести к задаче определения характеристической функции
комплексной переменной г.
Для решения этой задачи привлекается мощный аппарат и
методы теории функций комплексной переменной. Это позволяет
решить много трудных задач и далеко развить гидродинамику
потенциальных плоскопараллельных движений несжимаемой
жидкости.
Для установившихся плоскопараллельных движений остается
только одна независимая величина — комплексная переменная
z=x+iy. Это — добавочное очень сильное допущение всей теории.
В несколько усложненном виде аналогичные методы решения
плоских задач, основанные на приложениях|теории функций
комплексной переменной, развиты в теории упругости (см. т. II, гл. XI).
Важным классом задач являются задачи
Осесимметрические дви- с наличием осевой симметрии. В осесим-
жения
метрических задачах предполагается, что
можно выбрать цилиндрическую систему координат, в которой
существенными аргументами искомых функций будут только
координаты г, z и t. а угловая координата ф несущественна. Все
§ 2. Типичные упрощения в постановках некоторых задач 379
уравнения и формулы, дающие решение, будут инвариантны
относительно поворотов на любой угол вокруг оси г.
В частности, многие проблемы прочности тел вращения,
например задачи о трубах, баках, специальных оболочках и
т. д., или задачи о поступательном движении внутри жидкостей
и газов тел вращения вдоль оси симметрии, или их вращении
относительно оси симметрии, и много других задач,
рассматриваются в рамках теории движения сплошных сред с осевой
симметрией.
Плоскопараллельные и осесимметричные движения — примеры,
когда существенное значение имеют только две геометрические
координаты.
Движения и процессы, в которых сущест-
Одномерные неустановив- венна только одна геометрическая коор-
шиеся движения г *
дината т), называются одномерными
движениями. К этому названию добавляется еще слово
«неустановившиеся», когда время t существенно. Можно показать 1 , что в
жидкости одномерные неустановившиеся движения, в которых
перемещения направлены ортогонально к координатным
поверхностям г\ = const, возможны только в следующих трех случаях.
1. Движение с плоскими волнами, т. е.
Движение с плоскими движение, при котором можно выбрать
декартову систему координат так, что
существенными независимыми переменными аргументами будут
только координата х (дальше можно применять обозначение х = г)
и время t. В этом случае на плоскости х = const (плоскость фазы
волны) все характеристики движения одинаковы, т. е. все
производные от искомых характеристик движения и процессов
по у и z равны нулю.
2. Движение с цилиндрическими волнами,
Движение с цклиндриче- когда можно выбрать цилиндрическую
скими волнами м r ^r J
систему координат так, что
существенными независимыми переменными аргументами будут только
расстояние до оси симметрии г и время /. В' этом случае на
цилиндрических поверхностях г = const (поверхности фазы волны) все
характеристики движения постоянны, т. е. все производные от
искомых величин по z и полярному углу <р равны нулю.
3. Движение со сферическими волнами,
Движение со сферически- КОгда можно выбрать сферическую систе-
ми волнами г *y r j
му координат так, что существенными
независимыми переменными аргументами будут только расстояние
до центра симметрии г и время t. В этом случае на сферах г = const
1 См.: Lipshcitz // Ztschr. reine und angew. Math. 1887. T. 100. С 89. См. также:
Любимов Г.А. О возможных видах одномерных неустановившихся движений вязкого газа
сб. № 19 «Теор. гидромех.». М.: Оборонгиз, 1956. Вып. 7.
380 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
(поверхности фазы волны) все характеристики движения
одинаковы, т. е. все производные от искомых величин по долготе в
и широте ф равны нулю.
Многие важные теоретические и практические задачи
рассмотрены в рамках одномерных движений, например, задачи
теории распространения световых и звуковых волн, теории взрывных
волн, теории детонации.
Таким образом, указанные выше упрощения сводятся к
исключению одной, двух или даже трех (в установившихся одномерных
движениях существенна одна переменная г, а в нульмерном случае
для неустановившихся движений — только одна переменная t)
независимых переменных.
А Важное значение имеют решения, в кото-
Автомодельные движения г
рых уменьшение числа аргументов, искомых
функций достигается за счет существенности только некоторых
комбинаций из независимых переменных. Примером таких
решений являются автомодельные движения, когда вместо четырех
переменных х> у> z, t можно ввести только три существенных
независимых аргумента
to. > fa ' /а »
где а — некоторая постоянная.
Для одномерных неустановившихся движений вместо двух
переменных rut для автомодельных движений можно ввести только
одну переменную
K = r/ta.
Очевидно, что в этом случае уравнения с частными
производными по г и / перейдут в обыкновенные уравнения с одной
независимой переменной X.
Как увидим дальше, наличие автомодельности для искомого
решения можно установить непосредственно, исходя из постановки
задачи, с помощью соображений теории размерностей. Для. этого
не требуется даже выписывать уравнения движения и граничные
условия; достаточно знать только параметры и характеристики,
входящие в эти уравнения и условия. Имея в виду эти соображения,
в некоторых случаях можно заранее схематизировать явление и
поставить задачу таким образом, чтобы описанные упрощения можно
было применить и, в частности, чтобы искомое решение было
автомодельным. Автомодельность — весьма ценное свойство решения,
так как с точки зрения теории сведение уравнений с частными
производными к обыкновенным уравнениям — это уже большое
достижение, позволяющее получить численное решение задачи более
простыми методами.
§3. Линеаризация уравнений механики сплошной среды 381
§ 3. Линеаризация уравнений и задач механики
сплошной среды
Нелинейность проблем Основные уравнения механики сплошной
механики сплошной среды среды — вообще нелинейные уравнения.
Нелинейность задач механики Сплошной среды связана с тем, что
искомые функции входят в уравнения и граничные условия в
общем случае нелинейно. Например, в уравнения Эйлера (в
выражение для ускорения) входят произведения и((дик1дх*), а в случае
движения сжимаемых сред при сильных изменениях плотности и
1 др
давления в эти уравнения входят еще нелинейные члены — j-k.
Уравнения Максвелла линейны для поля в пустоте;
нелинейность возникает за счет взаимодействия электромагнитного поля
со средой при учете усложненного закона Ома и усложненных
законов для электрической поляризации и намагничивания.
С нелинейностью исходных уравнений связано наличие ряда
особых физических эффектов, которые в общем случае имеют
большое практическое значение. Свойство нелинейности вносит
большие трудности в математические методы исследования и
разрешения рассматриваемых задач.
В некоторых задачах механики сплошной
Малые возмущения со- СредЫ исследуемые движения и процес-
стояния равновесия или r J r
основного движения сы имеют характер малых
возмущений некоторых состояний равновесия
или основного движения.
Например, в упругих телах (деталях различных машин и
сооружений) деформации часто малы и компоненты тензора деформаций,
являющиеся в декартовой системе
координат отвлеченными числами,
имеют порядок долей процента;
поэтому большое распространение
получила линейная теория
бесконечно малых деформаций, в
которой произведениями малых
величин пренебрегают.
В теории волн тяжелой
жидкости часто рассматривают такие
движения воды, при которых
свободная поверхность воды мало
отличается от горизонтальной
плоскости — спокойного уровня
воды; в этом случае величины абсолютной скорости и соответствующих
перемещений частиц воды малы.
В аэродинамике часто изучается движение различных тонких
тел (профилей крыльев, снарядов и т. п.) в воздухе в направлении
их основного размера (рис. 43).
Рис. 43. Движение тонких крыльев
и тел вращения
382 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Когда угол наклона скорости полета к элементам поверхности
тел мал, это движение вызывает в основной массе воздуха малые
скорости возмущения, пропорциональные произведению скорости
полета на малые углы наклона поверхности тела к направлению
вектора скорости полета.
Примеров, подобных перечисленным выше, можно указать еще
очень много. Указанные заключения о малости возмущений
искомых функций для перемещений, скоростей, величин плотности,
давления, температуры, характеристик электромагнитного поля
и t. п., вообще говоря, не строги, а в отдельных малых областях
потока они всегда просто неверны. Однако во многих случаях эти
предположения хорошо оправдываются в главной, практически
важной области.
Конечно, имеются и такие важные случаи, когда допущения
о малости искомых функций совершенно неприемлемы и требуется
учитывать существенные нелинейные эффекты.
В тех случаях, когда допущение о малости
Линеаризация задач ме- искомых функций является приемлемым, в
ханики сплошной среды ^J r '
постановке задач можно произвести
линеаризацию, которая сводится к следующим существенным упрощениям.
„,, ^ . 1. Для искомых функций, принимаемых
Линеаризация уравнении ^ ^J ' г
в качестве учитываемых малых первого
порядка, все уравнения, дополнительные соотношения типа
уравнений состояния, соотношения, выражающие начальные и
граничные условия, и т. п. записываются в виде линейных уравнений
после пренебрежения малыми порядка выше, чем первый.
2. По предположению деформация границ
Линеаризация граничных принимается малой, поэтому граничные
условии . о о
условия на деформированной поверхности о,
ограничивающей область <Z>, сносятся по нормали к границе S0
области <2HУ соответствующей основному невозмущенному
состоянию, на S0.
Таким образом, искомые функции определяются как решения
линейной системы уравнений в известной области 3H с линейными
граничными условиями на известной поверхности S0. По найденным
функциям для возмущенного движения в результате решения
краевой задачи в первом приближении можно определить
деформированную границу 5.
Например, для упругого тела перемещения его точек
определяются как функции координат путем решения линейных
уравнений в области недеформированного состояния с линеаризованными
граничными условиями на недеформированной границе; по
найденным перемещениям можно вычислить малые деформации, а
также в первом приближении определить вид деформированной
границы.
Например, рассматривая, в частности, задачу о малых
деформациях упругого бруса с заделанным нижним основанием под дей-
§3. Линеаризация уравнений механики сплошной среды 383
ствием распределенных сил, граничные условия можно писать на
недеформированной поверхности SQ бруса (рис. 44, а).
В теории волн малой амплитуды на поверхности тяжелой
жидкости граничное условие на свободной поверхности S (условие
о постоянстве давления) сносится на горизонтальную плоскость 50,
совпадающую с уровнем покоящейся жидкости (рис. 44, б).
И s
б
Рис. 44. К линеариации граничных условий, а) Упругий брус под действием
распределенных сил. Нижнее основание бруса жестко заделано, б) К постановке
задач в теории волн малой амплитуды
После отыскания линеаризованного поля скоростей по
определенным скоростям на горизонтальном уровне S0 можно вычислить
перемещения точек свободной поверхности и таким путем найти
с точностью до малых первого порядка форму свободной
взволнованной поверхности.
В линеаризованной аэродинамике сложная область Ш),
занятая возмущенным движением газа, с границами, совпадающими
с поверхностью тонкого крыла, заменяется внешностью плоской
пластинки, к которой по предположению близка поверхность
тонкого крыла. Граничные условия обтекания на поверхности
обтекаемого крыла с удержанием только малых первого порядка
переносятся соответственно на разные стороны плоской пластинки. После
этого рассматривается движение жидкости или газа в бесконечном
пространстве, а граничная плоская пластинка представляется как
поверхность разрыва давлений и скоростей; разрыв давлений
уравновешивается при этом внешними распределенными силами,
действующими на жидкость или газ со стороны крыла. В приближенной
постановке эти силы действуют на жидкость или газ со стороны
пластинки. При рассмотрении движения бесконечной жидкости с
разрывом скоростей на поверхности разрыва, соответствующей крылу,
необходимо вводить внешние распределенные силы.
Замену внутренности крыла жидкостью путем введения
разрывов и внешних поверхностных сил, распределенных по поверхности
крыла, можно производить и в точной нелинейной постановке
задачи.
Линеаризованные постановки составляют основу теории
упругости в рамках теории малых деформаций. Эта теория
положена в основу великого множества методов расчета технических
задач,
384 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
В аэродинамике, наряду с линеаризованными теориями,
получили широкое развитие нелинейные теории, так как во многих
случаях возмущения в потоке нельзя считать малыми.
Теория волн на поверхности тяжелой жидкости, и многие
проблемы электродинамики, и других областей физики развиты
в рамках линеаризованных постановок задач. В рамках
математически трудной теории волн конечной амплитуды на поверхности
тяжелой жидкости, когда граничные условия нелинейны и
должны удовлетворяться на искомой свободной поверхности,
рассмотрено небольшое число задач.
с • Линейные дифференциальные уравнения об-
уперпозиция решении ладают замечательным свойством
суперпозиции решений. Сумма нескольких частных решений тоже является
решением. Для нелинейных уравнений очевидно, что сумма
частных решений не является решением. С помощью образования
конечных сумм, рядов или интегралов частных решений можно
строить решения линейных уравнений механики сплошной среды,
содержащие произвольные функции и совокупности постоянных,
с помощью выбора которых можно удовлетворять начальным,
граничным и другим условиям поставленной задачи. В
дальнейшем проиллюстрируем это положение на примерах.
г Среди частных решений систем линейных
Стоячие волны г о г
уравнении, содержащих частные
производные по времени t от искомых функций, с коэффициентами, не
зависящими от /, большое значение имеют решения следующего
вида:
F = Reel[g(x, у, z, со)^<], C.1)
где 1=У—1, (d=(d1+i(u2 — постоянное, вообще, комплексное
число, F — искомые функции. Формула C.1) определяет зависимость
величины функций F от времени,.комплексные функции g(x, г/, г, со)
характеризуют распределение амплитуд и фаз по точкам
пространства.
Эти функции зависят от «частоты» со. Поверхности arg(g)=const
называются фазовыми поверхностями; поверхности, в которых
|g|=0, называются узлами, поверхности максимума \g\ называются
пучностями. Колебания C.1) можно назвать стоячими. При стоячих
колебаниях обычно подразумевается, что в области © имеются узлы.
В приложениях обычно рассматривают стоячие колебания с
фазой, одинаковой во всех точках пространства.
В некоторых случаях, например при жестких закреплениях
в точках границы S, граничные условия сводятся к требованию
совпадения границ с узлами; в других случаях условия на
свободных границах могут сводиться к требованию совпадения-участков
границ с пучностями. Граничные условия накладывают, вообще
говоря, ограничения на допустимые значения частот со. Если co = cot
действительно, то зависимость C,1) искомых величин от времени
§ 3. Линеаризация уравнений механики сплошной среды 385
представляет собой гармонические колебания с различными
амплитудами и, вообще говоря, со сдвинутыми фазами в различных
точках и для различных величин. При наличии равенства C.1)
проблема сводится к определению функций g(x, у, z, со) и частота).
При со2<0 происходит нарастание амплитуд, при со2>0—
затухание.
Для линейных уравнений можно строить более общие решения
с помощью метода Фурье, состоящего в суперпозиции стоячих
колебаний вида C.1) с различными со, которые в одних задачах могут
принимать некоторые дискретные значения, а в других
образовывать непрерывное множество.
Другим важным частным видом решений
Прогрессивные волны VJ „ * г
н F линейных уравнении являются решения
типа незатухающей прогрессивной волны следующего вида:
F(xt у, z, ky со, t) = Reelg(y, z, k, ©)*"**-««, C.2)
где k и со — постоянные действительные числа, g — некоторая
комплексная функция. В общем случае имеется некоторое
множество допустимых значений со и k, причем величина k может
определяться в зависимости от со. Решение C.2) соответствует
периодическим распределениям искомых функций по синусоидам по
координате х и времени t с различными фазами.
Фиксированные значения функций F распространяются вдоль
оси х со скоростью a=(o/k. Величина а называется скоростью
распространения прогрессивной волны, в данном случае
синусоидальной волны.
Если для различных со или k величина а различна, т. е. аAг)Ф
=7^=const, то имеет место дисперсия волн. Волны различной длины
распространяются с различной скоростью.
Для плоской синусоидальной прогрессивной волны,
распространяющейся в направлении вектора х=кг1+>с^+>с3/г, верна
формула вида
F = Reel Ле'(*-'-"<>, C.3)
где А — постоянная, а г — радиус-вектор. Скорость
распространения волны в этом случае определена формулой а=со/|н|.
В общем случае прогрессивной волне, не синусоидальной
формы, с плоскими поверхностями равных фаз соответствуют решения
вида
F = f(H-r—®t). C.4)
Если и и о — постоянные, то плоская волна распространяется
вдоль направления вектора х как твердое тело; если х и
со—функции состояния частиц, то разные состояния распространяются с
различной скоростью, и поэтому форма волны на графике
зависимости функции / от координат будет деформироваться.
25. Л.И. Седов
386 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
О линеаризации с по- В некоторых частных случаях можно
мощью специальных пе- ^3 каких-либо приближений преобразо-
ременных вать нелинейные уравнения к линейным
путем перехода к новым специально
выбранными переменным.
Линеаризация такого типа встречается в теории установившихся
баротропных плоскопараллельных потенциальных движений газа *■ .
§ 4. Условия на поверхностях сильных разрывов
О поверхностях разрыва До сих пор при введении основных поня-
в механике сплошной THg и ПрИ установлении систем уравне-
срсды ний, связанных с моделями сплошных сред,
предполагалось, что в области *£), занятой
средой, в точках которой должны выполняться соответствующие
уравнения, задаваемые и искомые функции непрерывны и имеют
нужное число непрерывных производных.
Такое предположение является очень сильным ограничением,
неприемлемым в ряде важных приложений на практике.
Действительно, например, при рассмотрении задач о вибрации системы,
состоящей из идеальной жидкости и погруженных в нее упругих
тел, необходимо рассматривать взаимодействующие сплошные
среды с резко различающимися свойствами и
характеристиками движения. На поверхностях раздела этих сред такие
характеристики состояний и движений, как плотность, скорость,
перемещения и т. п., могут быть вообще разрывными функциями
координат.
В этом примере при изучении непрерывных движений
жидкости и упругих тел поверхности раздела между ними можно
рассматривать как поверхности разрыва, на которых необходимо
выставлять для искомых функций специальные условия, играющие
роль краевых условий на вообще подвижных и неизвестных заранее
границах. С одним подобным простым условием мы познакомились
в § 1 этой главы. В общем случае такого рода условия на
поверхностях разрывов могут иметь более сложную природу, например, на
поверхности взаимодействия с водой тающего или, наоборот,
намерзающего льда, погруженного в воду, или на поверхности
взаимодействия воздуха с продуктами горения порохового заряда,
движущегося и горящего в атмосфере.
Кроме поверхностей разрыва, по разным сторонам которых для
описания движения сред используются разные модели, приходится
Риман. Распространение волн конечной амплитуды. // Соч. М.: Гостехиздат, 1948
Molenbrock Р. // Arc. Math, und Physik, Grande Hoppe. Сер. 2. 1890. Т. 9. Чаплыгин С.А
О газовых струях // Собр. соч. М.: Гостехиздат, 1948. Т. 2.
§ 4. Условия на поверхностях сильных разрывов 387
также рассматривать такие подвижные поверхности разрыва
плотности, скорости, давления, энтропии и т. п., с различных сторон
которых сплошная среда должна рассматриваться в рамках одной
модели (например, модели идеального совершенного газа).
В ряде задач газовой динамики для идеального совершенного
газа и во многих других случаях требование непрерывности по
координатам искомых решений в области 2>% занятой средой,
приводит к отсутствию существования решений. Сйятие требования
непрерывности и допущение кусочной гладкости искомых решений
обеспечивает при соответствующей постановке задачи
существование и единственность решения. Получающиеся разрывные решения
могут хорошо соответствовать, реальным эффектам, наблюдаемым
на практике.
Оказывается, что на поверхностях разрыва, сохраняющихся
в качестве изолированных поверхностей, отделяющих области
непрерывнее™ процессов, между характеристиками движения и
состояния на различных сторонах поверхностей разрыва должны
выполняться некоторые универсальные соотношения'. Здесь мы
укажем общие методы для получения таких соотношений и
установим эти соотношения фактически.
Дальнейшие выводы условий на поверхности скачков основаны
на допущениях, что поверхности разрыва существуют; вопрос
о действительном наличии поверхностей разрыва в искомом
конкретном решении — специальный вопрос, связанный со свойствами
принятой модели и с математическими особенностями
рассматриваемой частной задачи.
Разрывные решения можно рассматривать в приближенных
методах решения для упрощения задач и для получения
эффективных решений и в том случае, когда непрерывные
решения также существуют.
Хотя на практике часто рассматриваются
О разрывном движении движения сплошных сред с поверхностями
движ*?*'** непрерывных разрыва и признается плодотворность та-
усложненн1«1мЯоделеиНЫХ ких подходов и решений, существует
распространенная точка зрения, что при
описании реальных явлений в рамках механики сплошной среды
можно и, вообще говоря, нужно рассматривать только
непрерывные движения. В случаях, когда непрерывное решение не
существует или перестает существовать, начиная с некоторого времени,
для получения непрерывных решений необходимо обращаться к
другой, более сложной модели, необходимо вводить в уравнения
движения дополнительные члены и соотношения для учета в
тонких слоях внутри или на границе области 3> диссипативных
эффектов, возникающих за счет резких градиентов в
распределения скоростей, температур, плотностей, давлений и т. п.
Например, можно указать случаи, когда нет непрерывного
решения поставленной задачи для уравнений Эйлера в рамках
388 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
модели идеального совершенного газа, но есть непрерывное решение
с резкими изменениями параметров движения и состояния в тонких
слоях для уравнений движения Навье — Стокса в рамках модели
вязкого газа.
Исследование непрерывных решений, отве-
Структура разрывов чающих разрывам в упрощенной модели,
для усложненной модели составляет
проблему установления структуры скачка.
Существование решения, его единственность и фактическое
разрешение задачи о структуре разрывов связаны со способами
введения усложненных моделей. В случаях большого числа искомых
функций или нелинейных уравнений процессов задача о
структуре — вообще трудная математическая задача.
Примирение теории непрерывных переходов с теорией, в
которой получаются и изучаются разрывные решения, обосновывается
допущением о возможности получения разрывных решений в
рамках данной простой модели как предела непрерывных решений той
же задачи для последовательности усложненных моделей при
непрерывном переходе коэффициентов в уравнениях движения
усложненной модели к коэффициентам уравнений упрощенной
модели. Например, при устремлении коэффициентов вязкости к нулю
уравнения Навье — Стокса для вязкого газа переходят в уравнения
Эйлера для идеального газа.
Проблема существования и единственности предельного
перехода для соответствующих решений — сложная математическая
проблема, так как фактическое отыскание такой
последовательности решений, как правило, эффективно неосуществимо.
Усложненные модели описываются более сложными
уравнениями, имеющими более высокий порядок, причем в рассматриваемом
предельном переходе в дифференциальных уравнениях с
частными производными в пределе обращаются в нуль коэффициенты
при старших производных. Так, например, обстоит дело при
переходе от уравнений вязкой жидкости к уравнениям идеальной
жидкости.
При переходе от данной модели с разрывными решениями
к усложненным моделям с непрерывными решениями усложненные
модели можно вводить по-разному, брать различные законы
диссипации, различным образом нелинейную вязкость и т. д.
Возникает вопрос о независимости предельного перехода от введения
вспомогательных усложненных моделей.
В рамках фиксированной модели эти воп-
Разрывные решения как росы решаются несколько проще для та-
пределы непрерывных в ких специальных систем уравнений, кото-
рамках фиксированной
модели Рые допускают последовательность
непрерывных решений, стремящихся к данному
предельному разрывному движению. Такое положение встречается
для некоторых систем линейных уравнений с частными произвол-
§4. Условия на поверхностях сильных разрывов 389
ными. Однако такое положение дел имеет место не всегда даже
в случае систем линейных уравнений. Это связано с тем, что
разрывные движения вообще необратимы и характеризуются
конечными потерями механической энергии даже тогда, когда
непрерывные движения вообще обратимы.
Например, в случае нелинейных уравнений газовой динамики
для адиабатических процессов вообще не существует
последовательности непрерывных решений, стремящихся в пределе к
рассматриваемому адиабатическому необратимому разрывному решению.
Получение предельных разрывных движе-
Разрывные решения как ний и соответствующих условий на раз-
пределы непрерывных с рЫвах возможно еще следующим путем.
подходящими внешними \д ^ J ^ J
воздействиями Можно рассматривать последовательности
непрерывных движений для данной
системы уравнений, в которых в тонких слоях с непрерывным, но
резким изменением характеристик движения, вводятся
подходящие внешние массовые силы, внешние притоки тепла и других
видов энергии. Затем проводятся предельные переходы, в
которых суммарные характеристики внешних воздействий либо
стремятся к нулю, либо имеют заданное значение в зависимости от
свойств разрыва по смыслу изучаемой задачи (несущая
поверхность в аэродинамике, поверхность тепловыделения при горении
в тонком слое или при какой-либо другой химической реакции
и т. д.).
Таким образом, опираясь на уравнения процессов для данной
модели, или на системы усложненных уравнений для «близких»
моделей, или с помощью искусственных внешних воздействий,
всякий раз с помощью некоторых дополнительно явно
формулируемых или неявных допущений, можно вообще вводить
движения с разрывами как пределы непрерывных движений и
получать условия на разрывах.
Для иллюстрации смысла вопросов о со-
0 целесообразности изу- отношениях между непрерывными и раз-
чения разрывных реше- J r r r
ний рывными решениями рассмотрим
следующую экзотическую задачу о движении в
руках жестикулирующего гостя механической системы, состоящей
из бокала, налитого в него вина и кусочков льда, плавающих в вине.
Стенки бокала и границы раздела между льдом и вином,
очевидно, целесообразно рассматривать как поверхности разрыва
плотности вещества. В этом случае, даже при очень детальном
механическом исследовании в рамках теории сплошных сред, вряд ли
нужно вводить тонкие слои с непрерывным изменением плотности,
хотя нельзя совсем исключать подобные трактовки.
Как в этом примере, так и во многих других «практически
более важных» случаях (задачу о бокале с вином можно заменить
более актуальной задачей о движении топлива и газов,
заполняющих баки ракеты, летящей в космическом пространстве) о не-
390 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
прерывных решениях можно говорить только с сугубо
теоретической точки зрения, как об источнике получения различных
критериев и дополнительных соотношений на разрывах или как об
основах для оценки реальности и пригодности фактически определяемых
разрывных решений. Если бы мы оставались только в рамках
усложненных теорий с тонкими слоями, резких, но непрерывных
изменений параметров движения и состояния, то не могло бы быть и
речи о получении фактических решений множества задач, уже
решенных с использованием внутри и на границах сплошной
среды поверхностей разрывов.
Нужда в такого рода предельных neper
Роль интегральных зако- ходах отпадает, когда основные физиче-
нов для определения мо- л.
дели v ские уравнения формулируются в
интегральном виде, в котором непрерывность
искомых функций, по существу, не подразумевается.
Интегральная формулировка физических законов полностью эквивалентна
дифференциальной для непрерывных процессов. Для разрывных
процессов интегральная формулировка обладает большей
общностью.
Для данной системы дифференциальных уравнений можно
написать различные системы интегральных соотношений по
произвольным объемам среды, которые для непрерывных движений
эквивалентны между собой и с данной системой дифференциальных
уравнений. Для движений с сильными разрывами различные
системы таких интегральных соотношений могут быть
неэквивалентными. Выбор интегральных законов, верных не только для
непрерывных процессов, но и для процессов с внутренними в
среде поверхностями сильных скачков, связан с
дополнительными, входящими в определение модели физико-химическими
гипотезами, применимость которых должна апробироваться в
опытах.
В частности, в интегральных соотношениях в общем случае
необходимо расширять рамки обратимых или необратимых
моделей, например, с учетом дополнительного выделения энергии на
поверхностях разрыва, роста энтропии в частицах, проходящих
через поверхность сильного разрыва, наличия поверхностных
токов или зарядов.
К сказанному выше необходимо добавить
О дополнительных уело- соображения о свойствах устойчивости
виях на разрывах г т-т
F v сильных разрывов. Дело в том, что на
некоторых сильных разрывах могут выполняться все
установленные ниже условия и в том числе условия, связанные с ростом
энтропии. Тем не менее существуют разрывы, которые не могут
реализоваться из-за их неустойчивости, обусловленной видом
скачка и свойствами системы дифференциальных уравнений,
описывающих непрерывное движение по обеим сторонам от
скачка.
§ 4. Условия на поверхностях сильных разрывов 391
Нужно иметь также в виду, что при использовании физически
допустимых разрывов (устойчивых и удовлетворяющих
универсальным условиям механики и термодинамики) для обеспечения
единственности и соответствия действительности искомых решений в
некоторых задачах требуется устанавливать на скачках
дополнительные соотношения физической природы.
В настоящее время условия устойчивости скачков и
дополнительные физические соотношения, упомянутые выше,
рассматриваются в магнитной гидродинамике г и в общей математической
теории усложненных моделей сплошных сред 2 . В теории скачков
для модели совершенного газа эти вопросы не возникают.
При отыскании решений уравнений в ин-
0 решении задач в классе тегральной форме в классе кусочно-глад-
кусочно-гладких функции а »
у *J ких функции разрывные решения с учетом
определяемого дополнительного роста энтропии на разрывах
и других дополнительных условий получаются, вообще говоря,
автоматически из постановки задачи.
Построение кусочно-гладких решений для систем
дифференциальных уравнений путем обобщения этих уравнений с помощью
соответствующих интегральных соотношений приводит к теории
обобщенных решений, развитой для линейных уравнений в общей
теории дифференциальных уравнений математической физики.
Теория кусочно-гладких решений может быть построена и
естественно развита при формулировке задач физики и механики
с помощью вариационных уравнений (см. добавление II, стр. 493).
Существуют поверхности слабого и силь-
Слабые и сильные разрывы ного разрыва. Поверхности, на которых
искомые функции непрерывны, но разрывны
только некоторые их производные по координатам и по времени,
называются слабыми разрывами; поверхности, при переходе через
которые терпят разрыв сами искомые функции, называются
поверхностями сильного разрыва.
Ниже мы рассматриваем условия на поверхностях сильного
разрыва. Такие поверхности можно вводить как заданные
поверхности с заданными законами их движения в виде внешних связей,
или как носители заданных или искомых силовых и других внешних
воздействий, или как искомые поверхности без внешних
воздействий, форма и движение которых заранее неизвестны и, вообще
говоря, должны быть найдены в процессе решения задачи.
1 Куликовский AT, Любимов Г. А. О магнитогидродинамических ударных волнах,
ионизирующих газ // ДАН СССР. 1958. Т. 129, № 1. Куликовский AT., Бармин А.А. Об
ударных волнах, ионизирующих газ, находящийся в электромагнитном поле // ДАН СССР.
1968. Т. 178, № 1.
Куликовский AT. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с
различными свойствами: Волны рекомбинации в магнитной гидродинамике // ПММ. 1968,
№6.
392 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Скорость точек поверхно- Рассмотрим подвижную поверхность S,
сти разрыва уравнение которой представлено в виде
/(*, У, *. /)=0.
D.1)
Вследствие движения поверхность S в различные моменты времени
t и t+ht занимает различные
положения S и S' (рис. 45).
Возьмем на 5 в момент t
некоторую точку М и предположим,
что в точке М существует
определенная нормаль к 51 .
Единичный вектор нормали п в
точке М к поверхности S направим
в сторону вектора MN, где точка
N является точкой пересечения
перемещенной поверхности S' с
нормалью к S в точке М.
Рис. 45. К определению скорости
точек подвижной поверхности
Знак функции / (х, у, z, t) определим из условия
f(Aff 0-0, f(N, t) > 0, и поэтому п^jf^y.
D.2)
Скоростью перемещения в пространстве поверхности S в
точке М называется вектор cg), нормальный к 5 и определяемый как
следующий предел:
MN
g) = n lim
м-
м
D.3)
Если уравнение D.1) поверхности S задано, то вектор <&
легко вычислить. В самом деле, обозначая через пх = *г]'7Г>
ny=\grLn~^' ^=lgrad/l"§ комп°ненты единичного вектора л,
можно написать
f(x + MNnx1 y + MNnljy z + MNnzy t + At) = 0.
Отсюда с точностью до малых высшего порядка получим
или
MN\ffadf\ + ^M = Q.
1 Определенная нормаль в точках поверхности S существует, когда вектор
grad / определен однозначно в каждой точке 5; дальше мы исключаем случаи
поверхности S с изломами и другими особенностями.
§4. Условия на поверхностях сильных разрывов 393
Пользуясь этим, по определению D.3) найдем
Я
Очевидно, что £)=0 в каждой точке М на поверхности S, если
функция / в уравнении D.1) не зависит от времени.
При преобразовании системы координат с переходом к различно
движущимся системам вектор скорости <g) зависит от выбора
системы координат.
Для каждой точки М поверхности 5 можно указать свою
«собственную» систему координат — систему отсчета /С*, в которой
скорость S) точки М в данный момент времени обращается в нуль.
Здесь слово «собственная» взято в кавычки, так как ранее мы
определили собственную систему координат как инерциальную систему,
в которой скорость рассматриваемой точки среды равна нулю. В этом
смысле при подходе к поверхности разрыва скоростей S с различных
сторон получатся различные собственные системы, так как скорости
точек среды с различных сторон 5 вообще разные.
0 л Обратимся теперь к установлению усло-
Выбор системы координат £ г j j
у вии на поверхности сильного разрыва.
Пусть при переходе через гладкую (с определенными нормалями)
поверхность S различные характеристики состояний и движения
среды терпят разрыв. Возьмем на S некоторую (любую) точку М.
Так как все механические, термодинамические, электродинамические
и вообще физические уравнения сохраняют свой вид в любой инер-
циальной системе координат, то для вывода искомых условий в
точке М можно выбирать в качестве системы отсчета «собственную»
систему К*, в которой величина скорости <g) для данной точки
поверхности в данный момент времени равна нулю, g) — 0.
В связи с некоторой частью изолированной
гиЫ^моНгИое ^поверхности поверхности разрыва 5 введем в рассмотре-
разрыва ние замкнутую поверхность 2 как границу
объема, полученного следующим способом.
Проведем в каждой точке выделенной части поверхности 5
нормаль и отложим по нормали в обе стороны от S отрезки
длинной А/2, где h—весьма малая постоянная длина. Совокупность
таких отрезков, проведенных из всех точек рассматриваемого
участка поверхности 5, образует в данный момент времени
соответствующий объем У, ограниченный поверхностью 2 (рис. 46).
Теперь в выбранной системе К* рассмотрим два объема: во-
первых, определенный выше объем V как неподвижный объем, и, во-
вторых, объем V* как объем подвижный — субстанциональный,
связанный с точками материальной среды, причем в
рассматриваемый момент времени / оба эти объема совпадают; В следующий
момент времени t+dt объем V* сдвигается относительно своего
положения V в момент /. Поверхность разрыва S тоже перемещается
394 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
внутри объема У, однако
рассматриваемая точка М за бесконечно
малое время г dt сохраняет свое
положение, так как скорость точки
М в системе К* в момент t равна
нулю. По определению объем V
неподвижен в системе /(*, объем V*,
вообще подвижен, этот объем
неподвижен только в том случае,
когда точки среды на поверхности 2
в системе /С* неподвижны или
имеют равные нулю нормальные
составляющие скорости на 2.
Рис. 46. Схема поверхности раз- Из формулы (8.15) ГЛ. II следу-
рыва 5 и замкнутой поверхности 2 ет, что для любой интегрируемой
кусочно-гладкой функции А (х, у> z, t) в системе К* имеет место
следующее равенство:
dt
f Adx=-^§AdT+§Avndo9
D.5)
где v „ — проекция
на внешнюю нормаль
Предел производной от
интеграла по жидкому
объему при стягивании
его к точке поверхности
разрыва
скорости точек среды относительно К*
к 2.
Если поверхность разрыва 5 внутри V
неподвижна, то для производной от
интеграла по неподвижному в системе К*
объему V можно написать
V S
где Л* — среднее значение функции А на соответствующем отрезке
длиной Л, перпендикулярном к поверхности S.
Очевидно, что если поверхность S неподвижна, а величина А
не зависит явно от времени, то /=0. При неустановившемся
движении, когда функция А конечна и непрерывна вместе со своими
производными по координатам и по времени с обеих сторон от
неподвижной поверхности S (на 5 могут быть разрывы), величина /
является непрерывной функцией от /, исчезающей при стремлении
к нулю величины Л.
Выбор системы /С* определен условием g) = 0 в точке М.
В соседних точках поверхности S скорость §ЬФ0 и поэтому
1 В специальной теории относительности элемент времени dt следует взять
в системе /С*, в ньютонианской механике элемент dt не зависит от выбора инер-
циальной системы координат. В дальнейшем все рассуждения и» в частности,
используемое правило сложения скоростей проводятся в рамках ньютонианской
механики.
§ 4. Условия на поверхностях сильных разрывов 395
поверхность S—вообще подвижная поверхность внутри V. Для
бесконечно малого элемента поверхности 5 вблизи точки М
скорости 3) соседних точек бесконечно малы, поэтому при
стягивании объема V к точке М получим
Л-*0 V
где Да — элемент поверхности S, стягивающийся к точке М
Будем обозначать характеристики движения и состояния на
одной стороне поверхности S индексом 1, на другой — индексом 2.
Выберем по условию нумерацию сторон S так, чтобы направление
нормали соответствовало переходу со стороны 2 на сторону 1.
Переходя к пределу при h—► (), Дет —► 0, очевидно, получим
lim ±^Avnda^Alvnl — A2vn2, D.7')
Да-* О S
где vni и vn2 — проекции скоростей точек среды с двух сторон
поверхности S на одно и то же положительное направление нормали
к S.
Таким образом, имеем равенство
ЛИт 151Г§ Adx~Aivm—Aj>n%. D.7)
С помощью равенства D.7) в системе отсчета /С* можно выписать
все универсальные динамические и термодинамические условия на
сильных разрывах для материальных сред. Условия на скачках для
электромагнитного поля рассмотрим после этого.
Универсальные уравне- Для Удобства выпишем здесь сначала по-
ния механики и термоди- лученные раньше основные уравнения в
намики интегральной форме.
1. Уравнение неразрывности (см. уравнение A.2) гл. III)
4j"pdT = 0. D.8)
V*
2. Уравнение импульсов (см. уравнение B.2) гл. III)
±- J p*dx = j>p dx + Jpn da. D.9)
V* V 2
3. Уравнение моментов (см. уравнение C.4) гл. Ill)
ж f rxtfpdx + ^f pkdx =
=*$ApdT + $Q„da+$rxFpdT-h \rxpndo. D.10)
396 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
4. Уравнение энергии (см. уравнение (8.1) гл. V)
V*
= [pF.trdT + [/»„.t»da-f<7*da+f-^pdT. D.11)
V 2 2 V
Здесь ' <7я — внешний поток добавочной удельной энергии, как
тепловой, так и не тепловой (в том числе работа поверхностных
пар и т. п.), через граничную поверхность 2, a dq^acc Idt —
полный удельный добавочный приток энергии за счет массовых
источников энергии за единицу времени. Добавочный приток
энергии означает дополнительный приток энергии по сравнению с
притоком механической энергии, учтенным в D.11) первыми двумя
членами, равными работе макроскопических массовых и
поверхностных сил, входящих в уравнение импульсов.
Здесь и ниже мы рассмаФриваем только обычно употребляемые
модели, для которых внутренняя энергия U и энтропия 5 —
аддитивные функции массы.
5. Уравнение для энтропии, вытекающее из второго закона
термодинамики, можно написать в виде
V» V
Для моделей с обратимыми процессами в области непрерывных
движений имеем dq'=0. Однако, как было уже отмечено выше, при
рассмотрении сильных скачков с резким изменением характеристик
движения предположение об обратимости этого явления приводит
к противоречию со вторым законом термодинамики, выраженным
уравнением D.12). В общем случае нельзя заранее считать, что
dq' = 0 при переходе частиц среды через поверхность разрыва.
При заданном dq{e) и, в частности при адиабатических процессах,
уравнение D.12) может служить соотношением для вычисления
правой части D.12), записанной в виде суммы объемных интегралов,
имеющих конечное значение при стягивании объема V к нулю.
Применим теперь уравнения D.8)—D.12) к определенному
выше объему У*, содержащему поверхность разрыва 5, и
воспользуемся в точке М поверхности S формулой D.7), разделив
предварительно правые и левые части равенств D.8)—D.12) на элемент
площади Д<х поверхности 5.
Ниже выпишем условия на поверхности
!£2^^ РазРы^а ПРИ следуют предположениях.
поверхности разрыва 1. Все подынтегральные функции в
поверхностных интегралах по 2 при
стягивании S kS имеют конечные значения, но, вообще, различные
на разных сторонах S.
§ 4. Условия на поверхностях сильных разрывов 397
2. При h—+0 имеют место следующие предельные равенства:
lim \pFd% = \Rday
h -► 0 у 5
lim \phdx~[wtdo,
h-+Qy s
lim f(pF-ir + pi^)dT = [rda,
.■!-4W+*)*-f»*.
где /?, Ш1 и № — поверхностные плотности на 5
соответствующих внешних для среды сил, моментов и притока энергии, а
величина Q дает плотность распределения на 5 изменения энтропии за
счет внешних притоков тепла и роста энтропии за счет
необратимости процесса перехода через скачок.
Очевидно, что если pF, pA и pF-v + p ^асС| конечны в
объеме V, то
#«0, 91 ~ О, Г-0. D.13)
В частности, так будет обстоять дело, когда внешние массовые
силы являются силами тяжести или силами инерции при
рассмотрении относительных движений и вообще для любого непрерывного
поля массовых сил, в том числе и для действующих на среду понде-
ромоторных сил, моментов и притоков энергии, обусловленных
электромагнитным полем (см. формулы E.17), E.39) и E.22) гл. VI),
когда электромагнитное поле непрерывно на поверхности S.
В важном случае, когда поверхность 5 является поверхностью
разрыва не только механических характеристик, но и
характеристик электромагнитного поля, величины /? и W вообще отличны
от нуля. В следующем параграфе мы дадим формулы для R и W
через значения компонент векторов /?, Н, В, D на различных
сторонах поверхности 5.
На разрывах, моделирующих несущие поверхности крыльев,
или в случае разрывов — активных дисков, моделирующих водяные
или воздушные винты, создающие тягу, также могут быть
отличными от нуля внешние воздействия /?, W и, может быть, ЗИ.
На разрывах, возникающих внутри газовых потоков в
аэродинамике, в теории взрыва и во многих других случаях имеют место
равенства /? = Щ£ = О, W = 0 (но Q Ф 0). В связи с этим равенство
нулю*внешних воздействий на скачках является типичным условием,
используемым в этих приложениях механики сплошной среды.
398 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Условия на поверхностях Из закона сохранения масс на основании
разрыва в собственной» равенства D.7) получим
системе отсчета r \ / j
PAiePi«U D14)
из уравнения импульсов
R+Pm — РЛ*В1 = Рт — Ра*Ли. D-15)
из уравнения моментов с учетом D.15)
а*+Qm - Мл* - Qm - р!*Л1. D-16)
из уравнения энергии
^+P»i-Vi-Pi(^-+f/i)^-^i«
-^•vi—piD+e/0t'|ii""*i DЛ7)
и, наконец, из уравнения для энтропии получим
PlVnlSl—P|0»A=Q. DЛ8)
При наличии адиабатичности (<&7(')==0) величина й (когда Pit>nf=*
=P2^»2^=0), вообще говоря, отлична от нуля. Так как ввиду
необратимости dq'^0, то
G=PiM*— s2)>0. D.19)
При адиабатических процессах равенство D.18) можно
рассматривать как определение величины Q, которая для реально
осуществимых процессов должна быть неотрицательной.
Установленные соотношения D.15), D.16) и D.17) при заданных
или найденных из решения задач значениях скачков всех
входящих в них величин могут служить для вычисления внешних
воздействий /?, Ш и W.
Если равенства D.13) выполнены, то полу-
0 распаде произвольного ченные условия показывают, что скачки
разрыва различных характеристик движения и
состояния не могут быть произвольными. Начальные данные можно
задать произвольно, так что соотношения D.14)—D.18) могут
не выполняться. Это означает, что в следующие моменты времени
данный разрыв не может существовать, произойдет распад
начального разрыва, вообще, на несколько разрывов, среди которых
могут быть сильные и слабые разрывы. Аналогичное положение
возникает при столкновении двух или нескольких разрывов.
Здесь мы не будем рассматривать важную для приложений
задачу о распаде произвольного разрыва.
Вид условий D.14)— D.19) удобен для приложений, когда
разрывы неподвижны, в частности для установившихся движений среды.
§4. Условия на поверхностях сильных разрывов 399
Условия на поверхностях При неустановившихся движениях в раз-
разрыва в произвольной ных системах координат поверхности раз-
/*игтём£ отсчета
СИС1 рыва могут иметь различные по величине
и по направлению скорости <g)« Поэтому требуется дать вид этих
соотношений в любой системе отсчета, не связанной с движением
каких-либо точек поверхности разрыва.
Для получения таких общих условий в различных точках
поверхности 5 в одной и той же системе координат достаточно
во всех уравнениях заменить вектор скорости v* движения
относительно системы К* вектором скорости v = v*+g) (v* — v—S))
относительно фиксированной системы координат /С.
Соответствующие условия после использования уравнения
сохранения массы и уравнения импульсов можно написать в форме
Pi (» -Vm) - ра (8> -vn2)y D.20)
Л+РЛ + ^1(®-0-Л1 + РЛ(®-0. D.21)
W
i+^ni^i-^i + Pi(^-^1)D+^i)==
=Pn2^2-q;2 + pA^-vjDr + U^y D.22)
Pi(^1-^)E1-s2) = fi. D.23)
Величина Wг (v) в D.22) равна W(v*) + R*3).
Выписанные соотношения на скачках верны в любой системе
координат (инерциальной или неинерциальной) и во всех точках
поверхности разрыва.
Условия для моментов не выписаны, потому что в дальнейшем
рассматриваются только такие модели, для которых
во всех точках области движения.
Легко видеть, что скорости S)—vnl
*™*^*™*№<жи№ и ®—vm можно рассматривать как ско-
рыва относительно среды пя г г
v роста поверхности разрыва относительно
частиц среды на различных сторонах разрыва.
Тавгенадмьный разрыв ЕсЛИ ®-^ = ° и ®-*..-0, то
г частицы среды не переходят с одной
стороны разрыва на другую, a vnl = vn2. В этом случае, вообще
говоря, возможен разрыв касательной составляющей скорости
на различных сторонах разрыва и произвольный разрыв
плотностей (Pi^p,). Такой разрыв называется тангенциальным или
касательным разрывом. При касательном разрыве условия D.21),
D.22) и D.23) принимают вид
#e An—An»
Wi = ?ni-&-Pnt *i+Pn% **> D-24)
Q = 0.
400 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Следовательно, при /?=0 напряжения на площадке поверхности
касательного разрыва непрерывны, а работа сил напряжений на
разности касательных (по отношению к разрыву) скоростей при
W=0 равна разности потоков энергии q*n через разрыв. Для
идеальной жидкости условия D*24) при /?=0 и №=0 сводятся к условиям
непрерывности давления и нормальной компоненты вектора потока
энергии на поверхности касательного разрыва, например на
поверхности контакта двух разных тел.
Если vn2^vnlJ то частицы среды перехо-
Скачки уплотнения и раз- дят с одной стороны поверхности 5 на дру-
режения гую, изменяя свои характеристики
состояния и движения скачком (ударом).
Нетрудно убедиться, что разность vn2—vnl=£0 не зависит от
выбора системы отсчета и от способа нумерации разных сторон S.
В самом деле, перемена нумерации меняет направление нормали,
т. е. переставляет нормальные составляющие скорости и меняет
их знаки.
Установим нумерацию сторон поверхности S таким образом,
чтобы среда переходила через S со стороны 1 на сторону 2. Если
воспользоваться системой отсчета, в которой t>i=Q, то очевидно,
что в этом случае в такой системе координат @>п=@)>0. При этом
способе рассмотрения получим, что поверхность S
распространяется в покоящейся среде, отмеченной индексом 1.
Очевидно, что если v2n — vni>0, то при нашем рассмотрении
0Л2>О и среда за скачком 5 набегает на покоящуюся среду перед
скачком* Если на скачке выполняется закон сохранения массы
D.20), то для таких скачков pa>Pi, т. е. плотность среды за
скачком возрастает. Скачки, для которых vn2— vnl>0, называются
скачками уплотнения.
Если vn2 — i>m<0, то нормальная по отношению к S
составляющая скорости среды за скачком направлена в сторону,
обратную скорости распространения скачка в неподвижной среде;
поэтому в среде за скачком возникает разрежение, т. е. р2<рь Такие
скачки называются скачками разрежения.
Установленные в этом параграфе условия на скачках могут
служить источником получения граничных условий для решения
дифференциальных уравнений в области непрерывных движений
среды.
В ряде случаев можно задать свойства, движение и состояние
частиц среды с одной стороны поверхности разрыва, тогда
соответствующие характеристики с другой стороны должны
удовлетворять найденным соотношениям.
В частности, таким путем можно получить граничные условия
на свободных границах жидкости, на границах твердых тел и т. п.
§5. Сильные разрывы в электромагнитном поле 401
§ 5. Сильные разрывы в электромагнитном поле
Рассмотрим электромагнитное поле, взаимодействующее с
материальной средой, и предположим, что в поле имеется
поверхность разрыва 5. Установим соотношения, которым должны
удовлетворять значения электромагнитных характеристик с разных
сторон поверхности S. Для получения этих соотнсшений будем
исходить из уравнений Максвелла, записанных в интегральной
форме и распространенных на случай электромагнитных полей с
наличием поверхности разрыва.
Для удобства выпишем эти уравнения (см. гл. VI, E.5)). В
любой инерциальной системе имеем
2 2 V
E.1)
E.2)
и, как следствие этих уравнений, закон сохранения заряда
-T,fMT = j/„da. E.3)
Здесь 2 — замкнутая поверхность, ограничивающая неподвижный
объем V,
2Х—неподвижная незамкнутая
поверхность, ограниченная
контуром J?.
Пусть М —
некоторая точка на
поверхности разрыва S и К*—
инерциальная система
координат, в которой
скорость §Ь точки М
поверхности S равна
нулю (рис. 47).
Система /С* — «собственная»
система координат для
точки М\ соседние
точки на поверхности S
могут иметь в системе
Объем V
Поверхносгь Г
Контур С
f-jsspxHOcmb 27/
Контур if
К* скорости, отличные
Рис. 47. Схемы областей интегрирования для
получения условий на поверхности разрыва
от пуля. Примем, что
уравнения E.1) и E.2) написаны в системе /С*. В уравнениях
E.1) и E.3) используем объем К, ограниченный поверхностью 2
26. Л.И. Седов
402 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
и определенный так же, как и в § 4. В уравнениях E.2) в
качестве поверхности 22 и контура 3 возьмем сечение объема V и
поверхности 2 плоскостью, проходящей через векторы нормали п
и касательной т к 5 в точке М. Направление вектора т,
касательного в поверхности S, может быть произвольным. По условию
направления я, т и вектора нормали я* к 2Х образуют правую
систему, т. е. я* = лхт.
Рассмотрим поверхность разрыва 5,по обеим
Уа?°1?ваЯ "а поверхностях сторонам которой векторы //, #, £, D
разрыва конечны и непрерывны, но при переходе
через S могут претерпевать разрыв. Относительно распределения
зарядов ре и токов j допустим, что на поверхности 5 могут.быть
поверхностные заряды у и поверхностные токи / (векторы,
лежащие в касательной плоскости к поверхности 5), определяемые в
точке М с помощью предельных переходов
lim 15 f Р^т-у(М), E.4)
lim 35 f Jxdo-l№, E.5)
где Да—>M—элемент поверхности S или 2lf стягивающийся в
точку М, jx—векторная составляющая объемной плотности тока,
параллельная касательной плоскости к S в точке М.
Из уравнений E.1) и E.3) с учетом E.4) таким же путем, как
в § 4, получим
Ял1-£ла = 0, Dnl-Dn2 = 4ny E.6)
и
div/ + /nl-/n, = -^^, E.7)
где G — детерминант метрики, индуцируемой на поверхности,
div/= lim if <„<*/== Vi^+W2.
С—замкнутый контур, стягивающийся к точке М на поверхности
разрыва 5; in—нормальная составляющая на контуре С вектора i;
Aa—площадь элемента поверхности S, ограниченного контуром С;
div/—двумерная дивергенция вектора /, определенная на
поверхности 5; i1 и i2—компоненты вектора /, а у&—ковариантные
производные в системе координат на поверхности S.
Аналогичным путем из уравнений E.2) после перехода к
пределу при ft —*0 и затем при стягивании дуги контура 3 к точке М
получаем
£т1-£т2 = 0, E.8)
#Т1-#Т2=^/Яяхт).
§5. Сильные разрывы в электромагнитном поле 403
Очевидно, что последнее равенство в векторном виде можно
написать так
Ят1-Я„=^(/х/|), E.9)
где НХ1 и ЯТ2 — векторные составляющие вектора //,
параллельные касательной плоскости к S в точке М.
Система условий E.6) —E.9) образует полную систему
соотношений на поверхности разрыва для электромагнитных
характеристик с учетом поляризации, намагничивания и токов. Эти
соотношения написаны в «собственной» для точки М инерциальной
системе /С*, в которой скорость точки М поверхности разрыва
На основании общих формул, выполняющихся при
преобразованиях Лоренца от системы /С*, движущейся со скоростью g)
относительно фиксированной «неподвижной» инерциальной системы
отсчета К, к системе К (см. формулы C.22), C.23) гл. VI),
можно переписать условия E.6), E.8) и E.9) в системе К
Вп1-Вп2 - 0, Dni-Dn2 - 4яу*, E.10)
Етг — Ехш - ,|[(Bi-BJX&U, E.11)
Ъг-Нх2 +±[(Dl-Dt)xm~T j/l-f-Vx*). E.12)
Здесь п и т—нормальные и касательные направления к
поверхности разрыва S. Скорость §Ь вычислена в системе К и
направлена по нормали к S. Величина у9 и вектор /• определены в
собственной системе координат. Формула E.7), при
пренебрежении членами порядка @>2/с2 при у = у* и / = /* сохраняет свой вид.
Поверхностные плотности Рассмотрим теперь формулы для компонент
пондеромоторных сил и вектора поверхностной плотности пондеро-
притоков энергии от поля моторной силы /? и поверхностной плот-
к среде на поверхности ности притока энергии W к среде на по-
разрыва верхности S разрыва электромагнитных
величин. В декартовой системе координат для компонент объемной
силы1 по определению имеем
И
1ч Здесь F<*— пространственные компоненты четырехмерной или компоненты
трехмерной массовой силы. В формуле E.12) гл. VI даны компоненты объемной
силы.
404 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
где Sik—компоненты тензора энергии-импульса. Умножим обе
части равенств E.13) и E.14) на элемент объема dx =»dx1 dx1dx?
и проинтегрируем по неподвижному объему V в системе К* для
данной точки М на S (см. рис. 47). После применения формулы
Гаусса—Остроградского получим
JpFadr = — ^S^n^do—±§S<"dx, a=l,2, 3, E.15)
V 2 V
^ FA dx = - J SA% do—fL £ S44 dx, E.16)
V 2 V
где /tp—компоненты единичного вектора п нормали к 2 в
трехмерной декартовой системе координат.
Воспользуемся для компонент Sik тензора энергии-импульса
формулой Минковского (E.11) гл. VI)
S'* 5 [р.т'НяШ-т8№р*.Нтн] • <517)
Матрицу для Sik можно написать в виде
IS11 s12 S13 S14
|S'»|-
521 522 S23 S24fl
531 532 «S33 S84!"
!|S41 S42 S43 S44|
Если воспользоваться матричными определениями E.6) и E.7)
гл. VI для JFl7| и f#tf|| и учесть, что (см. также E.37))
0
В3
■в2
с£х
—В3
0
В1
сЕ2
В2
-В1
0
с£3
1
с
1
1
с
Ег
Е2
Ез
0
1^!=1V1=
то получим в декартовых координатах следующие выражения для
компонент тензора S'* через компоненты векторов Е, Н, В, D:
S«3 = _ J. [EaD* + Н*В* + jg*e (в tf+ £■£)], E.18)
где a, P=l, 2, 3 и учтено, что в трехмерной декартовой системе
Еа = Еа и DP = D»;
5a*3a = i(DxB), S?;ao = -£-@xB),
4jicv
4л1
E.19)
E.20)
SZ-^iE-D+HВ); E.21)
здесь эа—векторы базиса в трехмерной системе координат.
S4a*«=4H-c(ExA/>' sA=^(£xff),
§6. Поверхности разрыва в идеальных средах 405
Подчеркнем еще раз, что в формулах E.18), E.19) и E.20)
компоненты тензора SV определены в четырехмерной системе
координат, для которой1
ds* = gu dx* dx'= — dx^—dx^—dx** +c* dt\
Это замечание нужно' иметь в виду при сравнении написанных
здесь формул с формулами в некоторых других книгах, в
которых используются другие определения для gif.
Таким образом, подынтегральные величины в E.15) и E.16)
выражаются через Е9 Н, В и D, которые по предположению на
S и в объеме V конечны. Совершая в равенствах E.15) и E.16)
указанные в § 4 предельные переходы к точке М на поверхности
разрыва S, получим
^==(S^J/lp_(S«P)in3 E.22)
^«(V)i«0-(SA«3- E-23)
Формулы E.22) и E.23) на основании формул E.18) и E.20)
приводят к следующим выражениям для Ra и W через Е, Н, В и D
в системе /С* для точки М:
R" = -± [E*Du + H*Ba-%(E.D+H-B)]% +
+±[E«Dn+H«Bn-^{E-D + H.B)\ E.24)
И7 = ^(£2хЯ2-Е1хЯ1)я. E.25)
Здесь па = — g^ftp—контравариантные компоненты трехмерного
вектора п. Эти выражения можно подставлять в соотношения на
скачках D.14)—D.17) для материальной среды. Так как
формулы E.39) гл. VI показывают, что плотности объемных пондеро-
моторных моментов конечны даже при наличии скачков £, D, В,
Ну то очевидно, что в условиях на разрывах для моментов
поверхностные плотности пондеромоторных моментов будут равны
нулю. Пондеромоторные силы выражаются через градиенты £,
D, Н и В, поэтому они могут дать вклад в условия на сильных
скачках.
§ 6. Поверхности разрыва внутри идеальных сжимаемых сред
Рассмотрим теперь более детально условия (и вытекающие из
них следствия) на поверхностях сильных разрывов в идеальных
сжимаемых средах, введенных в §1 гл. IV. В этих случаях по
определению внутренние напряжения могут быть только давлениями
1 См. сноску на стр. 332.
406 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
рп ——рп. Кроме того, в этом параграфе мы рассмотрим такие
поверхности разрыва, на которых не происходит никаких поверхностных
внешних воздействий на данную среду, т. е. примем /?=0, №=0;
будем также считать, что ?л=0 на поверхности разрыва, в частности
не будем учитывать на скачке свойства теплопроводности среды.
При рассмотрении движения среды отно-
Условия на неподвижном сительно «собственной» системы координат
разрыве ^ дая данного элемента поверхности
разрыва S можно написать условие D.14)
РЛ1 = Р2^2. F.1)
Дальше примем, что нормальная составляющая к S скорости
УпгФО, поэтому происходит переход частиц с одной стороны
поверхности разрыва на другую. Тогда из D.15) для идеальной среды
получаем
. tfTi = tfT2, F.2)
где vxi — векторные составляющие v, параллельные касательной
плоскости к S в точке М.
С учетом F.1) и F.2) из уравнения импульсов D.15) в проекции
на нормаль к 5 получим
Pi^i + Pi = p2^2 + /V F.3)
Уравнение энергии с учетом F.1) и F.2) приводится к виду
tfi+T+£e£,«+T+s- (б>4)
И, наконец, равенство D.18) для скачка энтропии с учетом F.1)
дает
PitUs,-s2)=Q. F-5)
Напоминаем, что в соотношениях F.1) — F.5) скорости взяты
относительно системы /С*, в которой точка М поверхности
разрыва имеет скорость, равную нулю.
При установившемся движении с неподвижными скачками
можно принять, что К* совпадает с основной, «неподвижной»
системой отсчета.
Из F.1) видно, что vnl и vn2 имеют оди-
Распространение разрыва наКовый знак. Если ввести систему отсче-
по частицам среды та ^ в KOTOp0g СКОр0сть перед скачком
равна нулю, а *2>л=<2> > 0, то можно воспользоваться в
системе К соотношениями на скачке F.1)—F.5), в которых надо
положить
*«i~-®. vn.-vn—S>
и
§ 6. Поверхности разрыва в идеальных средах 407
где vn=vn2—vnl — нормальная составляющая к 5 скорости среды
относительно системы К на стороне, отвечающей индексу 2. В этом
случае величину 3) можно рассматривать как скорость
распространения поверхности разрыва по частицам среды со стороны 1.
Дальше будем пользоваться так определенной величиной iZ>, а для
упрощения формул вместо плотности р введем удельный объем
К=1/р.
Легко видеть, что соотношения F.1) и F.3) равносильны
следующим равенствам:
v«-v«-*n = & (l-g) = ± Vip%-pWi-VJ. F.7)
Так как S) > 0, то знак плюс в F.7) соответствует рх < р2, а знак
минус рх > р2. Соотношение F.4), если из него исключить
скорость, приводится к виду
Ut-Vi-^iPM + PiXyi-V,). F.8)
Из F.6) видно, что если Vx > V2, т. е. ра > р1э то обязательно
Р2 > Pi, -и, наоборот, если ра < plf то р2 < рх.
„ Разрывы, для которых имеют место нера-
Скачки уплотнения и раз- Q
режения венства
»« > 0> Р2 > Pi, ?2 > ft, F.9)
называются скачками уплотнения.
Скачки разрежения определены неравенствами
fri<0, р2<рь p%<Pi. F.10)
Одно из трех неравенств в F.9) или F.10) влечет за собой
выполнение двух других.
Свойства F.9) и F.10) имеют общий характер и являются
следствиями только закона сохранения массы и уравнения
количеств движения, когда на поверхности скачка нет действующих
на среду внешних поверхностных сил и внешних притоков масс.
Соотношение F.8) не содержит скоростей,
«LA.J?a4Ke внУтРенней выполняется в любой системе отсчета и
удобно для изучения изменения плотности
и давления частиц, проходящих через скачок. Если скачок
плотности задан, то в некоторых важных случаях из F.8) можно
определить скачок давления; после этого соответствующие
скорости определяются из равенств F.6) и F.7).
В общем случае внутренняя энергия для однородной
идеальной материальной среды является функцией удельного объема
408 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
V (плотности р), давления р и некоторых других параметров,
задающих физические и химические свойства среды; физическими
параметрами в общем случае могут быть также векторы
поляризации и намагничивания; эти параметры могут изменяться
скачком при переходе через поверхность разрыва.
С таким положением мы встречаемся, например, при
исследовании явлений распространения фронта горения, фронта
детонации, различных фронтов электромагнитных волн и т. д.
Например для совершенного газа, имеем
и-СуТ + и^-Я;
+ Uo,
cv р
1де ср и cv — удельные теплоемкости, a U0 — постоянная для
данного газа величина. При переходе через скачок состав газа
может меняться, и поэтому сру cv
и U0 могут претерпевать скачок.
Если газ представляет собой смесь
совершенных газов, то
т
^Адиабата Гюгонио
w2
i > т.
Рис. 48. Адиабата Гюгоиио
у где Pi/p — массовая доля t-й
компоненты газа в смеси. При
переходе через поверхность разрыва
отношения р*/р могут изменяться
скачком, для определения этих скачков необходимо привлекать
дополнительные физико-химические законы и допущения. При
повышении температуры смеси можно рассматривать сгорание
(полное или неполное), учитывать явления диссоциации или
ионизации и т. д.
Если физико-химические свойства среды при переходе частиц
через скачок не меняются, а изменяются только плотность р и
давление р, то соотношение F.8) при фиксированных рх и рх определяет
связь между значениями давления р% и плотности р2 за скачком.
Адиабата Гюгонио Ес?,и обозначать графически состояния
ру К= 1/р точками на плоскости (/?, У), то
для заданных /?х, Vt равенство F.8) определит кривую в этой
плоскости. Эта кривая называется адиабатой Гюгонио (рис. 48).
Точка /?ь Vu отвечающая состоянию перед скачком, будет
принадлежать адиабате Гюгонио, если
«/•(ft, Ki)-£/i(/>i, Vi)M>,
FЛ1)
т. е. если функция Ut(p, V) совпадает с функцией Ux(py V).
Равенство F.11) может выполняться, если все другие параметры,
кроме р и V, и постоянные, от которых может зависеть внутренняя
§ 6. Поверхности разрыва в идеальных средах
409
энергия, остаются неизменными при переходе через скачок. При
наличии необратимых химических реакций или других каких-
либо процессов равенство F.11) может не выполняться, и в этих
случаях точка pl9 Vi может не принадлежать адиабате Гю-
гонио х .
Рассмотрим случай разрывов, когда равенство F.11) имеет
место. Очевидно, что при заданных ри Vi для определения точки
р9, V% m адиабате Гюгонио достаточно задать только одну из
величин:
р%9 или р2«^а, или tga«g=^ = ^.. F.12)
Угол а определяет угловой коэффициент прямой — секущей
адиабаты Гюгонио, соответствующей состояниям перед скачком /
и за скачком 2. Очевидно, что угол а характеризует скорость S)
распространения скачка по частицам среды в состоянии 1.
Вычислим теперь изменение энтропии s
Изменение энтропии вдоль вдоль адиабаты Гюгонио. Для этого между
адиа аты югонио некоторым фиксированным состоянием
р1% V± и произвольным состоянием р, V, принадлежащими адиабате
Гюгонио, рассмотрим некоторый обратимый процесс с притоком
тепла, для которого верно равенство
Tds^dU + pdV. F.13)
Подставим в F.13) dU из F.8) и при фиксированных р1У Vt после
простых преобразований получим
Tds-l^-Wdip-pJ-^ip-pJdiVt-V).
С помощью F.12) будем иметь
F.14)
Изменение энтропии вдоль Вдоль адиабаты Гюгонио на основании
адиабаты Гюгонио при равенства
малом скачке давления v
= -T{Tpip=Pldp+0{p-pi)dp>
Более полно теория адиабаты Гюгонио изложена, например, в кн.: Седов Л.И
Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Гостехиздат, 1950; Наука, 1966; 1980.
410 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
где 0(р—рг)—малая величина, исчезающая вместе с р—/?1? из
F.14) получим
Tds^^ip-py^^dp + ip-p^Oip-pJdp. F.14')
Отсюда следует, что при малых р—рг верно равенство
Адиабата Пуассона
+малая порядка выше, чем (р—ргK, F.15)
где Т* — некоторое среднее значение температуры в интервале
интегрирования.
Из формулы F.15) видно, что при малых скачках давления
р — рх изменение энтропии при переходе через скачок будет малой
величиной порядка (р—piK.
В непрерывных адиабатических движениях
при. изменении состояний частицы
энтропия сохраняется, т. е..
s2(P,V)-s1(PliV1) = As = 0. F.16)
Уравнение F.16) при заданных ри Vi определяет связь между
р и V. Соответствующая кривая в плоскости (/?, V)t проходящая
через точку рь Vly называется, как известно, адиабатой Пуассона.
. л п п На основании F.15) и F.16) при малой
Адиабаты Пуассона и Гю- ч ' * п
гонио в точке Ри уг име- разности р—рх уравнения адиабат Пуас-
ют касание второго по- сона и Гюгонио можно представить в виде
Рядка V—V^fip—p» s = const) F.17)
для адиабаты Пуассона и
V-V1=f{p-pu s=const)+k(p-Pl)*+. . . F.18)
для адиабаты Гюгонио, соответственно; коэффициент k зависит
Рис 49. Взаимное расположение адиабат Пуассона (П) и Гюгонио (Г) при
§6. Поверхности разрыва в идеальных средах 411
только от Vi и рх. Следовательно, вблизи точки ри Vi эти
адиабаты — близкие кривые (рис. 49).
Из F.17) и F.18) видно, что в точке ply Vi обе адиабаты имеют
одинаковые касательные и одинаковые кривизны, т. е.
(dV\ =(W\ =/<^\
\dpjr \dp )п \др )s
И
[dp) г = [dpjn = [dpjs' F*19>
Очевидно, что полные производные от удельного объема V вдоль
адиабаты Пуассона представляют собой просто частные производные
по р от удельного объема V (/?, s), выраженного с помощью
уравнений состояния в функции двух независимых переменных р и s.
Слабые скачки распрост- Из F-6) и FЛ9) легко получим, что для
раняются по частицам слабых скачков при р2—^рг и V2—>Уа
со скоростью звука верны равенства
Величина
D", <6-2i>
называется скоростью звука, и видно, что бесконечно малые
возмущения — слабые скачки — распространяются по частицам со
скоростью звука, т. е.
Взаимное расположение Для обычных сред выполняются неравенства
адиабат Гюгонио и Пу-
ассона вблизи точки рх, У1 (^т) >0 И ( —) > 0. F.22)
Например для совершенного газа (см. G.11) и D.3) гл. V), имеем
- V{%
s-s0
и^СуТА^-У^^ + const = с VT + const = —LTpV + const
s-s0
p
Po \PoJ
т. e.
p
отсюда
s-s0
v -о'? (РЛ1/У- F-23)
(cW\ (l+y)pj'Ve p 0
412 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
'dK\ _V_
<ds)p~ cp
>0.
fd2V\
Из неравенства (-т-2) >0 следует, что адиабата Пуассона
направлена вогнутостью вверх. Если (dV7ds)p>0, то s>Si выше,
a s<Si ниже адиабаты Пуассона; если (dWds)p<0, то наоборот,
s<S! выше и s>Si ниже адиабаты Пуассона (см. рис. 49, а и б).
Так как на адиабате Гюгонио выполняется равенство F.15), то
очевидно, что вблизи точки /?ь Vx адиабата Гюгонио, касаясь
адиабаты Пуассона, при возрастании V переходит сверху вниз, как
указано на рис. 49, а, когда (у) >0. Если (-ч-) < 0, то
расположение адиабат получается обратным.
Уравнения адиабат Пуас- Согласно F.23) уравнения адиабаты
Пуассона и Гюгонио для со- сона и адиабаты Гюгонио F.8) для совер-
вершенного газа шеннсго газа соответственно имеют вид
рУУ = РгП
F.24)
^T(pV-PlVl) = ±(P + r1)(V1-V) F.25)
Адиабата Пуассона имеет асимптоты К = 0 и /7 = 0. Адиабата
Рис. 50. Адиабаты Пуассона и Гюгонио для совершенного газч
Гюгонио представляет собой гиперболу с асимптотами
V = V ^ и d = — d *и!
Общий вид этих кривых указан на рис. 50. Ясно, что
адиабата Гюгонио для совершенного газа на всем протяжении
обращена вогнутостью вверх.
§ 6. Поверхности разрыва в идеальных средах
413
НОТОННО BMCtic с давлс- v-4-l
нием вдоль адиабаты Гк> Т ds = •££- A^—VJ dp, Отсюда
гонио *Vl
Для совершенного газа Для совершенного газа из F.25) и F.13)
энтропия возрастает мо- Вд0ЛЬ адиабаты Гюгонио следует формула
нотонно вместе с давле- " г . ~j v r j
' ~ - Tds--
|>0. F.26)
Для совершенного газа при движении вверх вдоль адиабаты
Гюгонио, т. е. при увеличении /?, энтропия возрастает монотонно.
Можно показать, что и в общем случае для любых сред, для
которых выполняется неравенство (d2V/dp2)s>0, на адиабате
Гюгонио для p>pi имеем s>su а для p<pi s<Si. В частности, для
малых скачков р—рг это непосредственно видно из F.14') и F.19).
Из второго закона термодинамики следу-
Скачки уплотнения реаль- ет что в уСЛОВИЯХ адиабатичности физи-
ны; скачки разрежения J Y
неосуществимы чески допустимы только такие скачки, для
которых Q > 0, т. е. энтропия частицы
после прохождения через скачок s2 больше, чем ее
первоначальная энтропия sx перед скачком. Из предыдущего анализа следует,
что при (d2V/dp2)s > 0 и U2 (/?, р) = Ux (p, р) такое положение имеет
место только для скачков уплотнения, когда
pi>pi, p2>pi и vn=vn2—vnl>0.
Таким образом, приходим к фундаментальному выводу в теории
сильных разрывов: при наличии неравенства (d2Vldp2)s>§ в
действительности могут осуществляться только скачки уплотнения.
Скачки разрежения не могут реализоваться в
действительности.
Этот вывод связан существенно с принятыми
допущениями: во-первых, с неравенством (d2V/dp2)s>*0 и, во-вторых, с
условием U2(p, р) = их(р, р).
Если после перехода частиц газа через
Когда скачки разрежения скачок химические или физические свойства
осуществимы „ ^
газовой смеси изменяются так, что второе
из этих условий не удовлетворяется, то появляется возможность
реализации в действительных движениях скачков разрежения.
В этом случае F.8) определяет геометрическое место точек р2, V2—
кривую, также называемую адиабатой Гюгонио; эта кривая, как
указывалось выше, не проходит через точку р19 Vv
Примерами таких осуществляющихся в действительности
скачков разрежения могут служить фронты горения.
Скорость распространения Отметим еще очень важное свойство отно-
скачка уплотнения по сительно нормальных составляющих ско-
частицам среды перед ростей на разных сторонах скачка. Обо-
скачком — сверхзвуковая значим через Рх острый угол, который
составляет касательная к адиабате Пуассона с осью у (рис. 51).
Из свойства вогнутости адиабаты Гюгонио для произвольных сред
(при условии (d2V/dp2)s > 0) в окрестности точки pxVly а для со-
414 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
вершенного газа на всем ее протяжении, следует, что для скачков
уплотнения при малых р—рг в любых рассматриваемых средах и
для любых скачков уплотнения в совершенном газе имеет место
неравенство
\р*"* *gPi<tga.
Так как
«={%),r-v*(tvlrv'W-
Рис. 51. Pi —острый угол
касательной к адиабате Пуас- ТО отсюда следует, ЧТО ДЛЯ скачков
сона с осью V, а—острый уплотнения (р2>рг) имеем
угол секущей адиабаты Гюго-
нио с осью V &> =ynl>a1. \у^ч
Можно также показать * , что для любых сред, в которых
(d2Wd/?2M>0, скорость распространения скачка уплотнения с
конечным перепадом давления р2 — рх по частицам газа перед
скачком больше скорости звука.
Для неподвижного скачка нормальная со-
Неподвижные скачки мо- ставляющая vn. скорости частиц, подхо-
гут существовать только ni Г «
в сверхзвуковых потоках ДЯ*ДИХ и проходящих через неподвижный
скачок, больше скорости звука.
Таким образом, неподвижные скачки могут возникать только
в сверхзвуковых потоках. Подвижные скачки могут, очевидно,
существовать в потоках с любыми скоростями и, в частности,
распространяться по покоящейся среде.
Разные адиабаты Гюго- Выше мы рассматривали адиабату Гюго-
яио, соответствующие нио 1\, соответствующую точке /?х, Vly
точкам ри Vi и р2, V*
U (p, V)-U (Pv Vg—J- (p + Pl) (Vi-V); F.28')
рассмотрим теперь адиабату Гюгонио Г2, соответствующую
точке р2, V2. Уравнение этой адиабаты имеет вид
V(p,V)-U(pt, V2) = \-(p + p2)(V2-V). F.28)
Легко усмотреть, что адиабаты F.28') и F.28) — различные
кривые, но при условии F.11) обе эти кривые проходят через точки
Ри Vi и /?2, К2.
1 См. сноску на стр. 409.
§ 6. Поверхности разрыва в идеальных средах
415
Если для адиабаты F.28') переход
из ри Vi в p2i V2 соответствует
скачку уплотнения, то для адиабаты F.28)
переход из р2у V2b ри Vi
соответствует скачку разрежения (рис. 52).
Дальше для простоты
рассмотрим случай совершенного газа.
Общая секущая 1\ и Г2 — прямая,
проходящая через точки ри У\ и
р2, ^а, из-за свойства вогнутости
адиабат совершенного газа в
промежутке ри р2 расположена выше
обеих адиабат; поэтому острый угол
Р 2 Г наклона к оси V касательной к
адиабате Г2 в точке р2, V2 больше, чем угол а наклона к оси V
секущей Гх и Г2 (см. рис. 52),
tgP2>tga. F.29')
Отсюда непосредственно вытекает важное
неравенство для скачков уплотнения
(Pi<p2), а именно согласно F.6) и F.29')
будем иметь
Рис. 52. Адиабата Гх
соответствует уравнению F.28'), а
адиабата Г2—уравнению F.28)
Скорость частиц среды,
прошедших через скачок
уплотнения,
относительно скачка — дозвуковая
■ =Vl
Рг — Ри
Vi-W
= VItga<yitgp2,
но, так как
получим
^* Р.-($)„ = *
v2n2-
= (®-^J<a22. F.29)
Следовательно, нормальная составляющая скорости среды
относительно скачка, равная скорости распространения скачка по
частицам (<Z>—vn), за скачком уплотнения меньше скорости звука.
При более подробном исследовании.можно показать, что
найденные выше свойства скачков уплотнения, установленные при
(d2Wd/?2)p> 0 для любых сред при малых р2 — ри а для
совершенного газа при любых р2 — рх (для совершенного газа использовано
свойство вогнутости адиабаты Гюгонио на всем ее протяжении),
верны в общем случае для любых р2 — рг и любых сред, для
которых выполняется неравенство (d2V/dp2)s>0.
Рассмотрим некоторые задачи об адиабатическом движении
совершенного газа со скачками уплотнения.
Начнем с задачи о поршне. Пусть в
цилиндрической трубе, закрытой с левой
стороны поршнем (рис. 53), находится
совершенный газ. В начальный момент времени при t = О поршень и
невесомый газ находятся в состоянии покоя. Обозначим через р,
Задача о поршне с плос
кими волнами
416 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
и рх постоянные значения плотности и давления покоящегося
газа. Рассмотрим задачу о возмущенном адиабатическом
движении газа, вытесняемого поршнем при t > 0.
Очевидно, что возмущенное движение газа существенно
зависит от закона движения поршня, который можно задавать с
помощью функции vn (/), где vn— скорость поршня. В силу
граничного условия на поршне скорость частиц газа, находящихся в
контакте с поршнем, должна равняться vn(t). В общем случае
+т№мшштт/шмшттттт««шт<' ПРИ непРерывных уско-
Т| |jg ренных движениях порш-
цШ v~*~PhPi ня задача о движении га-
v/JIwwwwmwwww/^^^^^ за трудна и может быть
Рис. 53. Задача о движении газа, вытес- решена только с помощью
няемого поршнем численных расчетов на
машинах. Однако задача
легко решается в частном случае, когда первоначально
покоившийся поршень мгновенно начинает двигаться со скоростью vn в
сторону газа и затем продолжает свое движение с постоянной
скоростью.
Очевидно, что всем условиям задачи легко удовлетворить, если
принять, что в начальный момент времени от поршня отделяется
ударная волна, которая движется по покоящемуся газу с
постоянной сверхзвуковой относительно начального состояния газа
скоростью ЗУ. Между ударной волной и поршнем возникает
поступательное движение с известной постоянной скоростью vnJ с
постоянными давлением р2 и плотностью р2.
Скорость @>, плотность р2 и давление р2 легко вычислить через
vn=vn2, рг и pi из трех условий на скачках F.6) и F.25). Удельная
энтропия за скачком во всех частицах получается одинаковой и
постоянной, причем скачок энтропии равняется
W,=.Vta*(£)'>0.
Если скорость поршня постоянна, но направлена в сторону,
противоположную газу, то аналогичная конструкция для
построения решения приведет к скачку разрежения, который недопустим.
В действительности в этом случае скачок не возникает, задача имеет
непрерывное решение.
Если скорость поршня переменна и направлена в сторону газа,
то скорость S> получается переменной. Малые изменения
скорости поршня передаются вперед со скоростью v+a (v — скорость
газа в области за ударной волной), и так как скорость v+a за
фронтом ударной волны больше скорости фронта St>, то
обязательно через некоторое время эти возмущения догонят ударную
волну и изменят скорость газа за фронтом ударной волны. Из-за
этого ударная волна замедляется или ускоряется, а это в свою
очередь влияет на величину скачка давления и энтропии. Таким
§ 6. Поверхности разрыва в идеальных средах
417
образом, ясно, что за фронтом волны получается движение частиц
газа с переменными характеристиками по координате (расстоянию
до поршня) и по времени. Энтропия в частицах благодаря адиа-
батичности получается постоянной, но из-за переменной скорости
ударной волны @> энтропия у разных частиц будет различной.
Поэтому в области непрерывного движения газа между поршнем
и ударной волной не будет баротропии, что видно, например, из
формулы
Pi \Pl/
При определенной плотности р давление у разных частиц может
быть различным из-за разной энтропии.
СФеоический поршень Задачу ° П0Ршне в цилиндрической трубе
v F F можно усложнить и рассмотреть задачу о
расширении сферы 2 с неподвижным центром О в бесконечной,
первоначально покоившейся массе газа с начальной плотностью рг
и давлением рг (рис. 54). Скорость расширения сферы 2 равна
drjdt. В общем случае в газе возникает сферическая ударная
волна S, расширяющаяся со скоростью
£)*=drt/dt, где г2—радиус ударной волны
S. Если 2 расширяется из точки (от
центра симметрии, так что при / = 0
^ = 0), а скорость drjdt = const, то
можно показать, что в этом случае скорость
ударной волны 2D тоже получается
постоянной.
Для решения этой задачи
целесообразно написать все уравнения в сфери- р?с- 54- ПРЙ РасшиРении
« т г сферы 2 в газе возникает
ческой системе координат и воспользо- сферическая ударная вол-
ваться упрощениями, связанными с нали- на S
чием сферической симметрии
(характеристики движения будут зависеть от двух независимых перемен
ных — радиуса г и времени /).
Задачу о сферическом поршне можно рассматривать как
модельную задачу о взрыве в воздушной атмосфере, если принять,
что внутри 2 имеются продукты химической реакции — сильно
сжатый газ, который вытесняет воздух, действуя, как поршень.
В этом случае в воздухе образуется воздушная ударная волна,
которая называется взрывной волной. Для определения движения
воздуха между взрывной волной S и поверхностью 2, за которой
находятся продукты взрыва, необходимо решать задачу
газовой динамики. Для решения этой задачи выше
подготовлены все уравнения и дополнительные начальные и граничные-
условия.
27. Л.И. Седов
418 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Задача о точечном взрыве В задаче о сферическом поршне
предполагается, что закон расширения сферы 2
задан, а в задаче о взрыве скорость drjdt расширения сферы 2,
отделяющей расширяющиеся продукты взрыва от воздуха,
заранее неизвестна.
Задачу о взрыве в атмосфере можно схематизировать так, чтобы
учесть главный эффект, заключающийся в том, что в малом объеме
выделяется значительная энергия, которая затем передается воз-
у. духу, и в результате этого в атмосфере
вом^ возникает быстро расширяющаяся
сферическая область движущегося воздуха
с резкими возмущениями полей
давления и плотности. Задачу о точечном
взрыве можно сформулировать
следующим образом. В начальный момент
времени в покоящейся массе невесомого
совершенного газа с постоянными
давлением рг и плотностью pi в
некоторой точке (центре симметрии
возникающего движения) мгновенно выделяется заданная энергия Е\
требуется определить возмущенное движение в простейшем
варианте, когда движение частиц газа по предположению
адиабатическое.
В этом случае, так же как и в задаче о сферическом поршне,
образуется расширяющаяся от точки взрыва сферическая ударная
волна, отделяющая покоящийся газ от движущегося газа в области
внутри ударной волны (рис. 55).
Все характеристики движения и состояния можно считать
функциями только г и t. Для определения распределения по
радиусу всех характеристик состояния и скорости движения частиц
газа необходимо решить задачу об интегрировании следующих
нелинейных уравнений с частными производными, записанных в
сферической системе координат (см. § 3 гл. IV):
Помой
Рис. 55. Схема к задаче о
точечном взрыве
уравнение неразрывности
уравнение импульсов
dp dpv _, 2pv п
dv . dv , 1 dp Л
условие адиабатичности д (-у) -j- v g- f — ) = 0.
p dr'
F.30)
При интегрировании системы F.30) необходимо
удовлетворить указанным выше начальным условиям, изученным выше
краевым условиям на скачке (взрывной волне) и условию о том,
что в каждый момент времени полная энергия газа внутри
сферической ударной волны равняется сумме энергии взрыва Е и
первоначальной энергии покоящегося газа внутри сферы S.
§6. Поверхности разрыва в идеальных средах 419
В § 8 мы проанализируем более подробно общие
свойства решения этой задачи * .
Если при переходе через разрыв происхо-
0 волнах детонации и го- дит изменение (выделение или поглощение)
рения энергии и энтропии за счет каких-либо
физико-химических процессов (горения, конденсации, испарения,
химических реакций и т. п.), то основное уравнение F.8)
изменяет свою форму. Вместо равенства F.11) при этом получается
равенство вида
иш{ри VJ-U^Pu Уг) = Я*, F.31)
где q* — химическая или другая энергия, освобождаемая при
переходе частиц через поверхность разрыва, <7*>0 при горении
или конденсации и ^*<0 при испарении. В этом случае уравнение
соответствующей адиабаты Гюгонио можно написать в следующей
форме 2 :
иш(Рш, VJ-£/i(Pi, V1)^^(Pl+p2)(V1-V2)+q* F.32)
Скачки разрежения при </*>0 характерны для фронта горения.
Скачки уплотнения при q*>Q соответствуют волнам детонации.
Предыдущие задачи о поршне с плоскими
Задачи о поршнес дето- и сферическими волнами можно усложнить,
национнои волной ** о _
если принять, что образующийся скачок
уплотнения представляет собой детонационную волну. В этом
случае первоначально покоящийся газ является взрывчатой смесью,
а за фронтом волны получается другой газ (продукты
прореагировавшей смеси). В задаче о детонации смеси перед движущимся
плоским поршнем (между поршнем и детонационной волной) тоже
получается поступательное движение газа, если поршень движется
с достаточно большой постоянной скоростью в сторону газа. Если
после возникновения детонационной волны скорость поршня мала,
или поршень останавливается, или начинает двигаться в сторону,
противоположную газу, то будет решение с наличием
детонационной волны, распространяющейся по газу, причем между
поршнем и ударной детонационной волной возникает непрерывное
движение газа с переменными параметрами.
1 Подробное полное решение этой задачи в конечном виде дано в кн.: Седов Л.И.
Методы подобия и размерности в механике. 7-е изд. М.: Наука, 1972; 8-е изд. М: Наука,
С подробным анализом соответствующих адиабат Гюгонио можно познакомиться в
кн.: Ландау Л Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1954;
и Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. 2-е изд. М.: Наука, 1966;
3-е изд. М.: Наука, 1980.
420 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Соотношения на ударных Во МНОГИХ приЛОЖвНИЯХ И, В ЧаСТНОСТИ
волнах для совершенного газа в основных задачах аЭрОДИНамИКИ об ИС-
следовании движения тел с постоянными
сверхзвуковыми скоростями, используется модель совершенного
газа и в системе координат, связанной с летящим телом,
рассматривается установившееся движение газа с неподвижными
скачками уплотнения—ударными волнами. В этих приложениях вместо
теории, основанной на анализе адиабаты Гюгонио, используется
теория, основанная на рассматриваемых ниже соотношениях.
Для совершенного газа имеем
U-
1
7-1 р
-const, а*=(дА =3L.
\dp)s P
На основании F.1), F.2), F.3) и F.4) легко выразить величины
Ят2, vn2, р2ир2 после скачка через vx\* vnl, plt рг до скачка.
Имеем
F.33)
о = 1±!
Pi
1 +
2 а\ '
Pt^fpPi*
V-l i&
I У-* fli
2Y i&
F.34)
Векторы vt.n v2 определяют плоскость я, совпадающую с
плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности скачка и через
направление составляющей vT\. Возьмем в плоскости я декартовы
оси и обозначим через р угол наклона элемента ударной волны
в плоскости я к оси ху через 8 —угол наклона скорости к оси
х, а через и, v — компоненты скорости. Очевидны равенства
vz = | v | cos ф—9) = и cos р + v sin Р,
vn = | v | sin ф—0) = и sin р — v cos р.
F.35)
Выберем систему координат так, чтобы для рассматриваемой точки
на ударной волне направление оси х совпало с направлением
скорости v1(\v1\ = uly ^ = 0). Заменим в F.33) vx и vn через и,
v и Р; исключив р с помощью F.35), получим
o8-(«i—и»)*-0— 0 .
"i — Н гт —
F.36)
§6. Поверхности разрыва в идеальных средах
421
\тах
Ударная поляра—гипо- В плоскости годографа скорости Vt(u2, i/a),
циссоида в которой по осям координат
откладываются соответственно и2 и v2 (эта плоскость соответствует
плоскости я), уравнение F.36) определяет кривую, называемую
ударной полярой. Эта кривая является гипоциссоидой (рис. 56).
Каждому значению угла наклона скорости за фронтом скачка
02 на ударной поляре соответствуют три значения величины
скорости: точки Л, В, С. Из
условия непрерывности касательной к
скачку составляющей скорости
следует, что направление скачка,
определяемое углом |3,
получается как направление
перпендикуляра из начала координат О к
прямой, проходящей через точку Ог
и точку на гипоциссоиде,
соответствующую скорости за скачком;
на чертеже в качестве такой
точки взята точка В. Очевидно, что
для скачка, отвечающего точке С,
верно неравенство vn=vn2—t/nl<0.
Поэтому согласно F.10) это
значение скорости соответствует скачку
разрежения. Скачки,
соответствующие точкам ветвей гипоцис-
соиды, уходящих в бесконечность,
физически неосуществимы; эти
ветви кривой следует отбросить.
Направление скачков бесконечно малой интенсивности
получается в пределе, когда точка В стремится к точке Оь а прямая ОхВ
переходит в касательную гипоциссоиды в точке Ох.
Скачки, у которых скорость vt
перпендикулярна к скачку, называются прямыми;
в противном случае скачки
уплотнения называются косыми.
Если скачок не прямой, то при переходе
частицы через скачок вектор скорости
частицы поворачивается и его направление
приближается к направлению касательной к скачку.
Поворот скорости достигает максимума, ®2=®2тлх> в точке
касания Е гипоциссоиды с прямой, проведенной из точки О (см.
рис. 56). Точке Е соответствует дозвуковая скорость, близкая к
скорости звука. На рис. 56 указана пунктиром окружность,
соответствующая СКОрОСТИ, раВНОЙ СКОРОСТИ Звука1, \V2\=VK9 = a2.
1 Можно показать, что для заданных параметров перед скачком
критическая скорость (скорость, равная местной скорости звука) получается ие
зависящей от угла наклона скачка.
Рис. 56. Ударная поляра —гипоцис-
соида; OD—направление ударной
волны, О В—вектор скорости после
скачка, вектор 00\ равен скорости
газа до скачка
Прямые и косые скачки
уплотнения
О повороте скорости в
косых скачках уплотнения
422 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Эта окружность пересекает гипоциссоиду в точке F. Величина
скорости \v2\ после скачка получается сверхзвуковой, когда точка В
расположена правее точки F, и
$^\ ~~ 1 дозвуковой для точки Л, а также
для точки В в небольшом
интервале EF. Из формул F.33) следует
max
W°
30°
20°
/0°
п
-
*/.,_._., L
,. г
~~'\
}ж
L 1 \ L_
tg(p-ej-tgp(j^!+
i
(Y+l)Mf(l-cos2p)
)'
F.37)
W
15 2,0 3,0 4,0 5,0 JO
Рис. 57. Зависимость от числа Маха
максимально возможного угла
поворота скорости при переходе через
скачок. График построен для
7= 1,4
где через М обозначена
отвлеченная величина г//а = М, а Мх =
= vxlax (t^Jtfxl).
Величина М называется
числом Маха, для сверхзвуковых
движений М > 1, для дозвуковых
движений М < 1. Из формулы
F.37) следует, что величина
угла поворота скорости б = @2 —0Х) (на рис. 56 это просто 02)
зависит от числа Мх и угла |3. Максимально возможный угол
поворота бтах зависит только от числа Маха Мх в набегающем на
скачок потоке. На рис. 57 приведен график зависимости бтах от
числа Маха Мх.
Условия на косых скачках уплотнения
Сверхзвуковое обтекание
угла и клина
позволяют непосредственно
сконструировать решения задач об обтекании
поступательным сверхзвуковым потоком угла и клина (рис. 58).
Непосредственно видно, что схемы течений, изображенные
на рис. 58, удовлетворяют всем условиям задач об обтекании
угла и клина.
Однако из предыдущих результатов следует, что решение этих
задач получается только в том случае, если углы б, бх и б2 для
заданного числа Маха набе-
Уд арная Волна Л
Ударная долна
Ударная Волна
Рис. 58. Обтекание угла и клина,
наклоненного несимметрично к скорости
набегающего потока
гающего потока меньше или
равны углу бтах (Мх).
Если это условие
удовлетворено, то указанные схемы
обтекания допустимы.
Однако для любой из
таких задач при б<бтах
существуют два решения с
разными направлениями ударной
волны, при переходе через
каждую из которых
осуществляется поворот скорости,
§ 6. Поверхности разрыва в идеальных средах
423
необходимый для обеспечения условия обтекания, но достигаются
разные значения скорости за волной. На рис. 56 эти два решения
соответствуют, например точкам В и А.
На практике для тонких тел
осуществляется движение,- соответствующее пологой ударной
волне с большей скоростью за скачком,
отвечающей точке В. Такое теоретическое решение
для угла и клина хорошо согласуется с
данными опытов по сверхзвуковому обтеканию
тонких заостренных тел.
Если угол б > бтах, то
Обтекание с отошедшей обтекание по схеме, ука-
Ударнои волной « го
уА F заннои на рис. 58,
невозможно. В этом случае впереди тела
образуется искривленная ударная волна (рис. 59).
Расстояние АО от угловой точки тела до передней
точки ударной волны пропорционально
линейным размерам тела и зависит от угла раствора клина и числа Мг
При I —* оо ударная волна уходит вперед в бесконечность,
перед клином получается дозвуковое движение газа.
В заключение этого параграфа отметим,
Потери механической что наличие скачков в адиабатических
энергии в скачках ^ ^
* потоках связано с появлением
необратимых потерь располагаемой механической энергии, обусловленных
ростом энтропии.
Для внутренней энергии совершенного газа можно написать
Vf
Рис. 59. Обтекание
клина с большим
углом раствора.
Ударная волна
образуется на
некотором расстоянии
впереди конечного
клина
U=*cvT + const = cvT{
af
е ср + const.
Рассмотрим внутреннюю энергию для некоторых характерных
состояний покоя перед и за скачком (состояний, которые
получаются, если газ адиабатически затормозить до v=0) х . Давления
и температуры в этих состояниях перед и за скачком (давления и
температуры торможения) обозначим соответственно через р{% р\.
Т[ и Т1
Если переход частиц через скачок не сопровождается
химическими реакциями или фазовыми переходами (т. е^ в равенстве
F.31) <7*=0), то из F.4) для совершенного газа следует, что
Поэтому
Sj-So
у-1 i
pl у =е
pi v ,
или
у— 1 S2~S1
1 См. т. II, гл. VIII, §5,
424 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Если есть необратимые потери, то s2—s£>0. Отсюда следует, что
pl<p\. Следовательно, газ, прошедший через скачок, имеет
меньшее давление в состоянии покоя, и поэтому его работоспособность
(техническая полезность) падает.
Из рассмотрения адиабаты Гюгонио видно, что рост энтропии,
а следовательно, и потери увеличиваются с увеличением
интенсивности скачка уплотнения, характеризуемой перепадом
давления р2 — pi.
Для заданного числа Маха Mx в набегающем потоке
интенсивность прямого скачка получается максимальной. Потери в косом
скачке всегда меньше, чем в прямом г .
§ 7. Размерности физических величин и П-теорема
Физические соотношения При фактическом написании уравнений
инвариантны относите ль- и в конкретных числовых расчетах необ-
но выбора систем коорди- г г
нат v v ходимо вводить и использовать различные
системы координат. Эти системы
координат в общем случае могут быть произвольными, однако во многих
случаях системы координат выбираются из соображений простоты
и удобства вычислений или анализа численных расчетов.
Возможный произвол в выборе систем координат, привносимый принятыми
способами описания изучаемых явлений, не связан с существом
самих явлений, и поэтому различные уравнения, выражающие собой
некоторые физические свойства и факты, должны обладать
свойством инвариантности относительно выбора систем координат.
Этим объясняется, что все введенные выше
Тензорная природа физи- уравнения и дополнительные соотношения
ческих уравнени имеют вид скалярных, векторных или
вообще тензорных уравнений. Именно в этом состоит причина того,
что множество характеристик движения и состояния имеет
инвариантную тензорную природу. В этом причина необходимости
развития и использования тензорного исчисления и формулирования
всех физических соотношений в инвариантной тензорной форме.
Размерные величины С ДРУГ0Й СТ0Р0НЫ> определение и задание
различных величин — характеристик средьь
поля и процессов, например плотности, энергии, скорости, заряда
и т. д. —с помощью чисел связано с использованием
определенных единиц измерения, выбор которых также зависит от
исследователя.
Величины, численное значение которых в рассматриваемых
вопросах зависит от выбора единиц измерения, называются
размерными величинами. Например, энергию можно измерять в кило-
1 С более полной теорией потер.ь в системах скячков уплотнения можно
ознакомиться в цит. кн. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, см.
также № 9 гл. УШ тома П данной книги.
§ 7. Размерности физических величин и П-теорема 425
граммометрах, в джоулях, в калориях, в тоннах угля или
килограммах урана, в рублях и еще во многих других единицах
измерения. Соответствующие числа, определяющие величину энергии,
существенно зависят от выбора единицы измерения.
Действия с большим числом разнообразных характеристик,
связанных между собой различными определениями и различными
уравнениями, показывают, что единицы измерения для разных
характеристик, вообще говоря, связаны между собой. Например,
единица измерения для скорости v=ds/dt связана с единицами
измерения для длины ds и времени dt.
Наряду с зависимыми единицами измере-
Первичные (основные) ния НуЖН0 рассматривать первичные,
неединицы измерения J r ^ Л Л
* зависимые единицы измерения, вводимые
опытным путем, вообще говоря, с помощью специальных
теоретически произвольных условий. Так, например, известными
способами вводятся различные первичные, или основные, единицы
измерения для длины, времени и массы.
Величины, для которых единицы измерения вводятся из опыта
с помощью эталонов, по условию, называются первичными и
основными. При этом сами единицы измерения также называются
первичными или основными.
Единицы измерения для других величин,
^иницы"^ пр°*!ЗВ0АНЫе которые получаются из определения этих
змере ия величин через первичные, называются
производными или вторичными единицами измерения.
В качестве величин, для которых выби-
я^и^.^в11Сте*1Ы еди" раются первичные единицы измерения, мож-
ниц измерения ^ «-»
но брать различные величины. В
различных областях применения выгодно и удобно выбирать в качестве
первичных единиц измерения свои местные первичные единицы
измерения, причем разные в различных случаях. Возникли
различные системы единиц измерения, возникла задача о переходе
(пересчетах) от одной системы единиц измерения к другой.
Распространены следующие системы единиц измерения: CGS,
в которой в качестве первичных единиц измерения приняты
сантиметр, грамм, секунда; MKS, в которой в качестве основных
единиц измерения приняты метр,, килограмм-сила и секундаг ;
система СИ, в которой основными единицами измерения являются
метр, килограмм-масса, секунда, ампер, градус Кельвина, свеча,
а также другие системы единиц измерения.
В механике (и, вообще говоря, на практике) часто пользуются
только тремя первичными единицами измерения (например, так
обстоит дело при использовании систем единиц измерения CGS
Здесь мы принимаем, что фактические условия, определяющие первичные
единицы измерения, известны из общего курса физики — известно, что такое
секунда и т. д.
426 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
и MKS); единицы измерения для всех' остальных величин, в том
числе и для характеристик электромагнитного поля,
рассматриваются как производные единицы измерения.
После установления основных единиц измерения единицы
измерения для других размерных величин, с производными единицами
измерения, получаются автоматически из определений этих величин.
. Выражение производной единицы измере-
Формула размерности r r л г
* J v Y ния через основные единицы измерения
называется размерностью. Размерность записывается в виде
формулы. В системе CGS формулы размерности содержат три
аргумента: символы единицы длины L, единицы времении Т и единицы
массы М. Например, символ единицы измерения для силы
записывается в форме
K = ^t = MLT-2.
В системе CGS формулы размерности для всех физических величин
представляют собой степенные одночлены вида х
N-L'T'M», G.1)
где показатели степеней /, /, т — некоторые целые или дробные
вещественные числа.
В системе MKS формулы размерности имеют вид
N = L'iT'iK\ G.2)
где /х, U и kx — соответствующие показатели размерностей.
Переход от формул G.1) к соответствующим формулам G.2)
можно получить после замены символа М в формулах G.1) через
символ К по формуле M=KTaL-1.
Формулы размерности позволяют определить численные
масштабные множители для пересчета соответствующих
характеристик при изменении величин первичных единиц измерения.
Если вместо заданных единиц измерения — длины L, времени Т
и массы М, перейти к новым единицам измерения, меньшим для
длины в а раз, ддя времени в (J раз и для массы в у раз, то новая
единица измерения N для величины с размерностью G.1) будет
меньше первоначальной в
.а'ру» G.3)
раз. Это позволяет легко устанавливать переходные масштабные
множители для вторичных единиц измерения при изменении
величин первичных единиц измерения.
1 С более подробной теорией размерностей, а также с обоснованием формулы
размерности G.1) можно ознакомиться в цит. кн.: Седов Л.И. Методы подобия и
размерности в механике, 7-е изд. М.: Наука, 1972; 8-е изд. М: Наука, 1981.
§ 7. Размерности физических величии и П-теорема 427
Число первичных единиц Число первичных единиц измерения может
измерения быть (и бывает) больше трех. Например
во многих вопросах газовой динамики и
термодинамики, кроме метра, килограмма и секунды в качестве
первичных единиц измерения, определенных опытным путем,
обычно используются единицы измерения для температуры: градус
Цельсия или градус Фаренгейта и т. п., а для количества
тепловой энергии—одна малая или большая калория. Таким
образом, можно рассматривать и пользоваться системами единиц
измерения с пятью первичными единицами измерения.
Рассматриваются и применяются системы с первичными единицами измерения
для электромагнитных величин и т. д. В этих случаях формулы
размерностей будут представлять собой степенные одночлены вида
G.1) с большим числом аргументов.
Можно вводить системы единиц измерения,
О возможности увеличи- вообще говоря, с любым числом первич-
вать число первичных еди- г>
ниц измерения ных еДИНИ1Х- В частности, для длины,
времени и скорости можно выбирать
независимые единицы измерения из опыта, но в этом случае формулу
для скорости надо писать в виде
v-k%, G.4)
где k — размерная .постоянная, зависящая от выбора единиц
измерения для и, ds и dt. Если принять, что k является абсолютной
численной постоянной (т. е. одинаковой во всех употребляемых
системах единиц измерения), равной или не равной единице, то
получится, что в любой системе единиц измерения единицы
измерения для vy ds и dt зависимы.
На практике такое условие обычно всегда и принимается.
Если рассмотреть соотношение
/•тепловая энергия =механическая энергия,
то можно выбрать отдельные независимые единицы измерения
для тепловой энергии, например калорию, и для механической
энергии, например килограммометр. В этом случае в формулах
и уравнениях появляется размерная постоянная / —
механический эквивалент тепла с размерностью
г т-, килограммометр > ,~ ^
l -• ~~ калория ' v •* /
«физическая» постоянная / аналогична постоянной k в G.4).
Постоянную / можно рассматривать как
и„!°1можностиуменьшать размерную постоянную при независимых
число первичных единиц ^ ^ J J r
измерения единицах измерения для тепловой и
механической энергий или как масштабную,
безразмерную постоянную, если единицы измерения тепловой и
механической энергий различаются только как единицы измерения
428 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
для одной и той же величины, например, как футы и метры.
Аналогичным образом можно рассматривать фундаментальное
уравнение физики
Е=тс\ G.6)
где Е — энергия, т — масса и с — скорость света в пустоте.
Если в уравнении G.6) принять, что с — универсальная
постоянная, которую можно приравнять единице в классе допускаемых
систем единиц измерения (аналогично постоянной k в формуле
G.4)), то в этом случае возможные различные единицы измерения
для энергии и массы получаются зависимыми (так же как единицы
измерения для v, ds и dt в G.4) при k=\).
Такого рода соображения могут послужить основой для
сокращения числа первичных единиц измерения. Если зафиксировать
размерную универсальную постоянную / в законе всемирного
тяготения
F = f^, G.7)
то получится добавочная связь между первичными единицами
измерения для массы, времени и расстояния.
Таким путем можно получать системы единиц измерения с
различным числом первичных единиц измерения. В частности,
можно ввести систему с универсальными единицами измерения,
в которой единицы измерения всех величин навсегда фиксированы
и поэтому все величины можно рассматривать как безразмерные.
Понятия размерных и безразмерных (от-
Относительность понятия влеченных) величин относительны. Это
размерных и безразмер- ' * п
ных величин наД° понимать следующим образом. При
рассмотрении данного явления или
некоторой совокупности явлений вводятся различные переменные или
постоянные характеристики процессов и объектов. Для
получения численных значений явно или неявно используется в
действительности или допускается потенциально некоторый запас
—совокупность систем единиц измерения.
Величины, численное значение которых зависит от выбора
конкретной системы единиц измерения из допускаемой
совокупности систем единиц измерения, называются размерными.
Величины, численное значение которых одно и то же во всех системах
единиц измерения этой совокупности систем, называются
безразмерными или отвлеченными.
Например, геометрическому объекту — углу — можно
поставить в соответствие различные числа: число радиан, градусов,
долей прямого угла и т. п.; поэтому при включении во множество
допускаемых систем единиц измерения систем с различными
единицами измерения для угла величину угла надо рассматривать как
размерную величину. Если, однако, мы ограничимся рассмотре-
§ 7. Размерности физических величин и П-теорема 429
нием только таких систем единиц измерения, в которых углы
измеряются только в радианах, то угол можно рассматривать как
отвлеченную, безразмерную величину. Такое условие по
отношению к измерению углов часто принимается на практике.
Таким же путем любую другую величину (например время или
длину) можно посчитать безразмерной величиной при
соответствующем выделении запаса систем единиц измерения, в которых
единица измерения для этой величины одна и та же во всех
используемых в данном вопросе системах единиц измерения. В
приложениях условие о безразмерности угла удобно, условие о
безразмерное™ длины неудобно. Это связано с тем, что для
геометрически подобных систем соответственные углы одинаковы, а
соответственные длины различны.
Из дальнейшего вытекает, что в некото-
Появление размерных фи- рых случаях, вообще говоря, выгодно уве-
зических постоянных как личивать число первичных единиц измере-
аргументов исследуемых ^ г ^ л гчг
функций ння- Однако эта выгодность обычно
аннулируется тем, что при увеличении числа
первичных единиц измерения появляются существенные для
рассматриваемых задач дополнительные физические постоянные типа
механического эквивалента тепла /, или скорости света с, или
гравитационной постоянной /. Подобные постоянные будут
входить в уравнения процессов и другие условия задач, и их
необходимо причислять к определяющим параметрам и включать в
аргументы рассматриваемых функциональных связей. Ниже покажем,
что поэтому в общем случае не получается дополнительных
упрощений от увеличения числа первичных единиц измерения.. Однако
существенная польза от этого получается тогда, когда из
дополнительных физических соображений становится известным, что
такого рода физические постоянные (типа / или f) несущественны
в данных функциональных соотношениях.
В этом и заключается причина того, что стандартная система
единиц измерения с фиксированными постоянными значениями
величин /, с и / не выгодна и не применяется на практике во
многих технических и физических задачах.
п В некоторых вопросах в науке ясно про-
мененияЖНр0аИзнГЬЗсисПтРем ЯВЛяется тенденция к стандартизации и
единиц измерения к административному введению
универсальной системы единиц измерения. В ряде
случаев, очевидно, это очень удобно и полезно, однако
привязывание универсальной системы единиц измерения к определенным
физическим постоянным или условиям во многих случаях
является искусственным. Наоборот, сама возможность использования
произвольных единиц измерения и независимость изучаемых
законов от выбора системы единиц измерения может служить
источником полезных выводов. Поэтому, наряду с внедрением единых
единиц измерения, требуется развивать теорию произвольных и
430 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
разнообразных классов единиц измерения как основу
плодотворных методов, эксперимента и теории.
В этих вопросах имеется полная аналогия между выбором
систем единиц измерения и выбором систем координат и систем
отсчета вообще. Можно, конечно, фиксировать вполне
определенную одну и ту же универсальную систему отсчета и исследовать
все явления только в этой системе. Однако сама возможность
применения различных систем отсчета и возможность в конкретных
задачах применять специальные характерные системы отсчета
является основой плодотворного метода исследований в физике.
Больше того, основное положение физики об инвариантности
физических законов относительно выбора систем координат и систем
отсчета (например инерциальных систем отсчета) является в
известном смысле иным представлением таких универсальных
законов физики, как закон сохранения количества движения, закон
сохранения энергии и закон сохранения момента количества
движения.
Универсальная инвариантность физических законов
относительно групп преобразований Галилея или Лоренца в некоторых
задачах (однако существенно подчеркнуть, что не во всех задачах)
дополняется свойством инвариантности исследуемых
функциональных зависимостей относительно группы преобразования
подобия, определенной .возможностью сохранения всех уравнений
и добавочных условий при преобразовании подобия, совпадающем
с переходом от одной системы единиц измерения к другой.
п Рассмотрим теперь структуру функцио-
-теорема нальных зависимостей между вообще
размерными величинами, выражающих собой физические
закономерности, инвариантные относительно выбора систем единиц
измерения.
Пусть мы имеем некоторую размерную или безразмерную
величину а, которая является функцией независимых между собой,
вообще, размерных величин аи а2у . . ., апу
a=f(al9 а2, . . ., aky ак+и . . ., ап). G.8)
Некоторые из величин аи а2, . . ., ап в рассматриваемом процессе
могут быть постоянными, другие — переменными. Относительно
переменных величин предположим, что либо их значения отличны
от нуля или бесконечности, либо функция G.8) непрерывна при
обращении соответствующих аргументов в нуль или бесконечность.
Примем, что в аргументах функциональной связи G.8)
отмечены все, размерные и безразмерные, постоянные и переменные,
величины, от которых зависят рассматриваемые значения
величины а.
Найдем теперь структуру функции f в G.8) в предположении,
что эта функция выражает собой некоторый физический закон, не
зависящий от выбора систем единиц измерения.
§7. Размерности физических величин и П-теорема 431
Пусть среди размерных величин а1у а2у . • ., ап первые k
величин (k^n) имеют независимые размерности (число основных единиц
измерения должно быть больше или равно k).
Независимость размерностей означает, что формула,
выражающая размерность одной из величин, не может быть
представлена как комбинация в виде степенного одночлена формул
размерности для других величин. Например, размерности длины L,
скорости L/T и энергии MLVT2 независимы; размерности длины L,
скорости L/T и ускорения L/T2 зависимы.
Среди механических величин обычно имеется не более трех
с независимыми размерностями. Предположим, что k равняется
наибольшему числу параметров с независимыми размерностями,
поэтому размерности величин ау ak+ly . . ., ап можно выразить
через размерности параметров а1у а2у . . ., ak.
Примем k величин а1у а2у . . *, ak с независимыми
размерностями за основные величины и введем для их размерностей
обозначения
[а1]=Л1, [а2]=А2у . . ., [ak]=Ak.
Размерности остальных величин будут иметь вид
[а]~А?*АЧ?ш ... Л?\
[аЛ+1] = Л?.Л£> ... А1\
К] = ЛМ£ ... А\К
Изменим теперь единицы измерения величин а1у а2у . . ., ak
соответственно в а1у а2у . . ., ak раз; численные значения этих величин
и величин ау ak+ly . . ., ап в новой системе единиц будут
соответственно равны
а\ = ага1У a' — afta^ ... аГ'я,
а2 = а2а2У a*+i = aiia2a ••• aPkkak+1,
a'k = akaky % а; = а?.а£* ... aqkkan.
В новой системе единиц измерения соотношение G.8) примет вид
а' = а?.а?а ... аГа = <*5№ ... a%kf (а1У а2У ..., а„) =
«/(ал, а2а2у .. ., akaky а^а£ ... apkkak+ly ..., а?«а£ ... а^ал).
G.9)
Это равенство показывает, что функция / обладает свойством
однородности относительно единиц измерения величин а1у а2у . . ., ak.
Воспользуемся выбором аь а2, . . ., ak для сокращения числа
независимых переменных у функции /. Положим
1 1 1
432 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
При таком выборе масштабов аь а?, . . ., ak значения первых k
аргументов в правой части соотношения G.9) будут равны 1
независимо от численного значения величин аи а2у . . ., ah г . Таким
образом, используя то обстоятельство, что соотношение G.8)
согласно предположению не зависит от выбора системы единиц
измерения, мы будем выбирать систему единиц измерения так, чтобы k
аргументов функции / имели фиксированные постоянные значения,
равные единице.
В этой относительной системе единиц измерения численные
значения параметров a, ak+lf . . ., Q>n определяются формулами
П —ТЕ.
П — fl*+1
1 «!■<*... eg*'
П = g/l
п'к *Ь «*...&'
где а, #ь а2, . . ., ап — численные значения рассматриваемых
величин в первоначальной системе единиц измерения.
Нетрудно видеть, что значения П, Пь . . ., IIn_ft не зависят
от выбора первоначальной системы единиц измерения, так как они
имеют нулевую размерность относительно единиц измерения Al9
Л 2, . . ., Ак. Очевидно также, что значения П, Пь . . ., Пп_л
вообще не зависят от выбора систем тех единиц измерения, через
которые выражаются k единиц измерения для
размерно-независимых величин аи сг2, • . ., ак. Следовательно, величины П, Пь . . .
..., Пд_л можно рассматривать как безразмерные. Поэтому
в любой системе единиц измерения соотношение G.8) можно
представить в виде
П-./A, 1, ..., 1, П,, .... П„.к), G.10)
k
где П и все аргументы функции / безразмерные.
Таким образом, связь, не зависящая от выбора системы единиц
измерения, между я+1 размерными величинами a, alf . . ., ап,
из которых k имеют независимые размерности, может быть
представлена в виде соотношения между n+1 — k величинами
П, Пь. . . , nn_ft, представляющими собой безразмерные
комбинации из п+1 размерных величин. Этот общий вывод теории
размерности известен под названием П-теоремы.
1 Для простоты принимаем, что параметры alf a2, ..., а^ конечны и отличны
от нуля. Очевидно, что последующие выводы распространяются на случаи, когда
fli» flai •••» Дл могут обращаться в нуль или в бесконечность, если функция / при
этих значениях аргументов непрерывна.
§ 7. Размерности физических величин и П-теорема 433
Если некоторая безразмерная величина является функцией
ряда размерных величин, то эта функция может зависеть только
от безразмерных комбинаций, составленных из всех
определяющих ее размерных величин.
Очевидно, что в соотношении G.10) систему безразмерных
параметров Пь П2, . . ., Un-k можно, изменяя вид функции /,
заменять другой системой безразмерных параметров, являющихся
функциями п — k безразмерных параметров Пь П2, .. ., Iln_fe.
Нетрудно видеть, что из п параметров аи а2у . . ., ап, среди
которых имеется не более k параметров с независимыми
размерностями, нельзя составить больше п — k независимых
безразмерных комбинаций. Это непосредственно вытекает из вывода
соотношения G.10), если за величину а мы примем любую выбранную
безразмерную комбинацию, определяемую величинами а1у а2, ...
Всякое физическое соотношение между размерными
величинами можно сформулировать как соотношение между
безразмерными величинами. В этом, собственно, и заключается источник
полезных приложений метода теории размерности к исследованию
физических задач.
Чем меньше число параметров, определяющих. изучаемую
величину, тем больше ограничена форма функциональной
зависимости и тем проще вести исследование. В частности, если все
определяющие параметры имеют независимые размерности, то с
помощью теории размерности эта зависимость полностью
определяется с точностью до постоянного множителя.
В самом деле, если n=k, то из параметров аи аг, . . ., ап нельзя
образовать безразмерной комбинации, и поэтому функциональная
зависимость G.10) может быть представлена в виде
a^Ca^af* ... а™",
где С — безразмерная постоянная, а показатели ти т2, . . ., тп
легко определяются с помощью формулы размерности для а.
Безразмерную постоянную С при этом можно определить либо
экспериментально, либо теоретически, решая соответствующую
математическую задачу.
Очевидно, что теория размерности должна приносить тем
большую пользу, чем больше мы можем выбирать основных единиц
измерения.
Выше мы видели, что число основных единиц измерения можно
выбирать произвольно; однако увеличение числа основных единиц
измерения связано с введением дополнительных физических
постоянных, которые также должны фигурировать среди
определяющих параметров. Увеличивая число основных единиц измерения,
мы увеличиваем число определяющих параметров; в общем
случае разность n+l—k, равная числу безразмерных параметров,
28. Л.И. Седов
434 Гл. VII. О постановке задач fi механике сплошной среды
в которых формулируется физическое соотношение, остается
постоянной.
Увеличение числа основных, единиц измерения может
приносить пользу только в том случае, когда из дополнительных
физических соображений ясно, что физические постоянные,
возникающие при введении новых основных единиц измерения,
несущественны. Например, если мы рассматриваем явление, в котором
имеют место механические и тепловые процессы, то для измерения
количества тепла и механической энергии можно ввести две
различные единицы измерения — калорию и джоуль, но ари этом
необходимо ввести в рассмотрение размерную постоянную / —
механический эквивалент тепла. Допустим теперь, что мы
рассматриваем явление теплопередачи в движущейся несжимаемой
идеальной жидкости. В этом случае не происходит превращения
тепловой энергии в механическую и обратно, и поэтому тепловые
и механические процессы будут протекать независимо от значения
механического эквивалента тепла. Если бы мы располагали
возможностью изменять величину механического эквивалента тепла,
то это никак не сказалось бы на значениях характерных величин.
Следовательно, в рассматриваемом случае постоянная / не войдет
в физические соотношения, и увеличение числа основных единиц
измерения позволит получить с помощью теории размерности
дополнительные важные сведения.
§ 8. Параметры, определяющие класс явлений,
и типичные примеры приложения методов теории
размерности
Выяснение системы опре- Приложения теории размерности основаны
деляющих параметров на на применениях в изучаемых проблемах
основании математиче- тт г>
ской постановки задачи П-теоремы. В связи с этим возникает
задача о перечислении
аргументов—определяющих параметров—в функциях вида G.8).
В термодинамике, в гл. VI, мы познакомились с понятием
системы определяющих параметров, характеризующих состояние
и движение малой частицы среды. Теперь необходимо ввести
систему определяющих параметров, вытекающую из постановки
выделяемого класса задач и характеризующую полностью, для
данной среды каждую отдельно взятую глобальную задачу.
Основным и первоначальным этапом в постановке задач
является выбор модели или системы моделей сплошных сред "и
схематизация свойств искомых решений. Сюда входит учет условий
симметрии и выбор подходящих систем координат. При этом
фиксируется система уравнений, система и класс искомых функций
и независимые переменные.
§ 8. Параметры, определяющие класс явлений
435
Независимые переменные (например х> у, z, t) и физические
постоянные типа коэффициентов теплопроводности, вязкости,
модулей упругости и т. д. необходимо включать в перечень системы
определяющих параметров. Кроме того, для данного класса задач
необходимо включать в число определяющих параметров
задаваемые размерные и безразмерные характеристики области iZ>,
занятой движущейся средой. Затем необходимо охарактеризовать
и включить в число определяющих параметров величины,
определяющие задаваемые функции при формулировании граничных
и начальных условий.
Если рассматриваемая задача сформулирована как
математическая задача, то всегда легко выписать полную таблицу
аргументов в функциях вида G.8) для искомых физических закономерностей.
Таков общий путь получения системы определяющих параметров,
когда задача поставлена математически.
Определяющие параметры — это все данные, которые надо
задавать для вычисления искомых функций различными путями,
в том числе и при расчетах на машинах.
При получении нужных ответов с помощью экспериментов
также необходимо явно указывать и перечислять все
определяющие параметры. Только при этом условии опыт может быть
повторен и можно произвести сравнение различных экспериментов.
п л Указанная выше методика составления
Для выделения таблицы ^
определяющих парамет- таблицы определяющих параметров на ос-
ров математическая по- новании математической постановки зада-
становка задачи необяза- чи вообще необязательна.
тельна Можно выписать систему
определяющих параметров и в тех случаях, когда детальные свойства
модели и система уравнений, вообще говоря, неизвестны.
Достаточно опереться на предварительные данные или гипотезы о виде
функций и о постоянных, которые входят или могут входить в
определение модели, в начальные, граничные и другие условия,
выделяющие конкретные задачи.
Рассматривая совокупность различных ме-
Конечная система опре- ханических систем, совершающих некото-
деляющих параметров г
F p рые движения, всегда можно ограничить
класс допустимых систем и движений так, чтобы конкретная
система и ее определенное интересующее нас движение
определялись бы конечным числом размерных и безразмерных параметров.
Эти ограничения можно наложить путем фиксирования ряда
отвлеченных функций или констант, задаваемых условиями задач.
Теория размерности, основанная на при-
Система определяющих менении П-теоремы, позволяет получать
параметров должна быть v ' J
полной выводы, вытекающие из возможности
применять для описания физических
закономерностей произвольные специальные единицы измерения. В связи
с этим при перечислении параметров, определяющих класс явле-
436 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
ний, необходимо указывать все размерные параметры, связанные
с существом явления, независимо от того, постоянны они или
переменны. Важно, что параметры могут принимать различные
численные значения в разных системах единиц измерения.
Например, ускорение силы тяжести g необходимо всегда
включать в систему определяющих параметров, когда тяжесть
существенна, несмотря на одинаковость величины g для многих реальных
движений.
После того как величина g введена в качестве определяющего
параметра, без всяких усложнений можно учесть искусственное
расширение класса движений путем изменения величины
ускорения силы тяжести g. Такой прием иногда позволяет ощутить
и получить ценные качественные выводы о влиянии тех или
других параметров, которые согласно П-теореме могут входить только
в комбинациях с ускорением силы тяжести g.
Система определяющих параметров должна обладать
свойством полноты. Среди определяющих параметров, некоторые из
которых могут быть физическими размерными постоянными,
должны быть обязательно величины с размерностями, через которые
могут выразиться размерности всех интересующих нас искомых
величин.
Если система определяющих параметров с точки зрения их
размерности неполна и ее расширение исключается по существу
постановки задачи, то это означает, что определяемая величина
равна либо нулю, либо бесконечности. С таким случаем мы
встречаемся часто при задании начальных условий типа источника с
помощью б-функции Дирака.
В общем случае методы изучения функ-4
Недостаточность теории ЦИОнальных зависимостей с помощью П-
размерности для решения
задач теоремы по существу ограничены и
недостаточны, так как с их помощью
невозможно установить связей между безразмерными величинами. Все
выводы теории размерности сохраняют свою силу при любых
изменениях в уравнениях движения, если только при этом не
вводится каких-либо новых задаваемых размерных величин.
Например, в уравнениях движения можно умножить различные члены
на некоторые положительные или отрицательные безразмерные
числа или функции, зависящие от принятой системы
определяющих параметров.
Подобные видоизменения, не влияющие на выводы теории
размерности, могут существенно влиять на характер физических
закономерностей.
Основная польза теории размерности для теоретических и
экспериментальных исследований связана с возможностью
записи и изучения физических закономерностей в безразмерном
виде, инвариантном относительно выбора систем единиц
измерения.
§ 8. Параметры, определяющие класс явлений
437
Задача о сферическом Рассмотрим задачу о сферическом поршне,
поршне в газе который, в момент / = О начинает
расширяться внутри покоящегося газа с
начальной плотностью рх и давлением рг от некоторого начального
радиуса г0 по заданному закону Vn^^drjdt.
Для определения возмущенного сферически симметричного
адиабатического движения идеального совершенного газа
необходимо интегрировать систему трех уравнений F.30) с тремя
неизвестными функциями р, р и v. Очевидно, что в качестве задаваемых
независимых аргументов искомых функций можно принять
следующие величины:
V, Рь Ри г0у г, /,
и закон расширения поршня
vn(t), (8.1)
где y=cp/cv— безразмерный постоянный коэффициент —
показатель адиабаты. Коэффициент у входит в уравнение адиабатич-
ности и в условия на ударной волне. Для получения таблицы с
конечным числом определяющих параметров можно выделить
определенные виды законов расширения поршня vn(t)t зависящие от
конечного числа параметров. Например, если поршень расширяется
равномерно ускоренно или, в более общем случае, если vn(t) яв-
ляется полиномом, то в качестве определяющих параметров еле-
дует взять коэффициенты соответствующего полинома.
Рассмотрим простейший важный случай, когда поршень в
момент /=0 начинает внезапно расширяться с постоянной скоростью
vn=const=vQ.
В этом случае систему определяющих параметров можно написать
в виде
Рь Ри г0, у, vQl г, t
или
{ах — скорость звука, отвечающая невозмущенному состоянию).
На основании П-теоремы для искомого решения можно
написать формулы вида
P-ftbM'T.jsr).
438 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
В формулах "(8.3) безразмерные функции /ь /2, /з выражены
через четыре безразмерных параметра, два из них, -~- и —-.
—переменные.
Уравнения F.30) теперь можно переписать в безразмерном
виде для функций /ь /2, /3- Эти уравнения останутся уравнениями
с частными производными по двум независимым переменным
На основании формул (8.3) рассматриваемую задачу можно
существенно упростить, если ввести добавочную схематизацию,
приняв, что в начальный момент времени расширение поршня
начинается из точки, т. е. г0~0.
В этом случае в таблице (8.2) выпадает характерный
линейный размер (г0 = 0), поэтому в (8.3) выпадает один из
.переменных аргументов ( £ = — = 0 J . Следовательно, в этом случае
П-теорема приводит к выводу, что искомое решение имеет вид
/> = Л/.(т,|.л). (8.4)
^ = *>о/з(т, J, л) ,
т. е. от переменных rut искомые функции могут зависеть только
через комбинацию
Таким образом, рассматривая постановку задачи, на
основании теории размерности мы установили, что решение
рассматриваемой задачи о расширении сферического поршня из точки
автомодельно.
.После подстановки (8.4) в уравнения F.30) получим
обыкновенные дифференциальные уравнения для функций Д, /2 и /3.
Первоначальная система нелинейных уравнений с частными
производными сильно упростилась, так как теперь требуется находить
решение обыкновенных, хотя тоже нелинейных уравнений.
Очевидно, что все предыдущие выводы сохранят свою силу
и для других задач об одномерных неустановившихся движениях
газа, в которых система определяющих параметров представляется
таблицей (8.2) или расширенной таблицей с добавлением, например,
размерного постоянного параметра ?*, соответствующего
удельной энергии, выделяемой на фронте волны детонации или волны
горения. Так как q* имеет размерность квадрата скорости, то в
§ 8. Параметры, определяющие класс явлений 439
задаче о поршне, расширяющемся из точки, т. е. при г0—0, с
детонационной волной или с волной горения в области возмущенного
движения формулы для автомодельного решения задачи имеют вид
р-рЦъЬ^-й)' (8-5)
В этом случае число постоянных параметров увеличивается,
однако движение автомодельно, так как по существу имеется только
один переменный параметр.
При более детальном изучении автомодельной задачи о поршне
выясняется, что перед поршнем возникает сферическая ударная
волна, распространяющаяся по невозмущенному газу. Если
рассмотреть характеристики движения на ударной волне, то радиус
г2 сферической ударной волны для автомодельной задачи будет
величиной, определяемой параметрами
Y> 0о, Яь q*> t.
Так как из этих величин нельзя образовать безразмерной
комбинации, содержащей переменную величину — время /, то для г2
получается формула
Отсюда следует, что фронт скачка в рассматриваемых задачах
как при отсутствии, так и при наличии выделения энергии на
скачке расширяется равномерно с постоянной скоростью. Это —
очень важный вывод, который получен без фактического полного
решения задачи.
Предыдущие соображения можно расширять.*и рассматривать
всевозможные постановки задач, приводящие к автомодельным
решениям. Обратим внимание, что автомодельность решения
обеспечивалась отсутствием характерного линейного размера г0 и
отсутствием постоянных, из которых можно было бы образовать
постоянную с размерностью времени.
Если вместо задачи о расширении поршня с постоянной
скоростью рассмотреть задачу о равномерно ускоренном расширении
поршня, то автомодельность решения пропадает и соответствующая
газодинамическая задача будет принадлежать к задачам более
высокого класса трудности.
440 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Задача о точечном взрыве Применим теперь соображения теории
размерности к задаче о точечном взрыве,
поставленной в § 6. Легко видеть, что система определяющих
параметров в этой задаче представится таблицей
у, рь ри £, /\ /. (8.7)
Легко проверить непосредственно, что соответствующие три
безразмерных независимых параметра (п=6, k=3) можно взять
в виде
1/5 б/в,
Т. *в £1/5^/5 > Т = ^р- (8*8)
Для распределения давления за фронтом взрывной ударной
волны имеет место формула следующего вида:'
/> = |?/(гА*)- (8-9)
В этой формуле имеются два переменных параметра, Хит,
и поэтому задача о точечном взрыве и ее решение не являются
автомодельными. Вид функции / в формуле (8.9) можно искать,
в частности, путем численных расчетов, с помощью уравнений
F.30) и дополнительных начальных и краевых условий. Можно
ставить также задачу и об экспериментальном определении этой
функции. В обоих случаях вывод о структуре функциональной
связи (8.9) имеет большое практическое и теоретическое значение.
Конечно, полученные при этом результаты будут
соответствовать действительности только в тех случаях, когда выполняются
предположения, положенные в основу схематизации и постановки
задачи (пренебрежение излучением, однородность и начальная
неподвижность атмосферы и т. п.). Отметим, что к счастью, во
многих важных случаях (однако не всегда) данная постановка
задачи практически отвечает действительности и, следовательно,
полезна.
Для установления функции (8.9) (при фиксированном у)
достаточно одного-единственного расчета при некоторых конкретных
данных. Например, если мы проведем расчет для случая искрового
электрического разряда в воздухе, то это позволит определить
размерные величины для взрыва атомной бомбы. Достаточно
произвести один-единственный экспериментальный взрыв с заданной
энергией на определенной высоте, т. е. при известных pi и рг.
Данные произведенных при этом измерений позволят рассчитать и
предсказать параметры для всех других экспериментов с другими
энергиями £ и с другими известными характеристиками однородной
газовой атмосферы.
Каждый такой расчет или опыт позволит получить данные
о функции /(у, К т)> которых, очевидно, достаточно для описания
точечного взрыва в любых других условиях.
§ 8. Параметры, определяющие класс явлений
441
Постановка задачи о силь- Для концентрированных зарядов, если
ном взрыве изучать действие взрыва на расстояниях,
больших по сравнению с размерами
заряда, но все же достаточно близких к центру взрыва, где
давление от взрыва еще очень велико, в постановку задачи и в
формулу (8.9) можно внести дальнейшие существенные упрощения.
Опыт и теория показывают, что при взрыве на границе области
возмущенного движения газа возникает сферическая ударная
волна, быстро расширяющаяся по покоящемуся газу. Давление
в покоящемся газе рг включено в систему определяющих параметров
(8.7). Влияние давления рг на возмущенное движение газа может
проявиться только через краевые условия на ударной волне. Эти
условия согласно F.33) и F.34) в виде, разрешенном относительно
характеристик движения газа за фронтом волны, можно переписать
следующим образом:
t,eg>M 2Л ElJ\
р2 = Х+1 £i f r810)
MY-l)PiS>2
Р* Y+lPl L 2Pl®2 J '
Согласно условиям задачи здесь принято
tfTi = tfT2 = 0, vn2 = —v2l vnl = —3)
" Pi
В формулах (8.10) в начальной стадии для сильной ударной
волны безразмерная величина y/VPi®2 очень мала по сравнению с
величиной ур2/рг^Jу так как давление за фронтом волны р2
значительно больше, чем начальное давление рг.
Неравенство р2^>рг характеризует резкий скачок давления
на фронте волны—сильную взрывную волну. Пренебрегая малой
величиной порядка а\1&J, условия (8.10) для сильной ударной
волны можно упростить и заменить следующими приближенными
условиями:
2
7+1
pJD2.
Условия (8.11) представляют собой условия на сильной
ударной волне. Эти условия совпадают с точными, когда давление
442 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
перед скачком равно нулю (;?i=0); это соответствует
пренебрежению внутри области, ограниченной взрывной волной, начальной
энергией по сравнению с энергией, выделившейся мгновенно при
взрыве в центре симметрии.
Если при анализе решения и при фактическом решении задачи
о точечном сильном взрыве пользоваться вместо условий (8.10)
условиями (8.11), то давление рг (а следовательно, и т) исключается
из перечня определяющих параметров (8.7). Отсюда следует, что
рассматриваемое движение газа при сильном точечном взрыве
автомодельно.
Распределение характеристик возмущенного движения газа за
фронтом взрывной волны при сильном взрыве можно представить
в виде
v = v2r>{yy X),
/> = /^(у, А,), (8.12)
где v2, р2 и р2 определены формулами (8.11).
Очевидно, что радиус г2 и скорость фронта взрывной волны
&)=dr2/dt определяются величинами
Pi, Y> E, t,
из которых постоянная у безразмерна, а параметры рь Е и t имеют
независимые размерности, и из них нельзя образовать
безразмерной комбинации. На основании П-теоремы для г2и® верны
формулы
'-*(£)*'•<•"•
® = |.й(|-I/5Гз/5=4^/2,/-Г_!_ (8.13)
&/2-i/~£ !_
У pi v л •
где k — некоторая отвлеченная постоянная, зависящая только
от у. Показатели у размерных величин определены из условия
получения для г2 величины с размерностью длины.
Формулы (8.13), полученные с помощью теории размерности
из постановки задачи без фактического решения всей задачи,
определяют собой закон движения ударной волны. При /^0
получается, что г2^0, а скорость ударной волны 3> бесконечна.
С возрастанием времени г2 растет, а скорость ££> падает. Очевидно,
что предположения о сильной ударной волне применимы только
в интервале времени, для которого 3>^аг. Из общей теории
следует, что скорость распространения фронта ударной волны 3) по
частицам всегда больше скорости звука перед фронтом волны.
Из формулы -(8.8) для X и из (8.13) следует, что в качестве X
можно взять величину
X = f, (8.14)
'2
§ 8. Параметры, определяющие класс явлений
443
изменяющуюся в области возмущенного движения в интервале
(О, 1).
Проблема определения возмущенного движения сводится к
определению функций ^(у, Х)> 9* (у, X), 3£(у, К) и постоянной k(y).
Условия на ударной волне.приобретают простой вид
**(Y. 1) = *»(?. 1) = Я(у, 1)=1. (8.15)
В центре симметрии условие об отсутствии источника массы
сводится к условию об обращении скорости частиц газа в нуль,
т. е.
9" (у, 0)=0. (8.16)
Условие о постоянстве полной энергии в возмущенном движении
газа имеет вид
На основании (8.12) и (8.14) это условие сводится к следующему:
32я#
1^WirnW^2^+^)^2^
(8.17)
/
0.5
7=?fi
Это условие можно использовать для вычисления постоянной k
Очевидно, что функции °Р, 9*
и 54 удовлетворяют обыкновенным
дифференциальным уравнениям.
Эти уравнения необходимо решить
в интервале 0^^^ 1, причем
условия (8.15) и (8.16) представляют
собой краевые условия на двух
концах интервала.
Здесь мы не будем решать эту
задачу г . Заметим только, что для
фактического получения решения
этой задачи можно, не опираясь на
фактически написанные
обыкновенные дифференциальные
уравнения, с помощью соображений
теории размерности написать два
конечных интеграла системы трех
обыкновенных дифференциальных
уравнений и таким путем получить
в конечном простом виде точное
решение задачи о сильном точечном взрыве. На рис. 60 даны
графики результата решения задачи о сильном точечном взрыве.
\v,£,A
vz рг рг
У
V / /(
vz/ \\
У Р \
У vl
р 1
D
0.5
Рис. GO. Распределение давления,
скорости и плотности за фронтом
ударной волны при сильном
точечном взрыве
Полное исследование и решение этой задачи дано в цит. кн. Седов Л.И. Методы
подобия и размеоности в механике.
444 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Движение твердого тела Одними из самых главных, центральных
в бесконечной массе вяз- задач механики сплошной среды являются
кои несжимаемой жид- r J
кости задачи о движении тел внутри жидкостей
и газов, задачи о вызванном телом
возмущенном движении жидкостей или газов и о силах их
взаимодействия с телами.
На границах тел, находящихся в контакте с внешней подвижной
сплошной средой, возникает система сил взаимодействия.
Большое практическое значение имеют свойства этих сил
взаимодействия, их зависимость от законов движения тел, от геометрической
формы и других особенностей движущейся системы тел. В
технических задачах, связанных с расчетом движения всевозможных
объектов и аппаратов в воде и воздухе, равновесия всевозможных
технических сооружений, например домов и башен, плотин и
трубопроводов и т. д., большое значение имеют данные о
силах взаимодействия этих объектов и сооружений с окружающей
средой.
Из общей постановки задачи и теории размерности можно
вывести некоторые общие следствия, имеющие важное значение
для методов расчета различных объектов и для проведения
экспериментов.
Изучим основную схематизированную задачу о поступательном
движении с постоянной скоростью абсолютно твердого тела
внутри невесомой несжимаемой жидкости, находящейся в контакте
с телом и заполняющей все внешнее по отношению к поверхности
2 тела пространство. При этом примем, что форма поверхности
2 произвольна, но фиксирована и все геометрические размеры 2
определяются полностью заданием только одного какого-либо
характерного размера d. Для практики это важный типичный
случай движения твердого тела, вместе с тем требуется также
рассматривать задачи о движении систем деформируемых «твердых»
и других тел, движения не поступательные, ускоренные и т. д.
В рамках теории поступательного движения внутри среды
конечных тел, ограниченных поверхностью 2, представляющей
собой границу среды, можно рассматривать две фундаментальные
эквивалентные постановки задачи.
Ал Первая постановка относится к задаче об
Абсолютное движение У
«абсолютном» движении, когда
принимается, что жидкость или газ перед телом в бесконечности
покоится, находится в невозмущенном состоянии, а тела движутся
с постоянной поступательной скоростью v.
Вторая постановка отвечает задаче об об-
Обращение движения. За- текании неподвижных тел поступательным
дача обтекания J
потоком жидкости или газа, имеющим
в бесконечности перед телом постоянную скорость—v.
Согласно принципу Галилея — Ньютона прибавление ко всей
системе (внешняя среда и тело) поступательной скорости — v
§8. Параметры, определяющие класс явлений
445
равносильно переходу от одной инерциальной системы к другой.
Следовательно, в этих двух постановках все силовые
взаимодействия одинаковы, относительное поле скоростей в задаче об
обтекании получается прибавлением во всех точках к вектору
абсолютной скорости вектора — v.
Такая эквивалентность положена в основу многих
экспериментальных методов исследования этой задачи. Вместо опытов с
полетом или плаванием тел ставятся опыты с неподвижными телами
в аэродинамических трубах, в гидродинамических лотках и других
устройствах. Очевидно, что требование полной эквивалентности
задач о полете и об обтекании на практике связано с
пренебрежением влиянием других тел, в частности стенок аэродинамических
труб и каналов и т. п. В случаях, когда это влияние не мало, оно
должно специальным образом учитываться.
В общей постановке задачи условия в бесконечности
формулируются для состояний и скоростей перед телом. Это связано
с тем, что при рассмотрении установившихся движений как
предела бесконечно долго продолжавшихся неустановившихся
движений путь, пройденный телом, в пределе получается бесконечно
большим. Поэтому за телом в бесконечности движение жидкости
или газа получается вообще возмущенным. С таким положением
приходится встречаться в теории крыла конечного размаха, в
теории движения корабля и во многих других случаях.
Система параметров, опре- Начнем с изучения движения тела в вязкой
деляющих поле скоростей и несжимаемой однородной жидкости. Из общих
напряжений при движении уравнений гл. IV следует, что механические
тела с постоянной скоростью свойства вязкой несжимаемой жидкости
в несжимаемой вязкой жид- ВПОлне определяются двумя постоянными:
кости, заполняющей все г j__i_
ПрОСТранств0 плотностью р и коэффициентом вязкости \х.
Две химически разные вязкие несжимаемые
жидкости вполне определяются двумя постоянными: плотностью р и
коэффициентом вязкости ц. Две химически разные вязкие
несжимаемые жидкости с одинаковыми р = const и ji = const неразличимы с точки
зрения механики. Задача об установившемся обтекании неподвижных
тел несжимаемой вязкой жидкостью
представляет собой задачу об интегрировании
уравнений Навье-Стокса с условиями
прилипания жидкости на поверхности тел
и с условием, что скорость - V и
давление р„ в бесконечности в набегающем
потоке заданы. Для нелинейных
уравнений Навье-Стокса эта математическая
задача очень трудна, нет даже частных n Cl n
г**тп„„ KJ J Рис. 61. Схема к задаче о
точных решений этой задачи для какого- ДВИжении тела в жидкости
либо тела самой простой формы.
Тем не менее имеется множество разнообразных теоретических
выводов и опытных данных, позволяющих оценивать характер
силовых взаимодействий и свойств течения жидкости, получать
446 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
некоторое представление о влиянии формы тела на величину
силовых взаимодействий между жидкостью и телом.
В системе координат, связанной с телом, установившееся поле
скоростей относительного или абсолютного движения вязкой
несжимаемой жидкости, а также распределение давлений и
внутренних вязких напряжений определяются как функции следующей
системы параметров:
р, \iy dy v, а-, р, р„, х, у, г, (8.18)
где а, р — углы, определяющие ориентацию вектора
поступательной постоянной скорости тела относительно системы координат,
связанной с телом (рис. 61).
На каждом элементе поверхности тела 2
Подъемная сила и сопро- со СТОроны жидкости на тело действует
поверхностная сила pnda (по условию
задачи массовые силы учитывать не будем).
С точки зрения результирующего эффекта действия этих
элементарных сил на тело, рассматриваемое как твердое, важное
значение имеют только суммарная сила Р (главный вектор) и
суммарный момент Ш, определенные интегралами
Р = \р,№ ЯЯ = J (гxpjda. (8.19)
Главный вектор сил Р можнэ представить в виде суммы
P=W+A.
Вектор силы IV,, параллельный вектору скорости v, если он
направлен против г>, называется силой сопротивления, а сила А,
перпендикулярная к вектору скорости v, называется подъемной
силой. Силы W и А и момент Ш можно определять на
основании теоретических расчетов с помощью непосредственного или
косвенного вычисления интегралов (8.19) или с помощью опытов
с измерениями сил на весах, например, в аэродинамических
трубах, или в специальных водяных трубах, или из опытов других
видов.
В опытах и в теории силы IV и А можно рассматривать как
величины, определяемые параметрами
р, ii, d, v, а, р\ />„. (8.20)
Изменение давления /?«, Легко усмотреть, что при определении сум-
не влияет на суммарные марных сил величина давления в бесконеч-
снлы (если жидкость иесжн- т>
маемая) ^^ ности p„ несущественна. В самом деле, в
уравнения Навье-Стокса для несжимаемой
жидкости давление входит только
посредством своих производных по координатам, поэтому при добавлении к
давлению постоянной при неизменной поле скоростей одно решение пере-
§8. Параметры, определяющие класс явлений
447
ходит в другое решение. Отсюда видно, что давление в потоке
является аддитивной функцией давления в бесконечности р^.
Отметим, что этот вывод верен только для несжимаемой
жидкости. С другой стороны, из теоремы Гаусса—Остроградского
следует, что для всякой замкнутой поверхности 2,
ограничивающей объем Vy верны равенства
— \p.condo:==— Poo \[icos(n, x)+jcos(n, y) + kcos(n> z)]do=*
' v
— f rxpjida—
= —A» j[rx/cos(/*, x) + rxjcos(n, y) + rxkcos(nt z)]do =
._,.J[^+iigfl+Mgfi]A_o.
V
Отсюда следует, что предположение о несжимаемости
позволяет в перечне определяющих параметров (8.20) исключить
величину р„. Из оставшихся шести параметров (n=6, k=3) можно
образовать только три безразмерных параметра:
a, p, R = pwi/|i. (8.21)
Углы а и Р характеризуют направление скорости v тела
относительно 2. Если тело — шар, то углы а и Р несущественны, в
других случаях ориентация вектора скорости по отношению к телу
существенна и поэтому углы a, p — существенные параметры.
Безразмерное число R называется числом Рейнольдса. Числе
Рейнольдса играет фундаментальную роль во всех явлениях,
связанных с вязкостью жидкостей и газов.
Легко проверить, что комбинации pd2v2 и \ivd=pd2v2/R имеют
размерности силы. Теперь на основании П-теоремы можно написать
W = cw(*y p, R)piM»,
Л = сл(<х, р, R)pu*d\ (8.22)
3R = c«(a, p, R)pcM«.
Отвлеченные коэффициенты г cw, cA> сш зависят только от a, p
и числа Рейнольдса R. Определение этих коэффициентов для
тел различной формы как функций указанных аргументов
Здесь для простоты мы отмечаем только коэффициенты для модулей силы А
и момента «Щ, на практике необходимо рассматривать аналогичные коэффициенты
Для компонент этих векторов.
448 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
ТО3
10г
70*
10°
W'1
к N
«t
N
V
А»_^ ^^•
о Шилл
• Либо
© Алле
© Теп?)
о
—Труб
Г Г !
*ер-Шмидель 1920
тер 1924
w 1990
ъинген 1921
1926
а повышенного дав\
?и,,а 1090/90
,
"V
W
-
■—>~ |
10~2 W1 10° 101
102 103 104 105 106
W
ю7
Рис. 62. Коэффициент сопротивления шара cw = —-^ %■ как функция числа
pvd
per
4 Г
Рейнольдса R = -— (d—диаметр шара)
М-
5000
50 200
Рис. 63. Коэффициент сопротивления шара при малых значениях числа
Рейнольдса Масштаб по-оси абсцисс логарифмический (v = p./p)
§8. Параметры, определяющие класс явлений
449
представляет собой одну из главных задач теоретической и
экспериментальной аэродинамики и гидродинамики,
В настоящее время имеется очень много данных об этих
коэффициентах для большого числа разнообразных тел, с которыми
встречаются на практике в технике.
Влияние вязкости жидкости на движение и, в частности, на
сопротивление и на подъемную силу сказывается только через
посредство числа Рейнольдса. Из формулы для числа Рейнольдса
(8.21) следует, что влияние вязкости, проявляющееся через
коэффициент вязкости ц, тесно связано с плотностью р, скоростью v
и линейным масштабом d. Для различных отвлеченных функций
эффект увеличения вязкости равносилен уменьшению либо
линейных размеров, либо скорости, либо плотности жидкости.
«Очевидно, что увеличение масштаба тела или скорости движения при
фиксированной вязкости
равносильно уменьшению вязкости
при фиксированных размерах и
скорости.
На рис. 62 представлены
экспериментальные данные о
влиянии числа Рейнольдса на
коэффициент сопротивления cw для
шара в различных диапазонах
значения числа Рейнольдса.
Экспериментальные данные,
полученные в различных
жидкостях и в воздухе, хорошо
ложатся на единую кривую. При
малых значениях числа
Рейнольдса уравнение этой кривой
имеет вид cw=c/R, на рис. 63—
прямая, так как по оси абсцисс
принят логарифмический
масштаб. На рис. 64 приведены
для примера типичные кривые,
дающие зависимости
коэффициентов cw и сА для крыла в функции от угла атаки — угла наклона
скорости движения крыла к профилю крыла.
С помощью (8.22) и безразмерных коэффициентов сА и %,
определенных в одних опытах, например при движении данного тела
в воде, можно в других случаях, в которых опыт не производился,
рассчитать сопротивление и подъемную силу для другого тела той
же геометрической формы, но других размеров, движущегося в
других жидкостях или даже в воздухе, если сжимаемостью воздуха
можно пренебречь. Очевидно, что при такого рода расчетах
необходимо располагать и пользоваться данными для коэффициентов
са и cw при одних и тех же значениях углов а, р и одинаковых
-я
л
—а i
CAi
\
Jm
0,6
ОА
° О
-0,2
Ъ
5cw
Y*4° 8° 12° 76° 20
ОС
—^- I
С,=
£°?я
Сш—
W
2 *
Рис. 64. Типичные кривые зависимости
коэффициентов подъемной силы сл и
сопротивления су для крыла от угла
атаки а E—площадь крыла в плане)
29. Л.И. Седов
450 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
значениях числа Рейнольдса R=pt>d/fx. В предварительных
опытах необходимо получать данные для коэффициентов cw и .сА в
нужных диапазонах безразмерных аргументов а, р и R, которые
определяются условиями приложений в практических задачах.
Рассмотрим случаи медленных движений
в вязкой жидкости, соответствующие ма-
движения частицы в вязкой лым значейиям числа Рейнольдса. Умень-
несжимаеомй жидкости при шение числа Рейнольдса соответствует уве-
малых числах Рейнольдса , , J
личению коэффициента вязкости |1 и
относительному увеличению сил внутренних
напряжений, обусловленных вязкостью. Если пренебречь силами инерции по
сравнению с силами вязкости, то это равносильно допущению о
несущественности плотности р как определяющего параметра. Пренебрежение
плотностью в уравнениях Навье-Стокса соответствует вычеркиванию
члена с ускорением. Соответствующие математические задачи и их
решения составляют приближенную теорию Стокса.
В этом случае сопротивление W при поступательном движении
тела данной формы с постоянной скоростью v определяется
параметрами
Ц, d, vy a% p. (8.23)
Так как из величин fx, d и v нельзя образовать безразмерных
комбинаций, то отсюда следует, что
W^c(a9^)iivd^pv4\ %~^i># (8.24)
Следовательно, при малых значениях числа Рейнольдса сила
сопротивления (аналогично этому и подъемная сила)
пропорциональна первой степени скорости движения тела, линейному
размеру d и коэффициенту вязкости \i. Безразмерный коэффициент с
зависит только от направления скорости тела относительно его
поверхности. Для шара с — постоянная, которую можно найти
из одного-единственного опыта. Теоретический расчет для шара
дает с=3я, если d — диаметр шара. Для тел произвольной формы
из первой формулы (8.24) следует формула cw=c(ay p)/R,
определяющая зависимость коэффициента cw от числа Рейнольдса при
малых значениях числа Рейнольдса. Опыты хорошо подтверждают
эту формулу и позволяют указать наибольшие значения числа
Рейнольдса, зависящие от формы тела, при которых формула (8.24)
практически вполне применима.
Закон сопротивления (8.24) применим, например для описания
процесса оседания мелких частиц в жидкости. Однако при
движении подводных лодок в воде, летательных аппаратов в воздухе
и даже автомобилей за счет больших размеров и большой скорости
соответствующие числа Рейнольдса получаются большими, и
поэтому формула (8.24) становится недействительной.
§8. Параметры, определяющие класс явлений
451
Движение в вязкой жид- в идеальной жидкости |1е*0, поэтому иде-
кости при очень больших альНая жидкость соответствует бесконечно
числах Реинольдса ^ ^ «
4 большим значениям числа Реинольдса.
Большие значения числа Реинольдса можно рассматривать при
ц^О, но при vd—*oo, т. е. для тел больших размеров и, вообще
говоря, для больших скоростей движения. В идеальной жидкости
сопротивление и подъемная сила определяются параметрами
р, d, v, a, p и R = oo (8 25)
Следовательно, в идеальной жидкости при установившемся
обтекании должны выполняться формулы
W=cw(a9 P)pu2d2, А=сл(а, $)pv2d*. (8.26)
Формулы (8.26) показывают, что в идеальной жидкости или,
приближенно, в вязкой жидкости при R-^oo сопротивление и
подъемная сила пропорциональны квадрату скорости движения и2,
характерной площади d2 и плотности жидкости. Во многих важных
случаях эти закономерности, полученные из постановки задачи
только с помощью П-теЬремы, хорошо соответствуют опыту и
всегда точно отвечают теоретическим расчетам в рамках
гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости.
Сопротивление кораблей ПРИ ««жении коРабля п0 поверхности
^ * воды часть границы жидкости является
свободной поверхностью. Возмущенное движение воды в этом
случае зависит от свойства ее весомости, благодаря которому
поверхность воды покрывается системой волн. Подъемная сила и
сопротивление при движении кораблей зависят от свойства
весомости воды. Поэтому при поступательном движении корабля
с постоянной горизонтальной скоростью с фиксированной
ориентацией относительно свободной поверхности жидкости, заполняющей
все нижнее полупространство, система определяющих параметров
представится таблицей
Р, Ц, g, d, v. (8.27)
Из этих параметров (л=5, &=3) можно составить две независимые
безразмерные комбинации:
^ = R, -^ = F. (8.28)
Безразмерный параметр F называется числом Фруда.
Число Фруда является существенным безразмерным
параметром во всех задачах, в которых в качестве определяющих
величин присутствуют я, d и g. Влияние силы тяжести учитывается
и проявляется для безразмерных определяющих величин через
число Фруда.
452 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Формулу для сопротивления корпуса корабля можно написать
в виде
r = <v(R, F)pSv\ (8.29)
где S — характерная площадь, обычно принимаемая равной
смоченной площади внешней поверхности корпуса при равновесии
корабля на поверхности воды. Определение зависимости cw от R, F
и геометрических форм корпуса — основная проблема в
гидродинамике судов.
Безразмерные параметры R и F как характерные аргументы
встречаются не только в рассмотренных выше вопросах; эти
параметры используются и играют важную роль во многих других
проблемах, в которых среди определяющих параметров находятся
величины р, ц,, g, v и d, т. е., вообще говоря, всегда, когда свойства
вязкости и весомости среды существенны. В частности, число Рей-
нольдса имеет фундаментальное значение в проблемах движения
вязкой жидкости по трубам.
Данную выше постановку основной задачи
Задача о движении тела ^ установившемся движении тела в бес-
в идеальном газе »
конечной массе жидкости видоизменим
следующим образом: будем считать, что внешняя среда
представляет собой идеальный совершенный газ. Свойства сжимаемости
учитываем и принимаем, что процессы в каждой частице
адиабатические, обратимые в области непрерывных движений и
необратимые при переходе частиц газа через скачки уплотнения,
присутствие которых в потоке допускается.
В задаче об обтекании неподвижного тела в бесконечности
имеем заданные давление рж, плотность р^ и скорость потока и„.
В этом случае распределение характеристик состояния и движения
газа определяется системой параметров
Y = i^, р„, Роо, vm% a, p, d, х, у, z. (8.30)
Су
Координаты точек пространства ху у' z берем в системе,
связанной с телом. Имеем п=10 и £=3. Очевидно, что все безразмерные
искомые величины определяются семью безразмерными
параметрами:
Y.TFf—M., а, р, J. £.£. (8.31)
причем
"-- /¥■
где, как и раньше, а, A — углы, задающие ориентацию
набегающего потока относительно тела; а^— скорость звука в
бесконечности в набегающем потоке; М^— число Маха. Число Маха
М^ в рассмотренной задаче играет роль, аналогичную числу
Рейнольдса или числу Фруда в задачах, рассмотренных раньше.
§8. Параметры, определяющие класс явлений
453
Среди параметров (8.30), в частности, может отсутствовать
линейный размер d, например, при -изучении задачи об обтекании
бесконечных клина и конуса, когда начало системы координат
взято в острие конуса или клина. В этом случае возникает свойство
автомодельности; вместо трех безразмерных аргументов x/df y/d,
zld получается только два безразмерных аргумента ylxy zlx.
В рассматриваемой задаче для сопротивления и подъемной
силы верны формулы следующего вида:
W = cw(а, р, т, MJpidd2, А = сА(а, р, у, МJpvidK (8.32)
Очевидно, что в идеальном сжимаемом газе квадратичная
зависимость сил W и А от скорости v из-за влияния числа Маха
нарушается. Формулы (8.32) верны как для дозвуковых (MW<1), так
и для сверхзвуковых (М00>1) скоростей набегающего потока. При
обтекании со сверхзвуковыми скоростями в потоке могут быть
скачки уплотнения. Функции cw(ay Р, у, MJ и сА(а9 р, у, Mw)
можно определять путем расчета на основании решения
гидродинамической задачи или с помощью опытов в
аэродинамических трубах, на специальных газодинамических
установках или в свободном полете.
3 Б Рассмотрим классическую задачу Бусси-
адача уссинеска неска из теории упругости. Пусть имеется
однородная упругая среда, подчиняющаяся закону Гука и
заполняющая полупространство. На плоскости, представляющей собой
свободную поверхность упругого полупространства, по условию
отсутствуют внешние поверхностные силы.
Начальное, недеформированное состояние полупространства
соответствует состоянию, в котором отсутствуют всякие внешние
нагрузки и внутренние напряжения.
Деформированное состояние вызывается тем, что
в некоторой точке свободной поверхности
упругого полупространства приложена
концентрированная сила 9s. Для простоты
примем, что сила 5* перпендикулярна к
граничной плоскости в недеформированном состоя- ,,^t
нии (рис. 65). Задача состоит в определении у^
напряженного и деформированного состояний \
в упругом полупространстве при
равновесии в предположении, что при удалении в Рис. 65. Схема к задаче
бесконечность от точки О перемещения стре- Буссинеска
мятся к нулю. Очевидно, что решение этой
задачи обладает осевой симметрией, причем ось симметрии
проходит через вектор силы.
Рассмотрим эту задачу в рамках линейной теории упругости
с линеаризованным граничным условием на свободной
поверхности, перенесенным на начальную граничную невозмущенную
454 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
плоскость. Это граничное условие имеет вид
А.-О
во всех точках свободной поверхности, за исключением точки О,
в которой рпп обращается в бесконечность, но так, что
Рпп-*ЫГ) (8.33)
где б (г) — дельта-функция Дирака.
-Из уравнений движения, добавочных условий (8.33) и условий
в бесконечности очевидно, что вектор перемещения и компоненты
тензора внутренних напряжений определяются следующими
параметрами:
о, Е 5\ г, 9, (8 34)
где г и 9 — полярные координаты с центром в точке О в
плоскостях, проходящих через вектор силы 9*\ а — коэффициент
Пуассона и Е — модуль Юнга. Уравнения равновесия представляют
собой уравнения в частных производных с двумя независимыми
переменными г и 0. Из пяти параметров (8.34) можно образовать
только три независимые безразмерные комбинации:
а, 9, ^, (8.35)
так как модуль Юнга HMeet размерность давления. Отсюда следует,
что все искомые безразмерные величины зависят от трех
параметров (8.35).
Важное значение имеет линеаризация задачи. Так как величина
силы 3s входит в граничное условие линейно, то очевидно, что
поле перемещений и внутренних напряжений зависит от силы 3s
линейно, т. е. все искомые компоненты вектора перемещения и
компоненты тензора внутренних напряжений просто
пропорциональны параметру Э*1Ег2. Поэтому, зная размерности искомых
величин, мы полностью определим их зависимость от радиуса-
вектора г. Например, для вектора перемещения w(Py Е, а, г, 9),
размерность которого есть размерность длины, можно написать
*>-&rf(o,Q)9 (8.36)
где /(а, 9) — некоторый вектор, зависящий только от одной
переменной координаты.
Подстановка формулы (8.36) в уравнения равновесия приводит
к обыкновенным дифференциальным уравнениям для искомых
безразмерных функций. Эти соображения сильно упрощают задачу.
Нужное решение легко получается с помощью интегрирования
соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений:
§ 9. Подобие и моделирование явлений
455
§ 9. Подобие и моделирование явлений
Моделирование и физиче- Теория размерности и подобия имеет боль-
ское подобие шое значение при моделировании
различных явлений. Моделирование есть
замена изучения интересующего нас явления в натуре изучением
аналогичного явления на модели меньшего или большего
масштаба, обычно в специальных лабораторных условиях. Основной
смысл моделирования заключается в том, чтобы по результатам
опытов с моделями можно было давать необходимые ответы о
характере эффектов и о различных величинах, связанных с
явлением, в натурных условиях.
В большинстве случаев моделирование основано на
рассмотрении физически подобных явлений. Изучение интересующего нас
натурного явления мы заменяем изучением физически подобного
явления, которое удобнее и выгоднее осуществить. Механическое
или вообще физическое подобие можно рассматривать как
обобщение геометрического подобия. Две геометрические фигуры
подобны, если отношения всех соответственных длин одинаковы.
Если известен коэффициент подобия — масштаб, то простым
умножением размеров одной геометрической фигуры на величину
масштаба получаются размеры другой, ей подобной геометрической
фигуры.
Два явления физически подобны, если по заданным
характеристикам одного можно получить характеристики другого
простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы
единиц измерения к другой. Для осуществления пересчета
необходимо знать «переходные масштабы».
Численные характеристики для двух различных, но подобных,
явлений можно рассматривать как численные характеристики
одного и того же явления, выраженные в двух различных системах
единиц измерения. Для всякой совокупности подобных явлений
все соответствующие безразмерные характеристики (безразмерные
комбинации из размерных величин) имеют одинаковое численное
значение. Нетрудно видеть, что обратное заключение также
справедливо, т. е. если все соответствующие безразмерные
характеристики для двух движений одинаковы, то движения подобны.
Совокупность механически подобных движений определяет собой
режим движения.
Подобие двух явлений иногда можно понимать в более
широком смысле, принимая, что указанное выше определение
относится только к некоторой специальной системе характеристик,
полностью определяющей явление и позволяющей находить любые
другие характеристики, которые, однако, нельзя получить простым
умножением на соответствующие масштабы при переходе от одного
к другому «подобному» явлению. Например, в этом смысле два
любых эллипса можно считать подобными при использовании
456 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
декартовых координат, направленных по главным осям эллипсов.
Указанным пересчетом можно получить декартовы координаты
точек любого эллипса через координаты точек какого-либо одного
эллипса (аффинное подобие).
Для сохранения подобия при моделировании необходимо
соблюдать некоторые условия. Однако на практике сплошь и рядом
эти условия, обеспечивающие подобие явления в целом, не
выполняются, и тогда встает вопрос о величине погрешностей
(масштабном эффекте), которые возникают при переносе на натуру
результатов, полученных на модели.
w л После установления системы параметров,
Критерии подобия J r r „
определяющих выделенный класс явлении,
нетрудно установить условия подобия двух явлений.
В самом деле, пусть явление определяется п параметрами,
некоторые из них могут быть безразмерными. Допустим далее,
что размерности определяющих переменных и физических
постоянных выражены через размерности k из этих параметров с
независимыми размерностями (k^/i). Очевидно, что тогда из п величин
можно составить п — k независимых безразмерных комбинаций.
Все безразмерные характеристики явления можно рассматривать
как функции от этих п — k независимых безразмерных
комбинаций, составленных из определяющих параметров. Следовательно,
среди всех безразмерных величин, составленных из характеристик
явления, всегда можно указать некоторую базу, т. е. систему
безразмерных величин, которые определяют собой все остальные.
Определенный соответствующей постановкой задачи класс
явлений содержит явления, вообще не подобные между собой.
Выделение из него подкласса подобных явлений осуществляется с
помощью следующего условия.
Для подобия двух явлений необходимо и достаточно, чтобы
численные значения безразмерных комбинаций, образующих базу,
в этих двух явлениях были одинаковы. Условия о постоянстве базы
отвлеченных параметров, составленных из заданных величин,
определяющих явление, называются критериями подобия.
Если условия подобия выполнены, то для фактического
расчета всех характеристик в натуре по данным о размерных
характеристиках на модели необходимо знать переходные масштабы
для всех соответствующих величин. Если явление определяется п
параметрами, из которых k имеют независимые размерности, то
для величин с независимыми размерностями переходные масштабы
могут быть произвольными и их нужно задать с учетом условий
задачи, а при экспериментах — и с учетом условий опытов.
Переходные масштабы для всех остальных размерных величин легко
получаются из формул, выражающих размерности каждой
размерной величины через размерности k величин с независимыми
размерностями, для которых масштабы подсказаны условиями
опыта и постановки задачи.
§9. Подобие и моделирование явлений
457
Подобие при обтекании в задаче об установившемся обтекании тела
тел вязкой несжимаемой несжимаемой вязкой жидкостью все без-
жидкостью размерные величины определяются тремя
параметрами: углами а, р и числом Рейнольдса R. Условия
физического подобия—критерии подобия представляются
соотношениями
а = const,
Р = const,
1*=^=const.
Здесь подразумевается, что постоянные значения а, [5 и R
означают одинаковость этих величин в различных подобных
(соответственных) явлениях.
При моделировании явления результаты опытов с моделью
можно переносить на натуру только при одинаковых а, Р и R.
Первые два условия всегда легко осуществить на практике.
Труднее удовлетворить третьему условию (R=const), особенно в тех
случаях, когда обтекаемое тело имеет большие размеры, как,
например, крыло самолета. Если модель меньше натуры, то для
сохранения величины числа Рейнольдса необходимо либо
увеличивать скорость обтекающего потока, что практически обычно
неосуществимо, либо существенно изменять плотность и вязкость
жидкости. На практике эти обстоятельства приводят к большим
затруднениям при изучении аэродинамического сопротивления.
Необходимость постоянства числа Рейнольдса привела к постройке
гигантских аэродинамических труб, в которых можно производить
продувки самолетов в натуральную величину, а также труб
закрытого типа, в которых циркулирует с большой скоростью
сжатый, т. е. более плотный, воздух.
Специальные теоретические и экспериментальные исследования
показывают, что в ряде случаев для тел хорошо обтекаемой формы
число Рейнольдса заметно влияет только на безразмерный
коэффициент лобового сопротивления и иногда очень слабо влияет на
безразмерный коэффициент подъемной силы и на некоторые другие
величины, играющие весьма важную роль в различных практических
вопросах. Следовательно, различие в значении числа Рейнольдса на
модели и натуре в некоторых вопросах не является существенным.
Мы указали условия подобия для движе-
Подобие при обтекании ния тел без учета свойства сжимаемости
тел газом с учетом ежи- воздуха, которое несущественно при ско-
маемостн ростях, малых по сравнению со скоростью
звука.
В аэродинамике полетов с большими дозвуковыми и
сверхзвуковыми скоростями влияние сжимаемости проявляется в первую
очередь за счет числа Маха. В разобранной выше постановке задачи
о движении в безграничной массе газа крыла или вообще тела
458 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
любой формы при адиабатических процессах система отвлеченных
определяющих параметров представляется таблицей (8.31).
Параметрами, определяющими глобальные характеристики потока газа
или характеристики движения и состояния в характерных точках,
являются величины
а, Р, V. м«о = ^-
При моделировании необходимо обеспечить одинаковые значения
этих параметров в натуре и в модельном эксперименте. Очевидно,
что постоянство у и числа Маха Мте— наиболее существенные
критерии подобия. Значения у связаны с выбором свойств газа.
Для одного и того же газа условие у=const выполняется
автоматически. Постоянство Мм должно обеспечиваться основными
условиями постановки опытов.
Изменяя при моделировании основные па-
0 трудностях моделиро- раметры, мы встречаемся с проявлением
в модельных опытах различных эффектов,
которые в принятой постановке задачи для интересующего нас
натурного явления несущественны. Например, при установившихся
обтеканиях крыльев потоком воздуха с малыми скоростями число
Маха мало, и поэтому свойство сжимаемости воздуха
несущественно. Основным критерием подобия в этом случае является число
Рейнольдса. При моделировании обтекания в воздушных
аэродинамических трубах стремление сохранить число Рейнольдса R=pvd/\x
при уменьшении размера d приводит, вообще говоря, к
необходимости на малой модели повышать скорость v. Увеличение
скорости набегающего потока приводит к увеличению числа Маха Мю.
Число Маха на малой модели будет большим, чем на натуре,
и, хотя на натуре влияние сжимаемости может быть
несущественным, на модели эффект влияния сжимаемости может резко
проявиться, и подобие может нарушиться. Такого рода
обстоятельства вносят существенные затруднения в постановку
аэродинамических опытов и выдвигают ряд требований, которые
следует учитывать при конструировании аэродинамических труб.
Другими примерами существенных эффектов, которые могут
проявляться в модельных опытах и отсутствовать в подлежащих
изучению натурных явлениях, могут служить эффекты кавитации,
возникающие при движении тел в воде, и эффекты конденсации
газов в испытательных установках. Возникновение этих эффектов
связано с понижением размерных значений давления и
температуры в некоторых областях движущейся среды. (Кавитация —
это испарение воды в области низких давлений, а конденсация
воздуха в аэродинамических трубах может происходить за счет
очень резкого падения температуры при адиабатическом
расширении частиц газа в некоторых частях газового потока.) Для
устранения кавитации в воде требуется (см. гл. VIII) повышать «не-
§ 9. Подобие и моделирование явлений
459
существенное» внешнее давление в бесконечности р^. Для
устранения конденсации газа требуется увеличивать в набегающем потоке
температуру Тт% несущественную с точки зрения критериев подобия
в первоначальной постановке задачи. В связи с этим в
аэродинамических трубах с большими сверхзвуковыми скоростями
осуществляется, вообще говоря, значительный подогрев рабочего газа.
При моделировании плавания кораблей
Моделирование плавания для ИЗучения их сопротивления и выяс-
кора леи нения многих других гидродинамических
вопросов (брызгообразование, качка на ходу, заливаемость при
движении по взволнованному морю и т. д.) проводятся
буксировочные гидродинамические испытания малых моделей кораблей
в специальных каналах.
Из данной выше постановки задачи и (8.28) следует, что для
подобия в натуре и на модели необходимо выдерживать
постоянными значения числа Рейнольдса R и числа Фруда F. Однако
легко видеть, что для воды при g=const одновременно
удовлетворить равенствам
Ri = — = const и F = г— = const
при условии уменьшения размера d невозможно. Из требования
постоянства числа Рейнольдса следует, что скорость модели должна
быть больше, чем скорость натурного изделия, а из требования
постоянства числа Фруда следует, что скорость модели должна
быть меньше скорости натурного изделия.
м . Таким образом, строго говоря, полное ме-
Моделирование по Фруду г *
KJ J ханическое подобие при моделировании
плавания кораблей при условии сохранения g и v = |i/p вообще
неосуществимо. Однако детальное проникновение в сущность
гидродинамических явлений показывает, что во многих вопросах
влияние числа Рейнольдса можно учесть с помощью дополнительных
расчетов или простых опытов. В гидродинамике обычных судов
основное значение имеет число Фруда, и поэтому моделирование
проводится с соблюдением постоянства числа Фруда — по Фруду.
Рассмотрим теперь еще задачу о модели-
S^™"L^°uHi Р°вании Равновесия Упругих конструкций.
FJ Пусть мы имеем какое-нибудь сооружение
из однородного материала, например ферму моста. Упругие
свойства изотропного материала определяются двумя постоянными:
модулем Юнга £, кГ/см2, и безразмерным коэффициентом
Пуассона а. Рассмотрим геометрически подобные конструкции и
составим таблицу определяющих параметров.
Для определения всех размеров модели достаточно задать
некоторый характерный размер d. Если в рассматриваемом состоянии
равновесия вес конструкции существен, то удельный вес материала
V^Pg> кТ/см3у должен фигурировать в качестве определяющего
460 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
параметра. Кроме силы веса частей сооружения, на него обычна
действуют еще внешние нагрузки, распределенные некоторым
определенным образом по элементам конструкции. Пусть величина
этих нагрузок определяется силой 5\ кГ. Итак, система
определяющих параметров будет следующей:
а, £, d, pg, P.
В этом случае имеем n=5, k=2, следовательно, базой для
механически подобных состояний упругого равновесия будут три
безразмерных параметра:
' (jgd* Ed2'
Критерии подобия заключаются в постоянстве этих параметров
на модели и в натуре. При выполнении этих условий все
деформации будут подобными. Если модель в п раз меньше натуры, то
на модели все перемещения будут в п раз меньше, чем в натуре.
Если модель и сооружение в натуре выполнены из одного и
того же материала, то значения р,аи£ одинаковы на модели и в
натуре, и поэтому для механического подобия необходимо
удовлетворить условию
gd=const.
В обычных условиях g=const; следовательно, для соблюдения
механического подобия должно быть d=const, т. е. модель
должна совпадать с натурой. Иначе говоря, при постоянном g
моделирование невозможно.
Изменение g можно осуществить искус-
Моделирование с исполь- СТВенным путем, если заставить модель
зованием центробежных J „ „
машин вращаться с постоянной угловой
скоростью, поместив ее на так называемую
центробежную машину. При достаточно малых размерах модели
и большом радиусе вращения центробежные силы инерции
элементов модели можно считать параллельными. Осуществляя
вращение около вертикальной оси, получим, что в состоянии
относительного равновесия модели (по отношению к центробежной
машине) на модель будут действовать постоянные массовые силы,
аналогичные силе тяжести, но только с другим ускорением.
Выбором угловой скорости вращения можно получать любые большие
значения ускорения.
В настоящее время имеются построенные центробежные
машины, которые применяются для различных целей, в том числе
для исследования на моделях различных процессов 1 ,
происходящих в грунтах.
1 Условие E/pgd~ const должно выполняться при моделировании
процессов, в которых наряду с другими существенными параметрами встречаются
параметры р, g, d и Е. Поэтому во всех таких случаях возможно
моделирование с помощью центробежной машины.
§9. Подобие и моделирование явлений 461
Рассмотрим напряжение т, кГ/м2, возникающее при деформации
упругой конструкции под действием веса и заданного
распределения нагрузок. Под т можно понимать максимальное значение
какой-нибудь компоненты напряжения или вообще некоторую
компоненту напряжения для определенного элемента конструкции.
Комбинация %1Е является безразмерной, поэтому можно
написать
Е "-' V 'pgd' Ed*)'
Если модель и сооружение в натуре сделаны из одинакового
материала, то £=const; поэтому для механически подобных состояний
напряжения в соответствующих точках будут одинаковыми.
Если принять, что напряженные состояния механически
подобны и что разрушение определяется значениями максимальных
напряжений, то очевидно, что на модели и в натуре разрушения
наступят в соответственных точках.
Если величины внешних нагрузок велики, а собственный вес
конструкции мал, так что им можно пренебречь, то параметр y=pg
{следовательно, и параметр E/pgd) несуществен. В этом случае
предыдущее соотношение приобретает вид
а условия подобия представятся только двумя равенствами:
а = const и ^5 = const.
Отсюда следует также, что при моделировании с сохранением
свойств материалов внешние нагрузки необходимо изменять
пропорционально квадрату линейных размеров.
Обозначим через / изменение длины при
S^^^^^^l деформации некоторого элемента упругой
системы. Для конструкций определенного
выше класса имеет место соотношение вида
d -Ф^» Е ' Ed*j*
В ряде случаев из физических соображений сразу видно, что
величина lid уменьшается при уменьшении удельного веса элементов
конструкции, т. е. при уменьшении параметра pgd/E.
Возьмем теперь две геометрически подобные конструкции
разных размеров, изготовленные из одного и того же материала (Е и о
одинаковые). Допустим, что величины внешних нагрузок
изменяются пропорционально квадратам размеров, т. е.
ш = const.
462 Гл. VII. О постановке задач в механике сплошной среды
Очевидно, в этом случае параметр pgd/E уменьшается с
уменьшением размеров конструкции, следовательно, механическое
подобие будет нарушено. На конструкции меньших размеров
относительные деформации будут меньше, поэтому конструкция малых
размеров будет иметь большую прочность. Однако этот вывод
справедлив только в том случае, когда удельный вес материала
Y=P£ играет существенную роль. Если собственный вес у
несуществен, a 5V£d2=const, то относительные деформации имеют
одинаковые значения для тел различных масштабов.
Рассмотрим еще случай, когда у несущественно, и известно,
что для данной конструкции отношение lid уменьшается при
уменьшении внешней нагрузки 9*. Если внешние нагрузки будут
пропорциональны кубу линейных размеров, то очевидно, что для
конструкции малых размеров отношение lid будет меньше, чем для
конструкции больших размеров. Следовательно, в этом случае
уменьшение размеров увеличивает прочность.
В некоторых случаях моделирование можно производить,
используя опыты с заведомо неподобными явлениями, когда
некоторые безразмерные параметры tlu П2, . . . имеют различные
значения на модели и на натуре, но вместе с тем из дополнительных
соображений заранее известен вид зависимости искомых
безразмерных величин от этих определяющих безразмерных параметров
Пь П2, . . . В таких случаях при моделировании нужно
выдерживать постоянство только тех безразмерных параметров,
зависимость от которых неизвестна.
Иногда указанный путь моделирования может применяться, когда
вид зависимости искомых величин от параметров Пь П2, . . .
выдвигается в качестве рабочей гипотезы, которая может быть
подтверждена или опровергнута уже после Проведения модельных
исследований. Как было указано выше, примером такого
моделирования в ряде случаев служит моделирование при различных
значениях числа Рейнольдса, когда его влияние на некоторые
искомые характеристики несущественно, однако этот же прием
можно применять и в тех случаях, когда число Рейнольдса
существенно, но зависимость от числа Рейнольдса заранее
известна.
Исследование с помощью моделей часто является единственно
возможным способом экспериментального изучения и решения
важнейших практических задач. Так обстоит дело при изучении
натурных явлений, протекающих в течение десятков, сотен или
даже тысяч лет; в условиях модельных опытов подобное явление
может продолжаться несколько часов или дней. С таким
положением мы встречаемся при моделировании явлений просачивания
нефти. Могут быть и обратные случаи, когда вместо исследования
чрезвычайно быстро протекающего в природе явления можно
изучать подобное ему явление, происходящее на модели гораздо
медленнее.
§9. Подобие и моделирование явлений
463
Моделирование — ответственная научная задача, имеющая
общее принципиальное и познавательное значение, но его нужно
рассматривать только как исходную базу для главной задачи,
которая состоит в фактическом определении законов природы, в
отыскании общих свойств и характеристик различных классов
явлений, в разработке экспериментальных и теоретических методов
исследования и-разрешения различных проблем, наконец, в
получении систематических материалов, приемов, правил и
рекомендаций для решения конкретных практических задач.
ДОБАВЛЕНИЕ I
НЕЛИНЕЙНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
ОТ НЕСКОЛЬКИХ ТЕНЗОРНЫХ АРГУМЕНТОВ1
В. В. Лохин, Л. И. Седов
Многие основные геометрические и физические понятия
представляют собой скалярные или тензорные величины.
Математическая формулировка разнообразных закономерностей
геометрической или физической природы осуществляется с помощью
скалярных или тензорных соотношений.
Тензорная запись уравнений позволяет формулировать
инвариантные закономерности, независимые от выбора системы
координат. Тензорные характеристики и тензорные уравнения
обладают дополнительными инвариантными свойствами и частными
особенностями, когда изучаемые геометрические или физические
явления, объекты, законы и свойства допускают симметрию.
Ниже развиваются методы для автоматического учета свойств
симметрии как в линейных, так и в нелинейных задачах при
помощи выделения соответствующих определяющих параметров,
что связано с главными посылками в постановках исследуемых
задач. Соответствующие выводы о действии симметрии получаются
с помощью методов, аналогичных развитым в близкой по своему
существу теории подобия и размерности I1].
Предлагаемая работа посвящена разрешению двух основных
задач.
а, Показано, что свойства текстур и кристаллов можно задавать
при помощи тензоров, и фактически установлены простые системы
тензоров как совокупности параметрических геометрических
величин, определяющих и задающих свойства симметрии для всех
7 типов текстур и для всех 32 классов кристаллов.
б, Установлен общий вид формул для тензоров произвольного
ранга, когда эти тензоры можно рассматривать как функции
системы аргументов, состоящей из ряда скаляров и нескольких
независимых тензоров различных рангов.
Обе задачи тесно связаны с рассмотрением системы
преобразований координат, образующих некоторую группу симметрии.
Свойства симметрии играют фундаментальную роль в физике.
Специализация вида функций и вида тензоров различных рангов,
инвариантных относительно соответствующих групп симметрии,
исследована во многих работах. Соответствующие выводы
использованы и послужили источником открытия новых эффектов в
множестве различных приложений.
Опубликовано в журн. "Прикладная математика и механика". 1963. Т. 27, вып. 3.
Нелинейные тензорные функции
465
Сводка основных данных для различных конкретных примеров
содержится в книге Дж. Ная I2], там же имеются подробные
литературные ссылки на предшествующие работы.
В алгебре развита общая теория получения и свойств
полиномиальных относительно компонент тензоров и векторов скалярных
инвариантов относительно конечных групп преобразований. Для
всякой ортогональной конечной группы G показано [3], что всегда
существует целый рациональный базис полиномиальных
инвариантов, представляющий собой конечное число скалярных
инвариантных многочленов, составленных из компонент данных тензоров
и векторов, такой, что через него можно выразить любой
инвариантный многочлен, составленный из этих же компонент.
Целый рациональный базис образует систему инвариантов
относительно конечного числа преобразований группы G, но
очевидно, что его элементы — полиномы из компонент данных
тензоров — вообще не инвариантны относительно любых
преобразований координат, хотя и содержат в своем числе такие инварианты.
Число элементов целого рационального базиса, зависящее только
от группы и от заданного набора тензоров и векторов, вообще
больше числа независимых переменных компонент данной системы
тензоров и векторов и, следовательно, элементы целого
рационального базиса, вообще говоря, функционально зависимы.
Фактическое построение целого рационального базиса для
текстур и для кристаллических групп производилось в работах
Дёринга [4], Смита и Ривлина [5], Пипкина и Ривлина [в] и Ю. И.
Сиротина [7»8]. Ниже показано, что для построения тензорных
функций необходимо и достаточно пользоваться полной системой
функционально независимых совместных инвариантов [9«1в],
образованных из компонент тензоров, задающих группы симметрии, и
других тензорных аргументов.
Построение примеров скаляров и тензоров с заданной
симметрией дано в статьях Смита, Ривлина и Пипкина [6« "• "], в книге
С. Багавантамаи Т. Венкатарайуду ["], в работах Яна [И], А. В. Шуб-
никова ["• "• 171 и Ю. И. Сиротина [»• ■•■ "• 1в]. В работе В. А. Коп-
цика [го] рассматривались различные тензоры физической природы,
симметрию кристалла он определяет как «группу пересечения
симметрии существующих у кристалла свойств, наблюдаемых в
данный момент» (стр. 935).
Тензоры, являющиеся функциями тензорных аргументов,
рассматривались в случае тензоров второго ранга. В этом случае
функциональные связи между тензорами сводятся к
функциональным соотношениям между квадратными матрицами. В этой
области основные результаты сводятся к формуле Гамильтона —
Кэли и к ее обобщению на случай нескольких матричных
аргументов [21-*4, 26-28] (теНзоров второго ранга). Однако в этих
обобщениях рассматривались в основном только полиномиальные
функции матриц и компонент тензоров.
30. Л.И. Седов
466
Добавление I
Г. Основные понятия. Как известно, тензоры можно
рассматривать как инвариантные объекты, независимые от выбора системы
координат, которые определяются скалярными компонентами в
соответствующем базисе. Тензорный базис можно вводить
различными способами, в частности, всегда можно взять в качестве базиса
полиадные произведения из векторов базиса координатной системы
в некотором многообразии-пространстве.
Для простоты в дальнейшем будем рассматривать только
тензоры в трехмерном пространстве. Пусть л:1, хг, х* — координаты
точек пространства и э1э э2, э8 — векторы ковариантного базиса1 .
Обозначим через Н тензор ранга г и через #а* аг его
компоненты в координатном базисе э1У э2, э3. В дальнейшем будем
пользоваться представлением тензора Н в виде суммы
H=*ffb-*r9ag...9*r9 A.1)
где суммирование подразумевается по всем индексам аь . . ., ап
пробегающем значения 1, 2, 3/ В общем случае формула A.1)
содержит Зг линейно независимых слагаемых, каждое из которых
можно рассматривать как специальный тензор.
Заметим, что для одной и той же системы координат можно
вводить различные континуальные многообразия и
соответственно различные векторы базисов. При одинаковых координатах х1
и одинаковых компонентах На*--аг можно рассматривать
различные тензоры, соответствующие разным базисам. В частности,
такого рода различные многообразия можно рассматривать как
различные положения данной среды при использовании
вмороженной лагранжевой системы координат, движущейся и
деформирующейся с течением времени [2в]. Возможны также случаи; когда
для заданной лагранжевой системы координат соответствующие
различные многообразия имеют разную метрику. Таким образом,
можно рассматривать одновременно разные тензоры с данными
одинаковыми компонентами, но в различных базисах и в различных
пространствах, некоторые из которых могут быть евклидовыми,
а другие неевклидовыми (Kondo, Kroner, Bilby и др.).
Дальнейшая теория будет развита для тензоров в метрических
пространствах. Обозначим через ds расстояние между точками
с координатами х* и x{ + dx!. Пусть величина ds* определена
формулой ds*=2ga$dxadxP. Матрица ||g(j\ образует ковариантные
компоненты фундаментального метрического тензора g, обратная
матрица Цё^Ц — контравариантные компоненты. Контравариантные
векторы базиса э1 определяются формулами э' = £'аэа. Для
фундаментального метрического тензора g верны формулы
Йг=^арЭаээ = гарэаээ==б^эаэ3 F}—символ Кронекера). A.2)
Жонглирование индексами компонент различных тензоров
осуществляется при помощи gif и gfJ. Формулу A.1) можно пред-
J Система координат произвольная.
Нелинейные тензорные функции
467
ставить в виде
я=£м/,. A.3)
s=l
где ^ — скаляры, a Hs — некоторые тензоры ранга г. Дальше будем
всегда предполагать, что тензоры Hs линейно независимы.
Очевидно, .что /?^3Г.
Пусть компоненты тензора Н независимо от выбора системы
координат являются одними и теми же функциями компонент т
тензоров
71H = 7,gf-«pieaa1...aapf| (x=l, ...,m). A.4)
Целые числа р1? ..., рт определяют ранги тензоров Тк. В
общем случае числа рх, ..., рт различны между собой и не равны г.
По определению назовем тензор Н функцией тензоров 7\, ..., Тт.
Тензоры Гх, среди которых могут быть как переменные, так и
постоянные, являются тензорными аргументами тензорной
функции //.
Если из тензоров Гх можно составить Зг линейно независимых
тензоров Hs ранга г, то в этом случае для тензора Н будет верна
формула A.3), в которой скаляры ks зависят только от совместных
инвариантов системы тензоров Тк и, возможно, от других
заданных дополнительно скалярных аргументов.
Ниже рассмотрены только такие тензорные функции, когда
среди тензорных аргументов Тх содержится тензор g.
Тензоры Hs можно строить из тензоров Гх при помощи двух
тензорных операций: умножения и свертывания1 . Операция
свертывания по любым двум индексам всегда возможна в силу
наличия среди тензорных аргументов тензора g. Неопределенное
умножение нескольких тензоров приводит к тензору, ранг которого
равен сумме рангов сомножителей. Свертывание по 2/ индексам
понижает ранг тензора на 21 единиц. Умножение и очевидная
свертка данного тензора Т с компонентами Tmknl на тензор 5
с компонентами 6£б^ приводит к тензору Т* того же ранга с
компонентами
1 Можно доказать, что построение таким путем через Ту. р линейно
независимых тензоров Н5 ранга г, когда среди тензорных- аргументов имеются ковари-
антные и контравариантные компоненты метрического тензора g[j и gU и, как
следствие этого, имеются компоненты тензоров Г* с всевозможным строением
индексов, всегда возможно. Это предположение верно и в других, более общих
случаях. Здесь такое доказательство не требуется, так как для всех возможных
видов ортогональной симметрии в трехмерном пространстве ниже дано
фактическое построение, с помощью произведений и сверток компонент тензорных
аргументов, р линейно независимых тензоров Hs. Вместе с тем из общей теории
следует, что любые р + 1 тензоров ранга г, допускающие данную симметрию, линейно
зависимы.
468
Добавление I
Тензор Т* называется изомером тензора Т. Таким образом,
операцию перестановки индексов можно свести к умножению на
фундаментальный тензор и к сверткам. По определению тензор,
полученный как результат перестановок нескольких индексов,
тоже называется изомером тензора Т.
Ниже даются способы построения общих формул вида A.3)
для тензорных функций. Для этого потребуется строить линейно
независимый тензорный базис Hs(s= 1, ..., р) через тензорные
аргументы A.4). Построение базиса Hs будет осуществляться при
помощи операций умножения и сверток из определяющих тензоров.
2°. Группы симметрии тензоров. Контравариантные компоненты
дах...аг тензора А допускают группу симметрии G, заданную
системой1 матриц преобразования координат
IKII(V;=g;> </'=</'И),
если для каждой из всех матриц группы G выполняются равенства
А'*---'г = Аа*'"а^...а%. B.1)
Группы преобразований, которые допускает фундаментальный
тензор g, называются ортогональными. Иначе говоря, матрицы
преобразований для ортогональных групп удовлетворяют
эквивалентным системам уравнений
&г=#*а'/аак gij^gattfrti- B.2)
Легко проверить, что если группа G ортогональна, то из
условия B.1) об инвариантности контравариантных компонент тензора А
следует инвариантность 2 компонент тензора А с любым строением
индексов относительно преобразований координат, образующих
группу G. Поэтому для ортогональных преобразований можно
говорить просто о симметрии тензора и об инвариантности всех
его компонент относительно группы G.
Совокупность всех ортогональных преобразований,
относительно которых тензор А инвариантен, образует группу симметрии
тензора А. Группа симметрии некоторого тензора А может состоять
только из тождественного преобразования. Для произвольного
тензора второго ранга (несимметричного, А^'ФА^) группа
симметрии состоит из двух элементов: тождественного преобразования
1 Для простоты нумерация элементов матриц группы G опускается, так
что в записях а\) будет вместо tf(V)*/, где v=l, ...,u, a h равно числу
элементов группы G.
2 Если группа G не ортогональна, то из равенства B.1) не следует
инвариантность компонент тензора Л с другим строением индексов.
Нелинейные тензорные функции
469
и преобразования инверсии. Для произвольного симметричного
тензора второго ранга группа симметрии совпадает с группой
совмещений трехосного эллипсоида. Если тензорный эллипсоид
является эллипсоидом вращения, то группа симметрии будет
бесконечной. Шаровой тензор второго ранга имеет группу симметрии,
совпадающую с полной ортогональной группой вращений, так же
как и фундаментальный тензор g.
Рассмотрим несколько тензоров 7\, ..., Тт и обозначим через
Glf ..., Gm соответственно их группы симметрии. Группа G,
образованная пересечением групп G19 ..., Gm% называется группой
симметрии совокупности тензоров 7\, ..., Тт. Нетрудно видеть,
что тензор Н(Т19 ..., Тт) будет допускать группу симметрии G;
это следует из того, что компоненты тензора Н являются
функциями компонент тензоров Th которые инвариантны относительно
преобразований группы G; поэтому компоненты тензора Н также
будут инвариантны относительно группы G. В. связи с этим
очевидно, что группа симметрии тензора, полученного как результат
операции умножения и свертывания нескольких тензоров, будет
совпадать с пересечением групп симметрии составляющих тензоров
или может обладать более высокой симметрией и содержать это
пересечение как подгруппу.
Если тензор Н допускает группу симметрии G, то число
линейно независимых слагаемых р в формуле A.3) вообще меньше,
чем Зг. Для заданной группы С и для тензора заданного ранга г
число р можно вычислить при помощи теории характеров I13» 14» 30],
соответствующие таблицы для текстур и кристаллических групп
симметрии даны в работах [13« 14» 18].
Если тензор Н нечетного ранга допускает только
тривиальную группу G, состоящую из тождественного преобразования,
то число линейно независимых слагаемых р равно Зг; в этом
случае тензор Н имеет самый общий вид.
Если тензор Н четного ранга, то его группа симметрии G
всегда состоит по крайней мере из двух элементов:
тождественного преобразования и инверсии. Для группы симметрии,
состоящей только из инверсии и тождественного преобразования, при
нечетном г имеем 7/=0 и, следовательно, р«=0; при четном г
имеем р = Зг, в этом случае тензор четного ранга имеет самый
общий вид.
В формуле A.3) скалярные коэффициенты ks в общем случае
являются функциями совместных инвариантов тензоров Т19 ..., Тт
и любого числа данных скаляров (например, температуры,
концентрации и т. д.). Некоторые из совместных инвариантов могут
быть постоянными параметрами, другие—переменными.
Обозначим через Qlf ..., Q^ полную систему совместных
инвариантов [9'10] системы тензоров 7\, ..., Тт. Из полноты системы
инвариантов следует, что для всякого инварианта У,
образованного из компонент системы тензоров Т1У ..., Тт, имеет место
470
Добавление 1
функциональная связь
По определению инварианты Q4- сохраняют свое значение и
свой вид как функции компонент для любых преобразований
координат, такие инварианты можно получить с помощью операций
тензорного умножения и сверток, в этом случае инварианты
представляют собой однородные полиномы [9>10] по компонентам
тензоров 7\, ..., Тт.
Предположим, что среди тензоров Т19 ..., Тт тензоры 7\,, ... Тт
A <v^m) являются постоянными параметрическими тензорами.
Пусть совокупность тензоров 7\,, ..., Тт допускает конечную
группу симметрии G*.
Зафиксируем значения компонент тензоров rv, ..., Та,
заданных в системе координат х1'. После этого инварианты Q,- сводятся
к ©/f являющимся функциями только от компонент тензоров
Т19 ...,rv_i, причем в системе координат ** будут верны
равенства <Dj = Q/e
В других системах координат эти равенства вообще не будут
выполняться. Однако эти равенства будут выполняться для всех
преобразований координат, определенных группой G*, так как
при этих преобразованиях компоненты всех тензоров TV9 ..., Tm
инвариантны. Величины со,- вообще не будут инвариантны
относительно любых преобразований координат. Ясно, что некоторые <o/f
зависящие только от компонент тензоров TV9 ..., Tm или только
от компонент тензоров Tv ..., 7V-i» не зависят от
преобразования координат. Очевидно, что все величины со, как функции
компонент тензоров Tv ..., 7Vi можно рассматривать как инварианты
относительно группы G*. Таким образом, инвариантные
коэффициенты ks в формуле A.3) будут функциями Qt. При применении
только преобразований координат из группы G* величины ks можно
рассматривать как функции только инвариантов со,-.
Инварианты со,- аналогичны инвариантам целого рационального
базиса. Величины со,- совпадают с целым рациональным базисом
при подходящем выборе полной системы инвариантов Q,-. В общем
случае особое значение имеют переменные функционально
независимые инварианты. Функционально независимые инварианты можно
выбирать различными способами.
Фактическое построение тензоров Hs через заданные
определяющие тензоры Tlt .. .,Тт всегда возможно и соответствующие
общие приемы будут выявлены на примерах.
Линейную независимость тензоров Hs можно устанавливать
непосредственно на основании геометрических соображений, или
проверкой при помощи вычисления соответствующих
детерминантов, или при помощи других общих методов. В частности,
тензоры Hsl и Hs2 линейно независимы, если они ортогональны или
группы симметрии тензоров Hsl и Hs2 не совпадают, так как
Нелинейные тензорные функции
471
в противном случае эти два тензора были бы пропорциональны,
что противоречит условиям их симметрии. Однако тензоры,
обладающие одной и той же группой симметрии, могут быть линейно
независимыми.
Пусть тензору Hs соответствует группа симметрии Gs.
В ряде случаев удобно и выгодно [19] тензоры Hs выбирать
таким образом, чтобы Gx з Ga з G8 з ... з Gp.
Очевидно, что в качестве первых q линейно независимых
тензоров #!, ..., Hq всегда можно взять q < р тензоров Н19 ..., Ня>
зависящих только от фундаментального тензора g или от g и
тензора третьего ранга Е:
Е = \gif \112(э1э2э3—э1э3э2 + э2э3э1—э2э1э3 + э3э1э2—э3э2э1). B.3)
Эти тензоры соответствуют изотропии относительно полной или
собственной ортогональной группы. Изотропные тензоры//!, ..., Hq
ранга г хорошо известны из литературы [3>»>ю>зо-|
Для изотропных тензоров ранга г в трехмерном пространстве
максимальное число q будет равно [30]:
г=1 2345678 9 10
<7 = 0 1 1 3 6 15 36 91 232 603
Все изотропные тензоры ранга г представляют собой изомеры
тензора Н1У причем
#«*—a'^ga>a«.. .g°"a'-« (г-2*),
Hi1'' 'ar = Ea*a*a>ga*a*.. .gar-^r (r = 2fc+l).
Число q равно числу различных линейно независимых
изомеров тензора Нх с учетом симметрии компонент тензора gif. Если
число г нечетное, то для полной ортогональной группы q = 0. Все
тензоры нечетного ранга, инвариантные относительно полной
ортогональной группы, обращаются в нуль. Тензоры нечетного ранга,
инвариантные относительно собственной ортогональной группы
вращения с А = | а\) \ = 1, могут отличаться от нуля только для
г^З.
При г = 3 имеем Н± = Е и, следовательно, <7=1.
Наличие симметрии тензорной функции относительно
некоторой группы перестановок индексов уменьшает, вообще говоря,
числа р и q. Формулы для тензорных функций с наличием
соответствующей симметрии по индексам всегда легко получить из
полных формул при помощи операций симметрирования или
альтернирования по соответствующим индексам и с сохранением только
линейно независимых слагаемых.
3°. Тензоры, задающие геометрическую симметрию текстур и
кристаллов [291. Среда называется изотропной, если все ее свойства
в каждой точке инвариантны относительно группы ортогональных
преобразований. Можно различать следующие два типа изотропных
сред:
472
Добавление I
1) изотропные среды относительно полной ортогональной группы
преобразований координат с А=±1, 2) изотропные (гиротропные)
среды относительно группы вращений с Д=+1.
Легко видеть, что в первом случае свойства симметрии
характеризуются вполне фундаментальным тензором g. Условие
инвариантности компонент тензора g можно рассматривать как
условие, определяющее бесконечное множество всех вещественных
матриц — элементов полной ортогональной группы.
Группа вращений с А = + 1, определяющая гиротропные среды,
является Подгруппой полной ортогональной группы. Такую
подгруппу можно выделить дополнительным к уравнениям B.2)
требованием об инвариантности компонент тензора £, определенного
формулой B.3). Следовательно, бесконечное множество элементов
группы вращений определяется вполне условием инвариантности
тензоров g и Е. Эти два тензора можно рассматривать как тензоры,
определяющие группу вращений с А=+1.
Дальше для обозначения групп симметрии мы воспользуемся
краткими символами, предложенными А. В. Шубниковым.
Согласно [16* 16] полная ортогональная группа обозначается
символом оо/оо«т (образующие элементы группы: пересекающиеся
оси бесконечного порядка и зеркальная плоскость симметрии т).
Группа вращения соответствует символу оо/оо.
В 2° приведены данные об общем виде тензорных функций
для тензоров любого ранга при наличии изотропии, т. е. когда
аргументами являются только g или gu E.
Простейшим примером анизотропной среды являются текстуры.
Текстурой называется такая среда, для которой все ее свойства в
каждой точке инвариантны относительно бесконечной
ортогональной группы, содержащей повороты на любой угол относительно
некоторой оси. Очевидно, что группы симметрии текстур являются
подгруппами полной ортогональной группы. Простой анализ
показывает, что, включая два типа изотропных сред, возможны
только семь различных типов текстур.
Соответствующие геометрические иллюстрации различных
типов текстур и соответствующие тензоры и векторы, задающие
группы симметрии текстур, даны в таблице (стр. 474).
Справедливость этих результатов легко проверить непосредственно.
Анизотропная среда с непрерывным или дискретным строением
называется кристаллом, если можно ввести систему троякоперио-
дических решеток Браве (с одинаковыми в фиксированной системе
координат периодами у разных решеток), имеющую те же
геометрические свойства симметрии, что и рассматриваемая среда —
кристалл. Совокупность решеток Браве с данными периодами
может допускать точечные конечные группы симметрии. Вид этих
групп зависит от строения рассматриваемого множества решеток
и от вида элементарного параллелепипеда периодов.
Нелинейные тензорные функции
473
Как известно [2« 16], имеется только 32 различных класса
симметрии кристаллов, описываемых конечными точечными группами.
В таблице (стр. 474-475) приведены характеризующие данные
для всех 32 классов кристаллов; соответствующие геометрические
фигуры иллюстрируют каждую из групп симметрии. Единичные
векторы ви 02, es образуют ортогональный кристаллофизический
базис, на чертежах указана ориентация этого базиса относительно
фигур симметрии кристалла. В левом углу каждой ячейки дано
обозначение соответствующей группы по А. В. Шубникову, кроме
того, в каждой ячейке приведены символы установленной нами
совокупности простых тензоров, характеризующих и задающих
данную группу. Определение соответствующих тензоров дано
формулами, приведенными в этой же таблице г .
Рассмотрим тензоры, определяющие симметрии групп
кубической сингонии. Докажем, что тензор Oh инвариантен относительно
группы из 48 преобразований, дающей изоморфное представление
группы 6/4, и что нет никаких других преобразований,
относительно которых тензор Он инвариантен. Для доказательства найдем
все вещественные преобразования, относительно которых тензор
Oh инвариантен.
Условия инвариантности контравариантных компонент
тензора Он равносильны следующей системе нелинейных
алгебраических уравнений для девяти элементов матрицы преобразования
аа1аР1аУ1 + аа2аУ2аб2 + аа3аР|аУз= { J- (ЗЛ)
Правую часть нужно положить равной единице, если а=р=у=б,
и нулю в остальных случаях. Полагая здесь а=р и Y=S, при афу
получим уравнения
(а\У (а\)* + (а\У (d\)» + (а«а)* (а\)**= 0 (а Фу). C.2)
Отсюда следует, что
tfV^-O. C.3)
Так как определитель \аС1;]Ф0, то из равенств C.3) следует, что
в каждой строке и в каждом столбце матрицы Цо*,) имеется
только по одному элементу, отличному от нуля.
Так как
W + W + W^l
при «==P = y=s6 согласно C.1), то для каждого вещественного
элемента матрицы ||аа,|, отличного от нуля, верно равенство
о%=±1. C.4)
1 В этой таблице и в дальнейшем степени векторов понимаются как диадные
или полиадные произведения.
474
Добавление I
Текстуры
о/оо. /77
оо/сх
®
в.£
синеотя
W А
ъ
& Ъ
3/4
°>>Е
х1, Xе*, х3 — кристаллофизические
декартовы координаты
S1» £а. б3 —произвольные
координаты
i. dll A 1 t. I дг
a-/="^7. A=slfl-/I« */=■
oV
Ф е/прагональная
синеокая
Гексагональная
синеокая
Л7оь\/77
Ms
№
л?4:т
ф
Й,е23
&
Ъ,9
~Щ'
4-/л
&
5 °*>ef
frfftf
/п-б-т
\2 4*.*f
/77-S:/77
4»>tf
<»:2
J/2
4--Z
d,£,el
Td,ff,E
Wrf
S-2
Q
Ш
*»•*•»*
oo I/77
Ф
9,4я
6/2
4-/77
Ы/
r/o7|
A
0„е*,Л
Та,0,4л
6:m
*©N
tei
4^*'**
4и/^
-£•/77
£=71
^•/7
л
&*
л
■ц»>ъ
ff
4м
«£$
<&
№•*>
]**.*>*
Нелинейные тензорные функции
475
E=eie2eb—е2е1еъ-\-е2еъе1—еъе2е1 + е3е1е2—-e^eze2 =
= Л \Э\Э29$—Э2Э1Э3П-Э2Э3Э1 — э^э2э± + Э3Э1Э2 — Э1Э3Э2),
$ — е1е2 — е2е1 = (а<х'1с1$2 — асс2^1) эаэ$ = а(х1аР2 (эаэ$— эрЗа),
^Л = ^х+^+^з = (^а1аМ?1а61 + аа2^2^2^2+ааз«рз^8^бз)ЭаЭээ7Эб,
7^ = ^fe2 + ^2^3 + ^3^1» 7^=^1^2^3 + ^2^1^3 + ^2^3^1 + ^3^2^1+^8^1^2+^1^3^2.
DZfl = e\—eiel—e2eie2—e2ell D3d = e3(ei — e1e2—e2eie2—e2e1)t
Deh = (е\— e1e\—e2e1e2—ele1J>
C/ = Dih+rihiej = СаРэаЭ|з; ®V = — ©^ 5* 0.
Трагояальяая
сиягония
Ромбмесяая
О/Я30Н1/Я
А/оятшяяая
ci/нгояия
Триялияяая
сиягояия
&Я7
m-2-m
ел
Щ-1^
не.
ш
е;г
Ц»9
гь
a=j3=y=90°
3:2
2:2
V'°!
<э
Я„.£д
JUL,
]Ля'4*
VA
a=fi=90°' /ф90'
apjStytx
cc,je,y*SO'
2-Л7
**»'%
Л
4»-^
Vs
nBh>EM
/ъ
,/<^И>^
Z,t
^fyQ
ffj, &gf&g
476
Добавление I
На основании перечисления всех возможных случаев из C.3)
и C.4) следует, что матрицы, состоящие из элементов (apqJ, равных
1 либо 0, могут иметь следующий вид:
C.5)
Получилась система, состоящая только из шести матриц. Если
согласно C.4) учесть возможности в различии знаков для a?v то
каждая из шести матриц C.5) порождает 8 матриц для Ца^Д
например, первой из матриц C.5) соответствуют матрицы
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
»
,
1 0 0|
0 0 1
0 1 Oj
10 0 1
0 1 0
10 0
II
0 1 Oil
, 11 о oil
10 0 l||
»
ООП
ll 0 0
lo i o|
+1
0
0
+1
0
0
-1
0
0
-1
0
0
0
+1-
0
0
—1
0
0
+1
0
0
—1
0
0
0 •
+41
01|
4
+lll
01!
+41
0
0
+1
1+1
0
0
1+1
0
о
1-1
0
! 0
1—1
0
о
0
+1
0
0
—1
0
0
+1
0
0
—1
0
0
0
—1
0
0
—1
0
0
—1
0
0
—1
C.6)
Как известно, по определению группы симметрии куба 6/4
полная система матриц типа C.6) для каждой из матриц системы
C.5) образует полную группу матриц преобразований симметрии
куба для группы 6/4, состоящую из 6x8=48 матриц, которые
ортогональны. Таким образом, всякая матрица, соответствующая
решению системы уравнений C.1), может быть только одной из
матриц системы C.6), состоящей из 48 матриц. С другой стороны,
легко убедиться в том, что верно и обратное предложение: каждая
матрица из найденной системы 48 матриц дает решение системы
уравнений C.1).
Найдем теперь матрицы групп преобразований, сохраняющие
инвариантным тензор Td. Условия инвариантности контравариант-
ных компонент тензора Td равносильны следующей системе
нелинейных алгебраических уравнений для девяти элементов матрицы
преобразования Ца'у ||:
Нелинейные тензорные функции
477
а\а\а\ + а\а\а\ + &%а\а\ +
+a«la\a\ + a*%a\a\ + a\a\a\ = ^. C.7)
В правой части C.7) нужно поставить единицу, если а, р, у
различны, и поставить нуль, если одинакова хотя бы одна пара
индексов из а, Р, у. Возьмем из C.7) уравнения, для которых v=P-
Эти уравнения имеют вид
а\а\а\+а\с?ха\+а\о\о>%-О ^"^ £ ^ C.8)
Так как |а'у|^0, то из системы уравнений C.8) следует, что
cfiiCfij^O. C.9)
Здесь р — любой фиксированный индекс.
Отсюда и из условия | а'/ \Ф О следует, что в каждой строке
и в каждом столбце матрицы Ца'/fl имеется только один элемент,
отличный от нуля. Таких матриц с разным строением индексов у
элементов, отличных от нуля, имеется только шесть:
\ах 0 0 |
0 Ьг 0 1
10 0 СхЦ
II0 а4 0 |
о о ьА
|с4 0 0 ||
аг 0 0 |
0 0 *tl
0 с2 0 |
10 0 а6|
0 Ьь 0 1
\с6 0 0 |
ПО а8 0 |
Г3 ° °
|0 0 с3\\
10 0 а6|
рв о о
||0 св 0 |
C.10)
Уравнения C.7) с различными индексами а, р, -у дают
aibiCt— 1 (i = 1 6).
C.11)
Легко видеть, что для ортогональных преобразований, когда
выполнены условия
3 f 1
при i =» /,
при i#/,
верны равенства
а{ = ±\, Ь,-±1, С/ = ±1
C.12)
C.13)
В общем случае для получения представления группы сим-
метрии 3/4 требование об инвариантности тензора Та необходимо
дополнить условием инвариантности тензора g, так как только в
478
Добавление I
+ 1 0 01
0 +1 0
0 0 +l|
»
l+i о
0 —1
I о о
—1 0 Oil II-1 0
о —l ol 1 о +i
0 0+1
I 0 0
on
0
-1
01|
0
-Ml
этом случае условия C.12), входящие в определение
кристаллических групп симметрии, будут выполнены х .
Система матриц (ЗЛО) вместе с условиями C.13) определяет
48 матриц группы симметрии 6/4, однако добавочные равенства
C.11) выделяют подгруппу из 24 матриц, в которых либо а*=&* =
=Ci=l, либо сразу два элемента из трех чисел ait Ьи Ct равны —1.
Например, из первой матрицы C.10) получим только четыре
матрицы:
C.14)
Легко проверить, что найденная система 24 матриц,
представляющая группу 3/4, является решением полной системы
уравнений C.7). Причем эта система матриц при I а) I Ф 0 образует систему
всех действительных решений уравнений C.7) при условии, что
искомые матрицы ортогональны. Рассмотрим теперь условия
инвариантности тензора Тн.
Система уравнений для а'у, элементов матрицы
преобразования, равносильная условиям инвариантности контравариантных
компонент тензора Th, имеет вид
а«2а\а\а\ + а\а\а\а\+а\а\а\а\= { <*, C.15)
причем справа нужно поставить 1 при а = р = 2, у = 6 = 3;
а = Р==3, у = б=1; а^=р=1, у = 6 = 2 и положить прааую часть
равной нулю во всех остальных случаях. Из C.15) имеем
при a = p=I, 7 = 6=1, 3
а\а\ = 0] а\а\ = 0, а\а\ = 0,
а\а\ = 0,
C.16)
при а = р = 2, у = б=1, 2
aVlie0, я22а2з = 0, а*9а\ = 0, а\а\ = Ъч
при а = р = 3, 7 = 6 = 2, 3
а\а\ = 0у а\а\ = 0, C.17)
а\а\ = 0, а82а38 = 0, а*ла\ = 09 а\а\ = 0у
а\а\ = 0у а\а\ = 0. C.18)
3 Легко проверить, что при |£/|=1 верно равенство 2g=Td:Tdi где
свертка производится по двум одинаково расположенным индексам; однако из
этого равенства не следует инвариантность g относительно преобразований
C.10) с учетом C И).
Нелинейные тензорные функции
479
Из 18 уравнений C.16) —C.18) и из условия | a?j | Ф О следует,
что в каждой строке и в каждом столбце матрицы \\al'j\\ только
один элемент может отличаться от нуля; так, если
а\ Ф О, то а12 = а1з = а32 = а23=а21 = а31 = 0.
Таким образом, получаем матрицы
при а\ Ф О при а12 Ф 0 при а}3 Ф О
0
0
ki
а\
0
0
0
а\
0
1 °
\а\
0
0
0
лЗ
а 2
«Ч!
0
о 1
Три уравнения C.15), когда правая часть равна единице при
аг1%фО, дают
(а22)*(а33J=1, (а38J(а\J=1, (а\)» (а22J = 1. C.20)
Вещественные решения этих уравнений и уравнений, которые
получаются аналогично, при ах2 Ф 0 и а\ ф 0 даются равенствами
а\ = ±1, а% = ±1, а33 = ±1,
^, = ±1, а23 = ±1, а31==±1, C.21)
ах8 = ±1, а21 = ±1, а% = ±1.
Из найденных значений для ail следует, что каждая из матриц
C.19)_расщепляется на 8 матриц, всего получим подгруппу матриц
для 6/4, состоящую из 3x8=24 ортогональных матриц. Ясно,
что полученные решения удовлетворяют полной системе уравнений
C.15) и всякое вещественное решение содержится в найденном.
Добавление в качестве определяющей величины тензора £,
инвариантного только по отношению к группе собственных
вращений, при А = + 1 приводит к исключению матриц с А = — 1.
Совокупность двух тензоров Oh и Е выделяет из найденной для
Oh группы 48 матриц подгруппу, состоящую из 24 матриц
с Д = + 1.
Совокупность тензоров g\ Td и Е также выделяет из 24
матриц, найденных для группы g> Tdt подгруппу, состоящую из
12 матриц с А = + 1. Фактическое выделение соответствующих
матриц показывает, что группы преобразований, соответствующие
системам из 12 матриц для тензоров g", TdJ E и тензоров Th, E>
совпадают между собой.
Эквивалентность отмеченных в таблице тензоров и
соответствующих групп симметрии для тетрагональной сингонии вытекает
из следующих соображений. Группы симметрии тетрагональной
сингонии можно получить как пересечение соответствующих групп
симметрии кристаллов кубической сингонии и групп симметрии
текстур. Поэтому выделение соответствующих подгрупп из групп
кубической сингонии и из групп текстур можно осуществить путем
образования совокупности тензоров из тензоров, задающих соот-
480
Добавление I
ветствующие группы кубической симметрии, и тензоров, задающих
группы текстур. Легко усмотреть непосредственно, что условие
инвариантности отмеченных совокупностей тензоров для каждого
из 7 классов тетрагональной сингонии определяет группы матриц
преобразований, соответствующих группам симметрии именно
этих кристаллических классов.
Для обоснования выбора тензоров, задающих симметрию
гексагональной и тригональной сингонии, необходимо рассмотреть
условия инвариантности компонент следующих пар тензоров:
Ь6Л и е\у D3h и е\у D3d и е\. Условие инвариантности диады е32
выделяет в качестве допустимых матриц преобразования
координат только матрицы следующего вида:
|| а\ а}2 аг3
а\ а\ а\
0 0 ±1|
Из инвариантности DQh, или D3h> или D3d следует, что а}3=
Если вместо el потребовать инвариантность вектора е3, то это
приведет к матрицам преобразования вида
C.23)
Так как Deh, D3h и D3d выражаются только через векторы
базиса ег и е2, то инвариантность этих тензоров связана со
строением матриц второго ранга
C.22)
\ah
\а\
|о
ah
ah
0
0
0
+1
£> =
а\
C.24)
Для выяснения структуры матриц D удобно ввести
комплексный базис по формулам
J1 = 6i"X" l€2t J2 = #1 *#2*
В этом базисе тензоры D3h, D%h и D3d приобретают вид
2ЯЗЛ=Л+Д 4ДвЛ = (Л+ЛJ, 2/K, = е8(Л+Л).
Условия инвариантности этих тензоров в вещественном базисе
можно переписать в условия инвариантности в комплексном
базисе. Если формулы преобразования комплексного базиса имеют вид
то связь между матрицами |а'у|| и ||6'';|| определена равенством
C.25)
|я11 о} а
\а\ а22;
'
1 1
1 2
i
~~~2
1
2
2"
|
''
b\
bh
bh
bh
■ •
11
l "
il
—i\
Нелинейные тензорные функции
481
Условие инвариантности тензора Dzd приводит к следующей
системе уравнений для V/.
в / 1 при а = р = у,
'"~ч ~ в остальных случаях,
ъ\ь\ь\+ь\ь\ьч2 = { J
которая в раскрытом виде равносильна уравнениям
Ф\У+(Ь\Г - 1. Ь\ ф\)* + Ь\ ф\у = О,
(Ь\у + (Ь\У -1, Ь\ @у + Ь*2 (ву» = 0.
C.26)
Легко найти все решения уравнений C.26), удовлетворяющие
условию Ib'y |=7^0. Так как alj вещественны, то из формулы C.25)
следует, что b\ = b\ и №%=Ь\. Учитывая это, получим шесть
матриц для \Vj{
li!l
П
•1
•1
|8 0
0 е*
0 8
8а 0
1'
9
е2 01
0 ё|
0 е2|
8 0 |
(-«!>¥)■
C.27)
Ортогональность соответствующих матриц C.22) получается
автоматически. С помощью формул C.27), C.25) и C.22) легко
выписать двенадцать матриц, соответствующих инвариантности
тензоров D9h, e\y характеризующих класс тЪ:т гексагональной
сингонии. Инвариантность комбинации D9h, e9 определяет шесть
матриц, получающихся из C.23), C.25) и C.27) и
соответствующих классу 3/я тригональной сингонии.
Условия инвариантности Ц,* и е\ несколько видоизменяют
уравнения C.26). Разрешение соответствующих уравнений
приводит к системе двенадцати матриц. Первые шесть из них,
соответствующие инвариантности е3, совпадают с матрицами класса
3-т (Д,л> е3)> а Другие шесть получаются из первых изменением
знака всех компонент матриц. Условия инвариантности Д,л и е\
приводят к матрицам типа C.22), и в соответствующих
уравнениях типа C.26) необходимо справа вместо +1 написать ±1.
Вследствие этого соответствующее решение содержит двенадцать
матриц класса /n-3:m и еще следующие двенадцать матриц:
т3
0
0
0
т*
0
0
о
т3
о
о
011
о
л
Вт 0
0 тб
Jo о
10 т
т5 0
о о
0II
о
oil
о
т
о
т5
о
о
о
о
±1
о
о
±1
(т=ехр^).
Соответствующие действительные матрицы легко выписать с
помощью формулы C.25).
Тензорные параметры для всех остальных классов
гексагональной и тригональной сингонии, являющихся подгруппами групп
симметрии, изученных выше, легко получить, рассматривая
31. Л.И. Седов
482
Добавление I
пересечения соответствующих групп, для которых тензорные
характеристики уже установлены.
Что касается ромбической, моноклинной и триклинной еин-
гоний, то указанные в таблице тензорные характеристики
симметрии видны непосредственно. Ясно, что соответствующие
совокупности тензоров, задающие группы симметрии, не определяются
однозначно.
В каждом из случаев таблицы вместо указанных тензоров можно
взять другую систему тензоров, связанную взаимно однозначно
с системой тензоров, указанной в таблице. В частности, число и
порядки тензоров, определяющих симметрию, можно брать
различными.
Например, вместо тензоров, указанных в таблице, можно
воспользоваться следующим соответствием групп и тензоров х):
т-2:т е\, е\у е\, 2 е\, el e3, £,
L\Ly #!, £2f #з> Ё* > Ш &1> &2> ^3»
Z'ttl 6lf &2, BZy А £\&ы &\&Ъч ^2^3»
2:т е\, е\> е\у й.
Легко выразить каждый тензор из этих систем через тензоры,
указанные в таблице. Обратные связи очевидны непосредственно.
Выше рассмотрен вопрос об определении тензоров, задающих
группы симметрии кристаллов и текстур. Обратная задача об
определении ортогональных групп симметрии, соответствующих
данному тензору, была разрешена выше в отдельных важных частных
случаях.
4°. Тензорные функции от тензоров, характеризующих
геометрические свойства текстур и кристаллов. Ниже даются общие
формулы вида A.3), верные в произвольных координатах для
компонент векторов A(t компонент тензоров второго ранга Aij,
третьего ранга AlJk и четвертого ранга AiJkl для текстур3) и
кристаллов в зависимости от тензорных аргументов, данных
в таблице, определяющих соответствующие группы симметрии.
Так как совместные инварианты тензоров, определяющих
группы симметрии, являются абсолютными постоянными, то
инвариантные коэффициенты ks (s=l, ..., р) представляют собой
числовые постоянные или функции каких-либо скаляров, которые,
помимо выделенных тензоров, также могут присутствовать в
перечне определяющих величин.
В формулах выписаны в каждом случае только р линейно
независимых слагаемых. Выбор этих слагаемых можно изменять,
однако в каждом другом случае соответствующий набор слагаемых
1 Произведения векторов и их степени понимаются как диадные.
2 Аналогичные формулы, содержащие неточности, были опубликованы в [28].
Здесь даны исправленные формулы.
Нелинейные тензорные функции
483
можно представить в виде линейных комбинаций из выписанных в
формулах. Вопрос о выборе линейно независимых тензоров может
оказаться существенным при использовании различных
дополнительных гипотез о характере функциональных связей (линейная
зависимость от некоторых компонент и т. п.). Из этих формул
легко получить известные данные [2], когда выполнены следующие
условия симметрии:
А"** А", А"* = А'*',
дни_дшн$ дим _ Afiuy дим _, дмии
Эти условия выполняются при дополнительных ограничениях,
которые нужно наложить на инвариантные коэффициенты.
Соответствующие формулы получатся из выписанных при помощи
операции симметрирования.
Для текстур
Класс oo/oo-m(gr)
Л<* = 0, Л" = ££''', Л"* = 0,
дцнг = kig;/gkt + k^kgti+k3g»gJ*.
Класс оо/оо (g, Е)
Л<* = 0, AV = kgV, А"* **№'*, А"** = А"**(оо/оо.т).
Класс moo:m(g, В=е23)
Л' = 0, Л</==^ + £2Я", Л"* = 0,
Л '/« = А**м (оо/оо • т) + ^"Я*1 + £5g'*5"+£eg"£'* +
+ №*В"+ft^'B'* + Kg*Bil + kiJBPB*K
Класс оо: 2: (gr, fi = el, £)
Л< = 0, AV^W+ktB",
AV* = klEV* + k1BiaE''* + k9Ei'*Bi, А"** = А"м(т.оо:т).
Класс оо :m(g, В = е2ЗУ й^е^—е^г^)
Л' = 0, AV^W + W + kJuft, Л^ = 0,
Л "« = Л'/" (т. оо: т) + й^'О" + ki2gikW + k13g»Q'* +
+ k14gMQf* + k15g'Wk + kugJ*Qa+k17B'W + ft18B'*Q" + kuWBkl.
Класс oo./n(f, 6 = e3)
Л ' = W% Л " =* fttf" + kJ/Ы,
A v* = kxg%k «f jfe^ft/+ft ,$/*&' + ft^fr/ft*,
Л w -, дин (oo/oo. m) + kk&\№+kbgikVbl + kQglWbk +
+ k7gkWb;'+k6g;Wbk+k9g;'kbi'bl+kiJWVb1.
484
Добавление I
Класс oo(g, b = e3, E)
A( = kbl, AV^krft+kJfbt+kJE'^bn
A v* = k^'b" + k^W+kg'W + ktbWb*+k„№bk+
A'/« = A"" (oo • m) + kt ,g'VQ*' + fciag'*Q" + ft„g«Q/* + kljg*Wt+
+ klbg'lQfk + kug'kQil + *„ W/Q« + ^W +
+ kltWbkb' (ff/=£"afca).
Для кубической сингонии
Класс 6/4 @А)
Ж=0, AV—k&; Л"*»0, AyH-AVHipoiao-tQ+kfltf*-
Класс 3/4 @Л, £)
Л< = 0, A" = kg", A"k = kEVk, Л"*'= Л'/"F/4).
Класс 3/1 («г, 7V)
Л< = 0, dtf-Ag", A<>k = kTridk, Л'>*' = Л"*'F/4).
Класс 3/2 (#, £, Г,,) или (ГА, £)
Л< = 0, Af'-kg", AVk = k1EV>t + ktT4dk,
Aiw « л w F/4) + 4,74* + ft, 7jf>*+ЛтУ**"-
Класс 6/2 (rft)
Л' = 0, A"*=kgV, Л"* = 0, Л'''« = Л""C/2).
Тетрагональная сингония
Класс т-4:т(Ой, U=ei)
Л'' = 0, А"—АУ (ni ■ 00 :т) = KgU+kfiU,
Л"* ш. О, Л"*' = Л'/*' (т • оо: т) + ft„0'f.
Класс ?m(g\ 7^, £ = «!)
Л' = 0, AV — W+kflt,
Л'/* = ft^'*+£ЛВ*„ + kJifBi.;,, AiJkl-Л'/" (т • 4: т).
Класс 4:2@Д, В = е2, £),
Л' = 0, AV — W + kiB", А"*-А1'*(оо:2), Л"" = Л"*'(т-4:т).
Класс 4:т@Д) fl = е^ — eaet, 5=el),
Л' = 0, Л''' = Л'''(оо:т), Л"* = 0,
Л'>*' = Л"*' (оо :т) + K,OlV + k2lO'khlaQf:a.
Класс i(g, Td, Я^е^г—eseu B=el)
Л' = 0, Л"~Л"(оо:т),
Нелинейные тензорные функция
485
Ат = А"* (im) + kJ'ifQk+kbQf.aTVk+keQf:aT^B%,
AV"—A"u(A:m).
Класс 4m(Oh, 6 = e„)
Л' = &>', AV^ktgV+kJbtbt, AV* — A"*(ao-m),
A"*—AV"(m-i:m).
Класс 4@Д, * = е„ £)
Л' = АУ, Л'/ « kjgti + k%W+kfifl (W - £"«&„),
AV>-AV* (oo), Л"« =* Л"« (оо) +Jfe80O*/w+k%lOfa&:a.
Гексагональная сингония
Класс m 6:m(Dth, Я = е|)
Л'-О, АЧ—ktfti+k£U, Л"*-0, А"и — А<*и(т-оо:т).
Класс m-Z:m(Dth, #=е|)
Л' = 0, AV — krft + kJBV* А"* — №£, А"ы-AUu(m-oo:m).
Класс 6:2(Д,Д, 0-eS, £)
Л' = 0, Л"-Л^Ч-Jfe.fi", Л''/*=Л"*(оо:2),
Л"*' = Л"*'(т-оо:т).
Класс 6:т(/),д, /? = е|, &я*ехег—еге^
Л'=0, Л"-Л"(оо:т), Л"*=0, Л"*' = Л"*'(оо:т).
Класс 3:т@,л, 5 = е|, 0 = ^6,-6,^)
Л'-О, Л"-Л"(оо:т), A't*-klD,ht'*+kJ)thlla&k,
Л"«-Л"м(оо:«).
Класс 6т(Д,д, &=»<?,)
Л'-Jfcfy, A^'mktg'f+kjb'bf, Л"*-Л"*(оо./п), Л""-Л"**(оо-т).
Класс 6(£>вД, 6=-е„ £)
А'—кЫ, Л"-Л" (о©), Л"*-Л"*(оо), Л"*-Л"«(оо).
Тригональная сингония
Класс 6т@,А> B=el)
А'ш-О, А''-kjgV+kJB", Л"*=0,
Л «* - Л"*<(т • оо: т) + Jfej А/'* + *i А*"" + Wu'+*i A*J ^
Класс 3:2(D8A( «»««. £)
Л'=0, Л" = ^+^£'7, Л"*«Л"*(оо:2) + *Аа'у*.
Л</« = Л'/" (от. оо :m) + k11Eak!.Dtl,^ +А14£«'ЗД0 +
486
Добавление I
Класс 6(Dld, B=*e\, Q = elei—etej
Л< = 0, Л"-Л"(оо:/п), Л"* = 0,
Atm = Аш (оо: /n) + ktuDJJ" + knDJ<" + kMD9dW + kttDtd'V* +
Класс 3-m(Dth, b = e3)
A< = W, A<' = klgi' + ktW, Ж/*=/1'/*(оо-т) + 4ДЛ'/*,
Atm = л'/« (oo • m)+knD3hv*b'+kMW+kMW+
Класс 3(Z)sft, 6 = e3, £)
Л'' = &/, Л" = Л"(оо),
Л"* = Л"* (oo)+А,£>,а"*+M>s*"a#i, Л';*< - ^//w (б)-
Ромбическая сингония
Класс m-2:m(Dth, g)
А< = О, Л" = А^ + Аа£>2Д</ + ^D^D^i^y^ Гамильтона-Кмн).
Л'/* - О, Л"*< = Aag V'+A,g<V + *.*"*" + A4g"D2A*' +
+A10g<W« + Aug'W + A^W* + A18M V + M*'' *gJl +
+ Mf' V* + AleD2A"D,A*< + kMl№* + A18D2A</Af *< +
+ AMD2A'W + bWD*" + A„Af "Af«(Л1'7 = /?,*** ZW).
Класс 2:2(Z>8A, £, g)
Л' = 0, Л"*-Л"(от-2:/п),
AUk = ^py* + k%&i«D*hik. + k3EikaD2h0;> + A4£"*M*i +
4Л£''*аМ^4-Ав£2,/0'£;//эМ'5*, АЧк^АЧ" (т-2-.т).
Класс 2-m(D2h, b = e3, g)
A1' = A*?'', Л" = Л" (m • 2: /n) = A^" + A^W + A3D2A",
Л'/* = А^'б* 4. £lg/*&/ + *,gVft' 4- kJfVb* 4- ksD2h"bk +
4- ktD2hikbJ 4- A,D2A*W, AW = A'J'kl (m-2:m).
Моноклинная сингония
Класс 2:m(Dtb, Q = etea—e^, g")
Л< = 0, Л'/ = Л^(т-2:тL-А40'/4-А4^а^л./в. Л"* = 0,
Л'/*' = Л"*' (от • 2:/я) 4- А^'О" + A23g'*Q- А24£'-(*У* + АИ«**У +
4- Ам я^* 4- A27^*Q" + KgiW-D^. + k2,gikQI« Dih«[ +
+K^Q^Dihak^k3lgM^D2a. + WQ^rtt +*,,?/* »"£>^. +
4- k„DJW 4- A,5D,A<*Q" 4- *,.£>,A*'G" + t^D^'OPD,,*. +
+ k3)D2h<>Q«D^^k„DMk'QiaDth-i+k€tM*W4 ktlMUQ**Dul.
Нелинейные тензорные функций
487
Класс 2(£>зЛ, £, 6 = e3, g)
Al' = kbl\ AV=AVB:m)9
№к = к^Ък + fe.g1" W + fcrf'W + *4^^* + KDJJbk + WW +
+ к702^Ы + kfifW + *,»*&/ + *10О*^ + kiSliaD2hlbk +
+ k12®«D2h£bf + klz&«D2f;ib'\
Л^ = ^B:/п).
Класс m(D2h, b = ex> c = e2)
A1' = kxb1' + k2cl\ № = А#'7 + WW + k3clV -f kJbW + к5с1'Ы,
A * * = k&Vtf + k2gikV+kzgJkbl + кАЬ<ЫЬк+k5gl/ck + k8gikd +
+ k^g/kc1' + kscWbk+kzbfc'bk + к10ЫЫск + ktlbl'c'ck + k12clVck +
+к13с{с'Ък + кис1'Ыск,
AW = дам B: m) == k^'g*1 + k2gikgJ'1 + A,g'V* + k^'bkbl +
+ kbgikbJ'bl + kegilb'bk + k7bl'b'gkl + k8bl'bkgJ'1 + kJWgi* + k10g^'bkcl +
+ kxlgikVcl + k12gilVck + k13gkW+kugWck + kug;'kb'cl+
+ Лх.ЯГ'W + fc17g< W + ^seW+К&М#Ы + k2QgJlc(bk +
+ KgWb1 + k22clVbkbl + k23b(dbkbl + к2^УскЫ + k2bbWbkcl +
+ kug*hkcl + k21gikdcl + k28gilc'ck + k29ckclcl'c' + k30blVbkb<l +
+ k31gikclcl + к92Ь{'Ы'скс1 + kzzbl'bkc^'cl + k^bWc* + kzbcl^'bkbl +
+kZQcl'ckbW + к31с*с1ЫЬк + k38bl'cW + kZ9c{bkkcl + k^c'cWc1 +
+ kAlcWckbl.
Если вместо ZJA, elf e2 в качестве определяющих тензоров
взять elf e2 и е\, то последнюю формулу для тензоров четвертого
ранга можно заменить формулой
AA = kOk<eieJekel + №™eaeze3e3 + k^^eaezeze^ + k^^ezezeae^ +
+ k""*eteaetet + k^zezeae^ez + k^3eaeze^ez + k****ezezeze3y (*)
где суммирование производится по индексам *, /, k> /, а, р,
принимающим только два значения: 1 и 2. Простой подсчет показывает,
что в этой формуле имеется 41 слагаемое, причем их линейная
независимость видна непосредственно.
Нетрудно видеть, что для тензоров четного ранга и, в
частности, для тензоров четвертого ранга для классов моноклинной
сингонии 2 : т, 2 и т соответствующие определяющие параметры
могут быть заменены одной и той же системой тензоров еь е2 и е\У
поэтому можно пользоваться одинаковыми формулами. Таким
образом, для всех классов моноклинной сингонии для тензоров
четвертого ранга применима формула (*).
Легко также усмотреть, что тензоры четвертого ранга для
ромбической сингонии с 21 линейно независимым членом получатся
из формулы (*), в которой надо взять члены с t=/, &=/; i=k, j=l
и i=l, j=k и ct=p.
488
Добавление 1
Таким образом, ясно, что при построении общих формул для
тензорных функций первоначальный базис аргументов иногда
выгодно видоизменять применительно к рассматриваемым
отдельным случаям.
Триклинная сингония
Класс 2 (С,)
Л' = 0, AV—общий случай с 9 компонентами,
Л'/*г=0, AiJkl—общий случай с 81 компонентой.
Класс 1 (е19 е2, еь)
Все тензоры имеют общий вид с отсутствием симметрии.
5°. Тензорные функции для текстур и кристаллов при наличии
дополнительных тензорных аргументов. Допустим теперь, что
кроме тензоров, задающих геометрические свойства текстур и
кристаллов, среди определяющих величин — независимых
аргументов имеются еще другие тензоры. Очевидно, что в этом случае
группы симметрии совокупности определяющих параметров
являются соответствующими группами или подгруппами текстур или
кристаллов. Подгруппы, отличные от кристаллографических групп,
могут возникнуть только при рассмотрении текстур. При
добавлении других тензоров к тензорам, определяющим
кристаллическую симметрию, будут получаться опять группы кристаллической
симметрии либо группа симметрии сведется к тождественному
преобразованию.
Все подгруппы данной группы кристаллической симметрии
содержатся среди 32 кристаллических групп, поэтому при
добавлении других тензоров к тензорам, задающим симметрию
кристаллов, группы симметрии совокупности аргументов будут
принадлежать также к одной из 32 кристаллических групп.
Сокращение числа линейно независимых компонент у
определяемого тензора в общем случае может возникнуть только при
наличии соответствующей симметрии. Очевидно, что упрощения в
случаях кристаллов возникают, когда совокупность определяющих
параметров допускает нетривиальную группу симметрии. После
выяснения типа кристаллической группы симметрии для
совокупности тензорных аргументов можно воспользоваться одной из
формул в 4° для выяснения строения компонент определяемой
тензорной функции.
Таким образом, можно воспользоваться формулами из 4° для
установления строения тензорных функций в общем случае для
кристаллов. Для фактического выяснения природы
соответствующих формул необходимо изучить свойства симметрии
совокупности заданных аргументов, что для кристаллов равносильно
представлению определяющих тензоров через совокупность тен-
Нелинейные тензорные функции
489
зоров, характеризующих кристаллические классы, отмеченные в
таблице.
Приведенные выше соображения позволяют легко
проанализировать большое число разных частных случаев, когда
дополнительные тензоры специальны или имеют специальный вид в кри-
сталлофизических осях.
При наличии дополнительных тензоров скаляры ks в общем
случае являются функциями совместных инвариантов
дополнительных тензоров и тензоров, задающих симметрию текстур или
кристаллов. Переменные совместные инварианты возникают за
счет дополнительных тензоров. Число функционально независимых
инвариантов в общем случае равно числу функционально
независимых компонент переменных тензоров. В некоторых частных
случаях число функционально независимых компонент может быть
меньшим.
Скалярные аргументы со£ в фиксированной системе координат,
в функции которых могут быть определены коэффициенты ks, в
общем случае можно выбрать так, чтобы они сохраняли свое
значение для различных переменных тензоров, эквивалентных с точки
зрения симметрии текстур или кристаллов соответственно. Такие
аргументы, установленные в фиксированной системе координат,
могут отличаться от инвариантов Qt при любых преобразованиях
координат и совпадать с ними ((oi=Q<) в данной фиксированной
системе координат.
6°. О тензоре кривизны риманова пространства и обобщение
теоремы Шура. Теория, развитая выше, связана непосредственно
со всеми закономерностями, рассматриваемыми в математике и
физике, которые формулируются в виде векторных и тензорных
уравнений и которые в той или иной степени связаны со свойствами
геометрической симметрии.
Существующие приложения многообразны: укажем, например,
закон Гука для текстур и кристаллов, пьезоэлектрические и
оптические эффекты и т. п. В качестве одного из примеров рассмотрим
тензор кривизны Кристоффеля — Римана Rukl. Как известно,
этот тензор антисимметричен при перестановке индексов I и / для
индексов к и / и симметричен относительно перестановки пары
индексов // и Ы. В случае трехмерного пространства среди
компонент Rijkt имеется только шесть компонент, которые могут
принимать независимые произвольные значения. Эти шесть компонент
определяют шесть компонент симметричного тензора второго ранга
Ктп, который можно ввести по формуле
Kmn = EVmEMnRiJkl. F.1)
Отсюда
Rim = \EiJnEklnKmn. F.2)
490
Добавление I
Как известно [31], компоненты тензора кривизны
удовлетворяют тождеству Бианки
где индексы m, я, г различны между собой, а ух— символ кова-
риантной производной по координате х*. Легко усмотреть, что
тождество Бианки эквивалентно следующему тождеству для
компонент тензора Ктп:
Va/C"a=.0. F.3)
Если в точках риманова пространства тензор кривизны
допускает симметрию какого-либо типа, то на основании развитой
выше теории легко написать общие формулы, определяющие
компоненты тензоров Rijki и Ктп через компоненты тензоров,
задающих соответствующие группы симметрии. Например для
симметрии типа текстур, верны следующие формулы:
для симметрии оо/оо-т и оо/оо
Kmn = kgmn\ F.4)
для симметрии оо-т, т-оо:т, оо:2, оо:т, оо
%тп = kgmn + k^bn, F.5)
где Ьт— компоненты единичного вектора, направленного вдоль
оси симметрии. Аналогичные формулы можно написать в любом
случае, когда компоненты тензора Ктп допускают какую-либо
конечную группу симметрии. Например при наличии симметрии,
отвечающей любому из пяти классов кубической сингонии, верна
формула
Следовательно, в этом случае тензор Ктп является шаровым,
так же как и в случае полной изотропии.
Из F.2) и F.4) — F.6) следуют соответствующие формулы для
компонент тензора
Rijki-
Из формулы F.4) и из тождества Бианки F.3) следует
gmaVakssQt F.7)
Равенство F.7) выражает собой известную теорему Шура. По
теореме Шура из изотропии тензора кривизны в каждой точке
следует постоянство кривизны во всем пространстве, так как из
F.7) получается
&=const.
В данном выше доказательстве теоремы Шура содержится
обобщение этой теоремы, заключающееся в том, что для выполнимости
теоремы Шура нет необходимости требовать полной изотропии
Нелинейные тензорные функций
491
кривизны в каждой точке пространства. Достаточно выполнения в
каждой точке условий симметрии группы 3/2, т. е. инвариантности
компонент тензоров Ктп или Rtjki относительно 12
преобразований группы симметрии 3/2.
Если кривизна определена в каждой точке постоянными кол-
линеарными векторами б1', то тождество Бианки дает
Т^ + Ь^УЛ = °- F-8)
Уравнения F.8) представляют собой систему уравнений,
наложенных на кривизну, для соответствующих римановых пространств.
Рассмотренное выше определение тензорных функций Н как
функций тензоров 7\, Г2, ..., Tk сводилось к введению
функциональных связей между компонентами Н и Ts, которые сохраняют
свой вид в любой системе координат.
В качестве дополнительных обобщений этих понятий можно
еще учесть, что понятие тензора тесно связано с употребляемыми
системами координат, которые определяются векторными базисами.
Для каждого тензора можно ввести каноническую матрицу и
соответствующие канонические тетрады единичных векторов базиса,
которые, таким образом, можно рассматривать тоже как, вообще
говоря, неоднозначные функции данного тензоров
Авторы выражают свою благодарность Ю. И. Сиротину, беседы
с которым помогли им уяснить положение дел в кристаллофизике-
области науки, новой для них.
ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ I
1. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. 4-е изд. М.: Гостехиздат, 1957.
2. НайДж. Физические свойства кристаллов. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
3. Вейлъ Г. Классические группы. М.: Изд-во иностр. лит., 1947.
4. Doring W. Die Richtungsabhangigkeit der Kristallenergie // Ann. Phys. 1958, 7 Folge. Bd. I,
Heft 1-3. S. 104-111.
5. Smith F.G., Rivlin R.S. The anisotropic tensors // Quarterly of Applied Math. 1957. Vol. 15,
N 3. P. 308-314.
6. Pipkin A.C., Rivlin R.S. The formulation of constitutive equations in continuum physics. PtI//
Arch. Rat. Mech. Anal. 1959. Vol. 4, N 2. P. 129-144.
7. Сиротин Ю.И. Анизотропные тензоры // Докл. АН СССР. 1960. Т. 133, № 2.
С. 321-324.
8. Сиротин Ю.И. Целые рациональные базисы тензорных инвариантов
кристаллографических групп //Докл. АН СССР. 1963. Т. 51.
9. Гуревич Г.Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М.: Гостехиздат, 1948.
10. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Гостехиздат, 1956.
П. Smith F.G., Rivlin R.S. The strain-energy function for anisotropic elastic materials // Trans. Amer.
Math. Soc. 1958. Vol. 88, N 1. P. 175-193.
12. Smith F.C. Further results on the stain-energy function for anisotropic elastic materials // Arch.
Rat. Mech. Anal. 1962. Vol. 10, N 2. P. 108-118.
13. Багавантам С, Венкатарайуду Т. Теория групп и ее применение к физическим
проблемам. М.: Изд-во иностр. лит., 1959.
14. John НА. Note on the Bhagavantam Suryanarayana method of enumerating the physical constants
of crystals // Acta CrystaUogr. 1949. Vol. 2, pt 1. P. 30-33.
15. Шубников А.В., Флинт Е.Е., Бокий Г.Г. Основы кристаллографии. Изд-во АН СССР,
492
Нелинейные тензорные функции
16. Шубников А.В. Симметрия и антисимметрия конечных фигур. Изд-во АН СССР, 1951.
17. Шубников А.В. О симметрии векторов и тензоров // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1949.
Т. 13, № 3. С. 347-375.
18. Сиротин Ю.И. Групповые тензорные пространства // Кристаллография. 1960. Т. 5,
вып. 2. С. 171-179.
19. Сиротин Ю.И. Построение тензоров заданной симметрии //Там же. 1961. Т. 6, вып. 3.
С. 331-340.
20. Копцик В А. Полиморфные фазовые переходы и симметрия кристаллов //Там же. 1960.
Т. 5, вып. 6. С. 932-943.
21. Spencer AJ.M., Rivlin R.S. The theory of matrix polynomials and its application to the mechanics
of isotropic continua // Arch. Rat. Mech. Anal. 1959. Vol. 2, N 4. P. 309-336.
22. Spencer AJ.M., Rivlin R.S. Finite integrity bases for five or fewer symmetric 3x3 matrices // Ibid.
1959. Vol. 2, N 5. P. 435-446.
23. Spencer AJM., Rivlin R.S. Further results in the theory of matrix polynomials // Ibid. 1960. Vol.
4, N 3. P. 214-230.
24. Spencer AJ.M., Rivlin R.S. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part I //
Ibid. 1962. Vol. 9, N 1. P. 45-63.
25. Spencer AJ.M. The invariants of six symmetrix 3x3 matrices // Ibid. 1961. Vol. 7, N 1.
P. 64-77.
26. СедовЛ.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.
27. Лохин В.В. Система определяющих параметров, характеризующих геометрические
свойства анизотропной среды // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, № 2. С. 295-297.
28. Лохин В.В. Общие формы связи между тензорными полями в анизотропной сплошной
среде, свойства которой описываются векторами, тензорами второго ранга и
антисимметричными тензорами третьего ранга //Там же. № 6. С. 1282-1285.
29. Седов Л.И., Лохин В.В. Описание с помощью тензоров точечных групп симметрии // Там
же. № 4. С. 796-797.
30. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М.: Гостехиздат, 1957.
31. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Гостехиздат, 1953.
ДОБАВЛЕНИЕ II
МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД С ВНУТРЕННИМИ
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ1
Л. И. Седов
Хорошо известно, что в современной физике и механике
требуется построение, введение и использование новых моделей тел с
усложненными свойствами. Настало время фактического
развития макроскопической теории, в которой требуется изучать не
только движение газов, но также и движение твердых
деформируемых тел в тесном взаимодействии с физико-химическими
процессами, происходящими внутри данной частицы и в ее
взаимодействии с соседними частицами тела и с внешними объектами. В
последние годы в мировой литературе появляется очень много
теоретических работ, в которых вводятся новые виды обобщенных
сил и уравнений состояния. Подавляющее число этих работ
основано на формальных математических конструкциях.
Построение новых теорий связано существенно с введением
в качестве определяющих и искомых характеристик новых понятий
и соответствующих математически задаваемых величин для
описания свойств пространства и времени, положения и состояния
субстанциональных частиц тела и полей, с выделением элементарных
определяющих величин в общих законах движения и физико-
химических процессах.
Для более конкретного освещения этого вопроса рассмотрим
общую постановку проблем об установлении моделей для описания
широких классов движений и процессов в механике сплошной
среды.
Укажем сначала на примеры основных характерных величин.
При физическом изучении движения материальных континуумов
необходимо пользоваться понятиями времени и метрического
пространства — трехмерного или четырехмерного, и всегда двумя
системами координат (рис. 66) 2 : системой координат наблюдателя
1 Текст доклада, сделанного на открытии III Всесоюзного съезда по
теоретической и прикладной механике 25 января 1968 г. (Опубликовано: Прикладная
математика и механика. 1968. Т. 32, вып. 5).
2 Некоторые думают, что механику подвижных непрерывных материальных
сред без существенного ограничения общности можно строить при помощи только
одной и притом декартовой системы координат. Эта точка зрения, отраженная
в некоторых книгах и искренне внедряемая в сознание учащихся, неверна и
мешает пониманию сущности механики и постановок ее задач. Путаница питается,
с одной стороны, тем, что в механике деформируемых твердых тел обычно
рассматриваются только линеаризованные задачи, когда в расчетах можно считать,
что система отсчета наблюдателя и сопутствующая система совпадают. С другой
494
Добавление II
х1, х2, х3у х4 и соответствующей лагранжевой системой £х, £2/£3,
£4=£. В физике Ньютона можно всегда считать, что имеет место
равенство х4=£4=/, и рассматривать абсолютное время как
скалярную переменную. Координаты £\ £2, £3 фиксируют
индивидуальные частицы. В общем случае обе системы координат по своему
существу — криволинейные системы коодинат.
В метрическом римановом пространстве для элемента длины
имеем
ds* = gu dx( dx' = gu dV d&. A)
Компоненты тензора gtj определяют метрику и являются
основными характеристиками пространства — времени. В механике
Ньютона тензор g/
евклидов, в специальной
теории относительности
псевдоевклидов; его
компоненты доопределяются
наблюдателем только
выбором, по
собственному усмотрению,
системы координат а:1, дс2,
х\ х\
Рис 66 В общей теории
относительности тензор
gtj определяется из
уравнений, выражающих собой физические принципы.
Инвариантные дифференциальные величины, задающие свойства
метрического тензора gu риманова четырехмерного пространства, можно
взять в качестве первой и очень важной иллюстрации, примера не
классических искомых физических величин нового типа.
Основной искомой связью в системе наблюдателя,
определяющей движение среды, является закон движения, представляемый
четырьмя функциями
х? = х?(Ъ\ 1\ 1\ I4) ('■=!, 2, 3, 4). B)
Наряду с функциями х1(%к) удобно вводить и рассматривать в
качестве определяющих аргументов для различных физических
функций производные
х/ = ~ , V*,*/. • • •, V*. V*.... V*//, • • • (Р = 1, 2, 3,.. .)• C)
стороны, тем, что метрика сопутствующей лагранжевой системы координат в
теории жидкостей и газов проявляется только через плотность. Вместе с этим часто
забывают, что все субстанциональные характеристики, такие как скорость,
ускорение, тензор скоростей деформаций и т. п., вводятся при помощи системы
наблюдателя при существенном использовании понятия о сопутствующей системе
координат.
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 495
Здесь через символ V& обозначена ковариантная производная
по I*, причем первые производные х/ рассматриваются при
фиксированных значениях индекса / как компоненты вектора по
индексу i\ эти векторы определяют собой компоненты вектора
скорости, соответствующие повороты, а при сравнении данного
положения тела с некоторым мысленно вводимым «начальным
положением» — компоненты тензора, связанного с деформацией,
в/у = у Qu-kij) = у (gp^—Sij)-
Здесь через gud1, Ъ2> £3, £4) обозначены компоненты
метрического тензора, отвечающего «начальному положению», которое
вводится с помощью некоторого соглашения из физических
соображений. В простейших частных случаях начальное положение
вводится как «неизменяемое твердое тело», совпадающее в
трехмерной пространственной части с данным деформируемым телом
в некоторый «начальный» момент времени (см. [Ч).
Вместе с законом движения B) необходимо вводить переменные
параметры \iA и их градиенты (ковариантные производные)
различных порядков
|И = |И (S1, I2, Р, £4), V*,V*f • • • Ъ*л, ... D)
(Л = 1, 2, ..., N; </=!, 2, 3, ...);
в качестве таких дополнительных параметров \хА можно взять:
энтропию; концентрации различных компонент в смеси;
компоненты тензоров остаточных деформаций и плотности*
дислокаций (S; c{\ ejf; Sl7);
компоненты вектора электромагнитного потенциала А-х для
тензора электромагнитного поля
ssdAi_dAj_
ij dxf дх* '
определенного в соответствующей инерциальной системе
координат матрицей (см., например, [3])
О В3 -В2 сЕЛ
\-В* О В1 cEt\
В* —В1 О с£з||
-сЕх —сЕ2 — сЕз О
где с 7~ СК0Р0СТЬ света, Е1у Е2, Е3 — компоненты вектора
электрической напряженности, а В1, В2, В3— компоненты вектора
магнитной индукции;
В настоящее время происходит усовершенствование и обобщение теории
пластичности добавлением новых параметров, и таким путем получается теория
дислокаций (см., например, [2]).
V-
496
Добавление II
компоненты тензора намагниченности и поляризации
^/y = ~-(Fi7—Я/у), причем HU определены матрицей
#<v =
о я3. —#2 -DVc
— #з 0 Нг —D*/c
Н2 —Я! О —D3/c
Dl/c D*/c D*/c О
где #1, #2, #s — компоненты вектора магнитной напряженности,
a D\ D2, D3— компоненты вектора электрической индукции;
компоненты внутренних механических моментов количеств
движения mik и т. д.
Переменные параметры \iA могут иметь скалярную, тензорную
или спинорную природу [*• б* в]. Наличие переменных
параметров |хл, которые согласно D) необходимо определять при решении
задач, означает, что изучаемая модель сплошной среды обладает
внутренними степенями свободы.
Характерной и важной особенностью всех макроскопических
моделей деформируемых сред и полей будет функциональная
зависимость искомых величин для тел конечных размеров от
определяющих параметров. Например, для деформируемого тела
конечных размеров полная внутренняя энергия U всегда будет
функционалом от функций х(Aк) и \iA(lk).
Во многих случаях на практике можно принять обобщенное
свойство аддитивности внутренней энергии и для полной
энергии U пользоваться формулой вида
и = S и (8ф *Л • • •» V*. V*. • • - VkrXf\ нЛ ...
т
...,?*,... V*,|H, 5, Kb) dm + U„ E)
где т — масса покоя, dm — элемент массы покоя среды, и —
локальная внутренняя энергия, рассчитанная на единицу массы и
представляющая собой физически определенную функцию только
от указанных аргументов, причем S — энтропия, а Кв (В=1Ч
2, ...) — известные функции координат * £' (обобщение заданных
1 Наряду с формулой E) для внутренней энергии можно рассматривать
выражение, получающееся после преобразования интеграла, входящего в E),
к вообще криволинейной и неинерциальной системе координат х* наблюдателя,
или непосредственно использовать эту систему. В этом случае в аргументы
функции и, кроме искомых функций, могут входить различные величины и
функции от х1 Кс (х(), подобные Кв E')» которые уже известны в системе
координат наблюдателя. Примерами величин Кс (*0 могут служить известные
компоненты метрического тензора в системе наблюдателя, известные
характеристики внешних электромагнитных полей, от которых может зависеть
удельная объемная или массовая внутренняя энергия среды или поля. Параметры
Кв или Кс могут представлять собой скаляры или компоненты известных или
задаваемых тензоров.
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 497
физических постоянных). По основному физическому допущению
в данной точке величина локальной удельной энергии и не зависит
от всех градиентов высшего порядка г , не указанных в числе
аргументов и (г и s — фиксированные числа).
В классической теории упругости (в трехмерном евклидовом
пространстве) имеем простейший случай, когда
В более сложных новых моделях 2 сплошных сред в
аргументах удельной внутренней энергии и появляются дополнительные
физико-химические характеристики \хА и градиенты различных
порядков от величин х/ и \iA.
Наличие таких градиентов в выражении для внутренней
энергии приводит к необходимости пересмотреть имеющиеся концепции
об уравнениях движения и процессов, о краевых и начальных
значениях, о механизмах взаимодействий, об условиях на скачках и
во многих других вопросах.
Специально выделенная и отмеченная в формуле E)
постоянная U0 в классической теории упругости совершенно
несущественна и обычно полагается равной нулю. В более общем случае
постоянную U0 необходимо учитывать, и ее нельзя рассматривать
как аддитивную величину для отдельных частей тела при
фактическом разделении тела на различные части. Это связано с тем, что
всякое разделение тела на части, измельчение тела и т. п. связано
с затратами внешней энергии. В первом приближении
неаддитивность полной внутренней энергии U можно учитывать через
постоянную U0. Учет изменения U0 при изменении поверхности тела
при образовании трещин, при образовании и развитии дислокаций
и при разрушении тела имеет первостепенное значение.
Для упругих тел при наличии изолированных особенностей
изменение постоянной U0 для равновесных процессов можно найти
через глобальное изменение упругой энергии. Если внутри тела
под действием внутренних процессов или по действием известных
внешних воздействий возникают или устраняются некоторые
дефекты, то это связано с затратами энергии, источником которой
могут быть полная упругая энергия тела и известные внешние
притоки энергии. В некоторых случаях изменения U0 аналогичны
скрытой теплоте плавления или вообще энергии фазовых превращений.
Необходимо подчеркнуть8 , что дальнейшее разрешение на
физической основе проблемы прочности материалов будет тесно
Еще Коши при создании теории упругости предвидел и подразумевал
возможность введения в аргументы задаваемых функций высших производных.
Из статистических теорий при предельном переходе от дисконтинуума к
континууму получается, что в аргументах удельной внутренней энергии и могут
присутствовать, вообще говоря, производные любого порядка из C).
В частности, можно вспомнить модель жидкости с пузырьками [7].
См., в частности, т. II настоящей книги.
32. Л.И. Седов
498
Добавление II
связано с изучением изменения £/0. Отсутствие законченных
теорий и заметных успехов в разрешении основных задач о
критериях прочности материалов можно объяснять игнорированием
величины Uq. С другой стороны, успехи в теории трещин в хруп-
ких телах в первую очередь связаны с учетом изменения
величины £/0.
В решениях некоторых задач в рамках теории упругости
расчетные напряжения в отдельных малых областях могут возрастать
неограниченно, и это не связано с заметным общим или даже
местным разрушением. В связи с этим иногда неприемлемы критерии
разрушения, основанные на появлении в упругом поле расчетных
напряжений, превосходящих некоторые предельные значения.
Разрушения конструкций различных сооружений или
испытываемых образцов в общем случае представляют собой глобальные
явления того же характера, что и явление неустойчивости
движения или явление невозможности равновесия или непрерывного
движения.
В общем случае критерии разрушения не имеют локальной
природы. Тем не менее очень часто глобальная неустойчивость
определяется вполне локальными условиями, однако нельзя не
учитывать, что во многих случаях соответствующие локальные
условия могут быть только необходимыми, но не достаточными для
нарушения устойчивости равновесия и для разрушения данной
конструкции.
Проблема конструирования моделей сплошных сред состоит
в установлении характеристических величин и системы
функциональных или дифференциальных уравнений и различного рода
добавочных условий, которые позволяют в конкретных случаях
формулировать математические задачи об определении законов
движения xl'(lk) и физико-химических процессов, определяемых
функциями \iA (£*).
Задача о построении моделей сплошных сред применительно
к известным классам реальных объектов и реальных явлений
представляет собой одну из основных задач физического исследования.
Разрешение этой задачи связано с опорой на исходные
универсальные и частные базисные допущения, на данные опытов и на
согласование наблюдений и экспериментальных измерений с
теоретическими выводами и расчетами в пределах точности, нужной
практически или задаваемой по смыслу поставленных проблем.
Предлагаемая работа посвящена описанию, анализу и развитию
общего метода, позволяющего на основании минимального числа
допущений физического характера устанавливать для моделей
сред с внутренними степенями свободы усложненные замкнутые
системы уравнений и усложненные добавочные краевые и другие
условия, конкретизирующие отдельные модели и частные
постановки задач. Исследуемое и положенное в основу базисное
вариационное уравнение представляет собой простое и естественное
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 499
обобщение вариационного принципа Лагранжа и во многих
важнейших случаях полностью совпадает с хорошо известными
примерами приложения и формулировки этого принципа [4' ъ' у» Ь 10].
Как хорошо и давно уже известно, все основные уравнения
в теории относительности, в аналитической механике, в
термодинамике равновесных процессов, в теории упругости, в
гидродинамике и во многих других случаях получаются при помощи
вариационного уравнения Лагранжа.
Во многих современных физических теориях этот вариационный
принцип представляет собой рабочий и, по существу, единственный
исходный рациональный аппарат исследования.
Проведенный анализ показывает, что вариационное уравнение
Лагранжа для материальных континуумов и для физических полей
может быть положено в основу для любых физических моделей не
только для обратимых явлений, но и в случаях необратимых
явлений.
При помощи вариационного уравнения оказалось возможным
объединить и синтезировать на общей основе различные
феноменологические и статистические методы теории необратимых
процессов в термодинамике и механике. В частности, появилась
возможность истолковать и оценить в рамках уже развитой
термодинамики необратимых процессов ассоциированный закон для
остаточных пластических деформаций в механической теории
пластичности.
Известным новым моментом в развиваемой теории будет
применение интегрального уравнения в вариациях.
1) для описания действительно осуществимых в сплошных
средах необратимых явлений;
2) для установления уравнения состояния;
3) для установления кинетических уравнений;
4) для получения начальных и краевых условий и
5) для получения условий на сильных разрывах — скачках
внутри среды.
Значительное число приложений получено при обосновании
и введении моделей, в которых взамен трехмерных моделей
строятся модели двумерные или одномерные, когда движение или
равновесие получается после аппроксимирования искомых трехмерных
функций соответствующими известными функциями в одном или
двух измерениях, содержащими дополнительно искомые
переменные параметры.
При развитии современной теории усложненных
макроскопических моделей сред и полей важно иметь ясное представление
о том, что даже в рамках ньютонианской механики описание
явлений с существенным проявлением внутренних степеней свободы
невозможно только на базе главного уравнения механики Ньютона
ma = F.
F)
500
Добавление II
Уравнение F) достаточно в качестве базы для развития
аналитической механики системы материальных точек, в теории
абсолютно твердого тела, адиабатической теории упругости, теории
движения идеальной несжимаемой жидкости и в некоторых
других случаях, но уже недостаточно для учета макроскопических
тепловых и электромагнитных эффектов.
В частности, уравнение F) не может служить базисом для
получения макроскопических законов, регулирующих рост
пластических деформаций, для учета эффектов, связанных с
изменением непрерывно распределенных дислокаций, для учета
различных процессов и эффектов, связанных с макроскопическими
теориями электрической поляризации и намагничивания сред, и во
многих других случаях.
В частности, известное уравнение моментов количеств движения
для малых частиц или для конечных тел не является следствием
уравнения F), а является независимым фундаментальным
уравнением, связанным с симметрией законов природы относительно
группы вращений, тогда как уравнение F) связано с симметрией
законов природы относительно группы трансляций.
Для многих классических моделей сплошных сред
дифференциальное уравнение моментов количеств движения сводится к
условию о симметрии тензора внутренних напряжений или
удовлетворяется автоматически, когда тензор внутренних напряжений
вводится как определяемая характеристика из общих допущений,
фиксирующих свойства среды.
Отметим, что развитие статистических теорий для вывода
макроскопических закономерностей, базирующееся на уравнении F)
на микроскопическом уровне, всегда связано с некоторыми
существенными добавочными универсальными и частными допущениями,
не вытекающими непосредственно из уравнения F).
Обратимся теперь к разъяснению смысла основного
вариационного уравнения, которое можно взять как исходное, базисное
уравнение для конструирования макроскопических сред с
внутренними степенями свободы.
Для простоты и большей общности рассмотрим дальнейшую
теорию в рамках специальной теории относительности в
предположении, что пространство — время псевдоевклидово.
Опыт и ближайшее рассмотрение показывают, что развитие
теории с использованием четырехмерного геометрически
определенного физического пространства — времени и четырехмерных
векторов и тензоров очень удобно, естественно и в важных случаях
с физической точки зрения совершенно необходимо.
В фиксированной системе координат наблюдателя наряду с
действительными движениями и процессами, описываемыми точно
или приближенно при помощи кусочно-гладких функций
*«*), ^(Б*), 5F*).
G)
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 501
введем мысленно некоторый достаточно широкий класс кусочно-
гладких допустимых функций, содержащий по условию систему
функций G),
£'(£*) = *'(£*) +«*'.
РАAк) = РА &*) + №, (8)
S(g*) = S(E*) + 6Sf
и по смыслу величин КвAк) полагаем, что
Функции х1\ |ыл, 5 рассматриваются в точках некоторой
области системы событий четырехмерного объема V0 пространства —
времени, ограниченного трехмерной поверхностью 20. Дальнейшее
построение связано с предположением, что в классе допустимых
функций вариации 8xl\ 6\iA и 65 в объеме V0 непрерывны вместе
со всеми производными, входящими в вариационные уравнения,
и обладают достаточным произволом, а вариации бх/, 6V**/, • ••
..., 6уЛцл, •.. выражаются через функции х* (£*) и \iA (lk) для
действительных явлений, через вариации б**' и 8\iA и через их
производные по координатам х*.
Существенной новой особенностью дальнейшей теории будут
следующие обстоятельства:
1) вариации 8х1' определены как компоненты четырехмерного
контравариантного вектора, а вариации б^хл — как компоненты
тензоров той же природы, что и \iA\
2) на границах 23 произвольных объемов V4c:V0 вариации
Ьх1 и 8\хА и их производные могут быть отличны от нуля и в
известной степени произвольны.
Основное базисное уравнение напишем в виде
6$ ЛЛт + бГ* + б№ = 0, (9)
где Л—объемная плотность функции Лагранжа, a d/n = pdr, dx —
элемент четырехмерного объема dx = dVA = dV3dt.
Для материальной среды Л можно задавать формулой1
Л = — pu(giJf */, улх/, ..., (И, V#^, ..., S, Кв), A0)
1 К варьируемому интегралу по К4 можно прибавить члены, учитывающие
наличие величины U0 в формуле E), которая может вообще меняться за счет
развития границы 20 и поверхностей разрыва внутри У4. В излагаемом ниже
основном варианте теории такой добавочный член не вводится.
В аргументах формулы для Л среди параметров \iA выделена энтропия 5,
причем среди аргументов Л не значатся градиенты энтропии 5. Дальнейшую
теорию можно распространить непосредственно на случай, когда энтропия не
выделяется специально, а отождествляется с одним из параметров \лА, входящим в Л
вместе со своими градиентами любого порядка.
502
Добавление II
где р — скалярная плотность (отношение массы покоя к
трехмерному объему в сопутствующей системе координат), и —
внутренняя энергия, рассчитанная на единицу массы покоя в
сопутствующей системе координат. В специальной теории относительности
величину и можно рассматривать как чегырехмерный скаляр.
Первый закон термодинамики гласит, что» функцию и р dx можно
ввести для любой физической бесконечно малой частицы.
Установление аргументов и вида функции и — это основная
физическая задача, возникающая при конкретизации модели
сплошной среды. Фиксирование внутренней энергии как функции своих
аргументов всегда связано с некоторыми допущениями, часть из
которых иногда может показаться очень естественной и само собой
разумеющейся.
На практике часто значения переменных параметров можно
рассматривать как характеристики малых возмущений, в связи
с этим во многих случаях функцию и можно рассматривать просто
как положительно дефинитную квадратичную форму
определяющих Малых переменных параметров. В этих случаях проблема
определения функции и сводится к проблеме определения
постоянных коэффициентов соответствующей квадратичной формы. При
определении этих коэффициентов полезны условия симметрии
["• 121 и можно опереться на опытные данные, а в некоторых
случаях значение этих коэффициентов можно связать с
молекулярными постоянными на основе статистических теорий (развиваемых
с помощью своих универсальных и специфических для данной
модели допущений). Такие коэффициенты подобны модулю Юнга
и коэффициенту Пуассона, которые на практике всегда можно
легко найти из опытов. Их можно вычислить статистическим путем
(на основе некоторых далеко идущих допущений). Однако в ряде
случаев расчетные значения из статистики, вообще говоря, не
соответствуют опыту для твердых тел. Для газов соответствие между
расчетами и опытом лучше, но и в этом случае требуется опытная
проверка результатов расчетов. Все же статистические теории
позволяют наметить некоторые соотношения между подобными
коэффициентами, не очевидные в феноменологических теориях,
например, связи между коэффициентами теплопроводности, вязкости и
диффузии.
В ньютонианской механике в инерциальной системе координат
обычно вместо формулы A0) можно пользоваться формулой
A=p[(V0»f-Mj,
где v — скорость точек сплошной среды, а и — трехмерный скаляр,
равный плотности внутренней энергии.
В уже развитых теориях функцию Л можно считать известной
как для уже определенных моделей материальных сред, так и ддя
электромагнитного поля. В общей теории относительности часть
величины Л, связанная с тяготением, известна (теория Гильберта)
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 503
и служит основой для определения метрического тензора gtjy
представляющего гравитационное поле. Различные обобщения общей
теории относительности, вообще говоря; всегда связаны с
изменением или иным заданием плотности лагранжиана Л.
Важно отметить, что с физической точки зрения можно
говорить о том, что физическая система задана или известна только
в том случае, когда внутренняя энергия или соответственно
лагранжиан Л заданы или определены I1' 10> 13~15].
Таким образом, с общей физической точки зрения требование
о задании лагранжиана Л в функции макроскопических
переменных в уравнении (9) будет естественным. Выполнение этого
требования связано с использованием громадного опыта, накопленного
в различных физических теориях и в разнообразных
экспериментах. Допущения, выставляемые при фиксировании функции Л,
всегда необходимы и могут быть оправданы различными
интуитивными и другими, вообще говоря, простыми предположениями.
Самые непосредственные контакты макроскопических теорий
с универсальными физическими принципами, с опытом и со
статистическими теориями могут и должны осуществляться при
обсуждении проблемы фиксирования функции Л.
Обратимся теперь к разъяснению выражения для задаваемого
функционала 8W*, характеризующего внешние объемные в VA
и поверхностные на 23 взаимодействия данной части среды в V4
с внешними полями и телами и некоторые необратимые действия
соседних частей среды, примыкающих к выделенному объему У4
вдоль поверхности 23.
При адиабатических обратимых процессах и при отсутствии
внешних притоков энергии внутри V4 и на поверхности 23 часто
можно принять просто, что 8W*—0.
В консервативных системах небесной механики всегда можно
посчитать, что 8W* = 0 при соответственном выборе Л.
В общем случае феноменологических теорий при наличии
внешних к рассматриваемой среде объемных и поверхностных
притоков энергии и необратимых процессов, когда в аргументы Л входят
производные по £* или х{ различных порядков от xl'(%k) и \iA(lk),
общий вид выражения для SIT* напишем в виде1
6W= J (pQUS—Qfix'—MjL 8\iA) dx—
+/l^M^,,,,V/--V|l")n*Ar' AI)
В четырехмерной трактовке при определении знаков у скалярных произ
ведений, задающих притоки энергии, необходимо учесть замечания, приведенные
в сноске на стр. 332.
504
Добавление II
Здесь через S± обозначены две стороны трехмерной
поверхности S внутри V4, на которой характеристики движения могут
терпеть сильные разрывы, nk—компоненты единичного вектора
внешней нормали на 23, S+ и S.. Компоненты
Q(Q,, Of1'••''), M(MA,Mf--'*)
— некоторые задаваемые внешние обобщенные «силы». Величина 9
играет роль абсолютной температуры, и ее можно рассматривать
в разных случаях как определяемую или как задаваемую величину.
В формуле A1) вариация энтропии 6S введена как величина,
независимая от вариаций Ьх{ и 8\хА.
Задание функционала 8W* связано с проблемой разделения
взаимодействий на внутренние и внешние. Например, если
электромагнитное поле или гравитационное поле рассматриваются как
внешние объекты, то соответствующие потоки энергии для
электромагнитных пондеромоторных сил и для гравитационных сил
присутствуют в выражении для 8W*\ если же эти поля заданы,
а внешние потоки включаются в модель среды, то в выражении
для 8W* могут появляться соответствующие полные
дифференциалы, которые можно выделять из 8W и которые можно включать в
выражение для Л. При перенесении полных дифференициалов из 8W* в
6 y^Adx меняется смысл Л, формула A0) может быть заменена
другой аналогичной формулой, в которой вместо внутренней
энергии взята свободная энергия, или энтальпия, или другие
термодинамические функции состояния. Для необратимых процессов
перенесение члена 6W* целиком в Л невозможно, так как
вариация 8W*y вообще говоря, неголономна.
Определение компонент обобщенных массовых и
поверхностных «сил» Q и М представляет собой проблему, тесно связанную
с теорией диссипативных механизмов, при решении этой задачи
неизбежны различные допущения и контакты с уже развитой
термодинамикой необратимых явлений. Определение Q и М аналогично
основной физической задаче в механике Ньютона об установлении
законов для сил, определенных уравнением Ньютона, а в данном
случае — вариационным уравнением (9). Особенное физическое
значение может иметь учет свойств величин в подынтегральном
выражении для 8W* на поверхности разрыва S±. Определение
8W* связано с выбором определяющих параметров х* и \хА , с
определением их вариации и, в частности, со свойством
непрерывности вариации на скачках.
Важно отметить, что при определении или при задании
величин Л и 8W* выявляются общие основы для самых разнообразных
моделей. Это позволяет использовать и синтезировать опыт в
различных областях и установить непосредственные связи между
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 505
различными теориями. Кроме того, возникают дополнительные
средства для использования статистических соображений.
[Вариационное * уравнение (9) тесно связано с первым и
вторым началами термодинамики. Рассмотрим подробнее этот вопрос
в рамках ньютоновской механики. Уравнение энергии (первое
начало термодинамики) можно написать (см. уравнение B.18) гл. V)
в виде
d ^ £р dx = j (FMacc • dr + dq' + dq**) pdx + § pa% dx* do, (A)
а второй закон термодинамики (см. § 5 гл. V)—в виде
[ 9 dSp dx = J (dqe + dq')p dx. (B)
Здесь $—полная энергия, рассчитанная на единицу массы,
в общем случае величина 9 играет роль абсолютной температуры,
S—удельная энтропия, ^'—некомпенсированное тепло, V3 —
произвольный подвижный субстанциональный объем среды, а 22 —
поверхность, ограничивающая V3.
Уравнения (А) и (В) написаны для произвольного трехмерного
объема V3, причем по определению имеем
d { <£pdx=f S'p'dx'— f Spdx, (С)
где величины без штриха соответствуют моменту /, а со штрихом —
моменту t+dtt a dt в уравнении энергии одно и то же для всех
частиц. Как следствие уравнения энергии соотношение (А) можно
также рассматривать при предположении, что величина dtt
проявляющаяся через приращения dx\ dq{e) и т. п., различна для
разных частиц и разных моментов времени /. Однако в этом случае
соотношение (А) не является уравнением энергии, а представляет
собой следствие уравнений энергии для совокупности частиц, за
нимающих объем V3-
Возьмем произвольный четырехмерный объем У4 в пространстве
х1, л:2, х3, /. Сечения этого объема различными поверхностями
f=const образуют различные трехмерные объемы W Рассмотрим
теперь соотношения (А) для всевозможных V3, соответствующих
различным значениям /^const.
Интегрированием равенств (А) по времени с учетом формулы
(В) и выражения (С) можно получить следующее соотношение,
представляющее собой следствие множества соотношений типа (А)
Текст, заключенный в квадратные скобки, написан для 4-го изд.
506
Добавление II
для соответствующих объемов |/3:
-d\ 4>pdxdt+[ (FMWC-dr + Q dS—dq' + dq**)pdx dt +
+ f pinpdxadodt = 0. (D)
v.
Если принято, что при интегрировании равенства (А) все V3
соответствуют одному и тому же подвижному субстанциональному
объему среды при одинаковых dt для всех частиц, то соотношение
(D) переходит в обычное уравнение энергии лля конечного
интервала времени.
В качестве основного естественного допущения принимается, что
определение Л, 8W* и 6W в вариационном уравнении х (9)
подчинено условию о том, что уравнение (9) точно совпадает с
уравнением (D), когда вариации всех величин представляют собой
действительные бесконечно малые приращения определяющих
параметров за время dt, иначе говоря, когда верны равенства:
f>x'' = ~dt = v''dt,
6^=^dt^iiAdt9 (E)
6S = Sdt.
1 Ниже показано, что после задания Л и 6W* величина &W
определяется; к этому сводится установление уравнений состояния. Частью 6№
является поверхностный интеграл в (92) (см. стр. 509); может быть также вклад
от 6W в сумму dq<e)-{-dq**.
Когда конкретный вид функционалов для Л и &W* с помощью
физических теорий и допущений установлен, то уравнения Эйлера и уравнения
состояния при соответственно каноническом виде A9) для &W полностью
определены.
С другой стороны, для заданных уравнений Эйлера функционалы Л, &W*
и 6W не определяются однозначно. В самом деле, если Л заменить через
A-f-V/Q'* гДе &—любые четыре функции, зависящие от координат и от
искомых функций, то в декартовых координатах будем иметь
и для вариаций добавочного объемного интеграла от этого члена после
применения формулы Гаусса— Остроградского получим
б С VfQ'dT4 = 6 \ Q!NidT3.
Поэтому эта вариация может повлиять только на 6W и соответственно только
на уравнения состояния и на условия на скачках. Следовательно, добавление
к А члена V/Q1 не меняет уравнений Эйлера.
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 507
Учет этого обстоятельства служит основой для физического
истолкования различных членов и функций, входящих в
уравнение (9), когда вариации определены равенствами (Е). Отсюда
следует, что в общем случае для произвольных, допустимых связями
(например условием 6(pdr)=0) вариаций б*', 6\хА и 6S
уравнению (9) всегда можно придать форму
—в Г £pdxdt+[ (FMicc8r + Q8S — 8q' + 8q**)pdxdt +
V4 V4
+ \ рЫ^ха do2 dt + f бй dx dt = 0; (9J
через 6Q обозначен функционал, обращающийся в нуль
тождественно на действительных движениях — процессах, d£l=0.
В ньютоновской механике, так же как и в теории
относительности, величину (В можно рассматривать как четырехмерный
скаляр, но при этом виртуальную элементарную работу внешних
массовых сил инерции следует учесть в формуле для 8W* как один из
членов в выражении Fmcc>8r. В ньютоновской механике одну
и ту же виртуальную элементарную работу силы инерции на
виртуальных перемещениях Ьг бесконечно малой частицы dm,
движущейся с ускорением а относительно инерциальной системы отсчета,
можно написать в двух вариантах:
—(a-8r)dmdt = -8(j^^dt+[8v*—d^v-^^dmdt (F)
или
-{a.br)dmdt = b{^dt-d^^dt,dx-d^^dTdt. (G)
Справа в равенстве (G) использовано уравнение постоянства
масс, согласно которому dm = p dx3 = const и, следовательно,
^ + divptF = 0. Приписывание общего множителя dt не меняет
сути дела, так как по условию 6d/ = 0.
На основании равенств (F) и (G) часть из выражения 8W* в (9),
связанную с виртуальной работой сил инерции, можно переписать
в приводимом ниже виде (F') и (G'). Из (F) после интегрирования
непосредственно получим
6U7*=^ {—a-8r)dmdt =
^^by^dt + ^[b^-d[v-%)]dmdt. (F')
508
Добавление II
Подчеркнем, что для действительных процессов выражение 8v2 —
~'(^\<0"li) ' а слеД°вательно» и второй интеграл обращаются в нуль
тождественно и поэтому равенство (F') для действительных
процессов при замене б на d приобретает вид
dWa=—dTdt,
где Т — кинетическая энергия, т. е.
Если исходить из тождества (G), то после преобразования
соответствующего «объемного» интеграла в «поверхностный» получим
6Г* = ^ (-a-8r)dmdt =
v*
— Zy^dXi—^pv.&rNtdo3--^v«{v-br)NadOz. (G')
V. v3 fcs
Здесь Ni — компоненты четырехмерного единичного вектора
нормали х) на границе 23 объема У4. Последние два интеграла можно
включить в выражение для 8W.
В варианте теории, использующем формулу (F), вариация
V2
— 8(updT) суммируется с вариацией — бр-^-^т, и в качестве Л
в этом случае в уравнении (9) используется полная удельная
энергия со знаком минус
Л=— pw — y = — Р (у + а)==— Р<£-
1 Пусть уравнение поверхности 23 есть
f(x\ x2t jc3, *) = 0.
Тогда, очевидно,
Na = lna (а=1,2, 3),
лг4 = —я®,
где па — компоненты трехмерного вектора нормали к двумерной поверхности,
ограничивающей трехмерный объем среды, 3) — скорость движения этой
поверхности,
. i/ (df/dx4*+(df/dx*)*+(df/dx*)
S>=-
(df/dx1J + (df/dx2J+(df/dx*J+(df/dtJ '
-df/dt
V(df/dxlJ+(df/dx2J+(df/dx*J '
Последний интеграл в (G') можно записать также в виде
у
va(v»6r)nadGdt.
2.
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 509
При этом в 6Wa остается интеграл \ би2—d(v~j 1 dmdt=£0t
который точно равен нулю для действительных процессов, а
уравнение (9) имеет форму (9j). В этом случае функционал 6W
представляет собой полный виртуальный приток внешней энергии
(мощности) через границу объема VA.
В варианте теории, использующем формулу (G), суммируются
6Г и —8и. Поэтому можно принять, что
Л = р ^l—u}=L.
В этом случае функция Лагранжа L не является «полной
энергией» со знаком минус. В выражение для bW в варианте (G)
входят «поверхностные» интегралы из (С), поэтому 8W не совпадает
в этом случае с полным первоначальным притоком энергии через
границу У4. Выражение Л = р(^-—u)=L (т. е. вариант (G))
обычно используется в аналитической механике.
Преимущество варианта (G) заключается в том, что в
аналитической механике при этом не надо вводить 8W*, когда кроме сил
инерции нет внешних непотенциальных сил (работа
потенциальных сил включается в и), иначе говоря, когда система
консервативна. Однако в общем случае б W*^0> и его нужно вводить и в
аналитической механике, когда внешние силы неконсервативны или
система неголономна, а также и в ряде других случаев. Основное
вариационное уравнение (9) в варианте (G) может быть записано
в виде
6 J Adr4+f [e8S + F«ce.8r-6?' + e?"]prfr4 +
+ J 6QX dx4 + f Ы-рЛв) Ni - ЛГ4р*в] 8x" da3, (92)
где
6QX = Ш-p hv2—jt (va 8xa)].
Если принять во внимание, что физико-механическая система
представляет собой термодинамическую систему с внутренними
степенями свободы и вообще необратимыми явлениями, то
уравнение (9) и каждый его член имеют самостоятельное физическое
истолкование, а само уравнение в бесконечно малом представляет
собой уравнение в вариациях балансов энергии (вернее, балансов
мощности энергетических преобразований). Поэтому варианту (F)
510
Добавление II
из-за его физичности (с сохранением четырехмерной скалярной
природы каждого его члена) можно отдать предпочтение 1 .
В общем случае уравнения Эйлер а > вытекающие из
вариационного уравнения (9), зависят от вида функционала 6Q. Наличие
члена Ш обусловливается возможным присутствием «обобщенных
гироскопических сил», которые входят в уравнения Эйлера, но
не дают вклада в уравнение энергии, однако эти силы дают
обобщенную работу, отличную от нуля на мысленных приращениях
определяющих параметров.
В общем случае функционал 6Q легко определить путем
сравнения уравнения (9) и (D), когда б IF* и плотность лагранжиана Л
и, следовательно, внутренняя энергия и заданы.
Вопрос об общем виде б£2 рассматривался в 1964 г. в Г14].
Примером гироскопической силы, когда ШфО, может служить сила
Лоренца, равная — (г>Х/7), перпендикулярная скорости движущегося
заряда е и поэтому не совершающая работы для действительных
движений. Очевидно, что задание «обобщенных гироскопических сил»
представляет собой физическую проблему, которая разрешается
ниже однозначно с помощью уравнения (9) после задания
функции Л и функционала б W* С другой стороны, для фиксированного
энергетического соотношения (D) функционал 6Q и
соответствующие ему и уравнению энергии Л и &W* могут быть различными за
счет различия «обобщенных гироскопических сил».]
Учет диссипативных процессов можно и удобно производить
при помощи уравнения для продукции энтропии в законах для
действительных движений и процессов. Уравнение,
определяющее изменение энтропии частиц, получено ниже из уравнений
Эйлера в общей вариационной задаче (9 Положительность роста
энтропии за счет внутренних необратимых процессов должна
обеспечиваться законами, задающими Л и обобщенные «силы» Q и М
для действительных явлений.
По основному смыслу уравнения (9) принимается, что величина
6ТР представляется поверхностным интегралом по 2«+S±. При
вариациях бл:', &цл и их производных, отличных от нуля на
Sg+S-b вариация 6W определяется из уравнения (9) через
б Гл^т и №
Если, кроме уравнения (9), величина bW на 23 + 5± (при
произвольных бх', 8\хА и соответственно их производных) задается
еще внешними условиями, то, как будет показано ниже, это
приведет к начальным условиям, краевым условиям и условиям на
скачке. Уравнение (9) при вариациях 8х* и 6jj/*, равных нулю
вместе со своими производными нужного порядка на 23 + S±, но
1 Изложенные выше варианты теории более подробно развиты в работе
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 511
произвольных (линейно независимых) внутри К4, приводит к
уравнениям Эйлера1
щЧМ+**(щх1) + шсв^Кв + A< + МАхУ = р^£, A2)
6Л дА п 6Л м /1Q,
6s = a5 = -P°> Ер = Мл- A3)
Здесь через 6A/6x$, 6Л/6ц,л и 6Л/65 обозначены вариационные
производные, например,
6Л.__ал дА . дА
Умножая уравнения A2) на х\, после суммирования по индексу /
получим
где
так как
1 Эги уравнения получены приравниванием нулю в объемном интеграле
коэффициентов при б*', д\хл и 6S с учетом равенств
6Л = дА -f- б*'* V/Л, b\iA=d[iA-\-б*' V/F л» б dr = vi oV dx.
В уравнении (9) вариации б от скаляров, векторов и тензоров определены
для характерных функций индивидуализированных частиц, т. е. при
постоянных 1\ £2, 6» и 1\
Вариации, обозначенные через д, определены с точки зрения наблюдателя
в системе х1, когда варьирование функций производится при постоянных
аргументах х1.
Связь между вариациями б и д имеет вид
В частности, по определению /Сд (£0 и Кс (*0 имеем
&Кв (Б1*) = 0 и поэтому дКв = — дх1 V Дд
и
дКс(х1') = 0 и поэтому б/(с = бх' уДс-
Для частных видов вариаций 6GT или д0Т любых тензоров Т,
компоненты которых фигурируют среди аргументов у скаляров /?, когда
варьируются только базисные векторы эа или Эа, получим, чго независимо от
каких-либо уравнений верны тождественные равенства
ба/?=0 или dGR = 0.
Такого рода равенства могут быть полезными при некоторых промежуточных
преоб азованиях. Более подробно см. [2°].
512
Добавление II
в силу равенства
О—^/yST7 P— sv р\_6Л ( д2*р д*хР
ЬХР (r^SXQ ^V^4J — 6хр {ду а|4 dg4 ftq
Уравнение A5) представляет собой уравнение для изменения
энтропии в частице, так как по принятому условию координата |4
играет роль времени. Для получения производных по
собственному времени dct = (gi^4*d\* достаточно умножить обе части
соотношения A5) на (g4)"l/2-
Уравнения Эйлера содержат в себе уравнения импульсов
и энергии, и в зависимости от смысла параметров \лА
уравнения Эйлера могут содержать в себе уравнения Максвелла,
уравнения химической кинетики, различные другие уравнения для
искомых параметров \la—характеристик внутренних степеней
свободы. Можно показать [2], что все существующие
макроскопические модели сплошных сред, в том числе и модели
пластических сред, можно получить из базисного уравнения (9).
Уравнения Эйлера представляют собой, вообще говоря,
уравнения с частными производными, порядок которых связан с
порядком производных, входящих в аргументы функции Лагранжа
Л, в общем случае этот порядок может быть довольно высоким.
Если Adx и bW*—четырехмерные скаляры, определенные
формулами A0) и A1), то после варьирования первого интеграла
и соответствующего интегрирования по частям из основного
уравнения (9) следует формула
6№ =
- S Г 2 (Л*/1"'/'+^/1"'-/0^--^/вх'+
U --'lq J
+ J yfi?*nkdo. A6)
Здесь p^i"'Jp и А^'1'? — некоторые величины (компоненты
тензоров), выражающиеся через Л и через производные от х1' и р,А\
эти величины получаются при преобразованиях вариации
б \\dx
путем интегрирования по частям. Техника этих преобразований
вообще не дает однозначного определения компонент Pk.il'" !р и
^а1 lqy эт0 связано с возможностью приписать слева в A6)
последний интеграл, который тождественно равен нулю, когда
Qsk будет произвольным антисимметричным тензором с
непрерывными компонентами, имеющими непрерывные производные пер-
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 513
вого и второго порядков в точках объема, ограниченного
поверхностью 28 + S±. Это утверждение очевидно на основании
теоремы Гаусса—Остроградского, так как из равенства Q** = — £lks
следует, что v,V*Q** = 0.
В качестве компонент Qsk можно взять любые линейные формы
того же вида, что и в первых членах подынтегральных
выражений в формуле A6). Очевидно, что формулы, дающие
выражение компонент тензоров
pkk - ip + QkU - ip 9 Nkh - iq + M*i "' '</
через параметры, характеризующие движение и состояние частиц,
не определены однозначно ввиду произвола в выборе Qsk.
В связи с этим возникает проблема о неоднозначности понятия
тензора энергии-импульса и проблема о произволе для заданных
уравнений Эйлера уравнений состояния вообще и, в частности,
фундаментального понятия о внутренних напряжениях.
Зависимость указанных компонент тензоров в формуле A6)
от определяющих параметров можно рассматривать и
истолковывать как уравнения состояния физической среды. Это —
уравнения, обобщающие закон Гука.
Таким образом, для фиксированной системы уравнений Эйлера
появляется произвол в определении уравнений состояния. Более
детальный анализ показывает, что дополнительные краевые и
начальные условия на сильных разрывах, выражающие собой
физические взаимодействия на границе тела или внутри тела на
скачках, не могут служить основой для исключения указанной
неоднозначности в уравнениях состояния.
При фиксированной системе уравнений Эйлера можно изменять
плотность лагранжиана Л добавлением дивергентного члена;
нетрудно видеть, что это также повлечет за собой изменение
уравнений состояния. Однако полное фиксирование лагранжиана можно
включать в физическое определение модели сплошной среды.
Фиксирование системы уравнений Эйлера не дает полной и нужной
информации о конкретной модели среды.
Естественно, что напряжения определяются однозначно, когда
уравнения состояния установлены. Но весь смысл обсуждаемой
неоднозначности связан с тем, что все законы движения и законы
процессов изменения параметров \iA в конкретных задачах
сохраняются при некоторых различных видах уравнений состояния.
Необходимо подчеркнуть, что вскрытая выше неоднозначность
не связана со спецификой метода установления уравнений
состояния с помощью вариационного уравнения (9). Такое же положение
дел возникает при использовании общего термодинамического
Уравнения притока тепла в дифференциальной форме I14].
Смысл этой неоднозначности можно понять и разъяснить при
помощи следующих общих физических соображений.
33. Л.И. Седов
514
Добавление II
Хорошо известно, что при движении абсолютно твердых тел
решение задачи о внутренних напряжениях в твердом теле не
имеет определенного ответа. В твердом теле всегда можно
представить себе приложенной любую систему внутренних сил,
эквивалентную нулю, наличие или отсутствие которой нельзя
обнаружить. Присутствие такой системы сил не имеет никакого значения.
Легко убедиться, что и для любых деформируемых тел,
аналогично тому как и для абсолютно твердых тел, можно указать много
различных систем напряжений, которые не влияют на законы
движения, и поэтому наличие или отсутствие таких напряжений
нельзя обнаружить. Для различных систем внутренних
напряжений уравнения движения и добавочные условия одинаковы, но
уравнения состояния различны.
Очевидно, что вопрос о такой многозначности не возникает,
когда заранее приняты уравнения состояния. Однако в проблемах
конструирования новых моделей, когда устанавливается система
уравнений состояния, вопрос о возможности разного выбора
уравнений состояния возникает по существу решаемой задачи. Этот
вопрос может приобретать существенное значение, когда плотность
лагранжиана зависит от последовательности градиентов
определяющих характеристик.
Для того чтобы продемонстрировать на примере
справедливость указанного предложения рассмотрим уравнения теории
упругости, для которых уравнения состояния представлены
формулами
Вместо уравнений состояния A7) возьмем другие уравнения
состояния в виде
p*V=zpV + pV9 p^'=^s^kNiks^ (NiksJ= — NikJ's)t A8)
причем величины NiksJ антисимметричны, как указано, по
индексам s, /, и представляют собой компоненты тензора,
зависящего для всех задач одинаково, но произвольно заданным
образом от любых параметров состояния и любых их производных1 .
Легко убедиться, что все законы движения и деформаций
будут определяться независимо от pij\ так как добавочные
напряжения pij' удовлетворяют тождественно уравнениям равновесия
\jPu = О
1 В теории упругости в задачах о равновесии при отсутствии внешних
массовых сил решения для напряжений также можно представить в виде
р/У = р'У, но при наличии закона Гука или другого конкретного уравнения
состояния величины NiftsS будут функциями координат и не будут
универсальными функциями (одинаковыми для всех задач) от характеристик
деформаций. В частности, согласно A8) компоненты plJ симметричные, когда #***/«
-я* со'"*©5/, где ояя—любой антисимметричный тензор.
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 515
и, кроме того, для любого объема V, ограниченного замкнутой
поверхностью 2, имеем
[ (Ч,~Ри)б*/<*т = S (P°'8xi + 4hNfksy4s&Xi) nj do =
8 этом случае очевидно, что наряду с напряжениями pv вводятся
поверхностные напряжения третьего порядка * ykNiks/. Входящие
в граничные условия нормальные составляющие градиента у5
подынтегральной функции в поверхностном интеграле обращаются
в нуль в каждой точке поверхности 2 тождественно. Интеграл по
любому элементу Да поверхности 2 по формуле Гаусса —
Остроградского сводится к интегралу по контуру Г, ограничивающему
этот элемент. Взаимодействия по элементу Да сводятся к
взаимодействиям по контуру Г, которые можно рассматривать как
внутренние. Если 6x^=0 на Г, то интеграл по Да равен нулю. Отсюда
следует, что дсбавочные напряжения piJ' и \jbNiksJ' в совокупности
не дают вклада в потоки энергии взаимодействий (при
произвольных возможных перемещениях бл;*) между соседними частицами,
отделенными одна от другой элементами любой поверхности 2, и,
следовательно, и внешними телами на границе тела 20.
Применение аналогичного преобразования к компонентам pV,
определенным формулой A7), в которой и представляет собой удельную
внутреннюю энергию, приводит к уравнению энергии с наличием обмена
механической работой между частицами, отделенными одна от
другой элементами Да поверхности 2, при 8x^0. В этом случае
обмен энергией между соседними частицами осуществляется только
за счет обычных напряжений второго порядка piJ\ В связи с этим
подчеркнем, что в более сложных моделях нельзя внутренние
поверхностные взаимодействия свести только к обычным
напряжениям второго порядка, поэтому приведенные выше соображения
представляют интерес.
Вариационное уравнение (9) позволяет глубже уяснить существо
понятий об уравнениях состояния, о граничных и начальных
условиях на сильных разрывах, которые не следуют из
дифференциальных уравнений без дополнительных допущений. Оказывается,
что все только что перечисленные условия и уравнения тесно
связаны между собой и должны рассматриваться в едином комплексе.
Последующие выводы связаны с таким преобразованием
формулы A6) для бй?, чтобы подынтегральное выражение содержало
только вариации бл;' и b\iA и независимые на 2 + S± ковариант-
ные производные по нормали у™6х*и Vjf'VK p=l, 2, ...).
Дело в том, что вариации бл/ и vfix1, а также не все высшие
Подробнее см.: SedovL.I. ZAMP, 1969. Bd. 20, fasc. 5. S. 653-658.
516
Добавление II
градиенты V,, •••, V/jA*1' на 2 + 5±можно рассматривать как
независимые.
В простейших частных случаях соответствующие
преобразования формулы A6) для получения граничных условий были
произведены Миндлином * [17]. Соответствующие частные
преобразования для получения условий на скачках были сделаны М. В. Лурье
[18]. Предположим, что поверхность 23+S± гладкая, для этого
достаточно гладкости поверхности 5 (так как объем V4 и
выбираемая поверхность 23 произвольны). Указанные преобразования
приводят к формуле
s+s±
+ o4?4oV + ^iV„V + • • • +^(,.1)ТГ¥)*. A9)
В формуле A9) компоненты векторов 9*iQ% 5*a, •••,^/<r-i)
и компоненты тензоров аЖА9, ..., оЖА (J_M определены однозначно
и выражаются через Я*'1'"'v + Qf1 "•/v и Af*'1 -/v + Mk^ "'/v,
которые не определяются однозначно.
Существенной особенностью компонент векторов 5\а и
тензоров g£a$, определенных в точках элементов do на граничной
поверхности 23 + 5±, будет их зависимость не только от
ориентации этих элементов, как это имеет место для обычных
напряжений, но и от кривизны этих элементов и от других более
тонких дифференциальных геометрических свойств рассматриваемых
элементов2 .
Истинными характеристиками сплошной среды будут именно
векторы $Ра и тензоры JVfp, они зависят от геометрических
особенностей площадок, по которым происходит взаимодействие, и
от определяющих параметров через функцию Лагранжа Л и через
Qffi-iv и Mf%1'"!'v, входящих в выражение для W*. Очевидно,
1 Общее преобразование в четырехмерном пространстве — времени при
любом конечном порядке градиентов вариаций было произведено В. А. Желно-
ровичем.
2 Переход от формулы A6) к формуле A9) легко получить при отсутствии
ребер или конических точек на 2+S±; при наличии таких особенностей формула
A9) также верна, но в этом случае значение интеграла A9) необходимо
рассматривать как предел вдоль гладкой поверхности 2+S±, стремящейся к
поверхности с ребрами. Из-за наличия особенностей и разрывов у подынтегральной
функции в A9), зависящей от вектора п и его касательных производных, при
переходе к пределу (к трехмерной поверхности 2+5 ± с двумерными ребрами)
возникают добавочные интегралы, взятые по двумерной поверхности ребер. Эти
интегралы можно выписать, применяя интеграл A6), не имеющий особенностей
на ребрах, сразу к поверхности с ребрами, затем надо произвести преобразование
к формуле A9); при этом преобразовании второй интеграл от дивергентного
члена, обращающийся в нуль для гладкой поверхности 2+5±, для
поверхности с ребрами даст легко вычисляемые интегралы по ребрам, вообще
отличные от нуля.
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 517
что в формуле A1) для Ш* существенны только комбинации
из Qkil'iv и iM*/l""/v, входящие в определение S*ia и оЛА$.
Если на части границы 20 величина 6W задана, то на
основании формулы A9), произвола 8х1\ 8\хл и их нормальных
градиентов на 20, получим следующие условия в точке А на
рассматриваемой части 20:
?l*=fia(A), c£Az=gAfi(A) B0)
(/=1, 2, 3, 4; Л = 1, 2, ..., N; а = 0, 1, 2, ..., г-1;
Р = 0, 1, 2, ..., s— 1),
где fia (А) и £лр (Л), вообще говоря, заданные функции в
точках А. На пространственной трехмерной части границы 20,
соответствующей /0 = const, равенства B0) представляют собой
начальные условия в трехмерном объеме, занятом телом.
Условия B0) на трехмерной части 2, образованной двумерной
границей тела 2 2 и одновременно изменяющимся временем t, можно
рассматривать как краевые условия на границах переменного
трехмерного объема, занятого данным телом. Равенства B0) на
текущей границе t=const>t0 можно рассматривать, вообще
говоря, просто как соотношения, определяющие правые части на
основании законов движения, которые выделяются начальными и
краевыми условиями.
Напишем теперь условия на трехмерной поверхности сильного
разрыва 5, расположенной внутри четырехмерного объема VA
сплошной среды. Примем, что на основании предварительных
исследований и соответствующих гипотез все внешние воздействия
на среду, распределенные по S, включены в Ш* (например,
изменение «аддитивной» постоянной U0 и, в частности,
тепловыделение при химических реакциях на фронте горения или
детонации или поглощение энергии на различного рода разрывах
сплошности вдоль 5 иногда можно рассматривать как внешние
воздействия; эти же эффекты можно трактовать как внутренние
процессы, усложняя и изменяя плотность лагранжиана Л и, в
частности, выделяя вариации соответствующего добавочного
поверхностного интеграла по поверхности разрыва S). Полагая,
что SW^SW^ +8WS±J а вариации б*'' и 8\хА и все их
производные, входящие в 8W, равны нулю на 23, на поверхности
скачка S получим
о = 6WS± - J [(*/0e*o++(*/0в*о_+... + (*/ (,-!>vr ^0 + +
+(^/(r-i>vrW)-+{*a№U +(<*л№)- + • • ■
• ■ • +Ь*л u-dV^V)* +Ил u-nVr^V)]- do. B1)
В формуле B1) у всех величин, зависящих от направления
нормали на S, дальше будем применять одно и то же направление
нормали.
518
Добавление II.
На основании определений 3*ia и о£а$ и оператора V* имеем
^/a(n) = =F^a ( — Л), *%4 (л) = +<^Л|3 ( — п),
VH-^TV?^, B2)
причем знак минус соответствует четным а, р и ky а знак плюс —
нечетным.
Как было указано, основное условие о классе допустимых
функций состоит в предположении, что искомое решение и
сравниваемые функции в объеме VA кусочно-непрерывны вместе со всеми
своими частными производными, присутствующими в основном
вариационном уравнении (9). Основной смысл введения
поверхности сильного разрыва S внутри объема К4 состоит в том, что при
мысленном пересечении поверхности 5 искомые решения и
соответственно варьированные допустимые функции терпят
разрывы * . Эти разрывы могут иметь различный характер, который,
в частности, может быть связан с порядком и видом производных
или самих функций, терпящих разрыв на S. Например, можно
рассматривать сильные разрывы типа трещин, в которых сами
искомые функции вместе с любыми частными производными разрывны,
или разрывы типа дислокаций, в которых малые перемещения,
нормальные к поверхности 5, непрерывны, но перемещения в
касательной плоскости к S при переходе с одной стороны S+ на
другую 5_ разрывны, или разрывы типа ударных волн в классической
газовой динамике, когда все координаты xi (перемещения) на 5
непрерывны, но могут терпеть разрыв производные дхЧду.
При наличии в числе аргументов функции Л производных
высшего порядка
д*х*
возникает большее число различных видов возможных сильных
разрывов.
В газовой динамике и в простейших теориях механики твердых
тел при постановке и решении конкретных задач возможны
различные случаи, когда тип поверхностного разрыва задается или когда
тип разрыва определяется в процессе решения.
В соответствии с этим при применении вариационных
уравнений также необходимо вводить или находить классы функций,
среди которых должно существовать искомое решение 2 . В
частности, если принять, что класс допустимых функций определяется
1 В общем случае величины разрывов искомых функций также являются
искомыми. Однако можно рассматривать задачи, в которых некоторые разрывы
искомых величин фиксированы в дополнительных условиях задачи.
2 Такого рода допущения аналогичны весьма общим допущениям о
непрерывности и дифференцируемости различных функций в механике сплошной
среды.
Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 519
следующими условиями в точках поверхности S:
«toO.-fflfaO-»-'. ».»■„«;.„_, ,,_,.,,<„,
причем (VS^O-m (№0- произвольны
и независимы при а = г1? /vfl, ..., г—1,
(Vge^)+-(VgV)- (Л = 1, 2, ..., yV;
C = 0, 1, ..., Sl-1; Sl<s)f
a (v8fyil)+» (VnSfx4)- произвольны и независимы при р = sx, ...
s_ i f то это определит при переходе через поверхность 5 класс
допустимых функций xJ'(l\ £2, l\ V), непрерывных вместе со
своими гг—1 частными производными, й функций |хл (х1, х2, х'\ л:4),
непрерывных вместе со своими sx —1 ковариантными частными
производными, причем нормальные к 5 производные от этих функ
ций более высокого порядка могут иметь произвольный разрыв,
В добавление к условиям B3) здесь предполагается, что все
величины, входящие в уравнение (9), на каждой стороне
поверхности S непрерывны при движении вдоль поверхности 5. Из
произвольности и независимости величин \%8х* и \%&\iA на
основании B2) и B3) из B1) получим следующие условия на
поверхности скачка:
' Sl~~1' B4)
при a = rv гх + 1, ..., г —1, p = sx, Si+1, ..., s —1.
Условия B4) можно рассматривать как условия о
непрерывности (сохраняемости при пересечении скачка 5 мировыми линиями
частиц) величин 5\а и оЖа$ на .скачке S.
При более подробном изучении задач с разрывными решениями
и, в частности, задач, связанных с изменяющимися границами
поверхности скачка S (например, при распространении по частицам
внутри среды изолированных дислокаций, при росте трещин и в
других случаях), можно обобщить основное вариационное
уравнение (9) и ввести еще добавочное варьирование поверхности S или
ее краев по лагранжевым координатам £'.
В связи с этим для получения дополнительных соотношений,
отвечающих такого рода усложненным разрывным явлениям в
действительных телах, необходимо, вообще говоря, усложнять
варьируемые функционалы в основном вариационном уравнении (9)
за счет введения добавочных членов в б W * или в б/Л dxy
содержащих соответствующие вариации лагранжевых координат. Это
обусловливается необходимостью учитывать особые энергетические
эффекты, связанные с образованием или возможным
распространением по частицам среды разрывов различной природы.
при
(**) + ;
а =
•г»
а = 0,
= (?<а).
/•i + l,
1,
. . ■
-0,
» t
•. V
-1,
M^4|i)+ :
г-1,
Р-
Р = 0, 1,
= Ио40)- =
••s» Si+1,
520
Добавление II
Дальнейшее развитие общих методов и построение конкретных
моделей на основе базового уравнения (9) в теории сплошных сред
и сред, взаимодействующих с электромагнитными полями,
содержится в уже опубликованных работах [19-22].
ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ II
1. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред // УМН.
1965. Т. 20, вып. 5.
2. Бердичевский В Л., Седов Л.И. Динамическая теория непрерывно распределенных
дислокаций: Связь с теорией пластичности // ПММ. 1967. Т. 31, вып. 6.
3. Седов Л.И. О пондеромоторных силах взаимодействия электромагнитного поля и
ускоренно движущегося материального континуума с учетом конечности деформаций // ПММ.
1965. Т. 20, вып. 1. С. 4-17.
4. Голубятников А.Н. Сплошная среда со спинорными и векторными характеристиками //
Докл. АН СССР. 1966. Т. 169, № 2.
5. Желнорович В.А. Спинор как инвариантный объект // ПММ. 1966. Т. 30, вып. 6.
6. Желнорович В Л. Модели сред с внутренним электромагнитным и механическим
моментами // Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды (к 60-летию
академика Л.И. Седова). М.: Наука, 1969.
7. Когарко Б.С. Об одной модели кавитирующей жидкости // Докл. АН СССР. 1961.
Т. 137, №6. С 1331-1333.
8. Бердичевский ВЛ. Построение моделей сплошных сред при помощи вариационного
принципа // ПММ. 1966. Т. 30, вып. 3.
9. Седое Л.И. О тензоре энергии-импульса и о макроскопических внутренних
взаимодействиях в гравитационном поле и в материальных средах // Докл. АН СССР. 1965.
Т. 164, № 3.
10. Sedov L.I. Variational methods of constructing models of continuous media. Symposia, Vienna,
June 22-28,1966. Irreverisible aspects of cuntinuum mechanics. Springer-Verlag, 1968.
11. Голубятников А.Н. Нелинейные спинорные функции // Докл. АН СССР. 1965. Т. 165,
№2.
12. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных
аргументов // ПММ. 1963. Т. 27, вып. 3. С. 393-417; см. также Добавление I к наст,
книге.
13. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.
14. Sedov L.I. Some problems of designing new models of continuum media. Proc. 11th Intern.
Congr. of Appl. Mech., Munich, 1964. Springer-Verlag, 1966. P. 9-19.
15. Настоящая книга.
16. Седов Л.И., Эглит М.Э. Построение неголономных моделей сплошных сред с учетом
конечности деформаций и некоторых физико-химических эффектов // Докл. АН СССР.
1962. Т. 142, № 1. С. 54-57.
17. Mindlin R.D. Second gradient of strain and surface tension in linear elasticity // Intern. J. Solids
Structures. 1965. Vol. 1, N 4. P. 417-438.
18. Лурье М.В. Применение вариационного принципа для исследования разрывов в сплошной
среде // ПММ. 1966. Т. 30, вып. 4.
19. Седов Л.И. Размышления о науке и об ученых. М.: Наука, 1980.
20. Седов Л.И. Избранные вопросы современной механики. Ч. I // Сборник к 50-летию
С.С. Григоряна. М., 1981.
21. Седов Л.И. Виды энергии и их трансформации // ПММ. 1981. Т. 45, вып. 6.
22. Седов Л.И. Об описании динамических свойств гравитационного поля в вакууме // ПММ.
1980. Т. 44, вып. 2; см. также: Проблемы физики: классика и современность / Под ред.
Г.Ю. Тредера (пер. с нем. под ред. Л.И. Седова). М.: Мир, 1982.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автомодельность 380,438, 442, 443
Аддитивность внутренней энергии 203,
269-272
- энтропии 239, 268, 273
Адиабата Гюгонио 408-415
- Пуассона 217, 218, 41(М14
Анизотропность среды 164
Валентность (ранг) тензора 54-56
Вектор 33, 52-55
-аксиальный 105, 108, 179, 182-184
- вихря скорости 107, 108, 112-114, 118,
159, 182, 360-367
- магнитной индукции 329-350,401-405
- напряженности 182-184,296-303, 318-
320, 353-361, 401-405
- перемещения 76, 83-85, 171, 172
- плотности тока четырехмерный 321,331
-полярный 105, 108, 182-184
- пондеромоторной силы четырехмерный
332-334, 339, 403-405
- потока диффузии 128,283-291
- - тепла 256, 257
- соленоидальный 114,115
- Умова - Пойнтинга 327
- электрической индукции 329, 330, 334,
338, 339, 347, 350, 401-105
- - напряженности 182-184, 296, 299, 301-
303, 318, 319-341, 346-350, 353-360,
401^05
Вектор-градиент 39, 40, 79, 336
Векторы базиса 31-33, 51-65, 77-83, 95-
96
- -, зависимость от времени 64-66, 342,
343
- ковариантные 31,51-53
- контравариантные 56-58
- - неединичные и единичные 31, 143,
144,175
Величины безразмерные 428,432
- ковариантные 52
- контравариантные 52
- размерно независимые 431
Величины размерные 424,428
Взаимодействие гравитационное 293, 297,
298
- магнитное 295
- электромагнитное 293, 296-303, 319-360
- энергетическое в поле (поля со средой)
320, 326-360
Взаимооднозначность функций,
определяющих закон движения 27
Взрыв точечный 418,441-443
Вихрь изолированный 119
Воздух, свойства 279-282
Возмущения малые 381-384
Волна взрывная 417, 424
-горения408, 419
- детонации 408, 419
- ударная (см. разрыв сильный) 391, 394-
424, 504
Волны плоские 379,415,416
- прогрессивные 385
- стоячие 384
- сферические 379, 417, 418
- цилиндрические 379
Время абсолютное 24
-, относительность понятия 316
- собственное 317, 342, 378
Газ Ван-дер-Ваальса 251, 252
- (жидкость) идеальный 157-162, 247-253,
405^24, 437, 452, 453, 457^58
- совершенный 211-218, 229, 247-251,
258, 270-273, 278, 290-292, 411-414
Гидродинамика магнитная 354-357
Гипотеза сплошности 23
Гиротропия 164-167
Движение абсолютно твердого тела 64,
65, 94, 95, 97, 103, 444-453, 457-460
- автомодельное - см. Автомодельность
Движение безвихревое ИЗ, 114, 360-367
-вихревое 113, 114, 116-119, 360-367
- газа изотермическое 161,216, 249
- континуума (сплошной среды) 23 и далее
- многокомпонентный реагирующих
смесей 126-129, 263-292
522
Предметный указатель
- одномерное неустановившееся 379
- осесимметричное 378
- плоскопараллельное 377
- - несжимаемой жидкости потенциальное
378
- потенциальное 46-48, ИЗ, 114, 367, 374,
375,378
- при очень больших числах Рейнольдса
451
малых числах Рейнольдса 450
- разрывное 386-424
- установившееся 41, 377
- шара в вязкой жидкости 448,450
Детонация (см. волна детонации 408, 419
Деформация 64-77, 83, 84, 93-98
- бесконечно малая 69, 74,94
- конечная 66 и далее
-чистая 98, 107
Дивергенция вектора 108-109, 114, 120,
121
—, ее выражение в криволинейной
системе 108, 174,175
-скорости 108, 120
Дисперсия волн 385
Диссипация механической энергии в
вязкой жидкости 255, 261
Дифференцирование ковариантное - 77-
83
—, независимость от порядка в
евклидовом пространстве 91,169
- компонент вектора ковариантное 77, 78,
79
- тензора ковариантное 79, 80, 81
Диффузия - см. Вектор потока диффузии
Длина вектора 59, 62
Единицы измерения (первичные и
вторичные) 424, 425, 427
Жидкость вязкая 162-170, 253-256, 258
-несжимаемая 129, 160, 161,245-247
- сжимаемая 247-249
Жонглирование индексами 58, 59
Задача Буссинеска 453
- Коши 44, 372
- краевая 372
- о движении смеси в целом 263, 283
- о поршне с плоскими волнами 415,416
- о сильном точечном взрыве 441-443
- о сферическом поршне 417,437-449
- о точечном взрыве 418, 419, 440-443
- обтекания 444, 445
Закон вмороженности вихревых и
магнитных линий 363-367
- вязкости Ньютона 162-167, 169, 289
-Гука 162-167, 171
- для изотропной и гиротропной сред
165-167
- Гульдберга - Вааге 278, 279
- движения континуума 23, 27
- - точки 25
- Кулона 294, 333
- Навье-Стокса 162-167, 261, 289
для изотропной и гиротропной сред
165-167
- намагничивания 334, 335
- Ньютона второй 137
- - третий 134
- Ома 323, 324, 334
- поляризации 334, 335
- Саха 279
- сохранения количества движения 135-
142, 395, 398-400, 430
--массы 124,398^100
- момента количества движения 145—
153, 344-351, 395, 398, 399, 430
- - полного заряда 322, 323
- - энергии 188, 201, 203, 259, 396, 398-
400,430
- теплопроводности Фурье 257, 261, 289
Изотерма совершенного газа 216
, взаимное расположение с адиабатой
Пуассона 217, 218
Изотропия 164, 165
Инварианты скалярные тензора 62-63,
73-74
деформаций 73, 74
напряжений 156
Индивидуализация точек континуума 26
Источник 47,48
Кавитация 458-459
Количество движения индивидуального
объема сплошной среды 136, 137, 153
- системы точек 135, 136
--точки 135
Компоненты вектора 32, 51-53
- вектора-градиента скалярной функции
39,79
в ортогональной криволинейной
системе 177
в цилиндрической и сферической
системах 177, 178
- векторного произведения в
криволинейной системе 181, 182
Предметный указатель
523
- силы трехмерной, четырехмерной 332
- скорости 32, 33
- тензора главные 63
, способ определения 72, 153-156
- - деформаций 66, 68-72, 75, 76, 83, 84
- - ковариантные 57, 58
- - контравариантные 53
- метрического (фундаментального) 59,
175
- - напряжений 142, 143, 152, 158, 162,
167, 169
главные 153, 154
физические 143, 144
- скоростей деформаций 98, 99, 101,
103, 104, 178, 179
--смешанные 58
--физические 175
- тензоров деформаций главные 70, 71
, их связь 71, 72
- ускорения 33, 34, 41
- в криволинейной ортогональной
системе 176
- - в произвольной системе 144
- - в цилиндрической и сферической
системах, физические 176
Конденсация газов в испытательной
установке 459
Координаты лагранжевы 26, 29, 35, 36
- начальные 26
-точки 25
- эйлеровы 34-36
Коэффициент вязкости второй 168
--динамический 168,169
--кинематический 169
- кубического расширения 74
- магнитной вязкости 356
- относительного удлинения 66
- подвижности 357
- полезного действия тепловой машины
(цикла Карно) 222-224
Коэффициент Пуассона 168
Коэффициенты вязкости, их
положительность 255, 256
- диффузии 290-292
-Ламе 166, 168
- связности - см. Символы Кристоффеля
- термодиффузии 291
Критерии подобия 455-462
Критерий обратимости процесса 260,261
Линеаризация граничных условий 382-384
- задач механики сплошной среды 382,
386
Линия векторная 42, 116
- вихревая 116
-мировая 317, 342
- тока 42-44, 47
Машина тепловая, холодильная 222-239
Механика ньютонианская 24
- сплошной среды, методы 18, 19, 22, 23
, предмет 13
, проблемы 15-18
, существенные для нее физико-
химические процессы 21,22
Модели, их выбор и построение 368, 369
Моделирование 452-463
- плавания кораблей по Фруду 459
- с использованием центробежной машины
460,461
- упругих конструкций 459,460
Модель вязкой жидкости 162, 169-171,
253-256
- идеального газа 161, 171, 172, 247-253
- идеальной несжимаемой жидкости 160,
161,245-247
- линейного упругого тела 162,171-173
- МГД 354-357, 360-365
- среды математическая, ее построение
157
- тела с наследственностью 192
- ЭГД 354, 357-360
Модуль Юнга 168
Момент количества движения 145-153
- магнитный дипольный 296
- пондеромоторной силы 344-347
- пондеромоторный 345, 346, 350, 352
Момент собственный 147-150
- собственный поля 345, 352
Мощность источника (стока) - см.
Источник
Намагничивание, намагниченность 295,
296, 329, 330, 334-337, 340
Напряжения внутренние 134-145, 152-156
Напряженность вихревой трубки 117
Начало термодинамики второй 222, 226-
235, 505
для конечного объема сплошной
среды 259
смеси 274, 275
- - первое 200, 203, 259, 505
Нелинейность задач механики сплошной
среды 381
Необратимость разрывных движений 389,
396, 398
Обтекание клина, угла, сверхзвуковое
422,423
524
Предметный указатель
Оператор Лапласа 170,178
Операция альтернирования,
симметрирования тензоров 56
Оси тензора главные 63, 72, 105, 153-156,
166, 167
Парадокс Гиббса 273,274
-часов 317, 318
Параметры макроскопические
определяющие 190-193,434-436
%-Кв,Кс 496,511
Пары массовые и поверхностные
распределенные 149-152
П-теорема 430 и далее
Плазма 294, 354
Плотность внутренней энергии 202
- заряда 294
- истинная массовая 124
- кинетической энергии 184
- массовой силы 132,133
- поверхностной силы 133 и далее
- средняя массовая 124
- тока 295
- функции Лагранжа 501
Поверхность векторная 45, 116
-вихревая 116-118, 367
- изотермическая 39,40
- разрыва 386-424,437^43
- тензорная 63, 153-156
- тока 45
- эквипотенциальная 39, 40, 47,48
Подвод тепла, механизмы 214,256
Подобие при обтекании тел вязкой
жидкостью 457
Подобие при обтекании тел газом с
учетом сжимаемости 457,458
- физическое 455 и далее
Поле 37
- векторное 37
- - потенциальное 46
- гравитационное, его дифференциальные
уравнения 297-299
- однородное 40
- скалярное 37
- установившееся 41
- электромагнитное 293-303, 305-307,
318-365,401^05
—, его инвариантные характеристики
319,320
Поляра ударная (гепоциссоида) 420-422
Поляризация 295,329-352
Постоянная Больцмана 212
-газовая 211, 212
Постулат о постоянстве скорости света
310
Потенциал векторный 304, 308, 332
- скорости 46,47
- в многосвязной области 114
- термодинамический Гиббса 242, 250,
269, 270
Потенциалы термодинамические 240-245
- химические смеси 269
Преобразование аффинное 96-98
- - бесконечно малое 106
- бесконечно малой частицы сплошной
среды 97, 98
- векторов базиса ковариантных 52
контравариантных 56, 57
- - основных электромагнитного поля 331,
336
- - электрической и магнитной
напряженности 318-320
-Галилея 308, 314
- компонент dr 52
- - тензора 57, 58
- координат 49-51
-Лоренца 29,307-320
- - бесконечно малое 314,315
--частное 315
- ортогональное 314
- полиадных произведений 54,57
- символов Кристоффеля 85
Принцип неубывания энтропии для
изолированной системы 240
- относительности Галилея - Ньютона 29,
309,444
Приток тепла полный извне к двухпара-
метрической системе 219
- энергии к среде 196-202, 256, 257, 328,
329,338-341,353
Проводимость 323,324
Проводник электрический 320-329
Произведение векторное 181
Произведения векторов базиса диадные
53,54
полиадные 53, 58
Производная индивидуальная (субстацио-
нальная, полная) 37, 38, 144
- конвективная 40
- локальная (местная) 38
- по направлению 38
Производные компонент вектора, тензора
ковариантные 77-83
Производство энтропии 260,261
Пространство евклидово 23, 60, 89
- метрическое 23,59
- Минковского 305-309, 312, 330
- неевклидово 24,60
- псевдоевклидово 29, 60, 89, 305
-состояний 195
Процесс 195, 196 и далее
Предметный указатель
525
- адиабатический 214, 216, 239, 248, 503
_ _ необратимый 239, 396
- обратимый 239
- баротропный 161
- замкнутый и незамкнутый по различным
параметрам 238
- изотермический 161,214,249
- необратимый 207, 208, 230, 233-237,
259,389
-непрерывный 195
- неравновесный 206, 209, 210, 211
- нестационарный (неустановившийся) 41,
206
- обратимый 207, 208, 220,226
- политропный 214
- равновесный 206,209-211, 235-237
-разрывный 196
- стационарный (установившийся) 41,206
Процессы физико-химические,
существенные для механики сплошной среды 217,
282
Псевдотензор третьего ранга 181
Пучность 384
Работа внешних поверхностных сил 186
- внутренних и внешних массовых сил 185
- массовых сил для малой частицы 188
- поверхностных сил 186,187
в вязкой жидкости 254
идеальной жидкости 189
Работа внутренних поверхностных сил в
среде с симметричным тензором
напряжений 187
-, совершаемая двухпараметрической
системой 218-224
Равновесие термодинамическое 205
Размерность 424-426
Разрыв в электромагнитном поле 401-405
- неподвижный 414
- сильный 391, 394-424, 504
-слабый 391,411
- тангенциальный 399
Ранг (валентность) тензора 54-56
Распад разрыва 398
Распределение скоростей в бесконечно
малой частице сплошной среды 100-109
Распространение разрыва по частицам
406,407
Реология 157
Ротация вектора 110
в криволинейной системе координат
Свертка 62
Свойства непрерывных взаимно
однозначных отображений 28
Связь антисимметричного тензора второго
ранга и аксиального вектора в
трехмерном пространстве 105,179,180
с аксиальным и полярным
вектором в четырехмерном
пространстве 182,183
- компонент тензоров деформаций и
скоростей деформаций 99
Сила внешняя 133
- внутренняя 133, 134
- гравитационная 133, 188, 208, 294, 297-
299
-инерции 133
- Лоренца 325, 336, 355, 358
-массовая 132
- обобщенная 504, 510
-объемная 132
-поверхностная 133
- подъемная 446
- пондеромоторная 326, 332, 335, 336,
341,349,355,358,403,504
- - по Абрагаму 349
- - по Минковскому 349, 350
-распределенная 132
- сопротивления 446
-сосредоточенная 132
-термодинамическая обобщенная 261-
263,287-290
Символ Кронекера 50
Символы Кристоффеля 78, 82, 83, 85-89,
173
- - в ортогональной системе 173
Симметрия тензора напряжений в
классическом случае 152,163
Система единиц измерения 425
- координат 25
- вмороженная (сопутствующая) 29, 30,
317,341,494
- - инерциальная 29, 153, 310, 311, 347,
403
в специальной теории
относительности 310, 311
- - наблюдателя 28, 341
- - собственная 316, 317, 329, 337, 341
- термодинамическая 193-240
—, взаимодействие с внешними
объектами 196-202
- - голономная, неголономная 193
- - изолированная 240
Скаляр 62
Скачок внутренней энергии 407
- косой, прямой 421
- разрежения, уплотнения 400, 407, 408,
413,415,416
Скорости деформаций 98,99
Скорость относительного изменения
объема 109
526
Предметный указатель
- удлинения 103
- поверхности разрыва 392, 393, 508
- прогрессивных волн 385
-света 300, 304, 310
Сложение тензоров 56
Смесь как идеальная двухпараметри-
ческая среда 277
"Состояние начальное" 67,68
Состояние начальное 67,68
-системы 190
- - равновесное, наиболее вероятное 209
Спин 148,295
Спин-тензор 55
Спинор 55
Среда двухпараметрическая 211-231,
240-245, 252, 277
- с разделяющимися переменными 252,
253
-многопараметрическая 191,231-235
Сток - см. Источник
Строение реальных тел 19,20
Структура разрывов 388
Суперпозиция решений 384
Тело материальное 124
-упругое 162
Температура 209-212,225
Тензор 54, 55, 58
- антисимметричный 56, 102, 179, 182
- Вейля 92, 93
- кривизны - см. Тензор Римана-Крис-
тоффеля
-Леви-Чивита 181
- метрический (фундаментальный) 59-61
- момента электромагнитного поля 344-
352
-напряжений 142, 158, 162, 163
- - в идеальной жидкости 158
- -, симметрия в классическом случае 152
- пондеромоторного момента
электромагнитного поля 344-346, 350
- Римана - Кристоффеля 90-93
-Риччи92
- симметричный 56
- скоростей деформации 98, 99, 176
-, число его компонент 61
-шаровой 158
- электромагнитного поля 303-305, 309,
319,330-332,338,403
- энергии-импульса 308, 332-333, 344,
348-352,404
- - Абрагама 348-352
- - Минковского 332, 344, 348, 352, 401-
405
Тензоры деформаций 66-77, 93-94
Теорема Гаусса - Остроградского 119-121
- живых сил 187-189
для бесконечно малого объема
сплошной среды 188
конечного объема сплошной среды
187
-Карно 222-226
- Коши - Гельмгольца о разложении
скорости 108,109
- Лагранжа 366, 367
-Стокса 111, 112
- Томсона 365-367
Теоремы Гельмгольца динамические 367
- - кинематические 117
Теория волн 383
- дислокаций 495
- Онзагера 263, 287-292
- относительности 29, 317, 319, 334, 342
- пластичности 17,263,495
- упругости 17, 145, 162, 382, 383
Тепло джоулево 214, 327, 328, 329, 338-
341,355,359
- некомпенсированное 235, 240, 255, 259,
260, 275, 283, 284, 396
-, подвод к среде 198-201, 204, 214, 219,
256, 257, 284
Тепло, подвод к среде за счет
теплопроводности по закону Фурье 257, 260, 261,
288,289
Теплоемкость при постоянном давлении
213
объеме 213
Теплопроводность 256
Теплосодержание 242
Ток проводимости 321-325
- смещения 322
- Холла 324
Точка зрения Лагранжа 25, 28, 35, 36
- - Эйлера 34-36
Точки критические особые 45, 371
Трубка векторная 46, 117
-вихревая 117
-тока 46, 129
Узел 384
Умножение тензора на число 56
-тензоров неопределенное 61
Уравнение вариационное базисное 498,
499, 501, 504, 506, 507,509,513,519
-вековое 73, 155
- волновое 304
- динамики основное 137
- закона сохранения энергии 203, 259,
309, 398
- импульса 138, 141, 142, 144, 309, 398
Предметный указатель
527
- - с учетом пондеромоторных сил 326
- Клапейрона 161, 211
- количества движения системы 136
для конечного объема сплошной
среды 136-144
точки 135
- Лапласа 298
-моментов 145, 146, 149, 150-153
- - в четырехмерной форме 344-347
количества движения в
дифференциальной форме 151
в классическом случае 152
для конечного объема сплошной
среды 149
системы точек 146
точки 146
- в криволинейных координатах 174, 175
- в переменных Лагранжа 129-132
Эйлера 125
в цилиндрической и сферической
системах координат 175
- для процессов с диффузией 128,129
Уравнение притока тепла 204, 205, 247,
258
дифференциальное 204
для вязкого теплопроводного газа
258
идеального газа 248
для проводящей среды 329
- Пуассона 299
- теплопроводности 258
- Умова - Пойнтинга 327
- энтропии 396
Уравнения движения в форме Громеки -
Лемба 159, 160
- - вязкой жидкости (Навье-Стокса) 169,
170
- - идеальной жидкости (Эйлера) 159, 161,
177
- - смеси, полная система 282
--сплошной среды 141, 142, 144
упругого тела в перемещениях для
малых деформаций (полная система) 171,
172
-Ламе 171
- линий тока 42
- магнитной гидродинамики 357
- Максвелла в интегральной форме 330,
в материальных поляризованных
намагниченных телах 329
- в проводниках 321-323
в тензорной форме 303-307, 330, 331
- - в электростатике 297
~~ ^5?* электРомагнитного поля в пустоте
299,301,302
- механики и термодинамики
универсальные 395
- Саха - см. закон Саха
- совместности деформаций конечных 93,
94
бесконечно малых 94
- - скоростей деформаций 100
- состояния 211, 251, 254, 275, 514, 515
- - смеси 275
- электрогидродинамики 359
Условие евклидовости пространства 89-92
- обтекания 374, 3% 5
- прилипания 373, 374
Условия в бесконечности 371
- граничные (краевые) 372, 373
- на величины, сохраняющие значение в
индивидуальном объеме 125, 126
- поверхностях сильных разрывов 398,
406
в электромагнитном поле 402
Условия на свободной границе 375, 376,
377
- начальные 372
- химического равновесия 276
Форма квадратичная фундаментальная 50
Формула Гиббса 254
- дифференцирования по времени
интеграла по жидкому объему 121-123
потока соленоидального вектора
через жидкую поверхность 361-363
-Майера213
- размерности 426
- Эйлера для распределения скоростей в
абсолютно твердом теле 103
Функции термодинамические смеси,
однородность по массе 269, 270
Функция гармоническая 378
- диссипативная 261-263, 287
- тока 378
- характеристическая 378
Характеристики системы обыкновенных
дифференциальных уравнений 45
Центр масс системы 137
Цикл 195,196
-Карно 211,219-227
Циркуляция вектора по контуру 110, 111
Число Маха 452, 453
- Рейнольдса 447^52, 457-459
528
Предметный указатель
- - магнитное 356
— электрическое 359
-Фруда451,452, 459
Энергия, ее различные виды 196-202
- внутренняя 202-205, 248
- - как термодинамический потенциал 241
--смеси 267, 268, 270, 271
- - совершенного газа 212,251
- кинетическая индивидуального объема
сплошной среды 185
- несжимаемой жидкости внутренняя 246,
247
- полная 202
- свободная 241: 249, 269
- - смеси 267
- электромагнитного поля 327
Энтальпия - см. теплосодержание
Энтропия 229-231, 234-235
-, изменение вдоль адиабаты Гюгонио 409
- несжимаемой жидкости 247
- совершенного газа 229
Эффект гиромагнитный 150
- магнитотермический 237
Явления подобные 455—461