/
Автор: Лейбсон К.Л.
Теги: математика математический анализ задачи по математике практическое пособие издательство мцнмо
ISBN: 978-5-4439-0350-7
Год: 2015
Текст
Лейбсон К. Л
• % '% -'г. '
, v ч
Ч >> у< ' ь
% ч, ч %. \ % к \ ч
Ч’Х <4 О •>'^ i, **5» V* <r >
К\\Ч У'й чч
•_ 61 i? ' х
4k. л
4- Z«k '
<.. % V
> %> % %
4. %
Сборник
практических заданий
по математике
К. Л. Лейбсон
СБОРНИК
практических заданий
по математике
Часть 3
10 класс
Москва
Издательство МЦНМО
2015
УДК 51(075.3)
ББК В10я721-4
Л42
Лейбсон К. Л.
Л42 Сборник практических заданий по математике. Часть 3.
10 класс. — М.: МЦНМО, 2015. — 208 с.
ISBN 978-5-4439-0350-7
Сборник предназначен для использования в математических шко-
лах (классах) и включает в себя задания по алгебре и геометрии.
ББК В10я721-4
Лейбсон Константин Львович
СБОРНИК ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Часть 3. 10 класс
Подписано в печать 07.07.2015 г. Формат 60 х 90 Угв. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 13. Тираж 1000 экз. Заказ № 575.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241 -08 04.
Отпечатано в «Академиздатцон гр „Наука" РАН»,
ОН Производственно-издательский комбинат «ВИНИТИ» «Наука»,
14(Х)14, Московская обл., г. Люберцы, Октябрьский пр т, д. 403.
Твл./факс: (495) 554 21 86, (495) 554 25 97, (495) 974 09 7(1.
Книги ИВДНТЯЛЬСТМ МЦНМО Мишин I<I>><<* *Г>|><< I и II МПН1 IIIIIO
• Мнтпмигическаи книга», Моск на, ll<nii.iii"ll Ниш i . n. i.нН imp , д II.
’|Ъл. (495) 745 НО .'II I1, mall »• Н»I !<<•«< • м i и
INIIN 978 5 44.19 0.150 7
'• ' I. о..... л ., 2015.
in Ml 111M( >, 2015.
Оглавление
Алгебра
Повторение материала 8—9 классов........................ 4
Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов 19
§1. Элементарный анализ функций....................... 19
§ 2. Теория пределов................................... 48
§ 3. Непрерывные функции............................... 63
Глава 7. Основы дифференциального исчисления. Трансцендент-
ные уравнения и неравенства............................ 75
§ 1. Производная функции............................... 75
§2. Применение производных к анализу функций.......... 88
§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства........100
§ 4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 113
Образцы вариантов контрольных работ....................121
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса ......... . 129
Геометрия
Повторение курса планиметрии.......................... 140
Стереометрия
Глава 1. Основания стереометрии........................143
Глава 2. Векторы и массы в Ез..........................148
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью. Основы аналитиче-
ской геометрии в Е3. Расстояние между фигурами.........153
Глава 4. Угол между плоскостями........................165
Образцы вариантов контрольных работ....................169
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса ..........174
Ответы.................................................181
Алгебра
Повторение материала 8—9 классов
Найдите значения числовых выражений (1—13).
1. а)0,25 + А:(1.1,25-А).
б) (-1^-^;+0,1(6))-0,7 + 0,3-2,(3).
2. а) у/11 — 4у^7(>/7 + 3) - 2 /1/75;
б) (>/49 - 12/5 + /5)(2/5 + 1).
3. а) ((/5 + /2-1)-1 + (/5-/2 + 1)-1-/10)-/5;
б) /5 у/5 _ 10/3-6
/5+>/3-2 /5-/3 + 2 П
4. а) (/4 + /2 + 1)(/4- 1)(/4- /2 + 1);
б) (/25 — /5 + 1)(/25-1)(/25 + /5 + 1).
5. а) (/9 + 2/3 + 4)(/9-4)(/9-2/3 + 4);
б) (/3 — I)-1 — (/3+I)-1 — 2(/3 + I)-1.
6. a) log2(5 — /3) + log4(28 + 10/3) — log,/2 /Л;
б) log1>5(log8 5 • log5 4).
7. а) 4_ log23 • log2 9 log3 2; б) 3lo8»21og35 - (г^-1)^1.
8. a) [/2-/15]- //15-2/19 + 4/15 + /53 - 12/11;
б) /52 — 30/3 • 12-0-5 + 0,8(3)(3°'5 - log4 8).
о я\ 2 —4 sin2 32° . . 4тг 2тг 4тг
9- а> cos4°-cos56°’ б) Sln — • ctg — - COS —.
10. a) (sin 170° -sin40° -sin230° -sinSO0)-2;
2тг 4тг бтг
б) cos — • cos — • cos —.
11. a) cos(^ + arcsin|); 6) ctg(- 2 агссон A.
io \ • M , /ё\ / . /зо\
12. a) sin( g +arccos-g-) — coslarcsin —jj—I;
6) cos(2arctg2).
Повторение материала 8—9 классов 5
13. a) arccos (sin у); б) arcsin(cos уу).
14. Найдите количество целых делителей чисел:
а)К(28;40); б) 68-98.
15. Найдите сумму всех натуральных делителей числа 1176.
16. Найдите остаток от деления числа
а = Z>(72; 84; 135) - К(72; 84; 135) на 17.
17. Найдите наибольшее трёхзначное число, которое при делении
на 17 даёт остаток 4, а при делении на 12 даёт остаток 1.
18. Найдите натуральное число п, если:
a) d(n) = 8; S(n) = 7; n € [300; 400];
б) d(n) = 12; <т(п) = 195;
в) d2(n) = 32; d(3n) = 20; n е [400; 600].
19. Найдите 2cos °] sinQ если ctgQ, = 2.
cos a + sm a a
V2
20. Найдите sin 2a, если sin a — cos a = —.
21. Найдите sin(a — 1,41(6) • тг), если cos(a + 70 = — 0,8 и a €
22. Найдите cos (2a — arccos , если tg a — 2.
23. Найдите tg a + ctg a, если sec a + cosec a = 3 и a € (б; 70
3 \/5
24. Найдите x, если arccos x = arccos + arccos -y.
\ Зтт
—3/ 4*'
Докажите следующие числовые равенства (26—28).
26. 9(^28-3) = (^98-^28-1)2.
27. ^2-1 = (</бХ1)-</0/2) + </б74))3.
28. (= Ж04+ ^0Д2- (/(U6.
29. Найдите 145-ю цифру после запятой в десятичной записи числа:
.5 ,, 11 ч 3
а) 7; б) 15’ В) 28’
30. Найдите остаток от деления числа а на число Ь:
а) а = 3171, 5 = 7;
б) а = —7239, 5=13;
в) а = (—5)241-З193, 5=11.
6
Повторение материала 8—9 классов
31. Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, кратных:
а) 11; б) 15?
32. Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, кратных
двум данным числам:
а) 7; 11; б) 6; 8?
33. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, крат-
ных хотя бы одному из данных чисел:
а) 22; 18; б) 56; 147?
34. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, кото-
рые кратны числу а и не кратны Ь:
а) а = 34; 5 = 36; б)а = 57;5 = 72?
35. Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, кратных
ровно одному из данных чисел:
а) 18; 52; б) 22; 42?
36. Сократите дробь:
, а2 — ба 4- 5 . - а3 4- За2 + За 4- 28
а' а3 — За2 + За — 65 ’ ' а2 + ба + 8
37. Остатки от деления многочлена Р(х) на ж — 2 и j + 1 равны
3 и —2 соответственно. Найдите остаток от деления Р(х) на
х2 — х — 2.
38. Остаток от деления многочлена Р(х) = х3 + (2а — 1)а?2 — х + 3 на
х + 2 равен —23. Найдите остаток от деления Р(ж) на х2 — х +1.
39. Многочлен Р(аг) делится без остатка на х — 2, а при делении на
х2 4- х даёт в остатке 5х + 3. Найдите остаток от деления Р(х)
на х3 — х2 — 2х.
40. Сократите дробь:
. 2а:3 — а:2 4- а: 4- 1
а 2а:3 — х2 — 7х — 3 ’
м ба3 - 7а26 - 5аЬ2 + ЗЬ3
2а4 - За3Ь + 2а252 - ЗаЬ3 + 354 ’
Упростите следующие выражения, указав области их определения
(41—54).
.. / _ с3 + 8 с2 + с 2
V 2с4-с2/ с3 —Зс2 4-4 ' 2 —с’
,За 3 / а2 4- За 4-2 1 \
42‘ а2 -9 “ а2-9 ' \ За2 - 3 а-1)'
43. ( Л 2 4.13Л^ОМ + 9 2a2~Aa2QA2 ) (2 + За"1^2.
\4а2 + 12ао + 9о2 2а2 + а6 — 362/v 7
Повторение материала 8—9 классов
7
44. ж3-8 4х + 7 /т-2 _ / 4 Vh"1 х3 — 4х2 + ж + 6 ж2 + За: + 2 \ ж2 — 4 \ х — 2 / J
45. a3 + a2b-2ab2-2b3 _ 2_ . (((а + ft_3 _ a2 — ab — 2Ь2 ао — 2о2 444 7 7 '
46. / 1т+ 2 , 1т-2\ / 1т + 2 1т-2\ [у т-2 ym + 2y уут —2 ут + 2у‘
47. у/х у/х + Х 1 — Ху/х ’ х+ у/х+ 1
48. 2аЬ>/т—1_, х _ 1 ь-1 + . а-Г) х — у/х2 — 1 2
49. \J~cl — 2\/а 4-1 4^ + 1 у/а — 2у/а + 1 ’ ^/а-1 +
50. (д + 2(д - I)0,5)* (а — 2(д — 1)0,5)^ ((а-I)0-5 + 1)-! ((а—I)0,8 —1)~$
51. х — Зх^ж2 + 3(/ж — 2 6 . ж + 1 у/х2-!
52. (2\/аЬ — а у/bar1 — Ь): (За — 4у/ab + Ь).
53. 2а2 у/Ьа~^ — Зу/ a3 b + by/ab Ьу/ ab3 — ах/д3Ь
54. / д — 4b a —9b \ \/а + Зу/b 'а+х/аЬ — 6Ь д + 6\/аЬ + 9Ь/ y/b Решите уравнения (55—102).
55. а) 2я:3-ж2-7х-3 = 0; б) |а:2 - Зж| + |х + 1| =4.
56. а) (ж2 + х — З)2 — Зх(х2 + 7х — 3); 2 . 9а;2 >7 б) 1 + (х-3)2 ~7’
57. (т2-5т-1)2 а) т(х2+® —1) б) (4а; + 1)2(х + 2)(2х - 3) + 45 = 0.
58. \ / ^-3 \2 Д2 -9 , iof т + З V. а) Ut + J — 4т2 — 1 12l2x-J ’ 1 , 1 _ 2 1 1 0 Зт-5 1 Зт-1 Зт + 2 1 Зяг + 5 ' Зх + 9
59. а) ба:3 + х2 - За: - 1 = 0; б) За;4+8а;3-6а;2-17а;+6=0.
60. а) х3 + За: - 7 = 0; б) а;3 - 6а:2 + 15а: -19 = 0.
61. а) х4 + х3 — 10а:2 + х + 1 = 0; б) {х — 1)а:(а: + 2)(а: +1) = 3.
8
Повторение материала 8—9 классов
62. а) х4-2х3-12х2 + 4х + 4=0; б) х4 + 2х3-7х2-10х + 7=0.
63. а) (1 + |)-(1 + |)(х + 4)(х + 6) = 12;
б) (12х - 1)(6х - 1)(4х - 1)(3х - 1) = 5.
64- а) 7 + 77Т + 7Т2 + хТз + ^Т4=0;
1 1 1 1 _ 1 1 1 1
х х + 2 х4-5 х + 7 х 4-1 х + 3 х + 4 х + 6‘
65. а) (6х + 5)2(3х + 2)(х + 1) = 35;
б) (х2 — 6х — 9)2 = х(х2 — 4х — 9).
66- *>х2+(^=и-
б) 20f^)2 - + 48^|~4 = 0.
' \х 4-1 / \X-1J х2-1
67. а) х24-4|х-3|-7x4-11 = 0;
б) х2 - 4|х 4- 1| + бх + 3 = 0.
„я ч х4 - х3 - бх2 + 74а: + 3 _ х4 - Зх3 + Зх + 12
х2 + х — 3 х2 — х — 1
б) 4х4 4- 12х3 4- Зх2 - Эх - 18 = 0.
69. а) у/х — 1 — 2у/х — 2 + \/х-\-7 — б\/х — 2 = 2;
б)7П + 73т=:с-
70. а) ^8хТ1-2^х^1 = 3;
б) 16-1 fyx+ 16 + X-1 fyx + 16 = $/х.
71. а) (х 4- 1)? 4- (х + 5)г =6;
йч 2х-2 _ /5x4-2 15x4-6 п
б) ^+2-+5уТ+2--^- = 0-
72 al + д + ч/21 ~ х _ 21. <г\ ч/б — х — х2 _ ч/б — х — х2
ч/21 + х - ч/21 — х ~ х ’ 1 2х - 5 — х - 2
73. а) 2у/х + \/5 — х — ч/х + 21;
б) ч/5х + 1 — у/6х — 2 — ч/х + 6 + у/2х + 3 = 0.
74. а) у/4х2 + 9х + 5 — у/2х2 + х — 1 = у/х2 — 1;
б) д/х-2 + у/ЪГ-б + yJx + 2 + 3y/2x^l> = 7у/2.
75. а) ^76+ у^+ у/76-у/х = 8;
б) ^8х2 +4- у/8х2-4 = 2.
76. а) х + ч/2х — 1 = х2; б) у/б — х 4- \Jx 4-12 = 3.
77. а) (3-х)УЦ|4-(х-1)У||1=2;
Повторение материала 8—9 классов
9
78. а) ху/х2 +4x4-3 + \/2х + 5 = 0;
б) х + -\/1 — х2 = 2х\/2 — 2х2.
79. а) 10г2 - Г + 0х- Г = х; б) х2 = 4 + V9x+U-x2.
80. а) у/(х + I)2 + 2 у/(х- I)2 = 3у/х2 - 1;
б) fyx + 1 — х/х — 1 = х/х2 - 1.
81. а) (x-2)jj±|+x(x-l) = 14;
б) 7.
82. а) у/2х3 + 4х2-х + 1=х+2; б) х + у/б + Эх2 - бх3 = 1.
83. а) (х + 4) • у/х3 — 2х2 — Зх — (х2 — Зх — 5) • л/х3 — 2х2 — Зх;
л/-2х3 - х2 + 13х - 6 У-2х3 - х2 + 13х - 6
х2 —9 ~ Зх2—2х —16
84. a) sin(| - +1 = 0; б) cos(2x) • Vsinx = 0.
85. а) зт(тг + х) • х/cos(tt — х) = 0;
б) V6 —5х —х2 у sin (Jy + х) = 0.
86- а) Г ГЛ =0;
cos(x +
б) cos (j- 6j+sln \8 — 4j=0-
87. a) cos3xtg(x-70 =0; 6) sin2x-ctg(j _ 20 = 0.
88. a) 5^=0;
7 sinz
89. a)
б) Vcos 2x + cos x = 0.
cos(2x + Л
6). зЦ=°-
sinl ox +
90. a) (sin2 x + cosx + l)^/sin | = 0;
6) (cos2 x + sin x — l^cosx = 0.
91. a) cos 2x • \/4 — x2 = 0;
6) cos 3x • -\/6 + x — x2 = cosx • \/6 + x — x2.
92. a) sin(7rx) • \/2 + x — 3x2 = 0;
6) tg(^) -V3 + x-2x2 = 0.
93. а) 4х - 2x+1 = 35;
6) log2 x •
log2(|)=6.
10
Повторение материала 8—9 классов
б) log3(a:2 — 5х - 1) = log9(x2 - 4х + 4).
95. a) 21og3(or- l) + logi х = 0; б) 2log2х = х2 - 6.
96. а) (а:3 - 2х + 1) • log2(s + 1) = 0;
б) (х — у/х+ 1) • log2(6 + х - ж2) = 0.
97. а) \/4 — z2 • log3(sin х) = 0;
б) л/12 — а: — ж2 • logx (— cosх) = 0.
98. a) \ogx(x + 2) = 2;
99. a) log2x + log4(a:4) =3;
100. а) х2 - 2[х] - 4{х} = 11;
101. a) [sin|j=sm;r;
102. a) [log2 х] = log4 х;
б) |log2(ar-l)| = log39.
б) log2 х + logj. 2 = 2,5.
б) х2 + 3[яг] - 2{z} = 19.
б) [2х — 1] = 21-1.
103. Пусть f(x) = 2 — |я?|. Решите уравнения:
а)/о3(х)=.1; б)Г3(х) = т.
104. Пусть /(х) = х2 + 2х. Решите уравнения:
а)/о2(х) = 3; б)/о3(а;) = 3.
105. Пусть
/(*) =
1 — X
х2 - 1
при X < 1,
при X 1.
Решите уравнения:
a) f(x) = 3 + 2х - х2-,
б) f°2(x) = 8т - 2х2.
106. Пусть /(х) = тах(т2 - х - 3; 5 + х - х2). Решите уравнения:
а) /(я)=4; б) /(<r) = 2х+ 1.
Решите в целых числах уравнения (107—112).
107. а) Зт2 = ху + 2у2 +12;
б) 2(у2 -7)=х(х-у).
108. а) ху - 2х + Зу = 21; б) 2ху + Зт = 5у.
109. а) ^ + 1 = 3; б) 5-±=3.
' X у ’ > X у
ПО. а) |а:|! + 5-2ж = 3« + 5; б) 4х = у2 + 4у + 59.
111. а) 13т+14у=17; б) 45т-33у=78.
112. а) (З® - 4у -10) • у/20-т2-у2 = 0;
б) (1х + 13у + 44) • V244 - у2 - 2х2 = 0.
Повторение материала 8—9 классов
11
Решите уравнения с параметром (113—119).
113. а) 3:26 =°;
' х4-а
114. а) а;4 4-2а;2 - а = 0;
115. а) 4у/х = х — а\
116. а) (а; + а — 1) • \/4 — а;2 = 0;
117. а) у/х2 + х + а2 + х = 2-а;
118. а) у/х2 —х —5 +а = х;
119. а) 4х = а • 2х — 84-а;
|» + «|-2=2
’ X — 1
б) х2 — 2|а:| 4-а = 0.
б) х/я + а + я; —3.
б) у/х2 — 1(аа: +1) = 0.
б) у/2х — а + х = а.
б) у/а — х2 + а = х.
б) log2 х = ^/log2 х + а.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное
уравнение имеет ровно один корень (120—132).
х2 4- ах — а „ х2 4- (2 - а)х -2а п
izu. а) х2 4- х — 6 ’ ' х2 — ах — 6
121. а) х |а; 4- 4| 4-1 — а = 0; б) х2+4х-2\х-2\+2—а=0.
122. а) х • |а: 4- 2а\ 4-1 - а = 0; б) х2 4- |а: 4- а| 4- х 4- За — 0.
123. а) (х2 - 2х — 3) • у/х 4- а = 0; б) (а;2 4- ах) у/х — 2 = 0.
124. а) (Gx — х2)у/х2 4-6а: 4-За = ах /х2 4- 6а; 4- За;
х2 4- а 4х
у/х2 4- х — 6 у/х2 +х — 6
125. а) х = 14- у/ах — х 4- 3 - 2а; б) х + у/ах + 2х + а — 1 = 5.
126. а) |2ж — а 4-11 = |а: 4- 2|; б) |2а; — 2 4- а| 4- За; = а.
127. а) |4а; — |а: — 2|| = |а:4-а|; б) |3ж4- а + 2| = ||аг — 1| - 2|.
128. а) х 4- 2 4- ау/х 4- а = 0; б) х 4- 3 — а у/х 4- а = 0.
129. а) а:3 — За:2 — 9а: — а = 0; б) а:4 — 6а;2 4- 8х 4- а = 0.
130. а) 3х = а2 - 2а; б) 4х 4-а • 2х = а4-2.
131. а) у/Зх — 9(а:2 4- 2х 4- а) = 0; б) (2х — а) х/х2 — 2a; — а = 0.
sin ж п 5'1 cos х _ 0
у/а2 —х2 у/a — 2х — х2
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное
уравнение имеет ровно два различных корня (133—139).
133. a) х/6а;4-а4-3 = а;; б) у/2х + а-х = 3.
134. а) х2— 2а: —|s- 1| 4-а = 0; б) а:2 + 4а;-2|а: + а| + 2 + а = 0.
135. а) х3 + За:2 - 9а; 4- а 4- 2 = 0; б) а;4 - 4а;3 4- 4а;2 - ах2 = 0.
12
Повторение материала 8—9 классов
136. а) 4а:3 + 9а?2 - 12а; + 2а = 0; б) а:4 + 4а?3 - 8а; — а = 0.
137. а) 9х + 2а = а • 3* +1; g) §х2-2х _ ^log2 у/5(а+2х)
138. а) log2(a:2+ а) = 1 — log05 а?; б) log9(a;2 — 2а;)2 = а. сов(^)
139. д'! sin(7ra:) • у/а + 2а: — 2а:2 = 0;
у/а + 4а? — х2
Найдите количество различных корней уравнения в зависимости от
параметра а (140—144).
140. а) |а:2 -2х\+х = а; б) а(х +1) = \х - 2|.
141. а) х2 - |а: + а| = х + 2а; б) у/х + а — х.
142. a) log2(a;2 + а) = log4 (х2 + 2х + 1);
б) З11о8з2 = а • 4Ж + 4.
143. а) х* + ах2 = а +1; б) х3 + 2ах2 + 4а; = 0.
144. а) 4х = а(2ж — 3);
б) log2(|a:| + 1) + alog4(|a:| + 1) = а.
145. Решите уравнение ах2 + 2ах + а2 = х + 7, если одним из его
корней является число 2.
146. Решите уравнение ах3 + 2 = х(5х + а), если одним из его корней
является число 1 — у/З.
147. При каких значениях параметра а уравнения 2х2 + ах + 1 = 0 и
ах2 — 2ах +1 = 0 имеют одинаковое количество корней?
148. При каких значениях параметра а уравнение
ах3 — 2ах2 + (а - 2)х + 2 = 0
имеет меньше корней, чем уравнение (4а + 1)х2 + 16ах = 16?
149. При каких значениях параметра а данные многочлены имеют
хотя бы один общий корень:
а) х2 + х — 6; х2 + ах + а2 — а — 16;
б) х2 — 2х + а — 4; х2 — (2а + 1)а; + а2 + а — 2?
150. а) Решите уравнение 2а:2+3а: —17=2(1 — д/5)2+ 3(х/5— 1) —17.
б) Укажите все целые числа, заключённые между корнями
этого уравнения.
151. Решите уравнение 4а:3 - 15а?+ 2 = 4^1 - — 13.
152. а) Докажите, что число а — + 2\/б + \/5 - 2-у/б является
единственным корнем уравнения а;3 = За: + 10.
б) Докажите, что число а иррациональное.
Повторение материала 8—9 классов
13
153. а) Докажите, что число а = у/д+ \/73 + у9 —\/73 — 1 является
единственным корнем уравнения х3 4- Зж2 — Зж — 23 = 0.
б) Докажите, что число а иррациональное.
154. а) Докажите, что число а = 1 + \^4 + \/17 — \/у/17 — 4 является
единственным корнем уравнения х3 — Зж2 + 6ж — 12 = 0.
б) Найдите [2а].
155. Пусть а — корень уравнения ж3 + ж — 1 = 0. Найдите значение
числового выражения:
а)а5+а4 + 2а3; б) 1 + ~•
156. Пусть а — корень уравнения ж3 + 2ж2 + 2ж — 7 = 0. Найдите зна-
чение числового выражения:
а) а4 — 11а — 0,(2)(а5 + а4 + 7а);
. 7 —а3 а5-14
°' 2а2 7а3 - 18а2 ’
157. Пусть а — корень уравнения ж3 + ж = 3. Найдите значение чис-
лового выражения:
а) (а — 1)(а4 — 4а - 2); б) [а] + [2а] — [-За].
158. а) Докажите, что число а = \/4 + у/15 + \/4 — у/15 является
единственным корнем уравнения ж5 — 5ж3 + 5ж — 8 — 0.
б) Найдите [2а].
159. Пусть а и (3 — корни уравнения Зж2 + 7ж — 14 = 0, причём а < (3.
Найдите значение выражения 9а3 — 92а — /3.
160. Пусть а и /3— корни уравнения 2ж2 = 7ж + 5.
а) Найдите а2 • /З-1 + Д2 а-1.
б) Составьте примитивное квадратное уравнение с целыми ко-
, , f. а +1 /3+1
эффициентами, корнями которого будут числа - и q .
161. Пусть а и (3 — корни уравнения 2ж2 — 8ж +1 = 0.
а) Найдите а3 + /З3 — 2а2 — (З2 + 4а.
б) Составьте примитивное квадратное уравнение с целыми ко-
эффициентами, корнями которого будут числа а3 и [З3.
162. Составьте примитивное уравнение третьей степени с целыми
коэффициентами, одним из корней которого является данное
число;______
a) v/s + V'lO- хА/10 — 3;
б) х/4 + Д15+\/4-х/Т5-3.
14
Повторение материала 8—9 классов
163. Составьте примитивное уравнение четвёртой степени с целыми
коэффициентами, одним из корней которого является данное
число:
а) 1 - V5-V2; 6) у/З-у/2.
164. Пусть а — корень уравнения х3 — 6а;2 + За: + 11 = 0. Докажите,
что число а — 3 является корнем уравнения х3 + За;2 — 6а; — 7=0.
165. а) Докажите, что уравнение а:3 — 2а;2 — 5х + 5 = 0 имеет три
действительных корня.
б) Пусть а, /3, у — корни указанного уравнения. Найдите а2 +
+ (32+72.
166. а) Докажите, что уравнение 2х3 — х2 — 8х + 3 = 0 имеет три
действительных корня.
б) Пусть а, Д 7 — корни указанного уравнения. Составьте при-
митивное уравнение третьей степени с целыми коэффициента-
ми, корнями которого будут числа о-1, /З-1, 7-1.
167. Пусть а и /3— корни уравнения 2а;2 = а: + 4. Составьте прими-
тивное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами,
корнями которого являются числа а-1, /3~г, а + (3.
168. а) Докажите, что уравнение а;4 — 7х3 + 9а;2 + 1х — 9 = 0 имеет
четыре действительных корня.
б) Пусть а, /3, у, 6 — корни указанного уравнения. Составьте
примитивное уравнение четвёртой степени с целыми коэффи-
циентами, корнями которого будут числа а + 1, /3 -I-1, 7 + 1,
<5 + 1.
169. а) Докажите, что уравнение 2а:4 — х3 - 9а:2 + 4а: + 5 = 0 имеет
четыре действительных корня.
б) Пусть а, у, 8— корни указанного уравнения. Составьте
примитивное уравнение четвёртой степени с целыми коэффи-
циентами, корнями которого будут числа а~2, /3~2, 7~2, <5~2.
Решите системы уравнений (170—173).
170. а) - х2 = ху + бу2, _ х2 = 8у +1; б) - ' |а;| = 2у-1, 2а:4 = х2у+у2.
171. а) < а;2 — За:?/ + у2 + 1 = 0, а;3 + у3 = 9; б) < у/х + у = ху, 2ху + х + у = 8.
Повторение материала 8—9 классов
15
' xy+xz+yz=-l,
172. a) x2yz+y2xz+z2xy= — 4,
_ xyz=—2;
173. а)
' 2х+« = 8,
log2 х + log4(y2) = 1;
' x(y + z) = 3,
б) < y(x + z) = 4,
„ z(x + y) = 5.
' 22x+1=2x-y + y2,
б)
log2(y+ 1) = х.
Решите неравенства (174—193).
174. а) |х2 + Зх| х + 2; б) |х2 — Зх| + х>4.
175. а) 2х3 — Зх2 + х + 3 > 0; б) х4 — 5х3 + 5х2 + 8х-12^0.
176. а) (х2+3х+1)(х2+3х—3)^5; 61 7 1 9 I 1 <- л
' х2 — 5а: + 6 х — 3
177. а) х4—2х3 —12х2+4х+4>0; б) х4—6х3+11х2—бх—3^0.
_ \ о 4а:2 -ч х . 4х2 — Зх + 2
178. а) х + ^х + 2у <5> 2 х2 + Зх + 2 '
„ „„ \ х2 + 2х + 2 , х2 + 8а: + 20 _ а :2 + 4х + 6 х2 + бх + 12
179. а) х + 1 - 1 а; + 4 > (х + 1)4 128 х(х2 + 1) 15 ‘ х+2 х+3 ’
1ЯП л! /Зх —2\2 |3х —2I Q_ б) 11-21 > 1 1
180- а) U + 1 ) С| х + 1 I 1 20’ ' х2 — х — 6 |х + 2| х — 3
181. а)| 1 Ш 2 |; 7 | ж 4- 21 | ж — 1 г б) |х3 -х2 + 1| |х3 -х- 1|.
182. а) (о:2 - Зх - I)2 > х3 - ж2 — х;
б) ( 7 \ 2х + 1 / 4х2 — 1 \ х + 2 \2 ,2х-1/ •
183. а) > x/z + 3;
184. а) у/х2 ~ 2х + х > 4;
185-а) \/ё+т<а:+2;
у 4JU А
б) ^7+2> ^8^.
б) х2 — х +1 > 5\/я:2 — х - 3.
186. а) (х3 - Зх — 2)\/9 —х2>0;
б) (х2 - х)\/х3 -3х2-х + 3^ (4а: -2 -х2)\/х3 -Зх2 - х + 3.
, -/8—2а: — х2 , \/8 —2х—х2
187, 7+16 2х+9 ’
б)
9а:2-4
\/5а:2 — 1
< Зх - 2.
188. а) (х + 1)\/х2 + 1 > х2 — 1;
б)
1 — д/21 — 4а: — а:2 . „
х+1
16
Повторение материала 8—9 классов
189. а) (х-2)у/х2+х — 2^х2—4; б) > 0.
190. а) х+1>3^ж + 3; б) J2"*
ух+1 2.
191. а) ^г + 6- $аГП>1;
б) \Jx-2 — 2/х — 3 + \/а: + 6-6у/а: —3<3.
192. а) а:3 > 6а:+ 4^5; б) х3 + За:2 - 6а: 8 - 6>Д
193. а) х + 2Vx+T + 1 < 4 + 2v^+I;
' х — 2
л Г~Гч 1 с 60 - 20УГ+7
б) 4у/х + 7 - а: — 16 <-у—[--•
194. Пусть /(а:) = min^l - а;2; 1 2 Решите неравенства:
а)/(х)>|; б)/о2(а:)^-3.
195. Пусть /(а:) = тах(а;2 — За:; 5 — а;2; х — 3). Решите неравенства:
а) /(х) > х; б) f [x) > f(-x).
196. Пусть f(x) — 3 — 2а:. Решите неравенства:
а) /2(а: +1) > /(2а: - 1); б) |/°3(а:)| |/°2(а:)|.
197. Сравните данные числа а и Ь:
а) а = -^10 + х/8, Ь = 5; б) а = &2 + ^18, Ь = 4.
198. Найдите множество всех тех значений х, для которых выпол-
няется ровно одно из данных неравенств:
а) х3 — За:2 +4^0; |ат2 - х — 3| > |а: + 2|;
Решите неравенства с параметром (199—205).
199. а) > 0; ' х — а 200. а) х2 ах\ 201. а) |а; + 3| > ах; 202. а) |а: - а| > 2х — 3; 203. а) > 0; ’ х + 1 ’ б) ^2агЪо- ' х+а+1 б) а:2 + 2ах + 4 > 0. б) |а:— 1| <х + а. б) |а:2 — х — 1| х + а. б) ах + 2а~1 о.
204. а) \/х + 2<а— 1; б) /2х- а^ х/^ + 2.
205. а) х + 4 > 2а • у/х; б) ./£±^^1. ’ V х — 1
Повторение материала 8—9 классов
17
При каких значениях параметра а данное неравенство выполняется
при всех действительных значениях х (206—212)?
206. а) (а 4- 2)х2 + (а + 2)х + 2^0; б) (а2 - 1)ж2 - (а + 1)ж 5 :2.
207. ах2 + аж + 1 аж2 — 2ж + 3 ’ (а + 2)ж2+4ж + а —2 :о.
а) ' ж2 —(а + 2)ж + 1
208. „ , 2ж2 + ах — 4 . 61 Ч< Зж2 + аж —6
а) О су . f J х2 — х 4-1 2,2-ж+i
209. а) < аж2 — ж + 2 < . ж2 + ах + 4 ’ (а+1)ж2 —2аж — (а—1)ж2 —1 -<з.
210. а) > Ц - 1. а + 2’ б) (а—1) • З1 >а2 — 1.
211. а) 4х + а-2х>а; б) 2х2+2х ^а2- 2а.
212. а) sin х < а2 — 2а — 2; 6) COSX > Ц-т. ' а + 2
213. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
ах + 2 . _
решение неравенства ——— С 0 содержит решение неравенства
у/х > Зх — 2.
214. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все
решения неравенства у/а-х - 2 > х не удовлетворяют неравен-
ству х + а > 2.
215. При каких значениях параметра а система
у/5 + х + х 1,
(3 + а)х2 — х — а = 2
не имеет решений?
216. При каких значениях параметра а уравнение
(а - 1)ж2 + (а + l)z = 4
имеет хотя бы один корень, больший единицы?
217. При каких значениях параметра а уравнение
(а + 2)х2 + (а — 4)х + 6 — 0
имеет два различных корня, каждый из которых больше еди-
ницы?
218. При каких значениях параметра а уравнение (2а — 1)т2 — х +
+ а = 7 имеет два различных корня, каждый из которых удо-
влетворяет неравенству |ж| > 1?
18 Повторение материала 8—9 классов
219. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых оба
корня уравнения х2 + ах + 5 = 0 больше обоих корней уравне-
ния 4л2 + ах +1 = 0.
220. При каких значениях параметра а уравнение f (ж) = ах, где
/(ж) = тах(а;3 + 2х2; х2 + 6х), имеет четыре корня?
„ ах +1 _ п
221. При каких значениях параметра а неравенство х_2 > имеет
своим решением интервал, длина которого равна 3?
222. При каких значениях параметра а неравенства ах2 + 2ж > 0 и
--------—---->0 равносильны;
223. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
из выполнения неравенства (а 4- 1)ж2 + (2а — 1)х 7 6 следует
выполнение неравенства х2 — х < 12.
224. Найдите все значения параметра а уравнение х2 + 1 = ах имеет
два различных корня Xi и Х2, удовлетворяющих неравенству
|®1 -®il >а-
225. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
для выполнения неравенства ах2 + 2(а — 2)х + а 0 достаточно
выполнения неравенства х3 -I- За;2 — 4^0.
226. Дано уравнение ах2 + 4(а — 1)а: + а + 1 = 0.
а) При каких значениях параметра а данное уравнение имеет
единственный корень?
б) При каких значениях параметра а данное уравнение имеет
два положительных корня?
в) При каких значениях параметра а корнем уравнения явля-
734-69
ется число —й— •
Глава 6
Функции действительного аргумента.
Теория пределов
§ 1. Элементарный анализ функций
Найдите естественную область определения данной функции
(227—234).
227. а) /(а?) = у/х2 - 2а;- 8 + \/4-х;
б) /(□0 = (у'я+1-ж)~1.
228. a) f (а;) = у/2х3 - а;2 — 7а: — 3;
б) /(а;) = у/х4 — 2а?3 — 5а;2 + 4а; + 4 — у/7 + 12а; — 4а;2.
229. a) /(a?)=log2_a.(—а?2+За?+1);
230. a) /(a?) = log2(2H-2);
231. a) /(a?) = log3(logi а?);
б) /(а?) = log3(а?2 + 4а; + 4) + log5(a?2 - 2а: - 3).
б) /(а?) = \/cosa: • V15 — 2а; — а:2.
х2
233. а) /(а?) = arcsin(a?2 - За:); б) /(а?) = arccos .
234. а) /(а?) = ч>о2(х), где tp{x) = ^+Т;
б) /(^) = </’°2(®), гДе <р(р) — - г
При каких значениях параметра а функция /(а?) определена
в данной точке хо (235—236)?
235. а) /(а?) = у/ах — 1 + у/х2 + ах — а?\ а?о = 1;
tt \ 1об2(д + а) _ о
а?2-(а+1)а?-а2’ 0 2‘
236. а) /(а?) = arccos а Ж ~1~.2; а?о = —2;
б) f(x) = arcsin а ?;
' J v б) 7 ах 4-1 ’
б) /(a?) = log05(\/3 —а: —а;).
б) /(ж) = ^/log0i5(3-|а?|).
х0 = 2.
20 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
При каких значениях параметра а функция /(ж) не определена
в данной точке ж0 (237—238)?
237. а)/(ж) = <Л27_+2_2; ж0 = 1;
б) f(x) = log2(2I + ах — a2); xq = 1.
238. а) /(ж) = logo+2(ax); Хо = -2;
б) /(х) = arccos уру х0 = 2.
При каких значениях х функция /о2(ж) не определена (239—240)?
239. а)/(ж) = ^; б)/(ж) = ^.
240. а) /(ж) = 2(у/ж)2 — х — 1; б) /(ж) = у/х2 — 2ж.
241. При каких значениях параметра а существует хотя бы одно та-
кое значение параметра Ь, что областью определения функции
/(ж) = >/(а + Ь)х2 + аЬх — 2а является R?
242. При каких значениях параметра а существует хотя бы одно
такое значение Ь, что число 2 входит в область определения
функции /(ж) = lg((2a + b2)x2 + (а — Ь)х — 5Ь2 + а2)?
При каких значениях параметра а область D определения
функции /(ж) удовлетворяет данному условию (243—250)?
243. /(ж) = у/ах + 2 + ^/(а —2)ж + 4; D С [—2; 10].
244. /(ж) = log2(ax2 — 2аж + 2); D = R.
245. /(ж) = Va2 -Ь 2 - ж - ж2 + 21og5(a2 +а - 2 - ж); О = [-3; 2].
246. /(ж) = -2^аж + 2-ж; (-оо; -3) с D.
247. f(x) = 2'/ax2~2x~1; [1; 3] С D.
248. /(ж) = у/а8шж + 1; D — R.
249. /(ж) = ^/arcsin^^^; {0; |; |} С D.
250. /(ж) = (/ю5)(ж), где Л(ж) = л/2ж + а, р(ж) = Рс[1;3].
Найдите множество Е значений данной функции /(ж) (251—259).
251. а)/(ж) = ^; б)/(ж)=2ГП.
§ 1. Элементарный анализ функций
21
6) /(x) = logi(2®+4).
6) /(x) = arcsin y/2x — x2.
252. a) f(x) = х4 + 4х3 - 4х2 — 16а; + 16;
б) /(х) = х4 — 8а:3 + 26х2 — 40а: + 20.
253. а) /(х) = 4® + 2®+1 - 5; б) /(х) = 2^.
254. а) /(х) = х + 6у/х + 2; б) /(х) = 5 — 2® — 4->/1 -2х.
255. а) /(х) = sin3 х — 3 sin2 х — 9 sin х + 8;
б) Ag)= совх'+2~‘
256. а)/(х) = log2(x2 — 6х+10);
257. а) /(х) = arccos(—yfx)-,
258. a)/(x) = 2cosx —3sinx;
6) Kx> = cosx + sinx' •
259. a) /(x) = ¥?o2(x), где ф(х) =
б) /(x) — (Лор)(х), где h(x) = x2 +4x, g(x) = у/2-х.
При каких значениях параметра а множество Е значений данной
функции /(х) удовлетворяет данному условию (260—267)?
260. = [1;+оо)сЕ.
261. /(х) = ах2 + 4ах — 2а + 1; Е С (-оо; 10].
262. /(х) = (а + 1)х — ау/х\ Е=[0;+оо).
263. /(x) = logi(a —2®); R+c£.
264. /(х) =sin2x + asinx + 2; ЕС (1; 5).
265. /(х) = а^8Д~--; Ес[-5;0].
266. /(х) = а • 4® — 8®; Е = (-оо;4].
267. /(х) = h(g(x)), где /г(х) = 2^_ , д(х) — ах2 + 2х - 3; Е С (0; 2).
х2 1
268. Даны функции /(х) = и ^х) = 7+Т
а) Найдите Ef.
б) Постройте график функции /г(х) = /(^з(х)).
в) При каких значениях параметра а уравнение (д>о /)(х) =а
имеет единственный корень?
269. Даны функции /(х) = \/5 — 4х — х2 и у>(х) = х-1.
а) Найдите D^f о ip).
б) Найдите Е(<ро f).
в) Постройте график функции Л(х) = ((/о <р)(х))2.
22 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
270. Даны функции /(ж) = х2 + 4х и <р(х) — у/х3 + 5х2 + Зх — 9.
а) Найдите
б) Найдите Е(/(х) + </?(х)).
в) Решите уравнение <р2(х) = /(х) + 1.
271. Даны функции /(х) = ууу и <р(х) = yj
а) Найдите D(cpo Г).
б) Постройте график функции f (ip2(х)).
в) Решите неравенство /-1(х) <^2(х).
272. Даны функции /(х) — З- и р(х\ — cosx.
у/1 — х2
а) Найдите Ef.
б) Постройте график функции f(<p(x)).
в) При каких значениях параметров а и Ь уравнение /(<Дх)) = а
имеет на интервале (6; b + 2тг) ровно один корень?
273. Даны функции /(х) =4* и р(х) =log2(x+ 1).
а) Найдите E(ipo f}.
б) Постройте график функции Л(х) = (/ о <р)(х).
в) Решите уравнение /(<Дх)) = 2х2 — 3.
274. Графиком функции /(х) является ломаная АВС, где А(—3; 1),
5(1;-1), (7(2; 4).
а) Найдите /(0) • /(1,5).
б) Постройте график функции <р(х) = /(|х|).
в) При каких значениях параметра а уравнение <Дх) — а имеет
ровно два корня?
275. Графиком функции /(х) является ломаная ABCD, где
А(—2; —2), В(1; 3), (7(3; -1), Г>(5; 4).
а) Найдите/(2)(/(4)) Г
б) Решите уравнение /(х) — у.
в) При каких значениях параметра а уравнение | /(х) | = а имеет
наибольшее количество корней?
276. Графиком функции /(х) является ломаная ABCD, где
А(—4;—1), В(—2; 3), (7(0;!), Р(3;-1).
а) Решите уравнение /(х) — х2 — 4.
б) Постройте график функции <р(х) = |/(х) |.
в) Решите уравнение <р(х) = / (х + 1).
§ 1. Элементарный анализ функций 23
277. Графиком функции f(x) является ломаная ABCD, где
А(—5; —1), В(-1; 3), <7(3; 1), Z>(6; 4).
а) Постройте график функции = /(—|ж|).
б) Решите уравнение /(ж) = 2.
в) Решите неравенство /(|а;| — 1) < 2.
278. Графиком функции f(x) является ломаная ABCDE, где
А(-4; 2), В(-1;-3), <7(2;—1), Р(4;-3), Е(7; 4).
а) Постройте график функции <р(ж) = /(4 — 2ж).
б) Решите уравнение |/(ж)| = 2.
в) Решите неравенство /(|ж|) — 2.
279. а) Найдите функцию /(ж), если D/ = R\ {1} и при х еR\ {4}
, ( х \ 2а: — 2
выполняется тождество /1^ — 11 = .
б) Решите уравнение |/(ж)| = х.
280. а) Найдите функцию f(x), если £>/=R\{—2; 1} и при
\ f 2 ,1 ,( х \ _ х
\ < 2; 1 > выполняется тождество = За. _ 2-
б) Решите неравенство |/(ж)| > |ж|.
281. а) Найдите функцию /(ж), если Df = R\ { — 1} и при х eR \ {1}
, / х \ _ х2
выполняется тождество / I .-j- ) = j---•
б) Решите неравенство /(ж) С 0.
282. а) Найдите функцию /(ж), если Df = R\ {-2}, /(1) = | и при
ж е R \ |—2; —| выполняется тождество
, / х \ _ а:2___
•Чж + 2/ = За:2 + 10а; + 8’
б) Решите уравнение /(ж) = 1.
283. Дана функция
!2ж — 1 при ж < 0,
2 — ж при ж > 0.
Решите уравнение /(1 — ж) = ж2.
284. Решите неравенство /(ж) > ж, если
/ _ при Ж < —1,
/(2-|) =
4 ' (З — 2ж при ж —1.
/(1-2х) =
24 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
285. Решите неравенство f(x) <х2, если
х2 — Зх при х — 1,
2x4-5 при х > —1.
286. Решите уравнение /(х) = х2 — Зх, если
У(2х — 1) = шах^т; — 1; 2 — х2^.
287. Решите неравенство /(х) х2 4-1, если
/(2 — х) = min(3x 4- 4; х2).
288. Решите уравнение /(х) — 2, если /(2х — 1) = log2 (1 -.
289. Решите неравенство /(х) < 0, если /(х3) = log2 х 4-1.
290. Решите уравнение /(х) = у/2, если /(2х 4-1) =4®.
291. Решите неравенство /(х) > 10, если /(2 — х) = 32~® 4- 3®.
292. Решите неравенство /(х) > х2, если при х < 1 выполняются
следующие тождества: /(2 — х) = х2 4- 2х; /(2х — 1) = 2х 4-1.
293. Решите уравнение 2/(х) — х 4-1 = 0, если /(х 4-1) = х2 4- 4х 4- 3
при х^-1 и /(х — 1) = х2 — 6х 4- 5 при х1.
294. Решите неравенство /(х2) > /(х 4-1), если /(х — 2) = х при х < 3
и /(2х — 5) = 15 — 4х при х > 3.
295. Дана функция /(х) = 2х — 1.
а) Решите уравнение /о4(х) = 5.
6) Решите неравенство |/о3(х)| <х-|-2.
в) Докажите, что f°n(x) = 2П • х — 2П 4-1 (n € N).
296. Дана функция /(х) = Зх — 1.
а) Решите уравнение /2(х) = /о2(х).
б) Решите неравенство /о3(х) > /2(х).
в) Решите неравенство /о3(х 4-1) > /(х2).
297. Дана функция /(х) = 3 — у.
а) Решите уравнение |/о3(х)| = 2.
б) Решите неравенство /о2(4х) 5 — 6х.
в) Решите неравенство /(/(х) 4-1) < /(2|/(х)|).
298. Дана функция /(х) = х2 4-1.
а) Решите уравнение /о2(х) = /(х) 4- 3.
б) Решите уравнение /(2х4-1) = /(И)-
в) Решите неравенство /о2(х) > /(х) 4- 7.
§ 1. Элементарный анализ функций
25
299. Дана функция /(аг) = 3 — х2.
а) Решите уравнение /о3(ж) = 2.
б) Решите неравенство |/°3 (аг) | > 2.
в) Решите неравенство f°2(x) /(|/(а;)|).
300. Дана функция f(x) = х2 — 2х.
а) Решите уравнение /о2(ж) = f(x2 + 4).
б) Решите неравенство /о2(а;) f(x2 — 4а;).
в) Решите уравнение /(а;) = <^(а;), где
<р(а:) =
(/о2(*)
при X < 1,
при X > 1.
301. Дана функция /(а:) = —.
а) Решите уравнение |/о5(а;)| =3.
б) Решите неравенство |/°5 (ar) | > 1 — х.
в) Докажите, что /°п(аг) = пд. + 10 (n G N).
2__
302. Дана функция /(а;) = - х.
X “г о
а) Решите уравнение |/о3(а;)| = 1,5.
б) Решите неравенство /о2(а;) ~^х.
в) Решите неравенство f(x2 + 2х) > /(|а;| — 2).
Приведите пример функции /(ж), удовлетворяющей данному
условию (303—312).
303. a) Df = (-оо; 1) U (1; 2) U (2; +оо);
б) Df = {-1} U [2; +оо).
304. а) £>/ = (-оо;2); Е/ = К; б) £>/= [1;+оо); Е/ = (0;1].
305. a) £>/ = (-oo;l)U(l;+oo); Ef = (-оо; 2) U (2; +оо);
б) £>/ = Ж; Е/ = [0;2].
306. a) Df = (-оо; 2) U (2; +оо); £>/оа = (-оо; 0) U (0; 2) U (2; +оо);
б) Df = [1; +оо); £)/о2 = [2; +оо).
307. а) £>/=R;/о10(а:) = а:- 10; б) £>/=R;/о5(а;) = 243а;+11.
308. а) £>/ = (-оо;1); /°2(а;) = ^;
б) Р/ = (-оо;-4); /°2(а;) = ^.
309. а) £>/ = [0;+оо); /о3(а:) = ^д;
б) £>/ = (-1;+оо); /^(а;)^^.
26 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
310. a) Df = [0; +оо); /о239(х) = 239x + V
б) £>/= (0;+оо); =
311. а) £>/ = [0;+оо); /о5(х) = (1 + у^)2;
б) Df = R; /о239(х) н (1 + ^)3.
312. a) £>/ = R; /°8(х) = (^ + 8)3;
б) Df = R-, /о7(х) = (32^-31)5.
Найдите основной период следующих функций /(ж) или докажите,
что основного периода не существует (313—321).
313. а)/(х) = sin2x; б)/(x) = 2cos|; в)/(щ) = sin |а?|.
314. a) /(х) = tg у; б) /(х) = cos у/х; в) /(х) = ctg .
315. а)/(х)= у—}; б)/(х) = {2х}; в)/(х) = {|}.
316. а) /(х) = sin | J; б) /(х) = sin2 х;
в) /(x) = cos2x-2|cos2x|.
317. a)/(x) = sinx + cos(7rx); б)/(x) = 2sin2x + sinx;
в) /(я) = 2 cos | + cos J.
318..) /W = {^}-{^}; ЧЛМ^НТ}’
в) f(x) = {ху/З} - {ж}.
319. a) /(x) = sin3(2x); б) /(х) = sin х-cos Зх;
в) /(x) = cos4(|).
320. а)/(х) = sin(2cosx); б)/(х) = sin(x2);
в) /(х) = cos2 х - 2 cosх.
321. а) /(х) = 2ХПД~11; б) = x/sin(2x + l);
в) /(х) = 3 зт(тгх) + 2-f |.
Найдите общий член последовательности (ап) (322 324).
322. ai - 1, а2 = 3; ап+2 = ап (п е N).
323. щ = 2, а2 = -1, а3 = 1; а„+3 = ап (n € N).
324. ai = 1, а2 = —2, аз — — 1; ап+з =ап (п € N).
325. Дана периодическая функция /(х) с основным периодом 2.
Известно, что /(х) = ПРИ х е [“2; 0).
§ 1. Элементарный анализ функций
27
Известно, что /(а:)
а) Найдите /(—6) • /(5).
б) Решите уравнение f(x)=x.
326. Дана периодическая функция f(x) с основным периодом 3.
Известно, что f(x) — 2х — х2 при х € (—1; 2].
а) Найдите /(-14) • /(3).
б) Решите неравенство f(x) 4 — х2.
327. Дана периодическая функция /(а:) с основным периодом 2.
Известно, что /(а:) =3т— |2х— 1| при хе [—1; 1).
а) Решите уравнение /(а:) = х2 — 4.
б) Решите неравенство /(а:) • >/5 + 4а: — а:2 0.
328. Дана периодическая функция /(а:) с основным периодом 3.
х + 1 при хе [-1; 0],
1 -1 при хе (0; 2).
а) Решите уравнение /(а:) = —а:2 + 6а: + 11.
б) Решите неравенство /(а:) > |ат — 3|.
329. Дана периодическая функция /(а:) с основным периодом 4.
[2 — х2 при ат€Е[—2;0],
Известно, что fix) = < , ,
( х при х е (0; 2).
а) Решите уравнение /(а:) = 1 — х.
б) Решите уравнение /(а:) — [а:].
330. Дана периодическая функция f(x) с основным периодом 4.
Известно, что /(а:) = х2 + 4а: при х е [—4; 0). Найдите корни
уравнения /(а:) = — 1, принадлежащие отрезку [10; 14].
331. а) Найдите функцию /(а:), если Df = (—оо; 0) U (0; 1) U (1; +оо)
и при хе Df выполняется тождество (а: —1)/(а:) + /^^ = .
б) Решите уравнение /о2(а:) = 2а:2.
332. а) Найдите функцию /(а:), если Df = (—оо; 1) U (1; +оо) и при
х е (—оо; —1) U (—1; 2) U (2; +оо) выполняется тождество
х.
б) Решите неравенство |/(а:)| >х.
333. а) Найдите функцию /(а:), если Df = (—оо; 0) U (0; +оо) и при
xeDf выполняется тождество xf(x) + 2/(^) = 1.
б) Решите неравенство /о2(а:) > /(ж).
28 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
334. а) Найдите функцию /(ж), если Df =R и при всех х выполня-
ется тождество 2 f (ж) — /(2 — ж) = ж2 + 10ж — 8 — |ж — 11.
б) Решите уравнение f(x) = 3ж.
335. а) Найдите функцию /(ж), если
3/(ж) + /(-ж) =
х
5х
при х О,
при х > 0.
б) Решите уравнение f(x) = ж2 — 1.
336. а) Найдите функцию f(x), если
' 5ж + 2
/(2 — ж) + 2/(ж+1) = 2-х
5 — 4а:
при х < 0,
при 0 х < 1,
при ж > 1.
б) Решите неравенство |/(ж)| ^ж.
337. а) Найдите функцию /(ж), если
{2х — 1 при х —1,
х + 2 при х > —1.
б) Решите уравнение /(ж) = 2х2 — ж — 1.
338. а) Найдите функцию /(ж), если /(ж - 2) -I- 2/(4 - ж) = Зж2 —
- 17ж + 15 + |ж| + 2|ж- 6|.
б) Решите неравенство /(ж) 18.
339. а) Найдите функцию /(ж), определённую при ж б (-оо; 1) U
U (1; +оо) и удовлетворяющую при ж € (—оо; —1) U (—1; +оо)
тождеству 2/(-ж) + /(ж + 2) = -ж + 2 + ^у.
б) Решите неравенство |/(ж) | 2.
340. а) Найдите функцию /(ж), если Df = (—оо; 3) U (3; +оо) и при
ж б (—оо; 0) U (0; +оо) выполняется тождество
3/(3-|)+2/(3-ж) — 15 + ж-|.
б) Решите неравенство / (ж) > 0.
341. а) Найдите функцию /(ж), если Df = (—оо; 0) U (0; +оо), при
ж б (-оо; -1) U (-1; 0) U (0; 1) U (1; +оо) выполняется тождество
“ Л1| = 2
б) Решите неравенство |/(ж)| > 3.
§1. Элементарный анализ функций
29
342. Найдите функцию /(ж), определённую на множестве (—оо; 0) U
U (0; 1) U (1; +оо) и удовлетворяющую на этом множестве тож-
деству /(х) + f = х.
343. Найдите функции /(х) и д(х}, определённые на R и удовлетво-
ряющие тождествам
/(х) -I- 2д(х) = 5х2 + х - 2; /(1 — х) - д(х +1) = —х2 — 6х — 2.
344. Найдите функции f(x) и д(х), определённые на К и удовлетво-
ряющие тождествам
/(1 — х) — д(1 —х) = 1 — х — х2;
2/(х +1) + д(х + 1) = х2 + 5х - 4.
345. Найдите функции /(х) и д(х), определённые на множестве
(—оо; 1) U (1; +оо) и удовлетворяющие на этом множестве тож-
дествам
/(2х + 1) + 25(2х + 1) = 2х; /(-£_)= ж.
346. Найдите функции /(х) и д(х), определённые на R и удовлетво-
ряющие тождествам
/(1 - х) + д(х + 2) = —Зх - 1;
/(х + 2) — 2д(1 — х) = Зх2 + 6х — 4.
347. а) Найдите функции /(х) и р(х), определённые на R и удовле-
творяющие тождествам
2/(х + 1) - д(3 - х) = 2х2 + Их - 4;
/(3 — х) + д(х +1) = х2 — 5х + 19.
б) Решите уравнение /(2 — х) = р(х +1).
348. а) Найдите функции /(х) и д(х), определённые на множестве
(—оо; 0) U (0; +оо) и удовлетворяющие на этом множестве тож-
дествам 2/ Q) + д = f(x) + 2; 2/(2х) -I- д(2х) = 4 + 2х.
б) Решите неравенство |<?(х)| /(х).
349. Функция /(х) при любых действительных значениях х и у
удовлетворяет тождеству /(х + у) = f(x) + /(у) + 2. Известно,
что /(1) = 1. Найдите:
а) /(-3); б) /(1,(6)).
30 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
350. Функция f(x) при любых действительных значениях х и у удо-
влетворяет тождеству f(x + 2у) + f(2x — у) = 10х2 + 10у2 + 6.
Известно, что /(—1) = 5.
а) Найдите /(х).
б) Решите уравнение /о2(х) = 2х2 + 12х + 21.
351. Найдите функцию /(х), определённую на R, если при любых х
и у выполняется равенство f(xy) = xf(y) - /(ж) + 2.
352. Найдите функцию /(х), определённую на R и не равную тож-
дественно нулю, если при любых х и у выполняется равенство
/(х)-/(у) = /(х-у).
353. Функция f(x), определённая на R, удовлетворяет тождеству
f(x — у) = f(x) — /(?/) + 3. Известно, что /(1) = —1.
а) Найдите /(2) /(-2) - f Q).
б) Приведите пример функции, удовлетворяющей данным усло-
виям.
354. Функция /(х), определённая на R, удовлетворяет тождеству
f(xy) = /(х) • /(у) - 2f(x + у) + 2. Известно, что /(-1) = 1.
а) Найдите возможные значения /(2).
б) Приведите пример функции, удовлетворяющей данным усло-
виям.
355. Найдите функцию /(ж), которая определена на R и удовлетво-
ряет тождеству f(xy) = ———--------- (при х + у 0).
X ~г у
356. Приведите пример функции, определённой на R и удовлетворя-
ющей тождеству f(x у) = f(x) f(y) — f(x + у) + 1 при условии
/(1) = 2.
Исследуйте данную функцию f(x) на чётность-нечётность
(357—359).
357. а) /(х) = б) /(х) = в) /(х) =
358. а) /(х) = log2(|x| - 1);
б) /(х) = |х + 2| — Jx-2|;
в) /(х) = sin х + cos х.
359. а) /(х) = 2х - 2-®; б) /(х) = {х};
в) f ix') = log3(x + \/х2-|-1).
§ 1. Элементарный анализ функций
31
что f(x) = <
360. Функция /(ж) определена на R и является чётной. Известно,
' 3 — х при х € [0; 3],
2х- 6 при же(3;+оо).
2
а) Решите уравнение /(ж) = = (х + 6).
б) Найдите все значения параметра к, при которых уравнение
/(ж) = кх + 3 имеет единственное решение.
361. Функция /(ж) определена на R и является нечётной. Известно,
что /(ж) = х2 — 4ж при х 0.
а) Решите уравнение /(ж) = 1.
б) Решите неравенство /(ж) > g (ж + 4).
362. Функция /(ж) определена на R и является чётной. Известно, что
{ж2+ 8ж +11 при х —2,
— х — 2 при — 2 < х < 0.
а) Решите уравнение /(ж) = ^.
б) Найдите количество корней уравнения /(ж) = а в зависимо-
сти от параметра а.
363. Функция /(ж) определена на R и является нечётной. Известно,
что /(ж) = ж2 — 2|ж + 2| при ж < 0.
а) Решите уравнение /о2(ж) = 1.
б) При каких значениях параметра а уравнение /о2(ж) = а имеет
ровно два различных корня?
364. Дана чётная периодическая функция /(ж) с основным перио-
дом 4. Известно, что /(ж) = 2 — ж при ж G [0; 2].
а) Найдите /(23).
б) Решите уравнение /(ж) = ж2 - 6ж + 7.
365. Дана нечётная периодическая функция /(ж) с основным пери-
одом 8. Известно, что /(ж) = 2 — |ж — 2| при ж € [0; 4].
а) Найдите /(—27).
б) Решите неравенство /(ж) > —ж2 + 4ж + 2.
366. Дана чётная периодическая функция /(ж) с основным перио-
дом 4. Известно, что
/(*) =
х + 2 при х € [0; 1),
2х — 1 при х G [1; 2].
а) Найдите корни уравнения f(x) = 2,5, принадлежащие проме-
жутку [8; 12].
32 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
б) При каких значениях параметра а уравнение f{x) = а\х — 2|
имеет ровно два различных корня?
367. Дана нечётная периодическая функция f(x) с основным пери-
одом 6. Известно, что
( х2 — 12а? + 27 при х е [3; 5),
fW = 1 с г Гй
I х — 6 при х € [о; 7].
а) Решите уравнение f(x) = х — 3.
б) Решите неравенство (/(®) — 1) • а/16 — ж2 < 0.
368. а) Найдите нечётную функцию f(x), определённую на R, если
{®2 + 2®—1 при х 1,
4 — 2® при 2 С х С 3.
б) Решите уравнение /о2(®) = 2.
369. а) Найдите чётную функцию /(®), если f(x — 1) = х2 — 6® + 8
при ® 1.
б) При каких значениях параметра а уравнение f (®) = а — ®2
имеет ровно два корня?
370. а) Найдите нечётную функцию /(®), если на всей числовой оси
выполняется тождество 2/(® — 1) + /(® +1) = 2|® — 3| + |® — 1| —
— 2|® + 1| — |® + 3| — 6® + 2.
б) Решите неравенство /(®) —®2 + 2|®| + 9.
371. а) Найдите чётную функцию /(®), если на всей числовой оси вы-
полняется тождество /(® + 2) + 2/(® —2)=6®2 —8® + 9 —3|® + 2|—
-6|®-2|.
б) Решите уравнение /о2(®) = 49.
372. а) Найдите нечётную функцию /(®), удовлетворяющую тожде-
ству (® —1)/(® —1) + /(® + 2) = —®4 +3®3 — 10®2 —10®— 4—
(®/ 1; ®/ -2).
б) Решите неравенство /(®) + 2® 0.
373. а) Найдите чётную функцию /(®), удовлетворяющую тожде-
ству 2/(® + 1) — /(® — 2) = ®4 + 16®3 — 15®2 + 16® — 9.
б) Решите неравенство |/(®)| |®2 — 1|.
374. Пусть —нечётная составляющая функции /(®) = 2® —
-|® + 1|.
а) Решите уравнение i/;(®) — 0,5.
б) Решите неравенство f (®) > ®2 — 2.
§ 1. Элементарный анализ функций
33
375. Пусть <р(ж) — чётная составляющая функции f(x) = |ж — |ж — 2||.
а) Решите уравнение ф(ж) — х2 — 4.
б) Решите неравенство у>(ж) < f(x).
376. Найдите общие точки графиков чётной и нечётной составляю-
щих функции /(ж) = х2 — |ж 4-11 — Зх.
377. Пусть <р(х) — чётная составляющая функции /(ж) = 2|ж| 4- 3[ж].
Решите уравнения:
а) <у?(ж) = 2; б) <^(ж) = х.
378. Пусть ^{х} —нечётная составляющая функции /(ж) = ж 4- [ж].
Решите уравнения:
а)^(^) = 3; б) ^(^) = 2ж—1.
379. Пусть <р(ж) — чётная составляющая функции
' 2ж — 1 при ж 2,
/(«) = ж „ _
2 4- 2 при ж > 2.
а) Решите уравнение <р(ж) = 4 — ж2.
б) Решите неравенство /(ж) >93 (ж).
380. Пусть ty(x) —нечётная составляющая функции
| ж 4-2 при ж 1,
= 1 2 ± И 9 1
— ж 4-4ж —3 при ж > 1.
к
а) Решите уравнение ^(х) = —0,25.
б) Решите неравенство ^(х) —ж.
381. Пусть <р(х) —чётная составляющая функции
{ж24-4ж—1 при ж < —1,
3 — ж при ж Э —1.
а) Решите уравнение <р(ж) = 2ж.
б) Решите неравенство <^(ж) — 1.
382. а) Найдите нечётную составляющую ^(х) функции /(ж) =
= min(3 — 2ж; ж 4- 2; Зж — 2).
б) Решите уравнение ^(ж) = ж2.
383. а) Найдите чётную составляющую ip(x) функции
/(ж) = тах(ж2; ж 4- 2).
б) Решите неравенство </?(ж) > ж 4- 6.
34 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
384. а) Найдите чётную составляющую <р(х) функции
/(х) = max(2x; х + 1; 3 - х).
б) Решите уравнение у>(х) = 4.
385. Пусть </>(х) и ^(х)—чётная и нечётная составляющие функ-
ции /(х). Известно, что <р(х — 1) + (х + 1)^(я + 1) = 2(х2 + 1)
и </>(х + 1) + ^(х) = х2 + 3х - 1 + |.
а) Найдите /(х).
б) Решите неравенство /(х) 2,75.
386. График функции /(х) симметричен относительно прямой х = —1.
Известно, что
_ f х2 при X е [-1; 2),
[6 — х при х е [2;+оо).
а) Решите уравнение 2/(х) + х = 1.
б) При каких значениях параметра а уравнение f (х) — ах имеет
наибольшее количество корней?
387. График функции /(х) симметричен относительно прямой х = 1.
а) Найдите /(х), если /(х) - 3/(х - 2) = 2х2 - 16х +16.
б) Решите неравенство х + |/(х)| 4.
388. График функции /(х) симметричен относительно прямой х = -2.
а) Найдите /(х), если 2/(х) + /(х - 4) = Зх2 + 4х + 9 — 6|х + 2| —
-3|х-2|.
б) Решите уравнение /(х) = — 1.
389. Функция У(х) определена на Ж и симметрична относительно
прямых х = —2 и х = 3. Известно, что
|х2+6х + 8 при х G [—2; 0],
^х —8 при х € [13; 16].
а) Найдите /(1) + /(7).
б) Решите неравенство /(х) < —х2 + 4х + 6.
390. Функция /(х) определена на Ж и симметрична относительно
прямых х = — 1 и х = 3. Известно, что
{—х2-|-16х — 55 при х G [8; 11],
— 9х+135 при х G [14; 15].
а) Найдите f(l) -/(—1,5).
§1. Элементарный анализ функций 35
б) При каких значениях параметра а уравнение f(x) = а2(х + 2)
имеет ровно пять различных корней?
391. График функции /(а:) центрально симметричен относительно
точки М(2; 1). Известно, что f(x) = (х — З)2 при х € [2; +оо).
а) Решите уравнение f(x) — х2.
б) Решите неравенство |/(а:)| С И•
392. График функции /(а:) имеет центр симметрии (1; 2). Известно,
что /(а:) = х2 — 4а; + 5 при х 1.
а) Решите неравенство |/(а:)| 1.
б) Решите уравнение /о2(х) = 1.
393. Точки (—1; 0) и (3; 2) являются центрами симметрий функции
/(а:). Известно, что
— 2а: —2 при х G [—2; — 1],
На:) = „
а:2 —8а:+ 17 при х € [3; 6).
а) Найдите /(-3).
б) Решите уравнение (2f(x) — 3)V7 + 6a: —а:2 = 0.
394. График функции /(а:) центрально симметричен относительно
точки Af (1; 3). Известно, что 2/(а:) + 3/(а: + 2) = 10а: + 17.
а) Найдите /(а:).
б) Решите неравенство |а:2 — х — 1| |/(а:)|.
395. График функции /(а:) центрально симметричен относительно
точки М(—2; 0). Известно, что при х G (-оо; -6) U (—6; —2) U
U (—2; +оо) выполняется тождество /(а;) — 2/(а: + 4) = — х —10 +
" л-6»—зд
а) Найдите /(а:).
б) Решите неравенство /(а:) 0.
396. График функции /(а:) центрально симметричен относительно
точки Р(1; —1). Известно, что на всей числовой оси выполня-
ется тождество xf(x) + /(а: + 1) = 2а:4 — 4а:3 + За:2 — За: — 1.
а) Найдите /(а:).
б) Решите уравнение /(а:) + 2а: = 1.
397. Нечётная функция /(а:) определена на R, и её график имеет
центр симметрии (3; 0). Известно, что
{—0,5а:—1,5 при х € [—5; — 3],
(х — 6)2 при х & [6; 7].
36 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
а) Решите уравнение (2/(ж) — 1)л/25 — ж2 = 0.
б) Решите неравенство /(ж) ^ж.
398. Известно, что точки (—1; 2) и (1; 2) являются центрами сим-
метрий графика функции /(ж);
{ж — 1 при ж G [3; 4],
(ж — 6)2 при ж G (5; 6).
а) Найдите /(—3,5).
б) Решите неравенство 3/(ж) С 2ж.
399. График функции /(ж) имеет ось симметрии ж = — 1 и центр сим-
метрии (0; 4). Известно, что /(ж) = —Зж2 + 6ж + 4 при ж € [0; 1].
а) Найдите /(—5,5).
б) Решите уравнение /(ж) = ж — 1.
400. Известно, что график многочлена Р(ж) = ж4 4- аж3 + ж2 + 6ж + 5
имеет ось симметрии и Р(ж) имеет три различных корня.
а) Найдите а и Ь.
б) При каких значениях т уравнение Р(ж) = т имеет четыре
корня?
401. Известно, что график многочлена Р(ж) = ж6 — 9ж5 + 27ж4 —
— 27ж3 — Зж2 + аж — 2 имеет ось симметрии.
а) Найдите а.
б) Решите уравнение Р(ж) = 0.
402. Известно, что график многочлена Р(ж) = ж3 + аж2 + 4ж + Ъ име-
ет центром симметрии точку (—2; 3).
а) Найдите а и Ь.
б) Решите уравнение Р(ж) = ж2 + 5.
Найдите промежутки возрастания и убывания функций (403—421).
403. а) /(ж)=ж2 — 4|ж|-3; б) /(ж) = (ж2-2|ж|+3)^пж.
404. а) /(ж) = -\/ж2 + 4ж + 5; б) /(ж) =
405. а) /(ж) = х |ж — 2|;
б) /(ж) = у/х2 + 2ж+ 1 + 2у/х2 -4ж + 4.
406. а) /(ж) = II; б) /(ж) = -7=—! .
' 2у/х2 + у/4—4х+х2
407. а) /(ж) = у/ж2 — Зж; б) /(ж)=у/1—ж(ж2-2ж+5).
408. а) /(ж) = 2 - ^ж; б) /(ж) = ж3 - Зж2.
§ 1. Элементарный анализ функций
37
409. 410. 411. 412. 413. 414. 415. 416. 417. 418. 419. 420. 421. 422. а) а) а) а) а) а) ь '-н *^>> Г н н н н н н 1 II II II II II II I Н Н Н _ o' <w н + Г ю 1 да + £ £ н « + ' « ci to “ « “• । N1 « 1 1 + 1 оо сс l-A Н + со Л О> О' ^О\ О' _О\ ^ОХ г "бГ SSSSS Г Т Т Т Т II и н В Н Н to Н г- X w R to Ю N3 н toll—* 1 1 I I 1 < Н М 05 * 7 ±= < + Ji - ± “ Н “Г t Н 4" to
а) а) J ~ х2 ’
х2-2х-3’ г, ч 7гс2 — 18ж Н-12 х2 + 2х + 5' ел f(T\ —Зх2—4х —2
а) а) а) ш2-2х + 1 ; /(®) = logx 2; /(а;) = arcsin |а:|; /(а:) = arcsin У (а:) = | arctga:|; айдите наименьший член пс 0) JW о;2+2а.+ 1 • б) /(ж) - 2Х + 1 • б) /(а:) = arccos(a:2 — 3).
а) а) Н 0) j \ ) • J x arccosx 6) f(x) = arcctg |a:|. •следовательности (an):
б) ап = п3 - 29п2;
423.
424.
425.
426.
427.
а) ап = 2п2 — 17п + 3;
, _ 4п2 — 41п + 108
в' ап~ 4n2 —41п + 110’
Найдите наибольший член последовательности (ап):
\ _____2_____ __________________г)—п2+7п—10.
а) ап~ Зп2-10п + 9’ б)а„-
. _ Зп2 — 22п + 44
В^ ап“ Зп2-22п + 4Г
Решите неравенство f(x) 10, если f(x) = |2а? — 1| + |я: + 1| —
— х + а и min fix') = 4.
хев
Решите неравенство f(x) — 1, если /(а:) = —х4 + ах2 — 3 и
max = 1.
хев
Найдите значение параметра а, при котором функция /(а:) =
= 2д +2аж 7 определена на К и min /(а:) = /(1).
х2 + ах + 4 хев
При каких значениях параметра а функция f(x) = (а — 1)а; —
— а2 у/х — 3 принимает наименьшее значение при х = 9?
38 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
428. Последовательность (ап), все члены которой положительны,
обладает следующим свойством: ап — an+i- Докажите, что
1
для любого п выполняется неравенство ап < —.
Решите уравнения (429—455).
429. а) З'Т+’х + ^Т+2х = 2; б) ^x^l + 2у/2х - 1 = 2.
430. а) л/х2 — х4- 7 + у/х — 1= 4; б) у/2 -х+у/т* - 5х 4- 8 = 3.
431. а) х4 4- 3|х| = 22; б) |2х5 + х3| = 3.
432. а) УйГ^х- ^х^2 = 2; б) х4-j 4- v'x - 3 = 6.
433. а) -Ц + у/2^= 1; б) + ^х3-23 = 1.
434. а) 4- ^в^х3 = 0;
' х — о
б) Л2'Н!хтг-^7=2-
у Ju । О
435. a) log2(5 — х) 4-2 = х; б)2ж = 6-х.
436. /(|х| + 3) = /(х2 - 2х), где /(х) = 2х5 4- Зх - 4.
437. /(2х - 1) = /(х2 - 5), где /(х) = 6 - Зх2 - х4.
438. /(2 - х) = /(2х3 — х2), где /(х) = -2x4- ^5 —х +1.
439. /(х - 3) = /(х2 — 5), где /(х) = 2у/х2 - 4 4- Зх4.
440. /(х2 - |х|) = /(2х - 1), где /(х) = *-
441. /(х2 - х - 3) = /(Зх), где /(х) = log05 х.
442. /(х 4- 2) 4- /(х) = /(х3 4- х 4-1), где /(х) = log2(3 - 2х).
443. /(х) = /(2х-1), где/(х) = 2ж\
444. /(х2) = /(2х 4- 3), где /(х) = 2х — 2~х.
445. /(|х| - 2) =/(2х2 - 4|х|), где /(х) =arcsinx.
446. а) ^х4-15 + 2у^З = 4; б) 2х2 4-= 21 - 2^-2 - х.
447. a) + = 2х2 - 5-х4;
7 х24-2х4-2 ’
б ) х4 4- 8х3 4- 22х2 4- 24х 4-10 = 2 1 -/й •
7 X* + DX + 1U
448. а) х 4—= \/8 4-2х —х2; б) ---------= \/2 — х - х2.
' X +1 X — 2
§1. Элементарный анализ функций
39
449. а) 4а^2 1 = х/ж2 — ж + 16,25;
б) — = ^63 + 2ж-ж2.
450. а) х2 — 2х + 3 + 2со8(тгж) — 0; б) =4зт(^рУ
хи, 1 о • 2/'”’ тгж\ игх х , 12 . . (тсХ
451. а) 4а:+—j-=8sin2(j--yJ; б) ^ + — =48111^/
452. а) 2 sin ? — 3 cos + х2 — Зх + 6 = 0;
б) 4sin(^y) -cos(^y) = ж2 — re-Ь2,25.
453. а) х/ж(ж + 2) = -\/ж2 — 1(ж2 + 1);
б) х log2 х = у/х-1 log2 (ж -1) + 2у/х- 1.
454. а) х2у/х2 - 1 = (2ж + 3)\/2(ж + 1);
б) (2ж +1)(1 + \/4ж2+4ж + 8) + ж(1 + у/х2 + 7) = 0.
455. а) у/2х2 + 4ж + 7 - у/2х* + 3 = ~2~~^ - ______
б) |ж + 3|(гг2 + 6х + 9 + \/ж2 + 6ж +10) = ж2(ж4 + у/х4 + 1).
Дана функция /(ж). Решите уравнения (456—465).
456. /(ж) = Зж-1;
а) /015(ж) =/о13(ж);
б) /015(ж) = /о13(ж2).
457. /(ж) = 2 -х;
а) /о10(2ж) = /о9(4 - Зж); б) /о10(ж) = /°8(1 - ж2).
458. /(ж) = ж2 + 1;
а) /о29(4ж) = /о30(ж); б) /о29(4ж + 2) = /о30(ж).
459. /(ж) = (ж + 2)-1, где ж е (-2; +оо);
а) /о9(2ж) = /о10(ж); б) /°7(|ж|) = /°9(ж).
460. /(ж) = (1 + ^S)3;
а) /о12(х) = /о13(ж); б) /012(ж) = /о11(8ж).
461. /(ж) = min(3 - 2ж; |ж| - 6);
а) /(ж - 6) = -4; б) /(-ж2 - 4) = -4;
в) /(-ж2-4) = /(ж-6).
462. /(ж) = тах(2ж+ 1; |ж| — 5);
а)/(1-ж) = -4; б)/(1-ж) = 4; в)/(ж) =/(1 - ж).
463. /(ж) = пип(2ж + 1; ж - 2);
хеш
а) /(ж2) = /(2ж + 4);
в) /о5(ж) = /о4(2ж-ж2).
б) Г5(ж) = /°4(ж);
40 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
I О/
а)/(|х|) = /(х2-4); б)/о5(х) =/о4(х);
в) /о5(х) = /о3(х).
465. f(x) = min(x2 — 3; х + 3);
a) /(2x - 1) = —2; б)/(x2) = -4; в) f(x) = /(2x).
466. Пусть f(x) = max(x + 3; 6 — 2|x|).
а) Решите уравнение /(x) = 5.
б) При каких значениях параметра а уравнение f(x) — а имеет
ровно два корня?
в) При каких значениях параметра а уравнение /°2 (х) = а имеет
наибольшее количество корней?
467. При каких значениях параметра а уравнение у/х2 + 1 + 2ах2 =
= а2 + х4 имеет нечётное число корней?
468. При каких значениях параметра а уравнение (х5 + х — 34) х
х у/х + а2 — а —4 = 0 имеет чётное число корней?
469. При каких значениях параметра а уравнение (х2 — 2|х| — а2 +
+ ба - 8)V® — 2х = 0 имеет нечётное число корней?
470. При каких значениях параметра а уравнение
(2х - а)2 у/2х - а - 1 = х4 • \/х2 — 1
имеет два корня?
471. При каких значениях параметра а уравнение у/2 — х2(х4 —
— 6х2 + 10) = у/2-а + 2х(4х2 - 4ах + 12х + а2 - ба + 10) имеет
два корня?
Решите неравенства (472—500).
472. а) 8х5 + 6х3 + 1 0; б) х8 + 3|х| С 4.
473. а) ^2х-1 + ^Зх-2 < 2; б) ^5^х - ^х + 2 > 3.
(9 \ хЛг+2—я
I) <2’25-
475. a) log2(x2 - 1) < log2x + 2; б) logi (2 - х) >-1.
476. a) logK(2x -1) > ^(4Ж - 3); б) logi (log2x) >0.
477. a) arcsm(2x) < ^; o) arccos y •
§1. Элементарный анализ функций
41
478. /(1 - 2х2) f(x2 - 2х), где /(а:) — х6 + 2|х| - 1.
479. /(2а:3 - а:2) > /(2а:2 - 1), где /(а:) = 7 - За; - а:5.
480. /(2а:2 - |а: - 1|) > /(За: - |ж|), где /(а:) = (а:2 + 2) tyx.
481. /(а:2 - 5а:) < /(а: + 2), где /(а:) =
482- А^)М^)’гдеЛг>4тг-
483. /(2а: - 1) /(а?3), где /(а:) = 3“®.
484. / > /(2 - ж), где /(а:) = log2 х.
485. /(log2 х) < /(log2(a:2 - За:)), где /(а:) = ЗА
486. /о9(а:) < /°9(а:2), где /(а:) = 2а: + 3.
487. /о9(а:) < /°7(а:), где /(а:) = 2 - За:.
488. /о14(а:) /О13(а:2 - 2), где /(а:) = За: - |х|.
489. /о10(|а: + 2|) > /о10(|2а; - 1|), где /(*) = 7qr[-
490. /О12(а:2) < /°11 (а:4), где /(а:) = (2+ у/х)4-
491. /о7(а:) < /°10(а?), где /(а:) = ; х е (-2; +оо).
492. /о9(а?) < /°8(6), где /(а?) = а: + 2х.
493. /о5(а: + 6) > /о6(аг), где /(а?) = 2~х — За:.
494. а) ^2 —а;2 >а:3 + а: — 1;
б) д/ж4 + х2 + 2 + ^/|а:| — 1 > 2.
495. а) 2а: + - \/б0 + 4а: —а:2;
6> + 21+ 2'
496. а) х8 -2i4 + 34 ;
б)
' х2 — 4х +5
497. а) а?4 - 6а:3 + х2 + 24а: +17 соз(тга:);
б) a;2 + ^+8sin(zr)>0'
498. а) х + 5= 1 + 2^4
б) ^^73 + 2^-^.
42 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
499. а) 2х3(х3 - 27) - ^Зх2 - 1;
б) 2т(4х + V&c3 + 1) < у^(2^/ж + yj Ху/х + 1).
500. а) |х| + 2y<r2 + 1 > л/3 - |х| + 2^/4— |я:|;
б) х4^4 + 4^ 8т2 Vs2 + 1-
501. При каких значениях параметра а неравенство а3х3 — За2х2 +
+ бах + tyax — 1 х6 + За;2 + ^т2 + 4 выполняется при х 6 R?
502. При каких значениях параметра а решением неравенства За +
+ sin ( ) ^х2 —2х +а2 + 2 является точка?
503. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство а-2х — х3^ у/х — 2 выполняется на луче [2; +оо).
504. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство \Дг4 + 2х2 + а + 3 4- ^/|х| +а < 5 выполняется на от-
резке [—1; 1].
505. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (т4 + х2 + 1 — а) • уд —х2 — 0 имеет:
а) нечётное число корней на R;
б) нечётное число корней на отрезке [—2; 3].
506. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (2т5 + х — 3) у/(ат)2 + (2 — ^а)х + 1 = 0 имеет:
а) чётное число корней на R;
б) чётное число корней на отрезке [—4; 2].
507. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение (т2 + а + 2|т|) • у/^ + а + х — 0 имеет:
а) нечётное число корней на R;
б) нечётное число корней на отрезке [—1; 2].
Постройте графики следующих функций (508—518).
508. а)/(ж) =б)/(х) = ^у; в)/(х) = ^р-.'
509. а) /(а) = x2_2x + s\ 5) /(*) = х2 + 2х^2^
>) Я*) = I /- aJ+ 21
510. а) /(т) = б) /(ж) = ^; в)
511. а) /(т) = б) /(х)= |д--—; в) /(*) =
§ 1. Элементарный анализ функций
43
512. а) /(х) = 2^71; б) /(х) = 2~i; в) /(х) = ^у.
513. а) /(х) = logo 5(l - х); б) /(х) = log2(x2);
в) /(х) = —.
' к ' log2 X
514. а)/(х) =41о8гж; б) /(х) — log2 х - log2(x + 1);
в) /(x) = iog2^-y.
515,.)/W = ^; в)/М = ^|
516. а)=
в) /(х) = 3 — 16(х2 + 2х - З)-1.
517. а) /(х) = 2*4+1; б) /(х) = 2*2-1; в) /(x) = 2i2-1.
518. а)/(х) = 2^; б)/(х)=4г-22'+1; в) /(х) = д-.
Докажите обратимость данных функций f(x) на К. Найдите
/°<-1)(а) и решите уравнение /°(-1)(х) = Ь, где а и Ь — данные
числа (519—533).
519. /(х) = х3 + 2х2 + 2х — 5; а — — 6; 6 = 2.
520. /(х) = 1 — х+ х2 — 2х3; а = 2; 6 = 3.
521. /(х) = 2 5 + 2х3 + х —8; а = -4; 6 = —1.
522. /(х) = (х2 + 1) signx; а = —4;6=—2.
523. /(*) = < 5 —х при х^1, , а = 1; 6 = 0,5. 3 + 2х —х при х>1;
524. f(x) = x 1 , с . 1 и + 1; а- 1,5; 6- у.
525. /(®) = < 1 — х2 при х 0, 2 х+1 а = —3; 6= у. —у— при х > 0;
526. ,, . signx 1 , 1 ^х^-х2 + 1’ а~ 3’ Ь~ 2’
527. /(х) = ^х3 + 5х - 10; а = 2; 6=1.
528. /(х) = 2х+^х+1; а = -2; Ь= -8.
529. /(х) = 4тт; а = -2; 6 = 0,5.
' X* -г 1
44 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
530. /(ж) = ^; а = -4|;Ь=4
531. /(ж) = Зх + 2х+1; а = 3; 6 = -1.
532. /(ж) = jQy + l; а = 3; Ь=-2.
533. f(x) = x3+3x-, а = -|; 6=17.
Функция f (ж) определена на множестве D. Докажите, что данная
функция обратима. Найдите /°(—1^(а) и решите уравнение
/°(-1)(ж) = Ь, где а и b — данные числа (534—542).
534. /(ж) = ж3-Зж2-1; D = (-оо; 0]; а = -21; 6 = -3.
535. /(2:) = ^; Р = (-1;+оо); а =1,5; Ъ = -0,5.
536. f(x) = ж4 -8ж3 + Юж2 — 3; Л=[1;5]; а = —11; 5 = 3.
т2
537. /(ж) = ^; Г> = (1;2]; а = 6; 6=1,5.
538. = Р=(-1;3); а=-0,5; 6 = 2.
539. f(x) = x-2^x-3; Р=[1;+оо); а = -3; 6 = 2.
540. /(х) = log2(a;+1); £>=(-1;+оо); а = 3; 6 = 3.
54L = i^; D = (1; +oo); а = 1; 6 = V^.
542. f(x) = x • 2х; D = [0; +oo); а = 8; 6 = 1,5.
Найдите аналитическое выражение для функции /°(~х)(ж),
обратной по отношению к f(x) на данном множестве D. Найдите
£>(у°(-1)(а;)) и постройте график функции /°(—г)(ж) (543—554).
543. /(ж) = 2ж + 3; £> = R.
544. /(ж) = ^; Р = (0;+оо).
545. f(x) — 2x- ж2; £) = (-оо; 1].
546-Ж) = ^; z> = [-2;-i).
547. /(ж) = 2ж — |ж|; £> = R.
548. /(ж) = |ж-1|-|2ж + 1|; D^-jj+oo).
549. /(ж) = |ж|(ж + 2); Р = (-оо;-1].
550. /(ж) = log2(l - ж); D = (-оо; 1).
§ 1. Элементарный анализ функций
45
551. /(ж) = 2втж;
552. /(ж) = 3«; D = (0;+оо).
553. /(ж) = sJ2x - 1; D =± +oo).
554. /(ж) — 6 — у/х — x; -D=[0;+oo).
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых данная
функция /(ж) обратима на данном множестве D (555—558).
555. /(ж) = 2ж — a |ж|; £> = R.
556. /(ж) — ах2 — 2х — 3; £> = [1;+оо).
557. /(ж) = ж3 + (а — 1)ж2 + 6ж — 1; jD = R.
558. /(ж) = ^^; D = (0;+oo).
559. а) Докажите, что функция /(ж)=ж3+Зж2 + 5ж— 1 обратима на R.
б) Решите неравенство /о^-1\ж) < —2.
в) Решите уравнение /°(-1)(ж) = ж — 5.
560. а) Докажите, что функция /(ж) = |ж| — 2ж обратима на R.
б) Решите уравнение /°(-1)(ж) = —2.
в) Решите неравенство /°^-1^(/(ж) — ж) > —1.
561. а) Докажите, что функция /(ж) = ж3 + Зж + 1 обратима на R.
б) Решите неравенство /°^-1^(ж) > 2.
в) Решите уравнение /(/°^1\ж) + ж) = —75.
562. а) Докажите, что функция /(ж) = Зж — |ж — 1| обратима на R.
б) Решите уравнение /°^“1\ж2 + /(ж)) = 2.
в) Решите неравенство /°(-1)(ж2 + /(ж)) 2ж.
563. а) Докажите, что функция /(ж) = ж3 + 2ж + 5 обратима на R.
б) Решите уравнение /о^-1\ж) = 1 — ж.
в) Решите неравенство 2/°^-1\б — ж) + ж 0.
564. а) Докажите, что функция /(ж) = ж4 — 2ж3 + 3 обратима на луче
(-оо;1|].
б) Решите уравнение /°(-1)(ж2) — -1.
в) Решите неравенство /0^-1\ж2) > —1.
565. а) Докажите, что функция /(ж) = ж + - обратима на промежут-
ке (0; 2].
б) Решите неравенство У°(-1)(ж) > 1.
в) Решите уравнение ж + /°<-1)(ж) = 6.
46 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
566. а) Докажите, что функция /(а:) = — + - — 1 обратима на мно-
жестве R+.
б) Найдите Dy0(-i>.
в) Решите неравенство \f°l'~1\x) — 3| 1.
567. а) Докажите, что функция f(x) = 5 — 2х — х3 обратима на R.
б) Решите уравнение (ш) = х — 1.
в) Решите неравенство /°(-1)(2а:2) 3 — 2х.
568. а) Докажите, что функция f(x)=x3 — 2x2+2x-§ обратима на R.
б) Решите уравнение f°^~^ (а:) = —х — 3.
в) Решите неравенство /°(-1)(а:2 — 2) 2х.
569. а) Докажите, что функция f(x)=x3+2x2 + 2x-6 обратима на R.
б) Решите неравенство У°^—(2х — 3) х.
в) Решите неравенство f°(~1\2x — 3) < х 4-1.
570. а) Докажите, что функция /(ж) = х4 + х2 -I- 2х обратима на луче
[0; +оо).
б) Решите уравнение I)2) = х.
в) Решите неравенство (ж2 + За: + 6) > х — 1.
571. а) Докажите, что функция f(x) = х + |хс| + |2 - аг| обратима на
каждом из двух лучей: (—оо; 0] и [0; +оо).
б) Пусть 1)(х)и/2^ —функции, обратные по отноше-
нию к /(а:) на лучах соответственно (—оо; 0] и [0; +оо). Решите
уравнение ~ -2/3.
в) Решите уравнение /°^-1\а:) + (/2 -1\а:))2 = 1-
572. а) Докажите, что функции f(x) = х3 + х2 + 5х — 3 и </?(а:) = х3 -
— 2х2 + 2х + 3 обратимы на R.
б) Решите уравнение У°(-1'(а:) = (£>о(-1)(а:).
в) Решите неравенство /°^-1\а;) > 9?°(-1)(а:).
573. а) Докажите, что функции У (ar) = а:3 + а: +1 и <р(х) = 6 — 2а: — х3
обратимы на R.
б) Решите уравнение /°^-1^(а:) =
в) Решите неравенство f°^~l\x)<<Р°( л)(а:).
574. а) Докажите, что функция /(а:) = (а:3 + х - I)3 обратима на R.
б) Решите уравнение /°(-1)(а:3) = х.
в) Решите уравнение f°(~2\x)—0.
575. а) Докажите, что функция f(x) = 1 - х + х2 — х3 обратима на R.
б) Решите неравенство /°(“1)(2а:2 — 13) > х.
в) Решите неравенство f°^~2^ (х2 + х — 5) > 1.
§1. Элементарный анализ функций
47
576. а) Докажите, что функция f(x)=x3 + 2x2+5x — 7 обратима на R.
б) Решите неравенство /<?(-1)(27 — 2а:2) > х.
в) Решите неравенство f(x) /°^_1\а:).
577. а) Докажите, что функция /(а?) — х5 + За: - 3 обратима на К.
б) Решите неравенство f(x) С /°(-1\г:).
в) Решите неравенство fol~V (х5 + 2х2 — За: — 1) х.
578. а) Докажите, что функция /(а;) = х + fyx — 3 обратима на R.
б) Решите неравенство /°(-1)(2а: + 3) >а:3.
в) Решите уравнение f°6(x') = f°8(x').
579. а) Докажите, что функция/(а:) = обратима на луче [1; +оо).
б) Решите уравнение f°^~^(2x — 3) = 4.
в) Решите неравенство 3/°(-1^(а:) + 3 > 50а:.
Решите уравнения (580—583).
580. а) 2(2а:3 + х2 + х — З)3 + (2а:3 + х2 + х — З)2 + 2а:3 + х2 = 6;
б) 3(3ат3 + 4а:2 + За; + I)3 + 4(За:3 + 4а:2 + За; + I)2 + 9а;3 + 12а:2 +
+ 8а; + 4 = 0.
581. а) у/у/х + 3 = х — 3; б) Vv^2 — 1 + 2 = а:2 — 3.
582. a) fyx + 6 = x3 -6; б) v^a:3 — 6 = а:9 + 6.
583. а) ^/^+30 = а:^2-30; б) За:10 -2 = П .
Решите неравенства (584—587).
584. а) (а:3 + х — 8)3 + х3 > 16;
б) (а;5 + 2х3 + За:- 5)5 + 2(х5 + 2а;3 + Зх - 5)3 + За:5+6а:3 + 8а: sj 20.
585. а) 2 < а:3 +1; б) 24 + ^/|аг| + 24 а:3.
586. а) 5 + \/у/х + 5 > х\ б) 3 + у/х2 + 3 < а;4.
587. а) х2 С 2 + 2х + Va: + 2; б) х2 ^4х + 4 + у/х + 6.
588. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
наибольшее значение функции /(а:) = —х2 + 2ах — (а2 — 2а — 3)
на отрезке [—1; 0] равно 2.
589. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
наименьшее значение функции Да:) = ах2 — 4х — 1 на отрезке
[1; 4] равно —4.
48 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
590. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
наименьшее значение функции /(ж) = |ж — 1| • (ж + а) на отрезке
[0; 2] равно —2.
591. Пусть т(а) — наименьшее значение функции /(ж) = ж2 + 2аж +
+ а2 — 1 на отрезке [0; 2].
а) Постройте график функции т(а).
б) Решите неравенство т(а) С 8.
592. Пусть т(а) и М (а)— соответственно наименьшее и наибольшее
значения функции /(ж) = ж2 + 2аж + а на отрезке [-2; 0].
а) Решите уравнение М(а) = 2 • m(a) + 1.
б) Решите неравенство |L/;[_2;0] (а)I < 8, где £у.[_2.0](а) = М(а) —
— т(а) —колебание функции на данном отрезке.
593. Пусть М(а) — наибольшее значение функции /(ж) = |ж2 — 4ж| +
+ 2ж на отрезке [а; а + 2].
а) Решите неравенство М(а) С 9.
б) Найдите значения параметра а, при которых функция М(а)
принимает наименьшее значение.
594. Дана функция /(ж) = |ж2 + Зж| — ж2. Найдите значения парамет-
ра а, для которых Lf[a; а + 3] С 5.
595. Дана функция /(ж) = |ж2 — 4ж| — ж2. Найдите значения парамет-
ра а, для которых Lf[cr, а + 2] = 3.
596. Дана функция /(ж) = |2ж — а| — ж, где а 0. Найдите значения
параметра а, при которых наименьшее значение функции /(ж)
на отрезке [а — 2; а + 3] принимает наибольшее значение.
597. Дана функция /(ж) = 4 — |ж2 + 2ж + а|. Найдите значения пара-
метра а, при которых наибольшее значение функции /(ж) на
отрезке [—2; 3] принимает наименьшее значение.
§ 2. Теория пределов
Докажите, что при любом положительном е члены данной
последовательности (ап) начиная с некоторого номера попадают
598. в окрестность О (а; а) а«- п + 2 ’ а~3’ е) (598—601). б^ап~2п-1’ а—2’
599. а) _ 1 - 6п _ _ а"—Зп —1’ а- б) ап- п2+2’ а-1'
АПП 2п + 3 п 2п2 -1 „
а; — о . 1 , CL — U, п2 + п — 1 б) а"-п2+2п-1’
§ 2. Теория пределов
49
. 2 - п2 л с-х п2 — Зп — 1 ,
601. а) ап — и2 [ 2 ’ а ~ 1"’ б) ~~ п2 । 1 ’ а
602. Дана функция /(ж) = 6х — х2.
а) Найдите f(o(2\
б) При каких значениях х выполняется условие f(x) 6 0(6; 1)?
2х — 1
603. Дана функция f(x) = х+~-
а) Найдите /Го(—3;
б) Найдите окрестность точки 2 наибольшего радиуса R, для
которой /(0(2; /?)) С0^1;
604. Дана функция /(ж) = ^ + 5.
а) Найдите /(о^2;
б) Найдите окрестность точки —2 наибольшего радиуса R, для
которой /(О(—2; /?)) С oQ; 1).
605. Дана функция /(ж) = х + 2у/х + 3.
а) Найдите /(о(1; tQ).
б) Найдите наибольшее возможное значение радиуса R, для
которого /(О(—2; Я))со(0;
606. Дана функция /(ж) = VI - 2ж - х.
а) Найдите все значения х, для которых f(x) е 0(3; 1).
б) Найдите наибольшее возможное значение радиуса R, для
которого /(О(-4; R)) С 0(7; 1).
607. Дана функция f(x) = 2х + \/х+ 1.
а) Найдите /(0(3; 1)).
б) Найдите наибольшее возможное значение радиуса R, для
которого /(0(8; Л)) С 0(19; 1).
608. Дана функция /(ж) = Зж — 4у/х.
а) Найдите все значения х, для которых /(ж) € 0(2; 1).
б) Найдите /(0(2; 1))П/(о(1; |)).
609. Дана функция /(ж) =--т.
ж — 1 / 1 \
а) При каких значениях ж выполняется условие / (ж) € 0(4; ?
б) Найдите окрестность точки 2 наибольшего радиуса R такую,
что /(0(2; Л)) С О(4;
50 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
610. Дана функция /(х) = х % + 2.
а) Найдите f(o* ^2;
б) При каких значениях х выполняется условие f(x) € 0(1; 0,1)?
611. Дана функция f(x) —
а) Найдите /(О(оо; 2)).
б) При каких значениях х выполняется условие /(л)€О(—оо; 10)?
612. Дана функция f(x) = х2 — 4х — 2.
а) Найдите /(О(+оо; 5)).
б) При каких значениях х выполняется условие /(х)бО(+оо; 10)?
613. Дана функция /(ж) =
а) Найдите /(О(—оо; 3)).
б) При каких значениях х выполняется условие f(x) 6 О(оо; 5)?
614. Дана функция /(ж) = у/—х — 1 — х.
а) Найдите /(О(—оо; —2)).
б) При каких значениях х выполняется условие f(x) е О(+оо; 7)?
615. Дана функция /(ж) = 4 + 2у/х — х.
а) Найдите /(О(+оо; 1)).
б) При каких значениях х выполняется условие /(г)еО(—оо;8)?
Докажите равенство, исходя из определения предела (616—623).
616. a) lim (5 — 2х) — 1; х—*2 б) hm -1,5. n-*+oo + 1
617. a) lim 4^=0; 618. a) lim (х2 — Зя) = 4; X—► — 1 .. х2 + х-2 _ б) hm т— = 3. ' ж—1 х— 1 б) lim (Зя — |х + 1|) = —3. X —* — 1
619. a) lim (х • |а:|) = оо; X—+оо ч 2 620. a) lim —-х = оо; ’ ж__2х + 2 ’ б) lim —Цг = —оо. п->+оо 272 — 1
б) lim (аг—|х-1| + |2г + 3|) =-4.
х—>—1,5
\ т 2п2-п + 1 _ 621. а) 1пп , , „ , „ - 2; ' п->+оо п2 + 2п + 2 соо \ г х3 +х2 — 2х 622. a) hm ; = 3; 7 а,-.! Х-1 623. a) lim у/х — 2= 1; ж->3 б) lim = 0. ' ®—оо X2 + 2 ,. 2х — 1 б) пт —rv = oo- 7 s-,_i х + 1 б) lim (5 — у/х) = 3. х—>4
§ 2. Теория пределов
51
Докажите, что указанного предела не существует (624—628).
. 2х + |х| 624. a) lim ; б) lim sign(x2 — 4). х—»2 х2-1 б) lim у== ’ х—1 +х2+2х + 1
625. а) lim (1-(-1)"); П—►4'00
626. а) .. у/х2 — 2а; lim ; х—>оо б) lim[а;]. х—*1
627. а) lim (х sin ж); х—>оо ( г- Тг(гс2 + 1) б) lim (^ у/п cos g
628. а) lim {ж + 0,5}; х—*1,5 б) lim (а; • {х}). х—*1
Найдите следующие пределы (629—745).
629. а) lim (2а:2 + х — 3); х—*—1 б) .. а:3 + 2а:2 — 1 lim 9 - . х—>2 х2 - х-1
630. а) lim2(|3a;+2| - |х —1| -х); б) |аг + 3| — я; х+^2 |2х + 1|+х’
631. а) |х2 —5| —ж + 1 х™ х2 + |х + 2| ’ б) lim (х2 — |х — 1|). х—♦ 1
632. а) .. х3 + х —10 х™ 2х2 + 5х -18’ б) г Д4 - За;3 + 5х2 - 9 x!t“i х2 + Зх + 2
633. а) .. х3 — 5а;2 + 7х — 3 х2 + 3х —4 ’ б) .. 2х3 + За;2 — а: + 2 Х™2 х3+Зж2- 4
634. а) г 2х3 — 11х2 + 12х + 9 х™ 9 - 33а: + 19а:2 - Зх3 ’ б) .. Зх4 + 5х3 — Зх — 1 х1™! Зх3 + 10х2 + Их + 4 ’
635. а) .. а:5 + 2а:4 — 4а:2 - 5а; — 2 х™1 х5+х4 — х2 — 2x — 1 ’ б) х |х2 — 9| — |х + 2| — 6 х“г Зх2+х —14
636. а) X 1 —X3/’ б) .. / Зх2 + х 2_\ х'-Нгкх3—х2 —х —2 х —2/
637. а) /12|х —3| _ |2х —1| \ х™ \ х2 — 4 х2 — Зх + 2 / ’ б) / |х + 2| |х —1|\ x™ik2x2 + x-l х2 - 1)
638. а) .. //х4 — 4х3+ х2 + 12х — 12' х4 —5х3 + 7х2—4 , Г-1 н Г н Н 1 1 w JO
б) /Y/х3 + 2х2 — х — 2\10 х™2Щ а:2 + 7а:+ 10 ) ж) :( X2 + х + 1)).
639. а) .. 2а:16 — х4 — 1 х™ За:20 + 4а:8 — 7 ’ б) .. Зх15- х9 + 2 х^х^+гхз + г
640. а) хв + 10а:3 + 16 х‘™2 2х6 + 15х3 — 8’ б) (х2 + х-1)6-1 х“ х4 + 2х3—х —2’
52 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
х г х100 + 2х50 —3
64i. a) lira ^о-зя-ю + г ’
(х2 - х - I)7 + (х2 - х - I)5 - 2
х4-2х3 + 2х2-х-6
х 2х3 - х2 -1 5- 2х — х2
642. a) lim —=-----т-; б) lim 7-— . ,---тг.
' ж->оо х3 + х — 2 7 х-хоо (2х + 1) (х — 3)
___ хх. (Зх2 — х — 1) • (х +2)-1 —4х2
643. a) lim -------------------~—л-; б) lim -=—х.
' х-too х2 - 9 ’ ' Х-.ОО 2х3 - X2 - 3
... х .. ( 1 2х \ ,х ( Зх2 —1 5х2 \
644- б) (х^зт+2-та/
645. a) lim б) lim (-А--А).
X—►ОО\Я' — 1 Зх “Ь 2 / X—►ОО\Я' 1 % *> /
646. а)
б)
.. ( 2х3 + 1 2х2 —х + 5\
lim -5— т----------:— ;
ж-»оо\х2 + х — 2 х —1 )
.. /Зх2 —х —5 Зх3 — х— 1\
2х + 1 — 2х2 —х—1/
647. а)
б)
г ( 2x2
J^U + 2
/
х3 — 2х2
х —2
648. а)
(2х — З)5 — 2 • (2х + I)4 х
lim --------------------------
б)
649. а)
650. а)
(2х2 + х — I)2
(Зх2 - х - I)4 - 81х8
(2х4 — х2 + З)2 — 4(х — I)8 ’
|х2 — 4| — Зх2
|2х2+Зх-5|;
15 —х —2х4|+х2
lim----------------
lim
б)
651. а)
(Зх2 —х —I)2 ’
.. \/х2 — х — 1 - 1
х3 — 6х + 4 ’
б)
б)
652. а)
lim
х—>1
653. а)
lim
х3 + 2х — 3 ’
х + 2у^х —6
х2 — Зх + 2 ’
б)
б)
654. а)
655. а)
х4 + х3 — 2 ’
,. ^2х- 3+ ^х^З
hm ----.. -----;
х—»2 tyx — 1 — 1
б)
б)
|х2+х — 3|(х + 2)
(2х—I)3 '
(2х+1)4-2х(2х—З)3
™ |4—х2 —Зх4|
a/ж2 + 2х — х/2х+ 1
lim------5-----т----.
Х_1 х2 + х —2
х3 + Зх2 - 4
lim ,—---------
х—>1 л/2х2 + х + 1 — 2
.. 2х2 + Зх + 1
lim —тт=—------т-
x-t-i 2(Ух —Зх — 1
lim .
х—♦—1 \/2х Ч-1 + 1
^хТ9+ (/2^6
^27+3-1
§ 2. Теория пределов
53
. , \/х + 1 — у/х
656. a) lim-----------;
х—>0
Л,_ х .. (х+2)«+(х+2)1-2
657. a) hm -----------;-------
' х—1 (х 4-2)5-1
658. a) lim (у/х2 4-3x4-1 — х);
х—>+оо
659. a) lim (\/х4 + 2х2 4- 2 — х2);
х—>оо
б)
б)
б)
б)
660. а)
lim
х—>1
^х4- tyx-2
у/2х — 1 — х ’
б)
.. х34-Зх —4
lim о /— д /—
X—»1 Зу/х — у/х~
lim .. ---------
®-»1 у/Зх — 2 — х
2x4-3
lim —-----.
с—*—оо Vx2 4-х —2 4-х
lim (д/х2 4- 2x4- 2 — х).
lim
х—> — 1
У2х+~3- ffx + 2
х+ $/х + 2
661. а)
б)
х( S/x^ + x + l - у/х‘)
hm ---------,, „-----------;
с—>+оо v8x2 4- 1
lim (v^x6 + 8х2 + 2 — у/х* + 4х2 — 5).
662. a) lim x—>oo Г8х2 —3x —11 [ 3x2 4- x 4- 2 J ’ 6) lim < X—>OO I
663. a) lim < x—>2 I 2x2 — 3x — 51 x2 4- x 4-1 J ’ 6) Г —2x2 — x lim [ x—2l 1 \
664. a) lim (Vx2 4-4x4-34- x—>—00 \ / < |+I);
[x2 4-2x4-3. 3x2 — x — 11 . 3x2 4- x 4- 3 J
6) lim (y/x2 + x + 2+ { x—>+00 \ I ► — x^.
—Зх2 4- х 4- 5
4х2 — х — 1
2х2 4-х 4-171
х2 + х + 5 J
б)
4 .. sin 2x 4- 3sinx a' 3ЗЛ0 sin 3x 4- 3 sin x ’ ««л I..... sin 3x — 2 sin 4x 4-sin 5x
a 11111 « 7 x_>o x2 • sin X
667. a) 1 4- cos(ttx) hm 9 - ; x—l x2 -1
668. a) sin(x2 — 3x4-2) -cos (ttx) hm 0 л x—>1 ж3 —1
669. a) cos7x —cosx hm :
x->0 y/x2 4-1 — 1
670. a) sin(Trx) hm 7=r: Z—1 1 - y/X
671. a) у/2-sinx — l cos 2x ’ x—> 4
672. a) 1 — 2 cosx lim , ; sin(x — — J
x + sin3x
lim s----:—.
х—.о 2х — sin х
б)
cos 5я —cos я;
hm------:—-л----
х—»о sin 4r
sin(v)
6) 1^2 tg(7rx)
.. x3 4- 2x2 — Зх — 4
sin(x2-x —2)
sin 4x + sin x
Vx+4—2
6) lim
x—о
cosf2^)
6) lim . . -----.
7 x-»l Vx2 + 3 —2x
sin x 4-cos x
lim —7=--------.
v2-cosx— 1
6)
.. 2sinx —1
hm ----7--—r-.
cos(x4-1)
54 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
673. а) lim ((2s — 3) • sin ; 6) 1- c lim - x—>00 2s — 3) • cos j 3s +1
674. а) arcsin 2х lim . „ ; х—>0 sin Зх 6) arcsin 2x + arcsin x lim . x—>0 %
675. а) arcsin (г2 — 1) lim , „ ; х—1 — x — 2 6) lim — x—>0 - 2 arccos s x3 — X
676. а) arctgfs2 — 4) lim .. „ „ ; x—»2 s3 — 3s — 2 6) coss — cos 5s lim —5 . x-+0 arcsin x
677. а) sin 2x + arcsin x lim -r—=—; : ; x—.0 sin ax + arcsin x ’ 6) ,. arcsin 3s — arcsin s lim — - . x—>o Sin ox — sin X
678. а) arcsin (tt + 2x) hm r-75 ; sin 2s 6) arctg(Vs-l) 11ГП z 2.. сов(т)
679. а) .. 5n2 — 3n — 7 n—*4-00 2n2 4- 4n + 1 ’ 6) lim n—>4-00 (2n2-n+3)(l-4n2) (n2—4)(2n2+n—1)
680. а) (Зп —I)4 —81n4 П-+00 (2n+l)3 ’ 6) lim n—>4-00 (2n2+n—4)5 —32n10 (2n3 — n — I)3
681. а) (2n+l)4 — (Зп—l)3 Л+00 (2n + 5)3 6) lim n—>4-00 (n2+n+3)(n2 —5) (n3+2)(2n—l)2 '
682. а) 2n2 + (—1)" n“+oo n2 +2(-1)" + 3’ 6) lim n—+4-00 3na + (-l)nn-5 2n2+3n + (-1)" '
683. а) (-1Г-П + 2 гЛ+оо 2п + (-1)" ’ 6) lim n—>4-00 (-l)n-n + 2 2n2 4- n 4-1
684. а) . 7ГП lim sin -5-; n—*+00 6) lim n—>4-00 f 3n+l] 13n-lJ’
685. а) г 006 IT lim ; n—+4-oo H 6) lim n—+4-00 / nn\ ^cosTj.
686. а) sinn lim ; n—>4-00 6) lim n—+4-00 n•cos n n2 + 1
687. .. f 2n2 + l 1. 6) lim n—>4-00 / 7ГП\ I n-cos-j-1.
а) n—>4-oo I 2n2 4- ti 4-1 J ’
688. а) n • sin - +1 hm 2.1 5 n—>4-00 nS 4" 1 6) lim n—>+oo Г 6n + 11 |_ 2ti 4- 7 J
689. а) ,. Г5 + п —3n2l lim 2 . o . Q ; n—+4-00 L + 2n 4- 3 J 6) lim n—>4-00 Г11 — Зп-2п21
L n2 + n — 3 J'
690. а)
/п(п + 1)
\ п + 2
п3 + Зп2 + 5 \.
п2 + Зп + 2 ) ’
lim
п—>+оо
(п-2)3 ч
п2 + 2п — 3 / ’
6)
lim
п—»+оо
п2
п— 1
§ 2. Теория пределов
55
«91. a) lim
п—>4-оо
2n3 п4 + (п+1)4+2п3
п + 1 п2 + 4п + 3
(- 1)п-2п + 3\
4n +1 )'
б) гЛ+оД 2п + 3
692. а) lim п—>4-оо Зп+2п . 3n+i + J >
693. а) lim п—>4-00 2п 4- 2л. 4- 3 2п+!+6п+1’
694. а) lim п—>4-00 5п+п-2п + Зп. 5п+1+п-Зп ’
695. а) lim п—>4-00 (-2)" + п 2"+!+ Зп’
696. а) lim п—>4-00 §(а>0);
697. а)
б)
(-3)п + 5 10п
Л+оо 5"(2"+1-1) •
„ (2п — 1) • 3n+1 + п2
б) пт -----———------
п->+оо п(Зп+п2)
б)
2”(3” —п)
Л+оо Зп (2П + п)
Г (—2)п+п-Зп
2n+1+ (2п—1)-3n+1 ’
м г С2”"1)’
б) hm ,
' п->+оо (п!)2
1 + 5 + 9 + .. , + (4п —3) _ 2n +1 \
б)
Зп + 2 3 /
1а + 42 + 7а + ... + (Зп-2)2 Зп2 \
2п2+п+1 2п+1)'
698. а)
б)
„Ы3+5 3+®2-3+ • +
(1)"4
lim
п—>4-оо
3 + 23 + 2а-3 + ... + 2пЗ
2п+! +п
699. а)
б)
22+42+62 + + (2п)2
-Лоо 2п3 + п + 1
lim п\/2 • 22 23 •... • 2п.
/Е(4* + 1) _2\
700. a) lim I к ° •-к------I;
п—>4"Оо I п 4~ 2 п 4~ 1 /
п4-1
/Е(5к-2) 2 \
б) Пт | ---i-----. П, 1 I
п—>4-00I 2л. 1 4л4-1 I
п 1
701. а) J™ofc?0fc2+4fc + 3;
(-l)"-1E(-2)fc
_\ т к=0
702. a) lim — ' ."74 "ёТ, Г7—?
' П-.+ОО 2п + (1,5)п + 5
QX+l | 1
703. a) lim ;
' ®->-1 2х -3
б) nll+ооД к2 + 5*: + 4-
Зп • Е 3* - 2п - 1
б) Ит -------; 1----------
п—>4-оо । 1
.. 32я-1 —2х — 1
б) lim --. .
х—>0 \/2® 4- 3 — 1
56 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
704. а) - 2д-1 lim 2 i+2 ; ж—>—1 6) lim (ОД)*2"2*. x—>1
705. а) г 4х-1. х Ло 2х - Г ,, 8*+2-4*-16 6U™1 2x+1—4х
706. а) .. 25*+5*+1-6. gx _3^+1 6) 9х — 8 • 3х +15'
707. а) .. V2X+ 7-3 lim — —:
X “i 4х + 3 • 2х — 10
б) (0,5)*2+2* - 2*2+2*+3 + 2 lim .--- . х->-1 2Х+2 - V2x+1 + 3
708. а) (0,008)* -1 1™ (0,2)*-1 ’ ,,, .. V2X+4X- ^6 б) 1™ 4х - 2х - 2 ’
709. а) 2*+3l+1 lim —-—=—; г 2x+1 о) lim ч .
х^-оо 2х-1 ’ ' I—OO 1 - ^/2X + 1
710. а) 9х _i_ с;х х1!“оо Зх+1+2-5х’ 6) lim ^±£1^. ' as->+oo 2х-1 -X2
711. а) .. 3* — 2* xllToo 2» - 5* ’ 3* + 2x2 + x - 1 б)х^оо 3x+2-x2 + 2 •
712. sin(a: — 1) a) lim (0,04) «•'-1 ; cos x — cos 5x 6) lim (0,5) ex2
х—>1 x—>0
713. а) ihmil°g0i(3)( i + 3 ); 64n?1iog2G2+T-6)'
714. a^™11°g2( х’-1 641“210g3( x2 — 4 )•
715. а) Mlog4(2*-i): 6^Мз. + 3*«-18)
716. а) limlOg9f5B£±2£Y х_>0 у \ sin 2а? — а?/’ ,, v , { sin x — sin 3x \ 6)hml°g2( 4s.n2;c J.
717. а) log2 X - 2 log2 X - 3 lim ——5 i 5 6) Bm
x—>0,5 2 log2 x + log2 X - 1 x-*9 log3(f)
718. а) 1g2 X - lg(x3) + 2 lim ,9 . i -x ln3x + ln2 x + lnx — 3 o) lim —-x.
as—>100 1g X — 4 x~'e ln(x5) — 2 — (In x^3)
719. а) .. , ( x2 -x+1 \ Jim l°go,5(2l2 + a: + J; 6>.^1°b(to’+»+2)-
720. а) .. , /9x2 + x —2\ Аг1оЧу?+т+Д;
б) .. . ( v^x3 + x2 + 1 — x — 1' JSoM 3-2,
§ 2. Теория пределов
57
721. а)
б)
722. а)
723. а)
б)
lim —-—j-—-------;
x^+oo log3(x2)
log|x-31og2x + 2
hm -----——j—;—;
x—>+0 4 log2 x — 1
log2 x + 3x + 1
x++0 log3 x + 2x + 1 ’
lim (log2(x +1) — log2(4x + 1)).
б)
log|x + 2x2
hm -— --------—
x->+oo log2 x + 3x2
log2(x4) + x
X™ log2(x2) + x2
724. а)
lim (\/lg2 х+1 -1gх+1);
б)
725. а)
1п(3х —2)
z™ 2х3 + х — 3 ’
б)
У 1g х + 1 - 1g х +1
hm -------:----—:------
х->+о lg X +1
log2(x2—3)
х™2 log3(x + 3) ’
726. а)
ln(2x + 3) — ln(x + 3)
z™ sin(3x)
б)
lim
727. а)
728. а)
log05(x + 2) + l
lim-----, . ------;
х—»о у2х + 1 — 1
/ «. — 1 \ 2х — 1
б)
б)
729. а)
Зх —2
б)
730. а)
б)
„2 1
х — 1
lim -—-------т;---
X—*1 log3(x + 2) — 1
lim
х—>0
lim
X—*— оо
lim
731. a) lim(x2 — 3)x-3;
x—>2
732. a) lim(x2+x—l)nb;
x—>1
733. a) lim^Vx+l-l)12-1;
21 -4
734. a) lim —~----t;
' x—*2 Хл — X — 6
, — X
px _ p
735. a) lim ,
x—*0 tg(3x)
736. а) Ьт^-З)003^2-4);
б)
lim (sinx)tga:.
б) lim (2х2 — х — 5) >«(*4-»).
б) lim (Vx + 3 — 1)1
X—>1
.. x2 — 2x — 3
;™1 3l+2-3
б)
.. г^-з1
6) hm . o.
' x_>o sin2x
6) lim (5a:+2 + 4x) ln<*+2).
x—► — 1
737. a) lim(2a:-l)tg(“);
x—>1
„„„ . ty2x -1-1
738. a) hm —-rp—-—;
' X->1 ^x-1
6) lim(^2F=T+x-l)ctg^.
x—*1
,. ^/x + x —2
o) hm ft/ „ 7-=------
7 x—>1 + a; — 1 — 1
58 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
739. ч .. </Зж2 + 1 — 1 с, .. fyx+1 — 1 a) lim . „ ; б) hm -т—. г- ж—о log2(rr2 + l) > г_>о 1п(ж+ев)
740. . .. v^e — 1 — — 3 . 8т(3тгж) a) hm ; 6) hm - „ 7Z== . 2 sm(7nr) ' ж_0 ^жТТ+ v/F+T-2
741. a) hm (2 - x) ; 6) lim Xх. x—>1 x—>4-0
742. . 1п(2ж2 — Зх — 1) a) hm — 7= x-2 (2т-3)^-1 «4 г 21-*- 4 6) lim : 7—z — ; — - x-*-i log2(®2 + 3) - log2(2a: + 6)
743. a) hm (3x + 4) ; 6) lim (ж2 + x - 5) *«$•). x—>—1 x—>2
744. ч .. 2x— fyx + 7 a) hm t-т -r : ж->1 2 агссоз(ж2 + x — 2) — тг ,4 log5 (ж2 + 3) + log0 2 (x 4-5) x->-i 2 arcctg(x 4-1) — 7Г cos(t)
745. a) lim - — — • х^з % — 2 arccos(9 — x2) . arctg(2ea:+2 4- e~x - e2 - 2) 6) hm - —.. x—2 arcsin( v2x + 5 — 1)
Дана функция /(ж). Найдите следующие пределы (746—752).
746. f(x)=J |2ж—3| +3ж |ж + 1|+ж 1
a) lim x—+—1 t /(«); б) lim /(ж); х—>4-00 в) lim /(ж). X—> —ОО
747. /(x)=- a) lim 1 ж—3 1 + x — x21 — X .2
|2ж + 3| — ж2 Г(ж); > б) Um /(ж); х—>4-00 в) Um /(ж), х—>—ОО
748. /(ж) = - a) lim J X >u 21og3x-|log3 ж|_
х — 1 Чж); > б) Нт /(ж); х->1 в) lim f(x). х->4-оо 4 7
\ 1 • Л f a; lim j\x)\ X—>7T б) lim /(ж); 2 в) Umx /(ж). Х~^ 2
750. /(ж)= 1 ж2 при 1 ж + 6 при жег, ж Z;
a) lim/(ж); X— б) Um/(ж); X """> л в) lim /(ж), х—♦—оо
§ 2. Теория пределов
59
{х2 + 2х при х € Q,
х + 2 при х Q;
а) lim /(х); б) Ит/(х);
в) lim /(ж).
х—>-|-оо
' х~2 при х < 0,
752. Дх)=1 2х при 0 х < 1,
a) lim / х—>0 3 — х при х 1; б) lim /(ж); ас—+1
в) lim /(х).
х—*оо
Найдите lim ап, где последовательность (а„) определена
п~*+°° рекуррентно (753—760).
753. a) ai = 2; an+i = 2:iy^; б) О1 = 3; б) al ~ 1; _ fln + 2 ttn+l 5 6
754. ч 1 2
a)ai-2, an+1-3_an, Зп+i - 5 _ ап •
4 + 2 ап+1- 2ап '
755. а) О1 = V5; an+i = у/5 + ап; б) Я1 = 2;
756. \ 3 CLn б) ai — 2; CLn 4" 1
^)<11-5, Дп+1- 2 + ап' dn+1 an + 3’
757. а) oi = 1; Оп+1 = б) а; = 2; o-n+1 = у/2 4" 3an. 5
758. а) G-1 — 1, — ^/Зо^ 1, б) ai = 1;
a"+i- 4 —an’
759. \ п П а) 0-1 — 2*, Q-n+i — п 4-1 ^п’ б) ai = 2; _ n+ 1 Яп+1 — n on.
760. б) ai = l; 2n+l _ „ an+1-3n+4an + 2'
а) 0-1 — о, апц-1 — 2n4-lan
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых имеет
место данное равенство (761—784).
761. a) lim z-»2 x2 + x + a _ „ x2-l ’ 6) lim x—*—1 x2 + x + a2 — 3a .
x2 + 2x-1
762. a) lim x—>3 x2 + 2x + 2a — 1 _ „ x2 — 5x + 6 6) 2x2 +ax + a2 — 11 _ 5 x“2 x3-3x-2 “9’
763. x3 — x+6 , Q-r lim - X—l x (3a+5)x2+5x —7 :2 + (a2+2)x—3+a ’
a) lim x—► — 2 ” 2 i Л — 1,375, 2 x2 — ax — azH~4 6)
764. a) lim x—*a x2 — 3x — 4 _ I 2 2x2 + x — 1 3’ 6) lim x—>a+ x2 + x — 12 _ 1 6 + x — x2
765. a) lim x—+a x2+xa—x—a—4_1 3x-2a-2 ~1’W’ 6) lim a—*—a x2 + 2ж — а — 4 _ „ x + 2a + 1
766. lim x—>1 x2 + xa + 2 a 6) lim x—2 x2+x — 2a2 3a
a) x3 + 2x + a 15 ’ ax2+x+6 5(a+2)’
60 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
767. а) (а2 — 3)х2 — 2х — 5 _ 1 х^оо (2а — 1)х2 + х + 5 3’
б) (а2 — 1)х3 + (2а - 1)х2 — х + 4 х^оо (а2 + За + 2)х3 — ах2 + 2х — 1
768. а) (а2 — 1)х3 + (2а — 1)х2 - ж + 4 _ х^оо (а2 + За + 2)х3 — ах2 + 2х — 1
б) (а2 - 4)х3 + (а2 - За + 2)х2 + х - 1 х-ioo (а2 — За + 2)х3 + (а2 — 4)х2 + х + 2
769. а) (а2 — 4)п2 + (а2 + а - 6)п + а _ n-i™oo (а2 — а — 2)п2 + (а2 — 4)п + 1
б) (а2 + а)п2 + (а2 - За)п + 2 _ n-1+oo (а2 — а)п2 — (а2 + 2а)п — 1
770. а) .. 1 а2п3 ап + 2\ „ hm ч , -1=0; п->+оо\П6 -1 п— 1 /
б) / 2 Зп(п + 2) п(п2 + 2) \ ЛРоД* п + 1 ' (а1 2) п2 + 1
771. а) (а - 2) • Зп + а 4п _ 1 п^+оо (а2-4)-Зп + 4п+1 ~2’
б) т 3dn 4- 2d — 1 1 с Inn п 9 ; Г = 1,5 (а > 0). п—*4-оо 2<хп 4~ 2d 4" cl — 1
772. а) .. ч/4з + 3-1 . hm „ . =1; х—*а 4~ 1
б) .. \/За;2 +х + 2 + а2 - 6 _ 5 4х2+2х + а “24-
773. а) .. \/х2 — х — 2 — 2 3 lim 2 ; = Q i x—*а4-1 X2 — 1 о
б) (Зх + 1-а)* -а + 2 hm о—z -л— = 0,3. x-+l х2 4- Зге — d — 1
774. а) .. a2cosx + a — 6 1 -ч асозх+ а2 + 2а _ „ a2cos2x —4 “ 4’ а2 sinх + а + 1
775. а) lim acos*-.cos2£- = 1; б) lim acos*+2a* + aT.l = 1. х—>о а2 cos2х + а — 2 asinx+a2
776. а) a2cos2x + 3asinx + l 5 x_+* a cos 2x 4- sm x 6
б) ljm 0,2 cos ~ a sin x + 1 _ 2 ж_,г acosx + (a + 1) cos3x
777. а) .. 2х-a2 1 2* - a 1 lim ——7- — 7; 0) hm . • 2 i ' q = o- X_>1 4х— 4 4’ 7 ж-*0 4х -h a2 4- a — 3 2
§ 2. Теория пределов
61
778. a) lim 2 а
= 8;
779. a) lim п ,7 „ =-1;
х—»4-оо 2х + (2а — 1) • 3®
»2+ш-12
780. a) lim 2 в+*-*2 =0,5;
х—>а
.. х3+х + а ,
^1п(2х2-1)=1’
lim
781. а)
782. а)
= е2;
/ Ч Д2+Зд? + 2
б) lim (0,2) *+<>+4 =5.
х—*а
(2а-1)-2х+а-Зх
х-2тоо (За+2)-2*+а-3* ~1'
.. Э^+З^-а2
пт ——z-tt------= -5.
х—>0 9 — 3*+1 — а
(log2 z)2+log2 х+а
х™ х2+х-а2-2
/ г X 1 \ ах о
= e~z.
б)
б)
б)
б)
lim
783. а)
2х-а
784. а)
б)
)=1п2;
р v Г — сь 2
ЛЛо ln(x2 + 1) = 3’
ит^(^-3 + а)= :
Z_1 log4(2x2 — х + а)
х'Ло V х2+х+а2 — 1
\/2х2 + а — а
б)
lim
1
ах2 — х — а2 + 1
Зх2+х—а
Найдите значения действительных параметров а и Ь, для которых
выполняется данное равенство (785—791).
(а — 2Ь)х2 + (а + Ь)х + 5
lim _ _ -j 3,
j. (2а — Ь)х2 + (а + ЗЬ)х + 2
785. а)
б)
786. а)
б)
, , Ьх2 + х
ах-1 + ~7+2
' ах2 + 1 Ьх2 + 2
787.
788.
lim
\ х — 1 х + 1 /
—1 + 2 + 5+ ... + (Зп + 2) ап2 + Ьп
2п + 3 *” п + 2
12 + 32 + 52 + ... + (2п + 1)2 ап2
п2 + 2
789.
lim
E(3fc-i)2
к=1
ап2
п+2
= Ъ.
790.
а • £ Зк + 2П
lim *=* =b.
791.
lim
£(2fc + l)-2* ч
к=1 о.’, ,----+ ап + b I = -4.
62 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
Найдите значения данных пределов в зависимости от параметра а
(792—801).
792. а)
793. а)
ЛЛ_2 । 2 /*
,. ах 4- а х — о
х2 - (а + 3)х + а2 ;
ах2 + (4 — а)х — а2
lim
ж—*2
б)
lim
794. а)
а2х — 8
(а2 — 1)ж 4- 2а
б)
lim
х—2
2х2 — (а — 2)х — а2
(а — 1)х2 — Зах — 3'
(а+1)х2 — Зх — а2+2
а2х2+х+а3 — 2а2 — а'
б)
795. а)
с—*оо (а2 — За 4- 2)х -Ь а5
(а2 + а — 2)х2 — (а — 1)х + 3
с-ioo (а2 — 1)х2 4-2(а — 1)х — 1
/(ах)2 х3 + (2а — 3)х2 +х'
б)
796. а)
797. а)
798. а)
б)
х2 — 1 7 ’
/ 8х3 — 9ах2 + 1 2а2х2 — 2х 4- а
Л х2 - 4
(а + 2)х —8
lim ----;----т-;
х—*а ОХ 4" а — О
,. х2 + ах — 2
hm 7——т--------
1->2а-1 (а+1)х —2
(а2 4- 2а)п2 4- ап 4-1
(а2 — 4)п2 4- 2
(1 — а2)п2 + (а2 — За + 2)п + а
X
lim
х + 2
б)
б)
(а—1)х —7
(а + 1)х + За — 3’
.. х2 — х + 2а
2™_a х2 - 8х + 12'
799. а)
б)
800. а)
^+оо (а2 4- а — 2)п2 + (а2 — 1)п 4- 5
.. (а2 — 4)п2 4-(—1)п(а4-2)п4-3
-i+oo (а2 4- а — 6)п2 + (а2 — 9)п 4- 3 ’
(а2 — 1)п2 4-(—1)п(а2 — 2а —3)п4-а
-1+оо (2а2 + а — 1)п2 + (—1)п(а2 — 4)п + 1 ’
Зап+а п г / сч г 2ап + За п ,
hm =——т—- (ауьО); б) hm „ „ , „—- (а/0).
—*4-оо 5ап - 2а~п ' ~ ' п-н-оо Зап + 2а~п v ’
801. a)
б)
Р 2ап 4~ п • а п
п—*+оо 6вп 4- (2п 4" 1)а-п
(2п4-3)(ап + а"п)
11Ш т---------- -
п_>4-00 2пап 4- За-п
(а/О);
(а/0).
802. Последовательность (ап) определена равенствами ai = b, an+i =
= \/ап +2. Докажите, что при любом положительном значе-
нии b выполняется равенство lim ап = 2.
п—+4-оо
803. Последовательность (ап) определена равенствами ai = а (а > 0),
an+i = \/ап + Ь. Найдите Ь, если lim ап = 3.
п—*4-оо
§ 3. Непрерывные функции
63
804.
805.
Последовательность (ап) определена равенствами di = l, an+i —
= -:---. При каких значениях 5eR+ не существует конечного
4 fln
предела данной последовательности при п —* +оо?
Пусть (5 + \/7)п = ап + Ьп\/7, где п 6 N, ап G N, bn € N. Найдите
1» Лп
hm т—.
806. Пусть (3 + у/2)п = ап + Ьпх/2, где п 6 N, ап G N, Ъп 6 N. Найдите
!• Ьп
lim —.
n—>4-оо On
807. Рассмотрим последовательность чисел хп = (1 + У2 + Уз)”.
Каждое из них приводится к виду
хп — qn + гп • У2 + sn • Уз + tn Уб,
где qn, rn, sn, tn—целые числа. Найдите следующие пределы:
lim —, lim —, lim —.
п—*4-00 Qn n—>4-оо Qn n—>4-oo Qn
808. Последовательность (an) определена равенствами ai = Уб,
an+i = x/2an + 3. Докажите, что найдётся такое натуральное
число по, что при п > по выполняется неравенство ап > 2,95.
809. В последовательности (an) положительных чисел каждый из чле-
нов an+i (n 6 N) равен либо либо у/а^. Может ли эта после-
довательность иметь предел, принадлежащий интервалу (0; 1)?
810. Даны две последовательности (хп) и (у«), в которых xi > щ > О
и каждый последующий член каждой последовательности обра-
_ Хп—1 + Уп-1 ,---------
зуется следующим образом: хп =----------> Уп = у/хп-1 • Уп-1-
Докажите, что пределы этих последовательностей существуют
и равны между собой.
811.
812. а)
813. а)
б)
§ 3. Непрерывные функции
Найдите следующие односторонние пределы (811—824).
|х2 — 5х + 6|
lim ---5—;
х~>2+ X2 - 4
lim
1-1 4 J’
lim (2[я] — {х2+ 3x4-2});
x3 + i
б) hm
Ж-+6+1 3 J
64 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
814. а)
lim [2x2+x — 11;
x->-2-
б)
815. а)
б)
816. а)
817. а)
б)
818. а)
Г2a:2— x— 11
lim ----------------- ;
x— i-L x J
|a:2 — 5x + 6| + a:2 — 4
X ™+ |a:2 + 2x — 3| — 2a: — 1 ’
/ |a;2 — 2a;| . 2
lim -5—5—-z • sign(4 - a;2
x-t2+\a:2 -3a:+ 2 ° v
|Vx + 2-2|.
a:2 — 4 ’
lim
819. а)
lim
820. а)
lim
x—*2—
821. а)
lim
+0—
|x2 — 3x+2| — |ar2 —1|
sin(7ra:)
| sin(4 — x2)|
tg(s2 + 5x — 14) ’
9*-! .
|3« —1|’
822. а)
lim
x—►—с
823. а)
I 1 — x I 1
|2— — 0,5|
I ln(a:2 — 2x — 2)
1----------------------sign
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
^2a:3 + 2x2 — x — 1
Il-l '
824. а)
J™- |2I+1 — 5| —2-
lim 3tgI;
»-*« +
lim [ж3 — За;2 — 9a; + 10].
x->2+
Jim_(a:-[2a:-l]).
x3 + За:2 + 3|ж| — 5‘
x2 — 1
lim
x—► — 1
lim
я—►! —
lim
lim
х—+1-
lim
х—>0+
lim
х—++с
х2 — 4 — |а:2 — 5х + 6|'
7Г — 2 arccos(a:2 — 1)'
|4X + 2х - 2|
1 — 4х
sin
6) lim 2cosecx
z—0+
X
|х-2|-1
Дана функция /(а;). Найдите данные выражения, связанные
с пределами (825—842).
|а; — 21
825. /(а;) = -5—2- lim /(а;)+3- lim Да;).
826. У(а;)=|а: 3|; lim f(x) -2- lim /(а:).
827. f(x)=x- (2ж^~-}; lim f (a:) • lim /(a:).
828. /(a:)= [Зд\ Ч + 2a;; lim /(a;)- lim /(a;).
L J x ““ 1 x О-
§ 3. Непрерывные функции
65
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIL
«29. /(ж) = -2- lim /(ж): lim /(ж)- lim /(ж).
L <5 J I ) x—> — 1+ X—+2— x—>24-
830. /(я?) = {4~3g-~ — }; 2-/(*)•
831. f(x) — P37-;—Я-sign(x2 - Зж - 10); lim f(x)- lim /(ж).
L • J x—►—2— x—>54-
832. f(a;) = {3^452^}- [fl; lim f(x) + lim /(ж).
833. /(ж) = [ж2 - 2ж- 3] • [ж]; lim /(ж)- lim /(ж).
834. /(ж) = |ж3 4- ж2 — 6ж| • sign(3 — 2ж - ж2);
2- lim /(ж)- lim /(ж)- lim /(ж).
х—> —3— х—> — 1— х—>14-
835. /(ж) = ^—3] + ЗЖ - signж; 3- lim /(ж)- lim /(ж).
J V ' |ж + 1|+ж а х->0+ 4 х—0-
836. /(ж)=< ' Зж — 1 . при ж^ 1, lim /(ж): lim /(ж). Ж +х . Х-»-1- ж->-1+ ——г при ж>—1; 1 ж+ 1 |х-11 ппит<1
837. /(ж) = - ж2-Зж + 2 *4- lim /(ж) + lim /(ж). о, . , X—>1- х—»1 + J1 — ж | +1 при ж > 1;
838. /(ж) = д/ж2 +4[ж]; lim /(ж)- lim /(ж).
х~+2— х~->24-
839. /(ж) = ЕЕЕЕЕЁ—LI .sign(5-Зж-2ж2); lim /(ж)-2- lim /(ж).
X X х > 1 — х -> 24~
840. /(ж)= 2- lim /(ж)- lim /(ж),
•ь J- х—>14- х—>2—
|cos(^)|
841. /(ж) = -!——г^; lim /(ж): lim /(ж).
J V ' 81П(7ГЖ) х^1+ X—1,5-
о о[ж] _qoj4-2
842- |4-._16|-;
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых для
данной функции справедливо данное равенство (843—854).
843. /(ж)= 13z5 --1 +аж; lim /(ж) = -3.
844. /(ж) — 2аж+[Зд. 1]; lim /(ж)+ 2- lim /(ж) = 7.
L * J х~—> 1 х > 14~
66 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
,. . I ах + 11 + Зж ... 1
845. У(ж) = , .----; hm У(ж) = - = .
' ' |5ж + 1| — ах х—>-оо 7
S46. 2- ' ' |(а+ 1)ж + 1| — ах х lim У(ж) — lim У(ж) = 2. —» —оо х—>4-оо
847. У(ж) = < (а2 + а)ж +1 — а при (а + 3)ж + а2 — 2а при ж —1, ж > -1;
2 • lim X—t — 1 У(ж)+ lim У(ж) = 9. — х—> —14-
(а2 — 2а)х — За - 1 при ж > 1;
I Ига f(x)\- lim У (ж) = 10.
X—»1— X —»1 +
Г (1 — а)ж — при ж^—2,
849. У(ж) = । ж2 — а2ж + а при — 2 < ж 2,
4 lim х->-2 ((2а— 1)ж + 3 при ж >2; У(ж)- lim У(ж)+ lim У (ж) ===17. - х—>24- х—>-24-
850. У(ж)=я 2- lim х->2- : • sign^2 +ж - 6) + 2|ж + а|; У (ж) — 3 lim У (ж) lim У (ж) = —108. х—>—3— х—*24-
851. У(ж) =
2ж2 — ах — а2 + 1 при ж^1,
|аж —2|+ж
2а — ж — 3
852. У(ж) = < а2ж — ж2
|ж + а| — 2ж
У(1)-2- lim У(ж) = -5.
при Х>1‘, х->1 +
при х < —3,
/(0)' lim У(ж)-У(-3) + lim f(x) = 29 + а.
х—• —3— х—>0+
853. У (ж) = -Уж + а Г2дх-Ч; lim /(ж)- lim /(ж) = -4.
L о J я-»—1— ®—»2+
854. /(ж) = —1 . 1; 2- lim У(ж) + 3- lim У(ж) = 1.
4 ’ Ж2 — Ж X—0+ ' ’ х-»0-
Исследуйте данные функции на непрерывность (855—876).
огг \ \ 2ж 5ж + 2 <• z \ х — х
855. а) У (ж) - д.2 _ ж _ 2 5 б) У (ж) - + 2а.2 _ д. _ 2 •
856. а) У(ж)=(ж2—ж—2)-sign (; б) У(ж) = J**21
\ Jb / Jb Jb V
§ 3. Непрерывные функции
67
жЗ + ж + 1 при ж < 1,
857. а) /(ж) = < а.2_4 при 1^37^1,
k |3 — 2ж| при х > 1;
х2 л ГГ2 приж<—2,
б) /(*) = 4 — х2 при — 2 < х < 0,
х+ 1 - п [ж2 + 4 при ж^О.
х, если ж€2,
858. a) f(x) = J
если rr^Z;
2х + 1, если х € Q,
б) /(ж) = J
4 —ж2, если ж^42.
2ж2, если жGZ,
859. а) /(ж) = <
ж + 3, если ж^Z;
ж2 — 3, если ж € Q,
б) /(г)=
ж + 3, если ж0<Ц).
860. а) /(ж) = h(g(x)), где
Зж + 7 при ж < : 1, [ Зж — 5 при X
/г(ж) — < > 9(х) =
х 4-2# при х $ к [ 2ж + 1 при X
б) /(ж) =/^(ж)), где
Г 1 — 2ж при ж 3, ]|ж +11 при ж < 1 h(x) = < о(ж) = < ж + 2 при ж > 3; Зж — 1 при ж > 1 861. а)/(ж)- ^,^2; б)/(ж) - х2_2^ + х осп \ £( \ sin 2# --\ р/ \ cos х 4" cos Зх 862. а) Дж)- s.na;; б)/(ж)- sin2a; . 863. а) /(ж) = g^±s^; б) /(ж) = ЗсоВ2ж-5со8ж + 4 7 J v 7 cos х 4- cos Зх 7 J v 7 cos 2x 4- cos x 864. а) /(ж) = ; б) /(ж) = втж• sign(cosж). . х , л . /Зтг , ж\ sm- + l sm(—+ -) ORE Q\ f(-r\ ft'r} ' 4
Bbu. dj J (Ж) — . | -, и) Дж; — . | n T _ 2 | tUB Jb | CUB Jb it | Olli Jo 1 "T^ Olli Jb ““ £i
68 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
866. a) f(x) = 2^П; „„„ X ,/ х 4х - 1 g_+l 6) f(x) — З^-ч . x f( x 27х + 3х -30
оо<. x _ 1> 6)/U)- gixi _ 9 •
868. a) f(x) = - 2* при a:<0, 3х — 1 при x 0; 6)/w43^ при1<1 ( 2х 1 при x1
869. a) f(x) = 1< ag3 |ж-1|; 6) f(x) = 2‘°8з l»l.
870. a) f(x) =log2[rr]; 6) f(x) = log5 x sign(a: - 2).
871. a) f(x) = < log2(a;+l) при a:^0, log2 x при x > 0;
б) f(x)=< 2х — 2 при x < 1, Ina: при x 1.
872. a) f(x) = \ °ё2(а:2 + 2а:-з)’ log2 X - 1
873. a) /(aO-logmQs-J; fl - logo, J (x +2)’
874. a) л- \ r / \ \/ln x 4“ 2 6)Ж)- •
875. a) f(x) -In 2_ 1; | JU | ,x „ x , |ln2X-l| 6) f(x) — In , , ., , ’ J v ’ In2 x+ I lnx| - 2
876. a) /(а:) = logx+2(16 — а:2);
б) f(x) = \ogx2(2-x).
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
данная функция непрерывна на всей числовой оси (877—897).
877. a) f(x) = , , 2 ------
’ J ' а- |я>| +2а —3
878. a) /(а:) = (ах — |ж| - 2)-1;
879. a) f(x) ₽ (а_2)а.2 + а + 3;
880. а) /(а:) = (ах2 +ах + 2)-1;
881. a) f(x) = \jax2 — а: +1;
882. а) /(а;) = (л/За:2 + 2а: + 2а - х/2х2 -х + а)0,5;
б) f(x) = (-/(а+ 1)а:2 + (а + 1)а: + 2а - V'a:2 + а)-0,5.
б)^)=|ж_2|^12а-3-
б) У(х) = (2а:+3-|3гг—а|)~3.
б) /(я) (а+1)а;2+(а+1)х+1 ’
б) f(x) = (x2-2ax + a + G')~2.
б) f(x) = tyax2 + ах + 2.
883. a) f(x)= —-Л—;
' J ' а + sin х
б) f(x) (а _|_ 2) _|_ (2а _ . cos х
§ 3. Непрерывные функции
69
\ <•/ \ sin я; г, \ cos а;
884- а) = acosW б) = a-3-acos’2
885. а) /(х) = (sin2 х - 2sinx + а)-1;
б) /(х) = (cos2 х + 4 cos х + а2 — I)-1.
886. a) f(x) = (sin2 х + sinх — а)-2;
б) /(ж) = (2 sinх — | sin т| + 3 — а)-2.
887. a) f(x) — (а cost - 2| cost| + 4)
б) f(x') = (3sinx + a-1sinx| — 5)-1.
888. a) f (т) = (sin2 х + 2 sin х + а1 — За - 9)0,5;
б) f (т) = (cos2 х — 2 cos x - a2 +10)-0,5.
889. a)/(x) = (acos2ж-2cost-I)-2;
6) f(x) = (asin2 x + 3sinx + 2)~2.
890. a) f(x) = ((2a - l)sinz- | sinx|)3;
6) /(x) = ((3-a)cosa; + 2a|cosT|)s.
\ 2sini
891. a) f(x)=--------------y=,
sinx+cosx+a —v2
892. a) /(a;) = (sin2 x+cosa: + a)5;
894. а) У(т) = 1п(т2+4т + а2 + 3а);
895. a)/(т) = (4ж+а-2:с-3а)_1;
\ r ( \ COS X
6) = ------------По-
7 J v 7 2sina; —cost —a+2
6) /(t)=(cos2 x+sinrc—а)_з.
6) /asin*+a2-4\-°'5.
7 J v 7 \ sin# — a J
6) /(z)-log2(2l^-a2 + 2a).
б) /(^-(а-Э^-З^ + а)0-5.
896. a) f(x) =
б) У(х)=
897. a) f(x) =
( x2 — Зх + a npnar^l,
I log3(2a?—1) при x>l;
| log2(-o:) при x<— 1,
I a + log3(a; + 3) прих>—1.
2® при x<0,
1п(х + а) при a;>0;
2Х3+Зх2+За-а2 п₽и x
6)
2x2 + 2a; — 4
ln(a;6)
при x>1.
898. Найдите значения параметров а и Ь, для которых функция
' а — 2т — х2
при х 0,
У(®) = <
при 0 < х < 1,
Зх - 2
при X 1
непрерывна на всей числовой оси.
70 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
899. Найдите значения параметров а и Ь, для которых функция
ах +1 _ .
—у при х < 1,
JU /и
ЬдГ1 при х 1
непрерывна на всей числовой оси и lim /(х) = — 2.
900. Найдите значения параметров а и Ъ, для которых функция
a + 2b + 2* при X < С 0,
/(х) = < alog2(x + l) + b при 0 « J х < 3,
\/x +1 при X S г 3
непрерывна на всей числовой оси.
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых данная
функция f(x) имеет в точке гео разрыв данного рода (901—909).
901. /(ж) = 2 а7 2~ ж 7 2 .; х0 = -1; III рода.
J 4 ' х2 — (а2 — а)х — 1
а2 |х — 21 — х2 + 4
902. /(я) = —2 , 2 -----Т’ ^0 = 2‘» 1 Р°да*
J v 7 ах2 + а?х + х — 2
____ . у/х + 3 + ах + х _ тт
903- ^) = а2х + 3а —х ’ Хо = -2; Пр°да-
,, . (а — 1) • cos2 х — cos х „ тт
904. /(х) - ----п--------------; х0 = 0; II рода.
J ' |а| - cosx-2
,, . 2acos2x — 2cosx| cosxl +1 тг т
905. /(х) =——--------„ 2 '—j—!; ^о=,; I рода,
sm х — 2а2 • | sin z| — а 2
906. /(х) = (а2 + а — cos2х — cos2 2х) • cosec2 х; хо — тг;
907 Гм = 4с(*2х+а2-4.-
яиг. j[x)- asinx + a2_6 ,
аж+2а^ — 1 _
908. У(х) = 2211+ч+за+2“2-«;
х0 = -2; I рода.
хо = —1; I рода.
„ЛП Г/ \ а • 4* + а2 + 2l+1 - 16 . тт
909. f(x) = r—^—2 ,--т; х0 = 1; II рода.
' ' la-2* — 4|+а2+а —о
III рода.
Исследуйте данную функцию на непрерывность, найдите
асимптоты и постройте график этой функции (910—918).
910. а) /(х) = х б) /(ж) = Х t-l "2‘
nil \ Ч X3 + х2 + 4х + 4 г/.Л
911. а)/(х)— 3.2_3. — 2 ’ б)/(х) 2 _ j •
§ 3. Непрерывные функции
71
912. а) /(х) = <
б) /(х) = <
---г при х < 1,
х — 1
х2 +1 . .
—-— при х 1;
|х + 1|-х
2-х ПРИЯ:
х
о_с\х _ л2х4*1
913. a) /(х)=Л |y_ ij -
914. а) /(х) = 2ж-х;
. ./ ч log,x—1
915. a) f(x) = , 2 , .;
7 J v 7 log2 x 4-1 ’
при х > 0.
916. а
х2+2х-3
917. а) /(х) = 2 х+—;
918. а) /(х) = у/х2 +2х — х\
> |9J-4-3*+3|
6) f(x) — 31 — 1
6) /(x) = 3l+>.
,x ,, x fogo.»*
) logo s x - 1 ’
6) /(x) = loga.5.
qx _ ox
6) Л®) = 9x _ 4.3x + 3 •
6) f(x') = 2x~'/xi+2x.
Постройте график данной функции /(х), если известно, что он
проходит через данную точку М (919 924).
919. /(х) = 2^;
920. /(х) = ^; м(-2;|).
921. У(х) = |^|; М(2; 3,5).
922. /(x) = log2g^); М(3;-1).
923. /(х) = .11О62^ ; М(4;2).
J 4 7 log2 х + а ’ v z
924. /(x) = arctg^^; M (-3;
925. Функция
{|x + 2| +ax
x 2
0-3 o-2
X — X
X2 — 1
при X 1,
при X > 1
непрерывна на всей числовой оси. Найдите значение парамет-
ра а и асимптоты графика функции. Постройте график функ-
ции.
72 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
926. Найдите значения а и Ь, при которых график функции /(ж) =
_ ах + Ьх + 4 имеет асимптОту у = 2х — 3. Постройте график
данной функции.
927. Найдите значения а и Ь, при которых график функции /(ж) =
_ ах + 3 имеет асиМптоту у = 4 — х. Постройте график
данной функции.
Приведите пример графика функции /(ж), удовлетворяющей
следующим условиям (928—933).
928. Функция f(x) возрастает на R; имеет разрыв в точке —1; Ef =
= (-2; 2) U [3; 5).
929. Функция /(ж) убывает на R; имеет разрыв в точке 1; Ef =
= (—оо; 1) U {3} U (5; 6).
930. Функция /(ж) убывает на каждом из лучей (—оо; 0] и (0; +оо),
но при этом не является убывающей на R; имеет разрыв в точ-
ке 0; Ef = (—2; +оо).
931. Функция /(ж) возрастает на каждом из лучей (—оо; 1) и [1; +оо),
но при этом не является возрастающей на R; имеет разрыв в
точке 1; Ef = [—2; 3).
932. Функция /(ж) возрастает на каждом из лучей (—оо; 0] и (0; +оо),
но при этом не является возрастающей на R; имеет разрыв
в точке 0; Ef = (—оо; 1], асимптотами являются прямые у = 1
и у = х.
933. Функция /(ж) возрастает на луче (—оо; 0), убывает на луче
[0; +оо); Ef = (0; 4); /(ж) обратима на R.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное
неравенство выполняется на всей числовой оси (934—948).
ах2 + (а + 1)ж + а
(а — 1)ж2 + (а — 1)ж — а
(а — 1)ж4 + (а + 1)ж2 + 3 — a <
(а — 2)ж2 — ж — а
ж4 — 4ж3 + 9ж2 — Юж + а > „
(10 — а)ж2 + (а — 1)ж+1
(а + 1)ж2 - ж + 1 _
ж4 + 2ж3 — 2ж2 — Зж + а
934.
935.
936.
937.
§ 3. Непрерывные функции
73
938. х4 — Зх3 + ах2 — 6а; + 4 > 0.
939. х6 + 2а;2 + а2 - 3 > 2а.
940. ах2+ах + 3
ж4 — 4а:3 + ах2 — 8а: + 4
941. а;4 + 2х3 + За;2 + 2а: + а2 + 4а 0.
942. /(а;): [ (2 — а)х2 — 4а; + 8 при х < 0, > 0, где f(x) = < , „ Ца+1)а;2+ 4(а+1)а; +2 при а:>0.
943. /(а:)« 1 (1 — а)х2 + Зх — 2а приа;<1, % 0, где f(x) = < , _ ( (а — 3)аг + 4а: + а — 7 при х > 1.
944. /(а;)J 945. У(а:)< S 0, где /(а;) — 2 sin2 х — 3 sin х + а2 + За. ; 0, где /(а;) = (а +1) sin2 х — 6 cos а; + 4а — 9.
946. /(а:) < „ , а sin ж+ 2 ^0,где/(а:)=(а+1)со8ж_2а_3.
947. /(а:); г 0, где /(a;) = а(4х — 2х+2 + 1) + 1.
948. /(x)s п г/ \ а • 3х + 2а — 1 *0’где/(*)-(„_!) ,2.+а-
Найдите все непрерывные на Ж функции, удовлетворяющие
данным условиям (949—952).
949. /(ж + у) = /(а:) + /(у)-4; /(1)=3.
950. f(x + y) = f^x) + f^-l- /(-1) = -1.
951. 3/(а: + у) = /(а:)-/(у); /(3) = |.
952. /(® + Зу) = 3/(х)-/(Зу); /(0) + /(1)=9.
953. а) Найдите все функции /(а:), определённые на всей числовой
оси и удовлетворяющие тождеству
я • /(у) + У /(*) а (ж + у) • /(ж) • /(у).
б) Найдите все непрерывные на всей числовой оси функции
среди тех, которые найдены в пункте а).
954. Пусть /(а:)—непрерывная на отрезке [0; 2] функция, причём
/(0) = 0 и /(2) = 2. Докажите, что уравнение f(x) = 2 — х имеет
хотя бы один корень на интервале (0; 2).
955. Пусть f(x) и у(а:) — непрерывные на отрезке [а; &] функции, при-
чём у(а) > /(а) и у(Ь) < /(6). Докажите, что уравнение /(а:) =
= д{х) имеет на интервале (а; Ъ) хотя бы один корень.
74 Глава 6. Функции действительного аргумента. Теория пределов
956. Пусть /(ж)—непрерывная на отрезке [0; 3] функция, причём
У(0) = —1 и /(3) = —4. Докажите, что на интервале (0; 3) най-
дётся хотя бы одна точка с, в которой /(с) + с2 = 4.
957. Докажите, что достаточным условием того, что уравнение ах4 +
+ Ьх3 + сх2 + dx + е = 0 (а 0) имеет хотя бы один действи-
тельный корень, является выполнение неравенства |а + с + е| <
<|b + d|.
958. Докажите, что если уравнение ах2 + (с — b)x + (е — d) = 0 (а 0)
имеет корни, расположенные по разные стороны от единицы,
то уравнение ах4 + Ьх3 + сх2 + dx + е = 0 имеет по крайней мере
два действительных корня.
959. Пусть /(ж) — 1 — х2. Сколько корней имеет уравнение:
а)/°8(ж) = |; б)/о8(ж) = 1?
960. Пусть f(x) = (ж — I)2. Сколько корней имеет уравнение:
а)/о6(ж) = 2; б)/о6(ж) = 0?
961. Пусть /(ж) = |2 — |ж||. Сколько корней имеет уравнение:
а)/о5(ж) = 3; б)/о5(ж) = 0?
962. Найдите количество корней уравнения /о2(ж) — а, где /(ж) =
= (ж — 2)2, в зависимости от параметра а.
963. Найдите количество корней уравнения /о2(ж) — а, где /(ж) =
— 2^1 — 4, в зависимости от параметра а.
964. Дана функция /(ж) = ||ж| — 3| — 1. При каких значениях пара-
метра а уравнение /о2(ж) = а2 — 2а имеет нечётное количество
корней?
965. Пусть непрерывные на R функции /(ж) и д(ж) удовлетворя-
ют тождеству /(д(ж)) =^(/(ж)). Докажите, что если уравнение
/(ж) = <?(ж) не имеет действительных решений, то их не имеет
также и уравнение /(/(я)) =д(^(ж)).
Глава 7
Основы дифференциального исчисления.
Трансцендентные уравнения и неравенства
§ 1. Производная функции
Найдите приращение А/ функции /(ж), соответствующее данным
значениям х и Дж (966—973).
966. /(ж) = ж2—Зж; ж = 2; Дж = —0,2.
9т — 1
967. /(ж) = ^—v; ж = 0; Дж = 0,1.
J ' ' ж +1 ’ ’ ’
968. /(ж) = | г2 —ж —2|; ж = —1; Дж = 0,3.
969. /(ж) = 2 970. /(ж) = < а) ж = 3 |ж— 1| — |ж — 3|; ж = 2ж — ж2 при ж 3, — ж при ж > 3; Дж = 0,2; 2; Дж = -0,1. б) ж = 3; Дж = —0,2
971. /(ж) = < а) ж = 0 ' ж + 2 ПРИ ®<0, |ж — 1| при ж 0; Дж =-0,1; б) ж = 0; Дж = 0,1.
972. /(ж) = 2ж - х/2ж - 1; ж=1; 973. /(ж) = л/® + 2(2ж-1); ж = 2 Дж = -0,32. Дж = 0,41.
974. При каких значениях Дж выполняется неравенство |Д/| < 0,5,
где Д/ — приращение функции /(ж) = Зж — ж2 в точке ж = 1?
975. При каких значениях Дж выполняется равенство |Д/| = 0,5, где
Зж + 2
Д/ — приращение функции /(ж) = _ 2 в точке ж = 0?
976. При каких значениях Дж выполняется неравенство | Д/| < 1, где
Д/ — приращение функции
/(®) =
' - 2ж - 1
4ж — 1 — ж2
при ж 0,
при ж > 0
в точке ж = 0?
76
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
977. При каких значениях Дж приращение Д/ функции
/(ж) = |ж2 — 4| - х
в точке х — —2 удовлетворяет неравенству | Д/| 0,5?
978. При каких значениях х выполняется неравенство |Д/| < 0,5, где
Д/— приращение функции
/(ж) = 3 —ж —ж2,
соответствующее приращению Дж = 0,2 аргумента?
979. При каких значениях ж выполняется неравенство | Д/| < 0,2, где
Д/ — приращение функции
{2 — ж при ж 1,
2
ж при ж > 1,
соответствующее приращению Дж = 0,3 аргумента?
Исходя из определения производной найдите её значение
в указанной точке жо (980—992).
980. /(ж) — 2ж3 — Зж — 1; Жо = 1-
981. /(ж) = ^£у; ж0 = 2.
982. /(ж) = |ж +1| — 2ж; Жо = —1.
983. /(ж) — (4-ж2) -sign(l -ж); жо = 1.
2 — ж2 при ж < 0,
9 жо = 0.
2 — Зж2 при ж > 0;
985. /(ж) = (2ж - 1) • >/2ж Ч-1; ж0 = 0.
986. /(ж) = sin ж; жо = ^.
987. /(ж) = ж • log2 ж; Жо = 2.
988. /(ж) = ж2 -2х; xq = — 1.
989. = ж0 = 7г.
984. /(ж) =
990. /(х) = ^т^;
( 2х — 1
[ж2 -4
9т — 1
992. /(ж) = -^=4
991. /(ж) =
ж0 = -2.
Жо = -1.
при ж > — 1;
ж0 = 1.
§ 1. Производная функции
77
Исходя из определения производной найдите /'(ж) в каждой
внутренней точке области определения (993—1003).
993. а) /(ж) = ж3 + ж + 2; б) /(ж) = 3 + 2ж2 — ж3.
994. а) Дж)-2^1; б)
995. а) /(ж)=^^; б)
996. а) /(ж) = >/2ж — 1; б) Дж) = \/ж2 + 2ж + 5.
997. а) Дж) = 1п(ж + 2); б) Дж) = е<
998. а) Дж) = ^; б) /(ж) = ж-е2®.
999. а) /(ж) = sin 2ж; б) Дж) = ж • cos ж.
1000. а) Дж) = arcsin 2ж; б) /(ж) = arccos
1001. а) Дж) =ж• 1п(ж2 + 1); б) Дж) = ж2 -2~Ж.
1002. а) /(ж) = у/х4 + 2; б) А*)=т=-
1003. а) Дж) = (2ж-1)з; б) /(ж) = ж(2ж +1)3.
Основываясь на правилах дифференцирования, найдите /'(ж);
укажите D(f') (1004—1047).
л X2
1004. а) /(ж) = Зж4 —2— 5ж — 1;
б) /(ж) = 0,4ж5 — 0,5ж4 — 2ж2 + Зж — 2.
1005. а) /(ж) = (2ж - I)5; 1006. а) /(ж) = (Зж + 1)3(ж2 — 4); 1007. а) Дх)=2ж3+1; 1008. а) Дж) = |^ту; 1ППП \ г/ \ 2ж3 — ж2 + 5ж + 4 1009. а) /(ж) - х ; 1010. а) /(ж) =ж2(2ж — I)-3; . . Ь — 1|+ж 1011. а) /(ж) = - ; 1012. а) Дж) = |^у|; 1013. а) Дж) = (1—ж2)sign(ж + l); 1014. а) У (ж) = ж2 • sign ж; б) /(ж) = (ж2 — ж — 2)6. б) /(ж) = (ж — 2)4(2ж — I)7. б) ^)-(а;_1)2- б) Дж) = д4 + 2жд3~13а;2-5. б) /(ж) = (Зж2 — I)5 • ж-2. б) /(ж) =ж2 • |ж| — 2ж |ж — 1|. б) /(ж) = |ж2-ж-2|. б) /(ж) = |ж — 2| signж. б) /(ж) = |ж2 - 2ж| - signж.
78
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
— x3 + 2x2 - 1 при x 1,
1015. a) /(x) — <
2x2 — Зх + 1 прих>1;
2x2 — x— 1 прих<-1,
6) y(x) - <
x2 + 2x при x > -1.
1016. a) 7(x) = < — 1 7" при rr^O, x — 1 ’
Im приз:>0;
j при X < 1,
6) 7(x) = -г2
——г при X 1. жЧ-1
' х2 — 1 при X < —1,
1017. a) 7(x) = - 2х2+2х при — 1Сх^1,
к х2 + 3х при х > 1;
> 2 — х2 при х —2,
6) /(a?) = х2 + 3х при -2<х^1,
к 4х2 — Зх + З прих>1.
1018. а) / (х) = х3 • /3"- х; б) f (х) =
1019. а) 7(х) = -§7==; б) 7(х) = (х2 - ^2х-1)4.
у О — ZX
1020. а) У(х) = \/4х2 - 1;
1021. а) /(х) = (Зх — х3)з;
6)ZW=^.
1022. а) /(х) = у/х(2 — х)%;
б) /(ж)=
2 — ж
xtyx
1023. а) /(х) = (х2 + 2х)'/2;
1024. а) /(х) = х(х—l)2v^;
б) /(х) = (3 - 2х — х3) v/3.
1025. a) /(x) = x-sin3x — cosx;
б) f(x) = 2 sin 5 - х cos 2x.
z
1026. a) /(x) = 4 cos | — sin3 x;
1027. a) /(x) = cos2 x • sin 3x;
6) /(x) = cos2 x • sin |.
./ x sin x
6) =
1028. a) /(x) = у/sin 2x;
6) /(x) = cos(x2).
§ 1. Производная функции
79
1029. a) j(x) = sin(cosar); 1030. а) У(ж)= а—?* ; 1031. а)/(ж) =зтж • х/соз2ж; 1032. а)/(ж) =3(созж)~0,5; б) /(ж)=^3ж. б) /(ж) =соз(2ж — 1) • ^ж. б) /(ж) = (2созж — I)0,5. б) /(ж) = 6 x/ctgx.
1033. a) f(x) = х • arcsin х\ б) /(ж) = arccos 2з\.
1034. а) /(ж) = arctg2 ж; х arcsin Jx 1035. а) /(ж) = х ; 1036. а) /(ж) = arccos(Inа:); 1037. a) f(x)=x-2~x; 1038. а) /(ж) = 1п(ж2 — 2ж); б) /(ж) = ж- arcctgT;. б) /(ж) = е~х х/аг^ж. б) /(ж) = | arctg 2ж|. б) /(ж) =е®2-2®. б) /(ж) = ж • logg ж.
1039. а) /(ж) = 3®(3ж-ж3); 1040. а) /(ж) = е2®-втж; 1041. а) /(ж) = е-СО8®; 1042. а) /(ж) = log2^2+ 2-®); т2 1043. a) f(x) = f-; 1044. a) f(x) = sin(e®); б) = б) /(ж) = е-3® - cost;. б) /(ж) = 2“п^. б) /(ж) = х • 1п(3® — 1). б) /(ж) = х 2 . ’ м ’ 1 + log^x б) /(ж) = 2® -cos(2®).
1045. а) /(ж) = ж • ^/log2(l — ж); б)
1046. a) f(x) = (х + I)2® при х > —1;
б) f(x) = (2а: — l)sin® при х >
1047. а)/(ж) =е~®2(2ж+1)® приж>—
Найдите значение производной данной функции /(ж) в данной
точке а?о (1048—1075).
1048. /(а:)=ж2^2~3; ж0 = -1.
1049. /(ж) = (ж2+ж - 3)4(2ж2 — ж — I)5; Жо=О.
1050. /(ж) = (2ж3+ж — З)3 + (ж2 + Зж — 3)4(2ж+I)3; ж0 = 1.
80
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
e (T\ _ 2x 1
lUul. ) (a;2+x—I)3’ Xq 1.
1052. /W- 2x2-3a:-4’ a?o = 2.
1053. /(a?) = |a;3-a:-3|; x0 = -1-
|x2 + 2z — 5| — X
1054. 12»-1| ; a?0 — 1.
1055. f(x) = (a;2 - 3a; - •) -sign(a;2 -2); a;o
1056. а)/(о:) = ^^; а:0 = 1;
б) f(x) = х fy2x — 1; хо — 0.
1057. а)/(а;) = аг(4 —a;2)s; xq — V^-,
б) f[x) - (а? + 2)3 tyx; х0 = -1-
1058. а)/(а;) = (а:3 — аг +1)-з; а?о=0;
б) f(x) = хо = -2-
1059. a) f(x) = -f 3 - = ; я^о = 1;
у (х3 + 2х — l)d
б) /(ж) = (2ж — l)i — (Згг — 2)f; ж0 = 1.
1060. a) f(x) = cos 2а;; а?о = у^;
б) f(x) = sin За?-cos ?; а?о = ^-
1061. а) /(а?) = х-sin^о = |;
б)/(a?) = a?-cos^ - а;0 = ^.
ч г\х»л \ \ sin Зж 7Г
1062. а)/(а;) = ——; а?0 = ^;
б) /(a?) = tgo; — 2ctg®; аг0 = -д.
1063. a) /(a;) = sm(7rcosx); a?o = ^;
\ 2 Этт
6 ) f{x) = ---; a?0 = -7--
7 ycosx 4
. -z v _ . n 117Г
1064. a)/(a;) = 2smx-cos3j;; a?o = ~;
6) /(x) = -Vsin a?o = |.
1065. a) f(x) =x • sin
а?о = 7г + 2;
6) f(x) = x sin(2a? + 4) + 2 ctg(2a? + 4);
7Г — 8
a?o — 4 •
§ 1. Производная функции
81
(ж — 3 \
2з.+г); ®о = 1;
б) /(ж) = arccosQ^.-^^) > ^0 = 0.
1067. a) f(x) = х arctgx; Хо — ~ 1;
б) f(x) = ж2 arcsin ж; xq = —
ж2
1068. а) /(ж) = arcsin 2д, ; хо = 1;
б) /(ж) = arcctg ; ж0 = -1.
1069. а) /(ж) = х2 • З1-®; жо = 1;
б) /(ж) = (2 — Зж) • е2®; хо — 0.
1070. a) ж0 = -1;
***-&&
1071. а) /(ж) = у/1с^2(5ж — 1); жо = 1;
б) /(ж) = 2~® 1п(2ж + е); жо = 0.
1072. а)/(ж)=ж-ев1п(’г®>; ж0 = -|;
б)/(ж) = 2СО8>; ж0 = 7г.
1073. а)/(ж) =е3®-8т2ж; жо = ^;
б) /(ж) = е~%-совж; жо = 0.
1074. а) Дж) = (2ж+1)®+1; жо = 0;
б)/(ж) = (3ж-1)“п^; ж0 = 1.
1075. a) f (ж) = (2ж - 1)1п®; ж0 = 1;
б) /(ж) = (^FT2 - l)cos(^); Xq = 2.
Докажите, что данная функция /(ж) обратима на указанном
промежутке. Найдите значение производной соответствующей
обратной функции в данной точке а (1076—1079).
1076. /(ж) = 1 - Зж - ж3; Ж; а = 5.
1077. /(ж)=ж3-Зж2-9ж+1; [-1;3]; а = -21.
1078. /(ж) = 1,5ж-2^®; [0;+оо); а = 24.
3
1079. = R; а = -2,7.
J v 7 х2 +1 ’
82
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
Найдите значения а и Ь, для которых данная функция /(х)
диффере! 1080. а) /(х) = б) /(*) = ] 1081. а) /(х) = < б) /(*) = < 1082. а) /(х) = < ацируема на всей числовой оси (1080—1083). х2 + 4х — 1 при х < 0, — х2 + ах + b при х 0; ’5 — 2х — х2 при х Sj — 1, х2+ах + Ь прих>—1. х+ 1 , х при X 1, X — 1 ах + Ь при х> 1; 2х2 + ах + b при х 0, х2 — 2х + 3 при х > 0. а • ех — х — 1 при х < 0, 2х + b п ——г при х +1 2-\/3 — х + bx при х^2,
б) /(х) = < а 1п(х2 + 2х — 7) + 6 при х > 2. asinx + 2cosx прих<„.
1083. а) /(х) = • б) /(*)=< . _ . 7Г ocosx + 2 прих^-^! a cos — b sin 2х при х тг, X &cosx + asinx + sin £ при х>тг.
Найдите многочлен Р(х), удовлетворяющий следующему
тождеству (1084—1090).
1084. Р(х) + 2Р'(х) = 2х3 + 10х2 - 7х - 1.
1085. 2Р(х) + хР'(х) = Зх4 — 4х2 + 6х — 14.
1086. хР(х) - Р'(х) = -х4 + 2х3 + 2х2 - 7х +1.
1087. Р'(Р(х)) = 18х2 + 6х-25.
1088. Р(Р'(х)) = -4х2 + 4х + 3.
1089. Р(х) + хР'(х — 1) = 6х2 — 6х + 5.
1090. Р(х + 1) - 2Р'(2х -1) = -х2 + 10х - 7.
Найдите многочлен Р(х), удовлетворяющий следующим условиям
(1091—1092).
1091. Р(х) + Р(-х) =-2х2 - 2; Р'(х) + Р'(-х) = 12х2.
1092. Р(х) - Р(-х) = —6х; Р'(х) — Р'(—х) = 16х3 — 4х; Р(1) = 3.
§ 1. Производная функции 83
1093. Дана функция f(x) =ах + ^. Найдите а и Ь, если f' j) =
= х f(x) — х2 — 2х + 4.
1094. Дана функция f(x) = ax2 4- Найдите а и Ь, если х3 х
х f'(x — 1) — 2x2f(x — 1) = 4х3 - 4х2 4- 12.
1095. Дана функция f (х) = у/ах + Ь. Найдите а и Ь, если / (х)(/(х) +
4-2/'(х)) = 2x4-5.
Решите уравнения (1096—1129).
1096. f(x) = 0, где f (х) = |х4 - |х3 4- |х2 4- Зх - 1.
1097. f'(x) = 0, где f (х) = 0,2х5 - х4 4- х3 4- х2 - 12х 4- 3.
1098. У'(х) = 0, где / (х) = (2х2 - х - З)5.
1099. f(x) = 0, где f (х) = (2х - 1)4(2х2 + Зх)5.
1100. /'(х) = 0, где / (х) = (2х 4- З)3(х - 2)4(3х - I)5.
1101. |f'(х)14-1 = 2х, где f (х) = |(2х3 - Зх2 - 12х 4-1).
1102. yV'(х) = f (х), где f (х) = ууу
1103. |/(х)|4-/,(х) = 1, где f(x) = y^y.
{х3 4- Зх2 — 9х 4-1 при х О,
х3 —6х —2 при х>0.
{2 —х —х2 прих<—1,
2^ + х-З при 0-1.
{х2—х —3 при х<1,
9x=-17x + S прих>1.
1107. f (х) = f '(х) - 1, где f (х) = |х2 - х - 2| 4- 2х.
lx-21 -3
1108. 2f (х) = f'(x) 4-1, где f (х) = |а. + 1| + 1-
1109. |/(х)14- f '(2х - 1) = 16, где f (х) = -х2 4- 4х 4- 3.
ч Зх-х2 при х^ 1,
1110. / (5) - X !• (1 - х) = 74, где /(х) = | + х _; > ,
1111. f (f'(х)) = f (х - 2), где f (х) = 6 - х - х3.
1112. f (f'(x)) = f (х2 4-11), где f (х) = х4 4- 4х2 - 1.
84 Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1113- f'(x) = |/(х)|, где f(x) — min(2x2 - 1; х + 9).
/'(/(х)) = f'(x - 2), где f(x) = max(x2 + 2х- 8; 6 - х-х2).
1115. f(x) — f'(x) + 16х, где /(х) = {-2х}.
1116. f'(x) + 6 • /(х) = 8х, где /(х) = {2а:2}.
1117. /'(х) = х, где /(х) = y/ix — 1.
1118. (х - 1) • f'(x) = f(x), где /(х) = у/2 - Зх.
1119. /'(х) = где /(х) = х у/2-х.
1120. /(х) = 2/'(х) ^ + 2-4, где /(х) = (2а:- 1) • у/х + 2.
1121. /'(а:) = /(х), где f(x) = v'ar^x + l).
1122. f'(x) = f(x), где f(x) = (1 - 2x - x2)e“®.
1123. /'(x) = 3/(x), где f(x)=x-ex2.
H24. у/f(x) — y/f'(x), где /(x) = (x2 - x)e2®.
1125. /'(x) = 0, где f(x) = ln(x3 - 2a:2 - 7x - 3).
1126. f'(x) = x, где f(x) = ln(2x — 1).
1127. /'(x) = sin 2a:-cos x, где f(x) = sin2 x • cos x.
1128. /'(x) = ctg2x, где/(x) = ^^.
1129. (x — 2)2 + 2f'(x) = 0, где f(x) = arctg(2 - x).
Решите неравенства (ИЗО—1151).
ИЗО. f'(x) 0, где /(х) = х4 - 1,5а:2 + х - 2.
1131. f'(x) 0, где /(х) = 0,2а:5 - 1,25а;4 + 0,(6)х3 + 5х2 + 4х-3.
1132. /'(а;) < 0, где /(а:) = (Зх - 1)3(х2 - I)4.
1133. f'(x) 0, где /(х) = (2х + 1)4(х - 2)3(Зх - 2)5.
1134. |/(х)| > |/'(от)|, где /(х) = 3-2х-х2.
1135. /'(х) < /(х), где /(х) = (2х - 1)4(3х + 2)3.
1136. /'(х) < /(х) - 6,5, где /(х) =
1137. /(х) /'(х), где /(х) =
\х “Г L)
1138. |/'(х)| /(х), где /(х) = |" Х2 ПРИ Х 15
( х —х + 2 при х > 1.
1139. \//(х) f’(x), где /(х)=х2- |х+1|.
§ 1. Производная функции
85
1140. /(/'(ж))>1,где/(ж)'=^.
1141. (/'(ж)! < 2, где f(x) = |ж2 — 4| — |ж + 2|.
1142. \f'(x)\ < |/(®)|, где /(ж) = 3^_22.
1143. /(ж +1) х • /'(1 — ж), где /(ж) = 5 — х — ж2.
{3 — 2ж при х < 0,
2 о л п
х — 2ж — 4 при х > 0.
1145. /(/'(ж)) /(ж + 6), где f(x) = ж3 + 4ж — 3.
1146. /(/'(ж)) </(°6 у2^), где /(ж) = ж4 +.2ж2 - 7.
1147. f'(x) f(x), где /(ж) = ж • ^/2ж— 1.
1148. /'(ж) < 0, где /(ж) = ^=.
\/х + 1
1149. /'(ж) > —14, где/(ж) =-^ж® + ж2 — Зж.
1150. /'(ж) < ж • /(ж), где /(ж) = ж • е~2х.
1151. /'(ж) 0, где/(ж) = ж-In ж.
1152. При каких значениях параметра а производная функции /(ж) =
= (2а + 2)ж3 + (За 4- 6)ж2 + 12аж — 1 положительна на всей чис-
ловой оси?
1153. При каких значениях параметра а производная функции /(ж) =
= (2а — 2)ж3 — Заж2 — баж+5 отрицательна на всей числовой оси?
1154. При каких значениях параметра а производная функции /(ж) =
= 0,2 • ж5 — ж4 + 2,(3)ж3 — Зж2 + аж + 1 неотрицательна на всей
числовой оси?
1155. Решите неравенство /(ж) > 0, где /(ж) — ах ^х и lim /'(ж) = 3.
X Z х—>оо
х^ Зя?
1156. Найдите асимптоты графика функции /(ж) = ~ если
ж2
1159. Дана функция /(ж) = :-
1157. Решите неравенство /(ж) >1, если /(ж) = lim ((ж+с)2 х
х /'(ж)) = 6; (ж + с) • /(ж) + (ж + с)2 • /'(ж) = 4ж2 + 4ж.
1158. Дана функция /(ж) = Решите уравнение /(ж) + /'(ж) = 0,
если /'(1) = —3.
—. При каких значениях параметра а
выполняется равенство /'(2) = log2 а?
86
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
Найдите производную данной функции /(ж) указанного порядка п
(1160—1175).
1160. a) /(ж) = 2ж3 — ж2 + 5ж - 1; п = 2;
б)/(ж) = -Зж4 + у-^-2ж + 4; п = 2.
1161. а)/(ж) = (2ж-3)6; тг = 3; б) /(ж) = (ж2 - I)5; п = 2.
1162. а)/(ж) = 3®+1-Д; п = 3; б)/(ж)=2ж5-3ж+j; п = 3.
1163. а)/(ж) = ^; п = 2; б) /(ж) = п = 2.
1164. а)/(ж) = ^; 77 = 2; б)/(ж)=^; п = 2.
1165. а) = п = 3;
б) У+V-3; п=4.
1166. а) /(ж) = ^(ж2 - 1)4(ж2 + ж - З)3; п = 14;
б) /(ж) = ууу (2ж3 + х - 2)3(ж4 - ж - I)2; п - 17.
1167. а)/(ж) = ^(2ж5-ж2-1)2; п = 9;
б)/(ж) = ^(ж4-Зж3 —ж-2)2; п = 7.
1168. а)/(ж) = >/2^3; 77 = 3; б) /(ж) = ^/(ж2 -1)2; 77 = 2.
1169. а)/(ж)=ж-(|-1Г; 77 = 2; б)/(ж) = -=к=; п = 3.
НТО. а) /(«) = п = 2; б) „ = 2.
1171. а)/(ж) = ж-зш2ж; п = 3; б)/(ж) = sin3ж; п = 2.
1172. а)/(ж) = ж2-е-ж; п = 3; б)/(ж) = ^; п = 2.
1173. а)/(ж) =ж-In2ж; п = 2; б)/(ж)=^2(ж2-2ж); п=2.
1174. а)/(ж) = со83ж-е-3а:; п = 2;
б) /(ж) = sinЗж 2~cosx; п = 2.
1175. а) Дж) = (ж+1)х; тг = 2; б) Дж) = ж*2+1; 77 = 2.
Найдите значение производной порядка п данной функции /(ж)
в данной точке ж0 (1176—1181).
1176. а)/(ж) = (2ж2 — I)8; тг = 2; ж0 = 1;
6)/W = T^; ^ = 3; жо = -1.
§ 1. Производная функции
87
1177. а) /(х) = а;2жУ1.п = 3; go = 0;
б)/(я) = z3(2rr — I)5; п = 3; go = O.
z2
1178. а) /(х) = +; п —2; хо — — 1;
(х — I)3
б) = (2а:-17 ’ П = 2; Х° = °’
1179. a) fix') = х х/я: +1; п — 2; хо = 3;
б) /(g) = \Лс2 — 2g; п = 2; xq = 1 + л/2-
1180. a)/(g) = 2sin-3cos2g; n = 3; go = ^;
\ • x о г-» 2%
6) f(x) = sm 2 -cos x; n = 2; xq = -^-.
1181. a)/(g) = ^^; n = 3; xo = l;
6) /(g) — x-e1-®; n = 3; go = l-
Решите уравнения (1182—1191).
1182. /"(g) = 0, где /(g) = 0,15g5 - 0,(3)z4 - l,(3)g3 + 1,5g2 - 5g
1183. у/f(x) — y/f'^x), где /(g) = g3 - g2 - 4g +1.
1184. /"(g) + 6 = 0, где /(g) =
g2
1185. /"(g) =2, где /(g) =
1186. /"(g) =0, где f(x) = <
g4 - 8g2 — 3g — 1
g3 + 2g2 + 3
при g < —1,
при g —1.
1187. I/^MI + /^(x) = 0, где f(x)-2x + x3 -g5.
1188. /"(x) = f(x), где f(x) = x y/2x~l.
1189. g- /(3)(g) + 7"(z)=0, где /(g) = g3 - бху/х.
ex
1190. g- 7"(g) = 3- /'(g), где 7(g) = ^2-
1191. 7"(g) = 0, где 7(g) = 2g2 + lng.
Решите неравенства (1192—1197).
1192. f"(x) 0, где f(x) — 3g5 — 5g4 — 7g + 1.
g2-l
1193. /"(g)^O, где 7(g) = -^2’.
1194. f"(x) < 0, где f(x) = (2g + l)5(g - I)4.
88
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
( х4 + 4х3 — 18х2 + 7 при х < 1,
1195. f'(x} > 0, где f(x) = < ч 9
J V J ( - 2x3 + Зж2 + x - 1 при х>1.
1196. /'(x) + f"(x) 0, где /(x) — x y/1 — x.
1197. f"(x) < f'(x), где f(x) = x3 e~x.
Найдите значения параметров, для которых данная функция f(x)
удовлетворяет следующим условиям (1198—1203).
1198. f(x) = ax3 + ±-, /'(2) = -13; /"(-1) = 30.
1199. f(x) = ax3 + bx2; /'(-1) = 0; х • /"(1 - х) + 2 • /'(х) = 30х.
1200. /(x) = f^; 2/(х) + (х + 6)-/'(х) = ^; Г(0)=2.
1201. /(x)^^^; //(1) = /"(1) = 1,5.
1202. /(ж) = х • у/х + а-, /"(—1) = 1,25.
1203. /(x) = asinx + 6cos2x; = = -1>
1204. При каких значениях параметра а на всей числовой оси вы-
полняется неравенство f"(x) 0, где
f(x) = ах4 — 4х3 + 6(а — 1)х2 + 2х — 5?
1205. Дана функция /(х) = а • 4х + (а - 2) 2х+2. При каких значени-
ях параметра а на всей числовой оси выполняется неравенство
/"(х) < 201п2 2?
1206. Дана функция f(x) = ах2 -I- (2а - 1) sinx. При каких значениях
параметра а на всей числовой оси выполняется неравенство
1207. Дана функция /(х) = (а- 1)х2 - 16аcos При каких значени-
ях параметра а на всей числовой оси выполняется неравенство
/"(х)<0?
§ 2. Применение производных к анализу функций
Составьте уравнение касательной к графику функции f (ж)
в точке с абциссой хо (1208—1220).
1208. а) /(х) = х3 — 2х2 - 3; xq = —Г,
б) /(х) - 6 — 2х — 0,5х4; хо = 1.
§ 2. Применение производных к анализу функций 89
1209. а) Дж) = (2ж - 1)3(ж+I)4; жо = 0;
б) /(ж) = (Зж — 5)2(1 — ж)3(2ж — 1); жо = 2.
ж2
1210. а) Дж) = 2ж — ж-2; ж0 = 1; б) /(ж) = 2а. + 3", Жо = -1.
1211. а) Дж) = 2(ж2 - З)-3; жо = — 2;
б) Дж) = (ж2 - 2ж)(ж - I)-5; жо = 2.
1212. а) Дж) = |ж2 — 2ж — 1|; Жо=2;
б) Дж) = |ж3 - |ж2 - Зж||; жо = 1.
1213. а) Дж) = ж0 = 3; б) /(ж) = ж^2ж- 1; ж0 = 1.
уж + 1
1214. а) /(ж) = (Зж + 1)з; Жо = 0;
б) Дж) = 2ж — (2ж + 3)~з; жо = -1.
1215. а) Дж)=8ш|-созж; ж0 = ^; б)/(ж)=3соз2ж-8тж; ж0=^.
1 2
1216. а) Дж) =ж• агсзтж; ж0=2; б) Дж) = -агссо8-; ж0=4.
1217. а) Дж)=ж-к^2ж; ж0 = 1; б) Дж)=3ж2-к>^ж; ж0 = 2.
1218. а) У(ж) = е2х-ж-е-а:; жо = О; б) Дж)=ж-22®2_!В; ж0 = -1.
1219. а) /(ж) = ех-cos2ж; жо=О; б) f(ж) = inх5 ^о = е.
1220. а) Дж) = (ж + 2)2ж+1; жо = 0; б) Дж) = (2г-1)3а!+1; ж0 = 1.
Составьте уравнение касательной к графику функции /(ж)
в точке с ординатой уо (1221—1226).
1221. а) /(ж) = у0 = 1; б) /(ж) = у0 = -5.
1222. а) Дж) = 5-2ж-ж2; у0 = 5; б) Дж) =ж3-ж2-1; уо = 3
1223. а) Дж) = |ж2 — 2ж| - ж+ 3; уо = 7;
б) Дж) = |ж+1|+ 2ж-ж2; уо = -7.
1224. а)/(ж) = 3-2®; у0 = 6; б)/(ж) =ж• е-2х; у0 = -е2.
1225. а) Дж)=к^3(2ж+1); уо=1; б) Дж) = 2ж2 + 1пж; у0 = 2.
1226. а) Дж)=1о§2(ж2-2ж); уо = 3; б)Дж) = 1п3ж; у0 = 1-
Докажите, что данная функция /(ж) обратима на данном
множестве D, и составьте уравнение касательной к графику
соответствующей обратной функции /°(-1)(ж) в точке
с абсциссой жо (1227—1232).
1227. /(ж) = ж • V3 — ж; £> = (-оо; 2]; жо = —2.
1228. Дж) = (ж + 8) $/ж; D = [-2; +оо); жо = 9.
90
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1229. f(x}= tyx3 + x-3-, D = R; а:0 = -1.
1230. /(х)= •J/'c + rr + l; D = R; хо = 1.
1231. f(x) = 2x + 2x-l; Z> = R; х0 = 3.
1232. /(х) = lnx + 3x — е — 1; £> = (0;+оо); Хо=2е.
1233. Найдите координаты точки пересечения касательных к графи-
ку функции f(x) = 2х — , проведённых в точках с ординатой
1/0 = 1-
1234. Найдите координаты общих точек графика функции /(х) =
= х3 — 2х2 — 1 и касательной к этому графику, проведённой
в точке с абсциссой xq = — 1.
1235. Найдите координаты общих точек графика функции /(а:) =
= |а:2 — 4| — За: и касательной к этому графику, проведённой
в точке с абсциссой а?о = 0.
1236. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) =
= х3 - 2а: + 1, параллельной прямой 4у + 5а: = 3.
1237. Найдите уравнение касательной к графику функции /(а:) =
— —х2 + За: +1, перпендикулярной прямой 2а: — Зу +1 = 0.
1238. Найдите точку пересечения касательных, проведённых к гра-
фику функции /(а:) — х2(2а: — I)3 в точках с абсциссами х = — 1
иа:-1.
1239. На параболе у = 2х2 — 8а: — 1 взяты точки М и N, абсцис-
сы которых равны —1 и 2. Составьте уравнение касательной
к данной параболе, параллельной прямой MN.
1240. На графике функции f(x)=x3 — бх2 +1 взяты точки М и N, абс-
циссы которых равны — 1 и 3. Найдите абсциссы тех точек дан-
ного графика, касательные в которых параллельны прямой MN.
Зх2
1241. На графике функции у = х~~2 взяты точки М и N, абсциссы
которых равны —1 и 1. Найдите абсциссы тех точек данного
графика, касательные в которых параллельны прямой MN.
1242. Пусть А и В — общие точки графика функции у = —х3 и ка-
сательной к этому графику, проведённой в точке с абсциссой
хо = — 1- Найдите площадь треугольника АО В, где О —начало
координат.
1243. Найдите координаты точек пересечения касательной к гра-
фику функции /(а:) = —х2 + 4а: + 5, параллельной прямой
у — 2гк — 1, и графика функции <р(х) = 6\/а: 4-1.
§ 2. Применение производных к анализу функций
91
1244. Найдите координаты точки пересечения касательной к графи-
ку функции /(ж) = 7 — х2 в точке с абсциссой хо — 3 с наклон-
2-3 _ 2Х2 з
ной асимптотой графика функции <^>(ж) = ————г-.
х + 2 Х J
1245. К графику функции <^(х) = 3 в точке с абсциссой Xq = —2
проведена касательная I. Составьте уравнение касательной
к графику функции ф(ж), параллельной прямой I.
1246. Найдите точку пересечения касательных к графику функции
/(ж) — х2 cos в точках Xi — тг и х% = 2тг.
1247. Составьте уравнение касательной к графику функции
/(ж) = \/2 — sin ж,
где х е (8; 10), параллельной прямой 2^/2у — х — 1 = 0.
1248. Составьте уравнение касательной к графику функции
Л\ ТГХ
X) = COS у,
где х G (—5; —2), перпендикулярной прямой тгу — 2х + 3 = 0.
1249. Составьте уравнение касательной к графику функции
/(ж) = ех + е~х,
параллельной прямой Зх — 2у = 0.
1250. Составьте уравнение касательной к графику функции
f(x) = 1п(5 — ж2),
перпендикулярной прямой 4у — х — 1 = 0.
1251. Составьте уравнение касательной к графику функции
/(ж) = ж In ж,
1252.
1253.
параллельной прямой 2у — 4х +1 — 0.
Найдите угол, который образует касательная к графику функ-
2х2 — 1
ции /(ж) = у--ттд в точке с абсциссой хо = — 1 с осью абсцисс.
(х + 2)
Найдите угол между касательными к графику функции /(ж) —
= х3 — 4ж2 + Зх + 1, проведёнными в точках с абсциссами х = 0
и х = 1.
1254. На графике функции
/(ж) = Зж3 - 4ж2 +1
найдите точки, касательные в которых образуют с осью абс-
7Г
ЦИСС угол .
92 Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1255. Найдите абсциссы точек графика функции
/(ж) = 0,5а:4 — 1 ,(6)а:3 + 2,
- , Зтг
касательные в которых образуют с осью абсцисс угол
1256. Найдите абсциссы точек графика функции
/(ж) = 0,2а:5 - 0,5а?4 - 1,(З)ж3 - 2а:2 + 6а: + 1,
. < 1
касательные в которых образуют с осью абсцисс угол arccos —=.
V 5
Найдите углы пересечения графиков данных функции (1257—1262).
1257. f(x) — x2 — За; — 1; <р(х) = 3 — 6а;.
1258. /(а:) = 2а:2 + х - 5; tp(x) = х2 4- х + 4.
1259. /(а?) = 2ж, J; ф(а;) = х2 + 2а: + 4.
z x-\-z
{4 — 4а; при х < 1,
5х — 5 при х > 1.
1261. /(а?) = Vl ~ ф(а;) = 2Л/ж.
1262. /(а:) = 2- ф(а:) = ^.
1263. Найдите площадь треугольника, образованного осью абсцисс
и касательными к графику функции /(а?) = а?д/я? -Н 2, проведён-
ными в точках с абсциссами a?i = — 1 и х% — 0.
1260. /(а?)
Найдите уравнения касательных к графику функции /(ж),
проходящих через данную точку М (1264—1268).
= W;7).
1265. а) /(а?) =
при X < 1,
н Af(2; —7);
при х>1;
I; М(1;3).
1264. а)/(а;) = |; М(0; 2);
х2 — За? — 1
— За;2 + х -
б) /(а?) = |а;2 — Зя?| + х -
1266. а) /(а?) = (а;2 + 2а;) sign(a: — 1); mQ; 1);
ч /(*)=|Sr
1267. а)/(а?) = -Д^; М(4; 0);
1268. а)/(а?) = 2еж; М(0; 0);
б) /(а?)=а;-у/2а: —1; М(2; 3).
б) /(а?) — х • ех; М(—4; 0).
§ 2. Применение производных к анализу функций 93
1269. Найдите площадь треугольника, отсекаемого от осей коорди-
нат касательной к графику функции /(ж) = (ж + 2)е~2х, про-
ведённой в точке пересечения этого графика с осью ординат.
1270. В точке с абсциссой жо = 1 графика функции /(ж) = ж2 — 6ж — 7
проведена касательная к этому графику. Найдите значение
параметра а, при котором указанная касательная является
также касательной к графику функции <^(ж) = —ж2 + ах — 12.
1271. Найдите уравнение параболы у = ж2 + Ьх + с, касающейся пря-
мой у = х в точке М(1; 1).
1272. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку Л/Q; 2^,
касающейся графика функции /(ж) = —|ж2 + 2 и пересекаю-
щей в двух различных точках график функции <^(ж) = у/4 — ж2.
ах “Н 2
1273. Найдите функцию вида /(ж) = xJr^ , если известно, что пря-
мые у = —5ж+18иу=—5ж — 2 являются касательными к гра-
фику этой функции.
1274. При каких значениях параметра а прямая, проходящая через
точки А(—1; —3) и В(2; а), касается параболы у = ж2?
1275. При каких значениях параметра а парабола, проходящая через
точки А(—1; 0), В(2; 0), С(0; а), касается прямой у = 6 — 2ж?
1276. При каких значениях параметра т парабола у= — ж2 + 6ж — 5 каг
сается прямой, проходящей через точки А(0; т) и В(т — 1; —5)?
1277. Найдите все значения параметров а и Ь, при которых пара-
бола у = 2ж2 + ах + b проходит через точку А(1; 4) и касается
прямой у + ж + 3 = 0.
1278. Найдите все значения параметров а и Ь, при которых парабола
у=—х2 + ах + Ъ касается прямых у + 2ж—12=0 и у — 6ж—12 = 0.
1279. Известно, что парабола у — —ж2 + аж — 3 и прямая у = 2аж — 5
пересекаются в двух точках, одна из которых имеет ордина-
ту —3. Найдите угол их пересечения в указанной точке.
1280. Найдите значение параметра а, при котором график функ-
ции /(ж) = а — ж2 касается касательной к графику функции
<^(ж) = д/ж в точке с абсциссой жо = 1.
1281. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых су-
ществует касательная к графику функции /(ж) = %/ж2 + 2ж — 8,
проходящая через точку М(а; 0).
94 Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1282. Найдите значение параметра а, при котором график функции
/(а:) = а З-1 касается прямой у = 2х — 9.
1283. Докажите, что график функции /(а:) = —2х2 — х + 5 располо-
жен ниже касательной, проведённой через точку этого графи-
ка с абсциссой хо = — 1-
1284. При каких значениях х график функции f(x)=x3 — За;2 — 9х+а
расположен выше касательной к этому графику, проведённой
в его точке с абсциссой а:о = 1-
1285. К графику функции
а;2 при х О,
4а: — х2 при х > О
/(ас) = <
проведена касательная, проходящая через точку А(0; 1). Опре-
делите те значения х, которым соответствуют точки графика,
расположенные выше указанной касательной.
Дана функция /(ас). Найдите на данном интервале (а; Ь) все
значения х, для которых выполняется равенство Лагранжа
(1286—1289).
1286. a) f(x)=2а:2 — 8а;-1; (—1; 3); б)/(а:) = 1+6а:-а:3; (0; 2).
1287. а) /(аг) = х3 + За;2 - 9гг + 7; (—1; 1);
б)/(а;) =а:3 - За:2 - За: +1; (-2; 4).
1288. а) /(а;) = ^; (0; 2); б)/(а:) = ^; (-1; |).
1289. а)/(а;) = 4у/2^~г; (-2; 2); б)/(а:) = 2а:+ 3^5; (1; 8).
1290. Даны функция /(а:) = х2 + х - 5 и точка а = — 1. При каких
значениях Ь равенство Лагранжа выполняется в точке а;о = 1?
1291. При каких значениях т функция /(а:) = х3 — 6а:2 + 15а: + 1 име-
ет на интервале (—2; т) два значения аргумента, для каждого
из которых выполняется равенство Лагранжа?
1292. Пусть /(а:) — функция, непрерывная на отрезке [0; 2] и диф-
ференцируемая на интервале (0; 2); /(0) = 0, /(2) =4.
а) Докажите, что найдётся такая точка с€ (0; 2), для которой
/'(0 = 2.
б) Докажите, что найдётся хотя бы одно значение d Е (0; 2),
для которого f'^d) + 2d — 4.
§ 2. Применение производных к анализу функций
95
1293. Пусть /(ж) — функция, непрерывная на отрезке [—1; 3] и диф-
ференцируемая на интервале (—1; 3); /(—1) = 1, /(3) = —7.
а) Докажите, что уравнение /(ж) = х + 1 имеет хотя бы один
корень на интервале (—1; 3).
б) Пусть с—какой-либо корень уравнения из пункта а). До-
кажите, что найдётся такая точка а 6 (—1; 3), для которой
с+8 = f'(a) • (с-3).
1294. Пусть непрерывная функция /: [0; 1] —> [0; 1] дифференциру-
ема на интервале (0; 1), причём /(0) = 0, /(1) = 1. Докажите,
что существуют различные значения а и Ь аргумента на ин-
тервале (0; 1), для которых f'(a) • f'(b) = 1.
Исследуйте на монотонность следующие функции. Укажите точки
экстремума (1295—1301).
1295. а) /(ж) = (ж - 1)3(ж + 2)4; б) /(ж) = (ж3 + 6ж2 — I)5.
1296. ж2 а) Ж =
1297. ж3 а) Ла:) = 7+Т’
1298. а) /(ж) = |ж3 — ж| + 5ж; б) /(ж) = |ж4 — 1| + 8ж3.
1299. а) /(ж) = 2ж +1 — 4у/х + 1; б) /(ж) = х • л/2 - х.
1300. a) f(x) = e2x+2e~x; б) /(ж) = 2-1 - 2ж+1.
1301. а) /(ж) = 2ж — 1п(ж + 1); б) /(ж) = 1п(ж2 -I-1) — ж.
1302. CL^ 1 При каких значениях параметра а функция /(ж) = —— • ж3 + + (а — 1) • ж2 + 2ж + 1 возрастает на всей числовой оси?
1303. При каких значениях параметра а функция
/(л) = ах3 + (а + 3)ж2 + 2ах + 5
убывает на всей числовой оси?
2
1304. Докажите, что функция /(ж) = ^ж9 — ж6 + 2ж3 — Зж2 + 6ж — 1
возрастает на всей числовой оси?
1305. Докажите, что уравнение ж7 — 7ж4 + 28ж — 17 = 0 имеет ровно
один корень на Ж.
1306. Докажите, что на множестве [—1; +оо) выполняется неравен-
ство ж4 + 8ж3 -I- 24ж2 + 36ж +19 > 0.
96
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1307. При каких значениях параметра а функция
f(x) — |т3 + (а + 2)т2 4- (а - 1 )х + 2
имеет отрицательную точку минимума?
1308. Докажите, что функция Р'^х), где
Р(х) = т(т2 — 2т — 3)(т — 5)(т + 7)(2т — 1),
имеет пять различных корней, и найдите их произведение.
1309. Докажите, что при любом действительном а уравнение
а;3 — Зах2 4- 6а2х + 12ах 4- 12т = 15
имеет ровно один действительный корень.
1310. При каких значениях параметра а уравнение
9а:4 + 44а:3 4- 6т2 — 180а: 4- а — 0
имеет ровно два действительных корня?
1311. Пусть ад и а?2 —точки максимума и минимума соответственно
функции /(т) = 2а:3 — 9ах2 4- 12а2х 4- 1. При каких значениях
параметра а выполняется равенство х2 = Тг?
1312. Найдите наименьший член последовательности, общий член
которой равен ап — п4 — 5п3 — Зп2.
1313. Найдите наибольший член последовательности, общий член
которой равен ап = — п3 + Зп2 + 15п — 3.
1314. Найдите число корней уравнения х3 — Зх2 4- а в зависимости
от параметра а.
1315. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 2т3 — 13т2 — 20т 4- а = 0 имеет один корень.
1316. Докажите, что уравнение |т3 — т2 - Зх + 2 = 0 имеет три раз-
О
личных действительных корня а, /3, у, и найдите а2 4- (З2 4- у2.
1317. В зависимости от параметра р укажите те значения пара-
метра а, для которых уравнение т3 4- 2рх2 +р = а имеет три
действительных корня.
1318. Найдите количество действительных корней уравнения
х4 4- 4т3 4- Ют2 4- 20т 4-12 = 0.
§ 2. Применение производных к анализу функций
97
1319. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
Зт4 - 14т3 - 45т2 + а = О
имеет четыре корня.
1320. При каких значениях параметра а уравнение
т4 — 4т3 — 8т2 + а2 - 8а = 0
не имеет действительных корней?
1321. Найдите число действительных корней уравнения
Зт5 + 15т4 + 50т3 - 150т2 + 150т = а
в зависимости от параметра а.
1322. Найдите число действительных корней уравнения
12т5 - 15т4 - 80т3 - 150т2 - 180т + а = 0
в зависимости от параметра а.
1323. При каких значениях параметра а уравнение
Зт5 — 25т3 + 60т + а = 0
имеет пять корней?
Найдите множество значений функции /(ж) на данном множестве
значений аргумента (1324—1337).
1324. /(т) = т3 + т2 — 16т - 5; [0; 3].
1325. /(т) = -т3 + 3т-|т-3|; [0; 4].
-г2
1326. /(т) = ^5 [-1;1].
1327. [0;3].
1328. Дт)=т3-12т+15; [-4;-1] U [1; 4].
1329. /(т) = (-2т3 + 15т2-36т + 34)-1; [I; 4].
1330. /(т) = -т4 + 2,(6)т3 + 2т2 - 8т + 20; R.
1331. /(т)=ж+^4т; (—оо; 0] U [2;+оо).
1332. /(T) = log2^^; (—оо; —1).
1333. /(x)=y + 32^3+8^; [-1;2].
1334. /(т) = 2зтт + 8ш2т; Го;^!.
98
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1335. f(x) = ir + x — sin ж — 2cos|; [-тг; 0].
1336. /(ж) = (2ж - 1)е~х; [0;+оо).
1337. f(x) = 2x-y/x+T; [-1;3].
1338. Пусть М(а)— наибольшее значение функции
fix') = —ж2 + 4аж + а + 2
на отрезке [-1; 3]. Решите неравенство М(а) > 5.
1339. Пусть М (а) — наибольшее значение функции
/(ж) — 2ж3 — 3(а + 1 )ж2 + бах +1
на отрезке [0; 2]. Решите уравнение М(а) = 9.
1340. Пусть т(а) — наименьшее значение функции
/(ж) = ах2 + 4ах — а - 3
на отрезке [—3; 3]. Найдите наибольшее значение функции
т(а) на отрезке [—3; 2].
1341. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
наименьшее значение функции /(ж) = х3 — 2ах2 + 1 на отрезке
[0; 1] достигается на его правом конце.
1342. В арифметической прогрессии четвёртый член равен 4. При
каком значении разности этой прогрессии сумма попарных
произведений первых трёх членов прогрессии будет наимень-
шей?
1343. В арифметической прогрессии = 2, d > 0. При каком значе-
нии d произведение второго, пятого и шестого членов будет
наибольшим?
1344. Найдите кратчайшее расстояние от точки М(2; 0) до графика
функции /(ж) = |(ж2 + 1).
1345. Найдите координаты точки графика функции /(ж) =2 —ж2,
ближайшей к точке (1 .
\4’ 2/
1346. Найдите наименьшее расстояние между точками графиков
функций у = х2и.у = х — 1.
1347. Разность двух положительных чисел равна 2. Каковы должны
быть эти числа, чтобы разность между удвоенным квадратом
большего числа и кубом меньшего числа была наибольшей?
§ 2. Применение производных к анализу функций
99
1348. При каком значении параметра а сумма кубов действительных
корней многочлена х2 — ах + а2 — 3 принимает наибольшее
возможное значение?
1349. Сумма трёх положительных чисел равна 60. Отношение двух
2
из этих чисел равно . Найдите такие три числа, для которых
их произведение будет наибольшим.
Проведите полное исследование функции и постройте их графики
(1350—1357).
2х2 — 1 1350. a) /(x) = ^i; б) /(х) = х2-|.
1351. а) /(х) = (х2 - 1) • |х + 2|; б) /(х) = | у - Зх| + Зх.
1352. а) /(х) = (х - 1)(х +1)3; б) /(х) = (х-2)2(х + 1)3.
13и3. а) /(х) — (д. _ 1)2 > в)
1354. а) /(^-д/Дх-З5 б) f№=^-
1355. а)/(х) = (х + 4)-§/х; б) /(х) = |х — 2| у/х.
1356. а) /(х) = х- 12^х-1; б)/(х)-|х 1| -^==.
1357. а)/(х) = х-е-2®; б) У(х) = (х - 2)е^.
1358. Найдите количество корней уравнения в зависимости от пара-
метра а:
а) х4 - 4ах3 -2 = 0; б) х3 - ах - 1 = 0.
1359. Найдите количество корней уравнения в зависимости от пара-
метра а:
а) х3+ а • |х| + 1 = 0; б) |х3 - Зх2 + а| = 2.
1360. Найдите количество корней уравнения в зависимости от пара-
метра а:
а) /(х) - а- /'(х) = 0, где /(х) = (х-х1)(х-х2)(х-хз)(х-х4);
a?i < Х2 < х3 < Х4;
б) /(х) -I- а /'(х) = 0, где /(х) = (х - хД3(х - х2)4(х - Хз)5;
Х1 <х2 <Хз-
1361. Докажите, что уравнение апхп + an-ixn~1 +... + а^х + ао = 0,
где ап > 0, an-i > 0, ..., ai > 0 (n е N), имеет не более одного
положительного корня.
100
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1362. Докажите, что уравнение
хп — а\хп~г — а2Хп~2 — ... — an-ix — ап = 0,
где ai > 0 (г = 1, 2..., п), не может иметь двух положительных
корней.
1363. Докажите, что для любого натурального п многочлен
т2 х3 хп
Р(ж) = 1+а:?+|г + |г + ...+Дг
имеет не более одного действительного корня.
1364. Дифференцируемые функции fug, заданные на отрезке [0; 1],
таковы, что /(0) = f (1) = 1 и функция
19/'(т) • д(х) + 935'(ж) • /(л)
неотрицательна. Докажите, что g(l) > <?(0).
1365. Решите уравнения:
а) Уя:3 + я:2 + 5ж — 6 + \/Ьх — 1 — 3;
б) \/х + 2 + 2\/18 — х + 4а: = х2 + 14.
1366. Решите неравенства:
а)^ + 2^-2+^<2;
1367. При каких значениях параметра а данное уравнение имеет
единственный корень:
а) хе~х = а; б) 3х + 3-х = (а2 — a) cos ж?
1368. Решите уравнения:
а) х3 - [ж] — 8 = 0; б) х4 + [ж] — 5 = 0.
1369. Функция f(x)=x3 —Зя определена на R. Докажите, что функция
/о7(я:) принимает некоторое значение не менее чем 1993 раза.
1370. Функция f(x) = xinx определена на К+. Докажите, что при
любом a > 1 и только для таких а уравнение /о2(л) = а имеет
ровно два корня.
§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства
Решите следующие уравнения (1371—1478).
1371. а) 2sin| + l=0; б) 2sin2z + ^ = 0.
1372. а) sin 2х >/4 — я2 = 0;
б) (2 sin х — 1) • л/6 + х — х2 — 0.
§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства
101
1373. а) (s3 - 2s2 + 1)^1-2 sins = 0;
б) (cos 2s +1) V2 sin s +1 = 0.
1374. a) 6 sin4 s = 1 + sin2 s;
1375. a) sin sin — 0;
1376. a) sin2s = sin(s +
1377. a) sin6 s + sin8 = 0;
sin (2s + j)
1378. a) — 4 7 =0;
vsins
6) 32 sin8 s = 3 — 46 sin4 s.
6) sin • sin 2s = 0.
—• \ . x Зтг
6) sin 2 = cos -g-.
1379. a) 2 cos 2s + y/2 — 0; 6) cos(2tts) + 1 = 0.
1380. a) 2 cos x — \/3 = 0; 6) 2 cos(^ + 1 = 0.
z \ ’J /
1381. a) cos('f') =1; 6) cos(2?rcoss) = 0.
1382. a) sin(7r cos s) +1 = 0; 6)2 cos(tt sin s) + 1 = 0.
1383. a) (cos3s — l)\/6 + 5s —s2 = 0;
6) (2 coss + 1)V6 — 5s — s2 = 0.
1384. a) (2s3 — s2 — 8s — 3)t/coss = 0;
6) (s4 — 8s3 + 15s2 + 4s — 6) у/\/3 + 2 cos s = 0.
1385. a) |cos^| — 6) |cosecs| = 2.
1386. a) y/2 cos2 2s = cos 2s; 6) 2 sec2 s + 3 sec s = 2.
1387. a) cos 3s = sin 6) cos | = cos (2s —
1388. a) sin % Icosf^j?71^ I =0; 6) cos(? — ?Vsin =0.
1389. a)
6)
1390. a)
Z COS X + V б х т ЗШ
1391. a) 2cos4s + 2 = 5cos2s; 6) cos4s + sin2s =
1392. a) 2sin(^y-— ttcoss) + 1 = 0; 6) 2cos(^r — 4sins'j = 1.
\ О / \ О /
2 sin x — 1 „ -x V2 • cos s + 1
:-----5= = 0; б ——r-тг--
102
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1393. a) cos x +1 = Зл/cos a:; 1394. a) sin2a:tg =0; 6) 1 — 2sina: = Vsina:. 6) sin • ctg 2тгх = 0.
1395. a) cos3a: = cosa;; 6) cos^2a: + = sin^a; +
1396. a) \/3 tg 2a: — 1 = 0; 6) tg^ + l = O.
1397. a) ctg(^) =>/3; 1398. a) tg | • \/5a: - 4 — x2 = 0; 6) |tg(7ra:)| = 2. 6) (1 4- tga;) • \/9 - x2 = 0.
1399. a) tg x - tg 5x = 0; 6) ctg(7ra:)-ctg(^) =0.
1400. a) tg|=ctgyy; 1401. a) ctg 2x tg - a:) = 0; 1\ sin 2x 1402. a) 1_tgx—0; 6) |ctg3a:|=tgy. 6) ctg|tg(f-^)=0. 2cos(7ra:) + l 6) f /Зтгхх
1403. a) =l+sina:; ' 1 — sm x 1404. a) (tga: — l)\/sina: = 0; , x 2sin2x + sina: _ 1405. a) 7^=: = 0; Vtgx sin 2a: „ 0) 7——: = —2 COSX. ' 1 + Sin J 6) (tg x + \/3) -v/cos x = 0. 2 cos2 x + y/3 cos x n 6) , •/— — 0. 7 y'ctga:+l
1406. a) (ctgх + 1)V2 - 3sina: — 2sin2 x = 0;
6) (tg x — 2)\/2 cos^ a: + cosa: = 0.
1407. a) 1 + cos a: + cos 2a: = 0; 6) 2 sin a: + tg a: = 0.
1408. a) sin 2a:-cos 3a:=sin x-cos 4a:; 6) sin 5a: + sin a: = sin 3a:.
1409. a) sin x + sin 3a: + sin 5a: + sin 7x = 0;
6) cos + 5a:) + sin x = 2 cos 3a:.
1410. a) sin x • sin 2x + cos2 x — sin 4a: • sin 5a: + cos2 4a:;
6) cos x + cos 4a: + cos 7x + cos 10a: + cos 13a; = 0.
1411. a) 2 sin 3a: - cosec x = 2 cos 3a: + sec a:;
6) (2 sin x — cos a:) • cos2 к = 5 s™2 x-
1412. a) sin x + cos x = %/2 • sin 5a;; 6) 2 cos 3a: + sin x — y/3 cos x.
1413. a) 2 sin 2a: = cos a: —x/3 sin a:; 6) tg3a:tg4a: = 1.
1414. a) 4cosx-2cos2a:-cos4a:=l; 6) sin4a:+cos4a;=sin2a: — 0,5.
§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства
103
1415. a) \/l — 2 sin ж = cosx; a) Vcos2x4-1 cosx| — -5-; 6) y/2 — cosx4- y/3sinx = 0.
1416. 6) y/2 4-3sinx — 2| sinx| = 1.
1417. a) y/13 — 18tgx = 6tgx — 3; 6) i/2 — tg x 4- y/l 4- tg x = 3.
1418. a) |3sinx—1|4-11 — sinx| = 1; 6) | sinx| = |0,5 — cosx|.
1419. a) tg x 4- tg 2x 4- tg 3x = 0; 6) cosec x—cosec 2x=cosec 3x.
1420. a) sin Зх + sin3 х — —j- sin 2х;
б) sin3 х cos Зх 4- cos3 х sin Зх 4-1 = 0.
1421. a) tg3x + cos6x = 1,1;
б) tg(x- +8ctgx + tg(x + =0.
1422. a) cos42x —sin^y +2х) -sin^y — 2х) =0,25;
б) 2(sin6 х 4- cos6 х) — 3(sin4 х 4- cos4 х) = cos 2х.
1423. a) cos4 х + cos 4х = -0,75;
б) 2 sin4 х + cos4 х = cos6x + rr.
' 10
1424. a) tgx+ ctgx= |tgx| - 1; 6) ctgx = tgx + 2tg4x.
1425. a) 2 sin ^3x4-у = y/1 4- 8 sin 2x cos2 2x;
6) J 1,25 — sin2 x + cos(x + у ) = cosx 4- 0,5.
1426. a) \Jsin 3x 4- cos x — sin x = у/cos x — sin 2x;
б) y/cos3x — sinx = >/sin3x — cosx.
1427. a) tg у • sinx + cosx= 1;
1428. a) ctg 2x cos 5x 4- sin x = 0;
1429. a) 2 sin x 4- cos x = 0;
1430. a) 2|cosx|-sinx4-cos2x = 0;
1431. a) 3sinx —4cosx = 5;
1432. a) 2 sinx —cosx = 1;
1433. a) 2 cos2 x 4- 3 sin x cos x = 5 sin2 x;
6) 4sin2x4-sinxcosx = 3.
1434. a) cos2 x — 3 cos x • cos 2x 4- 2 cos2 2x = 0;
6) sin2x4-5sinx-cos2x — 6cos22x = 0.
6) sin x + tg у • cos x = 1.
6) sin 7x • ctg 2x = cos 3x.
6) sin2x + 3sinxcosx = 0.
6) 2 sin2 x = | sin x| • cos x.
6) y/3 |sin 11 + cos | = 2.
6) 3cos| + 2sin| = 2.
104 Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1435. a) cos3 x — 3 sin3 x — sin x; 6) 5 sin3 x = cos x + 3 sin x.
1436. a) cos2 x — 3| cosx| • sinx + 2 sin2 x = 0;
6) cos3s4-2|sins|3 = |sins| — cosa:.
1437. a) 2sins4-tg| =3; б) 1 — 2 sin 2x = cos x - sin x.
1438. a) 2sin2s4-6sins = 3(sin2s4-coss4-1);
6) У cos 2s4-2 4-tgs —0.
1439. a) cos2 2a: + 4 cos2 x + 13 = 2 cos 2a: 4- 16 sin3 x + 32 sin s;
6) cos2 2x — 28 cos 2s 4- 35 = 32 sin3 x — 48 sin x.
1440. a) cos2 4s — 2 cos 4s — 11 = 2 cos3 2x — 20 cos 2s;
6) 2 tg2 x - tg x - 4 4- 10 ctg x - 4 ctg2 x — 0.
1441. a) sin2
6) cos2
.2
( 7Г \ 5
\12 ~X) ~ 4’
'7Г \ 3
.8 X) 2’
4- sin 3x • sin31
8 + xj + cos'
1442. a) cos 3s-cos3 — x
6) cos 3s • sin3 [x +
1443. a) 4 sins-sin(s4- )
\ о J
6) 8sins =
1444. a) 2 cos x + \/5 • sin x = cos 5s + 2\/2 • sin 5s;
6) cos2s —2sin2s = -\/3-coss4-\/2-sms.
1445. a) sins — 2 sin 2s 4-sin 3s = |1 — 2coss + cos2x|;
6) 2 cos3x = 3 sins + coss.
' 4?r sin x \
. 3 ?
7Г cos 2x \
2 )
1447. a) 3sin2s + sins = coss +1; 6) 2sins = 1 4-sin 4-cos
1448. a) 11 — 3cos2s — 4sin2s = 16sins — 8coss;
6) 7 cos 2s + 24 sin 2s 4- 66 sins 4- 88 coss 4- 85 = 0.
1449. a) 8 tg 8s 4- 4 tg 4s 4- 2 tg 2s 4- tg s = 16 4- ctg s;
6) -^= tgs- 2 ctg (s 4- 4-tg(s4-=0.
•sin^s4-
3 sec х 4- cosec х.
1446. a) sin^
б) cos(tt sin 2s) = cos
cos а;
• cos°
3.
4’
_1
8'
2тг\ „ .
-у ) 4-cos 3s = 1;
1450. a) 14-2cos2s4-2cos4s4-2cos6s = 0;
6) 1 — 2 cos 4s 4-2 cos 8s — 2cosl2s = 0.
1451. a) sec s • sec 2s 4- sec 2s • sec 3s 4- sec 3s • sec 4s = 0;
6) ctg s 4- ctg 2s 4- ctg 3s = 2 sec 2s.
§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства
105
sin 12х
< л к л \ sin Зх
1452. ft) —: : - । :— ----:—-— — ———-------:—-—:
7 sin х • sin 2х sin 4х • sin 8х sin 2х • sin 4х
6) tg 2х 4- cosec х = ctg х 4- cosec 5х.
1453. а) д/9 — ж2 (2 sin(27nr) 4- 5 cos (тле)) = 0;
б) (sin а; + cos а;) Уб — а; — а;^ = 0.
1454. a) sin(;
б) | cos х
1455. a) sin(2 arccos ж) = 1;
1456. a) arcsin a:+ arcsin(a?x/3) = тр
1457. а) arccos |rr | = arcsin 2а?;
1458. a) arctg х + arctg 2а; = ^;
1459. а) 2arcsina: + arccos(l — х) = 0;
б) arcsin(l — х) — 2arcsina: =
1460. a) arctg(2a;) = 2 arccos а;;
1461. a) arcsin(a;2 + 2а;) + ^ — arccos а;;
б) + arcsin(x2 + 4а;) = arccos(a; +1).
х + arccos
sin6x
3 \ п
sj — 1,6 cos х = 0;
х + arcsin I).
б) cos(3 arctg х) = 0.
л*\ X . 7Г
б) arccos g + arccos х = —.
б) arccos х = arcctgx.
б) arcsin х + arcsin 2х = .
О
б) 2 arcctg(2x) = arcsin х.
1462. a) arcsin(2a;) = 2 arcsina;; б) arccos | = 2arccosа:.
1463. a) arcsin(a:2 — х — 2) + arcsin(2 — х) = 0;
2 , 1
б) arccos - + arccos =---= тг.
' х 2 — х
1464. a) arcsin у/х = arctg ^l — x;
б) arccos \4с + 1 = arctg(a; + 1,5).
1465. a) arcsin(2 cos а;) + arccos(3 sin а;) = ;
б) arcsin(2 sin а:) + arccos(cos2 а;) = ^.
1466. a) arcsin(cos х) + arccos(2 sin х) = ;
б) arcsin(2 cos х) + arccos(sin х) = .
О
1467. a) arcsin = arccos(ctga;);
б) arccos(2,5 sin а?) = arccos(6 sin2 x — 2,5 sin x + 1).
1468. a) 6 sin x + 5 = — sin6 x; 6) (1 — |cos2a?) =sin2a;.
1469. a) cos 2a: • cos x = 1; 6) sin ^ + cos x — 2.
о Z
106
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1470. а) sin5 х + cos8 х — 1;
1471. a) sin6 х — cos5 х = 1;
б) ^/cosx + x/sinrc = 1.
6) sin cos За: = —1.
1472. a) sin2 x - 4 sin x + 1 = cos2 2x + 2 cos 2a: + 7;
n 4 c 2 . • (X 5тГ \ i • 2 (X I 7Г \
6) 2 cos x — 5 cos a: = 4 sinl g + -g- ) — 7 + sin ( —g— I.
1473. a) cos3 x + 2 cos x — sin3 — 3 sin + 5;
6) 6 sin3 4a: — 18 sin4a: = 2 cos3 (x + — 15 cos2 (x + +
+ 36 cos(x + + 65.
1474. a) (sin2 a: — 3)2 + 3(sin2 a: — 3) = (sinx — 2)2 + 3(sinx — 2);
6) (3 cos 2x + 2 cos a?)2 — 4(3 cos 2x + 2 cos x) = (cos x — 2)2 -
- 4(cosx — 2).
1475. a) sin2 x — 2| sinx| = cos2 2a: - 2| cos 2ar|;
6) sin6 x — 3 sin2 x = cos3 2a: — 3 cos 2x.
1478 'j 2tgKj-l = 2ctg3a:- 1 . tgx _ ctg3x
’ a' tg x 4- 2 ctg 3x + 2 ’ ' cos x sin 3x'
1477. a) cos2 x + 2 sin8 | cos x +1 = 0;
6) sin2 2x + 2 sin3 3a: sin 2a: + sin2 3a: = 0.
1478. a) cos2 5x + 1 — cos 6x + cos 4a:;
6) cos2 | + 4 cos | • sin3 2x + 4 sin2 2x = 0.
Решите следующие уравнения с параметром (1479—1492).
1479. a) a sin х = 1;
1480. а) (а — 1) cosx = а2 — 1;
1481. а) а sin х = tg х;
1482. a) sinx + cosx = a;
1483. a) a cos 2x + cos x — 2;
6) | sinx| = 2 — a.
6) | cos 2x| = a2 — 2а.
6) l+cosx = acos^.
6) | sin x — cos x| = a>/2.
6) cos 4x - sin 2x = a.
6) a|cosx| =sinx.
6) cos4 x + cos 4x = a.
1484. a) | sinx| = acosx;
1485. a) sin4 x + cos4 x + sin 2x — a;
1486. a) a sin2 x + 2 sinx cos x — 3 cos2 x — 0;
б) a sinx + (а — 1) cosx = 0.
1487. a) 2sin2x —(2a+l)sinx + a = 0;
6) acos2x + 2(a — 1) cosx = 2 — a.
1488. a) sin x + a cos x = 2a;
6) (2 + a) cos2 x + sin x cos x = (1 — a) sin2 x.
§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства
107
1489. a) a sin2 х-sin 2х = 2; б) 2sin2 T;4-acosx = 14-sinx.
1490. а) 2 sin3 х — (3 + 2a) sin2 х 4- (3a - 2) sin x + 2a = 0;
6) 2acos3x- (a 4-2) cos2 x 4-(1 -3a) cosx 4-3 = 0.
1491. a) Va — sinx = 1 — 2sins:; 6) 4-cosx = 2 cosx 4-1.
1492. a) 3(sinx —cosx)4-2sin2x = a; 6) a(sinx4-cosx)4-sin2x = 3.
Найдите все решения данного уравнения, принадлежащие данному
множеству (1493—1500).
1493. а) sin^2x4- -cos^2x- (О; f);
6)tg^=sinx; (0; 4).
1494. а) (1 — cos2x) • sin 2х = л/3 • sin2 х; тг;
6)tg2x = 3tgx; (—2тг; 0) U (тг; 2тг).
1495. а) cos(?r 4-х) + у/3 sinx = sin^3x — 0; (— — т;]и|0;
б) sin2 4- cos2 х 4- sin2 ^ = 1,5; [-тг; 0] U тг].
1496. а) 2 sin4 2х - sin2 2х • sin 4х = 2 sin2 2х - sin 4х; [0; тг];
б) |ctgxj = ctgх 4-cosecх; [-2; 0] U [1; 6].
1497. а) cos3х-sinx —sin3х-cosx = ^; [0; тг];
б) \/3 • sinx — cosx = 2cosЗх; [—5; -тг]и [— 1].
1498. a) 3 sin2 x 4- 2 cos2 x = 2,5 • sin 2x; [—4тг; — Зтг];
6) sin x 4- cos x = a/2 • sin 5x; (—1; 2).
4- тгзт(тгх
6>si”(r&)=-%
1500. a) 2 4-sin 12x — 2cos8x = 0; [—
6) 2 — cos 9x 4- 2 cos 6x = 0; Г-
1499. a) cos^-j
Найдите все решения данного уравнения, удовлетворяющие
данному неравенству (1501—1505).
1501. а) 8 cos6 х = 3 cos 4х 4- cos 2х 4- 4; 2д , ? 1;
' ’ х 4-1 ’
б) sin(Trx) 4- cos(ttx) = 1; х < у/х 4- 2.
108 Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1502. а) 5 cos 2а? + 3 tg х = 3; х — 2 С у/х\
б) 1,5 — sin 2х == \/9 + Ю sin 2а:; х2 + 8х + 15 < 0.
1503. а) 6 tga: + 5ctgЗа: = tg2а:; а:^ Уа; + 2;
б) sec2 х + tg х + ctg х + ctg2 x — 5 = 0; x2 + 6 5,5a:.
1504. a) 2cos2a:-4cosx = 1; sina:^0;
6) 2 — УЗcos2a: + sin2x = 4cos23a:; cosf2a: — >0.
1505. a) sin2 x + sin2 2a: = sin2 3a:; 2 cos х + 1 <0;
о . Зз? /X . Зз? 6) 2 + cos у -h \/3 • sin = . . 2 X . (X 7Г\ „ 4sin sm^2+^J>0.
Решите следующие неравенства (1506—1551).
1506. а) 2 sin | + 1 0; б) cos(2z-
1507. х/З a) sin(37ra;) > ; б) tg(j-a?) <-УЗ.
1508. . . 2а: . 2 a) sin -у д; 6)cos(f + f)<|.
1509. a) tg J 1; б) tgf <2.
1510. a) sin(7rrr)| < |; б) |cos(2a;)|
1511. a) зт(тг cos а:) > — -^=; б) cos(tt sin х) |.
1512. a) tg(2?r sin х) > — 1; б) ctgQ 2 р УЗ.
1513. a) sec (2х — < 2; б) cosec > —2.
1514. a) |2sina;+1| + | sina:| 2; б) |2cosa: — 1| |3cosa: +1|.
1515. a) sina: + cosa:^ 1; \/2 б) sin 2х - cos 2х < -у.
1516. а) УЗ • sin — cos 1; б) sin^ + y3-cos^ + l>0. о о
1517. а) 2sin2 х + sina: > 0; б) 2 cos2 х + cosх <0.
1518. a) sin2 х 3 cos а:; б) cos2 а: <2 sin а:.
1519. а) 2 sin х cos 2а:; б) cos > 2 cos х.
1520. а) 2tga: — ctgа:< 1; б) tg2x + tgar>0.
1521. а) УЗ sin а: cos а:; б) cos За: < sin За:.
1522. а) 2sin | — cos | > 1; б) 2 sin + 6 cos У10.
§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства
109
1523. а) 3 sin2 х — sin х cos х — 2 cos2 х < 0;
1524. б) 5cosx(sinx + cosx) a) cos2 х — sin2 2х 0; > cos 2а:. б) cos2 (х + + cos 2х 0,5
1525. a) cos х > х/5 cos2 х — 1 б) sin х < у/2 cos х + 1.
/1 —tga: -1 у 2 + tgx
1526. a) V2 - tg х < д/tg х;
1527. a) sin х у/4 cos2 х — 1 5 б) cosx < х/2 sinx + 1.
1528. \ 3/~- Q / / a) vsinx< (7cos(x + t=|to б) (1 + sinx)s > (cos a:) s.
1529. a) x/sinx х/1+ cosx; б) х/1 — sinx > y/cosx.
1530. а) х/1 — 2 sin 4а; + х/6 cos 2а: 0; б) x/sin 2х < ^/3 — 2 ctg х.
1531. a) cos ж — sin а: > cos а: • sin а:;
б) 2(cosx + sinx) < 1 + cosx-sinа:.
1532. а) 2tg^ + sinx>3; б) 3ctgx — 3tga:4-4sin2а:^0.
1533. а) 2cosx+l. _ х/2-sinx —1^„ n ^0: o) . x ^0. cos 2a; ’ 7 sin f
1534. а) x x . . X cos > sin x\ o) cos £ sin 3.
1535. а) sin 5a: > sin x; 6) cos 3x — cos 2a: > cos 4x.
1536. а) 2 sinx —cosx „ „ sin x +cosx — 1 . _ — г >0; б) %— C 0.
sin x — cos x — 1 7 3 sin x + 4 cos x + 5
cos а; л 1 sina;| — cos a:
1537. а) , . . > 0; 6) . >0.
| cosx| — sinx ' sinx + cosx
1538. а) x/(x — 2) sin x y/(x — 2) cos x;
б) у/(2x + 3) sin x у/x2 • sin x.
1539. а) 2 sin x + 3 . 2 cos x + 3 2 tg x — 1 . 2 sin x — 1 1 Э 1 i о) , , „ . ч .
sin x — 1 cos x — 1 ’ 7 tg x +1 sm x 4-1
1540. а) (Xх-4) sinx > n V6 - x - x2 n
x/16 - x2 " ’ ' (x2 - 1) • cos
1541. а) arcsin x > arccos x; 6) arcsin x arccos 2x.
1542. а) arcsinx < arccos(l — x); 6) arctgx arcctgx.
1543. а) 2 arcsin(3x — x2) < тг; 6) 1 + 2 arccos(2x — x2) > 0.
1544. a) arcsin(x2 — 2а:) + arcsin(2 — х) 0;
1 7Г
б) arccos - > тг.
' ж 3
1545. а) | arcsinI ; б)
2х - 11
|агс^тту|>
7Г
4’
по
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1546. a) arccos(2T — 3) > 4- | arcsin(2T — 3);
б) 2 arcsin у/х < ^ + arccos у/х.
1547. a) arccos Д2 1 > arcsin0,6; б) arcsin arccos0,8.
1548. a) arcsin(l - 2зтт) > б) arccos(-2sinT)
1549. a) arctgQ 4-cost) < б) arcctg(2 - tgх) > .
1550. a) arccos(— cosT)^arccos(2sinT);
б) arcsin(2 cos т) arcsin(tgx).
1551. a) arcsin(2 sin2 т) > arcsin(sinx);
б) arcsin(tg х) + arccos(tg 2т) .
Решите следующие неравенства с параметром (1552—1569).
1552. a) sin х < 1 — а;
1553. a) 2 sin 2т а;
1554. a) a sin х < 1;
1555. а) (а — 1)sinT >а;
1556. а) 2 — tg а? > а;
1557. a) (2a-l)tgT^2;
1558. a) 2sina71 >0;
' shit 4-а
1559. a) a sin 2т > cos2 х;
1560. a) sin2T4-2(a — l)sinx + l>0;
б) cos2 х — 2(a + 2) cost4-4^0.
1561. a) asinrc<tg
1562. a) asinT V2cost 4-1;
1563. a) asin»+2cosx>
1564. a) sin2 x 4- sin 2x > a cos2 x;
6) a sin2 x + 4 sin 2x 4- a cos2 x < 0.
1565. a) sin2 x + a sin x • cos x a;
1566. a) |2sinT4-a| > | cosT4-a|;
1567. a) sin2 x 4- 4 sinT a2 4- 4a;
1568. a) arcsin(2 — x) > a;
1569. a) a arcsin x < 7r;
6) cos x 2a.
6) cos > 2 — a.
6) a cost > 2.
6) (a + l)cosT<a-1.
6) 2ctgT < a.
6) (2a 4-1) ctgT > a.
a cos x +1 _ „
6) й-----ГТ < 0-
’ 2 cos x 4- 1
6) a cos 2x > cos x 4- sin x.
6) atgT — ctgT < 2.
6) a cos x > \/2sinT + 1.
6) sin 2x a(sin x — cos x).
6) a sin2 x > 6 sin 2x - a.
6) |2tgT + a| >ctgx.
6) cos2 x — 6cost < a2 — 6a.
б) агссоз(2т 4-1) + a 0.
6) (2 — a) arccos т 7Г.
§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства
111
Решите следующие системы (1570—1573).
1570. а) 3 sin х > 1 + cos 2х, х4 — 2х3 — 4а:2 + 5х - 6 < 0;
б) < tgx — 2 ctg а: > 1, а: 4-1
1571. а) < ’ 4sin2 х 4- 4cosa: > 1, sin(7rcosa:) < ~; 6) < cos 2x cos x 0, cos(?r sin x) > .
1572. а) < cos За: > cosa:, 2<^-; L О — X 6) < sin 2a: < sin x, 3^.
sin(--1^ a) <2-0,5, \ 1 4- x2 J ' ( 4тг \ _ 1
1573. а) < 6) < СО\24-я2/ " 2
a:3 — x2 — x + 1 0; x < y/x 4- 2.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное
неравенство выполняется на данном множестве X (1574—1579).
1574. a sin a: a 4-2; a) X = R; б) X = [0; 7г].
1575. (14-a)cosa:> 2a — 1; a) X = R; 1576. sin2 a: 4-a sin a: 4- 1 ^0; 6)*=[f; т]-
a) X = R; б) X = [тг; 2тг].
1577. 3 4-cos 2a: > 4a cosa:; a) X = R; 1578. sin2 x a cos x; б)Х=^;^]и[^;27г]
a) X = R; б)Х=[-5;2]. 7 L 4 ’ 4 J
1579. a2 4- 2a — sin2 x — 2acosa: > 2;
a) X = R; б) X = [arccos 1; . L о Zi J
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное
неравенство не имеет решений на данном множестве X
(1580—1583).
1580. 5 — 4 sin2 х — 8 cos2 | > За;
a)X = R; б)Х=[^;7г].
112
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1581. 2 - 2cos2x < За + 4 sinx;
a)X = R; б) Х = [7г;27г].
1582. cos2x + 4cosx^2a(2 + cosx) — 1;
a)X = R; б)Х=[|;^].
1583. sec2x + 2tgx>a+l;
Решите следующие неравенства, где f(x) — данная функция
(1584—1588).
1584. /(х) = sin 2х; а)/(х) >/(2х); б)/(х) >/'(х).
1585. /(х)= sin2 х; а)/(|}^/(х); б)/'(х) </"(х).
1586. /(х) — 4cosxsin3x; а)б)/'(х)>0.
1587. /(х) = ^; а) /(2х) > /(х); б) /'(х) С 0.
a)/(x-j)>/(x + ^); б)/'(х)>0.
1589. Дана функция /(х) = cos Зх + a cos х. Известно, что одним из
л / \ л 27Г
корней уравнения /(ж) = 0 является -у.
а) Решите уравнение f (х) = sin2 х — .
б) Решите неравенство /(х) 0.
1590. Дана функция
/(х) = a2 sin2x — (а + 2) • sin(x+
Известно, что одним из корней уравнения /(х) = 0 является
а) Решите уравнение /(х) = 1.
б) Решите неравенство /(х) 0.
х ~Н 2
1591. Дана функция /(х) —
а) Решите неравенство /(tgx + 1) > / (sinx).
б) При каких значениях параметра а уравнение / (1 — 2 cos х) = а
Г тг Зтг1„
не имеет решений на отрезке г
1592. Дана функция f(x)= ^2 _ 2д. + 4)2 •
а) Решите неравенство /(1 + ctgx) > /(tgx).
§4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства ИЗ
б) При каких значениях параметра а неравенство /(cos Зх —
— 5 cos х) < а выполняется при всех х € |о; ?
1593. Дана функция /(х) = (а.2 2)2 •
а) Решите уравнение /(1 + 2sinx) = /(— cos2 х).
б) При каких значениях параметра а неравенство /(а2 + 4а)
> /(cosx + 1) не имеет решений?
2х2
1594. Дана функция /(х) = - •
а) Решите уравнение /(— cos2 2х — 2) = /(sin2x — 2).
б) При каких значениях параметра а неравенство /(4 — sinx) >
/(а) выполняется на R?
1595. При каких значениях параметра а уравнение
х2 + ~^= + + 36 = О
л/sin a cos а
имеет хотя бы один действительный корень?
1596. При каких значениях параметра а уравнение
х2 + -^= + — + 2^2 = О
v^sina cosa
не имеет действительных корней?
§ 4. Показательные и логарифмические уравнения
и неравенства
Решите следующие уравнения (1597—1630).
1597. а) З®2-1 = 9; б)2® = 7; в) 42®"1 = (0,5)"i.
1598. a) 3®2+1 =4; 6)52х~1 = 3; в) 83х~2 = (0,25)<
1599. a) (0,7)l3+x2-2 = 1; б) 3^1 = j; в) 2х3~х = 5.
1600. a) (0,2)sinx = 5cos2a:; б) 2СО8Х = 1,5; в)28‘пх = |.
О
1601. a) (0,25)8in2® = (0,125)COS®;
в) 21‘8 *1=5.
1602. a) 7lx+2l=2;
в) (х2 — Зх)'/®-1-2 = 1.
б) (sin2x)'/6 ® ®2=0;
б) 22x+IxI = i;
3
1603. a)log2x = — 1;
1604. а) loga.3 = -l;
б) log3(2x+ 1) = 2;
б) 1о8х+12 = 2;
в) log5(|x| — 1) =0.
в) log4_a.a3 = l.
114 Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1605. а) | log5 х| = 1; б) | log,. 31 = 2; в) log3(2z -|®|)=2.
1606. a) 22®+1+3-2® = 2; b) log0i5(ll-27l®l) = -l. 6) 9®+3® = 12;
1607. a) 8® + 3-4® = 3 • 2® + 1; в) 2®+1 -5® =200. 6) 32®+3 + 1 =4 • 3®+1;
1608. a) 5log°2® =a? +2; в) 54®+1 - 21 53® - 16 • 52® - 6) 4log2®=a: + 6; 21-5®+ 5 = 0.
1609. a) 3log» ® + 2 a:logs3 = 9; в) 42®+1 + 5 • 23®+2 + 21 4® = 6) 2log7 ® + 3 • a:logT 2 = 2; :5-2®+1 + 3.
1610. a) log2(2a: - 1) + log2(3 - x)= в) log2 a:2 + log4 |®| = 2,5. = 1; 6) log2 x + log4 a:2 = 6;
1611. a) 1g2 x — 21g x - 3 = 0; в) log2(lna:+ 1) = 1. 6) log3 x + logx 3 = 2,5;
1612. a) lg2 x + log4 x = 9; в) log2(26 - 2®) = x. 6) log3a: = log9(3a: + 4);
1613. a) log2 cos x + log2 sinx = -2: ; 6) log01(sin2a;)+lg(cosa:)=0.
1614. a) log2 (а:2 - 3) • V^2 - За: = 0;
б) log,. (6 + 5а: — а:2) • 7 а:2 — За: + 2 = 0.
1615. a) log5(l - sin а:) • 76а: - а:2= 0; б) log3(6a: - а:2) • 7sina: = 0.
1616. а) 4®+'/®^ - 5 • 2®“1+= 6;
б) 9®2”1 -36- 3®2-3 + 3 = 0.
1617. а) 3 • 16® + 2 • 81® = 5 36®; б) 3®+^ + 9® = 6 • 9 А
1618. a) 4tg2 ® + 2sec2 х = 80; б) 818i"2 х + 81cos2 ® = 30.
1619. a) log2(25® - 6) - 1 - log2(5® +1) = 0;
б) 21g 2 + (1 + lg3-lg(3± +27) =0.
1620. a) (72 + 73)® + (72 - 73)® = 4;
б) 2®2-1 - 3®2 = 3®2-1 - 2® +2.
1621. a) 3l®+2l = 5l®l-i; 6) 2®2+3® = 3®+1.
1622. a) 3® • 8 A =6; 6) 2** • 5® = 50.
1623. a) logx2_x_2(6a:2 - 2x - 5) = 2;
6) logx+iCr3 - 9a: + 8) • log^^a: + 1) = 3.
1624. a) log3l+7(9 + 12a: + 4a:2) + log2l+3(6a:2 + 23a: + 21) = 4;
6) l°gi-2x(®a'2 - 5a: +1) - log1_3x(4a:2 - 4a: + 1) = 2.
§4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 115
1625. a) logcosх(2 cosх + sin х) = 1; б) logsin х (sinх -1 cos= 3.
1626. a)3 + loga.+19 = logx/3(a:+l); б) ^г(9ж2) log3x = 4.
1627. a) 3x/log2ж —log2(8a?)Н-1 — 0; б) log|(4z) +log2(y) =8.
1628. а) yiog2(2x2) -log4(16;r) = log4(z3);
б) log2 х У log.,. 8 • logx(2a;) - 2 + 1 = 0.
1629. а) ;г1о«з(3х) = 729; 6) (2z)log2(8x2) = 1024.
1630. a) x3+lg « = 400; 6) 3logl1 + a:log3« = 162.
Решите следующие уравнения с
1631. а) 4х - а(а + 1) 2х + а3 = 0;
1632. a) |log3x + a| =log9(a:3) + 6;
1633. а) У log^. (a•ж) loga ж = —У2;
параметром (1631—1634).
б) 3'/х+“ = 9х • УЗ.
б) | log2(2x)| = log2 (I) +а.
б) log3(z + a) - log3 x = -1.
1634. a) log2(2x - a) = log2(4x-1 - 1) + 2;
6) log3(a + sina:) = logv/3(cosa:).
Решите данное уравнение, если известно, что одним из его корней
является данное число b (1635—1637).
1635. a)logx2(^) = l; 6 = 5;
б) |а + log7 ж| = 2 + log i х\ Ъ = 7.
1636. а) 3х + а-3? +а2 = 49; 6 = log^/g 5;
б) a:log“<xa2) =а3; 6 = 2.
1637. а) а log4(3a; - 2) + 2 log3a;_2 4 = 5; 6 =1,(3);
б) 1 -+ yioga ж = log^ ж; 6 = 4.
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых данное
уравнение имеет хотя бы один корень (1638—1641).
1638. а) (0,3)х = б) е'х1 =
7 ' ’ ' а + 3 ' а2 — 1
1639. a) 4 lx~2l - 2lx~2l+1 + а = 0; б) 4х + а • 2х + а2 = 2а + 3.
1640. a) log2(х2 — а) = log2(4a; + 1);
б) log2 (2ж + а) + log2 (5 — ж) = 1.
1641. a) |21og3x+ 1| = log3(a: + a);
б) | log3 х + а| = log3(x + 3“+1).
116
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых данное
уравнение имеет ровно один корень (1642—1646).
1642. a) 2I*-1! = а2 - а - 1; б) З4*"*2 =
1643. a) log2(x2 - 2х + а) = 2; б) log i (ах2 + 4х) = -2.
1644. a) log3(x3 — Зх + а) = 1;
б) logi (Зх4 - 4х3 - 12х2 + а) = -2.
1645. a) log2(x + 2) = log2(x2+а);
б) log2(a - Зх2) + log0>5(8 - х3) = 0.
1646. a) 9* - 3®+1 = а2 - 5а + 4; б) 2х(2® + а) = а - 15.
Определите число корней данного уравнения в зависимости от
параметра а (1647—1649).
1647. а) а • 2х + 2~х = 1; б) х = а • ех.
1648. a) log4(x2— a) = log2(x +1); б) logl+1(2x + a) = l.
1649. а) Vx2 + х + a • log2 х = 0; б) ^х2 —2х —a lg(x2— 3) = 0.
Решите следующие неравенства (1650—1681).
1650. а) (0,2)х2+3:г < 5;
б) 3^ > 9х/3;
в) 3iog2(x+i) 9
1651. а) 4sina:^2;
б) (0,2)sina: С (0,2)cos2 х;
в) log0 3(3sinI — 2) > 0.
1652. а) (у/2 + 1)х2+5х+3>(>Л-1)_х;
б) (^5 + 2)1-1^(У5-2)^т.
1653. a) logi (х2 — Зх) 0;
1654. a) log0i5 (log3 >0;
1655. a) log2(sin2x) <log2(cosx);
б) log2 (х +1) ^ log4 (2х2 + Зх).
б) log3(log0i5x)>-l.
б) log01(tgx) +lg(ctgx) >0.
1656. a) log0 5(cosx)+ log2(tgx) 1;
б) 2 log4(sin х) + log2 (cos х) + 2 > 0.
1657. a) log2 х + log2(x + 2) > 2;
б) log3(x2 -1) + logi (x + 3) -1.
1658. a) (0,5)log2(l2-1) <1; 6) 9Iog3(^fr) < (x + 2)-2.
1659. a) 2l+2 + 5 • 3*4 2*-1 + 3x+2; б) 40’5-1 < 4 + 2logs 7~x.
§4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 117
1660. a) log, 2>—1;
1661. a) log3_, а:<-1;
1662. a) log;;. 2 — logs 2 < 1;
1663. a) log,+2(a:2 — 5а:) > 0;
1664. a) log|x+6| 2 • log2(a:2 - х - 2) > 1;
1665. a) log_i_ (6x+1 - 36х) > -2;
ч/б
1666. a) V22x+1 - 1 + 2 2х;
1667. а) 9х - 12х 24х+1;
1668. a) 4tgx — 5 • 2tgx + 4 > 0;
6) log4_,2 3^1.
б) log2(\/a: + 3 — х — 1) < 1.
б) log, 3 + logs (За:) > 2.
, / 4а: — 5 \ . 1
б) 1о&*Ц|х_2|,) 2’
б) log|x|(\/9 — а:2 — а: — 1) > 1.
б) logi (2Х+2 - 4х) > -2.
б) + 3х - 2 + 3х Ss 9.
б) 4х + 32х+2 log32 > 6x+loge5.
б) 4вт2(тгж) _|_ з . 4cos2(?ra) g
1669. а) (2-УЗ)СО8Х + (2 + у/3)СО8Х
61 1 > 1
/ 2sm x-f-1 _ 1 | _2sin x *
1670. a) log3in, 2 < logsin,(4sin3 a:);
1671. a) y/log3 x — 2 log9 yjl- > 0,5;
a) ^-log^-iog^x2) > 1.
1672.
1673.
1674.
a) va:log2 j
a) i/log9 (3a:2 — 4a: + 2) +1 > log3(3a:2 — 4a: + 2);
б) ч/1о&(8а:) + v/log2(64a:3) < 5.
1675. a) logs 3 • log3x 9 > 1;
6) l°g4x(2a:) logx 4 logx( v^r3).
1676. a) log, (2a:) > ^log,2 + 3;
-----< Г
log3(9-3x)-3^ ’
(27ж-я:) -log2(5-a:) >
I logo,5 - 2
(| log2a:| - l)(2a2 + a: — 1)
4x _ 2*+з + 16
1677. а)
1678. а)
б)
1679. a) log, 2 > log,+1 4;
1680. а) | log2 аг| > | log2(2a: — 1)|;
б) logtg X 3 С logtg х (3 tg2 а:).
б) log, 9 — log3(3a?) — 2.
б) a:lg2x-31gx > 1000 а:-1.
б) я;1оКо,2 (5«) 91о8о,(з) 5.
б) log, (За:2) ч/log, (За:4).
(2а:2—a —l)-log05(a:+2)
б) ^х_2х-2
б) 10gx+1 3 < log2|,| 9.
б) |log,(2a:)|<|log,4|.
1681. a) (4a: - x2 - 3) • log2(cos2(7ra:) + 1)^1;
6) 2~Ix-2I • log2(4a: — x2 — 2) 1.
118
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
Решите следующие системы (1682—1684).
1682. a) < / x x's®-2
(^r) <100,
kio;
Ч 41 + 15 2l+3;
\log2(i)^8,
1683. a) < sin x + sin 2x > 0;
1684. a) < '(2®-l)l2+4l = (2a:-l)x+5 , logx+i(a:2 + a:-l)^l;
6) - '|a: + 2|l3+4l2-2x = (a; + 2)3) (0,25)sinx >2CO8X.
yiog2(8a:)>log2Q
(2х-1)(3-х)
log2|sc —1|
logx2 + log4x2^1,
* • 2
Sin Ж < COS X.
Решите следующие совокупности (1685—1686).
1685. а)
1686. а)
1о§2 х - 3 • log2 (f)
log2 X — 1
л/3^1< 5;
<1,
log2a:>log2(2a;- 1),
д.~5.. >Q
. log3 |х - 2|
logx+i(4*-3-2*+1 + 9)<0,
у/х + 2 log0 7 (я + 3) > 0;
б)
logtgx(sinx) > 0,
logctgx(eosx) > 0.
Найдите множество всех тех значений ж, для каждого из которых
справедливо ровно одно из данных неравенств (1687—1690).
1687. Qy°gJ(x te)<l,5; logx3(a;+12)>l.
1688. log2|^-|<l; log0 3(2® — 1) > 0.
1689. 8* + 4х +1 > 2®+log2 3;
y/x2 — 3a: — 4 • log0 3(a: + 3) > 0.
1690. logx(3 —x)>l; 22l+1 + l<2l+log23;
(log2(2z + !)-!)• log! 75 2 < 1.
Решите следующие неравенства с параметром (1691—1695).
1691. a) log2(aa: + 2) 1;
1692. a) log3(a: - 1) < log3(a -1);
1693. a) log2 х — 4a • log2 x + 16 > 0;
6) loga(2a: + 3) 1.
6) log0,i(z2 - 3x + a) > -1.
6) log2 (x2 — 4ax + 16) < 4.
§4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 119
1694. а) а2 - 9®+1 - 8 • 3® • а > 0; б) а2 - 2 • 4®+1 - а 2х+1 > 0.
1695. а) 2а2 4®+1 - а 2®+1 > 0;
б) 42®+1 • а2 - 65 • 4®'1 • а+ 1 > 0.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множество решений одного из данных неравенств содержится
в множестве решений другого (1696—1699).
1696. 9x + 18<9f+log3v/n; ж2 + 2а а2 + 2х.
log2(j)
1697. 2®>а2 —4а; ---- > 1.
’ 1 — х
1698. logi (|я;| -а) > -2; | log2(|rr| + 2а)| 2.
1699. log2(2rc — а) < 1; 3®+1+а<1.
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых данное
неравенство выполняется на данном множестве X (1700—1705).
1700. a) loga(a;2 — х + 2а) 1; Х = К;
б) 1°g2a+i(a;2 + 2z + 4a)>1; X = [0; 4].
1701. a) loga_2(2® + a + l)>l; Х = Ж;
б) log3_a(3® + а2 — 6) 1; Х = (-оо;1).
1702. a) 2i2-°>4; Х = К;
б) З®2"® > \/3“; Х = [1;+оо).
1703. a) 4®-a-2®+1 + 3a + 4>0; X = R;
б) log3a-a:2 + 2a; + log3a^0; Х=*(—оо;—1].
1704. а) х2 — 2а -х + 4 >0; Х — (—оо; 1);
б) х2 + loga 2 • х + loga 2 > 0; X = [1; +оо).
1705. а) 3° • х2 + х + 3“ > 0; X = [-1; +оо);
6)logx_2o(2a: + 2a)^l; Х = [4;8].
При каких значениях параметра а решение данного неравенства
содержится в данном множестве X (1706—1708)?
1706. а) 4® —2®-а + 4^0; Х = [0;2];
б) a • 4® — (a+1) • 2® + 16 0; X = [4; +оо).
1707. а) log3a+10(2z - a) > 1; X = [-2; 0];
6) logo-i^z + a) 2; Х = [-2;1].
1708. а) log2 х — 2(a + 1) log2 х + а2 + 2a < 0; X = [0; 5] U [10; 16];
б) а log2 х + 2a log3 x — a + 2 > 0; X — (0; 9) U (27; +oo).
120
Глава 7. Основы дифференциального исчисления
1709. Найдите все значения х > 1, которые для всех значений Ъ € (0; 2]
являются решениями неравенства log^a^ (х + 2Ь — 1) < 1.
1710. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
уравнение (1 — 2а)х2 + 2а+1 х + 4 = 0 не имеет корней на от-
резке [5; 8].
1711. При каких значениях параметра а числа \/а + 1 и 1 — х/а + 2
являются решениями неравенства
log5(a; + 3) log3 5 > \og^(2x + 1)?
1712. При каких значениях параметра а одним из корней уравне-
ния log5(T2 + 2 cos а) + log25 9 + = 1 + 31о§5 2
является число —2?
1713.
1714.
1715.
При каких значениях параметра а ровно одно из чисел 2 + cos а
log0i5(x2-2a;)
и sin а является решением неравенства (д. + 2)log2(*+2) —16 U
При каких значениях параметра а оба числа 1 + sin 2а и sin а — 1
log2 |x - 3| - 2
являются решениями неравенства -—------------ . 2 U
(2х “ 5х — 3jyX 1
При каких значениях параметра а оба числа sin а и cos 2а не
удовлетворяют неравенству log2(2a;2 — х) 0?
1716. Найдите все значения х, удовлетворяющие данному уравне-
нию при любом положительном значении а:
loga+i (a2 + ах + х — 1) = log2(z3 - 2х2 4- х + 2).
1717. Найдите все значения х, удовлетворяющие данному уравне-
нию при любом значении а:
^+о2+1(а2 • х + 2) = 2 log7+2a;(5 - -/6-2а:).
1718. Найдите все целые значения параметра п, удовлетворяющие
неравенству
^Зсов^-п+Ц ’
1719. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
решением неравенства
log 1 (x/z2 + a:r + 5 +1) log5(a:2 + ах + 6) + loga 3 > 0
а
является точка.
1720. При каких значениях параметра а уравнение
|я2 - 5|ж| + 4| = loga (2a)
имеет ровно четыре корня?
Образцы вариантов контрольных работ
Контрольная работа № 1
Вариант I
1. Найдите £>(</> о/), где
<р(х) = \J§ — x-x2, f{x) — (х + 1)-1.
2. а) Найдите функцию /(а:), которая определена на R и удовлетво-
ряет следующему тождеству:
У(2 - х) + 2/(а:) = 2х + 4 — 3 • ]а: — 1|.
б) Решите уравнение /о2(а:) = 0.
3. Пусть <ХЖ) —чётная составляющая функции
х + 2 при х < 1,
— х2 + Зх — 6 при х > 1.
Решите неравенство <р(х) х.
4. Дана нечётная периодическая функция /(а:) с основным пери-
одом 6. Найдите корни уравнения /(а:) = —0,5, принадлежащие
отрезку [8; 15], если
/(®) =
' 0 при х = —3,
/(я) = * 2 -х2 при -3 < X < ; -1,
х2 — Зх при -1 С х s ; о.
5. Пусть /(а:) = —х3 + За:2 — 4а: + 2. Решите неравенство
2 /о(-1\а:2 + 1) > а: + 1.
6. Решите уравнение х3 = 6 + ^а: + 6.
х2
7. Постройте график функции /(а:) = % —j
8. Найдите значение параметра а, при котором наименьшее значение
функции f(x) = 2х — |3а: + о] на отрезке [а — 1; а 4- 2] принимает
наибольшее значение.
122
Образцы вариантов контрольных работ
Вариант II
1. Найдите Е(<р о /), где f (х) = х2 - 2х + 2, <р(х) = 2*•
2. а) Найдите функцию f(x), удовлетворяющую на R тождеству
' 2x2 — 2x +1 при x < —2,
2f(x)-f(-x) = « x2 — 6x при — 2 С x 2 2,
— x2 + 2x — 2 при х > 2.
б) Решите неравенство /(х) < х2 + х — 3.
3. Пусть <р(х) —чётная составляющая функции /(ж) = 2х - |х — 1|.
Решите неравенство у?(х) 5х.
4. Решите неравенство
(4 - 2х)>/1 — 2х > (9 - х2) \/б-х2.
4х3 т>
5. Докажите, что функция /(ж) = ” обратима на множестве R+.
6. Решите неравенство
3(х2 + Зх)5 + 2 > +
'д.3
7. Постройте график функции /(х) = 2'4 (^ез Указания координат
вершин).
8. Дана функция /(х) = х2 - |х2 - 4х|. Найдите значение парамет-
ра а, при которых выполняется равенство Lf[a\ а + 2] = 2.
Контрольная работа № 2
Вариант I
Найдите следующие пределы (1—8).
1.
3.
lim
х—♦ — 1
х4+2х3+Зх2+4х+2
2х3—х2—8х—5
lim
П-+4-СЮ
f(2fc + 3)-|
к=0_______
п2 + 4п
„ .. v^x2 — 7х + х — 1
2. lim -------. ..-=-----
х—»—1 \/х2 — Зх — 2
. .. х3 + Зх2 —4
4. lim ——г—.
х-,1 8ш(2тгх)
5. lim
х—*0
sin Зх — sin 6х
arcsin(4x)
6.
log4(x3 + x2-l)
lim ... . .
1 ^/(2х—I)5 —1
7. lim
х—► — 1
З1*"1 —9
9-* -3-® -6’
8. lim (1 +sin х) sin ix ,
i->0
Образцы вариантов контрольных работ
123
9. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых верно
равенство
10.
1. За + 4 + 9а „ „
шп —х----------х = -0,9.
х->3а х2 — 2х — а — 2
Последовательность (ап) определена рекуррентно:
„ an + 2
— о, &п+1 _ | с
ап т о
Докажите, что существует lim ап, и найдите этот предел.
Вариант II
Найдите следующие пределы (1—8).
4
5
1.
|6+2а:—х6| + (3а:2-За:-1)3
пт -----------------------——
(2а:3 —За:2 — I)2
2.
10 — 4 а:10 + х5 — 6
3.
lim
х—♦—оо
2а:+ 1
(2n-l)(3n-5n+1)
-i+oo (5п + 2)(п + 5п)
„ у/2х - 1 + а: - 2
•г™ arcsin (а:3 — 1)
„ 72х-1\х
4.
9.
10.
cos(3a;) — cos(5a:)
cos(4a:) — 1
_ ,. 3х —2х
7. lim-------.
x—>0 %
Найдите значения а и b из равенства
2ax2 — 3 , \ „
-37+T-ba:)=2-
Последовательность (an) определена рекуррентно:
ai = y/7, Дп+i = y/7 + an-
Докажите, что существует lim ап, и найдите этот предел.
lim
х—»оо
Контрольная работа № 3
1.
Вариант I
Найдите 2- lim /(х)— lim /(ж), где У(ж)= — 2-}.
х—>2— х—»-3+ L 0 J I ° J
2. Дана функция
/(*) = ’
да:2 + ba: +1
2 — х
2х +с
х +1
при х < 1,
при х 7? 1.
124
Образцы вариантов контрольных работ
Найдите а, Ь, с, если /(ж) непрерывна на R и одной из асимптот
графика является прямая у = ?х + 2.
«»-1
3. Исследуйте функцию /(ж) = х • ех'2~х на непрерывность.
2я;2 _д — 1
4. Постройте график функции f(x) = 2 а:+1 .
5. При каких значениях параметра а неравенство
________________________ах2 — 2ах — 5____ < „
х4 + 4х3 + (4 — а)х2 — 2ах + 3"
выполняется на R?
6. Найдите следующие пределы:
ч log2x — log4(a; + 2) 2 arccos(4-;r2)-тг
a) lim-----7—т-------: о) lim —тг--------—д—:—тт.
1 х-.2 х->-2 е-2а!+е~® — е2-1 — е2
7. Найдите все непрерывные на R функции, удовлетворяющие тож-
деству 3/(я: + у) = f(x) f(y) и условию /(1) - 6.
Вариант II
1. Исследуйте на непрерывность функцию
2 — Зх, если х € Q,
/(ж) = < — если х € Q' 1 х'
2. Дана функция
аа; + 1 х-2 при X < -1,
/(^) = < Ьх — х2 при и < 1,
х2 + х — 2 . х2 — 1 при X > 1.
Найдите а и Ь, если /(т) непрерывна на R.
г. т Т w 1 J? / \ dx bx2 4- 2х — 3 .. Л / \ п
3. Найдите а и Ь, если j(x) =-----------> bm f(x) е R и прямая
у = Зх — 2 является наклонной асимптотой графика /(ж).
4. Постройте график функции /(т) =
loga х - 2 log3 х
Mf)
5. Дана функция
ах2 + х — 1
(—5 — а)х2 -I- 2ах — 1
при х С 1,
при х > 1.
Образцы вариантов контрольных работ
125
При каких значениях параметра а неравенство /(т) < 0 выполня-
ется на всей числовой оси?
6. Найдите следующие пределы:
\/х2 — а; + 6 — 2
х arctg(a:2 — 1) ’
б)
7. Пусть т(а) и М(а)—наименьшее и наибольшее значения функ-
ции f(x) = 2х2 + ах — 2а — 1 на отрезке [—2; 1]. Решите уравнение
т(а) + Л4(а) = 6.
Контрольная работа № 4
Вариант I
2 _ х2
1. Исходя из определения найдите /'(2), где f(x) = ———.
2. Решите неравенство /'(ж) С 0, где /(т) = (2т2 — х — 1)4(3т -I-1)5.
3. Постройте график функции /'(ж), где /(ж) = {х — 3) |т2 - Зх|.
. и Л ,,/1\ ,, х logo,5^
4. Найдите f ч , где f(x) = —т=—.
\4/ \/Х
5. Решите уравнение у//(ж) = где /(ж) = х3 • е“2ж.
6. Найдите где /(T)=sin(|) -cos2^).
7. Найдите где /(т) — (1 — arcsinx)
Вариант II
1. Исходя из определения найдите /'(3), где /(т) = ——g-.
2. Решите неравенство /'(т) < 0, где /(т) = (т2 + 3т)(3т — 2)5.
3. Решите уравнение /'(т) =0, где /(т) =т2 • \/1 — Зх.
4. Найдите /'(—1), где /(ж) = х2 arccosQ .
5. Найдите где /(ж) =зт3(2т).
6. Найдите lim , , где f(x) = ех2~1 — 2х.
Х_1 х2 - Зх + 2 ’ J v ’
7. Найдите /'(т), где /(ж) = у/х(2х+ 1)ж.
126
Образцы вариантов контрольных работ
Контрольная работа № 5
Вариант I
1. Найдите /' ) > гДе f(x) = 2sin2’ cos(2t).
2. Решите уравнение р'(х) + х = 5, где <р(х) = ty(2x — I)6.
3. Составьте уравнение касательной к графику функции
f(x) — |(2т —Зт2)-T-sin(^)
в точке этого графика с абсциссой 1.
4. Найдите уравнение касательной к графику функции
р{х) = —2т3 — х2 + Зт 4-1,
проходящей через точку М(0; 6).
5. Найдите Ef, где f(x) = 3 ^3---Н8т на отрезке [—1; 2].
6. Найдите расстояние от точки Af(—1; — 1) до графика функции
f(x) - х2 — 4х + 3.
7. Исследуйте функцию f(x) = 3 \/(а:+1)2 — 2т и постройте её гра-
фик.
Вариант II
1. Найдите р'(—1), где <р(т) = у/2х + 3 fyx.
2. Решите неравенство /'(т) ~^х, где /(т) — 1п(2т2 — 1).
3. Составьте уравнение касательной к графику функции
,. . arcsin (2т)
/(*) = --------------------------J----
в точке этого графика с абсциссой |.
4. Найдите уравнения общих касательных к графикам функций
{2т2 — т — 1 при т О,
— т2 + 4т — 1 при т > 0.
и = х2 + 2т.
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /(т) —
= т3 + 2т — т2 • |т +1| — 2 на отрезке [—3; 2].
6. В арифметической прогрессии аз = 1, d > 0. При каком значении
d произведение 1-го, 2-го и 5-го членов будет наименьшим?
7. Исследуйте функцию /(т) = (1 — х)е~х и постройте её график.
Образцы вариантов контрольных работ
127
Контрольная работа № 6
Вариант I
1. Решите уравнения:
a) ^in^x—^J^cos^x-I-^J = \/cos(4rc);
б) cos(2tt sin 2x) = sin^71-^^^.
2. Из корней уравнения
2^cos^2x- у-) — cos^2x4- y-)) 4-3\/3 = 4V2(sinx 4- cos a:)
отберите те, которые принадлежат отрезку [—2л; .
3. Решите неравенства:
а) VI+ 2 cos а: + sin х > 0; б) arcsin . arcsin —.
' ’ ' 1 + х х
4. Найдите Df, где /(х) = (л/Д5- sinx 4-0,5 • sin2x)-0’5.
5. Дана функция f (х) = .
а) Решите неравенство /(tg х 4-1) > /(sin х).
б) При каких значениях параметра а уравнение f(sinx') = a не
имеет решений на отрезке [—
Вариант II
1. Решите уравнения:
a) (tg х + 3 tg 2х - 2) • у/2т2 — тх — Зх2 = 0;
б) cos 4х + 5 sin2 х = 3,72.
2. Найдите корни уравнения sin =2sin^, удовлетворяю-
щие неравенству х \/х + 3.
3. Решите неравенства:
a) 2(sin х -Ь cos х) < 3 sin х • cos х 4-1;
б) arccos(x2 — 2х) 4- arcsin(x 4-1) > л-
4. При каких значениях параметра а неравенство cos2х>аsinx —
i-i Г71- 7л1„
— | sinx| выполняется на отрезке 2> "g" •
5. Дана функция /(х) = •
а) Решите уравнение /(—1 — cos2х) = /(3sinx).
128
Образцы вариантов контрольных работ
б) При каких значениях параметра а неравенство
/(а2+4а)
не имеет решений?
Контрольная работа № 7
Вариант I
1. Решите уравнения:
а) у/1 + 2х + 2х = 2&~1-, б) a;21og3а:~1о8\/з5 = 225.
2. Решите неравенства:
а) (0,25)1ж1 -2~х (0,008)log=2; б) 4х + 2х+'/х 6 4^;
в) log2(sin:r) - 31ogsinx 2 > 2.
3. Решите неравенство с параметром:
log2(a; + а) - 2 log2(x - 1) + log4 9 < 3.
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых урав-
нение х + log 1 (9х — 2а) = 0 имеет два корня.
5. Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа 3 sin а+5
и 9 cos 2а — 36 sin а — 18 являются решениями неравенства
(25т - За:2 + 18) у/х^1
log4 |а: — 7| — 1
Вариант II
1. Решите уравнения:
а) 2la:+1l+a: = 3log95; б) у/3 + logsinх 2 log4 sinх = cos .
2. Решите неравенства:
20 ^inx—1 । 2in®+i < 21пж” 1 | з^п:с‘
б) log^2-i(log|х) > log^- 1(1оёзх - 6);
в) log0>5 |z - 11(2 4х - 2x+1 + х • 2х - х) 0.
3. Решите уравнение с параметром: log3(x + 2) — log9(a; — а) = 1.
4. При каких значениях параметра а множество решений неравен-
ства logx_0(5 — я) > 1 содержит интервал (3; з|)?
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число
2 log2 |а: — 4| — 1
sin а + 2 является решением неравенства -----2)1ова<*~2)—16
но число cos 2а + 3 не удовлетворяет этому неравенству.
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
Вариант I
1. График функции f(x), определённой на R, симметричен отно-
сительно прямых х = —1 и х = 2; f(x) = 4 - х при х е [4; 5],
f(x) = х2 — 14х + 48 при х € [6; 8]. Решите уравнение f(x) = ж 2.
2. При каких значениях параметра а верно равенство
lim 2f.+aX~10- = 3?
х->2а х2 + х — 5а — 7
3. Решите неравенство Р(х) 0, если Р(х) — многочлен третьей сте-
пени; Р'(х) + Р"(-х) = 12х2 — 8х + 5; F^cos = 10.
4. Найдите расстояние от точки М (—1; 1) до графика функции
Г 3 о
f(x) = J Тх при х > О,
I — 2х — 5 при х 0.
5. Найдите все корни уравнения sin 2х + \/2 - 5 sin2 х = 0, принадле-
жащие отрезку [—4; х/7].
6. При каких значениях параметра а уравнение 2 lg(x + 2) = 1g(ах)
имеет единственный корень?
7. Исследуйте функцию /(х) = 3 ^/(1 — х)2 — х и постройте её график.
Вариант II
1. Докажите, что функция /(х) = Зх3 4- 2х2 + х - 5 обратима на К,
и решите неравенство /°(-1)(х) 2х — 1.
2. Найдите lim —81П(27ГЖ^-.
х-п х2 — х/х + З +1
3. Найдите синус угла, под которым пересекаются графики функций
/(х) = х2 — 4 и <р(х) = х3 4-х — 5.
х3
4. Исследуйте функцию /(х) = х_2 и постройте её график.
5. Решите неравенство cos 2х -I- cosx —1.
6. Решите уравнение 22х+1 +18 • 2~2х — 11 2х — 33 2_® + 26 = 0.
7. Дана функция /(х) = sin х-sin Зх. Пусть g{t) = min /(х). Най-
хе
дите наибольшее значение функции g(t) на множестве действи-
тельных чисел.
130
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
Вариант III
1. Решите неравенство /о8(|ж Ч-3|) > /о8(|2ж - 1|), где /(ж) = д.^. р
2. Найдите уравнения касательных к графику функции
х2 + 2х + 2 при х О,
= 2 о л
х - 2х при х > О,
к
проходящих через точку М(1; —11).
v^3i + 4 — 2 соз(ях)
3. Найдите hm----------, —.
г-4 3 - у/х + 5
, „ „ . /я , Зх\ ~ . /Зя , аЛ
4. Найдите все решения уравнения sin( ) = ^sm( "д" + 2Г
принадлежащие отрезку [—я; я].
, D log2(z2 - Зх)
5. Решите неравенство , , х 1.
5 + logo ,5 \х + 4)
6. Дана функция /(ж) = log2 х — 3 log2 х. При каких значениях па-
раметра а неравенство /(ж) < a log2 х выполняется при всех х из
отрезка [2; 4\/2]?
7. Найдите число корней уравнения ж3 — (а — 1)ж + 2 — 0 в зависимо-
сти от параметра а.
Вариант IV
-(- 4з? — 1
1. Исследуйте на монотонность функцию f (ж) =--------•
2. Найдите корни уравнения /(ж) = 1, принадлежащие отрезку
[20; 31], где /(ж) —периодическая функция с основным периодом
То = 5 и /(ж) = min (ж2; 2ж + 8) при ж € [—4; 1).
3. Вычислите cos (arccos (sin у-) — 2 arcsin | .
4. Решите уравнение
log2(2x2 — Зж +1) + 2 =
= log2(3T - ж2) + log8(—ж3 + 24ж2 — 192ж + 512).
5. Решите неравенство sin ж ctg ж.
6. При каких значениях параметра а уравнение cos ж (4 sin ж+a cos ж) =
=3 —2а не имеет корней?
7. Составьте уравнение касательной к графику функции f (ж) = ж3 —
— 6ж2 — 15ж + 8, перпендикулярной прямой 24у — ж + 3 = 0.
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса 131
Вариант V
1. Решите неравенство 4 х v'r2 4- 1-
X I- а>Х j-
отт» 1 • 2ж3 + х 4- 3
2. Найдите пт ——г—.
х—>-1 аиця-х)
3. Решите уравнение logcos х 2 — 2 log2 cos х — 1.
2 — з'1'
4. Найдите Ef, где /(ж) =
5. Решите систему уравнений
{x/sin ж • cos 2у = О,
х/2 • sin у + sin2 х = cos х 4-1,25.
6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых нера-
венство 1 4- log5(cc2 + 1) > log5(aa:2 + 4ж + а) выполняется для лю-
бого значения х.
_ 4
7. При каких значениях параметра а уравнение х — а • е * имеет
ровно один корень?
Вариант VI
1. Функция /(а?) определена на R\ {1} и на этом множестве удовле-
творяет тождеству
2 +(*-!)•/(*)= 4* + !-
Решите неравенство f(x) >ж2.
2. Вычислите cos^ + 3arccos^-.
3. Найдите все общие касательные парабол
2 3 9 211 13
у = х* 4- *х - и у = -х' + ^х--^
4. Решите неравенство
(х2 — х - 3) агсзш(ж2 — х — 3) (х — 1) arcsin(a; — 1).
5. Решите уравнение sin ~ 1-
6. Решите неравенство a;!oso,2s(5) 1
О
7. Исследуйте функцию /(ж) = |х — 3| • \/х+ 1 и постройте её график.
132
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
Вариант VII
1. Известно, что функция /(ж) определена на Ж и удовлетворяет
тождествам
/(т + 1)-/(т) = Зт2 + 5т + 7;
f(x -1) + /(т) = 2х3 - т2 + Их — 17.
Докажите, что функция /(т) обратима на Ж.
2. Найдите значения параметра а, при которых неравенство
ах2 —х + а „
ах2 — 1
выполняется при х € Ж и функция
-/ ч За + 1 з За+1 2 । г
/(*) = —$~x--------—% ~ х + 5
убывает на Ж.
3. Решите неравенство агссовт > arctg
4. Найдите уравнение касательной к графику функции /(т) = т2 —
— |т + 2|, которая касается этого графика в двух различных точ-
ках.
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых урав-
нение 36® - (8а + 5) • 6® + 16а2 + 20а - 14 = 0 имеет единственное
решение.
6. Решите неравенство cos х < sin х + Vsin 2т.
7. Исследуйте функцию /(т) = т2 • е~х и постройте её график.
Вариант VIII
1. Решите уравнение <р(т) =3log94, где </?(т) —чётная составляющая
функции
{2т — 1 при т < 1,
х при т 1.
2. Докажите, что последовательность (ап), определённая условиями
щ = х/б, an+i = V3 + an (n € N), сходится, и найдите её предел.
„ тт „ 1п(3 + 2т2 - 4т3)
3. Найдите 1пп-----;---------.
г->1 81П(7ГТ)
4. Решите уравнение
log2a:+i(5 + 8T- 4T2) + log5_2a:(l + 4T + 4T2) = 4.
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
133
5. Решите систему
{sin(27rx) •sin(7ra;) > cos(7ra),
16а:2 < 8а:+ 3.
6. Найдите все значения а G R, при которых неравенство
| sin2 х — 2(а — 1) sin ж cos х + 5 cos2 х + 2 — а| С 6
выполняется при х G R.
7. Через точку А(9; —3) проведена прямая, которая является каса-
тельной к графику функции /(а;) = V18 — а:2. Определите угол
наклона этой прямой к оси абсцисс.
Вариант IX
1. Исследуйте на монотонность функцию
/(а?) = \Лг4 — 4а:3 — 2а:2 -I- 12а; + 14.
2. Найдите асимптоты графика функции /(а:) = > если
г о 9
hm 77— = -0,2.
х—1 /2(а:)
3. Вычислите sin(2arccos(—0,8)).
4. Решите неравенство log2cos2 ж(2 cosa: - 1) > 1.
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых урав-
нение
log3(a; + 2) = log2(a:3 - 5а: + а) • log3 2
имеет три действительных корня.
6. Найдите все значения х из промежутка [—2; 6], для которых нера-
венство а:(тг(а: - 2) + 8 arctg(4n2 + 8п + 3)) > 0 выполняется для
любых целых п.
х3
7. Исследуйте функцию /(а?) = ^,2 и постройте её график.
Вариант X
1. Найдите:
a) giogj?25.25-0’5; б) sin^ + arctg ;
(тгх\
, .. С°Ч 2 J
в) hm ------. „ ..=
х—»—1 х + у/1х2 + За: + 2
134
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
2. Найдите наименьшее значение функции /(х) = 3\/2 sinх - Зх +
[7Г 1
3. Решите уравнения:
a) -х/2+т-1^=0; б) 2\/log3 х - log9 = 2.
4. Решите неравенства:
a) Vsinx^cosx; б) 64-х gi + 1.
5. Составьте уравнение касательной к графику функции
/(х) = х3 + Зх2 + 5х — 7,
перпендикулярной прямой 29у + х + 5 - 0.
д.3_д.2_2д>
6. Исследуйте функцию /(х) =----гТД--- и постройте её график.
Вариант XI
1.
Найдите:
a) 4log2 5-1 • log243 9;
7ГХ \
2 )
в) lim
Z—l
у/2х — 1 — -/х2 + х — 1
2х3 + Зх — 5
г) /'(-1,5), где /(х) = V1 -2х cos2
2. Решите уравнения:
a) log3(x2 + х - 12) - log9(x2 - 2х + 1) = log8 2 + log2 8;
б) y/sin 2x + sinx = т/совх.
3. Решите неравенства:
а) т/1 + 2sinx < cosx;
б)
log2(4x) > 1
log4 х
4. Дана функция /(х) = —-—.
а) Составьте уравнение касательной к графику данной функции
в его точке с ординатой —1.
б) Постройте график данной функции.
в) При каких значениях параметра а уравнение х3 — ах — 2 = О
имеет три различных корня?
Вариант XII
1. Вычислите:
. . /4тг
a) sinl -д—arccos
Н))>
б) 3lo8»5-5~i’5
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
135
2. Решите уравнения:
a) x/a;log'<(4a:) = 8; б) cos х — sin За: = cos 5х — sin 7 а:;
в) ’ д/4 + За:-а:^ = 0; г) у/х2 + х-2 - \/6 — х=х + 4.
3. Решите неравенства:
a) Зг1°Ез 5+1 + 2 • 5l+1 13 • 4llog2 5;
б) logx2+2x(a:2 - 2х - З)2 > 2;
в) 2 sin2 а: — 1 \/2cos2T-|-sin2a:.
4. Найдите количество корней уравнения
(х2 + 2х + а — 2)(|х + 1| - а) — О
в зависимости от параметра а.
5. При каких значениях параметра а уравнение
2х - 1 + 1о&>5(2® - а) = О
имеет ровно один корень?
6. При каких значениях параметра а неравенство
log2(tgx)-logctgx4 < а
выполняется для любого х € (л; ^)?
Вариант XIII
1. Решите уравнения:
a) logx_24 + log2(a:-2) = 3; б) у/1-х — у/—2х = а: +1;
в) sin3 х = sin х — | cos х\
г) arcsin(x2 — 2х) + arccos(ar + 1) = ^.
2. Решите неравенства:
a) logx+1 (а:2 4- 2х)2 4; б) >/1-2 cos а: > sin а:;
в) у/х + </аГ+Т у/1 — х.
2~х — 3
3. Найдите Ef, где /(а:) = 2_х + 2.
4. При каких значениях параметра а уравнение
4х + а-2х+14-1-а = О
имеет единственный корень?
5. При каких значениях параметра а уравнение
(а + 4х - х2 - 1)(а - 1 - |х - 2|) — О
имеет ровно два различных корня?
136 Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
Вариант XIV
1. Найдите cosf^- — х), если cosx = —0,6 и х€ (—2~; —тг
„ u х2 + Зх + 2
2. Найдите lim . —
*—1 у/х+Ъ-2
2х — 1
3. Найдите Df, где /(x) = arccos д. + 1 •
4. Вычислите:
а) gl°g2(sin f )—log0 5(sin ^).
б) /'(—1), если /(х) = х • л/2х2 — 1.
5. Найдите уравнения всех асимптот графика функции
6. Решите уравнения: _______
a) sinх + cos | = 0; б) y/log2(2x) - log0 5 х = 5.
7. Решите неравенства:
a) 2ctgx + cosecx>0;
б) arcsin(x2 — 6) < arcsinx;
в) 3* < 9 + ч/З^З.
8. Составьте уравнение касательной к графику функции /(х) =х2,
перпендикулярной прямой Зх + 2у 4-1 = 0.
9. При каких значениях параметра а и b функция
{2х —3 при х С —1,
ах2+Ьх + 2 при х > —1
дифференцируема на R?
10. Найдите Ef, где /(х) =
11. Найдите /(х), если /'(х) = cos(2x) при х € R и f = 1,5.
12. Найдите расстояние от точки Л/(2; 0) до графика функции
/(х) = |(х2 + 1).
13. Найдите количество корней уравнения х4 — 4ах3 + 2 = 0 в зависи-
мости от параметра а.
14. Найдите все корни уравнения sin 2х = sin х — cos х, принадлежа-
щие отрезку [0; 8].
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
137
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вариант XV
Найдите /"(0), если Дж) = •
Упростите:
a) cos f лу- — arcsin | \ б) log3 4 log8 27.
Найдите следующие пределы:
a) lim—* +2з;----; б) lim (2ж4- Д4ж2 — ж 4-1).
Составьте уравнения касательных к графику функции
/(ж) = 4ж —ж2,
проходящих через точку (0; 1).
Решите уравнения:
а) 9х + Зж = 6;
б) 2 sin2 ж 4- cos2 ж = 3 sin ж cos ж 4-1;
в) log2(-cos|) 4-log0 25(—созж) = —0,5.
Решите неравенства:
a) cosec ж • уФ —ж —ж2 0; б) arcsin ж 4- arccos 2ж < ^;
8ш(2ж) . log х+2 < Д_
B'tgT4-2^U’ Х 256’
Найдите уравнения всех асимптот графика функции
8. Найдите Ef, где /(ж) =
LUu Jj
9. Найдите /(ж), если /'(ж) — 1 — sinпри жей и /(0) = -1.
10. Найдите все корни уравнения sin ж = cos ж 4- Д2 зш(2ж) 4-1, при-
надлежащие отрезку [—2; 14].
11. Найдите число корней уравнения ж3 4- аж2 — Зж 4- 2 = О в зависи-
мости от параметра а.
Вариант XVI
1. Дана функция /(ж) = (ж2 4- Зж — 4)5 • ж2.
а) Решите уравнение Д(ж) = 0.
б) Решите неравенство f'(x) 0.
2. Вычислите:
a) 9log<(sin Ж).
б) sin ( tv + 2 arccos 7
7 \ 2 О
138
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
3. Найдите:
(1ГХ\
С08(т) / Зх \
a) lim у-—2 ; 6) Е( 2 , , )
' х->-1 — 2х3 + х2 + 4х + 1 ' \х2 + 4/
4. Решите уравнения:
a) 2cos = 0; б) 71og2(2x)-21og4(^-)+l=0.
у — tga: \ ° /
5. Решите неравенства:
a) arcsin(z2 — 6) <arcsin^; б) 100 • ж10®0.11+1 > 1.
2
6. Исследуйте функцию /(х) = д----2 и постройте её график.
7. Найдите все корни уравнения sin а: = х/З • cos принадлежащие
множеству решений неравенства sin 2т sj —0,5.
8. Составьте уравнение касательной к графику функции
/(а:) = У 2 а: — 1,
перпендикулярной прямой За: + у +1 = 0.
„ _ Vein ж , Vsinx
9. Решите неравенство------< —д-д.
cos х cos(2x)
10. Найдите количество корней уравнения х3 + х2 — ах + 3 = 0 в зави-
симости от параметра а.
11. Сумма чисел а и b равна 6. При каких а и b выражение а3Ь
принимает наибольшее значение?
12. При каких значениях параметра а уравнение а| cos а:| = а2 — 2 име-
ет непустое множество решений?
13. При каких значениях параметра а уравнение
log2(a:2 + а) + logo5(x - 1) = 1
имеет ровно один корень?
Вариант XVII
1. Решите уравнения:
а) (х + 1)(ж + 3) = |т + 11(rr + 3);
_________ 7
б) у/х-3=у=;
ух + о
в) sina:(cos 2х + 2 cos2 х) — 1;
г) log2(3x2 - 2х - 1) + logo 5(х2 — Зя) = 1 ~ log2(l — я).
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
139
2. Решите неравенства:
4.
б) 52z+iog5 2 з 10® + 22®+log25;
к COS X . _
в) ........= 0.
л/6 + ж —ж2
3. Вычислите:
a) sin^ +arctg(-2));
б) cos(?r — 2а), если sin а = —0,6.
Найдите следующие пределы:
1п(ж2—3) (х+ IV
a) hm б) lim (---г )
х-»2 X2 4- X - 6 х^оо\Х-1)
Сравните числа а — cos2 22° и b = cos 18° • cos 26°.
5.
6. При каких значениях параметра а уравнение 9® + (5а + 3) • 3® +
+ 4а2 + За = О имеет единственное решение?
7. При каких значениях параметра а система
ах + у — а,
(а + 6)ж + ау = За
не имеет решений?
8. Найдите значения параметра а, при которых центр симметрии
графика функции /(ж) = -ж3 + ах2 + а2х - 80 имеет ординату 8.
9. Решите неравенство f(x) 3, если /(ж3 + 2ж) = 3 — |ж2 — х — 2| при
xeR.
10. При каких значениях параметра а уравнение
cos ж(3 cos х — a sin ж) = 4
не имеет решений?
11. Числа |, | являются членами арифметической прогрессии
с возрастающими номерами. Какое наибольшее значение может
принимать разность прогрессии?
Геометрия
Повторение курса планиметрии
1. Дан треугольник АВС, в котором |АВ| = 7, |ВС| = 10, |У1С'| = 15.
Найдите:
a) S(ABC); б) длину биссектрисы CL;
в) |ВТ|: \ТМ|, где М — середина АС, Т = СЬГ\ВМ;
г) |СТ|: \CL\; д)|О1о|.
2. Дан треугольник АВС, в котором |ЛВ| = 9, |ВС| = 7, |ДС| = 6.
Найдите:
а) длину медианы AAi;
б) Л; в) |В1|; г) \ОН\; д) \1а1ь\.
3. Дан треугольник АВС, в котором А = arccos |АВ| = 10,
|ДС| = 13. Найдите:
а) длину высоты ВК; б) площадь вписанного круга;
в) расстояние от точки I до высоты ВК; г) S(BKC).
4. Дан треугольник АВС, в котором |ВС| = 9, |АС| =7, Д = arccos jp
Найдите:
a) S(ABC);
б) площадь вписанного круга;
в) расстояние от вершины А до биссекторной прямой ВК;
г) |ВО|: |О.Л|, где О — точка пересечения медианы AL и биссек-
трисы ВК.
1 7Г
5. Дан треугольник АВС, в котором |ДВ| = 8, А = arccos В = .
Найдите:
а) Р(ДВС); б) длину медианы CCi;
в) р(С1; (ВС)); г) |ОД.
6. Дан треугольник АВС, в котором |ДС| =8, -4=^, B = arccos
Найдите:
а) Р(ЛВС); б) длину высоты СК;
в) га; г) длину биссектрисы СМ.
Повторение курса планиметрии 141
7. Дан треугольник АВС, в котором |АС| = 8, S(ABC') = —7—,
7 13 тт *
А = arccos Найдите:
а) Р(АВСУ, б) длину медианы BL;
в) |ВО|: |ОВ|, где О — точка пересечения BL и биссектрисы СК;
г) площадь круга, описанного около данного треугольника.
8. Дан треугольник АВС, в котором
|ВС| =7, В = arccos (-у), S(ABC) = бУб.
Найдите:
а) Р(АВС); б) та;
в) |О/|; г) р(Я; (АС)).
9. В системе координат даны точки А(5; —1), В(1; 5), С(—2; —6).
Найдите:
a) S(ABC);
б) уравнение прямой р, проходящей через точку А и перпенди-
кулярной прямой ВС;
в) \АВ-2В&\;
---> -->
г) такую точку D на прямой р, что CD АВ = 126.
10. В системе координат даны точки А(—3; —7), В(2; —10), С(5; 1).
Найдите:
а) р(В; (АС));
б) уравнение прямой р, проходящей через точку С и параллель-
ной прямойАВ;
в) |2АС-ЗВА|;
г) координаты такой точки D, что четырёхугольник ABCD яв-
ляется параллелограммом.
11. В системе координат даны точки А(4; 2), В(—1; —7), С(—6; 4).
Найдите:
a) S(ABC);
б) уравнение прямой р, проходящей через точку А и перпенди-
кулярной прямой ВС;
в) р(С; р);
' > > ---------> --->
г) координаты такой точки D, что BD АС = 0 и |2АВ + СВ| =
= х/370.
12. В системе координат даны точки А(—2; 4), В(4; 2), С(0; —2). Най-
дите:
а) р(А; (ВС)); б) cos АВС;
142 Повторение курса планиметрии
в) уравнение прямой р, проходящей через точку А и перпенди-
кулярной (ВС);
г) |2АВ-ВС|.
13. Дан прямоугольник ABCD, в котором |АВ| = 3, |АС| = 5; Л/ —
середина ВС. На стороне AD взята такая точка К, что |АК | = 1;
L = (КМ) П (АС). Найдите:
a) S(MKC); б) |AL|: |ВС|; в) |ВВ|.
14. Дан прямоугольник ABCD, в котором |АВ| = 8, |ВС| = 4; М —
середина АВ. На прямой CD взята точка К так, что |ВК| = 2.
Прямая КМ пересекает прямую ВС в точке L. Найдите:
а) \BL\-, б) S(MBCK)-, в) р(С; (МК)).
15. Дан параллелограмм ABCD, в котором |АВ| =4, |АВ| = 6, А =
= arccos j. Найдите:
a) S(ABCD); б) R(ABD).
16. Дан параллелограмм ABCD, в котором |АС| =4, |А£>| = 5, CAD =
• 2^6 „ .
= 7Г — arcsin -у—. Найдите:
а) \BD\; б) р((ВС)-, (AD)).
17. В параллелограмме ABCD одна сторона на 2 больше другой.
Диагонали параллелограмма равны х/19 и 7. Найдите:
a) S(ABCD);
б) длину биссектрисы СК треугольника ACD.
18. Дана трапеция ABCD, в которой |ВС| = 2, |А£>| =8, |АС| = 4\/2,
|BD\ — 2-/13. Найдите:
a) S(ABCD); б) S(AOB), где О = (АС) (1 (BD).
19. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой |ВС| = 4,
|АД| = 12, (АВ) П (CD) = М. Известно, что в эту трапецию можно
вписать окружность. Найдите:
a) S(ABCD); б) р(М; (ВС)).
20. Около трапеции ABCD можно описать окружность. Известно,
что |А£>| = 8, \ВС\ = 2, S (ABCD) = 15. Найдите:
a) P(ABCD)-,
б) расстояние от центра описанной окружности до прямой ВС.
Стереометрия
Глава 1
Основания стереометрии
21. Дано изображение ромба ABCD с углом А, равным 60°. По-
стройте изображение высоты ромба, проведённой:
а) из вершины В; б) из вершины С.
22. На изображении прямоугольного треугольника АВС, в котором
С = 90°, |АС|: |ВС| =3:4, постройте центры описанной и впи-
санной окружностей.
23. Дан треугольник АВС, в котором С = 90°, А = 60°. На изобра-
жении этого треугольника постройте:
а) высоту, проведённую из вершины С;
б) биссектрису, проведённую из вершины А.
24. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, в ко-
тором |AC| = 4%/5, |ВС| =2\/5. На изображении этого треуголь-
ника постройте:
а) высоту, проведённую из вершины С;
б) биссектрису, проведённую из вершины С.
25. На изображении прямоугольника ABCD, в котором |АВ| = 2,
| AD\ — 4, постройте точку К на отрезке ВС так, чтобы АК и BD
были взаимно перпендикулярны.
26. На изображении параллелограмма ABCD, в котором ВАС = 30°,
АО В = 60°, где О = {АС} П {BD), постройте биссектрису ОМ
треугольника AOD.
27. На изображении параллелограмма ABCD, в котором |АВ| = 5,
|АВ| =6, постройте точку пересечения биссектрисы угла BAD
и прямой CD.
28. На изображении равнобедренной трапеции ABCD, в которой
|АВ| = 8, |ВС| =2, tg А = 1,(3), постройте перпендикуляр, опу-
щенный из середины AD на прямую CD.
144 Стереометрия
Дана правильная треугольная пирамида РАВС. Длина стороны
основания АВС равна а, длина бокового ребра равна Ь (29—34).
29. Пусть а = 3, b = 6; Le РА, \PL\: |£Д| = 1:2; М — середина меди-
аны BBi треугольника АВС.
а) Постройте точку Т пересечения прямой РМ и плоскости BLC.
б) Найдите |РТ|.
в) Постройте точку Е пересечения прямой LM и плоскости РВС.
30. Пусть а = 6, b = 8; М G РВ, |РМ|: \РВ\ = 3:4; JC — середина ВС,
L — середина АС.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLM.
б) Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через
точку М и параллельной прямым PL и АК.
в) Найдите длину стороны сечения, указанного в п. б), содержа-
щейся в грани АР В.
31. Пусть а = 4, Ь = 6; К — середина АР, М — центроид треугольни-
ка РВС.
а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
б) Постройте точку пересечения прямой AM и плоскости К ВС.
в) Найдите \КМ|.
32. Пусть а = 5, Ь=6; КеРВ, |РД|: |КВ\ = 1:2; L Е РА, \PL\: |LA| =
= 2:1; Z — центроид треугольника АВС.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLZ.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани РВС.
в) Постройте точку D = (LZ) А (РВС) и найдите |DL|.
33. Пусть а = 4, i> = 3; Z — центроид грани РАС, М — середина АВ,
L — середина СМ, Т — середина РВ.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью TZL.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани АВС.
в) Найдите отношение (меньшее единицы) площадей тех много-
угольников, на которые секущая плоскость разбивает грань АВС.
34. Пусть а = 5, i> = 3; К Е АР, |ЛК| =2^, Аг — середина ВС.
а) Постройте такую точку М прямой РВ, что прямые А^М и РВ
взаимно перпендикулярны.
б) Постройте сечение данной пирамиды плоскостью КМА\.
в) Найдите длину стороны этого сечения в грани АРС.
35. Дана треугольная пирамида РАВС, в которой |РД| = |FB| =
= |РС\ — 6, lAC'l = 3, |ВС| = 4, АСВ — О — центроид грани
АР В, К — середина ВС.
Глава 1. Основания стереометрии
145
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
точки О и К и параллельной прямой АР.
б) Найдите площадь этого сечения.
в) Постройте точку пересечения прямой СО и плоскости АРК.
36. Дана треугольная пирамида РАВС, в которой |FA| = |FB| =
= |FC| = 7, |АВ| = |ВС| = 5, |АС| = 6, К — середина АР, Z-
центроид треугольника АВС.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через
точку Z и параллельной плоскости АРС.
б) Найдите площадь этого сечения.
в) Найдите длину отрезка прямой р = аА (К ВС}, заключённого
внутри данной пирамиды.
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Длина
стороны основания ABCD равна а, длина бокового ребра равна b
(37—40).
37. Пусть а = 4, b = 5; К — середина CD, L € SK, \SL|: |LK| = 1:2.
а) Постройте такую точку Т € (SD), что STL = 90°.
б) Найдите |ВТ|.
в) Найдите периметр сечения данной пирамиды плоскостью BCL.
38. Пусть а = 3, Ь = 4; О = (АС) П (BD), Z — центроид треугольника
ASB.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью СZD.
б) Найдите площадь этого сечения.
в) Постройте точку пересечения прямой ZO и плоскости ASD.
39. Пусть а — 4, 6 = 7; К — середина SB, L — середина AD, М eSD,
\SM\=2\MD\.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLM.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани ASB.
в) Найдите отношение (большее единицы) площадей тех частей
треугольника CSD, на которые его разбивает плоскость KLM.
40. Пусть а = 4, 6 = 6; К — середина SB.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, содержащей пря-
мую DK и параллельной прямой АС.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани ASB.
в) Найдите площадь этого сечения.
146
Стереометрия
Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой
лежит прямоугольник ABCD. Известно, что | АВ| = а, |ВС| = Ь,
|SA| = |SB\ = |SC| = |SZ>| = с, AC П BD = О (41-44).
41. Пусть a = 3, 6 = 4, c = 10; L € SC, \SL\ : |SC| = 2:5; К G AS,
ISATI: |SA| =3:4.
а) Постройте точку пересечения прямой AL и плоскости CKD.
б) Постройте сечение данной пирамиды плоскостью CKD.
в) Найдите площадь этого сечения.
42. См. данные задачи 41.
а) Постройте точку Т пересечения прямой KL и плоскости АВС.
б) Найдите |ZZT|. в) Найдите |ZZT|.
43. Пусть а = 6, 6 = 8, с= 8; Е— середина SC, F — середина AD.
а) Постройте точку Т = (EF) Л (SBO).
б) Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через
точку А и параллельной плоскости BEF.
в) Найдите длину стороны этого сечения в грани SCD.
44. Пусть а = 4, 6 = 3, с = 7; К — середина SC, L 6 (AD), AL= ~^LD.
а) Постройте точку М = (KL) П (SB А).
б) Постройте сечение пирамиды плоскостью DKM.
в) Найдите площадь этого сечения.
45. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF. Длина
стороны основания ABCDEF равна 3, длина бокового ребра
равна 4; К —середина SD.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью AKF.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани SDE.
в) Найдите площадь указанного сечения.
Дана прямая треугольная призма ABCAiBiCi; |АВ| = с,
|AC|=b, |ВС| = а, |AAi|=d (46—48).
46. Пусть а = с = 4, 6 = 6, d = 8; М &АуВ\, |AiAf| = 1.
а) Постройте точку Е — (СМ) Г) (АС^В).
б) Постройте сечение призмы плоскостью ВСЕ.
в) Пусть Т = (BE) Л (AiBiCi). Найдите \ТМ|.
47. Пусть а = 7, 6 = 5, с = 4, d = 6; К G АС, |АК\ = 3.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ВВ^К и А^СВ.
б) Постройте точку М пересечения прямой В^К и плоскости
AiCiB.
в) Найдите |СМ|.
Глава 1. Основания стереометрии
147
48. Пусть а — 8, b = 6, с = 10, d = 10; L е АВ, |BL| = 2.
а) Постройте сечение призмы плоскостью AiCyL.
б) Постройте прямую р, проходящую через точку L и пересека-
ющую прямые Л1С1 и ВуС.
в) Пусть Т = рГ) (AiBjCi). Найдите |TBi|.
Дан прямоугольный параллелепипед ABC D A^BiC^D-c,
|АВ| = а, |AD| = Ь, |AAJ = с (49—51).
49. Пусть а = 2, 5 = 4, с = 3; К — середина СС±.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей AB\D\ и AiBK.
б) Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри
параллелепипеда.
в) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью А\ВК.
50. См. данные задачи 49.
а) Постройте точку F пересечения плоскости A^BD и прямой АК.
б) Найдите |AiF|. в) Найдите p(F; (CCi)).
51. Пусть а = 3, Ь — 4, с = 5; К — середина АВ, L е В\С, |BiL|: |LC| =
= 1:2.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KLD.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани BBiCiC.
в) Постройте прямую р = (KLC\) С (AAiDi).
52. Дан прямой параллелепипед ABCDA^ B\C\D\, в котором |AAi | =
= 5, |АВ\ = 3, |AD\ = 4; BAD = J; L G BXC, |BiL| : |LC| =2:1;
O = (BD)n(AC).
а) Постройте прямую пересечения плоскостей A^OL и D\C\C.
б) Постройте прямую, проходящую через точку О и пересекаю-
щую прямые BiC и CiDi.
в) Найдите площадь полной поверхности данного параллелепипеда.
53. См. данные задачи 52.
а) Докажите, что прямые AL и В1О пересекаются.
б) Пусть F= (AL) П (BiO). Найдите |CF|.
в) Найдите |BiF|.
54. Дан прямой параллелепипед ABCDA\B\CiD\, в котором |AAi| =
= 4, |АВ| =6, |AD| =8; BAD— К — середина CD, L — середи-
на BiCi, М — центр грани АА^В^В.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KLM.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани ABCD.
в) Найдите расстояние от точки Di до прямой р=(К ЬМ)Г\(АВС).
Глава 2
Векторы и массы в Ез
Дана правильная треугольная пирамида РАИС, длина стороны
основания АВС равна а, длина бокового ребра равна Ь (55—57).
55. Пусть а = 5, b = 3; М G АР, \МА| = 2; К — середина ВС, L —
середина РК. Найдите:
а) ((АЩГВ)); б) |3BM-4AL|;
в) \РТ\, где Т= (М/С) П (ACL).
56. Пусть а = 6, 5 = 8; Ке АС, |А/С|: |/СС| = 2:1.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, содержащей пря-
мую РК и параллельной прямой ВС.
б) Найдите площадь этого сечения.
в) Найдите угол между лучами РК и СВ.
57. Пусть а = 4, 5 = 5; К е АР, | АК\ = 2; Le(PB), PL:LS=-2:7;
М — середина PC. Найдите:
а) разложение ML в базисе {АР, АВ, АС};
б) ((CL)f(/CM));
в) |АТ|, где точка Т определена равенством ВТ = СК + 2ML.
58. Дана треугольная пирамида ABCD, в которой |АВ| = |АС| =
= |АР| = 4, |ВС| = 3, |ВР| = 4, |СР| = 5; /С е АС, | А/С| = 1; L -
середина AL>; М € АВ, |АМ| = 3; Z — центроид треугольника
BCD.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
точку L и параллельной плоскости DKM.
б) Найдите площадь этого сечения.
в) Пусть Т= (AZ) A (7CLM). Найдите |АТ\: |TZ|.
59. См. данные задачи 58. Найдите:
a) ((/CLMBP)); б) \РМ\, где Р = (ZCL) А (ZZBC);
в) |cm-|kd|.
Глава 2. Векторы и массы в Ез
149
60. Дана треугольная пирамида РАВС, в которой |РА| = |РВ| =
= |РС| = 6, |АВ\ = 3, \ВС\ = 4, |АС\ =5; К е PC, \РК\ = 2;
LePB, \BL\ = 2; М — середина АР; О — центроид треуголь-
ника АВС, Т = (РО) Г) (KLM), Z — центроид данной пирамиды.
Найдите:
а) (АК; ML); б) пр^(2А^ - ML);
в)|РТ|:|ТО|; г) |ZO|.
61. Дана треугольная пирамида РАВС, в которой |СА| =6, \СР\ —
= | СВ | = 8, РСА = РОВ = АСВ =90°; М — середина РВ; К е АР,
|РК| = 2. Найдите:
а) \2КМ + СР\; б) ЦСМУ(ВК)У,
в) пр^СР+ВКУ
62. Точка пересечения медиан тетраэдра ABCD одинаково удалена
от точек А и В. Докажите, что |АС|2 + |АО|2 = \ВС\2 + |ВР|2.
63. Пусть Zi и Z2 — центроиды тетраэдров ABCD и AiBiC^Di.
Докажите, что Ai А2 + В1В2 + С1С2 + D1D2 = 4ZjZ2.
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD; длина
стороны основания ABCD равна а, длина бокового ребра равна Ъ
(64—68).
64. Пусть а = 2, b = 5; К 6 SB, |S7C| = 2; L — середина SC.
а) Разложите KL в базисе {РА, DC, DS}.
Найдите:
б) ((А£)ДОК)); в)|2АТ-РВ|.
65. Пусть а = 4, b = 3; К е AS, | АК| = 1; L — середина SB; М е SC,
|5М| = 1; О= (АС) Г) (BD). Найдите:
a) ((АГ)ДШ));
б) |ОР|, где P—(KLM) П (SO);
в) |АР|, где точка F определена равенством BF = КМ — 2AL.
66. Пусть а = 2, Ь = 5; К — середина ВС; L е АР, | AL\: |LP| =3:1.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью DKL.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани АР В.
в) Найдите угол между лучами РА и DK.
г) Найдите ((АО); (РО)), где О — центроид треугольника В PC.
150
Глава 2. Векторы и массы в Ез
67. Пусть а = 5 и ((DS); (С/С)) = arccos^—gg—j, где К — середина
BS; L 6 SD, |SL| : |L£>| = 3:1; Me (SC), SM . МС =-4 : 1;
N = (KLM) Л (SA). Найдите:
a) ASC;
б) разложение LM в базисе {SA, SB, SC}',
в) SN :NA.
68. См. данные задачи 67. Точка F определена равенством KF —
= AM + CL; Z — центроид треугольника С ZD; Т = (AZ) Л (CKL).
Найдите:
а) |£>Г|; б) ((AZ^(LM)); в) |5Т|.
69. Дана четырёхугольная пирамида SABCD. Основанием ABCD
является прямоугольник, в котором |АВ| = 3, l-BCI = 4; (АС) Л
Л (BD) = О. Известно, что длина каждого бокового ребра рав-
на 6; К е (BS), ВК: КS = —1:3. Найдите:
a) ((ASUDK)); б) пр^(АХ + SB);
в) \KZ\, где Z — центроид пирамиды SBCD.
70. Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD,
в котором |АВ| = 6, |AD| = 2, А = 120°. Известно, что |SB| =
= |5Г>| = \/17и |SA| = |S(7|; КеАВ, |АК| = 4; L — середина SD.
Найдите:
а) |SA|; б) выражение SK через DA, DC, DS;
в) \LK\; г) ((CKMBL)).
71. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, в кото-
рой длина стороны основания ABCDEF равна 2 и длина боко-
вого ребра равна 5; К — середина SD; L е SE, |SL\ = 3.
а) Выразите вектор LK через векторы AS, АВ, AF.
б) Пусть (SB) Л (AKL) = М. Найдите SM: BS.
в) Найдите \LM\.
72. Дан тетраэдр ABCD, К е АВ, |А7<| : \КВ\ = 2:3; М е АС,
: |МА| = 1:3, L — середина AD, N — середина CD; Т е
е BN, |ВТ|: \TN\ = 1:2; (АТ) Л (KLM) = Е, (KN) Л (TLM) = F,
(KN) Л (АТ) = О. Найдите:
а) АЕ: ЁТ; 6)KF : FN; в) OF: KN.
73. Дана четырёхугольная пирамида SABCD. Основанием этой пи-
рамиды является прямоугольник, в котором |АВ| =3, |AZ>| =4,
Глава 2. Векторы и массы в Ез 151
О = (АС) П (BD); длина каждого бокового ребра равна 5; К е
€ SB, \SK| =3; L — середина SC; M 6 SD, |SM| = 4.
а) Постройте сечение данной пирамиды плоскостью KLM.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани ABCD.
в) Пусть Т = (SO) О (KLM). Найдите |ST|.
г) Пусть BE — биссектриса треугольника DBC; F —середина
BE; G = (SF) П (KLM). Найдите SF: FG.
Дана правильная треугольная призма АВСА^В]С±, в которой
длина стороны основания АВС равна а и длина бокового ребра
равна Ь (74—76).
74. Пусть а = 4, 5 = 6; К — середина ВВ\, О — центр грани АВС.
а) Постройте точку пересечения прямой КО и плоскости AAiCi.
б) Выразите вектор КР через векторы АВ, АС, АА±.
в) Найдите |Р/С|.
г) Найдите угол между прямой а пересечения плоскостей Ai КО
и AAiCi и прямой ВС.
75. Пусть а = 5, 5 = 4; L — середина АС; К &В1 В, |Bi : |7<В| = 1:2;
Т = (КЬ)П(А1С1В).
а) Разложите вектор KL в базисе {АВ, ACi, ABi}.
б) Найдите kL.LT. в) Найдите \КЦ.
76. Пусть а = 3 и (ABi; CAi) = arccos0,46; Z— центроид тетраэдра
АВСВ\. Найдите:
а) 14^1; б) пр^(2АВ^ - СЛ); в) |А7<|,
где К — такая точка плоскости CBBi, что прямые А^К и CZ
параллельны.
77. Дана прямая треугольная призма ABCA^B^Ci; |AAi| =4. Ос-
нованием является треугольник АВС, в котором |АС| = 7, А =
. 2^ Б ( И о
= arcsin —я~, В = arccos ( — 7 ). Найдите:
। \ О /
а) ((АВ^АСАг)); б) пр^(2АВ^ + СУВ);
в) |BiZ|, где Z — центроид тетраэдра А^АВС.
78. Дана прямая треугольная призма АВСА1В1С1, в которой |AAi | =
= 8, |АС| = |АВ| = 6; ((ABOHaCi)) = arccos0,98; К € АВЬ
|АК|: \KBi| = 1:4; L € В^С, |BiL| : |ВС| = 2:3; М — середина
BBi, Z — центроид треугольника ABC; Т =(B\Z)C\(KLM).
152
Глава 2. Векторы и массы в Ез
Найдите:
а) ((ЛСЩСВД); б) B^T-.TZ-, в) |ЛТ|.
79. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в кото-
ром |ЛВ| = 3, \AD\ = 4, |ЛЛ1| = 5; К — середина BiCi, N — ce-
----------------------------------------------> -------
редина AAi; точка М определяется равенством DM = — 2,5МК.
Найдите:
а) \MN\-, б) ((CAOTW)); B)np^(CK + 2CN).
80. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в кото-
ром |ЛВ|=4, |AD| = 6, ((АИД; (DCi)) = arccos К — середи-
на AD, Z — центроид тетраэдра CiCBD. Найдите:
а) ((ПВДДСД)); б) пр^(2АС-Ж); в) \KZ\.
81. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDAyBiCiDi
является параллелограмм ABCD, в котором |АВ| = 4, |AD| =2,
А = 60°; |ЛА1| — 5; К е СС\, \СК\ =2; L — середина ЛiBp Най-
дите:
а) ((АСДДТК)); б) пр^(л£ + 2ВК\, в) \LK + DB\.
82. В параллелепипеде ABCDAiBiCiDy на прямых АС и BAi взя-
ты точки К и М соответственно так, что прямая КМ параллель-
на DB\. Найдите отношение |КМ\: |DBi|.
83. Дан куб ABCDAyBiCiDi, длина ребра которого равна 1; К —
середина AiBi, L — середина CCi. Пусть точка М лежит на пря-
мой KD, причём прямые CiM и ABi взаимно перпендикулярны.
Найдите:
а)Й:МО; б) \DM\-, в) пр^СМ.
84. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в кото-
ром |ЛВ| =3, | AD\ = 4, |ЛЛ11 = 6; К — середина Ai£>i; О — центр
грани DDyCiC. Точка М прямой АО такова, что прямые СМ
и АТ? взаимно перпендикулярны. Найдите:
а) AM:МО; б) \KM\-, в) пр^мб.
85. Дана правильная треугольная призма ABCAiBiCy. Длина сто-
роны основания АВС равна 4; длина бокового ребра равна 3;
К — середина BBi, L — середина Bi Ci; М — такая точка прямой
АК, что |BiМ\ —4; N — такая точка прямой CL, что прямые AN
и CL взаимно перпендикулярны. Найдите:
a) AM: МК; б) CN: NL; в) |ЛЛГ|.
Глава 3
Угол между прямой и плоскостью. Основы
аналитической геометрии в Е3. Расстояние
между фигурами
86. В треугольной пирамиде РАВС прямая PC перпендикулярна
плоскости ABC; |РС|=6, |АС\=\ВС\=4, BAC=arccos Найдите:
а) р(Р; (АВ)); б) ((РВ)ДАС)); в) \Р1\,
где I — инцентр треугольника АВС.
87. Дана треугольная пирамида РАВС, в которой |РА| = |РВ| =
= |РС| = 6. Основанием пирамиды является треугольник АВС,
в котором |АВ| =6, |АС|=8, ВАС = 90°. Найдите:
а) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
б) р(В; (АРС)); в) ((АВ^РС)).
88. Дан тетраэдр РАВС, в котором |РА| = |РВ| = |РС| =8, |АВ| =
= |АС| =6, ВАС = 120°, М — середина ВС. Найдите:
а) длину высоты пирамиды, проведённой из вершины Р;
б) угол между боковым ребром и плоскостью АВС;
в) ((АмГ(РВ)).
89. В правильной треугольной пирамиде РАВС длина стороны ос-
нования АВС равна 4, длина бокового ребра равна 5. Через точ-
ку С — центр окружности, описанной около треугольника АРС,
проведена прямая р, параллельная АС. Найдите:
а) р(В;р);
б) площадь сечения пирамиды плоскостью, содержащей пря-
мую р и параллельной прямой РВ; в) р(А; (РВС)).
90. Дана правильная треугольная пирамида РАВС, в которой сто-
рона основания АВС равна 4 и длина бокового ребра равна 7;
М — середина АС; К е ВС, |СРС| = 1.
а) Постройте прямую, проходящую через точку К и перпенди-
кулярную плоскости АР В.
б) Найдите ((РВ); (МК)). в) Найдите р(В; (РМК)).
154
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью
91. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, в которой
длина стороны основания ABCD равна 6 и длина бокового ребра
равна 8; (АС) П (BD) = О, Me ВС, \ВМ\: \МС\ = 1:2.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через
точку О и перпендикулярной прямой SC.
б) Найдите р(М; а). в) Найдите ((SA)-,a).
92. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, в которой
длина стороны основания ABCD равна 4 и длина высоты SO,
где О= (АС) П (BD), равна 2\/7; М — середина AD.
а) Постройте прямую р, проходящую через точку М и перпенди-
кулярную плоскости SDC.
б) Постройте сечение данной пирамиды плоскостью а, содержа-
щей прямую р и точку О.
в) Найдите |ST|, где Т = pC\(SDC).
93. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, в кото-
рой длина стороны основания ABCDEF равна 2 и длина боко-
вого ребра равна 7.
а) Найдите p(S; (АВС)). б) Найдите ((SA); (BE)).
в) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
точку А и перпендикулярной прямой SD.
94. Многогранник является объединением двух равных правильных
треугольных пирамид SABC и PBCD, причём пересечением
этих пирамид является отрезок ВС и D е (АВС)', точки Р и S
расположены в одном полупространстве относительно плоскости
АВС. Длина стороны основания каждой пирамиды равна 2; дли-
на бокового ребра равна 5. Найдите:
a) ((SAMPB))-, б) р(А-, (PCD))\ в) ((SA\(PCD)).
95. Многогранник является объединением двух равных правильных
четырёхугольных пирамид SABCD и PDCFE, причём пересе-
чением этих пирамид является отрезок CD и (FE) С (АВС)', точ-
ки Р и S расположены в одном полупространстве относительно
плоскости АВС. Длина стороны основания каждой пирамиды
равна 4; длина бокового ребра равна 5. Найдите:
a) ((SAMPF))-, б) р(А- (PEF)); в) ((SAMPEF)).
96. Многогранник является объединением двух правильных тре-
угольных пирамид SBCD и РАВС, причём пересечением этих
пирамид является отрезок ВС w D е (АВС)', точки Р и S рас-
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью
155
положены в одном полупространстве относительно плоскости
АВС. Длина стороны каждого из оснований АВС и BCD этих
пирамид равна 3; р(Р; (АВС)) = 1; p(S; (АВС)) = 2. Найдите:
a) ((PAMSC))-, б) p(S; (РВС))-, в) |PZ|,
где Z — центроид треугольника SCD.
97. Многогранник является объединением пирамид PABCD и
SDCFE, основания которых ABCD и DCFE содержатся в од-
ной плоскости и пересечением этих оснований является отрезок
CD. Точки Р и S расположены в одном полупространстве
относительно плоскости АВС. Пирамида PABCD является
правильной, длина стороны основания равна 2; боковое ребро
равно л/38. В пирамиде SDCFE все боковые рёбра имеют дли-
ну 3, а основанием является прямоугольник DCFE, в котором
|Г>С| = 2, |CF| = 4.
Найдите:
а) ((AC); (SE))-, б) ((PBMSE))-, в) ((PSMABC)).
98. См. данные задачи 97. Найдите:
а) р(А\ (SEF))-, 6)p(S-, (APB))-, в) |FZ|,
где Z — центроид тетраэдра PACD.
99. Многогранник является объединением двух равных правиль-
ных треугольных пирамид SABC и РАВС с общим основа-
нием АВС. Точки Р и S расположены по разные стороны от
плоскости АВС. Длина стороны основания АВС равна 4; длина
бокового ребра каждой пирамиды равна 7. Найдите:
а) ((АР); (BS)); б) (Р; (BSC)); в) ((APj^BSC)).
100. Многогранник является объединением двух правильных тре-
угольных пирамид РАВС и SABC, причём точки Р и S распо-
ложены по разные стороны от плоскости АВС. Длина стороны
основания АВС этих пирамид равна 6; длина бокового ребра
пирамиды РАВС равна 4; длина бокового ребра пирамиды
SABC равна \/21; М ~ середина АР. Найдите:
a) ((BP); (CS))-, б) p(S; (РАС))-, в) p(S; (СМВ)).
101. Многогранник является объединением двух четырёхугольных
пирамид PABCD и SABCD, причём точки Р и S расположе-
ны по разные стороны от плоскости АВС. Основанием этих
пирамид является прямоугольник ABCD, в котором
| АВ\ = 3, | ВС\ = 4.
156 Глава 3. Угол между прямой и плоскостью
Длины всех боковых рёбер этих пирамид равны 6. Найдите:
а) ((СМ)ДРВ)); б) р(5; (МС)); в) р((АР); (ВВС))
Дана правильная треугольная призма ABC AiB^Ci. Длина
стороны основания равна а, длина бокового ребра равна b
(102—105).
102. Пусть а = 5, Ь = 6.
а) Постройте сечение призмы плоскостью а, проходящей через
точку В и перпендикулярной прямой А^С.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани AAiCiC.
в) Найдите ((AiCi); а).
103. Пусть а = 4-\/3 и угол между прямой ВуС и плоскостью АА^В
х/З
равен arctg —у-. Найдите:
а) ((АС)ДС1В)); б) р(А; (МВ));
в) р(К-, (AiB)), где К G АС, \АК\ = л/3.
104. Пусть а — 4, b = 2.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через
точку В и перпендикулярной прямой АуС.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани AiBiCi.
в) Найдите ((CBi); (А1С1В)).
105. Пусть а = 4, Ь = 6.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через
точку Ai и перпендикулярной прямой By С.
б) Найдите периметр этого сечения.
в) Найдите площадь этого сечения.
106. Основанием наклонной призмы ABCAiBiCi является правиль-
ный треугольник АВС, длина стороны которого равна 4. Длина
бокового ребра призмы равна 6; проекцией точки А у на плос-
кость АВС является центроид треугольника АВС. Найдите:
а) р((АВС); (AiBiCi)); б) ((ВВДДАС));
в) p(Ai; (ВОД).
107. См. данные задачи 106. Найдите:
а) |А1В|, где D — ортогональная проекция точки Bj на плос-
кость АВС',
б) ((AiBMACi)); в) |ЛР + ДГВ|.
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью
157
108. Дана наклонная треугольная призма ABC AiBiCi. Известно,
что |АВ| = |АС\ =5, |ВС'| =6, |ЛЛ1| = 6 и проекцией вершины
Ai на плоскость АВС является середина стороны ВС. Пусть
D — ортогональная проекция вершины Ci на плоскость АВС.
Найдите:
a) |АР|; б) ^СС^В); в) ((АВДДАг£>)).
109. Дана наклонная треугольная призма ABCAiBiCi. Известно,
что |АВ\ = 7, |ВС| = 4, |АС| = 5, ((ААДДАВС)) = arccos
и проекцией точки Bi на плоскость АВС является центр О
окружности, описанной около треугольника ABC', D — проек-
ция точки Ai на плоскость АВС. Найдите:
а) ((ОДДАВ)); б) |BBi|; в) |СМ|.
110. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в кото-
ром |АВ| — 3, |АВ| =4, |АД1| =4; М — середина AAi.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходя-
щей через точку D и перпендикулярной прямой AiC.
б) Найдите длину отрезка этого сечения в грани BBiCiC.
в) Постройте прямую р, проходящую через точку С и перпен-
дикулярную плоскости MBiDi.
г) Найдите длину отрезка прямой р, заключённого между плос-
костями АВС и AiBiC\.
111. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiCiDi, в кото-
ром |АВ| = 4, |А£>| = 5, ((ACi); (CBZ>i)) = arccos |; О — центр
грани DDiCiC.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью а, прохо-
дящей через точку пересечения диагоналей параллелепипеда
и перпендикулярной прямой BiD.
б) Найдите p(Z>i; а).
в) Постройте прямую, проходящую через точку О и перпенди-
кулярную плоскости BBi-Di.
112. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiCiDi, в ко-
тором |А£>| = 4, ((АСДДАВС)) = arctg |, ((ACi)7(AAiBi)) =
/73"
= arccos \/ хх; М — середина ВС.
V оУ
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью а, проходя-
щей через точку М и перпендикулярной прямой АС\.
158
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью
б) Найдите длину стороны этого сечения, содержащейся в гра-
ни АА\В\В.
в) Найдите р(С\", а).
113. Дан прямой параллелепипед ABCDA\B\C\Di, в котором
|ЛВ| =3, |ЛВ| = 4, BAD = arccos |, |BiD| = 2v^. Найдите:
a) p(D; (BiCi)); б) np^g+^HCi;
в) р(С; (BBiD)); г) р(С; (HjBD)).
114. Основанием прямого параллелепипеда ABCDAiB^CiDi явля-
ется параллелограмм ABCD, в котором |ЛВ| = 2, |ЛВ| = 6,
BAD= Известно, что ((BiD); (HiBiCi)) = arcsin К G
G (AD), AD : DK = —3:2. Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью а, проходя-
щей через точку К и перпендикулярной прямой BD;
б) ((HCiMCCiDi)); в) р(Ви (ЛСВХ)).
115. В декартовой системе координат даны точки
Л(—2; 3; 1), В(1; 0; —2), С(2; —1; 5), D(0; 4; 1).
Найдите:
а) ЛВ • СО;
б) расстояние от точки D до центроида треугольника ЛВС;
в) площадь треугольника ЛВС;
г) координаты центра тяжести системы материальных точек
2Л, ЗВ, 1С, (-1)0.
116. В декартовой системе координат даны точки
Л(2;-1;3), В(0; 1;-1), С(—3; 0; 1).
Найдите:
а) координаты такой точки О, что ABCD — параллелограмм;
б) расстояние от точки Л до середины отрезка ВС;
в) расстояние от точки О (см. п. а)) до центроида треугольника
ЛВС^
г) ЛВС.
117. В декартовой системе координат даны точки
Л(2; 1; —1), В(0; — 1; 3), С(-4; 2; 1), 0(1; 0;-2);
К G ВС, |ВК| : |КС| = 1:2.
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью
159
Найдите:
а) |АК|; б) ADB;
в) длину проекции отрезка АВ на прямую CD-,
г) точку М на оси ординат, равноудалённую от точек А и В.
118. Составьте уравнение плоскости:
а) проходящей через точку А(—3; 1; — 2) и параллельной плос-
кости За; — у — 2г — 7 = 0;
б) проходящей через точки А и В(1; —2; —5) и параллельной
оси аппликат;
в) проходящей через точки А и В и начало координат.
119. В декартовой системе координат даны точки
А(2; —1; 3), В(0; 4;-2), С(—3; 1; 5), В(1; 0;-3).
Составьте уравнение плоскости:
а) проходящей через точки А, В, С\
б) проходящей через точки А и С и параллельной оси ординат;
в) проходящей через точку А и параллельной плоскости BCD-,
г) проходящей через точки А и В и перпендикулярной плоско-
сти 2а; + у — 2 + 3 = 0.
120. Пусть ~а = (2; —1; 3), b = (—1; 2; 1), ~с = (3; —5; 0). Найдите:
а) (2~а — Ъ)х~с-, б) ICa* + "?) х ( Ъ —"?)!;
в) ("а + 2"?) • ( b х ~с).
121. В декартовой системе координат даны точки
А(3; 1; —1), В(2; 0; 3), С(—1; —2; 4), Р(0; 3;-3).
Найдите:
а) АВ х СВ; б) |АС х BD - 2АВ|;
в) пр^(АС х (АВ + 2СВ)).
122. а) Составьте уравнение плоскости, содержащей точки
А(2; —3; —4), В(0; 3; 8), С(—1; 0; 6).
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды, отсекае-
мой этой плоскостью от осей координат.
в) Составьте уравнение плоскости, все точки которой равноуда-
лены от точек А и В.
123. В декартовой системе координат даны точки
А(—2;1;0), В(1;-3; 2), С(3; 1; 5), В(5; 0;-2), Е(-3; 2;-1).
160
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью
а) Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку Е
и параллельной прямым АВ и CD.
б) Найдите ((АВ); (CDE)).
в) Найдите р(А; (BCD)).
г) Составьте уравнение плоскости, содержащей точки А и В
и параллельной прямой CD.
124. В декартовой системе координат даны точки
А(—3;—1;0), В(4;-2; 1), С(2; 1; 5), D(0;-2; 3), Е(4; 1;-1).
а) Составьте канонические уравнения прямой АВ.
б) Найдите точку пересечения прямой АВ и плоскости CDE.
в) Найдите проекцию точки А на плоскость CDE.
125. В декартовой системе координат даны точки
А(3; 0; —1), В(1; 2; 3), С(—4; 2; 0), D(—1; 4; 1).
а) Составьте канонические уравнения прямой р, проходящей
через точку С и параллельной прямой АВ.
б) Найдите р(р; (АВ)).
в) Найдите р((АВ); (CD)).
126. а) Составьте канонические уравнения прямой р, проходящей
через точку Л1(—1; 2; 0) и параллельной прямой
(я — у — z + 7 - 0,
q: \
I 2x + z+ 1 = 0.
б) Найдите р(р; q).
в) Составьте уравнение плоскости, содержащей прямые р и q.
127. Даны прямые
р:
а: + 1
“ДГ
ж-З у+1 z
и q: — = — =
У _ Z-1
- 3 - 1
1
а) Найдите уравнение плоскости, содержащей прямую р и па-
раллельной прямой q.
б) Найдите р(р; q).
в) Найдите точку прямой q, ближайшую к прямой р.
128. Даны прямые
| — а: + 2у-Ь5 = 0,
[2я? + р — z = 0
х+5 у-3
и q- — = —
z — 1
4
и точка М(2; 0; 7).
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью
161
а) Составьте уравнение плоскости а, содержащей прямую р
и параллельной прямой q.
б) Найдите р(М-, р).
в) Найдите проекцию точки М на плоскость а.
129. В декартовой системе координат даны точки
А(1; —1; 3), В(0; 4; — 1), С(-3; 0; 5), М(2; -1; 3).
Найдите:
а) р(М; (ЛВС)); б) ((ЛЛЩЛВС)); в) р((ДМ); (ВС)).
130. В декартовой системе координат даны точки
Л(1;1;-7), В(0; 3; —2), С(—1; 0; -2), М(2;-1; 3).
Найдите:
а) ортогональную проекцию точки М на плоскость ЛВС;
б) ((ЛАЩВС)); в) р((ЛМ); (ВС)).
131. а) Найдите расстояние между прямыми
аг —4 у z + 4 х +1 у — 7 z+1
р: —2 ~ -1 ~ 1 и 2 ~ -3 - 1 ’
б) Составьте канонические уравнения прямой, пересекающей
данные прямые и перпендикулярной каждой из них.
в) Составьте уравнение плоскости, параллельной данным пря-
мым и равноудалённой от них.
132. Даны параллельные плоскости
а: 2х — ay + 3z + 7 = 0 и /3: 4л + 4р + 6z — 3 = 0
и точка М(—4; 1; 3). Найдите:
а) р(а; /3);
б) проекцию точки М на плоскость о;
в) уравнение плоскости, параллельной данным плоскостям и рав-
ноудалённой от них;
г) уравнение плоскости, параллельной данным плоскостям и уда-
лённой от плоскости а вдвое дальше, чем от плоскости /3.
133. Даны плоскость а: 2х — Зр + z — 5 = 0 и точки М(0; 2; 1) и
JV(3; 1; -1).
а) Составьте уравнения плоскостей, удалённых от плоскости а
на расстояние х/14.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью а.
в) Пусть Mi и Ni — проекции точек М и N на различные
плоскости, указанные в п. а). Найдите |MijVi|.
162
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью
134. Плоскость, пересекающая отрезок АВ, делит его в отношении
3:7, считая от точки А. Расстояние от середины этого отрезка
до указанной плоскости равно 4. Найдите расстояние от точ-
ки В до этой плоскости.
135. Дан параллелограмм ABCD. Расстояния от точек А, В, С
до некоторой плоскости равны соответственно 6, 5, 2. Какие
значения может принимать расстояние от точки D до этой
плоскости?
136. Точка М находится на расстояниях 5 и 4 от двух параллельных
прямых а и b и на расстоянии 3 от плоскости, содержащей эти
прямые. Найдите расстояние между прямыми а и Ь.
137. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiCiDi, в ко-
тором |АВ| = 4, |АТ>| = 3, |ЛА1| = 6; К — середина Ci-Di, Z —
центроид тетраэдра A^ABD', точка Т определена равенством
ВТ = —2DK. Найдите:
а) |АК|; б) \CZ\; в) ITCil-
138. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiByCiDi, в кото-
ром \АВ\ =3, |АВ| = 4, |AAi| =6; К—середина АВ. Найдите:
а) р(А; (АХКВ)); б) p(Ci; (AiKT>));
в) p(Ci; Д АКТ)); г) р(Т>х; ДCCi К).
139. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiCiDi, в кото-
ром |АВ| — 2, |AD\ = 5, |AAi | = 3; К — середина CD, Le BiCi,
|BiL|: |LCi| =2:3. Найдите:
a) ((КТ)ДАР1С)); б) ((ВТ); (BCjK));
в) ((КТ); (ACJ).
140. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA^BiCiDi явля-
ется ромб ABCD, в котором |АВ| = 4, ВАВ = 60°; |AAi| = 2;
К eCD, \CK\:\CD\ = 1:4-, Le(AM, D1Ai.A^L=4. Найдите:
a) p(T; (BKCi)); 6) p(Bi; ДАКВ);
в) ((ВВД; (GTK)); r) p((LK); (DBJ).
141. Дана правильная треугольная призма ABCA^B^Ci, в которой
длина стороны основания АВС равна 4 и длина бокового ребра
равна 5; К — середина AiBi; точка L определена равенством
CL : LK = —2:7. Найдите:
a) S(AjTB); б) p(Bi; (АТ)).
142. Дана прямая призма АВСА\В\С\, в которой |AAi| =4, |АВ| =
= \АС\ = Т, |ВС| = 6; BeAiBi, |BBi| = 3. Найдите:
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью 163
а) р(А; (BCD)); б) р(С; ABBjD);
в) р(В; (ACXD)).
143. Дана правильная треугольная пирамида РАВС, в которой дли-
на стороны основания АВС равна 4 и длина бокового ребра
равна 5; К € АС, |А/С| = 1. Найдите:
а) р(К; (РВС)); б) р(А; (КРВ)).
144. Дана правильная треугольная пирамида ABCD, в которой сто-
рона основания АВС равна 2 и длина бокового ребра равна 5.
Все вершины этой пирамиды равноудалены от плоскости а.
Найдите возможные значения расстояний от вершин пирамиды
до плоскости а.
145. Дана треугольная пирамида SABC, в которой |ВА| = |ВВ| =
— |ВС| = 7, |АС| = 6, |ВС| = 8, АС В — Все вершины этой
пирамиды равноудалены от плоскости а. Найдите возможные
значения расстояний от вершин пирамиды до плоскости а.
146. Дана прямая треугольная призма ABCA\B\Ci, в которой
|AAi1 — 5, |АВ\ = |ВС| = 10, |АС| = 12. Все вершины этой приз-
мы равноудалены от плоскости а. Найдите возможные значе-
ния расстояний от вершин пирамиды до плоскости а.
147. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA\B\C\D\, в кото-
ром |АВ| =4, |AD| = 3, |AAi1 = 5; М — середина CiDi; L € (BD),
BL: LD = — |. Найдите:
a) p(D; (LM)); 6) p((4Jtf); (CiL)); в) ((BiD)T(ALM)).
148. Основанием правильной треугольной пирамиды РАВС являет-
ся треугольник АВС с длиной стороны 4; длина бокового ребра
равна 5; К — середина РВ\ L G AC, AL: АС = 1:4. Найдите:
а) р(В; (СКВ)); б) ((К Ьу^РВС))-, в) р((ВВ); (СК)).
149. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
является квадрат ABCD с длиной стороны 4; длина бокового
ребра равна 6; L — середина АВ\ К е SC, |5К| = 2. Найдите:
a) p((DL); (АК)); б) ((DB)T(AK)); в) р(А; (DKL)).
150. Основанием треугольной пирамиды РАВС является треуголь-
ник АВС, в котором | АВ\ = |ВС| = 7, |АС| = 10. Длины боковых
рёбер равны 8. Найдите:
а) ((РАДЛВС)); б) ((РА)ДВС));
в) р(А; (ВВС)); г) р((РА); (ВС)).
164
Глава 3. Угол между прямой и плоскостью
151. Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является пря-
моугольник ABCD, в котором |АВ| =3, |АВ| =4. Длины всех
боковых рёбер равны 7; L — середина ВС', К &AS, |АВ| = 3-
a) ((SB)T(kL)); б) р(В; (SLB)); в) р((СК); (BL)).
152. См. условие задачи 94. Найдите:
a) p((SA); (СВ)); б) p((SP); (АС)); в) p((SB); (ВС)).
153. См. условие задачи 95. Найдите:
a) p((SP); (АВ)); б) р((5В); (РВ)); в) p((AS); (СВ)).
154. См. условие задачи 96. Найдите:
а) р((5В); (АС)); б) p((PS); (СВ)); в) р((АВ); (ВР)).
155. См. условие задачи 99. Найдите:
а) р((РВ); (АС)); б) р((АР); (ВС)); в) р((АР); (BS)).
Глава 4
Угол между плоскостями
156. Дана правильная треугольная пирамида РАВС, в которой дли-
на стороны основания АВС равна 2 и длина бокового ребра
равна 3; К — середина АВ, L — середина PC. Найдите:
а) РАВС-, б) KBCL-, в) САРК.
157. Двугранный угол при боковом ребре правильной треуголь-
17
ной пирамиды РАВС равен arccos-рг; высота пирамиды рав-
х/177
на —-—. Найдите:
а) площадь полной поверхности пирамиды;
б) РВСА.
158. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено
у/З
к плоскости основания под углом arccos -у-. Найдите:
а) двугранный угол при ребре основания;
б) двугранный угол при боковом ребре.
159. В пирамиде РАВС двугранные углы при сторонах основания
4
равны arccos ; |АВ| — |ВС| = 5, |АС] — 8. Найдите:
а) высоту РО данной пирамиды;
б) ((РА)ДВС)); в) АРВС.
160. Дана правильная треугольная пирамида РАВС, в которой дли-
на стороны основания АВС равна 4 и высота РО равна 2\/3.
а) Найдите РАВС.
б) Постройте сечение пирамиды плоскостью, содержащей пря-
мую ВС и перпендикулярной плоскости АРС.
в) Найдите площадь этого сечения.
161. Все боковые грани треугольной пирамиды РАВС наклонены
к плоскости основания АВС под углом <р. Проекцией вершины
Р является внутренняя точка треугольника АВС. Известно,
что |АВ| = 5, |A(7| = 12, |ВС| = 13 и высота пирамиды, прове-
дённая из вершины Р, равна 2. Найдите:
а) <р;
б) площадь боковой поверхности пирамиды;
166
Глава 4. Угол между плоскостями
в) ВРАС-,
г) ^РВМАВС)).
162. Все боковые грани треугольной пирамиды РАВС наклонены
к плоскости основания АВС под углом 60°. Проекцией верши-
ны Р является внутренняя точка треугольника АВС. Известно,
что |АВ| = 8, |АС| = 7, |ВС| = 3. Найдите:
а) высоту пирамиды, проведённую из вершины Р;
б) площадь полной поверхности пирамиды;
в) АВРС; г) ((РВ^АВСУ).
163. В пирамиде РАВС плоскости боковых граней РАВ, РАС,
РВС образуют с плоскостью АВС равные углы. Известно,
что |АВ| = 8, |АС|=5, |ВС| = 7, РАВС = arccos . Найдите
возможные значения |РС|.
164. Основанием треугольной пирамиды РАВС является треуголь-
ник АВС, в котором |АВ| = |ВС| = 9, |АС\ = 6. Известно, что
все плоскости боковых граней образуют равные углы с плоско-
стью АВС и РАВС = arccos)• Найдите:
а) |РВ|; б) ((РВрАС));
в) р((РВ); (АС)); г) АРВС.
165. См. условие задачи 94. Найдите:
a) SACD-, б) SCDA- в) ((ASC); (PCD)).
166. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Длина
стороны основания ABCD равна 4, длина бокового ребра рав-
на 8; К е AS, | АК\: |KS| = 1:3, L — середина SD.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, содержащей точки
К и L и перпендикулярной плоскости АВС.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани SCD.
в) Найдите (ASP); (CSD)).
г) Найдите ASDC\
д) Найдите ((/СР); (SBC)).
167. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD длина сто-
роны основания ABCD равна 6; BSAD = arccos(—Ygl> М —
середина CD. Найдите:
a) SADC-, б) SAMD-, в) ((AS); (ВМ)).
Глава 4. Угол между плоскостями 167
168. В пирамиде PABCD основанием является прямоугольник
ABCD, в котором |АВ| = 3, |АВ| =4; длина каждого бокового
ребра равна 5; К — середина AD-, М е PC, |РМ\ = 2. Найдите:
а) МАВС-, б) АРКС-, в) ((АМ)^РК)).
169. В пирамиде PABCD основанием является ромб ABCD, длина
—- 2тг
стороны которого равна 4; BAD = -у. Прямая РА перпенди-
кулярна плоскости АВС-, |РА| = 5. Найдите:
a) PBCD; б) CPDA; в) ((РС)Г(РАВ)).
170. Дана правильная треугольная призма ABCAiBiCi; длина сто-
роны основания АВС равна 6; | AAi | = 8, К — середина BBi;
Z—центроид треугольника АВС.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, содержащей точки
Л1 и Z и перпендикулярной плоскости AiCiK.
б) Найдите длину стороны этого сечения в грани AAiCiC.
в) Найдите AiCKA.
171. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является
треугольник АВС, в котором |АВ| = 8, С = arccos
|AAJ - 4, К — середина ВВ^. Найдите:
а) р((СК); (ABJ); б) КАСВ-, в) А^АКС.
172. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiB^C^Di, в кото-
ром |АВ| =4, |АР| =6, |AAi | = 4; М — середина CD. Найдите:
а) ((РС1М)ДАВ1(7)); б) А^ВМС-,
в) р(Сх; (AjBM)); г) р((АхМ); (BD,)).
173. Основанием прямого параллелепипеда ABCDAiBiCyD^ явля-
ется параллелограмм ABCD, в котором |АВ| = 4\/2, |AZ>| =4,
ВАВ = 45°; |AAi| = 6; К — середина DD^. Найдите:
а) ((АКС^ААМУ, б) АВКС-,
в) р(Вх; (АКС)); г) р((АЯ); (ВХВ)).
174. В декартовой системе координат даны точки
А(—3; 1; — 1), В(1; 4; 0), С(2;-3; 3), В(0; 2; 5).
Найдите:
а) (АВ)ЦВСВ)); б) ABCD- в) р((АВ); (СР)).
175. В декартовой системе координат даны точки
А(2; 4; 0), В(—1; 3; 1), С(0; —1; 2), В(3; 1;-2).
168
Глава 4. Угол между плоскостями
Найдите:
а) проекцию точки А на плоскость BCD',
б) ABCD-, в) г) р((ЛВ); (CD)).
176. В декартовой системе координат даны плоскости а и /3, опре-
деляемые соответственно уравнениями
2<r-3y + z + 7 = 0 и x + y-2z-l = 0.
Найдите:
а) проекцию точки Л(0; 2; —1) на плоскость /3;
б) М);
в) канонические уравнения общей прямой данных плоскостей.
177. В декартовой системе координат даны плоскости а и (3, опре-
деляемые соответственно уравнениями
2x-2/-z + 7 = 0 и х + 2у + 3z - 1 = 0.
Найдите:
а) (а; /3);
б) канонические уравнения общей прямой данных плоскостей;
в) уравнения биссекторных плоскостей по отношению к данным
плоскостям.
178. В декартовой системе координат даны плоскость о, определяемая
уравнением 2х — Зу — z + 5 = 0, и точки Л(0; —1; 2) и В(2\ 1; 0).
Найдите:
а) проекцию точки А на плоскость а;
б) уравнение плоскости, содержащей точки Л и В и перпенди-
кулярной плоскости а;
в) уравнение плоскости, содержащей точки Ли Ви образующей
с плоскостью а угол 60°.
Образцы вариантов контрольных работ
Контрольная работа № 1
Вариант I
1. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, в которой
длина стороны основания ABCD равна 2 и длина бокового ребра
равна 5; К G SB, |S/C|: |КВ| = 2:3; L — середина SD.
а) Постройте точку М = (KL) П (ABD).
б) Найдите |МС|.
в) Постройте сечение пирамиды плоскостью AKL.
г) Найдите отношение (меньшее единицы) площадей тех частей
треугольника BSC, на которые его разбивает секущая плоскость.
2. Дана правильная треугольная призма АВСА^В^Су, в которой
длина бокового ребра равна 6 см, длина стороны основания рав-
на 1 см; К — середина AAi, М &А1В1, |AiM|: \МBi | = 2:1.
а) Постройте прямую, проходящую через точку К и пересекаю-
щую прямые ВС и С\М.
б) Найдите расстояние от точки Ci до точки пересечения этой
прямой и прямой С1М.
в) Постройте сечение данной призмы плоскостью СКМ.
Вариант II
1. Дана правильная треугольная пирамида SABC, в которой длина
стороны основания АВС равна 4 и длина бокового ребра равна 5;
К — середина AC, L е SA, |SL| = 2; М — центроид грани SBC.
а) Найдите |LM|.
б) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLM.
в) Найдите длину стороны этого сечения в грани АВС.
2. Дан куб ABCDA\B\C\D\ с длиной ребра а; К е [ЛАД, |АК| = 2а;
М — середина CD.
а) Постройте отрезок, заключённый внутри куба и лежащий на
линии пересечения плоскостей BDK и ABiDi.
б) Найдите длину этого отрезка.
в) Постройте сечение данного куба плоскостью CiKM.
г) Найдите длину стороны этого сечения, лежащей в грани ABCD.
170 Образцы вариантов контрольных работ
Контрольная работа № 2
Вариант I
1. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, в которой
длина стороны основания ABCD равна 3 и длина бокового ребра
равна 6; L — середина SA, К € SD, |D/C| = 1; М е SB, |ВМ| = 5.
--> -------------------------------->
а) Разложите вектор МК в базисе, состоящем из векторов АВ,
AD, SC.
б) Найдите (АК + 2LM) • СО.
в) Найдите |Z,2V|, где ,W = (iSC')n(K.L.M').
г) Найдите пр-^ (AN + D&).
2. Дана правильная треугольная призма АВСА\В\С\, в которой
длина стороны основания равна 3 и длина бокового ребра рав-
на 6; К — середина AAi, L € BBi, : |BiL| = 1:3; M — центр
треугольника АВС', Е — (КМ) П (В^ВС). Найдите:
a) ((AiCj?(kL)); б) |СК + в) |ЛД|.
Вариант II
1. Дана правильная треугольная пирамида РАВС, в которой длина
стороны основания АВС равна 4 и длина бокового ребра равна 5;
К — середина АС, О — центроид грани РВС.
а) Разложите вектор КО в базисе, состоящем из векторов АВ,
АС, АР.
б) Найдите угол между прямыми ОК и АР.
в) Найдите |АО|.
г) Найдите |PF|, где точка F определена равенством
BF = 2КО - PC.
2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA^BiC\Di является
параллелограмм ABCD, в котором
\АВ\ = 2, |А£>| = 4, BAD = ^; |AAi| = 6,
М — середина BiCi. Найдите:
a) (DM - 2А(С) • АВ; 6)|AW-i5X|;
в) np^j+j^AiZ, где Z — центроид тетраэдра MACD.
Образцы вариантов контрольных работ 171
Контрольная работа № 3
Вариант I
1. В основании тетраэдра РАВС лежит треугольник АВС, в кото-
ром |АВ| = |ВС| =6, |АС| = 10; К -середина АС; |РА| = |РВ| =
= |РС| = 8. Найдите:
а) высоту пирамиды, проведённую из вершины Р;
б) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
в) ((Ркивс)); г) р(В; (РАС)); д) р(А; (РВС)).
2. В кубе АВСВА1В1С1Р1 с длиной ребра а на ребре A^Di взята
такая точка М, что |АХМ|: |MZ>i| = 1:3; К — середина CD.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точ-
ку М и перпендикулярной прямой АК.
б) Найдите периметр этого сечения.
в) Найдите площадь этого сечения.
в) Постройте прямую р, проходящую через точку М и перпенди-
кулярную плоскости ВС1К.
д) Найдите длину отрезка прямой р, заключённого между плос-
костями АВС и AiBiCj.
Вариант II
1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiCyDy, в кото-
ром диагональ АСХ, равная d, образует с плоскостями DD^Ci
и BCCi соответственно углы 30° и 45°; М — середина ВС. Най-
дите:
а) р(М; (AjB)); б) ((АСДДАВС)); в) ((AxM^bCi));
г) р(А; (BGB)); д) ((ВХМ); (АХВР)).
2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD длины всех
рёбер равны а; О — центр основания пирамиды — четырёхуголь-
ника ABCD- М е CD, \СМ\: \MD\ = 1:3.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
точку О и перпендикулярной ребру SB.
б) Найдите периметр этого сечения.
в) Найдите площадь этого сечения.
в) Постройте прямую р, проходящую через точку М и перпенди-
кулярную плоскости ABS.
д) Найдите длину отрезка прямой р, находящегося внутри данной
пирамиды.
172
Образцы вариантов контрольных работ
Контрольная работа № 4
Вариант I
1. В множестве Ж3 даны точки А(—1; 3; 4), В(0; —1; 5), С(2; 0; —1).
а) Составьте уравнение плоскости АВС.
б) Найдите S(ABC).
в) Найдите проекцию точки М(3; 7; —11) на плоскость АВС.
2. Дана правильная треугольная призма ABC AiBiCi, в которой
\АВ\ — 3, |AAi| = 5; К G АС, \АК\ = 1; точка О —центр грани
BCCiBi. Найдите:
a) б) р((АгО)-, (ВК)); в) p(Ai; (KBiC)).
3. В пирамиде SABCD длины всех рёбер равны а; К — середина
AD, L — середина SC. Найдите:
a) p(S; (BKL)); б) ((8КУ(ВКЬ)); в) p((SK); (BL)).
2.
3.
Вариант II
1. а) Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через
точку М(2; 1; —1) и перпендикулярной прямым
(x + 2y-z + 5 = 0, х-2 у z-t-З ,,
, л. 1 о (₽) и “=Г = 2 = Т" W-
I Зж — у + z —1 = 0 1 z 1
б) Найдите расстояние между прямыми р и q.
в) Найдите проекцию точки М на прямую q.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA\BiCiD\, в кото-
ром |АВ| = 3, \AD\ = 4, |ААХ| = 1; М е CD, \СМ\ : \MD\ = 2:1;
К — середина AiDj. Найдите:
а) ((СКУЛАМ)); б) р((СКУ (ВгМ)); в) р(К; (СГМ)).
Дана пирамида РАВС, в которой |АВ| = |ВС| = 7, |АС| = 10;
|РА\ = \РВ\ = |РС| = 6. Найдите:
а) ((РА)-, (ВС)); б) р(А; (РВС)); в) р((РК); (ВС)),
где К — середина АС.
Контрольная работа № 5
Вариант I
1. В правильном тетраэдре SABC длина ребра равна а-, К G AS,
| АК\: |К5| = 1: 2; М G ВС, \СМ\: \МВ\ = 2:7.
Образцы вариантов контрольных работ
173
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
точки К и М и перпендикулярной плоскости SBC.
б) Найдите длину стороны этого сечения, лежащей в грани SBC.
в) Найдите угол между плоскостями SB А и SAM.
г) Найдите расстояние от точки В до плоскости сечения из п. а).
2. Основанием пирамиды РАВС является равнобедренный прямо-
угольный треугольник АВС, в котором С = 90°, |АВ| = 8. Дву-
гранные углы при всех сторонах основания равны 60°.
а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
б) Найдите АРСВ.
в) Найдите ((РД); (ВС)).
Вариант II
1. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, в которой
длины всех рёбер равны а; К — середина CD-,
М е АС, \АМ\ : \МС\ = 1:3.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, содержащей прямую
КМ и перпендикулярной плоскости SBC.
б) Найдите длину стороны этого сечения, лежащей в грани ABCD.
в) Найдите DMKS.
г) Найдите ((ASВ)-, (CSD)).
2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiC^Di, в кото-
ром |ДВ| = 2, |AD| =8, |ДД1| =5. Найдите:
a) ((DMC)-, (AiCiD)), где М — середина BiCi;
б) MACD-
в) р(М- (ArBD)).
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
Вариант I
1. В правильной треугольной пирамиде РАВС сторона основания
АВС равна 5; боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом 5. Найдите:
а) высоту АО данной пирамиды;
б) площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через се-
редины рёбер АР и СР и перпендикулярной плоскости АВС;
в) ((АР); (ВД)), где Л- —середина PC.
2. Дана прямая призма АВС А\В\С\, в которой длина стороны ос-
нования АВС равна 3 и длина бокового ребра равна 5. Найдите:
а) р((АВх); (ВС)); б) ((АВ^АСгВ^.
3. В пространстве R3 даны точки А(2; 1; 3), В(—1; 2; 0), С(—3; —1; 4),
В(0; 1; —3). Найдите:
а) р(А; (СВ));
б) проекцию точки В на плоскость АВС;
в) р((АС); (ВВ)).
4. В основании прямого параллелепипеда АВСВА1В1С1В1 лежит
ромб ABCD с острым углом 45° и высотой 3 см; p(Bi; (АВ)) =
= 5 см. Найдите:
a) p((ACi); (ВС)); б) ((АСх); (АВС)).
5. Дана четырёхугольная пирамида SABCD. Основанием пира-
миды является прямоугольник ABCD, в котором |АВ| = 3\/2,
|АВ| = 4>/2. Все боковые рёбра пирамиды одинаково наклонены
к плоскости основания. Высота SO этой пирамиды равна \/2.
Найдите ASDC.
Вариант II
1. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона осно-
вания ABCD равна 2; двугранный угол между смежными боко-
выми гранями равен arccos^—; К — середина АВ. Найдите:
а) высоту РО данной пирамиды;
б) р(А; (ДРС)); в) ((РА)ДСК)).
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса 175
2. В пространстве R3 даны точки А(-2; 1; -1), В(0; 3; 2), С(1; 0; -3),
В(3; 2; 5). Найдите:
а) ((АВ)ДАСВ)); б) р(В; (АВС)); в) р((АС); (ВВ)).
3. Дана правильная призма АВСА1В1С1, в которой |АВ| = 2,
|АА1| =4; М — середина ВС, О —центр грани AAiBiB. Найдите:
а) р(О; (BjM)); б) ((В^ЯаА^)).
4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСВА1В1С1В1; |АВ| =3,
|АВ| =4, |AAi| — 6. Найдите:
a) p(Ai; (ВС1Р));
б) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, содержащей
точки А1 и Bi и перпендикулярной плоскости АВС\.
5. Дана треугольная пирамида SABC, в которой все двугранные
углы при сторонах основания АВС равны 30°. Известно, что
|АВ| = |ВС| =5 см, |АС\ =6 см. Найдите ((SB); (АВС)).
Вариант III
1. Основанием пирамиды SABC является треугольник АВС, в ко-
тором | АВ| = |АС| =3, А = 120°. Все боковые рёбра пирамиды
образуют с плоскостью основания угол 45°. Найдите:
а) высоту SO данной пирамиды;
б) p((SB); (АС)); в) ((5В)ДАС)).
2. Дана правильная треугольная призма ABCAiBjCi, в которой
сторона основания АВС равна 4; М — середина АВ; А^С В\М =
= 32. Найдите:
a) ((BiCjT^AiBi)); б) p((AjM); (BjC)).
3. В пространстве R3 даны точки А(-1; 0; 3), В(2; 1; -1), С(0; 2; —3),
В(1; 1; 0), В(2; —3; 1). Найдите:
а) уравнение плоскости, проходящей через точку Е и параллель-
ной плоскости АВС;
б) проекцию точки В на прямую СВ;
в) р((АС); (ВВ)).
4. В основании прямого параллелепипеда ABCBAjBiCjBi лежит
ромб с длиной стороны 4 см; BAD = 60°; ((BCJ; (ВССД) =
• У13 тт „
= arcsin. Найдите:
а) р(А; (BCiB));
б) площадь полной поверхности параллелепипеда.
176
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
5. В правильной треугольной пирамиде SABC длина бокового ребра
равна 6 и расстояние от центра основания АВС до бокового ребра
равна К е AS, |АК\: |KS| = 2 :1; L G BS, \BL\: |LS| = 1:2;
М — середина SC-, F=(SO) О (KLM), где О —центр основания.
Найдите SO: OF.
Вариант IV
1. В пространстве R3 даны точки А(1; 1; —3), В(0; 2; 0), С(—1; 3; 1),
-0(2; 0; —1), Е(4; -3; -1). Найдите:
а) проекцию точки А на плоскость CDE;
б) р((АС); (РЕ)); в) ((АВ)ДСРЕ)); г) ACDE.
2. В правильной треугольной пирамиде РАВС с основанием АВС
——— 41
известно, что |АВ| =4 и ВАРС — arccos Найдите:
a) |AZ|, где Z — центроид данной пирамиды;
б) р(Н; (РВС)), где Н — ортоцентр данной пирамиды.
3. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Известно,
что |SA| = 6 и BSAD = arccos^— ; К ESC, |SK| =4. Найдите:
а) высоту SO данной пирамиды;
б) ((SBUDK)).
4. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiCiDi, в кото-
ром |АВ| =4, \AD\ =3, |AAJ =6. Найдите:
a) р(А15 (BCiD)); б) р((ВГ>1); (АС)).
5. Дана треугольная пирамида SABC, в которой |АВ| = 8, | АС| = 7,
\ВС\ = 3, |SА| = |ВВ| = |5С| = 6. Найдите SABC.
Вариант V
1. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит парал-
лелограмм ABCD-, К е AS, | АК\: |К5| = 1:3; L Е SD, |DL\: |LS| =
= 2:3; М — середина SC, N = (SB)r\(KLM).
--> ---------------> --> --->
а) Выразите вектор LM через векторы AS, АВ, AD.
б) Найдите SN : NB.
2. В пространстве К3 даны точки А(2; 1; —1), В(1; 1; 3), С(0; —3; 1),
_Е>(—2; 0; 3), Е(4; —1; —1). Найдите:
а) р(Е; (АВС));
б) проекцию точки А на прямую ВС;
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса 177
в) уравнение плоскости, содержащей точки А и В и перпендику-
лярной плоскости CDE;
г) ABCD.
3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA^BiCiDi, в кото-
ром |АВ| = 2, |АВ| = 1, |АЛ11 = 3; К — середина BjCi. Найдите:
а) р(А; (ВКВ)); б) ((С/ОДААхСг)).
4. В правильной треугольной пирамиде РАВС длина бокового ребра
равна 6 и cos2 РВС А = — cos АР ВС. Найдите:
а) длину стороны основания АВС-,
б) высоту СТ данной пирамиды.
5. В четырёхугольной пирамиде SABCD прямая SD перпендику-
лярна плоскости АВС основания. Основанием является паралле-
лограмм ABCD, в котором | АВ | = 2, |AD| = 4, А = 120°; |SB| = 6;
М — середина SC. Найдите р((ВМ); (АВ)).
Вариант VI
1. Дан куб ABCDA\B\C\D\ с длиной ребра а; К — середина СС\.
а) Постройте сечение куба плоскостью а, содержащей прямую АК
и параллельной прямой BiD\.
б) Найдите p(Ai; а).
в) Найдите угол между лучами АК и В^М, где точка М опреде-
лена равенством С\М — —2СК + CD -I- ^ВМ + | АВ.
2. В правильной треугольной пирамиде SABC длина стороны осно-
вания АВС равна 2; К — середина ВС. Известно, что AS ВС =
17 тт „
= arccos ху. Найдите:
оо
a) ((AS); (SBC)); б) p((Stf); (АВ)).
Вариант VII
1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCBAjBjCiBi, в кото-
ром |АВ| = 3, |АВ| = 4, |AAi | = 2; О — центроид треугольника
AAiB; К — середина AiBj.
а) Постройте прямую р, проходящую через точку К и перпенди-
кулярную плоскости DC\O.
б) Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри
данного параллелепипеда.
в) Найдите р((/СС); (ВО)).
178
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
2. Основанием треугольной пирамиды РАВС служит треугольник
АВС, в котором |АВ\ = 12, |АС| = |ВС| = 7. Известно, что все
двугранные углы при сторонах основания равны arctg(2>/3). Най-
дите:
а) |РА|; б) ((АР); (ВС)).
Вариант VIII
1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAxBxCxDx, в кото-
ром |АВ| = 3, |AD| = |AAi| =4; М — середина ССх-
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей
через точку М и перпендикулярной прямой Ах В.
б) Найдите расстояние от точки Ах до стороны построенного
сечения, содержащейся в грани DDxCxC.
в) Найдите BDMA.
2. Основанием пирамиды SABC является треугольник АВС, в ко-
тором |АВ| = |АС| = 8, |ВС| = 12. Известно, что все боковые
рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом
. У21 „ „
arcsin—Найдите:
а) р(А; (SBC)); б) ((SCU4B)).
Вариант IX
Основанием четырёхугольной пирамиды SKLMN является квад-
рат KLMN, длина стороны которого равна 4\/2. Известно, что про-
екцией вершины S на плоскость основания является точка М и дву-
гранный угол при ребре SK равен 120°. Найдите:
a) SLK-,
б) высоту треугольника SNK, опущенную из вершины N;
в) двугранный угол при ребре KL;
г) ((ВТЩМЛГ)); д) ((S^iWl));
е) p(L; (SMK)); ж) р(ЛГ; (SKL));
з) ((SV); (SKL)); и) p((SW); (ML)).
Вариант X
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, в которой
9
|ВС| = 9 и длина апофемы боковой грани равна Найдите:
V 2
a) ((SC); (ВО)); б) высоту пирамиды;
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
179
в) двугранный угол при ребре ВС;
г) ((ВС)ДЛВВ)); д) ((ВЛМСВ));
е) двугранный угол при ребре SD;
ж) ((ВЛВ)ДВВС)); з) р(С; (SAD));
и) p((SC); (BD)).
Вариант XI
В основании пирамиды PABCD лежит прямоугольник ABCD,
в котором |ЛВ| = 3, |ВС| = 4. Известно, что (РАВ) ± (АВС) и
(РЛС) _L (ЛВС); |РЛ| =5. Найдите:
а) ((РАВ)-, (PAD))-,
в) ((ВВС); (PAD))-,
д) p(D;(PBC));
ж) ((PCMBD))-,
и) ((АС); (РВС)).
б) ((РВС); (ЛВС));
г) р(Л; (РВС));
е) р((РВ); (CD));
з) р((РА); (BD));
Вариант XII
б) APDC;
г) р(А; (CDK));
е) р(К; (PCD));
з) р((СК); (PD)).
Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD, в которой
длина стороны основания ABCD равна 6 и длина апофемы боковой
грани равна 3д/2; К — середина АР. Найдите:
a) ((CKUPD));
в) KCDA;
д) ((CKUAPD));
ж) ((ЛРВ); (CPD));
Вариант XIII
1. В правильной треугольной пирамиде РАВС длина стороны осно-
вания ЛВС равна 6 и АРВС — arccos . Найдите:
а) ((РА)^АВС)); б) РАСВ;
в) ((РА); (РВС)); г) р((РА); (ВС));
д) р(А; (РВС)).
2. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро одинако-
во наклонено к плоскости основания и к плоскости боковой грани.
Определите:
а) двугранный угол при стороне основания;
б) двугранный угол при боковом ребре.
180
Образцы итоговых работ по курсу 10-го класса
Вариант XIV
Даны две правильные пирамиды DABC и FABC с общим ос-
нованием АВС, расположенные по разные стороны от него. Все
плоские углы при вершинах D и F прямые, |АР| = 1. Найдите:
а) расстояние от середины AD до BF;
б) p(B^BCF)); в) р((А£)ДВВ));
г) ((AP)jJBF)); д) ((АВ); (BCF));
е) ((АСВ^ДВСВ));
ж) площадь проекции грани ADB на плоскость BCF.
Ответы
Алгебра
2. б) 38. 5. а) -61. 7. 6) -2. 8. б) 9. а) 2. 10. б) 1.
12. a) i 13. б) 15. 3420. 18. в) 594. 22. ~3.
z zz 15
2- л/14
25. -----. 29. в) 8. 30. б) 11. 32. а) 11. 34. б) 151. 35. а) 64.
38. —6а:+ 7. 40. а) + 42. — a6R\{-3; -1; 1; 3}.
44. 1; агеК\{-2; -1; 2; 3}. 46. у; m е (-оо;-2) U (2;+оо).
49. 0 при а 6 [0; 1); 2 при а G (1; +оо).
52. ---т= при а > 0, 5^0, Ъ / а, 6 / 9а; при а < 0, 6^0.
Зу d —У/О у/—ау/—Ь
56. а) {-2-ч/7; -2 + У7;
Г-1-2У10 1 - l + 2vTh ,Q Г - 2 - л/21 -2 + V21
i 4 ’-1;2;—4—г 58-бН—з—;—з—
62. а) {—1 — %/3; 2 - >/б;-1 + -УЗ;2 + х/б}. 63. б) {-^; В.
65.а){^;^}. в7.а){П^;3±У13}.
69. а) [3; 11]. 70. б) {-1^; 2?}. 71. б) {-20; ^ + 3^165}
73. б){1|;з}. 74. а){-1;5}. 76. а) {±(1 + л/2 + ^2^-1)}.
81. б) {1-2^5; 1 + %/5}. 82. а) {-^;
83. а) {-1; 0; 3; 2 + У13}. 84. б) {тгА:; + 2тгА:; + 2тг/с | к е z}.
86. a) {^;-J+7r*:|A:6Z}. 87.6) {тгп; у + 2тгп | п G z}.
88. б) {тг+ 2тгп fneZ}. 89. б) {{^ + тгп | nezj.
90. а) {2тгп; тг + 4тгп | п G Z}. 91. б) {—2; — 0; 3}.
92. а) {-|;0; 1}. 93. б){|;в}. 94. а) {4 + 2^}.
96. а) {О; 1}. 97. а) {0; 2}. 98. б) {1,25; 5}. 99. а) {|; 2}.
182
Ответы
100. б) {1 —>/55; 1 + 75}. 102. б) {1}. 103. а) {-5;-3;-1; 1; 3; 5}.
105. а) ( ——; 2}. 106. б) 4}.
108. а) {(-18; 1); (—8; —1); (—6; -3);(-4; -13); (-2; 17); (0; 7); (2; 5); (12; 3)}.
109. б) {(2; -2)}. 111. а) {(-3 + 14t; 4 - 13t) 11 ё Z}.
112. б) {(-10; 6); (3; -5)}.
113. б) Если а ё (—оо; —3) U (—3; 0), то { —
если а ё [0; 1) U (1; +оо), то {а}; если а ё {—3; 1}, то 0.
114. б) Если а ё (—оо; 0), то {—1 — 71~^а; 1 + %/1 — а}; если а = 0, то
{—2; 0; 2}; ____ ____________ _________ _________
если а € (0; 1), то {—1 — -/I — а; —1 + \/1 ~ а; 1 — VI — я; 1 + VI — я};
если а = 1, то {—1; 1}; если а 6 (1; +оо), то 0.
116. а) Если аё(—00; —1], то {—2; 2}; если аё (—1; 3), то {—2; 1 — а; 2};
если аё [3; +оо), то {—2; 2}.
118. а) Если аё (-оо; 1^], то {^}
Z1-V21 11
если аё I—-—; ^l, то 0;
/1 1+V211 (а2 + 51 П + у/21 , \
если аё (—-—I, то { 2а -1 J ’ еСЛИ а£ \-2-’ то 0’
120. б) {-2; 1}. 122. а) (-00; U (1; +оо). 123. б) [-2; +оо).
124. б) [-21; 4). 125. а) (—оо; 2) U {3}. 128. а) (-оо;-2) U {2 - 2V3}.
129. а) (-оо; -27) U (5; +оо). 131. б) {-1}. 132. а) [-тг; 0) U (0; тг].
134. а) (-оо; 1)и{1^}. 135. б) {0; 4}. 136. а) (-14; 1|}.
137. a) (i;4-2V3]u[4 + 2V3;+oo). 139.6) (—3^; —1|].
140. а) Если аё (—оо; 0), то 0; если аё {0}, то 1;
если а ё (0; 2), то 2; если а ё {2}, то 3; если а ё (2; 2^), то 4;
если аё (2^|, то 3; если аё (2^; +°°), т0 2.
142. б) Если аё (—оо; 0], то 1; если аё (О; то 2; если аё то
если (-^; +оо), то 0.
145. если а= —9, то (~4|; 2}; если а= 1, то {—3; 2}.
147. (-oo;-2V2)U[0;l)U(2V2;+oo). 149.6) (-4; 3-~-^; 1;
о
155. б) 1. 156. а) -14. 157. а) -1. 157. б) 7. 159. -95-.
161. а) 43,5; б) 8а:2 - 464а: + 1 = 0. 162. б) х3 + 9а:2 + 24а: + 10 = 0.
165.6) 14. 167. 8а:3 — 2а:2 — 5а; + 2 = 0.
168. 6) а:4 - 11а:3 + 36а:2 - 36а: + 1 = 0.
170. .) {(-2-^5; Ц^); (-1; -1); (-2 + V5 ^); №•)}.
173. б) { (- log2 3; -|) }• 174. б) (-оо; 1 - V5] U {2} U [1 + V5; +оо).
Ответы
183
175. а) 1,5) U (^^5 +оо) • 176. б) (-5; -1) U (2; 3).
178. б) (-оо; -2) U (-1; 1] U {2}. 179. б) (-оо; 0) U (|; з).
180. а) (-оо; -3,5] U [-|; +оо). 181. б) (-оо; -1] U [-у о] U [1; 2].
182. а) (-оо; -1 - ^2] U 1 + Л] U [^у^; +оо).
184. б) (2; 2у/2]. 185. а) (-1|; -1|] U (0; +оо).
186. а) {-3; -1} U [2; 3]. 187. а) [-4; 1] U {2}.
188. б) [-2 - 2\/б; -1) U [-2 + 2^6; 3]. 189. а) {-2} U [1; 2].
191. а) [-7; 2]. 192.6) (-оо; -2л/3 - 1] U {>/3- 1}.
193. б) [—7; -4] U {-3} U (1; +оо).
195. а) (-оо; >/^~1) 0(4; +оо); б) (-оо; -1). 196. б) [1; 1,5].
198. б) [-2; — 1] U(—1; у/3 - 1] О {1} О (4; +оо).
199. б) Если а € (—оо; 4), то (—оо; -а - 1) О [3 — 2а; +оо);
если а £ {4}, то (—оо; —5) О (—5; +оо);
если а е (4; +оо), то (-оо; 3 - 2а] О (-а - 1; +оо).
201. а) Если а€ (—оо; —1], то (~у! +оо);
если а € (-1; 0], то (—оо; ~~у) и (у-у; +оо);
если а € (0; 1], то Ж; если а 6 (1; +оо), то (—оо; —~у)-
203. а) Если а 6 (-оо; -3), то (-1; ; если а 6 {-3}, то 0;
если а€ (—3; 0), то — 1); если а € {0}, то (—оо; —1);
если а С (0; +оо), то (—оо; —1) U +оо).
204. б) Если а € (—оо; —4), то 0; если а 6 {—4}, то {—2};
если а € (—4; +оо), то [у а + 2^ .
206. б) [-1; . 207. а) (|; 4). 208. б) [-3; 6).
209. б) (-2 - 2>/3; . 210. а) (-2; 1]. 211. а) (-4; 0].
212. б) (-оо; -2). 214. (-оо; 5 - у/7]. 215. (-Зу +оо).
216. [-9 + 4V6; 2). 218. (—~?^; |) U (|; г|).
219. -2ч/б). 221. {-0,2}. 224. (-00; -2)U(\/5; +00).
227. а) (-оо; -2]и{4}. 229. б) (-00; ^у--1).
231. б) (-00; -2)U(-2; —1)0(3; +00). 232. б) [-5; -у] U [-у О {3}.
233. б) [-1; 2]. 234. а) (-00; -1) U (-1; 0) U (0; +оо).
184
235.
237.
239.
242.
247.
252.
256.
259.
267.
270.
271.
274.
276.
278.
279.
281.
286.
293.
297.
300.
322.
326.
329.
332.
335.
339.
341.
346.
Ответы
а) [1; 1+2^] • 236. б) [-1 - л/2; -1] U [-1 + У2; 3].
а) (-оо; -2) U [-1; 2]. 238. а) (-оо; -2] U {-1} U [0; +оо).
а) {-1; 1; 2}. 240. б) (1 - Уб; 0) U (0; 2) U (2; 1 + Уб).
(-оо; -5 - 2Уб) U (-5 + 2Уб; +оо). 244. (0; 2). 245. {2}.
[3; +оо). 250. [-2; -1]. 251. б) (-оо; -1] U [0; +оо).
б) [-4; +оо). 253. б) (0; 2) U (2; +оо). 255. а) [-3; 13].
б) (-оо; -2). 257. б) [о; . 258. а) [—/13; У13].
б) [0; +оо). 261. [-1,5; 0]. 263. [2; +оо). 265. [2; 3].
оо; — 269. а) (—оо; — U [1; +оо). 269.6) ^;+оо).
а) (-оо; —2 — У5] U {—3; -1}и[-2 + Уб; +оо).
в) [г 2^5 °]и [1 +°°)- 273- а) (°; +°°);») {i-ь Уб}.
в) {-1}и(-|;4]. 275.6) {-1|; 2; 4^}.
а){1-2УЗ;^±^}.
б) 280. а) Да:) = б) (-3; -2) U (-2; -1).
V. J. J Ju "Т А
а) б> ("°°; -1)и <0}' 284‘ I1!5 21]'
{1-^у^;з}. 288. {-13}. 289. (0;|]. 291. (—оо; 0] U [2;+оо).
*’[И
а) {2; 34}; в) (4; б|). 298.6) {-1;-|}.
б) о] U [—+оо); в) {2; 3}. 301. а) {-6; -1,2}.
ап = 2{П} + 6{-1}. 325. 6) {3^;-^).
а) 0; б) 327.6) {-1} U [|; 1) U [з|; з) U [4 j; б].
а){Ц^Ц;Ц^}- 330. {Ю + УЗ; 14-Уз}. 331. а)--4т.
I, Zi £ J Jj л.
6) (-оо; 1) U (1; 334. а) х2 + 2а: - |х - 1|.
| х при а:<0, rl \
a) f(x)=< 336. б) |;+оо). 338. б) [-3; 1 + ЗУ2].
I 2а: при а:^0. '
а) /(*)=*-тту- 340. б) [3~/^; з] и [3+2^; +<х>).
а) /(а:) =х — 1 4- |. 343. Да:) = х2 — а:; д(х) = 2а:2 + х — 1.
. о , , . о Г9 —\/^5 9 + Уб5"1
У(а:) = х2 - 4; д(х) = -х2 + За:. 347. б) | —--; —--1.
Ответы
185
349. а) -11. 350. а)2х2+3. 351. х +1. 353. а) -56.
360. а) {-з|; -1|; 1; 4± }. 361. б) [-4; -|] U [5; +оо).
362. а) {-б^; -2; -1|; 17+^/Ш}. 364. б)
365. а) -1; б) (-оо;^Й]и[^П;+оо).
366. а) {8,5; 9,75; 10,25; 11,5}; б) [3; +оо).
367. а) {-2; 3; 8}; б) {-4} U [-6 + 2ч/2; 1] U [2?2; 4].
— х2 — 6х — 7 при х<— 1,
368. а) /(х) = 2х
при — 1 < х < 1,
х2 — 6х + 7
при х 1;
б) {-3->/5;-4; -2; |; 3 — л/З; 3 + х/З; З + Т?}.
369. б) {1} U (3; +оо). 370. а) /(х) = |х - 2| - |х + 2| - 2х.
373. а) /(х) =х4 - Зх2 - 1; б) (-оо; -2] О [—/1 + >/3; >/1 4- л/З] U [2; +оо).
374. б) [-1; 1 + >/2]. 377. а) {-1|; -1; 1; 1|}; б) {-0,5; 0; 1,5}.
379. б) [0;+оо). 382. б) {fl; 383. б) (—оо; —2] U [3;+оо).
385. а) /(х) = х2 + х-2+|. 386. а) {-5; -3,5; -1; 0,5; 11}; б) (-1; 0).
388. а) У(х)=х2+4х + 3-3|х + 2|. 389. б) (5-; 4). 390. а) 36.
391. б) [1^; 3^3] U [ЦУ*; ИУИ]. 392. а) [-2; -^2] О {2}.
393.6) {-1; 394. а) /(х) = 2х + 1.
396. а) /(х) =2х3 — 6х2+ 3х; б) 1;
397. а) (-5; -4; 2; б}; б) {-1} U [0; +оо). 398. а) 3,75.
399.6){1^ММ}. 400.б) (-61; 0). 401. а) {9}.
403. б) Возрастает на (—оо; —1]; [1; +оо); убывает на [—1; 0); (0; 1].
406. а) Убывает на (—оо; —2]; (1; +оо); возрастает на [—2; 1).
408. б) Возрастает на (—оо; 0]; [2; +оо); убывает на [0; 2].
411. а) Убывает на (0; 1]; возрастает на [1; +оо).
412. а) Убывает на (—оо; —1]; [0; 1]; возрастает на [—1; 0]; [1; +оо).
413. б) Убывает на (—оо; 0); (0; +оо).
414. а) Убывает на (—оо; — 1 — л/3]; [-1; -1 + v^;
возрастает на [—1 — л/З; —1]; [—1 + л/З; +оо).
415. б) Возрастает на (—оо; 0); [1; +оо); убывает на (fl; 1].
417. а) Возрастает на (—оо; 1); [1,5; +оо); убывает на (1; 1,5].
186
Ответы
420. б) Возрастает на [—1; 1). 423. а) аг = 2; б) аз = ад = 4; в) ад — 4.
424. [-2^;з|]. 427. {3 - 3 +-УЗ}. 430 (а). {2}; б) {1}.
432 (а). {2}; б) {4}. 433. б) {3}. 434. а) {-2}.
436. ——у—}. 439. { ~Х -1}. 441. {2 + ^}-
444. {-1; 3}. 447. а) {-1}; б) {-3}. 449. a) {i}; б) 0.
451. a) 452. а) 0; б) {£}.
1 + ^131 Г-1-У5. - 1 + -У51
455. а) {—1}> б) | j , 2 J ‘ I 2 ’ 2 J'
461. а) |4; 8; э|}; б) 0; в) {-2; 1}.
464. а) ~1+а—};6) (-oo;0]U{l}. 465. в) {1-^7;0}.
466. в) (4; 6) U (7; 9). 468. (—оо; —1) U (2;+оо). 471. (-1; 2 - 2%/2].
473. а) [|;1);б)(—оо; —3]. 475. а) (1; 2 + >/5). 476. a) (log4 3; 1].
477. б) [-1; 2]. 479. (-оо; — |] U {1}.
482. (-оо;-1--УЗ]и[-^; О [%/3 - 1; +оо). 484. (0; 2).
486. (-оо; 0] U [1;+оо). 488. [2 - \/б; 1 +\/3]. 491. [>/3 - 1; +оо).
493. (-оо; -1]. 495. а) [-6; 0) U {2}; б) {-1}.
498. а) [3; 19]; б) (-оо; -2) U {1}. 501. [-2; 2]. 504. [0; 3].
505. а) {0; 1}; б) {0; 1} U (4; 9] U (21; 91].
507. а) (-оо; ~7~>/Т7] U (-3; 0) U (0; +оо); б) [-6; ~7^—] О {0}.
519. -1; 15. 522. — >/3; —5. 524.-1;-1^. 527. 2; - ^4.
529. -1; —. 533. -1; 2. 534. -2; -55. 536. 2; -48.
’ 17
538. 2^2-1; 540. 7; 2. 545. 1 - у/1-х.
О
— х — 2 при х < —3,
х
~ 3
548.
550. 1-2*.
при — 3 х 1,5.
552. т-i—; же(1; +оо). 556. (—оо; 0] U [1;+оо). 558. [0;+оо).
l°g3 х
559. б) (-оо; -11]; в) {6}.
562. б) {—2 - /16; -1 + V5}; в) (-оо; 0] U [2; +оо).
565(6). [4; 5]; в) {4; 5}. 566. б) (-1; +оо); в) [-^; |].
569.6) (—оо; 1]; в) -2] U+оо). 570.6) {1}; в) [0; 3].
572. б) {-17; 4}; в) (-17; 4). 574. б) {1}; в) {-27}.
576. б) (—оо; 2]; в) [1;+оо). 578. б) (-оо; 2]; в) {27}. 580. б) {-1}.
581. a) {7t^}- 582. б) {--У2}. 583. б) {-1; 1}.
Ответы
187
585. а) 1 U [1; +оо). 587. а) [-1; '
588. I + /2}. 590. {-2}. 591. б) [-5; 3]. 592. а) {1}; б) (-1; 3).
594. [-2; -1]. 596. [0; 1,5]. 597. [-15; 1].
602. а) (б|;8|); б) (1; 3 - /2) U (3+ /2; 5).
604. а) 19); б) (~2у; -1у). 606. а) (>/10—5; ч/б-3); б) ч/14-З.
609. а) (1|; 3); б) (1|; 2±). 611. а) (1; 2)0(2; 5); б) (|; 1).
613. а) (1; 4); б) (—2^; -2)о(-2; -1|1 629. а) -2; б) 15.
630.6) 3. 632. а) 1. 633. б) оо. 634. а) -^. 635. б) -у
637. a) -2j. 639. б) -6. 640. а) у. 641. а) -20. 642. б) -|.
2 1
644. а) --. 645. б) -1. 647. а) 16. 648. а) -76. 649. б) i
о 8
650. б) 0. 651. б) у. 652. а) -у. 653. б) |. 655. а) 4.
656. б) 7,2. 657. б) ~1^4’ 658. б) +оо. 659. а) 1; б) не существует.
660. б) 661. а) |. 662. а) 2; б) 664. а) -5. 665. а) |.
666. б) 0. 667. б) -i. 668. б) 1|. 669. а) -48. 670. а) 2тг.
672. б) -ч/З. 673. б) |. 674. б) 3. 675. а) |. 676. а)
677. б) 678. б) —у 679. б) -4. 681. а)+оо; б) 0.
683. а) Не существует. 684. б) 0. 685. б) оо. 686. а) 0. 687. а) 1.
688. б) 2. 689. а) -3. 690. б) 9. 692. а) |. 693. б) 6. 694. а)
о и
1 14
696. б) +оо. 697. а) -1-. 698. б) 3. 700. а) 1. 701. б)
702. а) -|. 703. б) -1^. 704. а) |. 705. б) -10. 707. а)
о о о 42
708. б) уу. 709. а) 2. 710.6)2. 711. а) -1. 712. б)
713. а) -1. 715. б) log32 — 1. 716. а) 0,5. 718. а) 719. б) -1.
720. б) -оо. 721. a) у 722. б) 2. 723. б) -2. 724(a). 1. 725. а)
726. б) log2 3. 728. а) е~в. 729. б) 0. 730. б) е. 731. а) е4; б) 1.
732. а) е3. 733. а) 1. 734. б) 736. а) 2. 737. б) е&.
738. а) 1. 740. б) у. 741. б) 1. 742. а) ур. 744. а) -у
746. а) —2; б) 2,5; в) +оо. 748. а) у б) не существует; в) 0.
751. а) 0; б) не существует; в) +оо. 753. а) у 754. б) 2.
188
Ответы
755. а) 1+2^- 756. б) у/2- 1. 757. а) 1+^ 759• а) °-
760. б) 6. 761. б) {1; 2}. 762. а) {-7}. 763. б) {-1; 1|}. 764. б) 0.
765. a) {-g; 2}. 767. а) {-1|; 2}. 769. б){0;|}. 770. б){-|}.
771. б) {^}и(1;+оо). 772. а) {-|}. 773. б) {3}. 774. а) {-з|; 2}.
775. б) {1}. 776. а) {-з|;-1}. 777. б) {-4; 1}. 779. а) {|}-
780. а) 0. 781. б) {1}. 782. б) {-1; 2}. 784. а) {-1; 1}.
3 7
785. а) а = 4, 6 = 2. 786. б) а = 6 = -1. 787. а = --, 6=-.
789. а = 3, 6 = 7,5. 791. а = -4, 6 =-2.
2
792. а) Если а= —1, то оо; если а = 2, то -2-;
О
если aeR\{—1; 2}, то —77-
G Н- 1
795. б) Если а = 2, то 0; если а=—2, то 36; если абЛ\{-2; 2}, то оо.
797. а) Если а = —1,5, то оо; если а= 1, то 1,5;
если a€R\{—1,5; 1}, то 7-^.
' к 1а 4- 3
799. а) Если а = —3, то +оо; если а = 2, то не существует;
если а е R \ {—3; 2}, то —.
1 а 4- 3
1 13
800. а) Если 0 < |a| < 1, то —если |a| = 1, то 1-; если |а| > 1, то
2 о о
804. (4;+оо). 805.-/7. 811. а) б) |. 813. а) -5; б) 3,5.
815. б) 12. 816. б) 2. 817. а) 1|. 818. б) \/2 - 1.
S19.«)l. 823..) —4; 6) 823.1
827. -1|. 829. 0. 831. -4. 832. 0,6. 834. 24. 836. -2. 838. 4 Уб.
840. 2тг. 843. {-2}. 845. 2^; 2^. 847. {-5; -2}. 851. {-1; 2}.
852. {1 - г/21; 2}. 854. {-2}.
855. б) х = — 2 — II рода, х = — 1 — II рода, х = 1 — III рода.
856. а) х = 0 — I рода, х = 2 — III рода.
858. а) х = 0 — II рода, x€Z\{—1; 0; 1} — III рода.
860. а) х = 2, ж = 5 — I рода.
861. б) х = —3, х = 1 — III рода; х = 0 — II рода.
862. б) х = тт — II рода; х = - + тт — III рода; п е Z.
864. б) ж = — 4- тгп — I рода; п 6 Z.
865. а) х = тг 4- 4тгп — II рода; х = Зтг 4- 4тгп — III рода; п € Z.
866. б) х = — 1 — I рода; х = 1 — II рода. 868. б) х = 1 — II рода.
870. а) ж = n € N — I рода. 871. б) Непрерывна на R.
873. а) х = 0 — III рода. 874. а) х = 1 — III рода.
877. а) (-оо; 0] U (1|; +оо); б) (—оо; —1) U (3; 4-оо). 879. б) [-1; 3).
Ответы
189
880. а) [0; 8). 882. a) [г^; 4-оо). 883. б) (-|; з).
885. а) (-оо; -3) О (1; +оо). 887. а) (-2; 2); б) (-оо; 2). 890. а) 0.
892. б) (-оо; -1). 894. б) (1-V2; 1 + \/5). 895. а) (-12; 0].
896. б) {—log3 2}. 898.а = Ь = 2. 900. а = 2, Ь = -2. 901. а =1.
903. а = 2. 905. а = 0,5. 907.0. 909. а = -1.
935. [1; 2+2 -) 936. [4;2-/1б- 1). 938. (6^- 4;+оо).
940. (8л/2-4; 12). 942. [-1; 2]. 945. (-оо; 947. [о; .
949. 4-х. 951. З1-1. 959. а) 16; б) 8. 961. а) 2; б) 4.
962. Если а 6 (—оо; 0), то 0; если а = 0, то 2; если а € (0; 4), то 4;
если а = 4, то 3; если а€ (4; 4-оо), то 2.
966. -0,16. 968. 0,81. 970. а) -0,2; б) 0,76.
.74. Ц-'
978. (—1,85; 0,65). 981. —5. 982. Не существует.
987. 14~log2e. 990. Не существует. 992. —2^.
3 ___ , 1
968. 0,81.
•] 97в-[42-
973. 2,022.
ч/з] U [2 4-^/3; 2 4-%/5].
985. 1.
°94- •> -(ГЛуР
995.6)-!-, 998. а) —===. 997. 6) 2яе< 998. а) '
(х-1)2 ^/2х — 1 ’ ' х2
1 2 2
999. б) cosx —х-sinx. 1000.6) ----- 1003. а) -(2х —1) з.
|x|-vx2 —1 3
1004. а) 12х3 - х - 5; R. 1006. б) 2(х - 2)3(2х - 1)6(11х - 16); R.
1008. б) —8(х - I)"3; К \ {1}. 1011. а) (
_ 1
X2
1
X2
при хб(—оо; 0)U(0; 1),
при хе(1; +оо).
1012. б)
1015. а)
2х — 1 при х € (—оо; —1) U (2;+оо),
— 2х+1 при х€(—1;2).
— Зх2 4- 4х
4х — 3
при х€ (—оо; 1),
при х € [1; +оо).
{2х при х< —1,
4х 4- 2 при — 1 х < 1,
2x4-3 при х> 1.
1018. б)
Зх2 4- 2х ( 1
(2Х4-1)1’5’ \ 2’ +°°
ЮМ. б) - * д; (-2; 0) U (0; 2). 1022. а) -Д 3* ; (0; 2).
х V4 х 4\лг(2 —
1024. а) (х-1)2л/3-1((2ч/3 4-1)х-1); [1; 4-оо).
1025. a) sin Зх 4-sin х 4-Зх cos Зх; R. 1028. a) cos2x [J (тт; ^+тт
Vsin2x nez'- 2
1029. б) 3 tg2 х---я-; U ? + ‘Kn'i 77 +7ГП') •
7 cos2 х £7\ 2 2 /
\ 3sinx | | / тг „ тг „ \
1032‘ а) п / ч ’ U (-х4-2тгп; -4-2тгп).
2vcosjx nGZV Z 2 /
1034. а) R.
14-х2
190
Ответы
1036. а)------, 1 ==; (-; Л 1037. б) (2х - 2)е*2 ~2х; R.
х^1 — In2 X 'е '
1038. а) (-оо; 0) U (2; +оо).
’ х2 — 2а: '
1039. б) 2-1-1 -х~% -а;5 -2~х In2; (0; +оо).
1040. а) е2х(2sinх + cosa:); R. 1043. a) ln2^ ’ 1)и(1> +°°)-
1045. б) 1~lnx ; (1; +оо). 1048. -2. 1050. 594. 1051. -5.
2ху/х Ina:
1053. -2. 1055. 15. 1056. б) -1. 1058. а) -. 1060. б)-----—.
1062. а) -2. 1064. б) 1066. а) 1-~-. 1068. б) 0,5.
1069. а) 2 —1пЗ. 1071. б) 2е-1 — 1п2. 1073. б) -0,5. 1074. а) 2.
1075. б) |. 1076. 1079. ||. 1080. а) а = 4, 6=-1.
1082. б) а = |, Ь = 2. 1085. у4 - х2 + 2а: - 7. 1088. -х2 + 2а: + 3.
1090. -х2 + 4а: + 2. 1092. 2а:4 - х2 - За: + 5. 1093. а = 2, b = -1.
1095. а = 2, 6 = 3. 1097. {1 — \/5; 1 + \/5}. 1098. {-1; -; 1-}.
1101. 1Ю4. {-3; V2}. 1106. {-|; 1}.
1108. {-1; 5 + 2^14}. Ш0. {-4}. 1112. {-1; 1}. 1114. {2}.
шМ1}.
1122. {-2; 1}. 1126. |1 И27- {irn)neZ}. 1129. {-2; 1}.
ИЗО. (-оо; - 1]и{|}. 1134. (-оо; —2 — \/5) U(—л/б; -2 + л/б)U(л/б; +оо).
1136. (-оо; -3 - \/7) U (-3 + л/7; 0) U (О; . 1138. (-оо; 5 .
1141. (-lj; 1143. [-1; 1]. 1145. (-оо; U [1; +оо).
1146. (-2; 1). 1148. (-1; ~Z"L] П51. (0; е’1]. 1153. (0; 0,8).
1156. а: =-9, у = а:-12. 1158. {-|; 1}. 1159. {16е-2}.
1162. а) 300а:-®. 1163. б) 4(2а: - I)-3. 1165. а) 24а: + 6 + 18(а: - I)-4
1166. б) 8. 1167. а) 4а:. 1169. б) -15(2а: +1)-3’5.
1171. а) -12sin2а:-8а: cos2а:. 1172. а) (-х2 + 6а: - 6) • е~х.
1173. а) -(1пх + 1). 1176. а) 928. 1177. б) -6. 1178. б) -38.
1180. а) 1181. б) 2. 1183. {4+/^}-
1195. (-оо; -3). 1198. а = -1, 6 = 4.
1190. {3; 4}. 1192. {0} U [1; +оо).
1201. а = 2, 6 = -3.
1205. (-оо; 0]. 1207. [-1;|]. 1208. а) у = 7а: + 1.
Ответы
191
1209. б) у = -29т + 55. 1211. а) у = 24а: 4- 50. 1212. б) у = -2х + 3.
1213. а) 5х - 16у + 9 = 0. 1214. а) у = 2х + 1.
1215. б) 6\/3х + 8у - (тг-УЗ + 6) = 0. 1216. а) (тг + 2л/3)а; - бу - >/3 = 0.
1217. а) у — х- log2 е — log2 е. 1219. а) у = х + 1.
1220. а) у = (41п2+ 1)а? + 2. 1221. б) у = -7х -12.
1222. a) j/ = -2x + 5; г/ = 2х + 9. 1224. б) у = 3е2 -х + 2е2.
1226. б) г/= |z-2. 1228. 4у - х + 5 = 0. 1229. За; - 4у + 7 = 0.
1233. (-2; -8). 1235. (-2>/2; 4 4- 6^2); (0; 4); (2Л; 4 - 6>/2).
1237. 16?/ + 24т - 97 = 0. 1239. 12а; + 2у + 3 = 0. 1241. {2 - >/3; 2 4- УЗ}.
1243. (0; 6); (3; 12). 1245. у = х + 6. 1248. тга; 4-2?/4-Зтг = 0.
1250. у = —4x4-8. 1252. тг — arctg 9. 1255. {1 - у[2\ 0,5; 1 + у[2}.
5 5
1257. arctg —; arctg -. 1261. arctg(5>/5).
1264. б) 5а: - у 4- 2 = 0; 5а; - 9у + 58 = 0. 1267. а) y/бу - х + 4 = 0.
1268. а) у = 2еаг. 1270. {-8; 0}. 1273. ^2; 1275. (4).
а: -1а? - 0,6 1 9 J
1278.0 = 2,5 = 8. 1281. (-4;-1) U (-1; 2). 1284. (1;+оо).
1286. б) {^}- 1288. а) {>/2-1}. 1290. {3}.
1295. б) (—оо; —4] f; [—4; 0] }; [0; +00) f; —4 — точка максимума;
О — точка минимума.
1297. б) (—оо; —1) (—1; 2] }; [2; +оо) 2 — точка максимума.
1298. б) (-оо; -6] i; [-6; +00) |; —6 — точка минимума.
1300. а) (—оо; 0] |; [0; +00) f; 0 — точка минимума.
1302. (—оо; —3] U [1;+оо). 1307. (1;+оо). 1311. {2}. 1313. а3 = 42.
1316. 27. 1319. (о; 38). 1320. (-оо; -8) U (16; +оо).
1323. (-16; 16). 1325. [-52; 5]. 1326. [0; 1]. 1328. [-1; 31].
1330. (-оо; 2б|]. 1332. (1; +оо). 1334. [о; ^]. 1336. [-1; ге"1-5].
1338. (-00; -1|] U +оо). 1340. -3. 1342. 2^-. 1344. у[2.
1345. (|; 1|). 1348. . 1358. а) При aGR: 2.
1359. б) Если aG ( оо; -2), то 2; если а = —2, то 3;
если аё (-2; 6), то 4; если а 6, то 3; если аё (6; +оо), то 2.
1360. а) При а ё К: 4. 1305. б) {2}. 1366. б) [0; 1] U [4; +оо).
1367. а) (—оо; 0] U {г *}. 1368. б) {-У7; у/2}.
1372.6) {-2; J; у;3}. 1373. а) {1^; 2тгп - 2тгп- ^ | nGz}.
1374. а) ( — 4- у | nf Z | 1376. 6) (- 4-4тгп; у 4-4Trn|nGZ|.
1378. б) |-^4-2тгп|п( Z| 1380. б) {6п — 2; 6п 4-2 | n G Z}.
1382. а) {-у + 2тгп, |2w|niz). 1383. а) {-1; 0; у; у; б}.
192
Ответы
1384. б) {2->/7; 2-^2; 2+л/7}и{-уу+2тгп; ^+2Trn|nGZj.
1386. а) + -77+тгп; ^+Trn|nGZ}. 1388. а) {2тгп; тг + 4яп|пе2}.
1390.6) {-^+2Trn|nGZ|. 1393. а) {Зтгп±arccos -—y^|nGZj.
1394. а) {^ |nGZ; п/Ы + З, Zgz}. 1395. б) |nGZ|.
1396. б) {-|+3n|nGZ}. 1398. а) {1; 4). 1399.6) 0.
1401. 6) {тг + 2тгп | п G Z {.
1402. 6) {2п + 11 п 6 Z; n^llZ + 7, Zgz|u
u{2n — ||nGZ; n/llZ + 4, Zgz|.
1404. а) {тгп; ~ + 2тгп | n G Z j. 1405. a) { — yr + 2тгп I n G z{.
1406. б) {-у- + 2тгп; arctg2 + 2Trn; у + 2тгп | nGzj.
1408. а) {тгп; у + у | n € z|.
1412. a) [I + у |nGz}u{y + Inez}. 1414.6) {y+Trn|nGZ}.
1416. 6) {тгп + (-1)п-arcsin 1; тгп+(-1)п+1 • arcsin 7 |nGZ|.
1418. a) { g + 2тгп; у + 2rrn; arcsin { + 2тгп; тг — arcsin - + 2тгп | n G z|.
1419. 6) {у 4-тгп; 4-тгп; у + Trn|nGzj. 1421. 6) {g + Trn|nGZj.
1422. a) {^ + ^lneZ}- 1424- a) {wn-arctg тгп-arctg | |nez|.
1425. 6) {-g + 2Trn|nGzj. 1427. а) {2тгп; 2irn+~- |nGzj.
1429. б) {тгп-arctg3; irn|n€z}. 1431. a) + arcsin g + 2Ttn|nGZ}.
1432. б) {тг + 4тгп; -4 arctg g + 4тгп | n E z|.
1433. a) | у + тгп; - arctg | + im | n G z|.
1435. а) |тгп + arctg у |nGz|. 1436.6) |2Trn + Tr±arctg2|nGZ|.
1438. 6) {тгп — arctg \/3 | n G Z}.
1439. а) {тгп + (—1)” arcsin -—| n G z|.
1440. 6) {тгп — arctg 2; тгп + arctg у | n G Z}.
1441. 6) {тгп — g; тгп + g | n G zj. 1442. a) { — + yg | n G z}.
1443. 6) {^+rrn;-^ + ^|nGZ}.
t. О -LZ )
1446. а) {у + тгп; тгп+ arcsin(2 — \/3); тгп — arcsin(2— \/3) | nG z{.
Ответы
193
1447. б) {2тг + 4тгп; — тг + 4тгп | п £ Z J. 1449. а) |n£Z|.
1450. б) {-2-^8+1) |n€Z; п/7к + 3, kezj.
1452. а) |n£Z; п/9к, kez}. 1453. б) {-3; 2}.
1455. а) {^}. 1458. a) 1460. а) {^}.
1462. б) 1464. а) {~~2~}-
1466. б) + 2тгп; тг + arctg(^y^) + 2тгп| n£Z}.
1468. а) + 2тгп | п £ zj. 1469. б) {4тг + 16тгп | п £ Z}.
1471. а) + тгп; тг+ 2тгп | n£z|. 1473. б) {-у- +2тгп | пе z|.
1475. а) {£ + |nGz}. 1476. 6) {£ + -~л + тгп | п £ z).
1478. а) {тгп | п € Z}.
1480. а) Если а € (—оо; —2) U (0; 1)0(1; +оо), то 0;
если а = —2, то {тг + 2тгп | п £ Z};
если а£(—2; —1)U(—1; 0), то {2тт+агссоз(а+1); 2тгп —arccos(a+l)|n£Z};
если а = —1, то 4-Trn|n€Z|; если а = 0, то {2Trn|n€Z};
если а= 1, то К.
1485. б) Если а£ оо; — 0(2; +оо), то 0;
если а £ {—О (1; 2], то {тгп ± | arccos( -1 + 2^7 +—) | п £ z|;
если а£ lj, то
Г ,1 Z-1-2v/7+9H\ ,1 /-1 + 2V7 + 9^\ , „I
|тгп± - arccos^------------J; тгп± - arccos^--------------] | n£Z ).
1487. б) Если а £ (—оо; —1) О (1; +оо), то ^2тгп ± arccos 2тгп + тг | п £ z|;
если а € [—1; 1), то {2тгп + тг | п £ Z}; если а = 1, то {тгп | п £ Z}.
МОТ. а) {ГГ; ^}. М»8. a) {-to + a,ctg|;
1500. б) {-у; 1501. б) {-2; -1,5; 0; 0,5}.
1502. а) | ; arctg 2; тг — arctg -; .
1504. б) 1+ тгп; + тгп; + тгп | п £ Z}.
1506.6) и + ”"•; г’ +™|. 1510. a) ufn-^;n + ^Y
nezL^ 4 J ngzv ° °'
1511. 6) U [arcsin - 4- тгп; я - arcsin + тгп].
n6ZL 3 3 J
1515. б) и?(^ + яп; +тгп).
194
Ответы
1517. а) (2тгп; тг + 2тгп) U ( — + 2тгп; —— + 2тгп).
nez' ° о /
1519. б) Г—2тг + 2 arccos —- + 4тгп; -2 arccos + 4тгп1 U
L ° » J n6Z
II [2 arccos _|_ 4?rn. 2тг — 2 arccos ^7—- + 4тгп].
nezL 8 8 J
1521. a) U Гтг + 2’гп5 + 27ГП] •
nezL 6 6 J
1524. а) + тгп) (J [-£ + тгп; +тгп].
1525. б) и [- v+2™; ? + 27ГП1 •
nezL 3 2 J
1528.6) (-£+2тгп} U [Ътгп; 7 + 2тгп1. 1529.6) U Г-7 + 2тгп; 2тгп).
1 2 J пег'- z J пег*- 2 '
1531. a) (J [- arccos 2 + 2тгп; arccos 2 ~ + 2тгп| .
1532. б) (тгп; ^+7rn] U (^+’гп! 'у+7ГП] •
1535. а) +2тгп;-7+2тгп1 |J [2тгп; 7 + 2тгп1 U
16 6 J n6ZL b J n6Z
U ( 7 + 2тгп| U Гтг + 2тгп; тг + 2тгп1.
пег12 J ngzL 0 J
1538. б) {тгк | к G Z- U {0}} U [3; тг] (J [2тг/с; тг + 2тгк].
кем
1540. а) (-4; -тг] U [-2; 0] U [2; тг]. 1542. б) [1; +оо).
1544. a) {1} О [2; 1 + л/2]. 1545. б) (-сю; -3)U (-3; -|}u(4;+oo).
1547. б) Г5~^^; -11и[2; . 1549.6) (J (тгп+arctg3; тгп+ тИ•
L 6 J L 6 J n6Z\ и
1555. а) Если аб(-оо; |), то (J [-тг-arcsin ^у+2тгп; arcsin ~[+27m];
если а = то +2тгп|пег); если aS (|; +оо), то 0.
1559. а) Если а 6 (-оо; 0), то U (~^ + 2а + ’
если а = 0, то 0; если а€ (0; +оо), то (J (arctg — +тгп; - +тгп).
1561. б) Если а е (-00; -1], то (J (тт-, 7 + тгп); если а е (-1; 0), то
пег' 2 2
/ l + Vl’+a х 1 - VI + а , \ । । { тг \
(arctg----------h тгп; arctg----------1- тгп (J I тгп; 7 + тгп I,
\ а а / n6Z\ /
если а = 0, то (— + тгп; — arctg + тгп) (J (тт\ + тгп);
если а 6 (0; +<ю), то
/ тг 1 — 4- d \ । I ( , 14" л/14“а ,
(— — 4- тгп; arctg-----------h тгп) U (7ГП'^ arctg------t-irnj.
\ 2 а / n€Z\ а /
Ответы
195
1569. а) Если а G (—оо; —2], то (sin у 1] ; если а = (—2; 2), то [—1; 1];
если а€ [2; +оо), то [—1; sin
1570.6) [-J;0)u[arctg2;^)u[y;3). 1572. 6) [-|;о).
1573. а) (-оо; -у/7] U ; —1] U {1}. 1575. а) (-оо; 0).
1576. 6) (-оо; 2]. 1578. а) {0}. 1579. 6) (-оо; -3) U +оо).
1580. 6) (1|; +оо). 1582. 6) (-оо; -i). 1583. а) 0.
1585. a) U,[-у + 2тгп; у + 2тгп].
1587. а) (-£+тгп; j+тгп) (J (^ + 2тгп; + 2тт| (J
U [ V + 2тгп; V + 2тгп) .
nezL •’ 2 1
1588. 6) (-J +2тгп; J +2тгп) (J (J + 2тгп; у +2тгп).
1590. а) Если а = 2, то
Г тг . \/11-1 Зтг . . л/1Г— 1 „ . „1
| ~ 4 ~ arcsm —j-----h 2тгп; — + arcsin — -----h 2тгп | п G Z >;
1 f тг . . 1 — а/17 , „1
если а = —1, то |--+ (-1)” arcsin—j--|-7rn|n€Z|.
1591. 6) (-оо; 2,5). 1593. 6) (-4; -2 - \/2) U (-2 + ^2; 0).
1596. U (т^+Зтгп; ^ + 2%nY 1597. в) ( —.
n6z412 2 > 7 I 4 4 J
1598. 6) {1+1°Ss3}. 1599. 6) 0.
1600. a) {(-l)n arcsin(X + 7rn|nezj.
1601. 6) {-y0; 1602. в) (б; -y715}. 1604. 6) {>/2- 1}.
1605. в) {9}. 1606. a) {-1}. 1607. 6) {-2; -1}. 1608. 6) {3}.
1609. в) {-1}. 1610. a) {1; 2,5}. 1611. 6) {^3; 9}. 1612. в) {log2 13}.
1613. а) {^ + 2тт; g+2Trn|nez}. 1614. 6) {2;
1615. a) {0; тг; 6}. 1616. 6) {—/2; -1; 1; x/2}.
1618. 6) {тгп±у 7rn±||nez}. 1619. 6) {|; i}.
1620. 6) {-^3; V3}. 1622. 6) {— 1g50; 2}. 1624. a) {-j}.
1626. б) {у З}. 1628. a) {16}. 1629. 6) ; 2}. 1630. a) {20; 100}.
1631. а) Если a 6 (—00; 0), to {log2a2}; если a = 0, to 0;
если a 6 (0; 1) U (1; +00), to {log2 a; 2 log2 a}; если a = 1, to {0}.
1633. б) Если аб(-00; 0), то {~y}; если a€[0; +00), to 0.
196
Ответы
1635. б) Если а = — 2, то (0; 49]; если а = 0, то {7}.
1637. а) {1,(3); 6} при а = 2. 1638. б) (-1; 1 - л/3] U (1; 1 + л/3].
1640. б) [-6; +оо). 1642. а) {-1; 2}. 1643. б) {-|; о}.
1644. а) (—оо; 1) U (5; +оо). 1645. б) {8} U [12; +оо).
1647. а) Если а€ (-оо; 0] U то 1; если ае (О; то 2;
если ае +оо), то 0.
1649. а) Если ае (—оо; -2], то 1; если а€ (—2; 0), то 2;
если ае 0; +оо), то 1.
1650.6) -1|;-11.
1651. в) arcsin(log3 2) + 2тгп; - 4- 2тгтгЛ |J
2 7 n€Z
U (? + тг ~ arcsin(log3 2) + 2тгп .
nGZ'2 J
1652. б) [-2; —1)U[1; +оо). 1654. a) [2; +оо). 1655. б) |J (тгп; тгп+^Y
nez4
1659. б) (-2; +оо). 1660. a) (fl; |) U (1; +оо). 1661. б) {-3} U [-2; 1).
1662. б) (1; 32~'/5) U (3; 32+'/5). 1664. а) (-оо; -7) U (-5; -2] U [4; +оо).
1665. а) (—оо; 0] U [log6 5; 1). 1667. б) (—оо; log j 4) U (0; +оо).
1668.6) и
nGZL^ * J
1670. б) (тгп; arctg | + тгп] U [^ + 7гп! + 7гп) •
1671. б) (о; g] U [|; 1) U [3; +оо). 1673. a) (О; j] U [4; +оо).
1675. б) (о; 2-а_а^] U Q; 2-2+г^] U [4; +оо).
1677. б) (-2; -1] U [-i; 1) U (1; +оо). 1678. б) {^} U (2; +оо).
1680. б) 1) U (1; 2). 1681. а) {2}. 1682. б) [|; 1) U (1; 2).
1683. a) [i; у) U (тг; у) U(2тг; 8]. 1684. б) {-2; -1;
1685. а) [0; log326)U{4}. 1686. б) (2тгп; ^+2тгп) U,Q+2Trn; ^+2тгп).
1688. [-|;0]и{|}и[1;3). 1690. (-1; -i] U [0; 1] U (1±; 1|).
1691. б) Если ае(0; 1), то f-|; 4^]’ еСЛИ ае(1; +°°)’ то +о°)’
1693. а) Если а е (—оо; —2] U [2; +оо), то
(о; 22а-2>/“2-4') и (22а+2^а2~4-, +оо); если а€ (-2; 2), то (0; +оо).
Ответы
197
1695. а) Если аё (—оо; 0), то R; если а = 0, то 0;
если a G (0; +оо), то (— log2 а — 2; +оо).
1696. (—оо; 0] U (log3 2; 2 — log3 2) U [2; +оо).
1698. (—оо; —9) U [—1|; ^}u(2;+oo). 1700. a) [i;l).
1701. 6) (2; 3). 1703. a) [-lj; 4). 1704. 6) ((J; U (1; +00).
1705. 6) (-4; -2]. 1707. а) (~з|; -з). 1708. б) (-оо; -|).
1709. (3; +оо). 1711. [-1;
1712. (2тгп±^; 2тгп ± arccos (— |nez|. 1714. |J (тг+2тгп; ^+2тгп
1715. (—^ + 2тт; 2тгп) (J (2тгп; + 2тгп^ (J (+ 2тгп; тг + 2тгп^ (J
4 ° ' nez' 3 ' nez' 3 ' net.
(J Гтг + 2тгп; + 2тгп').
nezv ь '
1716. {2}. 1718. {6; 7; 8}. 1720. {U (2<; 2^).
Контрольные работы
Контрольная работа № 1
Вариант I
1. (-00;-1|] U +оо). 2. а) 2х - |х - 1|; б) 3. [-3 - \/5; 1].
4. М^.-з^-х). М2). в.{2}.
Вариант II
, , , . . (ж—2ж при же (-оо; 2],
1. (-oo;-5]U(2;+oo). 2. а) { Р ’ б) (1; +оо).
( 2ж — 1 при ж € (2; +оо);
3. +оо). 4. |-\ б 1 - V6). 6. ^-оо; —3—J 3g^S;+oo).
з. [-1;о].
Контрольная работа № 2
Вариант I
х-4 2.-1. 3.-2. 4. i 5.-2. «.jAj. Г. 2. 3.^.
».{-15;-|} ХО.^-2.
Вариант II
1.7. 2.-^-. 3.4.-2. 5.-1. 6. |. 7. 1п|. 8. е’1.
О ПК а 1 n 1
9. а = — 9, о=—6. 10. ---.
198
Ответы
Контрольная работа Л4 3
Вариант I
1.-5. 2. a = -i, Ь=-1, с=-3.
3. х = 0 — точка разрыва II рода; х = 1 — точка разрыва III рода.
О Q
“ >-Ж 6> 3+?' ’-Л«) = 3 2«.
Вариант II
1. В точках — 1, 1 функция непрерывна; в остальных точках разрыв II рода.
2. a = -9,5; 5 = 2,5. 3. а = 3;5=-2. 5. [-5; 0).
6. а) б) -4. 7. {0}.
О
Контрольная работа Л4 4
Вариант I
1. _2. 2. Г_|; .{-Пи 11. 4. —961og2e —32.
5.{0;1). T.-i
Вариант II
5.7,5. 6.-6. 7. (2x + l)I (^ + v^-ln(2x + l) + ^|).
Контрольная работа Л4 5
Вариант I
1.-2^?. 2. {14-9^2}. 3. у = -2х + 0,75.
4.„—51 + 6. 5.[^;21 + 1в]. «.75.
Вариант II
1.2. 3. у = |(16'/3-8тг)а; + Нтг-^).
О \ ZJ\ZZJ о о
2 + -У7
4. у = 2х. 5. -1; -53. 6.
о
Контрольная работа Л4 6
Вариант I
, , f 1 . V41-1 тг 1 . \/41 —1 . ^,1
1. а) < тгп+- arcsin —-—; тгп+ — — - arcsin —5— |n£Z >;
I 2 о 2 2 о )
б) {тгп ± arctg 4; тгп ± arctg(2 + х/2); тгп ±arctg(2 — \/2); тгп | п € Z}.
f 23тг 19тг 5тг . \/3 . \/3 тг тг 1
2- глт’ - лг; -т -8X08111 v; 8X08111 v - 4; 12 }•
Ответы
199
3. a) U + 2тг/с; + 2тгА:1; б) {1}.
4. (2тгк; + 2тгк) (J ^тг + 2тгЛ; ^- + 2%^.
5. а) [— т — arcsin 2 3 + 2тгп; + 2тгп) U (? +7ГП> 77 ~ arctg2 + тгп') (J
и [~г + arcsin 2' + 2тгп; + 2тгп); б) (-4; +оо).
ngZL 4 2 2 '
Вариант II
1. а) {— arctg 2; тг — arctg 2}; б) |тгп± arccos (—| n€ z|.
„ ( бтг 4-тг 2тг „ 2тг 4тг 1
„ . . . /Зтг . л/14-2л/2 „ 7тг . л/14-2\/2 „ '
3. a) I I — + arcsin------------1- 2тгп; —— arcsin-------------F 2тгп
ngzg 4 64 6
б) 4. [-2;0].
5. а) |тгп+ (—l)n arcsin -—U {7ГП};
*• 2 J ngZ
Контрольная работа № 7
Вариант I
1. a) {log23}; б) {|;15}.
2. а) (-оо; -3] U [1; +оо); б) [о; 3+д^];
в) (J: + 2тгА:; + 2тгU (^ + 2,rfc; + 27rfc)
3. Если а€ оо; — 1^), т0 (—а> +°°);
если ае [-1^; -1), то (-а;---------) О (----------------------; +00J;
г-г 1 /19 + ч/Ю5 + 96а , \
если а 6 [—1; +оо), то I-----jg-------------------; +00 ).
п G z|.
< (-5;°)- s.{-;+2»»l
Вариант II
1. а) | log2J*—б) |2тгп+ 2тгп+ |n€z|.
2. а) (еа; +оо); б) (о; ; в) (-00; -1] U {0} U [2; +оо).
3. Если а е (—оо; —2], то
Г 5 + 3\/1-4а
I 2
200
Ответы
/ 1\ ( 5 - 3i/l - 4а 5 + 3\/1 - 4а
если ае 1—2; - 1, то < -----------------;---------------
если а = то {2,5}; если ае Q; +оо), то 0.
4. {2}. 5. ^тг/с; +тгА:^ U +7rfc! 7r + 7rfc)-
Итоговые работы
Вариант I
! * 1 2-<-1;ЗД. М-оо;-з]и{1}. 4.
4-T-S‘T} М-оо;0)и{8}.
Вариант II
.Г, Ч „ 8тг 2>/85
1. [1; +оо). 2. 7 . 3 *- 85 •
5. Г-^ + 2тгп; + 2тгп1 (J + 2тгп; + 2тгп1. 6. {log2 3 — 1; 1}.
I • 2 J n6ZL о о J
7. 0.
Вариант III
1. 2.y = -4x-7-,y = 2VWx-2VW-ll. 3.-^.
5-(-4; 0)0(3; 4] U (28;+оо). 6. (-1|;+оо).
7. Если а£ (—оо; 4), то 1; если а = 4, то 2; если аё (4; +оо), то 3.
Вариант IV
1. Убывает на (—оо; 0); +оо); возрастает на (б;
2. {21,5; 24; 26,5; 29}.
4. {^4
5. Г— arccos • - + 2тг/с; 2тгА/) |J [arccos 5 6 + 2тгк; тг 4- 2тгА:^.
/ 15 — >/105\ /15+ >/105 \ __ пл । о пл । ю
6. (-оо;-—---) U (^-—--; +ooj. 7. у = -24® + 8; у = -24® +12.
Вариант V
1. (—оо; —1] U [1;+оо). 2.—^. 3. ^2тгА: ± — | к е
4. (-оо; -1)U [-^; +оо).
5. { (^ + 2тгп; + 2тгк^; Q + 2тгп; + 27rfc)!
(\/2 1
7г + 2тгп; jrfc + (—l)fc - arcsin — \ neZ, fceZj.
6. (2; 3]. 7. (-oo; 0)U{4e}.
Ответы
201
Вариант VI
1.(1; 2]. 2. 3. Зж —4у —9 = 0; 111-4^-13 = 0. 4. {2}.
5.{-4-Л5;-4 + ^;^;1±^}. 6. (0;1]и[8;+оо).
Вариант VII
3- [-1;О)и(о; ^). 4. 16Ж + 42/ +17 = 0. 5. (-1|;|].
6- -^г-+2тгА:;+2тг/с) (J + 2тг/г; + 2тгА:1.
4 3 ).yzV3 4 J
Вариант VIII
+ 2.1±^П. 3.5. 4.{1;1}. 5.(1;1).
6. [1; 5,8]. 7.
Вариант IX
1. Убывает на (-оо; -1]; [1; 3]; возрастает на [-1; 1]; [3; +оо). 2. ж = -1;
у = х — 5. 3. —0,96. 4. f——+2тгп; — —+ 2тгп) |J f j + 2тгп; + 2тгп^
5. (-4^+2; -2). 6. {—2}U(4;6], n6Z '
Вариант X
1. а) ^5; б) 4+1qV^; в) тг. 2.-3+^- 3. а) {-1; 1,5; 2}; б) {3}.
4. a) U Г2тгп + arcsin —- \ 2тгп + тг1; б) Г|; в].
nezL 2 J L4 J
5. у = 29х-35; у = 29ж + 73.
Вариант XI
1. а) 2,5; б) -0,8; в) -^; г) -1 - тг.
2. а) { 13 4^|; б) +arccos(l- + 2Trn|nez|.
3- a) U Г-? + 2тгп; 2тгп); б) (о;-^1 U (1;+оо).
nezL ° ' ' ibJ
4. а) у = 4.т — 5; в) (3; +оо).
Вариант XII
1. а) 5^3; «> 0,2.
2..) {2-1-/П;2 '+'4!,};6) { у; j +™; + = |nez}; .) {0; 2; 4};
г) {-4}-
3. а) (-оо; 0]; б) (-оо; -1 - v^) U (-1 + \/2; ;
в) { — ^Ч-тт/с) (J 4-тгЛс; arctg 3 + тг/cl.
204
Ответы
64. a) -^S-l^+±DC-, б) arccos в) 4,4.
67. a) arccos(-A); б) ^SC-^SA+^SB', в) 12:19.
70. а) 711; б) DA — DS + 14>С?; в) -у; г) arccos у.
71.а)1лЗ+|лв-1л7;6)4.)^.
„ У10 . 12УЗ . , „ ... ЗУ23 11743 . =
73. б) —; в) -у-; г) -5:2. 76. а) -у-; б) —; в) 377.
„ . 7130 , 4 . 7217
77. a) arccos уу-; б) 1-; в)
„„ . 72141 _ 237190 . 107854
79. а) -у-; б) arccos в) -у-.
81. a) arccos ; 6) — 91—; в) З7б. 82. 1: 3.
85. а) —2 или 18: 55; б) 44 :117; в) -уу
у */iq 2 \/285 3 3
86. а) 751; б) arccos ; в) —-—. 88. а) 277; б) arccos в) arccos -.
52 5 4 о
3 7 1
91. б) в) arcsin —. 93. а) 3\/5; б) arccos
'4 16___ _______________ 7
Л4 ч 73 v/426 ч . \/426
94. a) arccos —; б) - ; в) arcsin .
«5 Уи
. 77 3721 . 2710 22737 . 7214
96. a) arccos -у б) ——; в) —. 98. а) 372; б) ———; в) ——.
х 721 5721 . 7739 ... 305761 . б7б!
100. a) arccos -у-; б) -у—; в) ~у- Ю2. б) ——; в) arccos -у-.
104. б) 73; в) arcsin уу 106. а) уу: б) arccos у в) 2^у
108. а) 773; б) 36; в) arccos 110. б) уу г) Ау. 111. б) Ау.
465 4 о ои
„„ х 72789 „ . . 4778 . тг . 127498
112. б) —; в) -уу. 114. а) —; б) в) -—.
115. а) -9; б) в) 1272; г) (|; 1; о).
117. а) б) arccos у в) ; г) (0; — 1; 0). 118. а) Зх — у — 2z + 6 = 0;
б) Зх + 4т/ + 5 = 0; в) 9х + 17у — 5z = 0.
120. а) (25; 15; -13); б) 71139; в) 4.
122. а) 6х - 4у + 3z - 12 = 0; б) 13 + Уб1; в) х - Зу - 6z + 11 = 0.
ч д + 3 у -+1 Z . / 6
124. а) — = — = у ;б) (1у;
22. 22\ ( 3. 2 6\
137’ 374 к 7’ 37’ 74
126. а) = = у б) ^у;в) 9х - y + 3z + 11 =0.
128. a) 9x + 22/-4z-5 = 0; б) в) (з^;^;6^).
130. а) (-2^; А; 11); б) arccos^?; в)
Ответы
205
V17 / 3 3 4 \
132. а) ; б) (-5—;- —; 1—); в) 8х + 8у + 12z + 11 = 0;
ju \ II ll J. I /
г) 6x + 6t/ + 9z + 4 = 0; 2x + 2y + 3z- 10 = 0. 134.14. 135. 1; 3; 9; 13.
137. а) 7; б) в) 7349.
138. а)
139. а)
141. а)
121/77 361/77 . 61/6497 . 121/2821
-^г-; б) в) г)
. 631/19 . 31/5698 . 2л/2
arcsin ; б) arcsin 2g49 ; в) arccos -jg-.
21/2013 _ 21/396561 . 1/1239 _ 21/1711
~Т~! 6) 197 • 14Х а) “14“; б) “87“
146. 2,5; 4; 4,8.
. 21/2419 . i/Il . 21/35223
148‘ Э) ~41”; 6) аГС8Ш В) i99 •
,rn . V426 в. 1/213 . 1/2059 . /— „ лт . 41/34
152. а) ; б) —; в) . 153. a) 717; б) 272; в) — .
1 £ О ZiiJ О
\ А А \ 7
156. a) arccos —; 6) arccos —; в) arccos —.
A £ v 1О
. 1/273 41 „„„ . „ 12-/39
158. a) arccos - б) arccos —. 160. a) arctg 3; б) ———.
У1 У1 1/5
161. а) б) 301/2; в) у; г) arctg уу. 163. 719; Тб9.
164. а) 31/10; б) arccos ^5; в) 61/2; г) arccos .
10 о1
Cl 2794 1 13 1 /Mi • 721
166. б) —-—; в) arccos —; г) arccos I — — I; д) arcsin
о lo \ 15 J lo
1M . 281/1459 ( 251/21 \ .
168. a) arccos ————; 6) arccos--------‘ ; в)
' 1459 ' \ 242 ) '
1597
i-rn Cl 4°T73 . 9У129
170, 6) ~ST-’ arccos-2i5_-
. 71/138 t 1/19 . Sv^
171- a) ; 6) arctg —; в) arccos
. 91/122 ( 5i/34\ . 36^61 1 12^61
173. a) arccos-^; 6) arccosJ; в) г)
1 /8 q4 1Ц ci 67l94 1 201/254 .
I75- a) (j; 3-; — 1 - J; 6) arccos ——; в) arccos --g-- -; r)
351/94
94
178. a) |; 2^); б) 4z + у + 5z - 9 = 0; в) x + 2y + 3z-4 = 0;
Зх — у + 2z — 5 = 0.
Контрольные работы
Контрольная работа № 1
Вариант I
,— 4 г-
1. б) 21/13; г) -. 2. б) 277 СМ.
206
Ответы
Вариант II
, . 8У15 , \/13 . ,, 2аУ2 . аУ13
1.а)—;в)—. 2.6)—; г)—.
Контрольная работа J0 2
Вариант I
, X 5 То . 1тй . С-7К \ 3v/386 . 759л/31
1. а) --АВ+ -AD+ jStf; б) -6,75; в) , г) -
„ . 3 л/39 . „
2. a) arccos б) ——; в) 3.
о 2
Вариант II
1. а) |аВ- |аС + |аР; б) arccos в) —г) 2^13.
О О о I о о
Контрольная работа .V 3
Вариант I
, . 2/1045 ,, 9/11 . 7/39
1. а) ———; б) arccos .. ; в) arccos ... ;
' 11 ' 44 ' 234
2. а) а(2+^у, в) д) а/б.
г)
2/3705 . 10/209
39 ’ 33
Вариант II
1. a) б) в) arccos г) Д) arcsin
2. б) а(/2 + /з); в) д) ^а.
Контрольная работа № 4
Вариант I
1. а) 23^ + 8?/ +9г-37 = 0; б) Ж; в) (з|||; 7^; -10§|).
„ . 9>/91 45^849 . 15^381
2. a) arccos —; б) в)
„ . 2ал/70 . 4л/210 . 2у/70
Х Я> “35“5 б) аГС8Ш Л05“; В) "35"“-
Вариант II
, . х —2 у — 1 г + 1,, 22\/35
L а) “Г = —= —;б) -35~;В
„ , . 11>/46 2^5 ,
2. a) arcsin б) —; в) —.
10^4009 , 5-^/90941
133 ’ в' 431
3. a) arccos
3’ з’
Ответы
207
Контрольная работа № 5
Вариант I
, 7 . 13/561 . 7а/201
1. б) -; в) arccos —; г)
2. а) 48; б) arccos в) arccos —1
V V /13-8/2
Вариант II
1. б) ; в) тг - arctg(2/5); г) arccos |.
„ . 19/20049 х 5/17 . 20/489
2. a) arccos ; б) тг - arctg —; в)
Итоговые работы
Вариант I
1 о3 «п л1 \ /217 „ . 15/381
!. а) 3-; б) 4-; в) arccos —. 2. а)
; б) arcsin
3. а)
4/1147 / 28 739 397\ 4/6
31 ’ Ц 47’235’ 235/’В 3
5/381
127
. ч „ . х 272 ±72
4. а) 2,4 см; б) arctg-----
_ ( 6/§5\
5. arccos (——
Вариант II
, ч /то сч /667 . 375 „ . . 57102 ,, 20726 . 4710
1. а) 723; б) —; в) arccos —. 2. a) arcsin б) в) -ХД
3- ») -Vi б) arcsin 4. а) б) 4713. 5. arctg
Вариант III
1- а) 3; б) в) 2. a) arctg б)
3. a) 2z+14j/ + 5z + 33 = 0; б) (£; g; - А). в) 33^9
4 а) /3990 см; б) (32Т35+16ТЗ) см2. 5.-13:7.
Вариант IV
. /109 93 159\ 4753 . . 7Т671 . /
L а) I бГ’ 61’ " бГ7; 6> в) arcsm ~67Г! г> arccos(-
. 7129 82/655 /— 7/15
2. а) —, б) -у^. 3. а) /34; б) arccos —.
. . 24/29 12/41 с /15
4,а) ””29~ ’ 6 5‘ *-arccos—.
5/1224
61 J'
208
Ответы
Вариант V
1. a) ±AS+±AB-±AD- 6)3:2.
2. а) ^у; 6) Л; в) 4ж + 14j/ + z - 21 = 0; г) arccos
„ , Зл/46 . 27185 . . _ 27910 б713
З. а) — б) arcsin уу 4. а) 2; 6) -у 5.—.
Вариант VI
, 2V2 , Тб „ . . 7910 273614
!. б) —а; в) arccos —. 2. a) arcsin -у; б) .
Вариант VII
, 2713 . 30Т577 „ А „ /х ,, 572
1- б) ——; в) 577 . 2. a) 672; б) arccos —.
Вариант VIII
, ,, 7689 . 27793 „ . 8721 5
1. б) ———; в) arccos —у-. 2. а) —-—; б) arccos
Вариант IX
1. а) 90°; б) -у; в) 45°; г) arctg 75; д) 45°; е) 4; ж) 4; з) 30°; и) 4.
Вариант X
-1\7ГС1ЛЕ17Г1 7б , 73 .. 2тг . тг . 9 72
1. а) -; б) 4,5; в) -; г) arccos —; д) arccos —; е) у; ж) -; з) -у;
Вариант XI.
, . тг А 5 . , 3 . 15734 . 15734 772 . „ .
1. а) -; б) arctg -; в) arctg -; г) уу; д) -у; е) 4; ж) —; з) 2,4;
. . 3734
и) arcsin 34—.
Вариант XII
. 757 2тг . 3716 . 3710 . 2738 . 372 . тг
1. a) arccos —; б) у, в) arccos —у; г) —у; д) -у; е) -у; ж) -;
. 3714
3) у--
Вариант XIII
, . 73 ,, 75 v 7715 . 3711 , 27165
1. a) arccos —; б) arccos —; в) arccos г) —-—; д) —-—.
’ 6 15 30 2 5
„ . тг 2тг
2- a) Z; б) у
Вариант XIV
, . 729 2 . 275 . 2 . 1 . 2 1
1. а) —-; б) -; в) —; г) arccos -; д) arcsin -; е) arccos -; ж)
ООО о о о о
Ml