Предисловие
§ 1. Преобразование числовых и алгебраических выражений
2. Замена переменных. Условные равенства
3. Задачи
§ 2. Уравнения и системы уравнений
5. Иррациональные уравнения. Появление лишних корней
6. О понятии допустимых значений неизвестного
7. Замена неизвестного
8. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Разложение на множители
9. Системы уравнений
10. Уравнения, содержащие абсолютные величины
11. Задачи
§ 3. Неравенства
13. Неравенства, содержащие абсолютные величины
14. Задачи
§ 4. Текстовые задачи
17. Несколько нестандартных задач
18. Как можно обойтись без уравнений
19. Задачи
§ 5. Квадратный трехчлен
21. Расположение корней квад-ратного трехчлена
22. Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов
23. Уравнения, неравенства и системы с параметром
24. Уравнения, неравенства и системы с параметром. Графические интерпретации
25. Задачи на максимум-минимум. Доказательство неравенств
26. Задачи
§ 6. Числа и числовые последовательности
28. Решение уравнений в целых числах
29. Рациональные, иррациональные и действительные числа
30. Метод полной математической индукции
31. Числовые последовательности. Суммирование последовательностей
32. Комплексные числа
33. Задачи
§ 7. Планиметрия
35. Выявление характерных особенностей заданной конфигурации
36. Опорные задачи
37. Геометрические методы решения задач
38. Аналитические методы
39. Метод координат. Векторный метод
40. Задачи
Ответы, указания, решения
§ 2. Уравнения и системы уравнений
§ 3. Неравенства
§ 4. Текстовые задачи
§ 5. Квадратный трехчлен г
§ 6. Числа и числовые последовательности
§ 7. Планиметрия
Приложение
Текст
                    ФАКУЛЬТАТИВНЫМ
КУРС
ПО МАТЕМАТИКЕ

И.Ф ШАРЫГИН ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Учебное пособие для 10 класса средней школы Рекомендовано Главным учебно-методическим управлением Госкомитета СССР по народному образованию МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ Факультатив «Решение задач», или, иначе, «Подготовитель- ный факультатив», предназначен для учеников X—XI классов, собирающихся после окончания школы поступать в высшие учеб- ные заведения^ в которых предъявляются достаточно высокие требования к математической подготовке абитуриентов и сту- дентов. С его помощью решается конкретно-практическая зада- ча — подготовка к конкурсному экзамену по математике. Математика конкурсного экзамена имеет большую историю, богатые традиции и целый ряд особенностей. Базируясь на мате- матике элементарной, школьной, задачи конкурсного экзамена обогащены многими идеями математики высшей, вузовской. Имен- но идеями, а не теоретическими сведениями. Что касается тео- рии, то здесь дело обстоит иначе. С одной стороны, вузовские экзаменационные комиссии проявляют известный консерватизм, предпочитая вести свой диалог с абитуриентом на традицион- ном языке и на традиционные темы, составляющие неизмен- ное ядро школьной математики, так как нелегко уследить за частыми сменами программ и учебников. С другой стороны, главная задача конкурсного экзамена — отбор — вполне может быть решена в рамках небольшого по объему теоретического курса, особенно если в качестве главных критериев выдвигает- ся проверка счетно-аналитических умений, уровня логического мышления и творческих способностей. И по содержанию, и по форме конкурсный экзамен меняет- ся весьма медленно. В последнее время получил достаточно широкое распространение экзамен с использованием ЭВМ. К сожалению, в этом явлении проявляется скорее дань моде, нежели забота об улучшении качества вступительного экзамена. Без- условно, в вузах с небольшим конкурсом, в которых единствен- ная задача вступительного экзамена — отсеять явно неподготов- ленных, такой экзамен вполне уместен и вполне оправдан. Воз- можно также, что подобный экзамен удобен при отборе на спе- циальности, требующие высокой скорости принятия решений, хорошей психологической устойчивости. Иное дело — экзамен в условиях высокого конкурса, когда каждый потерянный балл мо- 3
жет сыграть роковую роль в судьбе абитуриента, а также отбор на творческие специальности, в которых хорошее владение матема- тикой входит в список главных профессиональных требований. Машинный экзамен, сводя проверку работы к проверке одних лишь ответов, а сам экзамен — к соревнованию в скорости реше- ния простых задач, никак не оценивает уровня логического мышления, умения четко и грамотно излагать свои мысли и мно- гое другое, составляющее основу математического развития, мате- матической культуры, искажает сам процесс работы над зада- чей. Ошибочное умозаключение: правильный ответ — правильное решение, прочно засевшее в головах многих школяров, оказы- вается на таком экзамене практически полезным. Возникает воз- можность (и опасность) учить школьников не методам решения задач, а методам нахождения ответа. Нам могут возразить: тот, кто хорошо подготовлен по математике, в равной степени может это доказать и на обычном экзамене, и на экзамене машинном. Могут даже провести аналогию с шахматами: кто хорошо игра- ет в шахматы, как правило, хорошо играет и в серьезные шахма- ты, и в быстрые шахматы; нынешний чемпион мира по шахматам является также и неофициальным чемпионом мира по игре в «блиц». Однако это возражение относится лишь к части наших доводов. Кроме того, есть все-таки и исключения, и исключения эти относятся очень часто к людям нестандартным, обладающим большой глубиной мышления, но органически не способным или психологически не желающим думать быстро. Кстати, экс-чем- пион мира по шахматам М. М. Ботвинник не умел и не желал играть в быстрые шахматы. Таким образом, .утверждение, что главной задачей факульта- тива является подготовка к конкурсному экзамену в высшие учебные заведения, нуждается в уточнении. Речь прежде всего идет об экзамене, не ориентированном на машинную проверку. Несмотря на то что экзамены во все вузы страны проходят по единой программе, требования, предъявляемые к абитуриен- там, критерии оценок значительно различаются. При одной и той же подготовке в одном вузе абитуриент может получить пятерку, а в другом — не более тройки. Ведь экзамен в отличие от школьного конкурсный, оценки существенным образом зави- сят от количества «конкурентов». Вступительная письменная работа имеет ярко выраженную иерархию. Она содержит обязательную часть — две-три доста- точно простые задачи, которые необходимо решить, для того чтобы получить минимальную положительную оценку. Цель этой обязательной части — отсеять тех, кто явно не подготовлен к усвоению институтской программы. Далее идет задача (редко две), существенно более трудная, чем предыдущая, задающая уровень четверки. Последняя, самая трудная задача — «на пя- терку». Нередки случаи, когда между первой и последней за- дачей — целая пропасть; трудно бывает поверить, что эти задачи 4
из одного варианта. Для сравнения напомним, что в школьных экзаменационных работах, в том числе и выпускных, различие в сложности между первой и последней задачей несущественно. Таким образом, говорить о подготовке к конкурсному экзамену по математике в некоторый вуз, не указывая, о каком уровне (тройка, четверка или пятерка) идет речь, бессмысленно. Не следует забывать и о том, что не всякий может в непри- вычной и суровой атмосфере конкурсного экзамена продемон- стрировать все, на что он способен. Как правило, экзаменацион- ный КПД оказывается значительно ниже 100%. В связи с этим полезно располагать хотя бы некоторым запасом прочности, чтобы быть застрахованным от случайностей. Теперь можно точнее сформулировать основную задачу наше- го факультатива: как можно полнее развить потенциальные твор- ческие способности каждого слушателя факультатива, не ограни- чивая заранее сверху уровень сложности используемого задан- ного материала. Как видим, личная цель — подготовка к кон- курсному экзамену — совпадает с общественной — повышением уровня математической подготовки выпускников средней школы. Не секрет, что многие ученики средней школы не способны к длительной умственной деятельности и не владеют различны- ми ее формами. Из процесса решения задачи у них выпадает этап поиска решения. Практически все время от прочтения усло- вия до получения ответа уходит на реализацию стандартной схемы, на вычисления, объяснения и оформление. Редко можно встретить школьника, который способен быстро привести пример задачи, над которой он долго думал (час, два или более), прежде чем сумел ее решить. Каждая задача имеет идейную и техническую сложность (или трудность). Идейная часть решения дает ответ на вопрос, как решать задачу. Техническая часть представляет собой реализа- цию найденной идеи. Есть задачи, в которых главное — найти идею решения, а техническая часть, по существу, отсутствует. Таковы, например, многие олимпиадные задачи. Есть задачи, в которых идея решения, путь решения достаточно очевидны, одна- ко их реализация требует очень большой по объему вычислитель- ной работы, так что довести решение до числа оказывается под силу далеко не каждому. Примеры такого рода задач нетрудно найти в материалах конкурсного экзамена. И наконец, есть задачи, в которых идейная и техническая части приблизительно равнозначны. Занятия на факультативе должны в равной степе- ни способствовать повышению как идейной, так и технической подготовки учащихся. С одной стороны, регулярное идейное обо- гащение, с другой — развитие технических возможностей, увели- чение объемов проводимых без ошибок выкладок. Новые идеи, не опирающиеся на дополнительные теоретические сведения, сле- дует вводить через задачи по схеме: задача — самостоятельный поиск решения — разбор ее решения — выделение идеи. 5
Обращаем внимание на то, что конкурсный экзамен прове- ряет в отличие от олимпиады выучку, а не сообразительность; поэтому самое лучшее — если школьник, не рассчитывая на свои способности, все свои «экспромты» подготовит и отработает зара- нее. Процесс обучения по данному пособию рекомендуется строить на ряде методических принципов, которые мы приводим ниже. 1. Принцип регулярности. Основная работа происходит не в классе на совместных занятиях, а дома, индивидуально. Полно- ценная подготовка невозможна без достаточно большого коли- чества часов, посвященных работе над задачей. При этом лучше заниматься понемногу, но часто, скажем, по часу ежедневно, чем раз в неделю, но по многу часов. Хорошо бы еженедельно набирать по 10 часов, включая классные занятия. Заниматься математикой, думать можно, даже гуляя на улице (но не переходя при этом проезжую часть). 2. Принцип параллельности. Несмотря на то что учебное пособие разбито на отдельные главы по темам, было бы совершен- но неправильно изучать эти темы последовательно, одну за другой. Следует постоянно держать в поле зрения несколько (две-три) тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь. 3. Принцип опережающей сложности. Не следует загружать ученика большой по объему, но несложной работой, так же как и ставить его в положение лисицы перед виноградом, задавая непосильные для него задачи. Слишком легко и слишком труд- но — равно плохо. Напомним, что оптимальными для развития цивилизации оказались широты, климатические условия которых, не позволяя человеку расслабиться, в то же время не превращали его жизнь в сплошную борьбу за существование.. На практике реализовать этот принцип можно, например, следующим образом. Задавая на дом очередную недельную порцию задач (от 10 до 15), желательно подобрать их так, чтобы 7—8 из них были доступ- ны практически всем слушателям факультатива, 3—4 были бы по силам лишь некоторым, а 1—2, пусть не намного, но превышают возможности даже самых сильных учеников. Ученик имеет право отложить трудную задачу, если он потрудился над ее решением определенное время, скажем, один час, и она у него не получи- лась. В этом случае процесс усвоения новых идей будет более эффективным. Действие этого принципа будет тем лучше, чем ближе друг к другу по уровню математического развития чле- ны факультатива. Кроме того, он развивает такие полезные каче- ства, как сознательность, внутренняя честность, научное често- любие. 4. Принцип смены приоритетов. Приоритет идеи. В период накопления идей, а также при решении достаточно трудных за- дач ученику прощаются небольшие и даже средние огрехи в реше- нии задачи; главное — правильная идея решения, которая может быть доведена до числа за разумное время. Именно так действуют 6
иногда и экзаменационные комиссии вузов при оценке решении наиболее сложных конкурсных задач. Приоритет ответа. При отработке уже известных идей, а также при решении наиболее простых, стандартных задач главное — правильный ответ. Никакие сверхкрасивые и сверхоригинальные идеи не могут компенсировать наличие неверного ответа. 5. Принцип вариативности. Очень полезно на примере одной задачи рассмотреть различные приемы и методы решения, а затем сравнить получившиеся решения с различных точек зрения: стан- дартность и оригинальность, объем вычислительной и объясни- тельной работы, эстетическая и практическая ценность. 6. Принцип самоконтроля. Большинство людей склонны про- щать себе небольшие (да и крупные) ошибки. Школьники не исключение. Проявлением этого недостатка, имеющего большие последствия на экзамене, является привычка подстраиваться под ответ. Решив задачу, получив ответ и заглянув в конец учебника, обнаружив некоторые, иногда серьезные, расхождения, ученик делает кое-какие исправления, в результате которых его ответ соответствует ответу, данному в учебнике, и считает, что все в порядке, хотя задача не решена. Регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач должен быть непременным элемен- том самостоятельной работы. 7. Принцип быстрого повторения. По мере накопления числа решенных задач следует просматривать и некоторым образом раскладывать по полочкам образовавшийся заданный архив при- мерно по следующей схеме: эта задача простая — я ее без труда решил в свое время и сейчас вижу весь путь решения от начала до конца. Эта задача потруднее — я ее в свое время не решил (решил с трудом, нашел правильную идею, но запутался в вы- числениях), но хорошо помню ее решение, данное учителем (то- варищем). И наконец, эту задачу я не решил, объяснение вроде бы понял, но сейчас не могу восстановить в своей памяти. Надо разобраться в своих записях или же спросить об этой задаче учителя. 8. Принцип работы с текстом. Школьные учебники приучили учеников иметь дело с текстами разжеванными; более или менее сложные места, как правило, предваряются объяснениями учи- теля. Учебник читают, а не изучают с карандашом, бумагой и напряжением мысли. А ведь работа со сложными научными текста- ми, понять которые иногда не проще, чем решить небольшую проблему,— будни научного работника. В предлагаемом пособии немало трудных задач, снабженных лишь краткими указаниями. Понять эти указания, заполнить логические пробелы, выполнить промежуточные вычисления, рассмотреть самостоятельно вариан- ты, сопровождающиеся оборотом «аналогично»,— главное назна- чение этих задач. 9. Принцип моделирования ситуаций. Полезно моделировать критические ситуации, которые могут возникнуть на экзамене, 7
и отрабатывать стереотипы поведения. Например: идет спокойная работа, получен ответ. Вдруг выясняется, что по ходу решения допущена ошибка. Времени в обрез. Постарайтесь спокойно и без паники исправить ошибку. Или: вам надо решить две задачи. В принципе каждая из них вам по силам, но времени маловато. Что лучше? Гнаться за двумя зайцами или спокойно поймать одного? Главной особенностью данной книги является ретроспективная направленность. Теоретические основы большинства тем относят- ся к программе 8-летней школы. Однако глубина их проработки, идейная насыщенность задач предполагают более высокий уровень математического развития учеников, чем тот, которого дости- гают школьники по окончании VIII класса. Важнейшими, базо- выми, темами являются следующие: «Уравнения и неравенства», «Текстовые задачи», «Задачи по планиметрии». К базовым темам следует отнести и часть параграфа «Квадратный трехчлен», от- носящуюся к азбуке квадратного трехчлена. Необходимо заметить, что принципы (можно даже сказать, идеология) решения урав- нений и неравенств, изложенные в § 1—3, являются ведущими при решении уравнений и неравенств самых различных типов, поэтому они должны быть прочно усвоены и хорошо отработаны. Особенность § 7 состоит в том, что ученик получает возмож- ность поработать сразу со всей планиметрией, охватить ее всю целиком, а не отдельные темы. Такой возможности в VIII клас- се он не имел. Особняком стоит § 6. В нем единственном даются некоторые дополнительные теоретические сведения. Кроме того, он более направлен на математическую олимпиаду и на устный экзамен, чем на конкурсный письменный; следовательно, менее актуален для большинства абитуриентов.
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ И АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ При решении почти любой школьной задачи приходится делать те или иные преобразования. Зачастую ее сложность полностью определяется степенью сложности и объемом преобразований, которые необходимо выполнить. Не так уж редки случаи, когда школьник оказывается не в состоянии решить задачу не потому, что не знает, как она решается, а потому, что он не может без ошибок, в разумное время произвести все необходимые преобра- зования и вычисления. Примеры на преобразование числовых и алгебраических выра- жений важны не сами по себе (хотя среди них есть и содержатель- ные), а как средство развития техники преобразований, можно даже сказать, культуры преобразований. Заметим, что с заданиями «упростить выражение» мы доста- точно часто сталкиваемся в школе; при этом всякий раз понятно, что надо сделать. Элементарный «здравый смысл» помогает нам определить, какое выражение проще, а какое сложнее, до каких пор следует упрощать заданное выражение. 1. Некоторые практические рекомендации Не старайтесь «сворачивать» выкладки, делать за один раз несколько операций. Делая вычисления-и преобразования последо- вательно, шаг за шагом, на каждом этапе максимально упрощая полученное выражение, вы уменьшите вероятность ошибки в преобразованиях, сможете точнее выбрать последующую очеред- ность операций в возникающих альтернативных ситуациях, воз- вращаясь назад, если избранный путь завел в тупик. 1. Упростить выражение х (х-|-1) Т(х+1) (х-|-2) ’ (х-}-2) (х+3)^(х + 3) (х + 4)(х + 4) (х+5) Решение. Грубой тактической ошибкой была бы попытка сложить сразу все дроби, приведя их к общему знаменателю. Сложим сначала первые две. Получим
1 । 1 __ x-j-2-j-x _ 2 x(x-f-l)Ф(x+l)(x + 2)x(x+l)(x+2)“x(x + 2) * Прибавим третью: 2 . 1 _ 2x + 6 + x __ 3 x (x+ 2)+ (x + 2) (x+ 3) “ x (x+ 2) (x + 3) “ x (x + 3) • T-r 5 Продолжая этот процесс, получим в итоге 5j. Замечание. Легко проверить, что ------. Анало- Г Г х(х+1) X х+1 гичные равенства, очевидно, справедливы для остальных дро- бей. Заменив каждую дробь, входящую в данное выражение, на соответствующую разность (вместо того чтобы складывать дроби, каждую заменяем разностью!), получим в результате 11 5 ------—=———. Очевидно, что с помощью этого приема мы х х4-5 x(x-f-5) г можем найти сумму, подобную рассмотренной, с любым числом слагаемых. Важным элементом культуры преобразований, необходимым для решения всевозможных задач из любых разделов, явля- ется умение раскладывать на множители те или иные выраже- ния. Как правило, цель достигается за счет удачной группировки 2. Упростить выражение • Решение. Попробуем разложить на множители числитель и знаменатель. Начнем с числителя. Имеем а3 (Ь — с) 4- Ь3 (с — а) + с3 (а — Ь) = а3Ь — Ь3а — а3с + Ь3с 4- с3 (а — Ь') = = ab [а2 — Ь2} — с (а3 — Ь3) + с3 (а — Ь) = = (а — b) (ab (а 4- b) — с (а2 4- cib 4- Ь2) 4- с3) = =(а — Ь) (а2Ь — а2с 4- ab2 — abc -J-с3 — cb2) = = {а — Ь) {а2 (Ь — с) 4- ab (Ь — с) — с (Ь2 — с2)) = = (а — Ь) (Ь — с) (а2 4- ab — cb — с2) — = (a — b)(b —с) (а2 — с2 + ab — cb) = — {а — Ь) (Ь — с) (а — с) (а 4- Ь 4- с). Раскладывая на множители знаменатель (проделайте анало- гичные выкладки самостоятельно), получим (а — b)(b — с){а — с). Таким образом, Данная дробь равна а^Ь-^-с. Замечание. Теоретическим обоснованием того, что в числителе можно выделить множитель (а—6), служит равенство числителя нулю при а — Ь. Подробнее об этом сказано в § 2. Вообще, из двух взаимно обратных операций, как правило, вы- полнение одной технически существенно сложнее, чем выполнение другой. Именно такими являются действия умножения алгебраи- ческих выражений и разложение на множители. Аналогичная си- туация имеет место для операций возведения в степень и извле- чения корня. Легко получить, что (54-3^2)2==434-30д/2, и гораздо труднее «прочесть» это же равенство справа налево. Следует за- 10
помнить, что, если при решении задачи встретилось выражение ви- да ’y/a + b^/N или ^s/a + b-^N, необходимо попытаться «извлечь» соответствующий корень. Очень часто это можно сделать. Если подобное извлечение возможно, то найти его можно, например, подбором *. В старых учебниках алгебры встречается равенство I , < пгг /а+д/а2”—W62 . -y/a—^^ — Nb2 п < л ya±:byN=-\l 2----------—Л----2------’ &>0, справед- ливость которого проверяется без труда. В некоторых случаях оно оказывается полезным при упрощении выражений, содержащих квадратные радикалы. /34_24 л/2 -I-1 3. Упростить выражение v —у- --------------. д/18—-8д/2 —*д/3-]-2д/2 Реше н и е. Заметим, что-д/34 —24п^2 = 3-\/2 — 4, ~\] 18 — 8д/2 = = 4—д/2, -уЗ + 2-\/2 = 1 +V2. (Можно получить эти равенства под- бором, а можно воспользоваться указанной выше формулой.) Та- ким образом, данная дробь приводится к виду Домно- жим числитель и знаменатель дроби на 34~2д/2, получим в ре- зультате Зл/2-З = (Зл/2-З) (3-]-2д/2)__ 3 <2 I 3 3-2д/2 32-(2д/2)2 Замечание. Обратите внимание на последний этап наших пре- образований. Здесь использован часто встречающийся прием, ко- торый иногда называют «умножением на сопряженное выраже- ние». В данном случае знаменатель имеет вид А — В. Умножая числитель и знаменатель на Л + В, получаем в знаменателе выра- жение Д2 —В2, которое оказывается равным 1. 2. Замена переменных. Условные равенства Переход к новым обозначениям, замена неизвестных — важ- нейший прием и метод, с помощью которого решаются самые раз- личные задачи как элементарной, так и высшей математики. Для некоторых классов задач этот метод детально разработан, напри- мер для уравнений. Замена переменных и переход к новым обозначениям могут использоваться как прием, облегчающий выкладки и делающий громоздкие алгебраические выражения компактными и обозри- мыми. Очень важно, чтобы этот прием и метод был прочно усвоен * Например, чтобы упростить выражение ~\/11 + 6д/2, представим его в виде х+у^/2, откуда 11 +6 д/2 = х2 -\-2у2 + 2ху д/2. Поиск целых (рациональных) х и у сводится к решению системы х2 -\-2у2 = 11, ху = 3. В данном случае пара целых х и у легко подбирается: х = 3, у—\\ следовательно, -у! 1 + 6д/2 = 3-f-д/2. 11
и освоен, так как идея замены переменных является сквозной и в том или ином виде фигурирует практически во всех параграфах. Ограничимся рассмотрением одного примера. 4. Доказать, что если —|—-—|—Ц-=0, то и Ь — с с — а а — b (Ь — с) / "-<2 + 7—^72 = 0- Доказать также, (с — а)2 (а — Ь)2 что из второго равенства следует первое. Решение. Обозначим й — с = х, с — а = у. Перейдем к но- вым переменным х, у, с: а = с— у, Ь = с-}-х. В новых обозначениях первое из данных в условии равенств примет вид С —. c-j-x С _Q х * у х+у Оно легко преобразуется: су (х+у) — у2 (х + у) + сх (л' + «/) + х2 (% + «/) — сху = О, с (х2+ху+у2) + (х — у) (х + «/)2 = 0. Второе равенство будет иметь вид с —у . с + х . с __п х2 у2 Чх + yf и’ с ((х2 + №)(*+ У)2 + Х2У2) 4- (х3 — у3) (х + у)2 = 0. Коэффициент при с оказывается равным (проверьте!) х4 + 2х3у + Зх2//2 + 2ху3 + У4 = (х2 + ху 4- у2)2. Таким образом, поскольку при х//#=0 также х2 + *// + //2#=0, а х3у3=(х — y)(x2 + *// + f/2), второе равенство преобразуется пос- ле сокращения на х2-\-ху+у2 к тому же виду, что и первое. Приведенное решение содержит подсказку, позволяющую най- ти другое решение: левая часть второго равенства получается из левой части первого умножением на х2 + *у + у2 _(х + у)2 — ху _х + у 1 __ 1 . J_1 _ ху(х + у) ху(х + у) ху х-\-у х у х + у а — b Ь — с с —а В самом деле, +—+—П—+—+—) = \Ь — с'с — а'а — Ь/ \a — b* Ъ — с* с —а / __ а , b . с । /______________________а______।______а_________._____b_______. (Ь — с)2 (с — а)2 ‘ (а — Ь)2 ’ \ (Ь — с)(с — а)*(Ь — с) (а — Ь)' (с — а) (Ь — с)* -I-------------1----------------1------------} = (с — а) (а — b) ‘ (a — b)(c — a) (а — b)(b — с)/ = а _1_ ь - _1_ с _|___________!__________х (Ь — с)2 ' (с — а)2 * (а — ЬУ * (а —b)(b — с) (с — а) 12
X(a (a — b)-\-a (с — a)-}-b (а — b) + b (Ь — с)-\-с (Ь — с) + с (с — а))= _____________________ а . b . с (Ь — с)2 ' (с — а)2 ' (а — Ь)2 ' 3. Задачи Упростите числовое выражение (1 —17). J (5д/3 4~ л/бб) (5 — ~\/24) -/75 —5-^2 3. (п/л/3-Ьл/2—л/л/З—л/2) (VV3 + V2+VV3—V2)-' +4= • V \ \ 1 Z 1 О Z*t/ * <JZ \ " и / / 1 о ]э. / J3 13 _5\ ,. 2__J_ А 84 ’ \ 42 28 ' 24/ ' 27 3 ’ 9 6. -717-12^2+^17+12^2. 8. V2 + -V5+V2-V5- 7. -V5 + 2V6-V5-2V6. 9. V5 V2 + 7—д/5 л/2 —7. 10. V20+ 14 V2+V20- 14 д/2. п 2 + л/З t 2-л/З 72+72+л/з V2-V2-V3 12. -78 + 2д/То + 2-75 + д/в-2 Vl^+2 75. 13. -79 + 2 72 + 4^3 + 2 76 (Тб - 72 + 1). 15. (4 +V15)2 +(4-У15)2 2 2 (6 + 735)2 -(6-735)2 16. 17. А/Х(72-1).(72+1). V <5 13
Докажите равенство (18—19). 18. (x+y+z)3—х3 — у3 — z3 = 3(x + z/)(y + z)(z + x). 19. X3 + y34-Z3 —3xyz = (x + y + z) (x2 + t/2 + z2 — xy — yz — zx). Упростите алгебраическое выражение (20—47). 2| аг+Юо + 25+2л/5(У? + 5Л^) (a2 - 25) ((V? - V125) (a + V5a + 5) -'1 ’ 99 /3-VS ,____1___ga2+162\-' , a(a + 9) V 9-a З-д/Н 729-a3/ + 54 ’ ~\[ab (-y/a—^b)V16ob (a+\Ja3b + y/ab) (Ць-Ч^-Ць , 24- ((^7w -1Г'(1+‘Wr+>)1 25. ( -------Va + 3). \ V16a+12Va + 9 2\/a + 3/ 26. / (a2 -л/йну^+уг) \2 + ^(q2 + 2)2 — 8a2. \ a-\-yj2a-\-2 / 27 / 1+УГ^ , 1-VT+^ \2 x2 — 1 . t \1— х + д/l— x 1+* — 2 * 2 28, ( ,?/|Z—।—1 \ / 1 _|_ 2 -л/jL-)- — ) . Вычислите \ <y—W 7 V V x * > при x = 9; £/ = 0,04. 29 fr2-3fr-(fr-l)VF^4+2 -Jfr + 2 62 + 3Zi-(&+1)V^4_|_2 V b — 2 * 30. ("5“((1 +л/а)5 + (1 — л/^)5)“(aл/5— I)2)-2a2. Вычислите при a = 5 — д/5 • □ 1 2 -\[х2 — 1 1 / [— । 1 \ 31 • ГТ-Г г*е Х=т\^а+П^)‘ (J3 __L _L J_\2 / 1 __L _L J\2 b6a 6+Ь3а3)+(Ь6а 6— b3a3) .9 ------------—2a 4- . (VF=T-V5=r,)(V5,+V»T+V«S) a~b 33. „+_L_> ' -Va + 6-2^5. -\/a + V& \a — b b—^/ab -Jab+a ' 1 X<-(X-1)2 , X2-(X2-1)2 , X2(X-1)2-1 (x2+l)2-x2 X2 (x + 1 )2- 1 X4-(x+1)2 • 14
2L—14-— 35. (4-2+4) •—--------. ' У х ' ху+у2 х3 — 2х2у + ху2 QА а + Ь । a~b I 2 (а2х + Ь2у) ___ 4 (а4х3 — Ь4у3) ax + by' ах —by ' a2x2 + b2y2 а*х* — Ь*у* Q7 b~c I с~а I а~^ I (b — c'}(c — a'}(a—b') Z?4-c'*"c + a'’"a + 6’ (6-f-c)(c-|-a)(a + b) _____be_______।______ca_____।______ab____________>___2abc_______ (a + &)(a + c) (Z? + c)(/?4-a) *" (c + a)(c + &) (& + <?) (с4-д) (д4~&) QQ *2 —*+! । 2x(x—I)2 . 2x2(x2—I)2 ° x2 + %+l “r x4 + *2 + 1 "T x84-x44-1 ’ -p a3_____________।_____________।______c3 (a — b)(a — c)'(b — c)(b — a)'~(c — a)(c — b) (p+v) (p~7) 42 ++_Ly(?__Ly ‘ ' («+V^rT)(6+V^rT) y>0. ------------ 44. 1 + , 1 . 45. л/2^г+1+^У4та . -у/а-\-2д/а— 1 ~\]а — 2д/а—1 * 2x2 + 3 + x-^^x2 + 3 4g x2 —3x + (x2—l)Vx2 —4~ । ^y^2-3x-(x2-l)Vx2-4 47 ( Дл/а —ЗУа + (Д—1)л/д —4 + 2 \ аЧ-д/а—2 \ a-yfa — 3-yfa + (a— 1)д/д —4 — 2 ' a—\[a—2 Докажите равенство (48—51). л о ____д5_____I___________I_____________е!__ (а — Ь)(а— с) ' {Ь — с)(Ь — а) (с — а)(с — Ь) = а3 + &3 + с3 + а2 (& + с) + &2 (с+ а) + с2 (a-[-b) + abc. 49. (х2-х+1)(х4-х2+1)(х8-х4 + 1)(х1б-х8+1)== х324-х164-1 х2 4- х 4-1 52. Докажите, что если *л/1 +//2 + //л/1 ~^х2==^^29 т0 + +V(l+x2)(l+f/2) = 3-i-; х>0, //>0. 15
53. Докажите, что если то а) • b d ’cd {с-\-d)2 ’ 2 б) ~ГС- x/b2 + d* ха 4- ус xb^-yd 54. Докажите, что при x + y-\-z = Q z — x У y — z X х — у \ / -у . t/ . г z / \ у — z ' z — Л- ' X — у 55. Докажите, что если а + Ь-{-с=\, —1--|—p-i-=0, то а2 + ^2 + ^2 = 1- 56. Докажите, что если x-h-~=y-t~-^-=z-[--j-, то x2y2z2=l либо x = y = z. 57. Докажите, что если -—|—i—|————, 1--,— , то а b с a + b-Yc 58. Докажите, что если ~\j х2 + Kjx^y2 у2 + — а> то V^+W5=:V^- ____ 59. Докажите, что если (у — z) -x3-\-(z — x) 3/1 —//3 + + (х — у) V1 —г3 = 0; х=£у, y=£z, z=£x, то (1 —%3) (1 — г/3)Х Х(1 — z^) = (\—xyz)3. 60. Докажите, что если Л ~лг - ; х=£у, то x(l-i/z) y(\-xz) 1 I 1 1 1 I 1 х "h у 4~ z —-------. u х у z ТТ X2 — yz ty—zx z2 — хи 61. Докажите, что если ---, то а b с а2 — Ьс _ Ь2 — са _ с2 — ab х у z 62. Докажите, что если 4~ C-~r^ ~ b •• +Q \Ь ГС — U 2bc 2са 2аЬ то какие-то две из трех дробей, расположенных в левой части, равны 1, а одна равна —1.
§ 2. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С понятием «уравнение» на уроках математики мы знакомимся уже в начальной школе, а задача «решить уравнение», вероятно, наиболее часто встречающаяся задача. Тем не менее дать точное определение понятия «уравнение», точно определить, что значит «решить уравнение», не выходя далеко за рамки курса элемен- тарной математики, мы не можем. Для этого необходимо при- влекать весьма серьезные логические и даже философские кате- гории. Нам вполне достаточно знакомства с этими понятиями на уровне «здравого смысла». Рассмотрим два уравнения А и В с одним и тем же неизвестным. Мы будем говорить, что уравнение В является следствием урав- нения А, если любой корень уравнения А является корнем урав- нения В. Уравнения называются эквивалентными, если любой корень одного из них является корнем другого и наоборот. Таким образом, уравнения эквивалентны, если каждое из них является следстви- ем другого. Из данных определений следует, например, что два уравнения, не имеющие решений, эквивалентны. Если А не имеет решения, то В является следствием Л, каково бы ни было уравнение В. Наиболее распространенный (стандартный) путь решения уравнений состоит в том, что с помощью стандартных приемов решение данного уравнения сводится к решению нескольких элементарных уравнений с последующим анализом найденных корней. Стандартными мы будем называть приемы и методы решения уравнений, в которых используются преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных чле- нов, возведение в натуральную степень обеих частей уравнения и т. д.), разложение на множители (формально этот прием или метод относится к преобразованиям, но мы его выделяем, так как в ряде случаев он выступает самостоятельно и специфически), введение вспомогательных неизвестных. Элементарными в этом параграфе являются уравнения двух видов: двучленные (ахп 4- b = 0), в частности линейные (ах-\-Ь = = 0), и квадратные (ах2 + bx + c=Q). 17
В этом параграфе мы будем рассматривать уравнения трех ти- пов: целые алгебраические уравнения, т. е. уравнения вида Р(х) = 0 (где Р (х) = аохп-\-aiXn~l 4-an, ао#=О, есть многочлен степени и); дробные алгебраические уравнения, т. е. уравнения, содержащие многочлены и алгебраические дроби (дроби вида Р (х) 77Н, где Р и Q — многочлены); иррациональные уравнения, Ч \Х) т. е. уравнения, содержащие радикалы, под которыми распола- гаются многочлены или алгебраические дроби. Аналогично клас- сифицируются рассматриваемые в этой главе системы уравне- ний. Обращаем внимание на то, что основные принципы и методы решения уравнений, которые будут здесь изложены, носят доста- точно общий характер. Ими мы будем руководствоваться и поль- зоваться в параграфах, где рассматриваются показательные, логарифмические, тригонометрические и иные виды уравнений. Меняются в основном лишь начальная и конечная стадии. В част- ности, иным будет список элементарных уравнений, расширяется набор преобразований, типы замен. Очень часто решение соот- ветствующего алгебраического уравнения (рационального, ирра- ционального) является составной частью решения уравнения логарифмического, тригонометрического. Все сказанное здесь относится с некоторыми уточнениями к системам уравнений. Во всех примерах мы ограничиваемся нахождением действи- тельных корней. Прежде чем перейти к рассмотрению примеров, сделаем одно замечание. В некоторых местах мы, объясняя решение, для крат- кости будем использовать не совсем аккуратные, но вполне понят- ные обороты, как, например, «умножим уравнение на...», «сложим два уравнения», «перемножим два уравнения» и т. д. Понятно, что соответствующая операция производится с каждой частью (частями) уравнения (уравнений), в результате чего получается новое уравнение. 4. Рациональные уравнения, приводящиеся с помощью преобразований к линейным и квадратным Умение решать линейные и квадратные уравнения — алгебраи- ческие уравнения 1-й и 2-й степени — относится к списку умений, которыми, вне всяких сомнений, должен обладать каждый вы- пускник средней школы, входит в его «прожиточный минимум». Однако и здесь уравнение уравнению рознь. Одно дело — урав- нение х2 — Зх + 2 = 0 и совсем другое—11х2 — 1237х — 1938 = = 0 или х2 — (9 — д/3) %+ 14 — 3 д/3 = 0. Правда, трудности, возни- кающие при решении двух последних уравнений, не имеют непо- средственного отношения к теме «Квадратные уравнения», а 18
носят «арифметический» характер. Так, в первом из этих двух уравнений надо вычислить -y/D = ^/\6\544l = 1271, во втором «увидеть», что D = 28 — 6 -\/3 = (3 д/3— I)2. Рассмотрим теперь несколько примеров, в которых за счет достаточно простых приемов можно избежать громоздких преобра- зований и вычислений. 12 3 6 1. Решить уравнение —+—+—=—. Решение. Можно, как говорится, не мудрствуя лукаво, попросту освободиться в этом уравнении от знаменателя, раскрыть скобки, привести подобные члены и получить квадратное урав- нение. Но можно попробовать облегчить себе жизнь: объединить дроби в пары и произвести сначала действия внутри пар. Удачная группировка, как это видно из приводимого решения, существенно упрощает вычисления (приводим его без комментариев): 2__।_3__ 6 1 5х—12 _ 5х—12 х-2~Гх-3 х + 6 х-1 ’ (х-2)(х-3)“~(х-|-6)(х-1) ’ Грубой ошибкой было бы сокращение обеих частей на 5х — 12 — 12, так как при этом теряется корень х=—. Запомните: если О левая и правая части уравнения имеют общий множитель, то сокращение на него может привести к потере корней. (Иное дело — сокращение на общий множитель числителя и знаменателя алге- браической дроби. В этом случае корни не теряются.) Уравнение ab = ас распадается на два: а = 0иЬ = с. В нашем случае полу- чаем два уравнения: 1) 5х—12 = 0, xi=2,4; 2) (х-2) (х-3) = (х + 6) (х-1), х2=1,2. Ответ. 1,2; 2,4. 2. Решить уравнение qi/ 24 — 5х । 5 6х\ । Q^n_on / 17 7х । 8х -f- 55^ 3Цх+1 +х + 4/+370""29\ х + 2 + х4-3 / * Решение. Этот пример посложнее. Решение этого уравне- ния «в лоб» приводит к непомерным, не для всех преодолимым вычислительным трудностям. Однако можно эти трудности обойти. Преобразуем каждую из входящих в наше уравнение дробь: 24 —5х_29 —5 (х4~ 1) __ 29 г 5 —6х_ 29 ~ х-Н х-Н х+1 ’ х4-4 х + 4 ’ 17 — 7х 31 у 8х-|-55 31 i g . х4-2 х4-2 ’ х4-3 х4-3 (Это достаточно стандартный прием. Можно провести аналогию с выделением целой части в неправильной арифметической 19
дроби.) Остальное понятно без комментариев: 31(-тп—5+-§т-б)+370 = 29 (44-7+ 44+8) - 31 • 25-(ттт ++ ) -341 + 370 = 29 + 29 •31 '(+ ++з ) 1__।__L_=_J___I__1 1_____i_==_j_____!_• х4* 1 х4“4 х4“2 х 4~ 3 ’ X4-1 х 4“ 2 х 4~ 3 х 4" 4 ’ (х+1)(х + 2) = (х + 3)(х + 4), 4х+10 = 0; х=-2,5. (Как видите, в конце концов все свелось к линейному уравнению. Это уравнение должно было получиться, если бы мы обычным пу- тем стали освобождаться от знаменателя в исходном уравнении.) Ответ.— 2,5. 5. Иррациональные уравнения. Появление лишних корней При стандартном способе решения уравнения возникает це- почка уравнений той или иной длины, соединяющая исходное урав- нение с уравнением (или уравнениями), которое мы умеем ре- шать, элементарным. Конечно, было бы очень хорошо, если бы каждое уравнение цепочки было эквивалентно предыдущему, а следовательно, и исходному. Но этого не всегда легко добиться, тем более что получающаяся цепочка может и разветвляться. Легче следить за тем, чтобы каждое следующее уравнение было следствием предыдущего, чтобы корни «по дороге» не терялись. Если мы сумеем организовать решение уравнения указанным образом, то нам необходимо после решения последнего уравнения (уравнений) найти способ отсеять лишние корни, отобрать пра- вильные. В частности, это можно сделать при помощи проверки. В этом случае (и только в этом!) проверка является элементом решения и необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. С другой стороны, иногда нам легче сделать проверку, чем обосно- вывать то, что в ней нет необходимости. В этом случае она, по существу, также является элементом решения, заменяя необхо- димое обоснование. И наконец, проверка может быть средством контроля правильности проделанных вычислений (делается «для себя»). Рассмотрим несколько примеров. 3. Решить уравнение д/34-х=3 —х. Решение. 3-|-х = 9 —6х-|-х2, х2 — 7х-|-6 = 0; Xi = 1, Х2 = 6. Проверка показывает, что х2 = 6 — лишний корень (д/9=4=—3), а х=1 удовлетворяет уравнению (д/4 = 2). Ответ. 1. 20
4. Решить уравнение ->j2x2 \ = 1 —х. Решение. 2х2+ 1 = 1 — 2х-}-х2, x2-j-2x = 0; Xi =0, х2 = — 2. Найденные значения удовлетворяют уравнению. Ответ. 0; —2. 5. Решить уравнение -Дс2 — 1 = х —2. Решение, х2—1 =х2 —4x4-4, х = —. Найденное значе- ние — лишний корень. Ответ. Уравнение не имеет решений. Однако не всегда проверку легко осуществить. Лишние кор- ни, которые могли появиться вследствие того что в процессе реше- ния уравнение возводилось в квадрат (или в любую четную степень), могут быть отброшены на основании следующего простого и очевидного утверждения (настолько простого и оче- видного, что оно не заслуживает звания теоремы). Если хо удовлетворяет уравнению (2), полученному из урав- нения (1) возведением в квадрат его правой и левой частей, то, для того чтобы хо являлся также и корнем уравнения (1), необ- ходимо и достаточно, чтобы при подстановке хо в уравнение (1) левая и правая части были бы числами одного знака (безус- ловно, предполагается, что при этом обе части имеют смысл). 6. Решить уравнение -\/54-2х =4 —х. Решение. 5 + 2х = х2-—8х+16, х2—10x4-11 =0; xi = 54- 4"*\/14, Х2 = 5-7И; Х1 = 54-л/Т4 — лишний корень, так как 4 — — xi<0, в то время как х2 = 5 — Д\4 удовлетворяет уравнению (4—х2>0). Ответ. 5— -у14. Возведение в квадрат — один из стандартных способов избав- ления в уравнении от квадратных радикалов, но не единственный. Если таких радикалов несколько, то уравнение приходится возво- дить в квадрат неоднократно. (Обычно всякий раз один радикал уединяется, т. е. его располагают в одной из частей уравнения, а все остальное переносится в другую часть. Кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, находящееся под знаком уединенного радикала, было бы' неотрицательно). В этом случае корнями исходного уравнения будут лишь те корни первого уравнения без радикалов, которые будут давать числа одного знака в обеих частях всех тех промежуточных уравне- ний, которые возводились в квадрат. 7. Решить уравнение ~У34-2х4~л/54-х = 5. (*) Решение. -V34-2x = 5 — Дъ 4- х, 34-2х = 25-10 V5 + x4-54-x, 10 ->/54-* =27-—х, (**) 500 4-100х = 729 — 54х4-х2, х2 — 154х 4- 229 = 0; Xi = 77 — 10 д/57, х2 = 77 4-10 ДЯ. 21
Значение х должно удовлетворить ограничениям 5—О, 27 —х^0, так как уравнения (*) и (♦*) возводились в квад- рат. Очевидно, что Х2 не удовлетворяет второму ограничению. Проверьте, что Xi удовлетворяет обоим условиям (некоторые трудности могут возникнуть при проверке первого). Ответ. 77-10^57- Приведем пример, показывающий, как иногда можно избав- ляться от квадратных радикалов, не возводя уравнения в квад- рат (или почти не возводя). 8. Решить уравнение д/х2 + 5х + 3 — ^хй + 3х+2 = 2х +1. Решение. Умножим обе части на сумму корней, получим ((а - Ь) (а + Ь) = а2 - 62): ____ ___________ 2х + 1 = (2х + 1) (^х2 + 5х + 3 + л/х2 + Зх+2). 1) 2х -|- 1 - - 0, Х\ = —~; 2) х2 + 5х “I- 3 -j- х2 -f- Зх “I- 2 = 1. Можно во втором уравнении, как обычно, уединить один радикал, возвести обе части в квадрат и т. д. А можно поступить иначе. Поскольку мы ищем лишь те корни этого уравнения, которые являются одновременно и корнями исходного, то эти корни должны удовлетворять уравнению, являющемуся их сум- мой, т. е. уравнению -\/*2 + 5х + 3=х+1, откуда х%=— Проверка показывает, что оба корня подходят: Ответ. — (Проверка здесь необходима, поскольку ни из чего не следует, что при найденных значениях подкоренные выражения не будут отрицательными.) Еще один способ избавления от радикалов — введение вспомо- гательных неизвестных — рассматривается в соответствующих параграфах. 6. О понятии области допустимых значений неизвестного Областью определения уравнения или областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) уравнения называется множество тех значений неизвестного, при которых имеют смысл его левая и правая части. Во введении понятия ОДЗ особой необходимости нет, поскольку, как это следует из самого его определения, при решении любого уравнения мы не имеем права рассматривать значения неиз- вестного, не входящие в ОДЗ. Тем удивительнее, что сплошь и рядом приходится наблюдать «решения», в которых большая часть посвящена нахождению тех значений неизвестного, которые 22
оно не может принимать, и откуда очень трудно понять, а чему же оно все-таки равно. Уравнение может быть правильно решено, если в решении от- сутствует даже упоминание об ОДЗ. И наоборот, верно найден- ная ОДЗ и последующий отбор корней по нему не гарантируют от ошибок. Универсальных рецептов здесь нет и быть не может. Более того, любая, даже в принципе полезная рекомендация, которая может быть истолкована как универсальная, превратив- шись в догму, принесет лишь вред, о чем, в частности, свидетель- ствует короткая, но поучительная история возникновения и рас- пространения понятия ОДЗ. (Посмотрите с точки зрения полез- ности нахождения ОДЗ примеры 1—8. Обратите внимание на то, что в уравнениях 3—7 даже лишние корни входят в ОДЗ.) Разберем еще два примера, показывающих, что в одних слу- чаях нахождение ОДЗ полезно при решении уравнения, в других задача определения ОДЗ оказывается сложной и абсолютно не- нужной. (При нахождении ОДЗ надо уметь решать неравенства и системы неравенств. Несмотря на то что тема «Неравенства» следует позже, мы предполагаем здесь наличие некоторых основ- ных умений и навыков в решении неравенств.) 9. Решить уравнение д/х3 + 4х — 1 —8 д/х4 —х = д/х3 — 1 + 2 д/х. Решение. Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную (проверьте) и совершенно ненужную задачу. Возведем уравнение в квадрат: х3 + 4х— 1 — 8 д/х4 —х = х3 — 1 +4 д/х3 — 1 *д/х + 4х, д/х3 — 1 .д/х=0; xi = l, Х2 = 0; Х2 = 0 — лишний корень (проверка). Ответ. 1. 10. Решить уравнение д/х2 -— х+д/2 —х —х2 =д/х—1. Решение. В этом уравнении нахождение ОДЗ приносит несомненную пользу, поскольку оно состоит из двух значений: х=1 и х=0 (докажите). Проверка показывает, что корнем урав- нения является лишь значение х=1. Ответ. 1. Конечно, уравнения 9 и 10 специально подобраны и отражают две крайние ситуации. Истина, как всегда, находится'посередине. 7. Замена неизвестного Введение нового неизвестного, относительно которого уравне- ние имеет более простой, легко приводимый к стандартному вид или даже просто упрощающее вид уравнения — важней- ший метод решения уравнений любых видов и типов. Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся замены. 23
а) Замена y = xn. В частности, с помощью замены у = х2 реша- ются так называемые биквадратные уравнения, т. е. уравнения вида ах4 + &х2 + с = 0. б) Замена у = Р(х) или у=^Р (х), где Р (х) — многочлен. Чаще всего встречаются задачи, в которых делается замена у — ах2-}-Ьх-[-с или у=д/ах2-[-Ьх-{-с. Р (х} в) Замена у= п/ , где Р (х) и Q (х) — многочлены (например, частности, с помощью замены у=х решаются возвратные уравнения 4-й степени, т. е. уравнения вида ах4 + Ьх3-\-сх2 + Ьх + а==0. Делается это следующим обра- зом. Разделим уравнение на х2 почленно, получим Поскольку то относительно у = х+-~ будем иметь уравнение ау2 + Ьу + с — 2а = 0. Прежде чем рассмотреть примеры, дадим два совета. Пер- вый: новое неизвестное следует вводить сразу, при первой воз- можности. Второй: после введения нового неизвестного получившееся уравнение следует полностью решить с этим неизвестным, от- бросить, если таковые появились, лишние корни и лишь затем вернуться к первоначальному неизвестному. 11. Решить уравнение 2х2 — 6х+У*2 — Зх + 6+ 2 = 0. Решение. Сделаем замену у=-\/х2 — Зх + 6. (Можно за но- вое неизвестное принять х2 —Зх, но в этом’случае решение будет несколько более сложным.) Тогда у^О, х2 —Зх = у2 —6. Получим относительно у уравнение 2у2-12 + у + 2 = 0, 2у2 + у- 10 = 0; t/, = 2, у2=—^‘, У2 не удовлетворяет условию у^О. Возвращаемся к х: \/х2 — Зх + 6=2; Xi = 1, хг = 2. Ответ. 1; 2. 12. Решить уравнение (х2+1)х _ 10 (х2 —х+ I)2 9 Решение. Можно в этом уравнении освободиться от знаме- 24
нателя, проделать все необходимые преобразования и убедиться, что получившееся уравнение 4-й степени является возвратным. Но лучше это сделать быстрее. Поделим числитель и знамена- тель дроби, расположенной в левой части, на х2. Получим 10у2 —29у+10 = 0; у, =4-, у2=^. 5х2 — 2х —|—5 = 0. Это уравнение не имеет дей- ствительных корней. Ответ. 2; 4-. 13. Решить уравнение х2 + Решение. Поскольку в левой части стоит сумма двух квад- ратов, естественно попытаться дополнить ее до квадрата суммы или разности. Во втором случае получим 1) -4т=4"» Зх2 = 4х + 4; Xi = —%- , х2 = 2; X "р 1 о о 2) “тт=—~ , Зх2+10%+10 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Ответ. —2. О 14. Решить уравнение х -уЗ—х —5х = 1 4~~УЗ —х . Решение. Обозначим -^3 —х = у, тогда у^О и х=3—у2; (3—у2)у —5 (3—у2)= 1+у, у3 —5у2 —2у+ 16 = 0. Получилось кубическое уравнение, которое мы решать не умеем. 25
однако существует метод нахождения рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами, после чего можно свести решение данного уравнения к решению уравнения меньшей сте- пени. Об этом мы расскажем в следующем пункте, где и окончим решение этого уравнения. Рассмотрим еще несколько полезных примеров. 15. Решить уравнение (х +1) (х + 2) (х + 3) (х + 4) = 120. Решение. Группируя в левой части первый множитель с последним, а второй с третьим, получим (х2 + 5х+4) (х2 + 5х + 6) = 120. Обозначим у = х2 + 5х + 4. Для у имеем уравнение У2 + ^у- 120 = 0; у, = 10, у2= - 12. 1) х2 + 5х + 4 = 10; Xi = 1, %2= — 6; 2) х2+ 5x4*4= — 12; £)<0. Уравнение не имеет действитель- ных корней. Ответ. 1; —6. 16. Решить уравнение 6х2 + 7х -\/1 4-х = 24 (1 +х). Решение. Перенесем 24(1+х) в левую часть и разделим почленно на (1+х). Получим Теперь естественным образом вводится новое неизвестное тогда 6z/2 + 7z/ — 24 = 0; ух лишний корень», так как должно быть х^0). Ответ. 3; — Рассмотренный в этом примере метод применим всегда, когда уравнение имеет вид аи2— buv 4-с^2 = 0, где и и и зависят от х. (Это уравнение называется однородным относительно и и v второй степени, поскольку все его члены имеют одну и ту же суммарную степень, равную 2.) Делением на v2 оно приводится к квадратному уравнению относительно у=-^-. Подводя итог этому пункту, заметим, что в рассмотренных примерах были показаны лишь некоторые достаточно распростра- ню
ненные виды и способы замены неизвестного. В одних случаях такую замену можно сделать сразу, в других — после ряда целенаправленных преобразований. Главное здесь — сделать за- мену вовремя, не тянуть с нею до конца, не прозевать нужный момент. 8. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Разложение на множители Разложение левой части уравнения на множители (правая часть равна нулю) — достаточно распространенный прием реше- ния самых различных уравнений. Здесь нет общих рецептов. Многое зависит от вашего умения, сообразительности, наблюда- тельности и опыта. Есть, правда, исключения. Об одном общем методе разложения на множители некоторых алгебраических уравнений мы расскажем в этом пункте. В одних случаях нужное разложение естественным образом определяется самим уравнением. 17. Решить уравнение х5 —2х3 —Зх2 + 6 = 0. Решение. Группируя попарно члены, сразу получаем нуж- ное разложение: (х2 —2) (х3 —3)=0. В других случаях надо быть чрезвычайно изощренным человеком, чтобы разложить данное уравнение на множители, даже если известно, что такое разложение возможно. Такое уравнение очень легко составить, но очень трудно решить. Напри- мер, возьмем очень простое уравнение (х2 —5х-|-3) (х2 + 3х—1) = 0. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим х4 — 2х3 — — 13х2 +14х—3 = 0. Как из этого уравнения получить исходное, трудно сказать. Возможно, кто-нибудь сообразит и сумеет представить левую часть в виде разности квадратов (х2 — х +1)2 — — 4(2х—I)2. Безусловно, это не самый лучший способ придумы- вания трудных задач. Нахождение рациональных (в частности, целых) корней алгеб- раических уравнений с целыми коэффициентами основано на следующей теореме. Пусть aoxn + aixn-1+ ... + ап = 0 — уравнение с целыми коэф- фициентами. Если число х0=—, где р и q — целые числа и дробь несократима, является корнем уравнения, то р есть дели- тель свободного члена ап, a q — делитель коэффициента при старшем члене ао. (Докажите эту теорему самостоятельно.) Зная один корень многочлена, можно его разложить на мно- жители, т.е. если а — корень многочлена аохп+а\хп~1 + ... +ал, то 27
aoxrt + aixn 1 ±...±an = (x — a) (bQxn '-[-b\xn 2 + ... + &л_1). Нам нет необходимости доказывать это утверждение в общем виде. Достаточно уметь разложить на множители многочлен в каж- дом конкретном случае. Доведем теперь до конца решение уравнения 14. Мы имеем у3 — 5у2±2у±16 = 0. Поскольку старший коэффициент равен 1, q=l (см. теорему). Свободный член имеет делители 1, 2, 4, 8, 16. Таким образом, если это уравнение имеет рациональный корень, то этот корень непременно целый и находится среди чисел ±1, ±2, ±4, ±8, ±16. Подставляя их в левую часть, найдем у\ = 2. Следовательно, левая часть разлагается на множители, один из которых (у — 2). Произвести это разложение можно с помощью метода, который назовем методом группировки. Суть его в том, чтобы представить многочлен в виде суммы пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить множитель (у — 2). Поскольку первый член равен у3, то в качестве второго слагаемого следует взять — 2у2, в результате чего образуется пара у3 —2у2, в которой можно вынести множитель у — 2. Таким образом, от второго члена мы «заняли» —2у2, остается —Зу2. Прибавляем бу, получим пару — Зу2 + 6у = — Зу (у — 2) и т. д. В результате будем иметь у3 —5у2 —2у+16=(у3 —2у2) + ( —Зу2 + 6у) + + (-8у + 16) = (у -2) (у2-Зу-8). Таким образом, для нахождения остальных корней надо решить уравнение у2 —Зу —8 = 0. Его корни: У2—^-^7—, Уз—--но у^О, поэтому уз не подходит. Возвращаясь к х, найдем ответ. Ответ. —1; —1-(19 + 3 д/4Т)- 18. Решить уравнение 6х34-х2—Их —6 = 0. Решение. Рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел ± что Xi = — 1, Подставляя их поочередно в уравнение, найдем, удовлетворяют уравнению. Ими и исчерпы- ваются все корни уравнения. Ответ. 9. Системы уравнений Наиболее простым и, вероятно, самым распространенным методом, применяемым при решении системы уравнений, является метод последовательного исключения неизвестных. Любая система 28
линейных уравнений может быть решена этим методом. Суть его в следующем. Выражаем одно неизвестное из одного уравнения через осталь- ные и подставляем в оставшиеся. Получаем новую систему, в кото- рой число уравнений и неизвестных уменьшилось на 1. С новой системой поступаем таким же образом и так до тех пор, пока это возможно. Если в системе некоторые уравнения не линейны, то этот метод можно применить не всегда. Однако он может быть использован как прием, за счет которого можно решение данной системы свести к решению системы, состоящей из меньшего числа урав- нений и неизвестных. ( 2х2 + У — z = — 1, 19. Решить систему уравнений J z-f-y —2х=1, + — у=\. Решение. Выражаем z из второго уравнения 2 = 1 -j-2x— у и подставляем в первое и третье: Г 2х2 + У “ (1 + 2х — у) — ~ 1, ( х2 — х + У = О, I х4 + (1 + 2х — у) у — у=\\ I х4 + 2ху — у2 = 1; 2 У = X — X х4 + 2х (х — х2) — (х — х2)2 — 1; х2 = 1; Х] = 1, 1/1=0, 21=3; х2=~1, У2= —2, z2=l. Ответ. (1; 0; 3); (-1; -2; 1). Однако не всегда удается так легко выразить одно неизвест- ное через другие. ОЛ п „ ( Зх2 + 5х// — 22у“ = 0, 20. Решить систему уравнении | ^2_ух_уу2__2у = 2.ху+\ Решение. Первое уравнение этой системы является одно- родным относительно х и у (см. уравнение 16 и замечание к нему). Разделив его на у2 (очевидно, у#=0), получим квадратное урав- нение относительно / = — и найдем /1=2, /2=—-У-. Таким обра- У з зом, имеются две возможности: 1) х = 2у и 2) х= -П-у. Подставляя найденные выражения х через у во второе уравне- ние, получим соответственно два квадратных уравнения: 1) у2=1 и 2) 196у2 —51у — 9 = 0. Отает. (±2; ±1); . Этот метод применим во всех случаях, когда одно уравнение является однородным относительно двух неизвестных. 21. Решить систему уравнений | g^Zp^xy —fy2--^ 29
Решение. Умножив первое уравнение на 3, а второе — на (л—4) и сложив их, мы получим однородное уравнение уравнением поступим, как в пре- на у2 и получим квадратное урав- — 6х2+ху + 5у2 = 0. С этим дыдущем примере: разделим нение относительно t=—: у 6/2 —/ —5 = 0; /| = 1, /2=-4- о (Доведите решение системы до конца самостоятельно.) Ответ. (± 1; ± 1 )• f х2 I t/2 — 5 22. Решить систему уравнений \ х^.у^.^ху—-^ Решение. Предложенная система является (и называется) симметричной: замена х на у, а у на х не меняет каждого из урав- нений системы. В такого рода системах очень часто к цели приво- дит следующая замена неизвестных: « = х + г/, v = xy. Поскольку х2 + у2 = (% + г/)2 — 2ху = и2 — 2v, относительно и и v получим систему Г ц2 —2v = 5, I u + Зу = 9 Исключая v, получим для и квадратное уравнение 3«2 + 2«—-33 = п о И о 38 = 0; «1 = 3, м2=—z-; ^1 = 2, у2=—. о У Для хиг/ соответственно будем иметь две системы: н з ’ % + у = 3, xy = 2; 38 Вторая система не имеет действительных корней. Ответ. (1; 2); (2; 1). Сведение к системе алгебраических уравнений, в частности к симметричной системе, достаточно распространенный метод ре- шения иррациональных уравнений с одним неизвестным. 23. Решить уравнение ^3 —х~+^6 + х = 3. Решение. Обозначим ^3 — х — у, \/6 + x = z. Из определе- ния у и z следует, что z/3-4~z3=(3 —х) + (6 + х) = 9. Таким образом, для у и z имеем симметричную систему r/ + z = 3, У3 + г3 = 9. «По стандарту» обозначим « = r/ + z, тогда У3 + z3 = (У + z) (у2 — yz + Z2) = (у + Z) ((у + z)2 — 3yz) = и (и2 — Зи). Таким образом, Г ц = 3, I и (и2 —-3^) = 9; « = 3, и = 2. 30
Возвращаясь к у и z, найдем y\ = l, Zj=2; £/2 = 2, 22=1. Соответственно имеем два значения х: 2 и —5. Ответ. 2; —5. Рассмотрим еще одну симметричную систему. 24. Решить систему уравнений Г x3 + z/3 = 4, I ху=1. Решение. Попробуем нашу замену: u=x + z/, v = xy. Поскольку v = xy=l, а х3-\-у3 = и(и2— Зи) = и3 — Зи, для и полу- чим кубическое уравнение и3 — Зи — 4 = 0, не имеющее рациональ- ных корней (проверьте). Тем не менее данная система дос- таточно просто решается. Возведем второе уравнение в куб. Получим f х3-4-у3 = 4, I х3^3 = 1, т. е. х3 и у3 — корни квадратного уравнения t2 — 4/+1=0; ti =2—^3, /2 = 2+УЗ. Ответ.(У2—V3; V2+V3); (Ш+УЗ; л/2-УЗ). Заметим, что «попутно» мы решили кубическое уравнение и3 — Зи —4 = 0. Вернее, нашли его корень: ^2 + л/3+л/2 — л/З- (Если же мы умеем находить все три комплексные решения уравнения z3 = a, то мы сможем найти выражение для всех трех корней уравнения и3 —За —4 = 0.) Достаточно часто встречаются системы, в которых одно урав- нение является квадратным относительно какого-либо неизвест- ного или комбинации неизвестных. Г /х+</ . з /х—t/ =4 25. Решить систему уравнений < V х—у ‘ V х+у (х2 + 4х + у2 — 3z/ = 0. Решение. Обозначим N х — у вое уравнение относительно t имеет /1 = 1, /2 = 3. Система разветвляется на тогда V7+7=+ ПеР- з вид /+— = 4, откудд две: У = 0, х2 + 4х + у2 — Зу = 0; 4 х2 + 4х+у2 —Зу=0; -Vi=0, yi=0; *2=—4, у2 = 0; (0; 0) — лишнее решение. г — 40 „ — 32 • Хз-~4Г’ 31
Ответ. ( —4;0); (—•уу-; —§•)• 26. Решить систему уравнений ( х* 1 2 * * 5 — бу2 — ух — 2х + 11 у — 3 = О, I -\/х —Зу + 24-л/х + 2у —5 = х + у —7. Решение. Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно х (можно относительно у): х2 — (у+ 2) х — 6у2+ 11у —3 = 0; О = (у+2)2 + 4 (бу2- 11у + 3) = 25у2-40у+ 16 = (5у-4)2. Таким образом, имеем две возможности: 1) х = 4-(у + 2 + 5у-4)=Зу-1; 2) х=^-(у + 2-5у + 4)=-2у + 3. Заменяя во втором уравнении х через у и решая получившиеся для у уравнения, найдем для каждого случая: 1) ^5z/-6 = 4z/-9, 5г/ —6= 16t/2 —72f/ + 81, 1 бу2 - Пу + 87 = = 0; i/i=3, г/2=у|- (i/2 — лишний корень, так как 4у2 — 9<0); 2) нет действительных решений. Ответ. (8;3). Рассмотрим еще несколько систем, в которых к цели приводят другие достаточно распространенные приемы решений. 27. Решить систему уравнений ( 2 у/2х + 3// + л^5 —х —г/ = 7, 1 3 д/5 — х—7/—д/2х + //-— 3=1. Решение. Обозначим y/2x + 3// = u, л]Ь — х — у = с, V2x + y —3 = ш (с подобным способом избавления от радикалов мы уже встречались). Имеем и2 = 2x + 3z/, у2 = 5— х — у, w2 = = 2x + */~3. Можно проверить, что «2 + 4у2 + ш2 = 17. Таким образом, для u, v и w получаем систему f 2u + v==7t 1 Зу— w = 1, \ и24-4у2-\-w2 = 17. Из первых двух уравнений находим и — ^^-, ш = 3у—1. Подставляя эти выражения в третье уравнение, получим для у квадратное уравнение 53у2 —38v —15 = 0; Vi = l, у2=-1|, эо По условию у^О. Значит, у=1, и = 3, ш = 2; 2х-4~3*/ = 9, 5 —х —r/= 1. Из последней системы находим х и у. Ответ. (3; 1). 32
В предыдущей системе мы составляли комбинацию из и2, у2, w2, не зависящую от х и у. Вообще, составление комбинаций из данных уравнений, в результате которых получаются более простые уравнения, достаточно распространенный прием при ре- шении систем. (С этим приемом мы уже встречались при решении системы 21.) 28. Решить систему уравнений ( 6x4-г/2--г2 = 6, s х2 — у — 4z — — 4, I 21х2 — 2у2 4-Зг/ = 22г2. Решение. Умножим уравнения соответственно на 2, 3 и 1 и сложим получившиеся уравнения. (Выбор множителей 2 и 3 обусловлен естественным желанием избавиться от констант. После того как мы найдем комбинацию из первых двух уравнений, не- трудно заметить, что сложение получившегося уравнения с треть- им уравнением дает возможность избавиться от у.) Получим 24х2 4-12х - 2г2 - 12г = 22г2, 2 (х2 — г2) + (х — г) = 0, (х — г) (2х + 2г + 1) = 0. Возникают два случая: 1) х — г = 0; 2) 2x4-2г 4-1=0. Выражаем в каждом случае г через х и подставляем в первые два урав- нения системы (они на вид проще), третье уравнение можно не рассматривать. Получим соответственно две системы: 1) Г 6х4-£/2--х2 = 6, 2) Г 20х4-4£/2 —4х2 = 25, I х2 — у — 4х= —4; I х2 — у-\-4х = —6. В первой системе сложим первое уравнение с удвоенным вторым, получим х2 — 2x4~z/2 — 2у — — 2, откуда (х —-1)24~ 4~(у—1)2 = 0; Х[ = 1, £/i = l. Подставив эти значения в уравнения системы 1), убедимся, что найденные значения удовлетворяют этой системе. Во второй системе первое уравнение перепишем в виде 4у2 = =(2х — 5), откуда 2у= ±(2х — 5). Заменяя у через х во втором уравнении, в случае у = -±-(2х— 5) получим квадратное уравнение, не имеющее действительных корней, а в случае £/=—— (2х—-5) найдем х2. з=~5у^ , уг. з = |0 + ^‘Т . Ответ. (1; 1; 1); (-=5+^ ; -^1; / -5-V1T . 10+VTT . 4+/ГТ \ \ 2 2’2/ 10. Уравнения, содержащие абсолютные величины Наиболее распространенным методом решения уравнений и систем уравнений, содержащих абсолютные величины, является 2 Заказ 497 33
метод, при котором знак абсолютной величины раскрывается на основании ее определения: I r| х, если х^О, I —х, если х<0. 29. Решить уравнение |2х+11 + 15 —Зх| + 1 — 4х = 0. Решение. Выражения, стоящие под знаком абсолютных 1 5 величин,обращаются в ноль при х= —— и х = —. Соответственно нам нужно рассмотреть три случая: 1)х<-4-; 2) 3)x>f. Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. 1) В этом случае 2x-f-l<0; 5 —Зх>»0. Следова- тельно, |2х+11 = •—2х-~ 1, |5 —Зх|=5 —Зх. Получаем — 2х — — 1 +5 —Зх+ 1 —4х = 0, ~9х + 5 = 0, х=-|~; -|~не удовлетворяет условию х< — 2) 2х+14-5-3%+1-4х=0, х=-|-. 3) х>-|-; 2х+1+3х—5+1 —4х = 0, х = 3. О Во втором и третьем случаях соответствующие значения х удовлетворяют нужным ограничениям. у Ответ. —; 3. О Можно действовать и иначе, исходя из того, что равенство |а| =Ь означает, что Ь^О, а=±Ь. 30. Решить уравнение | Зх2 + 5х — 41 = 2х — 1. Решение. Этому уравнению соответствуют два уравнения: Зх2 + 5х — 4 = 2х—1 и Зх2 + 5х —4= —2х+1, среди корней которых нужно отобрать удовлетворяющие условию х^-|-. Первое имеет корни ~*2~^" > подходит пер- вый корень. Корни второго zzZ+_£L22— t ~. Вновь ос- тается первый корень. Ответ. . 2 о Можно, наконец, вовсе не решать неравенств, а, рассмотрев весь набор уравнений, который может получиться при раскрытии знака абсолютной величины и среди решений которых содер- жатся все решения исходного уравнения, решить их и отобрать 34
(например, с помощью проверки) корни, удовлетворяющие исход- ному уравнению. 31. Решить уравнение I |х5 —^Зх — 1 | — Ю0| =х5 + \/Зх — 1-104. Решение. Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений: Iх5-V3X-1I -100 = х5+V3X-1- 104, |х5-- Ю0= -x5-V3x-1 + 104, которые можно переписать в виде | х5 -УЗх^Т|= х5 + V3x^T - 4, |х5-^3х—1| = -х5-^3х—1+204. Каждое из этих уравнений, в свою очередь, распадается на два. Таким образом, мы приходим к четырем уравнениям: ^Зх—1=2, х5 = 2, х5 = 102, ^/Зх—1 = 102, среди корней которых содержатся все корни исходного уравнения. Имеем четыре корня: Х\ = 3, х2 = 2 5, х3= 102 5, x4 = -~(1023 + !)• Первый корень проверяется легко. Он удовлетворяет урав- нению. Второй и третий корни не подходят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна (З/Зхз — 1 <С <2, потому, что %з<3). Четвертый корень также является лишним, поскольку этот ко- рень должен удовлетворять уравнению |х5 — \fix — 11 =—х5 — — ^Зх— 1 +204, а правая часть этого уравнения отрицательна при х = -^-(1023+ 1). Ответ. 3. Заключение. В этом параграфе были рассмотрены виды уравне- ний и методы решения, которые условно можно назвать стандарт- ными. Мы не рассматривали здесь уравнения с параметрами, уравне- ния, в которых необходимо найти целочисленные решения, и другие виды уравнений с «нестандартными» условиями. Точно так же нерассмотренными оказались многие интересные методы решений: использование монотонности, экстремальных свойств, входящих в уравнение функций, логические методы и т. д. Все эти виды уравнений и методы их решения мы «объявляем» нестандартными и будем их рассматривать в соответствующих параграфах. Не следует думать, что любое нестандартное уравнение труднее для решения, чем стандартное. Легко привести примеры очень простых уравнений, решаемых, однако, формально «нестандартны- 35
ми» методами. И наоборот, уже в этом параграфе можно найти много примеров достаточно трудных стандартных уравнений и си- стем уравнений. 11. Задачи Решите уравнение (1 —10). 1. 2. х2 4-2103x4-2102 = 0. 3. 118х2+138Qx—1507 = 0. 4. 3±l-4-Z±L=^±L+Z±£ х—1 х —5 х —3 х —4 с х2 4-х 4-2 х24-х4-6 ’ Зх24-5х—14 “ Зх24-5х—10 ’ в. —Ц-ч—Ц-ч—Ь-ч—Ч-=о. х —7 х —5 х —6 х —4 7. H24-19(^-+^) = 17(^4-^i^' » *2 + 2х 4- 2 х2 4- 8х 4- 20 х2 4- 4х 4- 6 . х2 4- 6х 4-12 х4-1 х4-4 х4-2 "Г” х4-3 9. (х —у)(х—(х-^-) =(хЧ- 1) (х+2) (хЧ-3). 10. (х- 1)3Ч-(2х + 3)3 = 27х3Ч-8. 11. Найдите сумму наибольших корней уравнений х2 —5x4- Ч-2Ч-3 ^2 = 0, х2 —4x4-1-2-72 = 0. Решите уравнение (12—119). 12. -75 + 2х=5-х. 13. -77Ч-Зх = 4-х. 14. ~75х — 34 = х — 7. 15. -7б-4х-х2=х + 4. 16. -д/(2л/7Ч-л/2-3л/5)х=х 17. 75-х = ТЗ-|-2-х. 18. л/х2 —7x4- 1 =д/2х2— 15x4-8. 19. -7(х-Н)(2х+3)=хЧ-3. 20. -7x4-1-72x4-3 = х-1-3. 21. 73хЧ-1-^х^ПГ=7. 22. V5-x-|-V84-2x = 2. 23. 7х24-хЧ- 1 +“\/х2Ч--|-х=74х24-Зх. 24. 2х-7х34-2х2-Зх = 0. 25. х-Ьу^±^-=0. 26. 0 27. ^4+* = -~А~ 14-х V 1—Зх 24-V44-X 2-л/4-х 28. 7*+в-7Е±= * 29. 75x4-7 —7х + 4 = 4х4-3. -7x4-64-Vх 6 30. 745x4-12 - 715x4-2 = 710 (ЗхЧ-1). 31. 72x4-34-73х— 1 =75x4-2. 36
32. д/х2 — 5х4-1+д.'8х —х2—Т2^д/3х—11. 33. V2x+3+V3x^T=V5x + 2. 34. Ух2-7x4- 104-Ух2-9х —36=У2х2 — 16х-26. 35. Ух2 4- Зх — 2—д/х2 — х + 1 = 4х — 3. 36. -72 + л/б —(6 д/2 —2 д/3) х=2х—д/2. 37. д/х2 — 5х + 2—д/х2 + х+ 1 = 1 — 6х. 38. д/х4-1+д/х + 33=д/х+6 + д/х4-22. 39. 2 (д/х+15—д/х) = 3 (д/х4-3 — д/х— 1). 40. д/9х2 - 12х 4- 11 - д/5х2- 8x4-10 = 2х - 1. 41. 43. 45. 47. 49. 50. V2+I , \/2 + ~х tfc ,9 х ’Г 2 3 ' х2+ 1 _4х2 —5 Зх2 + 2 — х2 + 6 ’ 5 д/х4-1.д/х4-3 = 2 д/2 (х24-4х). 20 5 _ _5 х 21 +х 42 = 12х 7 . 48, _____!___=_L_+A. д/х 4-1 — 2 д/х-f-1 3 Vs—х Vs—х _ 5 I х2 25 “ v х4-5 * лл Зх2 . х4-1 л 44. —п——^_ = 4, х 4-1 х“ 46. 2 V^4-V^= Ю. д/2-х4——4---= 2. д/2 —х+3 д/х2 4-х 4- д/х2 4-х 4-5=д/2х24-2х4- 17. 51. д/2 + ^-----1 =V3------Г— • V д/х+1 ________V л/х+1 52. Vl+V* =V1+V^- КЗ ____1______।______J______ лх 2 6х2 —7х + 2 “ 12х2—17x4-6 54. х2 9х2 (х 4- З)2 16. 56. х (х + 4)+д-(4-+4) = 0. со (х2 4~ 1)~ 625 х(х4-1)2 —ТТ?- 55. 1 1 _ 35 х д/1 — х2 *2 63. 64. 65. 66. 62. 1 Ох2 (х — 2)2 = 9 (х2 4-(х — 2)2). 24 12 . 2 х2-2х — х2-х+% Х- X24-Зх4-2 = 15 . (х2 — 2х4- 2)2 4- Зх (х2 4- 2х4- 2) = ЗОх2. х44-5х2 (х4- 1)=6 (х-I- I)2. 37
67. (х24-х4-1)2 = х2 (Зх2 + %+1). 68. х2 4-2х Ух 4-2x4-Ух = 30. 69. 6 = (2-х)(3-Ух2^9). 70. д/х+У*4-7 + 2 л/х2 + 7х = 35 — 2х. 71. \/з W= 12 +д/2^/з • 72-V-R-'+aS+t»^- 73. 74. -Ух2 + х-1 +л/х2 + 4х-Г = 3. 75. 7^2 + 5х + 2+л/х2 + х + 3 = 7. 76. д/Зх + б + д/Зх —4=л/Зх + 8 + л/5х —7. 77. V18 + 3X—д/9 —х2=л/3х. 78. к'2 I _ьо+' ,o--2-1,7-"Vr- = 8*2-6х + 1. 6х—7x4-2 12х — 17x4-6 79 I I__—— 0 Х2_4х + 2Тх2+х + 2-Г 4 80 7*4-7^*—\/б д/24-л/б—7* 72x4-6 -аД-Н 81. У?=И 4-^=4? 7* 82. х3 —Зх2 —Зх—1=0. 83. -5/2х2-1+Ух2-Зх-2=л/2х2 + 2х + 3+Ух2-х + 2. 84. 7зх+ 19-А-7х+18+7=1. 85. х д/х + х (х—1) = 2 (х—I)3. 86. (1 + х) (1 + 2х) (1 + Зх)=4 (4+х) (4 + 2х) (4 + Зх). 87. yi+x+-^-Ml+x=\/x. 88. 89. 90. 92. 94. 96. 98. 100. 102. 103. 104. 105. Ух2—2 х/х+~\[х=2. 2х Ух3 4~х У7- 4 - 2 = 0. |5 — Зх| =2x4-1. 91. |2х — 3|=3 — 2х. |3х—8| —|3х — 2|=6. 93. |х- 11 4- 1х — 3| =2х-4. 1 4-х4- 1х2 — х — 31 =0. 95. 2|х24-2х-5| =х- 1. х2 — 7=|3х — 7|. 97. х|3х4-5| =3х24-4х4-3. х|2х4-5|4-2х|х — 3|=22. 99. | |х2 —Зх| —5| =х-]-1. | |х4-3| - |х- 11| =2 — х2. 10Е _^/5х_34= |х —3| —4. Vl5x-7|-27 = х - 7. (1 4-хУ 1x4-21 4-а:|х —3|=6х4-2. 7 14-2xVT^ 4- 2х2 = 1. |2х-VI -4х^| =д/2 (8х2— 1).
6£ fi — x iei ssi=/—л—A*zi ‘e=s/?-z%-/’xs J ’oei _ ^? —£ - у —£ Л l "Г I I 4 _ ft X | l=T+T' 621 •Xg— I l =g —/7 4-Х/1 | ‘£ = S + /? —уД J LZ\ •g=|/?g-x| | — xg J -821 9 — f>L = g + ^~х^Д1 ‘Z = l+^g + хД J ‘921 . „ flg —x£ fi£ —xg \ 1 V £ I . t' __ fiZ — x£ . /?£ —xg Г e z "* 1 > szi •sziH^-*)(?>-;/) 1 'L=fi—x J ezi ’9 = fi-*£ + </» + sx I ‘g = /j — xz + zfi+zx J izi йх fiz— x x fiZ~x' fix I . ^x fiz + x I 5 «S + x + fix ) j.gj t —X . -y £ + йз“ •9 = 2^ + ?^ 1 ‘9 = /J£ + xg J OZl (g£Z—OZl) Аиэхэиэ aiHmaj •(9-л-д + гл-£-)лД=1-^ ’611 •^Д£=1-у»Л+1+у£1Л '811 •0 = £ + УЗ + гУД (l +у) + г + гУД *+ I +xz -ZIl г(г%9-1)9-1=* *911 £ + ?-?= И-11-г%Ъх11 sn '\-x + zxz=\l+x-\xi-zx\\ HI 7— 1 + уД+ку=|£— I i+уД — £x|| ’£11 t±xA ’—---h |£ — xz\xz — LZ = fr + хД fr+x/l = |S_yg| +xz\ + |£-уг|б+гу»Ч—— zi\ •^ + =L-\X-^\X£ = I -уД l —ХД = 1^-Я+-|Г^г----x---<ле-*£1 -ill •^Д+гЛ=г+(1+8гД) И ’он •l + ^ZA- И =НЛ+г^ ’601 >+ 11 +%| =г+хД v ’801 •£=19 —y|+Z —уД ’Z01 ‘9= I9~yl + I+УД £ ’901
132. 1 2х — у -4у 2х — у +-д/у=1. = -6. 133. Г х3у 4- ху3 = 10, I х24-у2 = 5. 134. 1 х2 4-3xz/—у2 = 3, I Зх2 — ху 4- у2 = 3. 136. / у2— 1=4х24-4х, I 4х2 4- У2 — Зху — 1. 138. 1 2x2 + t/2 + x—2у=1, I 5х2 4-2,5«/2 4-Зх — 4у = 4. 140. | 2х24~У2 — 4х4-2у=1, I Зх2—2у2 — бх—4у = 5. 142. (ху4-24=—, I /2 У3 (xy-6=f . 135. ( х3у + ху3 = 1, 137. f у д/у4-д/у=5 д/х—х-\[х, I х—у = 3. 139. / Зх2 + 2у2 — Зх4-5у = 3, I 4,5х2 + Зу2 - Зх + 8у = 7. 141. 1 3x2 + 2w2+12x—4у= — 8, I 2х2—у24-8х4-2у= —10. 143. |х3у4-ху3=-^-(х4-у)2, ( х4у 4- ху4 =-|- (х+у)3. 144. Г 2у2 — 4ху4~3х2=17, 145. Г у2 — х2=4х4-4, I у2 — х2=1б. I х2 4-у2 4- Зху = 4. 146. Г х —у4-д/х2 —4у2 = 2, 147. Г х2 —х-\/1 —у4 = 1, I х5 -\/х2 —4у2=0. I х д/1 — у4 4-у4 = 2. 148. { (х2 4- у2 — ху) (х — у) = 1 4- у3 I (х2 4- У2 4- ху) (х 4- у) = 1 — У • 149. ( х34-х2у4-ху24-у3 = 40, 150. ( х=у3 — Зу, I х2 4~ ху 4- У2 = 13. I у — х3 — Зх. 151. Г х34-у3 = 9у, 152. f ху + 3у2-х4-4у = 7, I Зх2у = 4 (х4-у). I 2ху4-у2 —2х—2у= — 1. 153. 1 2ху + у2 — 4х—Зу4-2 = 0, I ху 4-Зу2 — 2х — 14у4~ 11 =0. 154. ( 10х24-5у2 —2ху —38х —6у4-41=0, I Зх2 — 2у?4-5ху- 17х — бу4-20=0. 155. [ х2 —2ху4-2у24-2х —8у4-Ю = 0, I 2х2 — 7ху4-3у24- 13х — 4у — 7=0. 156. / у2 —4ху4-4у—1 =0, I Зх2—2ху— 1 =0. 158. ( д/х2 4-У2 4- д/2ху = 2 д/2, I д^4-\У = 2. 160. Г д/5у — х4~х = 3, I д/2у—х4-х4-у = 3. 162. ( л/2 — Зх — 1 = д/5у — Зх, I д/1 — 5у 4- д/5у —Зх = 5. 157. 159. 161. 163. х2 —Зху4-6х— 1 =0, у2—ху —2 = 0. л/у4-7х 4- д/у4-2х = 5, л/у4-2х—у4-х=1. 5 —д/—6—у=д/х 4~ У, д/х4-у 4- 2 = д/ —34-х. х34-4у = у34-16х, 40
164. *(02+i)-A х2 + */2 5 ’ P (x2— 1)___4 x2 + y2 5 ’ 165. { (x2+x+1)Q/2+j/ + 1)=3, I (l-x)(l-y) = 6. 166. X У */4-1 3t/ —5 ’ 3z —2 2z-3 ’ 167. xy = 6, yz= 12, zx = 8. ___3x—1 X— 1 168. y2 + z2 ’ u= 2«_ X2 + z2 ’ у . 2хУ x2+y2 • 169. 170. Г х2 + 3=л/3 |xy|, I 4 —y2 = (2x —-^y}2. 171. 1 +xy ’ »+г=т?к’ f x2 — 2xy — 3y+1 =0, L 2y2 —xy —3x-j-2=0. 172. [ 2x2-|-3xy — 2y2 — 6x4-3y = 0, I 3x2 -j- Ixy -}- 2y2 — 7x -j- у — 6 = 0. 173. X-t/Vx2 —t/2 2 Vl— хг + у2 y — x -yjx2 — y2 7 174. л/l— x2 + y2 4 *3+(y+1) x24-(y4-y) *4-1 =0, . л/1+^2!/+^+д/14-^-=1- 175. у x4— y-------F//2=0. 1 +x 176. p~ 2л/^Т4-У2 = 3, 3 (x-y)+—------|-3y2=0. 2— 1— X 177. (-V25—x2—д/25—у2=л/8,_______ I V25-x24-V25-y2=V164-(x4-y)2. 178. (x2-|-5y24-4z24-4xy4-4yz= 125, ] x24-3y2 —4z24-4xy —4yz = 75, }*4-y4-z = 8. 179. Jx-2y4-3z = 9, i x24-4y*4-9z2= 189, V3xz = 4y2. 41
180. 182. 184. 185. 187. 189. 191. 193. 194. 195. 197. 198. xy + 2yz2 — 4г3 = 0, у — yz — xz = 0, y2 — Ixz — 1З23 = 0. x3 — x2z4-yz = 0, z + 2x2 + 4xy = 0, 3x34-5x2y — z2 = 0. iri f xu —xz + 3z/ + 6z = 0, * < tT — yz-i-4x — 4z = 0, I xy — z2 — 2x—y = 0. 183. 5 (xy — yz) — 2x — z = 0, 3 (xz—z2) — 3x-|-3y=0, 3 (x2— xz)—4y — 2z=0. (x4-l)(3-4y)=(6x4-l)(3-2y), (4X_1)(2+1) = (X+1)(2_1), (3-y)(z-2)=(l-3y)(z-6). ' y{i—xy) _____2_ 1 +У2 5 ’ x(l—xy) _____1_ 1 +x2 2 ’ ( xy — x — y, 1 2 (x+y)2 = 3(x—2y). 186. { x3 + 6y2 + 3x=—2, I 2y3 — 3x2 + 6i/=l. 188. f(x + 2y)(x + 2z) = 6, < (y + 2x) (y + 2z) = 3, l (z + 2y) (z-]-2x)= —2. x3—xyz = 1, y3 — xyz = 2, 3 4 z3 — xyz = -. 190. x2 — y2 + z=^~, лу У2 — z24-x=—, yz Z2 X2 + у =—. V zx y2 — xy + x2 = z2, 192. X2 — XZ 4- z2 = y2, z3—y3=x2+y2 + z2. y2 + xy-\-x2 = z, x2 + zx + z2 = y, z3—y3=x2 + 2zx + zy. zy — 2x2 — 2xz — xy = 1, y2 + 2xy 4- 2zy — 4xz = 3, (22-3)х^ + у(х2+1)4-2г-3. x2 — y2= — 4-2, У2 — z2 =—4-x, yz' z2-x2=-—|-y. zx u 4y24-4xy —Зг2 = 21х2, 196 ( yz —x2 — xz —xy = 2, 3y2 — lxy + ^x2 = z2, ' i y2 + xy + zy — zx = 3, y3 — 8x3 = (27 — x)(22 — X2). I Z24-2Z/4-X2—xy = 6, ' x^O, y>0, z>0. у 4- z = 2x, У2 4-З22 = 28x2, y3 4-823 = (y — 4x) (1 —4z4-7xy). f xz2 4*2x3y2 = 3y2, ! y2-|-3x2y2 = 4x3z2, ( 7x2y3 —6x4y2z2 = 22. 199. f 2x2y — xy5z = z2, 1 xz 4- 3y422 = 1 Ox2y5, V 5у4г 4- 3xy822 = 2x2. 42
200. X3 — xyz = ->/x3 4-i/3 + z3, y3—xyz = —|- д'х3+у3 + г3, z3—xyz=-y- 4-t/3 + z3. у z ' x 202. 1 ,_1___6_ x ' y+z 5 ’ 1,1 3 У ~z + x 4 ’ 1 I 1 =. 2 . z x + y 3 • 204. f x+y=?~2y’ { 2x = 3 + zx , I 2y = 3 + zy2. x2 + y2 = 2, z2 + m2 = 5, xy + zu = 3, xu-\-yz = 3. 205. ( 3xy=x+y4-2, I 3yz=y + z + 2, | 3zu=z + u + 2, [ 3«x = u4-x-j-2. 206. ( x3+y3 — z3 — xyz= — 4, s x3—y34-z3 — xyz = 8, t — x3+y3 + z3 — xyz— — 2. 207. ( 2 (x2y2 + y2z2 + z2x2)+9xyz = 0, < 2y (x2 —z2)+3xz=0, ( 2z (x2 —y2)+3xy=0. 208. 4 —5x’ 4±+£=5y, X2Z2 ^±f=2z. x2y2 209. x+y=l, xz-{- yu — 2, xz2 + yu2 = 5, xz3 -|- yu3 = 14. 210. (x2 + 2yz=\, » y2 + 2zx = 2, I z2 -|- 2xy = 1. 211 ( (x + y)(x + z)=x, 4 (y + z)(y + x)=y, I (z + x) (z + y)=z. 212. 27x3—y3—13—=0, 27 Z 3x2z — 4xy+-|-= 0, 3xz—yz — 1. 214. ( x2 + 6y —z2=—6, % y2 + 4x + z=—4, I 7x—lly + 2z(z+l) = 4. 215. ( x—y2 — 5z = 5, s x2 — 8y — z2 = 8, v x(5x—1)—4y2 — 35y = 35. 216. (х±У±г = 2’ < x2 + y2 + z2= 14, (x4 + y4 + z4 = 98. 43
217. j x3 — (t/ + 2)x+Vf/+l =0, I (у — X- + 1) ( у + 3 — x2 — ) 4- yx2 = 0. 218. f y2 + z2 = x2 + 2yz — 2, s z2 + x2 = y2-^-2zx — 3, ( x2 -|- y2 = 5zy — 5zx + 2xy — 6. 220. J yzx2 — xzy2 = xyz2, t + + 21 о (2xz + y— 4xu=l, < 4xz2-j-4y2 — I6xy2 = 5, V 2xz3 + 4y3 — 16xy3 = 7. 221. ( x2(y + z)2 = (l+x2)y2z2, { 4y2 (z4-x)2 = (4 4-t/2) z2x2, I 9z2 (x 4- y)2 = (94- z2) x2y2. 222. 223 (x2 —«/24-г2 = 4х-|-2у —2z —8, 224. { 3x24-2»2 = 25x —4y —32, ( y2 — 2z*= —2z/4-4z-3x4-11. 225. I 2x24-3i/2 = 8x4-6j/4-8z4-11, ] {/2 — 22 = 2i/4-z4-1, I 2x2 —4y24-2z2 = 8x —8y4-z— 1. xyz x + y xyz У + z -^-=4. :^ + ^ = 2’ xz4-—= 4, yz yZ-^-=\. xy 226. ( 3x — 6y — 8z=xyz2, < 2x — 5y — 7z= — x2yz, (. 3x —9y— 13z= — xy2z. 228. ( xw = 5x4-6y —4z, < y2 = 3x 4- 5y — z, ( yz=x + 4y + 2z. 227 ( ^ХУ У2 ~i~ ^z2——3, ‘ | 4xz4~x24-2z2 = 1, ( 8yz + y2 + 2z2=l. 229 ( 7x — 4y — 2z=xyz2, "< 6x — 8y — z=—x2yz, ( 1 lx — 5y — z= — xy2z. 930 ( x2 = x —2z, J xy = 3x + y-5z, xz = 5x -|- 2y — 8z. 939 ( x2xy4xz — 4z2 = 0, I У2 + ХУ + — 8z2 = 0 I xyz = 8. 234. 2x24-t/24-z2=94-yz, x2 4-2y2 4-z2 = 6 4-xz, x24-y24-2z2 = 34-xi/. 231. I x-t-y-t-2= i, xy4-yz4-zx= —4, ( x3 4- y3 4- z3 = 1. 233. / (/v + y!22“22^9 ( (z4-x)2-y2 = 3. 235. ( xyz + xz2 = 2, < xy 4- 2xz = — z, ( x2yz= —15.
§ 3. НЕРАВЕНСТВА В отличие от уравнений в неравенствах невозможна проверка (в обычном смысле) найденных решений. Вследствие этого схема решения, часто применявшаяся при решении уравнений, за- ключающаяся в получении последовательности уравнений- следствий с последующим отбором корней, при решении нера- венств не работает. Тем не менее многие приемы и методы решения неравенств совпадают с приемами и методами решения уравнений (преобра- зование, разложение на множители, замена неизвестного). Более того, исходя из идей метода интервалов, решение любого неравен- ства (во всяком случае, тех, которые встречаются в школьной практике и на конкурсном экзамене) можно свести к решению одного или нескольких уравнений. Простейшую модификацию метода интервалов иллюстрирует следующий пример. 1. Решить неравенство Решение. Отметим на числовой прямой точки, в которых меняют знак (обращаются в ноль) двучлены х— 1, *4-2, Зх-|-1, соответственно х= 1, х=—2, х =—р (рис. 1). При х>1 каж- дый из трех двучленов положителен, следовательно, положительна и вся дробь. Двигаясь вдоль прямой справа налево, замечаем, что в каждой из отмеченных точек меняет знак в точности один множитель (деление на 3%+ 1 — это умножение на Следо- вательно, меняет знак и левая часть нашего неравенства. Ответ. —2; —^-<х^1. О В общем случае метод интервалов основывается на следующем простом рассуждении. Пусть задана функция f (х), тогда число- вую прямую можно разбить на четыре множества. А — мно- + - + J Рис. 1 45
жество точек, для которых f (х)>0; В — множество точек, для ко- торых f (х) = 0; С — множество точек, для которых f (х)<0; D — множество точек, для которых f (х) не определена. Как правило, каждое из множеств представляет собой объединение точек, лучей и отрезков (с концами или без). Большей частью множест- во В состоит из отдельных точек. Решение неравенств вида f(x)>0, f(x)^O, f (х)<0, f (х)^0 можно разбить на следующие этапы. Сначала находим граничные точки множеств Л, В, С и D, для чего решаем соответствующие уравнения (в большинстве случаев множество В состоит из точек, являющихся граничными для Л и С). Найденные точки разбивают прямую на лучи и интервалы. Теперь для каждого луча или интервала определяем, к какому из четырех множеств относят- ся принадлежащие ему точки. (Лучше эти операции осуществ- лять последовательно. Например, сначала найти множество D, затем В и т. д.) 2. Решить неравенство < 1 • Решение. Найдем значения х, для которых обращается в ноль соответственно числитель или знаменатель данной дроби: х1==—i-, х2=1, х3= —1, х4 = 4. Отметим найденные точки на числовой прямой. В этих точках подкоренное выражение меняет знак. Поскольку при х>4 оно отрицательно, расставляем знаки, как показано на рисунке 2, а. Левая часть данного неравенства - + - + --------•——•----»—------ •------------ ’/ -2 Г 4 3 а) HWIHHHHIIIIIIIItf Опп Х5 2 3 1 Х6 •||11111ННЖ111Н£^> 4 Рис. 2 определена при — 1<х^—1^х<4. Теперь решим урав- нение /Зх2 —2х—1 _ V 4 + Зх—х2 ~ и „ 5 — -\TT05 54-V105 Найдем х^=—, х6——— и нанесем эти значения на чис- О о ловую прямую. Из нее нас интересуют лишь оставшиеся два полуинтервала (на рис. 2,6 они не заштрихованы). Эти точки разбили каждый из наших полуинтервалов на две части: в одной выполняется искомое неравенство, в другой — нет. (Формально можно поступить так: обе части данного неравенства возводим 46
в квадрат, переносим 1 в левую часть, приводим к общему знаме- нателю. Тогда найденные значения (xs и Хб) есть нули числи- теля получившейся дроби. В них происходит смена знака.) При х= 1 и х= —неравенство выполняется. ~ 5-7105 1 .5 + 7105 Ответ. --£—<х<—1<х<---------------£—. о о о Удобно при решении неравенства методом интервалов, находя точки, в которых меняет знак какой-либо множитель, отмечать эти точки черточкой. Тогда, если в какой-то точке меняют знак нечетное число множителей (стоит нечетное число черточек), знак всего выражения меняется; если же знак меняют четное число мно- жителей (стоит четное число черточек), знак сохраняется. п „ (|Зх + 5| —|5х + 3[)(х2—1) 3. Решить неравенство ——-Е—-------->0. 73 + 4х+2х + 1 Решение. Множитель х2 — 1 = (х—• 1) (х + 1) обращается в ноль и меняет знак в точках ±1. В этих же точках обращается в ноль и множитель | Зх51 — 15х 4-31. Нетрудно доказать, что он также меняет знак. Уравнение -\/5 + 4х + 2х + 1 =0 имеет один корень х = — 1, при переходе через который выражение -д/5 + 4х+ IHHHIIIIIIIIIIIIIIIW---------X----- “/ / Рис. 3 4 + 2x4-1 меняет знак с минуса на плюс, если двигаться слева направо. (Докажите.) Теперь расставляем знаки (рис. 3). 5 Ответ. —— — 1;х=1. 4 12. Преобразование неравенств Многие виды преобразований, которыми мы пользуемся при решении уравнений, так как они или приводят к эквивалентному уравнению, или, в крайнем случае, к уравнению-следствию, ока- зываются запрещенными при решении неравенств. 2 2 3 ' 4. Решить неравенство —-т+^;----—т- г х + 2 Зх—1 2х —3 Решение. При решении этого неравенства грубой ошибкой было бы освобождение от знаменателя (с сохранением знака не- равенства). Стандартный путь: перенесем все в одну часть (ле- вую) , приведем к общему знаменателю, а затем разложим на мно- жители числитель. Получим х(х —5) (х+2) (3х-1)(2х-3)^ Получившееся неравенство решается методом интервалов. Ответ. —-2<х<0; 4-<х<4-; х>5. 47
При решении неравенств, содержащих квадратные радикалы, необходимо твердо запомнить* что возводить их в квадрат, со- храняя знак неравенства, можно лишь при условии неотрицатель- ности обеих частей. (Возможна, правда, и другая, более редкая си- туация, когда обе части неположительны. В этом случае знак не- равенства меняется на противоположный.) В других случаях воз- можно как приобретение лишних решений, так и потеря решений. (Ясно, что если при одном знаке неравенства между левой и пра- вой частями решения добавляются, то при противоположном теря- ются.) Рассмотрим простой пример. 5. Решить неравенство -\/34-*> 3 —х. Решение. Самый обычный путь решения состоит в рас- смотрении двух случаев: 3 —х^О и 3 —х<0. Если 3 —х^О, х^З, то обе части неотрицательны (при допустимых х) и можно воз- водить неравенство в квадрат, сохраняя знак неравенства. Полу- чим 34“*>(3 —х)2. Отметим, что здесь нам нет необходимости заботиться о выполнении неравенства 3 + *^0, поскольку это условие автоматически выполняется для всех х, для которых 34-х>(3 —х)2. Получая квадратное неравенство, находим 1<х<6. Но по условию х^З, следовательно, в первом случае решением неравенства будет 1<х^3. Если х>3, то правая часть неравенства отрицательна, левая положительна; подходят все х>3. Объединяя оба случая, получаем ответ: х>1. Очень удобно данное неравенство решать при помощи замены д/3-|-х = /, />0, х = /2 —3, которая сразу приводит нас к квад- ратному неравенству /24-/ —6>Q (в системе с неравенством /^0), откуда находим />2, д/3 + *>2, х>1. И наконец, третья возможность: исходя из идей метода ин- тервалов, решаем уравнение д/3 + ^ = 3 —х. Корень один: х=1 и т. д. Ответ. х> 1. 13. Неравенства, содержащие абсолютные величины Обычный путь решения неравенств, содержащих абсолютные величины, состоит в том, что числовая прямая разбивается на участки, на каждом из которых на основании определения абсо- лютной величины знак модуля можно снять. Например: 6. Решить неравенство |х2 —Зх-}-2|+ |2х+11 ^5. Решение, х2 —3x4-2 отрицателен при 1<х<2 и неотри- цателен при остальных х, 2x4-1 меняет знак при х=—Сле- довательно, нам надо рассмотреть четыре случая. 48
1. х<—i-. В этом случае х2 — Зх4~2>0, 2х-|-1<0. Полу- чаем неравенство х2 — 3х +2 —2х—1 ^5, х2 — 5х — 4^0. Его ре- шение ——^х^—Ly—• С учетом условия х<—— находим 5 —д/4Т 1 2 ^Л<: 2 ’ 2. —^-^х^1. Имеем неравенство х2 — х — 2^0. Его ре- шение — 1^х^2. Следовательно, весь отрезок — удовлетворяет неравенству. 3. 1<Сх<с2. Получаем х2— 5х4~6^0; х^С2 или х^З. Вновь подходит весь интервал. 4. х^2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2. Ответ. 5~2^^х^2. Другой подход к неравенствам, содержащим абсолютные вели- чины, состоит в следующем. Неравенство |а|^& эквивалентно системе — Ь, а неравенство \а\^Ь эквивалентно объединению неравенств Га^ &, a^Z —Ь. (Напомним, что в системе должны выполняться оба неравенства. Соответствует союзу «и». Объединение неравенств означает, что должно выполняться хотя бы одно из неравенств. Соответствует союзу «или».) В случае строгих неравенств все неравенства со- ответственно заменяются на строгие. Доказательства обоих утверждений без труда следуют из оп- ределения абсолютной величины. Нагляднее всего эти доказатель- ства реализовать, интерпретируя неравенства графически, изоб- разив на координатной плоскости в первом случае все точки (а; Ь\ для которых |а| а затем — все точки, для которых —Ь, и показать совпадение этих множеств. Аналогично для неравенства \а\^Ь. При помощи этого приема мы во многих случаях можем после- довательно избавляться от знака абсолютной величины, уединяя выражения под этим знаком. 49
Решим, например, еще раз неравенство 6. Имеем |х2-Зх4-2|<5 — |2х+И о Г х2-Зх + 2<5-|2х+ 11, I х2 — Зх + 2>— 5+|2х+И Г |2х+И<— х2 + 3х + 3, I |2х+1| ^х2 —Зх + 7 2х+К —х24-3х4-3, 2x4-1>х2 — Зх — 3, 2x4-1<х2 —3x4-7, 2x4-1 > -х2-|-Зх-7 х2 — х — 2^0, х2 — 5х — 4=С0, ,, х2 —5х4-6>0, х2-х-|-8>0 {-1<х<2, 5—5+л/4? 2 2 1x^2 или х^З, I х — любое 5-л/4Г^- -^-<х<2, х^2 или х^З При решении этого неравенства особых преимуществ по срав- нению с первым методом не видно. Однако в некоторых случаях эти преимущества весьма заметны. 7. Решить неравенство ||х3 + % —3|—5|<х3 —% + 8. Решение. Это неравенство не так просто решить стандарт- ным путем. В то время как переходя к системе и т. д.» мы решим его без особого труда. |х3 + х —3| —5<х3 —х + 8, Г |х3 + х —3| <х3 —х + 13, |х3 + х — 3| — 5^ — х3 + х — 8 I |х3 + х — 3| — х3 + % — о х3 + х — 3<х3 — х+13, х3 + х-3^ - х3 + х- 13,^ х34-х — 3^ — х34-х — 3, х3 + х- 3<х3 — х + З I I х3 — 5, |Гх3>0, (1x^3 Г —;V3Cx<8, о —\5<х<8. х— любое Ответ. — ^3^х^8. На этом мы закончим рассмотрение примеров к теме «Неравен- ства». В конце этого параграфа помещены задачи с условием «решить неравенство». Однако не стоит только ими ограничи- ваться. Полезно, наряду с неравенством, указанным в условии, рассмотреть три других возможных неравенства. (Например, если стоит знак >, то рассмотреть также неравенства со знаками <, ^.) Полезно также рассмотреть уравнения (с одним не- известным) и, заменив знак « = » на знак неравенства, решить соответствующие неравенства. 50
14. Задачи Решить неравенство (1—81). 1. Зх24-5х>22. 2. 2х2—17х<9. з. -4т 4. ——> —. Л-4-1 2 6. х24-5х —9 х24-3х —4 >2. 7. -х2 + 7х+ 10>2 (х2 —7х —9)2. 8. 1+х + х2 + х3 + х4>0. 9. 1 + х + х2 + х3 х4 + х5 > 0. । q 2х 3 4х 1 ‘ 3x4-2=^ х + 4 ’ 11. 1 14-х — X. 12. x-F 4 х-Н 14. х (х+ 1)+(х + 2)(х + 3)<5. 16. 47 + х>7 —2х. ,8-44>i- 20. х — З^-у/9 — х2. 22. х -д/5 + 2х 5х — х2. 24 л/13-7х-6хг>к 26. 43х+Кх+1. 28. л/х + 2 4^<3. л4+2 30. (х-3)л/х2 + 3<х2-9. 32. д/4+7>2+4-. 34. л/5 + х2+ д/х-2 >х+1. 36. -у/х 2 — ~у/х — Г 1. 38. 411+2Х+421—2х>8. 40. (х + 2)д/х2 —2х —3>0. Л9 <2х2 —5x4-2 а до л'б+х —х2 л-'б4-х —х2 2х24-6х ‘ 2x4-5 х4-4 44. (х2 —4х + 3)д/х+1<х2-2х —3. 45. -V3x2-|-2x + 414x2 + 23x + 8<417x2 + 25x + 8. 46. (a/3 + x + x-3)(45 + 4x + x-4)<0. 47. 4х2 + 2х — 4х2 + Зх — 4 > х + —. 13. х3 4-х2 4-х > 3. Зх2 —2х—1 2х2-Зх-|-1 1&’ 2х24-5х4-3<Зх24-7х-|-4 17. д/х2 — Зх — 3 < 5 — х. 19. 2х- 13<41 +7х-х2. 21 у]3х 2 । 23. ^24~2х~-*-< 1. X 25. -\/30 —х —х2 > — 1. 27. 4х2 + 2х-3<х+1. 29. ^2~х^4х~^2. X О t 1 - 4-4х2^ 3 ~х >“• 33. з 4х - 2 Vх — 1 > Vх + 1 • 35. 4х + 2+л/3-х<3. 37. 4х + 8 —л/х —4>2. 39. (9 —x2)4x + 4>0. 41. (х — 3)4х2 + х — 2>0. 48. |2х + 5| <7-х. 49. Зх+ |2 — х| <5. 51
qo оо м *ч] м м сл сл сл сл *—• © ©00 © *U ЮФОО©4^СОЮ^Ф©00^1 ©J* го©
§ 4. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ Стандартная схема решения текстовых задач состоит из трех этапов: 1. Выбор неизвестных. 2. Составление уравнений (возможно, неравенств). 3. Решение системы, или, точнее, нахождение нужного неиз- вестного или нужной комбинации неизвестных. Рассмотрим эту схему поэтапно. 15. Выбор неизвестных Основные рекомендации здесь просты, хотя и несколько рас- плывчаты. Неизвестные должны быть естественными. При этом не следует пытаться обойтись небольшим числом неизвестных. Наоборот, чем больше неизвестных, тем лучше, тем легче состав- лять уравнения (или неравенства). Требование «естественности» неизвестных не так просто сформулировать. В простейших случаях оно означает, что выбор неизвестных диктуется структурой задачи, ее типом. Так, в зада- чах на движение, как правило, в качестве неизвестных берутся скорость, расстояние, реже — время. Следует избегать обозначе- ний типа vi, Упар, /1, Si и т. п. Лучше приучать себя к стандарт- ному списку: х, у, z, v, и, w, s, t и т. д. Это облегчит в дальнейшем работу с получившейся системой. В задачах на работу (они аналогичны задачам на движение) за основу берутся произво- дительность (та же скорость, только скорость работы), объем работы. Свои стереотипы имеют и задачи на концентрацию, процентное содержание. Выбирая неизвестные, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи; точнее, набор неизвест- ных представляет собой список параметров, определяющих эту модель. (Обычно стараются, чтобы эти параметры были незави- симы. Это означает, что все соотношения должны следовать лишь из конкретных условий задачи, а в принципе каждый па- раметр может меняться в известном диапазоне, независимо от значений остальных параметров.) Если будем считать, что первое прочтение задачи ознакоми- 53
тельное, то второе имеет своей целью выбор неизвестных; при этом мы не обращаем внимание на числа и иные «мелочи». Иногда уже в процессе составления ограничений приходится для облегче- ния этого процесса «добирать» неизвестные. 16. Составление уравнений (ограничений) Выбрав неизвестные, мы в третий раз читаем задачу, расчле- няя ее условие на логические части, каждой из которых соот- ветствует одно ограничение. Таким образом, если неизвестных следует брать столько, сколько потребуется, то ограничений бу- дет столько, сколько получится. В простейших случаях мы при- ходим к системе уравнений, в которых число уравнений совпа- дает с числом неизвестных. Но нередки задачи, в которых это не так. Если у вас число уравнений оказалось меньше числа неизвестных и при этом вы использовали все условия задачи (иногда эти условия оказываются замаскированными), не мучьте себя в поисках дополнительного уравнения, а внимательно прочти- те, что нужно найти. Попытайтесь выразить то, что нужно найти через введенные неизвестные (если, конечно, требуемое в задаче не принято за соответствующее неизвестное). Если все условия задачи исполь- зованы, то нужное неизвестное или нужная комбинация неизвест- ных обязательно найдутся. Об этом позаботились авторы за- дачи (за исключением тех редких случаев, когда ошиблись и они). Рассмотрим несколько примеров. 1. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость ка- тера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что ка- тер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А. Решение. 1. В качестве неизвестных здесь возьмем: х (км/ч) —скорость катера в стоячей воде; у (км/ч) — скорость течения. 2. Составим уравнения. Поскольку скорость катера при дви- жении по течению (% + у), а против течения — (х — у), то на осно- вании того, что сказано во второй фразе условия, получим 14, ИЛИ 4-+-18-=7. х-\-у х — у х+у х — у Вторая часть последней фразы условия («катер встретил...») дает нам _96_+_72_=24 или 4 х + У Х — у у X-i-у х — у у Таким образом, имеем систему уравнений 54
48 . 48 х+у х—у х + у х — у у 3. Нам нужно найти х и у. Освобождаясь во втором уравне- нии от знаменателя, найдем х = 1у. Подставляя х = 7у в первое, получим у = 2, затем х=14. Ответ. Скорость катера в стоячей воде 14 км/ч, скорость те- чения 2 км/ч. 2. Три конькобежца, скорости которых в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию, одновременно стартовали по кругу. Через некоторое время второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на 400 м больше его. Третий конькобежец пробегает то расстояние, которое пробежал первый к моменту 2 его обгона вторым, за время на — минуты больше, чем первый. Найти скорость первого конькобежца. (Конькобежцы стартуют из одной точки и бегут в одном направлении.) Решение. 1. За неизвестные примем скорости соответст- венно первого, второго и третьего конькобежцев: — х, у, г. Удоб- нее всего измерять скорости в м/мин (см. условие). 2. В данной задаче расчленение условия на части, которым соответствуют уравнения, не столь очевидно. Поскольку второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на 400 м больше, то у>х, а длина беговой дорожки 400 м. Скорость третьего конь- кобежца меньше скорости первого (следует из третьей фразы условия); значит, y>x>z, т. е. величины z, х, у в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Таким образом, x2=yz. Второй конькобежец пробежит на 400 м больше первого за n t 400х / 400 . 2\ По условию = или —=г(— +-) . Таким образом, получаем систему (второе уравнение преоб- разовано) X2 = l/z, 400x = 400z + 4-z(t/-x). О 3. Получена система из двух уравнений с тремя неизвестны- ми. Но нам не надо находить все неизвестные. Требуется найти х. Выразим из первого уравнения У—^~ и подставим во второе уравнение. Получим 55
400x = 400z + ^-z(~-x) , 400 (x —z)=-|-x (x —z). Ho x=/=z; значит, -|-x = 400, x = 600. Ответ. Скорость первого конькобежца 600 м/мин. 3. Имеется три слитка различных сплавов золота с серебром. Известно, что количество золота в 2 г сплава из третьего слит- ка то же, что во взятых вместе 1 г из первого и 1 г из второго слитков. Масса третьего слитка равна суммарной массе части первого слитка, содержащей 10 г золота, и части второго слитка, содержащей 80 г золота. Третий слиток в 4 раза тяжелее пер- вого и содержит 75 г золота. Сколько граммов золота содержит- ся в первом слитке? Решение. 1. Не боясь, введем 6 неизвестных: х, у, z — масса слитков в граммах; и, v, w — соответственно количество золота в 1 г каждого слитка. 2. Вторая фраза условия дает нам уравнение 2w = u-\-v. Третья фраза дает уравнение ю . 80 z — —-----. и v (Чтобы получить 10 г золота, надо взять г первого слитка и т. д.) Четвертая фраза дает два уравнения: 2 = 4х и 210 = 75. Таким образом, имеем систему {2z0 = « +v, 10 .80 2 =-------, и v 2 = 4х, 210 = 75 из четырех уравнений с 5 неизвестными (у нам не понадобился). 3. Нам надо найти количество граммов в первом слитке, т. е. хи. Будем исключать неизвестные, сохраняя х и и. Сначала за- меним 2 на 4х во втором и четвертом уравнениях. Затем выра- зим из четвертого ш и подставим в первое и, наконец, из первого уравнения найдем v. Окончательно после упрощений придем к уравнению 4 (хи)2 —80хг/ + 375 = 0, 56
из которого найдем для хи два значения: хи = 7,5 и xw=12,5. Но по условию первый слиток содержит более 10 г золота (его часть содержит 10 г). Таким образом, первый слиток содержит 12,5 золота. Ответ. В первом слитке содержится 12,5 г золота. Очень полезно при составлении уравнений, особенно при ре- шении достаточно запутанных задач на движение, делать «кар- тинки». 4. Пристани А и В находятся на противоположных берегах озера. Пароход плывет из А в В и после десятиминутной стоян- ки в В возвращается в А, двигаясь в обоих направлениях с одной и той же скоростью — 18 км/ч. В момент выхода парохода из А навстречу ему из В в А отправляется движущаяся с постоянной скоростью лодка, которая встречается с пароходом в 11 ч 10 мин. В 11 ч 25 мин лодка находится на расстоянии 3 км от А. Направ- ляясь из В в А после стоянки, пароход нагоняет лодку в 11 ч40 мин. Определить время прибытия лодки в А. Решение. 1. Обозначим скорость лодки через х (км/ч), расстояние АВ — через 5. 2. Изобразим схему движения, на которой путь парохода отмечен сплошной линией, лодки — штриховой. Отметим точки С, D и В, в которых находилась лодка соответственно в 11 ч 10 мин, 11 ч 25 мин и 11 ч 40 мин (рис. 4). с С момента выхода до встречи в С прошло время t = —— (ч). 1 о -|- X Время, через которое встречаются два тела, движущиеся на- встречу друг другу со скоростями v и и, находившиеся вначале с на расстоянии S друг от друга, есть . Аналогично, если одно тело, движущееся со скоростью v, нагоняет другое, ско- рость которого и, (u<_v\ находившееся вначале на расстоя- нии S, то время, через которое первое тело нагонит второе, равно ~ • (Мы этим соображением пользовались, решая задачу 2.) 18S Следовательно, путь парохода будет: ЛС=—-—, путь лодки — 1 о 4~ X ВС = . По условию ЛО = 3, DC=-^-x (путь лодки за 15 мин). Таким образом, 34~х 18S 184-х ’ 57
Путь СЕ равен За полчаса (от 11 ч 10 мин до 11 ч 40 мин) пароход с учетом 10-минутной стоянки в В прошел 6 км. Зна- чит, СВ4-ВЕ = 6, или 2СВ + СЕ = 6: 2Sx . 1 ~ Т8+7+~х = 6- Таким образом, имеем систему f3_|__Lx = J8S_ ' 4 х 18+х ’ * 2Sx . 1 ~ 1л8+т+-х=6- 3. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти х. Умножим первое уравнение на два и вычтем второе, получим 2Sx __ 36S ° 18 + х 18 + х ’ откуда S = 6. Заменяя S в любом уравнении, найдем х = 6 км/ч. Поскольку Л/) = 3, то от D до А лодка прошла за -у- ч, т. е. при- была в А в 11 ч 55 мин. 5. Два самолета, следующие по одной трассе из города А в город С с постоянными скоростями, пролетают над некоторым пунктом В. Известно, что второй самолет вылетел из города А на 14 мин позже первого, а в город С прилетел на 16 мин раньше его. При этом над пунктом В самолеты пролетели с интервалом не более 4 мин. Если бы второй самолет вылетел из города А через 10 мин после вылета первого, уменьшив свою скорость на 10%, а скорость первого самолета не изменилась, то над пунктом В са- молеты пролетели бы с интервалом не менее 2 мин, а в город С второй самолет прилетел бы на 10 мин раньше первого. Если бы скорость второго самолета увеличилась на 40 км/ч, а скорость первого самолета не изменилась, то второй самолет потратил бы на путь от А до В в 7/3 раз меньше времени, чем первый на весь путь от А до С. Определить скорость первого самолета. Несмотря на внешнюю громоздкость, эта задача вполне впи- сывается в нашу схему. Решение. 1. В качестве неизвестных возьмем скорости самолетов: х и у (км/ч); кроме того, обозначим через а и b ( в км) расстояния АВ и ВС. 2. Вторая фраза условия дает нам уравнение ц — а\и । 2q % у Третья фраза дает неравенство 58
Четвертая фраза условия дает нам два соотношения: а-\-Ь _а-\-Ь , оп х 0,9г/ “Г Пятая фраза условия дает уравнение а За -|- b 3 Увеличению скорости на 40 км/ч соответствует км/мин. Таким образом, получаем систему из трех уравнений и двух неравенств: а-\-Ь___а-\-Ь . др У "Г ’ £+±120, 0,91/ ’ = 3(а + 6) 7х а+b х а y+i I Я—Я—14| <^4, I X у I I —------101 >2 I х 0,9у 1и1 3. Решение системы начнем с уравнений. Вычитая второе уравнение из первого, получим 0=-^+10> « + = Ш jt/ Заменим в первом а-\-Ь на 90у, получим -^-==120, у=-~х. Таким образом, а + & = 120х. Подставим выражение для а-\-Ь и у через х в третье уравнение: —а—= J-W g = 240 -~+1-. 4 . 2 7 3*+ 3 Выразив все неизвестные через х, перейдем к неравенствам нашей системы. Первое неравенство преобразуется к виду I 240 2х-Н 180 2х+1 и I <4 I 7 х 7 х । ’ 1480% + 240 — 360% — 180 — 98хК28х, 122х + 601<28х. В последнем неравенстве под знаком абсолютной величины стоит положительное число; следовательно, будем иметь 22% + 59
+ 60^28%, х^Ю. Аналогично из второго неравенства получим, что х^Ю. (Сделайте это самостоятельно.) Таким образом, х = Ю км/мин. Ответ. Скорость первого самолета 600 км/ч. 17. Несколько нестандартных задач Несмотря на то что предложенная схема решения охватывает большинство задач, встречающихся в школьных задачниках и на конкурсных экзаменах, не так уж редки текстовые задачи, в большей или меньшей степени выходящие за рамки этой схемы,— задачи нестандартные. Так, например, в условии могут быть явно не сформулированы ограничения, определяемые физическими или геометрическими (или иными) свойствами рассматриваемого объекта. В частности, если в условии говорится о попарных рас- стояниях между тремя пунктами, то эти величины должны удов- летворять неравенству треугольника. Встречаются задачи с аль- тернативным условием, которые распадаются на несколько систем уравнений, причем решение каждой системы ищется на своей области ограничений; задачи с целочисленными неизвестными; задачи, в которых надо найти наибольшее или наименьшее зна- чение какой-либо величины. Все это, если так можно выразиться, типичные нестандартные виды текстовых задач. Кроме этого, к нестандартным задачам следует отнести и такие, в которых со- ставление системы уравнений (или ограничений) не требует осо- бого труда, но при ее решении приходится прибегать к не- стандартным приемам. Перейдем к примерам. 6. Из пункта А одновременно стартуют три бегуна и одно- временно финишируют в том же пункте, пробежав по маршруту, состоящему из прямолинейных отрезков АВ, ВС, СА, образующих треугольник АВС. На каждом из указанных отрезков скорости у бегунов постоянны и равны: у первого — 10 км/ч, 16 км/ч и 14 км/ч соответственно; у второго — 12 км/ч, 10 км/ч и 16 км/ч соответственно. Третий бегун в пунктах В и С оказывается не один и меняет скорость на маршруте один раз. Установить, является ли треугольник АВС остроугольным или тупоугольным. Решение. Обозначим стороны треугольника: АВ —а, ВС = Ь, СА = с. Из условия следует, что первый и последний участки — АВ и СА — третий бегун пробегает вместе с первым либо со вто- рым; причем, если маршрут АВ он бежит вместе с первым, то маршрут СА — вместе со вторым, и наоборот. А поскольку он меняет скорость один раз, то его скорости на участках АВ, ВС и СА соответственно могут быть равными: 1) 10, 10, 16; 3) 12, 12, 14; 2) 10, 16, 16; 4) 12, 14, 14. Первый вариант отпадает сразу, так как в этом случае третий бегун отстанет от второго. 60
По аналогичной причине отпадает второй вариант (третий бе- гун обгонит первого). Остаются два варианта. Соответственно имеем две системы (уравнения составляются на основании ус- ловия равенства времени, затрачиваемого на маршрут бегунами): Для каждой системы легко выразить а и с через Ь. Для первой системы a—^-b, с=^Ь, с — наибольшая сторона; причем / 28 \ 2 / 5 \2 c<Za + b и с2>а2 + &2, так как ( — } >( — } +1. Треугольник тупоугольный. Для второй системы с=^-Ь, с>а+Ь, ZO и т. е. этот случай невозможен. Ответ. Треугольник тупоугольный (тупым является угол АСВ). 7. Вася и Петя поделала между собой 39 орехов. Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшихся другому. Квадрат трети числа орехов, до- ставшихся Пете, меньше числа орехов, доставшихся Васе. Сколько орехов у каждого? Решение. Если мы обозначим через х и у количество орехов, доставшихся соответственно Васе и Пете, то без труда составим систему из одного уравнения и трех неравенств: * + у = 39, х<2у, < У <2%, У2 9 Сложность задачи в третьей части — в решении системы. При этом мы должны помнить, что х и у — целые положительные числа. Из уравнения найдем % —39 — у. Для у будем иметь сис- тему из трех неравенств: 39 — у<2у, < у<78 —2у, д“<39 —у. Из первых двух неравенств найдем у >13, у <26. Последнее неравенство перепишем в виде у2 + 9у —351<0. Можно, конеч- но, решить это неравенство. Но лучше поступить иначе. По- скольку у — целое положительное число, то при у =14 будем иметь 142 + 9-14 — 351 = — 29 < 0, а при у = 15 будет 152 + 9 • 15 — — 351=9>0, то у<^ 14. Таким образом, у= 14, х = 25. Ответ. 25 и 14 орехов. 61
8. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котло- вану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 ч раньше. Определить число земле- копов в каждой бригаде, если производительность у всех оди- накова. Решение. Неизвестные: х — количество землекопов первой бригады, у — второй бригады, t — время работы первой брига- ды. Производительность каждого землекопа можно считать равной единице. Из условия задачи следует Г = , xt = (x-\- 5) (/ — 2). Выражая / через х и у из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений 4х2 — 4ху + 20х — 25у = 0. При'этом х и у — натуральные числа. Выразим у через х: __ 4х2 + 20х _ 5 125 4х-Ь25 4 4(4х + 25) ’ Умножим последнее равенство на 4, получим Из того, что х и у — натуральные числа, следует, что 4х + 25 является делителем 125. А поскольку 4х + 25>25, то 4х + 25 = = 125; х = 25, у = 24. Ответ. В первой бригаде 25 землекопов, во второй —24. 9. Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость те- чения которой 5 км/ч, путь из А в D длиной 15 км за 1 ч. При этом, выходя из пункта А в 12 ч, он прибывает в пункты В и С, отстоящие от А на расстоянии И км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигал- ся из А в D без остановок с постоянной скоростью v (относитель- но воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписа- ния прибытия в пункты В, С, D не превысила бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью v в стоячей воде. Какой из пунктов — А или D — находится выше по течению? Решение. Обозначим через х время, за которое катер про- ходит 1 км при движении из А в D\ Х = —1— ИЛИ Х = —!— v 4-5 v — 5 в зависимости от того, выше А по течению или нет. Таким об- 62
Рис. 5 разом, имеем неравенство I 1'*~5-1 +1 -5-1 +| 15х-1| i-, где —5= или v=:H^L' X X X Рассмотрим графики трех функций (рис. 5): f/i=| Их—j-| +| 13х —1-| +Ц5Х-Ц, - 5* 1 „ — 5х 1 У2 1 —5х 2 ’ Уз 1+5х 2 " 63
График функции у\ есть ломаная линия, минимум у\ равен — 2 (достигается при х=—). у% имеет вертикальную асимптоту х = -^-и пересекается с у\, т. е. неравенство у\^уъ имеет решение, п ° 11^1 _ п Легко видеть, что у?>=—------—при всех х>0, так как 2 14- 5.v 2 г _ 5.V 1 _ Ьх +1 - 1 1 _ । 1 1 _ 1 1 1 ^3— 1 + 5v 2 “ 1 +5х 2 ~ 1 +5х 2 ~ 2 1 + 5х < 2 ’ Значит, уз<У\' Таким образом, задача имеет решение, если т. е. А выше по течению, чем D. Ответ. Пункт А выше по течению, чем пункт D. 10. Пункт А находится на берегу реки, ширина которой 400 м, скорость течения 3 км/ч. Пункт В расположен ниже по течению в 4 км от А (если В\ — проекция В на берег, на котором располо- жен А, то АВ\= 4 км), на расстоянии 2 км 680 м от противополож- ного берега (А и В — по разные стороны реки). Турист выехал из А на лодке, пересек реку, оставил на берегу лодку, дошел до В и вернулся тем же путем. На всех участках, по реке и по суше, он двигался прямолинейно. Скорость лодки в стоячей воде 5 км/ч, скорость передвижения туриста пешком 3,2 км/ч. За какое наи- меньшее время мог проделать свое путешествие турист? Решение. Пусть турист приплыл в точку С на противопо- ложном берегу. Причем CD=x, где D — пункт, противополож- ный А (рис. 6,a) (AD перпендикулярен берегам). Если время на прохождение участка АС равно t\, то на участке CD можно найти такую точку С\, что ЛС|=5/|, C\C = 3t\. Это означает, что вектор АВ — путь, реально пройденный лод- кой, мы представляем в виде суммы двух векторов: АС\—путь, пройденный лодкой, если бы не было течения, и С\С— путь лодки под воздействием одного течения. Рис. 6 64
Записав для треугольника AC\D теорему Пифагора, получим (5/1)2—(х —3/i)2=(0,4)2 или 16/2 + 6хЛ—х2 —0,16 = 0. (1) Аналогично, если /2 — время на пути от С до А, определив точку С2 ниже С так, что СС2 = 3/2, С2А = 5/2, получим для t2 уравнение 16/i —6х/2 — х2 —0,16 = 0. (2) Поскольку fi и t? — положительные корни соответственно уравнений (1) и (2), то t = t ( + /2 = д/25х2 + 2,56 есть время передвижения на лодке. Время движения по суше равно 2СВ _л/(2,68)24-(4-х)2 3,2 “ 1,6 Таким образом, время, затраченное на путешествие, будет: Т=4- V25x2 + 2,56 + 4 л/(2,68)2 + (4-х)2 = О о =4 ( д/*2+(0,32)2 + д/^68)2+(4-х)2). Рассмотрим два прямоугольных треугольника PNM. и KLP'. катеты одного х и 0,32, другого 4 — х и 2,68, расположенных, как показано на рисунке 6,6. Тогда PM = V(0,32)2 + x2, КР = Л/?2,68)2 + (4 —х)т. Длина ломаной КРМ будет минимальной, если точка Р лежит на отрезке КМ. Но КМ=д/42+(0,32 + 2,68)2 = 5. Таким образом, 5 1 минимальное время будет: Т0=~5 = 3— (ч). о о 18. Как можно обойтись без уравнений Вероятно, с этого пункта следовало бы начинать параграф «Текстовые задачи», поскольку в нем пойдет речь о задачах, для решения которых достаточно знаний и умений, которыми рас- полагает человек, окончивший начальную школу. Ранее подобные арифметические текстовые задачи были достаточно распростра- нены. Алгебраизация математического образования, неправиль- ное убеждение, что с помощью уравнений мы можем решить любую текстовую задачу, привели к почти полному исчезновению подобного вида задач из школьного математического курса. Между тем существует целый ряд задач, в том числе и встре- чающиеся на конкурсном экзамене, которые гораздо удобнее решать «арифметически», чем «алгебраически». Сталкиваясь с по- добного рода ситуацией, старшеклассник может просто расте- 65
ряться, поскольку он привык иметь дело с задачами, при ре- шении которых надо вводить неизвестные и составлять урав- нения. Для начала заметим, что задачу 1 можно решить арифмети- чески. В основе лежит следующее соображение. Если катер уда- ляется от плота или приближается к нему, то его скорость от- носительно плота равна скорости катера в стоячей воде, меняет- ся лишь направление этой скорости. Следовательно, катер уда- ляется от плота за то же время, что и приближается к нему, т. е. путь в 96 км от Л до В пройден за то же время, что и 72 км от В до встречи с плотом. Значит, скорости катера по течению и против относятся как 96:72 = 4:3. Время на путь от А до В и обратно равно 14 ч. Это время надо разделить на части пропорционально 3:4, чтобы узнать время туда и обратно. Имеем: от А до В катер шел 6 ч, обратно — 8 ч. Скорость по течению равна 96:6= 16 км/ч, против— 12 км/ч. Скорость течения 0,5 (16—12) =2 км/ч, ско- рость катера в стоячей воде 14 км/ч. 11. Имеется два слитка золота массой 300 г и 400 г с различ- ным процентным содержанием золота. Каждый слиток следует раз- делить на две части таким образом, чтобы из получившихся четырех кусков можно было изготовить два слитка массой 200 г и ‘500 г с равным процентным содержанием золота. На какие части следует разделить каждый слиток? Решение. Эту задачу, безусловно, можно решить, введя соответствующие неизвестные и составив уравнение или систему уравнений. Но лучше поступить следующим образом. Очевидно, что в новых слитках (200 г и 500 г) процентное содержание золота должно быть таким же, как и в 700-граммовом слитке, получившемся бы при сплавлении вместе исходных слитков. Сле- довательно, и отношение, в котором в каждый новый слиток вхо- дят части исходных, должно быть равно 3:4. Имеем обычную задачу: разделить заданную величину на части, пропорциональные данным числам. Таким образом, 200-граммовый слиток должен содержать (3/7)-200 = 600/7 г первого исходного слитка и (4/7)-200 = 800/7 г второго. Аналогично находим части, из которых должен состоять 500-граммовый слиток. Ответ. Слиток массой 300 г следует разделить на части 600/7 г и 1500/7 г, слиток массой 400 г — на части 800/7 г и 2000/7 г. Очевидно, метод решения этой задачи проходит при любом числе исходных и конечных слитков. 12. В порту для загрузки танкеров имеется три трубопрово- да. По первому из них закачивается в час 300 т нефти, по вто- рому — 400 т, по третьему — 500 т. Нужно загрузить два танкера. Если загрузку производить первыми двумя трубопроводами, под- ключив к одному из танкеров первый трубопровод, а к другому танкеру — второй трубопровод, то загрузка обоих танкеров при 66
наиболее быстром из двух возможных способов подключения займет 12 ч. При этом какой-то из танкеров, может быть, ока- жется заполненным раньше, и тогда подключенный к нему трубо- провод отключается и в дальнейшей загрузке не используется. Если бы вместимость меньшего по объему танкера была вдвое больше, чем на самом деле, и загрузка производилась бы вторым и третьим трубопроводами, то при быстрейшем способе подклю- чения загрузка заняла бы 14 ч. Определить, сколько тонн нефти вмещает каждый из танкеров. Решение. Очевидно, что более производительный трубо- провод следует подключать к танкеру с большей вместимостью. Поскольку один из двух танкеров был заполнен ровно за 12 ч, то либо меньший вмещает 12*300 = 3600 т нефти, либо больший — 12-400 = 4800 т. Первый случай невозможен, так как при удвое- нии вместимости меньшего танкера получим танкер, вмещающий 7200 т, для заполнения которого даже третьим трубопроводом требуется более 14 ч. Следовательно, больший танкер вмещает 4800 т и заполняет- ся вторым и тем более третьим трубопроводами быстрее, чем за 14 ч. Значит, меньший танкер вмещает 0,5 (14-500) = 3500 т. Ответ. 3500 т и 4800 т. Как видим, решение этой задачи, взятой из конкурсного эк- замена, короче, чем условие. 19. Задачи 1. Рабочий четвертого разряда зарабатывает на 25% больше, чем рабочий третьего разряда. На сколько процентов меньше, чем рабочий четвертого разряда, зарабатывает рабочий третьего разряда? 2. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах? 3. На овощной базе имелся крыжовник, влажность которого составляла 99%. За время хранения его влажность уменьшилась на 1% (стала 98%). На сколько процентов уменьшилась масса хранившегося на базе крыжовника? 4. На первом поле 65% площади засеяно овсом. На втором поле под овсом занято 45% площади. Известно, что на первом и втором полях вместе под овсом занято 53% общей площади. Какую часть всей засеянной площади составляет первое поле? 5. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько про- центов увеличивали, а затем уменьшали это число? 6. Кооператив на изготовляемые им изделия первоначально назначил цену выше государственной на определенное число про- центов. Через некоторое время кооператив уценил изделия на то же число процентов, в результате цена изделий стала на 1% 67
меньше государственной. На какое число процентов кооператив- ная цена первоначально превышала государственную? 7. Брат и сестра нашли вместе 36 белых грибов. Известно, что количество процентов, выражающее, на сколько брат собрал больше, чем сестра, в два раза больше, чем количество процен- тов, выражающее, на сколько сестра собрала меньше, чем брат. Сколько грибов нашел брат и сколько нашла сестра? 8. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это число. Решите задачу, если задано одно лишь первое условие. 9. Масса 52 брикетов пломбира на 10 кг больше, чем 50 ста- канчиков фруктового мороженого; масса 4 брикетов пломбира на 0,5 кг меньше, чем 25 стаканчиков. Какова масса брикета пломбира? 10. Букинистический магазин продал книгу со скидкой в 10% по сравнению с первоначально назначенной ценой и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин? 11. В двух мешках вместе находится 140 кг муки. Если из пер- вого мешка переложить во второй 12,5% муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках будет одинаковое количество муки. Сколько килограммов муки в каждом мешке? 12. В 8 ч вечера были зажжены две свечи одинаковой длины, но разного диаметра. Одна сгорает за 5 ч, другая — за 4 ч. Через некоторое время свечи были потушены, причем оказалось, что от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее, чем от второй. Когда были потушены свечи? 13. Гонорар за книгу был распределен между тремя соавто- рами в отношении 8:6:5. Если бы этот же гонорар был распре- делен в отношении 7:5:4, то один бы из соавторов получил бы на 25 р. больше, чем он получил на самом деле. Чему равна сумма гонорара? 14. 36 г цинка в воде весят 31 г, а 23 г свинца в воде весят 21 г. Сплав цинка и свинца массой 292 г в воде весит 261 г. Сколь- ко цинка и сколько свинца содержится в сплаве? 15. Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова может съесть такую же копну за 3 суток, а овца — за 6 суток. За ка- кое время съедят эту копну лошадь, корова и овца вместе? 16. Известно, что толщина льдины везде одинакова. Площадь ее поверхности равна 1,5 м2. На льдине находится человек, масса которого 75 кг. Над поверхностью воды находится слой льда, толщина которого составляет 0,05 толщины всей льдины. Определите толщину льдины, зная, что плотность льда равна 920 кг/м3. 17. Машина выезжает из Л в В и, доехав до В, тут же возвра- щается обратно. Через 1 ч после выезда машина была на рас- 68
стоянии 80 км от В, а еще через 3 ч — в 80 км от А. Известно, что на весь путь туда и обратно машина затратила менее 9 ч. Найдите расстояние от А до В. 18. Из городов А и В навстречу друг другу выехали два авто- мобиля и встретились через 8 ч. Если бы скорость автомобиля, выехавшего из Л, увеличить на 14%, а скорость автомобиля, выехавшего из В, увеличить на 15%, то встреча произошла бы через 7 ч. У какого автомобиля скорость больше и во сколько раз? 19. Из города А со скоростью 48 км/ч выехал мотоцикл. Через 50 мин в том же направлении со скоростью 63 км/ч вые- хал автомобиль. Через сколько времени после выезда автомобиля расстояние между ним и мотоциклом окажется равным 42 км? 20. Две частицы движутся между точками А и В туда и об- ратно. Первая выходит из Л и движется со скоростью 4 м/с. Вторая выходит из В одновременно с первой. Известно, что вторично обе частицы оказались на одинаковом расстоянии от Л через 4 с после того, как это произошло в первый раз. Чему равно расстояние АВ, если: а) скорость второй частицы равна 7 м/с; б) скорость второй частицы равна 9 м/с? 21. Из города Л в город В со скоростью 24 км/ч выехал вело- сипедист. Через 20 мин в том же направлении выехал мотоцик- лист со скоростью 30 км/ч. Мотоциклист доехал до В, повернул обратно и встретил велосипедиста через 1 ч 10 мин после того, как он обогнал велосипедиста. Чему равно расстояние от Л до В? 22. Турист прошел 105 км за несколько дней, преодолевая еже- дневно одинаковое расстояние. Если бы на это путешествие он употребил бы на два дня больше, то мог в день проходить на 6 км меньше. Сколько дней продолжалось путешествие? 23. Из Л и В одновременно выехали два автомобиля. Вначале скорость второго автомобиля была на 3,8 км/ч больше скорости первого автомобиля. Второй автомобиль проехал весь путь с пос- тоянной скоростью, а первый, проехав половину пути, увеличил скорость на 8 км/ч и прибыл в В одновременно со вторым. С какой скоростью проехал весь путь второй автомобиль? 24. Сотрудники лаборатории подписались на б литературно- художественных журналов. Общая стоимость подписки состави- ла 72 р. Если бы число сотрудников лаборатории было бы на 1 че- ловека больше, то каждый заплатил бы на 12 к. меньше. Сколько сотрудников работает в лаборатории? 25. От пристани А вниз по течению отправились катер и плот. Катер доплыл до В, повернул обратно и встретил плот через 4 ч после выхода из А. Сколько времени катер шел от А до В? 26. От пристани А вниз по течению отправились катер и плот. Катер доплыл до В, повернул обратно, встретил плот через 2 ч после выхода из А, затем доплыл до А, вновь повернул обратно и нагнал плот еще через 2 ч после того, как он его встретил. За какое время проплывет плот расстояние от А до В? 27. На складе имелось несколько одинаковых ящиков, в каж- 69
дом из которых было равное количество одинаковых заготовок. Заготовки используются следующим образом: сначала со склада в цех берут один ящик, заготовки из которого последовательно поступают в производство, а пустой ящик возвращается обратно на склад и берется следующий ящик и т. д. После того как было израсходовано ровно 10/13 всех заготовок, оказалось, что на складе имеется ровно 7 пустых ящиков. Сколько ящиков с заго- товками было первоначально на складе? 28. Сумма некоторого двузначного числа и числа, написан- ного теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 55, а произ- ведение этих же чисел равно 736. Найдите эти числа. Как из- менится ответ на вопрос задачи: а) если известна лишь сумма указанных чисел (55); б) если известно лишь произведение (736) ? 29. В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л каждый, со- держится всего 30 л кислоты. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 л смеси. Сколько кислоты было первоначально в первом сосуде, если во втором сосуде после переливаний оказалось на 2 л меньше кислоты, чем в первом? 30. У продавца в лотке мороженое двух видов: по 28 к. (пор- ция массой 200 г) и по 13 к. (порция массой 100 г), а стоимость находящегося в лотке мороженого равна 28 р. 99 к., общая масса 21,1 кг. Сколько в лотке порций мороженого? 31. Профсоюзный комитет выделил на покупку 7 путевок в дом отдыха и 20 путевок на турбазу 812 руб. Однако оказалось, что путевки в дом отдыха стоят на 1 р. дешевле, а на турбазу на 4 р. дешевле, чем планировалось. Поэтому удалось купить до- полнительно еще 1 путевку в дом отдыха и 2 путевки на турбазу, причем из выделенных денег осталось еще 4 р. Сколько стоит путевка в дом отдыха и сколько на турбазу? 32. Две машинистки вместе напечатали 65 страниц, причем первая работала на один час больше второй. Однако вторая ма- шинистка печатает в час на две страницы больше первой, и поэ- тому она напечатала на 5 страниц больше. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка? 33. Бассейн может наполняться водой с помощью двух на- сосов разной производительности. Если половину бассейна на- полнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжать наполнение с помощью второго насоса, то весь бас- сейн наполнится за 2 ч 30 мин. При одновременной работе обоих насосов бассейн наполняется за 1 ч 12 мин. Какую часть бас- сейна наполняет за 20 мин работы насос меньшей производи- тельности? 34. Расстояние между пунктами Л и В 100 км. Из А в В одно- временно выезжают два автомобиля. Первый проезжает за 1 ч на 10 км больше другого и прибывает в В на 50 мин раньше его. Определите скорость каждого автомобиля. 70
35. Из пункта А выехал велосипедист, а через четверть часа вслед за ним выехал второй, который догнал первого велосипе- диста на расстоянии 10 км от А. Когда второй велосипедист про- езжал отметку 50 км от пункта А, первый отставал от него на 20 км. Найдите скорости велосипедистов. 36. Автомобиль проезжает расстояние от Л до В за 1 ч. Авто- мобиль выехал из А, и одновременно из В вышел пешеход. Ав- томобиль встретил пешехода, довез его до Л и затем прибыл в В, затратив на весь путь 2 ч 40 мин. За какое время может прой- ти путь от В до А пешеход? 37. За 5 ч мотоциклист проезжает на 259 км больше, чем велосипедист за 4 ч. За 10 ч велосипедист проезжает на 56 км больше, чем мотоциклист за 2 ч. Определите скорость велоси- педиста. 38. Два пешехода вышли одновременно из пункта А. Первый из них встретился с туристом, идущим в пункт А, через 20 мин после выхода из А, а второй встретил туриста на 5 мин позже, чем первый. Через 10 мин после второй встречи турист пришел в А. Скорости пешеходов и туриста были постоянными. Найдите от- ношение скоростей пешеходов. 39. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоян- ными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в противо- положных направлениях автомобили встречаются через каждые 8 мин. За какое время проезжает всю кольцевую трассу каждый автомобиль? 40. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два поез- да выходят одновременно: один из А в В, другой из В в А. Поезд, идущий из А в В, пройдя 20 км, стоит полчаса, затем отправля- ется дальше и через 4 мин встречает поезд, идущий из В в А. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Определите скорости поездов. 41. Три автомобиля едут по шоссе. Первый и третий удаляются в одном направлении от пункта А, второй едет навстречу им. В полдень расстояния первого, второго и третьего автомобилей до А были равны соответственно 60 км, 270 км и 210 км, а через час второй автомобиль оказался между первым и третьим и при этом расстояние от него до А стало средним геометрическим расстояний первого и третьего автомобилей до того же пункта. Чему равны скорости автомобилей, если известно, что у первого и третьего автомобилей они одинаковы, а у второго — в полтора раза больше? 42. Из пункта А в пункт В движется с постоянной скоростью автомобиль. Навстречу автомобилю из пункта В в пункт А дви- жется с постоянной скоростью мотоцикл, который выехал из пунк- та В одновременно с отправлением автомобиля из пункта А. Ско- рость автомобиля на 20 км/ч больше скорости мотоцикла. Через 1 ч 30 мин автомобиль и мотоцикл встречаются. Найдите рас- 71
стояние между пунктами А и В, если это расстояние автомобиль проезжает на 1 ч 15 мин быстрее мотоцикла. 43. Человек в лодке начал грести против течения быстрой реки. Однако через 4 мин лодка оказалась на 80 м ниже по течению. Развернув ее, он перестал грести, и, пока отдыхал, лодку снесло на 40 м. Затем он принялся грести по течению, причем лодка дви- галась относительно воды с той же скоростью, как и в первые 4 мин, и прошла относительно берега еще 40 м. В целом, после разворота лодки прошло 100 с. Какова скорость течения? 44. Расстояние между городами А и В равно 188 км. Между ними на расстоянии 31 км от А расположен пункт С. Из А в В вы- ехал велосипедист. Одновременно из В в Л выехал гоночный авто- мобиль. Через час после выезда автомобиль был в 5 раз ближе к С, чем велосипедист. Еще через ч велосипедист был в 5 раз □ ближе к С, чем автомобиль. Чему равны скорости велосипедиста и автомобиля? 45. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, од- новременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 ч раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из 4 в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода. 46. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 100 км, выехал мотоциклист, и одновременно с ним из В в А выехал ве- лосипедист. Через некоторое время они встретились в пункте С и, продолжив свой путь, прибыли в пункты назначения. На следую- щий день мотоциклист вернулся в Л, а велосипедист — в В. При 3 гГ этом мотоциклист двигался в — раза быстрее, чем накануне, и поэтому на весь путь из В в А затратил на 10 мин меньше, чем на путь от 4 до С в первый день. Скорость велосипедиста во вто- рой день была на 10 км/ч выше, чем в первый день, и на весь путь из 4 в В он затратил в 5/2 раза больше времени, чем на путь от В до С в первый день. С какой скоростью двигался мотоциклист в первый день на пути из 4 в В? 47. Расстояние между пунктами А и В равно 56,2 км. Из пункта А в В вышел человек. Через 2 ч навстречу ему из пункта В вы- шел другой человек. Через 3 ч после выхода второго человека расстояние между ними было 24,3 км, а еще через 3 ч они встретились. Определите скорости путников, считая их посто- янными. 48. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми рав- но 40 км, одновременно отправились два туриста: первый — пешком, второй — на велосипеде. Когда второй турист обогнал первого на 5 км, первый сел на попутную машину, вследствие чего скорость его движения возросла в 4 раза. Через 2 ч после отправления из пункта А первый турист догнал второго и прибыл 72
в пункт В раньше его. Найдите скорость туриста, ехавшего на велосипеде, если первый турист шел пешком со скоростью 6 км/ч. 49. Из пункта А по одному шоссе выезжают одновременно два автомобиля, а через час вслед за ними выезжает третий. Еще через час расстояние между третьим и первым автомоби- лями уменьшилось в полтора раза, а между третьим и вторым — в два раза. Во сколько раз скорость первого автомобиля больше скорости второго? (Известно, что третий автомобиль не обогнал первых двух.) 50. Пешеход и мотоциклист отправляются из одной точки по шоссе навстречу велосипедисту, все трое движутся с постоянной скоростью. В тот момент, когда велосипедист встретил мото- циклиста, пешеход отставал от мотоциклиста на 3 км. В тот момент, когда пешеход встретил велосипедиста, мотоциклист обгонял пешехода на 6 км. Какое расстояние было между пеше- ходом и велосипедистом в момент отправления пешехода? 51. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 дней. Если бы сначала первый сделал половину работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 дней. За какое время мог выполнить эту работу каждый в отдель- ности? 52. Бассейн наполняется водой через две трубы за 6 ч. Одна первая труба заполняет его на 5 ч скорее, чем одна вторая. За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может запол- нить бассейн? 53. Теплоход от 4 до В по течению реки идет 3 дня. Путе- шественник из А в В спустился на плоту, а обратно добрался на теплоходе. Скорость плота строго меньше половины скорости теплохода в стоячей воде. Вся дорога заняла у путешественника 18 дней. Сколько времени занял бы тот же путь, если бы скорость течения была в полтора раза больше? 54. Трактор выехал от станции к деревне на 30 мин раньше грузовика. Когда грузовик, обогнав трактор, прибыл в деревню, трактору осталось до деревни еще 3 км. Найдите скорости трак- тора и грузовика, если известно, что скорость грузовика на 20 км/ч больше скорости трактора, а расстояние от станции до деревни равно 12 км. 55. В 9 ч из некоторого пункта выехал мотоциклист. Спустя 40 мин вдогонку по той же дороге выехал автомобилист. Через некоторое время из-за неисправности в моторе автомобиль оста- новился. На устранение неисправности ушло 10 мин, после чего автомобилист возобновил погоню и в 11 ч отставал от мотоцик- листа на 40 км. Если бы поломки не было, а мотоциклист ехал бы со скоростью на 18 км/ч меньше, чем была у него на самом деле, то автомобилист нагнал бы мотоциклиста в 10 ч 40 мин. Найдите скорости мотоциклиста и автомобилиста. 56. От пристани А к пристани В вниз по течению реки отправи- лись одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения 73
реки равна 2 км/ч. Последнюю 1/10 часть пути от А до В моторная лодка плыла с выключенным мотором. На той части пути, где моторная лодка шла с работающим мотором, ее скорость была на 8 км/ч больше скорости байдарки. К пристани В моторная лодка и байдарка прибыли одновременно. Найдите собственную скорость (скорость в неподвижной воде) байдарки. 57. Из пункта А в пункт В отправился автобус, а из пункта В в пункт А — поезд. Если поезд отправится на 3 ч позже авто- буса, то они встретятся на середине пути. А если поезд отправит- ся на 1 ч 12 мин позже автобуса, то до их встречи автобус успеет пройти 2/5 всего расстояния от А до В. Определите, через какое время они встретятся, если отправятся одновременно. 58. Из пункта А, расположенного на кольцевой дороге, выез- жают одновременно в одном и том же направлении велосипе- дист и мотоциклист. Пока велосипедист прошел один круг, мото- циклист прошел три полных круга и приехал в пункт В, где он обогнал велосипедиста в первый раз. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста? 59. Три велосипедиста выехали одновременно: первый и вто- рой — из пункта А, третий — навстречу им из пункта В. Через 1,5 ч первый велосипедист был на равном расстоянии от двух других, а через 2 ч третий велосипедист был на равном расстоянии от первого и второго. Через сколько часов второй велосипедист находился на равном расстоянии от первого и третьего? 60. Из пункта А в пункт В выехал автомобилист и одновре- менно из пункта В в пункт А выехал велосипедист. После встре- чи они продолжали свой путь. Автомобилист, доехав до пункта В, тотчас повернул назад и догнал велосипедиста через 2 ч после момента первой встречи. Сколько времени после первой встречи ехал велосипедист до пункта А, если известно, что к моменту вто- рой встречи он проехал 2/5 всего пути от В до А? 61. По шоссе навстречу друг другу едут мотоциклист и ве- лосипедист. Через 2 мин после встречи мотоциклист поворачи- вает и едет вслед за велосипедистом и догоняет его. Если бы 14 после встречи велосипедист ехал в — раза быстрее, а мотоцик- лист повернул бы через 1 мин после встречи, то, для того чтобы догнать велосипедиста, ему потребовалось бы то же самое время (с момента поворота), что и в первом случае. Во сколько раз скорость мотоцикла больше скорости велосипедиста? 62. Из пункта А в пункт В вниз по течению одновременно отправились лодка и плот. В тот же самый момент из пункта В вверх по течению отплыл катер. Собственная скорость лодки (т. е. скорость в стоячей воде) 5 км/ч. Расстояние АВ равно 60 км. Катер встретил лодку и еще через 2 ч плот. Найдите собственную скорость катера. 63. От пристани А к пристани В, расположенной ниже по течению реки, отправился катер. Одновременно с ним из В в А 74
вышла моторная лодка. Дойдя до В, катер (не задерживаясь в В) повернул обратно и прибыл в А одновременно с моторной лодкой. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость (скорость в неподвижной воде) катера и моторной лодки, если известно, что у катера она была на 2 км/ч больше, чем у моторной лодки. 64. Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани А в 9 ч, пароход проплыл вниз по течению реки до пристани В. Простояв у пристани В 1 ч, пароход отправился в обратный рейс и прибыл в А в 17 ч того же дня. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость (ско- рость в неподвижной воде) парохода. 65. Из пунктов А и В выехали одновременно навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист. Они встретились на расстоянии 4 км от В, а в момент прибытия мотоциклиста в В велосипе- дист находился на расстоянии 15 км от А. Определите расстояние от А до В. 66. Дорога проходит через пункты А и В. Велосипедист выехал из А по направлению к В. Одновременно с ним из пункта В вышли с равными скоростями два пешехода: первый — в пункт Л, вто- рой — в противоположном направлении. Велосипедист встретил первого пешехода через 0,3 ч после выезда из Д, а второго догнал спустя 1 ч после момента проезда через В. Определите время движения велосипедиста от А до В. 67. Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпич- ную стену, причем первый каменщик проработал 6 ч, второй — 4 ч и третий — 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, 9 второй — 2 ч и третий — 5 ч, то было бы выполнено лишь — всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали все вместе одно и то же время? 68. Экскаватор роет котлован. После того как было вынуто 20 м3 грунта, производительность экскаватора снизилась на 5 м^/ч. Найдите первоначальную производительность экскаватора, если через 8 ч после работы было вынуто 50 м3 грунта. 69. Две артели с разным числом мастеров одинаковой квали- фикации начали изготавливать шапки, причем каждый мастер делал по 2 шапки за рабочий день. Сперва работала только первая артель, выпустившая 32 шапки. Затем ее сменила вторая, выпустившая еще 48 шапок. Вся эта работа заняла 4 дня. После этого артели стали работать вместе и за следующие 6 дней изготовили еще 240 шапок. Сколько мастеров в каждой артели? 70. Два экскаватора разных марок (один экскаватор марки Л, а другой марки В), работая одновременно, выкапывают котлован вместимостью 20 000 м3 за 10 суток. Если бы работал только экскаватор марки В, то он выкопал бы этот котлован на 8-~- суток скорее, чем тот же котлован выкопал бы один экскаватор марки 75
А. Сколько кубических метров в сутки выкапывает каждый из экскаваторов? 71. Два экскаватора разной конструкции должны проложить две траншеи одинакового поперечного сечения длиной в 960 м и 180 м. Вся работа продолжалась 22 дня, в течение которых первый экскаватор прокладывал большую траншею. Второй же экскаватор начал работать на 6 дней позже первого, отрыл мень- шую траншею, 3 дня ремонтировался и затем помогал первому. Если бы не нужно было тратить времени на ремонт, то работа была бы кончена за 21 день. Сколько метров траншеи может от- рыть в день каждый экскаватор? 72. Три бригады вспахали два поля общей площадью 120 га. Первое поле было вспахано за 3 дня, причем все три бригады работали вместе. Второе поле было вспахано за 6 дней первой и второй бригадами. Если бы все три бригады проработали на вто- ром поле 1 день, то оставшуюся часть второго поля первая бригада могла бы вспахать за 8 дней. Сколько гектаров в день вспахивала вторая бригада? 73. Два трактора вспахивают поле, разделенное на две равные части. Оба трактора начали работу одновременно, и каждый вспахивает свою половину. Через 5 ч после того момента, когда они совместно вспахали половину поля, выяснилось, что первому трактору осталось вспахать часть своего участка, а второму — своего участка. Сколько времени понадобилось бы второ- му трактору, чтобы вспахать все поле? 74. Колхоз арендовал два экскаватора. Аренда первого экска- ватора стоит 60 р. в день, производительность его в мягком грун- те 250 м3 в день, в твердом грунте— 150 м3 в день. Аренда второго экскаватора стоит 50 р. в день, его производительность в мягком грунте 180 м3 в день, в твердом— 100 м3 в день. Пер- вый экскаватор работал несколько полных дней и вырыл 720 м3 грунта. Второй за несколько полных дней вырыл 330 м3 грунта. Сколько дней работал каждый экскаватор, если колхоз заплатил за аренду не более 300 р.? 75. Из сосуда с кислотой отлили 1 л кислоты и добавили 1 л воды, затем отлили 1 л смеси и добавили 1 л воды и т. д. (и раз), после чего отношение объема кислоты к объему воды в смеси оказалось равным К. Сколько было кислоты в сосуде? 76. Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого слитка 2 кг, масса второго — 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с медью, в ко- тором цинка было 45%, и получили сплав цинка с медью, в котором цинка стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке было бы равно процентному содержанию цинка во втором, а процентное содержание цинка во втором такое же, как в первом, то, сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, 76
в котором содержится 60% цинка, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55%. Найдите процентное содержание цинка в первом и втором слитках. 77. Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг первого сплава и 1 кг второго сплава и переплавить их, то по- лучится сплав с содержанием 65% меди. Известно, что если взять два куска — кусок № 1 и кусок № 2 первого и второго сплавов соответственно, имеющих суммарную массу 7 кг,— и переплавить их, то получится сплав с содержанием 60% меди. Какова масса меди, содержащаяся в сплаве, получающемся при совместной переплавке куска первого сплава, равного по массе куску № 2, и куска второго сплава, равного по массе куску № 1? 78. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слит- ке отношение золота к меди равно 1:2, а во втором 2:3. Если 1 5 сплавить — первого слитка с — второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, 2 а если — первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было зо- лота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке? 79. Имеется три сплава. Первый сплав содержит 60% алюми- ния, 15% меди и 25% магния, второй — 30% меди и 70% маг- ния, третий — 45% алюминия и 55% меди. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 20% меди. Какое наимень- шее и какое наибольшее процентное содержание алюминия может быть в этом новом сплаве? 80. Одну и ту же площадку можно покрыть плиткой трех цветов тремя способами. При первом способе покрытия потре- буется по 100 штук плиток белого, красного и синего цветов. При втором способе покрытия потребуется 150 белых, 150 красных и 50 синих плиток, а при третьем способе — 200 белых, 50 крас- ных и 60 синих. Во сколько раз площадь синей плитки больше площади красной плитки? 81. Пассажирский поезд проходит мимо столба за 6 с. За ка- кое время пройдут мимо друг друга скорый и пассажирский поезда, если скорость скорого поезда в — раза больше ско- 4 рости пассажирского, а длина пассажирского в — раза больше длины скорого? 82. Из двух портов А и В навстречу друг другу вышли два парохода. Скорость каждого постоянна. Первый пароход прибыл в порт В через 16 ч после встречи, а второй — в порт А через 25 ч после встречи. За какое время проходит путь от А до В каждый пароход? 83. Теплоход проходит путь от 4 до В по течению за 3 ч, 77
а возвращается обратно за 4 ч. За какое время преодоле- вают путь от Я до В плоты? 84. Поезд, следующий из пункта А в пункт В, делает по пути некоторое количество остановок. На первой остановке в поезд са- дятся 5 пассажиров, на каждой последующей — на 10 пассажи- ров больше, чем на предыдущей. На каждой остановке 50 пас- сажиров выходят из поезда. Возможен ли случай, когда в пункт В прибудет менее 366 пассажиров, если из пункта А их выезжает 462? 85. Найдите нечетное трехзначное число по следующим усло- виям: сумма квадратов числа сотен и единиц не превосходит удво- енного числа сотен; квадрат числа десятков превосходит квадрат суммы числа сотен и единиц более чем на 60. 86. На заводском складе хранилось более 100 одинаковых коробок с заготовками. Вследствие потребления количество заго- товок через некоторое время уменьшилось. Когда в каждой ко- робке оставалось лишь по 7 заготовок, на склад привезли еще 14 полных коробок, после чего общее количество заготовок ока- залось на 3 меньше, чем до потребления. Сколько коробок с заготовками хранилось на складе первоначально? 87. В детский сад привезли мороженое четырех видов. Каждый -ребенок должен был получить только одну порцию мороженого. Ребята сами выбирали мороженое. Оказалось, что число выбран- ных порций каждого вида равно цене в копейках одной порции этого же вида. Число выбранных порций второго вида больше числа выбранных порций первого вида на столько, на сколько число выбранных порций четвертого вида больше числа выбранных порций третьего вида. Порций первого и третьего видов вместе было выбрано на 4 меньше, чем порций второго и четвертого видов. За выбранное детьми мороженое уплатили 4 р. 20 к. Сколько ребят в детском саду? 88. В лотерее разыгрывались фотоаппараты, часы, шариковые авторучки и транзисторные приемники на общую сумму 240 р. Сумма цен одного транзисторного приемника и одних часов на 4 р. больше суммы цен одного фотоаппарата и одной авторучки, а сумма цен одних часов и одной авторучки на 24 р. меньше сум- мы цен одного фотоаппарата и одного приемника. Авторучка стоит целое число рублей, но не больше 6 р. Число выигран- ных фотоаппаратов равно цене одного фотоаппарата в рублях, поделенной на десять; число выигранных часов равно числу вы- игранных приемников и равно числу выигранных фотоаппаратов. Количество выигранных авторучек в 3 раза больше числа выиг- ранных фотоаппаратов. Определите, сколько было выиграно фото- аппаратов, часов, авторучек и приемников. 89. В киоске были проданы одинаковые комплекты, состоящие только из синих и красных карандашей, причем в каждом комплек- те число синих карандашей более чем на 3 превосходило число красных. Если бы в каждом комплекте число синих карандашей увеличили в 3 раза, а красных — в 2 раза, то число синих 78
карандашей в одном комплекте превосходило бы число красных в нем не более чем на 16, а общее число всех проданных каранда- шей равнялось бы 81. Определите, сколько было продано комплек- тов и сколько в каждом комплекте было синих и красных каранда- шей? 90. К бассейну объемом в 300 м3 подведены три трубы: через первую и вторую вода поступает, через третью — выливается. Если все три трубы включены одновременно, то объем воды в бассейне увеличивается ежеминутно на 20 м3. Бассейн начали на- полнять водой, включив первую и третью трубы. Более чем через 12 мин после начала работы в бассейне оказалось 100 м3 воды. В этот момент первую и третью трубы закрыли и включили вто- рую трубу, завершившую наполнение бассейна. Всего на напол- нение бассейна было затрачено 30 мин. Определите, за какое время наполнился бы бассейн, если бы его с начала до конца наполняла одна вторая труба? 91. К двум бассейнам подведены две трубы равного диаметра (к каждому бассейну своя труба). Через первую трубу налили в первый бассейн определенный объем воды и сразу после этого во второй бассейн через вторую трубу налили такой же объем во- ды, причем на все это ушло 16 ч. Если бы через первую трубу вода текла столько времени, сколько через вторую, а через вто- рую — столько времени, сколько через первую, то через первую трубу налили бы воды на 320 м3 меньше, чем через вторую. Если бы через первую проходило бы на 10 м3 меньше, а через вторую — на 10 м3 больше воды, то, чтобы налить в бассейн (сначала в первый, а потом во второй) первоначальные объемы воды, ушло бы 20 ч. Сколько времени лилась вода через каждую из труб? 92. Три насоса одновременно начали выкачивать воду, каждый из своего резервуара. Когда третий насос выкачал треть объема своего резервуара, второму оставалось качать столько, сколько выкачал первый; когда третьему оставалось выкачать треть объе- ма, первому оставалось столько, сколько выкачал второй. Первый насос опорожняет второй резервуар за то же время, за какое вто- рой насос опорожняет первый резервуар. Какой из насосов рабо- тал дольше других и во сколько раз? 93. В сообщении о лыжном кроссе сказано, что процент числа членов группы, принявших участие в кроссе, заключен в пределах от 96,8% до 97,2%. Определите минимально возможное число членов такой группы. 94. Группа студентов принимала участие в лыжном кроссе. Число студентов, уложившихся в норматив, оказалось в интерва- ле от 94,2% до 94,4%. Какое наименьшее возможное число студентов участвовало в кроссе? 95. Алик, Боря и Вася покупали блокноты и трехкопеечные ка- рандаши. Алик купил 4 карандаша и 2 блокнота, Боря — 6 ка- рандашей и блокнот, Вася — 3 карандаша и блокнот. Оказалось, 79
что суммы, которые уплатили Алик, Боря и Вася, в некотором по- рядке образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блок- нот? 96. Учебник алгебры, два учебника геометрии и два учебника информатики стоят вместе 2 р. 10 к., а три учебника алгебры, учебник геометрии и учебник информатики стоят вместе 2 р. 30 к. Сколько стоят учебник геометрии и учебник информатики вместе? 97. С трех полей в течение трех дней скашивали траву. С первого поля в первый день скосили всю траву за 16 ч. Во второй день со второго поля скосили всю траву за 11 ч. В третий день с третьего поля скосили всю траву за 5 ч, причем 4 ч косили вруч- ную, а 1 ч работала только сенокосилка. За второй и третий дни вместе скосили в 4 раза больше травы, чем в первый. Сколько всего часов работала сенокосилка, если за 1 ч она скаши- вает в 5 раз больше травы, чем при косьбе вручную? Предпола- гается, что косилка не работала тогда, когда косили вручную, и не было перерыва в работе. 98. Двум бригадам, общей численностью 18 человек, было по- ручено организовать в течение трех суток непрерывное кругло- суточное дежурство по одному человеку. Первые двое суток дежу- рили члены первой бригады, распределив между собой это время поровну. Известно, что во второй бригаде 3 девушки, а осталь- ные юноши, причем девушки дежурили по 1 ч, а все юноши распре- делили между собой остаток дежурства поровну. При подсчете оказалось, что сумма продолжительностей дежурств каждого юно- ши второй бригады и любого члена первой бригады меньше 9 ч. Сколько человек в каждой бригаде? 99. Группу людей попытались построить в колонну, по 8 чело- век в ряд, но 1 ряд оказался неполным. Тогда ту же группу лю- дей перестроили по 7 человек в ряд; все ряды оказались пол- ными, а число рядов оказалось на 2 больше. Если бы тех же лю- дей попытались построить по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше, причем 1 ряд был бы неполным. Сколько людей было в группе? 100. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми 105 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипе- диста и, встретившись через 1 ч 45 мин после начала движе- ния, без остановки продолжали путь, каждый в своем направле- нии. Через 3 мин после их встречи первый велосипедист, ехавший со скоростью 40 км/ч, повстречал третьего велосипедиста, ехавше- го ему навстречу по той же дороге. Третий велосипедист после встречи с первым велосипедистом без остановки продолжал ехать в прежнем направлении и догнал второго велосипедиста в пункте С, в котором встретились бы первый и второй велосипедисты, если бы скорость первого была на 20 км/ч меньше, а второго на 2 км/ч больше первоначальной. С какой скоростью ехал третий велоси- педист? 101. Пункты А и В находятся на двух шоссе, пересекаю- 80
щихся друг с другом под углом 120°. Если идти из А в В сначала по первому шоссе до перекрестка С, а потом по второму, то потре- буется 5 ч. Туристы идут из А в В напрямик, без дороги, и проделывают путь за 6,5 ч. Если туристы пойдут без дороги, напрямик, от А до середины D отрезка шоссе СВ, то они затра- тят на путь AD более 5 ч. Сколько времени нужно, чтобы дойти от А по шоссе до перекрестка С, если скорость ходь- бы без дороги в 1,5 раза меньше, чем скорость ходьбы по шоссе? (Шоссе считать прямым.) 102. Пункты А и В соединены двумя дорогами, одна из кото- рых на 3 км короче другой. Из В в А по более короткой дороге вышел пешеход, и одновременно из А по той же доро- ге выехал велосипедист. Пешеход и велосипедист одновременно прибыли в А через 2 ч после начала движения. За это время пе- шеход прошел один раз путь от В до Л, а велосипедист проехал 2 раза в одном направлении по кольцевому маршруту, образован- ному двумя названными дорогами. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что вторая встреча произошла на расстоянии 3,5 км от пункта В. 103. Из пункта А кольцевого шоссе одновременно в одном направлении выехал автомобиль и мотоцикл, каждый с постоянной скоростью. Автомобиль без остановок дважды проехал по всему шоссе в одном направлении. В тот момент, когда автомобиль догнал мотоциклиста, мотоциклист повернул обратно, увеличил скорость на 16 км/ч и через 22,5 мин после разворота одновремен- но с автомобилем прибыл в пункт А. Найдите весь путь мото- цикла, если этот путь на 5,25 км короче всего шоссе. 104. Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий из А в В, проходит путь от А до В за 24 ч. Весь путь от А до В и обратно моторная лодка проходит не менее чем за 10 ч. Если бы собственная скорость (т. е> скорость в стоячей воде) моторной лодки увеличилась на 40%, то тот же путь (т. е. путь от А до В и обратно) занял бы у лодки не более 7 ч. Найди- те время, за которое моторная лодка проходит путь из А в В в слу- чае, когда ее собственная скорость не увеличена. 105. Три гонщика (А, потом В и затем С) стартуют с интерва- лом в 1 мин из одной точки кольцевого шоссе и двигаются в одном направлении с постоянными скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг более 2 мин. Сделав 3 круга, гонщик А в первый раз догоняет В у точки старта, а еще через 3 мин он вторично обгоняет С. Гонщик В впервые догоняет С также у точки старта, закончив 4 круга. Сколько минут тратит на круг гонщик А? 106. В реку впадает приток. Пароход отходит от пристани А на притоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее — по реке вверх против течения до пристани В, затратив 18 ч на весь путь от А до В. Затем пароход возвращается обратно. Время обратного движения от В до А по тому же пути равно 15 ч. 81
Собственная скорость парохода, т. е. скорость парохода в стоячей воде, равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Какое расстояние пароход проходит от пристани А до пристани В и какова скорость притока? 107. Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км от Л, с постоянной скоростью v км/ч выходит автобус. Через 30 мин вслед за ним из А со скоростью 40 км/ч выезжа- ет автомобиль, который, догнав в пути автобус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью. Определите все те зна- чения v, при которых автомобиль возвращается в А позже, чем автобус приходит в В. 108. От пристани А к пристани В против течения реки ото- шел катер, собственная скорость которого (скорость в стоячей во- де) в 7 раз больше скорости течения реки. Одновременно навстречу ему от пристани В, расстояние от которой до А по реке равно 20 км, отошла лодка. На каком расстоянии от В произошла встреча катера и лодки, если известно, что через полчаса после на- чала движения лодке оставалось 4 км до места встречи и что катер * затратил на путь до встречи с лодкой на 20 мин боль- ше, чем на путь от места встречи до пункта В? 109. Две автоколонны, состоящие из одинакового числа ма- шин, перевозят груз. В каждой из автоколонн машины имеют оди- наковую грузоподъемность и во время рейсов загружаются пол- ностью. Грузоподъемность машин в разных колоннах различна, и за 1 рейс первая автоколонна перевозит на 40 т груза больше, чем вторая автоколонна. Если уменьшить число машин в первой автоколонне на 2, а во второй автоколонне — на 10, то первая автоколонна перевезет 90 т груза за 1 рейс, а вторая автоко- лонна перевезет 90 т груза за 3 рейса. Какова грузоподъемность машин второй автоколонны? НО. Два катера отплывают в условленное время от пристаней А и В, расположенных на реке, встречаются, обмениваются почтой и возвращаются обратно. Если они отплывут от своих пристаней одновременно, то катер, выходящий из Л, затратит на путь в оба конца 3 ч, а второй катер — 1,5 ч. Скорости катеров относитель- но воды одинаковы. На сколько позже должен отплыть катер из А после отплытия катера из В, чтобы они находились в пути одно и то же время? 111. Пункты Л, В и С соединены прямолинейными дорогами. К отрезку дороги АВ примыкает квадратное поле со стороной, равной ЛВ; к отрезку дороги ВС примыкает квадратное поле со стороной, равной ВС, а к отрезку дороги АС примыкает прямо- угольный участок леса с длиной, равной ЛС, а шириной 4 км. Площадь леса на 20 км2 больше суммы площадей квадратных полей. Найдите площадь леса. 112. Резервуар снабжается водой по пяти трубам. Первая труба наполняет резервуар за 40 мин; вторая, третья и четвер- тая, работая одновременно,— за 10 мин; вторая, третья и пятая — 82
за 20 мин и, наконец, четвертая и пятая — за 30 мин. За сколь- ко времени наполнят резервуар все пять труб при одновремен- ной работе? 113. Две трубы, работая одновременно, подают в бак 100 л жидкости в минуту. Имеются два раствора кислоты — сильный и слабый. Если смешать по 10 л каждого раствора и 20 л воды, то получится 40 л 20%-ного раствора. Известно также, что если в течение часа подавать в первоначально пустой бак по первой трубе слабый раствор, а по второй — сильный раствор, то по- лучится 30%-ный раствор кислоты. Какой концентрации получится кислота, если подавать в первоначально пустой бак по первой трубе сильный раствор, а по второй — слабый? 114. Автомобиль выезжает из пункта А и едет с постоян- ной скоростью v км/ч до пункта В, отстоящего от пункта А на расстоянии 24,5 км. В пункте В автомобиль переходит на равно- замедленное движение, причем за каждый час его скорость уменьшается на 54 км/ч, и движется так до полной остановки. Затем автомобиль сразу же поворачивает обратно и возвращается в А с постоянной скоростью v км/ч. Какова должна быть скорость v, чтобы автомобиль за наименьшее время проехал путь от А до полной остановки и обратно до пункта А указанным выше спосо- бом? 115. Лаборатории необходимо заказать некоторое количество одинаковых сферических колб общей вместимостью 100 л. Стоимость одной колбы складывается из стоимости труда мастера, пропорциональной квадрату площади поверхности колбы, и стои- мости материала, пропорциональной площади ее поверхности. При этом колба объемом в 1 л обходится в 1 р. 25 к., и в этом случае стоимость труда составляет 20% стоимости колбы (толщину стенок колбы считать пренебрежительно малой). Хва- тит ли на выполнение работы 100 р.? 116. Имеется два картофельных поля. Сначала первое поле было убрано бригадой А, а затем второе поле было убрано вместе бригадами А и В. После того как была убрана всей площади, оказалось, что время, необходимое на окончание убор- ки, в -Ц- раза меньше времени, за которое могла бы убрать оба поля одна бригада А. Известно, кроме того, что если бы второе поле убирала только бригада В, то ей для этого потре- бовалось бы время, вдвое большее времени, за которое могла бы убрать оба поля одна бригада А. Во сколько раз производи- тельность бригады А больше производительности бригады В? 117. Самолет совершает посадку и движется по земле в течение некоторого времени равномерно со скоростью v. Затем летчик включает тормоз, и движение самолета становится равнозамед- ленным, причем в каждую секунду скорость уменьшается на 2 м/с. Путь от места приземления до места полной остановки равен 83
4 км. Отношение времени, за которое самолет проходит пер- вые 400 м, к времени, за которое самолет проходит весь путь по земле, равно 4:65. Определите скорость v. 118. В поле работают тракторные бригады, содержащие по одинаковому количеству гусеничных и по одинаковому количеству колесных тракторов, причем в каждой бригаде число всех трак- торов меньше 9. Если в каждой бригаде число колесных тракто- ров увеличить-в 3 раза, а гусеничных в 2 раза, то общее число колесных тракторов во всех бригадах будет на 27 больше общего числа гусеничных тракторов, а в каждой бригаде число тракторов превысит 20. Определите количество бригад, работающих в поле, и число тракторов каждого вида в бригаде. 119. Автобус отправляется из пункта А в пункт В и после шестиминутной стоянки в В возвращается в А, двигаясь в обоих направлениях с одной и той же постоянной скоростью. На пути из А в В в 8 ч 50 мин автобус догоняет велосипедиста, кото- рый движется из Л в В с постоянной скоростью 15 км/ч. В 9 ч 02 мин велосипедист находится на расстоянии 21 км от А. Автобус, возвращаясь из В в А после остановки в В, встречается с велосипедистом в 9 ч 14 мин и затем прибывает в А в то же время, когда велосипедист приезжает в В. Определите время отправления автобуса из А. 120. Мотоциклист отправляется из пункта А в пункт В и после десятиминутной стоянки в В возвращается в А, двигаясь в обоих направлениях с одной и той же скоростью 48 км/ч. В момент отправления мотоциклиста из А навстречу ему из В выходит турист, идущий с постоянной скоростью. Турист встречается с мотоциклистом в 17 ч 15 мин. В 17 ч 25 мин турист находится на расстоянии 23 км от А. Направляясь из В в А после стоянки в В, мотоциклист догоняет туриста в 17 ч 35 мин. Определите время прибытия туриста в пункт С, находящийся на полпути меж- ду А и В (АС —СВ). 121. Пароход плывет от пристани А к пристани В и после десятиминутной стоянки в В возвращается в А, двигаясь в обо- их направлениях с одной и той же постоянной скоростью. На пути из А в В в 8 ч пароход догоняет лодку, которая движется из А и В с постоянной скоростью 3 км/ч. В 8 ч 10 мин лодка на- ходится на расстоянии 1,5 км от А. Пароход, направляясь из В в А после стоянки в В, встречается в 8 ч 20 мин с лодкой и затем прибывает в А в то же время, когда лодка приходит в В. Определите время прибытия лодки в В. 122. 24 школьника разбились на две группы. Первая из них пошла в цирк, а вторая — в кино. При этом оказалось, что на цирк и кино было затрачено одинаковое количество денег. Если бы билет в цирк стоил на 20 к. дешевле, а билет в кино — на 20 к. дороже, то, истратив на билеты в цирк и на билеты в ки- но те же суммы денег, в цирк и в кино смогли бы пойти вместе 15 школьников. Если бы при прежней стоимости билетов вторая 84
группа школьников пошла в цирк, а первая группа — в кино, то на билеты в цирк ушло бы на 19 р. 20 к. больше, чем на билеты в кино. Сколько стоили билеты в цирк и в кино? 123. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, который сначала двигался равноускоренно с ускорением 4 км/ч2, а после то- го, как его скорость возросла от 0 до и, продолжал двигаться равномерно со скоростью v. Расстояние между пунктами А и В равно 32 км. На первую половину пути велосипедист затра- тил в полтора раза больше времени, чем на вторую. Определи- те скорость V. 124. На станциях А и В железной дороги стоят два поезда, которые должны ехать в одном направлении, причем поезд, отпра- вляющийся со станции 4, должен будет пройти станцию В. Тро- гаясь с места, каждый из поездов движется равноускоренно со своим ускорением, а после того, как его скорость достигает 60 км/ч, продолжает движение равномерно с этой скоростью. Известно, что ускорение поезда А равно 100 км/ч2 и поезд А переходит на равномерное движение на 12 мин позднее поезда В. Расстояние между поездами после того, как оба поезда перешли на равно- мерное движение, составляет 6 км. Минимальное расстояние между поездами составляло 2 км. Определите, какой из двух поез- дов отправился раньше и на сколько. 125. Города А, В, С и D, расположенные так, что четырехуголь- ник ABCD выпуклый, соединены прямолинейными дорогами: АВ = 6 км, ВС=14 км, СО = 5 км, 40 = 15 км, 4С=15 км. Из одного города одновременно вышли три туриста, идущие без остановки с постоянными скоростями. Маршруты всех туристов различны, причем каждый из них состоит из трех дорог и про- ходит через все города. Первый и второй туристы перед прохож- дением третьей дороги своих маршрутов встретились в одном го- роде, а третий закончил маршрут на час раньше туриста, закон- чившего маршрут последним. Найдите скорости туристов, если скорость третьего больше скорости второго и на км/ч меньше скорости первого, причем скорости всех туристов заключены в интервале от 5 км/ч до 8 км/ч. 126. Автобусный маршрут состоит из 8 остановок (первая начальная, восьмая конечная). На начальной станции в автобус село несколько пассажиров, а на каждой следующей, исключая конечную, в автобус садилось 10 человек. На второй остановке со- шел 1 человек, а затем на каждой остановке сходило на 4 че- ловека больше, чем на предыдущей. На конечную станцию приехал 21 пассажир. Какое наибольшее число пассажиров ехало в авто- бусе во время рейса? 127. Две группы людей покупали лотерейные билеты. Каждый человек из первой группы купил столько билетов, сколько было людей в его группе. Во второй группе было меньше человек, и каждый из членов второй группы купил в 2 раза больше билетов, 85
чем число людей во второй группе. Если бы каждый человек пер- вой группы купил столько билетов, сколько купил один человек из второй группы, и, наоборот, каждый член второй группы купил бы столько билетов, сколько покупал член первой группы, то общее число купленных билетов уменьшилось бы на 3. Сколько было куп- лено билетов? 128. Три бегуна стартуют одновременно из трех точек круго- вой беговой дорожки, являющихся вершинами правильного треу- гольника, и бегут в одном направлении. Первый бегун обгоняет второго через 4 мин после старта, а третьего — через 5 мин после старта. Известно, что третий бегун бежит быстрее второго. Через сколько минут после старта третий бегун нагонит второго? 129. Автобус на пути из А в В делает 5 остановок по 10 мин через каждые 16 км (расстояние от А до В равно 96 км), ско- рость автобуса равна 65 км/ч. Одновременно с автобусом из В навстречу ему выезжает велосипедист со скоростью 23 км/ч. На каком расстоянии от А автобус встретился с велосипедистом? 130. Расстояние между городами А и В равно 220 км. Из А в В со скоростью 42 км/ч идет автобус, который делает через равные промежутки времени остановки на 5 мин. Всего он делает 4 остановки. Одновременно из В в А выходит другой автобус, скорость которого 69 км/ч, делающий на пути из В в А 3 оста- новки по 10 мин через равные интервалы. На каком расстоянии от А произошла встреча автобусов? 131. Города А, В, С и D расположены на одной прямой, причем АВ:АС:АВ = 5:7:40. Из D в А через равные интервалы с постоянными скоростями идут автобусы. Пешеход на пути из А в В встретил 3 автобуса. На другой день, идя из А в С, пешеход встретил 2 автобуса. Сколько автобусов встретил пешеход на тре- тий день, идя из А в В, если известно, что до встречи с первым и после встречи с последним он в сумме прошел более пути? 132. Пункт В находится на расстоянии 4,5 км от пункта А выше по течению реки. Скорость течения реки 3 км/ч. Двигаясь в стоячей воде, гребец идет со скоростью 5 км/ч. Гребец вышел из А, доплыл до В и вернулся обратно в А. Через равные промежутки вре- мени гребец отдыхал в течение 10 мин, а всего таких перерывов оказалось 8 (в это время лодка плыла по течению). Через сколь- ко времени гребец вернулся обратно в А? 133. Пункты А и В расположены на берегу реки, текущей от В к А. Скорость течения 3 км/ч. Гребец вышел из А, доплыл до В и вернулся обратно в А. Через каждые 30 мин он в течение 10 мин отдыхал (в это время лодка плыла по течению). Вся поездка заня- ла 2 ч 55 мин. Скорость лодки в неподвижной воде равна 5 км/ч. Найдите расстояние от А до В. 134. Турист плывет из А в В и обратно. Весь путь у него занял 4 ч 30 мин. Через каждые 40 мин он 10 мин отдыхал (в это время лодка плыла по течению). Известно, что плот спускается по 86
течению от В до Л за 1 ч. За сколько времени проплыл бы турист расстояние от А до В, если бы не было течения? 135. Из Л в В выехал товарный поезд, а навстречу ему одно- временно из В вышли пассажирский и скорый поезда. Товарный поезд, скорость которого меньше скорости двух других, встретил скорый поезд в 252 км от Л, а пассажирский — в 308 км от Л. В тот момент, когда скорый прибыл в Л, пассажирский находился в 198 км от Л. Найдите расстояние от Л до В. 136. Велосипедист едет по кольцевой трассе, состоящей из ров- ных участков, спусков и подъемов. При этом можно считать, что все спуски и подъемы одинаково наклонены к линии горизонта. Скорость велосипедиста на равных участках равна 35 км/ч, при спуске — 42 км/ ч, а на подъемах — 30 км/ч. На весь путь он затратил 4 ч. Чему равна длина трассы? 137. Расстояние между городами Л и В равно 700 км. Из Л в В со скоростью 40 км/ч выезжает автомобиль, по истечении каждого часа он увеличивает скорость на 5 км/ч. Одновременно из В в Л выезжает другой автомобиль, начальная скорость которого 90 км/ч, и через каждые полчаса она уменьшается на 5 км/ч. Через какое время после выезда автомобили встретятся? 138. Человек, идущий вдоль трамвайной линии между соседни- ми остановками, заметил, что через каждые 7 мин его обгонял трамвай, а через 5 мин он встречал трамвай. Считая, что трам- ваи идут с равными интервалами в обоих направлениях, найдите интервал, с которым пройдут мимо неподвижного наблюдателя два трамвая, следующие в одном направлении. 139. Через 40 мин после выезда из пункта Л автомобиль увеличил свою скорость на 20% и прибыл в В. При этом оказа- лось, что на вторую половину пути он затратил на 6 мин меньше времени, чем на первую половину пути. За какое время автомобиль проехал путь от Л до В? 140. Пункт Л расположен на шоссе. На некотором расстоянии от Л шоссе под прямым углом пересекает проселочная дорога. Мо- тоциклист едет из Л по шоссе со скоростью 40 км/ч, затем свора- чивает на проселочную дорогу, по которой он едет со скоростью 30 км/ч. Одновременно с ним из Л выезжает другой мотоциклист, который движется напрямик в некоторую точку на проселочной дороге, где догоняет первого мотоциклиста. Какова наименьшая возможная скорость второго мотоциклиста? 141. Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной, выехав из арьергарда колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обратно. Колонна за это время прошла путь в 12 км. Какой путь проехал связной? 142. Три велосипедиста стартуют одновременно по шоссе в од- ном направлении. Скорость первого равна 24 км/ч, скорость вто- рого— 25 км/ч, и в момент старта он находится на 2 км сза- ди первого; третий велосипедист в момент старта отстает от второго на 3 км, его скорость равна 27 км/ч. Через, какое время пос- 87
ле старта расстояние между велосипедистом, едущим первым, и велосипедистом, едущим последним, впервые окажется равным 400 м? 143. Работа началась между 9 и 10 часами, а закончилась между 15 и 16 часами того же дня. Определите продолжитель- ность работы, если в момент начала и в момент окончания рабо- ты минутная и часовая стрелки часов были перпендикулярны. 144. В сосуде находится определенное количество смеси воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию кислоты на 34% (было р%, а стало р — 34%), в сосуд надо долить 3 л воды, а чтобы умень- шить ее на 17%, надо долить 1 л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде? 145. Имеется три слитка: первый слиток — сплав меди с нике- лем, второй — никеля с цинком, третий — цинка с медью. Если сплавить первый кусок со вторым, то процент меди в получившем- ся слитке будет в 2 раза меньше, чем он был в первом слитке. Если сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в получившемся слитке будет в 3 раза меньше, чем он был во втором слитке. Какой процент цинка будет содержать слиток, получающийся при сплаве всех трех слитков, если во втором слитке было 6% цинка, а в третьем — И %? 146. Имеется два различных ковшовых экскаватора. Первый экскаватор за 3 приема может вынуть столько же грунта, сколь- ко второй за 5 приемов. Первый экскаватор может 4 раза взять грунт за то же время, за которое второй экскаватор может это сделать 7 раз. Два экскаватора вырыли фундамент дома за 7 дней, работая вместе по 6 ч ежедневно. За какое время может вырыть фундамент такого же дома один экскаватор второго типа? 147. 6 коров за 3 дня съедают траву на участке 0,2 га, 8 ко- ров за 4 дня съедают траву на участке 0,3 га. Сколько дней смо- гут пастись 12 коров на участке площадью 0,6 га? (Прирост травы на участке пропорционален его площади и времени.) 148. Автомобиль выехал из А в В со скоростью 63 км/ч. Через некоторое время после выезда его скорость уменьшилась на 9 км/ч. За первые 3 ч он проехал на 55 км меньше, чем за последние 4 ч, а на весь путь затратил 5 ч. Найдите расстояние от А до В. 149. На базе имеется несколько автомашин равной грузоподъ- емности. Для перевозки груза каждая автомашина сделала одно и то же число рейсов, а затем 7 машин сделали еще по 12 рей- сов каждая. Если бы каждая машина сделала бы на 6 рейсов больше, то для перевозки в 2 раза меньшего груза потребо- валось бы на 7 машин меньше. Сколько машин было на базе? 150. Один рабочий может изготовить партию деталей за 12 ч. Работу начал один рабочий, через час к нему присоединился еще один, еще через час — третий и т. д., пока работа не была выполнена. Сколько времени проработал первый рабочий? (Произ- водительность труда всех рабочих одинакова.) 88
151. Бригада рабочих одинаковой квалификации должна была изготовить партию деталей. Сначала к работе приступил один рабочий, через час к нему присоединился второй, еще через час — третий и т. д., до тех пор, пока к работе не приступила вся бригада. Если бы с самого начала работали все члены бригады, то работа была бы выполнена на 2 ч быстрее. Сколько рабочих в бригаде? 152. Несколько насосов одинаковой производительности нача- ли наполнять бассейн. Насосы включались один за другим с равными интервалами. К моменту включения последнего насоса оказалась заполненной бассейна. Какая часть бассейна была бы о заполнена за половину времени, прошедшего с начала работы пер- вого насоса до заполнения всего бассейна? 153. Человек, спускаясь по двигающемуся эскалатору, насчи- тал 48 ступеней, а поднимаясь по двигающемуся эскалатору,— 33 ступени. Скорость подъема человека относительно эскалатора в 2 раза меньше скорости спуска. Скорость эскалатора при спуске и подъеме одна и та же. Сколько ступеней насчитает человек, спускаясь по неподвижному эскалатору? 154. Автомобиль, направляясь из А в В, по дороге задержался на некоторое время. Увеличив скорость, он прибыл в В вовремя. Если бы такая задержка произошла на 1 км дальше от А, то, увеличив скорость на ту же величину, он прибыл бы в В на 12 с позже. Если бы эта остановка произошла на 20 мин раньше, то, увеличив скорость на ту же величину, он прибыл бы в В на 4 мин раньше. Найдите первоначальную скорость автомобиля. 155. Расстояние между городами А и В равно 280 км. Через некоторое время после выезда автомобиля из А его скорость уменьшилась, и он прибыл в В с опозданием на 17 мин 30 с. При этом оказалось, что половину времени он ехал с одной скоростью, а половину — с меньшей. Если бы изменение скорости произошло на половине пути, то опоздание равнялось бы 18 мин 45 с. Най- дите начальную скорость автомобиля. 156. Имеется три слитка золота массой 2 кг, 3 кг и 5 кг с различным процентным содержанием золота. Каждый слиток раз- делен на 3 куска и из 9 получившихся кусков получили три слитка массой 2 кг, 3 кг и 5 кг, но уже с равным процентным содержанием золота. На какие части следует разделить каждый слиток, чтобы гарантировать равное процентное содержание золо- та в получившихся слитках независимо от его содержания в исходных слитках? 157. У 8 школьников имеется 7 р. 19 к. Известно, что у любых двух из них различные суммы денег, причем у одного из двух в целое число раз больше, чем у другого. Сколько денег у каждого школьника? 158. Три школьника делят между собой орехи. Сначала первый дал каждому из двух других по одной четверти имевшихся у него 89
(у первого) орехов и еще пол-ореха. Затем второй дал каждому из двух других по одной четвертой части образовавшихся у него (у второго) орехов и еще пол-ореха. Затем это сделал третий. В результате у каждого оказалось 30 орехов. Сколько орехов было у каждого школьника первоначально? 159. Температуру можно измерять по шкале Цельсия, Реомюра и Фаренгейта. Известно, что 0 градусов по Цельсию соответствует 0 градусов по Реомюру и 32 градусам по Фаренгейту, а 100 граду- сов по Цельсию — 80 градусам по Реомюру и 212 градусам по Фа- ренгейту. Сколько градусов по Реомюру будет, если показания термометров, показывающих температуру по шкалам Цельсия и Фаренгейта, совпадают? 160. Имеется два сосуда. В одном содержится 3 л 100%-ной серной кислоты, а в другом — 2 л воды. Из первого сосуда во второй перелили один стакан кислоты, а затем из второго в первый — один стакан смеси. Эту операцию повторили еще два ра- за. В результате во втором сосуде образовалась 42%-ная серная кислота. Сколько серной кислоты (в %) содержится теперь в пер- вом сосуде? 161. Имеется два куска металла массой 1 кг и 2 кг. Из этих кусков сделали два других: первый массой 0,5 кг, содержащий 40% меди, а второй массой 2,5 кг, содержащий 88% меди. Како- во процентное содержание меди в исходных кусках? 162. Расстояние между городами А и В равно 34 км. Три ту- риста вышли одновременно из А. Скорости их передвижения пеш- ком равны 4 км/ч, 5 км/ч и 6 км/ч. У них есть один велоси- пед, на котором каждый из них едет со скоростью 20 км/ч. Один из них поехал на велосипеде, а двое пошли пешком. Проехав не- которое расстояние, первый оставил велосипед, а дальше пошел пешком. Турист, первым дошедший до велосипеда, поехал на нем и через некоторое время оставил велосипед на шоссе. И на- конец, последний, дойдя до велосипеда, приехал на нем в В. Все трое прибыли в В одновременно. Сколько времени заняло путе- шествие? 163. Расстояние между городами А и В равно 30 км. Четыре путешественника одновременно отправляются из Л в В. Скорость их передвижения пешком равна 5 км/ч. У них имеется мотоцикл, который, кроме водителя, может везти одного человека. Скорость мотоцикла 50 км/ч. Путешественники хотят, пользуясь мотоцик- лом, прибыть в В за наименьшее время. Сколько времени займет путешествие? (Мотоцикл нельзя оставлять на шоссе.) 164. Обработка детали требует двух операций (в любом поряд- ке). Рабочий четвертого разряда выполняет их соответственно за 5 мин и 7 мин, а рабочий пятого — за 3 мин и 4 мин. За какое наименьшее время один рабочий четвертого и один пятого разряда смогут обработать 25 деталей? 165. Автобаза выделила автобусы для перевозки детей в два пионерских лагеря. Часть этих автобусов перевезла детей в один 90
пионерский лагерь, а другая часть, в которой было на 4 автобуса больше,— во второй. В первом пионерском лагере было 195 пио- неров, а во втором — 255. Известно, что для любых двух автобу- сов, везших детей в один пионерский лагерь, количество пере- везенных детей отличалось не более чем на 1, а наибольшая раз- ница в количестве перевезенных детей в двух автобусах для разных лагерей равна 5. Сколько было автобусов? 166. Двое часов начали бить одновременно. Удары первых часов следуют друг за другом через 2 с, а вторых — через 3 с. Слившиеся удары воспринимаются за один. В котором часу это происходило, если всего можно было насчитать 18 ударов? 167. Сколько времени в сутки на электронном табло вокзаль- ных часов светится цифра 2 (хотя бы одна)? 168. В кузнечном цехе установлены три паровых молота. Удары каждого из них следуют один за другим с интервалами соот- ветственно в 1, 1,5; 2,5 секунды. Все три молота начинают работу одновременно. Сколько ударов сделает каждый молот, если всего можно было насчитать 111 ударов (слившиеся удары восприни- маются за один)? 169. Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, для то- го чтобы вырыть всю канаву, затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву, и, наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результа- те канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы с самого начала работали все трое рабочих одновременно? 170. Из пункта А в пункт В против течения реки отправляется пароход. Одновременно из В в А отправляется лодка и, пройдя расстояния от В до Л, встречает пароход. В пункте В пароход мгновенно поворачивает обратно, обгоняет лодку и прибывает в А в момент, когда лодка находится на расстоянии 20 км от А. Если бы скорость лодки относительно воды была в 3 раза больше, то первая встреча произошла бы на середине пути между А и В. Определите расстояние между пунктами А и В. 171. Моторная лодка отправилась вниз по течению реки из пункта А в пункт В. Когда она прошла пути, кончилось горючее, и оставшийся путь пришлось идти на веслах. Весь путь из Л в В занял 1 ч 50 мин. Если бы горючего хватило лишь на пути и оставшийся путь надо было идти на веслах, то весь путь занял бы 3,5 ч. За какое время лодка проходит путь от В до А на веслах, если путь из А в В и обратно с вклю- ченным мотором занимает 2 ч 5 мин? 172. Русло реки разветвляется на два потока с разными ско- 91
ростями течения. На развилке расположен пункт А. Лодка на путь по первому потоку из пункта А в пункт В затрачивает на 21 мин меньше, чем на путь по второму потоку из пункта А в пункт С. Известно, что расстояние от Л до В равно расстоянию от А до С. На обратный путь из В в Л лодка затрачивает на 1 ч 10 мин больше, чем на путь из С в Л. Если бы скорость лодки в стоячей воде была в 2 раза больше, то на путь из В в Л она затратила бы на 12 мин больше, чем на путь из Св Л. За какое время лодка проплывет от Л до В в стоячей воде? 173. На берегу реки расположены два пункта Л и В, а на полпути между ними в реку впадает приток, в устье которого находится пункт С. Лодка на путь из В в Л затрачивает 3,5 ч, а на обратный путь — 1 ч 25 мин. Путь из В в С и затем вверх по притоку на такое же расстояние до пункта D она прохо- дит за 4 ч. За какое время лодка проплывет из D в В, если этот путь в стоячей воде занял бы у нее 2 ч? (Скорость течения реки после впадения притока уменьшается.) 174. Из пункта А по шоссе в одном направлении одновременно выехали два автомобиля, а спустя некоторое время из того же пункта вслед за ними выехал третий автомобиль. Через час после своего старта третий автомобиль находился на равном расстоя- нии от первого и второго, а еще через полтора часа — в 8 раз ближе к первому автомобилю, чем ко второму. Определите, на сколько времени позже двух других выехал третий автомобиль, ес- ли он догнал первый автомобиль через 3 ч после старта первых двух автомобилей. 175. Два пешехода вышли одновременно: первый — из Л в В, второй — из В в Л. В момент их встречи из В в А вышел третий пешеход. Когда он прошел пути от В до Л, первому пешеходу оставалось идти вдвое меньше того, что прошел второй. В пункт А второй и третий пешеходы прибыли одновременно. Определите от- ношение скоростей первого и второго пешеходов. 176. Два пешехода одновременно отправились от станции к поселку по одной дороге. Первый из них первую половину пути про- шел со скоростью в 2 раза больше, чем вторую половину пути. Второй первую половину времени нахождения в пути шел со ско- ростью в 2 раза большей, чем вторую половину времени, и пришел в поселок на 2 мин позже первого. Сколько минут каждый из пешеходов был в пути, если известно, что первый обогнал второго, пройдя всего пути? 177. Расстояние между пунктами А и В, расположенными на берегу реки, равно 25 км. Из А, в В отправились одновремен- но катер и лодка. Катер безостановочно курсирует между А и В. Через некоторое время из В в А отправилась вторая лодка, прибывшая в А одновременно с десятым выходом оттуда катера. При движении от А до В в девятый раз катер встретил вторую 92
лодку, пройдя 3 км, а первую догнал, пройдя 24 км от Л. Опре- делите расстояние, пройденное лодками до их встречи. 178. Катер по реке и автобус по дороге, идущей вдоль реки, отправляются одновременно из пункта А в пункт В и совершают безостановочное движение между А и В. Первая встреча их про- изошла, когда автобус прошел -- всего расстояния от Л до В, а вторая встреча — когда автобус после первого захода в В проехал всего расстояния от В до А. Первый раз в пункт В автобус прибыл на 16 мин позже катера. Через сколько часов после начала движения автобус и катер первый раз окажутся одно- временно в пункте Л? 179. Вдоль дороги последовательно расположены пункты Л, В, С. Четыре пешехода выходят одновременно: первый и второй — из Л в С, третий — из В в С, четвертый — из С в Л. Второй пешеход обогнал третьего в том же месте дороги, где встретились первый и четвертый пешеходы; первый пешеход обогнал третьего в том же месте, где встретились второй и четвертый пешеходы. Третий пешеход шел в п раз медленнее четвертого, первый и второй шли с разными скоростями. Определите отношение рас- стояния от Л до В к расстоянию от В до С. 180. Пункты Л и В расположены на берегу реки. Из Л в В одновременно отправились катер и лодка. Катер курсирует без- остановочно между Л и В. Через некоторое время из Л в В выходит вторая лодка и приходит в В одновременно с десятым прибытием туда катера. При движении от В до Л девятый раз катер встретил вторую лодку, пройдя -J-- расстояния от В до Л, а первую лод- ку — пройдя 4- расстояния от В до Л. Определите, какую часть О расстояния между Л и В прошли лодки до того момента, когда они поравнялись. 181. Из пунктов Л и В навстречу друг другу вышли одновре- менно два поезда. Каждый из них двигался сначала равноуско- ренно (начальные скорости поездов равны нулю, ускорения раз- личны), а затем, достигнув некоторой скорости, — равномерно. От- о 5 ношение скоростей равномерного движения поездов равно —. В некоторый момент времени скорости поездов оказались равными, а один из них прошел к этому времени расстояние в 1-|“ раза больше, чем другой. В пункты В и Л поезда прибыли одно- временно. Какую часть пути прошел каждый из поездов к тому моменту, когда их скорости оказались равными? 182. Вдоль реки расположены пункты Л, В, С (В между А и С). Катер прошел от Л до С за 7 ч. На каждом из участков АВ и ВС его собственная скорость (скорость относительно воды) была по- 93
стоянна, причем на участке ВС в 1 раза меньше, чем на участке АВ. Обратный путь от С до Я катер прошел за 8 ч, и на всем пути его собственная скорость была в 1-|- раза больше, чем при движении из Л в В. Если бы на обратном пути собственная ско- рость катера была такой же, как и при движении из Л в В, то участок от В до Л он прошел бы за 6 ч. Сколько времени катер шел от В до С? 183. Пункт N находится на берегу реки, ширина которой -|-км, а скорость течения 1 км/ч. На 4 км ниже пункта N по течению на другом берегу реки расположен пункт М. Из пункта М выходит рыбак и идет вдоль берега по направлению к N со скоростью 4 км/ч. Одновременно из W отплывает на лодке перевозчик, пере- секает реку и, дождавшись рыбака, переправляет его в пункт /V. Туда и обратно лодка двигалась по прямой. Скорость лодки в стоячей воде равна 3 км/ч. Найдите наименьшее возможное время от отплытия до возвращения лодки. 184. На одной стороне реки на самом ее берегу расположен лагерь туристов. На другой стороне реки на 1 км ниже лагеря по течению и в 2 км от берега находится пункт М. Из лагеря на лодке отплывает турист, пересекает реку и, оставив лодку на берегу, идет к пункту М. Прибыв в А4, турист сразу поворачивает обратно и по тому же маршруту возвращается в лагерь. Лодка по реке и турист по суше двигаются прямолинейно. Ширина реки 0,5 км, скорость течения 3~-км/ч, скорость лодки в стоячей воде 4 1 при движении туда и обратно равна 6— км/ч, скорость туриста на суше 4 км/ч. Найдите наименьшее возможное время, за которое турист, отправившись из лагеря, посетит пункт М и вернется обратно. 185. Из города А в город В вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через некоторое время из А вышел другой пешеход, а еще через такой же промежуток времени после второго — третий. Третий пешеход догнал второго на полпути от Л к В, и дальше они пошли вместе со скоростью, равной среднему арифметическому их прежних скоростей. Все трое одновременно пришли в В. С какой скоростью первоначально шел второй пешеход, если третий шел первоначально со скоростью 6 км/ч? 186. Две точки движутся с постоянными скоростями по двум концентрическим окружностям. В момент начала движения обе точки и центр окружности лежат на одной прямой, а расстоя- ние между точками равно . После старта расстояние между точ- ками уменьшилось, а через 11 с составляло . Кроме того, с интервалом в 11 с было зафиксировано два момента, когда рас- 94
стояние равнялось -*у—, а в промежутке между этими моментами расстояние ни разу не принимало значение . Найдите мини- мальное расстояние между точками. 187. Расстояние между городами А и В равно 36 км. Из го- рода А со скоростью 6 км/ч вышел пешеход. Одновременно на- встречу ему из города В выехал велосипедист. Велосипедист едет со скоростью от 10 км/ч до 15 км/ч. После встречи велосипе- дист в течение 20 мин продолжал движение по направлению к А, затем развернулся и поехал в В. Найдите наименьшую воз- можную разницу во времени прибытия в В велосипедиста и пешехода. 188. Две бригады рабочих начали работу в 8 ч. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 ч выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала в час на одну деталь больше, а вторая бригада — на одну деталь меньше. Работу бригады вновь начали в 8 ч и, сделав 72 детали, на- чали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы пер- вая бригада сделала на 8 деталей больше уже к 13 ч. Сколько деталей в час делала каждая бригада? 189. На заводе было несколько одинаковых прессов, штампую- щих детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После ре- конструкции все прессы заменили на более производительные, но также одинаковые, а их количество увеличилось на 3. Завод стал выпускать в день 11200 деталей. Сколько прессов было первона- чально? 190. Автобус проходит путь АЕ, состоящий из участков АВ, ВС, CD, DE длиной 10 км, 5 км, 5 км, 6 км соответствен- но. При этом, согласно расписанию, выезжая из пункта А в 9 ч, он 13 2 проходит пункт В в 9— ч, пункт С — в 9— ч, пункт D — в 9— ч. С какой постоянной скоростью v должен двигаться автобус, чтобы сумма абсолютных величин отклонений от расписания прохожде- ния пунктов В, С, D и времени движения автобуса от А до Е при скорости v не превосходила 51,7 мин? 191. В магазине имеется три вида наборов игрушек: металли- ческих, пластмассовых и мягких. Детский сад купил по одному на- бору металлических и пластмассовых игрушек и 4 набора мягких. При этом количество игрушек совпало с числом детей в детском саду. Если бы было куплено 4 набора металлических и один набор мягких игрушек, то 57 детям игрушек бы не досталось. Количество игрушек, составляющих 4 набора пластмассовых и один мягких, на 41 меньше числа детей. Сколько детей было в саду, если, купив по 3 набора игрушек каждого вида, детский сад не обеспечил бы всех детей игрушками? 192. Из строительных деталей двух видов можно собрать три 95
типа домов. Для сборки 6-квартирного дома необходимо 30 дета- лей первого и 40 деталей второго вида. Для 10-квартирного дома требуется 40 и 60 деталей, а для 14-квартирного дома нужно 90 и 120 деталей первого и второго видов соответственно. Всего имеется 600 деталей первого и 800 деталей второго вида. Сколько и каких домов надо построить, чтобы общее количество квартир было наибольшим? 193. Строительный отряд состоит из 32 бойцов, каждый из которых владеет одной или двумя строительными профессиями: каменщик, бетонщик, плотник. Бойцов, владеющих профессией плотника, в отряде в 2 раза больше, чем бойцов, владеющих про- фессией бетонщика, и в п раз меньше, чем бойцов, владею- щих профессией каменщика, причем 3 п 20 (п — целое число). Сколько бойцов в отряде владеет только одной профессией, если число бойцов, владеющих двумя профессиями, на 2 больше, чем число бойцов, владеющих профессией плотника? 194. От пристани А вниз по течению реки одновременно от- плыл пароход и плот. Пароход, доплыв до пристани В, рас- положенной в 324 км от пристани Л, простоял там 18 ч и отправился назад в А. В тот момент, когда он находился в 180 км от Л, второй пароход, отплывший из Л на 40 ч позднее первого, нагнал плот, успевший к этому времени проплыть 144 км. Считая, что скорости пароходов в стоячей воде равны между собой, определите скорости пароходов и течения реки. 195. Из города Л в город В выехал автомобиль. Одновремен- но с ним из пункта С, расположенного между Л и В, в го- род Л выехал второй автомобиль. Первый прибыл в В одновремен- но с прибытием второго в Л. Затем автомобили одновременно выехали навстречу друг другу, встретились в пункте D и одно- временно прибыли: первый — в Л, второй — в В. Каждый автомо- биль ехал со своей постоянной скоростью, но второй сделал оста- новку на пути от С к Л, а первый — остановку той же продол- жительности на пути от В к D. Найдите расстояние между С и £), если известно, что расстояние от Л до С равно 270 км, а расстоя- ние от С до В равно 180 км. 196. Бригады, состоящие из одинакового числа рабочих, полу- чили на складе спецодежду. Каждый рабочий получил по 2 комп- лекта спецодежды, а каждой бригаде выдали на 20 комплектов больше, чем было бригад. Если бы бригад было на 4 больше и каждой бригаде выдавали бы по 12 комплектов, то спецодежды на складе не хватило бы. Сколько комплектов спецодежды было на складе? 197. 80 кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в пер- вом сосуде. Если во второй сосуд добавить 1 кг соли, то коли- чество соли в нем будет в 2 раза больше, чем в первом сосуде. Найдите массу раствора, находящегося в первом сосуде. 198. В первой коробке находилось некоторое количество крас- 96
ных шаров, а во второй — синих, причем число красных шаров 15 составляло — от числа синих шаров. Когда из коробок уда- 3 2 лили — красных шаров и — синих, то в первой коробке осталось / о менее 1000 шаров, а во второй — более 1000 шаров. Сколько ша- ров было первоначально в каждой коробке? 199. Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином, от- лили литр глицерина, а взамен долили литр воды. После переме- шивания снова отлили литр смеси и долили литр воды. Затем про- делали эту операцию еще один раз. В результате количество воды в сосуде оказалось в 7 раз больше по объему оставшегося в нем глицерина. Сколько литров глицерина и воды оказалось в сосуде в результате проделанных операций? 200. В школьную столовую привезли яблочный и виноградный сок. В столовой эти соки смешали и полученную смесь разлили в несколько литровых бутылей и два сосуда. При этом оказалось, что количество яблочного сока в первом сосуде в 5 раз больше, чем количество всего сока, налитого в бутыли. Во втором сосуде оказалось 19 л яблочного сока, а всего сока во втором сосуде ока- залось на 4 л больше, чем количество сока в первом сосуде, сложенное с количеством яблочного сока в бутылях. Сколько лит- ров смеси соков было приготовлено в столовой? 201. Математик шел домой вверх по течению реки со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения, и держал в ру- ках палку и шляпу. Он бросил в ручей шляпу, перепутав ее с палкой, и продолжал идти с той же скоростью. Вскоре он заметил ошибку, бросил палку в ручей и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шел вперед. Догнав плывущую шляпу, он мгновенно выудил ее из воды, повернулся и пошел вверх по тече- нию с первоначальной скоростью. Через 10 мин он встретил плывущую по ручью палку. На сколько раньше он пришел бы до- мой, если бы не перепутал палку со шляпой? 202. Утром Коля и Оля решили полить огород. Коля открыл кран, наполнил свою лейку, и сразу вслед за ним Оля подставила свою лейку под струю. Колина лейка наполняется за 15 с, а Олина — за 10 с. Наполнив свою лейку, каждый из детей тут же начинает поливать огород. Из Колиной лейки вода выливается за 60 с, а из Олиной — за 45 с. Как только лейка оказывается пустой, каждый из них мгновенно подставляет ее под струю воды, а если в этот момент набирает воду другой, то ждет, пока кран не освобо- дится, и сразу же начинает наполнять свою лейку. Когда никто не набирает воду, она льется в бочку, стоящую под краном. Если бы никто не забирал воду, бочка наполнилась бы за 15 мин. За сколько времени после включения крана наполнится бочка, если Коля и Оля все это время продолжают поливать огород? Кто первый будет набирать воду после того, как вода польется через край бочки? 97
203. Профессор Иванов и доцент Поливанов живут недалеко друг от друга. Они любят по вечерам прогуливаться от своего дома до дома коллеги, туда и обратно несколько раз. Однажды они вышли из своих домов одновременно. В первый раз они поравнялись на расстоянии 55 м от дома профессора. Второй раз это произошло на расстоянии 85 м от дома доцента. На расстоя- нии 25 м от дома доцента находится газетный киоск, а неподалеку от дома профессора — киоск, торгующий газированной водой. Из- вестно, что, выйдя из своих домов, профессор и доцент одно- временно прошли мимо ближайших киосков. Чему равно рас- стояние между киосками? 204. Турист преодолел 10 км за 2,4 ч. При этом 1,8 км он шел по лесной тропинке с одной скоростью, потом 3,2 км по грунтовой до- роге с другой скоростью, а затем 5 км по шоссе с третьей скоростью. Если бы он все время шел со скоростью, равной среднему ариф- метическому скоростей, то он прошел бы на 400 м меньше. С какой скоростью шел турист по лесной тропинке, грунтовой дороге и шоссе? 205. Ученики трех классов проводили КВН. Известно, что ког- да на сцену вышли команды классов «А» и «Б», то доля мальчи- ков среди участников оказалась равной Когда же на сцене были команды классов «Б» и «В», то доля мальчиков оказалась о равной —. В каких пределах заключена доля мальчиков в трех командах вместе?
§ 5. КВАДРАТНЫЙ трехчлен Почти вся теория квадратного трехчлена, а также решение многих задач, связанных с ним, основываются на приеме, назы- ваемом «выделение полного квадрата». Применяя этот прием к квадратному трехчлену ах2 + Ьх+ с, приходим к равенству ах2 + Ьх + с==а(х+-£Л \ 2а/ 4а Нет необходимости эту формулу запоминать. Гораздо важнее в каждом конкретном случае уметь проделать соответствующие преобразования и выделить полный квадрат. Например, 3x’-5x-l=3(^-2.fx+(4-),-(f)2)-l=3(x-4-)!-§. Выражение Ь2 — 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена (Z) = &2 — 4ас). Квадратное уравнение ax2-j-bx-l-c=0 имеет соответственно 2, 1 или 0 решений в зависимости от того, будет его дискриминант положительным (D>0), равным нулю (0 = 0), или отрицательным (О<0). (Напомним, что по опреде- лению квадратного уравнения а#=0.) Корни квадратного уравне- ния Xi и Х2 равны: Правда, нумерация корней условна. Обычно стараются за- нумеровать их в порядке возрастания, но это не обязательно. Дадим два практических совета. Во-первых, если второй ко- эффициент (6) четный (причем он может быть просто четным числом, а может иметь вид ft = 26), то удобнее пользоваться для нахождения корней формулами Во-вторых, старайтесь по возможности «работать» с квадрат- ным трехчленом, у которого старший коэффициент (а — коэф- 99
фициент при х2) положительный. Этого всегда можно добиться при решении уравнений, неравенств с числовыми коэффициен- тами. Задачи, связанные с квадратным трехчленом, встречающиеся в школьной и конкурсной практике, чрезвычайно разнообразны. Нередки среди них такие, где основное, что требуется от уча- щегося,— это внимательность к формулировке. Например: 1. Определить все значения параметра а, при которых урав- нение 2ах2 — 4 (а 4- 1) х-|-4а4- 1 =0 имеет один корень. Решение. Здесь главное — не забыть про случай а = 0, поскольку в условии не сказано, что рассматривается квадрат- ное уравнение. При а = 0 имеем линейное уравнение —4%+ 1=0 с единственным корнем х=—-. Остальные значения параметра а мы получим из уравнения D = 0, а лучше -|-D = 0: 4 (а2 + 2а+ 1)-2а (4а + 1)=0, 2а2 —За —2 = 0; а, = —у, а2 = 2. Ответ. 0; —2. К азбуке квадратного трехчлена относится и теорема Виета. Для того чтобы х{ и х2 были корнями уравнения ах2 4-6x4-с = 0, необходимо и достаточно выполнения равенств xi-}-x2 =— х1«х2=-у-. Обратите внимание на то, что здесь сформулирова- но два утверждения — прямое и обратное. Часто, формулируя теорему Виета, ограничиваются одним прямым утверждением: «Если и х2— корни квадратного уравнения ах2-]-Ьх-[-с = 0, то выполняются равенства...» Некоторые логические и терминологические проблемы воз- никают в случае 0 = 0, но мы их не будем обсуждать. Заметим лишь, что выражения «квадратное уравнение, имеющее одно решение» и «квадратное уравнение с равными корнями» озна- чают одно и то же. Из теоремы Виета следует следующее разложение на множи- тели квадратного трехчлена: ах2 -}-bx-{-c = 0 — a (х—Xi) (х —х2). На теореме Виета основан целый ряд традиционных задач и методов решения. 2. Решить уравнение 319х2 4-1988x4-1669 = 0. Решение. Решение этого уравнения непосредственно по формуле корней квадратного уравнения приводит к большим вычислительным трудностям. Если же заметить, что 319-19884-1669 = 0, откуда следует, что Xi = — 1 является корнем уравнения, то по теореме Виета 100
1669 _ 1669 319Х! 319 ’ Сталкиваясь с квадратным уравнением, решение которого требует громоздких арифметических или алгебраических пре- образований, попытайтесь выяснить, не имеет ли это уравнение «хорошего» целого корня, в частности 1 (в этом случае имеет место равенство а-\-Ь + с — 0) или —1 (а —& + с = 0). 3. Пусть и х2— корни уравнения x2-\-px + q=0. Выра- зить xf + %2 через р и q. Решение. Нам нужно выразить х* + *2 через Х14-*г и %1Х2. Имеем х I + Х2 — (х? + xi)2 — 2X1 х2 = =[(х 1 + х2)2 — 2х i x2f — 2xix2 = = (р2 — 2q)2 — 2q2 = рА — 4p2q + 2q2. Ответ, xi -}-х2=р4 — 4p2q + 2q2. 4. Разложить на множители выражение 4 (x2z + у2х 4- z2y) — 2 (xz2 4- zy2 4- #х2) — 7x//z. Решение. Данное выражение можно рассматривать как квадратное относительно любого входящего в него перемен- ного. Сгруппируем его члены и расположим их по степеням х. Получим 2 (2z—у) х2 + (4у2 — 7yz —2z2) х + (4z2y — 2y2z). (1) Коэффициент при х представляет собой квадратный трехчлен относительно у (можно z) 4y2 — 7zy — 2z2. Найдем его корни: £>=49z2 + 32z2 = 81z2; У1 _JLZi y2 = 2z. Следовательно, 4у2 —7yz —2z2 = 4(y+^-z) (у — 2z) = (4у + z) (у — 2z). Таким образом, в каждом из коэффициентов квадратного трех- члена (1) есть множитель у — 2z. Вынося его за скобки, получим (у — 2z) (— 2х2 + (4у 4- z) х — 2yz). Квадратный трехчлен — 2x2+(4t/4-z) х — 2yz имеет корни (проверьте): Xi=2//, x2=~-z. Ответ, (х —2у)(у— 2z)(z — 2х). Решая эту задачу, мы сознательно не стали использовать некоторые соображения, которые могли бы привести к цели быстрее. Так, например, выделив множитель (у — 2z), учитывая 101
цикличность исходного выражения (оно не меняется при замене х на у, у на г, г на х), можно было сразу получить требуемое разложение на множители. В данном случае мы следовали по- говоркам: «От добра добра не ищут» и «Тише едешь...» Однако в других, более сложных случаях подобного рода особенности могут сыграть решающую роль. И еще на одно очень важное обстоятельство следует обратить внимание: надо учиться «видеть» квадратный трехчлен в тех случаях, когда он не задан в стандарт- ной канонической форме; уметь выделять переменное, параметр, алгебраическое выражение, относительно которого данное выра- жение представляет собой квадратный трехчлен; делать замену переменного, превращающую его в квадратный трехчлен. 20. Существование корней квадратного уравнения. Знаки корней Как мы знаем, для того чтобы квадратное уравнение ах2 + 4-6x4-£ = 0 имело корни, необходимо и достаточно выполнения неравенства 0^0. Как правило, в случае необходимости дока- зать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начи- нают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем до- казать его неотрицательность. Однако в некоторых случаях можно указать и иные, более простые способы доказательства существования решения квадратного уравнения. Эти способы основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение ах24-6x4- 4-с = 0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х0, в которой f (хо) = ахо4-6хо4-£<О. Чаще всего в качестве х0 берут 0 (дает достаточное условие с<0), 1 (условие а 4-6 4“ £<0) или—1 (условие а-—6 + ^<0). Например, чтобы убедиться в том, что уравнение (7-дДО4“5-дДТ) х2-(1(ЪД0+13УГТ)х4- 4-4V104-7VTT=0 имеет два корня, заметим, что значе- ние левой части при х=\ равно -л/Го—V1T<O. При этом мы избежим хотя и несложных, но громоздких вычислений. По- хожая идея «работает» и в следующей задаче. 5. Доказать, что при любом а уравнение (а3 —2а2) х2 —(а3 —а-(-2) х4-а24~ 1 =0 имеет решение. Решение. Можно, конечно, попытаться найти дискрими- нант и доказать, что он положителен. Но не будем спешить. Обозначим левую часть данного уравнения через f (х). Сразу видно, что f(0) = a24-l>0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано, если мы найдем Х\, для которого f(xi)<0. По- пробуем Xi = 1. (Выбор такого значения выглядит естествен- ным, поскольку в этом случае пропадают члены с a3.) f(l)= = — а2 + а—1<0 при любом а. Теперь легко сделать вывод, 102
что наше уравнение всегда имеет решение. Более того, если а3 —2а2=/=0, т. е. а=/=0 и а =#2, данное уравнение име^ет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий нера- венству 0<х< 1. Мы не будем обсуждать здесь проблему, в какой мере до- пустимо и законно использование тех или иных графических соображений в условиях конкурсного экзамена. Общими сло- вами здесь не отделаешься — истина конкретна. К сожалению, четких и согласованных критериев, которых бы придержива- лись комиссии разных вузов (и даже члены одной комиссии), нет. Нам все же кажется, что степень обоснованности решений, аппелирующих к графическому образу квадратного трехчлена, зачастую гораздо выше, чем это считают некоторые чрезмерно педантичные экзаменаторы. Мы советуем ученикам почаще обращаться в процессе поис- ка решения к «картинкам», искать соответствующую графиче- скую интерпретацию. Теорема Виета очевидным образом используется в задачах, в которых требуется определить знаки корней квадратного урав- нения. 6. При каких значениях параметра а уравнение х2 - 2-д/З (а — 3) х 4- а2 — За 4- 2=О имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а. Решение. Прежде всего, есди а2 —За + 2<0, 1<а<2, то уравнение имеет корни разных знаков. (Дискриминант при этом «автоматически» положителен.) В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основа- нии теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по зна- ку коэффициенту при х — второму коэффициенту уравнения. Значит, для того чтобы было Х\ >0 и х2>0, необходимо и доста- точно выполнения неравенств а2-За + 2>0, а —3>0, -^D = 2a2 — 15а4-25>0, откуда а >5. Точно так же рассматриваются другие случаи, с Ответ. Если а<1 или 2<а<—, то Х\ <0, ХгСО; если а = 1 или а —2, то xi<0, х2 = 0; если 1<а<2, то Xi<0, х2>0; если 5 5 а=—, то Х1= %2<0; если — <а<5, то корней нет; если а = 5, то Х|=х2>0; если а>5, то Xi>0, х2>0. Ответ выглядит сложнее, чем решение задачи. юз
21. Расположение корней квадратного трехчлена Выделим прежде всего два наиболее распространенных типа задач, связанных с расположением корней квадратного трех- члена. Первый тип — задачи, в которых изучается расположение корней относительно заданной точки А. Возможны три случая, не считая случая отсутствия корней: оба корня меньше А; один корень меньше, а другой больше А; оба корня больше А. Задачи первого типа без труда сводятся к проблеме, рассмотренной в предыдущем параграфе,— определению знаков корней квад- ратного трехчлена. Это делается при помощи замены / = х —Л, x = tA~A, в результате которой трехчлен относительно х перехо- дит в трехчлен относительно /. Знаки корней нового квадрат- ного трехчлена очевидным образом определяют расположение корней исходного квадратного трехчлена относительно А. Мож- но и не делать замену. 7. При каком значении параметра а один корень уравнения х2 — (За+ 2) * +2а— 1 =0 больше 1, а другой меньше 1? Решение. Решение легко получается на основании сле- дующего простого графического соображения. График функции у — х2 — (За + 2) %4-2а— 1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок [х^ х2] должен содержать внутри себя точку 1 (рис. 7). Следовательно, значение квадрат- ного трехчлена х2 — (За + 2) х + 2а — 1 при х = 1 должно быть отри- цательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялись неравенства Xi<l <х2. Ответ. а> —2. В общем случае для того, чтобы уравнение f(x) — ax2-\~bx-\- + с = 0 имело бы один корень меньше Л, а другой больше А, не- обходимо и достаточно выполнения неравенства a-f (Л)<0. (До- 104
кажите это самостоятельно.) Не следует последнее условие за- учивать. Необходимо понять принцип его получения и уметь провести необходимые рассуждения в конкретных задачах. 8. При каких значениях параметра а оба корня уравнения ах2 — 2 (2d — 1) х + 2 — 3d —О больше 1? Решение. Для того чтобы оба корня уравнения f (%) == ах2 — 2 (2а — 1) х + 2 — За = О были больше 1, необходимо и достаточно выполнения следую- щих условий: 1) D>0; 2) a-f(l)>0; 3) хв=^у-'>1. Необходимость условия 1) очевидна. Неравенство 2) означает, что знак f (х) при х=1 совпадает со знаком старшего коэффи- циента. Квадратные трехчлены, удовлетворяющие условиям 1) и 2), обладают тем свойством, что все они имеют два корня и оба эти корня либо меньше 1, либо больше 1 (рис. 8). Неравен- ство 3) выделяет из них те трехчлены, у которых оба корня боль- ше 1. Оно означает, что вершина параболы расположена правее прямой х = 1. Система неравенств 1) —3) дает нам необходимое и доста- точное условие для того, чтобы оба корня данного уравнения были больше 1. Неравенство 2) дает а (4 — 6d)>0, 0<d<-|-. А из неравенства 3) следует, что а<0 или а>\. Таким обра- зом, нам нет необходимости решать неравенство 1), поскольку уже неравенства 2) и 3) несовместимы. Ответ. Ни при каких. 105
В задачах второго типа исследуется расположение корней квадратного трехчлена относительно заданного отрезка [Л; В]. Здесь можно выделить 6 возможных случаев расположения кор- ней (оба меньше Я, один меньше Я, а другой на отрезке [Л; В] и т. д.). Если же отдельно рассматривать ситуацию, когда £) = 0, то добавится еще 3 случая. Мы вновь не будем заниматься по- строением общей теории, а рассмотрим конкретные примеры. 9. При каких значениях параметра а все решения уравне- ния (а — 1) х2 — (а4-1)х4-а = 0 удовлетворяют условию 0<х<3? Решение. Обозначим f (х) = (а — 1) х2 — (а 4- 1) х + а. Необ- ходимым и достаточным условием для того, чтобы f (х) (если а#=1) имела все свои корни внутри отрезка [0; 3], будет выпол- нение системы неравенств: 1) О>0; 2) (a—l)f (0)>0; 3) (а—1)/= (3)>0; 4) 0<хв<3, где хв = 2ТЙ)• (Проверьте, что если f (х) имеет корни на данном отрезке, то все неравенства выполняются. Проверьте обратное утверж- дение, что если выполняются все неравенства, то корни f (х) расположены на отрезке [0; 3]. Покажите, что ни одно из не- равенств нельзя отбросить, т. е. если выполняются все нера- венства, кроме одного, то квадратный трехчлен не удовлетворяет условию задачи.) 12 Оба неравенства 2) и 3) выполняются при а>~ или а <20. Решим неравенство 4): Будем иметь а>у- или а< — 1. Значит, система неравенств 2), 3), 4) имеет решение а>-у- или а <2— 1. Условие дает нам — За24-ба4-1 ^0 или За2 —ба—1^0, откуда 3~, а поскольку о 3 12 , 12 ^3 + 2л/3 а>— или а<2 — 1, то —<а^—-- . / /О Отдельно рассматривается случай а=1. Ответ. 4<а<2±^,0 = 1. Заметим, что если бы в условии требовалось, чтобы оба корня располагались на заданном отрезке, т. е. указывалось на наличие двух различных корней, то правое нестрогое нера- венство ответа следовало бы заменить на строгое и исключить случай а= 1. 10. Определить, как расположены корни уравнения ах2 — — 3(а+1)* + 2а + 7 = 0 относительно отрезка [—I; 4]. 106
Решение. Решим эту задачу несколько иначе, способом, который можно назвать «обобщенным методом интервалов». Сначала определим, где обращается в ноль дискриминант урав- нения. Имеем 9(а+1)2-4а(2а + 7)=0, а2—10а + 9 = 0; a^l, а2 = 9. При 1<а<9 корней у данного уравнения нет. Обозначив, как обычно, левую часть уравнения через f (х), найдем f (—1) = = 6а4-10, f(4) = 6a —5. Как видно, f(— 1) и f (4) меняют зна- 5 5 ки соответственно при а——— и а——. Множество значений 3 о 5 5 параметра а точками ——, 0, —, 1, 9 разбивается на четыре интервала и две полупрямые (рис. 9, а; к найденным ранее зна- чениям параметра а добавлено значение, при котором обраща- ется в 0 старший коэффициент, а = 0). Рассмотрим эти 6 случаев. 1) а<—|-. Имеем D>0, а<0, f (— 1)=6а+10<0, f (4) = 6а — 5<0, — Можно проверить, что при а<—|- будет —1 <3а2^1<4. Значит, уравнение имеет корни, ветви f(~l)>0 Рис. 9 107
параболы направлены вниз, значения f (х) при х= —1 и х—4 отрицательны, вершина параболы расположена между прямыми х—— 1 и х = 4 (рис. 9,6). Следовательно, в этом случае оба корня расположены между — 1 и 4. 2) —|-<а<0 (случай а=—рассматривается отдель- 3 о но). Имеем /(—!)>О, f (4)<0. А поскольку а<0, то (рис. 9, в) один корень меньше — 1, а другой расположен между — 1 и 4. Точно так же рассматриваются остальные случаи. 5 5 Ответ. При а< ——1, я>9 имеем — 1 <Xi <х2<4; О о 5 5 при —— <а<0 имеем Xi< —1<х2<4; при 0<а<— имеем О о — 1<Х1<4<Хг; при 1<а<9 корней нет. Если а=—то 11 7 5 Х[ = — 1, х2=— ; если а = 0, то один корень Xq——\ если а=—, 5 о о 13 то Xi=—, х2 = 4; если а=1, то Xi— х2 = 3; если а — 9, то Xi = э 11. Определить, как расположены корни уравнения ах2 —(а3 + 1) х+а2 = 0 относительно отрезка [1; 3]. Решение. В данном случае приемы, которые мы использо- вали при решении предыдущего примера, не нужны; все гораздо проще, рассматриваемое уравнение всегда (при а#=0) имеет корни: Х1=а2 и х2=-~-. (Проверьте. Здесь не обязательно a'i<x2.) Теперь закончить решение не составляет труда. Вывод очевиден — при решении задач не стоит увлекаться общими теориями, следует попытаться сначала выявить специ- фику данного конкретного примера. 22. Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов 12. Найти все значения параметра а, при которых уравне- ния х2 — (2а— 1)х4-а — 0 и (а-}-1)х2— ах—1=0 имеют хотя бы один общий корень. Решение. Решение основывается на следующей простой идее: если два уравнения fi(x) = O и f2(x) = 0 имеют общий ко- рень хо, то при любых k\ и k2 уравнение kif\(x) + k2f2 (х) = 0 имеет тот же корень Хо. Возьмем сначала ki и k2 так, чтобы в комбинации исчез свободный член: Аи = 1, /г2 = а. Получим после сокращения на х, поскольку очевидно, что хо#=О, уравнение (а2 + а+ 1) х — (а2 + 2а—1) = 0. 108
Затем выберем k\ и kz так, чтобы исчез член с х1 2: й1=а+1, £2=-1. Получим уравнение (2а2 — 1) х — (а2 + а+ 1) = 0. Так как х должен удовлетворять обоим полученным линей- ным уравнениям, для а должно выполняться соотношение (а2 + а+ 1)2 = (а2 + 2а— 1)-(2а2 — 1). Далее получаем а4 + 2а3 —6а2 —4а = 0. Левая часть разлагает- ся на множители: а (а3 + 2а2 —6а —4) = а (а3 — 2а24-4а2 — 8а + 2а — 4) = = а [(а —2) а2 + (а —2) 4а4-2 (а —2)]=а (а —2) (а2 + 4а + 2). Ответ. ai=0, а2 = 2, а3=—-2—-^2, а4=—2+V2- Два замечания. 1. Для каждого из найденных значений а необ- ходимо убедиться, что соответствующие уравнения имеют ре- шения, (Достаточно проверить существование корней у одного из них.) 2. Заданную пару квадратных уравнений можно рассматривать как систему из двух уравнений с неизвестны- ми х и а. 13. Расположить корни уравнений *2+—+ 2а = 0 и + = о а а в порядке возрастания. Решение. Обозначим f (х) = х2 + + 2a, g (х) = х2 + Н——а; ой и а2— корни уравнения f (х) = 0; Pi и р2 — корни уравнения g(x) = 0. По смыслу задачи следует рассматривать лишь те значения параметра а, для которых оба уравнения име- ют решения. Условие неотрицательности обоих дискриминантов дают нам неравенства. — ^36<а<0, 0<a<-|-V9. Найдем значения х, при которых f(x)=g(x): х=-^-. Урав- <5 нения имеют общий корень, если ^(т)=£(т)=0- откуда а——3. Таким образом, множество значений параметра а, при ко- торых оба уравнения имеют корни, разбито на три интервала (рис. 10, а). Концы интервалов удобнее рассматривать отдельно. Возникают три случая. 1) -V36<a<-3. Имеем f =g(^-) = а (а3+27)>0. \ о / \ о / 109
С точностью до обозначений, какая из двух парабол соответст- вует f (х), а какая g (х), возможны два случая (рис. 10, б, в). Посмотрим, как расположены вершины каждой из парабол по отношению к прямой х=-~-. Для f (х) имеем хв=— . На рас- о Ла 3 а2 сматриваемом интервале изменения а имеем ——. (До- Z.CL и а2 кажите.) Вершина второй параболы также левее прямой х=—. и (Проверьте правильность неравенства —~Следователь- но, имеет место случай, изображенный на рисунке 10, б. (На рис. 4, в вершины парабол расположены по разные стороны от прямой х = — J Осталось выяснить, какая из двух парабол на этом рисунке соответствует f (х), а какая g (х). Если а<0 и х<-^-, то f(x) —g(x) =——fx — ~-)<0, т. е. «5 а \ о / 110
f(x)<.g(x). Значит, g (x) при идет выше f (x) и ai<₽i< <Рг<а2. Если a=—д/36, то ai<0i = p2<a2. 2) —3<a<0. В этом случае f (^\ = g(^-\ = a (a34-27)<0. Как и в предыдущем пункте, при х<-~- f (x)<g(x), т. е. графи- о ки f (х) и g (х) расположены так, как показано на рисунке 10, г, и ai<Pi<a2<₽2. Если а= — 3, то ai < Pi < ₽2 = «2. 3) 0<a<4-V9- Имеем f (£)=g(£)>0. слева от прямой х = —, и f (х) > g (х) при х < — о о Обе вершины — (рис. 10, д). Сле- довательно, Pi <ai <a2< Р2. Если а = то Pi < ai =<Х2< Р2. Заметим, что получить правильный ответ в данном примере можно было бы несколько проще, хотя и менее законно. Из со- ображений непрерывности следует, что на каждом из трех ин- тервалов имеет место один и тот же порядок следования корней (граничными точками такого рода интервалов являются: запре- щенные значения параметра, в данном случае а = 0; нули диск- риминантов— точки а= — ^/36 и а=-—— и значения пара- метра, при которых уравнения имеют один и тот же корень а — — 3; в общем случае сюда надо добавить значения параметра, при ко- торых обращается в ноль коэффициент при х2). Для выявления этого порядка следования достаточно рассмотреть какое-либо значение параметра а из соответствующего интервала. В нашем случае для крайних интервалов можно взять даже их концы: — а— — ^36 и а=-|-^/9, а для среднего, например, а =— 1. 23. Уравнения, неравенства и системы с параметром В большинстве задач, рассмотренных в предыдущих пунктах, требовалось узнать «при каких значениях параметра...?». По- добного рода вопрос для уравнений, неравенств, систем уравнений или неравенств с параметром не всегда фигурирует в условии задачи. Однако наличие параметра заранее предполагает специ- альную форму записи ответа, такую, чтобы по ней можно было указать, каков будет ответ для любого допустимого значения параметра. 14. Решить уравнение -\j3x — 2 = x-\-a. Решение. Обозначим у —д/Зх -2, тогда х=-|-(у2 + 2), у>0. Для у получаем уравнение 111
z/2 — 3f/ + 3a + 2 = 0, которое надо решить при условии у^О. Неотрицательность дискриминанта дает нам неравенство a . Если у\ и у2, у\ ^у2— корни уравнения, то по теореме Виета у\ + у2 — 3, yiy2 = 3a-\-2. Следовательно, оба корня не могут быть отрицательными. При а=-^ получаем одно решение: у=4г> при —— два решения: г/|=-|-(3—\/1 — 12а), у2=-^-(3+-\/1 — 12а); при а<—I-------одно решение: £/=-^-(3 + д/1 — 12а). Теперь возвра- щаемся к неизвестному х. Ответ. Если а<—то х=-|-(3 —2а-}--\/1 — 12а); если и 2 —то Xi =-^-(3 — 2а — ^/\ — 12а), х2=-|-(3 — 2а Ц- +V1— 12а); если а=4х , то х=-тх-если а>-рт , то решений нет. Если решать уравнение 14 более обычным путем, возводя в квадрат обе его части, то приходим к уравнению х2 + (2а — 3)х + + а2 + 2 = 0 при условии x-\-a^Q. Технически этот путь несколь- ко сложнее. (Доведите его до конца самостоятельно.) 15. Решить уравнение л1а-—-^а-\-х = х. Решение. Возводим обе части уравнения в квадрат (ус- ловие х^О): а — -д/а4"Х = х2, л/а-\-х = а —х2. Еще раз возводим в квадрат (условие а — х2^0). Получаем окончательно уравнение х4 — 2ах2 — х + а2 — а = О, среди решений которого надо найти те, для которых х^О, а — х2^0. Получившееся уравнение имеет четвертую степень от- носительно неизвестного х, но зато является квадратным отно- сительно параметра а. (Умение «видеть» квадратный трехчлен!) Попробуем этим обстоятельством воспользоваться: а2 —(2х2+ 1) а + х4 —х = 0. Найдем дискриминант, надеясь, что он окажется полным квад- ратом: /) = (2х2+1)2-4(х4-х) = 4х4 + 4х2+1-4х4 + 4х = (2х+1)2. Итак, наши надежды оправдались. Теперь правая часть уравне- ния раскладывается на множители (я —х^ —х—1) (а —х2-|-х). Наше уравнение распадается на два: х2 + х+1— а = 0 и х2—х — 112
— а = 0, каждое из которых надо решить при условии, что х^О, а — х2^0. Начнем с уравнения х2 + * + 1 — <1 = 0. Поскольку х + 1 = а— x2f то из того, что х^О, следует, что а —х2>0. Значит, нам доста- точно найти лишь те решения, для которых х>0; тогда нера- венство а — х2^0 будет выполняться автоматически. Но сумма корней (если они есть) равна —1; следовательно, уравнение х24-*+ 1—а = 0 может иметь лишь один неотрицательный ко- рень при условии 1—<1^0, Значит, при а'^1 будет л-=-Ь(-1+л/4Т=’3). Перейдем ко второму уравнению х2 — х — а = 0. Из этого уравнения — х = а — х2. Левая часть неположительна, правая неотрицательна. Равенство возможно лишь, если <1 = 0, х = 0. Ответ. Если <т>1, то х = -~-(—1—3); если а = 0, то х = 0; при остальных а решений нет. 16. Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство 4а3х4 + 4а2х2 + 32х + а + 8 0. Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить мно- гочлен на а, а затем сделать замену у = ах, то в новом многочле- не максимальная степень параметра а будет равна 2. Случай <1 = 0 дает нам ответ xj> —Будем теперь считать, что а>0. Умножив обе части неравенства на а и сделав замену у = ах, получим 4</4 + 4ш/2 + 32у + а2 + 8а > 0. Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относи- тельно а: а2 + (4у2 + 8) а 4- 4у4 + 32у > 0, 4- D = (2у2 + 4)2 - 4у4 - 32у = 16 (у - 1 )2. Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим (а + 2у2 + 4у) (а + 2у2 — 4 у + 8) > 0, или (2у2 + 4у + а)(2у2 —4у + 8 + а)>0. Второй множитель положителен при всех у, если а>0. Прихо- дим к неравенству 2</2 + 4</ + <1^0, откуда, если 0<а<2, #<-£-( — 2 — д/4 —2<i) или —2 + -\/4 —2а); если а^2, у — любое. Возвращаясь к х, получим ответ. 113
Ответ. Если а=0, то х~^—если 0<а<2, то х^-^- X 4 2а Х( —2—^/4 —2а) или х>•—•( — 2 + ->/4 — 2 а); если а^2, то х — любое. Очень часто уравнения, неравенства, системы с параметром сводятся к задачам о расположении корней одного или двух квадратных трехчленов. Основные методы решения подобных задач мы рассматривали в двух предыдущих пунктах. 17. Решить систему неравенств Г х2 — Зх + 2^0, I ах2 —2 (а+1)х + а-1>0. Решение. Поскольку решением первого неравенства яв- ляется 1^х^2, то задача сводится (при а=/=0) к выяснению расположения корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 — — 2(a+l)x + a—1 относительно отрезка [1; 2]. Имеем -J-D = (a+l)2-a(a-l) = 3a+l, f(l)=-3, f(2)=a-5. Область изменения параметра а оказалась разделенной на 4 части (не считая граничных точек). 1) Если а< —второе неравенство, а следовательно, и дан- ная система не имеют решения. То же имеет место и при а=——. з 2) Если.—i-<a<0, то f(l)<0, f(2)<0. Для вершины и параболы выполняется неравенство xB=^yi<0 (рис. 11, а). Следовательно, множество решений второго неравенства не со- 114
У, Рис. 12 держит точек отрезка [1; 2} Система не имеет решения. То же имеет место и при а = 0. 3) Если 0<а<5, то f(l)<0, f(2)<0 (рис. 11, б). Значит, на всем отрезке [1; 2] f (х)<0. Система вновь не имеет решения. 4) Если а^5, то f (1)<0, /(2)^0 (рис. И, в). Решением системы будет хг^х^2, где хг— больший корень уравнения f(x)=O. Ответ. Если а <5, система не имеет решения; если a Z>5, то -i-(a+ 1 +n/3a + 1)<х<2. 18. Решить систему неравенств Г х2 — 2х —-34~0>О, I х2 —4% + 3-[-а<0. Решение. Задача, по существу, сводится к выяснению, в каком порядке следуют корни уравнений f (х) = х2 — 2х —34-я=0 и g (х) = х2 — 4x4-34-0 = 0. Вычисляя их дискриминанты, получим, что первое уравнение имеет корни, если а^4; второе — если a^l. Найдем Хо — абсциссу точки пересечения графиков y = f(x) и y = g(x): f(xQ) = =g(xo), х0 = 3, f (xo)=g (x0)=a. Имеем следующие три случая. 1) a<0 (рис. 12). Если ai и <X2(ai^a2) — корни уравне- ния f(x) = O, а Pi, ₽2 (₽1 < ₽г)— корни уравнения g(x) = 0, то «1 <₽i <а2<02. Это следует из того, что при х<3 выполня- ется неравенство g(x)>f(x), так как g (х) — f (х)= — 2x4-6, и f (3) = g (3)=а<0. Значит, при а<0 решением системы будет а2<х<р2 или 1 4-^4=^<х<24-л/1 0- 2) 0<а<1. В этом случае порядок следования корней бу- дет ai<Pi<P2<a2. (Докажите.) Система не имеет решений. Если а = 0, то ai <01 <р2 = а2. Решений нет. 3) a^l. Второе неравенство, а значит, и система неравенств не имеют решения. 115
Ответ. Если а<0, то \ -\--\/4-~a<Zx<z2 + ^/\ — а; если я^О, то решений нет. 24. Уравнения, неравенства и системы с параметром. Графические интерпретации Начнем с того, что еще раз решим систему неравенств 18. Эту систему можно переписать в виде двойного неравенства — х2 + 2х + 3 < а < — х2 + 4х — 3. Рассмотрим координатную плоскость (х; а). Множество то- чек, координаты которых удовлетворяют нашей системе нера- венств, ограничено графиками двух квадратных трехчленов а= — х2-{-2х-|-3 и а=~х2-|-4х — 3 и состоит из точек, располо- женных выше первого графика и ниже второго. Графики этих двух квадратных трехчленов пересекаются в точке (3; 0\ На рисун- ке 13 изображено это множество точек. Сразу «видно», что при система не имеет решений. Чтобы найти решение системы неравенств при некотором а = а0<0, рассмотрим горизонтальную прямую а==се. Эта пря- мая пересекает найденное нами множество по отрезку. Абсциссы концов этого отрезка и будут задавать интервал изменения х, при этом а = а0. Понятно, что для нахождения этих абсцисс надо решить относительно х уравнения aQ= —х2~г2хН-З и я0= — х2 + 4х — 3 и взять большие корни этих уравнений. Таким образом, мы получим найденный выше ответ, причем, как нам кажется, с меньшими затратами. 116
Рассмотрим еще несколько примеров. 19. При каких значениях а уравнение х |х —2а| —За + 2.=0 имеет один корень? Решение. Рассмотрим функцию у = х|х — 2а| — За + 2. Ее график состоит из частей двух парабол: если х^2а, то — 2ах — За + 2; если х<2а, то у= — х2 + 2ах — За + 2 (рис. 14, а). Если а^О, то функция у = х\х — 2а | — За + 2 воз- растает при х<а и х>2а и убывает на отрезке [а; 2а]. При а<0 эта функция возрастает на участках х<2а и х>а и убы- вает на отрезке [2а; а]. Нетрудно сделать вывод, что, для того чтобы уравнение х;х —2а| —За + 2 = 0 имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы у (а) и у (2а) были одного знака (у (а) и у (2а) одновременно или выше, или ниже оси х), т. е. у (а) у (2d) > 0. Получаем неравенство для а: (а|а| —За + 2)( —За + 2)>0. Найдем, где обращается в ноль первый множитель: а|а| — — За + 2 —0. Если а^О, то а2 —За + 2 = 0, а\ = 1, а2 = 2. Если а<0, то — а2 —За + 2 = 0, а3=—^-(3+п/Г7). (Другой корень положителен.) Второй множитель обращается в ноль при а=-|-. Легко видеть, что в каждой из этих четырех точек левая часть нера- венства меняет знак. Расставим эти точки на числовой оси (рис. 14,6). При а>2 первый множитель положителен, вто- + - + - —।—__-----------------------j—ь-----1---------э- -j-W 2_ / г а 2~ 3 S) Рис. 14 117
Рис. 15 рой отрицателен, т. е. (а|а| — За + 2)( — За + 2)<0. При пере- ходе через отмеченные точки знак меняется. Ответ. —4-(3+УГ7)<а<4-, 1<а<2. 20. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение х2 + 5 (%+1) + 3|х—а| 4-а = 0? Решение. Изобразим на плоскости (х; а) все точки, удов- летворяющие данному уравнению. Если х^а, то a=-i-(x2 + + 8x4-5); если х<а, то а=—~-(х2 + 2х + 5) (рис. 15). (Ана- литически мы нашли точки А и В — точки пересечения каждой параболы с прямой а = х и вершину первой параболы — точку С, вершина другой параболы совпала с точкой В. Затем от каждой параболы оставили ее часть, расположенную в нужной полу- плоскости относительно прямой а = х.) Следовательно, если — 5-^-<а< — 1, то уравнение имеет два решения. (Горизон- тальная прямая, соответствующая этим значениям параметра, пересекает наш график дважды.) Если а— — 5-—- или а— — 1, решение единственное. Для остальных значений а уравнение не имеет решений. 21. Решить неравенство |2х2+ % —а —8| + 2х —2а —4. Решение. Напомним, что неравенство |а| эквивалент- 118
но двойному неравенству —b^a^b. В нашем случае после преобразований приходим к системе неравенств f аС — х2 + *4-4, I a^x2-f-x— 4. Изобразим на плоскости (х; а) множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе (рис. 16). При кон- кретном значении параметра а —а, решением нашего неравен- ства будут абсциссы тех точек горизонтальной прямой а = а, которые находятся в заштрихованной области. Найдем точки пересечения А (2; 2), В ( — 2; —2) наших парабол и вершину С ( — 0,5; —4,25) параболы а=х24-х —4. Далее получаем: если а>2, решений нет; горизонтальная прямая не пересекается с заштрихованной областью. Если —2<а^2, то соответствующая прямая пересекается с заштрихованной областью по отрезку. Концами этого отрезка будут точки с абсциссами -у(— 1 +V17 + 4a) (больший корень уравнения a = x2-f-x —4 или х2+х—4 — а = 0) и -|-(14--\/17 —4а) (больший корень уравнения а= — х2-|-х+4 или х2 —х—4+а = 0). Если —4-|-^а5^— 2, то горизонтальная прямая, соответст- вующая таким а, пересекается с заштрихованной областью по двум отрезкам. Решением неравенства будет ±(1 -V17-4a)<x< -^-(1 +-V17+4a ), ^_(_1+7Т7 + 4Н)<х<-^-(1+ -VI7-4a). Если a<-4-J-, то -^-(1-^17—4а)<х<-|-(1+^17-4а). Подведем итог этому пункту. Мы рассмотрели здесь задачи, при решении которых использовались наглядно-графические соображения. Подчеркнем два характерных приема. Первый прием (использовался при решении задачи 19). На плоскости (х; у) рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра a: y = f(x\ а). Затем в этом семействе выделяется множество кривых, обладающих требуемым свойством. При этом очень часто поступают следующим образом: изучают, как пе- ремещается кривая семейства при изменении параметра, и находят граничные значения параметра, отделяющие множество значений параметра, которым соответствуют кривые, имеющие нужное свойство. (Правда, в задаче 19 путь решения был несколько иной. Нам удалось сразу получить удобное необходимое и доста- точное условие, выделяющее искомое множество кривых.) 119
Второй прием состоит в том, что рассматривается плоскость (х; а), на которой изображается множество точек, координа- ты которых удовлетворяют данному уравнению или неравенству (см. решения задач 20 и 21). После этого, проводя прямые, параллельные оси х, находят решение этого уравнения или не- равенства при соответствующем значении параметра. Значения параметра, при переходе через которые меняется формула, даю- щая решение, естественным образом определяются построенным множеством. 25. Задачи на максимум-минимум. Доказательство неравенств Простейший прием нахождения наибольших и наименьших значений, основанный на свойствах квадратичной функции, состоит в том, что исследуемая функция при помощи преобразова- ний или замены переменной приводится к квадратичной, после чего выделяется полный квадрат. 22. Найти наибольшее значение функции у — 1 —х. Решение. Обозначим д/2х+1 =/, тогда /^0. Отсюда /2— 1 х=——. Переходя к переменной /, получаем, что надо найти /2_J | наибольшее значение функции y — t ——-НН—ПРИ Ус’ ловии /^0. Выделим полный квадрат: у——^-(/—1)2Н“1. Наибольшее значение будет у=\ при t—\. Возвращаясь к х (в данной задаче это не обязательно), найдем, что наибольшее значение у= \ будет при х = 0. Другой прием иллюстрирует следующая задача. 23. Найти наибольшее и наименьшее значения функции _______х24~х — 2 У 2х2 — х4-3 ’ Решение. Рассмотрим данное равенство как уравнение с неизвестным х и параметром у. (Можно для создания большего психологического комфорта заменить у на а.) После преобразо- ваний получим (2t/- l)x2-(r/+ 1 )х + Зу + 2 = 0. Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство О = (у + I)2-4 (Зу + 2) (2у-1)=-23у2-21/ + 9>0, откуда — 1-72б8< < -1+7208 23 '"У'" 23 120
Слева в неравенстве стоит наименьшее значение у, справа — наибольшее. Интересно сравнить данное решение задачи с решением, ис- пользующим производные. Идея, на которой основано решение задачи 23, чрезвычайно проста. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функ- ции y=f(x\ мы, рассматривая данное равенство как уравнение с неизвестным х, решаем задачу, при каких у это урав- нение имеет решение. Рассмотрим еще два примера, в которых работает эта же идея с небольшими вариациями. 24. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения 2х— Зу, если Зх2 —ху+ 2у2 = 5. Решение. Обозначим 2х — 3y = s, тогда у — 2х~-. Заменим у через х и s в заданном соотношении. После упрощений получим 29х2 -5sx + 2s2 — 45 = 0. Для того чтобы это уравнение (относительно х) имело реше- ние, необходимо и достаточно выполнения неравенства D = 25s2 —4-29 (2$2-45)>0, откуда Как и в предыдущем случае, слева в двойном неравенстве стоит наименьшее значение s = 2x —Зу, справа — наибольшее. 25. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения 2х2 —ху —у2 при условии, что х2 + 2хуЧ-Зу2 = 4. Решение. Задача сводится к определению наибольшего и наименьшего значений а, при которых система Г 2х2 —ху —у2 = а, I х2 + 2ху + Зу2 = 4 имеет решение. Левые части каждого из уравнений представляют собой однородные многочлены второй степени относительно х и у. Метод решения подобного рода систем был нами изучен в § 2 (№ 22). Умножим первое уравнение на 4, второе на — а и сло- жим получившиеся уравнения. Получим (8 — а) х2 — (4 + 2а) ху — (4 + За) у2 = 0. Разделив это уравнение на у2(у=#0), будем иметь квадратное от- носительно /=—уравнение 121
(8-.a)/2_(4+2a) f ~(4+3a)=0. Нам необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицателен: -j-£>=(2 + a)2-(8-a)(4 + 3a)>0, откуда 6 — 3 -у/б а 6 + 3 -^6. Осталось проверить, для любых ли а из этого отрезка система имеет решение. Подставляя во вто- рое уравнение x = yt, получим уравнение х2 (/2 4-2/4-3)=4, кото- рое имеет решение при любом t. Следовательно, если а таково, что квадратное уравнение, определяющее /, имеет неотрицатель- ный дискриминант, то исходная система имеет решение. Ответ. Наименьшее значение 2х2 — ху — у2 при условии, что х24-2ху4-3у2 = 4, равно 6 —3^\/б, а наибольшее равно 64-Зд/б. Рассмотрим еще две задачи, решение которых основывается на графических соображениях. 26. Пусть М — точка на прямой у = 2х+Ь a N — точка на параболе у= —х2 + х —2. Чему равно наименьшее значение длины отрезка MN? Решение. Найдем уравнение прямой, параллельной данной прямой у = 2x4-1 и касающейся параболы у= — х24-х — 2. Для этого, учитывая, что прямая у = 2х-{-1 не параллельна оси пара- болы, надо среди прямых вида у = 2х + Ь найти ту, которая имеет единственную общую точку с параболой. Это означает, что уравнение — х24~х —2 = 2х4-6; х24-х4-24-6 = 0 имеет дискриминант, равный нулю: Ь=——. Прямая у = 2х-|“1 и парабола у = — х24-х — 2 расположены в разных полуплоскостях по отношению к прямой у = 2х——. (За исключением одной точки Nq на параболе, которая принадлежит также и прямой У = 2х—рис. 17.) Теперь очевидно, что наименьшее значение длины отрезка МП равно расстоянию между параллельными прямыми у = 2х4-1 и у = 2х—7—. Это расстояние равно (1 4--у) cos Но tga = 2, следовательно, cos a (0<a<90°). Ответ. -тЦг. 4 -уэ Замечание. Возможно, более простым будет следующее ре- шение. Найдем наименьшее значение разности у\—где yi = = 2х-|-1, у2 = х24-х — 2 (рис. 17). Поскольку у\ — у2 = х24-* + 3, 122
Рис. 17 искомое наименьшее значение равно и достигается при х = — Для нахождения расстояния между данными прямой и параболой надо умножить на cos . 27. Найти все значения параметра а, для которых наимень- шее значение функции у = х2-\-Зх-\-\х — а\ меньше—\ Решение. График данной функции состоит из частей двух парабол, «склеенных» в точке с абсциссой х — а\ у=х2 + 4х — а при х^а и у = х2 + 2*4-а при х<а. Наименьшее значение эта функция принимает или при х=— 2 (соответствует вершине первой параболы), или при х= —1 (соответствует вершине второй параболы), или при х = а (абсцисса точки склейки). Мы перечислили все возможные значения аргумента, которые «подозреваются на минимум». (Не беда, если среди них окажутся лишние. Единственное следствие — некоторое увеличение объема вычислительной работы.) Следовательно» условию задачи удов- летворяют все те значения (и только те) параметра а, для которых выполняется хотя бы одно из трех неравенств -2+1-2-а|<-1-2-, 4 — 2+| —1—а| < — 1 А 4 а2 — За < — 1-2~. 4 123
Все три неравенства объединены квадратной скобкой, что означает, что нам надо, решив каждое из них, полученные отве- ты объединить (а не находить множество значений параметра а, удовлетворяющее всем трем одновременно, как это делается в системах уравнений или неравенств). Решая неравенства, получим для каждого из них соответ- ственно -2 •!-«.<-1 A, -1-L<a<-A. 4 4 4 4 2 2 Ответ. — 2 4-< а < —т- • 4 4 Мы не будем здесь подробно рассматривать задачи на дока- зательство неравенств, решения которых основываются на ис- пользовании тех или иных свойств квадратного трехчлена. Ос- новные идеи, которые используются чаще всего, сходны с рас- смотренными в этом параграфе. (Выделение полного квадрата, оценка дискриминанта и т. д.) Ограничимся одним известным и полезным неравенством, при доказательстве которого свойства квадратного трехчлена используются весьма нестандартно. 28. Доказать, что для любых aif a2i ..., ап; b\, b2i ...» bn спра- ведливо неравенство a\b\-\- a2b2-\- anbn -yja2 4-#2 ... ~yjb2 -I- b2-j-... -j- b2 (неравенство Коши-Буняковского). Решение. Рассмотрим следующую квадратичную функцию от х: f (x) = (aix — bi)2 + (а2х — b2)2 +... + (апх — Ьп)2. При всех х функция f(x)^O. Следовательно, D<0, где D — дискриминант: f (x) = (tzi + а2-]-... 4-Ял) х2 — 2 (aibi + 6X2^24- ...-\-anbn) + + 62+ ••• + Значит, D = (а\Ь\ + а2Ь2-{-... -\-cinbn)2— (а? + ^2 + ••• + ^п) (Ь2 + 62 +... + + б;)<о, откуда получаем требуемое неравенство. Легко видеть, что ра- венство в неравенстве Коши-Буняковского имеет место, если су- ществует х, обращающий в ноль все слагаемые в выражении для f (х\ т. е. х=—; иными словами, если наборы ' х ' fli а2 ап (пи, а2, ..., ап) и (&i, b2l ..., bn) пропорциональны. Доказанное неравенство имеет очевидную геометрическую интерпретацию. Для п = 2; 3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в прост- ранстве не превосходит произведения их длин. Так же можно 124
интерпретировать неравенство Коши-Буняковского и для произ- вольных и. Из полученного неравенства можно получить следствия. На- пример, возьмем b{ =Ь2 =... =Ьп= 1. Будем иметь неравенство л 1 + И 2 + • • • + (ai + ^2 + ••• + ^л). * * * Небольшой обзор различных типов и видов задач, относя- щихся к теме «Квадратный трехчлен», показывает, сколь разно- образны по тематике, методам решения, уровню сложности за- дачи, составляющие эту тему. Многие идеи, рассмотренные в нашем обзоре, носят достаточно общий характер и с успехом могут быть использованы при решении задач, относящихся к самым различным разделам алгебры и анализа. 26. Задачи Выделите полный 1. 2х2 —4x4-3. 3. 4х2— 12x4-9. 5. (х-2)24-х4-1. Разложите на линейные множители выражение (7—10). 7. Зх2 —4х —7. ‘ ‘° ‘ 9. (х-2)(х-3) —4. Постройте график квадратного трехчлена (11 —16). П. у = х2 — 2х — 3. 13. у=х24-х4- 1. 15. у=—у-4-х —3. квадрат в выражении (1—6). 2. ~^-+Зх+1. 4. (х+1)(х-3). 6. (х- 1)2+(х-З)2. 8. —2х2 + х + 6. 10. (х-1)(х — 3) + (х —2)(х —4). 12. у = х — х2. 14. у = 4х2—12x4-9. 16. у = (2x4-1) (3x4-2). 17. Коэффициент при х2 (старший коэффициент) некоторого квадратного трехчлена равен 1. Парабола, являющаяся графиком этого квадратного трехчлена, имеет вершину в точке с координа- тами (т, —и), п>0. Найдите корни данного квадратного трехчлена. 18. Найдите коэффициенты а, 6, с, если график функции у = ах2 4- 6x4- с проходит через точки с координатами: а) (1; 0), (-1; 2), (2; 2); б) fА- f—— • 9 /Ц• 169 \ • ' \ 3 ’ 9 / \ 17 ’ 289 / \23 ’ 529 / в) (0; 1), (-L; 0), (2; -3); г) (-1; -1), (1; -3), (-2; -3). Постройте график функции (19—25). 19. t/ = x2 + 2 |х—11. 20. у — х |х — 11. 21. у=х |х| +(х- 1) |х-1|. 22. у=|х2 — 2 |х—1||. 125
23. У~ i*ljfj- • 24. У=х4 —2х2. 25. у= |х+->/—х|. Изобразите все точки с координатами (х; у), удовлетворяющие неравенству (26—32). 26. 2у2+у>х. 27. х2<у<х. 28. 2у+х<у2 + 2у<2х+у. 29. *2- 30. |у|<|2х2-х|. 31. \у-х2| <1. 32. |х2+у|<у+1. Изобразите все точки с координатами (х; у), для которых выполняется равенство (33—46). 33. Зх2 + 5ху+у2=0. 34. |у-2х|=х2. 35. |у-х|+х2=1. 36. у=|у+х2-3х|. 37. |у-х| + |у — х2| =2. 38. Iу—х21 + |уЧ-х21 =2 |х|. 39. I |2х2 —у| —х—у| =2х2+у —2. 40. max (х; y)=min (х2; у2). 41. max(x; y2)=min(y; х2). 42. у= rnin<j (а2 —2ах). 43. min (х2 + 2ху—у2) = max (—х2 — 2ху—2у2). 44. min (|х2 —а| + |у —а|) = 2. 45. max min (а2 — b2 — 2аЬ -\-2ax-\-2b -\-у)= 1. 46. min max (а2 — ft2 — 2aft + 2ax+2ft+y)= 1. 47. Дано изображение графика функции у = ах2-\-Ьх-\-с (рис. 18). Определите знаки а, Ь и с. Найдите наименьшее значение функции (48—53). 48. у=х2 —2 |х—2|. 49. у=х+-^2х—3. 50. у=х—-\/2х —3. 51. у=|х—1|—-\/х4-2. 52. у=х (|х+11 + |х— 1 |) + Зх2. 53. у = (х+1) (х+2) (х+3) (х+4). Найдите наибольшее значение функции (54—57). 54. y=Vx+1 ~х- 55. у = (1 — х) |х+2| — 2Х2. 56. у= |х2 —2|+2х—Зх2. 57. у=-^1—^. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (58—59). 58. у = 2 cos2 x+sin х. 59. y = sin2 х —3 cos х. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке (60—64). 60. у=х2Н-Зх, — 2<х^1. 61. у= — х2—х+2, 0<х<2. 62. у = х2 + 2 |х—1|, |х|<1. 63. у = 3х2+|х2 —2х—1|, |х| <3. 64. у=|2х2-х-П + |х2 + х-3|-5<х<2. 65. Для каких значений параметра а наименьшее значение функции у=х2—(а + 2)х+а2 на отрезке [—1; 1] равно 4? 126
66. Найдите х, при котором min (а2 — 2ах + 3х) = тах ( —62 + 4ftx —Зх2+ 1). 67. Найдите х, при котором max min (a2 — 2ab — 62 — 2ах + 106х) = 7. 68. Докажите, что при изменении а вершина параболы у = = х2 + (2а+ 1) х + а2— 1 описывает прямую линию. 69. Докажите, что при изменении а вершина параболы у = =х2 —(2а+1) х + 2а описывает параболу. 70. Найдите все значения а, при которых вершины парабол у~х2~2 (а+ 1) х+ 1 и у = ах2 —x-f-я лежат по разные стороны „ 3 от прямой У=—• 71. Найдите все значения а, при которых вершины парабол у = х2 — 2ах и i/ = x2—(а + 3) х+1 лежат по разные стороны от прямой у = 2х. 72. Пусть Х[ и х2 — корни уравнения х2+рх + ^ = 0. Найдите: a) x?4-xi; б) x3i+x%- в) ——|—— ; г) . q —xi q—x2 \Х\ \х2 127
73. Пусть Xi и х2 — корни уравнения х24-рх4-? = 0. Составь- те квадратное уравнение, корнями которого являются: а) у-, б) х2, х2; в) y* , ; г) -д/xi, -у/х?. 74. При каких значениях параметра а корни уравнения (а + 2)х2 — ах — а = 0 симметричны относительно точки х=1? 75. При каких значениях параметра а сумма корней урав- нения ах24-х —8а4-4 = 0 меньше 1, а произведение больше а? Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (76—77). 76. i/ = 2 —ах —Зх2 на отрезке [— 1; 1]. 77. £/ = 2х2 —2ах4-1 на отрезке [— 1; 1]. Найдите наименьшее значение выражения х24-х2, если Xi и х2 — корни уравнения (78—79). Замечание, Возможно равенство Xi=X2. 78. х2 —ах 4-2а —3 = 0. 79. х2 —2ах4-а4-6 = 0. 80. Пусть Xi и х2 — корни уравнения x2-f-x -^а —а2-}-2— 2а2 4- 4-За = 0. Найдите наибольшее и наименьшее значения выраже- ния х24-Х2 (см. замечание в предыдущем задании). 81. Найдите все значения а^ 1, при каждом из которых боль- ший корень уравнения х2 — 6x + 2ax~j-a — 13 = 0 принимает наи- большее значение. 82. Даны изображения графиков двух функций (рис. 19): y = aix24-ft1x4-c1 (I парабола) и у = а2х24-62х4-С2 (И парабо- ла). Определите, что больше: Ь\ или 62. 83. Найдите уравнение прямой, проходящей через начало ко- ординат и касающейся параболы у = х2 —х4-1. 84. Найдите уравнение прямой, параллельной прямой у = 2х и касающейся параболы у = Зх2-}-х —2. Найдите уравнение прямой, касающейся каждой из двух па- рабол (85—86). 85. у = х2 — Зх, у = — х2 4- Зх — 5. 86. £/ = 2х2 —3x4-1, у = х24-7х —6. 128
87. Определите знак с, если a-[-b -\-с<Z0 и уравнение ах2-}- + fex + c = 0 не имеет корней. 88. Докажите, что если уравнения х2 4-ax-f- b = 0 и х2-\-сх-\- + d = 0 не имеют корней, то уравнение х -]—-—х-] = 0 так- же не имеет корней. Найдите значения параметра а, при которых уравнение име- ет единственное решение (89—90). 89. (а— 1)х2+(д + 4)х4-а + 7=0. 90. (2а —5) х2 —2 (а —1) х + 3 = 0. 91. Найдите все значения а, при каждом из которых урав- нение (2а—1)х2 + ах-|-2а —3 = 0 имеет не более одного решения. При каких значениях параметра а уравнение имеет два раз- личных корня? Определите знаки этих корней в зависимости от а (92—97). 92. (а — 2)х2 — 2ах + 2а — 3 = 0. 93. (а-3)х2-2(3а —4)х + 7а —6=0. 94. х2-2(а-1)х + 2а+1=0. 95. х2 4- 2х — 8 = а (х — 4). 96. (а + 5)х2+(2а —3)х + а—10 = 0. 97. (За—1)х2 + 2ах + 3а —2 = 0. 98. Нет ли ошибки в изображениях графиков функций у = = ax2 + ftx + c и у = 2ах+6 (рис. 20, парабола и прямая ка- саются) ? 99. При каких а и b числа (а -|-й) и (а — 6) удовлетворяют уравнению х2 — (& + 1)х + а + & — 2 = 0? 100. Разложите на множители (x-f-y + z) (xy+yz-f-zx)—xyz. Докажите тождество (101 —104). 101. (х — у) (xz+ 1) (yz+ 1) + (у — z) (ух+1) (zx4-l) + +(z —x)(zy+l)(xy+l) = (x —у)(у—z)(z —х). t02 (*——6) I (х — ЬУх — с} (x — cXx—a) _ . (c — a\c — b) ’ (a — b)(a — c) ’ (b — c)(b — a) 129
юз. с (c — a)(c — b) (a — b)(a — c) (b — c)(b —a) 104. 4 (x + y-f-z)3 — 15[x(y — z)2 + y (z— x)2 + z(x — y)2]— — x (2x— y — z)2 — у (2y — z — x)2 — z (2z — x — y)2 = 108xyz. 105. Докажите, что если уравнение х2 -f-px-f-y = O имеет два корня, то уравнения x2 + (p + 2a)x-f-y + ap = 0, Зх2-|-2 (p + a)x + + у -]-ар = 0 также имеют различные корни при любом а. 106. Докажите, что при любом а хотя бы одно из двух уравне- ний х2 — (а2 — а)х + а — 2 = 0, х2 + (2 —a2)x-f-a2 —а—1 =0 имеет два различных корня. Докажите, что для любых попарно неравных а, Ь и с урав- нение имеет решение (107—108). 107. — 1-Ц-Н-----—=0. 108. ——|—Ц-Н——=0, abc^G. х — а х — Ь х — с Докажите неравенство (109—113). 109. а2 + Ь2 + с2 ab + Ьс + са. ПО. 5х2 + 5у2 + 5z28ху— 8xz-\~8yz. 111. (a + &)(&4-c)(c + a)>8a6c (a^0, b^0, c>0). 112. -\/a2 + b2 > (-\/a—-Jb)2 + ^2ab. 113. —+-r+—- (a>0, 6>0, c>0). a 1 b 1 c a+b+c 4 — —7 114. Найдите все а, для которых существует такое b, что при всех с выражение b2 — 4ab-f-2ac—с2 — 2Ь отрицательно. 115. Пусть Xi и х2 — корни уравнения x2 + px+y = 0, xi<x2. t2 — п Докажите, что если t удовлетворяет неравенствам Xi -^х2, то t равно Х[ или х2. р 116. Найдите a, b и с, если известно, что любой корень уравнения х (х — а) (х — &) = 0 удовлетворяет также уравнению (а — 1 )х2 + (я + b — 3)х + а + Ь + с = 0. 117. Известно, что для функции f (x) = ax2 + &x + c выполнены неравенства f ( — 3)< — 5, f (— 1)>0, f (1)<4. Определите знак а. 118. Известно, что для функции f (х) = ax2 + 6х-f-с выполнены неравенства f ( — 1)< 1, f (1)> —-1, f (3)< —4. Определите знак а. 119. Для каких р существует у, такое, что уравнение хР-]-рх-^ -]-у = 0 имеет один корень на отрезке [1; 2] и один корень на отрезке [5; 7] ? 120. Найдите все значения а, для которых один корень уравне- ния 2ах2 —2х —За —2 = 0 больше 1, другой меньше 1. 121. При каких значениях а существует единственный корень уравнения х2 —ах + 2 = 0, удовлетворяющий условию 1<х<3? 122. При каких значениях а уравнение (а— 1)х2 — 2ах + 2 — — За = 0 имеет единственное решение, удовлетворяющее нера- венству х> 1? 130
123. При каких значениях параметра а уравнение (а—1)х2 — — (а+1)х+а = 0 имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0<х<3? 124. При каких а уравнение 2х2 —2 (2а+1)х + а (а-f-1)=0 имеет два корня х\ и х?, Х|<хг, причем Х|<,а<Х2? 125. Сколько корней больше — 1 в зависимости от параметра а имеет уравнение х2+(2а-(-6)х+4а+12=0? 126. Сколько корней меньше 1 имеет уравнение (1 +а)х2 — — Зах + 4а=0 в зависимости от а? 127. Найдите все значения параметра а, при которых все корни уравнения (2 —а)х2 —Зах-}-2а = 0 больше 128. Найдите все значения а, при которых все корни урав- нения х2+х+а = 0 больше а. 129. При каких а все корни уравнения х2—2ax-j-a2 — а=0 расположены на отрезке [—2; 6]? 130. При каких а все корни уравнения х2 — 2ax-j-a2—2=0. расположены на отрезке [2; 5] ? Сколько решений, удовлетворяющих заданным ограничениям, имеет уравнение в зависимости от а (131 —135)? 131. (2а+3)х2 + (а-1)х + 4а + 3 = 0, 0<х<2. 132. 4х2 — 2х + а = 0, |х| 1. 133. х2 — 2ах — 1=0, |х| <2. 134. ах2—(а3 + 2а2+1)х + а(а-(-2)=0, 0<х^1- 135. (4-а)х2- бах + 3 = 0, -1<х<3. 136. При каких значениях а для всех х, таких, что 1 <х<2, вы- полняется неравенство х2 4- ах + а2 + 6а <0? 137. Найти все значения параметра а, для которых неравен- ство х2 — ах + а>0 верно при всех |х| < 1. 138. Для каких а неравенство (х—За) (х4-2а+1)<0 выпол- няется для всех х, таких, что 1^х^3? Х2_1_д2 139. Для каких а неравенство / 1 выполняется для всех х, таких, что — 1<х<1? а(х+ ) 140. При каких а неравенство х2 + ах —7а <0 выполняется при всех 1 <х<2? 141. При каких а, если выполняется неравенство х2 — — а (1 + а2)х + а4<0, то выполняется неравенство х2 + 4х-(-3<0? 142. При каких значениях параметра а все решения неравен- ства ах2 — 2х—а(а2 + 2)<0 удовлетворяют также неравенству х2<9? 143. Найдите все значения а, при которых корни х\ и х2 уравнения х2 — 2 (a—l)x4-2a-f-1 =0 удовлетворяют условию — 4 < Х| < 0 < х2 < 4. Найдите все значения параметра а, при которых корни х\ и х> уравнения удовлетворяют условию Xi<2, х2>3 (144 — 145). 144. (а —2)х2 —2 (a + 3)x + 4a = 0. 131
145. (-|-а-2\г--2 а-3)х + 4а2 = 0. 146. Изобразите на координатной плоскости все точки, коорди- наты которых (р; q) таковы, что уравнение х2 + рх-|-р = 0 имеет действительные корни, по абсолютной величине не превосходя- щие 1. 147. Найдите все значения параметра а, при которых урав- нение (х —а)2 (а(х —а)2 —а — 1)= — 1 имеет больше отрицательных корней, чем положительных. 148. Найдите все значения параметра а. при которых уравнение ((х — а)2 — 2а — 4)(х — а)2 = — 2а — 3 имеет больше положительных корней, чем отрицательных. 149. Найдите все значения параметра А, при которых урав- нение х(х-Ь 1)(x-f-ft)(х+1+Л)==/г имеет четыре корня. 150. Найдите все значения а, при которых уравнение х4 + + (а — l)x3 + x2-f-(a— 1 )х-f- 1 — 0 имеет не менее двух отрицатель- ных корней. 151. Существуют ли такие а, что оба корня уравнения а2х2— — 2а (2а + 1 )х -f-1 — 16а2 = 0 лежат между 0 и 1? 152. Для каких а уравнение + 2а +1 =0 имеет ре- шение? Решите уравнение (153—164). 153. (х+ 1) |х— 11 =а. 154. х|х—41 + а = 0. 155. х|х+11 +а = 0. 156. V2x-f- 1=х — а. 157. д/2ах — 1 = х — 1. 158. х4-д/х = а. 159. -^2х—\/х— 1 =а. 160. У2х-|-2—\/х —2 = 161. x + ~>Jx(a — x) = 1. 162. -\Jx — ^Jx — a = a. 163. х4--д/а4-л/*=а- 164. д/2х2 + (а — 2)х — а2 — 1 = х — 1 165. При каких а уравнение -^/х + 3=2х — а имеет единствен- ный корень? 166. При каких а уравнение V* + 2а -f-1 = а+~- имеет два кор- ня? 167. При каких а уравнение д/2х —3 = а —Зх не имеет реше- ний? 168. При каких значениях параметра а уравнение |х2 —1| = = 2х —х2+а имеет единственное решение? Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение (169— 171)? 169. ах2+|х- 1|=0. 170. х2 + а|х — 2| =0. 171. х2 + 2|х-а|=5. 132
172. При каких а уравнение lx2—6х+8| +lx2 —6х+5| —а имеет более трех решений? 173. Найдите все значения а, при которых уравнение 11 —ах\ = = 1+(1 —2а)х+ах2 имеет один корень. 174. Для каждого значения параметра а найдите все значе- ния х, удовлетворяющие уравнению__ (х_3)(х+1) + 3(х_3)^/£±^=(а_1)(а + 2), и найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственный корень. 175. Для каждого значения параметра а найдите все значения х, удовлетворяющие уравнению (х+2)(х + 4)+5 (х + 2)у — —(а + 2) (а—3) = 0, и найдите все значения а, при которых уравнение имеет единственный корень. 176. Определите все значения параметра а, для которых урав- нение х |х — 2а| —1—а = 0 имеет единственное решение. 177. Определите все значения параметра а, для которых урав- нение х2 + 4х — 2|х — а|+2 — а = 0 имеет два решения. 178. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых существует только одно значение х, удовлетворяющее системе уравнений Г |х2 — 5х + 4|—9х2 — 5x4-4 +10х|х| =0, I х2 —2 (а— 1)х+а (а —2)=0. 179. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых существует только одно значение х, удовлетворяющее системе ( |х2 — 7х + 6|+х2 + 5х + 6-12|х|=0, I х2 — 2 (а — 2)х+а (а — 4) = 0. При каких значениях а неравенство выполняется при любых значениях х (180—183)? 180. (а + 4)х2 —2ах + 2а —6<0. 181. (а-З)х2 — 2ах + 3а —6>0. 182. (а2-1)х2 + 2(а-1)х+2>0. 183. | | <3. Решите неравенство (184—191). 184. х2 + ах + а>0. 185. х2 + 2х + а<0. 186. х2 + ах+1>0. 187. 2 |х—а| <2ах—х2 — 2. 188. х2 + 2ах+ 1 >а |х + а|. 189. 1. 190. д/2х + а х. 191. -д/а + х+д/а —х>а. 192. При каких а при всех -~-^х^1 выполняется неравен- ство x-f-n/x2 —2ах> 1? 193. Докажите, что если а>0 и для какого-то х, удовлетворя- ла
ющего условиям а^.х^2а, выполняется неравенство х2 + + 2 (2а—1) (а —х)—4> О, то а>2. 194. Найдите все х, при которых для всех |а| ^2 выполняется ах2 — 3 — х л неравенство 25+8ах2'<0- 195. Найдите все значения а, при которых неравенство 3— \х — а\>х2 имеет хотя бы одно отрицательное решение. 196. Найдите все значения а, при которых неравенство |х + а| 4-х2<2 имеет хотя бы одно положительное решение. 197. При каком значении параметра а уравнения х24~ах4-1 = 0 и х24-х4-а=0 имеют общий корень? 198. При каких значениях параметра а уравнения Зах2 — 5х-(- 4-2а = 0 и 2х2-|-ах — 3 = 0 имеют общий корень? 199. При каком значении параметра а один из корней уравне- ния х2—5х-|-а = 0 будет вдвое больше одного из корней уравне- ния х2 — 7х-|-2а=0? 200. Известно, что уравнения x2+px + q=0 и x24-pix4-<7i = = 0 имеют общий корень. Составьте квадратное уравнение, корня- ми которого были бы два оставшихся корня данных уравнений. 201. Даны два уравнения х2-|-2х4-а=0, (14-а)(х24-2х-|-а)— — 2 (а— 1) (х24- 1)=0. Докажите, что если одно из этих уравнений не имеет решения, то другое имеет решение. Для всех а^0 решите неравенство (202—204). 202. 4а3х44-4а2х24-32х4-а-|-8>0. 203. а3х4 4- 6а2х2—х -|- 9а 4- 3 > 0. 204. х44-ах3-|-а4х—а6^0. 205. Для всех значений параметра а решите неравенство 2х24-х — а — 8< |х24-2х — 2а — 4|. 206. Среди точек плоскости, координаты которых (х; у) удов- летворяют системе неравенств ( у — 2х>0, I —х2-|-2ах —а24-а-|-1 —у>0, найдите точку с наибольшей ординатой в зависимости от а. При каком а эта ордината будет наибольшей? 207. При каких значениях а каждое решение неравенства х2 — 3x4-2<0 будет содержаться среди решений неравенства ах2 — (За 4- 1)х 4-3>0? 208. Для каких а любое решение неравенства х2 — х — 2<0 больше любого решения неравенства ах2 — 4х— 1^0? 209. Для каких а любое решение неравенства х2 — (а—1)х-(- 4-14-а<0 меньше, чем любое решение неравенства х2 — — (а4- 1)х4-3а4-15^0? (Предполагается, что каждое из нера- венств имеет решение.) 210. При каких а множество решений неравенства х2 — —(а 4-1) ах4-а3 0 содержит не менее пяти целых значений х? 134
211. При каких а множество решений неравенства х(х—4) + 4-а1 2 (а+ 4)^ ах (а 4- 1) содержит не более четырех целых значе- ний х? Найдите наибольшее и наименьшее (212— 214). 212 и— 2x4-1 qiq у— х24-2х—1 У X2—х-Ц • ZiJ’ У 6х2—7х+3 значение функций 214. у=^-4—г,- х2+1х— 11 215. При каком значении параметра а наибольшее значение функции y=-^g±±_ х? + ^3х + 2а У Х2+1 равно наименьшему значению функции 216. Найдите все значения параметра а, удовлетворяющие условию — 1<о<1, для каждого из которых выражение 1 + 2 V*2 —2аху+у2 —6у +10 принимает наименьшее значение только для одной пары х, у. 217. Найдите наибольшее значение выражения x-j-2y, если х, у отрицательны и удовлетворяют неравенству х2— 4ху+у2 + 3^0. 218. Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать х-\-2у, если Зх2 — 2ху+4у2^5. 219. Найдите наибольшее значение Зх + 2у, если х и у не- положительны и 2Х2 — ху + 3у2^4. 220. Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать выражение 2х2 + 3ху+4у2, если х2 —ху + + 2у2 = 3. 221. Найдите наименьшее значение, которое может принимать выражение 2х2 — 2ху + у2, если х2 — 2ху — Зу2 = 4. 222. При каких а неравенство 1 выполняется при всех х? 223. При каких а неравенство х2— |х—а| — |х— 11 +3^0 выполняется при всех х? 224. При каких а неравенство х2 + х+ |х—а| +-|- =^0 имеет хотя бы одно решение? 225. Найдите все значения параметра а, для которых наимень- шее значение функции у==х2+ |х—а| + |х— 11 больше 2. 226. Найдите все значения а, при которых наименьшее значе- ние функции у = ах+|х2 — 4х+3| больше 1. 227. Найдите все значения а, при которых наименьшее значе- ние функции у=3|х—а| + |х2+х —2| меньше 2. 228. Найдите все значения а, при которых наименьшее зна- чение функции у=х2 + 2|х + а—11 + (а +1 )2 меньше 3. 229. Докажите, что кривая у=—х2 — 4х—2 не пересекается с прямой у = 2х+12. Найдите расстояние между их ближайшими точками. 135
230. Найдите кратчайшее расстояние от точек параболы у — = х2 —8х+16 до прямой #= — 2х+1. 231. Найдите все х, которые являются корнем хотя бы од- ного уравнения вида х2 + рх + ^ = 0, где |р| 1, |р|<1. 232. Найдите все такие q, что для любого р уравнение х2 + рх-{-^ = 0 имеет хотя бы один корень. Расположите по порядку в зависимости от а корни уравнений (233—235). 233. х2+—4-2а = 0 и х2+—-а=0. а а 234. х2 4-4x4-2а=0 и х2 4-Зх 4-За = 0. 235. х2 — 4ах — 5а2 = 0 и х2— 2ах—1=0. 236. При каких а для любого х выполняется хотя бы одно из двух неравенств х2+5а2+8а > 2 (Зах-|-2), х24-4а2^а (4x4- 1)? 237. При каких а существует хотя бы одно значение х, удов- летворяющее наравенствам х>1, 3—|х —а|>х2? Найдите все значения параметра а, при которых не существует ни одного х, одновременно удовлетворяющего неравенствам (238—239). 238. ( (х — а) (ах — 2а — 3)^0, I ах ^4. 239. ( ах24-(а —3)х4-^-—2а>0, 1 ах^а2 — 2. 240. Найдите все значения параметра а, при которых система {и х2 -I- а. у 2_Гп имеет единственное решение. X у и Решите систему неравенств (241—242). 241./ х2 + 4х + 3 + а<0, 242./ х2 —х —2-f-a<0, ( 2х + а + 6>0. I х2 —2х —3 + 2а>0. 243. Найдите все значения а, при которых система неравенств х2 + 2х4-а 0, у2 —4 г— В 0 имеет единственное решение. 244. Найдите все значения а, при которых решения системы {х2 — 2х а — 1, z? х2 — 4х<1— 4а °бРазУют на числовой оси отрезок длины единицы. 245. Найдите все значения а, при которых решения системы / х2 “р 6х “р 7 -4- а 0, « неравенств | х2 + 4х+7<4а образуют на числовой оси от- резок длины единицы. 246. Числа г, s, t таковы, что r<s</. Кроме того, известно, что если любое из них подставить вместо у в равенство х2 — “-(9 — */)х + у2 —9у+15 = 0, то по меньшей мере одно из двух ос- тавшихся чисел будет содержаться среди корней получивше- гося квадратного уравнения. Докажите, что — 1<г<1. 136
247. Числа a, b, с таковы, что а<Ь<с. Кроме того, известно, что если любое из них подставить вместо у в равенство х2 — 3-1<~-!-х4--^- =0, то по меньшей мере одно из двух оставших- ся чисел будет содержаться среди корней получившегося квад- ратного уравнения. Докажите, что — 2<6<0. 248. Найдите все значения параметра а, при которых систе- {х2 4” 2ху — 7 у2 —“ 2 2 имеет решение. Зх 4” Юху— 5у —2 249. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко- {5х2 — 4ху 4- 2у2 > 3, 2 2 2а— 1 имеет решение. 7х +4ху + 2у <27+5 250. Для каких р существует q, такое, что | х2-f-р* + <71 < 1, если |х|< 1? 251. Докажите, что на отрезке [—1; 1] наибольшее значение функции у=\х2+рх + р| не меньше чем -у. Для каких р и q наибольшее значение этой функции равно -у? 252. Пусть f (х)=х2 —2. Докажите, что уравнение f (f (f (х)))=х имеет восемь корней.
§ 6. ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Натуральные числа, целые, рациональные, действительные — в такой или примерно такой последовательности расширяли мы в школе свое знание о числе, расширяли само понятие «число». Попробуем сейчас отметить основные вехи пройденного пути, напомнить некоторые определения и свойства, рассмотреть раз- личные задачи, и прежде всего те задачи, что остались в свое время вне нашего поля зрения, поскольку появиться в школьном курсе в момент изучения соответствующего программного ма- териала эти задачи не могли из-за недостаточного еще мате- матического развития учащихся. 27. Натуральные и целые числа Мы не будем давать строгой аксиоматической теории нату- рального ряда. Ограничимся напоминанием основных определе- ний, свойств и теорем на уровне «здравого смысла». Последовательность чисел 1, 2, 3,... образует натуральный ряд. Числа этой последовательности можно попарно складывать и перемножать. В результате всегда получаем натуральное число. Мы говорим, что натуральное число b является делителем нату- рального числа а (или что число а кратно числу &), если сущест- вует натуральное число q, такое, что имеет место равенство a=bq (а — делимое, b — делитель, q — частное). Таким образом, любое натуральное число делится само на себя и на 1. Все нату- ральные числа больше 1 разбиваются на два множества (клас- са) — простые и составные. Простые числа не имеют делителей, отличных от двух перечисленных (само число и 1). Составные имеют. Основная теорема арифметики утверждает: «Любое натураль- ное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел (не обязательно различных), и притом единствен- ным (с точностью до порядка сомножителей) образом». Напомним еще два понятия арифметики: наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Обратим внимание на одну забавную лингвистическую особенность. Каж- 138
дое из этих понятий само себя определяет. (Наибольшим общим делителем двух или более натуральных чисел называется их ... наибольший общий делитель.) В школе изучаются методы нахождения НОД и НОК, осно- ванные на разложении натуральных чисел на простые множители. Суть в следующем. Пусть нам надо найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и & — НОД (а; &) и НОК (а; &). Разложим каждое из данных чисел на простые множители. Если простое число р входит в одно разложение k раз (в степени £), а в другое — т раз и k^m, то это р входит в разложение на простые множители НОД (а; Ь) в степени k, а в разложении на простые множители НОК Ь) — в степени т. Так, например, если а = 252 = 22-З2>7, 6 = 528 = 24-3* 11, то НОД (а; &) = 22*3 = 12, НОК(а; &) = 24-32-7.11 = 1188. Рассмотренные методы обобщаются на произвольное число на- туральных чисел. Простое число р входит в разложение на про- стые множители НОД (а; 6; с;...) в степени, равной наимень- шей из степеней, в которых оно входит в разложение на простые множители чисел а, Ь, с, ..., а в НОК (а; 6; с;...) это р входит соответственно в наибольшей степени. Если НОД (а; &)=1, то а и b называются взаимно простыми. Другой способ нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, так называемый алгоритм Евклида, менее известен в шко- ле. Однако этот алгоритм играет очень важную роль в самых различных математических теориях. В основе его лежит «деление с остатком». Прежде чем напомнить о том, что значит деление с остатком, удобно для большей общности добавить к натурально- му ряду число 0 и множество целых отрицательных чисел — получить совокупность целых чисел. (Заметим, что на множестве целых чисел определена еще одна арифметическая операция — вычитание. Раньше мы могли вычитать лишь из большего мень- шее.) Пусть теперь а — произвольное целое число, b — натураль- ное. Разделить а на b с остатком — это значит найти такие целые числа q и г, 0^г<&, что выполняется равенство a = bq-\~r (а — делимое, b — делитель, q — частное или неполное частное, г — остаток). Легко методом от противного доказывается единст- венность такого представления для заданных а и Ь. Обратим внимание на то, что а — целое, не обязательно натуральное. Например, если а= — 17, & = 7, то — 17 = 7 ( —3)+4 (7= — 3, г=4). Вернемся к задаче нахождения НОД (а; 6), пусть а>Ь. Нам удобнее обозначить остаток от деления а на b через и, поскольку затем появятся г2, /*з, ... . Имеем a = bq\-}-r\. Очевидно, любой общий делитель а и b является также делителем и Г\. Любой об- щий делитель b и г\ является делителем а. Таким образом, у пар (а; Ь) и (6; и) одинаковые общие делители и, следовательно, НОД (а; &)=НОД (&; rj). Разделив затем с остатком Ь на найдем г2, НОД (6; Г1)=НОД(Г1; г2). Затем делим г\ на г2, находим г3, 139
НОД (гг, г2) = НОД (г2; гз) и т. д. Получаем убывающую последова- тельность натуральных чисел а, &, л, г2, ... . Эта последовательность конечна. Пусть л — последний, от- личный от нуля остаток. Тогда НОД (а; Ь)=г*. В самом деле, любая пара соседних чисел нашей последовательности имеет один и тот же НОД, а для последней пары НОД(гл_г, л) = л, поскольку rk-\ делится на rk. Например, найдем НОД (5083; 3553). Алгоритм Евклида приводит нас к последовательности (вычисления опускаем) 5083, 3553, 1530, 493, 51, 34, 17, 0. Последний, отличный от нуля остаток 17, следовательно, НОД (5083; 3553) = 17. Вернемся к делению с остатком. В практике конкурсного эк- замена, в основном, правда, устного, встречаются задачи типа «найти остаток от деления на ...». Прежде чем рассмотреть при- меры, построим небольшую теорию, благо все предпосылки к этому уже созданы. Если два целых числа а и b при делении на т имеют равные остатки, то мы для краткости (и для удобства) бу- дем это записывать в виде a = b(ni). Эта запись так и читается: а при делении на т дает такой же остаток, как и Ь при делении на т. (В математической литературе принята запись a = b (mod т\ которая несколько иначе читается, хотя означает то же самое.) Поскольку 0 делится на любое натуральное число, то запись а=0(т) означает, что а делится на т. Очевидно, что запи- си а = Ь (пг) и (а —6)==0(/п) означают одно и то же, эквива- лентны. Имеют место следующие два свойства: если а = Ь(гп) и c = d (m), то 1) a-\-c = b-\-d (т)\ 2) ac = bd(m). Оба свойства достаточно очевидны. Докажем второе. Нам надо доказать, что ac — bd = 0 (т\ т. е. что ac — bd делится на т. Имеем ac — bd = (a —-b) с — b (d — с) = 0 (т), поскольку по условию а—-Ь и d-c делятся на т. Следствие. Если а~Ь (т), то ak = bk(m) при всех натураль- ных k. Решим теперь задачу. 1. Найти остаток от деления на 17 числа 2011989. Решение. (Для краткости будем пользоваться записью вида a = b = c = ... = d (tri), означающей, что при делении на m число а дает тот же остаток, что и ft; b — такой же остаток, что и с, и т. д., т. е. все числа а, 6, с, ..., d дают одинаковые остатки при делении на т.) 201 = —3(17), 2012 = 9 (17), 2013 = -3-9 = 7 (17), 2014= —3-7= —4 (17), 2018= 16~ — 1 (17), 2011б= 1(17). Следовательно, при лкхбом натуральном k будет 20116*=1 (17). Но 1989=16-124 + 5. Значит, 140
2011989 = 20116124.2015 = 2015 = 2014‘201 = 12 (17). Ответ. Остаток равен 12. Обратим внимание на характерный момент. Мы нашли по- казатель степени, при возведении в которую получается число, дающее при делении на 17 в остатке 1 (20116=1 (17)). С другой стороны, мы показали, что числа 201* при делении на 17 дают остатки, которые периодически повторяются с периодом 16:201* + 16 = 201* (17). Прежде чем продолжить рассмотрение примеров, еще раз под- черкнем, что введенная запись преследует единственную цель — сокращение записи. Если угодно, это просто стенографический знак, заменяющий соответствующий словесный оборот. 28. Решение уравнений в целых числах Рассмотрим несколько типичных уравнений, в которых требу- ется либо найти целочисленные решения, либо доказать отсутст- вие таковых. 2. Найти все целочисленные решения уравнения Зх2 + 4ху— -7/=13. Решение. Разложим левую часть на множители: Зх2 4- 4ху — 7 у2=(х—у) (Зх + 7 у). Имеем (х —t/)(3x + 7i/)= 13. Поскольку 13 можно представить в виде произведения двух целых чисел с учетом порядка четырьмя способами (13=Ь 13= 13-1 =(-!)(- 13) = (- 13)-(-1)), то по- лучаем четыре системы: Г х — i/=l, fx — £/=13, ( х — у= — 1, f х — у= — 13, ( 3х + 7у=13, (Зх + 7у=1, ( Зх + 7г/= —13, \Зх + 7у= — 1. Целочисленные решения имеют лишь 1-я и 3-я системы. Ответ. (2; 1); ( — 2; —1). 3. Решить в целых числах уравнение 2х2 — 2ху + 9х-^у = 2. 9г2 I Qv_9 Решение. Выразим у через х: у=—2^_t— • Преобразу- ем полученную дробь (с этим приемом мы встречались в § 1, задача 2, с. 15): .. _2х2+9х —2_2х2 —х+10х —5 + 3_„ । с; i 3 2х-1 — 2х—1 — 2х_ 1 • з Поскольку у и х — целые, то 2х_1 должно быть целым числом. Имеем четыре возможности: 1) 2х—1 = 1; 2) 2х—1=3; 3) 2х—1 = — 1; 4) 2х—1 = —3. Затем находим х и у. Ответ. (1; 9); (2; 8); (0; 2); (-1; 3). 141
4. Найти целочисленные решения уравнения 113%+179// = = 17, удовлетворяющие неравенствам х>0, у > — 100. Решение. Воспользуемся методом, сходным с алгоритмом Евклида. Имеем 179=1’13 + 66. Перепишем наше уравнение в виде 113 (% + у) + 66у = 17. Обозначим % + y = u, 113и + 66у=17. Как видим, у нового уравнения один из коэффициентов уменьшился. Можно вновь 113 разделить на 66 с остатком, а лучше так: 113 = 2*66—19. Получаем 66 (2« + у)—19и = 17. Обозначим 2u + y = v, 66и — 19и = 17, 66=19-3 + 9. Получа- ем уравнение 19 (Зи —u) + 9v = 17, 3v — u = w; 19ш + 9и=17, 9 (2ш + ^) +w = 17, 2w-\-v = t. Наконец, получаем уравнение 9/+ ^ = 17. Это уравнение имеет очевидное решение: w = 17 — 9/, где t — любое целое число. Двинулись в обратный путь: v = t — 2w = t — 34+18/ = = 19/ —34, u = 3w —ш = 66/—119, y = v —2u= —113/ + 204, х = и — у= 179/ —323. Таким образом, х=179/ — 323, у= — 113/ + 204, где /— про- извольное целое. Из условия х>0, у> —100 найдем / = 2, х = 35, у= —22. Ответ. 35; —22. Рассмотрим еще два уравнения. Советуем разобрать и запом- нить приемы, используемые при их решении. Они достаточно часто применяются. (Здесь мы имеем в виду скорее подготовку к математической олимпиаде, чем к конкурсному экзамену.) 5. Найти натуральные х и у, для которых выполняется ра- венство 2х — 15=у2. Решение. Рассмотрим два случая. 1) х = 2&+1 (х — не- четное число). Поскольку 22 при делении на 3 дает в остатке 1, то 22*4"1 при делении на 3 дает в остатке 2 (22* + 1 =(22)/г*2= 1 X Х2(3) = 2), 15 делится на 3. Следовательно, у2 не делится на 3. Но квадрат числа, не делящегося на 3, дает при делении на 3 в остатке 1. (Докажите и запомните.) Таким образом, равенство невозможно (левая и правая части дают при делении на 3 разные остатки). 2) x = 2k. Тогда 22k — у2 =15, откуда (2* —у) (2* + у) = 15. Оба множителя слева целые и положительные (так как второй множитель положителен), второй больше первого. Возможны два варианта: 2* —у=1, 2^ + у= 15 и 2*-у = 3, 2fe + y = 5. Ответ. (4; 1); (6; 7). 142
6. Найти натуральные числа х и у, для которых выполняется равенство х4+х3+х2 + х4-1=У2- Решение. Представим левую часть в виде(х24--|—|—|) -|- 5 55 +—(Мы не смогли выделить полный квадрат — это было бы слишком хорошо, но зато сумели его «почти» выде- лить.) Умножая обе части на 64, получаем равенство (8х2 + 4х + З)2 + 40х + 55=(8у)2. Таким образом, 8у>8х2 + 4x4-3, 2у^2х2 + *+1. Умножим обе части исходного равенства на 4, а затем, воспользуясь тем, что 4у2^(2х2 + х+ 1)2 = 4х4 + 4хэ+5х2 + 2х+ 1, будем иметь 4х4 + 4х3 + 4х2 + 4х + 4 4х4 + 4х3 + 5х2 + 2х + 1, или х2 —2х —3^0, откуда х^З. Осталось проверить для х зна- чения 1, 2, 3. Ответ. х = 3, у= 11. 29. Рациональные, иррациональные и действительные числа Добавляя к целым числам дробные, мы получаем класс ра- циональных чисел. Напомним, что рациональными называются числа, которые можно представить в виде дроби , где р и q — целые числа. Целые числа в смысле данного определения можно рассматривать в виде дроби со знаменателем, равным 1. (Здесь возникают забавные логические нюансы и даже противоречие — порочный круг, избавиться от которого, не выходя за рамки нашего курса, затруднительно. И еще одно замечание. Истори- чески развитие понятия числа происходило в иной последователь- ности: натуральные числа, дробные положительные и лишь затем отрицательные числа. Как правило, этот путь принят и в школе.) На множестве рациональных чисел определена еще одна опе- рация — деление. Для любых двух рациональных чисел а и b при условии Ь=£ 0 существует рациональное число а:Ь. И наконец, последний шаг — пополнение множества рацио- нальных чисел иррациональными. В результате получаем сово- купность действительных чисел, заполняющих так называемую числовую прямую. (Заметим, что с понятиями «действительное число», «числовая ось» дело обстоит не так просто, как мы здесь представили. Человечеству понадобилось не одно столетие, чтобы открыть эти понятия, после чего прошло еще немало времени, 143
прежде чем была создана строгая теория действительных чисел.) Напомним, что геометрическая прямая становится числовой, если на ней выделены две точки, одна из которых называется (соот- ветствует) 0, другая 1. Теперь по известному правилу устанав- ливается взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами. Итак, для каждого действительного числа выполняется аль- тернатива: это число или рационально или иррационально (т. е. нерационально). Конечно, сформулированное утверждение выгля- дит несколько наивно, чтобы не сказать больше. Тем не менее известный смысл в том, чтобы его выделить, имеется. Один из наиболее распространенных типов задач, которые следует рассмотреть в связи с данной темой, заключается в до- казательстве иррациональности данного числа. Здесь полезной может быть следующая теорема: «При любых натуральных N и k число является или целым или иррациональным». Иными словами, если не извлекается нацело, то \fN~ — иррациональное число. Данная теорема является частным слу- чаем теоремы о рациональном корне многочлена с целыми коэф- фициентами (см. §1, с. 25). Для этого достаточно применить эту теорему к уравнению x* — N = 0. Тем не менее мы дадим еще одно доказательство. Предположим противное. Пусть где -2---несо- кратимая дробь и Возводя это равенство в степень k, Dk получим #=£5-. Но сократимая дробь в любой степени оста- ется несократимой. Получилось противоречие: N равно несокра- тимой дроби со знаменателем, не равным 1. Рассмотрим несколько задач на эту тему. 7. Доказать иррациональность числа -^2 + ^/3. Решение. Предположим противное: -^/2+\/з = г, где г — рациональное число. Тогда Уз = г—-д/2. Возведем это равенст- во в куб: З = г3 —3-\/2г2 + 6г —2 д/2, откуда /9_г3 + 6г — 3 У Зг2 + 2 * Получилось, что д/2 равняется рациональному числу. Проти- воречие. 8. Найти все рациональные х и у, удовлетворяющие урав- нению у2 = х2 — 2% + 3. Решение. Обозначим у — х = г, г — рациональное, у = % + г. Заменяя у через х и г, получим 2гх-|-г2 = 3 —2х, откуда 144
Значит, _з+г2+2/. у~ 2 (г +1) ’ где г — произвольное рациональное, r=# — 1. Еще один часто встречающийся тип задач — сравнение чи- сел. 9. Сравнить, что больше: д/7+д/То или д/3+д/Т7, не пользуясь микрокалькулятором. Мы не станем здесь обсуждать, сколь современно выглядят сегодня задачи подобного типа. Ограничимся одним, возможно, и не самым существенным аргументом. Даже в век воздушных лайнеров остаются любители пеших походов, польза которых ни у кого не вызывает сомнений. Решая подобного рода задачи, необходимо иметь в виду, что знак « (приближенного равенства) сам по себе матема- тически бессмыслен. Его можно формализовать, если считать, что истинное значение отличается от написанного не более чем на 1 единицу (или 1 / 2 единицы) последнего десятичного зна- ка записи. Обычно в задачах, в которых надо сравнить два числа, по- ступают следующим образом. В процессе решения на чернови- ке между сравниваемыми числами ставится знак V (знак срав- нения — знак неравенства, обращенный острым концом вниз, сви- детельствующий о нашем незнании, в какую сторону его следу- ет направить) до тех пор, пока не выяснится, что больше. За- тем этот знак заменяется на нужное неравенство, и на чис- товике решение начинается со слов «Докажем, что ... больше, чем ...». Решение. Будем решать нашу задачу, пользуясь знаком V » как на черновике. Имеем д/7+д/10V"\/3 + д/17. Возводим обе части в квадрат, уединяем один корень, вновь возводим в квад- рат и т. д.: 17 + 2 д/70 V20 + 2 л/5Т; 2 V™ V3 + 2 д/бГ, 280 V213+12 д/бТ, 67V 12 д/£И. Здесь очевидно, что 67< 12-7< 12 д/бТ. Следовательно, V7+Vfo<-V3+VT7. 10. Сравнить, что больше: 13 или 6+V3- Р е ш е н и е. Оставив за кадром эвристические* соображения, докажем, что ^/413>6+V3. Возведя обе части в куб и упростив, получим 97 >54^3 +9^9. Докажем, что 54\/3<78, 9^9 <19. В самом деле, после сокращения первого неравенства на б и возведения в куб получим очевидное неравенство 2187<2197. Второе неравенство таким же образом приводится к 6561 <6859. * Слово «эвристика» происходит от греческого «нахожу». (Вспомните воскли- цание Архимеда: «Эврика!») 145
30. Метод полной математической индукции Одним из самых универсальных методов доказательств матема- тических утверждений,’ в которых фигурируют слова «для произ- вольного натурального и» (возможно, явно не высказанное), является метод полной математической индукции. Доказательство при помощи этого метода всегда состоит из двух этапов: начало индукции и индуктивный переход. В простей- шем варианте это выглядит следующим образом. 1) Начало индукции. Доказывается (проверяется), что сформу- лированное утверждение выполняется при л=1. 2) Индуктивный переход. Доказывается теорема, что если сформулированное утверждение выполняется для п (при этом справедливость утверждения для п иногда называют «предполо- жением индукции»), то оно выполняется и для п +1. В неко- торых случаях для начала индукции приходится проверять не- сколько начальных значений. Можно также в качестве предпо- ложения индукции считать, что утверждение выполняется для всех Бывают и более сложные модификации. Таким образом, начав с п=1, мы на основании доказанно- го индуктивного перехода получаем справедливость доказываемо- го утверждения для и = 2, 3, ..., т. е. для любого п. Рассмотрим несколько примеров. 11. Доказать, что при любом натуральном п число 32л+,+ + 2л+2 делится на 7. Доказательство. Обозначим ал = 32л+1 4-2л+2. 1) Начало индукции. Если п= 1, то а\ =35 делится на 7. (Впро- чем, начать здесь можно было и с п = 0.) 2) Индуктивный переход. Пусть ап делится на 7. (Предпо- ложение индукции.) Имеем ап+1=32 ^ + 1)+1+2(л + 1)+2 = 32л+1-94-2л+2.2 = = (32л+1 + 2л+2)9-7.2п+2 = 9ал-7.2л+2. Последнее число делится на 7, так как представляет собой разность двух целых чисел, делящихся на 7. 12. Доказать равенство 12 + 22 + З2 + ••• + + 1" - Доказательство. 1) Начало индукции. При п = 1 равен- ство очевидно. 2) Индуктивный переход. Пусть равенство имеет место при некотором п. Тогда 12 + 22 + 32 + ... + п2 + (п+1)2=п(п + 16(2п + 1) + (п + 1)2 = _п +1 (2п2 | 7п | 6)(2п+3) 146
Таким образом, равенство справедливо и при п + 1, поскольку получается из заменой п на п+1. 13. Доказать, что при всех натуральных п выполняется не- 1 3 5 равенство ——-—— • 2п-1< 1 2л ’ Доказательство. Обозначим левую часть неравенства через ап, 1) Начало индукции. Справедливость неравенства при п = 1 очевидна. 2) Индуктивный переход. Пусть . Нам надо дока- уЗп +1 зать, что О'П-ь 1 .. ". = 73 (л+1)4-1 1 д/Зп + 4 А поскольку cin-j-1 — ап 2/1 +1 < 1 2/г+1 2п + 2 ^^/З/г+1 2/г + 2 ’ то нам достаточно доказать неравенство 1 2/1+1 1 73/г + 1 2/1 + 2 73,1 + 4 ’ Возведя это неравенство в квадрат и упрощая, приходим к неравенству п^О. В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний. 1. Во всех рассмотренных примерах формулировалось утверж- дение, которое следовало доказать. Нередки задачи, в которых необходимо найти данное выражение и т. п. Например, вместо то- го чтобы доказывать формулу, по которой можно вычислить сумму квадратов натурального ряда (задача 12), надо было бы найти, чему равна эта сумма. Тогда, если бы мы хотели воспользо- ваться методом полной математической индукции, сначала надо было бы на основании нескольких начальных наблюдений выдви- нуть гипотезу, а затем уже доказывать ее. Бесспорно, найти пра- вильную гипотезу достаточно быстро, а тем более с первого раза удается не всегда. Требуется известный опыт. 2. На основании результата задачи 13 мы легко докажем неравенство J____3 99 1 2 ’ 4 ’'”’100 12 ' С другой стороны, при доказательстве конкретного числового неравенства с большим числом входящих в него элементов очень часто полезно бывает найти оценку для произвольного п при 147
помощи метода полной математической индукции, а затем исполь- зовать этот результат для конкретного п, 3. Обратим внимание на часто встречающийся парадокс индук- ции: доказательство более сильного утверждения осуществляется проще, чем доказательство более слабого. Так, например, если бы мы хотели доказать более слабое, чем в задаче 13, неравен- ство, заменив правую часть на , то мы испытали бы существен- -уЗя но большие затруднения на втором этапе — индуктивном переходе. Во всяком случае, можно утверждать, что из неравенства ап^-~=г у/Зп не следует неравенство ап 1 (Проверьте.) + 2 -j3n + 3 4. Бывают случаи, когда в качестве начального значения следует взять не 1, а большее значение. Полезно также бывает проверить, «работает» ли индукционный переход на первом шаге. В качестве предостережения школьникам, начинающим изучать метод полной математической индукции, приведем «доказатель- ство» следующей «теоремы»: «Любые п чисел равны между собой». При п = \ утверждение очевидно. Пусть оно верно при некото- ром п. Возьмем п +1 произвольных чисел. По предположению индукции первые п чисел равны между собой. Точно так же равны последние п чисел. Следовательно (!), все п + 1 чисел равны между собой. 31. Числовые последовательности. Суммирование последовательностей Последовательность есть функция натурального аргумента, т. е. функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Обычно член последовательности, соответ- ствующий значению и, записывают как ап (или Ьп, сп, ... и т. п.). Последовательность может задаваться непосредственно в виде функции от п. Например, ап=—, Ьп = п -yj. Очень часто мы п уп встречаемся с последовательностями, задаваемыми (определяемы- ми) рекуррентным соотношением, т. е. соотношением, выражаю- щим зависимость a„+i от предыдущих значений: ап, ...— и конечным набором начальных значений последовательности: а2, ...» ak. Именно так определяются в школе арифметическая и геомет- рическая прогрессии. (Для арифметической прогрессии art+i = = ал + б/, для геометрической an+\=qan. Для обеих, кроме того, задается а\.) Типичной задачей для последовательностей, заданных рекур- рентным соотношением, является задача нахождения формулы, выражающей п-и член как функцию от п. 148
14. Определить общий член последовательности, заданной со- отношением ап^\=ап-}-п, если ai=O. Решение. Данная последовательность есть последователь- ность сумм натурального ряда: ап4-1=ал + п = ал_1+п —1 +п = ...= =«+(«_ l)+...+34-2+l=^in«. Ответ. ап =—^"~^. Рекуррентные последовательности широко используются в при- ближенных вычислениях. Так, например, для вычисления д/х удоб- на последовательность, определяемая соотношением ал+1 = =-|-(ал+-“-) , ai = l. Члены последовательности достаточно быстро приближаются к д/х. Рассмотрим в связи с этим задачу. 15. С какого п члены последовательности , а1==1 будут отличаться от д/2 не более чем на 1О“10? Решение. Пусть |ал— д/2|=ел и ал^1. Тогда Поскольку а2=-|-, ТО е2<-^г. Затем 10-2, £ 1 и Л Л 1О~8<1О~10. Следовательно, уже а$ дает нам верных 10 знаков после запятой для д/2. Ответ. п — 5. В школьном курсе выводятся формулы, выражающие суммы п членов арифметической и геометрической прогрессии. Мето- ды, при помощи которых эти формулы доказываются, имеют до- статочно общий характер. Другой универсальный метод — метод математической индук- ции — был нами рассмотрен в предыдущем пункте (см. зада- чу 12). Этот метод особенно удобен, если нужная сумма известна. В иных случаях, как мы уже отмечали, очень много зависит от умения учащегося делать правдоподобные гипотезы. Здесь полезно дать одну рекомендацию. Если ап — многочлен k-й степени от п, то сумма а\ +а2 + ... + ап есть многочлен (&+ 1)-й степени от п. Рассмотрим еще один пример. Пусть нам надо найти сумму Щ +а2 + ... + ал, где ai, а2, ... — данная последовательность. Если мы найдем другую последовательность 6Л, такую, что при всех п выполняется равенство ап = Ьп+\ — Ьп, то Щ 4“#2 + ••• + ап = (Ь2 — 6|) + (6з— 62) +...+(ЙЛ+1 —6л) = 6л_}-1 —Ь\. Этот прием проиллюстрируем на примере. 149
16. Найти сумму 1»2-|-2»34-...-|-/»(п4-1). Решение. В данном случае ал — п (л +1). Рассмотрим раз- ность (п-|-2) (и +1) п — (n +1) п (п —1)=3 (п-f- 1)п. Следовательно^ взяв будем иметь ап = О = 6л+1 — Ьп. Искомая сумма равна bn+\ — bi =(”+2Hn + Pn . О Ответ. (?+2)(«+D” . 32. Комплексные числа Действительные числа мы отождествили с точками числовой прямой. Следующим этапом обобщения понятия числа будет выход в плоскость. Рассмотрим плоскость, в которой задана числовая прямая, т. е. прямая, на которой отмечены две точки, соответствующие числам 0 и 1. Пусть z— произвольная точка плоскости. Век- тор z — это вектор с началом в точке О и концом в точке z. Точку z определяют также два числа — г и ср: г — расстояние от z до 0; ф — угол, на который надо повернуть против часо- вой стрелки положительную полуось заданной числовой прямой до того положения, при котором она пройдет через точку z. Как видим, для всех z, отличных от 0, г>0. Кроме того, для всех z, отличных от 0, угол ф при условии 0^ф<2л опреде- ляется однозначно. (Последнее ограничение можно снять, отожде- ствляя углы, различающиеся на величину, кратную 2л.) Опреде- лим теперь для любых двух точек Z\ и Z2 нашей плоскости две точки, которые будем обозначать Z1 + Z2 и Z1-Z2, следующим образом. 1) Вектор, соответствующий точке Z1 + Z2, равен сумме векто- ров, соответствующих Z\ и Z2 (-рис. 21). а) $) Рис. 21 150
2) Если zi определяется парой (гь <pi), z2— парой (г2, фг), то zi-z2 будет определяться парой (Г1Г2, <j>i+<p2) (рис. 21,6). Таким образом, для точек нашей плоскости мы определили две операции: сложение (zi + z2) и умножение (zi-z2). С этого момента будем называть нашу плоскость комплексной плоскостью. Комплексная плоскость — это плоскость, в которой задана числовая прямая и определены вышеуказанным образом операции сложения и умножения. Точки комплексной плоскости мы отождествим с комплексными числами (будем называть комплексными числами). Величину г — длину вектора z — мы будем называть модулем комплексного числа z и обозначать |z| (г— |z|), а угол <р — аргументом комплек- сного числа (<p=argz). Из определения zi«z2 следует, что Izi • Z21 = Izi I • |z2|, arg Zi -z2 = arg zi-f-arg z2. Легко проверить, что для точек заданной числовой прямой вышеуказанные операции сложения и умножения не выводят нас за пределы этой прямой и соответствуют обычным операциям сложения и умножения действительных чисел. (Проверьте свой- ства умножения; в частности, правило: «минус на минус дает плюс».) Теперь эту числовую прямую мы будем называть действительной прямой (действительной осью), а ее точки отожде- ствлять с действительными числами (и соответственно обозна- чать) . Введенные арифметические операции обладают всеми свой- ствами сложения и умножения, имевшими место для действи- тельных чисел. Единственное, что необходимо проверить, это справедливость равенства (zi 4-Z2)• Z= Z1 • z + z2• z. Докажем это равенство. Геометрически умножение на z озна- чает последовательное (в любом порядке) применение двух преобразований: гомотетии с центром в О и коэффициентом г = = |z| и поворота вокруг О на угол <p = argz против часовой стрелки. Теперь нужное нам свойство умножения комплексных чисел оказывается следствием соответствующих свойств геометри- ческих преобразований гомотетии и поворота по отношению к операции сложения векторов (сначала сложить два вектора, а затем их сумму увеличить в г раз и повернуть на угол <р — это все равно что сначала каждый вектор увеличить в г раз, по- вернуть на угол <р, а уже затем сложить преобразованные векторы). Естественным образом определяется разность zi— z2 = zi + + (— z2), где — z2 — вектор, противоположный вектору z2. Нетруд- но убедиться, что вектор —z2, определяемый геометрически, и вектор (—l)z2, получаемый по введенному правилу умножения, суть один и тот же вектор. 151
Для введения операции деления определим сначала число (вектор) обратное числу г. Если z задается парой (г, <р), где г=/=0, то у- будем задавать парой (у-, — <р) . По определению умножения £•“— = 1; задается парой (1,0). Таким образом, — определено для всех г, отличных от 0. А деление на такие z 1 z есть умножение на —. Рассмотрим точку комплексной плоскости, модуль которой ра- вен 1, а аргумент -у. Обозначим эту точку через i и на- зовем мнимой единицей. Иными словами, вектор i есть еди- ничный вектор, перпендикулярный действительной оси, образую- щий с ней угол измеряемый против часовой стрелки. По правилу умножения получаем, что t2 = t-i есть вектор единичной длины с аргументом л, т. е. /2= —1. Прямую, проходящую через О и Z, назовем мнимой осью. Комплексные числа, соот- ветствующие точкам мнимой оси, будем называть чисто мнимыми числами (кроме точки О). Любой точке мнимой оси соответ- ствует вектор Ы, где b — действительное число, а значит, чисто мнимые числа есть числа вида Ы, где Ь=/=0— действительное число. Любой вектор z комплексной плоскости можно разложить по векторам, расположенным в действительной и мнимой осях. Поэтому равенство z=a+bi9 где а и b — действительные числа, обозначает, что вектор z (комплексное число) есть сумма векто- ров а (действительного числа а) и Ы (чисто мнимого числа Ы). Запись z = a + bi будем называть алгебраической формой за- писи комплексного числа. Число а есть действительная часть комплексного числа z9 b — мнимая часть. Пара действительных чисел (а; Ь) есть координаты точки z в декартовой системе ко- ординат, задаваемой действительной и мнимой осями. Ввиду единственности разложения вектора по двум осям равенство ai + bii=d%+b2i, где ai, аг, 6i, b2— действительные числа, эквивалентно двум равенствам aj=a2, b[ = b2. Из определений и свойств умножения и сложения комплексных чисел можно выве- сти правила сложения и умножения комплексных чисел, заданных в алгебраической форме: (ai + 6i/)+(a2 + 62i)=(^i + ^2)+(6i + b2) i, (aj + 6i/) (a2 + b2i) = a\a2 + ai (&2/) + (6i/) Дг + (61/) (62/) = = aia2 + b\b2i2 + (aib2 + a2b\) i = {a[a2 — b\b2) + (a[b2 + a2b\)i. Легко получаются формулы, устанавливающие зависимость между г, <р, a, b (рис. 22): 152
b г=-\/а2 + Ь2, tgq>=—, sin <p--- , v -г > бу а V Cl *. cos (p=—- —, a — r cos®, 0 = 7* sin®. Имеет место равенство z = a + bi = r (cos <p +1 sin <p). Выражение r (cos <p+i sin <p) представляет собой тригонометриче- скую форму записи комплексного числа. Заметим, что попутно мы можем легко получить формулы для cos (epi 4-фг) и sin (q>i + фг). В самом деле, из определения произ- ведения двух комплексных чисел и выведенного правила умно- жения комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, имеем (cos ф|-Н sin ф1)(соэ ф2-Н sin фг) = соз (ф1 + фг)-Н sin (ф|+фг), (cos ф14-Z sin ф1) (cos Ф2+* sin фг)= = cos ф1 cos фг —sin ф1 sin фг + (со8 ф1 sin фг + sin ф1 cos фг) i, откуда cos (ф1 + фг) = cos ф| cos фг —sin ф1 sin фг, sin (ф1 4-фг)=5Ш ф1 cos фг + cos ф1 sin фг. Для любого комплексного числа z—a + bi определим число z (комплексное сопряженное число) равенством z — a — Ы (рис. 23). Имеют место следующие свойства: z — z, |z| = |z|, |z|2 = z-z, 0=-|-(z4-z), b=-^-(z — z). Аргументы z и z связаны соотношением arg z+arg z = 2n (или 2nk, где k — целое число). 153
И еще два свойства операции «сопряжения» полезно знать: Zl+z2 = Zi+z2, Z1*Z2=Z1-Z2. (Эти свойства также проверяются очевидным образом.) Из второ- го свойства следует, что (7j=(Z)\ (f )=>, ((“) =(’5b0=(iZFZ1’22)=n7FZ|Z2=ir) • Следствием этих свойств является также равенство ₽(z) = =R (z), справедливое для любых дробно-рациональных функ- ций /? (z). Прежде чем перейти к рассмотрению примеров, советуем чи- тателю решить задачи 148—150. 17. Найти все комплексные z, для которых z3 = — 1. Решение. Поскольку справа стоит число, модуль которого равен 1, а аргумент л или л4-2л6, то из определения умно- жения комплексных чисел следует, что |z| = l, a 3arg г=л-|-2л/г для некоторого целого k. Беря k=Q, 1, 2, найдем три значения л л i 2л л « 4л т-т 1 аргумента z: —, — Н—— Н—- . При других k будем получать О О О О о значения, отличающиеся от найденных на величину, кратную 2л. Следовательно, наше уравнение имеет три решения. Соответствую- щие точки на комплексной плоскости являются вершинами пра- вильного треугольника (рис. 24). Ответ. 22= — 1, z3=-^—-yt. 18. Доказать, что если число является чисто мнимым, то |z| = 1. ] Решение. По условию ^-T7=bi, где b—действительное число. Тогда г+ z-l=bzi + bi, |z| = '*+yi = /ЕЕ! = 1. 11—6*1 УГ+Г2 19. Для каких действительных чисел а не существует комп- лексных чисел г, для которых выполняются равенства |z — at|=2, |z+2a| = 1? Решение. Заметим, что |z — zi | равняется расстоянию меж- ду точками z и Zi на комплексной плоскости. При фиксиро- ванном а точки z, для которых |z — сй\ =2, лежат на окружности с центром в ей и радиусом 2. (Вообще, множество z, для кото- рых |z — zol = г, есть окружность с центром в zo и радиусом г.) Ана- логично равенство |z-|-2a| = 1 определяет окружность с центром в —2a и радиусом 1. Две окружности не имеют общих точек, 154
если расстояние между их центрами больше суммы или меньше разности радиусов. Таким образом, должно выполняться одно из двух неравенств: |2a + ai| >3 или 12а+ai| < 1, |а|-\/5>3 или |а|-\/5< 1. Ответ. |а|>-у:или |а|<-^. Мы рассмотрели здесь один из возможных способов введе- ния комплексных чисел, отличный от традиционно принятого в школе. Обычно изложение этой темы начинается с определения алгебраической формы записи комплексных чисел. 33. Задачи Целые числа 1. Сформулируйте и докажите признаки делимости на 3,9 и 11. 2. Докажите, что если натуральное число N не имеет дели- телей, не превосходящих -\/N, отличных от 1, то N — простое число. 3. Докажите бесконечность множества простых чисел. 4. Докажите, что в натуральном ряду существует отрезок, состоящий из 100 идущих подряд составных чисел. 5. Разложите на простые множители: а) 899; б) 1000027. 6. Вычислите 19871987-198919891989-19891989-198719871987. 7. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: а) 5544 и 1404; б) 198, 504 и 780. 8. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 3024 и 3168; б) 2021 и 3139; в) 123456789 и 987654321. 9. Докажите, что для любых натуральных а и b НОД (а, 6)Х ХНОК(а, b)=ab. 10. Найдите наименьшее натуральное число, большее десяти, которое при делении на 24, 45 и 56 давало бы в остатке 1. 11. Найдите наименьшее натуральное число, которое при деле- нии на 5, 6 и 7 дает в остатке соответственно а) 2, 3 и 4; б) 1, 4 и 3. 12. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 7, а при делении на 3, 4 и 5 дает в остатке 1. 13. Припишите к 23 по одной цифре спереди и сзади так, чтобы получившееся четырехзначное число делилось на 9 и И. 14. Делится ли на 9 число 1234 ... 500? 15. Докажите, что число 192021 ... 80 (выписываются подряд двузначные числа от 19 до 80) делится на 1980. 16. Докажите, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1. 17. Припишите к числу 19901990 сзади три цифры так, чтобы полученное число делилось на 7, на 8 и на 9. 155
18. Среди чисел вида 66-. 61 найдите наименьшее, не яв- k ляющееся простым. 19. Можно ли в трехзначном числе, делящемся на 37, переста- вить цифры так, чтобы полученное число тоже делилось на 37? 20. В магазине было 6 ящиков с яблоками массой 15 кг, 16 кг, 18 кг, 19 кг, 20 кг, 31 кг. Две организации взяли 5 ящи- ков, причем одна из них взяла по массе в 2 раза больше яблок, чем другая. Какой ящик остался в магазине? 21. Может ли быть квадратом целого числа число, состоящее из: а) нулей и единиц, в котором единиц 300 штук; б) нулей и двоек; в) восьмерок и шестерок? 22. Найдите два натуральных числа, зная, что их сумма равна 85, а наименьшее общее кратное равно 102. 23. Произведение двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, равно 2430. Найдите это число. 24. Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное равно 105. 25. Найдите два трехзначных числа, сумма которых кратна 504, а частное кратно 6. 26. Найдите два натуральных числа, зная, что их разность рав- на 66, а наименьшее общее кратное равно 360. 27. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 13, сумма цифр которого равна 13. 28. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 100, сумма цифр которого равна 100. 29. Найдите число, при делении на которое числа 1108, 1453, 1844 и 2281 дают одинаковый остаток. 30. Представьте 19 в виде разности кубов натуральных чи- сел. 31. Найдите все простые числа, такие, что р2+ 13 также про- стое число. 32. Найдите все р, для которых р, р + 10 и р + 20 являются простыми. 33. Докажите, что для любого натурального р хотя бы одно из трех чисел р, р+100, р + 200 является составным. 34. Найдите все простые р, для которых р + 2, р + 6, р + 8, р+12, р+14 являются простыми. 35. Докажите, что при всех k числа (2&+ 1) и (9& + 4) взаимно просты. 36. Докажите, что каждое натуральное м>6 можно предста- вить в виде суммы двух взаимно простых натуральных чисел. 37. Докажите, что если 6х+11у делится на 31, то х+7у также делится на 31 (х и у — целые числа). 38. Докажите, что если а2 + Ь2 делится на 3, то а и b делятся на 3. 156
39. Докажите, что если а2 + Ь2 делится на 7, то а и b делятся на 7. 40. Докажите, что Зл нельзя представить в виде суммы квадра- тов двух целых чисел. 41. Докажите, что если а и Ь — различные целые числа, то существует такое и, что числа a-f-n и & + и взаимно просты. 42. Докажите, что если а, Ь и с — произвольные натуральные числа, п — натуральное число, п>3, то существует такое целое k, что ни одно из чисел k + a, k + b, k + c не делится на п. 43. Приведите пример таких четырех различных натураль- ных чисел a, Ь, с и d, что ни при каком натуральном п числа a + n, & + n, с + d + n не являются попарно взаимно простыми. 44. Докажите, что для любого натурального N число N3 оканчивается на ту же цифру, что и Af. 45. Найдите все натуральные п, для которых и10 4-1 делится на 10. 46. Докажите, что если а3 + Ь3 + с3 делится на 9, то, по крайней мере, одно из чисел а, b или с делится на 3. 47. Общий наибольший делитель чисел а и b равен 1. Чему может быть равен наибольший общий делитель чисел a2 — ab-\-b2 и (а 4-6)? 48. Пусть х — последняя цифра простого числа р>3. Дока- х— 1 жите, что р + 2 2 —число составное. 49. Вычислите: а) ^985074875; б) ^370370 ... 037— 11... 100...0; 89 цифр 30 30 в) V44...488...89; г) ^99...9700...0299...9. п л —• I л— 1 л— 1 п 50. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном будет 2, в остатке 7. Найдите это число. 51. Докажите, что тъп — път делится на 30 при любых целых т и п. 52. Найдите наименьшее и, для которого п2 начинается с трех единиц. 53. Найдите все целые м>3, для которых и3 —3 делится на п — 3. 54. Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться 23? 55. Докажите, что п4 4-2п3 4-2п2 4-1 не является квадратом целого числа ни при каких натуральных п. 56. Найдите натуральные числа тип, такие, что: а) 2т —Зл = = 1; б) Зл-2т=1. 57. Квадрат натурального числа равен произведению четырех последовательных нечетных чисел. Найдите это число. 157
58. Найдите натуральные х и у, такие, что 117х— 79у = 17, для которых х + у имеет наименьшее значение. 59. Докажите, что: а) 24' + 1 делится на 83; б) 270 + 370 делится на 13; а) 2015—1 делится на 20801. 60. Докажите, что при любых натуральных п: а) п (п2 — 1) (п2 — 5п + 26) делится на 120; б) 25"+1 _|_ 5"+2 делится на 27; в) 42"_32п_7 делится на 84; г) 3з«+з_26и_27 делится на 169; д) 5я + 2-Зя—3 делится на 8; е) 7"+3я—2 делится на 8; ж) 7я—3-5л + 3-Зл-1 делится на 16; з) 23л+3_ 7п-|-41 делится на 49; и) 5.72(л+’)4-23п делится на 41; к) 52л+*4-9.2л+1 делится на 23; л) 52п — Зп.22п делится на 13; м) (fc+l)2n+l + kn+2 делится на k2 + * + 1 Решите в целых числах уравнение (61—71). 61. х + у = ху. 62. х+у+ z = xyz (O^x^y^z). 63. х3 + 7у=у3 + 7х. 64. х2 —3ху + 2у2 = 3. 65. у2 = 5х2 + 6. 66. у2+ 1 = 2*. 67. х2+1=3у. 68. х3 — ху2 + х—у= 102. 69. х2 + 5у2 = 20z + 2. 70. x2 + 9y2 = 3z + 2. 71. x2y = 9999x-f-y. 72. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел п, для которых 4п2+1 делится на 5 и 13. 73. Докажите, что среди натуральных чисел вида 2Л — 3 су- ществует бесконечно много чисел, делящихся на 5, бесконечно много, делящихся на 13, но не существует ни одного числа, деляще- гося на 65. 74. Совокупность А состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в А больше 7. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наиболь- ший общий делитель больше 1. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом целого числа. Найдите числа, из которых состоит А, 75. Дан многочлен с целыми коэффициентами, такой, что, если вместо неизвестного подставить 2 или 3, получатся числа, делящиеся на 6. Докажите, что при подстановке вместо неизве- стного 5 также получится число, делящееся на 6. 76. Докажите, что если р нечетно и среди чисел р, р + 12, р + 22,..., квадратом является лишь последнее, то р — простое число. 158
77. Докажите, что сумма чисел, меньших т и взаимно про- стых с т, равна произведению их числа на 78. Представьте п в виде суммы натуральных слагаемых таким образом, чтобы их произведение было наибольшим. 79. Докажите, что если а можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то 2а также можно пред- ставить в виде суммы квадратов двух целых чисел. 80. Найдите три различных натуральных числа, наибольший общий делитель которых равен 1 и обладающих тем свойством, что сумма любых двух делится на третье. 81. Некоторое число есть произведение трех простых. Коли- чество чисел, меньших данного числа и взаимно простых с ним, равно 48 (включая 1). Сумма всех делителей этого числа (вклю- чая 1 и само число) равна 192. Найдите это число. 82. Рассмотрим числа х = 36&+ 14 и у = (12£ + 5) (18& + 7). До- кажите, что ни при каком натуральном k число у не делится ни на х, ни на (х+ 1), точно так же z/ + 1 не делится ни на х, ни на (х+1), но z/(y+l) делится на х(х+1)« 83. Найдите все натуральные £, при которых 4* + fe4 является простым числом. 84. Докажите, что существует бесконечно много пар различ- ных натуральных чисел тип, таких, что, во-первых, числа т и п имеют одни и те же простые делители, и, во-вторых, числа ги+1 и п+1 также имеют одни и те же простые делители. 85. Докажите, что уравнение х2 — 2//2=1 имеет бесконечно много целочисленных решений. Рациональные и иррациональные числа 86. Данную периодическую дробь представьте в виде дроби -2-: а) 0,(27); б) 0,(481); в) 0,(142857). 87. Установите, является следующая дробь сократимой, и, если х 19043 11377 х 116690151 является, сократите ее: a) б) —; в) ^786388^- 88. Докажите, что между любыми различными числами а и b найдется как рациональное, так и иррациональное число. 89. Докажите иррациональность следующих чисел: а) -^3; б) 72; в) 72 +75; г) V3+V5. 90. Сравните, какое из чисел больше: а) 2300 и З200; б) 71002 + V1003 и 71001 +71004; в) ^/51 и 3 + 717; г) V5T и 2 + 75; д) ^3+^2+л/з~72 и 2 73. 91. Существует ли хотя бы одно а, при котором числа а+715 и -—715 целые? а 4 159
92. Докажите, что среди дробей -i-, -2-, четное число несократимых дробей (п2>3). 93. Докажите, что 1 +4-Ч-...Н—— не может быть целым ни при каком п. 94. Пусть тип — натуральные числа, причем —— пра- вильная несократимая дробь. На какие натуральные числа можно сократить дробь ’ если известно> что она сократима? 95. Найдите целую часть выражения~\/п24-д/4n2+V16п2+8п+Д где п — натуральное число (целая часть х — наибольшее целое, не превосходящее х). 96. Вычислите t 0 *0 , с 20 знаками после запятой. 9 97. Вычислите -\/0,99...9: а) со 100 знаками после запятой; 100 б) со 101 знаком после запятой; в) с 200 знаками после запя- той. 98. Найдите 1000 знаков после запятой числа (6-}--\/35)1987. 2k+ 1 99. Докажите, что дробь 101011 •• l0101- при всех k принимает пооц.лооп одно и то же значение. 2*+1 100. Докажите, что для любых натуральных р и q выпол- няется равенство | -д/2——| . Числовые последовательности 101. Первый член геометрической прогрессии равен 3, а пятый равен 12288. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрес- сии. 102. Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. В арифметической прогрессии первый член равен 2, разность равна 6. В геометрической прогрессии первый член равен 3, знаме- натель равен 2. Выясните, что больше: сумма первых восьми членов арифметической прогрессии или сумма первых шести членов геометрической. 103. Три положительных числа, составляющие арифметиче- скую прогрессию, дают в сумме 15. Если к ним прибавить со- ответственно 1, 4 и 19, то получаются три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найдите эти числа. 104. Три числа, сумма которых равна 78, составляют геометри- 160
ческую прогрессию. Их можно рассматривать так же, как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа. 105. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Если третий член уменьшить на 3, то полученные три числа соста- вят геометрическую прогрессию. Если второй член новой прог- 4 рессии уменьшить на —, то полученные числа опять составят геометрическую прогрессию. Найдите эти числа. 106. Произведение первых пяти членов геометрической про- грессии равно 32, а сумма кубов первых трех членов равна -у-. Найдите прогрессию. 107. Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у которой первые 10 членов целые числа, а все последующие не целые? 108. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес- сии равна 12, а сумма ее квадратов равна 48. Найдите сумму первых 10 членов этой прогрессии. 109. В арифметической прогрессии известны Sm—A nSn — B — суммы тип первых членов. Найдите 5т+п(Д, В, т и п даны). ПО. Можно ли из последовательности 1, 4“> 4"> 4"» 4" > ••• 2 4 о lb выбрать числа, составляющие бесконечную геометрическую прог- рессию, сумма которой равна: а) 4“’, б) 4”? 111. При каких k существует бесконечно убывающая прог- рессия, первый член которой равен 1, а каждый ее член в k раз больше суммы последующих членов? 112. Докажите, что если положительные числа о, Ь, с образу- ют арифметическую прогрессию, то числа -, ——1—— , —- также образуют арифметическую прогрессию. \ь+^/с 113. В арифметической прогрессии Sn — сумма первых п чле- нов. Известно, что Sn = (т =#= и). Найдите Sm+n. 114. В геометрической прогрессии с положительными членами известны ат+п=А и ат_п = В. Найдите ат и ап. 115. Числа ai, 02, ап образуют геометрическую прогрессию. Найдите aitZ2,...,an, если +a2 + ... + an = S, — Н—— + ...+—= Q. 116. Числа Oi, о2,..., ап образуют арифметическую прогрессию с разностью, отличной от нуля. Известно, что О|, о2, о4, а* явля- ются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите k. 117. Пусть Hi, о2, ...,Об образуют арифметическую прогрессию, с разностью, отличной от 0. Найдите х и у, если 1 О1Х + о2г/ = Оз, I а4х + а51/ = аб. 161
118. Даны две арифметические прогрессии оь о2, а3 и 6Ь 62, 63, причем 6i#=62 и ai+а2 + а3 = &1+ 62 + 63. Известно, что числа ai6i, а262, а363 также образуют арифметическую прогрессию. До- кажите, ЧТО Я1=62. 119. Даны две геометрические прогрессии ai, a2, Яз и 61, 62, 63. Известно, что числа ai + 61, a2 + 62, a3 + 63 снова образу- ют геометрическую прогрессию. Докажите, что 0163 = 0361. 120. Приведите пример бесконечной арифметической прогрес- сии, состоящей из натуральных чисел, ни один член которой не является ни суммой, ни разностью двух простых чисел. 121. Решите уравнение х3 + х2 + 2х + а = 0, зная, что оно имеет три различных корня, образующих геометрическую прогрессию. 122. Решите уравнение х3+х2 + а = 0, зная, что оно имеет три различных корня, образующих арифметическую прогрессию. 123. Докажите, что если три простых числа (больше 3} обра- зуют арифметическую прогрессию, то ее разность кратна 6. 124. Найдите сумму всех нечетных трехзначных чисел, не делящихся на 3. 125. Найдите сумму первых 100 совпадающих членов двух арифметических прогрессий 2, 7, 12, ... и 3, 10, 17, ... . 126. Определите 10274-й член последовательности -р, _2_ _L JL А _1_ А 3 4 1 2 з 4 5 1’3’2’ 1’4*3’ 2 ’ 1 ’ 5 ’ 4 ’ 3 ’ 2 ’ 1 ’ ’ 127. Для вычисления 3/2 рассматривается последовательность, заданная соотношением ап+\ = -тг(On + -V)> ai = 1. С какого и чле- 3 \ ап / ны последовательности будут отличаться от \/2 на величину, не превосходящую 10-8? 128. Докажите, что при натуральном п>3 выполняется нера- венство 2л>2п+1. С какого п будет выполняться неравенство 2" >9/1? Докажите неравенство (129—131). 129. 2^ + 1 — 2^+1 <-^4--^+-^4-...+^= <2 Vn— 1. 130 131 —________к—!___к 4-—<— ldu> л+1 (л!)2 Ы1‘ 6 ^л+1 ' п+ 2 ' Зп 3 • 132. Докажите, что разложение на простые множители числа (п +1) (rt + 2)-..."2n содержит п двоек. Вычислите сумму (133—138). 133. 7 + 774-7774-...+ 77 ... 7. 134. 1 + 2х + Зх2 + ... + пхл-1. 135. мх + (п-1)х2 + ... + 2хл-’+лл. 13в. (х+4-)2+(^+^-)2 + ...+(х-+-1-)г. 162
J 37. 1 x+1 2 x2+l 4 x’+l 2' x2"-)-! Ol 6Z16Z2 01^2^3 diC^.-da Докажите, что для любого натурального п справедливы ра- венства (139—145). 139. 1-2-3 + 2-3-4 + ... + М (n-H)(n + 2) = =-l-n(n+l)(n + 2) (n + 3). 14П 1 4- 1 -4- I 1 — 1__________1 ‘ U‘ l-2-3“,"2.3-4"t'‘"'t'n(n+l)(n + 2) 4 2(л + lX« + 2)’ 141. 13 + 23 + 33 + ...4-п3= «2(« + »)\ 142 b I (<> + l)(e-fr) । (&+2)(a-&)2 , , (& + n)(a-&)" a a(a-f-l) * a (a +1) (a + 2) * *”a (a + 1) (а + 2)...(а + л) t (а — Ь)п+1 a(a-|-l)(a + 2)...(a + n)‘ 14Я 1 I 2n I 2л (2л —2) . 2л (2л —2)-„.-4-2 _p . . i™. 1 ~2л—1 ~(2л—1)(2л —3) ' ‘ (2л-1)(2л-3).....3-1 “r 144. 1 + nx + n ~ ° x2 +... +^1~21^-2-'-xn=(1 + x)n. 1ДС n______| л(п-1) , л(л—l)(n —2) . x-]-n "T"(«+%) (n + % — 1) ‘ (я4-х) (n + x- 1) (n + %—2) ‘ __________n(n— 1)-...-2- 1________________ n (п. -Ю (n + % — l)...(24-x) (1 4-x) * + 1 (*¥=!). 146. Найдите сумму попарных произведений первых п на* туральных чисел (т. е. сумму 1*2+1*3 + ... + Ьп + 2*3 + 2*4 + +... + 2«и + 3-4 +... +(я— 1) п), 147. Последовательность а2, ...» определяется следующим образом. Первые два числа задаются, а каждое следующее есть среднее арифметическое двух предыдущих. Найдите выраже- ние ап, если ai=a, a2 = bt и сумму а\ +a2 + ... + an. Комплексные числа 148. Изобразите на комплексной плоскости числа zi = l+/, z2=— 3/, 2з=—24-5/; z4 = zi4-z2, z5 = zi-Z3, z6 = (2— — z2z3. 149. Выполните следующие действия (ответом должно быть комплексное число, записанное в алгебраической форме): ч 2—/ 1—/ . 1 — 2/ . ч 11-10/ . 11 + 10Z , ' 3 + 2/ ’ °' 1+2/ 1+/ ’ 10 — 9/ 10 + 9/ ’ 163
;34 I ;39 г) l+t4-i2...+i"; д) i1987; е) (14-i)'2; ж) 150. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа, заданные в алгебраической форме: i, —2, 14-/, —л/3+^ ^3 — 31, -^3— 1+(1-V3)i. 151. Изобразите на комплексной плоскости точки z, для кото- рых: а) |z—2i — 11 =2; б) |z| < |-|-| 4-1; в) 2<|2z+i|<3; г) |z-l| = |z + 2/|; д) |z- 11 = |z+11 = = |z—1-\/3|. 152. Найдите модуль комплексного числа: а) -л/10+i; б) 17+ 19» . . / а+Ы\п 19—17» ’ ’ \ b-\-ai) ’ 153. Пусть |z|=3. Где расположены точки, изображающие комплексные числа 1—2» + 3z? Найдите все г, удовлетворяющие уравнению (154—155.) 154. ( |z —<| = 1, 155. f |z —5—»|=4, l|z+l| = l. l|z—9t|=5. 156. Докажите, что если |z| = l, то ~—чисто мнимое. 157. Докажите, что любое комплексное число а-\-Ы можно представить в виде а-\-Ы = /п - , где с и т — действительные числа. с~1 158. Даны два числа, каждое из которых можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел. Докажите, что их про- изведение также можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел. Решите уравнение (найдите комплексные корни) (159—163). 159. z2 —5z + 7 —Z = 0. 160. z2-(4 + i)z+10 + 2/ = 0. 161. z4=l. 162. z3= — i. 163 (z+l)4 = (z —Z)4. 164. Решите уравнение |zl+z = 24-Z. 165. Для каждого действительного числа а^О найдите комп- лексные числа z, удовлетворяющие равенству |z|2 — 2zz + + 2a(l+z)=0. 166. При каких действительных значениях а любое комплек- сное число, удовлетворяющее равенству \z — Л\/2| =(а+1)2, удов- летворяет одновременно и неравенству |z — -\/2\>а2 — 4а? 167. При каких действительных а хотя бы одно комплексное число z, удовлетворяющее равенству |z — ai \ = а + 4, удовлетворя- ет одновременно и неравенству |z — 2|<1?
§ 7. ПЛАНИМЕТРИЯ 34. Построение чертежа Решение любой геометрической задачи начинается с чертежа. Умение построить хороший грамотный чертеж, помогающий решению задачи, является важнейшим элементом геометрической культуры. Можно выделить некоторые, к сожалению, трудно формали- зуемые принципы, которыми следует руководствоваться при по- строении чертежа. (Подчеркнем, что речь идет о построении чертежа на этапе собственно решения задачи, а не об оформле- нии решения на чистовике.) Прежде всего чертеж должен быть «большим и красивым». Это вовсе не означает, что чертеж дол- жен выполняться по всем правилам черчения, с использованием соответствующих инструментов. При небольшом навыке чертеж может быть хорошо сделан и от руки. Важнейшим требованием к чертежу является требование лаконичности. Следует изображать лишь «функционирующие» части геометрических фигур. Так, например, если в задаче надо найти радиус окружности, вписанной в треугольник, то в большин- стве случаев саму эту окружность не следует изображать. Если же в условии задачи фигурируют точки этой окружности, т. е. окружность «функционирует» в условии, то ее изображение может оказаться полезным для решения задачи. При этом даже такой пустяк, как «что раньше изобразить: окружность или треуголь- ник?», может существенно сказаться на качестве чертежа, а в результате — и на решении. К сожалению, учебные пособия часто дают нам примеры чертежей, перегруженных ненужными деталя- ми, служащих скорее иллюстрацией к задаче, чем элементом ее решения. Не следует думать, что на начальном этапе решения задачи заканчиваются проблемы, связанные с построением чертежа. Имеется немало задач, процесс решения которых состоит в после- довательном уточнении особенностей рассматриваемой конфигура- ции с соответствующими переделками и изменениями чертежа, так что окончательный вид чертеж принимает лишь одновре- менно с окончанием решения. В этом смысле в учебных пособиях 165
иногда приводятся чертежи, построить которые можно, лишь пол- ностью решив задачу. Полезно было бы давать не итоговый чер- теж, а нечто вроде мультфильма, показывающего, как изменяет- ся чертеж в процессе решения задачи, но эту идею трудно реали- зовать в книге. Необходимо избегать чрезмерного усложнения чертежа. Этого можно добиться, в частности, за счет выносных картинок, изобра- жающих фрагменты общей конфигурации. С другой стороны, стоит непосредственно на чертеже указывать числовые или бук- венные значения линейных или угловых величин, заданных в условии или полученных (введенных) в процессе решения. Говорят, что геометрия есть искусство правильно рассуж- дать на неправильном чертеже. В этих словах есть доля истины. Очень часто решение задачи не зависит от числовых данных, указанных в условии. Более того, формально логическая структура решения не должна опираться на чертеж; как говорят, реше- ние не должно апеллировать к чертежу. И все же легче и лучше правильно рассуждать на правильном чертеже, на котором пря- мой угол выглядит как прямой, соблюдены пропорции и соот- ношения, заданные в условии, и не приходится напрягать вообра- жение, чтобы узнать в кособоком овале окружность. Правильный чертеж поможет увидеть особенности геометрической фигуры, необходимые или полезные для решения задачи. Например, может «подсказать», что какие-то точки расположены на одной прямой или одной окружности или,что прямые пересекаются в одной точ- ке. Конечно же, эти особенности в дальнейшем должны быть обос- нованы без ссылок на чертеж. При этом иногда приходится делать два чертежа. Первый, правильный, с помощью которого можно сделать геометрические «открытия», и второй, заведомо непра- вильный, для проведения доказательства. С другой стороны, если в задаче идет речь о фигуре общего вида, например о произвольном треугольнике или четырехуголь- нике, то необходимо, чтобы фигура, изображенная на чертеже, не имела характерных особенностей, присущих «хорошим» фигу- рам; в частности, треугольник не должен быть прямоугольным или равнобедренным, а тем более правильным, а четырехуголь- ник — быть похожим на параллелограмм и т. д. Ограничимся пока общими рекомендациями по построению чертежа, поскольку уровень сложности задач, содержательно ил- люстрирующих эту тему, превышает начальный. Кроме того, умение строить нужный чертеж, понимание, где надо постарать- ся и выполнить чертеж поточнее, а где можно обойтись не очень точной схематической картинкой, приходит с опытом. В дальней- шем мы еще не раз будем возвращаться к этой теме и при этом рас- смотрим отдельные специальные приемы, используемые при реше- нии некоторых типов задач. Пока же главное — выработать при- вычку начинать решение любой геометрической задачи с чер- тежа, а также некоторые минимальные практические навыки. 166
35. Выявление характерных особенностей заданной конфигурации В простейших случаях ход решения задачи виден сразу после ее прочтения или же построения чертежа. Остается лишь реали- зовать это решение технически — произвести необходимые дока- зательства, сделать вычисления. В других, более сложных слу- чаях технической стадии предшествует несколько этапов, один из которых состоит в выявлении характерных особенностей конфи- гурации, рассматриваемой в задаче. Эти особенности, в частности, могут быть следствием спе- циального подбора числовых данных задачи. В этом, кстати, одна из причин, почему при построении чертежа надо стараться выдерживать заданные пропорции. При этом, конечно же, нельзя забывать о том, что выявленные особенности требуется строго до- казать. Иногда для этого, как уже отмечалось, полезно сделать новый намеренно неправильный чертеж. Вообще, роль числовых данных в задаче может быть самой различной. В одних случаях задача не решается в общем виде, и лишь специальный выбор числовых данных делает ее коррект- ной, как это имеет место в следующей задаче. 1. Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 3 и ВС = 4 и две точки М и К, такие, что МК = 8, АМ = 1, ВК — 2. Най- ти площадь треугольника СМ К. Решение. Особенность этой задачи, определенная подбором числовых данных, состоит в том, что точки Л4, Д, В и К лежат на одной прямой, располагаясь на ней в указанном порядке, по- скольку МК = 8=1+5 + 2=Л1Д+ДВ + В/< (рис. 25). Таким образом, для завершения решения нам осталось лишь найти высоту прямоугольного треугольника АВС, опущен- ную на гипотенузу АВ. Эта высота равна искомая площадь О равна —. О В других случаях специально по- добранные числовые данные превращают достаточно сложную в общем виде зада- чу в существенно более простую, как это имеет место в двух следующих примерах. 2. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 5, ВС=^/Т7, С А —4 на стороне СА взята точка М так, что СМ — 1. Найти расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников АВМ и ВСМ. 167
Решение. Для решения этой задачи существенным оказывается тот факт, что М есть основание высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. В самом деле, проведем высоту ВМ\ (рис. 26 намерен- но неправильный!) и обозначим СМ\ че- рез х. Тогда ДМ1 = 4 — х. Выражая ВМ\ по теореме Пифагора из треугольников АВМ\ и BCMi, получим АВ2-АМ1 = ВМ1 СВ2 — СМ2 = ВМ2, откуда 25 —(4 —х)2= 17 —х2, х=1, т. е. Mi совпадает с М. Но центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его гипо- тенузы. (Это утверждение мы относим к категории так называе- мых опорных задач, о которых несколько подробнее будем гово- рить позже.) Таким образом, искомое расстояние равно длине средней линии данного треугольника АВС, параллельной стороне АС, т. е. равно 2. 3. В трапеции ABCD известны, основания AD = 30, ВС = 20 и боковые стороны АВ = 6, CD = 8. Найти радиус окружности, про- ходящей через точки А и В и касающейся прямой CD. Решение. Характерной особенностью данной трапеции, су- щественным образом облегчающей решение поставленной задачи, является то, что угол между ее боковыми сторонами равен 90°. Докажем это. Проведем через точку В прямую, параллельную CD, и обозначим ее точку пересечения с AD через D\ (рис. 27, а). В треугольнике ABD\ имеем АВ = 6, BD\=8 (BCDD\—парал- лелограмм), AD\=AD — DD\=30 — 20=10. Таким образом, A D2 = 102 = 62 + 82 = А В2 + ВО?, откуда следует, что угол ABD\ равен 90°. Продолжим теперь стороны АВ и CD трапеции и обозначим через Е их точку пересечения (рис. 27,6). Пусть К — середина Рис. 27 168
отрезка АВ, О — центр, искомой окружности, L — точка ее каса- ния с прямой CD (OL перпендикулярна CD). Фигура OREL — прямоугольник; следовательно, радиус искомой окружности, рав- ный OL, равен ЕК = ЕВ + КВ = ЕВ+±-АВ. Задача свелась к нахождению отрезка ЕВ. Из подобия треуголь- ников ВЕС и ABD\ найдем BE — АВ ^-=12. Таким образом, радиус равен 15. 1 Замечание. При решении этой задачи мы использовали три характерных приема: провели через вершину трапеции прямую, параллельную другой боковой стороне; на втором чертеже про- должили до пересечения боковые стороны трапеции и не стали изображать саму окружность, а ограничились изображением ее центра, проекцией этого центра на одну боковую сторону и точки касания с другой стороной. Эти приемы достаточно стандартны. Изучение этих и подобных приемов полезно проводить на простых модельных задачах, в которых наиболее выпукло «работает» один такой прием. Эти задачи мы также будем относить к категории опорных. Конечно, числовые данные далеко не всегда играют столь су- щественную роль, как в рассмотренных примерах. Нередки слу- чаи, когда характерные особенности задачи инвариантны по отношению к числовым данным, конкретный выбор которых имеет целью лишь облегчить вычисления, сделать ответ более «прият- ным». Следует упомянуть также о категории задач, которые удоб- нее решать в общем виде, подставляя числа, если таковые имеются, в полученное в результате решения буквенное выражение. 4. Три окружности с радиусами 1, 2 и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Найти радиус окружности, проходя- щей через три точки попарного касания данных окружностей. Решение. Обозначим центры данных окружностей через Оь Ог, Оз (рис. 28). Суть решения сводится к тому, чтобы «увидеть» и соответственно доказать, что искомая окруж- ность совпадает с окружностью, вписанной в треугольник O1O2O3. При этом указанная особенность имеет место, каковы бы ни были радиусы исходных окружностей, хотя, конечно же, задача нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник со сторонами 3, 4 и 5, т. е. в прямоугольный треугольник, как в нашем случае, существенно проще, чем такая же задача для треугольника со сторонами 4, 5 и 6, не говоря уже о решении в общем виде. 169
Для доказательства отмеченного выше факта можно поступить следующим обра- зом. Впишем в треугольник O1O2O3 окруж- ность. Выразим отрезки, соединяющие его вершины с точками касания (учитывая равенство касательных, выходящих из од- ной точки), через стороны треугольника. Каждая из этих касательных будет равной радиусу соответствующей окруж- ности. (Проведите доказательство са- мостоятельно.) Ответ. 1. Рассмотрим еще два примера, в кото- рых этап анализа конфигурации играет ведущую роль. 5. Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Окруж- ность радиуса R с центром в точке О проходит через А и В и пере- секает прямую ВС в точке М, отличной от В и С. Найти расстоя- ние от точки О до центра окружности, описанной около треуголь- ника АСМ. Решение. Рассмотрим случай, когда точка М расположена на стороне ВС. Обозначим через Oi центр окружности, описан- ной около треугольника АСМ (рис. 29). Тогда AA0iM = 2 ААСМ = 2 Z_ACB= 180°-—Z СВА = 180° —Z-ABA1. А это означает (вновь опорный факт!), что точки М, А, В и О\ лежат на одной окружности, значит, искомое расстояние равно /?. Для завершения решения необходимо рассмотреть другие случаи расположения точки М и доказать, что во всех случаях О\ лежит на данной окружности. Теперь несколько слов о том, как можно было бы догадаться, что центр Oi должен лежать на окружности с центром О. Во-первых, подобная гипотеза выглядит достаточно естест- венной. Если предположить, что ответ есть число f (7?) (а не интер- вал), то прежде всего следовало бы рассмотреть возможность равенства f(R) — R. Во-вторых, в подобного рода задачах, когда не видно общего решения, полезно рассмотреть какой-либо частный случай, по- скольку условие задачи позволяет рассчитывать на то, что ответ, полученный для частного случая, останется верен и в общем слу- чае. (Конечно, правильный ответ, полученный при рассмотрении одного частного случая, не означает, что задача решена верно.) В данной задаче можно, например, рассмотреть ситуацию, когда точка О совпадает с серединой отрезка АВ. Тогда М есть основа- ние высоты, опущенной на ВС, а 0\ — середина АС и т. д. Дадим еще одно решение предложенной задачи, возможно, несколько более длинное, но основанное на одном полезном общем факте. (Вновь опорная задача.) Сформулируем его. 170
Пусть ABC — произвольный треугольник (не обязательно рав- нобедренный), М — произвольная точка на прямой ВС, О и О\ — центры окружностей, описанных соответственно около треуголь- ников АВМ и АСМ, Тогда треугольник АОО\ подобен треуголь- нику АВС. Доказательство. Рассмотрим случай, когда точка М на стороне ВС и ААМВ^ 90°. В этом случае точки О и О\ распо- ложены так, как показано на рисунке 29. Имеем ААО{С = 2 Z.AMC, Л АОВ = 360° — 2 ZАМВ = 360° — 2 (180° - ZАМС) = 2 Z.AMC. Значит, треугольники АОВ и AOiC — подобные равнобедренные треугольники. Из этого на основании первого признака подобия (Z.CMOi = Z.BAC, ОА/АВ = О[А/АС) следует подобие треуголь- ников AOOi и АВС. На основании доказанной теоремы легко решается задача 5. Если ЛВ = ВС, то OO[=AO = R. 6. Окружности с радиусами г и R касаются друг друга внеш- ним образом и касаются прямой в точках А и В. Пусть Ai — точка первой окружности, диаметрально противоположная точ- ке А. Отрезок А\В пересекается с первой окружностью в точке М. Найти отношение А\М и МВ. Решение. Аккуратно выполненный чертеж и некоторые трудно формализуемые соображения, которые можно объединить под названием «геометрическая интуиция», позволяют сделать предположение, что точка М совпадает с точкой касания окруж- ностей. Докажем это. Обозначим центры окружностей через О\ и О2, а точку их касания — через М\. Точка Mi лежит на отрезке OiO2 (рис. 30). Прямые АА\ и ВО2 параллельны. Следовательно, Z_A\O\M\ = ZMiO2B. Таким образом, равнобедренные треуголь- ники AiOiMi и Л41О2В подобны и Z_A\M\O\ = Z.BMiO2, т. е. точ- ки Ai, Mi и В лежат на одной прямой и точка Mi совпадает с точ- кой М. Искомое отношение равно r:R. 171
36. Опорные задачи В предыдущем пункте неоднократно упоминались так назы- ваемые опорные задачи. Поговорим о них несколько подробнее. Теоретическая часть школьного курса содержит в основном теоремы, которые будут необходимы в дальнейшем для развития этой теории. Из нее исключены многие факты, стоящие как бы сами по себе, не работающие на теорию. Но школьная геометрия — это не только аксиомы и теоремы, изложенные в учебнике. Школь- ная геометрия — это также (а может, и прежде всего) искус- ство решать геометрические задачи. Искусство же решать задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов, не во- шедших в этот курс, и владении определенным арсеналом прие- мов и методов решения геометрических задач. Поэтому представ- ляется полезным выделить некоторое множество задач (будем называть их опорными), в которых формулируется некий факт, достаточно часто используемый в задачах, либо иллюстрируется какой-либо метод или прием решения задач. Соответственно мы будем различать две разновидности опорных задач: задача-факт (задача-теорема) и задача-метод. В качестве примеров, иллюстрирующих понятие «опорная задача-факт», можно привести многие теоремы элементарной геометрии, не вошедшие в действующий курс, такие, как теоре- ма о биссектрисе внутреннего угла треугольника (задача 19, с. 194), теорема о касательной и секущей к окружности, про- веденных из одной точки (задача 17). Или же, например, сле- дующая задача. 7. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересече- ния диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений ее боковых сторон, проходит через середины оснований трапеции. Доказательство. Пусть М — точка пересечения диаго- налей трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, а К — точка пере- сечения продолжений ее боковых сторон (рис. 31). Обозначим через Р и L середины AD и ВС. Ввиду параллельности AD и ВС любая прямая, проходящая через Д', делит основания трапе- ции в одном и том же отношении (считая от вершин А и В). Отсюда следует, что точки /<, Р и L лежат на одной прямой. Точно так же прямая, проходящая через М, делит AD и ВС в одном отношении (считая от вершин А и С). Значит, точки М, Р и L тоже на одной прямой. Таким образом, четыре точки — М, К, Р и L — лежат на одной прямой. Опорная задача-метод, как уже отмечалось, иллюстрирует какой-либо метод решения геометрических задач, часто встреча- ющийся прием или конструкцию. При этом речь в основном идет о методах, не требующих специальных теоретических обоснова- ний. Таким образом, задача-метод рассматривается вместе с реше- 172
нием, с тем решением, которое навязывается учебником. Это озна- чает, что, если в процессе работы над соответствующей задачей учащиеся решили ее иначе, решение, предлагаемое учебником, должно быть подробно изучено и соответствующим образом про- комментировано. В качестве примера рассмотрим следующую за- дачу. 8. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М, такая, 2 что АМ=—ЛС, а на стороне ВС — точка К, такая, что ВК= о =-|-ВС. В каком отношении отрезок ВМ делит отрезок АК? Решение. Проведем через А прямую, параллельную ВС, и обозначим через L точку ее пересечения с прямой ВМ (рис. 32). Пусть В К—а, тогда ВС = За. Из подобия треугольников AML и СМВ найдем вс мс za- Теперь из подобия треугольников LAN и BKN найдем -^-=2. Заметим, что предложенный метод решения этой задачи да- леко не единственный. Задача может быть решена, например, и векторным методом. Однако подобный прием очень часто бывает эффективен в сходных задачах, и хорошее владение им, безуслов- но, полезно. Рассмотрим еще одну задачу. 9. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пе- ресекает АВ в точке С\, а ВС — в тоцке А\. Прямая, проходящая через В и точку пересечения AAi и СС\, пересекает АС а точке М. В каком отношении делит сторону ВС прямая, проходящая через А и середину ВМ? 173
Решение. Эта задача очевидным образом использует результат задачи 7 и прием, рассмотренный в задаче 8. Из результата задачи 7 следует, что М — середина АС. Проведя через вершину В прямую, параллельную АС, до пересече- ния с прямой АК (К — середина ВМ, рис. 33) в точке L, получим BL = AM. Теперь легко найти искомое отношение. Оно равно 0,5, считая от вершины В. Конечно, приведенный пример носит несколько стилизованный характер. В действительности извлечь из архивов своей памяти нужный факт и нужный прием не всегда возможно столь легко и быстро. 37. Геометрические методы решения задач Говоря о методах решения геометрических задач, следует от- метить некоторые специфические особенности этих методов: боль- шое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания, отсутствие четких границ области применения. Кроме того, очень часто при решении некоторых достаточно сложных задач приходится прибегать к использованию комбинаций мето- дов и приемов. Уже на первом этапе решения — построение чертежа — мож- но говорить о наличии некоторых специальных приемов. С одним из таких приемов мы уже встречались при решении задач 3 и 4. Суть его в том, что при решении задач, в которых фигурирует одна или несколько окружностей, очень часто сами эти" окруж- ности не следует изображать, ограничиваясь указанием их цент- ров, точек касания или пересечения с прямыми и друг с другом и проведением соответствующих отрезков прямых. Факт касания окружности с прямой означает равенство соответствующего угла 90°. Касание окружностей друг с другом означает, что расстоя- ние между их центрами равно сумме радиусов окружностей в слу- чае внешнего касания и равно разности радиусов окружностей в случае касания внутреннего. Такого рода чертежи без окруж- ностей к задачам про окружности мы будем называть «скелет- ными». Рассмотрим задачу. 10. В окружности радиуса R проведены два взаимно перпен- дикулярных радиуса ОА и ОВ. Вторая окружность такого же радиуса R имеет центр в точке В. Найти радиус третьей окруж- ности, касающейся радиуса ОА первой окружности внутренним образом (точка касания расположена на дуге АВ, равной и второй окружности внешним образом. 174
Решение. В соответствии с указан- ным выше правилом для решения этой задачи нам следует рассмотреть чертеж, на котором изображены треугольник OBOi (01—центр третьей окружности), отре- зок ОЛ, точка М на О А (рис. 34). При этом, если х — радиус искомой окружно- сти, то 001=/? —х, BO\—R-\-x, OiM = = х (OiM ±0Д). Теперь у нас все под- готовлено к решению этой задачи при помощи аналитических методов (составле- ние уравнения относительно х). Решение этой задачи закончим в следующем пункте. Рассмотрим еще несколько методов решения геометрических задач. Мы уже встречались в предыдущих пунктах с некоторыми стандартными дополнительными построениями (задачи 3, 8, 9). Так, оказывается, в трапеции бывает полезно провести через одну вершину прямую, параллельную противоположной боковой стороне (задача 3). Если же в условии задачи говорится о диа- гоналях трапеции, то стандартным будет дополнительное построе- ние, состоящее в проведении через одну из ее вершин прямой, параллельной диагонали. (С такого рода построением мы еще не встречались.) В задачах 8 и 9 мы проводили через одну из вершин треугольника прямую, параллельную его противополож- ной стороне, благодаря чему у нас образовывалось несколько пар подобных треугольников, после чего отношения одних отрезков заменялись отношениями других. С некоторой натяжкой можно говорить, что мы имели дело с одной из модификаций метода подобия. Отметим еще несколько стандартных приемов. Если в усло- вии есть медиана треугольника, то стоит попытаться продол- жить эту медиану на такое же расстояние. При этом получим параллелограмм, стороны и одна диагональ которого равны сто- ронам треугольника, а вторая диагональ равна удвоенной ме- диане. Таким образом, если бы нам требовалось найти площадь треугольника по двум сторонам и медиане, заключенной между ними, то с помощью только что указанного приема легко убедить- ся, что треугольник этот равновелик треугольнику, две стороны которого равны соответствующим сторонам исходного, а третья равна удвоенной медиане. Другой прием иллюстрирует задача 11. 11. Расстояние между серединами двух сторон четырехуголь- ника равно полусумме двух других его сторон. Доказать, что этот четырехугольник — трапеция. Решение. Пусть М — середина стороны АВ, а К — середи- на стороны CD четырехугольника ABCD, причем 175
Рис. 35 М/<=^-(СВ+ЛР). Обозначим через N середину диаго- нали BD (рис. 35). Отрезок NK — средняя линия в треугольнике BCD, NK параллельна ВС и равна у-ВС. Точно так же NM парал- лельна AD и равна -^-AD. Таким образом, MK = MN + #/<, т. е. W ле- жит на отрезке М/С Значит, ВС и AD параллельны друг другу, поскольку они обе параллельны МК. (Если считать, что параллелограмм не явля- ется трапецией, то в условии задачи следует добавить слова «или параллелограмм».) Совет, который можно дать на основании этой и сходных за- дач, состоит в следующем. Если в условии задачи фигурирует середина одной или нескольких сторон четырехугольника или параллелограмма, то стоит добавить середины каких-то других сторон или диагоналей и рассмотреть средние линии соответ- ствующих треугольников. Этот прием иногда называют методом «средних линий». (См. в этой связи также задачи №№ 39, 79 на с. 135, 197.) Таким образом, мы выделили три разновидности дополнитель- ных построений: 1) продолжение отрезка (отрезков) на определенное расстоя- ние или до пересечения с заданной прямой; 2) проведение прямой через две заданные точки; 3) проведение через заданную точку прямой, параллельной данной прямой. Необходимость в использовании геометрических преобразова- ний возникает, как правило, при решении достаточно сложных гео- метрических задач (здесь речь идет, во-первых, о задачах, в условии которых геометрические преобразования не фигурируют, и, во-вторых, о задачах, которые трудно решить без использова- ния геометрических преобразований); поэтому мы ограничим- ся одной иллюстрацией без каких-либо рекомендаций. 12. Два равнобедренных прямоугольных треугольника АВМ и CDM с гипотенузами АВ и CD расположены так, что ABCD — четырехугольник. Одна диагональ этого четырехугольника равна d. Найти его площадь. Решение. Повернем треугольник АМС вокруг точки М в соответствующем направлении на 90° (рис. 36). При этом точка А перейдет в точку В,з С — в £>, т. е. АС перейдет в BD. Таким обра- зом, в четырехугольнике ABCD диагонали равны и перпендику- лярны. Его площадь равна ^~d2 (использовалась формула, вы- 176
ражающая площадь четырехугольника через его диагонали и угол между ними; задача 24, с. 194). Следующий пример иллюстрирует метод подобия. 13. Трапеция разделена на три трапеции прямыми, параллель- ными основаниям. Известно, что в каждую из трех получившихся трапеций можно вписать окружность. Найти радиус окружности, вписанной в среднюю трапецию, если радиусы окружностей, вписанных в две оставшиеся, равны R иг. Решение. Обозначения понятны из рисунка 37. Пусть ради- ус средней окружности равен х. Рассмотрим два подобных между собой треугольника AKD и LKP. Любые пары сходственных линей- ных величин в подобных треугольниках относятся одинаково. Паре окружностей с радиусом R и х в треугольнике AKD соот- ветствует в треугольнике LKJP пара окружностей с радиусами х и г. Следовательно, •у =7-, откуда x=^Rr. Метод площадей имеет много разновидностей. Рассмотрим одну из них. Основная идея сводится к замене отношения отрез- ков, расположенных на одной прямой, отношением площадей тре- угольников с общей вершиной, основаниями которых являются рассматриваемые отрезки. Покажем, как работает этот прием, на примере известной теоремы. 14. Доказать, что биссектриса угла В треугольника АВС пересекает АС в та- кой точке М, для которой справедливо равенство АМ:МС = АВ:ВС. Доказательство (рис. 38). .м АВ-ВМ-sinАВС AM _ 2________2 Рис. 38 _______________________________АВ МС SCBM вм.ВС.sin-L ЛВС вс ' 177
Относя этот прием к геометрическим, мы делаем довольно серьезную натяжку. Доводы «за» следующие. Во-первых, в осно- ве метода лежит чисто геометрическое соображение. Во-вторых, этот метод достаточно обособлен от других, как геометрических, так и алгебраических. Учитывая же разнообразие и пестроту ме- тодов, рассматриваемых в этом пункте, и, наоборот, некоторое единообразие методов, описываемых в следующих пунктах, мы предпочли рассмотреть его именно здесь. Одним из наиболее красивых элементарно-геометрических методов является так называемый метод «вспомогательной окруж- ности». Обычно этот метод характеризуется в решении следую- щими оборотами: «Заметим, что точки X, У, ... лежат на одной окружности...», или «Проведем окружность (-ти) через точки X, У, ... .», или другими, с ними сходными. Приведем несколько при- меров. 15. Через точку О проведены три прямые, попарные углы меж- ду которыми равны 60°. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки А на эти прямые, служат вер- шинами правильного треугольника. Решение. Пусть К, L, М — основания перпендикуляров (рис. 39). Заметим, что точки О, Д, К, L, М лежат на одной окруж- ности с диаметром ОА. Значит, Z. KLM = Z. КОМ = 60°, Z_KML=AKOL = 60°, т. е. треугольник KLM равносторонний. 16. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AAi, ВВ\, СС\. Доказать, что эти высоты являются биссектрисами углов треугольника А\В\С\. Решение. Пусть Н — точка пересечения высот треугольни- ка АВС (см. задачу 30, с. 194). Заметим, что точки С, Я, Ai, В\ лежат на одной окружности с диаметром СН (рис. 40). Следова- тельно, Х.АхВхН= ЛАХСН= Л_ВССх=<М}°- Z_B. 178
Точно так же на одной окружности располагаются точки Н, А, Bi, Ci, и Z_HBiCi=9Q°—AB. Таким образом, ^AiBiH=Z.CiBiH. То же верно для других углов. 17. На плоскости расположены два квадрата ABCD и BKLN так, что точка К. лежит на продолжении АВ за точку В, N лежит на луче ВС. Найти угол между прямыми DL и AN. Решение. Пусть для определенности BC>BN. Опишем около квадратов окружности и обозначим через М точку пересече- ния этих окружностей, отличную от В (рис. 41). Имеем Z.BML=ABNL=9Q°, Z.BMD—Z_BCD = 90°. Следовательно, точки D, М и L лежат на одной прямой. Далее Z. DMA = Z. DC А = 45°, LMN = 180° — Z. NBL =135°. Таким образом, М есть точка пересечения прямых AN и DL, а угол между этими прямыми рав^н 45°. Случай BC^.BN рас- сматривается аналогично. Мы специально привели три задачи, решение которых основы- валось на идее вспомогательной окружности. Дело в том, что этот метод не только эффектен, но и эффективен, и возможности для его применения встречаются гораздо чаще, чем это может показаться на первый взгляд. В завершение этого пункта продемонстрируем одну весьма трудную задачу, точнее, ее решение, основанное на умении «ви- деть геометрию». (Метод? — «Геометрическое зрение»!) 18. В треугольнике АВС угол В равен 120Q. AAit BBi, СС\ — биссектрисы внутренних углов этого треугольника. Доказать, что угол A\BiC\ равен 90°. Решение (рис. 42). Заметим, что ВА\ — биссектриса угла, смежного с углом ABBi (Z.BiB4i = /.Л1ВЛ1 = 60°), a AAi — бис- 179
сектриса угла ВАС; следовательно, точка равноудалена от прямых АВ и BBit а также от прямых АВ и АС, т. е. At равно- удалена от прямых ВВ\ и В\С, т. е. В1Л1 — биссектриса уг- ла ВВ\С. Точно так же CiBt — биссектриса угла BBiA. Та- ким образом, * ZCiBlA = ZC1BlB-|-Z.BBi/ll=-|-(Z4B|B+ZBB1C)=90o. Обратите внимание, что для решения этой задачи нам не потребовались ни дополнительные построения, ни вычисления. Все основывается на умении увидеть и сопоставить простые геометрические факты. Пример этот приведен не для того, чтобы задать верхний уровень задач, рассматриваемых в факультати- ве. Не всякий, даже опытный, хорошо решающий геометриче- ские задачи, человек найдет подобное решение. Этой задачей мы хотели бы подчеркнуть одну из важнейших целей геометриче- ской части нашего факультатива — развитие геометрической интуиции, геометрического мышления, геометрические зрения. 38. Аналитические методы Один из недостатков элементарно-геометрических методов состоит в необходимости зачастую перебора различных вариан- тов расположения точек, прямых и т. д. Этот недостаток, как правило, исчезает при переходе к алгебраическим методам, методу координат, векторному методу. Хотя очень часто при этом исчезает и сама геометрия. Говоря об алгебраическом методе решения геометрических задач, выделим прежде всего две его разновидности: а) метод поэтапного решения; б) метод составления уравнений. Сущность первого (метода поэтапного решения) коротко состоит в следующем. Величины, заданные в условии задачи, и те, которые нужно найти, мы связываем цепочкой промежуточ- ных величин, каждая из которых последовательно определяется через предыдущие. Полезно при этом сначала составить план решения задачи, другими словами, выписать цепочку элементов, которые можно последовательно вычислить, соединяющую то, что дано, и то, что нужно найти. Рассмотрим пример. 19. В параллелограмме со сторонами а и b и углом а проведе- ны биссектрисы четырех углов. Найти площадь четырехугольни- ка, ограниченного биссектрисами. Решение (рис. 43). Прежде в<!:его заметим, что MNPQ — параллелограмм, поскольку биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны. Следовательно, нам достаточно найти стороны MN и MQ и угол QMN. 180
Для определения угла QMN имеем «цепочку»: /.ВАМ, /.АВМ и, наконец, /_АМВ — /.QMN. Для определения сторон MN и MQ находим последовательно BQ (из &BCQ по теореме синусов), ВМ и AM (из Л.ВМА), AN (из Л NAD), и, наконец, MN= = \AN—AM\, MQ=\BQ — BM\. Теперь полученный план решения реализуется: /ВАМ=-^-, /.АВМ=±- /,АВС=±-(180°-а), Z QMN = Z. АМВ = 180° — Z ВАМ - Z АВМ = = 180°—%—-у (180° —а) = 90°, т. е. MNPQ — прямоугольник. Далее BQ = asin-~, BM = b sin у , MQ=\BQ-BM\ = \a-b\ sin-y и т. д. Ответ получается следующий: S=-y(a — b)2 sin а. Сделаем одно замечание к нашему решению. Трудно гаран- тировать, что полученная таким образом схема соответствует оптимальному решению. Можно показать, что диагонали четы- рехугольника MNPQ равны разности сторон параллелограмма ABCD и параллельны соответствующим сторонам. Возможно, этот путь короче и изящнее. При решении более сложных задач не всегда возможно увидеть весь путь решения от начала до конца. Поэтому поиск этого пути можно вести с двух сторон — с начала (что можем найти?) и с конца (что нужно найти?). Правда, как правило, с конца делается наибольшее число шагов — один, два. Например, если требуется найти радиус окружности, описанной около какого-либо треугольника, то задача будет решена, если мы найдем какую- либо его сторону и синус противолежащего угла (см. задачу 13, с. 193). Для определения радиуса вписанной окружности можно воспользоваться формулой г=— (см. задачу 23), т. е. соответ - 181
ствующая задача сводится к нахождению периметра и площади треугольника. Бывают ситуации, когда конфигурация, данная в задаче, жестко не определена. В этих случаях можно, введя необходи- мое число дополнительных элементов, доопределяющих конфи- гурацию, попытаться реализовать схему поэтапного решения. При этом введенные параметры должны в итоге сократиться. На- пример: 20. Окружности радиусов R и г (/?> г) касаются внутренним образом в точке А. Хорда CD большей окружности перпендику- лярна диаметру АВ меньшей окружности. Е — одна из точек пере- сечения CD с меньшей окружностью. Найти радиус окружности, описанной около треугольника АЕС. Решение. Пусть F — точка пересечения CD с АВ (рис. 44). Предположим для определенности, что точки Е и С лежат по одну сторону от АВ. Поскольку положение CD не определено, то обозначим AF = a. Для определения радиуса окружности, описан- ной около АЕС, нам достаточно найти АС и sin АЕС. Из прямо- угольного треугольника АСМ, в котором нам известны AM и AF, найдем АС (можно воспользоваться утверждением зада- чи 6, с. 193): AC=^lAM-AF = ^2Ra. Аналогично из треугольника АЕВ найдем АЕ=^2га. Значит, sin АЕС = sin AEF^^L^-y “ Таким образом, радиус окружности, описанной около треуголь- ника АЕС, будет равен: Р 2 sin АЕС Приведем теперь несколько задач, решаемых при помощи 182
составления уравнений. Начнем с того, что закончим решение задачи 10 (см. рис. 34). Проведем высоту O\N, тогда ON=x. Выражая O\N2 из треугольников OO\N.и BO\N по теореме Пифа- гора и приравнивая эти выражения, получим для х уравнение (R — х)2 —- х2 = (R + х)2 —•(/? — х)2о6/?х = R2t х=. Говоря о решении геометрических задач при помощи состав- ления уравнений, можно в известной мере провести аналогию с текстовыми задачами на составление уравнений. (Аналогия для поэтапного решения — арифметические задачи, решаемые по действиям.) Так же, как и там, не следует бояться числа неизвест- ных, хотя дать четкие рекомендации по их рациональному и тем более оптимальному выбору вряд ли возможно. (Очень часто при выборе неизвестных следует руководствоваться правилом: неиз- вестные должны полностью определять рассматриваемую в задаче геометрическую фигуру.) Так же, как и там, надо посмотреть, что нужно найти, и искать именно это, а не стремиться всякий раз к полному решению полученной системы уравнений. Так же, как и там, приведенные только что рекомендации — рекоменда- ции, и ничего больше. Для получения уравнения обычно величину какого-либо эле- мента конфигурации — угол или его тригонометрическую функ- цию, длину отрезка, площадь фигуры — выражают дважды раз- личными способами через введенные неизвестные. В частности, она может быть задана в условии задачи. Противопоставляя друг другу два алгебраических метода, оговоримся, что далеко не всегда их можно выделить, так ска- зать, в чистом виде. Так, например, в любом решении задачи на вычисление присутствуют элементы поэтапного решения. С другой стороны, вполне возможны случаи, когда составление уравнения является лишь частью общего решения задачи. Кроме того, как правило, в алгебраических решениях встречаются различные до- полнительные построения, элементы геометрических методов. 21. На сторонах AD и CD квадрата ABCD со стороной 3 взяты две точки М и N так, что MD + DN=3. Прямые ВМ и CD пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка NE, если ME=4. Решение (рис. 45). Пусть ЛЮ=х, DE=y. Из подобия треугольников ВАМ и EDM получим Второе уравне- ние дает нам теорема Пифагора для треугольника MDE\ х2+у2= = 16. Таким образом, имеем систему (Зх—Зу+ху=0, I х2+/=16. Нам нужно найти NE=ND-}-DE=3—х-\-у, т. е. найти у—х. 183
Пусть у—х—и. Из первого уравнения ху=3и. Второе уравнение перепишем в виде (у—х)2 + 2ху= 16 или ы2+6ы—16 = 0, откуда и = 2(и = —8 не подходит). NE=5. 22. В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ равен 3, катет АС равен 6. Центры окружностей радиусов 1, 2 и 3 нахо- дятся соответственно в точках А, В и С. Найти радиус окружности, касающейся каждой из трех данных окружностей внешним обра- зом. Решение. Сделаем в соответствии с рекомендацией преды- дущего пункта скелетный чертеж. Нам достаточна провести отрез- ки ОД, ОВ, ОС, где О — центр искомой окружности (рис. 46). Если радиус четвертой окружности равен х, то ОД=1+х, ОВ = = 2 + *, ОС = 3 + %. Введем еще одно неизвестное: Z04C = <p, тогда Z. О АВ = 90°-—<р. Запишем теорему косинусов для треуголь- ников ДОС и ДОВ. Получим систему уравнений Г (X+З)2 = (х + 1 )2 + 36 -12 (х + 1) cos ф, I (x4’2)2=(x+l)2 + 9—-6(x+l)sin ф. Выразим из первого уравнения cos ф, а из второго sin ф. Исполь- зуя соотношение cos4p + siiAp= 1, получим уравнение, содержа- щее лишь одно неизвестное х; решив это уравнение, получим ответ. _ 8VTT-19 Ответ. х —-------. Заметим, что использование теоремы косинусов или ее част- ного случая — теоремы Пифагора — для составления уравне- ний — один из наиболее часто встречающихся приемов. Важную роль играет также правильный выбор неизвестных. Так, в зада- чах 10 и 21 все неизвестные — линейные величины, в задаче 22 — линейная и угловая. Приведем пример, в котором решение задачи сводится к решению чисто тригонометрического уравне- ния. 23. В равнобочной трапеции основание AD равно диагонали АС. Известно, что Z_CAD = Z.CDM, где М — середина ВС. Най- ти углы трапеции. Рис. 47 184
Решение (рис. 47). Пусть Z.CAD=q>, тогда Z.ADC— = Z.ACD=90°—Поскольку по условию Z_MDC= Z-CAD — = <р, то Z CMD= Z.MDA = Z ADC— ZMDC=90°—|-ф, Z.MCD = 90°+-y. По теореме синусов для треугольника MDC найдем ф cos —— /Ф = 7 СР 3 Ч > MD =CD--------- sin (90° +-J ) sin (90° ~ q>) cos Ф Но М — середина ВС. Следовательно, проекция MD на AD рав- на -±-AD, т. е. 2 ф . з / q \ COSSin— ф AD = 2MD • cos ( 90° — -±- <p) = 2CD-2 < 3 2 - . COS—ф Из равнобедренного треугольника ACD найдем AD= CD . 2 sin у Приравнивая два выражения для AD, получим уравнение 2cos-£-sin-Tj-ф j з о . Ф cos — <р 2 sin Прежде чем приступить к решению этого уравнения, заметим, что мы сознательно избрали прямолинейный путь, не пытались делать по ходу какие-либо упрощения (что в общем-то тактически неверно), отнеся все эти проблемы к тригонометрии. Вернемся к нашему уравнению. Сначала его надо упростить. Можно доказать, что cos -у- <p = cos -g-(2 cos <p — 1), 2 sin -|-ф-5т -^-=cos ф — cos 2ф. Сократив теперь в числителе и знаменателе левой части урав- нения cos -у, освободившись от знаменателя, придем к урав- нению (проверьте!) 2со5 2ф=1, т. е. 2ф = 60°, ф=30°. Таким образом, два угла трапеции равны 75°, два оставшихся 105°. Замечание. Эту задачу можно решить при помощи вспомога- тельной окружности; в данном случае в качестве таковой можно взять окружность, проходящую через точки A, D, М и середину АВ (см. рис. 47). (Если Р — середина АВ, то Z_PMD = Z.AKD = = 180°-ф— (90° — -|-ф)=90о+-|-, Z-PAD= Z_CDA = 90° —f-, 185
Рис. 48 т. е. Z-PMD+ Z. PAD = 180°. Значит, точки А, Р, М и D лежат на одной окружности.) Следовательно, zLAMD = Z.APD = 90°, AMD — равнобедрен- ный прямоугольный треугольник; высота, опущенная из точки С на AD, равна высоте, опущенной из точки М на AD, и равна -±-AD = =-±-АС, т. е. sin <р=-^-, и т. д. 24. Биссектрисы AM и BN треугольника АВС пересекаются в точке О. Известно, что АО—уЗМО, NO=(^/3 — Г) ВО. Найти углы треугольника. Решение. Казалось бы, условие задачи требует введения в качестве неизвестных углов задачи, после чего нужные уравнения получаются при помощи теоремы синусов. (Попытайтесь реали- зовать этот путь самостоятельно и сравните с нижеприведенным решением.) Мы, однако, введем другие неизвестные (рис. 48): ВС=х, АС=у, AB=z. По теореме о биссектрисе (задача 14) ВМ __ АВ _ z МС ~ АС у ' Но ВМ-}-МС=х, значит, ВМ=-^— . Аналогично AN=— у+г x+z Теперь, рассмотрев треугольники ВМА и BNA с биссектрисами ВО и АО и применив к ним ту же теорему, получим в соответствии с условием задачи систему уравнений {—$——( xyi—y—z, z+y л/з J v а -Л_=Л/3-1 I -x(V3-l)+y = z(V3-l). Далее выразим все неизвестные через одно, например через z\ x=^/3z, y=2z. Теперь по теореме косинусов можно найти углы треугольника: Z4 = 60°, ZB = 90°, ZC = 30°. Приведем пример, в котором в качестве неизвестных удоб- но взять площади. Кроме того, принципы составления уравнений в этом примере несколько отличаются от стандартной схемы. 186
25. В выпуклом четырехугольнике, площадь которого равна S, проведены диагонали, разбивающие четырехугольник на четыре треугольника. Площади двух треугольников, прилежащих к проти- воположным сторонам, равны Si и S?. Найти площади двух оставшихся треугольников. Решение. Обозначим площади оставшихся треугольников через х и у. Первое уравнение очевидно: x-\-y = S — Si — S2. Второе уравнение будет xy = S\S2. Докажем это. Пусть в четырех- угольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О (рис. 49) и ZAOB — a. Тогда S А0В- S C0D=-^- АО • OB sin а~СО«О£) sin а = = -^~ВО-ОС sin (л — а)—• DO -ОА «sin (л —a) = SB0C‘SD04 . Имеем систему ( X-]-y = S — Si — S2, I X£/ = S1S2, т. е. х, у — корни квадратного уравнения z2— (S — S\—S2)z + -j-S1.S2 = 0, решив которое получим ответ: -L (S - 3! - S2 ± V(5-S1-S2)2-4S.3^. Следует отметить, что многие задачи, решаемые алгебраи- ческим методом, могут иметь два варианта решения — поэтапный и составлением уравнений. Например: 26. Внутри угла величины а с вершиной в точке О взята точка А. Расстояние от точки А до одной из сторон угла равно а, а проекция ОА на другую его сторону равна Ь. Найти ОА. Решение. Пусть проекция А на одну сторону — точка В, 187
а на другую — точка С, АВ = а, ОС=Ь (рис. 50, а). Продол- жим СА до пересечения с прямой ОВ в точке М. Последователь- но находим ОМ=-^-=—— , ВМ=АВ tg а = а tg а, cos а cos а ° ь О В = ОМ—ВМ=—-------а tg а . cos а ° cos а Значит, О А =^ОВ2 АгВА2=Л^(^~^~^ +Д2=~^ -^а2 + Ь2 — 2ab sin а. Это поэтапный метод. Приведем другое решение при помощи составления уравнений. Введем неизвестные: Z.40C = (p, ОА =х. Без труда получаем X COS ф = Й, х sin (а — <р) = а. Для решения полученной системы можно раскрыть во втором уравнении sin (а —<р) по формуле синуса разности и разделить вто- рое уравнение на первое, после чего получим уравнение, из кото- рого найдем tg ф, и т. д. Итак, задача решена? Все было бы хорошо, если бы в условии было сказано, что а — острый угол. А если а = 90° или а >90°? Сразу видно, что при а = 90° должно быть а = &, тогда ОА>а. Если же и а = 90°, условия задачи противоречивы. Посмот- рим, что будет при а >90°. Недостаточно просто поставить в правой части выражения для ОА знак абсолютной величины: Од__л]а2Ь2 — ЪаЬ sin а |cos а| Оказывается, возможны три случая расположения точки относительно сторон угла (рис. 50, б, в и г). При этом рисунки биг дают тот же ответ, а рисунок в дает нам Од-^а2 -\-Ь2 -\-2ab sin а — cos а Систему уравнений при а >90° также необходимо уточнить, поставив справа в первом уравнении знак абсолютной величины. Поскольку sin (а—-ф)>0, то второе уравнение остается прежним. Теперь наша система уравнений распадется на две, отличающие- ся знаком в первом уравнении. Ответ. Если 0<а<90°, то ОА -2al? sin ? ;если 90°< cos а 188
<а<180°, то ОА-------^+b^2absina а= то cos а г а = Ь будет ОА>а, при а=#6 решения нет. Исследование, анализ решения, рассмотрение различных слу- чаев, необходимость которых возникла в этой задаче, существен- но повысили уровень ее сложности. Один из выводов состоит в том, что, окончив решение, получив ответ, не спешите, подумай- те, не упущены ли какие-то случаи, нюансы и т. д. Обратим внимание также на некоторую некорректность, со- держащуюся в формулировке условия задачи 26. Под расстоянием от точки до стороны угла и проекцией отрезка на сторону пони- мается соответственно расстояние от точки до прямой, на кото- рой лежит эта сторона угла, и проекция на эту прямую, что не является само собой разумеющимся. Возможно и такое — третье — решение. Возьмем точку С\ так, что ОСАС\ — прямоугольник (см. рис. 50, д). Тогда О А—диа- метр окружности, описанной около треугольника ВАС\. ВС\ находится по теореме косинусов для треугольника ВАС\\ 0Д__ ВС\ ____ ВС\ sin ВАС\ |cos а| На этом мы закончим рассмотрение примеров, иллюстрирую- щих алгебраические методы решения геометрических задач. Если еще раз внимательно просмотреть примеры, приведенные в этом пункте, то можно заметить, что почти во всех примерах делались некоторые дополнительные построения, использовался ряд геомет- рических соображений. Итак, решая геометрическую задачу алгебраическим методом, все же не следует забывать, что это задача по геометрии, а не по алгебре. Старайтесь не проходить мимо простейших геометрических фактов, упрощающих решение. В противном случае вы можете превратить пустяковую геометри- ческую задачу в чрезвычайно сложную алгебраическую, что неред- ко происходит не только со школьниками, но и с более опытными людьми. 39. Метод координат. Векторный метод Метод координат является самым универсальным методом гео- метрии. Бытует расхожее мнение, что любая геометрическая зада- ча может быть решена методом координат. В принципе это верно, так же верно, как и то, что человек может все. Однако школьный курс и практика вступительных экзаменов дают не так много при- меров задач, в которых метод координат предпочтительнее иных методов. Разумеется, речь идет о тех задачах, условие которых не содержит упоминания о координатах. Главное при решении геометрических задач координатным методом — удачный выбор системы координат: выбор начала координат и направления осей. Обычно в качестве осей коорди- 189
нат выбираются прямые, фигурирующие в условии задачи, а также оси симметрии (если таковые имеются) фигур, рассматриваемых в задаче. Можно сказать, что желательно, чтобы система коорди- нат естественным образом определялась условием задачи. 27. В круге с центром О проведены два взаимно перпенди- кулярных диаметра АВ и CD. На радиусе ОВ взята точка К так, что 0К=4т0В, а на радиусе OD — точка М так, что ОМ = О =-^-OD. Доказать, что точка пересечения прямых СК и AM расположена на данной окружности (рис. 51). Решение. Задача естественным образом решается коорди- натным методом. За оси координат выбираем прямые АВ и CD. Можно считать, что данная окружность имеет радиус, равный 1. Точка К имеет координаты ( 0) , М —(б; —5")- Уравнение прямой, проходящей через точки С(0; 1) и о), есть у=1—Зх. Уравнение прямой, проходящей через Д(— 1; 0) (I \ 1 X 0; —g-к есть у~—$--------Решая систему уравнений у = 1— Зх, у=—------- найдем координаты точки пересечения ^прямых СК и AM: (у ; — У А поскольку (у) +(—у) =1, то найденная точка лежит на окружности. Нетрудно решить координатным методом, например, задачу 17, с. 179, взяв за оси координат прямые АВ и AD. При этом может возникнуть вопрос: зачем нам все эти красивости с вспомогатель- ной окружностью, если существует достаточно простое, рутинное решение этой задачи методом координат? Помимо доводов, апел- лирующих к эстетике решения геометрических задач, вполне понятных и очевидных доводов за «вспомогательную окруж- ность», мы приведем иной довод, как ни странно исходящий из степени общности метода. Оказывается, утверждение задачи 17 ос- тается верным, если точки К и N не расположены на прямых АВ и ВС (в самом деле, в решении это обстоятельство никак не использовалось), достаточно лишь совпадения вершины двух квадратов. Более того, прямая СК также проходит через точку М перпендикулярно прямой AN. Все это получается в приведен- ном нами решении, как говорится, даром. В то время как дока- зательство такого обобщения методом координат довольно затруд- нительно. Задача допускает и дальнейшие обобщения, например на правильные многоугольники. (Сделайте это самостоятельно.) 190
Почти все сказанное о методе координат можно отнести с не- которыми видоизменениями к векторному методу. Рассмотрим два примера. 28. На стороне ВС треугольника АВС взята точка М так, что ВМ — 2СМ. Точки К и L выбраны на сторонах АС и АВ соот- ветственно так, что АК=2СК, BL = 3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок AM (рис. 52)? Решение. Обозначим векторы АВ и АС через а и /Г для краткости. Пусть АЕ = хАМ, LE = yLK. Имеем ДМ = а+4-ВС = а+^-^-а)=4-г+^-?’ О и О О О О С другой стороны, AE = AL+yLk=^a+y(^—^-n) =-Ul-у) a+^-b. Ввиду единственности разложения вектора по двум неколлинеар- ным векторам получим систему уравнений 2L = X(l-„), 2х=2у t 3 4 k 3 3 ’ откуда х = —. Искомое отношение равно: АЕ:ЕМ —3:4. 29. В окружность радиуса R вписан равносторонний тре- угольник АВС. Пусть М — произвольная точка окружности. Чему равна сумма МА2-\-МВ2А~МС2? Решение. Прежде всего заметим (рис. 53), что если О — центр окружности, то ОА-\-ОВ-}-ОС = б. Таким образом, AM2 + ВМ2 + СМ2 = (МО + О А)2 + (МО + ОВ)2 + (МО Д- ОС)2 = = ЗМО2 + ОА2 + ОВ2 + ОС2 + 2МО (ОД + ОВД-ОС) = 6/?2. Данная задача допускает всевозможные обобщения, напри- мер на правильные многоугольники. При этом для точки М может быть указано лишь расстояние от центра окружности. Рис. 51 Рис. 52 191
* * * Подводя итог нашему небольшому обзору методов решения и методов поиска решения геометрических задач, заметим, что не все этапы в равной степени обязательно присутствуют в решении любой задачи. Мы видели примеры, показывающие, что не всегда приходится выявлять характерные особенности конфигура- ции и, наоборот, некоторые решения одним этим этапом по сути и исчерпывались. Отдельно следует сказать об анализе полученного решения. В полной мере этот анализ мы были вынуждены проде- лать лишь в одной задаче. Как показывает пример этой задачи, основная функция анализа — контроль правильности полученного решения, выявление других возможностей, отличных от рассмот- ренных, оценка полноты решения. Иногда в ходе анализа необхо- димо провести исследование, существует ли полученная конфигу- рация, не относится ли она к разряду невозможных, при каких условиях возможно ее существование. Возникает вопрос: всегда ли подобное исследование нужно делать? Все зависит от конкрет- ной задачи. Чтобы не вдаваться в детали, не рассматривать различные примеры, дадим следующий совет: ученику не следует делать больше того, чем это требуется по условию задачи. И еще одно, последнее замечание. Каждая из рассмотренных нами задач, как правило, сопровождалась лишь одним решением, иллюстрировавшим тот или иной прием, тот или иной метод реше- ния. Возможно, что при этом предлагался для данной конкрет- ной задачи не самый лучший метод. В частности, в задаче 22, вероятно, удобнее было бы воспользоваться методом координат, а в задаче 27, наоборот, вместо метода координат — тригономет- рическим методом, а именно: зная тангенсы углов КСО и МАО (они равны 1/3 и 1/2), доказать, что тангенс их суммы равен 1 и т. д. Бесспорно, изучение методов решения геометрических задач будет более эффективным, если рассматривать на приме- ре одной задачи возможности использования различных геомет- рических и алгебраических методов. Поэтому советуем еще раз просмотреть разобранные задачи и попытаться решить их по- другому. 40. Задачи Опорные задачи (1—44). Предлагаемый здесь начальный список опорных задач носит рекомендательный характер. В дальнейшем, по мере усложнения решаемых задач, расширения и углубления применяемых методов, этот список должен пополняться. 1. Докажите, что дуги окружности, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. 2. В выпуклом четырехугольнике ABCD сумма углов BAD 192
и BCD равна 180°. Докажите, что около ABCD можно описать окружность. 3. В выпуклом четырехугольнике ABCD угол ABD равен углу ACD. Докажите, что около ABCD можно описать окружность. 4. Докажите, что медиана в прямоугольном треугольнике, вы- ходящая из прямого угла, равна половине гипотенузы. Сформули- руйте и докажите обратное утверждение. 5. Пусть две стороны и угол одного треугольника соответст- венно равны двум сторонам и углу другого треугольника. Следует ли из этого, что треугольники равны? 6. В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузу АВ опущена высота CD. Докажите, что CD‘2 = AD*DB, BC2 = BA-BD. 7. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, выходящими из той же вершины. 8. В треугольнике АВС проведена высота BN. О — центр опи- санной около АВС окружности. Докажите, что Z_OBC= Z-NBA. 9. В треугольнике АВС проведены высоты ВВ\ и AAi. О — центр описанной около АВС окружности. Докажите, что прямые XiBi и СО перпендикулярны. 10. Докажите, что для произвольного треугольника выпол- . в . с a sin — sin — няется равенство г=-----------, где г — радиус вписанной ок- cos 2~ ружности; А, В, С — углы треугольника; а = ВС. 11. Докажите, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2. 12. Докажите, что медианы делят треугольник на шесть рав- новеликих частей. 13. Докажите, что диаметр окружности, описанной около треугольника, равен отношению его стороны к синусу противоле- жащего угла. 14. Пусть вершина угла находится вне круга и стороны угла пересекают окружность. Докажите, что величина угла измеряется полуразностью дуг, высекаемых его сторонами на окружности и расположенных внутри угла. 15. Пусть вершина угла находится внутри круга. Докажите, что величина угла измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями за вершину угла. 16. Пусть АВ — хорда окружности, / — касательная к окруж- ности (Л — точка касания). Докажите, что каждый из двух углов между АВ и / измеряется половиной дуги окружности, заключен- ной внутри рассматриваемого угла. 17. Через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра окружности радиуса R (a>R), проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В. Докажите, что МА* МВ постоянно для всех секущих и равно а2 — /?2 (квадрату длины касательной). 193
18. В окружности радиуса /? через точку Л4, находящуюся на расстоянии а от ее центра проведена хорда АВ. Дока- жите, что AM •МВ постоянно для всех хорд и равно /?2 — а2. 19. Пусть AM — биссектриса треугольника АВС. Докажи- те, что ВМ:СМ = АВ\АС. То же верно для биссектрисы внешнего угла треугольника. В этом случае М лежит на продолжении стороны ВС. 20. Докажите, что сумма квадратов диагоналей паралле- лограмма равна сумме квадратов его сторон. 21. Стороны треугольника равны а,Ь и с. Докажите, что медиа- на, проведенная к стороне а, вычисляется по формуле та = =-^2Ь2 + 2с2 — а2. 22. Даны два треугольника, у которых одна вершина А об- щая, а другие вершины расположены на двух прямых, проходя- щих через А. Докажите, что отношение площадей этих треуголь- ников равно отношению произведений двух сторон каждого тре- угольника, содержащих вершину А. 23. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна гр, где г — радиус вписанной окружности; р — его полупериметр (в частности, эта формула справедлива для треугольника). 24. Докажите, что площадь четырехугольника равна полупро- изведению диагоналей на синус угла между ними. 25. Докажите справедливость следующих формул для площа- ди треугольника: S=a 2"^ дП С > S = 2/?2 sin A sin В sin С, где Л, В, С — углы треугольника; а — сторона, лежащая против угла Л; R — радиус описанной окружности. 26. Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямо- угольный треугольник, вычисляется по формуле г=-|-(а + &—-с), где а и Ь — катеты; с — гипотенуза. 27. Докажите, что если а и b — две стороны треугольника, а—: угол между ними и I — биссектриса этого угла, то 1 = Л г а 2ab cos — a-\-b 28. Докажите, что расстояния от вершины Л треугольника АВС rq точек касания вписанной окружности со сторонами АВ и АС равны р — а, где р — полупериметр треугольника ЛВС, а = ВС. 29. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется соотношение AB-\-CD=AD-\-BC, то существует окружность, касающаяся всех его сторон. 30. Докажите, что: а) высоты в треугольнике пересекаются в одной точке и б) расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанного круга до противоположной стороны. 194
31. Докажите, что сумма расстояний от любой точки основа- ния равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высо- те этого треугольника, проведенной к боковой стороне. 32. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте этого тре- угольника. 33. В треугольнике АВС угол АВС равен а. Найдите угол АОС, где О — центр вписанной окружности. 34. Сторону правильного десятиугольника выразите через R — радиус описанной окружности. 35. Для всякого ли треугольника из его: а) медиан; б) вы- сот — можно составить еще один треугольник? 36. В треугольнике АВС проведены высоты AM и CN. Дока- жите, что треугольники BMN и АВС подобны. Чему равен угол АВС, если ЛС = 2Л1М? 37. Окружности радиусов R и г касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, касающейся двух данных и их общей внешней касательной. 38. Найдите длину общей внешней касательной к двум окруж- ностям с радиусами R и г, если расстояние между их центрами равно а. Найдите длину общей внутренней касательной к этим же окружностям. 39. Докажите, что четырехугольник с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника является параллелограммом. При каком условии этот параллелограмм будет: а) прямоуголь- ником; б) ромбом; в) квадратом? 40. Основания трапеции а и Ь. Найдите длину отрезка, высе- каемого диагоналями на средней линии. 41. Найдите площадь трапеции с основаниями 7 и 11 и боко- выми сторонами 3 и 5. 42. Найдите площадь трапеции с основаниями 6 и 7 и диаго- налями 5 и 12. 43. Основания трапеции равны а и Ь. Найдите длину отрезка, параллельного основаниям, с концами на боковых сторонах трапе- ции, делящего площадь трапеции пополам. 44. Основания трапеции равны а и 6. Найдите длину отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции парал- лельно основаниям трапеции с концами на боковых сторонах трапеции. * * * 45. Найдите площадь прямоугольного треугольника, один ка- тет которого равен 13, а высота, опущенная на гипотенузу, рав- на 12. 46. На катете ВС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке К. Найдите площадь треугольника ВС К, если ВС = а, СА = Ь. 195
47. В четырехугольнике ABCD известно, что /LCBD = 58°, ;CABD = №, AADC = 78°. Найдите угол CAD. 48. Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в три раза больше длины окружности, в него впи- санной. Найдите углы при основании этого треугольника. 49. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если вы- сота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12. 50. В треугольнике АВС угол А равен 60°, АВ=1, ВС = а. Найдите АС. 51. Найдите периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, если известно, что хорда этой окружности длиной 2 удалена от ее центра на расстояние 3. 52. Дан угол величиной а с вершиной в точке А. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из некоторой точки В на стороны угла, равно а. Найдите АВ. 53. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, заключенная между ними, равна 5. 54. Сторона ромба ABCD равна 6, Z_BAD=-^-. На сто- роне ВС взята точка Е так, что СЕ = 2. Найдите расстояние от точки Е до центра ромба. 55. Дан треугольник АВС. Сколько найдется таких точек М, что треугольники ABM, ВСМ и САМ будут равновелики? 56. На стороне ВС треугольника АВС взята точка М так, что ЗВМ — МС. В каком отношении прямая AM делит медиану, выходящую из вершины В? 57. Найдите отношение радиусов двух окружностей, касаю- щихся между собой, если каждая из них касается сторон угла, величина которого равна а. 58. В треугольник АВС вписана окружность, которая каса- ется сторон АВ, ВС, АС соответственно в точках М, D, N. Извест- но, что NA = 2, NC = 3, АВСА=^-. Найдите MD. 59. О прямоугольнике ABCD известно, что АВ = 2, BD = ^3. Точка М делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки С, К — середина AD. Какой из отрезков больше: ВК или AM? 60. В треугольнике АВС сторона АС равна 3, Z_ZMC=-~, радиус описанной окружности равен 2. Докажите, что площадь треугольника АВС меньше 3. 61. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ и высота АН. Известно, что ВМ = АН. Найдите угол МВС. 62. Основания трапеции равны 1 и 4, одна боковая сторона д/2. Найдите вторую боковую сторону, если известно, что диагона- ли трапеции перпендикулярны. 63. На стороне ВС треугольника АВС взята точка М, а на стороне АВ — точка АЛ Известно, что ВМ:МС= 1:2, BN\NA — 196
= 3:2. В каком отношении прямая MN делит отрезок В Д’, где К точка на АС, такая, что АК:КС=4:3? 64. Каждая сторона первого треугольника больше любой сто- роны второго. Верно ли, что: a) Si>S2; б) Ь) г\>г2 (Si, S2, /?2, Г\, г2 — соответственно площади, радиус описанной и радиус вписанной окружностей)? 65. Медианы треугольника равны 3, 4, 5. Какой это тре- угольник: прямоугольный, остроугольный, тупоугольный? 66. Высоты треугольника равны 3, 4, 5. Какой это треуголь- ник: прямоугольный, остроугольный, тупоугольный? 67. Углы треугольника удовлетворяют условию А>В>С. Какая из вершин треугольника находится ближе всего к центру вписанной окружности? 68. Существует ли треугольник, у которого две высоты больше 1 м, а площадь меньше 1 см2? 69. Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м2? 70. Центры вписанной и описанной окружностей треуголь- ника АВС лежат по разные стороны от прямой АВ. Сторона АВ равна радиусу описанной окружности. О — центр вписанной окружности. Найдите угол АОВ. 71. На одной стороне прямого угла с вершиной в точке О взяты две точки А и В, причем ОА=а, ОВ = Ь. Найдите радиус окруж- ности, проходящей через точки Л и В и касающейся другой сто- роны угла. 72. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, а один из острых углов равен 30°. Найдите радиус окружности с центром в вершине угла в 30°, делящей данный треугольник на две равно- великие части. 73. В прямоугольном треугольнике даны катеты а и Ь. Найди- те расстояние от вершины прямого угла до ближайшей к ней точки вписанной окружности. 74. В прямоугольном треугольнике медиана равна т и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника. 75. В треугольнике АВС даны стороны ВС = а, СА = Ь, АВ = с. Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В. 76. В равнобедренном треугольнике АВС на основании АС взята точка М так, что АМ = а, МС = Ь. В треугольники АВМ и СВМ вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей со стороной ВМ. 77. В ромб с высотой h и острым углом а вписана окружность. Найдите радиус наибольшей из двух возможных окружностей, каждая из которых касается данной окружности и двух сторон ромба. 78. Определите острый угол ромба, в котором сторона есть среднее геометрическое его диагоналей. 79. Диагонали выпуклого четырехугольника равны а и Ь, 197
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, рав- ны. Найдите площадь четырехугольника. 80. Сторона AD прямоугольника ABCD в три раза больше стороны АВУ точки М и N делят AD на три равные части. Найди- те Z_AMB+ AANB+ £ADB. 81. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точ- ку А проведены хорды АС и AD, касающиеся данных окружностей. Докажите, что AC2>BD = AD2>BC. 82. На окружности радиуса г выбраны три точки таким обра- зом, что окружность оказалась разделенной на три дуги, длины которых относятся как 3:4:5. В точках деления к окружности про- ведены касательные. Найдите площадь треугольника, образован- ного этими касательными. 83. Около окружности описана равнобочная трапеция с боко- вой стороной /, одно из оснований которой равно а. Найдите площадь трапеции. 84. Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. Вся трапеция разделена ими на три части. Найдите площадь средней части, если площади крайних Si и 5г. 85. О трапеции ABCD известно, что АВ = а, BC = b (а=£Ь). Определите, что пересекает биссектриса угла А: основание ВС или боковую сторону CD. 86. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Докажите, что площади двух треугольников, прилежащих к боко- вым сторонам, равны. 87. В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно k. Найдите угол при осно- вании. 88. В трапеции ABCD основание АВ равно а, а основание CD равно Ь. Найдите площадь трапеции, если известно, что диаго- нали трапеции являются биссектрисами углов DAB и АВС. 89. В равнобочной трапеции средняя линия равна а, а диаго- нали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции. 90. Площадь равнобочной трапеции, описанной около окруж- ности, равна S, а высота трапеции в два раза меньше ее боковой стороны. Определите радиус вписанной в трапецию окружности. 91. Площади треугольников, образованных отрезками диаго- налей трапеции и ее основаниями, равны Si и S2. Найдите пло- щадь трапеции. 92. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса пря- мого угла. Найдите расстояние между точками пересечения вь^- сот двух получившихся треугольников, если катеты данного тре- угольника равны а и Ь. 93. Прямая, перпендикулярная двум сторонам параллело- грамма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите острый угол параллелограмма, если его стороны равны а и b, (а<Ь). 198
94. Дан полукруг с диаметром АВ. Через середину полуок- ружности проведены две прямые, делящие полукруг на три рав- новеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаметр ДВ? 95. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна а, и построе- ны две окружности. Первая окружность целиком расположена внутри квадрата ABCD, касается стороны АВ в точке Е, а также касается стороны ВС и диагонали АС. Вторая окружность с цент- ром в точке А проходит через точку Е. Найдите площадь общей части двух кругов, ограниченных этими окружностями. 96. Вершины правильного шестиугольника со стороной а, яв- ляются центрами окружностей, радиусы которых равны Найдите площадь части шестиугольника, расположенной вне этих окружностей. 97. Вне окружности радиуса R взята точка А, из которой про- ведены две секущие: одна проходит через центр, а другая — п на расстоянии — от центра. Найдите площадь части круга, рас- положенной между этими секущими. 98. В четырехугольнике ABCD известны углы: zLDAB — = 90°, ZDBC = 90°. Кроме того, DB = a, DC — b. Найдите рас- стояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D, А и В, а другая — через точки В, С, и D. 99. На сторонах АВ и AD ромба ABCD взяты две точки М и N так, что МС и NC делят ромб на три равновеликие части. Найдите MN, если BD — d. 100. На стороне АВ треугольника АВС взяты точки М и N так, что AM:MN:NB = 1:2:3. Через точки М и N проведены пря- мые, параллельные стороне ВС. Найдите площадь части треуголь- ника, заключенной между этими прямыми, если площадь треуголь- ника АВС равна S. 101. Дана окружность и точка А вне ее. АВ и АС — каса- тельные к окружности (В и С — точки касания). Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на данной окружности. 102. Вокруг равностороннего треугольника АВС описана окружность и на дуге ВС взята произвольная точка М. Дока- жите, что АМ = ВМ-\-СМ. 103. Пусть Н — точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите углы треугольника АВС, если Z_BAH = a, ААВН = $. 104. Площадь ромба равна S, сумма его диагоналей — т. Найдите сторону ромба. 105. Квадрат со стороной а вписан в окружность. Найдите сторону квадрата, вписанного в один из полученных сегментов. 106. В сегмент с дугой 120° и высотой h вписан прямоуголь- 199
ник ABCD так, что ЛВ:ВС=1:4 (ВС лежит на хорде). Найдите площадь прямоугольника. 107. Площадь кругового кольца равна S. Радиус большей окружности равен длине меньшей. Найдите радиус меньшей окружности. 108. К окружности радиуса R из внешней точки М проведены касательные МА и Л1В, образующие угол а. Определите площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей дугой окруж- ности. 109. Дан квадрат ABCD со стороной а. Найдите радиус окружности, проходящей через середину стороны АВ, центр квадрата и вершину С. 110. Дан ромб со стороной а и острым углом а. Найдите радиус окружности, проходящей через две соседние вершины ромба и касающейся противоположной стороны ромба или ее продолже- ния. 111. Даны три попарно касающиеся окружности радиуса г. Найдите площадь треугольника, образованного тремя прямыми, каждая из которых касается двух окружностей и не пересекает третью. 112. Окружность радиуса г касается некоторой прямой в точке М. На этой прямой по разные стороны от М взяты точки А и В так, что МА = МВ = а. Найдите радиус окружности, про- ходящей через точки Л и В и касающейся данной окружности. 113. Дан квадрат ABCD со стороной а. На стороне ВС взята точка М так, что ВЛ4 = ЗЛ4С, а на стороне CD — точка W так, что 2CN = ND. Найдите радиус окружности, вписанной в тре- угольник AMN. 114. Дан квадрат ABCD со стороной а. Определите расстоя- ние между серединой отрезка AM, где М — середина ВС, и точ- кой W на стороне CD, делящей ее так, что CW:WD = 3:1. 115. В прямоугольном треугольнике АВС катет С А равен Ь. Катет СВ равен а, СИ — высота, AM — медиана. Найдите площадь треугольника ВМН. 116. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что Z_A = — а >90° и ВС = а. Найдите расстояние между точкой пересече- ния высот и центром описанной окружности. 117. Вокруг треугольника АВС, в котором ВС —а, ЛВ = а, ЛС = ₽, описана окружность. Биссектриса угла А пересекает окружность в точке К. Найдите АК. 118. В окружности радиуса R проведен диаметр и на нем взята точка А на расстоянии а от центра. Найдите радиус вто- рой окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности. 119. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три рав- ные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна а. 120. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, 200
а другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если раз- ность периметров этих шестиугольников равна а. 121. В правильном треугольнике АВС, сторона которого рав- на а, проведена высота ВК. В треугольники АВК и ВСК вписано по окружности и к ним проведена общая внешняя касательная, отличная от стороны АС. Найдите площадь треугольника, отсе- каемого этой касательной от треугольника АВС. 122. Во вписанном четырехугольнике ABCD известны углы: Z_DAB = a, Z_ABC = $, Z_BKC = y, где — точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD. 123. Во вписанном четырехугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке К, известно, что АВ = а, ВК=Ь, АК = с, CD = d. Найдите АС. 124. Вокруг трапеции описана окружность. Основание трапе- ции составляет с боковой стороной угол а, а с диагональю — угол р. Найдите отношение площади круга к площади трапеции. 125. В равнобочной трапеции ABCD основание AD равно а, основание ВС равно b, AB = d. Через вершину В проведена пря- мая, делящая пополам диагональ АС и пересекающая AD в точ- ке К- Найдите площадь треугольника BDK. 126. Найдите сумму квадратов расстояний от точки М, взя- той на диаметре некоторой окружности, до концов любой из па- раллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен R, а расстояние от точки М до центра окружности равно а. 127. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90° и 60°. Найдите радиусы окруж- ностей, если расстояние между их центрами равно а. 128. Дан правильный треугольник АВС. Точка X делит сто- рону АС в отношении 2:1, а точка М делит сторону АВ в отноше- нии 1:2 (считая в обоих случаях от вершины А). Доказать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника АВС. D 129. Окружности радиусов R и — касаются друг друга внеш- ним образом. Один из концов отрезка длиной 2R, образующего с линией центров угол, равный 30°, совпадает с центром окруж- ности меньшего радиуса. Какая часть отрезка лежит вне обеих окружностей? (Отрезок пересекает обе окружности.) 130. В треугольнике АВС проведены ВК — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Найдите сторону АС, если известно, что прямые ВК и DE делят отрезок AD на три равные части и АВ = 4. 131. Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобед- ренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника, равно k. Найдите угол при основании треугольника. 132. Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписан- ной в треугольник окружности. 201
133. Найдите площадь пятиугольника, ограниченного прямыми ВС, CD, AN, AM и BD, где А, В и D — три вершины квадрата ABCD', N — середина стороны ВС', М делит сторону CD в отно- шении 2:1 (считая от вершины С), если сторона квадрата ABCD равна а. 134. В треугольнике АВС даны: Z_BAC = a, Z_ABC = $. Окружность с центром в В проходит через точку А и пересекает прямую АС в точке К, отличной от А, прямую ВС — в точках Е и F. Найдите углы треугольника EKF. 135. Дан квадрат со стороной а. Найдите площадь правиль- ного треугольника, одна вершина которого совпадает с серединой одной из сторон квадрата, а две другие расположены на диаго- налях квадрата. 136. На сторонах квадрата ABCD взяты точки М, N и К, где М — середина АВ; N лежит на стороне ВС, причем 2BN = = NC; К лежит на стороне DA, причем 2D К—КА. Найдите синус угла между прямыми МС и 7V/C 137. Через вершины А и В треугольника АВС проходит окружность радиуса г, пересекающая сторону ВС в точке D. Най- дите радиус окружности, проходящей через точки A, D и С, если АВ = с, АС — Ь. 138. В треугольнике АВС сторона АВ равна 3, а высота CD, опущенная на сторону АВ, равна д/З. Основание D высоты CD ле- жит на стороне АВ, отрезок AD равен стороне ВС. Найдите АС. 139. В окружность радиуса R вписан правильный шести- угольник ABCDEF. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ACD. 140. Сторона АВ квадрата ABCD равна 1 и является хор- дой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной СК, проведен- ной из вершины С к той же окружности, равна 2. Чему равен диаметр окружности? 141. В прямоугольном треугольнике меньший угол равен а. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, делящая тре- угольник на две равновеликие части. Определите, в каком отноше- нии эта прямая делит гипотенузу. 142. Внутри правильного треугольника со стороной 1 помеще- ны две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника (каждая сторона треуголь- ника касается хотя бы одной окружности). Докажите, что сумма радиусов этих окружностей не меньше чем (д/3—1)/2. 143. В прямоугольном треугольнике АВС с острым углом А, равным 30°, проведена биссектриса BD другого острого угла. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, впи- санных в треугольники ABD и CBD, если меньший катет равен 1. 144. В трапеции ABCD углы А и D при основании AD соответ- ственно равны 60° и 30°. Точка N лежит на основании ВС, при- чем BN: NC = 2. Точка М лежит на основании AD, прямая MN 202
перпендикулярна основаниям и делит площадь трапеции попо- лам. Найдите AM:MD. 145. В треугольнике АВС заданы ВС = а, Z_A = a, Z.B = p. Найдите радиус окружности, касающейся стороны АС в точке А и касающейся стороны ВС. 146. В треугольнике АВС известно: АВ = с, ВС = a, Z_B = $.Y\a стороне АВ взята точка М так, что 2АМ = ЗМВ. Найдите рас- стояние от точки М до середины стороны АС. 147. На стороне АВ треугольника АВС взята точка М, а на стороне АС — точка N, причем AM = ЗМВ, a 2AN = NC. Найдите площадь четырехугольника MBCN, если площадь треугольника АВС равна S. 148. Даны две концентрические окружности радиусов R и г (R>r) с общим центром О. Третья окружность касается их обеих. Найдите тангенс угла между касательными к третьей окружности, выходящими из точки О. 149. В параллелограмме ABCD известно: АВ = а, AD = b (Ь>а\ 2_ВЛ£) = а (а<90°). На сторонах AD и ВС взяты точки К и М так, что BKDM — ромб. Найдите сторону ромба. 150. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с. Центры трех окружностей радиуса -|- находятся в его верши- нах. Найдите радиус четвертой окружности, которая касается трех данных и не содержит их внутри себя. 151. Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла величины а хорды длины а, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно Ь. 152. На стороне ВС треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках М и ЛЛ Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника АВС равна S, а ЛВДС = а. 153. В окружности радиуса R проведены две взаимно перпен- дикулярные хорды MN и PQ. Найдите расстояние между точка- ми М и Р, если NQ = a. 154. В треугольнике АВС на наибольшей стороне ВС, рав- ной Ь, выбирается точка М. Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ВАМ и АСМ. 155. В параллелограмме ABCD известны АВ = а, ВС = Ь, Z_ABC = a. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB. 156. В треугольнике АВС известно: Z.X = a, ВА = а, АС = Ь. На сторонах АС и АВ взяты точки М и ЛГ, где М — середина АС. Найдите длину отрезка MN, если известно, что площадь тре- угольника AMN составляет площади треугольника АВС. 157. Найдите углы ромба, если площадь вписанного в него круга вдвое меньше площади ромба. 203
158. Найдите площадь общей части двух квадратов, если у каждого сторона равна а и один получается из другого поворо- том вокруг вершины на угол 45°. 159. Во вписанном в окружность четырехугольнике две про- тивоположные стороны взаимно перпендикулярны, одна из них равна а, прилежащий к ней острый угол делится диагональю на части аир (угол а прилежит к данной стороне). Определите диагонали четырехугольника. 160. Дан параллелограмм ABCD с острым углом DAB, равным а, в котором АВ = а, AD = b (a<Lb). Пусть К — основание перпендикуляра, опущенного из вершины В на AD, а М — основа- ние перпендикуляра, опущенного из точки К на продолжение стороны CD. Найдите площадь треугольника ВКМ. 161. В треугольнике АВС из вершины С проведены два луча, делящие угол АСВ на три равные части. Найдите отношение отрез- ков этих лучей, заключенных внутри треугольника, если ВС = = ЗАС, Z_ACB = a. 162. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведе- на биссектриса AD. Площади треугольников ABD и ADC равны соответственно Si и S2. Найдите АС. 163. Окружность радиуса /?1 вписана в угол величины а. Дру- гая окружность радиуса /?2 касается одной стороны угла в той же точке, что и прямая, и пересекает вторую сторону угла в точ- ках А и В. Найдите АВ. 164. На прямой, проходящей через центр О окружности ради- уса 12, взяты точки А и В так, что ОЛ = 15, АВ = 5. Из точек А и В проведены касательные к окружности, точки касания ко- торых лежат по одну сторону от прямой ОВ. Найдите площадь треугольника АВС, где С — точка пересечения этих касатель- ных. 165. В треугольнике ЛВС известно: ВС = а, Z4 = a, Z,B = £. Найдите радиус окружности, пересекающей все его стороны и вы- секающей на каждой из них хорды длины d. 166. В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно а и b и пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали четырех- угольника. 167. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка М таким образом, что расстояние от вершины В до центра тяжести тре- угольника АМС равно расстоянию от вершины С до центра тяжести треугольника AM В. Докажите, что BM = DC, где D — основание высоты, опущенной на ВС из вершины А. 168. В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса BE прямого угла В делится центром О вписанной окружности так, что ВО:ОЕ = д[3:~у/2. Найдите острые углы треугольника. 169. На отрезке АВ длины R как на диаметре построена ок- ружность. Вторая окружность такого же радиуса, как и первая, имеет центр в точке А. Третья окружность касается первой окру- 204
жности внутренним образом, второй окружности — внешним об- разом, а также касается отрезка АВ. Найдите радиус третьей окружности. 170. Дан треугольник АВС. Известно, что ДВ = 4, ДС = 2, ВС = 3. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке ТС Прямая, проходящая через точку В параллельно АС, пересекает продолжение биссектрисы АК в точке М. Найдите КМ. 171. Окружность с центром, расположенным внутри прямого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках А и В и пересекает биссектрису угла в точках С и D. Хорда АВ равна л/б, хорда CD равна -д/7. Найдите радиус окруж- ности. 172. В параллелограмме лежат две окружности радиуса 1, касающиеся друг друга и трех сторон параллелограмма каждая. Известно также, что один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен ->/3. Найдите площадь парал- лелограмма. 173. Окружность радиуса R проходит через вершины А и В треугольника АВС и касается прямой АС в точке А. Найдите площадь треугольника АВС, зная, что 2_Л = а, Z.B = p. 174. В треугольнике АВС биссектриса АК перпендикулярна медиане ВМ, а угол В равен 120°. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади описанного около этого треуголь- ника круга. 175. В прямоугольном треугольнике АВС через середины сторон АВ и АС проведена окружность, касающаяся стороны ВС. Найдите ту часть гипотенузы АС, которая лежит внутри этой окружности, если АВ = 3, ВС = 4. 176. Дан отрезок а. Три окружности радиуса R имеют центры в концах отрезка и в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных. 177. Найдите угол между общей внешней касательной и общей внутренней касательной к двум окружностям, если их радиусы равны R и г, а расстояние между их центрами равно -\/2 (/?2 + г2) (Я >4 178. Отрезок АВ есть диаметр круга, точка С лежит вне этого круга. Отрезки АС и ВС пересекаются с окружностью в точках D и Е соответственно. Найдите угол CBD, если площади треугольников DCE и АВС относятся как 1:4. 179. В ромбе ABCD со стороной а угол при вершине А равен 120°. Точки Е и F лежат на сторонах ВС и AD соответственно, отрезок BF и диагональ ромба АС пересекаются в точке М. Площади четырехугольников BEFA и ECDF относятся как 1:2. Найдите ЕМ, если ЛЛ4:Л4С=1:3. 180. Дана окружность радиуса R с центром в точке О. Из конца отрезка ОА, пересекающегося с окружностью в точке М, проведе- на касательная АК к окружности. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков АК, AM и дуги МК, если АОАК = 60°. 205
181. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ —ВС и Z_B = p. Средняя линия треугольника продолжена до пересечения с окружностью в точках D и Е (DE\\AC). Найдите отношение площадей треугольников АВС и DBE. 182. Дан угол а (а<90°) с вершиной О. На одной его стороне взята точка М и восставлен перпендикуляр в этой точке до пересечения с другой стороной в точке N. Точно так же в точке К на другой стороне восстановлен перпендикуляр до пересечения с первой стороной в точке Р. Пусть В — точка пересечения прямых MN и КР, а А — точки пересечения прямых ОВ и NP. Найдите ОА, если ОМ = а, ОР = Ь. 183. Две окружности радиусов R и г касаются сторон дан- ного угла й друг друга. Найдите радиус третьей окружности, ка- сающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания данных окружностей между собой. 184. В треугольнике АВС биссектриса угла АВС пересекает сторону АС в точке К- Известно, что ВС = 2, 7<С=1, ВК—^^. Найдите площадь треугольника АВС. 185. В треугольнике АВС высота BD равна 6, медиана СЕ равна 5. Расстояние от точки пересечения отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1. Найдите сторону АВ. 186. В трапеции PQRS основание PS равно 5, диагональ PR равна 7, Z.PRQ = 45°. Что больше: сторона /?S или диаго- наль SQ? 187. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересе- чения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним. 188. Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямая, параллельная линии центров, пересекает отрезок АВ и пересе- кает окружность в точках М, N, Р и Q (N и Р — на отрезке MQ). Докажите, что величина MQ — NP не зависит от положения прямой. 189. Основание АВ трапеции ABCD ьдръе длиннее боковой стороны AD, AD — DC. Диагональ АС равна а, боковая сторона ВС равна Ь. Найдите площадь трапеции. 190. Найдите углы треугольника, если известно, что центры вписанной и описанной окружности симметричны относительно одной из его сторон. 191. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК. Извест- но, что центр окружности, вписанной в треугольник АВК, совпада- ет с центром окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите углы треугольника АВС. 192. В выпуклом четырехугольнике ABCD известны углы: Z.4 = a и Z_C = p, АВ>ВС. На стороне АВ взята точка К так, что ВК = ВС, а на отрезке СК — точка М так, что DM = DC. Най- дите Z-MDA. 206
193. В трапеции ABCD даны основания: ДО=12 и ВС = 3. На продолжении стороны ВС выбрана такая точка Af, что пря- мая AM отсекает от трапеции треугольник, площадь которого составляет 0,75 площади трапеции. Найдите СМ. 194. В треугольнике АВС из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и СК. Найдите сторону АС, если извест- но, что периметр треугольника АВС равен 15, периметр треуголь- ника ВРК равен 9, а радиус окружности, описанной около тре- угольника ВРК, равен 1,8. 195. В треугольнике через одну вершину проведена прямая, разбивающая его на два подобных треугольника. Найдите наибольший угол исходного треугольника. 196. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС равна биссектрисе внешнего угла при вершине А и равна стороне АВ. Найдите углы треугольника АВС. (Биссектриса внешнего угла при вершине В есть отрезок биссектрисы угла, смежного с В, ограниченный точкой В и точкой пересечения с прямой АС.) 197. В треугольнике АВС сторона АВ равна 3, высота CD равна 2 д/З, AD = BC. Найдите АС. 198. На сторонах четырехугольника с диагоналями а и b лежат вершины ромба. Стороны ромба параллельны диагоналям четырехугольника. Найдите сторону ромба. 199. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. В каких пределах может меняться площадь треугольника? 200. В шестиугольнике, описанном около окружности, даны пять последовательных сторон — a, b, с, d, е. Найдите шестую сторону. 201. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника АВС в точках D и Е. Найдите высоту треугольника АВС, опущен- ную из точки А, если ЛВ = 5, АС = 2, а точки A, D, Е и С лежат на одной окружности. 202. В треугольнике ABC Z.АВС = 60°, ЛВ = 6, ВС = 4. Найдите площадь полукруга с диаметром на прямой АС, касаю- щегося сторон АВ и ВС. 203. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что ЛК:ВК=1:2, а на стороне ВС взята точка L так, что CLzBL = 2:1. Пусть Q — точка пересечения прямых AL и СК. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQC равна 1. 204. В трапеции АВСЕ основание АЕ равно 16, СЕ — = 8^/3. Окружность, проходящая через точки А, В, С, вторично пересекает прямую АЕ в точке Н, Z_AHB = 60°. Найди- те АС. 205. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересе- каются в точке Е. Известно, что площадь каждого из треуголь- ников АВЕ и DCE равна 7, а площадь всего четырехугольника не превосходит 28, AD=^/5. Найдите ВС. 207
206. Продолжение медианы треугольника ЛВС, проведенной из вершины Л, пересекает описанную около треугольника ЛВС окружность в точке D. Найдите ВС, если ЛС = ВС=1. 207. В треугольнике ЛВС известно, что zLBAC = 75°, ЛВ = с, АС = Ь. На стороне ВС выбрана точка М так, что /_ВЛЛ4 = ЗО°. Прямая AM пересекает окружность, описанную около ЛВС, в точ- ке Af, отличной от Л. Найдите AN. 208. Сторона ВС треугольника ЛВС равна 4, сторона АВ равна 2 -\J\9. Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла С. Найдите АС. 209. В треугольнике ЛВС высота, опущенная на сторону ЛС, равна 1, Z_ABC= 140°. Найдите площадь общей части тре- угольника и круга с центром В и радиуса ->/2. 210. Угол А треугольника ЛВС равен а, ЛВ<ЛС; точка D взята на стороне АС так, что СВ=ЛВ, М — середина AD, N — середина ВС. Найдите угол NMC. 211. В треугольнике ЛВС проведены высота ВМУ биссектри- са BN и медиана BL. Известно, что AM — MN — NL. Найдите тангенс угла Л этого треугольника. 212. В остроугольном треугольнике ЛВС проведены высоты AM и CN. О — центр описанной около ЛВС окружности. Известно, что 2_ЛВС = р, а площадь четырехугольника NOMB равна S. Найдите АС. 213. В остроугольном треугольнике ЛВС сторона АС равна 3; высота, опущенная на ЛС, равна 4. В ЛВС вписан прямоуголь- ник так, что одна его сторона расположена на Л С, а две верши- ны — на АВ и ВС. Диагональ прямоугольника равна 3,48. Найди- те площадь прямоугольника. 214. АВ — хорда окружности, I — касательная к окружности, С — точка касания. Расстояния от Л и В до / равны соответ- ственно а и Ь. Найдите расстояние от С до АВ. 215. Из точки Му расположенной внутри треугольника ЛВС, опущены перпендикуляры на его стороны. Длины сторон и опущен- ных на них перпендикуляров соответственно равны а и k, b и tnf сип. Вычислите отношение площади треугольника ЛВС к площа- ди треугольника, вершинами которого служат основания перпен- дикуляров. 216. В окружность радиуса 10 вписан четырехугольник, диа- гонали которого перпендикулярны и равны 12 и 10 д/3. Найдите стороны четырехугольника. 217. В треугольниках ЛВС и А'В'С' АВ=А'В'У АС = А'С'У ЛВЛС = 60°, Z_B'A'C' = 120°, В'С':ВС = д/п (и — целое чис- ло). Найдите ЛВ:ЛС. При каких п задача имеет хотя бы одно решение? 218. Около окружности описана равнобочная трапеция ABCD. Боковые стороны АВ и CD касаются окружности в точках М и 208
N, К — середина AD. В каком отношении прямая ВК делит отрезок MN? 219. В треугольнике АВС с периметром 2 р сторона АС равна а, угол АВС равен а. Вписанная в треугольник АВС окружность с центром О касается стороны ВС в точке /С Найдите площадь треугольника ВОК- 220. Расстояния от точки М до трех вершин прямоугольника равны (последовательно) 3, 5, 4. Найдите площадь прямоуголь- ника. 221. Медиана в треугольнике, выходящая из одной вершины, равна высоте, опущенной из другой вершины, и равна 1. Высота, опущенная из третьей вершины, равна л/З- Найдите площадь треугольника. 222. В окружность радиуса R вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух сторон на три равные части. Радиус второй окружности г. Найдите . А 223. На отрезке АВ лежат точки С и D, причем С — между А и D. Точка М взята так, что .Z~AMD = Z.СМВ = 90°. Найдите площадь треугольника АМВ, если известно, что ACMD = a, а площади треугольников AMD и СМВ равны соответственно Si и S2. 224. Расстояние между центрами непересекающихся окруж- ностей равно а. Докажите, что четыре точки пересечения общих внешних карательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности. Найдите радиус этой окружности. 225. Докажите, что отрезок общей внешней касательной к двум окружностям, заключенный между общими внутренними касательными, равен длине общей внутренней касательной. 226. В окружности с центром О проведены два взаимно пер- пендикулярных радиуса ОА и OB, С — точка на дуге АВ, такая, что Z.71OC = 60o (Z,BOC = 30°). Окружность с центром А и радиусом АВ пересекает продолжение ОС за точку С в точке D. Докажите, что отрезок CD равен стороне правильного десяти- угольника, вписанного в окружность. Возьмем теперь точку Л4, диаметрально противоположную точке С. Отрезок MD, увеличен- ный на своей длины, принимается приближенно равным полу- окружности. Оцените погрешность этого приближенного равен- ства. 227. Дан прямоугольник со сторонами 7 и 8. Одна вершина правильного треугольника совпадает с вершиной прямоугольни- ка, а две другие находятся на его сторонах, не содержащих этой вершины. Найдите площадь правильного треугольника. 228. Найдите радиус наименьшей окружности, содержащей равнобочную трапецию с основаниями 15 и 4 и боковыми сторо- нами, равными 9. 209
229. ABCD — прямоугольник, в котором ЛВ = 9, ВС=7. На стороне CD взята точка М так, что СЛ4 = 3, а на стороне AD — точка N так, что ЛУ=2,5. Найдите радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри пятиугольника ABCMN. 230. Найдите наибольший угол треугольника, если известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника, в два раза меньше наи- меньшей высоты данного треугольника. 231. В треугольнике АВС биссектриса угла С перпендикуляр- на медиане, выходящей из вершины В. Центр вписанной окруж- ности лежит на окружности, проходящей через точки Л, С и центр описанной окружности. Найдите ЛВ, если ВС=1. 232. Точка М удалена от сторон правильного треугольника (от прямых, на которых расположены его стороны) на расстоя- ния 2, 3 и 6. Найдите сторону правильного треугольника, если известно, что его площадь меньше 14. 233. Точка М удалена от сторон угла в 60° на расстояния n/З и 3 -д/З (основания перпендикуляров, опущенных из М на сто- роны угла, лежат на сторонах, а не на их продолжениях). Прямая, проходящая через М, пересекает стороны угла и отсе- кает треугольник периметра 12. Найдите площадь этого тре- угольника. 234. Дан прямоугольник ABCD, в котором ЛВ = 4, ВС = 3. Найдите сторону ромба, одна вершина которого совпадает с точ- кой Л, а три другие лежат по одной на отрезках Л В, ВС и BD. 235. Дан квадрат ABCD со стороной 1. Найдите сторону ромба, одна вершина которого совпадает с точкой Л, противо- положная вершина лежит на прямой BD, а две оставшиеся — на прямых ВС и CD. 236. В параллелограмме ABCD острый угол равен а. Окруж- ность радиуса г проходит через вершины Л, В и С и пересекает прямые AD и CD в точках М и N. Найдите площадь треуголь- ника BMN. 237. Окружность, проходящая через вершины Л, В и С па- раллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и CD в точках М и N. Точка М удалена от вершин В, С и D соответственно на расстояния 4, 3 и 2. Найдите MN. 238. О треугольнике ЛВС известно, что 2_ВЛС=~-. Окруж- ность с центром в Л и радиусом, равным высоте, опущенной на ВС, делит площадь треугольника пополам. Найдите наиболь- ший угол треугольника ЛВС. 239. О равнобедренном треугольнике ЛВС известно, что Z_B= 120°. Найдите общую хорду окружности, описанной около треугольника ЛВС, и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов Л и С, если ЛС = 1. 240. В треугольнике ЛВС сторона ВС равна а, радиус впи- 210
санной окружности равен г. Определите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, причем одна из них каса- ется сторон ВС и ВЛ, а другая — ВС и СА. 241. В окружность радиуса R вписана трапеция. Прямые, проходящие через концы одного основания параллельно боковым сторонам, пересекаются в центре окружности. Боковая сторона видна из центра под углом а. Найдите площадь трапеции. 242. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. В каких пределах может меняться расстояние между центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан? 243. Стороны параллелограмма равны а и b (а Ф Ь\ В каких пределах может меняться косинус острого угла между диагона- лями? 244. Через точку М внутри треугольника АВС проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Отрезки пря- мых, заключенные внутри треугольника, равны между собой. Найдите длины этих отрезков, если стороны треугольника равны а, Ь и с. 245. В треугольнике АВС помещены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника АВС равны г и R. 246. В треугольнике АВС проведена медиана ЛВ, Z_£MC + + А АВС = 90°. Найдите ABAC, если известно, что АВ^=АС. 247. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единич- ной площади, сторона которого лежит на основании треугольни- ка. Найдите площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают. 248. В равностороннем треугольнике АВС сторона равна а. На стороне ВС лежит точка D, а на АВ — точка Е так, что AE = DE. Найдите СЕ. 249. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведены биссектриса CL (CL = d) и медиана СМ (СМ = Ь). Найдите площадь треугольника АВС. 250. В трапецию вписана окружность. Найдите площадь тра- пеции, если известны длина а одного из оснований и отрезки b и d, на которые разделена точкой касания одна из боковых сто- рон (отрезок b примыкает к данному основанию а). 251. В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединя- ющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции. 252. Окружность радиуса 1 вписана в треугольник АВС, в котором cos В = 0,8. Эта окружность касается средней линии треугольника ЛВС, параллельной стороне АС. Найдите длину сто- роны АС. 253. Дан правильный треугольник ЛВС площади S. Парал- лельно его сторонам на равном расстоянии от них проведены три 211
прямые, пересекающиеся внутри треугольника и образующие в пе- ресечении треугольник AiB\Ci площади Q. Найдите расстояние между параллельными сторонами треугольников АВС и AiB^Ci. 254. Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD перпенди- кулярны и являются диаметрами двух равных касающихся окруж- ностей радиуса г. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BC'.AD = k, 255. В угол, величина которого а, вписаны две касающиеся друг друга окружности. Определите отношение радиуса меньшей окружности к радиусу третьей окружности, касающейся первых двух и одной из сторон угла. 256. В треугольнике АВС на средней линии DE, параллельной АВ, как на диаметре построена окружность, пересекающая сто- роны АС и ВС в точках М и N. Найдите MN, если ВС = а, АС = Ь, АВ = с. 257. Расстояние между центрами двух окружностей равно а. Найдите сторону ромба, две противоположные вершины которого лежат на одной окружности, а две оставшиеся — на другой, если радиусы этих окружностей равны R и г. 258. Найдите площадь ромба ABCD, если радиусы окруж- ностей, описанных около треугольников АВС и ABD, равны R и г. 259. Даны угол величины а с вершиной в А и точка В на рас- стоянии а и b от сторон угла. Найдите АВ, 260. Даны ha и hb — высоты треугольника АВС, опущенные из вершин А и В, и длина I биссектрисы угла С, Найдите угол С. 261. Около прямоугольного треугольника описана окружность. Другая окружность того же радиуса касается катетов этого тре- угольника, причем одной из точек касания является вершина тре- угольника. Найдите отношение площади треугольника к площади общей части двух данных кругов. 262. В трапеции ABCD дано: AB = BC = CD = a, DA = 2a, На прямых АВ и AD взяты точки Е и F, отличные от вершин трапеции, так, что точка пересечения высот треугольника CEF совпадает с точкой пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите площадь треугольника CEF. 263. Около окружности описана трапеция ABCD, боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям, М — точка пересече- ния диагоналей трапеции. Площадь треугольника CMD равна S. Найдите радиус окружности.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ § 1. Преобразование числовых и алгебраических выражений 1. 1.2. 180.5. 5. 6. 6. 7. 2 ^2. 8. 1. Указание. Рассмотрим выражение (а + &-\/5)3 *. Давая а и b натуральные значения, уже на первом шаге получим (1+д/5)3 = 8 (2+^5). Теперь понятно, что (1— -^5)3=8(2—-уб). 9. 2. Указание. Проверьте, что (д/2+1)3 = 5 д/2 + 7, (у/2-1)3 = 5д/2-7. 10.4. Указание. (2+д/2)3 = 20 +14 у/2, (2-^2)3 = 20- -14 д/2. 11. -\/2. 12. -\/2 (1 +л/б). У к а з а н и е. Обозначим данное число через А. Тогда Л2= 16 + 2 ^24-8^5= 16 + 4^6-2-75 = 16 + + 4(V5-1)=12 + 4V5 = 2(^+1)2. 13. 5 + 2 д/б. Указание. Выражение под «большим» корнем равно (д/б + д/2 + 1 )2. Можно иначе: обозначим данное выражение через х, найдем х2, после преобразований получим х2 — = 49 + 20 V6=(5 + 2 л/6)2- _________ 14. Указание, д/з+^б—-\/13+~-\^8 = =-73+^5-^13 + 4-73=^3+75^(2-73+1) = =7з+74~2 73=7з + (73-1) =72 + л/3=^М^- • Второй ра- л'2 дикал равен . 3/-------------------------- 15. 3. Указание. Покажите, что у 6+у 3 I с 3 , 1 -д / 7 D 3 1 ГТ~ = V6+-V-=-+-V-- Вт°р°и к°Рень: T--V-- 213
16. Указание. -\/4 +Vl^=^~t-^ , (4—V15) 2 = л/2 •~~(7 -\/5 — 9 ->/3). Таким образом, числитель равен 7п/5-д/2. Знаменатель будет равен 13д/5*л/2, поскольку ~\6+~\/35 = =4= +л/5) и т- д- yz 17. 1. Указание. Данное выражение равно -\Л-<^2- 1) (V2 + 1 )3 =V v(V2-1X34-3^2 + 3^4) = 1. ¥ О ¥ о 20. 0. 21. Va+V5- 22. —23. -\^Ь. 24. Цх- 25. 3. 26. 6-4а, если 0^а<-\/2; 2 (а2 — 2а + 1), если а^-у/2. 27. -\/1 —х2. 28. у+д/ху; 0,64. 29. 30.-^±2^; 31. а-1, если а>1; ~—1, если 0<а<1. 32. 2(а + &). 33. 0, если 0<&<а; -\[а — -y/b, если 0<а<&. 34. 1. 35. х3 + *Д 36. 0. Указание. Сложите сначала первую и вторую дроби, затем к их сумме при- бавить третью. 37. 0. Указание. Сложите две последние дроби: Q —6 . (Ь — с) (с — а) (а — Ь) (а — ЬУ < (Ь — с) (с — а)\ _ а + ь'Г (6 4-с) (с 4-а) (а 4-6) “ (а4-*)\ (Ь 4-<0 (с + а)} ~ а—Ь bc + c2 -\-Ьа + ас + Ьс — с2 — Ьа + са_________ а + Ь (Ь 4- с) (с 4- а) 2 (а — Ь) с (а-{-Ь)_ 2с (а — Ь) (а4-6)(&4-с)(с4-а)“(64-с)(с4-а) ’ Затем прибавьте первую и вторую дроби. 38. 1. Указание. Приведя дроби к общему знаменателю и сложив их, получим в числителе Ьс (Ь + с)4-£а (с4-а) + + ab (a-\-b) + 2аЬс = Ьс (Ь + с) 4- с2 а + са2 + a2b -{-аЬ2 -{-2аЬс = = (Ь + с) (be + са + a2-j-ab)==(b + с\а + Ь\а + с). 39* • Указание. Сложим первые две дроби. По- скольку х44~*2+1 =(*2+*+IX*2 —1), то в числителе полу- чим (х2 — %+ 1)24-2х (х— 1)2 = х4 — х2+ 1. Затем прибавим третью дробь. 40. а-\-Ь-\-с. Указание. После приведения к общему зна- менателю в числителе получим — а3 (Ь — с) — Ь3 (с — а) — с\а — Ь) = = (а + &4-с) (а — &) (Ь — с) (с — а). См. решение задачи 2 в начале параграфа. 214
41. • 42. 2 (аЬ-^-у/а1 2— l^Jb2— 1). Указание. Домно- жим числитель и знаменатель на (а—-^а2 — 1) (6—д/62 — 1). В знаменателе будет 1. 43. у, если у> 1; -Д, если 0<t/< 1. 44. , если 1 <а<2; 2^а~1, если а > 2. Указание. 2—а ’ а —2 Та-|-2 Та~ 1 = ~у/а—\+2-у/а—\ +Т = 45. = Та — 1 4" 1. ~\ja — 2^la—l = |Та — 1 — 11. *+У4/+2 . Указание. Умножим числитель и знаме- з VP+T натель дроби, расположенной под радикалом, на 2х24-3 — — х -\/4х24-3. В знаменателе будем иметь (2х24-3)2 —х2 (4х24*3) = = 9(х24-1). В числителе получим 5х2 + 3 + 2х д/4х2 + 3 = 4х2 4-34- +2х ->/4х24-34-х2=(д/4х2 + 3 4-х)2. 46. х. У к а з а н и е. Под первым корнем находится выражение, ( x+xlx2— 4\3 /х— -Jx2— 4\3 равное ( ---\ , а под вторым — соответственно (-----4 . 47. л^+1. указание. а^[а — ЗТа4-(а—1)Та —44*2 = xja — 1 ={а -у[а —-у/а) — (2 \'а — 2)4~(а— Г)~\/а—4=-у/а (а — 1) — -2 (Та- 1)4-(а-lh/o^4 =(Та- ЦТа (Т«+1)-24~ 4- (г/а 4-1 h/o — 4)=(Та — 1 Ха 4- Та — 2 4- (Та 4-1 h/а—4)= =(Т^-1)((Т^~ О (ТН4-2)4-(Т^4- 1)л/(Т^)2-4)=(Т^~ 1)Х Х~у^/о + 2((Та — 1) ~\j^/a + 2 4- (Та 4-1) л/Та — 2). Аналогично а Та —3 Та4-(а— 1) Та — 4 — 2 = (Та4- 1)ТТа —2((Та — 1)Х Х"\/л/а4-2 4-(Т“4- 1)ТТа~2). Таким образом, первая дробь оказывается равной „ (Va4-lh/-Va — 2 48. Указание. После приведения к общему знаменателю в числителе можно вынести множитель (a — b\b — с)(с — а). 49. Указание. Умножим обе части на х2 + %+ 1- 50. Указание. Каждый множитель раскладывается на два множителя: 1 — 4- = ( 1 —(1 +4-) = » • Имеем k2 \ k / \ ‘ k / k k 1 3 2 4 3 5 п — 1 n + 1 n4-l D —,...,----------------Все дроби, кроме первой 2 2 3 3 4 4 п п 2п r r г и последней, сокращаются. 51. Указание. Умножим почленно на (р3 + ^3)3 и перенесем первое слагаемое правой части в левую. Слева будем иметь 215
р\(р3 + <73)3 — (р3 — 2<?3)3) = 9р3р3 (р6 —р3р3 + ^6). То же самое полу- чится в правой части. 52. . Указание. Обозначим искомое выражение через а, данное — через Ь. Легко проверить, что &24-1=а2. Таким обра- -^=(1)’+ >=(§) 53. Указание. Обозначим -2-=-^-=Х, a = Xb, c — Xd. За- b d меним во всех доказываемых равенствах а на ХЬ, с — на №. 54. Указание. Преобразуем первый множитель: I 2 —X . x — y = {y — z)yz-\-xz2 — xy2 — x2z + x2y__{y — z){yz — xz — xy-\-x2)__ у ' z xyz xyz = (У-гУ-±)(х^у). Перемножим, получим xyz xyz _ (г —%Хл- —t/) _ (у —z)(x —у) _ (I/ — г)(г — %) yz xz ху Сложим первые две дроби, учитывая, что х + р + ^ = 0- Имеем х — у z (х — у) — (х — у)(ху) {х — у)2 {z—x—y) 2 {х — у)2 z ух xyz ху Окончательно получаем — 2(х— у)г + (2у + хХ2х + 1/). — 2х2 +4ху — 2if + 4ху + 2.? + 2уг + ху д ху ху 55. (а + b + с)2 = а2 + Ь2 + с2 4- 2ab + 2Ьс + 2са — (а2 + Ь2 + с2)+ +Wt+4-+t) • 56. У к а з а н и е. Обозначим х-}--^-=а. Имеем xy-j-l=ayf pz+ 1 =az, zx-\-\=ax. Из первого соотношения выразим х\ х = == ау-~-- • Заменим в последнем х: z ау~--—F 1 — fl ау~~~ , azy — — z-^-y — a^y — а. Поскольку из второго соотношения zy = az—1, то a (az — 1) — z + у = а2у — a, a2 (z — y) — (z — y) = Q, (a2 —l\z — y) = 0. Если а2=#1, то z = y = x. Пусть а=\, тогда х = ^-^, т. е. xyz= — 1. Если а= — 1, найдем, что у у-^ xyz= 1. TI у — 2 Второе решение. Из данных равенств следует х — у = --, у^ y-z=^-^-, z — х=^У-. Перемножим эти равенства, получим 216
(x—y)(y—z)(z—x)=(x—y)(y—z)(z-x) -^и T. Д. xyz 57. Указание. Докажите, что из данного равенства следует, что {a-\-b}(b-\-c}{c-\-a}=0, т. е. или а= — Ь, или Ь=—с, или с — —а. 58. Возведем данное равенство в квадрат: а2 = х2 + у2 + ++2 V (х2+V* VXy2+V*V)== х2+у2++ + \[х2уА + 2 д/2х2у2 + у2 + х2 \[х^= х2 + у2+V*V+ /—у-т----Z—3—Г — 2 11 +V-vV + 2 v(y3 %3 +у3 *3) =х2 + у2+Зх3 y2 + 3x"J у3 = =(х3 + у^} 59. Указание. Положим а = (у — z} УГ^х3, b = {z — х)Х ХдА-/У3> с = (х~~У) V1 “• Из задачи 19 следует, что если а4-^ + с = 0, то а34-634-с3 = ЪаЬс. Значит, из данного равенства следует, что (у — z)3 (1 — х3) + {z — х)3 (1 — г/3) -k (х — уу{ 1 — z3) = = 3 {у —z} {z — x) {х — у} V(1 — *3) (1 — /У3) (1 — z3). Рассмотрим ле- вую часть полученного равенства. Она представляет собой разность двух выражений: {у— z}3 + (z — х)3 + (х — у}3 и Q/ — z)3x3 + + (z—х}3у3-\-{х — y}3z3. Поскольку {у — z) + (z — х) + (х — у}=0 и {y — z}x-\-{z — x}y-{-{x — y}z = O, можно заменить их соответ- ственно на 3 {у — z) (z —х) (х — у} и 3 {у — z) (z — х) (х — у} xyz. Теперь легко получить доказываемое соотношение. 60. Указание. Имеем (х2 — yz} у (1 — xz} = {y2 — xz}x (1 — yz}, х2у — y2z — x3yz + xy2z2 = xy2 — x2z — xy3z + x2yz2, xy (x — y} + 4-z (x2 — y2} — xyz (x2 — y2} — xyz2{x — y} = 0. Сокращая на x — у и деля затем на xyz, придем к требуемому равенству. 61. Указание. Пусть каждая дробь равна X, тогда а=^(х2 — yz\ b=-±-(y2 — zx\ c=-j-(z2 — xy')\ Такими же, очевидно, будут две другие дроби. 62. Указание. Имеем {Ь2 + с2 — а2} а + {с21-а2 — Ь2}Ь-\- + (а24-62 — c2}c = 2abc. Перенесем 2abc в левую часть и докажем, что ее можно будет разложить на множители {а~{- b — с}{Ь с — а)х Х{с-\-а — Ь} = 0. Если а-\-Ь — с = 0, то первые две дроби равны 1, последняя равна —1. § 2. Уравнения и системы уравнений 1.3; -4-. 2. -1; -2102. 3. 1; . 4.0; 7-2-х/З; / 118 v 74-2 д/3. Указание. Перепишите уравнение в виде — 217
x l~ 3 х l~ 4 х 1~ 5 ---Ч------------после чего сделайте вычитание дробей в X—о X—4 X—Э левой и правой частях. 5. —4; 2. Указание. Если а и b — числитель и знамена- тель дроби, стоящей в левой части, то откуда а = Ь. 6. -у; ~-(11±л/5)- Указание. Сложите сначала первую дробь с последней, а вторую — с третьей. 7. -5. Указание. См. уравнение 2. 8. 0; —— . Указа- х22х-р 2 (%4-1)24-1 । 1 . 1 гр ние. —7^1—=——= *+1+^-ру- Так же преобразуйте каждую дробь. Получившееся уравнение перепишите в виде 4 3 2 1 о —п----г“т=—гт-------гт, после чего сделайте действия в левой х4-4 х4-3 х4-2 х-Н и правой частях. 9. -1; — 2; -3. 10. —|-; —1-; 3. 11. 7. Указание. Первое уравнение имеет корни: (4 — у/2); (1+V2), второе —(3+-\/2); (1—д/2). 12. 2. 13. 14. I9+V^. в. —1. 16. 0. Указа- ние. Докажите, что 2 У7 + д/2 — 3-^5 <0. 17. 2. 18. 7. 19. —2; 3. 20. 3. 21. 481. 22. Нет решений. 23. —4. 24. 0; 3. 25. 0; -1. 26. -4-. 27. 2 л/3. 28. 6. 29. -4-. Указание. Умножим обе части уравнения на д/5х+7 + +-\/^ + 4, получим 4х + 3 = (4х+ЗХу/5х + 7 +д/х + 4), откуда или Xi = —или -^5х+7+-^х + 4 = 1. Последнее уравнение не имеет решения, поскольку при х^ —будет у/х+4 ^~\/ —+ 4> 1. 30. - Указание. Умножим обе части на -\/45х +12 + + л/15х + 2. Поскольку 15х+2^0, то Зх+ 1 >0. После сокраще- ния на Зх+ 1 получим уравнение т/45х + 12 + -\/15х + 2= VTo, кото- рое решается возведением обеих частей в квадрат. 31. -у- 32. 6; 5+2^Т-. 33. —34. 2; 5; -3; 12; 4 —У29; 4+^29. 35. -|-(7- У13). 36.^. 37. -у. 38. 3. У к а- з а н и е. Умножив и разделив левую часть на разность радикалов -\/х + 33 — Vх + 1, преобразуем ее к виду —— ——-----—. Пра- ~\jx 4~ 33 — ~\/ х 4~ 1 218
вая часть таким же образом приводится к —--—,...., 7x4-22-7x4-6 после чего все уравнение можно преобразовать к виду Vх+ 33— —Vx + 1 =2 (Vx + 22—\/%4-6). Получившееся уравнение вычтем из исходного, тогда избавимся от Vх+ 33 и получим 2 -д/х+ 1 = = 3 Vx + 6 — Vx + 22(*). Далее 2 (Vх + 1 — Vх + 6) = Vх + 6 — —Vх+ 22. Умножим и разделим левую и правую части на суммы соответствующих радикалов. После упрощения будем иметь 5 Vх+ 22 —3 Vx + 6 = 8 Vх + 1- Выразим из уравнения (♦) V^ + 22 и заменим в получившемся уравнении, получим 2 V* + 6= = 3 Vx + + откуда х = 3. 2 39. 1. 40. 7- 41. —f 3 1 . Указание. Имеет 3\^+хХ 28 —З8 Х(24-х) = 2хУх, откуда —"j" и т- Д- 42. ±—=^. 43. ±у/2. 44. 7(!±л/5); 7^ =±=л/ТЗ)- 45. I. 7>+5? £ 46. 26. 47. З5. 48. 1. 49. 8. 50. 7(-I±V17)- 51. 4 + 2^3. 52. 0. 53. 7(5±л/33)- Указание. Левая часть уравнения преобра- зуется к виду——2—, после чего замена у = 4х2 — 5х. ох — 1 их 4~ 3 54. 1±у/7. 55. 7; 4-; -777(49+5у/73) . Указание. О А 1 Возведем уравнение в квадрат и обозначим у =—. х 71 — * 56. 7(-2-л/б±л/б + 4 2б). 57. 3+V2T; —2; 6. Указа- х 4 ние. У=-~~. 58. 7; -у. Указание. у = 59. 2; 2±л/3- У к а- , 1 з а н и е. у = х-\-—. 60. л/2±1; —у/2=Ы. 61. ±3; ±V+ 60 * 62’ “1; 3’ у к а 3 а' ние. у — х2 — 2х. 63. — 1; 3. Указание. Поскольку -----г|~= 12 (х-2Хх-1) уравнение преобразуется к виду 12 = х(х — 2) (х — I)2. Далее замена у = х2 — 2х. 219
64. —7; 2. Указание. (х2+Зх+2)(х2 + 7х +12)== =(х +1) (х + 2) (х+3) (х+4)=(х+1) (х + 4) (х+2) (х+3)= = (х24-5х4-4) (х2 4-5x4-6). Далее замена z/ = x24-5x. 65. — 2±д/2; -^-(5±д/Т7). Указание. Делим на х2 и обо- значим у~х-\-—. 66. 4-(1 ±д/5); — 3±д/3. Указание. Однородное уравнение х2 относительно х2 и х4-1. Замена 1 57 х+1 67. ~-(1±л/5)< Указание. Однородное уравнение относи- тельно х24-х-Н и х2, поскольку правая часть есть 2х44- 4-х2 (х24-х4- 1). 68. -|-(11 — д/2Т). Указание, у = х-\--у/х. 69. 1 zE~\/94-3 УГЗ. Указание. Уравнение перепишем в виде Зх = — (2 —х) д/х ~9. После возведения в квадрат и преобразо- ваний получим 9 (х24-(2 —х)2) = (2 — х)2х2. Делаем замену у = =х2 —2х. 70. Щ .Указание. Уравнение можно преобразовать к виду л/х + л/х + 7 4-х4~2д/хд/х4-7 4-х4-7 = 42, затем сделать замену У=д/х4-л/х + 7. 71. 212-320. 72. 1; -24-^5. 73. 5 (д/24- 1). 74. 1. 75. 2; . 76. 6. 77. 3(-д/2 —1). Указание. (д/184-Зх—д/3х)2 = 9 —х2, 9-6 д/х(х4-6)4- (х4-6)=0, (3—д/х24-6х)2 = 0. 78. ±-|-у-^-(1 4"л/33)- Указание. Левая часть преобра- 2 2 зуется к виду 8? - 15;+3-^;_1)2_(2х_1) , а правая - к виду 2(2х-1)24-(2х-1). 79. 1; 2; — 2:±д/2. Указание. В каждой из первых двух дробей разделим числитель и знаменатель на х, затем обоз- । 2 начим z/ = x4-—. 80. 2 д/З. Указание. Освободимся от знаменателя и перепи- шем уравнение в виде (д/34“ 1) (д/х Vх+ 4 — д/2 д/2х-}-6) = =д/б д/х-|-4 —д/х д/2х4-6.. Каждую часть умножим и разделим на соответствующие суммы. Получим - ~ 7^4-4 +V2V2I+6 -2 О2—12) = -}- ,----р 7-__ И т. д. л/бд/-^4-4 + +6 220
81. 1. Указание. х^1. Если х>\, левая часть больше единицы, правая меньше. 82. ——. Указание. Левая часть есть 2х3 — (х4-1)3. V2-1 83. — 2. 84. З+д/6; -|-(-5 + УГз) . Указание. уЗх +19 —+ = 1 18+-|-. Возведем в квадрат: х —1-= = у*+18 + -|-. Еще раз — в квадрат и преобразуем левую часть, получим (^х—-0 — ^х+-2-) —12. Затем сделаем замену । з У = х+—. 85. -|-(3+д/5). Указание. Разделим почленно на (х— I)3 и обозначим у — . Получим у3 + у2 —2 = 0 или (у—1)Х Х(у2+у + 2) = 0 и т. д. 86. —|-; —. Указание. Левую Часть можно пред- ставить в виде(1 + 3х) (1 +3х + 2х2) = (1 +3х)2 + 2х2 (1 +3х), а пра- вую— в виде (16+12х)2 + 2х2 (16 +12х). После перенесения в одну часть выделяется множитель (16 +12х)—(1+3х)= 15 + 9х. 87. Уравнение не имеет решений. 88. 4. 89. 90. 6. 91. х<-|-. 92. х<4-- 93- х>3- 94- — д/2; 1-у/5. 95. -|-(-5+7ГТЗ). 96. 3; —L(3+V65). 97. 3. 98. 2. 99. 2; 2+VTO; l+y/5. 100.0; l-y/5. 101. ^-(19+д/29). 102. -b(19+y/29). 103. —2^x^3. 104. —; -^-(—д/2 + д/б). Указание. Левая часть преобразуется к |х + д/1 — х2|. Поскольку 1—2х2^0, № ___ то -д/1 — х2^ |х|. Значит, х+-д/1 —х2^0, т. е. уравнение приво- дится к виду -= 1 — 2х2, при условии х2^. — . Правую часть представим в виде 1 — 2х2=(х + ^/1 — — х2). 105. ^-(-Тб + д/2). 106. - 1. 107. 6; 2. 108. - 1; 7. 109. ±-~-, ±-|~(V14-~l). ПО. ±2; ±(V28-1). Ill- Кх<4. 221
112. — 4<х<-|-. ИЗ. 3. 114. 1; — у(5 + д/33). И5. 0; 1; 2. 116. -у (— 1 ±л/2Т); -у (1 ±-Д?)- Указание. Пусть у= 1 — 5х2. Имеем систему у= 1 — 5х2, х= 1 — 5у2. Вычитая уравнения, найдем у — х = 5 (у — х) (у + %). Имеем два случая: 1) у = х; 2) 5у + 5х=1. 117. —. Указание. Пусть и = д/х24-2, v =^х2 -\-2x-\-3 . Тогда у2 —u2 = 2%4-1, х=-^-(у2 — и2 — 1). Получим у2 —w2 + _|_JL(^2_ u2 — i) u4-y-(^2 — w2+ 1)^ = 0, (y--w)(2y + 2u4-(y4- + u)2+l)=0, откуда y = u. 118. —-.Указание. Разделим почленно на \[х и обозначим 13 + -р = и, ~yj4—= v. Получим систему и + и = 3, и4 4- и4 = = 17 ит. д. 119. -^-(3— ~\/5). Указание. Перенеся все в одну часть, проверьте, что уравнение представляется в виде 1)3 = 0. 120. (1; 1). 121. (1; -1); (1; 2). 122. (5; 1); (--1-; • 123. (у-; -у-) . 124. (2±2 V3; 1 ±-^=) . 125. (4; 2). 126. (0; 1). 127. (5; 1). 128. (0; -1); -у) . 129. (2; 2). 130. (±3; ±2); (±2; ±3). Указание. Замена х2+у2 = и, xy = v. 131. (±д/2; 1±л/2). 132. (у-; 9) . 133. (±1; ±2); (±2; ± 1|). 134. (±1; ±1). 135. ( ±-|-(-\/3+1); ±-у(д/3 — 1)). Указание. Возведем обе части второго уравнения в квадрат, после чего вычтем удвоен- ное первое, получим х4 — Зх3у — 2х2у2 — Зху3 + у4=0. Это уравнение 9 2 / \ 2 разделим на х2у2; учитывая, что--h—=(— +—) —2, будем / \2 / \ у2 х2 \ У иметь (—_з( _4 = 0 Заменяя г=—+ —, най- дем zi = — l, z2 = 4. В первом случае решений нет. Из уравне- ния -~4--^-=4 найдем ~-=2±д/3. Поскольку из второго урав- нения системы следует, что х2>у\ то “-=24--\/3 и т. д. 136. (0; ±1); (-у-; о) . 137. (4; 1). 138. (-1; 2); (у-; у) 139. (2; - 1);(у; -у-) . 14О.(1±^2; -1). 141. (-2; -1+V19). 222
142. (zfc4; ±2). Указание. Перемножьте данные уравнения. 143. (0; 0); (±2; ±1); (±1; ±2). 144. (±3; ±5); (±|-; ±-у) • 145. (0; ±2); (-2; 0). 146. (4; 2); (-|-; —1) . 147. Сис- тема не имеет решений. 148. (1; 0), У к а з а н и е. Перемножим уравнения,получим х6=1 и т. д. 149. (^-(-2+VT4+V12 V14-2); -^-(-2+714±712 Vl4-2)); (1;3); (3; 1). 150. (0; 0); (±72; 4=72); (±2; ±2); (-1(±1+75); 5/5));(4-(±1-у/5); ^(±1+л/5)). 151. (0, 0); (±2; ±1); (±V2; ±2^); (±-^;±^.) , где а=-1-(— 7+у/ЗЗ). Указание. Из системы следует, что 4 (х+у) (х3 4-у3)=27х2у2, или 4 (х2 4-2ху 4- у2) (х2 — ху 4- у2) = 27х2у2. Разделим обе части на х2у2 и обозначим t и т. д. У х 152. (2; —3); (с; 1); с — любое число. Указание. Удвоим первое уравнение и вычтем второе. 153. (0; 1); (—4) . 154. (2; 1). Указание. Вычтем из первого уравнения удвоенное второе, получим (— 2х+3у + 1)2 = 0. 155. (2; 3). У к а з а н и е. Первое уравнение есть (х—у + 1)2 + + (у —3)2=0. 156. (I; 1); (-1.(276-3); —1.(9 + 4 76)); (—1.(3 + 276); 1-(47^—9)) . Указание. Сложим уравнения, получим 3 (х —у)2 —2 (у—1)2 = 0. 157. (1; 2); ( -^-(5 + 3 73); ^-(73-1)); (^-(3-у'З-б); —1-(1 4- л/3)). Указание. Сложим уравнения, получим (2х — у)2 —3(х —1)2 = 0. 158. (1; 1). 159. (1; 2). 160. (1; 1). 161. (19; -15). 162. (1-(14 7ТТ-58); -1(2 7ГГ-11)). 163. (0; ±2); (1; -3). Указа- н и е. Из второго уравнения и2 = 44-5х2; значит, у3 = 4у-]-5х2у. Заменим в первом уравнении у . Если х = 0, то у= ±2. Если %У=0, то выразим у=—— и подставим во второе уравнение. 223
164. (3; 1); — ^.Указание. Умножим первое уравне- ние на х, второе — на (—у) и сложим, получим Зх — 4у = 5. Выразим х через у и подставим в первое уравнение. 165. (-1; -2); (-2; -1). 166. (3; 2; 4); (0; -1; 1). 167. (±2; ±3; ±4). 168. (1; 1; 1;); (1; -1; -1); (-1; 1; -1); ( —1; —1; 1). Указание. Подставим выражение для х во вто- рое и третье. Получим y24~z2=±2z, y2 + z2=±2y, т. е. z=±y. 169. 1; 2±д/з) ; (^у^-; 1; 2±д/з); (0; 0; 0). Возможна любая комбинация знаков. Всего имеется 9 решений. Указание. Освободимся в первом уравнении от знаменателя и поделим на ху, рассмотрев случай ху — 0 отдельно, получим х4—-—у —— =5. Аналогично поступим с другими уравнениями. X 1/ Затем сделаем замену х-\--^=и, у-\— 170. (д/З; 2); ( —уЗ; -2). 171. . У к а з а н и е. Умно- жим первое уравнение на 2 и вычтем второе. Получившееся уравнение разложится на множители (х —2у) (2% + у+ 3) = 0. 172. ( —|-; —; (3 — 2/; /), t — любое число. Указание. Каждое уравнение раскладывается на множители (2х —у)Х Х(*4-2// — 3) —0, (3% +1/4-2) (х4-2// — 3) = 0. Для этого можно рассмотреть каждое из уравнений как квадратное относительно X или у. 173. ^8 4- -^-д/Тб) ; (74-2 д/Тб). Указание. Возведе м каждое из уравнений в квадрат и вычтем одно из другого. Получим х2— у2 = —Ц-. Теперь для нахождения хи// будем иметь систему х — у — 174. ( — 1; 1). У к а з а н и е. Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно у. Найдем: 1) у= —х; 2) // = --2^~ и т. Д- 175. (0; —1). Указание. Преобразуем второе уравнение: х — у (д/х24- 1 —х)4-//2 = 0, исключим д/х24- 1 из обоих уравнений. Получим х24-2х(г/ —г/2)4-//4 —2//3 —Зг/2 = 0. Решая последнее уравнение относительно х, найдем: 1) х = —у — у2;2)х= -{-Зу — у2. '76- ±710 Т-^-л/2); (2л/2-л/3; г-Д + д/З); (-2д/2 + ^3; -2д/2-д/3). Указание. Возведем оба уравнения в квадрат и сложим их. 224
Решив систему для и, и, найдем ai=37, vi=2, u2 = 22, 178.(4; 3; 1); (^-; -j-; /52_. _4]_. \ 3 ’ 3 ’ 3 ) * 179. (12; 3; 1); (3; 3; 4). Указание. Вычтем из уравнения первое, возведенное в квадрат, заменим 6xz сократим, получим у (х — 2у 4~3z) = 27. Таким образом, у Обозначим и = х2-\-у2, v=(x-\-y)2. Получим 2u4-u = 76. Кроме того, уединяя в первом уравнении корень и еще раз возводя в квадрат, получим после упрощения 736— 16u4-u2 — 2uv = 0. ^2 = 32. 23_\ 3 /’ второго на 8у2, = 3. 180. (—2а; “ту; а) , ( — 2а2 4-2а; 2а2; а), а — любое число. Указание. Умножим второе уравнение на 2z и прибавим к первому. Получим (x + 2z)-(y — 2z2) = 0. 181. (0; 0; 0); (о; -f; f) ; (--1-; -|-; -f) . Указа- ние. Умножим уравнения соответственно на 2, 3, 6 и сложим, полученное уравнение приводится к виду (у — z) (2х + Зу4-6г) = 0. 182. (0; 0; 0); (4-; —Ь ; 55-; _2J1) . у к а 3 а- ние. Умножим первое уравнение на 2, второе — на х и сложим, получим (х + 2у) (z4-2x2) = 0. 183. (0; 0; 0); (2; 1; 1); ( . Указание. Умно- жим уравнения соответственно на 6, —4, —3 и сложим, полу- чим (х —z) (ЗОу—12z —9х) = 0. Если x = z, то x = y = z = 0. Во втором случае выразим у через z и х и подставим во второе и третье, исключив (х — z). Получим однородное уравнение отно- сительно X И Z. 184. (0; 0; 0); (||; у-; . 185. (1; 2). Указание. Раз- ность дробей, обратных левым частям, есть . Таким образом, -= —i-. Отсюда выражаем у через х и подставляем в одно из Ху 2 уравнений. 186. ( — ^2;^=) .Указание. Сложим уравнения, затем выч- тем их. Получим (х—1)3 + 2 (у+1)3 = 0 и (х+I)3 —2 (у—1)3 = 0. 187. (0; 0); (—j-; — Указание. Умножим первое уравнение на 9 и вычтем второе. Получим (2х —у) (2у —х) = = 3 (2х —у) и т. д. 188. ( ±4-(V7 + 5); ±X(V7-4); ~ 1)); ( ±-у(л/7-5); 225
( ±-|-(-\/7+4); ±-|-(-у/74-1)) .Указание. Обозначим x-(-2z/= = и, y-(-2z = u, z-\-2x = w, %4-i/4-z = s. Получим систему и (2s —u) = 6, v (2s — у) = 3, w (2s — w)= — 2, « + ^ + ^ = 35. Выра- жая из первых трех уравнений «, v, w через s, например и = = s'±^s2 — Ь, и подставляя в четвертое, получим ±-\/s2 — 6 ± ±^/s2 — 3±д/s2+ 2 = 0. Чтобы последнее уравнение имело реше- ние, знаки перед — 6 и -ys2 —3 должны быть противоположны знаку при -д/s2+ 2. Затем найдем s2 = 7 и т. д. н и е. В каждом уравнении перенесем в правую часть xyz, получив- шиеся уравнения перемножим и получим уравнение, квадратное относительно u=xyz. 190. (2; 2; 2); (2; -2; -2); (-2; 2; -2); (-2; -2; 2). Ука- зание. Сложим уравнения, получим (x + z/ + z)=^- (*+//-Не- возможны два случая: 1) x-\-y-\-z = Q', 2) xyz = 8. В первом случае нет решений. 191. (0; 0; 0); (0; — 1; 1). У к а з а н и е. Сложите, затем вычтите первые два уравнения. 192. (1; 1; -1); (1; -1; 1); (-1; 1; 1); (-1; -1; -1). 193. (0; 0; 0); (1; -1; -1). 194. (0; 1; 1); (- 1; 3; 0); (--Ь; 0; ; ( —+; 2; ) . Указание. Из второго уравнения вычтем удвоенное первое, получим (у + 2х)2=1. Третье уравнение преоб- разуется к виду (2z + // — 3) (х2 +1) = 0. 195 . (0; 0; 0); (27; 54; 54); (197; 591; ±591). Указание. Исключив из первых двух г2, получим уравнение, однородное относительно х, у. 196 .(0; 1; 2). Указание. Вычитая первое уравнение из второго, найдем (z/4-x)2 = 1. Вычитая первое уравнение из третьего, получим (z + %)2 = 4; сложив второе и третье, будем иметь (y + z)2 = 9. 197 . ; (а; 4а; —2а), где а — любое число. 198 .(0; 0; 0); (1; 1; 1); (1; . Указание. Первые два уравнения однородные относительно у и z\ исключив нуле- вое решение, обозначим t = —. Из первых двух уравнений най- дем Л = 1, /2 = 3*2 5; xi = 1, х2 = 2 5. Подставляя найденные значения в третье, найдем у и z. В случае х2, /2 решений нет. 226
199 .(0; 0; 0); (1; 1; -2); (—|-; 1; . Указание. Первые два уравнения однородные относительно х и z. 200 . (0 ; 0; 0); (2; 1; 3); ; ~Н/Ю ' Указание. Обозначим u = xyz, =^x3 + y3 + z3- Сложим все три уравнения, получим v2 — 3u = 3v. Перенесем в каждом урав- нении xyz = u вправо и перемножим уравнения. Получим и (Зи2— =0, откуда найдем -у. В итоге получим Л п ~ ~ 73 35 73 «1=0, ^1=0; и2 = 6, ^2 = 6; и3 = —— •— , v3 = —. оо 1 Uo ОО ( 3 3 3 \ V" ’ “о"»V) - Указание. Перепишем второе уравнение Z Z Л / т+т в виде —Н—-—=3, обозначим — =/. Из первого уравнения ; , , з_± находим —+— =3——=3—Следовательно, —-—=3, или х 1 х у t 1 t (t— 1)3 = 0. 202. (1; 2; 3). Указание. Перепишем систему в виде + + yz=-|-(x + i/ + z), yz + «/x=-|-(x+y + z), zx + zy=^-(x+y + z). Сложив эти уравнения, получим ху -\-yz-\-zx=^-(x-\-y-f-z). Та- ким образом, yz = x + // + z, xz=-£-(x-}-y-}-z), xy=-^-(x-j-y-l-z). Деля полученные уравнения попарно одно на другое, найдем у=2х, z = 3x. , 203. (±1; ±1; ±1; ±2); (±1; ±1; ±2; ±1); (±-^; Вычтем четвертое из третьего. Возникнут два случая: 1) x = z\ 2) у = и. В каждом из этих случаев разность левых частей вто- рого и первого уравнений приравняем левой части третьего. 204. (-1±2д/2; — 1 ±2-^2; 13± 16л/2))- Указа- н и е. Умножим второе уравнение на у2, а третье — на ( — х)2 и сложим их. Из получившегося уравнения найдем: 1) х = у или 2) 3(у4-х) = 2ху. Во втором случае решений нет. 205. (2_(1±л/7); -|-(1±л/7); ^-(1±л/7); ^-(1±л/7)). У к а- з а н и е. Выразим из первого уравнения х через у и подставим в четвертое. Найдем у = и и т. д. 227
Обозначим w — х3-|-^3 + 23, v=xyz. Сложив уравнения, получим и — 3v = 2. Перепишем первое уравнение в виде 2z3 = u-v-{-4. Заменим и через ut z3~v-\-3. Аналогично из второго и третьего уравнений найдем y3 = v — 3, х* = <?4-2. Перемножив эти равен- ства, получим для v квадратное уравнение 2и2— 9с—18 = 0. 207. (б; 0; с); (0; с; 0\ {с; 0; 0\ где с —любое число; (— 2; 1; 1); ( — 2; —1; —1); (2; 1; —1), (2; —1; 1). Указание. Найдем решения, не содержащие нулей. Вычтем из первого уравнения второе и третье, умноженные соответственно на у и г. Получим после сокращения х~—2yz. Заменим теперь х во втором и третьем уравнениях. 208. (±^-; ±2^2’). У уравнение на второе, получим A' + Z к а з а н и е. =—, откуда Подели z/ = x. первое 209-(т: т; i; 3); (т; — ; 3; 1). Указание. Вира- зим х через z и и сначала из первого и второго уравнения, затем из второго и третьего и, наконец, из третьего и четвер- того. Приравнивая выражения для х, получим систему для и и z. 210. (± I; 0; ± 1); ( ; ±-у; . Указание. Сло- жив все уравнения, получим (x + z/ + z)2 = 4. Вычтя из первого уравнения третье, будем иметь (х — z) (x-\-z — 2y) = Q. Таким обра- зом, получаются четыре варианта: 1) x-f- У + z = 2, x = z; 2) х + // + ^=“2, x = z и т. д. 211. (0; 0; 0) (0; 0; 1); (0; 1; 0); (1; 0; . У каза- ние. Сложите первое и второе уравнения, затем — первое и третье уравнения, затем — второе и третье. 212. (у-; . У к а з а н и е. Первое уравнение можно преобразовать к виду z (Зх — у) (9х2 + Зху + у2} — _ 1 Зху = 0. Учитывая, что z (Зх — у) = I, получим у2 — 10х// + 9х = = 0, откуда: I) у — х\ 2) у = 9х. 213. (±3; ±2; ±1), где возможен любой выбор знаков, удовлетворяющий условию xyz>0. Указание. Поделим первое уравнение на второе и первое на третье. Получим после упро- щения x2y2-[-9y2z2 — 8z2x2 = 0, 13x2j/2 —45i/2z2 —32z2x2 = 0. Исклю- чая z2x2, найдем x=±3z, затем y=±2z и т. д. 214. (-1; -1; -1); (X(_4±V1T); 4-(5±-vTT); f (- 10±ДТ)) . Указание. Сложим уравнения, умноженные соответ- ственно на 2, —2 и 1. Получим 2х2 — х — 2у2-\-y~Q. Возникают два случая: 1) х=у; 2) 2х-\-2у=\, В первом случае из второ- 228
го уравнения z= — х2 — 4х — 4. Перепишем первое уравнение (х —z) (% + z) + 6 (%+1) = 0. Заменяя z, преобразуем уравнение к виду (%+1)2(х2 + 6х + 10) = 0. Во втором случае у=-~(1 — 2х). Подставляя в первое уравнение, получим после преобразований (x — 3)2 = z2 и т. д. 215. (1; —1; —1); (6±-у/2; 3±^2; — 2=+=л/2). Указание. Умножим уравнение соответственно на 1, —5, 1 и сложим. 216. (1; —2; 3); (1; 3; -2); (-2; 3; 1); (-2; 1; 3); (3; 1; -2); (3; —2; 1). У к а з а н и е. Имеем х4 + У* = (*2 + У2)2—£-((*+у)2 — — (*2 + //2))2- Заменяя х-\-у, х2-\-у2 и х4+у4, получим для z кубическое уравнение z3 —.2z2 — 5z + 6 = О, корни которого 1, — 2,3. 217. (1; 0). Указание. Первое уравнение рассматривается как квадратное относительно u = ^y-\-1, хи2 — и-[-х — х3 = 0. Его корни: 1) и=х\ 1; ^=-“—х. / 3 5 \ 218. ( ±—; ±2; ±—) . Указание. Преобразуем урав- нения (x-f-y —z)(x —y + z) = 2, (y + z —х) (у —z + x) = 3, (у — х)Х X(5z + X — У) = 6. Поделим второе уравнение на первое, получим z = 5y —5х и т. д. 219. (-Ь 1) ; (-L; з) Указание. Выразим х из каждого уравнения. После упрощения получим 1—у=^|—^- = = Затем 5-f-2zy = 2z + 4</, 7 + z2y + 2zy2 == z2 + 2zy + z -j- -f- 4-4y2. Обозначим yz = u, 2y + z = u. Будем иметь 5 + 2u = 2y, 7 + + «y = v2 — 2u, откуда и—v = 4. 220. (±1; ±1; ±1); (±A/2; ±W; 0); (±д/2; 0; ±V2); (0; ±д/2; ±W 221. (±||-; ±^; ±j|-) ; (c o; °); (°; c< °); (°; °; c)>где c — любое число. Указание. Исключив решения, содержащие 0, 1 1 1 перейдите к новым неизвестным: «=—, u=—, w=—. 222. (±Ю-д/|р ±14^Д; ±2д/^;). 223. (2; 1; -1); (2; -3; -1); (3; -4; 1); (3; -4; -3); (3; 2; 1); (3; 2; —3). Указание. Сложим уравнения, умноженные соответственно на 4, 1, 2. Получим уравнение с одним х. 224. (±^^3; ±6д/з) . 225. (-1; -1; 1); (5; -1; 1); (-1; 3; 1); (5; 3; 1); (0; 1 ±л/2; — 1); (4; 1 ±-\/2; — !)• Указание. Сложим уравнения, умно- женные соответственно на 1, —7, —1, и найдем z. 229
226. (0; 0; 0); ( ; — V+ -M i —7= i =---M • \ + •;/§/ \ Vto Vto Vto/ Указание. Сложим первые два уравнения и из суммы вычтем третье. Возникнут два случая: 1) х — у — z = 0; 2) xyz — —2. В пер- вом случае заменим x — y-\-z в первом и третьем уравнениях. Получим — Зу — 5z = (у + z) yz2, 6у+ iOz = (y + z) y2z, откуда 2 (у 4- z) yz2 = — (у + z) y2z. 227. (1; — 1; 0); (— 1; 1; 0). Указание. Сложим первое, третье и удвоенное второе уравнения. Получим (у+% + 2г)2 = 0. Выражаем у через х и z и т. д. 228. (0; 0; 0); (7; 7; 7); 5; - Указание. Сложим первое и третье и вычтем удвоенное второе уравнение. 229. (0; 0; 0); (— 1 W; —И ; (т^ ; 4=;-М • Указа- \^2 V2/ Ц-70 ^70 ^70/ н и е. Сложим первые два и вычтем третье уравнение. 230. (0; 0; 0); (-1; —1; —1); ( — 5; -10; - 15). У к а з а н и е. Вычтем из третьего уравнения первое и второе. Возникнут два случая: 1) х= —1; 2) х + у— z = 0 231. (2; —2; 1); (2; 1; -2); (1; -2; 2); (1; 2; -2); ( — 2; 1; 2); ( — 2; 2; 1). У к а з а н и е. Используя тождество (x+y + z)3 — — (х3+у34-23) —3 (х+у + z)-(xy + yz + zx)= — 3xyz, найдем xyz = =—4. Таким образом, х, у, z— корни уравнения t3 — t2— 4/ + + 4 = 0, левая часть которого (/—1)(/2— 4). 232. (— 2; —4; 1); -yW’> W) .Указание. Сложим первые два уравнения, получим (х + у)2 + 4 (х+у) z— 12z2 = 0, или (х + у —2z) (x+y + 6z) = 0. Выражая z через х и у и заменяя в пер- вом уравнении, получим относительно х и у однородное уравнение. (7 5 \ ±—; ±1; ) . Указание. Разложим на мно- о о / жители левые части, разделим первое уравнение на второе, затем — первое на третье. Из двух получившихся уравнений выразим у и х через z. 234. (2; 1; 0); ( — 2; — 1; 0). Указание. Вычтем второе уравнение из первого, получим после преобразований (х — #)Х X(x + y + z) = 3. Вычтем третье уравнение из второго, будем иметь (у — г) (x + y + z) = 3. Таким образом, х — у^у~z, x = 2y~z. 235. (--1-; -у-л/2; 2^2);(_Т; (-3; —|-; 1 ) ; ( —3; -|-; —1).Указание. Выразим х и ху через z из первых двух уравнений и подставим в третье. § 3. Неравенства I. х<—У-,х>2.2. -4-<х<9.3.х<-1.4.—1<х<-у-, О z z 230
х>1. 5. х<-^±Дз, — 1<х<0, х>--3+^- 6. — 4<х<1. 7. 8. х —любое. 9. х>-1. 10. — 4<х< —1, —|-<х^1. 11. х< —1, х = 0. 12. х< —1, х=1. 13. х>1. 14. 15. -f<x<—t -1 <х<1. 16. х>2. 17. x<b^L, 3+V^<x<4. 18. -|-< <х<2. 19. 20. х —3. 21. -j-<x<4, х>9. 22. —|-<х^0, х>2. 23. —6<х<0, 3<х^4. 24. Реше- ний нет. 25. — 6^х^5. 26. —j-^x^O, х^ 1.27. х^ 1. 28. — 2< <х< 14. 29. х<0, 1 s^x<2. 30. х< — 1, х>3. 31. ^<х<Ц-. r ес 25 2 32. х=0. 33. 1<х<^-, х>£. 34. х = 2. 35. — 2<х< — 1, 4 16 2<х<3. 36. 1<х<2. 37. 4<х<8. 38. х=-|-. 39. х= — 4, — З^х^З. 40. —2<Jx<J— 1, х^З. 41. х =—2, х=1, х^З. 42. —3<х<:0, x = -i-, х = 2. 43. х£[—2; — 1J, х = 3. 44. х— — 1, х=3.45.х=-4-,х=0. 46.х=1.47.х<-4, 1<х<^-. 48. -12< <х<-|-. 49. х^-|-. 50. хС —£,х>-|-. 51. х> -2-. 52. х<-|-. 53. х>4. 54. —2<х^1.55. х=—р56.х=/=—57. — 2<х< =С2-|-. 58. х^—59. х^О, х^4~ 60. х<И, х^2. 61. х — 5 2 5 любое. 62. x<2-j-, х>3. 63. i^^<x<2. 64. х<1~/^, х> 65 _ 5 <х<2 66<-------1 <х< 5 67 х<^_1 х^0> Z Z о о 68. х>—69. х< —11, х>11. 70. 1<х<6. 71. — 2^х<2. 72. 0 х < 4. 73. х > — 2. 74. х > V3. 75. х#= — 1, х #= 1.76. х < — 2. 77. х<2-. 78. х> —4. 79. х^ -Д/б. 80. х= — 1. 81. -5<х< — 1, х = 0, 1<х<4, х>4. § 4. Текстовые задачи 1. На 20%. 2. 90%. 3. На 50%. 4. 2/5. 5. На 50%. 6. 10%. 7. 24 и 12. 8. 37 или 48. Указание. Пусть 1 Ох-}-у — данное число. Первое условие дает нам 10x + //==xz/+16, откуда у= 10—. Значит, х — 1 — делитель 6. Возможны три значения для х: 2, 3 и 4. При х = 2 будет // = 4. Остаток от деления на ху = 8 231
не может равняться 16. Два других значения дают нам два числа. 37 и 48. Следовательно, второе условие является лишним. 9. 0,25 кг. 10. 20%. 11. 80 кг и 60 кг. 12. 23 ч 45 мин. 13. 1520 р. 14. 108 г цинка и 184 г свинца. 15. За 1 сутки. 16. 166-|- см. 17. 120 км. 18. Скорость первого автомобиля больше скорости второго в 2,5 раза. 19. Через 5 ч 28 мин. 20. а) 22 м; б) 32,5 м. Ука- зание. Покажите, что в случае а) к моменту второй встречи каж- дая частица по одному разу прошла путь от А до В, а в случае б) вторая частица догнала первую, когда та еще не дошла до В. 21. 71,5 км. 22. 5 дней. 23. 79,8 км/ч. 24. 24 человека. 25. 2 ч. Указание. На пути от А до В катер удаляется от плота со скоростью, равной скорости катера в стоячей воде, а на пути от В до встречи с плотом катер приближается к плоту с той же скоростью. Следовательно, время катера от А до В равно времени от В до встречи с плотом и равно 2 ч. 26. 4 ч. У к а з а н и е. Время катера от А до В равно 1 ч (см. решение предыдущей задачи). Время катера от В до первой встречи с плотом также 1 ч. По тем же соображениям время катера на путь от точки встречи с плотом до А равно его времени от А до точки, где он нагнал плот, и равно также 1 ч; значит, время катера от В до А равно 2 ч. За 1 ч по течению катер проходит весь путь от А до В, а против течения-----— этого пути. Следовательно, за 1 ч плот (течение) проходит ( 1 —этого пути, а весь путь от А до В плот проплывает за 4 ч. 27. 10 ящиков. Указание. Если х — число ящиков, то из условия 7^-j—х<8, откуда 9,1^х<10,4. 28. 23 и 32. Указание. Если известна лишь сумма, то имеются две возможности: 23 и 32, 14 и 41. Если же задано произ- ведение, то ответ не изменится: будет 23 и 32. Значит, одно условие в задаче является лишним. В самом деле, пусть данное число lOx-j-у. По условию (10%-|-у) (10/у+ *) = 736 = 2 *23. Следо- вательно, один из сомножителей делится на 23, т. е. он равняется одному из чисел 23, 46, 92. Проверка показывает, что подходит лишь 23. 29. 20 л. Указание. После доливания в первом сосуде х л кислоты на 30 л смеси, т. е. на 1 л смеси приходится л кисло- ты. Во втором сосуде (30 — х) л кислоты. После переливания х л смеси в первом останется ( х—) л кислоты, а во втором будет / %2 \ \ зо / (30 — х + — ) л кислоты на 30 л смеси, т. е. на 1 л смеси приходится ^-(ЗО —% + л кислоты. После второго переливания получим □U \ оU / 232
в первом сосуде Гх — ^г+^-^ЗО—х + л кислоты, а во L ои uU \ oU / J 18 / х2 \ х2 втором — тт-( 30 — х + —) л кислоты. По условию х ——+ + ^’(30 — х + ^г)==^(30 — *+^п)+2- Решая эт0 уравнение, получим Х1=20, х2 = 10. Второй корень не .подходит, так как в этом случае невозможно второе переливание 12 л из второго сосуда в первый, поскольку в этот момент в первом будет 20 л смеси. 30. 133 порции. 31. 35 р. и 24 р. 32. 5 с. и 7 с. 33. 34. 30 км/ч. 40 км/ч. 35. 20 км/ч и 40 км/ч. 36. За 5 ч. У к а з а н и е. Автомо- биль потерял 1 ч 40 мин =100 мин; значит, он встретил пешехода через 50 мин после выезда, проехав пути от А до В. Следо- вательно, пешеход за 50 мин прошел от А до В. 37. 19 км/ч. 38. у-. 39. 14 мин, 18-|- мин. 40. 60 км/ч, 40 км/ч. 41. 60 км/ч, 90 км/ч, 60 км/ч. 42. 150 км. 43. 40 м/мин. 44. 21 км/ч, 155 км/ч. Указание. Если х и у — скорости вело- сипедиста и автомобиля, то имеем систему |31 — х|=5 1157 — у|, 5 | 31—|-х| =| 157—6-у\ . Разбирая различные случаи, нужно оставить те, для которых -^-у< 188. 45. 4 км/ч. 46. 50 км/ч. 47. 3,8 Км/ч, 4,3 км/ч. 48. 9 км/ч. 49. В раз. 50. 6 км. 51. 20 дней и 30 дней. 52. 10 ч и 15 ч. 53. 16 дней. 54. 10 км/ч и 30 км/ч. 55. 90 км/ч, 120 км/ч. 56. 8 км/ч. 57. Через 4 ч. 58. В (2 +-д/2) раза. Указание. Пусть скорости велосипедиста и мотоциклиста и и и, S — длина дороги, xS — расстояние от А до В. Тогда — = —, — = —. Сна- V и V и чала, разделив одно уравнение на другое, находим х — -/2— 1, затем —. и 59. Через 3 ч. Указание. Пусть х, у, z, S — скорости велосипедистов и расстояние между А и В. Из условия следует, что через 1,5 ч первый находится между вторым и третьим, а че- рез 2 ч третий — между первым и вторым, причем — (х — y) = S — 3 —— (x + z), 2 (x-f-z) — S = S — 2 (y + z). Нужно найти /, при кото- ром t (х — y) = /(y + z) —S. z и S выражаются через x и у: z = 4x — 5y, S = 9(x— у). Затем находится t. 60. 8-^- ч. 61. В раза. 62. 10 км/ч. 63. 9 км/ч, 7 км/ч. 4 о 233
64. 14 км/ч. 65. 20 км. 66. 0,5 ч. 67. 6 ч. 68. 10 м3/ч. 69. 8 и 12. 70. 800 м3 и 1200 м3. 71. 40 м и 20 м. 72.*5 га. У к а з а н и е. Пусть S и Q — площади полей; х, у, z — производительности бригад. Имеем Q + S = 120, S = 3(x + y+'z\ Q = 6(x + y\ Q = x + + */ + z + 8x. Приравнивая правые части двух последних уравне- ний, найдем г = Ъу — Зх. Затем выразим S и Q через х и у и подста- вим в первое уравнение. 73. 50 ч. 74. 3 дня и 2 дня. Указание. Первый экскаватор работал или 3 дня, или 4 дня, так как при двух днях работы он вырыл бы не более 500 м3, а при пяти — не менее 750 м3. Аналогично число дней работы второго экскаватора — 2 или 3. 75. 7=—• Указание. На первом этапе в сосуде х О-лШ кислоты, 0 воды; после первого переливания х(1—кислоты, 1 воды; после второго переливания х(1—кислоты; после (1 \п 1—— } кислоты. 76. 40% и 65%. 77. 4,9 кг. У к а з а н и е. х и у — процентное содержание меди в первом и втором сплавах, и и v — массы пер- вого и второго кусков. Имеем . u + v = 7, ^-+ + т~— или х + ^=130, £/ + ^ = 7, г/х4-ш/ = 420. Нам нужно найти • Перемножая первое и второе уравнения и вычи- тая третье, найдем г/у + ^х = 490. 78. 1,2 кг, 2,4 кг. 79. От 15% до 40%. Указание. Пусть мы взяли х, у, z каждого сплава так, что x + y + z= 1, и в полученном сплаве 20% меди и г% алюминия. Имеем систему (после упрощений) Зх + 6у = 4, 4x4-3z = -jy, х + у + г=1. Найдем х —2^ , ’ 2=т(т5-4х)=т?(8-т) • Из неРа- венств х^0, у^0, г^0 найдем границы изменения г. 80. В 2,5 раза. 81. 4,2 с. 82. 36 ч, 45 ч. 83. 24 ч. 84. Нет. 85. 191. 86. 115. У к а з а н и е. п — число коробок, х — количество заго- товок в коробке. Из условия следует 7п+14х = пх —3. Преобра- зуем уравнение к виду (п—14) (х — 7)= 101, п и х — натуральные числа, 100; значит, п— 14 = 101, п = 115. 87. 36 чел. Указание, х, у, z, и — количество порций каж- дого вида. Имеем у — х = и — z, x-\-z = y-]-u — 4, x2 + y2 + z24-£/2 = = 420. Из первых двух уравнений найдем х — у — 2, z = u— 2. Под- ставляя в третье и преобразуя, получим (у—l)2 + (w— 1)2 = 208. 208 можно представить в виде суммы двух квадратов натураль- 234
ных чисел единственным образом: 208 = 82 + 122. Самое простое, вероятно, вычитать из 208 квадраты чисел от 2 до 10 и найти те, для которых эта разность есть точный квадрат. 88. 3, 3, 9, 3. У к а з а н и е. Из условий следует, что коли- чество фотоаппаратов, часов, авторучек и приемников можно обо- значить через х, х, Зх, х, а стоимости — соответственно 10х, у, z, и. Имеем систему y + w=10x + z + 4, у + z = 10x + u — 24, 10х2 + -\-ху + 3xz-j-xw = 240, z^6. Из первых двух уравнений найдем у=10х—10, u = z+14. Подставляя в третье, получим после пре- образований х (5х-|-24- 1)=60, т. е. х — делитель 60, х^З, так как 5х2<60. Но z^6, значит, х = 3. 89. Было продано 3 комплекта, в каждом 7 синих и 3 красных карандаша. Указание, п — число комплектов; х — число си- них, у — число красных карандашей в комплекте; п, х, у — нату- ральные числа. По условиюх-—у>3, Зх —2у^ 16, п (Зх4-2у) = 81. Из первого неравенства следует, что х>3, Зх>9. Следовательно, 3x + 2w>9, п—делитель 81, п=—21—<9; значит, п=1 или ’ 3x-f-2 и —3. При п = 3 имеем Зх + 2у = 27, Зх —2у<И6, х —у>3. Вы- разив у через х в уравнении и подставив в неравенства, получим 6x^43, 5х>33, откуда х = 7, у = 3. При п=1 решений нет. 90. 22,5 мин. 91. 10 ч, 6 ч. 92. Дольше других работал первый насос, в 2 раза меньше работал третий насос и в 4 раза меньше вре- мени, чем первый, работал второй насос. Указание. u,v,w — объемы резервуаров; х, у, z — производительности насосов. Име- wu wx 2wy 2и>х v Ur, ем v—^-=— , -г-=и——,—=—. Разделим первое уравне- oZ oZ oZ oZ X у ние почленно на х, второе — на у и, сложив их, получим с учетом третьего после сокращения ——2—=1, откуда у = 2х, затем u = 2v и т. д. х у 93. 32 чел. Указание. Если п — число людей, не участво- вавших в кроссе, a N — число членов группы, то * НРИ п —1 имеем Af^31,2, т. е. Af^32. Осталось прове- рить, что 32 94. 35 чел. Указание. Решение аналогично предыдущей задаче. Наименьшее число людей, не уложившихся в норматив, равно 2. 95. 18 к. 96. 80 к. 97. 12 ч. У к а з а н и е. В первый день х ч работали вручную, (16 —х) — косилка, во второй — соответствен- но у и 11 —у. Тогда у+ 4 + 5 + 5 (11 — у)=4 (х + 5 (16 —х)), откуда у = 4(х — 16). Но у^0, х^16. Значит, х=16, у = 0. 98. 9 чел., 9 чел. Указание, х — число членов первой бригады. Получаем неравенство после преобразо- ваний (х —9)2—КО. Поскольку х — целое, х = 9. 235
99. 119 чел. Указание, х — число рядов по 8 чел. 8х > 7 (х + 2), 5 (х + 9) > 7 (х + 2), т. е. 14 <х < 15-у, х = 15. Число людей 7 (х + 2) = 119. 100. 23^- км/ч. 101. 2-|- ч. 102. 3 км/ч, 15 км/ч. 103. 21 км. Указание. 2S — путь мотоцикла, х км/ч и у км/ч — скорости автомобиля и мотоцикла, 254-5^-длина шоссе. Из условий по- 2S+5T s s 3 S+5T з лучаем систему уравнений ----=—, > —-— = —. Выражая из второго и третьего уравнений х и у — через S и под- ставляя в первое уравнение, получим для S квадратное урав- нение. 104, 4 ч. 105. 3 мин. Указание, х, yt z — время на круг гонщиков Д, В, С. Система 3x = 2r/ + 1, (Зх^-З)-i-=(3x + 1)~—1-2, 4у = 3г4-1. Каждый обгон означает, что соответствующий гонщик прошел на круг больше. 106. 210 км, 2 км/ч. 107. 30<ц<33,6 Указание. Нера- венство ц<33,6 следует из условия, что, когда автомобиль догнал автобус, его путь был меньше 105 км. 108. 8 км. Указание, х км/ч — скорость течения, у км/ч — скорость лодки. Система (у + х) + 4 =4///' ’ 7^=Т + 1 (fx-й6х ’ или (У4-^)(7х + у)=16(2у-х), х(7х + у)=10(5х-«/). Разделим одно уравнение на другое и т. д. 109. 3 т. ПО. 45 мин. Указание. Время, требующееся на преодоление любого пути в обоих направлениях, пропорционально длине пути. Значит, точка встречи при одновременном выходе в 2 раза ближе к В, чем к А. Следовательно, скорость по течению в 2 раза больше, чем против течения. На весь путь от А к В и об- ратно надо 4,5 ч, на полпути — 2,25 ч, из которых 0,75 ч — время на путь по течению, 1,5 ч — против течения. Значит, одному ка- теру до середины надо 1,5 часа, а другому — 0,75 ч. 111. 40 км2. Указание. ДВ = х, ВС —у, AC = z, 4г — -(т+У2) = 20’ 2==^+-4+5- Но г<х+У> + 5<х+у, (^--2)2+(-|---1)2<0; х = 8, у = 2, z=10. 112. 1/7 ч. Указание. Эта задача, взятая из реального экзамена, сформулирована не совсем корректно. Из условия сле- дует, что через пятую трубу вода не вливается, а вытекает из бассейна. (Докажите.) 113. 50%. Указание, х л/мин, у л/мин — скорости пода- чи воды, р и q — концентрации; хД-у=100, р + ^ = 0,8, рх-\- 236
-\-qy=30. Первые два уравнения надо перемножить и вычесть третье. 114. 42 км/ч. Указание. t\——£-------время на путь АВ, /2=тг—время от В до остановки, S = vt2—— путь от 04 2 Юо 24 5 v В до остановки, —h— время на обратный путь; T = t\ + I , | . v I 49 ч. Г~и 49 7 ~ 7 у 49 л о + + = ---Л/ ЧТ-------= Т’ Т = —, если = , v = 42. 36 v V 36 у 3 3 36 у 115. Не хватит. Указание. Из условия следует, что стои- 2 4 мость одной колбы объема и равна ц3+-^-^3. Если мы из- готовили N колб объема то стоимость этих колб будет 2 ± N ' 2 АГ//100\ 3 . 1 /Ю0\3\ щлз/гЗ I Ю03\ \\~/ +"4\~/ у = ЮО Н--------------;)>100. Равенство бу- 4 Л/3' I 2 юо3 >г юо .nt- дет, если N =—“, w=—=12,5, что невозможно. 4/7 3 116. В 6 раз. Указание. Пусть S и Р — площади полей. Надо разобрать два случая: 1) S^-|-(S4-P), т. е. S^-yP; 2) 5>С-Р. 117. 100 м/с. Указание. Надо рассмотреть два случая: 1) первые 400 м самолет движется со скоростью v\ 2) самолет на- чал замедляться, не пройдя 400 м. Второй случай невозможен. До- кажем это. Пусть Т — время прохождения 400 м. Тогда все вре- мя — у- Г. Последние 3600 м пройдены за у- Т — Т= у- Т. На этом отрезке движение равнозамедленное с замедлением 2 м/с; значит,(у-т) = 3600, Г—ур с. Скорость в момент Г равна у-Г = = 120 м/с. Путь, пройденный за первые Г с не меньше чем 1207" = = 120-^Д>400 м. ы 118. Три бригады: 3 гусеничных и 5 колесных тракторов в бри- гаде. 119. 8 ч 32 мин. 120. 19 ч. 121. 8 ч 30 мин. 122. 1 р., 20 к. Указание, х — число посетивших цирк, и — стоимость биле- та в цирк, v — в кино; хи = (24 — х) v, ц--£у2 + ;^-2 = 15 (здесь 237
мы использовали то, что %ы = (24—х) v), (24—х) u—xv= 19,2. Из первого и третьего уравнений выражаем и и v через х: и = 0,4(24 — х) 0,4х f-r 0,4х(24 —х) = -- ----. Подставим во второе: —-7---------------------X 12 X 12 X 12 “ X 12 —х । 12 —х \ 1С п XI 7 9_1~п"9—гт;Zn о / — *5- После сокращения в левой части на (12 —х) и упрощений приходим к квадратному уравнению х2 — -24x4-80 = 0, откуда х = 4. 123. 8 км/ч. 124. Поезд из А вышел на 6 мин раньше. Ука- зание. Первый способ. Обозначим Q — расстояние АВ, х (ч) — интервал между отправлениями поездов; х>0, если раньше вы- шел поезд Л, х<0 — в противоположном случае. Поезд А не обго- нял поезд В. Ускорение поезда В равно 6--=Путь по- Z £ — ОХ ~5~Х езда А при 0 будет Si (/)=50/2. Путь поезда В при и будет: S2 (0—г1 —12 — 30%. В момент/=-|- о 2 — эх \ э / о поезд Л прошел St(-|-) =18, поезд В прошел S2(-|-) + 12 = = 24 — 30%. По условию 24—30%+Q—18 = 6, Q = 30x. Кроме то- го, при имеем: 30% + —50/2^2; причем ра- • 2 3 венство достигается, так как на отрезке — ско- Э D рость поезда В больше скорости А и расстояние между ними воз- растает. После упрощений приходим к неравенству 50/2 (1 +5х) — — 300х/ + 70х — 4^0, которое обращается в равенство при одном I; следовательно, дискриминант квадратного трехчлена относи- тельно t равен 0; таким образом, 50х2 — 25x4-4 = 0; Xi=^~, X2=-z-. Второй корень, очевидно, не подходит, рсталось прове- & 1 рить, что при х = — соответствующее t находится в интерва- 1 2 ле от — до —. Второй способ. Пусть расстояние АВ рав- 10 э но Q, путь поезда А — S\ (/), поезда В — S2 (/). Посколь- ку А не обгонял В, расстояние между ними Q4-S2 (/) —Si (/). Если в момент /о это расстояние минимально, то v2 (to) — v\ (/0) и v2 (/)< < vi (/) при /</0. Из этого и условий задачи следует, что поезд А вышел раньше поезда В. Пусть х — интервал между их выходами, / = 0 соответствует моменту выхода поезда Л; тогда vi(/)=100/, если a v\ (/) = 60, если ПРИ D о z — ОХ 238
x</<-|-, v2 (/) — 60 при t>-j-; vi (t)=v2(t) при /0=-j-^- . Имеем 52 (т) + Q - s 1 (т)=6 (*)’ 52 +Q - S« (M=2 (**)- 5* (f) = ==52(т)+т'60==12-30х+12=24-30х; s,(t)=18- Из уравнения (*) находим Q = 30x. В уравнении (**) Si (/о) = 5О/о, S2 (^°)===2—5х ^°~х)2’ Q = 30x, to = . После упрощения полу- чим для х уравнение 50х2— 25х+4 = 0. Такое же, как в первом случае. ( 125. 7 км/ч, 6 — км/ч, 6 — км/ч. Указание. Обозначим о Z скорости туристов у, х. Существует по четыре маршрута, выходящих из В и О, и по два маршрута, выходящих из А и С. Пусть туристы вышли из В. Возможны маршруты BACD, BADC, BCAD и BCDA. У второго и четвертого маршрутов совпа- дает пункт D. Поскольку BCD короче, чем BAD, первый турист шел по маршруту BADC, второй — по BCDA-, — =......Оче- видно, второй закончил путь последним, его время Если тре- тий шел по BCAD, то —=—+1. Вместе с предыдущим уравне- X нием получаем систему, не имеющую решений. Если же третий шел по пути BACD, то — =—+1. Исключая из системы — = J У х у = , —=~+ 1 неизвестное у, получим для х уравнение 38х2 — х+.у У — 521* +494 = 0, один корень которого меньше 5, а другой боль- ше 8. Это следует из того, что при х=5 или х=8 правая часть отри- цательна. Аналогично разбираются пути, идущие из D. Будем 19 21 иметь маршрут первого — DABC, второго — DCBA', ---------р. х+Т Поскольку путь первого 35 км, а второго — 25, то, учитывая имею- щееся равенство, —25_>— t т. е. первый закончил путь послед- ним; таким образом, третий шел по пути DCAB, так как DACB име- л л 26 । « 35 f* 1 _q ет длину 44 км;---г*—-----р , *i=o —, *2 = ^. х+Т 126. 42 чел. 127. 33 билета. Указание, хну — число лю- дей соответственно в первой и второй группах. Из условий задачи следует, что х2 + 2у2 —Э = 3ху, откуда (х —у) (х — 2t/)=3. Посколь- 239
кухи у — натуральные числа их>у,тох — у —3,х — 2у = 1; х = 5, У = 2. 128. 2,5 мин. 129. 64 км. Указание. Покажите, что в мо- мент прибытия автобуса на третью остановку велосипедист до нее не доехал, а в^момент отправления автобуса уже проехал. 130. 88 км. Указание. Встреча произошла во время вто- рой остановки первого автобуса. 131. 16. Указание. Пусть путь, пройденный пешеходом между двумя автобусами, равен 1, ДВ = 5х, АС — 7х, AD — Wx. Имеем 2<5х<4, 1 <7х<3; значит, -|- <х<-|-. Пусть на пути AD встречено п автобусов, а — суммарный путь до встречи пер- вого и после встречи последнего; ^|-х<а<2. Имеем 40x = n — 1 + <х, n = 40%4-1 — а <40х —%+1 • 14«-2-+ 1 = 17, п>40х — Q 1Э О / -1 >40-4--1 = 15. 132. 5 ч 50 мин. Указание. Докажем, что гребец 7 раз от- дыхал на пути от Л до В и один раз — на обратном пути. Если бы на обратном пути таких перерывов было не менее двух, то за вре- мя между перерывами он проплыл бы не более 3,5 км, т. е. он греб без отдыха заведомо меньше чем 0,5 ч. При таком режиме гребли он не может добраться до В, сделав 5 перерывов на отдых. Если же на обратном пути перерывов на отдых не было, то это означало бы, что гребец не отдыхал в течение более чем 45 мин, так как по- следние 500 м от А до В он также греб. В этом случае на пути от А до В он сделал бы не более 3 перерывов. 133. 2,5 км. 134. 40 мин. Указание. Все время разбивается на 5 отрезков по 50 мин и один в 20 мин. 50-минутные отрезки со- стоят из отрезков в 40 мин и 10 мин. Гребец должен повернуть на- зад не ранее чем на четвертом переходе. Пусть на четвертом от- резке он t минут двигался против течения, а (40 — /) — по тече- нию; х и у — скорости лодки и течения. Тогда, приравнивая пути туда и обратно, получим 3*40 (х —у) —3* 10y + /i(x —у) = (40 —/)Х Х(* + у) + 20у + 60 (х + у). Отсюда / = С другой стороны, ЛВ=60у, т. е. 120 (х—у) —30у + /(х —у)=60у, /=210^120. Та- ким образом, имеем уравнение 22х2—13ху —27у2 = 0. Но /=С40, 135у—10x^40 значит если Z==JL то и 22z2—13z —27 = 0. х у 10 Легко видеть, что положительный корень последнего уравнения меньше 2. Аналогично разбирается случай, когда поворот сделан на пятом переходе. Точно так же, вводя t, приравнивая два выра- жения для t, получим уравнение 22х2 — 15ху — 27у2=0, откуда х=-^-у, ( = 40. Время же, за которое турист проплывает от А до 240
В без течения, также будет 40 мин. 135. 693 км. Указание. S — расстояние; х, у, z — скорости 252 S-252 S —308 308 S S—198 поездов; —=-------,-----=—, —=----------. Перемножая эти X Z у X Z у г уравнения, получим для S квадратное уравнение. 136. 140 км. 137. 6,1 ч. 138. 5 мин 50 с. 139. 70 мин. Указа- ние. t и t—-6 — время на первую и вторую половину пути: 1) /^ ^40, 40 + (/ —40)—6) 4". Это невозможно. 2) /<40, t = = 40-Ж2/ — 46)/=38. 140. 24 км/ч. Указание, х и у — пути по шоссе и проселоч- ной дороге, w — скорость второго мотоциклиста, и = 30 км/ч, v — = 40 км/ч; + Для того чтобы при заданных u, v, w, х можно было бы най- ти у, необходимо и достаточно выполнение неравенства ~4т— / 1 1 \ / 1 1 \ 1^1.1 —( —---г) ( —---г)>0 ИЛИ—<—Н г. \ u w/\v и/ uz v 141. 18 км. 142. 1 ч 36 мин. Указание. Через 1,5 ч третий догонит второго и расстояние до первого будет 500 м. 143. 6 ч. 144. 68%. 145. 7%. 146. 82 ч. У к а з а н и е. 5х — объем ковша первого экскаватора, Зх — второго, 4у — столько раз берет грунт в час первый экскаватор, 7у — второй. Объем фун- дамента (5х*4у4-3х«7у)-7«6 = 41 -42ху. Время, необходимое для работы второму экскаватору, будет 41-42ху____ 21хг/ “ 82 Ч. 147. 12 дней. Указание, х — количество травы, съедаемое одной коровой в день; у — начальное количество травы на 1 га; z — прирост травы на 1 га в день. Отсюда 6-3x = 0,2y + 0,2-3z; 1 5 8-4x=0,3y + 0,3-4z, откуда х=—у, z=—y. Надо найти t из ра- венства 12/х = 0,6у+ 0,6/г. 148. 307 км. Указание. Если бы изменение скорости про- изошло в течение первых 4 ч, то за последние 4 ч автомобиль про- ехал бы больше, чем за первые 3 ч, на величину, не превосходящую 54 км. Отсюда следует, что изменение скорости произошло на по- следнем часу, причем за последний час автомобиль проехал 55 км. 149. 14 машин. Указание. х — количество машин, у — число рейсов; ху + 7« 12 = 2 (у + 6) (х —7), откуда (х— 14)X Х(у+12) = 0. 5 150. 4 ч 24 мин. 151. 5 чел. 152. —. Указание, п — число насосов; за единицу времени приняли интервал между включения- 241
ми двух насосов; единица объема — количество воды, перека- чиваемой в единицу времени; V — объем бассейна. Имеем = V 5 5 с = -g-, п (п — 1). Время работы всех насосов будет -j-X уП(п—\)Ъ(п — 1) , gce Время работы (п — l)-^5^”~^=y(n — 1). За половину времениж будет заполнено —+ — (я —1)“ / 1x1 V . 3 z м V . V 5/ (n I) ] — 6 + 4 П (П 0 6 + 4 12’ 153.8 8. Указание, х — число ступеней неподвижного эскалатора, у — скорость эскалатора, z — скорость человека при подъеме, скорости измеряются в ступенях за единицу времени. Тогда -^—=48, 4£-=33> откуда ^--^ = 1. 2г+у z-]-y J 24 33 154. 60 км/ч. 155. 64 км/ч. 156. Первый слиток делится на части с массами 0,4 кг, 0,6 кг, 1 кг; второй — на части 0,6 кг, 0,9 кг, 1,5 кг; третий — на части 1 кг, 1,5 кг, 2,5 кг. 157. 1 к., 2 к., 4 к., 8 к., 96 к., 1 р. 92 к., 3 р. 84 к. Указа- ние. Пусть Xi — наименьшая сумма, Х1Хг — вторая по вели- чине, ..., Х1Х2-..."Х8— наибольшая; х,=/=1 при 1, Х1+Х1Х2 + + .. .4-Х1Х2.. ,х8=719; 719 — число простое, следовательно, xi = 1. Далее имеем Х2+Х2Х3 + .. .4-Х2.. .х8 = 718 = 2-359. Таким обра- зом, хг = 2. Затем получим хз = х4 = 2 и х$ + х&х8 + Х5Х6Х7 + + х5х8х7х8 = 88; х5— делитель 88; если х8 = 2, то Хб+хбХ7 + -|-ХбХ7Х8 = 43; 43 — число простое, а значит, х8#=2; если х5=4, то найдем х8 = 3, х7=х8 = 2, другие значения хь не подойдут. 158. 14, 26, 50. Указание. Задачу будем решать с конца: найдем количество орехов у каждого на предпоследнем этапе и т. д. (30, 30, 30) *—(14, 14, 62) «—(6, 30, 54) *-(14, 26, 50). 159. — 53^-. 160.72%. 161.40% и 100%. Указание. Один из исходных кусков содержит р% меди (р^40), другой — р% (88^р^ 100). Тогда кусок массой 2,5 кг содержит меди не более чем 0,5 [qq + 2 0,5 ^ + 2 = 2,5 Значит, р = 40, <7=100. 162. 5,06 ч. Указание. / — время путешествия; х, у, г — время, которое ехали на велосипеде соответственно первый, второй и третий: 20х-]-4 (/ —х)=34, 20у + 5 (/—у)=34, 20z + (/ — z)6= = 34, 20 (x-}-t/ + z)=34. Выражая х, у, z через t и подставляя в по- следнее уравнение, найдем /. 163. 2,04 ч. Указание. Один путешественник все время ездит на мотоцикле; х — время, которое каждый из трех оставших- ся идет пешком; у — время, которое они едут; z — время возвра- 242
щения мотоцикла за очередным пассажиром. Имеем 5х + 50у = 30, 3-50у — 2*50z = 30, 5 (y + z) + 50z = 50y, откуда у = 0,44; х=1,6. 164. 110 мин. Указание. Пусть t — время работы. Зада- ча сводится к определению наименьшего /, при котором система неравенств 5х + 7у^/, 3 (25—х) + 4 (25—y)^t имеет целые ре- шения, удовлетворяющие неравенствам 0^х^25, 0^у^25. Ум- ножим первое неравенство на 3, второе — на 5 и сложим. Получим у+ 875 <8/. Но t — число целое, значит, /^110. Если мы возьмем х = 22, у = 0, /=110, то все неравенства выполняются. 165. 18 автобусов. Указание, х, х + 4 — количество авто- бусов для каждого лагеря. В первом лагере в каждом автобусе 195 195 было не менее —--1 человек и не более ——|-1. Для второго лаге- ря соответственно 1, -^гт+ 1. Если в каждом автобусе вто- r x-f-4 *4-4 рого лагеря человек больше, чем в автобусе первого лагеря, то Это неравенство не имеет целых решений. В дру- гом случае имеем 3^-^—-^^-^7, Зх2 + 72х— 780^0, 7х2 + + 88х —780^0. Поскольку х — целое, получим для х три значе- ния: 6, 7, 8. Подходит х=7. 166. Пч.167. 10,5 ч. 168. 76,51,31.169. В 2,5 раза. Указа- ние. Если бы все время копали все трое, то они выкопали бы 1 + 4-3-0,5 = 2,5 канавы. 170. 120 км. 171. 6,5 ч. 172. 7 ч. Указание. АВ=АС = = S; x,y,z — скорости течения на АВ и АС и скорость лодки. Име- ем -^-+21=+> —---------70=—, ---12=+-. Преобра- z-\-x z-f-z/ z — x z—y 2z — x %z—y r r зуем: S (x —y) = 21 (x + z) (z+y), S (x—y)=^70 (z — y) (z—x), S (x —y)= 12 (2z —x) (2z —у). Приравнивая правые части первого уравнения правым частям второго и третьего уравнений, получим 7z2 — 13z (х + у) + 7ху = 0, 9z2 — 15z (х + у) —Зху = 0. Исключая ху, найдем z=y-(x + y) и т. д. В конце получим х=-|-у, z = 4y, S = = 1680г/. 173. 14-ч. Указание. AC = CB = CD = S\ х, у, и — ско- 8 рости течения на отрезках Л С, СВ, CD\ z — скорость лодки. Имеем S । S____1 5 S । S________q 1 S , S ______л р___d г-- —J-—;—— 1 “ТТГ ,-1 —3 “77“ ,---1 —4, о—Z. В Пер- z-\-x z + y 12 z — x z — y 2 z — y z — u r вых, двух, заменяя S на z, можно найти аналогично тому, как это 243
делалось в предыдущей задаче: z=4-(x + y), х=~у, z = 3y, и = О X 9 = — У И т. д. 174. 1ч. Указание, х, у, z — скорости; t — время, на ко- торое третий выехал позже; (1 4-/) х —z = z —(1 -}-/) у. Для второ- го уравнения есть два варианта: а) если третий автомобиль через 2,5 ч не обогнал первый, то^-z—у = 8^-|- 4"/) х—F2)’ б) если обогнал, то z-(-у + z) У = 8(^’2;—(4" 4"/) *)• тРетье уравнение (3 —/)z = 3x. Перепишем первое и второе уравне- ния: 2z = (l -Н) (х + у)\ a) 45z = (54-2/) (8х4-у); 6) 35z = (54-2/)X Х(8х —у). Деля на третье уравнение, получим -—-^——==14--^-; а) (3^f+20 = 8 + f; б> (3^^+2/) = 8 —'F'Вычитая получен’ ные уравнения в случае а) и в случае б) складывая их, будем иметь: а) (14/24-7/4- И)/ = 0; б) (2/24-/-3) t = 0. 175. 3:2. Указание, х, у, z — скорости пешеходов; t — время, через которое встретились первый и второй; 2(ty-^ 2£=£(£±у). \ 6 z / ' 6 z у Z 176. 7,2 мин, 9,2 мин. Указание. S — расстояние; х, 2х — скорости первого; 2у, у — второго. Второй со скоростью 2у про- —S — S 2 с 3 S , о 2 S S.5S 3,9 т , шел — S; ------Н2 = -----, -z- +^-= «—------• Из второго 3 4 х 3 у 2х 36% 2у у г 16 уравнения у = —х. 177. 13,5 км, 11,5 км. Указание, х, у — время, за которое проходит 1 км катер соответственно на пути от А к В и обратно; z, и — время, за которое проходят 1 км соответственно первая и вторая лодка; t — разница во времени отправления. Имеем 9(25x4-25y) = 25u4-f, 8 (25x4-25y)4-3x = 22u4-/> 8 (25х 4~ 25у) 4- 4-24x = 24z. Если S — путь, пройденный первой лодкой до встре- чи, то Sz = (25 —S) u4-t В . Исключая из системы х и у, найдем 2/ = 27z —23и; подставляя в выражение для S, получим S = 13,5. 178. Через 6 ч. Указание, х — время, за которое катер проходит путь от Л до В; у — путь от В до Л; г — время автобуса 5 4 9 15 на этот путь. Имеем — г —х4~ — У, — z=—х4-у, z = x4-16, от- куда х = 8, у =12, г = 24. 179. .Указание х, у, z, и — скорости пешеходов; 244
АВ = а, ВС — b. Имеем _££_=6_(2±^, ы = у —Z X 4- и x — z у и = nz. Упрощая, получим bxy —xz — nayz — 0, Ьху — (аА~ -}~b)yz — naxz. Вычитая одно из другого и учитывая, что х=£у, найдем (и — 1) а = Ь. 180. Укааание. (См. задачу 158.) х — время катера на пути АВ, у — его же время на пути BA, z и у — время лодок на пути АВ, t — разница во времени отправления. Имеем 10х-Н9у = = « + /, 9л-4-8г/+4-У=4’ы + /> 9х + 8«/+-Из первых двух найдем x — u — t, £/=--(11/ —9u). Подставив в третье, будем иметь 16/ = 9 (z— и). С другой стороны, если X — часть пройденно- го пути к моменту, когда лодки поравнялись, то Xz = XuA-t, Л,= ____£_____9_ z — и 16’ 181. 1/2 и 2/5. Указание. Рассмотрим графики, изобра- жающие зависимость скорости от времени, для каждого поезда (рис. 54). Для одного поезда графиком является ломаная О КМ, для другого — ОК\М\. Длина пройденного пути равна площади соответствующей фигуры. По условию площади трапеций OKMN и OK\M\N равны; значит, равновелики и фигуры ОКР и РК\М\М. Площадь OKPL равна — площади OPL. Если площадь OPL рав- на 1, то площадь ОКР есть 1/4; площадь РК\Т равна 1/16, по- скольку К\Т=^-PL. Затем легко определяем площади остальных частей. 182. 4 ч. 183. 1 ч 20 мин. Указание. Для того чтобы вер- нуться из пункта L, расположенного на х км ниже ^и на противо- 245
положном берегу, нужно время “|"(х+у 9х2+-~~ (См. реше- ние задачи 10 вводной части.) Рыбаку, чтобы добраться до L, нужно ч. Предполагая, что лодка прибывает в L раньше рыбака, получим, что время от отплытия до возвращения равно: —%+д/9х2 + т^") • Приравнивая нулю производную, имеем ——9-У---= 1, Осталось проверить, что х —есть Л'9х2 4-72/25 5 5 точка минимума и что лодка прибывает в L раньше рыбака. 184. 1 ч 18 мин. Указание. Задача с точностью до чисел совпадает с задачей 10 вводной части. 185. Зд/2км/ч. Указание. AB = 2S',x— скорость второго, S S 2S время первого на весь путь h =—, второго 6 = — 4—-г-т , третьего Л XX -у" и /з=-|-4—По условию /1 — /2 = /2 — t3. 6 *4-6 J 186. 12/7. Указание. /?иг — радиусы окружностей, R>r. Можно считать, что одна из точек неподвижна; ср — угол, на кото- рый поворачивается движущаяся точка за 11 с. Имеем R-\-r = Я2 + г2 4-2/?г cos <Р=^р, R2 + r2 — 2Rr cos -|-=-^ . Вычи- тая третье уравнение из второго, получим 2Rr ( cos ср 4- cos -у-) = 1. Заменив во втором /?24-г2 = (/?4~г)2”"2/?г -2/?г, будем иметь 2Rr (1 — cos <р)= 1. Значит, cos <p4-cos-|-= 1 —-cos (р, cos-^-=x, cos ф = 2х2 — 1, x=-j-, cos ср=4~, /? = 2, г=—“, 7? — г=4Д- — ми- 4 о li нимальное расстояние между точками. 187. 40 мин. Указание. Пусть до встречи велосипедист ехал со средней скоростью v и встретил пешехода на расстоянии S от В. Тогда 5=^-=Зб(1--------^4>3б( 1 —£4 = 22,5 км. Велосипедист проедет путь S быстрее, чем этот путь пройдет S S 22 5 пешеход, не менее чем на ———^——=1,5 ч —90 мин. В точку о 1 и 1 □ встречи велосипедист возвращается не позднее чем через 50 мин; причем 50 мин ему потребуется, если он в течение 20 мин удаляется от этой точки со скоростью 15 км/ч, а возвращается в нее со ско- ростью 10 км/ч. Следовательно, наименьшая разница во времени прибытия в пункт В равна: 90 — 50 = 40 мин. 188. 13, 11. 189. 5. Указание. Было х прессов, стало *4-3; х — делитель 6480 = 24-34«5; %4"3 — делитель 11200 = 26-52«7; 246
х не может делиться на 3, так как иначе х4-3 делилось бы на 3, а 11200 на 3 не делится. Если х четное, то х4-3 нечетное, т. е. х4-3 может принимать значения: 5, 7, 52, 5*7, 52«7. Находя со- ответственно х, увидим, что только х = 2 и х = 4 — делители числа 6480. Если же х нечетное, то х = 5. Из возможных значений для х подходит 5, так как при х = 2 и х = 4 производительность новых прессов оказывается меньше, чем старых. 190. 50 км/ч. Указание. Пусть х (ч) — время, за которое автобус при скорости v проходит один километр. Должно выпол- няться | 10х—-М +1 15х—1-| +1 20х —|-| + Гра- фик левой части есть ломаная линия с вершинами при xj=—, 1 1 50 Х2=-гг, хз—чт?. Можно убедиться, что наименьшее значение этой | К 17 функции достигается при х=— и равно —. □0 ЬОО 191. 84. У к а з а н и е. х, у, z— количество игрушек в од- ном комплекте соответственно металлических, пластмассовых и мягких. Легко получить систему ограничений 3z + y —Зх = 57, 3z+% — Зу = 41, z> 2x4-2у. Вычитая уравнения, получим у — х = = 4, у = х4-4. Подставляя в первое, будем иметь 3z — 2х = 53. Пусть z — х = и, тогда г4-2 (г — х)=53, г = 53 — 2и, x = z — u = = 53 — 3u, у = х 4- 4 = 57 — 3u. Подставляя выражения х, у, z через и в неравенство, получим 10и> 167; так как и — целое число, то 17. Но х = 53 —Зи>0, и^. 17, т. е. и= 17. 192. 2 дома на 6 квартир и 12 домов на 10 квартир. Указа- ние. х, у, z — количество 6-, 10- и 14-квартирных домов. Из ус- ловия следует, что Зх 4- 4у + 9z 60, 4х 4- бу 4- 12z 80, число квартир будет: 7V = 6x4-Юу + 14z. Умножая второе неравенство на 5 и заменяя ЗОу = 3 (N — 6х — 14z), получим 32V + 2х 4-18z 400, откуда, поскольку Af — число четное, 132. Но при у = 12, х = 2, 2 = 0 имеем М=132. 193. 26. У к а з а н и е. 2пх\ х, 2х — число владеющих профес- сиями каменщика, бетонщика и плотника. Поскольку никто не вла- деет тремя профессиями, то число владеющих двумя есть 2пх4- 4-х4-2х — 32. Таким образом, 2nx4-3x —32 = 2x-j-2, (2п4-1)х = = 34. Значит, 2/г4-1 = 17 и т. д. 194. 15 км/ч, 3 км/ч. 195. 20 км. Указание. Пусть BD = x. Если бы автомобили ехали без остановок, то они встретились бы в D. Поскольку отношения путей, пройденных за одно и то же время, равны отношению скоростей, то АВ-[-вр CA+AD DA . 450 4-х DB ’ 720 —х 450 — X пгч/л -------, откуда х = 200. 196. 44. У к а з а н и е. Пусть было у бригад. Поскольку каж- дая бригада получила у4-20 комплектов, по два на каж- дого рабочего, то у — число четное; у (у 4-20) — общее число ком- плектов. По условию у (у 4-20) <(у 4-4) 12, у24*8у —48<0, у <4, У = 2. 247
197. 30 кг. 198. 1575, 1995. Указание. В первой коробке 15 х, во второй — 19х, х кратно 7«5; x = 7*5z = 35z. По условию 15х-4-< ЮОО, 300z<1000, z<3, 19х~>Ю00, т. е. z = 3. 7 5 199. 1/4 л и 7/4 л. У к а з а н и е. См. задачу 75. 200. 54. Ука- зание. п — число бутылей, х — количество яблочного сока в 1 л смеси. В перво?л сосуде будет во втором—-у. Имеем -—= я*+ 4, пх2 + 4х + 5п — 19 = 0, -—£> = 4 —п (5п— 19) = = — 5м24~ 19/z+ 4^0. Поскольку п натуральное, то п может рав- няться 1, 2, 3, 4. Но при п—1 и и = 2 будем иметь х> 1, что невоз- можно; при п = 4, х<0. Значит, п = 3, х = 2/3, 201. 37,5 мин. Указание. Бросив шляпу, математик заме- тил ошибку через /=10 мин. В самом деле, за время t рас- стояние между шляпой и палкой стало равным сумме путей, которые прошел математик и проплыла шляпа. То же время t нуж- но математику, чтобы встретить плывущую к нему навстречу пал- ку, после того как он выудил шляпу. Для удобства будем счи- тать, что скорость течения есть 2 в мин, скорость математика 3 в мин. Через 10 мин расстояние между шляпой и математиком 50 равно 50; время, чтобы ее догнать, будет -—-=\2,Ъ мин. За это время шляпа проплывает расстояние, равное 25, а всего шляпа проплыла 204-25 = 45. Значит, после того, как математик выудил шляпу, он вернулся в то место, где он ее бросил, через 45:3 = = 15 мин, а всего он потерял 104-12,54-15 = 37,5 мин. 202. 23 мин 55 с. У к а з а н и е. Последовательность действий, как это видно из схемы (рис. 55: тонкой линией изображены от- резки времени, когда лейку наполняет Коля, жирной — Оля; штри- ховая линия соответствует времени, когда наполнится бочка), пе- риодическая с периодом 230 с, из которых 145 с наполняется бочка. Для ее наполнения нужно 6 полных периодов и еще 55 с. 203. 170 м. У к а з а н и е. Рассмотрим три возможных случая. 1) К моменту второй встречи оба прошли по одному разу весь путь. Пусть 3 — расстояние между домами. К первой встрече суммар- ный путь равен S, ко второй — 33. Значит, каждый прошел втрое больше. Профессор прошел 3-55= 165; с другой стороны, его путь (34-85), т. е. 165 = 34-85, S = 80, чего не может быть, так как 3>85. 2) Профессор догнал доцента. Этот случай также невозмо- 15 10 45 ~ 10 15 30 10 20 15 ~10 10 40 j 15 230 С Рис. 55 248
жен, так как тогда скорость профессора более чем в 2 раза превы- шала бы скорость доцента. Значит, путь, пройденный доцентом к моменту первой встречи, меньше 0,5 «55, а расстояние между до- мами было бы меньше чем 554-0,5-55 = 82,5<85. 3) Доцент догнал профессора. Пусть и, v — скорости соответственно про- фессора и доцента, S — расстояние между домами. Во все момен- ты времени отношение пройденных путей равно отношению ско- о и 55 S — 8 а тт о ростеи; следовательно, -=-^—^-=-^—^-. Используя свой- ство пропорции, состоящее в том, что если Х=—-=~-, то при лю- - ах-\-су r-г « 5 — 85 — 2-55 S—195 ОЫХ X И у к=, . Получим ---= 77То-—-----—---— =-------—--. bx-[-dy J v (2S — 85) — 2 (S — 5а) 2a Это значит, что в тот момент, когда доцент прошел 25 м, т. е. был у газетного киоска, профессор прошел S —195 м, т. е. был на рас- стоянии 195 м от дома доцента. Расстояние между киосками будет: 195 — 25=170 м. 204. 3 км/ч, 4 км/ч, 5 км/ч. 205. От 6/23 до 17/29. § 5. Квадратный трехчлен 1. 2(х-1)2+1. 2. --у(х-3)2+4- 3. (2х —З)2. 4. (х-1)2-4. 5.(х—4)2+т- 6* 2 (х-2)2 + 2- 7- (*+ 9 (Зх —7). 8. (2-х)(2x4-3). 9. . 10.2(х^±А)(х_^1). 17. т—\]п, т+уп. 18. а) а — 1, Ь= — 1, с — 0; б) а = 1, Ь = с = 0\ в) а = 0, Ь= —2, с= 1; г) а=Ь—с= — 1. 19. Рис. 56. 20. Рис. 57. 21. Рис. 58. 22. Рис. 59. 23. Рис. 60. 24. Рис. 61. 25. Рис. 62. 249
250
27. Рис. 63. 28. Рис. 64. 29. Рис. 65. 30. Рис. 66. 32. Рис. 67. 33. у ==-у( —5+V13)х и У= —£-(5 + ?ДЗ)х. Указание. Вы- разите у через х, 34. у = х2-}-2х и у= — х2 + 2х. 35. Рис. 68. У к а з а н и е. Если у —х>0, тоу=—х^ + х+1. Заменяя в неравенстве у — х^О у на —-х2 + х+1, получим — х2+1>0, откуда — 1^х<1. Следова- тельно, мы должны взять часть параболы у=— х2 + х+1, со- ответствующую значениям х от —I до +1. Если у —х<0, то y = x2-f-x—1, —1<х<1. 36. Рис. 69. У к а з а н и е. Если у-\-х2 — 3x^0, то х2 — Зх = 0; х = 0, х = 3. В каждой из этих двух вертикальных прямых на- до взять часть, соответствующую неравенству у + х2 —3x^0, что приводит к у>0. Если у + х2 —Зх<0, то у=~-(Зх —х2). Из этой параболы берется часть, удовлетворяющая неравенству у + х2 — — Зх<0. Это дает нам 0<х<3 (или у>0). 37. Рис. 70. Указание. Рассмотрим четыре случая: I) у х, у^х2. Имеем у=---(х2 + х + 2). Заменяя у в неравенствах, опре- деляющих этот случай, получим х2 —х + 2^0, х2 — х + 2^0. Пер- вое неравенство выполняется при всех х, решением второго бу- дет — 1^х^2. Следовательно, в первом случае имеем дугу параболы у =-~ (х2 + х + 2), соответствующую значениям х: — 1^х^2; 2) у^х, у<х2. Получаем х2 —х —2 = 0, откуда х= —1 или х = 2. Заменяя в неравенствах, определяющих этот случай, х на — 1, получим — 1 ^у< 1. Это значит, что из прямой х = — I следует взять отрезок, соответствующий — 1 ^у< 1. Ана- логично из прямой х = 2 берется отрезок, соответствующий 2зСу<4; 3) у<х, у>х2. Этот случай невозможен; 4) у<х, у<х2. Получаем у =-~ (х2 + х — 2). Учитывая заданные нера- венства, получим — 1<х<2. 251
38. Рис. 71. Указание. Заметим, что если точка М (х0; Уо) удовлетворяет данному соотношению, то при любом вы- боре знаков точка (±хо; ±Уо) также ему удовлетворяет. Следовательно, нам доста- точно построить искомое множество в пер- вой четверти, а затем, симметрично ото- бражая относительно осей,— в остальных трех четвертях. Но в первой четверти наше соотношение приводится к виду \у — х2|+// + х2 = 2х. Соответственно воз- можны два случая: 1) у^х2, откуда у = х, 2) у<х2. В этом случае полу- чаем отрезок прямой х=1, 0у< 1. 39. Рис. 72. Искомое множество состоит из двух лучей АК и FM прямой у=^-(2 —я), двух дуг АВ и EF параболы у = 4х2 — О 252
— х — 2, двух отрезков ВС и DE прямой у = 24-*, дуги CD пара- болы у — — 4х2-х4-2. Указание. Заметим, что равенство \а\—Ь эквивалентно а — ±Ь, Ь^О. В нашем случае будем иметь 2х2+у— 2^0, т. е. все искомое множество расположено в области, где у ^2 — 2х2; при этом само множество распадается на две части: 12х2 — у\ — х — у = 2х2 + у — 2 и |2х—у| — х—у = = — 2х2 — г/4-2. В первом случае получаем |2х2—у\=2х24-*4~ 4-2// —2. Исходя из тех же соображений, приходим к двум ли- ниям: 2х2 — у = 2х2-[-х + 2у — 2 и 2х2 — у — — 2х2 — х — 2г/4“2, в каждой из которых берутся части, удовлетворяющие неравенству 2х24-* + 2у — 2 ^0 (не забудем также и про неравенство //>2 — 2х2). Получаем у=^г(2 — х) или у= — 4х2 —х4-2 при ус- ловии у ^2 — 2х2, у^ — (2 — 2х2 — х). Второй случай дает нам ] 2х2 — и\ = — 2х24~* + 2, откуда у = 4х2 — х — 2 или у — 2-\-х при условии у^2 — 2х2, —2х2 4-4-2^0. 40. Рис. 73. У к а з а н и е. Возможны четыре случая: 1) х^у, >2^у2. Тогда х = и2 при условии у^1 или //^ — 1; 2) х^у, x2<Zy2. Тогда х = х2, т. е. х = 0 или х~1.