Журнал "Математика в школе", 1983 №05

Автор: Черкасов Р.С.

Теги: образование журнал математика в школе

ISBN: 0130-9358

Год: 1983

Похожие

Очерки истории науки и техники XVI-XIX веков

История книжной торговли

Рассказы о математиках

Народное образование в СССР. Общеобразовательная школа. Сборник документов. 1917—1973 гг

Текст

ISSN 0130-9358
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
Научно-
Издательство
«Педагогика»
Москва
in
<
15
Ё£
Жан Лерон Д’Аламбер — французский математик и
философ-просветитель.
Родился в Париже. Внебрачный сын офицера Детуша
и маркизы де Тансен, он вскоре после рождения
был подброшен к церкви, найден там полицией и
отдан на воспитание. В то время Детуша не было в
Париже. Вернувшись, он разыскал сына и постарался
обеспечить ему лучшие условия, определив в
семейство стекольщика Руссо. В этой семье
Д’Аламбер прожил большую часть своей жизни.
Умирая, отец оставил Жану Лерону Йенсию, что
позволило ему получить образование. Сначала
молодой человек выучился на адвоката, потом
перешел к медицине, занимался литературой,
филологией, теорией музыки.
Но более всего Д’Аламбера привлекала математика,
которую он изучал самостоятельно. В 1739 и
1740 гг. он представил Парижской АН трактаты о
движении твердых тел в жидкостях и об
интегральном исчислении, а в 1741 г. стал
адъюнктом Парижской АН. В 26 лет Д’Аламбер
опубликовал свой «Трактат о динамике»,
послуживший поворотным пунктом в развитии
механики Здесь был изложен один из основных
принципов динамики («принцип Д’Аламбера»),
позволяющий свести задачи динамики к более
простым задачам статики.
Работы Д’Аламбера в области математики связаны с
вопросами обоснования анализа, с алгеброй,
теорией вероятностей, дифференциальными
уравнениями и с теорией функций.
Исходя из исчисления флюксий Ньютона, Д’Аламбер
предложил строить анализ на основе понятий предела
и производной (впрочем, сам термин «производная»
он не употреблял), отбросив как совершенно
неясную, а такой она и была в то время, концепцию
бесконечно малых. Он дал одно из первых
определений понятию предела. Плодотворные идеи
Д’Аламбера прокладывали путь реформе анализа,
осуществленной в следующем столетии О. Коши.
В 1747—1749 гг. Д’Аламбер опубликовал работы, с
которых начинается история теории дифференциальных
уравнений с частными производными — основного
аппарата математической физики. В частности,
ему принадлежит первое употребление метода
разделения переменных, ряд результатов по
интегрированию уравнений 1-го порядка, наконещ.
знаменитая формула решения дифференциального
уравнения 2-го порядка с частными производными,
выражающего поперечное колебание струны
(волнового уравнения).
В ходе исследований, связанных с волновым
уравнением, встал вопрос о природе произвольны»
функций и о возможности представления их
интегралов в виде функцнона 1ьных, в частност»
тригонометрических рядов. Д’Аламбер предложил
плодотворный метод интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Одним из первых он стал изучать
условия сходимости бесконечных рядов. С его
именем связан один из простейших достаточных
признаков сходимости числовых
знакоположительных рядов. Д’Аламбер явился
одним из пионеров использования в анализе
функций комплексного переменного. Он предложил
первое, хотя еще с пробелами (которые можно
заполнить, используя математические средства
XIX в.), доказательство основной теоремы алгебры.
Ему принадлежат важные результаты в гидродинамике,,
теории фигуры Земли, теории движения Луны.
В 1751 г. Д.. Дидро и Ж. Л. Д’Аламбер начали
издавать «Энциклопедию, или Толковый словарь
наук, искусств и ремесел». К этой работе они
привлекли таких деятелей, как Вольтер, Руссо,
Монтескьё, Гельвеций, Гольбах. Их объединяло
отрицательное отношение к феодальному строку
ненависть к средневековой схоластике и
католической церкви. Многие из них были
страстными защитниками прав «третьего
сословия». «Энциклопедия» явилась трибуной
французского Просветительства, она
идеологически подготовила Зеликую французскую-
буржуазную революцию.
Для «Энциклопедии» Д’Аламбер написал все
статьи по математике и физике, а также по
ряду других .вопросов. Ему принадлежит также
«Предварительное рассуждение» в I томе издания-.
В этой статье мы находим историю и
критический обзор всего существовавшего в то
время запаса человеческого знания,
естественнонаучных, философских и литературных
воззрений.
В ряде своих статей для «Энциклопедии» Д’Аламбер
выступал против феодальной формы частной
собственности как несправедливого
распределения богатств между людьми, высказывал
сомнения в существовании бога, проповедовал
религиозную терпимость, защищал в естествознании
принципы материализма. Эти взгляды ученого
возбуждали страстный восторг свободомыслящих
и ненависть фанатиков.
Слава Д’Аламбера была всемирной. Он являлся
членом крупнейших академий того времени
(Петербургской — с 1764 г.). Многие европейские
монархи, среди них императрица Екатерина II и
прусский король Фридрих П, предлагали ему
перейти к ним на службу на чрезвычайно
выгодных и почетных условиях. Ученый отвечал
на такие предложения вежливым отказом. Своему
другу он писал: «Я ничем не обязан
правительству Франции, могу ждать от
него в будущем много дурного и ничего
хорошего; но у мени есть обязанности
относительно моего отечестча моей родины...».
Научно-методический
журнал
Министерства просвещения
СССР
Москва «Педагогика»
Издиется с 1934 года
Выходит один раз
в два месяца
МАТЕМАТИКА
TJB ШКОЛЕ
СЕНТЯБРЬ — ОКТЯБРЬ
3 Уму и сердцу каждого школьника
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Преподавание геометрии
по учебному пособию
№. В. Погорелова
6 К началу обучения геометрии в VII классе
Ф. М. Барчунова 13 По поводу изучения материала § 7 «Теорема Пифагора»
П. М. Олоничев 14 О доказательствах третьего признака равенства треугольников и теоре-
мы о сумме углов треугольника
Из опыта работы по проф-
ориентации и практической на-
правленности обучения
Я. Е. Жак 15 Производственные задачи в школьном курсе мате атики
С. С. Минаева 19 О повышении уровня вычислительных умений у <ащихся старших клас-
сов
3. А. Магомеддибироца 21 Из опыта составления задач с профессиональной ориентацией
Р. Н. Абаляев 23 Учащимся IV—V классов о Продовольственной программе СССР
Микрокалькуляторы в учебной
и внеклассной работе
В. Г. Болтянский, 24 Микрокалькулятор в младших классах
Э. В. Григорян
В. М. Оксман 30 Микрокалькулятор в системе профессионально-технического образова-
ния
Г. Н Ионов 31 Электронный помощник учителя
М. Б. Балк, А. А. Полухин 35 О некоторых особенностях решения уравнений с помощью микрокаль-
кулятора
В помощь учителям вечерних
(сменных) и заочных школ
В. М. Мацкин 40 Карточки-информаторы но теме «Применение производной»
Читатели вносят предложения
П. В. Стратилатов 43 Всемерно развивать познавательный интерес и трудовую активность учащихся
В. П. Коневцев, А. В. Иванайский 45 Организация работы по учету знаний учащихся
3. Ш. Меражов 46 Об использовании измерительных навыков при обучении геометрии
Г. Н. Солтан 47 Об одном способе доказательства неравенств
3. А. Алавердян 48 Задачи, связанные с площадью криволинейной трапеции
Л. А. Кутний 48 Взаимное рецензирование самостоятельных работ
£) Издательство «Педагогика», «Математика
школе». 1983 г.

Виеклессная работа
Л. П. Купцов, С. В. .'езниченко, 49 IX Всероссийски. олимпиада школьников но математике
Г. Н. Яков, к.,
А. И, .‘Лост.овой 56 Применять различные способы решения задач на построение
3. А. Скопец 59 О построении касательной к окружности
Э. Э. Рекстин 62 Занимательная страница
Задачи
63
Мат — теский календарь на
1983/84 учебный год
А. И. Бородин, 69 Ноябрь, декабрь
Н. В. Вербицкая,
М. В. Каменская
УЧЕНЫЕ-МАТЕМАТИКИ
А. П. Юшкевич 71 Леонард Эйлер и мзтемстическое просвещение в России
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Б. Л. Яшин 75 О книге Б. В. Гнеденко «Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучение, математике»
Ю. А. Белов, В. А. Кузнецов 77 Два задачника «Кванта»
А. Т. Калинин 78 Хорошая книга по занимательной мал матикп
Ф. М. Шустеф 5 Новые книги
ХРОНИКА
79 На Всероссийской научно-практической конференции
Редакционная в о л л е г и я:
Главный редактор Р. С. Черкасов
За и главного редактора А. И. Верченко
Члены редакционной коллегии:
Редакционный совет
(представители союзных республик):
Зав. редакцией
3. В. Шепелева
Н. М. Бескин
В. Г. Болтянский
Н. Ф. Власик
Г. Д. Глейзер
Б. В. Гведенко
Г. В, Дорофеев
Н. А. Ермолаева
А. И. Колмогоров
Ю. М. Калягин
М. Р. Леонтьева
Г. Г. Маслова
к. И. Нешкое
/1. М. Пашкова
И. С. Петраков
И, X. Розов
К. П. Сикорский
В. А. Скворцов
3. А. Скопец
П. В. Стратилатсв
3. С. Сухотина
К. И. Шалимова
С. И. Шварцбурд
А, Ястребинецкий
А М. Алиев (АзССР)
X- А. Асадов (ТаджССР)
Б. Б. Бердыев (ТССР)
В. А. Гусев (РСФСР)
А. С. Зибертас (ЛитССР)
Д. И. Икрамов [УзССРУ
К. К. Кожаспаев (КазССР)
Ш. М. Майлиев (КиргССР)
В. Я. Миллере (ЛатвССР)
3. И. Моисеева (РСФСР)
С. Ф Рубанов (БССР)
Н. Н. Садовникова (РСФСР)
Р. В. Саркисян (АрмССР)
3. И. Слепканъ (УССР)
А. Э. Телъгмао [ЭССР)
И Ф. Тесленко (УССР)
Р. А. Хабиб (РСФСР)
А. М. Хоштария (ГССР)
Художественный редактор
Б, Ф. Рябов
Технический редактор
Л. В. Розанова
Корректор
Л, Ф. Чичулина
Сдано в набор 22.08 83. Подписано
в печать 05.10.83. Формат 84Х108,/1в.
Печать высокая. Усл. печ. л. 8,40.
Уч.-изд. л. 11,21. Усл кр.-отт. 9,03
Тираж 383 430 акз. Цена 45 коп. Зак. 303.
Издательство «Педагогика» Академии пе-
дагогических паук СССР н Государствен-
ного комитета СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства-. 107847, Москва, ГСП,
Б-05, Лефортовский пер., д. 8.
Адрес редакции: 129278, Москва,
ул. П. Корчагина, л. 7; телефон 283-85-83.
Московская типографии № 13
ПО «Периодика» ВО «Союзполиграфпром»
Государственного комитета СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной тор-
говли.
107005» Москва, Б-5, Денисовский пер.,
д. 30.
2
Уму и сердцу каждого школьника
Об изучении и разъяснении учащимся общеобразовательных
школ материалов июньского (1983 г.) Пленума ЦК КПСС
и восьмой сессии Верховного Совета СССР десятого сэзыса1
Крупнейшими политическими событиями в
жизни нашей партии и страны явились июнь-
ский (1983 г.) Пленум ЦК КПСС, восьмая
сессия Верховного Совета СССР Постанов-
ления, документы Пленума и сессии, избра-
ние Генерального секретаря ЦК КПСС това-
рища Ю В. Андропова Председателем Пре-
зидиума Верховного Совета СССР получили
полное одобрение советского народа. В осно-
ву всей деятельности партийных организаций
положены постановление Пленума ЦК КПСС
«Актуальные вопросы идеологической, массо-
во-политической работы партии», программ-
ные положения и выводы, содержащиеся в ре-
чи товарища Ю В. Андропова па Пленуме.
Пленум ЦК КПСС подчеркнул, что идеоло-
гическая работа — дело всей партии, одна из
важнейших составных частей коммунистиче-
ского строительства. Дальнейшего улучшения
идеологической работы требует решение боль-
ших и сложных задач совершенствования
развитого социализма и обострение между-
народной обстановки.
Большое внимание Пленум ЦК КПСС уде-
лил-совершенствованию деятельности общеоб-
разовательной школы, формированию у под-
растающих поколений политических, граждан-
ских, нравственных качеств, классовой закал-
ке молодежи. «...Партия добивается того, что-
бы человек воспитывался у нас не просто как
носитель определенной суммы знаний,— под-
черкнул в речи на Пленуме ЦК КПСС това-
рищ К) В. Андропов,— но прежде всего —
как гражданин социалистического общества,
активный строитель коммунизма, с присущи-
ми ему идейными установками, моралью и
интересами, высокой культурой труда и по-
ведения».
В школе формируется марксистско-ленин-
ское мировоззрение — незыблемая основа ком
мунистического воспитания, учащиеся знако-
мятся с жизнью и революционным учением
1 Методическое письмо Министерства просвещения
СССР публикуется в сокращенном изложении Полный
текст письмч опубликован в «Учительской газете»
от 26 июля 1983 г. (№ 89).
Маркса, Энгельса, Ленина, основными этапа-
ми истории и политикой КПСС, осознают
преимущества социалистического строя.
Важной задачей школ, органов народного
образования, всех учителей, школьных ком-
сомольских и пионерских организаций являет-
ся ознакомление учащихся с материалами
июньского (1983 г.) Пленума ЦК КПСС и
восьмой сессии Верховного Совета СССР,
воспитание у школьников и молодежи потреб-
ности в глубоких и прочных знаниях, актив-
ном участии в общественно полезном, произ-
водительном труде.
Министерство просвещения СССР рекомен-
дует провести в учебное время специальные
беседы на следующие примерные темы:
I—III классы: «Труд укрепляет Родину»,
«Коммунисты — борцы за сохранение мира на
нашей планете».
IV—VII классы: «Советская страна идет
дорогой мира и прогресса», «Советский чело-
век— патриот и интернационалист», «Труд —
основа величия и могущества нашей Родины».
VIII—X классы «Наша страна — страна
развитого социализма», «Сохранение мира на
земле — стержневая проблема внешней поли-
тики партии», «Империализм — источник угро-
зы миру».
При прохождении программного материала
по учебным предметам с учетом содержания
преподаваемой дисциплины необходимо зна-
комить учащихся с положениями и вывода-
ми речи товарища Ю В. Андропова, поста-
новлением «Актуальные вопросы идеологиче-
ской, массово-политической работы партии»,
другими материалами Пленума ЦК КПСС,
а также восьмой сессии Верховного Совета
СССР. Основная работа по изучению этих
материалов проводится на уроках по общест-
венным дисциплинам в старших классах.
Задачи, выдвинутые июньским (1983 г.)
Пленумом ЦК КПСС, требуют от преподава-
телей гуманитарных, естественно-математиче-
ских дисциплин, предметов эстетического цик-
ла, трудового обучения, начальной военной
подготовки повышения внимания к осущест-
вляемому средствами предмета идейно поли-
1*
3
тическому, интернациональному, военно-пат-
риотическому воспитанию, пропаганде науч-
но-материалистических взглядов, раскрытию
роли труда в развитии человеческой цивили-
зации, формированию экономического мыш-
ления; к.разъяснению народнохозяйственного
значения экономии и бережливости; к харак-
теристике новейших достижений науки, тех-
ники, образцовых методов труда, их роли
в интенсификации производства, осуществле-
нии Продовольственной и Энергетической
программ, достижении высшего мирового
уровня производительности труда.
Во внеурочной работе, проводимой педаго-
гическими коллективами совместно с пионер-
скими и комсомольскими организациями, важ-
но формировать у учащихся коммунистиче-
скую идейность и убежденность, с учетом воз-
раста и подготовки школьников ра/ьяснять
необходимость качественного овладения зна-
ниями, участия в труде.
Важной задачей педагогических коллекти-
вов, .комсомольской и пионерской организа-
ций, органов учеиическо”о самоуправления яв-
ляется широкое привлечение школьников к
общественно полезному, производительному
труду.
Работа в лекторской группе и агитбригаде,
выступление с политинформацией, подготовка
новых экспозиций и выполнение обязанности
экскурсовода в школьном музее, проведение
общественно-политических дел в подшефном
пионерском отряде, распространение полити-
ческой литературы на предприятии, в микро-
районе, работа в агитпункте будут содейство-
вать широкой пропаганде решений Пленума,
их активной реализации.
Рекомендуется провести во внеурочное рре-
мя циклы бесед с учащимися VIII—X клас-
сов ( и XI классов) и ученических конферен-
ций старшеклассников на примерно следую-
щие темы. «КПСС-—ум, честц и совесть на-
шей эпохи», < Всестороннее совершенствова-
ние развитого социализма — стратегическая
задача парит и народа», «Внимательное, за-
ботливое 01 ношение к человеку — закон на-
шей жиЗни», «Труд — основа величия и могу-
щества пашей Родины», «Формирование ново-
го человека — программная цель КПСС»,
«Уровень дисциплины — показатель идейной
и нравственной зрелости, комсомольца», «Ком-
сомолец— активный политический боец»,
«Быть патриотом — готовить себя к груду и
обороне», «Внешняя политика СССР — курс
мира и прогресса», «Агрессивный курс США —
источник угрозы миру» и др.
Во внеурочной работе необходимо широко
использовать классные уголки, стенные и ра-
диогазеты, экспозиции школьных ленинских
музеев и залов, музеев и комнат революцион-
ной, боевой и трудовой славы, дружбы наро-
дов, истории родного края, залов, выставок
и уголков интернациональной дружбы и т. д.
Материалы июньского (1983 г.) Пленума
ЦК КПСС, восьмой сессии Верховного Сове-
та СССР широко привлекаются на факульта-
тивных занятиях, особенно по гуманитарным
предметам.
Следует полнее использовать в пропаганде
решений Пленума материалы пионерской и
комсомольской периодической печати, радио,
телевидения, освещающие в доступной возра-
сту учащихся форме содержание политики
партии, Советского государства, острые проб-
лемы международной жизни, происки буржу-
азной пропаганды.
Конкретным вкладом в решение задач
усиления идейно-нравственного воспитания
школьников явится участие школьников во
Всесоюзном походе комсомольцев и молоде-
жи по местам революционной, боевой и тру-
довой славы Коммунистической партии и со-
ветского народа, в поисковой экспедиции «Ле-
топись Великой Отечественной», в торжест-
венном собрании «Знамя Победы — в надеж-
ных руках», в эстафете патриотических дел
молодежи социалистических стран «Память»,
посвященной 40-летию Победы над фашист-
ской Германией, во Всесоюзном походе уча-
щихся под девизом «Бережливость юных — на
службу пятилетке!», в пятой трудовой чет-
верти «Мой труд вливается в труд моей рес-
публики».
Основным условием повышения эффектив-
ности трудовой подготовки школьников яв-
ляется укрепление сотрудничества школы с
производством. Надо шире привлекать уча-
щихся, особенно старшеклассников, к труду
непосредственно на предприятиях, полях и
животноводческих фермах, к выполнению за-
казов предприятий в межшкольных УПК,
школьных и межшкольных учебных и учебно-
производственных мастерских.
Следует укреплять связь школы с профтех-
образованием. Практиковать проведение за-
нятий по труду с учащимися VII—X классов,
работы по техническому творчеству на базе
профессионально-технических училищ.
Необходимо стремиться к более полному
охвату учащихся летними практическими ра-
ботами, создавать в школах постоянно дей-
ствующие трудовые объединения различного
профиля. Деятельность трудовых объедине-
ний школьников следует строить в cooibct-
ствии с основными положениями Закона
СССР о трудовых коллективах. Надо уделять
больше внимания повышению воспитательной
и экономической эффективности деятельности
трудовых объединений. Обеспечить активное
участие членов трудовых объединений во Все-
4
союзном походе за экономию и бережливость,
совершенствовать такие направления общест-
венно полезного труда школьников, как сбор
вторичною сырья, дикорастущих ценных для
народного хозяйства растений, ремонт школь-
ных помещений и школьного оборудования,
благоустройство и озеленение школьной тер-
ритории, населенных пунктов, работа по охра-
не природы.
Важная задача органов народного образо-
вания и педагогических коллективов — широ-
ко привлекать учащихся к активному участию
в трудовых делах, определить местные объек-
ты сферы общественно полезной деятельно-
сти в школе, селе, районе, городе, постоянно
прививать школьникам привычку и любовь к
полезному труду.
Вся работа в общеобразовательных школах
по ознакомлению учащихся с материалами
июньского (1983 г.)‘Пленума ЦК КПСС, вось-
мой сессии Верховного Совета СССР обеспе-
чению активного участия школьников в обще-
ственно полезном и производительном труде
будет способствовать дальнейшему совершен-
ствованию качества и повышению эффектив-
ности идейно-политического, трудового и
нравственного воспитания подрастающего по-
коления,
Новые книги
История математики
Глейзер Г. И. История математики в школе. IX—X
классы: Пособие для учителей. — М.: Просвещение,
1983. — 351 с., 200 000 экз., 80 к.
Из истории средневековой восточной математики и
астрономии / Отв. ред. С. X Сираждинов. — Ташкент:
Фан, 1983. — 172 с., 1200 экз., 2 р. 20 к.
Файзуллаев А. Ф. Научное творчество ал-Хорезмн. —
Ташкент: Фан, 1983. — 32 с., 5000 экз., 5 к.
Учебники и учебные пособия для высшей школы.
Монографии
Гусак Г. М. Системы алгебраических уравнений. —
Минск: Вышэйшая школа, 1983. — 222 с., 27 000 экз.,
35 к.
Желудев И. С. Симметрия и ее приложения. — 2-е
изд., перераб. и доп. — М.: Энергоатомиздат, 1983. —
303 с.. 2200 экз., 3 р 30 к.
Математическая теория оптималь ных процессов / Л С.
Понтрягин. В Г. Болтянский, Р В, Гамкрелидзе. Е. Ф.
Мищенко. — 4-е изд., стереотип. — М.: Наука, 1983.—
392 с., 10 600 экз., 1 р. 40 к.
Справочная книга по математической логике: В 4-х
ч. / Под ред. Д. Барвайса; Пер. с англ.; под ред В. П.
Оревкова. Ч. 4. Теория доказательств и конструктивная
математика. — М.: Наука, 1983. — 391 с., 20 00и экз.,
2 р. 10 к.
Научно-популярная литература
Алимов Ш А. Принцип сжатых отображений- Мето-
ды прикладного анализа. — М.: Знание, 1983. — 64 с.,
30 050 экз.. 11 к.
Арсеньев А. А., Самарский А. А. Что такое матема-
тическая физика —М.: Знание, 1983.—64 с., 30 120 экз.,
II к.
Аршинов М. Н., Садовский Л. Е. Коды и матема-
тика: Рассказы о кодировании. — М.: Наука, 1983. —
143 с., 150 000 экз., 25 к.
Гик Е. А. Шахматы и математика. — М.: Наука,
1983. — 175 с., 300 000 экз., 30 к.
Курош А. Г. Алгебраические уравнения произволь-
ных степеней. — 3-е изд. — М.: Наука, 1983. — 32 с.,
150 000 экз., 5 к.
Маркушевич А. И. Возвратные последовательности.—
3-е изд. — М.: Наука, 1983. — 47 с., 130 000 экз., Юк.
Учебники и учебные пособия для средней школы
Алексеев В. М. Элементарная математика: Решение
задач. — Киев: Виша школа, 1983. — 351 с., 40 000 экз.,
1 р. 10 к.
Блох А. Ш., Кузнецов А. Т. Вычислительная матема-
тика и программирование: Учебное пособие для школ с
углубленным изучением математики. — Минск: Народ-
ная асвета, 1983. — 208 .с., 11 000 экз., 15 к.
Понтрягин Л. С. Математический анализ для школь-
ников.— 2-е изд., перераб. — М.: Наука. 1983.—95 с.,
200 000 экз.. 15 к.
Фаддеев Д. К. Алгебра 6—8: Материалы для озна-
комления.— М. Просвещение, 1983.— (Б-ка учителя
математики). — 272 с., 243 000 экз., 60 к.
Методика преподавания математики
Беденко Н. К., Дубинчук Е. С. Методика повторе-
ния в средних профтехучилищах. — М.: Высшая школа,
1983. — 111 с., 30 000 экз., 15 к.
Беляев Т. Ф. Упражнения по развитию пространст-
венных представлений у учащихся: Из олыта рабо-
ты. — М.: Просвещение, 1983. — 112 с., 39 000 экз.,
25 к.
Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы об-
учения математике в школе: Учителю математики о
психологии. — М.: Просвещение, 1983.— 160 с., 100 000
экз., 30 к.
Фрейденталь Г. Математика как педагогическая зада-
ча: Пособие для учителей. Ч. 2. Сокр. пер. с нем. ' Под
ред. Н. Я. Виленкина. — М.: Просвещение, 1983.—
192 с., 39 000 экз., 1 р. 10 к.
Ф. М. Шустеф
(Минск)
5
gh МЕТОДИЧЕСКИЙ отдел
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ
ДО УЧЕБНОМУ ПОСОБИЮ А. В. ПОГОРЕЛОВА
К началу обучения геометрии
в VII классе1
§ 7. Теорема Пифагора (23 ч)2
В параграфе рассматривается материал, тра-
диционный для любого курса планиметрии.
В данном учебном пособии материал этого
параграфа занимает необычное место в струк-
туре курса: впервые теорема Пифагора
изучается до рассмотрения подобия треуголь-
ников.
Более раннее изучение теоремы Пифагора
позволяет существенно расширить круг гео-
метрических задач, решаемых школьниками.
Знания, полученные учащимися при изучении
такой темы алгебры, как «Квадратные кор-
ни и квадратные уравнения»3, дают возмож-
ность решать геометрические задачи, предла-
гаемые в учебном пособии к данному парагра-
фу. Прежде всего предполагается умение
оперировать с квадратными корнями и решать
неполные квадратные уравнения типа х'2=-а2.
В свою очередь решение задач из курса гео-
метрии будет способствовать развитию навы-
ков тождественных преобразований и вычис-
лительных навыков учащихся. -
Значительную часть параграфа составляет
тригонометрический материал. Вводятся опре-
деления синуса, косинуса и тангенса острого
угла, доказываются теоремы об их зависимо-
сти только от градусной меры угла, о возра-
стании синуса и тангенса острого угла и убы-
вании косинуса при возрастании угла, а так-
же некоторые основные тригонометрические
тождества.
Особенностью системы упражнений к пара-
графу является наличие большого количества
задач, которые могут быть решены различны-
ми способами в зависимости от того, теорети-
ческий материал какого пункта исполозуется.
ТаковЫ, например, задачи 8, 9, 16, 17, 44 и др.;
их можно решать и при повторении материа-
ла, рассматривая при этом одновременно не-
сколько способов.
1 П роаолжекие. Начало см. в № 3 и 4 журнала «Ма-
тематика в школе» за 1983 г.
2 1 ч — резервный.
3 По расчасовке на 1983/84 учебный год предпола-
гается, что эта тема будет изучаться лишь с незначи-
тельным опережением темы «Теорема Пифагора».
Косинус угла (2 ч)
Комментарий для учителя
1°. В пункте вводится определение косину-
са острого угла прямоугольного треугольни-
ка и доказывается теорема о зависимости
косинуса угла только от градусной меры угла
(теорема 7.1). Рассматриваемая теорема иг-
рает ту же роль, которую в предшествующих
школьных курсах планиметрии выполняла
теорема о пропорциональных отрезках или
лемма о подобии, где их доказательство про-
водилось неполно. Так, в некоторых курсах
использовались свойства гомотетии, которые
принимались без доказательств, в других кур-
сах рассматривалось доказательство для слу-
чая соизмеримых отрезков, которое затем до-
полнялось до общего рассуждениями, опираю-
щимися на теорию действительного числа.
Автор учебного пособия предлагает не апел-
лирующее к этой теории и вместе с тем пол-
ное доказательство теоремы.
По-видимому, доказательство, приводимое
в учебном пособии, является наиболее прос-
тым из известных полных обоснований. Тем
не менее и оно является в силу объективных
причин достаточно трудным. Поэтому в мето-
дических рекомендациях предлагается сначала
дать доказательство «соизмеримого случая»
теоремы, не заостряя внимания учащихся ни
на этом ограничении, ни тем более на поня-
тиях рационального числа, соизмеримости от-
резков и т. п., и уж затем воспроизвести пол-
ное доказательство теоремы. При таком под-
ходе к изучению теоремы можно рекомендо-
вать записать в тетрадях доказательство для
«соизмеримого случая». На следующем уроке,
после опроса этой части доказательства, учи-
тель может перейти к изложению общего до-
казательства.
2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать определение косинуса остро-
го угла прямоугольного треугольника; уметь
вычислять косинус угла при решении конкрет-
ных задач, строить угол по его косинусу.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. После введения определения косинуса
угла, данного в учебном пособии, можно пред-
ложить учащимся решить простые задачи на
вычисление по готовым рисункам:
1. Чему равен cos А (рис. 1,а)?
2. Чему равен cos В (рис. 1,6)?
3. Чему равны cos А и cos В (рис. 1,в)?
4. На одной стороне угла А отложены от-
резки AB—BD=DF—d см. Из точек В, D,
F опущены перпендикуляры на другую сторо-
ну угла (рис. 2), АС—4 см. Вычислите cosA;
а) из &АВС-, б) из A.ADE-, в) из AAFG.
S = S’- Но АС' = А'С’’ АВ^ - А> в'. зна-
АС А' С'
чит’ АВ“ "УВ'~ ’ что и тР{‘бовалось доказать.
Приведем образец записи проведенного вы-
ше доказательства на доске и в тетрадях уча-
щихся (рисунок выполняется по ходу доказа-
тельства) .
Дано: ААВС и АА'Д'С', Z С=АС'=90“
АА=АА'. «
Д о к а з а т ь: cos A =cos А'.
Доказательство. Из £±АВС cos 4 =
= 45* ^А'В'С' coszV=T'4r Доказать,
2“ После решения задачи 4 (й подведения
итога) учитель может сказать, что при ее ре-
шении косинус острого угла А вычислялся при
рассмотрении разных треугольников; во всех
случаях результат получился один и тот же,
хотя размеры треугольников были различны.
Можно убедиться, что косинус угла не зави-
сит также и от расположения треугольников
на плоскости, т. е. верно утверждение: «Если
в двух прямоугольных треугольниках острые
углы равны, то косинусы этих углов равны».
Доказательство. Выразим cost) из
АС
Д АВС и cos А' из Л А' В’ С": cos А = t
А'С-
cos4 =
дс
" АВ~
.. Д' С’
Надо доказать, что
A D
Выполним вспомогательные построения: по-
строим ААВ^, равный £\А'В'С'. Для этого
отложим ABi—A'B' и проведем B|C[_LAC
(рис. 110 учебного пособия). ДАВ1С| =
= АА'В'С' по гипотенузе и острому углу. Из
равенства треугольников следует, что АС| =
—А'С.
Рассмотрим сначала случай, когда можно
выбрать такой отрезок а, который уклады-
вается целое число раз (и раз) на отрезке
АС, т. е. АС = па, и целое число раз (т раз)
на отрезке ЛСЬ т. е. АСх=та. (Это можно
сделать не всегда, и общий случай, без ис-
пользования высказанного условия, мы рас-
смотрим на следующем уроке.)
Итак, разделим АС и АС] на отрезки дли-
ны а и через точки деления проведем прямые,
параллельные ВС. По теореме Фалеса отре-
зок АВ разделится на п равных отрезков, а
отрезок ABi — на т таких же отрезков. Обо-
значив длину каждого из этих отрезков через
Ь, можно записать: AB = nb, ABl=mb.
,, АС па а
Но тогда -тЪ ,
АВ nb b ’
АС, та а
АВ, ~ mb ' b ’ т е‘
1) Дополнительные построения ABi=A'B',
BiCtJ.AC.
2) AABjC| = £\А'В'С' по гипотенузе и ост-
рому углу. Отсюда AC А'С'.
3) Пусть АС=па, АС,—та. По теореме
Фалеса AB=nb, АВ, —mb.
4) Вычислим и 45- ; ™ = 4,
АВ А' В' АВ nb b ’
AF\ — А* В' — по построению, .ACj = А' С'— по
А' С' АС, та а
доказанному, = —
ZC A С'
Таким образом, -. s что и требова-
Ап До
лось доказать.
3°. Доказательство теоремы 7.1 без исполь-
зования условия, указанного в разделе 2°,
можно провести следующим образом4. На-
помнив учащимся кратко условие и заключе-
ние теоремы и дополнительное построение
треугольника АВ,С,, равного треугольнику
А'В'С', учитель может сказать, что надо до-
АС, АС „
казать равенство = -д^. Доказательство
проводится методом от противного. Предпо-
АС, . АС АС, . АС
ложим, что /= , например>-дд- .
Возьмем тогда отрезок АС2<АС,, такой, что
= 4ъ- Разобьем отрезок АС на п рав-
АВ, АВ 1 г
ных частей (АС=па). Выберем точку деле-
ния У так, чтобы она лежала на отрезке C2Ci
(это можно сделать, если отрезок АС разби-
вается на большое число частей), и пусть
АУ—та. Мы уже показали, что в этом слу-
4Y 4С
чае —rv = Но, в силу выбора точки У,
zl-A Ad.
АУ^>АС2, АХ<АВ,, значит, 45 <С 45 (так
Л D । A J\
4 Его рекомендуется изложить после опроса доказа-
тельства частного случая, которое было дано на преды-
дущем уроке и записано в тетрадях учащихся.
7
как у второй дроби числитель больше, а зна-
менатель меньше, чем у первой), т. е.
АС, . АС
чт0 противоречит сделанному
АС, АС -г
предположению = -дц. Теорема дока-
зана.
4°. Для закрепления теоремы 7.1 можно
предложить учащимся следующие задачи:
1. В треугольниках АВС и Д1В1С1 Z_C =
=Z_C1 = 90°, Z_A=/LAi, 4С=18 см, А1В1 =
=6 см, А1С1 = 3 см. Чему равна гипотену-
за АВ?
2. В прямоугольном треугольнике АВС ка-
тет ВС=7 см. Высота CD, опущенная из вер-
шины прямого угла С, отсекает на гипотену-
зе отрезок DB = 3 см. Чему равна гипотенуза?
3. В ДАВС высота CD, опущенная из вер-
шины прямого угла С, делит гипотенузу АВ
на отрезки AD = 5 см, BD=4 см. Чему равен
катет ВС?
Примерное планирование изучения материала
На первом уроке в классе рекомендуется
ввести понятие косинуса острого угла прямо-
угольного треугольника, разобрать доказа-
тельство теоремы 7.1 для частного случая;
дома — вопросы для повторения 1, 2 (по тет-
ради).
На втором уроке разобрать доказательство
теоремы 7.1 для общего случая, задачу 1 и до-
полнительные задачи 2, 3; дома — дополни-
тельную задачу 1 (а, б).
Дополнительные задачи
1. В прямоугольных треугольниках АВС и
А}ВХС] АС=АС,=90о, Z_A = rAb
а) АС=5 см, АВ = 15 см, AiCi=8 см. Най-
ти А В{.
б) A,Ci—4 см, AiBi=7 см, АВ —21 см.
Найти АС.
2. В прямоугольном треугольнике один из
катетов равен 8 см, косинус прилежащего к
Hi му угла равен 0,8. Чему равна гипотенуза?
3. В прямоугольном треугольнике гипотену-
за равна 20 м, а косинус одного из острых
углов равен 0,6. Чему равен катет, прилежа-
щий к данному острому углу?
Тсэрема Пифагора (4 ч)
Комментарий для учителя
1°. В пункте рассматриваются теорема Пи-
фагора и теоремы о сравнительной длине пер-
пендикуляра и наклонных. Доказательство
теоремы Пифагора, приведенное в учебном
пособии, опирается на основное свойство про-
порции и определение косинуса острого угла
прямоугольного треугольника; оно достаточ-
но просто и не должно вызвать затруднений
у учащихся.
Вопросами для повторения 4, 5, 6 преду-
сматриваются доказательства следствий из
теоремы Пифагора. Эти доказательства прос-
ты и в явном виде в учебном пособии отсут-
ствуют. В методических рекомендациях они
приводятся. Разбирая их в классе, можно
предложить учащимся сделать записи в тет-
ради. При отсутствии таких записей эти во-
просы, по сути дела, представляют собой за-
дачи, что следует учитывать при планирова-
нии домашнего задания.
2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать теорему Пифагора и след-
ствия из нее; уметь воспроизводить доказа-
тельство теоремы Пифагора в ходе изучения
текущего материала, применять ее при реше-
нии задач.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Перед доказательством теоремы Пифаго-
ра полезно повторить с учащимися основное
свойство пропорции.
2°. При доказательстве теоремы 7.2 надо
конкретно указать,' какие треугольники рас-
сматриваются (в учебном пособии они явным
образом не указаны). Находим, что cosA =
= из £\ADC и cos А = 4S из Д.АВС.
AC АН
Приравнивая правые части полученных ра-
AD АС
венств, имеем пропорцию: -^- = откуда
по основному свойству пропорции АС2—
=AD-AB. Аналогично, из ACDB cos
нс
а из ЛА В С cos В — Отсюда получаем про-
порцию: и равенство: ВС2=ОВХ
ХАВ. Дальнейшее доказательство ведется в
соответствии с учебным пособием.
3°. Для закрепления теоремы можно пред-
ложить учащимся следующие устные задачи
на вычисление.
1. Катеты прямоугольного треугольника
6 см и 8 см. Вычислите гипотенузу треуголь-
ника.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника
равна 5 см, а один из катетов равен 3 см. Оп-
ределите второй катет.
4°. Следствие 1. В прямоугольном тре-
угольнике любой из катетов меньше гипоте-
нузы.
Доказательство. По теореме Пифаго-
ра AB2—AC2-j-BC2. Так как ВС2>0, то АС2<
<АВ2, т, е, АС<АВ,
8
5°. Следствие 2. Для любого острого уг-
ла a cos а< 1.
Доказательство. По определению ко-
АС
синуса угла cos А Но в следствии 1 бы-
ло доказано, что АС<АВ, т. е. дробь
меньше 1.
6°. Определение перпендикуляра к прямой
было дано в § 2 учебного пособия. Его необ-
ходимо с учащимися повторить, а после вве-
дения определений наклонной и проекции
наклонной подчеркнуть, что во всех трех слу-
чаях речь идет об отрезках.
Для усвоения вводимой терминологии мож-
но задать учащимся вопросы по рис. 3:
1. Назовите наклонные к прямой а и их ос-
нования.
2. Укажите перпендикуляр и его основание.
3 Назовите проекцию каждой наклонной.
Затем предложить устно решить 'задачи
типа
Из одной точки к прямой проведены пер-
пендикуляр и наклонная.
1) Длина наклонной 10 см, а перпендикуля-
ра 6 см. Чему равна проекция наклонной?
2) Наклонная длиной 13 см имеет проек-
цию '2 см. Вычислите длину перпендикуляра.
7°. Следствие из теоремы Пифагора, сфор-
мулированное для перпендикуляра и наклон-
ных, целесообразно разделить на три отдель-
ных утверждения.
Следствие 3. Если к прямой из одной
точки проведены перпендикуляр и наклонная,
то наклонная больше перпендикуляра.
Следствие 3 является другой формулиров-
кой следствия 1, поэтому для доказательства
достаточно указать, что перпендикуляр — это
катет, а наклонная — гипотенуза в прямо-
угольном треугольнике.
Следствие 4. Если к прямой из одной
точки проведены перпендикуляр и наклонные,
то равные наклонные имеют равные проек-
ции.
Доказательство (рис. 3). Из прямо-
угольных треугольников MFK и MRK по тео-
реме Пифагора имеем FK2=MF2—МКг и
KR2—MR2—МК2, а так как FM = RM, то и
FK = KR.
Следствие 5. Если к прямой из одной
точки проведены две наклонные, то больше из
них та, у которой проекция больше.
Доказательство (рис. 3). В прямо-
угольных треугольниках MKR и МКР по тео-
реме Пифагора MR2—MK2+KR2, а МР2 —
=МК2-\-КР2, но KP>KR, поэтому и
>MR.
Доказательства всех пяти следствий просты
и могут быть проведены учащимися самостоя-
тельно.
Рис. 4
Рис. 3
8°. В дополнение к приведенному в учебном
пособии способу решения задачи 16 дадим
ещр один, при котором не нужно рассматри-
вать различные случаи расположения центра
окружности, кроме того, в нем несколько про-
ще алгебраические выкладки. (Этот способ
решения опирается на теорему о среднем про-
порциональном и поэтому может быть пред-
ложен учащимся при изучении следующего
пункта.)
Решение. Из £±CDB (рис. 4) CD —
— ~ (~УУ Так как СЕ — диаметр ок-
ружности, то / СВЕ = 90°. Из А СВЕ по тео-
реме о среднем пропорциональном запишем, что
ВС2 = CECD, т. е b2 = 2R ]/ Ь2 - .
Ь2
Отсюда /? =---------7-------=.
Примерное планирование изучения материала
Материал пункта рассчитан на четыре
урока.
На первом уроке рекомендуется в классе
разобрать теорему Пифагора и первые два
следствия из нее, решить задачу 4(1), из до-
полнительных задачи 1, 3; дома — вопросы
3—5, задачи 3, 4(2).
На втором уроке в классе решить задачи
10(1), 13, из дополнительных задачи 6, 8:
дома — задачи 5, 15.
На третьем уроке в классе ввести опре-
деления наклонной, проекции наклонной, след-
ствия 3—5 из теоремы Пифагора, решить за-
дачи 25(1, 2)—устно, 17, 20; дома — вопрос
для повторения 6, задачи 6, 14.
На четвертом уроке в классе решить за-
дачи 18, из дополнительных — 9, 12, 14, до-
ма — задачи 4(3), 12.
После изучения материала пункта рекомен-
дуется провести контрольную работу № 1.
Указания к решению задач
10. 1) Искомый отрезок — гипотенуза пря-
моугольного треугольника с катетами а и Ь.
9
2) Искомый отрезок — катет прямоугольно-
го треугольника с гипотенузой а и катетом Ь.
13. В задаче требуется вычислить радиус окружности,
описанной около прямоугольника. Но в курсе ие вводи-
лось понятие окружности, описанной около многоуголь
ника, давалось только определение окружности, описан-
ной около треугольника. Поэтому пол> ’но предложить
учащимся сформулировать по аналогии определение
окружности, описанной около прямоугольника, как
окружности, проходящей через все его вершины.
20. Задача имеет два решения: в первом
случае основание высоты лежит на стороне
АВ треугольника АВС (рис. 5,а), а во вто-
ром— на продолжении стороны АВ (рис. 5.6).
Задачу целесообразно решать в классе, так
как дома учащиеся могут рассмотреть лишь
один из указанных случаев.
22—24. Эти задачи представляют различ-
ные частные случаи задачи 21, решение кото-
рой разобрано в тексте учебного пособия.
Так как в конкретном случае учащиеся не мо-
гут однозначно определись, куда попадает ос-
нование высоты — на сторону треугольника
или ее продолжение, то нм придется разо-
брать оба случая, один из которых затем от-
брасывается. Покажем, как это может быть
сделано на примере решения задачи 22(2).
Дано: ДДВС, ДС=30 см, ВС—25 см,
АВ = 11 см, CD ДАВ.
Найти: CD.
1) Предположим, что точка D лежит на
стороне АВ (рис. 5,а). Обозначим BD черезх.
Тогда zW=ll—х. По теореме Пифагора из
/\CDB CD2 = 252~x2, из AACD CD2 = 302—
— (11—х)2. Следовательно, 625—х2—900—
— 12Ц-22х—х2, 22х=—154, х=— 7, т. е.
DB=—7. Но длина отрезка не может быть
отрицательным числом, значит, точка D не ле-
жит на стороне АВ.
2) Пусть точка D лежит на продолжении
стороны АВ (рис. 5,6). Обозначив BD через
х, получим ДП = 11-)-х. По теореме Пифагора
СО2=252—х2, CD2=302—(1 l-j-х)2, откуда х =
=7, т. е. BD=7 см,
CD= /252 — 72-=24 (см).
25. 1) Пусть ВК-La, ВМ — наклонная к
прямой а, тогда МК— ее проекция (рис. 6).
Из ДВМК по теореме Пифагора ВМ =
—} ВК2-рМК2. Отложим отрезок КР, равный
МК, на луче КР, дополнительном лучу КМ.
Рис 5
Тогда по теореме Пифагора из треугольника
КВР
ВР = ГДЛ'2 у КР2 = У~ВК2 + МК2 = ВМ.
Итак, наклонная ВР имеет ту же длину,
что и наклонная ВМ.
2) Предположим, что можно провести из
точки В три наклонные равной длины. По
следствию из теоремы Пифагора равные
наклонные имеют равные проекции. Проекции
этих наклонных лежат либо на луче КМ, ли-
бо на луче КР. Но по аксиоме откладывания
отрезков на луче можно от пожить только
один отрезок данной длины. Значит, основа-
ние третьей наклонной совпадает с основани-
ем какой-то из двух уже построенных, следо-
вательно, трех наклонных одинаковой длины
провести из одной точки на прямую нельзя.
Дополнительные задачи
1. Гипотенуза прямоугольного треугольника
равна 13 елг, а катеты относятся как 5: 12.
Найдите катеты.
2. Один из катетов прямоугольного тре-
угольника равен 7 см. а гипотенуза больше
второго катета на 3 см. Вычислите периметр
треугольника.
3. Основание D высоты, опущенной из вер-
шины С прямого угла, делит гипотенузу на от-
резки: DB=l(5 см и AD=9 см. Катет ВС ра-
вен 20 см. Вычислите катет АС и высоту.
4. Диагонали четырехугольника взаимно
перпендикулярны и точкой пересечения делят-
ся на отрезки 3 см и 5 см, 4 см и 12 см. Вы-
числите стороны четырехугольника.
5. Сторона квадрата равна 1,5 см Найдите
диагональ квадрата.
6. Катеты прямоугольного треугольника,
вписанного в окружность, равны 9 см и 40 см.
Чему равен диаметр окружности?
7. Радиус окружности, описанной около
квадрата, равен 3 см. Определите сторону
квадрата.
8. Высота равнобедренного треугольника,
проведенная к основанию, равна 35 см, а ос-
нование 24 см Чему равна боковая сторона?
9. Боковая сторона равнобедренного тре-
угольника 17 см, а высота, проведенная к ос-
нованию, равна 15 см. Чему равно основание?
I.'
10. Л окружности радиуса 10 см проведена
касательная, на которой взята точка М на
расстоянии 21 см от точки касания. Найдите
расстояние от точки М до центра окружности.
11. Из точки, отстоящей от центра окруж-
ности на расстоянии 5 см, проведена касатель-
ная к окружности длиной 3 см. Вычислите ра-
диус окружности.
12. Из точки, взятой вне окружности про-
ведены к этой окружности две касательные.
Докажите, что длины касательных равны меж-
ду собой.
13. Докажите, что в тупоугольном треуголь-
нике против большего угла лежит большая
сторона.
14. В прямоугольном треугольнике ЛВС
(Z.C=90°) ЛВ=41 см, АС=§ см. Точки М
и К—середины сторон АВ и АС. Чему равен
отрезок МК?
Соотношения между сторонами и углами
в прямоугольном треугольнике (3 ч)
Комментарий для учителя
Г. В пункре рассматриваются вопросы, свя-
занные с решением прямоугольных треуголь-
ников. Вводятся определения синуса и танген-
са острого угла и показывается, что синус
и тангенс угла, так же как и косинус угла,
зависят только от величины угла. На основа-
нии определений sin a, cos а и tg а вводятся
правила для вычисления катета прямоуголь-
ного треугольника, если известны гипотенуза
и острый угол или противолежащий ему угол
и другой катет. Кроме того, в пункте рассмат-
риваются две теоремы о средних пропорцио-
нальных отрезках в прямоугольном треуголь-
нике.
Определяющее место в пункте занимают по-
нятия синуса, косинуса и тангенса острого
угла, которые должны быть прочно усвоены
учащимися.
Одним из умений, приобретаемых учащимися в ре-
зультате изучения этого и следующего пунктов, являет-
ся умение решать прямоугольные треугольники: зная
две стороны или сторону и острый угол прямоугольно-
го треугольника, находить остальные его элементы. Уве-
ренное владение определениями позволит учащимся не
только легко восстановить указанные в учебнике три
правила, по и получить другие следствия (например,
вычислить гипотенузу по катету и острому углу, см.
задачу 26, § 7).
2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать определения синуса итанген-
, , sin а
са острого угла, формулу tg а =--—; уметь
решать задачи на вычисление элементов пря-
моугольного треугольника, воспроизводить в
ходе изучения текущего материала доказа-
тельство теоремы о зависимости синуса и тан-
генса острого угла только от величины угла,
Методические рекомендации
к изучению материала
Г. В определениях синуса, косинуса и тан-
генса острого угла имеются буквенные обо-
значения, которые могут быть опущены. На-
пример (см. с. 82 учебника): «Синусом остро-
го угла называется отношение противолежа-
щего катета к гипотенузе».
Проверить правильность усвоения введен-
ных определений можно с помощью следую-
щих задач:
1. Дан прямоугольный треугольник АВС:
zLA=a, Z_B=$, AC=20 см, ВС=2\ см,
АВ=29 см.
а) Чему равен sin a; cos а; tga?
б) Чему равен sin 0; cos 0; tg 0?
2. Катеты прямоугольного треугольника рав-
ны 3 см и 4 см. Чему равны синусы его ост-
рых углов?
3. Гипотенуза АВ прямоугольного треуголь-
ника равна 10 см, а катет ВС равен 8 см.
Чему равны тангенсы его острых углов?
2°. Сформулированные в учебном пособии
правила, позволяющие по стороне и острому
углу прямоугольного треугольника находить
другие стороны, полезно предложить учащим-
ся вывести, пользуясь определениями синуса,
косинуса и тангенса острого угла. При реше-
нии конкретных задач учащиеся могут поль-
зоваться как полученными правилами, так и
непосредственно определениями.
Учащимся предлагаются следующие задачи:
1. В прямоугольном треугольнике АВС
(Z_C=90°j гипотенуза АВ=Ъ см, sin.4=0,6.
Найдите катет ВС.
2. В ЛАВС Z_C=90°, ВС=10 см, cosB=
5
= Найдите гипотенузу АВ.
3. В прямоугольном треугольнике АВС
Z_C=<dVT, катет BC=\Q см, tgH=2,5. Найди-
те второй катет и гипотенузу треугольника.
3°. Перед доказательством .теоремы о зави-
симости синуса и тангенса угла только от ве-
личины угла полезно заготовить таблицу
(рис. 7).
Доказательство теоремы несложное, оно
не должно вызвать затруднений у учащихся.
При доказательстве в классе можно сделать
несколько более подробные по сравнению
с учебным пособием алгебраические выклад-
ки, их полезно ученикам записать тетради.
ВС У"А&~АСг АВг — АСг
sin a ~ АВ ~~ АВ ~ V АВг ~
В ходе доказательства теоремы появляется
, . 'in o'-
формула tg a = которая в дальнеи-
Н
шем будет использоваться при выводе основ-
ных тригонометрических тождеств, поэтому
учащиеся должны эту формулу запомнить.
4°. В учебном пособии результаты, получен-
ные при решении задачи 31, предлагается ис-
пользовать для доказательства соотношений:
АС = У АВ-AD, ВС = VAB BD,
CD — V AD-BD.
Отметим, что первые два соотношения лег-
че выводятся из равенств, полученных в ходе
доказательства теоремы Пифагора: АС2=
—AB-AD, BC2-AB-BD (см. с, 80 учебного
пособия).
Примерное планирование материала
На изучение пункта отводится три урока.
На первом уроке в классе разобрать оп-
ределение синуса и тангенса острого угла
прямоугольного треугольника, формулы для
решения прямоугольных треугольников, ре-
шить задачи 49(2, 4), 31; дома —вопросы
для повторения 7, 8, задачи 26, 29.
На втором уроке в классе разобрать тео-
ремы о средних пропорциональных отрезках
в прямоугольном треугольнике, решить задачи
9(1), 16, 49(5); дом а — задачи 9(2), 49(3).
На третьем уроке в классе разобрать
теорему о зависимости синуса и тангенса уг-
ла только or величины угла, решить задачу
28, из дополнительных задачу 6, дома — за-
дачи 27, 30.
Указания к решению задач
11. Для построения и доказательства ис-
пользуются теоремы о средних пропорцио-
нальных и то, что вписанный угол, опираю-
щийся на диаметр,— прямой.
] способ. Построение (рис. 8). Пусть для
определенности а>Ь. Отложим на луче А К
отрезки AD—b и АВ=а. Построим на отрез-
ке АВ как на диаметре окружность (факти-
чески достаточно построить полуокружность).
Из точки D проведем отрезок DC, перпенди-
кулярный АВ; С — точка пересечения этого
перпендикуляра с окружностью. АС—иско-
мый отрезок.
П способ. Построение (рис. 8). Отложим на
луче АК отрезок А£) = а и DB=b. Построим
на АВ как на диаметре окружность. Прове-
дем CDJ_AB. Отрезок CD — искомый.
Оба способа решения задачи равноценны. Достаточ-
но разобрать любой из них по усмотрению учителя.
27. Пусть О — центр вписанной окружности
(рис. 9).
Проведем BD.LAC, тогда О £ BD (О — точ-
ка пересечения биссектрис треугольника, а
BD — высота, медиана и биссектриса угла
при вершине равнобедренного треугольника
АВС). Обозначим BD=h, OM=OD — r,
<LABD=a.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВМ;
О.'И = ВО sin firlBO, т. е. г — (й — г) sin а. От-
сюда г = Л=1п_а_ Но из [\ABD sin а =
1 + sin а
== , а по теореме Пифагора
h = BD = V ABi — AD2 =
Подставим полученные значения в выражение
для г:
1Ьг — а‘-а
2^(1+^-)_______
_ а уг — а1_ а , / Л — л
2 (2А -р д) 2 * *6 -р д
28. Задача представляет частный случай
задач 16 и 27 при а—10 см, Ь = 13 см.
Дополнительные задачи
1. Гипотенуза прямоугольного треугольни-
ка равна 10 см. а синус одного из острых уг-
лов равен 0,6. Найдите катеты треугольника.
2. Катет прямоугольного треугольника ра-
вен 3 см, а тангенс противолежащего ему уг-
ла равен 0,75. Найдите второй катет и гипо-
тенузу.
3. Г ипотенуза прямоугольного треугол> ни-
ка равна 13 см, а косинус одного из острых
• 5
углов равен. Найдите катеты треуголь-
ника.
4. Катет прямоугольного треугольника ра-
вен 8 см, а тангенс прилежащего угла равен
— Найдите второй катет и гипотенузу тре-
угольника.
5. Докажите, что хорда есть среднее пропор-
циональное между диаметром, проведенным
через конец этой хорды, и ее проекцией на
диаметр.
6. Докажите, что перпендикуляр, опущен-
ный на диаметр из произвольной точки окруж-
12
ности, есть среднее пропорциональное отрез-
ков, на которые основание перпендикуляра
делит диаметр.
Как пользоваться таблицами синусов,
косинусов и тангенсов (2 ч)
Комментарий для учителя
Г. В учебном пособии на конкретных при-
мерах объясняются правила нахождения си-
нуса и косинуса острых углов с использова-
нием четырехзначных таблиц, а также угла,
если известно значение синуса или косинуса
этого угла.
2°. В результате изучения пункта учащие-
ся должны уметь пользоваться таблицами
для нахождения синуса, косинуса и тангенса
острого угла и обратно для нахождения угла
по значению какой-либо из указанных его
тригонометрических функций; применять по-
лученные умения при решении конкретных
задач,
Методические рекомендации
к изучению материала
Г Прежде всего учитель должен обратить
внимание учащихся на то, что существуют бо-
лее мелкие единицы измерения углов, назы-
ваемые минутами и секундами., Минута — это
одна шестидесятая доля градуса, а секунда —
одна шестидесятая доля минуты. Для обозна-
чения минут используется знак секунды
обозначаются знаком ".
2°. Целесообразно разбить решение зада-
чи 32, приведенное в тексте учебного пособия,
на ряд отдельных задач: нахождение по таб-
лицам 1) синуса острого угла, 2) косинуса
острого угла, 3) угла по его синусу, 4) угла
по его косинусу.
3°. Работа с таблицами для тангенса мо-
жет быть проведена аналогично, например
с помощью следующих заданий:
1. Пользуясь таблицами, найдите tg 34°,
tg 34°24', tg 34°26', tg 34°29'.
2. Найдите угол х, если tgx—0,5867, tgx=
=0,5845, tgx=0,5877.
Примерное планирование изучения материала
Материал пункта рассчитан на два урока.
На первом уроке рекомендуется в классе
разобрать устройство таблиц для синуса и ко-
синуса, решить задачи 32(1, 2), 45(2а, За);
дома — вопросы для повторения 9, 10 (час-
тично), задачи 33, 34, 45(26, 36).
На втором уроке в классе разобрать уст-
ройство таблиц для тангенса, решить задачи
41, 42, 45 (1а, 4а); дома —вопросы для по-
вторения 9, 10, задачи 35, 36, 45(16, 46).
Указания к решению задач
39. Проведем ОЕ I CD (рис. 10). В тре-
угольнике ODE ОЕ ~ AD = 13, DE =
= ~ CD = 6,2. Тогда tg EOD = Щ ~
0,4769s, х/^°£)~25о30', £COD^51°.
Заметим, что в учебном пособии не давалось опреде-
ление угла между двумя прямыми. Поэтому можно по-
лучить, кроме вышеуказанного, еще и значение угла,
смежного с ннм, т. е. 129°. Оно получится, в частности,
если рассматривать не AOED, a АОАМ.
43. Надо найти угол В (рис. 11).
s Вычисления выполняются с 4 десятичными знаками
в соответствии с таблицами.
По поводу изучения материала
§ 7 «Теорема Пифагора»
Ф. М. Барчунова
(Москва)
В нашем журнале начиная с № 3 печатаются
материалы «К началу обучения геометрии
в VII классе по новому учебному пособию».
В данном номере такой материал дается
по § 7.
Авторы статьи правильно указывают, что
материал параграфа традиционен для любого
курса геометрии; необычно лишь его место
в курсе. Более раннее введение теоремы Пи-
фагора расширяет круг задач, которые могут
решать учащиеся, а вместе с признаками ра-
венства треугольников этот материал является
мощным аппаратом при решении задач. Так,
говорится о значимости теоремы Пифагора.
И это безусловно верно.
Однако большую часть в данном парагра-
фе занимают вопросы, связанные с тригоно-
метрическими функциями острого угла (тер-
мина этого нет). Но ни во введении, ни в ком-
ментариях к пунктам ничего не говорится
о значении рассматриваемого здесь материа-
ла, а оно очень велико, и это можно и нуж-
но показать ученикам.
<3
Так, перед введением понятия косинуса
острого угла прямоугольного треугольника
полезно провести с учащимися беседу. Преж-
де всего надо вспомнить, что из курса геомет-
рии VI класса учащиеся знакомы с одним со-
отношением между некоторыми основными
элементами треугольника — теоремой о сум-
ме его углов. Пользуясь этим равенством,
можно найти угол треугольника, зная два дру-
гих. Но такого рода соотношений между сто-
ронами и сторонами и углами не было (соот-
ношения между сторонами и углами, выра-
женные в теоремах 3.3 и 3.4, нельзя записать
в виде равенства). Вообще, трудность состав-
ления равенства, которое связывало бы сторо-
ны треугольника с его углами и позволяло
бы, зная одни элементы, находить другие,
в том, что стороны выражаются линейными
единицами, а углы — градусами.
По какому же пути идти при решении ука-
занной задачи? Этот путь состоит в отыска-
нии «полномочного представителя» угла, а
именно такого, который зависел бы только от
угла и не выражался бы в градусах, т. е. был
бы просто числом и в то же время определял
бы этот и только этот угол. Его-то и можно
ввести в равенство, содержащее стороны тре-
угольника.
Эта задача и решается в § 7 для прямо-
угольного треугольника. В первом пункте вво-
дится понятие косинуса острого угла прямо-
угольного треугольника, и в теореме 7.1 до-
казывается, что он зависит только от градус-
ной меры угла.
Затем решается задача (1) на построение
угла по заданному значению косинуса. Ее зна-
чение должно выйти за рамки просто «умения
построить угол». Надо сделать «вывод», что
для данного числа такой угол единственный
(можно сказать учащимся, чго это будет до-
казано в конце VII класса). Вывод очень важ-
ный, иначе нельзя говорить о том, что cos а —
«полномочный представитель» угла а.
В ходе решения (с помощью линейки и цир-
куля) этой задачи на построение (задача
21(1) из § 5), известной учащимся из курса
геометрии VI класса, они, конечно, заметят,
что cos а должен быть числом, меньшим 1,
иначе треугольник построить нельзя. Доказа-
тельство этого утверждения дано в учебном
пособии как следствие теоремы Пифагора,
т. е. в следующем пункте. Доказав теорему
Пифагора, мы получаем равенство, связываю-
щее стороны прямоугольного треугольника, и
появляется возможность, зная две стороны
его, находить третью.
Таким образом, введение понятия косинуса
острого угла позволило рассмотреть теорему
Пифагора значительно раньше, чем в преж-
них курсах геометрии. Однако не менее важ-
ные соотношения мы получаем в следующем
пункте «Соотношения между сторонами и
углами в прямоугольном треугольнике». Имен-
но здесь показано, как решена та трудная за-
дача, о которой мы говорили перед введени-
ем понятия косинуса острого угла. Получены
соотношения между сторонами и углами пря-
моугольного треугольника, которые в учебном
пособии сформулированы в виде трех правил,
позволяющих по стороне и острому углу на-
ходить остальные стороны или по двум сто-
ронам находить острые углы треугольника.
Таким образом, для прямоугольного тре-
угольника теперь известны пять соотношений:
сумма острых углов его равна 90°, теорема
Пифагора и три равенства, о которых гово-
рилось выше.
Если об этом рассказать учащимся в ито-
говой беседе по теме «Соотношения между
сторонами и углами в прямоугольном тре-
угольнике», то им будет понятно, какое важ-
ное значение имеет теорема 7.1 и что она не
является просто вспомогательной теоремой
для доказательства теоремы Пифагора.
О доказательствах
третьего признака равенства
треугольников и теоремы
о сумме углов треугольника
П. М. Олпиичев
(г. Винница)
Пожалуй, сейчас нет учителя, работающего
в VI классе по пособию А. Е Погорелова, ко-
торый бы не задумался над вопросом: почему
в пособии не приводятся традиционные и как
будто бы более простые, чем предложенные
автором, доказательства названных теорем?
Приведем «традиционные» доказательства
этих теорем., придерживаясь уровня строго-
сти, принятого в пособии А В. Погорелова.
Третий признак равенства треугольников
Доказательство Пусть САВ и
два треугольника, у которых AB=^AtBit
АС=А]С], BC=BiC\ (рис. 1). Докажем, что
эгч треугольники равны.
По аксиоме существования треугольника,
равного данному, найдется треугольник
СъА^В], равный треугольнику САВ. у которо-
го вершина С2 лежит в другой полуплоскости
относительно прямой чем вершина С|.
Отрезок С|С2 пересечет прямую 4|В, в неко-
торой точке Р. Точка Р может оказаться меж-
ду точками Ai и Bit совпасть с одной из них
или пежать по разные стороны с одной из
этих точек относительно другой. При этом
14
всякий раз угол А^В) будет равен углу
/]С2В[. В < амом деле, при первом располо-
жении луч С\Р пройдет между сторонами уг-
ла Д1С1В[ и по аксиоме измерения углов
/LAiC^P Z_PC]Bi — /LAiClBl. Аналогично,
Z-AlC2P-\-/LPC2Bl=Z_AiC2Bl. Из равнобед-
ренных треугольников CiAtC2 и CiBiC2 сле-
дует, что углы из левых частей записан-
ных равенств соответственно равны, значит,
/_Л1С'1/?1=/_Л1С2В1, и поскольку A[Cj — AtC2
и BlCl=BiC2, то по I признаку равен-
ства треугольников A = AC2A]Bb Но
ЛС2Л1В1 = ДСДВ, поэтому ДС.<4В=ЛС1А1В1.
При втором расположении образуется лишь
один равнобедренный треугольник и рассуж-
дение упрощается. При третьем расположе-
нии рассуждение повторяется с той лишь раз-
ницей, что взамен суммы углов рассматри-
вается их разность
Какое же из доказательств предпочтитель-
нее? «Традиционное» доказательство может
быть несколько длиннее, и в нем приходится
учитывать 3 случая. Но во многом оно и вы-
игрывает. Во-первых, идея «традиционного»
доказательства проще и легко запоминается:
следует приложить один треугольник к дру-
гому и сравнить углы при вершинах; во-вто-
рых, в пособии используется доказательство
от противного, в котором обнаруживающееся
противоречие в расположении точек и прямых
с трудом воспринимается шестиклассниками.
Теорема о сумме углов треугольника
Доказательство этой теоремы в пособии
А. В. Погорелова простое и основано на хо-
рошо усматриваемой идее «вмещения» тре-
угольника в параллелограмм. Остается выяс-
нить- не проще ли «традиционное» доказа-
тельство, основанное на идее «вмещения» уг-
лов треугольника в развернутый угол при его
вершине?
Доказательство. На рис. 2 указаны
необходимые обозначения.
1. Проведем через вершину В прямую б,
параллельную прямой а (задача (3) из пре-
дыдущего пункта), считая при этом углы
Р\ВА и ВАС равными внутренними накрест
лежащими углами (/_f\BA =Z_BAC=u).
Поэтому точки Р\ и С лежат в разных полу-
плоскостях относительно прямой ВА. Значит,
отрезок PjC пересекает прямую ВА, точнее,
луч ВА, так как точки А и С лежат в одной
полуплоскости относительно прямой бив той
же полуплоскости лежат отрезок Р\С и луч
ВА. Отсюда и из аксиомы измерения углов
получаем, что и<0, где $=/LP\BC.
2. Теперь докажем, что точки А и Р2 лежат
в разных полуплоскостях относительно пря-
мой ВС. Углы Р2ВА и Р2ВС как лежащие в
одной полуплоскости и смежные соответствен-
но с углами Р^ВА и Р\ВС связаны неравен-
ством Z_P2BC<Z_P2BA. Но тогда луч ВС про-
ходит между сторонами угла Р2ВА (теоре-
ма 2.4) и, следовательно, пересекает отре-
зок АР2. Значит, точки Р2 и А лежат в раз-
ных полуплоскостях относительно прямой ВС
и углы АСВ и СВР2 как внутренние накрест
лежащие углы при а\\Ь и секущей ВС равны.
В итоге углы треугольника АВС «заполня-
ют» развернутый угол при вершине В, и поэ-
тому сумма углов треугольника АВС равна
180°.
Вторую часть доказательства можно осуще-
ствить от противного.
2'. Примем, не нарушая общности, что
Z_ACB^ZZ_BAC. Угол АСВ с одним из смеж-
ных углов PjBC или Р2ВС образует пару
внутренних накрест лежащих углов. Если та-
ким углом был бы угол Р{ВС, то Z_ACB=
—ZjPiBC=$^Z_BAC=a, т. е. (З^а, что
противоречит выводу из (1). Остается при-
знать, что углы Р2ВС и АСВ — внутренние
накрест лежащие и поэтому равны.
Как видно, «традиционное» доказательство
не является более простым доказательством,
но конкурировать с доказательством из посо-
бия оно может.
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ ПО ПРОФОРИЕНТАЦИИ
И ПРАКТИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ
Производственные задачи
в школьном курсе математики
Я. Е. Жак
(Волгоград)
Основным средством формирования навыков
практического применения математических
методов в процессе обучения математике в
школе служит, как известно, решение дидак-
тических задач, связанных с текущим про-
граммным материалом. Нельзя, однако, недо-
оценивать значения для учащихся средней
школы знакомств с различными прикладны-
ми задачами и в особенности с теми из них,
которые связаны с потребностями обществен-
ного производства. Условимся называть такие
К
задачи производственными. Как показывает
опыт, решение производственных задач не
только способствует формированию навыков
практического применения математики, но
при некоторых условиях оказывает заметное
воспитательное воздействие на учащихся, по-
вышает их интерес к изучению самого пред-
мета.
Такой эффект могут вызвать, например, за-
дачи на нахождение гидравлически наивыгод-
нейшего профиля различных несудоходных
каналов, связанные с применением теории
экстремумов (Математика в школе, 1980,
№ 6, с. 31). Все специальные понятия, ис-
пользуемые в этих задачах, легко определяе-
мы и вполне доступны учащимся. Таковы, на-
пример, понятия живого сечения канала (се-
чение потока жидкости, перпендикулярное на-
правлению движения), смоченного периметра
(подводная часть периметра канала), гидрав-
лически наивыгоднепшего профиля (живое
сечение заданной площади с наименьшим смо-
ченным периметром).
Доступны учащимся и их математическое
моделирование и решение. Математическое
моделирование каждой такой задачи сводит-
ся к выражению смоченного периметра как
функции одного из элементов живого сечения,
довольно легко исследуемой на минимум.
Результаты решения названных задач непо-
средственно используются в практике проек-
тирования каналов (в качестве расчетных
формул), и это обстоятельство не может не
способствовать появлению интереса к ним со
стороны обучаемых.
Важную роль с точки зрения воспитатель-
ного воздействия играет получаемая учащи-
мися информация по поводу общественных
выгод, извлекаемых из решения гидротехниче-
ских задач,— обеспечение наибольшей про-
пускной способности канала, наименьших за-
трат на его содержание и некоторых других
выгод.
То же самое следует сказать и об одном
типе задач, связанных с проектированием
мостов и требующих для решения лишь прос-
тейших приложений понятия производной.
Имеются в виду мосты, профиль которых
очерчен двумя прямыми, наклоненными к го-
ризонту под наибольшим углом (1°—2°) и со-
пряженными в заданных точках с дугой пара-
болы (в целях создания благоприятных усло-
вий для водоотвода). Переход от прямолиней-
ных участков к параболическому должен быть
плавным, что необходимо для нормальной
эксплуатации моста. Обеспечение указанных
требований (способствующих, очевидно, и
большей долговечности моста) определяет об-.
Шественные выгоды от практического исполь-
зования результатов решения задачи.
В данном случае мы встречаемся с редким
примером производственной задачи, изложе-
ние которой не требует привлечения специаль-
ных понятий. Выгодно отличает ее и простота
математического моделирования, сводящего-
ся к нахождению уравнения параболы вида
y=kx2.
Учащимся сообщается, что полученный при
решении задачи результат используется как
расчетная формула при проектировании мос-
тов, профиль которых содержит дугу парабо-
лы (см.: Математика в школе, 1980, № 2,
с. 38).
Условимся говорить, что задача, адресован-
ная школьнику при обучении математике, яв-
ляется эффективной (точнее — потенциально
эффективной) производственной задачей, ес-
ли выполняются следующие требования.
а) Результаты решения задачи фактически
используются в общественном производстве,
причем учащийся может получить простей-
шее представление о специфике их примене-
ния и извлекаемой общественной выгоде.
б) Постановка задачи, ее математическое
моделирование и решение вполне доступны
пониманию учащихся.
в) Продолжительность изложения задачи
не превышает 15—20 мин.
Требование а) определяет не только сам
статус производственной задачи, но в значи-
тельной мере и отношение к ней учащихся.
Условие б) предполагает, в частности, что все
используемые в задаче специальные понятия
должны быть или известны учащимся, или ин-
туитивно ясны, или легко определяемы. Су-
щественные нарушения требования в) могут
создавать серьезные препятствия для выпол-
нения учебной программы и в определенной
мере снижать интерес к задаче.
Результат знакомства учащихся с эффек-
тивной производственной задачей во многом
зависит от того, насколько их увлекла сама
постановка задачи, насколько убедительной
и впечатляющей показалась им информация
учителя о ее практической значимости. К со-
жалению, такая информация нередко носит
чисто формальный характер и сводится лишь
к констатации фактов, тогда как в ряде слу-
чаев этим фактам можно дать достаточно
простое обоснование.
Предположим, к примеру, что учащихся
IX класса знакомят с задачей на нахождение
гидравлически наивыгоднейшего профиля тра-
пецеидального канала (имеющего живым се-
чением равнобочную трапецию; см. рис. 1).
Информацию по поводу общественных выгод,
которые дают результаты решения задачи,
многие преподаватели математики ограничи-
вают сообщением такого содержания:
16
«С помощью теоретических расчетов и экс-
периментов установлено, что из всех каналов
с заданной площадью живого сечения наи-
большую пропускную способность и наимень-
шую фильтрацию имеют каналы с наимень-
шим смоченным периметром» (Математика в
школе, 1980, № 6, с. 31).
Между тем хорошо известно, что истин-
ность указанных фактов устанавливается с
помощью довольно элементарных соображе-
ний Трение о дно и стенки канала, количест-
во просачивающейся через них воды, расходы
на содержание канала пропорциональны пло-
щади соприкасающейся с водой поверхности.
Поэтому минимум этой площади обусловли-
вает наименьшее трение (а следовательно,
наибольшие скорость течения и пропускную
способность), наименьшую фильтрацию, наи-
меньшие расходы на содержание канала. Это
обстоятельство позволяет привлечь учащихся
к обоснованию преимуществ каналов с гид-
равлически наивыгоднейшим профилем и тем
самым повысить их интерес к задаче.
Повышению познавательной активности уча-
щихся способствует также их участие в рас-
смотрении различных вариантов задачи: для
каналов, выполненных в естественном грунте,
и для каналов облицованных. В первом слу-
чае угол ср заложения откоса задается в за-
висимости от типа грунта, и смоченный пери-
метр и = |ВС|+2|АВ| (рис. 1) целесообраз-
но выразить как функцию глубины h напол-
нения канала; во втором случае задается глу-
бина h, а величина и выражается как функ-
ция угла ср, причем оказывается, что минимум
этой функции достигается при
Изложение производственной задачи усваи-
вается учащимися лучше и оказывает на них
большее воспитательное воздействие, если оно
имеет следующую структуру: первая часть
изложения (введение) посвящается постанов-
ке производственной проблемы (здесь же
естественно дается и описание- используемых
специальных понятий), вторая часть сводится
к формулировке задачи (четкой и достаточно
краткой), третья и четвертая части содеожат
математическое моделирование, решение за-
дачи, конкретную информацию о том, как и
где используются полученные результаты
Иногда, в зависимости от специфики задачи
информация о производственной значимосп
задачи, о конкретном использовании получен-
ных результатов перераспределяется между
первой и четвертой частями изложения.
Заметим, что математическое моделирова
ние некоторых производственных задач опи
рается на соотношения, известные учащимся,
но в ряде случаев оно основывается на зави-
симостях, которые невозможно установить в
рамках школьной программы. Это, однако,
как свидетельствует опыт, не снижает инте-
реса учащихся к эффективной производствен-
ной задаче, поскольку указанные зависимости
должны быть достаточно просты, а описывае-
мые ими понятия — интуитивно ясными (как,
например, понятие прочности балки).
Приведем несколько примеров рассмотри
ния на уроках эффективных производствен-
ных задач, отвечающих указанной структуре.
1. Задача на изготовление прямоугольного
металлического сосуда заданной емкости, тре-
бующего наименьшего расхода металла
В пищевой, химической и других отраслях
промышленности в огромных масштабах ис-
пользуются металлические сосуды, имеющие
форму прямоугольного параллелепипеда (вы-
бор такой формы сосудов позволяет более ра-
ционально использовать производственные и
складские площади). По технологическим со-
ображениям эти сосуды изготовляются с за-
данным отношением k высоты сосуда к одно-
му из размеров основания. Из соображений
экономии требуется, чтобы при изготовлении
сосудов заданной емкости расход металла,
а вместе с ним и расход эмалей, лаков, кра-
сок, широко применяющихся в качестве по-
крытий, был возможно меньшим.
В силу сказанного важное практическое
значение приобретает такая задача:
Каковы должны быть размеры прямоуголь-
ного сосуда заданной емкости V с заданным
значением величины k, чтобы расход металла
на его изготовление был наименьшим?
Решение. Если расход металла на шьы
не учитывать, а толщину стенок, дна и крыш-
ки считать одинаковой, то за параметр, опре-
деляющий расход металла на изготовление
сосуда, можно принять площадь S его по-
верхности.
Обозначив' размеры сосуда через х, у, z и по-
ложив -у- = /г, получим
где
а = 2£,
t к-
Легко установить, что функция S имеет наи-
3/~У
меньшее значение при У = Уо= У 2а~ и что
решение задачи дается формулами
— 'v — у/ 4kV
Х° ~ увг0 ~~ V (k + 1)2 ’
O V i и г
J0 Г 2k2 ’ z° ’ 2
Если учесть, что прямоугольные сосуды раз-
личной емкости производятся в стране в ог-
ромных количествах, становится очевидным,
что отступление от оптимальных размеров
приводит к значительным убыткам.
2. Задача на вырезание из круглого бревна
прямоугольной стойки наибольшей прочности.
Еще сравнительно недавно в качестве
строительных конструкций широко применя-
лись стойки прямоугольного сечения (выре-
заемые из круглых бревен) — колонны в де-
ревянных домах, опоры в междуэтажных пе-
рекрытиях, стойки в деревянных мостах и т. д.
Они нередко используются и в наше время,
особенно в сельском строительстве. Естествен-
но, что стойка, как и всякая другая строитель-
ная конструкция, должна иметь возможно
большую прочность, т. е. способность выдер-
живать большие нагрузки, не разрушаясь.
Поэтому важное практическое значение при-
обретает следующая задача.
Из круглого бревна данного сечения выре-
зается прямоугольный брус, используемый как
стойка. Каковы должны быть размеры сече-
ния стойки, чтобы она имела наибольшую
прочность при центральном нагружении (т. е.
по центру тяжести сечения)?
Решение. Установлено теоретически и
подтверждено экспериментами, что прочность
стойки при центральном нагружении прямо
пропорциональна площади ее сечения. Поэто-
му приведенная инженерная задача сводится
к хорошо известной школьникам математиче-
ской задаче
Найти прямоугольник наибольшей площади,
вписанный в данную окружность (Алгебра
и начала анализа 9—10, № 429).
Максимум площади достигается, как извест-
но, если прямоугольник является квадратом
Таким образом, наибольшую прочность (при
центральном нагружении) имеет стойка квад-
ратного сечения.
Очевидно, что такая стойка дает еще одну
выгоду: при ее вырезании количество отходов
наименьшее.
3. Задача на нахождение оптимального за-
полнения трубы, «работающей неполным сече-
нием».
В системах орошения, в канализационных
сетях и некоторых других сооружениях часто
используются круглые трубы, работающие
при частичном заполнении сечения (в этом
случае говорят, что труба «работает непол-
ным сечением»). На входе такой трубы
(а иногда на некоторых других участках)
устанавливают подвижной щит S (рис. 2), ко-
торый, закрывая собой определенный сегмент
сечения трубы, регулирует ее пропускную спо-
собность и скорость течения. Нередко при
эксплуатации тр^бы возникает вполне понят-
ная заинтересованность в достижении наи-
больших значений этих величин. Поэтому су-
щественное значение приобретает следующая
задача:
Найти, при каких положениях щита S (ина-
че говоря, при каких заполнениях трубы)
пропускная способность трубы и скорость те-
чения наибольшие.
Ограничимся здесь нахождением ответа на
второй вопрос задачи. Ее математическое мо-
делирование основано на использовании соот-
ношения
2
где v — скорость течения, го — площадь запол-
няемого сегмента, и — длина соответствую-
щей дуги, С — константа, зависящая от диа-
метра трубы, ее уклона и шероховатости сте-
нок (см.: Чугаев Р. Р. Гидравлика.— Л.: Энер-
гия, 1975, с. 219).
Если R — радиус круга, а — центральный
угол, соответствующий дуге АгпВ (рис. 2), то,
пользуясь формулами длины окружности, пло-
щади кругового сегмента и соотношением
(1), получим
Z
= (2)
Таким образом, инженерная задача сводит-
ся к математической задаче — исследованию
на максимум функции
f(a)= 1 - Q<a<2ir, (3)
поскольку экстремумы функций (2) и (3) до-
стигаются при одних и тех же значениях а.
Легко установить, что функция (3) принима-
ет наибольшее значение при а, равном корню
уравнения tga=a. Его целесообразно решать
графически (тем более, что большой точно-
сти в данном случае не требуется). Получим
а «4,5 («258°).
Наибольшая пропускная способность трубы
достигается при а «5,3 («304°). Это уста-
навливается на основе изучения зависимости
5
1 —sina) 3
Q = va> = — CR-------
а3
приводящей к исследованию на максимум
функции
18
0^а<2к.
7 5
Нетрудно проверить, что наибольшее зна-
чение эта функция принимает при а, равном
корню уравнения
3 з 4- 2 sin а — За cos а == 0. или
3. г-» sin о р
+ 2------= о cos а,
3
которое довольно просто решается графиче-
ски. Полученный результат часто использует-
ся в практике орошения.
Интерес школьников к эффективным произ-
водственным задачам повышается, если их ре-
шения связаны непосредственно с изучаемым
материалом.
Выявление эффективных производственных
задач (рассчитанных на школьников) пред-
ставляет собою весьма актуальную, но до-
вольно сложную проблему, поскольку она свя-
зана с удовлетворением целого ряда жестких
требований. Именно поэтому запас производ-
ственных задач, которые мог бы взять на
вооружение учитель математики, пока еще
весьма ограничен. Проблема формирования
достаточного запаса эффективных производ-
ственных задач для Школьного курса матема-
тики может быть успешно решена, если к это-
му важному делу будут привлечены ученые,
работающие в прикладных областях матема-
тики. преподаватели вузов, если будет исполь-
зован опыт, накопленный учителями матема-
тики.
О повышении уровня
вычислительных умений учащихся
старших классов
С С. Минаева
(Москва)
Согласно программе по математике вычисли-
тельная подготовка школьников включает
овладение способами вычислений с многознач-
ными числами (I—IV классы), с обыкновен-
ными и десятичными дробями (IV—V клас-
сы), с приближенными значениями величин
(VII—VIII классы). В восьмилетней школе
наряду с навыками выполнения устных и
письменных вычислений рассматриваются
приемы работы с таблицами, логарифмиче-
ской линейкой, электронным калькулятором.
Это означает, что в соответствии с програм-
мой к IX классу учащиеся должны овладеть
определенным уровнем вычислительной куль-
туры, дальнейшее развитие которой будет
вестись в направлении формирования более
сложны х умений. К ним относятся умения
спланировать вычислительную работу, орга-
низовать необходимые вычисления и выпол-
нить их, используя подходящие вычислитель-
ные средства.
Однако контрольные опросы учащихся,
письменные контрольные работы по алгебре
и началам анализа, геометрии, физике, химии,
другим учебным предметам показывают недо-
статочный уровень развития вычислительных
умений старшеклассников.
При обучении в старших классах встре-
чаются все виды вычислений: устные, пись-
менные, с помощью таблиц, логарифмической
линейки, электронного калькулятора. Каждый
из них применяется в сочетании с другими
в зависимости от сложности вычислительной
части заданий. Существенно то, что затрудне-
ния в вычислениях отвлекают учащихся от
понимания изучаемого материала, т. е. факти-
чески мешают учиться.
Иногда учащиеся не могут выполнить пре-
образование, решить уравнение или неравен-
ство, построить график функции, воспроизве-
сти теоретические выкладки из-за того, что
допускают ошибки в простейших устных вы-
числениях.
Так, при отыскании производных функций
.X-6 , л3 , —и т. п. некоторые неправиль-
у х
но выполняют действия с целыми числами и
обыкновенными дробями. При решении ирра-
ционального уравнения (например, 4f3—х—
= 5х—6), где целесообразно часть вычисле-
ний выполнять устно, учащиеся затрудняют-
ся при возведении чисел в квадрат, при умно-
жении и сложении чисел, в прикидке знака
значения числового выражения.
Важность владения устными вычислениями
не ослабевает даже в работе с калькулято-
ром, так как они окажутся полезными для
прикидки ожидаемого результата, для ускоре-
ния работы при устном выполнении некоторых
операций.
Эти факты говорят о необходимости уси-
ления внимания учителей к совершенствова-
нию вычислительных навыков учащихся стар-
ших классов.
Приведем ряд рекомендаций, которые помо-
гут учителю организова гь эту работу на уро-
ках алгебры и начал анализа.
При знакомстве учащихся с новым материа-
лом важно сосредоточить их внимание на су-
ти изучаемого вопроса. Этому способствует
устранение отвлекающих факторов, в частно-
сти громоздких вычислений. При ввёдении
новых понятий, подведении к новым утверж-
дениям, при рассмотрении примеров только
что изученной теории целесообразно ограни-
19
читься минимально необходимыми вычисли-
тельными выкладками. Только по мере усвое-
ния учащимися учебного материала могут
вводиться упражнения, требующие более
сложных вычислений.
Так, при отработке алгоритма отыскания
экстремумов функции желательно обращать-
ся к упражнениям, требующим незначитель-
ных вычислений, легко выполняемых устно.
Например, при нахождении экстремумов
функции
у= ^--2хг +3x4-1
легко вычислить устно критические точки и
экстремумы функции. Исследование функции
у=х4—2х2+5 на отрезке [—2; 3] потребует
несколько более сложных вычислений, кото-
рые также выполняются устно. При решении
задач на приложения производной встречают-
ся вычисления, выполняемые письменно или с
помощью доступных вычислительных средств.
В целях экономии учебного времени неко-
торые учителя отказываются от завершения
па уроке работы, связанной с получением чис-
лового результата. Это может отрицательно
сказаться не только на вычислительных уме-
ниях учащихся, но и на отношении к выпол-
няемой работе. Для разгрузки вычислитель-
ной работы в классе можно поручить уча-
щимся подготовить некоторые предваритель-
ные расчеты дома. Тем самым учитель смо-
жет не только обеспечить полное решение за-
дачи, но и проконтролировать уровень вы-
числительных умений отдельных учащихся.
Так, для построения графика функции
[(х)=х3—4х2+3х потребуется найти точки
экстремума, отыскание которых сводится к
решению уравнения Зх2—8x4-3=О и вычис-
лению значений функции при найденных Х[
и х2. При этом могут возникнуть значитель-
ные вычислительные трудности. Поэтому ес-
ли задание предполагается выполнять на уро-
ке, то с целью экономии учебного времени
рекомендуется предусмотреть в домашней ра-
боте индивидуальные задания к данному уро-
ку: одному учащемуся можно поручить найти
корчи уравнения Зх2—8х4-3 = 0 с точностью
до 0,1 (х,^2,2; х2~0,5), другому — вычис-
лить значения функции /(х)=х3—4х24-3х в
точках х=2,2 и х=0,5 с точностью до 0,1
(/(2,2) «—2,1; /(0,5) «0,6), нескольким уча-
щимся можно поручить вычислить значения
рассматриваемой функции в заданных точках
для возможной коррекции графика.
Наряду с упражнениями, имеющимися в
учебнике, целесообразно предлагать учащим-
ся ряд новых заданий для иллюстрации
приемов решения вычислительных задач. В хо-
де их выполнения учащиеся смогут проявить
вычислительные умения и приобрести новые.
Однако чрезмерное увлечение такими зада-
ниями может привести к неоправданной затра-
те учебного времени, что нанесет ущерб изуче-
нию всего курса в целом. Поэтому отбор по-
добных заданий для решения в классе
должен производиться в рамках рассмотре-
ния программных вопросов. Приведем пример.
В учебном пособии «Алгебра и начала ана-
лиза 9—10» под ред. А. Н. Колмогорова при
выводе формулы Ньютона — Лейбница пока-
зано, что площадь криволинейной трапеции
может быть найдена приближенно суммиро-
ванием площадей прямоугольников, запол-
няющих определенным образом криволиней-
ную трапецию. Для подтверждения этого тео-
ретического факта представляет интерес рас-
смотрение конкретного примера. Здесь жела-
тельно обратить внимание учащихся на то,
что рассматриваемый подход к вычислению
интеграла известен в вычислительной матема-
тике как метод прямоугольников
Пусть, к примеру, требуется вычислить зна
чение интеграла 1 —Xs dx методом пря-
о
моугольников, разбивая отрезок на 10 рав-
ных частей. Точками разбиения будут: Хо=О;
х, = 0.1; х2=0,2; х3=0,3; ...; хэ=0,9; xw=l.
Согласно формуле
(f (х0) + f (х0 4- ... + f (хидН)),
рассмотренной на с. 183 учебного пособия,
имеем
Si «г 0,l(ZF+ /0Д9 4- ZF96 4- Zb^T +
4- VW I- Zb,75 4- VOJ54 4- Zb^T +
4- Zb?36 4- Z(M9) 0,1 (1,00 4- 1,0U 4- 0,98 +
4- 0,95 + 0,92 4- 0,87 4- 0,80 4-0,71 4-
+ 0,60 4-0,44)^.0,83.
Если же вычисления провести по формуле
S2~—-— (/(-Ч) + f(x2) + ... + /(х„)),
то получим
S2m 0,1 (Zb^9 + Z6^6 + Z(X9l + Z 0^4 +
+ Z0J5 + Zb,64 + Zb^T + Zb^6 +
+ Zbj9 + Zo) ^0,1 (1,00 + 0,98 + 0,92 +
+ 0,87 + 0.80 + 0.71 + 0,60 + 0,00)«; 0,73.
Геометрически ясно, что площадь в первом
случае найдена с избытком, а во втором — с
недостатком, поэтому значение интеграла
можно получить как среднее арифметическое
первого и второю результатов:
Z1 - x2dx^ .°-’—= 0,78.
20
Следует заметить, что рассматривалась пло-
щадь криволинейной трапеции, ограниченной
кривой у = V 1—х1 и осями координат, т. е.
площадь четверти круга с радиусом, равным
1, которая, как известно, равна ~0,785 .
Используя знание этого факта, можно пред-
ложить учащимся вычислить погрешности по-
лученных результатов.
Выполнение подобных заданий потребует
от учащихся умений составить план проведе-
ния вычислений, в соответствии с ним выпол-
нить вычисления, используя при необходимо-
сти доступные вычислительные средства, оце-
нить точность результатов, проверить правиль-
ность ответа.
Задания на вычисление интеграла методом
прямоугольников или методом трапеций (на-
пример,
9 i з
t.-™^0,76; (—^1,12')
J х + 2 J x2 + 1 J x J
I 0 1
можно использовать при организации группо-
вой работы учащихся. Целесообразно также
большую по объему, но однородную по труд-
ности вычислительную, работу распределять
между отдельными учащимися или их группа-
ми Если же одно и то же задание выпол-
няется разными способами, то такое распре-
деление позволит сравнить результаты, а так-
же подвести итог выполнения задания. Так,
по группам целесообразно организовать вы-
числение интеграла, значение которого может
быть найдено как по формуле Ньютона —
Лейбница, так й приближенными методами.
В старших классах получают дальнейшее
развитие умения в организации вычислений.
Учащиеся должны уметь обращаться с вычис-
лительными таблицами и калькулятором, при-
менять их в вычислениях с учетом требова-
ний к точности итоговых результатов, выпол-
нять проверку вычислений, поэтому в системе
упражнений следует предусмотреть задания
на отработку соответствующих навыков.
Для активизации работы с вычислительны-
ми (аблицами и калькулятором часть зада-
ний из учебного пособия «Алгебра и начала
анализа 9—10» может быть дополнена. Так,
упражнения на отыскание производных (на-
пример, 263, 638, 642, 653, 655, 1240) могут
быть дополнены требованием вычислить зна-
чения производных в заданных точках; уп-
ражнения на исследование функций (напри-
мер, 334, 389, 1248) целесообразно завершить
схематическим изображением графика функ-
ции, корректируя его отысканием значений
функции в некоторых точках.
Do внеклассной работе учащиеся могут
быть ознакомлены с доступными для их воз-
раста методами вычислительной математики.
При рассмотрении вопросов, связанных с вы-
числением значений многочленов и функций,
с поиском корней уравнений, предоставляет-
ся возможность показать учащимся характер-
ные особенности методов вычислительной ма-
тематики. Рекомендуется обратить их внима-
ние на следующий факт: вычислительный ме-
тод всегда разрабатывается для решения
задач определенного типа, но в силу своей
общности он применяется к решению и дру-
гих вопросов, т. е. круг его применения рас-
ширяется; с другой стороны, для решения кон-
кретной задачи может быть использовано не-
сколько уже разработанных методов, а поэто-
му из них выбирается наиболее эффективный.
Для работы в кружках рекомендуется сле-
дующая литература:
Виленкин И. Я. Метод последовательных приближе-
ний.— М. Наука, 1968.
Пулькин С. П. Вычислительная математика- Пособие
для учащихся IX—X классов по факультативным заня-
тиям.— М.: Просвещение, 1974.
Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о при-
кладной математике.— М.: Наука, 1979.
Из опыта составления задач
с профессиональной ориентацией
3. А. Магомеддибирова
(с. Карата, ДагАССР)
Учитель математики сельской школы призван
проводить разнообразную работу со школьни-
ками с целью ориентировать их на массовые
нужные селу и району профессии. Опыт пока-
зывает, что такая форма учебной работы, как
составление и решение задач, подсказанных
проблемами сельского труда и быта, вызы-
вает повышенный интерес учащихся. Задачи,
которые отражают особенности знакомых уча-
щимся профессий, целесообразно составлять
каждому учителю математики с учетом мест-
ных условий, постепенно вовлекая в это дело
и самих учащихся.
Полезные данные для составления задач
могут дать комплексные экскурсии, разного
рода справочники и сообщения периодиче-
ской печати.
Решение таких «фабульных» задач не долж-
но вызывать перегрузки учеников. Поэтому
целесообразно предлагать их в качестве до-
полнительных, не обязательных для решения
всеми учащимися, или иногда заменять ими
некоторые задачи учебника. В своей практике
мы в основном рассматривали их на кружко-
вых занятиях по интересам.
Эти занятия проходили не по какой-либо
определенной учебной теме, а по профессио-
21
иалыюму принципу. На них иногда приглаша-
лись представители массовых профессий, ро-
дители учащихся
Обычно циклы таких занятий завершаются
выпуском математической газеты «Математи-
ка в моей будущей профессии». В ней поме-
щаются наиболее оригинальные задачи, со-
ставленные учащимися, сочинения ребят, пуб-
ликуются интервью, взятые у родителей
учащихся. Силами кружковцев проводится
математический вечер на тему «Математика
в профессиях села».
Ниже даются примерные перечни задач для
таких занятий кружка.
Сельское строительство
]. При прокладке труб для парового отопле-
ния в колхозе один слесарь-водопроводчик
установил 22 тройника и выполнил норму на
155%. Сколько таких же тройников установит
второй слесарь за то же время, если у него
норма выработки на 7% больше, чем у пер-
вого?
2. За некоторое время 6 каменщиков уло-
жили 126 м3 кладки. Сколько кубометров
кладки получится у 10 каменщиков за то же
время и при той же производительности
труда?
3. Сколько рулонов обоев необходимо для
оклеивания комнаты шириной 3,2 м, высотой
2,3 м (высота оклеивания) и длиной 4,7 м?
Известно, что длина рулона 7 м, ширина
0,5 м.
4. Сколько штук плиток пойдет на устрой-
ство плиточного пола в комнате размером
4,7X3,2 м (размеры плитки 15X15 см, швы
между плитками 5 мм)?
5. Звено монтажников из 6 человек долж-
но уложить 265 м труб от реки к коровнику.
Сколько времени потребуется звену на эту
работу, если норма на установку одного по-
гонного метра трубы одним рабочим состав-
ляет 0,47 ч?
6. Сколько панелей установит за смену зве-
но монтажников из четырех человек, если од-
ному монтажнику на установку одной панели
по норме отводится 2,9 ч?
7. Вычислите, какое количество краски по-
требуется: а) для окраски классного помеще-
ния, б) всего школьного здания при предстоя-
щем (во время летних каникул) ремонте шко-
лы? Сделайте сами необходимые измерения.
8. Какое количество досок необходимо для
покрытия пола мастерской размером 16X5 м,
если длина доски 5,1 м, ширина 30 см’
*
Механизированная обработка полей
1. Трактор при пахоте пятикорпусным плу-
гом, захватывающим полосу шириной в 1,75 м,
развивает скорость 4,6. км/ч. Сколько гекта-
ров может вспахать тракторист за 5 дней при
6-часовом рабочем дне?
2. Вычислите производительность трактор-
ного aiрегата (плуга) при вспашке, если пло-
щадь, вспаханная за смену, составляет 4 га,
а время работы за смену 7 ч.
3. На сколько процентов выполнил норму
тракторист, вспахав 23,5 га, при норме 27,5 га?
4. Тракторная бригада намечала вспахи-
вать за день по 60 га. Однако план ежедневно
перевыполнялся на 25%, поэтому пахота бы-
ла закончена на день раньше срока. Опреде-
лить, за сколько- дней было вспахано поле
и какова его площадь.
5. Используя таблицу зависимости произво-
дительности труда трактора от его скорости,
ответьте на вопросы:
1) Является ли данная зависимость прямо-
пропорциональной?
2) Можно ли выразить данную зависи-
мость аналитически, графически? Если мож-
но, то выразите.
Скорость трактора (в км/ч) 5 7 11 13 15
Производительность трактора (в га за смену) 3,8 5,4 8,2 9,3 10
Приведите примеры использования матема-
тических формул, правил в работе тракто-
ристов.
7. В Северо-Кавказском экономическом
районе в 1979 г. было 169,9 тыс. тракторов,
а в Дагестане их число составило 6,7% от
всех тракторов данного экономического райо-
на. Вычислите количество тракторов в Даге-
стане в 1979 г«
Общественное питание
1. Повару было отпущено 12,5 кг моркови.
Определить массу очищенной моркови, если
при ее холодной обработке теряется 20% пер-
воначальной массы.
2. После очистки картофеля получилось
15 кг. Отходы при холодной обработке равны
25% от массы картофеля. Сколько килограм-
мов неочищенного картофеля было израсхо-
довано?
3. Для выпечки одной булочки нужно 57 г
готового теста. Потери при выпечке составля-
ют 13% от массы теста. Определите массу го-
товой булочки.
4. Определите, сколько крупы было израс-
ходовано для приготовления 18,9 кг гречневой
каШи, если привар в процентах к весу крупы
составляет 110%.
5. Для приготовления салата из зеленого
лука используется 150 г зеленого лука и 30 г
сметаны. Определите процентное содержание
лука и сметаны в общей массе сырьевого на-
бора.
6. Подсчитайте (с точностью до 0.001 кг)
норму вложения продуктов в 25 кг 600 г гар-
нира из картофеля или из капусты, если:
а) на 1 кг гарнира расходуется 1 кг 400 г кар-
тофеля и 35 г жира; б) на 1 кг гарнира рас
ходуется 1 кг 500 г капусты и 43 г жира.
7. При изготовлении картофельного пюре
использовали 2 кг НО г картофеля В общем
наборе продуктов картофель должен состав-
лять 85%. Определите с точностью до 0,001 кг,
сколько следует взять маргарина и молока,
если маргарин в наборе составляет 4%, а мо
локо 11 % ?
Заметим, что задачи подобного рода не
только способствуют ознакомлению учащихся
с трудовыми операциями, необходимыми в
названных профессиях, но и закрепляют спе-
циальные математические умения, например
навыки устного счета и процентных вычис-
лений.
Учащимся IV—V классов
о Продовольственной
программе СССР
Р. Н. Абаляев
(г. Владимир)
Важнейшая задача учителей состоит в том,
чтобы в процессе урочной и внеурочной рабо-
ты организовать в различных формах участие
школьников в выполнении Продовольственной
программы, готовить выпускников к труду в
сфере агропромышленного комплекса.
Реализовать эти требования в определенной
мере помогут задачи, составленные на сюжет-
но числовом материале, взятом непосредствен-
но из Продовольственной программы СССР.
Решение этих задач должно предусматривать
кроме тех целей, которые достигаются в про-
цессе работы с любой текстовой задачей, еще
и ознакомление учащихся с решениями май-
ского (1982 г.) Пленума ЦК КПСС.
Предлагая указанные ниже задачи, учите-
лю необходимо сделать соответствующие ком-
ментарии, акцентировать внимание учащихся
на важных числовых данных. Вероятно, по-
требуется разъяснить некоторые термины и
понятия.
Задачи
1. Продовольственная программа СССР пре-
дусматривает довести плошадь орошаемых
земель в 1985 г. до 20,8 млн га, а в 1990 г.-
до 23—25 млн. га. Сколько можно получить
зерна кукурузы, если ею будет занято 0,05
этих площадей, а ее урожайность на орошае-
мых землях увеличивается примерно на 45%
по сравнению с урожайностью на землях без
орошения, на которых она дает 80—90 цега?
2. В Продовольственной программе плани-
руется поднять за десятилетне урожайность
зерновых культур на 6—7 ц. Сколько допол-
нительно зерна будет получать совхоз, кото-
рый возделывает пшеницу (на площади
500 га), если ее урожайность в настоящее
время 14 ц с га?
Примечание. Аналогичные вопросы мож-
но сформулировать, узнав необходимые дан-
ные про свой колхоз, район, область, рес-
публику.
3. Валовой сбор зерна кукурузы должен
составить в 1985 г. не менее 17 млн. т, а в
1990 г.— 20 млн т; производство зернобобо-
вых культур в 1985 г. планируется довести до
14 млн. т, а в 1990 г.— до 20 млн. т. На сколь-
ко процентов возрастет урожайность этих
культур в 1990 г. по сравнению с 1985 г.? Ка-
кую площадь нужно занять этими культурами,
если средняя урожайность кукурузы—120—
130 ц с 1 га, а зернобобовых — 45 ц с 1 га?
4. В Продовольственной программе СССР
ставится задача довести среднегодовое произ-
водство молока в одиннадцатой пятилетке до
97—99 млн. т, а в двенадцатой пятилетке до
104—106 млн. т. Сколько для этого надо еже-
годно иметь дойных коров, если среднегодо-
вой удой одной коровы будет составлять
4000 кг?
5. В СССР намечено довести производство
кормов до 500 млн. т кормовых единиц в
1985 г, а в 1990 г.— до 540—550 млн. т кор-
мовых единиц. Сколько примерно будет полу-
чено мяса при скармливании этого корма жи-
вотным, если на 1 кг привеса затрачивается
в среднем 5—6 кормовых единиц?
Пояснение. В СССР кормовая единица
приравнена к питательности 1 кг овса. При
мясном откорме на 1 кг привеса затрачивает-
ся для разных животных разное количество
кормовых единиц. Например, для вола на 1 кг
привеса нужно 6—7 кормовых единиц (выход
мяса составляет 60—72% от живой массы),
свинья на 1 кг привеса получает 3,5—4 кор-
мовые единицы и дает выход мяса и сала
80—85%.
6. Продовольственной программой СССР
намечено довести среднегодовое производст-
во сахарной свеклы в двенадцатой пятилетке
до 102—103 млн. т. Сколько из всей этой свек-
23
лы можно получить сахгра, если предпола-
гается поднять ее сахаристость до 17—18%?
7. В одиннадцатой пятилетке предусмотрено
довести среднегодовое производство семян
подсолнечника до 6,7 млн. т, а сои до
1,4 млн. т. В двенадцатой пятилетке их про-
изводство соответственно составит 7,2—7,5 и
2,2—2,3 млн. т. Сколько бутылок раститель-
ного масла (емкостью 0,5 л) будет получено
из семян подсолнечника и семян сои?
Примечание. Для решения задачи ис-
пользуйте следующие данные: среднее содер-
жание масла в семенах подсолнечника (соц)
составляет 0,25 части (0,37 части) их массы.
Массу 1 л подсолнечного масла можно счи-
тать равной 920 г, а роевого — 930 г.
8. В Продовольственной программе СССР
намечено только за десятилетие поставить
сельскому хозяйству машин для растениевод-
ства на сумму до 40 млрд, рублей, что на
10 млрд, рублей больше, чем будут стоить
машины для животноводства и кормопроиз-
водства. Сравните стоимость всех этих сель-
скохозяйственных машин с общим бюджетом
страны (своей области, своего края, своего
района).
9. Продовольственная программа СССР
предусматривает поставить сельскому хозяй-
ству минеральных удобрений 26 500 тыс. т
в 1985 г. н не менее 30 000 тыс. т в 1990 г.
(в пересчете на 100-процентное содержание
питательных веществ в них). Сколько потре-
буется автомобилей грузоподъемностью 5 т,
чтобы перевезти удобрение, содержащее та-
кое же количество питательных веществ, если
на самом деле они составляют в среднем 30%
от массы удобрений?
Пояснение Содержание питательных ве-
ществ в различных удобрениях колеблется от
3 до 60%.
10 Продовольственной программой СССР
намечено создать и внедрить новые сорта
пшеницы с урожайностью 80—90 ц с 1 га.
Сколько можно дополнительно получить с
1 га пшеничной муки и других продуктов пи-
тания из пшеницы, собранной с 500 га, если
в настоящее время средняя урожайность ее
составляет 12—15 ц с 1 га?
Указание. Для решения задачи исполь-
зуйте следующие данные: 1 т пшеницы дает
800 кг муки, 20 кг манной крупы, 180 кг кор-
мовых отходов.
Много аналогичных задач учитель и сами
учащиеся могут составить на местном мате-
риале, используя сюжетно-числовые данные
из сельскохозяйственного производства своей
республики, области, края, района, колхоза
или совхоза.
Вышеприведенные задачи и им подобные
необходимо- не просто решать, а всякий раз
акцентировать внимание детей на тех гран-
диозных планах, на тех величестьенных пер-
спективах, которые заложены в Продоволь-
ственной программе СССР.
Важно всякий раз ориентировать школьни-
ков на то, что Продовольственная программа
нашей страны — это забота о советских лю
дях, людях труда, о каждой советской семье
Поэтому учащимся необходимо не только
знать основные положения этого документа,
а принимать участие в его реализации. По-
стоянная работа в этом плане найдется каж-
дому: охрана урожая, несложный его учет,
прополка сельскохозяйственных культур, уход
за животными и птицами, выращивание нуж-
ных зверей, заготовка кормов, сбор пищевых
отходов и многое другое. Если при этом уча-
щиеся будут вести специальные записи, то они
получат материал для составления и реше-
ния разнообразных задач на местных сюжет-
но-числовых данных.
Реализация Продовольственной программы
нашей Родины — всенародное дело, дело всех
и каждого!
МИКРОКАЛоКУЛЯТОРЫ В УЧЕБНОЙ
И ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЕ
Микрокалькулятор
в младших классах
В. Г. Болтянский
(Москва),
Э. В. Григорян
(Ереван)
С незапамятных времен люди использовали
различные приспособления для упрощения
счета: абак, счетные доски, русские счеты,
арифмометр, логарифмическую линейку.
Научно-техническая революция привела к
автоматизации вычислений. Вычислительные
центры, снабженные иногда не одной, а не-
сколькими ЭВМ, имеются сейчас не только
в научных институтах, но также на заводах,
электростанциях, 'товарных станциях и т. д.
Помимо ЭВМ существует еще «малая» элек-
тронная техника — микрокалькуляторы. Сей-
час наиболее дешевые микрокалькуляторы
стоят 25—35 руб., вскоре цена этого прибора
(в простейшем его варианте) станет еще мень-
ше. В ближайшем будущем в портфеле ин-
женера, производственника, ученого будет на-
ходиться как необходимая прина цлежность
микрокалькулятор, подобно авторучке в кар-
мане или часам па руке. Люди перестанут
считать в столбик, на счетах, на логарифми-
ческой линейке. Привычка пользоваться мик-
24
рокалькулятором будет одним из важных по-
казателей подготовки человека к практиче-
ской деятельности
Эти прогнозы имеют прямое отношение
к школе. Уже сейчас Министерством просве-
щения СССР предусмотрено внедрение мик-
рокалькуляторов в школьные кабинеты мате-
матики для старших классов Это требует
коренного пересмотра программы, требует но-
вой методики ведения урока, новых форм ра-
боты. Логарифмическая линейка полностью
утрачивает свою роль как счетное устройство;
ее изучение становится ненужным. То же от-
носится к логарифмическим и другим табли-
цам. В связи с этим утратится ведущая роль
темы о логарифмах в курсе алгебры, а сама
логарифмическая функция будет лишь одним
из примеров обратной функции. Радикальные
изменения произойдут в разделе «Приближен-
ные вычисления». Следует также отметить
упрощение вычислений, связанных с нахожде-
нием значений многочленов и других функций,
что сильно скажется на построении графиков,
приближенном решении уравнений и т. д.
Однако это относится к старшим классам.
А как быть с курсом математики в I—V клас-
сах, где в качестве одной из основных ста-
вится задача создания у учащихся вычисли-
тельных навыков, и в частности навыков уст-
ного счета? Полезным или вредным является
использование микрокалькулятора в этих
классах?
Среди учителей, методистов, родителей рас-
пространено мнение, что следует решительно
воспротивиться стихийному процессу проник-
новения 'микрокалькуляторов в начальную
школу, запретить учащимся приносить с собой
эти приборы и пользоваться ими при вычис-
лениях. Основной довод сторонников этого
мнения состоит в том, что «дети разучатся
считать».
Однако метод запрета вряд ли разумен.
Преградить дорогу прогрессу, внедрению но-
вой техники не представляется возможным.
Достаточно напомнить яркий пример с введе-
нием шариковых ручек в начальных классах:
жизнь заставила пойти на это, несмотря ни
на какие соображения методики чистописания
и каллиграфии. То же, несомненно, произой-
дет и с микрокалькуляторами. Попытка от-
махнуться от неизбежности проникновения
микрокалькуляторов в начальную школу мо-
жет привести лишь к тому, что это произой-
дет через несколько лет стихийно и мы ока-
жемся неподготовленными.
Зарубежный опыт свидетельствует: при от-
сутствии продуманной методики использова-
ния микрокалькуляторов в начальной школе
1 См.; Математика в школе, 1982, № 3, с. 6-8.
возникает опасность утраты учащимися куль-
туры счета и «чувства числа». Проявляется
это прежде всего в том, что, освобожденные
от необходимости считать самостоятельно,
учащиеся забывают или даже не выучивают
таблицу умножения, разучиваются делать
устно даже простые вычисления, не замечают
очевидных ошибок (на несколько порядков)
в величине результата.
Напротив, как показывает опыт, описывае-
мый в этой статье, при разумном использова-
нии микрокалькулятора в начальной школе,
при правильном сочетании устного счета с ра-
ботой на приборе учащиеся эксперименталь
ного класса лучше овладевают навыками уст-
ных вычислений, чем в соседнем, контроль-
ном, классе. Даже более того: они глубже
осознают логические приемы решения задач,
приобретают лучшие навыки математического
мышления.
Эксперимент, о котором идет речь, был на-
чат по рекомендации заместителя министра
просвещения СССР В. М. Коротова. По рас-
поряжению министра просвещения АрмССР
С. Т. Ахумяна (поручившего авторам статьи
научное н методическое руководство экспери-
ментом) в 1978 г. в школах № 35 и 68 Ере-
вана были оборудованы учебные кабинеты,
где каждый учащийся, тогда еще первокласс-
ник, имел свой отдельный микрокалькулятор
на парте. Сейчас эти учащиеся уже перешли
в VI класс.
В мае этого года коллегия Министерства
просвещения АрмССР подытожила результа-
ты эксперимента и, основываясь на выводах
специально созданной комиссии (руководи-
тель—кандидат педагогических наук Б. А. Баг-
дасарян), отметила, что по навыкам устного
счета успеваемость в экспериментальных клас-
сах в 1,25 раза выше, чем в контрольных,
а по навыкам решения задач — в 1,4 раза вы-
ше, причем навыки владения алгоритмами
счета в столбик в контрольных и эксперимен-
тальных классах одинаковы.
Разумеется, чудес на свете не бывает; обна-
деживающие результаты (по сравнению с за-
рубежным опытом) закономерно объясняются
разумными теоретическими положениями и
методическими приемами, которые были раз-
работаны для этого эксперимента. Отметим
лишь некоторые из них.
Остановимся прежде всего на решении тек-
стовых задач. Для решения за.Аач наиболее
важно научиться находить функциональные
связи между величинами, указанными в усло-
вии. По существу, речь идет прежде всего
о задачах в одно действие, использующих
термины «сумма», «разность», «больше на»,
«меньше, чем» и т. п. Именно их комбиниро-
вание приводит к болса сложным задачам.
2Ь
При письменном решении основная часть вре-
мени уходит на запись (дети пишут медлен-
но) и на вычисления, а сама логика решения,
осмысление связи между заданными и иско-
мыми числами, т. е. то основное что должны
вынести дети из этого фрагмента урока, зани-
мает едва десятую часть времени. При устном
же решении у доски значительная часть клас-
са остается безучастной, как бы ни настаивал
учитель на внимательном выслушивании от-
ветов товарища.
Микрокалькулятор позволяет проводить эту
работу быстро и при активном участии всего
класса. Основная форма занятия—математи-
ческий (iuKiiiHT. Учитель медленно читает ус-
ловие задачи, сказав, чтобы учащиеся ничего
не писали, а внимательно слушали и думали
над ходом решения. Затем он читает условие
второй, а иногда и третий раз, после чего уча-
щиеся выполняют на микрокалькуляторе нуж
пые вычисления.
llyiib в классе надо решить задачу; «На
склад завезли сначала 25 велосипедов, а по-
том еще 37. После того как часть велосипе-
дов увезли в магазин для продажи, на складе
осталось 18 велосипедов Сколько велосипе-
дов увезли в магазин?» Прослушав условие
дважды или трижды, учащиеся выполняют на
своих микрокалькуляторах действия 25+
+ 37—18= и читают на индикаторе ответ.
Учитель, проходя между рядами, сразу ви-
дит, все ли учащиеся решили верно. Он мо-
жет одному из учеников предложить проком-
ментировать ход решения.
Таким образом в экспериментальных клас-
сах учащиеся решали за 15—20 мин 8—10 за-
дач. Остальную часть урока учитель исполь-
зовал для традиционных заданий, для устного
счета, решения примеров в столбик и т. д.
Преимущества здесь очевидны: учащиеся, не
отвлекаясь на записи или вычисления, озабо-
чены только логикой решения. Разумеется,
часть задач в классе и домашние задания
решаются традиционно, с записью в тетради.
В результате учащиеся не только усваивают
письменную форму решения, но и успевают
разобрать в 2—3 раза больше задач, чем при
обучении без микрокалькулятора.
Сказанного достаточно, чтобы ясно предста-
вить себе: при такой методике микрокальку-
лятор органически включается в состав
урока как техническое средство обучения, от-
крывающее новые, методически прогрессивные
возможности приобретения знаний, умений и
навыков. Более того, он выступает здесь как
важное эргономическое средство обуче-
ния, позволяющее осуществить научную орга-
низацию работы в классе, при которой уча-
щиеся охватывают за урок в 1,5—2 раза боль-
ше числовой и логической информации, А ес-
ли к этому добавить повышение интереса
к математике (учащиеся ждут момент подачи
напряжения на микрокалькуляторы как же-
ланную награду за успешную работу на пре-
дыдущей части урока), то станет ясно, поче-
му в экспериментальных классах дети обна-
ружили лучшую подготовку как в устном сче-
те, так и в логическом развитии.
Существенным является и еще один мето-
дический прием, который мы называем мате-
матическим практикумом. Поясним это на ма-
териале действующего учебника для IV клас-
са. Этот учебник содержит несколько сотен
упражнений на вычисления с целыми числа-
ми и десятичными дробями; их сложность по-
степенно нарастает: количество чисел, участ-
вующих в записи примера, доходит до семи,
причем используется одна или две пары ско-
бок. Все задания рассчитаны на выполнение
действий в столбик, что требует в общей слож-
ности нескольких десятков часов работы.
В экспериментальном классе учащиеся полу-
чали в неделю по два таких примера для вы-
полнения дома, а остальные рассматривались
как материал для математического практику-
ма. Они выполнялись в классе с помощью
прибора, с широким использованием его ячей-
ки памяти.
Этот прием, как показал эксперимент, не
привел к снижению уровня вычислительных
навыков и дал существенную экономию учеб-
ного времени. Такой вывод может показаться
удивительным и даже сомнительным учите-
лям, привыкшим считать, что решение боль-
шого числа сложных примеров с выполне-
нием промежуточных действий в столбик яв-
ляется необходимым условием развития устой-
чивых вычислительных навыков и потому при-
менение микрокалькулятора не/келательпо и
даже вредно. Мы с самого начала предпола-
гали (и эксперимент подтвердил это), что та-
кое мнение в корне ошибочно.
Приведем соображения, подтверждающие
сказанное.
Наиболее важная часть выполнения слож-
ных примеров состоит в сознательном вы-
боре порядка действий Но эта часть деятель-
ности полностью сохраняется и при работе на
микрокалькуляторах. При решении «вручную»
учащиеся тратят 90% времени на выполнение
действий в столбик, со старанием выписывая
одну цифру за другой. Микрокалькуляторы
освобождают их от этих непроизводительных
действий, полностью переносят акцепт на
осмысление упражнения в целом. Короче,
творческое начало остается, а чисто техниче-
ское тупое применение алгоритмов счета от-
падает. Могут ли при этом учащиеся что-то
потерять в развитии своих вычислительных
навыков?
Чтобы ответить на этот вопрос, остановим-
ся на гой деятельности, которую выполняет
человек при счете в столбик. Например, при
умножении
, 073
278
3753
выполняются (устно!) вычисления: 9-7=63,
(3 пишем, 6 в уме), 3-7+6=27, .... 7+8 = 15
и т. д. Таким образом, помимо механического
выписывания получаемых цифр вычисления в
столбик сводятся (в отношении приобретения
навыков устного счета) к выполнению сложе-
ния однозначных чисел и действий вида
3-7+6=27 (применение таблицы умножения
с последующим прибавлением однозначного
числа).
Из сказанного ясно, что если время, высво-
бождающееся при замене счета в столбик
применением микрокалькуляторов, использо-
вать для устного счета с более богатым набо-
ром упражнений, чем сложение однозначных
чисел и выполнение однообразных действий
вида 3-7+6, то удастся достичь лучшего
развития «чувства числа» и навыков устного
счета, чем при традиционном обучении.
Мы рекомендовали начинать применение
микрокалькуляторов буквально на первых
уроках — со второй недели обучения в I клас-
се— при полном проведении описанной ниже
методики.
На первом этапе учащиеся должны привык-
нуть к прибору и научиться пользоваться им
в простейших случаях: заполнять индикатор
цифрами и считывать их с индикатора.
Затем целесообразно совмещать устный
счет с работой на микрокалькуляторе. На-
пример, учащиеся набирают 3+2 и обсужда-
ют, что должно получиться в результате. Пос-
ле этого учитель предлагает нажать на кла-
виш «=» и убедиться, что получился ожидае-
мый результат. Такая работа производится
многократно, что способствует запоминанию
таблицы сложения. Скоро появляются более
сложные упражнения: 6—2 = , 7—4= ,
4+3= и т. д. В них первоклассники неред-
ко делают ошибки. Поэтому рекомендуется
выполнять их тремя способами: на палочках
(предметные действия), в уме, на микрокаль-
куляторе. Полезно обратить внимание детей
на то, что с действием, которое не так легко
выполняется с помощью пальцев или палочек,
микрокалькулятор справляется так же быст-
ро, как с прибавлением или вычитанием еди-
ницы. Некоторое удивление, которое в связи
с этим возникает у детей, в дальнейшем пе-
рейдет в уважение к этому маленькому при-
бору и доверие к нему.
Р I классе примерно */з упражнений учеб-
ника (по выбору учителя) выполняется с по-
мощью микрокалькулятора, а остальные уст-
но, без прибора.
Материал о перестановке слагаемых позво-
ляет впервые использовать микрокалькулятор
для математического эксперимента. Учитель
пишет на доске заготовки:
1+4= 3 + 4= 3 + 2 = 5 + 4 =
4+1= 4+3= 2+3= 4+5=
и т. д. По его указанию дети вычисляют с по-
мощью микрокалькулятора написанные сум-
мы: Гаяне считает: 1+4 н 4+1, Карен счита-
ет: 3+4 и 4+3 и т. д. Учитель вписывает на
доску результаты вычислений, которые сооб-
щают учащиеся. Коллективное обсуждение
результатов сделает очень впечатляющим
свойство переместительности, оно врежется
в память. Без микрокалькулятора такая ра-
бота затруднена, так как дети считают мед-
ленно; пока они считают, пока идет проверка
правильности и исправление ошибок, дети мо-
гут забыть, что происходит.
С большими трудностями усваивают млад-
шие школьники навыки порядка действий,
раскрытия скобок, сложения с переходом через
десяток, что связывается с сочетательным за-
коном сложения. Однако для микрокалькуля-
тора безразлично, происходит ли при сложе-
нии переход через десяток или нет — он счи-
тает практически мгновенно. С методической
точки зрения это открывает возможность
изучить таблицу сложения и постепенно вы
учить ее наизусть как уже готовую, имею-
щуюся в приборе, а не строить ее самостоя-
тельно. Ведь взрослый человек (или стар-
шеклассник) не нуждается в применении
«перехода через десяток», а помнит всю
таблицу сложения однозначных чисел. Мик-
рокалькулятор создает возможность уже в
I классе вести быстрое заучивание этой таб-
лицы.
Методика может быть, например, такой.
Учитель предлагает выполнить на микрокаль-
куляторе действия: 9 + 1= , 9+2= и т. д.
Учащиеся повторяют вслух, стараются запом-
нить. Это происходит из урока в урок и при-
водит к запоминанию таблицы. При такой ме-
тодике долгая и надоедливая подготовка
в I классе к переходу через десяток стано-
вится ненужной и может быть сильно сокра-
щена. Параллельно с этим часть примеров
целесообразно решать (устно!) с помощью
правила сочетательности:
9+5=9+(1+4) = (9+1)4 4 = 10+4= 14.
Это помогает освоить сочетательный закон
и связать его с выполнением сложения.
В начальной школе дети заучивают много
различных правил сложения и вычитания. Эти
правила представляют собой частные случаи
27
единых правил раскрытия скобок, с которыми
учащиеся встретятся в V классе. Вместо это-
го обилия правил целесообразно изучить
одно правило раскрытия скобок, соответ-
ствующее и программе старших классов: если
перед скобкой и перед числом, стоящим в
скобках, знаки одинаковые, то при раскрытии
скобок нужно перед этим числом поставить
«плюс», а если разные—«минус». Это прави-
ло применяется вместе со свойством переме-
стительности. Иначе говоря, при выполнении
сложения и вычитания не только раскрывают
скобки, но и затем, если нужно, производят
перестановку чисел вместе с относящимися
к ним знаками. Например
47—23= (40 |-7) — (20+3) =40+7—20—3=
= (40—20) + (7—3) =20+4=24.
Изучить одно это правило вместо шести, не-
сомненно, удобно. В нашем эксперименте об-
щее правило раскрытия скобок изучалось в
I классе, в третьей четверти.
Наиболее простой вариант методики изуче-
ния этого правила заключается в следующем.
Учитель формулирует правило и для его про-
верки пишет заготовки вида:
5 + (7 + 2) - 5 7 2,
9 — (6-3) = 9 6 3,
(16 + 9) + (21 + 14) - 16 9 21 14,
( 7 + 5) — ( 3 + 4) = 7 5 3 4,
(16 —9) —( 5 — 2) - 16 9 5 2.
Учащимся предлагается правильно расставить
знаки в правых частях, чтобы понять, как
применяется сформулированное правило. За-
тем дети с помощью микрокалькулятора убеж-
даются в справедливости написанных ра-
венств. После этого идет повторение общего
правила, которое, таким образом, эксперимен-
тально подтверждено. На дом учащиеся по-
лучают задание выучить правило и самостоя-
тельно проверить его на нескольких приме-
рах— заготовках такого же вида.
Впоследствии примеры на раскрытие скобок
выполняются на микрокалькуляторе следую
щим образом. Учащийся набирает первое
число; затем, определив (в уме) следующий
знак, набирает его и второе число; снова
в уме определяет следующий знак и набирает
этот знак и третье число и т. д. Дойдя до кон-
ца примера и нажав на клавиш «=», полу-
чает окончательный ответ. Заметим, что упро-
щать вычисления за счет перемены порядка
действий не имеет смысла: прибор считает
практически мгновенно независимо от слож-
ности действия с точки зрения человека. При
устном счете, напротив, целесообразно груп-
пировать числа в наиболее удобном порядке,
чтобы можно было проще выполнять сложе-
ние и вычитание.
Во II классе также целесообразно система-
тически применять микрокалькулятор при
описанных выше формах работы. Кроме того,
прибор можно использовать для проверки ре-
зультатов вычислений. В частности решение
уравнений целесообразно традиционно прово-
дить на основании свойств действий, а про-
верку— с помощью микрокалькулятора.
Целесообразно использовать прибор и при
изучении таблицы умножения. Ее можно со-
ставить с помощью микрокалькулятора. Эю
1 будет служить для детей как бы «доказатель-
ством» таблицы. Опрос по таблице можно
проводить в форме игры: Сурен набирает
5X7 и задает вслух Армену вопрос: «Сколь-
ко будет 5-7?», а когда Армен ответит, Сурен
нажимает клавиш « = » и подтверждает пра-
вильность ответа или указывает ошибку.
Интересна методика применения микрокаль-
кулятора при выполнении деления с остатком
Пусть надо разделить 50 на 8. Можно дей
ствовать подбором: умножать 8 последова-
тельно на 4, 5, 6, 7. Мы увидим, что непол-
ное частное равно 6, так как 6—мало, 7 —
много; остаток находим вычитанием: 50—48=
= 2. Таким образом, 50:8=6 (остаток 2).
Другая методика состоит в непосредственном
делении. Набрав действие 50-+8= , мы полу-
чим на индикаторе 6,25. Учитель объясняет,
что если деление не осуществляется без ос-
татка, то число, стоящее перед запятой на ин-
дикаторе, представляет собой неполное част-
ное, а о цифрах справа от запятой пойдет
речь в старших классах. Например, при вы-
полнении действия 82-+2Э на индикаторе по-
лучается 2,8275862. Значит, неполное частное
равно 2, т. е. в 82 число 29 содержится 2 ра-
за и еще остается какой-то остаток. Для на-
хождения остатка нужно произвести умноже-
ние 29-2, а затем вычитание 82—58. Ответ:
82:29=2 (остаток 24).
По тем же принципам осуществляется при-
менение микрокалькулятора в III—V клас-
сах. В этих классах систематически идет ма-
тематический практикум вместо счета в стол-
бик (о чем было сказано выше). Кроме того,
с III класса целесообразно пользоваться при
вычислениях ячейкой памяти. Остановимся
на этом подробнее. В простейших отечествен-
ных микрокалькуляторах с ячейкой памяти
имеются четыре клавиша ВП, П + , П—, СП,
Клавиш СП (сброс памяти) стирает число,
которое было ранее записано в памяти. Кла-
виш П+ прибавляет к содержимому памяти
число, имеющееся на индикаторе (а П- вы-
читает). Наконец, клавиш ИП выводит со-
держимое ячейки памяти на индикатор, при-
чем записанное в памяти не стирается.
Пусть, например, надо выполнить следую-
щее действие: 14 650+(14 650—1800)+7350.
/
28
На микрокалькуляторе это можно сделать
так:
СП 14 650 П+ —1800= П-1- 7350 П+ ИП.
Здесь ячейка памяти играет роль накопителя
результата: при первом нажатии на клавиш
П+ в памяти записывается число 14 650, при
втором нажатии на П +• к содержимому ячей-
ки памяти прибавляется разность 14 650—1800,
а при третьем — к содержимому памяти при-
бавляется затем число 7350. Теперь в памя-
ти имеется искомое число. Клавиш ИП вы-
водит этот результат на индикатор.
Если дети работают на микрокалькулято-
рах без ячейки памяти, то промежуточные
результаты можно выписывать на листок чер-
новика или в специальный блокнотик.
Отметим еще решение уравнений в форме
математического диктанга. Учитель записы-
вает на доске уравнение, а учащиеся смотрят
на запись и мысленно составляют план реше-
ния. Затем они, ничего не записывая в тетра-
дях, наводят значение неизвестного, произво-
дя вычисление на микрокалькуляторе, а учи-
тель, проходя по рядам, следит за классом.
Например, при решении уравнения № 511,г из
учебника «Математика 5» учащийся должен
в одной части равенства собрать слагаемые,
содержащие неизвестное, а в другой — не со-
держащие, т. е. мысленно (или на листке)
записать уравнение в виде
9m — 5m = 6,9 — 33,1,
а затем разделить правую часть на коэффи-
циент при неизвестном в левой части:
СП 9—5=П+ 6.9—33.1-е-ИП =
Для проведения такой работы удобны зада-
ния № 51, 158, 273, 282, 298, 307, 338, 348,
359, 410, 510, 619 и др. из учебника «Матема-
тика 5». Такие упражнения на микрокальку-
ляторе способствуют ясному пониманию спо-
соба решения уравнений, что очень важно
для старших классов.
В заключение коснемся одной особенности
устного счета, чтобы яснее показать методи-
ческую ценность применения микрокалькуля-
торов по сравнению со счетом в столбик.
В общей культуре устного счета мы прида-
ем большое значение умению делать прикид-
ку. Например, в случае умножения 375-2219
мы округляем сомножители: (4-102) - (2-10 )
и получаем примерный результат 8-105, т. е.
что-то порядка восьмисот тысяч. При сложе-
нии 3452+4791 видим, что цифры в разряде
тысяч дают в сумме 7 (тысяч), да еще тысяча
с чем-то набегает при сложении сотен, т. е. ре-
зультат составляет примерно 8000.
Из этих примеров видно, что прикидка вы-
полняется с учетом цифр, стоящих слева,
тогда как алгоритмы сложения и умножения
в столбик производятся справа. Таким об-
разом, систематическое выполнение действий
в столбик мешает культивированию при
кидки. Между тем прикидка очень важна для
инженера, физика, экономиста и многих дру
гих специалистов. Привычка проверять ре-
зультаты вычислений при помощи прикидки
свидетельствует о высокой культуре счета.
В нашем эксперименте прикидка системати
чески применялась при сложении двузначных
чисел. Например, получив задание «сделать
прикидку в примере 25 f-57», учащийся отве-
чал так: «Сложив десятки, получаем 70, да
еще десяток набежит при сложении единиц,
итого 80 (с чем-то)». Мы убедились, что выра-
ботка навыка прикидки помогает при
устном счете. Достаточно задать дополнитель-'"
ный вопрос: «А с чем именно, с каким добав-
ком получается результат?»,— и ученик, обра-
тив внимание на последние цифры, сразу даст
окончательный ответ: «25+57=82». Анало-
гично выполняется прикидка и в случае вы-
читания. Например, вычитая 72—26, ученик
отвечает: «Вычтя десятки, получаем 50, но1
в вычитаемом цифра единиц больше, чем
в уменьшаемом; остается 40 (с чем-то)». Мы1
культивировали также и другой способ: уба-
вить уменьшаемое и вычитаемое на 2; раз-
ность 70—24 можно вычислить непосредствен-
но или произвести убавление уменьшаемого
и вычитаемого на 2 десятка. Остается:
50—4=46.
Отработке навыков прикидки удалось уде-
лить достаточное внимание только благодаря
экономии времени, которую удалось получить
при применении микрокалькуляторов. Твер-
дые навыки выполнения прикидки при сложе-
нии и вычитании двузначных чисел мы отнес-
ли к программе I класса. Это привело к тому,
что во II классе дети быстро научились нахо-
дить устно точные суммы и разности двузнач-
ных чисел.
Освободившееся время используется в III—
V классах не толь.ю для устного счета, но
и для проведения в конце некоторых уроков
математических игр. В нашем эксперименте
учителя получили соответствующие методиче
ские указания. Особое внимание было обра-
щено на те игры, в которых уместно приме-
нять микрокалькуляторы.
Обнадеживающие результаты проведенных
экспериментов позволяют закономерно пред-
полагать, что в недалеком будущем микро-
калькуляторы займут важное место в систе-
ме нарочного образования, причем не только
в старших, но и в младших классах.
29
Микрокалькулятор в системе
профессионально-технического
образования
* В. М. Оксман
(Москва)
С 1979 по 1982 г. в системе профтехобразо-
вания был проведен широкий эксперимент по
применению микрокалькуляторов в учебном
процессе. В ходе эксперимента число училищ,
где активно применяются эти вычислительные
приборы, значительно увеличилось- в начале
1981/32 учебного года их было более 3U0.
Эксперимент дал положительные результа-
1Ы, и 30 июня 1982 г Госпрофобр СССР из
дал приказ № 93 «О массовом внедрении
микрокалькуляторов в системе профессио
пально-технического образования».
В настоящее время педагогические коллек-
тивы профтехучилищ работают над исполне-
нием этого приказа. Определены опорные
учебные заведения, в которых развивается и
пропагандируется передовой опыт. Для руко-
водящих работников, методистов, преподава-
телей и мастеров системы профтехобразова-
ния организованы практические занятия, где
изучаются основные приемы работы на мик-
рокалькуляторах и методика их использова-
ния в учебном процессе. Всесоюзный научно-
методический центр профтехобучения мо-
лодежи Госпрофобра СССР разрабатывает
методические рекомендации по использова-
нию микрокалькуляторов при обучении мате-
матике, физике, химии в различных учебных
заведениях данной системы.
С 1 октября 1982 г. вносятся необходимые
коррективы в учебные планы. Предусмотрено
изучение темы «Ознакомление с выполнением
расчетов на микрокалькуляторах». В средних
ПТУ на нее отводится 8 ч за счет консульта-
ций по математике на I курсе. Здесь изучают-
ся приемы работы на микрокалькуляторах
инженерного типа. В ТУ и ПТУ для этой те-
мы предусмотрено 4 или 8 ч (в зависимости
от специализации и характера выполняемых
расчетов) за счет времени, выделенного ра-
нее на консультации по профессионально-тех-
ническому циклу.
Учащиеся знакомятся с общей характери-
стикой микрокалькуляторов, с приемами вы-
полнения на них арифметических вычислений.
Изучают способы действий с константой, про-
центных вычислений, а также возможности
использования регистра памяти. При изуче-
нии инженерных микрокалькуляторов также
рассматривается использование регистра па-
мяти при вычислении значений элементарных
функций и сложных выражений, содержащих
зти функции. Учащиеся получают общее пред-
ставление о работе на программируемых мик-
рокалькуляторах.
Эксперимент показал, что при правильной
методике и организации обучения использова-
ние микрокалькуляторов дает значительный
положительный эффект. Высвобождается вре-
мя для более глубокого изучения программно-
го материала. Так, в курсе «Основы расчетов
и конструирования деталей машин» (169 ч,
профессия «чертежник-конструктор») можно
сэкономить до 30--40 ч учебного времени, что
позволяет выполнить ряд дополнительных
чертежно-конструкторских работ. Применение
микрокалькуляторов позволяет в 2—3, а в от-
дельных случаях и в 4 раза увеличить число
тренировочных упражнений, изучать качест-
венно новые вопросы об использовании мате-
матического аппарата рабочими разных спе-
циальностей. Например, можно рассмотреть
сложные эмпирические формулы для опреде-
ления режимов резания при металлообработ-
ке, для расчетов сложных узлов и деталей
машин, погрешностей измерительных прибо-
ров и многое другое Изучать эти вопросы без
микрокалькуляторов было крайне тяжело, а
подчас невозможно из-за трудоемкости расче-
тов. Снимая вычислительные барьеры, микро
калькуляторы позволяют уделять больше вни-
мания качественной стороне вопроса Это, ес-
тественно. приводит и к повышению качества
знаний учащихся, которое улучшается в сред-
нем на 10—15%, а зачастую и больше.
При правильной постановке дела не оправ-
дываются опасения, что в процессе исполь-
зования микрокалькуляторов у учащихся сни-
зятся навыки неинструментального (устного н
письменного) счета. Напротив, вычислитель-
ная культура учащихся в целом повышается.
Следует отметить также, что при использова-
нии микрокалькуляторов учащимся приви-
ваются навыки, необходимые при работе с бо-
лее сложной вычислительной техникой.
Остановимся кратко на основных аспектах
методики применения микрокалькуляторов в
учебном процессе.
В этой методике важное место занимает
«численный» эксперимент, он особенно эф-
фективен при изучении пределов, свойств
функций (и при построении их графиков по
точкам), производной, интеграла. Численный,
или математический, эксперимент создает
благоприятные условия для сочетания инди-
видуальной и коллективной работы, когда со-
поставление результатов разных учащихся
помогает выдвинуть гипотезу и проверить ее
путем многократных расчетов.
Микрокалькуляторы дают возможность до-
водить решения даже очень сложных вычис-
лительных задач до ответов в десятичной фор-
ме записи, включать упражнения на выполне-
30
ние расчетов по формулам, которые встре-
чаются в смежных с математикой предметах,
а также в предметах профессионального цик-
ла. Выполнение таких заданий делает вычис-
лительную работу учащихся более целена-
правленной и содержательной, способствует
повышению их интереса к математике и соз-
дает возможности для Золее успешного при-
менения расчетов на практике. Включение
таких заданий в учебный материал без ис-
пользования микрокалькуляторов нерацио-
нально, так как их выполнение затруднитель-
но, а в ряде случаев невозможно.
Освобождение учащихся от однообразной
вычислительной работы дает возможность
уделить больше внимания самому алгоритму
вычислений, т. е. сделать занятия более твор-
ческими. Освободившееся время можно посвя-
тить ознакомлению с методами приближенно-
го решения уравнений, с элементами про-
граммирования. Не следует забывать также
о развитии навыков устного счета, в том чис-
ле о прикидке.
Следует отметить, что осуществление про-
фессиональной направленности — одно из важ-
ных условий преп' гавания математики в сред-
них профтехучилищах. С этим связано фор-
мирование у учащихся отношения к матема-
тике как к науке, которая необходима для
квалифицированного труда по выбранной про-
фессии. Важнейшую роль в этом призваны
сыграть микрокалькуляторы, поскольку на
уровне рабочего и техника применение мате-
матики в конечном итоге сводится к выпол-
нению расчетов. Таким образом, в использо-
вании микрокалькуляторов мы видим перспек-
тивы усиления мотивации изучения математи-
ки. Вместе с тем преподаватель математики
среднего ПТУ получает счастливую возмож-
ность стать координатором всего комплекса
вычислительной работы в учебном процессе,
что существенно повысит значимость ею пред-
мета в глазах учащихся.
Микрокалькуляторы сейчас все больше при-
меняются в различных отраслях народного хо
зяйства Поэтому их внедрение в системе
профтехобразования будет способствовать со-
вершенствованию учебного процесса и позво-
лит подготовить рабочих более высокой ква-
лификации, которые смогут быстро выполнять
различные производственные расчеты и тем
самым в конечном итоге повышать культуру
и производительность своего труда.
Электронный локотник учителя
Г. Н. Ионов
(г. Балашов Саратовской обл.)
Составление индивидуальных заданий для
учащихся, вариантов контрольных и самостоя-
тельных работ, их проверка требуют немалых
затрат времени учителя математики.
В десятки раз сократить затраты времени,
сил и энергии на контроль за учебной деятель-
ностью учащихся помогут программируемые
микрокалькуляторы, серийно выпускаемые на-
шей промышленностью и имеющиеся в про-
даже. Одна из наиболее распространенных
моделей этих портативных электронных уст-
ройств показана на рисунке. Широкие функ-
циональные возможности таких микрокаль-
куляторов, удобство и простота обслуживания,
невысокая стоимость (от 65 до 150 руб.) де-
лают их вполне доступными для учителей
12, П61257Ч--
1
НЗМКТМШИКА
ВЗ-Э4
2
Каждая школа в состоянии приобрести не-
сколько таких машин и использовать их в
оборудовании школьного кабинета математи-
ки. Программируемые микрокалькуляторы яв-
ляются самыми совершенными из существую-
щих типов микрокалькуляторов, универсаль-
ными и многоцелевыми вычислительными уст-
ройствами. Они помогут учителю контролиро-
вать работу учащихся на микрокалькулято-
рах простейшего и инженерного типов, кото-
рые внедряются в настоящее время в школу,
найдут применение на кружковых и факульта-
тивных занятиях, при изучении такой темы,
как «Вычислительная техника и программиро-
вание», И 'Т. д.
Ниже приведены пршраммы решения на
микрокалькуляторах наиболее распространен-
Я1
пых школьных вычислительных задач. Про-
граммы составлены на языке микрокалькуля-
тора «Электроника БЗ-34», ио предназначены
и для машин «Электроника МК-54» и «Элек-
троника МК-56», имеющих аналогичную логи-
ку и входной язык. Программы снабжены по-
дробными инструкциями и комментариями та-
ким образом, что их использование не требует
никакой предварительной подготовки. Для
проверки и иллюстрации приводятся примеры
с конкретными числовыми данными.
Вычисление корней квадратного уравнения
При изучении квадратного уравнения
ах2-\-Ьх+с=0
учителю приходится предлагать ученикам мас-
су примеров на нахождение его действитель-
ных корней. Быстро проверить ответы учащих-
ся поможет использование программы 1. Она
составлена в соответствии с алгоритмом:
*..>—£+ /(IF?-
Укажем порядок работы с микрокалькуля-
тором.
1. Перевести микрокалькулятор в режим
«Программирование» с предварительной очи-
сткой программной памяти. Для этого нажать
последовательно три клавиши:
В/О F ЛРГ.
При этом справа на индикаторе 1 (см. рис.)
высвечивается символ «00». (Большинство
клавиш прибора имеют двойное и тройное
назначение. При записи команд указывается
нужная в данном случае символика.)
2. Занести программу в программную па-
мять. Для этого нужно последовательно на-
жимать клавиши, указанные во втором столб-
це таблицы (см. программу 1), следя за по-
казаниями индикатора. Эти показания помо-
гут проконтролировать работу машины и точ-
ность действий с клавиатурой со стороны че-
ловека.
При каждом нажатии клавиш в левой части
индикатора высвечивается двузначный сим-
вол — код команды (условное обозначение,
«имя» команды на языке, понятном машине),
а в двух крайних правых разрядах — очеред-
ной свободный адрес программной памяти.
Поочередно сдвигаясь вправо, на индикаторе
одновременно высвечиваются коды трех после-
довательных команд.
3. Перевести прибор в режим «Автоматиче-
ская работа». Для этого последовательно на-
жать 2 клавиши;
F АВТ.
Программа 1
Пояснения к программе Нажимаемые клавиши На индика- торе
слева справа
Вызов из памяти чисел Ь, ИП В 6L 01
а и вычисление Ь/а ИП А 6- 02
— 13 03
Вычисление частного 2 02 04
Ь!2а и присвоение ему 13 05
противоположного знака 1-1 0L 06
Сохранение результата в регистре памяти 7 П 7 47 07
Возведение в квадрат результата предыду- щих вычислений F х* 22 08
Вызов из памяти чисел ИП С 6( 09
с, а и вычисление с/а ИП А 6— 10
13 11
Вычисление разности £. к 2д/ а — 11 12
Извлечение корня из предыдущего резуль- тата F уг~ 21 13
Сохранение нового ре- зультата в регистре 8 П 8 48 14
Вызов содержимого регистра 7 ИП 7 67 15
Сложение содержимого регистров 7 и 8 + 10 16
1 Вызов содержимого ре- ИП 7 67 17
гистров 7 и 8 и вычи- ИП 8 68 18
сление их разности 11 19
Стоп (машина выдает на индикатор резуль- тат последней опера- ции) С/П 50 20

4. Распределить данные (коэффициенты
квадратного уравнения) по адресуемым ре-
гистрам памяти:
а П А
b Ч В
с П С.
Для хранения данных и промежуточных ре-
зультатов вычислений в микрокалькуляторе
имеется 14 адресуемых регистров памяти РП
(регистр памяти) с индексами 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, А, В, С, Д. Запись «а П А» озачает
операцию засылки числа (константы) а в ад-
ресуемый регистр памяти с индексом «А».
Чтобы вызвать число а из регистра А, нужно
нажать клавиши ИП А (П — засылка в па-
мять. ИП — извлечение из памяти).
Число хранится в данном регистре памяти
до тех пор, пока туда не заслано другое чис-
ло; При этом предыдущее содержимое авто-
матически стирается. При выключении микро-
калькулятора стирается содержимое всех ре-
гистров памяти и программной памяти.
5. Команда «Пуск»: В/О С/П.
Машина автоматически выполняет введенную
в нее программу начиная с нулевого адреса и
через 8 с, выполнив последнюю команду С/П—
«Стоп», останавливается, высвечивая на ин-
дикаторе результат вычислений. Работа по
программе сопровождается прерывистым све-
чением индикатора.
6. Прочитать на индикаторе значение хь на-
жать клавишу ХУ и прочитать значение х2.
7. Очередные вычисления с новыми данными
начать с пункта 4.
При отрицательных значениях дискрими-
нанта машина прекращает вычисления, высве-
чивая на индикаторе символ «ЕГГОГ» —
ошибка.
Решим по приведенной программе уравне-
ние 5х2—39х+76=0.
Включив микрокалькулятор и выполнив
пункты 1—3 инструкции, будем, следуя даль-
нейшим указаниям, нажимать клавиши, следя
за показаниями индикатора (см. табл.). Два
последних числа на индикаторе — это корни
данного уравнения: Xi=3,8, х2=4.
Нажимаемые клавиши Показания индикатора
5 П А 5
-39 П В —39
76 П С 76
В/О С/П 3,8
ХУ 4
Решение следующих уравнений нужно начи-
нать с 4-го пункта инструкции.
х2—х-ЬО,016711=0; cI=0,017, xs=0,983.
0,18х2+11 х- -234 =0; х, =—77,816 975;
х2= 16,705 865
х2+5х+7=0; «ЕГГОГ».
Вычисление НОД и НОД двух целых чисел
а и b
Порядок вычислений:
1. Нажать последовательно три клавиши:
В/О F ПР Г.
2. Занести соответствующую программу в
память машины.
3. Нажать клавиши: F АВТ
4. Занести значения чисел а и b в адресуе-
мые регистры памяти; для этого нажать кла-
виши а П А (записать число а в регистре
А) и b П В (записать число b в регистре В).
5; Команда пуск; В/О С/П.
6. Прочитать на индикаторе результат вы-
числительного процесса.
7. Вычисления с новыми данными начать с
п. 4.
Программа 2 реализует известный алгоритм
Евклида. Деление а на Ь заменено последова-
тельным вычитанием b из а. При этом необ-
ходимо устанавливать, не является ли раз-
ность р=а—b меньше нуля (это осуществля-
ется г.о команде с адресом 03) или равна ну-
лю (команда 12). Если р<0, то происходит
'2 «Математика е школе» № 5
33
Программа 2; НОД
(а, Ь)
Нажимаемые клавиши На инди- каторе
слева справа
ЯП А g 01
ИП В 6L 02
— II 03
F х <0 5[ 04
1 2 12 05
ИП В 6L Об
ЕП А 6— 07
11 В 4L 08
ХУ 14 09
[Га 4— 10
ьп 51 11
0 0 00 12
F х =0 5Е 13
0 9 09 14
ИП в 6L 15
С/П 50 16
Программа 3; НОК
(а. Ь)
На инди- каторе
Нажимаемые кльгиши еле а» . и
ИП А 6- 01
ИП В 6L 02
X 12 03
п С 4[ 04
ИП А 05
ИП В 6L Гб
II Г7
F х<0 5| •8
1 6 16 09
ИП В 61 10
ИП А 0—- II
11 В 4L 12
ХУ 14 13
П А 4__ 14
БП 51 15
0 4 04 16
F х — о 5Е 17
1 3 13 ’8
ИП С 61 19
ИП В 6L 20
13 21
С'П 50 22
обмен содержимыми регистров А и В (коман-
ды 05—09). Если р=5^0, то значение р засы-
лается в регистр А (команда 09). В обоих
случаях происходит переход на нулевой адрес
программы (команды 10—11). Напомним, что
первая команда программы 2 имеет адрес 00,
вторая 01 и т. д.
Программа 3 работает по следующему ал-
горитму:
При ее составлении полностью использова-
на программа 2.
По окончании вычислений по программе 3
значение НОК (а. Ь) высвечивается на инди-
каторе, при необходимости можно вызвать на
индикатор и значение НОД (а, Ь), нажав кла-
виши ИП А или ИП В.
Время работы программ зависит от значе-
ний а и Ь. Например, НОД (10 120, 1540) =220
машина вычисляет за 43 с, а НОК (Ю 120,
1540) =70 840 —за 45 с.
Решение системы двух линейных уравнений
с двумя неизвестными:
О II -^1 4“ &I2 -*2 ~
в Л -Xi 4" Я22 -^2 ~~ ^2*
Алгоритм решения:
_„ bt—
•Л 2 — ' ' « Л] —- -
<2jl
Порядок вычислений:
Пункты 1—3 такие же, как и в предыдущих
случаях с поправкой на программу 4.
4. Распределить коэффициенты системы по
адресуемым регистрам памяти. Для этого на-
жать клавиши: г
flu П 7, П 8, Ьу П 9,
g2i П 4, П 5, Ь2 П 6.
Число Яц засылается в регистр 7, число
а12 — в регистр 8 и т. д.
5. В/О С/П.
6. Прочитать на индикаторе значение xt.
Нажать клавишу ХУ и прочитать значение х2.
По окончании вычислений по программе 4
значения коэффициентов системы остаются в
своих регистрах памяти, и вычисления можно
повторять, меняя только некоторые из взятых
ранее коэффициентов.
В тех случаях, когда система не имеет ре-
шений или имеет бесконечное множество ре-
шений, машина высвечивает на индикаторе
символ «ЕГГОГ»— ошибка. Приведем при-
меры:
0,187 Xi + 0,937 х2 = 9,55/,
14,759 Xj + 0,27 х2 = 17,459,
Xi = 1, х2 = 10.
791 х14-984хг = 6536,
4568 Xj + 13987 х2 = 14 778,
Xj = 11,703419,
х2 = — 2,765655.
Г -хх 4- 2 х2 = 5,
( 2х, + 4 х2 = 13,
3xj + 6х2 = 15,
9 хх 4- 18х2= 45,
«ЕГГОГ».
«ЕГГОГ»
Вычисление угла
между двумя векторами на плоскости
Пусть в декартовой системе координат за-
даны векторы: а(ах; ау) и Ь(ЬЖ; Ьу). Тогда*
угол ф между ними вычисляется следующим
образом:
ах х ^У
? = (at b) — arccos
Нахождение угла по данной формуле —
одна из самых распространенных и наиболее
трудоемких задач курса геометрии IX—X
классов. Она входит составной частью во мно-
гие более сложные задачи. Программа 5 поз-
Программа 4
Нажимаемые клавиши На инди- каторе
слева справа 1
ИП 9 69 01
ИИ 4 64 - 02
X 12 03
ИП 6 66 04
ИП 7 67 05
X 12 Сб
— 11 г.7
НИ 8 68 8
ИП 4 61 (9
X 12 10
ИП 5 65 11
ИП 7 67 12
X 12 13
II 14
-5- 13 15
П 2 42 16
ИН 9 69 17
ИП 8 68 18
ИП 2 Ь2 19
X Г2 20
11 21
ИП 7 67 22
-4- 13 23
С/П 50 24
П рограмма 5
На инди- каторе
Нажимаемые клш ншн слева | справа
ИП 7 67 01
ИП 4 64 02
X 12 03
И11 8 68 04
ИП 5 63 05
X 12 66
+ К) 07
ИП 7 67 08
F х’ 22 69
ИП Ь 68 Ю
F х2 22 и
+ 10 12
ИП 4 61 13
F х2 22 14
ИП 5 63 15
F х2 22 16
+ 10 17
X 12 18
F Г" 21 19
13 20
F arccos 1— 21
СП 50 22
34
воняет вычислить любое количество значе-
ний <р, мейяя только содержимое четырех ре-
гистров памяти, в которые засылаются значе-
ния координат обоих векторов:
' ах П 7, а? П 8,
Ьх П 4, Л П 5.
9 Л *
Пример. По данным координатам векто-
ров а (1; 2) и b (2; 1) найти угол <р между
ними. Ответ: tp=36,8699°.
Замечание. При вводе значений аргу-
мента тригонометрической функции необходи-
мо следить за положением переключателя «Ра-
диан/Градус» (на рисунке он обозначен циф-
рой 2). В зависимости от его положения зна-
чения <р можно получить как в градусах, так
и в радианах. Время вычисления по програм-
ме 5 не более 10 с.
Решение косоугольных треугольников
по формуле косинусов
Если известны длины двух сторон треуголь-
ника, например Ь, с, и угол между ними а,
то длина третьей стороны вычисляется по
формуле
а = V4 Ь2 + с2 — 2 be cos а. (♦)
В данном случае нельзя обойтись без громозд-
ких вычислений, которые целесообразно пере-
доверить микрокалькулятору. Здесь приведена
программа 6 для вычислений по формуле (*).
Данные (Ь, с и а) распределены по регистрам
памяти следующим образом:
b П 1, с П 2, а П 3.
Для того чтобы провести вычисления с но-
выми данными, достаточно заслать новые чис-
ла в регистры памяти 1, 2, 3. Время вычисле-
ний по программе 6 не более 9 с.
П рограмма 6
Нажимаемые клавиши На индикаторе
слева справа
ИП 1 61 01
F х’ 22 02
ИП 2 62 • 03
F х’ 22 04
+ 10 05
ИП 1 61 06
ИП 2 62 07
X 12 08
2 02 09
X 12 10
ИП 3 6.3 II
F cos 1Г 12
X 12 13
— II 14
F У 21 15
с/п 50 16
Пример. Найти длину стороны а тре-
угольника, если: Ь = 8, с=3, а=60°. Ответ:
а=6,9999999=7.
Надеемся, что приведенные выше програм-
мы заинтересуют читателей и в дальнейшем
они самостоятельно будут составлять и ис-
пользовать в своей работе разнообразные про-
граммы для автоматизации расчетов.
Литература
1. Блох. А. Ш„ Павловский А. И., Пенкрат В. В.
Программирование на микрокалькуляторах.— Минск:
Вышэйшая школа, 1981.
2. Гильде В.. Альтрихпр 3. С микрокалькулятором в
руках: Пер. с нем.— М.: Мир, 1981.
3. Инструкции по эксплуатации МК «Электроника
БЗ-34», «МК-56», «МК-54».
4. Трохименко Я. К- Любич Ф. Д Инженерные ра-
счеты на микрокалькуляторах.— Киев: Техника, 1980.
5. Чакань А. Что умеет карманная ЭВМ?: Пер.
с венг.— М.: Радио и связь, 1982.
О некоторых особенностях
решения уравнений
с помощью микрокалькулятора
М. 6. оалк, А. А. Полухин
(г. Смоленск)
1. Изучаемые в основном школьном курсе
математики приемы решения уравнений при-
менимы лишь к сравнительно узкому классу
уравнений, поэтому весьма ценным является
ознакомление учащихся IX—X классов с важ-
ными для практики общими методами нахож-
дения корней уравнений с наперед заданной
точностью. Наиболее простым среди них яв-
ляется метод простых итераций, изучение ко-
торого предусмотрено программой факульта-
тивного курса «Математика в приложениях»
[1] (с. 36—37). Достаточно компактное и
доступное для учащихся изложение этой те-
мы можно найти в книге [2] (с. 349—360), а
также в [3], [4], [5].
Практически реализовать указанный метод
особенно удобно, если воспользоваться микро-
калькулятором. При этом возникают некото-
рые специфические обстоятельства, о которых
будет речь в данной статье.
2. Изложение метода простых итераций при-
менительно к уравнению вида
x=f(x)
часто начинают с более или менее детально-
го рассмотрения итерационной последователь-
ности вида
х0, xt=f(x0), X2=f(Xt), ...
.... Xn+i=f(Xn), ....
обоснования ее сходимости и решения вопро-
са о существовании (и единственности) кор-
ня уравнения x=f(x); лишь после этого рас-
сматривается вопрос о вычислении этого ко) -
2*
ня с заданной точностью. Видимо, в связи с
ориентацией именно на такое изложение дан
ная тема включена в раздел «Последователь
ности и уравнения» факультативного курса.
Нам представляется педагогически более
оправданным другой вариант рассмотрения
данной темы в школе — а именно, без иссле-
дования вопроса о сходимости итерационной
последовательности. Наметим вкратце схему
соответствующего изложения.
Пусть Д — промежуток, который является
либо отрезком [а, Ь], либо числовой прямой
] — ос; 4-оо [, либо замкнутым лучом вида
[а; 4”Оо[ или ]—оо; а]. Функцию x'=f(x),
заданную на Д, назовем сжимающим отобра-
жением этого промежутка в себя, если для
всех чисел х из Д имеем:
Д и |/'(*)|=^<7,
где q — некоторая положительная константа
(константа сжатия), которая строго меньше
единицы. Имея какое-либо уравнение вида
х=/(х), мы обычно можем без труда (напри-
мер, графически) выделить такой промежу-
ток Д, на котором уравнение x=f{x) имеет
корень, и притом единственный *. При этом
часто нетрудно также обнаружить, что функ-
ция x'-f(x) задает сжимающее отображение
промежутка Д в себя (примеры см. в книге
[2])-
Основой метода простых итераций служит
следрощая теорема:
Пусть функция x'=f(x) задает сжимающее
отображение некоторого промежутка Д в себя
и q — константа сжатия; х* — расположенный
на Д корень уравнения
x=f(x); (1)
хп—число из которое мы по каким- тибо
соображениям приняли за приближение к кор-
ню х* («история появления» числа хп нас в
этой теореме не интересует); Xn+1 — число
задаваемое «формулой простой итерации»
Xa+i=f(xn). (2)
Тогда справедлива следующая оценка для
отклонения числа хп+г от корня х*:
| х* - х.+1 | < | хя+1 — хп | . (3)
И частности, при q^0,5 имеем:
|.г*—хл+1| |х„+1—х,2|. (4)
Действительно, сначала заметим, что ч си-
лу известной в анализе теоремы Лагранжа
найдется между х* и Хл такое число с, что
/(х*)—/(х„) =Г(с) • (х*—хп).
1 Можно доказать, что если х'=/(х) сжимающее
отображение промежутка Д в себя, то уравнение
х=-)(х) обязательно имеет на Д корень, и притом
единственный. Однако в каждом конкоетном случае
это обычно нетрудно обнаружить непосредственно с по-
мощью графиков.
Поэтому — учитывая, что f(x*)=x*. — име-
ем:
|Х*-Хл+,| = |/(.<)- /(хл)| = 1)'(С)|-1х*-
-Хп|^<7’ | (X*—Хл+1) 4- (Хл+1—Хл) |^<7-|х* —
—хп+1|+<7- |хп+1—Хп|,
откуда следует-неравенство (3).
В дальнейшем ограничимся ради -простоты
лишь такими задачами, в которых q^0,5.
Из этой теоремы вытекает определенный ме-
тод вычисления (с заданной точностью) кор-
ней уравнений вида
Ф W =Ф (;;) (5)
(«метод простых итераций»), а именно:
Обнаруживаем (обычно — с помощью
графиков), что данное уравнение имеет на не-
котором промежутке Д (одного из указанных
выше типов) единственный корень.
Представляем уравнение (5) на Д в ви-
де x—f(x), причем функцию f(x) подбираем
так, чтобы она задавала сжимающее отобра-
жение Д в себя с некоторой константой сжа-
тия q.
Выбираем (обычно на основании гру-
бой прикидки) «нулевое приближение» х0 на
Д и находим х1=||Х0); затем округляем с
учетом требуемой точности число х( и, сохра-
няя для полученного после округления числа
то же обозначение хь вычисляем следующее
приближение х2 по формуле x2=f(xI); и т. д.
Возникающие последовательно числа хь х2,
х3, ... обычно (если округление не слишком
грубое) приближаются к искомому корню х*.
Для оценки погрешности, допускаемой
при замене корня х* числом xn+1(xn+i=f (хл)),
можно воспользоваться неравенством (3).
При этом необходимо учесть, что число хп-н
из (3) обычно представляет собой бесконеч-
ную десятичную дробь; при округлении ее,
т. е. при замене числа хл+г каким-либо его
конечным десятичным приближением хл+1,
возникает дополнительная «погрешность ок-
ругления», которая также должна быть уч-
тена.
3. Окончательное получение приближения к
искомому корню с наперед заданным числом
верных десятичных знаков — наиболее кро-
потливая часть решения уравнения этим мето-
дом. При решении уравнений по методу прос-
тых итераций часто пользуются таким пра-
вилом: «Вычисления последовательных при-
ближений продолжают до тех пор, пока в пре-
делах заданной точности два соседних при-
ближения хл и Xn+t не совпадут» (см., напри-
мер, книгу |3], с. 150—151). Однако такой
прием может привести к неправильному от-
ьету — даже в том случае, когда константа
сжатия q 0,5.
Наппимер, уравнение х —8,584-0,5(х—8.58)
имеет единственный корень на ]—оо; 4-оо[, и
функция f(x) =8,584-0,5 (х—8,58) осушест-
вляет сжимающее отображение промежутка
]—оо; -|-оо[ в себя с константой сжатия q —
=0,5, так как |/'(х)|=0,5. Полагая х0=8,74,
получим X] =/(8,74) =8,66. С точностью до
0,1 эти два приближения совпадают (х0«8,7,
Xi«8,7). Поэтому, если полагаться на цити-
рованное выше правило, следует, казалось бы,
считать, что х*~8,7 с точностью до 0,1 (т. е.
|х*—8,7| =С0,1). Однако, решая уравнение
непосредственно, найдем точное значение кор-
пя х*=8,58 и увидим, что |х*— 8,71 =0,12>(
>0,1.
Ниже приведем видоизменение указанного
правила, ио уже применимое без каких-либо
оговорок.
4. Решение уравнений методом итераций
существенно упрощается, если воспользовать-
ся микрокалькулятором (полагаем, что чита-
тель знаком с техникой вычислений на микро-
калькуляторах, в частности на микрокальку-
ляторе «Электроника БЗ-18 А», в объеме кни-
ги [7])- При этом возникают некоторые ка-
чественные различия по сравнению с письмен-
ными вычислениями. При письменных вычис-
лениях лучше всего не тянуть за собой «хвост
цифр», а предварительно произвести округле-
ние промежуточных результатов с учетом тре-
буемой точности. Например, если требуется
получить ответ с тремя верными десятичными
знаками, то нет смысла сохранять в промежу-
точных результатах по 6—8 цифр после запя-
той: мы значительно сэкономим время, если
надлежащим образом округлим промежуточ-
ные результаты, оставив лишь по одной запас-
ной цифре. Совершенно иная картина имеет
место при вычислениях с микрокалькулятором.
Здесь сброс «лишних» цифр в промежуточных
результатах приводит лишь к трате времени,
не давая экономии в вычислениях. Например,
микрокалькулятор требует примерно одно и
то же время для нахождения числа sinx не-
зависимо от того, задано ли х в виде двузнач-
ного или шестизначного числа. Поэтому ясно,
что при вычислениях с микрокалькулятором
следует по возможности избегать таких опера-
ций, как сброс каких-то чисел или отдельных
цифр, дополнительная установка чисел на ин-
дикаторе и т. п. Операции же с многозначны-
ми числами, уже записанными на индикаторе
или в каком-либо регистре, обычно целесооб-
разно производить без их предварительного
округления.
5. Упрощение решения ряда вычислительных
задач связано со следующей теоремой, кото-
рая позволяет уточнить правило, процитиро-
ванное в пункте 3.
Теорема 1. Пусть положительные чис-
ла Хъ Xn+i, х* удовлетворяют неравенству
| 1 (6)
в десятичной записи чисел хп и x„+i целые
части и k первых десятичных знаков совпа-
дают;
число хп+1 получено из числа x„+i путем
ок ругления по обычным правилам с k де-
сятичными знаками. Тогда в записи х*^
^zxn+i все цифры будут верными {в ши-
роком смысле), т. е.
| X* — хп+1 | < —.
Доказательство. Пусть Хп—а\ а( ...
Да Да+1 - - .,
хп+1=а, at — afebh+i..., Со=а, а\...аь,
1 1 .2
1 ° icfc 10* 2 ° 10*
Тогда хя+1 € [с0; й], хп € [с0; с(]. Возмож-
ны два случая, которые и рассмотрим.
I случай: л„+1<с0+(рис. 1), значит
j= I = Cq,
Положим d—ct—хп+1. Тогда
d>—Ц.
2-10*
Имеем: |хя—хя-н | ^d, и, следовательно, |х’—
—*л+||г^с? (см. неравенство (6)). Поэтому
Хп 4-1 “""Г С—| Хп +1 d <5, X Л'д4-1 ф-
Отсюда следует, что неравенство (7) верно.
II случай: хП 4-1 > <0 + —' jUA~ ^ИС‘ значит
x„+i = сх. Положим d ='xn+i —с0. Тогда
Имея в виду неравенства |хя—x«4-i|^d и
|х*—x„4-i | tS^d, заключаем:
<Л" + * + + ^ = х„+ +^.
Хп+1~& Xn+i Xn+t Xn+i+d
Cf С=С„+^К С2
Рис. 1 Л
v Рнс. 2
Xn+1~ti Xn+f Хп+1 Хп+i+d
С-1 св с, с2
37
Как видно, и в этом случае неравенство (7)
верно. Теорема доказана.
Учтем теперь, что решая уравнение вида х — f(x)
методом простых итераций, когда на промежутке А кон-
станта сжатия q < 0,5, мы получаем оценку (6) (см.
также (4)), где хп—некоторое принадлежащее Д при-
ближение к искомому корню х*, полученное каким-либо
способом, а х„ + 1 — приближение, полученное обяза-
тельно по способу простых итераций, т. е. х„ + t—f (x„).
В частности, в качестве хп мы можем взять то число,
которое высвечено на индикаторе микрокалькулятора
(либо это выбранное начальное приближение х0, либо
значение, вычисленное с помощью микрокалькулятора
по формуле простых итераций). Вычисляя на микрокаль-
куляторе число х„ + ! = f(x„), мы можем обычно с до-
статочным основанием считать, что на индикаторе вы-
свечивается некоторое количество (скажем шесть или
пять) верных первых цифр разложения этого числа в
бесконечную десятичную дробь. Количество таких вер-
ных цифр зависит, естественно, от характера функции f
и от промежутка Д, в котором допускается выбор зна-
чения аргумента (хп). В реальных для школьной прак-
тики случаях, когда вычисление значения xn +1 =
= f (хп) не предполагает выполнения большого числа
элементарных (для данного микрокалькулятора) дейст-
вий, можно с большой вероятностью считать, что пер-
вые пять-шесть цифр разложения числа х„ + i в беско-
нечную десятичную дробь совпадают с первыми пятью-
шестью цифрами, содержащимися в старших разрядах
того числа, которое высвечено на Индикаторе микро-
калькулятора (см руководство по эксплуатации микро-
калькулятора «Электроника БЗ-18А»).
В дальнейшем будем — ради конкретнее!»! — иметь
в виду именно тот случай, когда функция f (см. урав-
нение (1)) такова, что при любом выборе аргумента х
из рассматриваемого интервала аргументов первые
шесть цифр разложения числа x’ — f(x) в бесконечную
десятичную дробь совпадают с первыми шестью циф-
рами числа, выдаваемого для f(x) на индикаторе мик-
рокалькулятором.
Если у числа x„+l=f(xn) и у предыдущего
приближения хп совпадают целые части (т
цифр) и еще по крайней мере k цифр после
запятой (rn+fe<6), то мы можем пользо-
ваться предыдущей теоремой. Приходим к та-
кому алгоритму для нахождения приближен-
ного значения корня х* уравнения x=f(x)
с k верными цифрами после запятой при
<7 <0,5:
1) Выбрав на Д путем более или менее гру-
бой прикидки приближение х0, находим на
микрокалькуляторе приближение xt=f(XQ) с
помощью некоторой определенной последова-
тельности операций (на индикаторе в действи- '
телыюсти высвечивается некоторое приближе-
ние к числу /(х0), которое мы и принимаем
за Xi).
2) Не меняя числа на индикаторе, выпол-
няем с ним ту же последовательность опера-
ций. В результате высвечивается некоторое
число Х2.
3) Повторяя (с х?) снова ту же последова-
тельность операций, получим на индикаторе
число Хз, затем х< и т. д.
4) Счет ведем до тех пор, пока у двух по-
следовательных приближений (хп и хп-ц) не
окажутся совпадающими все цифры до А-й
цифры после запятой включительно.
5) Округляем по обычным правилам при-
ближение хп+1, оставляя k цифр после запя-
той. Полученное после округления число
Хп+1 служит приближенным значением иско-
мого корня с k верными десятичными знака-
ми (в широком смысле):
х*^хп+\, причем | х*—х„ + 1 |
6. Проиллюстрируем изложенные выше со-
ображения на типичных примерах.
Пример. 1. Вычислить корень уравне-
ния 2
х — 0,lsinx=l 1 (8)
с точностью до 0,001, т. е. с тремя верными
цифрами после запятой.
Решение. Записав данное уравнение в
виде sinx=10(x—1). и построив графики
функций y=sinx и у = 10(х—1), замечаем,
что уравнение (8) имеет единственный корень
на [1; 2]. Перепишем (8) в виде x=f(x):
х=0,1 sin х-М- Убеждаемся, что функция
f(x) =0,1 sin x-f-1 задает сжимающее отобра-
жение отрезка [1; 2] в себя: во-первых, при
х € [1; 2] выполняется неравенство 0с
<sinx<l и, следовательно, l<0,lsinx-f-
+ 1 < 2; во-вторых, |f'(х) | = 10,1 cosx| <
< 0,1 < 1. Последнее неравенство означает,
что в качестве константы сжатия можно
взять число <7=0,1 <0,5 (поэтому можно вос-
пользоваться теоремой 1). Далее ведем счет
на микрокалькуляторе.
Шаг № 1. Выбираем нулевое приближение:
х0=1; используя микрокалькулятор, вычис-
лим /(1)=-Dlsin 1-J-1. Для этого набираем на
клавиатуре число 1 (переключатель «Рад/
Град» устанавливается предварительно в по-
ложение Рад, так как аргумент синуса мы
берем в радианах), которое тут же высвечи-
вается на индикаторе. Далее нажимаем кла-
виши в той последовательности, которая ука-
зана ниже:
F sin X 0 . 1 + 1 = (9)
(При наборе десятичной дроби, в данном слу-
чае 0,1, вместо запятой нажимается клавиша
с изображением точки.)
В результате на индикаторе появится число
1,0841471, которое является приближенным
значением /(1). Иными словами, в действи-
тельности Х!=/(1) = 1,0841471 ... — беско-
нечная десятичная дробь (здесь точки изо-
бражают неизвестные цифры). У чисел х0=1
и Х] = 1,0841471 ... нет -совпадения цифр пос-
ле запятой до третьего десятичного знака
включительно. Поэтому переходим к следую-
щему шагу.
2 Вычисления выполняются на микрокалькуляторе
«Электроника БЗ-18 А»,
38
Шаг № 2. Примем в качестве х) число, изо-
браженное на индикаторе, т. е. 1,0841471 (ко-
нечная десятичная дробь) и, выполняя ту же
последовательность операций (9), вычислим
f(xj); получим на индикаторе число 1,0883905,
Это значит, что x2=f(x\) = 1,0883905... . Со-
поставляя х2 и Xi, видим, что первые три зна-
ка после запятой у них не совпадают. Пере-
ходим к следующему шагу.
Шаг № 3. Полагая х2 —1,0883905 (это число
изображено на индикаторе), вычисляем с по-
мощью той же цепочки операций (9) хз по
формуле x3=f(x2). На индикаторе получим
число 1,0885881. Это значит, что х3 =
= 1,0885881... . У х2 и х3 совпадают десятич-
ные знаки до третьей цифры после запятой
включительно. Округляя Хз по обычным пра-
вилам округления, получим х3=1,089. В силу
теоремы 1 можно утверждать: х*я 1,089, где
все десятичные знаки — верные (в широком
смысле, т. е. |х*—1,089( <0,001).
Пример 2. Найти корень уравнения
2
2 + е~х — — с четырьмя верными цифрами
после запятой.
Это уравнение встречается при расчете ко-
лебаний стержня под действием продольного
удара (см. книгу [3], с. 158).
Решение. Рассматривая графики у—
=е-ж-|-2 и y=2jx, обнаруживаем, что данное
уравнение имеет единственный корень х*,
принадлежащий отрезку [0,5; 1]. Перепишем
уравнение в виде (2):
2 + е~х '
Полагаем f(x) =2(24-е~х)-1. Если х€ [0,5; •
1], то f(x) € [0,5. 1]; кроме того, на [0,5; 1]
I f । ~ (2ех + 1)= <
поэтому f(x) задает сжимающее отображение
отрезка [0,5; 1] в себя с константой сжатия
9=0,5. Применяем метод простых итераций,
положив х0=1. После установки на индика-
торе числа х0=1 пользуемся программой, ко-
торая состоит из следующих (одинаковых)
циклов:
/ — / F ех + 2 = F 1/х X 2 =
(Первая операция / — / означает замену зна-
ка у числа, установленного на индикаторе.)
Получаем: х0=1,
= 0,8446372, х4 = 0,8195256,
х2 = 0,8231424, х5 = 0,8194568,
х3 = 0,8199912, х0 = 0,8194466.
Так как хз и х6 имеют по четыре соответствен-
но совпадающих цифры после запятой, ю счет
можно прекратить. После округления числа х6
до четырех верных цифр после запятой полу-
чим х6=0,8194. По теореме 1 х*«0,8194.
Отмеченный ьыше путь решения уравнений
с помощью микрокалькулятора не только по-
лезен для ознакомления учащихся с важным
приложением вычислительной техники, но так-
же подготавливает школьников к восприятию
простейших идей программирования на ЭВМ.
Упражнения
С помощью микрокалькулятора БЗ-18 А вычислить
с тремя верными цифрами после запятой положитель-
ные корни следующих уравнений:
а) 2х — е-*; б) 4х(х-Н)’—1=0;
в) (х—3) (х+8) = 1; г) 2 sinx—5х+5=0;
д) Зх—cosx—1=0; е) 0,6 cosx—х=0.
Нулевые .приближения и ответы: а) х0=0, 0,352;
б) х0 = 0, 0,160; в) х0 = 3, 3,090; г) х0 = 1, 1,394;
д) х0 = 0,5, 0,607; е) х0 = 0,5, 0,521.
Литература
1. Программы факультативных курсов на 1980—
1985 гг.— Математика в школе, 1980, № 4, с. 35—38.
2. Балк М. Б., Балк Г. Д. Математика после уроков:
Пособие для учителей.— М.: Просвещение, 1971.
3. Пулькин С. П. Вычислительная математика: Посо-
бие для учителей по факультативному курсу.— М Про-
свещение, 1972.
4. Виленкин Н. Я. Метод последовательных прибли-
жений.— М.: Наука, 1975.
5. Пупькин С. П Вычислительная математика: Посо-
бие для учащихся 9—10 классов по факультативному
курсу.— М : Просвещение, 1974
6. Монахов В. М. Программирование. Факультатив-
ный курс: Пособие для учиi елей. — М.: Просвещение,
1974.
7. Ковалев М. Г.., Шварибурд С. И. Электроника по-
могает считать. М.: Просвещение, 1978.
8. Белый Ю. А. Элек.ройные микрокалькуляторы и
техника вычислений.— М.: Знание, 1981 — (Новое в
жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернети-
кам, № 2).
39
В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ ВЕЧЕРНИХ (СМЕННЫХ]
И ЗАОЧНЫХ ШКОЛ
Карточки-информаторы по теме
« Применение производной»
В. М. Мацкин
(г. Болшево Московской обл.)
В последнее время все большее распростране-
ние получает заочное обучение в вечерней
(сменной) средней школе. Главной формой за-
нятий в условиях заочного обучения являются
групповые и индивидуальные консультации.
К сожалению, пропуски занятий учащимися
заочной школы — явление не сто; ь уж ред-
кое, поэтому уровень их знаний пока еше ос-
тается невысоким. В таких условиях проблема
ликвидации пробелов в знаниях учащихся яв-
ляется очень актуальной. Б основном объясне-
ние учащимся всею того, что они не поняли,
происходит на индивидуальных консультаци-
ях. Однако на них практически невозможно
дать каждому учащемуся консультацию по
нужному именно ему вопросу, ибо эти вопро-
сы разнообразны. В этой ситуации карточки-
информаторы оказывают большую пользу. Они
составляются последующим принципам: 1) ко-
ротко изложить теоретический материал и хо-
рошо его проиллюстрировать, 2) сформулиро-
вать несколько вариантов упражнений, 3) по-
казать алгоритм выполнения задания 1 ва-
рианта и образец его записи (остальные ва-
рианты предназначаются для самостоятельной
работы).
Каждому учащемуся предлагается своя кар-
точка-информатор для самостоятельного изу-
чения теории и выполненного на карточке за-
дания. В случае необходимости учитель пояс-
няет непонятные места из текста карточки.
Затем учащиеся по образцу, решенного вари-
анта выполняют самостоятельно следующие
варианты заданий, указанные в карточке. Эту
работу они делают в своих тетрадях. Но под
тетрадочный лист подкладывается чистый лис-
ток и копирка. На вкладном листе получается
копия выполненной работы, которая и сдает-
ся учителю для проверки. Учащийся же полу-
чает карточку с решением предлагавшихся
ему задач и по ней сам проверяет свое реше-
ние, выясняя все, что ему было непонятно.
В карточках-информаторах акцент сделан
на практическую сторону вопроса, т. е. основ-
ная цель — научить слушателей решать и
Оформлять основные типы упражнений по дан-
ной теме. Примеры алгоритмов решения за-
дач по всем темам программы можно взять
из нового учебного пособия для IX—XI клас-
сов вечерней сменной школы «Алгебра и на-
чала анализа» под редакцией Г. Д. Глейзера
(М.: Просвещение, 1933).
Приведенные ниже карточки-информаторы
предлагались на курсах повышения квалифи-
кации учителей математики вечерних школ
Московской области и успешно использова-
лись в практической работе многих преподава-
телей.
Покажем образцы карточек-информаторов
по теме «Применение производной». Заметим,
что в карточках № 2—4 в I варианте рассмат-
ривается одна и та же функция. Поэтому в
первых двух случаях мы не приводим образ-
цы выполнения задания I варианта, так как
их легко выделить из карточки № 4. Пункты
1—5 из № 4 пригодны для карточки № 2, а
пункты 1—7 — для карточки № 3.
№ 1. Возрастание и убывание функции, ее
наименьшее и наибольшее значение, точки
экстремума и экстремумы.
Определения
1) Функция f(x) называется возрастающей
(убывающей) на промежутке J, если для лю-
бых Xi и х2, принадлежащих J, из условия
х2>х, следует f(x2)>f(xi) (/(х2) <| (xt));
2) f(xo) — наибольшее (наименьшее) зна-
чение /(х) на промежутке J, если для все" х
из промежутка J выполянется:
(/(Xo)^f(x));
3) Хо — точка минимума, a f(xo) — мини-
мум функции f(x), если f(x0) — наименьшее
значение f(x) в некоторой окрестности Хо;
4) х0 — точка максимума, a f(xe) — мак-
симум функции f(x), если f(x0) — наибольшее
значение f(x) в некоторой окрестности Хд;
5) точка экстремума — точка максимума
или минимума;
6) экстремум — максимум или минимум
функции.
Задания1
Функция f(x) задана графиком (рис. 1 —
1 Задание выполняется на наглядно-интуитивном
уровне.
Рнс. 2
I вариант, рис. 2 — II вариант, рис. 3 —
III вариант). Найдите на ее области опреде-
ления: а) промежутки возрастания и убыва-
ния функции 2; б) наибольшее и наименьшее
значение; в) точки экстремума; г) экстрему-
мы функции.
Решение (рис. I)
a) f(x) возрастает на промежутках: [а; Xi];
[х2; [х4; ft]; f(x) убывает на промежут-
ках: [Хь х2], [х3; х4].
б) faan6.—f(b), /напм. = /(х2).
в) Л'( и хз — точки максимума; х2 и х4 —
точки минимума.
г) /(Xi) и f(x3) — максимумы; /(х2) и
/(х4) — минимумы.
№ 2. Признак возрастания (убывания) функ-
ции
Если /'(х)>0 на промежутке J, то f(x) воз-
растает на 1.
Если /'(х)<0 на промежутке J, то f(x)
убывает на /.
Замечание. Если функция непрерывна
на конце промежутка, то его можно присоеди-
нить к промежутку возрастания (убывания).
Задания
Найдите промежутки возрастания и убывав
ння функции: z —
I. у—Зх—х3.
И. у=х*—Зх24-4.
III. Зх+1.
№ 3. Необходимое и достаточное условия
экстремума
Пусть f — непрерывная функция, a Xq —
некоторая внутренняя точка ее области опре-
деления.
В точке х0 производная функция / может не
существовать. Если производная существует,
то в точке х0 она может принимать положи-
2 Здесь и далее имеются в виду промежутки «наи-
большей длины» на области определенна.
тельное, отрицательное или нулевое значе-
ние.
Если производная в точке х0 положитель-
на (отрицательна), то функция возрастает
(убывает) в окрестности точки х0 и экстрему-
ма в х0 нет.
Необходимое условие экстремума: если х0
является точкой экстремума функции f, то в
этой точке ее производная равна нулю или не
существует.
Определение. Если в точке х0 произ-
водная не существует или равна нулю, то
Хо — критическая точка.
Вывод: точки экстремума следует искать
только среди критических точек.
Пусть Хо — критическая точка. Тогда воз-
можны лишь следующие комбинации знаков
производной слева и справа от нее:
+ —; — + • + +; — —.
Соответствующие 4 случая проиллюстрирова-
ны на рнс. 4—5, причем каждый случай имеет
два подслучая: а) в точке х0 производная не
существует; б) в точке х0 производная равна
нулю. Из рисунков видно, что функция име-
ет экстремум лишь при перемене знака про-
изводной (рис. 4).
Достаточное условие экстремума: если в
точке Хо производная меняет знак с плюса на
минус, то Хо —точка максимума, а если с ми-
Рис. 4
X,-точке максимума
flx,h максимум функции
— | + знак fао
-ъ.х.,.-'
Хо-точка минимума
бхУ)-минимум функции
41
нуса на плюс, то Хо—точка минимума функ-
ции.
Задания
Найдите точки экстремума и экстремумы
функции: ,
I. у—Зх—х8.
II. у=х3—Зх24-4.
III. у=х3—3x4-1.
№ 4. Исследование функций с помощью про-
изводной и построение их графиков
Задания
Исследуйте следующие функции с помощью
производной и постройте их графики:
1. у=3х—х3 (см. табл. 1).
Таблица 1
! Алгоритм исследования Образец Записи исследования и построения графика
1 . Найти область определе- ний функции / (X) В (/)=R
2. Найти производную функции f (jr)=3-3x’=3 (1-х’)= =3(1+ЛГ)(1~Х)
3. Найтн критические точки функции- Для этого: а) опре- делить, в каких точквх про- изводная не существует, 6) решить уравнение /'(х)—0 ») /'(х) существует во все» точках числовой прямой. б) 3(1+х)((-х)=0, 1+х=0, 1 —Х=0. X,: 1. Х, = 1—Крн- тнческие точки
4. Начертить координатную прямую и отметить иа ней критические точки. Опреде- лить знак производной на каждом из интервалов, на ко- торые критические точки разбивают область определе- ния производной - -У -
-7
5. На координатной прямой найти промежутки возраста- ния и убывания функции /(х) — , + 1 ~ у
у" Г ,
6. Найти точки экстремума функции 7. Найти вкстремумы функции х=—I — точка минимума, х=1 — точка максимума функции /(-1)=3(-1)-Ч-П«=-2 - минимум, Л+1 )=3(+1)-(+!)»=2 - максимум
8. Для уточнения формы гра- фика найти значения функ- ции в нескольких дополни- тельных точках Я0)=0, /Ю=-2, /(-2)=2
9. Начертить график функции fa г h
•
II. у=х3—Зхг4-4.
III. у=х3—3x4-1.
№ 5. Нахождение наибольшего и наименьше-
го значения функции на отрезке
Задания
Найдите наименьшее и наибольшее значе-
ния функции:
• 1. у=х4—2х2—3 на [0; 2] (см. табл. 2).
II. у=2х2—4x4-3 на [0; 4].
III. у=3х2—х3 на [—1; 3].
Таблица 2
Алгоритм решения Образец записи решения
1. Найти производную функ- ции у'=4.г’—4ж =4х (х>—1)= =4к (x-lHx+l)
2. Найти точки, я которых: а) производная не сущест- вует, б) производная равна нулю а) у'— существует во все, точкам отрезка, б) 4х (Л-1)(х+1Г=0, *,=-!. х,=0, JT,= 1
3. Определить критические точки внутри данного отрез- ка х=1 — критическая точка
4. Найти значения функции в критических точквх (внут- ри данного отрезка) и на концах отрезка у(1)=1—2—3=—4, у(0)=—3. у(2)=16-8-3=5
5. Из иейдеиных значений функции выбрать наимень- шее и наибольшее УН,им.=-4‘ Уцаиб.=®
№ 6. Решение задач геометрического содер-
жания на нахождение наибольшего (наимень-
шего) значения функции
Задания
I. Найдите наибольший объем правильной
треугольной пирамиды, у которой длина апо-
фемы равна 2|'3 дм (см. табл. 3).
II. Длина бокового ребра правильной четы-
рехугольной пирамиды 9 см. Найдите длину
высоты и стороны основания пирамиды, чтобы
ее объем был наибольшим.
III. Найдите наибольший объем правильной
треугольной призмы, у которой периметр бо-
ковой грани б дм.
ЧИТАТЕЛИ ВНОСЯТ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Таблица 3
| Алгоритм решения Образец записи решения
1. Построить рабочий черте» См. рис- 6
2. Записать сотую формулу для вычисления объема пи- рамиды V=7 «ось.15°1 = = 2—L |св| • • iso| • 3 2
3. Найти выражения для длин отрезков, входящих в форму- лу*: а) обозначить длину ка- кого-либо отрезка через х, б) рассматривая -подходя- щие* треугольники, выразить через х длины других отрез- ков Л а) Пусть |SO| = х. 6) Из Д SO К: |ОЛ~|= = /|$Кр- |30р, |ОК|=/12-ха. 1 ДА'|=3|ОА'|, |ДК"|=3 /12-ж’. Из Л АСК : |ДС| = sin 60° |ДС| = -Д=|А*|. |СВ| = /3 _ = MCI = 2 /3 . /12-х’
4. Подставить найденные вы- ражения в формулу • К =2 L . г/F- /12-х- х 3 2 х3- /12—
5. Упростить полученное вы- ражение и записать его как функцию от X V (х)=12 У 5” х - V~3 х‘
6. Найти (по смыслу задачи) область определения функ- ции х — длина отрезка, тогда х>0; из д SOtf:|SO| < ISAfl, Значит, jr<2 D(V)=10; 2 Z'3~|
Найти наибольшее значение функции: а) иайтн Vr(x)t б) найти критические точки и указать на координатной прямой интервалы между концами промежутка (£)(/)) н критическими точками. V"(jr)=3 / з" (2+ЯГ) (2— х) 3/Т (2+х)(2--л)=0, л.=-2, Jf»=2, Л=2 — единственная кри- тическая точка -Q ] у
в) найти знак производной на каждом промежутка и пока- зать стрелками, как изменя- ется функция на этих проме- жутках, г) определить Уиаиб на 10; 2| и на |2; 2 КТ*!; сделать общий вывод о Унаи6 не |0; 2 /Tj, Д) записать наибольшее (на- именьшее) значение функции 0 2 2V3 О ± , = о 2 \ 2}/3 на JO; 2| V(x) возрастает И(2)= =рГнаиб. иа 1°: 2» на I2- 2/"з“| И(.г) убывает К(2)=Инаи6. на |2; 2/ 3 |. Следовательно, V (2) = ^ваиб. на Ю: 2»^ 1,наи_б=1Л(2)=12^Т -2“ - / 3 . 2’=1е /V (дм’1
Всемерно развивать
познавательный интерес
и трудовую активность учащихся
П. В. Стратилатов
(Москва)
Успех в решении поставленных перед школой задач по
сближению изучаемого материала с требованиями жиз-
ненной практики, обеспечению твердыми знаниями ос-
нов наук, выработке у школьников прочных умений и
навыков, а также готовности к труду зависит прежде
всего от учителя и от методики его работы с учащи-
мися. В качестве одного из главных факторов в мето-
дике обучения математике следует выдвинуть всемер-
ное развитие у учащихся познавательного интереса как
к изучаемому материалу в частности, так и к изученью
математики в целом. Причем методика обучения долж-
на ставить своей целью всемерную активизацию мыс-
лительной деятельности каждого ученика на всех эта-
пах проведения урока При этом воспитательная рабо-
та с учащимися должна быть направлена на включение
их в тот трудовой процесс, который характерен для
передовых коллективов работников промышленных и
сельскохозяйственных предприятий: работать каждому
в полную меру сил и способностей, с ответственностью
за высокое качество выполняемой работы.
Каким же образом строить обучение математике,
чтобы обеспечить большую активизацию мыслительной
деятельности ученика? Думается, что следует, усилить
при обучении использование аналитико-синтетического
метода как при поиске решения задачи, так и при вы-
воде правила или доказательстве теоремы, а также в
качестве организационной формы работы применять
коллективную объяснительную беседу, охватывая при
этом возможно большую часть учащихся класса.
Рассмотрим несколько примеров.
Так, в IV—V классах при решении задач следует
приучать учащихся прежде вс?го выяснять, о каких
величинах говорится в условии данной задачи. Напри-
мер, приступая к решению задачи «Рабочий обрабаты-
вает 48 деталей за 3 часа, а ученик эту же работу мо-
жет выполнить за 6' рабочих часов. За сколько часов
эту работу выполнят рабочий и ученик, работая вме-
сте?», ученики скажут, что здесь речь идет о количе-
стве выполняемой работы и о времени ее выполнения
рабочим и учеником в отдельности. После этого сле-
дует выяснить, что в задаче нужно узнать время вы-
полнения всего задания при их одновременной работе.
Далее они должны уяснить, что ответить на вопрос за-
дачи можно только в том случае, если кроме количе-
ства выполняемой работы будет известна и их общая
производительность труда, т. е. число обрабатываемых
ими деталей в час при одновременной работе. Таким
образом, при решении данной задачи приходится рас-
сматривать три величины: количество выполняемой ра-
боты, время ее выполнения и производите тьность тру-
да. Целесообразно приучать учащихся к систематизации
записи условия задачи, применяя при этом табличную
схему записи, которая активизирует мысль ученика и по
могает ему наметить план решения задачи (см.табл. !).
В данной задаче последовательно находятся: произ-
водительность рабочего (16 деталей в час), ученика
(8 деталей в час), при совместной работе (24 детали в
час) и, наконец, ответ на вопрос задачи — время вы-
полнения работы 48 : 24 = 2(ч).
После решения задачи необходимо подвести итог ее
решения; напомнить, какие величины рассматривались
43
Таблица I
Количество работы (в деталях) Время (в часах) Производи- тельность труда
Рабочий 48 3 ?
Ученик 48 6 ?
Оба вместе 48 ? (вопрос задачи) -
при решении и какова зависимость между их числовы-
ми значениями.
В дальнейшем рассмотренную задачу целесообразно
обобщить и предложить другую задачу, в условии ко-
торой количество выполняемой работы не дано, напри-
мер: «Некоторая работа может быть выполнена рабо-
чим за 3 часа, а учеником за 6 часов. За сколько вре-
мени они выполнят эту работу, работая вместе?».
Очевидно, учителю придется подсказать ученикам, что
в этом случае количество выполняемой работы удобно
принять за единицу (1). Производительность будет вы-
ражаться как часть всей работы, выполняемой в еди-
ницу времени, и табличная схема записи условия при-
мет такой вид;
Таблица 2
— Выполняемая работа Время (в часах) Производи- тельность труда
Рабочий 1 3 ?
Ученик 1 6 ?
Оба вместе • 1 ? ?
(вопрос задачи) -
Решение выполняется по тому же плану.
Следующим этапом применения рассмотренного спо-
соба может быть решение задач па движение, напри-
мер таких: «Мотоциклист и конный курьер выезжают
одновременно навстречу друг другу из'пунктов А и В,
расстояние между которыми 160 км. Скорость мото-
циклиста 40 км/ч, скорость курьера 8 км/ч. Через какое
время после выезда они встретятся?» и «Мотоциклист и
конный курьер выезжают одновременно навстречу друг
другу из пунктов А и В. Мотоциклист расстояние АВ
может проехать за 4*часа, а курьер— за 20 часов. Че-
рез сколько часов после выезда они встретятся?»
Методика работы иад решением этих задач аналогич-
на приведенной выше. При решении первой задачи на
движение важно выяснить, что к моменту встречи ими
вместе будет пройден весь путь АВ.
Считаем целесообразным обратить внимание учителя
па рассмотренный вид задач и показать табличную
схему записи их условия, введение которой подготовит
учащихся к более самостоятельному решению задач на
составление уравнений в VII—X классах.
Заметим, что проблему повышения эффективности
обучения математике следует решать комплексно, вклю-
чая работу на уроке, домашнюю работу ученика, вне-
классную работу, а также время в группе продленного
дня, используя при этом различные способы и приемы,
исходя из основной цели всемерно активизировать са-
мостоятельную деятельность учащихся.
Остановимся на одном из видов работы на уроке, ко-
торый до сих лор не получил широкого применения в
нашей школе при обучении математике. Речь идет
о подготовленных пяти-, семимпиутных сообщениях от-
дельных учащихся на уроке по вопросам, непосредст-
венно относящимся к изучаемому программному мате-
риалу. Такие сообщения могут представлять как итог
изучения некоторого материала, рассмотренного на за-
нятиях математического кружка, так и, наоборот, вве-
дение в тему занятий математического кружка. Сюда
же можно отнести и более сложные задачи. При этом
следует стремиться к тому, чтобы среди докладчиков
было как можно больше различных учащихся класса,
материал для их выступления должен быть подобран
с учетом их подготовки по математике, развития речи
и т. д. Речь здесь идет о работе со всей массой уча-
щихся класса.
Приведем пример такой работы в IV классе. При изу-
чении натуральных и дробных чисел можно напомнить
на примерах знакомые учащимся пз начальных классов
действия с натуральными числами в пределах миллио-
на Новыми являются вопросы о десятичной системе
счисления, об устной и письменной нумерации, о поня-
тии числа и цифры, а также о развитии нумерации в
связи с необходимостью уметь на практике считать
различные предметы. В связи с этим целесообразно
подготовить нескольких учеников с демонстрацией запи
си чисел в римской нумерации, с показом фотографий
зданий, на которых год постройки указан римскими
цифрами. Другому ученику можно дать минут пять
для рассказа о славянской буквенной нумерации наших
предков и привести несколько примеров записей чисел
из летописей и из учебника арифметики Л. Ф. Магниц-
кого. Отсюда учащиеся увидят преимущество употреб-
ляемой нами нумерации. На следующем уроке учитель
подведет итог и выяснит, почему широко используемая
нами система счисления называется десятичной, под-
черкнет позиционный характер употребляемой нумера-
ции, расскажет о классе миллиардов, триллионов. На
одном из следующих уроков полезно показать примеры
эволюции обозначений цифр у разных народов в раз-
личные времена развития общества, рассказать о паль-
цевом счете. Один из учеников может продемонстри-
ровать таблицу умножения на пальцах обеих рук для
чисел от 6 до 9 Указанные материалы можно взять
в книге «Энциклопедия элементарной математики Т. 1.
Арифметика» 1951 г. (статьи И Г. Башмаковой и
А. П. Юшкевича) и в книге И. Я- Депмана «История
арифметики» 1965 г. После того как будут рассмотрены
все действия с натуральными числами и законы этих
действий, целесообразно повторить вопрос о десятичной
системе счисления и дать представление о двоичной си-
стеме счисления, подготовив двух-трсх учеников с при-
мерами перевода чисел, записанных в десятичной си-,
стеме счисления, в числа, записанные в двоичной систе-
ме счисления, например /43!О = 10111001112. (Этот ма-
териал можно взять из книги Й. Я. Депмана.) Учителю
следует подчеркнуть, что в житейской практике двоич-
ная система счисления неэкономична, но она широко
применяется в ЭВМ, где важно иметь дело с возможно
меньшим числом различных цифровых символов В за-
ключение полезно продемонстрировать микрокалькуля-
тор и показать два-три примера на умножение и деле-
ние многозначных чисел с его помощью.
Приведем еще один пример. Можно подготовить
двух-трех учеников для показа умножения двузначных
чисел без записи промежуточных произведений по пра-
вилу «крест на крест», а также умножения многознач-
ных чисел по правилу прямоугольника. (На рисунке вы-
полнено умножение; 456 97 = 44 232 и 2167-36 =
= 78 012.)
2/67
в О I 2
44
В качестве примера для V класса можно рассмотреть
вопрос о простых числах. Укажем возможную последо-
вательность соответствующих сообщений учащихся.
Прежде всего в классе на уроке предложить выяснить,
сколько простых чисел имеется в первом десятке нату-
ральных чисел, т. е. от 1 до 10. Спросив Определение
простого числа и напомнив, что 1 не является ни про-
стым, ни составным числом, учащиеся устанавливают,
что наименьшим простым числом будет число 2, важно
подчеркнуть, что это единственное четное простое чис-
ло, учащиеся сами объяснят, почему остальные четные
числа — составные. Выделив однозначные простые чис-
ла 2, 3, 5 и 7, можно предложить ученикам по таблице
простых чисел (обложка учебника «Математика 5») со-
считать число простых чисел, имеющихся в первых сот-
нях, и записать это: от 1 до 100—25 простых чисел,
от 101 до 200—21 и т. д. После этого предложить им
дома продолжить подсчет числа простых чисел по каж-
дой сотне до 1000, т е. в пределах таблицы учебника.
Для этого же урока можно подготовить рассказ учени-
ка и о решете Эратосфена; показать его составление
для некоторого отрезка натуральных чисел, например
от 1 до 40. На следующем уроке предложить узнать
таким путем число простых чисел от 1 до 100, от 1 до
200 и т. д.
Можно обратить внимание учащихся на числа, стоя-
щие в разряде единиц простых чисел. Из таблицы учеб-
ника они выделят числа 1, 3, 7 и 9. С помощью извест-
ных признаков делимости на 2 и на 5 ученики без тру-
да установят, что в каждом разрядном десятке нату-
ральных чисел ие может быть более четырех простых
чисел.
В рассмотренных примерах мы даем достаточно боль-
шой материал, поэтому ие обязательно весь его давать
на уроке. Можно на уроке дать лишь только часть его,
перенося остальное на внеклассную работу. Это помо-
жет привлечь большее число учащихся к занятиям в
математическом кружке.
В заключение отметим, что изученное знает хорошо
гольдо тот, кто может его объяснить другим. Древиие
говорили так: ученик может превзойти своего учителя,
если он много спрашивает, спрошенное усваивает и
усвоенное передает другим.
Организация работы
по учету знаний учащихся
В. П. Коиевцев, А. В. Иваиайский
(г. Кзыл-Орда КазССР)
Всесторонний учет знаний учащихся является необхо-
димым элементом обучения. Однако г'асто по оценкам,
выставленным в классном журнале, нельзя судить
о фактическом уровне знаний школьников на конец го-
да, поскольку при систематическом повторении про-
граммного материала он повышается. Мы считаем, что
целесообразно выставлять в журнал оценки, характери-
зующие уровень знаний по той или иной теме после
определенной работы по ликвидации пробелов.
Для тематического учета знаний мы ведем специаль-
ную тетрадь. С левой стороны страницы записываем
список учащихся, а в каждой клеточке верхней стро-
ки — номера изучаемых тем, как показано в табл. 1.
Под списком приводится перечень тем, соответствую
щи.х указанным номерам. Количество тем по усмотре
нию учителя может быть различным. Например,
в V классе мы проводили учет по 15 темам, соответ-
ствующим содержанию пунктов 2, 4, 9, 12, 13, 16, 19,
20, 24, 34, 36, 38, 39, 42, 45, 48, 49, 50, 51 учебника
«Математика 5». Оценки за самостоятельные работы
по данным темам выставляются карандашом в табл. 1
под соответствующим номером В ходе повторения не-
которые учащиеся самостоятельно ликвидируют пробе-
лы в знаниях и их оценки исправляются. Учащиеся, по-
лучившие неудовлетворительные оценки, на следующем
уроке после краткого анализа выполняют работу над
ошибками с помощью консультантов (учеников, полу-
чивших за самостоятельную работу 4 пли 5), причем
ученик комментирует решение примеров консультанту
На это отводится 10 мии. Неуспевающие получают ин-
дивидуальное домашнее задание (в случае необходимо
сти иа несколько дней). После его выполнения они в
первые 10—15 мин урока сдают зачет по соответствую-
щему материалу (решают 5—7 легких примеров). Так,
на тему «Сложение отрицательных чисел и чисел
с разными знаками» в V классе было дано такое зада-
ние:
I)—12+(—25); 2)—0,24+(—0,26); 3)—3,5+(-8,6);
4) 28+(—46); 5) —54+76; 6) 8,5+(—7,3);
7) 3,2+(—5,4)+ (—3,2)+2,4+3,1.
В случае невыполнения этого задания учащимися
проводится индивидуальная работа (в то время урока,
когда остальные ученики самостоятельно выполняют
упражнения, обычно за 10 мин до конца урока), затем
они сдают повторный зачет. Обычно после этой работы
не успевающих по данной теме ист. Итоговый резуль-
тат за самостоятельную работу высгакляется в журнал.
Окончательная работа по ликвидации пробелов в зна-
ниях учащихся проводится иа уроках заключительного
повторения по такому же принципу. На этом этапе
большое внимание уделяется тем, кто получил оценку 3.
Тексты самостоятельных работ составляются по реко-
мендациям, опубликованным в статье А. Д. Семушина
«Экспериментальная система оценок успеваемости уча-
щихся по математике в 4—10 классах» (Математика в
школе, 1979, № 5).
Помимо тематического мы проводим и другие виды
учета знаний учащихся: устные ответы у доски, фрон-
тальный опрос и устный счет, повторение пройденных
тем. контрольные работы.
Поскольку устные ответы у доски предшествуют про-
• ведению самостоятельной работы ио этому же материа-
лу, их учет ведется без указания тем; в таблице при-
водится сводка таких оценок. При многообразии прие-
мов опроса (по карточкам, фронтально с места и др.)
учителю трудно судить по записям в классном журна-
ле о наличии оценок за устные ответы у доски, записи
же в тетради учета позволяют равномерно регулировать
опрос.
Оценки за устные ответы учащихся у доски выстав-
ляются одновременно в классный журнал и в тетрадь
учета знаний.
В качестве примера приводим фрагмент таблицы по
учету устных ответов у доски учащихся VI класса
(табл. 2).
’ Обоснуем необходимость записи в тетрадь учета зна-
ний оценок за контрольные работы. За плановую конт-
рольную работу мы обычно выставляем в тетрадях
Таблица 2
№ п/п Фамилии у чашихся Устные ответы у доски
[ чет- верть ито- говая 11 чет- верть ито- говая ...

45
учащихся несколько оценок, а в классный журнал под-
лежит записывать одну. Например, в VI классе по ал-
гебре за первую контрольную работу мы оцениваем
знания, умения и навыки учащихся по четырем темам:
решение линейных уравнений, нахождение значения вы-
ражения, решение задач составленном уравнения, ре-
шение двойных неравенств. С целью сбора данных
о всех оценках за контрольную работу мы и переносим
их в тетрадь.
Каждая оценка контрольной работы имеет порядко-
вый номер (табл. 3). Под списком учащихся приводит-
ся перечень тем, которые соответствуют нумерации оце-
нок. По отдельным контрольным работам проводим ка-
чественный анализ. В этом случае без соответствующей
записи в тетради учета знаний не обойтись
Аналогично учитываются оценки при фронтальном
опросе и устном счете, причем они не разделяются, за-
писываются в одной таблице. В классный журнал дан-
ные оценки выставляются только слабым учащимся,
причем не всегда.
В качестве необязательного домашнего задания мы
используем задачи из раздела учебника «Дополнитель-
ные упражнения» (по каждой геме) и ведем учет их
решений учащимися.
За правильно решенные примеры и задачи учащиеся
получают в основном оценку 5, которая выставляется
и в классный журнал. Количество решенных примеров
и задач в течение четверти проставляется в тетради
учета карандашом, а по мере их накопления это число
увеличивается. .
Повторение учебного материала мы проводим в виде
зачета, который учащиеся сдают в конце четверти или
полугодия в зависимости от объема материала. Подго-
товка же к зачету, идет в течение четверти на каждом
уроке. После проведения первых уроков всем учащимся
дается перечень вопросов (30—35), включенных в за-
чет. На каждом уроке разбираем по I—2 вопроса (если
необходимо — с подробной записью на доске) Учащие-
ся ведут тетради повторения, в которых кратко запи-
сывают ответы на вопросы зачета.
За 8—10 дней до окончания четверти на дополни-
тельном уроке проводится зачет, па котором учащиеся
опрашивают друг друга На доске заранее вычерчи-
вается таблица, в которой все вопросы разделены на
5 частей по степени трудности. Из каждой части необ-
ходимо задать по одному вопросу товарищу (если по-
зволяет время, задают больше вопросов). За 8—10 мин
до окончания урока учащиеся сдают листки с оценка-
ми. Учитель объявляет их, кроме того, он сообщает
учащимся итоговую оценку, которую выставляет в клас-
сный журнал и в тетрадь учета знаний.
Пары учеников, которые опрашивают друг друга, учи-
тель комплектует заранее, причем на каждый зачет по-
разному. Опыт показывает, чго лучше соединять силь-
ного ученика со слабым. Сильный объективно оценит
слабоуспевающего, слабоуспевающему полезно прослу-
шать хорошие ответы своего товарища. Учащимся нра
вится такая форма опроса. Хотя зачет обычно прово-
дится на 6-м уроке, многие после его окончания не рас-
ходятся по домам, обсуждая свои ответы и ответы то-
варищей.
В тетради учета знаний мы ведем также записи о вы-
полнении домашнего задания. В IV классе мы прове-
ряем каждую домашнюю работу, в V и последующих
классах — после проведения 2—3 уроков изучаемой те-
мы. Оценки за работу выставляются в тетрадях уча-
щихся и в таблице, в классный журнал выставляются
положительные оценки только слабоуспевающим.
В конце четверти составляется сводная ведомость, в
которую входят; итоговые оценки тематического учета
знаний, устных ответов у доски и при фронтальных
опросах и устном счете, за повторение (итоги сдачи за-
чета), за домашнюю работу, за самостоятельное реше-
ние примеров (кто не выполнял эти задания, оценки не
получает), а также оценки за контрольные работы. Все
они учитываются при выставлении четвертных оценок,
что повышает их объективность
Читателям может показаться, что вся эта работа от-
нимает много времени у учителя. Это не так В начале
учебного года 1,5—2 ч тратится иа вычерчивание таб-
лиц в тетради, в конце четверти уходит 2—3 ч на со-
ставление сводных ведомостей для трех классов За-
полнение таблиц проводится на уроках и частично дома
при проверке письменных работ. Такие затраты време-
ни бывают у каждого учителя, даже если он не ведет
описанной работы.
Систематический учет позволяет значительно повы-
сить качество знаний учащихся, школьники приучаются
трудиться систематически, а не от случая к случаю,
у них вырабатывается трудолюбие. Ведение специаль-
ной тетради учета знаний дает возможность всесторонне
изучить каждого ученика, учитель всегда имеет под ру-
кой сведения об его успехах и недоработках, что край-
не необходимо при подготовке к урокам.
Об использовании
измерительных навыков
при обучении геометрии
3. Ш. Меражов
(г. Бухара)
Прочное усвоение курса математики достигается при
органическом сочетании различных приемов изучения
материала. ОссЛЗое место среди них занимает использо-
вание данных, полученных с помощью обычного набора
измерительных инструментов — линейки, транспортира,
циркуля. Использование данных измерений облегчает
ученикам как усвоение конкретных фактов, так и полу-
чение общего представления о смысле доказательства.
Наконец, существенно отметить, что при обработке из-
мерительных данных находит свое естественное место
материал, связанный с приближенными вычислениями.
Приведем несколько примеров упражнений, которые
целесообразно использовать для развития навыков из-
мерений в связи с конкретными методическими задача-
ми возникающими при изучении математики.
Пример 1. а) Постройте равносторонний треуголь-
ник АВС и проведите в нем все медианы. Если построе-
ния достаточно точны, то медианы пересекутся в одной
точке, которая делит каждую из них на два отрезка —
больший и меньший. Измерьте эти отрезки и всю ме-
диану. Убедитесь, что точкой пересечения каждая ме-
диана делится в отношении 1 : 2.
б) Начертите треугольник со сторонами 4, 5 и 6 см.
Измеряя углы построенного треугольника, убедитесь в
том, что имеет место следующая зависимость: чем
больше сторона, тем больше угол, лежащий против нее.
Проверьте эту зависимость на нескольких треугольни-
ках различной формы.
в) Постройте какой-нибудь треугольник, у которого
два угла равны соответственно 67° и 52° Постройте те-
перь треугольник с углами 67° и 61°. Измерьте длины
сторон треугольников с точностью до I мм и проверьте,
46
что эти треугольники подобны. Измерьте транспортиром
не данные в условии углы. Какие значения вы должны
получить?
Задания а) — в) можно предложить ученикам при
изучении свойств треугольников. Цель заданий — подго-
товить учащихся к «открытию» теоремы и необходимо-
сти ее доказательства.
Итак, в данном случае, следовательно, мы имеем дело
с задачей измерительного характера, приводящей к уста-
новлению определенного свойства геометрической фигу-
ры. В курсе геометрии имеется много возможностей для
использования этого подхода к введению и изучению
свойств. Приведем еще несколько задач.
г) Начертите три выпуклых пятиугольника. С по-
мощью транспортира найдите градусные меры углов
построенных фигур и убедитесь в том, что сумма гра-
дусных мер углов каждого пятиугольника равна 540’.
д) Изобразите два отрезка, не принадлежащие одной
прямой и имеющие общую середину. Пользуясь цирку-
лем и транспортиром, убедитесь в том, что концы дан-
ных отрезков являются вершинами параллелограмма.
Докажите верность этого утверждения.
е) Постройте две неравные окружности и в каждую
впишите по квадрату. Измерьте стороны этих квадратов
и радиусы окружностей. Убедитесь, что стороны квад-
ратов и радиусы соответствующих окружностей (прямо)
пропорциональны.
Пример 2. Начертите отрезок длиной 17 см. Пред-
положим. что у вас есть две линейки на одной деления
идут через 5 см (а все промежуточные деления стер-
ты!). на другой — через каждые 3 см (промежуточных
делений также нет). Какими будут приближенные зна-
чения длины начерченного отрезка, если измерять его
этими линейками?
Приведенное задание можно предложить в IV классе
при работе над понятием приближенного значения ве-
личины. Основное отличие этого примера от предыду-
щего состоит в том, что здесь ученики знакомятся с по-
нятием, а не свойством фигуры. Подобные задания
можно использовать на начальном этапе знакомства
с понятиями, преимущественно, но, разумеется, ие ис
ключительно в IV и V классах. Вот другие задания
такого типа: а) проведите окружность радиусом 3 см;
6) измерьте сторону квадрата и найдите приближенное
значение его периметра (иди площади).
Пример 3. Измерьте длину, ширину и высоту мо-
дели прямоугольного параллелепипед" Принимая во
внимание полученные данные, вычислите площадь его
поверхности.
Приведенный пример относится к такому типу зада-
ний на измерение, где используется заранее данная мо-
дель геометрической фигуры. Аналогичный характер
имеют задания, в которых даны графические изображе-
ния предметов, например план местности. Подобные за-
дания можно использовать и в пропедевтическом, и в
систематическом курсе геометрии.
Пример 4. Вырежьте из бумаги прямоугольник
так, чтобы его длина была в 3 раза больше ширины,
а периметр был равен 70 см.
Цель таких заданий — использовать измерения в со-
ставе сложного комплекса действий, главной компо-
нентой которого является конструирование некоторой
модели. Его можно предложить ученикам при прохож-
дении тем, связанных с решением уравнений. Задания
на конструирование моделей связывают теоретические
сведения по геометрии с их практическим использова-
нием; в этом и состоит их значение.
В заключение отметим, что в процессе выполнения
заданий, аналогичных приведенным, ученики приобре-
тают опыт организации вычислительной и измеритель-
ной информации, а в итоге — опыт организации своего
труда.
Об одном способе
доказательства неравенств
Г. Н. Солтан
(Минск)
Нередко при решении задач на доказательстве нера-
венств с переменными полезно представление числа а,
большего Ь, в виде a — b-)h, где й>0.
Пример 1. Доказать, что если а>Ь и c>d (а, Ь,
с, d — положительные числа), то ac>bd.
Доказательство. Из а>Ь следует a=b-)-h,
h>0-, из Od следует c=d4-fc, й>0. Тогда ac=(b-f-
+h) (d+k)=bd+(bk+hd+hk), где bk+hd+hk>0.
Следовательно, ас > bd.
Аналогично можно доказать и другие свойства нера-
венств из курса алгебры VII класса Рассмотрение та-
кого способа доказательства основных свойств число-
вых неравенств можно предложить учащимся, интере-
сующимся математикой, на занятии кружка или в ка-
честве дополнительного индивидуального задания.
Пример 2. Доказать, что при й>0 функция
y=kx-)-b возрастает.
Доказательство. Докажем, что из х2>х, сле-
дует y2>yt. Если х2>хь то Х2=Х|+й, где й>0. Тогда
</2—У< = kx2+b— (kxl-)-b) —k (Х|-|-Л) +t>—kxi—b=kh,
где kh>0. Следовательно, y2>yi-
По степени доступности этот способ так же прост,
как и принятый в школьном курсе алгебры. Однако
здесь мы непосредственно готовим учащихся к изуче-
нию начал анализа (вводим приращение аргумента, на-
ходим приращение функции). В этой связи такая про-
верка монотонности некоторых функций, изучаемых в
восьмилетней школе, полезна.
Пример 3. Доказать неравенство
m + п + р
3
о г — — —
у тпр , т > 0, п > 0, р > 0.
Доказательство. Положим V т = а,
п — Ь, у р — с. Тогда данное неравенство при-
мет вид
а*-(-1*с*—Зайс > 0 а > 0, 6>0. с > 0.
Докажем его. Пусть для определенности а^й^с, тог-
да
6=а4-йь hj>0; c=a+h2, й2:>0.
Имеем
а* + Ь* + с* — ЗаЬс — а* 4- (а 4- Ь,)* 4-
4- (а 4- й,)*— За (а 4- ht}(a 4- h,) —
- За (й? — hth.+hl) + h] 4- й| - За ((й, — Л,)! -)-
-Ьй.й^-р/^ + Л^О.
Итак,
а34-Ь34-с3—Зайс^О, а>0, 6>0, с>0;
т. е.
ш 4- п + р з ,------
----3-----> у тпр , m > 0, п > 0, р > 0.
Очевидно, знак равенства имеет место лишь при
т=п=р.
При доказательстве неравенств с переменными иногда
целесообразно использовать такой факт: для любых
двух действительных чисел а и Ь справедливо одно
и только одно из следующих соотношений: либо а<й,
либо а — Ь, либо а>Ь.
Пп имер 4. Сравнить 2ш3-|-Зп3 и 4тп2 при всех
положительных тип.
Решение. Рассмотрим трн случая.
1) т = п>0, тогда
2m34-3n3 = 5m3; 4mn2=4m3; 5zn3>4m3.
47
2) т>п>0. Пусть m=n+h, h>0, тогда
2m3+3n3=5n3+&n2h+&nh2+2h3;
4mn2—4n3+4n2ft;
5n3+6n2ft+6/ih2+2ft3—4n3—4n2ft=n3+2n2/i+6nft2+
+2ft3>0.
3) 0<m<n. Положим n—m+p, p>0, тогда
2m3+3o3=5m3+9m2p+9mp2+3p3;
4ma2=4m3+8m2p+4nip2; .
бт’+Эт^+Эт/^+Зр3—4m3—8m2p—4mp2 =
—m3+mkp+5mp2+3p3 >0.
Итак,
2m3+3n3>4znn2 при m>0, n>0.
Пример 5. Доказать неравенство
Y 2mn — n2 + V m2 — n* > m m^-n'^-0.
Доказательство. Положим m=n+c, где
:^0, тогда
1^2mn — n2 — n2 + %nc n2 — n,
V m2 — n2 — V c! + 2/ic > c2 — c.
Сложив почленно два последних неравенства, получим
2тп — п2 + У т2 — п2 > п + с — т.
Пример 6. Доказать неравенство
а5—а2—За4-3>0, а^О.
Доказательство. При 0^а<1
а5—а2—За+З=а2(а3— 1)— 3(а— 1) = (а—1) X
Х(а4+а3+а2-3),
с; ювательио, данное неравенство справедливо.
Пусть теперь ajsl. Положим a=l+ft, ft^O, тогда
a.6—a2—3a+3= (1 +ft)5— (1 +h)2—3 (1+ft) f-3 =
= (14-Л)2 ((1+Л)3— 1) —3ft = (1 +2/i4-Л2) (3h+3ft2+
- |-ft3) —ЗЛ = 3h2+fts+ (2ft+h2) (3ft+3ft2+ft3) >0.
Неравенство доказано.
Заметим, что при доказательстве неравенств рассмот-
ренным способом у учащихся развиваются навыки тож-
дественных преобразований.
Задачи, связанные с площадью
криволинейной трапеции
3. А. ЛлаЕсрдяи
(г. Иджеван АрмССР)
В курсе алгебры и начал анализа X класса решаются
задачи на вычисление площади фигуры, ограниченной
линиями, заданными уравнениями. Мы рассматриваем
с учащимися и такие задачи, в которых известны пло-
щадь криволинейной трапеции, точки, через которые
проходит график функции y—f(x), или другие дополни-
тельные данные, а требуется определить формулу, ко-
торой задана функция y—f(x).
Эти упражнения разнообразят набор задач по теме
«Площадь криволинейной трапеции». Приведем несколь-
ко примеров.
Задача 1. Площадь фигуры, ограниченной прямы-
ми х=1, х=4 и параболой f(x)=ax2+b (f(x)^O,
[1; 4]), равна 24. Определить уравнение параболы,
если она проходит через точку А (2; 5),
Ответ: f(x)=x2+l.
Задача 2 Площадь фигуры, ограниченной лини-
_ 2
8jhu у=ах2 (с>0), и у—Ь]/х (&>0), равна 42Оп-
ределить уравнения этих линий, если они пересекаются
в точке, абсцисса которой равна 4.
Ответ: у=2х2 и у = 16ух.
При итоговом повторении, , когда уже изучена тема
«Решение систем линейных уравнений», можно предло-
жить учащимся решить задачи следующего вида;
Задача 3. Плошадь фигуры, ограниченной линия
ми f(x)=ax2+bx+c (f(x)jxQ, х£ [—4; 2Ц и у-—'0,
равна 36. Определить уравнение параболы f(x)=ax2-(-
А-Ьх+с, если она пересекав! ось Ох в точках М (—4; 0),
и N (2; 0).
Ответ: у=—х2—2х+8.
Задача 4. Площадь фигуры, ограниченной пря-
мыми х=—1, х=2, р=0 и параболой j/=ax2+ftr+c
(у^0, х € [—1; 2]), равна 15. Записать уравнение па-
раболы, если точка М (1; 2) — точка экстремума.
Решение. По условию задачи
2
J (ах2 + Ьх + с) dx — 15, у(1) — 2, у’ (1) — 0.
—1
Отсюда получаем систему уравнений
2a + Ь + 2с - 10,
и + b + с — 2,
2a + b - 0.
’Ответ: у=3х2—6х+5; М (1; 2} — точка минимума.
Взаимное рецензирование
самостоятельных работ
Л. А. Кутний
(г. Красноармейск)
Для повышения эффективности процесса обучения при-
меняются различные формы самостоятельной работы
школьников:
выступление с докладом, изготовление наглядных
пособий, решение проблемного вопроса, составление и
решение задач по определенной теме.
В зависимости от индивидуальных наклонностей и
способностей учащихся учитель организовывает и на-
правляет их самостоятельную деятельность, помогая
найти нужный материал в книгах, составить план его
изучения и т. п.
В IX—X классах мы предлагаем н такую форму, как
рецензирование письменной работы своего товарища.
Это задание, как правило, предлагается на дом. В по-
мощь ученику, пишущему рецензию, мы даем план, ко-
торого следует придерживаться рецензенту.
План может быть, папример, таким:
1) указать объем выполненного задания (в₽сь он или
нет, если нет, то какая его часть выполнена);
2) указать положительные и отрицательные сторо'пы
в работе;
3) оценить приемы, использованные для доказатель-
ства теоремы или для решения задачи;
4) если есть более рациональный способ решения, то
указать его;
5) определить правильность рисунков, схем, записей;
6) если есть стилистические или грамматические
ошибки, то указать, какие именно;
7) дать свои предложения и замечания для улучше-
ния работы.
Чтобы знать уровень знаний, умений и навыков уча-
щихся, учителю необходимо проверять и рецензии, и ре-
цензируемые работы, после чего проводить анализ вы-
полненных заданий. Причем оценивать их надо так, что-
бы у ученика появлялось желание рабстать самостоя-
тельно и в будущем.
Опыт показывает, что такие задания помогают акти-
визировать учащихся, повышают у них чувство ответ-
стве1 ifocTii за порученное дело, а это, безусловно, по-
ложительно влияет на повышение качества знании
48
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
IX Всероссийская олимпиада
школьников по математике
Л. П. Купцов, С. В. Резниченко,
Г. Н. Яковлев
(Москва)
Третий тур
Ежегодно в дни зимних школьных каникул во всех об-
ластях, краях и автономных республиках Российской
Федерации проводится третий, областной (краевой) тур
Всероссийской физико-математической и химической.
олимпиады школьников. К третьему туру допускаются
учащиеся только VIII—X классов. Школьники, заняв-
шие первые места, получают право участвовать в за-
ключительном, зональном туре Всероссийской олим-
пиады.
Конкурсные задания областного тура по математике
составляются на местах проведения олимпиады и со-
держат пять задач для каждого класса. Положение об
олимпиаде обязывает организаторов взять по крайней
мере три задачи из списка, рекомендованного для об-
ластного тура предметпо-методической комиссией по
математике Центрального оргкомитета. Две задачи, по
усмотрению организаторов, могут быть заменены: ли-
бо более легкими, либо, наоборот, трудными. Причина за-
мены может состоять также в том, ч(то та или иная тема
к моменту проведения олимпиады оказалась еще не
пройденной в школах данной области (края, АССР).
Обо всех изменениях в списке рекомендованных задач
(с указанием причин, вызвавших эти изменения) орга-
низаторы третьего тура сообщают в Центральный орг-
комитет олимпиады.
Ниже приводятся тексты и решения задач по мате-
матике, рекомендованные предметно-методической ко-
миссией по математике Центрального оргкомитета олим-
пиады для проведения областного тура в 1983 г.
VIII класс
•
1. Два автохозяйства отправили несколько машин
для перевозки грузов. Число машин, ушедших из вто-
рого автохозяйства, меныш удвоенного числа машин,
отправленных из первого. Ecw бы первое автохозяй-
ство послало на две машины больше, а второе — на ’
две машины меньше, то машин из второго автохозяй-
ства было бы больше числа машин из первого. Сколько
машин пошло из каждого автохозяйства, если всего
было отправлено менее 18 машин?
Решение. Пусть х и у — число машин, отправ-
ленных первым и вторым автохозяйствами соответст-
венно. По условию задачи имеем:
У < %х,
у~2> х + 2, (’)
# + у < 18.
Из первых двух неравенств следует, что х-}-4<у<2х,
1 с v4-4<2x. х>4. Аналогично, из неравенств x-j-y<
<18 и у>х-\-4 находим, что 2х+4<18, т. е. х<7. Та-
ким образом, 4<х<7, и так как х — целое число, то
либо х=5, либо х=6. Подставляя х=5 в систему (1),
убеждаемся, что это значение х не подходит: получа-
ется система неравенств, которая не имеет решений в
целых числах. При х=6 получаем систему неравенств,
которая в целых числах имеет единственное решение
р=11. Следовательно, х==6, (/=11.
2. Даны две окружности, пересекающиеся в( точках
М и N. Через точку М проведена прямая 1и пересекаю-
щая первую окружность в точке А, вторую в точ-
ке В, причем М g [АВ]. Через точку N «поведена пря-
мая /2, пересекающая первую окружность в точке С.
вторую — в точке D, причем N С [CD], а точки С и Г>
лежат по одну сторону от прямой I, (рис. 1,а). Дока-
жите, что прямые АС и BD параллельны.
Решение. Обозначим <р= б?АЛТ. Тогда СА'.И =
= 180°—ф, так как углы САМ и CNM вписаны в одну
и ту же окружность, опираются ла одну и ту же хор-
ду СМ, а точки А и N лежат по разные стороны от
СМ. Углы CNM и MND — смежные. Поэтому MNF =
=<р. Тогда МВО=180°—<р. Следовательно, (АС)||(ВП).
Замечание. Утверждение задачи справедтиво и
при других расположениях точек А, В, С и D (см., на-
пример, рис. 1,6).
3. Замкнутая ломаная ABCDEA имеет форму пяти-
конечной звезды (рис. 2,а). Докажите, что справедли-
во равенство
E AB + ABC + BCD + CDE J- DEA = 18C°.
Решение. Сое чиним отрезком точки В и Е
значим через F точку пересечения прямых ВС
Из треу: ольников ABE, FBE и FCD имеем:
'АВ + АВЕ + BE А = 180°
FBE + BEF + EFB = 180°,
FCD + CDF + DFC = 180°
Очевидно, DFC—EFB. Из равенств (4) и (5)
3 «Математика в школе» № S
49
и
и
12)
обо-
DC.
(3)
(4)
(5)
находим:
FBE -f- BEF = 180° — EFB = 180° — DFC =
CD + CDF = BCD + С DE.
Поскольку ABE = АВС + FBE, BE А = В ЕЕ \-DEA,
Рис. 1
Г Рис. 2
выполняется ABE .4 BEA — ABC -J- (FEE 4- BEE) 4-^
4- DEA - ABC + BCD 4 CDE + DEA.
Подставляя полученное выражение для суммы АВЕ4,
+ВЕА в равенство (3), приходим к равенству (2).
Замечание. На рис. 2,6, в изображены замкну-
тые пятиэвечные ломаные, не имеющие, форму пятико-
нечной звезды, для которых выполнш гея равенство (2).
Рассмотрим ломаную на рис. 2,6. Проведем прямую
/||(О£) так, как показано на рисунке. Поскольку ло-
маная ABCDjEiA имеет форму пятиконечной звезды, то
в силу равенства (2)
ЕАВ 4- ЛЕС 4- BCD 4- + D^E^A = 180°.
Остается -заметить, что по построению
- CDE DiE^A = 'DE'A.
В случае ломаной, изображенной на рис. 2,в, поступаем
аналогично.
4. Какое из чисел больше:
23,sel 4- 1 23”*2 4- 1
23”»2 4- I или 231"»» 4- 1 ?
Решение. Обозначим число -23198' через п и запи-
шем данные в условии задачи числа в виде
п 4т I 23п 4- I
23п 4-1 ” 232п 4-1 ’
Поскольку частное
(Я 4 1) (232л 4-1) (33л >г 4- (232 4- 1) л 4 1.
(23п 4- 1)г = (23п)2 4- 2-23п 4- 1
этих чисел больше 1, то первое число больше второго.
5. Докажите, что функция ,
определена для любого х £ R и является нечетной, т. е,
—х) =—f(x) для любого х С R.
Решение. Проверим, что при всех хС R
/14-хг4-х4- 1 =£0.
Рис. 3
Предположим, что при некотором х0 выполняется ра-
венство (Л1 4- х2й = — xt 4 В. Тогда 1 4- х% — -*о +
4-2х04- 1, т. е. необходимо х0 =0. Но значение вы-
ражения 1 4- х1- 4- х 4- I при х — 0 равно V I 4
4 1- 2>0, Противоречие. Аналогично проверяется,
что равенство 1 4- х* — х 4- I возможно только при
х — о.
Функция /<х) определена при всех xPR, посколь-
ку выражение 1 4- х2 имеет смысл при всех х£ R и.
кроме того, как доказано, знаменатель У + х2 4-
4- х 4- I отличен от нуля при всех x^R. Очевидно,
что /(0) — -• —/(0) Пусть х=^=0. Тогда
(/Т+^4-х— 1)«Т+^ — (х4 D) _
7 “ 4- х 4- 1) (У ЬЙР- (х 4- I)) =
2 — 2Z1 4-х2 V'x2 4-1 — 1
"М 4-х2) —(х4-1)2 “ х
Теперь легко показать, что f(x)—нечетнав функция.
IX класс
(х — у)1 4-2
2
(7)
которая заключена внутри угла С АО, об-
хордой АО. и касательной АС. Поэтому
I. Числа х а у таковы, что х>у и ху=1. Докажи-
те, что справедливо неравенство
»-2 д- л.а ________
2. (6)
Решение. Преобразуем левую часть неравенства,
используя соотношение ij/=l:
х* + у2 _ (х2 — ixy + у2) 4- 2ху
Обозначим
виде
Последнее
метическом
х — у х — у '
г=х—у и перепишем неравенство (6) в
2 г—.
неравенство мы и докажем. По условию
г>0; в силу неравенства о среднем ариф-
и среднем геометрическом имеем
2У 2 что и требовалось
доказать.
2. Около треугольника АВС опасака окружность с
центром О. Окружность, проходящая через точки А, В
и О, касается прямой АС в точке А. Докажите, что
|АВ| = |АС|.
Решение. Соединим точку О отрезками с верши-
нами треугольника АВС (рис. 3). Угол АВО опирается
на дугу АО,
разованного
АВО—САО.
ные, причем
окружности,
доказанному
этих треугольников также рав:
ДАОВ^ДАОСн |AB| = !ACf,
Треуголь"”г и АОВ и АСС равнобедрен-
|AO| = |B(>| = |CO|=R, где Р. — радиув
описанной около треугольника АВС. По
величины углов при основаниях АВ и ДС
......— ----- чавны. Следовательно,
3. См. задачу № 3 для VIII класса.
4. Масса ста гирек, сваленных в одну кучку, состав-
ляет 500 г. Известно, что имеются гирьки тольк-б в 1 г,
в ’0 г и в 50 г. Сколько в кучке гирек одной массы?
Решение. Обозначим через х, у и г соответствен-
но число 1-граммовых, 10-граммовых и 50-граммовых ги-
рек. По условию задачи имеем: •
|х-4 Юу 4- "тОг — 500,
Требуется найти целые неотрицательные х, у в г,
удовлетворяющие этой системе.
Вычитая из второго уравнении первое, приходим к
уравнению
9у -f- 49z = 400. («I
Отсюда, в частности, следует, что у^0 и 2=А=0, т. е в
кучке имеется, по крайней мере, по одной 10- и 50-
граммовой гирьке. Поскольку у'^ 1, из последнего урав-
нения получаемз
48
9у 4- 49г > 9 4 49г, или 400 >9 4- 49г, г < 7 -jg-,
и гак как 2 — целое пиело, то z^7. Таким образам,
достаточно проверить значения 2=1, 2, ..., 7. Подстав-
60
ляя яти семь значений г в урагненне (8), убеждаемся,
что оно имеет единственное решение z=l, у=39. Под-
ставляя эти значения- z и у в систему уравнений (7),
находим, чтб х=60.
Можно значительно уменьшить число вариантов, под-
лежащих перебору. 1ерепишем уравнение (8) в виде:
9-(y4-5z) =4(100—z). Отсюда следует, что число у4-
+5z делится на 4, т. е. y+bz=4t, tQZ, и, значит,
100—:=9г. Таким образом, 2=100—9/, у —At—5г =
=^gt- 500, и так как (/J&l, 2^1, то t удовлетворяет
неравенствам
„ 501
J0 < -4g- < t < 11, т. е. 11.
Следовательно, у=39, 2=1, и из системы (7) нахо-
дил, нто х=60.
5. Найдите функцию f(x), которая при всех х £R
определена и удовлетворяет условию
2f(x)+f(l-x) =х’. (9)
Решение. Положим х=1—у Уравнение (9) в та-
ком случае принимает вид: 2f(l— y)+f(y) = (1—у)* 2
и выполняется при всех у g R. Заменяя в последнем
уравнении у на х, поиходил к уравнению:
f(x) :-2/.1-х, = (1-хГ, (10)
вновь содержащему f,(x) и f(\—x). Решая систему
уравнений (9)—(10) как линейную относительно /(х)
и /(1—х), налОдим’
X класс
1. Докажите, что функция
,. . 1 ,’ sin х — cos х I ft ft Г
7 W = 1 + sin x cosx ’ x J ~2 ’ ~2~ L
является нечетной.
Решение. Преобразуем выражение для f(x):
2 sin2 -г- + 2 sin cos
(1 —cos х) + sin х
(1 4- cos х) 4- sin x
2 cos’-у -}-2sin -jj-cos^g-
— *g 2 • •*€ J 2 • 2 [
Мы видим, что нечетность Цх) следует из нечетноств
функции tg -g-.
2. Числа Хь Хг, .... х1983 удовлетворяют соотношениям:.
X, = Х1вв1 = 1983 Х„----Х".+, +-2^
п = 2,3, .... 1982.
Докажите, что все числа хп равны 1983.
Решение. Положим у, =х„—1983, п=1, 2...........
1983. Тогда f/(=yi983 = 0, а числа уп, п = 2, 3, .... 1982,
удовлетворяют рекуррентному соотношению:
Ул=Л«+’+^=а_. (11)
Докажем, что у„=0 при всех л=1, 2...... 1983 Из
соотношения (II) следует, что если у2=0, то и все уп
равны нулю. Пусть Уг^=О. Переписав соотношение (11)
в виде y-n+i—y.j=2(yn—Уп-t), замечаем, что последо-
вателтность 1уп) в таком случае монотонно возраста-
ет, если уг>0, и монотонно убывает, если у2<0, что
невозможно, так как по условию y, = t/I983= = 0. Итак,
необходимо {/2=0 и, значит, Уп—0 при всех п=1. 2.
.... 1983.
3. Докажите, что система уравнений
(х’-у« = 7
I*2 — 2у2 == 1
не имеет решений в целых числах.
Рис. 4
Решение. Предположим, что система разрешима
в целых числах. Из второго уравнения находим: г-’ =
=2у2+1, т. е. г — нелетное число, z=2/+l, I f Z.
Следовательно, у2=2/24-2(, т. е. у — четное число, а
так как х2={/3 *4-7, то х — нечетное число. Подставляя
х=2А-4-1, y = 2n(k £ Z, п С Z) в первое уравнение си-
стемы, получаем: 2(k2-)-k—2п3)=3, что невозможно,
поскольку справа стоит нечетное число, а слева — чет-
ное. г- г*
4. В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагональ СЕ
пересекает диагонали BD и AD в точках F и G соот-
ветственно. Найдите отношение площаоей треугольни-
ков CFD и АВЕ, если |BF| : |FD|=5:4, |ЛС| : ,f?D| =
= 1:1, |CF| : |FG| : |G£|=2:2»3.
Реше e не. Обозначим через S площадь треугольни-
ка CFD. Пусть К — середина отрезка CF, а точка
,£t-[FD] такова, что [KLJII [BE] Соедини... точку К с
точками А н D отрезками (рис. 4,а). Треугольники
KLF и EBF подобны с коэффициентом подобия
|£В|:(Ё£( = ГЕЕ|:|ХЕ|=5. Четырехугольник ДЕВЕ —
параллелограмм, поскольку ₽го диагонали КЕ и AD в
точке пересечения G делятся пополем. Следовательно,
|ЕО| = |ДЕ| и £ЕО = ДЕВ (так как (ЕВ)||[ЕД) л
(EL) If [ЕВ)). Поэтому
5ЛДЙ£ = -5--ME|.|EB|.sinZ^B =
1 /'С
-yl KD |-5 I E£|-sln LKD = 5S^ LKD 7
3
В силу выбора точки L | LD | ylEOl, и поэтому
с 1с Л С т е s _________1с
= 4 8 т‘ е‘ ЛАВЕ 8 °-
8
Следовательно, S&сее’$лаье = 15 •
Второе решение. Соединим отрезком точки А и F
(рис. 4,6). Обозначим через S площадь среуольника
CFD. Поскольку в треух тьниках CFD, FGD, GED дли-
ны оснований CF, FG и GE соответственно относятся
как 2:2:3, а длины высот, опушенных на эти осно-
вания из .обшей вершины D этих треугольников, рзв-
ны, то
_3_ 3 •
S&FOd “ S&CFD = 5ДС£й“ 2 ЗдСЕй = 2
Аналогично находим:
3
5ДДЛС = S^FOD S> S^AOE S&GED“" ~2 S»
5 5 с
S&BFE = “4“ SД EDE ~~ ~4~ (S &FQD + — ‘g’5»
&
PI
S£ABF “ 4 S&AFD “ 4 (^ДЛГО + SAFGd)“2I
Далее, S^ABE — SABFE — S^beb , и так как
SABFE = S&ABF + 5AAFG + Sl\AQE =- 5 S» T0
„ 25 „ 15 „
SbABE "=55~ у S = 8 S,
8
t. e. SACf£j :5лЛВ £ = 15 .
5. Объем параллелепипеда ABCDAiBtCtDi равен V.
Точки P, Q, R — середины ребер Д1В1, CCi, CD соот-
ветственно. Найдите объем пирамиды PQRA.
Решение. Построим линии пересечения плоскости
(PQA) с (DDiCiC) и (ABCD). Поскольку Q — общая
точка плоскостей (PQA) и (СС|С|С), а плоскости
(DD,CtC) и (ЛД1В]В) параллельны, то (PQA) и
(DDtCtC) пересекаются по прямой III (ДР), проходя-
щей через точку Q. Пусть Е — т'^чка пересечения пря-
мых I и DC (рис. 5). *Гогда (АЕ) — линия пересече-
ния плоскостей (Р<?Д) и (ABCD). Обозначим через N
точку пересечения прямых АЕ и PQ. Поскольку
(ЛС1) || (ДР), то (EQ) II (РС1), т. е. [EQ] — средняя
линия в треугольнике RCiC. Поэтому
|EQ| = 4'lZ?C1>”’TlZPl-
Поскольку [EQ] II [ДР], [EQ] — средняя линия в тре-
угольнике APN. Отсюда |PQ| = |Q/V|, |ДЕ| = |.ЕЛ/|.
Следовательно, равновелики пирамиды RAPQ и RAQN,
т. е. Уялг«= Удлш», и треугольники RAE и REN
(рис. 6), т. е. Sиле—S ark.v. Длина высоты пирами-
ды RAQN, опушенной из вершины Q на основание
R eV,, равна й/2, где й — длина высоты параллелепи-
педа, поэтому
1 h
з S&RAN 2 '
ОтСюда, учитывая равенства
SrAN = SABCD = ~4~'SabCD
(рис. 6), получаем
Заключительный тур
В дни весенних каникул состоялся заключительный, зо-
нальный тур IX Всероссийской олимпиады. На нем
каждая область (край) Российской Федерации была
представлена победителем областного (краевого) тура
по каждому из классов.
В 1983 г. заключительный этап олимпиады проходил
для Северо-Западной зоны в Калуге, для Централь-
ной — в Пензе, для Юго-Западной — в Астрахани,
для Сибири и Дальнего Востока — в Барнауле, Кроме
того, в те же сроки заключительный этап олимпиады
проводился в физико-математических школах-интерна-
тах № 18 при МГУ, № 45 при ЛГУ и № 165 при
НГУ Школьники, занявшие I—IV места, были награж-
дены дипломами, грамотами, памятными подарками
и включены в состав команды РСФСР для участия во
Всесоюзной математической олимпиаде. Специальными
грамотами были награждены учителя, подготовившие
призеров.
Задание заключительного тура IX Всероссийской
олимпиады школьников по математике состояло из 5
задач, на решение которых отводилось 4 астрономиче-
ских часа. Наибольшие трудности у учащихся вызвали
за гачи по геометрии: № 4 в IX классе и № 5 в VIII
и X классах. У восьмиклассников возникали также за-
труднения с задачей № 3, которая требует твердых на-
выков владения тождественными преобразованиями ал-
гебраических выражений. Значительные трудности вы-
звали задачи комбинаторного типа: № 2 в VIII классе,
№ 3 в IX и X классах. Плохо справились десятикласс-
ники и с задачей о последовательности (№ 4).
Члены жюри подробно обсудили со школьниками
конкурсные задачи и проанализировали допущенные
учащимися ошибки. Каждый школьник получил отпе-
чатанный на ротапринте полный комплект текстов и
решений задач.
Ниже приводятся тексты и решения задач заключи-
тельного тура IX Всероссийской олимпиады школьни-
ков по математике. Фамилия приславшего задачу ука-
зана'в скобках после текста задачи.
VIII класс
I. Сумма ста действительных чисел равна нулю. До-
кажите, что их можно занумеровать так, что будут
выполнены неравенства:
., Qj-f-ilg"]* ... *
, (А. Савин)
Решение. Справедливо более общее утверждение,
которое мы и докажем: если сумма п действительных
чисел С|, с2, ..., сп неотрицательна, то их можно зану-
меровать так, что будут выполнены неравенства
Ci^O, Ci-{-c2^0, . -., Ci-J-CsJ-. .1(12)
Для доказательства заметим, что если сумма несколь-
ких действительных чисел Хц ..., хт неотрицательна
(S=Xi+.... +xm5=0), то всегда можно вычеркнуть
одно из этих чисел так, что сумма оставшихся чисел
по-прежнему будет неотрицательной. Действительно, в
противном.случае для каждого 1=1, 2, .... т имели
бы: S—х<<0, так что (S—x,)-f-(S—х2)+ ...+($—
—Хт) <0, т. е. (т—1) S<0, что невозможно. Таким об-
разом, если ci+c2+...+сп^0, то неотрицательна сум-
ма каких-то в—I чисел с,, при гем. не ограничивая
общности, можно считать, что Ci-|-c2-}-...+cn-i^0
и т. д.
Укажем явно способ нумерации. Занумеруем данные
п чисел в порядке убывания: Ci^c2^ ... ~^сп. Тогда
неравенства (12) будут выполнены. В самом деле, если
бы при некотором k (l^k^n—1) выполнялось нера-
венство щ-Ь ...4-с*<0, то числа с*, сь+(, .... с„ были
бы отрицательными и мы пришли бы к противоречию:
0^Ci+c2+ — 4-cn = (ci+cs-J- — 4-c*)4-Oi+i4- —
4-Сп<0.
52
A
[oj
d)
Рнс. 7
2. Можно ли в клетках квадратной таблицы 6X6
записать натуральные числа от 1 do 36 так, чтобы сум-
ма чисел, стоящих в клетках любой из фигур на
рис. 7,а — г, делилась на 2? (С. Рукшин)
Решение. Предположим, что требуемая расста-
новка чисел существует. Рассмотрим фигуру иа рис.
7,д, составленную из клеток нашей таблицы (at — чис-
ла, записанные в клетках «креста»). По условию за-
дачи суммы О1-}-о24-а3-}-а4 и Д14-а34-а44-а6 — четные,
следовательно, числа а2 и об или оба четные, или оба
нечетные. То же можно сказать про О| и а2; а4 и а$.
Значит, числа аь а2, а4, а6 имеют одинаковую четность.
В таком случае ту же четность имеет и аз. Из того,
что «крест» может быть выбран произвольным образом,
следует: все числа таблицы, кроме, быть может, тех, '
что стоят в ее углах, т. е., по крайней мере, 32 числа
имеют одинаковую четность. Но среди чисел 1, 2, ....
36 ровно 18 четных и 18 нечетных. Противоречие. Сле-
довательно, требуемым образом числа записать нельзя.
3. Разложите число 21882-{-1 на два натуральных мно-
жителя, каждый из которых не меньше 1000. (Ю. Нес-.
теренко)
Решение. 21982+1 = (2I982+2992+1) —2"2 = (29914-
4-1)2— (2498) 2 — (2991 }-249в+ 1) . (2991_24М_|_ , )
4. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. От
некоторой точки О откладываются четыре вектора, рае-
> > —> >
ные АВ, ВС, CD, DA, концы которых обозначаются Вх,
Ci, О,, А, соответственно. Всегда ли четырехугольник
AiBiClDl выпуклый? Чему равна его площадь,' если
площадь четырехугольника ABCD равна S? (А. Аид-
жаи)
Решение. Четырехугольник A,BlClDl может вы-
рождаться в треугольник и даже быть невыпуклым.
Рассмотрим, например, равнобедренную трапецию ABCD
([ВС] || [АО]), в которой (АВ|=2, |ВС|=а, А=60°
(рис. 8,а). В этом случае четырехугольник A^BiCtDt
будет выпуклым при а>1 (рис. 8,6) и невыпуклым
при а<1 (рис. 8,а). При а=1 (рнс. 8,г) четырехуголь-
ник AtBtCtDt вырождается в треугольник AtBiDi.
Пусть для определенности вершины А, В, С, D четы-
рехугольника ABCD перечислены по часовой стрелке.
Примем в качестве положительного направления отсче-
та углов направление по часовой стрелке. Поскольку
сумма внешних углов а, р, у, б четырехугольника
Рис. 8
S3
ABCD равна 360° (рис. 9,а), композиция четырем пово-
ротов вокруг точки О в положительном направлении
на угол последовательно а, р, у и б есть тождествен-
—- —»
ное преобразование, причем образом вектора OAi при
повороте на угол а будет вектор Ь, ненаправленный с
—♦ -> *
ОВи вектор b при повороте на угол р перейдет в с,
-------►
с||ОС|, образом вектора с при повороте на угол у бу-
=?> —к- V
дет d, djjODi, наконец, при повороте на угол б век-
*-> —- >
гор d перейдет в ОАХ (рис. 9,6). Углы a, Р, у, б лежат
в интервале [0°; 180°[, поэтому четырехугольник
А]В,С|О| является объединением треугольников A|OBlt
BfiCi, CfiDi, DxOAi. Заметим, что
^Д-410В1 ” 2 I 1*1 С*В| I'Sln a
“ -у I AD 1 AB | sin ^AB — t
S£iBl0Cl "" S&ABCt $Д CiODi “ SABCC»
$ДЛ,0А, “ $&CDAt
$£,ABD + 5ДВСР “ ^ДАВС + ^ДСОА “ $ ^см‘ РИС‘
Тогда SAiBiCiDi=SAABD-[-SA^BC+S&pCD4-S^cjjA =
“ (S&ABD + 5ABCd) + (5ДДВС + SaCBa) “ 2S‘
5. Учитель нарисовал на доске прямоугольный тре-
угольник АВС с прямым углом при вершине В и впи-
санный в него равносторонний треугольник КМР, та-
кой, что точки К, М, Р лежат на сторонах АВ, ВС. АС
соответственно и [/<Л4] || [АС]. Затем он стер с доски
всё за исключением точек А, Р, С и предложил учени-
кам при помощи циркуля и линейки восстановить стер-
тые точки и линии. Как что сделать? (А. Слинько)
Решение. Рассмотрим гомотетию с центром а
точке В, переводящую точку К в точку А. Поскольку
прямые КМ и АС параллельны, то при этой гомоте-
тии точка М перейдет в точку С, а точка Р — в вер-
шпну D равностороннего треугольника ACD, построен-
ного так, что точки D и В лежат по разные стороны
от прямой АС (рис. 10). Следовательно, точка В лежит
на прямой PD. С другой стороны, она лежит на полу-
окружности, построенной иа отрезке АС как на диа-
метре и расположенной по другую сторону от прямой
АС, чем точка D. Этих данных достаточно для того,
чтобы восстановить точку В. Восстановив точку В, про-
водим (АВ) и (ВС), а также (PPi) II (ОС), (РР2) Ц
II (DA) и находим точки К и М.
ъ..'.
IX класс
1. Найдите все простые числа, представимые в виде
Г пг I
I-3- , где п — натуральное число. (А. Анджан)
Решение. Напомним, что [х] — это целая часть
Г ns 1
числа х. Обозначим р— — g-' Если n=3k, то р=3*!.
Если п=3*+1, *^0, то р=(3*+2)*. В обоих слу-
чаях р является простым только при *=1. При этом
соотвегственио р—3 и р=5. Если n—3k-(-2, *^0, то
p=3/e2-f-4fe+l = (fe-f-I) (3*+1), т. е. р является со-
ставным при k>Q и равно 1 при *=0. Таким обра-
зом, все искомые простые числа — это 3 и 5.
1 2 99
2. Упростите выражение + “gj- + • • + —[дор-
(Р Произволов)
Решение. Для любого натурального k справедли-
во равенство
k 1 1
(*+1)1 “ *1 — (* + 1)! * Поэтому
1 2 99 ( 1 1 \
— + 3| +...+ 100| -(др — 2J +
"Н 21 3! /+•'+( 991 1001 ) = 1 ~ 1001 •
3 Можно ли в клетках квадратной таблицы 6x6
записать натуральные числа от 1 до 36 так, чтобы
сумма чисел, стоящих в клетках любой из фигур на
рис. 11 а—г, делилась на 9? (С. Рукшин)
Решение. Предположим, что требуемая расстанов-
ка чисел сушествует. Рассмотрим на рис. 12,а фигуры,
составленные из клеток нашей таблицы (а( и t. —
числа). По условию суммы в|+а2+а3+а, и 02+^3+04+
+а& делятся иа 9. Значит, числа Од и аБ при делении
на 9 дают одинаковые остатки. Аналогично, числа Ъ\
и 65 при делении иа 9 дают одинаковые остатки. По-
этому, например, пять чисел, стоящие в клетках, от-
меченных на рис. 12,6 штриховкой, дают при делений
на 9 одинаковые остатки. Но это невозможно, так как
среди чисел 1, 2.....36 нет пяти таких чисел. Следо-
вательно, требуемым образом числа записать нельзя.
4. На координатной плоскости задан .выпуклый пя-
тиугольник ABCDE, все вершины которого имеют цело-
численные координаты. Докажите, что внутри пяти-
угольника всегда найдётся хотя бы одна тонко с цело-
численными координатами. Справедливо ли аналогич-
ное утверждение доя невыпцклояо пятиугольника?
(А. Анджан)
Решение. Прежде всего докажем, что существу-
ют две соседние вершины пятиугольника, сумма вели-
чин углов при которых больше 180°. Действительно,
если бы одновременно выполнялись неравенства
-4+5^180°, 'В+С^ 180°, С+£><180°, Л+Д^180°, Е+
+A^180°, то мы имели бы: 2 (А 4 ВЦ-С+£>+£)^900°,
т. е. А+Д+С+Д+Е^с450°. С другой стороны, сумма
величин внутренних углов выпуклого пятиугольника
равна 540°. Противоречие.
Пусть для определенности А+В>180° Обозначим че-
рез dE и dc расстояния соответственно от точек Е и С
до прямой АВ. Не ограничивая общности, можно пред-
положить, что dis^dc- Построим параллелограмм АМСВ
(рис. 13,а). Поскольку "СВ? )-ВаЬ>180°, а СВЛ+
+ВАЛ1 = 180о, то луч AM лежит внутри угла ВАЕ. По-
скольку dE^dc, то либо точка t лежит па прямой СМ
и Е расположены
(если dE>dc,
1 М лежит
либо на
(если da=dc), либо точки А
по разные стороны от (СМ)
см. рис. 13,а). Следовательно, точка
либо внутри четырехугольника АВСЕ,
его стороне ЕС, причем М*£С и М=А=Е. Пятиугольник
ABCDE выпуклый, поэтому .очка М лежит внутри не-
го. Точка М(хм; Ум) имеет целочисленные координаты,
поскольку хм=Хл+хс—Кв, Уй1~ул~Еус—-ув, а по ус-
ловию координаты (хА; ул), (хв; У в), (*с; ус) цело-
численные. Следовательно, точка М — искомая.
Рис. 13
‘4л:’ — Зу — ху*,
х* + х’уа — 2 у.
По рис. 13,6 видно, что для невыпуклого пятиуголь-
ника утверждение задачи несправедливо.
5. Решите систему уравнений:
(Д. Купцов)
Решение. Очевидно, что (0; 0) — единственное ре-
шение системы вида (х; 0). Пусть у^0. Перепишем
исходную систем уа
4--^- —З-ху1,
_х2
—-----2------*’У.
Деля первое уравнение полученной системы на аторое
и обозначая t=x2!y, приходим к уравнению
4f — 3 1
7 — 2 “ ~’ t •
И
или 2/2—t—1=0 Отсюда находим: 1) /=1, т. е. у=
—х2; 2) t=—1/2, т. е. у=—2х2. Подставляя получен-
ные выражения для у в исходную систему уравнений,
находим: 1) х=1, у= 1;
2) -Иг — "Г5/40 ’ у = ~ 5,/ 50 ‘
Замечание. Исходная система уравнений допус-
кает также решение методом исключения.
X класс
1. По кругу написано несколько различных действи-
тельных чисел, каждое из которых равно произведе-
нию двух чисел, стоящих по обе стороны от него.
Сколько всего чисел написано? (А. Савин)
Решение. Обозначим через п число написанных
по кругу чисел. Очевидно, что и^З и что все числа
отличны от нуля. Докажем, что п^б, т. е. л#=3, 4, 5.
Действительно, пусть п=3 и пусть а — одно из напи-
санных чисел, a ft — число, следующее за а, для опре-
деленности, по часовой стрелке. Из условия задачи вид-
но, что далее по часовой стрелке за числом 6 написа-
b b b ft2
но число — и — = ab, а = Ъ-— = —.Отсюда на-
ходим | а | = 1, | ft | = 1, | — j = 1. Но тогда, по край-
ft
ней мере, два из трех чисел а, 6, — совпадают, что
противоречит условию задачи. Аналогично доказывает-
ся, что п#=4 и л-#5, т. е л>6
Пусть п>7. Занумеруем последовательно (например,
по часовой стрелке) все написанные числа. Так как
л^7, то седьмое по счету число не совпадает с пер-
вым. Пусть а — первое число, 6 — второе. Тогда сле-
b 1 1 а
дом за 6 написаны числа а. Мы
видим, что седьмое число равно первому, что невоз1
можно. Следовательно, п<7, т. е. (с учетом неравен-
ства л^б) л=6, причем набор из шести чисел
ft 1 1 а
a. ft, ---, —, ~т~, -т~,
а а о ft
где а и 6 — любые не равные нулю действительные чис-
•ла, такие, что |a|=# |ft(, |д| ^=1, |6|д^=1, aft#=l, о2=#6,
ft2#=a, удовлетворяет условию задачи.
2. Докажите, что для любых действительных чисел
a 7
а>1, 0>1, у>1, таких, что~р- > — выполнено нера-
венство
lg a 1g 7 _ (13)
lg ₽ 1g а ‘ (И. Сергеев)
Решение. Поскольку а2^Ру, то 21g a^lg P+lg у,
причем по условию lga>0, lg р>0, lgy>0. В силу не-
равенства о среднем арифметическом и соеднем гео-
метрическом
lg₽ + lg 7 > 2 lg₽- lg 7 , поэтому lg a > у’ lg ₽-lg 7,
или lg2 a^lg p-lg у, что равносильно неравенству (13).
3. Рассмотрим правильный (2п-[-\)-угольник и все-
возможные треугольники с вершинами данного (2п+1)-
угольника. Некоторые из зтих треугольников содержат
центр (2л-}-1) -угольника. Найдите число таких тре-
угольников. (А. Анджан)
Решение. Зафиксируем какую-нибудь вершину
(2nJ-l)-угольника и обозначим ее через А. Обозна-" м
чере i В], Вг, .... Вп (Сь Ci, ..., Сп) следующие за А
по (против) часовой стрелке вершины (2л-)-1)-уголь-
ника. Найдем число искомых треугольников, одна из
вершин которых совпадает с А. Очевидно, что из двух
,Рис. 14
других вершин в таком треугольнике одна должна
быть Bj, l^i^n, а другая — Cj, l=g:/^n. Условием
того, что треугольник ABiCj содержит центр (2n-f-l)-
угольника, является выполнение неравенства
(на рис. 14 приведена геометрическая иллюстрация не-
равенства в случае п=3).
Покажем, как можно подсчитать число искомых тре-
угольников, одна из вершин которых совпадает с точ-
кой А. Если 1=1, то такой треугольник будет 1 (с /’=
=л), если i=2, то треугольников 2 (с /=п и j—n—1)
и т. д. Если t=n, то треугольников п. Тогда всего ис-
комых треугольников с вершиной A: l+2^...-f-(n—
—l)+n=n(n+l)/2.
Проведя аналогичные рассуждения для каждой из
2л-(-1 вершин многоугольника, получим в сумме число
п(п-Ь1) (2л+1)/2. Нужно, однако, учесть, что при та-
ком способе подсчета каждый треугольник считался
ровно три раза (ибо каждая из его вершин по очере-
ди играла роль вершины А), следовательно, число ис-
комых треугольников равно n(n-f-l) (2л-Н)/6.
4. Последовательность (хп) задана рекуррентно сле-
дующим образом:
х, = 0, *„+1 - г-хл + У 24 х^ + 1 , и = 1,2......
Докажите, что все члены последовательности — целые
числа. .
(О. Висков)
Решение. Очевидно, что все члены последователь-
ности (хп), начиная со второго, положительны и по-
следовательность монотонно возрастает. Из условия за-
дачи следует, что для любого ndfcsT справедливо ра-
венство -v„+1 — 10х„лгп+1 + ДГд— 1 = 0.
Отсюда для п^2 находим:
4 ~ Юлдлд-. + —1=0.
Таким образом, при п^2 числа хп-н и Хп-i являются
различными корнями квадратного уравнения х2—
—10хпХ+х„—1=0. Для указанных значений п имеем
по теореме Виета:
Хп+14-Хи-^ЮХп, Т. е. Хп+1 = ЮХп—Хп-|.
Так как Xi=0, х2=1—целые числа, то по индукции с
учетом последнего равенства получаем, что хп — целое
число при всех п^1.
5. Правильные пятиугольники OABCD и OAyByCyDy
расположены в пространстве так, что А#=Аь В=#ВЬ
С^Су, D=ADt. Докажите, что прямые ААу, ВВу. ССу и
DDy параллельны некоторой плоскости. (3 Скопец)
Решение. Разложим вектор ОС по базису {ОА,
ОВ} в плоскости пятиугольника OABCD: ОС=аОА+
+РОВ. В силу подобия пятиугольников OABCD и
0A,6|CiDi имеем: ОСу=аОАу+$ОВ1. Тогда CC\=j
=ОС1-ОС=а(ОА|-ОА)+Р(ОВ1-ОВ) =aAZ, (-рве,'
I
Значит, прямые АДЬ ВВ,, СС, параллельны некоторой
плоскости Р. Аналогично устанавливается, что плоскос-
ти Р параллельна и прямая DD,.
Если векторы ДД и ВВ, неколлннеарны, то в каче-
стве плоскости Р можно взять любую плоскость, па-
----------------------------------------------—> -----►
раллельную этим векторам. Если векторы ДД( и ВВ,
коллинеарны, то, как следует из приведенного доказа-
тельства, попарно коллинеарны вечторы ААГ, ВВ,, СС,
и DDt, т. е. прямые ДДЬ ВВ,, СС, и DD, попарно па-
раллельны, и, значит, в качестве плоскости Р можно
взять любую плоскость, параллельную (ДА|).
Рис. 1 Рис. 2
I
Применять различные способы
решения задач на построение
„ А. И. Мостовой
(г. Чимкент)
Процесс решения задач, как правило, тант в себе по-
тенциальные возможности активизации познавательной
деятельности учащихся. Эти возможности получают
лучшее развитие, если задача' допускает различные и
интересные для них решения.
Учителю необходимо позаботиться о том, чтобы как
можно полнее раскрывать познавательные возможно-
сти соотвел гвуюших задач.
В качестве примера такой работы приведем решение
задачи на построение. Названный вид задач избран
потому, что в школьной практике задачам иа построе-
ние, к сожалению, уделяется недостаточное внимание.
Задача 1 *. Даны окрумносгь (О, г) и прямая
а — касательная к этой окружности. Постройте окруж-
ность, которая касается данной окружности и данной
прямой в данной на этой прямой точке М.
Рассмотрим различные способы ее решения.
I способ. Ана,- из 1 ,редположим, что пос троенная
окружность (О|, |О|М|) удовлетворяет условию зада-
чи (рнс. I): касается прямой а в точке М и окруж-
ности (О, г) в точке Р. Проведем общую касатель-
ную РК двух окружностей (К € [rVAf], N — точка ка-
сания окружности (О, г) с прямой а), тогда |КАГ| =
= [РК|=[КА1|, т. е. К— середина отрезка MN. '
Построение. Делим отрезок NM точкой К пополам и
проводим (MF)Jca. Строим точки: Р=окр (О, г) р
Покр (К, |КА1|) и О| = (ОР) р (AfF). Точка (X — центр
искомой окружности.
Доказательство. Соединим отрезками точку К с точ-
ками О и О,. Тзк как |КА|=|КР|, |CW| = |OP| и
[ОК] —общая сторона, тб A KONezLS. КОР. Но KN()=
=90°, поэтому и КрЬ=90°, а значит, и КРО, =90э.
Из конгруэнтности прямоугольны,'’ треугольников КРО,
и КМО, следует, что | РО, | — | M(J, |.
Итак, точка О, является ш нтром иске мой окружно-
сти. Действительно, [OiAf]a[OiP] (точки Ai и Р равно
отстоят от точки О]); [А1О|]±а (окружность
(01, |OiM|) касается прямой а); Р t- [00J, Pf окр
(О, г) и [РК] ±[ОО,] (окружность (0„ |(ДМ|) каса-
ется окружности (О, г).
. 1 Колмогоров А. П., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С.
Геометрия: Учебное пособие для 6—8 классов средней
школы/Под ред. Л. Ц. Колмогорова.- М.; Просвеще-
ние, 1981, № 379* (1).
В данной задаче анализ мы могли провести и иначе,
что привело бы к другому способу ее решения.
II способ. Анализ. На рис. 1 изображена окруж-
ность (Оь ICXM]), удовлетвоояющяя требованиям за-
дачи; (РК) — общая касательная. Легко убедиться в
том, что [КО) и [KOi) являются биссектрисами соот-
ветственно смежных углов NKP и МКР, а поэтому
(ЖХ=90°.
Построение. Середину отрезка NM (точку К) соеди-
няем отрезком точкой О. Строим (KL) ± (ОК) и
(//±)±а, тогда Oj = (MF) f| (KL) будет центром иско-
мой окружности.
Доказательство. Пусть (КР) — касательная к окруж-
ности (О, г). Соединим точку Р с точками О и 0(. До-
кажем, что ОРО,— прямая и (РК)Д(ОО,). Так как
ПК и РК — касательные к окружности (О, г), то
КО — биссектриса угла РКП, т. е. Z. ПКО&,/-. РКО.
Конгруэнтными будут и углы РКО, н МКО,, так как
каждый из них сооте тствеино дополняет до прямого
конгруэнтные углы РКО и NK0. Учитывая еще и то,
что [КЛ1|& [К ’] и ' [KOJ — общая сторона треугольни-
ков КРО, и КМО,, заключаем, чтс А А’Л10|=А КРО,.
А из этого следует, что 'крЪ, = КМЪ,=90°. Дальней-
шее ясно.
III способ. Анализ. Пусть (Оь Я)—искомая
окружность (рис. 2). Строим (0,M)_L(MN) и |А1К],
где |.'ИК|=г, К £ iO,M )' и соединяем отрезком точки
О и К. Треугольник 00,К равнобедренный, и поэтому
точка СХ находится на пересечении серединного перпен-
дикуляра DL о,резка ОК и прямой MF.
Построение. Проводим (MF)_1_ а и строим [AIK], где
|МК|=г. Точки О и К соединяем отрезком и к полу-
ченному отрезку проводим серединный перпендикуляр
DL; 0,= (DL)(}(KM)— центр искомой окружности.
Доказательство. Так как |OD| = |DA’[ и (DL) Д(ОК),
то О, f (DL) равноудалена от точек О и К, т. е.
|ОСХ| = |КО||. А так как’ |Л1К|=г, то |Р01| =
= |A1(X|=R. Следовательно, окружность (01» Я) иско-
мая.
IV способ. Анализ. Если окружность (<Х, R) иско-
мая (рис. 2), .’о ДА1Р01 равнобедренный. На (MF)J_a
отложим [AIA'], где |А1К =г, и точку К соединим от-
резком с точкой О. Образовавшийся А00,К равно-
бедренный, так как |00| = |К01|=г + Я. Из того, что
у равнобедренных треугольников 00,К. и РО,М угол
при вершине 01 общий, углы их при основании будут
конгруэнтны, т. е. Z_0|OKsZ_0,PA!, а тогда [ОК] II
II [МР].
Построение. На перпендикуляре MF к прямой а от-
кладываем [AW], где |AfK|=r, и точку К соединяем
отрезком с точкой О. Через точку М проводим (Мв)||
II (ОК). Первую Точку пересечения луча МВ с окруж-
ностью (О, г) обозначаем через Р. Далее строим точку
Oi= (Л1Ё)П(0Р), которая и будет центр эм искомой
окружности.
Доказательство. Из того, что [Л1Я] || [ОК] и |0Р| =

56
= |Л1К|, следует, что четырехугольник КОРМ — равно-
бедренная трапеция и ее углы при основании конгруэнт-
ны (Z-POK—Z-MKO). А так как [/ИР] || [ОК], то
/_OtPMsiZ-POK и Z-OiKOsZO МР. Следовательно,
Z-OiPAfsZ-O^P и поэтому [О|Р| = |О]Л1[.
V способ. Анализ. Допустим, что искомая окруж-
ность (Оь |О1Л4|) построена (рис. 3). Соединим отрез-
ками точку касания Р с точками М и А (А — точка пе-
ресечения перпендикуляра NO к прямой а с заданной
окружностью). Треугольники POtM и АОР равнобед-
ренные |О,Р[ = |О|Л1[ и |АО| = |ОР;, поэтому 1=2,
а 3=4. Так как [OK) f t [®iAl) и [OB) f t [OiP) то
BON=PO^M. Но BON =АО&, поэтому ^О^=/оХ
Тем самым мы показали, что в треугольниках АОР и
РО{М углы при вершине конгруэнтны, а следовательно,
конгруэнтными будут и их углы при основании: 1=3,
т. е. АРМ — прямая.
Построение. Проводим (OK)_La и (KM)_La. Пусть
(ОК)Покр(О, г)=А. Соединим отрезком точки А и М,
получим Р= (/ИА)П окр(О, г). Проводим прямую ОР,
тогда (OP)n(KM)=O!—центр искомой окружности.
Доказательство. Имеем 4=5, [M/()f f (АО),
[Л4£)f f [АР) и 3=4, |АО| = |ОР|, поэтому 3=5. Но
3=1, а 5=2, следовательно, 1=2, т. е. треугольник
POiM равнобедренный Дальнейшее ясно.
В пособии «Геометрия 6—8» в разделе «Задачи на
повторение по курсу 6—8 классов» предлагается задача
1396: «Яэ toikv, лежащей вне окружности, проведены
к ней касательная и секущая. Докажите, что квадрат
касательной, равен произведению всей секущей на ее
внешнюю часть».
Приведенную задачу целесообразно решить при изу-
чении теоремы об измерении вписанного угла (п. 85.
Вписанный угол). Там имеется задача 1179: «Докажи-
те, что величина угла, образованного касательной и
хордой, имеющими общую точку на окружности, равна
половине игловой величины дуги, лежащей внутри этого
угла». Реши! с учащимися, эту задачу и повторив при-
знаки подобия треугольников, учитель может предло-
жить классу задачу 1396. Можно бьпъ уверенным, что
многие учащиеся с ее решением справятся успешно.
‘Предла1ая учащимся задачу 1396, учитель может
преследовать и другие познавательные цели. В частно-
сти, ои может напомнить учащимся проблемную задачу
на построение окружности, касающейся данных окруж-
ности и прямой, н попытаться применить к ее решению
задачу 1396. В данном случае учащиеся могут сразу
перейти к построению Рассмотрим его.
VI способ Проведем (MF)_La и на прямой MF
возьмем пре невольную точку О,, но такую, чтобы
окружность (Оь |О|Л4[) пересекала окружность (О, г)
в двух точках; пусть в точках А и В (рис. 4). Прове-
дем секущую АВ. которая пересечет прямую а в - эчке
К. На основании задачи 1396 имеем [АК|-|ВК| =
= |KM|2=|K/V|2=|AP|2 ([КР)-касательная). Даль-
нейшее решение сводится к первому способу.
Оценивая рассмотренные способы решения, следует
указать, что наиболее рациональными являются I, II и
V.-Учащимся особенно нравятся И и V способы.
Рассмотренные только что способы решения говорят
о познавательных возможностях анализируемой задачи.
Работу над этой задачей можно продолжить на вне-
классных занятиях, где ее предложить в общем виде.
Задача 2. «Построить окружность, касающуюся
данной окружности (О, г) и динной прямой а в данной
на этой прямой точке М».
В этом варианте следует рассмотреть три случая рас-
положение данной окружности (О, г) и данной прямой
а. Они могут; 1) иметь только одну оищую точку;
2) не иметь общих точек и 3) иметь две общие точки.
Первый случай нами уже рассмотрен.
Обратимся ко второму случаю.
I способ. В данном случае можно испол1 зовать
VI способ, рассмотренный в предыдущей задаче.
Построены Проводим (MF)_La и из произвольней
точки Oig (MF) описываем окружность (О|, |О]Л4|),
пересекающую окружность ’(О. И в точках А и В
(рис. 5). Проведем секущую АЕ. которая пересекает
прямую а в точке К- Из точкг К строим касательные
КР и КС к окр”жности (О, г). Пусть О2= (OP)P(MF),
а О3= (CO)D(MF). Окружности (Ог. |О2ЛГ[) и
(О3, | О3М |) удовлетворяют условиям задачи.
Доказательство. Так как окр(О,г)0окр(О, |О,М|) =
={А, В}, то |А.К]-|ВА|; IКР|2=|КС[2= \КМ|2 (за-
дача 1396), т. е |ЛР| = |КС| = |АЛ1|. Прямоугольные
треугольники КРО3 и К МО? конгруэнтны, так как у них
гипотенуза КО?— общая и |КЛ1| = |КР|. Следователь-
но, |Р02| = |Л1О2|. Аналогично ДЯСО3э=ДКЛ1О3 и по-
этому |СО3| = |ЛЮ3|.
II с п о с о б. По аналогии с рассмотренным выше
II способом для первого случая расположения прямой и
окружности воспользуемся свойством биссектрис смеж-
ных углов.
Анализ. [ус гь (Оь |Oi/H|)—искомая окружность.
Проведем (ON)J_a, (PK)-La и точку Р соединим от-
резками с точками N и М (рис. 6).
Докажем, что треугольник NPM прямоугольный. 1=2
и 3=4 как углы при основании соответственно равно-
бедренных треугольников РО,М и PON. А так как 1 =
=5? а 4=6, то 5=£ а 3=6. Но ([РА) ft (MF),
[PM) f] [ME))=>KPM=5, аналогично ^P^=6. Следо-
вательно, KPM=2, a NPK=3, т. e. [PM) и [PA/) яв-
ляются биссектрисами соответственно смежных углов
KPOi и КРО, поэтому NPM =90°.
Построение. Проводим (ON) .La и (AIP)_La. Соеди-
няем отрезком точки N и М, делим отрезок NM попо-
лам (|Л/А | = [МА |). Строим окружность (A, |A.V|),
которая пересекает окружность (О, г) в точке Р, и про-
водим прямую ОР, тогда (OP)O(MF) =Ot; точка Ot
будет центром искомой окружности.
Рис 5 Рнс. 6
Ь7
Доказательство. Так как NPM=90°, то, во-первых,
/WA+PAfA=90°, во-втор;’х, 3+2=90°. Заметим, что
в четырехугольнике ВОСДМ (рис. 6) сумма внутренних
углов при вершинах Ои О1 равна 180° (dsM+OiMk —
= 180°). А так как 0+01=180°, то у четырехугольника
N£)OiM 6мИ+^МЛГ=180°, или 4^РМ+/лМ+Г=
= 180°. Заменив в этом равенстве сумму РЛА+РМА,
получим 4+90°+1 = 180°, или 4+1=90°. Но 4=3, по-
этому 3+1=90°. Учитывая то, что 3+2=90°, прихо-
дим к заключению, что 1=2, а от него к выводу]
|О,/’| = |О,Л«|.
III способ. Он аналогичен соответствующему4 спо-
собу* для случая, когда прямая а касается окружности.
Однако там задача имела одно решение, здесь же их
два. Приведем только второе решение. На перпендику-
ляре MF от точки М (рис. 7) откладываем [МЛ], где
| МК | =г, в соединяем отрезком точку О с К. К отрезку
О Л проводим серединный перпендикуляр. ГЛ ресечение
этого перпендикуляра с перпендикуляром MF к прямой
а и будет вторым центром окружности, удовлетворяю-
щей условиям задачи.
IV способ. Одно решение осуществляет ч, по схе-
ме: (Mf)_Le, |ЛШ=г, [ОЛ’, ;.’ЛР]Ц[0Л'1
(Р Еокр(О, г)), ©!= (ОР)П(Л1Л) (рис. 8).
Второе решение выполним по той. же схеме, но уже
по рис. 9.
V способ. Ои также аналогичен ранее рассмотрен-
ному V способу. Выполним построение второго реше-
ния. Строим (ON) А. а и (MF)J_a (рис. 10) и через
точки N и М проводим прямую. Пусть Р — вторая точ-
ка пересечения окружности (О, г) с прямой MN, тогда
Oi=(PO)0(MF) и будет центром окружности, удовлет-
воряющей условиям задачи.
Обратимся к третьему случаю расположения прямой
а и окружности О, г). Пусть окружность (О, г) ере-
секаег прямую а в точках А к В (рис. 11). Если
Л1 $ [АВ], то задача, очевидно, имеет два решения:
центры искомых окружностей находятся в разных полу-
плоскостях относительно прямой а. Способы этих реше-
ний аналогичны рассмотренным.
При М=А или М=В задача ие имеет решения.
Если М £ ] АВ [, то задача имеет два решения. Рас-
смотрим построение этих окружностей одним способом,
опирающимся на ранее упоминавшуюся задачу 1396.
Пост) гение. Проведем (Mf)_La (рис. 12) и окруж-
ность (01, |O|Af|) с центром Oi С (MF), которая пере-
сечет окружность (О, г) в точках С и D. Пусть Л'=
= (СО)Г|а, (КР) и (КР,)—касательные к окружности
(О, г). Имеем (OP)O(MF) =О2, (OP,)(\(MF) =О3;
точки О2 и О3 — центры искомых окружностей.
Доказательство не вызовет у учащихся затруднений,
достаточно убедиться в той, что Д/СРО2егЛЛ/ИО2,
Д.< Р1О3е£ДЛЛ1Оа.
Итак, задача 2 имеет] 1) два решения, если
окр(О, т)П а=0 или окружность (О, г) пересекает пря-
мую а в точках А и В, причем М#=А, М^В; 2) одно
решение, если а — касательная к окружности (О, г) и
М не совпадает с точкой касания; 3) ие имеет реше-
ния, если окружность (О, г) пересекает прямую а в
точках А и В и М=А или М=В- 4) имеет бесконеч-
ное множество решений, если а касается окружности
(О, г) и точка М совпадает с точкой касания.
Рис. 12
Отметим, что совсем необязательно каждую задачу
на построение рассматривать таким образом. Однако
учителю самому полезно раскрывать наиболее полное
содержание задач, предлагаемых в учебных пособиях.
В заключение приведем' примеры отдельных задач,
взятых из учебного пособия «Геометрия 6—8» и допус-
кающих доступные для учащихся различные способы
решения. ,
1. Постройте треугольник по двум боковым сторонам
и разности углов при основании.
2. Постройте точки, находящиеся на расстоянии а от
точки А и на расстоянии Ь от точки В. Всегда ли за-
дача имеет решение?
3. Дана прямая NM и не принадлежащие ей точки
А и В. Постройте на этой прямой точку, равноудален-
ную от точек А и В. Рассмотоите различные возможные
случаи.
4. Внутри угла АВС дана точка D. Проведите через
D прямую так, чтобы отрезок ее, отсекаемый сторонами
уела, делился в ючке D пополам.
5. Постройте треугольник по двум его углам и пери-
метру
6. Постройте равносторонний треугольник, вершины
которого лежат на трех данных параллельных прямых.
7. Постройте фигуру, состоящую из точек, из кото
рых данный отрезок виден под прямым углом.
8. Через точку М, лежащую в плоскости угла АВС,
и недоступную сершину В этого угла проведите пря-
мую.
О построении касательной
к окружности
3. А. Скопец
(г. Ярославль)
К числу конструктивных задач в курсе планиметрии
восьмилетией школы относится построение циркулем и
линейкой касательной к данной окружности. Если по-
строение касательной к окруж гости со (О, R) в точке
A С со сводится к построению перпендикуляра к пря-
мой ОА в точке А, то более содержательной и поучи-
тельной задачей является построение к окружности
касательной, проходящей через точку А, не принадле-
жащую ей. Как будет выясиеио ниже, второе построе-
ние заставляет задуматься над тем, в каком разделе
курса планиметрий его следует излагать и иа каких
предшествующих знаниях должно основываться это
построение.
1.. Традиционное построение касательной циркулем и
линейкой сводится, как известно, к следующему: иа от-
резке ОА, как иа диаметре, строят окружность соь пе-
ресекающую данную окружность со в точках В и С
(рнс. 1). Прямые АВ и АС — искомые касательные. •
Указанное построение основано на том, что вписан-
ный в окружность со) угол ОБА, опирающийся на ди?
метр, равен 90°. Однако это свойство вписанных уг-
лов может быть доказано лишь после того, VaK наряду
с другими аксиомами планиметрии уже принята аксио-
ма о параллельных (имеется в виду система аксиом,
предложенная А. Н. Колмогоровым) н получены пер-
вые следствия из нее, например, когда доказано, тто
сумма углов треугольника равна 180°. Если же построе-
ние касательной к окружности излагается до введе.шя
параллельности (как например, в «Началах» Евклида),
то описанное выше построение не может быть обосно-
вано и поэтому оно при указанном условии неуместно.
Добавим, что в геометрии Лобачевского угол ОВА
остр.ый, вследствие чего прямые АВ и АС не будут ка-
сательными к окружности <о. Это означает, иначе го-
воря, что рассмотренное построение не относится к
«абсолютной» геометрии, в которой изучаются свойства
фигур, выводимые из всей совокупности аксиом евкли-
довой геометрии за исключением аксиомы параллель-
ности. Таким образом, приведенное построение являет-
ся сугубо евклидовым, т. е. это построение правильно
отражает свойство евклидовой плоскости и противоре-
чит свойствам плоскости Лобачевского.
Познакомимся с построениями касательной к окруж-
ности, не требующими обоснования, опирающегося на
теорию параллельных.
2 Построим окружность Ш)(А, |АО|) и пересечем
ее окружностью ®г(О, 2Я). Обозначим полученные точ-
ки пересечения через М и N (рис. 2). Отрезки ОМ и
ON пересекают данную окружность ® в сочках В и С.
Прямые АВ и АС — искомые касательные1.
Действительно, точка В является серединой основа-
ния ОМ равнобедренного треугольника ОАЛ1, поэтому
(АВ] — его высота, а значит, угол ОВА— прямой. От-
сюда следует, что (АВ) — касательная к окружности со.
В обосновании проведенного построения нет необхо-
димости опираться на теорию пара .дельных, и поэтому
оно относится к «абсолютной» геометрии.
Характерным для этого и предыдущего построений
является то, что для построения касательных были
предварительно построены точки касания.
3. Познавательный интерес представляет собой по-
строение касательной к окружности, содержащееся в
третьей книге «Начал» Евклида (предложение 17).
Приведем это построение, которое также свободно от
использования понятия параллельности.
Проводим окружность <D) (О, |ОА|) (рис. 3). Строим
в точке Р==ыГ1 [АО] касательнугэ t к окружности со,
пересекающую со, в точках М и N. Отрезки ОМ и ON
пересекают со в точках В и С; прямые АВ и АС — ис-
комые касательные.
Действительно, треугольники РОМ и ВОА конгруэнт-
ны, так как у них общий угол при вершине О, заклю-
ченный между соответственно конгруэнтными сторона-
ми (|ОР|—'ОВ|, |0Af|='9A|). Но треугольник
ОРМ — прямо угольный (Р=90°), поэтому В=90° и,
следовательно, прямая АВ—касательная к окружнос-
ти со. В обосновании этого построения лежит признак
конгруэнтности треугольников, не связанный с аксиомой
параллельности. Именно на основе признаков конгру-
энтности треугольников и проводится подавляющее
большинство доказательств теорем в «Началах» Евк-
лида.
4. Покажем, как можно построить касательную к ок-
ружности, не строя предварительно точек касания. Про-
ведем окружность <Я|(О, |ОА|). Касательная к окруж-
ности ® в произвольной точке Во € ® пересекает ок-
ружность СО) в точках М и N (рис. 4). Поворот /?£,
при котором М -> А, отображает точку N на точ-
ку Q. Прямая AQ — искомая касательная.
Действительно, поворот Rq отображает касатель-
ную к со иа касательную к co((/VW)-»- (AQ)). Чтобы
сделать построение, проведем окружностьcosf/V, |АЛ1|).
Одна из этих двух точек пересечения ®2 с со и есть
1 Приведенное построение изложено в учебном посо-
бии «Геометрия 6—8» 1979 года издания, в котором
идея построения зиждется иа понятии и свойствах осе-
вой симметрии, не' связанных с теорией параллельных.
59
точка Q, а именно та, для которой направленный угол
МО А равен направленному углу NOQ Построение вто-
рой касательной к окружности со сводится к выполне-
нию поворота’ /?$, при котором точка Л переходит
в точку А. В 9тцм случае точка М переходит в точ-
ку S и прямая AS — вторая касательная.
Преимущество этого способа построения касательной
в том, что обоснование построения опирается на пое-
образование поворота, которое должно (и в других
случаях) найти достойное ему применение. Приведен-
ное построение ие основывается на. теории параллель-
ных и не связано-с построением точек касания — они
получаются сами собой.
Недостатком такого построения является то, что
приходится чаще применять циркуль: вначале для по-
строения касательной в • точке Ро, затем — образа Q
точки N цри повороте' Rq и образа S точки М при
повороте Лд. Однако этот чисто технический недос-
таток не идет ни в какое сравнение с указанным пре-
имуществом дидактического характера.
5. Следующий способ, близкий к только что рассмот-
ренному, сводится к использованию свойств хорд ок-
ружности, равноудаленных от ее центра, — эти хорды
конгруэнтны. Строим последовательно окружность
со, (О, касательную к окружности со в произ-
вольной точке Ро, пересекающую tO| в точках М и N,
и окружность сог(А, (Л/Л7!), пересекающую С0| в точ-
ках Р и Q (рчс. 5). Прямые АР и AQ'—искомые каса-
тельные.
Действительно, хорды АР и AQ конгруэнтны хорд°
MN. поэтому прямые АР и AQ находятся от центра О
на таком же расстояниг Р, как ич прямая, MN. Но в
таком случае прямые АР и AQ — касательные к ок-
ружности от Эю построение, как и в предыдущем слу-
чае, ие опирается на теорию параллельных, не требует
предварительного построения точек касания и может
быть обоснован^ также с использованием свойств по-
ворота; оно эм-йомиее рассмотренных ранее. Построе-
ния 4 и 5 «•* встречались нам i известной и доступной
учебной литературе.
Касательную к окружности в данной на ней точке А
можно построить, как известно, одной линейкой. Также
одной линейкой можно построить касательные к дк-
ружиости, еслн данная точка А не принадлежит ок-
ружности. Эти построения возможно выполнить одной
линейкой и тогда,' когда центр окружности не задан.
6. Мы ограничимся в этом пункте рассмотрением
лишь того случая, когда центр О окружности со задан
и задана точка А со. (Рассмотрение других вышепе-
речисленных задач увело бы нас далеко от изучаемого
вопроса и потребовало бы решения ряда вспомога-
тельных задач.)
Проведем прямую ОА, пересекающую окружность со
в точках Р и Q (рис. 6). Далее, через точку А про-
Рис. 5
ведем произвольную прямую, пересекающую со в точ-
ках N и М. Пусть прямые РМ и QN пересекаются в
точке К, а прямые PN и QM — в точке L. Прямая KL
• пересекает окружность со в точках В и С. Прямые АВ
в АС — исковые касательные. Докажем это.
Заметим прежде всего, что прямая KL перпендику-
лярна к (PQ) Р самом деле, в треугольнике PQL от-
резки РМ и QN — высоты, пересекающиеся в точке К,
поэтому (KL) содержит третью высоту и, следователь-
но, (KL) J. (PQ,
Если (RL) П (PQ)=D, то |ОО| • |ОА| =R2. Убедим-
ся в истинности этого соотношения.
Пусть? DPK=a, DQK — fi Тогда
|PD|:|DQ|=ctga;ctg₽. (<)
Построим перпендикуляр к прямой АР в точке А, пе-
ресекающий прямую РМ' в точке S. Очевидно, что
|PA| = |AS| ctg а и |А<2| — |rlS| ctgAQS.
Так как AQS-=AMS= 180°— PMh’= PQ\=±fi, то
|AQ| = |AS| ctg ft. Поэтому
|PA | : |AQ| =ctg a : ctg ft. (2)
Сопоставляя (1) и (2), получаем |PD|-. [BA| =
= (DQI: 1AQ(, или
(|db|4-R).(|OA|-/?) = (/?-|OD|)(|OA|+R).
После раскрытия скобок и упрощений находим, что
|OD|-|ОА| =/?'. (3)
Из соотношения (3) следует, что |О£>| :R = R: |ОА|,
т. е. треугольники ODB и ОБА подобны. Поскольку
ODB=90°, то ОВА=90Г. Следовательно, прямая АВ—
искомая касательная.
Предложенное построение выполняется только ли-
нейной. Чтобы построить касательные АВ и АС, потре-
бовалось провести 9 прямых: АО, AM, РМ, QN, KL,
QM, PN, АВ, АС.
Хотя истинность построения и обосновывалась сред-
ствами евклидовой геометрии (тригонометрия, подобие
треугольников, вписанные углы), ‘ можно . оказать, что
э-rn же построенье удается обосновать и без привлече-
ния понятий евклидовой геометрии (например, Средст-
вами гиперболической тригонометрии, применяемой в
геометрии Лобачевского). На этом обосновании мы ос-
танавливаться не будем; подчеркнем лишь, что рас-
сматриваемое построение относится к «абсолютной*
геометрии. ,
7. Приведем способ построения касательной только
пикулем. Другими словами, посредством циркуля без
привлечения линейки построим точки касания В и С
по заданным окружности со (О, R) и точке A g со.
Проведем окружность со> (А, |ОА |) (рис. 7,а). Далее,
найдем рйетвор циркуля, равный 2R, для чего выбе-
рем на окружности со точку S и отложим три дуги,
содержащие по 60 дуговых градусов: SP—PQ = QT =
—60е. Точки S и Т диаметрально противоположны.
00
Рис. 7
Строим окружность <и'1(О, |57|), пересекающую <0|
в точках М и N. Теперь остается одним циркулем по-
строить середину отрезка МО.
Для этого строим окружности ©2(0, |ОЛ!|) и
со<(Л1, )ЛЮ|), а затем для точек М и О находим на
инх диаметрально противоположные точки U и V
(рис. 7,6). Далее, строим окружность a>,(U, |7ЛЛ4[),
пересекающую w3 в точках К и L. Наконец, строим
окружности в>$(К, |КМ|) и <o6(L, |<LAf|), пересекаю-
щиеся в искомой точке В — середине [ЛЮ).
Действительно, треугольники КМВ и UMK равно-
бедренные и подобные. Поэтому из того, что^ |ЛЛ1| =
=—[ЛЮ|, следует, что |Л1В| =-2-|Л1Л'| = %-R. Итак,
точка В — искомая точка касания. Аналогично нахо-
дим точку касания С.
Рассмотренное построение имеет место только для
евклидовой плоскости, так как приведенное построение
диаметрально противоположной точки Т для данной
точки S окружности на плоскости Лобачевского явля-
ется неверным.
8. Еще одно построение касательной к окружно-
сти основано на следующем свойстве отрезков се-
кущей, проведенной к окружности: |АВ|2= | АР| • |AQ|
(рис. 8,а).
Если иа отрезке /Ю, как на диаметре, построить ок-
ружность <0| и пересечь ее касательной I, проведенной
в точке Р к <о, то получим точки М и Л. Очевидно,
|АЛ([2= [АР| |А<2|. Поэтому окружность <о2(Л |АМ|)
пересечет со в точках В н С касания искомых каса-
тельных АВ и АС.
Приведенное выше построение иоснт евклидовый ха-
рактер, так как основано на использовании евклидовых
Рис. 8
свойств прямоугольного треугольника и окружности.
Одиако ие исключено, что оно имеет место и для гео-
метрии Лобачевского.
Другой вариант построения касательной в данном
случае основан на ином способе построения отрезка АВ
по отрезкам АР и AQ (рис. 8,6). Так, строим окруж-
ность <0|(А, |АР|), пересекающую (АР) в точке D,
затем строим окружность на диаметре QD и пере-
секаем ее перпендикуляром к прямой АР в точке А.
Для полученных точек М и N имеем: |АЛ1|2= |АЛ|2=
= |А£)| • |Л(?| = |АР| |AQ|, поэтому . окружность
<0з(А, |АЛ4|) пересекает со в искомых точках каса-
ния В и С.
9. Построение касательной можно выполнить просто,
если ие связывать его непосредственно с дайной ок-
ружностью со (О, R) и данной точкой А. Если В есть
точка касания, то треугольник ОАВ — прямоугольный,
причем известно, что |ОВ[=7?, |OA|=d, 23 = 90°. Сле-
довательно, задача сводится к построению прямо-
угольного треугольника по катету и гипотенузе. Катет
АВ построенного треугольника позволяет строить ок-
ружность со|(А. |АВ|), пересекающую со в искомых
точках В и С.
10. Приведем еще одно построение, основанное па
свойствах биссектрис треугольника. Пусть искомая ка-
сательная АВ пересекает касательную I к со(0, R)' в
ее точке Q в некоторой точке М (рис. 9,а). Очевидно,
[ЛЮ) — биссектриса угла QMA. Биссектриса угла,
смежного с углом QMA, пересекает прямую АР в точ-
ке S, для которой |QS| : [SA| = [QO| : |ОА|.
Итак, построив точку S, можно построить окруж-
ность а») иа диаметре OS. Поскольку угол SM0—пря-
мой, то <0| пересечет / в точках М и N, таких, что
(AM) и (АЛ) —искомые касательные.
Наиболее простое построение точки S такое: откла-
дываем иа I два конгруэнтных отрезка QK и QL
(рис. 9,6); находим точку D пересечения прямой КО
с перпендикуляром к прямой ОА в точке А; строим
прямую DL, пересекающую прямую ОА в точке S.
Рассмотренное построение использует свойство вписан-
ного угла, поэтому оно является евклидовым.
Описанные выше построения и пояснения к ним мож-
но использовать при проведении внеклассных и факуль-
тативных занятий в школе, рекомендуем их и для са-
мообразования учителя.
Представляется ие лишним добавить, что в шнольиом
преподавании предпочтительнее использовать построения
4 Или 5, которые позволяют естественным образом увя-
зать построение касательной с преобразованием пово-
рота плоскости.
6f
Занимательная страница
Числовые ребусы
I. Среди математических занимательных задач и раз*
влечений часто встречаются числовые ребусы или крип*
тарифмы. Вот сд! и из них:
два
"два
Ж ЖЖЖ
ЖЖЖ»
«ЖЖЖ
четыре
Здесь в примере возведения в квадрат .рехзиачного
числа все цифры заменены буквами и звездочками.
Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры,
а разными буквами — неодинаковые цифры. Требуется
восстановить первоначальный вид примера.
Решение этой задачи достигается ие механическим
перебором вариантов, а строю логически. Можно рас-
суждать, например, так.
Буква а обозначает ие единицу, ие пятерку и не шес-
терку, так как последние цифры множителей и произ-
ведения не совпадают. Значит, второе частное произве-
дение
5аа-в=ЖЖЖв
может оканчиваться буквой в только в том случае, если
она обозначает пятерку, а буква а — какую-то нечет-
ную цифру.
Из столбца шестого разряда видно, что е меньше ч.
Следовательно, буква е ие может обозначать девятку,
поэтому буква а не может быть тройкой или семеркой.
Отсюда 1=9, а е=1. После э.ого аесл„жио найти, что
ч=2 а о=4.
Окончательно
4 5 9
у 4 9
4 13 1
2 2 9 5
18 3 6
210681
Решение единственное.
Sooi ребус ингересев еще и тем, что он переведев иа
украинский, молдавский, польский, словацкий, испан-
ский языки и даже иа эсперанто.
I. д в а 2. д о й 3. d w а
х д в а X д о а X d w а
<п т ч и. Ж Ж Ж Ж Ж г Ж
ррид ЖЖЖо ЖЖЖЖ
ч и д в о ЖЖ У Ж Ж Ж
ют и р и п а т р у с z t е г у
4. Л v а X a v а 5. d 0 s *d о s 6. X d и d и
Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж k a r
Ж 1 Ж Ж Ж Ж s k 1 0
Ж Ж Ж Ж k V a r
S t у Г 1 \ с и a t г о t
Каждая из этих задач имеет единственное решение.
Ответы
1 На украинском языке: а=9, в=3, 5=7, ц=1,
о=4, ₽=2, 1 = 6, ч=5.
2. На молдавском языке: а=7, д=2, Д=9, о=5,
п=6, р=8, т=0, у=1.
3. На польском языке: а—4, с=7, d=8, е=3, г=1,
1=9, w=5, у=6, г=2.
4. На словацком языке: а=9, d=2; 1=1, г==8, 5=4,
1=3, о=0, у~6.
5. На испанском языке: о=8, с=3, d=5, о=6, г=9,
s=4, t=0, и=1.
6. На эсперанто: а=1, d—5, i=7, k=2, о=0, r=6,
и=4, о=9.
II. Впишите буквы в, е, д, р, о, с. и, т, р. о,
д, и, а, н, а в пустые кружки так, чтобы в первой и
второй строках получились слова, обозначающие соот-
ветственно: 1) диаметрально противоположную зениту
точку небесной сферы; 2) приспособление из грузика,
укрепленного на бичевке, применяемое для определения
вертикальности, а в оставшихся пяти кружках читалось
бы слева вверх направо слово, обозначающее средство
передачи сигналов на расстояние, изобретенное
А. С, Поповым.
О О О О О
о о о о о
' ж ж ж ж о
ж ж ж ж о
ж ж ж ж ж о
Ж Ж Ж Ж Ж О
ж ж ж ж ж о
viz viz viz "JX "Iz1 * * \Lz ‘4' viz viz "Ф*
ф XT" XT" "T4 * * * В 9 "T" ZT" xjs XT" эф. "T"
После этого восстановите скрытый в этой задаче при*
мер умножения, заменив буквы и звездочки цифрами.
Решение
надир
X
отвес
Ж Ж Ж Ж о
Ж Ж Ж Ж а
Ж Ж Ж Ж Ж д
Ж Ж Ж Ж Ж а
Ж Ж Ж Ж Ж Р
"Jz "A** "Jx xlz viz xLz viz xlz "Xz "фс
ф Х74 xys z^x zj\ zT" XT" XT" xjs.
Совпадение последних цифр в 1-й и 7-й строках воз-
можно, если р— циф^а четная и буква о обозначает
циЛру 6. А раз множимое—число четное, то частные
произведения оканчиваются цифрами 0, 2, 4. 6 и 8. Та-
, ким образом, буквы в, е, н, с, г обозначают нечетные
цифры. ’
В 3-й и 4-й строках стоят б-зиачиые числа, следова-
тельно, н=1.
Так как в 7-й строке стоит 6-значное число, то четная
цифра а может быть только восьмеркой.
Нуль может стоять только иа месте буквы и. Соот-
ветственно е=5.
Далее найдем, что тройка обозначается буквой с,
р=2 и т. д. Окончательно
1 8 4 0 2
*69753
5 5 2 0 6
9 2 0 1 0
128814
165618
1 10 4 12
-1283594706
Э. Э Рекстин
(Ниг*)
СИ
ЗАДАЧИ
Решения задач этого номера должны быть отправлены
в редакцию ие позднее 1 января 1984 г. О правилах
оформления решений задач см. в № 1 журнала «Ма-
тематика в школе» за 1983 г. на с. 72.
Задачи для IV—VIII классов
2641. Трехзначное число с различными цифрами в
5 раз меньше, чем сумма остальных трехзначных чисел,
полученных перестановкой его цифр. Найти это число.
Математический кружок 24-й ср. шк.
Керкииского р-иа Чарджоуской обл.
(рук. С. Гелдиев)
2642. Найти цифры х, у, z, t, если
V хугГ = JC + у2 + z* -f- f*.
А. Маматкулов (Андижанская обл..
Московский р-и)
2643. Для каких натуральных чисел х, у, г выполня-
ется неравенство ууг<ху+хг+уг?
Н. Адигезалов (АрмССР, г. Кафан)
2644. Четырехзначное число и Ьго обращенное (тскже
четырехзначное) оба делятся на 78 Найти эти числа.
Математический кружок
Мало-Памачской ср. шк.
Ахалцихского р-на ГССР (рус. С. Л. Манукян)
2645. Найти все трехзначные числа, составленные из
четных цифр и делящиеся на их произведение.
2М6. Какие простые числа могут быть делителями
чисел вида 111... 1 ?
2647. Касательная к окружности в вершине вписан-
ного треугольника перпендику чрна противоположной
стороне. Найти зависимость между сторонами треуголь-
ника.
2648. Выразить угол между медианой и биссектрисой
треугольника, выходящими из одной вершины, через
углы треугольника.
Т. П. Черепанова (г. Ярославль)
Задачи для IX—X классов
2649. Доказать неравенство
sin2Sa-|-cos2*a^j2(sin2,‘+2a-|-cos2,1+2a) (а С- R).
С. И. М а й з у с (г. Запорожье)
2650. Решить уравнение
sin8 x-j-cos8 х=32 (bin18 x-|-cos18 х).
2651. Решить систему уравнений
I logx (ах -f- бу).logy (bx + ay) = 4,
I iogx (bx + ay) + logy (ax + by) = 4 (a, b > 0).
A. H. Смоляков (Ставропольский край,
г. Нефтекумск)
2652. Решить систему уравнений
(х + ех^ у+еУ,
I х1 4- ху + у’ = 12.
Математический кружок
Вистанс^ой ср. шк.
Лерикского р-на АзССР (рук. Ф. О. Мамедов)
2653. Доказать для вписанного • пятиугольника ,
ABCDE теорему:
|АВ|| ВС |1СР\ =
Shi (С -f- £) sin (£> -f- A) sin (£ -j- В)
|£>B|fCA|
sin (A + C) sin (B + D)
C. 1-1. M а й з у c
2654. В сектор AOB с углом 2a вписана окружность
с центром Oi. Найти угол АОД. если известно, что
cos3a+cos2a-|-cosa= 1.
С. Г. Губа (г. Вологда)
2655. В правильном тетраэдре определить множество
точек, обладающих тем свойством, что из перпендику-
ляров, опущенных из любой точки этого множества
на грани тетраэдра, можно было бы построить четы-
рехугольник.
Э. А. Я с и н о в ы й (г. Куйбышев)
2656. Зная площади оснований усеченной треуголь-
ной пирамиды, найти площадь треугольника с верши-
нами в точках пересечения диагоналей боковых граней
этой пирамиды.
Ф Д. Безиосиков (г. Сыктывкар)
Производные
2657. Решить уравнение
3-г+2 = 26х + 29.
Р. М. С а л и м ж а н о в (г. Петропавловск)
2658. Доказать, что ‘если
, а, , , ап
a0 + — + -3-+ ••• + т+Т = 0’
то уравнение ao+aix4-a2x2-|- ... 4-а„х"=0 имеет по
крайней мере один действительный корень,
С. Й. М а й з у с
Применение комплексных чисел
2659. На сторонах выпуклого четырехугольника A BCD
вне его построены равносторонние треугольники. Дока-
зать, что отрезок MN. соединяющий вершины построен-
ных треугольников АВМ и CDN, перпендикулярен от-
резку PQ, соединяющему центры двух других треуголь-
ников, причем |МН | = | PQ | -УЗ
Э. Г, Гетман (г. Арзамас)
Преобразование прямых
2660. В равносторонний треугольник АВС вписана
окружность ы(О, R). Касательная к ней пересекает
Стороны СА, СВ в точках М и N. На этих сторонах
построены отрезки BNt и АМ, так. что | AM, | = | СМ |
и | SA1! | = | СА^ |. Доказать, что прямая M,Nt проходит
через центр окружности
3. А. Скопец (г. Ярославль)
Решения задач,’
помещенных в № 6 за 1982 г.
2541. Найти натуральные числа х и у, если известно,
что ху и х'с являются двузначными числами, записан-
ными одинаковыми цифрами, но в разном порядке.
Решение. Ясно, что х=#1. При х=2 у G {5, 6),
так что
хуС {10, 12J, х» С- {32, 64),
и следовательно, х#=2. Аналогично убеждаемся, что
х=АЗ, х#=4.
Поэтому х^5, и поскольку, очевидно, у=А\, то
у=2, откуда х^9. Отсюда следует, по ху — четное
число от 12 до 18, и так как 21, 41, 61 ие являются
точными квадратами, то хр=18, так что х=9. Про-
верка показывает, что числа 9 и 2 действительно явля-
ются решениями задачи.
2542. На отрезке АВ симметрично относительно его
середины расположены 2п точек. Выберем произвольным
образом п точек и назовем их красными, а оставшиеся
п точек — синими Доказать, что сумма расстояний ос
всех красных точек до точки А равна сумме расстояний
от всех синих то"ек до точки В.
Решение. Пусть красная точка С и синяя точка
D расположены по разные стороны от середины К от-
резка АВ. если мы их перекрасим, то рассматривае-
мые суммы расстояний S, н S2 обе увеличатся на од-
но и то же число |CD|, так что разность Si—S2 ие из-
менится. Таким перекрашиванием точек мы можем до-
биться того, что все красные точки будут лежать по
одну сторону от середины К, а синие точки — по дру-
гую сторону от К. Но в этом случае из симметрично-
сти расположения точек следует, что S)=S2, т. е.
S)—с>2=0. и поскольку в процессе перекрашивания раз-
ность S,—S2 ие изменялась, то и при исходной раскрас-
ке точек эти суммы были равны, что и требовались до-
казать
2543. Треугольная сетка (рис. 1) сделана из шнура,
который может гореть. Огонь распространяется по шну-
ру с одной и той же скоростью. Какие звенья сетки
сгорят последними, если поджечь ее в точке Q?
Р е ш е в и е Если принять, что скорость распростра-
нения огня такова, что звено сгорает в 1 секунду, то
через 4 секунды сгорят все звень 1, кроме flF, BF и
звеньев, лежащих на прямой АЕ. Но в этот момент
звенья ВС, CD, DE и BF начнут гореть с двух сторон
и сгорят раньше, чем АВ и AF.
2544. Сколькими различными способами число 1/3
можно представить в вид> суммы трех различных дро-
бей с числителями равными 1? (Порядок слагаемых
считается не( уществеиным.)
Решение. Наибольшая из трех дробей должна
быть больше 1?9 и равна поэтому одному из чисел 1/4,
1/5, 1/6. 1/7, 1/8 Рассмотрим эти случаи последователь-
но.
В первом случае следует представить дробь 1/3—
—1/4=1/12 в виде суммы дйух дробей с числителем 1:
1 1 1
12 х у ’
и будем считать для определенности, что х<у.
Отсюда имеем (х—12) (у—12) = 144, и, перебирая
все натуральные делители числа 144, получим (с уче-
том х<р) 7 искомых представлений дроби 1/12.
Во втором случае имеем уравнение
2 1 1
ИЛИ
1. 1 1
15 = 2jt + 2у ’
откуда (2х— 15) (2у~ 15) =225, и получаем 4 решения.
В третьем случае имеем уравнение (х—6) (у—6) =
=35, дающее 4 решения.
В четвертом случае получаем уравнение
(4х—21) (4^—21) =441 =21 -21,
откуда, учитывая, что 7<х<у, полечим 4х~21-^21,
т. е. х может принимать значение 8 или 9. Однако при
х=8 и х = 9 4х—21 не является делителем 441, гак
что в этом случае решений ие получаем. В последнем,
пятом случае также решений нет.
Итак, задача имеет 15 решений.
2545. Бесконечная десятична^ дробь' с целой частью,
равной 0, строится следующим образом: первые две
цифры — а и Ь, а каждая следующая цифра является
последней цифрой суммы двух предыдущих Для
скольких пар (a; h) в этой дроби встретится комбина-
ция 57?
Решение. Если в дроби имеется комбинация 57,
то дробь имеет вид
...5729101123583145943707741 ... 51673033695493257...
Отсюда видно, что любая из 60 пар, образованных
стоящими рядом цифрами, приведет к дроби, в кото-
рой встретится комбинация 57; с другой стороны, ни-
какая другая пара не приведет к такой дроби, по-
скольку при наличии комбинации 57 получаются только
выписанные 60 вар.
2546. Из записи бесконечной периодической дроои
0, (ад ... а35)
удалим все цифры, стоящие на нечетных местах, счи-
тая от запятой; из новой записи также удалим все циф-
ры, стоящие на нечетных местах от <апятай, и т. д.
Получится ли после некоторого вычеркивания исходная
дробь?
Решение. После. первого вычеркивания останутся
цифры, стоящие в исходной дроби иа четных местах,
после второго — цифры, стоящие на местах, номера ко-
торых делятся на 4, и вообще, после tk-ro вычеркива-
ния останутся цифры, стоящие в исходной дроби на
местах с номерами,.кратными 2*. т. е. с номерами 2\
2-2\ 3-2\ 4-2* и т. д.
Для того чтобы получилась исходная дробь, надо,
чтобы цифра с номером 2*1 совпадала с щ, а для это-
го достаточно, чтобы 2h отличалось от 1 иа число, крат-
ное 35. Легко проверить, что таким числом будет, на-
пример, А = 12. При этом разности 2-212—2, 3-212—3,
..., 35-212—35 также делятся на 35, и поэтому первые
оставшиеся 35 цифр образуют период исходной дроби.
Таким образом, после 12-го вычеркивания мы полу-
чаем исходную дробь.
2547. На сторонах СА и СВ треугольника АВС по-
строены точки М й N, такие, что |AW| = |ВЛ41 = |АВ|.
Отрезки AN ц, ВМ пересекаются в точке Р. Доказать,
что АРМ=2АСВ-
Решение. Очевидно (рис. 2), *
WBA = 183° — 2А, NAB *= 180° — 2В.
Следовательно,
Мр\ = 180° — 2А + 183° — 2й-=
= 360° — (360° — 2С) “ 2С.
2548. Точки М, D, Н — основания соответственно
медианы, биссектрисы и высоты треугольника ЛВС,
Рнс. 2
Рис. 3
64
прое’денных из вершины С. Выразить отноп^ние
|Л1О| : | ЬН | через длины сторон треугольника. При
каком условии это отношение равно 1?
Решение. Будем полагать, что Ь>а (рис. 3). Име-
ем:
Ьс с
с(Ъ — а) ас
imz?1 = 2(5W
Но
|D//[ = |B£)|-ocosB = ?^--
а (с2 + а1 — Ьг) (Ь — а) ((а 4- Ь)г — сг)
2ас ~' * 2с (а 4- Ь)
Таким образом,
|Л4£>| : |РД| = с2: ((а 4-f>)2—с2).
Если |A4D| = |Df/|, то c2=(a-f-fe)2—с2 и a+fe=c)'2.
2549. Решить неравенство
4
Xх — 1
-Т“ - >0 (х> 0).
Xх —2
2
Решение. Обозначив х через у, перепишем не-
равенство в виде
(у — i)Jy + D (уа
(у-/ 2 )(у +/ 2 ) >
Отсюда следует, что у<1 или у>1'2. Неравенство
.L v
Xх < . выполняется, очевидно, при 0<х<1. Для ре-
шения неравенства х х > yf 2 заметим, что функция
I
у =хх принимает значение 1’2 при х=2 и при х = 4.
Кроме того,’ исследование этой функции с помошью
производной показывает, что она возрастает на ин-
тервале ]0; е[ и убывает иа интервале ]е; + со[, и сле-
1
дователыю, неравенство Xх > уГ 2 выполняется на
интервале |2, 4[, а исходное неравенство выполняется
прн ]0; 1[U ]2; 4[.
2550. Доказать неравенство
loge 7 + log? 8 + log8 9 < 3,3.
Решение. Заметим, что для любого n f N спра-
ведливо неравенство logn(п-Н) > logn-н(n-(-2j: дейст-
вительно,
logn + l (п + 2)
----------------
< (1оД+1 (Л + 2) + logn+1 лу =
__ (logn У. (п + 2) < j
Следовательно, достаточно установить, что log 7<1,1,
или, что то же самое, 6П>710. Но
6" = 6-365 > 6-55-75 > 18 000-76 > 350 • 50 • 75 > 7i0,
что и требовалось доказать.
2551. Вычислить предел
"j^“( — 1)" sin тс yf п* -р п.
Решение. Имеем:
(— 1)" sin тс 7/пг -f- п = sin тс (у^пг 4- п -п)=-
тс п
«= sin —Г- -------.
у пг 4- п 4- п
Поскольку синус — непрерывная функция и
то искомый предел равен 1.
2552. Вычислить предел
Нт 2п у 2 —У24-К24- 4- /Т,
где выражение содержит п радикалоё.
Решение. Докажем сначала, что если
ап ”= У 2 4- V2 + .
где в правой части п радикалов, то Лп — 2cos "jjn+i •
.------------------------- *г
При п=1 имеем at = yf 2 =2 cos и, сделав
предположение индукции, получим
4.1 = у^2 4- ап “ у 2 4- 2 cos gn-j-i — 2 cos gn-i-a ’
что и требовалось доказать.
Теперь имеем:
11m 2" уГ 2 — ап—j = lim 2" у 2 — 2 cos =
п-+оа Г
тс s,n 2П+‘
= lim 2n+1 sin 2,;. , = тс lim---—----= тс.
П-t-oo Х П-Х» ________
2«+i
2553. Построить четырехугольник с равными и пер-
пендикулярными диагоналями по заданным трем его
сторонам.
Решение. Наметим ход решения. Опишем иколо
искомого четырехугольника ABCD квадрат PORS
(рнс. 4). Если М — точка пересечения диагоналей ис-
комого, четырехугольника, то остается построить отно-
сительно квйдрата PQRS такую точку Л4, что |Л1Р| :
: |A1Q| : |MR| = р : q : г, где р, q, г—данные отрезки.
Для этой цели строим дв! < кружности Аполлония, что-
бы |МР| : \MQ\=p-.q, |Ж>| : |AfR| =^q ; г. Обе эти
окружности пересекаются в двух точках М и М', с по-
мощью которых можно построить два четырехугольни-
ка с равными и перпендикулярными диагоналями. Ис-
пользуя метод подобия, можно построить два искомых
четырехугольника.
2554. Существует ли такой неравнобедренный тре-
угольник, что
а + ma = b + ть,
где та и ть — длины медиан треугольника, проведен-
ных к сторонам длины а и Ь?
Решение. Имеем:
„ 2 (f + с’) — а* , 2 (с* + o’) — Ь3
та = --------4------> тЬ------------4------'
Отсюда
' ч ‘
та— т1 =— а2).
Пугть та=£ть, тогда ау=Ь. Далее, если имеет место
равенство
та — ть = Ь — а,
то
3
та + ть = (а + Ь).
Из последних двух равенств находим
8/па = 76 — а, &пь — 1а — Ь.
Отсюда
( Ь3 + с* а* \
64 ----g-----—~4~) = 496’ + а* — Иоб,
32 (Ь* + с’) — 16а' = 496' + а3 — 14а6,
17а’+ 176’ — 32с* — 14а6 = 0. (1)
Итак, если стороны треугольника равенству (1)
удовлетворяют, то искомый треугольник существует.
Приведем пример: а=1,с = j/~-^ .6=2. Легко про-
верить, что треугольник в этом случае существует и
а-',-та=Ь+ть.
2555. Окр"ж> сть с центром на стороне АВ четырех-
угольника ABCD касается трех его сторон. Доказать,
что если около четырехугольника можно описать ок-
ружность, то
|Д£>| + |ВС| = |АВ[.
Решение. Пусть О£ [АВ] — центр окружности ра-
диуса г, касающейся сторон четырехугольника ABCD
в точках. Е, F и О (рис. 5). Поскольку около четы-
рехугольника ABCD можно описать окружность, то
А+С = B-|-D = 180°. Из треугольников ОВЕ и ОАО
имеем:
[OB|=r:sinB, |ОА | =/-:sln А,
iabi
.sin A sin В
Далее, fBE | = , | СЕ\ = | O£|-ctg-^- =
sin В
I-f-cosC I—cos А
=-r--------------------—.
sin C sin A
Аналогично | AG | = r-----| DG | = r--------——.
sin A sin В
Поэтому
| ВС | + | AD | = | BE | + [ EC | + | AC | + | DG | -
(cos В 1 — cos A cos A 1 — cos В 1
------ 4------7---h------- ~ I “
sin В sin A sin A sin В 1
- r /~Цг- + ~— I AB |.
’ \ sin A sin В /
Итак,
IBC J + I AD| = ]AB|.
2556. Для треугольника ABC выполняется ра-
венство [
sin A, + sin В sin 2 т 4- sin 2B
sin C sin 2C
г
Доказать, что эта пропорция равносильна равенству
cos А + cos В = 1.
Решение 1. Прибавим к обеим частям данного ра-
венства по 1:
s in А + sin В + sin С sin 2А + sin 2В + sin 2С
sin С sin 2С
Известно, что для углов треугольника имеют место ра-
венства
sin А + sin В + sin С =
— — — 2S
sin 2А + sin 2В + sin 2С---
где р — полупериметр треугольника, В — радиус опи-
санной около него окружности.
Поэтому получаем ' ..
Р 25 А
Д sin С Д3 sin 2^
Отсюда находим, что
" г
cos С =
I
Но cos А 4- cos В + cos С = 1 + следовательно,
cos А + cos В = 1.
Решение 2. Данная пропорция означает, что пря-
мая, проходящая через центр вписанной и описанной
окружностей, параллельна стороне АВ (оис. 6). по-
этому
= cos С. Но cos А + cos В -;- cos С = 1 +
следовательно, cos A-|-cos В= 1.
2557. Доказать неравенство
У2к
slnx3dx^> 0.

Решение. Сделаем в рассматриваемом интеграле
замену переменной х2=у:
2 к
J •= sin x*dx = j* ——''У—— dy =-
о о 2 1 У
Поскольку
2к “«
р sin у с sin t dt
JVT ’"“J7T+V-
= 0 I
го
Доказываемое неравенство следует теперь из того,
что на ]0; л[ подынтегральная функция непрерывна и
положительна.
2558. Доказать, что если многочлен с целыми коэф-
фициентами при трех различных целых значениях пе-
ременной принимает значение 1, то он не имеет целых
корней.
Решение. Пусть f(x) — многочлен, удовлетворя-
ющий условию задачи; тогда по теореме Безу имеет
место равенство
f(x) — 1 = (х —Х|) (х —х2) (х —x3)g(x),
где х(, х2, х3 — различные целые числа, g(x)—мно-
гочлен с целыми коэффициентами. Если а — корень
f(x), то
— 1 = (а — Х|) (а — х2) (а-хз)ё(а)
и тем самым число —1 представлено в виде произведе-
ния четырех целых чисел, три из которых различны.
Полученное противоречие доказывает требуемое утвер-
ждение.
2559. Дан равносторонний треугольник АВС и точка
М в его плоскости. Точки М,. М2, Л43 — проекции точ-
ки М соответственно на прямые ВС, СА, АВ. Доказать,
что точка пересечения медиан треугольника
делит пополам отрезок ОМ, где О — центр описанной
окружности.
Решение. Пусть комплексные координаты вершин
треугольника АВС таковы- Л(1), В (а), С (а2), где
1+а+аг=0 и а3=1 (рис. 7). Как известно.
! _
mi — (1 + tt -f- m — ат).
1 _
т. = -~2~ (а + a1 -f- т — т),
1 _
т3 = -g- (а2 1 ф т — а2 т).
Если G — точка пересечения медиан треугольника
М;М:М3, то для G(g) имеем
1
g — (Mi + т, -I- т,).
Учитывая записанные равенства, получим
g “ (1 + а + а* + « + а’ + 1 + Зли —.
— (1 + а + а*) м),
,т. е.
1 о т
g ~ -^-Зт, Д =
Итак, точка G — середина отрезка ОМ.
2560. Две скрещивающиеся прямые а и b пересече-
ны прямой т соответственно в точках А и В. Постро-
ить прямую п, перпендикулярную прямой m и пересе-
кающую прямые а и Ь в точках At и Вь для которых
Щ>1 = |ВВ.|.
Решение. Пусть и п v — направляющие единич-
ные векторы прямых а и Ь (рис. 8). Тогда
—* —-> —► •
Л1 = Л + хи, В1 = В + лг».
Отсюда
А,В, = АВ 4- х (v — и).
Далее,
(АВ + х (£—й))-АВ = 0.
Отсюда
(и— v)-AB ’
Но АВ-и — | АВ | cos a, AB-v =• —| АВ } cos р,
где АВ, и = а, АВ, w = p.
Итак, имеем
х cos а + cos Р‘
Задача имеет и второе решение, когда ©дни из на-
правляющих векторов икс направим » нрссшидаи-
ложную сторону.
Если а+(5=18О°, задача решений не имеет.
Замечания к решениям задач
В условии задачи 2541 обнаружился «тонкий момент»,
а именно: удовлетворяют ли условию задачи, например,
числа х=22, у=1? Другими словами, можно ли ска-
зать, что в згом случае xv и ху записаны одинаковы-
ми цифрами, но в различном порядке? Такое понима-
ние в принципе возможно, однако оно ие представля-
ется нам естественным, и поэтому в приведенном ре-
шении этот и аналогичные случаи ие учитывались.
Задача 2542 предлагалась на Всероссийской олимпиа-
де школьников по математике 1980 г. В ее решении,
опубликованном в № 4 журнала за 1981 г., использо-
вался векторный аппарат. Читатель С. М. Петров пред-
ложил ее для «Отдела задач» вместе с простым реше-
нием, доступным ученикам младших классов; оно и
приведено выше. Такое же или близкое решение при-
слано еще несколькими читателями журнала.
Много ошибок допущено при переборе отдельных
случаен в решении комбинаторной задачи 2544. Неко-
торые из читателей обратили внимание на то, что в ус-
ловии этой задачи не указано, что слагаемые в разло-
жении дроби 1/3 должны быть положительными. В этом
случае, однако, искомых представлений бесконечно мно-
го. и задача становится бессодержательной
В задаче 2549 многие читатели ограничивались гра-
фическим решением неравенства х2>2ж; в данном слу-
чае такое рассуждение представляется нам недостаточ-
ным, поско шку из рисунка ие следует, что парабола
и график тюка «ателыгой функции не имеют еще одной
точки пересечения. Такие решения этой задачи не за-
считаны.
Не были засчитаны и решения задачи 2550, в которых
использовались приближенные вычисления с помощью
таблиц: мы уже неоднократно говорили о том, что при
доказательстве подобных конкретных числовых нера-
венств всегда подразумевается, что таблицами пользо-
ваться нельзя, даже если это специально не указало в
условии. В противном случае следовало бы указывать,
например, что не следует использовать микрокалькуля-
торы, ЭВМ и т. п.
В задаче 2557 мы считали недостаточной ссылку на
«очевидное из графика» утверждение, что площадь
«под графиком» функции i/=sinx2 на отрезке от 0 до
Ул больше, чем плошадь «над графиком» иа отрезке
от Ул до У2л. Лишь в одном решении первая из этих
площадей была точно ограничена снизу, а вторая
сверху
С задачей 2547 справились все читатели журнала, од-
нако некоторые решения занимали целые страницы, в
то время как другие — всего несколько строк. Это сви-
детельствует о том, что в одних случаях задача реша-
лась по проблемному плану, а в других случаях реше-
ние было найдено путем введения разных вспомогатель-
ных углов, которые мало связаны с данной фигурой.
Можно советовать читателям принять за правило не
только получить искомый отвез, ио и провести его ана-
лиз с точки зрения поиска более простого решения.
Ведь решение не самоцель, а поиск естественного хо-
да получения искомого результата с возможно наи-
меньшей затратой сил.
Задача 2548 не вызвала у читателей особых затруд-
нений, по в ряде случаев решения громоздкие, с по-
грешностями в вычислениях.- Только двое решапн зада-
чу с помощью векторов. Тождественные преобразования
алгебраических выражений проводились х многих нера-
циональным способом. ,
Характерно, что задачу 2553 также большинство чи-
тателей решали используя громоздкие преобразования.
Между тем эта задача конструктивная и сводится к
применению вписанного н описанного квадрата относи-
тельно данного четырехугольника и двух окружностей
Аполлония. Такое решение прислали, например, Б. С.
Гсльруд, А. А Гемуев и некоторые другие авторы. На-
блюдения показывают, что многие при решении геомет-
рических задач не умеют использовать окружность
Аполлония и предпочитают проводить различные вы-
числения; это в ряде случаев нерационально.
Задача 2554 относится к числу нестандартных. В пей
требуется доказать существование треугольника. Вычис-
ление третьей стороны искомого треугольника ие обес-
печивает решения всей задачи — оно составляет лишь
часть решения. Поэтому основная ошибка, допущенная
большинством читателей, — получение выражения для
вычисления третьей стороны без последующего анали-
за существования треугольника. Читатель Р. П. Уша-
ков строит пример, доказывающий существование' не-
равнобедреииого треугольника, удовлетворяющего тре-
бованию задачи.
Задача 2555 вызвала затруднения у многих читате-
лей; фигура, рассматриваемая и задаче, нестандартная.
При ее решении приходится использовать трнгономег-
рню. Некоторые не смогли даже сделать правильный
рисунок для его использования при решении задачи.
Геометрические свойства данной в задаче 2556 про-
порции показывают, что прямая, проходящая через
центр вписанной и описанной окружностей, параллель
иа стороне треугольника, что быстро приводит к цели.
Но такого решения ник^о ие предложил. Вообще на-
блюдается большая приверженность к вычислениям, не-
жели к построениям, непосредственному анализу фигур,
исходя из условий задачи
Дпя решения задачи 2559 наиболее естественно при-
менять комплексные числя, однако читатели предпочли
метод координат, который загромоздил весь ход реше-
ния. Задачи, предлагаемые для решения с помощью
комплексных чисел, желательно решать именно таким
способом. Читателям полезно по публикуемым решениям
путем самообразования овладеть этим ие слишком
сложным приемом
’Совет читателям: глубже изучать те решения,
которые публикуются иа страницах журнала, и не до-
вольствоваться лишь получением ответа, совпадающего
или нет с присланным.
Г. В. Дорофеев
(Москва),
3. а- Скопец
(Ярославль)
Сводка решений задач
по № 6 за 1982 г.
В номерах задач опущены двб первые цифры (25).
Андреева Г. Г. (г. Пермь) — 44; 45, 47, 50. Байжа-
нов А. (Хорезмская обл.) — 41—43, 45, 49, 57. Баим-
бётов С. (Каракалпакская АССР, г. Тахииташ) — 41,
44, 49, 56. 56, 58. Барышникова Т. Л. (Ошская обл.) —
41—43, 45, 47, 48. Богатырев А. А. (Пензенская обл.) —
41, 42, 45, 47—49 Богомолов А. П. (г. Петропав-
ловск) — 41—45. 47, 49—57, 59. Бортная М И. (Ки-
евская обл., г. Тетнев) — 43, 45, 47, 48, 55. Войто-
вич Ф. С. (г. Могилев) — 41—50, 52—56. Веребейчик
И. Я. (Ленинград) -- 41—60. Гельруд Б. С. (г. Ниж-
ний Тагил) — 41, 42, 44‘--54, 56—60. Гемуев А. А.
(г Нальчик) — 41—50,52.53, 55—58. Герег И. А.
(МССР) — 49—57. Головачев Е. А. (Белгородская
обл.) — 41—45, 47—50, 52, 54—59. Джаббаров М. Б.
(АзССР, г. Саатлы)—41- 44, 47, 48,50,56. Егоров П. В.
(г. Рязань) — 41—43, 45, 46, 49 Емелюшин И. С.
(г. Барнаул) — 41—44, 47, 48, 54—56. Закаряев Б. 111.
(АзССР) — 41—45, 50, 54—56. 3(иналов А. (г. Киро-
вабад) — 41, 42, 47—50, 52, 56, 57. Зискинд Л. Е.
(г. Винница) — 41, 42, 44—48, 51—56, 58. Исканде-
ров Ф. Р. (ГССР, г. Гардабаин) — 41, 42,. 47, 54, 56.
Каденов С. Ж- (Восточио Казахстанская обл.) — 41—
68
43, 46—48, 50, 53, 54. Кассиров В. А. (Павлодарская
обл.)—41, 42, 45, 47, 48, 51, 54—56, 59. Константи-
нов А. Н. (Одесская обл.) — 41—43, 45. Косой Р. А.
(г. Одесса) — 41—60. Курганов Т. К. (Ташкентская
обл., г. Чирчик) — 41, 42, 44, 47, 48, 50—52, 54, 57, 58.
Лейфура В. Н. (г. Николаев) — 41—45, 47—52, 54—58.
Любеиов Л. Т. (Болгария, с. Павел-Баня) — 41, 42, 44,
47, 49. 52, 55—59. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) —
41—43, 47, 48, 55. Муратов А. А. (г. Краснодар) — 41,
45, 47—50, 54—56. Новрузов Т. Г. (АЗССР) — 41, 42,
47, 48, 51. Облокулов X. (Ленинабадская обл., г. Пеня-
жнкент) — 41, 42, 47, 50, 52, 54. Повелий В. И. (Ро-
венская обл.) — 41, 42, 47, 49, 52, 55, 56. Ручкин Д. Д.
'Марийская АССР) — 41—44, 49. Рытов Н. Н (Там-
бовская обл.) — 41—43, 47, 48, 54—56. Садовин Л. Н.
(Марийская АССР) — 41—45, 47, 48. Сазонов А. (Моск-
ва) — ,49—51, 57. Салимжанов Р. М. (г. Петропав-
ловск) — 41—47, 49—52, 54—59. Симеонов А. А. (Бол-
гария, г. Своге) — 41—43, 45—50, 52, 55—60. Стонис
Ю. В. (Вильнюс) — 41, 43, 45, 48, 49. Сысуев Г. Я.
(Хабаровский край, с. Князе Волконка) — 47, 48, 53,
56, 57. Таймасханов У. Д. (Дагестанская АССР) —
41—45, 47, 48, 50, 52, 55—59. Ткач К. Л. (Черкасская
обл.) — 41, 43, 47, 55. Ткаченко К С. (Московская
обл.) — 47, 48, 54, 56, 59. Трофимчук'Ю. В. (Винниц-
кая обл., г. Калиновка) — 41, 48, 49, 54—56, 58. Фрид-
ли.; Г. М. (г. Берднчев) — 41, 42, 44, 47, 48, 50—52,
55,56,58. Филенко Е. (Донецкая обл., г. Родинское)—42,
46, 47, 55. Хагабанов X. Т. (Кабардино-Балкарская
АССР) — 41, 43—-45, 47, 49. Хизанишвили Ц. И. (Тби-
лиси) — 41, 43, 45, 49—52, 55—58. Цакоев Б. М. (Ря-
занская обл.) — 41—49, 55, 56. Цхай Т. Т. (г. Анди-
жан) — 41—44.. 46—49, 52—60. Юсупов С. (Хорезм-
ская обл.) — 41—47, 49, 50, 52, 54, 59. Юшин Ю. Д.
(г. Гагарин) — 41—43, 45—48. 50, 54, 56., -»
Учащиеся IV класса Народной ’основной шк. «Кле-
мент Охридских г. Хисар НРБ: Андреев М., Бедррсян
Г Бочева II., Василева Ж., Вълков Д., Георгиева И.,
Даргов В., Иванов Р., Лилов Т., Нейчева Иванка, Ней-
чева Ивелнна, Попова Р., Тополов Д. — 41—45, 47;
Ганчев Л. — 41—46; Илиева Ц. — 41—43, 43, 47; По-
пова М. — 41—45; Кочева Б. — 41, 42, 45, 47, Илчев-
ски Г — 41, 43, 45, 47.
’ Математические кружки: ср. шк. № 5 г. Горис
АрмССР (рук. Г. О. Айрапетян) — 41, 42. 45, 47, 48;
индустриально;технОлогического техникума г. Иджева-
на АрмССР (рук. 3. А. Алавердян, — 41, 48, 51, 56;
46-й шк. г. Мурманска (рук. В. Е. Андреев) — 41—45,
47, 48, 51, 57; Нефтечалинской ср. шк. № 2 АзССР
(рук. В. А. Ахундов) — 41, 43, 47, 48, 56; «Туси» Сар-
ванской ср. шк. Сгчьяцекого р-на АзССР (рук. А. М.
Багиров) — 41, 42, 47, 55, 56; вечерней шк. № 26
Мархаматского р-на Андижанской обл. (О. X. Баки-
ров) — 41, 42,'47, 48, 56; «Агат» ср шк. № 6 г. Цхин-
вали ГССР (рук. Э. А. Бекоев) — 41—43, 47, 48, 50- -
52, 55—58; 87 й шк. Еревана (рук. Г. Г. Бояхчян) —•
41, 4'3, 48, 51, 52; Караджаллинской 8-летней шк. г.
Хачмас АзССР (рук. Н. В. Велибеков) — 41, 42, 47, 48,
50; пятых и восьмых классов 94-й шк. Киева (рук.
Е. Я. Грищенко) — 41—43, 47, 48; Карачинарской ср.
шк. Шаумяновского сельского р-на АзССР (рук. В. Д.
Давидян) — 41, 42, 47, 48, 50, 52, 57, 58; с. Каралы
Нефтечалинского р-на VaCCF (рук. Ф. Исмайлов) —
41, 42, 44, 45, 47, 48, 51, 53, 54, 56; Чобансихнакской
ср. шк. Таузского р-на АзССР (рук. Г. А. Кизимов) —
41, 42, 47, 48, 51, 52; Наэакевской ср. шк. Самтредско-
го р-на ГССР (рук. М. Д. Кашия) — 41—44, 47, 50—
52, 56, 58; 93-й шк. Киева (рук. ЛЁ Л. Кобозев) — 41,
42, 44—47, 50—52, 58, г. Рогачева Гомельской обл.
(рук. С. Л. Нахамчик) — 41—48, 51, 54, 56, 5Я, 59; ср.
шк; № 2 г. Мархамат Андижанской ибл. (р О., Сат-
торов) — 41—44, 47, 48, 50—52, 58; ср шк № 3
Элликалинского р на Каракалпакской АССР (рук.
Ж- Сейтов) — 41, 42, 46, 58; Ба щекой ej». сж. Самтрец-
ского р-на ГССР (рук. Л. Е. Твалаъздзе) — 41, 42,
44, 47, 55; 173-й шк. Киева (рук. Р П Ушает^41,
42, 44—58; Ханлыкской ср. шк. Кубатлпнг: р-га
АзССР (рук. Ф. С. Фаталиев) — 41, 42, 48, 51, 52, 53,
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
НА 1983/84 УЧЕБНЫЙ ГОД
Ноябрь
1 ноября — 70 лет со дня рождения
польского математика Анджея М о-
стовското (1913—1975). Окончил
Варшагский университет. Работал
в этом же университете и Институте
математики Польской АН. Основные
труды относятся к математической
логике и основаниям математики.
Известны его работы в области тео-
рии вычислимых функций, теории
разрешимых и неразрешимых фор-
мальных систем, \ теории моделей
и ДР-
2 ноября — 80 лет со дня рождения
советского математика и механика
Виктора Дмитриевича Ку п рад зе.
Родился в Кутаиси, окончил Тбилис-
ский' университет (’.924), аспирантуру
АН СССР. Доктор физико-математи-
ческих наук, профессор (1935).
С 1936 г. работает в Тбилисском
университете. Академик-секретарь
Отделение математики и физики
АН ГССР. Основные труды- относят-
ся к теорйи дифференциальных
уравнений в частных производных,
к интегральным уравнениям и к при-
кладной математике. В Д. Купра-
дзе — участник Отечественной войны,
заслуженный деятель науки и техни-
ки ГССР; в 1944—1953 гг.— министр
просвещения ГССР, в 1954—1962 —
Председатель Верховного Совета
Грузинской ССР (см.: Бородин А. И.
Советские математики. Киев; До-
нецк: Вища школа, 1982; Математика
в школе, 1968, № 5).
8 ноября — 140 лет со дня рождения
немецкого математика Морица П а-
ш а (1{?43—1930). Родился в г. Бре-
слау (ныне Бреславль). °аботал
в университете в г. Гисене. Известен
своими трудами по аксиоматике
геометрии (см.: Математика в шко-
ле, 1968, № 5).
9 ноября — 75 лет со дня рождения
советского ученого в области меха-
ники и математики Сергея Алек-
сеевича Христиановича. Ро-
дился ь Петербурге. Окончил Ленин-
градский университет (1937), доктор
физико-математических наук (1937),
академик АН СССР (1943). Работал
в различных научно-исследователь-
ских институтах Ленинграда и Мо-
сквы; в 1957—1961 гг.— заместитель
председателя СО АН СССР, с 1972 г.—
в Институте проблем механики АН
СССР. Математические труды отно-
сятся к дифференциальным уравне-
ниям с частными производными и
к прикладной математике. Герой
Социалистического Труда награжден
шестью орденами Ленина, другими
орденами и медалями, лауреат трех
Государственных премий СССР (см.:
БСЭ.— 3-е изд.; Математика в школе,
1978, № 5).
11 ноября —. 80 лет со дня рождения
советского математика, специалиста
в области автоматического управле-
ния Михаила Александровича Г а а-
69
рил ов a (1903—1979). Родился в
Москве. Окончил МВТУ (1925); док-
тор физико-математических наук,
профессор ( 94В], член-корреспон-
дент АН СССР, заслуженный деятель
науки РСФСР. Работал в различных
вузах Москвы, с 1937 г.— в Институ-
те а 1ТОМСТИКИ и телемеханики АН
СССР. Математические труды отно-
сятся к области математической ло-
гики и прикладной математики (см.:
История отечественной математики,
т. 4. Киев, 1970; Математика в шко-
ле, 1973, № 5).
15 ноября — 190 лет со дня рожде-
ния французского математика Ми-
шеля Шаля (1793—1880). Работал
в Париже в Политехнической школе
и в Сорбонне. Член Парижской АН
(1851), иностранный член Петербург-
ской АН. В 1870 г. уже в преклон-
ом возрасте участвовал в обороне
Парижа от прусской армии. Шаль
знаменит своими трудами в области
геометрии и истории математики.
Его книгой «Исторический обзор
происхождения и развития геометри-
ческих методов» 0837, русский пе-
ревод— в 1883) пользуются и поны-
не (см.: БСЭ.— 2-е и 3-е изд.; Мате-
матика в школе, 1968, № 5).
15 ноября —100 лет со дня рожде-
ния советского математика Сергея
Павловича Финикова (1883—
1964). Родился в Новгороде. Окончил
Московский университет, где и про-
работал большую часть своей жизни,
профессор (1918), доктор физико-
мзтематических наук (1935). С 1953 г.
руководил кафедрой дифференци-
альной геометрии в МГУ. В 1936—
1960 гг. заведовал кафедрой геомет-
рии Московского городского педин-
ститута. Один из создателей совре-
менной проективно-дифференциаль-
ной геометрии. Опубликовал около
100 работ по различным проблемам
геометрии трехмерного и многомер-
ных пространств. Семь его моногра-
фий получили широкую известность
в нашей стране и за рубежом. Автор
учебников по аналитической и диф-
ференциальной геометрии, по кото-
рым учились несколько поколений
советских математиков. Создал бле-
стящую геометрическую школу На-
гражден орденом Ленина и орде-
ном «Знак почета» (см.: Успехи ма-
тематических наук, 1954, 9, № 2, 3;
1964, 19, № 4; Зестник Московского
угиверецтета. Математика, механика,
1964, 3; Математика в школе, 1964
М 3).
21 нс» Вря — 70 лет со дня рожде-
ния советскою математика Гуннара
Фромхолдоьича К а н г р о (1913—
1975) Родился в Дерте (ныне Тар-
ту ЭстССР). Окончил Тартуский уни-
верситет (1935). Доктор физика-ма-
тематических наук, профессор (195"),
член-корреспондент АН ЭстССР
(1961), заслуженный деятель науки
ЭстССР. С 1944 г. роботал в Тарту-
ском университете, заведовал кафед-
рой математического анализа. Вме-
сте со своими учениками создал ряд
научных направлений в области ма-
тематического анализа, теории функ-
ций действительного переменного и
функционального анализа. Автор
учебников по высшей алгебре и ма-
тематическому анализу. Известен
также как активный популяризатор
науки (см.: Успехи математических
наук, 1975, 30, № 1; 1977, 32, № 1).
Декабрь
9 декабря — ВО лет со дня рожде-
ния советского математика Констан-
тина Адольфовича Семендяева.
Родился в Симферополе. Окончил
Московский университет (1929), док-
тор физико-математических наук,
профессор (19э9). С 1964 г.— сотруд-
ник Гидрометеоцентра АН СССР.
Основные груды относятся к прибли-
женным и численным методам и
программированию (см.: Математика
в школе, 1978, № 5).
13 декабря — 380 лет со дня смерти
великого французского мат ематика
Франсуа Виета (1540—1603). Ро-
дился в г. Фонтене-ле-Конт провин-
ции Пуату (дата рождения неизвест-
на). По образованию юрист. В 1571 г.
переехал в Париж, где вскоре по-
ступил на государственную службу
Был советником' королей Генриха III
и Генриха IV. Все свободное время
отдавал математике. Виет — созда-
тель новой символической алгебры.
Основные идеи новой алгебры были
им изложены во «Введении в анали-
тическое искусство» (1591). Алгебра
у Виета — наука об' алгебраических
уравнениях, основанная на разрабо-
танной им символике, в которой
впервые были обозначены буквами
не только неизвестные, но и извест-
ные величины. В результате появи-
лась возможность представления
формулами общих свойств уравне-
ний и их корней. Виету принадлежит
целый ряд важных результатов в
теории алгебраических уравнений
(в том числе теорема Виета) и в три-
гонометрии (см.: БСЭ.— 2-е и 3-е
изд.; Цейтен Г. Г. История математи-
ки в XVI и XVII веках. М.; Л., 1938,
Вилейтнер Г. История математики от
Декарта до середины XIX столетия.
М., 1966; Математика в школе, 1963,
№ 6)
19 декабря — 200 лет со дня рожде-
ния французского математика Шарля
Жюльена Брианшона (1783—
1864). Родился в Се„ре, пригороде
Парижа, работал в Париже. Основ-
ные труды относятся к проективной
геометрии (см,- Математика XIX в
Геометрия. Теория аналитических
функций. М., 1981).
20 декабря—140 лет со дня рожде-
ния французского ученого Поля Т а н-
нери (1В43—1904). Работал в Пари-
же, основные Труды относятся
к истории античной и средневековой
математики и астрономии. Пользует-
ся известностью его «Исторический
очерк развития естествознания в
Европе», изданный на русском язы-
ке в 1934 г. (_м.: Математике Ъ шко-
ле, 1968, № 5).
22 декабря — 130 лет со дня рожде-
ния русского геолога, кристаллогра-
фа и геометра Евграфа Степановича
Федорова (1853—1919) Родился
в Оренбурге. Окончил военно-инже-
нерное училище, а затем горный ин-
ститут в Петербурге (1883). Проводил
геологические исследования Север-
ного Урал» R 1895 г. стал профес-
сором Московского сельскохозяй-
ственного института, в 1919 г. из-
бран академиком Российской АН.
В математике с его именем связаны
фундаментальные результаты в тео-
рии дискретных групп движений
евклидова пространства с конечной
фундаментальной о бластью (про-
странственных кристаллических групп)
(см.: БСЭ.— 2-е и 3-е изд.; Шафра-
новский И. И. Евграф Степанович
Федоров. М.; Л., 1963).
27 декабря — 160 лет со дня рожде-
ния русского механика, математике
и педагога Августа Юльевича Дави-
дова (1В23—1В86). Родился в Ли-
баве (ныне Лиепайя ЛатвССР). Окон-
чил Московский университет (1845),
с 1853 г.— профессор этого универ-
ситета. Известен работами по теории
дифференциальных уравнений с част-
ными производными, теории вероят-
ностей и статистики, прикладной ма-
тематики. А. Ю. Давидов — один из
учредителей Московского математи-
ческого общества (1867), создал пять
учебников по курсу математики в
средней школе, которые оказали
большое влияние на улучшение пре-
подавания математики и выдержали
десятки изданий (см.: Математика
в школе, 1954, № 4; 1973, № 6).
28 декабря — 80 лет со дня рожде-
ния одного из крупнейших со >е-
менных математиков Джона фон
Неймана (1903—1957). Родился
в Будапеште. Работал в Берлине и
Гамбурге. Б 1933 г. в связи с прихо-
дом к власти нацистов эмигрировал
в США, где работал в Принстоне.
Занимался исследованиями в раз-
личных областях математики: теории
множеств, алгебре, т< орик функций
Действительного переменного, топо-
логии, прикладной математике, тео-
рии игр, теории автоматов и др.
В каждой из них ему принадлежат
фундаментальные результаты (см.:
БСЭ.— 2-е и 3-е изд • Данилов Ю. А.
Д .(он фон Нейман. М.: Знание, 1981;
Математика в школе, 19/3, № 5)
А. И. Бородин, Н. В. Вербицкая,
М. В. Каменсхая
(Донецк)
УЧЕНЫЕ-MA ТЕМАТИКИ
Леонард Эйлер
и математическое
просвещение в России
А. П. Юшкевич
(Москва)
В 1983 г, во многих странах —
в СССР, ГДР, Швейцарии, ФРГ
и др.— широко отмечается 200-летие
со дня смерти крупнейшего матема-
тика XV111 в. Леонарда Эйлера
(15 апреля 1707 г.— 18 сентября
1783 г.).
Научные заслуги Эйлера огромны.
Он оказал решающее влияние' иа
развитие почти всех основных разде-
лов математики и механики как
в области фундаментальных иссле-
дований, так и их приложений.
К Эйлеру восходит создание русской
математической школы. Вместе с тем
Эйлер являлся выдающимся деяте-
лем математического образования.
Ему и его непосредственным учени-
кам принадлежит почетное место
в истории культуры нашей страны.
Об этом и пойдет речь в данной
статье.
Начало организации государствен-
ных научно-технических школ в Рос-
сии было положено основанием
в 1701 г. математико-навигацкон
школы в Москве. Вскоре появились
другие технические училища в Мо-
скве и Петеобурге, а также младшие
«цыфирные» школы в других горо-
дах. Вопреки многим трудностям, ко-
торые приходилось преодолевать
России петровских времен, уже пер-
вые государственные школы дали
стране сотни и тысячи специалистов
гражданского, военного и морского
профилей. Обучение математике с са-
мого начала заняло в этих школах
подобающее место. Изучались ариф
метика, геометрические построения,
начала тригонометрии. Слушатели
приучались пользоваться таблицами
логарифмов, счетными линейками,
чертежными и геодезическими ин
струментами.
Появились и первые книги для
учащихся. Л. Ф. Магницкий выпу-
стил свою знаменитую «Арифметику»
(М., 1703). Я. В. Брюс, сподвижник
Петра I, перевел с немецкого «Прие-
мы циркуля и линейки (М., 1708).
Изданы были также «Таблицы лога-
рифмов и синусов, тангенсов и секан-
сов» (М„ 1703), В 1714 г. вышла
«Геометрическая практика», содержа-
щая тригонометрические решения
основных задач на треугольники и
правила вычисления площадей и
объемов простейших фигур. Все эти
книги не содержали никаких доказа-
тельств, что, впрочем, соответство-
вало стилю ооучения в школе, кото-
рое сводилось к ^заучиванию наизусть
правил решения ограниченного круга
практических задач.
В 1725 г. в Петербурге открылась
Агадемия наук, оказавшая решаю-
щее влияние на развитие науки в
стране, пока еще не располагавшей
собственными кадрами ученых.
В первые 20 лет поччи вое профессо-
ра и адъюнкты (так называли акаде-
миков старшего и младшего рангов)
были приглашены из-за рубежа на
договорных началах. Академия яви-
лась творческим научным центром,
выполнявшим различные правитель-
ственные поручения: всестороннее
изучение страны, черчение географи-
ческих карт, различные технические
экспертизы, составление трута по
истории России н т. д. Однако ака-
демия предназначалась не только
для этого. По замыслу ее учреди-
теля Петра I, она должна была
стать центром подготовки русских
ученых и вспомогательного научного
персонала. С этой целью при акаде-
мии были- организованы гимназия и
университет. В них преподавали
адъюнкты и профессора. Из этих
учебных заведений, функционировав-
ших почти 80 лет, вышли многие
деятели русской культуры и науки.
В начале XIX в. эти учебные заве-
дения закрылись в связи с реформой
системы образования: в губернских
городах были открыты гимназии и
несколько университетов с физико-
математическими факульт, тами.
На протяжении XVIII в. академи-
ческий университет одним только
физико-математическим наукам дал
адъюнкта В. Е. Адодурова, позднее
ректора Московского университета ',
профессора того же университета
А. А. Барсова, адъюнкта и затем
профессора учительской семинарии
в Петербург М. Е. Головина, про-
фессора математики в гртиллер-тй
ском « инженерном корпусах Я П: Ко-
зельского (известный философ-мате-
риалист); академиков: М. В. Ломо-
носова, П. Б. Иноходцева, Н. И. По-
пова, С. К. Котельникова, С. Я. Ру-
мовскоги, М. Софронова, Н. И. Фус-
са, Г. В. Рихма на и др. Не говоря
уже о великом Ломоносове, многие
из них, нзпоимер физик Рихман, ма-
тематики Румовский и Фусс, внесли
заметный вклад в науку, и все
сыграли большую роль в народном
образовании.
Леонард Эйлер, уроженец г. Базе-
ля в Швейцарии, где его занятиями
по математике руководил блих айший
последователь Г. В Лейбница Иоганн
Бернулли, прибыл в Петербургскую
академию весной 1727 г. и тотчас
принял активное участие в ее разно-
образных мероприятиях Здесь он
стал воспитателем ие одного поколе-
ния русских математиков. Его вскоре
же привлекли к работе в учебных
заведениях академии: занятиям с гим-
назистами и студентами (среди них
С Адодуровым) а также к приему
экзаменов, причем не только у уча-
щихся академии, но и других петер-
бургских школ. В этом ему помогало
знание русского языка, которым он
быстро овладел благодаря своей
превосходной памяти.
В тот период в деятельности ака-
демических учебных заведений было
немало беспоря гка. Не хватало де-
нежных средств, неудовлетворитель-
но был поставлен учебный процесс.
Не существовало ни единой програм-
мы, ни общих сроков приема уча-
щихся. Возраст гимназистов был
различный: от 5 до 20—25 лет (ве-
ликовозрастных учеников не раз
присылало Адмиралтейство). Объеди-
нить учащихся в более или менее
однородные классы не представля-
лось возможным, и занятия чуть ли
не с каждым из них приходилось
вести отдельно. Совсем плохо об-
стояло дело с дисциплиной, особенно
среди гимназистов, не получавших
стипендии. Очень немногие гимнази-
сты проходили до конца даже ие са-
мый полный курс обучения.
В 1737 г. была создана комиссия
1 В Московском университете,
основанном в 1755 г„ первые полсто-
летия сущест вов„ли три факультета:
медицинский, философский и юриди-
ческий, а - преподавание математики
OI раничиналось ее элементарными
разделами.
для улучшения работы гимназии,
и Эйлер, включенный в ее состав,
представил свой проект системы
обучения. Он предусматривал непо-
средственную преемственность между
гимназическим ч университетским об-
разованием. «Главная задача гимна-
зии,— писал Эйлер,— приготовлять
университетских слушателей, и весь
учебный план должен получить на
правленный к этой цели характер»2.
Впрочем, прохождение полного курса
гимназии он считал необязательным
и находил возможным прекращать
занятия, если учащийся приобрел
знания, достаточные для его буду-
щей профессии. По его мнению, до-
ступ в гимназию должен быть от-
крытым для всех, а обучение — бес-
платным, так как в этом заинтере-
совано само государство. Правда,
уступая требованиям господствовав-
шего тогда дворянства, Эйлер при-
знавал необходимость отдельного
обучения дворян и детей прочих со-
словий Продолжительность обучения
он намечал десятилетнюю с разделе
нием на 5 двухгодичных классов (воз-
раст учащихся — от 5 до 15—16 лет,
ие старше!).
Особенно интересны соображения
Эйлера о программе гимназического
курса. Его проект программы вклю-
чал латинский я.'ык - общепринятый
в ученом мире XVIII в., но Эйлер
предостерегал от чрезмерной пере-
грузки латынью. Далее в проекте
предусматривались каллиграфия, не-
мецкий язык „(многие предметы/ чи-
тали немецкие учителя), математика,
логика, история, география, рисова-
ние и, дань дворянскому воспитанию,
танцы. Математике в проекте про-
граммы отводилось следующее место
за языками. Особенно настаивал
Эйлер на доступности и наглядности
обучения. В преподавании арифмети-
ки он находил целесообразным обое
повывать, по мере возможности,
аоифмстическне правила. (Впрочем,
предполагалось, что учащиеся снача-
ла должны усвоить правила, привык-
нуть к их употреблению и только
затем познакомиться с их обоснова-
нием, окончательно закрепляющим
подготовку.) Наконец, в проекте го-
воритесь о необходимости создания
учебников, соответствующих возрас-
ту и развитию гимназистов
Этот план Эйлера, в некоторых
пунктах предвосхищавший реформы
среднего школьного образования,
проведенные только в XIX в., в свое
время остался во многом не осущест-
вленным. Что же касается создания
учебных пособий, то Эйлер еще в
1735 г. подготовил. Правда не в пол-
ном объеме, учебник арифметики.
Руководство по геометрии написал
2 Пит. по статье Е. С. Кулчбко
«Педагогические воззрения Леонарда
Эйлера» — В сС Леонард Эйлер.
М.; Изд во АН СССР, 1958, с. 561-.
его коллега по Петербургской АН
Г. В. Крафт (немецкий текст вышел
из печати в 1740 г., а русский пере-
вод, выполненный студентом И Го-
лубцовым при редакции М. В. Ломо-
носова, появился в 1748 г)
«Руководство к арифметике для
упо.ребления в гимназии имп. Ака-
демии наук» (в 2-х ч.) Эйлера вы-
шло в Петербурге на немецком язы-
ке в 1738—1740 гг. и в русском пере-
воде в 1740 и 1760 гг Первую часть
перевел В. Е. Адодуров, вторую —
студент В. Кузнецов. Это был вто-
рой после книги Магницкого учебник
арифметики в России Вместе с кни-
гой Крафта он положил начало но-
вому направлению в русской школь-
ной литературе по математике. В об-
ращении к читателю Эйлер объяснял,
почему необходимо создать новый
учебник, а не переводить на русский
язык многие иностранные арифмети-
ческие руководства, которые содер-
жат «или только одни правила со
многими при них положенными при-
мерами, а о основании, на котором
те правила утверждаются, не упоми-
нается в них ни одним словом; или
хотя праведные основания сея науки
в некоторых руководствах и показы-
ваются, однако ж так трудным и не-
понятным образом, что ежели кто
к математическому порядку не при-
вык, то не можно почти того и вы-
разуметь» (с. 4). Эйлер стремился
соединить доступность изложения
с убедительностью объяснения пра-
вил арифметических действий. В пер-
вой части его «Руководства» шла речь
о действиях с целыми и «ломаны-
ми» числами, т. е. дробями, во вто-
рой —г- о действиях над именованны-
ми числами, в этой связи приводи-
лись обстоятельные таблицы рус-
ских и зарубежных мер и весов. Спе-
циальное место отводилось различ-
ным частным приемам, упрощающим
выкладки.
«Руководство к арифметике» Эйле
ра, незавершенное из-за его отъезда
в Берлин, не стало, как говорят те-
перь, стандартным школьным посо-
бием, но оно оказало существенное
влияние на последующую учебную
математическую литературу, особенно
бчагодаря Н. Г. Курганову, ученику
Л. Ф. Магницкого.
Николой Гаврилович Курганов за-
кончил Морскую академию в Петер-
бурге, в которой впоследствии стал
профессором математики. Е о перу
принадлежат многие оригинальные и
переводные руководства по матема--
тике, в частности «Универсальная
арифметика» (Спб., 1757), которая
содержала элементы алгебры и гео-
метрии. а также более краткая
«Арифметика или числовник». Благо-
даря простоте изложения, хорошим
примерам и литературным достоин-
ствам последняя пользовалась боль
шей популярностью, чем какое-либо
другое руководство по этому пред-
мету и выдержало три издания
(1771, 1776, 1791). Имея в виду ин-
тересы широкого читателя, Курганов
следовал за Магницким, приводя
много занимательных задач. Но вме-
сте с тем в структуре своей «Ариф-
метики», ее содержании, в различных
определениях и пояснениях он ис-
пользовал и книгу Эйлера. В целом
Курганов оригинально соединил при-
вычную читателю популярную мане-
ру Магницкого с более научным сти-
лем изложения Эйлера.
За первыми двумя частями «Руко-
водства х арифметике» Эйлера долж-
но было последовать продолжение.
Однако дворцовые перевороты созда-
ли в Петербурге тревожную обста-
новку, и Эйлер в 1741 г. уехал' из
России. Он стал работать в Берлин-
ской АН, куда его пригласил прус-
ский король Фридрих II.
В берлинские годы жизни Эйлера
его связь с гимназией при Петер-
бургской АН, естественно, оборва-
лась. Но она в прежней мере сохра-
нилась с академией и ее университе-
том. В качестве иностранного члена
Петербургской АН он публиковал
в ее «Записках» или за ее счет очень
много своих работ, покупал для ака-
демии книги и приборы, информиро-
вал о новостях научной жизни. Ака-
демия, со своей стороны, выплачи-
вала Эйлеру солидную ежегодную
пейсию.
С отъездом Эйлера, а затем и
Крафта, вернувшегося в Германию,
кафедра математики в Петербург-
ской АН пустовала. М( жду тем
в университете появилось несколько
студентов, склонных заняться мате-
матикой. Руководить ими было не-
кому, кроме Рихмана, бывшего в
основном все же физиком 3.
В первой половине 50-х гг. XVIII в.
Эйлеру были посланы на отзыв проб-
ные работы по математическому ана
лизу студентов С К. Котельникова,
С. Я. Румовского, М. Софронова и
Б. А. Волкова. Отзывы в целом были
положительными, но отмечались по-
грешности и более слабые места ра-
бот. По мнению Эйлера, авторы про-
явили способности к математике, но
нуждались в повышении квалифика-
ции под опытным руководством. В те
времена начинающих ученых нередко
посылали для усовершенствования за
границу, как было, например, с Ло-
моносовым. Эйлер обязывался под-
готовить молодых авторов пробных
сочинений к последующей научной
работе в академии. Его предложение
встретило одобрение. В результате
он несколько лет руководил стажи-
ровкой живших у него лома в Бер-
лине Котельникова, Румовского и
Софронова. Вместе с его старшим
сыном Иоганном-Альбрехтом моло-
дые люди изучали высшие разделы
® В 1753 г. Г. В. Рихман погиб
в ходе эксперимента с электриче-
ством.
72
математики и механики. Их успехами
ученый был вполне доволен и, когда
в Петербургской АН встал вопрос
о замещении вакансии профессора
математики, Эйлер рекомендовал на
этот пост Котельникова, которого це-
нил больше, чем других возможных
кандидатов-немцев. Благодаря этому
в 1756 г. С. К. Котельников стал про-
фессором математики Петербургской
АН. В 1763 г. получил профессуру
по астрономии С. Я. Румовскнй.
Б. А. Волков преподавал в гимназии
математику и занимался переводами.
Наименее счастливо сложилась судь-
ба подававшего большие надежды
М. Софронова: он скончался. в воз-
расте 31 года.
В 1766 г. Эйлер навсегда возвра-
тился в Петербург. В 70-е гг. он ру-
ководил подготовкой двух студентов:
М. Е. Головина н Н. И. Фусса. Их
и; брали адъюнктами Петербургской
АН в один и тот же день 1776 г.
Позднее Фусс стал академиком и не-
пременным секретарем Петербургской
АН. На этом посту он смен гл скон-
чавшегося в 1600 г. Иоганна-Альбрех-
та Эйлера, профессора физики Петер-
бургской Ан с 1766. ..
Уже по возвращении в Петербург
Эйлер подготовил двухтомное «Пол-
ное введение в алгебру», изданное на
немецком языке в 1770 г. Еще ранее,
в 1768—1769 гг. вышел русский пе-
ревод этой книги под названием
«Универсальная арифметика», выпол-
ненный студентами И. Юдиным и
П. Иноходцевым (учеником Румов-
ского и Котельникова). Пособие было
не первым руководством по алгебре,
но оставило далеко позади существо-
вавшие тогда в России учебники
по этому предмету: упомянутую кни-
гу Курганова 1757 г. и предшество-
вавшее ей «Начальное основание ма-
тематики» (1752) военного инженера
Н Е. Муравьева.
В первой половине XVIII в. появи
лось немало обобщающих алгебраи-
ческих трудов, важнейшие из кото-
рых принадлежали Ньютону (1707),
Маклорену (1748) и Клеро (1746).
В первых двух содержались суще-
ственные разделы общей теории
алгебраических уравнений и большое
место занимало геометрическое по-
строение их1 действительных корней.
Клеро исключил полностью отдел
геометрического построения, но при
исследовании кубических уравнений
использовал разложение корней в
бесконечные ряды, далеко выйдя за
пределы элементарной математики.
«Универсальная арифметика» Эйлера
была написана как бы в двух пла-
нах: учебном и’ исследовательском.
Весь I том отводился разработке
основного алгебраического аппарата:
развитию понятия числа, операциям
над многочленами, пропорциям, про-
грессиям, теории соединений, биному
Ньютона, бесконечным десятичным
дробям и логарифмам, современную
теорию которых впервые разработал
сам Эйлер. До него понятие лога-
рифма трактовалось совершенно не-
удовлетворительно даже такими уче-
ными, как Лейбниц, Иоганн Бернул-
ли и Д’Аламбер. Значительная часть
II тома, в котором излагачись све-
дения о решении уравнений до 3-ей
и 4-ой степеней включи тельно, в гом
числе приближенные методы вычис-
ления действительных корней, содер-
жала также важные открытия Эйле-
ра в области диофантова анализа
Геометрическое построение корней
Эйлер, подобно Клеро, исключил нз
своего учебника, как и вопросы об-
щей теории уравнений.
Если оставить в стороне безуспеш-
ные, с нашей точки зрения, попытки
Эйлера, как и других ученых XVIII в.,
построит в удовлетворительную тео-
рии: отрицательных чисел и систему
всех действительных чисел, то надо
признать, что данное пособие нахо-
дилось на самом высоком научном и
дидактическом уровне. Эйлер стре-
мился написать удобопонятный учеб-
ник алгебры. Ему пришлось дикто-
вать свою книгу, так как к тому
времени он почти ослеп. В преди-
словии к ней говорилось, что автор
продиктовал ее текст молодому слу-
ге, совсем не знавшему предмета.
Но этот молодой человек вскоре на-
столько вошел в курс дела, что смог
самостоятельно производить ряд бук-
венных вычислений и решать предла-
гаемые задачи. В самом деле, «Уни-
версальная арифметика» в основной
своей части написана очень доходчи-
во и в этом отношении превосходит
все предыдущие сочинения по этому
вопросу Неудивительно, что она не-
однократно переиздавалась на немец-
ком языке, а также в русском, фран-
цузском, английском и голландском
переводах. Но все же учебник вклю-
чал слишком большой и трудный
для учащихся средней школы мате-
риал; Возникла задача переработать
егб для учащихся. Такую переработ-
ку успешно выполнил Н. И. Фусс —
ближайш ий ученик и помощник Эйле-
ра в последние годы его жизни.
Крупный деятель русского народно
го образования профессор математи-
ки в сухопутном и морском кадет-
ских корпусах, Николай Иванович
Фусс написал много руководств для
военных и гражданских средних
учебных заведений4. В изданных
сперва по-французски (1783) «Нача-
лах алгебры» он приспособил алгеб-
раический труд Эйлера к возможно-
стям средних школ, оставив от дио-
фантова анализа только решение
в целых числах уравнений 1 й сте-
пени с двумя неизвестными, упро-
стив, а кое в чем и дополнив теоре-
4 Добавим, что Н. И. Фусс вместе
с С. Я. Румовским в начале XIX в.
был одним из организаторов новой
системы образования, о которой упо-
миналось ранее.
тнческий материал. К практической
части курса он прибавил много но-
вых задач." На русском языке эта
книга выходила неоднократно начи-
ная с 1799 г. Не будет преувеличе-
нием сказать, что русские пособия по
алгебре до учебника А. П. Киселева
включительно продолжали и развива-
ли тр ।дни ию, восходящую через Фус-
са к Эйлеру.
Известно, что Эйлер намеревался
написать и учебник по элементарной
геометрии, который, по всей видимо-
сти, все же не был им подготовлен5.
Не написал Эйлер и учебника по три-
гонометрии, но сделал очень многое
для разработки ее курсов в России,
да и во всем мире.
Не только высшие разделы триго-
нометрии, но и те, которые изучают-
ся в средней школе, получили совре-
менный вид главным образом благо-
даря Эйлеру. До него рассматрива-
лись тригонометрические линии в
круге произвольного радиуса, не бы-
ло ясности в вопросе о знаках сину-
са, косинуса и тангенса во всех чет-
вертях круга, не существовало еди-
ных обозначений. Большинство тео-
рем выводились каждая по отдель-
ности, геометрически, па основании
чертежей и отнюдь не в общем виде.
Эйлер вывел тригонометрию на но-
вый путь развития. Ему мы обязаны
пониманием синуса’, косинуса и т. д.
как функций произвольного аргумен-
та. В связи с этим оказалось воз-
можным при геометрических прило-
жениях рассматривать их в круге
единичного радиуса, что упрощало
все формулы. Эйлер впервые решил
вопрос о знаках тригонометрических
функций для любых значки гй аргу-
мента, в частности дал формулы
приведения для углов, больших 90°.
Он же упростил все записи, введя
единообразные обозначения тригоно
метрических функций, а также сто-
рон и углов в треугольниках. Нако-
нец, первым стал систематически
строить всю систему тригонометри-
ческих формул аналитически, отправ-
ляясь от нескольких основных. Ра-
боты Эйлера не были свободны от
частных недостатков, но в целом они
радикально преобразовали тригоно-
метрию (не говоря уже о том, что
он стал рассматривать тригониметрг
ческие функции в области комплекс-
ного переменного).
Теоретические исследования Эйле-
ра по тригонометрии оказали влия-
ние иа некоторых авторов пособий
второй половины XVIII в. В России
за Эйлером первым последовал Сте-
пан Яковлевич Румовский, ставший
впоследствии первым вице-президен-
том ^Петербургской АН (1800—1803)
В 1803—1812 гг. он находился на
5 Белый Ю. А. Оо учебнике Эйле-
ра по элементарной геометрии.—
Истор ико- матем этические исследова-
ния. Вып XIV, 19Б1. с. 237- -214
73
должности попечителя Казанского
учебного округа. Именно в эти годы
был открыт Казанский университет
(1805), с которым оказалась связан-
ной вся жизнь Н. И. Лобачевского.
В своей книге «Сокращение матема-
тики» (Спб., 1760) Румовский посвя-
тил небольшой .раздел тригономет-
рии. Его изложение во многом отхо-
дило от той устаревшей манеры, ко-
торой следовали авторы, не учиты-
вавшие достижений Эйлера в этой
области.
Особенно удачным оказался учеб-
ник тригонометрии другого ученика
Эйлера М. Е. Головина. Михаил
Евсеевич Головин, племянник
М В. Ломоносова, был воспитанни-
ком академии, в которой он прора-
ботал в звании адъюнкта 10 лет.
В 1786 г. М. Е. Головин покинул
академию из-за трений с ее тогдаш-
ней руководительницей княгиней
Е. Р Дашковой. Последние четыре
года своей жизни ои преподавал в
Петербургской учительской семина-
рии — первом учебном заведении
России, готовившем преподавателей
общих гражданских школ. На основе
семинарии в 1804 г. открылся педа-
гогический институт, а в 1819 — Пе-
тербургский университет.
Свое руководство по тригономет-
рии Головин представил Петербург
ской АН еще в 17R0 г. Было принято
решение издать это пособие. Однако
по невыясненным причинам дело
затянулось, и книга вышла лишь че-
рез 9 лет. В ней автор успешно ис-
пользовал наставления и сочинения
своего учителя. Книга Головина бы-
ла написана на более высоком уров-
не, чем все предшествовавшие и мно-
гие последовавшие русские и иностран-
ные курсы. Эта книга, как и труды
самого Эйлера, повлияла на учебники
тригонометрии для технических школ
и гимназий, составленное другими
авторами.
Труды Эйлера оказали существен-
ное влияние на создание пособий по
анализу. Первоначально высшая ма-
тематика в академнческсм универси-
тете изучалась по курсу, написанно-
му X. Вольфсум, поскольку он имел-
ся как на латинском, так и на не-
мецком языках, знакомых" студентам
академии. На русском же языке
первый курс дифференциального и
интегрального исчислений опублико-
вал Котельников в форме нескольких
разделов переведенной им книги того
же X. Вольфа, впервые вышедшей
в 1710 г. и неоднократно переизда-
вавшейся более полувека. В конце
XVIII в. эта книга уже устарела,
и ее выбор вообще не был удачным.
Однако переводчик постарался внести
в текст некоторые улучшения. При
этом он пользовался фундаменталь-
ными книгами Эйлера «Введение в
анализ бесконечных» (17'48), «Диф-
ференциальное исчисление» (1755)
и «Интегральное исчисление» (1769—
1770). Но дополнения Котельникова
были изложены в небольшом объеме
и совершенно конспективно, поэтому
первая попытка ознакомить учащихся
русских школ с началами математи-
ческого анализа оказалась неудачной.
Но уже с середины 90-х гг. XVIII в.
начинается создание как оригиналь-
ной, так и переводной литературы
на русском языке по высшей матема-
тике, значительно ускорившееся после
открытия физико- математических фа-
культетов в университетах.
Выше было показано, что благода-
ря деятельности Эйлера в России
XVIII в. был достигнут значительный
прогресс в деле подготовки кадров
ученых-математиксв н педагогов,
в создании учебной литературы.
Этот прогресс явился предпосылкой
того быстрого взлета исследований
по математике в нашей стране, ко-
«орый начался в первой половине
XIX столетня, когда выступили со
своими замечательными открытиями
Н. И. Лобачевский, М В. Остро-
градский, П. Л. Чебышев. Последний
явился основателем знаменитой пе-
тербургской математической школы,
продолжившей и развившей научные
традиции Эйлера.
Говорят, что Лаплас, выдающийся
младший современник Эйлера, как-то
сказал: «Читайте, читайте Эйлера,
он учитель всех нас». Монографии и
статьи Эйлера долгие десятилетия
изучали молодые и немолодые мате-
матики, черпая в иих не только зна-
ния, но и источники собственного
творчества. Теперь студенты почти
не читают Эйлера, да и ученые обра-
щаются к его трудам не так часто,
как это было, скажем, в эпоху рас-
цвета петербургской школы Чебыше-
ва. Но и сегодня ученики средней
школы изучают алгебру и тригоно-
метрию в немалой степени «по Эйле-
ру», а студенты математики, механи-
ки, Физики, будущие инженеры по-
стоянно встречают в современных
руководствах идеи, методы, теоремы,
формулы Эйлера, чаще всего не зная
имени их творца.
И в наши дни упомянутые класси-
ческие труды Леонарда Эйлера по
математическому анализу имеют ие
только историческое значение. В по-
следние десятилетия они изданы в
прекрасных русских переводах. При
желании читатель найдет их в лю-
бой научной библиотеке Советского
Союза, содержащей физико-матема-
тическую литературу. Юным, любите-
лям математики можне особенно по-
рекомендовать проштудировать I том
«Введения в анализ бесконечных».
Эта книга, наверное, увлечет их кра-
сотой и многообразием рассматривае-
мых в ией интереснейших задач.
Вниманию читателей!
В издательстве «Педагогика» в июне—июле 1983 г.
вышли следующие книги:
Васильев Ю. К- Экономическое образование и воспи-
тание учащихся. — 96 с., 19 000 экз.. 40 к.
Выготский Л. С. Собрание сочинений: В 6-ти т. Т. 3.
Проблемы развития психики / Под ред. А. М. Матюш-
кина. — 368 с., нл.. 30 000 экз., 1 р. 50 к. Подписное.
Зверева Г. А. Педагогические пробл< мы воспитания
бережливости у школьников: Опыт организации само-
обслуживания подростков.—64 с., 23 000 экз., 15 к.
Иноземцев Н. Н., Синяков Ю. А. СЭВ: Социалисти-
ческая интеграция в действии. — (Ученые — школьни-
ку).—120 с., ил., 200 000 экз., 30 к.
Иовайша Л. А. Проблемы профессиональной ориента-
ции школьников: Пер. с лит.— 128 с., 28 000 экз., 50 к.
Календарь для родителей. 1984.— 144 с., ил., 200 000
экз., 1 р. 70 к.
Литература по педагогическим наукам и народному
образованию. ’Вып. 4(129) 1982 г.: Текущий библмогр.
указ. / Гос. науч пед. б-ка им. К. Д. Ушинского АПН
СССР.— 128 с., 2670 экз., 50 к. Подписное.
Макаренко А. С. Книга для родителей. —160 с.,
155 000 экз., I р. 90 к.
Макареико А. С. Педагогические сочинения: В 8-ми
т. Т. 1 I Сост: Л. Ю. Гордин, А. А. Фролов. — 368 с.,
пл , 50 000 экз., 1 р 70 к Подписное.
Моносзон Э. И. Теоретические основы коммунистиче-
ского воспитания школьников. — 320 с., 10 000 экз.,
1 р. 40 к.
Полякова Т. С. Анализ затруднений в педагогической
деятельности начинающих учителей.—128 с., ил.,
20 000 экз., 50 к.
Поташник М. М., Вульфов Б. 3. Педагогические си-
туации.— (Воспитание и обучение. Б-ка учителя).—
144 с., 90 000 экз., 25 к.
Хроменков Н. А. Согиально-экономичс'-кче проблемы
общего среднего образования в условиях развитого со-
циализма.— 208 с., 10 000 экз., 1 р.
74
КРИТИКА И БИРЛЧОГРАФИЯ
О книге Б. В. Гнеденко
«Формирование
мировоззрения учащихся
в процессе обучения математике»1
Б. Л. Яшин
(Москва) (
Это пособие представляет, на наш взгляд, несомненный
интерес для учителя математики, оно полезно для его
практической деятельности.
Рассматривая возможностч математики для воспита-
ния научного мировоззрения, автор раскрывает мето-
дологические и педагогические аспекты этого процесса.
Справедливо отмечая, что в воспитании учащихся сле-
дует исходить из основных принципов диалектического
материализма, Б. В. 1 неденко указывает, что законы
материалистической диалектики должны быть выведены
из того, с чем учащиеся хорошо знакомы, а не заранее
формулироваться учителем как некие непреложные
истины. Это ответственная и сложная задача, требую-
щая «постоянного и длительного, настойчивого и в то
же время неназойливого воздействия всего педагогиче-
ского коллектива» (с. 7).
Первая глава книги «Методологические аспекты вос-
питания научного мировоззрения» посвящена анализу
возможностей школьно! э курса математики в формиро-
вании мировоззрения. В ней рассказывается о борьбе
материализма с идеализмом в математике, о формиро-
вании новых понятий и об источниках нового в мате-
матическом познании, рассматриваются некоторые дру-
гие философские вопросы математической цауки.
Автор рекомендует учителю на уроках знакомить уча-
щихся с философскими проблемами математики, что
позволит им «взглянуть на предмет с более широких
позиций, определить его положение в системе знаний,
увидеть науку в развитии, движении, заставит заду-
маться о движущих силах прогресса и понять необхо-
димость все большей общности и абстрактности поня-
тий математики и ее результатов для прогресса самой
математики, расширения и углубления поля ее приме-
нений» (с. 11).
Одним из вопросов, с которым Б. В. Гнеденко счи-
тает возможным познакомить школьников, является
вопрос о зависимости математических исследований от
философских взглядов ученого. Автор пока-
зывает, что «философская направленность ученого мо-
жет не иметь отношения к отдельной задаче», кото-
рую он решает, но когда ои «выбирает область иссле-
дований, определяет для себя или своих учеников пели
исследования, формулирует центральные задачи науки,
он не может избежать влияния присущих ему фило-
софских установок» (е. 12). Этот вывод иллюстрирует-
ся высказыванием Лун де Бройля о том, что' именно
взгляды А. Пуанкаре помешали ему понять все значе-
ние теории относительности.
Б. В. Гнеденко останавливается также на вопросе об
определении предмета математики. Приводя примеры
различных попыток определения предмета математики,
он показывает, что математика изучает такие отношения
и формы действительности, которые характеризуются
известной степенью- индифферентности к конкретному
качественному содержанию реальных объектов. Подчер-
1 М.: Просвещение, 1982.— (Б-ка учителя математики).
кивая эту специфическую черту математики, автор в то
же время обращает внимание читателей на взаимосвязь
математики с объективным миром, на ее происхождение
из реальной действительности.
Вопрос о происхождении научного знания с давних
времен и до наших дней остается одним из тех, вокруг
которых ведется яростная борьба между материализ-
мом и идеализмом. Не обошла стороной эта борьба и
математику. На ярких, убедительных примерах из исто-
рии науки автор пособия показывает ход борьбы между
сторонниками материализма я его противниками на
различных этапах развития математики (§ 2)
Здесь же даются обоснованные ответы на вопросы
о том, почему математика может успешно применяться
в изучении разнообразных явлений живой н неживой
природы, процессов, происходящих в общественной жиз-
ни и в сознании человека, почему у исследователей при
решении той или иной задачи практически никогда не
возникает сомнений в правильности выводов, получен-
ных при помощи математики.
В этом же разделе автор раскрывает некоторые аспек-
ты атеистического воспитания школьников на уроках
математики.
Переходя к вопросу образования математических по-
читай (§ 3), автор показывает несостоятельность точки
зрения, согласно которой «математические понятия яв-
ляются свободными творениями человеческого духа»,
а «математик сам для себя создает совершенно свобод-
ный мир идей и понятий», справедливо отмечая, что
в этом случае «было бы столько же математик, сколько
существует математиков, и математическая наука поте
ряла бы всякий смысл и не представляла обществен
ной ценности» (с. 28).
Англизируя источники возникновения новых идей,,
задач и теорий в математической науке (§ 4), Б. В Гне-
денко показывает, что таким источником является преж-
де всего практика. В качестве подтверждения этого
тезиса приводится р_яд ярких, доходчивых примеров
Другим источником нового в математике, о которс м
рассказывается в книге, являются внутренние потреб-
ности этой науки. Так, проблема обоснования математи-
ки неоднократно побуждала ученых критически пере-
сматривать исходные положения науки, а также основ-
ные ее понятия.
Совершенно справедливо Б. В. Гнеденко отмечает
важную роль математического анализа в формирова-
нии у старшеклассников материалистического мировоз-
зрения (§5). Указывая на то, что с созданием матема-
тического анализа в математику входит «движение и
тем самы >1 диалектика» (Маркс К., Энгельс Ф. Соч.,
т. 20, с. 573), автор кратко, но емко прослеживает исто-
рию становления дифференциального и интегрального
исчислений, формулирует некоторые важиые результаты,
достигнутые в различных областях естествознания бла-
годаря применению в них методов математического
анализа.
В § 6 предпринимается попытка обосновать необхо-
димость введения в школьное обучение элементов тео-
рии вероятностей и статистики. По мнению автора, изу-
чение основ этих наук окажет положительное влияние
на формирование мировоззрения школьников и на их
'' последующую практическую деятельность, будет способ-
ствовать усилению и развитию межпредметных связей
математики с физикой, химией, биологией.
Рассматривая роль математического моделнровачия
в теоретической и практической деятельности человека
(§ 7), Б. В. Гнеденко показывает, что сущность этого
метода состоит в том, что англизируется ие само явле-
ние, во всех его многообразных отношениях и связях,
а лишь некоторая упрощенная его схема. Математиче-
ское моделирование в настоящее время успешно приме-
няется в различных областях естествознания, техники,
экономики и организации производства. К сожалению,
использование методов математического моделирования
педагогических процессов еще крайне недостаточно.
75
В связи с этим автор ставит вопрос о том, что «уже
назрела пора серье то заняться разработкой математи-
ческих моделей обучения, воспитания, организации
классной работы» (с. 71).
Вторая глава пособия «Педагогниеские аспекты вос-
питания мировоззрения» открывается пара1рафом, где
автор показывает, какое большое внимание уделяют
КПСС и Советское государство вопросам образования
и воспитания молодого поколения, раскрывает с.мысл
требований, предъявляемых страной к советской Шкоте
па современном этапе ее развития.
Следующий параграф посвящен роли математики
в развитии мышления и речи школьника. Отмечая боль-
шие возможности математики в воспитании привычки
к правильному мышлению и логически совершенной
речи, автор, опираясь на статью выдающегося совет-
ского математика и педагога А. Я. Хинчнна «О форма-
лизме в преподавании математики» (см.: Хлнчин А. Я.
Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963),
анализирует некоторые типичные недостатки ₽ обуче-
нии математике, которые отрицательно влияют на раз-
витие абстрактного мышления и речи учащихся, рас-
крывает значение самостоятельной работы в развитии
мышления и речи.
Мышление и язык неразрывно связаны между собой.
В связи с Этим автор совершенно правильно отмечает,
что воспитание культуры речи не является прерогати-
вой только учителя русского языка и литературы, что
это задача и учителя математики. «Именно на уроках
математики,— пишет Б. В. Гнеденко,— школьник дол-
жен привыкать к краткой, четкой, логически отточенной
речи» (с. 84), а учителю математики при ответах уча-
щегося следует обраща~ь внимание не только на содер-
жание, но и на форму ответа.
Одной из важных и ответственных задач педагоги-
ческого коллектива школы является выявление и раз-
витие способностей учащихся, в том числе и математи
ческих. В разговоре, который ведет с читателем
Б. В. Гнеденко о развитии математических способно-
стей учащихся, затрагиваются вопросы дифференциро-
ванного подхода к обучению, в частности рассматри-
ваются некоторые особенности работы с учащимися, об-
ладающими /Зольшнми способностями, дается ряд реко-
мендаций учителю для работы с основной массой школь-
ников.
Развитие математических способностей тесно связано
с математическим творчеством учащихся. Рассматривая
различные аспекты этой проблемы, автор указывает на
важную роль, которую играют математи ,еские олимпиа-'
ды, нестандартны» задачи, размышления учащихся над
парадоксами математики, поиск ошибок в рассужде-
ниях, беседы с известными учеными и т. п. (§ 4).
Исключительное значение в формировании и развитии
творческих способностей школьника играют педагогиче-
ский талант учителя, его умение «зажечь» ученика той
или иной идеей, его собственная увлеченность. Подчер-
кивая это, автор пишет, что у учителя «должен быть
дух искательства, он должен быть увлечен радостью
познания, ои должен любить своих учеников и стре-
миться приобщить их к радости поиска, радости рас-
ширения круга познанного» (с. 99).
Политехнические аспекты преподавания математики
рассматриваются в § 5 второй главы. Автор показы-
вает сл» дующие пути реализации ленинского принципа
прлите хннзации при обучении:
1) изложение школьного курса математики должно
строиться так, чтобы учащиеся видели практическую
зна чимость математики;
2) при изучении математики, физики, биологии, хи-
мии и других предметов следует обращать внимание уча-
щихся на взаимосвязь этих предметов, на разлучные
математические аспекты соответствующих предметов;
3) в связи с широким внедрением в практику вычис-
лительной техники, в том числе мини-компьютеров,
в школе, по мнению автора, необходимо обязательное
знакомство с современными ЭВМ, особенно с мини-
компьютерами, и работой на них.
4) Б. В. Гнеденко полагает, что каждый выпускник
средней школы должен иметь хотя бы общие пред-
ставления о возможностях современной вычислительной
техники и азбуке программирования;
5) на уроках чатематического анализа каждый уча-
щийся должен познакомиться с разными методами ре-
шения задач на разыскание оптимальных решений.
Несомненный интерес для учителя представляет раз-
дел «История математики и воспитание мировоззрения»
(§ 6), где убедительно показывается, что история мате-
матики дает учителю «богатейшие возможности для воз-
буждения творческих сил молодежи, для укрепления их
веры в собс гвенные силы. ...для выяснения роли мате-
матики в развитии других наук», а также то, что «исто-
рия математики явъчется мощным средством исследо-
вания Методологических вопросов самой математики,
таких, как происхождение понятий и влияние практики
на развитие математики» (с. 115).
В заключительном параграфе второй главы «Основное
звено обучения — преподаватель» формулируются требо-
вания к учителю математики, раскрывается спектр воз-
можностей, которые учитель математики может исполь-
зовать, чтобы сделать свой предмет «интересным, увле-
кательным, доставляющим радость».
Б. В. Гнеденко предлагает читателю познакомиться
с фрагментом из диалога Платона «Менон: и со статьей
А. Пуанкаре «Математическое творчество», что, на наш
взгляд, удачно дополняет сказанное автором о значе-
нии математики в формировании мировоззрения. Для
читателей, решивших более подробно познакомиться
с вопросами воспитания научного мировоззрения на
уроках математики, автор указывает некоторые работы
по этой проблеме.
Стиль и форма изложения, избранные автором по-
собия, располагают читателя к вдумчивому прочтению
книги, способствуют лучшему восприятию материала.
Некоторая фрагментарность и схематичность отдельных
разделов не снижает общей, положительной оцунки, ко-
торой заслуживает книга.
В процессе преподавания математики перед школь-
ным учителем стоит сложная н важная задаиа — «до-
биваться. чтобы полученные в школе знания стали проч-
ной основой марксистско-ленинского мировоззрения мо-
лодежи» (постановление ЦК КПСС и Совета Министров
СССР (декабрь 1977 г.) «О дальнейшем совершенство-
вании обучения, воспитания учащихся общеобразователь-
ных школ и подготовки их к труду»), В связи с ее
решением необходимо воспитывать у школьников понп-
7Ь
мание того, что математика является огромной движу-
щей силой развития научного познания, могущественней-
шим помощником человека в его практической деятель-
ности. Для этого сам учитель должен иметь глубокие
математические знания, хорошо разбираться в вопро-
сах философии, уметь доходчиво и убедительно пока-
зать связь математики с другими науками и практи-
кой, роль математической науки в преобразовании при-
роды и общества. На наш взгляд, весомую помощь
в этом ему окажет пособие Б. В. Гнеденко, которое
будет полезно и студентам математических факультетов
педагогических институтов.
Два задачника «Кванта»
Ю. Д. Белов, В. Д. Кузнецов
(г. Ярославль)
В 1982 г. в «Библиотечке „Квант"» (издательство «Нау-
ка») впервые появились задачники. Мы имеем в виду
две книги: -ч ч
1. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планимет-
рия (вып. 17).
2. Башмаков М. И., Беккер Б.~ М., Гольховой В. М.
Задачи по математике. Алгебра и анализ (вып. 22).
Попытаемся коротко охарактеризовать их. Первый
задачник далеко не претендует на полноту охвата про-
граммного школьного материала по планиметрии, здесь
затрагиваются только некоторые разделы, но приведен-
ные задачи весьма геометричны и интересны по содер-
жанию. Так, наряду с классическими задачами (теоре-
мы Птолемея, Чевы, Менелая, Лейбница, задачи Пас-
каля, Эйлера) сборник- содержит много современных
задач о выпуклых многоугольниках, о покрытиях, экст-
ремумах и т. п. В книге 498 задач разного уровня слож-
ности, разбитых на два раздела, и дополнение. Первый
раздел содержит 143 подготовительные задачи, второй
посвящен задачам повышенной трудности. В нем 4 па-
раграфа, 107 задач на вычисление, 62 — на доказатель-
ство, 93 — на геометрические места точек и принадлеж-
ность точек прямим и окружностям, 31 задача на гео-
метрические неравенства и экстремумы. В конце книги
приведены еще дополнительно 62 задачи. Подавляющее
большинство задач снабжено указаниями и ответами.
Решение всех задач не требует выхода за рамки
школьной программы, однако большинство из инх не-
стандартны. Они направлены не на закрепление опре-
деленного теоретического материала, а на развитие ини-
циативы.
Задачник будет весьма полезен учащимся старших
—— .
51БДИО “ЧЛ S6.
И <Г 1ЙАР»«
ЗАДАЧИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
ОЛАНИШ. ГРИЙ
классов, интересующимся геометрией. Его не следует
рассматривать как сборник задач, подготавливающих к
поступлению в- вуз. Цели этой книги заметно шире: раз-
витие изобретательности, умения правильно пользо-
ваться материалом, показ красоты п изящества геомет-
рических фактов и приемов доказательства.
Учителя с успехом могут использовать эту книгу в
кружковой работе Естественно, например, принять, что
содержание параграфов второго раздела соответствует
темам занятий кружка. Поскольку каждый параграф
содержит большое количество разнообразных задач,
учитель может выбрать их по своему вкусу.
Некоторый недостаток книги — неупорядоченность
задач по возрастанию сложности Например, в первом
разделе после достаточно сложных задач № 19 и 20
идет устная Ns 21. Часть задач этого раздела имеется
в ныне действующем школьном учебнике (самые пер-
вые. № 11 о вычислении длины медианы и др.). Иногда
встречаются несоответствия между обозначениями в ус-
ловии задачи и в указаниях к ней (например, в задаче
№ 153 некоторая точка обозначена буквой М, а в ука-
заниях — буквой £>). Однако более существенно, что
методы решения, предлагаемые в указаниях, не всегда
оптимальны. Автор в предисловии подчеркивает, что
при решении задач он не использует векторную ал-
гебру и лишь минимально привлекает метод координат.
Такой подход кажется спорным. Например, задача
№ 153: «Если М — произвольная точка плоскости, G —
центр тяжести треугольника АВС, то
31 MG |2 = | Л4А |2 + |МВ |2 + |Л4С |2 —
—-^-(|Ае|2+ |ЬС|2 + |СА|2)» —
просто решается методами векторной алгебры, а задача
№ 170 об определении множества таких точек М, что
|АЛ1|2— |Л4В|2=/г, где k — данное число, а А и В —
фиксированные точки, становится почти устной, если
использовать координаты. Это .касается и № 43, 44 вто-
рого раздела.
В задачнике имеются досадные опечатки, например
в условии задачи № 1 второго раздела надо равенство
длин сторон заменить неравенством; в противном слу-
чае задача не имеет смысла.
Наши замечания направлены на облегчение работы
с книгой и пи в какой мере не снижают ее общей по-
ложительной оценки.
Остается надеяться, что в «Библиотечке „Квант"»
появятся геометрические задачники с разделами, не за-
тронутыми в этой книге, в частности с теорией преоб-
разований и векторов как на плоскости, так и в прост-
ранстве.
Перейдем ко второй книге. Структурно задачник по
алгебре и анализу выигрышно отличается от геометри-
ческого более подробной тематической классификацией
задач. Включенные в неги 1800 примеров и задач раз-
биты по одиннадцати главам, содержащим 36 парагра-
фов. Параграфы разделены иа подпункты последова-
тельно усложняющихся задач на одну гему. В начале
большинства параграфов и зачастую в начале подпункт-
тов даются небольшие теоретические вступления с на-
поминанием основных используемых понятий и фактов.
В конце сборника к значительной части задач приве-
дены указания или решения п отдельно от них даны от-
веты, что удобно для самостоятельной работы.
В отличие от задачника И. Ф. Шарыгииа эта книга
охватывает все разделы школьной программы, а в не-
которых частях даже далеко выходит за ее пределы.
Но внутри некоторых разделов есть упущения, напри-
мер забыты производные показательной н логарифми-
ческой функций, хотя приводятся производные обрат-
ных тригонометрических функций.
Из одиннадцати глав две последние — комбинаторика
и комплексные числа — совершенно не пересекаются со
77
школьной тематикой. Однако и в предыдущих главах
иногда рассматриваются понятия, выходящие за школь-
ные рамки, например иаилучшие приближения, кусоч-
но-линейные функции, функциональные уравнения, кон-
тинуум, равномошность и др.
Обсудим сначала ту часть задач, которая соответст-
вует школьной программе. Это задачи разной степени
трудности, начиная от устных (почти в каждом под-
пункте) и кончая задачами олимпиадного типа, таки-
ми, как № 8 на с. 31
«Решить неравенство
л -J- J + ^9—л >
№ 5.16 на с. 55:
«Найти все значения а, при которых разность меж-
ду наибольшим и наименьшим значениями функции у=,
~х3—ах на отрезке [0; 1] равна 2» и т. п.
Задачи школьной тематики разнообразны н по на-
значению. Часть их способствует лучшему усвоению ос-
новных теоретических понятий. Таковы, например, за-
дачи на определение основных классов рассматривае-
мых функций — линейных, квадратичных, тригономет-
рических, показательных и логарифмических, а также
задачи на определения пределов последовательностей и
функций. Основная часть задач преследует цель научить
читателя свободно применять теорию и рассчитана на
развитие навыков. Многие задачи расширяют матема-
тический кругозор школьника, повышают его матема
тическую культуру. Это задачи об экстремальных свой-
ствах квадратичных функций, о средних геометричес-
ком й арифметическом, о фокальных свойствах гипер-
болы и параболы и др. i
В целом, по нашему мнению, основная масса задач
школьной программы Соответствует уровню вступитель-
ных экзаменов в вузы, и потому книга весьма полезна
для старшеклассников. При этом только надо иметь в
виду, что задачи одного подпункта целесообразно ре-
шать последовательно и все, так как указания ча то
досольно кратки и относятся сразу ко всему подпункту.
Теперь скажем несколько слов о задачах, выходящих
за рамки средней школы. Они разбиваются на два ти-
па: большинство задач продолжает и развивает школь-
ный материал и содержит преодолимые трудности для
школьника, интересующегося математикой. Таковы, по-
видимому, задачи о наилучших приближениях иррацио-
нальных чисел, о простейших дифференциальных урав-
нениях, комплексных числах и др. Сюда же Можно
включить и вопросы, не относящиеся непосредственно к
алгебре ила анализу, но приведенные в книге: это уп-
ражнения по комбинаторике и дополнительные задачи
литического характера.
В задачах другого типа используются идейно-слож-
ные новые понятия, требующие неторопливого и обстоя-
тельного осмысления. Это в первую очередь понятия
сметного и континуального множеств, равномощности.
Авторы гесьма лаконично определяют эти понятия и сра-
зу же дают серию нетривиальных задач, требующих для
своего решения методов и рассуждений, очень далеких
от школьной математики (достаточно отметить, что сре-
ди примеров имеется задача о неравномощности счет-
ное । и континуального множеств). Нам кажется, что
подавляющее большинство школьников не сможет само-
стоятельно понять даже имеющиеся к этим задачам
указания. Возможно, идейные трудности/ вызовут и за-
дачи о функциональных уравнениях. Многие иешколь-
ные задачи взяты из распространенных вузовских за-
дачников.
По-видимому, задачи, выходящие за рамки школьной
программы, могут быть полезны учите пям для кружко-
вой работы
Подводя итог, можно сказать, что обе книги будут
способствовать развитию математического творчества
учащихся и повышению интереса к математике Серия
«Библиотечка „Квант"» пополнилась двумя содержа-
тельными и весьма полезными книгами для старше-
классников и учителей.
Хорошая книга
по занимательной математике'
А. Т. Калинин
(Москпе)
Серия книг, объединенных названием «Библиотечка
„Квант"», широко известна. Ее шестой выпуск — книж-
ка Л П. Мочалова «Головоломки» — заслуживает вни-
мание учителя. Ряд свойств выделяют ее нз популяр-
ных, но немногочисленных книг по этой тематике.
Головоломки не принято делить на плохие и хоро-
шие; как и о задачах, о них чаще говор.гг — простая
или трудная. О книге Л. П. Мочалова следует сказать,
что она состоит из трудных головоломок, многие из ко-
торых могут стать классическими и войти в золотой
фонд занимательной математики. Это не случайно, ведь
автор — известный изобретатель головоломок, его зада-
чи публикуют многие журналы, в том числе и «Мате-
матика в школе». х
Л П. Мочалов не просто придумал много роловолр-
мок, он открыл новые их виды, которые получили свои
названия: лабиринт-алфавнт, сквэрворд.
Книга сос-оит из одиннадцати разделов, в каждом из
которых собраны задачи определенного класса. Боль-
шую часть из них сог гавляют числовые задачи-голово-
ломки (их примерно ,150), кроме них есть разделы ори-
гинальных буквенных и игровых головоломок.
Все виды этих головоломок можнэ с успехом ис-
пользовать в группах продленного дня, давая их как
задачи отдельным ученикам или устраивая соревнова-
ния между детьми или группами детей. Головоломки
этой книги сначала могут оказаться слишком трудны-
ми для всех ребят. Поэтому, прежде чем давать уча-
щимся задачи нового типа, рекомендуется сначала разо-
брать решения нескольких примеров вслух, всем вмес-
те. Для облегчения освоения новых головоломок
в книге перед большинством разделов даются разборы
решений типовых примеров.
Книжка будет полезна и при организации внекласс-
ных мероприятий виктории, математических вечеров,
занятий математического кружка.
Заслуживают внимания игровые головоломки. Если
числовые и буквенные задачи требуют для решения
1 Мочалов Л. П. Головочомки. — М.: Наука, 1980. —
(Б-чка «Квант». Вып. 6).
только карандаша и бумаги, то для игровых головоло-
мок необходимы модели. Сделать их можно за несколь-
ко минут из обрезков пенопласта, картона, склеить из
бумаги. Дети в них играют с.большим удовольствием.
И не только дети. В последнее время во всем мире на-
блюдается резкое увеличение интереса к игровым голо-
воломкам. Частично это связано с тем, что многие из
•них довольно трудны и для взрослых, а лучшие ре-
шения часто вообще бывают неизвестны. (В игровых
головоломках лучшим считается решение задачи за ми-
нимальное количество ходов.) В книге Л. П. Мочалова
для таких головоломок, как «Сторожа и тигры», «По-
меняйте местами» и др., также не найдены пока луч-
шие решения.
Отметим два важнейших свойства головоломок.
Первое — они учат логическому мышлению и наблю-
дательности. Обычно попытки решить головоломку на-
чинаются со случайных подстановок, а затем следует
перебор возможных вариантов. Хорошая головоломка
не поддается такому подходу, оиа требует для решения
строгого логического построения на основе подмечен-
ных причинно-следственных связей.
Второе свойство — занимательность. Головоломки
каким-то неуловимым, волшебным образом привлекают
к себе и ребенка и взрослого, связывают игру с позна-
нием и систе латическим знанием. В руках умелого пе-
дагога может стираться грань как между игрой и ре-
шением головоломки, так и между изучением законов
природы и игрой с головоломками.
Для иллюстрации сказанного читателям предлагается
несколько головоломок из этой книги.
1. Шахматный куб.
Восемь кубиков раскрашены в два цвета. Развертки
кубиков приведены на рисунке (см. рис. 1). Требуется
из кубиков сложить куб 2X2X2 с «шахматной» рас-
цветкой граней (с. 57).
Это одна из лучших игрочь" головоломок Л. П. Мо-
чалова. Ответ на вопрос: «Сколько существует реше-
ний данной задачи?» — пока неизвестен.
Рис 1 Рис 2
2. Арифметический
л а».
ребус «Простые чис-
В примере на умножение каждая звездочка означает
простое однозначное число (2, 3, 5 или 7). Восстано-
вите запись примера (с. 12).
3. На восемь частей.
Квадрат ТХ7 с вынутым единичным квадратиком
(рис. 2) разрежьте на восемь одинаковых частей (с. 71).
ХРОНИКА
На Всероссийской
научно-практической
конференции
С 23 по 25 ноября 1982 г. в г. Саратове проходила
Всероссийская научно-практическая конференция «Един-
ство учебной, внеклассной и виешкбльной работы с уча-
щимися общеобразовательных школ — эффективный
путь формирования социально яктивиой личности в све-
те решений XXVI съезда КПСС». Конференция была
организована Министерством просвещения РСФСР и
отделом народного образования Саратовского областно-
го Совета народных депутатов.
На пленарном заседании с докладом «Совершенство-
вание деятельности органов народного образования,
педагогических коллективов школ, внешкольных учреж-
дений по формированию социально активной личнос-и
школьников на основе единства учебной, внеклассной и
внешкольной работы» выступила Л. К Валяемая, за-
меститель министра просвещения РСФСР. Там же были
заслушаны доклады В. Д: Чибирева, заведующего Са-
ратовским областным отделом народного образования,
Л. И. Швецовой, секретаря ЦК ВЛКСМ. Т. Н Маль-
ковской, заведующей лабораторией НИИ общей педа-
гогики АПН СССР.
В выступлениях по обсуждению основных досладов
приводились конкретные примеры из опыта работы от-
д< лов народного образования и педагогических ксмиы к-
тивов школ по проблеме конференции.
Дальнейшая работа проводилась в четырех секциях,
где в общей сложности было заслушано и обсуждено
23 доклада.
Среди участников конференции было немало учите
лей математики, выступивших с практическим показам
решения проблемы, поставленной конференцией.
Так, Е. П. Бирюкова, учитель математики Клещев-
ской средне й школы Саратовской области, рассказал»
о некоторых приемах и методах сгоей работы, позво-
ляющих ей повышать качество знаний и уровень воспи-
танности учащихся. Ею отмечалась необходимость такой
подготовки учителя к каждому уроку, чтобы все 45 мии
его были полностью использованы всеми учениками.
Формы работы на уроках, по ее глубокому убеждению,
должны быть разнообразными и привлекать внимание
учащихся к изучаемому материалу.
В своем докладе она остановилась и иа том, что вос-
питанию активности учащихся, выработке навыков са-
мостоятельной работы содействует налаживание с по-
мощью ТСО и индивидуальных досок обратной связи:
ученик — учитель. Практика записи ответов на плен-
ку магнитофона позволяет не только увеличить количе-
ство опрашиваемых, что тоже важно, но и способст-
вует повышению чувства ответственности учащихся при
подготовке домашних заданий, развитию их математи-
ческой речи, позволяет организовать взаимный конт-
роль и самоконтроль знаний.
Далее Е. П. Бирюкова сказала, что после изучения от-
дельных тем и соответствующей подготовки в классе
она предлагает на дом практические задания, работы
обобщающего, творческого характера для повторения,
обобщения н систематизации знаний, работы, содейству-
ющие укреплению связи, математики с жизнью. Такие
задания имеют и большое воспитательное значение. Ус-
пешному их выполнению способствует систематическая
работа учителя с учащимися по формированию навыков
работы с книгой — учебником и дополнительной лите-
79
ратхрой, причем материалы дополнительных источников
часто используются и непосредственно иа уроках.
Вопросу о необходимости обеспечивать активную дея-
тельность каждого ученика в течение всего урока уде-
лила большое внимание в своем до;-ладе и М. F. Ши-
лина, учитель средней школы № 17 г. Вольска Сара-
товской области. При этом ока особенно подчеркнула
важность сочетания индивидуальной и коллективной
форм работы на уроке.
Интересным представляется использование ею при
проведении практических, самостоятельных и обучаю-
щих работ помощи учеников-консультантов. «Безуслов-
но, — отметила опа, — их помощь будет результатив-
на только в том случае, если с ними предварительно
учитель проведет иодготовительиую работу. Ученики-
консультанты могут оказывать существенную помощь
и ученикам, нуждающимся в ликвидации каких-то про-
белов в знаниях».
М. Б. Шилина высказала убежденность в том, что к
восприятию нового материала на уроке должны быть
готовы все учащиеся класса. Поэтому большое значе-
ние она придает предварительным подготовительным
упражнениям, которые «подтягивают всех учащихся до
уровня готовности воспринимать» новый материал. Ви-
лы этих упражнении разнообразны в зависимости от
той цели, какую они преследуют В некоторых случаях
они позволяют учащимся изучать самостоятельно и но-
вый материал
В своем выступлении М. Б. Шилина рассказала о
профориентационной работе с учащимися; привела ряд
задач, показывающих связь* математики с практикой;
рассказала о встречах учеников с представителями раз-
личных профессий, в частности тех. которые имеются
па предприятиях в их г Вольске. После таких встреч
ученики с удовольствием составляют задачи, связанные
с профессией их роди гелей. Эта работа имеет большое
воспитательное значение, показывая детям роль и не-
обходимость математики, знакомит их с основами раз-
личных профессг и.
Об использовании возможностей предмета матема-
тики для формирования трудовых навыков, воспитания
сознательного отношгипя к делу говорила в докладе
Е Г Кпрга, учитель средней школы № 21 г. Энгельса.
«Я отбираю и (овершепегвую те методы работы,—
сказала она, — которые:
1) помогают вырабатывать у учащихся умение само-
стоятельно добывать знания;
2) создают ситуации, где опн приучаются преодоле-
вать трудности;
3) припивают интерес к изучению математики»
Остановилась опа и па необходимости, хорошо знать
каждого ученика класса «Дли успешной работы всего
классного коллектива в целом нужна индивидуальная
работа с каждым, к каждому должен быть свой под-
г;от».
Большое внимание в процессе работы. Е. Г Карга
уделяет» обучению учащихся навыкам самостоятельного
приобретения знаний. Ею составлены и доведены до
каждого ученика памятки-согпты, как учить предмет,
чтобы аиия были глубокими, что значит «знать пред-
мет» и др.
В заключение она высказала мысль .о том, что непо-
средственным продолжением всей работы на уроке
должна стать внеклассная работа с учащимися, кото-
рая способствует углублению и расширению их знаний.
О взаимосвязи урока и внеклассной работы как сред-
стве развития интереса учащихся к математике н уг-
лубления их знаний по предмету рассказал в своем
выступлении Н. Г. Мельдианов, учитель математики
средней школы пос. «Заветы Ильича» Московской об-
ласти. Основной мыслью, прозвучавшей в t го докладе,
была следующая: «Успех внеклассной работы должен
закладываться на уроке, а она в свою очередь должна
плодотворно влиять на проведение учебного процесса».
Им были сформулированы и раскрыты условия, вы-
полнение которых необходимо для такого взаимодейст-
вия: давать материал крупными порциями; в каждого
ученика вселять уверенность в свои силы, в возмож-
ность успешного освоения им материала; в любой мо-
мент урока иметь обратную связь с учениками; иметь
кабинет, где ученик может найти в короткое время от-
вет на любой возникший у пего вопрос н где можно ус-
пешно проводить внеклассную работу.
В своем выступлении Н. Г. Мельдианов остановился
и на тех видах внеклассной работы, которые прово-
дятся в их школе.
Ту же мысль о внеклассной работе как продолжении
урочной работы по воспитанию интереса к математике
и средстве гЬормироваиия творческой деятельности уча-
щихся высказала в своем докладе В. П. Филинова,
учитель средней школы № 13 г Саратова.
Она подробно рассказала о. создании и работе школь-
ного научного математического общества «Алгоритм»,
а также о работе организованных этйм обществом науч-
ных семинаров по различным темам, которыми, как пра-
вило, руководят ученые Политехнического института
и Саратовского государственного университета.
«Контакты с интересными учеными математиками, —
сказала она, — получение учащимися посильных научных .
сведений, система творческих докладов, индивидуаль-
ная работа — вге это делает работу общества интерес-
ной и полезной, способствуя выработке научного ми-
ровоззрения учащихся.
Общество организует и такую увлекательную фор-
му работы, как академбои, в ходе которых выявляются
культура выражения математической мысли, быстрота
и оригинальность мышления, умение критически оце-
нит! ответ товарища. Академбой позволяет проверить
не только знания, н навыки учащихся, но и их духов-
ные и нравственные качества: Коллективизм, умение
«нападать» и «.защищаться», солидарность с товарищем,
сплоченность кбллектива». .
В. П. Филннова остановилась в докладе и еще на
одной форме работы общества — организации и прове-
дении математических конкурсов. «Эта* массовая форма
внеклассной работы, — считает она, — заставляет уча-
щихся критически оценивать свои знания, математиче-
скую культуру, видеть в математических неожиданнос-
тях связи с многочисленными явлениями жизни, спо-
собствует обогащению математического кругозора».
В заключение сна отметила, что подведение итогов
работы общества «Алгоритм» проходит ежегодно в ви- I
де праздника юных математиков Влияние, лотовое ока-
зывает этот вид внеклассной работы на школьников,
велико: многие выпускники школы выбирают профес-
сию, связанную с математикой.
По скончании работы секций все участники конфе-
ренции были ознакомлены с опытом работы школ и
внеклассных учреждений Саратовской области. Они
приняли также участие в творческих встречах, в работе
совета областного ИУУ по проблеме конференции, в
работе Ученого совета Саратовского педагогического
института.
На заключительном пленарном заседании были подве-
дены итоги работы конференции и приняты конкретные
рекомендации по рассмотренной проблеме.
НОЗЫЕ СЮЖЕТНЫЕ ДИАФИЛЬМЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
В 1981—1982 гг. студией «Диа-
фильм» выпущены диафильмы
«Сказки по математике для 4
класса», «Координатная прямая.
Координатная плоскость» и
«Сказки по математике для
5 класса». Первый из этих диафиль-
мов состоит из четырех сказок-фраг-
ментов: «Мышкина тропинка», «Эти
хитрые проценты», «Как построить
диаграмму», «Миллион удавов».
«Мышкина тропинка» — сказка,
с помощью которой можно объяс-
нить понятие биссектрисы угла.
Однажды Мышка обнаружила, что
от ее норки лисы протоптали две
тропинки (рис. 1). Мышке тоже на-
до напиться, но как пройти к ручью
по возможности дальше от каждой
из лисьих троп? По ходу сказки
различные персонажи (Змея, Заяп
и Крот) пытаются проложить для
Мышки такую тропинку, но каждый
раз она оказывается непригодной.
Например, у Змеи получилась очень
длинная дорога, к тому же она про-
ходит слишком близко то к одной
лисьей тропе, то к другой (рис. 2).
При просмотре этого фрагмента от-
рабатывается определение биссектри-
сы угла: дети повторяют определение
и используют его для отыскания
ошибок героев сказки.
В следующих фрагментах действу-
ют персонажи, хорошо известные
детям по сказкам Г. Б. Остера: Сло-
ненок, Мартышка, Удав и Попугай.
Сказка «Эти хитрые проценты» поз-
воляет отрабатывать понятие процен-
та. Ее математическое содержание
сводится к решению задачи: «Игру-
шечный вертолет стоил 100 бананов,
затем подорожал иа 10%, а потом
подешевел па 10%. Сколько стоит
вертолет?» Покупка игрушки была
поручена Попугаю (рис. 3). В пер-
вый раз ему 100 бананов на верто-
лет не хватило, а во второй раз
даже остался 1 лишний банан, кото-
рый Попугай и съел. (На рис. 4
ои как раз кается в этом Мар-
тышке.)
Сказка «Как построили диаграм-
му» содержит описание построения
круговой диаграммы. Последняя сказ-
ка «Миллион удавов» предназначена
для введения понятия масштаба.
Отметим, что для зверей оказалось
наиболее удобным принять за еди-
ницу измерения расстояний длину
Удава; измерив «удавами» расстоя-
ние по карте от Африки до Индии,
они нашли с помощью масштаба ис-
тинное расстояние между ними.
Диафильм «Координатная пря-
мая. Коордпнг гиая плоскость» пред-
назначен для V класса. Его персо-
нажи— два муравья и кузнечик —
озабочены тем, как указать распо-
ложение какого-нибудь предмета
сначала на тропинке, потом на по-
ляне. Дело в гом, что Кузнечик при-
гласил своих друзей в гости (рис. 5),
а где он живет, точно рассказать
не сумел. Он сказал только, что
Цена 45 коп
/ЛЯНВи
70557
находится в трех прыжках от мура-
вейника. Вот и бегают приятели по
тропинке и тянут друг друга в про-
тивоположные стороны (рис. 6). Для
того чтобы избавиться от путаницы,
ученый Сверчок предлагает постро-
ить на тропинке координатную пря-
мую, а на поляне — координатную
плоскость.
Сюжет делится на фрагменты,
каждый из которых посвящен одно-
му из следующих вопросов: коорди-
натная прямая; перемещение точек
по координатной прямой; противо-
положные числа; модуль числа;
сравнение чисел; координатная пло-
скость. По ходу просмотра диафиль-
ма учащимся приходится решать
задачи, направленные на отработку
вводимых понятии.
В диафильме «Сказки по матема-
тике для 5 класса» описываются
приключения пятиклассника, случай-
но попавшего к Бабе-Яге. Баба-Яга,
дама невежественная, вынуждена ре-
шать для нужд своего хозяйства
некоторые математические задачи.
Например, сломалась у нее ступа
(рис. 7), починил ее Леший. Но мо-
жет ли это средство передвижения
развивать прежнюю скорость? Маль-
чик объясняет Бабе-Яге, как опре-
делить скорость ступы (рис. 8).
Различные перипетии лесной жиз-
ни позволяют вводить в сюжет сле-
дующие вопросы: решение уравнений
с помощью деления обеих частей
уравнения на одно и то же число;
решение уравнений с помощью пе-
реноса слагаемого из одной части
уравнения в другую; пропорции;
степень; длина окружности; площадь
круга. Изложение этих вопросов со-
провождается постановкой необходи-
мых задач.
Отметим в заключение, что ска-
зочная форма подачи материала
особо привлекательна для учащихся
IV—V классов. Сказками никто,
разумеется, ие будет ограничиваться
при объяснении, ио они помогают
обеспечить мотивацию перехода к
новому материалу.
Е. Б. Арутюнян (Москва)
Математика в школе, 1983, № 5, 1—80